Введение в функциональный анализ: Учебное пособие - Кутузов А.С.

Автор: Кутузов А.С.
Теги: дифференциальные, интегральные и другие функциональные уравнения конечные разности вариационное исчисление функциональный анализ математический анализ математика учебное пособие
ISBN: 978-5-4499-0433-1
Год: 2020
Похожие
Лекции по функциональному анализу
Задачи по функциональному анализу
Методы решения задач по функциональному анализу
Некоторые применения функционального анализа в математической физике
Текст
                    УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
—о
®
®—щ—•	®
-®-
• •
-о
А. С. КУТУЗОВ
®
-®
- ®
<►
&
®
0
#-
0-

А. С. Кутузов
ВВЕДЕНИЕ
В ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ
АНАЛИЗ
Учебное пособие
DirectMEDI А
Москва
Берлин
2020

УДК 517.9(075)
ББК 22.162я7
К95
Кутузов, А. С.
К95 Введение в функциональный анализ : учебное пособие /
А. С. Кутузов. — Москва ; Берлин : Директ-Медиа, 2020. — 481 с.
ISBN 978-5-4499-0433-1
Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов
направления (специальности) «Прикладная математика и информатика».
Может быть использовано для проведения практических занятий и органи¬
зации самостоятельной работы студентов.
Текст приводится в авторской редакции.
УДК 517.9(075)
ББК 22.162я7
ISBN 978-5-4499-0433-1
© Кутузов А. С., текст, 2020
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2020

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее пособие преследует две цели: во-первых, обобщить изучен¬
ные ранее в других дисциплинах математические понятия, методы геомет¬
рии, алгебры и математического анализа и на этой основе сформировать как
можно более единый подход к решению задач математики, во-вторых, изу¬
чить методы, задачи и теоремы функционального анализа и показать, как аб¬
страктная теория может быть приложима к решению конкретных приклад¬
ных задач.
Высокая степень абстракции понятий функционального анализа позво¬
ляет, с одной стороны, с единых позиций исследовать на первый взгляд дале¬
кие друг от друга вопросы, с другой же стороны, делает изучение данной
дисциплины достаточно трудоемким процессом. В пособии мы стараемся из¬
лагать большинство вопросов на доступном студенту-старшекурснику языке.
По большей части пособие предназначено для студентов направления
“Прикладная математика и информатика”. Для понимания материала студен¬
там необходимо обладать знаниями, полученными при изучении дисциплин
“Математический анализ” (это в самой большей степени), “Алгебра”, “Ана¬
литическая геометрия”, “Дифференциальные уравнения” и (в меньшей сте¬
пени) “Комплексный анализ” (также, известный, как “ТФКП”). На многие
известные (и не очень) факты из этих дисциплин (например, теорема о двух
милиционерах, теорема Лиувилля и т.д.) время от времени в тексте будут да¬
ваться отсылки, однако помещать их полные формулировки в рамках этой
книги было бы нецелесообразно, ибо это привело бы к излишнему увеличе¬
нию ее объема и служило бы отвлекающим фактором от основной линии по¬
вествования.
Пособие разделено на две большие взаимосвязанные части. Первая часть
посвящена основным видам пространств функционального анализа - метри¬
ческим, линейным нормированным и гильбертовым (мы не затрагиваем то¬
пологические пространства - см. ориентацию на прикладников - и не затра¬
гиваем пространства Соболева). Вторая часть посвящена операторам, дей¬
ствующим в рассматриваемых пространствах. Значительное внимание уделе¬
но введению в спектральную теорию ограниченных операторов, поскольку
это - наиболее практически содержательная часть функционального анализа
(см. “Уравнения математической физики”, “Квантовая физика”). Каждая
часть пособия состоит из логических разделов, каждый раздел - из пунктов.
Структура пунктов проста: даются теоретические сведения, примеры реше¬
ния задач, относящихся к данной теории, а также задачи для самостоятельно¬
го решения. Редко примеры и задачи могут следовать после двух-трех теоре¬
тических пунктов.
Теоретический материал излагается с достаточной степенью строгости
(иногда даже чересчур подробно, дабы минимизировать употребление таких
слов, как “очевидно”), кое-где с отсылками к предшествующим дисципли¬
нам. Имеются утверждения, принимаемые без доказательства (чаще всего,
3

ввиду их технической сложности, реже - из-за довольно большого объема
рассуждений), но, тем не менее, знать эти утверждения обязательно. Сказан¬
ное относится, например, к теореме о пополнении (имеется ввиду классиче¬
ское конструктивное доказательство), теореме об общем виде функционалов
на пространствах суммируемых функций, некоторым свойствам рефлексив¬
ных пространств, свойствам выпуклости (последним некоторое внимание
уделяется только в дополнении к основному материалу) и т.д. Во всех таких
случаях обязательно даются ссылки на источники, в которых можно при же¬
лании ознакомиться с полными доказательствами. Некоторые теоремы, для
сокращения выкладок, формулируются и доказываются в более простых
предположениях, чем в общем случае (например, теорема Арцела-Асколи
доказана только для отрезка, теория Фредгольма излагается только для гиль¬
бертовых пространств и т.д.). В большинстве таких случаев даются ссылки
на литературу, содержащую полные доказательства. Список рекомендуемой
литературы по функциональному анализу (содержащий как старые, прове¬
ренные временем и не нуждающиеся в дополнительном представлении, так и
более современные источники, как, например, [10]) приведен в конце посо¬
бия.
Практическая часть пособия состоит из подробных примеров решения
задач и задач для самостоятельного решения. Разумеется, невозможно при¬
мерами охватить всего многообразия задач, но, как нам кажется, ключевые
вопросы в примерах по большей части освещены.
Поскольку пособие ориентировано в первую очередь на студентов-
прикладников, то большинство примеров и задач имеют скорее вычисли¬
тельный характер. Количество теоретических задач и задач на доказательство
сведено к минимуму, но обойтись без них совсем никак нельзя. Ко многим
задачам для самостоятельного решения (необязательно сложным) даются
указания. Связано это, в первую очередь, с тем, что некоторые результаты,
приведенные в качестве задач, используются и при изложении теории. В за¬
дачи для самостоятельного решения эти результаты вынесены, поскольку
они являются достаточно простыми для самостоятельного выполнения сред¬
ним студентом-третьекурсником.
Наконец, практический материал этой книги может быть использован
для организации самостоятельной работы студентов, подготовки коллоквиу¬
мов и студенческих олимпиад.
4

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Лемма (неравенство Юнга): пусть р> 1, q> 1, — + — = 1, а>О, Ь>0, то-
р q
гда справедливо неравенство ab < — ар + — bq.
Р q
Доказательство: разделим доказываемое неравенство на ab, тогда
f V1
л 1 ар~1 1 bq~l 1 аГ1	1
1 <	+	=	+ -
р b да р b q
\aq 1 j
н	11,1 р
. Далее, поскольку —і— = 1, то 	= —
р q q-i q
р-1 = — . Таким образом, достаточно доказать, что 1 <
q
1 а9
1
1
р b
1
q
(	\Ч~1
b
\aq j
Обо-
Ъ	. 1 1 1 0_i _	,
значим — = t, тогда надо доказать, что 1<	+ — г . Рассмотрим функцию
f	р 1 q
aq
, ч 11	1,-і
(p{t) =	h—г , тогда достаточно доказать, что ее минимальное значение
Р t q
равно 1. Исследуем (pit) на минимум: q>\i) = —
Р
( \}
12
V Г У
1	-7
+ -(q-l)tq = 0, откуда
q
— = —{q- l)tq. Поскольку ——- = —, то tq = 1, откуда t = l. Поскольку
р q	q Р
cp"(t) = -~ + -(q-X)(q-2y-\ то ^"(1) = - + -(?-1)(? - 2) = — +	= — > 0,
р t q	р q	Р Р Р
значит, t = 1 - точка минимума функции и значит, минимальное значение равно
р(і)=-+-=і.
р q
Лемма доказана.
Лемма (неравенство Гельдера): пусть р> 1, 4 > 1, — + —= 1, тогда \/аі,Ьі
р q
(і = 1,п) справедливо неравенство
Доказательство: поскольку
<
ZaA
i
1 1
У п	\ г> f п	Л/
\я
г=1
ж т
і=i	у V і=і
п
< ХК ||/я|, то достаточно доказать,
і=1
1 1
Л-у » Л
я
что XWN- ЕКГ ZN
V *=і У V *=і У
/=1
/ л
. Обозначив
ZKT
V *=1 У
= А и
У и Л
2>.Г
V і=i	У
= 5,
и, поделив обе части доказываемого неравенства на АВ, получим, что доста-
5

дц|а.| \b\
точно доказать неравенство 2_j— • — <1. Применяя неравенство Юнга, полу-
і=і А В
чаем, что V оі • J-ii < V
tr А в tr
п ( Л П„\У 1 Пи\лЛ п (
\щ_
кА;
+ ■
N
=Х
У
/=1
л
іКГ+іЫ
уР Ар q В* у
^ i К-
= > —LH- +
^ п Ар
і=i і7 71
Лемма доказана.
q
p A1
q Bq
p q
Замечание: очевидно, что
i	i
f n	\ „ f n	\n	f
q
Ш X
V i=1	У V i=1	У
<
1
У
ХкГ X
V i=1 У V i=i У
, no-
1
\-y
/=1
этому ^|с/;||/г| < ^|<2г|Р	. Если при этом сходятся оба ряда	и
і=1
V І=i У V /=1 У
X
ХІ/гР , то из полученного неравенства следует, что все частичные суммы ряда
і=1
ограничены сверху. Поскольку это ряд с неотрицательными слагаемы-
і=i
ми, то, в силу критерия Вейерштрасса, он сходится. Тем самым, переходя в не-
V (
равенстве XklkM ХкГ ш
V і=1	У V і=1	У
/=1
к пределу при ц—»оо, получаем, что
ХНЫ^ XIе. Г ХЫ‘
V '=і У V м У
г=1
, т.е. неравенство Гельдера справедливо и для
бесконечных сумм.
Лемма (неравенство Минковского): пусть р> 1, тогда Ѵс/(,/т (/ = 1,л)
справедливо неравенство
1 1 1
Я	\ ті f П	\ n f П	Л
Р
Tj\ai+bi\
V і=1
<
Ski
V і=і У
+
xw'
V i=1 У
Доказательство: если р = 1, то, поскольку модуль суммы не превосходит
сумму модулей, неравенство очевидно верно. Будем считать, что р> 1 и
найдем q > 1 так, чтобы — + — = 1. Ясно, что достаточно доказать неравенство
P q
f
ѵ /=i
X(kl+kl)'
<
SkT
V i=1 У
+
Xki'
V i=1 У
. Преобразуем левую часть:
( п
2
ѵ /=і
X(kl+kl)'
/ /I
Х(ккЫХккЫ)
V і=і
р-i
6

у
EI ai (I a I+b IГ + E \h, Kl a\+\h, I)
V i=1
p -1
у
<
Ekr П E(l a\+lhil)
V 1=1
i=1
(p- i)q
<
неравенство
Г ельдера
<
1=1
n
1
+
EЬГ I I E(lad+lhil)
V i=i
(p-i)q
1=1
У
У П	\n f n
I IP(E(Ia,I + II)'
V 1=1	у V i=1
У
1 Л
+
EN' ГI E(la\ + N)'
V 1=1
1=1
Ed ad+bl)'
1=1
1
El ad'
V 1=1	у
+
E ЬГ
V 1=1	у
у у
I n
Разделим полученное неравенство на I E( I ad + bd)'
1=1
qp
1 1 У
E(l ad + lh1 D
p ) p qp
<
1=1
У
El ad'
V 1=1	у
у
1
+
Возведем полученное неравенство в степень p :
Ed ai+bi)'
a-1
1=1
q
<
E КГ
V 1=1	у
+
El hlp
V 1=1	у
E
V 1=1	у
Окончательно, осталось заметить, что — = 1 -1.
p q
Теорема доказана.
Замечание: аналогично предыдущему замечанию, можно показать, что,
если сходятся ряды E|adp и Eblp , то сходится и ряд E(l ad + |h, причем
1=1
1=1
1=1
w	\ „	i <jj
E(l«d+bl)p p < E
1=1
la1
у V 1=1	у
+
E
V 1=1	у
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
7

СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА
Определение: система множеств К называется кольцом, если \/А,ВеК:
АПВеК, A\JB(=K, А\ВеК.
Определение: пусть X - множество, К - кольцо его подмножеств. Функ¬
ция т: К —»М называется счетно-аддитивной мерой, если:
1.	Ѵс^К: т(с)>0;
2.
( оо \
\/сѵс2,...£ К (непересекающихся): т
\k=1 J k=1
При этом множества, которые принадлежат К, называются измеримыми.
Определение: пусть X - множество, К - кольцо его подмножеств. Мера
т:К —>J8L называется счетно-полуаддитивной, если Ѵс,срс2,...еК из условия
00	00
с = {Jck следует, что т(с) < ^т(ск).
к=1	к=1
Замечание: свойства счетной аддитивности и счетной полуаддитивности
меры эквивалентны.
Определение: пусть X - множество, К - кольцо его подмножеств, т -
счетно-аддитивная мера на К, £сХ - произвольное множество. Внешней
00
(верхней) мерой Лебега множества Е называется величина /л (Е) = inf ^т(Ек),
к=1
где точная нижняя грань берется по всем системам	К, которые покры¬
вают множество Е.
Замечание: верхняя мера неотрицательна, монотонна (т.е. из условия
Е\ а Е2 вытекает, что /І(Е^) < ju(E2)) и счетно-полуаддитивна.
Определение: пусть X - множество, К - кольцо его подмножеств,
- произвольное множество. Множество Е называется измеримым по
Лебегу множеством конечной меры (суммируемым), если Ѵб:>0 существует
множество F&K, такое, что ju*(EAF)<s, где EAF = (Е \ F)\J(F\ Е) - сим¬
метрическая разность.
Замечание: функция /л*, рассматриваемая только на системе суммируе¬
мых множеств, называется мерой Лебега и обозначается /л. На системе сумми¬
руемых множеств мера Лебега счетно-аддитивна. В пространстве М" часто в
качестве кольца К выступает система элементарных множеств, т.е. множеств,
являющихся конечным объединением параллелепипедов.
Определение: пусть X - множество, А - система его подмножеств. Эта
система называется <т-алгеброй, если она является кольцом и Ѵс,,с2,... е А:
со	со
U скеА> П скеАи х gA-
к=1	к=1
Определение: множество Е называется измеримым по Лебегу, если его
пересечение с любым суммируемым множеством является суммируемым.
8

Замечание: совокупность измеримых множеств образует <j-алгебру. Ме¬
рой Лебега измеримого множества называется его верхняя мера /и .
Определение: пусть X - множество, на котором задана а-алгебра изме¬
римых подмножеств с мерой Лебега ju. Функция /: X -» М называется измери¬
мой, если ѴсеМ множество {хеХ :/(х)<с} - измеримо (т.е. принадлежит сг-
алгебре, которая задана на X).
Теорема (об эквивалентных определениях измеримости): следующие
четыре условия эквивалентны:
1.	/ измерима;
2.	{х:/(х)<с} измеримо;
3.	{х: /(х) > с] измеримо;
4.	{х:/(х)>с} измеримо.
Теорема (об операциях с измеримыми функциями): если / и g измери-
f
мы, то f + g, f -g, — (g ^0), 1/1, If\p также измеримы. Кроме того, любая не-
8
прерывная функция измерима. Измеримы также функции h1=max(f,g),
+	/,/> о о, /> о
h2 = rmn(f,g),f+ = \J,J и Г = \ J
*	4 J [о,/<о [-/,/<0
Определение: функции / и g, определенные на измеримом множестве
X, называются равными почти всюду (эквивалентными), если множество тех
значений аргумента, при которых они не равны, имеет нулевую меру, т.е.
д{хеІ:/(х)^^(х)} = 0.
Определение: последовательность /„ называется сходящейся почти всюду
на измеримом множестве X к функции / при п—>оо, если множество точек
{х e X : /л(х) -/> /(х)} имеет нулевую меру.
Теорема (об измеримости предельной функции): если /и(х) измеримы и
/и(х) —> /(х), то /(х) также измерима.
п—> со
Теорема Егорова: пусть Е - суммируемое множество (ju(E) < +оо),
/n,/:.E—»М, причем все /„ измеримы, тогда, если /и(х)—>/(х), то Ѵ£>0
П—>00
3ES - измеримое множество (множество Егорова) такое, что ju(Es)<S и
E\ES
Ш =3 /(*)•
п—>СО
Определение: пусть X - измеримое множество и /в(х) - последователь¬
ность определенных на нем измеримых функций, /(х) - измеримая функция,
тогда последовательность fn(x) называется сходящейся по мере к функции /(х)
fi
если Ѵсг>0 lim/Лхе X :|/(х)-/(х)|><т} = 0. Обозначение: /й(х)^/(х).
Я-> оо "	'	1	*	«—>со
9

Теорема (о связи сходимостей по мере и почти всюду): 1. Если
п.в.	ц
М(Е) < -и», то из ffx) -+ fix) следует, что Их) -> fix) (теорема Лебега);
п->оо	П^оо
Ц	п.в.
2.	Если //(Е) < -их) и fjx) —> f{x), то 3/ (х) —» fix) (теорема Рисса).
и—Ко	*	&—> 00
п
Определение: пусть Е = [J Ек, причем Ек С\ Et=0 при £ ^ . Функция
к=1
/г: £■ —> М называется ступенчатой, если Ѵх е Ек Іг(х) = ск е И при к = \,п.
Замечание: ступенчатая функция измерима тогда и только тогда, когда
каждое множество Ек измеримо.
Теорема (об аппроксимации): всякую неотрицательную измеримую на
измеримом множестве X функцию можно представить, как предел неубываю¬
щей последовательности неотрицательных измеримых ступенчатых функций.
Определение: пусть Е - измеримое множество конечной меры с заданной
на нем счетно-аддитивной мерой ц.
1.	Интегралом Лебега от ступенчатой функции h: Е —» М. по множеству Е
и мере /л называется величина j*h(x)dju = ^ск M(Ek).
Е	к=1
2.	Интегралом Лебега от неотрицательной измеримой функции /: Е —» М
по множеству Е и мере ju называется величина \ f(x)dju = Mm \hn(x)dju, где
J	П—¥оо J
E	E
hn(x) - неубывающая последовательность неотрицательных измеримых сту¬
пенчатых функций такая, что Ух еЕ hn(x) —» /(х).
п—¥ со
3.	Интегралом Лебега от измеримой функции /: Е —» М по множеству Е и
мере ju называется величина |/(x)J// = ^f+{x)dju-^f~{x)dju.
ЕЕ	Е
Определение: функция, интеграл Лебега которой существует и конечен,
называется суммируемой.
Теорема (об интегрируемости модуля): функция / суммируема на мно¬
жестве Е тогда и только тогда, когда на Е суммируем |/|. При этом
jf(x)dfi < j\f(x)\dp.
Замечание: интеграл Лебега обладает всеми свойствами интеграла Рима¬
на: линейность, аддитивность, интегрирование неравенств (при этом достаточ¬
но, чтобы было / < g почти всюду). Измеримая почти всюду ограниченная
функция интегрируема по Лебегу. Если функция интегрируема по Риману, то
она интегрируема и по Лебегу и ее интегралы Римана и Лебега совпадают. При
определенных условиях интеграл Лебега обладает свойством счетной аддитив¬
ности. Интеграл Лебега по множеству нулевой меры равен нулю.
10

Определение: мера ц на измеримом множестве X называется <т-
конечной, если существует такая последовательность {Х„}сІ, что ju(Xn) <+qo,
00
Хп с= Хп+1 и X = Хп. При этом любая такая последовательность множеств
п=1
называется исчерпывающей.
Определение: измеримая функция /, определенная на множестве X ст-
конечной меры //, называется суммируемой на X, если она суммируема на
каждом его измеримом подмножестве конечной меры и для любой исчерпыва¬
ющей последовательности |ХИ} предел lim [ f (x)dju существует и конечен, а
Я-»00 J
также не зависит от выбора исчерпывающей последовательности. Этот предел
называется интегралом Лебега функции / по множеству X и обозначается
jf(x)dju.
х
Замечание: для интегралов по множествам бесконечной меры справедли¬
вы все результаты, что и для интегралов по множеству конечной меры, за ис¬
ключением интегрируемости измеримой почти всюду ограниченной функции.
Теорема (об абсолютной непрерывности интеграла Лебега): пусть
функция / суммируема на измеримом множестве X, тогда \/е>0 3с>>0:
\/Xs<^X (измеримого) ju(X8)<S
J f(x)dju
*5
< Б .
Теорема Лебега (об ограниченной сходимости): пусть X - измеримое
множество, /„ (х) - последовательность измеримых на X функций и выполне¬
ны условия:
!• /„(*) ->/(*);
п—> СО
2. \/п,х |/п(х)| < у (л) почти всюду, причем g(x) - суммируемая функция.
Тогда /(х) также суммируема на X и Нт Г fn(x)dp= Г f(x)djU.
ft—»х J	J
X	X
Теорема Б. Леви (о монотонной сходимости): пусть X - измеримое
множество, /ге(х) - монотонная по п последовательность суммируемых функ¬
ций и пусть Уп
\fn{x)dju
< с, тогда /п(х) —> /(х) на X , причем /(х) сумми-
ft—» со
руема на X и Нт Г fn(x)dju= [ f(x)djU.
ft—»оо J	J
Теорема Б. Леви (для рядов): пусть ак (х) - суммируемые неотрицателъ-
х
ные на измеримом множестве X функции, и сходится ряд ak{x)dju. Тогда
к=\х
11

оо
ряд »,(х) сходится на X почти всюду. При этом его сумма является сумми-
к=1
00	00
руемой функцией и J^ак(x)d// = ^ jak(x)dju.
X к=1	k=1 x
Теорема Фату (о суммируемости предельной функции): пусть X - из¬
меримое множество, fn (х) - последовательность суммируемых на X функций,
пь.	т
/и(х) —» /(х), fn(x)>0 почти всюду на X и \fn(x)djU<c. Тогда /(х) - сум-
п—^00	J
X
мируемана X и Jf(x)dju<c.
X
Теорема (о производной интеграла Лебега): для всякой суммируемой на
отрезке [a,b] функции f(x) почти всюду справедливо равенство (для х е [a,b])
/ I S(t)dn = f(x).
ах гJ i
Определение: функция /(х), определенная на отрезке \a,b], называется
абсолютно непрерывной, если для каждого s >0 найдется такое с) >0, что для
произвольной конечной системы попарно непересекающихся интервалов
		п	п
(ak,bk), к = \,п такой, что bk-ak)<S выполняется ^\f(bk)-f(ak)\<£.
к=1	к=1
Замечание: всякая абсолютно непрерывная на отрезке функция равномер¬
но непрерывна на нем. Сумма абсолютно непрерывных функций и произведе¬
ние абсолютно непрерывной функции на число — абсолютно непрерывная
функция.
Теорема (формула Ньютона-Лейбница): если функция /(х) абсолютно
непрерывна на отрезке [a,b], то J f\x)d/u = f(b)-f(a).
[a,b]
Теорема Фубини: 1. Пусть f(xl,x2) - суммируемая на измеримом множе-
С	\
стве Х = Х,хХ2 функция, тогда J f(x^x2)dju = J J f(Xl,x2)dju2 ,
*1 V*2
djux =
J
= j j /(xpx2)J/^
dju2;
2. Если существует хотя бы один из интегралов | | |/(xpx2)| J//2
dfj^ или
X1 \ %2
J \\f(xvx2)\dju^
dju2, то функция
X2 Vх!	У
справедливо равенство из и. 1.
/Сад)
суммируема на X = Хг х Х2 и
12

Теорема (о связи интеграла Лебега и несобственного интеграла Рима¬
на): пусть на конечном полуинтервале [a,b) задана непрерывная функция
/(x), причем lim /(x) = со. Функция /(х) интегрируема по Лебегу на отрез-
х->Ь-О
ке \a,b\ тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл Римана
ъ
J|/(x)|<ix. В случае интегрируемости f(x) по Лебегу на [a,b\ справедливо ра-
а
Ъ
венство J f(x)dju = lf(x)dx.
\a,b\	а
Доказательство: пусть f(x) интегрируема по Лебегу на [а,Ь], тогда
|/(х)| также интегрируем по Лебегу. Рассмотрим последовательность функций
Sn(x) =
Г ь 1_І
а,Ь —
п
<
( 1
0, хе
b--,b
< п _
п.в.
Ясно, что gn(x)—»|/(х)|, причем все gn(x) непре¬
рывны почти всюду на [а,Ь], а потому интегрируемы на [a,b] по Риману и по
Лебегу. Поскольку |gn(x)|<|/(x)|, то выполнены все условия теоремы Лебега
об ограниченной сходимости, согласно которой [ \f(x)\dju=lim [ gn(x)dp =
\a,b\	[a,b\
ft.	^
= lim f |/(x)|Jx= [|/(x)|Jx, т.е. интеграл f|/(x)|<ix сходится. Если рассмот-
со J	J	J
1
реть последовательность / (x) =
/(X),X'
a,b-
n
п.в.
( i
0, xe b—,b
V n J
, то fn (x) -> / (x), причем
|/„сф|/«| и, аналогично, используя теорему Лебега, заключаем, что
ъ
J f(x)dfi = jf(x)dx.
\a,b\	а
Ъ
Обратно: пусть интеграл ||/(х)|сЬс сходится. Рассмотрим ту же самую по-
а
следовательность gn(x), каждая из функций которой интегрируема по Риману и
П.в.
по Лебегу и gn(x)—»|/(х)|. Эта последовательность монотонно не убывает по
13

п, причем I gn(x)dp = J |/(х)|<2х<j\f(x)\dx = const. В силу теоремы Б. Леви
\а,Ь\	а	а
функция |/(х)| интегрируема по Лебегу на [a,b], следовательно, интегрируема
по Лебегу и /(х).
Теорема доказана.
Замечание: таким образом, класс интегрируемых по Риману в несобствен¬
ном смысле на отрезке \a,b\ функций включает класс функций, интегрируемых
по Лебегу. Если несобственный интеграл Римана сходится условно, то в смысле
Лебега такой интеграл не существует. Аналогичное утверждение имеет место
для интеграла по лучу [ц,+оо). Аналогичные утверждения (без особых измене¬
ний в доказательствах) справедливы для кратных интегралов Римана и Лебега.
Упражнения: 1. Привести пример функции, интегрируемой на некотором
множестве в смысле несобственного интеграла Римана, но неинтегрируемой на
этом же множестве по Лебегу.
2.	Пусть X - суммируемое множество и функция / суммируема на X.
Доказать, что для любой исчерпывающей множество X последовательности
{Хп} \f{x)dju
х
lim
00
J f(x)dp.
Указание: рассмотреть последовательность fn(x) =
/(х),хе Хп
и при-
0, х £ Хп
менитъ теорему Лебега об ограниченной сходимости.
3.	Пусть / - неотрицательная измеримая функция на множестве X с за¬
данной на нем сг-конечной мерой, {Хп} - какая-то исчерпывающая последова¬
тельность множества X . Доказать, что, если существует предел lim Г f(x)dp,
Я-»00
то существует и интеграл J' f{x)dp.
X
4.	Доказать теорему о связи интеграла Лебега и несобственного интеграла
Римана в случае множества \а,+ оо).
Указание: воспользоваться определением несобственного интеграла Ри¬
мана, определением интеграла Лебега по множеству бесконечной меры, связью
между интегралами Римана и Лебега, а также предыдущей задачей.
Теорема (неравенство Гельдера для интеграла Лебега): пусть f,g- из¬
меримые функции на измеримом множестве E, p,q> 1, —+- = 1 и пусть ЫР и?
Р Ч
суммируемы, тогда / • g также суммируема и
i
\
jf-gd/i< ||/Г dp \\g\dP
\Е
У ѴЕ
14

Доказательство: обозначим Jl/Г^	и ||#Гdv
= В. Деля тре¬
буемое неравенство на АВ, получаем, что надо доказать, что
Применяя неравенство Юнга, получаем:
[—■—dp
* А В
<1.
,	|f| I I	Л Jl/Г^ Л \\gfdp
J А В ІА В
р А1
q Bq
= - + - = 1.
Р Р
E	E
Теорема доказана.
Теорема (неравенство Минковского для интеграла Лебега): пусть f,g-
измеримые функции на измеримом множестве E, р> 1, \f\P , |gf - суммируе-
Гр Г
Гр (
мы, тогда |/ + g\p также суммируема и J|f + g\Pdp <	+ J|g|p<i//
\Е	) \Е	У \Е
Доказательство: если р = 1, то \\f + g\dp<\\f\dp + \\g\dp - очевидно.
Е	ЕЕ
Пусть р> 1. Тогда поскольку |/ + g|<|/| + |g|, то достаточно доказать, что
і	-
j(\f\ + \g\Y dM	<{\\f\P dp + \\g\P dp
У \E
P 11
. Выберем q> 1: —ь — = 1. Тогда:
P q
Кі/і+ну dA = (j(w+i*ixi/i+нгdfi
E	J \E
f
J
V£
J|/|(|/| ■+І*ІГ'+j H(l/I+І«ІГ'd»
<
неравенство
Гельдера
<
г
v
г
KE
V ^
f
V (
\\f\p dp j(\f\ + \g\)(P 1)9 dp + J| g\Pdp	j(\f\ + \g\)iP 1)9 dp
(
v
/
\E
У \E
У \E
1
\\f\P dp \(\f\ + \g\)P dp + J| g\Pdju \(\f\ + \g\Y dp
У \E
V ^
l
У \E
1 (
У \E
V (
X
l
J
1\
1\
У \E
\(\f\ + \g\f dfi
\E
pq
jVr dp + J| g\P dp
i \
\E
У \E
15

Разделим полученное неравенство на +
РЧ
тогда
г
\Е
1 1 f
\{\f\ + \g\)P <1ц
Р РЧ
<
-	іЛ
\\f\P dju +{\\g\pdju
V
f
\E
Отсюда ($(\f\ + \g\)Pd/i <U\f\P dju +U\g\pdju
\E	) \E	J \E	J
.E
1
значит.
f
X r
X '
ii\f\ + \s\Y dM	^ \\f\P dV + \\g\P dju
\E	J \E	J \E
Теорема доказана.
Теорема (неравенство Чебышева): пусть / - суммируемая на измеримом
множестве Е функция, причем / >0, тогда Ѵс > О /и{хе E:f(x)>c}<-\fdju.
С Е
Доказательство: обозначим Ex={xeE: f(x) >с), Е2 = {хе E: f(x) < с}.
Ясно, что Ех U Е2 = Е и Ех П Е2 = 0.
Тогда j fdju = ^ fdju + ^ fdju> ^ fdju>c^ldp = cju(El), откуда ju{Ex) <—^ fdju.
Е	Щ	E2	Щ	E1	C E
Теорема доказана.
Замечание: при доказательстве использовали свойство интеграла Лебега
|ldju = ju{E) (поскольку 1 - ступенчатая функция на Е).
Е
Теорема (о функциях с нулевым интегралом): пусть / - неотрицатель¬
ная измеримая функция на измеримом множестве Е, тогда j fdju = 0 тогда и
Е
п.в.
только тогда, когда / = 0.
Доказательство: пусть | /с/ц = 0. В силу неравенства Чебышева Ѵс> О
ju{x:f(x)>c}<-$fdju = 0, значит, ju{x: f(x)>c} = 0, поскольку отрицатель-
С Е
ной мера быть не может. Рассмотрим множества El = {x:f(x)> l},
Е2 = |х:/(х)>^|,..., Еп = |х:/(х)> — |,.... Из сказанного выше ясно, что
УпеN ju(En) = 0. Ясно, что, если в некоторой точке х f(x) > 0, то найдется
номер п такой, что /(*)> — , значит, эта точка х принадлежит множеству Еп.
п
16

Итак, ЗяеN: {x:f(x) >0}<еЕп. Таким образом, //{х:/(х) >0} = 0. Поскольку
п.в.
по условию /(х) > 0, то отсюда следует, что ju{x: /(х) ф 0} = 0, значит, / = 0.
п.в.	-
Обратно: пусть / = 0. Отметим, что jOJ// = 0 (0 - ступенчатая функция на
Е
п.в.
Е). Кроме того, очевидно, что, если /и(х)-»/(х), то /в(х)->/(х), а, если
п.в. п.в.
/ = 0, то / = 0. Рассмотрим последовательность fn (х) = 0 —> 0 = /(х). По-
П—> 00
скольку очевидно, что |/n| = 0<0 = g и g - суммируема, то по теореме Лебега
об ограниченной сходимости lim f fn(x)dju = f f(x)dju, откуда lim [&/// = \fdju,
ft—J	J	/I—^oo J	J
EE	EE
т.е. J/d// = 0.
E
Теорема доказана.
Замечание: из этой теоремы следует, что интегралы Лебега от почти всю¬
ду совпадающих функций равны (заметим, что в части достаточности условие
неотрицательности функции не требуется).
Определение: пусть / - измеримая функция. Классом функций, соответ-
(п.в. j
g-g = f\-
Определение (операции с классами): [/] + [g] = [/ + #]> [/] • [g] = [/ • g],
И_
/
’ |[/| = [|/|]’ [fY =[fP]’ если Se[/]> то Jgdp = jfdju;
M Ы
Замечание: всюду далее (в тех частях, что касаются интеграла Лебега),
если не оговорено особо, все рассматриваемые множества предполагаются из¬
меримыми. Также, если это не вызывает недоразумений (особенно в примерах
и задачах), интеграл Лебега по подмножеству числовой прямой будем обозна-
ъ
чать jf(x)dx. Более подробно о построении и свойствах меры и интеграла Ле-
а
бега см. в [5].
Упражнения: 1. Доказать обобщенное неравенство Чебышева: при р> О
//{хе Е:/(х)>с}< irJ/Чи (в условиях теоремы о неравенстве Чебышева).
С Е
2. Доказать, что в неравенстве Гель дера знак равенства достигается тогда и
только тогда, когда почти всюду на E /(x)g(x) > 0 или /(x)g(x) < 0 и для не¬
которых чисел а и Д, не равных нулю одновременно, a\f(x)\! = p\g(x)f.
17

3.	Доказать, что в неравенстве Минковского знак равенства достигается
тогда и только тогда, когда для некоторых неотрицательных чисел а и Д, не
равных нулю одновременно, af(x) = Pg{x) почти всюду на Е.
4. Вычислить интеграл Лебега от функции f(x) =
резке [0,1].
Х<
1, х е [0,і]П Q
на от-
5.	Вычислить интеграл Лебега от функции /(х) =
smx, если х - целое
cos х, если х - нецелое
на отрезке
6. Вычислить интеграл Лебега от функции f(x) =
на отрезке [2,8].
т
ех, еслих = —,т,пе N
Т
-ех, в других точках
7. Вычислить интеграл Лебега функции /(х) =
отрезке [0,1].
8. Вычислить интеграл Лебега:
х, х - алгебраическое
х2, х - трансцендентное
а)	I sign cos я-xd//; б) J sign sin—dju \
[-3,3]	(0,1]	x
B) J [x + y]dju\T) J ^]d,.
[0,2]x[0,2]	x2<y<4
Здесь [a] - целая часть числа деМ.
Указание: показать, что все подынтегральные
пенчатыми.
функции являются сту-
18

ЧАСТЬ I. ПРОСТРАНСТВА
РАЗДЕЛ 1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
1.1.	Понятия метрики и метрического пространства
Определение:	пусть X - произвольное множество. Отображение
->М называется метрикой (расстоянием) в X , если оно удовлетворя¬
ет следующим условиям (аксиомам метрики):
1.	р(х, у)>0 Ѵх, у e X (аксиома неотрицательности);
2.	р{х, у) = 0 х = у (аксиома тождества);
3.	р{х, у) = р{у,х) Ѵх, у e X (аксиома симметрии);
4.	р{х, z) < р{х, у) + р{у, z) Ѵх, у, z e X (аксиома треугольника).
Замечание: напомним, что прямым или декартовым произведением двух
множеств X и Y называется множество X х Y = {(х, у):хе2Г,уеТ}.
Определение: множество X, рассматриваемое вместе с заданной на нем
метрикой р, называется метрическим пространством, а элементы x,y,z,...e X -
точками (или векторами) этого метрического пространства.
Замечание: иногда метрическое пространство X вместе с заданной на нем
метрикой р обозначают (Х,р).
Замечание: всякое подмножество Y метрического пространства X, рас¬
сматриваемое с тем же расстоянием между элементами, также является метри¬
ческим пространством и называется подпространством пространства X .
Определение: расстоянием между двумя множествами М и N метриче¬
ского пространства X называется число р(М, N) = inf р(х, у).
хеМ
yeN
Замечание: в частности, расстоянием от точки аеі до множества
МсІ называется число р(а,М) = inf р(а,х).
хеМ
Определение: две метрики рх{х,у) и р2(х,у), введенные на одном и том
же метрическом пространстве X, называются эквивалентными, если для про¬
извольной последовательности {xjcl и для элемента xg X из того, что при
п —» оо рх (хл, х) —» 0 следует, что рг (хп, х) -» 0 и наоборот.
Теорема (достаточное условие эквивалентности метрик): пусть X -
метрическое пространство, рх{х,у) и р2(х,у) - две метрики в нем. Пусть суще¬
ствуют постоянные с\ > 0 и с2> 0 такие, что Ѵх, у e X справедливо неравен¬
ство с1р1(х,у)<р2(х,у)<с2р1(х,у). Тогда метрики рх и р2 эквивалентны.
Примеры решения задач
. 1
1 +	, прих^у
х + у	. Доказать, что р - метрика.
О,	при х = у
19
1. Пусть X = [i ,+оо), p(x,y) = j

Решение: проверим аксиомы метрики.
а)	р(х, у) > 0 - очевидно;
б)	р( х, у) = 0 ^ х = у - очевидно;
в)	р(х, у) = р(у,х) - очевидно;
г)	проверим, что р(х, z) < р(х, у) + р( у, z).
Ясно, что р( х, z) =
1 + ■
х + z
0,
при х Ф z
при х = z
р( у, z)
1 +
10,
1
у + z’
при у Ф z
и
при у = z
р(х, у) + р( у, z)
1
г
1
1 +
,
при х Ф у
1 +
х + у
+ <
у + z
0,
при х = у
к
1+
1+
2 +
1
х + у’
1
у + z’
1
х + у
1
у + z’
при х Ф у, у = z
при у Ф z, х = у
при х Ф у, у Ф z
при у Ф z
при у = z
0,	при х = у, у = z
Таким образом, надо рассмотреть отдельно четыре случая.
Случай 1: х ф у, у = z, тогда х ф z и
р( х, у) + р( у, z) = 1 + —^- = 1 + —^- = р( х, z).
х + у
х + z
Случай 2: у ф z,х = у, тогда х ф z
р(х, у) + р(у, z) = 1 + —^- = 1 + —^- = р(х, z).
у + z х + z
Случай 3: х ф у, у ф z. Здесь возможно два варианта:
Случай 3-а: х ф z и надо проверить, что 2 +
1
+
х + у у + z
11
— > 1+ —
х + z
т.е., что
т 1	1
1 +	+ —
1
х + у у + z х + z
>0. Поскольку по условию х > 1, у > 1, z > 1, то х + z > 2,
1
откуда
1+
1
	< —.
х + z 2'
11
1
1
1
т.е. -
> —, откуда 1 -
х + z 2	х + z
11
> 1 — = — и, значит
2 2
+
11
		>
+
1 +1 > 0.
х + у у + z х + z х + у у + z 2
Случай 3-б: х = z и надо проверить, что 2 +
видно, поскольку х > 1, у > 1, z > 1.
1
1
+
х + у у + z
> 0, но это оче-
20

Случай 4: х = у, у = z, тогда x = z и р(х, у) + р(у, z) = 0 = р(х, z).
Итак, в любом случае, /?(x,у) + /?(у,z) ^р(х,z), т.е. аксиома треугольника
доказана. Таким образом, функция р определяет метрику.
2. Пусть X - произвольное множество, а отображение рх: X х X —» М. удо¬
влетворяет условиям:
а) рх (х, у) = 0	х = у (аксиома тождества);
б)	рх(х,у)< px(x,z) + px(y,z) Vx,y,zeX (аксиоматреугольника).
Доказать, что функция р{ определяет метрику в X .
Решение: по определению метрики, достаточно проверить выполнение для
функции рх аксиом неотрицательности и симметрии.
Пусть в условии б) у = х, тогда рх(х,х)< px(x,z) +p1(x,z) = 2p1(x,z) и, в
силу условия а) 2px(x,z)>0, откуда px(x,z)>О \/x,z^X. Условие неотрица¬
тельности проверено.
Пусть в условии б) z = x, тогда рх(х, у) < рх(х,х) + рг(у,х) и, в силу условия
а) рх(х,у) < рх(у,х) Ѵх, уеХ. Поскольку это неравенство верно для любой па¬
ры элементов х,у e X , то справедливо и неравенство рх(х,у) > рг(у,х). Откуда
Ѵх, уеХ рх (х, у) - рх(у,х) и условие симметрии проверено.
3.	Пусть f(x) - непрерывно дифференцируемая на М+ = {хеМ:х>0}
функция, удовлетворяющая условиям:
а)	/(0) = 0 и f(x) > 0 при х > 0;
б)	/(х) не убывает при х > 0;
в)	/ЩневОзрастаетприЛ>0.
X
Доказать, что формулой р(х, у) = / (|х - у|) определяется метрика в М.
Решение: очевидно, что аксиомы неотрицательности, тождества и симмет¬
рии выполняются.
Покажем, что для проверки аксиомы треугольника достаточно доказать не¬
равенство /(а + b)< f (а) + /(b) при произвольных а>Ъ>0.
Действительно, поскольку |х- у| < |х- z\ + |z - у| и справедливо условие б),
то получаем, что /(|х - у|) < / (|х - z\ + \z- у|) и поэтому для доказательства ак¬
сиомы треугольника / (|х - у|) < / (|х ~ z\) + f (|z - у |) достаточно доказать, что
/(|x-z| + |z-y|)</(|x-z|) + /(|z-y|). Обозначая |x-z| = a, \z-y\ = b (или
наоборот, чтобы выполнялось условие о, > b > 0) получим требуемое.
Рассмотрим функцию <р(а,Ъ) = f(a) + f(b)~ f(a + b). Надо доказать, что
<Р(а,Ь)>0. По теореме Лагранжа f(a + b)-f(d) = fX€)(a + b-d) = fX£)b для
£е(а,а + Ь), откуда <р(а,Ь) =/ф)-[/(а + Ь)~ f(aj\ = f (Ь)-/\{)Ь. Из условия
в) следует, что при х > 0
/(*)
V
V X )
/А f\x)x-f(x)
<0, т.е.			<0, откуда /'(х)х-/(х) <0,
X
21

/U)
т.е., f(x)< ^ , значит,	и получаем, что (p{a,b)> f ф)-IfSl.u
€
Поскольку a < то из условия в) следует, что ^ ^а^ > f )
т
>-■
а z ’
и сЫа.Ь)>	a'f(b)~b-f(a)
a	' JK) a b- 		• Поскольк
значит,
4	а 		 а	а	' 1і0СК0льку а>Ъ,
то из условия в) получаем, что	откуда й. т _ ь. /(а) > 0 _ зшчш,
(р{а,Ъ)> 0.
4. Пусть X - множество всех алгебраических многочленов степени п на
отрезке [0,1],несли Р(0 = |>/, а (Ц,) = ±Ь/ , то A(A0 = rmx|/>(O-eW|,
п
а А (А б)= ZK ~Ьк\- Доказать, что эти две метрики эквивалентны
к=0
Решение: обозначим g(t) = P{t)-Q{t) = yaktk -]►>/ = У(ак-bk)tk = yc tk
к=0	к=0	■ -	Lu Ъ '
Тогда рх (Р, Q) = max I g (t) I = max
Цод] 1	fg[0)i]
n
YjCX
k=0
n
*=0
n
= Zk-^| = A(A0.
k=0
Рассмотрим разбиение 0 = г0 </, <t2	=1 отрезка [0,1]. Составим си-
n
стему уравнений Ы - 8(ti), где i = 0,1,2,...,н. Неизвестные здесь - коэффи-
*=о
1	t	t2	••• t'
L	*0	l0 l0
циенты . Определитель матрицы этой системы имеет вид
1	tx	t{
1	t2	t2
1 L t.
Это - определитель Вандермонда, он равен ]~[ (і} -/Д ^0, поскольку все точ-
1</< )<п
ки разбиения отличны друг от друга. Таким образом, система имеет единствен-
п
ное решение ск=А lg(ti) = ydkig(ti), где к = 0,1,2,...,л, dki - коэффициенты об-
г=0
ратной матрицы А . Заметим, что числа dki зависят только от выбора точек
разбиения, но не зависят от многочлена g(t).
и	It
Таким образом, p2(P,Q) - Xkl=Z
к=О	к=0
2Х^)
j=0
^ЁЁКІкДОІ-Ясно, что
к=О і=О
22

Vi	- ЗДИ>1’тогда P2(P,Q) £^х|8(0|ІІК|=д (p.oSSK I-
k=0 1=0	k=0 i=0
Итак, A(P,®<A(P,e)< ZZKI 'Pi(P,Q), следовательно, в силу доста-
к=о ;=о
точного условия, метрики эквивалентны.
5.	Доказать, что для произвольных множеств М и X в метрическом про¬
странстве X p(M,N) = Mp(x,N) = Mp(M,y).
хеМ
yeN
Решение: покажем, что для произвольной ограниченной снизу функции /,
определенной на прямом произведении М xN = {(х,у): х е М, у e X} произ-
множеств М и X справедливо равенство inf /(х, у) = inf (inf f(x у)).
xzM	y XeM\yeN	I
ВОЛЬНЫХ
ye N
Очевидно, что VxeM inf /(x,y) <inf f(x,y), откуда inf /(x,y)<inf inf f(x,y) .
xeM	yeN	хеM	xeM \ yeN	I
yeN	y€M
Поскольку inf / (x, у) - это наибольшая миноранта для /(х, у), то \/s>0
yeN
число inf / (х, у)+ £ минорантой не является, т.е. найдется пара (х , у ) такая,
yeN
ЧТО f(Xe,yE)<inf f(x,y) + £.
хеМ
yeN
Далее, поскольку inf inf /(х, у) < inf f{xs,y) < f(x£, yj, то получаем, что
xeM \ yeN	) yeN
inf (in£ f(x’ 37)) <inf /(*»y) + £ • Тогда inf f(x, y) < inf (inf f(x, y)) < inf /(x, y) + s.
xeM \ ye N	) xeM	xeM	xeM \ yeN	) xeM
yeN	yeN	yeN
Переходя к пределу при s —» 0, получаем inf /(х, у) = inf (inf /(x, у)I.
хе M	xeM \ yeN	j
yeN
Далее, берем /(x, у) = p(x, у). Поскольку p(x, у) > 0, то p(x, у) ограниче¬
на снизу, тогда p(M,N) = inf p(x, у) = inf (inf p(x, y)) = inf p(x,X).
xeM	xeM у yeN	) xeM
yeN
Доказательство второго равенства предлагается проделать самостоятельно
(см. задачу 26).
Задачи для самостоятельного решения
1.	Доказать достаточное условие эквивалентности метрик.
2.	Пусть X = М. Проверить, что Ѵх, у e X расстояние р(х, у) = |х - у| удо¬
влетворяет аксиомам метрики.
3.	Пусть X = М. Являются ли метриками в X следующие функции:
а)	р(х, у) = 0 Ѵх, у e X ;
б)	р(х,у) = х-у Ѵх, у e X ;
23

в)	р(х, у) = 1 Ѵх, у e X ?
.	1, при X Ф у
4.	Является ли функция р(х, у) = \	метрикой на множестве К ?
[О, при х = у
5.	Является ли функция р(х, у) = \ех - eyj метрикой на множестве К ?
6.	Является ли функция р(х, у) = |arctgx - arctgy| метрикой на множестве
7.	Является ли функция р(х, у) = |х3 - у3| метрикой на множестве М ?
8.	Является ли функция р(х, у) = 1п(і + \х - у|) метрикой на множестве К ?
\т - п\
9. Показать, что на множестве N функция р(т,п) =J		 определяет мет-
тп
рику.
10.	Является ли метрическим пространством множество X всех прямых на
плоскости, если расстояние между двумя прямыми L,: xcosa, + у sin а, - р] = 0 и
Ц: хсо$а2 + у йпа2 - р2 = Оопределить формулой p(Ll,L1) = \pl - /?2| + |sirm, -sirm2| ?
11.	Является ли метрическим пространством множество X всех прямых на
плоскости, если расстояние между двумя прямыми L, rxcostfj + у sin а, - рх = 0 и
1^ :xcos<x2 + ysin<x2 -р2 =0 определить формулой p(Z1,L1) = \pl - /?2| + |sin«1 -sinа2|
я
и для этих прямых 0 < а < — ?
12.	Пусть X - множество всех точек окружности радиуса R с центром в
начале координат. Примем за расстояние между двумя его точками длину крат¬
чайшей дуги окружности, их соединяющей. Является ли X метрическим про¬
странством?
13.	Доказать, что в произвольном метрическом пространстве (Х,р) для
любых х,угеі справедливо неравенство \p(x,z)~p(y,z)\^ р(х,у) (второе
неравенство треугольника).
14.	Доказать, что в произвольном метрическом пространстве (Х,р) для
любых элементов x,y,z,ueX справедливо неравенство четырехугольника
Iр(х, z) - р(у,и)I < р(х, у) + p(z,и).
15.	Является ли метрическим пространством множество двумерных векто¬
ров, если положить /7((^,Х2),(у1,у2)) = (>/|х1-у1| +у1\х2~у2\^ ?
16.	Является ли метрическим пространством множество двумерных векто¬
ров, если положить /?((х1,х2),(у1, у2)) = |xj - yj + \х2 ~ у2| ?
17.	Является ли метрическим пространством множество двумерных векто¬
ров, если положить /?((х1,х2),(у1,у2)) = тах{|х1 - У!І,|х2 - у2||?
18.	Является ли метрическим пространством множество двумерных векто¬
ров, если положить /?((х1,х2),(у1, у2)) = ^|xq - yj2 +|х2 - у2|2 ?
24

Указание: использовать неравенство Минковского.
19.	Пусть на числовой прямой К расстояние определяется формулой
|х-у|
р(х, у) = ,	■	, Ѵх, у е К. Проверить, что р действительно является
■\/1 + х2у1+ у2
метрикой.
Указание: по аналогии со стереографической проекцией установитъ вза¬
имно однозначное соответствие между числовой прямой и окружностью.
Найти расстояние между образами точек прямой на окружности и восполь¬
зоваться задачей 18.
20.	Пусть /(х) - дважды непрерывно дифференцируемая функция на
множестве М+ = {х е К: х > 0}, удовлетворяющая условиям:
а)	/(0) = 0 и /(х) > 0 при х > 0;
б)	/(х) не убывает;
в)	/”(х)<0 при х>0.
Доказать, что формулой р(х, у) = / (|х - у|) определяется метрика в М.
21.	Пусть X - метрическое пространство, р(х, у) - метрика в нем. Дока¬
зать, что функция	также определяет метрику в X .
1	+ р(х, у)
Указание: при проверке аксиомы треугольника доказать следующие вспо¬
могательные утверждения: для любых чисел 0<а<Ъ выполняется неравен-
а b
ство a + ab<b + ab, а отсюда следует, что	<	. Либо можно восполъ-
1	+ а 1 + b
зоватъся монотонным возрастанием функции f(t) =
22.	Является ли функция р{х, у)
-ѵ|
1 + t
1+1*-УІ
метрикой на множестве
23. Пусть X =
f к
, д(х,у) = |х-у| и /?2(x,y) = |tgx-tgy|. Доказать,
V 2 2
что метрики рх и р2 эквивалентны.
Указание: воспользоваться определением эквивалентных метрик.
24.	Доказать, что формулой р(х, у) = arctg |х - у| определяется метрика в К.
Указание: воспользоваться примером 3.
25.	Используя задачу 20, показать, что функция р(х, у) = In(l + |х - у|)
определяет метрику на множестве М.
26.	В условиях примера 5 доказать, что p(M,N) = inf р(М,у).
yeN
27.	Пусть С(и) [ОД] - пространство всех функций, определенных на отрезке
[0,і] и имеющих непрерывную п-ю производную («gN). Доказать, что фор-
25

мулы рх{х,у) = 5]max
x(k\t)-yik\t)I и p2(x,y) = Jmax
1
X
(к)
(0-y(>)(0|
k\
определяют
в C(n)[0,l] эквивалентные метрики.
Указание: показать, что р2{х, у) < рх(х, у) < п\р2{х, у).
28.	В условиях задачи 27 показать, что метрики рх{х,у) и р2(х,у) эквива¬
лентны метрике р% (х, у) = max max x(k) (t) - y(k) (t)
Г	ГЗ S 0</fc<n ц0Д]
29.	Построить пример непустых непересекающихся замкнутых множеств в
М2, расстояние между которыми равно нулю.
Указание: например М = {(х, у): у = 0} и N = {(х, у): ху = 1}.
30.	Пусть X - метрическое пространство, р(х, у) - метрика в нем. Дока¬
зать, что р(х, у) - непрерывная функция по совокупности своих аргументов,
т е. если хп -> х и уп у, то р(хп,уп)	р(х, у).
Указание: если хп —»х, то /?(хп,х)—»0. Воспользоваться задачей 14.
31.	Пусть функция / определена и непрерывна на М. Показать, что для
того, чтобы формула p(x,y) = \f(x)-f(y)\ задавала метрику на М, функция /
должна быть строго монотонна.
26

1.2.	Множества в метрических пространствах.
Примеры метрических пространств
Определение: пусть X - метрическое пространство, тогда множество
B(a,R) = {х e X : р(х,а) < і?} называется открытым шаром с центром в точке
й£І радиуса R.
Определение: пусть X - метрическое пространство, тогда множество
B[a,R] = {хе X : р(х,а) <R] называется замкнутым шаром с центром в точке
йёі радиуса R.
Определение: пусть X - метрическое пространство. Окрестностью точки
а e X называется любой открытый шар с центром в этой точке.
Определение: пусть X - метрическое пространство, МсІ - множество
в нем. Множество М называется ограниченным, если его можно целиком за¬
ключить в некоторый шар (открытый или замкнутый).
Определение: пусть X - метрическое пространство, МсІ - множество
в нем. Множество М называется открытым, если любая точка в нем лежит
вместе с некоторой окрестностью.
Определение: пусть X - метрическое пространство, МсІ - множество
в нем. Множество М называется замкнутым, если его дополнение Х\М явля¬
ется открытым множеством.
Теорема (свойства открытых и замкнутых множеств): 1. Пересечение
любого числа и объединение любого конечного числа замкнутых множеств яв¬
ляются замкнутыми множествами.
2.	Объединение любого числа и пересечение любого конечного числа от¬
крытых множеств являются открытыми множествами.
Определение: пусть X - метрическое пространство, МсІ - множество
в нем. Точка деі называется предельной точкой для множества М, если в
любой окрестности точки а лежит бесконечно много точек из М .
Определение: пусть X - метрическое пространство, МсІ - множество
в нем. Точка аеМ называется изолированной точкой множества М, если в
некоторой окрестности точки а нет точек из М, отличных от точки а.
Определение: пусть X - метрическое пространство, МсІ - множество
в нем. Замыканием множества М называется множество, полученное добавле¬
нием к М всех его предельных точек. Обозначение: М .
Теорема (о замкнутости замыкания): замыкание множества всегда явля¬
ется замкнутым множеством.
Теорема (критерий замкнутости): множество замкнуто тогда и только
тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.
Замечание: доказательства сформулированных теорем ничем не отлича¬
ются от ранее доказанных аналогичных фактов в математическом анализе.
Определение: пусть X - метрическое пространство, МсІ - множество
в нем. Точка аеМ называется внутренней точкой множества М, если она ле¬
жит в М вместе с некоторой своей окрестностью. Совокупность внутренних
точек обозначается М°.
27

Замечание: ясно, что если М = М°, то множество М открыто, а если
М = М , то множество М замкнуто. Очевидны включения: М°сМсМ,
Определение: пусть X - метрическое пространство, МсІ - множество
в нем. Точка деі называется граничной точкой множества М, если в произ¬
вольной ее окрестности содержатся как точки из множества М, так и точки,
множеству М не принадлежащие. Совокупность граничных точек множества
М обозначается дМ и называется границей этого множества.
Определение (примеры метрических пространств):
№
Название, обо¬
значение
Описание
Расстояние
1.
Числовая прямая,
М
Множество всех веще¬
ственных чисел
Р(х, у) = \х-у\
2.
Евклидово
п—мерное про¬
странство, М"
Множество всех упоря¬
доченных систем из п
вещественных чисел
Р(х,у) = хХ(&~Ъ)2’гДе
V к=1
* = у = (/7і,...,/7й)
3.
Пространство
C[a,b\
Множество всех непре¬
рывных функций x(t),
заданных на отрезке
[а,Ь]
р{х,у)= sup |х(0-у(0|
re[a,b]
4.
Пространство /х
Множество ограничен¬
ных числовых последо¬
вательностей х=(!р£2,„.) ,
т.е. таких, что Ѵ&е N
\4k\^cx’ где - кон¬
станта, своя для каждой
последовательности х.
р(х,у) = sup|<^. -Т]к\, где
к
5.
Пространство с
Множество сходящихся
числовых последова¬
тельностей х = ,
т.е. таких, что Blim^ =£
р(х,у) = sup|<^ -rjk\, где
к
6.
Пространство с0
Множество числовых
последовательностей
Х = (<Ц1,42,...), сходящих¬
ся к нулю, т.е. таких, что
Л-»со
p(x,y) = sup\^k-rjk\,mQ
к
X~ ’ У-С^Р^г’—)
7.
Пространство
Lp[a,b], р> 1
Множество всех функ¬
ций x(t), для которых
ь
dt < +00 (в смысле
а
Лебега)
А 37
р(х,у)= j\x(l)-y(l)\P dl
/
28

8.
Пространство / ,
р> 1
Множество числовых
последовательностей
* = (£j,£2,...), для кото¬
рых Х|4Г<+0°
к=\
р(х,у)= XI&-J7*Г ’гда
Ч*=і
■Т — (<зі’<з2’”*) ’ У-(ЛѵЛ2^-)
Замечание: указанные метрические пространства являются основными,
однако, помимо этих, существует множество других пространств.
Замечание: метрика р{х, у) = sup |х(/) - у(і)\ может рассматриваться также
te[a,b]
и в пространстве ограниченных разрывных на отрезке [a,b] функций. Таким же
образом можно задавать метрику в пространстве функций, непрерывных на ин¬
тервале (а,Ь) (а также на различных видах полуинтервалов, конечных или бес¬
конечных). Для пространства функций, непрерывных на отрезке, верно, что
Р(х, у) = шах |х(0 - y(t)\.
te[a,b\1	1
Примеры решения задач
1.	Доказать, что множество Е всех непрерывных на отрезке [0,і] функций,
удовлетворяющих неравенствам A<x(t)<B (А,В - фиксированные числа),
является открытым.
Решение: по определению открытого множества надо доказать, что любая
точка лежит в нем вместе с некоторой своей окрестностью (т.е. вместе с откры¬
тым шаром с центром в этой точке). Пусть x(t)eE. Обозначим а= inf x(f),
/?=supx(0. Покажем, что а>А. От противного: допустим, что а< А. По-
*е[0Д]
скольку x(t) непрерывна на [0,і], то по теореме Вейерштрасса, она принимает
на этом отрезке свое наименьшее значение, т.е. 3r0e[0,l]: x(t0) = a<A. Это
противоречит условию V? е [ОД] х(0 > А. Аналогично доказывается, что
Р<В. Далее, обозначим е = т\п\а - А,В- /?} и рассмотрим непрерывную на
[0,і] функцию y(t) такую, что Ѵг е [ОД] x(t) -s < у (t)< x(t) + e. Покажем, что
y(t)eE (см. рис.). Действительно, если s = a-A<B-J3, то справедлива це¬
почка соотношений А < x(t) - (а - А) < y(t) < x(t) + В - /3 < В. Аналогичные рас¬
суждения справедливы в случае е = В-(3<а- А.
А
Xffi-5	X$+s
4
Из x(t)-s< y(t)<x(t) + s находим, что Vre[0,l] \x(t) - у(Г)| < s, откуда
sup|x(0-y(0|<£, значит, р(х,у)<£. Итак, элементы {у(Д:р(х,у) < е] пред-
/е[0,і]
29

ставляют собой открытый шар с центром в точке x(t) радиуса е, который це¬
ликом лежит в множестве Е. Значит каждая функция x(t) лежит в множестве
Е вместе со своей окрестностью (которая называется еще £*-окрестностью).
Тем самым, множество Е открыто.
2.	Разместить в единичном шаре в пространстве /2 счетное число непересе-
1
кающихся шаров радиуса —.
8
Решение: решим задачу для замкнутых шаров.
Пусть В = {х е /2: р(х,0) < 1} единичный шар с центром в начале коорди¬
нат, ек = (0,0,...,0,1,0,0,...) V&eN - счетное множество векторов в /2,
Вк = \хе12:р
x,~et
<1
8
- счетное число шаров с центрами в точках
и
радиусами —. Покажем, что \/к е N Вк а В.
8
Если х&Вк, то р(х,0)<р
( 1 'l
f 1 3
x,-ek
+ P
- ek$
V 4 kJ
U )
1	1	3 .
< — + — = — <], откуда сле-
8 4 8
дует, что Ѵх е Вк тем более хеВ, значит \/к Вк а В.
Покажем, что ВкГ\Вт = 0 при к^т. Предварительно отметим, что
Г
Р
1 1
л
у4е*’4 6п j
16 + 16
4і
р
еь е
к т
4 ’ 4
<
Р
Пусть х е Вк, у е Вт. Тогда:
Y
,л
И
+
р(х,у) + р
( е ^
У,-?
1	/ ч 1
<- + р(х,у) + -,
у/2	1	/ ч	,,>/2	1
откуда — <- + р[х,у), т.е. рух,у)> — - — >0. Поскольку точки хи у произ¬
вольны, то шары общих точек не имеют, а значит, не пересекаются.
Г	Г\\	1
3.	Доказать, что множество М =<xeC(1)[0,l]:x' — =2> - замкнуто в
I	V2/	J
пространстве СП) [0,1].
Решение: пространством С(1) [0,1] называется множество непрерывно
дифференцируемых на отрезке [0,і] функций с метрикой р(х, у) = sup |х(/) - у(і)\ +
/€[°Д]
+ sup|x'(0_ у'СОІ- Пусть х0 - предельная точка множества М, т.е. в любом ша-
ЦОД]
ре В(х0,£) содержится бесконечно много точек хеМ, т.е. p(x0,x)<s, откуда
sup|х(г) — х0(г)|-н sup|х’(г) —	(0І< ^5 в частности, sup|x'(0-Ѵ(0І<£, т е- Vf е [0,і]
re[0,l]	rs[0,l]	ie[0,l]
\t) - x0 \t)\ < s. В частности,
rn
-x0'
< £, откуда
2 x0
—
Ѵ2У
l2J
30

В силу произвольности £ заключаем, что х0'
Гл\
= 2, т.е. XqgM и М - за¬
мкнуто.
4.	Доказать, что множество М = |х g С[0,і]: 3 < x(t) < 5} не открыто, не за¬
мкнуто и ограничено в пространстве С[0,і].
£
Решение: рассмотрим точку х0(t) = ЗеМ и точку x(t) = х0(/) - — при лю-
бом £->0. Ясно, что x(t)&M, однако р(х,х0) = sup |х(г) — х0(^)І = — <£, откуда
te[ ОД]	2
следует, что хе B(xQ,s). Итак, в любой окрестности точки х0 нашли точку, не
принадлежащую М, следовательно, В(х0,£) ф М , т.е. М - не открыто.
Покажем, что М - не замкнуто. Для этого достаточно найти предельную
точку, не принадлежащую М. Ясно, что x0(t) = 5^M и осталось доказать, что
эта точка предельная для М, т.е. в любой ее окрестности найдется точка из М .
Рассмотрим x(t) = х0 (t) - min
ЧЙ
іп{§4
тогда ясно, что x(t)eM, а, с другой
стороны, р(х,х0) = min<j — ,2\< — <s, т.е. xeB(x0,s).
Для доказательства ограниченности достаточно заключить множество М в
некоторый шар, например, в шар с центром в начале координат, т.е. надо дока¬
зать, что Ѵх(?) е М р(х, 0) < R. Поскольку р(х, 0) = sup |х(7)| < 5, то достаточно
Цод]
взять R = 5.
5.	Доказать, что множество М = {х е Іх: %к > -1} открыто в пространстве Іх.
Решение: рассмотрим Лд = |^°|еМ, т.е. УкеN £°>-1 и a = inf ^ >-1.
Поскольку Xqg/1? то Нт^° = 0, т.е. 3N gN: Vk>N £*?>-—, откуда а>-1
*->°° 2
(если какие-то <^к
ч
то их лишь конечное число, поэтому среди них
i 001
M£°=min£°>-1). Далее, Ѵх=(£к)еВ(х0,г) $-%к <	=р(х,х0)<г.
к=1
С другой стороны %к =£к-%к+%к>-г + %к=-\ + {%к-а)>-\ при г = 1 + а>0.
Тем самым, хеМ и потому В(хq,г)сМ.
зать
Задачи для самостоятельного решения
1.	Пусть X - метрическое пространство, М <z.X - множество в нем. Дока-
справедливость соотношения М =М° U дМ .
31

2.	Пусть X - метрическое пространство, М с= X - множество в нем. Дока¬
зать, что точка а^Х может быть предельной для множества М только если
аеМ или а е дМ .
3.	На числовой прямой М с обычной метрикой построить открытый и за¬
мкнутый шары с центрами в точке а = 1 радиуса R = 2.
f 1, при x ф у
4.	На числовой прямой М. с метрикой р{х, у) = <	найти замкну¬
то, при х = у
тый и открытый шары с центрами в точке а = 1 радиуса R = 2.
Г1, приХФ у
5.	На числовой прямой М. с метрикой р(х, у) = <	найти замкну¬
то, при х = у
тый и открытый шары с центрами в точке а = 1 радиуса R = ^.
Г1, при х ф у
6.	На числовой прямой М с метрикой р{х, у) = <	найти замкну¬
то, при х = у
тый и открытый шары с центрами в точке а = 1 радиуса R = 1.
7.	На плоскости Ж2 с метрикой /?((х1,х2),(у1,у2)) = |xj - yj| + |x2 - у2| по¬
строить замкнутый и открытый шары с центрами в точке а = (0,0) радиуса
R = 1.
8.	На плоскости Ж2 с метрикой yo((x1,x2),(y1,y2)) = max||x1 -yj,|x2 -у2|} по¬
строить замкнутый и открытый шары с центрами в точке а = (0,0) радиуса
R = 1.
9.	На плоскости Ж2 с метрикой уо((х1,х2),(у1,у2)) = ^|х1 -yxf +|х2 -у2|2 по¬
строить замкнутый и открытый шары с центрами в точке а = (0,0) радиуса
R = 1.
10.	Построить метрическое пространство (Х,р) ив нем замкнутые шары
и В2[а2,г2] так, что йхсй2, а гх > г2.
11.	Построить метрическое пространство (Х,р) ив нем замкнутые огра¬
ниченные множества Fx и F2 и F3 и... такие, что Р| Fk = 0
к=1
Указание: в пространстве М рассмотреть метрику р{х, у) =
х
-И
и
1 + 1 Х-у\
множества Fk = [к,+<х>), к = 1,2,3,...
12.	Привести пример метрического пространства, в котором замыкание от¬
крытого шара не совпадает с замкнутым шаром (т.е. B(a,R) Ф B[a,R]).
Г1, при х ф у
Указание: на К рассмотреть метрику р{х,у) = \	и шары
[0, при х = у
В(а, 1) и В[а, 1], где а произвольная фиксированная точка.
32

13. Пусть Х=[і,+оо), р(х,у) =
1 +
1
при X Ф у
х + у *	. Найти В
при х = у
И
V 1
Г 51
Г 61
В
2 —
’4
, в
10’1
14. Найти расстояние между элементами х =
I 11 J_ J_ 1
ѵЗ + 2’32 + 22’33 + 23’-
и
У =
111
з’з2,з3’"'
в пространстве /,.
15.	Найти расстояние между элементами х
в пространстве /2.
16.	Найти расстояние между функциями j\{x) =
f\ 1 1 (\ 1 1 Л
И у =
Ѵ2,22’23’"'у
3 з2 з3
J
х3 _	(,	1 Л
И /20) =
1-
JC + 1
/
0+1)2
в пространстве С[0,і].
17. Найти расстояние p(fvf2) в пространстве С[0,2л], если fl(x) = asinx,
f2(x) = b cosx.
18.	Найти расстояние p(fvf2) в пространстве M-и], если /і(х) = х,
f2(x) = sin х.
19.	Найти расстояние в пространстве С[0,і] между x(t) = t3 и y(t) = t2 -1.
Я
20.	Найти расстояние в пространстве С 0,— между x{t) = sint и y(t)=cost.
21.	Найти расстояние в пространстве С[—л-,л-] между х(/) = sin/ и y(t) = cost.
22.	Изобразить шар B[t2,2] в С [ОД].
23.	Пусть х0(У) - фиксированная функция из С[с/,/д]. Доказать, что множе¬
ство Е = |х(7) е С[а,&] :x(t) < х0(7)} открыто в C[<2,Z?]. Является ли оно ограни¬
ченным?
Указание: показать, что а = inf x0(t) > /3 = sup x(t), и выбрать s = a- /3.
іфМ	te[a,b\
24.	Доказать, что множество М = {х е Іж :	> -1} не является открытым в
к
пространстве lx.
Указание: рассмотреть х0=1-
: М U X; =
,кФІ
к + 1 £М и
-1, к = 1
L ^ + 1J fe=l
подобрать I таким образом, чтобы хг gB(x0,s).
25. Является ли множество |х(?) е С[0,і]: 1 < x(t) < \[t j открытым в C[0,l] ?
33

26.	Является ли множество |х(7)е С[0,1]:х(0 — >Jt COS —, CL E [0,l], t e (0,1 ]I
ограниченным ?
27.	Пусть x0(t) - фиксированная функция из С [с/,/?], А - фиксированное
число. Доказать, что множество Е = {x(t)еC[a,b]:А<x(t)<т0(7)} открыто в С[а,&].
28.	Пусть jq(7) и x2(t) - фиксированные функции из С [с/,/?]. Доказать, что
множество Е = |х(?) е С[а,Ь]: xl{t) < x{t) < x2{t)} открыто в С[а,Ь].
29.	Является ли открытым множество многочленов в пространстве С[а,&] ?
30.	Привести пример метрического пространства, в котором существует
шар, имеющий несколько центров и шар, совпадающий с множеством своих
центров.
Указание: например, это может бытъ пространство, в котором рассто¬
яния между различными точками одинаково.
31.	Разместить в единичном шаре в пространстве 12 счетное число непере-
1
секающихся шаров радиуса —.
32.	Является ли множество Е = {х =	е Д :0 < %к < 1 У к e N} откры¬
тым в пространстве Д ?
33.	Доказать, что множество Е = |х(7)еС[0,і]:ег <д(0<4| является огра¬
ниченным и открытым и не является замкнутым в пространстве С[0,1].
34.	Доказать, что множество Е = |ѵ е с,: 0 < 3, <2} является ограниченным
и не является открытым и замкнутым в пространстве с0.
35. Доказать, что множество Е =
i
x(t) e Д [О, l]: j*x(t)dt = 1
> не является
ограниченным и открытым и является замкнутым в пространстве и [°Д].
Указание: для доказательства неограниченности подобрать последова¬
тельность функций xn{t) -
fin), t
gin), t
0,-
n
"-Д
\n J
1
E, для которых И» (t)\dt —> со.
36.	Доказать, что множество Е = {х е /2: <^к > 0} не является ограниченным
и открытым и является замкнутым в пространстве 12.
37. Доказать, что множество Е = < х е Іх: %к <
к + 1
не является ограничен¬
ным и замкнутым, и является открытым в пространстве /,.
Указание: для х0 e Е показать, что а = inf
k +1
-А0
Ьк
>0
и взять г = а.
34
V

38.	Является ли множество {sinл?:иеР}| замкнутым в Ь2[-ж,ж] ?
Указание: показать, что р(xn,xm) = const и множество не имеет предель¬
ных точек.
39.	Доказать, что множество E = {x(t) e C[0,1]: x(0) + x(1) > i| открыто в
C [0,1]. Является ли оно замкнутым и ограниченным?
У	*	X (0) + x (1) -1
Указание: выбрать е =			.
35

1.3.	Сходящиеся и фундаментальные последовательности.
Полные метрические пространства
Определение: пусть X - метрическое пространство. Его элемент х назы¬
вается пределом последовательности	если р(хп,х) —>0 при п^оо.
Обозначение: хп —»х при со или Итхга = х.
П—>со
Замечание: определение предела равносильно тому, что \/е>0 3NgN:
\/n>N р(хп,х)<£.
Теорема (о подпоследовательности): пусть X - метрическое простран¬
ство, последовательность {iJcX, хй—»х ПРИ п~>°°> хеХ. Тогда любая
подпоследовательность {х% | сходится в X к той же точке хеТ.
£
Доказательство: по определению \/s>О 3N еЩ: \/n>N р(хп,х) < — .
Аналогично, \/т> N р(хт,х)< —. Тогда \/т,п> N р(хп,хт)<р(хп,х) + р(х,хт)<
2 £
< —. Далее, \/nk >N р(хп ,х)< р(хп ,хп) + р(хп,х). Взяв nk=m>N, получим,
2s s
что р(хп , х) < — + — = £•. По определению это означает, что р{хп , х) —» 0.
к 3	3	*
Теорема доказана.
Теорема (о единственности предела): пусть X - метрическое простран¬
ство, последовательность (xJcX. Тогда эта последовательность не может
сходиться более чем к одному пределу.
Доказательство: пусть при я—»оо хп —>• х и хп—>у. Тогда \fs>О
3AgN: \/n>N /?(хга,х)<-|, р(хп,у)<и р{х,у) <р(х,хп) + р(хп,у) <£. Т.к.
х и у фиксированы, a £>0 - любое, то последнее неравенство возможно
только если р(х, у) = 0, т.е. х = у.
Теорема доказана.
Теорема (об ограниченности сходящейся последовательности): пусть
X - метрическое пространство, последовательность {ijcl. Тогда, если
хп —>■ х при я—»оо, а х0 e X - произвольный фиксированный элемент, то числа
р(хп,х0) образуют ограниченное множество.
Доказательство: по определению предела ѴА >О 3N еN: Ѵя > /V
р(хп,х) < s. В частности, при s = l 3N еЩ: \/n>N р(хп,х)< 1. Тогда Vn>N
р(хп,х0) < р(хп,х) + р(х,х0) < 1 + р(х,х0). Поскольку числа х и х0 фиксированы,
то р(х,х0) = const, откуда \/n>N р(хп,х0) < М. Тогда, выбирая
с = max{p(xl,x0),p(x2,x0),...,p(xN,x0),M}, получим, что ѴяеN р(хп,х0)<с.
Теорема доказана.
36

Теорема (критерий предельной точки): пусть X - метрическое про¬
странство, М сі - множество в нем. Точка сі<еХ является предельной для
множества М тогда и только тогда, когда существует последовательность по¬
парно различных точек {іл}сМ, сходящаяся к а.
Доказательство: пусть а - предельная точка множества М, т.е., в любой
ее окрестности лежит бесконечно много точек из М . В частности, рассмотрим
окрестность В{а, 1) (открытый шар с центром в точке а радиуса 1) и найдем
( О
точку Ху е В(а,1) такую, что .г, е М. Аналогично, в окрестности В а,—
г
найдем точку х2еВ
1
\
а,—
К 2 у
такую, что х2еМ и при этом х2Ф хх. Точки дей¬
ствительно можно выбрать не совпадающими, поскольку в любой окрестности
точки а точек из М - бесконечно много. На п-м шаге получим точку
( О
хпеВ а,— такую, что хпеМ и хп не совпадает со всеми ранее построенны-
V п)
ми. И т.д.
Построили последовательность {xn)czM такую, что ѴнеN хпеВ
(
1
\
а,—
\ п)
т.е. р(хп,а) < —. Переходя к пределу при н—»оо, по теореме о двух милиционе-
п
рах получаем, что р(хп,а) —>0.
Обратно: пусть 3{іл}сМ : хп^а при н—»оо. По определению предела,
Ѵб:>0 ELAeN: \/n>N р(хп,а) < £, т.е. хп е В (a,s). Таким образом, в любой
окрестности B(a,s) точки а лежит бесконечно много точек хп e М , значит а -
предельная точка множества М.
Теорема доказана.
Определение: пусть X - метрическое пространство. Последовательность
{*„} его элементов называется фундаментальной, если \/е>0	3/Ѵ <е N:
\/п,т> N р(хп,хт)<£.
Определение: метрическое пространство X называется полным, если лю¬
бая фундаментальная последовательность его элементов имеет предел.
Замечание: в силу критерия Коши М, С и М" - полные пространства. Все
пространства, приведенные в п. 1.2, являются полными. Их полнота будет
обоснована в разделе 2.
Теорема (о полноте подпространства): замкнутое подпространство
полного пространства является полным пространством.
Доказательство: пусть X - полное метрическое пространство, К - его
замкнутое подпространство. Рассмотрим фундаментальную в К последова¬
тельность. Поскольку пространство X полно, а последовательность ему при¬
надлежит и является фундаментальной, то она имеет предел в X . Этот предел -
предельная точка для К, поскольку является пределом элементов из К. По-
37

скольку К - замкнуто, то оно содержит все свои предельные точки, и, значит,
этот предел принадлежит К. Таким образом, фундаментальная в К последова¬
тельность имеет предел, принадлежащий К. Следовательно К - полно.
Теорема доказана.
Замечание: полное метрическое пространство всегда является замкнутым.
Действительно, если бы Зхп сХ:ія-эі0^і, то, поскольку сходящаяся по¬
следовательность фундаментальна, получили бы противоречие с полнотой X .
Примеры решения задач
1.	Доказать, что в произвольном метрическом пространстве В(а, г) а В[а, г].
Решение: пусть точка хеВ(а,г), тогда х = Хш\хп, где хп е В (а, г). Таким
п—>сс
образом, р(х,а) < р(х,хп) + р(хп,а) < р(х,хп) + г. Переходя к пределу при оо,
получаем, что р(х,а) < г, т.е., что хеВ[а,г].
2.	Показать, что в C[a,Z?] В(х0,г) = В[х0,г].
Решение: поскольку В(х0,г)с5[і0,г], то достаточно показать, что
В[і0,г]сВ(і0,г), Пусть x(t) Е В[х0,г] и Xn(t) =
1-1
х(0 + — х0(0- Зафиксиру-
іе[а Д>]
V
nj
n
( 0
1
sup
x0(t)~
1--
x(t)--x0(t)
t e[a Jb\
l n)
n
м
I п)
I	I ( П	( п
sup|j0(O-T(O|= 1— р(х,х о)< 1 —
te[aj>]	\ fl J	\	YI j
Г <г
. Таким образом, {хл(Д}сй(х0,г).
Кроме того, при п—>°о xn(t)^x(t), значит, x(t) е В(х0,г). Таким образом,
B[i0,r]cB(i0,r).
3.	Показать, что пространство Cq1}[0,1] всех непрерывно дифференцируе¬
мых на отрезке [0,і] функций с метрикой р(х, у) = sup \x(t) - у(Д| не является
іе[0Д]
полным.
Решение: ясно, что [од] - это подпространство полного пространства
С [0,і] всех непрерывных функций на [0,і] с метрикой р(х, у) = sup|x(0-уД)|.
іе[0Д]
Предположим, что С(01> [од] - полно, тогда оно замкнуто, т.е. С о™ [0.1] - С}) [од].
Поскольку Со1}[°’1] = С[0,1] (см. задачу 17), а С[0,і]^Со1}[0,і], то предположе¬
ние неверно.
4.	Через Сх [0,2] обозначим пространство непрерывных на [0,2] функций с
2
метрикой p(x,y) = ^\x(t)-y(t)\dt. Доказать, что С, [0,2] не является полным
о
пространством.
38

Решение: покажем, что фундаментальная в С, [0,2] последовательность
может не иметь предела в С, [0,2]. Рассмотрим последовательность функций
1
*»(0 =
1,
0<*<1--
ч
1
n(l-t), 1 — < t < 1 . Ясно, что Ѵч e N хп (t) e Q [0,2І. Тогда, при
ч
О,
l<t<2
п > т имеем х (t) - xm(t) =
1-1,
0<*<1- —
т
L- m(l- /),
т
i
^ч
i
i
^ч
'с"
п
0
1
о
\<t<2
1
п. Таким образом,
2	л	1
Р(хп’хт) = \\хп(0-хт(!)\Ж= J \l-m(l-t)\dt+ J \n(l-t)-m(l-t)\dt -
0	i-i	i-I
п
п	1
= j (l-m(l-t))dt + (n-m) J (1 -t)dt
С г, ' 2 Л1_
1—
1-—
п
(1 ~ty
t + m-
v 2
1—
т
-(п - т)
(1 -ty
1 т 1	(	1
xj_ п 2ч 2т ѵ 2ч 2ч"
	+
т
\
_1	]_
2чг 2ч
Значит Ііш ріхп,хт) = 0, т.е. V^>0 BNgN: Ѵч>чг>дг пГг г )<£• те
последовательность {х/г(/)} фундаментальна. Пусть теперь /(/) - произвольная
г i	Г-1? О < t <. 1
функция из Сх [0,2J. Рассмотрим функцию (p{t) =	^ g С [0 2]
2 2 2
Тогда 0<J|/(0-^(0|^^J|/(0-^(0|^ + jk(0-^(o|^ = /7(jc„,/)
о
1-1,	0<г < ] _і
■||тп(0 -	• Заметим, что xn{t) - (pit) =
+
+
ч
ч(1	^ t < 1 , тогда
п
О _ О, 1 < t < 2
39

f
1
i	2 n
i—
2	1	1
\\xn(t)-<p(t)\dt= J \n(l-t)-l\dt = J (l-n(l-t))dt =
0	i-I	i-I
n	n
2	J
Таким образом, 0< J|/(f)-^(f)|df </?(хи,/) +—. Переходя к пределу при
о	2л
2
со, получаем, что 0<^\f(t)-<p(t)\dt<]imp(xn,f). Если для какой-то функ-
Г\	^
2
ции /(f) Ит/?(*„,/) = 0, то J|/(f)-p(f)|df = 0 и тогда, как известно из матема-
0
тического анализа, /(f) = #?(f) почти всюду (т.е. всюду, кроме точек, образую¬
щих множество нулевой меры). Поскольку /(f) непрерывна, а (pit) имеет ска¬
чок, то равенство f(t) = <p(t) почти всюду невозможно, значит, V/(f) е Сх [0,2]
Нт/?(хи,/) 5* 0, следовательно |x„(f)} не сходится.
И-» оо	1 я '
5.	Является ли последовательность xw(f) = •v/l + f” сходящейся в простран¬
стве С [0,2]?
Решение: заметим, что при fe[0,l] x„(f)-»l. Пусть f e (1,2], тогда, ис¬
пользуя правило Лопиталя (считая переменную п пробегающей действитель¬
ные значения), находим, что:
1
ѵ i / \ i- lll(l + f”) v 1 + f”
limlnx/f) = lim	= lim- r
•fnlnf
= lnf lim-
= ln f.
n n-»°°	1	n^°° 1 + tn
Таким образом, в этом случае, xn(f)—»f. Окончательно, получаем, что по¬
точечно xn(f)—>x0(f)
0<f<l
l<f<2’
причем x0(f) непрерывна. Поскольку схо¬
димость в пространстве С[0,2] эквивалентна равномерной сходимости (см. за¬
дачу 4), а поточечная сходимость всегда следует из равномерной, то в про¬
странстве С [0,2] исходная последовательность может сходиться только к той
же самой функции x0(f). Проверим, сходится ли последовательность в про¬
странстве С [0,2], т.е. проверим условие р(хп,х0) —» 0.
Ясно, ЧТО уО(Хп,Х0)= sup
4i+f -х0(о
= max l sup
4i+tn-i
,sup
4\+f -t
te[0,2]
[ie[°,l]
^[1.2]
Найдем sup
41
+f -i
Для этого обозначим /(f) = 4\ +1п -1. Заметим,
что
ге[0Д]
/(0) = о, /(і)=<Уг-і —>0 при н—»оо. Найдем критические точки функции
1	І-і	І-і
/(f). Поскольку / '(f) = — • (1 + f)n ■ п ■ f 1 = (1 + f)n • tn 1 = 0 и точка f = 0 уже
п
40

1-1
1
рассмотрена, то получаем уравнение (1 + tn)n = 0. Поскольку — < 1, то решений
п
данное уравнение не имеет. Итак, sup
tll + f-l
= л/2 — 1 —> 0.
Найдем sup
^h+tn-t
/€[0,1]
/ф,2]
Обозначим f(t) = y]l + tn - t. Заметим, что f(l) = tf2-l^0, /(2) = Vl + 2K -2->0
1	І-і	і-і	І-і
при я^-со, /'(?) = -• (1 + f)" -n-tn~l-l = (\ + tn)n -tn~l-1 = 0. Тогда (l + tn)n =tln,
n
1-n	1
откуда (1 + tn)n = tl~n. Таким образом, (1 +tn)n = l, откуда получаем, что
1 + tn = tn, а это уравнение решений не имеет.
Итак, sup
/е[1,2]
= max
yj\ + tn -1 = max |л/2 -1, yj\ + 2n - 2 j. Окончательно, р(хп, х0) =
I-ч/з -1,yjl + 2n — 2^ —>0 при и—»со, следовательно, последовательность
сходится в С [0,2].
6.	Является ли последовательность х =
с
-,-,...,-,0,0,...
п п п
V
сходящейся в
У
пространстве /х?
Решение: I способ: ясно, что покоординатно хп —»х0 = (0,0,0,...) при
п—>оо. Нетрудно проверить, что из сходимости последовательности
xn=(C\&n\..)zlp к вектору x0=(g1(0),g2(0),...)elp в пространстве Ір следует
покоординатная сходимость, т.е. что 4\п) —> <^:1(0), £2(и)	<f2(0) > • • • Таким образом,
если последовательность сходится покоординатно, то в пространстве Іг она
может иметь только тот же самый предел. Проверим сходимость в простран-
стве /j. Т.к. p(xn,xQ) = У]\£к(п)	= V — = — -п = 1 -Д 0, то последователь-
к=1	к=1 П П
ность не сходится в Іх.
II способ: поскольку пространство полное, то в нем всякая фундамен¬
тальная последовательность имеет предел, поэтому для доказательства сходи¬
мости достаточно доказать фундаментальность последовательности. Если же
последовательность не будет фундаментальной, то сходиться она тем более не
будет (см. задачу 1). Итак, надо проверить, что V^>0 EL/VeN: \/n,m>N
f	\
p(xn,xj< e. Пусть xm =
\	m
k=1	k=1
i
m
J
m
E
1 1
k=l
n m
и n>m, тогда
1
k=m+1 n
I_1
n m
m + --(n-m) =
n
41

(1 П 1,	„ 2m
=		 m + -(n- m) = 2	.
Km n)	n	n
Выбирая и = 2m, получим, что p(xn,xm) = 1, тогда при e < 1 получаем про¬
тиворечие с определением фундаментальности. Итак, последовательность не
является фундаментальной, а значит не сходится.
с
7. Является ли последовательность хп =
пространстве /3?
і,і і ...,-,0,0,...
2 3 n
сходящейся в
г
Решение: ясно, что покоординатно при и—»со	»х0 =
1 1
Л
1? _ ? _ V"
2 3
. Про-
100
^|^(л) ~%к
к=1
Л
(0)
Ѵ*=И+1 К
1
^3
оо 2	оо 1
Поскольку ^ — - это остаток сходящегося ряда , то по теореме об
к=п+і к	£=і к
со I
остатке сходящегося ряда V —г —>• О при и—»оо. Итак, р(хп,х()) —>0 при
мк
п —> оо, значит, последовательность сходится в /3.
8.	Доказать полноту пространства па, элементами которого являются все¬
возможные последовательности х = (£п), для которых supcrJ^J <+со (а = (ап) -
п
фиксированная последовательность положительных чисел), с метрикой
р(х, у) = sup(/?ra |4 -rjn I), где Р = (Рп) - такая последовательность положитель-
п
Т	ап
ных чисел, что величина L = sup— конечна.
п Рп
Решение: необходимо доказать, что всякая фундаментальная последова¬
тельность элементов пространства па сходится к элементу из па.
Пусть хк =|4№))ewa - фундаментальная последовательность, т.е. Ѵ^>0
3N <еЩ: \/k,m>N p(xk,xm)<s, т.е. sup(/?n|^nw - £n(m)) < s, откуда Vwe N
n '	'
— ^n(m)I < £■. Поскольку Pn > 0, то при каждом фиксированном hgN по¬
следовательность (^И(Л)) i - фундаментальна. Поскольку при каждом фиксиро¬
ванном n g N это уже числовая последовательность, то для нее, в силу критерия
Коши, 3Нт
ea,,
к—>со
Покажем, что х = (^п)епа. Поскольку Ѵп g N %п{к) - <^(m)
Д,
<sL,
то, переходя к пределу при m —»оо, получим Ѵя g N \/к> N ап |<^п№) - %п
< sL.
42

Далее, ап\4п\<а^п-^к)\ + ап\4п{к)\^еЬ + ал\4^к)\. Беря в этом неравен¬
стве точную верхнюю грань по всем п, получим supan \^п\< supisL + ап |^яа,|) <
п	п
<eL + supfап\gn(k)|). Поскольку хк = ^п(к))еиа, то sup(ап|^и(*)|)< +оо, значит,
suptf„|#„| < +00, тем самым, х = (^п)епа.
п
Перепишем определение фундаментальности в виде: Уе> О 3N е N:
Ук,т > N supf Рп\gn(k) - 4(m)|) < ^, откуда Уп e N (Зп \%п{к) - £,(т) < . Переходя
к пределу при т —»оо, получим Уп е N Ук> N (Зп \%п(к> - <;п < ^, откуда Ук> N
sup(y0n|^)-^га|)< —<^. Тем самым, р(хк,х) —»0 при &—»<х>, следовательно,
п	2
последовательность сходится в пространстве па.
9.	Введем на прямой К метрику /?(х, у) = arctg|x - у|. Является ли это про¬
странство полным?
Решение: рассмотрим фундаментальную в указанном пространстве после¬
довательность чисел {хй}, т.е. У£>0 3N eN: Уп,т>И р(хп,хт) <£. Ясно,
что определение фундаментальности эквивалентно равенству lim р(хп,хт) = О
п,т—»со
для всех независимых п,теN. Таким образом, lim arctg|xn -xj = 0, а по-
п,т—> со	1	1
скольку арктангенс - непрерывная функция, то получаем, что lim \хп - хі = 0.
и,т—к©1	1
Получили, что Уе > О 3N <е N: Уп,т> N \хп- хт\< s, а это есть определение
фундаментальности последовательности {хй} в пространстве М с обычной
метрикой. Поскольку в М с обычной метрикой справедлив критерий Коши, то
получаем, что в 1 с обычной метрикой последовательность {хй} сходится, т.е.
ЗхgМ: limхп = х, откуда lim|xn -х| = 0. В силу непрерывности арктангенса по-
лучаем, что limarctg|xn - х| = 0, т.е. р(хп,х) —> 0, откуда хй —» х. Итак, у всякой
П—> СО	1	1	п-> 00
фундаментальной последовательности нашли предел, следовательно, простран¬
ство является полным.
Задачи для самостоятельного решения
1.	Доказать, что всякая сходящаяся последовательность элементов метри¬
ческого пространства фундаментальна.
2.	Доказать, что всякая фундаментальная последовательность элементов
метрического пространства ограничена (т.е. если х0 e X - произвольный фик¬
сированный элемент, то множество {уО(хи,х0)} ограничено).
3.	На числовой прямой с обычной метрикой даны множества [0,і], (ОД),
43

[0,+оо), (0,+оо). Выяснить, какие из этих множеств являются полными метри¬
ческими пространствами.
4.	Доказать, что сходимость в пространстве С[н,/?] - есть равномерная
сходимость на отрезке \a,b\.
5.	Доказать, что сходимость в пространстве Іх - есть сходимость по коор¬
динатам, равномерная относительно номеров координат.
X
6.	Найти предел последовательности функций /n(x) = sin —, если хе Ж.
п
Сходится ли эта последовательность равномерно?
7.	Найти предел последовательности функций /n(x) = (sinx)", если
. Сходится ли эта последовательность равномерно?
8.	Найти предел последовательности функций fn(x) = е если хе [0,1].
Сходится ли эта последовательность равномерно?
9.	Найти предел последовательности функций fn (х) = еп, если хе Ж. Схо¬
дится ли эта последовательность равномерно?
10.	Показать, что множество функций из С[0,і], удовлетворяющее усло¬
вию х(0) = х(1), замкнуто.
Указание: показать, что предел любой последовательности элементов
этого множества принадлежит этому множеству.
11.	Пусть к - фиксированная постоянная. Найти замыкание множества
|х(0 е С[п,Ь]: |х(0| ^	.
Указание: показать, что множество замкнуто.
12.	Через Mk обозначим множество функций x(t) из С[п,Ь], удовлетво¬
ряющих условию Липшица с постоянной к: V/,,/2 e\a,b\ |х(/.
Доказать, что Мк = N, где N - множество всех таких дифференцируемых на
отрезке [a,b] функций, что Ѵге[а,£] |х хо| <к.
Указание: показать, что N а М k (т.е. xeN=>xeMk и, если {хл}сЛС
хп хо> то хо G Mk, можно использовать теорему Лагранжа) и, что Мk а N
i
?Н—
п
(для любой функции х e Мk рассмотреть xn(t) = n | х(т)сІт и показать, что
t
{хи} с N и хп^х. Для доказательства поточечной сходимости обозначить
F(t) - первообразную х(і) и воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница.
ш+1
Доказать равномерную сходимость сперва для случая х(і) = p(t) = ^jci_/~1, а
i=1
для общего случая использовать аппроксимационную теорему Вейерштрасса).
44

13.	В условиях предыдущей задачи доказать, что множество М = \^Мк не
является замкнутым и найти его замыкание.
Указание: М = C\a,b\. Воспользоваться примером 3.
14.	Найти замыкание множества всех многочленов в пространстве С [а,/?].
Указание: использовать аппроксимационную теорему Вейерштрасса.
15.	Пусть С^ОД] метрическое пространство, состоящее из всех непрерыв-
1
ных на [0,і] функций с метрикой рг{х,у) = ||х(Д - y{t)\dt. Доказать, что метри-
0
ки пространств С[0,і] и С^ОД] неэквивалентны.
Указание: рассмотреть в этих пространствах последовательность
функций xn(t) =
nt, 0 < t < —
п
1,
-<t< 1
п
16.	Показать, что в Іх В(а,г) = В[а, г].
17.	Привести пример последовательности непрерывно дифференцируемых
функций в С [ОД], которая сходится к непрерывной, но не дифференцируемой
функции из С [ОД]. Привести пример функции, лежащей в С[0,і], но не лежа¬
щей в С [ОД] (определение [од] см. в примере 3).
18.	Пусть на М задана метрика р(х, у) = |arctgx - arctgyj. Доказать, что по¬
лученное метрическое пространство не является полным.
Указание:рассмотреть последовательность хп = п.
19.	Доказать полноту пространства та, элементами которого являются
всевозможные последовательности х = (£п), для которых supan |£„| с со (а = (ап) -
п
фиксированная	последовательность	положительных	чисел),	с	метрикой
р(х,у) = тр(ап\%п-т1п\).
п
20.	Доказать полноту пространства са, элементами которого являются
всевозможные последовательности х = (Д ), для которых Иш ап%п <« (а =( а) -
фиксированная	последовательность	положительных	чисел),	с	метрикой
P(x,y) = sup(an\£n-Tfn\).
п
21.	Доказать, что пространство С0(-оо,+оо) определенных и непрерывных
на М функций, для которых Пт х(/) = 0 с метрикой /?(х, у) = sup|x(/) - >Дг)|,
rsR
является полным.
22.	Введем на прямой К метрику р{х,у) = 1п(і + |х- у|). Является ли это
пространство полным?
45

. Является ли полученное
ех-еу
3	3
х -у
Является ли полученное
23.	Пусть на М. задана метрика р(х,у) =
метрическое пространство полным?
24.	Пусть на М задана метрика р{х, у) =
метрическое пространство полным?
25.	Доказать, что последовательность xn(t) = tn - t2n не является сходящей¬
ся в С[0,і].
26.	Является ли последовательность xn(t) = — In— сходящейся в простран-
п п
стве С [ОД]?
27.	Является ли последовательность xn(t) = en(t~X) сходящейся в простран¬
стве С [од]?
28.	Является ли последовательность xn(t) = f -f~x сходящейся в про¬
странстве С [од]?
29.	Является ли последовательность xn(t) = tn-tWn сходящейся в про¬
странстве С [од]?
f 1 Л
tn -1
V )
сходящейся в про-
30.	Является ли последовательность xn{t) = n
\
странстве С[0,і]?
31.	Сходится ли последовательность xn(t) = en в пространстве Lz [0,1 ] ?
32.	Сходится ли последовательность xn(t) = tn -t2n в пространстве L, [ОД] ?
33.	Является ли последовательность хп =
пространстве /2?
34.	Является ли последовательность хп
сходящейся в пространстве /, ?
11 ІОО
п п п
I	J
V
V пг
о,о,...,о,Д,- 1
	ѵ
\ «—1
сходящейся в
-V’0z + I)c
, сг >1
г
35. Является ли последовательность хп =
Л
1,о,..„од,о,о,...
П
V	J
V П
сходящейся в
У
пространстве /2?
36. Выяснить, сходится ли в метрическом пространстве Іх последователь-
f
ность
1
л
0,...0,-,0,...
V » п J
46

37. Выяснить, сходится ли в метрическом пространстве /2 последователь¬
ность хп =
i-L _L0
V'	Р
38.	Доказать, что последовательность из примера 7 фундаментальна.
39.	Доказать, что множество рациональных чисел не является полным
пространством в пространстве М.
Указание: аналогично примеру 3. Использовать второй замечательный
предел.
40.	Доказать, что открытый шар является открытым множеством, а за¬
мкнутый шар является замкнутым множеством.
Указание: используя неравенство четырехугольника, доказать, что рас¬
стояние р{х,у) - непрерывная функция, т.е., если хй—и ун—»у, то
р(хп,уп)^р(х,у). Показать, что замкнутый шар содержит все свои пре¬
дельные точки. При доказательстве для открытого шара выбрать
g = г — р{х, а), где х е В(а, г).
41.	Доказать, что параллелепипед |х = (^р^2,...)е/2	- замкнутое
множество.
42.	Доказать, что параллелепипед П =	= (^,^2,...) е /2: \Д| < і| - открытое
множество.
Указание: найти g. Выбрать точку у = (і]к) так, чтобы
<
И
показать, что такие элементы у е П и при этом у e B(x0,g) при і0еП.
43. Проверить, является ли замкнутым следующее множество
|х(7)е С[0,і]: x(t) = 4t cos—, a e [0,l],re(0,l]|?
r a cm]
Указание: рассмотреть последовательность xn(l) = УI cos— —» x(t). За¬
метить, что ограниченная последовательность ап имеет сходящуюся подпо-
С[°Д]	а
следователъностъ ап —> а, откуда хп —»	cos— и воспользоваться един-
k	k	t
ственностъю предела. Для доказательства равномерной сходимости
<е>
а
сперва показать, что х„ -yft cos — =10, т.е., что \/t<8 У к
к	t »->о
г а
х„ -yjt cos—
*	t
а затем оценить
Х„ — yft COS
пк
а
при t>8> 0 и к> N gN.
44. Проверить, является ли замкнутым следующее множество
{*(0 е С[0,1]: а > 1, V? е [0,і], x(t) = V/"cos(fltf)j?
47

С[ОД]
Указание: доказать, что, если хп(і) —> x(t), то an-fr<x>.
45.	Доказать, что пространство всех многочленов, определенных на [0,і] с
метрикой р(Р, Q) = sup |Р(0 - Q(t)\ не полно.
/е[0Д]
Указание: воспользоваться примером 3 и задачей 14.
46.	Привести пример фундаментальной последовательности в пространстве
1 1
которая не является сходящейся.
(О, +оо) с метрикой р(х, у)
(0,1) с метрикой р(х,у)
(0,1) с метрикой р(х,у)
(0, +оо) с метрикой р(х, у)
shx shy
47.	Привести пример фундаментальной последовательности в пространстве
1	1
	, которая не является сходящейся.
sinx sin у
48.	Привести пример фундаментальной последовательности в пространстве
J	1_
lnx In у
49.	Привести пример фундаментальной последовательности в пространстве
J	1_
сЪх chy
50.	Проверить, что пространство С2 [-1,1] всех непрерывных на [-и]
, которая не является сходящейся.
, которая не является сходящейся.
функций с метрикой р(х, у) =
^ i
j |*(0 - y(t)f dt
i
У
ѵ-і
не является полным.
-1,	-1 <t<-~
п
Указание:рассмотреть последовательность xn(t) = \nt, - — </<— .
п
1
п
1,	- < t < 1
п
51.	Рассмотрим множество X и на нем функцию р(х, у) = sin|x- у|. Явля¬
ется ли указанное множество с таким образом введенным расстоянием метри¬
ческим пространством? Если является, то будет ли это пространство полным,
если: а) X =(0,я)\ б) X =[0,;г); в) X = [0, л-] ?
52.	Является ли сходящейся в пространствах Ір (1< р <°о) и с0 последова-
( \
тельность х„ =
1Д,...Д,
1
1
V и
п +1 п + 2'
53. Исследовать на сходимость в пространствах с0,с,1 (1< р < со) последо¬
вательность х„ =
sini 2sin2 nsinn
~Z ? Z 5 • • • 5	"
2	3 n + 1
,sin(H + l),sin(n + 2),.
48

54. Исследовать на сходимость в пространствах с0,с,Ір (1< р < оо) последо¬
вательность хп
Цк'
к <п
1.1,
sin-ті=-sin—	к>п
ilk IfkTi
55.	Исследовать на сходимость в пространствах cQ,c,l (1< р < оо) последо¬
вательность X
П
1,
1
In 2 In n
1 'n
ДО,...
56.	Исследовать на сходимость в пространствах C[0,l],C(1) [ОД] последова¬
тельности xn(t) = — и xn{t) = arctg
f г
n
n
1
\Л
t- —
\
57.	Исследовать на сходимость в пространствах C[0,l],C(1) [ОД] последова¬
тельность х it) = n
— ~y/t
V n
58.	Доказать, что множество M всех многочленов pit) таких, что
р(0) = р(1) = 0 не замкнуто в С[0,1].
Указание: для непрерывной функции f (t) существует последователь¬
ность многочленов p„(t)=tf(t). Показать, что M 3t(l-t)pn(t)^t(l-t)f(t) и
выбрать такую функцию f(t), чтобы t( 1 - t)f(t) £ M .
59.	Доказать полноту метрического пространства С(1)[ц,Ь] непрерывно
дифференцируемых на отрезке [а,Ь] функций, если метрика в нем определяет¬
ся, как р(х, у) = sup |х(7) - у(7)| + sup |х'(7) - y\t)\.
Ща,Ь\	Ща,Ь]
60.	Доказать полноту метрического пространства С(1)[а,Ь] непрерывно
дифференцируемых на отрезке \a,b\ функций, если метрика в нем определяет¬
ся, как р(х, у) = max \ sup |х(7) - у(7)1, sup |х'(7) - у '(7)11.
t&[ap\	I
49

1.4. Свойства полных метрических пространств
Теорема (о вложенных шарах): последовательность вложенных замкну¬
тых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, в полном метрическом про¬
странстве всегда имеет - и причем ровно одну - общую точку.
Доказательство: пусть Вг ^эВ2 ^эВ3 zd... - последовательность вложен¬
ных замкнутых шаров, аг,а2,а3,... - их центры, R1,R2,R3,... - их радиусы. Возь¬
мем п>т, тогда Вп<^Вт, в частности, апеВт, поэтому p(an,am)<Rm. По
условию Rm-> 0 при т—»оо, т.е. \/s > О 3N е N: Ѵт > N Rm<s. Таким обра¬
зом, получаем, что V^>0 3N eN: \/n>m>N р(ап,ат) < s, т.е. последова¬
тельность - фундаментальна. Поскольку пространство по условию полное,
то эта последовательность имеет предел а = Хшіап. Далее, возьмем любой шар
П-> оо
Вк, тогда при всех п > к Вп а Вк, в частности, ап е Вк. Итак, начиная с некото¬
рого номера, все ап лежат в шаре Вк. Поскольку ап —» а, то а - предельная
точка последовательности {ап}. По условию шар Вк замкнут, т.е. содержит
свои предельные точки, следовательно, аеВк. Поскольку Вк выбирался произ¬
вольно, то а - общая точка для всех шаров.
Покажем, что такая точка одна. От противного: допустим, что есть еще
одна точка Ь^а, являющаяся общей для всех шаров, т.е. Ѵя e N а,be Вп, тогда
p(a,b)<p(a,an) +p(an,b)<Rn + Rn = 2Rn. Перейдем к пределу при оо, то¬
гда, поскольку	—» 0, то р(а,Ь)< 0. По определению расстояние не может
быть отрицательным, следовательно р(а,Ь) = 0, откуда, в силу аксиомы тожде¬
ства, а = b. Противоречие.
Теорема доказана.
Определение: пусть X - метрическое пространство. Диаметром ограни¬
ченного множества £сІ называется число сІ(Е) = sup р(х, у).
х,уеЕ
Теорема (о вложенных множествах): пусть в полном метрическом про¬
странстве X дана последовательность замкнутых множеств, вложенных друг в
друга, диаметры которых стремятся к нулю. Тогда существует одна и только
одна точка, принадлежащая всем этим множествам.
Доказательство: в техническом плане повторяет доказательство теоремы
о вложенных шарах, а потому предлагается проделать его самостоятельно (за¬
дача 1).
Теорема (достаточное условие полноты): пусть X - метрическое про¬
странство, и в нем любая последовательность вложенных замкнутых шаров, ра¬
диусы которых стремятся к нулю, имеет непустое пересечение. Тогда про¬
странство X - полное.
Доказательство: по определению полноты надо доказать, что всякая
фундаментальная в X последовательность сходится в X. Пусть |^}сХ -
фундаментальная последовательность, т.е. \fs> О 3N e N: \/n,m>N р(хп,хт)< s.
50

При e = — найдем номер Nx так, чтобы Ѵ/г,т > Nx р{хп,хт) < — .
2	2
При s = -у найдем номер Д^2 > так, чтобы \/п,т > N2 р(хп,хт) <	.
2	2
1	1
При s = — найдем номер N3>N2 так, чтобы \fn,m>N3 р{хп,хт)<— и
2	2
На &-м шаге, при Б = ~к наВДем номер Nk >Nk_x так, чтобы \/n,m>Nk
Р(хп’хт) - ~Т ’ и т д- Составим последовательность	тогда ясно, что при
т.д.
т>к p(xN ,xNm)<-£.
1
Обозначим Вк - замкнутый шар радиуса —— с центром в точке xN . По-
2^ i	wк
кажем, что Вк+1 с В к. Пусть х е Вк+1, тогда р(х, xNt) < р(х, xN^) + p{xN , xNk) •
1
1
Поскольку p(xN ,xN )< — , то p(xN ,xN ) < —г-. Кроме того, поскольку Bk+i -
1
1
замкнутый шар радиуса — с центром в точке х^+і, то р(х, XNt+, ) - п,к ■ Таким
2	2
^	,	ч 112	1	-
образом, р(х, xNj < — + — = — = -j-f, следовательно, хе Вк.
Итак, шары Вк являются замкнутыми и вложенными, их радиусы, равные
—£-j-, стремятся к нулю, значит, по условию, они имеют общую точку аеВк
Ук. Покажем, что а является пределом последовательности {хн|. Поскольку
1
ае Вк п xN - центр шара Вк, то p(xNt, а) < —^, тогда
p(xn,a)<p(xn,xNk) + p(xNk,a)<p(xn,xNk) ,	.
Поскольку {хп} - фундаментальна, то р(хп,хт) —»0 при щт—>■оо. В част¬
ности, при m = Nk получаем, что p(xn,xN )^>0 при »оо. Переходя в по¬
следнем неравенстве к пределу при	—»оо, получаем, что limр(хп,а) = 0, т.е.
и—» со
хп^а.
Теорема доказана.
Определение: множество Е называется счетным, если существует взаим¬
но-однозначное соответствие элементов этого множества и множества N.
Замечание: иными словами, элементы этого множества можно занумеро¬
вать натуральными числами, т.е. расположить в последовательность.
Замечание: множество М и любой его интервал - несчетные множества.
51

Определение: пусть X - метрическое пространство, ЯсХ. Множество
Е называется нигде не плотным в X, если в любом шаре положительного ра¬
диуса в пространстве X найдется другой шар положительного радиуса, в кото¬
ром нет точек из Е.
Определение: пусть X - метрическое пространство, ЕсХ. Множество
Е называется всюду плотным в X , если в любом шаре положительного радиу¬
са в пространстве X есть хотя бы одна точка из Е.
Теорема Бэра: полное метрическое пространство нельзя представить в ви¬
де объединения счетного числа нигде не плотных множеств.
Доказательство: допустим, что это сделать можно, т.е. есть нигде не
плотные множества, которых счетное число, значит, их можно расположить в
последовательность Хх,Х2,Х3,..., и объединение этих множеств дает все про¬
странство X.
Возьмем произвольный замкнутый шар Вх радиуса Rx = 1. Множество Хх
нигде не плотно в X , поэтому в шаре Вг найдется другой замкнутый шар В2, в
котором нет точек из Хг. Ясно, что если его радиус уменьшить, то точек из Хх
\
2
в нем тем более не будет, значит, можно считать, что его радиус R2< — . Анало¬
гично, поскольку Х2 нигде не плотно, то в шаре В, можно найти другой за¬
мкнутый шар В3, в котором нет точек из Х2. При этом можно считать, что его
радиус Д3<і. И т.д. Получили последовательность вложенных замкнутых ша¬
ров, радиусы которых стремятся к нулю. Пространство X по условию полное,
поэтому, по теореме о вложенных шарах, у них есть общая точка а. В частно¬
сти, а еВ2, а в В2 нет точек из Хг, поэтому а <£ Хх. Аналогично, аеб3,ав В3
нет точек из Х2, поэтому а<£Х2. И т.д. Получили, что ни одному из множеств
ХѴХ2,Х3,... точка а не принадлежит. С другой стороны, объединение мно¬
жеств Х1,Х2,Х3,... дает все пространство X, значит, хотя бы в одном из них
точка а должна лежать. Противоречие.
Теорема доказана.
Определение: пусть X - метрическое пространство, ТсІ. Множество
Е называется множеством первой категории, если оно может быть представле¬
но в виде объединения не более чем счетного числа нигде не плотных мно¬
жеств.
Определение: множество, не являющееся множеством первой категории,
называется множеством второй категории.
Замечание: таким образом, из теоремы Бэра следует, что всякое полное
метрическое пространство является множеством второй категории.
Определение: пусть X - метрическое пространство,	Множество
Е называется всюду плотным в X , если ѴхеХ Уе>0 Зу&Е: р(х, у) < s, т.е.
если любой элемент пространства X можно с любой точностью приблизить
элементом множества Е.
52

Замечание: очевидно, что оба определения всюду плотности эквивалент¬
ны, только в первом не указаны явно радиусы шаров.
Замечание: пусть X - метрическое пространство, Есі. Множество Е
называется всюду плотным в X, если Е = Х, т.е. ѴхеХ 3{yn}czE: yn—»х
при я—»оо (см. задачу 8).
Примеры решения задач
1. Рассмотрим пространство (N,/?) с метрикой р(т,п)
1 + -
1
тФп
т + п
О,	т = п
Доказать его полноту. Построить в нем последовательность непустых замкну¬
тых вложенных шаров, имеющих пустое пересечение. Как это согласуется с
теоремой о вложенных шарах?
Решение: поскольку при т ф п р(т,п) > 1, то никакая последовательность
{xra}cz (N,/?) не является фундаментальной, если для всех ft,ftze N хп ф хт (по¬
скольку, выбирая s < 1, получим противоречие определению фундаментально¬
сти). Таким образом, последовательность {xn}c: (N,/?) фундаментальна тогда и
только тогда, когда она является постоянной, начиная с некоторого номера
/V <е N (финально-постоянная последовательность). Поскольку всякая такая
финально-постоянная последовательность имеет предел (равный этой постоян¬
ной), то всякая фундаментальная последовательность в (N,/?) сходится, следо¬
вательно, (N,/?) - полно.
Рассмотрим систему замкнутых шаров Вп
к: р(к,п) < 1 + —
2 п
. Если к Фп,
то получим, что точка к е Вп удовлетворяет условию 1 ч	< 1 ч	, откуда
к ч-ft	2ft
—-—<—-—, т.е. к>п и, значит, Ѵпе N Вп = [п,п + 1,п + 2,...\ . Тогда ясно, что
к + п ft ч- ft
Вп+1 а Вп, т.е. шары вложены. При этом, пересечение шаров Вг и В2 не содер¬
жит точку 1. Пересечение шаров В2 и В3 не содержит точку 2 и т.д. Таким об-
оо	2
разом, П Вп = 0. Поскольку радиусы шаров 1ч-	»1 при п —» оо, то теорема о
п=і	2 ft
вложенных шарах не выполняется.
2.	Доказать, что множество R всех многочленов всюду плотно в простран¬
стве С{к) \a,b\ всех к раз непрерывно дифференцируемых функций с метрикой
к
р(х, у) = £max x(i\t) - y{i\t) .
Решение: проведем доказательство индукцией по к . Пусть к = 0. Покажем
всюду плотность R в C{0)[a,b] = C[a,b]. Это утверждение предлагается дока-
53

зать самостоятельно (см. задачу 9). Пусть R всюду плотно в С(к 1}[ц,Ь]. Возь¬
мем xQ(t)<=C(k)[a,b], тогда ясно, что x0'(t) еС(Ы)[й>], и по предположению
индукции существует многочлен p(t)eR такой, что р {к_щ ,(х0',/?)<■
c(k-W ъ-а + 1
t
\/s>0. Пусть px{t) = х0(а) + J p(r)dr. Ясно, что px(t) - многочлен. Имеем:
а
к
РрЩаЛ’ а) =	хо(/)(0 - Д(°(0 = тах|д0(г) - д(0| +
с [а’°\	t€[a,b]	Ща,Ь\
+max|х0 \t) - д ’(ОІ + шах|х0 "(О - д "(ОІ + ••• + max х0(к)(t) - p^k\t)
ts\a,b]1	t€[a,b]1	1	ts [a,b\
Заметим, что px\t) = p(t), p1"(t) = p\t),..., pl(k\t) = p{k~l)(t) и тогда
max|x0 \t) - д \t)I + max|x0 "(0 - д "(0І + - + max x0w(0 - д(*}(0 =
te[a,b\1	1	1	1	te[a,b\
= max lx. '(t) - p(t)I + max|xn "(t) -	+ ••• + max xQ(k\t) - p{k~l\t)
te[a,b]' °	1	Ца^]1 °	^	1	гф,й] 0
yfc-1
= £тах (V(0)(°-p(0(0
= /T
Xx0\p)<
c<k~W — fc-fl + l
t	t
Кроме того,	xQ(t)~ pt(t) = x0(t) -xQ(a) + ^p{r)dr = ^xQ\z)dz + ^p{z)dz-
a	a	a
t	t
J(x0 '(7) - p(r))dz. Тогда Рст[аЬ](х0, д) < max J(x0 \т) - д(г))*г
+
&-аЧ-1
/ь-i
Далее, поскольку Ѵтах(х0'(ОУ -p{‘\t)\<
I b-a + l
max
te{a,b\
U \t)f}-pm(t)
, to \fi = 0,k-l
< - , и, в частности, max |xn \t) - pit)\ <			,
b-a + l	<^H10	1 b-a + l
следовательно, Vre [a,b\	- p(n\
Х'*'И]Ч„.Р,Хт»
b-a + l
. Таким образом, окончательно:
i
J(x0'(r)-/?(r))c/7
ч-
<
b-a + l
i	i
< max f |xn '(г) - р(т)Ут ч	<	max f Idz ч
*MJI 0	r b-a + l b-a + l	b-a + l
a	a
s(b -a)	£
£	S
max(/ -a) +
b-a + l «4a’b\	' b-a + l b-a + l b-a + l
Итак, получили, что R всюду плотно в С(*°[ц,Ь].
3. Пусть п() - фиксированное натуральное число и
={^ = (4)e/2:^=0пPи«>«o}•
Дoкaзaть, что множество L нигде не плотно в L.
riQ	z.
= £
54

Решение: покажем, что произвольный шар B(x0,r)el2 содержит в себе
другой шар, в котором нет точек из ЬПо. Если в шаре В(х0,г) нет точек из , то
утверждение доказано.
Допустим, в шаре В(х0,г) лежит точка \	,^2{1\...,^По(1) ,0,0,...) е ЬПо. Ясно,
что гх= р(х0,х1)<г. Возьмем 0 <£<г-гг и рассмотрим шар B(xvs). Пусть
х е B(xl,s), тогда р(х,х0) < р{х,х^ + /?(х1,х0) <£ + гг<г, следовательно, х е В(х0,г),
т.е. В(хѵб) а В(х0,г).
(
\
Рассмотрим точку х2 = £/\£2 ,...,£йо ,-,0Д... и шар В
V
У
(
Хг’~д
V 4 У
. Пусть
ХЕ В
( г^
і2’4
V 4 У
S	£
. Тогда р{х,хг) < р{х,х2) + >о(х2,х1) < —+ >о(х2,х1). Поскольку р{х2,х1) = —,
4	2
то р(х,хх) +	=	’ Te’ xeB(x1,s), откуда В
' e'
Хі'~Л
\	4 У
Покажем, что в шаре В
( £^
Л 4,
V 4 У
В(хѵ£)^В(х0,г).
нет точек из множества Ln . Действительно,
пусть x = (£,4,...,4o,0,0,...)eLno, тогда р{х,х2) =
( s^
Таким образом, хіВ х2,-
«0
(i)
V к=\
2 £
+ —
4
i
2 Л 2
Б £
2 4
Задачи для самостоятельного решения
1.	Доказать теорему о вложенных множествах.
2.	Доказать, что множества N,2N,Z,Q являются счетными.
3.	Доказать, что множество N не является всюду плотным и является ни¬
где не плотным в метрическом пространстве М со стандартной метрикой.
4.	Доказать, что отрезок [0,і] не является всюду плотным и нигде не плот¬
ным в метрическом пространстве М со стандартной метрикой.
5.	Доказать, что множество Q является всюду плотным в метрическом
пространстве М со стандартной метрикой.
6.	Доказать, что всякая прямая является нигде не плотным множеством в
метрическом пространстве Ш2 со стандартной евклидовой метрикой.
7.	Доказать, что всякая полуплоскость не является всюду плотным и нигде
не плотным множеством в метрическом пространстве К2 со стандартной ев¬
клидовой метрикой.
8.	Пусть X - метрическое пространство, £сХ, Доказать, что множество
Е является всюду плотным в X тогда и только тогда, когда E = X , т.е. Ѵх e X
3{л} <=£: уп ->х при оо.
55

9.	Доказать, что множество многочленов на отрезке [a,b] является всюду
плотным в пространстве C[a,b].
Указание: воспользоваться аппроксимационной теоремой Вейерштрасса.
10.	Доказать, что множество, состоящее из последовательностей вида
хп = (£,,<^,...,<^,0,0,...) (такие последовательности называются финитными) для
всех we N является всюду плотным в пространствах Ір и c0.
Указание: показать, что Ух = {£)ѴЕ)2	(с0)	при ц—» оо.
11.	Доказать, что множество, состоящее из линейных комбинаций векто¬
ров е, = (0,0,...,0,1,0,0...) является всюду плотным в пространствах I и с0.
к	р
Указание: воспользоваться предыдущей задачей
12.	При каком условии на последовательность { ак}^Ж, ак > 0 будет огра¬
ниченным множеством параллелепипед	= (<^ѵ^2,...) е 12: \%к| < ак} ?
13.	При каком условии на последовательность { ак}еЖ, ак> 0 будет огра¬
ниченным множеством эллипсоид < х
оо £ 2
к=1 ак
14.	Привести пример полного метрического пространства и последова¬
тельности вложенных друг в друга непустых замкнутых множеств в нем с пу¬
стым пересечением.
Указание: воспользоваться задачей 11 кп. 1.2.
15.	Привести пример полного метрического пространства и последова¬
тельности вложенных друг в друга непустых ограниченных замкнутых мно¬
жеств в нем с пустым пересечением.
Указание: \/п e N рассмотреть множества Fn={tn,tn+\tn+\..)(zC[ 0,1].
16.	Показать что пересечение последовательности вложенных друг в друга
непустых ограниченных открытых множеств, диаметры которых стремятся к
нулю, в полном метрическом пространстве может быть пусто.
Указание: для всех п e N рассмотреть множества вида
' 1Л
0,-
R.
\ п)
17.	Доказать, что множество А = {щ:иеІЧ} нигде не плотно в простран¬
стве С [од].
18.	Доказать, что множество А = |х(?) е L2(R): tx(t) e L2 (M)| всюду плотно
в L, (Ж) (определение Z^(M) аналогично определению	с поправкой на
то, что интеграл берётся по всей числовой прямой).
Указание: воспользоваться задачей 8. Выбрать xn(t) = <
xit),
О,
t Е [-П,я]
t^[-n,n]
19. Доказать, что множество М
:Х^=0
k= 1
всюду плотно в 12.
56

Указание: если х = 0^,е 12, то можно подобрать номер п такой,
что
I
k=n+1
f
\
2
, тогда у =
о
сэ
^ 1
1^
UJ
т т
\ j
\
т J
я — ^ + ... + £и.
Показать, что х- .у < е при достаточно большом т.
20. Доказать, что множество М = \x&ll:^j^k= 0 > нигде не плотно в Іх
k=1
Указание: показать, что множество замкнуто, т.е. его дополнение от¬
крыто. Затем показать, что в любом открытом шаре В{а,£) найдётся точка
из этого дополнения. Это может бытъ либо точка а = (а1,а2,аъ,...), если
Г	\
а<£М, либо точка х =
I	у 5	5 • • •
В(а, s) в противном случае.
21. Доказать, что в метрическом пространстве X для любого шара В(а,г)
диаметр удовлетворяет следующим условиям 0<d(B(a,r)) <2г. Привести
пример метрического пространства, в котором d(B(a,\)) = — .
Указание: например, это может быть пространство, в котором рассто¬
яния между различными точками совпадают.
22. Доказать, что пространство с0 нигде не плотно в пространстве с.
Указание: показать, что для всякого х() е с0 и для всякого £ >0 шар
B(x0,s)(^c не принадлежит с0. Учесть, что, начиная с некоторого номера
к0,
и рассмотреть і = (^)ес\с0,^
(Ік<к0
< г	. Показать, что
—,к > кп
U 0
х e B{xq,s) . Воспользоваться замкнутостью с0.
23. Пусть N - множество всех многочленов с нулевым свободным членом,
а М = { хе С [0,1] : х(0) = О}. Доказать, что N всюду плотно в множестве М .
Указание: воспользоваться аппроксимационной теоремой Вейерштрасса.
Рассмотреть сдвинутые многочлены pit) - р(0).
24. Рассмотрим множества Ап =	)"_і е с0: р(х,0) < 1, ^ е
п е Щ. Доказать, что Ап замкнуты, ограничены, непусты и вложены друг в дру-
оо
га, но при этом Р| Ап = 0.
п=1
Указание: при проверке пустоты пересечения предположитъ противное.
25.	Доказать, что объединение не более чем счетного числа не более чем
счетных множеств само не более чем счетно.
к = 1,п>,
51

1.5.	Пополнение метрических пространств.
Сепарабельные пространства
Определение: два метрических пространства X и Y называются изомет-
ричными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответ¬
ствие, сохраняющее расстояния, т.е., если любым двум точкам .у, х2 e X соот¬
ветствуют точки yvy2eY, то px(xvx2) = pY(yx,у2).
Замечание: с точки зрения тех вопросов, которые связаны только с рас¬
стоянием между элементами (сходимость, полнота и т.д.), два изометричных
пространства считаются идентичными.
Замечание: понятие изометричности двух множеств, расположенных в
некоторых метрических пространствах, вводится аналогично.
Определение: пусть Х0 - неполное метрическое пространство, а X - пол¬
ное метрическое пространство, в котором существует подмножество X', ле¬
жащее всюду плотно в X и изометричное пространству Х0. Пространство X
называется пополнением пространства Х0.
Теорема (о пополнении): если Х0 - неполное метрическое пространство,
то существует его пополнение X, которое определяется однозначно с точно¬
стью до изометрии.
Замечание: простое доказательство этой теоремы будет дано в п. 2.5 раз¬
дела 2 второй части. Существует также конструктивное доказательство, кото¬
рое мы здесь не приводим [см. 7].
Определение: пространство X называется сепарабельным, если в нем су¬
ществует счетное всюду плотное множество.
Замечание: если X - метрическое пространство, то его сепарабельность
означает, что в нем существует последовательность {хй} такая, что \/е> О
найдется элемент х0 е {хй} такой, что Vx e X /?(х,х0) < s.
Теорема (о сепарабельности подмножества): всякое бесконечное под¬
множество М сепарабельного пространства X сепарабельно.
Доказательство: пусть счетное множество х1,х2,...,хн,... всюду плотно в
X . Обозначим dn = inf р{хп,у), тогда, по определению точной нижней грани
уеМ
1	1 s
\/п,т<= N Зупт&М: p(xn,yrm)<dn+ —. Пусть теперь е>0, —<— и ѴуеМ
т	m3
E	1	Е
Зхп: р(хп, у) < — (в силу всюду плотности). Тогда р(хп, упт) <dn ч— <dn+ — <
3	m3
Е 2 Е
< р(хп,у) + -< — . Отсюда р(у,упт) <р(у,хп) + р(хп,упт) <£, откуда следует,
что множество {упт} - всюду плотно в М . Поскольку оно определяется двумя
натуральными параметрами, то оно не более чем счетно.
Теорема доказана.
58

Примеры решения задач
1.	Показать, что пространство С [-1,1] является пополнением пространства
п
Р заданных на [-Ы] алгебраических многочленов p(t) = y^aktk с метрикой
p(p,q) = max\p(t)-q(t)\.
к=О
" tk
Решение: рассмотрим последовательность многочленов pn(t) = \ —, п e N.
к=О
00 i
Ясно, что при со /?п(Т) —» У— = е* € Р, следовательно, Р не является пол-
^к\
к=О
ным пространством (сходящаяся последовательность всегда фундаментальна,
но ее предел пространству Р не принадлежит). В силу аппроксимационной
теоремы Вейерштрасса, любую непрерывную на отрезке функцию можно с лю¬
бой точностью приблизить многочленом, т.е., множество Р всюду плотно в
полном пространстве С [-1,1]. Значит, С [-1,1] - пополнение множества Р.
2.	Пространство Ір°, состоит из финитных последовательностей, т.е. по¬
следовательностей вида x = (£,£2,,0,0,...), кг е N. Пусть у =	77^, 0,0,...),
при к2>к1и р(х, у)
^ кі	к2
У і=1	і=к\ +1
Найти пополнение / 0.
Решение: очевидно, что I 0 а Ір. Кроме того, из задачи 10 к п. 1.4 следует,
что множество Ір° лежит всюду плотно в Ір. Если покажем, что Ір° не полно,
то, поскольку I - полное пространство, то оно и будет пополнением для I 0.
г
Рассмотрим последовательность хп =
\
2 4 2п
е/ °. Пусть п>т,
тогда р(хп,хт) =
т	п
+ Zk
V i=1
:(и)
i=m+1
\
n 1
У —
Z—( riip
Vi=m+1 ^ J
. Поскольку p > 1, TO
CO	J
ряд — сходится, как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия,
і=i (2 )
значит, в силу критерия Коши для рядов \/s> О 3N eN:	\/n>m>N
п 1
У^ ——- < ер, откуда получаем, что р{хп,хт) < е, т.е. последовательность {хп}
і=т+1 (2 )
фундаментальна в Ір°.
Предположим, что {хп} сходится к х0 = (^,^,...,^,0,0,...)elp°. Тогда,
р(хп,х0) —> 0, но при больших п
59

( ко
p(xn,xo) =
T f
Хк<",-Д+Хк(">
V=1
k„
,vu
X
i=l
— -£
2l
n 1
+ У —
Z-z лгр
i=fcn+l ^
откуда получаем, что ^
lim У — = -У
n	ZfV	О lP
и-»°° . ■“ 'VP
г=&0+1 ^
г=1
— -i
2г Ьг
г=1
2г Ьг
1
+ ^ — —» 0 при н->оо. Отсюда следует, что
і—кг\ +1 ■
1
■ и™ Х^т=-Х
i-ко +1
/=1
— -£
2г г
. Если <^г. ^	, то это равен¬
ство невозможно, поскольку ряд
СО	1
у-
^ 2ір
i—kfi +1
состоит из положительных слагаемых.
Случай
1
— также невозможен,
21
х 1
поскольку ^ —— >0. Противоречие. Таким
і=к0+1 2
образом, пространство Ір° не полно.
3.	Доказать, что пространство С[0,і] сепарабельно.
Решение: рассмотрим в С[0,і] множество многочленов с рациональными
коэффициентами. Поскольку множество рациональных чисел счетно, а множе¬
ство степеней многочленов представляет собой множество натуральных чисел,
то множество таких многочленов является счетным. Покажем, что множество
таких многочленов всюду плотно в С[0,і].
В силу аппроксимационной теоремы Вейерштрасса \fs > 0 существует
многочлен p(t) такой, что \/x(t)e С[0,і] р(х,р)<-. С другой стороны, оче¬
видно, найдется многочлен pQ (t) с рациональными коэффициентами такой, что
РІРі Ро) (поскольку множество рациональных чисел всюду плотно в мно¬
жестве действительных чисел). Таким образом, р(х,р0)< р(х,р) + р(р,р0)<£,
т.е. множество многочленов с рациональными коэффициентами всюду плотно в 4С [0,1].
4.	Доказать, что пространство Іт не сепарабельно.
Решение: рассмотрим множество ДцсД последовательностей х = (^,^2,...),
координаты которых равны 0 или 1. Это множество мощности континуум, по¬
скольку, как известно из теории множеств, между точками множества Е01 и
точками отрезка [0,і] существует взаимно-однозначное соответствие. Ясно, что
р{х,у) = шр\^і-т]1\ = \.
Рассмотрим множество шаров радиуса — с центрами в точках множества
Е01. Ясно, что таких шаров - несчетное множество, а поскольку расстояние
между их центрами равно 1, то шары не пересекаются.
60

Предположим, что в Іт есть всюду плотное множество Е. Тогда, по опре¬
делению, любой шар из Іх должен содержать хотя бы одну точку из Е. По¬
скольку мы нашли несчетное число непересекающихся шаров, лежащих в /ѵ, и
содержащих каждый точки множества Е, то Е не может быть счетным. Таким
образом, Іх - не сепарабельно.
5.	Доказать, что пространство s всех числовых последовательностей с
°°' i	I
метрикой р(х, у) =	• —Lj	является сепарабельным метрическим про-
п=12п ^ + у;п~т1п\
странством.
Решение: пусть М - множество элементов (^,г2,...,гп,0,0,...), где rt - про¬
извольные рациональные числа, п - произвольное натуральное число. Ясно,
что М - счетное множество. Покажем, что оно всюду плотно в ,ѵ. Для этого
возьмем произвольный элемент х = (<^1,<^2,...)е s и произвольное £>0.
Пусть п таково, что ^ — • 1 к ' < — (остаток всякого сходящегося ряда
к=п+12	1 + 1^1	2
можно сделать сколь угодно малым). Выберем элемент х0 = (гг,г2,...,гп,0,0,...)
п
таким образом, чтобы ^\%к - гк
к=1
< — (это можно сделать в силу всюду плотно¬
сти множества рациональных чисел в М). Тогда:
со J
р(х,х0) = У-г
(0)
=Г2‘ 1 + 1#*-#,
(0)
П
=Е2і
к=1 z
1 |&-
г,\
1+І4
+
Jk Л
к=п+1z	1
+
<
i~	i Ь Ь Ь
<Fi"'il+2<2 + i = e'
Таким образом, М всюду плотно в s.
6.	Является ли метрическое пространство К с метрикой р(х, у) =
ех-еу
полным? Если нет, то найти его пополнение.
Решение: функция f(x) = ex определена всюду на М, монотонна и имеет
множество значений М = {0,+со). Таким образом, /(х) биективно отображает
М на М, причем p(x,y) = \f(x)-f(y)\ = \x-y\ = p1(x,y), где х,у - образы то¬
чек х и у при отображении /, рх(х, у) = |х- у| - стандартная метрика в про¬
странстве М = (0,+со). Таким образом, пространства (М,/?) и (М,рх) изомет-
ричны. При изометрии свойство полноты сохраняется (см. задачу 11).
Поскольку числовая прямая с обычной метрикой полна, а М - ее неза¬
мкнутое подмножество, то пространство (М,рх) неполно. Пополнением
(М ,рх) является замкнутый луч [0,+со) с метрикой рх (см. задачу 12). Попол¬
нением исходного пространства (М,/?) будет пространство (Жи{-°°},Л), если
считать, что /(-со) = 0. При этом р(х,-со) = ех.
61

Задачи для самостоятельного решения
1.	Доказать, что пространство Ір сепарабельно.
2.	Доказать, что пространство с0 сепарабельно.
3.	Доказать, что пространство С0(-оо,+оо) тех непрерывных на М функ¬
ций, для которых limx(0 = 0 с метрикой р(х, у) = suplx(f) - у(0І сепарабельно.
И_>+0°	геК
4.	Доказать, что пространство М” сепарабельно.
5.	Доказать, что пространство Lp\a,b\ сепарабельно.
Указание: учесть, что множество C[a,Z?] является всюду плотным в
Lp \a,b\ (этот факт будет доказан в разделе 2).
6.	Проверить выполнение аксиом метрики для пространства s из примера
5. Доказать полноту этого пространства.
7.	Доказать, что пространство s всех числовых последовательностей с
1^ -77 I
метрикой р(х, у) = sup——г	^ не является сепарабельным метрическим про-
»
странством.
8.	Выяснить, сходятся ли в пространстве s из примера 5 последовательно-
( \
сти хга = (1,2,...,77,0,0,...), хп = (1,1,...,1,0,0,...) и хп
П П П
V п	у
9.	Доказать, что пространство с сепарабельно.
Указание: доказать, что линейная комбинация векторов е0 = (1,1,...,1,...) и
ек= (0,0, ...,0,1,0,...; с рациональными коэффициентами образует счетное всю-
k
ду плотное множество в с.
10.	Доказать, что метрическое пространство несепарабельно тогда и толь¬
ко тогда, когда в нем существует несчетное множество попарно непересекаю-
щихся шаров ненулевого радиуса.
11.	Доказать, что, если одно из двух изометричных метрических про¬
странств полно, то и второе пространство полно.
12.	Пусть X - полное метрическое пространство, М czX - подпростран¬
ство, не являющееся полным. Доказать, что пополнением М в X будет М .
13.	Является ли полным метрическое пространство М, в котором метрика
задана равенством р{х, у) = |thx - thy + х - у| ? Если пространство неполно, то
найти его пополнение.
14.	Является ли полным метрическое пространство К, в котором метрика
задана равенством р{х, у) = |arctgx - arctgy| ? Если пространство неполно, то
найти его пополнение.
62

1.6.	Компактные множества
Определение: множество в метрическом пространстве называется ком¬
пактным, если из любого покрытия этого множества открытыми множествами
можно выбрать конечное число множеств, по-прежнему его покрывающих.
Теорема (свойства компактных множеств):
1.	Компактное множество всегда замкнуто.
2.	Компактное множество всегда ограничено.
Замечание: эти факты, установленные пространства М" без изменений
переносятся на случай произвольного метрического пространства.
Теорема (критерий компактности в ЕГ): множество в W1 компактно
тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.
Замечание: в произвольном метрическом пространстве замкнутое и огра¬
ниченное множество может не быть компактным.
Определение: пусть X - метрическое пространство, К а X - множество,
£ >0. Множество, состоящее из конечного числа точек а{,а2,...,ап e X, называ¬
ется конечной £ -сетью для К, если Ух е К расстояние от этого х до одной из
указанных точек меньше, чем £,т.е. Ухе К ЕЦ (7 = 1,и): p(x,at)<£.
Теорема (о существовании конечной £-сети): пусть X - метрическое
пространство, Кс^Х - компактное множество, тогда У £ > 0 в X существует
конечная £ -сеть для К.
Доказательство: возьмем У£>0. Нужно найти конечное число точек
al,a2,...,ane X таких, что Ухе К За{ (i = l,n): p(x,at)<£.
Рассмотрим систему всех открытых шаров радиуса £. Ясно, что, посколь¬
ку каждая точка принадлежит шару с центром в этой точке, то система таких
шаров покрывает все пространство X, а значит, тем более покрывает все мно¬
жество К. Таким образом, получили покрытие компакта открытыми множе¬
ствами. По определению компакта можно найти конечное число шаров, по-
прежнему покрывающих К. Центры этих шаров обозначим аѵа2,...,ап. Тогда,
если мы возьмем любую точку хе К, то она попадет хотя бы в один из этих
шаров, т.е., в шар с центром в точке аі радиуса £. По определению открытого
шара р(х,аі)<£.
Теорема доказана.
Определение: множество К в метрическом пространстве X называется
вполне ограниченным, если У £ > 0 в X существует конечная £ -сеть для К.
Замечание: всякое вполне ограниченное множество ограничено (задача 4).
Замечание: в пространстве W1 вполне ограниченность совпадает с обыч¬
ной ограниченностью (задача 5).
Теорема (критерий Хаусдорфа): пусть X - полное метрическое про¬
странство, К - подмножество в X . К является компактным тогда и только то¬
гда, когда:
1.	К замкнуто;
2.	К вполне ограничено.
63

Доказательство: пусть К - компактно, тогда п. 1 следует из того, что
компакт всегда замкнут, а п. 2 следует из предыдущей теоремы.
Обратно: дано, что X - полное метрическое пространство, К - замкнутое
и вполне ограниченное подмножество в X. По теореме о полноте замкнутого
подпространства К - полное подпространство.
По определению компакта надо доказать, что из любого покрытия К от¬
крытыми множествами можно выделить конечное число открытых множеств,
по-прежнему покрывающих К. Возьмем систему открытых множеств \иа},
покрывающих К. Допустим, что из этой системы нельзя выбрать конечного
числа множеств, по-прежнему покрывающих К.
Возьмем бх = 1. По условию К вполне ограничено, значит, для него можно
построить конечную 1-сеть х1,х2,...,хп, т.е. расстояние от любой точки хе К до
одной из этих точек меньше 1. Это означает, что любая точка множества К со¬
держится хотя бы в одном из открытых шаров радиуса 1 с центром в одной из
точек х1,х2,...,хп. Значит, поскольку открытый шар содержится в замкнутом
шаре того же радиуса, любая точка множества К содержится хотя бы в одном
из замкнутых шаров радиуса 1 с центром в одной из точек х1,х2,...,хп. Итак, К
целиком лежит в объединении таких замкнутых шаров. Если каждый из этих
шаров можно покрыть конечным числом множеств из системы {ма}, то, по¬
скольку шаров конечное число, К также окажется покрыто конечным числом
множеств системы {иа }, что противоречит предположению.
Обозначим Кх = {я е К: р(х, х{) < 1} - шар, который нельзя покрыть конеч¬
ным числом множеств системы {иа }. Его радиус ех = 1, он замкнут, значит, сам
образует полное пространство (как замкнутое подпространство полного про¬
странства). При этом ясно, что KxczK.
Возьмем Б2 = ~ . Поскольку К вполне ограничено, то для него можно по¬
строить конечную --сеть уѵу2,—>Ут- Рассуждая аналогично, получаем, что
2
множество К целиком лежит в объединении замкнутых шаров с центрами в
1	1
точках этой — -сети и радиуса —. Поскольку Кх а К, то какое-то количество
2	2
построенных шаров целиком покрывает и множество Кх. Если каждый из таких
шаров можно покрыть конечным числом множеств из системы {иа], то, по¬
скольку этих шаров конечное число, Кх также окажется покрыт конечным чис¬
лом множеств системы {иа }, что противоречит построению шара Кх.
Обозначим К2 =
хеКх:р(х,ух)<
2
1
- замкнутый шар радиуса £2 = —
лежащий в шаре Кх, такой, что его нельзя покрыть конечным числом множеств
системы {иа}.
64

Аналогично, найдем шар Къ а К, радиуса £ъ = -, который является за¬
мкнутым и который нельзя покрыть конечным числом множеств системы [иа].
И т.д.
Получили последовательность вложенных замкнутых шаров, радиусы ко¬
торых стремятся к нулю, лежащих в полном метрическом пространстве. По
теореме о вложенных шарах, они имеют общую точку с.
Система {иа) покрывала К, следовательно, с принадлежит хотя бы од¬
ному множеству иа е \иа}. Множество иа открыто, значит с лежит в нем вме¬
сте с некоторой окрестностью, радиус которой обозначим 8.
Радиусы построенных шаров svs2,s3,... стремятся к нулю, значит, какой-
g
то из них станет меньше, чем —. Тогда диаметр этого шара будет меньше 8, и,
поскольку он содержит точку с, то он целиком будет лежать в 8 -окрестности
точки с. Поскольку 8 -окрестность точки с целиком лежит в множестве иа, то
получили, что указанный шар покрыт одним множеством иа из исходной си¬
стемы {иа}. С другой стороны, по построению, его нельзя покрыть конечным
числом множеств из системы \иа \. Противоречие.
Теорема доказана.
Теорема (достаточное условие компактности): пусть X - полное мет¬
рическое пространство, Кс^Х. Для компактности К достаточно, чтобы оно
было замкнутым и У б > 0 в X для К существовала компактная в -сеть.
g
Доказательство: пусть N - компактная —-сеть для К, т.е., Ухе К
£
Зу e N: р(х, у) < —. В силу критерия Хаусдорфа, поскольку N - компактно, то
S	S
для N существует конечная —-сеть Л^0,т.е. \/yeN 3z&N0: p(y,z) < —. Пока¬
жем, что N0 будет конечной s-сетью для К. Действительно, Ухе К 3zeN0:
£ £
p(x,z)< р(х,у) +p(y,z) < — + — = s гДе y^N. Таким образом, К замкнуто и
вполне ограничено, следовательно, компактно в силу критерия Хаусдорфа.
Теорема доказана.
Теорема (о сепарабельности компакта): компактное пространство X
сепарабельно.
Доказательство: рассмотрим последовательность sk —» 0 при к —» оо и
для каждого элемента ек построим в X конечную ек -сеть (поскольку X ком¬
пактно, то, в силу критерия Хаусдорфа, это можно сделать У £ = £к >0). Обо-
х
значим эти sk -сети через Nk = {-У. Ясно, что если взять А = [J , то мно-
к=1
65

жество ІѴсІ является счетным (т.к. это счетное объединение конечных ек -
сетей, т.е. все его элементы можно занумеровать).
Далее, возьмем \/х e X, тогда, по определению конечной ек -сети, для
£к>0 3х/^еЛ^: р{х,х1{ку) <sk. Ясно, что х{(к) е N, т.е. любой элемент про¬
странства X оказался приближен элементом множества N с любой точностью
£ = sk > 0. Тем самым, множество N всюду плотно в X. Итак, нашли в про¬
странстве X счетное всюду плотное множество, тем самым, X - сепарабельно.
Теорема доказана.
Определение: пусть X - метрическое пространство, К с X. Множество
К называется секвенциально компактным, если у любой последовательности
его элементов существует подпоследовательность, имеющая предел (принад¬
лежащий К).
Теорема (о секвенциальной компактности): пусть X - полное метриче¬
ское пространство, К а X. Множество К компактно тогда и только тогда, ко¬
гда оно секвенциально компактно.
Доказательство: пусть К компактно. Надо доказать, что у любой после¬
довательности его элементов есть подпоследовательность, имеющая предел.
Пусть ар а2,х3,... - любая последовательность элементов множества К.
Покажем, что у нее найдется предельная точка, т.е. точка, в любой окрестности
которой содержится бесконечно много членов этой последовательности.
Допустим, что такой точки нет, т.е. у любой точки из множества К есть
окрестность, в которой содержится конечное число членов нашей последова¬
тельности. Система всех таких окрестностей покрывает весь компакт К, по¬
скольку каждая точка К своей окрестности принадлежит. Окрестность - от¬
крытое множество, а К - компакт, значит, можно выбрать конечное число та¬
ких окрестностей, по-прежнему покрывающих К. Итак, получили конечное
число окрестностей, в каждой из которых конечное число членов последова¬
тельности. Тем самым, последовательность конечна, что противоречит тому,
что у нее бесконечное число членов.
Итак, последовательность имеет предельную точку, т.е. у нее существует
подпоследовательность, которая сходится к этой предельной точке. Поскольку
К - компактно, то, в силу критерия Хаусдорфа, К замкнуто, следовательно,
найденная предельная точка принадлежит К.
Обратно: пусть К - секвенциально компактно. Надо доказать, что К ком¬
пактно, т.е., в силу критерия Хаусдорфа, достаточно доказать, что К замкнуто
и вполне ограничено.
а) Замкнутость: допустим, что К - не замкнуто, т.е. у него найдется пре¬
дельная точка а e X, которая не принадлежит К. Поскольку она предельная
для К, то, в силу критерия предельной точки, существует последовательность
х1,х2,х3,... е К, предел которой равен а. Поскольку последовательность стре¬
мится к а, то любая ее подпоследовательность тем более стремится к а. В силу
единственности предела, никакого другого предела у данной подпоследова¬
тельности быть не может. Окончательно, а<£ К, другого предела у подпоследо¬
66

вательности быть не может, поэтому в К нашли последовательность, никакая
подпоследовательность которой не сходится в К. Противоречие с определени¬
ем секвенциальной компактности.
б)	Вполне ограниченность: допустим, что К не является вполне ограни¬
ченным множеством, т.е. 3s > 0, при котором в X нет конечной s -сети для К.
Возьмем произвольную точку jq e X . Поскольку для К нет конечной s -
сети, то эта точка б -сетью не является, поэтому найдется точка х2 е К такая,
что р(х1,х2) > б . Рассмотрим множество хѵх2. Оно также не является конечной
s -сетью, поскольку конечной £--сети для множества К вообще нет, следова¬
тельно, Зх3 е К: р{хѵх3)>Е и /э(х2,э^) > s. Аналогично, точки х1,х2,х3 не об¬
разуют конечную б -сеть для К, значит, найдется точка х4 е К, от которой рас¬
стояние до каждой из этих трех точек больше, либо равно б . И т.д.
Полученная последовательность х1,хѵхѵ... такова, что Ѵп,теN p(xn,xm)>s,
следовательно, эта последовательность не может быть фундаментальной, как и
любая ее подпоследовательность. Поскольку всякая сходящаяся последова¬
тельность фундаментальна, то никакая подпоследовательность последователь¬
ности хѵх2,х3,... не может быть сходящейся. С другой стороны, по условию, К
секвенциально компактно, т.е. у последовательности х1,х2,х3,... должна быть
подпоследовательность, имеющая предел. Противоречие.
Теорема доказана.
Замечание: понятие секвенциальной компактности таким образом можно
считать вторым определением компактности (в полном пространстве).
Примеры решения задач
1.	Для отрезка [0,і] построить конечную б -сеть, если s = -.
8
Решение: по определению конечная <?-сеть - это конечный набор точек
таких, что расстояние от любой точки отрезка [0,і] до одной из точек указан¬
ной s -сети меньше, чем б. Ясно, что —-сеть для отрезка [0,і] будет состоять
из точек О
1 2 3 4 5 6 7
Vs’s’s’s’s’s
л.
2.	Доказать, что параллелепипед П =
является
компактным множеством в /2.
Решение: в силу критерия Хаусдорфа достаточно показать, что П - за¬
мкнут и вполне ограничен. Замкнутость П следует из задачи 41 к и. 1.3, поэто¬
му здесь не обосновывается. Кроме того, заметим, что параллелепипед П -
п=1
ограниченное множество, поскольку ѴхеП
v J_-I
ti 22n ~ 3 '
67

Покажем, что П - вполне ограниченное множество, т.е., что Ѵ£>0 в 12
для него существует конечная «г-сеть.
Пусть s >0 задано. Выберем и зафиксируем номер п таким образом, что-
1 Б
бы выполнялось неравенство — < — . Каждой точке х = (£1,£2,...) еП поставим
2 2
в соответствие точку х0 = (£р£2,...,£л,0,0,...) gП0. Ясно, что множество П0сП
вполне ограничено, как всякое ограниченное множество в п -мерном евклидо¬
вом пространстве (которое в данном случае совпадает с пространством R" -
см. задачу 5), следовательно, для П0 (в указанном п -мерном пространстве) су-
£
ществует конечная --сеть, которую обозначим N. Таким образом, Ѵх0 е П0
£
ЗаеИ: р(х0,а) < —. Используя формулу суммы бесконечно убывающей гео¬
метрической прогрессии, получим: р(х,х0)=
(0)
Іі»
\k=n+l J
<
у —
t-л лк
Vt=n+13 4 5'
Г 1 V ( \ Уг
4 n+i
1--
4)
4Л+1
1Г
l 4 )
3-4”
1	1	s
~i=	< — < —. Таким образом, ѴіеП, (т.е. и
Ѵз • 2” 2” 2	ѵ
Ѵх0еП0) 3aeN: р(х,а)< р(х,х0) + р(х0,а) < — + — = s.
Следовательно, множество N образует конечную г’-сеть для П, т.е. па¬
раллелепипед П - вполне ограничен, а значит, компактен.
Задачи для самостоятельного решения
1. Рассмотрим отрезок [0,і] и на нем точки аг = 0, а2 =-і, аг= 1. При ка¬
ких £•>0 множество {oj,a2,a3} будет s-сетью для [0,і] ?
2.	Рассмотрим множество М. При каком £>0 множество Ъ будет s-
сетью для К (не конечной)?
3.	Для отрезка Гі,2І построить конечную £-сеть, если е = —.
4
4.	Доказать, что всякое вполне ограниченное множество в метрическом
пространстве является ограниченным, т.е. VxgX и для фиксированного эле¬
мента аеХ 3с>0: р(х,а)<с.
Указание: найти конечную 1-сетъ и воспользоваться неравенством тре¬
угольника.
5.	Доказать, что в пространстве W1 вполне ограниченность любого множе¬
ства эквивалентна его ограниченности.
68

Указание: заключитъ множество в достаточно большой куб и разбитъ
его на кубики с ребром s. Показать, что вершины этих кубиков образуют ко-
s4n	%	*
нечную -сетъ в исходном кубе.
6.	Доказать, что единичная сфера S = {хе 12:р(х,0) = 1} является замкну¬
тым, ограниченным, но не вполне ограниченным множеством в пространстве
12.
Указание: рассмотреть элементы ек = (0,0,...,0,1,0,0,...), принадлежащие
к
этой сфере найти расстояние между двумя такими различными точками и
42
показать, что при	^ля $ не может бытъ конечной s-cemu.
7.	Пусть (N,p)	- метрическое пространство с метрикой
Г1, т ф п
р(т, п) = <	. Доказать, что это пространство не является вполне огра-
[0, т = п
ниченным (т.е. найти а\ при котором для него нет конечной s -сети). Доказать
полноту этого пространства, его ограниченность, не компактность, не секвен¬
циальную компактность. Найти покрытие этого пространства открытыми мно¬
жествами, из которого нельзя выбрать конечное подпокрытие.
8.	Проверить, что шар |х(?) е С[0,2л-]:|х(?)| < і| не является вполне огра¬
ниченным множеством в С [0,2п\
Указание: рассмотреть последовательность функций xn{i) = smnt и по¬
казать, что р(хп,хт)> 1 при пФт.
9.	Является ли множество A = {0}U| Qi і на веЩественн°й прямой М
Ѵл=і J
компактным?
Указание: использовать критерий компактности в R".
10.	Доказать, что параллелепипед П = jx = (^p£,,...)е/2 :|£л|< — ^ является
1
компактным множеством в 12.
1
11.	Является ли параллелепипед П = |х = (£р£2,...)el2:y;n\< —| компакт¬
ным множеством в /2 ?
12.	Используя критерий Хаусдорфа, доказать, что всякое замкнутое под¬
множество компактного множества само является компактным множеством.
13. Является ли множество
X
Я=1
f г зЛ2
4-”
у sinTZ у
<1
У компакт¬
ным в 12 ?
69

Указание: обосновать, что для координат элементов этого множества
справедливо соотношение \%п\ < Др Воспользоваться предыдущей задачей.
п
14. Является ли множество | х = ОІр е 12: \%п \ > I компактным в /2 ?
15. Является ли множество
п=1
f £ п
с е
2 ,
<1
> компактным
В /2?
16.	Доказать критерий компактности в с0: множество К = {х = (^2,...)}ес0
компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто, ограничено (т.е. Ухе К
3с>0: р(х,0)<с)и \/s>0 3N еЩ: \/n>N УхеК |£и|<£\
17.	Доказать критерий компактности в /2: множество К = {х = (^2,...)}е12
компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто, ограничено и Ѵе>0
сс
3NeN: УхеК ^Ы<£-
k=N
Это утверждение переносится на случай произвольного пространства Ір
<х>
(р > 1) с условием ^ I %к\Р <■£. Здесь используется то, что в любом конечно-
k=N
мерном пространстве справедлив тот же критерий компактности, что и в
М” (это следует из полноты и изоморфности всех конечномерных про¬
странств пространству М” - см. раздел 2).
18. Доказать критерий компактности е с: множество К = {т = (^Д2,...)}ес
компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто, ограничено и У £ > О
3N eN: \/n,m>N УхеК \<^п-^т\<£.
Указание: вначале показать, что критерием компактности будет У £ > О
3N еЦ: Уп>И Ух е К
4 - lim4
<£.
19.	Является ли компактным в /3 множество lxel3:
<Ц?
к=1
Указание: \3kf = к3|^|2 • к 3 \<;к\. Применить неравенство Гельдера.
20.	Является ли компактным в /2 множество \xel2	2
к=1
21. Является ли компактным в 13 множество
хеІ,:^к fcf<l
к=1
?
22. Является ли компактным в /3 множество
хе/3:]Г|£|31п(* + 1)<1
к=1
?
70

1.7.	Непрерывные отображения метрических пространств.
Сжимающие отображения
Определение: пусть даны два метрических пространства X и Y и функ¬
ция у = /(х), определенная на некотором множестве МсІ со значениями в
пространстве Y. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 еМ , если
Ѵ£>0 3£>0: ѴхеМ из рх(х,х0)<S следует, что pY(f(x),f{x0))<e. Если
функция непрерывна в каждой точке множества М, то она называется непре¬
рывной на множестве М.
Замечание: можно переписать данное определение в терминах окрестно¬
стей: ѴВ(/(х0),£) 3B(xQ,S)f)M: \/x<eB(x0,S)C)M /(х)еB(f(xQ),s). Кроме
того, можно доказать, что данное определение непрерывности эквивалентно
следующему: функция /(х) непрерывна в точке х0еМ , если для любой по¬
следовательности {хй} с М из условия хп —» х0 следует, что /(хй) —» /(х0).
п—»со	п—¥ оо
Теорема (критерий глобальной непрерывности): пусть /: X —> Y.
Функция / непрерывна на всем пространстве X тогда и только тогда, когда
прообраз любого открытого множества открыт.
Доказательство: пусть / непрерывна в X, U с F - открытое множе¬
ство, V - прообраз U. Надо доказать, что V открыто, т.е. любая его точка ле¬
жит в нем вместе с окрестностью. Берем \/а e V, тогда f(a) e U . Т.к. U откры¬
то, то найдется окрестность B(f(a),s)czU . Т.к. / непрерывна, то при отобра¬
жении / в B(f(a),s) целиком переходит некоторая окрестность B(a,S). Зна¬
чит B(a,S) лежит в прообразе U, т.е. в множестве V . Итак, нашли окрестность
точки а, целиком лежащую в V, т.е. V открыто.
Обратно: пусть прообраз любого открытого множества открыт. Надо дока¬
зать, что / непрерывна ѴаеХ, т.е. \/B(f(a),s) 3B(a,S): Vxe В(а,8)
f
f(x)eB(f(a),s). Поскольку а->/(а)б8(/(й),г), то а лежит в прообразе
B(f(a),s). Окрестность B(f(a),s) - открытое множество, значит, ее прообраз
открыт по условию, поэтому точка а лежит в нем вместе с некоторой окрест¬
ностью. Итак, нашли окрестность B(a,S), лежащую в прообразе B(f(a),s), по¬
этому В{а,д) при отображении / переходит в B(f(a),s),T.Q. f непрерывна.
Теорема доказана.
Теорема (об образе компакта): при непрерывном отображении образ
компактного множества компактен.
Доказательство: пусть / : К —» F, К - компакт, V - образ К. Надо до¬
казать, что V - компакт. Рассмотрим систему открытых множеств {иа }, покры¬
вающих V . Т.к. V - образ К, то система прообразов этих множеств покрывает
К (если бы какая-то точка х0 е К не покрывалась ни одним прообразом, то
/(х0)еѴ не покрывалась бы ни одним из множеств системы {иа}). Эти прооб¬
71

разы открыты по предыдущей теореме, К - компакт, значит можно выбрать
конечное число прообразов, которые по-прежнему покрывают К, тогда полу¬
ченное конечное число множеств {иа] покрывает образ К, т.е. V . Итак, V по¬
крыт конечным числом множеств из нашей системы, т.е. V - компакт.
Теорема доказана.
Теорема Вейерштрасса: пусть К - компактное множество в метрическом
пространстве X, /: К —> R - непрерывное отображение. Тогда:
1.	/ ограничено на K,t.q. ѴхеАГ 3с>0: |/(х)|<с.
2.	/ достигает на К своего наибольшего и наименьшего значения.
Теорема Кантора: пусть К - компактное множество в метрическом про¬
странстве X , / :	—> У - непрерывное отображение, тогда / равномерно
непрерывно на К, т.е. Ѵ^>0 3<!>>0: \/х,уеК из px(x,y)<S следует, что
PY(f(x),f(y))<£.
Определение: пусть даны два метрических пространства X и Y, и суще¬
ствует взаимно-однозначное отображение пространства X на пространство Y.
Если это отображение взаимно непрерывно, то пространства X и Y называют¬
ся гомеоморфными.
Определение: пусть X - метрическое пространство, / : X —» X . Отобра¬
жение / называется сжимающим, если 3q < 1: Ѵх, у e X р(/(х),/(у)) < qp(x,y).
Определение: пусть X - метрическое пространство, / : X —» X , а e X .
Точка а называется неподвижной точкой отображения /, если f(a) = а.
Теорема (принцип сжимающих отображений): если X - полное метри¬
ческое пространство, а / : X —» X - сжимающее отображение, то / имеет - и
причем ровно одну - неподвижную точку.
Доказательство: пусть / - сжимающее отображение, т.е. 3q< 1:
Ѵх, у e X справедливо неравенство p(f(x),f(y))<qp(x,y). Возьмем произ¬
вольную точку х0 e X и построим последовательность Xj = /(x0), х2 = /(х1),
Хг = f(x2),..., хп = /(хпД,.... Обозначим / = р(х0,хх), тогда
p(Xj, х2) = p(f(x0), /(Xj)) < qp(x0,x() = ql,
p(x2,x3) = p(/(x1),/(x2)) < qp(xl,x2) < q2l,
/?(x3,x4) = ,p(/(x2),/(x3)) < qp(x2,x3) < q3l,
Таким образом, выбирая m>n, получаем, что:
Р(хп,хт) < p(xn,xnJ + p(xn+l,xn+2) + р(хп+2,хп+3)+... + p(xm_vxm) <
< l{qn + qn+1 + qn+1 +... + qm~l) = lqn(\ + q + q2 +... + qт~х~п) <
<lqn(l + q + q +...) = lqn	•
i-q
lqn	lqn
Поскольку q < 1, то lim—-— = 0, т.е., V£ > 0 3N e N: \/n> N 	< s.
1 - q	1 - q
72

Таким образом, \/s >О 3N еN: Ѵт>п> N р(хп,хт) < б, т.е. построенная
последовательность фундаментальна. По условию пространство X полно, зна¬
чит, эта последовательность имеет предел в X , т.е. Ellimx = а. Тогда ясно, что
и-»°о п
Нт хй+| = а, поскольку {хй+1| - это та же самая последовательность, что и {х },
только без первого члена. По построению хй+1 = f(xn). Переходя к пределу при
п —>со, в силу непрерывности отображения / (см. задачу 11), получаем, что
а = f (а), т.е. а - неподвижная точка отображения /.
Покажем, что двух неподвижных точек быть не может. От противного:
допустим, что их две, сіфЬ . Поскольку они обе неподвижные, то а = f (а) и
b = f{b). Т.к. отображение сжимающее, то p(f(a),f(b))<qp(a,b) при q< 1,
откуда р(а,Ь) < qp(a,b). Поскольку а ф b, то р(а,Ь) ф 0, тогда 1 < q, что проти¬
воречит условию q < 1.
Теорема доказана.
Замечание: если в неравенстве р(хп,хт) < lqn —-— перейти к пределу при
i-q
ii	i
m->oo, то получим p(xn,a)<lqn 		= p(x0,x1)-qn 		= р(х0, f (х0)) ■ qn ■ 		.
1 -q	1 -q	1 -q
Полученное неравенство дает погрешность приближения неподвижной точки,
если оборвать построение последовательности {хй} на п-м шаге.
Замечание: построение последовательных приближений {хй}, сходящихся
к неподвижной точке а, можно производить, исходя из любого элемента
х0еХ . Выбор х0 будет сказываться только на быстроте сходимости последо¬
вательности {хй} к своему пределу а.
Теорема (о существовании и единственности решения системы ли¬
нейных алгебраических уравнений): пусть в пространстве М" расстояние
определено по формуле р{х,у) = трс|£-q\, где х = (£,и У = (Лі’—’Лп) •
п
Тогда система уравнений <£. -	= bL (і = \,п) имеет единственное решение,
7=1
если матрица {а^ такова, что тах^|йу | < 1.
'3	‘	7=1
Доказательство: определенное таким образом пространство К" является
полным в силу критерия Коши (см. задачу 12). Рассмотрим отображение
п
у = Ах, заданное с помощью равенств	^a^j + /я (і = 1 ,п). Тогда ясно, что
7=1
Л:лп^> и р(уг,у2) : р(Ах1,Лх2) = шах
і
7=1
7=1
73

= max
Ѣ„іГ
-ѣіііГ
7=1
7=1
< max | • max|^.(1) - ^.(2)
' 7=1 1
если обозначим
n
q = max V
* 7=1
max
<
2>„ [sr - <?/-’) - п'рЁКІ • Ka> - s,
7=1	7=1
n	n
Хгу Г	= р(Х\,Х2) ' max SKI-Тб
7=1	7=1
щим, и, значит, в силу принципа сжимающих отображений, оно имеет един¬
ственную неподвижную точку. Таким образом, уравнение х = Ах имеет един-
П
ственное решение при условии max^JaJ <1. Осталось заметить, что это урав-
7=1
II
нение эквивалентно системе f ^ aifi = bt при i = 1,
n.
7=1
Теорема доказана.
Теорема (о существовании и единственности решения интегрального
уравнения Фредгольма IIрода): пусть K(t,s) - действительная функция, опре-
ъ ъ
деленная и измеримая в квадрате a<t,s<b такая, что J J K2(i,s)dlds < +со и
а а
b
пусть fit) e L2 \a,b\. Тогда интегральное уравнение х(г) = fit) + /і| Kit, s)xis) ds
а
имеет единственное решение xf) е L2 [a,b] при \Я\ < .	^	.
JjK2it,s)dtds
\ а а
Доказательство: пространство Ц\^а,Ь\ - полно. Рассмотрим в нем отоб-
ъ
ражение Axf) = ff) +X^Kit,s)xis)ds. Используя неравенства Минковского и
а
Гельдера для интегралов, можно показать, что при xit) eZ^[a,Zi], в условиях
нашей теоремы, Axit) e L, [a,b\.
ь	ь ь
Тогда р2ІАх,Ау) = ^\Axit) — Ayit)^ dt = J ^J^(f,s)(x(s) —у(,у))<£у
a	a a
^ b ( b	\2
j]^(rs)|-|x(s)- yCs)|<& dt. Воспользуемся неравенством Гельдера для
а\а	)
S' ь	л2 ь	ъ
интегралов: $\f(0\-\git)\dt	<	\\git)fdt. Тогда получаем, что:
dt <
74

b f b
dt =
p2{Ax, Ay) <\A\2 J j]^(A s)f ds - J|jc(5-) - yO)|2 ds
a\a	a
b C b	Л	b b
= |Я|2J ^K2(t,s)ds- p2(x,y) dt = р2(х,у)-\Л\2^K2(t,s)dsdt.
b b
Таким образом, p(Ax, Ay) < p(x, у) • \Л\ Ш K2(t,s)dsdt и, если обозначим
b b
q = \A\ f f K2(t,s)dsdt, то при q< 1 отображение А будет сжимающим, поэто-
} а а
му, в силу принципа сжимающих отображений, оно будет иметь единственную
неподвижную точку. Итак, уравнение х = Ах имеет единственное решение при
условии \Л\ < г— ^	Осталось заметить, что это уравнение эквива-
b b
ffK2(t,s)dtds
I Cl Cl
b
лентно уравнению x(t) = f(t) + AjK(t,s)x(s)ds,
a
Теорема доказана.
Примеры решения задач
1.	Показать, что отображение Д:С[0,1]-» С[0,1], Af(x) A\xtf(t)dt + |дг
Z о	о
является сжимающим и найти его неподвижную точку / (х).
Решение: возьмем J\(х),/2(х) е с [од] , тогда
p(Af\,Af2) = sup |А/;(х) - А/2(х) I = sup
*фд]	Лб[0Л]
І Jx?/j (t)dt + |.X - i Jxtf2 (t)dt - ^X
1
= — sup
2 xe[0,l]
J xtf (t )dt — J xtf2 (t)dt = — sup ^xtif^O - f2(t))dt
= — sup
2 xe[0,l]
<
1	if	1 1
s 2	W т И • \ш - m\dt=- |и • |/,(D - m\dt ■ sup \x\=
1 г	1 1
= 9 JM' |/i(0 - f2(t)\dt < - J|f| • sup \m - f2{t)\dt =
^ -	2J0	«е[0Д]
1	1	i	^1
= АИ' P(fvf2)dt = p(fvf2)2 f|r|* = \p(fx,f2)\tdt = -p(/„/2) •
o	2J0	2	о
Таким образом, q = —■ < \ и п0 определению отображение А — сжимающее.
75

Найдем его неподвижную точку, построив последовательные приближе-
1	г	5	5
ния: пусть /0(х) = 0, тогда /Дх) = А/0(х) = — xtf0(t)dt + -х = —х . Далее,
2{	6	6
f2(x) = Afl{x) = ^-\xtfl{t)dt + ^-x = \\xt-^-tdt + ^~	^5	5
6 2і 6	6
■X
у н—
v62 бу
X,
ll-
5
ll-
Г 5 5^1
, 5
f 5 5 5^
*
1
ii
*
1
tdt + —x
6
2 о
U 6j
6
U 62 6j
f 5 5
5
5 5^1
=
+ ... H	r
X
v6' 6й'1
63
62 6j
X,
Ш) = Afn-M) =
Согласно принципу сжимающих отображений /*(х) = lim/Дх), откуда,
П—>х
пользуясь формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрес-
*	и 5	00 5 а
сии, получаем, что /*(х) = Нт/ Дх) = ИтV — •х = х- У-г = х- —= х.
"-*0	t!6k j_I
6
Заметим, что этот пример можно решить другим способом, если устано¬
вить, что решение уравнения /(х) = — [ xtf(t)dt + — х обязательно должно иметь
2	о	6
вид / (х) = сх. Подставляя этот вид в уравнение, находим, что с = 1.
2.	Рассмотрим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений
00	со
У = ^аітхт + а, 0 = 1,2,...). Проверить, что при выполнении условий	< +оо
т=1
і=1
і=1	"»
< +00 .
ZsupI ягт| = « <1 она имеет единственное решение x* = (Xj*,x2*,...) такое, что
i=1
2K
i=1
Решение: рассмотрим в пространстве Іг отображение Ах=у = (Х-)Г=і, где
х
X- = Yjaimxm +	0' = 1,2,...). Тогда Ѵх,г е Іг:
т=1
p(Ax,Az) = £|(At),-(AZ),|=f;
г=1	г=1
^иЛн+а.-^а^-а,
т=1
т=1
■Е
г=1
т=1
^	ии ии
^ Ilkl- k -zm\< XZsuPkl • Iх- - k=
i=1 m=l
i=1 m=l m
^	L«J	ou
=Z sup k IZ |x« -	I=X sup k1 • p(x, z).
/=1 m	m=l
г=1
76

Таким образом, при а = ^sup|nim| <1 отображение А является сжимаю-
і=1 т
00
щим. Условие < +оо необходимо для того, чтобы отображение А действо-
1=1
вало из /, на все Іг (это условие означает, что вектор (а(.) е Іл).
Поскольку Іг - полно, то в силу принципа сжимающих отображений А
< +00
имеет единственную неподвижную точку х* = (х,*,х2*,.--) такую, что У^|х/
і=1
(т.е. х* е/Д. Осталось заметить, что уравнение х = Ах для поиска неподвижной
оо
точки эквивалентно системе х, = Vа.х„, + а(і = 1,2,...).
i	ttn tn	I ^	'
т=1
3.	Доказать, что последовательность {хге} цепных дробей 2, 2 + -^’
^ 1
2л	является сходящейся и наити ее предел.
2 +
1
Решение: заметим, что х1 = 2, хп = 2л	(п> 2), тогда ясно, что ѴпеN
х.
п-1
1 .1
хп>2. Кроме того, поскольку при п > 2 хп_г > 2, то 0 <	< —, следовательно,
Хп-1 2
хп<2 + ^- = -^ при п> 2. Очевидно, что х, = 2 <^. Таким образом, VhgN
2 -
'2
. Рассмотрим отображение /(х) = 2 + — на отрезке
х
2 —
’2
. Поскольку
2 11	12	1	5	^1
— < — < — , то —< 2 + — < —, т.е. 2 + —е
5x2	5	х	2	х
'12 5'
Гт 5~І
.5 ’2_
(Z
зок
2 —
’2
в себя. Далее, р(/(х),/(у)) = |/(х)-/(у)| =
и / отображает отре-
_|у-^
.1.1
1 1
2 + — 2 —
=
х у
X у
<
< — \у - х| =—р(х, у). Итак, q = — < 1, т.е. отображение / является сжимающим,
а значит (в силу полноты рассматриваемого пространства), имеет единствен-
* 1
ную неподвижную точку х = 1ітхи, где хп = f(xn_[) = 2 +	. Переходя к пре-
х,
п-1
1
делу при п —» °о, получаем уравнение х = 2 + —, решая которое, находим, что
х
х*=1 + Ѵ2.
4.	Пусть функция (p(s,u) двух вещественных переменных определена в
полосе п={(, ,м)еМ2 :a<s <Ь,-со<и <+оо|, непрерывна в П и имеет на П
77

непрерывную производную по и, причем 0<m<(pu'(s,u)<M <+оо. Доказать,
что существует единственная непрерывная на [а,Ь] функция u = x*(s), для ко¬
торой <p(s,x*(s)) = 0 (se[a,b]).
Решение: для всех	рассмотрим в пространстве C[a,Z?] отображе¬
ние Ах = у, где y(s) = x(s)		—(p(s,x(s)). Из условия задачи ясно, что
М + т
A:C[a,b\^C[a,b]. Далее,
р(Ах1,Ах2)= sup Ux, (л) - Ах2(.ѵ)| =
= sup
se[a,b]
Xl(s) - —		^(5,^(5)) - X20) + —		(p(s,X2(s))
= sup
■se[a,fc]
M + m
хД^-хДя)-
M + m
1
M +m
По теореме Лагранжа (piscis))-(/^s,x2{s)) = (pu\s,^{s)){xx{s)-x2{s)) для
всех 5 e [a,b], где хДя) < %(s) < х20). Тогда
*iO) - *2 О) - 77“—% ’(Ж^ОЖхД.у) - х2(*)) =
Р(Ах1,Ах2)= sup
se[a,fc]
= sup |Xj(s)-X2(.s)|'
se\a,b\
M +m
1
sup |x1(^)-x2(^)|'
se[a,b]
1-
M + m
1
M + m
<pu\s,g(s))
<pu\s,l;(s))
<
< sup |x1(5,)-x2(5,)|'
se[a,b]
1 —
m
M + Ш у AI + m is[a,fe]
^	sup [хД^) — х2(у)| = ~~~—p{xPx2).
M + m
Таким образом, q =	<1 и отображение А - сжимающее. Простран-
М + т
ство С[а,Ь] полное, следовательно, по принципу сжимающих отображений,
существует единственная неподвижная точка х* (s) g С[ц,Ь] , т.е. решение урав¬
нения x*(s) = x*(s)		—q>(s,x*(s)), откуда ^Cs,x*(s)) = 0.
М +т
5.	Пусть в полном метрическом пространстве X заданы два сжимающих
отображения А я В, причем p(Ax,Ay)<qAp(x,y), а р(Вх,Ву) < qBp(x,y). До¬
казать, что, если Vx g X р(Ах, Вх) < s, то неподвижные точки отображений А
и В находятся на расстоянии, не превосходящем
:	> гДе q = max{qA,qB}<l.
1 -q
Решение: пусть х* - неподвижная точка для отображения А. Неподвиж¬
ную точку у* отображения В построим как предел последовательности
у* = Вкх =В В-...-Вх = В(В(В...(Вх)...)) (к = ОД,2,...).
	ѵ	'
к
78

Ясно, что р(х\у\ ) = р(х*,Вх*), тогда
Р(Уі>У2) = Р(Вх*,В2х) = р(Вх*,В(Вх*)) < qBp(x*,Вх ),
РІУі’Уъ) = р(В(Вх*),В(В2х*)) < qBp(Bx*,B2x*) < q2p{x*,Bx*),
Таким образом, получаем, что
p(x*,yk) < р(х*, уj) + р(уѵ у2) + р(у2,у3) +... + р{ук ѵ ук) <
<р(х ,Вх )(1 + qB +qB + ... + qB х)<р(х ,Вх )(1 + qB +qB2 +...) =
р(х* ,Вх)
1— Яв
При к —» оо, учитывая, что ук—> у*, получаем, что
^^р(х*,Вх*) р(Ах*,Вх*) ^
Р\Х тУ ) —	—	<'
1~Яв
1 Я В	1 Я в
- <
Б
i-q
6.	Доказать, что если отображение А: X —» X полного метрического про¬
странства X в себя таково, что при некотором «eN его степень (п-я итера¬
ция) А” является сжимающим отображением, то А имеет и притом единствен¬
ную неподвижную точку.
Решение: пусть существует 0<q<l такое, что p(Anx,Any)<qp(x,y). То¬
гда, в силу принципа сжимающих отображений А” имеет единственную непо¬
движную точку х*, т.е. Апх* = х*. Покажем, что х* также является единствен¬
ным решением уравнения Ах = х. Допустим, что Ах* ф х*, тогда р(х*, Ах*) фО.
Далее, р(х\ Ах*) = р{Апх*, А{Апх*)) = р(Апх* ,Ап+1х*) = р(Апх*,Ап(Ах*)) <
<qp(x*,Ах*), откуда получаем, что 1 <q, что противоречит условию 0<q<l,
значит, предположение Ах* фх неверно, т.е. Ах* =х*.
Пусть теперь х** фх - другая неподвижная точка для А, т.е. р(х*,х**) ф0.
Тогда (см. задачу 52) х** является неподвижной и для А”. Следовательно,
/?(х ,х ) = р(А х , А х )) < qp{x ,х ), откуда, получаем, что 1 < q, а это проти-
О-	м	**	*	*	**
< q < 1. Значит, предположение х фх неверно, т.е. х = х .
Задачи для самостоятельного решения
1.	Пусть ЕсМ - произвольное ограниченное множество и пусть
М = supx, т = inf х. Доказать, что > О Зх£ еЕ: х£>М - б и х£ <т + б .
х^Е	хеЕ
2.	В условиях задачи 1 доказать, что 3{хя},{уя} е Е: хи -> М , уя —> m при
н —» оо. Провести доказательство теоремы Вейерштрасса, используя теоремы об
образе компакта и критерий компактности.
3.	Показать, что отрезок и окружность не гомеоморфны.
4.	Обязательно ли при непрерывном отображении /: X —» Y:
а)	образ открытого множества является открытым множеством;
б)	образ замкнутого множества является замкнутым множеством?
79

Указание: рассмотреть функцию /(х) =		.
1 + х
5.	Пусть А - фиксированное подмножество метрического пространства
X . Доказать, что функция / : X —» М, /(х) = р(х,А) = inf р(х,у) непрерывна.
уеА
Указание: используя неравенство четырехугольника (см. задачи к п. 1.1),
показать, что расстояние р(х, у) - непрерывная функция от своих аргумен¬
тов, т.е. если хв -»х, уп^> у, то р(хп,уп)р(х,у).
6.	Пусть М - компактное множество в метрическом пространстве X и
іеХ. Доказать, что существует точка о<еМ такая, что р(х,М) = р(х,а).
7.	Провести доказательство теоремы Кантора о равномерной непрерывно¬
сти.
8.	Установить, какие из следующих отображений являются сжимающими
на вещественной прямой М со стандартной метрикой (в последующих задачах,
если не указано обратное, метрика также принимается стандартной):
а) /(х) = 2х + 3; б) /(х) = ^х + 5; в) /(х) = х + 6; г) /(х) = -х + 2.
9.	Является ли сжимающим отображение /(х) = х2, если оно задано в мет¬
рическом пространстве:
а)
4
;б)
10.	Найти неподвижные точки для отображений из задач 8 и 9.
11.	Доказать, что всякое сжимающее отображение непрерывно.
12.	Доказать, что пространство, определенное в теореме о существовании
и единственности решения системы линейных алгебраических уравнений, яв¬
ляется полным метрическим пространством.
13.	Является ли сжимающим отображение Ах = у/х:Х^Х , если:
а) X = [0,+оо); б) X = [і,+°о); в) Х=(і,+оо)?
Указание: в п.п. а) и в) использовать принцип сжимающих отображений,
в п. б) проверить по определению.
14.	Является ли сжимающим отображение Ах = х2, действующее на мно¬
жестве:
Л 1
Гі ^
°’Т
; б)
-,+00
4
_2 )
а)
Указание: в п. б) показать, что условие А:Х—не выполняется.
15.	Является ли сжимающим отображение Ах = х3, действующее на шаре
6(0, г) при г < -4= ?
л/3
16.	Является ли сжимающим отображение Ах = ех, действующее на число¬
вой прямой R ?
Указание: воспользоваться принципом сжимающих отображений.
80

17.	Является ли сжимающим отображение Ах = arctgx, действующее на
числовой прямой К ? А на отрезке [і, 2] ?
18.	Является ли сжимающим отображение Ах = —г-, действующее на
1-х
числовой прямой К ?
Указание: показать, что условие А : X X не выполняется.
19. Является ли сжимающим отображение Ах = —, действующее на
1 + х
числовой прямой К ?
Указание: воспользоваться теоремой Лагранжа. Для оценки производной
решить задачу на экстремум.
20.	Является ли сжимающим отображение Ах = tgx, действующее на ин¬
тервале
^ Ж 7Г^
V 2 2у
Указание: показать, что не выполняется условие А : X —» X.
21. Является ли сжимающим на [0,+оо) отображение:
а) Ах = шах|^,>/х|; б) Ах = minj-^, Ѵх| ?
цей А =
22. Является ли сжимающим отображение А: М2
(10 55л
, задаваемое матри-
ѵ0 6у
23. Является ли сжимающим отображение А : R2
О О
задаваемое матри¬
цей А =
2 3
- 0
И
24. Проверить, что отображение /(х) =
резке [1.2]
х2 + 2
2х
является сжимающим на от-
I п
25.	Пусть в пространстве М" определено расстояние р{х,у) =
П
где х =	и у = (Tjl,...,7jn). Доказать, что система £-^а^. =&,. (і = 1,п)
j=i
п п
имеет единственное решение, если матрица (аг>)” х такова, что
<1.
І=1 j=1
Указание: воспользоваться неравенством Коши-Буняковского (то же са¬
мое, что и неравенство Гелъдера для случая р = q = 2).
81

26.	Начиная с какого приближения хп точность приближенного решения
уравнения Зх - cos т + sin x + arctgx = 0 не превосходит 0,01?
27.	Начиная с какого приближения хп точность приближенного решения
уравнения 2х - cost = 0 не превосходит 0,01 ?
28.	Пусть / - дифференцируемая на отрезке [0,і] функция, причем
О	< /(х) < 1, 0 < / '(т) < —. Будет ли уравнение f(x)-x = 0 иметь решение?
2
29.	Пусть k(x,t,z) - непрерывная функция своих аргументов при а<х<Ь,
a<t<b и |z|<c, причем в этой области \k{x,t,zl)-k{x,t,z2)\^fj\zl-z:\ (// = const) и
\k(x,t,z)\<d (d= const). Доказать, что при условиях \A\d(b-a)<c и Щц(Ь-а) <1
ъ
нелинейное интегральное уравнение (р(х) = Л^ k(x,t,(p(t))dt имеет единствен¬
ное решение cp(t) е С[а,&] такое, что \(p{t)\ <с.
30.	При каких Л применим принцип сжимающих отображений для реше-
1
ния уравнения Фредгольма x(t) = Л^2sx(s)ds +1 в пространстве С[0,і] ?
о
31.	При каких Л применим принцип сжимающих отображений для реше-
1
ния уравнения Фредгольма x{t) = /lJcos(;r(Y - s))x(s)ds +1 в пространстве C[0,l] ?
о
32.	Используя принцип сжимающих отображений найти в пространстве
^ i
С[0,1] решение интегрального уравнения x(t) = —	ds +1.
2 О
33.	Найти условие на K(z,t), достаточное для того, чтобы отображение
е
Af{t) = IK{r,t)f{r)dr было сжимающим в пространстве С[0,е].
0
34.	Найти условие на K(z,t), достаточное для того, чтобы отображение
1
Af(t) = IK{z,t)f{z)dz было сжимающим в пространстве С[0,і].
о
35.	Используя принцип сжимающих отображений найти в пространстве
1	i
С [0,і] решение интегрального уравнения x(t) = — I e Sx(s)ds +1.
2	о
11
36.	Показать, что отображение А:С[0,і]->С[0,і] такое, что Ax(t) = -jx(z)dz + l
2 о
является сжимающим и найти его неподвижную точку х* (t).
37.	Отображение А:М+—»М+ задано равенством Ах = ѵ1 + х2. Доказать,
что IАх - Ау\ < \х - у\, но А не имеет неподвижной точки.
82

38.	Отображение / переводит каждую точку х полупрямой (і,+оо) в
х + —. Является ли оно сжимающим? Имеет ли оно неподвижную точку?
х
39.	Является ли сжимающим отображение /:[а,£]—»[а,£], если / диф¬
ференцируема на \a,b\ и |/ '(0|<~ для любого t из отрезка [а,/?]?
40.	Пусть A:x = (^v<^2,...)—>y = (l,a1g1,a2g2,...) - отображение простран¬
ства Іт, где а = {аѵа2,...) - фиксированная последовательность, для которой
щ = suplaj <+00. Доказать, что А является сжимающим отображением тогда и
к
только тогда, когда со < 1.
41.	Показать, что в принципе сжимающих отображений условие
р{Ах,Ау) < qp(x, у) (q < 1) нельзя заменить более слабым: р(Ах,Ау) < р(х, у).
42.	Пусть / е С[а,Ь]. Показать, что уравнение x + -^sinx + f(t) = 0 имеет в
пространстве С [а,/?] единственное непрерывное решение х* = х*(і).
Указание: для каждого фиксированного I е [a,b] рассмотреть отобра¬
жение ht(x) = ——sinx — f(t), переводящее некоторый отрезок в себя, и пока¬
зать, что оно является сжимающим. Показать, что x*(tl)-x*(t2)\<2\f(t])-f(t2)\.
43.	Рассмотрим бесконечную систему линейных алгебраических уравне-
со	со
ний хі=^аітхт + аі (/ = 1,2,...). Проверить, что при sup^|aim| = tf <1 и 8ирЩ <+х>
т=1	1 т=1
она имеет единственное решение х* = (хДх/,...) такое, что sup
х.
< +00 ,
Указание: рассмотреть в пространстве Іх отображение Ах= у = (уг)”1,
оо
^ yi=YJaimXm + ai (/ = 1,2,...).
п=Л
00
44.	Рассмотрим систему уравнений ^ = Л^аік^к +b{ (/ = 1,2,...), в которой
к=\
(bvb2,...)el00. Доказать, что эта система имеет единственное решение в про-
оо
странстве Іх, если sup^\аік\ = с < +°о и \Л\с < 1.
1 к=i
оо
45.	Рассмотрим систему уравнений ^ = Л^аік4к +Ь{ (/ = 1,2,...), в которой
к=1
ф1,Ь2,...)е12. Доказать, что эта система имеет единственное решение в про-
оо оо
странстве /2, если	= с < +°о и \Л\с < 1.
і=1 к=1
Указание: воспользоваться неравенством Коши-Буняковского для рядов.
83

46.	Рассмотрим уравнение 2te' = 1, t е Ж. Доказать, что это уравнение име¬
ет единственное решение. Привести его к виду, удобному для составления ите¬
раций. Определить число итераций, необходимых для того, чтобы точность
приближенного решения уравнения составляла 0,01.
47. Доказать, что при 0 < а < 1 итерации хп+1 = хп
сходятся к sfa .
Ь 2
2' "
а
), х^ =0, неN,
48.	Преобразовать систему линейных алгебраических уравнений
Г 2х + у = 2
<	таким образом, чтобы ее можно было решать итерационным мето-
\x-3y = 1
дом. Исследовать характер приближения итераций к точному решению.
49.	Преобразовать систему линейных алгебраических уравнений
f3x + у = 4
<	таким образом, чтобы ее можно было решать итерационным мето-
[х + 2у = 3
дом. Исследовать характер приближения итераций к точному решению.
50.	Пусть F(x,y) - функция, непрерывная вместе со своими частными
производными первого порядка в окрестности точки (0,0) и такая, что
F(0,0) = 0, Fy '(0,0) ф 0. С помощью принципа сжимающих отображений дока¬
зать, что при всех достаточно малых \х\ уравнение F(x, у) = 0 имеет единствен¬
ное решение у = /(х) такое, что F(x,f(x)) = 0 и /(0) = 0.
Указание: рассмотреть семейство отображений gx(y) = у -
F(x,y)
^'(0,0)
—^ .
зависящих от х, как от параметра. Используя определение непрерывности
функции F'y{x,y) в точке (0,0), найти такое сг>0, что при каждом фиксиро¬
ванном х |х|<сг и при у,, у2: IУіI < ег, |у2| < <7 выполняется неравенство из опре¬
деления сжимающего отображения с q = —. Наконец, показать, что для вся¬
кого 0<£<<7 найдется Se(0,cr) такое, что Ух |х|<с> Ѵу; |у|<|#Ду)|<£
(подобрать нужное с>е(0,сг) так, чтобы выполнялось условие |#Д0)| -~£> ис~
пользуя непрерывность функции F(x,0) и условие F(0,0) = 0).
51.	Доказать, что если /:R—»М - непрерывно дифференцируемая функ¬
ция и 0<с</'(х)<<7<+оо, то уравнение /(х) = 0 имеет единственное реше¬
ние.
Указание: рассмотреть отображение А: х —» х	/(х).
d
52.	Доказать, что если отображение А имеет неподвижную точку, то эта
же точка будет неподвижной для отображения А” (п = 1,2,3,...).
84

х /  . \n-*
53.	Показать, что при каждом weN уравнения [-	-—(p(t)dt = ср(х)
t (л-1)!
имеют в пространстве С[0,а] (а - параметр) только тривиальные решения.
Указание: рассмотреть отображение А: С[0,<х] —» С[0,а], действующее
п—1
Х	Х (	t\' *
по формуле Аф(х) = [ (p(t)dt. Показать, что Ап<р{х)=\-	-—(p(t)dt. Полу-
0	о (л-1)!
типъ условие на параметр а, при котором отображение Ап является сжи¬
мающим. Затем воспользоваться примером 6.
54.	Пусть функция / определена и непрерывна в некоторой области
GcM2, содержащей точку (х0,у0) и удовлетворяет в G условию Липшица по
у: \f(x,yl)-f(x,y2)\<M\yl-y2\. Доказать, что на множестве {x:\x-x0\<d}
существует единственное решение у = (р{х) задачи Коши у\х) = f{x,y),
уЫ = Уо-
Указание: использовать интегральное представление задачи Коши.
55.	Проверить по определению равномерную непрерывность отображения
i
F: С[-1,і] —»Z1[-l,l], F(x(t))= (2t - 5)x(t)- з| 2!~s smx(s)ds .
-i
Указание: представитъ отображение в виде суммы двух и показать рав¬
номерную непрерывность каждого слагаемого.
56.	Доказать, что непрерывное отображение отрезка в себя имеет непо¬
движную точку.
Указание: показать, что отображение g(x) = f(x)-х, где f :[а,Ь]-»[а,&]
меняет знак на отрезке [а,Ь].
57.	Доказать, что бесконечная система линейных уравнений (т = 1,2,...)
00	у	2
23 • V—77	= % имеет единственное решение в пространстве 12.
^5	т
3	f
ds имеет един-
2 р	i
58.	Доказать, что уравнение x(t) = t + sin s-\	x(s)
о ^	10	'
ственное непрерывное решение на отрезке [0,3].
i
59.	Является ли сжимающим отображение A{x{t)) = ^e ^x^ds в простран-
о
ствах С [ОД] и Z^[0,l]?
Указание: в С[0,і] не является. Рассмотреть функции х (t) = —, hgN и
п
y(t) = 0 и проверить, что lim—	——— > 1. Можно при этом учесть, что
р(хп,у)
85

/?(А(л„),А(у))>|А(д:„(1))-А(у(1))|. В іДо.і] - является (применить теорему
Лагранжа: е~щ - е~щ = -te~tHu] -и2)).
2
60.	Является ли сжимающим отображение A(x(t)) = jVsinxCy)^ в про-
0
странстве С[0,2]?
Указание: не является.
t
61.	Решить в пространстве С[0,і] уравнение x(t) = Ajx(s)ds + t2, А* 0.
о
62.	Доказать существование и единственность решения бесконечной си-
е . ^ln(arctg<fw+l) 1
дп + > —;—~т=		 = 1 на единичном шаре в пространстве
щ=\ т +у/п+ 10
стемы уравнений
L.
i
63. Доказать, что уравнение /(х) +J*
f(t)dt
f2(t) + ln(l + х + ?) + 2
= 1п(1 + х) имеет
единственное решение в пространстве С[0,і].
t
64.	Доказать, что уравнение Зх(Д +1 = Jarctgx(s)ds имеет в пространстве
о
С[0,і] единственное решение.
х а
65.	Пусть а>0, хх=\, хп=-^ +	, п> 2. Найти предел последова-
2 2x i
тельности х„.
Указание: рассмотреть в полном пространстве X = ^/а,+со^ отображе-
X d
ние f (х) = —I	и показать, что оно сжимающее.
2	2х
66.	Доказать, что уравнение x(t) = t + sx(tk), где ^е(ОД), k> 1 имеет
единственное решение в пространстве С[0,1].
86

РАЗДЕЛ 2. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
2Л. Линейные пространства
Определение: пусть Е - множество элементов некоторой природы. Оно
называется линейным (векторным) пространством, если удовлетворяет следу¬
ющим свойствам:
I.	Е - абелева группа относительно групповой операции сложения, т.е.
Ѵх, у g Е определена сумма х + у е Е, причем операция сложения удовлетворя¬
ет следующим аксиомам:
1.	х + у = у + х - коммутативность;
2.	х + (у + z) = (х + у) + z - ассоциативность;
3.	существует единственный элемент 0e Е такой, что х + 0 = 0 + х = х;
4.	Ѵх e Е существует единственный элемент (-х) e Е такой, что х + (-х) = 0.
П. Определено умножение элементов х,у,...еЕ на вещественные (ком¬
плексные) числа Я,//,..., причем Ахе Е и выполнены аксиомы:
1.	А(рх) = (AjU)x - ассоциативность;
2.	Я(х + у) = Ах + Ау и (Я + р)х = Ах + jux - дистрибутивность;
3.	существует единственный элемент 1 g Е такой, что 1 • х = х.
Замечание: элемент 0 называется нулевым элементом или нулем множе¬
ства Е, элемент (-х) называется противоположным элементу х, элемент 1
называется единичным элементом или единицей множества Е.
Определение: два линейных пространства Е и E' называются изоморф¬
ными, если между элементами этих пространств можно установить взаимно
однозначное соответствие, сохраняющее алгебраические операции, т.е., если
х, у еЕ, х\ у'е£'и если х<-> х', у<-»у',тох+у<-»х'+у'и Ях<-»Ях'.
Определение: элементы х1,х2,...,хп линейного пространства Е называются
линейно независимыми, если из равенства А1х1 +Я2Х2 +... + Апхп -0 следует, что
Аі = А2 =... = Ап = 0. Если хотя бы одно из чисел Я; (і = \,п) не равно нулю, но
при этом А1х1 +Я2Х2 + ... + Апхп =0, то элементы ХрХ2,...,х„ называются линейно
зависимыми.
Замечание: пусть, например, Апф 0, тогда
х„
\	Л
Я„
Я,
-Хі-
Хо
Кл
Я.
х.
п-1
(ХуСу + 0?2-Е	ап-\Хп-\ ’
т.е. в случае линейной зависимости хотя бы один из элементов представляет
собой линейную комбинацию остальных.
Определение: бесконечная система элементов х1,х2,... линейного про¬
странства Е называется линейно независимой, если любая ее конечная подси¬
стема линейно независима.
Определение: пусть Е - линейное пространство, Lc^E - непустое под¬
множество. L называется линейным многообразием, если из условия
xl,x2,...,xn g L следует, что ау\ + а2х2 +... + апхп g L.
87

Определение: линейной оболочкой конечной или бесконечной системы
элементов х1,х2,... линейного пространства Е называется множество всевоз-
п
можных линейных комбинаций вида ^0(кхк при разных п.
к=1
Определение: если в линейном многообразии L существует п линейно
независимых элементов ХрХ2,...,хи, а любые п +1 элементов из L уже линейно
зависимы, то число п называется числом измерений L, а сама совокупность
элементов х1,х2,...,хп называется базисом в L. Само многообразие L при этом
называется конечномерным.
Определение: если в линейном пространстве Е (линейном многообразии
L) для любого числа п существует п линейно независимых элементов, то про¬
странство Е (линейное многообразие L) называется бесконечномерным.
Определение: пусть Е - линейное пространство, L^L2,...,Ln - принадле¬
жащие ему линейные многообразия. Если Vx e Е можно единственным обра¬
зом представить в виде х = хх + х2 +... + хп, где х( е Ц (і = 1,л), то Е называется
П
прямой суммой многообразий и обозначается Е = Ц® L2®...® Ln =Е®ь-
k=l
Теорема (о разложении в прямую сумму): пусть Е - линейное простран¬
ство, Ц,Ь2еЕ - линейные многообразия. Тогда, если E = Ll®L2, то
L, П Е = {0}. Обратно: если Ѵхе Е может быть представлен в виде х = х, + х2,
где Xj е Ц, x2eL2 и ІЛГ\Ь2 = {0} , то E = LV®L1.
Доказательство: из условия E = Ll®L2 и определения прямой суммы
следует, что Vx e Е можно единственным способом представить в виде
х = Xj + х2, где х1е Ц, х2 е Ь2. Пусть у e L, П Е,, тогда у е Ц и у е Ь2, значит, в
силу линейности многообразий Ц и L^, Xj-yeL,, х2 + у^Ь2. Далее, очевидно,
что х = (Xj - у) + (х2 + у), т.е. элемент х оказался разложен двумя способами.
Поскольку разложение должно быть единственным, то х1 = х1 - у и х2 = х2 + у,
откуда у = 0.
Обратно: пусть Ухе Е х = хх + х2, где х1еІ1, х2еЬ2 и Llf]L2 = {О}. Оста¬
лось установить единственность такого разложения. Допустим, что это не так,
т.е. существует еще одно разложение x = Xj + x2, где JqeL,, j12еЬ2, причем
х1 ф хх и х2 ф х2. Тогда ясно, что х1 + х2 = \ + х2, откуда х1-х1=х2-х2. В силу
линейности многообразий Lx и Ц, х1-х1е Ц и x2—x2eL2, значит,
х1- jqe ЦПЕ, и х2-х2еЬ[Г\Ь2. Поскольку Llf]L2 = {О}, то х1 - х^ = 0 и
х2 - х2 = 0, т.е. Xj = Xj и х2 = х2. Противоречие.
Теорема доказана.
Определение: пусть Е - линейное пространство, элемент хе Е, х^О,
teM. Множество элементов вида у = tx называется прямой, определяемой дан¬
ным элементом х.
88

Определение: пусть Е - линейное пространство, точки х,уеЕ. Отрезком,
соединяющим точки х и у, называется множество точек вида гх + (1-/)у, где
»Фі] . Отрезок без граничных точек хи у называется открытым отрезком.
Определение: пусть Е - линейное пространство, множество М а Е назы¬
вается выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками хну содержит и
соединяющий их отрезок.
Определение: пусть Е - линейное пространство, М <^Е - его подмноже¬
ство. Ядром J{M) множества М называется совокупность таких его точек х,
что \/уеЕ 3s = s(y) > 0: из условия 0 < |//| < s следует, что х + juy e М.
Определение: выпуклое множество, ядро которого непусто, называется
выпуклым телом.
Определение: выпуклой оболочкой множества М называется минималь¬
ное выпуклое множество, содержащее М.
Замечание: таким минимальным выпуклым множеством является пересе¬
чение всех выпуклых множеств, содержащих М (по крайней мере, одно вы¬
пуклое множество, содержащее М, существует - это все пространство Е ).
Определение: пусть Е - линейное пространство, М <^Е - его подмноже¬
ство. Если хеМ, а - фиксированный элемент пространства Е, то множество
элементов вида х + а называется сдвигом множества М и обозначается М + а.
Теорема (о выпуклости сдвига): сдвиг выпуклого множества тоже являет¬
ся выпуклым множеством.
Доказательство: пусть Е - линейное пространство, М с£ - выпуклое
множество, аеЕ, М + а - сдвиг множества М. Надо проверить, что
Ѵх,у еМ + а и для t е [ОД] tx + (1 - t)y e М + а. Т.к. хеМ + а,топо определе¬
нию сдвига х = Xj + а, где x1 e М . Аналогично, у = уг + а, где уеМ. Посколь¬
ку М - выпукло, то при £е[0,і] txx + (1 -t)yl e M. Тогда tx + (l-t)y =
= t(x1 +a) + (l-?)(>71 +a) = tx1 + (l-t)y1+a<EM + a.
Теорема доказана.
Определение: пусть Е - линейное пространство. Множество М е£ назы¬
вается уравновешенным, если Ѵх e М и для всякого числа а, такого, что \а\ < 1
элемент ахеМ.
Определение: множество в линейном пространстве называется абсолютно
выпуклым, если оно выпукло и уравновешено.
Примеры решения задач
1.	Доказать, что два вещественных или комплексных линейных простран¬
ства изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности совпадают.
Решение: пусть Е1 и Ег - изоморфные линейные пространства, т.е. если
х1,х2еЕ1, уѵу2еЕ2 и хх <-> ух, х2-о>у2,то Xj + х2 <-» ух + у2 и Ххх <-» Луг. Это
означает, что существует отображение (р\Е1^Е2, которое является взаимно
89

однозначным, и, при этом, <р{\.х1 + А^х2) = Лху1 + Я2у2 = Аур(хх) + А^(р{х2), если
<р{хх) = уп <р(х2) = у2, т.е. (р является линейным отображением.
Предположим, что Ех имеет размерность п, т.е. его базис состоит из п
векторов ех,е2,...,еп, тогда, если іе£р то х = ахех + а2е2 +... + апеп. Значит
(р(х) = ах(р(ех) + а2(р(е2) +... + ап<р(еп) = у е Е2. В силу взаимной однозначности
отображения (р, каждому іб£,’ ставится в соответствие ровно один элемент
у g Е2, являющийся линейной комбинацией векторов (р{ех),(р(е2),..., <д(сп), кото¬
рых всего п штук, поэтому размерность пространства Е2 не может быть боль¬
ше, чем п. Покажем, что и меньше п она быть не может.
От противного: допустим, что среди векторов (р(ех),(р(е2),...,(р(еп) есть ли¬
нейно зависимые, т.е. хотя бы один из них является линейной комбинацией
остальных: (р(еп) = jujpie^ + ju2<p(e2) +... +цпА(р{епА)	+/и2е2 +... +//п4ега4) . То¬
гда (p(en)-(piJuxel+jLi2e2+...+jun_len_l)=0, откуда <Д еп - рхех -да, -... - рп_хеп_х) = 0. В силу
изоморфности отображения (р отсюда следует, что еп - /лхех - да2 -... - En_fn_x = О
(см. задачу 2), т.е. еп = да1+да2+...+///г_1еи_1, а это противоречит линейной неза¬
висимости векторов ех,е2,...,еп. Итак, меньше, чем п размерность пространства
Е2 быть не может, значит, она равна п.
Обратно: пусть пространства Ех и Е2 имеют одинаковую размерность п.
Покажем, что они оба изоморфны пространству М" (либо, аналогично, С”).
Пусть еѵе2,...,еп - базис в Еи т.е., если хеЕх, то х = ахех + а2е2+... + апеп и
вектору хеЕг поставлен в соответствие набор (аѵ...,ап) е М". Взаимная одно¬
значность такого представления очевидна (см. задачу 4). Сохранение линейных
операций при таком соответствии также очевидно, т.е. построен изоморфизм
(рх: Ех —» Ж”. Аналогично строится изоморфизм (р2: Ег —» Е'!. Но тогда отобра¬
жение <р2х (срх) осуществляет изоморфизм между Ех и Е2 (что также проверяет¬
ся очевидным образом).
2.	Показать, что в пространстве С[0,;г] функции 1, cost, cos2/ линейно
независимы.
Решение: надо показать, что равенство сх • 1 + с2 cos t + с3 cos2 / = О возможно
V/ е [О,/г] тогда и только тогда, когда сх=с2=с3 = 0. Для этого надо показать,
что какие бы три произвольные значения t мы последовательно ни подставляли
в равенство сх -l + c2cos/+ c3cos2/ = 0, получающаяся система линейных урав¬
нений будет иметь только тривиальное решение. Критерием наличия у одно¬
родной системы линейных уравнений только тривиального решения является
неравенство нулю ее определителя. В данном случае определитель имеет вид:
1
cos tx
cos 2tx
1
о
о
сл
cos
2t
h
1
cos t2
cos212
=
0
cos t2 - cos tx
cos2/2 -
■cos 2tx
1
cos t3
cos213
0
cos t3 - cos tx
cos2/3 -
cos2 tx
90

cos t2 - cos tx cos2t2 - cos2 tx
cos t3 - cos tx cos213 - cos2 tx
(cos t2 - cos tx )(cos213 - cos2 tx) -
—(COS2 t2 -C0S2ri)(C0S?3 -COS/j) =
= (COS/2 - cos/, )(COS/3 - cos/, )(COS/3 + COS/j -cos/2 - cos/, ) =
= (cos/2 - cos/, )(cos/3 - cos/,)(cos/3 - cos/2) =£ 0,
поскольку на отрезке [О, тг] функция cos/ монотонно убывает и, значит, ни од¬
на из разностей в скобках нулю не равна.
3.	Будет ли выпуклым в пространстве С[0,і] множество многочленов сте¬
пени кі
Решение: обозначим это множество М =
х(/) е С[0,1]: х{і) = ак Ф 0
і=о
к	к
Пусть x(t), y(t) e М, т.е. х(/) =	и у(/) = Х>/А*0,Ле[0,1].
і=0	і=0
Надо выяснить, будет ли отрезок Ях(/) + (1 -Я)у(/) многочленом степени к.
к	к	к
Имеем, Xx(t) + (1 - X)y{t) = Л^af + (1 - Л)^bfl = ^(/Ц. + (1 - Л)ЬІ)/', поэтому
/=0	/=0	/=0
отрезок Лх(у) + (\-Л)у(у) также является многочленом.
Осталось определить, будет ли его степень обязательно равна к, т.е. что
коэффициент Лак + (1 - Л)Ьк ^0. Ясно, что это верно не всегда, например, если
взять Л = — и ак= -Ьк ф 0, то получим, что Лак +(1 — Л)Ьк =0, т.е. степень мно-
гочлена будет меньше, чем к. Итак, Ах(/) + (1-А)у(/) £ М, т.е. М - не выпук¬
лое множество.
4.	Показать, что эллипсоид М = |х = (^1,^2,...)е/2 :^/г2^2<і| - есть вы¬
пуклое в /2 множество, но не выпуклое тело.
00
Решение: возьмем х,уеМ, т.е. х = (£,£2,...) е /2 :	< 1 и
п=1
оо
у = (77і,772,„.)е/2: JV772 <1.
/7=1
Пусть z = tx + (1 —/)у = (t%x + (l-t)Tjvt%2 + (1-/)772,....) при /е[0,і]. Пока¬
жем, что z g M :
оо	оо
|y (tf„ + (1 - t)Vn f = У (А2#,2 + 2n2I^„(1 - t)n„ + П2(1 - о2У) =
/7=1	/7=1
оо	оо	оо	oo
= г2Х «2У + 2г(1 - оу Ал + (1 - t)2^«y„2 < г + 2<(l - of] А»7. + а - г)2.
п=\	п=\	п=1	И=1
В силу неравенства Гельдера при p = q = 2, получаем, что
91

1
ЛЗ f
V и=і у V и=і J
п=1
/2—1
/2—1
<1.
Тогда ^n2{t^n + (1-/)//и)2 </2 + 2/(1 -/) + (! -2)2 = 1. Итак, эллипсоид -
/2=1
выпуклое множество. Покажем, что он - не выпуклое тело, т.е. его ядро - пу¬
сто. Напомним, что ядром множества М называется множество
J(M) = |хеМ : Vy e l2 Зе = s(y) >0,0<|//| < s, х + juy еМ|.
Надо показать, что J(M) = 0. От противного, допустим, что Зхе7(М),
оо
т.е. т = (#„й,...)е;2:Х л2^2 < 1. Заметим, что, поскольку слагаемые этого ряда
/2=1
неотрицательны и в сумме не превосходят 1, то каждое из них тем более не
должно превосходить 1, т.е. Ѵ/і п2^2 <1, откуда \%п\ < —.
п
г	\
1,—<еі2. По определению ядра, из 0 < |//| < s следует,
Возьмем у =
23 З2
У
что х + /лу £ М, т.е. ^
/2
/2=1
f Л
2
f \
£+4
<1, откуда Ѵ/і п2
3^
+
1
ч П3,
1 /г3 у
г +А
Ьпт 2
1 т
< —. Т.к.
п
Е
2
=
+
1
<
JL + X
2 ‘уп
пъ
п3
п3
п3
< 1 или
+ |#»N- + - = -.TO Н£ —= Л
п п п	п г
п3
Ѵ/г. Переходя в полученном неравенстве к пределу при /г—»оо, получаем, что
|//|<0, откуда следует, что |//| = 0. Это противоречит условию 0<|//|<£\ Зна¬
чит, ядро множества М - пусто.
Задачи для самостоятельного решения
1.	Доказать, что всякое линейное пространство Е является выпуклым
множеством.
2.	Доказать, что для любого линейного отображения (р\Ех^>Е2 справед¬
ливо равенство (р{0) = 0.
Указание: 0 = х-х.
3.	Показать, что все основные метрические пространства, введенные ранее
(Ір, Д, с, с0, С[п,Ь], L \а,Ь]), являются линейными.
4.	Доказать, что в конечномерном линейном пространстве представление
любого вектора в виде линейной комбинации базисных векторов единственно.
Провести обоснование всех выводов, сделанных во второй части примера 1.
92

5.	Показать, что в пространстве С[0,;г] функции 1, cos 2?, cos2t линейно
зависимы.
6.	Найти значение а, при котором векторы (1,2,3), (1,1,0) и (а, 1,1) линей¬
но зависимы.
7.	Будет ли выпуклым в пространстве С[0,і] множество многочленов сте¬
пени < к ?
8.	Будет ли выпуклым в пространстве С[0,і] множество непрерывных
i
функций, удовлетворяющих условию J|x(0|tffr <1 ?
9.	Доказать, что если М - выпуклое множество, то его ядро J(M) также
выпукло.
10.	Будет ли выпуклым в пространстве С[0,і] множество непрерывно
дифференцируемых функций x(t), для которых шах|т(г)| + max |х'0)1 < 1 ?
rs[0,l] 1	1	rs[0,l] 1	1
11.	Доказать, что параллелепипед П
(£р£,...)е/2:|4|<^,ѴяІ в 12
есть выпуклое и уравновешенное множество, но не выпуклое тело.
12.	Доказать, что пересечение любого числа выпуклых множеств - выпук¬
лое множество.
13.	Пусть А<^Е - выпуклое множество, X - число. Доказать, что множе¬
ство ХА = {у е Е: у = Хх,хе А} является выпуклым.
14.	Выпуклой оболочкой множества М в линейном пространстве Е назы¬
вается множество N всех выпуклых комбинаций элементов из М, т.е. множе-
п
ство всех сумм txXy +t2x2 + ... + tnxn, где xt e М , tt> 0, ^(=1,а/г произвольно.
і=1
Доказать, что выпуклая оболочка N является выпуклым множеством.
15.	Доказать, что если множества М и N линейного пространства Е вы¬
пуклы, то множество М ±N = {z & Е :z = x± у, хеМ,у e N} также выпукло.
16. Доказать, что единичный шар S =
00
* = (#„£,~)€/2:£ |4|г<1
п=1
в 12 есть
выпуклое и уравновешенное множество, а также выпуклое тело.
17.	Доказать, что эллипсоид (пример 4) - уравновешенное множество.
18.	Доказать, что в пространстве С[а,&] система |і,?А2,...,?п| линейно не¬
зависима для любого конечного п e N.
Указание: предположитъ противное и воспользоваться тем, что любой
многочлен степени п имеет не более п действительных корней.
19.	Доказать, что система функций : а е м| несчетна и линейно неза¬
висима. Доказать, используя это утверждение, что пространство С[0,1] беско¬
нечномерно.
93

Указание: использовать свойства определителя Вронского.
20.	Будет ли выпуклым множество М =
П	1
х e К" :	|з < 1 >■ в простран-
1с=\
стве Ми?
Указание: подобрать точки х,у еМ и t е [0,і] так, что tx + (1 -t)y € М .
21.	В пространстве Іх найти всюду плотное выпуклое множество, не сов¬
падающее с Іх.
22.	Будет ли множество М = {хеC\a,b\.x{t) <х0(0}> гДе xQ(t)eC[a,b] -
фиксированная функция, выпуклым в пространстве C[a,Z?].
23.	Доказать, что треугольник в трехмерном евклидовом пространстве яв¬
ляется выпуклым множеством и не является выпуклым телом.
94

2.2. Нормированные пространства
Определение: пусть Е - линейное пространство, х е Е. Нормой элемента
х называется функция ||х||: E —> Ж со свойствами (аксиомами нормы):
1.	||х||>0;
2.	||х|| = 0<^х = 0;
3.	||Лх|| = |Л|||х||, где Л - действительное (комплексное) число;
4.	||х + у I < ||х|| +1 у I - аксиома треугольника.
Линейное пространство Е, на котором введена норма, называется линей¬
ным нормированным пространством.
Замечание: всякое нормированное пространство становится метрическим,
если в нем ввести расстояние по формуле р{х, у) = ||х - у||. Справедливость ак¬
сиом метрического пространства следует из аксиом нормы (см. задачу 1). Та¬
ким образом, нормированные пространства обладают всеми свойствами, уста¬
новленными ранее для метрических пространств. Однако не каждое метриче¬
ское пространство может быть нормированным с нормой, согласованной с мет¬
рикой.
Определение: линейное нормированное пространство называется банахо¬
вым, если оно полно (относительно сходимости по метрике р{х, у) = ||х - у||,
определяемой его нормой).
Определение: пусть Е - линейное нормированное пространство, {хп}еЕ -
последовательность. Эта последовательность называется сходящейся в про¬
странстве Е (сходящейся по норме пространства Е) к элементу х<е Е, если
Ik — jc| —> 0. При этом обозначают х„ —» х или 1ітхи = х.
И п Чп->оо	и-»со	и->°о
Теорема (о норме разности): пусть Е - линейное пространство, х, у е Е.
Тогда ||х — у|| > I ||х||-||у|| .
Доказательство: очевидно ||*|НІХ “ У + - IIх _ ^ІНМІ > откУДа \\х\\ ~ ІЬІ - II1' “ )'| •
Аналогично ||у|| = ||у-х + х||<||у-х|| + ||х||, откуда ||з;|| — |к|| — ІЗ7_- Учитывая, что
||х - уI = Iу - х||, получаем требуемое.
Теорема доказана.
Теорема (простейшие свойства сходимости в нормированных про¬
странствах):	пусть Е - линейное нормированное пространство,
{хга},{уп},х, у gE , {Лп},Л - действительные (комплексные) числа, тогда:
1.	если хп —» х, то ||хІ| —» ||х||;
п—> со	11 11 я—»оо 1
2.	если хп -> х, уп у, то хп + уп х+ у;
П—^-со	п—^-со	П—> со
3.	если Хп —>■ х, Лп —>■ Л, то Лпхп -» Лх;
П—^-со	п—^-со	П—> со 44.	если хп —> 0, а последовательность {Л\ ограничена, то Лпхп —> 0;
п—> со	п—>оо
95

5. если 2й —> 0, а последовательность {хй} ограничена, то Апхп —» 0.
ft—» со	ft—» со
Доказательство: 1. Пусть хй —>х, т.е. Iljc — jell —> 0, т.е. V£>0 3N еЩ:
Ѵп> N хй - х < б . По теореме о норме разности
х„
\х\\
< \\хп - х < £, отку¬
да, по определению предела числовой последовательности, хі
\\х\\.
2. Поскольку хп —» х, то Vs >0 3NX e N : Vn > Nx ||xra - x|| < —. Поскольку
ft-» 00
y||< —. Тогда Vn > max{Nl,N2}
yn—»y, T0 ^£>0 3N2eN: Vn>N2
(хп + Уп)-(х+у) ^ \\xn ~х\\ + \\Уп-у\\<£’ значит, Xn + yn^x+y.
\	'	11	и и	и	n—>00
3- 0 ^ \KXn - Щ = II kXn - kX + kX - Лх\\ ^ I kXn - kX\\ + I\kX - Лх\\ = \k\' I\Xn - *|| +
+\An - A\-||x||. Поскольку хй —»x, то |Un-x||—>0, и, аналогично, поскольку
ft-» 00	11	n^-CO
Ап —» 2, то \Ап -Л\ —» 0. Кроме того, в силу необходимого условия существова-
ft-» со	п—»Х
ния предела числовой последовательности {2й} - ограничена. Переходя в нера¬
венстве к пределу при ц—»оо, по теореме о двух милиционерах, получаем, что
\Лпхп -Лх\\ -» О, откуда Апхп -» Ах.
"п—»оо	ft—»00
4, 5. См. задачу 5.
Теорема доказана.
Теорема (об изоморфности конечномерных пространств): все конеч¬
номерные действительные линейные нормированные пространства данного
числа измерений п изоморфны евклидову п -мерному пространству М" и, сле¬
довательно, изоморфны друг другу. Этот изоморфизм взаимно непрерывен.
Доказательство: пусть Е - п -мерное линейное нормированное про¬
странство и ХрХ2,...,хга - его базис, тогда VxeE: x = ^lxl+^2x2+... + ^nxn. По¬
ставим элементу хе£ в соответствие элемент х = (^v^2,...,^n) еШ", т.е. найдем
отображение х = <д(х). Ясно, что такое соответствие взаимно однозначно (по
определению базиса конечномерного пространства). Кроме того, при таком со¬
ответствии, очевидно, сохраняются алгебраические операции, т.е. оно изо¬
морфно. Осталось показать, что введенное соответствие взаимно непрерывно,
т.е., что из непрерывности (р по норме пространства М” следует непрерывность
х = ср~1 (х) по норме пространства Е и наоборот.
Заметим, что Ѵх е Е:
неравенство
Г ельдера при
P = q = 2
\\Чб =
I]&і
і=1
i=1
<
f n	f n
2 z
Ей Elk
V <=i У V <=i	У
l
Л2
=Й
X
откуда, очевидно, что ||х- у||£ < @\х - y||R„ при х,уеЕ, xjel" и /?, не зави¬
сящем от х и у. Таким образом, из непрерывности по норме пространства М”
96

следует непрерывность по норме пространства Е. Осталось получить противо¬
положное неравенство. Для этого рассмотрим в пространстве R" единичную
сферу S = |х е М”: х =	]^г2 = і| и на ней рассмотрим функцию
/(*) = /(£>&>••., 4) = INL:
+ 42х2 + ... + %пхп\Е. Поскольку на S все ^ не мо¬
гут одновременно обратиться в 0, а вектора х1,х2,...,хп линейно независимы, то
< х-
<
р\
X
значит
при xeS f(x)>0. Далее, |/(х)-/(у)| = ||х||£-|
/ равномерно непрерывна на S, т.е. тем более непрерывна. Поскольку
S е Шп - замкнутое и ограниченное множество, то это компакт и по теореме
Вейерштрасса / достигает на S своего наименьшего значения а > 0. Итак,
VxgS /(х) = ||jc|| >а. Берем теперь Ѵх е Мп, тогда
/(x) = ||^iXi+4x2+- + ^aL
+ ...+
= SL& • Ьл + Ѵ2Х2 + ... + Tjnxn\\E = 14. • f(TjvTi2,...,rin).
i=1
(
\
Поскольку
Xf,2 JEs
(ПѵѢ.<eS, то
V V /=i	у i=i	у /=i	у
Таким образом, /(х) >а||4в, откуда /(х-у) = ||х-у||£ >а||х - уЦ^.
Теорема доказана.
Замечание: если пространство Е комплексное, то оно изоморфно п-
мерному евклидову пространству С” (или К2"). Доказательство - аналогичное.
Определение: пусть Е - линейное нормированное пространство, на кото¬
ром заданы две нормы Цх^ и ||х||2. Норма ||х||2 называется подчиненной норме
||х||, если \/хеЕ ЗоО: ||х|| <с||х|| .
Теорема (о подчиненных нормах): пусть Е - линейное нормированное
пространство, на котором заданы две нормы Цх^ и ||х||2. Пусть последователь¬
ность {х(!} e Е сходится по норме ||х||г Тогда, если ||х||2 подчинена Цх^, то по¬
следовательность {хи} сходится и по норме ||х||2, причем к тому же пределу.
Доказательство: пусть {хй} e Е сходится к хе£ по норме ||х|| , т.е.
||хи — х||і —>0. По определению подчиненных норм 3с>0: ||х||2 <сЦх^, откуда
97

0<||xn -x|| <c\xn -x|| . Переходя к пределу при со, по теореме о двух ми¬
лиционерах, получаем, что ||хп -х|| —>0, что и означает сходимость последова¬
тельности {хге} по норме ||х|| к тому же самому пределу іеЯ,
Теорема доказана.
Определение: пусть Е - линейное нормированное пространство, на кото¬
ром заданы две нормы ||х|| и ||х|| . Эти нормы называются эквивалентными, ес¬
ли Vx e E 3с1,с2>0:	< ||х||2 < с2||х|| .
Замечание: если две нормы эквивалентны, то сходимость по любой из них
влечет сходимость по другой (см. задачу 6).
Теорема (об эквивалентных нормах): пусть Е - линейное нормирован¬
ное пространство, на котором заданы две нормы ||лс|| и ||х||2, по отношению к
каждой из которых пространство Е - банахово. Если хотя бы одна из норм
подчинена другой, то эти нормы эквивалентны.
Замечание: доказательство этой теоремы будет приведено в п. 3.1 раздела
3 второй части.
Примеры решения задач
1.	Является ли нормой функция (р{х): М —» М, если ср(х) = |arctgx| ?
Решение: покажем, что свойство <р(Лх) = \Л\ф(х) не выполнено. Действи-
тельно, если х = ѵЗ, Л = -,то |arctgAx| = — . С другой стороны, |A||arctgx| = —.
3	6	9
Тем самым, данная функция не является нормой.
{ п
у
2.	Показать, что функция #?(х): М” —»М <р(х)=	, где
\ k=l J
х = (<^,<^2,...,^), не является нормой при 0< р <1 и п>2.
Решение: легко проверить, что первые три аксиомы нормы выполняются.
Проверим аксиому треугольника, т.е., что (р(х + у) < <р(х) + (р(у). Возьмем
г
х =
То,..„о
2
1
у
И у
0.Т-.0
2
Очевидно, что хф у, тогда (р{х) = —,
2
<р(у) = — и ф(х) + (р{у) = 1. С другой стороны, X + у =
1 1
у
ѵ2 2
, тогда
(р(х + у)
2Р 2Р
У о У
9 р
У1 У
( 1 ^
Г) р-1
К1
I bz І_!
р__
2 р
— = 2Р=2Р >1, поскольку 0<р<1,
1
а значит,	1 > 0. Итак, аксиома треугольника не выполняется.
Р
3.	Являются ли нормами на множествах определения следующие функции:
98

а)	С[а,&]эх—» max |х(?)|;
a<t<
б)	С(1) [а, Ь] э х —»|х(а)| + max |х ’(0|;
в)	С(1)[a,b\ эх^|х(£)-х(а)| + max|х ’(0| ?
Решение: а) Первая, третья и четвертая аксиомы нормы, очевидно, выпол¬
няются. Проверим вторую. Пусть ||х|| = 0, тогда max |х(0І = 0, значит,
11	11	а+Ь1	1
a<t<■
а, -
а + Ь
а,-
а + Ь
Однако, это не означает,
|х(0| = 0, откуда x(t) = 0 \/t
что x(t) = 0 \/t е \а,Ь\. Итак, вторая аксиома нормы не выполняется.
б) Выполнение первой, третьей и четвертой аксиом нормы очевидно. Про¬
верим вторую. Пусть х(0 = 0 \/te[a,b\, тогда |х(а)| + тах|х'(0| = 0. Обратно:
пусть |х(а)| + тах|х'(0І = 0, тогда очевидно, что |х(а)| = 0 и max|x'(0l = 0. Сле-
1	1 a<t<b 11	11	a<t<b 1	1
довательно, х(а) = 0 и х'(0 = 0 Ѵ?е[а,Ь]. Значит, x(t) = с = const \/te[a,b], а
поскольку х(а) = 0, то x(t) = 0 \/te[a,b]. Итак, все аксиомы нормы выполня¬
ются.
в)	Выполнение первой, третьей и четвертой аксиом нормы очевидно. Про¬
верим вторую. Пусть Iх(Ь) -х(а)I + тах|х'(0| = 0. Это означает, что х(Ь) = х(а) и
x'(t)=0 Ѵ?е[а,£], откуда x(?) = c = const \/te[a,b\. Взяв t = a, получим, что
с = х(а). Значит, x(t) = х(а) = хф) \ft е \a,b\. При этом, как только х(а) ф 0, так
и х(?)^0 \/t&[a,b\ и аксиома не выполняется. 44.	Проверить, что нормы Цх^ = max|x(r)| и ||х ||2 = ||х(г)|2^
i
^2
не эквива¬
лентны в пространстве С[0,1].
Решение: если две нормы на одном и том же линейном нормированном
пространстве эквивалентны, то из сходимости последовательности по одной из
этих норм вытекает ее сходимость по другой норме. Рассмотрим последова-
ГО, 0 < t < 1,
тельность xn(t) = t . Она сходится поточечно к функции x(t) = <
[ф, t 1.
Ясно, что равномерно эта последовательность может сходиться только к той же
самой функции.
Покажем, что сходимость по норме ||х|| эквивалентна равномерной сходи¬
мости. Действительно, если хп —>х по норме Цх^, то ||хге — х|| —> 0, т.е. Ѵ£>0
3N g N: \/п> N ||хп - х| = тах|хп(0 - х(0| < е, откуда \/t е [0,і] \xn(t) - х(г)| < е,
а это и есть определение равномерной сходимости. Все рассуждения с легко¬
стью проводятся и в обратную сторону.
99

По теореме о непрерывности предельной функции, если xn(t) =1 x(t) и все
хп(0 непрерывны, то непрерывна и предельная функция х(і). Поскольку х{і)
получилась разрывной, то она не может быть пределом по норме ||х|| .
Однако по норме ||х||2 данная последовательность сходится к нулю, т.к.
^-4= ІИ
i
Лг
dt
1
Ѵ2Й-І-І
—>0. Здесь мы учли, что интеграл по интер¬
валу (0,1) равен интегралу по отрезку [0,1], т.е. граничные точки отрезка инте¬
грирования на значение интеграла не влияют.
5.	Показать, что в неравенстве треугольника ||х - у|| < ||х - z|| + ||z - у|| дости¬
гается равенство при условии, что точки x,y,z принадлежат одному отрезку,
причем z лежит между хну.
Решение: поскольку хну- крайние точки отрезка, то уравнение отрезка
имеет вид tx + (l-t)y, te [ОД] , причем значение t = 0 отвечает концу у, а зна¬
чение t = 1 - концу х. Поскольку точка z принадлежит тому же отрезку, то
z = tlx + (l-tl)y, £ (О, l). Тогда х — z = х — /| х — (1 — /|) у = (1 - /, )(х - у), z-y =
= txx + {\-tx)y-y = tx{x-y). Отсюда ||х- z\\+\\z - у|| = (1 -tt)||x- у||+tx||x- у|| = ||x- y\\.
6.	Доказать, что, если в нормированном пространстве даны два шара
S[a,r] и S[b,R], причем S[a,r]<^S[b,R], то r<R и при этом \а -b\\ < R - г.
Верно ли это для произвольного метрического пространства?
Решение: покажем, что в нормированном пространстве диаметр шара
S[a,r] равен d(S[a,r])= sup ||x-y|| = 2r. Действительно, поскольку ||х-у||<
x,yeS[a,r]
< ||х — ц|| + \\а - у|| < 2г при х, у е S[a,r], то d(S[a,r]) < 2г. Если подберем точки
х, у е S[a,r] так, что ||х — у|| = 2г, то требуемое будет доказано. Рассмотрим лю-
Z	Z	II II
бой вектор г^О и выберем х = ц—цг + я, у = -ц—цг + а, тогда ||х-а\\
= г,
\у-а =
z
— й	nf
г, а х-у =
Z
f
л
Z
тг-гг + а-
—
INI
ІЕІ )
= 2г.
Пусть теперь iS'[a,r]c=5'[&,/?], тогда sup х-у||< sup |х-
x,yeS[a,r]	x,yeS[b,R]
, откуда
2r<2R, т.е. r<R.
В произвольном метрическом пространстве равенство d(S[a,r]) = 2r мо¬
жет не иметь места. Поэтому в произвольном метрическом пространстве из
условия S[a,r]<zS\b,R\ может следовать, что r>R. Приведем пример.
Пусть X ={х = (£,£):£2 + £22<9} - круг на плоскости с обычной евкли¬
довой метрикой р(х,у) = Д -ilif + (%2~Th)2 ’ те- X - метрическое простран¬
100

ство. Однако, X не является нормированным, поскольку не является линейным
пространством и, значит, аксиомы нормы в нем выполняться не могут. Для
установления нелинейности пространства X возьмем две его точки х=(3,0) и
у = (2,2) и заметим, что х + у = (5,2) £ X .
Пусть Л’[/д R] = X . В качестве второго шара возьмем
5[а,г] = S[*,«] П {* = (£,&) s X : (£ - 2)2 + f22 < 1б}.
Ясно, что S[a,r] d S[b,R], и при этом г = 4, R = 3. Ha рисунке заштрихо¬
ванная область представляет собой шар S[a,r] = {іеі:р(а,х) <4}.
Докажем, что из условия S[a,r] с= S[b,R] следует, что || а - b\\ < R-r. Мож¬
но считать, что а ф b (в противном случае утверждение тривиально). Проведем
через точки а и b луч b + t(a - b), t > 0 (т.е. начало - в точке b).
Тогда он пересечет границу шара б’|/?,/Д в
некоторой точке у (см. задачу 18), поэтому
||у-&|| = /?. Поскольку точки а,Ь, у лежат
на одной прямой, то, в силу примера 5,
\\y-b\\ = \\y-a\\ + \\a-b\\.
Кроме того, луч пересекает границу шара
S[a,r] не более чем в двух точках (см. за¬
дачу 18), причем одна из точек пересечения
х принадлежит отрезку с концами у и а
(поскольку шары вложенные и r<R), т.е.
|х-а| = г, ||у-а|| = ||у-х|| + ||х-а||. Тогда
R = Iу - л|| + г +1а - b\\, откуда получаем, что
Iа - Щ = R - г - ||у - х|| < R - г.
101

Задачи для самостоятельного решения
1.	Доказать, что метрика р{х,у), заданная на линейном нормированном
пространстве Е, порождена нормой |х-у| тогда и только тогда, когда
\fx,y,z^E p{x + z,y + z) = p{x,y) и VxeE ѴДеС р(Лх,0) = |A|/?(x,0).
2.	Доказать, что, если хп —» х, то последовательность {|хл|} ограничена.
3.	Доказать, что в линейном нормированном пространстве всякая фунда¬
ментальная последовательность ограничена.
4.	Доказать, что в линейном нормированном пространстве Е открытый
шар S(a, г) = {х e Е: ||х - а\\ < г| и замкнутый шар S[a, г] = {х e Е: ||х - а\\ < г| яв¬
ляются выпуклыми множествами.
5.	Доказать свойства 4 и 5 теоремы о простейших свойствах сходимости в
нормированных пространствах.
6.	Доказать, что если две нормы Цх^ и ||х||2 эквивалентны, то сходимость
по одной из них влечет сходимость по другой.
7.	Является ли нормой функция <р(х): Ш2 —» R, <р(х) = |^j|-h, где
х = (£,&)? Если является, то что представляет собой единичный шар в М2 от¬
носительно введенной нормы?
( п
8.	Показать, что функция (р{х): Шп -» Ш ср(х) = Ш , где * =
\к=1
является нормой при р > 1.
9.	Можно ли в линейном пространстве непрерывно дифференцируемых на
отрезке \a,b] функций принять за норму элемента x(t) величину тах|х(7)|?
10.	Можно ли в линейном пространстве непрерывно дифференцируемых
на отрезке \а,Ь] функций принять за норму элемента х(і) величину max |х'(7)1?
L J	a<t<b 1	1
11.	Можно ли в линейном пространстве непрерывно дифференцируемых
ь
на [a,b] функций принять за норму элемента x(t) величину ||х(і)|<7і + max|j'(/)| ?
а
и
12.	Проверить, что нормы Цх^ = тах|х(?)| и ||х||2 = ||х(7)|^ не эквивалентны
а
в пространстве С[я,&].
13.	Можно ли в линейном пространстве непрерывных на отрезке \a,b\
функций принять за норму элемента x(t) величину
p(t)> 0 на [ОД] и p(t) - непрерывна?
г 1
^ p{t)\x{t)^ dt
i
М
Ѵо
, где
102

14.	Можно ли в линейном пространстве дважды непрерывно дифференци¬
руемых на отрезке [а,Ь] функций принять за норму элемента x(t) величину
i
М
шах|х"(0|+ ||х(0|2^
\а
15.	Можно ли в линейном пространстве дважды непрерывно дифференци¬
руемых на отрезке \a,b\ функций принять за норму элемента x(t) величину
\х(а)\ + \х'(а)\ + тах|х"(0| ?
16.	Можно ли в линейном пространстве дважды непрерывно дифференци¬
руемых на отрезке \a,b\ функций принять за норму элемента x(t) величину
\х(а)\ + \х(Ь)\ + тах|х"(0| ?
17.	Доказать эквивалентность в пространстве непрерывно дифференциру¬
емых на отрезке [а,Ь\ функций следующих норм: ІЫІ = тахЫ(0І + тах|х'(0І и
11	111 a<t<b 1	1 a<t<b 1	1
ІЫІ = \x(d) I + max|x'(7)| •
и N2 I I а<г<ь I I
Указание: использовать интегральное представление функции x(t).
18.	а) Найти явный вид точек х и у, о которых говорилось в примере 6.
Рассмотреть также вариант, когда центр b не лежит внутри шара S[a, г].
б)	Решить задачу из примера 6 для случая открытых шаров.
Указание: б) при доказательстве свойства диаметров выбрать доста-
ii	и	£
точно малое s и подобрать точки х£,у£ е S[a,r] так, что - уг| = 2г	.
19.	Доказать, что в банаховом пространстве любая последовательность не¬
пустых замкнутых вложенных шаров имеет общую точку.
Указание: воспользоваться примером 6 и показать, что числовая последо¬
вательность радиусов шаров фундаментальна.
20.	Доказать, что в конечномерном линейном нормированном простран¬
стве все нормы эквивалентны.
21.	Доказать, что в конечномерном линейном нормированном простран¬
стве сходимость по координатам влечет сходимость и по норме.
22.	Пусть X - линейное нормированное пространство, х1,х2еХ . Дока-
і_
зать, что функции sup|||x1||,||x2|||, Ik II+II х2|| и (||-Xi||2 +1*2 If Г определяют эквива¬
лентные нормы на пространстве X х X.
23.	Доказать, что всякое конечномерное нормированное пространство яв¬
ляется банаховым.
24.	Доказать, что аксиома треугольника в определении нормы эквивалент¬
на выпуклости замкнутого единичного шара с центром в начале координат.
103

2.3. Ряды в линейных нормированных пространствах
Определение:	пусть Е - линейное нормированное пространство,
оо
х1,х2,... e Е . Выражение ^хк называется рядом, составленным из элементов
к=1
пространства Е.
Определение: выражение Sn= х^+ х2 +... + хп называется частичной сум-
х
мой ряда ^ хк.
к=1
X
Определение: ряд ^ хк называется сходящимся в Е, если в Е сходится
к=1
X
последовательность его частичных сумм {б^}. Суммой ряда хк называется
к=\
элемент такой, что х = НтSn = Vхк.
”_>0°	к=1
Теорема (критерий Коши): пусть Е - линейное нормированное про-
х
странство. Для того чтобы ряд ^ хк сходился необходимо, а если Е - банахо-
к=1
во, то и достаточно, чтобы Vs: >О 3N gN: Vm>п> N
X,,
к=п+\
<£.
Доказательство: пусть ряд ^хк сходится в С, тогда его последователь-
к=\
ность частичных сумм имеет предел в Е, т.е. 3 lim Sn. Поскольку любая схо-
и—»х
дящаяся последовательность фундаментальна, то Vs> О 3N g N: Vm>n>N
IK	откуда
x,_
k=n+1
<£.
k=n+1
<£,
Обратно: пусть E - банахово и V£>0 EL/VgN: Vm>n>N
T-e- \\Sn ~ ^m|| <£ • Это означает, что {б’й} фундаментальна, а поскольку в бана¬
ховом пространстве любая фундаментальная последовательность сходится, то
X
ряд ^хк сходится по определению.
к=1
Теорема доказана.
Теорема (мажорантный признак Вейерштрасса): пусть Е - банахово
х
пространство, Ѵп> NеЩ ||xj < ап и числовой ряд ^ак сходится, тогда ряд
к=1
^хк также сходится.
к=1
104

Доказательство: поскольку Е - банахово пространство, то, в силу
предыдущей теоремы, достаточно доказать, что Ѵ^>0 3N e N: Vm > n > N
rn
I-
k=n+1
< s. Поскольку
12
k=n+1
III-	ttl,
а*., а ряд	является число-
k=n+1
£=я+1
yfc=l
вым и по условию сходится, то для него в силу критерия Коши для числовых
рядов V£>0 EL/VeN: \/m>n>N
I
k=n+1
<2,,
< £. По условию такие ak, очевидно,
т
т
т
неотрицательны, тогда
£=и+1
= ^ ak <s, откуда
&=я+1
£=л+1
< s.
Теорема доказана.
оо
Определение: ряд ^ хл называется абсолютно сходящимся, если сходится
к=1
числовой
рад ZI
*=1
Теорема (критерий полноты линейного пространства в терминах ря¬
дов): пусть Е - линейное нормированное пространство. Оно является банахо¬
вым тогда и только тогда, когда из сходимости ряда	следует сходимость
X
ряда Z*jt-
к=1
к=\
Доказательство: необходимость предлагается доказать самостоятельно
(см. задачу 2).
Достаточность: дано, что из сходимости ряда Z||.yJ следует сходимость
к=1
X
ряда ^хк. Надо доказать, что Е - банахово, т.е., что любая фундаментальная
к=1
последовательность в нем имеет предел. Пусть а1,а2,аг,...е Е - фундаменталь¬
ная последовательность, т.е., по определению фундаментальности, \fs> О
3NеЩ: Ѵт,л> N \\ап -ят||<я.
Пусть 8 = 1, тогда 3Nt e N : Ѵт,л >Nx \\ап -ат\< 1.
Пусть s =	, тогда 3N2 > Nx: Vm, л > N2 ||an - am || < “ •
Пусть s = —TOr«a 3Nk > Nk-1: Vm, л > Nk ||an -am || <	•
Рассмотрим последовательность aN ,aN По построению при к = 1,2,.
сходится.
14	“ и
<	= VF • Таким образом, ряд ZK*+1 “
к= 1
105

к
k=1
Поскольку по условию всякий абсолютно сходящийся ряд сходится, то ряд
aNk i ~aNk) ~ сходится и последовательность его частичных сумм имеет
aNk+l aNk
) = aN2-aNi+aN3-aN2+... + a
Nn+l aNn aNn+l ClN1 »
и /
предел. Т.к. 5Л = ^Д
k=l
то 31imaN , т.е. 3MmaN .
П—»оо п+*	П—>°о п
Итак, у исходной последовательности {пге} нашли подпоследовательность,
имеющую предел. Пусть А = йтпІѴ . Покажем, что А = 1ітпга, т.е., что Vs>0
п—>00 п	ѵ>—±г^
3N e N: Уп> N \ап - А|| < £.
Поскольку А = йтпд, , то Уе >О 3N1 e N : \/п> N-,
п—> оо п
< —. Посколь-
2
£
ку {ага} фундаментальна, то > 0 ЗЛГ2 е N : \/т,п > М2 ||ап - ат|| < —, и, в част¬
ности, при т = Nn:
Vn>N I ап - А]] =
Теорема доказана.
an~aN
g
< — . Тогда, взяв N = rrmx{NvN2}, получим, что
an-aNn+aNn-A
<
ап~а.
+
aN -АІКб*
Задачи для самостоятельного решения
1.	Пусть Е - линейное нормированное пространство. Доказать, что если
оо
ряд ^ хк сходится, то хк —» 0 при к —» оо.
к=1
2.	Доказать, что в банаховом пространстве всякий абсолютно сходящийся
ряд сходится.
3.	Пусть [хп] - фундаментальная последовательность в линейном норми¬
рованном пространстве, j - ее сходящаяся подпоследовательность. Дока¬
зать, что {хй} также сходится, причем к тому же самому пределу.
оо
4.	Пусть ряд Х|х,+1 - хк\\ сходится. Доказать, что последовательность {хк}
к=\
фундаментальна.
Указание: применить критерий Коши.
5.	Пусть {хге} и {уп} - фундаментальные последовательности в линейном
нормированном пространстве. Доказать, что последовательность Лп = ||хп - уп|| -
сходится.
106

2.4. Пространства lp (1 < р < оо), с, с0 и C[<2,&]
Определение: пусть р> 1. Пространством / называется множество по¬
следовательностей х={хѵ,хѵхі,...) таких, что ХЫ'<°°и при этом Ж ХЫ
і=1	V 1=1
Замечание: легко проверить, что Ір - действительно линейное нормиро¬
ванное пространство (см. задачу 1).
Теорема (о полноте Ір): Ір - банахово пространство.
Замечание: в этом пункте для удобства координаты элементов последова¬
тельностей будем выносить в верхний индекс.
Доказательство: по определению полноты надо доказать, что любая
фундаментальная в / последовательность сходится. Пусть |хл} <е Ір - фунда¬
ментальная последовательность, т.е. \/s >О 3N eN: Vn,m>N |k_xm||<£r-
Поскольку хп<ЕІр, то элемент хп сам является последовательностью
хп = (хл1,хл2,...) и, аналогично, хт = (xm',xm2,...). Тогда по определению нормы в
(
I х -хі =
п т
1
рЛр
Хк- хт1 < б , откуда Хк - х>"	<£Р- Поскольку слагае-
\ і=1	J	і=1
мые ряда неотрицательны, то каждое из них тем более меньше <?р, т.е. Ѵг
Хп
- xj
Р <ер , т.е. Ѵг
Хп
-xj
п
т
п
т
Итак, получили, что для каждого фиксиро¬
ванного і последовательность, составленная из координат с номером і - фун¬
даментальна. Если і - фиксировано, то это уже числовая последовательность,
значит, она имеет предел, т.к. для нее справедлив критерий Коши. Следова¬
тельно, Ѵг 31ітхлг =xl. Составим вектор х = (х',х2,...) и покажем, что он явля-
П—» со
ется пределом нашей последовательности, т.е.:
а)	хе/р;
1р
б)	хл ^ х.
П-> со
а) Поскольку фундаментальная последовательность всегда ограничена, то
Зс > 0: ||xj<c, т.е. ХКТ откуда ХК'Г значит, тем более, ЦхЙ‘\Р <с1
V 1=1 у	И	1=1
Но это уже конечная сумма, поэтому предел суммы равен сумме пределов, и,
значит, можно перейти к пределу при п —»оо, учитывая, что хп‘ —»х':
N
ZI ' I Р
х' < ср. Таким образом, частичные суммы ряда
і=і
ограничены сверху.
Поскольку этот ряд является рядом с неотрицательными слагаемыми, то в силу
критерия Вейерштрасса он сходится, значит, х е Ір.
107

б) Надо доказать, что \/s>0 3NgN: \/n>N ||хи-х||<£. Перепишем
£
условие фундаментальности в виде \/s>0 3N eN: \fn,m>N	—, т.е.
( 00
\
Zk*
-xj
p
V i=1
J
P £	°°	'
< — , откуда 2^
2	i=i
<
f гЛ
\L)
N
и, тем более, у \xnl -xj
<
i=1
/„V
ѵ^У
Снова сумма конечна и можно переходить к пределу при оо, учитывая, что
х„ -»х
Ек'-
X
<
(=1
f-T
v2,
Переходя к пределу при Af—»оо, получим, что
Zki_
г=1
p
xl
<
v2,
• т°гда [sk_ji
Л
У
* . £	и	и
< — <£, откуда х„ - X < £ .
2 п
Теорема доказана.
Определение: пространством Іх называется пространство ограниченных
последовательностей х = (х1,х2,х3,...) с нормой ||x|| = sup|x.|.
і
Замечание: легко проверить, что Іт - действительно линейное нормиро¬
ванное пространство (см. задачу 2).
Теорема (о полноте 1,): 1, - банахово пространство.
Доказательство: по определению полноты надо доказать, что любая
фундаментальная в /х последовательность сходится. Пусть {х);} е Ігл - фунда¬
ментальная последовательность, т.е. > О 3N е N: \/п,т> N ||хп - хт|| < £ ■
Ясно, что хп = (хп\хп2,...) и хт = (хт\хт2,...). Тогда по определению нормы в
P„--U = suP
~Хт
<е, откуда V/
хп ~хт
< £. Итак, получили, что для
каждого фиксированного і последовательность, составленная из координат с
номером і - фундаментальна. Если і - фиксировано, то это уже числовая по¬
следовательность, значит, она имеет предел, т.к. для нее справедлив критерий
Коши. Таким образом, Ѵг 31ітхлг =хг. Рассмотрим элемент х = (х\х2,...) и по-
Я—> со
кажем, что он является пределом нашей последовательности, т.е.:
а)	хб/м;
/со
б)	хл ->х.
я—Ко
а)	Поскольку фундаментальная последовательность всегда ограничена, то
3с>0: |хл||<с, т.е. sup \фс, откуда V/ 1x1 < с. Переходя к пределу при
і
я—»оо, учитывая, что хл'—>х', получаем, что V/ х' <с, значит, последова¬
тельность х ограничена, т.е. х е .
б)	Надо доказать, что \fs>О BA^gN: Vn>N |х„ — х||<с. Перепишем
условие фундаментальности в виде Ѵб:> 0 BA^gN: V/z,m> N
lk-*J<2’T-e-
108

sup
X„
X„
<—, откуда V/
2
Xn ~Xm
< — . Переходя к пределу при m—»оо, с
учетом того, что хт‘ -»х‘, получаем: V/
х
< —. Поскольку это неравенство
верно V/, то возьмем в нем точную верхнюю грань по всем і, тогда
sup
х_ -х
< — < £, откуда |хл - х|| < е
Теорема доказана.
Определение: пространством с называется множество сходящихся после¬
довательностей х = (хѵ,х2,хъ,...) с нормой ||х|| = sup|x;|.
і
Определение: пространством с0 называется множество последовательно¬
стей х = (хѵх2,х3,...), предел которых равен нулю, с нормой ||х|| = sup|x;.|.
і
Замечание: легко проверить, что с и с0 - действительно линейные нор¬
мированные пространства (см. задачу 3).
Теорема (о полноте с и с0): с и с0 - банаховы пространства.
Доказательство: поскольку Іт - полно и справедливо вложение
(см. задачу 4), то по теореме о полноте замкнутого подмножества
полного пространства достаточно доказать, что с и с0 - замкнуты, т.е. содер¬
жат все свои предельные точки. Итак, надо доказать, что:
а)	Если хлеснхй^х(т.е. х - предельная точка), то хес.
б)	Если хпес0 и хл^х,то х е с0.
L
Проверим, что если хп—»х, то числовая последовательность координат
І
хп1 =4 хг, т.е. по определению равномерной сходимости, что \/£>0 3N e N:
Vn>N Уі
\\хп -х||<£, т.е. sup
<£. Действительно, если х —»х, то \/£>0 EL/VgN: Ѵл>УѴ
~х
< s. Поскольку в с и с0 нор-
< £, откуда V/
ма та же самая, что ив Д, то это же утверждение верно и для этих пространств.
Применим теорему о коммутативности двух предельных переходов к
І
нашему случаю: если хл‘ 4 х1 и Ѵп хп1 —>ап, то 3Іітп х и В limап и эти пределы
п—>сс	і—>со	I—>оо	W—
между собой равны.
Тем самым первое условие теоремы о коммутативности предельных пере¬
ходов выполнено, поскольку доказали, что хл
х .
а) Поскольку хи е с, а с состоит из сходящихся последовательностей, то
31ітхлг, т.е. второе условие теоремы о коммутативности предельных переходов
выполнено, значит, в силу этой теоремы, Blimх , что и означает, что xgc.
109

б) Поскольку хй ес0, то 1ітхйг =0, т.е. ап =0, значит, Итап = 0 и тогда
1—>оо	Я—» сю
lim x' = 0, поэтому х е с0.
1->оо
Теорема доказана.
Определение: пространством С[п,/>] называется множество непрерывных
на отрезке \a,b] функций с нормой ||/|| = sup |/(х)|.
хе \а ,Ь\
Замечание: легко проверить, что С [я,/?] - действительно линейное нор¬
мированное пространство (см. задачу 5).
Теорема (о полноте C[a,b]): С[а,Ь] - банахово.
Доказательство: надо доказать, что любая фундаментальная последова¬
тельность элементов С [а,/?] имеет в нем предел. Пусть {/й} - фундаменталь¬
ная последовательность функций, непрерывных на [a,b], т.е. \/s>0 3NeN:
\fn,m>N I/„ -/J<s, значит, sup |/„(x)-/и(х)|<s, откуда Vxe [a,b\ \fn{x)- fm(x)\<s.
xe[a,b]
Получили, что {/n} - равномерно фундаментальна, значит в силу критерия
xe[a,b\
Коши для функциональных последовательностей /й(х) =4 /(х). По теореме о
п—^-СЮ
непрерывности предельной функции, поскольку все /„ непрерывны, то /(х) -
также непрерывна на [а, 6]. т.е. f(x) е С[а,&].
Перепишем условие фундаментальности в виде \/s>0 3N е N: \/п,т> N
£ £
sup |/п(*)-/и(*)|<-, т.е. \/хе[а,Ь] |/„(т)-/ш(х)|<-. Перейдем в этом нера-
хе[а,£>]	L	L
хе[а,Ь]
венстве к пределу при т—»оо, учитывая, что /т(х) =4 /(х), тогда Ѵхе[а,&]
m—> со
|/„(*)-/(Х)|<^, откуда sup |/„(х)-/(х)|<^, значит ||/в -f\<^-<£. Таким обра-
2	ле[а,А]	2	2
зом, >0 3/Ѵ eN: \/n>N \fn -f\<e, т.е. /„->/.
Теорема доказана.
Примеры решения задач
1.	Привести пример последовательности {хй}, которая бы принадлежала
каждой из рассматриваемых пар пространств и:
а)	сходилась в Іх, но не сходилась в /,;
б)	сходилась в Іх, но не сходилась в /2;
/	Л
Решение: а) Пусть хп =
1 1
5	9
ft Я
П
. Тогда из покоординатной схо-
V
■ѵ
п
по

димости видно, что хп —»(О,О,...,О,...) = х0. Далее, ||хп -х0| = sup
Xn-Xo'
=—-»о,
п
L	“i	i " 1	1
значит, х —^х0. Аналогично, \\хп - х0\\ = У\хп1 - х01\ = У— = — • п = 1 -£■ 0, значит,
1 Ы	і=1 п п
{хй} не сходится в /,.
у
б) Пусть хй =
л
- -	-00
п п	п
'	V	'
V И2
тогда из покоординатной сходимости
У
видно, что х„ ->(ОД...Д...) = х0. Далее, ||хй-х0||; =sup
-хо
— —»0, зна-
п
I	I со
чит, хл —^х0. Аналогично, ||xn-x0|
У „2 /,ч2\
У
if1]
* w
^ у 1 л2 ^
У
■n
\nj
= 1^0,
У
значит, последовательность х„ расходится в /2.
2. Выяснить, сходится ли в нормированном пространстве Е последова¬
тельность {хй}, если:
а) Е = 1Х, хп =
Г	1	1	л
0 ... 0	—	—	...
. ’ ’ ’ rf ’ па+1 ’	,
V n-1	/
, <т>1;
у
б) £ = /2, хл =
л
У,о,...,о,і,о,о,.
П
\	п—1
П+1	^П+2
+ 2
в) Е = С(1)[0,і], х (t) = ——-—-
L J	п +1 я
Решение: а) Покоординатно хЛ —» (0,0,...,0,...) = х0. Тогда
п—> оо
00	00 1
к-*<4 =Zk'-v|=Z-
1=1	І=п I
GO j	CO J
Поскольку сг>1, то ряд У]— сходится. Выражение У"^— представляет
«=і «
г=и ^
собой остаток этого ряда, следовательно, по теореме об остатке сходящегося
* 1	к
ряда 2_^—^-0 при п^с°у значит, |хй-х0| -»0,т.е. хя^х0.
у
б) Покажем, что последовательность хп =
л
0, ...,0,1,0, о,...
п
не является
У
V л-1
фундаментальной в пространстве /2. Поскольку всякая сходящаяся последова¬
тельность фундаментальна, то {хй} сходиться в /2 не будет.
111

Итак, надо показать, что EU- > 0: WVeN Зп,т> N ||хн -хт| > s. Возьмем
т = п +1, тогда \\хп-хт\\ =\\хп-хА
(I 1 Y .2 12 ІП 1 Ѵ
кп п +1
+ Ѵ+Ѵ =
п п +1
+
2 >л/2,
значит, достаточно взять e = Ѵ2.
в)	Ясно, что V? е [ОД] xn(t) —» 0 = х0(г) при оо. Поскольку С(1) [од] -
это множество непрерывно дифференцируемых на отрезке [ОД] функций с
нормой ІЫІ = sup |х(/)| + sup |x'(OL T0
*e[0,l]	rs[0,l]
IIх _ xo||= SUP |x(0| + SUP Iх \t)\ = sup
(е[ОД]	те[0,1]	<e[(),l]
^n+1	^n+2
n+1	n+2
+ sup
te[0,l]
tn~tn+l
Рассмотрим функцию Xn(0 =
,n ,n+1 ,n
^n+1	^n+2
и найдем ее наибольшее значе-
л + 1 д + 2
ние: хп \t) = tn - ln+' = f (1 -t) = 0, откуда находим критические точки I = О и t = 1,
1 1
совпадающие с концами отрезка. Тогда sup
Цод]
^п+1	^п+2
л + 1 д + 2
л + 1 л + 2
->0.
Рассмотрим функцию >’„(/) = /" -tn+' и найдем ее наибольшее значение:
Уп (0 = ntnА - (л + l)tn = tn~l (л - (л +1)0, откуда находим критические точки I = О
и t =
л
. Тогда sup
Л + 1	Цод]
tn-tn+1
/ \»
< п '
^ Л ^
и+1
\ Л +1/	\ Л +1
д”(д +1) — д
\И+1
и+1
д
(д + ІГ1	(л + 1)
и+1
^0
Итак, хл -х0 —>0 при л—»оо, значит, последовательность сходится в рас¬
сматриваемом пространстве.
3. Будет ли полным пространство Іг относительно нормы ||х|| = sup|^|, где
* = (6)^?
оо
Решение: пространство Іг полно относительно нормы ||х|2 = ^|^|- Кроме
к=\
ОО
того, очевидно, что sup|<^| < ^|<^.|, т.е. ||х|| <||х|| , значит, норма Цх^ подчинена
к	к=i
норме ||х||2. По теореме об эквивалентных нормах, если бы пространство Іг бы¬
ло полно относительно обеих норм, то эти нормы должны были бы быть экви¬
валентны, т.е. из сходимости последовательности по любой из них следовала
( \
бы сходимость по другой. Рассмотрим последовательность хп =
- -	- О О
п п	п
'	V	'
V п
Ясно, что из покоординатной сходимости следует, что хп —> (О,О,...,О,...) = х0.
П-> 00
112

Поскольку |jc„ — Xqfi = sup £kn -£k° =	>0, to {xn) сходится по норме Цх^. Од-
со	П 11
нако, ||х -х0|| = У]\4кп ~=У]— = — -п = 1ф0 и, значит, по норме ІЫІ no¬
ti	1^1 п п
следовательность не сходится. Тем самым нормы не могут быть эквивалентны,
а пространство не может быть полным относительно нормы ||х|| .
Задачи для самостоятельного решения
1.	Проверить, что при р > 1 Ір является линейным нормированным про¬
странством.
2.	Проверить, что Іт является линейным нормированным пространством.
3.	Проверить, что сис0 являются линейными нормированными простран¬
ствами.
4.	Доказать справедливость следующих вложений: Ір с с0 а с а .
5.	Проверить, что С [а,/?] является линейным нормированным простран¬
ством.
6.	В пространстве С[0,і] рассмотрим последовательность множеств
М
п
S (0,2) П {х(Ѵ) е С [0,1]: х(0) = 0, x(t) > 1 j при t e
. Доказать, что Мп -
непустые, ограниченные, замкнутые, выпуклые множества такие, что
оо
Мх с= М2 с=... сМлс... и f|M„=0.
п=1
Указание: нарисовать несколько таких множеств и их пересечение.
7.	Рассмотрим множество последовательностей х = (хук)”1, для которых
п	п
supXKI < +00 • Определим норму в этом пространстве формулой ||х|| = sup^Jx^|.
п к=\	« k=1
Доказать полноту этого пространства.
8.	В пространстве С(к) \a,b\ к раз непрерывно дифференцируемых на от¬
резке \a,b1 функций определим норму элемента х(і): llxll = max< sup p (t)\x(j}
" "	()-Г-к [,ф,6] J 1
где Pj еС[ц,Ь] (j = 0,1,...,/:) - положительные функции. Показать, что все ак¬
сиомы нормы выполняются и что в этом случае С(к) \a,b\ является банаховым.
9.	В пространстве С(к) \а,Ь\ к раз непрерывно дифференцируемых на от-
к
резке [a,b\ функций определим норму элемента x(t): ||х||= sup ^Pj(t) х0)(г) ,
ts[a,b] j=о
где Pj g C\a,b\ (j = 0,1,...,/:) - положительные функции. Показать, что все ак-
113

сиомы нормы выполняются и что в этом случае С(к) \a,b\ является банаховым.
10.	Пусть Е - пространство всех непрерывных 2п -периодических ком¬
плекснозначных функций, определенных на К, с нормой ||х| = sup|x(Y)|. Пока-
teR
зать, что Е - банахово пространство.
11.	Исследовать на сходимость в пространстве С[0,і] следующую после¬
довательность: fn(t) = nte~m.
12.	Исследовать на сходимость в пространстве С[0,і] следующую после¬
довательность: fn{t) = yjne~nt.
13.	Исследовать на сходимость в пространстве С[0,і] следующую после¬
довательность : fn (t) = п sin —.
п
14.	Исследовать на сходимость в пространстве С[0,і] следующую после¬
довательность : fn(t) = л/йsin —.
п
15.	Исследовать на сходимость в пространстве С(1) [од] следующую по¬
следовательность: fn(t) = nte~m.
16.	Исследовать на сходимость в пространстве С(1) [0,1] следующую по¬
следовательность : /„ (0 = 4ne~nt.
17.	Исследовать на сходимость в пространстве С(1) [ОД] следующую по¬
следовательность : fn (t) = п sin —.
п
18.	Выяснить, сходится ли в нормированном пространстве С[0,і] после-
, ,	.	. t
довательность хп (t) = sm t - sin —.
n
19.	Выяснить, сходится ли в нормированном пространстве /, последова-
f 1 л
тельность X
о,...о,-,о,...
ѵ » ” у
20.	Выяснить, сходится ли в нормированном пространстве /2 последова¬
тельность х„
( I I	л
I ——	—— 0
’ ЕЕ'"’ Г’
V 2 yjn
21.	Выяснить, сходится ли в нормированном пространстве С[0,і] после-
.П+1
.п+2
довательность хп{і)
п+I п+2
22.	Исследовать на сходимость в пространстве С[0,і] следующую после-
sin щ
довательность: fn(t)
n2t
ll4

23. Исследовать на сходимость в пространстве С
¥
следующую после¬
довательность: fn(t) = en.
24.	Исследовать на сходимость в пространстве С[0,і] следующую после-
r s \	1	^
довательность: /й (t) = > — sni —.
к=\ к к
25. Доказать, что элемент х =
1,-
1	1
\
)
с0 не принадлежит I
\ In 2 In 3 In п
ни при каком р > 1.
Указание: воспользоваться интегральным признаком сходимости ряда,
либо признаком разрежения Коши.
26.	Привести пример последовательности {хй}, которая бы принадлежала
каждой из рассматриваемых пар пространств и:
а)	сходилась в /2, но не сходилась в /,;
б)	сходилась в с0, но не сходилась в Іг;
в)	сходилась в с0, но не сходилась в /2.
27.	Доказать, что ІЫІ =1іт|Ы| .
р—»00 Ч?
28.	При каких значениях р и q имеет место вложение lp a lq ?
Указание: показать, что при q> р.
29.	Являются ли открытыми или замкнутыми в пространстве с множества
^ = {(#і>#2>-)ес:#2п>0} и Д =	с:£2п<0}?
30.	Является ли открытым или замкнутым в пространстве Іх множество
последовательностей, все координаты которых положительны? Тот же вопрос
для пространства 12.
31.	Показать, что множество	еІг + £? + ... ^ J замкнуто в /,.
Указание: рассмотреть точку х = (х1,х2,...) из дополнения к данному
множеству, т.е. yjx2 + х32 + ... > jq и точку у = (уру2,...)e/j такую, что
\\х- у\\< £. Показать, что |у| < 2||х|| при £<|х|^0, \\х+ у||<3||х||, откуда выве¬
сти
3\\x\\s. Показать, что
УІ+^-Уз+-\ < ЗЦхЦб', откуда полу-
2	2	2	2	2	2 II II
читъ, что (у2 + у3 +...)- ух >(х2 +х3 +...)-х1 -6|х||£>0 при выборе доста¬
точномалого s.
115

2.5. Линейные подпространства и плотные множества
Определение: пусть Е - линейное нормированное пространство, Ьс^Е -
линейное многообразие. Если L - замкнуто, то оно называется подпростран¬
ством.
Определение: пусть Е - линейное нормированное пространство, L<^E -
его подпространство. Расстоянием от точки хе Е до подпространства L назы¬
вается число p(x,L) = inf ||х-ц||.
и&Е
Замечание: напомним, что число с называется минорантой множества X ,
если Ухе X с<х. Точной нижней гранью множества X называется его
наибольшая миноранта. Справедливо свойство: если с = inf X, то Уе>0 ЭхеХ:
^	ТГ	1	1	1	1„
с<х<с + £. Беря sx = 1, £2= —, £ъ	найдем такие элементы
2	3	п
хѵх2,х3,...,хп,...е X соответственно, что с<хп<с + —, откуда 0 <хп-с< — . Пере-
ft	п
ходя к пределу при и—»оо, получаем, что хи-с—» 0, т.е. хп —> с. Итак, если
с = inf X, то <z X : хп —» с (элементы хп необязательно различны).
Замечание: известно, что, если множество ограничено снизу, то оно имеет
точную нижнюю грань. Поскольку УиеЬ ||х-м||>0, то p(x,L) действительно
существует.
Определение: пусть Е - линейное нормированное пространство, LczE -
его подпространство. Если существует элемент и e L такой, что p{x,L) = \x-u ,
то и* называется элементом наилучшего приближения х элементами подпро¬
странства L.
Теорема (о существовании элемента наилучшего приближения): пусть
L - конечномерное подпространство линейного нормированного пространства
Е. Тогда Ѵхе Е Эи* еЬ : р(х,Е)
*
х-и .
Доказательство: если хеЬ, то доказательство очевидно (см. задачу 2).
Пусть L, тогда p{x,L) = d >0. Поскольку L конечномерно, то в нем суще¬
ствует базис ех,е2,...,еп, тогда Уи e L u = ^^kek. Ясно, что элемент {4kfk=x
к=1
f п
можно рассматривать, как элемент пространства К" с нормой IIи II =
\к=1
Поскольку L конечномерно, то норма ||й|R„ эквивалентна норме ||м|| (см. задачу
20 из п. 2.2), тогда Эа> 0 и Эр>0: огЦйЦ^ <||н|| < /?||і7||г .
Рассмотрим в R” функцию /(м) = ||х-м||. Поскольку Уйх,й2еШ.п
I/ (йі) - / (й2 )| = I ||х - Mi I - ||х - м211 < \\их -и21 < Р\\щ - й2||R„,
то / равномерно непрерывна, а значит и непрерывна в М".
116

Покажем, что inf х-ш может достигаться только при меі, которым со-
ueL11	11
ii и	d +1 + ||х||	ii_ii
ответствует шар m L ^ г, где г =	—. Действительно, пусть М >г, то-
II hr	а	II 111
гда ||х- м|| > ||//|| - \\х\\ > а\\й||R„ - ||х|| >аг- ||х|| = а	U - ||х|| = d +1, т.е. d +1 -
тоже миноранта для множества ||х-и||, причем d + \>d, а это противоречие с
тем, что d - наибольшая миноранта. Тем самым вне шара ||m|r„ < г точная
нижняя грань функции /(м) = ||х-м|| достигаться не может. Поскольку шар
||м||	< г - ограниченное и замкнутое множество в М", то он является компак¬
том. Поскольку / непрерывна на этом шаре, то по теореме Вейерштрасса /
принимает на нем свое наименьшее значение, т.е. Зи* е К":
х-и*\\= f(u*)= inf f(й) = inf\\х-и\\= o(x,L).
11 v ’ ІИ	^l'\	11
Теорема доказана.
Определение: нормированное пространство Е называется строго норми¬
рованным, если в нем равенство ||х + у|| = |х|| + ||у|| возможно только при у = Ах,
где Л > 0.
Теорема (о единственности элемента наилучшего приближения): в
строго нормированном пространстве Е для каждого хе£ и каждого подпро¬
странства L может существовать не более одного элемента наилучшего при¬
ближения х к элементам L.
Доказательство: допустим, что таких элементов два, т.е. щ e L и и2* e L
таковы, что
х-щ
X-Ur,
= inf lix -u\\ = d. Если d = 0, то
msL
*
*
х-щ
—
х-щ
=0,
откуда х-и* = 0 и х-щ =0, т.е. щ = щ . Пусть d>0. По определению точ-
и, +
ной нижней грани Ѵм e L х - и > d. Поскольку —	— e L, то
х-
щ +и2
С другой стороны
х-
* *
щ +Щ
х-и, х-щ
		- +	-
1
*
1
*
< —
2
х-щ
+
г-> 1
х-щ
>d.
= d.
Таким образом,
= 2 d =
х-
* *
щ + щ
ж
ж
х-щ
+
х-и2
= d. Отсюда следует, что (х -щ) + {х- щ)
. Поскольку Е - строго нормированное, то 3/1 >0:
* *
х-щ* = Л(х -щ). Если Л = 1, то щ = щ . Если же Л Ф1, то х = —	— e L, а
1	— Л
это невозможно, поскольку d > 0 (см. задачу 2).
Теорема доказана.
Теорема Рисса (о почти перпендикуляре): пусть L - подпространство
линейного нормированного пространства Е, не совпадающее с Е, тогда Уs > 0
117

ЗуеЕ: ||у|| = 1 и VxeL ||х- у\\ >\-е.
Замечание: в трехмерном пространстве ситуацию, описанную в теореме,
можно представить следующим образом
(см. рис.): если y_LL, |у| = 1, то VxeL
|у-х|>|у| = 1, поскольку длина любой
/наклонной больше длины перпендику¬
ляра. В произвольных линейных норми¬
рованных пространствах нет понятия
перпендикулярности, поэтому утвер¬
ждение является более слабым.
Доказательство: берем Ѵу0 е Е и у0 <£ L и обозначим d = inf \\у0 -х||. По¬
ле L
скольку Уо $г L, то d > 0. По определению точной нижней грани Vx e L
||y0-x||>d. С другой стороны V£>0 3x0eL: \\у0 -х0||<d + de. Таким обра-
-\7
зом, d <\\у0 -х0\\<d + de. Обозначим у =	^ . Поскольку у0 $г L, а х0 e L,
\\Уо-хо\\
= 1. Рассмотрим VxeL и обозначим
то у <£ L. Очевидно, что
^ = Xo+\\y0-x0\\xeL. Тогда
-Уо-*о
lb» -
Хп
у-х
То - *о
ІЬо
-х
>
-х0
1
1
-ІІТо-Ф
||>о-^о||
d
То-^о-х||То-^о|||| =
\\Уо~хо\
ІІУо-Я
>
1	1 s
= 1	>\~ £ .
d + ds 1 -\-£	1 + £
d + de
Теорема доказана.
Определение: линейное многообразие L, лежащее в линейном нормиро¬
ванном пространстве Е, называется всюду плотным в Е, если Vx e Е Ѵб:>0
<£.
ЗуеЬ: ||х-у|
Замечание: если L всюду плотно в Е, то, выбирая £{ = 1, £2 = ^, еъ = ~ ѵ,
£п = — найдем такие элементы у.,у0,у3,...,у ....е Е, что х-ул < —. Перехо-
п	п
дя к пределу при п —»оо, получим, что ||х — у/г|| —> 0, т.е. уп —» х. Таким образом,
если L всюду плотно в Е, то Ухе Е 3{yn}eL: уй—»х. Это означает, что в
этом случае L = E. Верно и обратное утверждение (причем его доказательство
тривиально).
Замечание: всюду в дальнейшем, если не приводится никаких дополни¬
тельных уточнений, подпространством будем называть именно замкнутое ли¬
нейное многообразие.
118

Примеры решения задач
1.	Пусть L = ]x = (4)e£:^4 =0,	Образует ли L подпростран-
к=1
ство в пространстве Е, если:
а)	£ = /х;
б)	Е = Ір (/? >1)?
Решение: а) Возьмем x = (%k)eL и у = (r/k) e L. Проверим, что L - линей¬
ное многообразие, т.е., что ах + /3у = (а^к + J3rjk) e L.
СО	00	со
Действительно, ^(а^к + /3?]к) = а^^к + /3^т]к = 0. Проверим замкну-
к=1
k=1
£=1
тость L: пусть хп =	e L и хп -> х0 =	>•••£'w,...).
П—>СО
к
Надо проверить, что х0 e L. Т.к. хп -> х0, то Ѵг >0 3//gN: \/п> N х„ -х0\\< s,
откуда Х|&(и)-&(0)
< £.
&=і
Далее,
Ій
*=і
(0)
со	со	со
І(й<0) - й*0 )+!#/"’s Цй'”1 - й<0,|+
к=1	/k=l	Д-=1
ІЙ
£=!
(n)
<£. По¬
скольку £ > 0 произвольно, то
Ій
к=1
(0)
= 0, откуда ^4(0)=б5 значит x0eL.
&=і
Итак, L - замкнутое линейное многообразие в Іх, а значит подпространство.
б) То, что L - линейное многообразие, проверяется аналогично а). Возь-
г	\
мем последовательность хп
1	1
1,—,0,0,..
п	п
V
g L. Ясно, что покоординатно
со	п+1 11	1
х„ —> (1,0,0,...) = х0. Тогда К - Л^ОІГ = Z|4W - 4(0)Г = Z—= —
£=1	к=2 71	71	71
Ір	°°
при н —>■ оо, значит, хга —» х0. Однако,	= 1^0, т.е. х0 g L и значит L - не-
*=і
замкнуто, т.е. не является подпространством в / .
2.	Образует ли в С [-1,1] подпространство множество непрерывно диффе¬
ренцируемых функций?
Решение: то, что множество непрерывно дифференцируемых функций яв¬
ляется линейным многообразием, очевидно. Далее, пусть /и(х) - непрерывно
С[-1Д]
дифференцируемые функции, причем / (х) —» /(х), т.е. \/s>0 3N еЩ:
119

Уп> N sup |/„(*)-/(*)|<£, откуда Vxe[-l,l] \fn{x) -/(х)| < e, т.е. fn(x) =4 f(x).
хе[-1Д]	и->°°
По теореме о непрерывности предельной функции /(х) будет непрерывна, как
равномерный предел непрерывных функций. Пусть fn(х) = ф + (х+ \)п, тогда
[і, хе [-1,0],
(см. задачу 10) /л(х)=Н	Ясно, что предельная функция не диф-
[х + 1, хе[0,1].
ференцируема в точке х = 0, поскольку имеет в точке х = 0 “излом” (в этой
точке производная имеет скачок). Тем самым множество непрерывно диффе¬
ренцируемых функций не является замкнутым, а значит, не образует подпро¬
странство.
3.	Образует ли в C[u,Z?] подпространство множество />[ц,Ь] всех много¬
членов на отрезке [я,/?]?
Решение: очевидно, что Р[а,/?] - линейное многообразие. Рассмотрим
п хк
С[-1Д]сс ..к
многочлен ря(х) = У —. Очевидно, что рп(х) —» V— = ех, но ех <£ P\a,b\, т.е.
t^k\	n^ttk\
Р[й,/д] - незамкнутое множество, и значит не подпространство.
4.	В пространстве С[0,і] найти расстояние от элемента х0(/) = Г, до под¬
пространства многочленов степени < 1.
Решение: поскольку подпространство L = \u(t):u(t) = at + b} двумерно, то
для него существует хотя бы элемент наилучшего приближения и , поэтому
p(x0,L) =
х0-и
= inf Хп -и =inf
ueL
ah
t -at-b\\ = inf sup
11 a’b ЦОД]
t2 -at-b
Очевидно, что
f(t) = t2 -at-b =
длина хотя бы одного из отрезков
а
I —
V 2у
—Ь. Пусть вершина параболы — е[0,і], тогда
4	2
не меньше —. На каждом из
2
них функция f(t) монотонна. Пусть ^ ^, тогда колебание на первом отрезке
2	i	i
= ~~г — ~т■> откуда sup \f(tx)-f(t2)\> —
4	4	Г„Г2е[0Д]	4
тем более. С другой стороны, sup	—	sup|/(^)|+ sup |/(r2)| =
од]	»іб[од]	*2фд]
1	Cl 1
= 2 sup I/(t)I, откуда sup | /'(/)| > -. Аналогично получается и в случае 1 — > —
а
Го*1
ИЛИ
Г^ДІ
2]
[2 J
равно sup |/(^)-/(?2)| =
/(0)-/
(аЛ
h Дге
е[0Д]
ге[0Д]
8
2 2
Подберем а и b такими, чтобы sup t2 - at - b\ = —. Поскольку 0 < a < 2, то
<е[0Д]	8
выберем а -1 и f(t) представляет собой параболу с вершиной в точке , по¬
120

-at-b\ = max ||/?|,
г*
• = і, например, при b = - ^. Пусть теперь
этому sup
/€[0.1]
§фл]> тогда функция f(t) монотонна на отрезке [ОД], поэтому
sup |/ДД-/(Г2)| = |/(0)-/(1)| = |а-і|>1 при а< 0, либо при а >2, т.е. в данном
Гі,г2е[0Д]
случае sup \f(t)\ > —, что превышает полученную выше оценку. Таким образом,
ге[0,1]	2
* 1 1
окончательно, и (t) = t — и p(x0,L) = -.
8 8
5.	В пространстве С[0,і] рассмотрим подпространство
L = {х(Д е С [0,1]: х(0) = О}.
Пусть х() (/) = 1. Описать множество элементов наилучшего приближения
хп элементами L.
Решение: по определению
х0-и
= inf \\хп
ы\
ugL
где ы - элемент наилуч-
шего приближения. Рассматриваемая ситуация изображена на рисунке.
Поскольку и е L, то ясно, что и {0) = 0.
Кроме того, поскольку все ие L выхо¬
дят из начала координат, а
||х0-ц||= Sup|x0(0-M(0|, ТО ||х0-и||>1
/е[0,і]
(если ||х0-и||<1, то и |х0(0)-м(0)|<1 -
противоречие).
Наименьшее из всех возможных значе¬
ний ||х0 - м|| > 1, очевидно, есть ||х0 - и\\ = 1.
Поскольку и (0) = 0, то х0 - и = 1 тогда
и только тогда, когда и (t) не выходит
за границы единичного шара с центром
в точке х0(Д = 1, т.е. когда 0<м*Д)<2.
Итак, множество элементов наилучшего
приближения имеет вид:	е С[0,і]:и*(0) = 0,0<м*(Д <2 V? е[0,і]}.
6.	В пространстве С[0,і] найти расстояние от элемента x^(/) = sin/, до
подпространства L = {1, /} - линейной оболочки элементов Іи t.
Решение: требуется найти элемент наилучшего приближения функции
x0(t) = sint линейной функцией. Рассмотрим вспомогательную функцию
/ (t) = sin г -1 sini. Ясно, что /(0) = /(1) = 0 и исходная задача эквивалентна за¬
даче наилучшего приближения функции f(t) линейной функцией. Поскольку
121

(п \
fit) = cost — sini = 0 при cos? = sini или sin	1 =sinl, то на отрезке [0,l]
f (t) имеет точку экстремума tQ = — -1. Легко видеть, что это точка максимума.
Таким образом, величина ||/(?)-х(?)|| при всевозможных x(t) = at + b мини¬
мальна, если х(?) = ~~ • Это минимальное значение равно • Действи¬
тельно, если |х(0) - /(0)|	то и |/(?)-х(?)|> ^to\ То же самое верно
то
2	" "2
при подстановке ? = 1. Если же |х(0) - /(0)| <	и |х(1)-/(1)|<
= и \\f(t)-x(t)\\>^&. Элементом наилучше-
\(	(7Г	Л Л
го приближения для x0(/) = sin? будет x*(?) = ?sinl + — cosl- — -1 sini , а ис-
1
комое расстояние равно —
Заметим, что задачу из примера 4 можно было решить аналогичным спо¬
собом.
Г
(я Э
\
cosl —
— 1
sini
V
I2 )
)
г
Д-ll
X
cosl —
sini
V
U J
)
Задачи для самостоятельного решения
1.	Доказать, что если с = inf X, то \fs>0 ЗхеХ : с<х<с + £. Доказать,
что если c = supX, то У £ > 0 Зхe X : с —£ <х<с. Доказать также, что если
с = supІ,то	хге —» с ПРИ п —> °о.
2.	Доказать, что если L - подпространство нормированного пространства,
то хе	р(х,L) = 0.
Указание: при доказательстве достаточности найти последователь¬
ность, сходящуюся к p(x,L) = О и воспользоваться замкнутостью L.
3.	Образует ли в С [-1,1] подпространство множество монотонных функ¬
ций?
Указание: привести пример, когда сумма двух монотонных функций не яв¬
ляется монотонной функцией.
4.	Доказать, что всякое линейное многообразие в конечномерном линей¬
ном нормированном пространстве является подпространством.
Указание: воспользоваться теоремой о пределе суммы конечного числа
слагаемых.
5.	Образует ли в С[-1,і] подпространство множество функций х(і), удо-
1
влетворяющих условию j* x(t)dt = 0 ?
-i
122

6.	Образует ли в С [-1,1] подпространство множество функций x(t), удо¬
влетворяющих условию х(0) = 0 ?
7.	Образует ли в пространстве С [-1,1] подпространство множество четных
функций?
8.	Образует ли в пространстве С [-1,1] подпространство множество много¬
членов степени < к ?
9.	Показать, что множество />[а,&] всех многочленов на отрезке \a,b\ яв¬
ляется всюду плотным в С [с/,/?].
10.	Показать, что последовательность fn(х) = ф + (х +1)" сходится в
С[—1,1] к функции /(*) =
1,	хе [-1,0],
<
х +1, хе [ОД].
11.	В пространстве С[0,і] найти расстояние от элемента х0(/) = t, до под¬
пространства многочленов нулевой степени.
12.	Доказать, что С[0,і] не является строго нормированным.
Указание: рассмотреть функции x(t) = t( 1 -t) и y(t) = — sin я?.
13. Доказать, что множество непрерывных на отрезке [ОД] функций
1
нормой ||х|| = ||х(0|^ образует сепарабельное пространство.
с
о
Указание: показать, что
х < х
с[ од]
и что счетное всюду плотное мно¬
жество образуют многочлены с рациональными коэффициентами.
14.	В пространствах 7^[0Д] и Д[-2,0] найти расстояние от элемента
x0(f) = /2, до подпространства многочленов степени < 1.
Указание: в случае А [-2,0] сперва минимизировать интеграл по отрезку
[—1,1] от функции
t2 -с\
При этом показать, что наименьшее значение инте¬
гралом будет приниматься при с е [-іа]. Затем перейти к отрезку [-2,0] при
помощи линейной замены переменной.
15.	В пространстве С[0,і] найти расстояние от элемента x^(/) = sin/, до
подпространства L = {1} - линейной оболочки элемента 1.
16.	В пространстве С[2,4] найти расстояние от элемента x0(f) = /2, до под¬
пространства многочленов степени < 1.
17.	В пространстве С[2,4] найти расстояние от элемента x0(f) = е\ до под¬
пространства L = {г} - линейной оболочки элемента t.
Указание: рассмотреть случаи, когда точка экстремума функции
fit) = е‘ - al принадлежит отрезку [2,4] и когда не принадлежит. В первом
123

случае показать, что при /(4)>/(2) и |a-lim|= е4 -4а| достигается мини¬
мальное значение нормы. Сравнитъ это значение с остальными вариантами.
18.	В пространстве [ОД] найти расстояние от элемента x0(t) = e\ до
подпространства многочленов степени < 2.
19.	Привести пример, когда векторов в подпространстве нормированного
пространства, ближайших к данному вектору, больше, чем один.
Указание: в пространстве рассмотреть последовательность (1,0,0,...)
и подпространство {(0,а2,а3,а4,...) еі^}. Показать, что любой вектор этого
подпространства, для которого \at\< 1 при і = 2,3,4,..., является ближайшим.
20.	Образует ли в С [-1,1] подпространство множество функций x(t), удо-
f x(t)
влетворяющих условию 	at = 0 /
-i ^
Указание: не образует.
21. Будет ли множество М = |х е /” :	> 0,1 < к < н j подпространством в
пространстве 121
Указание: I2 множество векторов x = (^k)nk=l с нормой ||х|| = Лж-
V k=1
22.	Будет ли множество М = \xel2:^— = сі подпространством в /2 ?
I	к=i к	\
Указание:рассмотреть случаи с = 0 и сфО.
23.	Найти расстояние от элемента х0(0 = 1 до подпространства М функ¬
ций x(t), удовлетворяющих условию х(0) = 0 в пространстве [—1,1] непре¬
рывных на отрезке [—1,1] функций с нормой ЦхЦ = J f jx(t)j2 dt. Достигается ли
это расстояние на элементе наилучшего приближения? Если нет, то найти по¬
следовательность [хп] а М такую, что \хп - х|| —> р(х,М).
24.	В пространстве найти расстояние от элемента х0 = (1,0), до подпро¬
странства М = |х = (£,£2) е if :	= 0j.
Указание: ||х|| = \б,х | + \%2 \.
25.	В пространстве найти расстояние от элемента х0 = (1,0), до подпро¬
странства М = {х = (£, #2)е 1\ : 6 = £2} •
26. Будет ли множество М =
i j
хе Ц[-1,1]: j—j=x(t)dt = 0
подпростран¬
ством в пространствах Д[-1,і] и M-и]?
124

Указание: для доказательства замкнутости в L [-1,1] применить нера¬
венство Гельдера для интегралов. Чтобы показать незамкнутость в L [-1,1],
рассмотреть последовательность x (t) =
ш
Tj-
гл
J
1
-1,-
L n)
о
m
~ 1 1
,
L n n
1-3/4
Л
V n
,1
125

2.6. Предкомпактные множества
Определение: множество в нормированном (метрическом) пространстве
называется предкомпактным, если его замыкание компактно.
Замечание: множество в банаховом пространстве компактно точно тогда,
когда оно замкнуто и вполне ограничено. Тем самым, учитывая, что замыкание
всегда замкнуто, получаем, что множество предкомпактно тогда и только тогда,
когда оно вполне ограничено. Отметим, что из компактности множества всегда
следует его предкомпактность. Обратное в общем случае неверно.
Теорема (о некомпактности шара): в бесконечномерном банаховом про¬
странстве единичный шар с центром в начале координат не является предком¬
пактным множеством.
Доказательство: рассмотрим последовательность {хп} линейно незави¬
симых векторов в нашем пространстве. Такая последовательность действитель¬
но существует, поскольку пространство бесконечномерно. Обозначим Ln - ко¬
нечномерное подпространство, образованное векторами х1,х2,...,хп, тогда ясно,
что Ln ф Ln+], Ln а Ln+]. В силу теоремы Рисса о почти перпендикуляре для
£ = ^ 3y„eL„: ||yj = l и VxeL^ \\х-уп\\>\-е = ^, при и = 2,3,.... Получили
последовательность {уп}, принадлежащую замыканию единичного шара. Вы¬
берем т>п, тогда, поскольку ^с^с.-.с^, то уп^Ьт_1н\ут-уп\>^.
Таким образом, последовательность {уя} не может быть фундаментальной, как
и всякая ее подпоследовательность, а потому никакая ее подпоследователь¬
ность не может быть сходящейся. Тем самым, замыкание нашего шара не явля¬
ется секвенциально компактным, т.е. не является компактным, а сам шар не
предкомпактен.
Теорема доказана.
Замечание: любой шар в бесконечномерном банаховом пространстве не
предкомпактен (задача 22), а значит и некомпактен.
Теорема (о нигде не плотности предкомпактного множества): в бес¬
конечномерном банаховом пространстве X любое предкомпактное множество
нигде не плотно.
Доказательство: пусть М - предкомпактное множество. Допустим, что
оно не является нигде не плотным, т.е. найдется открытый шар Sia,г), лежа¬
щий в пространстве X такой, что любой открытый шар, содержащийся в
S(a,r), содержит точку из М. Докажем, что S(a,r)czM, где М - замыкание
множества М. Пусть х0 e S(а,г). Рассмотрим шары S(x0,rn), где не N и
г - ||х0 - а\\
Гп
п
Если ге5(г0,г„),т.е. ||х-х0||< гп, то
126

х-« < х-х0 + х0
г- х0 - а\\ + п х0
а\\ <гп+ По - а\\=
г - ||х0 - аI
п
+ ДСп
«II
«II
г + (п-
х0 - «	г + (п -1 )г
—		 <			— = г.
п	п	п
Таким образом, xeS(a,r), т.е. S(x0,rn)czS(a,r) и по предположению по¬
лучаем, что каждый шар S(x0,rn) содержит точку из множества М . Обозначим
каждую такую общую точку через хп. Ясно, что, поскольку хп e S(x(),rn) и при
п —>оо гп —>0, то хп х0. Поскольку хп e М , то х(|еМ. Итак, доказали, что
S(a,r)czM, а, следовательно, и S (а, г) с М (М замкнуто и поэтому содержит
все предельные точки шара S(a,r)). По определению предкомпактности М
компактно, поэтому шар S (а, г) является замкнутым подмножеством компакта,
следовательно, он компактен. Противоречие с предыдущей теоремой.
Теорема доказана.
Замечание: нигде не плотность компактного множества в бесконечномер¬
ном банаховом пространстве доказывается полностью аналогично.
Определение: пусть У а {/й(х)}бС[ a,b\ - некоторое множество функ¬
ций. Это множество называется равностепенно непрерывным, если \/s > О
3<5 > 0: Ѵхрх2 е \a,b] У а |х1-х2| <S \fa{^)- fa{x2)\<s.
Определение: множество [fa(x)}eC\a,b] называется равномерно ограни¬
ченным, если ЗоО: Уа,х Шфс.
Теорема Арцела-Асколи: множество {./«(х)} е С [«,/?] является предком-
пактным тогда и только тогда, когда:
1.	{/я(х)} равномерно ограничено;
2.	{/я(х)} равностепенно непрерывно.
Доказательство: пусть {fa(x)} предкомпактно.
1.	Раз множество {/„(х)} предкомпактно, то его замыкание компактно.
Компактное множество всегда ограничено, т.е. замыкание нашего множества
ограничено. Следовательно, само множество тем более ограничено, т.е. У а
||/я (х)|| < с, откуда sup \ fa (х)| < с, значит, У а, х \fa (х)| < с, что и означает рав-
хе[а,Ь]
номерную ограниченность.
2.	Надо доказать, что Ѵ^>0 3<5 > 0: Vxj,x2e[«,^] У а |х1-х2|<<^
\fa(xi)~fa(xi)\<s- Поскольку {fa(x)} предкомпактно, то оно вполне ограни¬
чено, значит по определению вполне ограниченности, У s > 0 для fa есть ко-
6 8
нечная —-сеть fvf2,...,fn. По определению —-сети это означает, что Ѵ/я 3k = l,n:
-/*!<!> откуда sup Ifa(x)- fk(x)|<|, в частности, Vxe[a,b]\fa(x)- fk(x)|<^.
3	xe[a,b]	3	3
127

Функция /j непрерывна на отрезке, значит, по теореме Кантора, она рав¬
номерно непрерывна, т.е. для £->0	3<5,>0:	Ѵхѵх2 е\a,b]	|х1-х2|<<51
|/і(лі)_/і(л:2)|<^'- Аналогично, /2 равномерно непрерывна, т.е. для £->0
3с>2>0: Ѵх1,х2^[а,Ь] |х1-х2|<<^2 |/2(Xj)-/2(x2)|< —. И т.д. На п-ш шаге для
£>0 3£л>0: Vxvx2e[a,b] |xj — x2|<|/„(л1)-/п(^2)|<--Возьмем S = mn{Sl,S2,...,Sn),
	 £*
значит,, если	1 ^ 8 ^	? to \/k = In: \ fk(x1)~ fk(x2)|< —. Тогда
|/«C*i) - /«C*2)| = |/«C*i) - fk(x1) + /*W - ЛС*2) + лч2) - ЛС*2)| ^
^|/«С*і)-Л(^)|+ІЛОО- ЛЧ2)|+|ЛС*2)- faixi)\ <f+f+f = £-
Обратно: пусть {fa(x)} равномерно ограничено и равностепенно непре¬
рывно. Надо доказать, что оно предкомпактно, т.е. в силу критерия Хаусдорфа
достаточно доказать, что оно вполне ограничено в пространстве С[а,£], т.е.
\f s > 0 нужно для fa построить конечную £*-сеть, т.е. найти набор функций
fvfi’-Jn таких,что Vfa Зк = 1,п: \\fa - fk\\< s.
Поскольку {fa(x)} равномерно ограничено, то оно ограничено и сверху, и
снизу, т.е. Зсѵс0: Va,x cx<fa(x)<c2. Поскольку {/а(т)} равностепенно
£
непрерывно, то Vs >0 3S> 0: Vxvx2 G[a,b] Va |x,-x2|<J \fa(xi)~ fa(x2)\<~.
Графики всех функций fa лежат в прямоугольнике. Разобьем [а,Ъ] на
равные части так, чтобы длина каждой части была меньше 8. Отрезок [срс2]
разобьем на равные части так, чтобы длина каждой части была меньше .
Будем рассматривать всевозможные
функции, графиками которых являются
ломаные линии, проходящие через узлы
получившейся сетки. Ясно, что, по¬
скольку узлов в сетке конечное число,
то таких функций тоже будет конечное
число. Их и обозначим через
и покажем, что они и будут нужной нам
s -сетью. Возьмем Vfa. Обозначим точ¬
ки разбиения отрезка [a,b\ через	а точки разбиения отрезка
[q,c2] - через у0,у1,у2,...,у/. Для каждого а и каждого х{ обозначим через
yi=fk(xi) точку, ближайшую к fa(xt). Тогда ясно, что |/„(*,.) - у,.| < -. При
128

этом Vxe [a,b] будем выбирать номер і так, чтобы точка у была ближайшей к
точке х, тогда |хг -x\<S и по построению |/Дхг)-/Дх)|< — • Осталось прове¬
рить, что для так составленной функции fk (х)
a J к
<£, Т
.e. mp\fa(x)~fk(x)\<£,
i,b]
те. \/xe[a,b] \fa(x) - fk(x)\ < s.
Действительно, \fa(x) - fk(x)| = \fa (x) - fa (x,.) + fa(x,.) - fk(x,.) + fk(x,) - fk(x)| <
s \L « - Л C*,)|+1Л W - Л U, )|+ІЛ W - Л W| < §+1+§ = «•
Теорема доказана.
Замечание: можно распространить доказанную теорему на случай про¬
странства С(Х), где X сМл - компактное множество (см. [7]).
Замечание: ясно, что для замкнутых множеств понятия компактности и
предкомпактности совпадают.
Примеры решения задач
1. Доказать, что множество М непрерывно дифференцируемых на [0,і]
функций, для которых |х'Д)| ^ 1 при t е [0,і] и х(0) = а , предкомпактно в с[о,1].
Решение:	представим произвольную функцию x(t)eM в виде
t
x(t) = а + Jx\z)dT. Тогда равномерная ограниченность таких функций следует
из
|х(0| =
ilii
а + jх\т)<іт < \а\ + Jх'(т)сІт < \а\ + ||х'(г)|<7г < \а\ + JИг = \а\ +1 < \а\ +1.
Для проверки равностепенной непрерывности надо \fs > 0 найти такое
д > 0, чтобы \/tvt2 е [0,1] из |/| -12\<д следовало |х(/,) - х(?2)| < s. Пусть tx < t2,
тогда jx(tx) - x{t2)j =
M	l2
Jx'(r)Jr - Jx'(r)dT
ll	l\	‘2
Jx\r)dr - Jx'(r)<7r - Jx'(r>ir
*2
|x'(r)Jr
*2 l2
< ||x'(r)|Jr < J*Иг = t2-tx<£ при выборе S = e.
2.	Пусть M - множество непрерывных на [«л] функций, для которых
|х(г)| < 1 при t е [0,1], х(0) = 0, х(1) = 1. Является ли оно компактным в С [од]?
1
Решение: рассмотрим функцию /:С[0,і]—такую, что f (x) = ^x2{t)dt
о
ѴхеС[0,і]. Легко проверить, что / непрерывна в с[од], и, в частности, на
множестве М. Кроме того, /(х) >0. Предположим, что М - компактно, тогда
по теореме Вейерштрасса / принимает на М свое наименьшее значение, т.е.
129

3x0(t)eM: inf/(x) = /(x0). Тогда 3{xn(t)}<=M: /(xj-»/(x0) при я-»qo.
Поскольку /(x„) > 0, то и f(x0) > 0. С другой стороны, ѴхеМ /(x0) < /(x), в
частности, возьмем xn(0 = tn e M и получим /(x0) < /(xra) = ft2ndt =	. Пе-
*	2п +1
реходя к пределу при оо, получаем, что /(х0)< 0. Из полученных нера-
1
венств следует, что /(х0) = 0, откуда |х0 2 (/)<:// = 0. Значит, поскольку х0 (/) не-
о
прерывна, то х0(7) = 0. Ясно, что 0 £ М , т.е. получили противоречие, следова¬
тельно, множество М некомпактно.
3.	Предкомпактно ли множество xa(t) = sinat, ае[і,2] в пространстве С[0,і]?
Решение: поскольку \/a,t |ха(/)| = |sin<x?|< 1, то множество xu(t) равно¬
мерно ограничено. Для проверки равностепенной непрерывности надо Vs>0
найти такое 8 > 0, чтобы Vtvt2 е [од] \/а из 1^ — г21<следовало |xa(/1)-xa(f2)|<f.
Применяя теорему Лагранжа, при £, лежащем между /, и /2, находим, что
\ха(/,)-ха(/2)| = |sinа/, -sinm2| = |acosa^|-|^ -t2\<a\tl-t2\<2-\tl-t2\<s, откуда
|/, -/21 < —, т.е. достаточно взять 8 = — . Таким образом, множество xa(t) пред-
2 2
компактно.
4.	Предкомпактно ли множество xn(t) = sinnt, ne N в пространстве C[0,l] ?
Решение: предположим, что множество предкомпактно, тогда по теореме
Арцела-Асколи оно равностепенно непрерывно, т.е. \/s>0	>0:
Vt,,t2 e [од] VhgN |/j -12\<8 |x„ (l\) — хи(/2)| < б . В частности, можно взять
/, = 0 и /2 = -, тогда |г, -/2| = -, значит, начиная с некоторого п для любого
п	п
8>0 —<8, т.е. |^-?2|<J. Тогда \xn(tx)~ xn(t2)\ = \six\.ntx -sinm2| = |sinl| = sini.
n
Выбирая s < sini, получим противоречие с определением равностепенной не¬
прерывности, значит множество не предкомпактно.
5.	Предкомпактно ли множество xn(t) = tn, ne N в пространстве С[0,і] ?
Решение: предположим, что множество предкомпактно, тогда по теореме
Арцела-Асколи оно равностепенно непрерывно, т.е. \/s> 0 Зс> > 0: Ѵ/1;/2 е [од]
Ѵя e N \tl-t2\<8 \xn(tx) - xn(t2) I < s. В частности, можно взять tx = 1 и t2= 1 - —,
п
тогда k -t2\ = —, значит, начиная с некоторого п для любого с> >0 —<8, т.е.
ц	л
І^і ^21<^• Тогда |xn(?j)	ki ^2
Г 0
п
=
1-
1--
1 п)
, 1
—>1— при ц—»00.
е
130

1	f п
Тем самым, начиная с некоторого п, \xn(tx)-xn(t2)I > — 1 — и при выбо-
2	ѵ е)
f
ре £ =
1
л
1-
V ej
получим противоречие с определением равностепенной непре¬
рывности, значит множество не предкомпактно.
6.	Доказать, что С(1) \a,b\ можно представить в виде счетного объединения
нигде не плотных в С [я,/?] множеств.
Решение: пусть S[0,n\ - замкнутый шар радиуса п с центром в точке
x0(t) = 0 в пространстве С(1) \a,b\, т.е.
5Т0,и| = Jx(/)eC(1)[a,fcl:||x||	= sup|x(?)| + sup|x'(0|^n, неЕП.
[	L J II lie	цв^і	J
Легко доказать, что С(1) [a,^] = |j5[0,H] (см. задачу 13). Для каждого фик-
П
сированного не N рассмотрим Л'[0,н] уже как множество в С [а,/?]. Это можно
сделать, поскольку С(1) \a,b\ а С [я,/?]. Если покажем, что при каждом не N
множество 5[0,н] нигде не плотно в С [«,/?], то задача будет решена.
В силу нигде не плотности предкомпактного множества достаточно дока¬
зать, что 5[0,н] - предкомпактное множество в С[н,/?] для каждого фиксиро¬
ванного н e N. По теореме Арцела-Асколи достаточно проверить равномерную
ограниченность и равностепенную непрерывность. Пусть хе 5[0,н]сС(1) [а,Ь].
Заметим, что ||х|| . ь, = sup|x(0|^ sup|x(?)|+ sup |х'(0| = |ИІс(1)га ь\ ~п’ те- множе“
(е[йі>]
ство 5[0,ц] равномерно ограничено в С [а,/?] (см. доказательство теоремы Ар¬
цела-Асколи). Далее, возьмем Ѵ^>0 и \/tvt2 е[а,&], такие, что ~t2\<8. То¬
гда Ѵхе S[0,n\<^C(1) [а ,/?] по теореме Лагранжа, получаем, что при , лежа¬
щем между tx и t2, \x(t1)-x(t2)\ = \xX^)\-\t1-t2\<sup\x\t)\-S<nS = £, и, при
te[a,b]
S	= — , получаем, что для А [О, /2І выполнено определение равностепенной не-
п
прерывности в С[п,&].
Задачи для самостоятельного решения
1. Пусть М - множество непрерывных на [ОД] функций, для которых
|х(0|^1 при / е [О,і]. Доказать, что М не является предкомпактным множе¬
ством в пространстве С [0,1].
Указание: привести пример не предкомпактного множества xn(t), удо¬
влетворяющего условию задачи.
131

2.	Предкомпактно ли множество ха (?) = cos at, оге[2,3] в пространстве
с[ од]?
3.	Пусть М - равномерно ограниченное множество функций х(і) в про-
t
странстве С [с/,/?]. Доказать, что множество функций вида jx(r)dr предком-
0
пактно в С[а,Ь].
4.	Предкомпакгно ли множество xa{t) = et+a, ае[3,10] в пространстве
С [0,1]?
5.	Предкомпактно ли множество xa(t) = arctgat, aef в пространстве
С [0,1]?
6.	Пусть М - ограниченное множество функций х(і) в пространстве
С[п,&], которые удовлетворяют условию Липшица с общей постоянной. Дока¬
зать, что М предкомпактно в С[п,&].
Указание: условие Липшица имеет вид: \/tvt2 e \a,b\ |x(fj) - x(t2)\ < c\tx -12\.
7.	Предкомпактно ли в С[0,і] множество М = \еш :<хе[-2,0]}?
8.	Предкомпактно ли в С[0,і] множество М = |{at)n: \а\ > 1,п e n| ?
9.	Доказать, что совокупность функций вида /(х) = S'^fe т , где (ап)
Tt	\ п /1
п=1 п
nsN
произвольная последовательность такая, что ѴяgN |hJ < 1, образует предком¬
пактное множество в пространстве С[я,£].
10. Доказать, что совокупность функций вида f{x) = V —s— где (а )
i L	\ fi /\
“ х + п
neN
произвольная последовательность такая, что Ѵяе N |ап|<1, образует предком¬
пактное множество в пространстве С[я,£].
11.	Доказать предкомпактность в С[я,£] множества всех тех функций, для
которых Ѵхе [a,b] [f\x)f + f2(x)< 1.
Указание: воспользоваться тем, что [/'(л)]' !<1 uf\x)< 1.
12.	Предкомпактно ли множество М = |х(/) е С[0,і]: х(0) = х(1),|х’Д)| < і} в
пространстве С[0,і]?
13.	Доказать, что C(1)[«,^] = [J1S'[0,h] (см. пример 6).
п
14.	Предкомпактно ли множество М = jf^": п е п| в пространстве С[0,і] ?
15.	При каких а и Ъ множество М = |/п : п е будет предкомпактным в
пространстве С [я,/?] ? Как это согласуется с примером 5 ?
132

Указание: при -1<а<Ь<1. При проверке равностепенной непрерывности
воспользоваться теоремой Лагранжа и получить условие, при котором произ¬
водные функций множества М равномерно ограничены. Использовать предел
Нтnsn = 0 при \s\ < 1.
п—» со
16.	Предкомпактно ли множество М = № cosat: ае [0.1]} в простран¬
стве с [од] ?
Указание:	воспользоваться равномерной непрерывностью функции
fit) = -ft на отрезке [0,1].
17.	Предкомпактно ли множество М = {cos(at + Ь): ае [0,2], &еМ| в
пространстве С [0,2л-]?
18.	Предкомпактно ли множество М = jsin(r + п): п e N| в пространстве
С[0,1]?
19.	Предкомпактно ли множество М = jcos-v/m: я e N j в пространстве
С[0,1]?
20.	Предкомпактно ли множество М = jcos^Vn + /j + sin(я + 1): п e n| в
пространстве С[0,1]?
21.	Предкомпактно ли множество М = jcos 4nt - cos Ѵя + П: я e N j в про¬
странстве С [од]?
Указание: показать, что производные равномерно ограничены.
22.	Доказать, что в бесконечномерном банаховом пространстве шар с цен¬
тром в начале координат радиуса R не является предкомпактным множеством.
Доказать то же самое для шара с центром в произвольной точке пространства.
Указание: предположитъ противное, найти для шара с центром в начале
координат конечную Rs-сетъ и показать, что в таком случае найдется ко¬
нечная s-сетъ и для сжатого в R раз единичного шара. В случае шара с произ¬
вольным центром выполнить перенос центра в начало координат.
23.	Используя пример 6 и теорему Бэра показать, что множество С(1)[а,Ь]
не может быть подпространством в С[а,Ь].
24.	Предкомпактно ли множество М = {іп(2-и“):ае(0,2]| в пространстве
с[од]?
Указание: найти последовательность і^}сМ, из которой нельзя выде-
литъ сходящуюся в С [0,1] подпоследовательность.
25. Предкомпактно ли множество М =
стве С[0,і]?
г
arctga t
\
Г|
2,
:деМ
в простран-
133

26. Предкомпактно ли множество M = ]e<a :ae[0, +<ю)| в пространстве
C [ 0,1] ?
27.	Предкомпактно ли множество M =|sinat:ae[a,b)J в пространстве
C [ 0,1] ?
28.	Предкомпактно ли множество M = |sin(f + a):a e[a, b)J в пространстве
C[0,l]7
29.	Предкомпакгно ли множество Л7 = }\ім(/ + п)\п ^ t ! в пространстве
С[0,1]?
30. Предкомпактно ли множество M =
Jt+I - я 1
n
: n e N
Іл n J
в простран¬
стве C [ 0,1] ?
Указание: показать, что множество не является равномерно ограничен¬
ным.
31.	Предкомпактно ли множество M = {x e C(2) [a,b]: |x(t )| < c0, \x '(t)| < c1, \x"(t )| < c2J
в пространстве C [a, b] ?
32.	Предкомпактно ли множество M = |x e C(2) [a,b]: |x(t)| < c0, |x"(t)| < c2 J в
пространстве C [a, b] ?
Указание: см. указание к задаче 34. Показать, что первые производные
равномерно ограничены.
33.	Предкомпактно ли множество M = |x e C(2) [ a, b]: |x ■(t )| < Cp |x ■■(t )l < C2 J в
пространстве C [ a, b]?
Указание: подобрать пример не равномерно ограниченного множества
xn (t), принадлежащего M.
34. Пусть M = |x e C(1) [a, b]: |x '(t)| < c0J. Доказать, что множество
M
предкомпактно в пространстве C [a, b] тогда и только тогда, когда существует
постоянная c1 > 0 такая, что для всех x(t) e M
I x(t) dt
< q.
Указание: при доказательстве равномерной ограниченности воспользо-
b
ваться теоремой о среднем, согласно которой |x(r)dr = x(£)(b - a) и пред-
a
t
ставить x(t) = |x’(r)dr + x(£).
4
35.	Предкомпактно ли множество M = jsin(Vt + a): a e Ш в C[0,l]7
a
134

36. Предкомпактно ли множество М = | Ѵ7cos —: а е [0,і]| в С[0,і] ?
Указание: рассмотреть последовательность xn(t) = ліcos—e M и пока-
t
затъ, что из неё можно выделить сходящуюся в М подпоследовательность
Г~ ап
хп (t) = yt cos—-. См. указание к задаче 43, п. 1.3 раздела I.
k	t
31. Является ли предкомпактным в пространстве С[0,і] множество
М = |х(7) е С[0,і]: а > 1, V? е [0,1] ,x(t) = y/t cos (at)J.
Указание: найти последовательность элементов М, из которой нельзя
выделить сходящуюся в с[од] подпоследовательность.
38.	Предкомпактно ли в С[0,і] множество функций /(/), удовлетворяю¬
щих условию t4 < f(t)<t3l
Указание:рассмотреть fn(t) = t4cos2nt +13sin2nt.
39.	Доказать, что множество непрерывно дифференцируемых на отрезке
[а,Ь] функций x(t) таких, что |||х(/)|2 + \x'(l)f^dl < с является предкомпактным
а
в пространстве С[ц,Ь].
t
Указание: представить x(t) = х{а) + ^x\z)dz. Для оценки величины \х(а)\
а
предварительно проинтегрировать указанное представление по отрезку \a,b\.
Использовать неравенство Коши-Буняковского для интегралов.
40.	Доказать, что множество непрерывно дифференцируемых на отрезке
ь
\a,b\ функций х(і) таких, что ||х \t)\p dt< 1, 1 < р < оо, |х(0)| < 1 является пред-
а
компактным в пространстве С[п,£].
41.	Используя теорему об изоморфности конечномерных пространств до¬
казать, что подмножество конечномерного пространства предкомпактно тогда и
только тогда, когда оно ограничено.
42.	Являются ли множества М = jcos2{at2): а е м}, N = jjsin(£tf2)|: а е м| и
L =
а
:ае [0,2] предкомпактными в С[0,і]?
(п + t + 1)
43.	Являются ли множества М = |Д” -tn :пе N|, N = {tn+1 -tn :hgN| и
L = {Vw7: n e n} предкомпакгными в С [0,1]?
135

44.	Доказать, что множество M в пространстве C{n)[a,b], n = 1,2,... пред¬
компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено, а множество
Mn = jx(n)(t): x(t) e Mj равностепенно непрерывно.
45.	Верно ли, что множество M предкомпактно в пространстве C(n)[a,b],
n = 1,2,... тогда и только тогда, когда множество Mn из предыдущей задачи
предкомпактно в C[a, b] ?
46. При каких aeR, /3> О множество М = |х е lp : ^па \<^nf < 1J> пред¬
компактно в пространствах lp, 1 < p < да ?
n=1
47. Пусть M =
X e
li :£n = J y(t)cosntdt, y e C{1)[-л,л],\у||сШ < 1
. Является
ли множество M предкомпактным?
48. Является ли множество M =
X e
І1: #n =Ьл%dt, y e C[0,1],||y||,, < 1
n +1
предкомпактным?
49. Является ли замкнутым, ограниченным и предкомпактным множество
M = < X e C[0,1]: За e [1, +да), Vt e (0,1] x(t) = e
?
136

2.7.	Пространства Lp (E,dju), 1 < p < oo
Определение: пусть 1< p< oo. Пространством Lp{E,d/u) называется мно¬
жество классов [/] измеримых функций, таких, что V/е [/] ||/|Р<і//<+оо с
Е
у
нормой ||/1 = 1 \\f\P dju .
У
Замечание: поскольку значение интеграла Лебега не зависит от того, ка¬
кой представитель класса [/] стоит под знаком интеграла, то под знаком нор¬
мы и интеграла квадратные скобки можно опускать.
Теорема (о пространстве Lp (E,dju)): L [E,dju) действительно является
линейным нормированным пространством.
Доказательство: 1. Проверим линейность, т.е.:
а)	Если [/] g Lp (E,dju), то [Я/] e Lp (E,dju), Я е М ;
б)	Если [f],[g]eLp(E,dju), то [f + g]^Lp(E,dju).
а)	Поскольку ||/|р dju < +оо, то \\Xf\p d/и = Щ\\f\r йц < +00 .
Е	ЕЕ
б)	Поскольку [f],[g]eLp(E,d/j), то j\f\P dp<+co и J|g|P^//<+oo, тогда
E	Е
из неравенства Минковского следует, что \\f + g\P dju < +00 .
E
2. Проверим аксиомы нормы, т.е.:
а)	||/|| — 0;
б)	||/|| = 0«[/] = [0];
в)	1+1 = 14 №
г)	||/+«И/ІНІ4
Все эти свойства вытекают из определения нормы в Lp(E,dju) и неравен¬
ства Минковского. Неочевидным является лишь следствие ||/|| = 0 => [/Но].
Если ||/|| = 0, то ||/| dju = 0 откуда, по теореме о функциях с нулевым ин-
Е
п.в.
тегралом, / = 0, значит, по определению класса, [/] = [о].
Теорема доказана.
Замечание: в дальнейшем, (кроме особо оговоренных случаев) будем пи¬
сать Lp (E,dju) = Lp и говорить “функция /е^” вместо “класс [/] e Ьр ”.
4
Определение: если 1< /?<оо и /„(*)-»/(*), т.е. ||/л-/||-> О, то такая
сходимость называется сходимостью в среднем в степени р .
137

Теорема (о связи видов сходимостей): 1. Равномерная сходимость после¬
довательности измеримых функций fn(x) влечет за собой любую другую схо¬
димость (в некоторых случаях необходимо выполнение условия р(Е) < +оо).
2.	Если р(Е) < -boo и р > q > 1, то сходимость в среднем в степени р вле¬
чет за собой сходимость в среднем в степени q.
3.	Если р(Е)< + оо, то сходимость в среднем в степени р влечет за собой
сходимость по мере.
Доказательство: 1. То, что из равномерной сходимости следует поточеч¬
ная, известно из курса математического анализа. Если последовательность схо¬
дится поточечно, то она, очевидно, сходится и почти всюду. То, что из равно¬
мерной сходимости следует сходимость в среднем в степени р при р(Е) < +оо,
предлагается доказать самостоятельно (см. задачу 7).
Пусть /„(*)=£ /(*), т.е. Уе>0 3N <=N: Vn>N Ух \fn(x)~ f(x)\<s.
Отсюда Уп> N {xeE:\fn(x)-f(x)\>s} = 0, т.е. Ѵн>ЛГ p[x:\fn{x)-f (x)\>s} = 0,
поэтому V£>0 lim//|x:|/n(x)-/(x)|>£:| = 0, т.е. fn(x) сходится по мере.
2.	Предлагается доказать самостоятельно (см. задачу 15).
3.	Пусть /„(*)-»/(*), т.е. \\fn(x)-f{x)Ydp -»0. В силу обобщённого
j	П-» со
Е
неравенства Чебышева Ѵсг > 0 р e E: \fn (х) - / (т)| > и	dp,
® Е
тогда, переходя к пределу при п —»оо, получаем, что и требовалось.
Теорема доказана.
Замечание: поскольку из условия /в (*)-»/(*) следует /п (*)->/(*), а из
/»(*)->/(*) следует /„,(*)->/(*), то, если /„(*)-»/(*), то ЗД(х)4/(х).
п.в.
Тем самым, если /и(х)—»/(х) то в среднем последовательность fn(x) может
сходиться только к функции /(х).
Определение: пусть / - измеримая функция на измеримом множестве Е,
с e М. Число с называется почти всюду мажорантой (минорантой) для /, если
неравенство / (х) < с (f(x)> с) выполняется почти всюду на Е.
Определение: точная нижняя грань множества почти всюду мажорант
функции называется ее существенной точной верхней гранью и обозначается
esssup/(x). Точная верхняя грань множества почти всюду минорант функции
хеЕ
называется ее существенной точной нижней гранью и обозначается essinf f(x).
хе E
Замечание: esssup f(x) и essinf f(x) не изменятся, если функцию изме-
хеЕ	хеЕ
нить на множестве нулевой меры, т.е. эти понятия корректно определены для
классов почти всюду совпадающих функций.
138

Замечание: таким образом, esssup/(х) = inf {а e R: //(х e E :/(х) > а) = О}.
хеЕ
Теорема (о достижимости esssupf(x)): если esssup/(х) = Л, то А -
хе Е	хеЕ
наименьшая из почти всюду мажорант функции / на множестве Е.
Доказательство: по свойству точной нижней грани найдется последова¬
тельность але{аеі://(хе£:/(і)>а) = 0} такая, что ап^А. По определе¬
нию почти всюду мажоранты для каждого п e N существует множество Мп ну¬
левой меры такое, что Ѵх g Мп f(x) < ап. Если М = Мп, то, в силу счетной
полуаддитивности меры Лебега, ц(М) = 0 и Ѵя e N Ѵх £ М /(х) < ап. Перехо¬
дя к пределу при н—»оо, получим VxgM /(х)< А, т.е. А - почти всюду ма¬
жоранта /.
Теорема доказана.
Определение: функция называется существенно ограниченной сверху
(снизу), если у нее существует хотя бы одна п.в. мажоранта (п.в. миноранта).
Функция называется существенно ограниченной, если она существенно огра¬
ничена и сверху, и снизу.
Теорема (о существовании esssup/(х)): пусть / - измеримая на множе-
хеЕ
стве Е функция, существенно ограниченная на нем сверху, тогда / имеет на Е
существенную точную верхнюю грань.
Доказательство: поскольку / существенно ограничена сверху, то у нее
п.в.
есть п.в. мажоранта М. По определению /(х) < М , т.е. ju{xeE:/(х) > М} = О,
а д{хеТ:/(х)<М}#0. Пусть X - множество п.в. мажорант /. Поскольку /
имеет п.в. мажоранту, то X непусто. Покажем, что X ограничено снизу. От
противного: допустим, что X снизу не ограничено, тогда Ѵс е Ж ЗуеХ: у <с.
п.в.	п.в.
Поскольку /(х)<у, то /(х) < с на множестве Е, т.е. р{хе E: f (х)>с} = 0.
Пусть El = {xeE: f(x)>О}, тогда //(£'1) = 0. Если Ег ={хе£:/(х)>-і}, то
оо	оо
ju(E2) = 0 и т.д. Очевидно, что E<z[jEn откуда //(£)<^//(£„) = 0. Итак,
п=1	п=1
/з(Е) = 0. Поскольку {хе£:/(х)<М}с£, то //{хе£,:/(х)<М} = 0. Проти¬
воречие. Таким образом, множество X имеет точную нижнюю грань, которая и
будет существенной точной верхней гранью для /.
Теорема доказана.
Теорема (свойства esssup/(х)): 1. Если функции / и g существенно
хеЕ
ограничены сверху на Е, то их сумма / + g также существенно ограничена
сверху на Е и при этом esssup(/ + g) < esssup/ + esssupg.
2. Если / существенно ограничена сверху на Е и /1>0, то Л/ также су¬
щественно ограничена сверху на Е и при этом esssupA/ = Aesssup/ .
139

П.(5.
3. Если функция g существенно ограничена сверху на £ и / < g на Е, то
esssup/ < esssupg.
Доказательство: 1. Пусть / и g существенно ограничены сверху, Мх -
п.в. мажоранта /, М2 - п.в. мажоранта g, тогда /(х) < Мх и g(x) < М2. Скла-
п.в.
дывая, получаем, что f{x) + g{x) < Мх +М2. Значит, Мх +М2 - п.в. мажоранта
для /(х) + g(x), т.е. /(х) + g(х) существенно ограничена сверху, и наименьшая
п.в. мажоранта эту не превосходит, т.е. esssup(/ + g) < Мх + М2.
п.в.	п.в.
2.	Пусть М = esssup/, тогда /(х) < М , Af < AM , т.е. AM - п.в. мажоран¬
та для Af и esssupAf < AM. Пусть есть еще одна п.в. мажоранта для Л/
п.е.	п.в. М	М
МХ<АМ . Тогда Af <МХ, откуда f <—т.е. —L - п.в. мажоранта для /.
А	А
1-Г	жж	Мх
При этом М < —, откуда AM <МХ - противоречие.
А
3.	Предлагается доказать самостоятельно (задача 1).
Теорема доказана.
Определение: пространством Lx(E,dju) = Lx называется множество клас¬
сов почти всюду совпадающих измеримых функций, которые существенно
ограничены и норма определяется равенством ||/|| = esssup |/(х)|.
хеЕ
Теорема (о пространстве Lx): Lm - есть линейное нормированное про¬
странство и ||/|| действительно является нормой.
Доказательство: 1. Свойства линейности следуют из пунктов 1 и 2
предыдущей теоремы.
2. Аксиомы нормы, за исключением следствия ||/|| = 0 =>[/] = [о], очевид¬
ны из определения нормы и предыдущей теоремы. Пусть esssup|/| = 0, т.е. О
п.в.	п.в.	п.в.
является п.в. мажорантой для /, т.е. |/| < 0. Отсюда |/| = 0 и / = 0.
Теорема доказана.
Замечание: в дальнейших примерах и задачах там, где не оговорено явно,
рассматриваются пространства Lp для конечного р.
Примеры решения задач
1. Доказать, что последовательность xn(t) = n2te~m сходится поточечно к
функции x(t) = 0 для любого Г >0, но не сходится в пространстве L2 [0,l].
fft
Решение: \/t е [ОД] limxra(0 = lim—= 0, в силу сравнения скоростей роста
степенной и показательной функций, значит, xn(t) —>0 = x(t) поточечно.
140

\
Проверим сходимость в пространстве Z^[0,l], т.е. по норме этого про¬
странства: |хге(г)-х(0| =
\\xn(t)-x(t)fdt= jn't2e 2ntdt =n2 Jt2e 2ntdt
о	у о	\ о
: П
n
n
[ t2de
2n{
1
f
1 л
1 -[2?е“2я,Л
-2к/ 2
= /2 ,
tV2nt
= я2
2д
\
0 J
0 V
V
—2 n
2 n 4ri
л (	,1
-2— 2te~2M - 2 fe~2ntdt
4 n2	о J
V	о
= n
2 e
—2 n
2 n	4 n2
2e~ln +—e~2nt
-2 n
2 n 4 n
1 (
V
2e~2n + —e~2n — —
n
n
2 , e'2"	e"2"	e'2”
1
nj
2 n	2 n2	4 n	4 ri
3 —2 n 2 —2 n	—2 n
ne ne ne n
+—=
3	2
n n
n n
4	>+oo При П—>oo.
2	2	4	4	\ 2eln 2eln 4e2n 4
Таким образом, xn(t) = n2te~m не сходится в Мол].
2 -пх2
2. Определить, при каких значениях р > 1 последовательность fn(x) = n е пх
сходится в пространстве Lp (Жд/х).
2	П2
Решение: при х = 0 fn(x) = n —>+оо. При х^О, \imxn(t) = lim—- = 0. Та-
и	и	±СГ)
ким образом, поточечно /л(х) —> /(х) =
Я—>оо "	и—>со
+00, X = 0,	и.в.
Значит, /„(х)—>0, no-
0,	X Е Ж \ {о}
скольку /и(х) не сходится к нулю только в одной точке. Таким образом, после¬
довательность /и(х) может сходиться в Lp (JR,dx) только к нулю. Используя
+G0
интеграл Эйлера-Пуассона | e~l dt =	, сосчитаем:
2 р +00
t2 П2ру[л
e dt =
I fn(x) -f(x)f = {|/„(х) - f(x)\Р dx = J rPe^dx = A- j s u.	.
-00	-00	у ftp -00	у яр
Таким образом, ||/и(х)-/(х)|? =—^	>0 при — -2р >0, т.е. при р< — ,
у[ря2 Р	2	4
что противоречит условию р > 1. Значит, последовательность не сходится ни в
каком пространстве L (М,<&) при р> 1.
3. Пусть ju(E) < +00. Доказать, что при р > q > 1 Lx <z Lp a Lq.
w.e.	.	.
Решение: пусть /еД,т.е. |/| < M , тогда	|М^// = Мр//(£)<+00>
E	E
т.е. /eLp (при /?> 1). Далее, пусть feLp, р> 1, т.е. Ц/Г dp<+ оо. Обозна-
141

p	11
чим р' = — > 1 и найдем q' такое, что	1— = 1. Применим неравенство Гель-
q	p' q'
(,г
Дера: \\f\q dju = j\f\q ldju< J|/|^ dju \\q'dju	=J|f\Pdju	(ju(E))7 <+co,
E	E	\E	J \E J \E	)
V f
следовательно, / e L
4.	Пусть — + — + - = 1, f eL , g <=L , hGLr. Доказать, что f ■ g - he Ц и
p q г
II/ • S • *1 s
T,	111	1	1	,	„	1	1	,	_
Решение: пусть — + — = — , тогда	1	= 1. Кроме того, —ь- = 1. То-
q г s	q/s	r/s	p	s
гда в силу неравенства Гельдера (в виде норм):
ll/-g -Ч £ll./UkAIL
t
klLJM
.и
5. Показать, что функция у =
xj
принадлежит пространству L,
*4
но не принадлежит ни одному из пространств L
при р> 1
Решение: рассматриваемая функция не определена только в нуле, поэтому
она определена почти всюду на
. Чтобы убедиться, что у е Ц
, надо
доказать, что интеграл
О'1
xln —
X)
Г 1	Г 1
dx = 	--dx = —-г-dx конечен. Действи-
J , о І J ХІП X
О xln -
X
тельно
, М
J ѴІП
ХІП X
1
, г Jinx
dx = —-—
I ln2x
lnx
1
In 2
. Для того чтобы показать, что
Гл іі
2
л ?
( л 2П
-i
0,-
при р > 1, надо показать, что интеграл
ХІП2 —
L 2J
j
0
V X)
L л
dx= \
J уР In
\п2р
-dx
расходится. Заметим, что этот интеграл является несобственным с единствен¬
ной особенностью в точке 0, причем подынтегральная функция неотрицатель¬
на. Поэтому удобно исследовать этот интеграл, сравнивая его с какой-либо
функцией в окрестности точки 0.
Поскольку р>1, то 3s>0: p-s> 1. Далее, применяя правило Лопиталя,
In2р X
имеем Пт х£ \п2р х = Ііт ^ ч = Нт
2р- — ■Ы2р 'х	п . 2р-і
X	_ 2РІП X
х—^0+
х—^0+
х—^0+
с 1 >
= Ііт
х—^0+
'О
. Через 2р-1

°'I
шагов получим, что нужный нам предел равен 0, т.е. У> 0 3<5>0: Ѵхе
0<х<£ x£\n2px<sx, откуда — ^ 2р > —. Выберем £х=і, тогда Ѵхе(0,£)
X Ш JC
хг1п2рх
8
>1 и получим, что
хрЫ2рх хр~£х£
^2р >	• Поскольку интеграл
J—\zydx расходится, то интеграл |—р \р сіх также расходится в силу призна-
Q X	о *	^
ка сравнения.
+СО
6. Пусть / eLp ((0,+х)Дх), 1 < р < 2. Доказать, что интеграл [ f (x)-n*~dx,
о yfx
у e R является абсолютно сходящимся.
Решение: в силу неравенства Гельдера
J|/(*)|^y^^| j\f(x)\p dx J
n	V n	/ n
\-
( +00
9 Л
р
г
sinxy
dx
J
J
J
^ 0
Ѵх
sinxy
dx
Поскольку f eLp{(0,+cc},dx), то осталось показать, что интеграл [	_
о
/Л Ч	sinxy .	. I Ч	11
сходится на (0,-юо), т.е. что —т=+- e Lq ((О, +со), dx), где q таково, что —ь — = 1
sx	р q
sinxy
Заметим, что
л/х
< —. Кроме того, поскольку 1 < р < 2, и— + — = 1 то
J	р ч
— = 1 - —, откуда — < 1 - — < 1, значит, q >2. Значит, [ -*-х/х сходится и по при-
П	п	О	/1	J —
р q	2 q
+сс
знаку сравнения сходится интеграл J*
8 х2
sinxy
у[х
dx.
I p
1. Определить, для каких значений or,/?eR функция /(х) =
|arctgx|
(1 + х2)с
хеі принадлежит пространству Lp(М,<іх) при р > 1.
Решение: ясно, что необходимо исследовать на абсолютную сходимость
-t-w
несобственный интеграл J
|arctgx|
i Р
2\а
лЛИіІ^=2г
J (Л л-ѵ2Ѵ^	J
(arctgx)/ip
(l + x2r^ "J0 (1 + x2)ap
dx. Осо¬
быми точками для этого интеграла являются точки х = 0 (если Р < 0) и х = +оо.
л-г	^ л	(arctgx)^	1
При х->0 и р<0 arctgx~x, значит, ——=
X
(1 + х2Г =Тглг' ПосколькУ
143

Г 1
интеграл I _ dx при малых 8 сходится только при -fip < 1, то исходный ин-
0 х
теграл сходится в окрестности точки 0 по признаку сравнения при —- < (3 < 0.
Р
При /?>0 в окрестности точки 0 интеграл сходится, поскольку подынте¬
гральная функция непрерывна в этой окрестности. Итак, при всех /3> —- ин-
Р
теграл сходится в окрестности точки х = О.
1
тт	Я .	2	2	(arctgx)
При х —» +00 arctgx	, 1 + х ~ х , тогда 		—
2	(1 + х)'р
рР f ж\Рр
\ZJ
2а р
. По-
+С0 J
скольку интеграл Г ——dx сходится только при 2ар > 1, то исходный интеграл
J ^ар
о -'Ѵ
сходится в окрестности +оо по признаку сравнения при а >
1	1
Итак, / gL (М,<£с) при а > — и fi>	.
2	р	р
2 Р
8. Определить, для каких значений а е Ш функция /(х, у) =
(1 + х2 + у2Г ’
(х, у) g К2 принадлежит пространству Lp (W2,dxdy} при р> 1.
Решение: снова надо исследовать на сходимость несобственный интеграл
dxdy
+СС +00
И
^	2	2 уГр ■ Перейдем к полярным координатам x = rcosq> и у = rsuup,
учитывая, что г>0 и (ре [0,2л-]. Якобиан перехода:
V ѵ
cos (р -г sirup
Уг у7
sin (р rcoscp
= г.
+00 +00
Тогда J J
dxdy
+со 2 п
=п
rdcpdr
L а++ уУр t i (i+г2Г i (i+г2г
+х
2л f-
J i
rdr
Получили интеграл с
единственной особенностью в точке х = +со. При г —» +оо 1 + г ~г , т.е.
1	7 1
=	• Поскольку интеграл J 2а—df сходится только при
2\ар
,2ар
(1 + п
условии 2ар -1 > 1, то исходный интеграл сходится только при а > — .
Р
9. Определить, для каких р> 1 последовательность /п(х) = 4п%г {,(х),
Н)
neN, где Х\ п(х) - характеристическая функция промежутка
1
л
0,-
. п)
сходится
в пространстве L
144

Решение: напомним, что характеристическая функция множества Е опре-
О
1,	х e U,
[1, хеЕ
деляется следующим образом:	(х) = •
0,-
0, х <£ Е
Г п^ =
0,-4
■" У
г 0
L п)
0, х£
о,-
L п)
Тогда /„(*) =
yfn, X Е 0,
_ nj
0, те (-со,0)U
1	^
— ,+со
L п	J
. При п —> со получаем, что
, и, таким образом, /„(X)—>/(*) = 0 на мно-
+00, т = О
О, те (-oo,0)U(0,+oo)
жестве К. Значит, последовательность /и(х) может сходиться в Lp(R,dx)
/ +СО
только к нулю. Тогда \\fn~f\\L = j\fn(x)-f(x)\pdx
п\ dx
р i v
п] •-
л;
Z' \
1-£
Ѵл 2 У
= ——> 0 только при — - — > 0, т.е. при р< 2. Итак, в L (М) рас-
р	2	р
п
	П-»со
р 2
сматриваемая последовательность сходится только при 1 < р <2.
10.	Пусть X - измеримое множество с мерой ju. Рассмотрим последова¬
тельность (fn(x))™=l<ELp(X,dp), те X , р > 1 и функцию <р(х) e Lp(X,dju), для
которых выполнены условия:
а)	|/га(х)| < #>(х) почти всюду на X для всех neN;
б)	Ит/Дх) = /(т) почти всюду на X .
п—»со
Доказать, что f (x)<eL (X,dp) и lim/Дх) = /(х) в LAX,dp).
E	п—±гг>	Е
Решение: поскольку Ѵл e N |/п(т)| < <д(х), то, переходя к пределу при
п.в.	П.6.
п —»оо, получаем, что |/(х)| < (р(х). Тогда |/(т)|Р < (<д(х)) , следовательно,
^\f{x)\Pdp< ^((р{х))Р dju. Поскольку (р{х) e Lp(X,dju), то и f{x)^Lp{X,dp).
X	X
Таким образом, все функции /„(х)-/(х) также принадлежат Lp{X,dju), следо¬
вательно, все функции \fn(x)-f(x)\P являются суммируемыми.
Рассмотрим вспомогательные функции g„(*) = |/„(x)-/(x)|p. Тогда, со¬
гласно условию б) 1ітп£й(х) = 0 почти всюду на X. Для lg„(x)} выполнено
п-> оо	}
145

первое условие теоремы Лебега об ограниченной сходимости. Оценим функции
gn{x) = \fn(x) - f(x)Г • Если в некоторой точке х e X |/га(х)| < |/(х)|, то
|/„«-/«Г S(|/„W| + |/W|)' <(2|/U)|)f = 2''|/«Г <2'1(|/„«Г +|/wr).
С другой стороны, если в некоторой точке х e X |/(х)| < |/n(x)|, то
I т-т\р <(\fn(x)\ + \f(x)\y <(2\fn(x)\y = 2%(Х)\Р <r{\fn(x)\p+\f(x)\p).
Итак, в любой точке множества X 1/^(х) —	< 2^	(х)|^ + |У(х)|^^, в
частности, gn(x) < 2р||/й(х)|Р +|/(х)|Р j. Тогда, в силу условия а) получаем, что
gn(x) < 2р||^(х)|Р +|/(x)|Pj. Поскольку функции |^(х)|Р и |/(х)|р суммируемы, то
2^ ^(х)^ + |/’(х)|'Р ^	+ |2/(х)|/’ - также суммируема и выполнено второе
условие теоремы Лебега об ограниченной сходимости. Тогда, по этой теореме,
limf gn(x)dju= flimgn{x)dp = fo<2// = 0, откуда lim \\fn(x)-f{x)\P dju = 0, еле-
ft—»CO j	J n—>OO	j	ft—»CC J
xxx	x
довательно, limII/ - /II = 0, а это и требовалось доказать.
П-> со11	"Lp
11. Исследовать на сходимость в пространствах Lp [ОД] , 1 < р < со после-
1
довательность х„ (t) =
1,0<t <
п
i
1
t ж,-<1<\
п
Решение: ясно, что поточечно данная последовательность сходится к
функции x(t) =
= о	_І	Л
1	, т.е. хп(7)—И ж ■ При этом, t ж e Lp [ОД] тогда и
/	0<Г< 1
Г 1	Р
только тогда, когда сходится интеграл —dt, т.е. при — < 1, р <я. Далее, оче-
{ Р-	Я
1
р _р_ _р_
i
видно, что
Xn(t)-t ж
< t 71, причем t ж — суммируема и
xn(t)-t ж
п.е.
^о.
По теореме Лебега об ограниченной сходимости lim Г
И—>оо “
xJt)-t ж
dt = 0, по¬
этому
Xn-t 71
—»
О, т.е. последовательность сходится в Lp [ОД] при 1 < р < я.
146

Задачи для самостоятельного решения
1.	Доказать свойство 3 теоремы о свойствах существенных точных верх¬
них граней.
г i	п'в'
2.	Пусть X =[0,1J, fn(x) = xn, weN. Доказать, что /Дх) —» 0. Применить
п—>сс
теорему Егорова к последовательности fn(x) = xn на отрезке [0,і], т.е. найти
множество Егорова.
г ,	Г1, если t рационально,
3.	Рассмотрим на 10,11 функцию Дирихле D(t) = <
ІО,если t иррационально.
Доказать, что D(t) = 0. Доказать, что функция Дирихле не интегрируема по
Риману на [0,і], но интегрируема по Лебегу на [0,і] и найти ее интеграл Лебе¬
га. Является ли число с = ^ почти всюду мажорантой или минорантой для
функции Дирихле на отрезке [0,1І ? Доказать, что esssup D(t) = essinf D(t) = 0.
ЦОД]	Ч0’1]
4. Для функций f(x)
5, х = 1
-4, х = -1
и g(x) =
|х3, ХЕ Q
[arctgx, x'
наити
2, xel\{-l,l}
существенные точные верхнюю и нижнюю грани на М. Сравнить их с точными
верхней и нижней гранями. Как связаны точная верхняя и нижняя грани произ¬
вольной функции с существенными точными верхней и нижней гранями?
5. Пусть 1 < р < q < со. Доказать, что
( Ь\„,ЛР
Ь-а
r|*(0|f
J li¬
cit
<
f ъ
I
|*(0|*
b-a
dt
x<
Lq[a,b\
\a	J \a
в. Доказать, что если x(t), y(t) e L2 [a,b], to x(t) ■ y(t) e [a,b].
7.	Доказать, что всякая последовательность xn(t), сходящаяся в простран¬
стве С[ц,Ь], будет сходящейся и в пространстве Lp [a,b] при р > 1.
8.	Привести пример последовательности непрерывных на [0,і] функций
xn(t), сходящейся в пространствах Д[0,і] и ^[0,1], но не сходящейся в про¬
странстве С [од].
9.	Привести пример функции x(t) е Мол] такой, что x2(t) еЦол].
10.	Привести пример функции x(t) е А [0Л] такой, что x(t) € Мол].
11.	Исследовать на сходимость в пространстве ^[0,1] последовательность
/ДО = Ше~ш.
12. Исследовать на сходимость в пространстве Д,[0,і] последовательность
/ДО = yfne~nt.
147

13. Исследовать на сходимость в пространстве ^[ОД] последовательность
t
п
/„(/) =/zsin
П
14.	Исследовать на сходимость в пространстве ^[0,1] последовательность
fn{t) = yfn sin-.
п
15.	Пусть ц{Е) < +00. Доказать, что при р > q > 1 из сходимости последова¬
тельности /ге(х) в Lp следует ее сходимость в Lq причем к тому же самому
пределу.
16.	Найти норму функции /(х) = ха в тех пространствах L [ОД] (1< р <оо),
которым эта функция принадлежит.
7- Пусть 0<а< Д<оо. При каких р> 1 функция /(х) =—		 принад-
ха + хр
Т Ло> \ 9
17.
лежит
Указание: ха + хр = ха (1 + хр~а).
18. Определить, для каких р> 1 функция /(х) =
надлежит пространству Lp [ОД].
каких р> 1 функціи f(x) =
1
*e[0,l]\Q,
х	при-
^ОД] \Q,
X€
COST, XG [0,l]DQ.
sinx, хе [ОД]П Q.
f 1
19.	Определить, для
принадлежит пространству Lp [0,l].
20.	Оггоеделить. для каких о > 1 фѵнкния f( y) ~	1 Тп.т
’	у 47	7 К ) ~ ц _ х^2 принадлежит про¬
странству Lp [0,1].
21.	Определить, для каких р> 1 функция /у ѵ\ _ ех\пх
^ ~ Х2(1_Х)4 принадлежит
пространству Lp [0,1].
22.	Определить, для каких значений	і функция д
принадлежит L (М) при р> 1.
а+х2у
23. Определить, для каких значений	функция /уул ln(1 + W )
~ л ^ У\Р
принадлежит L (М) при р> 1.
(1 + х4)
148

24.	Определить, для каких значений «,/?еМ функция f(x) = |l - х|“ |l + xf
принадлежит L (R) при p> 1.
25.	Определить, для каких	функция fix) = -—ln(l + N) при_
I І“ /1	4\в	^
|л| (І + хуг
надлежит Lp (R) при р > I.
26.	Пусть A = {(ij)el2:i2 + /<lj. Определить, для каких р> I функ¬
ция f{x,y) =
ция / (х, у) =
(х +у ) 3, X +у ^0, принадлежит пространству L (A,dxdy).
I,	х2 + у2 = 0.
27.	Пусть А = |(х, у) e М2: х2 + у2 < і|. Определить, для каких р> I функ-
(ІхІ + ІуІ) 2, х2 +у2 Ф 0,	г	, ч
ѴІ 1 і-7'/ ’	' принадлежит пространству L (A,dxdy).
0,	х2 + у2 = 0.
28.	Определить, для каких аеЕ функция / принадлежит пространству
'l-x2-y2|“°\ х2 + у2*1,
0,	х2 + у2= 1.
29.	Исследовать на сходимость в пространстве ^[0,1] последовательность
х it) = <е " ’ если ? иррационально
0, если t рационально
30.	Исследовать на сходимость в пространстве /^[ОД] последовательность
Г
Lp (М2,dxdy) при р > 1, если /(х, у) =
*«(0 =
4п - nyfnt, t e
п
0,
о,
-д
U J
31. Исследовать на сходимость в пространстве L, [0,1 ] последовательность
1
*„(0 =
1 - nt, t
0,
0,
п
ъ
32. Доказать, что последовательность /л(х) = хп (п = 1,2,3,...) на множестве
х=[од] с обычной мерой Лебега сходится к функции f0(x) = 0 почти всюду,
по мере и в среднем в любой степени р > 1, но не сходится равномерно.
149

33. Пусть X = [ОД] с обычной мерой Лебега, /п(х) =
-2-. 0<*< —
In п	п
О, — < х < 1
п
и
/0(х) = 0. Доказать, что /„ сходится к /0 в среднем, но не сходится в среднем в
степени р при р > 1.
34. Пусть X = [ОД] с обычной мерой Лебега, /л(х) =
п, 0<х< —
п
О, -<х<1
п
/0(х) = 0. Доказать, что /„ сходится к /0 по мере, но не сходится в среднем.
и
35.	Определить, для каких р> 1 функция f(x) =
пространству Lp [ОД]
36.	Определить, для каких р > 1 функция /(х) =
X
smx
принадлежит
принадлежит
yfx-yjl-x
пространству Lp [ОД]
37.	Определить, для каких значений р > 1 последовательность функций
/п(х) = 4п%г 1 -i (х) сходится в пространстве Lp (1R).
L п J
38.	Определить, для каких значений р > 1 последовательность функций
fn(x) = rf2e "2 сходится в пространстве L (R) .
39.	Определить, для каких значений /?>1 последовательность функций
X
fn(x) = rf2e 1,2Z[o.+;:)(x) сходится в пространстве Lp(R).
40.	Определить, для каких значений р> 1 последовательность функций
X
fn(x) = rf2e и2х^) +оэ)(-0 сходится в пространстве Lp(R).
41. Определить, для каких значений р> 1 последовательность функций
п-п X
Хѵ j\(x) сходится в пространстве Lp (E).
0,-
п
42.	Определить, для каких значений р > 1 последовательность функций
/п(х) = —сходится в пространстве Lp (М).
А И- JC
43.	Определить, для каких значений р> 1 последовательность функций
/nW = _TT—Х\'і 2пі^) сходится в пространстве Lp (Е) .
х +1
150

44.	Определить, для каких значений р > 1 последовательность функций
f (х) =	^	^ 2 ^(х) сходится в пространстве Lp (М).
45.	Пусть fn (х) =	i j (х), х <
п e N, а /(х) = 0 при ібі. Доказать,
что lim f (х) = f(x) в Д (К), но эта же последовательность не сходится в Ц, (R).
П—>00 П
46.	Пусть X - измеримое множество с мерой /и. Доказать, что если функ¬
ции /,g e Lp(X,dju) при р > 2, то / • g e Lp{X,dfS).
1
47.	Пусть X - измеримое множество с мерой /и. Доказать, что если по¬
следовательность (/„W)„=1> хеХ сходится в Lp(Xлір) при р> 1 к функции
/(х) e L (X,dp), то 1ші||/п|| =||/|L •
^	д—>оо	р	р
48.	Пусть X - измеримое множество с мерой //. Доказать, что если по¬
следовательность (/п(х))п=1, х e X сходится в Lp(X,dp) при р> 1 к функции
/(х) e Lp{X,dju) и geL^(X,dju), то lim J/„(x)g(x)d// = J/(x)g(x)d//.
^-1	X	X
49.	Пусть X - измеримое множество с мерой //. Доказать, что если по¬
следовательность (/л(х))”=1, хеX сходится в Lp(X,dp) при /?>1 к функции
/(х) e Lp{X,dju), а последовательность (уДх))”=|, хеХ сходится в простран¬
стве	(X,dju) к функции g(x)eLp (X,dju), то справедливо равенство
7ч	р-1
Нт f fn{x)gn{x)dju = f /(x)gix)dp.
X	X
+CO
50.	Доказать, что если f eLp[[0,+cc),dx), p> 1, то интеграл J/(x)——dx
0 x
равномерно сходится относительно у на произвольном конечном интервале
а<у <Ь.
51.	Пусть X - измеримое множество с мерой ju. Доказать, что если по¬
следовательность (/д(х))”=1, хеХ сходится в Lp(X,dju) при р > 1 к функциям
f(x) и g(х) из Lp(X,dju), то / = g на X .
ъ
52.	Доказать, что если интеграл Jf{x)g{x)dx
существует для произволь¬
ной функции	то g е	.
53.	Показать, что функции f{x) = e~x sm * и /2(х) = х2е~х 8111 * принадлежат
пространству /^(М^х), но lim /Дх)^0, А; = 1,2.
151

54.	Пусть кусочно-гладкая на любом отрезке функция / и ее производная
/' принадлежат пространству L,(R,dx). Доказать, что lim fix) = 0.
4	7	;t—»±оо
X
Указание: представитъ f2(х) = f2 ia) + 2j* fit)f \t)dt.
a
55.	Доказать, что пространство Lrx [a, b\ не сепарабельно.
00
56.	Доказать, что L^a^czf^L^b], причем для всех р, таких, что
р=i
у
1 < р < -boo имеет место неравенство ||/||^ <{Ь- а)р Ц/Ц^.
57.	Доказать, что \\f\\x = lim||/||p.
58.	Найти норму функции f(t) = la(\-t)p в тех пространствах
(1 < р < +00 ), которым эта функция принадлежит.
59.	При каких значениях а и р (1 < р < +оо) сходится к нулю в простран¬
стве Lp [0.1] последовательность xn(t) = nae nt?
60.	При каких значениях а и р (1 < р< +оо) сходится к нулю в простран¬
стве L [ОД] последовательность хп(і) = па sinm ?
61.	При каких значениях а и р (1< р<+ оо) последовательности из двух
предыдущих задач вообще имеют предел в L ,[0,1]?
62.	Пусть последовательность fn(t) сходится в среднем в степени р на
ь	ъ
отрезке [a,b] к функции fit) при 1 <р<оо. Доказать, что \fn(t)dt -> \f(t)dt.
J	П—>0О J
а	а
b
63.	Пусть / еД[ц,Ь] и j f (t)<p(t)dt = 0 для любой непрерывной функции
(pit) такой, что (ріа) = (pit) = 0. Доказать, что fit) = 0 почти всюду на \a,b\.
Указание: показать, что для всякого [с,Д] <z \a,b\ можно найти последо-
вателъность (pnit) = •
'
1, t е
1 л 1_
с ч—, d —
п п
0, tg[c,d]
щих всем условиям задачи и таких, что <pn(t)-*%x .At). Используя теорему Ле-
d	b	х
бега, доказать, что J/(t)dt = J/(t)%[Ctd](t)dt = 0 и рассмотреть § f(t)dt = 0 для
с	а	а
всех хе \a,b\.
152

2.8. Полнота пространств Lp (E,dju) при 1 < p < oo
Теорема (о полноте пространства Li(E)): Ц(Е) - банахово.
Доказательство: в силу критерия полноты линейного пространства в
терминах рядов достаточно доказать, что любой абсолютно сходящийся в Ь1
х	х
ряд сходится. Пусть fn(х) е Ц и сходится ряд JJ/J, т.е. ^J|/n(x)|	<+со.
п=1	п=1 g
Поскольку |/и(х)|>0, то выполнены все условия теоремы Б. Леви для рядов,
оо	оо
значит, почти всюду сходится ряд ^|/„(х)|- Таким образом, ряд ^ fn(х) схо-
п=1	п=1
дится почти всюду, как абсолютно сходящийся почти всюду ряд. Итак,
00	п.в.	°°
^/и(х) = /(х). Осталось проверить сходимость ряда ^/и(х) в пространстве
и=1	п=1
Ll, т.е., что f(x) e L, и что частичные суммы ряда ^/„(д:) сходятся к /(х) в
А2=1
среднем (т.е. по норме Д).
оо	со	оо
Поскольку ||/(х)|^ = {£/и(х) dp< j£|.№)|d// = £j|/n(x)|rf// <+00, то /(х)€Ц
E	E n=l	Е и=1	"=1 £
к
(использовали теорему Б. Леви для рядов). Далее, пусть ЗДх) = ^/и(х), тогда
Я=1
||/ - 5*1 = J|/(x) - S*(x)|dju = J Х/„(дО - £/„(*) dv = j
E	g и=1	и=1	£
X
Z /»(*)
и=£+1
J// =
у /.м
ю=£+1
<
<
X ||/»(*)||- Поскольку ряд ХІЛІ сходится, а ^ ||/„(х)|| - это его остаток, то
п=к+1
га=1
га=£+1
по теореме об остатке сходящегося ряда ^ ||/и(х)|| —> 0. Переходя в получен-
п=к+1
ном неравенстве к пределу при & —» оо, по теореме о двух милиционерах, полу-
h
чаем, что ||/ — ^|| —>0 при к—> оо. Таким образом, Sk{x)-^ f (х).
Теорема доказана.
Замечание: попутно установили, что у любой фундаментальной в Ll(E)
последовательности есть подпоследовательность, сходящаяся почти всюду (см.
замечание после теоремы о связи видов сходимостей).
Теорема (о полноте пространства Lp(E)): при р> Іи р(Е)<+ оо Ьр(Е) -
банахово.
Доказательство: обозначим ju(E) = р. Пусть fn(x)eLp - фундаменталь¬
ная последовательность. Надо доказать, что она имеет предел в Ьр. По опреде-
153

лению фундаментальности V£>0 3NgN: Vm,n> N |/„-/m| <—f. Пока-
Pq
жем, что fn(x) фундаментальна в Д. Применяя неравенство Гельдера, получа-
ем \\/п-/т\[=1\Ш-/т(4аР = 1\Ш-/т(х)\Л(іи< j|fn(x)-fm(x)\pdju Р \l4fi
\Е
\7/	Л
У \Е У
— £ ~
= 11 fn fm 11 (p(E))q <—T'Pq =s■ Таким образом, в силу предыдущего замеча-
Pq
п.в.
ния, найдется подпоследовательность /%(х)—>/(х). Ясно, что / (х) фунда¬
ментальна в Lp, как подпоследовательность /(і(х), т.е. Ѵ£ > О ЗА' g N: Vm, А; > К
i
(	р V
<Е-.
\Е	У	Е
f - f
Jnk Jnm
<s, т.е.
При m—»oo I fnk (*) - fnm U)|P ->\fnk (x) - f(x)\P. Функции, стоящие под знаком
интеграла, неотрицательны, интегралы от них ограничены константой ер, кро¬
ме того, подынтегральные функции сходятся почти всюду к |/л^ (х) - /(лс)|Р. То¬
гда, по теореме Фату, интеграл от этой предельной функции ограничен той же
<6, т.е.
f	\
константой, т.е. l\fnk(x)-f(x)\Pdju<£p, откуда {|Д (*)-/(*)[<///
Е	\Е	у
Далее’	Посколькѵ
L (*) е 4, то fn, < +00, значит, ll/ll < +00, Т.е. f(x) g L .
Далее, поскольку Vf>0 BA'gN: Vk>K fn-f <£,to fn (x)-»/(x),
к	p	fl]c
т.е. у нашей последовательности нашли подпоследовательность, которая схо-
ѵ
дится в пространстве Lp. Осталось доказать, что /га(х)-»/(х), т.е., что Vs > О
BjVgN: Vn>N ||/n_/||p<ff- Перепишем определение фундаментальности:
м	6	Lp
Vs> О 3NX g N : Vm,n> Nx \\fn - fm\\ < — . Кроме того, поскольку fn (x)->f(x),
p 2 k
£
то Vs> 0 3iV2 g N:	Vk>N2 f4~f <Тогда, выбирая m = nk и
N = max{TVj,N2}, получаем, что Vn>N
I fn - f\\p = I fn - fnk + 4 - f\\p ^ I fn - fr
Теорема доказана.
+
£ £
< — + — = £.
p 2	2
154

Замечание: можно показать, что утверждение теоремы верно и для случая
ju{E) = +00 (см. [5]).
Теорема (о полноте пространства LJE)): LJE) - банахово.
Доказательство: пусть fn (х) е Ел - фундаментальная последователь¬
ность. Надо доказать, что она имеет предел в Ет. По определению фундамен¬
тальности \/е>0 3NgN: \/m,n>N \\fn ~ fm\x <£, т.е. esssup|/n(x)-/m(x)|<£.
Это означает, что для почти всех xefJ |/и(х) - fm(x)\ < е.
Обозначим Епт множество тех іе£, для которых это неравенство спра¬
ведливо, т.е. Епт = {х e E: |/n(x) - fm(x)| < £•}. Ясно, что мера дополнения к это-
оо
му множеству равна нулю. Далее, пусть А = Q Епт . Если хе А, то хе ѴЕп т,
n,m=N+1
т.е. для всех таких х |/„(х) - /m(x)| < s. Итак, на множестве А наша последова¬
тельность фундаментальна. Дополнение к А - есть объединение дополнений к
Еп т. Каждое дополнение к Епт имеет нулевую меру, значит, мера их объеди¬
нения также равна 0. Поскольку дополнение к А имеет меру 0, а последова¬
тельность fjx) фундаментальна в А, то fn(x) фундаментальна почти всюду.
При каждом х это уже числовая последовательность, значит, в силу критерия
п.в.
Коши, она сходится почти всюду, т.е. /и(х)—»/(х). Осталось проверить, что
/(х) еДи что /„(д)-+/(х).
Т.к. |/п(х)| = |/„(х) - fm{x) + fm(x)I < Ifn(x) - fm{x)I + |/m(x)| < ^ + |/m(x)|, TO,
П.6.
фиксируя номер ш, поскольку fm(x) e L. и, значит, ЗоО: |/m(x)| < с, полу-
п.в.
чим, что \/n>N |/„(х)| < s + c. Переходя к пределу при я—»оо, получим, что
|/(х)|< s + c,T.Q. /(x)eLoo.
ho
Осталось проверить, что /п(х)->/(х), т.е., что V^>0 3N еЩ: \/n>N
\\fn - /IL <s • Перепишем определение фундаментальности в виде У £ > О
3N eN:	Vm,п> N \\fn - fm\x <-|, т.е. esssup|/n(x)-/m(x)|<^, откуда
2	хе Е	2
i	П'в' £	п-в• £	£
\fn(x)~fm(x)\ < “• При т->оо отсюда следует, что |/п(х)-/(х)| < —, т.е.
2	2 2
п.в. мажоранта для |/га00~/(х)|, значит, наименьшая из п.в. мажорант эту не
превосходит, т.е. esssup|/„(*)-/(х)|<-, откуда \\fn - f\\K <-<s.
хеЕ	2	2
Теорема доказана.
155

2.9. Плотные множества в L (E,djU), 1 < p < oo
Теорема (о плотности	e Lp): \fp> 1 пространство является всюду
плотным множеством в пространстве Lp.
Доказательство: пусть / e Ьр. По определению всюду плотности надо
доказать, что > 0 Elg e Lx: ||/ - g|| <s.
1. Пусть /> 0. Возьмем Ѵн > N и рассмотрим функцию /”(х), которая
называется верхней срезкой функции / и определяется следующим образом:
f(x), f(x)<n,	-	-
Очевидно, \fn(x)\<n, т.е. fn(x) огра¬
ди»	f(x)>n.	1	1
ничена, и, в частности, существенно ограничена, т.е. /n(x)eLoo. Кроме того,
очевидно, что 0</-/”</, откуда |/-/T<|/f. Поскольку /eLp, то
||./ |/; d/л < +°о, значит, \f\p - суммируемая функция. Далее, ясно, что
fn(x) = min(/(х),п)
= ^’ т е' ~ f	откУда I/" ~ f\P -> 0. Для функции I/" - /|Р вы¬
полнены все условия теоремы Лебега об ограниченной сходимости, если взять
в ней в качестве функции g функцию І/Т. Тогда Ит (]/-/" Р dju = 0, т.е.
1	71—Н-оо J I
Ѵ^>0 3N еІЯ: Vn>N J|/-/n dju<sp, откуда j'\f-fnPdju
\E
f-r
<S .
Окончательно, обозначая fn(x) = g(x), получим требуемое.
2. Пусть / имеет произвольный знак. Рассмотрим две функции
ч J0’	Ях)>0.	г г г г , ,ч
/W=lo, /W<o и ЛМ=і/(,). /w<0. Ясно’что /=Л+Л = Л-(-/*)-
Функции /j и (-/2) неотрицательны, значит, по п. 1	> 0 3g,, g2 e Lr:
II-/ “ & llp < § и I-Л “ £2||, < I • ПУСТЬ g = gl-g2eboo, тогда
II/ ~S\\P- ||/i + Л - 81 + S2I, ^ ll/i - &||p + II/2 + 8i\\p = ||/i - Sil,+ II-/2 -821 < I +1 = f •
Теорема доказана.
Теорема (о плотности измеримых ступенчатых функций в Lp): мно¬
жество измеримых функций, принимающих конечное число значений, всюду
плотно в пространстве Lp(E), /з(Е) < +00.
Доказательство: берем V/ e Lp, Ѵб:>0 и надо найти измеримую функ¬
цию h, которая принимает конечное число значений, чтобы ||/ - Іг\\р < е. В силу
156

предыдущей теоремы можно найти
* е А.: ||/ - «I,
< —. Обозначим через сх и
с2 - миноранту и мажоранту функции g (переопределив, если потребуется,
функцию g на множестве нулевой меры, можно добиться, чтобы с1 и с2 были
минорантой и мажорантой g всюду). Выберем число п и разобьем отрезок
[с„с2] на п равных частей. Пусть / = с2 -сх. Рассмотрим следующие измеримые
множества: El=\xeE:c1< g(x) <c1 + — i; E2 = \xeE:c1+ — < g(x) < cx + — i; ....;
[	n)	{	n	n J
cv наЕх,
(n-i)l
l
q + —, naE2,
n
21
En=<xeE:c1+	< g(jt) <c2>. Пусть h = \cl+ —, на Еъ, . Ясно, что h -
n
n
q +
(n-\)l
, на En.
n
измеримая ступенчатая функция, принимающая конечное число значений. Да¬
лее, ясно, что 0 < g (х) - h(x) < — всюду на Е. Отсюда следует, что
п
(	V / ( Л
\U~h\\P = |\\g{x)-h(x)\Pdju <- fld/i
(
J
\E
o >
значит, > 0
3N eN: \/n>N
\\g-h\\p <|. Тогда W>0
EL/VeN: Vn>N
II/ - ■h\\P = II/ - « + « - ■Щр* II/ - «II, +11« - All, < §+ §= e ■
Теорема доказана.
Определение: пусть Е = Шп, h - измеримая ступенчатая функция. Эта
функция называется простой ступенчатой, если существуют непересекающиеся
параллелепипеды В1,В2,...,Вк и константы с1,с2,...,ск такие, что h = с\ на Вх,
h = c2 на В2,..., h = ck на Вк и h = 0 вне объединения этих параллелепипедов.
Теорема (о плотности простых ступенчатых функций е Ьр): множе¬
ство простых ступенчатых функций всюду плотно в пространстве Ьр (Е), где
£сГ, ц(Е)<+ оо.
Доказательство: пусть / e L тогда в силу предыдущей теоремы У s > О
существует измеримая ступенчатая функция g такая, что ||/ - #||р < —. Ясно,
что, если g удастся приблизить простой ступенчатой функцией с точностью —,
157

то / окажется приближенной простой ступенчатой функцией с точностью
' сѵ наЕх,
S Б
— + — Пусть 9 =
2 2
с2 , на Е2 ?
- измеримая ступенчатая функция. Обозначим
1, наЕр
8і = 1 п	т? ’ ^2
О, вне Ех
ск, на Ек
1, наЕ2,
О, вне Е,
8к =
1, на Ек,
О, вне Е,
. Очевидно g = cxgx + c2g2 +... + ckgk.
Ясно, что если gl приблизим простой ступенчатой функцией с точностью
Б	Б
, g2 - простой ступенчатой функцией с точностью ——,..., gk - простой
2ксх
ступенчатой функцией с точностью
2кСи
2кс0
то g окажется приближенной про-
■ + ... + с,,
2кс,
■ к- — = ~.
2 к 2
^	^	1	СО
стой ступенчатой функцией с точностью сх	+ с2
2ксІ 2ксг
Гі, наіір
Итак, достаточно убедиться, что любую функцию вида g = <	, где
[О, внеі^
Ех - измеримое множество конечной меры, можно приблизить в Ер(Е) простой
ступенчатой функцией с любой точностью. По определению суммируемости по
Лебегу \/s > 0 существует конечное объединение параллелепипедов Е (т.е.
Гі, HaF,
простейшее множество в I") такое, что ju(ExAF) < sp. Пусть h = \	, то-
0,	вне F.
гда h - простая ступенчатая функция и ||^ — /г||^ = ||g-h\P dju
\Е
Если хеЕх и
хе F, то g = h = 1, значит, g-h = 0. Если х£Ех и X&F, то g = h = 0, значит,
g-h = 0. В случае, когда хеЕх и x g F, или х<£Ех и х e F, т.е. при х g ExAF ,
очевидно, что |g - h\ = 1.
Таким образом, ||g ~h\p = J Idju
4*1
E.AF
= (ju(E1AF))p <£.
Теорема доказана.
Теорема (о плотности непрерывных функций в Ер): пусть	тогда
множество непрерывных функций всюду плотно в пространстве L {E),
ju(E) < +00.
Доказательство: пусть f e Lp. В силу предыдущей теоремы \fs > 0 су-
£
ществует простая ступенчатая функция g такая, что ||/ - g|| < —. Ясно, что, ес¬
158

ли g удастся приблизить непрерывной функцией с точностью —, то / окажет-
S S
ся приближена непрерывной функцией с точностью — + — = s. Поскольку g -
простая ступенчатая функция, то существуют параллелепипеды В1,В2,...,Вк и
константы сл,с2,...,ск такие, что g=cl на Вх, g = c2 на В2g = ск на Вк и
1, наВг,
g = 0 вне объединения этих параллелепипедов. Обозначим gl =
О,	вне В]
§2 =
1, на В
2>
О, вне В2
8k =
1, шВк,
О, вне В,
Очевидно, что g =	+ c2g2 +... + ckgk. То¬
гда если gj приблизим непрерывной функцией с точностью
2кс1
g2 - непре¬
рывной функцией с точностью
2кс,
gk - непрерывной функцией с точно¬
стью 	, то g окажется приближенной непрерывной функцией с точностью
2 кс
1 2 ксх
Б	S , S Б
+ с9 •	ѵ... + с к  	— к • — — —.
2 кс0	2 кс,г	2 к	2
Гі, на В,
, где В -
Итак, достаточно показать, что любую функцию вида g = •
[О, вне В
параллелепипед, можно приблизить непрерывной функцией с любой точно¬
стью. По определению параллелепипеда в R"
В = {х = (х1 ,х2,...,хп):	<хх <Ьѵа2 <х2 <Ь2,...,ап <хп <Ьп
Рассмотрим любой из отрезков \ак,Ьк ]. Отступим от концов этого отрезка
внутрь на величину — > 0 и рассмот-
т
рим следующую функцию (см. рис.):
1, на внутреннем отрезке,
О, в концах отрезка,
линейная на оставшихся частях.
Ясно, что при т—»оо предел этой
функции будет равен 1 на (ак,Ьк) и О
вне этого интервала.
Рассмотрим функцию h{x) = hl(x1)h2(x2)..\(xn). Ясно, что это произведе¬
ние не превосходит 1, неотрицательно и является непрерывной функцией. При
т —> оо предел h(x) равен 1 на параллелепипеде В (исключая границу) и 0 вне
его, т.е. h(x) —» g(x) почти всюду на Е. Ясно, что Ih(x)~ £(.т)|р <1,1- сумми-
І'П А. Г'Г-.	'	'
K(t) =
159

руемая функция, кроме того, \h(x) - g(x)\P —» 0, и выполнены все условия тео-
т—»оо
ремы Лебега об ограниченной сходимости, поэтому
Нт \\h{x)-g{x)Y dju = \ \im\h(x)- g(x)Y dju=Q,
m—>oo J	J m—>co
£	£
1
Гг	p
т.е. ||/z-g|| = j|/z(x)-g(x)|Pd// —» 0, значит, m можно выбрать таким обра-
\Е	)	т’**>
зом, чтобы У б> о |*-*|, < б . Итак, g с любой точностью приблизили непре¬
рывной функцией h.
Теорема доказана.
Определение: функция /, определенная на множестве IcR", называется
непрерывной в среднем в степени р на X , если У s> 0 Зс> > 0: Vz е К” Izl < £
lf(x + z)-f(x)\\p	=j\f(x + z)-f(x)\Pdp<ep (при т + zgX считаем f(x + z) = 0).
Р	X
Здесь \z\ - длина вектора г. В частности, при р = 2 функция называется непре¬
рывной в среднем квадратичном.
Теорема (о непрерывности в среднем квадратичном): пусть X - ограни¬
ченное множество в R", тогда любая функция / e L2 (X) непрерывна в среднем
квадратичном.
Доказательство: надо доказать, что если / е ІДХ), то Уб>0 3S>0: Vz
\z\<S \\f(x + z)-f(x)\ r) < б. Функцию / будем считать продолженной на все
Ми нулем. Обозначим В0 - замкнутый параллелепипед, содержащий X. По
теореме о плотности непрерывных функций в І^(Б0) Ѵ£>0 существует непре-
g
рывная на В0 функция h такая, что ||/ _НІ^(во) < ^ •	растянем В0 (напри¬
мер) в два раза относительно центра и обозначим получившийся замкнутый па¬
раллелепипед через В1. Можно считать, что \z\<с, причем с таково, что при
|z| = с УхеВ0 х+ z<zBx. Функцию h продолжим на Вх с сохранением непре¬
рывности. Ясно, что ||/(х + z) - /(*)| W) s II /(* + г) - / WlLis.)' имеем:
||/(*+z) - /(jc)|v4j) = ||/(* + г) - Их + г) + h(x + г) - Их) + h(x) - /£
< \f(x + г) ■- Их + z)|w +1Их + z) -	+1|*W - /«IL w •
Поскольку Вх - компакт в К", то по теореме Кантора h равномерно не¬
прерывна на Вх, т.е. для выбранного £ >0 ЕЦ е (0,с): Ѵх,,х2 е В{ |х, - х2| < Sx
|/г(х,) — h(x2)\ <	, гДе ѵ - объем В{). В частности, Ѵх е В() Vz g R" \z\<Sx II Кх + z) - h(x)I <	. В силу непрерывности функции |h(x + z)- h{x)|, вместо
160

интеграла Лебега на
\\h(x + z)-h(x) ||2мад =
В0 можно рассматривать интеграл Римана. Тогда имеем:
z	о
11h(x + z) - h(x)f dx < J dx = J1 dx
16V
16V
■V = ^,
16
Таким образом, при |z| < Sx ||f(x + z)- f(x)||ЗД) < ||/(x + z) - h{x + г)|ЗД) +1.
Далее, имеем ||/(x + z)~ h(x + z)= J |/0 + z) - h(x + z)f dju =
B0
= \ \f(y)-h(y)\2djuy = l\f(y)-h(y)\2djuy + l\f(y)-h(y)\2djuy,mQ А0=В0Г\(B0 + z),
Bq+z	A0	A!
Ax = (B0 + z) \ A0. Можно считать, что A0 ф 0, если же А0 = 0, то дальнейшие
рассуждения изменятся незначительно, и их предлагается проделать самостоя¬
тельно (см. задачу 1). Поскольку рААЛ —» 0, то, в силу абсолютной непрерыв-
У	Z^O
ности интеграла Лебега, §\f(y)-h(y)fdpy = J|h(y)f dpy —»0, т.е. для рассмат-
Aj	Aj
Г	2	3 g2
риваемого e >0 3£е (0,SX): Vz \z\<S ]\h(y)\ djuy< —.
Al
Поскольку ||/(y)-
Ao
что ||/(x+ г) - /«|L(J[) < ||/(x + z) - /«||мад < £ •
Теорема доказана.
Определение: функция щ (х): М'г —> 1R называется единичным ядром
усреднения (ядром усреднения радиуса 1), если:
1.	бУх(д)>0 Vxe R”;
2.	сох(х) бесконечно дифференцируема в Ми;
3.	при |х|>1 £о1(х) = 0;
4.	J col(x)dx = l.
2
h(y)I djuy< —, то, окончательно, при |z|<£ имеем,
замена
x + z = у
Определение: пусть сох (х): R" —» R - единичное ядро усреднения. Ядром
усреднения радиуса р > 0 называется функция си Ах) = —сох
Рп \Р)
Замечание: очевидны следующие свойства ядра усреднения радиуса р\
®р(х)>0 ѴхеМ"; о)р(х) бесконечно дифференцируема в Шп; при |х| > р ѳр(х) = 0;
J 0)p{x)dx=
Ии	Ю" Р
'X'
\Р)
dx =
X
— =у, х = ру
р
dx = dxldx2...dxn = pndy1dy2 ...dyn
= J G>\{y)dy = 1
161

Определение: пусть функция / e L2(Rn), сор(х) - ядро усреднения радиу¬
са р. Усредненной функцией fp(x), соответствующей данному ядру усредне¬
ния, называется функция fp(x) = | /(у)о)р(х- y)dy = J f(x - y)cop(y)dy .
ки	ки
Замечание: в силу связи между интегралом Лебега и несобственным инте¬
гралом Римана, на М" вместо интеграла Лебега будем рассматривать несоб¬
ственный интеграл Римана. Легко видеть, что функция / e [^(W1) принадлежит
также Ц(Х), где Ісі" - ограниченное множество. В силу свойств ядра
усреднения, первый интеграл можно брать по множеству В(х,р) (п -мерный
шар с центром в точке х е Ми радиуса р), а второй - по множеству В(0,р).
Замечание: в первом интеграле под знаком интеграла стоит бесконечно
дифференцируемая по переменной х функция. Если ограничить диапазон из¬
менения переменной х некоторым шаром B(x(],S), при S>0, то \/хе B(x0,S)
В(х,р) а В(х{),p+S) = Bq, поэтому fp (х) = J /(у)а>р (х - y)dy. Поскольку сумми-
«0
руемая функция почти всюду ограничена, то, переопределяя, если необходимо,
функцию f на множестве нулевой меры, получим, что f будет ограничена на
всем Bq . В этих условиях можно показать, что справедливо правило Лейбница
дифференцирования интеграла по параметру, поэтому усредненная функция
будет бесконечно дифференцируемой в произвольной точке Xq (задача 3). В
частности, усредненная функция всегда будет непрерывной.
Теорема (о сходимости усредненных функций e LJ; пусть / е Ь,(Х),
X с М” - ограниченное множество, /р - усредненная функция, тогда f -> f.
р р^>о
Доказательство: надо доказать, что
f'~f
ЧТО
J \ f(x-y)<Dp(y)dy-f(x)
X
Будем считать, что fix) = 0, если х<£Х В гит/
J	J ’ Jm Л • о силу свойств ядра усреднения
dp-> 0.
р-* о
I J fix - у)<ар (y)dy - f(x)
J J (f(x-y)~f(x))cDp(y)dy
2 f
VI
^3
X \y\<p
4
I f(x-y)tol>iy)dy-fix) f 0 (y)dy
W""	1*0
hJy)dy
dp-
dp<
<
неравенство
Г ельдера
р = 2, q = 2
Л
X
j \f(x-y)-f(xfdy
K.\yfcp
j cop\y)dy
iV
V
dp =
162

(	у	л
= J j \f(x-y)-nx)\2dy J 0)p2(y)dy
Ам-^
Л/
Д3^ j ~n(0\
|y|^P P
= J j \f(x-y)-f(xtdy J “ITA
AW-^	J\\y\-p P
У
J
ГЛ
kPj
d f/ =
\
dy
d/i.
(A
kP;
dy =
— = z,\z\< 1
p
1 1
= “7 J ®12(г)* = — J ®,(z)®,(z)A
A7 |z|<l	A7 |z|<l
dy = pn dz
Функция co^z) бесконечно дифференцируема, в частности, непрерывна на за¬
мкнутом шаре радиуса 1, который компактен, значит, по теореме Вейерштрасса
1	С С	с
ЭоО: при Ы<1	Тогда — f /»Az)o>Az)dz< — f <BAz)dz = — .
Р |фі	Р нѣ	P
d p . Меняя поря-
f
fp-f
Ujrl
у х\
\
док интегрирований, получаем Ікг-/|[^Шія x-y)-f(x) Г dju
p ьиЛ*
dy =
Су 1*	2
= — I \\Ях~у) - /(х)||2 dy. По условию / е L,(X), значит, она непрерывна в
РП \у\-р
среднем квадратичном, т.е. V^>0 3J>0: Ѵу |у|<£ ||/(x-y)-/(x)|| < г,
yjV yjc
где V - объем единичного шара в пространстве М". Если р < 8, то |у| < 8, зна-
ЧИТ, \fp<s ||/ - ft < Z- f £-* = -£-.£- f 1 dy=£2.
2 P\&„Vc p
Vpn
Теорема доказана.
Замечание: перемена порядка интегрирований законна в силу теоремы
Фубини для интеграла Лебега: для такой перестановки достаточно существова¬
ния интеграла f [\f(x-у)-f(x)f dp dy.
ІтНАх	у
Замечание: из доказанной теоремы следует, что множество бесконечно
дифференцируемых усредненных функций j/p j всюду плотно в пространстве
Ь2(Х), если Іс1л- ограниченное множество.
163

2.10. Предкомпактные множества в L^iX)
Определение: пусть {fa(x)} cz І^ІХ) - некоторое множество функций. Это
множество называется равностепенно непрерывным в среднем квадратичном,
если V£>0 3£>0: VzeX У а ||z||<£ \\fa(x + z)-fa(x)\2 <£.
Теорема (критерий предкомпактности в 1^): пусть X - компактное
множество в Мл, тогда множество {/а(х)} а L^fX) является предкомпактным
тогда и только тогда, когда:
1.	{fa(x)} ограничено в пространстве L2;
2.	{fa(x)} равностепенно непрерывно в среднем квадратичном.
Доказательство: пусть {/а(х)}с^(І) предкомпактно.
1.	Выполняется, поскольку предкомпактное множество всегда ограничено.
2.	Поскольку множество {/а О)} предкомпактно, то по критерию Хау-
£
сдорфа Уе>0 для него существует конечная --сеть fvf2,...,fn^L2{X), т.е.
У а 3k = \,n\ I fa(x) - /*(л:)|2 < —. Считая, что все fa и fk продолжены нулем на
все пространство К", можем интегралы брать по всему пространству М", тогда:
||/e(x + z)-/*(x + z)||2 =
I
fa(x + z)~ fk(x + z)
2 Л
dx
{ I fab) - Му) f dy = I fa(y) - Му)\\2 < f •
Поскольку каждая из функций /р/2,e L^iX) непрерывна в среднем
квадратичном, то Ук = 1,п Уе>0 38k>0: Ѵг \z\<8k ||/t(x+z)-/t(x)||2 < —.
Тогда, выбирая 8 = min {<5*}, получим, что Уе>0 3£>0: Уг У ос из |z|<£
следует \\fa (x + z)~ fa (х)||2 = \\fa ix + z)~ fk (x + z) + fk (x + z)~ ft (x) + ft (x) - fa (x)||2 <
^ ||/« (x + z)~ ft (x + z)||2 + |Л (x-+ z) - fk (x)|| +1 ft (x) - fa (t)|| < £ .
Обратно: пусть {fa(x)} c= L^iX) - ограничено и равностепенно непрерыв¬
но в среднем квадратичном. Надо доказать, что {fa(x)} предкомпактно, т.е.
У s > 0 найти для него конечную £:-сеть.
Рассмотрим произвольную функцию f(x) е І^ІХ). Пусть р> 0 и
fp(x)= \ f(y)(op(x-y)dy - усредненные функции. Снова будем считать, что
функция fix) и все {/„(х)} продолжены нулем на все пространство М".
Ясно, что для всех х е М”
164

/,(*> 1=
J f (y)<Qp(x- y)dy
£ I |/(y)|
eo (x-y)dy<
<
f
Jl/OOf^y \cop\x-y)dy
ѴЖ"
f
J CQp(yz)dz
1
^2
f	\1 f
J cop{z)cop{z)dz
J
i
Л2
J <op(z)(Dp(z)dz
\]¥p
Функция <0p бесконечно дифференцируема, в частности, непрерывна, на
шаре радиуса р, который замкнут и ограничен, значит, компактен, значит, по
теореме Вейерштрасса об ограниченности, Зс > 0: при \z\< р со (z) < с
Тогда Ѵхі
|/„(ф
ж ,	(_	,
2
= С 2
{ с0p(z)dz
= с2
Та-
{ cop(z)dz
Vlzl-^ j	ѵжп
ким образом, если {,/а (х)| ограничены в L, какой-то константой, то Ѵр > О из
полученного неравенства следует, что усредненные функции для всех функций
fa (•*) равномерно ограничены (в частности, на X). Применяя это же неравен-
.	I
ство к разности /(х + z) - f(x), получим I fp(x + z) - fp(x)I < c21f{x + z) - f{x)||2.
Поскольку множество {fa(x)} равностепенно непрерывно в среднем квад¬
ратичном, то >0 3£>0: VzeM” Уа |z|<£ ||/а(х + z)- /я(х)||2 < Тогда
>2
Ifap(x + z)~ fap(х)| <с2 ■ — = £. Таким образом, Ѵр > 0 [fap(х)} равностепенно
с2
непрерывно на X (поскольку это верно и для тех |z| < 8, для которых х+z e X).
Итак, множество усреднений наших функций равномерно ограничено и
равностепенно непрерывно, значит, по теореме Арцела-Асколи, оно предком¬
пактно в пространстве С(Х). Тем самым, Уе > О для j/w/,(x)j в пространстве
е
С(Х) можно построить конечную
2<Jv
-сеть	, где V - объем множе¬
ства X. Значит, Ѵр>0, У а Зк = \,п:
е
ар
-fk\c(x =sup|/^W-AW
C{JL> хеХ
2ѴЙ’
т.е. Vx e X \fap (x) - fk (x)| < —j=. По теореме о сходимости усредненных функ-
2уѴ
f2
ций в L2 f ^ f т.е. р можно подобрать таким образом, чтобы fap fa
р->0
Тогда Зк = 1,п: У а и выбранного р \fa —/*||2 НК- fap fap f к
<
165

1
^2
^-ачі/.-лік+іji4,w-/twi2^ <f+|i&r
£
2
£
+ —
2
i
Лг
= £. Таким образом,	/и является конечной £• -сетью для
V V J
множества {fa (х)} в пространстве .
Теорема доказана.
Замечание: отметим, что доказанное утверждение переносится на случай
произвольного пространства Lp(X) с условием равностепенной непрерывности
в среднем степени р (см. задачи 4-6).
Примеры решения задач
1.	Будут ли нормы ІЫІ = max|x(Ol + niax|x'(Ol и IML = Г|х(ОІ^* + тах|х'(П|
11 111	/е[0Д] 1	1	»е[0Д]	2 о	ге[°Д] 1	1
эквивалентными в пространстве С(1) [од]?
1 1
Решение: очевидно, что ||х(Д|^<тах |х(г)||к/г = тах|хД)|, значит, по-
1
скольку ||х||2 = J|x(0|d? + max|x'(f)| < max|х(?)| + max|х'(0| = |НІі? то норма ||х||2
подчинена норме ||х|| . По теореме об эквивалентных нормах достаточно уста¬
новить полноту пространства С(1) [ОД] относительно обеих норм.
Пусть хиД)еС(1) [ОД] - фундаментальная по норме ||х|| последователь¬
ность, т.е. \/£>0 3N gN: \/m,n>N lix -xJL <£, откуда max\x(t)-xm(t)\ +
II пт мд	^	/е[0Д] 1	1
+ тах|хл'(0-хот'(0|<^, т.е. V?e[0,l] \xn(t) - xm(t)\ < £ и \xn\t) - xm\t)\< £.
Таким образом, последовательности xn(t) и хп'(/) равномерно фундаменталь¬
ны, значит, в силу критерия Коши, они сходятся равномерно, т.е. xn(t) x(t) и
П—»0о
хп '(t) =4 x'(l) (по теореме о дифференцируемости предельной функции произ-
П—»00
водная предела оказалась равна пределу производной). По теореме о непре¬
рывности предельной функции х(і) и х'(/) непрерывны, т.е. х(і) е Сг1) [од]. Пе¬
репишем определение фундаментальности в виде \/s > О 3N е N: Ѵт,п > N
х.
- хД < -, откуда Vr е [0,l] |хп(Д - xm(t)\ < - и |xn ’(t) - xm '(f)| < - • Переходя к
166

s	s
пределу при m—>oo, получаем, что V?e [ОД] |ж,(0-4г)|£- И |:сД0-*’(0|<-,
S S S
откуда ||х„ - jell, = max|х„ (t) - х(?)| + max \x'(t)-x'(t)\< —+ — = — <£, а это и означает,
J 11 n 111 цод]1 n	1	/б[од]' n	1	4	4	2
что последовательность xn (t) сходится в С(1) [од] по норме ||х||.
Пусть теперь хи(?)еС(1) [од] - фундаментальная по норме ||х||2 последова¬
тельность, т.е. V£>0 3N eN: \/m,n>N ||хи -хт||2 <£> откУДа получаем, что
i
fk(?) -xm(t)\dt + max|xK '(?) -xm '(?)| < s. Следовательно, \ft e [0,l] \xn '(?) - xm '(?)| < £,
J 1	?€[0,ll
0	1 J
1
и \\xn(t)-xm(t)\dt <s. Таким образом, в силу критерия Коши хп'(?) =4 (р(і), а
j	п—^со
О
последовательность хй(?) является фундаментальной в А [ОД]. Поскольку
ц
ГОД] - банахово, то xn(t) —» х(?). По теореме о связи видов сходимостей
L	J	П-^ СО
М
xn(t) —> x(t), откуда, по теореме о связи сходимостей по мере и почти всюду
п—>СС
П.в.
следует, что Зх (?) —» х(і).
£-»«>
Пусть t0 е [0,і| - какая-то точка, в которой хп (?0) —» х(?0). Рассмотрим по-
следовательность х' (?) и проинтегрируем ее в пределах от ?0 до ?:
t
[.< (т)сіт = X (г) = х (?) — х (?0). Поскольку х„'(?) =4 (pit), то X (?) =4 (pit) .
" к	к г0	П-*0	*	»оо
го
Переходя к пределу при к —» оо, по теореме о предельном переходе под знаком
t
интеграла Римана, получаем, что Ѵ?е[0,і] |(р{т)(іт = 1imxn (?) - х(/0) откуда
-	и.е.	w.e.	*
limxn^ (?) = х(?0) + J (р(т)сіт. Поскольку хщ (?) —» х(?), то х(?) = х(?0) + J (р(т)сіт.
го	(о
Поскольку х(?) е А [ОД], то х(?) - это класс функций, равных почти всюду
t	t
функции х(?0) + jV(r)Jr . Поскольку x(?0) + jV(r)dr - непрерывно дифферен-
го	го
цируема, то х(?) непрерывно дифференцируема почти всюду.
Ясно, что функцию х(?) можно доопределить на множестве нулевой меры
t
так, чтобы равенство х(?) = х(?0) + J (р(т)сіт было верно всюду. При этом с точки
го
зрения пространства ^[0,1] функция х(?) осталась прежней. Однако, теперь
167

x(i) G C(1) [0,1] и, кроме того, VfG [ОД] x\t) = (p(t). Перейдем в неравенствах
i
М<)-Ѵ(0|<г,и JK (/) — Am<£ к пределу при т—>°о и получим V?е [од]
о
i	i
\xn'(t)-x'(t)\<s и j\xn(t) - x(t)\dt < £, откуда j*|jce(f) —	+ поах|л:и '(0 — jc'(0| <2^ >
о	о
т.е. последовательность xn(t) сходится в С(1)[0,і] по норме ||х||2.
2.	Предкомпактно ли в /^[ОД] множество хп(t) = sinnnt при я e N ?
Решение: предположим, что множество предкомпактно, тогда в силу кри¬
терия предкомпактности оно равностепенно непрерывно в среднем квадратич¬
ном, т.е. Ѵ£*>0 3£>0: Vz ѴяgN \z\<S \s\nn7r(t + z)-sinn7rt\2<£, т.е.
1
Vo
i
I(sinnn{t + z) - sinrurtf dt
i
^2
<£.
/
Пусть z = —, тогда |z| = — < 8, начиная с некоторого номера, значит,
я	я
f i
J(sinn;r(£ + z)
sin rmtfdt
f i
J (sin(n^ + 71)
sin n7Ttfdt
1 ¥
4-J sin2 rmldl	=	.
Vo	У Vo	/Ѵо	у
Выбирая £ < /2 , получим противоречие определению равностепенной не¬
прерывности в среднем квадратичном. Значит, множество не является пред-
компактным.
Задачи для самостоятельного решения
1.	Доказать, что если X - ограниченное множество в К", то любая функ¬
ция feLp(X) непрерывна в среднем в степени р при р> 1 и рф2 (рассмот¬
реть также возможный случай А0 = 0, см. доказательство теоремы о непрерыв¬
ности в среднем квадратичном).
2.	Доказать, что в линейном пространстве непрерывных на \a,b\ функций
I ѵ	\2	I 0
норма NI Н	эквивалентна норме NIL ~ jv(t)\x(t)f dt
, где v(t) не-
\а	У	Vе	У
прерывна на [а,Ь] и v(t) > а > 0 на \a,b].
3.	Доказать, что усредненные функции бесконечно дифференцируемы в
любой точке своей области определения.
4.	Пусть р> 1 и рФ 2, / <е Lp(X), X - ограниченное множество в К",
fp - усредненная функция. Доказать, что / —» /.
168

5.	Доказать, что множество бесконечно дифференцируемых функций яв¬
ляется всюду плотным в пространствах С(Х) и Lp(X), где X - компактное
множество в К", при р > 1 и рФ 2.
6.	Пусть X - компактное множество в Мл. Доказать, что множество
{fjx)}gLp(X) при р > 1 и рф2 является предкомпактным тогда и только то¬
гда, когда:
1.	{fa(x)} ограничено в пространстве Lp;
2.	{fa(x)} равностепенно непрерывно в среднем в степени р .
Указание: множество функций {fa(x)} g L (X) называется равностепен¬
но непрерывным в среднем в степени р, если Vs> 0 3^>0: Vz Va |z|<c>
\\fa(x + z)-fa(x)\\p<e.
1-г
_ тт	1	, ч	при Л < 1,
7. Доказать, что функция <у1(?) =
О	при \t\ > 1
(-со, +оо) является единичным ядром усреднения.
1
—e
с
i i
где с = f е 1-т2 dz ,
8. Доказать, что для ядра усреднения со (t) = —col
Р
f-1
kPj
(см. предыдущую
задачу) справедливо неравенство:
d G)p(t)
dxk
< ckp 1 k, где ck - некоторые посто¬
янные, не зависящие от р, к = 0,1,2,...
и
9. Доказать, что ]hn^\f(x + h)-f(x)\Pdx = 0, если /^Lp((a,f3),dx) и
а
[a,b]cz(a,/3).
+00
10.	Пусть /eL^	. Доказать, что lim | |/(х + h) - f(x)\P dx = 0.
—00
11.	Предкомпактно ли в /^[0,1] множество ха (/) = sin at при a g [1,2]?
12.	Предкомпактно лив [0,і] множество xa(t) = cos at при a g [1,2]?
13.	Предкомпактно лив [0,l] множество xa(t) = et+a при a g [3,10]?
14.	Предкомпактно ли в Lp [о.і] множество xn(t) = f при п g N ?
Указание: показать, что у любой последовательности элементов множе¬
ства можно найти сходящуюся в Lp [о.і] подпоследователъност ь.
15.	Предкомпактно ли в Lp [о.і] множество xn(t) = (at)n при hgN?
16.	Предкомпактно ли в Lp [о.і] множество xn{t) = sm(t + ri) при «gN?
17.	Предкомпактно ли в Lp [о.і] множество xa(t) = e‘ а при <2g[0,+oo)?
169

18.	Предкомпактно ли в [О,і] множество xa(t) = arctga t- — при деК?
ѵ
Указание: показать, что у любой последовательности элементов множе¬
ства можно найти сходящуюся в Lp 10,1] подпоследовательност ь.
при neN?
п—1	1
19.	Предкомпактно ли в Lp [0,1] множество xn(t) = n 3t + — ft
Vй )
Указание: показать, что у любой последовательности элементов множе-
3
сходящуюся в Lp 10,1] при 1 < p < — подпоследователь-
ства можно найти
ность. Проверить, что 0 < n
( i—г	Л
3lt + 1 - ft
V n ,
<
1
/Р
и вывести отсюда оценку
ѣ,
31 +
1 - /t
V
n,.
1
У
3ft
<
1
//ft
, после чего воспользоваться теоремой Лебега об
ограниченной сходимости.
20. Предкомпактно ли в L2 [0,1] множество xa(t) = ta при а >-1 ?
Указание: найти в множестве последовательность, из которой нельзя
выбрать сходящуюся в L [0,1] подпоследовательность.
21.	Предкомпактно ли в /^[0,1] множество xn(t) = lnnt при неN?
Указание: показать, что подпоследовательность с четными номерами не
может сходиться почти всюду.
t	1
22. Предкомпактно ли в L2 [0,1] множество x(t) = |y(r)dr, при ||у(z)|2 dz< 1?
0	0
2/. Предкомпактно ли в L2 [0,1] множество t2 < x(t) < t ?
Указание: рассмотреть последовательность xn(t) = t2 + (t -12)sin2 nt и
показать, что любая ее подпоследовательность не имеет предела в К [0,1].
24. Доказать, что в пространстве L2(M) всюду плотное множество образу¬
ют непрерывные финитные функции. Доказать, что L2(M) сепарабельно.
Указание: используя теорему Лебега показать, что при достаточно
большом N
< —, приблизить f NN] непрерывной функцией g на
f - f Z[
отрезке [-N, N] (за пределы отрезка продолжить g нулем) и при достаточно
малом а приблизить f непрерывной финитной функцией ga =
g, |x| <N
0, |x| > N + а
линейная на
оставшихся частях
170

Дополнение. Базисы в линейных пространствах
Определение: пусть X - произвольное множество. Отношение < называ¬
ется отношением линейного порядка, если выполнены условия:
1.	Ѵх£ X х<х;
2.	Ѵх, у, z e X из х < у и у < z следует, что х < z;
3.	Ѵх, у e X из х < у и у < х следует, что х = у;
4.	Ѵх, у e X либо х < у, либо у < х.
Замечание: ясно, что обычные неравенства этими свойствами обладают.
Определение: пусть X - произвольное множество. Отношение < называ¬
ется отношением частичного порядка, если выполнены только условия 1-3
предыдущего определения.
Замечание: приведем пример отношения частичного порядка, не являю¬
щегося отношением линейного порядка.
Пусть
Х=К2 и
(ХрУ^Сх^)^
Г Xj < х2
Ьі ^ У 2
(это отношение называется
“выше и правее”).
Щ ,Уі)
Ь=(К2.У2)
О
В этом случае неравенство а < b В этом случае ни одно из неравенств
верно.	а<ЬиЬ<ан& является верным.
Таким образом, не для всех точек М2 при таком отношении выполняется
свойство быть сравнимыми.
Определение: пусть X - частично упорядоченное множество, ЯсХ -
его подмножество. Элемент сеХ называется мажорантой для Е, если Ѵх e Е
х < с. Элемент се X называется минорантой для Е, если Ухе Е с < х.
Если X = М2, Е - единичный круг с центром
в начале координат и отношение частичного
порядка задано “выше и правее”, то множе¬
ство мажорант изображено на рисунке (за¬
штрихованная область).
Пример:
171

Определение: мажоранта, принадлежащая множеству, называется его
наибольшим элементом. Миноранта, принадлежащая множеству, называется
его наименьшим элементом.
Замечание: в предыдущем примере таких элементов нет.
Определение: элемент с называется максимальным элементом множества
Е, если сё£ ив множестве Е нет элементов, больших с. Элемент с называ¬
ется минимальным элементом множества Е, если	и в множестве Е нет
элементов, меньших с.
Замечание: в предыдущем примере максимальные элементы лежат на
четверти окружности, отвечающей диапазону углов
Их бесконечно
много.
Замечание: таким образом, в частично упорядоченных множествах
наибольший элемент и максимальный элемент - необязательно одно и то же.
Определение: пусть X - частично упорядоченное множество, £сХ -
его подмножество. Е называется цепью в X , если оно является линейно упо¬
рядоченным .
Замечание: Х=Е2, Е - прямая.
Лемма Цорна: пусть X - частично упорядоченное множество. Если лю¬
бая цепь из X имеет мажоранту, то в X найдется хотя бы один максимальный
элемент.
Доказательство леммы опускается.
Определение: пусть X - линейное пространство, {еа} - какая-то система
векторов в этом пространстве. Эта система называется базисом Гамеля, если:
п
1.	конечная линейная независимость, т.е. из условия ^скек =0 следует,
к=1
что сх = с0 =... = сп = 0 для любого конечного числа векторов исходной системы;
2.	любой вектор хе X можно представить в виде конечной линейной ком¬
бинации векторов исходной системы, т.е. \/хеХ Зеа^еа,...,еа Зс\,с2,...,сп:
п
і=Еса,.
к= 1
172

Определение: пусть X - линейное пространство. Система его векторов
{еа} называется базисом Банаха, если выполнены условия:
оо
1.	из равенства ^скек =0 следует, что У к е N ск = О;
к=\
X
2.	ѴхеХ х = ^скек.
к=1
Замечание: базис Банаха существует не во всех пространствах.
Теорема (о существовании базиса Гамеля): в любом линейном простран¬
стве существует базис Гамеля.
Доказательство: рассмотрим множество Е, элементами которого явля¬
ются всевозможные системы векторов {еа}, обладающие свойством конечной
п
линейной независимости, т.е., из ^ckek = 0 следует, что сг = с2 =... = сп = 0.
k=1
На множестве Е введем отношение частичного порядка следующим обра¬
зом:	если всякий еа е \еа} тем более принадлежит Покажем,
что в так построенном множестве Е всякая цепь имеет мажоранту.
Пусть имеется цепь, т.е. такое множество линейно независимых в конеч¬
ном числе систем, что из любых двух систем одна содержится в другой. Рас¬
смотрим объединение векторов из всех этих систем. Ясно, что это объединение
все эти системы содержит и нужно убедиться, что оно принадлежит множеству
Е, т.е. само является линейно независимой в конечном числе системой.
Действительно, если мы возьмем п векторов е1,...,еп из этого объединения,
то каждый из них какой-либо своей системе принадлежит. Поскольку вектора
еѵ...,еп выбираются из цепи, т.е. из набора вложенных друг в друга систем, то
все эти вектора принадлежат одной, самой большой из этих систем. Эта самая
большая система состоит из линейно независимых в конечном числе векторов,
т.к. все системы были такими. Тем самым вектора е1,...,еп линейно независимы.
Итак, выполнено условие леммы Цорна, согласно которой в нашем мно¬
жестве Е найдется хотя бы один максимальный элемент, т.е. такая линейно не¬
зависимая в конечном числе система, больше которой систем уже нет, т.е. при
добавлении к ней любого другого вектора она уже перестает быть линейно не¬
зависимой в конечном числе. Покажем, что она и является нужным нам бази¬
сом Г амеля.
Пусть {еа} - максимальная система. Берем любой вектор х и нам его
нужно выразить через конечное число векторов из этой системы. Добавим х к
этой системе и рассмотрим новую систему {*>{£„}}• Поскольку {еа} - макси¬
мальная линейно независимая в конечном числе система, то новая система уже
не является линейно независимой в конечном числе, т.е. из условия
АцХ + \еа^ +	+... + \еа = 0 следует, что не все Лк равны нулю.
173

а) Пусть Л0 = 0, тогда \еа^ +	+... + Лпеа = О, причем не все оставшиеся
Лк равны нулю. Это противоречит линейной независимости в конечном числе
системы {еа}. Итак, данный случай невозможен.
2	о	д
б)	Пусть Л0 ф 0, тогда х = -—еа - —еа -...—-еа , т.е. любой элемент х
Л 1 Л 2 Л и
представили в виде конечной линейной комбинации элементов системы {еа}.
Значит, система {еа} является базисом Гамеля.
Теорема доказана.
Упражнение: доказать, что банахово X пространство со счетным бази¬
сом Банаха является сепарабельным.
Указание: показать, что множество
плотное в X.
174

РАЗДЕЛ 3. ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
ЗЛ. Пространства со скалярным произведением
Определение: линейное пространство Е с введенным на нем скалярным
произведением и нормой ||х|| = л](х,х), называется евклидовым.
Замечание: напомним, что скалярным произведением на линейном ком¬
плексном пространстве X называется отображение, которое любым элементам
х,уеХ ставит в соответствие комплексное число (х,у) со следующими свой¬
ствами (аксиомами скалярного произведения):
1.	Vx g X (х, х) > 0;
2.	(х,х) = 0 <» х = 0;
3.	Ѵх, у e X (х, у) = (у,х);
4.	Vx,y,zeX ѴДеС (x + y,z) = (x,z) + (y,z), (Лх,у) = А(х,у), (х,Лу) = Л(х,у).
Теорема (неравенство Коши-Буняковского): пусть Е - евклидово про¬
странство, тогда \/х,уеЕ |(х,у)|<||х||||у||, причем равенство в нетривиальном
случае (х^Ои у^О) достигается тогда и только тогда, когда х = Лу, Л е С.
Доказательство: рассмотрим функцию <р(г) = (х + гёѳу,х + гёѳу)> 0, где
геМ, Ѳ = arg(x,у), т.е. (х,у) = |(х,у)\еіѲ. Используя аксиомы скалярного произ¬
ведения, получаем <p{r) = (х,х) + (х,геіѲу} + (геіѲу,х} + (геіѲу,геіѲу^ = \\x\f +
+ге~іѲ (х,у) + геіѲ(х, у) + геіѲге~іѲ ||у||2 = ||х||2 -г 2|(х, у)|г + г2 ||у||2 > 0. Получили квад¬
ратный трехчлен с действительными коэффициентами относительно перемен¬
ной г, принимающий неотрицательные значения, следовательно, его дискри¬
минант 4|(х,у)| -фЦ2 ||у||2< 0, откуда следует неравенство. Допустим, что
|(х, у)| = ||х|| - ||у||, т.е. дискриминант обратился в 0, поэтому, при некотором зна¬
чении г (р{г) = (х + геіѲу, х + геіѲу) = 0, т.е. х + геіѲу = 0, откуда х = -ге,ѳу = Лу.
Если х = Лу или х = 0,или у = 0, то равенство |(х,у)| = ||х||-||у|| очевидно.
Теорема доказана.
Теорема (свойства нормы в евклидовом пространстве): пусть Е - ев¬
клидово пространство, тогда число ||х|| = у/(х,х) удовлетворяет всем аксиомам
нормы.
Доказательство: 1. ||х|| = ^/(х,х) > 0.
2.	||х|| = 0 <» ^/(х,х) = 0 <^> (х,х) = 0 <^> х = 0.
3.	\\Лх\\ = ^(Лх,Ах) = ^ЛЛ(х,х) = ^|Я|2 (х,х) = |Я|^/(х,х) = \Л\ • ||х||.
4.	||т + уI = ^(х + у,х + у) = ^(х,х) + (х, у) + (х, у) + (у, у) = 7||x||2 + 2Re(x, у) + \\y\f <
£VlHI2+2l4>’)|+W2	•
175

Здесь использовали неравенство Коши-Буняковского, а также свойства
z + z =2Rez и Rez<|z|.
Теорема доказана.
Теорема (о непрерывности скалярного произведения): скалярное произ¬
ведение - есть непрерывная функция по совокупности аргументов.
Доказательство: пусть при н—»оо хп —>• х, уп —> у, тогда числовые по¬
следовательности ||хй|| и ||уй|| ограничены. Пусть М - их верхняя граница. Кро¬
ме того, ||хй - х|| —» 0 и 1^ —	—> 0, тогда
|(А> Уп) - (х, у)| = I (хп,уп) - (хп, у) + (х„, у) - (х, у)| < |(х„, уп) - (хп, у) I + |(х„, у) - (х, у)| =
= \(хп, уп - у)| + \{хп - X, у)| < ІКІ • \\уп - у|| + ||хй - х|| • \\у\\ < МIуп - уI + ||хй - х|| • \\у\\.
Переходя в неравенстве к пределу при ц—»<х>, по теореме о двух милицио¬
нерах, получаем, что |(хп,Уп)~(х,у)|->■ 0, что означает, что (хп,уп)—>(т,у)•
Теорема доказана.
Определение: пусть Е - евклидово пространство и вектора х,уеЕ. Эти
вектора называются ортогональными, если (х, у) = 0. Обозначение: х _І_ у.
Замечание: легко видеть, что Ух еЕ (х,0) = (0, х) = 0 (т.к. О = х - х).
Теорема Пифагора: пусть Е - евклидово пространство и вектора х,уе£,
причем х _І_ у. Тогда ||х + у||2 = ||х||2 + ||у||2.
Доказательство: ||х + у||2 = (х + у,х + у) = (х,х) + (х, у) + (х, у) + (у, у) = ||х||2 + ||у||2.
Теорема доказана.
Замечание: геометрически теорема означает, что квадрат “гипотенузы”,
равен сумме квадратов “катетов”.
Теорема (равенство параллелограмма): пусть Е - евклидово простран¬
ство и вектора х, у e Е, тогда IIх + У( + IIх “ Т||2 = 2||х||2 + 2||у||2.
Доказательство: ||х+ у||2 + ||х-у||2 = (х+ уд+ у) + (х-у,х-у) = ||х||2 + (х,у) + (х,у) +
ФГ + ИГ - (х, у) - (X, у) + И2 = 2||х||2 + 2||у||2.
Теорема доказана.
Замечание: геометрически теорема означает, что сумма квадратов диаго¬
налей “параллелограмма”, равна сумме квадратов всех его сторон. Для того
чтобы в нормированном пространстве можно было ввести скалярное произве¬
дение, порождающее имеющуюся норму, необходимо и достаточно, чтобы для
любых его элементов х и у выполнялось равенство параллелограмма. Это
утверждение предлагается доказать самостоятельно (задачи 26, 27).
Определение: углом между векторами х и у действительного евклидова
пространства Е называется угол $?е[0,;г] такой, что cos (р =
Определение: пусть Е - евклидово пространство, элементы ХрХ2,...,хй е Е.
Определителем Г рама этих элементов называется определитель
176

T(xl,x2,...,xn) =
(*i,x2)	... (x^xj
(x2,^)	(x2,x2) ...	(x2,xn)
(xra,x2) ... (xn,x„)
Теорема (критерий линейной зависимости): пусть Е - евклидово про¬
странство, элементы х,,х2,...,хи e Е. Эти элементы являются линейно зависи¬
мыми тогда и только тогда, когда Г(ХрХ2,...,х„) = 0.
Доказательство: пусть аххх + а2х2 +... + апхп =0. Умножая скалярно это
равенство последовательно на х{, х2,..., хп (справа), получим СЛАУ GA = 0,
где G - транспонированная матрица Грама, А - столбец из чисел ах,а2,...,(хп.
Поскольку однородная СЛАУ имеет нетривиальные решения тогда и только то¬
гда, когда ее определитель равен нулю, а определитель при транспонировании
не меняется, то получаем, что коэффициенты ах,а2,...,ап не равны нулю одно¬
временно тогда и только тогда, когда Г(ХрХ2,...,хп) = 0.
Теорема доказана.
Замечание: необходимым и достаточным условием линейной независимо¬
сти элементов ХрХ2,...е£ является: ѴнеN Г(хрх2,...,хй)^0.
Определение: гильбертовым пространством Н называется полное евкли¬
дово пространство.
Замечание: гильбертово пространство Н является полным в смысле мет¬
рики /э(х, у) = ||х — у||.
Примеры гильбертовых пространств: а) Комплексное пространство /2.
Если х = (<^ѵ42,...Дп,...)е12 и y = (TjvTj2,...,Tjn,...)el2, то скалярное произведение
со
вводится следующим образом: (х, у) = ^4/7/ • Сходимость ряда вытекает из не-
і=1
равенства Гельдера для рядов. Аксиомы скалярного произведения проверяются
элементарно. Равенство параллелограмма очевидно.
б) Пространство	Если x(t) е L2[a,b] и y(t) е	то скалярное
произведение вводится следующим образом:
и
(х,у) = ^x{t)y{t)dt . Сходимость
интеграла вытекает из неравенства Гельдера для интегралов. Аксиомы скаляр¬
ного произведения и равенство параллелограмма очевидны.
Примеры решения задач
1. Пусть а = (а1,а2,...) - фиксированная последовательность положитель¬
ных чисел, 12а - пространство последовательностей х = (<^1,^2,...), удовлетво-
со	2
ряющих условию ^аи|£и| <+оо. Пусть у = (^,^2,...)е/2а. Доказать, что 12а со
/2—1
177

скалярным произведением (х,у) = ^ап4п?]п является гильбертовым простран-
П-1
ством.
Решение: по определению гильбертова пространства нужно доказать, что
оо
число (х, у) = ^(хп^пі]п конечно и удовлетворяет аксиомам скалярного произве-
п=1
дения, а также, что 12а полно по норме ЦлсЦ = Т^ап
V п=1
Поскольку |4|2-2|4|-kl + k|2 = (|4|-kl)2^0, то |4|-kN^(fer+k|2)-
Отсюда следует, что ап\%п\-\г]п\<^-^п^ +|/7„|2j и в силу сходимости рядов
оо 2	00	2	00
іх k I и '^осп \г]п\ получаем, что ряд ^(хп^пт]п сходится абсолютно.
п=1	п=1	и=1
Выполнение аксиом скалярного произведения очевидно. Осталось доказать
полноту 12а, т.е. по определению полноты, что любая фундаментальная после¬
довательность в 12а имеет предел.
Пусть	=	,^2k\...^k_^el2a - фундаментальная последовательность,
кеЩ. По определению фундаментальности \/s> 0	3&0eN:	Vl,m>k0
00 2
<s2. Это означает, что ^ап <^(/) -%(пт) <е2. Поскольку каждое сла-
х(1)-х(т)
п=1
гаемое неотрицательно и вся сумма меньше, чем е , то каждое слагаемое тем
более меньше, чем s1, т.е. ѴнеN ап-<^т) <е2. Поскольку ай>0 и фик¬
сированы, то ѴнеN	<-Д=,т.е. V/igN последовательность	-
фундаментальна, но Ѵи g N это уже числовая последовательность, значит, для
нее справедлив критерий Коши, согласно которому она имеет предел, т.е.
31im^w =%n. Составим вектор х =	и покажем, что х{к) -» х. Для
со	&-»со
этого надо показать, во-первых, что х g і2 и, во-вторых, что
- X
0.
А:—ко
Поскольку фундаментальная последовательность всегда ограничена, то
3с>0:
Лк)
— с, т.е.	значит ѴУѴ g N тем более
Ык)\
п=1
И=1
Поскольку это уже конечная сумма, то можно перейти к пределу при к —> оо и с
N
учетом того, что	=^п, получить, что іхкі -с2> т-е- ряд іхкі
Я=1
Ц=1
сходится в силу критерия Вейерштрасса, значит xg/2[I.
178

Перепишем теперь условие фундаментальности в виде \/s>0 Зк0 e N:
°о	2	(^
Ук,т>к0 ^ап^(пк> -%{пт] < - , значит, тем более, \/N e N ^ап \%{пк)~%{пт)
п=\	\2у	И=1
Снова сумма конечна и значит можно перейти к пределу при т —»со и, с уче¬
том того, что Пт 4(т) =4, получить Yan№k)-gn
п=1
со
при А—»оо, получаем, что	~%п
2
^ £Л
<
uJ
г ел
UJ
. Переходя к пределу
Г „Л2
откуда
хда - X
<
<е2,
значит, окончательно получаем, что Уе > 0 Зк0 e N : Ук> к0
х(к) - X
S
ѵ2у
< s, т.е.
12 ,а
х{к) —» х.
к-> со
2. Доказать, что в нормированных пространствах //; (/;>!, р* 2)и С[ОД]
норма не порождается скалярным произведением.
Решение: рассмотрим в lp (р> 1, р^2) два вектора х = (1,1,0,0,...) и
у = (1,-1,0,0,...). Проверим, что для этих векторов не выполняется равенство
параллелограмма. Ясно, что х+у = (2,0,0,...), х-у = (0,2,0,0,...). Таким обра¬
зом, ||х + уI = yj2p + 0Р +0Р + ... = 2 и, аналогично, ||х - у|| = 2.
у
Тогда ||х + у||2 + ||х — у||2 = 8. Далее, ||х|| = %Jlp + F + (F + (F +.. = 2Р. Анало-
2
Р
гично, |у| = фр + |-і|Р + 0Р + 0Р -г.. = 2Р. Тогда 2||х||2 + 2||у||2 = 2-2р + 2-2Р = 4- 2
Ясно, что х =sup
[0,1]
= 7 и |у|| =
2	[од]
1
—t
2
Поскольку р ф 2, то равенство 8 = 4 • 2Р или 2 = 2Р - неверно.
Рассмотрим в С[0,і] две непрерывные функции x(t) = — и y(t) = —t. Про-
2 2
верим, что для этих функций не выполняется равенство параллелограмма.
тогда 2||х||2-г 2||у||2 =1. Также
1
—, значит
2
IIх + ^|2 + IIх - тГ = “ > 1 > т.е. равенство параллелограмма не выполняется.
3.	В действительном линейном пространстве определенных на (-оо,+оо)
+х
функций x(t) таких, что интеграл J |х(/)|2 е~( dt сходится, введем скалярное
—X
+х
произведение по формуле (х,у) = J x(t)y(t)e~‘ dt. Доказать полноту этого про¬
очевидно, что ||x+y|| = sup
1 1
	1	1
= 1, IU — yll = sup
1 1
	1
[ОД]
2 2
II 11 r
[0,1]
2 2
странства.
179

Решение: обозначим рассматриваемое пространство L, норма в нем опре-
1+СО
делается по формуле ||x||L = J |х(/)|2 e~l dt.
-12
Пусть x(t),y(t)e L. Поскольку |х(0|-|у(0|^ -	+ |j(0|2 j (анало-
-Ко
гично примеру 1), то, в силу сходимости интегралов ^\x{t)^е~* dt и
—00
+00	+00
I |у(?)|2 е 1 dt, интеграл | x{l)y{l)e~l dt сходится абсолютно и удовлетворяет
—оо	—оо
всем аксиомам скалярного произведения, т.е. скалярное произведение опреде¬
лено корректно. Далее можно провести доказательство полноты по аналогии с
теоремой о полноте пространства Lp при р> 1. Укажем еще другой способ.
+00
Поскольку функция е 1 неотрицательна и j е 1 dt = 4iг, т.е. e 1~ суммиру-
—00
ема на (-оо,+оо), то функция ju(A) = Jе~1 dt определена для всех измеримых
л
подмножеств А а (-оо,+оо), неотрицательна и сг — аддитивна, т.е. является ме-
_л
рой. Тогда, если d/u = e dt, то очевидно, что пространство L представляет со-
+со
бой пространство	причем, поскольку /z(M) = Jk///= J e~' dt = Ѵтг, то
E	-со
СДЖ,dju) является полным пространством, как всякое пространство Lp(E,dfi)
при условии, что число ц{Е) - конечно. Следовательно, L также полно.
4.	Пусть Н - гильбертово пространство,	||хл||<1, |ул|<1,
(*„, Уп) ->1, и e N. Доказать, что ||хл - ул|| -> 0.
Решение: Оф„ -уп\\ = уІ(хп -уп,хп -уп) =>/(x„,x„)-(xB,yB)-(x„,y„) + (y„,y„) =
= у||хп||2-2Re(xn,yn) + ||yn||2 <^2-2Re(xn,yn). Переходим в неравенстве к пре¬
делу при п->оо и, учитывая, что (хл,ул) -+l<^>Re(xn,y„) ->1, Іт(хл,ул) -+0,
получаем, что ||хл - у„|| —>0.
Задачи для самостоятельного решения
1.	Проверить аксиомы скалярного произведения в примерах гильбертовых
пространств, приведенных в теоретической части.
2.	Доказать, что в гильбертовом пространстве для любых элементов х, у,
2
z справедливо тождество Аполлония: ||z - х||2 + ||z - у||2 = -^||х- у||2 + 2
z —
х + у
180

3.	Доказать справедливость в гильбертовом пространстве поляризационно¬
го тождества: 4(х, у) = ||х + yf -||х- у||2 + i\x + iyf -z||x-z'y|2.
4.	Доказать, что в нормированном пространстве с0 норма не порождается
скалярным произведением.
Указание: рассмотреть последовательности хп =
( 1 >
и уп =
( 1 ^
1 2 У
1 4 J
5.	Доказать, что в нормированном пространстве Д норма не порождается
скалярным произведением.
Указание: рассмотреть последовательности хп = (1,1,1,...) и уп =(1,0,0,...).
6.	Доказать, что в гильбертовом пространстве справедлива теорема Пифа-
п	2 п	2
гора (обобщенный вариант): если (xk,xt) = 0 при ktl и х = ^хк, то ||х|| = ^||xj .
к=1
к=1
7.	Доказать, что в гильбертовом пространстве для любых элементов х, у,
z и t справедливо неравенство Птоломея: ||*-ф||у-і||^||*_у||‘||г-4ЧЬ_гНх_Ф
8.	Определяет ли в М” скалярное произведение функция $>:КихМи—
если:
п
а)	<д(х,у) = ^(4+т/Д;
к=1
п
б)	ср(х,у) = ^Цк11к,
к=1
где х =	О и у = {ijx,ij2,...,rin).
оо
9.	Доказать, что функция {х,у) = ^ак^кг[к, 0<ак<\ (Уке N), где
к=1
х =	, у = (rjvrj2,...) определяет скалярное произведение в /2. Будет ли по¬
лученное пространство гильбертовым?
Указание: при проверке полноты взять ак=Хг, воспользоваться теоре-
к
мой об эквивалентных нормах в банаховых пространствах и рассмотреть по-
( \
следовательность хк =
V к	J
10.	В действительном линейном пространстве определенных на [0,+°о)
+х
функций x(t) таких, что интеграл J |х(т)|2 e~‘dt сходится, введем скалярное
о
+Х
произведение по формуле (х, у) = J x{t)y{t)e~‘dt. Доказать полноту этого про-
о
странства.
181

11.	Пусть в нормированном пространстве Е справедливо равенство ромба:
IIх + yf + IIх - yf = ^ ПРИ любых х,уеЕ таких, что ||х|| = |у| = 1. Доказать, что в
Е можно ввести скалярное произведение, порождающее имеющуюся норму.
12.	Показать, что в гильбертовом пространстве сумма векторов и произве¬
дение вектора на число непрерывны, т.е. если при оо х„ —»х, уп^у (по
норме), и Ап —» А (как числовая последовательность), то хп + уп —» х + у и
Лпхп Ях.
13.	Пусть Н - гильбертово пространство, {хи},{уи} с Я, ||xj = l, |уи| = 1,
neN. Доказать справедливость утверждений:
а)	(хп’3;„)^1^>К-3;„|НО;
б)	|хл + )п| “^ 2 => ||хга - уга| —» 0.
14.	Пусть Н - гильбертово пространство, х,уеЯ. Доказать, что равен¬
ство ||х|| +1у|| = ||х + уI выполняется тогда и только тогда, когда или ||х|| = 0, или
у = Ах при некотором А> 0.
15.	Найти угол (р между элементами х(/) = sin/ и y(t) = t в пространстве
Ь2[ 0, я].
16.	Найти углы треугольника, образованного в пространстве /^[-1,1] эле¬
ментами хх(0 = 0, х2(0 = 1 и х3(0 = t.
ъ	ъ
17.	Доказать, что функция (х,у) = ^x(t)y(t)dt + ^x'(t)y'(t)dt определяет ска¬
лярное произведение в (действительном) пространстве С(1)[я,Ь].
18.	Определить, являются ли в пространстве Ь2 [0,;г] элементы х, (/) = 1,
х2(0 = cos 2?, х3(г) = sin2t линейно независимыми.
19.	Определить, являются ли в пространстве /^[-1,і] элементы х,(/) = 1,
х2(?) = t, x3(0 = t2 и х4(0 = 0 линейно независимыми.
20.	Определить, являются ли в комплексном пространстве	элемен-
1. . t—a
ты xn(t)= i е ь~а, при п e N U {0} линейно независимыми.
у/Ь-а
21.	Доказать, что пространство Ьр [0.1] не является гильбертовым ни для
каких рФ 2.
Указание: рассмотреть вектора х(/) =
'
1, t e
о,-
'
<
2j
(V
и y(t) = <
р
m
U .
О, te
(
1, te
\
“■і
Й
182

22.	Доказать, что в действительном гильбертовом пространстве Н элемен¬
ты х и у ортогональны тогда и только тогда, когда ||х||2 + ||у||2 = ||х + у||2. Верно
ли это для комплексного гильбертова пространства?
23.	Доказать, что в комплексном гильбертовом пространстве Н элементы
хну ортогональны тогда и только тогда, когда ||/1х||2 + IMfHH'X + Z/.yl2, для
всех Л,//еС.
24.	Пусть Н - комплексное гильбертово пространство и Ѵх,, х2 е // спра¬
ведливо равенство Re(xpx2) = ||х, ||2 = ||х2||2. Доказать, что Xj = х2.
25.	Доказать, что для того, чтобы элемент х гильбертова пространства Н
был ортогонален подпространству L<^H (т.е. ортогонален всем векторам из
L), необходимо и достаточно, чтобы Ѵу e L выполнялось неравенство
||х||<||х-у||.
26.	Пусть некоторая норма удовлетворяет равенству параллелограмма. До¬
казать, что она порождается скалярным произведением, корректно определен¬
ным с помощью поляризационного тождества (см. задачу 3).
Указание: применить равенство параллелограмма к векторам x + ikz и
y + ikz при Л: = 0,1,2,3 и получитъ, что (x,z) + (y,z) = -^(x + y, 2z). Показать,
что (0,х) = 0, (x,2z) = 2(x,z), (x+y,z) = (x,z) + (y,z), откуда получитъ, что
(Лх, у) = Л(х, у) сперва для натуральных Л, затем для чисел вида —, для отри-
п
цателъных чисел, рациональных чисел, и, с учетом непрерывности нормы (см.
п. 2.2. раздела 2), для всех действительных чисел. Проверить, что
(іх, у) = і(х, у) и все остальные аксиомы скалярного произведения.
27.	Доказать утверждение предыдущей задачи для действительного евкли¬
дова пространства, если (х, у) =	+ "2
183

3.2. Проекции векторов в гильбертовых пространствах
Теорема (о кратчайшем расстоянии от точки до подпространства):
пусть Н - гильбертово пространство, L - его линейное многообразие. х£ L,
у e L - вектор, расстояние до которого от х - наименьшее среди всех расстоя¬
ний от х до всех векторов из L. Тогда вектор х— у ортогонален всем векторам
из L.
Доказательство: геометрически описанную ситуацию можно изобразить
как показано на рисунке.
Рассмотрим VceL и Vr e R функцию
й 2
(pit) = х - (у + te1 z) . где Ѳ = arg(x - у, z).
Ясно, что (pit) - это квадрат расстояния
іѲ
от вектора х до вектора y + te z и, по¬
скольку кратчайшее расстояние до векто¬
ра х имеет вектор у, то эта функция
принимает минимальное значение при
2
t = 0, т.е. г = 0 - точка минимума функции (pit) = jc — (у + te10z)
значит
<7>'(0) = 0. Учитывая, что ix-y,z) = \ix-y,z)\eie и. проводя преобразования
(pit), получим	(pit) = (х — y-te‘ez,x- у - tel0z) = ||х- yf - 2г|(х- y,z)| + г ||т|‘.
Далее, (р\і) = -2|(х-у,т)| + 2/||г||", откуда ^'(0) = -2|(х-у,г)| = 0, значит (х-у,г)=0,
что и означает, что (x-y)-Lz. Поскольку г произвольный вектор из L, то
получаем, что вектор х- у ортогонален всем векторам из L.
Теорема доказана.
Определение: пусть Н - гильбертово пространство, L - его линейное
многообразие, хёЬ, yeL - вектор, такой, что х-у ортогонален всем векто¬
рам из L. Вектор yeL (если он существует) называется проекцией элемента
х £ L на многообразие L.
Теорема (о существовании проекции): пусть Н - гильбертово простран¬
ство, L - его подпространство, х £ L, хе Я, тогда Зу0 e L такой, что вектор
х-у0 ортогонален всем векторам из L. Такой вектор у0 - единственен.
Замечание: условие замкнутости L здесь существенно. Для незамкнутого
подпространства перпендикуляра может не существовать.
Доказательство: в силу предыдущей теоремы достаточно доказать, что
Зу0 e L, до которого расстояние от х наименьшее. Обозначим d = inf lix — vll.
yeL
По свойству точной нижней грани найдется последовательность {уп} cz L такая,
что На — у II —» d. Если мы покажем, что уп имеет предел (т.е. уп -> у0), то, во-
п—> со
первых, у0 будет предельной точкой для L, а поскольку L замкнуто по усло-
184

ВИЮ, ТО у0 G L; во-вторых, поскольку уп —» Уо, ТО
стороны, ||х - yj —> d, значит, ||х - у0|| = d, но d
П—>СО
F -Уп
х-у0 , а, с другой
= inf ||х - у\\, значит, получим,
yeL
что у0 - тот самый вектор, расстояние до которого от х кратчайшее.
Итак, теорема будет доказана, если уй —> у0. Пространство Н - гильберто¬
во, значит по определению полное, L - его замкнутое подпространство, значит
тоже полно по теореме о полноте замкнутого подпространства. Значит в L вся¬
кая фундаментальная последовательность имеет предел и осталось доказать,
что |уи} - фундаментальна, т.е. Vs> 0 BAfeN: \/n,m>N ||ул - ym|| <е.
Рассмотрим векторы х — уп и х - ут и применим к ним равенство паралле¬
лограмма: ||(х - Уп) + (X - ут )||2 + ||0- Уп) - О- Ут)||2 = 2 ||х - уп f + 2||х - ут f. Да¬
лее, ||2х-(уи + ут)||2 + ||уи - ут||2 = 2||х- уй||2 + 2||х- ут||2, откуда получаем, что
Ьп-уЛ=2Ь-Уп\1+2Ь-уЛ- ■ѵ"+'ѵ"
х — ■
у + у
Очевидно, что ——— e L, а поскольку d - кратчайшее расстояние от эле¬
мента из L до х, то
х-
Уп + Уп
>d, откуда \\уп-ут( <2\\х-уп( + 2\\х-ут(-4d2.
Поскольку ||х — уп II —> d2, то Ѵ£ > 0 3N^N:\/n>N ||x-yj -d'
< —, откуда
4
2 2
ІІх-у II <	1-d2. Аналогично, Vm> N ||х-у II <	1-d2. Окончательно:
ii -'«и	4	’	и ■/тч 4
1Ьп-3;т|2<2
f „2
e ,2
		v d
^2
\
+ 2
— + d2
v4 у
-4d2 = s2.
Докажем единственность y0. Допустим, что 3yt e L: Vz e L x - у, -L z, и,
кроме того, x-y0_l_z. По определению ортогональности (х- ypz) = 0 и
(x - y0,z) = 0. Вычитая эти равенства и пользуясь аксиомами скалярного произ¬
ведения, получаем 0 = (х-ypz)-(x-y0,z) = (x-ух-(x-y0),z) = (y0 - yPz).
Поскольку y0-yjGL, a z - произвольный элемент из L, то, выбирая
£ = Уо — Уі, получаем (у0 - УРУ0 - >і) = 0- Отсюда следует, что у„-Уі=0, т.е.
Уо = Уі •
Теорема доказана.
185

3.3.	Ортогональные дополнения и их свойства
Определение: пусть Н - гильбертово пространство, L - его линейное
многообразие. Ортогональным дополнением к L называется множество тех
векторов из Н, которые ортогональны всем векторам из L (т.е.
= {хе Н :(х,у) = 0Уу e L}).
Теорема (об ортогональном дополнении): ортогональное дополнение все¬
гда является подпространством.
Доказательство: проверим линейность, т.е. что если хг,х2еЬ1, то
Хі+ х2е L1 и если хе L1 и ЛеС, то Лх e L1. Пусть хѵх2е L1, тогда Ѵу e L
(х1, у) = 0 и (х2, у) = 0. Складывая, получаем, что (Xj + х2, у) = 0 Ѵу e L, т.е.
xl + х2е L1. Пусть х e L1, тогда Ѵу e L (х, у) = 0, значит Л(х, у) = 0, т.е.
(Лх, у) = 0 Ѵу e L, откуда Лхе L1.
Проверим замкнутость, т.е., что L1 содержит все свои предельные точки.
Допустим, что х - предельная точка для L1. Это означает, что 3{х;г} cz L1:
хп —» х. Поскольку Ѵн хпе Lx, то Ѵу e L (хп,у) = 0. Переходя к пределу при
п —» оо, получаем, что Ѵу e L (х, у) = 0, значит хеіЛ.
Теорема доказана.
Теорема (о разложении гильбертова пространства в прямую сумму):
пусть Н - гильбертово пространство, L - его подпространство, тогда
H = L®LL.
Доказательство: надо доказать, что Н = L + L1, т.е. Ѵх е Я справедливо
представление х = Xj + х2, где х, e L, х2еД,и что эта сумма - прямая, т.е., по
теореме о разложении в прямую сумму, что Lf]LL = {О}. Берем Ѵх е Н. По
теореме о существовании проекции ЗуеЬ: х- у _LL, тогда х = у + (х- у).
Осталось обозначить х1 = у e L и х2 = (х - у) e L1. Допустим, что z e L П LL,
значит z^L и zeLx, тогда (г,г) = 0, откуда z = 0.
Теорема доказана.
Замечание: в силу теорем о существовании проекции и разложении гиль¬
бертова пространства в прямую сумму, если Н - гильбертово пространство и
L - его подпространство, то Ѵх e Н допускает единственное представление в
виде х = и + ѵ, где ueL - проекция х на L, veL1. При этом
/?(x,L) = ||x-m|| = |v|.
Теорема (о всюду плотности линейного многообразия): пусть Н - гиль¬
бертово пространство, L - линейное многообразие в нем, тогда L = H <=>
Замечание: напомним, что условие L = Н означает всюду плотность L в
Н.
186

Доказательство: пусть L = Я. Допустим, что z0 e L1. По определению
всюду плотности Ѵх е Я 3{уи| <z L: уге —> х. Возьмем х = г0, тогда уп —» z0 • По
теореме о непрерывности скалярного произведения (yra,z0) —»(z0,z0) • С другой
стороны (y„,z0) = 0, значит (z0,z0) = 0, т.е. z0=0.
Обратно: пусть L1 = {О}, т.е. если Vy e L (х, у) = 0, то х = 0. Допустим, что
ЬфН, тогда Зх0 е Я : х0 <£ L. Т.к. L - подпространство, то по предыдущей тео¬
реме х0 = у0 + Zq, где Уо e L, z0^L~. Поскольку х0 € L, то z0^0. Заметим, что
(£о,у) = 0 Vy e L и, в частности, для у e L, тогда по условию Zq =0. Противоре¬
чие.
Теорема доказана.
Теорема (о втором ортогональном дополнении): пусть Я - гильбертово
пространство, L - его линейное многообразие, тогда:
1) (L1)1 z) L,
2) Если L - подпространство, то (l1) = L.
Доказательство: 1) Пусть хеЬ. Надо доказать, что хетем более,
т.е., что Vy e L1 (у,х) = 0, но, поскольку хе L, а у e L\ то это действительно
верно.
2) В силу п. 1) достаточно доказать, что в этом случае (l1 ) cL, т.е., что,
если х e (l1) , то, тем более, х e L. Т.к. L замкнуто, то Я = L Ѳ Ll . По теореме
об	ортогональном дополнении L1 замкнуто, поэтому Я = L1	•
Пусть х е Я, тогда х = хх + х2, где xleL, х2 е &. В силу п. 1) xle )
тем более. Итак, с одной стороны, х = хх + х2, где xl e (l1) , х2 e Lx, а с другой
стороны, х = х + 0, где xe^L1) , OeL1. Элемент х представлен двумя спосо¬
бами, а поскольку сумма прямая, то представление х однозначно. Значит,
Xj = х и х2 = 0, а поскольку x1 e L, то и хе L.
Теорема доказана.
Примеры решения задач
1.	В гильбертовом пространстве Я введем угол между векторами х и у по
формуле <р(х, у) = arccos
\(х,у)\
X
. Доказать, что если L - подпространство Я,
х g L и и - проекция у на L, то ф(х,и) < (ріх, у).
187

\(х,и)\	\(х,у)\ _
Решение: надо доказать, что arccos. „ „ ' < arccos,	„—77. іак как arccos х -
х • \\и\
г	і	\(х,и)\	|(х,у)|
убывающая функция, то надо доказать, что	|	или, что
|(х,м)| ^ |(х,у)|
\и\
. Поскольку L - замкнуто, а и - проекция у на L, то по теореме
о	разложении гильбертова пространства в прямую сумму у = и + ѵ, где ѵеіг .
При этом, поскольку msL, а veL1, то (и,ѵ) = 0, тогда по теореме Пифагора
ц2 и	ц2 и м2 и м2
= \\и + V = р|| + ѵ . Поскольку х e L, то (х, ѵ) = 0.
|(х,м)|	|(х,м + ѵ)|	\(х,и)\	|(х,м) + (х,ѵ)|
Итак, осталось доказать, что 1	1 >J———L, т.е. 1	1 >J
\\и\
\\и\\
|(х,и)Ы(х,м)|	1.1	и и. и и и
т.е., что 11 > '	, т.е. ^^ > Т1—^, и, наконец, что ||у|| > ||и||. Но это уже оче-
II//II ѵ II//II
видно следует из равенства II ѵІ|2 = ІЫ|2 + ||ѵ||2
2.	а) Описать ортогональное дополнение в пространстве ^[0,1] к подпро-
Г	i	1
странству L = \ x(t) e L2 [О,l]: Jx{l)dl = 0 L Найти расстояние от элемента x()(t) = l2
до L.
б) Описать ортогональное дополнение в пространстве /2 к подпространству
Ь = {хе12:£1-2£3+Ъ£А = 0}. Найти ортогональную проекцию на L элемента
СО
>	, а также расстояние от х0 до L и L1.
к= 1
х0=<!
(1
{ Зу
\к
Решение: а) покажем, что L1 одномерно, т.е., что, если e(t)eLL, е(г)ф О,
то любой элемент y(t) g L1 можно представить в виде y(t) = Xe(t), Я е С, т.е. по¬
кажем, что VyO^eL1 БЛе С: y(t)-Ae(t) =0 . Поскольку L1 - подпространство,
то ясно, что y(t) - Ae(t) e L1. Поскольку L - подпространство, то по теореме о
разложении гильбертова пространства в прямую сумму, если y(t)-Ле(і) e L, то
i
y(t) - Ле(і) = 0. Из условия у(і) - Ле(і) e L следует, что J(y(t) - Ae(t))clt = 0, отку-
o
да получаем, что Л
J y(t)dt
. При этом
о
1
je(t)dt*0, иначе имели бы e(t)Eb, а,
о
188

поскольку e(t) gL1, to e(t) = 0 - противоречие. Итак, одномерность L1 доказа¬
на, поэтому достаточно найти какой-то один элемент e(t) e , т.е. такой, что
i
Vx(t)&L (х,е) = О, т.е. jx(t)e(l)dl = 0. Очевидно, что этому условию удовле-
о
П.в	Г	«.в 1
творяет элемент e(t) = 1, поэтому Zr = у (г) e	0,1]: у (г) = Ae(t),A е С ,e(t) = 1 к
Рассмотрим разложение	х0(t) = x(t) + y(t),	х e L, у e L1. Поскольку
y(/) =	то, в силу единственности такого разложения, получаем, что
i	j
х(г) = x0(t) - Ae(t) = t2 - Ae(t), т.е. J(Z2 - Ae(t))dt = 0, откуда A = ~. Наконец,
p(x0,L) = ||y|| = ^f^e2(t)dt = i.
б) Аналогично п. а) покажем, что L1 одномерно, т.е., что VyeL1 БА еС:
у — Ае = 0 при фиксированном eeL1, еФО. Если найдем А из условия
у - Ае e L, то получим, что у - Ае = 0.
Имеем: ijx - Аех - 2(т)3 - Ae3) + 3(rj4 - АеЛ = 0, откуда А = ——+ 3;;4 ^
- 2е3 + Зе4
чем аналогично п. а) показывается, что знаменатель не обращается в 0. Далее,
оо
VxeL (х,е) = 0,т.е.	= 0, поэтому достаточно взять е = (1,0,-2,3,0,0,0,...).
£=і
Итак, L1 = {у еі2 : З7 = Ае,А е С,е = (1,0,-2,3,0,0,0,...)}. Пусть теперь х0=х + у,
xg L, у e L1, тогда
у
х = х0 — Ае =
4-д,
у 1^2 f р3
V
1
V Зу
г
Таким образом, ---А-2
( 1 Л3
1
V Зу
V Зу
+ 2 А
+ 2 А,
\ (
о4
+ 3
У
V	Зу
1
V	Зу
У тУ4
■ЗА,
у
г іУ ^ іл6
у
V 3 у
\ -V
-ЗА
= 0, откуда А = -
у
63
1
Тогда проекция х0 на L - есть х = х0н	е, расстояние от х0 до L - есть
63
Уй	.1
= -^-, расстояние от х0 до L -
/7(x0,L) = ||y|| = |k4| =
есть р(х0, L ) = х = J х0 -
{11
2
f 21
2
' 3 л
І63у
+
U3j
+
,63у
1	14	1	551	0
	= —J	. Здесь использовали
8 3969	18V 14
теорему Пифагора ||х0||2 =||х||2 + ||у||2 и то, что ||х0|| = ^-.
189

3.	В пространстве L2 [0,l] найти ортогональное дополнение к множеству
р[о,і] всех многочленов, рассматриваемых на отрезке [ОД]-
Решение: очевидно, что множество Р[0, і] образует линейное многообра¬
зие в М0-1] (т .к. линейная комбинация многочленов - снова многочлен). При
этом, по теореме о плотности непрерывных функций в Lp, множество непре¬
рывных функций всюду плотно в /^[0,і]. В силу аппроксимационной теоремы
Вейерштрасса, множество многочленов всюду плотно в множестве непрерыв¬
ных функций, значит всюду плотно ив /^[0,і]. По теореме о всюду плотности
линейного многообразия /’[ОЛ]^ = {()}.
4.	Пусть L - п—мерное подпространство гильбертова пространства Н с
базисом f\,h2,...,hn, х еЯ - произвольный элемент. Доказать, что
,	,, г(*,й,л,...Л)
’	Г(А.Л....Л) '
Решение: поскольку L - замкнуто, то, по теореме о существовании проек¬
ции, у элемента хе Я существует проекция у eL. Поскольку h{,h2,...,hn - ба¬
зис в L, то у = А1Іг1+А2Іг2+... + ЛпІгп, где Л1,Л2,...,Лп - некоторые числа. Кроме
того, поскольку }\,h2,...,hn - линейно независимы, то T(hl,h2,...,hn)^0.
В силу свойств ортогональной проекции, если х- у = z, то z_LL, в част¬
ности, Z-\-hk, к = 1,2,...,п. Следовательно, для всех к = 1,2,...,п получаем систе¬
му уравнений: 0 = (zA) = (x~yA) = (xA)~ КАА)~\(КА)~."~\(КА)^
откуда Л1(КА) + К(КА) + - + \(КА) = (ХА)’ к = \,2,...,п.
Считая неизвестными Л1,Л2,...,Лп, находим, что определитель матрицы этой
системы равен:
(J\, К)
(КА)
(КА)
(/Zp/^)
(К’К)
(КА)
= т(КА’-Ап)^о.
(КК)
(КА) -
(КА)
Пользуясь правилом Крамера, получаем:
ОЛ)
(К’К.)
... (КА)
(К’К)
(х,Ю ...
(КА)
ил)
(К’ К)
(К ’ К)
(К> К)
(х, К) ...
(К’К.)
; -
(*Л)
(К 5 hn)
... (КА)
. ; -
(КА)
(х,К) ...
(КА)
4 ЩЛ.-Л) ’	ЩЛ
Далее, p2(x,L) = \\zf = (z,z)=(z,x-у)= (z,x)~ (z,y) = (z,x)= (х- у,х), то-
II
о
тда р2(х,Ь) = (х,х)-Л1(к1,х)-Л2(Іі2,х)-...-Лп(кп,х).
190

Подставим в это равенство найденные значения Л1,Я2,...,Лп:
p2(x,L) = (x,x)--
(*Л)
(КА)
• (КА)
(КА)
Аі А)
• (х,К)
(\,х)-
(x,h2)
(К’К)
■ (КА)
(К,х)-
(К’К)
(КА) ••
■ (х,К)
(х\)
(КА) •
• (КА)
(КА)
(КА) ••
• (хА)
Г(АіЛ»-Л)
ЩА>-А)
Приводя к общему знаменателю правую часть полученного равенства, ви¬
дим, что в числителе будет стоять определитель Грама T(x,hl,h2,...,hn), разло¬
женный по первому столбцу.
5.	Пусть L - одномерное подпространство в гильбертовом пространстве
Н, aeL, аФ0. Доказать, что УхеН р(х,Ь ) =
_ |(лг,д)|
\а\\
Решение: по определению расстояния p(x,LL) = inf ||х- у||. В силу неравен
ysL
ства Коши-Буняковского |(а,х-у)|<||а||-||х-у||. С другой стороны, поскольку
aeL, у e L1 то |(а,х-у)|=|(а,х)-(а,у)|=|(а,х)|, откуда |(а,х)|<||а||-||х-у\\ и
Vy e L1 ||х- уI >	^ . Следовательно, inf ||х- у|| >	. Если покажем, что
*ц |(а,х)|
х- у = 11, то это и будет означать,
существует элемент у e Lr такой, что
\\а\\
а
■	и \(а,х)\	\(х,а)\	*	„
что inf х- у = .. м 1, т.е., что р(х,L ) =1	1. Возьмем х =тгу;, тогда
уЕІ±	\\а\\	\\а\\	а
х
i рі *	(х,я) *
1. Пусть у = х — —-—гх , тогда
(х ,а)
х-у
(х,а)
[x*,aj
х
\(х,а)\ и *	|(х,а)|
	 I /	V	,	Ч
I (х*,а)
\(х,а)\
С \
а
Tj—77,а
ОН У
. Осталось убедиться, что у* e L1, т.е. для точки aeL (в силу одномер¬
ен
ности L) (у*,а) = 0.
Действительно, (y*,aj =
Г	\
(х,а) *
X —7—;—ГХ ,а
V
(х*,а)
= (x,a)-j^r[x*,a) = 0.
(х ,а)
у
6.	Пусть К - замкнутое выпуклое ограниченное множество в гильберто¬
вом пространстве Н. Доказать, что в К существует единственный элемент с
наименьшей нормой.
Решение: пусть 8 = inf llxll, т.е. 8 < ||х||. Покажем, что Зх* е К
хеК
8. По
191

свойству точной нижней грани 3{хп}еК: Нт|хп| = £. Поскольку К - выпук-
>8. С другой
лое, множество, то \/хп,хт е К отрезок -п +Хт е К, т.е.
Хп+Хт
стороны
Хп+Хт
<ш
х„
+
т.е. имеем 8 <
Хп+Хт
<IN
+
Х„
. Переходя к
2 2
пределу при и,т—»оо, по теореме о двух милиционерах, находим, что
= 8. Далее, для хп,хт е К запишем равенство параллелограмма:
\\хп+хЛ+Ik - *J2=2|kf+2|klf >
lim
n,m—+ со
Хп+Хт
откуда хл-хІ
= 2|kf + 2|k||2-4
Хп+Хт
. Переходя к пределу при
п,т—>оо, получаем, что lim |к -хт||2 =0, т.е. последовательность - фун-
n,m—>со
даментальна. Поскольку Н - гильбертово, значит, оно полно, значит
3\ітхп = д*, причем д* е К, т.к. К - замкнуто. Кроме того, Hm|xn|| =
х
отку¬
да
= 8.
Осталось проверить единственность такого элемента. Допустим, что
* *
X + X
Зх ,х е К
х
X
= 8. Тогда, т.к. Х +Х еК, то
стороны,
I +х
<
+
■ 8, значит
X + X
= 8, поэтому
2
х* +х
>8. С другой
+
Это означает (см. задачу 14 к п. 3.1), что или х* = 0, или х** = Лх* при Л > 0.
Если х* = 0, то х** = 0.
Если х** = Лх , то 8
* **
X + X
* . *
х +Лх
1 + Л
*
1 + Л
2
2
2
Л
2
8, откуда Л = 1,
т.е. х** = х* или 8 = 0, т.е. х** = х* = 0.
7.	Доказать, что в гильбертовом пространстве Н любая последователь¬
ность непустых вложенных выпуклых замкнутых ограниченных множеств име¬
ет непустое пересечение.
Решение: пусть Мх =>М2 z>M3 z>... - указанная последовательность мно¬
жеств. В силу предыдущего примера, в каждом множестве Мп существует
единственный элемент ап с наименьшей нормой, т.е. inf ||х|| = \аЛ. Поскольку
хе М„
каждое следующее множество вложено в предыдущее, то, в силу свойств точ¬
ных нижних граней, ||ал|| < ||ал+1||, т.е. последовательность {|ял|Ц монотонно воз¬
растает. При этом, последовательность ||k|j ограничена сверху, поскольку все
ап e Мх, а Мх - ограничено. В силу критерия Вейерштрасса, Ellim|k|| = 8.
192

Далее, при п<т Мп =)Мт, значит, ат е Мп и, кроме этого, ап<=Мп. По-
> IIап I. С другой стороны,
скольку Мп - выпукло, то йп +^т еМп, т.е.
ап+<*т
ап + ат
<'■
\\аЛ \\а„
• + J
< \\а II. Итак, \\а I <
поскольку \\ап\\ < \\ат\\, то
этому, переходя к пределу при н,т—»оо, получим, что lim
ап+ат
2
а+а\
»по-
= 8. Исполь-
а +а
п т
зуя равенство параллелограмма, получаем |к-аот|| =2|ап| +2|к|| -4
Переходя к пределу при п,т^оо, находим, что lim |k - а f =0, т.е. после-
п,т-> со11	11
довательность [ап} - фундаментальна, и значит, в силу полноты Н,
ЗИт а =а.
п—»оо
Далее, возьмем произвольное множество Мк. Поскольку все множества
вложены, то, начиная с некоторого номера, все ап е Мк. Поскольку предел {ап}
равен а, то а - предельная точка множества Мк. Поскольку Мк - замкнуто, то
оно содержит все свои предельные точки, т.е. а е Мк. Поскольку Мк - произ-
со
вольно, то а принадлежит всем нашим множествам, т.е. ае^Мп, значит
оо
ГК*0-
п=1
/2—1
8. Рассмотрим последовательность хп
1 1 1
/2. Доказать, что
линейная оболочка этой последовательности всюду плотна в /2.
Решение: пусть L - линейная оболочка данной последовательности. По
теореме о всюду плотности линейного многообразия надо доказать, что
00	1
= ПУСТЬ x =	xlL, т.е. О = (х,хп) = ^kz„ , где zn= —,
к= о	2
00
п g N. Рассмотрим в круге К = {z е С: |z| < l} функцию f{z) = ^ £kzk . Этот ряд
к=0
сходится равномерно на произвольном компакте, лежащем в К (т.е. при
|z|<g<l, т.е. равномерно строго внутри К), в силу неравенства
следовательно, по теореме Вейерштрасса (из курса
ТФКП) его сумма регулярна в К. При этом f{zn) = 0, zn -» 0 е К. По теореме
единственности (из курса ТФКП) /(г) = 0в К, откуда следует, что х = 0.
193

Задачи для самостоятельного решения
1.	В пространстве /2 описать ортогональное дополнение к подпространству
L = |хе/2,х = (<^^2,...):^<^. = о|. Найти расстояние /}ra(x0,L) от элемента
х0 = (1,0,0,...) до L. Чему равен предел Птpn(x0,L)?
п-»х ѵ	7
2.	Доказать, что, если Н - гильбертово пространство, L - его подпро¬
странство, то L1 = L111.
Указание: воспользоваться теоремами об ортогональном дополнении и
втором ортогональном дополнении.
3.	В пространстве Д,[0,і] найти ортогональное дополнение к множеству
р«е/>[0,1]:л;(0) = 0}, где р[°’і] определено в примере 3.
Указание: x(t) = tP{t), где P(t) произвольный многочлен. Показать, что
условие (f(t),x(t)) = 0 влечет f(t) = 0.
4.	В пространстве [0,і] найти ортогональное дополнение к множеству
{х(0 = y(t2), t e [0,1]: у e Z[0,l]} , где Р[0,1] определено в примере 3.
Указание: выполнитъ замену переменной в интеграле.
5.	В пространстве /^[0,і] найти ортогональное дополнение к множеству
|хД)еР[0,і]| многочленов с нулевой суммой коэффициентов, где Р[0,і]опре¬
делено в примере 3.
Указание: x(t) = (t-\)P(t), где P(t) произвольный многочлен.
6.	Пусть LczH - линейное многообразие. Доказать, что L1 = L1.
Указание: показать, что L1 с L1 (используя непрерывность скалярного
произведения) и L1 zdLl.
7.	Пусть М и N - некоторые множества в гильбертовом пространстве Н,
причем М сіѴ. Доказать, что Nx <zMx.
8.	В пространстве /2 построить замкнутое множество, в котором нет эле¬
мента с наименьшей нормой.
г
Указание: рассмотреть хп
1
л
0,0,...,0,1 + -,о,о,...
'—-—'	п
V п-1	J
U
9.	Пусть М - замкнутое выпуклое множество в действительном гильбер¬
товом пространстве Н, хe Н. Доказать, что элемент у еМ удовлетворяет
условию р(х,М) = ||х- у|| тогда и только тогда, когда VzgM справедливо не¬
равенство (х — у, у — z) > 0.
Указание: при доказательстве необходимости воспользоваться выпукло¬
стью и тем, что у,геМ. При доказательстве достаточности доказать, что

10.	В гильбертовом пространстве Н найти расстояние от точки л„ е Я до
гиперплоскости L = {х е Я: (а,х) = b, b е Н}, где а е Я фиксированный элемент.
Указание:
Вначале найти расстояние от точки
х0 до гиперплоскости (а,х) = 0 (для
этого установить, что ортогональ¬
ный элемент может быть получен в
виде у = Яа и найти число Я). Затем
воспользоваться иллюстрацией.
11.	В пространстве Z>2 [О,і] найти ортогональное дополнение к множеству
функций, равных нулю почти всюду на отрезке
12.	В пространстве /2 найти ортогональное дополнение к множеству
L = <x*
4
=0
k=1
13. В пространстве /2 найти ортогональное дополнение к множеству
L = {х е 12 : |2 - й - С5 = 0. с, + 2£ + 4f3 = 0}.
Г1 Iе0
14.	Найти ортогональную проекцию элемента х0 = <1 г е h на подпро-
UJfe=i
странство L = {.т е /2: ^ - З<^3 + <^5 = 0}, а также расстояния р(х{). L) и р(х0. L1).
15.	В пространстве L,[-l,l] построить ортогональную проекцию элемента
х e L2 [-1 ,і] на подпространства четных и нечетных функций.
16.	Найти в пространстве /2 ортогональное дополнение к множеству
L = {х е /2 : ц2 = ьз = ьв =	= ■■■ = 0, ^ + ц4 - ц5 = 0} и расстояние до L от точки
л = (1,2,3,1,2,3,0,0,...).
195

3.4. Ряды Фурье в гильбертовых пространствах
Определение: пусть Н - гильбертово пространство, еѵе2,еъ,... - система
векторов из этого пространства. Эта система называется ортонормированной,
если:
1-ѴгѴу (е.,е.) = 0‘,
2.	Ѵі Н = 1.
Замечание: в случае, если выполняется только условие 1, такая система
называется ортогональной.
Замечание: всякая ортонормированная система является линейно незави¬
симой. Действительно, если а1еіі+а2еІ2+... + апеі =0, то, умножая это равен¬
ство скалярно на , к = \,п, получим ак {еік,еік ) = 0, откуда ак = 0.
Определение: пусть Н - гильбертово пространство, еѵе2,е3,... - ортонор¬
мированная система векторов из Н, элемент хе Я. Числа ск = (х,ек) называ¬
ются коэффициентами Фурье вектора х по данной ортонормированной систе-
со
ме, а ряд ^ скек называется рядом Фурье вектора х по данной системе.
к=1
Теорема (неравенство Бесселя): пусть Н - гильбертово пространство,
еѵе2,еъ,... - ортонормированная система векторов, хе Н - вектор, ск - его ко-
со
^ 2 2
эффициенты Фурье, тогда справедливо неравенство у jcj <|х| .
к=1
п
Доказательство: рассмотрим вектор а = ^ckek и вектор hn = х-а . Пусть
к=1
і = 1,п, тогда (h.ei) = (x-a,ei) = (x,ei)-(a,ei) = (x,ei)
п
I
ЪсМа)-
V к=1	J	к=1
При іФк [ек,е{) = 0, т.е. из суммы останется только одно слагаемое с но¬
мером і, т.е. (hn,ei ) = сі - с{ (еі,еі) = с{ - с{ ||ег||2 = 0. Таким образом, вектор hr ор¬
тогонален всем векторам е.. Поскольку а является линейной комбинацией е{,
то hn также ортогонален и вектору а. Итак, x = a + hn, а _І_ /іи, поэтому по тео-
х =||а|| +\\hn I , откуда |а| <||х| . Поскольку система
еѵе2,е3,... - ортонормированная, то, в силу обобщенной теоремы Пифагора (см.
2
задачу 6, п. 3.1) a
ЁIе*Г’ откуда Ё|с,|2<|х|2
к=1
*=1	к=1
к=1
к=1
Таким образом, частичные суммы ряда ^|cj2 ограничены сверху. Поскольку
к=1
этот ряд является рядом с неотрицательными слагаемыми, то, в силу критерия
196

Вейерштрасса, он сходится. Переходя к пределу при ц^оо, получаем, что
к=1
Теорема доказана.
Теорема (о сходимости ряда Фурье): в гильбертовом пространстве ряд
Фурье вектора х всегда сходится.
о°	П
Доказательство: пусть ^ckek - ряд Фурье вектора хе Я, Sn = ^ckek -
его частичная сумма. По определению сходимости ряда надо доказать, что
3 lim Sn. По условию пространство гильбертово, и, значит, полное, т.е. в нем
СО
всякая фундаментальная последовательность имеет предел. Поэтому достаточ¬
но доказать, что {5Л} фундаментальна, т.е., что У б > О 3N e N: Уп>т>И
\\Sn-Sml<e.
Имеем: |5„-5т
п т
2
п
Ъскек~Искек
=
Z скек
к=1 к=1
к=т+1
^ Iск |2 . Поскольку, в
к=т+1
силу неравенства Бесселя, числовой ряд ^|ct|2 сходится, то, в силу критерия
*=i
ZI |2 о
\ск I < £ ,
к=т+1
тогда ||Sn-SM||<*.
Теорема доказана.
Теорема (о сумме ряда Фурье): пусть Я - гильбертово пространство,
еѵе2,еъ,... - ортонормированная система векторов, L - подпространство, явля¬
ющееся замыканием линейной оболочки данных векторов. Пусть хе Я - век¬
тор, тогда сумма его ряда Фурье по системе е1,е2,еъ,... равна проекции этого
вектора на подпространство L.
оо
Доказательство: обозначим S = ^ckek
k=1
k=1
сумму ряда Фурье
вектора х е Я. Поскольку S является пределом линейных комбинаций элемен¬
тов е1,е2,е3,...,еп, то это предельная точка для множества таких линейных ком¬
бинаций и, значит, она принадлежит замыканию множества линейных комби¬
наций, т.е. SgL. Тогда по определению проекции осталось проверить, что
(x-S)3-L, а для этого достаточно проверить, что Уі (х-S) 3-et, т.е., что
(x-S,e() = 0 (см. задачу 6 п. 3.3). Действительно,
/	со	Л	оо
(*"ЗД= Х~ЪСМ = (ха)-Xе*(екА) = с/ -с,(уА) = с, -с\ = 0•
V	k=1	/	к=1
Теорема доказана.
197

Примеры решения задач
1. Проверить ортогональность в действительном пространстве	си-
dn
стемы функций xn(t) =- a)(t - b)) , п = 0,1,2,....
Решение:	возьмем т>п и посчитаем скалярное произведение
(хп(0,хт(0) = J	- Ь)Т	- Ь)Т dt =
J at	at
vn dh
b in	f i/n-1
= 1-^(0-a)(t-b)Yd
df
=	Ь)У dF'^' ~ a)(t ~ Ь)У
b im—1
-\—^{{t-a){t-b))md —{(t-a)(t-b))n
dn
df
Заметим, что ^-((/ - a)(t - b))m = m{it - a){t - b))m 1 fit ~{a + b)),
(t-a)(t-b))m =m{m-\){it-a){t-b)Y (lt-(a+b))2 + 2m((t-a)(t-b))m
Видим, что после дифференцирования во всех слагаемых присутствует
множитель (t-d){t-b), причем производная т-1 порядка также содержит
этот множитель во всех слагаемых, наименьшая степень этого множителя -
тп	rm-l
первая. Итак, —((t-a)(t-b))n-—f((t-a)(t-b))"
= 0. Во втором интеграле
получаем, d
d
_ V
cf
df
-((t-a)(t-b))n
dt
jn+l
•dt = -^((t-a){t-b))n dt.
К полученному интегралу снова применим аналогичное интегрирование по ча-
ь	dm~2
стям, что приведет к интегралу |—— ((? - a){t - b))n ^ m_2-((t - a)(t - b))m dt и
dtm~2
dn+m
т.д. Через m шагов получим интеграл J((V-a)(t-b))m n—((t ~a)(t -b))ndt
dr
Поскольку m>n, то n + m> n + n = 2n, поэтому n+m ((t - a)(t -b)f = 0, т.к.
степень многочлена под знаком производной равна 2п, а порядок производной
больше, чем 2п. Таким образом, (xn(t),xm(t)) = 0.
198

2. Пусть Н - гильбертово пространство, элемент х^Н. Построить его
проекцию на п—мерное подпространство ісЯ.
Решение: поскольку L<^H - конечномерно, то в нем существует орто¬
нормированный базис еѵе2,еъ,...,еп, причем VyeL выражается линейной ком¬
бинацией элементов еѵе2,еъ,...,еп, значит, L является линейной оболочкой эле¬
ментов ег,е2,е3,...,еп. Поскольку всякое конечномерное пространство - банахово
(см. задачу 23 п. 2.2), то, в частности, L замкнуто. По теореме о сумме ряда
Фурье, проекция элемента х на L равна сумме его ряда Фурье по данной орто¬
нормированной системе. Поскольку в данном случае система конечна, то ряд
П
Фурье становится конечной суммой x,ek)ek.
к=1
3.	Доказать, что в бесконечномерном гильбертовом пространстве Н еди¬
ничный шар содержит бесконечно много непересекающихся шаров радиуса —.
4
Решение: пусть В = e Н: |т| < і} - единичный шар, (ек- ортонорми¬
рованная система в Н, Вк = <хе Н :
x-—et
<
шары с центрами в точках
и радиусами . Покажем, что Вк а В. Если хеВк, то
ш
1
1
<
1
1
5-!
1
1
+ 2ек
х--ек
2
+
2е к
1 1 и и 1 1 3
—	'	№к —	'	— — < 1,
4 2" *	4 2 4
откуда следует, что Ѵт е Вк тем более х е В, значит У к Вк а В. Далее, заме¬
тим, что, при кФт \\ек-ет\\ = УІ(ек-ет,ек-ет)=^\\ек( ~(ек,ет)-(ек,ет)Цет( =Jl
и покажем, что Bkf)Bm=0. Пусть хеВк, у е Вт, тогда
e, е
к п
--х + х-у + у- —
2 2
е.
И
ет
<
— -X
2
+ ||*-)
;|| +
у ——
2
Л + \х-
4 11
1
+ -.
4
yfl 1	yfl 1
Отсюда —<- + |т-у||, т.е. ||х-.у||>	>0. Поскольку точки х и у выби-
2	2	2 2
рались произвольно, то шары общих точек не имеют, т.е. не пересекаются.
Задачи для самостоятельного решения 1 21.	Пусть {екУ - ортонормированная система в гильбертовом простран-
со	00	2
стве Н, {ijjcC. Доказать, что ряды ^Лкек и ^\Лк\ сходятся или расходятся
к=1	к=1
в Н одновременно.
2.	Проверить ортогональность в гильбертовом пространстве /2 системы
векторов хп = (0,0,...,0,1,0,...), «gN.
^ ѵ ^
п—1
199

3.	Пусть в гильбертовом пространстве Н введено скалярное произведение
(*,?)= lim — J x{t)~y{t)dt, где *, у е Я . Доказать, что (е‘\е^) = \1 ЩИЛ = *
т^+со 2Т *т	ѵ ’	[0, при Л ф ц.
4.	Проверить ортогональность в действительном пространстве [0,2тг]
системы векторов {i, cos nt, sin nt}, n e N.
5. Проверить ортогональность в действительном пространстве	[-я-, я-]
\ І2 ]
системы векторов j J— smn? 1, n e N.
6.	Проверить ортогональность в действительном пространстве L2[0,;r] си¬
стемы векторов
2 .
/—Sinn?
ж
, n e N. Проверить, что, кроме того, система явля¬
ется ортонормированной.
7.	Проверить, что система функций {cosn?}J 0 ортогональна в действи¬
тельном пространстве Ц0,х],
1. . t-a
2mn
8
. Проверить ортогональность в	системы xn(t) = .
yb-
Ь-а
, ПЕ Ъ.
а
.
9.	Проверить ортогональность в Д, [0,і] системы хп(і) =	sin juJ, где
sin jun
(я) - положительные корни уравнения tgju = /л. Пространство действительное.
- dn
10.	Проверить ортогональность в 7^[0,+°о) системы xn{t) = e2—-(tne~‘),
dt
п = 0,1,2,....
„ Г 1 sinn? cosn?l _т
11. Проверить, что система функции < Г=,——т=^~ >,пегч является
[л/2тг уж уж )
ортонормированной в действительном пространстве Ц, [-л-, л-].
12.	Пусть (е*)”=1 - ортогональная система в гильбертовом пространстве
X
Н. Доказать, что ряд X ек сходится в Н тогда и только тогда, когда сходится
к=1
числовой
ряд XI
к=1
13.	Проверить, что система функций Радемахера xn(t) =
\l I J
0, t = —
2n
где n = 0,1,2,..., k = 0,1,2,22,...,2” 1 ортонормирована в пространстве L2[0,l].
200

14.	Найти коэффициенты Фурье разложения элемента x(t) = sgn(2? -1) по
системе векторов ek(t) = e2mkt в пространстве L2 [0,l].
15.	Найти коэффициенты Фурье разложения элемента x(t) = еЛі по системе
векторов ek(t) = e2mkt в пространстве L, [0,і].
16.	Разложить функцию f(x) = 5x2 в ряд Фурье в пространстве L2[0,;r] по
системе функций {sinfo::^eN}.
17.	Разложить функцию f(x) = cos2x в ряд Фурье в пространстве [О,^г]
по системе функций {cosb:: к e N}.
201

3.5. Базисы в гильбертовых пространствах
Определение: пусть {екУ - ортонормированная система в гильбертовом
пространстве Я. Эта система называется полной, если любой вектор хе Я
можно с любой точностью приблизить конечной линейной комбинацией векто-
к=1
< е.
ров этой системы, т.е. ѴхеЯ \/s>0 Заѵа2,...,ап:
Определение: ортонормированная система в гильбертовом пространстве
Я называется замкнутой, если Ѵх e Я	| =||х|| , где ск - коэффициенты
к=1
Фурье вектора х. Данное равенство называется равенством Парсеваля.
Определение: пусть Я - гильбертово пространство, еѵе2,еъ,... - ортонор¬
мированная система векторов из этого пространства. Эта система называется
оо
базисом (Гильберта), если Ѵх е Я х = ^скек, ск - коэффициенты Фурье векто-
к=1
ра х.
Теорема (критерий базиса): пусть Я - гильбертово пространство, (ekJH -
ортонормированная система в нем. Тогда следующие три условия эквивалент¬
ны:
1.	система (екУ является базисом;
2.	система {скУ замкнута;
3.	система {скУк_х полна.
Доказательство: 1^>2: дано, что (е*)"=1 - базис, а надо доказать, что
ѴхеЯ Y}ck\ = IWI • По определению базиса Ѵх = ^ckek, тогда (см. доказатель-
k=1
к=1
ство неравенства Бесселя) ||х|| =
п
2
п
Т,скек+к
k=1
—
Ъскек
к=1
+ |/г„||2,где/гй=£сЛ
к=п+1
остаток ряда Фурье вектора х, причем /у-» О в силу сходимости ряда. По тео¬
реме Пифагора
,Скек
к=1
п
-XI
к= 1
Скек\
п
XI
к=\
С]г
п
Переходя к пределу в равенстве ||х||2 = ^|cj2 + |/г„|2, получаем, что и тре-
к=\
бовалось.
2 => 3: дано, что Ѵх е Я ск f = \\x\f. Надо доказать, что система (ек )”=1
к=1
202

полна. Покажем, что Vs > О
х
Z
к=\
Скек
< б , это и будет означать, что элемент
х с любой точностью можно приблизить конечной линейной комбинацией
элементов (екУ , значит, будет выполнено определение полноты. Для ск е С
имеем:
и
-1‘
х- 1 Ѵі
к=1
(	п
V	*=1
к=1
f я 3
( П
>
( п п \
Лек -
Lckek,x
+
м
съ
м
V k=1 )
u=i
У
\к=1 к=\ У
2 П П
к=i
X
(t=l
„ п	п
м2	^ i |2
II
X
/Ы
(t=l
ZI |2	i |2 и м2
Ы -2.сл + 2.КІ =И
к= 1	£=1	£=1	£=1
•'ll
-Zkl2-*•<>.
По определению предела Vs > О 3N gN: Ѵп> N
Ъ
х- у скек
к=1
<6 ,
3=>1: дано, что система (ек )J_| полна. Надо доказать, что она является ба¬
зисом. Возьмем ѴхеЯ. По теореме о сумме ряда Фурье, сумма ряда Фурье
вектора х равна проекции х на замыкание линейной оболочки векторов [ек )J_j.
Если покажем, что это замыкание совпадает со всем пространством Н, то, по¬
скольку х уже в нем лежит, то проекция х ему и будет равна (х-х = 0_1_Я).
Достаточно доказать, что любая точка пространства Н является предельной
для линейных комбинаций элементов	т.е., что в любой £•-окрестности
любой точки х найдется такая линейная комбинация, т.е., что Vs > О
Заѵа2,...,ап:
х
п
-1
акек
к=1
< £. Это верно в силу полноты системы (ек ,
Теорема доказана.
п
2
п п
2
п
Замечание:
х~Т,акек
к=1
—
Х-Тскек + Т(ск~ак)^к
к=1 к=1
2
—
К+Т;(Ск-ак)ек
к=1
х~Т,скек
Таким образом, многочлен Фурье
к=1
к=1
Т,скек
к=1
приближает элемент х g Н в пространстве Н наилучшим образом среди все-
п
возможных линейных комбинаций ^ акек.
к=\
Теорема (о существовании базиса в гильбертовом пространстве): в се¬
парабельном гильбертовом пространстве Н всегда существует ортонормиро¬
ванный базис.
Доказательство: напомним, что пространство называется сепарабель¬
ным, если в нем существует счетное всюду плотное множество. Счетность
означает, что его элементы можно занумеровать. Обозначим это множество
Е = {х1,х2,х3,...}. Всюду плотность означает, что любой элемент из Н можно с
203

любой точностью приблизить элементом из Е, а значит и линейной комбина¬
цией таких элементов.
1.	Не изменяя линейной оболочки этого множества, превратим его в си¬
стему линейно независимых векторов.
Рассмотрим первый вектор х1. Если хг ф 0, то оставим его в множестве, а
если хх = 0, то удалим. Ясно, что при этом линейная оболочка множества Е не
меняется. Возьмем вектор х2. Если он через х1 не выражается, то его оставим в
множестве, а если выражается, то удалим. Снова линейная оболочка Е не из¬
менилась, но теперь хг и х2 - линейно независимы. Аналогично, возьмем х3.
Если он через два предыдущих выражается, то удалим его, а если не выражает¬
ся, то оставим. Линейная оболочка Е не изменилась, но теперь хх, х2 и х3 -
линейно независимы. И т.д. Получили систему линейно независимых векторов.
Сама она может уже не быть всюду плотной, но ее линейная оболочка по-
прежнему всюду плотна, поскольку она не изменилась.
2.	Не изменяя линейной оболочки, превратим систему в ортонормирован¬
ную, с помощью процесса ортогонализации.
X	и и
Возьмем е1 =тгЛт, тогда \ех =Е Пусть =х2-(хг>,е1)е1 фО (в силу линей-
Ы
ной независимости хг и х2), тогда (h2,e1) = (x2-(x2,e1)e1,e1) = (x2,e1)-(x2,e1)(e1,e1) = О,
т.е. h2 ортогонален ех. Если е2
К
и
то \\е2\\ = 1 и е2 _І_ ех. Линейная оболочка Е
не изменилась, поскольку е2 - это линейная комбинация х2 и е]. Аналогично,
пусть hi = x3- (x3,eL)el - (x3,e2)e2 ф 0. Проверим, что h3 ортогонален и ех, и е2:
{h3,el) = {x3- (х3 ,е1)е1-(х3,е2)е2,е1) = (х3,е1)- (х3, ех )(е1, ^) - (х3, £2 )(е2 ,ег) = 0,
(fh,e2) = (х3 - (х3,ех)ех - (х3,е2)е2,е2) = (х3,е2) - (x3,ex)(eve2) - (х3,е2)(е2,е2) = 0.
h
Тогда, если е3 =]г^7, то \\е3 =1 и е31ег, е3 ±е2. Линейная оболочка Е не
N
изменилась, поскольку е3 - это линейная комбинация х3, ех и е2. И т.д.
3.	Получили ортонормированную систему ех,е2,е3,..., ее линейная оболоч¬
ка осталась та же самая, что и была, т.е. является всюду плотным в Н множе¬
ством. Значит, любой вектор из Н с любой точностью можно приблизить эле¬
ментом этой линейной оболочки, т.е. линейной комбинацией векторов
ех,е2,е3,.... Тем самым, система полна и поэтому является базисом.
Теорема доказана.
Теорема Рисса-Фишера: пусть Н - гильбертово пространство, (ек -
со
ортонормированная система в нем и числа (cfc)J таковы, что ряд ^\ск\ схо-
к=1
дится. Тогда существует вектор хе Я такой, что ск = (х,ек) и ^|cj2 = ||х|
к=1
204

2
Доказательство: пусть хп = ^ckek, тогда (при т>п)
Y'm	Xп\\
к=1
т
X
к=п+1
СЛ
= ^ |с*| . Поскольку ряд ^|q| сходится, то, в силу критерия Коши для ЧИС¬
ТИН- 1	к=1
ловых рядов, получаем, что последовательность |хя} фундаментальна в Н. В
силу полноты Н хп —>• х. Далее, (х,еі) = (хп,еі) + (х-хп,еі) при фиксированном
п
і, а при и>/ (xn,ei) = YJck(ek,ei) = ci, |(х-хя,ег)|<||х-хя||||^|| = ||х-хя||^0. То-
к=\
тда, переходя к пределу при оо, получим, что (х,е{) = с( . Наконец, посколь¬
ку ||х - х II —» 0, то
= х
к= 1
=и •
£=1
(	п	п	^
x~Yuckek^-Y.ckek
V	&=1	&=1	у
Теорема доказана.
Теорема (критерий замкнутости): для того, чтобы ортонормированная
система (екУ в гильбертовом пространстве Н была замкнута, необходимо и
достаточно, чтобы в Я не существовало ненулевого элемента, ортогонального
всем элементам системы
Доказательство: пусть система (ек)™=1 - замкнута, тогда, если вектор
2 оо 2
хеЯ ортогонален всем (д)”=1,то ck=(x,ek) = 0, откуда ||х|| =^|cfc| =0,т.е. х = 0.
k= 1
Обратно: пусть (е*)”=1 - не замкнута, тогда Зу e Н : IMI >ХЫ ’ ск=(У’ек)•
к=1
2 с° 2	2	2
По теореме Рисса-Фишера ЗхеЯ: ||х|| = ^]|су| , ск = {х,ек). Тогда ||х|| <||у|| , от-
І=1
куда х ф у, т.е. х-уф 0. При этом, поскольку 0 = (х,^)-{у,ек) = (х- у,ек), то
вектор х - у ортогонален всем векторам ек .
Теорема доказана.
Теорема (об изоморфизме): всякое сепарабельное гильбертово простран¬
ство изометрично и изоморфно пространству /2.
Доказательство: рассмотрим сепарабельное гильбертово пространство
00
Я и пусть еѵе2,ег,... - базис в нем. По определению базиса Ѵх = ^скек,
к=1
со	2	2
ск =(х,ек). Кроме того, в силу равенства Парсеваля, ^|с*| =||х|| , поэтому по-
к=1
следовательность (срс2,...) можно рассматривать, как некоторый элемент хе/2.
Обратно: по теореме Рисса-Фишера, любому элементу х = (сѵс2,...) е /2 отвечает
205

некоторый іеЯ, причем ck = (х,ек) и ^|cj2 = ||x||2. Таким образом, получили
к=1
взаимно-однозначное изометричное соответствие между Н и /2. Ясно, что если
элементам х, у е // соответствуют элементы х,у el2, то элементам
х± у,Лхе Н будут соответствовать элементы х ±у,Лхе12. Таким образом, со¬
ответствие между Н и /2 сохраняет алгебраические операции (значит, является
изоморфизмом).
Теорема доказана.
Примеры решения задач
1. В пространстве 12а, определенном в первом примере и. 3.1, построить
ортонормированный базис, если ап=п.
Решение: напомним, что 12а - гильбертово пространство последователь¬
ностей х = (<^,<^2,...), удовлетворяющих условию ^оск \%kf <-ко, где а = {аѵаѵ...) -
к=1
фиксированная последовательность положительных чисел. Скалярное произве-
00
дение в 12а определяется формулой (х, у) = ^ак^кі]к. Покажем, что система
к= 1
(
векторов еп =
0,0,...,0,-т=,0,...
V и-
образует ортонормированный базис при осп=п
2 ^ ^ - |2 ^ ^ *
Действительно, ||ега|| =	= ^к\е,
(п)
к
к=1
к=1
2
1
= и
4п
= 1. Далее, пусть пфгп,
тогда (еп,ет) = ^аке(кп)е(кт) = 'У\ке(кп>е(кт> =0, поскольку ненулевые элементы в еп
к=1	к=1
и стоят на разных местах. Итак, система (еп) - ортонормирована. Осталось
оо
показать, что система является базисом, т.е. по определению базиса Ѵх = 's£jckek.
к=1
оо	оо	1
Возьмем х = (^2,...)е12д, тогда сп =(х,еп) = Yja^k€x =Yji^ex =< -7= = >fe,-
jt=i	/t=i	V n
n	/1	Л	/	1	Л		 /"	1
Отсюда Yjckek=^i- -i=,0,0,... + V2£- 0,-t=,0,... + ... +• 0,...,0,-t=,0...
£=1	W1	/	V	V2	У	\	yjn
=	0,0,...). Тогда
n
-b
X- У f/,
£=1
= ||(0,...,0,£n.1,£„+2,...)f = У a,|£,f = У %|%0,
fc=H+l	fc=H+l
00	^	n	^	00
как остаток сходящегося ряда VІД, I . Итак, lim х-\скек =0 и x = Y.
ц—>оо
Л=1	V	*=і	/	£=і
206

2. Для функции в1 найти многочлен второй степени P (t) такой, что норма
e - P(t)|| минимальна в L2 [-1,1].
Решение: при заданном n в гильбертовом пространстве от элемента x
наименее всего уклоняется его n -я частичная сумма ряда Фурье, т.е. искомый
многочлен совпадает с многочленом Фурье второй степени функции в, т.е.
P(t) = c0e0(t) + c1e1(t) + c2e2(t), где e0(t),e1(t),e2(t) - элементы ортонормирован¬
ной системы в L2 [-1,1], ck = (вt, вк (t)) (к = 0,1,2) - коэффициенты Фурье функ-
t
ции в .
Для того, что бы найти элементы e0(t), e1(t), e2(t), применим процесс орто-
гонализации, описанный в доказательстве теоремы о существовании базиса в
гильбертовом пространстве, к линейно независимым функциям x0 (t) = 1,
xl(t) = t, x2(t) = t2 (поскольку степень искомого многочлена n = 2).
Гі	1
Поскольку ||х0|| = J 1dt = 42, то e0(t) = 7р^ = -^. Далее, h1= x1 - (x1,в0)в0.
\ -1	||Х0І| >2
1 1
Т.к. (Ху, в0) = -^ J tdt = 0, то \(t) = t, откуда ||hj = J12dt =
>2 -1	V-1	i
1
.3
1
J12dt =.
t
=
Jt І
3
-1 V
2	.. h
3	, e1(t)
'V
Дaлее, h = Х2 - (x2, в0>0 - (Х2, в^)ву. Тж. (хг, вй) = -1= J12dt = -^= ■ 2 = ^2
t.
и
(Х'2, в^=^| Jt ldt=о, то h(t)=t2 -У2 ■.x=t2 - 3.
Т.к. ||h2|
Jf t2 - 3
-1
ѵл [8 242	^ h2 з45
dt =J— = —t= , то в2 (t) = ттлт = —j=
V45 Зл/5	2	||hj 2-Л
Осталось посчитать коэффициенты Фурье:
, , ,	1 1 ,,	1 (	1Л e1 -1
c0 = (e ,ea(t)) =	J edt = -щ
к	1 ^
t2 - 1
V	3 у
42-1	42
[Эр t,	І3г
в—
V в у
3
42в
ct = (в, ву(t)) = ^3 J t^dt = ^2 J tdв	tвt -^ J вdt
'2в+V 2 ■	2
t
1
в—
V в у
J3 ■ i J6.
V 2 в в
c2 = (в, вМ)) =
з45
3-J5 j
2-Л і
J V t2 -1
Л	3-J5
в dt =
242
( у \
2 1
t --
V
ч
з451 tr
—I =
, Л-
242
r t Л
( t Л
1 --
в—
V 3 у
V в у
з45 2 45 (	t Л з45 2 45(в2 - 7)
в—
V в у
Л в Л
Л
в
42
в
Тогда искомый многочлен имеет вид:
207

P(t) = c0e0 (t) + cxex (t) + c2e2 (t) =
g2-l 1 л/б ІЗ S(e2-1) Зл/5
УІ2еЛ+еЧ2+ Jie 2-Jl
t —
V
e2-l 3	15(e-7) 2 5(^2 -7)	15(e-7) 2 3	33-3e2
=	+ -t + — 	-t 	- = — 	-t + -t +	.
2e e Ae	Ae	Ae	e Ae
3.	Для функции ё найти многочлен второй степени Pit) такой, что норма
£Г-Р(г)| минимальна в [—1,1] с заданной весовой функцией p(t) = \n(\ + t2).
Решить задачу численно при помощи Excel, выбрав шаг равным 0,1. Найти
величину отклонения
Pit).
ё - Р(г)|| и построить графики функции ё и многочлена
Решение: алгоритм решения остается таким же, как и в предыдущем при¬
мере. Введение весовой функции означает, что во все подынтегральные функ¬
ции добавляется множитель p{t) = ln(l +12).
Заполняем столбцы А, В и С: столбец А заполняем единицами, столбец В
заполняем значениями, начиная с -1, до 1 через шаг 0,1. В ячейку С2 вводим
формулу =В2Л2 и протягиваем до нужного нам значения. Тем самым, в первых
трех столбцах получили значения функций x0(t) = 1, xi(t) = t, x2(t) = t2, вычис¬
ленные через шаг 0,1.
В ячейку D2 вводим формулу =LN(1+C2) и протягиваем. Получаем значе¬
ния весовой функции, вычисленные через шаг. В ячейку В25 вводим значение
шага, т.е. число 0,1. Инициализация закончена. В столбце Е будем вычислять
норму х0
I x02(t)p(t)dt. Для вычисления интегралов будем использовать
и
формулы прямоугольников: ^f{t)dt - f(t0) ■ At +	+	+ fitn_x)-At. В со¬
ответствии с формулой прямоугольников в ячейку Е2 вводим формулу
=(A2)A2*D2*$B$25, протягиваем ее до предпоследней рабочей ячейки, т.е. до
ячейки Е21. В ячейке Е22 вычисляем сумму значений ячеек Е2-Е21, в ячейке
Е23 - квадратный корень из значения ячейки Е22. Это и будет искомая норма
||х0||. Желательно выделить ее цветом.
В ячейку F2 вводим формулу =А2/$Е$23 и протягиваем до ячейки F21. Мы
X
получили набор значений функции e0(t) = вычисленных через шаг, только
без значения в точке t = 1.
В ячейку G2 вводим формулу =B2*F2*D2*$B$25 и протягиваем ее до
ячейки G21. В ячейке G22 вычисляем сумму получившихся значений и получа¬
ем значение скалярного произведения	В ячейку Н2 вводим формулу
=B2-$G$22*F2 и протягиваем до ячейки Н21 - получаем значения функции
\ = хх - (х,, еХ) }еХ), вычисленные через шаг, но без последнего значения. В ячейке
208

12 вычисляем квадраты этих значений. В ячейку J2 вводим формулу
=I2*D2*$B$25, протягиваем ее до J21, в J22 вычисляем сумму этих значений, в
J23 - квадратный корень из этой суммы. Мы получили значение Ц/^Ц. Ячейку
к
желательно выделить цветом. В ячейке К2 вычисляем значения е] (t) = тг-\, вво-
ІЫІ
дя формулу =H2/$J$23.
к,
Действия по вычислению /г, = х2 - (х2,е0)е0 -(х2,е1)е1 и е2(і) = тг-2^ - анало-
N1
гичны. В ячейку R2 вводим формулу =ЕХР(В2) и протягиваем - это значения
функции ё, вычисленные через шаг. В соседних ячейках вычисляем скалярные
произведения с0 = (ё,е0(t)), с1 = (ё,е1(0) и с2 = (ё ,e2(t)). Далее, вычисляем
значения многочлена P(t) = c0e0(t) + c^it) + c2e2(t) через шаг, строим графики
функции ё и многочлена P(t) и вычисляем норму разности ё - Р(/)|| • Все ре¬
зультаты вычислений и графики приведены в дополнении.
4. Провести ортогонализацию элементов x0(t) = 1, xl(t) = t, x2(t) = t2,
г
x3(t) = t3 в пространстве L2
H4
dt
\
t2
t J
. Полученные многочлены называ¬
ются многочленами Чебышева.
Решение: воспользуемся процессом ортогонализации, описанным в теоре¬
ме о существовании базиса в гильбертовом пространстве. Скалярное произве¬
дение в Д,
тогда х,
[-1,і], г^1 2 определяется формулой (х, у) = | x(t)y(t) . ^ dt,
yll-t2)	_і VI-t2
1 = J\—F^=dt = Jarcsin/|' = 4я. Значит, e0=-^j = -]=. Далее, hl = xl-(xve0)e0,
V-iVl-t2	"	ІЫІ ѵя-
(ѵ„)= \t--j=■-J—л=~ Ь=Ц-'2)=■
J1 У я Vl-r ІулV I — /	Ія
= 0, откуда 1\{t) = t,
-i
1 y/l-i
-1
t = siny, у = arcsin?
n 1
я я
2
С
II
1
>1
II
>1
—
я - cos ydy =
2 2
\
* \
dt = cos ydy
2 У
Далее, h2=x2-(x2,e0)e0 - (x2,^)el.
(	\ f 2	1	1	, If?2
(x2 ,e0) — \1 • i— • j dt — i— I i
І Ія h-t2 Ія^Іі-t
d 1 Я _ 'ІЯ
2
209

e1) = J t2 ■ Mt '-^= dt = .l-^\^—dt2 = ,[-^	dt2 -
f V л ѴГ7	Ьл-іЛ-^	у?-J
2я-іуіі-12
J_Lj_i—2dt2=-d±JT? J-LJVT
Пл-у/1-t2	V 2л	\hrJy
3
2 2
.2 1.2	, 1 (1 -t)
tdt =
2л 3/2
= 0.
-i
Тогда h2(t) = t2 -
4Л i 2 i
2 4Л	2
i к- -
л2
1	t4
1	t2
11 1
и=tbr-r"	- ln-f 4i тгт*=
^ Л " Л ~ fl 7 " Л
=dt	+ — л = \\—;^^=dt	.
-iVT
2	2	4
-n/l-
2	4
1	14	2	1 2	_ 12
J i		 dt = J sin4 ydy = - J (1 - cos 2 y)2dy = — + - J cos2 2 ydy
-v/1 -12	_	4 _	4	4 _
-и/Т
л 1 - „	„ ч ,	3л
= — + ■
4 8
J (1 + cos4y)dy =
Значит h i=$_-_=7_• откуда e-=й=£ (t2 - - 7 S(2t 2 -1).
/3л л Іл
,,	, откуда e2 = .. ..
8	4	V8’	2 Ы
Далее, h3 = x3 - (x3, e0 )e0 - (x3, e1 )e1 - (x3, e2)e2.
/	4	f 3	1	1	1	1 f	t3	.	_
(x3, e0)	I t '	/— '	/	r dt	I— I	I	у dt 0 .
ѵл v 1 -1	ѵл-Wl -1
, , [3 (2	1 . [-} t4 j [2 3л эЛЛ
(x3’e1)=_(t 'iJ'VT7dtЧліт/Г?dt4*
8 4J2 '
(Xз,e-) J t3 '^л2t2 1)^/-_- dt 2J_J J J—- dt
-1
2 1	t3
wr
:dt = J —
л
2 1	t5
\Л
Vi -12	ѵл_-1f *
л	л
r dt = 2j— J sin5 ydy = -2 /— J sin4 yd cos y =
л
л
'2
-2J— I (1 - cos2 y)2dcos y =0.
л
л
2
1
л
л
л
8
л
210

Тогда }ц(і) = t3 -
Зу[л [2
4>/2'
71	4
■И*
11 f
ы i fK-^rdt -
=dt =
/г t6 , 9п 9 п
~Ѵ-Ж^г 16 + 32 "tJ.Vw
п	п_	п_
Г 1 -dt = f sin6 ydy = i f (1 - cos 2yfdy = ^ -f j cos 2ydy
_W1-^2	*	8	8 _jr
1 *6
II
j 9 n
=dt	.
2	32
+
?T
2
32	J 2	^ j 2	j 2
J cos2 2ydy - - J cos3 2ydy = — + — J (1 + cos4y)dy - — J cos2 2yd sin 2y =
n
~2
71 ЪП 1
16
5 л-
	f (1 - sin2 2y)d sin 2y = —
16 J	'	-^16
8 16 16 \ 16
”2"
Значит W=JlM=^’откуда ез=ы=Л(,3-т)=^(4,!-3‘)-
5.	В пространстве ^[-л-^] найти М1, если М = |т(е“тг), rceZj, и
М = jb(e~lnt^, п > о|, где L(N) обозначает линейную оболочку множества N.
Решение: пусть М = jL(e~lnt^, ne Z j. Ясно, что M - линейное многообра¬
зие. Из теории тригонометрических рядов Фурье известно, что система функ¬
ции
1
\
-int
уі2тг
,пе Z является полной в пространстве непрерывных на отрезке
[-л-,л-] функций. Значит, по определению полноты, любую такую непрерыв¬
ную функцию можно с любой точностью приблизить линейной комбинацией
элементов этой системы. Таким образом, множество М - всюду плотно с про¬
странстве С\-7і,7і\. Пространство С [-л-, л-], в свою очередь, всюду плотно в
L^ [-7і,7і], значит М всюду плотно в L, [-7г,7г] и по теореме о всюду плотности
линейного многообразия, М1 = {О}.
Поскольку система
—int
\УІ27Г
,пе Z ортонормирована в 1^\-7і,ті\ и М
всюду плотно в [—л", л"], то система
г
V
211
■Jbt
,пе Z полна в /^[-л^л-], т.е.

представляет собой ортонормированный базис в Ь^-п,ж\ в силу критерия ба¬
зиса.
Пусть теперь М = |b{e	Рассмотрим jceM* 1, тогда х = 0 + х, где
1 _
О еМ. С другой стороны, поскольку еп =
yfbr
,«eZ - базис в 1^ [-лг,лг],
+оо
+00
У
+00
ТО X = I Cnen^)=Y,Cnen^) + Zv. (t), причем ^cnen(t) еМ .Но теореме о
п=О	гс=-1	тг=0
п=-*о
разложении гильбертова пространства в прямую сумму
’ те.
/2=—1
хе	Таким образом, ML	о|.
Обратно: пусть хеЕсли хе|т^_т^,п<о|, то ѴуеМ
легко проверить, что (х,у) = 0, т.е. хеМ1. Если хк<Е^ь(е~м^,п<о|, х*-»х,
то ѴуеМ (хА.,у) = 0, и, в силу непрерывности скалярного произведения,
(х, у) = 0, т.е. хе М1. Окончательно, М1 = |ь{е~м}, п <о|.
Задачи для самостоятельного решения
1. В пространстве /2 а построить ортонормированный базис, если ап = п2.
2. В пространстве 12 а построить ортонормированный базис, если ап = е~п.
3.	Провести	ортогонализацию	элементов	х0(/) = 1,	х, (/) = /,	х2(/) = t2,
x3(t) = t3 4 5 6 7 в пространстве	[0,l].
4.	Провести	ортогонализацию	элементов	x0(t) = l,	х,(/) = t,	x2(t) = t2,
x3(t) = t3 в пространстве £^[-1,1]. Полученные многочлены называются много¬
членами Лежандра.
5.	Провести	ортогонализацию	элементов	х0(/) = 1,	xx(t) = 1,	x2(t) = t2,
x3(t) = t3 в пространстве L^j^+oo},е~гсіі). Полученные многочлены называют¬
ся многочленами Чебышева-Лагерра.
6.	Провести	ортогонализацию	элементов	x0(t) = 1,	x1(t) = t,	x2(t) = t2,
x3(t) = t3 в пространстве LJ(-оо,+оо),е“* dt J. Полученные многочлены называ¬
ются многочленами Чебышева-Эрмита.
7.	Для функции t3 найти многочлены pn(t) степени 0,1,2 такие, что норма
Pn(t)
минимальна в
М-и].
212

8.	Пусть Нр [0,1] - гильбертово пространство функций, суммируемых с
i
квадратом на [0,і], скалярное произведение в котором (x,y) = ^x(l)y{l)p{t)dl.
0
Для функции x(t) = ln(l + £2) найти элемент наилучшего приближения х* эле¬
ментами подпространства L многочленов степени п = 3 при заданной весовой
функции p(t) = l + t2. Решить задачу численно при помощи Excel, выбрав шаг
равным 0,05. Найти величину отклонения р(х, L) = ||х(0 - х * (?)|L и построить
Н р
графики функции x(t) и элемента наилучшего приближения x*(t).
9.	Пусть Нр [ОД] - гильбертово пространство функций, суммируемых с
1
квадратом на [ОД], скалярное произведение в котором (x,y} = ^x(t)y(t)p(t)dt.
о
Для функции x(/) = sin4#? найти элемент наилучшего приближения х* элемен¬
тами подпространства L многочленов степени п = 3 при заданной весовой
функции pit) = 1 + е‘. Решить задачу численно при помощи Excel, выбрав шаг
равным 0,05, наити величину отклонения />) — ||х(/ ) х «L и построить
графики функции x(t) и элемента наилучшего приближения х * (t).
10.	Пусть Нр [0,1 ] - гильбертово пространство функций, суммируемых с
i
квадратом на [ОД]. скалярное произведение в котором (х, у) = ^x{t)y{t)p(t)dt.
Для функции x(t) = е~‘ найти элемент наилучшего приближения х* элементами
подпространства L многочленов степени п = 3 при заданной весовой функции
pit) = l + t2. Решить задачу численно при помощи Excel, выбрав шаг равным
0,05, найти величину отклонения p(x,L) = ||х(7) - х *«L и построить графики
функции х(0 и элемента наилучшего приближения х* (/ ).
11.	В пространстве	найти ML, если М = \L(smnt),n > l|.
12.	В пространстве Ь^-п,ж\ найти ML, если М = {L(cosnt),n > 0|.
13.	В пространстве /^[-1,1] найти Мх, если М = L(cos^,r).
°° 1
14.	Используя равенство Парсеваля, найти сумму ряда V —.
п=1 п
15.	Доказать, что множество М четных функций и множество N - нечет¬
ных функций образуют подпространства в пространстве Z^[-l,l]. Доказать, что
^[-1,1] = М Ѳ N.
16.	Найти замыкание линейной оболочки множества
странстве Lj-ІД].
в про-
213

Указание: пустъ L указанная линейная оболочка, N подпространство
нечетных функций в M-и] • Показать, что LczN и N сі (для доказатель¬
ства второго включения обосновать полноту системы, получаемой при орто¬
нормировке системы {ш2/,...} « М-і.Ф-
17.	Найти замыкание линейной оболочки множества \t2k~2\ в про-
1	Jke N
странстве [—1,1].
18.	Проверить, что замыкание линейной оболочки системы {cosnt}^_ -
есть множество четных функций в действительном пространстве Д [-л-, ті\ .
19.	Проверить, что замыкание линейной оболочки системы {sinж}”	-
есть множество нечетных функций в действительном пространстве Ь2 [-я, я].
20.	В пространстве L2[-l,l] найти элемент наилучшего приближения для
функции x(t) = \ + t~ подпространством М = L(t,t ,t ). Вычислить расстоя¬
ние от x(t) до М.
Г1]°°
21.	Найти ортогональную проекцию элемента х0 = 1 —г е /2 на подпро-
k=i
странство L - линейную оболочку векторов хх = (1,0,-1,0,0,...), х2 = (0,1,0,-1,0,0,...),
х3 = (0,0,1,0,-1,0,0,...), а также найти p(x0,L) и p(x0,LL).
22.	Найти расстояние от элемента х0 = (1,0,0,...) е/2 до подпространства
L = |jC6/2,a: = (#1,#2,...):^=oJ.
Указание: найти ортонормированный базис этого подпространства.
23.	Доказать полноту в пространстве Lz [0,тг] тригонометрических систем
{sinfocr&eN} и {cosbc:&eN}.
Указание: показать, что любая функция J (х) е Д [0,;г] раскладывается в
ряды Фурье по этим системам, сходящиеся к /(х) в среднем квадратичном.
Для этого выполнитъ нечетное или четное продолжения.
24.	В пространстве /^[-1,1] найти расстояние от элемента x0(t) = et до
Г	ю
подпространства М = 1 хе L2[-l,l]:x(t) = YJ(ak cos kt + bk sin&Z)
{	k= l
25.	В пространстве ^[0,і] найти проекции элемента x(t) = /3 на подпро¬
странства многочленов степени т<п, п = 0,1,2.
26.	Пусть en(t), «eN, образуют ортонормированный базис в	До¬
казать, что umn(s,t) = em(s)en(t), m,«eN образуют ортонормированный базис в
L2([a,b]x[a,bf).
214

Дополнение
Результаты численного решения примера 3 п. 3.5
х0=1
x1=t
x2=tA2
P(t)
ІІхОІІ
eO
(x1 ,e0)
h1=x1-(x1,e0)*e0
h1 A2
1
-1
1
0,693147
0,069315
1,374184
-0,09525
-0,869107356
0,755348
1
-0,9
0,81
0,593327
0,059333
1,374184
-0,07338
-0,769107356
0,591526
1
-0,8
0,64
0,494696
0,04947
1,374184
-0,05438
-0,669107356
0,447705
1
-0,7
0,49
0,398776
0,039878
1,374184
-0,03836
-0,569107356
0,323883
1
-0,6
0,36
0,307485
0,030748
1,374184
-0,02535
-0,469107356
0,220062
1
-0,5
0,25
0,223144
0,022314
1,374184
-0,01533
-0,369107356
0,13624
1
-0,4
0,16
0,14842
0,014842
1,374184
-0,00816
-0,269107356
0,072419
1
-0,3
0,09
0,086178
0,008618
1,374184
-0,00355
-0,169107356
0,028597
1
-0,2
0,04
0,039221
0,003922
1,374184
-0,00108
-0,069107356
0,004776
1
-0,1
0,01
0,00995
0,000995
1,374184
-0,00014
0,030892644
0,000954
1
0
0
0
0
1,374184
0
0,130892644
0,017133
1
0,1
0,01
0,00995
0,000995
1,374184
0,000137
0,230892644
0,053311
1
0,2
0,04
0,039221
0,003922
1,374184
0,001078
0,330892644
0,10949
1
0,3
0,09
0,086178
0,008618
1,374184
0,003553
0,430892644
0,185668
1
0,4
0,16
0,14842
0,014842
1,374184
0,008158
0,530892644
0,281847
1
0,5
0,25
0,223144
0,022314
1,374184
0,015332
0,630892644
0,398026
1
0,6
0,36
0,307485
0,030748
1,374184
0,025352
0,730892644
0,534204
1
0,7
0,49
0,398776
0,039878
1,374184
0,038359
0,830892644
0,690383
1
0,8
0,64
0,494696
0,04947
1,374184
0,054384
0,930892644
0,866561
1
0,9
0,81
0,593327
0,059333
1,374184
0,073381
1,030892644
1,06274
1
1
1
0,693147
0,529554
-0,09525
0,727705
At=
0,1
I|h1||
e1
(x2,e0)
(x2,e1)
h2=x-(x2,e0)e0-(x2,e1 )e1
h2A2
ІІИ2Ц
e2
0,052357
-1,59024
0,095251
-0,11023
0,334351504
0,111791
0,007749
1,742232
0,035097
-1,40726
0,066043
-0,06763
0,154070704
0,023738
0,001408
0,802828
0,022148
-1,22429
0,043507
-0,03876
-0,006210097
3,86E-05
1,91E-06
-0,03236
0,012916
-1,04131
0,026852
-0,02035
-0,146490898
0,02146
0,000856
-0,76333
0,006767
-0,85834
0,015211
-0,0095
-0,266771698
0,071167
0,002188
-1,39009
0,00304
-0,67537
0,007666
-0,00377
-0,367052499
0,134728
0,003006
-1,91263
0,001075
-0,49239
0,003263
-0,00117
-0,4473333
0,200107
0,00297
-2,33096
0,000246
-0,30942
0,001066
-0,00024
-0,5076141
0,257672
0,002221
-2,64507
1.87E-05
-0,12645
0,000216
-2E-05
-0,547894901
0,300189
0,001177
-2,85496
9.5E-07
0,056525
1,37E-05
5,62E-07
-0,568175701
0,322824
0,000321
-2,96064
0
0,239499
0
0
-0,568456502
0,323143
0
-2,9621
5.3E-05
0,422472
1,37E-05
4.2E-06
-0,548737303
0,301113
0,0003
-2,85935
0,000429
0,605445
0,000216
9,5E-05
-0,509018103
0,259099
0,001016
-2,65238
0,0016
0,788419
0,001066
0,000611
-0,449298904
0,20187
0,00174
-2,3412
0,004183
0,971392
0,003263
0,002307
-0,369579705
0,136589
0,002027
-1,9258
0,008882
1,154366
0,007666
0,00644
-0,269860505
0,072825
0,001625
-1,40618
0,016426
1,337339
0,015211
0,014804
-0,150141306
0,022542
0,000693
-0,78235
0,027531
1,520312
0,026852
0,029707
-0,010422107
0,000109
4,33E-06
-0,05431
0,042868
1,703286
0,043507
0,053927
0,149297093
0,02229
0,001103
0,777954
0,063055
1,886259
0,066043
0,090653
0,329016292
0,108252
0,006423
1,714431
0,298692
0,422926
-0,05312
0,036829
0,546528
0.19191І
215

eAt
c0=(eAt,e0)
c1=(eAt,e1)
c2=(eAt,e2)
МНОГОЧЛЕН
ПеЧ-МНОГОЧЛЕНП
0,367879
0,0350409
-0,0405501
0,04442597
0,39589949
5,44206E-05
0,40657
0,0331493
-0,0339472
0,01936653
0,411574893
1,48642E-06
0,449329
0,0305455
-0,0272136
-0,0007193
0,437348262
7,10073E-06
0,496585
0,0272125
-0,0206208
-0,015116
0,473219596
2,17714E-05
0,548812
0,0231895
-0,0144846
-0,0234579
0,519188896
2.6982E-05
0,606531
0,0185987
-0,0091407
-0,0258862
0,575256162
2.18255E-05
0,67032
0,0136716
-0,0048988
-0,0231904
0,641421393
1.2395E-05
0,740818
0,0087731
-0,0019754
-0,0168866
0,71768459
4,61193E-06
0,818731
0,0044127
-0,000406
-0,0091676
0,804045753
8,45792E-07
0,904837
0,0012372
5,089E-05
-0,0026656
0,900504882
1,86776E-08
1
0
0
0
1,007061977
0
1,105171
0,0015112
0,0004646
-0,0031444
1,123717037
3,4225E-07
1,221403
0,0065829
0,0029003
-0,012706
1,250470063
3,31379E-06
1,349859
0,0159856
0,0091715
-0,0272346
1,387321054
1,20943E-05
1,491825
0,0304267
0,0215082
-0,0426404
1,534270012
2,67394E-05
1,648721
0,0505564
0,0424693
-0,0517337
1,691316935
4,0487E-05
1,822119
0,0769919
0,0749276
-0,0438332
1,858461823
4,06131 E-05
2,013753
0,110352
0,1220866
-0,0043611
2,035704678
1.92166E-05
2,225541
0,1512931
0,1875261
0,08565017
2,223045498
3.08056E-07
2,459603
0,2005413
0,2752709
0,25019529
2,420484284
9.07958E-05
2,718282
0,8400722
0,5831388
0,09689496
0,000385368
0,019630802
216

ЧАСТЬ II. ОПЕРАТОРЫ
РАЗДЕЛ 1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ
ОПЕРАТОРОВ
1.1. Понятие линейного ограниченного оператора, его норма
Определение: пусть X,Y - линейные нормированные пространства.
Отображение А: X —> Y называется линейным оператором, если выполнены
свойства линейности:
1.	A{x^ +х2) = А(х1) + А(х2) Ѵхѵх2еХ;
2.	А(Лх) = ЛА(х) ѴіеХ и для любого числа Л е С (или Л е №).
Замечание: область определения оператора А будем обозначать D(A), а
множество значений (образ оператора) - R(A) (ImA). Если множество D(A) не
указано явно, то всегда будем считать, что D(A) = X. При этом условие
R(A) = Y необязательно выполнено.
Замечание: если А: Мп —» Мт, то любой линейный оператор представляет¬
ся в виде умножения на матрицу и поэтому, по аналогии с умножением матриц,
скобки у аргумента линейного оператора принято не писать, т.е., если это не
вызывает недоразумений, будем писать Ах вместо А(х).
Замечание: для любого линейного оператора АО = А(х-х) = Ах-Ах = 0.
Определение: оператор А называется непрерывным в точке х() e D(A), ес¬
ли при Хп —> х0 (хп е D(A'), ц—» оо) Ахп —» Ах0. Оператор А называется непре¬
рывным на множестве D(A), если он непрерывен в каждой точке D(A).
Замечание: по аналогии с математическим анализом, определение непре¬
рывности оператора в точке х0 е Л (А) можно записать в эквивалентном виде:
Ѵ£>0 3с>>0: ѴхеЛ(А) ||х-х0||х	||Ах-Ах0||у <е.
Определение: множество тех хе ДА), для которых Ах = 0 называется
ядром линейного оператора А и обозначается kerA.
Определение: пусть X,Y - линейные нормированные пространства,
А: X —» Y - линейный оператор. А называется ограниченным, если существует
постоянная М > 0 такая, что Ѵх e X || Ах||у < М ||х||х.
Замечание: если А - ограниченный оператор, то он любое ограниченное
множество МеХ переводит в ограниченное множество AMeY (см. задачу 3).
Замечание: если А - ограниченный оператор, то ЗМ >0: Vxe X х^О
ІИ
х
Y
X
X
<М , т.е. множество таких дробей имеет точную верхнюю грань.
Определение: пусть А:Х —»7 - линейный ограниченный оператор. Нор¬
мой оператора А называется число || А|| = sup
хеХ
дэіО
Y
X
217

Замечание: таким образом, норма оператора - это наименьшее из чисел
М > О, для которых ||Ах|| <Af||x|| Vxe X . По определению нормы оператора
ІІАхІІ
¥ , откуда HI ФІНІА . Заметим, что последнее не-
ѴхеХ х^О А >
х
равенство верно уже и при х = 0. В дальнейшем индексы у норм будем опус
кать. Из математического анализа известно свойство точной верхней грани: ес
, то \/£ > 0	e X \ {О}:	> ||А|| - £, откуда ||AxJ > (||а|| - s
хе •
ЛИ ||А|| = sup
хеХ ІІХІ
х*0	11	11	11
Теорема (эквивалентность ограниченности и непрерывности линей¬
ных операторов): пусть А: X —» Y - линейный оператор, причем D(A) = X ,
тогда следующие условия эквивалентны:
1.	А ограничен;
2.	А непрерывен на всем пространстве X ;
3.	А непрерывен в точке х = 0.
Доказательство: 1=>2. Пусть А ограничен, т.е. ЗМ > 0:	ѴхеХ
И <М||х||. Зафиксируем XqgX, тогда ѴхеХ ||Ах —Ах0|| = ||А(х —х0)||<
»м	£	и	и
х-х0 . Далее, Ѵ£>0 возьмем 8 =—, тогда из условия х-х0 <<!> будет
М
следовать, что ||Ах — Ах0||<М||х-х0||<М • 8 = £, т.е. А - непрерывен в произ¬
вольной фиксированной точке х0 e X, а значит, непрерывен на всем простран¬
стве X.
2=>3. Очевидно.
3=>1. Пусть А непрерывен в нуле, т.е. \/£>0 3£>0: ѴхеХ ||х||<с>
х 8
х 2
=£._!_.у=£<£
2 ІІхІІ 2 < ,Т0
f
сЛ
X
8
А
|х||
2
V
У
<£, ОТ-
I Ах|| < £ . Поскольку Ѵх^О
8	2£	І£
куда —г—л||Ах||<£, т.е. ||Ах||<—||х||. Обозначая М= — >0, получим, что
2||х||	8	8
I Ах|| < М • ||х||. Если х = 0, то || Ах|| = М • ||х||, поэтому Ѵх e X ||Ах|| < М ■ ||х||.
Теорема доказана.
Определение: пусть X - линейное нормированное пространство. Линей¬
ным ограниченным функционалом (р называется линейный ограниченный опе¬
ратор ср: X —» Ш (или ср: X —» С).
Замечание: таким образом, функционал - это частный случай оператора
при Y = М (С). Действие функционала ср на элемент х (т.е. запись (р{х)) ино¬
гда обозначают <х,ср>.
Определение: нормой линейного ограниченного функционала называется
\(р{х)\
число kz> = sup
хфО X
218

Замечание: всюду далее по умолчанию рассматриваются функционалы
<р:Х —» К. Случаи ф: X —» С будут оговариваться особо.
Определение: гиперплоскостью в линейном пространстве X называется
совокупность точек этого пространства, удовлетворяющих уравнению
(р(х) = С, где (р - линейный функционал на X , С = const.
Примеры решения задач
1. Какие из следующих функционалов являются линейными и непрерыв¬
ными:
а)	/ :C[0,l]->R, f (х) = jх1 (t)df,
о
б)	/:Z,[0,l]-> К» /(х) = Jjc(f)sin2fcfr;
О
со
в)	/:L->R, /(*)=£& sin к, где L - линейное подпространство элемен-
k=1
со
тов х = (%k) е /2, для которых сходится ряд sink, а норма стандартна?
к=1
Решение: а) Пусть хрх2 е С[0,1] , тогда
i	i
/ (jq +х2) = J* (х1 (?) + x2(t))2 dt = |^х12(0 + х22(0 + 2x1(t)x2(t)}dt =
о	о
1
= / (-Е) + / (х2) + 2 JХу (t)x2 (t)dt.
о
1
Ясно, что при условии ^x1{t)x2{t)dt фО получаем /(х1 + х2)^ /(^) + /(^2)
о
и определение линейности функционала не выполняется.
с[од]
Проверим его непрерывность, т.е., что если xn,x0eC[0,l] и хп —» х0, то
i	i
f(xn) —» /(х0), т.е., что Jx2(t)dt —> |x02(t)dt. Если покажем, что x2(t) =4 x02(t),
о	о
то по теореме о предельном переходе под знаком интеграла Римана это и будет
i	i
означать, что ^x2{t)dt —» ^x02(t)dt. Поскольку равномерная сходимость экви-
0	о
валентна сходимости по норме пространства С[0,і], то достаточно установить,
с[°д]
что х2 —> х0 , т.е., что
2 2
*п -*>
с[од]
► 0. Поскольку хп —» х0, то последователь¬
ность {хп} ограничена, т.е. 3с>0: ѴяеN ||xj <с. Тогда
219

2 2
к _хо
= sup xn2(t)-x02(t)\= swp\(xn(t)-x0(t))(xn(t) + x0(t))\ =
(e[0,l]	1	(e[0,l]
= sup |(xn(0 - x0(t))xn(t) + (xn(t) - x0(OKO)| ^ sup Ixn(t) - X0(t)\\xn(t)\ +
is[0,l]	ie[0,l]
+ sup I xn(t) - xQ(t)\\x0(t)\ < sup \xn(t)\ sup I xn(t) - Xq (?) I + sup |x0(/)| sup \xn(t) - x0(t)\ =
ге[ОД]	ЦОД]	ге[ОД]	ге[ОД]	ге[ОД]
=к II • к - хо II+к II • к_ хо Nс Iк - хо II+к II • к_ ^ II •
Переходя к пределу при со, учитывая, что к — -^оII —^^ =■ п0 теореме о
2	2
Хп ~Х0
двух милиционерах, получаем, что
Итак, функционал / непрерывен,
б) Проверим линейность: пусть аѵа2
0.
+
£, х^,х2 £ 1~*2[О,і], тогда
i	i
/(«jjq +а2х2) =	+ a2x2{t))sm2 tdt = ax^Xy(t) sin2 tdt
0	о
1
+a2j*x2(/)sin2tdt = a1f(xl) + a2f(x2).
о
Таким образом, функционал / линеен. В силу теоремы об эквивалентно¬
сти непрерывности и ограниченности линейного оператора, для установления
его непрерывности достаточно установить его ограниченность. Поскольку
|/с4
Wi
J x(t) sin2 tdt < J\x(t)\sin2 tdt < I |x(0|2 dt	I sin4 tdt
У vo
^ 1
I sin4 tdt
i
V
Vo
l
Лг
1.
то функционал / ограничен с константой М = j* sin4 tdt
Vo	У
в)	Проверим линейность: пусть ах,а2 е R, х1 = (4(1)),х2 = (4(2)) e L, тогда
со	со	оо
f(axxx + а2х2) =	+ tf2£*2))sin& = а]'ул^(кѴ) sin/: + а2^^(2) sink =
к=\	к=1	/t=l
= aj(xl) + a2f(x2),
т.е. функционал / линеен., поэтому достаточно проверить ограниченность.
Рассмотрим Ѵя e N элемент хй =
1
Т
sini sin2 sinn
V
1
,0,0,...
п
где
у
1	Л	1	^	1	/	о 1
а = — + (т, 0<<7< —, с = /,—(поскольку 2ог>1,то с действительно конечное
2	2	£=і &
положительное число). Проверим, что такой элемент хл e L.
220

1 ^AsinA .
sin2 А:	1 А 1
Действительно,	sin* =	sin* =	<-7=^—
к=\	"Vс к=\ А	\С н к л/с *=i А:
поскольку сумма получилась конечной. Таким образом, хп е L.
< оо,
Далее, ||хп|| =Ц&п)\ = -£
2	1 ^ sin2 А ІтЛ 1
1
1 1
к=\
cfc; *- Se£*^£~'C = 1’
последовательность {хи} ограничена.
При этом, |/(хп)| =
IA” sin*
к=\
1 sinA . .
> —і=	sin А:
йА *“
1 ^sin2A
— —i= /	^ + 00 ПО-
Ай *“
sin2 A
скольку ряд У'/'" является при а< 1 расходящимся. Таким образом, после-
ка
довательность {/(+„)} не ограничена. Итак, функционал / перевел ограничен¬
ную последовательность в неограниченную, следовательно, он неограничен.
2. Найти норму оператора А: Мга —»/2, если
^	4 4	4	4	4
А(4,4,...,4) =
1 	 Г 2’"”2 ’-’к”"’к”
где х = (4,4,..„4)
Решение:
||Ах||
: SUp —Гр = sup ■
хфО X хФО
р2	р 2 р2	р 2	р 2	р 2
^ + ... + ^4 + ^Ѵ + ... + ^4 + ... + % + ... + ^Ѵ+.
I2 I2 22	22 А2 к
Ій
*=i
= sup
хфО
V
I
к=\
й2+- + й!
Ей
*=і
= sup-
хфО
оо
v§
i
И
n
Ій1
*=1
i
n
Ій2
*=i
Ilf
*=1 К
со I	рю 4
Поскольку ряд Хтт сходится, то ІА] = д/ХтТ •
*=і А:	\ к=і к
к-1
3. Найти норму функционала А: /. —> М, если Ах = Ѵ(1-(-1)*)——4* > гДе
А
*=і
х = (4,4’-)е4
Решение:
|Ах|
= supyy = sup
хфО X х^О
*-і
У(1-(-1)‘)+-ё
к=1
Е|і
ІІйІ
<sup
х^О
k=l
А -1
<
ІІйІ
*=1
*=1
221

2ЕІ4І
< sup-
х^О
k=l
Ш
= 2. С другой стороны, для некоторого х0 ^ 0:
к=1
= sup
н>ы=
К
к= 1
х^О X Их,
'0
ои
к=\
(0)
(1-(-1г+1)
2«+Ь 2п + \-1
2п + 1
= 2'
*0 = (О,..„О, 1 ,0,0,...)
2ю+1
xo^h
2 п
2п + \'
Переходя к пределу при п ->«>, получаем, что ||А|| > 2. Из полученных не¬
равенств следует, что IIАІІ = 2.
4.	Найти норму функционала /: С[0,і] —» Ж, если /(^ _ |x(sin^)^
Решение: ||/1| = sup	= sup
X
л
Jx(sii\t)dt
л
J|x(sinr)|^
I I ^SUP' I г
sup \x(t)\	x*0 sup \x(t)\
/s[0,l]	Ц0.1]
|x(0|< sup|x(0| = И, апри te[0,я] sin*e[0,l], то Ѵге[0,л-] |x(shn)| < ||*||, отку-
Поскольку \/te [0,1]
да:
71	Л
||х|^	||х|||к/?
о
“ SUP~—ГТй _ SUP—П—	-л . С другой стороны, для некоторого
^ ^0
х*0 sup|x(0| ХФО ||Х|
Цод]
|/(х)| _ |/(х0)|
= sup' .. .. ' >		Т-1
71
|x0(sinO^
хфО X
х0|	sup|x0(0|
te[0,l]
х00) = 1
х0(ОеС[ОД]
л
I\dt
= л. Из по¬
лученных неравенств следует, что ||/1| = л.
5.	Найти норму функционала A(<f1,£2,£3,...) = 3£1 + 4£2, если:
а) А: Іх	М,
б)	А: Іх —» М.,
в)	А: /2 ^ М,
где х = (^,4,4,...).
Решение: а) ІА]! = sup №. supM±i^, sup3l£l+4l£l £ sup4^l+4^l=
"°М «о	£|&|	-0	£|й|
к= 1	£=1	£=1
222

= 4 sup
’1|+ Ь2|
+
< 4. С другой стороны, для некоторого х0 ф 0:
mj^i ter**.
(0)
х^О \\х\\
ои
ік
к=1
(0)
х0 = (0,1,0,0,....)
Х0 E /j
= 4
Из этих двух неравенств заключаем, что ||Л|| = 4.
б) ||A| = sup^ = supMlig£suplM = sup
хФО ||х|| хфО sup |^|	х*0 SUp 1^ I	хфО
3-
kL.+4. fei
sup 1^1 sup|<j|
<
< 3 + 4 = 7. С другой стороны, для некоторого х0 + 0:
М.М І3£<0)+4£
= supѴи - іі—іі =	Ыщ|
хфо ||х|	||х0|| sup 4 ;
(0)
х0 = (1,1,0,0,...)
Xq eL
=3+4=7.
Из этих двух неравенств заключаем, что ||а|| = 7.
2і із^І+к^і
sup W = sup	— i — sup-———- <
хФО ||x|| хфО f oo
Л
ХФ0
\
1 —
< sup
(32 + 4;)%,f-+2|2)
x^O
II&
Л=1
1
^2
II&
+=i У
:5sup-
II&
. fc=i У
неравенство
Гельдера при
p = q = 2
<
'll + 1+2
|2\2
х^О /і .. |2 i „ |2 i „ |2	\2
іГ+к
21 + #, +
•)
- < 5. С другой стороны,
.. ІАхІ ІАх0| 3£1(0) + 4£
для некоторого х^ О \\А\\ = sup1—1 > L-—4 =
х^О X
40 ( °°
■ (0)
ік..
U=1	У
Из этих двух неравенств заключаем, что IIАІІ = 5.
х0 = (3,4,0,0,...)
х0е/2
25
УІ25
= 5.
6. Найти норму функционала Ax(t) = х(0) - 2х(1) + х(2), А:С[0,2]^Ж.
|Ах(р| _	|х(0) - 2х(1) + х(2)| ^	|х(0)| + 2|х(1)| + |х(2)|
Решение: IIАІІ = sup,, - = supj—4	, 4 <supJ
X^O \\X\\
хФО
sup \x(t)\
fe[0,2]
x*0
sup |x(r)|
Ц0,2]
у
= sup
хфО
X
(0)|
|x(l)|	|x(2)|
Л
sup |x(7)|	sup |x(/)|	sup |x(0|
k«s[0,2]	rs[0,2]	Ц0,2]
<l + 2 + l = 4. С другой стороны,
для
„11,11 |Ax(OL |Ax0(O|	|x0(0) - 2x0(l) + x0(2)|
некоторого дь * О I A|| = ^РУиГ ~171Г =	^ITTrti	'
x^O \\X\\	Ял	SUp aqv* Л
Ц 0,2]
223

Выберем непрерывную на отрезке
[0,2] функцию x0(t) так, чтобы
х0(0) = 1, х0(1) = -1, х0(2) = 1 и при
этом sup |х0(/)| = 1 (например, как на
»€[0.2]
|і-2-(~1) + і|
1
Из этих двух неравенств заключаем,
что ІІАІІ = 4.
рисунке). Тогда
>
= 4.
i
7. Найти норму оператора А: С[0,і] —» С[0,і], если Ax(t) = je3t~2rx(z)dT .
Решение:
1
i
sup
[е3,~2т x{t)dT
sup f
re[0,l]
si in
0
< sim 1 Jo
. По-
х^О ІІ^Ц х^О	||Х||	х^О	11*^11
скольку V т е [0, і] справедлива оценка |х(г)| < sup |jc(r)| = ||jc||, то
i
sup IV' 2r|x|dr
/б[°.1]о	" "гб[о.і]-0
< sup	u 	= sup	—j-
хФО	X	x^O	X
ге[0Д]
1
x||sup jV' 2xdz
sup
?e[0,l]
f i	i Л i ( i \
1	3t-2 , 1 3t 1	-	1
—e +—e
v
1--
V e )
31
sup e = —
ЦОД] 2
= sup fe3'-2^r =
‘-iy.ii,..,).
С другой стороны, для некоторого х0 Ф 0:
supJ
>
хфО X
\\Axo\
sup
гб[0Д]
1
jV'“2rx0(z)dz
0
Ы
sup|x0(0|
Х0(0 = 1
х0(0 е С[о,і]
= sup
»е[0Д]
IV 21 dr = sup [e3t 2Tdz = —(e3 -e).
I	-[oVo	2v >
Из этих двух неравенств заключаем, что || А|| = ~(^3 - е) ■
8.	Вычислить норму функционала / :С[-1,1]^К,если /(*) =	.
Решение: II Л| = sup = sup
х^О X	хфО X
і
J tx(t)dt
-i
И \t\dt
<sup;
хфО	ІШІ
224

т
= I -tdt + ^tdt =
-i
-i
t
+ —
2
= — + — = 1. С другой стороны, для некоторого х0 Ф О
2 2
= supJ
>
л'^0 .Г
|/(*с
,)|_
1
1 txQ (t)dt
-i
sup
x0(t)\
. Для получения неравенства / >1 хоте
Г-1, -1 < г < 0, /
лось бы выбрать л0(0 = м ^	^ (см. рисунок слева), однако, такую
функцию брать нельзя, поскольку она не является непрерывной, т.е. не принад¬
лежит С [-1,1].
Выберем в качестве x0(t) функцию, “близкую” к нужной, но являющуюся
непрерывной, как, например, на рисунке справа. Ясно, что IbtJ = 1.
Найдем уравнение прямой x0(t) на отрезке [-£,г], зная, что она проходит
t — t	г (Л — X (t }	t
через две точки (0,0) и (s, 1): 	L = — 	Q-J—, откуда x0(t) = — . Тогда
?2 l \ Xq (T) *о )	&
>
1-£2 +
В Л
\—dt
* с*
\-£2+ —
Ъе
l-s2+--s2
2
3
1 — — ■ £2
3
. Переходя к пре¬
делу при £—>0, получаем, что ||/||> 1 и тогда, окончательно, из двух нера¬
венств следует, что II/II = 1. 99.	Вычислить норму функционала Ax(t) = К • x(t2)dt, А:/ДОЛ] —» JR.
225

Решение: поскольку на отрезке [0,1/2] функция t2 монотонно возрастает,
то можно в интеграле сделать замену переменной t2 =т. Тогда функционал пе-
1	г 1
репишется в виде Ах(т) = — I ~^= • x{z)dz
2	0 yjr
|Лх(г)|
= sup-1—ij—ij—1 = SUP
хфО PC	д#0
П 1
2
lwx(r)dr
i [тЛ(фг
<-sup
2 хфО
неравенство
Г ельдера при
p = q = 2
<
4
1
<-sup-
2 хфО
J idT
1
4
1
Л2
J|x(r)|2 dr
4
X
1
<-sup
2 x^o
1
Л2
4 л
j* —d T
J yjz
V
(\
J
Vo
l
J|x(r)|2 Дг
1
V2
f\
4
1
= -sup
2 x^o
4	1
f —j=dz
J yjz
V
/1
1
Л2
\
1
-Й 4
С другой стороны, для некоторого	Ф 0:
|Ах(г)| ^ |Ах0(г)| _
supJ
х^О 11X11
п 1
2
\^Г'Х0^dT
о "V7
Хл
||х0(^)|2 dz
x0(z) = <
Jr Т£
°’І’
(К
0, z е
х0(г)е ^[0,1]
l-]'dr
]_
2
1
2
Из двух неравенств следует, что
10.	Вычислить норму функционала Ax(t) = jV • x(t)dt, если А: Ц [ОД]
—^
226

1
Решение:
\Ax(t)\
-- sup1	.. 1 = sup
хфО X	x^O
l
jt2 •x(t)dt
JV -|х(У)|Дг
<sup-
x^O
<
X
t* < maxtz = —
VI 4
2
<
< sup-
x^O
ij|x(0|^	j|x(f)|df
4 n	1 П	1
<— sup” .. ..
4 хфо x
||x|| _ 1
4 ^ llxll 4
С другой стороны, для некоторого х0 ф 0:
= supJ
|Ах(0| > |Ах0(р| _
jt2 ■x0(t)dt
хфО X
J|x0(0|^
(н + 3)-2л+1 -tn,
t e
°l
<
П 1
0,
t e
-Д
U J
. Поясним, чем в дан-
I способ: выберем xQ(t) =
ном случае можно руководствоваться: во-первых, как и в предыдущем примере,
мы постарались, чтобы пределы интегрирования в числителе и знаменателе
совпали. Во-вторых, функция х0(У) подобрана с таким расчетом, чтобы инте¬
грал в числителе всегда был равен нужному нам значению . Ясно, что при
этом x0(t) е Ц [0,і] для всякого п е Щ
i
1	2	о
Поскольку \\x0(t)\dt = [(н + 3)-2га+1 -tndt = -	, то ||Л|> —•
о	I	п + 1	4
полученных неравенств следует, что
1 п + 1	1 ы
	> Из
п + 3 и->°° 4
і_
4
П способ: в качестве x0(t) возьмем неотрицательную суммируемую на от¬
резке [ОД] функцию, сосредоточенную в окрестности точки максимума функ¬
ции t на
4
: х0(0
х0Д), t
О, 11
“1 г
		 c*
	O,—
|_2 2_
Г i "i
. .(1 1
U
-Д
_ 2 J
U J
„	г\	1
. Здесь 0 < s < —.
2
Тогда имеем:
227

2	2	/1 у 2	/1 Л2 J,
jt2-x0(t)dt = J t2-x0(t)dt>	j x0(t)dt= --e jx0(t)dt =
о	i	J i	\2 J 0
—s	~Z~S
2	2
Д '
— s
v2 у
4) •
Таким образом,
>
Jt2 ■x0(t)dt
f
>
WXn
1
\
— S
2 у
. Переходя к пределу при
1
s —>• 0, получаем, что \\А\\ > —. Окончательно находим, что
1
4
11. Оценить сверху норму оператора Ax(t) = J sin(/ + z)x{z)dz , если
о
А: L, [0,2ж\ -»Іи, [0,2п\.
ІІАхІІ
Решение: ||A|| = sup^j-jp<sup-
д#0 Т	хфО
[2 п f 2 п
j j* |sin(r + r)||x(r)|dt
ovo
\2
dt неравенство
— < Гельдера при
p = q = 2
<
< sup
хфО
Yin f In
j j |sin(Y + r)|2 dz
x
= sup-
хфО
OVO
dt
\ln f In
j j |sin(y + r)|2 dz dt=7tyj2.
о V о	у
Эта оценка является избыточной. Численные расчеты показывают, что
< п, а достигается значение \\А\\ = п на элементе x0(t) = sin t.
12. Найти норму функционала /(х) = х'(0), если /: С(1) [ОД] > IR..
Решение: напомним, что пространство С(1) [од] - это множество непре¬
рывно дифференцируемых функций с нормой ||х|| = sup |х(у)| + sup |х'(0|. Тогда
»е[0Д]	*е[0Д]
1/0)1	И0)|	|x'(0)|<sup|x'(0|
= sup .. .. 1 = sup	j  		—j	г <	ИМ
ХФО ||x|| ХФ0 sup |x(f)| + sup |x'(0|
<
ie[0,l]
sup|x’(0|
ts[0,l]
is[0,l]
<
sup|x(?)|+ sup|x’(0|
fs[0,l]
ЦОД]
sup	j		j	:<sup .
x*0 sup |x(0 + sup X '(f)	x*0 sup \x(t)\ + sup X '0)
ге[0Д]	ге[0Д]	re[0,l]	te[0,l]
= 1.
228

С другой стороны, для некоторого элемента х0(і) g C(1' [о.'] и л*0(/)*0, по¬
лучаем, что
= sup
\х
’(0)|
>
\Х,
о '(0)|
х*0 sup \x(t)\ + sup \x'(t)\ sup |т0(г)| + sup |л0 \t)1
. В качестве
Ц()Д]
fe[0.l]
[0.1]
fe[0.l]
at + bt + c, t g [0,e]
, rpa-
x0(t) выберем непрерывную функцию вида x0(t)= ,
1.	t g (б-, l]
фик которой изображен на рисунке сплошной линией (0 < е < 1 - произвольно).
Важным является то, что вер¬
шина параболической части
графика совпадает с точкой
(<с, 1). Поясним, чем в данном
случае можно руководствовать¬
ся. Во-первых, как обычно,
стараемся выбирать функцию
x0(t) так, чтобы sup|л0(Г)| = 1.
іе[0Д]
Во-вторых, учитываем, что для выполнения условия непрерывной диффе¬
ренцируемости, производная функции x0(t) не должна иметь скачков ни в од¬
ной точке отрезка [0,і], т.е. график функции x0(t) не должен иметь точек “из¬
лома”. Наконец, если воспользоваться представлением о производной в точке,
как об угловом коэффициенте касательной к графику функции в этой точке, то
можно заметить, что х0 '(0)| = sup |х0 ’(/) |.
/е[0,і]
Найдем уравнение параболической части, зная ее вершину (£,1) и нули
(0,0) и (2s,0). Подставляя в общее уравнение параболы x(t) = at2 + bt + с по¬
следовательно эти три точки, и решая полученную систему уравнений, найдем
1 2
коэффициенты а = —j, b = —, с = 0.
Таким образом, xQ(t) =
--тГ+ — t. ?g[0,^]
s s	.Ясно, что эта функция не-
1.	t е(б‘Д]
прерывна во всех точках отрезка [0,і] и дифференцируема во всех точках, по-
22	ГА 1
	-t + -, t G [О, s\
s' s	и при t = s производная не терпит разры-
скольку xQ\t)
0,
te(s, J]
ва, т.е. xQ(t) g С(І) [0.1]. Далее, sup |.\0 (Г)| = 1, sup |х0’(0| = sup
/е[(),1]
fe[0,l]
/e[0,j
2t + ~
S s
2
— и
s
229

2
х0 ’(0) = - . Тогда
s
>—£	=
1 +
2	£4-2
. Наконец, при б —> 0 получаем, что / > 1
и, окончательно,
= 1.
Также можно было выбирать х0(і) =
§>	j
ИЛИ xn(t) = — sinnt
1	2 Гг» 1	W
t	ГД e[0,£|
2£
Последняя функция построена из следующих соображений: производная в нуле
и максимум производной на отрезке равны единице, а значения функции малы.
13.	Пусть 0#/:Х—»М - линейный ограниченный функционал и
М = {х e X : /(х) = 1}. Доказать, что -J-r = inf
X .
хе А/ 1
Решение: поскольку / - линейный ограниченный функционал, то Ѵхе X
по определению нормы функционала |/(х)|<||/||-||х||. Следовательно, ѴхеМ
1<||/|М|х||, откуда тр-jj < ||х||, тем самым, -J-r < inf ІЫІ. В силу определения нор-
ІІЯ	|/| хеМ
мы функционала, для всякого 0 < б < ||/|| 3xs e X : |/(х£)| > (||/|| - s) • ||xj. Пусть
х = -
/(*.)
тогда \f(xe)\ > (||/|| - e) • ||х • /(xj|| = (||/|| - s) • ||х|| • |/(хг)|, откуда ||х||
<
При этом, поскольку f(x) = f\
X,.
/ы
e' J
fW
/(х ) = 1, то такие хеМ, следо¬
вательно, inf х <
хеМ11
1
-6
. Поскольку б > 0 - произвольно, то при б —> 0 получа¬
ем, что inf ||х|| < ]г-т7. Таким образом, ~ = inf ІЫІ. Заметим, что inf ІЫІ - это ра-
Х€МП 11 Я	Г	/II хеМ 11	хеМ11 11	^
диус минимального шара в пространстве X с центром в нуле, касающегося ги¬
перплоскости М (геометрический смысл нормы функционала).
i
14. Найти норму функционала /(х) = -2х(0) + Jx(t)dt, /: С(1) [0, і] -» К.
о
Решение: будем рассматривать только ненулевые функции х(/)еС(1) [ОД],
для которых 14 = 1 (легко видеть, что значения нормы любого линейного
X
функционала на элементах х и |—р— одинаковы). Возьмем такую произвольную
функцию х(/) и пусть для нее sup |х'(/)| = к0. Ясно, что V/ е [ОД] |х'(/)|<&0, отку-
;фд]
230

да V7e [од] -к <x'(t)<k0. Проинтегрируем это неравенство в пределах [Од],
тогда получим, что -k0t + л(0)<x(t) <k0t + х(0). Обозначим х(0) = ае [-и] , то¬
гда V7 е [0,1] -k0t + а<x(t) <k0t + a. Кроме того, Ѵг е [0,1] -1< x(t) <1, поэто¬
му, если функции k0t + а и -kQt + а принимают значения, соответственно 1 и
-1, в пределах отрезка [0,і], то Ѵ7 е [0,і] д(7) < д(7) < Т(Д), где “предельные” для
x(t) функции-есть x(t) =
k0t + a,t
0,
1 -а
-k0t ~\~ ci, I
0,
1 + а
J и x(t) = <
1, te
1 -а
-1, tG
1 + а .
L ко \
і ко \
1 -а	1 + «/!
При этом 	<1 и 	<1, и, склады¬
вая, получаем, что — <2, к() > 1. Если же,
к0
например, первое из неравенств не вы¬
полнено, то x(t) = k0t + а всюду на [0,і].
ili
Имеем: -2x(0) + ^x(t)dt <-2x{()) + ^x(j)dt <-2x(Qi) + ^x(t)dt. Далее, полу-
1 -а
*6
Оа -1)2
2 К
, и, аналогич-
чаем -2х(0) + ^x{t)dt = -2а + | (k0t + a)dt+ | dt = \-2а~-
О	О	1-д
к0
1 2
но, -2х (0) + Г x(t)dt = -1 - 2а + -	. Найдем максимальное и минимальное
о	2к0
значения полученных функций по ае [-и]. Приравнивая их производные к
нулю, получаем, что для первой функции а = 1 - 2к0, а для второй а = 2к0 -1. В
обоих случаях при а е [—1,1] получаем, что должно быть 0 < к0 < 1, поэтому
внутренних экстремумов эти функции не имеют и своих максимального и ми¬
нимального значений достигают на концах отрезка [-U]. Используя условие
2
к0>1, получаем, что для первой функции максимальное значение равно 3	,
к0
а для второй минимальное значение равно -3 + —. Таким образом, поскольку
к0
2 2
3			з__
1/wL *о *	к, 2+ѵю^,
J	1 ^	 . Функция -—имеет точку максимума к0 =	> 1
Мси» =1 + ^0’ т0
.<■
\\х\\	1 +	1 +
3
и максимальное значение 7-2-s/lO «0,675.
231

Пусть теперь	^ > 1 и	>1, тогда 0 < £0 < 1, x(t) = к(/ + а, x(t) = -fc0/ + а
К К
_	_	к	к	к к
всюду на отрезке [0,1]. Отсюда -1 —-<-а —- < /(х) <-а + — < 1 +—, поэто-
2	2 2 2
му ^}Х,^ <	— < 1, причем максимальное значение достигается при к0=0.
ІИІ	1 + &о
^	1 -а .	1 + а ,	а-1
Пусть 	>1, 	<1, тогда 	<-1, и, складывая, получаем, что
а< 0. Тогда -1-2а-\-
(а +1)2
2кп
</(х)<1 + —. Точка « = 2к() - 1 является точкой
внутреннего минимума функции -1-2а + ^—^Р— при условии -1<2&0-1<0,
2К
1
т.е. 0 <к0< — . Тогда минимальное значение этой функции - есть \-2к0. При
1 + к
этом 0 < 1 - 2к0 <1,а1 + — >1
2
1
поэтому |/(х)| < 1 + —,	^	— < 1.
2	11x11	1 "Ь кг.
Если же к0 > —, то функция -1-2а +
(а + ХУ
2L
внутренних экстремумов не
1	к
имеет и достигает минимума в точке а = 0, поэтому -1ч	</(х)< 1ч- — ,
2 к0	2
<іЛ. Отсюда
2	х	1 + L 6
к	1
|/(х)| < 1 ч- , поскольку при к() > —
-1 +
2 кп
В случае -—— <1, * + ^ > 1 рассуждения аналогичны. Таким образом, для
к0	к0
произвольной функции x(t) G С(1) [ОД] получили ||/|| = sup
х^О \\х\
1/М<і,
причем до¬
стигается это значение при x(t) = 1, поэтому, окончательно, ||/|| = 1.
Данную задачу можно было решить другим способом (см. задачу 66).
t
15.	Найти норму оператора Ax(t) = Jх(т)с1т (оператор неопределенного
о
интегрирования) в пространстве Ь2 [0,і].
7ТТ
Решение: на интервале (0,1) справедливо неравенство cos—>0. Приме¬
няя неравенство Гельдера и выполняя перестановку интегралов, получаем:
232

о о
i t	2	i ft	У	1
IMf = Лx(r)dr dt < N \\x{T)\dT \dt = \
о Vo
\
I
I Иг)| J
!	2	/лт
л cos —
V 2 у
dt <
f
i
A
ЛТ , I |jc(t)|
0 cos
jcos—dr|
2 J ЛТ
f
dr dt = — f
i f i
=-A\<*
2 у
V , .,2
л
• nt r \x(t)\
sin— 2	— UT
2 J	яг
0 cos
О V :
|*(г)|
J
cos-
m
dr = —j||x(r)|2 dr = -^j
L
4 и ||2
x
;r "
m	_	И и 2	, .	7tt
Таким образом, A < —. Равенство достигается на элементе x(t) = cos—.
71	2
2
Следовательно, || A|| = —. Заметим, что стандартный способ оценивания сверху в
7Г
данном случае дает завышенную оценку. Более универсальный способ вычис¬
ления норм интегральных операторов в пространстве Ь2 дает спектральная тео¬
рия.
Задачи для самостоятельного решения
1.	Пусть X,Y - линейные нормированные пространства, А:Х —>Y - ли¬
нейный оператор. Доказать, что множество значений R(A) и ядро оператора
ker А = {х e D(А): Ах = 0} являются линейными многообразиями.
2.	Пусть X,Y - линейные нормированные пространства, А:Х —- ли¬
нейный оператор, причем D(A) = X . Доказать, что если А непрерывен, то его
ядро ker А замкнуто, а значит, является подпространством.
3.	Доказать, что если А - ограниченный оператор, то он любое ограничен¬
ное множество М e X переводит в ограниченное множество AM e Y.
4.	Доказать, что если А: X -»Y - линейный ограниченный оператор, то
его норму можно вычислить по формулам ІА] = sup ||Ах|| = sup ||Ах|| .
Их=1	и^1
Указание: М сіѴ^> supМ < sup N и ||Ах|| < ||а||||х|| .
5.	Используя геометрический смысл нормы функционала (см. пример 13),
вычислить норму функционала / (х) = 3^ - 4£2, заданного на пространстве
Й = {х = (&’ &): И = тах (й I > fe I)} •
6.	Используя геометрический смысл нормы функционала (см. пример 13),
вычислить норму функционала /(х) = 3£-4£2, заданного на пространстве
= іх = (й,й) :|И| = Ѵій|2 + |6|2і
233

7.	Найти норму функционала А(£,= 3£ + 4£, если А:/3 ->R, где
х = (£,£,£,...)е/3.
8.	Вычислить норму функционала А:С[— 1,1]—»М, если при фиксирован-
/Л1ч . , ч х(е) + х(-е)-2х(0)
ном ге (0,1) Ax(t) =	2	•
9. Вычислить норму оператора А(£,= (о,£,0,0,...), если Аі^-Ц,
где л = (£,£2,£,,...) е/,.
10.	Вычислить норму функционала /(*) = Jcosfx(0^-x(0) + x(;r), если
о
/:C[0,;r]->R.
11.	Проверить, что для оператора из примера 11 ||А]] = ж на элементе
%(t) = sin/. Убедиться на нескольких конкретных примерах, что ІА] < к .
2ж
12.	Оценить сверху норму оператора АхД) = J cos(2/ + Зг)х(г)dr, если
о
А: Ь2[0,2п\ —» [0,2п\.
1 1
13. На пространстве ^(0,1) задан функционал /(х) = Jsin--x(f)<*. Про-
л t
верить, на всем ли пространстве определен этот функционал. Проверить его
линейность и ограниченность. Если функционал ограничен, то найти его норму.
Указание: для ответа на первый вопрос применить неравенство Гельдера.
п
14.	Найти норму функционала /(х) = JxQ + cosfkft в пространстве С[0,2].
о
15. Найти норму функционала
странстве С [О, ;г].
/(*) = { sin It ■ x(t)dt - х(0) + х{л)
о
в про-
1 Y
16.	На пространстве ^(ОД) задан функционал /(х) = Jcos--x(»Jl . Про-
верить, на всем ли пространстве определен этот функционал. Проверить его
линейность и ограниченность. Если функционал ограничен, то найти его норму.
17.	На пространстве С[0,л] задан функционал /(х) = Jx( 1 + е ‘)dt. Прове-
0
рить, на всем ли пространстве определен этот функционал. Проверить его ли¬
нейность и ограниченность. Если функционал ограничен, то найти его норму.
2
18.	На пространстве С[0,2] задан функционал f(x) = j(t2-l)-x(t)dt + x(0)-x(2).
о
Проверить его линейность и ограниченность. Если функционал ограничен, то
найти его норму.
234

1 1
19.	На пространстве Z^(0,l) задан функционал /(*) = Je 7 -x(t)dt. Прове-
0
рить, на всем ли пространстве определен этот функционал. Проверить его ли¬
нейность и ограниченность. Если функционал ограничен, то найти его норму.
20.	В пространстве С[-1,1] найти норму функционала /(*) = І[ j(-l) + j(l)]
21.	В пространстве С[0,2] найти норму функционала f(x) = 2[х(1) - х(2)]
22.	В пространстве С[-1,1] найти норму функционала f(x) = ^akx(tk),
к=1
где tk е [-1,1] - фиксированные числа.
i
23.	В пространстве С[-1,і] найти норму функционала f(x) = ^x(t)dt-x(0)
-i
i
24.	В пространстве С[0,і] найти норму функционала f(x) = jx(t)dt.
0
О	1
25.	В пространстве С[-1,і] найти норму функционала f(x) = jx(t)dt- jx(t)dt.
-1	о
1
26.	Проверить ограниченность в С[0,і] функционала f(x) = ^x(^Jt^dt Ес-
0
ли функционал ограничен, то найти его норму.
i
27.	Проверить ограниченность в С[0,і] функционала f(x) = ^x(t2^dt Ес-
0
ли функционал ограничен, то найти его норму.
28.	Вычислить норму функционала /: С(1) [ОД] —>■№, если f (х) = ^tx{t)dt.
о
Получить оценку сверху двумя способами.
Указание: второй способ - интегрирование по частям. Ответ •
29.	Вычислить норму функционала / : Z, [-1,1] -> К, если f(x) = J a{t)dt
-1
30.	Вычислить норму функционала / : Ц, [-1,1] —» К, если /(д) __ J
-i
31.	Вычислить норму функционала / : Ь2 [0,і] -» Ж., если f(x) = ^f*x(t)dt
о
00 <5
32.	Найти норму функционала f(x) = £т в пространстве /
= (£,£,...) е/2.
1
2
І к
где
х
235

со £
33.	Найти норму функционала f(x) = ^—
к=1 к
* = (£’&>•••) еѴ
в пространстве Іг, где
СО £
34.	Найти норму функционала /(х) = ^~1Ул в пространстве с0, где
к=1 2
д = (£,£,...) ес0.
i
35.	В пространстве С[0,і] найти норму функционала f(x) = Jx(/)sin tdt.
/л i
36.	В пространстве С[0,і] найти норму функционала f(x) = -x -J + JjK(t)dt.
о
1 _I
37.	Вычислить норму функционала / : С [0,1] -> Ш, если /(д) = J* 3x(t)dt.
о
38.	Вычислить норму линейного оператора А:С[0Д]-»С[0,і], если
i
Ax(t) = Isin(;r(r - s))x(s)ds.
о
39.	Вычислить норму оператора А: С’[0,і] —> С [0,і], если Ax(t) = Jx{s)ds .
о
40.	Вычислить норму линейного оператора А:	Ax{t) = x{4~t^.
41.	Вычислить норму линейного оператора А:С[-1,і]—»С[-1,і], если
t	i
Ax{t) = Ix{s)ds - Js ■ x(s)ds.
-i
i
42.	Вычислить норму оператора A: L2 [0, l] —>	[0, l], если Ax(t) = ?j*x(s)ds.
0
Указание: доказать, что, если Ax(t) = y(t)f(x)\X->Y, где y(t)eX, f(x) -
линейный ограниченный функционал на пространстве X, то ІА]! = |у| • ||/||. Ис¬
пользовать определения нормы оператора и функционала.
43.	Будет ли ограниченным оператор А:С[0Д]-»С[0Д], областью опреде¬
ления которого является линейное многообразие непрерывно дифференцируе¬
шь	-	л	dx(0
мых функции, если Axit) =	.
dt
Указание: рассмотреть последовательность xn(t) = sir\nt e С [0,1], где иеN.
44.	Найти норму оператора Ax(t)
^-, если А: С(1) [ОД]	С[0Д].
Указание: при оценке снизу выбрать хп(/) = — sinnt.
п
236

45.	Является ли функционал /Yvv Гд ^\\ ^
J кл-> - J t\x{t)\dt линейным и непрерывным в
C[0,1]?
46.	Является ли функционал /ѵ,л м и
J <А) = х линейным и непрерывным в
С[0,1]?
47.	Является ли функционал f(x)J\x\t)dt линейным и непрерывным в
Ч°’1]?
48.	Найти норму функционала fix) = fx(t)dt +	^ V vf^.
J 2и + і£. U
стве c[-u] (неN фиксировано).
49.	Найти нопмѵ (Ьѵнкнионала f( v\ _ f ../.ч i. 1	..( к^
в простран-
). Найти норму функционала /(.*) = [	_	1 V х _
і 2н+і,е„
стве С[-1,1] («eN фиксировано).
в простран-
Г
t— at в пространстве
v	2 у
(
t— at в пространстве
V 2J
1
50.	Найти норму функционала /(x) = |x(r)sign
с[о,1].
1
51.	Найти норму функционала /(х) = Jx(0sign
£,[0.1].
со	р
52.	Найти норму функционала f(x) = Y-=JL— в пространстве /2, где
ы\ уік(к +1)
х = (£,£>••• )е/2-
53.	Показать, что оператор А: С[0,і] -> с[0,і] является линейным и непре-
1
рывным и найти его норму, если Ах(і) = Jіитг’х(т)сІт, а > 0, {5 > -1.
о
54.	Найти норму оператора правого сдвига Ах = (0, £,&,...), если Л : /2 —> /2
и х = (£,£,...) е/2.
55.	Найти норму оператора левого сдвига Ах = (£2,£3,...), если А: /2 —> /2 и
X — (<5],^*2’"■) ^ ^2 •
°° у О
56.	Найти норму функционала /(x) = ^J 1— ^ в пространстве /І5 где
£=1
/с
* = (£,&>•••) е*і-
237

57.	Найти норму функционала /(х) = gk, где к - фиксировано в простран¬
стве /2, где х = (Д,^2,...)е/2.
58.	Найти норму функционала /(х) =	где к - фиксировано в про¬
странстве /2, где х = (Д,<^2,...) е 12.
59.	Найти норму функционала /(х) = х(0) - х(-1) - х(1) в С[-1,1].
1
2
60.	Найти норму функционала /(х) = Jx(t)dl в пространстве />2 [0,і].
0
1
61.	Найти норму функционала /(х) = J x(t) cos лtdt в пространстве С[0,і].
о
1
62.	В пространстве С[0,і] найти норму функционала /(х) = Jx(t)dt - х(0).
о
1
2
63.	Вычислить норму функционала / : ^ [О, і] —>■ М, если / (х) = Jt3x(t)dt.
О
t
64.	Найти норму оператора А: С[0,і]	С(1) [0,і], если Ax{t) = |х(г)Дг.
о
65.	Найти норму функционала /(х) = х'(0), если /: С(1) [-1,1] М.
i
66. Найти норму функционала /(х) = -2х(0) + Jx(t)dt, f: С(1) [ОД]	R.
о
1
Указание: представитъ /(х) = -х(0) + Jx'(0(l - t)dt.
О
t
67.	Оценить сверху норму оператора Ax(t) = Jex(r)dT, А : Ц [од] -> Ц [ОД].
о
68. Найти норму функционала /: С(1) [ОД] -> R, если /(х) =
3	3
Указание: х(1)-х(0) = |х'(0Дг, ||х|с >|х(1)-х(0)|, ||х||^ >if^lx(Q)|
При
получении оценки снизу выбрать х(і) = 2t-l. Ответ:
2
9
69.	Вычислить норму функционала /:С(1)[-1,1]-> М, если /(х) = ^tx{t)dt
-i
За норму в этом пространстве принять ІІхІІ = max < max
1
Указание: представитъ f (х) = j*x'(t)
-i
V(
1	і2Л
		\dt. Ответ:
2	2 J
2
3
238

70.	Вычислить норму функционала /:С(1)[-1,1]->IR, если f{x) = \tx(t)dt
За норму в этом пространстве принять |Ы| = шах|х(/)| + max lx’(7)1	1
«Ні.і]1	1 Ц-ід]1 W|'
Указание: см. пример 14. Ответ: ||/||*0,35.
i
71.	Найти норму функционала Дх) = J e~'x(t)dt ~ х(-1): С(1) [~ід1 ^ м За
-i	’
норму в этом пространстве принять \\х\\ = шах|шж|д:(г)|,шах|х,(?)||.
Указание: воспользоваться формулой из задачи 4 и примером 14
i
72.	Найти норму функционала /(х) = Je~fx(t)dt - х(-1) : С(1)[-дд] -> М За
-i	J
норму в этом пространстве принять lixii = max|x(0l + max IxYrll
Ц-1,1]1	1 ге[-ід]І Ѵ М
73.	Вычислить норму оператора Л: (хрХ2,...,х*,
А: 12 —> /2 (диагональный оператор).
х, 2х2 lcck
2	3	+
го
х -
74.	Установить ограниченность функционала f(x) = 'Y ^п' над про-
iht п\
странством С [-1,1]
Указание: доказать, что линейная комбинация линейных ограниченных
функционалов, а также сходящийся по норме ряд, составленный из линейных
ограниченных функционалов, представляют собой линейные ограниченные
функционалы.
i
75.	Является ли ограниченным функционал /(х) = lim \x(tn)dt в простран-
п—> со J
0
стве С[0,і]?
i
76.	Найти норму оператора А: L, [0,і] -»1^ [0,l], если Ax(t) = t2 Jx(t)dt.
0
J n+1
77.	Найти норму оператора A:C[0,l]—>С[0,і], если Ax(t) = -
n +1 k=l
где tk e [0,і] - фиксированные точки.
78. Найти норму функционала
s cos sx(s)ds в С
ж
Л я
в С
0,-
’ А
0,-
L 2J
L 2 J
и
239

79. Рассмотрим линейные функционалы fs(x) = — "> ^ ^ и f0(x) = х'(0),
2 s
где x(t) е С(1) [-1,1], 0 < £ < 1. Доказать, что
£|| 'ліі^О •
£•-»0
Указание: показать, что
1 + .
При получении оценки снизу выбрать
и
/е[0,г)
п
Xn£{t) = \s + (t-s)--{t-s) , te
s,s + ~
п
, которая продолжается на мно-
£ + ■
2 п
г
1
е + -Л
V п
жество t< 0 нечетным образом.
з
80.	Найти норму функционала /(*) = -9s)x(s)ds в С[0,3] и Д[0,3].
о
3
81. Найти норму функционала /(*) = J (53 -9s)x(s)ds в С[-1,3] и Д [-1,3].
-i
82.	Найти норму функционала /(*) = 2 jх(»^ - Jв С[0,і] и Д [0,і].
i
83.	Найти норму функционала f(x) = ax(Q) + j3jx(t)dt в пространстве C[0,l]
84.	Найти норму функционала f(x) = 2^x{s)ds-	в С[0,і] и Д[0Д].
00 (-1)”
85.	Найти норму функционала f(x) = I ——%п в пространствах с0 и Іт.
п=i 2
2
86.	Найти норму оператора Ax(t) = j(2, + s)x(s)ds, если A:C[l,2]—»C[0,l],
1
А:Ц[ 1,2]—>С[0Д] и А:Ц [1,2] -> Д [ОД].
2
87.	Найти норму оператора Ax(t) = J(21- s)x(s)ds, если А: C[l,2] -> С[0,і],
i
А:£,[1,2] —> С[0, і] и А Ly [і, 2] —> Д [о, і].
t
88.	Найти норму оператора Ax(t) = J(r - s)x{s)ds, если А: С[0,ж] -> С[0, л-].
240

89. Найти норму оператора Ax{t) = х
, если А:С[0,2]—>С[0,2] и
А:С[0,2]-> Д[0,2].
90. Найти норму оператора Ax = (<f2?4,4 + £2,4’4,—)> если А:^—Ц, и
A‘L->L-
91. Найти норму оператора Ах =
f ( i Y ^
1 + 1 4
^ п)
если А:Ір-*Ір.
92. Найти норму оператора Ах =
93. Найти норму оператора Ах =
1 + -
^ п)
J /7=1
/7+1 V
4
, если А:Ір-^Ір.
V4 У Уп=\
г п V
пе ъ%п
, если A:/j ->/,.
У /7=1
94.	Найти норму оператора Ax{t) = (p(t)x(t), если A:Lp[tf,£]—»Lp[<2,Z?] и
5cos t,te b]
-Звіи/, t e [a,b]\Q
95.	Пусть HVH2 - гильбертовы пространства, А: Я1 —» Н2 - ограниченный
оператор. Доказать, что
^00 =
= sup |(АГ,у)|.
11x1=1,хеЯ,
|у|=1.уе»2
Указание: воспользоваться неравенством Коши-Буняковского и тем, что
ІНІ=
Ах,
Ах
IMI,
96.	Найти множество значений (образ) оператора А: С[1,2] —> С[1,2], если
Ax(t) = x(t) - tx( 1).
97.	Найти множество значений (образ) оператора А:С[0,2]—»С[0,1], если
Ax(t) = (1 + t2)x(2t).
i
99.	Найти норму функционала / (х) = j* tx(t)dt в пространстве Lx [-М].
-1
100.	Найти норму функционала /(х) = х’(1)-х’(-1) в пространстве
С(1) [-1,1]. Норму в пространстве принять стандартной (сумма максимумов).
Указание: ||/|| = 2.
101. Найти норму функционала /(х) = Jx(f)<*+ х'(0) в пространстве
-i
С(1) [-1,1]. Норму в пространстве принять стандартной (сумма максимумов).
Указание: ||/|| = 2.
241

1.2. Пространство линейных ограниченных операторов
Определение: пусть А,В:Х —- линейные ограниченные операторы,
тогда их суммой называется оператор А + В: X —» F такой, что Vx e X
(А + В)х = Ах + Вх.
Определение: пусть А :Х —» У - линейный ограниченный оператор, а -
действительное или комплексное число, тогда произведением оператора А на
число а называется оператор а А: X —» Y такой, что Vx e X (аА)х = а Ах.
Теорема (свойства нормы оператора): число ||а|| действительно опреде¬
ляет обычную норму, т.е.:
1.	|А|>0;
2.	I А]] = 0 <^> А = 0, где 0 - нулевой оператор, т.е. Vx e X Ох = 0;
3.	ІМН4ІИІ;
4.	||А + £||<И| + |И|.
Доказательство: отметим, что ||Ал| и ||х||	- это обычные нормы и для
них аксиомы нормы выполняются.
ІІАхІІ
1.	Очевидно, т.к. дробь | | неотрицательна.
2.	||A|| = 0<»supl|^i = 0^ ѴхеХ х*0	!|^І = 0^ѴхеХ х*0
xsX ML	F Y
IAx||y = 0<^>Ѵх^0Ах = 0. Но, поскольку АО = 0, то А = 0.
3.	Очевидно, поскольку \Л\ выйдет из числителя дроби и за знак sup.
4.	Очевидно, т.к. к числителю применяется неравенство треугольника,
верное для нормы в пространстве Y, а точная верхняя грань суммы не превос¬
ходит суммы точных верхних граней.
Теорема доказана.
Замечание: поскольку линейный оператор ограничен тогда и только то¬
гда, когда он непрерывен, а сумма и произведение на число непрерывных
функций всегда непрерывны, то сумма и произведение на число ограниченных
операторов будут ограниченными операторами. Таким образом, множество ли¬
нейных ограниченных операторов является линейным пространством. По¬
скольку норма в нем определена корректно, то оно является еще и нормирован¬
ным. Пространство линейных ограниченных операторов обозначается L(X,Y)
или Ь(Х —» Y).
Теорема (о полноте пространства линейных ограниченных операто¬
ров): пусть X,Y - линейные нормированные пространства, тогда если про¬
странство Y полно, то пространство L(X,Y) также полно.
Доказательство: надо доказать, что L(X,Y) полно, т.е. что любая фун¬
даментальная последовательность элементов этого пространства имеет предел.
242

Пусть AneL(X,Y) - фундаментальная последовательность операторов,
т.е. Ѵ£>0 EL/VeN: Уп,т> N \Ап - Ат\\ < е. Возьмем ѴхеХ и рассмотрим по¬
следовательность {Апх] e Y. Покажем, что эта последовательность фундамен¬
тальна в пространстве Y. Для этого перепишем исходное определение фунда-
ментальности |Аи} в виде \/s>0 EL/VeN: Уп,т> N \\Ап -^т||<|—| (Ѵх^О).
Тогда ||Апх- Атх\ = ||(Ап — Ат)дг|| < ||Д, - AJ • \\х\\ < д • ||х|| = s . Таким образом
последовательность {Апх] фундаментальна в Y при рассматриваемом х. По
условию пространство Y полно, значит эта последовательность имеет предел в
пространстве Y. Обозначим его Ах = ЪтАпх, AxeF. Осталось проверить, что
п—»00
L(X,Y)
А является линейным ограниченным оператором и что Ап —» А.
1.	Линейность:
А(х + у) = НтАп(х + у) = Нт(Аих + Апу) = НтАпх + НтАпу = Ах + Ау .
П—>0О	П—> со	п—> со	п—> со
С множителем Л проверка аналогичная.
2.	Ограниченность: пусть п,т> N, тогда
IIѴІ = IДа - Кх + к4 ^ I- АтхI + ||Атх|| = ||(Ага - AJxI + ||Атх|| <
^IIАп ~Аш\\-И + ІКІ'И<{£ + ІКІ)'И •
Фиксируя т получим в скобках константу о0, т.е. ||А^хЦ < с||х||. По¬
скольку Агех—»Ах, то ЦА^хЦ —> ||Ах|| и, переходя в неравенстве к пределу при
п —»оо, получаем, что ||Ах||<с||х||, т.е. А - ограничен.
L(X,Y)
3.	Надо доказать, что Ап -» А, т.е. \fs> 0 EL/VeN: Vn>N \Ап - А||цх < s.
£
В силу фундаментальности Уп,т> N ||Апх- Afflx|| = ||(Ап -Affl)x||<||Ап - Ат||• ||х||< — • ||х||.
Переходя к пределу при га—»оо, учитывая, что Атх—» Ах, получим, что
ii	и е и и ^	w	ІІАх-АхІІ e	||(Д-А)х|| s
l^x- Ах|| < — ||х||. Тогда Ѵх^О -—|j-jj—-<-, значит, sup-—jj-j;—- <— и, оконча-
2	|х|	2	,ѵ=о х 2
тельно, |К-4«а.г)£| <е
Теорема доказана.
Замечание: из доказанной теоремы следует, что пространство линейных
ограниченных функционалов всегда является полным (даже если пространство
X не полно).
Определение: пространство линейных ограниченных функционалов,
определенных на пространстве X , называется сопряженным пространству X и
обозначается X*.
243

Определение: пусть А:Х -»У, B:Y —» Z, тогда сложная функция В(А(х))
называется произведением операторов и обозначается ВА(х).
Теорема (об ограниченности произведения): пусть X,Y,Z - линейные
нормированные пространства, А:Х —>Y, B:Y —» Z - линейные ограниченные
операторы, тогда их произведение BA: X —> Z также является линейным огра¬
ниченным оператором и справедливо неравенство |5Л| < ||#|| • || А||.
Доказательство: линейность очевидна.
|BA|=supl^i=supJBH.IMI
хфО
ш
хфО
ІИ'
х
- ІНІ' SUP
хфО
\\BAxj
Mr
Л\
= ||A||-sup
уфО
у=Ах
Из этого неравенства, в частности, следует и ограниченность произведе¬
ния.
Теорема доказана.
Задачи для самостоятельного решения
i
1.	Рассмотрим операторы А,Я:С[0,і]—»С[0,і], такие, что Ах(і) = |х(г)Дг
о
и Bx(t) = tx(t). Показать, что || АВ\ < ||а|| • ||#|| .
t
2.	Проверить, что операторы A,B :L^0, l] —> .L, [О, l], где Ax(t) = |х(г)Дг и
о
Bx(t) = ix(l) линейны и непрерывны, но не перестановочны, т.е. АВ Ф ВА.
3. Найти п-ю степень оператора А:С[0,і]—»С[0,і], задаваемого форму-
t
лой Ах(г) = |х(г)Дг, [0,і].
о
Указание: применить интегрирование по частям.
4.	Доказать, что оператор Ax(t) = tx(t), А:С и,— —>с и,— линеен и
л 1
л 1
0,-
-фС
0,-
2
2
ограничен. Найти Akx(t),
А
244

1.3. Последовательности операторов
Определение: последовательность операторов |An}cL(X,F) называется
равномерно сходящейся к оператору AeL(X,Y), если ||АЛ - А\\—>0 при п—>со.
Обозначение: Ал А при со.
Замечание: такую сходимость называют еще сходимостью по норме в
пространстве L(X,Y).
Определение: последовательность операторов {Ал} с L(X,Y) называется
поточечно сходящейся к оператору AeL(X,Y), если ѴхеХ ||Апх - Ах\\ —» 0
при п —>со. Обозначение: A„ —» А при п^>со.
Замечание: поточечную сходимость еще называют сильной сходимостью.
Теорема (о связи равномерной и поточечной сходимостей): пусть X,Y -
линейные нормированные пространства, {Ал},А:Х—- линейные ограни¬
ченные операторы, тогда из условия Ап =А А следует, что Ал —> А.
Доказательство: предлагается проделать самостоятельно (см. задачу 1).
Замечание: из поточечной сходимости последовательности линейных
ограниченных операторов может не следовать ее равномерная сходимость.
Теорема (о сходимости произведения операторов): если {An},Ae L(X,X),
{Вп},ВеЦХ,Х) и Ап^ А, Вп^В,то АпВп^АВ.
Доказательство: поскольку Ап =4 А и Вп В, то ||Ал — А|| —> 0 и
|| А - Щ -> 0. Кроме того, поскольку ||Д - А|| > | || Д || - ІА] |, то || Д || -1 Ai -> 0, т.е.
ІІАІМИІ , и, значит, числовая последовательность {||Д||} ограничена. Далее,
IIА А - Щ = IДА - ДВ + ДВ - АВ|| < IД В„ - AJiII + ЦДЛ - АВ|| =
= IА (А - В)|| +1|( Д - А)в|| < IДI -1В, - В|| +1Д - А|| • ||В||.
ем, что
Переходя к п
ІА К-ab
эеделу при я—»оо, по теореме о двух милиционерах, получа-
—» 0, откуда АпВп =4 АВ.
Теорема доказана.
Теорема (принцип равномерной ограниченности): пусть X,Y - линей¬
ные нормированные пространства, причем X - банахово. Пусть задана после¬
довательность линейных ограниченных операторов {Ага}:Х—»Т и пусть
Ѵх <е X последовательность {Алх} ограничена в пространстве Y (константой,
которая может зависеть от х), тогда Зс > 0: |Ал|| < с.
Замечание: теорема остается справедливой, если вместо ограниченности
последовательности {Апх} в каждой точке х e X потребовать поточечную схо¬
димость последовательности Ап, либо фундаментальность последовательности
{Алх} в каждой точке х.
Доказательство: 1. Докажем, что можно найти хотя бы один замкнутый
245

шар В и константу М, что множество \Лпх) на этом шаре ограничено этой
константой, т.е. Ухе В Уп: ||Аих|| < М . От противного: допустим, что это не
так, т.е. Ѵс и У В ЗхеВ Зп: ||	> с.
Возьмем сх =1 и шар Вх. Тогда можно найти точку хх еВх и число пх та¬
кие, что Ап^хх >1. Операторы Ап ограничены, и поэтому непрерывны по тео¬
реме об эквивалентности непрерывности и ограниченности линейного операто¬
ра. Тогда по теореме об устойчивости строгого неравенства (из математическо¬
го анализа), неравенство Апjq >1 сохранится в некоторой окрестности точки
хх. Окрестность - это открытый шар. Уменьшив радиус, можно выбрать в ней
замкнутый шар, и можно считать, что его радиус меньше . Обозначим его В2,
1
тогда его радиус R2< — и Ухе В2
А х
> 1. Далее, возьмем с2 = 2 и шар В2, то¬
гда Зх2 е В2 Зп2 > пх (конечное число операторов {Дг}”‘1 можно отбросить):
Ап^х2 >2. Аналогично, неравенство сохранится в некоторой окрестности точ¬
ки х2 (открытом шаре). Уменьшим его радиус так, чтобы шар стал замкнутым,
а радиус стал меньше ^ и при этом, чтобы он целиком лежал в В2. Обозначим
этот шар В3, тогда Въ cz В2, R3 < ^ и Ѵіе53 Ца^хЦ > 2. Аналогично, найдем за¬
мкнутый шар fi4cB3, радиуса Я4 такой, что Ѵхе В4 |Л)г х|> 3. И т.д. По
построению получили последовательность вложенных замкнутых шаров, ради¬
усы которых стремятся к нулю. Эти шары лежат в полном пространстве X,
значит по теореме о вложенных шарах, они имеют единственную общую точку.
Обозначим ее х. Поскольку она принадлежит всем шарам, то в ней выполнены
все неравенства Цд^хЦ:^, ||^2x||>2, Ца^х^З,..., т.е. последовательность {Апх}
получилась для этой точки х неограниченной, а по условию она ограничена
Ѵх. Противоречие.
2.	Обозначим а - центр найденного шара В, R - его радиус. В силу п. 1
/■
Ухе В \\Апх\\ < М для всех п. Далее, Ѵ^еХ\{0} очевидно x = a +—Re В, по¬
этому \\аД =
х-а
R
1 л	1 л
—Апх	Апа
R	R
И<І(ІМ+||4«
<
2М
R
= с
откуда ||Аи|| = sup^ < с.
Теорема доказана.
246

Теорема Банаха-Штейнгауза: пусть X - банахово пространство. Для то¬
го чтобы последовательность линейных ограниченных операторов {Лп}: X —> Y
поточечно сходилась к линейному ограниченному оператору А: X —> Y необ¬
ходимо и достаточно, чтобы:
1.	Последовательность {||Аи||| была ограничена;
2.	Апх —> Ах для любого хе М, где М - множество, линейные комбина¬
ции элементов которого лежат всюду плотно в X .
Доказательство: пусть {Д,}: X —> Y сходится к А: X —> Y поточечно, то¬
гда:
1.	Следует из принципа равномерной ограниченности (см. замечание к
нему).
2.	Очевидно.
Обратно: пусть выполнены условия 1 и 2, c = sup||An||, тогда Упе N
я
ІІАІІ <с, ЫМ) - линейная оболочка множества М. Поскольку {АИ},А - ли¬
нейны, то в силу п. 2 УхеЬ(М) Апх —>Ах, т.е. УхеЬ(М) \/е>0 3N еЩ:
\/n>N IAnx — Ax|< —. Поскольку L(M)
2
всюду плотно в X, то У^еХ
£еЦМ) \/£>0 ЗхеЦМ): \%-х\<—,
"	" 2(с + И|)
Тогда I А£ - Щ = |Af -	+ \х - Ах + Ах - Af|| < Щі - Д„-ѵ|| + ЦДд' - Ах\\ +
+1 Ас - Af 1 < ||Д,| ■ ||f -4 + \\\х- Ас|| + \\А\\ ■ ||дс - f I = ||f - *11(1X1 + И) + К-* - 41*1 <
<
2(
С +
с +
^ = £, откуда У В, e X || АД - А%\	0, т.е. АД АВ, .
Теорема доказана.
Теорема (о поточечном пределе последовательности операторов):
пусть X - банахово пространство, {Ад}: X - последовательность линей¬
ных ограниченных операторов. Пусть эта последовательность поточечно схо¬
дится к некоторой функции А(х), тогда А - также линейный ограниченный
оператор.
Доказательство: по условию Ухе X lim Ап(х) = А(х).
Я—» сю
1.	Линейность.
а)	А(х + у) = ІішАп(х + у) = 1іш(Апх + Апу) = limАпх + limАпу = А(х) + А(у).
Я—>сю	я—>со	я—>со	я—>со
б)	А(Лх) = limАп(Лх) = UmAAn(x) = AlimАп(х) = ЛА{х).
Я—>сю	я—>оо	я—>со 22.	Ограниченность. Поскольку Ѵхe X Пт Ап(х) = А(х), то, в частности,
я—>СО
этот предел существует и, значит, Ѵх <е X последовательность |Ад(х)} ограни¬
чена. Тем самым выполнены условия принципа равномерной ограниченности,
согласно которому Зс > 0: ||aJ < с. Тогда, поскольку любая норма - непрерыв-
247

ная функция, то ||А(х)|| =
разом, А ограничен.
Теорема доказана.
ШпДДх)
= lim||^(x)|| < Нт||Ал|| • ||х|| < с\\х\\, и, таким об-
П—>00
Примеры решения задач
(исследование последовательностей операторов на сходимость)
1. Исследовать последовательность операторов |An}cL(l2,/2) на равно-
ft ft ft
\
5	? • • •?	V
где х = (&)е/2.
мерную и поточечную сходимость, если Апх
\п п п )
Решение: при оо, покоординатно Anx^(0,0,...) = 0х. Проверим, будет
ли эта сходимость равномерной:
|4 _о| = suplK^ °J = suplTil = sj
x^O	X	xvO X	xvO
E
k=1
Ift
n
1 „J
= —sup
Elftf ,
‘-1 ==—-»0,
Elftf ""“Jilftf "
к=1	V k=1
таким образом, указанная последовательность операторов сходится к нулевому
оператору равномерно, а значит и поточечно.
2. Исследовать последовательность операторов |Ал}сЦІ2,/2) на равно¬
мерную и поточечную сходимость, если Апх =	, х = (£t) е /2.
Решение: при я—»оо, покоординатно Awx^(<fp<f2,...,<^,4+;p...) = /x, где / -
тождественный оператор (т.е. Ѵх /х = х). Проверим, будет ли эта сходимость
равномерной: ||Л-/||=Supbf_M>	J
00
Ik
(«)
к=п+1
х*0
I «>
№
к=1
(и)
хй =(0,...,0,1,0,...)
п+1
= 1.
значит, последовательность {Аи} не сходится к I равномерно. Выясним, схо¬
дится ли {Ап} к / поточечно. Берем Ѵхе /2, тогда ||Д(х-/х||= I ^ \gkf -»0, как
к=п+1
остаток сходящегося ряда. Значит, А„ —» / .
3.	Исследовать последовательность операторов Anx(t) = f (1 - t)x(t), где
{А,}еЦс[0Д],С[0Д]) , на равномерную и поточечную сходимость.
Решение: поскольку \/x(t)e с [од] Anx(t)^0 = 0x(t), то проверим равно-
II д ли	||Аа|| Ж
мерную сходимость: || \ - 0|| = sup -———- = sup11	11 = sup ——
хфО	X	хфО X	хфО
^"(l-t)x(t)\
<
248

||x| sup tn (1-0
< sup —~^м~п	= sup tn(1 -1). Найдем sup tn(\-t). Для этого обозначим
хфО	||х||	(е[0Д]	ге[0,1]
f(t) = tn(l-t) и заметим, что в концах отрезка данная функция принимает ну¬
левые значения, т.е. наибольшее ее значение достигается в критической точке.
Поскольку / '(0 = nf~l (1 -t) - tn = tn~l (n-nt-t) = 0, то t = —— e [0, l], тогда
" W " Y 1	IK-o||<
supr”(l-0 =
(€[0,1]
n'
n +1
V
n +1
n
H + ly
n +1 (n + 1)
n+1
и
(Л + 1)
n+1
->0,
т.е. последовательность операторов сходится равномерно и поточечно.
п
4.	Исследовать последовательность операторов Anx(t) = n J х(т)сіт , где
t
{A,}cL(C[0,l],C[0,l]) , на равномерную и поточечную сходимость.
Замечание: значения х
1
л
, «>A^gN получаются продолжением
1 + -
V nj
функции x(t) непрерывным образом (та же зависимость х(і), что и на [ОД]).
п
Решение: пусть Fit) - первообразная для x(t), тогда Anx{t) = n j* x(r)dr =
г
= nF(r)\y =
1
Л
t + -
V nj
-Fit)
1
n
1
— = m
n
m —» 0
F(t + m)- F(t)
m
следуем поточечную сходимость {Ли| к I
Легко видеть, что
—» F'(t) = x(t) = Ix(t). Ис-
m—» 0
C[0,1]
<1 и Д(1) = 1 = /(1), Д,(tt-‘)^tl‘-' = I(tt-'), к> 1.
п—»х
Поскольку, в силу аппроксимационной теоремы Вейерштрасса, линейные ком¬
бинации функций	всюду плотны в С[0,і], то, по теореме Банаха-
Штейнгауза, последовательность Anx(t) сходится к единичному оператору по¬
точечно. Проверим равномерную сходимость:
ікsup
kx~74
sup
fs[0,l]
хфО NX
n—1
xn(t) = tn~ ,(n> 2)
sup
(e[0,l]
,n—1
= 1
= sup
?s[0,l]
1
t+~
n J xn{r)dr - xn{t)
1
t+-
n
П
J rn-ldr-tn~l
sup
(e[0,l]
1
t+—
_tn-l
Tn
n
t
249

( 0
t + -
n
sup
-tn-tn~l
= sup
ге[0,1]
V n)
ге[0,1]
f+f-1 + n(n }\n~2+...+-- tn - tn~x
= sup
ге[ОД]
n{n - 1)	2 + + J_
2n2
n
> sup
ге[0,1]
2 nl
n(n-1)	2
n
2 n2
n-11
	> - при n > 3,
2 n 3
значит, равномерно данная последовательность не сходится.
5.	Исследовать последовательность операторов Anx(t) = tnx(t), где
{A,}cL(C[0,l],C[0,l]) , на равномерную и поточечную сходимость.
Решение: для произвольной фиксированной функции x0(t)e с [од]
Го, 0 < £ < 1,
?rax0(Y)—Н	, поэтому при х0Ц)^0 получаем, что последователь¬
на), t = 1
ность функций tnx0(t) сходится отрезке [0,і] поточечно к разрывной функции,
поэтому равномерно на отрезке [0,і] сходиться не может.
Если \x(t) —» Ax(t), то, в частности ||Дгх0(О - Ах0(?)| —» 0, откуда получа-
ге[0Д]
ем, что Anx0(t) =4 Ax0(t) - противоречие. Таким образом, последовательность
п-¥ со
операторов не может поточечно (и равномерно) сходиться в Цс[о,і],с[од]).
00
6.	Пусть X - банахово пространство, AeL(X,X), <p(t) =	(\ e М) -
к=О
сходящийся на всем М степенной ряд. Доказать, что последовательность
п
SM) = ^ЛкАк имеет при п —» оо предел <р(А) gL(X,X). При каком условии на
к=0
числовую последовательность {Д} выполняется оценка ||^(А)||<#>(|а||)?
Решение: заметим, что А0 = /, и, кроме того, по теореме об ограниченно¬
сти произведения Ѵя e N пАг
<
Зададим оператор <р(А) формальным со¬
отношением <р(А)х =	х Ѵх e X . Необходимо установить корректность
к=0
этой формулы, т.е., что ряд, стоящий справа, сходится в пространстве X .
Согласно критерию полноты линейного пространства в терминах рядов, в
банаховом пространстве всякий абсолютно сходящийся ряд сходится, поэтому
достаточно проверить абсолютную сходимость ряда ^ЛкАкх.
к=О
оо
Поскольку ЛкАк < IДI • IА\\ , а степенной ряд ^\tk сходится на М, то он
к=О
сходится и абсолютно, т.е. сходится ряд ^|ЛІ'ІНГ > поэтому ряд ^ЛкАкх схо-
к=0
к=О
дится абсолютно. Таким образом, указанный ряд сходится в пространстве X , и
250

оператор <р(А)х = ^ЛкАкх действительно задан корректно. Т.к. AeL(X,X), то
к=О
А - линеен и ограничен, откуда очевидным образом устанавливается, что опе¬
ратор (р{А) также линеен. Далее, \/xg X
\(р(А)х\ =
ЕѴ‘
к=0
X	00	х
£	^ SKI • ІИі - и s SKI
k=0	k=0	k=0
c\\x\\
таким образом, (p{A) ограничен. Итак, q>(A)e.L(X,X).
Покажем, что Sn(A)=£^(A) при оо в ЦХ,Х):
||^А)-^(А)Иир^(Л);7(Л)*ІІ.
хфО	X
sup
хфО
к=О
к=О
ІЦ'ІІ
sup
хфО
Ела*
к=п+1
FII	IF
как остаток сходящегося ряда. Далее,
IКНИГИ .
<sup'-'m i, и	= £ кг
і;=и+1
—> о,
п—>х
|H(A)|| = supi7^ = suP
хфО X
ЕѴ
к=0
ЕКГ
хфО
< sup —
хфО
X
= ЕКГ
к=О
ои	ои
откуда ^(И|) = ХЛИГ =SkMIAf ^ІИА)| при Л, >0 V^gN.
к=О
к=0
Примеры решения задач
(принцип равномерной ограниченности и теорема Банаха-Штейнгауза)
1.	Доказать, что если последовательность /3 = (Дг), такова, что а-{3 g /х
для всех а = (orj g / , то (3 g / где — + — = 1.
Р q
Решение: пусть а = (ava2,...) elp - произвольный вектор. Зафиксируем
п
номер пеЩ и рассмотрим в Ір функционал /п(а) = ^ак/Зк, который, очевид-
к=1
но, является линейным. Применим неравенства Гельдера: |/га(о0| =
rt
УлА
к=1
<
Л=1	У
^ ЕКГ ЕКГ * ЕКГ ЕІД
V £=1
И " Ас
и=1 У
V *=і У
||а| , поэтому функционал
U=1	У р
Ни л
/„ ограничен в Ір . Таким образом, ІКІК ЕКГ . С другой стороны, найдет-
ѵ*=і У
251

ся элемент у фО такой, что ||/га|| = supiy^—^
аФО ІОГІ ,
и
Возьмем у = (ІДІ"-1 signД,|Дf1 signsign Д,,0Д...).
Тогда И =[tlAr«ig“A = (І]Д
\к=1	У \к=1
|(9-1)р
Л
—+ - = 1
Р Я
(q-\)p = q
л \ „
ІІЛГ
\к=1	J
п
Кроме того, \fn(y)\= Y^YkPk
п
I
*=1
ЕіаГѴа-а
Ы\
п
-ЕІАГ , откуда получаем,
к=\
ЧТО II tj>
к=1
ІІАІ
V к=\ У
1-Т	/
1
V
( п	\
ЁІАГ ■ Таким образом, ||/,|| = ЁІАГ
ZlAP '	' U=l	U '
V к=\
Далее, поскольку ПО УСЛОВИЮ а ■ /3 G /j, то для любой точки а и для любо-
п	п	СО
то п |/„(а)|= ^акРк <ІМ^ЖАІ<+-.т,. последовательность {fn(a)\
к= 1	к=\	к=1
ограничена в каждой точке а. В силу принципа равномерной ограниченности
i
. . ( п
последовательность {||/га||} ограничена. Поскольку ||/и||=	, то получа-
V к=\	у
СО
ем, что все частичные суммы ряда	ограничены сверху. В силу критерия
к=1
Вейерштрасса, этот ряд сходится, что и означает, что /? g
со	п
2. Пусть задан числовой ряд ^ак, Sn = ^ak - его частичная сумма,
к=1	к=1
(Рп)п=і ~ некоторая неубывающая последовательность положительных чисел и
п	J л
Рп = ^ рк. Показать, что формулой соп = — pn_k+]Sk определяется регулярный
к=1	Рп к=1
метод суммирования тогда и только тогда, когда lim— = 0.
и-» со р
п
Решение: метод суммирования называется регулярным, если ряд, имея в
обычном смысле сумму, равную а, имеет обобщенную сумму, также равную а.
Другими словами, если Sn —» а, то и соп —>• а .
1 "
Рассмотрим пространство сив нем функционалы /„(х) = — Ел -к+А и
Рп к=i
П
/(*) = 1іт4,где * = (£,£,...)gc, п g N. Заметим, что ^ рй_,+1 =	, а функцио-
"-*10	к=\
252

налы fn линейны. Поскольку \fn (х)| =
-k+l^k
Рп к= 1
1 ” ,
^—^Pn-k+1
*=1
1
< sup|4|-—^Рп.к+1 = sup|&| = |WL’ то функционалы /„ ограничены. Таким об-
\<к<п	РпІ^
leN
разом, ||/в||<1 и последовательность {||/га||} ограничена. Выполнено условие 1
теоремы Банаха-Штейнгауза.
Далее, найдется вектор х0ес, х0 -Ф-0 такой, что
1
'J = SUP
У.Рп-кЛ
(0)
п к—1
хФО Т
\Хп
(0)
х0 = (1,1,1,...)
=1,
откуда, I/J = 1. Поскольку |/(х)| =
линеен и ограничен.
1ігп 4
sup|^
= lim|<fn| < limsup|<fn| = ||x||c, то / также
n—»со	п—» со
ne N
Рассмотрим векторы ек = (0,0,...,0,1,0,...) е с. Ясно, что fn{ek) =
Рп-
1+1
при
П	П
к<п. Поскольку условие lim—= 0 эквивалентно условию limi-iL^±L = 0
ft-»со р
ft—» со р
1 1 »Ѵ» Р fl
УкеЩ, то условие Иш—= 0 эквивалентно условию /Дс^)—»0 при ft—»оо. С
ft—»со Р
ft
другой стороны, очевидно, что f(ek) = 0, и, тем самым, Уке N fn(ek) ^ f(ek)
l n
при ft —»оо. Кроме этого, fn(x0) = — ^pnHfe+l = I —> I = / (х0) • Из задачи 19 следу-
*=1
ет, что любой элемент тес является пределом линейных комбинаций элемен¬
тов х0,е1,е2,..., т.е. указанные линейные комбинации всюду плотны в с. Таким
образом, выполнено условие 2 теоремы Банаха-Штейнгауза. Следовательно,
условие lim— = 0 необходимо и достаточно для того, чтобы Ухе с
Я-»°о р
fn (*) ■"*/(*)•
ft—»00
ft
Пусть limiS = limVft^ = a < +oo. Рассмотрим вектор x =	ec.
ft—»oo	ft—»oo	1 ^	n
k= 1
Поскольку /п(*) = уХ/Ѵ*+А и Ухес Л /(-*), то о?п = fn(x) ^ f (х) =
п к=1
= 1іт5п = а. Таким образом, метод суммирования является регулярным.
оо
3.	Пусть ап>О (fteN) и Уіап = +°о . Показать, что существует последова-
ft=l
тельность (sn)™=1, для которой выполнены условия:
253

а)	Хт\еп = 0;
ц—>• со
00
б)	ряд ^апеп расходится.
п=1
Решение: в пространстве с0 последовательностей, сходящихся к нулю,
п
рассмотрим функционалы /„(*) =	, л = (^2,...)ес0, weN. Очевидно,
£=1
п	п	п
функционалы линейны. Далее, \fn(x)\ <^ак\%к\< sup|^| • ^ак = ІМІ ■ Ха* > зна"
*=1	*	к= 1	°	*=1
п
чит fn ограничены и при этом || fn || < ^ ак. С другой стороны, возьмем при
к=1
каждом фиксированном иеN элемент х0 = (1,1,...,1,0,0,...), тогда получим, что
= supJ
хфО ІШІ
|/„(*)| „ |/.(*о)|
2>.£,
к=1
(0)
"с0
Мс0
sup|^
(0)
к I *=1
п	п
= Y,ak ’ откуда ||/й|| = Ха- Таким обРа"
/t=i	jt=i
п	w
зом,	поскольку	>0,	то	sup||/J = sup=	+оо,	и,	в	силу	принципа
И	П	к=і	к=1
фиксации	особенности	(см.	задачу 2),	делаем вывод,	что	существует	элемент
п
х = (£ѵ£2,...,£п,...)^с0 такой, что последовательность fn(x) = ^ak£k не являет-
к=1
со
ся ограниченной, а значит и сходящейся, т.е. ряд ^ак£к расходится. Кроме то¬
го, поскольку X =(£ѵ£2,...,£п,...)ес0, ТО Иш^и=0.
П-* с©
к=\
Задачи для самостоятельного решения
1.	Показать, что из равномерной сходимости последовательности линей¬
ных ограниченных операторов следует ее поточечная сходимость.
2.	Используя принцип равномерной ограниченности, доказать, что спра¬
ведлив следующий принцип фиксации особенности: если sup||^|| = +°о, то
п
Зх0^Х: sup||4x0|| = +oo.
п
3.	Исследовать на поточечную и равномерную сходимость последователь¬
ность операторов Anx(t) = ^^-x(t), Ап : С[0,я-] —» С[0,я-].
л/п
4.	Исследовать на поточечную и равномерную сходимость последователь-
\
;	£
ность операторов А х = ^,0,0,...
У 2	п
, Ап:12^12.
254

5. Исследовать последовательность операторов	L(c[0,l],C[0,l]),
А,*(0 = х
Г1+А
на равномерную и поточечную сходимость.
t
V
Указание: используя теорему Банаха-Штейнгауза, обосновать поточеч¬
ную сходимость. Для обоснования отсутствия равномерной сходимости рас¬
смотреть последовательность непрерывных функций, равных 0 на отрезке
°’4г
2 п
, 1 на отрезке
ватъся оценкой || Апхп - Іхп || >
и линейных на оставшейся части. Воспользо-
Ал
ГА
ГА
- /х
А,
п
А,
6.	Исследовать последовательность операторов |Дл}сЦ12,/2) на равно¬
мерную и поточечную сходимость, если Апх = (0,0,...,0ДпДп+ѵ...), где
7.	Исследовать последовательность операторов |Д}сДІ2,/2) на равно¬
мерную и поточечную сходимость, если Апх = (Д+ІДп+2,...), где х = (Д) е /2.
г I 2 Г
8.	Исследовать последовательность операторов Anx(t)= L (t-т) +— x(r)dr,
о’	п
где {A,}<zL(C[0,l],C[0,l]) , на равномерную и поточечную сходимость.
Указание: воспользоваться теоремой о предельном переходе под знаком
интеграла Римана.
i
9.	Исследовать последовательность операторов Anx(t) = jVrrax(r)dr, где
о
{Л}с£(Мо,1],Мо,1]), на равномерную и поточечную сходимость.
Указание: воспользоваться теоремой Лебега об ограниченной сходимо¬
сти.
t
10.	Рассмотрим оператор А: С [0, і] —> С [0, і] такой, что Ax{t) = ^esx{s)ds и
о
f " sk
последовательность операторов {Д}: С[0,і] -»С[0,і] такую, что Anx{t) =	—x(s)ds.
Qk=ok\
Сходится ли последовательность {Д;} к оператору А и если сходится, то каков
характер сходимости?
Указание: воспользоваться теоремой о предельном переходе под знаком
интеграла Римана.
11.	Пусть (рпД=1 - фиксированная последовательность функций из про¬
странства С[<2,/?]. Для каждого hgN определим оператор Ап соотношением
255

Anx(l) = pn(t)x(t), где x(l) e C[a,/?]. При каких условиях на функции рп после¬
довательность операторов {Ап} сходится равномерно? Поточечно?
12.	Доказать, что в банаховом пространстве X для любого оператора
со	А 2к+\
А e L(X,X) определен оператор sin Л = £(-1)4
eL(X,X).
(2к + 1)\
13.	Доказать, что в банаховом пространстве X для любого оператора
00
Ае L(X,X) определен оператор cos А = ХИ)*—-еЦХ,Х).
к=о	(2&)!
14.	Доказать, что в банаховом пространстве X для любого оператора
оо дк
Ае L(X,X) определен оператор ел = V—e L(X,X). Доказать, что еА <^АК
к=о к\
Чему равно е7?
15.	Пусть X,Y - банаховы пространства, {Ай| с L(X,Y), Ап —»Ае L(X,Y).
Доказать, что если хп^>х (ія,іеі), то Апхп —» Ах.
Указание: воспользоваться принципом равномерной ограниченности.
16.	Пусть Е - пространство непрерывно дифференцируемых на [ОД]
функций с нормой ||х|| = sup |х(/)|. Показать, что последовательность
Ч°’і]
*п(0 = y]l + (2if e Е фундаментальна в Е, но не сходится в Е.
Указание: показать, что последовательность сходится в с[од] , т.е. яв¬
ляется в С [ОД] фундаментальной, однако, не сходится в Е.
17.	Рассмотрим операторы : І7 —> С[0,і], п> 1 (пространство Е опреде¬
лено в предыдущей задаче), Аих(Д = п
Г ( 0
x\t + —
-x(t)
\ п)
, t е [ОД]. При этом, если
1 ,
t + — > 1, ТО X
п
г
1
\
t Л
V nj
= х(1). Доказать, что:
а)	последовательность {Аи} сходится поточечно и найти ее предел;
б)	последовательность {||Aj|} не ограничена.
Как согласуются эти утверждения с принципом равномерной ограничен¬
ности?
Указания: а) показать, что последовательность поточечно сходится к
оператору Ax(t) = х'(0/ Ф рассмотреть последовательность xn(t) = tn.
i
18.	Доказать, что для того, чтобы интеграл jx(t)y(t)dt существовал для
о
всех x(t)^Lp[ОД] (р> 1), необходимо и достаточно, чтобы y(t)eL [од] , где
1	1 i
числа р и q связаны соотношением —ь — = 1.
Р Р
256

19. Рассмотрим в пространстве с векторы е0 =	ек = (О,О,...,0,1,0,...).
Возьмем любой вектор і=(4)ес и обозначим 1іт^га=<^0. Проверить, что
И-» СО
П
х = 4е0 + Ипі^(4-4)^.
£=1
С
Указание: показать, что хи—»х, где хп	,...)ес.
со	ft
20.	Пусть задан числовой ряд ^ak, Sn = ^ak - его частичная сумма,
к=1	к= 1
некоторая бесконечная матрица. Доказать теорему Теплица-
Сильвермена: для того, чтобы матрица (апк)”	определяла регулярный метод
п
суммирования (т.е. существовал предел последовательности соп = ^0(nkSk),
к=1
необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия:
а) \шѵапк =0 У к e N;
б)	1іт£ай,=1;
tt—»оо “■
к=\
оо
в)	ш^\апк\ = м <+°°-
«eN £=1
со
Указание: рассмотреть в пространстве с функционалы =	и
к=1
/(х)=1іт<^, где x = (^,L...)ec, hgN. Доказать их линейность и Ограничен¬
ье 00
ноетъ, найти \\fn\\, рассмотреть последовательности х0 = (1,1,1,...) gс и
ek = (0,0,...,0Д,0,...)е с V£gN. Затем найти /ге(х0), fn{xk), /(х0), /(х^) и ме-
полъзоватъ теорему Банаха-Штейнгауза.
П
21. Пусть fn(х) = £ Ай,х(?й,), где н g N, a<tn l< tn<2 <... <	< b. Доказать,
£=1
b
что утверждение Vxg C[a,b] fn(x)x(t)dt справедливо тогда и только то-
а
гда, когда:
п
а)	sup^l^^+co;
п к= 1
b
б)	/„(/?)—> [ p(t)dt для всякого многочлена /7.
п—»х J
а
Доказать, что условие а) следует из условия б), если Апк > 0 при всех п,к.
Указание: воспользоваться аппроксимационной теоремой Вейерштрасса.
Учесть, что функция p(t) = 1 - многочлен.
257

22. Показать, что если ап^> оо при п —» оо, то существует такая последова-
оо	оо
тельность (£и)"=1, что ^|£и| < +00, а ряд ^snan расходится.
п=1
Ц=1
/I
Указание: в пространстве Іх рассмотреть функционалы fn(x) =	.
jt=i
x = (^1,^2,...)g/1, «eN.
23.	Доказать, что последовательность операторов умножения на функцию
vtt
Ап(х) =	т(/) в пространстве С[0,і] сходится по норме к оператору
п + 1
An(x) = tx(t).
24.	Исследовать на поточечную и равномерную сходимость последова¬
тельность операторов Апх =
#„+1 I Л
’2 п
,0,0,...
V
, Ап : с0 -> Іх.
J
п п + 1 2п
Указание: не сходится равномерно. Рассмотреть хп = (1,1, ...,1,0,0,...).
2п
25. Исследовать на поточечную и равномерную сходимость последов а-
2
П
С Тѵ
тельность функционалов / (х) = Г—^—x(t)dt, / :С[0,2І
J п t +1
о
—^
Указание: используя теорему Банаха-Штейнгауза и аппроксимационную
71
теорему Вейерштрасса, показать, что /и(х)—»—х( 0) (при k> 1 представитъ
? 1
1-И7,0<Г<^
п
f =tk 1 - t). Рассмотреть последовательность х (t) =
0,±<t<2
п
26. Исследовать на поточечную и равномерную сходимость последова-
Ж
тельность функционалов fn(x) = J cosntx(t)dt, fn : Ч —^г,^г] —> IR.
-Ж
Указание: сходится поточечно.
27.	Исследовать на поточечную и равномерную сходимость последова-
тельность функционалов fn(x) = x — , fn : С[0,1І —» Ж.
\п)
Указание: сходится поточечно.
28.	Исследовать на поточечную и равномерную сходимость последова-
1
тельность функционалов fn (х) =	- tn+1^x(t)dt, fn:Lp [0,1 ] —> М.
Указание: сходится равномерно.
258

29.	Исследовать на поточечную и равномерную сходимость последова-
1
тельность функционалов fn(х) = | arctgnlx(l)dt, fn : C[- l, l] —» IR.
-i
Указание: сходится равномерно.
30.	Исследовать на поточечную и равномерную сходимость последова-
1
х(і), 0 < t < 1 —
тельность операторов Апх(і) =
п
\-.L\0.2] —> и [о, 2].
0, 1 — <t<2
I п
31.	Исследовать на поточечную и равномерную сходимость последова¬
тельность операторов Апх = (0,0,...,0Yi>^2’—)’	1 </?<°°.
п
32.	Исследовать на поточечную и равномерную сходимость последова¬
тельность операторов =	Ап:с0^с0, Ап:с^с.
33.	Исследовать на поточечную и равномерную сходимость последова-
(( іу	(( О ^
тельность Anx(t) = п
х
1--
ѵѵ nj
t + —
v njj
-x
1—
vv nj
t
, Д,:СШ[0,1]^С[0,1].
Указание: показать, что последовательность сходится поточечно, но не
равномерно к оператору Ax(t) = x'(t).
34. Исследовать на поточечную и равномерную сходимость последова¬
тельность Ап : С[0,і] —> С [О, і], если Ап = Ап, Ax{t) = j* x{r)dr.
о
259

1.4.	Дополнительные задачи и утверждения
i
1. Найти норму оператора Ax(t) = ^k{t,r)x{r)dr, если А:С[0,і]—»С[0,і] и
о
k(t,r) е С([0,1]х[0,1]).
Msup
Цод]
г стели с. ||/1|| - aup-]j—JT-= sup
I
Jk{t,r)x{r)dr
х^О X	хфО
< sup
хфО
sup \\k{t,r)\-\x{r)\d^
<
sup ||^(?,-г)| - ЦдсЦі/'Г J
< sup—^——	= sup [|fc(?,r)|dr .
Ч°.Го
x^O
x
Осталось найти функцию xJt) e С [од], для которой справедливо нера¬
венство противоположного знака. В качестве хп(т) возьмем непрерывную
функцию, такую, что sup |хп(г)| = 1, т.е. Ilxll = 1.
re[0,l]
1
Далее, поскольку Дг,г)еС([0,і]х[0,і]), то функция ^\k{t,r)\dr - непре-
о
рывна по t е[0,і], и, значит, по теореме Вейерштрасса, достигает на этом от-
1	i
резке своего наибольшего значения, т.е. 3t0 <е [ОД]: \\k{t0,r)\dr = sup \\k(t,r)\dr.
О	И0’1] о
Обозначим z(t) = sign&(/0,r) и будем считать, что хп(т) = z(r) всюду, за ис¬
ключением точек некоторого множества Еп (на множестве Еп хп(т) задаем
произвольно, сохраняя непрерывность). Поскольку sup|x„(r)| = l, и на множе-
ге[0,1]
стве Еп хп(г) ф z{r), то на множестве Еп \хп(т) - z(t)\ < |хга(г)| + |z(r)| < 2. Тогда
i	i	i
§k(t,r)z(r)dr - jk(t,r)xn(r)dr = jk(t,r)(z(r) - xn{r))dr <
0	0	о
1 1
< J|/:(£,r)| • Iz(t) - xn(r)|dr < sup|&(£,r)| • J|z(r) - xn{r)\dr =
f
= sup|&(£,r)|
t.T
^\z(r)-xn(r)\dr + J \z{r) - xn{r)\dr
'	'	№»'	n	'
a\
2
<
<
2sup\k(t,r)\ • j 1 dr = 2sup|£(J,r)| • Ju{En).
260

Выберем Еп таким образом, чтобы ju(En) < ■
—i	г, тогда Vr е [0,і]
2nsup\k(t, т) I
Г,Г
1	1	1	1	1	1
^k(t,T)z(r)dr- ^k{t,z)xn{T)dv <-, откуда ^k{t,r)z{r)dr -^k{t,r)xn{r)dT <-
О	О	п	о	о	п
1	1	1	"I	1
ѴгеГОД], т.е. \k{t,r)z{r)dT < — + \k(t,T)xn(r)dT < — + Гk(t,r)xn(r)dT
І	ni	ni
n
<i+
n
+ sup
is[0,l]
11 1
= - + ||Атп||<- + ||А|М|х || = - + ||a||. в частности, при t = t0
n	n	n
\k(t,T)xn(T)dr
0
\k{tQ,r)z{r)dT <-
о	n
1 1 1 1 1 1
> J k(t0,T)z(r)dT - - = J k(t0,r) sign к (t0, r)dr -- = J|fc(r0,r)| dz - -.
откуда
Переходя к пределу при со, получим ІА! > [|fc(f0,r)|<ir = sup [|fc(f,r)|dr.
о	*ФД] о
i
Из получившихся неравенств заключаем, что ||а|| = sup Г|/:Д,г)|Дг.
»ф.1]о
2. Пусть k(t,r)eC([a,b]x[a,bty, 0<а<1. Доказать, что оператор
Ь j /	\
A:C\a,b\^C\a,b\, Ax(t)= [——х(г)Дг, ограничен.
a\t~T I
Решение: поскольку 1(г,г)еС([аД]х[аД]), то, по теореме Вейерштрасса
на этом прямоугольнике |&(/,г)| достигает своего наибольшего значения
тах|&(г,г)| >0. Кроме того, |х(г)| < sup |х(г)| = ||х||. Тогда Ѵх(г) е С[я,&]
І,т	ге[а,і>]
br\k(t,T) I,	.	- i г 1
; SUP ,	^\x(T)\dT<max\k(t,T) sup 	dr-M.
-И] {\t-r\	,x ^]{\t-T\a	1111
Для установления ограниченности оператора осталось проверить, что
г 1	ъ 1
maxk^r)! sup Г	dr = const. Поскольку 0<ог<1, то f(t) = Г	dr =
t,r -\a
||Ajc|| = sup
te[a,b]
I
k(t,r)
I	1«
\t — t\
x(r)dT
\t-T\
‘ 1	b
J-	dz+ f
J(r-r)a	J
1 -dT = -{t~T)
1 -a
(T-t)a
1 -a
+
(т-t)
1-a
l-a
l-a
((r-a)1-“ + (b-01-a)
и
fit) непрерывна при £е[п,£>]. Поскольку f'(t) — {t — a) а — (b — t) “ = 0 при
a = b-t, то / =
a + Z?
критическая точка.
261

Далее, f \t) =-a(t - аУа~г - a(b - tya~l и /"
ra+b^
\ 1 J
= -la¬
s' i \-a-l
b~a\
t =
a + b
К 2
r i	f
- точка максимума. Итак, sup J	-dr = max<! f(a),f(b) у
V 1 У
2
, =	/• (= _±_. 2. f Ь-a ^ - 2“ (^ - я )1-а
1-а ’ 7	° I 1-~ I 0 I ' :	•
<0, т.е.
^ а + Ь^
причем f(a) = f(b)
1 -а
1 - а
Та-
ь j	/L	\1—о;	р j
ким образом, sup Г-	-dz = ——^-—, и тах|£0,г)| sup [-	~dr = const
reMJa|r-r|	1-a	'’r	\ia,b]Ja\t~T j
3. Рассмотрим оператор A: /2 —»/2, переводящий элемент х = (££..) е /2 в
элемент Ат = (Л1^г1,Д2^г2,...)е/2, где еМ, ueN. При каком условии на после¬
довательность {Я г} область определения £)(А) оператора А совпадает со всем
пространством /2? При каком условии на последовательность |Яя} оператор А
ограничен и какова при этом его норма?
Решение: поскольку А:/2^/2, то, чтобы D(A) = l2, необходимо, чтобы
2	со	2
Vx e /2 Ах е /2, т.е., чтобы ||Ах|| =	< -к». Возможны два случая.
к=1
а) Последовательность {Л,й} ограничена, т.е. Зс> 0: sup|An| — С < +00 , отку-
п
со
да ѴиеN |/t„|<c. Тогда очевидно, что Ѵхе/2 ||Ах||	= с2||х|| <+оо.
к=\
Таким образом, в этом случае, D(A) = l2, кроме того, оператор А ограничен и
ІІАхЦ
сразу получаем, что ІА]! = sup- ,-р<с = sup|2n|. Установим противоположное
г^О \\-XM	п
и	ІІАхЦ ||Ах0||	\
неравенство: А = sup11—- >  	—
IK#,
к=\
(0)
хфО X
Хп
(О,о,..„1,0,0,...)
ІК'01
У к=\
Таким образом, Ѵя e N ІА]! > \Лп\, следовательно, ІА]! > sup|2n|. Итак, в этом
п
случае ЦаЦ = sup|2n|.
п
б) Последовательность {Лп} неограничена, т.е. sup|2ra| = +20 • В этом случае
п
2	°°	I2
D(A) состоит из тех векторов xel2, для которых ||Ах|| = ХІ2+І <+0°- При
к=1
( 1 1
этом D(A) =£/2. Чтобы это доказать, возьмем элемент х =	’ і+«
\	2	3	*1
п J
262

1 2 00 1
где 0 < а < — и пусть Лп = п. Ясно, что ||х|| = ^ 2+2а < +со, поскольку 2 + 2а > 1.
2	к=і к
Однако, ||Ах|| =^- — = +00, поскольку 2а < 1. В этом случае оператор неогра-
к=1 ^
ничен, поскольку VheN
откуда ||Л|| > sup|/ln| = +00.
>
КП
00
ЕК&
к=\
(0)
Ш'л
i со
ік.
к=\
(0)
х0 = (0,0,...,1,0,0,...)
4.	Пусть X - банахово пространство, Ь,М - его подпространства, причем
X = L0М . Доказать, что операторы Рх : X —>L и Р2:Х —»М, определяемые
равенствами Рхх = хх и /^х = х2 (где х = xt + х2, х e X, х, e L, х2 е М), являются
линейными ограниченными операторами со свойствами: Pf = РХ (г = 1,2) ,
Рх + Р2 = I (/ - тождественный оператор, т.е. Ѵх e X /х = х), РХР2 = Р2РХ = 0. Та¬
кие операторы называются операторами проектирования.
Решение: линейность операторов очевидна. Пусть ||х|| - норма в простран¬
стве X, относительно которой это пространство является банаховым. Введем
на X новую норму ||х|| = fxq | + ||х2||.
Поскольку x = Xj + x2, то ||х|| = 1^ + х2|| < Их,! + ||х2|| = IxIIj . Таким образом,
норма ||х|| подчинена норме ||х|| . Покажем, что пространство X банахово отно¬
сительно нормы ||х|| . Рассмотрим последовательность х(п) = х,(п) + х2(п), фунда¬
ментальную по норме ||х|| . Тогда, во-первых, последовательность фундамен¬
тальна и по норме ||х||, а, во-вторых, последовательности jxj(n)} и {х2(п)} Фун¬
даментальны по норме ||х||. Поскольку X - банахово относительно нормы ||х||,
то Ѵи) —и х2(и) —>■ х2 по норме ||х||. Поскольку ^jq(ra)j-eL, jx2(n)jeM и L,M
замкнуты, то xl e L и х2 e М . Таким образом, x(n) ->jq+x2=xel как по нор¬
ме ||х|| , так и по норме ||х||. Значит, X - банахово по норме ||х|| . По теореме об
эквивалентных нормах заключаем, что Зс > 0: ||х|| < с||х||.
Таким образом, |^х|| = |хг|<||х| <с||х||, где / = 1,2, т.е. операторы РХ,Р2 -
ограничены. Поскольку VxeX Рх х = Рх{Рхх) = Рххх и хх=хх+0, где х1еХ,
хх e L, 0 e М , то Дх, = х,. Аналогично, Ѵх e X Р2х = х2. Значит, /f = Д, где
/ = 1,2. Далее, ѴхеХ Рхх + Р2х = хх + х2=х = іх, значит, РХ + Р2 = І. Наконец,
Ѵх e X РхР2х = Рхх2. Поскольку х2 = 0 + х2, где х2 e X , 0 e L, х2еМ, то
Рхх2 = 0 = Ох, откуда РХР2 = 0 и, аналогично, Р2РХ = 0.
263

5.	Банахово пространство С[-1Д] разложить в прямую сумму двух под¬
пространств L,M так, чтобы ||^|| = 1, где г = 1,2, а операторы проектирования
определены в предыдущей задаче.
Решение: пусть L - множество всех четных функций, непрерывных на от¬
резке [—1,1], М - множество всех нечетных функций, непрерывных на отрезке
[-1,1]. Очевидно, что L и М - линейные многообразия в С[-1,і].
Пусть {xn(t))eL и xn(t)->x(t) при ц—»со по норме пространства С[-1,1],
т.е., равномерно. Поскольку xn(-t) = xn(t), то, переходя к пределу при и—»со,
получаем, что x(-t) = x(t), т.е. x(t)eL, и, значит, L - замкнуто. Таким обра¬
зом, L - подпространство в С[-1Д]. Аналогично доказывается, что М - под¬
пространство в С[—1,1]. Ясно, что C[-l,l] = L©M, поскольку \/x(t)e c[-u]
можно однозначно представить в виде x(t) = ^[x(t) + x(-t)] + -^[x(t)-x(-t)], где
—[х(0 + х(-£)]е L и ~[x(t) -x(-t)]e М
2 2
Рассмотрим операторы Plx(t) =—[x(t) +x(-t)] и P2x(t) = ~[x(t) - x(-t)]. Оче-
2 2
ВИДНО, ЧТО ЦДхЦ:
— (х + х)
2V '
Таким образом, при i = 1,2	= sup
х^О \\Х\
_	и „и 11/Ы1 \\РхЛ
Поскольку Ш = sup11.. 11 > 			 -
х^о X
^(И+И)=Ии ІМІ=
И<і.
і = 1: x0(t) = 1
i = 2: x0(r) = t
—(x-x)
2V '
<-^(llx|| + ||x|
WXn
-1, то p|| = l.
6.	Пусть X - банахово пространство, A e L(X,X). Доказать, что ряд ^ А'
і=о
сходится в L(X,X) тогда и только тогда, когда для некоторого натурального к
выполняется неравенство
<1.
Решение: необходимость предлагается доказать самостоятельно (см. зада¬
чу 18).
оо
Достаточность: пусть 3/: e N: Ак <1. Надо доказать, что ряд ^ Аг схо-
г=0
дится в L(X,X). Поскольку L(X,X) - банахово пространство, то в нем спра¬
ведлив критерий Коши, поэтому достаточно доказать, что
N
2>‘
і=М
-> 0.
М,ІѴ-»оо
Будем рассматривать N>M>k и подберем такие т,де N, что
тк <М < (т + Ѵ)к <пк-1, N <пк-1. Тогда
N
2>'
і=М
N	пк-1
i тк
+
і=М
і=тк
264

+
+
дтк+1
лтк+2к
I тк+2
+ ...+
I тк+к-1
+ ...+
I пк-к
+
Iпк-к+1
+...+
и к
+ " '
и-1
1
+
+
+
т+1
+ ...+
А*
Ак
+
т+1
А
пк-к+2
тк+к
А
+ ...+
+ ...+
|А
пк-2
тк+к+1
+
п—1
1- Ак V
"X
)+и2(
i пк-1
I тк+к+2
<
ітк+2к—1
+
т+1
+
т+1
+ ...+
+
Ак
А
л-1
/л+2
+ А
т+1
+ ...+
1 + А + А +...+
+ А +...-
' 1- А* '
1+ А +
+
+ ...+
Отсюда получаем, что
N
2>‘
і=М
—» 0 (поскольку при М,./Ѵ—»оо также и
М,ЛГ—» со
т,л —>■ оо).
7.	Доказать, что пространство Ь(Х,Х), где X = Д,[0,і] не сепарабельно.
Решение: рассмотрим оператор Ая : Д, [0,l] -» L, [О,і], определяемый соот-
Г лс(?), О <t<A
ношением Axx{t) = \	. Здесь Ае(ОД). Очевидно, что ѴХе(ОД)
[О, А < t < 1
оператор АЛ линеен.
Поскольку \\Аях\\ = ^jjA2x(t)j2 dt = ||х(0|2 tffr < ^ ||х(Д|2 dt = |x|, то ѴА e (ОД)
оператор А^ ограничен. Таким образом, Ал е L(^[0,1].Z,[0.1]).
Заметим, что множество М = {Ая,	- несчет¬
но, поскольку оно эквивалентно несчетному множеству точек интервала (ОД)
(т.е. между М и (ОД) установлено взаимно однозначное соответствие).
Возьмем точки Д,Д е (ОД) такие, что Д < >Д. Тогда
/	ч fx(0, Д</<^
Л,,.»:(/)- .4, л(О = (.4,, - Д• )л(П = |о ^
[о,і]\[лл]
Найдем норму оператора А^-А^:
= sup
хфО
(x
-А, и
x||
= sup
хфО
V
i	2
= sup-
хфО
||хД)|2 dt
х
< sup
і
i
||хД)|2 dt
х
= sup jj—I = 1.
хфО X
265

С другой стороны.
А, -А,
= sup
х^О
(\	(^;-2 Ал)хо
^2
|К(о|2л
І|К(о|2*
Г 1 ,0
, Л1<і<Л1
x0(t)=<
J
^2 1
[	dt
•U-л
[о, Гб[0,1]\[Л,Л]
■h i
f 1 dt
\ Л _ A
= 1. Таким образом, при Л1<Л2
= 1, т.е. расстояние между элементами множества М равно единице.
= |AeL(L2[0,l],L2[0,l]):||A-Al|<M - открытый
г
Обозначим В
А ‘
V
шар, описанный около каждого элемента АяеМ . Поскольку множество М -
несчетно, то множество таких шаров также несчетно. Кроме того, эти шары не
пересекаются, поскольку расстояние между их центрами равно единице.
По определению пространство является сепарабельным, если в нем есть
счетное всюду плотное множество. Допустим, что в пространстве
£,(£,[0,1],І,[0,1]) есть всюду плотное множество Е. Тогда по определению
всюду плотности, в любом шаре из L^L^OA^L^OA]) должна лежать хотя бы
одна точка из Е. Поскольку мы нашли несчетное множество шаров, лежащих в
£.(^[0,1], ^[0,1]), которые не пересекаются, то множество Е не может быть
счетным, поскольку оно содержит элементы, каждый из которых принадлежит
хотя бы одному из построенных шаров.
п
8.	Проверить, что формула f(x) = ^ckx(tk), где	- некоторая систе-
Іс=1
ма точек отрезка [a,b\, а ск e R., определяет линейный непрерывный в про¬
странстве С\a,b\ функционал и найти его норму.
п	п
Решение: поскольку f (Лх + juy) =	с k(Ax(tt) + juy(tk)) = Л^ckx(tk) +
к=1
к=1
п
+В^ск y(tk) = Лf(x) + juf(y) 5 т0 функционал / линеен.
к=1
Поскольку |/(х)| =
п
Zс Ah)
к=1
8ирИ|=Ё|с*|-и, то функ-
te[a,b]
к=1
к=1
к=1
ционал / ограничен. Кроме того, ||/|| = sup^—:	<	. С другой стороны, при
хфО X	fc=\
266

, л II xll |/0)| ^ \f(x0)\
x0*0	\\f =supiTT1>^r-^ =
x*o \\x\\ IU,
k=l
oil sup |*0(0|
t&\a,b\
. Пусть x0(t)eC[a,b] - кусочно¬
линейная функция, такая, что x0(tk) = signck, x0(t) - линейна на каждом из от¬
резков [д,^+1] и постоянна на отрезках [a,^] и	Тогда |*0| = 1 и
^ctsignct =XlcJt|, та™ образом, ||/|| = £|с*|.
к=1	k=1	к=1
00	00
9.	Доказать, что отображение ^ак -^-^Лкак, определяемое последова-
к=1	к= 1
тельностью {Як}, тогда и только тогда переводит сходящиеся ряды в сходящие-
оо
ся, когда ^\Лк ~ \+\ I < +00 .
к=1
00	00
Решение: 1. Пусть ряды ^ак и	сходятся. Надо доказать, что
к=1	*=1
со	m
при этом сходится и ряд У]Лкак . В силу критерия Коши V \Лк+1 - Лк\ -+• 0.
**	*	* И 11}	І./ѴЧ
&=1
&=и+1
Поскольку
т
Л)
к=п+1
£=д+І
— |Лн+і— Лі+11 о»
^ Z К+і-л|5 то
£=п+1
т.е. последовательность {Лк} фундаментальна, а потому имеет предел. Далее,
п	п	п	п—1
обозначим Ап = ^ак, тогда	= 2Х(А* -4-і) = ЛА "М + Х(Л
*=і
*=2
*=2
Jt=2
Поскольку
(Л \+\)\
к=п+1
^ Z К ~ Л+ІІІЛИ с Z К - л+і| ^ О, то получа-
к=п+1	£=п+1	п,/к^со
ем, что ряд	- Лк+1)Ак сходится. Но тогда сходится и ряд ^Лкак.
к=2	к=2
со
2. Покажем, что, если из сходимости ряда ^ак следует сходимость ряда
к=1
оо
^Лксік, то последовательность {Л^} - ограничена. Допустим, что это не так,
к=1
т.е. sup|>^| = +оо. В пространстве ^ рассмотрим линейные функционалы
к
п
fn(x')~'^J\‘?k’ x = (£v£2,...')ell, й£N.
*=і
Имеем, |/Д*)|^ J|^||#jt|<sup|^|-^|^t|<sup|^|-||*|, значит, /„ ограни-
к=\..п	к=\	к=\..п
к=1
£=1..п
чены и при этом /I < sup\Лк . С другой стороны, при каждом фиксированном
267

/jeN возьмем элемент х. = (0,...0,sign Л..,0,...), где і = \,п, тогда получим, что
j = sup^—->
(О
к=\
= |Я.|, і = 1,п. Отсюда ||/„||>sup|4|, т.е.
|Л(*)| J/«W|
ХФО |х|	|x;. ||	\\Хі\	і=1..п
n||=suP|A| и sup||/n|| = supsup|^|= sup|^| = +co.
k=\..n	n	n k=l..n	k=I..»
В силу принципа фиксации особенности, найдется х = {аг,а2,...) е /х такой,
что последовательность |/„(х)| =
'*УЛкак
к=1
не является ограниченной, а значит,
ряд лУіЛкак расходится. Осталось заметить, что условие х е Іл влечет сходи¬
ла
00
мость ряда ^ак. Противоречие.
к=1
оо
3. Покажем, что, если ^ак - расходящийся ряд с неотрицательными чле-
к=1
нами и Sn = ^ak, то = +°о. Действительно, — = ——= 1 -	. Если
*=і
*=і $к
S	S	S	S
к~1 -Д1, то утверждение доказано. Пусть —— —> 1, тогда -ln-^3- ~ 1 —. Да-
5
J к
лее
Sk	Sk sk
п о	n о	с
dfc-1 _ иП^-1 _
> -Tfi1
к=2 Sk
- In 1 Г —^-4 = — In —-—^ + оо, поэтому и в данном случае утвер-
с	$ п-хо
к=2 $к
ждение доказано.
со	оо
4.	Пусть из сходимости любого ряда ^ак следует сходимость ІѴ*-
к=1
*=1
w	/і
Предположим, что ^|/^+1 -\\ = +оо. Обозначим Sn = ^|/^+1 - Ак|, тогда, в силу
к=1
£=1
О ^|А+1	А:| V1 /1	1 \	о	sign(^+i ДД л
п. 3, ряд 2/	L = / ак (Ак+І - Ак) расходится. Здесь ак =	—		—> О
к=1	^'/t	*=1
и	п
Далее, ^ак(Ак+І -Ак) = апАп+1 -ах\ + ^Ак(«н -ак). Поскольку, в силу п. 2 по-
к=\	к=2
следовательность |ДП} ограничена, а яги—»0, то из полученного равенства и
00 00
расходимости ряда ^оск(Ак+] - Ак) вытекает расходимость ряда ^Ак (оск_х ~оск).
к=1
к=2
При этом ряд	-ак) сходится. Противоречие.
к=2
5.	Приведем другой способ доказательства утверждения п. 4. Пусть из схо-
268

димости любого ряда ^ак следует сходимость	Предположим, что
к=1	к=1
со	п
Ік. - Ак\ = +°о. Обозначим Ап = ^ак —> А,	= Аи - А —» 0, тогда получаем,
к=\	к=1
п	п	и-1
что YjXkak=YjXk{Sk-Sk-x) = KSn-llSx+YJ{\-\+x)Sk, причем, поскольку
к=2	*=2	Jt=2
последовательность {Ап} необходимо ограничена, то AnSn —» 0.
п
Рассмотрим линейные функционалы <рп (х) = ^(Ак - Ак+1 )<;к, заданные на
к=\
п	п
пространстве с0,где х = (£,£,...) ес0. Т.к. \(рп{х)\<	-А+і||4|Ф|-ZK ~лш\’
к=1	к=1
п
то 1<ФЖ -/^+1|, т.е. функционалы срп ограничены. С другой стороны, возь-
к=1
мем элемент х0 = (sign^ -A1),sign[A1 -^3),...,sign(Ara - Ara+1),0,0,...), тогда по¬
лучим, что тп = sup
kookkwl
Ё(Л-Л+і)8іяп(Л-Л+і)
yfc=l
x^O X
xn
/t=!
поэтому
yfc=l
В силу принципа фиксации особенности, найдется х =	е с0 такой,
что последовательность
Ы4=
£(л,-л+1)й
к=1
не является ограниченной, а
значит, ряд ^(Ак- Ак+])<^к расходится. Осталось заметить, что, каково бы ни
к= 1
было значение А, по частичным суммам Ап =	+ А восстанавливается сходя-
со	00
щийся ряд ^ак . Поскольку при этом ряд ^ Акак расходится, то получили
к=1
противоречие.
*=і
Задачи для самостоятельного решения
1.	Пусть X,Y - линейные пространства, А: X —» F - линейный оператор,
В a R(A) - выпуклое множество, М = {х e D(A): Ах е Б}. Будет ли множество
М выпуклым?
2.	Пусть X,F - линейные пространства, А: X —»F - линейный оператор и
система элементов xl,x2,...,xn e D(A) линейно независима. Верно ли, что систе¬
ма элементов АХрАх2,...,Ахп линейно независима.
269

Указание: вообще говоря, нет.
X 00
3.	Пусть {ocjkTj<k=l - числовая матрица, для которой IX ajk
j=1 k=1
< +00. Дока¬
зать, что оператор А:/2-»/2, Ах = у, где x = (<^v<^2,...)el2, у = (г}1,г}2,...)е12, и
х
7jj = ^(xjk^k, j e N является линейным и непрерывным.
Іс= 1
4.	Доказать линейность и непрерывность оператора A:C[a,b]^> C[a,b],
ъ
заданного формулой Ax{t) = Jk(t, т)х(т)<іт , где k(t, г) е С([a,b\ х \a,bty. Найти
а
его норму.
5.	Доказать линейность и непрерывность оператора А:І^[п,&]—» Ц\а,Ь\,
заданного формулой из задачи 4, где k{t,r) е	. Доказать, что
i
ъ ъ
\
||а||< ^\k{t,r)^ dtdr
2
Vя о	У
6.	Пусть a(t)eC\0,і] - фиксированная функция и Ах(і) = a(t)x(l). Дока¬
зать, что A :Lp	при р > 1 - линейный непрерывный оператор и
найти его норму.
7.	Найти норму тождественного оператора, действующего:
а)	из С(1) \a,b\ в С[а,Ь];
б)	из Lp [a,b] в Lq [a,b\, p>q.
Указание: тождественный оператор I: X —» X задается равенством
Іх = х, где те X.
8.	Для каких а> 0 оператор Ax(t) = x(ta) линеен и непрерывен в С [0,1]?
Найти его норму.
9.	Для каких а> 0 оператор Ax(t) = x(ta) линеен и непрерывен в Мол]?
Найти его норму.
10.	Для каких а,(5 оператор Ax(t) = tpx(ta) линеен и непрерывен в
L2 [ОД] ? Найти его норму.
11. Пусть p,qe Ь2 [а,Ь]. Доказать, что оператор А:	[a,b], дей-
ъ
ствие которого задается
формулой Ax(t) = J p{t)q{T)x{r)dT, t e [a,b]
является
линейным и непрерывным. Найти норму оператора А.
12.	Для каких функций a(t) оператор Ax(t) = a(t)x(t) непрерывен в
С [ОД] ? Найти норму оператора А.
13.	Пусть X - линейное нормированное пространство, А:Х —- ли¬
нейный ограниченный оператор с D(A) = X . Верно ли, что X = R(A) + ker А?
270

Указание: рассмотреть оператор А:М2 —»М2, действующий по формуле
А(£,£) = (£, 0).
14.	Пусть а >0 - фиксировано, С - банахово пространство непрерывных
на [0,+оо) функций х(і), удовлетворяющих условию sup ем |х(?)| < +да, с нор-
fe[0,+oo)
t
мой ||х|| = sup е“'|х(?)|- Найти норму оператора Ax(t) = \e~P(t~s) x(s)ds, где
re[°,+co)	0
А:Са -»С7, р>а>у>0.
Указание: при получении оценки снизу взятъ x0(t) = e~at.
15.	Пусть С[0,+оо) - пространство непрерывных на полупрямой [0,+оо)
функций x(t), удовлетворяющих условию sup |х(/)| < +со, с нормой
(е[0,+оо)
||х|| = sup |х(/)|. Доказать, что оператор Ax(t) = tx(t), А:С[0,+оо) —»С[0,+оо),
fs[0,+co)
неограничен.
п
Указание:рассмотреть последовательность хп(/) =	, иеN.
n + t
16.	Найти область определения оператора А из предыдущей задачи.
Указание: проверить, что sup \tx(t)\ < +со <» sup |(/ + 1)х(/)| < +со для всех
іе[0,+со)	іе[0,-ню)
функций x(t) е С[0,+со).
17.	Пусть X,Y - линейные нормированные пространства, А: X —- ли¬
нейный оператор, ядро которого является подпространством в X . Следует ли
отсюда, что А - ограниченный оператор?
Указание: рассмотреть оператор Ax{t) = x\t):L—» С[0,і], где L множе¬
ство непрерывно дифференцируемых на [0,і] функций с обычной нормой про¬
странства С [0,1].
18.	Пусть X - банахово пространство, А e L(X,X). Доказать, что если ряд
х
А‘ сходится в ЦХ,Х) то Ѵс > 0 найдется число keN такое, что выполня-
і=о
ется неравенство
< s.
19.	Проверить выполнение свойств проекционных операторов для опера¬
торов, найденных в примере 5.
х р
20.	Найти норму функционала /(х) =
k=1 2
х =
х р
21.	Найти норму функционала /00 =
к=1 2
х = (^,4,.„).
в пространстве /2, где
в пространстве /2, где
271

22.	Проверить линейность, непрерывность и найти норму функционала
f(x) = ^ * кк+1 В пространстве 12, где х = (^,^2,...).
к=1
Указание: f(x) = у + УI	І&.і = у + Е•
1 \ /	^—2
1	1 ^	^ 3
23.	Доказать, что, если ряд ^akbk сходится для любой последовательно-
к=1
оо
сти bk —» 0, то ряд ^\ак\ - сходится.
к=1
X
24.	Для того чтобы ряд ^акЬк сходился для любой последовательности
к=\
СаЛ)”=1, удовлетворяющей условию
/<•
I
Л=1
<2,,
< с (Ѵя e N, с - некоторая положи¬
тельная постоянная), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
а) 1ітЬк = 0;
»со
X
б)
*=1
Доказать это утверждение.
Указание: необходимость условия а) установитъ, подобрав такие после¬
довательности (аЛ)“=1 и (bk)k=1, для которых
а,,
к=1
<с, но ряд ^акЬк расхо-
к=1
дится при И^ 0 м ЕК - /у+| I < +00. Необходимость условия б) можно про-
к= 1
верить любым из двух способов, описанных в примере 9 (функционалы берутся
на пространстве Іх).
ь
25.	Для того чтобы последовательность xn{t) = ^kn{t,r)x{r)dr, п e N
а
(представление x(t) сингулярными интегралами с суммируемыми ядрами
kn(t,T)) сходилась к x(t) в пространстве	какова бы ни была суммируе¬
мая функция x(t), необходимо и достаточно, чтобы:
ъ ь
а)	J ^kn{t,T)x{T)dr-x{t)
а а
всюду плотное в L, [a,b\;
ъ
б)	sup [ |&га(г,г)|<й < М.
геМа
Доказать это утверждение.
d/ —» 0 для всякого x(t) е А, где Л - множество,
272

b
Указание: рассмотреть операторы Anx(t) = y(t), y(t) = ^кп(і,т)х(т)сІт.
При оценке сверху нормы оператора Ап поменять порядок интегрирований.
26.	Используя результат задачи 11, вычислить норму оператора
i
А: ^[0,1]	г,[о,і], если Ax{t) = I е‘х(т)сІт.
о
27.	Пусть (екУк ] - ортонормированный базис гильбертова пространства
Н, ^ бМ. Доказать, что если последовательность [Лк} ограничена, то равен¬
ства Аек = Лкек определяют линейный ограниченный оператор А :Н —» Н, при¬
чем ||A|| = sup|4|.
к
Указание: определить Ах = ^ Лк (х, ек )ек, установитъ линейность и пока-
k=1
затъ единственность линейного оператора со свойством Аек = A^ek. Для оцен¬
ки нормы оператора сверху воспользоваться теоремой Пифагора и равен¬
ством Парсеваля.
28.	Пусть X.Y - линейные нормированные пространства, причем X - ко¬
нечномерно. Доказать, что любой линейный оператор А: X —ограничен.
Указание: разложитъ элемент хе X по базису и показать, что
HI < сЦхЦ^, где х - вектор, составленный из координат вектора х в данном
базисе. Воспользоваться эквивалентностью всех норм в конечномерном про¬
странстве.
29.	Пусть X - конечномерное нормированное пространство. Доказать, что
пространство X* - также конечномерно (причем имеет ту же размерность, что
и X).
Указание: рассмотреть функционалы е1 еХ* такие, что е\х) = аі, если
х
= ккек, {ек} - базис в X. Показать, что система	линейно независи-
к=1
п	( п	Л
ма в X* (используя то, что, если ^аД =0, то, в частности 2>' У)=о>.
і=1	V і=i
Показать, что любой функционал f еХ* можно представитъ в виде
п
f = '^Jf(ei)el (проверив, что в любой точке хеХ левая и правая части равен-
і=1
ства совпадают).
273

1.5. Образы шаров в банаховых пространствах
Теорема (о плотном образе шара): пусть X.Y банаховы пространства,
А: X —- линейный ограниченный сюръективный оператор. Тогда образ лю¬
бого шара с центром в начале координат является всюду плотным множеством
хотя бы в одном шаре с центром в начале координат.
Доказательство: 1. Покажем, что образ хотя бы одного шара с центром в
начале координат является всюду плотным множеством хотя бы в одном шаре.
От противного: допустим, что для любого шара с центром в начале коор¬
динат его образ не всюду плотен ни в одном шаре. Обозначим через г этот об¬
раз, который не плотен ни в одном шаре, т.е., если возьмем любой шар, то г в
нем не будет всюду плотным множеством. Значит, в этом шаре можно найти
окрестность, в которой нет точек из г, т.е. г является нигде не плотным мно¬
жеством. Итак, показали, что образ любого шара является нигде не плотным
множеством в любом шаре.
Рассмотрим Вг - шар с центром в начале координат радиуса 1, В2 - шар с
оо
центром в начале координат радиуса 2,... Ясно, что и«* = X . Поскольку А
k = I
сюръективен, т.е. X отображает на все Y, то объединение образов этих шаров
даст все пространство Y. Образы этих шаров нигде не плотные множества ни
в одном шаре. Таким образом, пространство Y оказалось представлено в виде
счетного объединения нигде не плотных множеств, а поскольку по условию Y
полное, то по теореме Бэра его нельзя представить в таком виде. Противоречие.
2. Покажем, что образ хотя бы одного шара с центром в начале координат
является всюду плотным множеством в некотором шаре с центром в начале ко¬
ординат.
Пусть В{ и В0 - те шары, существование которых доказано в п.1. Образ
шара Вг всюду плотен в шаре В2, но В2 может не иметь центра в начале коор¬
динат. Надо найти шары й, и В4 с центрами в начале координат так, чтобы об¬
раз шара В3 был всюду плотен в В4 (см. рис.).
274

Рассмотрим точку у0е В2, прообразом которой является точка х0 е В{, т.е.
Дл'о = у0 (такие точки существуют, поскольку АВі = В2). Сдвинем шар Вг на
вектор -х0, тогда точка х0 перейдет в начало координат. Соответственно, шар
В2 сдвинется на вектор -Ах0 =-у0 и у0 перейдет в начало координат. Обозна¬
чим эти сдвинутые шары соответственно Ві и Вг. Ясно, что при сдвиге всюду
плотность не изменилась, значит, по-прежнему образ В\ является всюду плот¬
ным множеством в В2 (см. рис.).
Через В4 обозначим шар, лежащий в шаре Ві, но уже с центром в начале
координат. Раз образ шара Ві был плотен в Ві, то в меньшем множестве он тем
более всюду плотен. Итак, образ шара Ві всюду плотен в В4. Через В3 обозна¬
чим шар с центром в начале координат, который содержит шар Ві. Раз мы шар
увеличили, то его образ тем более увеличился, поэтому тем более является
всюду плотным в шаре В4.
3. Пусть В - любой шар с центром в начале координат в пространстве X .
Надо доказать, что его образ всюду плотен в некотором шаре с центром в нача¬
ле координат.
В силу п.2 найдены шары В3 e X и В4 e Y с центрами в начале координат,
такие, что образ шара В3 всюду плотен в шаре В4.
275

Сделаем сжатие шара В3 таким образом, чтобы он попал внутрь шара В.
Ясно, что его образ сожмется в такое же число раз, и сжатый в это же количе¬
ство раз шар В4 обозначим за В. Тогда образ сжатого шара В3 всюду плотен в
В, а поскольку сжатый шар В3 содержится в шаре В, то образ шара В тем бо¬
лее будет всюду плотен в В.
Теорема доказана.
Теорема (принцип открытости): пусть Х,У - банаховы пространства,
А:Х—>Y - линейный ограниченный сюръективный оператор. Тогда образ
единичного шара с центром в начале координат содержит хотя бы один шар с
центром в начале координат.
Доказательство: рассмотрим в пространстве X шар Вг радиуса —, шар
В2 радиуса —, шар В
1
начале координат.
В силу предыдущей теоремы образ каждого из этих шаров всюду плотен
хотя бы в одном шаре с центром в начале координат. Обозначим их радиусы
р1,р2,р3,...,т.е. образ шара Вг всюду плотен в Вр , образ шара В2 всюду плотен
в Вр ,... Ясно, что если радиус какого-либо из полученных шаров уменьшить, то
всюду плотность в меньшем множестве сохранится, поэтому можно считать,
что радиусы рп стремятся к нулю.
Покажем, что образ единичного шара будет содержать В , т.е., что Вр - и
есть нужный нам шар. Возьмем Ѵуевр и надо доказать, что Зх: ||х|| < 1 и
Ах = у. Поскольку у е Вр а образ В{ всюду плотен в Вр , то Уе > 0 Зх{ е Я,:
\\у - Ах\I < б . В частности, беря е = рг, получим, что ||у - Ахj|| < рг, тогда вектор
у - Ахх е Вр . Образ В2 всюду плотен в Вр , значит, аналогично, Зх2 е В2:
||(у - Ахх) - Ат2|| < р3 , и, значит, у - Ах1 - Ахг е Вр . Аналогично, поскольку об¬
раз В3 всюду плотен в Вр^, получаем, что Зх^еВр ||(у - Ах^ - Ах2) - Ат3|| < рА и
т.д. На п-м шаге получим, что Зхп е Вп:
п
У~Т,Ахк
k=1
<Рп+1-
Покажем, что ряд ^хк сходится. Поскольку X по условию полно, то, в
к=\
силу критерия полноты пространства в терминах рядов, достаточно показать,
со	i
что сходится ряд ^ІІ^Ц. Поскольку хіеВ1, то ||.у || - “ • Поскольку х2еВ2, то
к=i
Но
со	х j	°°	1
< —, и т.д. Таким образом,	^	• Ряд	сходится, как беско-
4	к=і к=і 2	к=і 2
276

нечно убывающая геометрическая прогрессия, значит, числовой ряд ^Цх*
сходится по признаку сравнения.
к=1
1
Пусть х = ^хк, тогда
к=1
I
к=1
X,.
" 1 2
£ХІкІІ-2^ѵГ= i =1’те-векгор
і=і ^	1 - —
2
к=1
X
принадлежит единичному шару. Осталось проверить, что Ах = у, т.е., что
( со л
Ух* = у, т.е. Y Ах* = у, т.е. ІітУ Ахк = у,т.е.
Ѵ*=і У
&=і
£=1
Х^х*-у
і=і
—»0 при я—»оо.
Поскольку 0 <
п
У~Т,Ахк
к=1
< рп+1, а рп —»0, то, переходя к пределу при
и—»оо, по теореме о двух милиционерах, получаем, что
Теорема доказана.
Замечание: в этих теоремах предполагается, что
рить об образах любых шаров не имело бы смысла.
к=1
-»0.
D(A) = X, иначе гово-
277

РАЗДЕЛ 2. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
2Л. Функционалы в гильбертовых пространствах
Теорема Рисса (об общем виде функционала на гильбертовом простран¬
стве): пусть Я - действительное гильбертово пространство и е Я* - линей¬
ный ограниченный функционал, тогда существует единственный элемент
у е Я такой, что Ѵд е Я ср{х) = (д, у) и при этом = ||у||я •
Доказательство: обозначим L = ker <р = {х е Я : (р{х) = 0} - ядро функцио¬
нала ср. Поскольку (р линеен, то его ядро - линейное многообразие. Поскольку
(р ограничен, то он непрерывен, и, значит, его ядро - замкнуто.
Итак, L - замкнутое линейное подпространство, значит по теореме о раз¬
ложении в прямую сумму Я = L Ѳ L1. Покажем, что L1 одномерно, т.е. возьмем
eeL1, еФО и покажем, что VyeL1 имеет вид у = Хе, где А е К. Для этого
требуется подобрать число А так, чтобы у-Хе = 0. Поскольку Lf]LL = {О}, а
у - Хее Ll , то, подобрав А так, чтобы у - Хе e L, получим, что у - Хе = 0.
Поскольку подбираем у-ХееЬ, то должно выполняться соотношение
(р(у-Хе) = 0, откуда <р{у) - Х<р{е) = 0, тогда А = и надо убедиться, что
ер(е)
(р{е)Ф0. Действительно, если (р{е) = 0, то eeL, а поскольку ееЬ1, то е = 0,
что противоречит выбору е ф 0.
Одномерность L1 доказана. Возьмем уеДи пусть Ѵд е Я д =	+ д2, где
д, g L, д2 e L1. Надо доказать, что <д(д) = (д, у), т.е. (ріух^ + д2) = (^ + д2, у), т.е.
<р{х1) + (р(х2) = (х1,у) + (х2,у). Поскольку д,еі,то (р{хj) = 0. Поскольку д,gL,
a yeL1, то (д1? у) = 0. Тем самым, осталось найти у е іХ так, чтобы Ѵд2 e L1
^(д2) = (д2,у).
Поскольку L1 одномерно, то если это равенство будет верно для какого-то
одного элемента д2 e L1, то оно будет верно и для всех остальных элементов из
L1, поскольку остальные элементы получаются из д2 умножением на число.
Возьмем фиксированный элемент д2 е іХ и будем искать у = ах2. Надо до¬
казать, что <д(д2) = (д2,у), т.е. что (р{х2) = (д2,ах2) = а(х2,х2), значит равенство
<р(д2) = (д2, у) будет иметь место при а =
<Р(х2)
(д2,д2)
. Итак, существование нужного
элемента у е Я доказано.
Покажем, что такой элемент у - единственный. Допустим, что Зух, УіеН
такие, что Ѵд е Я <р{х) = (д,у,) и ср{д) = (д,у2). Вычитая эти равенства, получа¬
ем, что 0 = (д, ух - у2). Возьмем х = у1 - у2, тогда (ух - у2, yj - у2) = 0, значит ух = у2.
278

Докажем, что |Н|Я* = ||у||я. Используя неравенство Коши-Буняковского,
получаем, что
I я
= sup
\\Х\
I _	sup|HL .к «и
= supJ
я
хфО ыГ
IIЯ
х^О \\Х\\
Н
. Если найдем
ІІЯ
элемент і0еЯ, для которого
I я
|(*.у>1 J(-w>l
= sup
х=0 ||Х|
ІЯ
IU,
я
, то это и будет
ОІІЯ
означать, что = || >і • Выберем = у *0, тогда |И|Д. > Ij^=рНІТ, •
Теорема доказана.
Замечание: доказательство теоремы с небольшими изменениями (какими?)
проходит и в комплексном гильбертовом пространстве.
Теорема (о пространстве, сопряженном к гильбертову): действительное
гильбертово пространство Я изометрично и изоморфно своему сопряженному
Я*.
Доказательство: по определению изометрии и изоморфизма пространств
нужно доказать, что 31: Я* —> Я, которое является изометричным изоморфиз¬
мом, т.е.:
1.	I - линейное отображение;
2.	I сохраняет норму, т.е. \/<реН* ||/#>||я = ||#>||я»;
3.	/ - биективное отображение.
В силу теоремы Рисса Ѵ^еЯ* существует единственный элемент уеЯ
такой, что Ѵх е Я <д(х) = (х, у) и при этом \(f\H. = ||у||я. Тогда У<р е Я* опреде¬
лим 1<р = у, где у - тот самый элемент, о котором утверждается в теореме Рис¬
са.
1.	Пусть 1<рх = у,, 1<р2 = у2, І(щ+(р2) = у. Покажем, что у = у, + у2- По¬
скольку 1<рх = уj, то (рх(х) = (х,у), и, аналогично, (р2{х) = {х,у2) и {срх +(р2){х) = {х,у).
Но (срх + (р2)(х) = <рх(х) + (р2(х) = (х, ух) + (х, у2) = (х, у, +у2) тогда, поскольку х -
произвольный элемент, то у = ух + у2 • Доказательство второго свойства линей¬
ности - аналогичное.
2.	Поскольку І(р = у, а по теореме Рисса \\у\\н* = ||у||я, то ||<р||я. = \ЩН.
3.	Надо доказать инъективность и сюръективность. Инъективность: пусть
(рх ф (р2, тогда ||^-^2|я. / О, значит, в силу п. 2 \і((рх -(р2)\И *0, т.е. \\і(рх-І(р2\\н ф0,
откуда І(рхФІ(р2. Сюръективность: надо проверить, что ѴуеЯ е Я*:
Іф = у. Определим <р(х) = (х,у) для любого у е Я . В силу свойств скалярного
произведения, оно линейно по аргументу х, тем самым, (р - линеен. Т.к.
\(р{х)\ = |(х, у)| < ||х||я ||у||я = с||х||я, то (р - ограничен. Таким образом, q> е Я*. По¬
скольку (р{х) = (х, у), то по определению І(р = у.
Теорема доказана.
279

Замечание: таким образом, в действительном гильбертовом пространстве
также определено изометричное и изоморфное отображение Іг:Н —>Н*,
ставящее в соответствие любому элементу у e Н единственный функционал
(Р<еН* по правилу ср(х) = (х, у).
Замечание: легко проверяется, что в комплексном гильбертовом простран¬
стве биекции I и Д остаются изометричными, но перестают быть линейными,
поскольку, ІДау) = ШДу), /(а(р) = аііур). Такие отображения называются ан¬
тилинейными.
Теорема (об общем виде функционала e L2(E)): пусть множество Е име¬
ет конечную меру Лебега, тогда:
1.	\/у&ЬДЕ) 3(ру & L2(E)* \ ѴхеІ^ІЕ) (py(x) = \x(t)y{t)dju.
E
2.	\/(p<=L1(E)	3yeL2(E): \/xeL2(E) (p(x) = <py(x) = ^x(t)y(t)dju. Такой
E
элемент у единственен и L2(E) изометрично и изоморфно ЕДЕ) .
Доказательство: 1. По предыдущей теореме существует изометрическая
биекция Іг: Е2(Е)^ Ь2(ЕУ, сопоставляющая каждому уеЬ2(Е) функционал
/у e ЬДЕ)* по правилу fy{x) = (х, у) = jx(t)y(t)dju, причем Ц/^Ц = \\у\\. Но тогда,
поскольку каждому у &Е1(Е) сопоставляется ровно один у е ЕДЕР), то опреде¬
лен функционал фу{х) = fy{x), который линеен и ограничен. Получили отоб¬
ражение /21^2(£) —»Ь2(Е)*, такое, что /2(у) = fy=(Py• Ясно, что /2 линейно.
Поскольку
(р,
и
= Ы , то /2 изометрично, и, следовательно, инъек¬
тивно.
2. Достаточно доказать сюръективность построенного в п. 1 отображения
/2. По теореме Рисса всякий элемент ф^ЕДЕ) - есть fy{x) = ^x{t)y(t)d/i для
Е
некоторого (единственного) элемента у^Е1(Е). Но тогда для этого у опреде¬
лен функционал фу(х) = Jx(t)y(t)djue ЕДЕ)*, поэтому (р = (ру- ІДу), т.е. отоб-
Е
ражение /2 сюръективно, следовательно, /2 - изоморфизм.
Теорема доказана.
280

2.2. Функционалы в нормированных пространствах
Теорема (об общем виде функционалов на пространстве /,): 1. Ѵуе/а
00
<р{х) = ^іУі е 11’ где х = (£,&,-)Gh’ и ПРИ этом ІМІу =
і=1
2. У (pel* Зуеіда: Ѵх = (£,£,...) e/х (p(x) = Yj%iyi.
i=l
Доказательство: 1. Пусть <p{x) = ^j^iyi. Надо доказать линейность и
/=1
ограниченность данного функционала, а также равенство норм.
со	со	со
а) Линейность: (р(\хх + \х2) = y(^® + ^<2,)y, =лУй<чл +ЛЕ«<2|у, =
= ЛуріхД + Яуд){х2).
і=1
ы
г=1
б) Ограниченность: |$?(х)| =
/=і
<ЕЙ11л|. Поскольку Іт - это про-
І=1
странство ограниченных последовательностей и ||у||; = sup|yj, то V/ e N
00 00
< |Н|,_ . Таким образом, \<р(х)\ <	• £|б| = ІЬІІ. 'IMI, • Следова-
/=1	і=1
тельно, функционал (р ограничен.
в) Равенство норм: разделим полученное в предыдущем пункте неравен-
И*)|
ство на х и возьмем по всем х^О точную верхнюю грань: sup1,,
^	хфО ||х|'
. Установим неравенство противоположного знака:
Ій<0У
откуда <|К||/
.	\(р{х)\	|<р(х0)|
L = sup' ' > —г—1 =
І= 1
хфО X
о II/,
OU
Х|й1
І=1
Возьмем х0 = (0,0, ...,±1,0,0,...), причем знак +1 будем выбирать совпала-
і
ютим со знаком уг. Тогда при подстановке такого х0 в обеих суммах останется
одно слагаемое с номером і, причем в числителе в этом слагаемом у, умно¬
жится на свой знак, т.е. даст |уг|, а в знаменателе останется 1. Итак, ||0>||. > | у( |.
Поскольку і - любое, то \\(р^ > sup|y.| = ||у| . Таким образом, ||^||^, = ||у| .
оо
2. Пусть <pelx . Надо найти такое у е , что (р{х) = Е<^уг • Возьмем
і=1
ег■ = (0,0,...,0,1,0,0,...) и обозначим ф(ех) = у.. Поскольку функционал (р линеен
281

и ограничен, то он ограниченное множество векторов {ег } переводит в ограни¬
ченное множество векторов {^(ег)}. Таким образом, множество {ѵ(} ограниче¬
но, поэтому вектор у = (уі)” е/^. Рассмотрим далее последовательность
хп = (<^,4,...,4,0,0,...), тогда хп = 4^ + 4<?2 +... + £пеп и, значит
<Р(*п) =	+ %2<Р(е2> + - + ѢпФІО = ѢіУі •
і=1
со	со	со	п
Пусть х = (4,42,...). Тогда Цх-xJ^ = £|£ ~^\ = S =
І=1	/=«+1	/=1	1=1
СО	я
По определению пространства /, ряд У"]4| сходится, а У~]4| - это частичная
І=1	І=1
сумма этого ряда. По определению суммы ряда, к ней стремятся все частичные
h
суммы, значит при п —»оо х- х I —» 0, откуда хп —» х.
ч	Л^СО
п
В равенстве (р{хп) = ^4у< перейдем к пределу при оо, тогда, по-
/=1
^	со
скольку хи —» х, а $> - непрерывен, то ^(хя) —» <д(х) и значит ^(х) = ^4-У/ •
Я—» со
/=1
Теорема доказана.
Замечание: таким образом, пространство // изометрично и изоморфно
пространству Іт.
Теорема (об общем виде функционалов на пространстве с0): 1. Ѵу е /,
к ’
^(х) = ІІЛ е с0‘ , где х = (4,4’—) G с0 ’ и при этом
/=1
со
2.	Ѵ^ес0* Зу е(: Ѵх = (4,4„..)ес0 <р(х) = ^4у,.
і=1
Доказательство: 1. а) Линейность доказывается аналогично предыду¬
щей теореме.
00
б)	Ограниченность: поскольку уе/х, то ||у|| = ^|у |. Кроме того, хес0,
1	І=1
поэтому ||х||с = sup|4|, откуда V/ е N |4| ^ ||х|с . Таким образом, получаем, что
|(^(х)| =
2Х';,
£Е1^ЫФ110'ЕЫЧ1Т^4о-
/=1	/=1	і=\
Итак, функционал (р ограничен.
в)	Равенство норм: разделим полученное неравенство на ІІхІІ и возьмем
И ІІС0
точную верхнюю грань по всем х^О: sup ^ ||у|, откуда ||^|[. < ||ѵ|. Далее,
IIJVll	*
282

. = supJ
C° ХФО IU'11
kw|>kwl_
Іё<0,х
i=1
vol
Mc0	m iic0
:(0)
sup| &
(0)
Возьмем x0 = (±1,±1,„.,±1,0,0,...), тогда,
поскольку	} = 0, то x0ec0. Знаки выберем совпадающими со знаками со-
І—»оо
п	оо
ответствующих уг, тогда |Н1*	При н-э-оо ||^?|| . -^ЫНЫІ^ • Таким
0	і=i	0	/=i
образом, ||«4; HML,-
2. Пусть <р g б'0*, т.е. <^> - линейный и ограниченный, а значит, непрерыв-
со
ный функционал. Надо найти у е Іл, чтобы Ѵх = (4,4’—) е с0 ср(х) =
/=1
Возьмем ;= (0,0,...,0,1,0,0,...) и обозначим ср{е^) = уг Рассмотрим после-
І
п	п
довательность хп = (4,4,...,4 ДО,...), тогда хп =	и значит (р(хп) = ^.у..
І=1	І=1
Пусть х = (4,4,...). Тогда ||х-х„|. =sup|^-^(B)|, откуда |x-xJ[o =sup{|4+1|,|4+2|,...}.
Поскольку х g с0, то 1іт4 = 0, т.е. \/s > 0 3N g N: \/п> N |4І < £ ■ Таким
/—>oo
образом, начиная с некоторого номера, sup{|4+i|,|4+2|’-}< £, откуда ||х — хл||с < £,
со
т.е. х —> х.
И—о
Перейдем в равенстве <р(хга) = ^4у* к пределу при и—>оо, учитывая, что
/=1
оо
(р{хп) ^ (р{х) и получим, что р(х) = J^.y.. Осталось доказать, что построен-
/=1
ный элемент у = (у.)^ действительно принадлежит пространству Іх.
Рассмотрим вектор х0 = (sign ух, sign у2,..., sign уп, 0,0,...) е с0 при произ-
п
вольном фиксированном hgN. Ясно, что ||х0|| =1. Кроме того, <д(х0) = ^|у,|,
/=1
п
а, поскольку |^(х0)| < ||^|| • ||х0||с = ||#>||, то получаем, что ЕЫ* 1^1.Поскольку п
і=1
00
произвольно, то частичные суммы ряда ^|уг| с неотрицательными членами
і=1
ограничены сверху. В силу критерия Вейерштрасса ряд ^|уг| сходится, т.е.
/=1
У<Д.
Теорема доказана.
283

Замечание: таким образом, пространство с0* изометрично и изоморфно
пространству 11.
Теорема (об общем виде функционалов на пространстве I ): 1. Пусть
11 °°
Р> 1 и —+ - = 1, тогда Vy e I (p(x) = Ygiyiel* где х = (£,£,...) e / и при
р q
І=1
ЭТОМ
к ’
2.	\/(pel* Зу elq: Ѵх = (£,£,...)	<p(x) = '£d4iyi
І-1
Доказательство: 1. Снова линейность очевидна, поэтому проверим
ограниченность и установим равенство норм.
\(р{х)\
ии
І=1
<
\т /
Ekf ЕЫ‘
V /=і у V і=i у
значит, ограничен. Разделим полученное неравенство на ІЫІ и возьмем точ-
Ір
ную верхнюю грань по всем х^О: sup^./^ <||у|| , откуда ІЫІ , <IIуII . Далее,
х*0 X ,	“«	р	“
= sup-
\ср{х)\	\(р(х0)\ _
І£(0)*
і=1
х^О \\Х\
X
—. Возьмем 4(0) = ±|yf|? 1. Знак выбирается
oli/
Ek
V і=1
(0)
2
совпадающим со знаком у;, тогда, т.к. —+ —= 1, то |<£.(0)Г = |угГ(<?!) = |у;Р. По-
р q	11
скольку у e lq, то отсюда следует, что x0elp. Кроме того, <^/0)у( = ± у( • |у,.|*1 =
і кг
і^-1
= |у,Г. Отсюда Ы|,„ >
ии
Ek
Г	, i
г * ѵ— /
г=1
Ekl
V і=і 2
Е
V !=і	2
E
V и 2
Окон¬
чательно,
2.	Пусть (р £ I*. Надо найти такое у е Іц, что (р{х) =	• Возьмем
і=1
et = (0,0,...,0,1,0,0,...) и обозначим ср{е() = уі. Пусть хп =(^Д2,...Дп,0,0,...), то-
і
п	п
гда хп = Ybiei и значит ср(хп) = ^%іУі ■ Пусть теперь х =	, тогда
/=1
/=1
\\х - х
«II/
(00	Л	/ 00	Лр	X
ЕМТ =	■ П° определению пространства Ір ряд Y\%\
І=1	)	\І=Л+1	)	і=1
284

сходится, а ^ \^\Р - это остаток данного ряда. По теореме об остатке сходяще-
і=п+1
00
гося ряда ^	—» 0 при оо. Итак, при п—»оо ||х- хп||; —»0, откуда
і=п+\	Р
Ір	п
хп -> х. В равенстве (р(хп) =	перейдем к пределу при н—»оо, тогда, по-
И->00
1=1
Ір	со
скольку хп -> х, а (р - непрерывен, то (р{хп) —» #?(х) и значит <д(х) = Ійл •
/=1
Принадлежность элемента у = (у/)”1 пространству I предлагается устано¬
вить самостоятельно (задача 10).
Теорема доказана.
Замечание: таким образом, пространство I* изометрично и изоморфно
пространству lq.
Замечание: теоремы доказаны в предположении, что функционалы заданы
в действительных пространствах. Если пространства комплексные, то все дока¬
зательства проходят с очевидными изменениями на этапе оценки нормы функ-
у.
ционала снизу (вместо sign yt надо брать )•
\Уі\
Теорема (о частном виде функционалов на пространстве с): 1. Vye/j
оо
<Р(х) = ^іУі е с*, где х = (£,£,...) е с;
І=1
со
2. 3<р е с*, который нельзя представить в виде <р(х) =	для некоторо-
/=1
го x=(^,^2,...)gc и для всех уе/х.
Нс
Замечание: точно такой же частный вид имеет и функционал (р^Іж.
Доказательство: 1. Линейность очевидна. Проверим ограниченность:
Vx £ С |#>(х)| =
-Xk=.ll-V.l-sl,pk.|'ЕІ-Ѵ.І= ІІ-'і -И,, значит, <р ограничен.
і=1	і	і=1	‘
2. Поскольку с - пространство последовательностей, имеющих предел, то
определим функционал (р следующим образом: (р{х) = 1іт^(, Vx £ с. Линей-
1->оо
ность (р очевидна в силу линейности предела. Далее, |<д(х)| = lim<^ = limini <
< HmsupLfJ = llxll значит (p ограничен. Таким образом, (р е с*. Допустим теперь,
І-»сс j 1	1	llc
со
что (р можно представить в указанном виде (р(х) = ^іУі, где у = (у;)”| е/,.
/=1
со
Возьмем х = (1,0,0,...), тогда <р(х) = 1іт^; = 0, откуда V <^у. = 0, ас другой сто-
/=1
285

роны,	- Vj. Таким образом, у( =0. Аналогично, взяв х = (0,1,0,...), полу-
і=1
чим, что у2 = 0. И т.д. Итак, V/ еN у, = 0, т.е. Ѵхес <р(х) = ^%ІУІ = 0. С дру-
І=1
гой стороны, при X =	<р(х) = Ит£ = 1. Противоречие.
/—>со
Теорема доказана.
Замечание: таким образом, в пространствах с0*,Іг*,1 * сохраняется свой¬
ство конечномерных пространств, элементы которых могут быть представлены
линейной комбинацией “базисных” векторов. Линейные комбинации “базис¬
ных” векторов в указанных пространствах образуют всюду плотные множества.
Для пространств с* и это свойство неверно. Общий вид линейного ограни¬
ченного функционала в пространстве с см. далее в примере 4.
Теорема (об интегральных функционалах на Ц(Е)): пусть Е - измери¬
мое множество, g - измеримая функция, /еД, (p(f) = jf(x)g(x)dp. Тогда
Е
<peL^ тогда и только тогда, когда g gLx и при этом |$>|^„ = ||g||L .
Доказательство: 1. Пусть g&Lx. Покажем, что <р e L,* и ||р|| . < ||g||L .
п.в.	п.6.
Поскольку g(x) еД, то |g(x)| < с, тогда \f(x)g(x)\ < с|/(х)|. Таким обра¬
зом
, И/)|=
J f(x)g(x)dju < j\f(x)g(x)\dp < c\\f (х)|dp = с\\/\\ц . Итак, функци¬
онал <р определен V/ e Ll и ограничен. В силу свойств линейности интеграла
Лебега, функционал <р - линеен. Таким образом, <p^Ll .
Далее, поскольку \\g\\ =esssup|g(x)|, a |g(x)|<esssup|g(x)| для почти всех
''А»	Е	£
хе£, то возьмем с = esssup|g(x)| = ||g||^ и получим, что И/)|<1
Е
Разделим это неравенство на
Ия I
и возьмем точную верхнюю грань по всем
/ ф 0, тогда sup
f* о
<
и
, откуда
h
<
h
2. Докажем, что если q)G Д*, то g e Lx и >||g||^ . Таким образом, до¬
статочно доказать, что esssup|g(x)| ^	• Обозначим М = esssup|g(x)|.
Е	Е
Для некоторого /0 * 0 ползаем, что:
jf0(x)g(x)dju
h
= supJ
f* о
[КЯІ>1^(Л)1 =
J|/0(x)|d//
286

Далее, возьмем У s > 0, тогда М -s <М и поэтому М -е не является по¬
чти всюду мажорантой для функции g, значит, неравенство \g(x)\<M -е не
может почти всюду выполняться, и значит, существует множество А ненуле¬
вой меры, на котором \g(x)\>M-s. Рассмотрим произвольную функцию
/ e Д (Е) и выберем /0 так, чтобы вне множества А она была равна нулю, а на
множестве А /0 = 1/1 Дт е Д, тогда
' '1*1
\f0(x)g(x)dp j]/(x)|-|y(x)|d//	\f(x)dfi
i	 =±	г-	j
j\f0(x)\dfi j]/(*)|d//	\f{x)dp
= M-s
E	A	A	A
При s —» О получаем, что \<р\т , > M = IlglL .
N IILj	И N
Теорема доказана.
Теорема (об общем виде функционала на Ц(Е)): если множество Е из¬
меримо, то У(р е Д* 3g e Lm: V/ e Д <p(f) = J/ • gdju.
E
Замечание: доказательство этой теоремы см., напр., в [3].
Теорема (о пространстве, сопряженном к Ll(E)): пространство Д* изо-
метрично и изоморфно пространству Ет.
Доказательство: Vy e Д поставим в соответствие е Д* такой, что
(р = 1(g) и <д(/) = j f (х)g(x)dju. Отображение /, очевидно, линейно и сохраня-
Е
ет норму по теореме об интегральных функционалах на Д, т.е. изометрично.
По теореме об общем виде функционала на Д, I - сюръективно. Если (рх ф (р2,
то I(рх - <Рг\к* * 0 • Поскольку	= \\g\l, то ||ух - у2||ім * О, откуда g, ф g2, зна¬
чит I - инъективно. Таким образом, I - изоморфизм.
Теорема доказана.
Теорема (об общем виде функционалов на L (Е)): пусть р> 1, — + — = 1
р q
и множество Е измеримо, тогда:
1.	ѴуеД(Е) <p(f) = ^f(x)g(x)djueLp(E)* , где / e Lp(E). При этом \\(p\\L, =\\g\\L ;
Е	Р	4
2.	V<peLp(E? 3geLq(E): V/ e Lp(E) (p(f) = J f(x)g(x)dju.
E
Доказательство: 1. Ясно, что <p(f) = ^ f(x)g(x)dju линеен, а, поскольку
И/)|=
X
J f(x)g(x)dju < J|/(.x)f dju J|g(x)|?d/u
J \E
T *
(p&Lp .
287

Разделим полученное неравенство на ||j\\Lp и возьмем точную верхнюю грань
по всем /*0: sup!f^<|g|l , откуда |ML*^IHL •	Для некоторого
f* о
/0 =£ О получаем Ы , = sup
"LP /*0
H/)L ИЛ)[=
Olli,
\\fo(x)\P dju
-.Пусть /оН^Гп’
тогда |/оГ=|яГ_1)=И?,а /о^ = |5Г1-И = И,»поэтому
>
J|g(x)f dp
E
\
J|g(x)f dp
\E
ЧІ--
. Таким образом,
s "°
= J|g(x)|Vy/ = J|g(x)|V//
Vr	J \E
2. Без доказательства (см. [3,7]).
Теорема условно доказана.
Замечание: аналогично случаю р = 1 показывается, что при р> 1,
—+ - = 1 пространство L (Е)* изометрично и изоморфно пространству Lq(E).
Р <1
Примеры решения задач
1. Пусть Мп - линейное пространство п -мерных вещественных векторов
х = (£,4,..„4) с нормой ІЫІ =
( г	\
т
\к=1	У
max
к ’
,	1 < р < +00
Р = +СО
. Найти общий вид линей¬
ного непрерывного функционала в М” при 1 < р < +со и вычислить его норму.
Решение: покажем, что при 1 < р < +со и — + — = 1 Ѵу = (rjl,...j]n) е М" вся
Р q
кий функционал <р(х) = крк е (М“ )*, где *=(£,...,£,) e М” .
к=1
Линейность (р очевидна. Проверим его ограниченность:
\(р{х)\ =
к=1
1 1
( п	\-fn	\-
<
ЕІ4
V к=\	У
£к
V а-=і У
• \\х\\ ,
q II Up
следовательно, q> ограничен, а значит, непрерывен.
288

Найдем норму этого функционала. Для этого разделим полученное нера¬
венство на ||х|| и возьмем точную верхнюю грань по всем х ф О, тогда получим,
что sup1 1 < II у|| , откуда ||$>||<||у|| . С другой стороны, найдется х0 ^0 такой,
х^о \\х\\
что
supJ
х^О \\Х\\
Ид|>Ид)|_.
іл
к=\
-. Возьмем %к{0) =\tjk Г 1 sign при к = \,п,
п
ік.
к=\
(0)
тогда
О
II
S4
II
XW г»
IV
1
‘J . - Ik
п \ п V А:=1
X—1 1 1/7 Р
= М и	= h I" sign Tjk • Ijk = \r]k -\?]k\ = \rjk \\ откуда
q-\
Л'-'-
=ІІкГ
д=і
. Таким образом,
. k=\
Осталось показать, что для всякого функционала (р е (М" )* найдется
у = (77Р...,77п)еМ” такой, что для всех х =	eR^ (p(x) = Yd4kifk. По-
к=1
скольку х =	)еМ", а вектора ек = (0,...,0,1,0,...,0) при к = 1,п образуют
базис в М” , то х =	+ £2е2 +... + %пеп.
п	п
Тогда (р{х) = ^(р(е1) + ^2(р(е2) + ... + ^п(р{еп) = ^к(р(ек) = ^кПк ПРИ Лк=(РІЧ)-
к=1
D га
к=1
Итак, нашли нужный элемент у = {rjl,...,rjn)
2. Найти общий вид и вычислить норму линейного оператора А: R'" —» М".
Решение: покажем, что для любой числовой действительной матрицы
:ДЖ7Д;),гдех = (^,...,^)е^.
Чі
д12
" «1т"
(*Л
/ \п,т
уау) і оператор А(х) =
а21
&2'2 •
" аЪп
&
Дгаі
йи2
.. а
wm /
\%т;
Перемножая матрицы, получаем, что
+ «12^2 + - + ^0
А(х)
а21^1 + а22^2 + ••• + а2т%т
/	\п
i т	\
1«^
ѵ i=' Ji=i
Линейность оператора А очевидна. Проверим его ограниченность:
289

||A(x)||i =
( т Л
и
п
т
1^1
=Е
IЛІ
V j=l 7
/=1
г=1
1
7=1
n in	n in
1=1 7=1 J
1=1 7=1
n	m	n
SS“W'Zk;|=S
max
\<j<m
a-
4
7=1	1=1
Таким образом, оператор A - ограничен. Разделим полученное неравен¬
ство на ||х|| и возьмем точную верхнюю грань по всем х^О. Тогда получим,
И*>1
что sup
хфО \\х\
І1
< V max
ti Kj-m
aa
, откуда ||А|| < У max аи . С другой стороны,
1< j<m 3
і=1
||А(х)||	||А(х0)||
= sup .. .. 1 >
I
i=1
Iv;
7=1
(0)
хФО X
V0||i
in
III
7=1
. Возьмем x0 = (0,0,...,signa.fc,0,...,0), при
(0)
k = \,m тогда У|<^/0) =1,	= aiksignaik = \aik\. Таким образом, при лю-
7=1	7=1
бом к = 1,т |а|>У|%|, значит, поскольку к - любое, то, переобозначив к че-
і=1
rt	ft
рез j, получаем, что ||а|| > у max a{j . Таким образом, ||а|| = у max
і=1
1< j<m
ы '-'-т
CL
Осталось показать, что для всякого линейного ограниченного оператора
/	\п
i т	'
А е L(R“,M") найдется матрица (<х) е М, такая, что А(х) = УѴ/.
\	7=1	J J
для всех
V н	Ji=i
х =	,£m)eR“. Поскольку і =	а вектора е* =(0,...,0,1,0,...,0) при
к = 1,т образуют базис в Ж 7, то х = %хех + %гег +... + £,тет. Тогда:
А(х) = ^А(^) + £2А(е2) +... + <;тА{ет) = ( А^) А(е2) ••• А(еж))
#2
\^>т J
Поскольку А:М7 —>М”, то при к = \,т каждый элемент А{ек) - это век¬
тор-столбец, состоящий из п элементов, всего таких столбцов т штук. Таким
образом, нашли матрицу (А(ех) А(е2) ••• А(ет)) размера пхт, состоящую
из действительных чисел, которая задает оператор А.
3.	Пусть р> 1 фиксировано. При каких деі функционал fa(х) = [—
J fa
0 1
принадлежит Lp ■[0.1]?
290

схо-
Решение: по теореме об общем виде функционала на Lp имеем, что
L * [0,1І = L [0,1І, где — + - = 1. При этом fa e L * [0,1] тогда и только тогда, ко-
q	р q
1	г 1
гда — e L [0,1І, т.е., когда сходится интеграл —dt. Указанный интеграл
,сс	q L J7	J	+&Я
I	0 1
дится, если aq < 1. Знак = используется здесь и далее для обозначения изомет-
ричного изоморфизма.
4.	Доказать, что с* =1г.
Решение:	рассмотрим в пространстве с векторы е0 = (1,1,1,...) и
ек = (0,0,...,1,0,0,...) при к = 1,2,3,.... Пусть х = (^2,...)ес, 4 = !іт4 (этот
к	со
предел существует по определению пространства с). Рассмотрим вектора
п	f	Jl	^
хп = (&,%2^	)ес и заметим, что xw = ^4^+#0 е0-^ек •
к=\	V	к= 1 У
Пусть <р(=с , тогда, поскольку это линейный ограниченный функционал,
п	(	п	Л	п	У п	^
то <р(хп) = ^1<р(ек) + ^	• Рассмот-
к=1	V	к=1	у	&=1	V	&=1	У
рим вектор х0 = (signtjvsignrj2,...,signц,0,0,...) e с (здесь i e N - произвольный
фиксированный номер). Тогда ||х0|| =sup ^.(0) =1, <f0(0) = lim^(0) = 0 и значит,
11 "с , I I	к—»со
I
<р(х0) = ^Ы. С другой стороны, |<р(х0)|<||<^|| Jx0|| = ||(Z>|| и, таким образом,
к= 1
і
^|/7Л|< 1^1. Поскольку і - произвольный номер, то при і—>оо получаем, что
к=1
00
ЕЫФІ<+со’т-е- (%)Г=іе/і-
Далее, ||хп -х|| =sup{|^0-^п+1|,|^0-^п+2|,...} -> 0, поскольку |£0-#и| -> 0,
С-	V	J м V-/-,	м	ѵ~-1
*=1
И—>со
И-> оо
откуда хи—»х. В силу непрерывности функционала $>(хп) —»(Z?(x), но, с другой
ОО	У	ОО	Л	оо
стороны, Р(хп)->2^77*+£0 Щ-^JIk • Заметим, что ряд ^4% сходится
fe=l	V	к= 1 У
Л=1
абсолютно в силу неравенств ^	| < sup\^к \ • ^\рк \ = ||х||с • ^\рк \ < +°°.
к=1
*=1
к=1
Таким образом, <р(х) = <^07/0 +	, где <^0 = lim^, %= const. Вторую
&=1
часть утверждения предлагается доказать самостоятельно (см. задачу 12).
Заметим, что рассуждения проводились для случая, когда функционал
действует в действительном пространстве. В случае комплексного простран-
291

ства те же рассуждения проходят с очевидными изменениями при выборе век¬
тора х0.
Задачи для самостоятельного решения
1. В условиях примера 1 найти общий вид линейного непрерывного функ¬
ционала в R” при р = 1 и вычислить его норму.
п
Указание: <р(х) = ^4кПк, где * = (&,.У = (Лѵ-’Лп)'
)Я
хсс *
к=1
2. В условиях примера 1 найти общий вид линейного непрерывного функ¬
ционала в
при р = +со и вычислить его норму.
п
Указание: ср(х) = ^4%, где х =	e R", у = (лѵ...,т]п)еЩ.
k=i
3.	В условиях примера 1 найти общий вид и вычислить норму линейного
оператора А: R™ —» R".
f ш \
Iy
и
in
г?ІІ4
max
1<!<Л
Указание: для всех х = (£p...,£m) e R“ А(х) =
Ѵн	Ji=i	J=l
4. В условиях примера 1 найти общий вид и вычислить норму линейного
оператора А: R™ —» R" .
Указание: для всех х =	e R™ А(х)
\п
ІЯ<Д, и Nl=“g,x
V і '	/;=1	1<j<m
а
У
5.	В условиях примера 1 найти общий вид и вычислить норму линейного
оператора А: R™ —» R",
Указание: для всех х =	£m) e А(х) =
І"Х
V ;='
Y
п к
U
J і=1
Ilk •
i=1 j=l
6.	Пользуясь теоремой об интегральных функционалах на L посчитать
норму функционала из примера 3.
со р
7.	Пусть р> 1 фиксировано. При каких or e R функционал fa (х) = V —
*=і ка
принадлежит I* для всех х =	е Ір? Найти его норму (использовать тео¬
рему об общем виде функционала на I ).
8.	Пусть в пространстве R” для всех х =	£л) e Rra ||х|| = sup|^|. Дока-
1 <к<п
И
зать, что в сопряженном пространстве ||/|| = ^|/*|, где / =	e R".
Указание: (R^) =R".
k=\
292

9.	Пусть в пространстве М" для всех =	IHhZfcl- Д°ка-
к=1
зать, что в сопряженном пространстве ||/|| = sup\fk\, где / = (/р.е .
1<&<п
Указание: (М") = К".
10.	Завершить доказательство теоремы об общем виде функционалов на
пространстве / .
11.	Определим в пространстве С [-1,1] линейный непрерывный функцио¬
нал S(x) = х(0). Существует ли такая функция g(t) е С[-1,1], что \/x(t)e с[- и]
i
S(x) = I x(t)g(t)dt ?
-i
Указание: рассмотреть функцию x(t) = t2g(t). Воспользоваться теоремой
о функциях с нулевым интегралом.
оо
12.	Доказать, что V(//j;=1 е/х ср{х) =	е с*, где * = (£,£,
k=1
4==const’и при этом IML*=Ы+Zfcl •
_>о°	*=і
Указание: при получении оценки снизу зафиксировать номер теЩ, взятъ
Xq = (sign 7/j, sign 772,, sign , sign , sign t/q, sign770,...) и перейти к пределу при
т—>оо.
В задачах 13-22 для вычисления норм функционалов использовать соот¬
ветствующие теоремы текущего пункта.
13.	Найти норму в пространстве
14.	Найти норму в пространстве
15.	Найти норму в пространстве
00 1 £
k функционала fix) = V —^—
Ык2 + \0'
i
1ъ [ОД] функционала f(x) = Jx(t)sintdt.
о
оо	/	1	>
/| функционала f(x) = 2>in -ГГ 4-
k=1	\yk J
16. Найти норму функционала
Мол]
/f.tl = J.rff isign (pff
в пространстве
4
17.	Найти норму функционала f(x) = V
ttjk(k + l)
°о /	2 л
18.	Найти норму функционала f(x) = ^ 1 — ^
к=1
в пространстве /2.
в пространстве /,.
293

1
2
19.	Найти норму функционала /(х) = jx(t)dt в пространстве Lz [0,l].
20.	Найти норму функционала /: L, [ОД] R, если /(х) = \t3x(t)dt.
о
00 Е
21.	Найти норму функционала /(х) = I —§■ в пространствах с и с0.
tr
22.	Найти норму функционала / (х) = Иш^. - в пространстве с.
^ Л:
00
23.	Найти норму функционала /(х) = в пространстве /j.
&=і
24.	Найти норму функционала / (х) = ^ в пространстве /j.
со
25.	Найти норму функционала /(х) = I — в пространстве /2 •
к=1 к
1
26.	Найти норму функционала /(х) = | tx(t)dt в пространстве 1^ [—1,1].
-i
27.	Найти норму функционала /Оо = ИтЫ/)мп*п/Л в пространстве
п—»coJ
4 [-1.1].
28.	Найти норму функционала /(*)=]*(,)* в пространстве і,[-1,і],
ее(0,1].
29.	Наши норму функционала /(д ) = V_2у_ в пространстве .
к=2 к ІО к
30.	Найти норму функционала Дд )= >	в пространстве Lj-l.l],
£е(0Д].
294

2.3. Продолжение линейных функционалов
Теорема (о продолжении линейного ограниченного функционала на
большее множество): пусть X - действительное линейное нормированное
пространство, Х0 cz X - линейное многообразие, <р0: Х0 —» R - линейный огра¬
ниченный функционал. Тогда этот функционал может быть продолжен на
большее линейное многообразие без увеличения нормы, т.е. ЗХх эХ0, Хх ф Х(),
>М - линейный ограниченный функционал, такой, что Ѵхе!0
(р,{х) = %{х) и |k||<|k|-
Доказательство: пусть Х0 - данное многообразие. Возьмем любой век¬
тор е £ Х0. Через Хх обозначим линейную оболочку многообразия Х0 и векто¬
ра е, т.е. множество векторов вида Хг = {х0 + Хе: х0 е Х0,Л е Ж}. Покажем, что
каждый элемент Хх действительно однозначно представим в виде х0 + Ле. До¬
пустим, это не так, т.е. имеется два представления х01 + Лхе и х02 + Л,е одного и
того же элемента из Хх. Тогда ясно, что х0' + Лхе = х02 + Л^е. Если Л1=Л2, то
х0‘ = л02, т.е. представление в таком виде единственно. Пусть Л1фЛ2, тогда
Х2-^1	1	2
е = —	—. Это равенство невозможно, поскольку х0 ,х0 е Х0, а е <£ Х0.
Л -
Определим функционал (рх следующим образом: срх(е) = с и Ѵх0 е Х0
(Р\ (х0) = <д0(х0), а Ѵх g Х{ щ (х) = (рх (х0 + Ле) = <р0(х0) + Лс. Ясно, что функционал
срх линеен, и на исходном множестве Х{) совпадает с <д0. Осталось проверить,
что его норма не увеличилась, т.е., что Ц^Ц < |kl|-
Поскольку 1^1 = sup
хеХх
х^О
, то надо проверить, что
\<Ру{х) I
sup1 1
xsXi X
хфО
фоі Для
этого достаточно показать, что
VxeXj, хфО <|kI или h(^)| - IkII‘И’
т.е., что |^0(х0) + М - |кI' ||х0 + ЛеЦ, т.е., что \Л\
%
С г Л
ло
\Л j
<
W-IKII
х0
— + е
Л
Обозначим — = -у и получим, что надо доказать, что |с-%(у)|<||^0||-||е-у||,
Л
или, что (р0(у) -\\<р0\\ ■ \\е - уI < с < (р0(у) +|М|• \\е- у\\ ■
Итак, нужно найти такое с, чтобы Ѵу е Х0 выполнялось последнее нера¬
венство. В силу аксиомы полноты, достаточно проверить, что Ѵуру2еХ0
Ро (Уі) - Ml • Iе -Уі\\^ % W + Ml' IIе “ У2І или % (>’i)- % Ы ^ Ml • \\e - Уі| + Ml • IIе -У2І
а это очевидно, поскольку
kU)-%W=k(yi-y2)klkl-lbi"^lklkI-lk-3'ill+lklMk-3'2ll-
Теорема доказана.
295

Теорема Хана-Банаха (о продолжении линейных ограниченных функ¬
ционалов): пусть X - действительное линейное нормированное пространство,
І0сІ - линейное многообразие, <р0: Х0 —»R - линейный ограниченный
функционал. Тогда этот функционал можно продолжить на все пространство с
сохранением нормы, т.е. Зср:Х —»М - линейный ограниченный функционал,
такой, что Ѵх е Х0 (р(х) = %(х) и ||<д|| = ||<д0||.
Доказательство: обозначим через Е - множество всех продолжений
функционала <д0 без увеличения нормы, т.е. множество пар вида (у/Д), где L -
линейное многообразие, содержащее Х0,ау/ - продолжение функционала (р0 с
Х0 на L, т.е. у/\ L—и Ѵхе Х0 у/(х) = <р0(х).
Введем на этом множестве отношение частичного порядка (см. дополне¬
ние к разделу 2 части I), а именно, будем считать, что (рг<(р2, если ср2 - про¬
должение (рх. Покажем, что в таком множестве Е всякая цепь имеет мажоран¬
ту, т.е. выполнено условие леммы Цорна.
Пусть {(ра} - множество функционалов, являющееся цепью, т.е., для лю¬
бых двух функционалов один является продолжением другого. Надо найти ма¬
жоранту, т.е., функционал <р, который является продолжением их всех.
В качестве области определения нужного функционала (р возьмем объ¬
единение областей определений всех функционалов (ра и для всех х из этого
объединения определим <р{х) = (ра (х), где (ра - тот функционал, в область опре¬
деления которого попал этот х. Поскольку все (ра линейны и ограничены, то (р
тоже линеен и ограничен. Покажем, что ||<р|| Фо||- Поскольку все (ра - это про¬
должения <д0 без увеличения нормы, то \(ра\ ^ |#>0| •
ким образом, убедились, что всякая цепь имеет мажоранту, поэтому во всем
нашем построенном частично упорядоченном множестве Е есть хотя бы один
максимальный элемент, т.е. есть функционал (р, который дальше продолжить
уже нельзя. В силу теоремы о продолжении линейного ограниченного функци¬
онала на большее множество, если функционал определен не на всем простран¬
стве, то его продолжить можно. Таким образом, найденный функционал (р
определен на всем пространстве. Норма его не увеличилась по сравнению с
нормой исходного. С другой стороны, поскольку функционал (р является про¬
должением функционала % на все пространство, то ясно, что ||<д|| ФоІІ (sup по
большему множеству больше или равен sup по меньшему). Окончательно по¬
лучаем, ЧТО 1^1 = ||^о|.
Теорема доказана.
Замечание: теорема Хана-Банаха справедлива и в комплексном простран¬
стве (см. [10], а также дополнение к разделу). Следствия из нее докажем уже
для комплексных пространств.
Тогда |^(х)| = |^(х)|<||^||-||х||<||%||-||х||, откуда
296

Теорема (о вычислении нормы вектора с помощью функционала): пусть
X - линейное нормированное пространство, хеХ , х^О. Тогда З^уеХ* та¬
кой, что ||<р|| = 1 и (р{х) = ||х||.
Доказательство: берем вектор х и через Х0 обозначим одномерное про¬
странство, образованное этим вектором, т.е. Х0 = {Лх: Л е С}. Определим на
этом пространстве функционал #>0:Х0—»С такой, что (р0(Лх) = Л\\х\. Линей¬
ность этого функционала проверяется элементарно. Сосчитаем его норму:
I = supl^l = supl^l = sup№l
уф О
ysX0
хФО
-„„г	= 1. По теореме Хана-Банаха д>0 мож-
|Ях|| хфО \Я\-\\х\\
но продолжить на все пространство, т.е. 3(р - линейный ограниченный функ¬
ционал, определенный на всем пространстве, который на векторах вида Лх
совпадает с <р0 и норма которого не изменилась, т.е. ||^|| = 1. Кроме того,
<р(х) = <р{ 1 • х) = <д0(1 • х) = 1 • ||х|| = ||х||.
Теорема доказана.
Теорема (о вычислении расстояния с помощью функционала): пусть X -
линейное нормированное пространство, LczX - линейное многообразие,
x0eX\L и пусть d>0 - расстояние от х0 до L. Тогда 3(реХ* такой, что
J_
d
Доказательство: рассмотрим линейную оболочку {L,x0}. Ясно, что лю¬
бой ее элемент однозначно представляется в виде u = x + tx0, где xeL, 7еС
(см. доказательство теоремы о продолжении линейного ограниченного функци¬
онала на большее множество). Построим линейный функционал (р0 так, что,
при u = x + tx0 <pQ(u) = t. Ясно, что VxeL <р0(х) = О и (pQ(xQ) = 1 (поскольку
И-УІ л-У \\и\\ УІ
Ѵх g L <р(х) = 0; <д(х0) = 1;
х0 =0 + 1-х0). Далее, \(р0{и)\ = \t\ =
\\и\
х + tx,
о
X
f х)
1
+
о*
х0-
к *)
Напомним, что под расстоянием от точки х0 до множества L понимается
величина d = inf ||х0 - х||. Таким образом, VxgL d<||x0
xe L
а, поскольку
X
— e L, то d <
Xq —
X^
t;
\U\\
откуда |<7?0(м)| < —. Итак,
d
0,1 = sup
иФ 0
\<Рр (м)|
УІ
<1
d
По свойству точной нижней грани, известному из математического анали¬
за, 3{xn}cL: lim||x0 -xn|| = d. Так как |^0(х0 -х„)|<\<pQ
х0 - хп , то, переходя к
пределу при п—»оо, получим, что Пт\(р()(х0 -хп)| <||<р0\-d . С другой стороны,
поскольку x„eL, то <р0(хп) = 0, откуда |р0(х0 -xn)| = |^0(x0)-^0(xn)| = |l-0| = l.
1	1
—. Таким образом, У0|| = —.
d	d
297
Таким образом, 1 <	• d , откуда hh . Таким образом,

По теореме Хана-Банаха, функционал (р{) можно продолжить на все про¬
странство с сохранением нормы и получить требуемый функционал (р.
Теорема доказана.
Примеры решения задач
1.	Пусть хѵ...,хп - линейно независимые элементы линейного нормиро¬
ванного пространства X , сѵ...,сп - некоторые действительные числа. Доказать
существование функционала /еі* такого, что f(xk) = ск (к = 1,2
Решение: покажем, что существуют такие линейные ограниченные функ-
Г 1, к = т,
ционалы /Р...,/и, определенные всюду на X , что Д(хт) = \	. Рассмот-
[0 ,кФт
рим вектор х, и обозначим через Д линейную оболочку векторов х2,х3,...,хп.
Поскольку Д конечномерно, то оно замкнуто.
Покажем, что р(х1,Іл) = inf lljq - у||>0. От противного: допустим, что
уеЦ
р(ХрД) = infl^ - у I = 0. Это означает, что x1gL1 (иначе, как известно из п. 2.5
раздела 2 части I, выполнялось бы неравенство p(x1,Ll) >0) и Зу e Д (возмож¬
но, не единственный), такой, что р(х1,Іл) =	- у|| = 0, откуда х, = у. Посколь¬
ку у е Д, то у = а2х2 + а3х3+... + апхп, поэтому х1 =а2х2 + <дх3 +... + апхп, а это
противоречит линейной независимости элементов хр...,хи. Итак, р(х1,Іл)>0.
Далее, по теореме о вычислении расстояния с помощью функционала, Ej/j e X*
такой, что /1(х1) = 1 и Ѵу е Д /j (у) = 0, и, в частности, j\ (хк) = 0 при
к = 2,3,...,п (поскольку все xk е Д при к = 2,3,...,п). Аналогично, возьмем эле¬
мент х2 и найдем функционал Д e X* такой, что /2(х2) = 1 и /2 (хк) = 0 при
к = 1,3,4,—,п. И т.д. Рассмотрим функционал f = clfl+c2f2+... + cnfn, опреде¬
ленный всюду на X . Этот функционал линеен и ограничен, как линейная ком¬
бинация линейных и ограниченных функционалов, и при этом:
f(xk) = cJ1(xk) + cJ2(xk)+... + ckfk(xk)+... + cJn(xk) = ck.
2.	Пусть {xra| - последовательность элементов линейного нормированного
пространства X, {сга} - последовательность действительных чисел, М - поло¬
жительное число. Доказать, что для существования функционала / e X*, удо¬
влетворяющего условиям f(xn) = cn (и e N ) и ||/||<М необходимо и достаточ¬
но, чтобы для всякого neN и любых действительных чисел	выпол¬
нялось неравенство
к=1
<м
Решение: необходимость предлагается доказать самостоятельно (см. зада-
чу 4).
298

Достаточность: пусть выполняется условие ^Якск < «Еѵ, и L —
к=1	к=1
множество линейных комбинаций вида '^ІЯкхк (п и Ак произвольны). Для лю-
к=1
п	п
бого х = ^Якхк eL рассмотрим функционал /0(х) = ^Якск . Линейность этого
к=1
функционала очевидна.
Проверим его ограниченность: |/0(х)| =
к=1
£=1
<м
І4
'кХк
к=1
= МІЫІ, т.е. /0
ограничен и, кроме того, /0 <М. Покажем, что значение /0(х) определяется
элементом * однозначно. Для этого предположим, что есть два представления
*
п	и
= ХДЛ=2Х V ТогДа
к=\
к=1
£=1	А'=1
п
<м
и	II
^j\Xk~^j\ Хк
к=1
£=1
= 0, откуда
^Акск =^А’ск ■ Но тогда хк = ^Аіхі, где все Л- равны нулю, кроме Як = 1,
£=1	£=1	І=1
поэтому /о (хк ) = Ск.
По теореме Хана-Банаха /0 может быть продолжен на все пространство
X до функционала /, причем ||/|| = ||/0|| <М и /(xfc) = fQ(xk) = ck Ѵн e N.
3.	Пусть X - линейное нормированное пространство, хе X . Доказать, что
||х|| = sup |/(х)|.
/^МІ/ІН
Решение: обозначим с= sup |/(х)|. По свойству линейного ограничен-
/еХ*'|/ІН
ного функционала Ѵх e X V/ e X* |/(х)| < ||/|| • ||х||. Возьмем в этом неравенстве
точную верхнюю грань по всем /еХ* таким, что ||/|| = 1:	sup |/(х)| < llxll,
/ехМ/н
откуда с < ||х||. С другой стороны, поскольку с = sup |/(х)|, то V/ e X* тако-
го, что ||/|| = 1 с>|/(х)|. По теореме о вычислении нормы вектора с помощью
функционала, для вектора хеХ найдется функционал /еХ* такой, что
||/|| = 1 и /(х) = ||х||. Этот функционал и подставим в неравенство е>|/М| , то¬
гда получим, что с > ||х||. Окончательно, получаем, что ||х|| = с.
4.	Доказать, что линейное многообразие L всюду плотно в нормирован¬
ном пространстве X тогда и только тогда, когда всякий линейный функционал
/еХ*, равный нулю на L, обращается в нуль тождественно.
Решение: пусть всякий линейный функционал / е X*, равный нулю на L,
обращается в нуль тождественно, однако, L не всюду плотно в X , т.е. Ьф X .
Тогда ѴхеХ и x^L p(x,L) = inf||х-м|>0. Зафиксируем х0еХ х0£Ь. По
V / ueL
299

теореме о вычислении расстояния с помощью функционала 3/ е X*: VxeL
/(х) = 0 и /(х0) = 1, т.е. f ф 0. Таким образом, /(х) = 0 на L, но в то же время
/ не равен нулю тождественно. Противоречие.
Обратно: пусть L = X . Тогда по определению всюду плотности Vx e X
3{x„}cL: хп —»х при п-^со. Возьмем произвольный функционал f e X*, об¬
ращающийся в нуль на L. Поскольку / непрерывен, то /(хи)-»/(х) при
ц —>со, а раз /(хга) = 0, то и /(х) = 0. Поскольку х выбирался произвольно, то
/= о.
5.	Пусть X - линейное нормированное пространство. Доказать, что если
пространство X* сепарабельно, то и X сепарабельно. Верно ли обратное
утверждение?
Решение: пусть X* сепарабельно, т.е., по определению, в нем есть счетное
всюду плотное множество М =	• По определению нормы функционала
ІІЛІІ = sup|/Дх)|. Из определения точной верхней грани следует, что для ек = 1!—^
ИИ	2
существует элемент хк e X такой, что ||xj = 1 и \ fk (хк )| > |/А. || - £к	Такой
элемент хк найдем для каждого функционала fk. Поскольку множество fk
счетно, то и множество хк - также счетно.
Множество линейных комбинаций элементов хк с рациональными коэф¬
фициентами тоже счетно. Обозначим его через L, т.е. L - линейное многооб¬
разие. Осталось показать, что L - всюду плотно в X , т.е., что L = X .
Допустим, что ЬфХ . Тогда по теореме о вычислении расстояния с помо¬
щью функционала 3/ e X*: Vx e L /(х) = 0, а для у e X , у £ L /(у) = 1. Таким
образом, / ф 0. Поскольку Vx e L /(х) = 0, то У к e N f(xk) = 0. Поскольку М
всюду плотно в X*, то для функционала / Ѵ£ > 0 3ft e М : ||/ - ft || < s.
Далее, имеем |(/-/;)(хг.)| = |/(хг.)-/;.(хг.)| = |/;.(хг.)|>^, откуда получаем,
что ||/ -fi\\ = sup|(/ - ft)(x)\ > |(/ - /;.)(хг.)| > И , откуда ||//||<2||/-у;.||<2е.
||*|=і	I
Значит, \\f\\ = \\f-fi+fi\\<\\f-fi\\ + \\fi\\<£ + 2£ = 3s. Поскольку £>0 произ¬
вольно, то ||/|| = 0, откуда / = 0. Противоречие.
Обратное утверждение неверно, поскольку /,* = /да, пространство Іх - сепа¬
рабельно, а сопряженное к нему пространство не сепарабельно.
6.	Рассмотрим в £і[0,і] одномерное подпространство Ь =	и
определим на L функционал /(х) = Я, если х(/) = Я/. Найти его продолжение
на все пространство без увеличения нормы.
300

Решение: пусть ^[О, l] —> № - искомое продолжение функционала
/ :L->R, т.е. ѴхД) = At <р(х) = /(х) = Л и \\<р\\<||/||.
|/(у)| и __И _ i _ i
Поскольку
sup-
yeL
уф О
= sup
ІФО \ш\\	|Я| ■ 11^1	I/|	Г
= 2, то функцио-
^\t\dt
нал ср будем искать так, чтобы |^>| < 2. По теореме об общем виде линейного
ограниченного функционала в пространстве LjCU] V^eL/ 3g(OeLjO,l]:
1
Vx(7)g[0,1] <p(x) = jx(t)g(t)dt и ||<д|| = ||g||L < 2. При этом при x(t) = At получаем,
что g?(x) = A^tg(t)dt = f(x) = A, откуда \tg(t)dt = 1. Т.к. ||g|| = esssup|g(0|<2,
о	о	И0-1!
1
то выберем g(t) = 2. При таком выборе действительно jtg(t)dt = 1, поэтому,
о
1
окончательно, q>{x) = 2j x{t)dt. Ясно, что построенный функционал линеен, огра-
0
ничен и определен на всем пространстве А [ОД].
Заметим, что продолжение функционала может быть неединственным.
7.	Пусть g : X —» С - линейный ограниченный функционал. Доказать, что
/?(x0,kerg) = Цг-тр, Tb^kerg.
Решение: вначале покажем, что любой линейный ограниченный функцио-
нал / еХ такой, что VxGkerg /(х) = 0, пропорционален g. Ясно, что
ker g a ker / . Зафиксируем точку х() <£ ker g и рассмотрим произвольную точку
х e X . Подберем число geC так, чтобы у = х — цх{) g ker g. Поскольку
Q ГдЛ
g(y) = 0, то g(x)- jug(x0) = 0, откуда // =	. Таким образом, элемент хg X
8(хо)
представляется в виде х = цх0 + у, ц g С, у g ker g . Легко показать, что это
представление единственно. Поскольку х - /лх0 g ker g с ker /, то fix- juxf) = 0.
Отсюда следует, что f(x)-Juf(x0) = 0, f{x) = vf(xQ) = £^-g{x) = Ag{x).
g(xо)
Докажем исходное утверждение. По теореме о вычислении расстояния с
помощью функционала для .x^^kerg существует функционал / g X* такой,
что Vx g ker g /(х) = 0, /(xq) = 1 и /7(х0, ker g) = тг^-т. В силу доказанного выше
f = Ag, откуда ||/|| = |A|||g||. Поскольку /(х0) = 1 = Ag(x0), то \А\
301

8.	Пусть Н - гильбертово пространство, L - его подпространство, / - ли¬
нейный ограниченный функционал, заданный на L. Доказать, что существует
единственное продолжение / на все пространство Н с сохранением нормы.
Решение: т.к. ісЯ и L замкнуто, то L - гильбертово, следовательно, по
теореме Рисса, существует однозначно определяемый функционалом / эле¬
мент aeL такой, что VxeL f(x) = (x,a) и ||/|| = ||a||. Далее, ѴхеЯ определим
функционал <реН* равенством ср(х) = (х, а). Покажем, что (р является продол¬
жением / на все пространство Н, причем ||^|| = ||/||.
Действительно, при xeL <р(х) = (х,а) = /(х), т.е. f = <р на L, т.е. (р явля-
ется продолжением /. Кроме того, \<р(х)\ = \(х,а)\ < ||х|| • ||а||, значит, ||^|| = sup < \\а\\.
х^О X
^	II II Ых)I \(х,а)\	\(а,а)\	„ „
С другой стороны, при х = а находим Ц^уЦ = sup1	- sup1	' >1	- \\а\\,
значит, 1^1 = ||а|| = ||/|| и норма при продолжении не изменилась. Осталось пока¬
зать единственность данного продолжения, т.е., что любое другое продолжение
имеет норму, большую, чем ||/||.
Пусть у/ - другое продолжение / на все пространство, тогда по теореме
Рисса ЗагеН: Ѵх е Н у/(х) = (х,ах) и при этом ||^|| = Ц^Ц. При хе L имеем, что
і//(х) - (х,а{) = f(x) - (х,а) - (р(х), т.е. (х,^) = (х,а), откуда (х,а1-а) = 0, зна¬
чит, поскольку х e L, то ах - а e L1, а, поскольку aeL, то по теореме Пифаго¬
ра IKf =|К — a + af = \\аі ~af +|Н|2- Отсюда следует, что |Hf =IK ~at + ІИГ’ те>
что \\y/f > ||/||2, т.е. 1^1 > ||/||, причем знак равенства при ах Ф а не имеет места.
Задачи для самостоятельного решения
1.	Пусть X - линейное нормированное пространство, х,уеХ, х ф у. До¬
казать, что существует функционал <реХ* такой, что (р{х) ф (р{у).
2.	Доказать, что в любом линейном нормированном пространстве суще¬
ствует линейный ограниченный функционал, не равный тождественно нулю.
3.	Пусть X - линейное нормированное пространство, хе X . Доказать, что
еслиѴ/ЕХ* /(х) = 0, то х = 0.
4.	Пусть {хй} - последовательность элементов линейного нормированного
пространства X, |сй} - последовательность действительных чисел, М> 0. До¬
казать, что если существует функционал f еХ*, удовлетворяющий условиям
/(хй) = сп (п e N) и ||/|| <М то для всякого ne N и любых действительных чи¬
сел , Л^ ,
, Лп выполняется неравенство
к=1
<м
^Лк хк •
к=1
302

n
Указание: учесть, что элемент x = ^Akxk e X и рассмотреть |/(х)|,
к=\
воспользоваться ограниченностью функционала.
5.	Пусть X - линейное нормированное пространство, х0 e X и для любого
f еХ* такого, что ||/|| = 1 выполняется неравенство |/(х0)|<1. Доказать, что
Ыр1-
Указание: предположитъ, что ||х0|| >1 и воспользоваться примером 3.
6.	Пусть М =Jx = (£,e/j	= (И, функционал / на множестве
k=1
М задан формулой /(x) = ^^2Jt_1. Продолжить функционал / на все про-
k=1
странство /, с сохранением нормы.
Указание: показать, что продолжение функционала / может быть
00
найдено в виде (р{х) =	. Использовать теорему об общем виде функциона-
k=1
лов на пространстве /,.
7.	Пусть X - линейное нормированное пространство, / еХ*, АеL(X,X).
Доказать, что ||A|| = sup|/(Ax)|, где верхняя грань берется по множеству
{xeX,feX*: ||х|| = 1, ||/|| = і}.
Указание: воспользоваться тем, что ЦАЦ = sup||Ax|| и примером 3.
ІИИ
8.	Пусть L = |х е Ь2 [ОД]: x(t) = 0 почти всюду на а|, где А - измеримое по
Лебегу множество на [0, і]. Построить линейный непрерывный функционал /
на Ь2 [0,і] , равный нулю на L, и такой, что /(х) = 1 при x(t) = t, t e [од].
Указание: показать, что /(х) = ^|х(ДД^|^	, где р(А)> 0.
9.	Пусть X - линейное нормированное пространство. Доказать, что точка
хг
e X является пределом в X линейных комбинаций вида 'УИ,
kXk
k=1
(ak g Ш,хк g X, n g N) тогда и только тогда, когда всякий линейный функционал
( п
/ e X*, удовлетворяющий условию / Уакхк =0, удовлетворяет также усло-
\к=1	)
вию /(х0) = 0.
Указание: обозначить L = |х: х = ^e^xfc j и воспользоваться примером 4.
10.	Используя пример 5 показать, что £ Іг.
303

11.	В пространстве R2 с элементами x = (g1,g2) на подпространстве
L = {xe R2:2#,-&=0} задан линейный функционал /(х) = ^ . Продолжить
его на все пространство с сохранением нормы. Доказать, что такое продолже¬
ние единственно.
Указание: использовать тот факт, что в Ж2 общий вид линейного непре¬
рывного функционала задается равенством <р(х) =	+ %2tj2.
12.	В пространстве М2 с элементами х = (^1,<^2) на подпространстве
R2:2£-£=0} задан линейный функционал /(х) = d,2. Продолжить
его на все пространство с сохранением нормы. Доказать, что такое продолже¬
ние единственно.
13.	Рассмотрим в пространстве /^[ОД] одномерное подпространство
L = {At: А e Ж} и определим на L функционал f(x) = A, если x{t) = At. Найти
его продолжение на все пространство без увеличения нормы.
14.	Пусть Х=М2 с нормой \\х\\ = 2|<^| + 3|£,|, где х = (£х,£2). На подпро¬
странстве L = {xeX : ^ = 0} задан линейный функционал fix) = -f2. Продол¬
жить его на все пространство с сохранением нормы.
Указание: показать, что общий вид линейного ограниченного функционала
в X -есть (р(х) = 2^1р1+3^2?!2> причем |y|| = max{|^|,|^2|}, y = (jjx,Jj2).
15.	В пространстве Ж2 с элементами х = (£,£,) и нормой ||х|| = шах||£1|,|£2|}
на подпространстве L = |х е Жд : Д, - Д2 = 0 j задан линейный функционал
/(х) = ^+ Ъ%2. Продолжить его на все пространство с сохранением нормы.
Указание: можно воспользоваться геометрической интерпретацией нор¬
мы функционала (см. пример 13 п. 1.1). Нужный функционал найти из уравне¬
ния гиперплоскости (в данном случае - прямой) {хе Ж2 : (р{х) = і|, полученного
из условия касания шара #(0,1/1|/||) этой гиперплоскости, проходящей через
гиперплоскость {xeL:/(х) = і}. Либо можно получитъ общий вид функциона¬
ла аналогично предыдущей задаче.
г\
16.	Найти расстояние в пространстве С[-1,1] от элемента х0(2) = / до ядра
i
функционала /(х) = J t2x{t)dx.
-i
17.	Найти расстояние в пространстве С[-1,1] от элемента х0(/) = t до ядра
i
функционала /(х) = J tx(t)dx.
-i
18.	Доказать, что, если Xq £ ker g и существует элемент наилучшего при¬
ближения
у e ker g , для которого р(х0, ker g)
*
Xq-У
, то у* = х0
g(x о)
g(m)
■ т,
304

где mgkerg, \\т\\ = 1 и g(m) = ||g||.
19.	Доказать, что, если х^ £ ker g и не существует элемента наилучшего
приближения у* e ker g, но существует минимизирующая последовательность
< у * > с ker g такая, что р(х0, ker g) = lim
' '	п—±rr
ft—» 00
хо~Уп
то у =х,
о
gUo)
8(тп)
т
п ’
где
тп £ ker g, \\тп\\ = 1 и g(m„)->||g||.
20.	Найти элемент наилучшего приближения или минимизирующую по¬
следовательность в задачах 16, 17. Если элемента наилучшего приближения не
существует, то обосновать это.
Указание отсутствие элемента наилучшего приближения равносильно
отсутствию элемента те С[-1,1], такого, что ||т|| = 1 и f {т) = \f\. Для дока¬
зательства отсутствия элемента наилучшего приближения в задаче 17, рас¬
суждая от противного, показать, что, если ||т|| = 1 и /(т) = ||/||, то m(t) = 1
для всех t е (0,1) и m(t) = -1 для всех t е (-1,0) и непрерывности в нуле быть не
может.
21.	Доказать, что p(xQ,L) = -—jp-j:—где L = {xe X :g(x) = c}, geX*,
xQ <£ L. Найти формулу элемента наилучшего приближения для этого случая.
Указание: показать, что р(х{), L) = р(х0 - х, ker g) при фиксированном хе L.
22.	Найти расстояние от точки х^ = (1,-2,3,0,0,4) до гиперплоскости
L = |х е Іі : 2Л| +х2- Зх6 = б|, а также элемент наилучшего приближения.
23.	Пусть X - линейное нормированное пространство, М <zX - линейное
многообразие. Доказать, что М1 = |/ e X*:VxeM /(х) = о| - подпростран-
*
ство в X . Доказать также, что, если М <zX - подпространство, то
М = {хеІ:Ѵ/еМі/(і) = о}.
Указание: обозначитъ N = jx e X :Ѵ/ е М1 /(х) = о| и доказать, что
М <zN и Ѵх £ М => х £ N (для этого использовать теорему о вычислении рас¬
стояния с помощью функционала).
24.	В пространстве Ж2 с элементами х = (^Д2) и нормой ||х|| = max
на подпространстве L = {хе12и:^2 = °} задан линейный функционал
/(х) = 2<^. Продолжить его на все пространство с сохранением нормы.
25.	В пространстве М2 с элементами х = (^Д2) и нормой ||х|
на подпространстве L = |х е М2: <^2 = 2^ } задан линейный функционал
/(х) = -6^. Продолжить его на все пространство с сохранением нормы.
305

Указание: показать, что общий вид линейного ограниченного функциона¬
ла - есть (р{х) = 2уі24^ + ^2Л2> причем ||у|| = ^\л§ + \>h{ » У =	■
26. В пространстве М2 с элементами x = (g1,g2)	и нормой
И = тах{|^|,|^-2^2|} на подпространстве L = {хе К2: <f2 = 3£г] задан линейный
функционал f(x) = %2. Продолжить его на все пространство с сохранением
нормы.
Указание: показать, что общий вид линейного ограниченного функциона¬
ла - есть (р{х) = £рх + (£ -2Qr/2, причем ||у|| = |^| + \щ\, у =	.
27.	В	пространстве	К2	с	элементами	х =	и	нормой
|х| = тах{|^|,|^ - 2£,|} на подпространстве L = |х e IR2: <^2 = ^ | задан линейный
функционал /(х) =	. Продолжить его на все пространство с сохранением
нормы.
28.	В	пространстве	М2	с	элементами	х = (^,^2)	и	нормой
И = |Й+?2і + |2Й-4Й| на подпространстве L = |х e R2: Е,2 = 0| задан линейный
функционал /(x) = 9^j. Продолжить его на все пространство с сохранением
нормы.
Указание: показать, что общий вид линейного ограниченного функциона-
ла-естъ ср{х) = (£ +£2>7і +(2£-4£2>72, причем ||у|| = шах{|^|,|^2|}, у = (^,^2).
29.	В	пространстве	М2	с	элементами	х = (^,^2)	и	нормой
||х|| = |^ + 1 +	- 4^21 на подпространстве L = |х е М2: ^ - У;2 = 0| задан ли¬
нейный функционал /(х) = 9<^. Продолжить его на все пространство с сохране¬
нием нормы.
30.	В пространстве М3 со стандартной евклидовой нормой на подпро¬
странстве L = |(х, у, z) е М3: х — у + z = 0| задан линейный функционал /(х) = х.
Продолжить его на все пространство с сохранением нормы.
31.	В пространстве К3 со стандартной евклидовой нормой на подпро¬
странстве L = |(x,y,z)eM3 :х = у = z| задан линейный функционал /(х) = -х.
Продолжить его на все пространство с сохранением нормы.
32.	В пространстве Ш3 со стандартной евклидовой нормой на подпро¬
странстве L = {(x,y,z)eK3 :x + y-2z = 0j задан линейный функционал
/(х) = х - у. Продолжить его на все пространство с сохранением нормы.
33.	В пространстве ^[ОД] на подпространстве многочленов степени не
выше первой задан функционал /(х) = х(1). Найти его продолжение на все про¬
странство с сохранением нормы. Доказать единственность такого продолжения.
Указание: ||/|| = 2. Обратитъ внимание на функцию у(і) = 6t-2.
306

34. В пространствах С[0,3] и ^[0,3] найти расстояние от элемента x0(t) = 2t
до множества М =
^x(t)dt = 1
>.
35. В пространствах С[0,3] и ^[0,3] найти расстояние от элемента x0(t) = 2'
'	2	3	1
х: Itx(t)dt -1tx{t)dt = О
до множества М =
О	2
36.	В пространстве L2[0,1] найти расстояние от элемента x0(t) = t до мно¬
жества М
i i
x(7):J? 3x(t)dt = О
> .
37.	В пространстве С[0,1] найти расстояние от элемента х0(7) = sin/ до
множества М = {x(t): х(0) = х(1)}.
38.	В пространстве С[0,1] найти расстояние от элемента х()(і) = cost до
множества М =
xit): х(0) +1x(t)dt = 2
39. В пространстве Iл
ж ж
Тз"
найти расстояние от элемента j^(/) = r +1
до множества М =
71
3
x{t): I x{t)smtdt>\
7Г
"з
Указание: вначале исследовать на внутренний экстремум (т.е. решить
задачу ||х0 — х|| —>inf без ограничения хеМ и проверить, попадает ли найден¬
ное решение во множество М. Затем рассмотреть задачу на условный экс¬
тремум с условием х е дМ).
( 1
40. В пространстве Іх найти расстояние от элемента х0 (t) =
\п2 J
до
п=1
множества М =
п г 1
X-L—гт^-э
й”+1	2
41. В пространстве с0 найти расстояние от элемента х0 (?) =
(-1)"
оЯ
ѵЗ Л=1
до
множества М =
x:Y^-<fn = i
/—I rill 7П
п=1 z
307

2.4.	Общий вид линейного ограниченного функционала
в пространстве С[а,Ь]
Определение: функция f(x), определенная на отрезке [a,b\, называется
функцией с ограниченным изменением, если 3с>0: для любого разбиения от-
П	П
резка а = х0<х1<х2<...<хп=Ь выполнено
к=1	к=1
Замечание: очевидно, что всякая монотонная функция имеет ограничен-
п
ное изменение, т.к. для нее f(xk )-f(xk_l)\ = \f(b)-f(a)\.
к= 1
Определение: пусть f(x) - функция с ограниченным изменением. Пол¬
ным изменением (полной вариацией) функции f(x) на отрезке [а,Ь] называет-
п
ея точная верхняя грань сумм ^|A/(jc^)|, которая берется по всем разбиениям
к= 1
b	п
отрезка [а,Ь]. Обозначение: Ѵ/(д) = supXIA/(xfe)|-
а	к=i
ъ
Замечание: из определения следует, что У f(x) > \f(b) - f(a)\.
а
b	b
Теорема (свойства полного изменения): 1. Если а - число, то Vaf=\а\Ѵ [.
а	а
2.	Если fug— функции с ограниченным изменением, то / + g также
b	b	b
имеет ограниченное изменение, и, при этом, V(/ + g)<V/ + Vg.
а	а	а
3.	Если а<Ь<с, то Ѵ/ = Ѵ/ + Ѵ/ .
а а b
х
4.	Функция ѵ(х) = V/ монотонно неубывает на отрезке \a,b\.
а
5.	Всякая функция с ограниченным изменением может быть представлена,
как разность двух монотонно неубывающих функций.
Доказательство:	Очевидно из определения полного изменения.
2.	Очевидно из определения полного изменения и свойств точных верхних
граней.
3.	Рассмотрим разбиение отрезка [а,с], в котором точка b является одной
п	Г	п	ь
из точек деления, т.е. хг=Ь, тогда ^|Л/(х*)| = ХІЛ/^)| + X ІЛ/^)|^ ѵ/ +
к= 1	к=1	к=г+1	а
+ V / . Если b не является точкой деления, то добавим ее к этим точкам. Ясно,
ь
что, если Ье(хк_1,хк), то |/(^)-/(л:л_1)|<|/(л:л)-/(Ь)| + |/(Ь)-/(^_1)| . Ос¬
308

тальные слагаемые в сумме ^|A/(xfc)| не изменятся. Тем самым, сумма ^|Af(jc^)|
к=1	к=1
п	Ъ с
при добавлении к разбиению точки b не уменьшается и У^|Л/'(х^)| <Ѵ/ + Ѵ/.
к= 1
а Ъ
с
b	с	п
Ясно, что V/ + V/ - мажоранта для сумм V|A/(xfc)|. Поскольку V/
а	b
к=1
с	b	с
наименьшая из таких мажорант, то V / <Ѵ/ + Ѵ/.
а	а	b
а
С другой стороны, по определению точной верхней грани, Уs > О найдут¬
ся такие разбиения |хг'} и "I отрезков [a,b] и [£,с],что ^|АГ(хг')|> V/- —
и ІИѴ)|> V / - ^. Объединив эти разбиения, получим разбиение отрезка
[а,с], для которого ХІЛ/(**)| = XI(*,• ')| +	")|>V/ + V/ -^.B силу
к	i	j
c	b	c
произвольности s по определению sup заключаем, что V/>V/ + V/ .
a	a	b
x
4.	Следует из свойства 3 и неотрицательности величины V /.
а
5.	Пусть / - функция с ограниченным изменением на отрезке \a,b\,
X
ѵ(х) = Ѵ/, (р = ѵ — f. Тогда f = v-(p и осталось доказать, что (р неубывает.
а
Пусть хх < х2, тогда (р(х2) - (р(хх) = (ѵ(х2) - ѵ^)) - (/(х2) - f(xx))> 0, поскольку
*2
\f(x2) -/аді < V/(x) = v(x2) - уВД (см. свойство 3).
ч
Теорема доказана.
Определение: пусть /(х) и g(x) - ограниченные функции на отрезке
[а,b\. Рассмотрим разбиение а = х0 <хх <х2 <...<хп =Ь на отрезки [%ч,х^] и
выберем по произвольной точке %к е^^х^.]. Интегральной суммой Римана-
П
Стилтьеса называется величина и = X/(^)Ag(xfe).
к=i
Определение: если существует предел lim <j = I, где Л = гхш.(хк-хк_х)
о
b
независимо от выбора {хк} и \^к}, то I = J/(x)dg(x) называется интегралом
а
Римана-Стилтьеса от функции /(х) по функции g(x) на отрезке [а,Ъ].
309

Замечание: пусть g(x) монотонно возрастает, тогда Ag (хк) > 0 и можно
_ П	П
ввести суммы Дарбу-Стилтьеса: S =^MkAg(xk) и S = ^mkAg(xk), где
к=i	к=i
Мк= sup f{x),mk= inf /(х). Их свойства полностью повторяют свойства
[хк-ъхк\	[хк-ьЧ\
обычных сумм Дарбу. Точно также вводятся верхний и нижний интегралы
Дарбу-Стилтьеса / =inf S , / = sup 5 (грани берутся по всем разбиениям отрез¬
ка [n,Z?]). Дословно устанавливается, что интеграл Римана-Стилтьеса существу¬
ет тогда и только тогда, когда функция /(х) ограничена на отрезке [a,b] и
IV
Ііш (/ )А£ (хк) = 0, где 0)k{f) = Mk-mk.
А-> О
к=1
Теорема (об интегрируемости непрерывной функции): пусть функ¬
ция /(х) непрерывна на отрезке [а,Ь], а функция g(x) имеет ограниченное из-
ъ
менение на отрезке \a,b], тогда интеграл I = J/(x)dg(x) существует.
Доказательство: если g(x) монотонно возрастает, то доказательство
полностью копирует аналогичную теорему для интеграла Римана (используя
теорему Кантора о равномерной непрерывности). В общем случае, поскольку
g (х) имеет ограниченное изменение, то ее можно представить в виде разности
двух неубывающих ограниченных функций, т.е. g(x) = g1(x)-g2(x). Тогда
п	п	п
)Ag(xk) — Yjf	(х0	^k)^S2^Xk) ~<Jl~<J2- Поскольку ДЛЯ
k=1	k=1	k= 1
неубывающих функций 3 lim <x и 3 lim cr7, то 3 lim cr.
A-> 0	A^O	A^O
Теорема доказана.
Теорема (об оценке интеграла): пусть /(х) непрерывна на [°Я а g(x)
ъ
<max|/(x)|-Vg(x).
[а,Ь\	а
имеет ограниченное изменение на \a,b], тогда
j/(x)dg(x)
Доказательство:
£/(4)Ag(x*)
k=1
^S|/(^)||A^(^)Nmax|/W|SIA^(^)H
k=i	M	k=i
ь
< max|/(x)| •V g(x). Переходя к пределу при A —»0, получим требуемое.
[ia,b\	а
Теорема доказана.
Теорема (о вычислении интеграла): 1. Пусть /(х) непрерывна на отрезке
\a,b\, g(x) непрерывна на отрезке \a,b] и имеет на нем производную g'(x)
всюду, за исключением, быть может, конечного числа точек. Если g '(х) инте-
310

b	b
грируема по Риману на [a,b], то \f(x)dg(x) = \f{x)g\x)dx, причем справа
а	а
стоит интеграл Римана.
2.	Пусть р{х) = |jjc>q’ о<с<Ъ и /(х) непрерывна в точке с, тогда
ь
\f(x)dp(x-c) = f(c).
а
3.	Пусть /(х) непрерывна на отрезке [п,Ь], g(x) имеет всюду на [a,Z?], за
исключением, быть может, конечного числа точек, производную g '(х), причем
g (х) интегрируема на отрезке [a,b]. Если при этом g(x) имеет разрывы перво-
ь
го рода в точках а = с0 <q <...<ск <...<ст =Ь, то \f(x)dg(x) = f(a)[g(a + 0)-g(d)]
+
+j/(x)g \x)dx + £ f(ck)[g(ct + 0) - g(ct - 0)] + f(b)Ufc) - g(b -0)1.
a	k=1
Доказательство: 1. По формуле Ньютона-Лейбница можно представить
g(x) ввиде g(x) = g(a) + jgXOdt,mrMcr = ]rf(ft)Ag(xk) = £] f^k)g\x)dx.
k=1
xk-\
a
n xk
0	П xk
С другой стороны ^f{x)g\x)dx = J f{x)g\x)dx. Отсюда получаем, что
k=1
Ч-\
a \f(x)g(x)dx-'^ j (f(^k)-f(x))g\x)dx. Ясно, что для xk^<x<xk
a	k=14-1
|/(#*)-/(*)|^<2^(/)> 0ткуда
О
<T~\f{x)g\x)dx
<Ycok{f)] \g\x)\dx. По-
*=i
a	*=1	4-1
скольку по условию g (x) интегрируема на отрезке [a,b], то |g '(т)| < с, откуда
(T-jf(x)g\x)dx
k=1
b
Поскольку существует интеграл Римана J/(x)dx, то при Л—>0 получаем
а
п	Ь
->0, откуда \imcT= \f{x)gXx)dx.
k= 1
а
В более общей форме утверждение пункта 1 предлагается доказать само¬
стоятельно (задача 11).
311

п
2.	(7 = £/(#* )Др(хк - с). Пусть *ІЧ <c<xt, тогда Ap(xt - с) = 1, а при
к=i
кФІ Ap(xk-c) = 0. Таким образом, <т = /(^;). При А-»0 /(£;)^/(с) и по¬
лучаем что и требовалось.
3.	Предлагается доказать самостоятельно (задача 9).
Теорема доказана.
Замечание: пусть f(x) непрерывна на отрезке [a,b\, а g(x) = 0 всюду на
ъ
[a,b], кроме одной точки £ e (а, b). Тогда |/(т)^(т) = 0. Действительно, если
а
0,	то достаточно рассматривать интегральные суммы, в точки деления
которых не входит В силу аддитивности это же будет верно, если g(x) ф 0 в
конечном числа точек интервала (п,Ь). Также известно (см. [5]), что, если
g,(x) = g2(x) на (a,b), всюду, кроме, быть может, счетного числа точек, то
b	b
I	f(x)dg1(x) = I f(x)dg2(x) (см. также свойства интеграла, задача 8).
а	а
Замечание: аналогично определяется интеграл Римана-Стилтьеса, если
g(x) задана на промежутках (a,b\, [a,b), (а,Ь).
Теорема Рисса (об общем виде функционала на пространстве С[щ/?]);
1.	Для любой функции ограниченного изменения g(x) на отрезке [a,b\
b	^
функционал (p{f) = J/(x)dg(x) e (c[a,b]) , и при этом Ц(с[а^* < Vg(x);
а
2.	Ѵ<7? е (с[с/,/?]) существует функция ограниченного изменения g(x) та-
ь	ъ
кая, что g{d) = 0 и Ѵ/(х) е C[a,b] cp(f) = J f(x)dg(x), причем ||^||(c[afc])* =Vg(x).
а
b
Доказательство: 1. Пусть \/f(x)eC[a,b] <p(f) = jf(x)dg(x). Линейность
этого функционала очевидна из свойств линейности интеграла Стилтьеса. Про¬
верим ограниченность: |^(/)| =
< max |/(х)| • vg(x) = v g(x) ■
хцару	a	a
— C'
\f(x)dg(x)
a
(воспользовались теоремой об оценке интеграла Стилтьеса). При f ф 0 поде¬
лим полученное неравенство на
Ия!» (\
■ 1		 <\g{x), а, поскольку это неравен¬
ство справедливо при всех / ф 0, то sup-^др < Vg(x), откуда
f* о
<Vg(x).
2.	Ясно, что С[п,£] - это подпространство пространства всех ограничен-
312

ных функций с нормой ||/||= sup |/(х)|. По теореме Хана-Банаха продолжим
xe[a,fc]
(р на это пространство с сохранением нормы и получим функционал Ф. В
f 1, а < х < т
частности, Ф определен на семействе функций hJx) = 0, пЛх) = <
[О ,т<х<Ь
Возьмем g(г) = Ф(/гг) и покажем, что g - функция с ограниченным изменени¬
ем на отрезке [а,Ь].
Рассмотрим произвольное разбиение а = х0<х1<х2<...<хп=Ь и обозна¬
чим ак = sign(g(xk)~ g(xк_1)), к = 1,2. Тогда
ап	п	п
m-
к=1
= Ф
к=1
к=1
к=1
^ п ^
г п , .N
и , .
'Yjak(flxk ~ )
V к =1 J
<
Ф
'Yjakylxk ~ Ккл )
U=i у
Ф\
^1ак \Кк ~ \к_х )
к= 1
/У	П
поскольку ^оск \hXk - hXk j) =1 (сумма	[hXk - hXk j) принимает только
к= 1	к=1
значения 0,1, или -1).
Поскольку разбиение отрезка было произвольным, то заключаем, что
ъ
Vg(x) < ||ф|| = ||^||^а	, следовательно, g - функция с ограниченным измене¬
нием на отрезке \а,Ь].
Далее, пусть f{x) - произвольная непрерывная на отрезке [a,b\ функция.
Тогда она равномерно непрерывна, т.е. VoO 3S>0: Vx',x"e[a,f>] \х’-х'\ <S
\f(x')-f(x")\ < б . Пусть разбиение отрезка таково, что длина каждой его части
меньше 8. Составим ступенчатую функцию f£(x) = f(xk) при хк_1<х<хк,
к = 1,2,...,п, fe(a) = f{a). Тогда по построению \/хе[щЬ] \f(x)-fe(x)\<s, от¬
куда \\f-fe\\<s. Кроме того, ясно, что fs(x) = YJf(xk)(hXk(x)-hXk_1(x))- От-
f
сюда Ф(/ (х)) = Ф
к=1
п
Y,f(xk){hxk о) - hxk_Sx)) =	(*) -	=
U=1	) к= 1
= ^/(xfe)(g(xfe)- g(xfc_i)). Получили интегральную сумму Римана-Стилтьеса.
к=1
и	о
Поскольку интеграл J/(x)dg(x) существует, то Ф(/Дх))	J/(x)dg(x), т.е.
при любом достаточно мелком разбиении
о
Ф(/г (-*))- J/(x)dg(x)
< Б.
313

С другой стороны, |Ф(Я - Ф(Л)| = |ф(/ - Л)| ^ ||Ф||||/ - ЛІІ < еЩ, откуда
о
®(/)-J/(Jt)dg(jr)
<|ф(/)-Ф(/„)| +
О
Ф(/Д - { f(x)dg(x) < гг(||ф|| +1). Посколь-
ь
ку £ - произвольно, то Ф(f) = jf(x)dg(x). Наконец, т.к. / непрерывна, то
Ф (/) = <?(/)•
Теорема доказана.
Замечание: поскольку функция g(x) представляется в виде разности мо¬
нотонных функций, то она может иметь на интервале (а,Ь) конечное или счет¬
ное число точек разрыва первого рода. При этом если заменить функцию g (х)
функцией g(x), отличающейся от g(x) только значениями в точках разрыва, то
b	Ь
\f(x)dg(x) = \f(x)dg(x). Пусть £e(a,b) - точка разрыва функции g(x), а
а	а
g(x)
g(x),x*£
g(? + 0),x = <f
. Тогда очевидно, что оценка
ь
|(СМ)^Ѵ^(Х) остается в
ъ	ъ
силе. При этом Vg(x)<Vg(x), и равенство возможно только если значение
а	а
g(4) лежало между значениями g(%- 0) и g(<^ + 0) (включительно). В осталь¬
ных
О
случаях неравенство строгое. Тем самым, верна и оценка V g(x) < ІЫІ,
а	1
откуда	= Vg(x). Таким образом, можно считать, что функция g(x) из¬
начально непрерывна справа во всех точках интервала (а,/?).
Замечание: ясно, что, если ^(а) = g2(a), g\{b) = g2{b) и g1(x) = g2U)
всюду на (а,Ь), за исключением счетного числа точек, то они определяют один
b	b
i i.x) = \f(x)dg2(x) для любой
а	а
и тот же функционал ср. Обратно: если \ f(x)dg
непрерывной функции /(х), то можно показать, что g] (х) - g2(x) = const в точ¬
ках непрерывности функции g1(x)-g2(x) (т.е. всюду, кроме, счетного числа
точек, см. по этому поводу [5]). Таким образом, каждому линейному ограни¬
ченному функционалу в С[а,Ь] соответствует класс функций с ограниченным
изменением на отрезке \a,b\. Две функции попадают в один и тот же класс то¬
гда и только тогда, когда их разность постоянна всюду, кроме, быть может,
счетного числа точек интервала (а,Ь). В каждом классе есть ровно одна функ¬
ция со свойством g{d) = 0, непрерывная справа всюду на (а,Ь). Ее и будем ис¬
пользовать для вычисления нормы функционала.
314

Примеры решения задач
.. Вычислить интеграл: Jx2dg(x), где g(x) =
-1, 0<т<0,5
О, 0,5 < лс < 1,5.
-2, 1,5<х<2
Решение: g'(■*) = О всюду, за исключением точек х = 0,5 и jc = 1,5.B этих
точках g(x) имеет скачки, соответственно, 1 и -2, поэтому Jx2dg(x) = (0,5)2 • 1
+
+(1,5)2 • (-2) = -4,25.
2. Представить в виде интеграла Римана-Стилтьеса и вычислить норму
i
функционала /:С[-1Д] -»К, /(*)= J tx(t)dt.
-i
i
Решение: общий вид функционала в С[-1,1] - есть /(*) = J x{t)dg{t), при-
-1
чем функцию g(t) ограниченного изменения надо подобрать так, чтобы
g(-l) = 0 и она была непрерывна справа во всех точках интервала (-1,1). По¬
скольку в исходном виде функционала отсутствуют внеинтегральные члены, то
g(t) не должна иметь скачков ни в одной точке отрезка. Поскольку должно
Л л
быть tdt = dg(l), то всем этим требованиям удовлетворяет функция g(t) =	.
i
Тогда ||/|| —	Для вычисления вариации можно использовать формулу за-
1 0 1
дачи 6, а можно заметить, что Wg(t) = \g(t) + Wg(t) причем на каждом из полу-
-1-10
i	ii
ченных промежутков функция g(t) монотонна, поэтому ||/|| = Vg(t) = - + - = \.
3. Представить в виде интеграла Римана-Стилтьеса и вычислить норму
i
функционала /: С [-1,1] -> Ш, /(*) = J tx{t)dt - 2х(0).
а	1
Решение: ясно, что J tx(t)dt = J x(t)d
-i	-i
Ѵ2У
а, поскольку в представлении
функционала участвует слагаемое -2х(0), то необходимо, чтобы функция g(t)
имела в нуле скачок величиной —2. Таким образом, g(t) =
t2	1
		,-l<f <0
2 2
2 5
	, 0 < г < 1
2 2
315

причем g(—1) = 0 и g(t) непрерывна справа всюду на интервале (-1,1). Таким
*	i
образом, /(х) = j x(t)dg(t) и ||/|| = Vg(0- Для вычисления полного изменения
рассмотрим разбиение а = Xq < х1 <... < хп < Уі < у2 <... < ут = Ь, в котором точки
х{ отвечают разбиению полуинтервала [-1,0), а точки у • - разбиению отрезка
[0,і] (при этом, возможно, хп и у! не совпадают с точкой 0). Тогда, если
t2 і	г2 5
gi(t) =	, g2(f) =	, то, учитывая монотонность, получим:
2 2	2 2
Х=Ы-*і)_ siWl+Ы*2) - £і(*і)|+kiU3) - g\(xi)\+-+kiU«) - si(xn~i)\+
+\g2(y0 - £i(*n)| + Ыу2) - ^2(Ti)| + k2(T3) - 8г(Уг)\ + - +18і(Ут) ~ 82(Ут-0\ =
= £lC*b) - Sl(*l) + &(*і) - gi(x2) + g!(x2) - gi(x3) +... + gi(xn_!) - gi(xn) +
+Sl W - ^2(Ti) + g2(y2) - g2(y\) + ^2(Тз) - g2(y2) + - + g2(ym) - 8і(Ут-1) =
= ~82(Уі) - g2{y\) + g2(ym) = -2- 2g2(yi) < -2 + 2• I = 3,
ПОСКОЛЬКУ g2{y\) - 82(0) = ~~ • С другой стороны, для любого £ >0 будем вы-
2
бирать Уі <yfs, тогда ^=-2-2^г(у1) = -2-2-
( 1
V2
5
2
= 3 - Уі > 3 - s . Таким
i
образом, по определению точной верхней грани, Vg(r) = supy=3.
Задачи для самостоятельного решения
1.	Доказать, что всякая функция ограниченного изменения ограничена и
имеет в каждой точке отрезка [a,b\ конечные односторонние пределы. Дока¬
зать свойства 1 и 2 полного изменения. Доказать, что множество функций с
ограниченным изменением образует линейное пространство.
2.	Доказать, что всякая функция, представимая в виде разности монотон¬
ных, имеет ограниченное изменение.
3.	Доказать, что, если функция /(х) имеет на отрезке [a,b] ограниченную
производную (|/'(х)|<с), то /(х) является функцией с ограниченным измене-
ь
нием и Y /(х) < с(Ь - а).
а
4.	Доказать, что в линейном пространстве функций с ограниченным изме-
ъ
нением на отрезке \a,b\ таких, что f(a) = 0 функция ||/|| = V / удовлетворяет
а
всем аксиомам нормы.
5.	Доказать, что в линейном пространстве всех функций с ограниченным
316

и
изменением на отрезке [а,Ь] функция ||/|| = |/(а)| + Ѵ/(х) удовлетворяет всем
а
аксиомам нормы.
6.	Доказать, что, если функция /(х) непрерывно дифференцируема на от-
ъ ъ.
резке [а,Ь],то V/ = ||/'(х)|<іх.
а
Указание: представитъ интеграл, как предел интегральных сумм, вос¬
пользоваться теоремой Лагранжа, расписать определение предела и пока-
ь ь
затъ, что из него для произвольных е вытекает неравенство
Ѵ/-||/И|Л
<6.
7.	Найти полные изменения функций /(х) = х2, /(х) = |х| и /(х) = signx
на отрезке [-1,1]. Чему равно полное изменение ступенчатой функции?
8.	Используя определение интеграла Римана-Стилтьеса доказать, что спра¬
ведливы следующие свойства, аналогичные свойствам интеграла Римана:
ь
а)	\dg{x) = g(b)~ g(d)\
а
Ъ	Ъ	Ь
б)	J(afi(x) + Pf2(x))dg(x) = offx(x)dg(x) + /3^ f2(x)dg(x), если интегралы
a	a	a
справа существуют;
b	b	b
в)	J/(x)d(agx{x) + Pg2(x)) = ajf(x)dg1(x) + /?Jf(x)dg2(x), если интегра¬
лы справа существуют;
b	с
г) J / (x)dg (x) = jf (x)dg (x) + J / (x)dg (x), a<c<b в предположении, что
все три интеграла существуют.
9.	Доказать п. 3 теоремы о вычислении интеграла Римана-Стилтьеса.
Указание: пустъ = g(ck+0)-g(ck) (к = 0,1,...,т-1), а~к =g(ck)-g(ck-0)
(к = 1,2,...,т), ак +ак =g(ck +0)-g(ck-0) (к = 1,2,...,т-1). Рассмотреть вспо-
т-1	т
могателъную функцию g{(х) = ^оскр{х -ск)~ ^акр(ск - х). Доказать, что
к=о	к=1
функция g2(x) = g(x)-gl(x) непрерывна на отрезке [a,b\ (в точках ck устано¬
витъ непрерывность слева и справа). Показать, что g2 '(x) = g '(х) всюду, за
исключением точек ск и воспользоваться пунктами 1 и 2, а также свойствами
интеграла Римана-Стилтьеса.
10.	Вычислить интегралы Римана-Стилтьеса:
317

2 1 2
a) Jxdsinx; J xdarctgx; 6) J xdg(x), g(x) =
0 -1 -2
11.	Пусть функция /(x) интегрируема по Риману на отрезке \a,b\, а
х + 2,-2<х<-1
2, -1 < х < О
+ 3,0 < х < 2
X
функция g(x) представляется в виде g(x) = c + ^(p(l)dl, причем (р{1) интегриру-
а
b	Ъ
ема по Риману на отрезке \a,b\. Доказать, что J f(x)dg(x) = J f(x)(p(x)dx (спра-
а	а
ва стоит интеграл Римана).
Указание: аналогично п.1 теоремы о вычислении интеграла Римана-
Стилтъеса. Предварительно показать, что так определенная функция g(х)
является функцией ограниченного изменения.
12.	Пусть функции /(х) и g(x) непрерывны на отрезке \a,b], а функция
X
ф(х) имеет на [a,b] ограниченное изменение. Пусть щ(х) = jf(t)d<p(t). Дока-
а
b	b
зать, что Jg{x)dy/{x) = Jg(x) f{x)d(p{x).
а	а
13.	Доказать для интеграла Римана-Стилтьеса формулу интегрирования по
ъ	ъ
частям: J/(x)dg(x) = /(x)g(x)\a -1g(x)df(x). Здесь оба интеграла существуют
а	а
или не существуют одновременно.
Указание: пустъ, например, существует второй интеграл. Составить
интегральную сумму для первого интеграла, прибавитъ и вычесть /(x)g(x)|^ и
преобразовать полученное выражение к интегральной сумме второго интегра¬
ла. При этом отмеченные точки первой интегральной суммы станут точками
разбиения второй, а точки разбиения первой — отмеченными точками второй.
14.	Представить в виде интеграла Римана-Стилтьеса и вычислить норму
функционала / :С[-1,і]-»К, fix) = —’—xl 11 + f txitklt.
2	-i
15.	Представить в виде интеграла Римана-Стилтьеса и вычислить норму
функционала /:С[-1,і]—/(х) = х(0)-х(-1)-х(1).
ь
16.	Вычислить норму функционала /(х) = jx(t)y(t)dt в пространстве
а
С[а,Ь], где y(t) е С[а,Ь] - фиксированный элемент.
318

17.	Пусть в С[-1,1] определен линейный непрерывный функционал
S(x) = х(0) (дельта-функция). Представить его в виде интеграла Римана-
Стилтьеса. Полученная функция g(t) называется функцией Хевисайда.
18.	Представить в виде интеграла Римана-Стилтьеса и вычислить норму
функционала /:C[-l,l]-»R, f(x) = X^ + X^ [t3x(t)dt.
^	-i
19.	Пусть L = {x(0eC[0,l]:x(0) = 0}. Построить линейный непрерывный
функционал на С[0,і], равный нулю на L и принимающий на функции
x(t) = t +1 значение 2.
Указание: ср{х) = 2х(0).
20. Рассмотрим в пространстве С [0, і] одномерное подпространство
L = {A?:AeR} и определим на L функционал f(x) = A, если x(t) = At. Найти
его продолжение на все пространство без увеличения нормы.
Указание: ср{х) = х(1).
21. Рассмотрим в пространстве С[0,і] одномерное подпространство
L = {/1(1-2?): ЯеМ} и определим на L функционал /(х) = Я, если
x(t) = А( 1 -21). Найти два его продолжения на все пространство без увеличения
нормы.
Указание: <д, (х) = х(0), ^2(х) = -х(1).
22.	Представить в виде интеграла Римана-Стилтьеса и вычислить норму
о	1
функционала /:C[-l,l]^R, /(*)= Jx(t)dt-Jx{t)dt.
-i	о
23.	Представить в виде интеграла Римана-Стилтьеса и вычислить норму
1 8
функционала fs :C[-l,l]—> ^ ’ fе (х)= j* x(t)dt, s G (од].
-е
24.	Представить в виде интеграла Римана-Стилтьеса и вычислить норму
1
функционала / : C[0,l] -> R, /(х) = Jx(y[t)dt.
0
25.	Представить в виде интеграла Римана-Стилтьеса и вычислить норму
1
функционала /:C[0,l]->R, /(jt) = Jx(t2)dt.
о
319

2.5. Слабая и *-слабая сходимости
Определение: пусть X - линейное нормированное пространство,
{хи}сХ - последовательность его элементов. Пусть іеі. Последователь¬
ность {хп} называется слабо сходящейся к вектору х при и—»оо, если для лю¬
бого линейного ограниченного функционала (р&Х* ср(хп) —> (р(х). Обозначе-
и—> со
ние: хп —^ х.
Теорема (о слабой замкнутости замкнутого шара): пусть X - линейное
нормированное пространство, В - замкнутый шар радиуса R с центром в нача¬
ле координат (т.е. В = {хеX :||х|| < R}). Тогда этот шар является слабо замкну¬
тым множеством, т.е. из условий {хи} е В, хп —^ х следует, что хеВ.
Доказательство: пусть {хп}еВ, т.е. ||хл||</? и хй^х, т.е. Уср^Х*
(р(хп) —> (р(х). По теореме о вычислении нормы вектора с помощью функцио-
И—> СО
нала ЗсреХ*: ||#>|| = 1 и <р(х) = ||х||. Отметим, что |^(хл)|<||^||-||хл|| = ||хп||< R. По¬
скольку (р{хп) —» ф(х), то по теореме о предельном переходе в нестрогом нера-
п—> оо
венстве \ср(х)\<R, но, поскольку, <р(х) = ||х||, то ||х|| <R, что и означает, что хеВ.
Теорема доказана.
Теорема (о не слабой замкнутости замкнутой единичной сферы): в
пространстве /2 сфера радиуса 1 с центром в начале координат не является сла¬
бо замкнутым множеством.
Доказательство: пусть S = |х е 12 : ||х|| = і} - сфера. Нужно построить по¬
следовательность {х/;} e S, которая слабо сходится к вектору, не принадлежа¬
щему S.
Рассмотрим вектора хг = (0,0,...0,1,0,0,...). Ясно, что все они лежат на сфе-
/
ре S . Кроме того, ясно, что нулевой вектор на сфере S не лежит. Поэтому если
покажем, что х; —^ 0, то теорема будет доказана. Итак, надо проверить, что
/-> оо
У (р e I* <р(х{) —> 0. По теореме об общем виде функционала в пространстве /
г-»оо	**
со	°°	2
У(ре12* 3yel2: ср{х) =	. Поскольку yel2, то ряд ^|у*| сходится, и, в
k=1	к=1
частности, у k —>■ 0. Применяя функционал (р к векторам х(, получим, что
&-»0О
оо
(р(Хі) = У ^/,' Ѵ/, = Уі. Поскольку у,.->0, то (р(хГ) -» 0.
і—>оо	/—>оо
к— 1
Теорема доказана.
Замечание: таким образом, видим, что последовательность, лежащая на
сфере, может слабо сходиться к центру этой сферы.
Замечание: обычная сходимость последовательности по норме простран¬
ства называется иногда сильной сходимостью.
320

Теорема (о связи сильной и слабой сходимостей): пусть X - линейное
нормированное пространство, {jcJcI - последовательность его элементов.
Пусть х e X . Тогда из условия хп^>х следует, что хп—^х.
Доказательство: пусть хп —> х, т.е. ||хй - х\\ —> 0. Возьмем \/<ре X*, тогда
|^(хга)-^(х)| = |^(хга-х)|<||^||-||хга-х||. Переходя к пределу при я—»<х>, по тео¬
реме о двух милиционерах, |<р(хп) - <р(х)\ —» 0, откуда <р(хп) -> ср(х), т.е. хп —^ х.
Теорема доказана.
Теорема (о связи сильной и слабой сходимостей в конечномерном про¬
странстве): в конечномерном пространстве сильная сходимость совпадает со
слабой.
Доказательство: в силу предыдущей теоремы достаточно доказать, что в
конечномерном пространстве X из условия хп х следует, что хп —»• х.
Поскольку X конечномерно, то 3eve2,...,ek e X такие, что ѴхеХ
x = a1e1 + a2e2+... + akek, где все е{ линейно независимы, at - действительные
числа. Пусть хп = а1(п)е1 +а2п)е2 + ... + акп)ек. Рассмотрим функционалы (рг e X*
такие, что (рДр = 1, г/9((<?/) = 0 при іф j. Тогда при і = 1,к (pt(хп) = а. п), (рі(х) = аі.
Т.к. хп X, то для срі e X* <д;.(хй) —» <д;.(х), откуда а.п) —» аі. Поскольку в ко-
п—> со	п—> оо
нечномерном пространстве покоординатная сходимость влечет за собой сходи¬
мость по норме, то хй —>■ х.
Теорема доказана.
Теорема (о пределе линейных комбинаций): пусть хп —^х, тогда суще-
Г к 1
ствует последовательность линейных комбинаций вида \ ^скпхк >, сильно схо¬
дящаяся к х.
Доказательство: пусть L - замкнутое линейное многообразие, порож¬
денное элементами х1,х2,...,хп,.... Допустим, что x£L, т.е. не является преде¬
лом линейных комбинаций из L. По теореме о вычислении расстояния с помо¬
щью функционала 3<р^Х*: (р{х) = 1 и Ѵн = 1,2,3,... (р(хп) = 0. Отсюда следует,
что (р(хп) -А <р(х), т.е. хл -А х. Противоречие.
Теорема доказана.
Теорема (о слабой непрерывности линейного ограниченного операто¬
ра): пусть X , Y - линейные нормированные пространства, А: X —» Y - линей¬
ный ограниченный оператор. Пусть {хй},х e X и хп —^ х, тогда Ахй Ах, где
{Ахй},АхеТ.
Доказательство: возьмем любой функционал (peY*, тогда (р{Ахп) = /(хй),
где feX*. Аналогично, cp(Ax) = f(x). Т.к. хй^х, то /(хй)—»/(х), т.е.
(р{Ахп) —» (р{Ах). Поскольку (pe.Y* - произвольный, то Ахп —Ах.
Теорема доказана.
321

Замечание: легко обосновывается, что действительно /еі* (т.е. введен¬
ный таким образом функционал действительно линеен и ограничен).
Определение: пусть X - линейное нормированное пространство,
Последовательность [фп] называется *-слабо сходящейся к функци¬
оналу (р e X*, если Ѵх e X Фп(х) —» ф(х). Обозначение: (рп —*-^ф.
П—^-со
Замечание: таким образом, *-слабая сходимость - есть ни что иное, как
поточечная сходимость функционалов.
Теорема (критерий *-слабой сходимости): пусть X - линейное норми¬
рованное пространство, <z X*. Для того, чтобы последовательность \<рп\ *-
слабо сходилась к функционалу ф&Х* необходимо и достаточно, чтобы:
1.	последовательность {||(Рга||} была ограничена;
2.	(рп (х) —» ф(х) Vx e М, где М - множество, линейные комбинации эле¬
ментов которого лежат всюду плотно в X .
Доказательство: следует из определения *-слабой сходимости и теоремы
Банаха-Штейнгауза.
Теорема доказана.
Теорема (о *-слабой секвенциальной компактности шара в сопряжен¬
ном пространстве): пусть X - сепарабельное линейное нормированное про¬
странство, В - замкнутый шар с центром в начале координат, лежащий в со¬
пряженном пространстве X*, тогда он является секвенциально *-слабо ком¬
пактным множеством, т.е. из любой последовательности функционалов Фпе В
можно выбрать подпоследовательность ф , которая *-слабо сходится к элемен¬
ту этого шара.
Доказательство: поскольку X - сепарабельно, то в нем существует
счетное всюду плотное множество Е = {х1,х2,х3,...}. Будем считать, что В -
единичный шар, т.е. В = {ере X* :||^|| < і|. Поскольку фпеВ, то	Возь¬
мем VxkeE, тогда |^n(x)fc)|<||^n||-||x/J<||x/(,||. Итак, \/xkeE последовательность
действительных чисел [ф1(хк),ф2(хк),ф3(хк),...) ограничена.
Из математического анализа известно, что у любой ограниченной после¬
довательности действительных чисел существует подпоследовательность, име¬
ющая предел (теорема Больцано-Вейерштрасса). В частности, возьмем хх e Е,
значит, из нашей последовательности можно выбрать подпоследовательность
q>l,(p2 ,(р3такую, что последовательность ^11(х1),^21(х1),^з1(л^),...) имеет
предел. Возьмем х2 e Е и применим это же рассуждение к уже полученной по¬
следовательности, т.е. уже из полученной последовательности выберем подпо¬
следовательность фі ,(р2 ,(р3 такую, что имеет предел последовательность
(ф^(х2),ф2 (х2),ф3 (х2),..^. Отметим, что, поскольку это подпоследовательность
предыдущей последовательности, и подпоследовательность сходящейся после¬
322

довательности имеет тот же предел, то предел имеет также и последователь¬
ность ^12(х1),^22(х1),^з2(х1),...). Возьмем х3 e Е и уже из полученной последо¬
вательности выберем подпоследовательность <рх ,<р2 ,<р^такую, что
{^(рх {хъ),(р2 {хъ),(р2 {хъ),..^ имеет предел. Поскольку она - подпоследователь¬
ность двух предыдущих, то последовательности ^(х^,^3^),^3^),...) и
(<р/(х2),<д23(х2),<д33(х2),...) также имеют предел. И т.д. На £-м шаге получим
подпоследовательность исходной последовательности (составленную из эле¬
ментов всех ранее построенных подпоследовательностей), которая сходится на
первых к векторах х1,х2,...,хк из множества Е. И т.д.
Сконструируем из всех этих подпоследовательностей одну, а именно,
(<рх ,ф2 ,<р2 ,<р^(диагональная последовательность). Покажем, что эта после¬
довательность сходится Mxk е Е. Действительно, поскольку она является под¬
последовательностью первой последовательности q>x,ср2 ,q>^то на элементе
хх она сходится. Начиная со второго номера, она является подпоследовательно¬
стью второй последовательности фх ,(р2	значит, на элементе х2 она тоже
сходится. Аналогично, начиная с третьего номера, она является подпоследова¬
тельностью третьей последовательности q>x ,q>2 ,(р^значит, на х3 она схо¬
дится и т.д. Итак, на любом элементе хкеЕ диагональная последовательность
сходится.
Осталось доказать, что она сходится на любом хе X , что и будет означать
ее ^-слабую сходимость, т.е. надо доказать, что числовая последовательность
<рпп(х) имеет предел. Для этого, в силу критерия Коши, достаточно проверить
фундаментальность, т.е., что \fs > О 3N е N: \/п,т> N <рпп(х) - ^mm(x)| < s.
<Рп(х) - (ртт(х)I = I(рп\х) - (РпП{Хк) + (РпіЧ)~ <Ртт(Ч) + <Ртт(*к)- Фш (*)| ^
^ I<Рп№ - <Рп(Ч)\ + \<Рп(Ч) - (Ртт(Ч)I + \<Рш (**) - <Ртт(х)I = I<Рп(Х “ **)| +
+
Фш
к -	2\\х -хЛ + Фп (**) - (ртт (хк)
Поскольку Е - всюду плотно в X , то в любой окрестности точки хе X
можно найти точку из Е. В частности, возьмем —-окрестность точки хе X и
S	S
точку хкеЕ выберем из этой —-окрестности, тогда \\х - .yj < —, откуда
<РпП(х)-<ртт(х)
2	б
<	ь
3
Фп (хк) ~ Фт (хк) • Построенная нами последовательность
(рпп сходится на всех элементах множества Е, и, в частности, на хк, значит, на
323

хк она фундаментальна, т.е.
<РЛхк)-(Ртт{хк)
3
начиная с некоторого номе¬
ра. Таким образом,
(рпп(х) - (ртт(х) < s. Итак, нашли подпоследовательность
{
, которая *-слабо сходится. Поскольку наш шар В *-слабо замкнут (задача
13), то предел этой подпоследовательности принадлежит этому шару.
Теорема доказана.
Замечание: аналогично можно доказать, что всякое ограниченное множе¬
ство линейных непрерывных функционалов в сепарабельном линейном норми¬
рованном пространстве, является *-слабо секвенциально предкомпактным.
Определение: пространство, сопряженное к сопряженному пространству,
называется вторым сопряженным пространством и обозначается X**.
Определение: естественным вложением пространства X во второе сопря¬
женное называется отображение л х, :Х —» X**, которое каждому элементу
ХЕіХ ставит в соответствие функционал п Х,х-у/ ^ X** по правилу: \/<реХ*
у/{(р) = (р{х).
Замечание: далее нижний индекс в обозначении пѵ»х будем опускать.
X
Теорема (о естественном вложении пространства во второе сопря-
женное): 1. Vx e X пх действительно принадлежит X ;
2.	и - линейно;
3.	п - ограничено и сохраняет норму, т.е. ||;тх||х„ = ||х||х;
4.	п - инъективно.
Доказательство: 1. ѴхеХ надо доказать, что у/ еХ**, т.е., что у/ линеен
и ограничен.
а)	Линейность у/\ y/{cpl + (p2) = {(pl+(p2){x) = y\{x) + q)2{x) = y/{(pl) + y/{q)2). С
множителем доказательство аналогичное.
б)	Ограниченность у/: |^(<р)| = |<д(х)|<||<р||-||х||, т.е. у/ ограничен. Разделим
полученное неравенство на ||^|| и возьмем точную верхнюю грань по всем
срф 0, тогда sup
(рф о
\И(р) I
< х , откуда
< х , т.е. \\пх\\ < х
2. п(Я1х1 + ^2х2)(<р) = (р{\Ху +	= \(р{х1) + /^^(х2) = \nxyisp) + пх2{<р).
3.	Из полученного в п.1 неравенства Цл’хЦ < ||х|| следует ограниченность пх.
Осталось установить неравенство противоположного знака.
ІиФ)\ ^ И^о)| _ Ко)| 1\\пх\\ =
=sup II II
ч>Фв іі^іі ц^оіі liv'd
По теореме о вычислении нормы вектора с помощью функционала Ѵх ф О
3 %*Х'
х
1 и %{х) = |х||. Тогда ||л-х|| >^ = р||
324

2.	3.
4.	Пусть х1фх2, тогда Цтгх, - л'д:2||=||л'(л1 - х2)||=||х1 - х2|| ф 0, откуда следует,
что 7гхj Ф жх2, т.е. л - инъективно.
Теорема доказана.
Замечание: таким образом, справедливо вложение ж(Х) <z X**, причем
X = ж(Х), поэтому можно коротко писать X cz X**. Кроме того, поскольку
Х = 7г(Х) сі”, то X - банахово пространство, в котором подмножество
ж(Х) лежит всюду плотно. В силу изоморфизма X = ж(Х) X является попол¬
нением (неполного) пространства X (см. раздел I, часть 1, п. 1.5).
Теорема (о связи равномерной, слабой и *-слабой сходимостей): пусть
X - линейное нормированное пространство, X* - его сопряженное простран¬
ство,	тогда из (рп =4 (р следует, что (рп —^ (р, а из (рп (р следует,
что (рп—*-^(р.
Доказательство: 1. Пусть (рп =4 (р, т.е. \(рп - (р\ —» 0. Рассмотрим
Уі//еХ**, тогда \у/{(рп)-Ц/{(р)\ = \ц/{.(рп - <р)| < ||<//|| • ||<рй ~<р\- Переходя к пределу
при п^> со, получаем, что |^(<p„)-^(<?>)|—>0, т.е. Ѵ^еХ** W((Pn) wW), от¬
куда следует, что (рп-^ (р.
2. Пусть срп^(р, т.е., Уу/еХ** ц/(срп)—>ц/((р). Надо доказать, что
<рп—*-^<р, т.е. УхеХ q>n{x) (р{х). Берем УхеХ и обозначим у/ = жх- есте¬
ственное вложение пространства X во второе сопряженное. Тогда ц/еХ** и
у/((р) = <р(х). Таким образом, из условия у/{(рп) —» у/{(р) получаем <рп(х) —»<р(х).
Теорема доказана.
Теорема (об ограниченности слабо сходящейся последовательности):
пусть X - линейное нормированное пространство, хй^х, тогда 3с>0:
УпеN ||хй||<с.
Доказательство: рассмотрим [жхДс^Х и жхеХ при (xJcX и
хе X соответственно. По теореме о слабой непрерывности линейного ограни¬
ченного оператора тгхп —^ жх. По предыдущей теореме слабая сходимость вле¬
чет за собой ^-слабую, т.е. ттхп—*-^жх, откуда получаем, что У<реХ*
жхп{(р)^> жх{(р). Кроме того, X* - банахово. В силу принципа равномерной
ограниченности последовательность	- ограничена. В силу изометрич-
ности естественного вложения ограничена и последовательность {||хй|||.
Теорема доказана.
Теорема (критерий слабой сходимости): пусть X - линейное нормиро¬
ванное пространство,	. Для того, чтобы последовательность {хй} слабо
сходилась к элементу хе X необходимо и достаточно, чтобы:
1.	последовательность ||хй ||| была ограничена;
325

2.	(р{хп)^хр{х) Ѵ<реГ, где Г - множество линейных ограниченных
функционалов, линейные комбинации элементов которого лежат всюду плотно
в X*.
Доказательство: необходимость: следует из предыдущей теоремы, кри¬
терия *-слабой сходимости и свойств естественного вложения пространства во
второе сопряженное, если рассматривать линейные ограниченный функциона¬
лы лхп и лх над X*. В этом случае ^-слабая сходимость будет вытекать из
слабой.
Достаточность: доказывается по тому же принципу, что и достаточное
условие теоремы Банаха-Штейнгауза.
Теорема доказана.
Определение: множество М банахова пространства X называется се¬
квенциально слабо компактным, если из любой последовательности его эле¬
ментов можно выделить слабо сходящуюся М в подпоследовательность.
Теорема (об ограниченности слабо компактного множества): всякое
секвенциально слабо компактное множество ограничено.
Доказательство: пусть М - секвенциально слабо компактное множе¬
ство. Предположим, что М не ограничено. Тогда в нем можно найти неограни¬
ченную последовательность (хл]бМ, такую, что ||хя||>я. По условию из {хй}
можно выделить слабо сходящуюся, а значит, ограниченную подпоследова¬
тельность
> пк —» оо. Противоречие.
Теорема доказана.
Теорема (оценка слабого предела): пусть X - линейное нормированное
пространство, хп —^ х, тогда ||х|| < Шп|к|.
П—»00
Доказательство: в силу теоремы об ограниченности слабо сходящейся
последовательности, последовательность {||xjj - ограничена, в частности,
ограничена снизу, значит, Ит||хп|| действительно существует. Предположим,
п—>ОО
что ||х|| > lim||xj, тогда найдется число а такое, что ||х|| > а > 1іт||хй||. Поскольку
я—» со	я—»со
lim||xn|| - это частичный предел последовательности {||xjj, то найдется подпо-
П—X»
следовательность
, предел которой равен
Цш||х„||, т.е.
Я—»00
1іт||х(
Я—» оо
= Ііт
/—» оо
х.
откуда ІІхІІ > а > Ііт х . По теореме об устойчивости строгого неравенства
3N е.Щ: \/i>N х\\>а>
х_
. По теореме о вычислении нормы вектора с по¬
мощью функционала, для хеХ\{0} 3(реХ*: ||<р|| = 1 и ^(х) = ||х|| > а. С другой
стороны, поскольку \р(Хп)\ < 1^1 • |х„ I = ||j
более (р(хп) -/»<р(х), т.е., хй -А х. Противоречие.
Теорема доказана.
<а, то (р(хп )-А(р{х), значит, тем
326

Примеры решения задач
1. Показать, что из слабой сходимости в бесконечномерном пространстве
необязательно следует сильная.
Решение: рассмотрим в пространстве Ц [0,і] систему xn(t) = sinnxt, и e N.
По теореме об общем виде функционала в Lp	3g(t)<E L-, [0,l] такая, что
i	i
<P(xn) = \xn^8(,t)dt,T.e. (р(хп) = jg(t)sinrmtdt. Таким образом, tp(xn) - это n-й
о	о
коэффициент Фурье функции g(t) по ортогональной системе функций
{sinn;zt}, следовательно, как известно из курса математического анализа (лем¬
ма Римана), (д(хй)—»0, значит, хп —^0. С другой стороны, хп -8 0, поскольку
{хй} не фундаментальна в пространстве Ц [0,і]. Действительно, Ѵч, т g N
i
||хй - xmf = \\sinnKt- sintmrtf dt = 1, и, значит, эта норма не может быть меньше
о
\/£>0.
2. Пусть 0е(а,Ь) и 8 - функционал на пространстве С[ч,Ь], определяе¬
мый соотношением £(х) = х(0), а последовательность (<дй(0)й=1 с С[ч,/?] удо¬
влетворяет условиям:
a) (pn(t) = 0 при И> — и <рп(і)>0;
п
Ь
Доказать, что Ѵх g С [а,/?] последовательность /п(х) = | <pn(t)x(t)dt *-слабо
сходится к функционалу 8.
Решение: поскольку x(t) - непрерывна на [a,b\, то по теореме о среднем
для интегралов /л(х) = f<pn(t)x(t)dt = f <рп(t)x(t)dt = х(%п) J (рп{t)dt = х(£,), где
f
1 0
>
\
п п)
*
-»8.
. При ч—»оо
£й-»0,т.е. \/х&С[а,Ь\
/„ (х) -» х(0) = 8(х), откуда
3. Для того чтобы последовательность (хй(0)й=1 с^[0,і] (р>\) слабо
сходилась к элементу х0(/) g Lp [од] , необходимо и достаточно, чтобы:
а) последовательность {||хй||| была ограниченной;
327

6) ^xn(t)dt —>Jx0(0^ для любого те [од].
о	о
Доказать это утверждение.
Решение: условие а) совпадает с условием 1 критерия слабой сходимости.
Г1,0 < t < т
Рассмотрим функции у At) = <	. Ясно, что это простые ступенчатые
[О, т < t < 1
функции. Из теоремы о плотности простых ступенчатых функций в Lp следует,
что линейные комбинации Хт (О лежат всюду плотно в Lp.
По теореме об общем виде функционала на Lp [0,1] Уѵ<о6/,[ОД]
1	1
(р{х) = J x(t)y(t)dt e L* при всех х(і) e Lp [од]. В частности, (рт (х) = J х(і)хт (t)dt e L*
о	о
при Хт (0 е Lq. Поскольку L* = Lq и линейные комбинации функций Хт (О ле¬
жат всюду плотно в Lc ,[о.і] , то линейные комбинации функционалов (рт лежат
всюду плотно в L* (в силу изоморфизма линейные комбинации переходят в
линейные комбинации, а в силу изометрии сохраняется всюду плотность). Та¬
ким образом, п. 2 критерия слабой сходимости принимает вид <дг(хй) —» (рАхА ,
11	гг
что эквивалентно ^xAAxA^t ^■^xQ{t)xAt)(^t ^ откУДа |хп(/)<і/ —> Jхс0(/)<^/ для
0 0 0 0
любого г е [од].
4.	Исследовать на сильную и слабую сходимость в /2 последовательность
х.
I 1
1,-,... ,-,0,0,...
V 2 п
Решение: вначале исследуем последовательность на слабую сходимость.
Возьмем \/cpel2 . Надо проверить, что (р(хп) -хр(х0). По теореме об общем ви-
со
де функционала на Ір, (р(хп) = X4(”4t , где х„ = (^(n))el2,{rjk)eI * = /2. Отсюда
к=1
”1	00 i	z' i i Л
Р(*») = Ет-7* -+Т*7'Ъ=<Р(хо)’ х0 =	е/2- Поскольку \<р(хп) - <р(х0)\ =
t7k	\ 2 3 )
іЬ
к=п+1 К
f
1 \г(
i
-V
^ — X \т]к\ э0 в силу теоремы об остатке сходящегося
\к=п+1 к ) \£=и+1 J
ряда, то Хп —^ х0. Проверим, что хп -» х0 сильно, т.е., что ||хл - х0|| -> 0. Действи¬
тельно, \\хя - Х0||2 = ]Г|4(и) - 4*
(0)
1
к=1
■■ Х-т^°-
ktA
5. Доказать, что в пространстве слабая сходимость совпадает с сильной
(данное свойство называется свойством Шура).
328

Решение: надо доказать, что из слабой сходимости в /, вытекает сильная.
При этом в силу свойств линейности, достаточно доказать, что из условия
к
хп —^ 0 = (0,0,0,...) следует, что хп —» 0 = (0,0,0,...) (если хп —^ х, то достаточно
П—>°О	п—> СО
применить все дальнейшие рассуждения к последовательности {уп} = {хп - х}).
Дано, что Хп —^ 0, т.е. \/<pel* <р(хп) —» <р(0) = 0. По теореме об общем ви-
п—> со	п—> оо
оо
де функционала на /, получаем, что Ѵу = (у.)^ е /ю 3<д(х) = ^g.y. e I* для всех
і=1
* = (4)^1 еА- Рассмотрим элементы ук = (0,0,...,0,1,0,0,...)е/то, тогда V&eN
к
оо
3<дДх) = Ѵ^у/*0 = откуда (рк{хп) = ^кп) —» 0. Таким образом, показали, что
П-»с©
*=1
из слабой сходимости последовательности в Іх следует ее покоординатная схо¬
димость. Предположим теперь, что последовательность {.у} сІл не сходится к
нулю сильно, т.е. 3C>0: VTVeN 3n>N kk С. Значит у последовательно¬
сти [хп] можно найти подпоследовательность {х^} такую, что хПк >С для
всех к e N. При этом, поскольку | а Іх, То хч || < +оо. Далее будем извлекать
из последовательности |х% | подпоследовательность |хй |, которая не сходит¬
ся к нулю слабо, что и даст противоречие нашему предположению.
Возьмем ах= 1, тогда, поскольку хй
< +00 и
Х„
па\
> С, то найдется номер
С
<— и
10
mi i
ir-1’
і=1
^8с
> —. В силу покоординатной схо-
щ e N такой, что X г-1
i=ml+1
димости	—» 0 для всех і, следовательно, найдется Ц'2>Ц'1 такое, что
к—>оо
Wl I	С	00 i
< —. Но тогда ^ |^.І,ІК2' > —. Таким образом, найдется номер т2 >тх
І= 1
10
“2
(=m[+l
такой, что . рі
і=т1+1
ІЙ
(nai )
8C
> —, а соответствующий остаток
10	j=m2+l
<
c_
10
Продолжая этот процесс неограниченно, построим последовательность
|х(; I и соответствующую ей последовательность номеров щ<т2<... такие,
тк-\ ,	.	тк
™ I|fK)|<^’ I И'"'1
;=1
10 ^
^	І=Ши+1
(%)
С	п
<10’ т° = 0-
Определим с = (сре2,...) е /ю , тогда Згд(х) = е /,*. Для каждого і
і=1
найдем А; так, чтобы i e [m^ ,	] (это возможно, поскольку по построению
329

числа mk образуют возрастающую последовательность целых неотрицательных
(ті )
чисел). Тогда примем ct = sign<^. 4 и получим, что (при к > 1):
<Р
(х-,)=
і=1
тк-1
і=1
С- +
тк	00	тк i
X й'ѵ,+ Xfi’4= X |f,
£=»u.+l
i=mt_i +1
, mt-i
+ Х«
г=1
С; +
00	I	I т£-1	00
+ X |5%|-Х|5'Ч|- Х|б
г=т^+1	+1	г=1	i=mt+1
г'="Ѵі+1
~ 10 10 10
Итак, <^хйа ) -А 0, следовательно, <д(хи) 0, т.е. хп -А 0.
3С
5
6.	Пусть Н - гильбертово пространство, хп—>х, уп у. Доказать, что
О^зО-К^зО-
Решение: т.к. хй—>х, то ||хл-х||—»0. Поскольку уп^у, то Ѵ^еЯ*
<Р(Уп) -> ^(Т), т.е. |^(у„)-^(у)|->0, т.е. |^(у„ - у)|->0. В силу теоремы о про¬
странстве, сопряженном к гильбертову, для элемента хе Я 3<р(у) = (у,х). Та¬
ким образом, |(ул - у,х)| —» 0. Поскольку слабо сходящаяся последовательность
всегда ограничена, то ЗМ >0: \/п e N ||уи|| < М .
Далее, |(хй, уп) - (х, у)| = |(хи, уп) - (х, уп) + (х, уп) - (х, у)| < |(хй - х, уп )| + |(х, уй - у)| <
<||хл-x|-||yJ + |(x,yK-у)|<М||хи-х|| + |(ул-у,х)|. Осталось перейти в полученном
неравенстве к пределу при ц —» да и получить, что |(хи, уп) - (х, у)| -» 0.
Задачи для самостоятельного решения
1.	Доказать, что одна и та же последовательность не может иметь двух
разных слабых пределов. Доказать, что, если последовательность слабо сходит¬
ся, то слабо сходится, причем к тому же самому пределу, любая ее подпоследо¬
вательность.
Указание: первое утверждение доказать от противного. Воспользовать¬
ся теоремой о вычислении нормы вектора с помощью функционала.
2.	Показать, что если хй^х, то в неравенстве ||х||< talk I возможно
П—»оо
строгое неравенство.
Указание: рассмотреть в L2 [0,l] систему хп(і) = >/2 sinnffi, n e N.
3.	Доказать, что сопряженное пространство X* является *-слабо полным
(т.е. из фундаментальности последовательности в *-слабом смысле следует ее
^-слабая сходимость).
Указание: воспользоваться теоремой о полноте пространства линейных
ограниченных операторов. Фундаментальность последовательности |^}сХ*
в *-слабом смысле означает, что ѴхеХ \/s> 0 3N e N:	\/n,m> N
\<Pn(x)-<pm(x)\<e или, что VxeX b (x)-(z>m(x)| -> 0.
* n,m—>со
330

4.	Проверить, что в пространстве /2 сильная и слабая сходимости не сов¬
падают.
Указание: рассмотреть последовательность е{,= (0,0,...,0,1,0,0,...), пока-
І
зать, что она не является фундаментальной, затем, воспользоваться теоре¬
мой об общем виде функционалов в I и показать, что она слабо сходится к
нулю.
5.	Найти нормы функционалов 8 и fn из примера 2.
6.	Для того чтобы последовательность [х .М^’Ж (р > 1) слабо
сходилась к элементу х0 = (Д.(0)) с Ір, необходимо и достаточно, чтобы:
а)	последовательность {||л:и||} была ограниченной;
б)	<^(га) —»<^.(0) при п —> со для всех і (вообще говоря, неравномерно).
Доказать это утверждение.
Указание: рассмотреть элементы е{ = (0,0,...,0,1,0,0,...) и показать, что
их линейные комбинации лежат всюду плотно в 1=1 .
7.	Доказать, что последовательность {xn(t)} с С [с/,/?] слабо сходится тогда
и только тогда, когда:
а)	она равномерно ограничена, т.е. |эси(/-)|<С для всех «gN и всех
t e \a,b\;
б)	{хДО} сходится в каждой точке t e \a,b\.
Совпадают ли в С[п,Ь] сильная и слабая сходимости?
Указание: для доказательства необходимости рассмотреть функционалы
8Т(х) = х(т) при всех re[fl,^]. Для доказательства достаточности использо¬
вать теорему Арцела о предельном переходе под знаком интеграла Римана-
Стилтъеса: если х (t) непрерывны на \a,b], причем \х (t)\<C и limx (t) = x(t),
L	J	11	n-> GO
причем предельная функция непрерывна, a g(t) - функция с ограниченным из-
и	и
менением, то Ііт [ хп (t)dg (t) = f x(t)dg (t)
n—>oo J	J
X =
Xn =
8.	Исследовать на сильную и слабую сходимость в /2 последовательность
Г 1 1 Л
0,0,. ..,0,1,
ѵ' '	2 3 J
Указание: сходится слабо к нулю.
9.	Исследовать на сильную и слабую сходимость в /2 последовательность
и іі-1 ^
\	п-1
п п +1
331

Указание: не сходится слабо. Рассмотреть у = (rjk):
Гл \
1=1
12 12'
10.	Исследовать на сильную и слабую сходимость в Z^[0,l] последова¬
тельность xn(t) = f - tn+l.
Указание: сходится слабо и сильно. Воспользоваться теоремой об общем
виде функционала на Lp и теоремой Лебега об ограниченной сходимости.
Учесть, что любая функция g(t)e. Мол] суммируема.
11.	Исследовать на сильную и слабую сходимость в /^[ОД] последова¬
тельность xn{t) = е~^.
Указание: сходится слабо, но не сильно.
12.	Исследовать на сильную и слабую сходимость в и [0Л] последова¬
тельность xn(t)
2и(1 - nt),
t е
о,-
<
п
Г i л
0,
t е
-д
п
I	jf.
Указание: не сходится слабо. Рассмотреть g(t) = —j= e Мол] =М°л]
y/t
13.	Доказать, что в сопряженном пространстве любой замкнутый шар
Вч-X* радиуса R с центром в начале координат является *-слабо замкнутым
множеством, т.е.	с В из того, что (рп—*—>(р следует, что ср^В, где
: X —» К - линейные ограниченные функционалы.
х(^е) — х(—s')
14.	Рассмотрим линейные функционалы f!:(x) =	- и /0(х) = х'(0),
2 £
где x(t) е С(1) Г-1ДІ, 0 <£< 1. Доказать, что fe —>/0. Выяснить, имеет ли ме-
L J £->0
сто сильная сходимость fe —» /0.
Указание: при проверке сильной сходимости рассмотреть xn(t) = — sinnt и
п
доказать, что \\fE - /|| > 1.
15.	Провести полное доказательство критерия слабой сходимости.
16.	Доказать, что множество в банаховом пространстве является слабо
ограниченным тогда и только тогда, когда оно ограничено.
Указание: множество МсІ называется слабо ограниченным, если для
любого (реХ* и для каждого хеМ множество {^(х)} ограничено. При дока¬
зательстве необходимости предположитъ противное и выделить из множе¬
ства неограниченную последовательность {хп}, такую, что ||хп||>н2. Затем,
\/<реХ* доказать, что <р
( х \
±п_
К П у
->0.
332

17.	Доказать, что всякая слабо фундаментальная последовательность в
нормированном пространстве ограничена.
Указание: последовательность {.yj с X называется слабо фундамен¬
тальной, если ||хи — хЛ 0 или \/(реХ* Vf>0 32VeN: \/n,m>N \(р(хп)-(р(хт)\<£.
я,т-> оо
18.	Доказать, что всякая слабо сходящаяся последовательность в нормиро¬
ванном пространстве слабо фундаментальна.
19.	Доказать, что всякое слабо замкнутое множество замкнуто. Доказать,
что всякое (замкнутое) подпространство является и слабо замкнутым.
т
20.	Пусть х = (ДД2,...) e /t. Доказать, что V0 < д < 1 Зт e N: £|ф(і-«)И-
Z=1
Указание: предположитъ противное и рассмотреть х = (	е Іг.
(2 2 2
21.	Исследовать на сильную и слабую сходимость в пространстве Ір
ч	(\ + п \ + п 1 +д ^
(1</?<оо) последовательность х = 	,	,...,
\1 + п 1 + 2 п	1 + кп
22.	Исследовать на сильную и слабую сходимость в пространстве lf
(	Л Л	1	1	1	Л
(1 < р< оо) последовательность хп =
У
1
1
1
10—— -
’ ’З2 ’42 ’"’(2п-1)2 ’(2п)2 ’(2и + 1)2
У
\ *
23.	Доказать, что в (С[ц,&]] сильная и ^-слабая сходимости не совпадают.
^ 2ж
Указание: рассмотреть последовательность ап(х) = — I x(t)cosntdt ли-
о
нейных ограниченных функционалов в С [а,/?] . Для проверки сходимости по
норме воспользоваться теоремой Рисса об общем виде функционала.
24.	Доказать, что в Іх покоординатная сходимость не влечет слабую.
( \
Указание: рассмотреть хп
и доказать, что {хй} не схо-
дится слабо. Для этого рассмотреть ук = |0,...Д 1,0,0,...j е Д и показать, что
возможно только хп	0. При у = (1,1,...) е Д получить противоречие.
25.	Пусть Н - гильбертово пространство, ||хп|| —» ||х||, хп—^х. Доказать, что
ІК _хІІ^о.
26.	При каких а> 0 последовательность xn(t) = tn сходится в С [0 ,а\ силь¬
но? Слабо?
27.	Исследовать на сильную, слабую и *-слабую сходимость последова¬
тельность функционалов fn (х) = Д в пространствах с0 и Ір, 1 < р < оо.
333

28.	Исследовать на сильную, слабую и *-слабую сходимость последова-
Ж
тельность функционалов fn (x) = J x(t)eintdt в пространстве L2 [-ж;ж] .
-Ж
29.	Исследовать на сильную, слабую и *-слабую сходимость последова-
ГО г
тельность функционалов fn(x) = V —- в пространстве l, 1 < p < го.
n=1 n
30.	Исследовать на сильную и слабую сходимость в пространстве L [0;і]
последовательность xn (t) = e .
334

2.6. Рефлексивные пространства. Двойственность
Определение: линейное нормированное пространство X называется ре¬
флексивным, если X = X**, причем изоморфизм этот осуществляет естествен¬
ное вложение ж: X —» X** пространства X во второе сопряженное.
Замечание: если пространство X рефлексивно, то І**сІ,т.е. У у/e X**
Зхе X : У у? e X* у/{ф) = <р(х) (ко всем прочим свойствам, доказанным в теоре¬
ме о естественном вложении пространства во второе сопряженное, добавляется
свойство сюръективности).
Теорема (о рефлексивности гильбертова пространства): всякое гиль¬
бертово пространство Я рефлексивно.
Доказательство: по теореме о пространстве, сопряженном к гильбертову,
определена антилинейная изометрическая биекция I: Я* —> Я, действующая по
правилу <р(х) = (х,І<р), причем I(aq\ + /3(р2) = alq\ + ріср2.
Покажем, что пространство Я гильбертово. Действительно, Я - бана¬
хово, и если определить в Я* функцию	= (Up2,Iy\), то легко проверя¬
ется справедливость всех аксиом скалярного произведения. Кроме того,
2 2
(<;ѵ,(р)* = (1(р,1(р) = \і(р\ = 1^1 , поэтому введенное скалярное произведение дей-
ствительно задает имеющуюся в Я норму. Таким образом, в Я снова спра¬
ведлива теорема о пространстве сопряженном к гильбертову и определена ан¬
тилинейная изометрическая биекция / : Я —> Н\ действующая по правилу
у/(<р) = (<р,І*у/)*. Тогда /(/*): Я —»Я линейная изометрическая биекция, еле-
	1
довательно, отображение (/(/*))	:Я—»Я также линейно, биективно и изо-
	i
метрично и осталось доказать, что (/(/*)) х = л *х. Действительно, У у/ e Н
н
%
возьмем х = / (/*(//) е Я, тогда У (ре Н уА(р) = {(р, /*(//)* = (/(/*;//), Up) - (х, Up) = (Дх).
Теорема доказана.
Замечание: более подробно об обратных операторах см. в следующем
разделе. В нашем случае важно только то, что рассматриваемое обратное отоб¬
ражение существует и это изометрический изоморфизм.
Замечание: если пространство X рефлексивно, то для {(рп},(ра X* верно,
что: <рп ^ <роУ у/ e X** у/(<рп) —»у/{(р) <^>УхеХ у>п(х) —»у?(х) (в силу изо-
морфности естественного вложения). Тем самым, слабая сходимость последо¬
вательности функционалов на X * эквивалентна ее ^-слабой сходимости.
Замечание: всякое рефлексивное пространство - банахово (задача 1).
Теорема (о рефлексивности подпространства): всякое подпространство
рефлексивного пространства рефлексивно.
Доказательство: пусть X - рефлексивное пространство, Е - его под¬
пространство. Пусть ж: X —> X**, 7Г{: Е —> Е** - естественные вложения. Рас¬
смотрим отображение J : X* —» E*, Jcp = cp| т.е. УхеЕ Jy>(x) = <р(х).
335

Также рассмотрим отображение F :E** ^Х**, действующее по правилу:
\fy/&E** \/(реХ* Fy/{(p) = y/{J(p). По условию л - изометричный изомор¬
физм, поэтому 7z~^F а X . Покажем, что л'(ЕЕ**) а F. Допустим, что это не
так, т.е. 31//0 e Е**: л~](Еу/0) = х0<£ Е. Тогда по теореме о вычислении расстоя¬
ния с помощью функционала Ek/>() <е X*: у?0(х0) = 1, <д0|/; =0. Тем самым,
J<P0=OgE*, поэтому 0-y/Q(J<р0) = Fy/Q((pQ) = лх0(<р0) = <р0(х0) = 1. Противоре¬
чие.
Покажем, что лх сюръективно, откуда и будет следовать рефлексивность
Е. Надо доказать, что V у/ е Е** Зх е Е: лхх = (//. Заметим, что по теореме Хана-
Банаха V/ e E* 3<реХ*: (p\E=f или J<p = f. Тогда V/ e Е* возьмем элемент
х = л~1 (Fi//) e Е и получим: л{х(/) = fix) = JqAx) = (pix) = лх(ф) = Ey/fp) = (//(./ (p) =
= КЯ-
Теорема доказана.
Теорема (о рефлексивности сопряженного пространства): если про¬
странство X рефлексивно, то рефлексивно и X*. Обратно: если X - банахово
пространство, то из рефлексивности X * следует рефлексивность X .
Доказательство: по определению надо доказать, что V у/ e X	Зх<еХ :
= (pix). Пусть х = у/л, где л: X —» X** - естественное вложение.
Поскольку X рефлексивно, то	- есть л у для некоторого у e X , при¬
чем Ѵх e X* лу(х) = х(у). Тогда у/(ф) = у/(яу) = х(у) = /гу(х) = <р{х).
Обратно: пусть X рефлексивно. Тогда, по уже доказанному, X рефлек¬
сивно. Поскольку X = лХ а X** и X - замкнуто, то X рефлексивно по преды¬
дущей теореме.
Теорема доказана.
Теорема (критерий рефлексивности Банаха): банахово пространство X
рефлексивно тогда и только тогда, когда всякая ограниченная последователь¬
ность его элементов содержит слабо сходящуюся в X подпоследовательность.
Теорема (критерий рефлексивности Джеймса): для того, чтобы банахо¬
во пространство X было рефлексивным, необходимо и достаточно, чтобы
УсреХ* ЗХу e X :
1 и (р(х<р) = \\<р\\
Замечание: доказательство этих утверждений можно найти в литературе
по функциональному анализу (см. напр., [3]). Частично эти утверждения пред¬
лагаются в качестве задач для самостоятельного решения (задачи 2, 3, 19).
Определение: пусть X - линейное нормированное пространство, МсІ,
N cl*, тогда множество М1 = X*: ѴхеМ <р{х) = о| называется аннуля-
тором множества М, а множество іА^ = {хеХ :V<peN <р{х) = 0} называется
преданнулятором (общим ядром) множества N.
336

Замечание: если пространство X рефлексивно, N сі*, то по определе¬
нию	= |i// e X** :V<peN y/iyp) = oj = {x e X :\/<peN <p{x) = 0} = 1N, посколь-
ку в рефлексивном пространстве элементы хеі и у/ e X можно отожде¬
ствить с точностью до изометричного изоморфизма.
Теорема (свойства аннуляторов и преданнуляторов): пусть X - линей¬
ное нормированное пространство, тогда:
1.	для любого множества МсІ его аннулятор - подпространство в X ;
для любого множества ІѴсХ его преданнулятор - подпространство в X ;
2.	если МсІ, то М1 = М1; если N с= X*, то 1N =1 N;
3.	{О}1 = X*, X1 = {0};1 {0} = X,хХ* = {0};
4.	если Мх а М2 а X , то M2L с= MXL с= X*; если Nx <z N2 а X*, то
1Д^2 с: 1Л^1 <= X ;
5.	если МсІ, то М = 1(М1);
6.	если ІѴсІ , то N<z( N) , при этом, если пространство X рефлек¬
сивного N = (1N)1.
Доказательство: свойства 1-4 предлагается доказать самостоятельно (за¬
дача 8), используя только определения аннуляторов, преданнуляторов и под-
пространств. Для доказательства свойства X = {0} применяется теорема о
вычислении нормы вектора с помощью функционала.
5.	Пусть хеМ. Покажем, что хе1(М1), т.е., что ^х) = 0Ѵ^еМі. Но
это действительно так по определению М1, поскольку, если (р е ML = ML (по
свойству 2), то <р(х) = 0 ѴхеМ. Пусть теперь х g М . По теореме о вычислении
расстояния с помощью функционала ЗсреХ*: <р\- =0, (ріх) = 1. Отсюда следу¬
ет, что (?еМх, но (р{х)Ф 0, т.е. х<£
6.	Предлагается доказать самостоятельно, аналогично свойству 5, учиты¬
вая, что в рефлексивном пространстве Ѵ(//еІ** ЭхеХ: Ѵ^еІ* у/іур') = (ріх)
и элементы хеі и у/ e X можно отождествить (задача 8).
Теорема доказана.
Теорема (критерии всюду плотности): пусть X - линейное нормиро¬
ванное пространство, тогда:
1.	линейное многообразие МсІ всюду плотно в X тогда и только тогда,
когда М1 = {О};
2.	если X рефлексивно, то линейное многообразие N сі* всюду плотно
в X* тогда и только тогда, когда 1N = {0}.
Доказательство: 1. Пусть М всюду плотно в X, т.е. М = Х. В силу
свойств 2 и 3 предыдущей теоремы М1 = М1 = Х1 = {0}.
337

Обратно: пусть М1 = {0}. В силу свойств 5 и 3 М = 1(М1) = 1 {0} = X .
2.	Доказывается аналогично п. 1, используя свойства 2,3,6 предыдущей
теоремы (задача 9).
Теорема доказана.
Примеры решения задач
1.	Пусть X - рефлексивное пространство, ереХ*. Доказать, что ЗхеХ,
х^О: <д(х) = ||<д|| • ||х||.
Решение: если (р = 0, то в качестве искомого элемента х можно взять лю¬
бой вектор х ф 0. Ясно, что равенство ер{х) = ||#>|| • ||х|| будет верным.
Далее будем считать, что ерф0. Берем Мере X*, ерф0. По теореме о вы¬
числении нормы вектора с помощью функционала найдется функционал
у/еХ** такой, что </Д<д) = ||<р|| и ||^|| = 1. Отсюда заключаем, что у/{ер) = |^| • ||(р||.
Поскольку X - рефлексивно, то Му/еХ** ЗхеХ: МереХ* у/{ер) = ер{х) и при
этом 1^1 = ||х||. Для нашего функционала у/ найдем указанный элемент хеХ,
причем ясно, что х^О (иначе из равенства ||^|| = ||х|| следовало бы, что у/ = 0, а
из равенства </Д<д) = ||<р|| следовало бы, что <р = 0, а это противоречие). Тогда
имеем цепочку равенств ер(х) = у/{ер) = ІИНМНИШІ-
2.	Доказать, что, если X - рефлексивное пространство, то оно является
слабо полным.
Решение: надо доказать, что если X - рефлексивное пространство, то в
нем всякая слабо фундаментальная последовательность слабо сходится.
Пусть {xJcX - слабо фундаментальна, т.е. Мере X* справедливо соот¬
ношение \ер(хп) - ер(хт)I —> 0. Это означает, что числовая последовательность
' п,т—»оо
{ер(хп)} - фундаментальна. В силу критерия Коши для числовых последова¬
тельностей [<р{хп)\ сходится, т.е. ер(х ) —» а. Поскольку сходящаяся последова-
тельность всегда ограничена, то МереХ* последовательность {<д(хд)} ограни¬
чена. Поскольку X - рефлексивное пространство, то X - банахово. Итак, по¬
лучили, что последовательность {хге} слабо ограничена в банаховом простран¬
стве, следовательно, последовательность {хга} ограничена (см. задачу 16 п. 2.5).
В силу критерия рефлексивности Банаха у последовательности {хй} можно
найти слабо сходящуюся подпоследовательность |х% |, т.е. хч ^ х0 e X, а зна¬
чит для наших функционалов ер получаем, что ер[хп )->^(х0). В силу един-
ственности предела и того, что ер(хп) —» а, получаем, что а = ср(х0), откуда еле-
ft-» со
дует, что хп х{!.
ft-» 00
338

3. Доказать, что пространство С[а,Ь] не является рефлексивным.
Решение: допустим противное. Тогда Ѵу/ eC**[a,b] ЭхеС[а,Ь]: \/<реС*[а,Ь]
у/{(р) = (р{х). При этом по теореме об общем виде функционала на С[а,Ь] функ¬
ционалу (р е С*[а,Ь\ будет соответствовать функция ограниченного изменения
Ь	Ь
git), причем (ріх) = Jx(t)dg(t), откуда у/{(р) = y/(g) = Jx(t)dg(t).
а	а
Рассмотрим функционал у/ѣ е С**[а,Ь]: у/^ (g) = g(t0 + 0) - g(t0 -0), t0 е [a,b].
I	I	*
Ясно, что он линеен, а также ограничен: К)Щ = 1«(<0 + °) - 8(t0 - 0)| < У g = ||g||.
Кроме того, легко видеть, что
1, т.е. у/ ^0, поэтому существует такая
ъ
непрерывная на [а,Ь] функция хі)(і)Ф0, что ipXo(g) = jxQ(t)dg(t). Рассмотрим
функцию g0(t) = Jx0(r)dT. Она непрерывна на \а,Ь\, следовательно, <//До (g0) = 0.
а
Ъ	Ъ
С другой стороны, ц/Хо(g0) = jxQ(t)dgQ(t) = j*x]{t)dt > 0 - противоречие.
а	а
4.	Доказать, что пространство Lp(E,dju), 1< р< оо рефлексивно.
Решение: рассмотрим элемент у/eL**. Требуется найти такой вектор
xeLp, что для всякого функционала (p^Lp у/{<р) = ср{х). Рассмотрим отобра¬
жение g:Lq(E,dju)^>С, g(y) = y/(fy), где fy(x) = $x(t)y(t)djue L* - тот
E
функционал, который можно найти для любого элемента у e Lq по теореме об
общем виде функционалов на Lp. Легко проверяется, что g - линейный огра¬
ниченный функционал, т.е. geLq*. Тогда, снова по теореме об общем виде
функционала, примененной к g eLq*, существует вектор x(t) е Ьр такой, что
g{y) = \y(t)x{t)dju. Таким образом, для всех yeLq g(y) = fy(x), откуда
Е
y/{fy) = f (х). Осталось заметить, что, по теореме об общем виде функционала,
любой функционал (pe.Lp - есть /ѵ для некоторого у e Lq.
Заметим, что для доказательства рефлексивности недостаточно было
предъявить цепочку Lp * = Lq = Lp, поскольку изоморфизм не обязан был осу¬
ществляться именно естественным вложением во второе сопряженное.
Задачи для самостоятельного решения
1.	Доказать, что всякое рефлексивное пространство является банаховым.
339

2.	Доказать, что, если сепарабельное банахово пространство рефлексивно,
то единичный шар в нем секвенциально слабо компактен.
Указание: использовать теорему о *-слабой секвенциальной компактно¬
сти шара в сопряженном пространстве (применительно к пространству X*).
Использовать утверждение примера 5 п. 2.3. Учесть, что, в силу рефлексивно¬
сти, единичный шар пространства X совпадает с единичным шаром про¬
странства X**.
3.	Доказать, что, если пространство X рефлексивно, то Ѵ<д e X* Эх(р e X :
= 1 и 0>Ц,) = |М|.
4.	Доказать, что всякое конечномерное пространство рефлексивно.
Указание: используя задачу 29 п. 1.4 показать, что размерности про¬
странств X и X** совпадают. Далее, расписывая элементы ц/ e X**, (р e X* и
хе X по соответствующим базисам (определяя базисы в X* и X** также,
как и в указанной выше задаче), проверить, что У i// e X** Эх e X : У (р<Е X*
ц/{ср) = (р{х).
5.	Доказать, что пространства с0, /,, с, /ю нерефлексивны.
Указание: в случае с0 рассмотреть функционал g е с0**, переводящий / ,
оо
?! е /, в ^г/п- В случае /, рассмотреть функционал g е/,**, переводящий f ,
/7=1
rjelx в (pip) - функционал на Іх, равный нулю на с0 и единице на (1,1,1,...). В
остальных случаях использовать свойства рефлексивности.
6.	Доказать, что пространства Д и Д нерефлексивны.
Указание: в случае Ц найти функционал, не достигающий нормы на еди¬
ничном шаре.
7.	Доказать, что пространство Ір, 1 < р < оо рефлексивно.
8.	Доказать свойства 1-4, 6 аннуляторов и преданнуляторов. Показать, что,
если пространство X рефлексивно, МсІ - подпространство, то (М1) =М .
9.	Доказать, что, если X - рефлексивное пространство, то линейное мно¬
гообразие ІѴсІ* всюду плотно в X* тогда и только тогда, когда 1N = {0} .
10.	Для множества М = \[...Д_2Д_1Д0Д1Д2,..):Дк =~Д,к eZ}c/p(Z),
р > 1 найти аннулятор М1.
Указание: показать, что М1 = ^...,p_2,p_l,0,T]l,7]2,...):7]_k
Показать, что любой функционал / elp(X) , порожденный элементами М ,
обнуляется на элементах М. Показать, что векторы е0, е1-е_1, е2-е_2,...
лежат в М и использовать то, что для любого функционала f, порожденно¬
го произвольным элементом (...,t}_2,t}_1,t}q,tj1,t}2,..(), f(eQ) = 0, /(^ — е_1) = 0,
f(e2-e_2) = О,...
340

11.	Для множества М = |х(7) е С[-1,1]: V7 < 0 x(t) = 0} найти М1.
Указание: М1 = Ь(ср0), <р0(х) = х(0), L обозначает линейную оболочку.
12.	Для множества М = {х(0 е С[0,1]: х(0) = 0} найти М1.
Указание: М1 = Ѣ
13.	Для множества М = {х(7) е Ц[-1,1]: V? е [-1,1] x{t) = x(-t)} найти М1.
Указание: М1={0}.
14.	Для множества М всех многочленов в пространстве С[0,1] найти ML.
Указание: М1 = L((p0), %{х) = х(0), L обозначает линейную оболочку.
15.	Для множества М = {x(t) е С[0,1] :Уа>Ь х(а) > х(Ь)} найти М1.
Указание: М1 = {0}.
16.	Для множества М =
x(t) е Z^[0,1]: j* x(t)dt = О
найти М
Указание: М1 = L( 1) в L2 [од]. L обозначает линейную оболочку.
з
17.	Для множества М =с0 в пространстве с найти ML.
Указание: Мі = {О}.
18.	Для множества М = [хе	^2> •••} найти М1.
Указание: Мх = {0}.
19.	Доказать, что, если банахово пространство X рефлексивно, то всякая
ограниченная последовательность его элементов содержит слабо сходящуюся в
X подпоследовательность.
Указание: рассмотреть N - замыкание линейной оболочки элементов по¬
следовательности, показать, что N сепарабельно и рефлексивно и воспользо¬
ваться задачей 2. Показать, что слабая сходимость на N* эквивалентна ела-
бой сходимости на X .
20.	Доказать, что в рефлексивном пространстве последовательность вло¬
женных выпуклых замкнутых ограниченных множеств имеет непустое пересе¬
чение.
Указание: всякое замкнутое выпуклое множество в банаховом простран¬
стве слабо замкнуто (см. [3], а также дополнение к разделу).
21.	Привести пример последовательности вложенных выпуклых замкну¬
тых ограниченных множеств в нерефлексивном пространстве, имеющих пустое
пересечение.
341

2.7.	Сопряженные операторы
Определение: пусть X,Y - линейные нормированные пространства,
A:X—>Y - линейный ограниченный оператор, Y*,X* - сопряженные про¬
странства. Оператор А* :Y* —»X* называется сопряженным к оператору А, если
V(p&Y* ЗА*(рeX*, и определяется следующим образом: А*(р(х) = <р(Ах) (или, в
симметричной форме, <х,А*(р>=< Ах,(р>).
Теорема (о норме сопряженного оператора): пусть X,Y - линейные
нормированные пространства, А :Х —» F - линейный ограниченный оператор,
Y* ,Х* - сопряженные пространства. Тогда сопряженный оператор А* :Y*	X *
также является линейным ограниченным оператором и
Доказательство: 1. Проверим, что А* :F* —линеен.
а) Поскольку Ух e X {q\ + (рг)(Ах) = q\{Ax) + (р2(Ах) по определению суммы
функций, то А*((рг + (р2)(х) = Al фх(х) + Al (р2(х) по определению сопряженного
оператора, откуда А*(щ + (р2) = А\р] + А*(р2.
б) Аналогично п. а) А* (Лср)(х) = ЛА*(р(х), поскольку (Л(р)(Ах) = ЛсріАх).
2. Проверим ограниченность, т.е., что А*<р < с||<д||. Поскольку А - линеен
и ограничен, то ||Ах|| ^ИІ-И-
Ы
Далее, А ср
3. Проверим, что
А ср(х)
= SUp-—jj-jj—
\(р{Ах)\	\(р\
= sup' ..	' <sup" 1
хФО X	хфО	X
. В силу п. 2
= ИІ'ІНІ’т е- с =
4*
А *
А <р
/1
— мдр-
(рФ 0
ІЫІ
< sup
<рф о
По теореме о вычислении нормы вектора с помощью функционала, выберем
линейный ограниченный функционал (р так, чтобы ||г/?|| = 1 и |(р{Ах )| = ||Ат||, то-
А*
гда
|ІАх|| \(р{Ах)\ А (р{х)
= supY-jp = sup' .. .. ' = sup—jj-jj—
хфО X хфО X	хфО X
< sup
хфО
X
X
. Окон¬
чательно,
Теорема доказана.
Теорема (о втором сопряженном операторе): пусть X,Y - линейные
нормированные пространства, А: X —» Y - линейный ограниченный оператор,
тогда А**(лѵ,х) = л. Ах, где лѵ, :Х —» X**, л* :Y —»F** - естественные вложе-
X.	i	X	i
ния.
Доказательство: по определению естественных вложений и сопряженно¬
го оператора V^eF* ѴхеХ яуАх(<д) = <д(Ах) = /Сср(х) = лХ*х{/С(р). Далее,
чтобы получить определение второго сопряженного оператора, в определении
сопряженного оператора А (р(х) = <р(Ах) заменим А -^-А ,ср^>л *х,х—
X
342

А -» А*, тогда А**л *х((р) = я-.х(АѴ), откуда лѵ,Ах{(р) = А**лѵ,х{(р).
л	А	i	л
Теорема доказана.
Замечание: поскольку лѵ*Х = X , и л, АХ = АХ , то АХ = АХ , т.е. А
X	і
является продолжением А.
Теорема (о двойственности): пусть Х,У - линейные нормированные
пространства, А: X —» Y - линейный ограниченный оператор, тогда:
1.	кег А* = (ІшА)±;
2.	ImA= J~(kerA*);
3.	kerA = J~(ImA*);
4.	Im A* a (kerA)1. При этом если X рефлексивно, то Іш А* = (кег А)1.
Замечание: напомним, что кегА = {х e X : Ах = 0} - ядро оператора А,
ІтА = Л(А) = {уеР:у = Ах, іб 1} - образ (множество значений) оператора А.
Доказательство: 1. Пусть (р е У*, тогда ср е кег А* <=> А*<д(х) = 0 Ѵх e X <=>
<£4> ср(Ах) = 0Ѵхе X ^^(ImA)1.
2.	Поскольку kerA* = (ImA)1, то, по свойству 5 аннуляторов, получаем,
что ImA = 1((ImA)J") = 1(kerA*).
3.	Пусть хеХ, тогда х е кег А Ах = 0<=> сріАх) = О е У . Последняя
эквивалентность получилась в силу теоремы о вычислении нормы вектора с
помощью функционала. Действительно, если Ах Ф 0, то У : (р(Ах) Ф 0. Да¬
лее, <^(Ax) = 0V<^eF* aV(x) = OV<peF* <=>хе 1(ImA*).
* _L	* _L	_L
4.	В силу свойства 6 преданнулятора ImA <=( (ЬпА )) =(kerA) . Для
рефлексивного пространства это вложение превращается в равенство.
Теорема доказана.
Определение: пусть НѴН2 - гильбертовы пространства, А : Н1 ^ Н2 - ли¬
нейный ограниченный оператор. Оператор А*: Н2 —» Н1 называется гильберто¬
вым сопряженным к оператору А, если Ѵх gH1 Vy e H2 (Ах, у) = (х, А*у).
Замечание: это определение в действительном случае является частным
случаем общего определения сопряженного оператора. Пусть в комплексном
случае Т: Н2 —» Н*х - оператор, сопряженный к А : Н] —> Н2 в смысле общего
определения. В силу теоремы Рисса определены две антилинейные изометриче-
ские биекции I: Н1 —» Н1 и ./ : Н2 —» И2, поэтому существует ограниченный
линейный оператор А*: #2 —» #І5 для которого ІА* = TJ , т.е. А* = /_17У. Опера¬
тор А* линеен, как композиция двух антилинейных и одного линейного опера¬
тора. Далее,
то
А’и
/аѴ1
rlTJ
< m =
, т.е. А* ограничен. А поскольку /А* J 1 = Т,
<
А‘
. Итак,
А
343

По теореме Рисса (Ах, у) = Jy(Ax) = TJy(x) = IA*y(x) = (х,А*у ). Наконец,
если для некоторого линейного оператора В: Я2 —» Ях для всех х е Ях и у & Н2
(Ах, у) = (х,Яу), то (х,(А*-Я)у) = 0. Выбирая х = (А* - В)у, для всех у е Я2
получаем, что (А - В)у = 0, т.е. А* = В и гильбертов сопряженный оператор
определяется единственным образом. Всюду далее, если речь идет о сопряжен¬
ных операторах в гильбертовых пространствах, будем иметь ввиду именно
гильбертовы сопряженные операторы, если не указано иное.
Замечание (свойства операции сопряжения): 1. Если X,Y - линейные
нормированные пространства (в частности, гильбертовы), А,В: X —»7 - ли¬
нейные ограниченные операторы, то (А + В)* = А* + В*.
2.	Если X,Y - линейные нормированные пространства, А:Х—»7 - ли¬
нейный ограниченный оператор, А е С то (ЛА)* = АА*. Если X,Y - гильберто¬
вы, то (АА)* = АА*.
3.	Если А:Х -» 7, B:Y-» Z - линейные ограниченные операторы, то
(ВАУ = А* В*.
4.	Если А: Ях -> Я2, то (А*)* = А.
Доказательства этих свойств выводятся из определения (гильбертовых)
сопряженных операторов и предлагаются в задачах для самостоятельного ре¬
шения.
Определение: пусть Я - гильбертово пространство. Оператор А: Я —» Я
называется самосопряженным, если Ѵх, у е Я А = А*, т.е. (Ах, у) = (х, Ау).
Определение: пусть X - линейное пространство, А: X —» X - линейный
оператор, L - подпространство в X . L называется инвариантным для операто¬
ра А, если Ѵх g L элемент Ах e L.
Теорема (об инвариантности ортогонального дополнения): пусть Я -
гильбертово пространство, А: Я —» Я - самосопряженный оператор, L - под¬
пространство Я. Тогда если L инвариантно для А, то Lx также инвариантно
для А.
Доказательство: надо доказать, что если xeL1, то Ах e L1, т.е., что
Vy e L (Ах, у) = 0. Поскольку А - самосопряжен, то (Ах, у) = (х, Ау). Т.к. у e L
и L - инвариантно для А, то Ay e L. Поскольку х е іА, то (х, Ау) = 0.
Теорема доказана.
Определение: пусть Я - гильбертово пространство, L - его подпростран¬
ство, Lx - ортогональное дополнение к L, тогда оператор Р:Я->Я называется
проектором на L вдоль Lx, если Ѵх = х, + х2, где хх e L, х2 e Lx выполнено ра¬
венство Рх = х1.
Замечание: поскольку Я = L Ѳ Lx, то Ѵх е Я в указанном виде х1 + х2
представить можно, и, значит, проектор корректно определен для всех элемен¬
тов гильбертова пространства. Отметим, что оператор Р: Я —» Я является про¬
344

ектором на подпространство L тогда и только тогда, когда Vx e L Рх = х. Кро¬
ме того, очевидно, что оператор I - Р:Н —>Н (где I - тождественный опера¬
тор) является проектором на L1.
Теорема (о проекторе): пусть Н - гильбертово пространство, L - его
подпространство, L1 - ортогональное дополнение к L, тогда оператор
Р:Н —» // является проектором тогда и только тогда, когда:
1.	Р2 = Р;
2.	Р = Р .
При этом Р является проектором на свой образ вдоль своего ядра.
Доказательство: пусть Р - проектор на L вдоль L1, т.е. если х = х1 + х2,
где xl e L, х2 e L1, то Рх = х1.
1.	Р2х = РРх = Рху. Ясно, что х1=х1+0, x1 e L, 0 e L1, значит Рх1=х1=Рх.
2.	По определению самосопряженного оператора надо проверить, что
(Рх,у) = (х,Ру). Пусть х = хх + х2, где x1eL, x2eb±, у = ух + у2, где yxeL,
у2е L1, тогда Рх = х1, Ру=ух и надо проверить, что (хх, ух + у2) = (хх + х2, ух),
т.е., что (х1,у]) + (х1,у2) = (х1,у1) + (х2,у1). Это равенство верно, поскольку
(хру2) = 0 и (х2,ух) = 0.
Обратно: пусть выполнены условия 1 и 2. Обозначим за L - образ Р. По¬
кажем, что L1 = kerР, т.е., если xeL1, то Рх = 0 и, наоборот, если Рх = 0, то
xeL1. Пусть х e L1. Поскольку Рх e L, то
||Рх||2 = (Рх, Рх) = (х, Р*Рх) = (х, РРх) = (х, Р2х) =(х, Рх) = 0,
значит, Рх = 0, т.е., если xeL1, то xgkerР.
Теперь покажем, что, если xekerP, то xeL1, т.е., что любой вектор из
ядра Р ортогонален образу Р. Пусть xekerP, y = Pz. Надо показать, что
2.
(х, у) = 0. Действительно, (х, у) = (х, Pz) = (Р х, z.) =(Рх, z) = 0, поскольку Рх = 0.
Итак, показали, что L1 = kerP. Осталось убедиться, что Р - проектор, т.е.
если х = х1 + х2, xleL, х2еРх,то Рх = хх. Имеем, Рх = Р(х1+х2) = Рх1+Рх2.
Т.к. х2 e L1, L1 = ker Р, то Рх2 = 0, значит Рх = Рхх. Поскольку хх e L (образу
i.
Р), то Xj = Pz, значит Р^ = PPz = P2z=Pz -х,, т.е. Рх = хх.
Теорема доказана.
Примеры решения задач
1. Найти сопряженный оператор (в смысле общего определения) к опера¬
тору Л:/2->/2,если Ѵх = (£,£,...)е/2 Дх = Г2£2-£3,2£3-£4,^,^,...,^,... .
V	3 4 к у
Решение: по определению А* :12 —>/2*. По теореме об общем виде функ¬
ционалов в Ір получаем, что 12 = /2. Кроме того, по определению сопряженного
345

оператора \f(pel2 имеем, что A*q> e 12* и A*<p(x) = <p(Ax). По теореме об общем
виде функционалов в Ір имеем, что Ѵ(ре12 Зу = (г/к)" е /2: Ѵх =	)"=1 е /2
оо
д)(х) = ^4кЧк ■ В нашем случае получаем, что <р(Ах)=< Ах,(р>=(2£2 -%ъ)-тіх +
к=1
+(2^з-^4)-772 + ^-77з+^-774 +... + ^-77,+... = 0-^1 + 2771-^2 + Г-771 + 2772 + ^\^з +
3	4	к	у	3 J
+
Г -п +^1
Щ 4 J
' £ + X • & + - + у- ■ 4 + - = S4 <А*(Р)к =< х,А*(р >= А>(х).
к=1
5	А:
По теореме об общем виде функционала в /2 Ѵу = {rjvrj2,...) е /2 заключаем,
что A*y = fo,2^1,-//1 + 2^2 + ^,-/72 + ^,^,...,^,...l
V	3	4 5 к J
2. Найти сопряженный оператор к оператору А: С[0,1] -> С[0,1], если:
i	1
а) Ax{t) = Jx(r)dr ; б) Ax(t) = tJ x(r)dr.
t	о
Решение: а) А*: С*[0,1] —» С*[ОД], причем по теореме об общем виде функ¬
ционалов в С[0,1] получаем, что С*|0Д] = ѴДОД], где ѴДОД] - пространство
функций с ограниченным изменением g(t), непрерывных справа всюду на ин-
1
тервале (ОД) и таких, что g(0) = 0 с нормой ||g|| = у g(t). Для (р е С*[0,1] имеем:
i
о
(\
\ i
^g{t)d |х(г)Дг =^x{t)g{t)dt =
\t
У о
= А (р{х).
ifi	^	1
^(Ах) = | |х(г)й?г dg{t) = ^x{r)drg{t)
О\t	J	t	о о
1	ft	Л
= jx(t)d jg(r)dT
о	U	У
Последний переход законен, поскольку функция с ограниченным измене¬
нием g(t) является интегрируемой (она ограничена и представляется в виде
t
разности двух монотонных). Значит, определена функция h(t) = Jg(r)dr е Ѵ0[ОД],
о
1	1
а тогда jx(t)dh(t) = jx(t)g(t)dt (см. задачу 11 п. 2.4). Таким образом, получаем,
о	о
t
что А*g(t) = Jg{r)dr:ѴДОІ] ->ѴДОД].
i i
б) (р(Ах) = ^t^x(j)dTdg(t) = t^x{r)drg{t)
о о
11	(1	) 1
-Jg(t)d tjx(r)dr =jx(r)drg( 1)-
0 0	v о	у 0
346

1
1
1
1
1
1
1
-j g(Oj x(j)drdt = J x(T)g(l)dr - J x(r)J g(t)dtdr = J x(r)d (g(l)r) - J x(r)d rj g(t)dt
о	0	00	о	ovoy
f	i	Л	(	\	\
= A*<p(x), т.е. A g{t) = t
0
1
\
= Jx(r)rf gi\)T-r^g{t)dt
0
V
0
У
g(l)- \g(t)dt
v
0
:Ѵп[0Д] ^ У0[ОД].
У
3. Пусть Я - комплексное гильбертово пространство. Доказать, что, если
А : Н —» Я - самосопряженный оператор, то |Л| = sup|(Ax,х)|.
4N1
Решение: обозначим с = sup|(Ax,х)|, тогда, в силу неравенства Коши-
№
Буняковского c<sup||Aj||-||jc||<sup||A||-||jc||2<||A||. Далее, при хе Я: ||х||<1 с>|(Ах,х)|.
И<і	и<1
Пусть х^О, тогда
х
X
= 1, следовательно, с>
с	\
А х х
, откуда для всех
х^О |(Ах,х)|<с||х||2.
Рассмотрим тождества (А(х + у), х + у) = (Ах, х) + (Ах, у) + (Ау, х) + (Ау, у) и
(А(х-у),х-у) = (Ах,х)-(Ах,у)-(Ау,х) + (Ау,у). Поскольку оператор А са¬
мосопряжен, то (Ах, у) + (Ау,х) = (Ах, у) + (у, Ах) = (Ах, у) + (Ах, у) = 2Re(Ax, у).
Тогда, вычитая из первого тождества второе, находим
(А(х + у), х + у) - (А(х - у), х - у) = 4Re(Ах, у).
В силу неравенства |(Ах,х)| < с||х||2 и равенства параллелограмма, получим:
4|Re(Ах, у)I = |(А(х + у),х + у) - (А(х - у),х - у)| <
< |(А(х + у),х + у)I + |(А(х - у),х - у)I < с(||х + yf + ||х - yf) = 2c(|xf + |yf j.
При ||х||<1 и ||у||<1 получаем |Re(Ax,у)| < с. Возьмем хе Я такой, что
|х||<1 и Ах^О, тогда при у =
Ах
ІМ
получаем, что
Re
Ах,
Ах
ІМ
<с, откуда
|Re(Ax,Ax)| |(Ах, Ах)|	■■	..
J—п—п—- =J—т,—й—- ^ с, т.е. Ах < с (при Ах = 0 это неравенство также оче-
HI ИМ 11
видно верно). Возьмем в этом неравенстве точную верхнюю грань по всем
||х|| < 1, тогда sup||Ax|| < с, откуда (см. задачу 4 п. 1.1) 14 <с.
№
4. Пусть Я - гильбертово пространство и А: Я —» Я - линейный ограни¬
ченный оператор. Доказать справедливость равенств:
а)	(R(A))± = kerА*;
б)	(ІДА*))1 = ker А;
в)	(ker А)1 = R(A*);
г)	(kerА*)1 = R(A).
347

Решение: а) Пусть ze(7?(A))x, т.е. (z,Ax) = 0 для всех хе Я. Тогда, по
определению гильбертова сопряженного оператора (A*z,x) = 0 для всех хе Я.
Поскольку всем векторам пространства Я ортогонален лишь нулевой элемент,
то A*z = 0, т.е. zekerA*. Пусть zekerA*, тогда A*z = 0 и для всех хе Я
(А*z,x) = 0, откуда (z, Ах) = 0, т.е. z е (Я(А))Х. Таким образом, (/?(А))Х = кег А*.
б)	Следует из п. а), если в роли А взять А* и учесть, что (А*)* = А.
в)	Из свойства непрерывности скалярного произведения следует, что z -1 L
тогда и только тогда, когда Z-LL, где L - линейное многообразие. Поскольку
ядро линейного ограниченного оператора представляет собой замкнутое ли¬
нейное многообразие, то по теореме о разложении гильбертова пространства в
прямую сумму Я = кег А Ѳ (кег А)1, а с другой стороны, Я =/?(А*) Ѳ (/?(А*))Х.
Поскольку, в силу п. б) (/?(А*))Х = кег А, то, в силу единственности разложения
гильбертова пространства в прямую сумму, (кег А)1 = R(A*).
г)	аналогично в).
5.	Найти сопряженный оператор А* к оператору А, если (все пространства
считать комплексными):
t
а)	А:^[0,1]->1,[0,1] и Ax(t) = |x(r)Jr ;
о
б)	A:lp—>lp, р> 1 и Ах = (а^ѵа2^2,...), где х = (£,&,...)е/р и (а*)"=1 -
ограниченная последовательность;
в) А-.І^ІШ)^ Я,(Ж) и Ax(t) = a(t)x(t+ h), где a(t) - ограниченная на R и
измеримая по Лебегу функция, а h е К.
Решение: а) Оператор А линеен и ограничен, а также определен на всем
пространстве Мол], которое является гильбертовым. Для определения сопря¬
женного оператора А" : МОД] —у 1^2 [0,1J рассмотрим произвольную функцию
Л	і Л	Л
dt.
о	о Ѵо	у
i / t
y(t) е /^[ОД], тогда: {Ax,y)-^Ax{t)y{t)dt = ^ Jx(r)dr y(t)dt = J Jx{r)y{t)dr
0	OVO	у	OVO
i У i
Меняя порядок интегрирований, получаем: (Ах,у) = | j*x(T)y(t)dt
о Ѵ^
dr =
i f i
л
i f i
= Jx(r) Iy(t)dt dr = Jx(r) jy(t)dt dT=jx(T)A*y(T)dT=(x,A*y).
о Vr J о Vr Jo
i
Следовательно, A*y(t) = J y{r)dr, где y(t) e Z^[0,l].
б) При p> 1 оператор является линейным и, поскольку последователь¬
ность (^)"=1 - ограничена, то оператор ограничен (см. пример 3 п. 1.4). Пусть
р > 1, р ф 2. Из теоремы об общем виде функционалов в / (р> 1) следует, что
348

11 * х
/ * = /, - + - = 1, причем \/xelp VpeZ/ <р(х) = ^к<рк, где (р = {(рѵср2,...)ЕІ =1 *
р q	к=i
00	00	00
Тогда Vxelp, V<pel*=lq (р(Ах) =<Ах,(р>=^(А%к)<Рк =	= ^^как<Рк =
к=1	£=1	£=1
оо
= ^^кА*(рк =< х, ЛѴ >= (аѴ)(х) • Таким образом, АѴ = {ax(px,a2q)2,...) при
к=i
(p = {(px,(p2,...)tlq, A*:lq^lq.
Пусть /7 = 1, тогда // = /ю. Аналогично, получаем £ф = (ах<рѵа2ф2,...) при
(р = {(рѵ(р2,...)^Іао, А* :/«,
00	00
Если /? = 2, то (Ах,у) = ^ak^kifk = kakrjk = (х,А у), поэтому в данном
к= 1	&=1
случае jCy = (apjva2ri2,...) при у = (jjl,Jj2,...)el2, А*:/2->/2.
в)	Оператор А линеен и ограничен, его норма ||а|| < sup|n(/)| • Кроме того,
rsR
он определен на всем пространстве L, (М), которое является гильбертовым. Для
определения сопряженного оператора А*: L2 (Ж) —» 1^ (Ж) рассмотрим произ¬
вольную функцию у(0 e L2(M), тогда:
= J а(т - h)x(z)y(z - h)dz =
ж
= Jх(г)а(г - h)y{z - h)dz =
jх(т)а(т - h)y(z - h)dz = j x(z)A*y(z)dz = (x, А*у).
(Ax, y) = J Ax(t)y(t)dt = J a(t)x{t + h)y(t)dt =
l+h = z
dt = dz
Следовательно, для всех y(t) e L2 (Ж) A*y(t) = a(t - h)y(t - h).
6.	В комплексном пространстве l2 рассмотрим последовательность опера¬
торов Ага:/2 —»/2, neN, где Айх = (£в+1,£й+2,...), х = (£,£,...) е/2. Доказать, что
все Ап - линейные ограниченные операторы и Vxe/2 Пт Апх = Ох. Найти по-
И—>■ со
следовательность (А*)	. Верно ли, что Vx e L Ііш А *х = Ох ?
\ п /„=1	г	2 п-юо п
Решение: все операторы Ап :12—>І2 линейны и ограничены, причем ||aJ < 1.
Поскольку для всякого х =	e L ряд "Vl^, I сходится, то У" |4І	0? как
I I	1	1	ц_>СО
k=1
к=п+1
f со
остаток сходящегося ряда. Таким образом, Ѵхе/2 lim|Ux|| = Ііш V
И->00М	11 и-^со
1
Лг
О,
Ѵ^'=/!+1	/
т.е. НтА „х = 0х.
п—>оо
Поскольку /2 - гильбертово, то для произвольного у = (77р772,...) е /2 полу-
со
чаем (Аих, у) =	+ €п+2Щ + - = £ ■ 0 + <f2 • 0 +... + 4 • 0 +
к= 1
349

+4+Л+ 4п+Лг + - = 'Е^к(Ап17к) = (х’АпУ)’ откуда для всех у = (pvp2,...)el2 по-
к=1
лучаем, что А^у = ф,0,...,0,гі1,р2,...) и Ѵуе/2 lim \*у
4	v	J	И-»сс
п
\ітА*уФ0у.
= lim
и-» со
/ оо	\
Ski
ч*=і /
= Я » те-
7.	Доказать, что для однозначного задания сопряженного оператора равен¬
ством А*(р(х) = <р(Ах) в определении сопряженного оператора необходимо и
достаточно, чтобы D(А) = X, где ІХ А) - область определения оператора А.
Решение: пусть D(A) Ф X, тогда по теореме о вычислении расстояния с
помощью функционала 3(р0^Х*, (р0 ^ 0: Ѵх e D(A) <р0(х) = 0. Но тогда имеется
два представления: А*<р(х) = <р(Ах) и А*(<р + %){х) = <р(Ах).
Пусть теперь D(A) = X, и при этом д>(Ах) = А* (р^(х) = А* ср2(х), откуда
Vxe D(A) A*(^ -<р2){х) = 0. Поскольку D(A) плотно в X , то из примера 4 п.
2.3 следует, что А*(^ - ср2) = 0, т.е. А*<Ді = А*<р2.
Задачи для самостоятельного решения
1.	Доказать, что, если X,Y - линейные нормированные пространства,
А: X —> Y - линейный ограниченный оператор, то:
*
а)	оператор А инъективен тогда и только тогда, когда ЬпА всюду плотен
в Y;
б)	если ІшА всюду плотен в X , то А инъективен;
в)	если пространство X рефлексивно, то оператор А инъективен тогда и
только тогда, когда ІшА всюду плотен в X .
Указание: воспользоваться теоремой о двойственности и критериями
всюду плотности.
2.	Доказать, что, если нормированные пространства X и Y рефлексивны и
А: X —> Y - линейный ограниченный оператор, то А = А.
3.	Доказать свойства 1-4 операции сопряжения (приведенные в соответ¬
ствующем замечании).
4.	Доказать, что если А: Н —» Н, то операторы АА* и А*А являются само¬
сопряженными.
5.	Пусть Н - комплексное гильбертово пространство и А : Н —>Н - само¬
сопряженный оператор. Доказать, что Ѵх е Н (Ах,х) е М.
6. Найти сопряженный к оператору А: [О, і] —>	[О, l], определяемому
формулой Ax(t) = tx(t).
7.	Найти оператор, сопряженный к оператору вложения А: /2 —» с0, Ах = х.
350

8.	Найти сопряженный к оператору А: L, [0,і] —» L, [0,і], определяемому
i
формулой Ат(0 = JcOS£r(5)^5.
0
9.	Найти сопряженный к оператору А:І^[0,і]—»L2[0,l], определяемому
1
формулой Ax{t) = Ix(s)ds.
10.
Найти
оператор, сопряженный
к
оператору
А! ^ /j,
если
*
II
..,4,од.
..), где х = (£,£,...) G/r
11.
Найти
оператор, сопряженный
к
оператору
А:с0^с0,
если
Ах = (£,..
-,4,о,о,.
..), где х = (£,£,...) ес0.
12.
Найти
оператор, сопряженный
к
оператору
А: /2 —> 12,
если
Ах = (4>-
..,4,о,о,.
..), где х = (4е/2.
13.
Найти
оператор, сопряженный
к
оператору
А: /х —> с0,
если
Ах = (&,..
..,4,о,о,.
..), где х = (^1,4,...)е/1.
14.
Найти
оператор, сопряженный
к
оператору
А: с0 -» с0,
если
Ax =	, где последовательность (Аи)”=1 ограничена, х = (£,£,...) ес0.
15. Найти оператор, сопряженный
к
оператору
А: /х —» с0,
если
Ах = (Я4,44,...), гДе последовательность (А„)”
ограничена,
*
II
m
16. Найти оператор, сопряженный
Ах = (0,0,где х = e/j.
к
оператору
А! /j —^ /j,
если
17. Найти оператор, сопряженный
Ах = (0,0,4,4,...), где x = (^4„..)gc0.
к
оператору
А:с0 —»с0,
если
18. Найти оператор, сопряженный
Ах = (0,0,4,4,-), где х = (4е/2.
к
оператору
А: /2 —> /2,
если
19. Найти оператор, сопряженный
Ах = (0,0,где x = (^1,4,...)g/1.
к
оператору
А: —> с0,
если
20. Найти оператор, сопряженный
Ах = (^2,^з,...), где х = (£,£,...) e/j.
к
оператору
А i /j —^ /j,
если
21. Найти оператор, сопряженный
Ах = (4,4,...), где х = (£,£,...) ес0.
к
оператору
А:с0—>с0,
если
22. Найти оператор, сопряженный
Ах = (<^2,£з,...) , где х = (£,&,...) е/2.
к
оператору
А:12—>12,
если
23. Найти оператор, сопряженный
Ах = (4,4,...), где х = (4,4,...)е/г
к
оператору
А • k —> г0,
если
24. Найти оператор, сопряженный к оператору А: L, [0, і] —» L, [0,і],
Ax(t) = x(ta), а>0.
если
351

25.	Найти оператор, сопряженный к оператору А	L2(M), если
Ax(t) = x(t + h), где h - некоторое фиксированное число.
26.	Найти оператор, сопряженный к оператору А: Z^(lR) —» L2(IR), если
Ax(t) = ^-[т(0 + х(-0].
27.	Найти оператор, сопряженный к оператору A:lp^>lp (р> 1), если
Ах = (0,	x = (gvg2,...)elp.
28.	Найти оператор, сопряженный к оператору А: /2 —> /2, если
Ах = (4 + 4,4+4,...), х = (4,4,...)е/2.
со
29.	Найти оператор, сопряженный к оператору Ах = ^4 —: с0 —» 4 [0,1 ],
п=0
п\
X (4?<^2’*") ^ ^0 •
30.	Найти оператор, сопряженный к оператору А:	[О, і] —>	[О, і], если
x(t), 0<t< А
Ax(t) =
0, Л < t < 1
31. Найти оператор, сопряженный к
Ах = (0,0,...,0,4,0,0,...), х = (<44
п
оператору
А i /j —^ /j,
если
32. Найти оператор, сопряженный к
Ах=(€п+€і’€пА+€і’-’2£і’€п+1’€п+2’---)’ *=(£>&>•
п
оператору
..)е/2.
А: /2 —> /2,
если
33. Найти оператор, сопряженный к
А*=(#2’£’£4’#3 > —л=(4,4,...)е/2.
оператору
А. /2 >■ /2,
если
34.	Убедиться, что для операторов из примера 2 ІА]! = ||а*|| .
i
35.	Найти оператор, сопряженный к оператору Ax{t) = jVi_2rx(r)dz, если
о
А: С[0,і] —» C[0,l].
i
36.	Найти оператор, сопряженный к оператору Ax{t) = |sin(;r(f - s))x(s)ds,
о
если А:С[0,і]—»С[0,і].
37. Найти оператор, сопряженный к оператору
А: С [О, і]	с[о,і].
Ax(t) = jx(s)ds,
0
38.	Найти оператор, сопряженный к оператору Ax(t) = x(t2),
A:C[-l,l]-»C[-l,l].
Указание: разбитъ интеграл на два и выполнитъ замену переменной.
если
если
352

39.	Найти оператор, сопряженный к оператору Ax(t) = tx(t), если
А:С[0,і]->С[0,і].
i
Указание: A*g(t) = jVdg(r). См. задачу 12 п. 2.4.
40.	Пусть Н - гильбертово пространство и А :Н —» Я - линейный огра¬
ниченный оператор. Доказать, что:
а)	ker(AA*) = ker(A*);
б)	ker(A*A) = ker(A);
в)	Д(АА*) = Д(А);
г)
АА
Указание: в п. г) воспользоваться самосопряженностью оператора АА ,
примером 3 и тем, что, если f(x)> 0, то sup/2(x) = (sup/(x))2.
41.	Доказать свойства б) и г) из примера 4.
42.	В пространстве [—1,1] построить проекцию любой функции на под¬
пространства четных и нечетных функций.
43.	Доказать, что оператор Р:Я—»Я является проектором на подпро¬
странство L тогда и только тогда, когда Vxe L Рх = х.
44.	Пусть Р:Н —>Н - проектор на подпространство L. Доказать, что опе¬
ратор I — Р:Н —>Н (где I - тождественный оператор) является проектором на
Ь\
45.	Пусть Н - гильбертово пространство, Р :Н —»Я - проектор. Доказать,
что
= 1.
Указание: воспользоваться теоремой Пифагора.
46.	Найти оператор, сопряженный к оператору Ax(t) = e'x(t), если
j4:Z,[0,1] Мол].
47.	Найти оператор, сопряженный к оператору Ах = (£\-%2,%5 + З£3,£6), ес¬
ли А: /2 —>1
i
48.	Найти оператор, сопряженный к оператору Ax(t) = j*(/ + es)x{s)ds, если
о
Л:М0ЛНМі-31
1
49.	Найти оператор, сопряженный к оператору Ax{t) = ^e,±sx(s)ds, если
о
А: L* [0,і] -» Lj [-1,0].
3
50.	Найти оператор, сопряженный к оператору Ax(t) = j(4« -5s2)x(s)ds,
t
если A: L2 [-3,3] —» L2 [-3,3].
353

51.	Найти оператор, сопряженный к оператору Ax(t) = eltx(t), если
A:i,[0,l]->Z,[0,l].
52.	Найти оператор, сопряженный к оператору Ах = х, если Л: /2 —> с().
t
53.	Найти оператор, сопряженный к оператору Ax(t) = ^ts2x{s)ds, если
о
A:L3[0,1]^L5[0,1].
54.	Найти оператор, сопряженный к оператору А: /2 —> /2, если
^	4	5 п + 1
55.	Найти оператор, сопряженный к оператору Ax(t) = (3 + cos2t)x(t), если
\
У
А:Ь,
Л ft
Л ft
0,-
—^ ^2
0,-
L 2 J
L 2 J
56. Найти оператор, сопряженный к оператору Ах =
( п	\
V і=i	Jk=i
если
57.	Найти оператор, сопряженный к оператору Ах = (ап^п,ап+^п+ѵ...), если
А:/j —>/4 и Л: /, —> с0, а последовательность (ап) ограничена.
58.	Найти оператор, сопряженный к оператору Ах = (0,0,0,<^4,^5,...), если
А ! /2 —^ /3.
59. Найти оператор, сопряженный к оператору А: /| —> /3 и А: /| —> , если
f 5	Y
Ах = £(2'* +(2+ /)/)#,	.
V 1=1	Jk=1
60.	Найти оператор, сопряженный к оператору Ах = х, если А: /j —»/2.
61.	Найти оператор, сопряженный к оператору Ax(t) = x №■ если
А I Zg [О, і] —» Zg [О, і] .
2
62.	Найти оператор, сопряженный к оператору Ат(0 = cos^|x(^№, если
i
A:L4[l,2]—»7^[2,3].
63.	Найти оператор, сопряженный к оператору Ax(t) = eltx(3t - 2), если
A:Z^(M)->Z^(M).
64.	Найти оператор, сопряженный к оператору А:С[0,і]—»С[0,і], если
i	i
Ax(t) = Itx(t)dt + tx(0) + t2x( 1); Ax(t) = t2^x{z)dr + x(0) + tx(Y).
о	0
Указание: использовать свойство (A + B)* = A*+B*.
354

Дополнение. Комплексный вариант теоремы Хана-Банаха. Слабая за¬
Теорема Хана-Банаха (комплексный вариант): пусть X - линейное
нормированное пространство, Х0 - его линейное многообразие, (р0: Х0 —> С -
линейный ограниченный функционал. Тогда существует линейный ограничен¬
ный функционал ср: X —> С такой, что <р\х = <р0 и ||<р|| = ||^0||.
Доказательство: пусть /0:Х0-> М, /0(x) = Re#>0(x). Ясно, что действи¬
тельный линейный функционал. Поскольку |/0(х)| <|$?0(х)|, то ||/0|| < ||^0||, по¬
этому /0 ограничен. По теореме Хана-Банаха для действительных функциона¬
лов 3f :Х —»М - линейный ограниченный функционал такой, что /\х =/0 и
Пусть теперь <^:Х—» С, ср(х) = f (х) - if (іх). По построению <р(іх) = і(р(х),
поэтому (р - комплексный линейный функционал. Далее, если х е Х0, то
||/|| > ||<д0||. Поскольку ||/|| = ||/0||, то получили противоречие.
Теорема доказана.
Определение: пусть X - действительное линейное нормированное про¬
странство. Функционал (ре X* называется строго разделяющим множества
M,N а X, если inf <р(х) > sup^(x).
хеЛ/	хбЛ!
Теорема (об отделимости выпуклого и компактного множеств): пусть
X - действительное линейное нормированное пространство, M,N(zX - вы¬
пуклые множества, М f]N = 0, М компактно, а N замкнуто. Тогда существу¬
ет нетривиальный функционал (р e X*, строго разделяющий М и N.
Замечание: в частности, утверждение справедливо, если множество М
состоит из одной точки.
Теорема (о слабой замкнутости выпуклого множества) : пусть X - ли¬
нейное нормированное пространство, М czX - замкнутое выпуклое множе¬
ство, тогда М - слабо замкнуто.
Доказательство: допустим, что 3{іл}сМ: хй-ч0?М.
мкнутость выпуклого множества
ІІ/ІІ
(р{х) = /О) - if(ix) = f0(x) - if0(ix) = Re#>0(x) - i Re#>0(/x) =
= Re % (x) - i Re(/<p0 (x)) = Re#>0(x) + i Іт<д0( х) = % (x).
Таким образом, (p продолжает <д0. При этом ясно, что ЦгдЦ	Предпо-
355

1.	Если X - действительное пространство, то по теореме отделимости
найдется функционал среХ* такой, что <р(х0) > sup^(x). Так как <р(хп)—нр(х0),
хеМ
то 3N eN: \/п> N <р{хп) > sup^(x). Это означает, что хп£М . Противоречие.
хе М
2.	Пусть X - комплексное пространство. Рассматривая его, как действи¬
тельное, найдем линейный ограниченный функционал <р0 : X —»М такой, что
<р0(х0) > sup^0(x). Далее, возьмем среХ*, (р(х) = (р0(х) - і(р0(іх), тогда получим,
хеМ
что %{хп) = Re<p(xJ Re<p(x0) = %{х0) > sup<%(x), т.е. снова хп £ М .
хе М
Теорема доказана.
356

РАЗДЕЛ 3. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
ЗЛ. Обратные операторы
Определение: пусть X и Y - линейные нормированные пространства,
А: X —> Y - линейный оператор с областью определения D(A) и множеством
значений R(A). Пусть существует оператор А-1: Y —» X такой, что Vx e D(A)
А_1Ах = х и Vy e R( А) АА_1у = у. Тогда операторы А и А-1 называются взаим¬
но обратными.
Определение: пусть X и Y - линейные нормированные пространства,
А: X —»Y - линейный оператор. Линейный оператор В:Y —» X называется ле¬
вым обратным для оператора А, если ВА = ІХ , где Іх - тождественный опера¬
тор в пространстве X . Линейный оператор C:Y —» X называется правым об¬
ратным для оператора А, если АС = ІУ, где І¥ - тождественный оператор в
пространстве Y.
Теорема (простейшие свойства обратных операторов): пусть X и Y -
линейные нормированные пространства, А:Х —»7 - линейный оператор. То¬
гда:
1.	если оператор А имеет левый обратный и правый обратный, то они рав¬
ны, т.е. В = С = А-1;
2.	Пусть оператор А отображает D(A) на R(A) взаимно однозначно, тогда
существует обратный оператор А-1, отображающий R(A) взаимно однозначно
на D(A).
3.	В условиях п. 2 оператор А-1 линеен.
4.	если существует оператор А-1: Y —» X, определенный на всем Y, то
Vy e Y уравнение Ах = у имеет единственное решение;
5.	(А-1) = А (в предположении, что (А-1) существует);
6.	Если А - ограничен, то А-1 может не быть ограниченным.
Доказательство: 1. В = BIY = В(АС) = (ВА)С = ІХС = С, откуда В = С = А-1.
2.	В силу взаимной однозначности Vy e R( A) существует единственный
прообраз х e D(A). Ставя в соответствие каждому такому у e R(A) его прооб¬
раз х e D(A) и получим оператор А-1.
3.	Легко доказать, что R(A) - линейное многообразие. Пусть
х = А-1 (уг + у2) - А_1у! - А_1у2, тогда Ах = АА'1(у1 + у2) - АА~\ - АА_1у2 =(у1 + у2)-
-Уі - у2 =0. В силу взаимной однозначности оператора А получаем, что х = 0.
Таким образом, А~1(ух + у2) = А~1ух+ А~1у2. Доказательство для множителя -
аналогичное. Таким образом, А-1 линеен.
4.	В силу п. 1 В = С = А-1. Если оператор А имеет правый обратный С, то
х = Су является решением уравнения Ах = у, поскольку, подставляя в уравне¬
357

ние, получаем, что АСу = у, т.е. у = у. Пусть А имеет левый обратный В, х -
решение уравнения Ах = у, тогда, применяя оператор В слева к этому уравне¬
нию, получаем, что х = By. Допустим, что х1 - другое решение уравнения
Ах = у, т.е. Ахх = у, тогда jq = By = х и, значит, решение единственно.
5. Пусть Л-1 = В, тогда (а1) 1 = В~1. Поскольку ВВ~1 = /, то А1 (А-1) = /,
откуда (А-1) 1 = А.
6.	Рассмотрим оператор А, действующий в С[0,і] и определяемый равен-
t
ством Ax{t) = Ix(z)dz. Ясно, что он определен на всем пространстве С[0,і] и
о
линеен в силу свойств линейности интеграла.
Область значений R(A) оператора А представляет собой линейное много-
t
образие непрерывно дифференцируемых в С[0,і] функций вида y(t) = Jx(z)dz,
о
для которых у(0) = 0. Кроме того, оператор ограничен в силу оценок:
IMI=s“p
ie[0,l]
\x{z)dz < sup f|x(r)|£/r<||x||sup [к/г = |Ы|
J	'40.1] f)	ЦолГо
Покажем, что линейный оператор А 'х(і) = zzm ? действующий в
dt
R(A) = D(A~1), является обратным к оператору А. Пусть х(і) e R(A), тогда
t
AA~lx(t) = Jx \r)dr = x(t) - x(0) = x{t), поскольку для x(?) e R(A) x(0) = 0. Если
dx(t)
же x(t) e С[0,і], то A 1Ax(Y)= |x{r)dr
x{t)
Покажем, что А 1 неограничен. Возьмем xn(t) = sinnt е R(А) = D(A *), heN.
Тогда ||xn|| = sup|sinnd<l, т.е. последовательность {хи} ограничена. Ясно, что
»б[од]
А~1хп(t) = ncosnt и A~lxn = sup \ncosnt\ = n sup |cosnt\ = n —> -boo, т.е. оператор
Цод]	(е[ОД]
А-1 перевел ограниченную последовательность в неограниченную. Следова¬
тельно, он неограничен.
Теорема доказана.
Теорема (критерий инъективности): пусть X и Y - линейные норми¬
рованные пространства, А:Х —»7 - линейный оператор. Оператор А инъекти-
вен тогда и только тогда, когда его ядро ker А = {х е ВІ А): Ах = 0} = {0}.
Доказательство: пусть оператор А инъективен. Предположим, что
ker А ф {О}, тогда возьмем z е ker А, z ^ 0. Пусть у e R( А) и уравнение Ах = у
358

имеет решение х* e X. Тогда А(х* + z) = Ах* + Az = Ах* + 0 = Ах* = у. Поскольку
z^O, то х* + гФх*. Таким образом, каждый элемент yeR(A) имеет по мень¬
шей мере два прообраза х* e D(A) и х* + ?е /ХА). Это противоречит инъектив¬
ности оператора А. Значит предположение kerA^{0} неверно.
Обратно: пусть кегА = {0}. Предположим, что 3yeR(A), имеющий два
прообраза xl,x2e D(A) такие, что х1фх2, т.е. оператор А не является инъек¬
тивным. Тогда Ахх = у и Ах2 = у и, вычитая из первого равенства второе, полу¬
чаем, что Ах, - Ах2 = 0, т.е. A(Xj - х2) = 0, значит, хх - х2 е кег А = {0}, откуда
х1=х2. Противоречие.
Теорема доказана.
Замечание: из доказанной теоремы и простейших свойств обратных опе¬
раторов следует, что обратный оператор определен и линеен на всем Y, если
исходный оператор сюръективен и его ядро состоит только из нулевого векто¬
ра.
Определение: пусть X и Y - линейные нормированные пространства,
А: X —» Y - линейный оператор. Оператор А называется непрерывно обрати¬
мым, если R(A) = Y и оператор А-1: F —» X линеен и ограничен.
Теорема (критерий непрерывной обратимости): пусть X и Y - линей¬
ные нормированные пространства, А: X —» Y - линейный оператор. Оператор
А непрерывно обратим тогда и только тогда, когда R{ А) = Y и Vxe D(A)
3m>0: ||Ах|| > m||x||.
Доказательство: пусть оператор А непрерывно обратим, т.е. R(A) = Y и
существует обратный оператор А 1: F —> X, который линеен и ограничен. По
определению ограниченности оператора, Vy e Y Зс > О
А-1 у
< с
Пусть
А ху = х e D{A), тогда у = Ах и тогда Vx e D(A) получаем, что ||х|| < с\Ах||, отку¬
да ІІАхІІ > - • ІЫІ = m||x||, причем ясно, что т > 0.
с
Обратно: пусть R(A) = Y и VxeD(A) 3m>0: ||Ах|| > w||x||. Надо доказать,
что существует обратный линейный ограниченный оператор А-1. Покажем, что
А взаимно однозначен. Если Ах = 0, т.е. хе кег А, то 0 = ||Ах|| > т||х||, откуда
х = 0. Таким образом, кегА = {0}, и по предыдущей теореме А взаимно од¬
нозначен и существует обратный линейный оператор А-1. Пусть теперь Ах = у,
тогда х = А_1у и, поскольку VxeD(A) ||Ах|| > m||x||, то ѴуеЕ ААЛу >т А~1у
откуда А1у < — ■ |у|, где — > 0, т.е. оператор А 1 ограничен.
т	т
Теорема доказана.
Замечание: теорема применима даже в случае, когда D(A) ф X и оператор
А не является ограниченным.
359

Теорема (об обратимости оператора, близкого к тождественному):
пусть X - банахово пространство, А: X —» X - линейный ограниченный опе¬
ратор. Тогда если ЦАЦ < 1, то существует ограниченный оператор (/ - А)-1.
Доказательство: покажем, что ЗВ = (/ - А)-1, причем В линеен и ограни¬
чен. Возьмем В = I + А + А2 + А3 +..., тогда ясно, что В - линеен. Покажем сна¬
чала, что этот ряд сходится.
Пространство X по условию полно, следовательно, по теореме о полноте
пространства линейных ограниченных операторов, пространство Ь(Х,Х) -
также полно. В силу критерия полноты линейного пространства в терминах ря¬
дов, достаточно показать, что ряд B = I + А + А2 + А3 +... сходится абсолютно,
оо
т.е., что сходится ряд У]|а*
к=0
Поскольку
<
и по условию А < 1, то
ряд X
это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Следова¬
ло
тельно.
к=О
1
1-
к=О
1
, откуда 2JA* < -—т.е. ряд ^||а* сходится. По-
к=О
путно установили неравенство \\В\\ < —гг—г (см. задачу 2), из которого следует,
что оператор В ограничен. Осталось проверить, что В(І - А) = (/ - А)В = I.
Действительно, В(І - А) = (I + А + А2 + А3 +...)(/ - А) = (/ -г А -г А2 -г А3 -г...) -
-(А + А2 + А3 +...) = I. Равенство (/ - А)В = I проверяется аналогично.
Теорема доказана.
Замечание: в этой теореме, естественно, полагается, что D(A) = R(A) = X .
Аналогично определяется оператор (/ + А)-1 = /- А-г A2- A3 +... + (-l)BA" -г... (за¬
дача 3).
Замечание: вид оператора В можно было угадать, рассмотрев числовой
ряд (1-х)-1 =1 + х + х2+х3+... и подставив в него формально х = А (см. также
задачу 9).
Теорема (об операторе, близком к непрерывно обратимому): пусть X -
банахово пространство, А,АА:Х —- линейные ограниченные операторы,
причем А непрерывно обратим, а INI < А 1	. Тогда оператор
непрерывно обратим и при этом
INII ■ 1
А-1 2
1 “ И-1
І-ІМІ
В = А + ДА
ІІААІІ <
Доказательство: пусть В = А + АА = А(/ + А 'AA). Поскольку по условию
А-1||-||АА||<1, то для оператора А-1 ДА выполнены
А ДА
все условия предыдущей теоремы (см. замечание) и, следовательно, существует
360

0° £
(/ + А-1 АЛ)-1 = ^(-А_1ДА) . Далее (см. задачу 4), B~l = (I + А_1ДА)_1 А-1, следо-
к=0
вательно, В 1 существует, линеен и ограничен, т.е. В непрерывно обратим.
Наконец, получим требуемое неравенство:
В1 - А-11 = ||(/ + А-1 ДА)-1 А-1 - А-11 < I А-11 • ||(/ + А'1 ДА)'1 - /|
i-л
£(-/Г‘м)‘ - /
1-1
к=О
±{-А-'М)к
к=1
<
00	,	со
^ (-а_1да) ^ а-1 Iа-1 да
£=1 £=1
<
1-1
00 /II
II
£=1
1-1
А-1
*11-И
А"
-Г и
1-
£
I
I
аЦ-МІ
Теорема доказана.
Теорема Банаха (об обратном операторе): пусть X и Y - банаховы
пространства, А: X —»У - линейный ограниченный оператор, причем
D(A) = X, І?(А) = У. Тогда если этот оператор имеет обратный А-1: У —» X, то
он также ограничен.
Доказательство: поскольку оператор А сюръективен, то, в силу принци¬
па открытости (см. п. 1.5), образ единичного шара с центром в начале коорди¬
нат содержит некоторый шар с центром в начале координат. Его радиус обо¬
значим через р, т.е. если взять Ѵу е У: |у| < р, то в этот элемент у перейдет
некоторый элемент іеі, содержащийся в единичном шаре (т.е. ЗхеХ:
|х| <1 и Ах = у). Поскольку Ах = у и обратный оператор существует, то
х = А Іу. Таким образом, ѴуеУ из условия
< р следует, что Ы =
А"1 У
<1.
Покажем, что Vz е У Зс > 0:
А z
<с Ы
Имеем,
А =
А-1 Z .p.N
=ы.
л-1 г
NI р
р
А ы\р
Если покажем, что
|у|| < р, то получим, что
1	z
где с— , у = 7-г
Р	И
■ peY.
У
< 1 и тогда
т.е.,
что и требовалось доказать. Действительно,
Теорема доказана.
Замечание: теорема Банаха об обратном операторе неприменима, если
D(A) ф X или R(A) ф У. Кроме того, теорема Банаха является симметричной
(из ограниченности А 1 следует ограниченность А).
Замечание: если D(A) = X и R(A) = У, то из теоремы Банаха об обратном
операторе следует, что оператор А-1 линеен и ограничен, тогда и только тогда,
когда уравнение Ах = у однозначно разрешимо при любой правой части у е У.
361

Теорема (об эквивалентных нормах): пусть на некотором линейном про¬
странстве Е заданы две нормы Цх^ и ||х|| , по отношению к каждой из которых
пространство Е - банахово. Если хотя бы одна из норм подчинена другой, то
эти нормы эквивалентны.
Доказательство: пусть Ех - пространство Е с нормой ||х|| , а Е2 - про¬
странство Е с нормой ||х||2. Ясно, что Ех и Е2 - банаховы. Пусть норма ||х||
подчинена норме ||х|| , т.е. 3с2>0: ||х|| <с2||х|| . Рассмотрим оператор А:Е2->ЕХ,
действующий по формуле Ах = х (слева х e Е, как элемент пространства Ег, а
справа іе£, как элемент пространства Ех). Ясно, что D(A) = Е2, А - линеен и
отображает Е2 на І?(А) = ЕХ взаимно однозначно. Кроме того, ЦАх^ <с2||х||2, т.е.
оператор А - ограничен. Таким образом, обратный оператор А-1 :ЕХ^> Е2, дей¬
ствующий по формуле А_1х = х, существует и, по теореме Банаха об обратном
операторе, он также ограничен, т.е.
А *х
VI
А-1
2
ИІ2 ^
А
-i
• |х| , откуда |х| >
1-1
-i
||х|| = сі ІИІ2' Окончательно получаем, что
cx\\xl2 <||4 <с2||х||2. По определению нормы ||4 и ||х||2 эквивалентны.
Теорема доказана.
Примеры решения задач
i
1. Пусть Ах(Д = х(Д-д|&Д,г)х(г)й?г:С[0,і]—»С[0,і], ?е[0,і], ДеЖ\{0},
о
kit, т) = y/(t) уіт), функции у/(t) и уіт) непрерывны на [0,і] и не равны тожде-
схвенно нулю, (и,)**, *і. Доказать, что оператор Л непрерывно обра-
тим и найти А 1.
Решение: оператор А определен на всем пространстве С[0,і], а, в силу
теоремы о непрерывности интеграла Римана, зависящего от параметра, множе¬
ством значений оператора также является все пространство С[0,і]. Линейность
оператора очевидна в силу линейности интеграла. Проверим его ограничен¬
ность, пользуясь тем, что в С[0,1] |х(І)| < \\х\\:
f	i	л
|х(о|+И |Ио|Иг)||*(г)И*
ІІАхІІ = sup
№[0,1]
< х sup
№[0,1]
х(0 - Aj ц/і$)уіт)хіт)(іт
о
l + \A\\\yy(t)\\m\d
V
< sup
ге[0,1]
J
< х sup
№[0,1]
H4IWI
V
о
i Л
Мт
О
<
~(і + \А[
Таким образом, AsL(C[0,l],C[0,l]). Поскольку С [0,l] - банахово про¬
странство, то для установления непрерывной обратимости оператора А доста-
362

точно, в силу теоремы Банаха об обратном операторе, показать, что при каждом
у(Т)еС[0,і] уравнение Ах = у имеет единственное решение. Рассмотрим урав-
1	i
нение x(t) - Aji//(t)y(z)x(z)dz = y(t) или x(t) - Ay/(t)j y(z)x(z)dz = y(t). Из вида
О	о
1
уравнения ясно, что его решение x{t) = y(t) + сАц/it), с = Jy(z)x(z)dz. Умно-
0
жим этот вид на y{t) и проинтегрируем полученное соотношение по т на от-
111	i
резке [ОД]: \x(z)y{z)dz = \y(z)y(z)dz + cAfi//(z)y(z)dz. Пусть с0 = Jy/{z)y{z)dz,
0	0	0	о
тогда из условия задачи ясно, что с0 ^-j-. Поскольку	с = J* y{z)x{z)dz, то полу-
1	1	1
чаем равенство: с = Jy(z)y(z)dz + сАс0, откуда с =	Jy(z)y(z)dz.
о	1 — Ас0 0
Подставляя найденное с в вид решения исходного уравнения, получаем
si ^	Л ^
x(t) = y(t) + i//{t)~—— f y(z)y(z)dz или x(t) = y(t) + -—— [k(t,z)y(z)dz = A_1y(0.
l-^oo	!-^o0
Из этой формулы следует, что решение x(t) единственно, поскольку, если
Ахг = у, Ах2 = у, то х1 = А~1у = х2. Подставляя найденное x(t) в уравнение
Ах = у, получим тождество >’(/) = у(і), т.е. найденное решение существует при
любой правой части y(t) е с[од]. Таким образом, оператор А непрерывно об¬
ратим.
t
2. Пусть Ax(t) = x{t)~A^k(t,z)x(z)dz, A:C[0,l]—»C[0,l], ?е[0,і], ЯеМ\{0},
о
где k(t,z) = i//(t)y(z), функции i//{t) и y(z) непрерывны на [0,і] и не равны
тождественно нулю. Доказать, что оператор А непрерывно обратим и найти
А~\
Решение: аналогично предыдущему примеру Ае L(C[0,1],C[0,1]), поэто-
t
му достаточно показать, что уравнение x{t)~ ^[j/{t)y{z)x{z)dz = y{t), при каждом
о
y(t)eC[0,l] имеет единственное решение.
t
Если обозначим z(t) = jy(z)x(z)dz, то получим, что решение уравнения
о
t
надо искать в виде x(t) = y(t) +A\j/(t)z(t). Из соотношения z(t) = jy(z)x(z)dz ясно,
о
что z(t) е С(І) [од], причем z\t) = y{t)x{t) и ^(0) = 0. Подставим в полученное
363

дифференциальное уравнение x(t) = y(t) + Ay/(t)z(t), и, обозначая a0(t) = y{t)y/{t),
t
/lja0(r)dr
получим z'(t)-Aa0(t)z(t)=y(t)y(t). Решение однородного уравнения zQ(t) = се 0
Д j*а0 (т)йт
Используя метод вариации постоянной, запишем z(t) = c(t)e 0	, откуда
t	t
lja0(T)dT	xja0(r)dr
Z\t) = c\t)e 0	+ Ac(t)a0(t)e 0	, и, выполняя подстановку в неоднородное
-Ajag(T)dT	t ~/ja0(s)ds
уравнение, получим c'(t) = e 0	y(t)y(t), т.е. c{t) = Je 0 у(т)у(т)йт, где
X^afj(z)dT
а = const. Общее решение z(t) = e 0
Aj a0(s)ds
0 У(т)у(т)(Іт. Воспользуемся
о -л.j"a0 (^Из¬
начальным условием z(0) = 0 и получим z(0) = Je 0 y(r)y(r)dr = 0.
a
t	г
я|оо(г)Иг t -д|а0(з:)Из
Окончательно z(t) = e 0 Je 0 у(т)у(т)с1т, отсюда находим, что
о
t	т
Aja0(r)dT t -Л,|а0(з-)Из-
x(t) = y(t) + Ai//(t)e 0	•Je 0 y{v)y{t)dr = A-1 y(t). Снова легко видеть
о
существование и единственность полученного решения при любой правой ча¬
сти y(t) е С[0,і], т.е. оператор А непрерывно обратим.
3.	Пусть Lc С [ОД] - линейное многообразие трижды непрерывно диффе¬
ренцируемых на [ОД] функций, удовлетворяющих условиям: х(0) = х'(0) = т"(0) = 0.
Доказать непрерывную обратимость оператора А:С[0,і]^С[0,і] с областью
определения D(А) = L и Ax(t) = xm(t) + x"(t).
Решение: в данном случае теоремой Банаха пользоваться нельзя, посколь¬
ку D(A) ф С [ОД] и оператор А - неограничен, как всякий оператор дифферен¬
цирования в пространстве С [од].
Для проверки непрерывной обратимости воспользуемся критерием непре¬
рывной обратимости. Возьмем произвольную функцию y(t) е С[0,і] и рассмот¬
рим уравнение Ах = у, т.е. x"\t) +x'\t)= y{t) с начальными условиями
х(0) = х'(0) = х"(0) = 0.
Рассмотрим однородное уравнение x'"(f) + x"(f) = 0. Его характеристиче¬
ское уравнение к3 + к2 = 0 имеет корни кх= 0 - кратности 2 и к2 = 1, т.е. реше¬
ние этого уравнения записывается в виде x(t) = с/ + с2 + с3е~‘. Для решения не-
364

однородного уравнения используем метод вариации постоянных, т.е. будем ис¬
кать решение неоднородного уравнения в виде x(t) = с,(/)/ + c2(t) + c3(t)e~'.
Тогда x\t) = сх \t)t + cx(t) + c2 \t) + б'з \t)e~‘ - с3(t)e~‘. Считаем с, '(1)1 + с2 \t)+с3 \t)e~‘ = 0.
Далее, x"(t) = cx(t)-c3\t)e+ c3(t)eи считаем, что сх \t) - с3 \t)e~* = 0. Нако¬
нец, xm(t) = c3\t)e-c3(t)e. Подставим эти производные в исходное неодно¬
родное уравнение: c3\t)e~l -с3(Ое~г +c3(t)e~1 =y(t) . Таким образом, для опреде-
сх (t)t + с2 (£) + с3 (t)e 1 =0
ления с,(/), с2(і) и с3(і) получаем систему:
сх '(0 - с3 \t)e ' = 0
с3 = y(t)
Из третьего уравнения системы находим, что с3 ’(t) = e1 y(t), тогда из второ¬
го уравнения сх ’(0 = y(t), а из первого - с2 \t) = -y(t)-ty(t).
t	t	t
Тогда c3(t) = ^evy(z)dz, cx(t) = Jy(z)dz, c2(t) = ~^(\ + z)y(z)dz. Решение
a	b	c
t	t	t
неоднородного уравнения: x(t) = t^y(z)dz-^(\ + z)y(z)dz+ e~l^ey(z)dz. Boc-
b	c	a
0	0
пользуемся начальными условиями x(0) = -J(l + r)y(r)dr +jVy(r)dr = 0. Да-
c	a
t	t	t	t
лее, x\t) = Jy(z)dz + ty(t) - (1 + t)y(t) - e~z jeTy(z)dz + y(t) = Jy(z)dz - e~'Jezy(z)dz ,
b	a	b	a
0	0
откуда т'(0) = J y(z)dz - J ez у(z)dz = 0.
b	a
t	t	0
T.K. x"(t) = y(t) + e~t^ezy(z)dz-y(t) = e~t^ezy(z)dz, то x"(0) = feTy(z)dz = 0.
a	a	a
0	0 0
Из полученных равенств заключаем jezy(z)dz = jy(z)dz = j(l + z)y(z)dz = 0, от-
a	be
t	t	t	t
куда x(t) = tJy(z)dz- J(1 + z)y(z)dz + e~tjety(z)dz = j(t-l-z + eT~t)y(z)dz. Ви-
0	0	0	0
дим, что для всякой непрерывной функции y(t) решение x(t) существует (что
легко проверяется подстановкой в исходное уравнение), т.е. R(А) = С[0,1]. Да¬
лее, оценим норму полученного решения:
РІс[од] = “Р
1 J /е[0Д]
\(t-\-z + ez f)y(z)dz < sup \\t-l-z + ez '||y(r)|flfr<
<
с[од]
l
sup J|/ — 1 —
z + e
Ц0Д]
dr<||y|| sup \(t + \ + z + ez ')dz =
L ’J ^[од] о
365

С[0Д]
sup
ге[0,1]
f3t2
+■ t +1 - e
m
с[од]'
1
Поскольку Ах=у, то Ис|01] <m||Ах||с[01], откуда |H|C[01] >^ИС[01]. Для
того, чтобы по критерию непрерывной обратимости сделать вывод, что опера¬
тор А непрерывно обратим, осталось показать, что — >0, т.е., что т>0. He¬
rn
трудно убедиться, что функция
312
+t +1 - е монотонно возрастает при
»Фі]. поэтому т = sup
/е[0Д]
ГЪ t2
\
+ t + 1 — 6
Л+г-е*ЛЛАл±
2	2 е 2е
>0. Итак, опе¬
ратор А непрерывно обратим, и действие обратного оператора задается форму-
t
лой A~xy(t) = J(r-l-r + £r ')y(z)dT, VyO)eC[0,l].
о
4.	Проверить, существует ли непрерывный обратный оператор к оператору
А: /2 —> /2, если:
а)	Ас=(#3,й,
б)	At = (f, + 2&,
в)	Ат = (£	+ #3,2£ -2£,,
где л = (с,) е /..
Решение: а) Ясно, что D(A) = R(A) = l2, поскольку оператор только меняет
координаты местами. Кроме того, А — линеен. Проверим, что А — ограничен:
оо	со
И2=ХКТ=І£|2+І#.І2+ійі2+И2+Ы+-=Еійі2=ИІ2 >
к=\	к=1
откуда следует, что \\А\\ = 1, т.е. А e Ь(12,12), причем /2 - банахово, следователь¬
но, можно воспользоваться теоремой Банаха об обратном операторе, показав,
что уравнение Ах=у имеет единственное решение для любого у = (%)е/2.
Перепишем это уравнение в виде (^3,^,^2,^4,^5,...) = (7]1,7]2,7]3,7]4,7]5,...). Отсюда
следует, что х = {^2,^3^4,^5,...) = {т]2,т]3,т]х,т]4,т]5,...) = А~ху. Ясно, что это ре¬
шение существует и единственно, следовательно, оператор А непрерывно об-
А_1
= 1.
ратим, и, кроме того, можно непосредственно установить, что
б) Ясно, что D(A) = R(A) = l2, поскольку оператор меняет только конечное
число координат. Кроме того, А - линеен. Проверим, что А - ограничен.
,2\2+Ы+\л+...<
ІНІ=2М =|#,+2£| +|й-£
<|йГ+4Ш+4?2|2+|й|2+2|й||й|+|4|2+|й|2+|#4f+...<
£|й|2 + 2|й|2 + 2|ftf + 4|#,|2 + |й|2 + |<f| +
21 + й +Кз +?4 +••• =
366

+
+
+ ...<
+
8|#2|2 + 8|#3|2 + 8|#4|2 + ... = 8X|ft|2=8||
х
k=l
|2
При преобразованиях воспользовались неравенством 2|<2&|<|а| +\b\ . Сле¬
довательно, ||Ax|| < -s/8 |jc| и оператор А ограничен, т.е. А е Щ2,12). Аналогично
п. а) покажем, что уравнение Ах = у имеет единственное решение для любого
У = (Лк)е12-Рассмотрим уравнение (£ +2£,£= {rjvTj2iTj^rjAi...). Из
него следует, что ^ + 2£2 = т]1, %l-%2 = 7j2, ^ъ=г/ъ, <^4 = тіА,... Таким образом,
Ч+2*72 Ъ-Ѵг „ „ Л
> 0	'/ 3 ’'/4’’ ’ ’
Іі = ^ +^2.	4=%’ ^4=774ѵ, т.е. х = А_1у =
V
3
3	' ~	3
и это решение определяется однозначно и существует. Следовательно, оператор
А непрерывно обратим.
в) Ясно, что Т)(А) = /ДА) = /2, А - линеен и ограничен (проверяется анало¬
гично п. б). Рассмотрим ядро этого оператора kerA = {xe/2: Ах = 0}. Из равен¬
ства (^2-^,^2 + 4,24-2^,^4,^5,...) = (0,0,0,0,0,...) следует, что £2-£=0, £2 + £ = 0,
2£ - 2^ = 0,	= 0,	=0,..., откуда следует, что ядро оператора А состоит из
векторов, первые три координаты которых связаны между собой соотношения¬
ми = и = ~ъі, а остальные координаты равны нулю. Ясно, что как толь¬
ко, например, ^ *0, получим, что kerАф {о} и, в силу критерия инъективно¬
сти, оператор А не является взаимно однозначным. Покажем, что в таком слу¬
чае он не может быть непрерывно обратимым.
Допустим, что это не так, тогда по критерию непрерывной обратимости
Vxe/2 3m> 0: \\Ах\\ > m||x||. Пусть xg ker А, т.е. Ах = 0, тогда т||х|| < 0, откуда
||х|| = 0, т.е. х = 0, и, следовательно, ker А = {0} - противоречие.
5. Доказать, что если линейный ограниченный оператор А, отображаю¬
щий банахово пространство Ех в нормированное пространство Е2 (D(A) с	-
подпространство, R{A) = E2) имеет ограниченный обратный оператор, то
R(А) = Е2 - банахово пространство.
Решение: пусть {уп}с/ДА) - фундаментальная последовательность, т.е.
Ѵ£>0 3/ѴеЩ:	\/n,m>N ІЛ -	<£• Ясно, что уп=Ахп, откуда
хп = A-1yn e D(A) а Ех. Поскольку А непрерывно обратим, то по критерию не¬
прерывной обратимости УхеЕ1 Зтп > 0: ||Ах||£ > m ||х|£і,т.е. ||A(x„-xr)IL >m\\x„ -x, "
m'\\E,
m ll£,
а, поскольку ||уй-ум|| = \\A(xn -xm)\\ то m\xn-xm\\ <\\yn-yJL <s , т.е. после-
m И e.
довательность {xa}cD(A) также является фундаментальной. Поскольку Ег -
полно, то {хи} - сходится. Пусть Хп —> х0. Поскольку D(A) - подпространство,
т.е. замкнуто, то х0 e D(A). Поскольку оператор А ограничен, то он непреры¬
вен, следовательно, уп = Ахп —» Ах0 = у0 e R(A). Таким образом, R( A) = E2 - ба¬
нахово пространство.
367

6.	Пусть Ех,Е2 - банаховы пространства, S(EVE2) - совокупность всех
непрерывно обратимых операторов в пространстве L(El,E2). Доказать, что
множество S(EVE2) открытое Е{ЕѴЕ2).
Решение: возьмем произвольный оператор \е8{Ех,Е2) и покажем, что
открытый шар В(Л0,г) = МеД£'1,£'2):||Л-Д)||<г, г = ||Д)“1|| > целиком содер¬
<
жится в S(EVE2). Это будет означать, что любой элемент из S(EVE2) лежит в
S(EvE2) вместе с некоторой окрестностью и, значит, множество S(E1,E2) яв¬
ляется открытым.
Надо показать, что любой оператор Ае В (Ад, г) является непрерывно об¬
ратимым. Поскольку Е{,Е2 - банаховы и А <е L(EVE2), то, в силу теоремы Ба¬
наха об обратном операторе, достаточно показать, что для каждого фиксиро¬
ванного у е Е2 уравнение Ах = у имеет единственное решение. Рассмотрим
оператор В :Е1^Е1, действующий по формуле Вх = ДГ1 у - Д~' Ах + х.
Ясно, что р(Вх1,Вх2) = \\Вхх - Вх2\\ = ||Д_1у - Д^Ах, +х1- Д ^у + А0~1Ах2 -х2
~ ||Д) А(х2—хД —	—хд|— IД) ~ )—Д) Д)(-ч ~ ч)||— IД) —ДДСч—ч)
<\\A0-\\\A-Ag\\-\\x2-4 = qp(x1,x2), где ^ = ||Д_1|-|А-Д||<||А0“1||-г = ||А0“1||-||Д“1|| ‘ =1,
следовательно, отображение В является сжимающим. Поскольку пространство
Ех - полно, то в силу принципа сжимающих отображений, В имеет единствен¬
ную неподвижную точку, т.е. уравнение х = Вх имеет единственное решение
х* e Е1. Таким образом, х* = Вх* = А() ' у - Ад-1 Ах* + х*, откуда Ад-1 Ах* = \ ' у, и,
применяя к этому равенству оператор Д,, получим Ах* = у. По теореме Банаха
об обратном операторе, А - непрерывно обратим, что и требовалось доказать.
7.	Пусть Н - комплексное гильбертово пространство, А :Н —»// - само¬
сопряженный оператор. Доказать, что существует обратный к оператору
(/ + ІА), определенный на многообразии R(I + ІА).
Решение: линейный оператор (/ + ІА) отображает гильбертово простран¬
ство Н на многообразие R(I + ІА) - множество значений оператора (/ + ІА).
Чтобы доказать существование обратного оператора к (/ + ІА), надо проверить,
что ker(/ + іА) = {О}. Пусть хеН и (/ + іА)х = 0, тогда іАх = -х, откуда Ах = іх.
Значит, поскольку А самосопряжен, то і(х,х) = (іх,х) = (Ах,х) = (х, Ах) = (х, іх) =
= і (х,х) = -г(х,х). Следовательно, і||х||2 = —і||х||2, откуда ||х|| = 0, т.е. х = 0.
Таким образом, ker(/ + іА) = {О} и существует оператор (/ + ІА) ':R(I + іА)—> И .
8.	Пусть А: Е1—>Е2 - линейный ограниченный оператор и существует об¬
ратный линейный ограниченный оператор А-1 :Е2—>Е1. Доказать, что оператор
А*: Е2 —» Е* имеет ограниченный обратный (А*)-1: Е* —» Е* и (А*)-1 = (А-1)*.
368

Решение: поскольку каждый линейный ограниченный оператор имеет со¬
пряженный, который также является линейным и ограниченным, то существу¬
ют линейные ограниченные операторы А* и (А-1)*. Надо доказать, что суще¬
ствует ограниченный оператор (А*)-1 и что (А*)-1 = (А-1)*.
По определению сопряженного оператора для произвольных ie£j и (реЕ2*
ф{Ах) = А*<р(х). Если х = А_1у, у е Е2, то <р(у) = АД?(А_1у) = (А-1)*А*д?(у). По-
скольку у е Е2 - произвольно, то <р = (А~ ) А <р для всех ере Е2 , следовательно,
оператор А* имеет левый обратный, который равен (А-1)*.
Аналогично, для произвольных у е Е2 и у/е.Е* у/(А~1у) = (А~1)*у/(у) и> по¬
скольку, у = Ах, то у/(х) = (А_1)Ѵ(Ах) = A*(A_1)V(^), откуда для всех у/ e Е*
у/ = А*(А-1)*у/, т.е. оператор А* имеет правый обратный, совпадающий с (А-1)*.
Итак, оператор А* имеет обратный (А*)-1, причем (А*)-1 =(А-1)* и, поскольку
(А-1)* линеен и ограничен, то (А*)-1 также линеен и ограничен.
Задачи для самостоятельного решения
1.	Используя критерий инъективности, проверить, что оператор А из п. 6
теоремы о простейших свойствах линейных ограниченных операторов является
взаимно однозначным.
2.	Доказать, что в теореме об обратимости оператора, близкого к тожде¬
ственному, \\в\\ < —іглт •
"	1-М
3.	Пусть X - банахово пространство, А:X —- линейный ограничен¬
ный оператор. Доказать, что при ||А|| < 1 оператор (/ + А) непрерывно обратим.
Указать явный вид обратного оператора и оценку его нормы.
4.	Пусть А и В - линейные операторы в линейном пространстве X . Дока¬
зать, что если операторы А и В имеют обратные, то оператор АВ также имеет
обратный, равный В1 А1.
Указание: рассмотреть уравнение АВх = у.
5.	Пусть А и В - линейные операторы в линейном пространстве X . Дока¬
зать, что если операторы А и ВА имеют обратные, то существует оператор В~1.
Указание: В = ВА - А1.
6.	Установить, где в и. 6 теоремы о простейших свойствах обратных опе¬
раторов не выполняется условие теоремы Банаха об обратном операторе.
7.	Пусть А - линейный оператор в R", задаваемый матрицей (а(])пі ]=1. До¬
казать эквивалентность следующих утверждений:
а)	существует непрерывный обратный оператор А-1;
б)	ker А = {О};
в)	det(a..)”.=1 *0;
369

г)	уравнение Ах = у имеет решение при любом у е Ж”.
8.	Пусть Е - линейное пространство, А,В:Е^Е - линейные операторы,
у которых D(А) = D(B) = Е, удовлетворяющие соотношениям АВ + А +1 = 0 и
В А + А +1 = 0. Доказать, что оператор А-1 существует.
Указание: доказать, что А-1 =-/ — В.
9.	Пусть Е - линейное пространство, А,В\Е^>Е - линейные операторы,
у которых D(A) = D(B) = E, и оператор (I - АВ) ' существует. Доказать, что
оператор (/ - ВА)~1 также существует.
Указание: разложитъ (/ - АВ)1 и (/ - ВА) { в формальные степенные ря¬
ды (считая умножение некоммутативным) и получитъ (/ - ВА)~Х = 1 + ВСА,
где (/ - АВ)~1 = С. После чего обосновать это равенство.
10.	Пусть Е - линейное нормированное пространство, А:Е—- линей¬
ный ограниченный оператор, ив Е существует такая последовательность
{хи}е D(A), что ||хга|| = 1 и Ахп —»0 при н—»<х>. Доказать, что у оператора А не
существует ограниченного обратного.
Указание: предположить противное.
11.	Пусть Е - линейное пространство, А,В:Е^Е - линейные операто¬
ры, у которых D(A) = D(B) = Е, и существуют операторы (АВу1 и {ВА) '. Сле¬
дует ли отсюда, что существуют операторы А-1 и В1 ?
Указание: показать, что кег А = kerfi = {о}.
12.	Пусть А - оператор в С[°,1] , действующий по формуле Ах{і) = p(t)x(t),
ге[0,1], р(0еС[0,1] - заданная функция. Доказать, что оператор А имеет не¬
прерывный обратный тогда и только тогда, когда У te [0,1] p(t)* 0.
13.	Пусть А: /2 —> /2 - диагональный оператор, действующий по правилу
А(у,£2,...) = (аху,а2^2,...), где sup|c^|<+со. Доказать, что оператор А имеет
к
непрерывный обратный тогда и только тогда, когда inf \ак I > 0. Найти А1.
к
14.	Пусть Е - пространство дважды непрерывно дифференцируемых на
отрезке [0,і] функций x(t), удовлетворяющих условиям х(0) = 0 и х(1) = 0 с
нормой ІІхІІ = У шах
х(Л)(7)|- Найти обратный к оператору А : Е ^ с[од] , зада¬
ваемому формулой Ax(t) = x"(t) - x(t), te [ОД]-
15.	Проверить, существует ли непрерывный обратный оператор к операто¬
ру А:/2 —> /2, если Ах = (0,где x = (gk)el2.
16.	Проверить, существует ли непрерывный обратный оператор к операто¬
ру А:/2 —>/2, если Ах = (£2,где х = (4)е/2.
17.	Проверить, существует ли непрерывный обратный оператор к операто¬
ру А:/2 —> /2, если Ах = (£ +#2,#2,где х = (&)е/2.
370

18.	Пусть E - пространство непрерывно дифференцируемых на [0,і]
функций x(t) таких, что х(0) = 0 с нормой ||х|| = тах|х(0| + пгах|х'(7)|. Доказать,
11 11 0<г<1 1	1 0<г<1 1	1
что существует непрерывный обратный оператор к оператору А: Е —» С[0,і],
действующему по формуле Ax(t) = x\t) + 4x(t), где t e [0,l]. Найти А-1.
19.	Пусть Е - пространство непрерывно дифференцируемых на [ОД]
функций x{t) таких, что х(0) = 0 с нормой ||х|| = пгах|х(0| + тах|х'(0|. Доказать,
11 11 0<г<1 1	1 0<г<1 1	1
что существует непрерывный обратный оператор к оператору А:Е—» С [ОД],
действующему по формуле Ax(t) = x\t) - 2tx(t), где t e [0,1] . Найти А 1.
20.	Пусть Е - пространство непрерывно дифференцируемых на [ОД]
функций x(t) таких, что х(0) = 0 с нормой ||х|| = пгах|х(0| + пгах|х'(г)1. Доказать,
11 11	0<г<1 1	1	0<г<1	1	1
что существует непрерывный обратный оператор к оператору А:Е—»С[0,і],
действующему по формуле Ax(t) = х’(0 - 3t2x(t), где t е [ОД] . Найти А 1.
21.	Пусть Е - пространство непрерывно дифференцируемых на [ОД]
функций x(t) таких, что х(0) = 0 с нормой ІІхІІ = max|x(7)| + max lx'(7)1 ■ Доказать,
11 11	0<г<1 1	1	0<г<1	1	1
что существует непрерывный обратный оператор к оператору А:.Е—»С[0,і],
действующему по формуле Ax(t) = (t + l)x'(r) - x(t), где t e [0,1] . Найти А 1.
22.	Пусть E - пространство непрерывно дифференцируемых на [ОД]
функций x(t) таких, что х(0) = 0 с нормой ІІхІІ = шах|х(/)| + тах|х'(ОІ • Доказать,
11 11	0<г<1 1	1	0<1<1	1	1
что существует непрерывный обратный оператор к оператору А:Е —> С[0,і],
действующему по формуле Ax(t) = (t2 + 1)х'(0 - 2tx(t), где t e [ОД] . Найти А 1.
23.	В пространстве С[0,і] рассмотрим операторы А и В, определяемые
формулами Ax(t) = (t + V)x(t), Bx(t) = x^2), t e [0,1]. Найти (AB) 1 и (BA) \
24.	Пусть E - банахово пространство, AeL(E,E) и ІІ'-д|| <1. Доказать,
что оператор А непрерывно обратим.
25.	Рассмотрим оператор А: С[0Д]->С(2)[0,1], действующий по формуле
t
Ax(t) = Ie~V~\x(s)ds . Существует ли оператор А-1 ?
о
26.	Рассмотрим подпространство L = |х(/) е С(|) [0,і]: х(0) = 0| и оператор
А: L -> С [ОД], действующий по формуле Ax(t) = x\t) + a(t)x(t), a(t) e C[0, l],
t e [ОД]. Доказать, что оператор А непрерывно обратим.
27.	Пусть А и В - операторы в С[-1Д], определяемые формулами
Ax(t) = x(t2), Bx(t) = x(t3), te [-u] . Доказать, что оператор А не имеет обрат¬
ного, а оператор В имеет обратный. Найти В1.
371

28.	Показать, что оператор А: С(1) [0,1]-> С [0,1], действующий по формуле
Ax(t) = x'(t), te [ОД] , имеет правый обратный, но не имеет левого обратного
оператора.
29.	Установить непрерывную обратимость оператора А:С[0,і]—»С[0,і],
i
действующего по формуле Ax{t) = ДО + J e,+tx{z)dz. Найти А-1.
о
30.	Установить непрерывную обратимость оператора А:С[0,і]—»С[0,і],
t
действующего по формуле Ax(t) = x(t) + Jx{z)dz. Найти А-1.
о
31.	Пусть Е - линейное пространство, А:Е-^Е - линейный оператор,
удовлетворяющий при некоторых ^ еі (к = 1,2,...,п) соотношению
I + \А + /^А2 +... + ЛпАп = 0. Доказать, что А-1 существует.
Указание: доказать, что А-1 =	-\A -... - ЯЛА"_1.
32.	Доказать, что в теореме Банаха об обратном операторе нельзя отбро¬
сить требование полноты ни первого, ни второго из заданных пространств.
Указание: рассмотреть оператор вложения Ах = х, где слева х рассмат¬
ривается, как элемент полного пространства Іг с нормой |Ы| , а справа - как
элемент неполного (доказать это!) пространства /j с нормой ІІхІІ . Показать,
^ОО
что этот оператор ограничен, а обратный к нему - нет. Для обоснования
необходимости полноты первого пространства использовать симметрич¬
ность теоремы Банаха.
33.	Пусть Н - гильбертово пространство и А: Я —»Я - самосопряженный
оператор. Доказать, что оператор (/ + ѵіА) (v^0,veR) обратим, т.е. существу¬
ет линейный оператор (/ + ѵіА)~1: R(I + viA) —» Я , где R(I + viA) - область зна¬
чений оператора (/ + ѵіА).
34.	Исследовать на непрерывную обратимость оператор А:С[-1,і]-»С[-1,і],
t
если Ax(t) = J (1 + sgn s)x(s)ds.
-i
35.	Проверить, существует ли непрерывный обратный оператор у операто¬
ра А:1г -Ц, если Ах = (%1ДІД
36.	Проверить, существует ли непрерывный обратный оператор у операто¬
ра А: Д -> Д, если Ах =	Д22 Д32,...).
37.	Исследовать на непрерывную обратимость оператор А: С[0,1] —> С[0,1],
если Ax(t) = yftx(t).
38.	Исследовать на непрерывную обратимость оператор А:Д[0,1]—»Д[0,1],
если Ax(t) = yjtx{t).
372

39.	Исследовать на непрерывную обратимость оператор Л:С(1)[0,1] -» С[0,1],
если Ax(t) = (t2 +1 )x(t).
40.	Проверить, существует ли непрерывный обратный оператор у операто¬
ра А:Хд[0Д] —>^[0,1], если Ax(t) = x3(t).
41.	Исследовать на непрерывную обратимость оператор А: D(A) с^12 —»/1?
если Ах = (пЕ,п	, D(А) = {х е 12 : Ах е }.
42.	Пусть линейный оператор А:Е —нильпотентен, т.е. найдется число
иеМ такое, что Ап = 0. Доказать, что операторы І + А и І — А обратимы.
Найти их обратные и оценить их нормы.
п
43.	Пусть дан оператор А:	, (Ах)п = ^	. Доказать, что он не явля-
к=1
ется непрерывно обратимым. Найти его ядро. Доказать, что его образ не явля¬
ется замкнутым множеством.
Указание: для доказательства отсутствия непрерывной обратимости
рассмотреть элемент (1,0,1,0,1,0,...,1,0,0,0,0,...) е /м, в котором 1 встречается
т раз и показать, что А~1 переводит его в элемент со сколъ угодно большой
нормой. Для доказательства незамкнутости образа показать, что его допол-
п ( i\k—1
зать, что она не лежит в образе, но в любой ее окрестности лежит элемент
из образа вида (sv...,sn,\n2,\n2,...).
нение не открыто. Рассмотреть последовательность sn = ^	, пока
313

3.2. Замкнутые операторы
Определение: пусть X,Y - линейные нормированные пространства, тогда
их прямым произведением называется множество X х Y = }(х, у):хеХ,уеГ} с
нормой ||(а:у)|м HWL +\\у\\у
Замечание: иногда |(«, у)||ХхГ = ^/|*|У + ІМ|у2 •
Теорема (о полноте прямого произведения): пусть X,Y - банаховы про¬
странства, тогда их прямое произведение - также банахово.
Доказательство: рассмотрим последовательность (zJcIxF, т.е.
гп = (хп’Уп)’ гДе xneX’ УпеѴ- Пусть {zn} фундаментальна, т.е. Ѵ£>0
ЗИеП: \/n,m>N \\zn - zm\\XxY <s или \\xn -xm\\x + \\yn - ym\\Y <s, следовательно,
тем более, |xn-xm||x <£ и ||уи - ym||y <s, т.е. последовательность {xn} фунда¬
ментальна в пространстве X, а последовательность {уп} фундаментальна в
пространстве Y. Поскольку X и Y - полные, то Зх e X : хп —» х и Зу e Y :
Уп —> у. Обозначим z = (х, у) и покажем, что zn^> z. Это будет означать, что
фундаментальная в XxY последовательность имеет предел, т.е. X xY будет
полно. Поскольку IZn - z\\XxY = \\хп - х\\х +1уп - y\\Y , ||хп - х||х ^0 и Iуп - y||F -^0,
Т0 11^_г11хх7^°’И
Теорема доказана.
Определение: пусть X,Y - линейные нормированные пространства,
А:Х -^Y. Графиком оператора А называется множество ГАсІхГ, которое
определяется следующим образом: ГА = {(х, у):х e X,у = Ах}.
Теорема Банаха (о замкнутом графике): пусть X,Y - банаховы про¬
странства, А : X —» Г - линейный оператор, причем D( A) = X , тогда, если его
график замкнут, то оператор А ограничен.
Доказательство: по предыдущей теореме XxY - банахово. График опе¬
ратора А по условию замкнут, следовательно, ГЛ - также банахово по теореме
о полноте замкнутого подпространства. Рассмотрим вспомогательный оператор
В: ГА ^ X , действующий по правилу В(х, у) = х, где (х, у) е ГА <z X х Y. По¬
кажем, что В - биективен.
Проверим сюръективность оператора В. Надо показать, что в любой эле¬
мент хеХ при действии оператора В переходит некоторый элемент
(х, у) е ГА. Это очевидно, поскольку элемент (х, Ах) лежит на графике операто¬
ра А и переходит в элемент х по построению оператора В.
Проверим инъективность оператора В. Надо показать, что из условия
(Хр yj) ф (х2, у2) следует, что х1 ф х2 . Допустим, что это не так, т.е. х1=х2, тогда,
поскольку оператор А линеен, то Ахх = Ах2, откуда у( = у2 и, следовательно,
(Хр ух) = (х2, у2) - противоречие.
374

Покажем что В ограничен, т.е., что 3с>0: ||eU);)||z<c||U);)||Xxy. По¬
скольку ||£(х,у)||х = ||х||х, а ||(х,у)||Хху =\\х\\х + ||у||у, то при с = 1 верно неравен¬
ство ||в(х,у)||х <с||(х,у)||Хху, поскольку оно эквивалентно ||х||х <||х||х +|К||у.
Итак, В - линейный ограниченный биективный оператор, переводящий
банахово пространство в банахово пространство. Следовательно, у В суще¬
ствует обратный оператор В 1: X —» ГА и по теореме Банаха об обратном опе¬
раторе В 1 ограничен, т.е. Зт > 0:
В~хх
XxY
< mllxll . Поскольку В(х,Ах) = х, то
(х,Ах) = В~хх, откуда ||(х,Ах)||Хху < т||х|| , т.е. ||jt|| + ||Ах||у < m||jc|| , следова¬
тельно, тем более, ||Ах||у < т||х||х, поэтому оператор А ограничен.
Теорема доказана.
Определение: пусть X,Y - банаховы пространства, А:Х —»7 - линейный
оператор. Этот оператор называется замкнутым, если его график является за¬
мкнутым подмножеством в 1x7.
Замечание: используя определение графика оператора и прямой суммы
пространств, оператор А: X —»Y назовем замкнутым, если из условий
{хи}с D{A), хп -> х и Ахп -> у следует, что хe D(A) и у = Ах.
Теорема (о замкнутости ограниченного оператора): пусть X,Y - бана¬
ховы пространства, А : X —» F - линейный ограниченный оператор, D( A) = X ,
тогда А - замкнут.
Доказательство: пусть {хи}<z D(A), хп -эіб D(A) и Ахп —» у. Посколь¬
ку А ограничен, следовательно, он непрерывен, т.е. Ахге—»Ах, тогда в силу
единственности предела Ах = у.
Теорема доказана.
Теорема (о замкнутости обратного оператора): пусть X,Y - банаховы
пространства, А: X —> Y - линейный замкнутый оператор, тогда, если у него
существует обратный А-1, то А-1 - замкнут.
Доказательство: пусть ГА={(х,Ах):xeD(A)}, Гд1 ={(у,А_1у):уеДА'Ѵ^А)}.
Поскольку А замкнут, то его график ГА - также замкнут. Заметим, что
Г А ={(Ах,х):хеП(А)|, т.е. график обратного оператора получается из графика
оператора А перестановкой х и Ах, и, значит, также является замкнутым под¬
множеством в Y х X, т.е. А-1 замкнут.
Теорема доказана.
Примеры решения задач
1. Доказать замкнутость оператора А:С[0,і]—»С[0,і] Ax(t) = x\t) с обла¬
стью определения D(A) - линейным многообразием непрерывно дифференци¬
руемых на [ОД] функций x(t), удовлетворяющих условиям х(0) = х(1) = 0.
375

С[ОД]
Решение: рассмотрим последовательность [xn(t)}<zD(A) и пусть xn(t) -» x(t),
с[ ОД]
где x(t)eC[0,і], а также последовательность Аxn(t) = xn'(t) -> y(t), где у(?)еС[0,і].
Поскольку сходимость по норме пространства С[0,і] эквивалентна равномер¬
ной сходимости, то на [од] xn(t) =4 x(t) и хп ’(О =4 у(0 ■ Тем самым, выполнены
все условия теорем о непрерывности и дифференцируемости предельной функ¬
ции, согласно которым функция x(t) является непрерывно дифференцируемой
на [0,і] и на [0,і] x\t) = y(t). Поскольку хга(0) = хга(1) = 0, то, переходя к преде¬
лу при п —У со, получим, что х(0) = х(1) = 0, т.е. x(t) e D(A) и при этом у = Ах,
т.е., по определению, оператор А замкнут.
2.	Пусть А: X —»7 - линейный оператор, D(A) = X . Доказать, что сопря¬
женный оператор А* замкнут.
Решение: из примера 7 п. 2.7 следует, что сопряженный оператор опреде¬
лен. Пусть fneD(A*) и fn—>f0, а A*fn —» ср{) (обе сходимости понимаются в
смысле сходимости по норме соответствующем пространстве). Тогда VxeD(A)
получаем, что A fn(x) —» <д0(х), откуда fn(Ax)—><p0(x). С другой стороны,
fn(Ах) —» /0(Ах). Таким образом, /0(Ах) = <р0(х), откуда А*f0(x) = %(х), т.е.
/о е D(A*) и А*/о = <р0 (в силу плотности D(A) в X , см. пример 4 п. 2.3). Таким
образом, оператор А* замкнут.
3.	Рассмотрим оператор А:І^(М)—действующий по правилу
Ax(t) = lx(l) и имеющий область определения D(A) = |х е (М): tx(i) e I\ (R)}.
Доказать, что оператор неограничен на D(A) и что D(A) = L2(WC). Найти со¬
пряженный оператор А*. Является ли А замкнутым?
Решение: рассмотрим последовательность *„(0
1
t
Ц,й]0)е£>(А). Ясно,
что ||хи|<1, но при этом ||Ахл| = гс—»00, поэтому оператор неограничен. Далее,
очевидно, что D(A) содержит множество непрерывных финитных функций,
которое всюду плотно в /^(R) (см. задачу 24 п. 2.10 части I). Тем самым,
D(A) = L2(M). Таким образом, сопряженный оператор А* определен. Для его
нахождения надо описать все пары функций y(f)eL2(R) и А* y(l) <е L, (R), ко¬
торые удовлетворяют равенству (Ах, у) = (х, А*у) при всех х(/) е D(A). Имеем,
Itx{t)y{t)dt = Ix(l)A*y(l)dl или Jx(t)(ty(t) - А* у (t)}dt = 0. Поскольку множество
D(A) всюду плотно в L^R), то ty(t) - А*y(t) = 0. Тем самым, A*y(t) = ty(t) и
D(A*) = {y е/^(М):/у(?)е Т2(М)|. В силу того, что А* = А, из предыдущего
примера заключаем, что оператор А замкнут.
376

Задачи для самостоятельного решения
1.	Доказать, что если X,Y - банаховы пространства, А:Х —- линей¬
ный ограниченный оператор и существует обратный оператор А-1, то А-1 - за¬
мкнут.
2.	Доказать усиленный вариант теоремы Банаха об обратном операторе:
пусть X,Y - банаховы пространства, А :Х —- замкнутый линейный опера¬
тор, отображающий X на Y взаимно однозначно, тогда обратный оператор А-1
ограничен.
Указание: воспользоваться теоремой Банаха о замкнутом графике.
3.	Рассмотрим диагональный оператор А: /2 —> /2, действующий по форму¬
ле Ах = (Л1^1,Я2<^2,Лз£3,...), где х =	е/2. Доказать, что оператор за¬
мкнут при условии, что последовательность {ЛЛ} ограничена.
4.	Показать, что если последовательность {Л^} из предыдущей задачи не-
ограничена, то оператор А не является ограниченным и при этом І)(А) фі2.
Найти в этом случае область определения оператора А.
5.	При каком условии на последовательность [Як} из задачи 3 оператор А
имеет ограниченный обратный, определенный на всем пространстве /2 ?
6.	При каком условии на последовательность {Як} из задачи 3 оператор А
замкнут, если считать, что {Як} неограничена?
Указание: воспользоваться предыдущей задачей и теоремой о замкнуто¬
сти обратного оператора.
7.	Пусть X = Y = С[0,+со) - банахово пространство функций x(t), непре¬
рывных на полуоси [0,+°о) с нормой ||х||= sup \x(t)\. Найти область определе-
іе[0,+х)
ния оператора А: X —» Y, действующего по формуле Ax(t) = tx(t), и доказать,
что этот оператор не является ограниченным на своей области определения.
Указание: показать, что областью определения оператора являются
£
функции x(t), удовлетворяющие неравенству |jc(?)| <——, где постоянная с -
1 + t
своя для каждой функции x(t). Рассмотреть последовательность х (t) =	,
n + t
neN.
8.	Показать, что оператор А из предыдущей задачи замкнут.
Указание:	используя определение замкнутости показать, что
(l + t)xn(t)—>x(t) + y(t), откуда, используя определение предела, вывести, что
Vt е [0,+со)
9.	Найти обратный оператор к оператору А из задачи 7, показать, что он
неограничен и замкнут.
377

10.	Доказать, что оператор A.C\a,b\^ C\a,b\, действующий по формуле
Ax(t) = x'(t) с областью определения, состоящей из всех непрерывно диффе¬
ренцируемых на \a,b\ функций, удовлетворяющих условию х(а) = 0, является
замкнутым.
Указание: доказать, что А - непрерывно обратим и воспользоваться
теоремами о замкнутости ограниченного оператора и о замкнутости обрат¬
ного оператора.
11.	Доказать, что оператор A:C[a,b\^ C[a,b\, действующий по формуле
Ax(t) = x\t) с областью определения, состоящей из всех непрерывно диффе¬
ренцируемых на \a,b\ функций, является замкнутым.
12.	В примере 1 рассмотрен оператор дифференцирования, который, как
было показано ранее, не является ограниченным, но при этом является замкну¬
тым. Какое условие теоремы Банаха о замкнутом графике для данного операто¬
ра не выполняется?
13.	Пусть оператор A:Z^[0,l]^-L2[0,l] действует по формуле Ax(t) = tx(0).
Область определения оператора - линейное многообразие непрерывных на от¬
резке [ОД] функций. Найти область определения сопряженного оператора А*,
сам оператор А*, а также доказать, что оператор А не является замкнутым.
Указание: А* = О, D(A*) = \ у е [0,і]: Jty{t)dt = 0 >. Из определения со¬
пряженного оператора получить, что функция А*y(t) ортогональна функциям
xn(t) = tn,ne N. Показать, что А*y(t) ортогональна функции х(г) = 1, рас¬
смотрев последовательность xn(t) =
nt, 0 < t < —
п
п
. Для доказательства не за¬
мкнутости рассмотреть последовательность xn(t) =
l-nt,0<t < —
п
0,-<г<1
п
14.	В пространстве /2 рассмотрим оператор А:12 -»/2, Ах = (£р2£2,3£3,...) с
областью определения D(A) = |xel2:^n2\<;пf < +оо|. Доказать, что О(А) = /2,
А - неограниченный линейный оператор на D(A), найти А* и D( A ), исследо¬
вать замкнутость А.
Указание: для проверки условия D{A) = /2 вспомнитъ, какие плотные мно¬
жества бывают в /2.
378

15. Рассмотрим оператор А:/2—»/1? Ах = х с областью определения
D(A) = <xel2:^\^n\<+col. Доказать, что D(A) = 12, А - неограниченный ли-
П-1
нейный оператор на D(A), найти А* и D(A*), исследовать замкнутость А.
Указание: А*:—>l2> D(A*) = е	<-и»|, А*х = х.
16. Рассмотрим оператор A:L2[0,l]->^[ОД], Ax(t) = x(t2) с областью
определения D(A) = Le^O.l]:}*2 (;t2)dt < +00 j. Доказать, что D(A) = L2 [ОД].
А - неограниченный линейный оператор на D( A), найти А* и D(A*), исследо¬
вать замкнутость А.
Указание: D(A*) = j* e L2 [0,1]: Jdt < +<*>J, A*x{t) = ^2.
379

3.3. Резольвентное множество и спектр оператора
Определение: пусть X - комплексное банахово пространство, А:Х-»Х -
линейный оператор, А е С. Точка А называется точкой резольвентного множе¬
ства оператора А, если существует ограниченный оператор (А - А/)-1, опреде¬
ленный на всем пространстве X . При этом сам оператор (А-XI у1 называется
резольвентой оператора А и обозначается Rx (А).
Замечание: такие числа А называются регулярными. Резольвентное мно¬
жество обозначается р{А).
Определение: пусть X - комплексное банахово пространство, А: X -» X -
линейный оператор, АеС. Точка А называется точкой спектра оператора А,
если она не является точкой резольвентного множества.
Замечание: таким образом, резольвентное множество - это дополнение к
спектру, а спектр - дополнение к резольвентному множеству. Спектр обознача¬
ется сг(А).
Теорема (свойства спектра и резольвентного множества): пусть X -
комплексное банахово пространство, А: X —» X - линейный ограниченный
оператор, тогда:
1.	резольвентное множество р{А) всегда открыто.
2.	спектр сг(А) всегда замкнут.
3.	спектр <т(А) всегда ограничен.
Замечание: таким образом, спектр линейного ограниченного оператора
является компактным множеством.
Доказательство: 1. Надо доказать, что любая точка лежит в р(А) вместе
со своей окрестностью. Допустим, что ер(А). Найдем число	таким
образом, чтобы окрестность Н(5(Л0) = |АеС: И-л| <с>} целиком лежала в
р(А). Поскольку Aq gр(А), то оператор (А-Х^іу1 ограничен, а надо доказать,
что	VXgUs(Aq) оператор (А-А/)-1 - также ограничен. Имеем,
А-ХІ = А-Х0І + ХѵІ-ХІ = (А-Х0і) + (Аѵ-Х)і = (А-Х0і)-(Х-Х0)і = (А-Хді)-
{ \
-(Д-Л)(А-\І)(А-Vf =(А~.V)
I-{Л-\)(А-\IJ'
= (А-Ѵ)(/-В).
V	В	J
Оператор (А-А^,/)-1 ограничен. По теореме об обратимости оператора,
близкого к тождественному, для ограниченности оператора (/ - fi) 1 достаточ¬
но, чтобы ||fi||<l. Тогда будет существовать ограниченный оператор (А-А/)-1
(как произведение обратимых ограниченных операторов - см. задачу 4 п. 3.1 и
теорему об ограниченности произведения операторов п. 1.2).
Итак, ||fi|| = j А — \\- (А — XqI ) 1 <5 (А-Х^і) 1 =1 при выборе 5 =
(А-ѴГ
380

2.	Поскольку спектр - это дополнение к резольвентному множеству, а ре¬
зольвентное множество открыто, то спектр замкнут.
3.	Покажем, что спектр оператора А ограничен числом ||Л|, т.е. числа
Я е С такие, что |Я| > ||Л|| спектру не принадлежат (т.е. принадлежат резоль¬
вентному множеству).
Итак, надо доказать, что при |Я| >||А|| оператор (А-ЛІ)~г ограничен. Заме-
( 1 л
тим, что при |Я|>||А| имеем Лф0, тогда (А-ЛІ) = -Л
I	А
Я у
поэтому до-
(
ѵ-1
статочно доказать, что оператор
І--А
Л
ограничен. По теореме об обрати¬
мости оператора, близкого к тождественному, это действительно так, поскольку
1
Я
А
<
И И
и=1.
Теорема доказана.
Замечание: если оператор А ограничен, то из п. 3 доказанной теоремы
следует, что резольвентное множество р(А) неограничено, а спектр сг(А) це¬
ликом лежит в круге |Я| < ІА!.
Замечание: если Я е сг(А), то возможны следующие три случая:
1.	оператор (А-Я/) не обратим;
2.	оператор (А - ЛІ) обратим, но его область значений R(A- ЛІ) ф X ;
3.	оператор (А-ЛІ) обратим, Я(А-ЛІ) = Х, но обратный оператор
(А-Я/)-1 неограничен.
Отметим, что если D(A) = X и А - ограничен, то из теоремы Банаха об
обратном операторе следует, что случай 3 невозможен.
Определение: пусть X - комплексное линейное пространство, тогда соб¬
ственным значением линейного оператора А:Х-»Х называется число ЯеС
такое, что Эх e X \ {0}, для которого Ах = Лх. Вектор х в этом случае называ¬
ется собственным вектором оператора А.
Замечание: ясно, что уравнение Ах = Лх эквивалентно уравнению
(А-Я/)х = 0 и в этом случае ker(A-AZ) ф {О}, т.е. оператор {А-ЛІ) не обра¬
тим.
Определение: совокупность собственных значений оператора А называет¬
ся его точечным спектром и обозначается сг (А).
Определение: точка спектра ограниченного оператора А: X —» X, не яв¬
ляющаяся его собственным значением, называется точкой непрерывного спек¬
тра оператора А, если R(A-ЛІ)ф X, но R(A-XI) = X, т.е. множество
R(A - ЛІ) всюду плотно в X . Совокупность точек непрерывного спектра опе¬
ратора А обозначается ос (А).
381

Замечание: отметим, что R(A - АІ) = Z)((A - АІ) 1).
Определение: точка спектра ограниченного оператора А: X -» X , не яв¬
ляющаяся его собственным значением, называется точкой остаточного спектра
оператора А, если R( А - АІ) Ф X . Совокупность точек остаточного спектра
оператора А обозначается стг (А).
Замечание: таким образом, спектр ограниченного оператора А обладает
свойствами: ст{А) = <ур{А)\)<Ус{А)[)иг{А), причем <ур(А)Г\<тс(А) = 0, о-с(А)ГѴДА)=0
и ap(A)f)o-r(A) = 0.
Определение: пусть X - комплексное банахово пространство, А: X —» X -
линейный ограниченный оператор, тогда число гст(А) = йшр/Ага называется
спектральным радиусом оператора А.
Теорема (о спектральном радиусе): пусть X - комплексное банахово
пространство, А: X —» X - линейный ограниченный оператор, тогда его спек-
inf т/
П>1 V
тральный радиус существует и
Ап
= г(А)<
Ап
непустое
Доказательство: поскольку последовательность
множество, которое ограничено снизу нулем, то 3infW А" =г. Тогда ѴяеП
И>1 V
qj Ап > г и по свойству точной нижней грани \/s> 0 N:
s
< г + —,
2
Ат
Г
откуда
<
Г Н
\
. Зафиксируем число т. Поскольку всякое натуральное
число я можно однозначно представить в виде п = pnm + qn, где рп, qn - нату-
11 1
ральные, при этом 0<qn<m-l, то
<
ДРп"
Aq-
и <
ІД ..	,.?п f gA
А*
nm+qn
і Рпт
■ АЯп
п <
п <
Г +
V 2У
а щ — 1	<7
Заметим, что 0< —<	, тогда при я—»оо получаем, что — —»0, а
я
я
—= 1 - — ^ 1. Таким образом, Нт
я я	я
делению предела для £ > 0 3N е N: \/п> N
г + —
2у
Я
I—	£
U = г -I— и по опре-
г + —
2 у
г+ —
V 2 у
S
< —, ОТ-
2
куда
f ^
Г+ —
ѵ 2у
Ѣ.
п < £ + Г.
382

Итак, \fs > О 3N gN: Уп> N r<qj
Ап
<£ + г, откуда
о<^
А"
по определению предела последовательности получаем, что Зііт"/
IX—V
куда гст(А) = г. Наконец, г < ^
— г < £, т.е.,
А" = г, от-
Теорема доказана.
Теорема (усиленная обратимость оператора, близкого к тождествен¬
ному): пусть X - комплексное банахово пространство, А: X —> X - линейный
ограниченный оператор. Если гст(А)<1, то оператор (/-А)-1 ограничен, и ряд
^ Ак сходится абсолютно. Если г ДА) > 1, то ряд ^Ак расходится.
к=0	к=О
Доказательство: воспользуемся признаком Коши сходимости числового
о°	^
ряда У]ак с неотрицательными членами: если существует предел \ітілап=1,
“f	п->со *
&=1
то при / < 1 ряд сходится, а при / > 1 - расходится. Рассмотрим числовой ряд
У А* . В силу предыдущей теоремы существует предел г ДА) = limi-/
к—>со V
то¬
гда при гст(А) <1 ряд ^ А* сходится, а, следовательно, ряд ^Ак сходится аб-
к=0
к=0
солютно. Если обозначить S = ^Ак, то, аналогично теореме об обратимости
к=О
оператора, близкого к тождественному, убеждаемся, что S является правым
обратным и левым обратным оператором к оператору (/ - А). При этом опера¬
тор (/-А) 1 ограничен, поскольку \S\\ <2ja*
const.
к=О
Пусть г ДА) > 1. Поскольку г ДА) = Ііт^/ЦА^ то по теореме об устойчиво-
»СО
сти строгого неравенства 3N g N: Vm >	^ Ат > 1, откуда Am > L Итак, у
последовательности | Ак | нашли подпоследовательность ( A" j , которая
не может сходиться к нулю, поэтому и сама последовательность | Ак | не мо¬
жет сходиться к нулю. Таким образом, не выполнено необходимое условие
со
сходимости ряда ^ Ак.
к=О
Теорема доказана.
Теорема (о резольвентном множестве): пусть X - комплексное банахо¬
во пространство, А: X —» X - линейный ограниченный оператор, тогда если
И > ГСТ(А), то Л&р(А).
383

Доказательство: рассмотрим ряд -^Л k lAk и пусть \Л\ > rff(A), тогда
к=О
Нт
к—>сю
СО
И'Ѵлахі.
оо
По признаку Коши ряд ^||л, к хАк сходится, следовательно, ряд ~^Л к 1А
к=0	к=О
сходится абсолютно. Пусть S{X) = ~^Л к 1Ак, тогда
к=О
5(Л)(А - ЛІ) = (-Л~1 - А“2А - Л~3А2 - ...)(А - ЛІ) =
= (~Л~1А - Л~2А2 - Л~3А3 -...) + (/ + Л-1 А + Г2А2 +...) = /.
Аналогично показывается, что (А - Л1)Б{Л) = I, т.е. 5(Я) = (А - А/)-1, при¬
чем оператор S(A) ограничен, следовательно, оператор {А-ЛІ) непрерывно
обратим, т.е. Л е /?(А).
Теорема доказана.
Замечание: из доказанной теоремы следует, что спектр сг(А) линейного
ограниченного оператора А целиком содержится в круге ^[^^(А). Используя
теорию функций комплексной переменной, можно доказать, что число га (А) не
может быть меньшим, чем расстояние от начала координат до ближайшей осо¬
бой точки резольвенты, причем га (А) является радиусом наименьшего круга с
центром в начале координат, содержащего весь спектр оператора.
Теорема (о спектре): пусть X - комплексное банахово пространство,
А: X —» X - линейный ограниченный оператор, тогда <т( А) ф 0.
Доказательство: предположим, что сг(А) = 0, т.е. любое значение Ле С
является регулярным для оператора А. Определим при всех Л е С операторно¬
значную функцию R(A) = RX(A). Поскольку ѴЯ,//еС справедливо тождество
Гильберта (см. задачу 14) R(A) -R(ju) = (Л - ju)R(A)R(ju) и операторы R(X) и
R(jU) ограничены, то функция R(X) непрерывна во всем С. Но тогда она диф¬
ференцируема в С, поскольку
RU). шт+ю-т)==кЧл).
f>-*-о	h	h
Далее, при \Л\ > || А|| R(A) = (А - ЛІ) 1
г
Л
ЛѴ1
—	, и, по теореме об обра-
Л)
тимости оператора, близкого к тождественному, оператор
(
I
\
Л)
ограничен,
поэтому Я (А) —» 0.
А-»СО
Рассмотрим произвольный функционал <деХ и пусть f {Л) = (p{R^)x).
Ясно, что эта функция непрерывна в С и дифференцируема в С, поскольку
384

/ ХЯ) = 1пд/Ц + *)-/а) = ц m9(m + h)x)-4>(R(X)x) =
/z	*->о	h
й-> О
Нт^
й->0
R{A + h)x-R{A)x
/z
= (p{R2{A)x)
Кроме того, из полученного равенства следует, что / '(Я) сама непрерыв¬
на, поэтому /(Я) - регулярна в С. Поскольку /(Я)	0, то /(Я) ограничена в
Я»—
С. По теореме Лиувилля /(Я) = const, но, поскольку /(Я) ->о, то /(Я) = 0.
Я—
Отсюда следует, что V q> e X . (p(R(A)x) = 0. По теореме о вычислении нормы
вектора с помощью функционала VxeX R(A)x = 0, т.е. R(A) = 0. Это невоз¬
можно, поскольку нулевой оператор не может быть ничьим обратным.
Теорема доказана.
Замечание: пусть линейный ограниченный оператор А: X —» Y - непре¬
рывно обратим. Тогда существуют ограниченные операторы А*: Y* —» X* и
(А-1)* :Х* -»Т*, причем по определению сопряженного оператора (А-1)* опре¬
делен на всем пространстве X*. В силу примера 8 и. 3.1 (А*)-1 = (А-1)*, откуда
следует, что оператор А имеет ограниченный обратный и Im А* = X*, т.е. А* -
непрерывно обратим. Таким образом, <т(А*) с сг(А).
Теорема (о двойственности спектров): пусть X - комплексное банахо¬
во пространство, А: X —» X - линейный ограниченный оператор, тогда:
1.	А) со-/А*) и оу (А*); сгс(А) с егс(А*) Uoy(A*); оу(А) с оу, (А*);
2.	оу,(А*) а ар(А) U оу(А); сгс(А*) с оу(А); оу (А*) с оу, (A) U сгс(А);
3.	если X рефлексивно, то оу (А*) <= оу, (А); сгс(А*) = сгс(А).
Доказательство: 1. Пусть Т = А - Я/ и А ест (А), тогда кегГ ^ {0}. По
теореме о двойственности 1(ІтГ*) ф {0}. Допустим, что ImТ* = X*, тогда
(ІтГ )= X ={0} - противоречие. Тем самым, ІтГ фХ , т.е. Я^сгДА ).
Если при этом Аёсг(А*), то, в частности, ImТ* = Х*, откуда следует, что
X* а (кегГ)1. Поскольку обратное включение очевидно, то X* = (кегГ)1, по¬
этому {0} = ±Х* = 1((кегГ)1) = кегГ, откуда А&сг (А) - противоречие. Таким
образом, Яе оу, (A*) (Joy (А*).
Пусть Яеоу(А), тогда ImТ = X , поэтому (ІтГ)1 = {0} = кегГ*, откуда
Я g оуДА ). Если Аёсг(А ), то ЬпГ = X . В этом случае оператор Г биекти-
вен и непрерывно обратим по теореме Банаха. Следовательно, оператор Т -
непрерывно обратим, т.е. Ѵх e X

Г х
III	т
х , с>0. Поскольку Т = Т
то
Vx g X ||Гх|| > с||х||, откуда следует инъективность и замкнутость образа опера¬
385

тора Г(см. пример 5 б). Поскольку ІтГ = X , то ІтГ = X, что противоречит
условию Л е сгс(А). Таким образом, Л е сгДА*) U сгДА*).
Пусть Л е сгДА), тогда ІтГ ф X, (ІтГ)1 Ф {О}, кегГ* ф {О} и Л е сгДА*).
Попутно всеми этими включениями доказано включение сг(А) а сг(А).
2.	Пусть Л е <тр(А*), тогда кегГ* : ф {0}, (ІтГ)1 ф {0}, ІтГ ф X, Л е сгДА),
поэтому, учитывая, что сг(А*) <z сг(А), получаем, что Л е сгр (А) U сгДА).
Пусть Лесгс(А), тогда ІтГ =Х ,Х а (кегГ) . Поскольку обратное
I	-	^	i	jj-	i	i
включение очевидно, то X =(кегГ) , |0| = X = ((кегГ) )=кегГ, откуда
%
Л £ сгДА). В силу п. 1, если бы Л е сгДА), то имели бы А е сгДА ) - противо¬
речие. Таким образом, Л е сгДА).
Пусть А е сгДА ). Если бы Л е сгДА), то, в силу п. 1 А е сгДА ) - проти¬
воречие. Тем самым, Л е ар (А) (J сгДА).
3.	Пусть АесгДА*), т.е. ІтТ* ф X*, поэтому ^ЬпГ*|^{0}, кегГ^{0},
Леар(А).
Пусть Яе(7с(А), тогда, в силу п. 1 /IесгДА*)(JсгДА*). При этом, если бы
Л е сгДА*), то, по уже доказанному, было бы Л е сгДА) - противоречие. Таким
образом, ЯесгДА*). Поскольку включение сгДА*)<zсгДА) уже было доказано
в п. 2, то сгДА*) = сгДА).
Теорема доказана.
Замечание: попутно доказали, что сг( А) = сг(А*).
Замечание: аналогично можно доказать, что, если А:Н —>Н - линейный
ограниченный оператор, то:
1.	а(А*) = {Л:Лест(А)}-
2.	если Ле сгДА), то Л е сгДА*);
3.	если Лесгр(А), то Л есгДА*) или Л есгДА*);
4.	стДЛ*) = {Д:Ле<тДД)}.
Сопряженные операторы тут понимаются в смысле гильбертовых сопря¬
женных.
Определение: пусть X,Y - линейные нормированные пространства. Опе¬
раторы А: X —>Х и B.Y —» У называются слабо изометрически эквивалент¬
ными, если существуют изометрические изоморфизмы UX,U2 : X —» Y такие,
что UXA = BU2- В случае, если UX=U2, операторы А и В называются изомет¬
рически эквивалентными.
386

Замечание: очевидно, что, если операторы А и В изометрически эквива¬
лентны, то ѴЛеС операторы А-ЛІ и В-ЛІ также изометрически эквива¬
лентны.
Теорема (об инвариантности спектра): пусть X - банахово простран¬
ство, линейные ограниченные операторы А: X X и B:Y —» У таковы, что
при Л,/л<еС операторы Т = А-ЛІ и S = B-juI слабо изометрически эквива¬
лентны, тогда Л е <т(А) тогда и только тогда, когда /i е <т(В).
Доказательство: 1. Пусть Ле<гр(А), т.е. 3x^0: Тх = 0. Тогда U{Tx = 0,
откуда SU2x = 0. Поскольку хфО, то у = Ѵ2хФ 0, поэтому /іесгр(В). Для до¬
казательства обратного включения рассуждения можно повторить, если учесть,
что TU -1 = U~XS.
2.	Пусть Л е сгс(А), т.е. ЗГ-1, ЬпГ Ф X и ЬпГ = X . Поскольку = SU2,
то / = 5C/2T'-1C/f1, I = U2T~lU[lS, таким образом, EIS-1. Далее, т.к. ІтГ ф X, то
Зх e X : Тх<£Х . В силу взаимной однозначности U, получаем, что ІДТх g У,
откуда SU2x £ Y. Таким образом, нашли у = U2xgY такой, что Sy &Y, откуда
следует, что ImS ф Y. Пусть теперь ЬпГ = X , т.е. Vx e X 37х„ е ЬпГ (х„ e X ):
7хи->х. Тогда U{Txn -^>Uxx = у еУ, SU2xn^y, т.е. ѴуеУ 3 yn=U2xneY:
Syn —» у, поэтому ImS = y и ju е <тс {В). Обратное включение обосновывается
также, как и в п. 1.
3.	Пусть Лесу (А), тогда в силу п.п. 1,2, ju<£crp(B) и р<£стс(В). Допу¬
стим, что ц <£ сг(В), т.е., в частности, ImS = У. Это означает, что Ѵу е У Зи е У:
Su = y. Тогда U1~1Su = U1~1y = хе X , TU2~1u = x. В силу произвольности у и
взаимной однозначности U{1 вектор хеХ произволен и для него нашли век¬
тор U2~1u = ѵеХ такой, что Тѵ = х. Таким образом, ІтГ = X, что противоречит
условию Л e <jr (А). Тогда fi е стг(В). Аналогично ju е сгг(В)	1 е <тг(А).
Теорема доказана.
Примеры решения задач
1.	Пусть X - комплексное линейное нормированное пространство,
А:Х —>Х - линейный ограниченный оператор. Доказать, что, если оператор
А имеет собственный вектор, то А также имеет собственный вектор.
Решение: пусть Ле С - собственное значение оператора А2, а xg X - со¬
ответствующий ему собственный вектор. Тогда А2х = Лх, откуда (А2 - ЛІ)х = 0,
т.е. (А-у[Л1)(А + у[Л1)х = 0. Если (А + у/~ЛІ)х = 0, т.е. Ах = -ѴХх, то хеХ -
собственный вектор оператора А, отвечающий собственному значению -у[Л .
Если у = (А + у[лі)хф0, то (А-у[ЛІ)у = 0, откуда Ау = >Ду,т.е. уеХ - соб¬
ственный вектор оператора А, отвечающий собственному значению у[Л .
387

2.	В вещественном пространстве С[-л,л] найти собственные векторы и
собственные значения оператора Ах(?) = x(-t).
Решение: надо описать все те вещественные числа Л, для которых уравне¬
ние Ах = Лх, т.е. x(-t) = Лх(с) имеет нетривиальное решение в пространстве
С\-л,л\. При >1 = 1 этому уравнению удовлетворяет каждая четная функция, а
при Л = -1 - каждая нечетная. Покажем, что других собственных значений опе¬
ратор А не имеет. Пусть Л0ф± 1 - другое собственное значение оператора А и
x0(t)^ 0 - соответствующая ему собственная функция. Тогда х0(—і) = Д.,лс0(/)
для всех ?е[-;г,;г]. Тогда, заменяя ? на -?, получаем, что x0(r) = /J0x0(-r), где
? е [-л,л] и, поскольку x0(-t) = Л0х0(0, то для всех ? е [-л,л] х0(?) = A^x0(t).
Это равенство невозможно, поскольку х0(?) ^ 0 и Л0ф±1.
3.	В вещественном пространстве С\-л,л] найти собственные векторы и
п
собственные значения оператора Ax(t) = f sin(/ + s)x(s)ds.
Решение: надо описать все те вещественные числа Л, для которых уравне-
п
ние Ах = Лх, т.е. J sin(? + s)x(s)ds = Лх{і) имеет нетривиальное решение в про-
— п
странстве С7[—тг,тг]. Для этого заметим, что sin(? + s) = sin? cos лч-cos? sins и пе-
П	П
репишем уравнение в виде sin? j* cos sx(s)Js + cos ? j* sinsx(s)ds = Лх(?). Из вида
-7Т	— 7Т
этого уравнения следует, что при Л^О его решение необходимо искать в виде
х(?) = A sin ? +Б cos?, где А, В = const. Подставим этот вид решения в исходное
уравнение и получим:
п	п
sin? j* cos s(A sin s + В cos s)ds + cos ?| sin s( Asms + Bcoss)ds = A(Asin? + 5cos?).
— 7Г	-П
П	П	П
Далее,	j* cosssinsds = 0,	J cos2 sds = ;r,	j* sin2 sds = я-. Таким образом,
— 7T	—П	-7Т
уравнение приходит к виду В л sint + Ал cost = ТА sin? + ЛИ cost. Поскольку
функции sin? и cos? линейно независимы на \-л,л\, то получаем систему:
В л - ЛА = 0
А ЛВ 0 ^0СК0ЛЬКУ собственная функция х(?) = Asin? + 5cos? должна
быть отлична от нуля, то числа А и В не должны одновременно обращаться в
0.	Следовательно, полученная однородная система должна иметь нетривиаль¬
ное решение. Это возможно только в том случае, когда ее определитель равен
~Л ТС 2	2
нулю, т.е.	=Л -л = 0, откуда Л = ±л. При \ = л получаем, что
л -Л
А = Вч*0 и собственный вектор исходного оператора в данном случае имеет
388

вид х(/) = A(sin/ + cos/). При /?2 = -7г получаем, что А = -Вф0 и собственный
вектор исходного оператора имеет вид x(t) = А (sin t - cos i).
Проверим, является ли число Л} = О собственным значением оператора А.
Л
Для этого рассмотрим уравнение Г sin(/ + s)x(s)ds = 0 и выясним, имеет ли оно
нетривиальные решения в пространстве С [-л-, л-]. Перепишем уравнение в виде
Л	л
sin 11 cos sx(s)ds + cos 11 sin sx(s)ds = 0, тогда, поскольку на отрезке [-ж, ж\
-Л	— л
функции sin/ и cost линейно независимы, то это уравнение равносильно двум:
Л	л
I cos sx(s)ds = 0 и I sin sx(s)ds = 0. Таким образом, собственными функциями в
— Л	—л
этом случае будут все те непрерывные на отрезке [-л-,л-] ненулевые функции
х(/), которые ортогональны (в смысле гильбертова пространства [-л% л'])
функциям sin/ и cos /, например, это могут быть функции xn(t) = sin и/,
п = 2,3,... или xn(t) = cosnt, п = 0,2,3,...
4.	Пусть Ах(/) = х(0) + /х( 1), А:С[0,і]->С[О,і]. Найти спектр сг(А), спек¬
тральный радиус га (А) и резольвенту Rx (А).
Решение: ясно, что оператор А линеен. Проверим его ограниченность:
г	\
IАх\\ = sup |т(0) + /т(1)| < sup
te[0,l]	<g[0,1]
X
a\
v И
(0)|+|/||х(1)|
л\
INI j
<||х|| sup(l + /) = 2||x||,
re[0,l]
следовательно, оператор А ограничен.
Для определения спектра сг(А) и резольвентного множества р(А) найдем
сначала собственные значения оператора А, т.е. найдем такие Л, что уравнение
Ах = Лх или х(0) + /х(1) = Ах(/) имеет нетривиальные решения в пространстве
С [0,і]. Из вида уравнения следует, что при Лф 0 собственная функция х(/)
должна иметь вид х(/) = а + fit. Подставляя этот вид в исходное уравнение, по¬
лучаем: a + t(a + /3) = Ліа + (3t). Поскольку на отрезке [ОД] функции Іи/ ли¬
нейно независимы, то получаем систему
а - Ла = 0
. Поскольку х(/) Ф 0, то
се + /3 — Л(3 = 0
а и (3 должны быть одновременно не равны 0, т.е. полученная однородная си¬
стема должна иметь нетривиальное решение. Это возможно тогда и только то¬
гда, когда ее определитель равен нулю, т.е.
1-Л
1
0
1-Л
0, откуда (1 - Л)2 = 0,
т.е. Л = 1. Тогда из системы находим, что а = 0, а Д - произвольное, не равное
нулю число. Таким образом, собственные функции, соответствующие соб¬
389

ственному значению Д = 1 имеют вид x(t) = (Зі, /ЗфО. В случае, когда Л = О
исходное уравнение принимает вид х(0) + /х(1) = 0, и, поскольку на отрезке
[0,і] функции Іи t линейно независимы, то х(0) = 0 и х(1) = 0, поэтому число
Л = 0 также является собственным значением оператора А, а собственными
функциями для этого собственного значения будут все не равные тождественно
нулю непрерывные функции, обращающиеся в 0 в точках t = 0 и t = 1.
Чтобы установить, есть ли в спектре оператора А другие точки, необхо¬
димо исследовать на непрерывную обратимость оператор А — ЛІ. Прежде все¬
го, отметим, что для любой функции х(/) е С[0,1]
(А - Д/)х(0 = х(0) + tx( 1) - Дх(г) е С[0,l],
т.е. областью определения оператора А — ЛІ является все пространство С[0,і].
Считая, что Лф 0 и Лф 1, возьмем произвольную функцию y(l) е С[0,і] и
решим уравнение (А - Д/)х(?) = у(і), т.е. х(0) + /х(1) - Лх(і) = y(t). Подставим в
это уравнение t = О: х(0)-Лх(0) = у(0), откуда х(0) =	. Подставим в урав¬
нение t = 1: х(0) + х(1) - Лх( 1) = у (1), откуда х(1) =	=
1 — Л
Теперь из исходного уравнения выразим х(г):
ХД) -	I	I tx(V = y(J) I	I tyW
Л Л Л Л Л(1-Л) Л(1-Л)
Таким образом, поскольку Лф 0 и Лф 1, то Vy(t) е С[0,і]
(А - ЛІ)-' y{t) =	+ _20)	0^
/I Л(1-Л) Л(1-Л) Л(1-Л)2
У( 1)	У( 0)
1-Л (1-Д)2'
(у(0)
Л(1-Л)2’
= с [од].
Итак, областью определения оператора {А-ЛІ) 1 (множеством значений
оператора А-ЛІ) является все пространство С[0,і]. Непосредственно видно,
что оператор (А - Ліу1 ограничен. Это следует и из теоремы Банаха об обрат¬
ном операторе, поскольку оператор А-ЛІ взаимно однозначен, т.е. обратим
(см. задачу 15). Таким образом, оператор А — ЛІ непрерывно обратим, следова¬
тельно, оператор (А - ЛІ)~1 является резольвентой оператора А.
Спектр оператора А состоит только из чисел Л = 0 и Л = 1, которые при¬
надлежат точечному спектру ор (А). Непрерывный ос (А) и остаточный сгг (А)
спектры отсутствуют. Поскольку спектральный радиус г.(А) является радиу¬
сом наименьшего круга с центром в точке Л = 0, содержащего спектр операто¬
ра, а точка Л = 1 принадлежит спектру, то га (А) = 1.
5.	Пусть Е - комплексное банахово пространство и А :Е^>Е - линейный
ограниченный оператор. Доказать, что:
а) если для комплексного числа Л существует такая нормированная по¬
следовательность Ь}с£ (т.е. ѴпеN ІЫІ = 1), что 1іш(Ах -Лх ) = 0, то Десг(А);
К J	11 11	«—»со
390

б)	если Л е <т(А) и 3с>0: |Ах-/1л|>с|х|| УхеЕ, то Л e <jr(А);
в)	если Ле <тс(А), то существует такая нормированная последовательность
{хл} с Е, что Ит(Ахи - Лхя) = О.
Ѵ J	П—>оо
Решение: а) Пусть Ле р(А), тогда оператор (А-ЛІ) непрерывно обратим,
причем (А - ЛІ)~1: Е —» Е. Имеем, хп=(А- А/)'1 (А - ЛІ)хп = (А - ЛІ)~1(Ахп - Лхп),
значит, поскольку Ахп -Лхп —>0, то, в силу непрерывности (А-А/)-1, получа¬
ем хп = (А- ЛІ)~1(Ахп - Лхп) —»0, что противоречит условию ||хга|| = 1.
б) Обозначим Т = А-ЛІ, Е0 = R(T) = ІтГс= Е. Из условия ||Гх||>с|д;| сле¬
дует, что кегГ = {0}, откуда, во-первых, следует, что А і ар (А), а, во-вторых,
что оператор Т инъективен. Если Е() = Е, то оператор Г сюръективен, т.е. и би¬
ективен, поэтому имеет обратный. В силу теоремы Банаха об обратном опера¬
торе Т непрерывно обратим, что невозможно, поскольку Л е <т(А). Таким обра¬
зом, Е0Ф Е.
Пусть Г0: Е —» Е0, Т0х = ТхУхе Е, тогда Г0 биективен. Таким образом, Г0
обратим, поэтому Т0х = у ох = Т01у для соответствующих хеЕ и у еЕ0. Из
\\Т0х\\ > с
> с
У У , То‘у
-1.
1
< —
С
, поэтому
Ухе Е получаем, что У у е Е{)
оператор Г0-1 :Е0^Е - ограничен. Рассмотрим последовательность { ѵ„ } с Е{),
—1 —1 —1
уп —>■ у. Ясно, что Т0 уп —» Г0 у, откуда Е э хп —» Г0 у. Поскольку Е - банахо¬
во, т.е. замкнутое пространство, то Tyly e Е, откуда у е Е0, следовательно, Е{)
замкнуто. Таким образом, ІтГ ф Е, откуда следует, что Л е сгг(А).
в) следует непосредственно из п. б.
6. Найти точечный сг (А), непрерывный сгс(А) и остаточный сгг(А) спек¬
тры оператора А: С[0,і] —» С[0,і], если Ax(t) = |x(s)ds .
о
Решение: оператор А линеен и ограничен, а также определен на всем про¬
странстве. Найдем точечный спектр сгр(А), т.е. собственные значения операто-
i
ра А. Для этого надо найти такие Л, что уравнение j*x(s)ds = Лх{г) имеет нену¬
левые решения в пространстве С[0,і].
Пусть Лф 0, тогда, поскольку левая часть этого уравнения является
непрерывно дифференцируемой функцией, то таковой должна быть и правая
часть. Дифференцируя уравнение по t, находим, что х(і) = Лх'(і) и, кроме того,
справедливо начальное условие х(0) = 0. Решая полученную задачу Коши,
находим, что x{t) = 0 для всех t е [ОД] . Поэтому оператор А не может иметь
собственных значений, отличных от нулевого.
391

Исследуем точку Л = О. Уравнение для поиска ненулевой собственной
i
функции в этом случае имеет вид Jx(s)ds = 0. Дифференцируя это равенство,
о
получаем, что x(t) = 0 для всех t е [0,і]. Итак, оператор А не имеет ни одного
собственного значения, т.е. множество сгр(А) пусто.
Поскольку спектральный радиус оператора А равен нулю (см. задачу 16),
то единственной точкой спектра оператора А является точка Л = 0, причем эта
точка не является собственным значением. Чтобы определить, какому из спек¬
тров, непрерывному сгс(А) или остаточному сг.(А) принадлежит точка Л = 0,
необходимо доказать обратимость оператора (А - ЛІ) = А - 0 • / = А и исследо¬
вать его множество значений. Множеством значений оператора Ax{t) = |x(s)ds
о
является множество непрерывно дифференцируемых на [0,і] функций у(і) та¬
ких, что у(0) = 0. Обозначим это множество С0(1) [ОД] . В п. 6 теоремы о про¬
стейших свойствах обратных операторов доказано, что оператор А имеет об¬
ратный A~ly(t) =	, определенный для всех y{t) е С0(1) [ОД]. Таким образом,
dt
при Л = 0 оператор А - ЛІ - обратим.
Предположим, что С0(1) [0,1] = с[0,1], т.е., множество С0(1) [од] всюду
плотно в С [ОД], тогда \/б >0 Ѵх(і)еС[0,і] Эу(»)еС0(1,[0,1]: ||х-у||<£, т.е.
sup|x(/)-y(0|<£, откуда Ѵ/е[0,і]	х(/)-у(7)|<і:. В частности, при / = 0
Цод]
|х(0)-у(0)|<£, откуда |х(0)| < б . Поскольку s > 0 - произвольно, то из этого
неравенства следует, что |х(0)| = 0, т.е. х(0) = 0. Поскольку пространство С[0,і]
не исчерпывается только функциями х(і), для которых х(0) = 0, то предполо¬
жение С0(1)[ОД] = С[0Д] неверно, т.е. С0(1)[ОД] ф С[0,і]. Таким образом, соглас¬
но определению, точка Л = 0 является точкой остаточного спектра ог (А) опе¬
ратора А. Непрерывный спектр сгс(А) является пустым множеством.
7.	По формуле rCT(A) = НтД А" вычислить спектральный радиус операто-
П—V
ра А: С [ОД] —» С[0,і] и найти спектр <т(А), если Ax(t) = tx(t).
Решение: оператор А линеен и ограничен, а также определен на всем про¬
странстве. Ясно, что Anx(t) = tnx(l), тогда
sup |?”х(Д| sup tn |х(0|	||v|| sup f
А”
А п
А Х	ге[0,П'	1	/е[(),1]	'	'	" "/е[0,1]	„	,
= sup =sup 1 .. ..	= sup J 	<sup	jp-jp—=sup t =1.
x^O X x^O X	xрд	рд	*е[од]
С другой стороны, выбирая x0(t) = 1, получаем, что
392

sup k"jc(0| supino 0)1
1 Цод]1	1
fsfo.ll
= sup^^	:
хфО SUp |xO)|
fe[0,l]
>
sup U0 0)1
fe[0,l]
= 1.
Таким образом, A" = 1. Следовательно, rCT(A) = 1. Значит, спектр операто¬
ра А целиком лежит внутри круга \Я\ < 1. Проверим, имеет ли оператор А соб¬
ственные значения, т.е. рассмотрим уравнение tx(t) = Ax(t) и выясним, имеет ли
оно нетривиальные решения в пространстве С[0,і] при каких-либо Л. Указан¬
ное уравнение эквивалентно уравнению (t - X)x(t) = 0, решением которого яв¬
ляется функция x(t) = 0 (всюду, кроме, быть может, точки /0 = Л). Однако, по¬
скольку решение ищется в пространстве С[0,і], то x(t) = 0 всюду на отрезке
[ОД] . Таким образом, <т (А) = 0.
Исследуем оператор А —ЛІ на непрерывную обратимость, для чего возь¬
мем произвольную функцию у (t) е с[од] и найдем решение уравнения
(А - ЛІ)х{і) = y{t) или (г - Л)х(г) = у (t).
Если Л& [ОД], то обратный оператор {А-ЛІ) 1 у(і)
y(t)
t-Л
определен на
всем пространстве С[0,і], поскольку дробь
t — Л
непрерывная функция для
всех y(t) е С[0,і], т.е. в этом случае оператор А-ЛІ является непрерывно об¬
ратимым по теореме Банаха об обратном операторе. Таким образом, резоль¬
вентное множество оператора А содержит точки Л € [ОД] . Резольвента опера¬
тора А при Л £ [ОД] и y(t) £ с[0,і] имеет вид R^(A)y(t)— еС^ОД].
t — Л
Пусть Л е [ОД] , тогда, чтобы уравнение (t - Л)х(І) = y(t) имело непрерыв¬
ное решение x(t), необходимо у(Л) = 0. Таким образом, D(A-ЛІ)~1 =
= К(А-ЛІ)<^С0 = {у(0еС[0,1]: у(Я) = 0}. Далее, предположив С0 = С[0,і] и,
рассуждая аналогично предыдущему примеру, при каждом фиксированном
Яе[0,і] получаем, что х(Л) = 0. Ясно, что пространство С[0,і] не исчерпыва¬
ется только такими функциями x(t), потому предположение С0 = С[0,і] неверно.
Итак, все точки Ле [ОД] принадлежат остаточному спектру <тг (А). Оконча¬
тельно, стг (А) = [ОД], точечный сгр(А) и непрерывный сгДА) спектры отсут¬
ствуют.
8.	Найти спектр и спектральный радиус оператора А:^ —►Д, определяе¬
мого для x = (^1,^2,...)ela0 соотношением Ах = (£ +g2,g2,g3,...).
Решение: ясно, что оператор А линеен, ограничен и определен на всем
пространстве Д. Вначале найдем его собственные значения, если они есть. Для
393

этого рассмотрим уравнение Ах = Ах, т.е. (£1+£2,£2,£3,...) = А(£1,£2,-)- Ясно,
[6+6 = 4*
что это уравнение эквивалентно системе <
6 = ^2
6=^3
. Если А = 0, то из этой
системы находим, что (£ѵ£2,...) = (0,0,...), т.е. А = 0 не является собственным
значением, и потому далее считаем, что А Ф 0. Из вида уравнений замечаем, что
если А = 1, то уравнения, начиная со второго, обращаются в тождества, а первое
уравнение принимает вид £2=0. Таким образом, А = 1 - собственное значение
оператора А, а х = (£,0,^,^,...) е 1х - собственный вектор, если не все его ко¬
ординаты одновременно равны нулю. Ясно, что других ненулевых решений
указанная система не имеет. Таким образом, точечный спектр стр(А) состоит из
одной точки А = 1.
Для нахождения других частей спектра необходимо исследовать оператор
А-АІ на непрерывную обратимость, считая, что Аф\, т.е. взять произвольную
последовательность у = (rjvTj2,...)elx и решить уравнение (А-АІ)х = у, т.е.
уравнение (6 +6,£,,6,...)-A(^2,...) = (rjl,ri2,...). Ясно, что это уравнение эк-
Г£\+4г-Ц\=П\
6 — ^6 = Лі
6 _ ^3 = %
Бивалентно системе <
т?
. Из второго уравнения 6 = ——
1 — А
из тре¬
тьего - 6 =	а из первого: £ = ——— = ^
3 1-Я	1	1-Я	1-Я
^2
f
Таким образом х = (А- АІ) 1 у
Лі
Лі
(1-Я)2'
Лі Лъ
\
1-Я (1-Я)2 1-я 1-я
. Поскольку
Я^І, то при у е Іх получаем, что (Л - Я/)-1 у е Д, т.е. областью определения
оператора (А-Я/)-1 (а значит, множеством значений оператора А-АІ) являет¬
ся все пространство Іх. Непосредственно видно, что оператор (А - Я/)-1 огра¬
ничен (также, это следует из теоремы Банаха об обратном операторе). Значит,
оператор (А - Я/)-1 непрерывно обратим, следовательно, его резольвента имеет
вид ЯДА) у
С
Лі
Лі
Лі Лъ
, т.е. любая точка Я Ф1 является ре-
1-Я (1-Я)2’1-Я’1-Я’
гулярной для оператора А, и, значит, непрерывная сгс(А) и остаточная сгДА)
части спектра отсутствуют. Как и в примере 4 спектральный радиус гДА) = 1.
9. Найти спектр оператора А:	[О, і] —>	[О, і], если Ах(і) = tx(t).
Решение: ясно, что оператор А линеен, ограничен и определен на всем
пространстве LjO,!].
394

Проверим, имеет ли оператор А собственные значения, т.е. рассмотрим
уравнение tx(t) = Ax(t) и выясним, имеет ли оно нетривиальные решения в про¬
странстве ^[0,1] при каких-либо значениях А. Указанное уравнение эквива¬
лентно уравнению (t - А)х(і) = 0, решением которого является функция x(t) = 0.
Это решение тривиально в /^[ОД], поскольку пространство Ц [0,і] состоит из
классов почти всюду совпадающих функций. Таким образом, собственных зна¬
чений оператор А не имеет, т.е. сгр(А) = 0.
Далее, исследуем оператор А-АІ на непрерывную обратимость, для чего
возьмем произвольную функцию зДОеТ^ОД] и найдем решение уравнения
(А - AI)x(t) = y(t) или (t - A)x(t) = y(t).
Очевидно, что x(t) =	, следовательно, оператор А-АІ обратим (это
t - А
y(t)
ясно и из условия <7 (А) = 0), причем {А-АІ) y(t) =	. Покажем, что при
t — А
Де [ОД] оператор (А- А/)-1 определен не на всем пространстве [ОД]. Дей-
1	\ ^	1	1	А ^	^1
ствительно, возьмем y(t) = 1, тогда [ —— dt = [	-dt = [	-dt + [	-dt.
’	j t-2 J(t-A)	Jrt-П2	Jrt-1)2
Ct-AY
(t-AY
Оба интеграла расходятся (к +оо), т.е. при уД) = 1е £,[0,1] ДДг£,[0,1],
t — А
значит, функция y{t) = 1 не принадлежит области определения оператора
(А-Аіу1. Итак, при Ае [од] областью определения оператора (А-АІ)1, а
значит, множеством значений оператора А-АІ является множество интегри¬
руемых с квадратом функций у(і) е М°Д]> для которых
значим это множество Ь2((у>.
i
Если А £ [ОД] , то для всех у (t) e L5 [ОД] интеграл J
y(t)
t-А
^[ОД]. Обо-
y(t)
t-А
dt особенностей
не имеет, т.е. оператор (А-АІ) 1 определен на всем пространстве lJOA], а,
значит, является непрерывно обратимым по теореме Банаха об обратном опера¬
торе. Таким образом, спектр оператора состоит только из точек А е [од].
Осталось определить, какой именно части спектра принадлежат эти значе¬
ния А. Для этого рассмотрим множество С1Л - линейное многообразие функций
y(t) e L-, [ОД] таких, что y(t) = 0 в некоторой 8 -окрестности точки t = А, 8 > 0,
[О,	|?-Д|<Д
т.е. у(0 = ]	. Имеем, если y(t) е :
[у(0, \t-A\>8
395

1	/ .\ 2	— S+Л 2 /_>\	S+Л	2 / ,\	1	2/_>\
ГЖ л= f -2ІД* + Г -X^dt + Г ЛД
J0 t - Л { (t-Л) J+x {t - Л) /+л {t - лу
-S+Л
-dt
—S+Л 2 / ,\	1	2 /	i — (5+Я	* 1
= f У \dt+ f —	\dt<— f y2(t)dt + —T f y2(t)dt<
{(t-Л)2 Ut-Л)2 s2lyKJ s2l/K)
- ТГ J3’2(t)dt +	Jy2{t)dt = J y2(?>ft < +co,
C> 0	^ 0	^ 0
т.е.	— € А, [О, l], следовательно Clx содержится в области определения опера-
t — Л
тора (А - Ліу1, а значит, в множестве значений оператора А-ЛІ, т.е. С2Л с Ц(<у>.
Покажем, что множество €1Л всюду плотно в к [од] Это будет означать,
что Q.x=L2 [0,1], а значит, тем более, А,(0) = L-, [0,l].
Для любой функции y(t)e ^[0Л] и VweN рассмотрим последователь'
Г	i
о U _ зі ^ А
ность yn(t)<=L2[0,1] такую, что yn(t) =
0,	\і-Л\<-
”. Ясно, что yn(t)<E
у(0, \t - л\ > -
п
Кроме того, yn(t)-y(t) =
-y(t), \t - Л\ < -
П
о,
п
\і-Л\>-
п
откуда
hn-yf = \\уп(л)-у(лІ\ dt= j
0	-Ua
n
kM
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега, следовательно, уп —» у .
Итак, нашли последовательность уп (t) е 0.х, которая сходится к любому эле¬
менту y(t)e М°4 что, означает всюду плотность С1Я в Ц [0,і]. Тем самым
проверено, что (0, і) с: сг.(А). Аналогично проверяется, что {0,1} с <jc(A) (надо
только выбирать не двусторонние окрестности точки Л, а соответствующие
односторонние) Окончательно, поскольку L2(()) = £,[0,1] ,то Ле [0,і] а <ус(А) .
10.	Пусть А\Ір^Ір. Найти спектр и резольвенту оператора левого сдвига
Ах = (£2,£3,...), * = (£,&>•••)g/p’ 1^Р<со-
Решение: ясно, что оператор линеен и ограничен, причем ||А|| = 1. Найдем
собственные значения, для чего выясним, имеет ли уравнение Ах = Лх нетри¬
виальные решения в Ір. Имеем: (£2,£3,...) = Я(^1,^2ѵ), откуда получаем, что
%г = Л%и 4ъ = 2^2 = 22<^і, • • •, т.е. х = ({1,Л£1,Л%-) = £і(іЛ,Л2,..)*0 при£*0.
396

При этом xelp тогда и только тогда, когда	< +00, т.е. при |Я| < 1. Таким
к= 1
образом, множество {Я: |Я| < і| представляет собой множество собственных
значений оператора А. Поскольку спектр всегда замкнут, то круг
{Л:\Л\ < 1 j d сг(А). А поскольку || А|| = 1, то по теореме о свойствах спектра и ре¬
зольвентного множества получаем, что точки {Я: |Я| > і| принадлежат резоль¬
вентному множеству. Итак, {Я: |Я| < і| = ар (А). Осталось исследовать множество
{Я:|/l| = lj. Заметим, что такие Л <£ ар(А), поэтому оператор А-ЛІ обратим.
Покажем, что множество значений оператора А-ЛІ содержит множество
с00 всех финитных векторов. Если {А-Л1)х = {т]ѵгі2,...,гіп,0,0,...), то это приво-
\^к+\ ~ ^к = Лк’ к =	|і| i
дит к системе <	. Поскольку Я =1, то получаем,
[4+і -Л£к =0,к = п + \,п + 2,...
что \%к+1\ = \%к\, к = п + 1,п + 2,... Поскольку требуется, чтобы х е Ір, то последнее
равенство возможно только если \<%к\ = 0, к = п + 1,п + 2,..., т.е. х - финитная по¬
следовательность. Из уравнений gk+l-A£k=Jjk, к = 1,2,...,п легко последова¬
тельно выразить все начальные координаты вектора х при произвольных зна¬
чениях гіх,...,гіп. Тем самым, с(Ю cz R(A - ЛІ). Поскольку множество финитных
векторов всюду плотно в Ір, то R(A - ЛІ) = Ір и |Я: |Я| = і} = <тс(А), <тг (а) = 0 .
Для нахождения резольвенты необходимо решить уравнение (А - ЛІ)х = у
при y = (7jv7j2,...)elp и |я|>1. Имеем, (^2,^3,...)-Л(^,^2,...) = (гіѵ?J2,...), т.е. по¬
лучаем рекуррентное уравнение £к+х - Л^к = ijk, к = 1,2,.... Это уравнение мож¬
но решать, полагая £, = с и последовательно выражая <^2,<^3,„. Приведем здесь
более общий метод из теории рекуррентных соотношений.
Рассмотрим однородное уравнение £к+] - Л^к = 0 и будем искать его ре¬
шение в виде %к = qk. Подставляя этот вид, получим характеристическое урав¬
нение q- Л = 0, откуда q = Я и <^одн = сЛк. Общее решение неоднородного
уравнения ищем методом вариации постоянной в виде А = скЛк. Подставим
этот вид в неоднородное уравнение: ск+хЛк+1 -скЛК+1 =qk, откуда ck+l-ck
п-1	77
Сложим все такие равенства при к =	и получим сп-сх = ^ ^
к=
)к+1
Лк
я
к+1'
, от-
г
куда £к =
с +
Jt-i
і= 1 Я
Лі
л
і+1
к	2
Я , к = 2,3,.... В частности, ^2 = са +	, а, поскольку, из
исходного уравнения <f2 = Л£х + і]х, то ^ = с Л
397

Далее, заметим, что
4
Аа
к-1
С
+2AI
/+1
, причем, поскольку хеі , то, в
частности, |^Д| —> 0 и, учитывая, что \Я\ >1, переходя к пределу при к —»оо, по-
со
лучим
fc-1
2Д
і=1 л
-> 0. Ясно, что, поскольку у e I , то последовательность {77-}
fc->CC
77.
ограничена, следовательно, ряд У"^—сходится по признаку Вейерштрасса.
і=1
00 Л
Таким образом, с = -Ѵ -АД. Окончательно получаем, что, при к = 1,2,3,...
л І+1
2=1 ^
4 = Хтт =	’ а Резольвента равна /Д(А)у = -]Г—
і=* ^
і=к %
f 00	Л
Лі
i+1-k
Я1
. Jler-
V і=к 'u A=1
ко проверить непосредственно, что резольвента действительно определена на
всем пространстве и ограничена (см. задачу 47).
/ 1 \°°
[ YI +1
11. Найти спектр и резольвенту диагонального оператора Ах = 	<Д ,
V п	)п=I
* = (4,&>•••)’ если: а) А:Д ->Д; б) А:/р ->/р, /?>1.
Решение: а) уравнение для поиска собственных значений Ах = Ях имеет
г
вид
п + I
\
-Я
\ п J
72 + I
<Д = 0, 72 g N. Если А ^	, то отсюда следует, что все = 0,
72
т.е. такие А не являются собственными значениями. Если для некоторого к e N
к + І
Я =	, то, выбирая соответствующее <Д = I, получим ненулевой собствен-
к
72 + I
ный вектор (О,О,...,0,1,0,0...)еД. Таким образом,
к	I 72
, 72 e N 7 с сг„(А). По-
скольку спектр всегда замкнут, то предельная точка этого множества А = 1 так¬
же является точкой спектра. Для исследования характера этой точки рассмот¬
рим уравнение Ах- х= у, у е Д. Решая его, находим, что = плп, 72 g N. Та¬
ким образом, оператор (А -1) 1 определен для тех у е Д, для которых
supn|77w| < 00. Обозначим это множество М . Ясно, что Ѵу g М Ѵ72 g N п\лп\<с,
(J	Су
откуда I77J < —. Поскольку	» 0, то 77^—» 0. Таким образом, М czc0. Посколь-
72	72
ку пространство с0 является замкнутым подмножеством Д и не совпадает с Д,
то R(A-I) = М сс0 ф Д, поэтому lG<rr(A). То же самое можно было устано-
{ р \
вить, сразу заметив, что у = Ах- х =
£
V п )п=1
Сп.
398

Yi + 1
Далее, пусть Я + 1,	,пе N. Рассмотрим уравнение Ах-Ах=у, уе/а
л
Решая его, находим ^ =
Ѵг
л +1
и
, неЩ. Это решение принадлежит /х, если
-Я
sup
ft
Л + 1
-Я
и
< со. Обозначим М =
л +1
d = inf |л - Я| > 0,	поэтому sup
иеМ	и
Л
\Пп
, тогда Я g М. Отсюда следует, что
1
л+ 1
-Я
л
< — sup I//J < со.	Итак, оператор
dn
(А - ЛІ) 1 у определен и ограничен Ѵу e Iпри всех Я +1, л e N, поэтому
л
(RM)y)n =
Л п
л+ 1
л
, леЩ.
-Я
б) Аналогично
л +1
, л e N і с с (А), и точка Я = 1 является точкой спек-
л	j
тра. Из уравнения Ах- х = у, у е / находим і]п= —, пe N. Отсюда следует,
у	п
6
что множество значений оператора А-/ содержит все финитные последова¬
тельности (являющиеся образами финитных же последовательностей), которые
л +1
всюду плотны в Ір. Тем самым, 1е<тс(А). Далее, пусть Лф 1,	,леИ. Из
л
уравнения Ах- Лх = у, у е / находим =
In
^-Л Р
п
еі л g N, поскольку для
всех
£
к
П=1
л + 1
-Я
п
^£кГ<ю . Таким образом, (Кл(А)у)п
Р г]Р*-
а п=1
=	Лп_
Л + 1
Я
л
12. Найти спектр и резольвенту оператора правого сдвига Ах =	,
А:/2—»/2, х = (^1,^2,...)е/2.
Решение: уравнение для поиска собственных значений Ах = Лх эквива¬
лентно системе 0 = Я^,	= Я£и+1, л g N. Если Я = 0, то из уравнений, начиная
со второго, следует, что х = 0. Если же Лф0, то снова х = 0. Таким образом,
собственных значений оператор не имеет, сгр (А) = 0 . Далее, рассмотрим урав¬
нение Ах - Ях = у, у g /2. Оно эквивалентно системе -Я<^ = 7^, <£п - Я<£п+1 = ^и+1,
л g N. Последовательно выражаем:	А, =	X
1 Л Ь2 А А2	Л Я2 Я3
399

П я
В итоге <^п =	’ weN. Это решение принадлежит /2 при условиях
Я^О и
П=1
&=і ^
2
%
n-fc+1
< оо. Если /1 = 0, то А-ЛІ = А и областью значений опе¬
ратора А — ЛІ является множество векторов из /2, у которых первая координата
нулевая. Ясно, что это множество не может быть всюду плотным в /2 (см. при¬
мер 6), поэтому 0 е сгг (Л). Далее считаем Лф 0.
Поскольку очевидно, что ||А|| = 1, то все числа \Л\ > 1 являются регулярны¬
ми, поэтому оператор А-ЛІ непрерывно обратим при \Л\ > 1.
Покажем, что точки \Л\ < 1 принадлежат спектру. Сперва покажем, что при
|Я|<1 оператор (А-Я/)-1 задан не на всем пространстве /2. Возьмем вектор
у = (1,0,0,...)е/2, тогда {А-ЛІ) ху
^111
ѵ
Л л2 Л
2’	оЗ’’"
^ 1
. Поскольку т—- > 1, то
щ
У
полученная последовательность не лежит в 12.
Далее, пусть Ѵу е /2 ^
и=1
%
С=1 ^
п-к+1
< оо, тогда lim ^ п-к+і = О ’ т е- после-
п^к=іл
довательность
п
х-
Пк
) п-к+і
к~1^
< с|Я|и+1. Поскольку \Л\п+1 —>0, то ^тікЛк -»0, т.е. ^77^ = 0. Обозна-
к=1	к=1
чим М - область определения оператора (А - Я/)-1, тогда, как показано выше,
ограничена, т.е. \/п <е N
п
X
Пк
зЯ
п-к+і
<с, откуда
М (z N =
уе/2:£^Я*=0
к=1
. Пусть (р{у) = ^г/кЛк , у е /2, |Я| < 1. Ясно, что это
к=1
линейный функционал и |^(у)|<
U=i у
\2f оо
i2fc
X
U=i J
\ о	СО	Л о
2	— ■ i2fc 2
хи
U=1 У
СІЫІ. Та¬
ким образом, функционал определен на всем пространстве и ограничен, причем
<
2^|Я|	. При этом, очевидно, что N = кеггд, а, поскольку функционал
U=i У
не тождественно нулевой, то ker (р ф і2 .
Далее возможно два рассуждения.
а) Ядро любого линейного ограниченного функционала замкнуто, поэтому
R{А - ЛІ) с= N Ф12 и \Л: |Я| < l| <= <jr (А).
400

б) Поскольку уд = ( 1,0,0,...)£ N, то можно посчитать расстояние от точки
\<Р(Уо)\
Уо до N по формуле /?(у0,ЛГ)
Имеем, |0>(уо)| = |Л|,
<
И
(см. пример 7 и. 2.3).
поэтому p(y0,N)> -Jl - \Л\2 . Поскольку
р(у0,М)> p(y0,N), то элемент у0 нельзя сколь угодно точно приблизить ни¬
каким элементом из М . В итоге R(A - ЯІ) Ф /2 и |/1: \Я\ < і} с: <тг (А).
Поскольку спектр всегда замкнут, то точки {/I: \Я\ = і}	также принадле¬
жат спектру. Остается исследовать, какой именно части спектра они принадле¬
жат. Воспользуемся теоремой о двойственности спектров и тем, что (гильбер¬
товым) сопряженным к оператору правого сдвига является оператор левого
сдвига (см. пример 10). Поскольку	: |Л.| = і| с сгс(А ) и сгДА )(Z<rc(A), то
( п	^°°
\Я: \Я\ = 1} <= сгс(А). Наконец, резольвента Яя(А)у =	п-к+1	’ при М > 1 •
I *=1*	)п=1
Заметим, что рассуждения, аналогичные проведенным в примере 10 для
точек |/1: \Я\ = lj в данном случае не проходят, поскольку во множестве значе¬
ний оператора А - ЯІ, лежат не все финитные последовательности, а только те
для которых выполнено определенное условие, связывающее первую коорди¬
нату со всеми остальными (см. задачу 34).
Также заметим, что вывод {Л:|Я| < і} с <тДА) сразу следует из теоремы о
двойственных спектрах, поскольку (А ) g (А.) (J (А), |Д. |Т| ^ i} ^стр(А*)
и {Я:\Я\<і}ёстр(А).
Задачи для самостоятельного решения
1.	Показать, что если для некоторого натурального числа m
<1, то
X
ряд Ак сходится.
к=О
Указание: показать, что га(А) < 1.
2.	Выяснить, имеет ли оператор из примера 2 непрерывный спектр. По¬
строить резольвенту на множестве регулярных значений оператора А.
3.	Выяснить, имеет ли оператор из примера 3 непрерывный спектр. По¬
строить резольвенту на множестве регулярных значений оператора А.
4.	Пусть Е - комплексное банахово пространство, А :Е^>Е - линейный
оператор и оператор А-1 существует. Доказать, что А и А1 имеют одни и те же
собственные векторы.
401

5.	Вычислить собственные векторы и собственные значения интегрального
i
оператора Ax(t) = ^K{t,T)x{r)dr в ^[ОД^если К(t,т) = min{t,г}.
о
6.	В вещественном пространстве С\-л,л\ найти собственные векторы и
п
собственные значения оператора Ax(t) = [ cos(? + s)x{s)ds. Имеет ли этот опе¬
ратор непрерывный спектр? Построить резольвенту на множестве регулярных
значений оператора А.
7.	В вещественном линейном пространстве С[0,л"] найти собственные
d2x
значения и собственные векторы оператора Ax(t) = —-, если его область опре-
dt
деления D(A) = {х(0 е С(2) [О,л-]: х(0) = х(л) = О}.
8.	В вещественном линейном пространстве С[0,;г] найти собственные
значения и собственные векторы оператора Ax(t)
d2x
'dt2'
если его область опре¬
деления D(A) = g С(2) [0,л]: х'(0) = х\л) = 0|.
9.	В вещественном линейном пространстве С[0,;г] найти собственные
d2 х
значения и собственные векторы оператора Ax(t) - —-, если его область опре-
dt
деления D(A) = |x(r) е С(2) [0,л-]: х(0) = х(л), х'(0) =	.
dx
10.	В пространстве С[0ДІ рассмотрим оператор Ax(t) = —. Доказать, что
dt
сг(А) пусто, если D(A) = |х(?) е С(|) [0,1]: х(0) = 0|. Как это согласуется с теоре¬
мой о спектре?
г -i	dx
11.	В пространстве С 0,1 рассмотрим оператор Ax(t) = —. Доказать, что
dt
сг(А) состоит из одних собственных значений, заполняющих всю комплексную
плоскость, если D(A) = С(1) [од].
12.	В пространстве С[0,1І рассмотрим оператор Ax(t) = —. Доказать, что,
dt
если £>(А) = |с(1) [0,1]: ДО) = 41)}, то сг(А) состоит из собственных значений
{2л"ш, пеЩ.
13.	Два оператора А и В называются перестановочными, если АВ = ВА.
Доказать, что оператор и его резольвента перестановочны.
Указание: показать, что А(А-АІ) = (А-АІ)А и умножитъ обе части
этого равенства слева на (А - АІ) '.
402

14.	Доказать, что если Я,// е р(А), то
R,(А) -RM(A) = (А- ju)Rx(A)RM(А) = (А- p)R^(A)RX(А).
Указание: умножитъ очевидное равенство (А - рі) - (А - Я/) = (Я - //)/
слеш ня (А) м справа на R (А).
15.	Доказать, что ядро оператора (А - A/)x(f) = х(0) + tx(l) - Ax(t) из при¬
мера 4 при Я ф 0 и Я ^ 1 состоит только из нулевого вектора.
16.	Используя определение, доказать, что спектральный радиус оператора
А из примера 6 равен нулю.
17.	Найти резольвенту оператора А из примера 6. Доказать, что точка
Я = 0 является особой точкой резольвенты.
18.	Пусть оператор А:С[0,і]->С[0,і] определяется формулой Ax(t) = -- x(t),
причем D(A) = |х(7) е С(1) [ОД]: х(0) = 0j. Найти его точечный ар (А), непрерыв¬
ный <тс(А) и остаточный сгДА) спектры.
19.	Пусть оператор А: С[0,2;г] —»С[0,2;г] определяется формулой
Ax(t) = elt ■ x(t). Показать, что сг(А) = {А е С:|Л| = і}, т.е. <г(А) заполняет еди¬
ничную окружность.
20.	Пусть K(t,s) - непрерывная функция двух переменных в треугольнике
А = [t,s :а< s <t, a<t <Ь] . В пространстве C[a,Z?] найти спектральный радиус
t
оператора Вольтерра Ax(t) = j K(t,s)x(s)ds. Найти <т(А). При каком условии
точка Я = 0 будет собственным значением оператора А ?
t	t
Указание: рассмотреть xx{t) = ^K{t,s)x{s)ds, xn(t) = jK(t,s)xn_l(s)ds
a	a
n- 2,3,... Обозначитъ k = max \K(t, s)| (предварительно обосновать, что этот
a<t,s<b	1
максимум существует), затем последовательно оценить |jq(?)|, |х2(/)|,... и вы-
kn{b - а)п
вести оценку
Ап
п\
21.	Пусть K(t,s) - непрерывная функция двух переменных в треугольнике
А = {t,s:a< s<t,a<t <b] . В пространстве L^[а,Ь] найти спектральный радиус
t
оператора Вольтерра Ах(0 = |аДм)л;(А)^. Найти <т(А). При каком условии
точка Я = 0 будет собственным значением оператора А ?
22.	Найти точечный сгр(А), непрерывный сгДА) и остаточный сгДА)
t
спектры оператора А: А [ОД] —» Ц [0,1], если Ax{t) = Ix{s)ds .
о
403

Указание: найти спектральный радиус. Для отыскания множества зна¬
чений оператора А-ЛІ воспользоваться свойством абсолютной непрерывно¬
сти интеграла Лебега: если x(s)
суммируемая функция, то
|х(У)іу - абсо-
о
лютно непрерывная функция. Показать, что множеством значений оператора
А-ЛІ являются все абсолютно непрерывные на отрезке (и, в частности, не¬
прерывные) функции у(і), удовлетворяющие условию у(0) = 0. Учесть, что Lp
состоит из классов почти всюду совпадающих функций.
23.	Найти точечный <тр(А), непрерывный сгс(А) и остаточный сгДА)
спектры оператора А:С0[0,і] ^С0 [0,і], если Ax(t) = |х(х)Дх и С0[0,і] - бана-
о
хово пространство непрерывных функций x(t), для которых х(0) = 0.
Указание: показать, что С0(1) [о,1]=с0[о,1] (см. пример 6).
24.	Пусть Е - банахово пространство, А :Е->Е - линейный ограничен¬
ный оператор и существует А-1 :Е —> Е - также линейный и ограниченный. До¬
казать, что, если 2есг(А_1), то Д-1е<т(А) и, обратно, если //е<х(А), то
/Г1 есг(А_1).
Указание: если Л е сг( А-1), то оператор А-1 - ЛІ не является непрерывно
обратимым. Показать, что и оператор а[ах-лі) не является непрерывно
обратимым.
25.	Пусть Е - банахово пространство, А :Е^>Е - линейный ограничен¬
ный оператор и Ле сг(А). Доказать, что \/пgN Ге <т(А”).
26.	В пространстве С[а,&] рассмотрим оператор Ax(t) = <p(t)x{t), где cp(t) -
некоторая строго монотонно возрастающая и непрерывная на отрезке \a,b\
функция. Доказать, что <j{A) = \(p{a),(p{b)\, причем ни одна точка спектра не
является собственным значением.
27.	Найти спектр и резольвенту оператора А: Д [0,і] —>	[0,і], задаваемо-
1
го равенством Ax(t) = j*(1 + ts)x(s)ds.
о
28. По формуле ra(A) = limW
ft—>со V
Ап
вычислить спектральный радиус опера¬
тора А: С [0,і] —» С [ОД] и найти спектр <т(А), если Ax(t) = (t + 1)х(7).
29.	По формуле ra{A) = HmW А" вычислить спектральный радиус опера-
со V
тора А: С[0,і] —> С[0,і] и найти <т(А), если Ax(t) = a(t)x(t), где a(t) е C[0,l].
30.	Найти спектр, резольвенту и спектральный радиус оператора А:Іх^Іх,
определяемого для х = (^1,^2,...)е/00 соотношением Ах = (^3ДгД2,^4Д5,...).
404

31.	Найти спектр, резольвенту и спектральный радиус оператора А:	-»,
определяемого для х = (<^ѵ^2,...)&Іа0 соотношением Ах = (-^,^2,-^3,^4,1)"£„,...).
32.	Найти спектр и резольвенту тождественного оператора І:Е—>Е, где
Е - банахово пространство.
33.	Найти спектр и резольвенту операторов левого и правого сдвига (см.
примеры 10 и 12) в случае A:lx—>lx.
Указание: для оператора правого сдвига в случае \Л\ = 1 показать, что
множество значений оператора А-ЛІ принадлежит ядру функционала
1 п
(р(у) = Шп-У^Л* и р(у0,кехф)>\, где у0 = (Л~\Л~2,-)еІж.
n^nk=i
34.	Найти спектр и резольвенту оператора правого сдвига (см. пример 12)
в случаях А:^ —Ц и А:Ір->Ір, р>Ъ. Показать, что при \Л\ = \ множество зна¬
чений оператора А-ЛІ не содержит все финитные последовательности.
35.	Найти спектр и резольвенту операторов левого и правого сдвига (см.
примеры 10, 12) для случая А: с0 —» с0.
t2
36.	Найти спектр и резольвенту оператора Ах{і) = J x{s)ds, А: С[0,1] -» С[0,1].
о
л 1
-*С
л 1
0,-
о,-
2
2
Указание: оценить спектральный радиус.
Ъ1. Показать, что спектральный радиус оператора А : С
где Ax(t) = tx(t2) равен 0.
38.	Показать, что спектр оператора А:С[0,і] —» С [ОД], где Ax(t) = x(t2)
лежит на единичной окружности в С.
Указание: при \Л\<1 проверить, что резольвента оператора А имеет
+ ... (обосновать сходимость этого ря¬
да и ограниченность этого оператора). Указать аналогичную резольвенту для
случая |Д|>1.
39.	Найти точечный ср(А), непрерывный сгг(А) и остаточный сгДА)
( м
( М
(
вид: Rx(A)y = у
і2
\ )
+ Лу
t4
\ )
+ Л2 у
Г
00
V
спектры оператора А: [0, і] —>	[0,і], если Ax(t) = | x(s)ds . Найти резольвен-
o
ту оператора.
Указание: использовать теорему о резольвентном множестве.
40.	Показать, что спектральный радиус оператора А:С[0,і]—»С[0,і], где
- f x(s)ds, 0 < t < 1
Ax(t) = Yq	равен 1.
Іх(0),	/ = 0
405

41. Найти спектр диагонального оператора Ах = (ах^х,а2^—)>	с= С -
ограниченная последовательность, А:	.
Указание: для исследования части спектра ст(А)\(тр(А) показать, что
множество значений оператора А-ЛІ лежит во множестве векторов Іт, со¬
держащих подпоследовательности, стремящиеся к нулю. Показать, что век¬
тор (1,1,...) е Д не может быть с любой точностью приближен элементом
данного множества.
42. Найти спектр диагонального оператора Ах = (а'1£1,а2£2’—)’	~~
ограниченная последовательность, А: Ір —»Ір, р > 1.
43.	Пусть А:Ір 1р,1< р <со - оператор правого или левого сдвига (см.
примеры 10, 12). Доказать, что при Я =1 операторы А-ЛІ и А — І слабо изо¬
метрически эквивалентны. Вывести отсюда, что в случае оператора правого
сдвига {Я:|Я| = l|<= <Jr(А) при р = со.
Указание: показать, что требуемая эквивалентность осуществляется
диагональными операторами вида (C/1jc)w = Лп£п и (U2x)n = Я'|+1<Д(.
44.	Найти спектр оператора двустороннего сдвига (Ах)п = с;п_х, если
х = (£1,£2,...) в пространстве / (Z) = <
х = (£„)
+00
п=- 00
+00
Z І4Г<+ооК
П=-00
45.	Найти точечный спектр оператора Ах(і) = ~^х(т)сІт в пространстве
^ о
^[0,1].
Указание: учесть, что в Ь2 [0,1 ] лежат функции, которые интегрируют¬
ся с квадратом, поэтому на семейство собственных чисел Л, которое полу¬
чится после решения дифференциального уравнения, необходимо наложить
дополнительное условие Re
Я-1
Я
<
1
46.	Найти спектр и резольвенту оператора Ах = (£1—£2Д\ + <^2Д3Д4,...) ес“
ли А: 12 -> 12 •
47.	Доказать, что резольвента, найденная в примере 10, определена на всем
пространстве Ір и оценить ее норму (отдельно рассмотреть р = 1 и Р> 1).
48.	Пусть X - линейное пространство, А: X X - линейный оператор,
е1,е2,...,ек - какие-то собственные вектора оператора А. Доказать, что линейная
оболочка этих векторов инвариантна для оператора А. Если А ограничен, то
показать, что замыкание линейной оболочки этих векторов инвариантно для А.
Указание: пустъ L - линейная оболочка векторов eve2,...,ek, т.е. xeL
означает, что x = alel + a2e2+... + akek. Доказать, что Ах e L. Если А ограни¬
чен, то показать, что предел линейных комбинаций векторов переходит снова
в предел линейных комбинаций.
406

49. Пусть (p{t) =
tg t,t
0 ,t e
Ax(t) = <p(t)x(t) в случаях А: С
= 0 —
1 4j
' л- ^
-Т,°
. 4 J
л л
4’4
. Найти спектр и резольвенту оператора
->С
л л
Т’4
и А:І2
л л
7’4
Л Л
4’4
50.	Найти спектр и резольвенту оператора Ax(t) = yjtxit), А: ТДОД] -» Д[0,1].
Гі >\00
51.	Найти спектр и резольвенту оператора Ах = —^п	, если А: Іх -»Іх.
\п )п=1
52. Найти спектр и резольвенту оператора Ax(t) = sinrx(r), А:С
п
Г
->с
Л-
53.	Найти спектр и резольвенту оператора Ах(7) = J x(s)ds, А: С[ 1,2] -» С[1,2].
t
54.	Найти спектр и резольвенту оператора А: С[0,і] —> С[0,і], задаваемого
i
равенством Ax(t) = J (t - s)x(s)ds.
о
55.	Найти спектр и резольвенту оператора А:Ц[0,1]^Ц[0,\], если
Ах(і) = ^р-, область определения которого D(A) = {хе А [о.і] : Axe ч [од]}.
56.	Найти спектр и резольвенту оператора А:/2 —>/2, если Ах = (п^га)”1,
область определения которого D(A) = {х е 12 : Ах е 12].
57. Найти спектр и резольвенту оператора Ax(t) =
5x(t),0 < t < —
3
0, — < г < 1
3
, если
АіІДОДІ^ІДОД].
58.	Найти спектр и резольвенту оператора сдвига Ax(t) = x(t-1) в про¬
странствах Д(М), L, (М) и ДДМ).
Указание: найти (слабый) изометрический изоморфизм между этим опе¬
ратором и оператором умножения на некоторую мнимую экспоненту.
59.	Пусть X - банахово пространство, А,В:Х —»X - линейные ограни¬
ченные операторы. Доказать, что ст(АВ) U {0} = с(ВА) U {0}. Доказать, что, если
хотя бы один из операторов А или В обратим, то а(АВ) = сг(ВА).
Указание: воспользоваться задачей 9 п. 3.1. Для доказательства второго
равенства проверить, что ВА- АІ = А~1(АВ- АІ)А.
407

60.	Пусть X - банахово пространство, А,В:Х —- линейные операто¬
ры и выполнено равенство АВ — BA = I. Доказать, что хотя бы один из операто¬
ров А или В неограничен.
Указание: предположитъ противное. Показать, что точки Л < 1 не мо¬
гут бытъ точками спектра оператора АВ (учесть, что имеет место равен¬
ство АВ -ЛІ = ВА -(Л-1)1), а точки Л > -1 не могут бытъ точками спектра
оператора ВА. Воспользоваться предыдущей задачей.
61.	Доказать, что для любого компактного подмножества К множества С
найдется линейный ограниченный оператор А, спектр которого равен К.
Указание: покажем, что, если для некоторого s > 0 для множества М
найдется конечная s-сетъ, состоящая из точек метрического пространства
X, то существует и конечная 2s-сеть из точек множества М. Действи¬
тельно, достаточно рассмотреть только те точки s -сети ап, которые
находятся за пределами множества М и для которых ||д:-аи|| <£ при хеМ.
Построим круг B(x,rn) а B(an,s) и выберем точку bne X 0 В(х, г ). Тогда, за¬
меняя точку ап точкой Ьп, получим требуемое.
Для решения задачи, используя свойство сепарабельности компакта,
найти всюду плотную последовательность {ап} а К и рассмотреть соответ¬
ствующий диагональный оператор (см. задачу 42).
62.	Доказать, что при \Л\ > ||Л|| резольвента ограниченного оператора А за-
[ ” /уг
дается в виде ряда Неймана Ra(A) = —.
Л п=\ Л”
63.	Найти спектр, спектральный радиус и резольвенту оператора А:Ір^Ір,
1< /? < оо, если Ах = (0Дѵ0Д3,0Д5,0,...).
64.	Найти спектр, спектральный радиус и резольвенту оператора А:Ір^>Ір,
1< р <со, если Ах = (0Дѵ0Д2,0Д3,0,...).
65.	Найти спектр, спектральный радиус и резольвенту оператора А:Ір^Ір,
1< р <со, если Ах = (0,^Д2,0,^4,^5,0,...,0Д3п+1Д3п+2Л...).
66.	Найти спектр, спектральный радиус и резольвенту оператора А\Ір^Ір,
1< /? < оо, если Ах = (^2Д1Д4Д3,...,^2п+2^2п+і’—) •
67.	Найти спектр, спектральный радиус и резольвенту оператора А:Ір^Ір,
1< р <со, если Ах = (^2Д3,^Д5Д6Д4,...Д3п+2Д3п+3^3п+ѵ...).
68.	Найти спектр, спектральный радиус и резольвенту оператора А:Ір^Ір,
1< р <со, если Ах = (^Д2,...,^п,0,0,...).
408

3.4.	Вполне непрерывные операторы
Определение: пусть X,Y - линейные нормированные пространства. Ли¬
нейный оператор А: X —» Y называется вполне непрерывным, если он любое
ограниченное множество переводит в предкомпактное.
Замечание: поскольку всякое предкомпактное множество ограничено, то
вполне непрерывный оператор переводит ограниченное множество в ограни¬
ченное, а, следовательно, является ограниченным оператором. Если простран¬
ство Y - конечномерно, то справедливо и обратное, т.е. всякий ограниченный
оператор будет вполне непрерывным (задача 1).
Замечание: тождественный оператор в бесконечномерном пространстве
не является вполне непрерывным (см. задачу 2).
Теорема (об усиленной непрерывности вполне непрерывного операто¬
ра): пусть Y - банахово пространство, А: X —» Y - вполне непрерывный опера¬
тор, тогда из условия хй —^ х следует, что Ахп —» Ах.
Доказательство: пусть хп —^ х, тогда по теореме об ограниченности сла¬
бо сходящейся последовательности {хй} ограничена. Поскольку А - вполне
непрерывен, то последовательность {Ахй} - предкомпактна. Значит множество
{Ахй} с Y компактно, т.е. и секвенциально компактно. Поэтому любая подпо¬
следовательность последовательности {Ахп} имеет предел (необязательно при¬
надлежащий {Ахй}). Далее, предположим, что Ахп -/> Ах, т.е. существует такая
окрестность U (Ах), вне которой найдется бесконечно много членов последова¬
тельности {Ахй}. Тогда, в частности, из этих членов можно выбрать сходящую¬
ся подпоследовательность, причем, поскольку все ее элементы лежат вне
окрестности U (Ах), то к Ах эта подпоследовательность сходиться не может.
Итак, показали, что ЗАх —» у ф Ах. Поскольку из сильной сходимости всегда
следует слабая, то Ахщ —^ у ф Ах. С другой стороны, поскольку А - вполне
непрерывен, то он ограничен. Тогда по теореме о слабой непрерывности огра¬
ниченного оператора из условия хй —^ х следует, что Ахй Ах. Раз вся после¬
довательность слабо сходится к Ах, то этот же предел должна иметь и любая ее
подпоследовательность (см. задачу 1 п. 2.5). Противоречие.
Теорема доказана.
Замечание: если X - рефлексивное пространство, а Y - банахово, то
справедливо и обратное утверждение (см. пример 12).
Определение: пусть x,ye[a,b], К(х,у):[а,Ь]х[а,Ь]^-Ш. Интегральным
ъ
оператором с ядром К называется оператор Af = jK(x,y)f(y)dy, который
а
каждой функции /(х), определенной на \a,b\, ставит в соответствие функцию
g(x) = А/(х), также определенную на \a,b\.
409

Теорема (о вполне непрерывности интегрального оператора): если ядро
К(х,у) непрерывно на [и,/?]х [а,/?], то интегральный оператор с этим ядром
является вполне непрерывным оператором из пространства С [я,/?] в себя.
Доказательство: надо доказать, что оператор любое ограниченное мно¬
жество переводит в предкомпактное. Пусть {fa} а С[п,Ь] - ограниченное мно-
b
жество, т.е. Зс > 0: ||/я || < с . Пусть ga (х) = Afa (*) = ^К(х, y)fa (y)dy. Надо дока¬
зать, что множество {ga}cC[a,b] - предкомпактно, т.е., по теореме Арцела-
Асколи, равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Заметим, что
М*)| =
о	о	b	b
JК(х, y)fa(y)dy < Jl^U, y)\\fa(y)\dy < \\fa\\l\K(x, y)\dy < c\\K(x, y)\dy .
Поскольку [п,Ь]х[п,Ь] - замкнутый квадрат, то, по критерию компактно¬
сти в М", множество [п,Ь]х[п,Ь] компактно. Поскольку К(х,у) непрерывна на
компакте, то по теореме Вейерштрасса она ограничена, т.е. ЗМ > 0: \К(х,у)\<М.
Тогда \ga(x)\<cM(b-a), т.е. множество {g„(x)} ограничено константой, не за¬
висящей ни от х, ни от а, следовательно, {ga(x)} равномерно ограничено.
По определению равностепенной непрерывности надо проверить, что
Ѵ£>0 3S>0: Vxvx2e\a,b] |х,-х2|<^ Ѵа |ga,(x1)-ga,(x2)|<^. Имеем:
b	b
\sa(xi)-ga(x2)|= \K(xx,y)fa{y)dy -\K(x2,y)fa(y)dy =
a	a
b
J(K(xv y) - K(x2, y))fa(y)dy <	y) - K(x2, y)\\fa(y)\dy	<
a
b
<c^\K{xl,y)-K{x2,y)\dy.
Поскольку K(x, у) непрерывна на компакте, то К(х,у) равномерно непре¬
рывна по теореме Кантора, т.е. Vs >0 3S > 0: Ѵ(д^,yj),(x2,у2) |д^ -х2| <8 |у - у2\ <8
\К(х1,у1) - К(х2, у2)I < —		. Возьмем я = у2 = у, тогда из
сф - а)
xi\<S’ Ьі- 372і = °<^
следует \К(хѵу)-К(х2,у)\
c(b - а)
о
с £
откуда I ga (т,) - ga (х2 )| с с J	_ dy = s
Теорема доказана.
Определение: линейный ограниченный оператор А: X —> Y называется
конечномерным (или оператором конечного ранга), если множество значений
этого оператора является конечномерным подпространством в пространстве Y.
Теорема (критерий вполне непрерывности): пусть Н - гильбертово
пространство, А:Х —»7/ - линейный ограниченный оператор, тогда А -
410

вполне непрерывен тогда и только тогда, когда его с любой точностью можно
приблизить конечномерным оператором, т.е. Ѵ£>0 ЗВ - конечномерный:
||а-в|<£.
Замечание: достаточность условия теоремы справедлива в случае произ¬
вольного банахова пространства Y (см. доказательство).
Доказательство: пусть А - вполне непрерывен. Рассмотрим единичный
шар в пространстве X и обозначим его S = jx e X : ||х|| < і|. Поскольку этот шар
ограничен, то его образ A(S) является предкомпактным множеством. Возьмем
s >0, тогда, поскольку A(S) предкомпактно, то для него существует конечная
£
--сеть, элементы которой обозначим у1,у2,—,уп еЯ. Тогда \/AxgA(S) 3yk:
О
\\Ах-ук\\<-. Обозначим
ІсЯ - линейное подпространство, образованное
векторами уѵу2,---,уп, Р ~ проектор на подпространство L, и, наконец, пусть
В = РА. Поскольку Р переводит все пространство Н в L - подпространство
размерности п (или меньшей размерности, если среди векторов уѵу2,...,у„ есть
линейно зависимые), то размерность образа оператора В не превосходит п, т.е.
В - конечномерный оператор. Заметим, что, поскольку \/ке\,п yksL, то
Рук = ук и напомним, что норма любого проекционного оператора равна 1.
Далее, при ||х|| < 1 имеем, что Ах е А(5), тогда:
IА - 2?|| = IА - РА\\ = sup|Ax - РАх\\ = sup || Ах ~ук + ук~ РАх\\ <
И<і	И<1
< sup(IАх - ук\\ +1у* - Л4х||) < sup
И<і	и<і
£
— +
2
У
sup
ИИ
^+\Рук-рЦ\
(
<sup
ИИ
£
— +
2
ІІл-НІ =?up f+bt-Ч
У ІИИѴ2
<£.
Обратно: дано, что оператор А с любой точностью можно приблизить ко¬
нечномерным оператором, а надо доказать, что А - вполне непрерывен.
Пусть £сХ - ограниченное множество. Надо доказать, что А(Е) - пред¬
компактно, т.е. Ѵб:>0 найти для множества А(Е) конечную £-сеть. Берем
Ѵх е Е, тогда Зс > 0: ||х|| < с. Берем Ѵб: >0, тогда ЗВ - конечномерный, такой,
что ІИ-вІІ < —. Множество В(Е) конечномерно, поскольку В конечномерен,
2 с
а также ограничено, поскольку В ограничен (т.к. ||і?||<||і?- А|| + ||А||) и Е огра¬
ничено. Поскольку любое ограниченное подмножество конечномерного про¬
странства предкомпактно, то В(Е) - предкомпактно. Следовательно, для мно-
£
жества В(Е) можно построить конечную —-сеть уру2,...,уп, т.е. УВхе В(Е)
Зук: ||#x— yj< —. Покажем, что для множества А(Е) элементы уѵу2,—>уп °б-
411

разуют конечную г’-сеть. Возьмем Ѵу еА(Е), тогда у = Ах и ||у-у*|| = ||Ах-у*|| =
= I Ах -Вх + Вх-ук\\< \\Ах - Вх I +1 Вх - у J < || А - В\\ • ||х|| + \\Вх-ук\\<с~ + ^ = £.
Теорема доказана.
Теорема (о подпространстве вполне непрерывных операторов): пусть
Y - банахово пространство, тогда множество вполне непрерывных операторов,
действующих из X в Y, является замкнутым линейным подпространством
пространства линейных ограниченных операторов, действующих из X в У.
Доказательство: 1. Покажем, что множество вполне непрерывных опера¬
торов образует линейное многообразие, т.е.:
а)	если А и В - вполне непрерывны, то А+В - также вполне непрерывен;
б)	если А - вполне непрерывен, то А А - вполне непрерывен (Аф 0).
а)	Пусть Е - ограниченное множество, тогда А(Е) и В(Е) - предком¬
пактные множества, т.е. для них существуют конечные --сети, которые обо¬
значим, соответственно, ур...,уи и zl,—,zm, тогда ѴАхе А(Е) Зу.: ІИ* "Я II <2
и ѴЯхе В(Е) 3z.j: Вх - z} < — ■ Покажем, что множество, состоящее из сумм
Уі + Zj будет конечной е -сетью для множества (А + В)(Е). Тем самым, множе¬
ство (А + В)(Е) будет предкомпактным, а оператор А + В - вполне непрерыв¬
ным:
(A + B)x-(yi + Zj) = Ax + Bx-yt- z7| < ||Ax- y;|| + Bx-Zj
б) Пусть E - ограниченное множество, тогда A(E) - предкомпактно, т.е.
£ £
< — + — = £.
2 2
для него существует конечная т—- -сеть, которую обозначим у,,..., уп. Тогда
КІ
£
ѴАх е А(Е) Зуг: ||Ах - Уг || < т~, ■ Покажем, что множество, состоящее из элемен-
W
тов Ayt будет конечной £ -сетью для множества (АА)(Е). Тем самым, множе¬
ство (АА)(Е) будет предкомпактным, а оператор А А - вполне непрерывным:
I(АА)х - Ayt I = \А\ ■ IАх - Уі I < \А\ ~ = £.
2. Покажем, что линейное многообразие вполне непрерывных операторов
замкнуто, т.е. если {Ал} - последовательность вполне непрерывных операторов
L(X ,¥)
И АП -+ А (Ап^А\ т.е. IIАг - А)) —» 0, то А - также будет вполне непрерыв¬
ным. Пусть Е - ограниченное множество, т.е. УхеЕ Зс > 0: ||х|| < с. Поскольку
{Ал} - вполне непрерывны, то для каждого «gN множество Ап(Е) - предком¬
пактно, т.е. для него можно найти конечную —-сеть, которую обозначим
412

V (n) V (П)
У\ ’•••■> Ут„
т.е. УАпхеАп(Е) Ду.(и): |^x-^(n)||<-. Поскольку ЦД.-АЦ^О,
то V£ > 0 3N g N: \/n> N IIA - АІІ < —. Покажем, что \/n> N множество
N	N 2с
у}п\...,ут (п) будет конечной s-сетью для множества А(Е), тогда А(Е) будет
предкомпактным, а оператор А - вполне непрерывным. Действительно, при
нужном нам n>N: Ax-yk(n) = Ах-А^ + А^с-уік(п)	|4х-А/ ||+ |4/ -уАга) <
= s.
Теорема доказана.
Теорема (о вполне непрерывности произведения): пусть X - банахово
пространство, А,В:Х —>Х, причем А - ограничен, а В - вполне непрерывен.
Тогда операторы АВ и В А - вполне непрерывны.
Доказательство: 1. Покажем, что АВ - вполне непрерывен. Пусть Е -
ограниченное множество, тогда В(Е) - предкомпактно, т.е. для него можно по¬
строить конечную
-сеть, которую обозначим
Уѵ
,уп, т.е. \/ВхеВ(Е) Зу.:
\Вх — у. I < м—[7- Покажем, что Ау1,...,Ауп будет конечной s -сетью для множе¬
ства АВ{Е), тогда АВ{Е) будет предкомпактным, а оператор АВ - вполне не¬
прерывным: IАВх - Ау{ I < ІА! • IВх - уг I < s.
2. Покажем, что ВА - вполне непрерывен. Вначале к ограниченному мно¬
жеству применяется оператор А. Поскольку А ограничен, то ограниченное
множество он переводит в ограниченное. Затем к полученному ограниченному
множеству применяется вполне непрерывный оператор В и получается пред¬
компактное множество. Таким образом, оператор ВА всякое ограниченное
множество переводит в предкомпактное, т.е. является вполне непрерывным.
Теорема доказана.
Теорема (о вполне непрерывности сопряженного оператора): пусть Нх,
Н2 - гильбертовы пространства. Оператор А: //, —» Н2 является вполне непре¬
рывным тогда и только тогда, когда его сопряженный оператор А*: Я2 —» Нх
вполне непрерывен.
Замечание: утверждение теоремы справедливо и в произвольных банахо¬
вых пространствах для банаховых сопряженных операторов (см., напр., [10]).
Доказательство: пусть А - вполне непрерывен. В силу критерия вполне
непрерывности А с любой точностью можно приблизить конечномерным опе¬
ратором, т.е. Уе>0 ЗВ - конечномерный: || А - і?|| < £. По теореме о норме со¬
пряженного оператора А* =||А||, тогда ||а*-#*|| = ||(А-.В)*|| = ||А-Б||<£:, по¬
этому, если покажем, что В* конечномерен, то получим, что А* с любой точно-
413

стью можно приблизить конечномерным оператором и поэтому А* будет
вполне непрерывным по критерию вполне непрерывности.
Рассмотрим множество значений В(НХ) а Н2. Раз оно конечномерно, то в
нем есть ортонормированный базис е1,...,еп. Берем Ѵх е Я),Ѵу e Н2, тогда
Вх е В(Нх) и Вх = ^сіеі, где с; ={Вх,еі), тогда Вх = У (fix, еі)еі = YJ(x,B*ei)ei,
i=1	i=1	i=1
f n	\	n	f	n	\
откуда (5x,y)= ^(x,B*ei)ei,y = ^(x,B*ei)(ei,y) = x,'Yu(y,ei)B*ei . С другой
V i=1	У	г=1	V	г=1	У
стороны, (Вх,у) = (х,В*у). Поскольку хе Ях - произвольный элемент, то, срав¬
нивая эти два равенства, получаем 5* у = ІО-,е,-)ВЧ = І c^fi*^.. Таким образом,
і=1	і=1
любой элемент В*уеВ*(Н2) оказался представлен в виде линейной комбина¬
ции векторов В*е1,...,В*еп, следовательно, пространство В*(Н2) имеет конеч¬
ный базис (необязательно ортонормированный), т.е. В*(Н2) конечномерно.
Обратное утверждение предлагается доказать самостоятельно (задача 8).
Теорема доказана.
Примеры решения задач
1. Показать, что интегральный оператор А: Ь2 [О, і] —»	[О, і], задаваемый
i
равенством Ax{t) = ^k{t,s)x{s)ds, ядро которого k(t,s)e /.,([0,1]х[0.1]), являет-
0
ся вполне непрерывным.
Решение: по теореме о плотности непрерывных функций в L множество
непрерывных функций является всюду плотным в L2([0, l]x[0,l]), следователь¬
но, найдется последовательность kn(t,s) е С([0,1]х[0,1]) такая, что
([0 Д]х[0 Д])	1 1
kn(t,s)	—> k(t,s),T.Q. ^\kn(t,s)-k{t,si\ dsdt ^>0.
о о
1
Пусть Anx(t) = jkn(t,s)x(s)ds, тогда, в силу задачи 18 из первого блока за-
0
дач, все операторы Ап вполне непрерывны. Покажем, что \\А- Aj^ —>0.
Применяя неравенство Гельдера, находим:
I Anx(t) - Ax(t) I =
ill
Ikn (t, s)x(s)ds ~^k(t, s)x(s)ds = J(kn (t, s) - k(t, s))x(s)ds
0
f 1
<
1
<J|*„(M)-*(M)||*W|<fe< \\K(t ,s)-k(t,s)f ds	J|x(s)|2<is
VO
У VO
1
Л2
414

= j\kn(t,s)-k(t,s)fds
i
^2
f 1
Тогда ||Anx-Ax|| = j\Anx(t)-Ax(t)fdt < ^\kn(t,s)-k(t,s)fds-\\x
J
\г (11
<
І40Д]'
Vo
/
Vo 0
LiM
dt
f 1 1
= x
І2[0Д]
kn (t, s) - k(t, s)f dsdt
1
^2
Vo 0
Таким образом, ||An-A|| = sup
llv-^|U]
kM
f 11
<
хфО	X
j j jkn (t, s) - k(t, >у)|2 dsdt
1
^2
VO 0
. Перехо¬
дя к пределу при ц—»оо, получаем, что ||А-Ая||—»0, следовательно, АИ=^А,
т.е. А представляет собой равномерный предел последовательности вполне не¬
прерывных операторов. По теореме о подпространстве вполне непрерывных
операторов А - вполне непрерывен.
2. Пусть k(t,s) - непрерывная функция в квадрате Р = [а,&]х[а,&], функ¬
ции (p1(t),...,(pm(i) непрерывны на отрезке [a,b], а точки tv...,tm принадлежат от-
резку [a,b\. Доказать, что оператор Ax(t)= \k{t,s)x{s)ds + ^l(pk{t)x{tk) (“нагру-
а	к=i
женный” интегральный оператор) является вполне непрерывным оператором,
отображающим пространство С [а, Ь\ в С[а,£].
Решение: по теореме о подпространстве вполне непрерывных операторов,
сумма вполне непрерывных операторов является вполне непрерывным опера-
ь
тором. Поэтому достаточно проверить, что операторы Bx{t) = J*A:(?,x)x(x)Jx и
Cx{t) = (p(t)x(t0), где (pii) - некоторая непрерывная на \a,b\ функция, a t0 -
фиксированная точка отрезка [a,b], являются вполне непрерывными операто¬
рами, отображающими пространство С[а,Ь] в С[а,Ь].
Ь
Интегральный оператор Bx(t) = jk(t,s)x(s)ds является вполне непрерыв-
а
ным, поскольку он удовлетворяет всем условиям теоремы о вполне непрерыв¬
ности интегрального оператора. Докажем, что оператор Cx(t) = (p(t)x(tQ) -
вполне непрерывен. Рассмотрим ограниченное множество МсС[й,^], тогда
Ѵх(0 еМ Зс > 0: || х|| < с. Отсюда для всех x(t) e М
\Cx(t)\ = \(p(t)x(t0)\ = |^(0||*Оо)| ^ \<P(t)\ ■ ||х|| < c\(p(t)\.
Поскольку (p{t) непрерывна на [a,b\, то по теореме Вейерштрасса, она на
этом отрезке ограничена, т.е. 3R > 0: \(p(t)\ < R. Таким образом, |Сх(у)| ^ cR, тем
415

самым множество СМ равномерно ограничено. Покажем, что множество СМ
равностепенно непрерывно, т.е. что Vs> 0 ЗД>0: \/tx,t2e[a,b\
\/x{t) e М IСхДД - Cx(t2)I < s. Имеем:
IСЗД - Cx(?2)| = I <p(tx)x(tQ) - (p(t2)x(tQ)\ = \(p(tx) - (p(t2)\\x(t0)\ < c\(p{tx) - (p{t2) I.
Поскольку (p{t) непрерывна на [a,b], то по теореме Кантора, она на этом
отрезке равномерно непрерывна, т.е. \/s>0 ЗД>0: \/tvt2 e \a,b\ \tx t2\<S
I<p(tx) - <p(t2)I < —. Тогда |Ст(^) - Cx(t2)I < £.
Итак, множество CM является равномерно ограниченным и равностепен¬
но непрерывным, т.е. по теореме Арцела-Асколи, множество СМ предком¬
пактно. Следовательно, оператор Cx{t) = (p(t)x(tQ) вполне непрерывен.
3.	Является ли вполне непрерывным оператор А: С[0,1] —» С[0,1] , если:
а)	Ax(t)= f x(s^=c[s^
w a-^)2
б)	Axit) = х^л/tj;
i
в)	Ax(t) = fx(s2)ds ?
о
Будет ли этот оператор вполне непрерывным, если его рассматривать, как
отображение пространства L2 [0,l] в себя?
Г х(,ѵ)
Решение: а) Оператор А: С[0,1]->С[0,1], Ax(l) = J . ds не определен
на всем пространстве С[0,і] и неограничен, т.к. при х(0 = 1еС[0,і] получаем,
что ||х|| = 1, а при этом |Ах(і)| =
i	1	i j
J . ds =|j	-.ds. Поскольку te [ОД] , и инте-
^ у(t-sf	«І*-Я
грирование по s ведется также по отрезку [од] , то интеграл, стоящий в правой
части - несобственный, с единственной особенностью на отрезке интегрирова¬
ния. Ясно, что этот интеграл расходится, следовательно ||Ах|| = sup |Ах(/)| = +оо. По-
*[0,1]
скольку оператор неограничен, он не может быть вполне непрерывным.
В случае, когда тот же оператор действует из пространства Ц [0,і] в про¬
странство Ь2 [0,і], аналогично можно показать, что он неограничен, а потому не
является вполне непрерывным.
б)	Оператор А:С[0,і]—»С[0,і], Ax(t) = x(Jt^ определен на всем про¬
странстве, линеен и ограничен, причем, нетрудно посчитать, что ||А|| = 1. Рас¬
смотрим ограниченное множество функций М = (sinntTn=[ сС[0,1]. Предположим,
416

что множество AM =(sinny[tj сС[0,і] предкомпактно, тогда по теореме Ар-
цела-Асколи оно равностепенно непрерывно, т.е. \/s > О 3S>0: V/,,/2 е [ОД]
\tx -t21 < д \/x(t) e M I Ax(tx) - Ax(t2 )| < s.
1	..I
В частности, это верно и для tx = 0, t2 = —г, neN, тогда \t1-t2 = —т<£,
п	п
начиная с некоторого номера, и, начиная с этого же номера \Ax(tx)~ Ax(t2)\<s
для любого s > 0. Однако, поскольку |Ах(/,) - Ах(/2)| =
sinn-s/o -БІПП. Цг
V n
= sini,
то при выборе 0 <£ <sini получаем противоречие. Тем самым, оператор огра¬
ниченное множество перевел в множество, не являющееся предкомпактным,
т.е. он не является вполне непрерывным.
Рассмотрим оператор Ax(t) = х № , если А: [О, і] —» Ц, [0, і]. Снова не¬
трудно убедиться, что он линеен, ограничен и || А|| < 2.
Рассмотрим ограниченное в /^[ОД] множество М = (sin/ш2)*=1. Предпо¬
ложим, что множество AM = (sin ия?)”=1 сІ^ОД] предкомпактно, тогда в силу
критерия предкомпактности в ^[ОД] AM равностепенно непрерывно в сред¬
нем квадратичном, т.е. Ѵ£>0 3 <5 > 0: Ѵ/г |/і|<Д Ѵх(ДеА/ |АхД + h) - Ах(г)|| < s.
1	1
В частности, это верно и для /г = —, тогда \h\ = — <S, начиная с некоторого но-
п	п
(	1А
< 8 для всех £ > 0. С дру¬
мера, и, начиная с этого же номера,
Ах
( Г
t н—
- Ax{t)
1 П)
гой стороны
( \\
k
Г п
2
1
с
( п
2
Ах
t н—
- Ax(t)
= \
Ах
t н—
- Ах{і)
dt =
j
шпж
t л—
-sin nnt
dt
1 П)
Го
1 П)
\
J
0
1 П)
V
1
J|sin(n;rt + 7і) - sinптй
dt =
І
J|-2sinn7zt|2fifr = 2 /J* sin2mtdt =
= 2
1	*	П- 1
- J (1 - cos 2mt)dt = 2J— = —r=.
2	n	V 2 у 2
1
Выбирая 0<£< —f=, получаем противоречие с
V2
( О
t ч—
Ах
- Ax{t)
1 п)
< £. Тем
самым, оператор ограниченное множество перевел в множество, не являющееся
предкомпактным, т.е. он не является вполне непрерывным.
i
в) Оператор А: с [од] —» с [0,1], Ax(t) =	является линейным и
ограниченным оператором, причем нетрудно посчитать, что А = 1. Поскольку
417

х(.ѵ2) - непрерывная функция, то область значений этого оператора состоит из
действительных чисел, поэтому этот оператор представляет собой линейный
ограниченный функционал, а значит он вполне непрерывен (см. задачу 9).
i
Рассмотрим оператор Ax{t) = ^x{s2)ds, если А: [О, і] —>	[О, і]. Сделаем
о
г х(г)
в интеграле замену s2 = t , тогда Ax(t) = Г—j=dr . Этот оператор не является
J 2yjr
L2[0,l] no-
ограниченным, поскольку для последовательности xn(t) = n 2/
I 1 1
	 т/i 2/2 п 2
лучаем \\хп
_І 1 1
п 2т2п 2
сіт = 1, но \Ахп\ =
i i i
2-2п 2
П "Г
2yfr
■dr
1Г 4 4-1
=ц
ѵ
п 2Т2п =Ѵя-»+00,
т.е. ограниченную последовательность этот оператор перевел в неограничен¬
ную. Поскольку оператор неограничен, то он не может быть вполне непрерыв¬
ным.
4.	Какой должна быть функция ^еС[а,Ь], чтобы оператор умножения
на функцию Ax(t) = <p(t)x(t), A:C[a,b]-^ C[a,b] был вполне непрерывным?
Решение: покажем, что если функция ср хотя бы в одной точке f0 e \a,b\
отлична от нуля, то соответствующий оператор А не является вполне непре¬
рывным. Рассмотрим ограниченную последовательность (xn(t))™=1 ^ C[a,b\, по¬
строенную следующим образом: xn(t) = 0 для а < I < і() - — и t0 + — <t<b,
п	п
Хп 4))
i
<РОо)
1
1
, а на отрезках
t0 do
и
О
+
1
L п J
L п А
функция хп(і) линейна.
Предположим, что множество (Axn(t))n=l cC[a,fc] - предкомпактно, тогда
по теореме Арцела-Асколи оно равностепенно непрерывно, т.е. \/s > О 3S > 0:
Ѵгрг2 е[a,b] tx-t2\<S VhgN faM-Ax^ti^s.
„	1	I	I 1 c
В частности, это верно и для /, = /0, t2 = t0 + —, тогда \tx -12 = — < о, начи-
п	п
ная с некоторого номера N, и, начиная с этого же номера, | А(/,) - АтгаС2)| < s,
но, т.к. \Axn(t1)-Axn(t2)\ =
Axn(t0)-Axr
Г О
t0+ —
nj
= |l —0| = 1, то при 0 < £■ < 1, по¬
лучаем противоречие. Итак, оператор ограниченное множество перевел в мно¬
жество, не являющееся предкомпактным, т.е. он не вполне непрерывен.
Отметим, что здесь рассмотрен случай, когда t0 е (а,Ь). Случаи /0 = а или
tQ = b рассматриваются с незначительными изменениями (задача 19).
dx
5.	Будет ли вполне непрерывным оператор Ax(t) = —, если:
dt
418

а)	А:С(1) [ОД] —> С[0,і];
б)	А: С(2) [ОД] —» С(1) [ОД];
в)	А: С(2) [0,1] —» С [0,1] ?
Решение: вначале рассмотрим ограниченную последовательность (2")”=1,
t е [0,і]. Предположим, что она предкомпактна в С[0,і], тогда по теореме Ар-
цела-Асколи она равностепенно непрерывна, т.е. \fs>0 3 Д > 0: \/tl,t2 е [ОД]
k -12\< 8 \/п e N t" - t2n < s. В частности, это верно для tx= 1 и t2= 1 - —, то-
п
I	I 1 о
гда I/, -12\ = — < о, начиная с некоторого номера, поэтому, начиная с данного
п
номера, для всех s >0 t" -t2n <s. Однако t" -12
1-
1
1 —
n
/2
Г о
= 1-
1—
Ид
1 п)
<£,
и, переходя к пределу при ц—»оо, получаем, что 1 — <s, следовательно, вы-
е
бирая изначально 0 < s < 1 - —, получаем противоречие, т.е. множество функций
а-):.,, г s [од] не является предкомпактным в С[0,1].
а) Рассмотрим множество М =
ограничено в С(1) [од] , поскольку
*»(*) =
t
п+1 Л
п +1
С(1)[0,1], t е [О, і]. Оно
У п=1
,п+1
п +1
+ sup 2
ге[0,1]
н + 1
+ 1< 2.
ЫІ = sup \xn(t)\ + sup \хл ’Д)| = sup
fe[0,l]	fs[0,l]	fs[0,l]
Множество AM = (Axn(t) = |‘ГсС[0,1], re [0,l], как было показано вы¬
ше, не является предкомпактным в С[0,і], следовательно, оператор дифферен¬
цирования А:С(1) [ОД] —» С[0,і] не является вполне непрерывным.
б) Рассмотрим множество М =
,п+2 Л
Xntt) =
(п + 2){п +1) Jn=l
С(2)[0Д], 2е[0,і].
Оно ограничено в С(2) [ОД], поскольку llxll = sup |xn(2)| + sup \xn '(/)| + sup \xn "(/)| =
rs[0,l]	re[(),l]	rs[0,l]
= sup
re[0,l]
,n+2
{n + 2 )(n +1)
+ sup
re[0,l]
,71+1
n +1
sup
re[0,l]
1
+
1
(
(n + 2 ){n + 1)	n +1
,«+1 Л”
+ 1<3.
Покажем, что множество AM
ляеісм предкомпактным в С(1) [од].
Axn(t) =
t
n +1
C(1) [0,l], t e [ОД] не яв-
/ /2—1
419

Действительно, если х е С(1) [ОД], то ||х|| (1) = sup|х(0| + sup|х'(0| = ||х||с + ||х| ,
ie[0,l]	/s[0,l]
тогда ||х||с(1) >||х|с. Поэтому, если множество функций предкомпактно в С(1) [од],
то множество, состоящее из производных этих функций, тем более предком¬
пактно в С[0,і]. Но это не так, поскольку множество, состоящее из производ¬
ных элементов AM, имеет вид і и не является предкомпактным в С[0,і].
в)	Пусть М а С(2) [од] - произвольное ограниченное множество, т.е.
Ѵх(?) еМ 3R >0: lixii <R, т.е. sup|х(/)| + sup\x'(t)\ + sup|х"(0|^ R, откуда следу-
re[0,l]	re[0,l]	/е[0Д]
ет, что sup |х(0І ^ R, sup \х'(ОІ ^ R, sup\х ”(/)| ^ R ■
rs[0,l]	ге[0,1]	(е[0,і]
Рассмотрим множество AM = {Ax(t) = x\t): x(t) е М]. Тогда каждая функ¬
ция из AM непрерывно дифференцируема, а из неравенства supIx'OOl^^ сле-
Цод]
дует, что V7e[0,l] |jc'(г)| < 7^, т.е. множество AM равномерно ограничено. По¬
кажем, что AM равностепенно непрерывно, т.е. V£>0 3<!>>0: V?1??2e[0,l]
\h ~ h I < & Ѵх(?) e M IAx(tx) - Ax(t2 )| < s. По теореме Лагранжа, при E, е (д, t2):
\Ax(tx) - Ax(t2)\ = Іх'ДД -x'(t2)\ = |x"(^)||?1 -t21 < J|x"(£)| < S sup |x"(0| = SR = e, при
ге[0,і]
£
выборе S = — . По теореме Арцела-Асколи множество AM предкомпактно,
R
следовательно оператор А вполне непрерывен.
6.	Рассмотрим оператор А: /2 —»/2, Ах =	, Я^2,...), х = (^ ,£,,...) е /2
(диагональный оператор). Найти условие на последовательность (Д*)~ , доста¬
точное для того, чтобы оператор А был вполне непрерывен.
Решение: в п. 1.4 было показано, что этот оператор ограничен тогда и
только тогда, когда числовая последовательность (Д*)”=1 ограничена. Покажем,
что оператор А является вполне непрерывным, если Ііш Як = 0. Рассмотрим
СО
ограниченное множество М<=/2, т.е. VxeM 3R>0 : ||х|| < R. Поскольку
lim=0, то последовательность (Д*)”=1 ограничена, следовательно, оператор
А ограничен, и ограниченное множество М он переводит в ограниченное
множество AM. В силу критерия предкомпактности в /2, ограниченное множе¬
ство AM е /2 будет предкомпактно, если Ѵг> 0 3N <е N: ѴАх = (А^)”=| е AM
ѴІА^І <s (см. часть I, раздел 1, п. 1.6, задача 17). Поскольку lim/L =0, то
V£>0 3NeN: Vk>N \\\<Ц-. Тогда ЕИ^Г = Ёі^Г = ІКГі^Г <
К	k=N	k=N	k=N
420

- ~2^L\%kГ = ~2 INf = s • Итак, множество AM предкомпактно, т.е.
R k=N R k=\ R
оператор А вполне непрерывен.
7.	Пусть Н - гильбертово пространство, А:Н —>Н - линейный ограни¬
ченный оператор, А*А - вполне непрерывный оператор. Доказать, что оператор
А также вполне непрерывен.
Решение: рассмотрим ограниченное множество МсЯ, т.е. Vx e М
3R >0: ||х||<Д. Поскольку А*А - вполне непрерывен, то множество А*AM -
предкомпактно, т.е. для любой последовательности |хи}сМ у последователь¬
ности А*Ахп найдется сходящаяся подпоследовательность {^А*Ахщ ) (в замы¬
кании А*AM, в силу секвенциальной компактности компактного множества).
(* \°°
А Ахп )
£ / к=1
фундаментальна, т.е., lim
к,1-> со
А Ах -А Ах
пк	п1
= lim
£ ко
А*AU -х_)
0.
Далее, применяя неравенство Коши-Буняковского, получаем:
Ах„ - Ах„ 1 = (Ах„ - Ах„, Ах„ - Ах„ ) = (А(х„ - х„), А(х„ - хя)) =
щ	щ II \ Щ	щ-> пк	щ )	\ ѵ пк п,”	4 Пк щ')
lim
=(А’А(\ - \)-*», - \)s ІК^, - \ >1 • К - \ -
< IА*А(х„ - х ) • (|хи I + ||хи ) < 2R А*А(х - х )
II	4 пк щ7 \\ пк II \\ Щ )	ѵ Щ	п,'
Переходя в этом неравенстве к пределу при &,/—»оо, получаем, что
Ах -Ахп =0, т.е. последовательность (Ах„ ) фундаментальна. По-
пкп1	\ пк / к=1
скольку пространство Н полно, то подпоследовательность (Ахп^ ( сходится.
Итак, в множестве AM всякая последовательность имеет сходящуюся (в
замыкании AM) подпоследовательность, следовательно, замыкание множества
AM секвенциально компактно, т.е. компактно, а само множество AM - пред¬
компактно. Следовательно, оператор А вполне непрерывен.
8.	Пусть (ек)™=1 - ортонормированный базис гильбертова пространства Н,
а У - банахово пространство. Доказать, что если А:Н —»7 - такой линейный
°° 2
ограниченный оператор, что ряд ЕКГ сходится, то А - вполне непрерывен.
к=1
Решение: по заданному оператору А: Я—»7 построим последователь¬
ность операторов \ :Н —»7, не N следующим образом. Вначале зададим опе¬
ратор Ап на элементах базиса (ек)J=| с помощью равенств: Апек=Аек, если
к < п и Апек = 0, если к > п. Поскольку (ек )“=1 - базис в Я, то в силу критерия
оо
базиса ѴхеЯ х = ^(х,ек)ек. Распространяя оператор Ап на все пространство
к=1
421

Н, будем иметь Ѵх е Н Апх = ^ (х, ек )Аек. Следовательно, все операторы Ап
к= 1
конечномерны, а значит, вполне непрерывны (см. задачу 3).
оо
Далее, очевидно, что ѴхеЯ Ах = ^(х,ек)Аек, поэтому, применяя нера-
k= 1
венство Гельдера для рядов, \/п e N получаем, что:
х-А х =
&=и+1
1
-W
^ X	X |(*л)| XІІАе*ІГ
\Д=И+1	J \&=n+l J
1
^2
к=п+1
X 0°	У /со
2 й
В силу неравенства Бесселя, X |(х,еО|	- ХІ^х,^^І
Ѵ^=И+1
ку по условию ряд ХМ2 сходится, то ^ ||Ас-у ||2 —» 0, как остаток сходяще
к=1
£=га+1
Vfc=l
2
га-» оо
< х . Посколь-
„	„ |ІАх-Ах|
гося ряда. Тогда |A-AJ = sup-—^—- < sup
х
E
\к=п+1
1
у _
i
,ѵ
		. Пере-
х^О	X	х^О	X	\&=п+1	у
ходя к пределу при я—»оо, получаем, что ||A-Aj-»0, т.е. Ап =4 А. По теореме
о подпространстве вполне непрерывных операторов А - вполне непрерывен.
Отметим, что Ап = АРп, где Рп - проекционный оператор на подпростран¬
ство Ln, натянутое на векторы еѵ...,еп (см. задачу 15).
9. Является ли вполне непрерывным оператор А:С[0,і]—»С[0,і], дей¬
ствующий по формуле Ax(t) = [ -—^—ds ?
о| t-s\
Решение: при а > 1 оператор не является вполне непрерывным по анало¬
гии с примером 3-а, поэтому далее будем рассматривать случай а < 1. В этом
ds
случае для люоой функции x(/)eC[U,ij |Ax(fj|S |-	lixii |	-, и, по-
o\t-s\
любой функции х(г)е с[од] |ах(о|
01
(1-0
, I —a /1	^ \ l-a	2
r ds p ds r ds
!_a	,_e l-a
2
to ||Ax||<-	||x||,T.e. оператор А ограничен.
при всех t e [ОД].
с x(s)
Рассмотрим последовательность операторов Anx(t)= [	v J ds, не N
j I	I ГУ l
1
0 \t-s\ + —
n
Ясно, что при каждом фиксированном п оператор Ап представляет собой инте-
422

тральный оператор с ядром Kn(t,s)
i і« 1
\t-s\ + —
n
, которое является непрерывной
функцией по совокупности своих аргументов. По теореме о вполне непрерыв¬
ности интегрального оператора каждый Ап вполне непрерывен. Если покажем,
что Л/г Л, то, по теореме о подпространстве вполне непрерывных операто¬
ров, оператор А также окажется вполне непрерывным. Имеем:
I Апх - АхI = sup
fe[0,l]
< ІЫІ sup f
Ч°ДГо
= \\x\\ sup
ЦОД]
f x(s) J f x(s)
f	.-f-Д
J i	i a 1	J If _ oi
o\t-S +- °r s\
■ds
n
i
< sup f
И°Д]о
1
1
I \a 1 I/ — ѵГ
\t-s +- г ЛІ
n
|x(s)|<£s <
f
Л
f
\
1
1
ds = ||х|| sup
те[ОД]
tl-a
(1 -tta
}• ds
1 1 ос
|f-s|
i \а 1
\t-s\ + —
l-a
l-a
J i ,« 1
°/-5 +—
V
п)
\
nj
.1-0! t
1	f
l-a i
ds
(1 -tta \ ds
f	J
1 1
V
0 (t - s)a + -	1 a 't (s - t)a + -
n	n J
= \\x\\ sup
fs[0,l]
tx~a j- dr | (l-O1^ V dr
l-a J0 Ta+1 l-a Jor«+I
<
< \\x\\ sup
ЦОД]
V
n
nj
f
Л
f
\
fl-a
j* dr
+ X
sup
(1 -t)l~a
dr
l-a
J « 1
о t + —
l-a
J « 1
0 T + —
fe[0,l]
V
n)
\
nj
Таким образом, || Anx - Ax|| < 2||x|
поскольку средствами
f	\
1 j* dr
l~a \ra+-
n J
дифференциального исчисления легко показать, что обе функции под знаками
sup строго монотонны (первая возрастает, вторая убывает). Отсюда получаем,
f	\
что |4-A|| = sup%^<2
хфО	Ми
1 j* dr
\та + 1
nj
1
1 1
Ясно, ЧТО 	;	> — , при-
а 1	Т~
т л—
п
чем последовательность функций 	— монотонна по п, а сами эти функции
та +
1
п
423

суммируемы на отрезке [ОД] в силу их интегрируемости по Риману. Далее, по-
w	г dr ^\dr 1	^
скольку ѵл e N 		 < —— =	, то выполнены все условия теоремы Б.
' _а . А J т 1-ОС
о т +—	0
п
1
Леви о монотонной сходимости, поэтому предельная функция — суммируема
та
означает, что
и f———:—> (— =—-—. Таким образом, IIА, — АІІ —> 0, что и
J а 1 n-»ooJ та 1 — ГУ	п-Ж
О ja -|	 0‘	і- ІЛ
п
Ап^А.
10.	Пусть Е - бесконечномерное банахово пространство, А.Е^Е -
вполне непрерывный оператор. Доказать, что его множество значений R(A) не
является замкнутым множеством.
Решение: пусть R(A) = R(A). Поскольку Е - банахово и R(A)<zE, то
00
R(A) - банахово. Представим Е = Us„(0), где S„(0) = { хе£:|л|<п}. Тогда
п=1
00
R(A) = ASn(0). Поскольку оператор А вполне непрерывен, а каждый шар
п=1
Sn(0) ограничен, то ASn(0) - предкомпактно, т.е. ASn(0) - компактно. В силу
теоремы о нигде не плотности компакта ASn(0) - нигде не плотно. Таким обра¬
зом, банахово пространство R(A) оказалось представлено в виде счетного объ¬
единения нигде не плотных множеств. Противоречие с теоремой Бэра.
11.	Является ли вполне непрерывным оператор А: I, [0,1] ->!, [0,1], если
Ax(t) = yftx(t).
оо	І2 n,teE
Решение: рассмотрим множество N = {уп)п_1, где уп =
Еп =
1-— ,1
2"
0,fe[0,l]\£n’
. Поскольку |уи| = I 2ndt = 1, то N - ограничено. Далее, по¬
скольку при п > m Еп а Ет, то \\уп - ут\\ = J (2й - 2m)dt + J 2тdt > J (2й - 2m)dt =
Еп	Ет\Еп	Еп
= 1-2т п >^. Таким образом, из последовательности (уп) нельзя выделить ни
одной фундаментальной, а значит, и сходящейся подпоследовательности, по¬
этому множество N не может быть предкомпактно. Возьмем М =
f л00
Уп
Et
Jn=1
прообраз N. Если множество М ограничено, то оператор А не будет вполне
непрерывным.
424

При n > 1
Уп_
4І
= f 1Mdi <
I Jt
\-n
\\yn\dt =
Vl-2~" " Vl-2“"
<V2
12. Доказать, что, если X - рефлексивное пространство, а Y - банахово,
то линейный ограниченный оператор А: X —»Y, который переводит всякую
слабо сходящуюся последовательность пространства X в сильно сходящуюся
последовательность пространства Y, является вполне непрерывным.
Решение: пусть Mel - ограниченное множество, AM сУ - его образ.
Рассмотрим произвольную последовательность {Axn)czAM и покажем, что из
нее можно выделить сходящуюся в Y подпоследовательность. Тем самым,
множество AM будет предкомпактно.
Пусть X сепарабельно. В силу рефлексивности сепарабельно и X**, а,
значит, и X* (см. пример 5 и. 2.3). Тогда всякое ограниченное подмножество
X** является *-слабо секвенциально предкомпактным (в п. 2.5 это было дока¬
зано для замкнутого шара, но доказательство без изменений проходит для лю¬
бого ограниченного множества). В частности, ограниченная последователь¬
ность пхп содержит *-слабо сходящуюся в X** подпоследовательность кхп ,
т.е. Ѵ<реХ* пх {(р) —»ях0(<р). Отсюда Ѵ^еІ* ср(х )^хр(х0), т.е. хПк—^х0.
По условию Ах —» Ах0, что и требовалось доказать.
Пусть X не сепарабельно. Обозначим N - замыкание линейной оболочки
последовательности {хп). Тогда N, очевидно, сепарабельно (как банахово про¬
странство со счетным базисом), рефлексивно (как замкнутое подпространство
рефлексивного пространства) и слабо замкнуто (см. задачу 19 п. 2.5).
Пусть {хга},х0сД/\ Докажем вспомогательное утверждение: хп х0 в
Х*охп^х0 в N*. Пусть сперва хп^х0 в X*, т.е. \/<реХ* <р(хп) —»(р(х0) и
допустим, что 3f0eN*: fQ(xn)-/>fQ(xQ). По теореме Хана-Банаха 3(р0 e X*:
<Po\N = fo, тогда %(хп) = /о(хп)	/о(л,) = %(х0) - противоречие. Пусть теперь
Хп^х0 в N*, т.е. V/eiV* f(xn)^f(x0). Допустим, что 3(р0еХ*:
<Ро(хп)-£<р0(х0), тогда 3f0 = (p0\NeN* и f0(xn) = %{хп)-А%{х0) = f0(x0) -проти¬
воречие.
Теперь, в силу доказанного выше, у последовательности {iJcAf найдет¬
ся подпоследовательность хпk ^ х0 e N в N*, откуда хПі —^ х0 в X* и по усло¬
вию Ах„ —> Ахп.
пк	и
Задачи для самостоятельного решения
(общие свойства вполне непрерывных операторов) 11.	Доказать, что всякий линейный ограниченный оператор А :Х —» У явля¬
ется вполне непрерывным, если пространство Y конечномерно.
425

Указание: воспользоваться определением предкомпактности и критерием
компактности в К .
2.	Показать, что тождественный оператор I: X —> X не является вполне
непрерывным, если пространство X бесконечномерно.
Указание: воспользоваться теоремой о некомпактности шара.
3.	Показать, что всякий конечномерный оператор вполне непрерывен.
4.	Используя критерий вполне непрерывности показать, что оператор
А: X —> Н является вполне непрерывным тогда и только тогда, когда
А = КХ + К2, где 1^1 < 1, а К2 - конечномерен.
5.	Доказать, что область значений вполне непрерывного оператора сепара¬
бельна.
Указание: рассмотреть шары ||jc||<п, weN и воспользоваться теоремой
о	сепарабельности компакта. См. также пример 10.
6.	Доказать, что вполне непрерывный оператор не может иметь ограни¬
ченного обратного.
Указание: рассмотреть тождественный оператор I = А- А-1.
7.	Используя критерий вполне непрерывности доказать, что оператор
А: X —> Н является вполне непрерывным тогда и только тогда, когда суще¬
ствует последовательность {Ап }: X —» Я конечномерных операторов, равно¬
мерно сходящаяся к А.
8.	Доказать достаточность условия теоремы о вполне непрерывности со¬
пряженного оператора.
Указание: использовать равенство (А*)* = А.
9.	Доказать, что всякий линейный ограниченный функционал является
вполне непрерывным оператором.
10.	Доказать, что любой проектор в гильбертовом пространстве вполне
непрерывен тогда и только тогда, когда он проектирует на подпространство ко¬
нечной размерности (т.е. является конечномерным оператором).
11. Может ли оператор А:С[0,1І—»С[0,і], Ax(t)= f ^(M1) x^s)ds, k(t,s) -
0 Vs
непрерывная функция при 0 < t,s < 1, иметь ограниченный обратный?
Указание: показать, что оператор вполне непрерывен.
12.	Пусть Е - банахово пространство и А.Е —>Е - линейный ограничен¬
ный оператор. Пусть существует число т>0 такое, что для любого іе£ вы¬
полняется ||Ат|| > т||х||. Может ли оператор А быть вполне непрерывным?
13.	Пусть ядро k(t,s), определенное на множестве [щ£>]х [а,/?], представ¬
ляется в виде k(t,s) =	, где йДм) - непрерывная на [ц,&]х[а,&] функция.
\t - s\a
b
Доказать, что если а< 1, то оператор Ах(0 =	, A:C[a,b\^> C[a,b],
является вполне непрерывным.
426

14.	Пусть X,Y - линейные нормированные пространства, Ап : X —- по¬
следовательность вполне непрерывных операторов, Ап —»А (т.е. поточечно).
Всегда ли оператор А также является вполне непрерывным?
Указание: в пространстве 12 рассмотреть операторы	: /2 —> /2, дей¬
ствующие по формуле Рпх = (£,£,...,4,0,0,...), * = (&) е /2.
15.	Доказать, что любой линейный ограниченный оператор А:Н —>Н яв¬
ляется поточечным пределом последовательности вполне непрерывных опера¬
торов.
Указание: рассмотреть последовательность операторов Ап = АРп (см.
предыдущую задачу и пример 8).
16.	Пусть X,Y - линейные нормированные пространства, причем X -
бесконечномерно, А:Х —» F - вполне непрерывный оператор. Доказать, что
найдется последовательность {xjcX такая, что ||х II = 1 и Ах —»0.
Указание: воспользоваться задачей 6.
17.	Пусть (еп) - ортонормированный базис в Н, А :Н —>Н - вполне не¬
прерывный оператор. Доказать, что Аеп —»0.
18.	Показать, что интегральный оператор А:	[О,і] —>	[О,і], задаваемый
i
равенством Ax{t) = J&^s)*^)^, ядро которого k{t,s) - непрерывно в квадрате
о
[О, і] х [0,і], является вполне непрерывным.
Указание: воспользоваться критерием предкомпактности в с [од].
19.	В примере 4 обосновать, что оператор А не является вполне непре¬
рывным, если t0 = а или t0=b.
Указание: предположитъ противное и воспользоваться непрерывностью
функции (pit) на \a,b\. Либо повторитъ рассуждения примера 4.
20.	Какой должна быть функция a(t), чтобы оператор А: L2 [0,l] —» Д, [0,і],
заданный с помощью равенства Ax(t) = a(t)x(t) (оператор умножения на функ¬
цию) был вполне непрерывным?
Указание: показать, что функция a{t) должна бытъ равна нулю почти
всюду.
21.	Доказать, что если оператор А :Н —>Н вполне непрерывен, то опера¬
тор А*А: Н —» Н - также вполне непрерывен.
22.	Используя пример 7, показать, что если А : Н —>Н вполне непрерывен,
то и А *: 7/ —» 7/ вполне непрерывен.
23.	Пусть ядро k(t,s), определенное на множестве [ц,Ь]х[ц,Ь], представ¬
ляется в виде k(t,s)
где АДм)
ограниченная измеримая по Лебегу
на множестве [a,&]x[a,£] функция. Доказать, что если а< —, то интегральный
427

b
оператор А:	Ц\а,Ь\, Aoc{t) = ^k{t,s)x{s)ds, является вполне непре-
а
рывным.
Указание: воспользоваться примером 1 и задачами 13 и 18.
24.	Пусть функция k(t,s), определенная на \a,b\, удовлетворяет условиям:
ъ
а)	существует постоянная С >0 такая, что J|£(/,.v)|d.v < С (V/ e \a,b\);
а
б)	для произвольного £>0 существует такое д>0, что из неравенства
Ъ
|?j-r2|<J (tv t2 е[я,Ь]) следует, что j\k(tvs)-k(t2,s)\ds <£ .
а
Доказать, что интегральный оператор A:C\a,b\^C\a,b\, действующий
ь
по формуле Ax(t) = ^k(l,s)x(s)ds, вполне непрерывен.
а
25.	Доказать, что, если банахово пространство X рефлексивно, то любой
ограниченный линейный оператор А :Х —вполне непрерывен.
26.	Доказать, что, если банахово пространство Y рефлексивно, то любой
ограниченный линейный оператор A:c0^Y вполне непрерывен.
27.	Доказать, что всякий ограниченный оператор A:lr^lp, 1 < р < г <со
вполне непрерывен.
28.	Доказать, что слабо изометрически эквивалентные операторы вполне
непрерывны одновременно.
29.	Верно ли, что, если в бесконечномерном нормированном пространстве
А2 =0, то оператор А вполне непрерывен?
Указание: рассмотреть в пространстве 12 оператор Дх = (р1,г]2,...'),
rji = 0 при четных i, rji= - при нечетных i.
Задачи для самостоятельного решения
(проверка вполне непрерывности операторов) 1 2 31.	Является ли вполне непрерывным оператор А:С[0,і]—»С[0,і], дей¬
ствующий по формуле Ax(t) = tx(t) ?
Указание: для всех не N рассмотреть последовательность xn(t) = tn~1.
2.	Является ли вполне непрерывным оператор А:С[0,і]—»С[0,і], дей-
i
ствующий по формуле Ax(t) = j* Tx(r)dr ?
о
3.	Является ли вполне непрерывным оператор А:С[0,і]—»С[0,і], дей¬
ствующий по формуле Ax(t) = х(0) + tx
Гл \
+ t2x( 1)?
428

4.	Является ли вполне непрерывным оператор А: с [од] —^ С [0,і], дей-
1
ствующий по формуле Ax{t) = /J etsx{s)ds ?
о
5.	Является ли вполне непрерывным оператор А:С[0,і]—»С[0,і], дей¬
ствующий по формуле Ax(t) = x(t2) ?
6.	Является ли вполне непрерывным оператор А:С[-1,і]—» С[-1Д], дей¬
ствующий по формуле Ax(t) =	+ х(-0] ?
Указание: рассмотреть последовательность хп(/) = t2n.
7.	Доказать, что оператор А:7^[0,і]—»Z^[0,l], действующий по формуле
t
Ax(t) = Irx{r)dr, вполне непрерывен.
о
8.	Является ли вполне непрерывным оператор А:С[0,і]—»С[0,і], дей¬
ствующий по формуле Ax(t) = х(0) + tx( 1) ?
9.	Является ли вполне непрерывным оператор А:С[0,і]—»С[0,і], дей-
1
ствующий по формуле Ax(t) = |e'x{s)ds ?
0
10.	Является ли вполне непрерывным оператор А:С[0,і]—»С[0,і], дей-
1
ствующий по формуле Ax(t) = | x{s)ds ?
0
11.	Является ли вполне непрерывным оператор А:/^[0,і]—» 7^[0,і], дей-
1
ствующий по формуле Ax{t) = | x{s)ds ?
0
12.	Является ли вполне непрерывным оператор А:С[0,і]—»С[0,і], дей-
1
ствующий по формуле Ах(7) = J* (л-sinr ч- s2 cos t)x{s)ds ?
0
13.	Является ли вполне непрерывным оператор А: Z^ [0, і] —» Z^ [0, і], дей-
1
ствующий по формуле Ax(t) = J* (л-sinr ч- s2 cos t)x{s)ds ?
о
14.	Доказать, что оператор вложения А:С(1) [а,/?]—»С[а,Ь], действующий
по формуле Ax(t) = x(t), где x(l) g С(1) [a,b\, является вполне непрерывным.
15.	При каких а,Р и у>0 оператор А: с [од] -> С [од], определяемый
i
формулой Ax(t) = ^tas'3x{sr)ds является вполне непрерывным?
429

16.	При каких a,j3 и у > О оператор A:Z,[0,l] —» и [О, і], определяемый
i
формулой Ax{t) = ^taspx{sy)ds является вполне непрерывным?
о
17.	Будет ли вполне непрерывным оператор вложения А: —>/2, т.е.
Ах = х для х G /j ?
18.	Является ли вполне непрерывным оператор А:С[0,і]—>С[0,і], дей-
1
ствующий по формуле Ах(1) = |
x{s)ds
о ^jcosr-cos^l
1
Указание: представитъ
4F'
$
cos t - cos s\
cost - coss\
и показать,
что функция
t-s\
непрерывна по совокупности аргументов.
^\cost-coss\
19. Является ли вполне непрерывным оператор А:С[0,і]—»С[0,і], дей-
x{s)ds
ствующий по формуле Ax(t) = J*
о VF
|Sinr-Sin^|
20. Является ли вполне непрерывным оператор А: [О, і] —>	[О, l], дей-
x(s)ds
ствующий по формуле Ax(t) = |-
о
21.	Является ли вполне непрерывным оператор А:С[0,і]—»С[0,і], дей-
Г Jt(s)
ствующий по формуле Ax(t) = J	-^ds ?
0 S--
2
22.	Является ли вполне непрерывным оператор A:L2 [0,1] —>	[од], дей-
г х($)
ствующий по формуле Ax(t) = j	j-ds ?
0 s —
2
23.	Является ли вполне непрерывным оператор A:L2 [0,1]->/,[0,1] , дей-
г x(j')
ствующий по формуле Ax(t) = I 		J—ds ?
t- s\
24. Является ли вполне непрерывным оператор А:С[0,і]—»С[0,і], дей-
1
ствующий по формуле Ax(t) = I v 5 ds ?
О 54
430

25. Является ли вполне непрерывным оператор А: Z,2 [О, і] —>	[О, l], дей-
]а(ѴЛ
ствующий по формуле Ax(t) = I v 5 ds ?
26.	Является ли вполне непрерывным оператор А:С[0,і]—»С[0,і], дей¬
ствующий по формуле Ax(t) = [———^—ds ?
J0 sin(7 - 5)
27.	Является ли вполне непрерывным оператор A:L2[0,l]-^ /^[0, і], дей¬
ствующий по формуле Ах(і) = [—^—ds ?
J0 sin(t - s)
28.	Рассмотрим оператор A: L2[О,[0,l], определяемый формулой
i
Ax(t) = ^k(t,s)x{sa)ds, где Цг,«)еС([0,і]х[0,і]). Доказать, что при 0<а<2
0
оператор А вполне непрерывен.
29.	Рассмотрим оператор А: С [0,1] —» С[0,1], определяемый формулой
1
Ax(t) = jk(t,s)x(sa)ds, где k(t,s) e c([0,l]x [0,l]). При каких а оператор А яв-
0
ляется вполне непрерывным?
30.	Является ли вполне непрерывным оператор А:12—>12, определяемый
( Р р	\
формулой Ах =	А = (4)е/2?
V 2 3
31.	Является ли вполне непрерывным оператор А: /2 —»/2, определяемый
формулой Ах = (0,£,£2,...), х = (4)е/2?
32.	Является ли вполне непрерывным оператор А: /2 —»/2, определяемый
(	£ £ Л
формулой Ах = 0,, х = (<Цк)е121
V 2 3 у
Указание: воспользоваться теоремой о вполне непрерывности произведе¬
ния.
33.	Является ли вполне непрерывным оператор А:С[0,і]—»L,[0,l], дей-
t
ствующий по формуле Ax(t) = J x(s)ds ?
о
Указание: представить оператор в виде произведения вполне непрерывно¬
го и ограниченного операторов.
5
34.	Является ли вполне непрерывным оператор Ax(t) = Je sx(s)ds в случаях
2
А:С[2,5]->С[2,5], A:Lj2,5]->Lj2,5], А:С[2,5]->^[2,5], А:^[2,5]->С[2,5]?
431

35.	Является ли вполне непрерывным оператор А:^—»/2, определяемый
( Е Е	Л
формулой Ах = <%ѵ —, х = (^к)^Іх ? Тот же вопрос для А:/2 —»/г
V	2 3 J
36.	Является ли вполне непрерывным оператор А: С(1) [0,2] —» С[0,2], дей¬
ствующий по формуле Axit) = ln(l + t)x(t) ?
37.	Является ли вполне непрерывным оператор А:	, определяемый
формулой Ах = (0,0,£,0,^3,...), х = (4)е^?
38.	Является ли вполне непрерывным оператор А:	, определяемый
формулой Ах = (0,0,0,£,,0,0,0,...), x = (4k)elpl
39.	Является ли вполне непрерывным оператор А:С[0,і]—»С[0,і], дей¬
ствующий по формуле Ax(t) = \x(t)\ ?
(ЕЕ	Е	\
40.	Пусть дан оператор Ах =	\1Х -Ц, * = (£,£,...)е/г
у 2 2	2	)
Исследовать его ограниченность, вполне непрерывность, найти сопряженный
оператор, а также спектр и резольвенту.
41.	Доказать, что оператор Ах(і) = -|х(гД/г, действующий в пространстве
* о
Lp[0,l], 1 < р < оо не является вполне непрерывным, используя теорему об уси¬
ленной непрерывности вполне непрерывного оператора.
t
42.	Доказать, что оператор Ax{t) = |.x(r)c/r вполне непрерывен в простран-
0
стве С(п)[ОД], и = 0,1,2,....
Указание: представитъ оператор в виде произведения ограниченного one-
t
ратора В :С(п) [од] ->С(п+1) [од]. Bx(t) = J x(r)dr и вполне непрерывного опера¬
тора С: С(п+Ѵ) [ОД] —» С(п) [ОД] Cx(t) = x(t).
( E +Е Е +Е +Е Л
43.	Доказать, что оператор Ах= Е,х,—		-	-,...
ѵ 2	2 J
вполне непрерывным ни в одном из пространств I , 1 < р < оо, с, с0.
не является
432

3.5.	Фредгольмовы операторы
Определение: пусть К - вполне непрерывный оператор, а / - тожде¬
ственный оператор. Оператор I+ К называется фредгольмовым оператором.
Теорема (о ядре фредгольмоеа оператора): ядро фредгольмова оператора
конечномерно.
Доказательство: пусть Т = І + К - Фредгольмов оператор. Рассмотрим
его ядро ker Т = {х: Тх = 0} = {х: (/ + К)х = 0} = {х: х + Кх = 0} = {х: Кх = -х}.
Допустим, что это ядро бесконечномерно и рассмотрим единичный шар
{х е кегГ: || x||<lj. Поскольку на элементах ядра Кх = — х, то под действием
оператора К этот единичный шар перейдет сам в себя и, значит, поскольку в
бесконечномерном пространстве шар не предкомпактен, то образ единичного
шара не будет предкомпактен. С другой стороны, поскольку К вполне непре¬
рывен, то он ограниченное множество переводит в предкомпактное. Противо¬
речие.
Теорема доказана.
Теорема (об образе фредгольмова оператора): пусть Н - гильбертово
пространство, Т :Н -чН - Фредгольмов оператор, тогда его образ ІтГ - за¬
мкнутое множество.
Доказательство: пусть уп е \тТ, т.е. Зхп е Н : уп = Тхп =хп +Кхп и при
этом уп -ч у. Можно считать, что хп _L ker Г (если это не так, то вместо хп
можно рассмотреть векторы хп - ип, где ип - проекция хп на ker Г. Тогда
хп -ип ТкегГ и Т(хп - ип) = Тхп - Тип = Тхп, т.к. ип e kerT). Покажем, что
||хп||<с. Допустим, что это не так, тогда найдется подпоследовательность хп^:
Ч
-чоо, откуда (поскольку хп + Кхп -чу) следует, что
хПі + Кх
пк	пк	^ Q
Ч
Поскольку оператор К вполне непрерывен, то ограниченное множество
Ч
Ч
> переходит в предкомпактное
хп.
К——
х,
Ч
, т.е. в нем можно наити подпо¬
следовательность
КФ
имеющую предел, причем хп
х
Ч
х
ч
>■ и
х„
= 1.
х + Кх
Но тогда из условия —			 0 следует, что х —> z e Н, z = 1. Посколь-
х
ч
ку ТхПа —»0, то Tz = 0, т.е. z e ker Г. С другой стороны, хПа J-кегГ, следова¬
тельно, в силу замкнутости ортогонального дополнения, z J-кегГ. Таким обра¬
зом, z = 0. Противоречие. Итак, последовательность ||хи|| ограничена. Но тогда
множество {Кхп} предкомпактно, т.е. содержит сходящуюся подпоследова¬
433

тельность КхПт а {Кхп }. Но тогда, поскольку хп + Кхп —» у, то сходится и под¬
последовательность \х„ [. Пусть х„ —» х, тогда из условия у —>• у, оконча-
тельно получаем у = lim уп = Нт (хп +
от—» оо т от—» с»' т
Теорема доказана.
Замечание: из доказанной теоремы и примера 4, разобранного в и. 2.7
следует, что Н = кегГ Ѳ ІтГ* и Н = кегГ* Ѳ ІтГ.
Теорема (первая теорема Фредгольма): пусть Н - гильбертово про¬
странство, Т :Н —» Я - Фредгольмов оператор, тогда неоднородное уравнение
Тх = у имеет решения при тех и только тех у еН, которые ортогональны каж-
дому решению сопряженного уравнения Т х = 0.
Доказательство: в силу представления Н = кегГ* ѲЬпГ получаем, что
у _І_ кегГ* = |х: Т*х = 0j <^> у е ІтГ.
Теорема доказана.
Замечание: обозначим Мп = kerТп, неN, тогда Мп - замкнутое подпро¬
странство в Н, т.е. Мп - гильбертово. При этом ясно, что, если Тпх = 0, то
Тп+Іх = Т(Тпх) = ГО = 0, т.е. Мп а Мп+1. Тогда Мп+1 = Мп ѲМД откуда следу¬
ет, что, если МпФМп+1, то Зхп+1еМп+1: ||х„+1|| = 1 и хп+1± Мп, т.е. ѴхеМи
хп+1±х.
Теорема (вторая теорема Фредгольма, альтернатива Фредгольма):
пусть Н - гильбертово пространство, Г: Н —> Н - Фредгольмов оператор, то¬
гда либо уравнение Тх= у имеет единственное решение при любой правой ча¬
сти у е Я, либо однородное уравнение Тх = 0 имеет ненулевое решение.
Доказательство: 1. Докажем, что Э/ :М ■ = М .+1 (см. замечание выше).
От противного: пусть все Мп различны, тогда существует ортонормированная
последовательность {хп} такая, что хп+1еМп+1 и xn+lLMn. Возьмем произ¬
вольные 1>т, тогда Kxt -Кхт = (хг + Kxt -Кхт)~xt = (Txt - Кхт)-x^z-x^ По¬
скольку х,еМ|= кегГ^, то Tlxt = 0. Кроме того, по построению Г/_1хш = 0 (при
/ = т +1 Ттхт = 0, при 1>т +1 Т1~1хт = Г/_т_1 {ттхт ) = 0 ). Отсюда получаем,
что Tl~lz = Tlxt -Tl~lKxm = 0-KTl~1xm =0 (операторы К и Г/_1 можно пере¬
ставлять местами - см. задачу 2). Отсюда zекегГ/_1 = М1_], т.е.	Тогда
по теореме Пифагора \Kxt -Кхш|| =||z|| + |jc;|| >|jtJ = 1, следовательно, из по¬
следовательности [Кхп] нельзя выделить ни одной сходящейся подпоследова¬
тельности, что противоречит предкомпактности множества {Кхп}.
2.	Покажем, что ІтГ = Я <^> кегГ = {0}. Пусть ІтГ = Н, но кегГ ф {О}, то¬
гда Эхі ф 0: х{ е кегГ = Мх. Поскольку ІтГ = Н, то уравнение Тх = хх имеет ре-
Кх„ ) = х + Кх = Тх и у еІтГ.
nm }	у
434

9	9
шение х2, причем Г х2 = Т(Тх2) = Тх] =0, откуда x2ekerГ =М2. При этом
х2&М1, иначе имели бы х1=Тх1=0. Таким образом, Мх а М2, но Мх Ф М2 ■
Аналогично, если х3 - решение уравнения Тх = х2, то х3 еМ3 и х3 &М2. И т.д.
Таким образом, ни одно из множеств Мп не совпадает с другим, что противо¬
речит п. 1.
Обратно: пусть кегГ = {0}, тогда, в силу Н = кегГ Ѳ ІтпГ* получаем, что
ІтГ = Н . По доказанному выше кегГ* = {0} и в силу Н = кегГ* Ѳ ІтГ полу¬
чаем, что Ьп Г = Н.
3.	В силу п. 2, если кегГ ф {О}, то ІтГфН, т.е. уравнение Тх = у при не¬
которых у e Н решений не имеет. Если же ImT = Н, то кегГ = {0} и оператор
Т взаимно однозначен, т.е. при любом у e Н существует единственное реше¬
ние уравнения Тх = у.
Теорема доказана.
Замечание: поскольку всякий конечномерный оператор в гильбертовом
пространстве вполне непрерывен, и сумма вполне непрерывных операторов
представляет собой вполне непрерывный оператор, то сумма фредгольмова
оператора с конечномерным снова будет фредгольмовым оператором.
Теорема (третья теорема Фредгольма): пусть Н - гильбертово про¬
странство, Т:Н —»// - Фредгольмов оператор, тогда однородные уравнения
Тх = 0 и Т*х = 0 имеют одно и то же конечное число линейно независимых ре¬
шений.
Доказательство: в силу теоремы о ядре фредгольмова оператора кегГ и
кегГ* конечномерны. Пусть	| - ортонормированный базис в кегГ,
- ортонормированный базис в кегГ* и ju<v. В силу равенства
*	А
Н = кегГ ѲІтГ получаем, что y/j J-Тх. Обозначим Sx = Тх + ^(А(Pj)'/// • По-
7=1
скольку S - это сумма Г и конечномерного оператора, то S - Фредгольмов.
м	и
Если Тх + ^ (х, cpj )ц/ ■ = 0, то Тх = ^ а -ц/ -. Поскольку у/j -L Тх, то, умножая это
7=1	7=1
равенство скалярно на y/j, 1 < j < ju, получим, что а • = 0, 1 < j < ц, откуда
м
Тх = 0. Но тогда ^(х,(pj)y/ • = 0, откуда (x,<pj) = 0, 1 < j < ц. Таким образом,
7=1
хекегГ, а с другой стороны x_Ly?j, т.е. хе(кегГ)1, поэтому х = 0, т.е. урав¬
нение Sx = 0 имеет только нулевое решение.
и
В силу альтернативы Фредгольма уравнение Гх + ^ (х, ср- )у/ ■ = у/ +1 имеет
7=1
единственное решение.
435

Умножим это равенство скалярно на ^ +1, и, учитывая, что Тхе ІтГ, а
ЬпГ _І_кегГ* (т.е. ЬпТ ±ц/ +1), получим противоречивое равенство 0 = 1. Таким
образом, случай ju<v невозможен. Предполагая, что ju>v и повторяя все рас-
*
суждения аналогично для оператора Т , снова получим противоречие, откуда
jU = V.
Теорема доказана.
Замечание: все теоремы Фредгольма справедливы и для произвольных
банаховых пространств (см. [7]).
Примеры решения задач
1.	Рассмотрим оператор А:С[0,і]—»С[0,і], определенный с помощью ра-
t
венства Ax(t) = J x(z)dz. Доказать, что уравнение х- Ах = у имеет решение при
о
любом уе С [0,1].
Решение: покажем, что А - вполне непрерывен. Пусть М а С[0,і] - про-
извольное ограниченное множество, т.е. Ѵх(/) еМ 3R >0: ІІхІІ < R.
Тогда ||Ах|| = sup
Цод]
[ x(z)dz < sup [ |х(г)|dz < И sup f \dz < R для произволь-
J	И01] о	ИОД] i
ной функции x(t) e М . Значит, sup |Ах(0| < R, откуда Vf е [0,і] |Ах(г)| < R, сле-
іе[0,і]
довательно, множество AM равномерно ограничено. Покажем, что AM равно¬
степенно непрерывно, т.е. Ѵе>0 38>0: Vfpf2e[0,l] Vx(t)eM |^-r2|<J
|Ax(^) - Ax(?2)| <s. Действительно (при t2 > tx):
|Ax(H - Ax(?2)|
4	l2
|x(r)Jr - |x(r)Jr
П	*1	l2
Ix{z)dz -1x(z)dz -1x(z)dz
l2
|x(r)Jr
l2 l2
< ||x(r)|Jr < ||x|| Jk/r < R(t2 -tx) ^R\t2 ~t\\< R8 = s,
при выборе 8 = —. Таким образом, по теореме Арцела-Асколи, множество AM
R
предкомпактно, а оператор А - вполне непрерывен.
Для решения задачи воспользуемся альтернативой Фредгольма (справед¬
ливой и для банаховых пространств), а именно, покажем, что однородное урав¬
нение х-Ах = 0 имеет только нулевое решение. Перепишем уравнение в виде:
t	t
x(t) -1 x{z)dz = 0 или x(t) = Ix{z)dz . Тогда ясно, что x(0) = 0. Кроме того, по-
0	о
скольку интеграл с переменным верхним пределом непрерывно дифференциру-
436

ем, то таковой является и левая часть уравнения. Тогда после дифференцирова¬
ния получаем x'(t) = x(t). Решение полученной задачи Коши - есть x(t) = 0.
Следовательно, уравнение х- Ах = у имеет решение при любом у е С[0,і], т.е.
существует непрерывный обратный оператор (/ - А)1: С[0,і] —»С[0,і] (см. за¬
дачу 1).
i
2.	Рассмотрим однородное уравнение Фредгольма (p{t) - aJ (/ + st)q>{s)ds = О
о
и соответствующее ему однородное сопряженное уравнение (т.е. уравнение с
i
сопряженным оператором) ///(/) - а| (Г + si)ij/{s)ds = 0. Проверить, что при каж-
0
дом Хф 0 эти уравнения имеют одинаковое количество линейно независимых
решений.
Решение: из вида этих уравнений ясно, что их решения надо искать в виде
(pit) = ах+ a2t и ij/(t) = Рх + P2t2. Подставляя эти виды решений в соответствующие
уравнения и вычисляя получившиеся при этом интегралы, приходим к систе¬
мам: <
г А
л
А
Г (л
л
-1
0
и
с
$
1
+
а'
-
-1
Із
)
1 4 ‘
ІЗ
)
Д+|а=о
X (А
\
и <
—ал +
2 1
--1
ѵЗ
а2 = О
4Д +
2 1
г
\
і-і
3 у
. Эти системы имеют одина-
Рг= О
А2 2
ковый определитель, равный	А + 1, поэтому, если этот определитель не
7	2	2
обращается в 0, то системы имеют по одному тривиальному решению. Если А
совпадает с одним из корней определителя, то каждая из систем имеет по одно-
4	3-А	4 3-А „
му нетривиальному решению, например (pit) = 1 ч—
3 А
■t, w(t) = t + --
ЗА
•г
Этот пример иллюстрирует третью теорему Фредгольма.
i
3.	Пусть / е L, [0,і]. Решить уравнение <p(t) - xj <p{s)ds = fit) при А Ф 0.
о
Решение: решение уравнения имеет вид (p(t) = СА + f(t), откуда, подстав-
1
ляя это выражение в уравнение, получаем СА +f(t)~ А^(СА +f(s))ds = f(t) ^
о
i	i i	а 1
т.е. C(l-A) = J/(s)*fo. При Лф\ C = ——\f{s)ds и <p(t) = -—\f(s)ds + f(t).
О	1 — ^ О	^ о
1	1
Если А = 1, то равенство С(1- А) = j f(s)ds принимает вид J/(s)ds = 0. Таким
о	о
1
образом, в случае А = 1, если выполняется равенство |/(5)^ = 0, то С - про-
437

извольно и исходное уравнение имеет бесконечное множество решений вида
i
<p(t) = С А + f(t). Если же I f{s)ds ф 0, то уравнение решений не имеет.
о
Отметим, что оператор, задающий левую часть уравнения является фред-
1
гольмовым, а сопряженный к нему имеет вид Т*у/ = y/(t) - ljy/(s)ds. Тогда если
о
1
при 1 = 1 рассмотрим однородное уравнение i//(t) - J\//{s)ds = 0, то ясно, что его
о
1
решениями являются функции вида i/f(t) = Cv Таким образом, условие jf(s)ds = О
о
является условием ортогональности правой части f(t) исходного уравнения
всем решениям y/(t) = Cl однородного уравнения с сопряженным оператором.
Итак, данный пример иллюстрирует первую теорему Фредгольма.
Л
4.	При каких у(0 е Е,[0,;г] уравнение <p{t) - Jsin(? - s)cp(s)ds = y(t) имеет
о
решение в пространстве Z^[0,^]?
Решение: в силу первой теоремы Фредгольма, исходное уравнение имеет
решение только для тех функций уО)еЕ,[0,ж], которые ортогональны всем
решениям сопряженного однородного уравнения, т.е. решениям уравнения
Л
(//(/) +1sin(r - s)y/{s)ds = 0. Это уравнение является уравнением с вырожденным
о
ядром sin(? — 5) = sin tcos s — costsin s (см. дополнение), поэтому его решение
ищем в виде i//(t) = сх sin / + c2cos/. Подставляем этот вид в уравнение, вычисля¬
ем все интегралы, после чего получаем систему уравнений: <
71	_
С1+-С2=0
71	О
C2-JC1=0
. Ре¬
шение этой системы сг=с2 = 0, тогда t//(t) = 0, а поскольку 0 ортогонален лю¬
бой функции у(0 е /^[0,^], то исходное неоднородное уравнение имеет реше¬
ние (в силу альтернативы Фредгольма, единственное) при любой правой части
У(*)еІъ[0,я].
5.	Найти все вещественные значения параметров а,Ь и с, при которых ин-
1
тегральное уравнение (p(t)-Aj(ts + t2s2)(p(s)ds = at2+bt + c имеет решение в про-
-1
странстве [—1,1] при любых АеС.
438

1
Решение: однородное сопряженное уравнение i//(t) - Я J (ts + t2s2)i//(s)ds = О
-i
имеет решения вида i//(t) = q/ + c2t2, подставляя которые в это уравнение и вы¬
числяя все получившиеся интегралы, приходим к системе
г
сл
Со
1-4
з
Г
1--
ѵ 5
/О
j
= 0
= 0
Если ЛфЗ и Я^5, то q=c2 = 0 и y/(t) = 0, следовательно, аналогично
предыдущей задаче, исходное неоднородное уравнение имеет решение при лю¬
бых значениях а,Ь и с. Пусть Л = 3, тогда с1 - произвольно, с2 = 0, следова¬
тельно y/(t) = cxt и исходное неоднородное уравнение будет иметь решения то¬
гда и только тогда, когда функции y/(t) = су ортогональны правой части неод-
1
нородного уравнения at2+bt + c, т.е., когда j (at2 + bt + c)cxtdt = 0. Вычисляя
-i
интеграл, получаем, что должно выполняться условие b = 0. Пусть Л = 5, тогда
сх = 0, с2 - произвольно, y/(t) = c2t2 и неоднородное уравнение будет иметь ре-
1
1*	& С
шения при J (at2 +bt + c)c2t2dt = 0, т.е. при — + — = 0.
Итак, уравнение разрешимо в [—1,1] при любых Я е С тогда и только
тогда, когда Ь = 0 и За + 5с = 0.
Задачи для самостоятельного решения
1.	Найти оператор (/ - А)-1, если оператор А задан в примере 1.
2.	Пусть Т - Фредгольмов оператор. Доказать, что операторы Т* и Тп -
фредгольмовы, причем ТпК = КТп, п e N.
3.	Пусть оператор А: /2 —> /2 действует по формуле Ах = (Л1^1,Л2^2,...),
х = (£)е/2 (диагональный оператор), где числовая последовательность
(\ )Г=і ограничена. При каких Лк для уравнения Ах= у справедлива альтерна¬
тива Фредгольма? Третья теорема Фредгольма?
Указание: альтернатива Фредгольма справедлива, если число 0 не являет¬
ся предельной точкой последовательности (Л*)”=1, а третья теорема справед¬
лива, если среди чисел Лк только конечное число их не равно нулю.
4.	Пусть А - оператор сдвига в пространстве /2, действующий по формуле
Ах = (0,	, х = (£, ,...) е /2. Доказать, что для уравнения Ах = у альтер¬
натива Фредгольма справедлива, а третья теорема - нет.
439

1
5.	Для каких уеС[0,і] уравнение <p{t)-4^ts2(p(s)ds = y(t) имеет решение?
о
6.	Найти все вещественные значения параметра а, при которых инте-
1
тральное уравнение (pit) - Aj (at - s)<p(s)ds = y(t) имеет решение при всех А е Ж.
о
и всех у е Мод].
7.	Найти все значения А, при которых интегральное уравнение
ь
(pit) - Л J cos(f + s)tpis)ds = у it) имеет единственное решение при любом
у е С[я,Ь] , если:
а)	а = 0,Ь = 7г\
б)	а = 0,Ь = —.
2
8.	Пусть А : X X - вполне непрерывный оператор в банаховом про¬
странстве X , причем стіА) = {О}. Доказать, что уравнение (/ - АА)х = у разре¬
шимо при любой правой части у e X и любых А е С, и что решение уравнения
оо
представимо в виде ряда х = ^ АпАп у.
п=О
440

3.6.	Спектры самосопряженных и вполне непрерывных операторов
Замечание: далее, если не оговорено противное, все рассматриваемые
пространства предполагаются комплексными.
Определение: пусть А - линейный ограниченный оператор, Л - его соб¬
ственное значение, тогда множество собственных векторов соответствующих
этому собственному значению {х ф 0: Ат = Лх}, называется собственным под¬
пространством, соответствующим собственному значению Л.
Теорема (о собственном подпространстве): собственное подпростран¬
ство, соответствующее собственному значению Л Ф 0 линейного ограниченного
оператора А, является замкнутым линейным многообразием (т.е. подпростран¬
ством). Если оператор А вполне непрерывен, то это подпространство конечно¬
мерно.
Доказательство: обозначим Ь = {хфО:Ах = Лх].
1.	Покажем, что L - линейное многообразие, т.е. если jq,i2eL, а - чис¬
ло, то xl + х2 e L и ахх e L. Поскольку хх, х2 e L, то А^ = Лх1 и Ах2 = Лх2, тогда,
складывая, находим, что Ахх + Ах2 = Лх1 + Лх2, откуда Л(х, + х2) = Л(х1 + х2), т.е.
xl + х2 e L. Аналогично, поскольку хх e L, то Aq = Лхх, откуда orAq = аЛх\, т.е.
А(ахj) = Л(ахх), следовательно, ахх e L.
2.	Покажем, что L - замкнуто, т.е. если {xn}cz L и хп —>х, то xeL. По¬
скольку Ѵие N хп e L, то Ахп=Лхп. Поскольку оператор А - ограничен, т.е.
непрерывен, то, переходя к пределу при п —» оо, получаем, что Ах = Лх, следо¬
вательно, хе L.
3.	Пусть А - вполне непрерывен. Предположим, что L - бесконечномер¬
но. Рассмотрим в L шар радиуса 1 и применим к этому шару оператор А. По¬
скольку на элементах L справедливо равенство Ах = Лх, то этот шар перейдет
в шар радиуса Л, снова лежащий в L (в силу его линейности). По теореме о не¬
компактности шара, в бесконечномерном пространстве шар не может быть
предкомпактным множеством. Поскольку оператор А вполне непрерывен, то
он ограниченное множество переводит в предкомпактное. Противоречие.
Теорема доказана.
Теорема (о собственных значениях самосопряженного оператора):
пусть Н - гильбертово пространство, А : Н —» // - самосопряженный оператор.
Тогда все его собственные значения действительны.
Доказательство: пусть Л - собственное значение оператора А, х0 ф0 -
соответствующий ему собственный вектор, тогда Ах0 = Лх0. Ясно, что
(Ах0,х0) = (Лх0,х0) = Л(х0,х0) = Л.||х0||2. С другой стороны, поскольку оператор
самосопряжен, то (Ах0,х0) = (х0,Ах0) = (х0,Лх0) = Л(х0,х0) = Л||х01|2. Таким обра¬
зом, из полученных равенств заключаем, что Л = Л, т.е. АеМ.
Теорема доказана.
441

Теорема (об ортогональности собственных векторов): пусть Н - гиль¬
бертово пространство, А:Я —»Я - самосопряженный оператор. Тогда его соб¬
ственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, орто¬
гональны.
Доказательство: пустъ А.Н^Н самосопряжен, т.е. Ух,уеН (Ах,у) = (х,Ау).
Пусть Ху - собственный вектор, соответствующий собственному значению Я,,
т.е. Аху = ЛуХу. Пусть х2 - собственный вектор, соответствующий собственному
значению Л2, т.е. Ах2 =Л2Х2. Кроме того, Лу Ф ^ и по предыдущей теореме эти
собственные значения действительны.
Поскольку (Аху,х2) = (х1,Ах2), то (ЛуХ1,х2) = (х1,Л1х2), т.е. (Л1-Л2)(х1,х2) = О,
значит, (ХрХ2) = 0.
Теорема доказана.
Замечание: в примере 5 п. 3.3 доказано следующее утверждение: пусть
Е - комплексное банахово пространство и А: Я —» Я - линейный ограничен¬
ный оператор. Если для комплексного числа Л существует такая нормирован¬
ная последовательность {хи}сЯ (т.е. ѴяеN ||хІ| = 1), что lim|Axn-AxJ = 0,
К J	л—^-со	11
то Ае<т(А).
Теорема (критерий регулярного значения): пусть Н - гильбертово про¬
странство, А: Я —» Я - самосопряженный оператор, тогда точка Л является ре¬
гулярным значением оператора А тогда и только тогда, когда Ѵх е Н Зс > О:
||Ах-Ах|| > с\\х\\.
Доказательство: пусть Л - регулярное значение оператора, А, т.е. точка
резольвентного множества, тогда существует резольвента ЯДА) = (А-Ліу1,
являющаяся линейным и ограниченным оператором, т.е. Цй.О'МИ > 0. Тогда
Ѵх g Н ||х|| =	(А)(А - А/)х|| < ||ЯД (А)|| • I(А - А/)х|| = d ||(А - А/)х||, откуда полу¬
чаем, что I Ах - ЛхI > “|х| •
Обратно: пусть Vx g Я Зс > О: || Ах - Ах|| > с ||х||. Обозначим у = Ах- Лх
для всех х e Н. Множество таких элементов у обозначим L. Ясно, что L - ли¬
нейное многообразие.
Покажем, что L - всюду плотно в Н. По теореме о всюду плотности ли¬
нейного многообразия достаточно показать, что Я1 = {0}. Предположим про¬
тивное, т.е. что Ях Ф {О}, т.е. Зх0 е Я, j^^O: Ѵу е Я (х0,у) = 0. Тогда для всех
х е Я (х0, Ах - Ах) = 0 или (х0, (А - А/)х) = 0. Поскольку А, I - самосопряжен¬
ные операторы, то ((А-А/)х0,х) = 0 или (Ах0 - Ах0,х) = 0. Поскольку хе Я
произвольный элемент, то Ах0-Ах0=0, т.е. Ах0 = Лх0. Поскольку х0 ^0, то
А - собственное значение оператора А, т.е. А = Ае№, откуда Ах0-Ах0=0.
Далее, по условию ||Ах0 - Ах0||>с||х0||, откуда х0 = 0 - противоречие.
442

Покажем, что L - замкнуто, т.е. что если { уя} с= L и уп —>■ у0, то у0 e L.
Поскольку уп —^ Уо 5 то последовательность { уп} фундаментальна, следователь¬
но \\УП - У*I -> 0. Поскольку Ѵу e L ||у|| > с\\х\\, то ||уп -ут|| > с\хп -хт\\. Следо-
вательно, ||хл-хІ| —» 0, т.е. последовательность \хп\ - также фундаменталь-
нп,т—> со
на. Поскольку гильбертово пространство Я - полно, то последовательность
[х\ сходится, т.е. Зх0 = lim хп. Поскольку оператор А - ограничен, т.е. непре-
рывен и {y„}cL, то уп=Ахп-Лхп и у0 = Hmyw = ]іт(Ахп - Лхп) = Ах0-Лх0,
Я—» со	П—> со
следовательно, у0 e L. Итак, L - замкнуто, т.е. L = L. Поскольку выше показа¬
ли, что L = Я, то получаем, что L = Я.
Таким образом, оператор (А-ЛІ) переводит Я во все Я. Покажем, что
этот оператор взаимно однозначен. Пусть хекег(А-Л/), т.е. (А-Л/)х = 0. То¬
гда, поскольку I Ах - Лх\\ > с ||х||, то ||х|| = 0, следовательно кег( А - ЛІ) = {О}.
Итак, оператор (А - ЛІ):Н —» Я взаимно однозначен, следовательно, су¬
ществует оператор (А - ЛІ)~1: Я —» Я и из равенства у = Ах - Лх, получаем,
что ѴуеЯ х = (А-ЛІ)~1 у. Тогда с (А-Л,/)-1 у = с|х||<|Ах-Ах| = |у||, откуда
ѴуеЯ (А-Л/Г1 у
1
<-
с
т.е. оператор (А - ЛІ) 1: Я —» Я ограничен, сле¬
довательно, он является резольвентой оператора А, поэтому Л - его регуляр¬
ное значение.
Теорема доказана.
Замечание: из доказанной теоремы следует, что условие 1іт|ІАхп - ЛхІІ = О
п—»ао11
для всякой нормированной последовательности {хп} в гильбертовом простран¬
стве является не только достаточным для того, чтобы Л е <т(А), но и необходи¬
мым. Таким образом, при достаточно больших п, точка Л е <т(А) является “по¬
чти собственным значением” оператора А.
Теорема (о регулярных значениях самосопряженного оператора): пусть
Я - гильбертово пространство, А: Я—» Я - самосопряженный оператор. То¬
гда комплексные числа Л = а + і/3 (/3^0) могут являться только регулярными
значениями оператора А.
Доказательство: обозначим у = Ах - Лх для всех х <е Я . Тогда
(у, х) = (Ах - Лх, х) = (Ах, х) - Л(х, х) = (Ах, х) - Л||х||2,
(х,у) = (у,х) = (Ах,х)-Л||х||2 = (Ах,х)-Л||х||2, (см. задачу 2),
(х, у) - (у,х) = (Л - Л)||х||2 = (а + і/3 -(а- г/?))||х||2 = 2г/?||х||2,
откуда |(х,у) — (у,х)| = 2|/?|||х||2. С другой стороны, используя неравенство Ко-
ши-Буняковского, получаем, что |(х, у) — (у,х)| < |(х, у)| + |(у,х)| < ||х|| • ||у|| +
443

+||у||' IMI= 2|MI' IMI • Таким образом, \\у\\ > |/?|||х||, т.е. при \/3\ > 0 ||Ах - Ах|| > |/?|||х||.
По предыдущей теореме А является регулярным значением оператора А.
Теорема доказана.
Определение: пусть А:Н —» // - самосопряженный оператор, тогда дей¬
ствительные числа M = sup(Ax,x) и m = inf(Ax,x) называются соответственно
|*|=і	ИИ
верхней и нижней границами оператора А.
Замечание: очевидно, что если А.Н —>Н - самосопряженный оператор и
||A|| = sup|(Ax,x)| (в силу примера 3 из и. 2.7), то ||а|| = тах{ т|,|м||.
Теорема (о спектре самосопряженного оператора): спектр самосопря¬
женного оператора А.Н —>Н целиком лежит на отрезке [т,М] действитель¬
ной оси, причем числа т и М являются точками спектра оператора А.
Доказательство: из предыдущей теоремы следует, что спектр оператора
А может лежать только на действительной оси. Покажем, что все числа
А^\т,М] - регулярные значения. Пусть А>М, тогда A = M + d, где d> 0.
Используя результат задачи 3, получаем, что для всех х е Н
(Ах - Ах, х) = (Ах, х) - А(х, х) < М (х, х) - А ||х||2 = (М - А) ||х||2 = -d ||х||2.
Тогда |(Ах-Ях,х)|>б/||х||2. С другой стороны, в силу неравенства Коши-
Буняковского, |(Ах - Ах,х)| < || Ах - Ах|| • ||х||. Из полученных неравенств заключа¬
ем, что |Ах-Ях||-||х|><і||х|2, откуда ||Ах — Ах\\ > d\\x\\ и в силу критерия регу¬
лярного значения А - регулярное. Случай А<т рассматривается аналогично.
Покажем, что М - точка спектра оператора А. Заметим, что, если заме¬
нить оператор А оператором А-jul, //el, то ((А-рІ)х,х) = (Ах,х) — //||х||2 =
= (Ах, х) - ц при ||х|| = 1, поэтому числа М и т заменяются на М -// и ш—//, а
спектр сдвигается вдоль действительной оси на величину //. Поэтому доста¬
точно рассмотреть случай 0 < т < М . В этом случае ||А|| = М . Поскольку
М = sup(Ax,x), то 3{хл}сЯ: ||хга|| = 1 и (Ахп,хп) —»М . При этом заметим, что
ІМ < \\А\\ ■ \\хп\\ = |А| = М . Далее, ||Ахи -МхJ2 = (Ахп - Мхп,Ахп -Мхп) = ||AxJ2 -
-2М (Ахпхп) + М2 ||хи ||2 < М2 - 2М (Ахпхп) + М2 = 2М2 - 2М (Ахпхп). Переходя в
этом неравенстве к пределу при п—»оо, получаем, что |Ахи -MxJ2 -»0 и, следо¬
вательно, М - точка спектра оператора А.
Аналогично доказывается, что т - точка спектра оператора А (достаточно
рассмотреть случай т<М <0).
Теорема доказана.
Теорема (о линейной независимости собственных векторов): собствен¬
ные вектора линейного оператора, отвечающие его различным собственным
значениям, линейно независимы.
444

Доказательство: применим индукцию по количеству собственных векто¬
ров к. Один собственный вектор хх оператора А линейно независим, посколь¬
ку х1 ф 0. Пусть любые к собственных векторов оператора А, отвечающие его
различным собственным значениям, линейно независимы. Предположим, что
какие-то к + 1 собственных векторов xl,...,xk+l, отвечающие собственным зна-
*+і
чениям Ѵ"А+1 (Л ф Л] ПРИ УХ линейно зависимы, т.е. Y,c)xi = 0, причем
/=1
не все сг равны нулю. Применяя к этой сумме оператор А- Лк+1І, получим
к+1	к+1	к+1	fc+l	к
о=(а - лк+11)^сЛ=- 2Ча+л=Z сі (Л - лк+\)х! = Yci (Л - лк+\)хі ■
г=1	і=1	і=1	і=1	г=1
Поскольку система из к векторов линейно независима, то сг(Аг-Л^+1) = 0,
к+1
1	< г < /с, откуда сг = 0 (т.к. Я( ^	+,) при 1 < г < к. Но тогда из Ycixi = 0 следу-
/=1
ет, что ск+1 =0, т.е. все коэффициенты в этой линейной комбинации нулевые.
Противоречие.
Теорема доказана.
Теорема (о последовательности собственных значений): все ненулевые
собственные значения вполне непрерывного оператора в банаховом простран¬
стве X можно расположить в последовательность, стремящуюся к нулю (при
условии, что их бесконечно много).
Доказательство: 1. Возьмем \/8>0 и покажем, что число собственных
значений, по модулю больших, чем 8, конечно. От противного: допустим, что
это не так, т.е. существует бесконечно много собственных значений ЯрЯ^Я,,...
таких, что Ѵие N |ЯИ| > 80. Пусть [хп] - соответствующая последовательность
собственных векторов, тогда, в силу предыдущей теоремы, эта система линейно
независима.
Пусть Хп - подпространство X, образованное векторами х],...,хп, тогда
ясно, что Х-у а Х2 с..., причем Хп+1 Ф Хп ни при каком п. Поскольку все Хп
конечномерны, то они замкнуты. По теореме Рисса о почти перпендикуляре
Зу„еА: |у„| = 1 и УхеХп_г |.т-уп|>^. Поскольку {уп} - ограниченное
множество, а оператор А - вполне непрерывен, то множество {Ауп} - пред¬
компактно, т.е. содержит сходящуюся подпоследовательность. Обозначим
АЛ = А-ЯІ и рассмотрим любые т>п, тогда получаем, что ||Аут — Ауя|| =
^АП1Ут~^ЛтУт Уп Лп Уп II \Лт\
У,
т
я,
ЧА
т
+—А
'т
я,
/L
^Уп + -г-У.
Л
Л
'т
т
= ЫІ\ут - 4 > s01\Ут - 4 ■ Поскольку	то уп = Yaixi> поэтому
і=1
445

п—1
\уп = (А~ Ѵ)Еал = Z «ЛЛ - А,)*,-е х„-і<= ^-і-
г=1
г=1
Кроме того, )?л e I с Хт-1 и А^ ут g Хт_г (аналогично полученному вы-
ше для А^уи). Таким образом, элемент г е Хт_г. Отсюда ||Аут — Ауи|| > и
из последовательности {Ауи} нельзя выделить сходящуюся подпоследователь¬
ность. Противоречие.
2.	Итак, любых собственных чисел, по модулю больших, чем 8 - конечное
число. Возьмем 8 = Іи занумеруем все собственные значения оператора А, по
модулю большие, чем 1: Л1,Л2,Л3,...,Лкі. Возьмем 8 = — и рассмотрим те соб-
2
ственные значения, которые по модулю больше, чем —, но которые еще не за-
2
нумерованы. Их так же конечное число, следовательно, можно продолжить ну¬
мерацию: Лк+1,Лк+2,...,Я%. Возьмем 8 = — и занумеруем те оставшиеся соб-
1 i	*2	з
ственные значения, которые по модулю больше, чем ^, и так далее. Итак, все
ненулевые собственные значения оказались занумерованы, т.е. расположены в
последовательность, и, поскольку 8 —» 0, то эта последовательность собствен¬
ных значений также стремится к нулю.
Теорема доказана.
Теорема (о спектре вполне непрерывного оператора): пусть Н - гиль¬
бертово пространство, А :Н —>Н - вполне непрерывный оператор. Тогда все
точки спектра оператора А за исключением точки 0 являются собственными
значениями этого оператора.
Замечание: при этом точка 0 всегда лежит в спектре (см. задачу 1), но мо¬
жет собственным значением не быть.
Доказательство: пусть ЛфО - точка спектра оператора А. Допустим,
что Л не является его собственным значением, тогда уравнение Ах = Лх имеет
только нулевое решение. Преобразуя его, получаем уравнение Ах-Лх = 0 или
(А-ЛІ)х = 0. Поскольку Лф0, то, разделив уравнение на -Л, заключаем, что
( 1 ^
уравнение I	А х = 0 имеет только нулевое решение. Отсюда следует, что
V
г
оператор
I	А
ѵ Я
Я у
- инъективен. Поскольку А - вполне непрерывен, то по 11 л
теореме о подпространстве вполне непрерывных операторов, оператор —А -
Я
также вполне непрерывен. Следовательно, уравнение
/-ІА
Я
х = 0 принимает
вид Тх = 0, в котором Т:Н —>Н - Фредгольмов оператор. В силу альтернативы
446

Фредгольма уравнение Тх = у имеет решение при любой правой части у е Н.
Таким образом, оператор Т сюръективен, а, значит, и биективен, следователь-
f I V1 f 1	л-1
но, он имеет обратный
I	А
V ^ J
1
— (А - ЯІ) . Поскольку Яф 0, то опе-
у Я	)
ратор {А-ЯІ) также имеет обратный. Поскольку Фредгольмов оператор Т все¬
гда является ограниченным, то, по теореме Банаха об обратном операторе, опе-
f 1 V1
ратор
, а значит и оператор {А-ЯІ) 1 является ограниченным. Та-
/	А
V h у
ким образом, точка Я принадлежит резольвентному множеству, что противоре¬
чит тому, что Я - точка спектра оператора А.
Теорема доказана.
Замечание: данная теорема остается справедливой в произвольных бана¬
ховых пространствах, поскольку альтернатива Фредгольма справедлива и в
них.
Теорема (о существовании собственного значения): пусть Н - гильбер¬
тово пространство, А: Н —> Н - самосопряженный вполне непрерывный опера¬
тор, Аф 0. Тогда у него существует хотя бы один собственный вектор и соот¬
ветствующее ему отличное от нуля собственное значение.
Доказательство: т.к. А - самосопряжен, то ||A|| = sup|(Ax,x)|, т.е. суще-
ІИІ=і
ствует последовательность [хп] такая, что ||хя|| = 1 и |(Axn,xn)|—»||а||. Поскольку
АфО, то числа (Ахп,хп)ф0 для всех достаточно больших п, причем, рассуж¬
дая от противного, получаем, что найдется подпоследовательность |хя^ | такая,
что (Ах ,х ) —» Я, где Я = ||а|| или Я = - ІА!. Тогда получаем:
— (у^хпк ~ ^хпк ’	~	) —	— 2Я ( АхПк, хПк j + Я j
Ах, -Ях„
щ ч
Поскольку
X
щ\
Ах,
= Я2, то IАхПк-ЯхпJ <2/l(/l-(Ax^,xwJ),
откуда АхПк - ЯхПк —» 0. Поскольку |хя^ | ограничена, то |АхПк | предкомпакт¬
на, т.е. имеет сходящуюся подпоследовательность |Ахй^|. Поскольку
Ахи -Ях„ —^ 0, то подпоследовательность \х„ > имеет предел. Обозначим его
па	па	\ па)
= 1, то ||х|| = 1. Тогда 0 = lim (Ахп -Яхп ) = Ах- Ях,
сс—оо' а	а J
х, причем, поскольку
т.е. ЯфО - собственное значение, поскольку хфО. Теорема доказана.
Замечание: если оператор А самосопряжен, то, как указывалось выше,
||А|| = тах{|т|,|м|}, причем т и М - точки спектра оператора А. Если, кроме
того, оператор А вполне непрерывен, то ІА]! = |Дтах|, где Атах - максимальное по
модулю собственное значение оператора А.
447

Теорема (о существовании базиса из собственных векторов): пусть Н -
сепарабельное гильбертово пространство, А:Н —>Н - самосопряженный
вполне непрерывный оператор. Тогда в Н существует ортонормированный ба¬
зис, состоящий из собственных векторов оператора А.
Доказательство: для любого собственного значения Л рассмотрим под¬
пространство, состоящее из собственных векторов, соответствующих этому
собственному значению. По теореме о собственном подпространстве, это за¬
мкнутое линейное многообразие. Поскольку гильбертово пространство полно, а
замкнутое подпространство полного пространства - также полно, то собствен¬
ное подпространство также является полным, т.е. гильбертовым пространством.
По теореме о сепарабельности подмножества, собственное подпространство се¬
парабельно. По теореме о существовании базиса в гильбертовом пространстве,
в этом собственном подпространстве можно выбрать ортонормированный ба¬
зис. Такой базис выберем для каждого собственного значения, т.е. в каждом
собственном подпространстве и рассмотрим систему векторов, состоящую из
всех полученных базисных векторов.
Покажем, что полученная система векторов ортонормирована. Действи¬
тельно, если любые два собственных вектора соответствуют одному и тому же
собственному значению Л, то они ортогональны по построению. Если же они
соответствуют различным собственным значениям, то они ортогональны по
теореме об ортогональности собственных векторов. Итак, полученная система
ортогональна. Нормировать ее можно, разделив каждый собственный вектор на
его норму. Ясно, что ортогональность при этом сохранится.
Осталось показать, что эта система является базисом в пространстве Н,
т.е., что не найдется еще одного ненулевого вектора, ортогонального всем век¬
торам данной системы. Для этого достаточно проверить, что ортогональное до¬
полнение к замыканию L линейной оболочки всех собственных векторов опе¬
ратора А состоит только из нулевого вектора. Предположим, что это не так.
Поскольку L инвариантно для оператора А (см. задачу 48, п. 3.3), то по теоре¬
ме об инвариантности ортогонального дополнения, L1 является инвариантным
подпространством для оператора А, т.е. AiL1 —> L1. По теореме об ортого¬
нальном дополнении L1 - замкнуто, поэтому полно, а значит, гильбертово. По¬
скольку L1 ортогонально всем собственным векторам оператора А, то в нем
собственных векторов оператора А нет, т.к. L П L1 = {0}. С другой стороны, в
L1 собственный вектор есть, в силу предыдущей теоремы. Противоречие.
Теорема доказана.
Теорема Гильберта-Шмидта: пусть Н - гильбертово пространство,
А :Н —>Н - самосопряженный вполне непрерывный оператор. Тогда при лю¬
бом хе Н элемент АхеН раскладывается в сходящийся ряд Фурье по орто¬
нормированной системе собственных векторов оператора А.
Доказательство: пусть <рх е Я - нормированный собственный вектор, от¬
вечающий наибольшему по модулю собственному значению \ e R оператора
А. Обозначим Нх = {х е Н : (х,<рх) = 0}. Ясно, что Нх - замкнуто, т.е. гильберто¬
448

во. Т.к. VxeHj (Ax,q>l) = (x,A(pl) = (x,A1(pl) = \(х,ср1) = 0, то АхеЯг Таким об¬
разом, оператор А: Ях ^ Ях вполне непрерывен и самосопряжен, а значит, если
в Ях АФ0, то он имеет собственное значение ^еМ и отвечающий ему нор¬
мированный собственный вектор <д2 е Ях, причем \\\ < \Л\ и |Л| = \А^\ (см. дока¬
зательство теоремы о существовании собственного значения).
Обозначим Н2 = {хеН1:(х,(р2) = 0} и, применяя аналогичные рассужде¬
ния, получаем, что оператор А: Я2 —» Я2 является вполне непрерывным и са¬
мосопряженным, т.е. если Аф0 в Я2, то в Н2 оператор снова имеет собствен¬
ное значение и отвечающий ему собственный вектор. И т.д.
Возможны два случая:
1.	Найдется номер п такой, что на Нп = {xg Н :(х,<рк) = 0,к = 1,2по-
и
лучим, что А = 0. Тогда ѴхеЯ рассмотрим элемент у = х-^(х,(рк)(рк. Не-
к=\
трудно проверить, что уеЯга. Поскольку на Нп А = 0, то Ау = 0, поэтому
( п	Л п	п
Ах = А £(х,<рк)<рк = £(х,(рк)А(рк = Л*(х,(рк)(рк{Асрк = Лк<рк).
V к=1	J к=1	к=1
2.	Процесс продолжается неограниченно, т.е. получаем последователь¬
ность {Лк} собственных значений оператора А и последовательность от¬
вечающих им собственных векторов, причем в Нп ||а|| = |ЛИ+1|. Тогда
Г	п
і х-^(х,<рк)<рк
V	*=і
<
x-Ysx*(pk)(Pi
к=1
п
Ы
к=1
=\\+1| И -Z|(*>%)| -К+і| И •
V	к=1
В предпоследнем переходе расписали квадрат нормы через скалярное про¬
изведение, а в последнем воспользовались неравенством Бесселя. Перейдем к
пределу при я—»оо, тогда по построению и по теореме о последовательности
г
собственных значений Лп+1 -» 0, поэтому А
\
х-^(х,<рк)<рк
V	к=1
—» 0, откуда следу-
п	/і
ет, что ^(х,(рк)А(рк —» Ах. Поскольку А(рк = Лк(рк, то '^1Лк(х,(рк)(рк —» Ах, отку-
к= 1
к=\
да окончательно получаем, что Ах = '^Лк{х,(рк)(рк .
к=1
Теорема доказана.
Замечание: если А: Я —» Я - самосопряженный вполне непрерывный об¬
ратимый оператор, то из его собственных векторов можно набрать базис Я.
00
Это следует из того, что, применяя к равенству Ах = '^Лк(х,(рк)(рк оператор
к=1
449

А 1, получим x = ^(х,(рк)(рк, т.е. всякий хе Я оказался представлен в виде
к= 1
сходящегося к нему ряда Фурье по ортонормированной системе собственных
векторов, т.е. эта система является базисом.
Определение: два оператора, действующие в гильбертовых пространствах,
называются унитарно эквивалентными, если они изометрически эквивалентны.
Замечание: приведем примеры унитарных изоморфизмов:
1.	оператор U :Я—»/2(/), где I - некоторый набор индексов, действую¬
щий по правилу (Ux)neI = {(х,еп)}пе1, где {еп} - ортонормированный базис в
Я. То, что этот оператор биективен и сохраняет норму, было доказано в теоре¬
ме об изоморфизме всех сепарабельных гильбертовых пространств простран¬
ству 12 (см. часть I, раздел 3, п. 3.5);
2.	оператор Фурье, определяемый согласно теореме Планшереля: суще¬
ствует унитарный оператор U :L2 (Т.) —» Я (^), однозначно определенный тем,
что для любой функции / еІ1(Ж)П^2(іК) функция g = Uf почти всюду сов¬
падает с классическим преобразованием Фурье. Из унитарности оператора сле¬
дует, что ||g|| = ||/||. Также заметим, что множество І1(Ж)ПЬ2(Ж) лежит в
7^(Ж) всюду плотно (более подробно см. в [10]).
Примеры решения задач
1.	Пусть Я - комплексное гильбертово пространство, А: Я —» Я - само¬
сопряженный оператор. Доказать, что для такого оператора остаточная часть
спектра отсутствует.
Решение: пусть Я - точка спектра оператора А, тогда число Я является
действительным, поэтому оператор (А - ЯГ) также самосопряжен. Пусть Я - не
собственное значение оператора А, тогда ker(А-ЯІ) = {0} и, в силу примера 4
п. 2.7, R(A - Я/)1 = ker(A - Я/)* = ker(A - Я/) = {0}. Тогда из теоремы о всюду
плотности линейного многообразия следует, что R( А - ЯІ) = Я, следовательно,
точка Я принадлежит непрерывной части спектра ас (А) оператора А.
2.	Пусть Я - комплексное гильбертово пространство, А:Я^Я - само¬
сопряженный оператор, причем R( А - ЯІ) = Я. Показать, что Я е р(А).
Решение: если число Я не является действительным, то по теореме о регу¬
лярных значениях самосопряженного оператора Я е р(А). Далее будем считать,
что Я g Ж и покажем, что Я не является собственным значением оператора А.
Предположим противное, тогда Зх0 е Я , х0 ф 0: Ах0 = Ях0. Поскольку, по усло¬
вию R( А - ЯІ) = Я, то для любого вектора у е Я найдется вектор х g Я такой,
что у = Ах-Ях. Тогда (х0,у) = (х0,Ах-Ях) = (Ах0-Ях0,х) = 0. Поскольку эле¬
мент у g Я - произволен, то х0 = 0. Противоречие. Таким образом, число Я не
450

является собственным значением оператора А, тогда кег(А - Л1) = {О}, т.е. опе¬
ратор (А - XI) :Н —> Н действует взаимно однозначно, поэтому он обратим. По
теореме Банаха об обратном операторе существует обратный линейный огра¬
ниченный оператор (А - ЛІ)~1: Я —» Я , следовательно, Л е р(А).
3.	Пусть А: /р —>	( р> \ ) вполне непрерывный оператор, определенный
формулой Ах = (ЛДД, где х = (<fj,<f2,...)e/ а числовая последователь¬
ность [Хк} ограничена. Доказать, что Ііш Лк = 0.
Решение: рассмотрим для всех к e N вектор ек = (О,О,...,0,1,0,0	Яс-
к	Р
но, что Аек = Лкек и при этом ек ф 0, следовательно, все числа Лк являются соб¬
ственными значениями вполне непрерывного оператора А. Тогда, согласно
теореме о последовательности собственных значений, ІітпЛк =0.
» со
4.	Найти спектр оператора А: Ь2 [0,і] —» Ц, [0,l], Ax(l) = tx(t).
Решение: нетрудно убедиться, что оператор является самосопряженным,
причем действующим в гильбертовом пространстве. По теореме о спектре са¬
мосопряженного оператора <т(А)с[т,МІ, причем M = sup(Ax,x) и m = inf(Ax,x) -
|фі	ИИ
точки спектра оператора А
1 	 1 1
(Ах, х) = I Ax{t) • x{t)dt = I tx{t) • x{t)dt = Jr |x(r)|2 dt.
0
1
Поскольку 0 < Г < 1, то 0 < (Ax,x)<J|x(r)|2 dt = ||x||2, откуда 0<	< 15
т.е. 0<
(
( Л
Л
X
X
А
ип
11-^11
V
ѵII II/
II II)
<1. Обозначая ц—|=y, замечаем> чт0 ||у| = 15 значит,
Vy еІ^[0Д]: ||у|| = 1 0<(Ау,у)<1. Таким образом, т,М е [од]. Покажем, что
СТ(А) = [0,1]. Пусть 0 < Л < 1. Выберем s > 0 таким образом, чтобы
-4=, Ге[Д, Л + б]
у£
[Л, Л + б] <z [0,і] и рассмотрим функцию xe(t) =
0, t <ё\Л,Л + б]
1	X~hE
Тогда ||xj = J|xe(r)| dt= I —dt = —(X + s-s) = l и точка Л будет точкой
О	I 8	8
спектра, если ||Ахе - Лхе\\ —» 0. Имеем:
к+Е
(t-xf
IАхе - XxEf = J(Axe(t) - Xxs{t)f dt = J(txe(t) - Xxs(t))2dt = J -—'—dt = ■
n	n	1 Б	3
Ясно, что ||Ax£-/txJ->0, таким образом, любая точка полуинтервала
11 £->0
[0,і) является точкой спектра оператора А.
451

Аналогично, рассматривая 0<Л<1 и выбирая s >0 таким образом, чтобы
г	1 г 1	, t g[A~ £,Л]
[Л -s,A\ а [0,1 J, для функции xs(t) = <yjs	получаем, что любая
0,	te[A-s,X\
точка полуинтервала (од] является точкой спектра оператора А. Объединяя
эти случаи, получаем, что сг(А) = [од] . Нетрудно убедиться, что ни одна точка
спектра не является собственным значением, а в силу примера 1 заключаем, что
спектр оператора А - непрерывный.
5.	Вычислить норму оператора А:	[О,і] —>	[0,і], если:
t
а)	Ax{t) = ^x{r)dr\
0
1
б)	Ax(t) = |(1 + ^)х(,$)<А.
о
Решение: а) легко проверить вполне непрерывность оператора, используя
i
критерий предкомпактности в L^ [0,і]. Кроме того, A*x(t) = Jx{r)dr. Тогда one-
t
ратор АА* - самосопряжен и вполне непрерывен, поэтому ІА!]2 = ||аА* =|Лпах|’
откуда IА|| = yJ\A^~\.
t i
Поскольку AA*x(t) = ^x{s)dsdr, то для нахождения собственных чисел
О г
t 1
получаем уравнение ^x{s)dsdr = Ax(t). Дифференцируем его по переменной t
0 ѵ
(левая часть равенства дифференцируема почти всюду, следовательно, такова и
i
правая часть) и получаем, что почти всюду Jx(s)ds = Ax\t). Снова дифферен-
t
цируем: -x(t) = Ах"(t). Поскольку нас интересуют ненулевые собственные зна¬
чения, то, обозначив // = — Ф 0, получим, что х"(і) + fixit) = 0. Из исходного ин-
Л
тегрального уравнения следует, что л(0) = 0, а из продифференцированного
первый раз уравнения следует, что х'(1) = 0. Легко видеть, что при ц< 0 полу¬
ченная краевая задача не имеет нетривиальных решений в пространстве
Цол]. При ft>0 получаем x(0 = c1cosV//f + c2sm-\///f• Далее, д(0) = с1=0,
х'(1) = с2^соф = 0. Нетривиальное решение получится только если сгФ 0,
.2
т.е. cos
Ѵа = о,
откуда fi =
/	\2
< п	'
—I-лп
\ 2 J
л
, п = 0,1,2,.... Поскольку цт-т = —, то
452

4	2
Ятах = —2 , откуда || А|| = —. Заметим, что при вычислении нормы данного опе-
71	л
ратора обычным методом оценивания получается недостижимая завышенная
оценка сверху || А|| < -Х=.
л/2
i	i
б) Поскольку Ах(і) = 1 • Ix(s)ds +1 ■ Jsx(s)ds = 1 • с, + / • c2, то данный опера-
0	о
тор конечномерен (ранг 2). Множество его значений - двумерное подпростран¬
ство с базисом {і,г}. Тем самым, оператор вполне непрерывен. Кроме того, лег¬
ко проверяется, что он самосопряжен, поэтому сразу ||^|| = |Лпах|- Для поиска
собственных значений можно было бы составить и решить интегральное урав¬
нение Фредгольма, но мы воспользуемся конечномерностью оператора, а
именно, тем, что его действие определяется конечной матрицей. Для нахожде¬
ния матрицы оператора, как и в линейной алгебре, найдем образы базисных
векторов множества значений оператора:
11 1 1 1 1 1
А(і) = 1 • I Ids +1 ■ J* sds = 1 + — t; A(t) = 1 • J sds +1 ■ J s2 ds = — + —t.
0	0	2	0	0	2 3
Полученные коэффициенты разложения по базису {і,г} дают столбцы
Г 0
„ 1
1 -
1-Л -
матрицы оператора, т.е. А =
2
1 1
, тогда |Д-Я/| =
2
I 1-я
к2 3,
2 3
=М)
U
3
Л
-1=0.
4
т .	, 4±л/ІЗ		 4 + л/ІЗ
Таким образом, Я12 =	, откуда
Заметим, что по обычному
29
методу получается недостижимая завышенная оценка сверху || А|| < . I— .
ѵ 18
6. Найти спектр оператора (Ах)к = %к_х - 2%к + £к+1 в пространстве /2 (Z),
где/2(Z) = |x = (...,^_1,^0,^1,...): ^ |#*|2<+°°|.
I	*=-°о	\
Решение: поскольку А - ЛІ = А + 21 - (Л + 2)1 = В- jul, то, если ц - точка
спектра оператора В = А+2І,то Я = -2 + ju - точка спектра оператора А. Заме¬
тим, что (Вх)к = %к_х + <+/с+,, причем ||в|| = 2, откуда следует, что спектр этого
оператора лежит в круге |//| < 2. Кроме того, оператор В самосопряжен, по-
+00 +00 +00	+00 +00
скольку (Вх,у) = X (4-i+4+i)% = X 4-1%+ X 4+і% = X 4%+і+ X 4%-і =
к=- оо
к =-оо
к=-оо
к =-оо
к=-оо
+00
+00
X 4 (%-і + %+і) = X 4%-1 + %+і = (Х’Ву)> поэтому его спектр состоит из
к=—оо	к=—оо
453

действительных чисел. Проверим, имеет ли оператор В собственные значения.
Имеем уравнение Вх = jux, откуда 2;к+1 - и4к + %к_х =0. Ищем его частные ре-
i	о
шения в виде %k=q : q - juq +1 = 0 - характеристическое уравнение. Его дис¬
криминант /i2 - 4<0 при |//|<2. Тем самым, gk = cxqk + c2q2 (либо
^k=i.ci+c2^)qk ПРИ |^| = 2), причем |#12| = 1 (соответственно, |д| = 1). Заметим,
что при q + с2 ^ 0 найденное решение х = у^к j	^ не принадлежит l2 (Z), т.к.
£к -/> 0. Тем самым, собственных чисел оператор не имеет, т.е. сг (В) = 0 .
|Л:| —>+оо
В силу примера 1 заключаем, что оператор В имеет только непрерывный
спектр. Кроме того, критерием принадлежности точки // спектру является су-
( ■>	||fix — их II
ществование последовательности jxnj<z/2(Z) такой, что -—|—ц—— —»0 при
ц—» оо. Рассмотрим последовательность (хп)к =qke где q - одно из част¬
ных решений характеристического уравнения для Вх = fix при \ju\ < 2. Имеем,
+00
= ЕМ
к=— оо
2к	2п\к\
+GO
Е е
*=—со
—2п\к\
+00
1 + 2^>
к=1
—2 пк
1 +
е2п — 1 п—
—» 1. Далее,
\\вхп-ихп\\
Поскольку
£ |?‘Ѵ”М - т“е~* + <?* Vм
к=-со
ZI 2 -п\к+1|	-п\к\	-п\к-\\
\q е ' 1 - juqe " + е 1 1
к=—оо
Iq2e - juqe	<^е ^ + 2е ^ +е ^ ^ и сходится ряд
+00	.	. о	+00	.	,9
Z/ ++1І , О 4*1 ,	V 2 -++1І	—«1*1 , -и|*-1|
I е 1 1 + 2е 11 + е 1 11 , то ряд 2_, К? е ~ Uqe + е	сходится равно-
к=-со	к=-со
мерно по признаку Вейерштрасса. Тем самым, под знаком суммы этого ряда
можно переходить к пределу при п—>оо, т.е. ||Вхп -//хи || —» О при и->со и чис¬
ла \и\ ^ 2 принадлежат непрерывному спектру оператора В, а стс(А) = [-4,0].
Отметим, что без сдвига исходного оператора пришлось бы отдельно рас¬
сматривать случай Л е (0,4] (т.к. ||А|| = 4) и доказывать, что все эти числа при¬
надлежат резольвентному множеству.
Л
7.	Найти спектр оператора Ax(t) = |^2 ^e,nte ,птx(r)dr в пространстве
	А ПёЖ
Ц[-7и,л\.
Решение: заметим, что по теореме Лебега об ограниченной сходимости
можно переставлять местами знаки интеграла и суммы ряда, поскольку
+00
<с|х(г)|, с= £ 2"|и|,
X 2Меше~іптх(т)^ £ Т^ёпіеіпх х{т)
и
n=-N
N
X 2Мёме1ПХх(т)
n=-N
причем функция с|х(г)| очевидно суммируема. Рассмотрим унитарный изо¬
морфизм U: Lq\ —я-,жI —>12(УА), ставящий в соответствие любому элементу
454

хе М —тс, ж] последовательность его коэффициентов Фурье разложения по ор¬
тонормированному базису i } elkt I пространства Ь^п,ж\. Тогда имеем
ІѴ2л- )keZ
(перемена порядка интегрирований законна в силу теоремы Фубини для инте-
f	Л	\ ж { ж	\ '
грала Лебега): (UAx), =
V У] 27Г J _ж\к_жпеЪ
-щеіте~1птх{т)(іт
1 Jkt
J
e dt =
тс
Ж l Ж	Л	л Ж f Ж
= -±= JI J X2Meinte~inTe~ihx{r)dr dt = -j= J | J £2M eint e~inT e~ikt x(r)dt
yjbг.
, — 7T tl^L
dr =
л ж	f ж	^
—7= f V 2“|n| f ent(fmdt
Ц J
e-‘”x(T)dr = -i_ f 2*e-l’x(T)dT =
V2'”' J
я-
= 2"
x,
■sjbc
Jkt
\
= (TUx)k,
где 7x = (2 1^4)	- диагональный оператор. Таким образом, исходный опе-
ратор А унитарно эквивалентен диагональному оператору Т, поэтому их спек¬
тры (и части спектров совпадают). Оператор Т исследуется, как обычный диа¬
гональный оператор (см. пример 11, п. 3.3). В результате получаем, что
(7р (А) = |2 ^ ; к е zj, Л = 0 е <7С (А), поскольку легко проверяется, что оператор
А самосопряжен и для него остаточная часть спектра отсутствует (либо можно
показать, что всюду плотное множество финитных последовательностей лежит
в образе оператора Т-ЛІ при Я = 0).
Задачи для самостоятельного решения
1.	Доказать, что всякий вполне непрерывный оператор содержит в спектре
точку 0.
Указание: воспользоваться тем, что вполне непрерывный оператор не
может иметь ограниченного обратного.
2.	Доказать, что если А :Н —» Я - самосопряженный оператор, то для всех
хеЯ число (Ах,х) - действительное.
3.	Доказать, что если А:Я —»Я - самосопряженный оператор, то ѴхеЯ
(Ах, х) < М (х, х), (Ах, х) > т(х, х), где М = sup( Ах, х), т = inf (Ах, х).
І14=і	ИИ
4.	Найти спектр диагонального оператора А: 12 —»/2, определенного фор¬
мулой Ах = (^і,^^,...), где х = (£l,£,,...) е /2, а числовая последовательность
{Лк} ограничена.
Указание: показать, что спектр этого оператора представляет собой
замыкание множества [Лк}. При этом <7р = {Лк }, <7С = {Лк } \ {Лк }.
455

5.	Пусть Н - гильбертово пространство, А : Н Н - самосопряженный
оператор. Доказать, что
6.	Пусть Н - гильбертово пространство, А: Я -» Я - самосопряженный
оператор. Доказать, что г (А)
( ЕЕ)
7.	Доказать, что оператор А: /2 -> /2, Ах = 0,£,—, где х = (£,£2,...) е 12
V 2 3
является вполне непрерывным и найти его спектр.
Указание: оценить спектральный радиус.
i
8. Доказать, что оператор А: [—1,і] —> [—1, l], Ax{i) = J t2sx(s)ds являет-
-1
ся вполне непрерывным и найти его спектр.
i
9.	Доказать, что оператор А:	[О, і] —>	[О, l], Ax(t) = {вО -ts)x(s)ds яв-
0
ляется вполне непрерывным и найти его спектр.
i
10. Найти спектр оператора Ax(t) = Jтах(/,г)х(г)<Я, А: [О,і] —> [0,l].
о
icos-—
11.	Найти спектр оператора Ax(t) = e ‘2 x(t), А:/,[0Д] -» Мол].
12.	Пусть Я - гильбертово пространство, А: Я —»Я - линейный ограни¬
ченный оператор. Доказать, что сг(А*) = сг(А), где черта означает комплексное
сопряжение.
t
13.	Найти норму оператора А:	[0,1 ] -»1^ [0,1 ], если Ax(t) = jex(r)dT.
о
Краевую задачу для уравнения Бесселя решить численно.
i
14.	Найти норму оператора А:	[0, і] —>	[0,і], если Ax{t) = x{t)dt.
о
2л
15.	Найти норму оператора A:L2[0,2;r]->L2[0,2;r], если Ax(t)= J sin(t + T)x(r)dr.
0
i
16.	Найти норму оператора А:	[О,l] —>	[О,l], если Ax{t) = ^vcan.{t,r)x{r)dr.
о
i
17.	Найти норму оператора А: Я, [0,l] —» Я, [0,і], если Ax{t) = ?3 jVx(A)<is.
о
1
18.	Найти норму оператора А:Я2[0,і]-> L2[0,l], если Ах(7) = ]*(/-£)
о
19.	Найти норму оператора Ах = (£2,£3,£ +£2,£4,£5,...), если А:/2 -»/2.
456

20.	Решить задачу из примера 6, не выполняя сдвиг оператора. При
Я е (0,4] построить резольвенту.
Указание: пустъ по методу вариации постоянных решение неоднородного
разностного уравнения имеет вид gk = akq\ +bkqгде q^2 действительные
частные решения характеристического уравнения, причем |^|>1, \q2\< 1 • По
аналогии с дифференциальными уравнениями (ak+l -a^q^ +{bk+l -b^qj =0, и,
подставляя вид решения в исходное разностное уравнение, получаем систему
двух уравнений относительно неизвестных Аак = ак+і —ак и Аbk = bk+l - Ьк
(подставляем выражение из одного уравнения в другое, преобразовываем, за¬
тем, выполняя в полученном уравнении замену индексов к^>к +1, складываем
уравнения, и в полученном после этого уравнении заменяем индексы обратно).
" со i
21.	Найти спектр оператора Ax{t) = JX —cos nt cos птх(т)сіт в простран¬
стве І^[0,;г].
22.	Найти спектр оператора Ax(t) = Je 2 x(r)dr в пространстве L2(K).
L-inr
0 n=0 и
(t-тУ
Указание: сперва можно считать, что х{і) е 1^(R) П L2(Е) и, применив
оператор Фурье, найти унитарно эквивалентный оператор. Затем воспользо¬
ваться всюду плотностью ^(М)П^(М) в ь2(Ж).
23.	Найти спектр и резольвенту оператора	задаваемого
Л , , 7 x(s)ds
равенством Ax(t) =		г.
i1 + 0-s)
24.	Найти спектр оператора Фурье в пространстве L2(R).
Указание: показать, что оператор Фурье унитарно эквивалентен диаго¬
нальному оператору Тя:12—>12, где Лп = (-*)", п = 0,1,2,.... Унитарную эквива¬
лентность осуществляет оператор, ставящий в соответствие любой функ¬
ции x(t) e І^(Ж) последовательность ее коэффициентов Фурье разложения по
(-1)
П t
dn
ортонормированной системе функций Эрмита Нп(і) = -—-е2—-(е 1 ). При
Н,
df
dn
dn
что —
е2
= {-і)п
e2
df
1 )
d£n
\ J
преобразованиях воспользоваться тем, что
25.	Решить задачу из примера 6, подобрав унитарный изоморфизм с опера¬
тором умножения на функцию в пространстве />2 [0, 2ті\ .
Указание: рассмотреть операторы умножения на мнимые экспоненты.
26.	Найти спектр оператора (Ах)к =	+ gk+1 в пространстве /2(Z).
27.	Найти норму, спектр и резольвенту оператора Ах = (£1 -£2,£2 -£3,...), ес¬
ли А: /2 —>• /2.
457

28. Найти норму, спектр и резольвенту оператора А:/^[0,і]—»^[0,і], за-
1
даваемого формулой Ax(t) = JCsliU - t\ns)s(s)ds.
29. Найти норму, спектр и резольвенту оператора Ах =
кккк л
’2’3’4”",
, если
А i /2 —^ /2 •
30.	Доказать, что система функций |у— sinfej, к & Щ образует ортонор¬
мированный базис в пространстве ІД0,тг].
Указание: рассмотреть оператор Штурма-Лиувилля Ax(t) = х"(/) с обла¬
стью определения D(A) = jx(/) е С(2) [0,л-]: х(0) = х(ж) = 0|. Найти его соб¬
ственные функции. Доказать, что обратный оператор можно продолжитъ на
все пространство ЬДд,ж], он вполне непрерывен и самосопряжен (это инте¬
гральный оператор с симметрическим ядром, см. дополнение). Воспользовать¬
ся замечанием к теореме Гильберта-Шмидта, либо теоремой о существова¬
нии базиса из собственных векторов.
31.	Доказать, что система функций \ —^=,J— cos&A, & e N образует орто-
[уіж У ж \
нормированный базис в пространстве L2[0,^].
32.	Используя оператор Штурма-Лиувилля Ax{t)-x'\t) с областью опре¬
деления D(A) = |х(0 е С(2) [О, л-]: х'(0) = х(ж) = 0|, построить ортонормирован¬
ный базис в пространстве ІД0,ж\.
33.	Используя оператор Штурма-Лиувилля Ax(t) = x"(t) с областью опре¬
деления D( А) = |х(0 е С(2) [О, ж ]: х(0) = х’(ж) = 0|, построить ортонормирован¬
ный базис в пространстве ІД0,ж\.
ж
34.	Найти спектр оператора Ax{t) = ^k{t,s)x{s)dx:C[Q^] -^С[0,ж], если
о
w .	^ sinktsinks
*(*.*) = E—Гз—•
k=i	^
Указание: рассмотреть оператор, как действующий в ІД0,л] и пока¬
зать, что во всех классах эквивалентности его собственных функций лежит
непрерывная функция. Для исследования точки А = 0 использовать то, что
Ах( 0) = 0.
Ж СО I
35.	Найти спектр оператора Ax(t) = IS —sin nt sin птх(т)сіт в простран-
о п=1 2
стве
Ь2[0,ж\.
458

л 00 J
36.	Найти спектр оператора Ax(t) = JZ —cos nt cos птх(т)сіт в простран-
о п=1 2
стве ^[0,4
37.	Найти собственные значения оператора Ax(t) =	в простран-
ствах L [0,1], 1< р < оо, С[0,1] и сделать вывод о не вполне непрерывности это¬
го оператора в указанных пространствах.
1 г	j
38.	Найти собственные значения оператора Ax(t) = —^sa~lx{s)ds, Rea > —
в пространствах L [0,1], 1 < р < оо.
39.	Найти спектр оператора Ax{t) = Л -^е m(t T)x{r)dr в пространстве
О п=—х 3
40.	Найти спектр оператора Ax(t) = j K(t,z)x(z)dT в пространстве Z^[0,^],
о
fsin^cosr, 0 < t < Z < 71
если K(t,z) = <
[sinrcosr, 0 <Z<t<7t
1
41.	Найти спектр оператора Ax(t) = J(te + max(M))x(s)tfk в пространстве
о
£,[0,1].
1
42.	Найти спектр оператора Ат(0 = J(^ + max(f,s)-2nHn(f,s)-2)x(ykfa в
о
пространстве Z^[0,l].
43.	Найти спектр оператора (Ах)к = %к-\~%к+\ в пространстве /2 Л).
459

Дополнение. Линейные интегральные уравнения
Определение, пусть t,se[a,b\, k(t,s) - функция, суммируемая с квадра¬
том на множестве [а,Ь]х[п,&], /(?) _ функция, суммируемая с квадратом на
b
отрезке [п,Ь], Я е С. Уравнение вида j'k{t,s)(p{s)ds = f{t) называется уравнени-
а
b
ем Фредгольма первого рода, а уравнение вида (p(t)~ X^k{t,s)(p{s)ds = fit)
а
называется уравнением Фредгольма второго рода. Здесь <p(t) - неизвестная
функция, k{t, s) — ядро уравнения, / (/) — свободный член уравнения.
Определение: пусть t,se[a,b\, k(t,s) - функция, суммируемая с квадра¬
том на множестве [а,£]х[п,Ь], fit) - функция, суммируемая с квадратом на
t
отрезке [я,&], Я е С. Уравнение вида ^k(t, s)(pis)ds = fit) называется уравнени-
а
t
ем Вольтерра первого рода, а уравнение вида (pit) — Я^k(t, s)(p(s)ds = f(t) назы-
а
вается уравнением Вольтерра второго рода. Здесь (pit) — неизвестная функция,
kit,s) - ядро уравнения, fit) - свободный член уравнения.
Теорема (метод резольвент для уравнения Фредгольма второго рода):
ь
пусть ядро kit,s) и свободный член fit) уравнения (pit)-Я^кіі,з)(рІ8)сІ8 = fit)
а
b b	ь
квадратично суммируемы и \Я\ < В1, где В2 = JJ|&(u)|2 dtds, K(p(t) = \kit,s)(pis)ds,
а а	а
оо
тогда ряд Неймана ^JЯmKmf сходится в среднем к квадратично суммируемо-
т=О
му решению этого уравнения. Это решение единственно.
ъ
Замечание: при этом Кт(pit) = ^kmit,s)(pis)ds, где функции kft,s) = k(t,s)
а
b
и kmit,s) = ^kit,r)km_lir,s)dT (m = 2,3,...) называются итерированными ядрами.
а
b
Замечание: решение (pit) уравнения (pit)-= fit) можно
а
b	оо
представить в виде q>{t) = f(t) + &^R(t,s,A)fis)ds, где Д(мД) = Х^Чп+ДМ) -
а	т=0
резольвента Фредгольма этого уравнения.
460

Теорема (метод резольвент для уравнения Вольтерра второго рода):
t
пусть ядро k(t,s) и свободный член /(f) уравнения tp(t)-Ajk(t,s)<p(s)ds = f(t)
а
квадратично суммируемы, тогда при любом Л это уравнение имеет единствен¬
ное суммируемое решение (pit), которое может быть получено, как сумма ряда
х	b	t
Неймана +	где K<p(t) = jk(t,s)<p(s)ds, km{t,s) = ^k{t,T)km_l{r,s)dr
Ш=1	а	s
(т = 2,3,...).
Замечание: с помощью резольвенты решение интегрального уравнения
t
Вольтерра второго рода записывается в виде <p(t) = fit) + лj R(t,s,A)f(s)ds.
а
Замечание: все сказанное имеет место и в случае, когда все функции,
определенные ранее в L-,[n,£>] (квадратично суммируемые) считать непрерыв¬
ными на отрезке [n,Z?]. При этом в методе резольвент для уравнения Фредголь¬
ма изменится условие на параметр Л.
Замечание: интегральное уравнение Вольтерра первого рода при помощи
дифференцирования приводится к интегральному уравнению Вольтерра второ¬
го рода.
Теорема (метод последовательных приближений): пусть свободный
член и ядро уравнения Фредгольма второго рода являются непрерывными
функциями (на [а,Ь] и на [п,Ь]х[а,&] соответственно). Выберем какую-нибудь
непрерывную функцию %{t) и подставим ее в правую часть этого уравнения.
Ь
Получим q>x{t) = f{t) + Л^к{г,8)(рй{8)(Ь, причем <pft) также непрерывна на
а
[a,b]. Поступим с ней также, как и с ср0 (t), и, продолжая этот процесс, получим
последовательность функций <p0(t), cpft),	),..., удовлетворяющих уравне¬
ниям
ъ
<P2(t) = f (0 + ЯJ k(t, s)q\ (s)ds
b
(Pn (0 = / (0 + лJ&(f, s)(pn_x (s)ds
a
Из этой системы будет следовать, что
V	о
<Pnit) - f(t) + Лjkl(t,s)f(s)ds + Я2 Jk2(t,s)f(s)ds +... +
а	а
b
+Л"~1 j	(*, s)f{s)ds + Rn {t) ,
461

b
где Rn{t) = Яп \kn(t,s)<p0(s)ds. Тогда при условии U|(/?-a)max|&(r,s)|<l существу-
J	a<t,s<bl
а
ет предел lim<pn(t) = <p(t), не зависящий от выбора начального приближения %it).
п-> со
Замечание: все сказанное применимо и к уравнениям Вольтерра второго
рода с учетом того, что в этом случае последовательные приближения сходятся
к решению уравнения уже при любом Я.
Определение: ядро k{l,s) интегрального уравнения Фредгольма второго
рода называется вырожденным, если оно является суммой конечного числа
произведений функций только от t на функции только от s, т.е. если оно имеет
П
вид k(t,s) = ^ak(t)bk(s), где функции ak(t) и bk(s) непрерывны на [а,Ь] и по-
к=1
парно линейно независимы между собой.
Замечание: в этом случае уравнение принимает вид
П	и
Ьк (s)(p{s)ds,
k=\	а
Ъ
или, поскольку ^bk{s)(p{s)ds = ск, то
а
п
(pit) = fit) + A^ckakit). Таким образом,
к=1
решение этого уравнения сводится к нахождению неизвестных постоянных ск
п
(ке N). Подставляя (pit) = fit) + Я^скак (t) в исходное уравнение Фредгольма
к=1
второго рода, и учитывая линейную независимость функций ak it), для опреде¬
ления ск получаем систему линейных алгебраических уравнений.
Определение: значения ЯфО, при которых однородное интегральное
Ь
уравнение Фредгольма второго рода cp(t)- X\k(t,s)(p(s)ds = Q имеет ненулевые
решения, называются характеристическими числами этого уравнения (или ядра
k(t,s)), а каждое ненулевое решение этого уравнения называется собственной
функцией, соответствующей этому характеристическому числу. Число линейно
независимых собственных функций, соответствующих значению Я, называется
рангом характеристического значения Я.
Замечание: ранг характеристического значения всегда конечен.
Определение: уравнение Фредгольма называется уравнением с симметри-
b b
ческим ядром, если	dtds < +со и k(t,s) = k(s,t).
а а
Теорема (о решениях уравнения Фредгольма второго рода с симметри-
ъ
ческим ядром): рассмотрим уравнение (pit)-	= f{t) с непрерывным
а
симметрическим ядром k(t,s) и непрерывным свободным членом fit).
462

1.	Если Я е С не совпадает с характеристическими числами Яп (иеN) од-
ь
нородного уравнения <p(t)~ A^k(t,s)<p(s)ds = О, то исходное уравнение имеет
а
для любой правой части f(t) единственное непрерывное решение, определяе-
мое формулой <p(t) = /(f) -ЛУ-—rL—(pn{t), где cpn(t) - ортонормированные
п=1 А _ К
b
собственные функции, соответствующие числам Я„, а ап = ^ f (t)<pn(t)dt.
а
2.	Пусть ЯеС совпадает с характеристическим числом Лк ранга q, т.е.
^ = К = А+і =••• = \+q-\- Тогда решение уравнения существует тогда и только
тогда, когда свободный член / ортогонален (в смысле пространства Ьг) всем
собственным функциям, соответствующим числу Лк. При этом, уравнение име¬
ет бесконечное множество решений, которые содержат q произвольных посто-
янных: V(t) = fU) -	+0^(1) +... +crl<pu lt> ,
П=i А —Ли	n=k+q A — An
где c0,...,cq_x - произвольные постоянные.
3.	Если f(t) ортогональна всем собственным функциям (рп(t), то решени¬
ем уравнения является сама эта функция, т.е. <p(t) = /(?).
Теорема (о решениях уравнения Фредгольма первого рода с симметри-
ъ
ческим ядром): пусть дано уравнение jk(t,s)<p(s)ds = f(t) с замкнутым сим-
а
метрическим ядром k(t,s) и /(f) е Ь2 [а,Ь], тогда это уравнение имеет в классе
оо
L2[a,b] единственное решение (p{t) = ^Anan(pn{t) тогда и только тогда, когда
/2=1
°° 2
сходится ряд 2лп2\ап\ .
/2=1
Замечание: здесь <pn(t) - ортонормированные собственные функции, со-
b
ответствующие характеристическим числам Яп ядра k(t,s), а ап = j f (t)<pn(t)dt.
а
Замкнутость ядра характеризуется тем, что собственные функции этого ядра
образуют полную ортогональную в	систему функций.
Замечание: более подробно об интегральных уравнениях см. [6].
Примеры решения задач
1. Составить интегральное уравнение, соответствующее задаче Коши
у"+ ty"+(t2-t)y = te'+1 у(0) = у'(0) = 1, у"(0) = 0.
463

Решение: обозначим —pf = (pit) и проинтегрируем это равенство от 0 до t:
t j3
= ^(p(s)ds, откуда	= J
d_y
dt
d2y
ds
или
s=0	0
d2y d2y
dt2	dt2
i
(0) = jVCykfc, И, no-
d2 у
скольку у "(0) = 0, то —y = J (p(s)ds.
dtг
t j2
Снова интегрируя, получаем: J—jds = J*J*dsdr =J(r - s)(p{s)ds, откуда
ds
о 0
dy
ds
= \ (t - s)<p(s)ds или —(0)= \{t - s)(p{s)ds и, поскольку у'(0) = 1, то
J	/It /It	i
5=0	0
dt dt
— = 1 + f (/ - s)cp(s)ds.
dt J
t t	t C	T	^
Еще раз интегрируя, получаем, что J—ds = J \ +	— s)q>(s)ds
ds
dr =
t ( T
ovo
= t + jI J (r - s)(p{s)ds dz = t +	^ (p(s)ds, откуда, поскольку y(0) = 1, полу-
Ht-s)2
l
чаем, что у (t) = 1 +1 + J
0 - sf
(p(s)ds.
Подставим найденные выражения в исходное дифференциальное уравне-
t	f 1 (t — У1	'N
ние: q>(t) + tj(p(s)ds + (t2-t) l + ? + |		—(p(s)ds
^	J
= tel +1. После преобразова-
o	у	о ^
ний получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода:
' 21 + (t2 - t)(t - s)2
-<p(s)ds = te +t-t3 +1.
При преобразованиях использовалось соотношение (проверяемое непо-
X	Ху	Хп_ 1	X
средственным дифференцированием): jdx^dx2... j f(xn)dxn = -J(x-y)"f(y)dy.
oo o	n- 0
2. Воспользовавшись связью между дифференциальными и интегральны¬
ми уравнениями, найти решение уравнения у \t) - у (t) = 0 при условии у(0) = 1.
Решение: аналогично примеру 1 приводим данное уравнение к уравнению
t
Вольтера второго рода y(t) = 1 +|у(£)с&. Для нахождения y(t) используем ме-
0
t
тод последовательных приближений: y0(t) = 0, тогда уДг) = 1 + J y0(s)ds = 1,
464

t	t	t	t	^2
y2 (t) = 1 +1 yx (s)ds = 1 + Jkfa = l + t,	y3(t) = 1 +1 y2{s)ds = 1 + J* (1 + s)ds = l + t-\—,
t	t /	2 >
y4(0 = l + Jy3(5)d5 = l+П 1 + 5 + ^-
o	Л	2 J
2	3
f t
ds = l + t-\	1—Ha n-M шаге получаем,
2 6
^ ^2 ^3	1	n—1 ^
очевидно, закономерность yn(/) = 1 ч	1	1	h... н	= V—, откуда
1! 2! 3! (и -1)! f^k\
pi—1 +k	оо +к
y(t) = lim yn(t) =	= e1.
f?(l-5), t<S	r
3.	Пусть k(t,s) = <	(Me 0,1 ). Найти характеристические
[5(1 ~t), t>S	J
значения и собственные функции этого ядра.
Решение: найти характеристические значения ядра k(t,s) - означает найти
i
те значения АкФ 0, при которых уравнение (pit)- X^k(t,s)(p(s)ds = 0 имеет не-
0
тривиальные решения (рк{і), которые и называются собственными функциями.
С учетом вида ядра к (t,s) и аддитивности интеграла приведем уравнение к
t	i
виду (p{t) =	5(1 - t)<p{s)ds + t{ 1 - s)<p{s)ds. Продифференцируем обе части
о	t
t	i	t
по t: (p\t) = Ati 1 - t)<p(t) - Ajscp(s)ds - At{ 1 - t)cp(t) + A 1 - s)<p(s)ds = -2js<p(s)ds +
0	г	0
1
+A^(X~ s)<p{s)ds. Продифференцируем no t полученное соотношение еще раз:
t
(p\t) = -Attpit) - A( 1 - t)(pit) = -A(p{t). Из исходного уравнения следует, что
<д(0) = ф{ 1) = 0, тогда получаем краевую задачу cp"(t) + A(p{t) = 0, <д(0) = ф{\) = 0.
Поскольку А Ф 0, то рассмотрим два случая.
Случай 1: 2 < 0, тогда характеристическое уравнение для (р"іі) + Acpit) = О
имеет вид к1 - \А\ = 0, откуда к = ±<J\A\ и (pit) = схе^ + с2е~^. Используя крае-
Сі + с2 = О
М -М „• Определитель
с1 + с2е ѵм = О
вые условия, получаем систему уравнении
этой системы
1 1
еМ е-м
-м м Л
= е у - еу Ф 0, поэтому система имеет только нуле¬
вое решение сх = с2 = 0, откуда (pit) = 0, т.е. числа А < 0 не могут быть характе¬
ристическими числами.
Случай 2: А > 0, тогда характеристическое уравнение имеет решения
к = ±іу[А, откуда (pit) = с, cos \f~At + с2 sin yJ~At.
465

Используя первое краевое условие, находим, что <р(0) = с, = 0, тогда из
второго краевого условия получаем: (р{ 1) = с2sin>[Л =0. Поскольку (pit) должна
быть нетривиальной, а сх=0, то с2Ф0, и равенство с2sin-s/x = 0 возможно
только при sin>//1=0, т.е. при ѴТ = яп, не N, откуда Лп = ;г2и2, и e N. Тогда
собственные функции имеют вид (рп (£) = c2 sin япі, n e N, где c2 ^ 0 и можно
считать, что с2= 1.
4.	Определить функцию (р из класса С(1) (К) такую, что
t
(p{t) = sin £ + xje~s(pit - s)ds.
о
Решение: сделаем в интеграле замену переменной t-s = u, тогда уравне-
t	t
ние придет к виду q>(t) = sin г + Л^еи~‘(р(и)с1и или (p(t) = sin? + Xe~'^eu(p{u)du .
о	о
t
Умножив обе части на е , получим e (p{t ) = e sin г + /l| eu(p(u)du . Продифферен-
0
цируем полученное уравнение по t: e' (p(t) + e' (р\1) = e мхм + е' cos г + XeUpit).
После преобразований получим уравнение (р\і) + (1 - A,)<p(t) = sin г + cos?. Из ис¬
ходного интегрального уравнения видно, что <р(0) = 0.
Решение однородного уравнения (p\t) + (}-X)(p{t) = Q имеет вид %{t) = ce(X~])t.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде Acost + Bsint,
тогда, -Asin£ + i?cos? + (l-/lXAcos£ + i?snif) = SHU + cosr, откуда получаем си¬
стему
-А + (1-А)Я = 1
Ее определитель
-1 1-Л
1-Л	1
= -!-(!- Л)2 = -2 + 2Л- Л2.
В + (1-Л)А = 1
Поскольку уравнение -2 + 2Л - XL = 0 действительных решений не имеет, то
1 1-Л
исходная система имеет единственное решение А =
-1 1
2-Х
1 1
X
-2 + 2Х- X
2-2Х + Х2
и В =
1-Л 1
-2 + 2 Х-Х2 2-2Х + Х2
уравнения имеет вид (pit) = ce{1~l)t
. Таким образом, общее решение неоднородного
X	2-Х
-cos£ +
с =
2-2 Х + Х2
Используя начальное условие, находим ^(0) = с-
X
2-2Х + Х2
X
Sin£.
—2=0, откуда
2 — 2Х + X
2 — 2Х + X
2 . Окончательное решение исходного интегрального уравнения:
(p{t) =
X
2-2Х + Х2
;^-1)f-COS£) +
2-Х
2 - 2Х + X
■Sin£ .
466

5. Построить резольвенту уравнения (p(t)~ ^k{t,s)(p(s)ds = f(t) и c ee no.
0
мощью найти решение при k(t, s) = e (t s), Я = 1, f(t) = te2 .
Решение: найдем итерированные ядра этого уравнения. Учитывая, что
кх(t,s) = k(t,s) = e~(t~s\ последовательно находим:
к2 {t, s) = J k{t, т)кх (г, s)dr = J e~{t~T)e~{T~s)dr = J e~{t~s)dr = e~(t~s) (t-s),
s	s	s
t	t
k3(t,s) = ^k(t,T)k2(T,s)dr = jV(J'TV(r~s)(r - s)dr =
= e {t s)|(r- s)dr
2
Далее, по индукции, доказывается, что k(t,s) = e" 	-		Тя
(ц-І)! ’ Л€ЕГЧ- 1а"
со	00	(. _
ким образом, Rjt,s,X) = У^Я^+Дм) = e~{t~s)^An ^	'
-„-(t-s) (t-s)"1
■(H)vW-s))’
n=0
n=0
n
'I
«=о
-(t-s)eX{t-s) _	(t-s)(A-1)
t
Решение уравнения:	= /(г) + Я|й(г,і,Я)/(s)&, При
Я = 1, получаем, что i?(f, s,Я) = 1 и при f(t) = te2, получаем:
f	t S
(pit) = te2 + j se2 ds = te2 +e
= te2 +e2 -1
i
6. Построить резольвенту уравнения (pit) - Aj tsq>is)ds = f it) и с ее помо-
0
щью найти решение при Я = 2, fit) = t.
Решение, найдем итерированные ядра данного уравнения, учитывая что
= kit,s) = ts. Тогда последовательно получаем:
i	i
к2 it, s) = J Щ, т)кгіт, s)dr = J tz2sdr = —,
0	0	3
1	1
k3it,s) = jkit,T)k3ir,s)dT = ftr—dr = — ,
о	n 3	9
Методом математической индукции доказывается, что к (t s) = ne N
п ѵ ’ ’ рр~^’
467

°° '	со	1	00 / 2 \п
Таким образом Д(?,£,Я) = ^ЯХ+і(М) = ?^Яп —= ?s]7 -	. Получен
ныи ряд сходится только при
гуп	II о
n=0	n=0 V 3 J
< 1 или при |Я| < 3 ив этом случае его сумма
равна
1
1_л	3-Л
3	Зй
тогда K(t,s,A) = -—Решение уравнения записывается в
3-Л
виде (pit) = fit) + я|R(t,s,A)fis)ds и при Я = 2, /(0 = t имеем (pit) = t + б|?s2ds = 31.
0	о
7.	Решить интегральное уравнение Вольтерра первого рода
t
^e~s(p{s)ds = smt.
о
Решение: приведем это уравнение к интегральному уравнению Вольтерра
t
второго рода, для чего продифференцируем его по t: (pit) + ^ef~sq>is)ds = cost.
о
Здесь kit,s) = e‘~s, Л = 1, /(0 = cos?. Как в примере 5 находим Я(?,5,Я) = e(l~sU+l} = 1,
t
тогда (pit) = cos t - J cos sds = cos t - sin t.
0
8.	Методом последовательных приближений решить следующие инте¬
гральные уравнения:
i
t	2
a) (pit) - Jo - t)(pis)ds = 1; б) (pit) = t + J(pis)ds.
о	0
t
Решение: а) Возьмем %it) = 0. Тогда (pxit) = 1 + Jo_ t)<p0is)ds = 1,
о
t	t	t2	t2
(p2it) = 1+Jo-fMO)<7s = 1 + Jo-?)d>s = i4	12 = 1—,
r\	2	2
2 \	7	.4
0>з (0 = 1 + J 0 - t)(p2 is)ds = l + JO-f)|l-y
,2 \
J
t2 t4	t4
ds = 1 H	?2 н— =
8
, t2	t4	л t2 t4
= 1	1	= 1	1—,
2	24	2!	4!
Г Г . (-l)n-1?2n~2	^i-\)k-xt2k~2
Ha n- M шаге получим (pM) = 1	1	••• +
n	2! 4!	(2/1-2)! tl' (2*-2)!
=E-
Тогда <p(?) = Ііпи^Д?) = limV
и	и	““
/fc-l ,2/1-2
\A'-I ,2/1-2
= ^	= COS? .
■”"£? (2* - 2)! fcr (2*-2)!
468

1
z
б) Возьмем %{t) = 0. Тогда <^ (?) = ? + J%(s)ds = ?,
2	Г	1
(p2{t) = t +1 (px{s)ds = ? + j sds = ? + -,
1	i
2	2/^i
<^>3(?) = t + J (p2{s)ds = t + j Л1	ч—
0	0 v	^
\	11	111
ds — ? ч	1	— ? ч	1— • —,
у	8 16	8 2 8
11111	11 Iй-2 1
На n-м шаге получим (p(t) = t-\	1	\-—r—i-...ч	-■ — = t + — V —г •
"	8 2 8 22 8	2”-2 8	8t£2*
1^ 1 Л
11	l^l 11	1
Тогда (дб) = іітпй) (?) = lim /Ч--V — = l + - V —г = ? +	- = / + — .
^	J 8"2*	8 j_i 4
й^сю^ g
k=0 ^ /
/4
9.	Решить уравнение <p(?)-Z j* (/coss + ^sin? + cos?sin>s)(P(>s')6fo, = ?, где
— п
Л e И..
Решение: это уравнение с вырожденным ядром, поскольку его ядро пред¬
ставляет собой конечную сумму попарных произведений функций, зависящих
только от ? на функции, зависящие только от s . Преобразуем уравнение к виду
7Т	п	П
<p(t)-Xtj cos stp(s)ds - Л sint j s2p(s)ds-Л cos t f sin s<p(s)ds = t или
(Pit) = t
H	\	n	n
1 + Xj coss(p{s)ds + Zsin? j* s2<p(s)ds + Xcost J sinscp{s)ds.
Таким образом, решение исходного уравнения необходимо искать в виде
(pit) = c}t + с2 sin? + съcos?. Подставляя этот вид решения в уравнение, получаем:
f	71	\
cxt + с2 sin? + с3 cos? = ?
1 + Л j cos	+ с2 sin s + с3 cos s) ds
+
n	n
+2sin? J 52(c^ + c2 sin 5 + c3 cos s)ds + /Icos? J sin	+ c2 sin s + съ cos s)ds.
-Я	-n
Приравнивая соответствующие коэффициенты в левой и правой частях
уравнения, получаем, что:
П
сх = 1 + Л J cos + с2 sin s + с3 cos s)ds ,
-П
n
c2= Л J 52(Cj5 + c2 sin 5 + c3 cos s)ds,
469

/t
c3= Я j sin 5(Cj5 + c2 sin s + c3 cos s)ds.
-n
Cj - лЯс3 = 1
Вычисляя все интегралы, получаем систему
с2 + 4лЯс3 = О
Опреде-
2лЯсх + пЯс2 - с'з = О
литель этой системы
1	0	-п.Я
О 1	4 лЯ
2лЯ лЯ -1
= -2пгЯ1 -іфО, поэтому система имеет
единственное
эешение, найти которое можно по формулам Крамера:
1 0 -лЯ
0 1 4лЯ
1 1 -лЯ
0 0 4лЯ
1 0 1
0 1 0
ci =
0 жХ -1
1 + 4л-2Я2
2 лЯ 0 -1
8 л2Я2
2лЯ лЯ 0
2 лЯ
-2л2Я2-1
“1 + 2 Лг’Сг“
-2я-222-1
1 + 2 ГД2’Сз“
-2л-2Т2-1
_1 + 2 л2 Я2
Тогда решение исходного уравнения записывается в виде:
2 о2
2 + 2
(p{t) =
t — ■
8л Я
■sinf+
2лЯ
1 + 4 л1 Я
1 + 2л2Я2" \ + 2л2Я2	' 1 + 2л2Я2
i
cos*.
10.	Решить интегральное уравнение <p(t) - Я J (2ts3 + 5t2s2)(p(s)ds = It4 + 3.
-i
Решение: это уравнение представляет собой уравнение с вырожденным
i	i
ядром. Представим его в виде <p(t)~ Я ■ 2t ^ s3(p{s)ds - Я • 5t2 ^s2(p{s)ds = lt4 +3
-i	-i
i	i
или <p(t) = 2Atj s3(p(s)ds + 5Яі2 ^ s2(p{s)ds + 7t4 +3. Значит, его решение надо ис-
-1	-i
л .
кать в виде <p(t) = с() + cxl + c2t + c4t
Подставим этот вид решения в уравнение и получим
cQ + cxt + c2t2 + c4t4 = 2М^ ^3(c0 + cxs + c 2s2 + c4s4)ds +
-i
i
+5Яі2 J s2(c0 + cxs + c2s2 + c4s4)ds + It4 + 3.
-i
Отсюда получаем, что cQ = 3, c4= 7,
i
cx = 2A J s3(c0 + cxs + c2s2 + c4s4)ds,
-i
i
c2 = 5A J s2 (c0 + cxs + c2s2 + c4s4)ds.
-i
470

Подставляя в эти два равенства значения с0 и с4, и, вычисляя интегралы,
получаем систему
Г
\
= 0
І--Л
ѵ 5 у
^с2(1-2А) = 20Л
Определитель этой системы
1—Л О
5
О	1-2 Я
f А 3	Я о 14
1—Л (1-2Л) = -Л2	Л + 1 ра-
ѵ 5 У
5	5
вен нулю при Л = ^ и Л = т.е. при этих значениях Я система либо не имеет
решений, либо имеет более одного решения. Пусть Л = —, тогда
2
—с, = 0
5	, т.е.
с2 • 0 = 10
система в этом случае решений не имеет. Пусть Л = —, тогда
сх • 0 = О
3	, отку-
— с0 = 25
50
да с2= ——, сх - произвольное, и решение интегрального уравнения имеет вид
<p(t) = 3 + cxt	+lt4 • Пусть Л Ф ^ и Л Ф , тогда
с, = 0
с2 =
20Л , и решение ин-
1-2Л
тегрального уравнения имеет вид (р(і) = 3 +
20/1 2 -7 4
-Г+ 7Г.
1-2Д
11.	Решить уравнение ^(О-А|£(?,5)0>(5)^5 = * с симметричным ядром
*^>=(г''-
[5(1-0, t>S
Решение: в примере 3 найдены характеристические числа Лп = ж2 п2 и со¬
ответствующие им собственные функции <pn(t) = sin жМ,п<еЩ данного ядра.
Поскольку	=JJsin2Kntdt = -^=, т0 нормированные собственные функ¬
ции будут иметь вид (pn(t) = V2sinжШ, п e N. Если Л Ф Лп, то по и. 1 теоремы о
решениях уравнения с симметрическим ядром (p(t) = f (t) - Л^—-—(рп(і), где
П=1 Л - Лп
1 Щ
н	cos nntdt =
жп i
о 0
Г	г\	л/2 р	V2
ап = I f(t)<pn(t)dt = v2 t sin 7intdt =	tdcosnnt =	t cos жШ
j	ЖП1	7ГП
22
71П
471

уі2	уІ2 .
=	COS ЖП + Sin ЖШ
7ГП	Ж П
y/2	V2
	COS ЖП =
жп	ЖП
(-1)"
a
ЖП
(-1)
n+1
„	,4	2 Л
Тогда (p{t) = t
ж
S
(-l)n+1 sin ЖШ
п(Л + ж2п2)
Если Л = Лп, то по п. 2 теоремы о решениях уравнения с симметрическим
ядром данное уравнение не имеет решений, поскольку его правая часть f(t) = t
не ортогональна всем собственным функциям. Это следует из того, что скаляр¬
ное произведение (f(t),(pn(t)) = апФ0.
12.	Найти характеристические числа, собственные функции и решения
(при каждом ЛеС, при котором они существуют) интегрального уравнения
Л
(p{t)-Л j cos2(t-s)(p{s)ds = sin21.
-7Г
Решение: данное уравнение является уравнением с симметрическим яд¬
ром, поскольку k(t,s) = cos2(t-s) = cos2(s-t) = k(s,t). Найдем его характери¬
стические значения и собственные функции, для чего рассмотрим однородное
Л
уравнение (pit) -Л j cos2 (t - s)(p{s)ds = 0.
-Л
„	2/	. l + cos2(r-s) 11	.	_	1 . _ . „
Поскольку cos it-s) =	= — +—cos 2? cos 2^ +—sin sin 2s, то
i	2 2	'У
^ ft	Л	Л
(p{t) = — ^ (p(s)ds ч—cos2f J cos2s(p(s)ds+ —sin2f j* sin 2s<p(s)ds .
2	2 2
—ft	-ft	-л:
Таким образом, решение будем искать в виде tp(t) = cx + c2cos2t + c3sin2t
Подставим этот вид в уравнение:
Л г
сх + с2 cos 21 + с3 sin 2t = — J (q + c2 cos 2s + c3 sin 2s)ds +
Откуда
Л r
ч— cos 21J cos 2s{cx+ c2 cos 2s + c3 sin 2s)ds +
Л r
4— sin 21J sin 2s(q + c2 cos 2s + c3 sin 2s)ds.
-л
Л
A f
/L I*
c1= — J (q 4- c2 cos 2s + c3 sin 2s)ds,
Л г
/L c
c2 = — \ cos 2s(cx + c2 cos 2s + c3 sin 2s)ds,
^ —Л
A r
c3 = — J sin 2s(cx + c2 cos 2s + c3 sin 2s)ds.
-Л
All

Вычисляя все интегралы, получаем систему
q(l- Хж) = О
1-
X Ж
V
Г
1-
Хж
= 0. Это - одно-
0
у
родная система линейных уравнении, поэтому она имеет нетривиальное реше-
/1 о	ЯяЛ
ние, только если ее определитель равен нулю, т.е. (1 - Хж) 1	1	= 0,
0	1 „ „ 2
откуда находим характеристические значения Х1= —, Х1 = Х^= —.
ж	ж
Если Ху = —, то q - произвольно, с2 = съ = 0, и значит ^ (?) = q. Чтобы
ж
Г*		 ^
функция была нормированной, найдем Ц^Ц = I Г Cydt = qv2^r = 1 при q =	=
ѴІ	Ѵ2л-
и ^(0= /	• Аналогично находим ^2(?) =	и <д3(?) =	_ 0бе норми-
уі2ж	у/ж	ѵя-
рованные. Пусть	тогда по п. 1 теоремы о решениях уравнения с
х й	я
симметрическим ядром (pit) = f it) - Х^ \ <РпІО, где ап= f f{t)q>n{t)dt т.е.,
„=і X - Хп
в данном случае, (p{t) = sin2t-^^—(Pyit)-^1-^)--^-^), причем
X — Ху X — /q X — Х}
j	71	\ П	\ Ж
,— f sin2?<i? = 0, аг = —j= f sin2?cos2?d? = О, <т3 = —j= Г sin2 2tdt = -Іж .
V2*i	Ѵ^і	Ѵ^і
=
Следовательно, <д(/) = sin 2/
Хж sin 2?	2 sin 2?
жХ-2	2-жХ
Пусть теперь Х = Ху, тогда по п. 2 теоремы о решениях уравнения с сим¬
метрическим ядром, поскольку правая часть /(?) = sin2? ортогональна соб-
1
ственной функции q>y(t)
решения (pit) = fit)-X ——	3
уі2ж
-<p2{t)-X
X — /?2	X — Xj
ная постоянная (ранг характеристического числа q = 1).
то исходное неоднородное уравнение имеет
%(t) + cQ<Pyit), где с0 - произволь-
Таким образом, (pit) =
2 sin 2?	сп
= С +
2 sin 21
2 - жХ 2у[ж 2-жХ
Наконец, при Х = Х2 = ХІ исходное уравнение решений не имеет, поскольку
его правая часть /(?) = sin 2? не ортогональна к функции <р3(?).
473

1
13.	Найти решения уравнения qj(t) - я|cp(s)ds = 1, Аф 0.
о
Решение: решим это уравнение Фредгольма второго рода методом резоль-
П~іі	~
вент. Здесь k(t,s) = l, В =	dtds = 1, тогда данное уравнение имеет
\ о о
решение при |Я|<5_1=1, и это решение представляется рядом Неймана, т.е.
со	1	1
<p(t) = ^"Kmf(t). Здесь Kf(t) = \k(.t,s)f{s)ds = \№ = 1, K2f(t) = K(Kf(t)) =
m=0	0	о
1	1
— ^(s'tyds — J*\ds — 1, и, аналогично, для всех ш ^ О /ГД0 = 1 (это
о	о
СО	J
можно обосновать и по индукции). Тогда <p(t) = 's^jAm =	. При |Я|>1 ряд
т=0	1 — Я
Неймана расходится.
Решим это же уравнение иначе, а именно, заметим, что его решение нужно
искать в виде (p{f) = c. Подставляя в уравнение этот вид решения, получаем:
Г	1	1
c-A\cds = 1, откуда с-сЯ = 1, т.е. с =	. Таким образом, (pit) =	, при-
I	1 - Я	1 - Я
чем при Я = 1 решения не существует. Итак, даже при условии, что ряд Нейма¬
на расходится при |Я| > 1, решение уравнения все равно существует.
14.	Решить интегральное уравнение Фредгольма первого рода
г	-з	17(1 — s), t < s
k(t,s)(p(s)ds = sin 7tt с симметричным ядром k(t,s) = <
І	U(l-0, t>s
Решение: собственные функции ядра - есть <pn(t) = уі2sinmt, п eN, а со¬
ответствующие им характеристические числа Ап = к2п2. Система {(рп(і)\ на от-
1
;<p3(t), т.е.
3	1	3
резке [ОД] полна. Далее, sin3 л7 = — sin ш -—sin Зтгі =	(рх (t)	,
коэффициенты разложения правой части уравнения по базису {(,pn(t)} - есть
Оу =—Д=, аъ =	\=, остальные ап равны нулю. Таким образом, ряд ^Яп2|ап|2
4у2	4у2	п=i
сходится и выполнены все условия теоремы о решениях уравнения Фредгольма
первого рода с симметрическим ядром. Согласно этой теореме получаем един-
.2
ственное решение <p(f) = \ахсрх (t) + А$аъ(ръ (t)
Ъп‘
(sin;zt-3sin3;zt).
Задачи для самостоятельного решения
1.	Составить интегральные уравнения, соответствующие следующим диф-
474

ференциальным уравнениям с заданными начальными условиями:
а)	у"(О + ХО = 0, у(0) = О, у'(0) = 1;
б)	у '"(О - 3у "(О - бу '(0 + 8у (0 = 0, у (0) = у ’(0) = у "(0) = 1;
в)	y"(t) + y(t) = cost, у(0) = 0, у'(0) = 1.
2.	Найти характеристические числа и соответствующие им собственные
функции ядра k(t,s) = st + s2t2 (t,s e [—1,1]).
t
3.	Найти резольвенту интегрального уравнения <p(t) - ljk(t,s)(p(s)ds = f(t)
о
и с ее помощью решить уравнение в следующих случаях:
а)	k(.t,s) = et2~s2, А = 2, f(t) = et2+2t-,
б)	k(t,s) = l^-j, 1 = 1, /(0 = 1 +12;
1	+ s
ч ч 2 +cos t .	^
в)	k(t,s) = 		, 1 = 1, f(t) = e sinf.
2	+cos 5
b
4.	Найти резольвенту интегрального уравнения (pit) - ljk(t,s)(p(s)ds = f(t)
a
и с ее помощью решить уравнение в следующих случаях:
а) k(t,s) = sint cos s, a = 0, b = —, 1 = -1, /(f) = cosf;
2
б)	k(t,s) = tes, a = -l, b = 1, 1 = ^, /(f) = (3f2 + l)e г;
в)	£(f,s) = te + fV, я = -1, 6 = 1, 1 = 1, /(f) = 3(f + l).
5.	Методом последовательных приближений решить следующие инте¬
гральные уравнения:
t
а)	(p{t) = t + ^{s-t)(p{s)ds i(pQit) = 0);
о
б)	(p{t) = ^t + ^ts(p{s)ds (%{t) = 0);
о L 0
t
в)	(p{t) = 2t+ 2-^<p(s)ds ((pQ(t) = 1);
о
i
г)	(pit) = 1 +1 + J(f - s)(p{s)ds {(p0{t) = 1);
0
д)	<p(0 = arctgf + \^\ds i(p0it) = 0).
6.	Решить следующие интегральные уравнения Вольтерра первого рода:
і	р_
а) I sin (t - s)(p{s)ds = ег -1;
475

t	12
б) I (1 -11 + s 2)p(s)ds = —.
о	2
7.	Решить уравнения:
2
а)	p(t) = 3|tsp(s)ds + 3t - 2;
0
1
б)	(p(t) = 3|tsp(s)ds + 3t - 2;
0
1
в)	(p(t) = | (t + s)p(s)ds + 18t2 - 9t - 4;
0
Я
г)	<p(t) = | cos(t + s)p( s)ds +1.
0
8.	Решить интегральные уравнения с вырожденными ядрами:
Я
2
а)	p(t) - 41 sin2 tp(s)ds = 2t -я;
0
1
б)	cp{t)~ X^cos{q\ns)(p{s)ds = \, gei;
0
1
в)	p(t) - Aj (t2 - st)p(s)ds = t2 +1;
-1
я
г) p(t) - Aj (sin s + s cos t )p(s)ds = 1
0
9.	Решить уравнения:
t
а) p(t) = t - j e~sp( s)ds ;
0
21_
я
t
б) p(t) = cos t - j (t - s)cos(t - s)ps)ds.
0
1
10.	Решить уравнение p(t)-Aj k (t, s)p(s)ds =^я_ , k (t, s)
0
1
11.	Решить уравнение p(t) - Aj k (t, s)p(s)ds = t3 -12, k (t, s)
0
1
12.	Решить уравнение p(t)-Aj k (t, s)p(s)ds = sinя_, k (t, s)■
0
(s - 1)t,
(t - 1)s,
jt - s,
\s - t,
t (s -1),
s(t -1),
1
13. При всех A и b решить в C[0,1] уравнение f (x) -10 Ax2 j t2 f (t )dt
0
0 < t < s
s < t < 1'
0 < t < s
s < t < 1'
0 < t < s
s < t < 1'
= 2 x + bx2.
476

1
14. Пусть (p{t) - Ajmin(V, s)(p{s)ds = sin;zt. Доказать, что характеристиче¬
ские значения и собственные функции этого уравнения - есть Л =/г2
' о2
п + —
(Pn(t)=Sm7T
п + —
t, п — 0,1,2,... Найти решения этого уравнения при каждом
ЛеС, при котором они существуют.
i
15. Решить в L, [0,1] уравнение /О) - min(x,t)f(t)dt = cos
f ж ^
— X
ѵ2 у
i
16. Решить в LjO.1] уравнение f(x)-A$K(x,t)f{t)dt = cos(2nx),
о
K(x,t)
(х +1 )t, x<t
(.t + \)х, x>t
где
i
17.	При всех Я и а решить в С[0,і] уравнение /(х)-6ЛхІг[(0Ж = ах + 2х2.
о
18.	Выяснить, какие из данных уравнений имеют единственное решение и
найти это решение. В случае неединственности указать несколько решений:
а) It(p(t)dt = —;
i
б) I (Зх - 2)up{t)dt = х3 + Зх -1;
о
І7Г
в) J соѣ{х+ t)(p{t)dt = ;rcosx.
о
Указание: решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода не
будет единственным, если система собственных функций его ядра не является
полной на соответствующем отрезке.
477

Рекомендуемая литература
1.	Городецкий, В.В. Методы решения задач по функциональному
анализу/ В.В. Городецкий, Н.И. Нагнибида, П.П. Настасиев. - М.:
Книжный дом “Либроком”, 2012. - 480 с.
2.	Иосида, К. Функциональный анализ/ К. Иосида. - М.: Мир, 1967. -
624 с.
3.	Канторович, Л.В. Функциональный анализ/ Л.В. Канторович, Г.П.
Акилов. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, 1984. - 752 с.
4.	Кириллов, А.А. Теоремы и задачи функционального анализа/ А.А.
Кириллов, А.Д. Гвишиани. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит,
1988.-400 с.
5.	Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального
анализа/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. - М.: Физматлит, 2017. -
576 с.
6.	Краснов, М.Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию/ М.Л.
Краснов. - М.: Наука, 1975. - 302 с.
7.	Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа/ Л.А. Лю-
стерник, В.И. Соболев. - М.: Наука, 1965. - 520 с.
8.	Треногин, В.А. Задачи и упражнения по функциональному анали¬
зу/ В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева. - М.: Наука,
1984.-256 с.
9.	Треногин, В.А. Функциональный анализ/ В.А. Треногин. - М.:
Наука, 1980. - 496 с.
Ю.Хелемский, А.Я. Лекции по функциональному анализу/ А.Я. Хе-
лемский. - М.: МЦНМО, 2014. - 560 с.
478

Содержание
ПРЕДИСЛОВИИ	 з
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА	 5
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА	 8
ЧАСТЬ I. ПРОСТРАНСТВА	 19
РАЗДЕЛ 1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА	 19
1.1.	Понятия метрики и метрического пространства	 19
Примеры решения задач (19). Задачи для самостоятельного решения (23)
1.2.	Множества в метрических пространствах. Примеры метрических про¬
странств	 27
Примеры решения задач (29). Задачи для самостоятельного решения (31)
1.3.	Сходящиеся и фундаментальные последовательности. Полные метриче¬
ские пространства	 36
Примеры решения задач (38). Задачи для самостоятельного решения (43)
1.4.	Свойства полных метрических пространств	 50
Примеры решения задач (53). Задачи для самостоятельного решения (55)
1.5.	Пополнение метрических пространств. Сепарабельные пространства		58
Примеры решения задач (59). Задачи для самостоятельного решения (62)
1.6.	Компактные множества	 63
Примеры решения задач (67). Задачи для самостоятельного решения (68)
1.7.	Непрерывные отображения метрических пространств. Сжимающие
отображения	 71
Примеры решения задач (75). Задачи для самостоятельного решения (79)
РАЗДЕЛ 2. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	 87
2.1.	Линейные пространства	 87
Примеры решения задач (89). Задачи для самостоятельного решения (92)
2.2.	Нормированные пространства	 95
Примеры решения задач (98). Задачи для самостоятельного решения (102)
2.3.	Ряды в линейных нормированных пространствах	 104
Задачи для самостоятельного решения (106)
2.4. Пространства lp (1 < р < оо), с, с0 и С[а, b]	 107
Примеры решения задач (ПО). Задачи для самостоятельного решения (113)
2.5.	Линейные подпространства и плотные множества	 116
Примеры решения задач (119). Задачи для самостоятельного решения (122)
2.6.	Предкомпактные множества	 126
Примеры решения задач (129). Задачи для самостоятельного решения (131)
2.7. Пространства Lp (E, dju), 1 < р < оо	 137
Примеры решения задач (140). Задачи для самостоятельного решения (147)
2.8.	Полнота пространств Lp(E,dju) при 1 < р < оо	 153
2.9.	Плотные множества в Lp (Е, d/л), 1 < р < оо	 156
2.10.	Предкомпактные множества в Е1{Х)	 164
Примеры решения задач (166). Задачи для самостоятельного решения (168)
Дополнение. Базисы в линейных пространствах	 171
РАЗДЕЛ 3. ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА	 175
3.1.	Пространства со скалярным произведением	 175
Примеры решения задач (177). Задачи для самостоятельного решения (180)
3.2.	Проекции векторов в гильбертовых пространствах	 184
3.3.	Ортогональные дополнения и их свойства	 186
Примеры решения задач (187). Задачи для самостоятельного решения (194)
479

3.4.	Ряды Фурье в гильбертовых пространствах	 196
Примеры решения задач (198). Задачи для самостоятельного решения (199)
3.5.	Базисы в гильбертовых пространствах	 202
Примеры решения задач (206). Задачи для самостоятельного решения (212).
Дополнение(215)
ЧАСТЬ II. ОПЕРАТОРЫ	 217
РАЗДЕЛ 1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТО¬
РОВ	 217
1.1.	Понятие линейного ограниченного оператора, его норма	 217
Примеры решения задач (219). Задачи для самостоятельного решения (233)
1.2.	Пространство линейных ограниченных операторов	 242
Задачи для самостоятельного решения (244)
1.3.	Последовательности операторов	 245
Примеры решения задач (248). Задачи для самостоятельного решения (254)
1.4.	Дополнительные задачи и утверждения	 260
Задачи для самостоятельного решения (269)
1.5.	Образы шаров в банаховых пространствах	 274
РАЗДЕЛ 2. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	 278
2.1.	Функционалы в гильбертовых пространствах	 278
2.2.	Функционалы в нормированных пространствах	 281
Примеры решения задач (288). Задачи для самостоятельного решения (292)
2.3.	Продолжение линейных функционалов	 295
Примеры решения задач (298). Задачи для самостоятельного решения (302)
2.4.	Общий вид линейного ограниченного функционала в пространстве
С[а,Ь]	 308
Примеры решения задач (315). Задачи для самостоятельного решения (316)
2.5.	Слабая и *-слабая сходимости	 320
Примеры решения задач (327). Задачи для самостоятельного решения (330)
2.6.	Рефлексивные пространства. Двойственность	 335
Примеры решения задач (338). Задачи для самостоятельного решения (339)
2.7.	Сопряженные операторы	 342
Примеры решения задач (345). Задачи для самостоятельного решения (350)
Дополнение. Комплексный вариант теоремы Хана-Банаха. Слабая замкну¬
тость выпуклого множества	 355
РАЗДЕЛ 3. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ	 357
3.1.	Обратные операторы	 357
Примеры решения задач (362). Задачи для самостоятельного решения (369)
3.2.	Замкнутые операторы	 374
Примеры решения задач (375). Задачи для самостоятельного решения (377)
3.3.	Резольвентное множество и спектр оператора	 380
Примеры решения задач (387). Задачи для самостоятельного решения (401)
3.4.	Вполне непрерывные операторы	 409
Примеры решения задач (414). Задачи для самостоятельного решения (425)
3.5.	Фредгольмовы операторы	 433
Примеры решения задач (436). Задачи для самостоятельного решения (439)
3.6.	Спектры самосопряженных и вполне непрерывных операторов	 441
Примеры решения задач (450). Задачи для самостоятельного решения (455)
Дополнение. Линейные интегральные уравнения	 460
Примеры решения задач (463). Задачи для самостоятельного решения (474)
Рекомендуемая литература	 478

Учебное издание
Кутузов Антон Сергеевич
Введение
в функциональный анализ
Учебное пособие
Ответственный редактор Ю. Барабанщикова
Верстальщик Е. Семенова
Издательство «Директ-Медиа»
117342, Москва, ул. Обручева, 34/63, стр. 1
Тел/факс + 7 (495) 334-72-11
E-mail: manager@directmedia.ru
www.biblioclub.ru
www.directmedia.ru
Отпечатано в ООО «МЭЙЛ ТЕКНОЛОДЖИ»
142172, г. Москва, г. Щербинка,
ул. Космонавтов, д.16