Текст
                    5БК 22.16¾¾
Г70
УДК .^17.98 (07)
Рецензенты: д-р физ.-мат. наук Ю. Л. Далецкий
(Киевский политехнический институт), д-р физ.-мат наук М. Л. Гор-
бачук, канд физ.-мат. наук В. А. Кутовой (Институт
математики АН УССР)
Редакция литературы по математике и физике
Редактор Г. Г, Рубан
Городецкий В. В. и др.
Г70 Методы решения задач по функциональному
анализу : Учеб. пособие / В. В. Городецкий, Н. И. Нагни-'
бида, П. П. Настасиев.—К.; Выща шк., 1990. — 479
с. :ил
ISBN 5-1 М)02126-0
Даны основные топологические понятия, изложена теория
линейных операторов в нормированных пространствах.
Описаны основные классы абстрактных пространств (метрические,
топологические, нормированные и гильбертовы). Приведены
решения задач разной степени трудности. Особое внимание уделено
самостоятельной работе студентов.
Для студентов университетов, обучающихся по
специальностям «Матеуатика», «Прикладная математика».
f 1602080000—007 .„ ^ ккк. „„ .„„„,,,
11 М 211 (04)-90 ^-9° ББК 22Л62Я?3
ISBN 5-11-002126-0
© В. В. Городецкий, Н. И. Нагнибида,
П. П. Настасиев, 1990


■■БДЕНИЕ Каждая решенная мною задача становилась образцом, который служил впоследствии для решения других задач. Рене Декарт Курс функционального анализа, изучаемый студентами специальностей «Математика» и «Прикладная математика» в университетах, а также в некоторых технических вузах, относится к одному из наиболее абстрактных и поэтому довольно трудному курсу. Абстрактность позволяет исследовать далекие, на первый взгляд, друг от друга вопросы. Сегодня концепции функционального анализа и его аппарат пронизывают почти все области математики (а также ряд смежных дисциплин, например: гидромеханику, статистическую физику, квантовую механику, квантовую теорию поля), объединяя их в единое целое. Поэтому необходимо научить студентов активно применять методы и принципы функционального анализа, а также освоить методику решения соответствующих задач. - На практические занятия по этому курсу выделяется очень мало времени. Студенты не успевают выработать и закрепить необходимые навыки при решении стандартных (и, тем более, нестандартных) задач. Поэтому желающий овладеть ими должен много заниматься самостоятельно (особенно это касается студентов-заочников). В математике одним из лучших способов глубокого усвоения предмета является решение задач, где используются изучаемые теоретические сведения. К сожалению, достаточно полных сборников задач по функциональному анализу, отвечающих программе этого курса, в настоящее время нет. Еще более остро ощущается нехватка пособий, способных помочь студенту в его самостоятельной работе. Предлагаемая книга ставит своей целью восполнить эти пробелы. Структура пособия такова. Каждый параграф начинается с изложения основных понятий и теоретических сведений. Это связано с тем, что в литературе имеются некоторые различия в терминологии, в системе основных понятий, а также в схемах построения разделов функционального анализа. Мы считаем, что предлагаемое изложение будет полезным и удобным для читателя. В каждом параграфе решается достаточное число примеров и задач, иллюстрирующих основные методы функционального анализа. В конце параграфа приведены задачи для самостоятельной работы. В гл. 1 дано построение меры и интеграла Лебега. На конкретном материале рассматриваются основные топологические понятия, изучаемые более абстрактно в остальных главах. Речь идет о свойствах и структуре открытых и замкнутых множеств в IR", различных'тлпа? сходимостей функциональных последовательностей, полноте лебеговых пространств, преобразовании Фурье в пространствах интегрируемых 5
функций и др. Рассматриваются операции интегрирования и дифференцирования на отрезке числовой оси. В гл. 2 изучаются основные классы абстрактных пространств) метрические, линейные топологические, нормированные и гильбертови. В гл. 3 приведена теория линейных операторов в нормированных пространствах, которая составляет основу функционального анализа.
ГЛАВА 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА К концу XIX ст. естественное развитие математического анализа и других смежных дисциплин привело к необходимости расширения понятия интеграла. Определение интеграла Римана, как предела римановых сумм, рассчитано, в первую очередь, на то, чтобы интегрируемыми оказались все непрерывные или кусочно-непрерывные в замкнутой ограниченной области функции. Хотя некоторые типы разрывных функций также интегрируемы по Риману, однако класс их весьма узок. При построении интеграла Римаиа область интегрирования разбивается на множества сравнительно несложной формы (например, в одномерном случае промежуток интегрирования разбивается только на промежутки и используется лишь понятие длины промежутка). Поэтому возникает необходимость распространить понятие длины промежутка, площади фигуры и объема тела на множества более сложной природа. Это было осуществлено Лебегом в его теории меры. На базе этой теории удалось дать новое совершенное и гибкое понятие интеграла, введенное Лебегом, При этом класс интегрируемых по Лебегу функций значительно шире, чем интегрируемых по Риману, Кроме того, интеграл Лебега имеет ряд других замечательных свойств, отличных от интеграла Римаиа. Это связано с тем, что он более гибко приспособлен к операциям предельного перехода. Поэтому в современных математических исследованиях лебегова конструкция интеграла вытеснила римаиову. § 1. МЕРА ЛЕБЕГА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 1. Мера параллелепипедов и ее свойства. Введем понятие m-мерного евклидова пространства. Пусть т — любое натуральное число. Точкой m-мерного пространства называется kn вещественных чисел |х, .,., Im, расположенных в определенном порядке. Обозначим эту точку через х = (¾. .., bJJ, где |j |щ — координаты точки х. Множество всех точек х = (|1( ..., %т) (при заданном значении т) называется т-мерным евклидовым пространством Rm. При т = 1 будем писать R1 = R, поскольку одномерное пространство R можно отождествить с совокупностью вещественных чисел или точек на прямой. При т = 2 и т = = 3 рассматриваем плоскость R' и пространство R3, Пусть Alt А2 Ат — произвольные множества пространства R. Тогда их декартовым произведением Аг X Л2 X ... X Ат называется множество пространства Rm АххАгх — хАт=1х=Ц1 gm) 6 Rm:|t6^lf ... , Ьп^Ат), Например, пространство Rm является декартовым произведением множеств А1 = = R Ат = R, т. е. Rm = R X R X ... X R. Промежутком А числовой оси R называется отрезок [а; Ь] = {х £ R : а ^ х ^ ^ Ь], или интервал (а; Ь) = {х (Е R : а < х < Ь), или одни из полуинтервалов [а; b) = = [х 6 R : а < х < Ь), (а; Ь] = {х 6 R : а < х < Ь], где а < Ь. Промежуток, в котором хотя бы одно из чисел является бесконечно большим (а = —со, Ь = +оо), называется неограниченным промежутком. Будем рассматривать лишь те промежутки на R, для которых а и Ъ конечны. Мерой (или длиной) такого промежутка А называется число цх (А) = Ъ — а. Параллелепипедом Р пространства Rm называется декартово произведение Р = «* А± X At X „. X Ат промежутков Аи А2, ..., Ат числовой прямой R, При т = I
=» 1 параллелепипед совпадает с промежутком, при т = 2 — с прямоугольником, а при т = 3 — с обычным параллелепипедом. Если Р = (%; Ьг) X ... X (а^, Ьт) •= ■» {* = (gj Im): а/< |/ <#>/, /= 1, 2, ..., т), то Р называется открытым параллелепипедом, а Р = [а^ йа] X ... Х[ат; Ьт] = {х = (gx, ..,, Sm) : а/ < I/ < fy. /= 1, 2 т} —замкнутым параллелепипедом в Rm. Рассмотрим параллелепипед Р = А1 X Л, X ... X Лт, в котором каждый промежуток Aj совпадает либо с отрезком [ад bj\, либо с интервалом (a,-; bj), либо с одним из полуинтервалов [af, bj), (а/; 6/]. Тогда мерой (объемом) такого параллелепипеда m называется число цт (Р) = П (6/ — aj). При т = 1 мера параллелепипеда совпадает с длиной промежутка, при т = 2 — с площадью прямоугольника, а при m = 3 — с объемом обычного параллелепипеда. Отметим, что пустое множество 0 также является параллелепипедом. Например, 0 = [aj^bj ) X [aji bj) X ... X [am; й,„). Вполне естественно считать цт (0) = ■= 0. Теорема %. Совокупность З'щ всех параллелепипедов пространства Rm обладает следующими свойствами: 1) пустое множество 0 является параллелепипедом, т. е. 0 g &>т; 2) пересечение конечного числа параллелепипедов из &т является параллелепипе- п дом, т. е. если Pk £ &т (k= 1, 2 п), то ft Pkt&m: . ft==i 3) если Р uQ — два параллелепипеда в Rm, причем QcP, тов0>т существует конечное число непересекающихся параллелепипедов Ри Рг Р„ таких, что Р \ Q = -Pi U -UPa. Теорема 2. Каждому параллелепипеду Р £ &т можно поставить в соответствие действительное число (меру) (½ (Р). При этом выполняются такие условия: 1) Ста (Р) > 0 для каждого Р 6 &„; п 2) лера цт (Р) аддитивна, т. е. если Р = U Р* " Pft ft Р/ = 0 прикф /, то Рт (Р) - £ Мтп (Pft). ft=l Из теорем 1 и 2 следует, что если параллелепипеды Р и Q в Rm такие, что Q cz С Р, то fim (Q) ^ fim (Р). Это свойство называется свойством монотонности меры. Распространим меру цт (Р), определенную для параллелепипедов, на более широкий класс множеств, сохранив при этом свойства 1) и 2). 2. Мера элементарных множеств и ее свойства. Множество Е с: Rm называется элементарным, если его можно представить хотя бы одним способом как объединение конечного числа попарно непересекающихся параллелепипедов Рг Р„, т. е. Е = = U Pft и Pft ft Р/= 0 при кф\. ft=l Теорема 3. Объединение, пересечение, разность и симметрическая разность двух элементарных множеств является элементарным множеством. Симметрической разностью ЛДЕ множеств А ■ Е называют множество ЛДЕ = = {А \ Е) U (Е \ A) = (A U Е) \ (A ft Е). Объединение и пересечение конечного числа элементарных множеств является элементарным множеством. Класс всех элементарных множеств пространства Rm обозначим символом ?Гт. На классе Ът введем меру множеств следующим образом. Пусть множество Е g "gm пред- га ставимо в виде Е = (J Pft. где параллелепипеды Ръ .... Р„ попарно не пересекаются, ft=t г. е. Pft ft Р/ = 0 при k Ф /. Тогда меру элементарного множества определим с л помощью равенства цт (Е) = J] ц« (Pft). ft=i Мера ц,т (Е) не зависит от способа разложения Е вхумму конечного числа попар- що непересекающихся параллелепипедов, f
Основные свойства меры элементарных множеств отражены в следующей теореме. Теорема 4. Мера \im, определенная на классе Чт, обладает такими свойствами: 1) для каждого Е £ Ът мера множества fim (Е) является действительным неотрицательным числом; п 2) мера ат (Е) аддитивна, т. е. если Е = (J Е» и Е* П Е/ = 0 при k Ф /, k=i п то (½. (Е) = V цт (Eft); *=i 3J если Ef?fflii {Ед} — конечная или счетная система элементарных множеств такая, что Е с= U Eft, то цт (Е) < У цт (Eft). * * Свойство 3) меры ц,т называется счетной полуаддитивностью меры \1/цш Из него и аддитивности меры \im получаем свойство счетной аддитивности (или о-аддитнв- иости), состоящее в том, что если элементарное множество Е представлено в виде объединения счетного числа непересекающихся элементарных множеств Eft (k £ Ы), «■ «• т. е. Е = и ЕА и Eft П Е, = 0 при k Ф /, то цт (Е) = Jj Mm (Eft). *=1 ft=i _ ' 3. Внешняя мера множеств пространства Rm. В этом пункте рассмотрим специальную функцию, определенную на классе ограниченных множеств пространства {Rm и имеющую важное значение в теории меры. Напомним, что множество А с R"1 называется ограниченным, если существует параллелепипед (или шар), содержащий множество А. Будем также говорить, что множестю Л с: Rm покрывается системой множеств {В/}, где / пробегает некоторое множество индексов I, если Леи В/. Определение 1. Внешней мерой ограниченного множества А с R"1 называет- ся неотрицательное число ц,^, (Л) = inf V fim (Pft), где нижняя грань берется по всевозможным покрытиям множества А конечными или счетными системами параллелепипедов {Pft} пространства (Rm. Из определения следует, что внешняя мера fim (Л) элементарного множества Е £ € Ъщ совпадает с мерой цл (Е), т. е. (С (Е) = цт (Е). Кроме того, произвольное ограниченное счетное множество Л имеет внешнюю меру ц^, (Л) = 0. Теорема 5. Если А — ограниченное множество в Rm, а {Аь} — конечная или счетная система ограниченных множеств в Rm такая, что Леи Аь, то и* (А) ^ ft < Б l£ <л*>- ь. * Если для ограниченных множеств Л, В пространства Rm справедливо включение Л с В, то fiJJ, (Л) ^ fi^ (В), т. е. внешняя мера fijj, является монотонной. Таким образом, согласно теореме 5, внешняя мера ц,^ ограниченных множеств обладает свойством счетной полуаддитивности. Однако она не является счетно -аддитивной (см. замечание 2 к примеру 6). 4. Мера Лебега ограниченных множеств пространства Rm. Определение 2. Ограниченное множество А с: Rm называется измеримым в смысле Лебега, если для каждого е > 0 найдется такое элементарное множество Е £ ?rm< что fiJJ, (ЛДЕ) <3 е. При этом мерой Лебега измеримого множества А называется число М™ (А) = Цт (А). Следовательно, ограниченное множество Л измеримо, если его можно «сколь угодно точно приблизить» элементарными множествами. Произвольное элементарное множество Е £ 41 т измеримо по Лебегу и его мера (см. п. 2) совпадает с мерой Лебега. Аналогично, исходя из определения, получаем, что ограниченное множестю Л с: 7
с: Rm, у которого р.^ (А) = О, измеримо по Лебегу и цт (А) = 0 (это следует из равенства (iJJ, (ЛД0) = (i^, (А) = 0). В частности, каждое ограниченное счетное множество А с Rm измеримо и рт (А) = 0. Отметим, что в силу монотонности внешней меры ц^,, если В с А н р*, (Л) = 0, то ц*т (В) = 0. Тогда каждое подмножество ограниченного множества меры нуль является также множестюм меры нуль (свойство полноты меры Лебега). Теорема 6. Пусть 5Im — совокупность всех ограниченных измеримых по Лебегу множеств пространства Rm. Тогда, если объединение А = (J Аь конечного или счет-' k кого числа ограниченных измеримых множеств Аь является ограниченным множеством, то А £ Чт. Пересечение A = (]Ак конечного или счетного числа ограни- k ченных измеримых множеств Лд также является ограниченным измеримым множеством пространства Rm- Отсюда следует, что разность и симметрическая разность двух ограниченных измеримых множеств пространства Rm — измеримое множество. Теорема 7. Каждому ограниченному измеримому по Лебегу множеству А с Rm (т. е, A g W'm) можно поставить в соответствие действительное число рт (А), причем выполняются такие условия; Пы М)>о(Vлея;,),- 2) если А$Чти Л= U Ak, где Ак£Шт и Ак П Л/= 0 при кф], то ft=l во МИ)-2 Ы(Ак). Таким образом, мера Лебега ограниченных измеримых множеств в Rm является 0-аддитивной. Из теоремы 7 следует, что если Л, В £ 5Im и Л с В, то рт (В \ Л) = рт (В) — — Рта (-4). Кроме того, рт (Л) < 1½ (В). Счетная аддитивность меры Лебега позволяет получить такие теоремы. Теорема 8. Пусть ограниченные множества А1гАг,..., Л*, ... пространства Rm ОО измеримы и Аг с Atc ... с: Л* с: ,., . Если объединение A = (J Ак — ограничен- ttoe множество, то рт (Л) = Нт рт (Ak). ft-ЮО Теорема 9т Пусть Alt А2, ..., Ак, ... — измеримые ограниченные множества ОО пространства Rm и Лх :э Л, :э ... эЛр ... . £лш Л = (\ Ак, то цт (Л) = = Нт (½ (Лл). £-»оо 5. Мера Лебега неограниченных множеств пространства Rm. Рассмотрим в Rm фиксированную неубывающую последовательность параллелепипедов Р* = [—п; 00 п] X |—л; д] X ... X I—л; л], исчерпывающую все пространство Rm : (J Р* = Rm. n=i Пусть А — иекоторое множество в Rm, не обязательно ограниченное. Построим по этому множеству монотонную последовательность Л (п) = А П Р\ (л g N) и введем понятие измеримости множества Л. Определение 3. Множество А с Rm называется измеримым в смысле Лебегу если для каждого натурального л £ N измеримы множества А (л). Мерой Лебега такого множества А называется предел рт (А) = Нт рт (А (п)). п-юо Поскольку последовательность (р.т (А (л)))^, является монотонно неубывающей, 8
то предел lim \ат (А (п)) всегда существует. Однако не исключено, что этот предел п-юо равен +с>о, т. е. цт (А) = -±<х>. Например, если A = Rm, то А (и) = Р* для каждого п 6 N и поэтому Rm измеримо и ]im (Rm) ^= +00. Если А — произвольное счетное множество в Rm, то оно измеримо и \im (А) = 0. Если А — ограниченное множество, то А(п)= Л (Vn> п0). Поэтому измеримость такого множества А в смысле определения 3 равносильна его измеримости в смысле определения 2 и в обоих случаях меры совпадают. Таким образом, определение меры Лебега параллелепипедов, элементарных, ограниченных и неограниченных множеств обладает свойством перманентности, т. е., классы этих множеств расширяются и при этом мера множества, принадлежащего разным классам, одна и та же. Замечание. Можно показать, что неограниченное множество A cr R"1 измеримо тогда и только тогда, когда измеримо пересечение A ft В данного множества А с любым измеримым ограниченным множеством В. Кроме того, fim (А) — sup fim (А), аса где точная верхняя грань берется по всем измеримым ограниченным множествам А, содержащимся в А. Пусть 5Im — класс всех измеримых по Лебегу множеств пространства Rm (иногда эти измеримые множества называют ^-измеримыми). Справедливы такие теоремы. Теорема 10. Объединение и пересечение конечного или счетного числа измеримых множеств пространства Rm является измеримым множеством. Следовательно, разность и симметрическая разность двух измеримых множеств также измеримые множества. Теорема 11. Мера Лебега, определенная на классе 5Im, имеет такие свойства: 1) \im (А) > 0 для каждого А £ 5Im; 2) если измеримые множества Ах, Л2, ..., А/с, .., такие, что Ak ft А/ = 0 при кф\иА= U Ak,moy.m (А) = _£ цт (Ak). Отметим, что каждая из частей последнего равенства может быть равна+оо. Из теоремы 11 следует, что если А =э В и оба эти множества измеримы, то f*m(A) = (im (В) + Цт (А \ В). Если дополнительно предположить конечность меры fim (В), то цт (А \ В) = цт (А) — цт (В). Мера Лебега на Ят также является полной, т. е. если А £ Ят и цт (А) = 0, то каждое подмножество В с А измеримо и цт (В) = 0. Теорема 8 справедлива и для последовательности неограниченных измеримых множеств. А именно: если Л1 с Аг с ...с4с ... — последовательность измери- оо мых множеств пространства Rm и А = (J Ak, то цт (А) = Нт цт (Аь). , ft=l ft-»oo Теорема 9 переносится на неограниченные множества в следующем виде. Теорема 12. Пусть Ах гэ Л2 ;э ... зЛ*з ... — измеримые множества просо странства Rm и A = ft Ak- Если цт {Аг) < + оо, то рт (Л) = 11т цт (Л^. Теорема 12 не всегда верна, если не учитывать условие цт (Аг) < + оо. Напри* мер, если (Л$ = [к; +оо) X [к; +оо) X ... X [fe; +oo)£Li — последовательность 00 измеримых множеств пространства Rm, то Л1 =э Л2 г> ... =э ... =э Л* гэ ... и ft Л^ =» = 0. Но поскольку для каждого k £ N цт (Ли) = +оо, то равенство fim (0) = = lim цт (Л/^ нарушается. ft-»oo Непустая совокупность 9J множеств пространства Rm называется кольцом, если вместе с двумя своими элементами она содержит нх объединение, пересечение н разность, т. е. если Л е ЭД н В е 91, то Л U В е ЭД, А П В £ ЭД н Л\ В е ЭД. Например, совокупности ЗГ„,, 51^, н 5Im являются кольцами, а ^т не будет кольцом потому, что й
разность двух параллелепипедов не является параллелепипедом. Класс множеств Ш пространства Rm называется а-кольцом, если ЯП является кольцом н объединение счетного числа элементов множества ЗЛ также принадлежит 2R, т. е. если А/, £ 2R (k = 1, оо 2, ...), то А = [} А/с € ЗК. Если о-кольцо 2R такое, что само пространство Rm привадив лежит ЯП, то 2R называется а-алгеброй. Таким образом, смысл теоремы 10 состоит в том, что совокупность 3Im всех измеримых множеств пространства Rm образует а-алгебру, а мера Лебега \im является на 2lm а-адднтнвной. Движением в пространстве R"1 называется всякое взаимно однозначное соответствие Rm на себя, прн котором расстояние между любыми двумя точками равно расстоянию между нх образами. Напомним, что расстояние р (*; у) между точками х =■ = (5i. ••». 1т) н У = Oil Лт) пространства Rm определяется по формуле Р (*; У) = у £ (Е/ - Л/)*. Например, движением в Rm является параллельный перенос. Можно доказать, что всякое движение <р есть афннное преобразование с определителем, равным единице, т т. е. если ** = <р (*), *eRm,To V, = £ «м& + Р/ н det (а^)™ =1 = 1, где Рг и a.j { — действительные числа, а х* = (Ц £^), х = Ц1г .... &„). Однако не всякое афннное преобразование с определителем, равным единице, является движением. Например, преобразование £* = 2£lF ££ = -д- Ёа плоскости R2 не является движением. Множества /4j и Л2 из Rm называются конгруэнтными, если одно нз ннх — образ другого прн некотором движении. 4 Теорема 13. Мера Лебега \im инвариантна относительно движения, т. е. если множества Аг и А2 пространства Rm конгруэнтны и одно из них измеримо, то другое также измеримо и \im (At) = \im (А2). 6. Класс измеримых множеств. Охарактеризуем совокупность всех измеримых множеств в Rm. Для этого напомним вначале ряд важных фактов, относящихся к понятиям открытого н замкнутого множеств пространства Rm. Пусть а (Е Rm и г — положительное число. Тогда множество {х £ Rm : р (х, a) <i < г) называется открытым шаром (шаром) пространства Rm с центром в точке а радиуса г и обозначается В (а, г). Замкнутым шаром с центром в точке а (Е Rm радиуса г называется множество В [а; г]= [х (Е Rm : р {х, а) ^ г). Всякий открытый шар пространства R"1 с центром в точке а € Rm называется окрестностью точки а. Окрестность радиуса е называется в-окрестяостью. Замечание. В пространстве Rm можно ввести и пояятне параллелепнпедальных окрестностей точки а £ Rm (в отлнчне от вышерассмотренных, которые называются сферическими). Если а = {alt ..., ат) £ Rm, то ее параллелепнпедальной е-окрест- иостью называется открытый параллелепипед (аг — в; ах + е) X ... X (ат — е; в/п+ е). Легко показать, что каждая сферическая окрестность точки а содержит некоторую ее параллелепипедальную окрестность н наоборот. Пусть А — некоторое множество пространства Rm. Тогда точка а € Rm называется внутренней точкой множества А, если существует ее окрестность В (а, е) (или же параллапепнпедальная окрестность), что В (а, е) сг А. Множество G с: Rm называется открытым, если каждая его точка является внутренней для G. Например, шар В {а, г) н открытый параллелепипед — открытые множества. Удобно считать, что пустое множество 0 также является открытым. Тогда совокупность всех открыты* множеств пространства Rm обладает такими свойствами: 1) 0 и О?"1 — открытые множества; i м
2) пересечение конечного числа открытых множеств является открытым множеством; 3) объединение произвольного числа открытых множеств является открытым множеством. Теорема 14. Всякое непустое открытое множество GczJRm является объединением не более чем счетного числа открытых (или замкнутых) параллелепипедов, которые попарно не имеют общих (в случае замкнутых параллелепипедов) внутренних точек. Из этой теоремы, а также теоремы 10 следует, что каждое открытое множество OcR™ является измеримым в Rm, т. е. G £ 3Im. Отметим, что представление открытого множества пространства Rm в форме, указанной в теореме 14, возможно не единственным образом. В одномерном пространстве теореме 14 можно придать более четкий характер. А именно: если интервал (а; Ъ) содержится в открытом множестве GcR, но a $f G я b $ G, то этот интервал на» зывается составляющим интервалом множества G. Два составляющих интервала открытого множества нлн полностью совпадают, нлн не пересекаются. Теорема 14'. Каждое непустое открытое множество G числовой прямой К пред- ставимо единственным образом в виде объединения конечного, или счетного множества его составляющих интервалов: G = [} (a*, ft*), где ak$ G и Ьь$ G для каждого k, k Очевидно, Ц! (G) = £ Фк — а*)- k Отметим, что множества вида (—оо; +оо), (а; +оо) н (—оо; Ь) также включаем в число составляющих интервалов. Множество F cz D?m называется замкнутым (в D?m), если его дополнение Rm \ Р является открытым множеством. Например, замкнутый шар В [а; г] нлн замкнутый параллелепипед — замкнутые множества в Rm Из свойств 1) — 3) открытых множеств следует, что: 1) 0 и Rm — замкнутые множества; 2) пересечение любого числа замкнутых множеств является замкнутым множеством; 3) объединение конечного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством. Поскольку пространство Rm измеримо, то каждое замкнутое множество F с R™ является измеримым в Rm, т. е. F £ 3Im. Замечание. В случае F cz R нз теоремы 14' следует, что открытое множество G = »= R \ F представляется в виде объединения его составляющих интервалов, т. е. G = *= U (в*! bk), где а* $ G и Ьь g G при каждом k. Следовательно, замкнутое множество h F представнмо в виде F = R \ (J (а*, &*), и поэтому составляющие интервалы (ад k bk) множества G назовем дополнительными интервалами множества F. Замкнутые множества пространства D?m можно охарактеризовать н с помощью понятия предельных точек. Точка х £ Rm называется предельной точкой множества А cz Rm, если произвольная окрестность В (х, е) точки х содержит бесконечное число элементов множества А (нлн хотя бы одну точку из А, отличную от х). Совокупность всех предельных точек множества А обозначается через А' н называется его производным множеством. Объединение A (J А' называется замыканием множества А н обозначается А. Пусть (*ft)™=1 — последовательность точек пространства Rm и а £ R"1 Последовательность (л%) сходится к точке а (или имеет своим пределом точку а), если lim р (хь, а) = 0. Запишем это так: хь -*■ о. при k -*■ оо нлн lim хь = а. Д-»оо ft-юо Теорема 15. Точка а £ Rm является предельной точкой множества A cz Rm тогда и только тогда, когда существует последовательноеть (*ft)JLi различных точек множества А такая, что Xk -*• а при k -*■ оо. Теорема 16. Множество F пространства Rm замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки, т. е. F zz> F', Иными словами, F замкнуто в том и только том случае, когда F = F, 11
е. „ Частным случаем замкнутых множеств являются совершенные множества. Множество А с Rm называется совершенным, если А = А', т. е. если каждая его точка является предельной точкой А. Например, замкнутый шар нлн замкнутый параллелепипед являются совершенными множествами. Поучительным примером совершенного множества является канторово множество на числовой прямой. Пусть F0 является отрезком [0; 1] числовой прямой R. Удалим из него интервал (-=■! -0-)13 оставшееся замкнутое множество обозначим через Fx (т. fx= [0; 1] \(—; — ))• Из Fj удалим интервалы I—; —-) н I—; —I, а оставшееся замкнутое множество, состоящее из четырех отрезков, обозначим через F2. В каждом изэтнх четырех отрезков удалим средний интервал длиной (—] и т.д. Продолжая этот процесс, получим убывающую последовательность F0 гэ Fг =э ... =э fft =э ... замкну 00 тых множеств. Пусть F = Л Z7*. ft=l Полученное замкнутое множество F называется канторовым. Оно является множеством мощности континуума (т. е. можно построить взаимно однозначное соответствие между F и отрезком [0; 1]). Кроме того, если искать меру Лебега множества G = [0; 1] \ F с нспользованнем длин выбрасываемых интервалов, то получим, что jj.j (F) = 0, т. е. канторово множество F является множеством меры нуль. С помощью открытых и замкнутых множеств пространства Rm можно конструировать и более сложные измеримые множества. Говорят, что множество А с Rm является множеством типа Ge, если его можно представить в виде пересечения счетного оо множества открытых множеств {Gft}~=1, т. е. А =« Г) Gft. Аналогично, множество А с Rm называется множеством типа Fa, если его можно представить в виде объ- оо единения счетного множества замкнутых множеств {fftJ^Lj, т. е. A = U fft. Теорема 17. Всякое множество пространства Rm типа G. или Fa измеримо. Рассмотрим более широкий класс множеств пространства Rm. Если множество А с Rm можно получить, исходя нз замкнутых и открытых множеств, с помощью применения конечного числа нлн счетного множества операций объединения, пересечения и разности, то оно называется борелевым множеством пространства Rm- Класс gg (Rm) борелевых множеств является о-алгеброй. Теорема 18. Каждое борелево множество пространства Rm является измеримым. Обратная теорема не верна: существуют примеры измеримых множеств, не являющихся борелевымн. Первый пример такого множества был построен М. Я. Сус- лнным, который открыл важный и обширный класс Л-множеств, каждое из которых является измеримым. Этот класс содержит в себе класс всех борелевых множеств, но существенно шире его. * Множества типа <?в и F являются не только важными примерами измеримых множеств. С их помощью можно аппроксимировать любое измеримое множество. Теорема 19. Внешняя мера любого множества А с Rm равна точной нижней грани мер всевозможных открытых множеств G, содержащих А, т. е. \х*т (А) = = inf рт (А). GZiA Кроме того, мера произвольного измеримого множества А с= Rm равна точной верхней грани мер всевозможных замкнутых множеств F, содержащихся в А, т. е. цт(Л)= sup fim (F). P<ZA Отсюда получаем, что для каждого измеримого множества А с Rm и любого е £> 0 тгщеетвует открытое множество G с Rm н замкнутое F <=. Rm, что F с А с О, Ы {С%А)<г и p.m (A\F)<6.
Теорема 20. Для каждого измеримого множества А пространства Rm существуют такие множества Н типа Fa и К типа G6, что Н с А с= К, р-m (Н) = р./п(л) = = Ы (К) в (хт (К Ч Н) = 0. Таким образом, множество А представляется в виде объединения непересекающихся множеств Н типа Fa и Л0 = А \ Н меры нуль, т. е. A = Н (J Л0. Аналогично Л = К \ AQ, где К — множество типа <?в н (im (Л0') = р,т (К \ А) = 0 *. Однако не каждое множество пространства Rm измеримо. Справедлива следующая теорема. Теорема 21. Каждое измеримое множество А с= Rm, мера\хт (А) которого положительна ((½ (А) > 0), содержит неизмеримое подмножество. Сравним класс измеримых по Жордану множеств пространства Rm с классом Щя измеримых множеств по Лебегу. Напомним, что если А — ограниченное множестве в R"1, то его верхняя р,т (А) и нижняя Цт (А) меры Жордана вводятся с помощь» соотношений Ы(А) =sup (im(E) и |1т(Л) = inf цт(Е), — ЕсА ЕЗЛ где в первом случае точная верхняя грань берется по всем элементарным множествам Е сгЛ.аво втором —точная нижняя грань рассматривается по всем элементарном множествам Е => А. Тогда ограниченное множество А с Rm называется измеримым по Жордану, если цт (А) = ц,т (Л). Это число назовем мерой Жордана множества Л и обозначим его цт (А), т. е. (½ (Л) = ftm (А) = ^л (Л). Если Л — неограниченнее множество пространства R"1, то его называют измеримым по Жордану, если каждое множество Л (л) = Л П PJJ (я С N) измеримо по Жордану, и полагают \im (Л)"» *= I'm Цт (А (п)). Отметим, что совокупность измеримых по Жордану множеств образует кольце, но не о-кольцо (см. замечание 2 к примеру 6). Теорема 22. Каждое множество А пространства R"1, измеримое по Жордану, является измеримым по Лебегу и справедливо равенство jim (Л) = \im (Л). Отметим, что обратное утверждение неверно (см. пример 6). Рассмотрим неотрицательную функцию у = / (xlt ..., хт), определенную на иэ- меримом по Жордану множестве Л пространства Rm. Тогда множество Г (/) = {(¾. —, хщ\ у) е Rm+I : 0 < у < f (.¾. ..., хт), (хх, ..-, хт) £ Л} называется подграфиам функции f (при т = 1 подграфнк функции / называют криволинейной трапецией, построенной по функции f). Если функция f интегрируема по Рнману на ияв- жестве Л, то ее подграфнк Г (j) является измеримым множеством по Жордану н Рт (Г (/)) = J • • • j f(Xi, ... , хт) dxt. . .dxm (теорема о геометрическом смысле интеграла Рнмана). Поэтому, согласно теореме 22* множество Г (/) измеримо по Лебегу и справедлива формула Ы (Г (fl) = j • • • j f (*i. • • • . *m) dxt. . .dxm. Если речь идет о фиксированном пространстве Rm, то вместо обозначения мера Лебега \im в этом пространстве пишут \i. Более детально о мере Лебега в евклидовом пространстве см. в [12; 20]. * Здесь (и в дальнейшем) обозначение А' не связано с понятием производного множества для Л. м
Примеры решения задач 1. Доказать, что множество A cz IR борелево и вычислить его меру |*1 (-4). если: а) А= \^{п 1- ; я +-L-] ; Решение, а) Покажем, что полуинтервал (а; ft] или [а; ft) числовой оси IR является борелевым множеством (более того, множеством ти-" na Ga)- Действительно, (a; ft] = |~| fl; Ь +-г-)- Поэтому множество А является объединением счетного числа борелевых множеств А„ =(я — .; п Н (n £ f^). В этом случае говорят, что оно имеет тип G^,. Тогда, учитывая, что класс борелевых множеств образует а-алгебру, находим, что А борелево и потому Hi-измеримо. Для вычисления меры Hi (Л) отметим, что множества Ап (п £ Щ) попарно не пересекаются. Тогда в силу а-аддитивности меры Лебега имеем ■М4-£*((.--£■: » + -£])-£(•£- + -£-)--!-. б) Пусть A' = U п=1 Пп + Отсюда получаем, что in(n+i)_ А' является множеством типа Fa, и поэтому оно борелево. Множество (Q — счетное и, следовательно, имеет тип Fa, поскольку его можно представить как объединение счетного числа одноточечных множеств {/■„}, где все гп £ (Q. Тогда и множество А = А' \ (Q является борелевым (как разность борелевых). Из равенства A' = A (J Q, где (Q = А' П fl (Q, и аддитивности меры Hi имеем Hi (A) = Pi(A') (напомним, что мера Hi {©) счетного множества (Q равна нулю). Поскольку множества Ап **\пп', пп +Л / I i\ (п € W) — непересекающиеся, то согласно свойству счетной аддитивности меры Hi Hi М) = £ Hi я=1 л"; л" + 1 in (п +1) 2 п=1 1 In (п + 1) ' Из известного неравенства In (1 + *) < * (V х > 0) имеем 1пП , > 1 °° 1 ~>-jr (VnGN). Следовательно, ряд V .,,^ является расходнщимся, и поэтому Hi(^)= -f оо. 2. Пусть A cz IR2. Доказать, что А — борелево множество, и найти Иг (А), если : a) A = (R \ Q) х К; б) А = ((0; 3]x[l; 2))\ «Q х Q); в) Л = {* б R ' cos * £ (Q} х (0, +оо).
Решение, а) Значале рассмотрим множество Л' = © х IR. Поскольку множество (Q — счетное, то Л' можно представить в виде объединения счетного числа прямых вида Ап = [(х; у) £ \R2 : х = гп, у £ Щ, где г„ — некоторое рациональное число, и ф= [rlt г2 гп, ...}. Множества Л„ замкнуты и потому ц2-измеримы. Следовательно, мно- оо , жество Л' = U Ап является множеством типами потому борелевым. Найдем меру (½ (Л'). Согласно свойству счетной аддитивности меры оо ц», имеем ц2 (Л') = £ (½ (А'п). Определим меру ц2 (Л'„) (V п £ ЭД).Для л—1 •того найдем ц2-меру отрезка В = {(х; у) £ \R2 : х = а, с <! у <! <2}, где а,сн d — некоторые действительные числа. Этот отрезок можно считать параллелепипедом [а; а] х [с; d] и поэтому, согласно определению, \it (В) = 0. Рассмотрим прямую В' = {(х; у) £ \R3 : х = а, у £ R}. Тогда В' = и {(*; у) € IR2 '• х = а, —п <; у <; п\ и поэтому В' явля- ется (х2-измеримым, a (½ (В') = lim ц2 {(*'. #) G R2 : х = а, —п ^ п-»оо ^ У ^ "} =0- Следовательно, ц2 (Л„) = 0 для каждого n G RJ- Таким образом, fi2 (Л') =0 Наконец, заданное множество А представим в виде Л = (IR х IR) \ \ ((Q X IR) = 1Я2\Л', откуда следует, что Л борелево и ц2 (Л) = - Pi (IR2) = + оо. б) Пусть Л' = (0; 3] х [1; 2). Тогда из равенства А' = «= U I — ; 3 х 1; 2 I следует, что Л' является множеством типа Fa, т. е. оно борелево. Кроме того, Л' — прямоугольник и (¾ (Л') = 3. Поскольку множество (Q X (Q — счетное, то, как было отмечено выше, оно имеет тип Fa и ц2 (Q х (Q) = 0. Поэтому Л = Л' \ \ (Q X © - борелево множество и ц2 (Л) = ц2 (Л') = 3. в) Множество А' = {* £ IR : cos х £ Q} является счетным, поскольку таковым является Q. Следовательно, Л' представимо в виде А' =* оо — {*i, * хп, .. } и А = U {(*; г/) 6 IR2: х = *„, у > 0}. Кро- ме того, множество {(*; у) £ JR2 : х = хп, у > 0} можно представить • виде {(г, у) G1R2: х = *„. у>о>=д{(лс; г/)ек8^ = ^. у>~г)> ■т. е. оно имеет тип Fa. Поэтому Л борелево и Мл) = £ {(*; у)€ R*: * - ж», у >0} - 0. 4=1 3. Доказать, что множество Л cr IR2 является ц2-измеримым и найти fi2 (Л), если:
а) Л=|(х; y)£n*:x£1R, 0<y< a,^2}, где a>0 — фиксированное число; б) Л = {(х; у)€К»:-1<дс<1, 0<у<у===}; в) Л = {(*; г/) £ IR2: х > 0, 0 < у < е-* | sin х |}; г) Л = U {(*; y)GIR2:xG[n, я+ 1), 0<у< (*~д)" 1. П=1 * " ' Решение, а) Множество А является неограниченным, и поэтому рассмотрим последовательность А (л) = Ux; у) £ IR2: х £ [— п; я], а2 ) О^у < ■ а 2 [, n£N. Каждое из множеств Л (л) измеримо в " "Г х ) смысле Жордана, поскольку его граница состоит из четырех непрерыв- выхлиний. Следовательно, все А (я) являются ц2-измеримыми, а тогда и Л — ц2-измеримо. Кроме того, ц2 (Л) = lim щ (Л (п)) = п-»оо = Ига ц2 (Л (я)). Напомним, что мера Жордана подграфика функции вычисляется с понощью интеграла Римана, т. е. —П —оо вамечание. Измеримость множества А можно получить и другим путем. А именно: Д—{(x;*)6R,:x6R.O<»<-^qrp}u{(«;*)6R,:x6R.*-0} и поэ- яму А измеримо как объединение открытого множества и прямой линии у = 0. б) Множество Л — также неограниченное. Поэтому согласно •пределению 3 нужно рассмотреть последовательность множеств: Л (я) = Л П ([— «; п] х [— я; я]) = «*{(*; #KIR2:-1<*<1, 0<y<minj/rL— , nU- u{(*; y)£\R*:-l<x^V"^=ri . У = "} U U {(ж; f/)€lR2: У7^ГХ <*<1, </ = я|, Vn£N. Каждое из множеств Л (я) измеримо в смысле Жордана и, следователь- 1«
но, ц2-измеримо. Поэтому А — ц2-измеримо и Л/"Щг \ = 2 Г Ldx , = 2 arcsin д: о i = я. о Замечание. Множество А имеет тип йв, поскольку справедливо равенство A=^y)zR*:-l<x<l,-±<y<y=L=r + ±.}. в) Представим исследуемое множество в виде объединения неубывающей последовательности множеств оо -4=1) {(*; г/)бЖ2:0<д;<пя, 0< г/< e~* |sinде|}. Каждое из множеств {(*; г/) g IR2: 0 <: л; ^ пя, 0< г/< e-*|slnx|} измеримо в смысле Жордана и поэтому ц2-измеримо. Значит, А является ц2-измеримым, а H,(-4) = limji2{(jic; г/)6 R2: 0< *<яя, 0< у< e-*|sin *|} +о» те (П+1)Я = f e-*|sin*|d*= ^ f е-* 1 sin л: | 6 "=° IUI \dx ■■ e~n + 1 ~ , _Ячп 1+g- = £ e-* J r- sin Ш = ^-^ £ (О 2 _е_Я) ra=0 £ n=0 ^11 e J г) Каждое из множеств An = |(лс; #)£ IR2:лг€ [n, л + 1), 0<y< (x n)n ) ^ -1 — I измеримо в смысле Жордана и, следовательно, в смысле Лебега. Его мера /л* V (* —л)" , (ж — л)"+1 «+1 П-Г1 /1(/1 + 1) • п Поэтому множество А ц2-измеримо и, согласно свойству а-аддитив- ности меры Лебега, -лО-тр-)-1- IT
У8 4. Показать, что тела, ограниченные поверхностями —* — 1, являются щ-измеримыми, и найти ~ = 1 и ■ + — ■ ^ 9 9 _ * " 6 ' их меры Лебега. Решение. Изобразим заданные тела геометрически. Графиком первой поверхности является двуполостный гиперболоид, ось симметрии которого совпадает с осью ОХ, а второй — эллипсоид. Поэтому имеем три тела 7\, Г2 и Ts (рис. 1), ограниченные этими двумя поверхностями. Эти три тела ограничены непрерывными поверхностями и, следовательно, они измеримы в смысла Жордана, а также в смысле Лебега. Кроме того, (½ (7\) = ц3 (7^). Поэтому найдем ц3 (7\) —объем тела 7\. Поверхности -^ -^- — ~ = 1 и пересекаются по эллипсам , if ,» + , ^, = 1, лежа- + 4 + 9 _ ! ш (/з)2 щим в плоскостях х = 2 и х = —2. Объем тела 7\ можно вычислить с помощью интеграла Римана, двойного или тройного интеграла. Если использовать интеграл Римана, то для этого нужно рассмотреть сечения тела плоскостями х = const. Для х £ 1У~3, 2] в сечении получаем эллипсы Рис. У2 + К4^)' (з/¥^)' ■ = 1, для х £ [2, У~Е) — эллипсы (2]А Следовательно, + (• v^T)" = 1. Из 2 Ve 2 (ГО = J 6я (4- - l) d* + J 6я (l - -i- Уз dx M^i) С помощью двойного интеграла вычислим меру ца (7\): W-'( 1 — .)_ ^3(1+ -f+4-)) «ад. 18
где А—эллипс -г\—\Т + • I- 2 = 1 • Тогда замена переменных (тт) #«=2rcos(p, .z = 3rsin<p, где O^r^l, 0^<р^2я, приведет к указанному результату. Аналогично fi3 (Т^ = J J J dxdydz.> Далее, этот тройной интеграл приведем к кратному. Таким образом, И» (7\) = (½ (^) = 4я (Кб + КЗ - 4). Для определения (13(^2) введем множество Г = \(х; у; г)б £IR3:-^—1--¾—l"-|-^l}. являющееся эллипсоидом. Оно ц3-из- меримо, как замкнутое множество (оно даже измеримо в смысле Жордана). Напомним, что объем эллипсоида Т, т. е. его мера Жордана Из (Г), вычисляется по известным формулам и |i, (Г) = 8 ]/б я. Тогда Т3 = Т\ (Т\ U Т2) и _поэтому (i3 (Г3) = Цз (Т) — щ (7\) — — Из (7"») = 8 Кб я — 8я (Кб + КЗ — 4) = 8я (4 — КЗ)- 5. Построим на плоскости Ща множество А следующим образом: 12 1 разделим квадрат [0; 1] х [0; 1] прямыми *= —, *=_ у = — t 2 у — -г на 9 одинаковых квадратов и выбросим центральный открытый квадрат (т. е. квадрат (-.-; -д-) X [-д-; -д-Yj. Затем каждый из оставшихся восьми замкнутых квадратов аналогично делим на 9 одинаковых квадратиков и выбрасываем все центральные открытые квадратики; продолжаем этот процесс неограниченно. Множество, оставшееся после счетного числа шагов, обозначим через А (оно называется «ковром Серпиньского»). Доказать, что А является ц2-измеримым множеством, и найти fi2 (А). Решение. Множество А получается из квадрата [0; 1] х [0; 1] удалением счетного числа открытых множеств; поэтому А — замкнутое множество и, следовательно, оно ц2-измеримо. Найдем ц2 (А). Пусть Аг — открытый квадрат f-o-J-r) X [-^>-о)у Л2— объединение открытых центральных квадратиков, которые удаляются на втором шагу. Аналогично вводим множества Л3,..., Ak, .... Все они открыты, непере- g*—1 секающиеся и ц2 (АЛ = —г— . Поэтому ~ ~ gft—1 (½(А) = Ц2 ([0; 1] X [0; 1]) - £ (х2 (Ak) = 1 -,£ дА - „. Замечание. Можно показать, что множество А является совершенным и нигде ие плотным. Оно аналогично множеству Кантора, которое рассматривается на отрезке [0; 1] числовой оси R. 6. Доказать, исходя лишь из определений, что множество А с: Ш} иррациональных чисел сегмента [0; 1] неизмеримо по Жордану, но ия- меримо по Лебегу. Найти его меру Лебега (½ (А). 19
Решение. Вначале найдем верхнюю меру Жордана (½ (Л). Для определения (½ (Л) достаточно ограничиться элементарными множествами Е отрезка [0; 1], содержащими Л. Если Е £ 8 и Л с: Е с: [0; 1], то мера (Жордана или Лебега) множества Е удовлетворяет неравенству (½ (Е) ^ 1. Действительно, пусть (½ (Е)< 1. Тогда множество В = [0; 1] \ Е имеет положительную лебегову меру и поэтому не является счетным, что, конечно, невозможно из-за включения Е :=> Л. Таким образом, если элементарное множество Е отрезка [0; I] покрывает заданное множество Л, то (½ (Е) ^ 1. Поэтому (½ (Л) ^ 1. Но, поскольку [0; 1] :=> Л и [i! ([0; I]) = I, то (½ (Л) = 1. Если элементарное множество Е содержится в Л, то покажем, что fij (Е) = 0. Действительно, в противном случае Е = [| Pft, где все Рк являются промежутками числовой оси IR и Pk (\ Р/ = 0 при k ^ /. При этом имеется хотя бы один промежуток, скажем Рг, не являющийся пустым. Но поскольку непустой промежуток Р/ вместе с иррациональными точками содержит и рациональные, то в Е имеются и рациональные числа, что невозможно согласно выбору Е. Следовательно, (½ (Л) = 0 и, таким образом, (½ (Л) <ф\>.1 (Л), а множество Л неизмеримо по Жордану. Покажем, что множество Л измеримо по Лебегу. Поскольку Л ограничено, то используем определение 2 измеримости по Лебегу ограниченного множества. Пусть е — произвольное положительное число. В качестве элементарного множества Е, фигурирующего в определении 2, возьмем отрезок [0; П. Тогда множество Л Д [0; I] = [0; I]\ А является множеством всех рациональных чисел сегмента [0; 1], и поэтому оно счетно. Следовательно, ц* (Л Д [0; 1 ]) =ц* ([0; 1 ] \ Л) = 0 •< <8и множество А измеримо по Лебегу. Осталось найти его меру Лебега Hi (Л). Пусть {Pk} — конечное или счетное число промежутков числовой оси, покрывающих множество Л, т, е. U Р* => Л. Для вычис- k ления внешней меры ц! (Л) множества Л можно считать, [) Pkcz [0; 1]. k Покажем, что $] (½ (Р^) ^ 1. Действительно, если £ (½ (Pk) <: 1, то, k k введя в рассмотрение измеримое по Лебегу множество Р = U Pk, име- k ем (½ (Р) s^Jj fii (Pk) < 1. Поэтому множество С = [0; 1] \Р являет- k ся множеством положительной лебеговой меры fii (С) = 1 — (½ (Р) >. >■ 0. Следовательно, С не может быть счетным, а тогда оно содержит и иррациональные точки отрезка [0; 1]. Поэтому множество Р не содержит всех иррациональных точек из [0; 1 ], что противоречит включению Р zz> А. Таким образом, S (½ (Р*) ^ 1. а тогда fij (Л) ^ 1. По- k скольку Л сг [0; 1], щ (Л) <! ц*([0; И) = I. Поэтому в действительности Ц1 (Л) = 1, и поскольку Л измеримо по Лебегу, то (½ (Л) = 1. Замечание 1. Измеримость по Лебегу множества А и его меру цх (А) можно получить и другим путем. Так, если обозначить через Qe множестю всех рациональны» 20
чисел отрезка [0; 1], to<Q0 измеримо по Лебегу как счетное множество и цх (<Q0) = 0. Поэтому А = [0; 1] \ Q0 является измеримым множеством по Лебегу как разность таковых и ц, И)= МЮ; 1)1 —Hi(Qo)= 1- Замечание 2. Поскольку измеримые по Жордану множества пространства К образуют кольцо, то из рассмотренного примера видно, что множество Q0 (см. замечание 1) также является неизмеримым по Жордану. Отметим, что этот факт можно доказать и непосредственно (как н в примере 6). Но поскольку <Q0 является счетным множеством, то его можно представить в виде Q0 = {ги г2, ... }, где rlt гг, ... — все рациональные числа сегмента [0; 1]. Очевидно, каждое одноточечное множество {/•„} измеримо по Жордану и ^ ({/•„}) = 0. Но <Q0 как их объединение не является измеримым по Жордану. Следовательно, совокупность измеримых по Жордану множеств не образует а-кольцо и мера Жордана не является счетно-адднтивной. Именно в этих свойствах скрыт глубокий недостаток мероопределения по Жордану и вндны значительные преимущества определения меры Лебега, 7. Найти меру множества Л тех точек отрезка [0; 1], которые допускают разложение в бесконечную десятичную дробь без использования цифры 5. Решение. Напомним, что каждое действительное число из отрезка [0; 1] допускает представление в виде бесконечной десятичной дробм 0, Оу а2...ап..., где все ап являются цифрами. По определению, Л =» = {0, at а2...ап...\ апфЪ, Vn£RJ}. Изучим структуру множества Л. Для этого рассмотрим множество, являющееся дополнением А ко всему отрезку, т. е. [0; 11 \ А. Пусть Аг — множество чисел отрезка [0; 1], допускающих разложение в бесконечную десятичную дробь вида 0,5а2а3...ап..., гдеа„(л^>2) — любые цифры, т. е. Л = {0,5а2а3...ап...}. Тогда Аг совпадает с интервалом (0,5; 0,6) и поэтому Лх измеримо, a (¼ (/4].) =-jjT-. Аналогично рассмотрим множество А2 = = {0,^503...0,,...), где все цифры а„ (л =^> 2) любые, hoa^ ф 5. Множество А2 измеримо, поскольку представляется в виде объединения интер- 9 g валов: А2 = [} (0,s5; 0,s6) и (½ (Л2) = -Гпг • Продолжим этот процесс до бесконечности. Для каждого натурального числа k рассмотрим множество Ak = {0, Oi...ak-\5ak+i...}, где все цифры ап (п Ф k) любые, но ах ф 5 ак-\ ф 5. Тогда 9 9 Ak = U • • • U (0, Si ... s*_i5; 0, $! ... s*_i6). 9k-l Поэтому Ak измеримо и i*,i{Ak) = . Отметим, что, в силу nolo* строения, Ak П А)= 0, если кФ\. Если возвратиться к множеству А, то А = [0; 1]\ U Ak. Значит, k=\ множество А измеримо и согласно свойству счетной аддитивности ме» ры Лебега получаем щ (Л)=1-£мЛА)=1-£-^-=0. Следовательно, Л является множеством меры нуль. И
Замечание. Из представления А = [0; 1] Ч (J Аь и того, что Аъ являются объ*- k=\ динениями непересекающихся интервалов, следует, что А является замкнутым множеством (даже совершенным) и нигде не плотным, т. е. любой интервал сегмента [0;1] содержит другой интервал, свободный от точек множества А (согласно построению).} 8. Показать, что если А — измеримое множество отрезка [а; Ь] числовой оси IR и (½ (Л) = X > 0, то функция f (х) = (½ ([а; х) П А) непрерывна на [а; Ь] и принимает все значения от 0 до %. Решение. Поскольку множества А и [а; х) (а <! х ^ Ь) измеримы и ограничены, то функция / действительно определена на отрезке [а; Ъ\. Покажем, что она непрерывна. Если х — произвольная, нефиксированная точка сегмента [а; Ь] и Ах такое, что х + Ах £ [а; Ь], то Af (х) = ffr+Ax) — f (х) = (½ ([а; х + Ах) f| А) — ц,х ([а; х) П А). Для оценки разности этих мер используем неравенство llCHO-lC^KiiJ^Ad,), (1) где At и Л2 — произвольные ограниченные множества пространства ПГ. Неравенство (1) получаем следующим образом. Очевидно, ЧТО Л j с с: Л2 U (Аг А А2) и Л2 с: At [) (Лх Д Л2). Отсюда, согласно теореме 5, для внешней меры имеем неравенства ц,т (л\) ^ (½ (Л2) + + (С (Ai А Л2) и [С (Л2) ^ р'т (Лх) + [С (Аг А Л2), которые равносильны (1). Чтобы воспользоваться неравенством (1), покажем, что ([а; х+ Ах) Г\ А) А (la; х) П Л) а [х; х + Ах] П А, если Дх>0, (2) и ([а; х+ Ах) П Л) Д ([а; х) Г\ А)<=[х+ Ах; х] П Л, если Ах<0. (3) Действительно, если Ах > 0 и / £ ([а, д: + Дд:) П Л) д ([а, д) П Л), то /£ (1а, х + Д*} П ^) \ (to. х) П Л). Следовательно, /£ [а, х + Ах) П П А и / (£ la, х) П Л. Поэтому / £ [х, д: + Дд:) f| Л и неравенство (2) доказано. Аналогично доказывается неравенство (3). Таким образом, используя неравенства (1) — (3), получаем для Дд:>0 | Af (х) | < щ ([*; х + Ах) (\ А) < щ ([х; х + Ах)) = Ах, а для Дд: < 0 I А/(х)|<цх([* + Дд:; х) П Л)<щ([х + Ах; х)) = —Ах. Из этих двух неравенств имеем | Af (х) | ^| Дд:| (V Д*). Следовательно, lim Af (х) = 0 функция f непрерывна в точке х £ la; Ь]. В силу произвольности точки х £ [а; Ь]заключаем, что/ непрерывна навеем отрезке [а; Ь]. «2
Далее используя монотонность меры Лебега (½. получаем, что (Xi ([а; х + Д*) П А) > (½ ([а; *) П А), если Дх > 0. Поэтому функция / является монотонно неубывающей. Кроме того, f (а) = fxx ([а; а) П Л) = 0, a / (ft) = (i! ([а; b) (] А) = ^ ([а; ft] f| Л) = |ii (А) = Х. Тогда непрерывная функция / на сегменте [a; ft] принимает все промежуточные значения между 0 и Я. 9. Можно ли построить в замкнутом параллелепипеде Р с: IRm вамкнутое множество F ф Р так, чтобы fim (F) = fim (Р)? Решение. Докажем, что множество F построить нельзя. В самом деле, пусть, наоборот, такое замкнутое множество F, что F с: Р, F ф Ф Р и fim (F) = (im (Р), существует. Тогда множество G = Р \ F является непустым и открытым. Иначе, если х £G и нет окрестности В (х; е) с: 6, то в каждой окрестности точки л: есть точки не из множества G, т. е. из F. Тогда точка х является предельной для F и поэтому х £ F, что невозможно, поскольку л; £ G. Следовательно, G действительно является непустым открытым множеством. Поэтому G измеримо и цт (G) = цт (Р \ F) = рт (Р) — (i (F) = 0. Кроме того, если х0 g G, то существует окрестность В (х0; е) с: G, где е > 0. Тогда fim (G) > ^ fim (В (*0; е)) >. 0. Полученное противоречие и доказывает наше утверждение. 10. Показать, что в каждом ограниченном измеримом множестве А с: IR положительной меры имеется пара точек с рациональным расстоянием. Решение. Предположим, что имеется ограниченное измеримое множество A cz IR положительной меры, т. е. (½ (А) >. 0, не содержащее точек, расстояние между которыми является рациональным. Множество (Q0 всех рациональных точек отрезка [0; 1] является счетным, и поэтому его можно занумеровать, т. е. Q0 = {^i. r2, ...}. Рассмотрим последовательность множеств A + гк = {х + гк : х £ А) (V к £ Щ). Поскольку множества А + тк и А конгруэнтны, то А + гк измеримо и fi, (Л + rk) = (½ (А). Следовательно, измеримо и множество В » = U (А +гк). Кроме того, множество В является ограниченным. Действительно, поскольку А ограничено, то существует такое число М, что \х\ <! М для всех х £ А. Поскольку произвольное у из В можно представить в виде у = х + гк с некоторыми х £ А и тк £ (Q0, то | у \ ^ ^s 1*1 +1Г*1^*М + 1 для каждого у £ В, т. е. В — ограниченное множество. Значит, мера (½ (В) конечна. Кроме того, множества А + + гк и А + г/ при k Ф I не пересекаются. Иначе существовали бы такие точки Хх и х2 в А, что Хх + гк = х3 + г/, jr. е. \хх — х2\ = IО — — гк \. Поэтому в А нашлись бы точки (например, xt и х2), расстояние между которыми рационально, что противоречит допущению. Таким образом, в действительности (А + гк) f| (A + rj) = 0 для k Ф /. Согласно свойству счетной аддитивности меры Лебега (½. имеем l*i(Я) = f МЛ + гк) = £ МЛ) - +°°- Последнее противоречит конечности (½ (В). Следовательно, сформулированное утверждение является истинным. 23
11. Доказать, что если А — произвольное множество пространства ПТ"1. то множество A = {(£lf .... U € IRm : (lu .... g„_i) € A, l'm = 1} ^-измеримо и (im (A) = 0. Решение. Пусть А является ограниченным множеством пространства Rm_1. Тогда существует такой параллелепипед Р £ ^т_ь что A cz Р. Не нарушая общности, можем считать, что a = Hm-i (Р) > > 0. Для произвольного е > 0 построим параллелепипед Pe = {(£i, .... U€lRm.-(£i im-i)€P, 1—£-< <im<l+-£-}, содержащий множество Л. Кроме того, согласно определению меры параллелепипеда, имеем МРв) = Ит-1 (Р) • |il((l - -^- . 1 + -£")) = Ит-1 (Р) • "5-= в. Поэтому для внешней меры цт (А) множества А справедлива оценка (С (Л) <; (С (Ре) = ит (Pe) = е, из которой следует, что А является измеримым в ]Rm множеством меры нуль (поскольку Цт (А) = 0). Пусть А — неограниченное множество пространства IRm_1 Рассмотрим последовательность параллелепипедов (Р* (п))т=\ пространства Rm, а именно: Р* (л) = (—п; п\ х ... X [—я; п]. Аналогично, пусть (Р (n))~=i — последовательность параллелепипедов пространства Rm_1, где Р (я) = [—п; п] х ... х [—п; я]. Тогда легко проверить, что А П Р*(«) = {(£„ .... U 6 ПГ : (6, £m_i) € Л П Р (л), |т = 1}. Поскольку для каждого п g ЭД множество Л f] Р(п) ограничено, то, согласно предыдущим рассуждениям, получаем, что множество Л П Р*(я) ^-измеримо в IRm и \im (Л) = lim ит (Л П р* («)) = 0- П-*-оо Замечание. Аналогично можно доказать, что если А — любое множество в Rm—1, то А = {(ii, .... %т) € R"1 : (|х, ... Ът_\) € Л, %т = с], где с — некоторое число, „змеримо в Кт и цт (А) = 0. 12. Построить на плоскости 1R2 такое неизмеримое множество, проекции которого на дбе координатные оси неизмеримы по Лебегу. Решение. Рассмотрим на координатных осях ОХ и OY неизмеримые множества Вх и В% соответственно (см. теорему 21) и построим множества At = {(*; у) € IR2: х £ В1г у = 0} и Л2 = {(*, у) g IRa i х = 0, у g В2}, которые, согласно примеру II, являются ^измеримыми. Поэтому неизмеримым будет множество Лх (J Л2. Но проекция Лх (J Л2 на ось ОХ совпадает с ^-неизмеримым множеством Bt (J {0}, а на ось OY — 14
с ^-неизмеримым множеством В2 (J {0}. Следовательно, Лх U Аа является искомым множеством. 13. Доказать, что множество Л с: IRm измеримо тогда и только тогда, когда для каждого е > 0 существует такое открытое в IRm множество G Z3 А, что fim (G\ А) < е. Решение. Необходимость. Пусть Л является ^„-измеримым множеством в IRm. Тогда, согласно замечанию, приведенному после теоремы 19, для каждого е > 0 имеется такое открытое в IRm множество Q id А, что \i'm(G\A)<e. Достаточность. Пусть п— произвольное натуральное число. Из условия задачи для е = — находим такое открытое множество Gn гэ • 1 °° :э А, что fim (Gn \ А) < — . рассмотрим множество А = f| Gn, являю- п п=1 щееся измеримым. Покажем, что Л \ Л является множеством меры нуль. Действительно, для каждого п £ Rj имеем включение Л\^с сОД/1. Поэтому О<|С(Л\Л)<|С(0,,\Л)<7г. Отсюда следует, что (½ (Л \ Л) = 0. Таким образом, Л \ Л является множеством меры нуль, а множество Л = Л \ (Л \ Л) измеримо. i 14. Доказать, что множество точек сходимости произвольной последовательности непрерывных на замкнутом множестве F с: IRm функций является ^„-измеримым; более того, оно имеет тип Fa6 (т. е. представляется в виде пересечения счетного числа множества типа Fa). Решение. Пусть (fn (я))Г=1 — последовательность непрерывных функций, заданных на F, и Л — множество всех точек из F, в каждой из которых эта последовательность сходится. Если х„ £ Л, то числовая последоватечьность (fn (*„))£!=! является сходящейся, т. е., согласно критерию Коши, она фундаментальна. Таким образом, для х0 £ А и произвольного е > 0 найдется такой номер п0, что если п ^ п„ и к ^ > п0, то | /„ (*0) — fk (*о) | < е- Если е = -1, где v £ И, то для х„ £ А имеем Vv£N 3n0€RJ Vn, £>я0 |М*о)-М*о)К-5г- (4> Поскольку (4) равносильно сходимости числовой последовательности (/„ (*о))£=1, то Л=П U П П {x£F-\Ux)-h(x)\<^r). (б) V=l п,=1 ra=n0 ft=n„ * J Изучим множество Fvn,k = \x£F:\fa(x) — fk(х)| < —1. Оно является замкнутым. Действительно, если х* является предельной точкой множества F^*, то найдется такая последовательность (JtjJJJLi точек из F%tk, что Хц -»- х*. Отсюда следует, что (*ц)£=1 с: F и, в силу 25
замкнутости F, х* £ F. Поскольку х^ £ Fn,k для произвольного (* € И, то выполняется неравенство | fjjc») — fk (Хц) | <1 — (V ц £ И)- Переходя в последнем неравенстве к пределу при ц -»- с» и учитывая непрерывность на F функций fn и fk, получаем | fn (х*) — fk (х*) | ^ ^- , т. е. х* £ Fn.k- Таким образом, Fn,k является замкнутым множеством. Поэтому замкнутым будет и множество п=п„ к—пс оо а тогда множество U FZa = Fv имеет тип Fa. По=1 оо Наконец, множество А представимо в виде А = fl F", т. е. оно яв- v=l ляется множеством типа Fa^, и поэтому оно измеримо. Впрочем, измеримость А следует уже из представления (5), если обратить внимание на то, что все замкнутые множества F^tk измеримы. 15. Показать, что совокупность борелевых множеств 3Sm = 33 (IRm) пространства IRm образует наименьшую ст-алгебру, содержащую все открытые параллелепипеды. Решение. Отметим, что 3$т образует а-алгебру. Поэтому надо доказать, что если Qm г- некоторая ст-алгебра множеств пространства Rm, содержащая все открытые параллелепипеды, то Qm id 2Вт. Пусть G — открытое множество в IRm. Тогда G является объединением не более чем счетного числа открытых параллелепипедов и поэтому G £ Qm. Каждое замкнутое множество F, являющееся разностьюF = \Яп\Ь, где G= IRm\ F — открытое множество, также принадлежит Qm. Поэтому ст-алгебра Qm содержит все открытые и замкнутые множества пространства IRm. Тогда согласно свойств ст-алгебры классу Qm будут принадлежать и все множества из IRm, получающиеся из открытых замкнутых множеств с помощью применения конечного или счетного числа операций объединения, пересечения и разности. Следовательно, все элементы ст-алгебры 3$т являются элементами ст-алгебры Qm, т. е. 16. Доказать, что если множества Ах Ап, ... пространства IRm оо являются цт-измеримыми и J] Цт(/4П)< + с», то множество Б, СОСТОЯВ ящее из всех точек пространства IRm, которые принадлежат бесконечному числу множеств последовательности (Ап)? ь измеримо и И„ (В) = 0. Решение. Изучим структуру множества В. Пусть х £ В. Тогда для каждого номера п найдется номер k ~^ п такой, что х £ Ак. Очевидно, что верно и обратное. Поэтому 96
Отсюда следует, что В — (] [) Ак. Значит, множество В измеримо, как пересечение и объединение бесконечного числа измеримых множеств. Найдем меру множества В. Из включения Вс [) Ак, справедливо- fc=n оо го для каждого п, получаем \к,т (В) ^ £ fim (Л^) (V п). Но поскольку к=п остаток Yi Рт (^*) сходящегося ряда £ fim (Ак) стремится к нулю при я -> оо, то [im (В) = 0. Замечание. Введенное в примере 16 множество В называется верхним пределом оо оо последовательности (Лт)~=1 и обозначается Игл Ат, т. е. lim Ат = ft (J /4¾. m-t-oo m-voo m=l ft=m Нижним пределом последовательности множеств (/4П)~=1 называется множество оо оа lim /4„ = (J ft /4ft. Оно также измеримо, если измеримыми являются все Ап. Если „■^о "=' *=" верний и нижний пределы равны, то их общее значение называется пределом последовательности множеств (Ап)™=1 и обозначается lim Ап. п-*-оо 17. Доказать, что для каждого ограниченного множества А с: IRm можно построить такое множество А типа G6, что А ;э Л и ц„ (Л) = в Н™ (Л). Решение. Исходя из теоремы 19, для каждого натурального п, положив е = — , найдем такое открытое множество Gn cr IRm, что Gn :э з/1и|1и (Ga) < iC (A) + JL . -. ОО / Покажем, что множество A = (] Gn является искомым множеством п=\ типа^/д. Действительно, A zd А. Кроме того, для каждого п £ f^j справедливы неравенства |С И) < (С (А) = ця (Л) < цт (G„) < ^(Л) + -L , из которых при я -> оо получаем искомое равенство ц™ (А) = цт (А). 18. Пусть (Л„)~=1 — произвольная монотонно возрастающая по- оо следовательность множеств пространства IRm и Л = [} Ап — OrpaHH- ченное множество. Доказать, что lim \х„ (Л„) = ц^ (Л). п-*-оо Решение. Отметим, что если множества Л„ (я £ Щ) измеримы, то доказываемое равенство выполняется согласно теореме 8. Поэтому заменим внешние меры множеств Л„ мерами, используя пример 14, Пусть для каждого п £ Щ Л„ — множество типа Ga такое, что Л„ с Л„ Я7
и \im (Л„) = Цт (Л„). Позаботимся еще и о том, чтобы последовательность (Л„) также была неубывающей, т. е. чтобы Лх с: Л2 с: ... с с: Л„ с: ... . Если это не так, то рассмотрим последовательность мно- жеств Л„ = П Ak (n£ W)- Тогда Л„ являются также множествами типа Ga и, кроме того, Ап :э Л„, поскольку для каждого k > п имеем Лй з :э Ak zd Ап. Найдем меру множества А'п : р*т (Л„) < цт (Л^) ^С < [i,; (Л„) = (С (Л„), т. е. цт (/¾ = (С (Л„). Из построения последовательности (Ап)п=,1 непосредственно следует, что А\ а А'2 с: ... с: с: Л^ с: ... . Таким образом, можно считать, что для заданной последовательности множеств Аи А2 Л„, ... построена такая последовательность Лх с: Л2 сг ... с: Ancz. ... множеств типа G^, для которой ИЙ (Лп) = (С (Л„) (V n G №)• Тогда, согласно теореме 8, lim (С(Л„) = lim цт (Л„) = цт (Л), _ СО ~ ,- где Л = U Л„. Осталось доказать, что[хт (Л) = [С (Л). Из очевидных включений Ап с: Л с: Л (V я £ И) следует, что цт (Л„) = [С (Л„) < fC (Л)< цт (Л) (Vn ^ И). Переходя в последнем неравенстве к пределу при п ->• с», получаем искомое равенство |£ (Л) = Цт (Л). 19. Доказать, что совокупность ЭДт всех измеримых множеств пространства IRm равномощна с совокупностью всех подмножеств множества IRm. Решение. Напомним, что IRm является множеством мощности континуума, а совокупность всех его подмножеств имеет мощность гиперконтинуума 2е (согласно определению). Поэтому необходимо доказать, что множество 2lm также имеет мощность 2е. Для решения этой задачи удобно различать случаи т = 1 и т > 1. Рассмотрим пространство IR и совокупность Щ1# Мощность 9^ не превосходит 2е, поскольку ЗЦ является частью множества всех • подмножеств IR. Кроме того, канторово множество F является множеством цх-меры нуль и вместе с тем имеет мощность с. Поэтому, согласно полноте меры ць каждое из подмножеств множества F ^-измеримо. Следовательно, совокупность всех подмножеств множества F является частью 9li и имеет мощность 2е. Поэтому мощность 9^ не меньше, чем 2е. Таким образом, класс 9li имеет мощность гиперконтинуума 2е. Рассмотрим пространство IRm и класс 9lm измеримых множеств в IRm (т > 1). Совокупность 9lm имеет мощность, не превосходящую 2е. Если рассмотреть множество Л = {(к1г ..., хт) £ IRm : х2 = ... = х'т =» 28
= 0}, то оно имеет мощность континуума и цт (А) — 0 (см. пример 11). Согласно свойству полноты меры \хт, каждое из подмножеств множества А является цт-измеримым. Поэтому мощность ЭДт не превосходит 2е. Следовательно, класс §tm является множеством мощности гиперконтинуума 2е. Замечание. Именно то обстоятельство, что совокупность всех измеримых множеств 2lm равномощна множеству всех подмножеств пространства В?т,не позюляет эффективно построить пример неизмеримого множества в Rm. Полезно в этой связи также отметить, что совокупность 5gm = gg (Rm) имеет мощность континуума с (это утверждение рекомендуем доказать самостоятельно). Задачи для самостоятельной работы 1. Доказать, что множество Л с R является борелевым, и найти его меру (¾ (Л), •ели: а) Л = (К \Q) П [0; 1]; б) А = {*<Е R : *46 Q}; в) А = [а; + оо); г) А — (—ос; — Ь). 2. Доказать, что множество Л с R2 является борелевым, и найти его меру р, (А), если: а) А = \х 6 R : е* 6 R4<Q} X [0; 2]; б) Л = {*G R : sin «G Q} x R; в) Л = ({(*; 4)<ER2:|sin*|<-i-, (* + у) <E R\q}) U ([0; 1] X [0; 1]). 3. Доказать, что множество A с R3 является борелевым, и найти его меру у^ (А), если: а) А = (Q X R X R; б) Л = (R \ ¢) X (0; 1] X (0; + оо); в) А = {(х; у; г) £ R3 : (х + у + z) <Е Z); г) Л = {(*; у; г) £ R3 : *2 + у2 = 1, г > 0}. 4. Доказать, что множество A с R является борелевым, и вычислить его меру цх (Л), если: а) Л= у (п 1-; п + ^г); б) ^= U J"-*-"; и+ 4-"]; п=\ V 2" 1п ) п=0 в) Л= U п=1 . ' п1 ; —)■• г) Л =' U [п3- 5-"; /г3 + 5-"] П (КЧ<Р); (я + I)2 /г2 / «=о д) Л= U (Inn; 1п(я+ 1)]Ч^. п=1 б. Построить последовательность (Ап)'п°=1 борелевых множеств (а) — е) — на ■рямой; ж) — л) — на плоскости) такую, что: а) МЛ„) = 1. «>1. U Aa=R; n=l б) Hi (Ап) = +оо, Л„ => Лп+1, я > 1, цх ( П А Л = 0; в) ^1(^) = +00, Лп=Лп+1, я> 1, (ix/ П Лп| = 1; ОО r) Hi (Ап) = + оо, /г > 1, П 4n=N; n=l 1 ее Д) Hi(^n) = — . ">1, fl ЛВ = Р, где Р — множество простых чисел; п п=\ •)* HiHn) = +°o. А« П -4/= 0, л?6'/, п, /= 1, 2, . . . ; к) И»(Л») «= + оо, Аа => Ля+1, я> 1, и,/ П Ля) =-0; 29
з) |12(ЛП)=1, и>1, и ап=№; и) (½(Лп) = +оо, п>1, n \=ZxZ; к) уа (Ля) = — , и > 1, П 4=RX {0}; * п=1 Л) (½ И«) =-^-, я > 1, П 4=ZXZ. •* n=l 6. Доказать, что множество ДсК1 является щ-иэмеримым, я найти р2 (А), если: а) Л = {(х; у) 6 О?2: х <Е R, 0 < у < Л-*'}; б) А = {(х; y)g R2 :0<<< 1, 1п л: < у < 1п2 х}; в) *-{(*; ,)eK2:o<,<2a> _|^_£_r<lf<:|/"_^IJl г) A-*B\U Зп, где Я={(*; *)€«»:(*-l), + |f1< 1}, B»-{(x;*)€R':(x—Ly + ^^-pjp}. 7. Доказать, что множество ЛсКа является (^-измеримым, если: а) А = {(*; у, г) 6 R3 : z = / (*; у) (*, у) 6 [ах; /¾] X [а2;Ь2 ]}, где / — иепрв- рывная на прямоугольнике [ах; их] X (а2; fta] функция; найти р,3 (Л); ^ = {(^:г)бКЗ:0<г<оТТ^оТТ7РГ,(дс:у)бК1: при каких а и ft мера р,3 (/4) конечна? в) /! = /(*; у; 2)glR3:0<2< * , *« + у»<11 ; { (x2+!/Y ) вайти (д, (Л); г) Л = {(*; у; г)еК3:0<г< \ь , *>1, *у> l| ; при каких а и ft мера р,3 (А) -конечна? д) А={(х; у; г) g R3 : 0 < z <ехр (- (*2 + у2)а), (а;; у)6[0; +оо) X X [0;+оо)}, где а>0; найти \l3(A). 8. Доказать, исходя из определений, что множество А = {(х; у) (Е В?2 : * £ <Q, У € ¢) П (Ю; 1] X [0; 1]) щ-неизмеримо в смысле Жордана, но щ-измеримо п» Лебегу. 9. Доказать, что множество А = ([0; 1] X [0; 1] X Q„) U (Г—1; 0] X [—1; 0] X X (К \ Qo)), где Q0 — множество рациональных чисел отрезка [0; I], является (ig-иеизмеримым в смысле Жордана, ио р,3-измеримым по Лебегу. Пусть 5 (а) — се- чеиие множества А плоскостью z= а (Е [0; 1]. Доказать, что \ (½ (S (г))йг= 1. о- 10. Доказать, что множество Кантора F отрезка [0; 1] неизмеримо по Жордаиу. 11. Пусть а — произвольное число такое, что 0 < а < 1. Построим множество А с памащью счетного числа шагов следующим образом. На первом шаге удалим из сегмента [0; 1] интервал А1 длины -^-, расположенный симметрично относительно середины отрезка [0; 1] (назовем такой интервал средним интервалом). На втором шаге из оставшихся двух сегментов удалим средине интервалы длины -х- каждый. Обозначим вбъедннеиие этих интервалов Л2. На третьем шаге из оставшихся четырех сегментов удалим средние интервалы длины »~ каждый. Обозначим объединение этих четырех интервалов через А%. Продолжим этот процесс неограниченно. Пусть А «« 80
™ 10; 1] \ U Ak- Доказать, что множество А является [ii-нзмеримым, \it (A) = 1 — a I оно не содержит целиком ни одного отрезка. Показать также, что А несчетно. 12. Построим на плоскости Ra множество А следующим образом: разделим квадрат 12 12 {0; 1] X [0; 1] прямыми х = -^-, х = -=-, у = —, у = -^- иа 9 одинаковых квадратов. Четыре замкнутых квадрата, примыкающих к вершинам основного квадрата, назовем квадратами первого ранга, а их объединение обозначим Аг. Затем каждый из квадратов первого ранга разделим на 9 одинаковых замкнутых квадратиков, и те из иих, которые примыкают к вершинам соответствующего квадрата первого ранга, назовем квадратами второго ранга; объединение всех 16 замкнутых квадратов второго ранга обозначим Л2 и т. д. Ясно, что Аг гэ А2 гэ ... . Общую часть А = П Ап назовем п=1 чсладбищем Серпиньского». Доказать, что А — нигде не плотное замкнутое множество и р,8 {А) = 0. 13. «Канторовой гребенкой» называется множество А на плоскости R2, состоящее из всех тех точек (х, у), координаты которых удовлетворяют следующим условиям: х (Е [0; 1], у (Е F, где F — канторово множество отрезка [0; 1]. Доказать, что А — нигде не плотное замкнутое множество и (i2 {А) = 0. 14. Пусть множество A с \Rm имеет р,т-меру нуль. Должно ли его замыкание А быть множеством р.т-меры нуль? 15. Доказать, что если А — неограниченное множество положительной меры иа прямой R, то в нем найдется хотя бы одна пара точек, расстояние между которыми рационально. 16. Доказать, что в каждом множестве А с [0; 1] положительной меры существует такая пара точек, расстояние между которыми иррационально. 17. Доказать, что множество тех точек отрезка [0; 1], десятичное разложение которых невозможно без цифры 5, (½-измеримо. Найти его меру. 18. Доказать, что множество всех точек прямой R, которые допускают разложение в десятичную дробь без использования цифры 5 после запятой, является множеством (ix-меры нуль. 19. Доказать, что множество А всех точек отрезка [0; 1], в разложении которых в бесконечную десятичную дробь фигурируют все цифры от 1 до 9, является цх- измеримым; найти его меру. 20*. Найти меру Лебега подмножества отрезка [0; 1), состоящего из чисел, у которых в десятичной записи цифра 2 встречается раньше, чем цифра 3. 21. Доказать, что для любой конечной или счетной совокупности (Ап)п (хт-измв- римых множеств пространства Rm справедливо неравенство £ Ы (Ап) < Ы ( U А„) + V р,т (At п А,), п \п J Ki 22. В замкнутом параллелепипеде Р с ребрами единичной длины заданы п измеримых множеств Ai, ..., Ап, причем п 2 Vm(Ak)>n— 1. *=1 во Доказать, что A = (~| Ak имеет положительную меру, т. е. (im (А) > 0. k=l 23. Внутренней мерой множества А с [0; 1] называется число р,1# (А) = 1 — — Ц* ([0; 1] Ч А). Доказать, что p,f (А) > р.1# (А). 24. В обозначениях задачи 23 доказать, что множество А с [0; 1] измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда ц1# (А) = р.* (А). 25. Доказать, что объединение счетного множества множеств типа Fg имеет тип Fa. 31
26. Доказать, что пересечение счетного множества множеств типа Ge имеет тип Ge. 27. Доказать, что дополнение множеств типа Fa до Rm имеет тип G6, а допол» неиие множеств типа G6 — тип Fa. 28. Доказать, что множество всех рациональных точек пространства R является множеством типа Fa и не является множеством типа <Зв. 29. Доказать, что никакое счетное всюду плотное в Rm множество не может иметь тип Ga. 30. Привести пример множества, ие являющегося ни множеством типа Fg, ни множеством типа Ge. 31. Доказать, что множество А = {х 6 Rm : lim | /„ (х) | = + оо), где (/„ (x)))JLi — п-юо поеледовательность непрерывных на Кт функций, имеет тип <За. 32. Пусть у — f (х) — непрерывная действительнозначная функция, заданная иа измеримом множестве А с Rm. Доказать, что для каждого действительного числа с множества {х 6 A : f (х) > с}, [х 6 А : / (х) > с), {* 6 Л / (х) < с} и {ж 6 Л : :/(*)< с} являются (^измеримыми. 33. Доказать, что совокупность всех измеримых множеств меры нуль пространства Rm образует о-кольцо. 34. Пусть множество А С Rm. Доказать равносильность следующих утверждений: а) А — Цт-измеримо; б) для каждого е > 0 существует открытое множество G такое, что G ^ А ш \1'т (G\A)<: е; в) для каждого е > 0 существует замкнутое множество F такое, что F С А в 1»;И\Л< е; г) существует множество К типа <?в такое, что KD/t и f*m (K\j4) = 0; д) существует множество Н типа F такое, что Н с Л и iij, (Л\Н) =» 0. 35. Доказать, что для измеримости множества Л с ff?m необходимо и достаточно выполнения любого из следующих условий: а) для каждого в > 0 существуют замкнутое множество F и открытое G такие, что F <= A cr G и fim (G \ F) < е; б) существуют множества К типа <?в и Н типа Fg такие, что НсИсКа Ни (К Ч Н) = 0. л Ответы. I. а) 1; 6)0; в), г) +оо. 2. а) +оо; б) 0; в) — , 3. а), в), г) 0j 6 б) +со. 4. а) 2; б) -1- + —i-j- j в) 1; г) -—; д) +оо. в. a) -^- ; б) 3} 14я в) Зла"; г) ——- 7. а) 0; б) а > 1 и Ь > 1; в) если а < 1, то ц, (Л) — 15 = 2^¾ и Мл)= + <>° при я>1; г) а>6>1;д) -^-rf—-J. 17. 1. 19. 1. 20. —. 2 { 2. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ МЕРЫ. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ С ПОЛУКОЛЬЦА НА КОЛЬЦО В предыдущем параграфе была построена теория меры Лебега в евклидовом пространстве Rm. При этом мы исходили из понятия меры параллелепипедов и распространили ее иа более широкий класс множеств — а-алгебру %т измеримых множеств. 82
Но в ряде задач теории вероятностей, в математической физике и функциональном анализе возникает необходимость рассмотрения меры множеств в пространствах, отличных от Rm, или меры в Rm, отличной от меры Лебега. В этом случае мера также распространяется с некоторой совокупности множеств (образующих полукольцо) на более широкий класс множеств, являющихся о-алгеброй. 1. Системы множеств. Путь X — некоторое непустое фиксированное множество. Далее в этом параграфе будем рассматривать системы множеств, каждое из которнх является подмножеством множества X. Непустая система множеств й называется кольцом, если оиа обладает свойством: изЛбйиВ£й следует, что Л П В ¢9¾ и ЛДВ £ й. Поскольку для произвольных множеств Л и В А [} В = (ЛДВ) Д (А (] В) и А \ В = ЛД (А (] В), то из А 6 И и В £ й следует также принадлежность к кольцу й множеств A [J В и А \ В. Таким образом, кольцо множеств й есть система множеств, замкнутая по отиошешпо к операции объединения и пересечения, вычитания и образования симметрической разности. Методом математической индукции легко получить, что если множества п п Аи ..., Аа принадлежат кольцу й, то множества U Л* и fi А), также являются'але- ментами й. Отметим, что пустое множество 0 принадлежит кольцу й, поскольку 0 = А \ А, где А £ й. Система множеств, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств. Пусть в кольце множеств й имеется элемент, содержащий все другие множества нз й. Тогда этот элемент называется единицей кольца й, а само кольцо й —алгеброй множеств. Например, совокупность 2 всех подмножеств множества X образует алгебру множеств с единицей X. Аналогично класс 5Im измеримых по Лебегу множеств пространства \Rm является алгеброй множеств с единицей \Rm. Вместе с тем совокупность 5lm всех ограниченных измеримых по Лебегу множеств в Rm образует кольцо, не являющееся алгеброй множеств. Непосредственно из определения следует, что пересечение произвольного числа колец является кольцом. Поэтому для любой системы множеств S пересечение всех колец, содержащих эту систему, образует кольцо й (S). Оно содержит S и, вместе с тем, само содержится в любом кольце Й :з S. Кольцо й (S)называется минимальным кольцом, порожденным S. В теории меры наряду с понятием кольца важную роль играет более общее понятие — понятие полукольца множеств. Система множеств % называется полукольцом, если она содержит пустое множество 0, замкнута по отношению к образованию пересечения (т. е. если А £ 31 и В £ 91, то Л (1 8 £ ") и обладает свойством: из принадлежности к 91 множеств А и Л1сг Л вытекает возможность представления Л в виде Л = (J \Аь, где Л* — по- k=i парно непересекающиеся множества из 92, Кольцо множеств всегда является полукольцом. Примером полукольца, не являющегося кольцом, есть совокупность 9т всех параллелепипедов пространства Rm. Методом математической индукции можно доказать, что если множества Аи ... ..., Ап, А принадлежат полукольцу 91, причем множества Л* попарно не пересекаются, и Л» с: Л (k= 1,2, ..., п), то Л можно представить в виде объединения непере- секающихся множеств полукольца 92, т. е. Л = (J Аь, где / > " и Л* П Л/ = 0 для кф). Кроме того, полезно утверждение: если Ау, ..., Ап — произвольная совокупность множеств полукольца 92, то в 92 найдется такая конечная система попарно непересекающихся множеств В], ..., В/, что каждое Ak можно представить в виде объединения Ak = US/ некоторых множеств из {Вх, В3, ..., В/}. Если S — произвольная система множеств, то фактическое описание кольца й (S), исходя из элементов системы S, довольно сложно. Оно вполне обозримо в том важном случае, когда S является полукольцом. 2 П-74
Теорема 1. Если 92 — полукольцо, то К (92) совпадает с системой всех множеств А, допускающих представление в виде объединения конечного числа (своего для каждого п множества А) попарно непересекающихся множеств из 92, т. е. А = н Ak. Введем следующие понятия. Кольцо множеств называется а-кольцом, если оно вместе с каждой последовательностью множеств Аи А2, ... Ak, ... содержит нх объ- едннеиие A = (J Ak- а-алгеброй называют а-кольцо с единицей. Кольцо множеств называется Ь-кольцом, если оно вместе с каждой последователь- востью множеств Ах, Аг Аь, ... содержит их пересечение f) Ak- Аналогично б- , а—1 алгеброй называют а-кольцо с единицей. Используя формулы двойственности, находим, что каждая б-алгебра является б-алгеброй н наоборот. Примером а-алгебры есть совокупность 2х всех подмножеств множества X. Как следует из § 1, класс Чй.т измеримых по Лебегу множеств пространства Rm образует а-алгебру. Пусть S — непустая система множеств. Тогда а-алгебра 5§ называется неприводимой (по отношению к S), если 5§ => S, и единицей алгебры 5§ будет множество (J А. A6S Теорема 2. Для произвольной непустой системы множеств S существует неприводимая а-алгебра 5§ (S), содержащая S и содержащаяся в любой а-алгебре, содержащей S. Эта а-алгебра ^ (S) называется минимальной а-алгеброй над системой S. Например, а-алгебра gg (Rm) борелевых множеств пространства \Rm является минимальной а-алгеброй над совокупностью всех замкнутых параллелепипедов в \Rm. 2. Продолжение меры с полукольца на порожденное им кольцо. Определение 1. Функция множеств р (А) называется мерой, если: 1) ее область определения 92 с 2х является полукольцом множеств; , 2) значения функции р (А) (V А £ 92 ) действительны и неотрицательны; 3) мера р (А) аддитивна, т. е. если множество А £ 92 представляется в виде п объединения А = U Ak попарно непересекающихся множеств Ak полукольца 92 то k—i ц л I* (A) = J р (Ak). k=\ Отметим, что из представления 0 = 0 U 0 вытекает, что для любой меры р справедливо равенство р (0) = 0. Определение 2. Мера р, определенная на полукольце^-, называется продолжением меры р, если 92 ^ с 92 - и для каждого множества А £ 91 справедливо равенство р (А)^=р(Л). Пусть мера р определена на полукольце 92 . Тогда каждое множество А € й (92 \ допускает представление в виде объединения попарно непересекающихся множеств п Alt ••>» Аа полукольца 92 : A = U Ak. Поэтому естественно положить k=i р(Л) = £ р(Д*) (v а е и (Ир». (1) Справедлива такая теорема. Теорема 3. Для каждой меры р, заданной на некотором полукольце 91 существует оДно и только одно продолжение р, имеющее своей областью определения кольцо Я'(91 ). Это продолжение определяется формулой (1). Если мера у. задан» на кольце 9?„, го она обладает свойством монотонности, т, е. когда А £ йд, В £ й^ и Л с В, то р (Д) < р (В). Кроме того, если множест- 34
ва Alt At A„ являются элементами кольца Й и А с. U ^*. тор. (А) ^ V (i (Л/у (свойство полуаддитивности меры р). — *=1 В различных вопросах математического анализа возникает необходимость рассмотрения не только конечного, но и счетного числа множеств. Поэтому условие аддитивности меры заменяется более сильным требованием счетной аддитивности. Определение 3. Мера р называется счетно-аддитивной, или а-аддитивной, если для любых множеств A, Av Аг, .... Ak, ■ -., принадлежащих ее области определения оо 91 и удовлетворяющих условиям A = \J Ak, Ak П А/ = 0 при k Ф /, справедливо оо *=1 равенство р (А) = £ р (Ak). k=i Например, мера Лебега \ит, определенная на полукольце 5l'm всех ограниченных измеримых по Лебегу множеств пространства Rm, является а-аддитивной. Теорема 3 для а-аддитивных мер р, определенных на полукольце 92 получает свое дальнейшее развитие. Теорема 4. Для каждой а-аддитивной меры р, заданной на полукольце множеагк й ее продолжение р, определенное с помощью формулы (1), на кольцо й (92 ) такои является счетно-аддитивной мерой. Продолжение у. меры р также обозначим символом р. " Для а-аддитивных мер, областью определения которых является кольцо мне жеств, справедливы такие основные свойства. Теорема 5. Пусть мера р^, определенная на кольце множеств й, а-аддитивна, 4 множества А, Ах, А2 Ak, ... принадлежат й. Тогда оо оо 1) если U Ak а А и Ak П А/ = 0 при кф}, то £] р (Ak) < р (Л); k=i *=1 2) если Ac (J Ak, то р(Л)<; S\\i(Ak) (счетная полуаддитивность мерыуь). Отметим, что свойсгво счетной полуаддитивности меры р (свойство 2)) равносильно ее а-аддитивности, но иногда легче проверить свойство счетной полу аддитивности. 3. Лебегово продолжение меры, определенной на полукольце с единицей. Из предыдущего пункта следует, что а-адди^чвную меру р, определенную на полукольце множеств 92, можно продолжить с сохранением свойства а-аддитивности на кольцо И (92). Оказывается, а-аддитивная мера р допускает продолжение на более широкий класс множеств, чем кольцо й (92). Это осуществляется с помощью лебегова продолжения. Пусть на некотором полукольце множеств 92 с единицей Е (т. е. Е £ 92 и Е содержит все элементы полукольца 91) задана счетно-аддитивная мера р. Определим иа системе 2Е всех подмножеств множества Е функцию р* (А)' — внешнюю меру множества А £ 2е. Определение 4. Внешней мерой множества А с Е называется число р* (А) = = inf V p(S^), где нижняя грань берется по всем покрытиям U flft => А у BfpA - k k множества А конечными или счетными системами множеств Bk € 92. Нетрудно проверить, что внешняя мера элементов полукольца 92 и кольца И (92) совпадает с мерой р. Внешняя мера обладает важным свойством счетной полуаддитивности: если A (=. U Ak, где (Ak) — конечная , или счетная система множеств, то р* (А) ^ k < £ Р* (Ak). k Определение о. Множество А с Е называется измеримым по Лебегу или р-иаме римым, если для произвольного г > 0 найдется такое множество В £ й (92), что ц* (ЛДВ)<8. 2* SS
Прн этом мерой Лебега множества А, которая обозначается р (А), считаем его внешнюю меру р.* (А), т. е. полагаем р (А) = р* (А). Из определения следует, что все множества кольца й (92) являются измеримыми в смысле Лебега и их мера Лебега совпадает с исходной мерой р (поэтому для меры Лебега употребляется то же обозначение р, что и для исходной). Обозначим через Я = Яц совокупность всех измеримых по Лебегу (относительно меры р) множеств, содержащихся в Е. Тогда, как отмечалось выше, 92 с й (92) с с Я . — ц Теорема 6. Система Я всех измеримых множеств образует а-алгебру множеств с единицей Е. Мера Лебега р, определенная на Яд, обладает всеми свойствами меры и является счетно-аддитивной на Я . Из этой теоремы следует непрерывность меры р на Я , т. е. если А± :з А2 Z3 ... э Ак Z3 ... — убывающая последовательность измеримых множеств (Ak £ Я , V k £ оо g N) и А = П Ak, то р (A) = lim р (Ak), а если ^c4,c ... с Ak с ... — во». k=i ft—оо оо растающая последовательность измеримых множеств и A = U ^*. то также р (А) » = lim р {Ak). А-»оо Определение 6. Лебеговым продолжением а-аддитивной меры р, заданной на полукольце 92 с единицей Е, называется мера Лебега р (Л), определенная на системе всех измеримых множеств ЗД и совпадающая на Яд с внешней мерой р* (Л). Мера Лебега р обладает еще одним важным свойством — свойством полноты. Мера р, рассматриваемая на полукольце Я , называется полной, если из равенства р (А) = 0 (для некоторого множества А £ 91) следует, что каждое подмножество А' с с Д также принадлежит 92 и р (А') = 0. Но не каждая мера р является полной. Примером неполной меры служит мера Лебега рт, определенная на полукольце ^,,, всех параллелепипедов пространства Rm (т > 2). Дело в том, что не любое подмножество параллелепипеда нулевой меры является параллелепипедом. Теорема 7. Лебегово продолжение любой а-аддитивной меры, заданной на полукольце 92, полно. Отметим, что любую а-адднтивную меру, определенную на а-алгебре, можно продолжить до полной, положив ее равной нулю на любом подмножестве каждого множества исходной нулевой меры. Кроме того, если р — а-аддитивная мера на кольце К, то существует единственная счетно-адднтивная мера, определенная на наименьшей а-алгебре ^ (К), содержащей К, и являющаяся продолжением меры р. 4. Лебегово продолжение меры, заданной на полукольце без единицы. Если <т- аддитивиая мера р. определена на полукольце 92 без единицы, то ее лебегово продолжение строится аналогично (с некоторыми незначительными изменениями). Пусть X — рассматриваемое нами фиксированное множество и р — а-аддитивная мера, определенная на полукольце 92 без единицы подмножеств X. Для определения внешней меры множества А <=. X ограничимся такими покрытиями \J Bk => А элементами ко- k льца К (92), для которых сумма ^ р (Bk) является конечной. k Пусть S » — система всех множеств А <= X, для каждого из которых существует конечное нли счетное покрытие \J Bk Z3 А множествами Bk £ К (92), для которых k V р (Bk) < + оо. Тогда для произвольного множества А £ S , положим Т * р* (A) = inf V М> (Bk)- Определение множества, измеримого по Лебегу, аналогично: множество А £ S„« называется измеримым по Лебегу или р-измеримым, если для каждого в ;> 0 существует множество В £ К (92) такое, что р* (АА.В) < е. При этом мерой Лебега р (А) 36 ■
множества А считают число р (А) = р* (А). Пусть Я — система всех измеримых множеств. Тогда й (¾) с 1 и исходная мера любого множества А £ й (Щ совпадает с мерой Лебега этого множества. Теорема 8. Совокупность Я' измеримых по Лебегу множеств образует кольцо множеств и мера Лебега р на ней обладает всеми свойствами а-аддитивной меры. Более того. Я' является Ь-кольцом. Если множества Аь (k £ N) измеримы, л / п \ то A = (J Ak будет измеримым тогда и только тогда, когда р (J Ak\ ограничены k=i \*=1 / некоторой постоянной, не зависящей от п £ N. R. Теорема 9. Система всех ^-измеримых подмножеств измеримого множества А € ё Я образует а-алгебру. 5. Расширение понятия измеримости множеств в случае а-конечной меры. Если исходная а-аддитивная мера р. задана на полукольце множеств % без единицы, то ее лебегово продолжение не всегда оказывается определенным на достаточно широком классе множеств. Например, если X = \Rm и р = pCT — мера Лебега, заданная иа полукольце &т всех параллелепипедов, то ее лебегово продолжение не содержит в качестве измеримых множеств всего пространства О?"1, внешностей шаров и т. д., т. е. множеств, имеющих бесконечную лебегову меру. Естественно Желание расширить понятие измеримости множеств, допуская для меры и бесконечные значения с тем, чтобы класс измеримых множеств был о>алгеброй (а не только б-кольцом, как в случае, рассмотренном в п. 4). При этом ограничимся практически наиболее важным случаем а-конечной меры. Определение 7. а-аддитивная мера р, заданная на некотором полукольце % подмножеств множества X, называется а-конечной, если все X можно представить как объединение счетного числа множеств из 5R (но не объединением конечного числа оо множеств из Щ: X = U Х„, р (Х„) < + оо (V п £ N). п=1 Пусть а-аддитивиая мера р, определенная иа полукольце Э1 подмножеств мно- оо , , жества X, является а-конечной. Тогда X = I) Вь, где ВЬ£Ч1 (V k g N). Переходя *=1 от полукольца % к кольцу множеств 94 (92), можно считать, что У = (J В^, где й=1 Bk П В j = 0 при k Ф j и все Bk € К (¾). Применяя к мере р лебегово продолжение, получим меру р, определенную иа кольце Я' Рассмотрим совокупность Я = Я всех таких подмножеств Л С X, что A(\Bk$. g Я (V k £ N). При этом A = \J (А С] Вь) и поэтому считаем мерой р (А) сумму ряда оо Л р (A C\Bk), если он сходится, или считаем ее равной +оо, если ряд расходится. /4=1 Каждое множество из Я называется измеримым по Лебегу или р-иэмеримым, а мера р, определенная на 21^,— мерой Лебега. Теорема 10. Пусть счетно-аддитивная мера р является а-конечной и определенной на полукольце Я подмножеств множества X. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) построенная система множеств Я образует а-алгебру измеримых множеств, независящую от выбора непересекающихся множеств Bk шй (9J) и удовлетворяющих оо условию (J Bk = X; fc=i 2) мера р а-аддитивна на Я ; 3) совокупность множеств Лё Я , для которых р (/4)<+оо, совпадает с Ь-кольцом Я , и на этом кольце исходная мера и новая совпадают. К
Множество X, счетно-аддитивная а-коиечная мера ц (рассматриваемая иа а-ал- ге<5ре Я подмножеств множества X и являющаяся лебеговым продолжением ц с полукольца 9t иа Я ) и а-алгебра Я образуют ммеримое пространство (X, Я , ц). Если X £ Я и ц (X) = 1, то измеримое пространство (X, Я^, ц) называется вероятностным пространством, а мера ц — вероятностной мерой. 6. Примеры наиболее употребляемых измеримых пространств. 1) Мера Лебега в пространстве Rm. Пусть &т — полукольцо всех параллелепипедов пространства Rm, а цт — мера Лебега, определенная иа 5"т. Тогда лебегово, продолжение меры fim с &т иа а-алгебру Ят измеримых по Лебегу множеств пространства Rm образует измеримое пространство (Rm, Я„„ \im). 2) Мера Лебега — Стилтьеса. Пусть на отрезке [а; Ь] числовой оси R задана монотонно неубывающая функция У, которую для определенности считаем непрерывной слева. Определим иа полукольце 9с всех полуинтервалов вида [а; f$), принадлежащих основному сегменту [а; Ь], меру ц^. с помощью равенства (Via: p) = ^(p)-^(a). (2) Тогда можно доказать, что эта мера fig,- является счетио-аддитивной на полукольце 9J (см. пример 8), Поэтому ее можно распространить с помощью лебегова продолжения до меры Цл-, определенной иа некоторой в-алгебре Я^. :з К (К) ц^-изме- римых множеств отрезка [а; Ь]. Отметим, что совокупность Я^. содержит все борелевы множества отрезка [а; Ь]. Меру ц_, полученную таким построением, называют мерой Лебега — Стилтьеса, отвечающей функции У, а еаму функцию & — производящей функцией этой меры. Тогда ([a; b], ^0.^, ц,^-) образует измеримое пространство. Эту конструкцию можно несколько обобщить. Пусть G — некоторое открытое множество числовой оси R и иа ием задана монотонно неубывающая функция У, являющаяся непрерывной слева. Для полукольца всех полуинтервалов вида [а; Ь), содержащихся в G, определим меру у.~г [а; Ъ)= & (Ь) — &" (а). Тогда можно доказать, что эта мера р,— является a-аддитивной иа этом полукольце и поэтому она допускает распространение до счетно-аддитивной меры, заданной на некоторой a-алгебре Я^ подмножеств множества G. Таким образом, получаем измеримое пространство (О, Я^, fi^f). Мера р,— также называется мерой Лебега — Стилтьеса иа G, отвечающей функции &, а сама & — производящей функцией этой меры. В частности, можно рассматривать измеримое пространство (R, Я^., р^-). В этом случае, если^— ограниченная монотонно неубывающая непрерывная слева иа R функция, то получим а-аддитив- иую конечную меру на всей прямой R. Мера р.^- (R) всей прямой R при этом равна & (+оо) — & (—со), где 5*" (+оо) = lim F (х) иУ (—со) = lim & (х). Иногда счи- JC-++oo х-ь—оа тают, что & (— со) = 0 (это всегда можно получить, рассматривая новую функцию У (х) — У (—оо)). Если существует интегрируемая на R неотрицательная функция х у=р(х), х £ ff? такая, что У (х) = ( р (t)dt (У х £ R), то функцию р называют —оо плотностью меры Лебега — Стилтьеса р^г. Построим меру Лебега — Стилтьеса в пространстве Rm (m >2)ч Пусть G,— некоторое открытое множество в Rm, а функция &", определенная на G, считается непрерывной на G. Для открытого параллелепипеда Р пространства D?m P={*=(ii. .... £m)€Rm:ay< £/<&/. /=1, 2, т) введем обозначение (а; Ь), где а = (а1г ..., ат), Ь = (blt ..., Ьт) иау< b/, j = 1, 2, .... т. Аналогично для этих же а н Ь запишем [а; Ь\= {х = (|х, ..., £m) £ Rm : S8
: a; < I, < */, /=1, .... m), [a; 6) = {* = fo gj € R"> : a, < g, < 6,, / = = 1, .... m}, (a; 6] = {x = (£lf .... |m) € Rm : a, < &, < 6,, / = 1, .... m). Тогда для каждого параллелепипеда Р <=. G вида (а; 6), (а; 6], [а; 6) или [а; 6] введем функцию множеств ^(P) = S(-l)v<"^(Cll .... ст), где суммирование проводим по всем точкам с = (сг, ..., ст), у которых каждое Cft принимает значение а/ или 6,, a v (с) — число тех координат, для которых с* = aft. Рассмотрим функции ^", где для любого Р <=. G имеем ц^. (Р) > 0 (эти функции называются монотонно неубывающими функциями многих переменных). Например, если функция у = & (|1? .... !„), х = (|j, .... |m) g G, имеет непрерывную смешанную производную &% , (*), неотрицательную в каждой точке х £ G, то ^" — моиотон- но неубывающая на G. Можно показать, что рассматриваемая мера р,— является a-аддитивной на полукольце 92 всех параллелепипедов вида (а; 6), (а; 6], [а; 6) или [а; 6]. Поэтому с помощью лебегова продолжения ее можно распространить до счетно-аддитивной меры на некоторой а-алгебре Я— подмножеств множества G. Элементы a-алгебры 81 ^- называются измеримыми в смысле Лебега — Стилтьеса (или (^-измеримыми) множествами. Построенная мера fig,- называется мерой Лебега — Стилтьеса на 21 ~., отвечающая функции ^", а сама У — производящей функцией этой меры. Отметим, что а-ал- гебра 21 ^- содержит все борелевы множества, содержащиеся в G. Таким образом, (G, 31^, р,—} образует измеримое пространство. В частности, таковым является (0?т, 31«., М'вгЬ Есля положить^" (|It .... |т) = glt ..., |т, то соответствующая мера Лебега — Стилтьеса р.^. совпадает с мерой Лебега рт и классы 51^ н 2lm также совпадают. 3) Меры, построенные по весовым функциям. Пусть на некотором фиксированном измеримом по Жордаиу множестве В <= Кт определена неотрицательная интегрируемая по Риману или интегрируемая в несобственном смысле функция у = g (х), х € В. Тогда на кольце К всех измеримых по Жордаиу множеств А с В с помощью функции g определим меру р (A) = j ... j g (&, ... , £m) dg,, .. « rf£«. Эта мера распространяется стандартным лебеговым продолжением до меры р, определенной на некоторой а-алгебре 31 подмножеств множества В. Система 31 содержит все борелевы множества, являющиеся подмножествами В. Функция g, определяющая эту меру, называется весом нли весовой функцией. Таким образом, нами построено измеримое пространство (В, 31д, р). В частности, можно рассматривать измеримое пространство (Rm, 31^, р), а если т = 1 и В = [а; Ь], то речь идет о пространстве ([а; ь), «V ц). 4) Каноническая гауссова мера в пространстве всех последовательностей. Пусть s—множество всех вещественных последовательностей х= (glf ..., \т, ,..). Определим в s полукольцо 92 всех множеств А вида Л={*€з:|,еД,, /=1, 2, .... я), (3) где Ai, ..., Ап — ограниченные или неограниченные промежутки числовой оси R. Такие множества А называются цилиндрическими множествами или брусами в s. Сопоставим каждому брусу А, заданному с помощью равенства (3), меру (4) 89
Нетрудно проверить, что так введенная мера а> корректно определена. Дело в том, что одно и то же множество А, заданное в виде (3), допускает и другое представление. Например, A = {x<Ls:%labl |П€Д„, 1п+^Щ- Тогда из формулы (4) следует, что ш (А) ие зависит от представления А в том или ином виде. Примем без доказательства, что мера а> является а-аддитивной мерой иа полукольце % (доказательство см. [84, с. 26—30]). Поэтому с помощью лебегова продолжения она распространяется до счетно-аддитивной меры а>, определенной на некоторой а-алгебре 31й подмножеств множества s. Таким образом, построено измеримое пространство (s, 31„, ш). Мера а> называется канонической гауссовой мерой иа s. 5) Мера Винера. Рассмотрим множество Со [0; я] всех непрерывных веществен- нозначных функций х = х (/), определенных на отрезке [0; я] числовой оси R, и таких, что х (0) = 0. Множество A a Q, [0; я] называется цилиндрическим, если существует такое конечное число точек \ < t2< ... <С /„ из (0; я] и промежутки Ах, ..., Д„ пространства R, что А = {х (/)'€ С0[0; я] : х (/,) € А/, / = 1, 2, ..., п). (5) Тогда совокупность 31ш всех цилиндрических множеств в Со [0; я] образует полукольцо с единицей Е = Со [0; я]. Сопоставим множеству А, заданному в виде (5), число (½ (А) = ' f . . . ... J еч,f_!__"£ jbbdzWl) . ^ (6) in \ ti & tk+l~tk J Можно проверить, что функция множеств \iw определена на fflw корректно н является мерой на полукольце %ш. Н. Вннер доказал, что мера (½ является а-адднтнвной мерой на %ш (более простое, чем у Вннера, доказательство см. в [84, с. 82—84]). Поэтому ее можно распространить до счетно-адднтнвной меры цш, определенной на некоторой а-алгебре 91ш Z3 И (9?ш) подмножеств множества Со [0; я]. Эта мера (% называется мерой Вннера в Q [0; я]. Следовательно, тройка (Со [0; я], 21ш, \iw) образует измеримое вннеровское пространство. Мера Вннера Цц, имеет глубокий физический смысл. Так, формула (6) определяет вероятность тога, что частица, совершающая броуновское движение, в моменты времени tlt ...,, /„ находится в промежутках Ai, ..., Д„ соответственно. Эта мера обладает рядом интересных свойств. Например, как и подсказывает ее физическая интерпретация, множество функций, дифференцируемых хотя бы в одной точке отрезка [0; я], образует множество меры нуль. Следовательно, совокупность нигде не дифференцируемых функций образует множество полной меры, т. е. ее мера равна единице. Более подробно об изложенном здесь материале см. в [20; 27; 38]. Примеры решения задач 1. Пусть Л — фиксированное подмножество множества X. Описать наименьшую а-алгебру Ш с единицей X, содержащую Л. Решение. Из условия задачи получаем, что искомая а-алгебра содержит в качестве своих элементов множества X и Л. Поэтому она содержит и их разность Х\Л. Кроме того, как отмечалось выше, пустое множество 0 также является элементом искомой а-алгебры. Таким образом, каждая а-алгебра с единицей X, содержащая множество Л, должна иметь в качестве своих элементов множества 0, Л, Х\Л и X. Система .множеств {0, Л, X \ Л, X} образует кольцо, а поскольку она 40
конечна, то она является и а-кольцом. Элемент X — единица этого кольца. Поэтому искомой а-алгеброй является алгебра 3$ = {0, А, Х\Л, X}. Отметим, что система множеств {0, Л} также образует а-ал- гебру, содержащую А, но ее единицей будет множество Л. Эта последняя а-алгебра является неприводимой по отношению к Л, а а-алгебра $ такой не является. 2. Пусть X = 1R, а 31 — совокупность всех конечных объединений непересекающихся полуинтервалов вида (а; Ь] числовой оси 1R. Доказать, что 31 является кольцом, но не а-кольцом. Решение. Пусть 3¾ — совокупность всех полуинтервалов вида (а; Ь] числовой оси IR. Тогда система 91 содержит пустое множество 0 (например, 0 = (1; 1]) и является замкнутой относительно пересечения двух множеств. Кроме того, если для полуинтервалов (с; d] и (а; Ь] справедливо включение (с; d] cz (a; b), то (а; Ь] представим в виде объединения непересекающихся полуинтервалов: (а; Ь] = (а; с] (J (с; d] (J U (d; b]. Следовательно, система множеств 91 является полукольцом. Отметим, что 91 не образует кольцо. Тогда, согласно теореме 1, заданная совокупность 3¾ является наименьшим кольцом, содержащим 91. Следовательно, 3¾ = 3¾ (9?). Покажем, что 31 не является а-кольцом. Действительно, все множества Л„ = (О; 1 \ (п £ ЭД) принадлежат кольцу 31, а их объединение U (0; 1 = (0; 1) ¢8¾. 3. Пусть/ — отображение множества X в множество Y. Для любой непустой системы S подмножеств Y рассмотрим совокупность /-1 (S) всех полных прообразов множеств В £ S, т. е. f-1 (S) = {f~~l (В) : В £ £ S}. Доказать, что справедливы следующие утверждения: а) если S — кольцо, то f~l (S) также кольцо; б) если S — а-алгебра, то f~l (S) также а-алгебра. Решение, а) Отметим, что совокупность множеств /-1 (S) является не пустой, поскольку S Ф- 0. Рассмотрим множества Ах и Л2, принадлежащие /-1 (S). Тогда существуют такие элементы Вх и В2 кольца S, что A/ = /_1 (В/) (/' = 1, 2). Поэтому, на основании соответствующих свойств полных прообразов, заключаем, что Лх (J Л2 = Г~п (Bt (J В2)> Аг Л Л2 = ГХ (Bi Л В2) иЛ!\Л2 = Г~1 (В,\В2), которые легко проверяются. Следовательно, множества Ai (J Л2, At |~) Л2 и Лх\Л2 также принадлежат/-1 (S). Отсюда получаем, что симметрическая разность ЛхДЛз = (Лх\Л2) (J (ЛзХЛх) также является элементом системы множеств f~l (S). Значит, класс множеств f~l (S) образует кольцо, б) Пусть Е — единица алгебры S. Тогда, согласно определению, множество Е содержит все элементы В £ S. Поэтому A cz f~l (Е) для каждого Л £ /-1 (S). Тогда j~l (Е) является единицей кольца f~x (S), а совокупность f~l (S) образует алгебру. Осталось показать, что f~ (S) является а-алгеброй. С этой целью рассмотрим бесконечную последовательность множеств Ak = fl (Вк) алгебры f-1 (S), где Bk £S (VAC £ ^J). Используя свойство полного прообраза объединения бесконеч- 41
ного числа множеств, получаем М* = jj.r'^-r'fu вк)=г1(В), где B= (J Вк gS. Таким образом, (J /4ft£/ (S), и поэтому совокуплю *=i ность f~l (S) образует а-алгебру. 4. Привести пример кольца, которое было бы замкнутым относительно счетных пересечений (т. е. было бы 6-кольцом), но не было бы а- кольцом. Решение. Покажем, что совокупность Шт всех ограниченных, измеримых по Лебегу множеств пространства IRm является одним из примеров искомого кольца. Действительно, как отмечалось в § 1, система множеств ЭДт образует кольцо. Известно, что если (Ak)f=i — произвольная последовательность ограниченных, измеримых по Лебе- гу множеств в Щт, то их пересечение f) Ak является измеримым мно- жеством и к тому же ограниченным. Поэтому совокупность %'т образует б-кольцо. Теперь рассмотрим последовательность замкнутых параллелепипедов Р (я) = [—п; п] х ... X [—п; п] (п £ ЭД) пространства JR!". Для каждого п £ ЭД параллелепипед Р (п) £ 2d, но тем не ме- нее (J Р (п) = IRm £ 2lm. Следовательно, б-кольцо 2lm не является а-кольцом. Другими примерами искомого кольца могут бмть совокупность всех конечных подмножеств некоторого бесконечного множества X, а также класс всех ограниченных множеств пространства IRm. 5. Пусть X — множество всех рациональных чисел отрезка [0; 1], а система множеств 9¾ состоит из пересечений X с произвольными интервалами (а; Ь), отрезками [а; Ь] или полуинтервалами [a; b), (а; Ь] сегмента [0; 1], где а ^ Ь. Если множество Аа<ь £ 9? совпадает с одним из множеств (а; Ь) Г) X, [a; b) f) X, (а; Ь] П X и [а; Ь] |") X, то Ц (Аа,ь) = Ь — i. Доказать, что функция множеств ц, определенная на 9J, является мерой, но не а-аддитивной мерой. Решение. Покажем, что система 9J образует полукольцо. Пусть Aa,ii и Ac<d — произвольные множества совокупности 9¾. Например, Аа,ь = (а; Ъ) П X и ACid = [с; d) f) X. Найдем их пересечение Аа,ь П &c,d- Еслиd ^.а или с~^Ъ, то Аа,ь П Ac,<t = 0 (Е 9¾. В других случаях Аа>ь П Ас4 = /4а,р, где а = max (а, с), a р" = min (Ь, d), т. е. пересечение /4а,б f) ^crf также является элементом кольца 9J. Если множества Ла,& и Ac,d имеют иной вид, то аналогичные рассуждения также приводят к тому, что Аа,ь Г) Ac,d £ 9?. Таким образом, пересечение двух произвольных элементов системы 9J является элементом этой совокупности. Пусть множества Аа,ь и Ас,а из 9¾ таковы, что Аа<ь с= Ас<а. Например, для определенности считаем Аа,ь = = [а; Ь] П X, a ACtd = (с; d] f) X. Тогда множество /4c>d можно представить в виде объединения трех попарно непересекающихся множеств! 42
Ac* = Аа.ь U ((с'> а) П X) [J ((6; d] f) X), принадлежащих совокупности 9¾. Аналогичное представление множества ACt<t в виде непересекающихся элементов системы 9¾. одним из которых является Аа,ы справедливо во всех остальных случаях выбора Аа%ь и Ac<d. Таким образом, рассматриваемая совокупность 9с является полукольцом. Докажем, что функция множеств fx обладает всеми свойствами меры, определенной на полукольце 92. Поскольку, согласно определению, все значения функции и вещественны и неотрицательны, то остановимся на проверке ее аддитивности. Пусть Аа,ь, =* А/ П X (/= 1, ..., п), где Ду с= [0; 1] суть промежутки, концами которых являются числа ah Ь/,— попарно непересекающиеся множества полукольца 92, п причем (J Аа ь. = Ааь также принадлежит 9с. Отсюда следует, что промежутки Ду попарно не пересекаются и (возможно после новой нумерации промежутков ДЛ а = щ_ ^ Ьх — (ц <! Ьг = а3 ^ ... = ая <J < Ьп = Ь. Поэтому справедливо равенство л Р(Аа,ь)= Ъ — ^=^-^ + ^-^+ ••• + b^— ап «- V ц (Ла/1Й/), доказывающее,'что функция fx конечно аддитивна. Следовательно, функция множеств fx обладает всеми свойствами меры. Отметим, что если множество А состоит из одной рациональной точки г отрезка [0; 1], т. е. Л = {г}, то А = [г; г] f) X £ 92, и поэтому fx (Л) = 0. Множество X является счетным: X = {ги г2, ..., г„, ..,}. со Тогда X = (J {/•„}, и если мера ц была бы сх-аддитивной, то fx (X) =» л=1 = Ц Ц {М = 0. Однако X = [0; 1] Г) X, и поэтому [х (X) = 1. Полу- ченное противоречие показывает, что мера fx не является счетно-аддитивной на 92. 6. Пусть X = ЭД — множество натуральных чисел, а 92 — совокупность всех конечных подмножеств (включая и пустое 0) множества X. Для каждого Л £ 92 определим число fx (Л), равное количеству элементов множества Л. Построить лебегово продолжение меры fx. Решение Совокупность множеств 92 является кольцом, а поэтому и полукольцом. Функция множеств fx, определенная на 92, удовлетворяет всем условиям меры. Поскольку объединение счетного числа попарно непересекающихся множеств кольца 92 никогда не принадлежит 92, то можно считать, что мера fx является а-аддитивной. Отметим, что ме- ра fxcx-конечна. Действительно, множество X = (J {п) и каждое мно- n=i жество \п) принадлежит 92. Поэтому, согласно теореме 10, эта мера ц имеет лебегово продолжение на некоторое сг-кольцо подмножеств множества X. Опишем это продолжение. Кольцо 92 не имеет единицы. Поэтому лебегово продолжение меры убудем осуществлять согласно п. 4. Рассмотрим произвольное подмно. 43
жество В множества X. Вначале опишем все те покрытия [)AkzD В к множества В элементами Ак кольца 9i = 9ft (9¾), для которых £ fi (Ak) < + оо. Поскольку для произвольного непустого множества k Ak его мера fi (Ak) ^ 1, то такие покрытия осуществляются только конечными наборами.Но объединение конечного числа элементов кольца 9J снова принадлежит 9J. Таким образом, fi* (В) = inf fi (А), где inf берем по всем элементам А кольца 9J, содержащим В. Отсюда следует, что множество В является конечным и fi* (В) = fi (В). Докажем что fi-измеримыми в смысле Лебега будут только множества кольца 9J. Действительно, произвольное множество В £ 9J является fi-измери- мым, поскольку для каждого е > 0 имеем fi* (ВДВ) = 0<е. Однако, если множество В бесконечно, то для произвольного конечного множества А £ 9J симметрическая разность ВДЛ есть бесконечное множество, и поэтому fi* (ВДЛ) не может быть меньше любого е >. 0. Следовательно, система 91^ всех fi-измеримых множеств совпадает с 92, а мера Лебега — с исходной мерой fi. Поскольку мера fi на 92 является сг-конечной, то можно расширить понятие измеримости, допуская для меры fi бесконечные значения (см. п. 5). А именно, представим множество X в виде объединения попар- оо ио непересекающихся множеств кольца 9?, например X = [J \k]. Тогда пересечения произвольного множества Л с X с одноточечными множествами (£}, k £ ЭД, являются конечными множествами, т. е. элементами а-кольца 91^. Поэтому, согласно определению, множество А оо ц-измеримо и fi (Л) = Yi Ц (А П {*})• Отсюда, если Л — конечное fc=i множество, то его мера fi (Л) равна числу его элементов. Если же Л — бесконечно, то fi (Л) = + оо. Следовательно, класс 91ц, всех fi-измеримых по Лебегу множеств совпадает с совокупностью всех подмножеств множества X, а а-адди- тивная мера ц на нем определяется тем, что fi (А) равна числу элементов Л, если Л — конечно, и fi (Л) = + оо, если Л — бесконечно. 7. Пусть на отрезке X = [0; 1] задана неотрицательная функция / (х). Для каждого конечного множества Л = {х1у ..., хп) точек отрез- п ка [0; 1] положим ц (Л) =- ]£ / (¾). Доказать, что функция множеств fi 4=1 является счетно-аддитивной, но не а-конечной мерой. Решение. Рассмотрим систему 92 всех конечных подмножеств множества X. Тогда 91 является кольцом. Функция множеств fi вещест- веннозначна и неотрицательна на 91. Очевидно, функция является аддитивной на кольце 91. Следовательно, fi обладает всеми свойствами меры. Более того, функция множеств fi а-аддитивна. Действительно, оо если A = U Ak, где Л и все Ак являются элементами кольца 92, Ак f] П Л/ = 0, если к Ф /, то начиная с некоторого номера N множества, 44
i4ft= 0. Поэтому A = (J Ak и, согласно свойству конечной аддитивности N оо меры ц, ц (Л) = £ ц (i4ft) = Ц ft М^). Покажем, что мера ц не является а-конечной. В противном случае отрезок [0; 1] можно было бы представить в виде объединения счетного числа множеств из кольца 9? (т. е. конечных множеств). Но объединение счетного числа конечных множеств является счетным множеством, а отрезок fO; 1] — несчетное множество. Полученное противоречие доказывает правильность сформулированного утверждения. 8. Пусть множество X является отрезком [а; Ь] числовой оси IR, a 92 — совокупность всех полуинтервалов вида [а; В), принадлежащих основному сегменту la; Ь]. Определим на 92 функцию множеств fi^rta; В) = 3 (В) — 3 (а), где у = 3 (х) — монотонно неубывающая непрерывная слева функция, заданная на [а; Ь]. Доказать, что fi^r является a-аддитивной мерой на полукольце 92. Найти (V (а'> Р)> (V (а'< Р] и (V [а; Р]- Решение. Как и в примере 2, можно показать, что совокупность 92 является полукольцом множеств отрезка [a; Ь]. Поскольку функция 3 монотонная, то ц^г — неотрицательная. Покажем, что функция п множеств ц^г аддитивна. Пусть [a; р) = (J [ak; (3ft), где все полуинтер- k=\ валы [ak; рА) cz [а; Ь] попарно не пересекаются. Тогда (возможно, после некоторого изменения нумерации этих полуинтервалов) a = ax < < Pi = «а < Ра = «а < .. < Р„ = Р, и поэтому (V [а; р) = 5Г (р) - 5Г (а) = ЗЮ~3 Ы + 3 (Р-0 - - & (a„_i) + • • • + fir (рх) - gr (aj = £ (i^r [a,; p*). Таким образом, функция множеств ц^г действительно является мерой, определенной на полукольце 92. Нетрудно проверить, что эта мера монотонна. Установим а-аддитивность меры ц^-. Вначале докажем, что ц^г об- оо ладает свойством счетной полуаддитивности. Пусть [а; (3) с (J 1аА; 6*) с= [а; ft], где промежутки [ak\ 6А) попарно не пересекаются. Поскольку Цдг [а; Р) = 3 (Р) — #" (а) и функция #" непрерывна слева, то для каждого е > 0 найдется такое б > 0, что 3 (Р) — ^ (Р — б) < < е. Аналогично для каждого к £ ЭД найдем такие бА > 0, чтоЗ (а^) — — ^ (ak — 8k)<i—^-. Для новых промежутков имеем очевидное включение: [а; р — б] с= (J (ak — 8k; фк). Поэтому, согласно теореме Гейне — Бореля, из этого бесконечного покрытия можно извлечь конечное подпокрытие, т. е. существует п £ ЭД такое, что [а; Э — Ь] сг 45
<= U (ak — бь; Р*)- Отсюда следует включение [а; р — б) с= U [ak — - б*; Р*>- Если подобрать Ьк столь малыми, что полуинтервалы [ак — bk\ PJ {к = 1,2 п) попарно не пересекаются, то на основании свойств аддитивности и монотонности ц^- получим Я (Р -б) - 3- («X X [*" (Р*) - У («* - б*)] < <£ [*" (?*)-#■ («*-б*)]. Воспользовавшись выбором б и Ьк, имеем li^la; р) = #"(р)-#>)<£ [#"(р,)-#"К)]+2е = = f (V [«*: Р*] + 2е. Из последнего неравенства, устремляя е к нулю, находим ц^г [а; Р) ^ о* ^ 1! M'^ff0'*; Рь). т- е- мера Лебега — Стилтьеса и«- на [а; Ь] действитель- но является а-полуаддитивной. Для доказательства ее счетной аддитивности допустим, что оо [а; Р) = (J 1а*; Р*)> гДе \-аь Р*) попарно не пересекаются. Тогда для произвольного натурального п£ЭД справедливо включение п U [«*; Р*) а [а; Р), из которого в силу монотонности и аддитив- п ности меры fi.gr имеем ц^г [а; Р) ^ £ f^r [аА; рА). Если в последнем неравенстве устремить п к + оо, то (%г [а; Р) ^ о* > X ^ 'а*; Р*)* Однако> согласно свойству а-полуаддитивности, имеем (i^rla; Р) ^ ^ (½^¾ рА). Эти два последних неравенства приводят к равенству (V 1«; Р) = V (V [о»; Ра), *=i показывающему, что ц^- является a-аддитивной мерой на 9¾. Поэтому на основании теоремы 6 она допускает продолжение на систему 91^ всех fi^r-измеримых множеств отрезка [a; Ь]. Прежде чем найти меры множеств (а; р), (а; р] и [а; р], докажем, что они fijr-измеримы. Для этого представим их с помощью операций 46
объединения и пересечения посредством множеств вида la, р), а именно: («; Р)==£1[а+-г: Р)' [а; Р^Д^-х5 Р + х)- (а; Р] = Д, а + Т-5 PJU{P>- Согласно свойству непрерывности меры ц^г на %^, имеем: (V К Р) ^Нт (V [а + -у; р) = Нт [#" (р) - У (а + -j-)] - = ^(р)-^(а + 0), 1 (V [а; Pj = Ит |ijr Г а — -j-; р + 6 lim ^(р + х)-^(а-х)] = г(Р + °)-^(а)' ^(а; р] =Цт|1 [« + -L; р) + (V {0} = £" (р) -Г (а +0) + + (^{р}. Осталось найти меру ц^г(Р} точки р. Из представления (р #-(р+_!_)_ «Г (Р) — П Р; Р +-т- следует, что fi^-{P} =Нт к=\ L * / ft-«о -^(Р + о)-Г(р). Следовательно, W(«; p]=^(p)-^(a + 0) + ^(p+0)-^"(p) = = F(P+0)-#*(a + 0). Замечание 1. Отметим, что, в отличне от меры Лебега fx2 на [а; Ь], мера Лебега — Стилтьеса fi~- отдельной точки не обязана равняться нулю. Например, если и* отрезке f—1; 1] задана неубывающая непрерывная слева функция Г—1, — 1<*<0, ^=( 1,0<,<1, то (i^f. {0} = Т (0 + 0) — Т (0) = 1 — (—1) = 2. Тем более, не всякое счетное множество сегмента [а; Ь] имеет ц^.меру нуль. Замечание 2. Аналогично доказывается счетная аддитивность меры Лебега — Стилтьеса ц^., определенной на полукольце 9J всех конечных промежутков вида fa; f$) числовой оси R. Замечание 3. Если бы рассматривалась совокупность 92 всех полуинтервалов вида (а; 0] (отрезка [а; Ь] или всей числовой оси R), а функция Т, порождающая меру Лебега — Стилтьеса ц^, была непрерывной справа, то аналогично мера ц^- также была бы a-аддитивной на %. В этом случае полагают (1^,. (a; f$] = & (Р) — — У (а). В некоторых учебниках рассматриваются именно такие функции &, порождающие меру ц^г-. 9. Пусть 31 — совокупность всех конечных полуинтервалов вида [а, р) числовой оси IR, a W — неубывающая непрерывная слева на 1R 47
функция. Определим на 9? меру Лебега — Стилтьеса ц^ равенством ц^г la; р) = 3" (Р) —#~ (а). Доказать, что класс %$г всех ц^-измеримых множеств, полученных с помощью лебегова продолжения меры ц^, совпадает с совокупностью 2R всех подмножеств числовой оси IR, если» ,0, —с»<л;<0) а) ^ (*) = 6)3(х) = 1, 0<х< + оо; 0, — oo<*s^0, — [— х], 0<х<2, 5, 2<х<-|-оо. Найти меру Лебега — Стилтьеса ^ (А) для каждого A £ 2". Решение, а) Из определения меры ц^ на полукольце 9i следует, что ц^г [a; Р) = 0, если полуинтервал la; р) не содержит точку х = 0, и (*5г la; Р) = 1. если 0 £ |а; р). Распространим меру ц^г на кольцо 9¾ (9¾). л Если Л £ 9¾ (91), то, согласно теореме 1, имеем А = (J [a^; pfe), причем полуинтервалы lafe; pfe) попарно не пересекаются. Поэтому, если 0 £ А, roOg; lafe;Pfe) (£ = 1 п)и\1дг(А)= £ ц^ laft; pft) = 0. Если 0g Л, то имеем только одно из множеств [afe; (ЗД содержащее х = 0, а тогда ц^г- (Л) = 1. Следовательно, мера ц^- каждого множества Л кольца 9¾ (Ж) либо равна единице (если 0 £ Л), либо равна нулю (если 0 g Л). Поскольку мера ц^г является a-аддитивной на 92 (см. пример 8), то для нее можно построить ее лебегово продолжение. С этой целью найдем вначале внешнюю меру множеств А £ 2R. Напомним, что н.^г(Л) = inf ][] fijr (Ak), где нижняя грань берется повеем k конечным или счетным покрытиям (J Ак множества Л элементами Ak к полукольца Ш. Если Л = (0; + оо), то, рассматривая покрытие (0; + °°>= U -j-; k\, имеем ц^-(0; + оо)< £ ц^. _-, k) = 0. Следовательно, (^(0; + с») = 0. Аналогично, ц^-(—оо; 0) = 0. Если же рассматривать множество Л ={0}, то для каждого его покрытия (J Ak k множествами Ak £ 9¾ имеется хотя бы одно из них, содержащее точку х = 0. Поэтому £ (^(Л^)^ I, т. е. ).1^-(Л )!>1. Далее пользуясь покры- тием Л = {0} с: [— 1; 1], получаем, что ц^- (Л) ^ 1. Таким образом, в действительности ц^- ({0}) = 1. Рассмотрим теперь произвольные множества Л £ 2R. Из свойства монотонности внешней меры ц^- (состоящем в том, что если Лх с: Л2, то ц^- (Л^ <; ц^- (Л2)) следует, что ц^- (Л) = О, если Л cz (0; + с») или А а (—оо; 0). Если же {0} с: Л, то ц^- (Л);> 4«
^ 1. Кроме того, для такого Л, рассматривая, например, покрытие Л с: (J \k; k + 1), имеем fijr (Л) <; 1. Следовательно, если 0 6 Л, то ц>(лГ= 1. Покажем, что произвольное множество Л £ 2R является (^-измеримым. Действительно, если Л с: (0; + оо) или Л с: (— с»; 0), то (½7- И) = 0, а поэтому Л fx^-измеримо и (1^г(Л) = 0. Если же 0£ Л, то из неравенства [х^-(ЛД[—1; 1)) = (х^г((Л \ [— 1; l))(jl—1; 1)\ \Л))=0<Ге, справедливого для каждого е ;> 0, заключаем, что множество Л является ц^-измеримым и р^ (А) = ц^- (Л) = 1. Замечание. Этот пример также показывает, что мера Лебега — Стнлтьеса у.^? существенно отличается от меры Лебега fij на R. В самом деле, как отмечалось в § 1, всегда существует fij-неизмеримое подмножество (^-измеримого множества положительной меры. В примере 9 все подмножества числовой оси R являются (t~- нзмернмымн. Кроме того, (ij-мера точки (и даже произвольного счетного множества) пространства R равна нулю. А в рассматриваемом примере (i~- ((0}) = 1. б) Из определения меры ц^г на полукольце 92 следует, что fx^. [а; В) = 0, если полуинтервал [а; В) не содержит точек 0, 1 и 2. Если 0 € € [а; В), но точки х = 1 и х = 2 ему не принадлежат, то (х^г [а; В) = 1. Аналогично, если 1 £ [а; В), но 0 £ [а; В), 2 g [а; В), то (х^г [а; 6) = 1. Наконец, если 2£ [а; В), но 0 £ [а; В) и 1 g: [а; Р), то (х^г [а; В) = 3. Далее, мера (х^г являеся а-аддитивной на полукольце 92 (см. пример 8) и поэтому можно построить ее лебегово продолжение. Для этого вначале она стандартным образом продолжается на наименьшее кольцо 91 (92), содержащее 92. Рассмотрим теперь внешнюю меру (х^-. Если вначале взять множество Л = (— с»; 0), то из равенства Л = (J *=i — k; —J.) имеем (х|г(Л): k \ f^r — k\ —r-| = 0, т. е. (х^г (Л) = 0. Аналогично, внешние меры гервалов (0; 1), (1; 2) и Поскольку полуинтервал интервалов (0; 1), (1; 2) и (2; + оо) также равны нулю. Найдем fx^-({2}). Y', -g-j содержит точку х =2, то (х^-({2})^ ^ 3. Однако, каждое покрытие {2) с: (J Ak, где все Ак £ 92, обладает k тем свойством, что V (х^г (Л*,)>3. Поэтому согласно определению внеш- к ней меры (х^г ({2}) > 3 и, таким образом, в действительности (х^-({2}) = = 3. Аналогично приходим к выводу, что fx^- ({0}) = fx^- ({1}) = 1. Как и в случае а), нетрудно получить, что если Л не содержит ни одной из точек х = 0, х = 1 и х = 2, то (х^- (Л) = 0. Если множеству А 49
принадлежит хотя бы одна из точек х = 0, х = 1 или х = 2, то 2 Н'ХЛ) = £ Л. гДе Ро = Pi = 1. а /?2 = 3. Поскольку каждое множество внешней ц|г-меры нуль fi^r-измеримо, то произвольное множество А £ 2", не содержащее точек х = 0, х = = 1 и х = 2, является ц^-измеримым и ц^г (/4) = ц^- (Л) = 0. Если А П 2 П {0, 1, 2} =^= ф, то оно также ц^-измеримо и ^(Л) = £ /?А. Покажем последнее, рассмотрев для примера случай, когда 1 £ А и 2£ Л, но 0 g Л. Тогда, поскольку (i^-l Л A -^-; -у)) = 0, множество Л является fi^r-измеримым и (1^г(Л) = ц|г (Л) = /?х + /?2 = 4. Аналогично рассматриваются остальные случаи. Ю.*ТТусть 9¾ — совокупность всех конечных промежутков числовой оси IR. Определим на 9¾ функцию множеств ц (Л) = —Х— f e~x'dx (V Л б 91) (если Л = ^ или Л состоит только из одной точки, то считаем ц (Л) =» = 0). Доказать, что функция ц является а-аддитивной мерой на 9¾. Найти fi(IR) и (i ([0; + с»)). Решение. Совокупность 9t образует полукольцо, а функция ц принимает только действительные и неотрицательные значения. Покажем, что fi — аддитивная функция множеств. Если промежуток Л представ- п лен в виде объединения A = [) Ak конечного числа непересекающихся k=i промежутков Ак числовой оси IR, то по свойству аддитивности интеграла имеем С п С п |i (Л) = -Ы tr*dx = £ -^ e-^-dx = S |i (Л,). Следовательно, функция множеств ц является мерой, определенной на полукольце 9t. Докажем, что она а-аддитивна. Пусть промежуток оо Л представлен в виде объединения Л = (J Ak счетного числа попарно непересекающихся промежутков Ak. Из свойства а-аддитивности меры о* Лебега fxx следует, что (½ (Л) = £ M-i (^*)- Поэтому для каждого е> 0 fe=i найдется п0 £ ЭД, что при N>n0 i! (½ (Л J <е. Рассмотрим представ- I N \ _ N ление промежутка Л в виде Л = I (J Л J (J Лм, где Лм = Л \ (J Лй — \fe=l / ha=\ измеримое поЖордану множество (как разность таковых). Тогда мера Б0
Жордана Hi (А) оценивается следующим образом; (½ (Ак) = (½ (Лк) = (½ ( И Л J = £ Hi (Ak) < е. Поэтому, согласно свойству аддитивности интеграла, имеем N N И^) = Е т4=- f *-*"<** + "IT- f *-*'dx = £ И^*) + 1 =- f er*ldx. я J AN Оценим соответствующий интеграл AN Таким образом, для каждого е>0 найден номер п0 такой, что как только N>rt0, то ИЛ)-2 И (Ак) < оо Поэтому И-<4) = 2 И^ь)» и> следовательно, мера ц, порождение 1 ная весовой функцией, является а-аддитивной на полукольце 9¾. Эту меру можно распространить, используя лебегово продолжение меры, до некоторой счетно-аддитивной меры ц, заданной на а-кольце йд р.-измеримых множеств. Поскольку каждое открытое множество G числовой оси можно представить в виде объединения не более чем счетного числа интервалов, то G £ ЭДц,. Тогда и каждое замкнутое множество F с 1R является ц-измеримым. Поэтому произвольное борелево множество числовой оси IR (х-измеримо, и поскольку IR = (J [—k; к], то k +оо ИК) = 11т И— k; k] = lim-4=- ( e-xtdx=>-4=- С e~x'dx == 1. *-°о *-ос V" ij V" _«, Поскольку бесконечный промежуток [0; + оо) является боре- левым множеством, то он также ц-измерим. Из представления [0; + оо) = {о} и (0; +оо) = {0} и и, [4-; k следует, что к +аа И№; + °°)) = П{0}) + Пт-^ С er-*'dx=-}= Г er*dx~\-. *-юо У n •( fn } * T 81
11. Пусть у = g(x), х£ IR, —фиксированная положительная функ- ция, обладающая свойством ] g (х) dx = 1. Рассмотрим на множест- ве s числовых последовательностей полукольцо 91 всех цилиндрических множеств А вида A = {х = (ii, .... In, • ••) (Е s: lt £ A,, / — 1, ... ..., n), где Aj — промежутки числовой оси IR. Для каждого такого мно- п р жества А положим ц (Л) = П ) 8 (•*) ^*- Доказать, что функция /=i Д/ множеств (х является мерой, определенной на полукольце 9¾. Решение. Отметим, что функция множеств ц определена на 91 корректно. Действительно, если рассмотреть такие два представления цилиндрического множества А, что Л = {*€*:£/€Д/,/=1, .... л} =■{*€*: £i€Ai Ь,€ Д„, £«+i€R}. то, с одной стороны, fi(/4) = П J g-(*)d*, а с другой — п п /=1 f д/ /= g (*) dx ■ -•д, +оо ь —оо (jc) dx = п : П /=1 f д/ Функция множеств fi принимает только действительные и неотрицательные значения. Покажем, что она аддитивна на 9t. Пусть цилинд- т рическое множество А £ 9t представлено объединением А = [} Ak ко- нечного числа попарно непересекающихся множеств Ak £ 9t. Поскольку множеств Ak{k = 1, .... т) конечное число, то существует такой номер п0, что каждое Ак можно представить в виде: Ak = {х £ s: £/ £ £ Д(/°, / = 1, ..., п0}, где Д/*' — некоторые промежутки числовой оси. Множество А также представим в виде А = {х £ s: I, £ Д/, / = 1, ... ..., я0}, где Д,-— промежутки в IR. Тогда Дх X • • • X Д„0 = О (Aife) X • • • X Д£>), причем промежутки Д^' X ... X Дп] пространства IR"0 попарно не пересекаются. Поэтому, используя свойство аддитивности интеграла в пространстве IR"0, имеем (х (Л) = J ... j g (Xl) ...g (хПа) dx! ... dxnt = д,х-.хд„0 = E J • • • J g (*i) ...g (*„„) dXi ... dxno = Ц (i (Ak). Следовательно, функция множеств ц, определенная на полукольце 92, действительно является мерой. 52
Замечание. Можно показать, что мера fi является а-аддитивной на 9t. В частности, каноническая гауссова мера а> является счетно-аддитивной на 92. Поэтому ее можно продолжить до а-аддитивной меры <а, определенной на некоторой ст-алгебре 21^ подмножеств множества s. 12. Доказать, что множество Acs является ю-измеримым, и найти и (Л), если: а) A = {x£s:\ln\^V\n(n + 2), п£ы)\ б) A = {x£s:\ln\^V\n(n+2) + 1, п£ы}- Решение, а) Если рассмотреть последовательность ю-измеримых цилиндрических множеств /4N = {x£s: \ g„] <lKln (п + 2), l^n^N}, то А = f) /4N, и поэтому А является также ю-измеримым. N=1 Кроме того, согласно свойству непрерывности меры ш, имеем a (A) = lim ш (An). Следовательно, N-*oo • V'ln (n+2) со (Л) = lim fl I -4=- f e-*'dJt 0 Поэтому надо исследовать на сходимость бесконечное произведение 2 Для этого вначале докажем, что при t> ,=- справедливы неравенства -н» ТГ«-''< J «-*'<**<-^-е-". (7) из которых как следствие получаем t 1 -L-e-'^-H^f e-*Vf*<l U-«-". (8) >Лп* "Кя # 2/я/ -}-со -|-оо Действительно, \ e-"'dx<. \ -£- e~x'dx = -^- е-'2- Кроме того, касательная к кривой у = е-** в точке х = t имеет угловой коэффициент —2ter~i' и, когда t> ,.■ , она проходит ни- же графика функции. Эта касательная пересекает ось абсцисс в точке х = *~^--ог- Поэтому площадь треугольника, ограниченного Касательной, линиями х — t и у— 0, равна -ц- е~р. Следовательно, e~'x'dx > -Т7- йг*'. Поэтому неравенства (7) доказаны. 63 /
Используя неравенства (8), оценим общий член рассматриваемого бесконечного произведения. Имеем V in (п+2) 1 р= ' <-|=^ [ e-*'dx<l — /я (/г+ 2)/In (/г+ 2) ^ /я I 1 2 /я (п + 2) /in (л + 2) Поскольку ряд У -Тг=-—, лч .——-==- расходящийся, то иссле- ^1 Кя (л + 2) у 1п (л + 2) дуемое произведение является расходящимся к нулю. Поэтому множество А имеет <о-меру нуль, т. е. to (Л) = 0. б) Как и выше, множество А является «-измеримым и Vln (rt+2)-f-l П / 2 «Ч . Поэтому исследуем на сходимость бесконечное произведение Vln (л+2)+1 |(Л) = Нт П (-^=- [ ег*'йх П. тг I -*'• Воспользовавшись неравенствами (8), оценим общий член этого произведения e-2VlM^+2)-l 2 Vmopj+l /я (л +2) (/in (л +2)+1) /я 0J e-2Vln (n+2)-l 2 /л (л + 2) (Vln (/г + 2) + 1) S°° --2Vln (rt+2) ,_, , является сходящимся, поскольку „=1 (/г+ 2) (/In (/г+2)+1) ' «S справедливо неравенство g-2Vln (п+2) (/1 + 2)(/^(/1 + 2)+17^ 4 (In (/г + 2)) (/г+ 2) (/In (n+ 2)+1) * Поэтому исследуемое бесконечное произведение сходится и г «, / Vln(«+2)+l й(Л) = П у=- j e-*Vfc|. Следовательно, to (А) > 0. ¢4
13. Вычислить меру Винера множества A = {jt(0GCo[0; я]: л; (-^-) <; <0, *(я)>0}. Решение. Множество А является цилиндрическим, и поэтому оно цш-измеримо. Его мера вычисляется по формуле (6), в которой следует положить п = 2, ti = -g- . tt = л, а Дх = (— оо; 0) и Д2 = (0; + с»). Следовательно, мера Винера множества А определяется соотношением ... 2 f Т ( i? + (§2 — Si)2 I .t ., Vw (Л) = -jr j^ j exp ' -^ dt&r В последнем интеграле перейдем к полярным координатам |2 = <, л = г cos ф, Si = г sin ф; при этом угол ф изменяется от „— до 0 (IV четверть), аг^О. Поэтому о +~ 2 Г Г I 2 ^ sina(p + cos2<p — 2 sin ф cos ф 1*»И) =-^5- J d(P J expj —г -я" e rdr = "2T J d<p 2 sin2 ф + cos2 ф — 2 sin ф cos ф и dy cos2 ф (2 tg2 (p + 1 — 2 tg ф) = ~2lT J ' dt 2t3 + 2/+1 14. Доказать, что множество A = {x = x (t) £ C0 [0; я] : * (t) ^ ^ 0, V t £ [0; я]} является (хш-измеримым множеством винеровского Пространства и оно принадлежит наименьшей а-алгебре, содержащей все цилиндрические множества. Решение. Пусть {tlt ..., tn, ...} — последовательность всех рациональных чисел отрезка [0; я]. Поскольку все функции пространства Q, [0; я] непрерывные, а рациональные точки всюду плотны на сегменте [0; я],то исследуемое множество можно представить в виде Л-{* = *(*)€С0[0; n]:x(ta)^0,Vn£n}- оо Поэтому справедливо равенство А = f) {* = *(0 G О, [0; я]:х (/„) > 0}. Но каждое из множеств {х =* х (t) £ С0 [0; я]: х (ta) > 0} является объединением счетного числа цилиндрических множеств {* = дс(0€С[0;я]:дс(У>0}= U {*-*Ю€С,[0; я] :()<*(*„)<*}. 55
Следовательно, множество А представляется в виде /1=0 U {* = *(*)€С0[0; я] :0<* (*„)<*}, откуда следует цш-измеримость А и то, что оно принадлежит наименьшей а-алгебре, содержащей все цилиндрические множества. Предположение о том, что исходная мера fi задана на полукольце, а не на некоторой произвольной системе, существенно для однозначности ее продолжения. Следующий пример подтверждает это. 15. Рассмотрим в единичном квадрате X = [0; 1] х [0; 1] плоскости IR2 систему S вертикальных и горизонтальных прямоугольников, у которых длина или ширина равна единице, и припишем каждому такому прямоугольнику меру fi, равную его площади. Указать хотя бы два разных продолжения этой меры на алгебру, порожденную S. Решение. Проверим, что система S не является полукольцом. Действительно, пересечение двух прямоугольников [а; Я х [0; 11 и [0; 1] X [с; d] системы есть прямоугольник fa; b] х [с; d] & S, если [а; Ь]]Ф [0; 1] и 1с; d] ф [0, 1]. Пусть 9¾ (S) — наименьшая алгебра, порожденная системой S, а 9¾ (9¾) — наименьшая алгебра, порожденная полукольцом 9¾ всех прямоугольников квадрата X. Очевидно, что 9¾ (S) с: 9? (9?). Нетрудно показать, что рассматриваемая на S функция множеств fi является мерой. Проверим, для примера, свойство аддитивности (конечной или счетной) функции ц. Если прямоугольник А системы S представлен в виде объединения конечного или счетного числа попарно непересекающихся прямоугольников Ak системы S, то эти прямоугольники Ак должны быть одного вида: либо вертикальные, либо все горизонтальные. Допустим, что все Ak — [ak; bk] X [0; 1]. Тогда А =» = (J (\ак; bk] х [0; 1]), и поэтому множество А имеет такой же вид! А = [а; Ь] х [0; 1]. Отсюда [a; b] = (J [ak: bk], и поскольку Ak f) k П Aj = 0 при k Ф j, то [ak\ bk] П [a,; b,] = 0 для этих же k и j. Согласно свойству счетной аддитивности меры Лебега \ilt имеем b — а = >= 2 Ha [ak> ^*1- Поэтому переходя к множествам А и Ak, получаем k S I* (Л*) = £ И (la*: Ьк\ X [0; 1]) = £ Hi [ak; bk] = b - a = p (A). k k R Следовательно, функция множеств fi является a-аддитивной. Чтобы указать хотя бы два разных продолжения этой меры на кольцо 9¾ (S), зафиксируем в единичном квадрате X одну из его диагоналей dt. Нетрудно проверить, что мера Лебега fxx пересечения прямоугольника Р = [а; Ь) х [0; 1] (или Q = [0; 1] X [а; Ь]) с этой диагональю равна |^2 (Ь — а). Поэтому для таких прямоугольников системы S имеем fx (la; b] х [0; 1]) = -у=- цй (Р (] dj =* b — а и ц, ([0; 1] х X Ы; Ь]) = -L и (Q П <У = Ь - а. 66
Перейдем теперь к функции множеств, заданной на кольце 31 (91), которая множеству A£ffi (¾) сопоставляет число v1 (А) = —^ ^ х X (А П di). Проверим, что функция Vj является а-аддитивной мерой на 9¾ (Щ. Докажем, например, ее счетную аддитивность. Действительно, пусть А — (J Ak, где А и все Ак принадлежат 9? (Щ, Ak [} А, = = 0 при й Ф \. Тогда, используя ст-аддитивность меры Лебега ц1? имеем Vl (^)=-^=-^(^4 П<У=-р|-ЕМЛ*П di) = S vi^j), т. е. функция множеств v1 счетно-аддитивна на 3¾ (9?). Эта мера vx совпадает с исходной мерой ц на системе S. Аналогично, если рассмотреть на 9¾ (W) ст-аддитивную меру v2 = = —— Ц! (Л П djj), где d2 — другая диагональ квадрата X, то также va (Р) = (i (Р) для каждого Р £ S. Таким образом, ст-аддитивные меры v1 и v2 являются продолжениями меры ц на кольцо Ш (9¾) zd ffi (S). Покажем, что это различные меры на 9¾ (S). Действительно, прямоугольник А = 0;1 X V принадлежит 9¾ (S), поскольку он является пересечением двух элементов °4 X [0; 1]и[0; 1] X Г4;1 [± системы S. Одна из мер, например, v1 (A) = -j-, а другая v2 (А) = = 1*1 (А П 4) = 1¾ (0) = 0. Таким образом, указано два различных продолжения меры ц на кольцо 9¾ (S). Если S является полукольцом, то такого быть не может. Задачи для самостоятельной работы 1. Доказать, что совокупность всех ограниченных прямоугольников вида {(ij; |2) £ R2 . ах ^ |х < blt а2 =¾ £3 < Ь2) является полукольцом, не имеющим единицы. 2. Доказать, что совокупность всех ограниченных Подмножеств пространства Ikm образует кольцо, но не является ни а-кольцом, ни а-алгеброй. 3. Доказать, что пересечение произвольной совокупности а-алгебр является а-алгеброй, а объединение двух а-алгебр не является, вообще говоря, а-алгеброй. 4. Пусть К — кольцо множеств, А £ К и 9{д — совокупность всех множеств вида А П В, где В £ К. Доказать, что У1Д — алгебра, единицей которой является А, если К — а-кольцо, то 9{д — а-алгебра. 5. Доказать, что для произвольного множества X множество всех его конечных подмножеств образует кольцо. Прн каком условии на множество X это кольцо будет а) алгеброй, б) а-кольцом' 6. Доказать, что для произвольного бесконечного множества X множество всех его не более чем счетных подмножеств образует а-кольцо. Прн каком условии на X это кольцо будет алгеброй? 7. Доказать, что для произвольного несчетного множества X а-алгебру образует множество всех таких подмножеств X, что либо само это подмножество, либо его дополнение до X не более чем счетно 8. Доказать, что полукольцо множеств 92 будет кольцом, если объединение любых двух множеств нз 92 принадлежит 92. 9. Доказать, что если алгебра множеств 21 такова, что пересечение каждой последовательности ее элементов принадлежит этой алгебре, то 91 есть а-алгебра, 57
10. Класс множеств М называется монотонным классом, если: 1) для любой последовательности множеств (An)^j такой, что Лц а А% G ,.> а Ап с .... иа Ап £ J( следует оо lim Ап = (J Ап £Л; 2) для любой последовательности множеств (Л„)^, такой, что At гэ Л2 :г> ... => Ап =э ..., из Л„ £ ^f следует оо lim Ап = Г) Л„ £^. /г-»оо л=1 Доказать, что алгебра ^Э является а-алгеброй тогда и только тогда, когда она является монотонным классом. 11. Монотонный класс (см. задачу 10) Л (S) называется наименьшим монотонным классом, содержащим совокупность S, если: llScJ1 (S); 2) для любого монотонного класса 2R, содержащего S, Ж (S) с 9К. Доказать, что для любой совокупности S существует наименьший монотонный класс, содержащий S. 12. Пусть И — алгебра. Тогда наименьшая а-алгебра ^ (И), содержащая И, совпадает с наименьшим монотонным классом Л (К), содержащим К. Доказать это утверждение. 13. Пусть X — фиксированное, множество иД,сХ. Через 21 обозначим систему всех таких подмножеств Л с X, что либо Л0 cz А, либо А П Аа = 0- Доказать, что 21 является а-алгеброй. 14. Пусть й — совокупность всех замкнутых множеств в Rm, а И — класс всех открытых множеств пространства R"1. Доказать, что наименьшая а-алгебра, порожденная системой И, совпадает с наименьшей а-алгеброй, порожденной системой К, и является а-алгеброй Jg (Rm) всех борелевых множеств в Rm. 15. Характеристической функцией множества А называется функция если х £ Л, если х $ А. ^Пусть S — некоторая система подмножеств множества X, a S— совокупность всех характеристических функций множеств из S. Доказать, что S — кольцо множеств тогда и только тогда, когда S — алгебраическое кольцо относительно умножения и сложения по модулю 2. 16. Доказать, что декартово произведение полуколец является полукольцом, а декартово произведение колец не является, вообще говоря, кольцом. 17. Пусть 21 — а-алгебра подмножеств X и (Ап\™=1 — последовательность элементов этой алгебры. Доказать, что lim Ап £ 21 и lim Ап £ 21 (определение lim Ап и Нш Ап см. в § 1). П-*00 18. Является ли следующая система множеств полукольцом, кольцом, алгеброй: а) {[а; й] cR:a6Q, й £ Q и а<6} (J 0; *,(*)={0; б) {(а; ujcR: a£Z, b£Z и a<b] п 0; в) {[а; й)< - - ------ R:aeR\Q, ueR\<Q и a<b) [} 0: г) Па; u]cR:ag(Q, Ь£Ы "KM (J 0; д) {[а; J]cE:a^J); е) (К; &i) X (а,; й2) с R2: а{ < Ь., £ = 1, 2} U 0? 19. Пусть ц — мера, заданная на кольце й. Доказать, что: а) ц (Л (J В) = ц (Л) + Ц (В) — Ц (Л П В) для произвольных Л £ И и В £ Л( л " б) если (J Акс=А, n£N, то V ц(Л^Хц(Л), где Л и все Ah— элементы кольца й, причем Л* П ^/ = 0 при й =?= /; 68
в) если U ЛА cz Л, то ^ ц (Л*) < ц (Л), где Л и все Ak — элементы кольца Я, причем Ak (] А, = 0 при k Ф \\ г) ц (ЛАВ) ^ ц (ЛАС) + Ц (CAB) для произвольных Л, В, С из кольца й; д) ц, (Л) — ц (В) | < ц (ЛАВ) для множеств Л и В из й; е) ц (ЛАВ) = ц (Л) + Ц (В) — 2ц (Л П В), если Л, В g И. 20. Пусть fi, и fi, — а-аддитивные меры на кольце И. Доказать, что для произвольных неотрицательных чисел а и Р функция множеств ц = ацх + Рц2 также является а-аддитивной мерой на И. 21. Пусть И — кольцо и ц — мера, заданная на й. Доказать, что ц является а-аддитивной мерой на И тогда и только тогда, когда ц непрерывна снизу, т. е. когда для произвольной монотонно возрастающей последовательности Ах cz Л2 с: ... с Л„ с ... элементов И, (J Л„ £ й, имеем ц ( (J А„ = lira ц (Л„). п=1 \л=] / /г-»оо 22. Пусть х0 £ X и для произвольного подмножества А множества X определена функция множеств ц следующим образом: ц (Л) = 0, если х„ @ Л, ц (Л) = 1, ес- ли х0 £ А. Доказать, что ц — счетно-аддитнвная мера на а-алгебре 2х. 23. Пусть X = {*!, х2, ..., хп, ...} — произвольное счетное множество, а {A>i> Р%, ■■■• Рп< •■■} — последовательность неотрицательных действительных чисел. Определим для каждого подмножества A cz X величину ц (Л) = V рп. Дока- п:хп€А зать, что ц — а-аддитивная мера на а-алгебре 2 . 24. Пусть (X, 21 , ц) — измеримое пространство. Доказать, что совокупность всех множеств меры нуль образует а-алгебру. 25. Пусть 21х — а-алгебра подмножеств множества X, 512 —•■ а-алгебра подмножеств множества Y, а Т : X ->- Y — такое отображение, что Т~1 (2I2) cz 21х. Если ц — а-аддитивная мера на 21ь то для каждого В £ 212, положим v (В) = = ц (Т-1 (В)). Доказать, что v — а-аддитивная мера на 212 (мера v называется образом меры ц при отображении Т). 26. На алгебре всех подмножеств рациональных чисел Q определить а-аддитив- ную меру Ц так, чтобы мера каждого рационального числа была положительна, а мера ц (Q)= 1. 27. Пусть множество X = [a; ft] cz R, а % — совокупность всех полуинтервалов вида (а; {$], принадлежащих основному сегменту [a; ft]. Определим на % функцию множеств ц^ (а; Р] = ^" (Р) — ^" (а), где у = & (х) — монотонно неубывающая непрерывная справа функция, заданная на [a; ft]. Доказать, что ц~- является а-адди тивной мерой на полукольце 91. Найти ц^- (а; Р), ц~. [а; (3) и ц^. [а; (3]. 28. Пусть на R задана неубывающая функция &~. Определим на совокупности % всех ограниченных промежутков числовой оси К функцию множеств ц^. (а; Р) = = 5Г(р_0)-5Г(а+0), цу[а; Р) = У ф - 0) - 5Г (а - 0), ц^ (а; р] = = Т ф + 0) — Т (а + 0) и ц^г- [а; Р] = ^ (Р + 0) — ^ (а — 0). Доказать, что функция ц~. является а-аддитивной мерой на полукольце У1. 29*. Соотношением ц^ [a, ft] = & (ft) — S' (а) устанавливается взиимно однозначное соответствие между мерами Лебега — Стилтьеса ц^. на полукольце Й всех конечных промежутков вида [a; ft) на числовой оси R и производящими функциями ^", определяемое с точностью до эквивалентности. Доказать это утверждение. При этом две производящие функции, разность которых постоянна, называются эквивалентными. 30. Пусть % — совокупность всех ограниченных промежутков вида [a; ft), где а ^ ft, числовой осн R. Если функция у = & (х), х £ К, — неубывающая и непрерывная слева, то определим иа % функцию множеств ц^. [a; ft) = Т (ft) — 51" (а). Доказать, что произвольное множество Л с R является ц^-измеримым, и иайти 59
PgrlA), если: f _2, -co<*^e, \°- -°°<х* ■>*■<*) = ' ,^ ^^ 6) *■(*)- 2, 1<*<3, I 3, e<*< + oo; 5 3<*< + 1, — oo<x<0, и) F(x) = { — [— ex], 0<*<1, 5, 1<*<+оо. 31. Пусть У (x) = — [—x], x £ R. Определить ц^,- (Л), если: а) X = Q П 1-я; я], я б N; б) Л = [—я; я], я £ N; в) Л = {х > 0 : In х < 2}; г) Л = (—я; я) \Q, я£ N. 32. Пусть в Rm задана функция ^" (дгх хт) такая, что смешанная произ- водная — - непрерывна и неотрицательна. Определим для любого из парал- ох1 ... охт лелепипедов Р вида (а; ft), [а; ft), (а; ft] или [а; ft], где a = (¾ ат) £ Rm и 6 = = (uj bm) £ Rm, функцию этих множеств (V(P) = 2(-l)vW^(ClJ .... ст), где суммирование производится по всем точкам с= (си .... ст), у которых каждое Сй принимает значение а, или ft,, a v (с) — число тех координат, для которых с* = = а/1. Доказать а-аддитивность меры ц^. на полукольце !?т. 33. Доказать, что если ^ (|х) ^"m (|т)—конечные монотонно неубываю- т щие непрерывные слева функции на R, то функция ^"(£i, ... , im) = П ^"ь (Ы й=1 является производящей функцией меры Лебега-Стилтьеса в Rm. 34. Пусть 92 — совокупность всех полуинтервалов вида (a, ft], где 0 ^ а ^ < ft <С + оо, числовой оси R. Определим на 92 функцию множеств, считая ц (a; ft] = = 0, если а > 0, и ц (a; ft] = 1, если а = 0. Показать, что ц является мерой на R, но не счетно-аддитивной. 35. Внутренней мерой множества А а [0; 1] называется число ц,. (Л) = 1 — — ц, ([0; 1] \ А), где щ — внешняя мера Лебега. Доказать, что ц, (Л) ^ \ilt(A). 36. В обозначениях задачи 35 доказать, что множество Л с [0; 1] измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда ц1# (Л) = ц, (Л). 37*. Пусть а-аддитивная мера ц задана на полукольце 3? с единицей, а ц* — отвечающая ей внешняя мера. Множество A cz X называется измеримым по Каратео- дори, если для любого подмножества В с X справедливо равенство ц* (В) = Ц* (В П Л)-г-ц*(5\Л). Доказать, что множество Л измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда оно измеримо по Каратеодори. 38. Пусть Х= {1, 2, 3, 4}, 92 = {0, {1), (2), {3, 4}}. Положим ц (0) = 0, Ц ({1}) = I1 ({2}) = 1, Ц ({3, 4}) = 2. Доказать, что ц — а-аддитивная мера на полукольце 9J. Продолжить эту меру на полукольцо К (92). Построить внешнюю меру ц* на совокупности 2 . Описать лебегово продолжение меры ц на а-кольцо ц-изме- римых по Лебегу множеств. 39. Пусть К — кольцо, а (К) — минимальное а-кольцо, содержащее кольцо И; На> (½ — а-конечные меры на а (К), и для произвольного Л £ И имеем цх (Л) < <; щ (Л). Доказать, что для любого А £ а (Й) также справедливо неравенство Нч (Л) < Ц2 0)- ~ 40. Пусть ц — а-конечная мера на кольце И. Доказать, что внешняя мера ц*, построенная по мере ц, является а-коиечной. 60
41. Пусть ц — а-аддитивная мера на алгебре Я подмножеств множества X. Рае- смотрим внешнюю меру ц* на системе 2х и 5§ (И) — наименьшую а-алгебру, содер- жащую К. Доказать, что для произвольного A cz X Ц* (Л) = inf {ц(В): Лей, в€ЗВ(Я)Ь где ц (В) — значение лебегова продолжения меры ц с алгебры й на алгебру Я„ всех ц-измеримых множеств. ' 42. Пусть А с X и выполнены предположения задачи 41. Доказать, что А является (I-измеримым тогда и только тогда, когда А = В U С, где В £ g§ (И) и Ц* (С) = 0. 43. Пусть множество Л с X и выполнены предположения задачи 41. Если для произвольного 8 > 0 существуют такие два множества В и С из а-алгебры g§ (И), что С с Л с S и |i* (S \ С) < «, то/4 является ц-измеримым. Доказать это утверждение. 44. Пусть X = [0; 1] X [0; 1] — единичный квадрат плоскости R2 и % — полукольцо всех прямоугольников, принадлежащих X, вида Ра ь = {(|х, i2) £ X : а <: <j li < b, 0 ^ i2 ^ 1(. Определим на % функцию множеств ц (Ра,(,) = Ь — а. Описать вид лебегова продолжения меры ц. 45. В условиях и обозначениях задачи 44 доказать, что множество А «• "= | (lit ia) € X • 0 ^ £j ^ 1, £2 = —I не является ц-измеримым, и найти ц* (А). 46. Пусть (X, Я, ц) — вероятностное пространство. Доказать, что если последовательность (Л„) ц-измеримых множеств такова, что ц (Ап) = I для каждого «€ N, то Ц П Л„|=1. 47. Пусть ц — счетно-аддитивная мера иа а-кольце Я, /4 £ Я и ц (Л) < + оо. Рассмотрим некоторый класс S попарно непересекающихся множеств, S с Я. Доказать, что множество {В £ S : ц (А (] В) ф 0} не более чем счетно. 48. Доказать, что «ограниченный параллелепипед» в бесконечномерном пространстве s (т. е. множество A = {(ii g„, ...) £ s: а„ < £„ < £>„, V л £ N }, где числовые последовательности (an)^Li и (^^Li ограничены), является ш-измеримым. Найти ев (А). 49. Доказать, что множество A = (i1? ... , £n, ...)6s. £ £21<-|-оо| (час- сто обозначаемое символом /2) является ш-измеримым множеством ш-меры нуль. 50. Пусть Лр = {(Sx, -. , im ...) €s :16^10^1^ +Р. и>и5}, где р € R и По— такой номер, начиная с которого l^in л + Р > 0. Доказать, что для каждого Р множество /4g является ш-измеримым и а> (Ло) = 0 при Р ^ 0, а для Р > О <о (Ар) > 0. Показать, что lim а> (Ар) = 1. V 0-+°° ^ 51*. Пусть A = U\lt ... , \п, ...)£s: lim —L===-=ll. Доказать, что мно- \ л-.» У Inn J жество Л является ш-измеримым и а> (Л) = 1. 52. Доказать, что если В — (^-измеримое множество пространства Rm, то множество Л = {(ilf .... |л, ...) £ s : (Ij, .... im) £ В}, называемое цилиндрическим с основанием В, является ш-измеримым. Показать, что если В является цт-измеримым в смысле Жордана, то т -У Е2 1 С ( <- * <й(Л) = —±=- \ ... \ е *-> dgt . . . <f|m. 53. Пусть 0 < *! < tt ^ я и а, й — произвольные действительные числа. Доказать, что множество Л *=• [х (t) £ С0 [0; я] : а <| х (t2) — х (t{) ^ Ь] является (!„- иэмеримым, и найти его меру (½. 61
Б4. Пусть В — цт-измеримое множество пространства Rm и 0 < /j < /2 < ... < tm ^ я. Определим цилиндрическое множество А = {х (/) £ С0 [0; я]: (х (/J, .... х (^)) £ В}. Доказать, что Л является цш-измеримым и если В — ^„,-измерм- мо в смысле Жордана, то Иш (А) =* -jL-У (^+'~|<г)' "[/^Я^^-/!) ... (/„ 55. Пусть ЗДц, — совокупность всех цилиндрических множеств пространства Со f0; я]. Доказать, что множество A = {х (/) £ С0 [0; я]: max f х (/) f ^ 1} принад- лежит наименьшей а-алгебре % №w)> содержащей %ш. Ответы. 5. а), б) X — конечное. 6. X — счетное. 18. В случаях б) и в) указанные системы множеств являются полукольцами. 27. ц^. (a; f$) = !F (f$ — 0) — & (а), V-r [«; Р) = ^ (Р - 0) - JT (а-0), ц^ [а; 0] = 5г (0) _5Г(а _0). 30. а) ц^ (А) = —= S, если е £ Л, и ц^- (Л) = 0, если е g А; б) ц^. (Л) = 5, если 1 £ Л и 3 £ Л; Rsr (Л) = 2, если 1 g Л, но 3 (? Л; ц^. (Л) = 3, если 3 £ Л, но 1 g А. В остальных случаях ц^. (Л) = 0; в) ц^ (Л) = 4, если 0 £ Л, 1п 2 £ Л и 1 £ Л; ц^. (Л) = 2, если 1 € Л, во 0 £ Л и 1п 2£Л; ц^ (Л) = 1, если 1п 2 £ Л, но 0 £ Л и 1 £ Л; ц^ (Л) = — 1, если 0 £ Л, но 1п 2 % А и 1 £ Л; ц^ (Л) = 2; если 0 £ Л, 1п 2 е Л, но 1 tf А; ц«- (Л) = 3, если 1п 2 £ Л, 1 £ Л, но 0 ^ Л; ц^- (Л) = 3, если 0 £ Л и 1 £ Л, но п 2 g А. В остальных случаях ц^. (Л) = 0. 31. а) ц^ (Л) = 2л + 1; б) ц„. (Л) = ■=2п+1; в) ц™ (Л) = 7; г) ц^. (Л) = 2л — 1. 44. ц-измеримы только множеств! вида А X [0; 1], где множество А является и^-измеримым на отрезке [0; \\. Ь - — 45. а* (А) = 1. 48. ш (Л) = 0. 53. цш (Л) = —, [ е и~и d\. У я (/, — t{) J § 3. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА Пусть X — некоторое непустое множество, 81 — а-алгебра подмножеств множества X, а ц — счетно-аддитивная мера, определенная на 21. 1. Измеримые функции и их свойства. Рассмотрим измеримое пространство (X, Я, р) и напомним, что множества, принадлежащие а-алгебре 21, называются р,- иамерямыми (или просто измеримыми, если известно, о какой мере идет речь). Пусть на множестве Л £ 21 определена числовая функция у = / (х), х £ Л, т. е. f отображает Л в R. Функция / называется измеримой по Лебегу или [i-измеримой, если для произвольного числа с £ R ее лебеговы множества {х £ Л : / (х) < с], \х £ Л : / (х) ^ <с), {х £ Л : / (х) > с} и {х £ Л : / (х) ^ с) являются ц-измеримыми, т. е. принадлежат а-алгебре 21. Можно показать, что измеримость одного из лебеговых множеств для каждого числа с £ R влечет измеримость остальных лебеговых множеств (см. пример 1). Таким образом, для измеримости функции у = f (х), х £ Л, необходимо и достаточно, чтобы одно из лебеговых множеств этой функции при каждом с £ R было (i-измеримым. В частности, если рассматривается измеримое пространство (Rm, ffim, цт) где <ffim ~ % (Rm) — совокупность борелевых множеств в Rm, а fim —мера Лебега в Rm, то цт-измеримые функции у = / (х), определенные на борелевых множествах Л £ 5§т, называются борелевыми (или ^„-измеримыми). Следовательно, функция у = / (х), х £ Л, где Л £ ggm, называется борелевой функцией, если для каждого с £ R, например, множество {х £ Л : / (х) < с} борелево в R"1. Можно показать (см. пример 5), что если у = g (х), х £ Л, является ц-измеримой функцией, а г « / (у) — борелевая функция, определенная на числовой оси К, то 62
функция 2 = / (g (х)), х € /4, ц-измерима. В частности, если / — непрерывная на R функция, то z = / (g (х)), х £ А, ц-измерима. Теорема 1. Если fug — две ^-измеримые функции, определенные на измеримом множестве А, то функции у = / (х) + 8 (*)> У = f (х) — g (х), у = / (х) g (х) и f (х) у «= i-j-i (в последнем случае при условии, что g (х) Ф 0 для каждого х £ А), заданные s \Х) на А, также ^-измеримы. Следующее свойство класса измеримых функций выгодно отличает их от совокупности непрерывных функций, являющихся основным объектом изучения в классическом математическом анализе. Теорема'. Пусть последовательность (/„ (х))^_, ^-измеримых функций, определенных на множестве А £ 21, сходится в каждой точке х £ А к функции у = / (х), х g А. Тогда предельная функция у = f (х), х £ А. является ^-измеримой. Наличие меры ц на а-алгебре 21 позволяет ввести ряд новых (полезных в теории интеграла Лебега) понятий. Две функции / и g, заданные на ц-измеримом множестве А с X, называются эквивалентными (или ц-эквивалентными), если множество {х £ € A : f (х) Ф g (х)} является подмножеством множества ц-меры нуль. В частности если мера ц — полная на а-алгебре 21, то / н g эквивалентны, если ц {х £ А : : / (х) Ф g (х)} = 0. Эквивалентные функции называются еще почти всюду равными (или почти всюду равными относительно меры ц). Эквивалентность функций обозначается так- / ~ g на А или / (х) == g (х) на А. Если две функции / и g, заданные на измеримом множестве А, эквивалентны, то они одновременно измеримы. Введем еще одно важное понятие — понятие сходимости почти всюду. Пусть (/„ (х))^, — последовательность функций, заданных на ц-измеримом множестве А. Тогда говорят, что эта последовательность сходится почти всюду на множестве А к функции у = = / (х), х £ А, если последовательность (/„ М)^=! сходится к функции / (х) в каждой точке х множества Л, кроме, быть может, некоторого подмножества множества меры нуль, содержащегося в А, Иными словами, последовательность (/„ (х)^,, х £ 6 А, сходится почтя всюду на множестве А к функция у — f (х), х£ Л, есля существует такое измеримое множество В с А меры нуль и множество /tj с В, что для каждого* £ А \ А0 справедливо равенство lim fn (х) = f (х). Сходимость почти всюду обозначается так: lim /„ (х) £=1/ (х) на Л, илн /„ (х) —-► f (х) на А, или 11т /„ (х) = f (х) (п. в. на А). Л-*ео Вообще, в этой связи полезно дать следующее определение. Если некоторое высказывание справедливо в одних точках множества Л с X и, может быть, оно не справедливо в других точках, образующих подмножество некоторого множества меры нуль, то говорят, что данное высказывание справедливо почти всюду на множестве Л (или для почти всех х из Л). Например, если множество точек разрыва Гункции у = f (х), х £ Л, является измеримым множеством меры нуль, то функцию назовем непрерывной почти всюду на множестве Л. Аналогично, среди функций, допускающих бесконечные значения, выделяются функции, которые могут принимать * значения -(- оо или — оо только на множестве меры нуль (или на его подмножестве). О таких функциях говорят, что они почти всюду конечны. Важность понятия сходимости почти всюду характеризуется такой теоремой. Теорема 3. Пусть (X, 21, ц) — измеримое пространство и а-аддитивная мера fi полная. Если последовательность ^-измеримых функций (/„ (*))^Li и функция f (х) заданы на ^-измеримом множестве A cz X и fn (х) -*■ f (х) почти всюду на А, то функция f также измерима на А. Отметим, что если функции /„ (п £ N) и / являются только почти всюду конечными на Л, то в этом случае теорема 3 остается правильной. В 1911 г. Д. Ф. Егоровым была доказана следующая важная теорема, устанавливающая связь между понятиями сходимости почти всюду и равномерной сходимости. Теорема 4 (Д. Ф. Е г о р о в а). Если последовательность ^-измеримых и почти всюду конечных функций (/„ (х))^, и почти всюду конечная функция f (х) заданы 63
на ^-измеримом множестве А а X с \i (А) <. + со и f„ (х) -»- / (х) почти всюду на А, то для любого б > 0 существует такое измеримое множество Ай cz А, что: 1) ., (А6) > |* (Л) — б; 2) на множестве Ай последовательность (/„ (*))£Li сходится к f(x) равномерно, т. е. lim sup \f„ (х) — f (х) \ =■ 0. л-*оо x£Aq В теории измеримых функций (а также и в теории вероятностей) существенную роль играет еще одно понятие сходимости функциональной последовательности — сходимость по мере. Для простоты изложения вначале рассмотрим функции с конечными значениями. Пусть на [^-измеримом множестве А с X заданы последовательность (/л (*))„t=i Неизмеримых функций и функция / (х). Говорят, что последовательность dnY^i сходится по мере \i на множестве А к функции /, если для любого а>0 lim Ц {х £ А : | /„ (ж) — / (ж) | > а) = 0. Если и (Л) < + со, то предыдущее условие означает, что множество {х £ А : fn (*) — / (*) I <■ ст) имеет меру, которая при п -»- со становится сколь угодно близкой к мере всего А. Для сходимости по мере используем обозначения: }„ —► / на А, или lim /„ (х) А / (х) на Л. Замечание. Определение сходимости по мере имеет аналогичный смысл и для функций, почти всюду конечных. Однако в этом случае нужно помнить, что множество {х <J A : \fn(x) — f (х) | < а) может не быть дополнением к {х (Е A : \fn (х) — / (х) | ;> ^ а). Ведь, кроме этих двух множеств, в А может содержаться еще непустое подмножество меры 0, состоящее из тех точек, где разность f„ (х) — / (х) не имеет смысла. Теорема 5 (А. Л е б е г а). Если последовательность \х,-измеримых функций (fn (*))nt=i сходимости почти всюду к ^-измеримой функции I (х) на ^-измеримом множестве А с и (А) < + со, то эта лоследовательность сходится по мере к функции f (х) на А. В теореме Лебега нельзя отбросить условие конечности меры |г (А) < + со, т. е. на множестве А с \i (А) = -\- со из сходимости почти всюду не всегда вытекает сходимость по мере. Отметим также, что теорема 5 остается правильной и для последовательности почти всюду конечных функций. Можно показать, что из сходимости последовательности функций по мере, вообще говоря, не следует ее сходимость почти всюду. Действительно, определим для каждого натурального п на полусегменте (0; 1] = А с R функции /{"', /|л), „, ,.., /(д* следующим образом: 1 При < х s£ — , п п п /-ilk — 1 & 0 при х & ; . ^ \ п п \ Занумеровав эти функции в виде функциональной последовательности, получим последовательность, которая сходится по ftepe Лебега ^] к нулевой функции, но в то же время она не сходится в каждой точке х (Е (0; 1]. Таким образом, теорема Лебега ие может быть обращена в полной мере. Тем не менее справедлива следующая теорема. Теорема 6 (Ф. Рисса). Если последовательность ^.-измеримых функций (fn (х))п°=1 сходится по мере к ^-измеримой функции f (х) на измеримом множестве А, то существует такая подпоследовательность (fn (ж))^=1, которая сходится к f (х} почти всюду на А. Измеримые функции могут быть аппроксимированы «простыми» измеримыми функциями. Функция у = h (х), определенная на X, называется простой, если ои» /Г м = 64
р-измерима и принимает не более чем счетное множество значений. Нетрудно проверить, что функция ft (х), принимающая не более чем счетное число различных значений ylt у2, ..., yk, ..., (.1-измерима тогда и только тогда, когда все можества А^ = = \х £ X : ft (х) = уь) [^-измеримы. Теорема 7. Для ^-измеримости функции у = f (х), х £ А, необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность простых функций (ft„ (x))^j, *€ (Е X, которая равномерно сходится к функции f (х) на множестве А. Это определение [^-измеримой функции относится к функциям, заданным на произвольных множествах и в общем случае никак не связано с понятием непрерывной функции. Однако если речь идет о функциях, определенных на ^„-измеримых подмножествах евклидова пространства Rm, то справедлива следующая теорема. Теорема 8 (Н. Н. Лузин а). Если функция f — \ат-измерима и почти всюду конечна на \1т-измеримом множестве A cz IRm, то для каждого е > 0 существует такая непрерывная во всем \Rm функция tp&, что \х.т {х (Е A : f (х) Ф фе (х)} < е. Отметим, что если в теореме Лузина функция / ограничена на А (т. е. I/ (*) I ^ М, V х £ А), то функцию фр (х) также можно выбрать так, что | <р (х) | ^ <; М для любого х £ Rm. Из теоремы Лузина следует, что каждую измеримую функцию можно приблизить непрерывными функциями. Теорема 9 (М. Ф р е ш е). Если функция f \х.т-измерима и почти всюду конечна на \лт-измеримом множестве A cz Rm, то существует такая последовательность (ф„ (*))J£=i непрерывных на Rm функций, что <р„ (х) -+■ f (х) почти всюду на А при п -»- со. 2. Интеграл Лебега и его свойства. В этом пункте рассматривается измеримое пространство (X, 51, ^), где счетно-аддитивная мера ц предполагается а-конечной и полной. Определим интеграл Лебега от вещественнозначных функций, заданных на [^-измеримых множествах, являющихся подмножествами X. Удобно различать два случая в зависимости от того, является ли мера \i (X) конечной или бесконечной. 1. Пусть измеримое пространство (X, 21, ^) таково, что ^ (X) конечна, т. е. fi (X) < + со. Вначале введем понятие интеграла Лебега для простых функций. Пусть ft — некоторая простая функция, принимающая значения ylt у2, ..., ук, ..., причем уь ф У/ при k Ф /', к А — некоторое [^-измеримое подмножество X. Тогда простая функция ft называется интегрируемой или суммируемой по мере \i на множестве А, если ряд £ VkV- (Ak), где Ak = {хе A : t (х) = yk) (1) if абсолютно сходится. Если ft — интегрируемая функция, то сумма ряда (1) называется интегралом Лебега от ft по множеству А и обозначается так: A k Требование абсолютной сходимости ряда (1) обусловлено тем, что интеграл Лебега f ft (x)d\x. от простой функции ft не должен зависеть от порядка нумерации л значений этой функции, т. е. сумма ряда (1) не должна зависеть от перестановки слагаемых этого ряда, что возможно лишь тогда, когда ряд (1) сходится абсолютно. В определении интеграла Лебега от простой функции ft предполагается, что все ее значения yk различны. Однако если измеримое множество А представлено в виде объединения A = U В^ попарно непересекающихся измеримых множеств Ък и на k каждом Bk функция ft постоянна, т. е. ft (х) = hk, V х (Е В^, то j- ft (х) d\i ■= А 8 8-74 65
= V Н/,р (Bk), причем простая функция А интегрируема на А тогда и только тогда, * когда ря." V /iiii (Вь) сходится абсолютно. ч Определенна 1. Назовем измеримую функцию у — f (х), х (Е А, интегрируемой или суммируемой по Лебегу на р-измеримом множестве А, если существует последовательность (kn (.r))^L,, х 6 X, простых интегрируемых на А функций, равномерно сходящаяся на А к функции f (х). Предел Hm \ А„ (х) dp (2) А обозначим [ f (х) dp и назовем интегралом Лебега функции f по множеству А. 'а Отметим, что интегрируемую функцию / на множестве А называют еще ц-интег- рируемой па А, если надо подчеркнуть, что речь идет о мере р. Это определени корректно, т. е. для любой интегрируемой на А функции / предел (2) существует и не зависит от последовательности простых функций, равномерно сходящейся на А к /. Нетрудно проверить, что для просты* функций определение 1 совпадает с ранее зведенным определением интегрируемости. Кроме того, каждая ограниченная измеримая на измеримом множестве А функция является интегрируемой по Лебегу на А. В частности, постоянная функция / (х) = с, х £ А, интегрируема на Л и | / (х) dp = \ cdp = с • р (А). Напомним основные свойства интеграла Лебега: 1) если функции у = / (х), х £ А, и y=g (х), х £ А, интегрируемы на fi-из- меримом множестве А, то для произвольных действительных чисел а и fi функция у = а/ (х) + pg (х), х £ А, также интегрируема на Л и f [а/ (х) + fe> (*)] dp, = a J / (х) dp. + р J g (х) dp А А А (свойство линейности интеграла Лебега); 2) если функции / и g измеримы на измеримом множестве А и / (х) = g (х) почти всюду на А, то они интегрируемы на А лишь одновременно и £ / (х) dp = А = \g[x)dp (т.е. изменение значений интегрируемой функции на множестве меры А пуль не нарушает интегрируемость функции и при этом сохраняется величина интеграла); 3) если интегрируемые на измеримом множестве А функции fag удовлетворяют почти всюду на А неравенству / (х) ^ g (х), то \ f (х) dp <; [ g (х) dp; в част- А "а ности, если интегрируемая на А функция / ограничена, т. е. т <; / (х) <; М для всех (или почти для всех) х £ А, то т ■ р (A) sg; f f (х) dp sg; M • p (A\; 'a 4) если измеримое множество А такое, что р (А) = 0, то каждая функция /, определенная на А, является р-интегрируемой и £ f (х) dp = 0; А 5) измеримая функция у = f (х), х £ А, интегрируема на А тогда и только тогда, когда у = \ I (х) \} х (Е А, интегрируема на А; при этом I J / (х) dp I <: J | / (х) \ dp; \а \ А 6) если неотрицательная функция ф интегрируема на А и измеримая функция у = } (х), х £ А, удовлетворяет почти всюду на А неравенству |/ (х) \ <; <р (х), то / также интегрируема на А; 6Ь
7) если f—интегрируемая функция на измеримом множестве А, а множество А представлено в виде объединения А = U Ak попарно непересекающихся измери- k мых множеств, то функция / интегрируема на каждом Ак, ряд ^] \ / (х) <2ц абсолют- * Ч но сходится и справедливо равенство J / (X) d|l = £ J f (x) dp (свойство а-аддитивности интеграла Лебега); 8) если измеримое множество А представляется в виде объединения А =[} Ak k попарно непересекающихся измеримых множеств А^, измеримая функция i/ = / (х), х £ А, интегрируема на каждом Ак и ряд £ \ \ I (х) \dp сходится, то функция / k Ak интегрируема на А и J / (*) dp = Е J f (х) dp; k \ 9) если функция y—f (x), x£A, интегрируема на измеримом множестве At то для каждого 8 > 0 существует такое б > 0, что I f / (х) dp I < в для всякого из- меримого множества а а А такого, что р (а) < о (свойство абсолютной непрерывности интеграла Лебега); 10) если неотрицательная функция у = f (х), х (Е А, интегрируема на Л и f / (х) dp = 0, то f (х) = 0 почти всюду на А. А Из этих свойств интеграла Лебега получаем такое утверждение: пусть у = / (х), х (Е X,— неотрицательная функция, интегрируемая на множестве X. Тогда функция множеств & (А)= § f {х) dp, определенная для всех измеримых множеств А А (Е Я, неотрицательна и ,а-аддитивна, т. е. & является счетно-аддитивной мерой на а-алгебре Я. Кроме т(#о, эта функция множеств / (А), А £ Я, связана исходной мерой условием: если р (А) = 0, то и У (А) = 0. Напомним также неравенство Чебышева: если / — неотрицательная и интегрируемая на А функция, а число с > 0, то р {х £ А : / (х) > с) ^ — \ f (х) dp. 'а 2. Рассмотрим теперь случай, когда измеримое пространство (X, Я, р) такое, что р (X) = +оо. Поскольку мы предпола! аем, что мера р о-конечна, то X может быть представлено как объединение монотонно возрастающей последовательности 00 [^-измеримых множеств Х„, л £ N, конечной меры: Х= U Х„, Х„ cz Xn,lf и р (Х„) < + со для каждого п (Е N. Такую последовательность множеств (Х„)~=1 назовем исчерпывающей. Определение 2. Пусть неотрицательная измеримая функция / определена на измеримом множестве А, имеющем, возможно, бесконечную меру. Тогда она называется интегрируемой или суммируемой по Лебегу на А, если для некоторой исчерпывающей последовательности множеств (Х„)^_| функция f интегрируема на каждом множестве Ап= А (] Хп конечной меры и существует конечный предел lim [f(x)dp. (3) 3* 67
Этот предел называется интегралом Лебега от / по множеству А н обозначается символом f / (х) dp. А Нетрудно убедиться в том, что при любом выборе исчерпывающей последовательности (Х,,)^] предел (3) будет одним и тем же. Кроме того, из свойства абсолютной непрерывности интеграла Лебега следует, что если р (А) < + со, то определения 1 и 2 равносильны. Замечание. Отметим, что какова бы ни была исчерпывающая последовательность множеств (Х„)^=1, предел (3) всегда существует, поскольку числовая последовательность § f (x)dp, я £ N. является неубывающей. Но этот предел может рав- Ап ияться + со. Иногда полагают в этом случае, что и §f (x)dp— + со. Но, тем не А менее, функция / называется суммируемой (или интегрируемой) лишь тогда, когда предел (3) конечен для некоторой исчерпывающей последовательности. Пусть на измеримом множестве А (возможно, что[* (А) = -\- со) задана измеримая функция /, которая может принимать значения обоих знаков. Введем положительную и отрицательную части функции /: '+ W I 0, если f (х) < 0, '- (Х) \ О, если f (х) > 0. где х£А. Иными словами, /+(*) = — [ I / (*) I + f (*)]. f_(x) = ~[\f(x)\-t (*)1 «яи /+ (x) = max (/ (x), 0), /__ (x) = max (—/ (x), 0) для x e A. Тогда функцию f можно представить в виде разности двух неотрицательныя функций: f (х) = /+ (х) — /_ (х), х £ А. Очевидно, что функции / , и /_ также являются измеримыми на А. Определение 3. Измеримая функция f называется интегрируемой или суммируемой по Лебегу на измеримом множестве А, если интегрируемы на А функции f, и f_. При этом величина интеграла Лебега ^ I (х) dp определяется формулой А \ f (х) dp = j /+ (х) dp - j /_ (x) dp. Отметим, что если р (А) <+ со, то определение 3 равносильно определению 1. Для интегралов на измеримом множестве бесконечной меры справедливы все свойства 1) —3) и 5) — 10) интегралов Лебега по множествам конечной меры. Следует только отметить, что неравенства т- ц(Л)< ^t(x)dp^M. р(А), фигурирующие в свойстве 3), теперь не являются правильными, поскольку постоянная функция неинтегрируема на множестве А, если р (А) = -{-со. Таким образом, в этом случае не каждая ограниченная измеримая функция интегрируема на А. Совокупность всех интегрируемых по Лебегу функций на измеримом множестве А обозначается ^символом L (А, р) или L (А). Замечание". Предложенная схема построения интеграла Лебега не единственно возможна. Остановимся коротко и на некоторых других (но эквивалентных приведенной выше) схемах. А) Построение интеграла Лебега, восходящее к Лебегу. Пусть вначале измеримая и ограниченная функция у = / (х), х £ А, задана иа измеримом множестве А конечной меры (т. е. р (А) <+ со). Если выполняется неравенство т <; / (х) ^ <; М для всех х £ А, где т и М — некоторые числа, то рассмотрим некоторое раз-
биение П сегмента [т\ М] точками т = у0 < у1 < уг < ...< уп = М. Соотнесем, далее, каждому полуинтервалу [у^, Уьл.]) измеримое множество А^ = {л: £ А : Ук ^ </(х) < (/(,, 1} и положим X = X (П) = max ((/.,,1—У*). Введем нижнюю и «ерхнюю суммы Лебега & и S функции /, отвечающие разбиению П, л—1 и—1 «= *п 0) = £ **i* м*). s = sn (/) = S »*+^ м*)- Нетрудно показать, что множество всех нижних сумм Лебега {sn (/)} ограничено сверху (например, любой верхней суммой Лебега Sn (/)), а множество всех верх- них сумм Лебега {Sn (/)} ограничено снизу (например, произвольной нижней сум« мой Лебега sn (/)). Поэтому существуют и являются конечными величины 3* (/) в ■= sup sn (/), с7* (Л = inf Sn (/), которые берутся по всем разбиениям П отрезка п п Jm;M]. Число д* (/) называется нижним интегралом функции / по множеству А, а 3* (Л— верхним интегралом функции f по А. Вполне естественно ограниченную измеримую функцию / назвать интегрируемой по Лебегу на множестве А, если 3* (/) = 3* (/)■ Это общее число называется интегралом Лебега функции / по множеству А и обозначается символом f / Or) dfi = 3*(f) = 3* (/)• Из очевидного нера- А венства 0 < Sn (/) — sn (f) ^ X • ц (Л) следует, что каждая ограниченная измеримая функция / является интегрируемой на измеримом множестве А, если fi (А) ■< < + оо. Интеграл Лебега для неограниченной измеримой функции у = / (х), определенной иа измеримом множестве А, мера которого конечна, определяется так. Пусть вначале функция у = f (х), х £ А, неотрицательна иа А. Рассмотрим последовательность (/N (#))^=1 срезок функции / (х), определяемых равенствами О t (*), если / (*) < N, 'N 1 N, если /(*)>N. Тогда каждая из функций /N (х) является ограниченной измеримой на А и поэтому интегрируемой на А. Поскольку эта последовательность неубывающая: /n (*) </n+i М (V* £ А и VN £ N), то существует предел lim f /N (x)d\i. Если N-n» д этот предел конечен, то неотрицательная функция у = f (х), х £ А, называется u/t- тегрируемой или суммируемой по Лебегу на множестве А. В этом случае интегралом Лебега функции / по множеству А называется предел lim \ /N (х) dfi = \ f (х) dfi. Пусть теперь неограниченная измеримая функция у = f (х), определенная на измеримом множестве А, мера которого конечна, принимает значения обоих знаков. Тогда для определения интегрируемости / на А воспользуемся разложением / (*) = /+ (*) — f— (*). х € А. Поэтому функцию/ называют^интегрнруемой или суммируемой по Лебегу на множестве А, если интегрируемыми на А являются функции /, и /_. При этом полагаем h (х) dfi = | /+ (х) dfi — j /_ (*) dfi. A A A Интегрируемость измеримой функции, заданной на множестве бесконечной меры, определяется, как и раньше, с помощью систем исчерпывающих множеств. Б) В этой конструкции определение интеграла Лебега также начинаем со случая ограниченной измеримой функции у = f (х), заданной на измеримом множестве А, мера которого конечна. Для этого рассмотрим произвольное разбиение П множества А на конечное число попарно непересекающихся измеримых множеств 69
n Аь, k — 1. 2 n, т. е. пусть A = U /4¾. Имея такое разбиение П, полагаем М^ =» *=1 = sup / (х), т/г = inf / (х) (k = 1, 2, .... л). Для данного разбиения П множества х€Ак *€лк А ограниченной измеримой функции у = f (х), х £ А, составим суммы п п . sn (/) = 2 Щ ■ ч (Дк). «п (/) = £ т* • f* ^ н назовем их верхней и нижней суммами Лебега — Дарбу. Можно показать (аналогично римановской теории интегрирования), что множество {Sn (/)}п верхних сумм Лебега — Дарбу ограничено снизу (например, любой нижней суммой Лебега—Дарбу), а множество {sn (f))u нижних сумм Лебега—Дарбу ограничено сверху (например, произвольной верхней суммой Лебега — Дарбу). Далее вводим верхний д* (/) и нижний д„ (/) интегралы функции / по множеству А с помощью равенств: д* (/) = inf Sn (/), д„ (/) = sup sn (/). Тогда естественно назвать ограниченную измеримую на множестве Ас ц (А) <+ оо функцию / интегрируемой или суммируемой по Лебегу, если д* (/) = д„ (/). Это общее число называют интегралом Лебега функции / на множестве А и обозначают | f(x) d\i. Каждая ограниченная А измеримая функция у = f (х), определенная на измеримом множестве А, мера которого конечна, является интегрируемой по Лебегу на А. Пусть теперь неотрицательная измеримая и почти всюду конечная функция / определена на измеримом множестве А, мера которого может равняться и -j-°°- Рассмотрим всевозможные измеримые подмножества ас Л, имеющие конечную меру, на которых функция / ограничена, и положим ^ / (х) dp, = sup j" f (x) dp.. J A a При этом, если [ I (x) d\i < + оо, то функцию / называют интегрируемой или сумми- "а руемой по Лебегу на множестве А, а величину f / (x)d\x. — ее интегралом по множе- А ству А. Если измеримая функция /, определенная на измеримом множестве А, мера которого может равняться + оо, принимает значения разных знаков, то снова исходим из представления f (х) = / , (х) — /_ (х), х £ А Тогда функция / называется интегрируемой или суммируемой по Лебегу на множестве А, если такими на А являются неотрицательные функции /, и /_. Для интегрируемой функции / на А полагаем J / (х) dy, = f /+ (х) dp.-[f_ (х) d». A A A В) Теперь рассмотрим иной интересный подход к построению интеграла Лебега — так называемую схему Даниэля. В этой схеме для построения интеграла Лебега не требуется изначального введения счетно-аддитивной меры, определенной на а- алгебре 21 подмножеств множества X. Наоборот, о-алгебра 21 и о-аддитивная мера fi на ней будут построены как следствия развития понятия интеграла Лебега, Таким образом, в этой схеме считаем заданным лишь непустое множество X, на котором не выделена ни о-алгебра 21, ни мера р. Пусть на этом множестве X задано семейство Н = Н (X) вещественных функций h(x). х f X, которые называем элементарными. Ппвйполагаем, что семейство Н содержит функцию h (х) = 1, х £ X, и: а"1 вместе с любыми функциями Лх (х), Л2 (х) (х £ X) содержит также функции ohi (х) -f- №2 (*). х € X, при любых вещественных а и (5; б) вместе с каждой функцией Л (х), х £ X, содержит ее одуль \h (х) |, х £ X. 70
В силу свойства а) совокупность Н представляет собой линейное пространство. Следствием из свойства б) является то, что вместе с функцией Л в 'пространство Н входит ее положительная часть Л+ (х) = —- [ | Л (х) | + Л (*)], х £ X, и отрицательная часть Л_ (л:) =-—[ | Л (jc) |— Л (*)], х£Х, а вместе с функциями ftx (х) н ft2 (х) — также max (ftx (х), ft2 (х)) и min (ftj (х), ft2 (х)), х £ X. Далее предполагаем, что каждой элементарной функции ft (х), х £ X, сопоставлено число j ft (х) d\i, называемое элементарным интегралом функции ft по множеству х X, удовлетворяющее условиям: 1) \ [aftt (х) + fJft, (х)\ d\x. = a j ftj (х) d\i + р" I ft2 (х) d^i для любых ftx (х) £ H. x XX Л2 (x) £ H и любых вещественных аир, 2) i ft (х) d\n > 0, если ft £ Н и ft (х) > 0 для каждого х £ X; х 3) если последовательность функций (/2„ (х))^! семейства Н стремится убывал к нулю (в каждой точке х £ X), то lim i ft„ (х) dfi = 0. л-t-oo J Оказывается, что при выполнении условий 1) — 3) совокупность элементарных функций может быть расширена до некоторой совокупности L (X, \i) = L (X) функций, определенных на X, и элементарный интеграл при этом распространяется из Н на L (X), т. е. определяется интеграл j / (х) d\i для каждой функции / g L (X). х Класс L (X) называется совокупностью интегрируемых или суммируемых по Лебегу на множестве X функций, а интеграл [ / (х) dfi — интегралом Лебега функции х f по X. Отметим в общих чертах это расширение. Вначале введем важное для этой конструкции интеграла Лебега понятие множества меры нуль. Множество A cz X называется множеством меры нуль, если для каждого е > 0 существует монотонно возрастающая последовательность элементарных функций 0 ^ ftj (х) <: ft2 (х) ^ ... таких, что для каждого х £ A sup hn (х) > п ^ 1, но [ h„ (x)d\i <. е. Имея понятие множества меры нуль, общепринятым об- х разом вводят понятия «сходимости почти всюду» и «функция почти всюду конечна». Вещественная функция у =■ f (х), х £ X, называется измеримой по Лебегу, если она почти всюду конечна и может быть представлена как предел почти всюду сходящейся лоследовательности элементарных функций. Введем класс функций, который обозначается £+: функция у =«= <р (х), х £ X, принадлежит по определению классу L+, если она может быть представлена как предел (в смысле сходимости почти всюду) монотонно возрастающей на X последовательности элементарных функций ft„, причем интегралы от этих функций ограничены в совокупности: 3ceR: ("ft„(x)4i<c (VngN). х В этом случае для <р £ L+ естественно положить \ (р (х) dfi = lim \ ft„ (х) djx. 71
Наконец, функция у = f (х), х £ X, называется интегрируемой или суммируемой по Лебегу, если она может быть представлена в виде разности / (х) = <р (х) — — tp (х), х £ X, двух функций <р и »е из класса L+. Ее интегралом Лебега называют число ^ f (х) dfi =: ^ <f (х) ац — j" ^ (*) dp. XXX Совокупность всех интегрируемых по Лебегу на X функций, как отмечалось выше, обозначается L (X). Измеримые множества и мера Лебега вводятся так. Множество A с X называется измеримым по Лебегу, если измерима wo характеристическая функция 1Д (х), х £ X, т. е. функция, равная единице на Л и нулю вне А. Для измеримого множества A с X его мерой Лебега естественно считать число \л (А) = ^у.л М ^М" В част- х ности, все множество X измеримо, поскольку хх (х) = 1 является элементарной функцией и ц (X) = f 1 ■ d\i. Тогда класс 21 всех измеримых множеств образует а- х алгебру и мера ц на ней о-адднтивна. Таким образом, мы рассмотрели схему Даниэля для случая, когда ц (X) конечна (это обусловлено тем, что функция h (х) = 1, х£Х, принадлежит Н (X)). Аналогично, но с некоторыми изменениями, эта конструкция используется и в более общей ситуации, когда, возможно, р, (X) = +оэ, т. е. функция h (х) г 1, х £ X, не обязательно является элементарной. Приведем некоторые примеры использования схемы Даниэля. а) Пусть X = [а; Ь\ — ограниченный отрезок числовой оси R. Вещественная функция h, заданная на сегменте [a; ft], называется ступенчатой, если отрезок [а; Ь\ можно разбить на части с помощью точек деления а = х0 <. хх <С ...<*„= Ь так, что функция h постоянна на каждом интервале (х^; *t+i) разбиения, т. е. к(х) = у к, х £ (хь; *£_|_i). где у^ — постоянные (k = 0, 1, .... п — 1). В точках разбиения можно не интересоваться значениями ступенчатой функции, поскольку этих точек конечное число (и, тем самым, эти точки образуют множество меры нуль). Для такой ступенчатой функции h определим интеграл, полагая ] h(x)dp= £ й, (*<■+!— **)• Тогда в качестве совокупности Н ([а; Ь]) элементарных функций берем класс всех ступенчатых функций, определенных на отрезке [а; Ь], а введенный выше интеграл от этих функций — в качестве элементарного интеграла. Можно проверить, что все условия а), б) и 1) — 3) выполняются. Далее по схеме Даниэля строим класв L ([а; Ь]) интегрируемых по Лебегу на [а; Ь] функций, а-алгебру 21 измеримы* по Лебегу подмножеств отрезка [а; Ь) и счетно-аддитивную меру Лебега ц на 91. Аналогичные построения можно осуществить и на конечном интервале (а; Ь) числовой оси R. б) Пусть X = [а; Ь\ — ограниченный отрезок числовой оси R. В качестве класса Н ({а; Ь]) элементарных функций рассмотрим совокупность всех вещественных непрерывных функций, определенных на fa; Ь) (или даже класс интегрируемых по Риману на [а; к\ функций). Элементарным интегралом £ h (х) d\i непрерывной функции у — h (х), х £ [а: Ь], назовем ее интеграл Римана, т. е. положим Ь [ h(x)d\i = [h (х) dx. a Можно показать, что указанные ранее условия, налагаемые на класс элементарных функций и элементарный интеграл, выполняются. Поэтому по схеме Даниэля построим совокупность L ([а; Ь]) (совпадающую с аналогичным классом в примере а)) интегрируемых по Лебегу на [а; Ь] функций, a-алгебру 21 измеримых по Лебегу подмножеств отрезка [а; Ь] н счетно-аддитивную меру Лебега (i на 51, 74
Аналогичные построения можно осуществить также на конечном интервале (а; Ь) числовой оси R. в) Если X = (а; Ь) — бесконечный интервал, то в качестве совокупности элементарных функций можно взять класс ступенчатых функций, или класс неирерыв- ны.х функций, или класс интегрируемых по Риману функций, причем каждая функция должна быть равна нулю вне некоторого конечного интервала, своего для каждой функции (такие функции называются финитными). Элементарным интегралом элементарной функции называют ее интеграл Римана по интервалу (а; Ь). Класс L (а; Ь) интегрируемых по Лебегу функций, а-алгебра измеримых подножеств интервала (а; Ь) и счетно-аддитивная мера Лебега ц. на 21 строятся в этом случае по схеме Даниэля так же, как и раньше. г) Пусть Х= Р — ограниченный параллелепипед пространства R"1. Если параллелепипед Р разбит на конечное число непересекающихся параллелепипедов Pi. ■ ■. Pni то функция, постоянная иа каждом Р;, называется ступенчатой функцией. Интеграл от ступенчатой функции п, принимающей в параллелепипеде Р, значение у/, определяется формулой - ч U(*)d|im = £ урт<Р,). р /-1 Тогда класс всех ступенчатых функций, определенных на Р, образует совокупность Н (Р) элементарных функций, а интеграл Римана f h (х) d\in от ступенчатой Р функции является элементарным. В качестве класса Н (Р) элементарных функций можно было бы также взять совокупность всех непрерывных функций на параллелепипеде Р или интегрируемых по Риману функций на параллелепипеде Р. Элементарным интегралом таких функций будет интеграл Римана от них по параллелепипеду Р. Таким образом, в этом случае также можно использовать схему Данизля н построить измеримое пространство (Р, 2tm, цт). Если параллелепипед Р пространства Rm неограничен, то класс L (Р) интегрируемых на Р функций, а-алгебра 2Im измеримых подмножеств множества Р и а-ад- дитивная мера цт на 21ш строятся так же, как и в примере в). д) Пусть X совпадает с пространством s всех вещественных последовательностей * == (Si, ■■■> S/jf -•)■ Вещественная функция у = / (х), определенная на множестве s, называется цилиндрической, если существуют т £ N и непрерывная на (^функция fim^ (|ь ..., |m) такие, что f(x) = ^(^. ... , U) <Vx€s). Совокупность всех цилиндрических функций образует класс Н (s) элементарных функций. Для цилиндрической функции / (х) = /tml (£,, ..., £„,), х = (£1( ... —■, 5п> ---) € s> определим элементарный интеграл с помощью равенства _ Г/(*)Ао = —-~ 1 ... | /f"](5i, .-., lm)-e *=' dlt ...dU- Можно доказать, что все условия а), б) и 1) — 3), которым подчинены класс элементарных функций и элементарный интеграл, в этом случае выполняются. Следовательно, по схеме Даниэля можно построить совокупность L (s, а>) — L (s) интегрируемых по Лебегу функций, а-алгебру 2Im измеримых подмножеств пространства s и счетно-аддитивную каноническую гауссову меру <и на 2Im. е) Пусть X = Q, [0; я] — совокупность всех непрерывных функций х — х (t), 0 ^ t ^ я, удовлетворяющих условию х (0) = 0. Вещественная функция у = = / (*), определенная на С0 [0; я], называется цилиндрической, если существуют разбиение отрезка [0; я! точками 0 <С tt <. t2 <. ... <. tm = я и непрерывная на С? 74
функция ftml (lu .... lm) такие, что f (x) = /I»! (* </4) x (U) (V л: e Q, [0; 'я]). Для цилиндрической функции f определим интеграл, полагая: 4-ое +°° \ /(*)Фш = ,- ' =- f ■•■ f /""](gi. ...,1т) Я С40;я] |/"я%(4-У ... (/„-/„_,) 6? £ «*H5a_i>« ■I X« fc~2 • «*li - • • rf?m. Тогда совокупность всех цилиндрических функций образует класс Н (С0 [0; it]) элементарных функций, а введенный для них интеграл является элементарным интегралом Следовательно, по схеме Даннэля можно построить совокупность L (С0 10; я], цш) = L (Q, [0; я]) интегрируемых по Винеру функций, о-алгебру 21ю-измеримых по Винеру подмножеств пространства С,, [0; я] и а-аддитивную меру Винера nw на 21ш. 3. Предельный переход под знаком интеграла. Связь интегралов Лебега и Рима- на. В этом пункте рассматривается вопрос о том. когда из сходимости (в том или ином смысле) на измеримом множестве А последовательности интегрируемых функций (/„ (x))%Li, х (j А, к функции / (х), х £ А, следует интегрируемость/ на А и справедливость равенства lim (" /„ (х) ф = f f (х) du.. »-°° А А Если ответ на этот вопрос положительный, то говорят, что возможен предельный переход под знаком интеграла. Рассмотрим в этой связи интеграл Лебега по лебеговой мере \it на отрезке [0; я] числовой оси R. Пусть дана функциональная последовательность непрерывных на [0; я] функций я п sin пх, если 0 < х < — я 0, если — ^ х ^ я. п Тогда каждая функция этой последовательности интегрируема по Лебегу, поскольку она ограничена и измерима на [0; я]. Кроме того, для каждой точки же[0, я] lim /„(*) = 0 = /(х). Однако, \ /„ (х) йц, = 2, V п g N. Следователь- . l0:*J но, равенство lim \ fn(x)d\i1 = \ f (х) dnt не является правильным. Поэтому [0;л1 [0;я] ожидать утверждений типа «из f„ (х) -*■ f (х) следует \ /„ (х) d\i-+ \ f (х) ф> без А А дополнительных предположений о характере сходимости /„ к своему пределу нельзя. Теорема 10 (А. Л е б е г а). Пусть на измеримом множестве А а X задана последовательность (/„ (ж))^_1 интегрируемых на А функций, которая сходится по и мере к некоторой функции f (х) (т. е. fn-+f на А). Если существует неотрицательная интегрируемая на А функция <р (х), что |/„ (х) | < <р (х) при каждом п для почти всех.х £ А, то f также интегрируема на А и lim \ fn(x)d\i= [ f(x)d\i. А А Замечание. 1) Теорема Лебега остается в силе, если в ее формулировке сходи» мость по мере заменить на сходимость почти всюду к измеримой функции /.
2) Неотрицательная интегрируемая функция <р, фигурирующая в теореме Лебега, называется интегрируемой мажорантой функциональной последовательности Для монотонных последовательностей справедлива несколько более сильная Теорема. Теорема 11 (Б. Л е а и). Пусть на измеримом множестве А а X задана неубывающая последовательность /j (х) ^ /2 (х) ^ ... <; /„ (х) ^ ..., х £ А, интегрируемых функций, интегралы от которых ограничены в совокупности Э L6 R :]"/«(*) <*Ц<£ (V«6N). А Тогда почти всюду на А существует конечный предел I {х) ~ lfm /„ (х), функция Л-*оо f интегрируема на А и Jim [f„(x)d\i= [f(x)dp. "-"Я А Условие монотонного неубывания функций }п (х) можно заменить в теореме Б. Леви условием их монотонного невозрастания. Следствие. Если (g„ (дс))~ j — последовательность неотрицательных инте- грируемых на измеримом множестве А с X функций и ^ I gn (х) d\i ■< -J- оо, "=| А оо то почти всюду на А функциональный ряд ^ g„ (х) сходится и Теорема 12 (П. Фату). Пусть на измеримом множестве A ez X задана последовательность (/„ (Jt))^_t неотрицательных интегрируемых функций, которая сходится почти всюду на А к некоторой функции f (х), х £ А, и интегралы от функций этой функциональной последовательности ограничены в совокупности 3L$R:\fn(x)d\i^L (V/iGN). "а Тогда функция f интегрируема на А и { f (х) d\i <; L. А Замечание. Теорема Фату остается в силе, если в ее формулировке сходимость цочти всюду заменить на сходимость по мере. Теорема 13. Пусть на некотором измеримом по Жордану множестве А пространства Rm задана интегрируемая по Роману функция у = / (х), х = (%и Л., \т) € А. Тогда эта функция интегрируема по Лебегу на А относительно меры Лебега р.т и справедливо равенство [ ■■■ [t (6„ • . • , Im) dh . . . d\m = J f (X) d\lm. A A Таким образом, класс L (А) интегрируемых по Лебегу функций в пространстве R"1 содержит всю совокупность интегрируемых по Риману функций и интеграл Лебега является продолжением интеграла Римана на L (А). Поэтому для интеграла Лебега по мере Лебега употребляется то же обозначение, что и для интеграла Римана. ь Например, часто используют обозначение '. f (x)dx для интеграла^ / (х) d\ilt а 1«*] 75
» b интеграл 1 \ f (x, y) dxdy обозначает интеграл Лебега f f f(x, y) d|i2 от функции 1 с la;b]Xlcld] двух переменных (x, у) или употребляют обозначение f ... f f (£ц ..., %т) й\г... A ... dim вместо интеграла Лебега С ... J/ (li Im) tym = [ F (x) d\im функции f no A A ^-измеримому множеству A cz Rm. В терминах меры Лебега можно сформулировать удобный для применения критерий интегрируемости функции по Риману. Теорема 14. Для того чтобы ограниченная на параллелепипеде Р a Rm функция у = / (х) была интегрируемой по Риману, необходимоt и достаточно, чтобы она была непрерывной почти всюду, т. е. множество ее точек разрыва являлось множеством 11т-меры нуль. 4. Прямое произведение мер. Теорема Фубиин. В математическом анализе важную роль играет теорема о сведении двойного (или вообще многократного) интеграла к повторному. В теории кратных интегралов Лебега в этом плане основным результатом является теорема Фубини. Прежде чем ее сформулировать, приведем ряд понятий и утверждений. Если Хи ..., Хт — некоторые непустые множества!, то упорядоченный набор (*!, ..., хт), где хь £ Xk, называется прямым произведением множеств Хь ..., Хт и обозначается символом X, X Х2 X ... X Хт. В частйости, если X! = Х2 = ... = Хт = X, то это множество является m-й степенью множества X : Хт = X X X X X ... X X. Например, координатное m-мерное пространство Rm есть m-я степень числовой прямой R1 = R. Если Sj, S2, ..., Sm — системы подмножеств множеств X|f Х2, ..., Хт, то S = S] X X S2 X ... X Sm обозначает совокупность подмножеств множества X = X] X Х2 X X ... X Хт, представимых в виде А = АЛ X А2 х ... X Ат, где Ak g Sk, k = 1, 2, ..., т. Если Sj = S2 = ... = Sm, то S есть m-я степень множества Sj, т. е. S = S^. Например, система &т параллелепипедов пространства Rm является m-й степенью системы промежутков числовой оси R. Нетрудно доказать, что если системы %lt 9t2, .... %m являются полукольцами подмножеств соответственно множеств Х]? Х2, ..., Хт, то их прямое произведение St, X 9?2 X ... X У1т также является полукольцом. Однако из предположения, что системы %£ (k = 1, ..., m) суть кольца (или о-алгебры), еще не вытекает, вообще говоря, что произведение Ч1-, X %2 X ... X %„, является кольцом (соответственно а- алгеброй). Пусть на полукольцах %ь %2, ..., %m подмножеств множеств XJ; Х2, ..., Хп соответственно заданы MepHvlt v2, ..., \т. Определим на полукольце % = %jX 9L X X ... X%m меру (А = V, X v, х ... X vm формулой ц (A) = Vj (AJ v2 (АЛ) \т (Ат), где А = Аг X А% X ... X Ат £ %. Мера ц называется произведением мер v1( v2, ... .... \т. Например, мера Лебега |хт в Rm является m-й степенью линейной меры Лебега |Х]. Теорема 15. Если меры\Л, v2, ..., vm о-аддитивны соответственно на полукольцах %,, %2, .... % т, то их произведение |х = Vi X v2 X ... X vm также является а-аддитивной мерой на полукольце 9J = 9(, X %2 X ... X %т. Если меры V], v2, ..., \т а-аддитивны, заданы соответственно на а-алгебрах ^1?... ..., 58т подмножеств множеств Х1( Х2, ..., Хт, то их произведением назовем лебегово продолжение меры v, X v2 X ... X vm, определенной иа полукольце ffi} X ^2 X X ... X ^т- Это продолжение обозначим символом vx ® v2 <8 ... <8 vm. Далее для простоты обозначений и формулировок утверждений будем рассматривать произведение только двух мер. Пусть имеем два измеримых пространств.) (X, 2I*i №х) и (Y, 2Ij,, М^), причем меры |iA и (ху предполагаются полными и а-конечными. Тогда на некоторой а-алгебре 21 (i-измеримых множеств, являющихся подмножествами множества X X Y, определена а-аддитивная мера ц = цх ® \\.у. Пусть А — некоторое множество из X X Y. Для каждого фиксированного х (Е X введем множество 4* = {У € ^ : (х, у) £ /4). Аналогично для каждого фиксированного у £ Y рассмот- Тв
рим множество Ау = {х (Е X : (х, у) £ А}. Например, если X и Y — числовые прямые, а, следовательно, X X Y — плоскость, то Ах есть проекция на ось Y сечения мно! жества А прямой х = ха. Теорема 16. Пусть А — ^.-измеримое множество произведения X X Y. Тогда для почти всех х £ X (в смысле меры цх) множества^А х являются неизмеримыми, функция цу (А х) : X -*■ R цх -интегрируема на X и справедливо равенство (г (A) = j \iy (Ах) d\ix Аналогичное утверждение справедливо также для множества Ад и поэтому верно равенство И (A) = j Их (Ау) d\iy. Y Пусть Y = R, а цу = 1½ — линейная мера Лебега на Y. Рассмотрим неотрицательную функцию у = / (х), определенную на множестве А cz X. Тогда подграфи- ком функции f называется множество Цх; y)axRuM,0^*</W) = r(/). Теорема 17. Если неотрицательная функция у = f (х), х £ А, ^^интегрируема на A cz X, то ее подграфик Г (/) является цх <Э Hi = ^-измеримым и ц (Г (/)) = Теорема 17 имеет определенный геометрический смысл: интеграл Лебега от неотрицательной функции представляет собой меру подграфика этой функции. Если X = R, множество А — отрезок [a; b] cz R, а функция / (х) интегрируема по Риману, то теорема 17 сводится к известному выражению интеграла через площадь криволинейной трапеции Г (/). Теорма IS (Г. Ф у б и н и). Рассмотрим два измеримых пространства (X, 21х, Их) и (Y, Цу, \iy), причем предполагаем, что меры цх и цу счетно-аддитивны, а-конечны и полны. Тогда можно рассмотреть измеримое пространство (XX Y, 21, ц), где ц = = цх ® цу, а 21 — а-алгебра ^-измеримых подмножеств множества X X Y. Пусть функция г = / (х. У) ^-интегрируема на неизмеримом множестве A cz X X Y. Тогда для почти всех х (в смысле меры цх) функция / (х, у) цу-интегрируема на Ах (аналогично для почти всех у в смысле меры цу функция /(х, у) цх-интегрируема на А у) и справедливо равенство [ f (х, ц) d\i = \ ( \ f (х, у) d\iy\ d\ix=\(\ f (х, у) dpx\ d!V A X M„ ' Y M„ ' (4) A .. ..K . ..y Сведение двойного интеграла к повторному по формуле (4) возможно и без условия ^-интегрируемости /. Например, справедлива такая теорема. Теорема 19 (Л. Т о н е л л и). Пусть функция г = f (х, у) fi-измерима на множестве A cz X X Y. Тогда функция г = / (х, у) цу-измерима на Ах при почти всех х £ £ X (относительно меры цх) и аналогично f (х, у) — цх-измерима на Ау при почти всех у £ Y (относительно меры у.у), причем если существует хотя бы один из повторных интегралов [([ \f(*, У)\ dpy\ dp.x или U\ If (х, У) | йцх\ d\L4, х \д, / Y М„ I * у то z = f (х, у) является ^-интегрируемой на А и справедливы равенства (4). Как показывают примеры, из существования повторных интегралов \(\ f(x, У) dPy) d\ix и f ( f f(x, у) d\ix \ dpv x4 ' y4 не следует, вообще говоря, ни их равенство, ни ^-интегрируемость функции f на А. 77
5. V сграл Лебега как функция множеств. Теорема Радона — Никодима. Пуст* л, 31, р.) — измеримое пространство, причем ц (X) < +оо. Рассмотрим интегрируемую на X функцию у = f (х), х £ X. Тогда / является интегрируемой на каждом измеримом множестве А с X к, следовательно, интеграл Ф (А) = [ Г (х) dp (5) А (с фиксированной /) представляет собой функцию множеств, определенную на а-ал- гебре Я всех измеримых множеств пространства X. " I Из свойства а-аддитивности интеграла Лебега следует, что функция множеств Ф (А), А £ Я, является счетно-аддитивиой на'Л, г е. если измеримое множестио А представлено в виде объединения A = U А^ конечного или счетного числа попарно k непересекающихся измеримых множеств, то Ф (А) = 2 ф (Аь). к Таким образом, функция Ф, определенная равенством (5), обладает всеми свойствами а-аддитивной меры, за исключением, может бьиь, неотрицательности. Отметим, что если / (х) ;> 0 для почти всех х £ X, то Ф (А) ^ 0 для каждого А £ Я. Исходя из этого дадим такое определение. Определение 4. Пусть X — непустое множество и Я — некоторая а-алгебра лодмножеств множества X, на которой определена конечная а-аддитивная функция множеств Ф. Тогда эта функция множеств Ф называется знакопеременной мерой или зарядом. Рассмотрим заряд ф, определенный на а-алгебре Я подмножеств множества X. Множество А~ £ Я называется отрицательным относительноФ, если Ф (А~ (] A) ^, <| 0 для каждого A £ Я; аналогично A' £ Я называется положительным относительно Ф, если Ф (/4+ П А) :> 0 для любого А £ Я. Теорема 20. Если Ф —заряд, определенный на а-алгебре Я подмножеств множества X, то существует такое множество А~ £ Я, что А~ отрицательно и А^~ = = X \ А~ положительно относительно Ф. Разбиение множества X = А~ {] Л+, А~ П А+ = 0, на отрицательную А~ и положительную /4 + части относительно заряда Ф взывается разложением Хана. Разложение Хана, вообще говоря, не единственно. нако если имеются два таких разложения X = А~ U Af' и X = AJ~ U А^, то для произвольного А £ Я Ф (А Л А-) = Ф (А П А-), Ф(АС]А+)=Ф(А f) At). Следовательно, на а-алгебре Я заряд Ф однозначно определяет две неотрицательные функции множеств Ф+(А) = Ф (А (] А+), Ф-(А) Ф(А(]А-), называемые соответственно верхней и нижней вариациями заряда Ф. Кроме того, эти вариации обладают такими свойствами. 1) Ф (А) = Ф+ (А) — Ф~ (А) для каждого А £ Я; 2) Ф+ н Ф~ представляют собой неотрицательные а-аддитивные функции множества на а-алгебре Я, т. е. они являются счетно-аддитивными мерами на Я. Представление функции Ф = Ф+ — Ф~ в виде разности верхней и нижней вариаций заряда Ф называется разложением Жордана заряда Ф. Отметим, что функция множеств | Ф| (А) = Ф+ (А) + Ф~ (А), А £ Я, также является а-аддитивной мерой на Я, которая называется полной вариацией заряда Ф. Пусть (X, Я, ц) — измеримое пространство. Тогда с помощью а-аддитивной меры fi, определенной на а-алгебре Я, можно указать основные типы зарядов Ф, заданных на Я. Заряд Ф, определенный на множествах А £ Я, сосредоточен на ц-измери- мом множестве А0 £ Я, если Ф (А) = О для каждого A ez X \ А„, А £ Я. Множество А0 при этом называется носителем заряди Ф. Заряд Ф называется непрерывным, если Ф (А) = 0 для любого одноточечного множества А £ Я. Заряд Ф называется дискретным, если он сосредоточен на некотором конечном или счетном множестве. Иными сло- 78
вами, заряд Ф дискретен, если существует конечное или счетное множество точек сл> ct, .... что для каждого А (Е 21 Ф (А) = 2 Ф (сА). Заряд Ф называется абсолютно не- прерывным (относительно заданной меры ц), если Ф (А) = 0 для каждого ^-измеримого множества А, для которого ц (А) = 0. Заряд Ф называется сингулярным (относительно меры ц), если он сосредоточен на некотором множестве нулевой |х-меры. Очевидно, только нулевой заряд является одновременно абсолютно непрерывным и сингулярным. / Примером абсолютно непрерывного заряда может служить заряд Ф, определенный с помощью интеграла Лебега по формуле (5). Оказывается, что этим исчерпываются все абсолютно непрерывные относительные меры ц заряды. Теорема 21 (Радона — Никодима). Пусть \i — некоторая а-аддитш- нал мера, определенная на а-алгебре 21 подмножеств множества X, а Ф — заряд, заданный «а 21 и абсолютно непрерывный относительно ц. Тогда существует такая |i- интегрируемая функция f на X, что Ф (А) = J/ (х) rffx Ы А € 21). Функция f, назы- А ваемая производной заряда Ф по мере ц, определяется однозначно (с точностью до |х- аквивалентности). Отметим, что в некоторых литературных источниках для производной заряда Ф по мере ц используется обозначение ~j— (х) = f (х). Относительно теории интеграла Лебега см. также в [1; 20; 23; 33; 38]. Примеры решения задач 1. Пусть (X, Ж, ц) — измеримое пространство. Доказать, что измеримость одного из лебеговых множеств функции у = / (х), х £ А (А £ 91) для каждого числа с£ Повлечет измеримость всех остальных лебеговых множеств функции /. Доказать также, что функция у = = f (х), х £ А, измерима тогда и только тогда, когда для произвольного борелевого множества В a \R множество f~l (В) = [х £ А : : f (х) £ В) измеримо. Решение. Допустим, что для каждого с £ R лебегово множество, например, вида {х £ A : f (х) < с} измеримо. Покажем измеримость остальных лебеговых множеств функции /. Рассмотрим вначале множество вида {х £ А : / (х) !> с]. Очевидно, что {х £ А : / (х) !> с) = = А \ {х £ А : f (х) < с). Поэтому исследуемое лебегово множество измеримо как разность двух измеримых. Теперь рассмотрим лебегово множество {х £ A : f (х) ^ с). Очевидно, неравенство / (х) ^ с, рассматриваемое для х £ А, равносильно совокупности неравенств / (х) •< <L с -\ , п £ И, также рассматриваемых на множестве А. Тогда, используя теоретико-множественную операцию пересечения, получим [x£A:f(x)^c} = £ {*£ Л ••/(*)< с+—}. Отсюда следует, что множество [х £ A : f (х) ^ с) измерим^ как пересечение счетного числа измеримых множеств. Наконец, поскольку {х £ A : f (х) > с] = А \ [х £ A : f (х) <: с), лебегово множество вида [х £ A : f (х) > с) также измеримо. Рекомендуем читателю аналогично убедиться в том, что измеримость одного из других четырех видов лебеговых множеств влечет измеримость всех остальных лебеговых множеств. Таким образом, 79
функция f измерима, если измеримо при каждом с £ R одно из лебеговых множеств. Докажем, что измеримость функции у = f (х), х £ А, на множестве А равносильна измеримости множеств вида {х £ A : f (х) £ В] = = f~x (В) для каждого борелевого множества В числовой оси IR. Поскольку множества (—с»; с), (—оо; с], (с, +оо) и [с; +оо), где с £ IR, борелевы, то из измеримости всех множеств вида f~ (В), В £ 5$ (IR), следует измеримость лебеговых множеств функции f. Поэтому функция / измерима на А. Допустим далее, что функция f измерима на А. Докажем измеримость всех множеств вида f~l (В), где В £ ЗЬ (IR). Если В = G — открытое множество числовой оси 1R, то его можно представить в виде объединения G = {] (ak; fik) не более чем счетного числа его составля- ющих интервалов. Поэтому Г' (G) = U Г' («*: Р*) = U {*€ А : ak < / (*) < pft}. Поскольку множества {х£ А : а^< f {х)< р\) представляются в виде разностей лебеговых множеств {х£А :/(%)< р\} \ {х£А : : f (х) ^ а*} функции /, то f~ (G) измеримо как объединение не более чем счетного числа измеримых множеств. Пусть теперь борелево множество В = F является замкнутым множеством числовой оси IR. Тогда F = IR \ G, где G = R \ F — открытое множество. Поэтому множество f~* (F) = f~ (IR \ G) = А \ /""' (G) измеримо как разность измеримых множеств Ли/-1 (G). Если борелево множество В является объединением В = U Вк счетного числа открытых или замкнутых мно- жеств Вк, то из равенства f~ (В) = {] f~ (5^,) следует измеримость _1 оо / (В). Аналогично, если В = |~) Вк, где каждое Bk открыто или замк- нуто, то множество f~ (В) = |~| Г" (Bk) измеримо. Следовательно, со- гласно определению класса борелевых множеств 3$ (IR), для произвольного В £ 35 (IR) множество /~1 (В) является измеримым. Замечание. В определении измеримости на множестве A cz X функции у = / (х), х £ /4, требуется измеримость множества /1. Однако если мера |х полная и / почти всюду конечна на А, то измеримость А следует из измеримости лебеговых множеств одного из видов дли каждого с (Е R. Действительно, с точностью до множества меры нуль оо справедливо равенство A = U {* € А : / (*) < л} и поэтому /4 измеримо, если для каждого п (Е N измеримыми являются множества {* £ /4:/ (*) <п}.. 2. Пусть (X, §1, \i) — измеримое пространство. Доказать, что функция у = f (х), х £ А а X, измерима на А тогда и только тогда, когда для произвольного рационального числа г множество {х £ А ; J / М <. г) измеримо. 80
Решение. Согласно примеру 1 достаточно показать, что для каждого действительного числа с лебегово множество {х £ А : f (х) < с] измеримо. Для этого рассмотрим произвольную монотонно возрастающую последовательность рациональных чисел (rn)ZLit стремящуюся при п -*■ оо к числу с. Тогда, если для х £ А выполняется неравенство / (х) < с, то, поскольку последовательность (rn)%L\, возрастая, стремится к с, существует номер п такой, что / (х) < гп. Обратно, если для х £ А найдется такой номер п, что / (х) < гп, то и подавно / (х) < с. Следовательно, используя операцию объединения множеств, имеем \x£A:f{x)<.c)= U [x£A:f{x)<rn). Из измеримости множеств [х £ A : f (х) < гп) следует, что множество {х £ A : f (х) < с} измеримо. Поэтому функция f измерима на А. 3. Пусть А — неизмеримое (в смысле лебеговой меры \it) подмножество отрезка [0; 1] a \R и на IR определена функция Исследовать на щ-измеримость функцию / на множестве IR. Показать, используя этот пример, что если для каждого действительного числа с множество {х £ IR : g (х) = с) ^-измеримо, то функция g не обязательно измерима на IR. Решение. Докажем, что функция f неизмерима на IR. Действительно, рассмотрим ее лебегово множество [х £ R : / (х) < 0}. Поскольку точка х <0 не принадлежит множеству А {А с [0; 1]), то f (х) = = ~х > 0. Однако, если х > 0 и х g А, то / (х) = —х < 0. Если же х > 0 и х £ А, то / (х) = х ;> 0. Следовательно, лебегово множество {х £ IR : / (х) < 0} равно объединению множеств (0; 1] \ А и (1; +оо) {*eR:f(*)<0}=((0; 1]\Л)и(1; + оо). Поскольку А—неизмеримое подмножество отрезка [0; 1], то (0; 1]\Л также неизмеримо (иначе А было бы измеримо как дополнение к (0; 1] измеримого множества (0; 1] \ А). Поэтому и объединение ((0; 1]\Л)и(1; +оо) не является ц,-измеримым множеством. Таким образом, лебегово множество -{х £ IR : / (х) < 0} щ-неизмеримо. Следовательно, функция / неизмерима на IR. Для рассматриваемой функции f при каждом действительном с множество [х £ IR : / (х) = с) является или пустым, или одноточечным, или двухточечным. Следовательно, для любого с £ IR множество {х £ £ IR : / (х) = с) ^-измеримо (имеет щ-меру нуль), но функция / неизмерима на IR. Замечание. Пусть (X, 21, ц) — измеримое пространство и Л с Х- некоторое измеримое множество. Тогда, если функция y = f(x), х£А, измерима на А, то для каждого числа с £ К множество {х £ A : f (х) = с] является пересечением лебеговых множеств {х 6 А : f (х) 5^ с} и {х £ A : f (х) ^ с) и поэтому множество {х £ € A : f (х) = с] измеримо. Рассмотренный пример показывает, что обратное утверждение правильно не всегда. 81
4. Рассмотрим измеримое пространство (IRm, 3lm, цт). Доказать, что непрерывная на измеримом множестве A a \Rm функция является измеримой на А. Решение. Пусть вначале A = F является замкнутым множеством пространства IRm. Для доказательства измеримости функции / на F рассмотрим ее множество Лебега вида ¥с = (x^F:/(x)^c), где с £ IR. Покажем, что оно замкнуто в IRm. Для этого пусть точка х* является предельной для Fc, т. е. х* £ ¥с. Тогда существует последовательность OO^Li точек множества ¥с, сходящаяся при п -»- с» к л-*. Поэтому хп £ F и / (хп) ^ с для каждого п £ Щ. Отсюда, используя замкнутость множества F и непрерывность /, получаем, что х* £ F и / (х*) ^ <! с. Следовательно, х* £ Fc и множество Fc замкнуто, а поэтому неизмеримо. Таким образом, непрерывная функция на замкнутом множестве F измерима в смысле Лебега на F. Пусть теперь А — произвольное цт-измеримое множество. Согласно теореме 20 из § 1 его можно представить в виде A = ([J ¥k) (j А0, k где все ¥k — замкнутые множества в \Rm, а А0 — множество ц^-меры нуль. Покажем, что непрерывная (впрочем, даже любая) функция / измерима на множестве А0 меры нуль. Действительно, каждое ее лебегово множество {х £ А0 : f (х) < с] является подмножеством множества А0. Поэтому на основании свойства полноты меры цт множества {х £ А0 : / (х) < с) измеримы и все они имеют меру нуль. Таким образом, непрерывная функция / измерима на всех подмножествах Ffe и А0, составляющих множество Л. Докажем, что / измерима на А. Для каждого с £ IR имеем {x£A:f(x)<c\ = U \x£Fk:f(x)<c} U {%€ А0: f {х)<с). • к Поскольку по ранее доказанному все множества {х£ ¥к: / (х) < с} и [х £ А0 : f (х) < с) |.1т-измеримы, то таким является и множество [х £ A : f (х) < с]. Следовательно, функция / измерима на А. Замечание. Таким образом, если рассматривать измеримое пространство (\Rm, 5Im, цт), то класс измеримых относительно меры Лебега цт функций содержит класс непрерывных функций. Причем он существенно шире класса непрерывных функций. Например, для т= 1 всюду разрывная функция Дирихле является ^-измеримой. ) 5. Пусть (X, 21, и) — измеримое пространство и функция у = f (%),, х £ А, измерима. Доказать, что если функция г = <р (у) непрерывна на IR, то функция г = ф (/ (х)), х £ А, измерима на А. Решение. Рассмотрим произвольное действительное число с. Покажем, что прообраз ф-1 ((—с»; с)) является открытым множеством числовой оси IR. Действительно, пусть у0 £ ф-1 ((—с»; с)), т. е. ф (#<>) < •< с. Поскольку функция ф непрерывна в точке г/0, то для положительного числа е < с — ф (у0) найдется такое б > 0, что если \ у — у01 < •< б, то | ф (у) — ф (г/о) | < е Таким образом, для каждого у из б-окре- стности точки у0 имеем ф {у) < ф (у0) + е < ф (у0) +С—(р(у0) = = с. Поэтому все у нз этой б-окрестности точки у0 принадлежат мно- 82
жеству qH ((—со; с)). Следовательно, прообраз ф-1 ((—со; с)) является открытым множеством числовой оси и его можно представить в виде объединения не более чем счетного числа составляющих интервалов ф~' ((—со; с)) = U (о^; р\). Тогда лебегово множество сложной функции ф (/) имеет вид {%еЛ:ф(/М)<с} = U Г1 ((«*: Р*))= U {x£A:ak<f(x)<$k} = к k - U (1*е Л :/(«)<Р*}\{*€ Л :/(*)>«*})• к Отсюда, учитывая измеримость лебеговых множеств {х £ A: f (х) < •< Pfe| и {х £ A: f (х) ^ ак\ измеримой на А функции /, получаем, что множество [х £ А: ф (/ (х)) < с] измеримо для каждого с £ IR. Следовательно, функция ф (/) измерима на А. Отметим, что из приведенного решения следует, что если функция / — борелева на Л, а ф — непрерывна на IR, то ф (/) — также боре- лева на А. Замечание. Аналогично доказывается, что если имеется т измеримых функций у,= f, (х), х (Е А/, где для каждого / — 1,2 m множества А1 fi-измеримы, а функция 2= ф (уи ...,ут) непрерывна на Rm, то сложная функция 2 = ф (f1 (х), ...,fm (*))« х £ Л, измерима иа Кт. Однако можно доказать, что из непрерывности функции ф и измеримости функции / не вытекает измеримость функции / (ф (х)). 6. Пусть (X, 21, \i) — измеримое пространство и на измеримом множестве "Л задана последовательность (/„ (х))~=1 измеримых функций Доказать, что на А измеримы функции lim /„ (х) и lim fn(x). Решение. Введем обозначения: h(x) = Y\mfn(x) и g(x) = lim fn(x), где x £ А. Для доказательства измеримости функции h исследуем ее множество Лебега {х £ A: h (х) ^. с), где с £ IR. Из свойств верхнего предела следует, что если х £ А и к (х) ^ с, то для каждого натурального числа k найдется номер N такой, что /„ (х) < с + -г, как только п ^ N. Справедливо, очевидно, и обратное утверждение. Таким образом, для х £ А получаем равносильность рассматриваемых утверждений Отсюда, переходя к множествам, имеем- {x£A:h(x)^c}= П О П (*еЛ:Ы*)<с+4-|- Поскольку функции fn, и£й, измеримы, то их лебеговы множества \х£ А : fn(x) < с -+- -т-1 также измеримы. Но совокупности измеримых множеств 91 образует a-алгебру и, следовательно, лсиегопо
множество {х £ A: h (х) ^ с) функции h измеримо. Поэтому функция h (х) = lim /„ (х), х £ А, измерима на А. п-ьоа Доказательство измеримости функции g проводится аналогично. А именно, для ее лебегова множества \х £ A: g (х) ^ с}, с £ IR, имеем представление {x£A:g(x)^c} = П U П !*еЛ:/п(*)>с —-у-}. k=\ N=1 nJsN ( я J из которого следует его измеримость. Отметим также, что из примера б вытекает теорема 2 об измеримости предельной функции. 7. Доказать, что функция у = } (х), х£Ж, ^-измерима на Ц, если: а) f{x) = sm[x]; б) f(x)=y^p-; п=\ п \Гп оо оо в) / (*) = 2 arctg * ; г) / (х) = J оо я[*] 1 + я5 [*]2 л=2 -}- COS X Решение, а) Функция / принимает счетное число значений sin k, k £ Z- А именно, f (x) = sin k, если л; принадлежит промежутку Ak = = [fe; fe + 1) и U [fe; fe + 1) = IR Так как промежутки Ль являются Hi-измеримыми, то исследуемая функция / также щ-измерима на IR. б) Рассматриваемый ряд непрерывных функций сходится равномерно на 1R, поскольку Ji£ii2llL ^—— (\/х£Щ, а числовой ряд я/я ~з У_ п 3 сходится. Поэтому сумма этого ряда, т. е. функция /, является непрерывной на 1R и, следовательно, щ-измеримой. При решении этого примера можно было бы не пользоваться теоремой о непрерывности суммы равномерно сходящеюся ряда. Действительно, поскольку члены ряда являются щ-измеримыми функциями и ряд сходится поточечно (так как он сходится равномерно), то, согласно геореме 2, функция / ^-измерима. в) Члены рассматриваемого ряда являются непрерывными на IR функциями и поэтому Hi-измеримыми. Если х ^ 0, то эквивалентность arctg 4 1** ~ —г ПРИ п "*" °° позволяет сделать вывод о сходимости этого функционального ряда для х !> 0. Аналогично, если х < 0, то —arctg , , , ~ \ при п -*■ оо, и поэтому для рассматрива- емыххряд у arctg 4 сходится. Таким образом, заданный ряд n=i п + *^ 84
(^-измеримых функций сходится на множестве IR. Тогда его сумма Д. согласно теореме 2, также является щ-измеримой функцией. г) Функция у = [х], х £ IR, является простой, принимающей целые значения k £ % на щ-измеримых множествах Ak = [k; k + 1) и поэтому ^-измеримой. Тогда и все функции уп = " *( п, х £ !R, так- же Hi-измеримы, как частное (^-измеримых функций. Кроме того, воспользовавшись при [х] Ф О эквивалентностью -г- ," *. ,„ ~ . при 1 I —(— я° \х\* п п-> оо, получаем, что рассматриваемый функциональный ряд сходится на множестве IR и, следовательно, функция / является щ-измеримой. д) Члены функционального ряда являются непрерывными функциями и, согласно принципу Лейбница, этот ряд сходится при каждом фиксированном х £ IR Поэтому его сумма / является щ-измеримой на IR функцией. 8. Доказать, что функция г = f (х, у), (х, у) £ IR2. является ц2-из- меримой на IR2, если1 а) f(x, у) = sign sin я {х2 + у2); б) f(x, у) = cos sh ([х] + [у]); в) fix, y)=i е-*™™-, г) Цх, У) = Ъ -f^r; Д) fix, У)= J п [ху] ^ I + пз [х» + (Л • Решение, а) Исследуемая функция f является простой, прини~ оо мающей значение 1 на множестве Аг •= и {(я, г/) £ IR2: 2й < %2+ fe=0 оо + г/2 < 2й + 1}, значение—1 на множестве Л_1= (J {ix, г/) £ IR2: 2& + fe=0 оо + 1 <%2 + у2 < 26 + 2} и значение 0 на множестве А0 = {] {(%, i/)$ €«2:х3 + г/2 = й}- Поскольку множества Лх и Л_1 являются открытыми, как объединение открытых колец, то они ц2-измеримы. Для каждого k = О, 1, ... множество {{х, у) £ IR2 ■ х2 + г/2 = й} замкнуто и поэтому А0 также- ц2-измеримо, как объединение счетного числа ц2-измеримых множеств. Следовательно, простая функция / принимает значения 1, —1 и 0 на (^измеримых множествах Alt Л_1 и А0 соответственно Поэтому функция / ^-измерима на IR2 б) Функция г = [х], ix, у) £ 1R2, является простой, принимающей целые значения k £ % на ц2-измеримых множествах Ak = {ix, у) £ £IR2i&SC%<;& + 1} Поэтому она ц2-измерима. Аналогично ц2- измеримой является простая функция г ~ [у], ix, у) £ IR2, а следова- тельчо, и их сумма г = [х] + [у], ix, у) £ IR2. На основании примера 5 получаем, что исследуемая функция / ixy у) = cos sh (Ы + [у]), \х, у) £ JR3, ц2-измерима, как суперпозиция непрерывной и измеримой функций. в) Каждый член рассматриваемого функционального ряда является ц2-измеркмой на IR2 функцией. Действительно, как и а 8&
случае б), получаем, что г = [х2 + у2]—простая измеримая функция, a f„(x, у) = ^"(1+л[д:,+8'!1) — измерима на IR2, как непрерывная функция от измеримой (см. пример 5). Поскольку ряд ^ е—"*1+"1х*+йЧ п=\ сходится в каждой точке (х, у) £ IR2, то из теоремы 2 следует, что'функ- ция / (х, у) ^-измерима на R2. г) Все члены заданного функционального ряда являются непрерывными функциями и поэтому ^-измеримыми на IR2. Тогда на основании признака Лейбница сходимости знакопеременного ряда и теоремы 2 получаем, что функция / (х, у) ^.-измерима на IR2. д) Поскольку функции г = [ху] и г = [х2 + У2] являются простыми ^-измеримыми на IR2, то для каждого номера п ^-измеримой на IR2 является функция /„ (х, у) = . "%\ 21 ■ Из сходимости на IR2 заданного функционального ряда (что устанавливается с помощью признака сравнения) следует ^-измеримость на 1R2 функции / (*, У)- 9. Для функции / построить последовательность простых измеримых функций, равномерно сходящихся к /, если: а) их) = *, ,<^б) fix) = | J;gy IJ0°; • в) fix, у) =Vx2 + y\ ix, y)£RK Решение. Пусть некоторая функция f является измеримой и конечной на множестве А. Построим для этой функции последовательность (/i„)~=i простых функций, полагая для каждого целого числа kh„ix)=— на множестве (х^Л: — <:/(%)<—-*—[• Так как функция / измерима на А, то множества |л;£Л:— ^/(*)<С •<———| для k£Z и п£И являются измеримыми, и поэтому все функции hn измеримы на А. Кроме того, для каждого х £ А справедливо неравенство \f (х) — hn (х) \ < —, из которого следует равномерная сходимость на А последовательности ihn)n=\ к функции /. Поскольку все рассматриваемые в этом примере функции измеримы (даже непрерывны), то к ним применим указанный процесс построения последовательности (/i„)£Li простых измеримых функций, равномерно сходящихся к заданной измеримой функции /. А именно, в примере а) для целого k полагаем hn(x) =— на множестве мере б) считаем, что hnix)=0 для х^.0, а на множествах \х> >0:^<arctg,<-^IliL}={,>0:tg^<,<tgi4^l}, 86
где k = О, 1, .... п — 1, полагаем hn(x) = -^-. В примере в) опре- и [ k -■ делим hn(x, у) =— на множестве их, у)£ IR2: — ^ У х2 -f У2< <4i} = {(x>y)tW:{±J<x>+y><(*±±)2},rjlek = 0,l 10. Пусть (X, 91, ц) — измеримое пространство, а последовательность функций (/„ (х))™=\, х£А, сходится почти всюду относительно меры [I на множестве А £ 91 к функции /. Доказать, что если <р — непрерывная на IR функция, то <р (/„ (х)) ->- ф (/ (х)) почти всюду (в смысле меры \i) на Л. Решение. Пусть А0 — такое ц-измеримое подмножество множества A, \i (А0) = 0, на котором последовательность (/„ (x))^L\ не сходится к функции /. Тогда для каждой точки х £ А \ А 0 fn (х) -*■ / (х) при п -+- -*- оо. Поэтому в силу непрерывности на IR функции <р получаем lim Ф (/„ (х)) = Ф (/ (*)) (V х g А \ А0). п-юо Таким образом, имеем такое множество А0 меры нуль, что во всех точках множества Л\Л0 функциональная последовательность (ф (fn M))£=i стремится при п -»- с» к функции ф (/ (х)). Следовательно, Ф (fn (х)) -*■ Ф (/ М) ПРИ п -*■ оо почти всюду относительно меры \i на множестве А. 11. Пусть (X, 91, ц) — измеримое пространство, а (/„ (x))%L\, х£ g X, такая последовательность функций, что Ve>0 Э-4ее«, ц(Х\Ле)<е, V%£ Лг=^ /„ (*) -^- f (х). Доказать, что /„ (х) -*■ / (х) при я ->- оо почти всюду относительно меры \i на множестве Л. Решение. Пусть k — произвольное натуральное число. Тогда, согласно условию задачи, для е = -г- найдем соответствующее ц-изме- оо римое множество А \ и положим А* = П (X \ А \). Множество А* Т *=1 Т является ^-измеримым, как пересечение счетного числа ц-измеримых множеств, и [I (A*) sC ц (X \Л \) < ~г (V k g Щ). Из последнего нера- Т венства следует, что ц (А*) = 0. Теперь покажем, что в каждой точке х £ X \ А * справедливо равенство lim fn (х) = / (%). Действительно, если п-+оа ОО ОО л;бХ\Л* = Х\П(Х\Л1)= U^i.to существует такой но- *=i — k=x Т мер 6,что л; £ Л i . А поэтому, согласно условию, в этой точке л; имеем Т~ lim fn (х)= f (х). Таким образом, /„ (х) -*- / (х) почти всюду относительно П-юо меры ц на X. 12. Доказать, что при п -*- оо: а) fn (х) = х + sin" я% + cos" nx-*-f{x) = х почти всюду на IR относительно меры Лебега fix; 87
6) fn(x) = п2Хг . i (х) -> / (х) = О почти всюду на IR относитель- но меры Лебега и,, где Хг . > (х) — характеристическая функция множества 0; — . Решение, а) Вначале отметим, что в тех точках х £ IR, для которых | sin пх | < 1 и | cos пх | < 1, имеем lim sin" я% = 0 и lim cos" пх = —- 0. Если же х £ IR таково, что sin пх = ±1 (или cos пх = ±1), то яредел функций sin" пх (соответственно cos" пх) равен единице или не существует. Таким образом, рассмотрим множество Л0 = {х £ IR : sin пх = ±1 или cos пх = ±1} = {k : k £ Z) U {— + k '• k £ Z Множество A0 — счетное (как объединение двух счетных множеств) и поэтому \i1 (А0) = 0. Тогда для каждой точки х £ Щ\Л0 lim (х + sin" пх -f- cos" пх) = х П-+О0 и, следовательно, почти всюду на 1R (относительно меры Лебега р^) последовательность (/„ (л;))^=1 сходится к f (х). б) Покажем, что заданная функциональная последовательность ifn (*))n=i сходится к функции/ (х) = 0 в каждой точке множества 1R, кроме х = 0. Если л; < 0, то все /„ (х) = 0 и поэтому lim /„ (х) = 0. Если л; > 0, то найдется такой номер п0, что при п ^ п0 имеем — < х, а для этих номеров п /„ (%) = 0. Следовательно, и в этом случав lim fn (х) = 0. Таким образом, для всех х ф 0 имеем lim /„ (х) = 0. Поскольку мера Лебега одноточечного множества {0} равна нулю, то рассматриваемое утверждение доказано. Отметим, что в точке х = 0 п-я функция последовательности (fn(x))n=\ равна п2 и поэтому Нт/„(0)=л2, т. е. lim /„ (0) ^4 л-*оо n-voo ¥=/(0). 13. Доказать, что при п -> оо: а) /n (*> У) — sin" х + cos" у -*• f (х, у) = 0 почти всюду на Л « = [0; я] х [0; я] относительно меры Лебега ц2; б) /„ (*, г/) = в** + e-nW~yy -> / (%, z/) = /у почти вс'юду на 1R» относительно меры Лебега ц2; в) fn(x, У) — cos" пху -> / (%, z/) = 0 почти всюду на IRS относительно меры Лебега ц2. Решение, а) На отрезках {(х, у):0^.х^.п, г/=0}, {(%, у): 0 ^ ^ х^.п, у = я} и j(%, г/) :% =-?- , Ог^г/ <Гя> функции cos у или sin л; равны ±1 и поэтому sin" х + cos" уЧ* 0. Пусть множество Л0 равно объединению этих отрезков. Тогда множество Л0 является ца-измеримым (оно даже элементарное) и |л2 (Л0) = 48
= 0. Теперь отметим, что если (х, у) £ А \ А0, то |sin х\ < 1 в | cos у | < 1. Тогда для этих точек (%, у) Игл /„ (%, i/) = () и заданное п-*оо утверждение доказано. б) Если точка (х, у)£Ц2 и х2Фу, то е~п]х'~т -> 0 при л->оо. Поэтому рассмотрим множество А0 = {(х, у)£ IR2: у = х2} плоскости IR2. Это множество является графиком непрерывной линии у = х2. Следовательно, оно щ-измеримо и ц2 (А0) = 0. Тогда для каждой точки (х, у) G IR2 \ А0 lim {еху + е-"1*2-*") = еку, и поэтому /„ {х, у) -+ ->/(%, г/) почти всюду относительно меры Лебега на множестве IR2. в) Рассмотрим множество А0 = \(х, у) £ IR2: | cos пху | = 1} = = {(*> У)€ R2:ХУ = £> k£%), состоящее из счетного числа гипербол хг/ = k, где k £ Z- Поскольку каждая из этих гипербол образует ц2-измеримое множество меры нуль, то А0 ц2-измеримо и \i2 (А0) = = 0. Если (х, у) £ \R2\ А0, то lim cos" пху = 0, и поэтому заданное Л->оо утверждение полностью доказано. 14. Пусть <Г (х) = —[—х], х£ IR,— неубывающая и непрерывная слева на IR функция, а ц^г — соответствующая ей мера Лебега — Стилтьеса на а-алгебре 2IR всех подмножеств числовой оси IR. Доказать, что; а) функции у = f (х) и у = g (х), х £ IR, почти всюду относительно меры \i$r равны на IR тогда и только тогда, когда f (k) = g (k) дл» каждого k £ Z; показать, что почти всюду в смысле меры ц^г на IR выполняются равенства cos2 пх = 1 и х = [х]; б) функциональная последовательность (/„ (x))£Lp х £ IR, сходится почти всюду на IR относительно меры ц^г к функции / (х) тогда и только- тогда, когда для каждого k £ % lim /„ (k) = f (k). Для функциональной последовательности /„ (x) = cos2" пх, x £ £ IR, показать, что /„ (x) -*■ 0 почти всюду на IR относительно меры Лебега \it и /„ (х) ->- 1 почти всюду на IR относительно меры Лебега — Стилтьеса ц^г. * Решение, а) Нетрудно проверить (см. § 2, пример 9), что все подмножества числовой оси IR являются (^-измеримыми множествами. Кроме того, для каждого множества А £ 2IR \i$r (A) = ^ Kgr {Щ, где суммирование производим по всем целым k £ А и ц^- \k) = 1. В частности, если множество А не содержит ни одной целой точки, то 1*У (А) = 0. Пусть / {х) == g (х) на IR относительно меры ц^. Если бы в некоторой точке k £ Z f (k) ф g (k), то, поскольку ц^г {k} = 1, мы имели бы противоречие с равенством f (х) ™ g (х) на 1R (в смысле меры ц^г). Если же f (k) = g (k) для каждого k £ %< то равенство / (х) = = g (х) несправедливо, возможно лишь на множестве IR \ %. Но 89
ц$г (Ц \ Z) = °. и> следовательно, / (х) = g (х) почти всюду относительно меры ii$r на IR. Таким образом, / (х) = g (х) на 1R относительно меры \i$r тогда и только тогда, когда f (k) = g (k) для каждого k £ £ 7L- В частности, поскольку cos2 nk = \ и [k] = k для произвольного k £ Z, то cos2 пх = 1 и к] = л почти всюду на IR в смысле меры \igr. Отметим, что относительно меры Лебега щ функция cos2 пх Ф 1 почт л всюду на 1R и [х] ф х в смысле меры \хх почти всюду. б) Если для каждого k £ % выполняется равенство lim /„ (k) — = / (k), то, поскольку ^(IRX Ж) = 0, lim /„ (х) = f (х) почти всюду на IR относительно меры Лебега — Стилтьеса \i^-. Обратно, пусть lim /„ (х) = / (х) почти всюду на IR в смысле меры [i^-. Если в некоторой Л-»оо точке k £ Z имеем lim /„ (k) Ф f (k), то, поскольку ц^г {А} = 1, отсю- л-*оо да следует, что последовательность (/„ (%))"=i не стремится почти всюду на IR к функции / (х). Согласно доказанному утверждению, из равенства cos2icA=l, справедливого для каждого k £ %, получаем, что при п -*- оо cos2" пх -*■ 1 почти всюду на IR относительно меры ц^-. Если же рассмотреть меру Лебега \ilt то для х g Z 1™ cos2" пх = 0. Но мера Ле- Л-»оо бега щ (2) равна нулю, и поэтому в смысле этой меры cos2" пх -*■ 0 почти всюду на IR при п -*- оо. 15. Проиллюстрировать теорему Егорова на примере функциональной последовательности (/„ (%) = х")п=\, я € К); 11 = Л. Доказать, что не существует множества цгмеры нуль отрезка [0; 1], на котором последовательность (x")£Li равномерно сходится к функции f (*) = о. Решение. Рассмотрим произвольное положительное число б > 0. Если 6^1, то в качестве множества Лб возьмем, например, отрезок 0;— . Тогда щ 0; —I = _> цх(Л) — б = 1 — б и \_ 2 последователь- lim sup | х Г = lim I ~\ =0, т, е. на 0; ность (x")~=i равномерно сходится к функции / (х) = 0. Если же б < 1, Лб = [о; 1 £-]. Тогда М^в) = 1 §-> М^) — то положим — 6 = 1 —б и lim sup \х\п =\im(\ — ~)" =0. *€ Докажем, что не существует такого щ-измеримого множества Аа с [0; 1] меры нуль, для которого на А1\ А0 последовательность so
(л^)^=1 равномерно сходи гея к функции / (л:) = 0. Пусть, наоборот, такое множество Л0 существует. Тогда для каждого достаточно малого 6 > 0 пересечение (А \ Л0) (] [1 — 6; 1] не пусто, ибо иначе fxx (А \ Аа) Ф- 1. Поэтому существует такая последовательность {х$£=.\ точек множества А \ А0, что lim хк = 1 Поскольку на множестве А \ А 0 последовательность (х")™=\ сходится к функции / (х) = 0 равномерно, то для каждого е > 0 найдется номер п0, что х" < е для всех номеров п ;> п0 и всех* £ Л \ А0. Отсюда, считая е <С 1, для последовательности (xk)k°=i имеем х% < е (V k g €Ии Vn>rr0). Если в последнем неравенстве устремить й к бесконечности, то получаем противоречие: 1 ^ е. Таким образом, не существует такого щ-измеримого множества А0 меры нуль, что на А \ А0 последовательность (-On=i равномерно сходится к функции / (х) = 0. 16. Пусть (X, 31, ц) — измеримое пространство и Л — ц-измери- мое подмножество множества X. Доказать, что если последовательность (/„ (x)n=i ^-измеримых конечных функций сходится по мере |д и на Л к ц-измеримой конечной функции / (х), то lim \fn (х) \ = |/ (х)\ п-*оо на А. Решение. Рассмотрим произвольное положительное число а и \i- измеримое множество {х £ А : 11 /„ (х) \ — \ / (х) \ \ ^ о}. Из неравенства 11 /„ (х)\ — | / (х) || <Г | /„ (х) — / (х) | получаем включение {x£A:\\fa(x)\-\f(x)\\^o}<={x£A:\fn(x)-f(x)\>o}, из которого следует, что ц {*€ Л :||/„(*) | Н/<*)(1>°}<Н*€ Л :|М*)-/(*)!>*}• Если в последнем неравенстве устремить п к бесконечности, то получим, что lim \ijx £ A : ||/„ (х) | — |/ (х) || ;> сг} = 0, т. е. lim|/„(*)| = |/M| на Л. n — oot 17. Исследовать на сходимость по указанной мере к функции / на измеримом множестве Л следующие последовательности функций: а) (//Л*)--0/^-=1. O^jc^I, относительно меры Лебега \i1 на множестве Л = [0; 1]; б) (/л (х) = cosn х)п=\, x£IR, относительно меры Лебега щ на множестве Л = JR; в) (/„ (х, у) = e~y'nlx'+y'))X=\, (х, z/)£R2, относительно меры Лебега ц2 на множестве Л = IR2. Решение, а) Рассмотрим для произвольного <т > 0 щ-измеримое множество {х £ [0; 1] : х" > о} = [\/~о; 1]. Отметим, что когда <т > 1, 91
то это множество пусто. Тогда lim m{%£[0; 1]:x">(t} = lim(l — Уо) = О, 11-vOO 11-vOO и поэтому lim / = 0 на [0; 1]. Сходимость по мере щ заданной последовательности можно установить и другим путем. Действительно, поскольку последовательность (хГ)п=\ сходится почти всюду относительно меры щ на отрезке [0; 1] к функции / (х) = 0, то по теореме 5 lim хп ~= 0 на [0; 1]. б) Рассмотрим для произвольного положительного <т <[ 1 щ-изме- римое множество {х £ IR : | cos х \" ;> а) = [) [— arccos уЛо + fere, •arccos Va + fere]. Тогда для этого <т и произвольного натурального п +°° *„ \i1{x£\R:\cosx\n'^a) = ^j 2 8^008^0 = +00. Поэтому равенство lim цх {х £ IR : | cos х \" ;> а) = О не выполняет- ся. Следовательно, заданная последовательность не сходится по мере щ к функции / (х) = 0 на множестве IR. Отметим вместе с тем, что последовательность (cos" х) п=\ сходится почти всюду на IR в смысле меры щ к функции / (х) = 0. Поэтому в теореме 5 (Лебега) условие конечности меры \i (А) является существенным. в) Рассмотрим для произвольного <т > 0 ц2-измеримое множество {(х, у) £ IR2 : е~уГ"^х'+^ ^ а). Если а > 1, то это множество является пустым и поэтому его ц2-мера равна нулю. Для а <; 1 имеем {(х, у) £ IR2: е~ ^+^ > а} = {(*, г/) £ R2: *2 + у* <~^} ■ Поэтому Нш ц2 {(х, г/) G R2: е- ^™> > <т} = lim -^- = 0. Таким образом, lim ё~ * ^+^ йа о на множестве IR2. п-*оо 18. Пусть (X, 91, ц) — измеримое пространство конечной меры fr. е. ц (X) < +оо)Т Рассмотрим монотонно невозрастающую (почти всюду относительно меры ц) последовательность неотрицательных ц- измеримых функций (/„ (я))л=1, заданных на ц-измеримом множестве А, сходящуюся на А по мере ц к функции / (х) = 0. Доказать, что lim /„ (х) = 0 почти всюду (в смысле меры ц) на А. Решение. По теореме 6 Рисса существует последовательность (fn (x))*Li, сходящаяся почти всюду на Л к функции / (х) = 0. 82
Пусть А' — множество меры нуль, на котором последовательность (fn (%))£Li не является монотонно невозрастающей, а Л" — также множество ц-меры нуль, на котором последовательность (/„ (x))kL\ не сходится к / (х) = 0. Тогда множество А0 = A' (J Л" ц-измеримо и |х (Л0) ^ \х (Л') + \ь (А"), т. е. \i (Ло) = 0. Поскольку на множестве А \ Л 0 справедливо равенство lim /„ (х) = 0, то для каждых х £ А \А0 и е > 0 найдется такой номер k0, что fnk (х) <С е, как только k ;> k0. Тогда для произвольного номера п ;> nkt в силу монотонности последовательности (/„ (х))п=\ на множестве Л\Л0имеем 0 <Г /„ (х) ^ </я,М<е(*еЛ\Л0). Поэтому для каждого л; £ Л \ Л 0 получаем, что Mm /„ (х) = 0 и, сле- довательно, lim /„ (ж) = 0 почти всюду в смысле меры ц на множест- л-*оо ве Л. 19. Пусть #* (х) = — [—х], х £ IR.— неубывающая непрерывная втева на IR функция, a \i$r — соответствующая ей мера Лебега — Стил- тьеса на а-алгебре 2IR всех подмножеств числовой оси IR Рассмотрим на IR последовательность функций (/„ (*))£=i и функцию / (лг), которые принимают только конечные значения. Доказать, что lim /„ (х) = / (х) на IR тогда и только тогда, когда последовательность (fn W)n=i сходится равномерно к / (х) на множестве %. Решение. Пусть вначале lim /„ (х) = f (х) на IR. Тогда для произ- л-юо вольного о > 0 имеем lim ^ {х 6 R : | /„ (*) - / (*) | > о} = 0. (6) Надо доказать, что последовательность (/„ (А)Г=1 равномерно сходится к функции / (k) на множестве 2. т. е. что V е> 0 3 п0 V п > «0 и V k£ Ж ■ | /„ (Щ — f (k) | < е. (7) Доказательство проведем методом от противного. Тогда Эе>0 Vn0 3«>n0 и 3*€Z:|/»(*)-/(*)|>e. Поэтому для произвольного номера п0 найдется такой номер п ^ > п0, что ц^г {* £ IR : | /„ (х) — / (х) | > е} > ц^г {А} = 1. Отсюда lim \l$t {х £ \R : \ fn (х) — / (х) | ;> е} ф 0, что противоречит нашему R-VCO допущению. Положим в (7) е = <т. Тогда для л 1> л0 имеем включение {*€ R:|/„(*)-/(*)|><*}<=К\2. из которого следует, что ц^г {%£IR: | /„ (х) — f (х) | > <т} < ц^г (IR \ ^) = = 0. Поэтому lim (V {% £ IR ; J /„ (%) — / (х) | ;> а) = 0, т. е. выпол- няется (6). »3
20. Пусть (X, 91, \i) — измеримое пространство и (/„ (х))п=\ —> последовательность ц-измеримых функций, сходящихся по мере \i на ц-измернмом множестве А к ц-измеримой функции / (х). Доказать, что если функция g измерима и почти всюду конечна на А, то Urn /„ (*) g (х) ILf(x)g (х) на А. Решение. Пусть А0 с: А — ц-измеримое множество, на котором функция g принимает бесконечные значения. Тогда по условию Ц (А о) = 0 ". кроме того, справедливо представление А0= П lx£A:\g(x)\2»N}, N=1 из которого в силу непрерывности меры \i получаем МЛ0) =\im\i{x£A:\g(x)\>N} = 0. N-*oo Следовательно, для произвольного е > 0 существует такой номер N0, что ц {х G A : \g(x)\^ N0} < -g-. Рассмотрим теперь для каждого а > 0 ц-измеримое множество, фигурирующее в определении сходимости по мере {x€A:\fn(x)g(x)-f(x)g(x)\2*o} = {x£A:\g(x)\> >N0, \fa(x)g(x)-f(x)g(x)\^o) U {*€i4:|£(*)|<N„, \fa(x)-f(x)\-\g(x)\>°h Поэтому ц{л:6 Л :|/„(х)я(^) —/W^Wl^a} = и {х€ Л : (^ (х) j > Nor \fn(x)g(x)-f(x)g(x)\^a} + ii{x£A:\g(x)\<N0, l/« (*)-/(*) НяМ I >*)<И*€ Л: |£(*)|>N,}+ + ^{*€i4:|/n(*)-/(*)|>-j5--}<-!- + + ц{*€-4:|/„(*)-/(*)|>-^-}. По условию существует такой номер п0, что < + ■ как только и 1> л0. Таким образом, для каждого е > 0 найден номер «0 такой, что \l {х£А : \fn (х) g (х) — f (х) g (х) | > о} < е при п > п0. т. е. lim ц {* g Л : | /„ (ж) я (*) — / (*) Я (%) | > сх} = 0. Q4
21. Пусть щ — мера Лебега на числовой прямой IR, а и» — мера Лебега на плоскости IR2. Вычислить интегралы Лебега: 1) \ sign cos nxd\ii, 2) \ sign sin—ф^; [-3:3] (0;1] 3) (J [x + y]d\L9i 4) j"[ Vly-x2]dii2. [0;2]X[0;2] x'^y^i Решение. 1) Функция f (x) = sign cos nx, x£[—3; 3], является простой, принимающей три значения: 1, —1 и 0. А именно, эта функция равна 1 на ^-измеримом множестве At = I „-; -^-) U U [-J- ; -j-J U ( q-; 5~ . равна — I на ^-измеримом множест- ве Л_,=(-3;-4)и(-4-;-4-)и(4-; 4)и(4^3) ■ г, л S 5 3 113 5) равна 0 на множестве Л0 = | ^-, ^ > Г' !Г' ~2~ ' ~2] ' Поэтому / Hi-измерима и, очевидно, ограничена. Следовательно, эта функция интегрируема и по определению \ sign cos nxd^ = 1 • Hi (Л) + (— !) ^i (^-0 + 0 ■ Hi (^o) =- [-3.3] = 3 — 3 = 0. 2) Рассматриваемая функция f (x) = sign sin — , x£(0; 1], также является простой, принимающей три значения: 1, —1 и 0. А 00 / 1 i \ именно, f(x) = 1 на множестве Аг= [) 2, . ; -^- , / (х) = — 1 00 / 1 1 \ на множестве Л_1 = U -^т- ; 2. _ , I и / (х) = 0 на множестве j40 = {1, -о- > ■■•> "г-> ■■-.[• Множества А1 и Л_1 открыты, а потому Н1"измеРимы. Кроме того, Hi (^i) = 2j (-¾ 2fe 4-1 ) = = 1 — In 2 и Hi (A-\) = 2j ( 2fe — l 2k) = ^n ^ ( ПРИ вычислении ею \ этих сумм мы воспользовались равенством In 2 = 2j —г ) ■ Счетное множество А0 также Hi-измеримо и Hi (^о) = 0. Поэтому I sign sin ~ dHt = 1 • Hi Mi) + (-1)- ^i (-4-0 + 0 • Hi (^o) = - <Dil] = 1 — In 4. 95
3) Функция f (х, у) = [х + у], (х, у) £А = [0; 2] X [0; 2], является простой, принимающей значения 0, 1, 2, 3 и 4. Положим А0 = — {(*> У) G А : х + у <: 1}. Тогда в каждой точке (х, у) этого соизмеримого множества / (х, у) = 0. В точках (^-измеримого множества ^1 = {(*> У) £ А ■ 1 ^х + у <:2}, очевидно, / (х, у) = 1, а в каждой точке (х, у) (^-измеримого множества А2 = {(х, у) £ А : 2 ^ л; + у <z <Г 3} f (х, у) = 2. Если рассмотреть ц,2-измеримое множество А3 = "= К*. У) € А- '■ 3 ^ х + у <: 4}, то / (х, у) = 3 в произвольной точке (.*, г/) £Аа. Наконец, / (2, 2) = 4. Поэтому функция/ является простой и интегрируемой, а ( f [* + y]d\i2 = 0- \i2 (А0) + 1 ■ \l2 (АО + 2-(1, (Л2) + 3 ■ (*2 (А3) + + 4.(1,(((2, 2)}) = 4 + 2 --Г + 3' "Г = 6" 4) В этом случае функция /(х, у) = V [у — х2], (%, г/)£Л = = {(*> #)£ R2 :*2 ^^/=^4), также является простой. А именно, в каждой точке (х, у) ц>2-измеримого множества А0 = {(х, у)£ А:х*^1 ^ у <С хг + 1} / (%, у) = 0. На ц2-измеримом множестве Лх = {(*, г/) £ £ Л :%2 + 1 <!z/<:*2 + 2} функция / постоянна и равна 1, на множестве Л2 = {(х, у) £ А : х2 + 2 < г/ < х2 + 3} — / (х, у) = У"2, в каждой точке (%, у) множества Аа = {(х, у) £ А : х2 + 3 ^ у <С хг + 4} — — f(x, y) = yr3, a /(4, 0) = 2. Поэтому функция / щ-интегрируема на Л и И' на полуинтервале Ak = I , . ; -г К[г/-*2]^2= 0 • ц2 (Л0) +1-(1, (А) + 1/2 • щ (Л,) + + 1/3-(1, И,)+ 4-(i,({(4, 0)}) = = (1,(^ + /2-(1,(^ + 1^.(1,(-4,) = -1-(4-31^ + 4^3). 22. Рассмотрим на множестве А = (0; 1] функцию /, которая 1 1 (— 1)* принимает значение -5—-^- , где k = 1, 2, ... . При каких а она будет интегрируемой по Лебегу на (0; 1] относительно меры ц,х? Решение. Функция / является простой на множестве Л, посколь- ку она принимает счетное, число значений -—-—, k £ ЭД, и (J А =* = (0; 1]. Так как все множества Ак щ-измеримы, то / так, е щ- измерима. Согласно определению, функция,/ будет щ-инте^ и /уе- со со мой на А, если сходится ряд ^ — щ (Ak) = 2j а+1 • А этот ряд сходится тогда и только тогда, когда а > — 1. Таким образом, заданная функция / интегрируема по Лебегу лишь при а> — 1 и (0;1] *=1 й (« "Г U 96
Отметим, что ряд (8) сходится (условно) и при а = —1, но (по определению) в этом случае функция / не является интегрируемой по Лебегу. 23. Пусть функция #* (х) = О, если х ^ —1, #* (х) = 1, если —1 < < х ^ 1, #* (х) = 3, если х >> 1 и ц^г— соответствующая ей мера Лебега — Стилтьеса на IR. Доказать, что произвольная функция у = = / (х), х £ IR, интегрируема на IR относительно \l#- и что § f (х) ф^г = IR = / (-1) + 2/ (1). Решение. Отметим, что все подмножества числовой оси IR являются ^-измеримыми (см. § 2) и поэтому каждая функция у = f (х), х £ IR, ^-измерима. Для доказательства ^-интегрируемости на IR функции / представим IR в виде объединения непересекающихся измеримых множеств ir = (-oo; -1) и {-1} U (-1; 1) U {1} U (1; + «>). Известно, что множества (—с»; —1), (—1; 1) и(1, +оо) имеют р^г меру нуль, а тогда каждая функция / ^-интегрируема на них и интеграл по каждому этому множеству равен нулю. На множествах {—1} и {1} функция / постоянна. Поэтому она ^-интегрируема на них и J fWdpr = /(-1) ^({-1)) = /(-1), {-и J f(x)d^ = f (1)(1,-(( 1)) = 2/(1). {i} Следовательно, произвольная функция у = / (х), %£IR, fi^r-ин- тегрируема на IR и ] f(x)d\igr = /(— 1) + 2/(1). ^ IR 24. Исходя из определения интеграла Лебега, вычислить \ jcX|r\(q (х) dpi, где X|r_q — характеристическая функция множест- 10;1] ва R \ (Q. Решение. Построим для ^-измеримой функции / (х) = %X|r\iq (х\, х£[0; 1], последовательность простых интегрируемых функций, равномерно сходящуюся на [0; 1] к /. А именно, для натурально- k ( k го номера п положим hn(x) = — на множестве Ак = \х£ [0,1]» — ^ k -4- 1 \ ^/(х) <С ———| где к = 0, 1, ..., п — 1. Тогда последовательность (hn(x))£=i> *£[0'> 11> является искомой последовательностью прос- п— 1 тых интегрируемых функций. Кроме того, поскольку U Ak = [0; 11, то | / (х) — hn (х) | < — для каждого х £ [0; 11. Следовательно, последовательность (ftn (*))nLi, x£[Q; 1], равномерно сходится к /(дс) на [0; 1]. Поэтому по определению 1 функция / ^-интегрируема 4 0-74 97
на [0; 1] и л—1 J / (х) dp, = lim J hn (x) d^ = lim 2 т V-i Ш- fO;I Ч"*00 [0;1J n-*-°°fc=0 ■Поскольку множество (Q рациональных чисел имеет ^-меру нуль, то \1г(Ак) = ^^10- 1]:А<Х<_Ш_} = _1.. Тогда J /W% = Hm-i- V Л = Ит (" 2 2° " =4-. |0;1] " «-«о П £0 П-х> М Z Замечание 1. Укажем другой способ вычисления этого интеграла Лебега, Во- первых, поскольку функция / ограничена на [0, 1] и ^-измерима, то она Мч-иитегриру- ема. Во-вторых, функция / почти всюду в смысле меры fij совпадает на [0, 1] с функцией g (х) = х. Тогда, согласно соответствующему свойству интеграла Лебега, имеем I х ' XIR\<Q (*> ^i = i" xd^' {0:П [0;i] Но функция g непрерывна на отрезке [0, 1]. Поэтому ее интеграл Лебега по мере (½ совпадает с интегралом Римана иа [0; 1] {0:1] о о Замечание Z. Заданная функция f (х) = х • X|R\q (*). * £ [0; 1], разрывна в каж- дой_точке полуинтервала (0; 1] и поскольку ц.] ((0; 1]) = 1 ф 0, то на основании теоремы 14 заключаем, что/ не является интегрируемой по Римаиу иа [0; 1]. 25. Пусть (X, 91, \l) — измеримое пространство конечной меры, т. е. \i (X) <. + оо. Доказать, что ^-измеримая функция у = f (х), х € X, ц-интегрируема на X тогда и только тогда, когда сходится ряд 2 k . \i {х£ х >л<|/(*) |< л + М- Решение. Введем в рассмотрение ji-измеримые множества Ak = = {х £ X : k ^. \ f (х) \ <: k + \} и простую измеримую функцию h, принимающую на множестве Ак значение k, k £ ЭД. Пусть функция / интегрируема относительно меры \i на X. Поскольку для каждого х £Х 0 ^ h (х) ^ | / (х) |, то на основании свойства 6) интеграла Лебега функция h ^-интегрируема. Поэтому сходится ряд 2 k . [i \х£ X ! А<|/(ж)|<* + 1}. Обратно, если сходится этот ряд, то функция h ji-интегрируема на X* и поэтому из неравенства | / (х) | ^ к (х) + 1 (V х £ X) следует ^-интегрируемость ца X функции /. 26. Пусть (X, 91, \i) — измеримое пространство конечной меры и у = / (%), х£ X,— ^-интегрируемая функция на X. Доказать, что
Решение. Пусть Ak = {%£ X: ~ < f (х)< fe"^"1 } ,k£Z,— ^-измеримые множества, a (hn(x))^=u х£Х,— последовательность простых ^.-измеримых функций, принимающих на множестве Ak значения —, где п£Ц. Тогда для каждого xgX и каждого п£Щ справедливы неравенства hn (х) ^ / (х) <I hn (х) -\ , позволяющие заключить, что все hn — jA-интегрируемые функции на X. Кроме того, из этих неравенств следует равномерная сходимость последовательности (hn (х))п=\ к функции / (х) на X. Поэтому на основании определения 1 \f(x)dli=lim\hn(x)dli=\im J] ±р\Х£Х:-±^Г(х)<±±±\. 27. Интегрируема ли по Риману функция х£®, П\-{ ' х£®' Пх)-\х\ x£R\Q, на отрезке [0; 1]? Интегрируема ли она по Лебегу на [0; 1] относительно меры Лебега щ? Если / интегрируема по Лебегу, то найти ее интеграл. Решение. Докажем, что функция / не является интегрируемой по Риману на [0; 1]. Для этого рассмотрим произвольное разбиение 0 = х0< %i <. ••' <.xk<. Xk+\ < • • • <. хп = 1 отрезка [0; 1] и пусть Axk = Xk+\—xk, X = max Axk. В качестве отмеченных точек Zk£[xk> Xk+\] (# = 0, 1, ..., п—1) вначале рассмотрим рациональные точки. Тогда соответствующая интегральная сумма функции / л—I > равна а = £] ^Ахк. Эту интегральную сумму можно считать инте- тральной суммой для непрерывной функции у = Xs, х£ [0; 1], и 2 поэтому lim о = J £dx = -j- . Если же в качестве отмеченных точек £,k£[xk, хь+\] (k = 0, 1,... ..., п—1) взять иррациональные точки, то соответствующая "интег- л-1 . ральная сумма функции / равна а' = £ %kAxk. Полученную интег- ральную сумму также интерпретируем как интегральную сумму непрерывной функции у = х2, х£ [0; 1], и поэтому lim о' = \ x2dx■=-*■. Таким образом, предел интегральных сумм функции /зависит от выбора отмеченных точек. Следовательно, / не является интегрируеиой ■по Риману Замечание. То, что функция / иеинтегрируема по Риману, можно доказать и с помощью теоремы 14. Для этого мы убеждаемся, что / непрерывна только в точ:кал 4* 90
x = 0 и х = 1, Поэтому множество точек разрыва этой функции имеет fij-меру, равную единице. Следовательно, функция / не является интегрируемой по Римаиу. Рассматриваемая функция / почти всюду (относительно меры Лебега цх) совпадает на [0; 1] с непрерывной функцией у = х2, и поэтому / щ-измерима. Кроме того, функция / ограничена. Тогда / интегрируема по Лебегу на [0; 1]. Кстати, интегрируемость функции / можно получить также из того, что / эквивалентна интегрируемой по Риману (даже непрерывной) функции у = х2. Используя эквивалентность функций у — f (х) и у = х2 на отрезке [0; 1] и то, что интегралы Римана и Лебега равны (для интегрируемой по Риману функции), имеем ] / (х) dn>! = \ А*щ = ] x2dx = -g- . [0;1] [0,1] 6 28. Пусть функция / интегрируема по Лебегу на отрезке la; Ь] относительно меры Лебега щ. Тогда для каждого е > 0 существует такая непрерывная на [а; Ь] функция g, что ] |/W— g(x)\d\i1<e. [я-.б] Доказать это утверждение. Решение. 1) Рассмотрим вначале произвольную простую функцию А, интегрируемую по Лебегу относительно меры щ на отрезке [а; Ь]. Мьцготим приблизить ее ограниченной простой функцией, т. е. для каждого е >» 0 построить такую ограниченную щ-измеримую простую функцию h на [а; Ь], что j" \ h (х) — h (х) \ d^ < е. [а;6] Если h принимает только конечное число значений, то в качестве А возлмедо h. Поэтому пусть h имеет счетное число значений ylf ..., yk, ... ..., принимаемых соответственно на ц^-измеримых множествах А^ ... оо ..., Ак, ..., причем (J Ak = [а; Ь]. Согласно определению интегри- оо руемости функции ft, ряд £ | yk \ щ {А^ сходится. Тогда для е>0 найдется номер N такой, что оо I ЫЫЛ*)<е. Поэтому рассмотрим ц^-измеримую простую функцию h, принимающую значения уъ ..., yN, 0 соответственно на множествах Аи ... N ..., Ац, [a; b] \ (J Ak. Функция h является ограниченной, а следова- тешю, и р^-интегрируемой на [а; Ь]. Тогда оо т. e. h является искомой. 100
2) Для каждого е > 0 найдем такую ограниченную у^-измеримую функцию у = / (х), х ^ [а; Ь]> что J I/(*)-/(*) !</!»!< е. [а:*] Действительно, по определению 1 для заданного е>0 существует простая ^-интегрируемая на [а; Ь] функция h такая, что J \f(x)—h (х) | d\it -< -j- ■ Согласно предыдущему, для функции А [0(6] построим ограниченную (^-интегрируемую (простую) на [а; Ь] функцию / такую, что ] \h(x) — / (х) | d^ <-4-. Тогда J |/(*)-/«I4»i< J //(*)-*(*) 144+ J|ft(x)-/W|rf(it<i, р:Ч [а:*] [«:Ч т. е. функция / является искомой. 3) После этих подготовительных рассуждений можно завершить решение примера. Для заданного е > 0 найдем такую ограниченную ^-измеримую на [а; Ь] функцию /, что J \f(x)-J(x)\dlL1<±.. Пусть К — такое положительное число, что | / (х) | <! К для всех х £ [а; Ь]. По теореме Лузина существует такая непрерывная на [а\ Ь] функция g (даже ограниченная той же постоянной К, что и /), что [jbj (А) == ^ {х £ la; b] : f (х) ф g (х)} < ^-. Покажем, что найденная функция g является искомой. Действительно, $ i/w-ewi*i< J i/(jk)-/wi4i*i+ $ \hx)-g(x)\dli1< [a',b] [a;b] [a\b] A 29. 1) Пусть на конечном полуинтервале la; Ь) задана непрерывная функция у = / (х), причем lim / (х) = оо. Доказать, что функция | x-t-b—O интегрируема по Лебегу на [а; Ь] относительно меры Лебега щ тогда ь и только тогда, когда сходится несобственный интеграл \\f(x)\dx. а В случае интегрируемости f, по Лебегу на [а; Ь] справедливо равенство ь [a;b] а 101
sin*a 2) При каких а<0 и р функция у = -—^— ^-интегрируема на 1 отрезке [0; 1] и когда сходится I sin х dx"? J х& о Решение. 1) Пусть вначале функция / ^-интегрируема по Лебегу на [а; Ь]. Тогда функция | / | также ^-интегрируема на [а; Ь]. Построим последовательность функций (gn (x))n=i, х £ [а; Ь], где 8п (?) = \f(x)\, х£ а; Ь — — j , 0> ,6(ft_-L;ft]. Эта последовательность сходится почти всюду на la; Ь] (относительно меры щ) к функции | / |. Каждая функция gn (х) почти всюду непрерывна и поэтому интегрируема на [а; Ь] по Риману и Лебегу. Кроме того, справедливо равенство -4 $ 8п(х)4\>ч = \gn{x)dx = $ \f(x)\dx. [a;b] a a Поскольку | gn (x) | <: | f (x) | для всех x £ [a; b], т. e. \f (x) | является интегрируемой мажорантой для последовательности (gn (x))%L\, то на основании теоремы Лебега о предельном переходе имеем J \f(x)\dli1 = \im [ g„(*)^i=Hm \ \f(x)\dx = $\f(x)\dx. Таким образом, функция f абсолютно интегрируема на [а; Ь] в смысле несобственного интеграла второго рода. Пусть / абсолютно интегрируема на [а; Ь], т. е. сходится интеграл ь \ \f(x)\dx. Рассмотрим ту же последовательность функций а (gn (х))п=\, х £ [а; Ь], каждая из которых интегрируема (и в смысле Лебега и в смысле Римана) на [а; Ь]. Эта последовательность является монотонно неубывающей в каждой точке отрезка [a; b], lim gn {х) = Г2-ЮО ■= I Их) \, х 6 [а; Ь], и п Ь J £„(*)ФЧ= $ \nx)\dx<$\f(x)\dx (V«eW). \а;Ь] а а Поэтому на основании теоремы Леви функция | / | щ-интегрируема на [а; Ь] Тогда и функция / является ^,-интегрируемой. Пусть функция / интегрируема по Лебегу на [а; Ь]. Для каждого 109
л £ И рассмотрим функцию f(x), х£ [а; Ь J-J, /»(*) = / , 1 о, л?е(ь—i-, ь\. Из неравенства | /„ (х) | ^ | / (х) |, справедливого для каждого л £ [а; Ь], следует интегрируемость произвольной функции последовательности (/„ (х))п=\. Наконец, поскольку lim /„ (х) = f (х), х £ Га; п-*ао Ь], то из теоремы 10 имеем О п \ f (х) dx = lim J f (x) dx = lim \ fn (x) d\t1 = \ f (x) d^. a "-*-00 a "-"*• la:b] [a;b] Замечание 1. Таким образом, из доказанного утверждения следует, что интегрируемость по Лебегу иа [а; Ь\ функции / равносильна абсолютной сходимости иесоб- ь Ъ ствеииого интеграла I f(x)dx Но несобственный интеграл I / (х) dx может сходиться а а и условно. Поэтому класс несобственно интегрируемых иа [а; Ь\ функций содержит класс L ([а; Ь], р.,). Замечание 2. Аналогичное утверждение справедливо и для несобственного +~ интеграла первого рода вида \ / (х) dx. а 2) Для решения этого примера используем доказанное утверждение. Исследуем на абсолютную и условную сходимости интеграл dx. Сделаем в этом интеграле замену x°- = t, которая при- X* ведет к интегралу — I —£3 dt. Легко показать, что этот ин- теграл сходится абсолютно при условии — (- 1 > 1, т. е. |3<; 1. Если же речь идет об условной сходимости, то, используя признак Дирихле, получаем, что данный интеграл сходится условно только при Л=1 + 1 > 0, т. е. Р + а — 1 < 0. Таким образом, функция у = sin* ^-интегрируема на [0; 1] лишь для Р <. 1. Вместе с тем она интегрируема в несобственном смысле, если р -т-'а — 1 < 0. 30. Пусть у = f (х), х ;> 0,— неотрицательная щ-измеримая функция и существует такое положительное число К, что для дроизвольного а>0 103
Доказать, что функция у = xf (х), х^О, ^-интегрируема на [0; +оо). Решение. Рассмотрим последовательность fvинтегрируемых (по / sins — условию) на [0; + оо) функций I /„ (х) = —-^- f (х) \ "Of J п=\ Тогда для каждой точки х £ [0; + с») lim /„ (х) ~ xf (х). Кроме П-»оо того, ] fn(x)d[i1^.K. Следовательно, на основании теоремы Фа- [0.-+М) ту функция у = xf (х), х > 0, ^-интегрируема и \ xf (х) d\Lx ^ К. [0:+~) 81. Пусть и-х и М-2 — меры Лебега соответственно на числовой оси IR и плоскости IR2. Найти пределы: -sinilL^l+^r1^; 1) lim Г п п-*оа J П IR 2) lim \ \ е-(*,+**> cos {xyt) • %,КчС> (х) d[iv '-0 IR' Решение. 1) Рассмотрим функциональную последовательность fn(x) = nsm-*-£-*0- +х*) , ngRJ, на множестве .KglR. Для каждого x£R 1*1 л sin . п х Jim /„(*) = Hm " = -¾ = /(*). Кроме того, эта функциональная последовательность имеет мажоранту | /„ (*) I <-г^г =8(х) (V х g IR). Неотрицательная функция g интегрируема на IR в несобственном смысле. Поэтому (см. пример 29) она ^-интегрируема на IR. Следовательно, по теореме Лебега f также ^-интегрируема по Лебегу на IR и справедливо равенство lim $ п sin i£L • (1 + *V dn, = J-^p$- = arctg **|+°° = -f. их К | 2) Вначале отметим, что %R\Q (х) = 1 почти всюду в смысле меры Лебега у.в на IRa. Поэтому lim J J е~(х,+уг) cos (xyt) • ХКчп (л;) d\i2 = i-0R2 = lim J J 6-^+^ cos (*#) d^. Рассмотрим произвольную последовательность (f„)£Li, сходящуюся к нулю. Пусть для каждого натурального п U (х, У) = е-"*" cos (xytJ, (х, у) £ R». 104
Тогда lim fn(x, у) = ¢-(^+^e= f (x, у) для каждой точки (x, y)£R2. Л-юо Для этой последовательности также имеется ^2"интегРиРУемая мажоранта: | /„ (х, у) | < / (х, у) (V (х, у) £ IR2). Поэтому по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла имеем lim ' f e-^'+irt cos (xytn) d\i2 = J f e-^'+^'d ^2 = f J e~^'+^dxdy. В последнем интеграле перейдем к полярным координатам х = -= г cos ф, г/ = г sin ф, где г ^ О и ф £ [0; 2я]. Тогда £-<*4-v> cos (*#/„) djij = Г dф f r-'Vdr = я. Поскольку (i„)n=i — произвольная последовательность, сходящаяся к нулю, то lim J f в-<*Ч-л cos (луО • XR4C (jb) dfi2 = я. 32. Пусть функция f {х, у) задана на прямоугольнике Р =■ {(лс. у)£1Яа:-1<л:<1,-1<*/<1} формулой f (х, у) = (^|V)8 ' если х2 + г/а > 0, и / (0, 0) = 0. Доказать, что существуют оба повторных интеграла Ц J / (*, у) d* J dy, J I J/ (*, y) dy J d* и величины их совпадают, но двойной интеграл J J f (х, у) dxdy не р существует. Решение. При каждом фиксированном у £ [—1; 1] функция / {х, у) является непрерывной функцией относительно переменной л; на отрезке [—1; 1]. Поэтому существует интеграл 1 Чу) = 1 ФТ?Г (У € Е— 1; I©- Кроме того, этот интеграл равен нулю, поскольку подынтегральная функция нечетна. Таким образом, 7 (у) = 0 для каждого у, принадлежащего отрезку [—1; 1], функция 7 интегрируема на [—1; 1} и 1 1,1 . ^(y)dy = ^jj^}dy = 0. -1 —1 \—1 Аналогично убеждаемся в том, что 1 / 1 xydy !(ь dx = 0, К»
и, следовательно, повторные интегралы от функции / существуют и их величины совпадают. Покажем, что / не является интегрируемой по Лебегу на прямоугольнике Р, как функция двух переменных. Действительно, если допустить, что / интегрируема на Р, то согласно свойствам интеграла Лебега она интегрируема также на квадрате [0; 1] х [0; 1], т. е. имеет смысл двойной интеграл ( ( *у f . о о Тогда на основании теоремы Фубини существует повторный интеграл] П (лД^2)а \dy. Однако «P(tf) = J- xydx _ 1 у_ *У"х — 1 У л ^- и <* 1 а функция ф (у) = 2 .. , t. , 0 < у <; 1, не является интегрируемой на отрезке [0; 1]. Полученное противоречие доказывает, что / не- ннтегрируема на Р. Замечание. Можно доказать, что функция / иеиитегрируема иа Р и другим путем. Допустим, что / интегрируема иа Р. Тогда иа основании свойств интеграла Лебега существует также двойной интеграл -JJ (х- xydxdy S v- +^)2 где £) — четверть некоторого круга х2 + у* ^ е2, содержащегося в Р. Как отмечалось выше, этот нятеграл от неотрицательной функции / совпадает с несобственным интегралом xydxdy Я х.уцО В последнем интеграле перейдем к полярным координатам х = г cos <р, у «= г si а <р, 0<г<8, 0<q><-£-. Тогда л '--гйч-«Ч--1-Н- 0 0 о Jdr — расходящийся, то это противоречит допущению о конеч- о вости величины &. Следовательно, функция / иеиитегрируема иа Р. 106
33. Пусть f (х, у) — измеримая неотрицательная функция, заданная на прямоугольнике Р = [а; Ь] X [с; d] плоскости IR2. Доказать, что если конечен один, из повторных интегралов \i\f(x,y)dy\dx, j lj f (x, у) dx 1 dy, то / интегрируема на P и поэтому существует другой повторный интеграл, причем j [ / (х, у) dxdy = П J / (х, у) dy j dx = П j / (*, у) d* J dy. P a \c } с \a J Решение. Допустим, что существует первый из указанных выше повторных интегралов. Рассмотрим последовательность (/n (х, #))n-i срезок функции f (f(x,y), если f(x, #)<N, fN (X, у) = [ N, если / (x, у) > N. Функции /n (-«, у) являются, очевидно, ограниченными и измеримыми на прямоугольнике Р. Поэтому они интегрируемы на Р. Доказательство сформулированного утверждения проведем от противного, т. е. будем считать, что функция f неинтегрируема на Р. Тогда lim J J /N (x, у) dxdy = + oo (иначе по теореме Беппо — Леви / была бы интегрируемой на Р). Поэтому для достаточно больших N ь / d \ J J Ы (х> У) dxdy > J I J / (*• У) dy) dx- р Но, согласно теореме Фубини, для функции fn (х, у) ^ Ы (х, у) dxdy = П | /N (х, у) dy \ dx. Р а \с ) Следовательно, Ь / d \ Ь [ d П \Ы (х> У) dy )dx > \\ [f (х, У) dy dx. Последнее неравенство не является истинным, поскольку /n (*» у) <! / (X, у) в каждой точке (х, у) £ Р, а полученное противоречие Позволяет заключить, что функция f интегрируема на Р 34. Пусть s — множество всех вещественных последовательностей х = (|х |ft, ...) и ой — каноническая гауссова мера на s. Вычислить интеграл J f (х) da>, если: i 1) / (*) = ехр (- Д А) . х € « 2) / W = ехр (- £ -|-), *<Е s. 107
Решение. 1) Отметим, что функция / определена на всем мно- жестве s (если точка x£s такая, чтв ряд У. —г- расходится, то по- лагаем / (х) = 0). Рассмотрим последовательность цилиндрических из функций (/»(«))"„,, где /„(*) = expf—S ~-\, x£s. Каждая функций /„ (х) является непрерывной функцией п переменных £х, . .. , |„ и поэтому й-измерима. Кроме того, поскольку lim /„ (х) = я-юо = f (х) в каждой точке х £ s, то / также «-измерима. Для последовательности (/„ (*))^_i й-интегрируемой мажорантой может служить, например, функция <р(.к)=1, x£s. Поэтому по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла имеем J / (х) d® = lim J /„ (х) dv>. s n-*oo s Вычислим интеграл По теореме Фубини ft=l /«(■+т)' и поэтому Hm f /„ (ж) d<o = се j п I ] \ Поскольку ряд у -г- расходится, то lim П U + -г = + °°> и» следовательно, f / (ж) d® = 0. Замечание. Поскольку функция / положительна на множестве А в ( °° Е2 ) "" I2 = ж = (Si lk, • ..) € *: 2j -J" < + °°| и / (*) = 0, если ряд ]>] —jf" I *=i J fe=i 00 Е2 расходится, то ш (Л) — 0, т. в. для почти всех х 6 s ряд V —L расходится. *-1 * 108
2) Как и в случае 1), если положить для n£f$ f„(x) exp(— Yi ~~&~)> x£s< T0' согласно теореме Лебега, f f (x) da = lim f /„ (x) da. J n-*oo J i S Далее, +oo ' - КД(,+т) и поэтому поскольку бесконечное произведение П (' + -г»-) сходится. 35. Пусть С0 [0; л] — совокупность всех непрерывных функций я-» = х (f), 0 <! t <; л, удовлетворяющих условию х (0) = 0, a \iw—ст-эд- дитивная мера Винера на С0 [0; л]. Доказать, что f x(r)x(s)diiw=-j-m\n(r, s), С„[0,я\ где т и s — фиксированные точки отрезка [0; л]. Решение. Рассмотрим функцию / (х) = х (т) х (s), заданную на множестве С0 [0; л]. Она является цилиндрической и поэтому ^-измеримой. Согласно определению, считая, например, т < s, имеем С„[0;я] ■Щ=&)<Ъ<ц =2- Приведем двойной интеграл к повторному: J x(x)x(s)diiw= J l,e * U ~ dUd^. Во внутреннем интеграле сделаем замену переменной, полагая -Ц=М=- = у. Тогда V* — т +- _ й_ /+°° \ J JK(T)jB(s)d|i1,= —i=- J £,в 4 J (vVs-T + Z1)e-*dv\dl1. <У0;л] Я ^T -е. \-°о / 109
+°° Поскольку функция ve~v* является нечетной на IR, то J ve "*dv — 0. —оо Поэтому j х (т) х (s) dy.w = С0[0;л| V Для вычисления последнего интеграла применим метод интегрирования по частям, полагая и = £х и gx ехр I :j-)^£i = ^у- Тогда du = dglf и = ^ ехр I ^- ), и, следовательно: J j5(T)x(^d|i. = --7=r51 .-1- ехр ( i- f~-f с„[0:я] Е] \ I+- +оо /i +°° й Замена переменной г = 4= приводит к окончательному результату ] x(x)x(s) d\iw = — т. С0[0;я] Если т = s, то непосредственно из определения получаем , f х2 (т) ^ш = -у=- \ |?ехр(— -^-) dcx, i Со[0;я] и поэтому J х2 (т) d\iw = -2~ т. С0[0;я] Таким образом, для произвольных фиксированных точек т и s из отрезка [0; зх] получаем j *(T)A;(s)d(iMl = -2-min(T, s). Со[0;л] 36. Пусть С„ [0; я] — совокупность всех непрерывных функций х = х (С), 0 <! / <! я, удовлетворяющих условию х ф) — Q, а ц» — , счетно-аддитивная мера Винера на С0[0; л]. Вычислить интегралы: Г я "Г Г я 1) J \x(t)dt dixw; 2) $ [x*(t)dt dixw. C0[0;n] Lo J C0[0;ji] Lo Решение. Первый способ. Прежде чем вычислять заданные интегралы, напомним некоторые свойства интеграла от непрерывных функций. Рассмотрим для произвольного натурального числа п разно
биение П„ отрезка [0; я] на 2" равных частей 0 = /0</1 = ^-</2=-|-< ... <4 = -^-< ... <*2„ = *. Положим для непрерывной функции х = x(t), 0<!/^ я, mk,n — = min x(t). Тогда, согласно теореме Вейерштрасса, на отрезке [fk; tk+i] имеется такая точка т*,л, что тк.п = х(%k%n) (£ = 0, 1, ... ... , 2" — 1). Поэтому из свойств интеграла Римана вытекает, что \x(t)dt = lim -£г2% x(rk.n). Аналогично для непрерывной функции х = x(t), 0^/<; я, и рассмотренного выше разбиения П„ существуют такие точки Qk,n£ € 1¾ 4+i], что min х2 (0 = х2 (в*.„), где Л = 0, 1 2" — 1. По- этому J jk«(0 Л = 1^-^-^^(8^- А=0 1) Введем функцию / и последовательность функций (/„)~=i, заданные на множестве С0 [0; я! со значениями в IR, полагая 2п—1 f(x)=\x (t) dt, fa(x) = JL £ x (Tft,„) (x = * (t) € C0 [0; u]). 0 ^ £=0 V (Функции, определенные на абстрактных множествах со значениями в IR, называются функционалами, т. е. / и fn — функционалы, заданные на С0 [0; я].) Тогда, как мы только что отметили, для произвольной функции х £ С0 [0; я] lim /„ (х) = f (х). Кроме того, по свойствам сумм п-юо Дарбу последовательность (/„)^=i, не убывая, стремится к / в каждой точке множества С0 [0; л]. Из определения меры Винера следует, что каждая функция /„ является цш-измеримой на Q [0; я], и поэтому таковой является и функция /. Покажем, что каждая из функций fn цш-интегрируема, и найдем ее интеграл Винера. Для этого докажем, что цилиндрическая функция Ф (х) = х (т), х = х (t) £ С0 [0; я], где х — некоторое фиксированное число из отрезка [0; я], (хш-интегрируема и \ ф (х) d\iw = 0. Действй- С0[0.л] тельно, согласно определению интеграла Винера для т > 0, н-°° I Ф(*Mft. =9½ Js«p—£-)«*£ = 0, поскольку функция £ехр( )> ££К>— нечетная. Если т = 0,
то ф(х) = х (0) = 0 для произвольной функции х = х(f) ¢0,, [0; я], и поэтому f vf{x)d\i.w= 0. Но каждая функция fn является :о[о-,л| цилиндрической, ,ида-интегрируемой и J /»(*) dft. =■-^рг S J * (т*.*) dft. = 0. C0(D;nJ *=0 С0[0;л1 Поэтому no теореме Беппо Леви функция / также (^-интегрируема и [ f (■*) dy,w = lim Г /„ (х) d\iw = 0. с„[0:я) с0[0:я) Отметим, что функция / не является цилиндрической. 2) Вычисление этого интеграла проведем аналогично предыдущему. А именно, рассмотрим функционалы *(*)=( *2 (0 dt, gn (х) = ■£- 2f' x2 (0ft,n) о г *=o (*=*#)6C0[0; я]; п€И). заданные на множестве С0 [0; я]. Как следует из примера 35, каждая из цилиндрических функций является (Хщ -интегрируемой на Q 10; я] и 2"—' 2 J gn(*)d|.im = -^- S -5-0ft.«<-^- (пбИ)- c„rcU] 2 *-o 2 2 Последовательность (gn)%L\, очевидно, монотонно не убывая, сходится к функции g, и поэтому на основании теоремы Беппо Леви получаем, что g (^-интегрируема и 2"-1 \ g (х) dpw = lim ) gn (х) dpw = lim —*_, £ 0*,„ = 1 " a = —ITdT = -r-- о Второй способ. Рассмотрим произведение (½ (¾ \х.ш счетно- аддитивных мер Лебега \i1 на отрезке [0; я] и меры Винера ц^ на множестве С0 [0; я]. Далее, вычисление заданных интегралов проводим на основании теоремы Тоннелли (проверку выполнимости ее условий предоставляем читателю). В случае 1) получаем, что J nx(t)dt\d\iw=U ^ x(t)d\Lw)dt=0t С,[0-.я] \0 / 0 \С0[0;л] / поскольку при фиксированном t£ [0; я] f x\P)d^w =*0. CrfOjrt] 112
В случае 2), согласно примеру 35, имеем J (]x*(t)dt)dlxw=U J x*(t)dlxw)dt= 4-J^/= -£-. С.[0;я] \0 ) 0 \Со[0;л] / 0 Задачи для самостоятельной работы 1. Пусть (X, Я, ц) — измеримое пространство. Доказать, что характеристическая функция у = %А (х) множества А cz X Ц-измерима тогда и только тогда, когда А £ Я. 2. Доказать, что каждая монотонная функция у = / (х), х £ R, является неизмеримой (даже борелевой). 3. Пусть (X, 21, ц) — измеримое пространство, а у = f (х) — функция, определенная на X. Обозначим / ■_ (*) = max (/ (ж), 0) и /_ (х) = max (—/ (х), 0). Доказать, что функция / является ц-измеримой на X тогда и только тогда, когда функции /, и /_ Ц-измеримы на X. 4. Пусть функция у = f (х), х £ [а; Ь], дифференцируема на отрезке [a; b] cz R. Доказать, что функция / является (^-измеримой (даже борелевой). 5. Пусть 21] и 2lj — ст-алгебры подмножеств множества X иЯ] с 2L. Каково соотношение между классами 21-,-измеримых и Я2-измеримых функций? (Функция назынаеася 21-измеримой, если все ее лебеговы множества принадлежат алгебре 21.) 6. Пусть (X, Я, ц) — измеримое пространство, а Ж — некоторое подмножество ц-измеримых на X функций. Показать, что функции /* (х) = sup / (х), f„ (х) = inf f(x), &Ж КЖ х £ X, не являются, вообще говоря, ц-измеримыми. Пусть X = R, ц = цх — мера Лебега, а Ж cz С (R). Показать, что в этом случае функции /*, /» являются (^-измеримыми (даже борелевыми). 7. Доказать, что функция f : R -»- R является цх-измеримой на R, если: £?! Iх I +п ", п У п аЖ,)=у _™Н_, ^r. 8. Доказать, что функция / : R2-»- R является ^-измеримой на К2, есЛИ{ l\ S, N V Sin (Я (*2 +У2)) , 4,-102 1) /(*, у) = \ / .Т 21-. (*. у)е к2; £ Уп*[х2+у*] оо 2) / (*, У) = £ е_" arct8 (« (М + у)). (*. у) е К2! 9. Доказать, что функция / : R2 -*■ R является ц2-измеримой на R2, если: 1) f (*. У) = sign cos я (х" + у2); 2) / (х, у) = (*» + ^) [ж], 3) /(*.*) = ( I * I +1 * I) в1"1: 4) / (х, у) = arctg sin [х* + у2]; Б) / (г, у) = arctg ([ж] cos (*2 + у2)); в) / (*, y) = -L\n(l+ [ж2 + у2]); 7) / (х, у) = [*]2 + [у]'; в) / (*, У) = ch sin ([*] + \у])\ 9) f (х, у) = cos sh ([ж2 + у2]). 118
10. Пусть (X, 51, ц) — измеримое пространство и (/„ (x))£Li — последовательность функций, заданных иа множестве X, причем все функции /„ (х) = 0 почти всю- оо ду на X относительно меры ц. Положим для каждого х £ X gx (х) = V /„ (х), если ряд сходится, и gj (х) =■■ + оо, если ряд расходится; g2 (х) = sup /„ (х). Доказать, чем что gx (х) = 0 и g, (х) = 0 почти всюду относительно меры ц. 11. Пусть функции fug заданы и непрерывны на ц; -измеримом множестве А <=. R. Доказать, что если f (х) = g (х) почти всюду относительно меры цх на Л, то для каждого х € /1 имеем f (х) = g (х). 12. Определить та"кую непрерывную на R функцию #, что g (х) = / (х) почти всюду относительно меры Лебега Ц^ если: (sin*. xgQ, Jarctg*. *£Z, 3>/W = {o, **eR\Q; 4)/W ln(l+|*|), «*€R\Q. sin x2, e* £ Q; farcsin2-lj:|, *€R\N. ..... ((ch*)5"*, e*eR\Z, aJ /(*)=< ... b) /(*) = ■ 1 2W. ^N; i 0, **e 13. Определить непрерывную на R2 функцию g такую, что g (х, у) = f (х, у) почти всюду относительно меры Лебега ц2, если: )пх,т \ х\ (*.j/)eR24(QxQ); 2) fix )= fin * + S'n *■ {Х' У) € ^ Х R* ' (*' W I cos x, (x, у) $ Q X Rj 4) / (x, y) = {' fM + M. (*. y)eRx< ch *, (x, y) gf R X 14. Пусть (X, 31, Ц) — измеримое пространство, fk : X -»■ R — ц-измерииы» функции, fe = 1,2, ..., п. Доказать ц-измеримость на X следующих функций: 1)in(2 + l/lWn: Ч«п«<М*>./. <*>.-■./.<*>>; 3) min (/х (*). /2 (х) /„ (х)); 4) fl{X^ ■ 5) sin (| /х (*) / + |/2 (*) | + •• • +| /„ (х) | )•, 6) (1 + | h (х) 1 )ЫАХ 7) /iW:./j(4 8) Ы*)+/«(*)+ •••' + /,,(*) 1+|тах (/,(*), М*))1 ' 10 + aretg/iM 9) Sh/l(X) ; 10) mtg'lW 1+l/iMI 1 + I max (/, (*), /; (*)) | 15. Пусть (X, SI, Ц) — измеримое пространство, /„, gn : X -»- R — ^.-измеримые функции, л £ Щ, f : X ->■ \R — ц-измеримая функция. Доказать, что следующие множества ц- из меримы: О {*€Х:/„(*)>0, л>1}-, 2) (^X:/aW>/W, л>1}; U4
3) (хеХ: supM*)^M*)}; 4) [x£X: inf /„(*)</(*)}'. 5) {x £ X : ШЙ /„ (*) > / (*)}; 6) \x £ X : Jim/„ (*) < / (*)}-, «-►CO „-*«, 7) lx£X:fn(x)<gn(x). /i>l); 8) (^X; in/ /„(*)# sup gn (*)); 9) {*£ X : inf /„ (x) < inf g„ (*)}; 10) {JC e x :Thr7 /я (*) < lim gn (x)); 11) {x £ X; существует lim fn (x) £ R). 16. Пусть (/„ (x))™=l — последовательность функций, заданных на R. Опреде- такую непрерывную на R но меры Лебега цх на R, если: лить такую непрерывную на R функцию g, что /„ (х) -»- g (х) почти всюду относитель [Цхйак, 1) fn (х) = cos" х, x£R-, 2) //J(jc)=*2sin'1JC2, *£R; 3) /„ (*) = (— arctg xY + sin" 2x, x £ R; 4) U*)° ,^ f1."* , *eR; 5) /„(*)=—^1^—, xeR. l+/i2sin2* //nv / 2+slnnx €) /„(*)= cos" -^-. *#0, /n(0) = 0; 7) /„(*)=<?-"'*'-", x<:R; —«sin2" — 8) /«(*) = « * , *=7*=0, J„ (0)=0. 17. Пусть (/„ (x, y))^-! — последовательность функций, заданных на R2. Определить одну из функций g : R2 -*■ R, для которой fn (х, у) -*■ g (х. у) почти всюду относительно меры Лебега ц^ на R2, если: О fn (*, У) = cos" (*2 + у\ 2) /„ (х, у) = £-«(**+**); 3) /„ (х,у) = e-«l*«+i^-i|; 4) /„ (х, у) = 2sln"<"+"*>; 5) fn (*, У) = У\х\п + \У\" ; 6) fn (х, у) = п In (l + ilLtllly 7) /„ (х. у) = 2^ " I • 8) /„ (*, у) = ^"""-Н""*. 18. Пусть ^" (х) = 0, если л: < 0, и Т (х) = х, если * > 0, а ц~ — соответствующая ей мера Лебега — Стилтьеса на а-алгебре ц^-измеримых подмножеств числовой оси R. Доказать, что две непрерывные на R функции / и g почти всюду относительно меры (1^-равны на R тогда и только тогда, когда для произвольного х ^ 0 / (х) = 11S
19. Для последовательности функций /„ : R -*■ R, л £ N > доказать сходимость почти всюду относительно меры цх на R и для произвольного а > 0 указать (^-измеримое множество Аг, ц3 (iR \ Аг) <. е, на котором последовательность (fn)™=l сходится равномерно, если: . , „ -, „ , я21 sin rue I _ 1) /„ (х) = cos" jm, x £ R; 2) /„(*)= , ' , , ' *€Rj 1 + я2 I sin ях I ,л(дг-2) 6) /„ (*) = 7) /„ (*) 6) / te)-le ' *e[0; 2], 6>'«W-| 0, ^[0;2j; *£[0; 1]. 20. Пусть (X, Я, ц) — измеримое пространство, а последовательности (/„ (x))JJLi и (g„ (*))£Li Ц-измеримых функций сходятся по мере ц на ц-измеримом множестве А соответственно к ц-измеримым функциям / (х) и g (х). Доказать, что: 1) если Urn fn (х) -^=0 иа А, то lim р (х) —0 иа А; 2) Нт (/„ (х) + gn (х)) = /(*)+£ (х) на А; 3) Jim cos /„ (х) — cos f (x) иа A. 21. Пусть (ij — мера Лебега на R, /„ (х) = Xf„.-(n+1)>] (х) — характеристические функции отрезков [л', (л -(- I)2], л£ N- Доказать, что для каждого х £ R lim /„(*) =0. Верно ли, что lim /л(х)=^0 на R) «-VCO П + ОС 22. Пусть (X, Я, ц) — измеримое пространство и последовательность (/„ (х))™^, х £ А. сходится по мере Ц на ц-измеримом множестве А к функции / (х). Доказать, что если для каждого я £ N | /„ (х) | ^ g (*) ц-почти всюду на А, то | / (х) | ^ g (х) Ц- почти всюду на Л, 23. Пусть (X, Я, ц)— измеримое пространство конечной меры, (/n(*))~=i, *£Х, —последовательность ц-измеримых функций. Доказать, что 11т/„(х) л-*оо * / (*) на X тогда и только тогда, когда из произвольной подпоследовательности (Jп (x))^=l, х£Х, можно выделить подпоследовательность (/л (*))/Li» >;£ X, сходящуюся к / (х) ц-почти всюду на X. 24. Пусть (X, Я, ц) —измеримое пространство конечной меры, (/„ (*))™=1. х£Х, и (g„ (x))£Lj, х^Х, —последовательности ц-измеримых функций, сходящиеся по мере ц на X соответственно к функциям / (х) и g (х). Доказать, что если Ф (х, у) — непрерывная функция на плоскости R2, то lim ф (/„ (х), ga (х)) ~Ф (/(*), £ (*)) ваХ. 116
25. Пусть X совпадает с множеством N натуральных чисел, а-алгебра 51 = •=2^ и для ЛсХ Ц(А)= V Описать сходимость по мере ц на измерили 2* мом пространстве (N, 2^, ц). 26. Доказать, что последовательность ^-измеримых функций (/„ (x))£L,, х £ R, сходится на R по мере Лебега Ц], и найти предел, если для х £ R: D /«W = х(^: v^+i) М: 2> '«W = 2 - x[inn:in(n+i)] М; 3) /„ (х) = sin» х ■ Х[2яп;2яп+Я] (*)! 4) /„ (х) = cos х + | * | Х[3^_ ^_5] (*); О* 5) /» М = Б ХГ.. 11 м- 27. Пусть у =1 У (х), х £ R, — монотонно неубывающая, непрерывная слева функция, ц-f — соответствующая ей мера Лебега — Стилтьеса на R, (/„ (x))^_v х g £ R,— последовательность ц^-измеримых функций, / — ц^-измеримая функция. Описать сходимость lim fn (х) = / (х) на R, если: П-ЬОО (I, — оо<х<0, ^W = {2,0<,<+oo; 2)^00 = -1-^ 3) $г(х) = —[arctgx]. 28. Пусть (X, Я, ц) — измеримое пространство конечной меры и яа X lim /„ (х) £- f (х), lim gn (х) ^-g(x). Доказать, что: 1) если для каждого п £ N 2f„ (х) = gn (ж) почти всюду на X относительно меры ц, то 2/ (х) = g (х) почти всюду на X; 2) для каждого ц-измеримого множества А и произвольного е > О lim ц{*€ Л: |/n(*)— f(x)\<e)=\L(A); п-ьоа 3) если для каждого п € N почти всюду на X /„ (х) < 0, то / (х) ^ 0 почти всюду на X; 4) если дл я каждого и £ N почти всюду на X /„ (х) < gn (х), то / (х) ^ g (#) почти всюду на X. 29. Пусть цх — мера Лебега на R, ца — мера Лебега на R2. Вычислить: 1) fxQM^i: 2) j XR4qW^; 3) ) (_i)[**+*4 dp2. где Л = R [0;20] A -={(*, y):x* + y*< 5). Пусть /4=1) I n; л -| — — множество числовой оси R. При каких а £ В? и=1 \ пг \ карактеристическая функция у = %А (х), х £ А, множества А является интегрируемой по Лебегу на R относительно меры Лебега Ц]? 31. Доказать, что если / (х) =0 в точках канторова множества Fc [0; 1] и / (х) = п на его смежных интервалах, длина которых равна , то \ f(x)d\i1^ -, 3" I'M] = 3, где цх — мера Лебега на R. 32. Пусть (X, 21, ц) — измеримое пространство конечной меры и /€ L (X, ц). Доказать, что J/(jt)d|i-Hm £ 6*И*€Х :^</(*)<^,,), 117 30.
где {yfte R : fe£ Z)— разбиение числовой оси R, X = sup {yk ,,—yft), £¢€[^, 33. Пусть у = .?" (x), x £ R,— неубывающая непрерывная слева на R функция, ц^г — соответствующая мера Лебега — Стилтьеса на R, / : R -*■ R. Вычислить J / (x)d\igr если / (х) = «*, х £ R, а IR I 0, — <хэ<х<0, У(х)ш,)— [— х], 0<х<100, I 100, 100<х<-|-оо. 34. Функция / (х) равна cos х в точках канторова множества F cz [0; 1] и равна 1 1 Г — на тех смежных интервалах, длина которых равна — . Вычислить J / (х) d\ilt 2" 3" [0;1] где Ц] — мера Лебега на R. 35. Интегрируема ли по Риману функция Uinx, x£(Q, иа отрезке [0; 1]? Интегрируема ли она по Лебегу относительно меры Лебега Ц] иа R? Если функция интегрируема по Лебегу, то найти j / (х) d\ij. [0;i] 36. Вычислить интеграл Лебега J / (х) d\Lt относительно меры \ilt если [0,-11 /(*) tax, xe(R\(Q) л(-^-;+оо|, 1 х\ *е(Кч<Р)Л о, *e<Q. °4)- 37. Вычислить интеграл Лебега 1 ^ ^1 , где ца — мера Лебега на П?. <1;2) /*^ 3». Интегрируемы лн по Лебегу относительно меры Лебега ц3 на интервале (0; 1) функции У=7иу = 1?? 39. Вычислить интеграл Лебега J / (х) d\ilt где Цц — мера Лебега на К н №1] /<*) = 4-. *eR4Q. у* / 1 Х — 1 , же' 40. Пусть (X, Я, ц) — измеримое пространство, у = f (х), х £ А,— ограниченная и ц-интегрируемая на А функция. Будут ли ц-интегрируемыми на А функции: 1) У = /10 М; 2) у = |/ (х) |; 3) у = ^-? 41. Пусть /(*) = (sin *)Х|рч(г)(*). *€ R- Вычислить \ f (х) d\ilt где Щ — in t^"1 мера Лебега на К. Будет ли / интегрируемой по Риману на отрезке [0; л]? 118
42. Доказать неравенства: 1) -i-< J ex'+xxR^JQ(x)diil^2e^ \ А 'У где Цх — мера Лебега на R, ц2 — мера Лебега на R2, а А = {(ж, у) £ R1 : 1 < ** + + У2<4}. 43. Пусть У (х) = —[—х], х £ R, ц~- — соответствующая мера Лебега — Стил- тьеса на R, / : R -*■ R. Доказать, что / £ L (R, ц^.) тогда и только тогда, когда +°° £ I / (&) I < + °°- При этом для каждого <4 с= R ft о* ( / (х) d^ = £ / <*>• 44. Пусть (X, 31, ц) — измеримое пространство конечной меры, (/„ (*))Ц£»р * € € X,— последовательность ц-измеримых функций. Доказать, что lim/„ (х) ""■,/(ж) П-VOO на X тогда и только тогда, когда шп Г i/»w-/wi a^ooj 1+|/»W—/Wl ^ 45. Сходится лн несобственный интеграл \ f (х) dxf Принадлежит ли функция / классу L ([I; +оо), щ), где (¾ — мера Лебега иа R, если: 1) / (4= 2 -Ц^- xtft,ft+1) (*). * б Ri ft<= э sin k ft=l Я)/М=2-^х(*,*+1)(*). ^R: fe=i 3) / (x) = £ -i=^- ^4+1)4 <*>• x € Ri 4) f (*) - £ (COS fe) Xj^ yj-y (x), x£ Ш 46. Найти пределы: ** 2) lira f e n &w\ 4) lim I 5) lim ( п{Г~Г -1)-пЙг 1) D lim «-"*' Um К sin"* 1+XS 'dhi -dfijt [0:1] ,—cos"*, [0;^ dpi [0;H 119
47. Пусть (X, 51, ц) — измеримое пространство, g : X ->■ 0? — и.-измерима« функция. Для каждого п £ N определим (g(x), если |g(x)|<n, gn(x) = l п, еслнй(х)>п, I —п, если g (x) < —n. Доказать, что g £ L (X, ц) тогда и только тогда, когда «UP [\gn{x)\d\L<+<x>. n€N J При этом 11m С gn(x)dVi= f g(x)dp.. 48. Пу«г ^- (x) = — [—x], x g R, \.\.дг. — соответствующая мера Лебега — Стилтьеса и последовательность функций (fn(x))%_lt *£R, такая, что для каждого k ё Z lim fn (k) = f (¾). Доказать, что если существует такая числовая последовательность (ak))^z, что |fn(fe)|<afe(Vne N) и 2j КХ о-ь < + °=>. 11m f^Wdji-p- £ '<*>■ 49. Пусть функция / : R ->- R ц3-измерима по Лебегу и ограничена на R. Доказать, что функция (' cos ibc2 _ R 1+J^ непрерывно дифференцируема на R, и найти g'. 50. Доказать, что для двойного интеграла I I е~~ку sin jc sin ydxdy 6 о существуют оба повторных интеграла и величины этих интегралов совпадают. Существует ли двойной интеграл? 51. Доказать, что для двойного интеграла 1 1 Их2— о2 ■w+wdxdy о о существуют оба повторных интеграла, но их величины не совпадают. 52. Положим для п £ N t (*, У) = 2" 2"-' 0 в остальных случаях. 22п. _ 22л+! 2" 2"-1 2"+' 2" 120
Доказать, что П f Цх, фйАйхФ Jl J f(x, y)dx\dy. о \о } о \0 / 53. Пусть s—множество всех вещественных последовательностей х = (|,, ... ... ё*. ■■ ■) и ш — каноническая гауссова мера на s. Для А, > 0 н положительной последовательности чисел (flft)|t=i вычислить интеграл \ f (х) da>, где f(x)=e *— , *£s. e *=' {oo ) ее xgs:^ aft||< + ool = l, если ряд ^ aft сходится, и !so \ oo xgs: V ^¾ < +oo| =0, если ряд J] aft расходится (признак Колмогорова — Хитина). 54. Пусть С0 [0; я] — совокупность всех непрерывных функций х = х (t), 0 < ^ t ^ я, удовлетворяющих условию* (0) = 0, а ц^, — мера Винера наСо [0; зг]. Для фиксированной непрерывной функции х = <р (t), 0^ /^ я, вычислить интегралы: ■ л . \ 1) f И ф (0 * (О Л I djie Со[0;я] \о У 2) J ( (V(0*2W#J<W С„[0;я] \6 / Ответы. 5. Класс 51]-измеримых функций содержится в классе 51а-нзмеримых функций. 12. l)g (х) = 0; 2)g (х) = я; 3)g (х) = 0; 4) g (х) = ]п (1 + | х |); 5) g (х) = = arcsin 2- I * '; 6) g (х) = (ch x)shx. 13. 1) g (x, у) = x3; 2) g (x, y) = .cos x; 3) g (x, y) = xgr, 4) g (x, y) = ch x. 16. 1) - 3), 5) - 7) g (x) = 0; 4) g (x) = 1; 8) g (x) = 1. 17. 1)-3) g (x, y) = 0, 4) g (x, y) = 1; 5) g(x,y) = \y |, если I у | > | * I, и g (ж, S) - I * /. если | ж | 3s I у |; 6) g (x, y) = | x | + | у |; 7) g (ж, у) = 2*; 8) g (x, у) = = 1. 21. He верно. 25. lim /„ (ft) = 0на fj тогда и только тогда, когда lim /„ (ft) = О равномерно на N. 26. 1) / (х) = 0 п. в. на R; 2) / (х) = 2 п. в. на R; 3) f (х) = О Ц.а- п. в. на R; 4) / (х) = cos х п. в. на R; 5) / (х) = 0 п. в. на R. 27. 1) /„ (х) ► / (х) иа R тогда и только тогда, когда /„ (0) -»■/ (0); 2) /„ (х) ► f (х) на R тогда и только г- *& тогда, когда/„ (х) rj / (х) на множестве {± у ft : ft £ N }; 3) /л (х) ► / (х) на R тог- да н только тогда, когда /„ (х) -»- / (х) для х = 0, х = -j- и х = — . 29. 1) 0; 2) 20; 3)-я.30.а>1. 33. е_х -34. -£L. 35. Нет. Да. -^.36. -±- — £-J£l. 3 37. у. 38. Не интегрируемы. 39. 2. 40. 1),2)Да;3) Не всегда. 41. 2. Нет. 45. 1)— 4) Да, нет. 46. 1) 0; 2) 1; 3) 0; 4) я; 5) —-J-. 49. g' (f) = — J" ут^Г*3 / (*) Фх. (OO i !_ . Л П (1 + Алй) 2 . 54. 1) 0; 2) -i f (Ф (0 Л. 181
fi 4. ПРОСТРАНСТВА ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 1. Пространства L» интегрируемых функций. Пусть X — некоторое непусто* множество, 51 — а-алгебра подмножеств множества X, ц — счетно-аддитивная мера, определенная на 21. Считаем, что мера ц является о-конечной и полной. Рассмотрим фиксированное ц-измеримое множество Л с X и некоторое действительное число р, р > 1. Тогда через Lp (точнее, Lp (А) нли даже Lp (Л, ц) обозначим совокупность всех функций /, измеримых и почти всюду конечных (относительно меры ц) на множестве А, для которых конечен интеграл (|/(*)1"<*ц. А В множестве Lp ц-почти всюду равные на А функции отождествляются, т. е. Lp состоит из классов ц-эквивалентных на А функций. Поэтому в дальнейшем можно считать, что представители этих классов являются функциями с конечными значениями на А. Отметим также, что множество L± (А, ц) совпадает с множеством L (А, ц) ц-интегрируемых на А функций (см. § 3). Можно показать (см. пример 1), что множество Lp—линейное. При этом операции сложения и умножения на действительные числа элементов из Lp (т. е. классов ц-эквивалентных на А функций) проводятся над их представителями. Изучение пространства Lp для р > 1 тесно связано с рассмотрением другого пространства того же типа — Lq (А, ц), у которого индекс q выражается через р из соотношения 1 = 1. Числа р н q называются сопряженными. Отметим, что Р Я если р = 2, то и q = 2. Напомним некоторые классические неравенства, часто употребляемые при изучении пространств Lp. Теорема 1'. Пусть р > 1 и q — ему сопряокенное число. Тогда для любых двух функций f £ Lp и g £ Lq произведение fg является интегрируемой на А функцией и справедливо неравенство [f(x)g(x) dp ^([ ]f(x) Га-Лт ({ \g (x) f а-Л-т , называемое неравенством Гельдера. Отметим, что при р = 2 неравенство Гельдера превращается в неравенство Каши — Буняковского J/M«(*)4i|<i/$!/(*) |»ф- i/ ( leWPd|i. A I V А V А Теорема 2. Для двух произвольных функций f,g£ L0, р > 1, справедливо не ра- [\f(*)+g (*) I" йЛт <($lt W f а-Лг + [J 1 g М \" dAJr , называемое неравенством Минковского. В пространстве Lp, р ^ 1, можно ввести понятие расстояния между его элементами. Если функции / и g принадлежат пространству Lp, то расстоянием между ними называется число венство P(f, g)=(\ \f W-g(x)\p dv\jr . Оно обладает всеми характерными свойствами расстояния: 1) Р (/. Ю > 0; Р (/. S) = 0 тогда и только тогда, когда классы / и g совпадают (именно поэтому пространство Lp состоит не из отдельных, функций, а из классов вквивалентных функций); 122
2) p (/, g) = p (g, f); 3) если /, g и ft — элементы пространства Lp, то p (/, g) ^ p (/, ft) + p (ft, g). Последнее неравенство называется неравенством треугольника (оно следует нз неравенства Минковского). Первые два свойства расстояния р (/, g) в Lp вытекают из соответствующих свойств интеграла Лебега. Отметим, что если на непустом множестве можно ввести расстояние между произвольными его элементами, обладающее указанными тремя свойствами, то такое множество называют метрическим пространством (такие пространства более детально изучаются в гл. 2, § 1). Следовательно, пространство Lp является метрическим. Оно называется пространством функций, интегрируемых с р-й степенью. В пространстве Lp, р ^ 1, вводится также понятие нормы элемента / £ Lp: \f\=(\ I/ (*)|"<l|iH" = P tf.°>. Норма ll/H в пространстве Lp обозначается еще символами | / \L и Ц f \р. Она обладает рядом свойств, аналогичных свойствам модуля числа и длины вектора в R3 и R3: 1) 1/1^0; ||/||=0 тогда и только тогда, ко гда / является нулевым классом (т. е. / Ц-эквивалентна тождественно нулевой функции); 2) для произвольного числа а £ R имеем || а / || = | а | || / ||; 3)'если /и g — элементы пространства Lp, то ||/ + g\\ =¾ || / || + | g J (неравенство треугольника для нормы). Отметим, что неравенство треугольника совпадает с неравенством Минковского. Если на линейном пространстве можно ввести норму, обладающую свойствами 1) — 3), то оно называется нормированным пространством. Такой класс пространств будет изучен также в гл. 2. Следовательно, пространство Lp нормировано. Наличие в Lp расстояния (или нормы) позволяет ввести в нем понятие сходимости. Именно, пусть (/„ (x))^Li, * € А,— последовательность функций пространства Lp я функция у = f (х), х £ А, также принадлежит Lp. Эту последовательность называют сходящейся к / в пространстве Lp, если 11т р (/„,/) = ЦШ I /„-/»= Нт(^ |/„(*)-/(*) |'<гДт=0. Обозначается эта сходимость так: /„->-/ в пространстве Lp или lim /„ (х) = f (х) в Lp. rt-voo Такая сходимость называется сходимостью в среднем р-го порядка. В частности, для р = 1 эта сходимость называется сходимостью в среднем, а для р = 2 — сходимостью в среднем квадратичном. Множество М пространства Lp называется всюду плотным, если для каждого элемента / £ Lp и любого е > 0 найдется такой элемент ft £ М, что || / — ft || <С 8. Можно проверить, что множество М cz Lp является всюду плотным тогда и только тогда, когда для каждого элемента / £ Lp существует последовательность (йл)л=1 эле" ментов из М, что lim ft„ = f в Lp. Например, в пространстве Lp (Л, цт), где ц = цт — мера Лебега на Rm, & А — ^„-измеримое множество из Rm, всюду плотным является множество М всех непрерывных на А функций. Те пространства, в которых имеется счетное всюду плотное множество, называются сепарабельными. Теорема 3. Пусть X = R"1, ц = цт — мера Лебега на пространстве Rm и А — измеримое в смысле Лебега множество из Rm. Тогда пространство LB = Lp (А, \hn)> Р > 1. сепарабельно. Как и в классическом математическом анализе, в пространстве Lp важным является понятие фундаментальной последовательности. Именно, последовательность (/n)^Li Функций пространства Lp называется фундаментальной (или последователь- 123
иостью Коши), если Нш lfn-fkl = я.й-к» М= 11m f(|/nW-/*M/p^T-0. Нетрудно проверить, что любая сходящаяся в Lp последовательность функций является фундаментальной. Если каждая фундаментальная последовательность функций из пространства Lp является сходящейся в нем, то такое пространство Lp называется полным. Теорема 4. Для каждого р ^ 1 пространство Lp является полным. Замечание. Решающим преимуществом лебеговой конструкции интеграла по сравнению с римановой является именно то обстоятельство, что пространство Lp — полное. Если, например, рассмотреть в качестве множества А отрезок [а; Ь\ числовой оси R, то пространство St ([а; Ь\) всех интегрируемых по Риману функций на [а; Ь] с расстоянием ь P(f,g) = [\f(x)-g(x)\dx (4f,g$3l([a; *])) а не является полным. Обратим внимание и на то обстоятельство, что интеграл Лебега строится на произвольных абстрактных множествах, на которых определена счетно-аддитивная мера. В то же время интеграл Римана определяется только на измеримых по Жордану множествах пространства Rm. 2. Условия сходимости ряда Фурье функции из пространства Lx [—я; л]. Рассмотрим пространство Lt [—я; я] функций, интегрируемых по Лебегу на отрезке [—я; п\ (относительно меры Лебега ц = ц^. Для каждой функции f £ Lx [—я; я] введем последовательность ее коэффициентов Фурье, полагая: л ап=— \ f (х) cos nxdx, л = О, 1, . .. ; —л 1 * Ьп = — \ f (х) sin nxdx; п = 1, 2, .... —л Тогда рядом Фурье функции f называют такой ряд: оо -у-+£ ап cos пх + Ьп sinn*. (1) Изучим вопрос о сходимости ряда Фурье в данной точке х к значению функции f в этой точке, т. е. вопрос о поточечной сходимости ряда (1) к функции f, порождающей этот ряд. С этой целью для последовательности частичных сумм (Sn (x))^i ряда (1), т. е. п sn (*) = -у- + S ak cos kx + bk sin kx< k=\ рассмотрим представление s««=-H л .2n4-l,. . sin £—(t — x) fit) t_x dt. -я 2 sin —g— называемое интегралом Дирихле. Функция . 2n + l 1 Sln 2 * *•«—5Г —г называется ядром Дирихле. 124 sin.j-
Теорема 5 (Римана — Лебега). Если функция <р интегрируема по Лебегу на отрезке [а; Ь], то справедливы равенства ь ь lim \ <р(х) cos nxdx = lim i <p (x) sin nxdx = 0. J П-VOO J Из этой теоремы следует, что lim ап = lim bn = 0, т. е. последовательность коэф- фициеитов Фурье интегрирумой по Лебегу на отрезке [—я; я] функции f является бесконечно малой. Рассмотрим достаточный признак сходимости ряда Фурье. Теорема 6 (Д и и н). Пусть функция f принадлежит пространству Lx [ я; я] и при фиксированном х £ [—я; я] интеграл 6 "<* + ?,-"'"* (2) а сходится для некоторого б > 0. Тогда ряд Фурье (1) функции f сходится в точке х к значению f (х), т. е. оо f (х) = -— + ^] а„ cos их + £>„ sin их. Отметим, что сходимость интеграла (2) называется условием Дннн функции f в точке х. Оно, в частности, выполнено, если в данной точке х функция f имеет конечную производную. Более того, пусть функция / ограничена на [—я; я], нм«ет разрывы только первого рода и в каждой точке х 6 (—я; it) существуют конечные пределы /1(,)= Нш f<«-*)-f<«-0)t f )= Ит f(x + ^-fQL^L д*-»+о Д* "^ д*-+о А* называемые соответственно левой и правой производными функции в точке х. Тогда ряд Фурье такой функции f сходится всюду на (—я; я), а' его сумма равна / (х) в точках х непрерывности f н равна -д- [/ (х + 0) + f (х — 0)], если х является точкой разрыва для f. Условие Дннн выполняется также, например, если функция f удовлетворяет в точке х условию Липшица порядка а: \ f (х-\- t) — f (х) | <| С | / |а (0 < а ^ <1). Описанные результаты справедливы и для произвольных 2я-псрНоднческнх функций (рассмотрение которых является естественным, поскольку сумма ряда (1) — 2я-перноднческая функция), интегрируемых по Лебегу на отрезке [—я, я]. Выше мы сформулировали некоторые достаточные условия сходимости ряда Фурье ■функции / в точке х. Класс функций, удовлетворяющих этим условиям, достаточно широк. Однако приведенные условия далеки от необходимых. Например, даже непрерывность функции не является необходимой для представления ее в виде суммы ряда Фурье. Правда, ситуация несколько изменится, если интересоваться условиями равномерной сходимости ряда Фурье. Ведь, согласно общим свойствам равномерно сходящихся рядов непрерывных функций, если функция f имеет хотя бы один разрыв, то ее ряд Фурье не может сходиться к ней равномерно. Поэтому непрерывность функции является необходимым условием равномерной сходимости ее ряда Фурье (но, не достаточным). Теорема 7. Если 2п-периодическая функция f дифференцируема на числовой CjCu R и ее производная f принадлежит L2 [—я; я], то ряд Фурье функции f сходится к ней равномерно на R. В частности, ряд Фурье непрерывно-днфференцнруемой функции / равномерно сходится на R к этой функции. Приведем еще одно условие равномерной сходимости ряда Фурье, аналогнчюе условию Дини. Теорема 8. Пусть на некотором множестве А с: I—я; я] функции f £ 1^ [—п; я] ограничена, а условие Дини выполняется на А равномерно, т. е. для каждого 8 ?> 125
>. 0 существует такое б > 0, что й \f(x + t)- f(x)\ [ '" dt <е одновременно для всех х £ А. Тогда ряд Фурье (1) функции f сходится к f равномерно на А. Можно показать, что существуют непрерывные функции, ряды Фурье которых сходятся не во всех^точках. Вместе с тем, если сумму ряда Фурье (1) понимать не как предел частичных сумм 5„ (х), а как предел нх средних арифметических, то каждая непрерывная функция однозначно восстанавливается своим рядом Фурье. Для этого рассмотрим ряд Фурье (1) 2я-перноднческой интегрируемой по Лебегу на [—я; я] функции / н положим ч S0 (х) + S1(x) + • • • + 5Л_! (х) оп(х) = - — (*<ER,n<EN), (3) аа где Sa (х) = -п ■ Выражения ап (х) — средние арифметические сумм 5^ (х) — называются суммами Фейера функции f. Теорема 9 (Фейера). Если 2п-периодическая функция f непрерывна на R, то последовательность (ал)л=1 ее сумм Фейера сходится к f равномерно на всей числовой оси R. Из теоремы Фейера следует теорема Вейерштрасса об аппроксимации непрерывной функции / тригонометрическими многочленами. Напомним, что тригонометрическим полиномом называется выражение п а0 + ^ ak cos kx -f- f$A sin kx, где «o> ai> •••• an H Pi> •••• Pn — действительные числа. Таким многочленом является, очевидно, каждая сумма Фейера а„ функции /. Теорема 10 (В е й е р ш т р-а с с а). Если непрерывная на отрезке [—я; я] функция f такая, что f (—я) = / (я), то существует последовательность тригонометрических многочленов, равномерно сходящаяся на [—я; я] к f. Теорему Фейера можно рассматривать как усиление теоремы Вейерштрасса. Ведь в теореме Вейерштрасса говорится о существовании какой-то последовательности Тригонометрических многочленов, а теорема Фейера указывает конкретную последовательность тригонометрических многочленов, равномерно сходящуюся к /,— последовательность ее сумм Фейера (3). Теорема Фейера справедлива н для функций из пространства Lt [—я; я]. Теорема 11. Если функция f интегрируема по Лебегу на отрезке [—я; я], то последовательность (ап)™=\ се сумм Фейера (3) сходится к / в среднем, т, е, л Нш I оп -fh = Hm Г | a„ (x) -f(x)\dx = 0. n-*oo n-*co v —я Из этой теоремы следует такой важный факт: каждая интегрируемая по Лебегу на [—я, я] функция однозначно (с точностью до эквивалентности) определяется своими коэффициентами Фурье, т. е. если две интегрируемые функции имеют одинаковые ковффнвденты Фурье, то они почти всюду равны на отрезке [—я; я]. Иа теоремы 11 получаем также, что тригонометрические многочлены всюду плотны1 в пространстве Li [—я; я] 3. Преобразование Фурье функций пространства Li (R) и его свойства. Пусть функция у = ф (х), х 6 R, интегрируема по Лебегу на R, т. е. ф 6 Lt (0?). Тогда ее преобразованием Фурье называется функция F [ф] (а) (иногда обозначаемая <р (aj), 126
определенная на fi? с помощью равенства F|<p](o) = J ¢^).1¾ (a€R). (4) Отметим, что интеграл в правой части формулы (4) от комплекснозначной функции существует, поскольку, согласно формуле Ейлера elxa = cos ха + i sin ха, он выражается через два интеграла от действительнозначных функций пространства MR) . +00 +00 +» \ Ф (х) вСха dx = I ф (х) cos xadx -)- 1 \ ф (x) sin xadx. —00 —00 —00 Из формулы (4) следует, что преобразование Фурье F [ф] функции <р £ Lt (R) является непрерывной н ограниченной на R функцией, причем lim F [ф] (о) = 0. |a|-v+~ Исследуем теперь вопрос (как это делалось для рядов Фурье) о представлении функции Ф 6 L] (R) с помощью ее преобразования Фурье Ф (о) = F [ф] (о), о € R. Теорема 12. Пусть функция ф принадлежит пространству Lj (R), ф (о) = ч= F [ф! (а), о 6 R,— ее преобразование Фурье и в точке х £ R удовлетворяет условию Дини 36>0:| 1^ + (^1 *< + 0о, ТааЗа справедлива формула обращения а 1 (* - —(ох ф (JC) = "2JT J ф (а) в d°' (5) -в которая называется формулой обратного преобразования Фурье. Поскольку преобразование Фурье ф, вообще говоря, не принадлежит пространств ву Lx (R), то интеграл в формуле (5) понимается в смысле главного значения, т. е, N Ф (х) = -х- lim \ ф (о) в~ axda. —N Отметим, что каждая функция пространства Lt (R) однозначно (с точностью до вквнвалентностн) определяется своим преобразованием Фурье, т. е. если F [ф^ (о) = *= F [ф2] (о) для всех о (Е R, то ф! (х) = (¾ (х) почти всюду на R. Перейдем к основным свойствам преобразования Фурье. 1) Преобразование Фурье и операция дифференцирования. Предположим, что функция ф 6 Lj (R) дифференцируема на R н ее производная ф' также принадлежит L, (R). Тогда F [ф'] (о) = (—io) F [ф] (о) для каждого о 6 R. Если у функции <р существуют интегрируемые на R производные до порядка т, то, повторяя процесс, для любого о (Е R получаем F [Ф<*>] (о) = (- и»* F [ф] (о) (А = 1, 2, . . . , т). Допустим теперь, что не только ф (х), но и дар (х), х £ R,— интегрируемая на R функция. Тогда функция ф (a) = F [ф] (о), о 6 R, является дифференцируемой на (F [ф])' (о) = F [uapj (a). Если вместе сф(*) интегрируемыми на R являются также функции xq> (х), Ж* Ф (ж), .,., х"1 ф (х), то функция ф (о) = F [ф] (о), о g К, имеет производные до по- 127
рядка m. Эти производные непрерывны, ограничены на R н стремятся к нулю при | о | -*■ +со. Кроме того, справедливы равенства (F [ф1)*(о) = /Ч(!х)*ф] (a), VaeR (£=1,2 т). Если все произведения х* ф (х). fe = 0, 1, ..., интегрируемы на R, то функция ф (о) = F [ф] (о), о 6 R, бесконечно дифференцируема, каждая ее производная непрерывна н стремится к нулю при | а | -*■ +со. , Таким образом, чем более сильные условия убывания на бесконечности мы накладываем на функцию ф, тем более гладкой является функция ф — ее преобразование Фурье. В связи с изложенным укажем класс функций, который при преобразовании Фурье переходит в себя самого Этим свойством обладает совокупность 5 (В?) бесконечно дифференцируемых функций ц = ф (х), х £ R, которые для всех k, п = 0, 1, ... удовлетворяют неравенствам | 1*ф("' (а:) | < cfe/1 (Vx(ER), где скп — постоянные, зависящие от функции ф. Очевидно, что функция у =зз 1 не принадлежит 5 (R|. Однако можно показать, что ехр (—х2) £ 5 (R). Так что класс 5 (R) не является пустым. 2) Преобразование Фурье класса S (R). Если функция ф принадлежит множеству S (R), ее преобразование Фурье ф = F [ф1 также принадлежит S (R). Кроме того каждая функция ф множества 5 (R) является преобразованием Фурье некоторой функции ф £ 5 (R). Таким образом, прн преобразовании Фурье класс 5 (R) отображается на весь класс 5 (R). Символически это можно записать с помощью равенства F IS (R)] = 5 (R). 3) Преобразование Фурье и свертка. Пусть фа н ф2 — функции, интегрируемые по Лебегу на числовой оси R. Тогда справедливо равенство +оо +О0 +00 -j-oo \ £ «Pi (I) Фг (* — I) dxdl = J ф! (Э d% ■ \ ф2 (л) dr\. —оо —оо —оо 00 Поэтому, согласно теореме Фубини (см, § 3), функция -|-оо ф(*)= \ Ф1(1)Ф1(*-Э* (в) -~оо существует для почти всех х £ R и интегрируема на R. Функцию ф, определенную равенством (6), называют свергхой функций ф, и ф, н обозначают символом фх * фа. Операция свертки двух функций из пространства Lj (R) коммутативна и ассоциативна. Часто при решении дифференциальных уравнений с помощью преобразования Фурье используют такое свойство если функции фх и ф2 принадлежат пространству Lj (R), то преобразование Фурье их свертки равно произведению преобразований Фурье функций ф2 и ф!, т. е. F [^ * ф2] (о) = F [ф^ (о) • F [ф2] (о) (wag R). Замечание. Чтобы придать формулам прямого и обратного преобразования Фурье большую симметричность, часто определяют преобразование Фурье формулой 1 +°° ф(0) = Уй ] <H*)elxadx. —оо Тогда формула обращения принимает вид Мы будем придерживаться определения (4) с формулой обращения (5). Преобразование Фурье, рассмотренное для функций одной переменной, легко переносится на функции многих переменных. 128
Пусть функция у = ф (х), где х = (£1( ..., ?т) £ Rm, принадлежит простраиству Ei (Rm) = L, (Rm, \im). Ее преобразованием Фурье называется функция + оо + оо Ф (О) - Ф <°1 °m) = ) ■ ■ ■ J ф (Ь 6т) «,(Ьв,+ "' ^¾ • • • 4» —оо —оо ялн в символической записи — ф (о) = f ф (х) ei(x-a)dx. Rm Этот т-кратный интеграл заведомо существует, поскольку функция Ф 6 Lj (Rm). Согласно теореме Фубннн, его можно представить, например, в виде повторного ннте- ■грала Ф (olf 0m) = J . . . j J ф (Ь £m) в'Ь»^! в'Ь".^, . . . x X e%^mdlm. (7) Другими словами, для вычисления преобразования Фурье интегрируемой функции ф от т переменных надо последовательно выполнить преобразование Фурье функции ф по каждой из переменных в отдельности (в любом порядке). Обращая каж- .дую из этих т операций в правой части равенства (7), формально получаем Ф (ii Ьп) = ' —оо \ —оо \ —оо От) e~i°xbdo1 e-la&da2 . .. ^"'"«Чй!,, (2rm ,,- ,, ,,-.-. ..- -* ,- -, m млн же (в форме m-кратного интеграла) Ф (li Ьп) = = -V Т • ■ ■ Т Ф № *■> ^-^^-^1^ ... Д,т. (8) х ' —оо —оо Но поскольку функция ф (о), вообще говоря, может ие принадлежать простраиству Lx (Rm), то нужно указать, в каком смысле следует понимать кратный нитеграл в формуле (8) и те условия на ф, при которых оиа представляется интегралом (8). Один ич возможных ответов на эти вопросы дает следующая теорема. Теорема 13. Пусть функция ф (£lt ..., &„) принадлежит пространству LL (R"*, jim) и удовлетворяет цсювиям.: I Ф (5i + <i. Ь. • ■ ■ . Ьп) - <? (Ь, 12 1т) I < С | h Г, I Ф <?!.* £*+ <*. Ьп) — Ф (Ei. 5а 5m) I < С (&) | <2 |а, . |ф(Ь. h Ьп + и-ФЙ!. Е«. ■•• . bn)i<C(£1 lm_l)\tm\*t *tde 0<а< 1, ] C(E1)d61<+ee, +00 +« J ... J С(Ь Еи.!)^ ...4^.1 < + ооь —оо —оо || 0-Т4 1М
Тогда формула обращения (8) справедлива, если интеграл в ней понимать как выражение lim — lim \ I... Hm I \ lim \ ¢(0,, . . .1 e-'e'bd0l. Om) X — «J S —<om_ilm_i Условия этой теоремы выполняются, например, если у интегрируемой функции (р дер Зф существуют частные производные -~~, ..., -тг—, первая из которых ограничена стосто- 0¾ ос,т янной, вторая — интегрируемой функцией от £i и т. д. Свойства 1) — 3) преобразований Фурье для функций многих переменных сохраняются. Например, как н в случае одной переменной, рассмотрим совокупность 5 (Rm) бесконечно дифференцируемых на Rm функций у = ф (х), где х = (£, &я) 6 R"1, которые для всех ku .... km, nlt... ■ •-. пт = О, 1, ... удовлетворяют неравенствам е <• at"» <с *> km'ni (v*eRm), где Сь ь .„ „ — постоянные, зависящие от функции ф. Тогда преобразование *'■■■ •sm•'1, т Фурье отображает класс 5(Rm) на себя, т. е. F [5 (Rm)] = 5 (0?m). Свертка двух функций /, geL^R"1, Цт) определяется равенством (/•в) (El 6m) = = } ■ ■ • j / (t, tm) g (£д — тх !„ — xm) dx1 : .. dxm, •—oo —oo Как и для функций одной переменной в случае многих переменных F [f * g] = = F[f] • F [g], если / и g принадлежат пространству Lj (R, цт). 4. Преобразование Фурье функций пространства L2 (R). Функция ф, принадлежащая пространству L2 (R, \i{), вообще говоря, не принадлежит Lt (R, ц^. Например, ф М = -гх"Т—Г ^ ^ ("• f*i)» н0 Ф (*) б' Li (К, Hi). Поэтому для нее неопреде- i J ^* I лено преобразование Фурье, о котором шла речь в п. 3. Однако для всякой функции Ф 6 Lj (R) можно определить преобразование Фурье в несколько ином смысле. При этом получаем следующую теорему. Теорема 14 (Планшереля). Для каждой функции Ф С L2 (R) интеграл N 1охА *«(<»)- J ф(«) «""<!* (о eR) при любом натуральном N представляет собой функцию от о, принадлежащую Ц (R). Яри W -»■ +со последовательность функций (ifyy (o))yv=i сходится по норме пространства L2 (R) к некоторому пределу if (о) (т. е. J ifN — ty Hl.ur) ""*" 0 "P" iV -»- -f-co), причем ||ф(о-)|аА7=2я) |ф(*)|»Жг. (9) Функцию ty называют преобразованием Фурье функции ф £ Lj (R) и обозначают, доя и раньше, черев F[y\ или ф. 130
Если ф принадлежит также пространству Lx (R), то соответствующая функция if> совпадает с преобразованием Фурье функции ф в обычном смысле. Равенство (9) называют равенством Парсеваля. Отметим, что если ф! и ф5 — любые функции из L2 (R) и \fi. Ч>2 — их преобразования Фурье, то ] ^1 (о) Ыо) do = 2я ] <р! (х) ф7(Г) dx (черта над функцией означает переход к комплексно-сопряженной функции). Рассмотренные здесь вопросы более детально освещены в [20; 23; 27; 33]. Примеры решения задач 1. Доказать, что множество Lp = Lp (А, fi), р > 1,—линейное. Решение Напомним, что элементами множества Lp являются классы ^-эквивалентных на А функций, причем если / — представитель этого класса, то / ц-измерима, почти всюду конечна на Л и J|/(*)|"d|i<+oo. А Действие сложения в Lp вводится следующим образом. Для любых двух классов из Lp, представителей которых обозначим через / и g их суммой называется класс всех ^-эквивалентных / + g функций ра А. Отметим, что данное определение корректно. А именно, если / и g — другие представители рассматриваемых классов, Tof~fag~giia А относительно меры ц Поэтому по свойствам ^-эквивалентных функций классы fi-почти всюду равных на А функций с / + g и ц-почти всюду равных на А функций с / + g совпадают. Покажем, что сумма двух классов из Lp также принадлежит Lp. Пусть fug — представители этих классов Тогда функция / + g является представителем суммы этих классов Функция / + g ц-измерима и почти всюду конечн? на А, как сумма fi-измеримых и почти всюду конечных на А функций fug. Нужно еще доказать, что интеграл \ \ f (х) + g (х) \" dp конечен, А зная, что функций | / f и | g \р fi-интегрируемы на А. Для этого оценим \f(x)+g (х) \". Если в некоторой точке х £ А \ f (х) \^.\ g (х) \, то l/(*)H-g(*)lp<(l/(*)l + lar (*)!)"< <2P\g(x)\P<2P(\f(x)\p + ]g(x)\p). Если же | g (х) | <; | / (х) |, то аналогично получаем \f(x) + g(x)\P<2P\f(x)\P<2P(\f(x)\p + \g(x)\p). Таким образом, почти всюду на А справедливо неравенство \f(x)+g(x)\p<2p(\f(x)\p + \g(x)\"). Поскольку функции | / f и ] g |р ц-интегрируемы на Л, то их сумма 7 Г + \ё \" также ц-интегрируема на Л. Поэтому функция '6* 131
2P (| f f + | g f) ц-интегрируема на А и, следовательно, согласно свойству 6 интеграла Лебега (см. § 3), функция | / + g f также ц- интегрируема, т. е. конечен интеграл | \f (х) + g (х) г d\i. X Отметим чго если / и g — другие представители рассматриваемых классов, то / (х) + g (х) fi-почти всюду на А равна f (х) + g (х). Тогда интеграл ) \f (х) -\- g (х) f dp. также конечен, поскольку А J \f(x) + g(x)\Pd\x =r f I /(x) + g(x)\pdix. A A Таким образом, действие сложения элементов множества L„ определено корректно и сумма двух классов из Lp также принадлежит Lp. Свойства действия сложения в Lp (коммутативность, ассоциативность, существование нулевого класса и класса, противоположного заданному) легко проверяются (путем сведения к рассмотрению представителей классов). В частности, нулевой класс в Lp определяется как класс, для которого тождественно нулевая на Л функция является его представителем. Если в Lp рассматривается класс с представителем/, то ему противоположный класс имеет представителя —/. Теперь определим действие умножения элемента множества Lp на действительное число. Рассмотрим в Lp класс с представителем /. Пусть а — действительное число. Тогда произведением рассматриваемого класса на число а называется класс всех ^-эквивалентных с а/ функций на А. Отметим, что если / — другой представитель этого класса, то а/ -~ а/ на А и поэтому j | а][х) Г d|i = J / «/(*)/" 4* = I«I" J I / (х) О < + «.. А А А Следовательно, действие умножения элементов из Lp на число определено корректно и произведение элемента из Lp на число снова принадлежит Lp. Нетрудно проверяются и все свойства действия умножения элементов Lp на числа, которые присутствуют в определении линейного пространства. Таким образом, множество Lp, р ^ \, действительно является линейным пространством. Отметим также, что расстояние между элементами пространства L„ и норма элементов из Lp определены корректно, т е. эти величины не зависят от функций, представляющих эти элементы. 2. Показать, что функция у = (х In2 —) принадлежит простран- щ], но не принадлежит ни одному из пространств ству Lx у 0; Lp ( 0; ~2 \, На), если р > 1. Здесь (½ — мера Лебега на IR. 132
Решение. Рассматриваемая функция на полуинтервале (0; -у непрерывна и конечна. Поэтому она fi^-измерима и почти всюду на 0; т по Лебегу на отрезке интегрируема Для этого, согласно примеру 29 из § 3, конечна. Докажем, что функция у = [х In2 х гу на отрезке 0; -у . Для этс докажем, что несобственный интеграл j_ 2 С dx _ С _d> dx X от заданной положительной функции сходится. Этот интеграл легко вычисляется с помощью формулы Ньютона — Лейбница 1 Т Г dx _ Г d\nx _ \ х\п2х ~ ] 1п!х — In X 1 In 2 ' Таким образом, заданная функция принадлежит пространству Ц ( 0; Докажем, что функция у = lx In2 —) не принадлежит ни одно- 0; -у-J • f*i) • му из пространств Lp жем, что несобственный интеграл dx еоли р> 1. Для этого пока- i т *" 1п2рх является расходящимся для р>1. С этой целью подберем такое е > 0, что р — е>1 Кроме того, применяя правило Лопиталя, убеждаемся, что lim хе ln2p х = 0. Поэтому для достаточно малых Ж-++0 ж (% £ (0; 6)) справедлива оценка 1 * 1п2р * уР—е Поскольку интеграл I р_г является расходящимся, то расходится и интеграл Г dx ) «"In2": 133
Таким образом, функция у = fxln2—) gf LJ 0; — , цП , если р>\. 3. 1) Определить, для каких значений a, P6IR функция /(х) =» ~ ^- , *€1R, принадлежит пространству LP(IR, (½). p^l, где (1 + *2У (½ — мера Лебега на числовой оси IR. 2) Определить, для каких значений a£IR функция /(%, «/) =» = ,,, 2', 2,а ■ U. (/) € IRa. принадлежит пространству L„ (IR2, ц,), р > 1, где fi2 — мера Лебега на плоскости IR2. Решение. 1) Рассматриваемая функция /, очевидно, ^-измерима и конечна на IR Выясним, для каких аир функция f является \it- интегрируемой на IR Для этого (см. пример 2) исследуем на сходимость несобственный интеграл Т 1а"^'1рР dx = 2+[ (arctga:)PP dx (10) -оо ' ' 0 ' Особыми точками для этого интеграла являются точки х = 0, х * (arctgx)Pp = + оо. Поакольку при х-»-0 для р<0 имеем —— g ар ~ ^д = _ , то рассматриваемый несобственный интеграл сходится в х lw окрестности точки х = 0 только тогда, когда Р > . При Р ^ 0 в окрестности дг = 0 он также сходится, поскольку подынтегральная функция в этом случае непрерывна. Следовательно, для всехр > и произвольных а в окрестности точки х = 0 интеграл (10) сходится. Поскольку, далее, при х -*■ +оо (arctg xf" nf 1 2 j ^«P ' (1 + ^2)00 то интеграл (10) сходится в окрестности точки х = -f-oo только при а > -х-. Следовательно, / б Lp (IR, щ) лишь тогда, когда а> -г- и Р>—J-. 2; Измеримость в смысле меры Лебега ца и конечность на IR2 функции / очевидна. Тогда / £ L„ (IR2, fij, если сходится несобственный двойной интеграл -|-оо -j-oo J J (1 + ^ + уГр (11> —оо —оо В данном интеграле переидем к полярным координатам: х = г cos <р, «/ — г sin ф, где г > 0 и ф £ [0; 2я]. Тогда интеграл (11) приводится 134
к однократному интегралу 2я о Поскольку при Г -*■ + 00 г то интеграл (12) (а следовательно, и (11)) сходится при а>—. Таким образом, / £ Ц (R2. (½) только тогда, когда а > — 4. Пусть / б Lp ((0; -f-oo), ц^, 1 < р < 2. Доказать, что интеграл + является абсолютно сходящимся Решение. Для заданного числа р рассмотрим его сопряженное q. Поскольку q = —S-— _ а 1 < р < 2, то <7 >■ 2 sin лгу При каждом фиксированном у £ IR функция <р (х) = V х ;>0, принадлежит пространству L„((0; + оо), ^.j), ибо |ф(%)|"<: ^—— (х>0; q>2). Тогда из неравенства Гельдера для функций / и ф следует, что произведение / (х) • s" ХУ , х>0, является интегрируемой по Лебегу функцией на [0; -f-oo), т. е. заданный интеграл абсолютно сходится. 5. Рассмотрим для р^ 1 множество 1Р всех таких числовых поело ледовательностей % = (£„)£=i, что сходится ряд 2 ||„|р. Снабдим это множество структурой линейного пространства: если х = (£,JZ=\ б £ 1р< У = (4/0-^=1 С ^ и а € IR. то положим х + «/ = Цп + цп)Т*=и а ах = = (a|„)~=i. Доказать, что множество 1Р является линейным пространством. Для элементов х = (|„)£=ь у = (r)„)£=i пространства 1Р введем расстояние между ними по формуле j_ р (*. у) = (£1 / ь, — ri»ip)P. а для элемента х £ 1Р — норму || х ||, полагая
Доказать, что тогда пространство 1Р является метрическим и нормированным. Решение. Внешнее сходство пространств 1Р и Lp (А, fi) наводит на мысль о возможности реализации 1„ как одного из пространств L, (A, fi). Осуществим эту идею. Пусть множество X совпадает с множеством ftj натуральных чисел. На полукольце 92 всех конечных подмножеств множества ftj определим счетно-аддитивную меру ц, полагая, что мера каждого одноточечного множества [п] равна единице. Таким образом, мера любого конечного подмножества из ftj равна количеству его элементов. Эта мера имеет лебегово продолжение на а-алгебру 21 = 2N всех подмножеств множества ftj, причем она является полной и а-конечной. Поэтому рассмотрим измеримое пространство (ftj, 91, \i). Наличие а-аддитивной меры |i на ^ позволяет ввести понятие интеграла Лебега по этой мере fi. Произвольная функция, определенная на множестве ftj, т. е. последовательность % = (£„)£=i. является простой и fi-измеримой. Она ц-интегрируема на ftj тогда и| оо только тогда, когда абсолютно сходится ряд J] £„. В этом случае J л=1 xd\x = У, |„. Поэтому пространство Lp(ftj.fi), p^l, состоит толь- Si n=l ко из тех последовательностей х = (£,n)T=i. для которых J \xfd\i = оо = £ \Ъп\"< + °°- Таким образом, Lp(ftj, ц) = lp, р~^\. Отметим, л=1 что расстояние между элементами (а также норма элемента) в 1Р совпадает с расстоянием (нормой) в Lp (ftj, ц). Поэтому пространство 1Р является линейным, метрическим и нормированным. Замечание. Из предложенной выше реализации 1р как Lp (N, Ц) получаем неравенства Гельдера и Мннковского для сумм. Пусть р > 1, q — сопряженное ему оо число, последовательность х = (£n)~=i € 'р, а у = (Лп)~=1 € lq- ТогДа Ря& 2 Sale абсолютов сходится и справедливо неравенство Гельдера для сумм < / °° \п=\ \1п \ г) 1 Р /оо \л=1 1¾ \ г) 1 Я л=1 Это неравенство, соответствующее р = 2 и q = 2, называется неравенством Ко- ши — Буняковского для сумм. Если р> 1 и последовательности х = (Sn)^Li и у = = (Ла)^! принадлежат пространству /р, то справедливо неравенство Минковского доя сумы — — -L (во \р /оо \ Р /оо "\р 136
в. Пусть (X, 91, fi) — измеримое пространство, Л £ 91 и мера р. (А) ■онечна. Доказать, что если г > р ^ 1, то Lr (А, р,) с: L„ (А, р). Доказать также, что если /„ -»- / в Lr, то /„ -»- / в L„. Решение. Пусть/ £ Lr (Л, р). Тогда | / \р принадлежит пространству Lr (A, р), поскольку, согласно условию, сходится интеграл U\f(x)\P)^dix=UHx)\rdii. А А Кроме того, функция g (х) = 1, х £ Л, принадлежит пространству L, (Л, fi) для произвольного <7 ^ 1» так как р (Л) < + со. В качестве щ выберем число, сопряженное с —, т. е. положим q = _ . Теперь к паре функций | /1" и g применим неравенство Гельдера |;7(*)Г4*<(||7(*)Г4*У (1*И))~. Отсюда следует, что /£ Lp (Л, р). Кроме того, для нормы |/|l вправедливо неравенство 11Л|ьр<«7|1ьг((х(Л)К. (12)' Пусть задана функциональная последовательность (/„ (x))^v к £ Л, элементов пространства L, (Л, р), сходящаяся в этом пространстве к функции / (х) £ Lr (Л, (х), т. е. lim | /„ (х) — / (х) ||l = 0. л-voo r Тогда из неравенства (12) имеем | /„ (х) - / (х) \\Lp < || /„ (*) - / (х) \\Lf (fi (А))~£ (V п g 1¾)). Поэтому lim ||/„(х) — /(*)||l = 0 и, следовательно, последователь- ность (/„(x))^Li, х£А, сходится к функции /ив пространстве LP(A, р) Замечание. Если |х (Л) = +оо, то вложение Lr (А, ц) с: Lp (Л, |х) не всегда справедливо. Например, пространство L2 (R, (хх) интегрируемых с квадратом функций на R не является подмножеством пространства L, (R, щ) (см. п. 4) 7. Пусть (X, 91, fi) — измеримое пространство и множество А <^ X является fi-измеримым. Доказать, что если f£(L„(A, р) П ЬГ(Л, fi)), где 1 ^ р < г, то функция / принадлежит пространствам Ls (А, fi) при всех s £ (р\ г). Решение. Поскольку функция / р-измерима, то множества В = « {х £ Л : | / (х) | <: 1} и С = {х £ А : \f (х)\> 1} также р-измери- мы и В П С = 0. Покажем, что функция / принадлежит пространствам Ls (В, fi) и Ls (С, fi), если р < s <С г. Действительно, на множествах В и С справедливы неравенства: 1/(*)Г^1/(*)Г (Vx£B); (13) l/Wf<f/(*)!' (V*eC). (14) 137
Из (13) и того очевидного факта, что если / £ Lp (Л, \х), то / б £ Lp (В, fi), следует, что / £ Ls (В, ц). Аналогично из неравенства (14) следует, что / £ Ls (С ц). Тогда /£LS04, ц), поскольку $|/tofdfi=$|/(x)|sdfi + j|/(%)/sdfi. две 8. Пусть (X, 91, (х) — измеримое пространство, а множество Л принадлежит а-алгебре 21. Рассмотрим 'последовательность функций (fn(x))n=i, х£А, принадлежащих пространству Lp (А, fi), р ^ 1, и функцию ф £ Lp (Л, ц), для которых выполнены условия: 1) I fn (х) I ^ Ф (х) для почти всех л; £ Л и всех л 6 Ц; 2) lim /л (х) = }{х) почти всюду на А. Доказать, что функция / принадлежит Lp^,fi) и lim /„(*)=* = /(%) в ЦДЛ, fi). Решение. Из неравенства | /„ (х) | <! ф (л), справедливого для почти всех х £ Л и всех п б ЭД, при п -»- с» получаем, что | / (х) | <J ^ Ф (х) для почти всех х £ Л. Отсюда, поскольку ф £ Lp (Л, fi),./ также принадлежит пространству hp(A, fi). Рассмотрим теперь последовательность ц-интегрируемых на Л функций gn (х) = | /„ (х) — / (х) f, х £ Л. Тогда, согласно условию 2), limg„ (х) = 0 почти всюду на Л. Чтобы воспользоваться теоремой Лебега о предельном переходе под знаком интеграла (см. § 3), найдем для последовательности {gn(x))n=i, х£А, fi-интегрируемую мажоранту. Так как (см. пример 1), для функций /, g£ Lp (Л, fi) справедливо неравенство I/ (*) + g(x)\" <2Р (|/(*)|' + \g(x)\p), то отсюда и из условия 1) вытекает gn(x)^2p(lf(x)\p + \<р(х)\р). Следовательно, с учетом ^-интегрируемости функций | / \" и | ф |" функция 2" (| / \" + | ф |") может быть принята в качестве интегрируемой мажоранты для последовательности (gn (x))t=\, х£А. Поэтому, на основании упомянутой выше теоремы Лебега, возможен предельный переход под знаком интеграла, т. е. - lim f gn (x)dii = lim f | /„ (x) - f(x)\pdn = 0. П-ЮЭ ^ л-voo ^ Таким образом, limfn(x) = f(x) и в пространстве LP(A, fi). 9. Определим для каждого натурального числа п на полусегменте [0; 1) = A cz IR функции ff\ /2" fnn) следующим образом: 1 при <%<—, о при *g[^—; —J. 138
Занумеруем все эти функции в виде функциональной последовательности (gn (x))Z=i, х g А, т. е. положим gt (х) = f\h (х), gt (х) = = /Г (х). gs (х) = ff (х), gt (х) = /f (х) Доказать, что функциональная последовательность (gn (x))%=i сходится к функции g (х) = О, х g Л, в каждом пространстве Lp ([0; 1), щ), где р !> 1 и цх —мера Лебега на IR. Показать также, что последовательность (gn (x))%Li не является сходящейся (поточечно) в каждой точке х g А. Решение. Все функции gn, принимающие только два значения, являются (^-интегрируемыми на Л с любой степенью р !> 1, т. е. ga g € Lp (Л, fii) для каждого л g ftj. Кроме того, f I ёп (x)fdn1 = h{x^A:ga(x)=l) (V л g 1¾)). Найдем теперь меру множества, на котором функция £„(*) равна единице. Если ga (х) == fm (х), то (½ {х g Л i g„ (х) = 1} = = ^(^4:/^(^)=1)=^(-^-=-^,-^-))=-^-. Поскольку при л->-оо и А -> оо, то lim [ | g„ (%) [р dfii = lim -т- = 0. Таким образом, lim g„ (х) = 0 в Lp(/4, ц). Вместе с тем соотношение gn (х) -*■ 0 не выполняется ни в одной точке промежутка [0; 1). Действительно, если х0 g [0; 1), то для каждого номера k имеется такой номер т, что fm~(x0) = 1, и такой номер s, что /<*' (х0) = 0. Построим для точки х0 две подпоследовательности (gn (х))?=1 и {g. (х))~ , такие, что lim gn (%„) = lim 1 = 1, / /-*-оо /-*.оо a Hm g <(%„) = lim 0 = 0. Значит, последовательность (gn (х0))%=\ не яв- ляется сходящейся. Поскольку х0 — произвольная точка промежутка {0; 1), то действительно последовательность (gn (x))%L\ не является сходящейся в каждой точке х g [0; 1). 10. 1) Пусть (X, 91, fi) — измеримое пространство, А с: X — ц- измеримое множество и число р > 1. Доказать, что если последовательность (/„ (%))£Li функций из пространства LP(A, fi) сходится в этом пространстве к функции / g Lp (А, ц), то lim /„ (х) =^= f (х) на А. 2) Определить, при каких значениях р ^ 1 последовательность </„ (x))^Li функций из пространства Lp (IR, \ij) сходится в L„ (IR, (½). если: а) /„ (*) = V'n Хг и W, где л g |^j, % g IR, X, ,^ (%) — характеристическая функция промежутка 0; — J; б) /„ (x) = nV*1, где л g 1¾). х g IR.
Решение. 1) Напомним (см. § 3), что последовательность ц-измери- мых функций (/„ (x))ZL\, х £ А, сходится по мере ц на множестве At если для каждого о > О lim |i {х g А : | /„ (*) — / (*) | > <т} = 0. л-*-оо Поэтому рассмотрим произвольное <т>0и пусть Ап (a) = {% £ A i : | /„ (х) — / (%) \~^ а). Тогда, согласно свойству аддитивности интеграла Лебега, имеем $|/»(*)-/(*)Г<*1*= J IM*)-/M/'<i|i + >а'МЛя(*)) (Vn£N). Отсюда получаем неравенство ^{x^A:\fn{x)-f(x)\>a)^~\\fn{x)-f{x)\pdVi. (15) (При /7 = 1 оно называется неравенством Чебышева). Поскольку lim /„ (х) = f(x) в LP{A, ц), то, устремляя в неравеа» л-юо стве (15) п к +оо, получаем lim ix{x£A:\fn(x)-f{x)\>o) = 0, л-юо т. е. последовательность {fn (х))Т=\> х£А, сходится к функции f(x) по мере fi на множестве А. Замечание. При решении конкретных примеров следует помнить следующее. Если последовательность функции {fa)%Li сходится к функции / в Lp (А, ц.), то, кая мы только что показали, lim /„ (х) i / (х) на А. Тогда по теореме Рнсса (см. § 3, те- л-юо орема 6) существует подпоследовательность Qn (*))fcLi, сходящаяся почти всюду (относительно меры ц.) на А к функции / (х). Таким образом, если последовательность функций (/„ (*))JJLi, х £ Л, пространства L„ (Л, ц.) сходится в этом же пространстве к функции f (х) £ LP(A, ц.), то существует подпоследовательность (/„ (*))JLii * £ /4, , сходящаяся почти всюду на Л к f {х). 2'). Заданная последовательность (/п(*))п=ь *€R> сходится почти всюду (относительно меры Лебега ц^ на 1R к функции f (х) = = 0. В самом деле, если x<L 0, то все /n(*) = 0, и поэтому lim fn{x) = 0. Если х>0, то существует такой номер п0, что < Л-t-oo ПЬ <*. Тогда для п^п0 %t , ч (я) = 0 и поэтому lim/„(х) = 0. Толь- ко в точке х = 0 имеем lim /„(0) = lim Yn = + со. Таким образом, tt-ЮО Л-ЮО почти всюду на IR последовательность (/„ (j:))^Li сходится к функция /W = 0. 140
Согласно замечанию к первой части примера 10, если последовательность (/„ (x))^=i сходится в L„ (IR, ц) к какой-то функции, то эта предельная функция может быть только почти всюду равной нулю на JR. Поэтому надо проверить, для каких р ^ 1 /„ (х) -> 0 в Lp (IR, ц^). Но р JlV^Xr .j_\(J«)fd|*i = nT ' (VngN), И поэтому lim \ [VnXr , \ (л:)]" dfijt = 0 только при условии р<.2. Следовательно, заданная последовательность (/„ (х)%=\ сходится только в тех пространствах L„ (IR, fij), для которых 1 ^ р < 2. 2") С помощью правила Лопиталя получаем, что последовательность (/„ (*))5SLi, х g IR, сходится почти всюду на IR к функции / (х) = *= 0. Поэтому (согласно замечанию, приведенному в этом примере) вта последовательность может сходиться в среднем только к функции, почти всюду равной нулю. Исследуем, при каких р~^ 1 lim /„ (х) = 0 в пространстве L„ (IR, ^). Для этого вычислим соответствующие интегралы Лебега *"*-"*.--& J •-'«-^гг <*»«» -f-oo (здесь использован интеграл Ейлера — Пуассона ] е ''dt = У~п). Таким образом, lim ] п "е pxdii,1 = 0, если только р<-г- , что «-►00 |} противоречит условию /7 > 1. Следовательно, заданная последовательность не является сходящейся хотя бы в одном из пространств Lp (R, Hi) С/)>1. 11. Проверить выполнимость в точке ж = 0 условия Дини для следующих функций: 1) / (*) = . если 0 < * <; я, и / (я) = 0 для — я <; х ^ 0; 1п — 2) /(я) = д^sin — , если 0 < * <: я, и / (я) = 0 для — я^х^0 где а>0. Решение. 1) Очевидно, что функция /gl^I—я; я]. Докажем, что для произвольного б (0 < б < 1) интеграл (2) функции /для х = = 0 является расходящимся. Действительно, для заданной функции / и точки х = 0 интеграл (2) имеет вид & о С dt __ С dt ] J ,|,n _L " J tlnt ' /lln- 141
Последний интеграл легко вычисляется с помощью формулы Ньютона — Лейбница J tint о * — In | In * | Таким образом, условие Дини для заданной функции / в точке х = 0 не выполняется. Отметим, что можно доказать (используя иные достаточные условия), что функция / тем не менее разлагается в ряд Фурье в точке х = = 0. 2) Поскольку заданная функция / непрерывна на отрезке [—я; я], то она на нем интегрируема по Лебегу, т. е. f £1^1—я; я]. в л| . 1 I /. /"sin — Интеграл (2) для функции / в точке х — 0 имеет вид I —'—- dt. о Сходимость этого интеграла для а>0 следует из такого очевидного неравенства: sinT~ 1 L<7==" ('е(0; 6])- /,-> Таким образом, функция / в точке х = 0 удовлетворяет условию Дини. Тогда, согласно теореме 6, ее можно разложить в этой точке в ряд Фурье. Отметим, что если 0 < а ^ 1, то функция / в точке х = 0 не имеет конечной правой производной. Выполнимость условия Дини для функции / в точке х = 0 можно получить и из того, что она удовлетворяет в этой точке условию Липшица порядка а, если 0 < а ^ 1. Для а > 1 функция / дифференцируема в точке х = 0 и поэтому для нее также выполняется условие Дини. 12. Найти преобразование Фурье функций: 1) ф(д:) = 1, если |*|<; 1, и (р(х) = 0, если \х\>1; 2) (р(х) = е~а'х', *£1R (а — фиксированное число); 3) ф (х) = —р— , х £ IR (а — фиксированное число). Решение. 1) Очевидно, что функция ф интегрируема по Лебегу на Ц. Поэтому она имеет преобразование Фурье. Согласно формуле (4), для о Ф 0 получаем 1 1 1 F [ф] (а) == ] e'*adx = ] cos х odx -f i j sin xadx = -l -l -l _ sin xo J*"1 _ 2 sin о о |*=_i о Если a = 0, то из формулы (4) имеем 1 F [ф] (0) = J dx = 2. —i М2
Таким образом, если доопределить в точке а = 0 функцию ■■?nq по непрерывности, то F [<р] (о) = —-— , а £ 1R- Замечание. Полученная функция F [<р] не является интегрируемой по Лебегу на числовой оси R. Следовательно, преобразование Фурье интегрируемой по Лебегу на R функции не обязательно является интегрируемой по Лебегу функцией на R. Функция <р непрерывна в каждой точке х £ R, кроме х = 1 и х = —1. Поскольку она имеет конечные односторонние производные в каждой точке числовой оси R, то она удовлетворяет условию Диии иа R. Поэтому справедлива формула обращения (5) +оо 1 f sin о _to. Верно в этом случае и равенство Парсеваля (9), поскольку <р £ L2 (R). Оно приводит к формуле +оо do = п. Г S1'n* J °2 2) Функция (р(х) = е а2*', *£IR, принадлежит пространству Lx (IR), а также L8(1R). Поэтому она имеет преобразование Фурье <р(а), aglR, и +оо Ф(а)= J <r-a'x* e'axdx, agR. —оо Этот интеграл можно дифференцировать по параметру ст, по- скольку интеграл j ixe~~a'x*eiaxdx сходится равномерно на 1R относи- тельно переменной о (функция | х \ ега'х%, х £ 1R, является интегрируемой мажорантой для подынтегральной функции этого интеграла). Поэтому функция ф дифференцируема на 1R и +00 Ф' (a) = I \ xe-a'x'eaxdx, aglR. " (16) —оо Заметим, что дифференцируемость преобразования Фурье функции ;«р и последнее равенство можно получить также из того, что ф g Lx (IR) и х(р g Lx (IR). Интеграл (16) вычислим с помощью интегрирования по частям +оо ф' И = - -щг J л (^ = - -яг * И» ff е R- —оо Таким образом, искомое преобразование Фурье ф (а) удовлетворяет дифференциальному уравнению Ф»+-2^фИ=0, org*. 143
q» Интегрируя это уравнение, получаем <р(а) = Се ***, а£Ц. Для определения постоянной С отметим, что —оо Следовательно, преобразование Фурье <р заданной функции <р найдено и ф (ст) = -jA- е ** , a £ IR. Отметим, что если a* = -g- , то функции ф(*)=е 2 , *£1R, и а' (р(а) ==уг2ке 2 , стбК, отличаются лишь постоянным множителем. 3) Заданная функция ф принадлежит, очевидно, пространству Lx (1R). Поэтому для нее существует преобразование Фурье " i„\ f sin2 аде (ах.„ „Гт 4^) = J —J5—е «*» "сК- —оо Поскольку функция ф четная, то, учитывая формулу Ейлера е'°* =» «= cos ст* + i sin ст*, получаем +~ Ф (а) = \ —^— cos oxdx, а б IR. —оо Для вычисления этого интеграла воспользуемся теоремой о дифференцировании по параметру о несобственного интеграла. С этой целью исследуем вопрос о равномерной сходимости (хотя бы в локальном смысле) интеграла от производной: +- Г sin2 ах , ,. т —оо Представим его в виде суммы интегралов Дирихле: +оо +оо +O0 С 1 — cos 2ах . . f sin ах , , f - J й sin axdx = - j —s—dx+ J cos2ox • sin ex . — a*: 2x —00 j J*^-dx+± j sin(2a + a), ^+_^ j sin (a-2.), ^ —O© OS —oo Нетрудно проверить (например, на основании определения), что +т интеграл Дирихле I — dx = я sign а равномерно сходится в —оо 144
окрестности каждой точки а £ 1R, кроме а = 0. Поэтому интеграл sin'2 ах -I sin oxdx, ffglR, равномерно сходится в окрестности каждой точки а £ 1R, кроме а = 0, а = 2а и а = —2а. Таким образом, для каждого а £ Ц \ {0, 2а, —2а} функция ф дифференцируема и справедливо равенство ", . . С sin ох . , ' 1 С sin (2а + о) х Ф(а)=- J it-^ + tJ х ■dx + + I С sin (o — 2a) x OJC. ^ Для определенности считаем, что а ^ О, поскольку ф зависит от а четным образом. Тогда, учитывая значения интегралов Дирихле, имеем f 0, а< — 2а, Ф' (а) = ■[ -i-, —2а<а<0, — 4-. 0<а<2а, О, а > 2а. Отсюда, интегрируя по о, получаем Clt а< — 2а, Ф(а) = -j- а + С2, — 2а < о < О, а + С3, 0 < а < 2а, I 2 С4, а > 2а. Определим постоянные Clt Сг, Са, С4. Постоянные Ct и С4 най- дем, используя соотношения lim ф (a) = lim ф (а) = 0. Следовательно, <т-»—|-оо а-*-—оо С1 = С1= 0. Преобразование Фурье ф непрерывно в точках a = —: — 2а и а = 2а. Поэтому Mm ф(а)= lim ф (а), т. е. ■%-(— 2a) -f + С2 = 0. Тогда С2 = яа. Аналогично С3 = яа. Тогда окончательно преобразование Фурье ф заданной функции ф запишем в виде ( 0, | а | > 2а, ф(Ия(а-^1), ,а,<2а. 145
Поскольку функция ф дифференцируема, то она удовлетворяет условию Дини и, следовательно, справедлива формула обращения sin2 ах I2 ах 1 С " , . —tax. - = ^-3^6 da- +°° I sin* ox Равенство Парсеваля (9) позволяет вычислить интеграл I —-5—dx, —оо 2л I а \3 который оказывается равным ^ . 13. Пусть функция у = ф (х), х £ IR. такова, что для некоторого положительного числа b функция у = ф (х) ebW, jc ^ IR, принадлежит пространству Lx (IR). Показать, что тогда ее преобразование Фурье Ф (ст) является ограниченной аналитической функцией ф (a + ix) комплексного переменного в полосе | т | < Ь. Решение. Очевидно, функция ф интегрируема по Лебегу на числовой оси 1R. Поэтому для нее существует преобразование Фурье +» Ф (a) = j ф (х) e'axdx, а 6 IR. Покажем, что это преобразование Фурье можно рассматривать и для некоторых значений комплексного переменного. Пусть г £ ¢, т. е. г = a + ix, где о и т вещественны. Положим +00 +00 Ф(а+/т)= J ф(*)е'<а+'т,д:^= j ф(*)е-хУад:^. —оо —00 Согласно условию, функция (р(х)е~хх, х £ IR, интегрируема по Лебегу для | т | ^ ft, и поэтому для нее существует интеграл Фурье. Следовательно, в указанной горизонтальной полосе для комплексного 2 имеет смысл функция ф(2)= \ (p(x)ellxdx, \x\^.b. —оо Покажем, что функция ф дифференцируема по 2 в открытой полосе | х | <; Ь. Для доказательства этого отметим, что интеграл +О0 \ ixq>(x)e'zxdx (17) сходится равномерно по г во всякой внутренней полосе | т | ^ с, с < ft. Действительно, для произвольного е > 0 найдется такая постоянная Се, что | * | <! CeeeW для всех х £ IR (ибо lim | х \ е~еЫ = 0). Тогда *->±оо возьмем такое е, что 0<е<6 — с, к проведем оценку подынтегральна
ной функции интеграла (17) I;*ф(*)<>'"! = и-|ф(*)е-тх|< < С. | ф (jc) | ее| V" < Се | Ф (х) / еад, * g R. Следовательно, функция Се | ф (*)| в6!*', х £ IR, является интегрируемой мажорантой для подынтегральной функции интеграла (17), и поэтому этот интеграл сходится равномерно в окрестности каждой точки z полосы | т | < Ъ. Тогда, согласно свойствам несобственных интегралов, зависящих от параметра, функция ф дифференцируема в полосе | т | < Ь, т. е. является аналитической в этой полосе. Докажем ограниченность функции ф в полосе | т | ^ Ь. Действительно, для точек z этой полосы имеем +оо -}-оо |Ф(2)|< j /ф(*)|е_тд:^< ] \<p(x)\ebix,dx = const. —оо —оо Замечание. Из втого примера следует, что для функции у = <р (х), jc £ R, у которой <р (х) е*|х| € Lj (R) для произвольного Ь > 0, преобразование Фурье <р является целой функцией комплексного переменного z= o-f- re, ограниченной в каждой горизонтальной полосе | т | ^ Ь. 14. 1) Пусть функции / и g интегрируемы по Лебегу на числовой оси IR. Доказать, что их свертка f * g также является интегрируемой по Лебегу функцией на Ц. 2) Пусть функции fug интегрируемы с квадратом на IR, т. е. /, g G L-2 (IR). Доказать, что их свертка / * gявляется ограниченной функцией на числовой оси IR. Решение. 1) Рассмотрим двойной интеграл Лебега +оо +00 J J )f(m\g(x-l)\dldx, —оо —оо который существует, поскольку он приводится заменой переменной х — | = tj к виду -(-во -Ь°о —оо —оо Таким образом, функция z = f (g) g (х — |), (х, 1) £ IR2, интегрируема по Лебегу на плоскости IR2. Следовательно, по теореме Фубини (см. § 3), для почти всех z £ Ц функция г — f (|) g (х — £) интегрируема по переменной £ на IR, т. е. существует интеграл +«• (f* 8)(*)= J f(t)g(x-l)dl (п. в. на Ц). —оо 147
Этот интеграл (на основании теоремы Фубини) является интегрируй» мой по Лебегу функцией на 1R и, кроме того, +оо +00 /+00 \ +О0 +О0 j (f*g)(x)dx = j j f(t)g(x-t)dt)dx= j f(l)dl. j ff(ti)dri. —oo —oo \—oo / —oo —oo 2) Пусть функции f, g принадлежат пространству L2 (IR). Для каждого xflR функция у = g (х — £), | £ IR, интегрируема с квадратом на IR. Поэтому, согласно теореме 1 (при р = 2 и q = 2), для всех * £ 1¾ функция у = f (I) g (х — £), | £ IR, интегрируема по Лебегу на 1R, т. е. существует свертка +00 —oo Кроме того, справедливо неравенство Коши — Буняковского +оо I (/'•*)(*)! < J fa)g(x-i)di —oo /+00 \ 2 /+oo \ 2 Таким образом, для всех х £ IR i(f*g)(*)KimiL,(R, -let,». что и доказывает ограниченность свертки функций /, £ £ L2 (IR). 15. Используя преобразование Фурье функций двух переменных, найти решение уравнения теплопроводности описывающее процесс распространения тепла в плоскости IRS. В момент t = 0 температура задана: и (О, *, у) = ы0 (*, г/). Решение. Допустим, что функция и0 (х, у) принадлежит пространству Lj (IR2). Решение поставленной задачи будем искать в классе функций и (t, х, у), удовлетворяющих условиям: 1) функции u(t, х, у), — {t, х, у), -j£-(t, х, у), -^-(t, х, у) и (t, х, у) интегрируемы по Лебегу на плоскости IRa при любом ду- фиксированном t ^ О, 2) функция -тт- (t, х, у) имеет в каждом конечном промежутке O^t^T интегрируемую мажоранту f(x,y) 1+00 +О0 с с <f(x,y), ) ) f(x, у)dxdy<+ oo. —•О —OO 148
Тогда, согласно 1), рассмотрим преобразование Фурье функции и (t, х, у) по переменным х, у, т. е. положим +00 +О0 и (t, о, X) = j j ы (t, х, у) el(xa+yX)dxdy ((о, I) £ R). —оо —оо На основании 1) и свойств преобразования Фурье имеем д2и дх* (t, о, К) = — о2и (t, а, I), F Кроме того, в силу условия 2), -{-ОО -}-О0 д2и I ду3 (t, о, I) ■ У?и (t, а, X). -!-]<*.*.*)- J" [^-e'^dxdy -)-00 -|-оо —оо —оо Таким образом, преобразование Фурье переводит уравнение теплопроводности в обыкновенное дифференциальное уравнение щ (t, оД) = — (<т2 + Ь2) и (t, о, I). Его решение с учетом начального условия и (О, а, X) = F [и0] (о, ^) = "о (ff> ^) имеет вид и (t, а, X) = ё -(o'+W "о (о> Ц- Для того чтобы получить решение u(t,x,y) уравнения теплопроводности, надо найти такую функцию и (t, х, у), преобразованием Фурье которой служит функция e~ia'+x,)tu0 (а, X). Используя пример 12. 2), находим и* —аЧ т=-е ■и —хч Ч2У15 в *] 2\fnt~ J' ~ u[2VlTt Здесь в первом равенстве Fx означает операцию преобразования Фурье по переменной х, а во втором Fu — операцию преобразования Фурье по у. Найдем преобразование Фурье F по обеим переменным , _ *■_+»• X и у от функции ш 1 е 4t , t>0, (х,у)£К\ На основании теоремы Фубини имеем **+!/* , +« +оо 4я* е J J J 4nt —ОО —ОО х* у* Fx \-4= е~ "«"1 FB Г-4=- е- ~1 x[2Vni \ "[2 Vnt J e H .et(xa+^dxdy -(-+^ (t>0. (a,x)€RV 14»
Следовательно, функция е (°,+х,)< представима в виде преобразо яания Фурье функции -т-г е 4< и поэтому и (t, a,%)=F Г 1 х'+и> 1 f т. е. и (t, х, у) -(-00 +00 —оо —оо £'+л" Интеграл, с помощью которого выражается решение уравнения теплопроводности, называется интегралом Пуассона. Задачи для самостоятельной работы 1. Определить, для каких р > 1 функция f принадлежит пространству Lp ([0; 1], ■ц,), если: sinjc, *е[0; 1] П ©; Icosjc, *e[0; l]flQ; 8) f(*)= {l_!_x)2 , *€[0; 1]; 4)f(*) = /(^ ^*)4 , *€[0;l]; IR4(D (*) 5) f (x) = —г—^, — , x€ [0; 1], где "f.A (x) — характеристическая функ- дня множества A; 6)f(x)= SlnX *<E[0; 1]. уху 1 — X 2. Пусть /4={(x, (/) £ R2 : x2-\-tp < 1} Определить, для каких p > 1 #€Lp(/4, ц2), если: 1) / (*,</) = |(*2 + </2Г T. *J + S2¥=0, 1, r*+y2=0; 2)^(^^) = 1(1^1 + 1^1)-^ ^ + ^0, О, *2 + 1/а = 0. 3. Определить, для каких значений a, figR f £ Lp (R, ^j), p ^ 1, если для (1+*8)P (1+x4)*5 3)/W«|l-*|«|l+*r*; 4)^(x) = J±^ii±llll. 1*Г(1 + **) 4. Определить, для каких значений а £ R функция / принадлежит пространству Ц (К5, ц^. р > I, если для (*, у) е R2 /te гл-Л1-*2-^!-0', *2 + </2^1. '*' Ю I 0. *2 + у2=1. 36с
5. Определить, для каких значений р ^ 1 последовательность (/„ (х))00., х 6 В?» функций пространства Lp (R, ц) сходится в этом пространстве, если: 1) !п (х) = }ГпУ.г . , (*); 2) U (х) = п~2е "' ■ 3) in (х) = п-2Г "* Х[0 +00) (*); 4) /„ (х) = /|rt-/Ar| X , . (x); 5) Л.(x) = -ppjr X[n;+oo) (x); 6) U (x) = /r-|+i X[n;2n] (x); Шдесь XA (x) — характеристическая функция множества А. 6. Пусть fn(x) = VnX{ -,(*), *eR, пеЫ, a f(*) = 0, *eR. Доказать, что limfn (х) = f (х) в Lx (R, щ), но эта же последовательность не сходится в П-*оо }Ц (R. №,). 7. Пусть (X, Я, ц) — измеримое пространство и А с= X — ^-измеримое множество. Доказать, что если функции f и g принадлежат пространству Lp (Л, ц), р ^ 2, то- |? принадлежат Lp (А, ц). ! Т ; 8. Пусть (X, Я, ц) — измеримое пространство и множество А принадлежит а- (алгебре Я. Доказать, что если последовательность (/n(*))^Li, *£ Л, сходится * Lp И, ц), р > 1, к функции f (х) £ Lp (А, Ц), то НшЦ^ = [ f $L . n-юо Р р '' 9. Пусть (X, Я, ц) — измеримое пространство н множество А с X — ц,-измеримое. Доказать, что если последовательность (/„ (х))^, х £ А, сходится в простран- Seree Lp (Л, ц), р > 1, к функции f (х) £ Lp (Л, ц) и g £ L р (Л, ц), то Hm f /„ (*) г (*) ф = f f (х) g (х) йц. П-*°°А A 10. Пусть последовательность (fn (x))%Llt x g [a; 6], сходится в пространств* ftp ([a; b], (j-i), p > 1, к функции / (x) g Lp ([a; 6], (¾). то If * * ' lim f МОЯ- (fW<«N^k 6]). a a Доказать это соотношение. j 11. Пусть (X, Я, ц) — измеримое пространство и множество Л с= X — ц-из- Ьеримое. Если последовательность (/„ (х))~=1, *€ Л, сходится в пространстве Lp (Л, *), р>1 к функции/ (х) £LP(A, \и), а последовательность (gn (х))~=1,*е А, сходится» ространстве L р (Л, ^) к функции g (х) £ L р (Л, ц), то р=Т "р^ 11m f /„ (х) gn (х) ф. = (" / (*) g (х) dp. n~°°A A Доказать это соотношение. 15Г
С sin хи 18. Доказать, что если f £ Lp [0; + оо), (¾), р> 1, то интеграл 1 f (л:) - dx о равномерно сходится относительно у на произвольном конечном интервале а <.у <4 <6. 13. Доказать, что если f g Lp ((a; f$), цх) и [а; 6] с (а; ($), то Ь \lm[\f(x + h)-f (х) |" d* = 0. а Указание. Вначале доказать это утверждение для непрерывной на (а; f$) функции /. 14. Доказать, что если f g Lp (R, ^), то +» Hm f If (* + ft) — f (*) |p d* = 0. —oo 15. Доказать, что если f£Lp (R, ^), p > 1, a gg L p (R, ^), то функция *"W- j f(x+f)g(x)dx, /6R, —во ««прерывна на R. +О0 16. Доказать, что если f£Lp (R, 1½). р>1, то функция & (t) = I , [*•*} — J l + (t — х)* —°° «прерывна на R и также принадлежит пространству Lp (R, цх). 17. Пусть (X, 21, ц) — измеримое пространство и А — ^-измеримое подмножество множества X. Доказать, что если последовательность (/„ (*))£Li. х g А, сходится « пространстве Lp (А, р.) к функциям f, g из Lp (Л, ц), то f Kg ц-эквивалентны на А. 18. Доказать, что если интеграл \ f (х) g (х) d^ существует для произвольной а функции ^6Ц([а; Ь], (н), то g£L2([a; Ь], p.x). 19. Пусть (<п)^_1 — числовая последовательность 1 _1_ _3_ J_ _3_ 5 7 1 2 ' 4' 4" 8' 8' 8 ,' ~8"' "Тб" Показать, что последовательность функций U*) 1 — -\ I«' — (пI. если |*_<„|<-_ , 4 О, если | х — tn | > — , л сходится к функции / (х) = 0 в пространстве L2 ((0; 1), цх), но не сходится в каждой точке х £ (0; 1). 20. Показать, что функции ft (х) = e~xtsla'x и fа (х) = x*e~x'sla'x принадлежат пространству Lj (R, Ц1), но Hm ft. (х) ¥= О, k=\, 2. Jt-»±oo 21*. Пусть дифференцируемая на R функция f и ее производная f принадлежат пространству Ц (К, (¾). Доказать, что lim f (х) = 0. л:-*±оо 22. Пусть функции flt f3, ..., fn, ... принадлежат пространству Lp (А, ц). Дока- вать, что если существует такая функция g из LB (А, ц), что для всех k | /¾ (х) | ^ 162
(J^ 8 (*) почти всюду на А, то последовательность (/„ (х))£_,, х £ Л, сходится к функции f в пространстве Lp (А, ц) тогда и только тогда, когда она сходится к f иа Л л» Мере ц. , 23. Доказать, что в неравенстве Гельдера знак равенства достигается тогда и- ;10Лько тогда, когда почти всюду на А: " l)f(x)g(x)>0 или f(x)g(x)^0; 2) для некоторых чисел а и (J, не равных нулю одновременно, а | / (*) |* »• - Р I 8 (*) I"- ,' 24. Доказать, что в неравенстве Минковского знак равенства достигается в том » только том случае, когда для некоторых неотрицательных чисел а и f$, не равных нулю одновременно, af (х) = fig (х) почти всюду на А. 25. Точка х0 называется обобщенной точкой Дини для интегрируемой по Лебегу fca отрезке [—я; я] функции f, если при некотором с £ R сходится интеграл I /fa + 0-cl ^ m -а Показать, что ряд Фурье функции f сходится в обобщенной точке Дини к значению с. 26. Найти преобразование Фурье функций: 1) <р(х) = — , где т£Ы, Х£С и ImA^O; 2) ф (х) = е~аЫ (а > 0); 3) ф (х) = хе_а|*' (а > 0); 4) ф (х) = е 2 cos ах; 5) ф (х) = — при 0 < х < 2а, ф(х) = i- при — 2а < х < 0, ф (х) = 0 при | х | > 2а. 27. Пусть Ха (х) — характеристическая функция интервала (0; а). Найти сверт- Г \+н(х)-га(х) - 28. Доказать, что для любой функции <р € Lt (R, щ) = Ф(х— а) lim / Ха4А (х) - Хд (х) ф (дс) , ГП _ Предел в пространстве Lx (R, р.х)). Здесь Ха (х) — характеристическая функция интервала (0; а). Указание. Проверить это равенство для функции ф (х) = %ь (х). 29. Пусть /€Li([—я; я]; |Л) и (aJ^Lj. (*„)~=l — ее коэффициенты Фурье. Доказать, что если lim (ancosnx + bns\n пх) = 0 на множестве положительной Л-voo феры, то lim а„ = lim Ьп = 0. 30. Пусть функция / непрерывна на отрезке [—я; я], а (Од)^] — последовательность ее сумм Фейера. Доказать, что т ^ о„ (х) ^ М для всех it^H " ncex х С R,. ?ёсли m = min f (xl, а М = max / (х). : t—л;л] [—л;л] 31. Доказать свойства ассоциативности и коммутативности свертки двух интегрируемых на R функций. л 32. Доказать, что преобразование Фурье функции из пространства Lx (R, (ij). является равномерно непрерывной на R функцией. 33. Пусть f, g £ LB (R, Ц!). Доказать, что тогда f • £ = F"1 [F [f] f {$]] и / . * — » 2nF [P-1 [f] F~x lg]]. 1Л
•84. Найти преобразование Фурье следующих функций из Lj (R): , v sin ах • sin Ьх . , -, 3)ф(*) = , a, 6€R; 4) fW = 7TZ' aeR: б) Ф« = ^, a<ER. Ответы. 1. 1), 3), 4) Ни для каких р; 2) для 1^р<2; 5) для 1^р<3; «) для 1 < р < 5. 2. 1) Для К р < 3; 2) для 1 < р < 4. 3. I) Для а > р и 2(1 > а -\ ; 2) для а > и (J > ; 3) для а> , 0 > и Р Р 4р р р 1 1 „ '1 1 « + Р< ; 4) для' а< 1-1, f!> и 4 + а — 0> — . 4. Ни для Р „ Р /> Р каких р. 5. 1) 1<р<4; 2), 5) дляр> 1; 3) дляр> 1; 4) 1<р<2; 6), 7) для р> 2. 26. 1) Прн ImX> 0 функция <р (о) = 0 для о < 0 и <р (о) = 2nielaX , ... (т — 1)1 при а > 0; при Im А, < 0 функция ф (о) = 0 для о > 0 и ф (о) = — 2nielaK f—-—ггт r (т — 1)1 пр. а < 0; 2) $ (о) = ^^ ; 3) $ (о) = (g!!4^a)a ; 4) Ф (о) - л*-1-.-у* а'+а — У5яе 2 chao; 5) ф (а) = 2я sin2 ао . 27. 0, если х<.а и х ;> a -j- 6 + 4- к; 1, если a -j- h < * < а + 6; на остальных участках — лииейиая. 34. 1) ф (а) ' Jinlcuj —к—:— sign (Im а), если sign о = sign (Im а), 0. если sign о = — sign (Im а); 2) ф(о) 3) Ф (а) = \n\a\, |o|<^-, 0. М>^г л ~2Г' я ~2Г ' 2зт ' 6 —а 2я а + 6 <о< <о< Ь+'а 2я а — Ъ 2я ^ "- 2зт ' 0, в остальных точках при 0 ^ а ^ Ь; 4) Ф (о) = —- е-2я1<""а sign о; ^ я'о б) 9(o)=21nctg-IS-. 154
§ 5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЯ 1. Введение. Постановка задачи. Как известно, основная формула интегрального исчисления функций одной переменной состоит в том, что операции дифференцирования и интегрирования являются в некотором смысле взаимно обратными. Точный» смысл этого принципа характеризуется с помощью таких двух утверждений. A. Для данной непрерывной функции у = <р (х), х £ [а; Ь], ее неопределенный интеграл X gr(x) = ^<p(t)dt + C (v*C[a;*]) (1> а с любой постоянной С) есть дифференцируемая на отрезке [а; Ь] функция н при каждом х£ [а; Ь] ЗГ1 (х) = ф (*). , (2> Б. Если заданная функция у = Т (х), х£ [а; Ь], имеет на [а; Ь] непрерывную производную &' {х) = ф (х), то справедливо равенство х ^4{t)dt = Sr{x)—ST{a) (Vx£[a;b]). (3> а Теперь, располагая значительно более общим понятием интеграла, чем интеграл Рнмана (который фигурирует в (1) и (3)), поставим такие проблемы. Проблема 1. Пусть функция у = <р (х), х £ [а; Ь], интегрируема по Лебегу на отрезке fa, Ь], а функция & определяется равенством (1) (при этом интеграл в правой части понилгается в смысле Лебега). Верно ли равенство (2)? Поскольку интегрируемая функция ф может быть произвольно изменена на множестве меры нуль без изменения функции ^", то требовать выполнения равенства (2) естественно не всюду на [а; Ь], а лишь почти всюду. Обсуждая проблему 1, сделаем такое замечание. Пусть интегрируемая на [а; Ь\ функция у = ф (х) представлена в виде разности двух неотрицательных интегрируемых функций, т. е. ф (х) = ф+ {х) — ф_ (х), где ф+ (х) = niax {ф (х), 0}, ф_ (х) =» = max {—ф (х), 0}. Поскольку ее неопределенный интеграл & является разностью двух монотонно неубывающих функций 5Г(*) = { j<p+(fl# + Cj—£<р_«)Л. Х£[а; Ь\, то для решения проблемы 1 вначале надо исследовать класс таких функций (см. п. 2). Проблема 2. При каких условиях данная функция у = !F (х), а ^ х <: Ь, имеет интегрируемую по Лебегу производную у = ф (х), к £ [а, Ь] (определенную яотя бы почти всюду) и справедливо равенство (3)? Отметим, что если у функции & отсутствует интегрируемая производная ф, то левая часть равенства (3) смысла не имеет. Но и наличие у функции^" интегрируемой производной не гарантирует справедливость равенства (3). В самом деле, пусть & (х) = sign х, —1 ^ х ^ 1. Тогда почти всюду на [—1; 1] &' (х) = 0, т. е. ф (х) = = 0 почти всюду на [—1; 1]. Поэтому левая часть равенства (3) для всех х g [—1; 1J равна нулю, а правая часть для х £ (0; 1] равна 2. Проблема 2 рассмотрена в п. 3. B. п. 4 приведена конструкция интеграла Рнмана — Стилтьеса. Согласно поставленным проблемам интегрирование на отрезке [а; Ь] числовой оси R будем рассматривать по Лебегу, а соответствующая мера является классической мерой Лебега на [а; b]. 2. Монотонные функции. Функции с ограниченным изменением. Дифференцирование неопределенного интеграла. Напомним, что функция у = & (х), заданная ,на отрезке [a; b] cz R, называется монотонно неубывающий (невозрастающей), если /для произвольных точек х1 и х2 из [&'< ^Ь xi < *2> <*лед}ет, что & (х-^^Ф (х8) ;(^" (xt) ;> !F (xt)). Очевидно, что всякая монотонно неубывающая (или невозраста- ющая) функция у = !F (х), х £ [а; Ь\, является ограниченной и измеримой на fa; Ь\. Поэтому она интегрируема на [а; Ь\. ч 155
Рассмотрим произвольную функцию у — f (х), заданную на отрезке [а; Ь] (либо на конечном или бесконечном промежутке числовой оси R). Если существует конечный предел lim f (х0+ а), то он называется пределом справа функции /в точке *<, £ [а; Ь) а-»+0 и обозначается f (х0 + 0). Аналоглчно определяется величина / (х0 — 0) — предел слева функции f в точке х0. Если f (ха) = / (*о — 0), то функция f называется непрерывной в точке ха слева, а если f (ха) = f (ха + 0), то f называется непрерывной справа в точке ха. Функция /, которая одновременно непрерывна справа и слева в точке %, называется непрерывной в точке хй. Таким образом, f непрерывна в точке ха, если f (хй — 0) = / (х0 + 0) = f (х0). Точка х0 £ [а; 6], в которой существуют конечные пределы f (х0 — 0) и f (ха + 0), не равные между собой, называется точкой разрыва первого рода, а разность f (хц + 0) — f (х0 — 0) называется скачком функции f в точке ха. Всякая монотонно неубывающая (невозрастающая) функция у = f (х), х £ [а; Ь\, может иметь разрывы только первого рода. Поэтому можно считать, что монотонная функция / непрерывка, например, слева в каждой точке дга g [а; Ь\. Действительно, если f ие является непрерывной слева в некоторой точке х* £ [а; Ь\, то изменим прежнее значение функции f в этой точке, положив его равным f (х* — 0). Для определенности будем говорить о монотонно неубывающих и непрерывных слева функциях на отрезке [а, Ь]. Монотонная функция не обязательно непрерывна. Но тем не менее, множество ее точек разрыва ие более чем счетно (т. е. оно конечно или счетно). Приведем пример монотонной функции h на отрезке [а; Ь], имеющей счетное число точек разрыва лишь в наперед заданной последовательности хх, х3 хп, ... точек из [а; Ь\, скачки которой в этих точках соответственно равны положительным числам А], Нг пп прн- 00 чем V kn < -)-оо. Искомая функция h определяется с помощью равенства И—"1 h(x)= £ hn (V х£[а, Ь]), хп<х где суммирование осуществляется по всем тем номерам п, для которых хп < х (если а ^ х ^ Xk для всех k £/N , то h (х) = 0). Она удовлетворяет сформулированным условиям и является непрерывной слева на [а, Ь]. В дальнейшем под функцией скачков будем понимать любую функцию, представимую с помощью только что описанной конструкции. Например, неубывающие ступенчатые функции (см. § 3) являются функциями скачков. Для таких функций точки разрыва можно расположить в виде монотонной последовательности: х1 < х2 < ... < хп <. ... . В общем случае аналогичные «функции скачков» могут иметь более сложную структуру. Например, если последовательность {xn)^Lr совпадает с множеством рациональных чисел отрезка [а; 6], где а < Ь, а последовательность положительных чи- оо сел (/in)^Li такова, что ряд V h„ сходится, то соответствующая функция скачков h п=\ разрывна в каждой рациональной точке из [а; Ь\ и непрерывна в иррациональных точках. Теорема 1. Всякая монотонно неубывающая непрерывная слева на отрезке [а; Ь] функция IF представляется единственным образом в виде суммы непрерывной и монотонно неубывающей, на [а; 6] функции G и функции скачков Н (непрерывной слева). По заданной монотонной функции & ее непрерывная составляющая часть G и функция скачков Я строятся так. Пусть хи х2, ..., хп, ...— точки разрыва функции &, a ftj, й2> ••-. Лл, ...— ее скачки в этих точках. Для каждой точки х отрезка [а; Ь] положим Я (х) = S\ hn. Тогда функция G (х) = IF (х) — Я (х) является монотонной хп<х и непрерывной на [а; Ь\. Перейдем к изучению класса функций, являющихся разностями монотонно неубывающих функций. Определение 1. Функция IF, заданная на отрезке [а; Ь], называется функцией с ограниченным изменением, если существует такая постоянная С, что для любого разбиения П отрезка [а; Ъ\ точками а = ха <. xt < ... < Xk < xft_|_, < ... < ха = b 156
выполняется неравенство S | *"(**+!>-*"<**> к с- <4> ft=0 Всякая монотонная функция &" является функцией с ограниченным изменением, Поскольку для нее сумма, стоящая в (4) слева, не зависит от выбора разбиения и всегда равна | Т (6) — Т (а) \. Если функция у = IF (х), а ^ х^ Ь, является функцией с ограниченным изменением, то ее полным изменением (или полной вариацией) называется число у [У] = sup J I *" (**+i) - *" (¾) I. а п ft=0 >де точная верхняя грань берется по всевозможным конечным разбиениям П отрез- М [а; Ь]. Замечание. Функция &, заданная на прямой R, называется функцией с ограниченным изменением, если она является функцией с ограниченным изменением на кюкдом отрезке [а; Ь\ числовой осн К и величины у [$f] ограничены в совокупности, а Ь щ, е. если существует число L такое, что у (&) ^ L (V а, b С R). а ь Величина lim у [#"] называется при этом полным изменением функции !F не а-*—оо а Ь-*-\-оо ирямой R и обозначается через у {1F\. Аналогично определяются полные изменения —оо а —оо Напомним основные свойства функций с ограниченным изменением. 1) Если функция у = IF (х), х £ [а; Ь\, является функцией с ограниченным изменением и а £ R, то функция а& также имеет ограниченное изменение и справедливо равенство У [oir] = |a| у \!F\. а а 2) Если & и G — функции с ограниченным изменением на отрезке [а; Ь\, то их еумма & + G также является функцией с ограниченным изменением на [а; Ь\ и у [y+cj< ут+ y[G]. а а а Свойства 1) и 2) позволяют заключить, что функции с ограниченным изменением иа отрезке [а; Ъ\ образуют линейное пространство (в отличие от множества монотонных функций, которые линейного пространства не образуют). Кроме того, из этих свойств следует, что разность двух монотонных функций является функцией с ограниченным изменением. 3) Пусть функция !F имеет ограниченное изменение на отрезке [а; Ь], а точка с ( С (а; Ь). Тогда &~ является функцией с ограниченным изменением на каждом нз отрезков [а; с], [с; Ь\ и справедливо равенство V т = у [*■] + у w\. а а с 4) Если функция IF имеет ограниченное изменение на отрезке [а; Ь\, то функция v (х) = у [Г], х £ [а; Ь\, (5) а 157
является монотонно неубывающей. Причем если функция & непрерывна слева (справа) в точке х* £ [а; Ь], то и v непрерывна в этой же точке слева (справа). В частности, если & непрерывна в некоторой точке (или на всем отрезке [а; Ь\), то непрерывна в этой точке (или на всем отрезке) и функция v. Пусть !F — произвольная функция с ограниченным изменением на отрезке [а; Ь\. Тогда функция и (х) = v (х) — & (х), где v (х) — полное изменение & на [а; х], является монотонно неубывающей на [а; Ь]. Таким образом, & представляется как разность двух монотонно неубывающих функций: Sr(x) = v(x) — u(x), х£[а\Ь\. Теорема 2. Для того чтобы функция у = &~ (х), х £ [а; Ь], была функцией с ограниченным изменением, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде разности двух монотонно неубывающих функций. Например, если функция ф интегрируема на отрезке [а; Ь\, то ее неопределен- У. ный интеграл 5*" (х) = \ <р (/) dt, х£ [а; Ь], является функцией с ограниченным а изменением. Перейдем к вопросу о днфференцируемости функции с ограниченным изменением. Теорема 3 (Лебега). Монотонная функция, определенная на отрезке [а; Ь\, имеет почти всюду на этом отрезке конечную производную. Из теоремы Лебега следует, что каждая функция с ограниченным изменением на {а; Ь] также имеет почти всюду на этом отрезке конечную производную. Напомним некоторые важные понятия, с помощью которых доказывается теорема 3. Пусть функция у = f (х) определена на отрезке [а; Ь] (или на любом другом конечном или бесконечном промежутке числовой оси R) и точка ха принадлежит интервалу (а; Ь). Тогда производной функции f в точке х0 называется предел отношения f (Х) / (*0) 1Л 17 ■i-^ при х -*■ х0. Конечно, этот предел может не существовать. Но всегда X— *о имеют смысл следующие четыре величины (которые возможно принимают и бесконечные значения), называемые производными числами функции / в точке х^: Л = Ш М*)-/(*.) ; i = 1!га /(*)-/(*.) . *-vX„+0 х — хй р л^Зсй-о *— *о ллев = Ш П*)-/(*.) ; ялев= ищ n*Lzl!*L. Х-* х„—0 X — Х0 *-► х0—О X — Ха Величина Лпр (%пр) называется верхним (нижним) правым производным числом функции / в точке х0. Аналогично величина Ллев (клев) называется верхним (нижним) левым производным числом функции / в точке х0. Отметим, что если х0 = 6, то для функции / имеем смысл рассматривать лишь Ллев и А.лев, а если х0 = а, то лишь Лп_ и А,пр. Ясно, что всегда \1р < Лпр и А,лев <; Ллев. Если Япр = Лпр и они конечны, то это общее число есть производная функция / в точке ха справа. Аналогично если %лев = = Ллев, то их общее значение есть производная слева. Существование для функции / конечной производной в точке ха равносильно тому, что в этой точке все производные числа функции / конечнц и равны между собой. Доказательство теоремы Лебега основывается еще на одном важном факте. Прежде чем его сформулировать, введем следующее определение. Пусть функция g непрерывна на отрезке [а; Ь]. Точку х0 этого отрезка назовем точкой, невидимой справа для функции g, если существует точка \ (х0 < \ <: 6), что я (*о) < i (!)• Лемма (Р и с с а). Для любой непрерывной на [а; Ь] функции g множество ее точек, невидимых справа, открыто на отрезке [а; Ь] и, следовательно, представляется в виде объединения конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов (a/i', bit) (и, возможно, полуинтервалов, включающих концы отрезка). В концевых точках этих интервалов выполняются неравенства g (¾) < g (6*). Иногда бывает полезной следующая теорема о почленном дифференцировании ряда из монотонных функций. lei
Теорема 4 («малая теорема Фубин и»). Всюду сходящийся ЩШ "* 1ж V &л (х) = &" (х); х £ [а; Ь\, где Тп — монотонно неубывающие функции на [а; Мж л—1 почти всюду допускает почленное дифференцирование f <(!) = Г(х) (*€[<*; 6]). гх=1 Как следствие из этой теоремы получаем, что функция скачков имеет почти всю- ду производную, равную нулю. Таким образом, согласно теореме 3 Лебега, неопределенный интеграл У (х) = х = I <р (/) dt, х£[а; Ь\, интегрируемой на [а; Ь\ функции <р имеет почти всюду а иа [а; Ъ\ конечную производную. Но будет ли эта производная почти всюду равна функции <р? Теорема 5. Для всякой интегрируемой на отрезке [a; 6JcR функции ф почти всюду справедливо равенство JL И Ф (/) <tt j - <р (х) (*6[а; Ь\). Теоремы 3 и 5 дают положительное решение проблемы 1. 3. Восстановление функции по ее производной. Абсолютно непрерывные функции. Рассмотрим обобщение на случай интеграла Лебега известной формулы Ньютона — Лейбница: X 5Г(х)=Г(а) + J^W*. -(6) а Правая часть этого равенства является функцией с ограниченным изменением (при условии интегрируемости производной Ф'). Поэтому равенство (6) ие может быть правильным для более широкого класса функций, чем функции с ограниченным изменением. Кроме того, формула Ньютона — Лейбница заведомо не верна для всех функций с ограниченным изменением (см. пример функции Т (х) = sign х, —1 ^ Справедлива такая теорема. Теорема 6. Производная &"' каждой монотонно неубывающей на отрезке \а; Ь\ функции Т интегрируема на [а; Ь\ и ь f 5T'(xU*< ЗГ(Ь)—Зг(а). а Следовательно, производная каждой функции с ограниченным изменением интегрируема. Поэтому для таких функций правая часть формулы (6) всегда определена. Отметим, что существуют непрерывные монотонные функции, для которых выполняется строгое неравенство х {&' (iSdt<T (х) — & (а) а ' для всех х > а (см. пример 10). Таким образом, формула Ньютона — Лейбница (6) выполняется ляшь на некотором подклассе множества функций с ограниченным изменением. Перейдем к описа- аню этого подкласса. Определение 2. Функция &, определенная на некотором отрезке [а; *], называется абсолютно непрерывной, если для каждого е > 0 найдется такое б > 0, что для
произвольной конечной системы попарно непересекающихся интервалов (а*; 6д), k ™ 1, п 2,..., п, сумма длин которых меньше б, т.е. V (6¾ — а*) < б, выполняется неравен- *=1 апво S \F(bk)-Sr(ak)\<i. k=\ Из этого определения следует, что каждая абсолютно непрерывная функция ив [а; Ъ\ равномерно непрерывна. Однако существуют равномерно непрерывные функции, не являющиеся абсолютно непрерывными. Совокупность абсолютно непрерывных функций на отрезке [а; Ъ\ образует линейное пространство, т. е. сумма двух абсолютно непрерывных функций и произведение абсолютно непрерывной функции на число являются абсолютно непрерывными функциями. Можно доказать, что каждая абсолютно непрерывная на отрезке [а; Ъ\ функция & имеет ограниченное изменение. Поэтому IF представляется в виде разности двух монотонно неубывающих на [а, Ь\ функций & (х) — v (х) — и (х), х £ [а; Ь\, где v определяется формулой (5), а и = v — IF. Более того, из абсолютной непрерывности функции ^"следует, что ее составляющие они также абсолютно непрерывны. Таким образом, каждая абсолютно непрерывная функция представляется в виде разности двух абсолютно непрерывных монотонно неубывающих функций. Из свойства абсолютной непрерывности интеграла Лебега (см. § 3) вытекает, что неопределенный интеграл X Р(х) = [ф(/)Л. *€ [a; Ь\, о интегрируемой на отрезке [а, 6] функции ф является абсолютно непрерывной на [а; Ь| функцией. Справедливо и обратное утверждение. Теорема 7 (Лебега). Производная IF' абсолютно непрерывной функции у = IF (х), а <: х <: Ь, интегрируема на этом отрезке и для каждого х € [а; Ь] справедлива формула Ньютона — Лейбница х X, ф (/) Л == (' 5Г' (t) dt = Sr(x)—ST(a). а а Таким образом, формула Ньютона — Лейбница верна лишь для абсолютно непрерывных функций. Из теоремы 1 следует, что каждая непрерывная слева фуикцич !F, имеющая на отрезке [а; Ь] ограниченное изменение, представляется в виде суммы непрерывной иа [а; Ь] функции G с ограниченным изменением и функции скачков Н. Введем функцию X у (х) = f G' (t)di, а < х < Ь, а являющуюся по теореме 7 абсолютно непрерывной на отрезке [a; b], а также непрерывную с ограниченным изменением функцию % (х) = G (х) — ф (х), а ^ х ^ Ь. Тогда х' (*) =° 0 почти всюду на отрезке [а; Ь]. Назовем непрерывную иа отрезке [а; Ь] функцию с ограниченным изменением сингулярной, если ее производная почти всюду равна нулю на [а; Ь]. Поэтому имеем такой результат. Теорема 8. Всякую функцию у = !F (х), а ^ х <; Ь, имеющую на [а; о] ограниченное изменение, можно представить в виде суммы 5Г(х) = Н(х) + Ц>(х)+Х(х), х£[а; b], (j] где И — функция скачков, г|э — абсолютно непрерывная функция и X — сингулярная функция. Каждое слагаемое этого разложения определяется функцией У одна аначно с точностью до постоянной. 160
Если потребовать, например, чтобы все функции, входящие в равенство (7), об- ращались в нуль при х = а, то разложение (7) единственно. Продифференцировав равенство (7), получаем, что почти всюду на [а; ft] &' (х) = .™ \f' (*)• Следовательно, при интегрировании производной от функции & с ограни- Ученным изменением восстанавливается не сама функция IF, а только ее абсолютно .Непрерывная составляющая. Разложение (7) полезно сравнить с результатами ^ 3, п. 5. ■'.' 4. Интеграл Стилтьеса. Пусть у = §? (х), а < х ^ ft,— монотонно неубывающая функция. Для определенности считаем ее непрерывной слева. Тогда, как fewio отмечено в § 2, п. 6, с помощью этой функции SF на полукольце ЭД всех полуинтервалов вида [а; Р), принадлежащих основному сегменту [а; Ь], можно построить счетно-аддитивную меру ц^г, полагая ц™. [а; р") = &~ф) — Т (а). Эта мера допускает ле- ['бегово продолжение на некоторую о-алгебру 21 ~. всех ц^г-измеримых множеств отрезка [a; ft]. Отметим, что совокупность Я_ содержит все борелевы множества «трез- "ка [a; ft]. Мера \i~t рассматриваемая на о-алгебре 21™., называется мерой Лебега — (Стилтьеса, отвечающей функции &. Для меры Лебега — Стилтьеса ц,™ обычным образом (см. <) 3} определяется класс интегрируемых функций и вводится понятие интеграла Лебега Ь ^ t (х) dfip. ■■ ^ f («) dV-p- [a;b] а Этот интеграл, построенный по мере ц™., отвечающей функции Т, называется ин- ъ тегралом Лебега — Стилтьеса и обозначается символом \ / (х) аУ (х). а Рассмотрим некоторые важные частные случаи. 1) Пусть Т (х) = Н (х) — функция скачков на отрезке [а; Ь]. А именно, пусть функция Н имеет конечное или бесконечное число точек разрыва xt, х2, ..., хп, ... на ; сегменте [a; ft], скачки в которых соответственно равны положительным числам Aj, оо А, А„, .... причем если их бесконечное число, то ряд V h„ сходится. Тогда соот- п=л «етствующая мера рн является дискретной (более того, сосредоточенной в точках !jtj,x хп,...). Нетрудно проверить, что в этом случае функция / цн-интегрируема оо «тогда и только тогда, когда ряд V f (хп) h„ абсолютно сходится. При этом ь \[{*)dliH='£if(xn)hn. В частности, если Н имеет только конечное число точек разрыва, то каждая функция, заданная на [a; ft], ^^-интегрируема. 2) Пусть функция & абсолютно непрерывна на [a; ft]. Тогда можно проверить, ;Vro интеграл Лебега — Стилтьеса выражается через интеграл Лебега по обычной ле- беговой мере с помощью формулы ь ь ^f (х) д? (х) = ^ f (х) Г' {х) dx. Кроме того, функция / является ц_-интегрируемой тогда и только тогда, когда Произведение f&~' интегрируемо по обычной лебеговой мере. Таким образом, если монотонно неубывающая непрерывная слева функция У представляется в виде суммы функции скачков и абсолютно непрерывной функция, ,6 0-74 161
то интеграл Лебега — Стилтьеса I / (х) d& (х) сводится к ряду (илн конечной сумме) а и интегралу по обычной мере Лебега на [a; ft]. Если IF содержит и сингулярную составляющую, то такое сведение уже невозможно (см. пример 15). Ясно, что интеграл Лебега — Стилтьеса обладает всеми свойствами интеграла Лебега (см. § 3). Перейдем к определению интеграла Лебега — Стилтьеса по функции & с огра- нияевным изменением. Итак, пусть функция & имеет ограниченное изменение на отрезке [a; ft). Тогда на основании теоремы 2 представим Ф в виде разности двух монотонно неубывающих функций & (х) = v (х) — и (х), а < х < ft, где v (х) — Полная вариация функдии IF на [а; х], а и (х) = v (х) — & {х). Введем интеграл Лебега — Стилтьеса по функции !Fy положив ft ь ь J / (х) dST (х) тш J J (х) dv (x) - J f (x) du (x). a a o. Отметим, что если функцию & представить в виде разности других монотонно не- ь убывающих функций, то величина интеграла \ f (х) d& (х) от этого не изменится. а Наряду с интегралом Лебега —Стилтьеса рассмотрим и так называемый интеграл Римана — Стилтьеса. Пусть функция & непрерывна слева и имеет ограниченное изменение на полуинтервале [a; ft), a f— произвольная функция на этом же полуинтервале. Имея разбиение П: а = х0 <*]<...< х/, < ... < хп = ft полусегмента [a; ft) на полуинтервалы [*£, xk ,,), выберем в каждом промежутке [хк, *£_<_[) от- я—1 меченную точку |^ и составим соответствующую интегральную сумму J] f (1¾) X ft=o X t*" (Хц+0 — & (**)) (здесь Sr (ft) = 5Г (ft — 0)). Если при X = max (хь ,, — х.) -»- 0 эти суммы имеют конечный предел, ие О^А^п—1 K^~L * зависящий от разбиения П и выбора отмеченных точек ck, то функция / называется интегрируемой по функции IF на [а; о). При этом указанный предел называется инг ь аиералом Римана — Стилтьеса функции f по IF и обозначается I f (х) d&~ (х). а Таким образом, для интеграла Римана — Стилтьеса интегрируемой функции / справедливо равенство Я—1 I f (х) dP {х) = Mm £ f (lk) W (*ft+1) - 9- (x)]. Теорема 9. Если функция f непрерывна на отрезке [a; ft], то она интегрируема относительно каждой непрерывной слева функции IF, имеющей на [a; ft) ограниченное изменение. Кроме того, интеграл Римана — Стилтьеса функции f по IF на [a: ft) сов- падшвп с соответствующим интегралом Лебега — Стилтьеса. Укажем основные свойства интеграла Римана — Стилтьеса. 1) Если функция f непрерывна на [a; ft], a IF имеет ограниченное изменение, то справедлива оценка ь ^f(x)d&- (х) в ь < max |f(*)|- V [*Ъ 162
2) Если функйия f непрерывна иа отрезке [а; Ь], а функции ^ и &г имеют ограниченное изменение на 1°: °1, то b ь ь (f(x)df (х) = J f (х) лгл (х) + j f (х) <&* (at), a a a где #• (x) = 5Г, (x) + ^2 (*). * € [a: *]• 3) Если 51", и ^2 — функции с ограниченным изменением на [a; Ь], совпадающие всюду, кроме конейН0Г0 или счетного числа внутренних точек этого промежутка,'то ,1ля каждой непрерывной на 1а'< &1 Функции f справедливо равенство ь • fc \jf(x)d^(*)'-\f(*)drt(x) а а 4) Если функ<*ия f непрерывна на [a; ft], то интеграл Римана—Стилтьеса » f f (х) d!F (х) не за0исит от значений, принимаемых функцией Т в ее точках разрыва, лежащих в интерв^ле (fl! ")• Теорема 10 (первая теорема Хелли). Пусть функции Тп с ограниченным изменение*1 на отрезке [а, Ь] сходятся в каждой точке этого отрезка к некоторой функции &"> пРичем полные изменения функции У„ ограничены в совокупное- ь 'ти: V [51" ] ^ С (t*-~ *» 2. •••)• Тогда предельная функция IF также имеет огрони- ценное изменение и ^ЛЯ любой непрерывной на [а; Ь] функции f справедливо равенство ь ь Iim [ f (х) d&n (x)=[f (x) && (x). n-¥Oa v v a a Теорема 11 (^ торая теорема Хелли). Из всякого бесконечного мно- Шества М функции ^• имеющих ограниченное изменение на отрезке [а; Ь\ и ддввле- *%воряющих условиям maxj^ М I < С V 1*1 <К,гдеСиК- постоянные (одни I» те же для всех &~ € Mh можно выбрать последовательность, сходящуюся в каждой ШМ)ЧК£ CS2M6H/TICL \(1' ** i Теооема 12 '(dS>° Р м У л а интегрирования по частям). Пусть Шинкиии и= I (х) и У=й(х) интегрируемы по Лебегу на отрезке [а; ft], а& (х) и Щ (х) — их■ неопреде^еннш интегралы на [а; ft]. Тогда справедлива формула ь ь [&{*)& <*) ** = * (*) G <*> ?а ~ J ' (*) G М dx- J • a а Замечание Ш^* определили интеграл Римана — Стилтьеса на полуинтервале Id- Ь) Диалогично ие*°ЖИ0 определить этот интеграл на (а; ft], а также интегралы на Йтрезке [а- 6] и на н**"6?83"6 (а; 6)- °Днак°. в отличие от интеграла Римана, интегра- Ш по всем этим пр» омежуткам могут быть различными. Например, f М*)^(*) = I f(x)d3r(x) + f(a)[Sr(a + Q»-Sr(a)\. О дифференцировании и интегрировании функций см. в [20; 23; 27; 33; 38]. Примеры решения задач 1. Пусть функ>чии & и G имеют ограниченное изменение на отрезке Ьг, Ь\. >* 109
1) Доказать, что произведение &G также имеет на [а; Ь\ ограниченное изменение и V \SG\ < sup \G(x)\ • V #"] + «up \F (x)\ • V fG]. о a^x^b a a^x^b a 2) Доказать, что если существует такое положительное число а, что | в (х) | 1> а для всех х £ [а; Ь\, то частное -^- является функцией с ограниченным изменением на отрезке [а; Ь] и V <-Л- sup |G(jc)| - V(^]+ sup \?{x)\.\/[G\ a \a^x^b а а^хф a G Решение. Рассмотрим произвольное разбиение П отрезка [а; Ь] а = х0<х1< ■•■ <хк< • • • <хп = Ь. 1) Поскольку каждая функция с ограниченным изменением на [а; Ь] является ограниченной, то для разбиения П получаем следующие оценки: £ | ? (xk+l) G (**+,) - ST (jg G (¾) | = f I tf" (*н-0 - ¢=0 ¢=0 - Г ixj) G (Xk+i) + F (¾) [G (*ft+i) - G (xk)) | < Л—1 < sup |G(*)|-S |*"(**+0-*"(**)! + sup |Г(*)|х n—I ^ xS I G Ufc+i) — G (xj |< sup | G (x) | • V19*] + + sup \?{x)\- V[G]. Отсюда следует, что функция &G имеет ограниченное изменение на [ее, Ъ] и V[^G]<sup \G(x)\-\J[?] + sup |0"(*)|. VfG). 2) Аналогично предыдущему, для рассматриваемого разбиения имеем п—1 га-1 G(x,+1)G(xft) < <~r(sup |0(jc)|-S f^"(«H-i)-^(**)l + + sup /#"(*)(. £ |С(ДГ*+1>-С(лГ^|)< <4-(sup |0(дс)|. VI^]+ sup \? (x)\- VIOj). I«4
Следовательно, функция^-ж- является функцией с ограниченным изменением на la; Ь] и V\-7r]<-Zr(™PjG(x)\-V&}+ «up I^Wl-VIGj). a L J \a^*<u a a^x^b a ] 2. Пусть для функции у=&(х), a^Lx^Lb, существует такое разбиение П* : а = Хо < х* < • • • < х* < • • • < xj = & отрезка [а; Ь], что на каждом отрезке [xl; Хь+\], k = О, 1 л — 1, она является монотонной. Доказать, что функция & имеет ограниченное изменение на [а; Ь]и V [#■] = SV (*7+i) -#" (*J)I + ]*" (*)-*" (**)|, a /=0 еели x € [Xfe-. **+i]. Решение. Очевидно, что любая монотонная функция G на отрезке ъ via; fc] имеет ограниченное изменение и ее полная вариация \J [G] рав- а на числу | G ф) — G (а) |. Поэтому заданная функция &" имеет ограниченное изменение на каждом отрезке, DeJ; **+il разбиения П* и Отметим также, что если к точкам xt, I = 0, 1, ...( т, разбиения П отрезка [а; Ь] присоединить некоторые новые точки xt, k = 0, 1, ... ..., л, то сумма /—о при этом не уменьшится. Значит, т—1 я—1 '/-f-i I»—t (=0 1=0 . /=0 ■*/ Следовательно, функция У аи««т ограниченное изменение на [а; *1и VI^Kl I**(*/+i)-*"(*7)|. a /=0 Кроме того, если в качестве П взять П*, то Таким образом, ь «-1 a /—0 v I*'] - Si*" (*;+i)-^ («и». в /—о 1«
Пусть теперь х — некоторая точка отрезка la; b], a Ixl; xt+i] — отрезок, ее содержащий. Применяя предыдущие рассуждения к отрезку [а; х], имеем /=0 8. Определить полную вариацмю функции & на указанном отрезке, если: 1) ^* (дс) = sin дг, 0<*<2я; О, * = О, 2) & {х)= 1-х, *€(0; 1), .4, х=1. Решение. 1) Функция 3" является монотонной на отрезках [0; -£-j, I-2-; -^-1 и 1-^-; 2я|. Поэтому, согласно предыдущему примеру, функция $Г(х) = &тх, 0<ж<2п, имеет ограниченное изменение на [0; 2л] и Vl^l-liin-f —sinO| + — + 0 ~ tin Зя 2 Зя 2 = 4. я -Sin 2 + f sin 2л — sin -g- 2) Рассмотрим произвольное разбиение П отрезка [0; 111 0 = JCe<Xi< .<• <xk< ••• <дс„=1. Для этого разбиения +11 — *n-2— 1 + *я_1 | + |4— 1 + *„_1 | = 4 + (*а — *х) + + (*„_J — JCn_2) + (*«-1 — *l)- Отсюда следует, что + п~1 S |^(Хн.1)-У(хЛ<4+1 + 1 = 6. fe=0 Кроме того, для каждого а>0 рассмотрим такое разбиение П : а = *„<*!< ... <.хк<. *•• <*„ = Ь отрезка [а; 6], что *х< <-|- и 1—хп-1<.-т-- В этом случае, очевидно, »i-i £ !*"(*+«) — *" (*»)! = 4 + C*i — *») + -.. + (ха-1—хп-з) + + (x„_i — *i) > 6 — «. 1вв
л—Г Поэтому sup £ 15* (Xk+i) — & (**) | = 6. Следовательно, заданная функция ff имеет ограниченное изменение на отрезке [0; Пи ее полное 1 изменение V W\ равно 6. о 4. Представить в виде разности монотонно неубывающих функций1 1) УС*) = **, *€[-1; 1]; 2) 5" (*) = I cos х |, х £ [0; 2я]. Решение. 1) Заданная функция У является монотонной на отрев- ках [—1; 0J и [0; 1]. Поэтому (см. пример 2) она имеет на [—1; 1] ор» раниченное изменение и Положим ы (х) = v (х) — ^" (х), — 1 <1 X ^ 1, т. е. «w = 1 — 2**, — 1<*<0, I 1, 0<*<1. Как отмечалось в п. 2, функции и и и являются монотонно неубы вающими на [—1; П. Кроме того, ff (х) = v (х) — и (х), — 1 ^ х ^1 2) Функция #" (х) = J cos х отрезках °;-г]' [-*-; »]• , 0'<Г х ^ 2я, является монотонной на и -£-; 2я . Поэтому она я; имеет ограниченное изменение на сегменте [0; 2я] и ее полная вариация v (х) — V 1#"1 на отрезке [0; х] сг [0; 2я] определяете^, как показано о в примере 2, соотношением о(х) 1 1 — cos*, 0<х<-£-, 1 + |cosдг|, -£-<*<я, 3 — |eosx|, я<|х<; Зя Зя 3 + cos х, <х<2я. Рассмотрим монотонно неубывающую функцию и (х) = v (х) — — | cos х J, 0 ^ х ^ 2я, которую можно представить в виде 1 — 2 cos х, 0 < х < -£-, "(*) = 1, -?р^х^л, 3 — 2|cqsx|, я<х<-^, 8, 4р-<х<2я. 1«7
Поэтому разложение $ (х) = v (х) — и (х), 0<^*<:2я, является искомым. 5. 1) Доказать, что каждая функция, имеющая на отрезке [а; Ь] ограниченную производную, является функцией с ограниченным изменением. 2) Доказать, что функция (О, х = О, w \ *8sin — , хфО, имеет ограниченное изменение на отреаке [0; 1]. Решение. 1) Пусть П : а = х0 < ^ < ... < .^ < ... < хп = Ь — произвольное разбиение отрезка [a; В], а у = ff^ (х), а^.х^.Ь,— заданная функция. Тогда, согласно условию, существует такое число К, что | сГ' (х) | ^ К для всех х £ [а; Ь]. Далее с помощью теоремы Лагранжа о конечных приращениях получаем такую оценку. £ |Г (дь+i)-**(**) 1 = 2 |^'(*»)11**+1-**1<*<&-а). ft=0 ft=0 где чгй 1— некоторая точка из сегмента [хк; хц+\]. Таким образом, для произвольного разбиения П отрешка [а; Ь] сумма £ \& (*н-0— — & (xk)\ является ограниченной (например, числом Кф — а)). Следовательно, функция &~ имеет ограниченное изменение на la; b]. 2) Покажем, что заданная функция $ имеет ограниченную производную-на [0; 1]. Действительно, если х Ф 0, то производная #" (х) существует и &"' (х) = 2х sin cos—. Если же х = 0, то по определению (Д*)а sin -J- £"' (0) = lim Ar ** = Нщ A* sin-J- = 0. Таким образом, [0, x = Q, * ' ~ X 2*sin— cos — , jc^O, I **'(*) К 2xsin4- — cos4-|<S (V*G(0; 1]). Поэтому, согласно утверждению 1) этого примера, заданная функция имеет ограниченное изменение на отрезке (0; 1]. 6. Доказать, что функция [ 0, х = 0, не имеет ограниченного изменения на отревке 10; —] . 168
Решение. Отметим вначале (в чем можно убедиться непосредствен що), что заданная функция не удовлетворяет условиям предыдущей» Примера. ?, Рассмотрим для произвольного натурального числа п разбиение |П„ отрезка ГО; —1 - А !- |редно —1 и 1, т. е. О = х0 < хг = Ш вычислим сумму Sn модулей приращений функции & на отрезках [разбиения «—1 / о \ s.-vjg-frm)-*W)l-( (2п+21)я -о) + + ( (2n+i)n + (fti-l)ft )+ "• +("5Г + 1г)"' точками, 2 (2/t + 1) я = в которь -<*2 = Зя ^ Л" [X ( (In = РУИ 2 — 2 я кци 1)я » Я S1I < 1 — 1 • • - равна < **.... пооче- Поскольку ряд ^,-ят-хт" расходящийся, то последовательность »го частичных сумм не ограничена сверху, т. е. sup Sn = + оо. Отсюда г п следует, что функция Я- не является функцией с ограниченным изменением на отрезке i ■■±] 7. Пусть непрерывная на отрезке [а; Ь] функция #" имеет производную 3" на [а; Ь], исключая конечное число точек, и &"' интегрируема по 9?иману на la; Ь]. Доказать, что &" имеет ограниченное изменение на Ьтрезке [а; Ь] и \1&\ = 1\*'{х)\<Ь. Решение. Отметим, чтц «сдн П i д. = *0<:*i< ... < *ft < <<! •■• <. ха =* Ъ — произвольное рав0ивн1!5~отрезка la; b], то сумма А—О 'Может только увеличиться, еел» н имеющимся точкам разбиения придавить точки, в которых промводная #*' не существует. Поэтому, «е умаляя общности, можно считать, что все указанные точки в состав *№чек разбиения П уже входят. Запишем для каждого отрезка [хк\ 169
**+iJ и Функции & формулу Ньютона — Лейбница Г(хь&) -&(хк) = $ Г' <*)d* ** Тогда ft=0 *=o ,,_ откуда следует, что & является функцией с ограниченным изменением откуда еле, на [а; Ь] и » г Осталось доказать, что на самом деле в последнем неравенстве стоит знак равенства. Поэтому пусть П — рассмотренное выше разбиение. Тогда, согласно теореме Лагранжа о конечных приращениях, получаем S' | gr (Xk+i) - $ (Хк) i =- £ | v (тй) | (Хк+1 - xj, М) k=0 где хк — некоторая точка интервала (хк; хк+\). Отсюда следует, что если X = max (*ft+i — х^, то O^ft^rt—1 Hm S | Г' (¾) | (x*+i - *j) = J | Г' (х) | d*. Х,->0 ft=0 £ Таким образом, 11ш£ \?(xk+i)-&(xk)\ = l\?'(x))dx Х-*0 ft=0 ^ и для каждого е > 0 имеется такое разбиение П8, что для него п—1 ь £ |Г (**+i) -*" (¾) |> J | ^' (*) | dx-z. *=л Поэтому п—1 V(^]=sup£ \& (хщ*) — $ (хй\>\\?' (x)\dx — % а П fc=0 | la или (поскольку е — произвольное положительное число) ь » V [^]> J |S" (*)!<&• e a Следовательно, о учетом ранее доказанного неравенства, им* ь * V 1^1-J1*"'(*)!<**• a 170
8. Рассмотрим функции ах $ina f- фх cosa —, х < О, О, х — О, /(*) = ах »in*—-+ fc*cosa—, *>0, Лпр = lim А*->+0 аД* sin2 1 Д* ■ + Д* ЬАх cos2 1 Д* рдеа < р\ а < Ь. Найти производные числа Лпр, ЯпР, ЛЯ4В, Л.лев функции / в точке х = 0. Решение. По определению = fim (asina-r--f- Дх-»+0 \ ах 11 1 Поскольку a sina -г 1- b cosa -jj- -= а + (6 — а) cos8 -д— и lim cos2-^- = 1, то д*->+о Д* Лпр = а + (Ь — а) lim cos2-г— = а + ф— а)=Ь. Таким образом, Лпр = Ь. Найдем ХПр- Так как lim cos2-t—= 0, то д*^+о л* А,пр = Mm (a sin2-г-+ ft cos2-^--] == а + (6—a) lim cos2-j— =- а. Дх^)-0 * ' Д^Н-0 Аналогично получаем, что Лл'ев = Р, а Хлев = а. Значит, производные числа функции могут быть любыми. 9. Рассмотрим функцию 0, х = 0, У I ^sin-JL-, 0<*<1. Доказать, что эта функция Дифференцируема на [0; 1], но ее производная не является интегрируемой по Лебегу на этом отрезке. 1 2 1 Решение. Если хфО, то у' ==2xsin—j cos—5-. Если * = — 0, то, согласно определению производной, имеем у' (0) = lim ( } = Пт Д* . sin -^ = 0. f Таким образом, заданная функция дифференцируема на отрезке [0; 1]. Докажем, что производная у' не является интегрируемой по Лебегу иа[0; 1], для чего, согласно примеру 29.1 из§ 3, исследуем наабсолют- 171
ную сходимость интеграл 1 J \2х sin-jr L cos -^-) dx. 0 1 Рассмотрим вначале интеграл \2xs'm—$-dx. Здесь подынтег- ральная функция, очевидно, непрерывна на [0; 1], и поэтому этот интеграл является римановым, т. е. функция 2хsin —3- интегрируема по Лебегу. Покажем, однако, что несобственный интеграл 1 2 I 1 | — cos—j-\dx расходится. Для этого сделаем замену переменной: 1 +О0 dt J- 1 Г 2 I 1 I С -^- = /. Тогда j —| cos-^1^= ] / 0 1 Но последний интеграл, как известно, расходится. Значит, производная у' заданной функции действительно не интегрируема по Лебегу на [0; 1]. Как следствие из полученного результата отметим, что рассматриваемая функция не имеет (см. теорему 6) ограниченного изменения на [0; 1] и она не является абсолютно непрерывной на этом отрезке. Однако она равномерно непрерывна на [0; 1]. 10. Построим на отрезке [0; 1] канторово совершенное множество F (см. § 1) и назовем интервалами А-го ранга те его смежные интервалы, длина которых равна —%■. Зададим функцию X (х) следующим образом: на смежном интервале первого ранга положим X (х) = -^; на смежных интервалах второго ранга — Х(х) = ^- на левом /т. е. (-„- ; — J) из них и X (х) = 2J- на правом (т. е. (— ; -g-)); вообще, на смежных интервалах k-ro ранга полагаем X (х) = —^ на первом из них (если дви- гаться слева направо), X (х) = -j- на втором и т. д., т. е. считаем, что на 2* j последнем интервале А-го ранга X (х) = —^— . Таким образом, функция Х(х) определена на множестве CF = [0; 1]\/\ Теперь доопределим ее и на F, положив для х £ F Х(х)~ sup %(£), а X (0) = 0. По- строенная на отрезке [0; 1] функция % называется функцией Кантора. Доказать, что она является сингулярной. Решение- Согласно построению функция Кантора является монотонно неубывающей на множестве CF = [0; 1] \ F и на этом множестве принимает в качестве своих значений все двоично рациональные 172
числа, расположенные между 0 и 1, т. е. числа вида -\ , где k и р— неотрицательные целые числа, причем 1 ^ р ^ 2* — 1. Очевидно, что множество всех двоично рациональных чисел является всюду плотным на отрезке [0; 1]. Докажем, что функция Кантора является монотонно неубывающей и на сегменте [0; 11. Для этого пусть х± и х2 — произвольные точки отрезка [0; 1], причем хг <z х2. Если хх £ CF, х2 £ CF, то, как мы только что отметили, X (хг) <; % (х2). Если же хг £ CF, а х2 £ F, то, согласно определению, X (х2) = sup X (£), т. е. также X (х2) ;> X (xj. Ес- l<x.teCF ли хх £ F, а х2 £ CF, для каждого g <с хх и \ £ CF имеем неравенство X (6) ^ X (*а). и поэтому X (хг) s^X (х2). Наконец, пусть хх £ F и *8£ £ Р. Поскольку множество CF всюду плотно, то существует татая точка £ £ CF, что хг<;%<:х2. Тогда, исходя из предыдущего, имеем X(*i)<X(£) и Х(£)<Х(*2), т. е. X (*!><%(*2). Таким образом, функция % действительно является монотонно неубывающей на сегменте [0; 1], и поэтому она имеет ограниченное изменение на [0; 1]. Далее, на основании теоремы Лебега функция X почти всюду на [0; 1] имеет конечную производную. Найдем вначале производную X' на множестве CF. Поскольку на каждом смежном интервале функция X постоянна, то X' (х) = 0 для произвольного х £ CF. Но мера Лебега множества CF равна единице и, таким образом, X' (х) = 0 почти всюду на [0; 1]. Осталось доказать, что функция X непрерывна на [0; 1]. Пусть его нетак.т. е., например, существует такая точка х0 £ (0; 1), что X (ха — — 0) < X (х0 +0). Тогда (на основании монотонности X) значения из интервала (X (х0 — 0); X (х0 4~ 0)) а (0; 1) функция X не принимает. Но, как отмечалось выше, функция X имеет в качестве своих значений всюду плотное на (0; 1) множество двоично рациональных чисел. Полученное противоречие доказывает непрерывность X на интервале (0; 1). Аналогично доказывается непрерывность функции X в точках х «= 0 и х = 1. Следовательно, функция Кантора X является непрерывной функцией с ограниченным изменением, производная которой почти всюду на отрезке [0; 1] равна нулю. Поэтому функция X сингулярна. П. Пусть функция / непрерывна на отрезке [а; Ь], а функция #" имеет на la; Ь] всюду, кроме конечного числа точек Cj ck, интегрируемую по Риману производную #". Доказать, что существует интег- ь рал Римана — Стилтьеса ] / (х) &$(х) и выражается формулой а Ь Ь J / (х) d& (х) = J / (х) $' (x)dx + f (а) [& (а + 0) - Г (а)] + а а + S / (с/) $" (с/ + 0) - V (с/ - 0)] + / (Ь) [? (Ь) -?ф~ 0)]. (8) т
Решение. Как следует из примера 7, функция & имеет ограниченно§ измененде на [а; Ь]. Далее, изменим (если понадобится) значения функции,^ в точках разрыва так, чтобы полученная функция &t была непрерывной" слева. Тогда на основании теоремы 9 существует интеграл ь Римана — Стилтьеса и, следовательно, согласно свойству а 3) интеграла Римана — Стилтьеса (см. п. 4), существует также интег- ь рал" \ f (х) dS" (х) (равный предыдущему). а Построим теперь на [а; Ь] функцию скачков Н, для которой а, с1( ... .... ск, Ъ являются точками разрыва, причем ее скачки в этих точках соответственно равны & (а + 0) — ZF (а), & (сх + 0) — & (с, — 0), ... .... $ (ck + 0) — $ (ck — 0). Я (Ь)—& (Ь — 0). Тогда функция G.(x) = 3~ {х) — Н (х), а^.х^.Ь, является непрерывной на [а; Ь], производная которой интегрируема по Риману на [а; Ь]. Поэтому для интеграла Римана — Стилтьеса справедливо соотношение ь ь ь \f{x)d& (х) = \f(x)dH(x) + lf(x)dG(x). а а а Но, как отмечалось выше, ь J /(*) dH(x) = f(a)[$- (а +0) -Я (а)] + а - + £ f(ci)№ (ci +0)-^(^/-0)] + /(fc) [#»_#>-0)] (впрочем, это равенство можно получить и непосредственно, исходя лишь из определения интеграла Римана — Стилтьеса). ь ь Докажем, что ] / (х) dG(x) = ] / (х) fr' (x)dx. Для этого отметим, а а что правая часть этого равенства существует как интеграл Римана, елевая часть имеет смысл как интеграл Римана — Стилтьеса. Поэтому надо доказать только их совпадение. С этой целью рассмотрим такое разбиение П : a = х0 <z xt <z ... <zxm<z ... <z xn = b отрезка [a; b], в состав которого входят точки сг ck, и для нахождения разности (2 (jfm+i) —G (*m) воспользуемся теоремой Лагранжа о конечных приращениях G (xm+i) — G(xm) = ^' (xj (xm+i — xm) (xm G (xm; xm+i)). Следовательно, если для данного разбиения П отрезка [а; Ь] в качестве отмеченных точек взять хт (т = 0, 1 п— 1), то интеграль» ь ная сумма а интеграла | / (х) dG (х) имеет вид а * = £ / (Xj $' (Xj (Xm+i — *J. t74
V Но она является интегральной суммой интеграла j / (х) <Г' (х) dx. а ь Поэтому если X = max (хт+\ —х„) -*■ О, то lim о = \ / (x)ZF' (x)dx Ь и 11т о = \ / (х) dG (х), т. е. t> ь jf(x)dG(x) = $f(x)F'(x)dx. а а Таким образом, формула (8) доказана. ь 12. Вычислить ] / (х) d^F (х), если: а 1) / (д) = х, & (х) = cos х, д:£ |0; -^-1; 2) /(*) = sin*, &"(х)=\х\, х£[— 1; 1]; ( х + 2, х£[— 2; —1], 3) / (д:) = (Xя + 1), #" (д:) = 2, д:£ (- 1; 0); [х* + 3,х£[0; 2]; ( 1, JC = 1, 4) / (х) = X, <F (Х) = _ . . , , , хт /- сн ,,v/ w I я, *€(я—1; n]; a=l, fc = N£Rj. Решение- Вычисления этих интегралов проведем по формуле (8), полученной в предыдущем примере (все они существуют на основании того же примера 11). 1) В этом случае интеграл Римана — Стилтьеса приводится к интегралу Римана я л л я 2 2 2 2 \ xdcosx=— ] xsin xdx = Jtcos* — ] cos*d* =— 1. 0 0 0 0 2) Функция ^непрерывна, a 3"' (x) = —1, если x < 0, и fr' (x) — * 1 для x > 0. В точке x = 0 функция #" производной не имеет. По- атому 1 о 1 ] sin xd (| х |) = —] sin xdx + J sin xdx = 2 — 2cosl. -1 -1 о 8) Вычислим данный интеграл, используя формулу (8) 2 ^-1 J (*8 + \)d? {х) =[ (х3+ \)dx+ (^ + 1) |^—i -(2-1) + -1 -2 2 + (*» + 1)|,=о • (3-2) + J (x» + 1) 2*d* --§}-. о 176
4) Функция & в этом случае является функцией скачков. Поэтому N f xd$ (х) = 1 • 1 + 2 • 1 + ... + (N - 1) • 1 = N (N2~ 1} . 13. Пусть $ — монотонно неубывающая на 10; 11 функция. Вычислить пределы: 1) lim \ tr**d& (х)', ,1-юо о Л 2 2) lim I (cos" х + sin" х) dW (х). I Решение. 1) Интеграл Римана — Стилтьеса \e-™xd$ (х) интерпре- о тируем как интеграл Лебега — Стилтьеса по мере ц^г. Тогда к нему можно применить теорему Лебега (см. теорему 9 из § 3) о предельном переходе под знаком интеграла. Для этого найдем предел lim егпх' = = f (х), 0 < х < 1. Очевидно, f (0) = 1 и / (х) = 0, если 0*< х < 1. Креме того, для последовательности (e~n*2)£Ui имеется интегрируемая мажоранта (например, функция ф (х) = 1, х£ [0; 11). Следовательно, по теореме Лебега 1 1 lim J er*"d& (х) = J f (x) d& (x) = & (0 + 0) — Г (0). n-we о 0 2) Этот предел вычисляется аналогично. Только теперь я "2 1, х = 0 и х =-я- , / (х) s lim (cos" х + sin" х) 0, 0<х<~, а интегрируемой мажорантой является, например, функция <р (дс) = 2, 0 ^ х ^ -J- . Поэтому л я 2 2 lim С (cos"A; + sin',A;)d5'(x) = f f(x)d^(x) = »-►•» о о = ^(0+0)-^(0) + ^(-^)-^(-^-0). 14. Пусть функция f непрерывна на отрезке [а; Ь], а функция & — монотонно неубывающая на [а; Ь\. Доказать, что если функция х =■ = ф (0, а ^ / ^ р\ является непрерывной и строго монотонно воз- Ив
растающей, причем ф (а) = а, ф (р) = Ь, то справедливо равенство ь р $/(*)<#» = $/M0)d#>(Q). (9) а а Решение. Поскольку сложная функция / (ф) является непрерывной, а композиция &~ (ф) — монотонно возрастающей функцией на [а; р], то интеграл Римана — Стилтьеса J / (ф (0) d&"q> (f)) существует по теореме 9. Левая часть формулы (9) также существует на основании этой же теоремы. Поэтому надо доказать лишь равенство интегралов. Для этого рассмотрим произвольное разбиение П : а = х0 <с хг < <... <.xk<z.... <. хп = b отрезка [а; Ь\ и пусть \k — отмеченные точки, взятые на полуинтервалах lxk; Xk+\). Тогда » -1 J f (х) d? (х) = lim Б f (У \$ (хм-i) - *" (¾)]> (10) где Я, = max (xk+i — xk). Теперь по разбиению П отрезка la; b] построим соответствующее разбиение П' отрезка [а; р]. Учтем при этом, что функция ф имеет непрерывную и также строго монотонно возрастающую обратную функцию ф—', определенную на [а; Ь] со значениями на [а; р]. Положим tk = ф-1 (xk), k = 0, 1 п. Тогда разбиение П' определяется точками t0, tlt .:., ta: a = t0 < к < ••• <tk< •'• < *п = Р- Точки r\k = ф-1 <Лк) из [tk; tk+i), где k = 0, 1, ..., п — 1, можно принять в качестве отмеченных точек для разбиения П'. Наконец, пусть X' = max (4+i — t^. Тогда в силу непрерывности функций Ф и ф-1 соотношение А, -*■ 0 равносильно утверждению А/ -»- 0. В результате этих рассуждений получаем WO fe=0 - lim £ / (Ф (¾)) (^ (Ф (4+0) - *" (Ф (4))1 = J / (Ф (0) d*" (Ф (0). V-*0 4=0 а Искомое равенство (9) вытекает из этого соотношения и формулы (10). 15. Пусть у = X (х), 0 <! х <; 1,— функция Кантора (см. пример 10). Вычислить интегралы: 1 1 1) J*dX(x); 2) Je*dX(jt). 0 2 Решение. К заданным интегралам формулу (8), очевидно, применить нельзя. Поэтому будем искать другие пути вычисления указанных интегралов. С этой целью вначале отметим, что если CF = 10; 1] \ F, 177
то X (-|Л = -у X (х), х € CF. Тогда X Ш = у X (х) и для всех х£[0; J j. Аналогично, согласно построению функции Кантора, XJ-^- + -4-) =■ 4" + -у % W> если 0 < * < 1. 1) Поскольку функция X постоянна на интервале (-я-; -т-J н непрерывна на [0; 1], то J xdX (*) = J xdX (х) + J xdX (*). В первом интеграле Римана — Стилтьеса из правой части послед- 2 / него равенства сделаем замену Зх = t, а во втором — х = -^- +-у- Тогда (см. пример 14) fxdxw-.-j-f*» -г +4-f(2+o«4- + 3/ ' ' о*' \о/о^-" \ о 3 О 0 ' 0 1 1 1 -4-Ww + 4-f(2 + 0<a(Q = 4-f'dX(*)+4-. ,о о о Отсюда 1 |ш(0=4- Замечание. Этот пример показывает, что если неубывающая функция & явля- ь ется сингулярной иа отрезке [а; Ь\, то интеграл Стилтьеса I / (х) d& (х) ие сводится к а интегралу Лебега по обычной лебеговой мере (ix иа [а; Ь] и соответствующей сумме ряда. 2) Рассмотрим для произвольного числа а функцию 1 JT (a) = J e°xdX (х) о (по теореме 9 этот интеграл существует для каждого а). Для его вычисления & (а) представим в виде j_ з I ' (a) = J e°xdX (х) + J е^йХ\х). 2 т 178
Теперь, как и в случае 1), получаем S (a) = \ e^dl (4-) + $ Д Ах (х + 4"): о 1а а т. е <^(а) = е3сп-|-. W-|-). Отсюда в силу произвольности а имеем а а ^(a) = e3e»ch-5-.ch-g-. W-y-)=- ... - e3eT...e3»chJLch_|_...ch_£L. W-iL) (VngN) а и (при л -> со) «f (а) = е 2 П ch -^- ■ lim of (а). n=l 3 а-»-0 Далее, из теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла следует, что lim of (a) = f lim eaxd% (x) = f dX (*) = 1. Отсюда, в частности, имеем 1 f*Mx(*) = Vl rich-1-. Задачи для самостоятельной работы ь 1. Доказать, что полное изменение \/ [У] функции & равно нулю тогда и только а тогда, когда & (х) = & (а) для всех х g [а, Ь] Ь 2. Доказать, что \/ [^"] = У (й) — У (а) тогда и только тогда, когда У монотонно a ие убывает на отрезке [а, Ь\. 3. Показать, что функция У (х) = cos х имеет на отрезке [0, 2я] ограниченное (вменение, и найти ее разложение в виде разности двух монотонно неубывающих функций 4. Доказать, что функция ( х— 1, 0<*<1, *"(*)= 1, *-1, [ -х\ 1<*<2, является функцией с ограниченным изменением на отрезке [0; 2], и найти ее разложение в виде разности двух монотонно неубывающих функций. 5. Доказать, что функция & (х) = cos2 х имеет ограниченное изменение на отрезке [0; я], и представить ее в виде разности двух монотонно неубывающих функций. 178
в. Доказать, что функция ^" (х) = sin х имеет ограниченное изменение иа отрезке [0, 2я], и представить ее в виде разности двух монотонно неубывающих функций. 7. Доказать, что функция ( — х2, 0<*<1, 5Г(*)= О, х=\, \ 1, 1<*<2, Имеет ограниченное изменение на отрезке [0; 2], и представить ее в виде разности двун монотонно неубывающих функций. S. Найти полное изменение функции ( х\ 0<*<1, ST (*) = { 5, х=1, 2 1 2 иа отрезке [0; 2]. Проверить, что \J \&\ = \j \&\ + \/ [Sf\. Представить & в вн- о о 1 дв разности двух монотонно неубывающих функций. 9. Чему равно полное изменение функции г —1, х = 0, #•(*)= 1— х, 0<*<1, I 6, х=1, на отрезке [0; 1]? 10. Чему равно полное изменение функции I х—\, х<1, &(х) = \ 10, х= 1, на отрезке [0; 2]? Как изменить значения этой функции в точке х = 1, чтобы ее полное изменение было наименьшим? 11. Доказать, что функция у = & (х), 0 ^ х ^ 1, не имеет ограниченного я»- менения на отрезке [0; 1J: 0, * = 0, из от- 3) &(0) = о, &(-21(-1 )= 0> *(~w)= ~2~k~ и ^ линейна на кажД°м резкое 1 2k + 1 ' 2k . 1 1 , fee м. _ 26 ' 2¾ — 1 ^."Доказать, что функция, удовлетворяющая на отрезке [а; Ь] условию Липшица первого порядка, имеет ограниченное изменение на [а; Ь]<. 13. Пусть 0 <С а <С 1. Построить функцию, удовлетворяющую на отрезке [а; Ь\ условию Липшица порядка а, которая не имеет ограниченного изменения на [а; Ь]. Построить пример функции, имеющей ограниченное изменение на [а; 6], но не удовлетворяющей условию Липшица ни при каком а. 14. Пусть функция & имеет ограниченное изменение на отрезке [а; Ь] и ее пол- ь ное изменение равно \J [&"]. Найти полное изменение на [а; Ь\ функции <хУ + (J, где а «и(5 — некоторые вещественные числа. 180
15. Доказать, что если функция У имеет ограниченное изменение на [а; Ь], а ф — строго монотонно возрастающая непрерывная функция на отрезке [а; 0] такая, что <р (а) = а, ф ф) = Ь, то функция G (х) = У (ф (х)) имеет ограниченное изменение на [а; р] и V [*1 = V [G1- а а 16. Доказать, что характеристическая функция Ха М некоторого множества Л с [а; Ь] имеет ограниченное изменение на [а; Ь] тогда и только тогда, когда граница дА множества А состоит лишь из конечного числа точек. 17. Доказать, что если функция У имеет ограниченное изменение на отрезке [а; Ъ], то ее абсолютная величина | У \ также имеет ограниченное изменение на [а; Ь]. 18. Пусть функция У непрерывна на отрезке [a; b], а | У | имеет ограниченное изменение на [а; Ь]. Доказать, что тогда и функция У имеет ограниченное изменение иа [а; Ь]. Привести пример, показывающий, что условие непрерывности У нельзя опустить. 19. Пусть а и Р — положительные числа. Доказать, что непрерывная функция У (х) = ха sin—£- на отрезке [0; 1] имеет ограниченное изменение при а > (J и не имеет ограниченного изменения при а <: р\ 20. Существует ли непрерывная функция, не имеющая ограниченного изменения ни в каком промежутке? 21. Кривая у = У (х), а^. х^. Ь, называется спрямляемой, если длины ломаных с последовательными вершинами в точках (х0. У (х0)), (х,. У (xj) (хп, У (хп)), где а = х0 <*]<...< хп= Ь, ограничены фиксированной постоянной, не зависящей от числа п и выбора точек *,, ..., *„_р Доказать, что кривая у = У (х), а ^ х ^ Ь, спрямляема тогда и только тогда, когда У имеет ограниченное изменение на [а; Ь\. 22. Пусть функция у = ф (х), а<; х ^6, интегрируема по Лебегу на отрезке [в; Ь] и ■(*) = J<p(0*. х6 [а; Ь). Доказать, что У имеет ограниченное изменение на [а; 6] и 6 Ь V[*l= f |Ф(0|Л. а J 23. Пусть функции ^" и G имеют ограниченное изменение на отрезке [а; Ь] и Ф (х) = max [У (*), G (*)}, х g [а; 6]. Доказать, что функция Ф также имеет ограниченное изменение на [а; Ь]. 24. Показать, что сложная функция У (G), где ^" и G — функции с ограниченным Изменением, не обязательно есть функция с ограниченным изменением. ' 25. Доказать, что если функция У имеет ограниченное изменение на отрезке [0; 1], то i'«*-4-£'(4-) 1 1 26. По функции у = У (х), имеющей ограниченное изменение на отрезке [а; Ь], построим функцию G, полагая G (а) = 0 и G (х) = ^4т j *■ М Я, * € (а; 6]. Доказать, что G является функцией с ограниченным изменением на [а; Ь]. 27. Доказать, что функция У имеет ограниченное изменение на отрезке [а, Ь] тогда и только тогда, когда существует неубывающая на [а; Ь\ функция Ф такая, что 181
если а^.х< у ^Ь, то !*■(») —#■(*)! <Ф 00—Ф (*). 28. Пусть функция & имеет на отрезке [а; Ъ\ ограниченное изменение, а функция ф удовлетворяет на всей числовой оси условию Липшица первого порядка. Доказать, что функция ф (&" (х)) имеет на [а, Ь] ограниченное изменение. 29*. Пусть функция & непрерывна и имеет ограниченное изменение на отрезке [а; Ь]. Для каждого разбиения П: а = х0 < хх < ... < хп = Ь отрезка определим суммы п~\ п—\ Vji = Е I *■ <**+i) -*" (VI и Qn = S («* ~ «*)■ fc=0 k=0 где Ж =» sup & (х), tnk= Inf ^"(ж). Доказать, что если i«- жА<ж<ж*+1 xk^x<*k+l = max (¾. , —ж ), то 11m у = 11m Q =, \/ \r\. x-o \-.o * x 30*. Положим и (ж) = у [У], где у = #" (ж) — функция с ограниченным измене- а иием на отрезке [а; 6]. Доказать, что почти всюду на [а; Ь] о' (х) = | У (ж) |. 31. Доказать, что функция *■(*)= V '*~'п| , ж6[0; 1], n=l d ВДе ('n)JJLi — последовательность всех рациональных чисел отрезка [0; 1], непрерывна на [0; 1], но не является дифференцируемой ни в какой рациональной точке из [0; 1]. ^ 32*. Рассмотрим для 0 < 6 < 1 и нечетного натурального числа а функцию f (х) =» 00 = S] b" cos (аппх). Доказать, что функция / непрерывна на всей числовой оси R, 3 но если ab >• 1 -J л, то / не имеет конечной производной ни при каком значении ж. 33. Доказать, что если у непрерывной функции у = & (ж), а <; ж < Ь, одно иа правых производных чисел неотрицательно иа [а; 6], то ^" (а) ^ ^" (Ь). 34. Доказать, что если одно из правых производных чисел на отрезке [а; Ь] функции & принадлежит отрезку [а; f$], то для любых ху и ж2 из [а; Ь] имеем ^ ?■ (х2) - & (Xl) а ^ <: р. ж2 —*! Указание. Применить результат задачи 33 к функции 9" (х) — ах. 35. Доказать, что если одно из производных чисел функции у = & (х), а ^ х ^ г^ Ь, непрерывно в точке ж„ £ [а; 6], то существует Т' (ж0). 36. Доказать, что если производная / (х) некоторой функции / (х) всюду конечна на отрезке [а; Ь] И почти всюду [равна некоторой непрерывной функции, то она равна ей всюду на [а; Ь]. 37. Привести пример функции !F с ограниченным изменением на отрезке [0; 1J, для которой из существования У (ж) в некоторой точке не следует существование в» (*), где v (ж) - V М- о №
38. Пусть функция у = / (х) ие убывает на интервале (а; f$) н Л (х) — ее верхние Правые производные числа. Доказать, что множество {х £ (а; f$) :|Лпр(х) > с), где с — положительное число, можно покрыть открытым множеством Ас таким, что M4)</(p-0)-/(a + 0)- 39. Пусть функция у = f (х) не убывает на отрезке [а; Ь] и Л,, (х) — ее- верхние правые производные числа. Доказать, что Л,, (х) < + оо почти всюду на [а; Ь]. 40. Пусть функция у = f (х) не убывает на отрезке [а; Ь], Л и %лев — ее верхние правые н нижние левые производные числа соответственно. Доказать, что если 0 < < с < С, то множество тех точек х £ [а; Ь], в которых Лпр (х) > С и Хлев (х) < с, имеет меру нуль. 41. Доказать, что если функция удовлетворяет условию Липшица первого порядка на отрезке [а; Ь], то она абсолютно непрерывна на [а; Ь]. 42. Пусть функция ^" задана на отрезке [а; Ь] и для каждого е > 0 можно ука- •ать такое б > 0, что для произвольного набора попарно непересекающихся отреа- п ков [ар, bk\ с [a; b], k = 1, 2, .... л, для которых J] (bk — ak) < б, справедлива /6=1 оценка £ [5г (¾)-S*-(а*)] <в. Доказать, что функция ^" абсолютно непрерывна. 43. Доказать, что если на отрезке [а; (6] функции ?"hG абсолютно непрерывны, то абсолютно непрерывны функции У ± G, У ■ би -^-, если G не обращается в нуль на [а; Ъ]. 44. Доказать, что если на отрезке [а; Ь] функция & абсолютно непрерывна, то функция I ^" | также абсолютно непрерывна на [а; Ь]. 45. Доказать, что если на отрезке [а; Ь] функция ^" непрерывна, а | &\ абсолютно непрерывна, то ^" абсолютно непрерывна на [а; Ь]. 46. Пусть на отрезке [а; Ь] заданы неубывающие абсолютно непрерывные фуик- оо ции &!, &г,.... Доказать, что если ряд J] ^-¾ (х) сходится для всех х £ [а; 6] и & (х) — й=1 его сумма, то функция & абсолютно непрерывна на [а; Ь]. 47. Пусть функция ^" задана на отрезке [а; Ь] и для каждого е > 0 можно указать такое б > 0, что для произвольного набора отрезков [<%; Ь^] с [а; Ь\, й= 1, 2, ..., п (а не только для попарно непересекающм отрезков, как в определе- ' А нии абсолютной непрерывности), для которых' V (¾ — а*) < б, справедлива оценка п V | ^ (¾) — & (¾) | < е. Доказать, что функция & удовлетворяет на [а; Ь] условию Липшица первого порядка. 48. Пусть функция &" задана на отрезке [а; Ь] и для произвольного набора 00 отрезков [<%; b/,] ffi [а; й], fe £ N, такого, что J] (** — я*) < + «». ряд fc=i «о V (^" (6fc) — У ((¾)) сходится. Доказать, что & удовлетворяет на [а; Ь\ условию Липшица первого порядка. 49. Пусть функция У абсолютно непрерывна на [а; Ь] и множество А с [а; й] имеет меру нуль. Доказать, что У (А) — образ этого множества — имеет меру нуль. 183
50. Пусть функция & абсолютно непрерывна на [а;-и]. Доказать, что если множество А с [а; Ь] измеримо, то и множество & (А) измеримо. 51. Пусть функция ^" непрерывна на отрезке [а; ft], имеет на [а; ft] ограниченное изменение и для каждого множества А с [а; ft] меры нуль мера множества & (А) равна нулю. Доказать, что & абсолютно непрерывна на [а; ft]. 52. Доказать, что если функция & абсолютно непрерывна на отрезке [а; ft], то | & \р при р :> 1 также абсолютно непрерывна на [а; ft]. 53. Пусть функции / и g интегрируемы в смысле Римана — Стилтьеса на отрезке [а; ft] относительно функции & с ограниченным изменением. Доказать, что каждая из функций с/ (с £ R)_, / + g, /g, | / | также интегрируема в смысле Римана — Стилтьеса на [а; Ь\ относительно ^". 54. Пусть функция ^ монотонно не убывает на отрезке [а; ft]. Доказать, что ь 1 / (х) && (х) = 0 для произвольной непрерывной на [а; ft) функции / тогда и только а тогда, когда & (а) = & (ft). 55. Пусть функция / непрерывна на отрезке [a; ft], a & — монотонно не убывает на [а; ft]. Доказать существование такой точки 9 £ [a; ft], что ь j / (*) dP (х) = f (9) [Sr (Ь) _ gr (а)]. а Л 5в. Пусть функция & монотонно не убывает на отрезке [0; я] и \ sin xiSf (дг) = 6 = & (я) — ^"(0). Доказать, что '(*) *"«>), 0<*< —, г\п). ■ < х а£ Я. _„, 57. Пусть функция & монотонно не убывает на отрезке [0; 2] и такова, что для каждой непрерывной на [0; 2] функции j f (х) dF <*)=/(!). (*) -{; Доказать, что '^(0), 0<*<1, ,5^(2), 1<*<2, причем 5^(2)-5^(0)= 1. 58. Пусть функция & монотонно не убывает на отрезке [0; 1] и такова, что для каждой непрерывной на [0; 1] функции f 1 [f(x)df(x) = /(0) + 2/(1). Доказать, что Р(х). F (0), ■о. ^-(0)+1, 0<*<1, 5r (0)+2, *-!. 184
59. Пусть функция^" монотонно не убывает на отрезке [0; 1] и такова, что для некоторого л £ N и любой непрерывной на [0; 1] функции / 1 п *=1 Определить вид функции ^". 60. Непрерывная на отрезке [а; Ь] функция / такова, что для любой монотонно неубывающей на [а; Ь] функции & справедливо равенствэ j / (х) dSr (х) = *• (ft) _ у (а). Найти функцию /. 61. Найти значения интегралов Римана — Стилтьеса: a) ^1= I xd$r(x), где &(х) = \ 1, — 1<х<2, -' 1—1, 2<*<3; 2 б) ?л=^х*<&-{х), где о Р(х) = — 1, 0<*< 1 3 2, х--. — 2, —-<х<2. 62. Вычислить интеграл \ / (х) й& (х), если: а \)f(x)=x, *-(*) = |aln*|, *€ -1, Al, 2)/(*) = *2, ^(*) = (—1)", если лс6[Я; п + 1) /г =0,1 ЛГ— », где N — некоторое натуральное число; 3) / (х) = х, (х+2, — 2sjx< — 1, *"M = I 2. _1<JC<0, U2 + 3, 0<х^2; *€[-2; 2]; (х + 2, — 2^x^ — 1, 4) / (*) = х*. Г(х) = \ 2, — 1 < х < 0, U2 + 3, 0<*<2; *£[-2; 2]. 63. Пусть & — монотонно неубывающая на [0; 1] функция. Вычислить пределы: 1 1 1) Hm f \x\ndsr(x)\ 2) Hm f (*" + г-") UP (х). л-too J л-voo J 185
84. Доказать, что если последовательность (1п)%=\ непрерывных на [а; Ь] функций сходится иа [а; Ь] равномерно к функции f, то ь ь Um f /„ (х) d&(x)=,[f (х) dST (x), a a где ^" — функция с ограниченным изменением на [а; Ь]. 65. Пусть на отрезке [а; Ь] задана последовательность (^"n)£Li функций с ограниченным изменением, сходящаяся в каждой точке отрезка [a; b] к некоторой функции ^", причем полные изменения всех функций ^"„ ограничены в совокупности: ь V \&Л <1 С (V п £ N). Доказать, что если последовательность (fn)%L\ непрерывных а на [а; Ь] функций равномерно сходится на [а; Ь] к функции /, то Hm ( /„ (*) d^n (*)=(/ W «»" (*)■ вв. Пусть функция У имеет ограниченное изменение на отрезке [0; 2я]. 2л Доказать, для что произвольного п £ N справедлива оценка 1 2я JrW cos /ш1* < — V f 1 и чт0 эта оц-енка неулучшаема. 67. Пусть функция У имеет ограниченное изменение на отрезке [0; 2л]. Доказать, что для всех п £ N справедливы оценки 2я f ^(xjsin raxdx о 2я <4 vpi и что эти оценки неулучшаемы. Доказать, что если функция & удовлетворяет условию & (0) = У (2я), то справедлива неулучшаемая оценка 2л sin /mfx I 2л 68. Пусть на отрезке [а; 6] функция/ непрерывна, а ^" имеет ограниченное изменение. Доказать, что функция G(*)= J/Mdr(fl, а<*^6, а имеет ограниченное изменение на [а; Ь] и непрерывна в точках непрерывности функции &. 69. Пусть ц™ — мера Лебега — Стилтьеса на [а; Ь], порожденная монотонной непрерывной на [а; Ь] функцией ^". Доказать, что интеграл Лебега — Стилтьеса ь Ъ \ xd\Lcjr равен интегралу Римана — Стилтьеса \ xd!F (х). Вычислить его. а а 70. Вычислить интегралы: л я 1) f (х+2) design sin х); 2) f (x — 1) d (cos x ■ sign x). 186
71*. Пусть y=x(40^Jt< 1,— монотонно неубывающая сингулярная функция Кантора. Вычислить интегралы: 1) |**ЛС(ж), где fee N; о 1 1 2) I cos nxdl (х); 3) \ sin nxdX (ж). :2я. о о f 1 — cos х, 0 <; х ^ я, Ответы. 3. # (ж) = и (х) — и (х), где »(»)=., _ ^, „ (. 3 + cos ж, я ^ х <; 2i х, 0<*<1, 2, ж=1, 5. # (ж) = v (х) — и (ж), [4 + х*. 1<ж^2. 4. Т (ж) = v (х) — и (х), где v (х) = где и (х) = 1 — cos2 х, 0 < х ^ — , 1 4- cos2 х, —- sg; * <; я. 6. # (ж) = v (ж) — и (ж), где v (*) i я sin*, о <;*<; —, я Зя I 2 — sin х, — < х < —- , 7. #" (ж) = v (х) — и {х), где v (х) = { 2, ж = 1, Зя 4 +sin ж, —— <ж<2я. ж2. 0<х<1, 2, ж=1, . 3, 1<ж<2. 8. 7; # (ж) = v (ж) — и (ж), где и (ж) = ж2, 0<ж<1, 5, ж=1, 9. 9. 10. V [^1=23. .ж+ 5, 1<х<2. Положить У (1) = а,' где а — любое число из отрезка [0; 1]; тогда полнде изменение функции равно 5. 13. Ту (ж) = ха sin —, 0 < ж < 1, а Ту (0) = 0; #а (ж) = _1_ In ж , 0<ж<1, a #-,(0)=0. 14. \a\\J[Sr]. 18. Пример: #(*) = !, если ж — рациональное число, и У (ж} =—1, если ж—иррациональное, а [а; й] = = [0; 1]. 20. Да, например, непрерывная функция, нигде не имеющая производной (см. пример 32). 24. Например: # (ж) =* У~х, 0<ж<1, a G (ж) = ( 0, * = 0, Ж* Sin' 1 п^.гП 3?- ДЛЯ 1<«<2 ?(ж) = Ж2С05—, 0<*<1, a / (0) = 0. 59. Г (ж) = #(0), 0<ж<—, п ft ft ft + 1 ? (°) Н . — < ж < ! ; 1 < ft < я — 1, п п п #-(0) + 1, ж=1. 17 «0. /(ж) = 1, *€[а; Ь]. 61. ^ = -6; ^2 = —г. 62. 1) я-2; 2) £ (-1)**»; *=1 187
3) -^-; 4) -у.. 63. 1) *" (-1+0)-^(-1): 2)5-(0 + 0)-5-(0) + 5-(1)- ь -^(1-0). 69. ЪЗГ (Ь) — аз? (а) — f & (х) dx. 70. 1) 2 — ея — е~п; 2) 1 —я. а ' ! * 71. 1) Если ?k = ] xkdX (х), то ^ = ^ £ с12%-.. причем ^0 = lj 0 2 (3 — 1) s=l 2) Э; -3) П cos-4-. 4-1 3*
ГЛАВА 2 ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ПРОСТРАНСТВ $ 1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ Как известно, одним нз важнейших понятий в математическом анализе является понятие предельного перехода, лежащее в основе таких фундаментальных операций, как дифференцирование и интегрирование. Более того, в зависимости от рассматриваемых задач в анализе часто вводятся разные (но эквивалентные между собой) понятия предела для последовательности одних и тех же математических объектов (вещественные числа, комплексные числа1, /1-мерные векторы, функции и т. п.). Однако все они связаны в основном лишь тем, что между исследуемыми объектами можно измерять «расстояние». Это позволяет ввести и изучить свойства предельного перехода независимо от природы элементов, участвующих в этом построении. Обобщая известное понятие расстояния между двумя вещественными числами, мы естественно приходим к одному из основных понятий современной математики — понятию метрического пространства (оно было введено впервые французским математиком М. Фреше в 1906 г.). Отметим также фундаментальную важность-метрических идей в прикладном отношении: всякий вычислительный процесс должен сходиться к искомому результату. 1. Понятие метрического пространства. Пусть X — произвольное множество, a р : X X X -»- R — отображение декартова произведения XXX в множество R вещественных чисел. Отображение р называется метрикой на X, если оно удовлетворяет следующим условиям (аксиомам метрики): •) Р (*. У) > О'. Р (*» у)<?>х= у (аксиома тождества); 2) р (х, у) = р (у, х), V х, у £ X (аксиома симметрии); 3) р (х, у) ^ р (х, г) + р (г, у), V х, у, z £ X (аксиома треугольника). При этом множество X, рассматриваемое вместе с заданной на нем метрикой р, называется метрическим пространством, элементы х, у, г, ... множества X— точками «того пространства, а число р (х, у) — расстоянием между точками х и у. Поскольку в однрм и том же множестве X часто можно задавать разные метрики р, то, чтобы различать получающиеся при этом пространства, иногда вводят обозначение (X, р). Отметим, что всякое множество Y из метрического пространства X, рассматриваемое с тем же расстоянием между элементами, что и в X, также является метрическим пространством. Оно называется Подпространством пространства X. Расстоянием между двумя множествами М и N метрического пространства X называется число р(М, N)= Inf р(х,у). Если одно нз этих множеств, например N, состоит нз одной точки а, то получаем расстояние р (а, М) от точки а до множества М, определяемое формулой р(а, М) = inf р(а, х). Пусть на множестве X определены метрики Pi (х, у) и р2 (х, у). Они называются шкаивалентными, если для произвольной последовательности (х„) с X нз того, что Pi (*л. х)-*-0 (х £ X), следует р2 (хп, х\'-+0 и наоборот. Для эквивалентности метрик Pi н Рг достаточно существование таких положительных постоянных Clt С2, что ciPi (*. У) <. Ра (*. У) <. csPi (*. У)> V х, у £ X (такие метрики называются топологически эквивалентными). 169
2. Предельные точки. Замыкание. Пусть х0 — фиксированная точка метрического пространства X, а г > 0. Совокупность В (х0, г) тех точек х пространства X, которые удовлетворяют условию р (х, х0) < г, называется открытым шаром. Точка х0 называется прн этом центром, а число г — радиусом шара. Открытый шар радиуса в с центром х0 будем называть также г-окрестностью точки ха. Замкнутым шаром В [х0, г] в метрическом пространстве X называется совокупность точек х £ X, для которых р (х, ха) <; г. Точка х £ X называется точкой прикосновения множества МсХ, если любая ее седмпость содержит хотя бы одну точку из М, а совокупность М всех точек прикосновения множества М называется замыканием этого множества. Переход от множества М к его замыканию М будем называть иногда операцией замыкания. Теорема 1. Операция замыкания обладает следующими свойствами: _1) МсМ; 2) М = М; 3) Mj с М2 => Mj с М2; 4) МГ0~М8 =■ М, U Я,; 5) 0 = 0 (0 — пустое множество) и X = X. Течка х £ X называется предельной точкой множества МсХ, если в любой ее окрестности содержится бесконечно много точек из М. Каждая предельная точка множества М является его точкой прикосновения. Она может либо принадлежать множеству М, либо нет. Если точка х принадлежит множеству М, и в некоторой ее окрестности нет точек нз М, отличных от х, то ее называют изолированной точкой этого множества. Твтрема 2. Всякая точка прикосновения множества М является либо предельной для Н4М, либо изолированной точкой этого множества. ОтМда следует, что замыкание М множества М состоит нз точек трех типов: ^ изолированные точки М; предельные точки множества М, принадлежащие М; 3) предельные точки множества М, не принадлежащие М. А это, в свою очередь, означает, что замыкание М множества М получается присоединением к М всех его предельных точек. 3. Открытые н замкнутые множества. Множество М, лежащее в метрическом пространстве X, называется замкнутым, если М = М (т. е. оно содержит все свои предельные точки). Из теоремы 1 вытекает, что замыкание любого множества есть замкнутое множество и что М — наименьшее замкнутое множество, содержащее М. Теорема 3. Пересечение любого числа и объединение любого конечного числа замкнутых множеств являются замкнутыми множествами. Точка х £ М называется внутренней точкой этого множества, если она принадлежит М вместе с некоторой своей окрестностью. Их совокупность обозначается через М*. Множество М, все точки которого внутренние (т. е. М = М°), называется открытым. Теорема 4. Для того чтобы множество М было открытым в X, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение X \ МНыло замкнутым. Следствие 1. Множества 0 и X — открыты. Теорема 3'. Объединение любого числа и пересечение любого конечного числа открытых множеств являются открытыми множествами. Приведем утверждение, характеризующее все открытые множества на числовой прямой. Теорема 5. Всякое открытое множество на числовой прямой является объединением конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов. Точка ха £ X называется граничной точкой множества МсХ, если в произвольной ее окрестности содержатся как точки нз М, так н точки, множеству М не принадлежащие. Совокупность граничных точек множества М обозначается через дМ н навивается границей этого множества. Справедливо соотношение: М = М° (J дМ. Жножество М называется ограниченным в метрическом пространстве X, если оно содержится в некотором шаре. 4. Сходимость в метрическом пространстве. Пусть хх, х2, ...— последовательность точек метрического пространства X. Будем говорить, что она сходится к точке х, если 11т р (ж„, х) «=» 0,'н обозначим это так: хп -*■ х прн п -*-оо или lim хп = х. л-»м n-»ee 199
Это равносильно, очевидно, тому, что V^>0 3% € N : хп £ В (х, е) прнл>п0. Никакая последовательность не может иметь двух различных пределов, и если х„ -*■ х, то н хп -*-х, где (хп ) —произвольная подпоследовательность последовательности (хп). Кроме того, если хп^-х, а х0 — произвольный фиксированный элемент из X, то числа р (хп, х0) образуют ограниченное множество. Теорема 6. Для того чтобы точка х0 была предельной для М, необходимо и достаточно, чтобы в М существовала последовательность попарно различных точек, сходящаяся к х0. 5. Плотные множества. Сепарабельные пространства. Пусть М н N — два множества в метрическом пространстве X. Множество М называется плотным в N, если N с М. Множество М называется всюду плотным (в пространстве X), если М = X. Если множество М не плотно ни в одном шаре, оно называется нигде не плотным. Пространства, в которых имеются счетные всюду плотные множества, называются сепарабельными. 6. Примеры метрических пространств. В этом пункте приводятся примеры наиболее часто встречающихся ^в приложениях) метрических пространств. На проверке соответствующих аксиом метрики для некоторых из них мы остановимся при рассмотрении конкретных примеров. 1) Пространство изолированных точек (или дискретное метрическое пространство) — это произвольное множество, для которого ( 0, если х = у, Р (х, У) = { , ^ (. 1, если хфу. Заметим, что в этом пространстве сходящимися являются только стационарные последовательности. Оно сепарабельно тогда и только тогда, когда само состоит лишь из счетного числа точек, ибо замыкание М любого множества М в этом пространстве совпадает с М. 2) Евклидово пространство R" — это множество упорядоченных наборов из я действительных чисел х = (£1г |2, ..., |„) с расстоянием р (х, у)=\/ 2j (Tift — Ы2 to = foi. ч», .... %))• Замечание 1. Аксиома треугольника является здесь следствием известного из курса математического анализа неравенства Коши — Буняковского Замечание 2. Иногда вместо (Rn, p) рассматривают пространство (Rn, pj, где ели (R", pe), где Pi (х. У) = £ I г\ь — U I. Po (*. У) = max | T|fc — E* I- В этих пространствах счетным всюду плотным множеством является, например, совокупность «векторов» с рациональными компонентами. Сходимость в пространстве R" является сходимостью по координатам. 3) Пространство т всех ограниченных последовательностей состоит из тел точек х = (tit 6я, .... ?„, ...), что V* 3Kx = const:|SJ<Kx (/-.1,2,...). 191
Здесь р (х, у) = sup | 1( — T\t |, если х = (%{), у = (т\(), а сходимость в m — его схвдимость по координатам, равномерная относительно номеррв координат. Можно показать, что пространство m не является сепарабельным. 4) Пространство с сходящихся числовых последовательностей состоит из элементов х = (£,), для которых существует hm |, = |. Если положить р (х, у) = sup | £, — — т), |, то с — подпространство пространства т с той же сходимостью (т. е. сходимостью по координатам, равномерной относительно номеров координат). Отметим, что подпространство с несепарабельного пространства т уже является сепарабельным. Совокупность тех х = (|.) £ с, для которых hm \ = О, обрааует метрическое. f-i-00 подпространство с0 этого пространства. 5) Пространство 1р(р^ 1) состоит из всех последовательностей х= (|,) веще- , « етвенных чисел, для которых V | £, |р<; + о°. а расстояние в нем определяется по *=1 формуле _1_ Р <*.*) = (f I 6,-4,1") "• Прн рассмотрении различных вопросов в этом пространстве часто используются классические неравенства Гельдера и Минковского (см. гл. 1, § 4, пример 5). Можно показать, что последовательность (ад = ((ij"')) с /р сходится к элементу х = (5 ) тогда и только тогда, когда: а) 6*"' -*■ 6, при п -*■ со для всех /; со 6) для любого е > 0 существует такое число /в, что V | ££*> |р <с ер при / ^ /0 и всех п. Счетное множество элементов вида (г1г г,, ..., /•„, 0, 0, ...), где г, — произвольные рациональные числа, an — произвольное натуральное число, образует в 1Р всюду плотное множество. Следовательно, 1р — сепарабельное пространство. б) Пространство s всех числовых последовательностей. Метрику в нем определяет функция f 16,-4,1 Р (*, у) = \ — , ,±j 2'<1+|Ь,-Ч,|) а сходимость в s — покоординатная (но, вообще говоря, неравномерная относительно номеров координат). Это пространство сепарабельно, в качестве счетного всюду плотного в нем множества можно также взять множество элементов вида (/j, г2, ..., /■„, 0, 0, .„), где г, — произвольные рациональные числа, ал — любые натуральные числа. 7) Пространство С [а; Ь] всех непрерывных действительных функций, определенных на сегменте [а; Ь], с расстоянием р(х, у)= max \x(f) — y(t)\. t€la;b] Пространство С [а; Ь] сепарабельно, так как всюду плотное множество в нем образует счетная совокупность всех многочленов с рациональными коэффициентами. Сходимость в этом пространстве есть равномерная сходимость на отрезке [а; Ь\. Иногда рассматривают и пространство С (—оо; +оо), элементами которого являются непрерывные и ограниченные на всей числовой прямой функции. Расстояние в нем епределяется аналогичной формулой р (х, у) = sup | х (0 — у (/) |. 102
8) Пространство Lp[a; b]. Рассмотрим множество всех измеримых по ^рбету на {а; Ь] функций х (/), для которых Ь С|*(0|р*< + ~. и положим Р(*. *) = ($ |xW-*Wr"dt (здесь р ;> 1 — некоторое положительное число). В этом пространстве функции, совпадающие друг с другом почти всюду, отождествляются. Аксиома треугольника следует здесь из известного неравенства Минковского для интегралов — J. — Ь \р/Ь \р/Ь \р l\x(t) + y(f)\pdt\ <П|*(0|рИ +ПЫ0ГЛ) i а последовательность (хп) с Lp [а; Ь] сходится к х £ Lp [а; Ь] тогда н только тогда, когда ь §\xn(f)-x(t)\>'dt-+0 а прн п -гоо. Эта сходимость называется сходимостью в среднем с показателем р. Как и в пространстве С [а\ о], множество многочленов с рациональными коэффициентами всюду плотно в Lp[a; b], т. е. это пространство сепарабельно. Замечание. Мы ограничились рассмотрением только пространства Lp [а; Ь]. Более общие пространства LP(A, ц) детально изучены в гл. 1, § 4. 9) Пространств» М [а; Ь] всех ограниченных измеримых на [а; Ь] функций. Пусть a (/) — измеримая по Лебегу на [а; Ь] функция. Через 'ё обозначим класс всех множеств Е меры нуль, лежащих в [а; Ь], и рассмотрим на ^ следующую функцию: 0(E) = sup а (/). 1<аЬ]\Е , Пусть р0 = mf а (Е). Число р0 называется существенным максимумом функции ЕеЪ a (t) на [а; Ь] и обозначается vrai maxa (О = min {sup a (0}. Ia;b1 Eeg la;b)\E Пусть M [a; 6] — множество всех измеримых на [a; b] функций, существенные максимумы которых конечны, причем две функции из этого множества считаются тождественными, если онн почти всюду равны. Положим р (х, у) = vrai max \х (t) — — у (t) |. Сходимость в М [а; Ь] есть равномерная сходимость почти всюду. 10) Пространство S [а; Ь] сходимости по мере. Это — совокупность всех измеримых по Лебегу на [а; Ь] функций. Две функции, совпадающие почти всюду, также считаются тождественными. Метрика вводится равенством / » f 1*(о-у(01 J; РЕ'»»-] 1 + |,(0-,И| *' а а сходимость в нем есть сходимость по мера, 7 0-74
11) Пространство Ац состоит нз всех однозначных и аналитических в круге I г | < R (0 < R ^ +оэ) функций, а метрика определяется функцией м max | х (г) — у (г) | у _1_ W<rk - Г1, 2* ' 1+ max \х(г)—у(г)\ ' где /> — некоторая монотонно возрастающая к R последовательность неотрицательных чисел. Последовательность (хп) сходится в этом пространстве к х, если хп (г) сходится к х (г) равномерно на каждом компактном (т. е. ограниченном и замкнутом) множестве точек круга | z | < R. 7. Полные пространства. Последовательность (хп) элементов метрического пространства X называется фундаментальной (или сходящейся в себе), если для любого числа 8 >■ 0 найдется номер па такой, что р (хп, хт) < 8 при всех п, m ^ гц. Ясно, что каждая сходящаяся последовательность является в то же время фундаментальной. Если в метрическом пространстве X любая фундаментальная последовательность сходится к некоторому пределу, являющемуся элементом того же пространства, то пространство X называется полным. Полные метрические пространства называют иногда еще пространствами Фреше. Если метрики pt и ра топологически эквивалентны, то пространства (X, рх) и (X, р2) одновременно либо полны, либо нет. Возвращаясь к приведенным в п. 6 примерам метрических пространств, отметим, что пространства О?", С [а; Ь], т, с, М [a; b\, Lp [а; Ь\ {р ;> 1), /р (р > 1), AR являются полными. Пусть Х0 — некоторое метрическое пространство, не являющееся полным, т. е. в этом пространстве имеется фундаментальная последовательность, не имеющая в Х0 предела. Рассмотрим всевозможные последовательности (хп), (уп), (г„), ..., составленные из элементов пространства Х„ и сходящиеся в себе. Отнесем к одному классу любые две такие последовательности (хп) и (хп), что р0 (хп, х^-^О при п -><х>. Эти классы х примем за элементы нового пространства X и положим р (х, у) = •= Игл р„ (хп, уп). Нетрудно проверить, что указанный предел всегда существует и не л-+оо 8ависит от выбора последовательностей (*„) и (у„) в соответствующих классах. Поскольку введенное в X расстояние удовлетворяет аксиомам метрики, то X — метрическое пространство. Кроме того, оно полно и всюду в дальнейшем будет называться пополнением пространства Х0. Нетрудно видеть, что Х0 — всюду плотное подмножество X. Иными словами, пополнение метрического пространства Х0 — это полное метрическое пространство, содержащее Х0 в качестве всюду плотного подмножества. Всякое метрическое пространство имеет пополнение. Все пополнения одного й" того же метрического пространства изометричны (см. п. 9) между собой. Отметим, что процесс пополнения метрических пространств напоминает известный из курса математического анализа процесс пополнения множества рациональных чисел к множеству всех вещественных чисел. Кроме того, справедлив и аналог леммы о вложенных промежутках. Теорема 7. Пусть в полном метрическом пространстве X дана последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю. Тогда существует и притом только одна точка, принадлежащая этим шарам. Эта теорема допускает известное обобщение и на тот случай, когда замкнутые шары заменить произвольными замкнутыми множествами, диаметры которых стремятся к нулю. При этом под диаметром ограниченного множества F метрического пространства X понимаем число diam F = sup р (х, у). Оказывается, что теорема о вложенных шарах является естественной характеристикой полных метрических пространств. Теорема 8. Если в метрическом пространстве X любая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, диаметры которых стремятся к нулю, имеет непустое пересечение, то пространство X полное. 194
Приведем еще одну характеристику полных метрических пространств. Напомним, что множеством называется множеством первой категории, если оно может быть представлено в виде объединения не более чем счетного числа нигде не плотных множеств. Множество, не являющееся множеством первой категории, называется множеством второй категории. Теорема 9 (Бэр а). Полное метрическое пространство есть множество второй категории. 8. Компактные множества. К сожалению, в современной математической литературе имеется некоторый «разнобой» в определениях компактных множеств и соответствующей терминологии. Имея в виду (для наглядности) примеры интервала (а; Ь) и отрезка [а; Ь] числовой оси, мы будем всюду в дальнейшем придерживаться следующих интуитивно понятных определений. Множество К метрического пространства X называется компактным, если всякая последовательность элементов этого множества содержит сходящуюся подпоследовательность. Если пределы указанных последовательностей принадлежат К, то множество К называется компактным в себе (как отрезок [а; Ь]); если же эти пределы принадлежат X, не принадлежа, возможно, множеству К, то К называется компактным в пространстве X или относительно пространства X (как интервал (а; Ь) на прямой 0?). Таким образом, здесь происходит перенесение в общие условия существа леммы Больцано — Вейерштрасса — одного из самых известных предложений теории действительных чисел. Ясно, что множество К компактно в себе тогда и только тогда, когда оно компактно в X и замкнуто. Если, в частности, каждое бесконечное подмножество пространства X содержит сходящуюся к некоторому элементу из X последовательность, то пространство X называется компактным. Компактное метрическое пространство называют также кoм^ пактом. Компакт есть полное метрическое пространство. Приведем критерии компактности множеств в общем случае и в случае некоторых специальных метрических пространств, важных в приложениях. Однако сперва договоримся называть некоторое множество N метрического пространства X 8-сетью для множества М того же пространства (возможно, что М = X), если для любой точки х g М найдется такая точка хЕ £ N, что р (х, хг) < г. Те множества, для которых существует конечная е-сеть, называются вполне ограниченными. Теорема 10 (критерий компактности Хаусдорфа). Для компактности множества М метрического пространства X необходимо, а в случае полноты X и достаточно, чтобы для любого г > 0 существовала конечная е-сеть для множества М. Следствие 2. Компактное пространство сепарабельно. > Следствие 3. Компактное множество метрического пространства ограничено. Систему (Gj открытых множеств пространства X назовем покрытием множества М а X, если каждая точка х £ М принадлежит хотя бы одному из множеств Ga этой системы. ■ Теорема 11. Для того чтобы замкнутое множество F метрического пространства X было компактным в себе, необходимо и достаточно, чтобы из любого покрытия этого множества можно было выделить конечное покрытие. Теорема 1Z (А р ц е л а). Для компактности множества К с С [а; 6] необходимо и достаточно, чтобы функции х (t) £ К были равномерно ограничены и равностепенно непрерывны. Равномерная ограниченность означает существование такой константы Ц > О, что | х (t) | < р, (t £ [а; Ь]) для всех х (t) £ К (т е. ограниченность множества К в пространстве С [а; Ь]), а равностепенная непрерывность означает, что для всякого в > > 0 существует б > 0 такое, что | х (tx) — х (t2) | < fe для любых tlt /2 £ [а; Ь] при I 'i — h I < б и Для любой функции х (t) £ К. Теорема 13. Для компактности множества К в С (—со; +сс) необходимо и достаточно, чтобы функции х (t) (Е К были равномерно ограничены и для каждого е > О существовало покрытие оси (—со; +со) конечным числом открытых множеств, в каждом из которых колебание любой функции х (t) £ К меньше г. Теорема 14 (критерий А. Н. Колмогорова). Для компактности множества К с: Lp [а; Ь] (р ^ 1) необходимо и достаточно, чтобы это множество было ограничено в Lp [а; о) и для любого г >. О существовало б > 0 такое, что при h < б 195
для любой функции х (0 £ К расстЬяние р (х, х^), где t+h 4i(0=-57- \ *оо*. было меньшим г (вне отрезка [а; Ь] функция х (/) считается равной нулю). Теорема 15 (критерий Р и с с а). Множество KcLf [а; Ь) {р ^ 1) компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено в Lp [а; Ь] и для любого г > О существует такое б > О, что ь j|x(< + A)—х(0|рЛ<е а при | А | < 6. Теорема 16. Для компактности множества К сг /р необходимо и достаточно, чтобы К было ограниченным и для произвольного е > О существовал номер пй такой, что для всех к = (£„) £ К выполнялось неравенство V | | |р < 8, !=пс Теорема 17 (М о н т е л я). Для того чтобы множество КсД„ было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было равномерно ограниченным внутри кру- га\г \ <. R, т.е. для любого замкнутого множества F точек этого круга существовала такая положительная постоянная ц, что каждая функция / £ К удовлетворяет во всех точках множества F неравенству \ f (г) | ^ ц, 9. Непрерывные отображения метрических пространств. Пусть (X, Pj) и (Y, р2) — два метрических пространства и / — некоторое отображение X в Y, т. е. каждому элементу х£ X ставится в соответствие некоторый элемент у — f (х) из Y (в дальнейшем такие отображения называются операторами). Это отображение называется непрерывным в точке х0 £ X, если Ve>0 36>0 V*£X:Pl(*, *0)< 6^ р2 (/(*), /(*„))< е. Если отображение / непрерывно во всех точках пространства X, то его называют непрерывным на X, Понятие непрерывности отображения / метрического пространства X в метрическое пространство Y равносильно следующему: отображение / непрерывно в точке «о С X тогда и только тогда, когда для любой последовательности (хп) с X, сходящейся к хй, последовательность (/ (*„)) сходится к / (х0). Нетрудно видеть также, что непрерывный образ компакта есть компакт. Заметим, что если X и Y — числовые множества, то приведенное определение совпадает с известным из курса математического анализа определением непрерывности функции. В том случае, когда отображение / пространства X на пространство Y взаимно однозначно, существует обратное отображение х = f (у) пространства Y на X. Если / —взаимно непрерывно (т. е. непрерывны / и f ), то оно называется гомеоморф- ным отображением или гомеоморфизмом, а соответствующие пространства X и Y — гомеоморфными. Взаимно однозначное отображение / метрического пространства (X, pt) на пространство (Y, р2) является изометрическим, если р2 (/ (д^), / (х2)) = рг (xlt х2) для любых хг, xt £ X. Пространства X и Y, между которыми можно установить изометрическое отображение, называются изометрическими между собой. Многие из известных теорем о непрерывных функциях, заданных на R, можно распространить и на функции / : X -*■ О?, где X — метрическое пространство (такие отображения f будут называться в дальнейшем функционалами). Например, справедливо следующее утверждение, которое является обобщением теорем Вейерштрасса. Теорема 18. Пусть К — компактное в себе множество метрического пространства X uf — непрерывное отображение X в R. Тогда: 1) функция f ограничена на К; 2) функция f достигает на К своих точных верхней и нижней границ. 106
Теорема 19 (Кантора). Всякая непрерывная функция f, определенная на компакте К, равномерно непрерывна на нем, т. е. для любого е > 0 можно найти такое б > 0, что из р (х, у) < б (х, у £ К) следует \ f (х) — f (у) \ < &. 10. Принцип сжимающих отображений. Пусть X — метрическое пространство, й А — некоторое отображение пространства X в себя. Оно называется сжимающим, если существует такое число а <. 1. что для любых двух точек х, у £ X выполняется неравенство р (Ах, Ay) ^ ар (х, у). Теорема 20 (принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве X, имеет одну и только одну неподвижную точку х* (т. е. уравнение Ах = х имеет одно и только одно решение х*). Неподвижная точка х* может быть найдена как предел последовательности (хя), определяемой рекуррентным соотношением хп =Апхй, где ха — произвольная фиксированная точка на X, причем для л-го приближения хп справедлива оценка Р (хп, **) < ——— р (ха, Ах0) (п = 1. 2. ...). Принцип сжимающих отображений, доказанный впервые С. Банахом, имеет многочисленные приложения. Рассмотрим некоторые из них. л Теорема 21. Если матрица (at/)",=l такова, что ^] | aJ;. | < У для всех i, то система уравнений п if — 52 alfel = bO ' = 1. 2, ... , я, имеет единственное решение. Это утверждение является простым следствием теоремы 20, примененной к отображению А пространства R" в себя (р0 (х, у) = max | %, —т]£ |; см. п, 6), опреде- [ п ляемому с помощью равенств А (££) = (r\t), где r\t = V а,-у|, + bt, i = 1, 2, ..., я. /=i Теорема 22. Пусть k (t, s) — действительная функция, определенная и ив- меримая в квадрате a^t, s ^b и такая, что Ь ь £ \&(U s) dtds< + оо. а а и пусть f (/) € L» [а; ft). Тогда интегральное уравнение ь * W = /(/) + A. j fttf. s)x(s) ds a имеет при каждом достаточно малом знамении параметра к единственное решение х (t) 6 L2 [a; b]. Это решение можнр найти с помощью метода последовательных приближений. Теорема 23 (П и к а р а). Пусть1 дано дифференциальное уравнение у' = f (х, у) с начальным условием у (хй) = ув, причем функция f определена и непрерывна в некоторой плоской области G, содержащей точку (ха, уй), и удовлетворяет условию Липшица по у I / (х. Уд — f(x,yi)\*£C\y1 — y2\ (С = const). Тогда на некотором сегменте \х — х„ | ^ d существует, и притом только одно, решение у = ф (х) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию. Эта теорема обобщается и на случай системы дифференциальных уравнений. Общая теория нирнчмкм пространств изложена в [16; 20; 26]. Iff
Примеры решения задач 1. Пусть X — произвольное множество, а отображение pt! X х X X -»- IR удовлетворяет условиям: 1) pt (х, у) = 0 о х = у (аксиома тождества); 2) Pi (х. у) <; Pi (х, г) + р! (у, г), V х, у, z g X (неравенство треугольника). Доказать, что функция pt определяет метрику в X. Решение. Пусть в условии 2) у = х. Тогда 2р! (х, г) > р! (х, х) = 0 (V х, z € X), ». е. функция рх неотрицательна. Из неравенства треугольника при г — х следует (с учетом аксиомы тождества), что Pi (х, у) >Pi(y, х). Поскольку последнее неравенство верно для любой пары элементов х, у € X, то справедливо и неравенство Pi (#>*)> Pi (*>!/)> ». с. Pi (*, у) = Pi (#, *). Утверждение доказано. 2. Проверить, что пространство Ац всех однозначных и аналитических в круге | г | < /? (О < # ^ оо) функций с расстоянием о» max | х (г) — у (г) \ Р (X, у) - 2j 2ft • i+ „их \Х(г)-у(г)\ ' где rk — монотонно возрастающая к R последовательность положительных чисел, является метрическим. Решение. Аксиома тождества в этом случае равносильна тому, что max \ х (z) — у (z) | = О (V k ;> 0). Следовательно, из совпадения функций х (z) и у (г) на каждом замкнутом круге | г | jgC rk по теореме единственности для аналитических функций следует, что х (z) s= у (г) (Vz; \z\<R). Поскольку, далее, аксиома симметрии очевидна, то остановимся ва проверке аксиомы треугольника. Пусть х, у, и — произвольные элементы пространства А «. Так как в произвольной точке z; | z | < R \х(г)- у (z)|<|*(*)- и(2)| + |и(г)- у (г)\, то, очевидно, и max | х (г) — у (г) | ^ max | х (г) — и (г) | + max | и (z) — у (г) | И«'* \z\^rk [t\^rk при любом k ~^> 0. 1S8
Поскольку функция <p(f) = . монотонно возрастает для *>0 (ибо ф' (f) = (1 . „4 > 0), то при любом k^ 0 max | х (г) — у (г) | max | х (г) — и (г) | + max | и (г) — у (г) \ 1 + max \х(г) — у (г) | ^- 1 + max | х (г) — и (г) | + max | и (г) — у (г) \ max |х (г) — и (г) | max \и(г) —у (г) | ** 1 + max | * (г) — и (*) | "*" 1 + max | и (г) — у (г) | " Поэтому р (х, у) < р (д:, и) + р (и, «/). 3. Пусть / — непрерывно дифференцируемая на IR+ = {х g Ц i I д: > 0} функция, удовлетворяющая условиям: а) / (0) = 0 и / (д:) ;> 0 для х > 0; б) / (л:) не убывает при д: ^ 0; в) '-^ не возрастает при х >■ >■ 0. Доказать, что функция р (д:, у) = / (| х — у \) определяет метрику в ]R. Решение. Выполнение двух первых аксиом метрики очевидно. Для проверки аксиомы треугольника в силу условия б) достаточно показать, что для произвольных а ;> Ъ > 0 (случай Ь = 0 тривиален) выполняется неравенство / {а + Ь) ^ / (а) + / (Ь). С этой целью положим <р(а, &) = /(а) +/(&)- f(a+ b)= f(b)-[f (a + b)-f(a)] и покажем, что <р (a, b) ^ 0. Воспользуемся для этого теоремой Лаг- ранжа о конечных приращениях для функции / (д:) на отрезке [а; а + + Ы: f(a + b)-f(a)=bf'(l), a<l<a + b. Поэтому Ф(a, b) = f(b)-bf'(l). Поскольку по условию в) дифференцируемая при х > 0 функция '( не возрастает, то ( 1 ^0, т. е. xf(x)-f(x) <Q f ix\ Отсюда следует неравенство /' (х) ^ ' (д:>0), и поэтому Ф(а, b)>f(b)-b-Lf-. Поскольку в<|, то, в силу условия в), } ^ ■ Значит, 199
Используя еще раз условие в), приходим к неравенству af (Ь) — bf (а) > О (так как а ^ Ь) и тем самым к тому, что <р (a, b) ^ 0. Замечание. Условия а) — в) выполняются, например, для функции / (х) ■ •■ arctg х и поэтому формулой Р (*> У) = arctg | х — у | определяется метрика в R. 4. Пусть X — множество всех алгебраических многочленов степе ни п на отрезке [0; 1], и если P(t)=t a/, a Q(f) = t P/i *=о *=о та p1(^,Q) = max|/'(0-Q(0|, <€[0;11 Доказать, что эти две метрики топологически эквивалентны. Решение. Пусть Тогда Pl(/>, Q) = max |g(0|<S |T*| = р,(Л Q). <e[o;i] *=ю Возьмем теперь на отрезке [0; 1] точки *0 •< tt <; ... < tf„ и рассмотрим систему п -f 1 уравнений с п -f- 1 неизвестными Е Vkt$ = g(td (i = o, 1 п>. fc=0 Определитель этой системы (определитель Вандермонда) отличен п •т нуля и поэтому Y*=S Ckig(ti) (k = 0, 1 п), где числа с*< зависят от выбранных точек t{, но не зависят от полинома g (t). Поэтому Р,(Л0)=1!Ы<Х1 t\cu\-Pi(P,Q) и утверждение доказано. 5. Доказать, что в произвольном метрическом пространстве В (х0, г) cz В [хв, г]. Привести примеры метрических пространств, в которых В (х0, г) =Ф В [х0, г]. 200
Решение. Пусть х £ В (x0t г). Тогда х = lim xnt где хп £ В (х0, г), п-*оо и Р (х, х0) < р (х, хп) + р (.*„, х0) < р (х, хп) + г. Переходя здесь к пределу при п -»- во, получаем, что р (х, х0) <! г, т. е. что х £ В [х0, г]. Приведем пример метрического пространства, в котором В (х0, г) Ф В [х0, г]. Пусть X — произвольное множество, содержащее более одной точки, и (X, р) — метрическое пространство (см. п. 6) с метрикой ГО, х=у, Тогда для произвольной точки *0 g X имеем В (х0, 1) = В (х0, 1) = «= {х0), а В [х0, I] = X. Следовательно, В (х0, 1) Ф В [х„, 1]. Для многих классических пространств, рассмотренных в п. 6, равенство В (х0, г) = В [х0, г] справедливо. Проверим его для пространства С [а; Ь]. Пусть х$В[х9, г] и хпЩ =(l y)x(fj + -^x0(f). Так как 9 (*». JO = max | xQ (Q — хп (f) | < г 11 — —) < г при каждом фиксированном n € (¾). то последовательность (х„ (ф принадлежит В (х0, г). Кроме того, она, очевидно, равномерно на fa; b) стремится к х (/). Значит, х £ В (х0, г) и В [х0, г] с: В (х0, г). Учитывая доказанное ранее включение В (х0, г) с. В [х0, г], приходим к выводу, что в пространстве С [а; Ь] искомое соотношение действительно справедливо. 6. Построить метрическое пространство (X, р) и в нем замкнутые шары Вх lxlt гг] и В2 [х2, г2] так, что Вх с: В2, а тх > г2. Решение. Пусть (X, р) — метрическое пространство, состоящее из всех точек (х, у) круга х* + у2 < 9, с обычной евклидовой метрикой. Положим В2 s X, а fli = S2n {(*, у): (х - 2)2 + У% < 16). Тогда Bi cz В2, /"i = 4, г2 = 3 и тх > г2. 7. Доказать, что множество £ всех непрерывных на отрезке [0; 1] функций, удовлетворяющих неравенствам А < х (t) < В (А, В — фиксированные числа), является открытым множеством. Решение. Пусть х (t) £ Е. Положим a = inf х (f), f> = sup x (t). 'e[0;il i€[o:i] Ясно, что a > А, ибо в противном случае (т. е. при a = А) нашлась бы по теореме Вейерштрасса такая точШ /0 £ [0; 1], для которой х (t0) = a = А, что невозможно (по определению множества Е). Аналогично доказывается неравенство Р < В. Пусть е = min (a — А, В — 0). Тогда каждая функция Y (0. удовлетворяющая неравенствам х (0 — е < у (0 < х (0 + е (V < £ % [0; П), принадлежит множеству £. Совокупность таких функций f (i) образует е-окрестность функции х (i): р (х, у) < е. Значит, каж- 201
дая функция х (f) принадлежит множеству Е вместе с некоторой своей окрестностью и, тем самым, Е — открытое множество. 8. 1) Доказать, что для произвольных множеств М и N в метрическом пространстве X р (М, N) = inf р (х, N) = inf р (М, у). *€М yeN 2) Построить пример непустых и непересекающихся замкнутых множеств, расстояние между которыми равно нулю. Решение. 1) Покажем сперва, что для произвольной ограниченной снизу функции /, определенной на произведении М х N = {(х, у): : х £ ?А, у £ N} произвольных множеств М и N, справедливо соотношение inf / (дс, У) = inf (inf f(x, у)) = inf (inf f(x, у)). *ем хе1л j/£N yeN *ем yeN Действительно, поскольку inf f (х, у) <; inf f(x, у) для произволь- *ем yeN yeN ного х£ М, то inf f(x, у) <; inf (inf f(x, у)). yeN » Далее, для каждого е>0 существует пара (хг, уе) такая, что / (*е. Уе) < inf / (х, у) + б. Так как y€N inf (inf f (x, у)) ^ inf f (xt, y) < f (xe, yB), *ем yeN yeN те inf (inf f(x, y)) <! inf f(x, у) +e. Отсюда, ввиду произвольности з, х£1Л i/eN х€М yeN получаем, что ini(inif(x,y))^\nif(x,y) *€М y€N ж€М уеы н (с учетом предыдущего) inf (inf / (jt, (/)) = rnif(x,y). *ем yeN *£M yeN Аналогично доказывается и соотношение inf (inf f(x, у)) = inif(x,y). y£N x£M. *ем yeN Для получения утверждения рассматриваемого примера достаточна положить / (х, у) = р (х, у). 2) На плоскости IR8 рассмотрим замкнутые множества М = = {(х, Jf):j/ = 0)HN = {(х, у) : ху = 1}. Для них М fl N = 0, но в то же время р (М, N) = 0. £02
9. Через Сг [0; 2] обозначим пространство всех непрерывных на lOi 2] функций с метрикой, определяемой функцией 2 P{x,y) = l\x{fi-y®\dt. о Доказать, что Сх [0; 2] не является полным пространством. Решение. Пусть Ф„(0 = 1. 0</<1-^-, я(1 —0, 1 £-<*<!, 0, l<t<2. Покажем, что последовательность (ф„ (0) фундаментальна в Ct [0; 2] (очевидно, что ф„ (f) £ Ct (0; 2] при каждом п £ ЭД), но она не сходится в этом пространстве. Действительно, если, например, п~> т, то I —. Р(ф»>Фш)- \ [i-m{i-t)]dt + (n-m) J (1-0Л. m /t — т ^. 1 2д/и ^* Ьп Поэтому вообще р(ф„, Ф,пХ 2тЫ(п, т) ' 0ТКУда следует фундаментальность рассматриваемой последовательности. Пусть теперь/ — произвольная функция из Ci Ю; 2], л — *W = 1, 0<*<1, Воспользуемся очевидными неравенствами 2 12 0 0 0 (левое неравенство — следствие непрерывности функции / на [0; 2]). 2 Так как ] | ф„ (*) — i|) (*) | df =-* *" ° ПРИ п "*" ов> то величина о 2 J 1/(0 — Фп(01^> совпадающая с р(ф„,/), стремиться к нулю прн п ->- оо не может ни для одной функции / £ Ci Ю; 2]. Утверждение доказано. 90s
10. Является ли сходящейся в метрическом пространстве X после довательность точек х„ = (l\n>, gf lkn\ ...), если! а) Х=/1) хп =[± 4"' °' °> -)'• б) х=/4, *„=(4- 4-- °> °> •••)» п* в) х=/8> *„=(1,4-.«., 4-' °> °> •••)' Решение, а) То, что хп £ /х при каждом п g j^, очевидно. Однако последовательность (хп) не является сходящейся в пространстве llt ибо она не является фундаментальной. Действительно, при всех п g Щ п 7а Р(Х„, Х2п) = Ц 4" W + S 4" ™ L А=1 *=я+1 б) Последовательность (хп) также не фундаментальна (в /2), так как нетрудно проверить, что р2 (хп, х2п) = 1 (V п £ Rj). в) В этом случае п+р м р*(х„, xn+f)= £ -4-< 2 -i--*"0 при и -»- оо и для всех р £ j^. Значит, последовательность (хп) фундаментальна и, в силу полнеты пространства /3. она сходится в этом пространстве. 11. Пусть па — множество всех таких числовых последовательностей x=(lv £,, ...), что sup (ая(£„|)<+ оо (здесь а = (а„) - фик- п сированная последовательность положительных чисел), а р = (ft,) — такая последовательность положительных чисел, что величина L = sup |—2s_) конечна. Определим метрику в па соотношением р(х, #) = sup(p\,||„ — Т)„|). п Доказать, что пространство па является полным. Решение. Пусть хк = (££') — некоторая фундаментальная в пл последовательность, т. е. для любого е > 0 существует номер п0 такой, что " р(хк, хт) = sup (ft,11? - ST I) = L sup (a„| £<,*>- |Г |)<8 n n при всех k, /л > /¾. Отсюда следует, что a„ | gj,ft) — $,"" | < -£- (k, /п^л„) при каждом фиксированном п£№> т. «. последователь- 204
ность (|(„m))~=i фундаментальна в К. Значит (на основании критерия Коши), существует уп = lim £„"". Покажем, что последовательность у = (уп) принадлежит па. С этой целью в неравенствах а,,/!*1' — £лт)|<-г- перейдем к пределу при т -»- оо (при фиксированных п^и*> л0): Тогда «я I Y» I «£ «„ I En J~ Уп I + ап| £*Ч| < -г + SUP «« I ЕЙ"' !-*».< + «•, т. е.y € па. Кроме того, лри£ ;> п0 р(*ь Y) - sup р„| Й*> - т„| = sup (-&- • а„| Е?»- Y«|) <i ■ -J- - «. т. е. р (xk, у) ->- 0 при * -»- оо. 12. Показать, что пространство С0" (0; 1] всех непрерывно дифференцируемых на [0; 1] функций с метрикой р(х,у)= max \x(f)~ у (f)\ <€[0;l] не является полным. Решение- Первый способ. Рассмотрим функцию Вейершт- расса /(0= f akcos(b"nf), 3 где 0 <а< 1, a ft — целое нечетное число, причем ab > 1 + -к- я. Из курса математического анализа известно, что / непрерывна на (0; 1 ] (как сумма равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций), но ни в одной точке отрезка [0; 1] она не имеет производной. Это означает, что последовательность частных сумм этого ряда (непрерывных функций с непрерывными производными) сходится равномерно и поэтому является фундаментальной в пространстве Со" Ю' И, но не имеет в нем предела. Второй способ. Пространство Со' [0; 1 ] не полно, ибо в против- ном случае оно было бы замкнутым в С [0; 1]. Но поскольку Со" [0; 1] = С (0; 1] (см. п. 6, пример 7), а С0" [0; 1] ф С [0; 1], то сделанное предполбжение неправильно. 13. Доказать полноту пространства А^. Решение. Пусть (хп (г)) — некоторая фундаментальная в AR последовательность функций, т. е. для всякого е > 0существует п0 такое, Что при всех п, т~^ п0 оо max | хп (г) — хт (г) | Кхп> XJ — 2_. ок • , , тах i х ,г) _ х (z) | <. «• о* 1 + та* | хп (г) — хт (г) \ MS
Отсюда следует, что последовательность (х„ (г)) равномерно сходится на каждом круге | z | ^ rk (так как она удовлетворяет условиям критерия Коши). То, что предельная функция х (z) аналитична в каждом круге | z | ^ rk и не зависит от k, следует соответственно из теоремы Вейерштрасса и теоремы единственности для аналитических функций, а соотношение lim р (хп, х) = 0 получается путем почленного перехода «-»00 к пределу под знаком суммы ряда оо max | хп (г) — д: (z) | 9Кхя,х)- ^j • , max \Xn(2)_x(z)] (ввиду его равномерной сходимости по п). Утверждение доказано. 14. Показать, что пространство С[—1; 1] является пополнением пространства Р заданных на [—1; 1] алгебраических многочленов п Р (0 = X ак* с метрикой p(p,q)= max | р (t) — q (t) \. <e[-i:i] Решение. Рассмотрим последовательность полиномов Ее предел, функция е', не принадлежит Р, т. е. Р не является полным пространством. Однако из аппроксимационной теоремы Вейерштрасса следует, что пространство Р всюду плотно в полном пространстве С [—1; 1]. Значит, С [—1; 1] можно рассматривать как пополнение пространства Р. 15. Рассмотрим пространство 1°р, состоящее из всех финитных последовательностей, т. е. из последовательностей • х = (Si, Ъ2 Ь„ 0, 0, ...), гдеА^ — некоторое натуральное число, и положим р(*> */) = (£ №c-r\t\p+ £' КГ)". если у = (т|х, Л» л*,> О, 0, ...) и k2 I> kx. Найти пополнение t°. Решение. То, что 1% cz lp, очевидно. Однако это подпространство не является полным, так как, например, последовательность хх = (1, 0,0, ...), ^ = (1,^-,0,0, ...) *л = (1,-5- ^г.о, 0,0,...), ... фундаментальна _i_ при т. п -v оо (т < л), но предела в пространстве f„ не имеет. «06
Действительно, если%0 = (£х, |2 £*„ 0, 0, ...) ^ /° и р (хп, х0) О при п -*■ оо, то из соотношения 1 р (*«. *о) = (2 ^ —А-| + 2 ^, (записанного для больших п) мы пришли бы к абсурдному заключению IZ 2 is—о- Обозначим пополнение пространства 1% через X. Поскольку, очевидно, 1р лежит плотно в полном пространстве 1Р, то X изометрич- но 1Р. 16. а) Введем в пространстве IR ограниченную метрику р (х, у) = ~ 1 ?\~_ и положим Fn = In; + оо), п = 1, 2 Тогда каж- оо дое множество Fn ограничено и замкнуто, a f) ?п = Ф- л=1 Подобный пример невозможен в конечномерном евклидовом пространстве с обычной евклидовой метрикой, поскольку там всякая убывающая последовательность непустых компактных множеств имеет непустое пересечение. б) Рассмотрим пространство (ЭД, р) натуральных чисел с метрикой ( 1 + — р(т,п)=\ т + п [О, т = п, и пусть Вп = \т : р(т, п) < 1 -f -gj-}33 {п, п+1, ...} для п = = 1,2 Тогда (Вп) — последовательность непустых замкнутых шаров с пустым пересечением в полном метрическом пространстве Щ, р). Полнота пространства (|^, р) следует из того, что в нем каждая фундаментальная последовательность (хп) является «почти постоянной», т. е. хп = хт для всех достаточно больших пит. Этот пример представляет интерес в связи с теоремой Бэра, эквивалентной тому, что пересечение счетного множества открытых всюду плотных множеств в полном метрическом пространстве всюду плотно. При доказательстве этой теоремы строится убывающая последовательность замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, а потому она имеет непустое пересечение. Таким образом, если шары уменьшаются, то они должны иметь общую точку. В противном случае такая точка может и не существовать. 17. 1) Пусть М — множество непрерывных на [0; 1] функций таких, что | х (t) J ^ 1 (t £ [0; 1]). Доказать, что М не является относительно компактным множеством в С [0; 1]. 2) Доказать, что множество М' непрерывно дифференцируемых на [0; 1] функций, для которых | х' (О I <! 1 У € 10; И) и х (0) = а, относительно компактно в СЮ; 207
1]. 3) Пусть М0 — множество всех непрерывных на (0; 1] функций, удовлетворяющих условиям: \ х (t) |<; 1 (t £ [0; \]),х (0) = 0и% (1) = = 1. Является ли оно компактным? Решение. 1) Очевидно, функции x„(t) = sin 2nnt (п = 1, 2, ...) принадлежат множеству М, а последовательность (хя (/)) не сходится в С [0; 1], ибо при k > п р (*„, %,) = tsup | %„ (/) - xk (t) I > |*„ (-~-) - *t (-JL-) I = 1. 2) Представим произвольную функцию x (t) £ M'в виде t x (t) = a + j %' (x) dx. о Отсюда следует, что | x (/) | <! | a | + 1. Кроме тпго, l*ft)-*WI = <K-/ll- J *' (т) dx (, Полученные неравенства убеждают нас в том, что функцни множества М' равномерно ограничены и равностепенно непрерывны. Далее остается воспользоваться теоремой Арцела. 3) Рассмотрим функцию / : С [0; 1] -»- IR, полагав 1 f(x) = $x*(f)dt (Ух£С[0; 1]). о Заметим, что / (х) ^ 0 при всех х £ С [0; 1]. Предположим, далее, что М0 — компактное множество. Тогда по теореме Вейерштрасса существует такой элемент хй, х0 £ М0, что f (х0) — минимальное значение f на Mo. Положим хп (t) = f (t £ [0; 1], n £ Щ). Поскольку x„ £ M0 (n £ € Ш, f (**) = 2n+'i ""*" ° (при n ~+ °°*' T0' очевиДно. f (*o) = 0> т. e. I f x\ (0 dt = 0, а, значит, x0 (t) s 0. Но эта функция множеству Me не принадлежит. Следовательно, данное .множество М0 не является компактным. 18. Доказать, что параллелепипед П = !х = (£„) £ lt: ||„ | ^——1 является относительно компактным множеством в 1г. Решение- Покажем, что П — вполне ограниченное множество, т. е. для любого е > 0 для П существует конечная е-сеть. Пусть е > 0 задано. Выбрав и зафиксировав п так, чтобы выполня- 1 8 лось неравенство —— < -у, каждой точке х = (£„) £ П сопоставим точку х° = (li £„, 0, 0, ...) £ П. Тогда '**-(xaF*(l*F-w<-±-<+. toe
Поскольку множество П0 всех точек х° из П вполне ограничено (как ограниченное множество в л-мерном пространстве), то для П0 существует конечная -^--аеть. Она будет и конечной е-сетьюдля П. * 19. Доказать.что множество R всех многочленов всюду плотно в пространстве С(*} [а; Ь\ всех k раз непрерывно дифференцируемых функций с метрикой р (%,#) = £ шм|*<'>Ю-0«>(<)|. Решение. Доказательство проведем индукцией по k. Пусть k = 0. Покажем всюду плотность R в С*0* [а; Ь\ ж С [а; Ь\. Для этого достаточно проверить, что произвольный открытый шар В (%0, в) содержит элемент из R. Но это утверждение является следствием из аппроксима- ционной теоремы Вейерштрасса. Пусть R всюду плотно в С**-1* [а; Ь]. Вожьмем произвольную функцию х0 из С* [а; ft]. Тогда *е £ С**-0 [а; Я и, согласно допущению, существует мвогочлен р (f) такой, что Р<*-1Ч«*] <*• Р) = °J" I ** W — Р (01 + + max |д£ (*)-/>'(01 + •■• + max |xf (Q-/-'>(01< 6_}.щ • t Пусть />! (*) = х0 (а) + ) Р (т) dx. Тогда а ' t ' *о (0 — *о (а) — f Р (t) dx PcWteM (*о. Pi) = max J <е[а;4] + „(*> /л „<*-•> , + max ]x0(f) -p (t)\+ ... +тах|л;^(0-р( 'ЙИ ^ max j (*o (т) — p (t)) dx + 6 —a+ 1 (b — a) e <(6-а)ти1*о(т)-р(т)|+ fr__°+1 < b_aal\ +r^+TBt Следовательно, # =*= С**' [а; ft]. 20. Пусть n0 — фиксированное натуральное число и L„, = [х = -= (In) € 4 : In = 0 при п > п0}- Доказать, что множество L„„ нигде не плотно в /8. Решение. Покажем, что произвольный шар В (%<0>, г) в /2 содержит в себе другой шар, в котором нет точек множества L„t. Действительно, если в шаре В (xf°>, г) нет точек из Ln>, то доказательство на этом завершается. Если хР> = (£,\\ ..., |„0\ 0, ...) £ L„0 и *<'> £ В (дДО, г), то число тх = р (д^0), *<'>) такое, что гх < г. Возьмем 0 < е < г — ГхИ рассмотрим шар В (х^К е). Ясно, что В (xV\ е) с 209
<= В (х°, г), так как для всех х £ В (%<'), е) р (х, %<°>) < р (х, x<'>) + + р (*<'>, %<°>) < е + гг = г. Рассмотрим теперь точку х<2) —ш^ —• ^o'-j- .0,0,...). Очевидно, что х<2) £ L„0 и В (х<2\ ~) cz В (*<'>, е) с: В (%<0>, г), так как для произвольного х6В(х<2>, -|) имеем р(*, %<») <р(*, %<2>) + р(х<2>, %<'>)<-J- + -| = -= -т-е< е (следует учесть, чтор (*<2), *(I)) = -g" )■ Кроме того, в шаре ^(*<2>>~|~) нет точек из множества L„0, поскольку для произвольного х=(11, |2, ..., £„,, 0, ...)££п0 p(^^)=(xi^-^i2+4)2>^->t-- Значит, множество L„e действительно нигде не плотно в 12. 21. Доказать, что: 1) пространство s всех числовых последовательностей с метрикой р(*, у) = sup . I ? Г~ , не является сепа- рабельным метрическим пространством; 2) пространство s с метрикой оо Р (*>{/)= X ^Г • li^T-li сепарабельно. л=1 1 + |Ь.-л«1 Решение. 1) Рассмотрим множество £0,i последовательностей л; = = (li> I2. -■•). элементы которых равны 0 или 1. Это множество мощности континуум, так как между точками множества Е01 и точками отрезка [0; 1] существует, как известно, взаимно однозначное соответствие. Поскольку при х Ф у р (х, у) = -£- (х, у £ Е0,\), то отсюда следует, что приблизить каждый элемент из £0,i элементами счетного множества нельзя: множество шаров с центрами в точках множества г? 1 c0,i и радиусов -5- является множеством мощности континуума, причем эти шары не пересекаются. Если же некоторое множество В плотно в s, то каждый из построенных шаров должен содержать хотя бы одну точку из этого множества. Значит, В не может быть счетным. Из включения £0ji с: s следует, что s — несепарабельное пространство. 2) Пусть М — множество элементов (rv г2, ••., гп, 0, 0, ...), где /у—произвольные рациональные числа, а п — произвольное натуральное число. М — счетное множество. Покажем, что оно всюду плотно в s. Для этого возьмем произвольный элемент х = =* (in 5л ••'> £п> ■••)€$ и произвольное е>0. Пусть п такое, У —г ! ! 11 | < -j- • Возьмем элемент *° = (rlt rv ... что ..., /•„, 0, ...) таким, что £ ) %k — гк | < -у- (в силу плотности мно- »1« 4-1
жества рациональных точек в R). Тогда Значит, М = s. 22. Доказать, что если отображение А : X -»- X полного метрического пространства X в себя такое, что при некотором п £Щ его степень (п-я итерация) Ап является сжимающим отображением, то А имеет и притом единственную неподвижную точку. Решение, Пусть существует а : 0 < а < 1 такое, что р (Апх, Апу) ^ <[ ар (х, у). Тогда отображение Ап имеет единственную неподвижную точку х*: Апх* = х*. Покажем, что** является также единственным решением уравнения Ах = х. Действительно, р (**, Ах*) = р (А V, Ап (Ах*)) < ар (**, Ах*), откуда следует, что р (х*, Ах*) = 0, т. е. Ах* = х*. Если *! — другая неподвижная точка для А, то эта же точка неподвижна и для Ап. Поэтому р (х*, х{) = р (Апх*, Аак1) < ар (х*, хг). Значит, *i = х*. Пользуясь доказанным утверждением, проверяем, что уравнения о при каждом п g f^ имеют в пространствах С [0; а] лишь тривиальные решения. Действительно, определим отображение (оператор) А : С [0| а] ->- С [0; а] по формуле (Лф) (х) =« Г ф (f) d/. Для него о (ЛтФ) (х) = j (\~ТХ)Х Ф(0Л («€ И), о и поэтому при _2— <; 1 (р G И) оператор /4"* является сжимающим (рл)| отображением. Пусть ф0 (х) — неподвижная точка отображения А", т. е. решение данного уравнения. Из доказанного следует, что ф0 (х) является реше- нием и уравнения f ф (t) dt = ф (X). Отсюда ф g С0' [0; а], <р (0) =- 6 о и ф' (х) = ф (х). Значит, ф (х) ззз 0. 211
23. Пусть в полном метрическом пространстве X заданы два ежи- мающих отображения А и В, причем р (Ах, Ау) < а а? (х, у), р (Вх, By) < ав р (х, у). Доказать, что если при всех х £ X р (Ах, Вх) < е (такие отображения А и В называются е-близкими), то их неподвижные точки находятся на расстоянии, не превосходящем т-^;—>гдеа = max (аА, ав) < <1. Решение. Пусть х* — неподвижная точка отображения А. Неподвижную точку у* сжимающего отображения В построим как предел последовательности yk = Вкх* (k — 0, 1, ...). Тогда Р(**> Ук)<р(х*, Уд + р(У1> У2) + ••• +Р(Уь-1>УкХ <р(**, Вх*)(1 + ав + ••• +ав Х~Ч—~—-. откуда при k ->- се следует, что > n/v* ,,«)< Р(**. Д**) _.. р(Ах*,Вх*) 8 Замечание. Из доказанного утверждения вытекает известная теорема • непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения от начальны» условий: если уравнение у' = f (х, у) рассматривать на отрезке длиной меньш» -j- , где К— постоянная из условия Липшица для функции / (х, у) (т. е. |/ (х, yL) — К — / (*. Уь) I < К | У\ — Уг\ ). то Для всякого 8 > 0 из неравенства \уа — уг | < « следует S] ' У° (Х) ~ У1 (Х) ' ^ 1-К(*-«) (здесь через у.- (х) обозначено решение, удовлетворяющее начальному услови» У, (*о) = #/■/ = 0,1)- 24. Доказать, что последовательность (*„) цепных дробей 2, 2+—, 2 -| j—, ... 2+т является сходящейся, и найти ее предел. Решение. Поскольку последовательность (хп) определяется и ре- куррентно: xt = 2, хп — 2 + — (п ^ 2), то из соотношения *я—1 *„=2 + Ц (л>3) 2 + —i_ *л—2 5 5 5 и оценок JCi^-g-, *2 ^s~2" слеДУет> что хп ^.-^- (Vn^l). Кроме того, *„]>2 (п!> 1). Рассмотрим отображение f(x) =- 2 +— отрез- •12
ка 2; -я- в себя. Оно является сжимающим, так как 1 Р (/(*). fU/))=\f(v)-f(x)\ х < — \х—У\ =—Р(х,У)г и поэтому имеет единственную неподвижную точку х*, причем х* ■= = lim хп, где хп — f (хп-\) = 2 + — (п > 2), хх = 2. Решая урав- Л-»ао Л—1 нение дс* = 2 Н j- . находим, что jc* = 1 + ]^2. Это число и является пределом данной последовательности цепных дробей. 25. Пусть функция <р (s, и) двух вещественных переменных определена в полосе П = {(s, и) £ JR2 : a ^. s ^. b, — оо < и < +оо}, непрерывна в П и имеет непрерывную производную по и, удовлетворяющую условию: 0 < т <! у'и (s, ы) <!М < + °о ((а, ы) £ П). Доказать, что существует единственная непрерывная на la; Ь] функция и = х* (s), для которой ф (s, х* (s)) es 0 (s £ [а; Ы). Решение. В пространстве С [а; Ь] рассмотрим оператор А : Л* = 2 -«г/, y(s)=*x(s) м . m ф (s, * (s)) (s £ [а; 6]). Это оператор сжатия, ибо если у = Ах, у = .Л*, то, на основании теоремы Лагранжа о конечных приращениях, для любого s £ [a; Ь] *(<) — X(S)— M^.m [ф(Д, *(s)) — ф(8, x(s))] =» 2 М- -m \y(s)-y(s)\ = \x(s) — x(s)\ -|l — M + m <М*'8(Д))|< M + 'm ™*l*(s)—*(»)|> "» тЙ-< '■ Следовательно, оператор Л имеет в пространстве С [а; Ь] единственную неподвижную точку х*. Остается отметить, что соотношение х* ™ = Ах* равносильно соотношению ф (s, х* (s)) "ss 0 (s £ [fl"> ^1)- 26. Рассмотрим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений m=l Проверить, что". оо оо а) при выполнении условий a = sup £ | efm | < 1 и £ | а, | < + oa она имеет единственное решежие х* = (*i, *j, . . .) такое, что- б) если р = sup V | Gfm | < 1 и sup | а, | < +oo, то указанная сис- ' m=l ' тема имеет единственное решение ж* = (дс*( ^*,...) такое, что sup | я* | <С. 11»
Решение, а) В пространстве 1г с метрикой р(х, у) = ^ 1¾ — yt\ *—1 (здесь * =(**)> у—(уд) рассмотрим оператор Ах =у =*(уд, где */< = £ aimXm + at (i = 1, 2, .. .)• ffK=l Тогда для любого г = (zf) £ lt р(Ах, Лг) = J] i=i j a,-m*m + Oi — 2 flfmZ,, — Of m=l m=l 2 Ofm (*m — Zm) m—1 < S S l°"»11** — zmI<«P(*. 2)> m=l i=l т. e. A — сжимающее отображение