Текст
                    П. А. Бородин, А. М. Савчук, И. А. Шейпак
Задачи
по функциональному
анализу


МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет П. А . Бородин, А. М. Савчук, И. А . Шейпак Задачи по функциональному анализу Электронное издание Мocква Издательство МЦНМО 
УДК . ББК . Б Бородин П. А., Савчук А. М ., Шейпак И. А. Задачи по функциональному анализу Электронное издание М.: МЦНМО,   с. ISBN - --- Задачник содержит более  задач по в сем основным разде- лам функционального ана лиза, входящим в учебную программу ме- ханико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. По- чти все за дачи, в которых требуется что-то найти, снабжены ответа- ми, а некоторые из ос та льных з адач — указаниями и комментария- ми. Для студентов и аспирантов математических специальнос тей университетов. Подготовлено на основе книги: П. А . Бородин, А. М. Савчук, И. А . Шейпак. Задачи по функциональному анализу. — Новое изд. — М.: МЦНМО, . — ISBN - ---. Издательство Московского центра непрерывного математического образования , Москва, Большой Власьевский пер., , тел. () ––. http://www.mccme.ru ISBN ---- ©БородинП.А . ,СавчукА.М . , Шейпак И. А ., . ©МЦНМО,.
Оглавление Предисловие .................................  Списокпространств ............................  Глава.Метрическиепространства ................  §. . Основныепонятияисвойства................  § . . Последовательности в метрических пространствах. Полнота...............................  §. . Всюдуплотныемножества.ТеоремаБэра ........  §. . Отображенияметрическихпространств .........  §. . Теоремаонеподвижнойточке................  Глава.Нормированныепространства .............  § .. Основные понятия и свойства. Примеры нормиро- ванныхпространств.......................  § . . Множества и последовательности в нормированных пространствах.Подпространства ..............  §. . Банаховыпространства....................  § .. Конструкции банаховых пространств. Прямые сум- мыподпространств .......................  §. . Сепарабельностьнормированныхпространств ....  Глава.Гильбертовыпространства................  § .. Основные понятия и свойства. Примеры евклидовых игильбертовыхпространств .................  §. . Множествавгильбертовыхпространствах .......  § .. Ортонормированные системы и базисы в гильберто- выхпространствах........................  Глава.Компактныемножества ..................  §. . Свойствакомпактныхмножеств ..............  § . . Компактные множества в конкретных нормирован- ныхпространствах .......................  Глава.Линейныенепрерывныефункционалы .......  §. . Основныесвойства.Вычислениенорм ..........  §. . ТеоремаХана—Банаха ....................  §. . Сопряжённыепространства .................  § .. Второе сопряжённое пространство. Рефлексивность . 
О г л а в л е н и е Глава.Линейныеоператоры....................  §. . Определенияиосновныепримерыоператоров.....  §. . Различныесвойстваоператоров ..............  §. . Операторывгильбертовыхпространствах .......  §. . Пространствооператоров ..................  § .. Дифференцирование в банаховых пространствах . . .  Глава . Теорема Банаха—Штейнгауза. Слабая сходимость векторов,функционаловиоператоров ...........  §. . ТеоремаБанаха—Штейнгауза ................  § . . Слабая сходимость: основные свойства. Критерии слабойсходимости .......................  §.. ∗ -слабая сходимость в сопряжённом пространстве . .  § .. Различные виды сходимости в пространстве операто- ров..................................  Глава.Сопряжённыеоператоры .................  § .. Сопряжённые операторы в банаховом пространстве .  § . . Сопряжённые операторы в гильбертовом простран- стве.Унитарныеинормальныеоператоры........  Глава.Обратныйоператор.....................  § .. Теорема Банаха об обратном операторе. Примеры . .  §. . Свойстваобратимыхоператоров..............  Глава.Базисы .............................  §. . Полныеиминимальныесистемывекторов ......  §. . БазисыШаудера ........................  §. . Базисывгильбертовыхпространствах .........  Глава . Компактные операторы и теория Фредгольма . .  §. . Общиесвойствакомпактныхоператоров........  § . . Компактные операторы в конкретных пространствах  § .. Компактные операторы в гильбертовых простран- ствах.................................  §. . ТеорияФредгольма ......................  §. . Интегральныеуравнения ..................  Глава . Основы спектральной теории ограниченных опе- ратороввбанаховыхпространствах .............  §. . Спектр ..............................  §. . Спектркомпактногооператора ..............  §. . ТеоремаГильберта—Шмидта ...............  §. . Основныетипыоператоровнапримерах........ 
Оглавление  Глава . Функциональное исчис ление и спектральная тео- рема ...................................  § .. Функциональное исчисление ограниченного опера- тора .................................  § . . Функциональное исчисление, построенное по само- сопряжённомуоператору ...................  § .. Спектральная теорема в терминах интеграла Лебе- га—Стилтьеса...........................  § .. Спектральная теорема в терминах оператора умно- жения................................  Глава . Топологические, линейные топологические и поли- нормированныепространства .................  §. . Топологическиепространства ...............  §. . Линейныетопологическиепространства........  § .. Локально выпуклые пространства как полинорми- рованныепространства ....................  § . . Слабая топология в нормированном пространстве .  §.. ∗ -слабая топология в сопряжённом пространстве . .  Глава . Пространства пробных (основных) функций . . .  Глава.Обобщенныефункции ..................  §. . Основныепонятия.......................  §. . Операциинадобобщённымифункциями .......  Глава.ПреобразованиеФурье ..................  §. . ПреобразованиеФурьеобычныхфункций .......  §. . ПреобразованиеФурьеобобщённыхфункций.....  Глава.Свёртка.............................  § .. Свёртка функций в L1( ) ..................  § . . Оператор свёртки в L2( )..................  §. . Свёрткаобобщённыхфункций ..............  Глава . Обобщённые функции нескольких переменных .  § .. Дополнительные операции над обобщёнными функ- циями................................  §. .Ф ундаментальныерешения ................  Ответы.....................................  Предметныйуказатель ..........................  Списоклитературы............................. 
Предисловие Эта книга возникла в результате работы авторов на механи- ко-математическом факультете Московского государственного уни- верситета имени М. В. Ломоносова. Первые два ее издания выхо- дили в издательстве «Попечительский совет механико-математиче- ского факультета» в  и  г. Курс функционального анализа изучается на механико-матема - тическом факультете в  и  семестрах (одна лекция и один семи- нар в неделю, в каждом семестре зачет и экзамен). За последние  лет ядро этого курса вполне сложилось, так что программы раз- ных лекторов отличаются лишь последовательностью тем из этого ядра и набором тех специальных тем, которые определяются их лич- ными предпочтениями. Имеется много учебников по функциональ- номуанализу, в том числе написанных лекторами мехмата, и все вместе эти учебники полностью покрывают потребности студентов в теоретическом освоении предмета. В то же время задачников по функциональному анализу сравни- тельно мало, и ни один из них не подходит для ведения семинарских занятий по мехматскомукурсу. Каждый преподаватель использует на семинарах и зачетах свой собственный, отработанный годами, список задач, лишь малую порцию которого студент может едино- временно увидеть на доске в виде домашнего задания или на сво- ем листке во время контрольной или зачета. В результате средний студент мехмата видит и решает сравнительно мало задач, слиш- ком зависит от своей семинарской тетради и получает представле- ние о функциональном анализе как об очень сложной и очень тео- ретической науке, представленной такими разными мастер-класса - ми преподавателей с кафедры теории функций и функционального анализа. Настоящий сборник задач (идея его написания принадлежит И. А . Шейпаку) имеет своей целью восполнить этот пробел. В нём представлены все основные темы мехматского курса функциональ- ного анализа в их наиболее традиционной последовательности, а также некоторые специальные темы. Каждая глава содержит сводку основных определений и теорем, необходимых для решения задач этой главы, а также примеры решений типовых «ремесленных» за- дач. Почти все задачи, в которых требуется что-то найти, снабжены
Предисловие  ответами, а некоторые из остальных задач — указаниями и коммен- тариями. Задачи, отмеченные кружочком, считаются базовыми для данной главы. Задачи, отмеченные звездочкой, являются сложными и, как правило, сопровождаются указаниями к решению. Нам не удалось избежать неравномерного распределения задач по главам: какие-то темы представлены лишь необходимым мини- мумом задач, а каким-то — в силу личных вкусов авторов — отве - дено номеров во много раз больше, чем может вместить реальный учебный процесс. Из более чем  задач сборника лишь несколько десятков придуманы нами, а остальные появились в результате со- бирания и обработки задач из различных источников, прежде все- го — из упоминавшихся личных списков преподавателей кафедры теории функций и функционального анализа механико-математи - ческого факультета. Мы глубоко благодарны всему коллективу преподавателей ка- федры, ныне покойномуруководителю кафедры академикуРАН П. Л . Ульяновуи нынешнемуруководителю академикуРАН Б. С. Ка- шинуза ценные советы и постоянное стимулирующее воздействие. Особенно мы благодарны В. В . Рыжикову, принимавшему участие в начальной стадии составления задачника, а также В. И. Богачеву, А.Н.Бахвалову, М.И.Дьяченко, А.Г .Костюченко, О.Г .Смолянову, В.М.Федорову, А.Я.Хелемскому и А.А.Шкаликову. Мы также бла- годарим студентов механико-математического факультета, способ- ствовавших поискуошибок и опечаток в рукописи. Кроме того, каждый из нас благодарен своей жене за терпение и полезные замечания. Работа первого автора поддержана грантом РФФИ (проект No --), второго и третьего авторов — грантом РФФИ (проект No - -). Авторы
Список пространств Метрические пространства Обозначение Описание и метрика discr( X ) дискретное метрическое пространство на множестве X ρ(x, y)= 1, еслиx=y, 0, еслиx=y натуральные числа, ρ(m, n) = |m − n| B0 бэровское нуль-пространство векторов x = (n1 , n2 ,...), где nk∈ , ρ(x , y) = 1/k,гдеk — первый из номеров, для которых ко- ордината nk последовательности x отлична от k-й коорди- наты последовательности y (ρ(x , x ):= 0) R подмножества отрезка [0, 1], состоящие из конечного числа полуинтервалов, ρ(X,Y)=μ(X Y), гдеμ n k=1 [ak, bk) = n k=1 (bk −ak) L[0, 1] факторклассы подмножеств отрезка [0, 1], измеримых по Лебегу(два множества X и Y принадлежат одномуфактор- классу, если μ∗(X Y)=0), ρ([X],[Y]) = μ ∗ (X Y), где X∈[X],Y∈[Y], а μ∗(A)= = inf ∞ k=1 (bk−ak):B= ∞ k=1 [ak, bk),B ⊃ A —внешняя мера множества A pӣ̄ p рациональные числа с p-адической метрикой ρp (здесь p — произвольное простое число) и пополнение этого простран- ства по метрике ρ p . Пополнение реализуется как ряды вида x= ∞ n=1 bnp n−N , bn∈{0,...,p−1}, ρp(x, y) =|x − y|p для x, y ∈ p;здесь|·|p — p -адический модуль числа: pk m np =p −k ,гдеmиnнеделятсянаp,k∈ ; |0|p := 0; ρp(x, y) = lim n→∞ |Sn(x) − Sn(y)|p для x, y ∈ ̄̄ p ,гдеSn —ча - стичные суммы рядов для чисел x и y
Список пространств  Нормированные пространства Обозначение Описание и норма lp(n) n-мерное пространство векторов x = {xk }n 1 снормой · p , xp= n k=1 |xk|p 1/p ,1 p<∞ l∞(n) n-мерное пространство векторов x = {xk }n 1 снормой · ∞ , x∞ = max 1kn |xk | c00 пространство финитных последовательностей, x =max k1 |xk| c0 пространство последовательностей x = {xk }∞ k=1 , сходящихся кнулю: lim k→∞ xk=0, x =max k1 |xk| c пространство последовательностей x = {xk}∞ k=1 ,и меющих предел, x =sup k1 |xk | lp пространство последовательностей x = {xk }∞ k=1 сусловием ∞ k=1 |xk|p<∞, где1 p<∞, x= ∞ k=1 |xk|p 1/p l∞ пространство ограниченных последовательностей x ={xk}∞ k=1 , x =sup k1 |xk | lp( ) пространство двусторонних последовательностей x = {xk}∞ k=−∞ сусловием ∞ k=−∞ |xk|p<∞,где1 p<∞, x= k∈ |xk|p 1/p Pn[a, b] пространство многочленов на отрезке [a, b]состепеньюне выше n, x =max t∈[a,b] |x(t)|
 Список пространств P[a, b] пространство всех многочленов на отрезке [a, b], x =max t∈[a,b] |x(t)| C[a, b] пространство непрерывных на отрезке [a, b] функций, x =max t∈[a,b] |x(t)| Cper [a, b] подпространство пространства C [a, b], состоящее из функ- ций, значения которых в точках a и b совпадают, x =max t∈[a,b] |x(t)| C() пространство непрерывных на окружности :={z∈ : |z| = 1} функций (изометрически изоморфно пространству Cper [0, 2π]), x =max |z|=1 |x(z)| Cn[a, b] пространство n раз непрерывно дифференцируемых на от- резке [a, b] функций, x1= n k=0 x (k) C[a,b], x 2 = max 0kn x (k) C[a,b] Cp[a, b] пространство непрерывных на отрезке [a, b] функций с нор- мой·Cp ,1 p<∞, xCp = b a |x(t)|p dt 1/p n Cp[a, b] пространство n раз непрерывно дифференцируемых на от- резке [a, b] функций с нормой · C n p ,1p<∞,n∈ , xCn p = n k=0 x(k) p Cp [a,b] 1/p BC( ) пространство непрерывных ограниченных на функций, x =sup t∈ |x(t)| C0( ) пространство непрерывных на функций, для которых lim |t|→∞ x(t)=0, x =max t∈ |x(t)| Lp(M,Σ,μ) пространство классов эквивалентных функций, суммируе- мых в p-йстепени,1 p<∞, x= M |x(t)|p dμ 1/p
Список пространств  L∞ (M , Σ, μ) пространство классов эквивалентных существенно ограни- ченных функций, x =esssup t∈M |x(t)| := inf μ( A)=0 sup M\A |x(t)| Lp[a, b] L p [a, b]:= L p ([a, b], μ), где μ — мера Лебега; пополнение пространства Cp[a, b]приp = ∞, x= b a |x(t)|p dt 1/p при1 p<∞, x=inf μ( A)=0 sup [a,b]\A |x(t)|приp=∞ n Wp [a, b] пополнение пространства n Cp[a,b],1 p<∞,n∈ , xWn p = n k=0 x(k) p Lp 1/p n ◦ WWp [a, b]{ x∈n Wp[a,b]:x(j)(a)=x(j)(b)=0,0 j<n},1 p<∞, n∈, x◦ WWn p =x Wn p BV [a, b] пространство функций ограниченной вариации, x =Varb a x+sup t∈[a,b] |x(t)| BV0[a, b] пространство функций ограниченной вариации, для кото- рых x(t − 0) = x(t)на(a, b)иx(a) = 0, x =Varb a x AC(D) пространство функций, голоморфных в ограниченной обла- сти D ⊂ и непрерывных в замыкании этой области ̄̄D , x AC=sup ξ∈ ̄̄D |x (ξ)|
 Список пространств Евклидовы пространства Обозначение Описание и скалярное произведение l2(n) n ,(x, y)= n k=1 xk ̄yk l2 последовательности x = {xk }∞ k=1 сусловием ∞ k=1 |xk|2 < ∞, (x,y)= ∞ k=1 xk ̄yk l2( ) двусторонние последовательности с условием ∞ k= −∞ |xk|2 < ∞ (x,y)= k∈ xk ̄yk C2[a, b] непрерывные на [a, b] функции, (x , y) = b a x (t)y(t) dt Cn 2[a,b] n раз непрерывно дифференцируемые на [a, b]функциис нормой · C n 2 , (x,y)= n k=0 b a x (k)(t)y(k)(t) dt L2(M,Σ,μ) пространство классов эквивалентных функций, суммируе- мых во второй степени, (x,y)= M x (t)y(t)dμ Wn 2 [a,b] пополнение пространства C n 2 [a, b], (x, y)Wn 2 = n k=0 b a x(k)(t)y(k)(t) dμ ◦ WWn 2 [a, b]{ x∈Wn 2 [a,b]:x(j)(a)=x(j)(b)=0,0 j<n}, (x,y)◦ WWn 2 = (x, y)Wn 2 AL2(|z| < 1) функции, голоморфные в круге |z| < 1 и такие, что | f (z)|2 dx dy < ∞(пространствоБергмана), (f,g)= f(z)g(z)dxdy
Список пространств  Полинормированные пространства Обозначение Описание и система полунорм s счётно-нормированное пространство всех последователь- ностей x = {xk}∞ k=1 с покоординатной сходимостью, pk(x) =|xk|, k ∈ l∞ 2 полинормированное (счётно-гильбертово) пространство быстро убывающих последовательностей x = (x1 , x 2 ,...): ∞ k=1 kn|xk|2 <∞, n =0,1,2,..., система полунорм определяется скалярными произведени- ями: pn(x)= (x,x)n,(x, y)n = ∞ k=1 knxk ̄yk, n =0,1,2,... C∞[a, b] счётно-нормированное пространство бесконечно диф- ференцируемых функций со сходимостью xn → x ⇔ ⇔ x(k) n ⇒ [a,b] x (k) для любого k 0, pk(x) = max [a,b] |x (k)(t)|, k 0 A(D) функции, голоморфные в области D ⊂ со сходимостью fn→f⇔fn⇒ z∈K f для всякого компакта K ⊂ D, pK(f)=sup z∈K |f(z)| Ce[0, 1], Ce( ) непрерывные на [0, 1] (на ) функции с поточечной сходи- мостью, pt(x) =|x(t)|, t ∈ [0,1] (соответственно t ∈ ) C() счётно-нормированное пространство непрерывных на функций со сходимостью xn → x ⇔ xn ⇒ [−A,A] x для любого A>0, pk(x) = sup |t|<k |x(t)|, k ∈ E счётно-нормированное пространство бесконечно диффе- ренцируемых функций со сходимостью xn → x ⇔ x (k) n ⇒ [a,b] ⇒ [a,b] x (k) для любого k 0идлялюбогоотрезка[a, b] ⊂ , pN,k(x) = max t∈[−N ,N] max 0jk |x(k)(t)|, k 0, N ∈ S счётно-нормированное пространство бесконечно диффе- ренцируемых быстро убывающих функций (пространство Шварца): sup t∈ |xk(t)|(1+ |t|)n < ∞ для любых k, n 0, pn,k(f):=sup t∈ |tnx(k)(t)|, n =0,1,2,..., k =0,1,2, ...
 Список пространств D пространство бесконечно дифференцируемых финитных функций, где сходимость определяется так: xn → x ⇔ все носители supp xn иsuppx принадлежат одномуотрезкуI и при каждом k = 0, 1, 2, ... производные x (k) n равномерно на I сходятся к x (k), система полунорм P состоит из всех допустимых по- лунорм: p ∈ P ⇔ для всякого N существуют постоян- ная C > 0ицелоеn 0такие,чтодлялюбогоx ∈ D с носителем supp x ⊂ [−N , N ] выполняется неравенство p(x) C · pN,n(x) E пространство обобщённых функций с компактным носите- лем — сопряжённое пространство к пространству E , pφ(F) = |〈F, φ〉|,гдеφ ∈ E S пространство обобщённых функций умеренного роста — сопряжённое пространство к пространству S , pφ(F) = |〈F, φ〉|,гдеφ ∈ S D пространство обобщённых функций — сопряжённое про- странство к пространству D, pφ(F) = |〈F, φ〉|,гдеφ ∈ D
Глава  Метрические пространства § .. Основные понятия и свойс тва Определение .. Пара (X, ρ), где X —множество, а ρ( · , · )— отображение X × X в (метрика), называется метрическим про- странством, если выполнены аксиомы метрики: ()ρ(x,y) 0длялюбых x,y∈X,причёмρ(x, y)=0⇔ x= y; ()ρ(x,y)=ρ(y,x)длялюбых x, y∈X; ()ρ(x,z) ρ(x, y)+ρ(y,z)для любых x, y,z ∈ X (неравенство треугольника). Определение . . Отображение f : X → Y метрического про- странства ( X , ρ) в метрическое пространство (Y , d) называется изометричным вложением, если оно сохраняет расстояния, т. е. ρ(x, y)=d(f(x),f(y))для любых x, y ∈ X; изометрией,если f — изометричное вложение и биекция.1) Определение .. Пространства X и Y называются изометрич- ными, если существует изометрия f : X → Y . Изометричные пространства являются, по сути, одним и тем же объектом: с точки зрения общей теории метрических пространств их можно не различать. Определение . . Открытым шаром B(a, r )вметрическомпро- странстве X сцентромвточкеa ∈ X радиуса r > 0 называется мно- жество B(a, r) = {x ∈ X : ρ(x, a) < r}. Замкнутым шаром ̄̄B(a, r)в метрическом пространстве X сцентромвточкеa ∈ X радиуса r > 0 называется множество ̄̄B(a, r) ={x ∈ X : ρ(x, a) r}. Определение . . Пусть X — метрическое пространство, A — множество в X . Точка x ∈ X называется внутренней точкой множества A, если существует r > 0такое, что B(x,r)⊂A; внешней точкой множества A, если существует r > 0такое,что B(x,r)⊂X\A; 1) Легко видеть, что любое изометричное в ложение инъективно, так что биек тив- нос ть здесь эквива лентна сюръек тивности.
 Глава . Метрические пространства предельной точкой множества A, если для любого r > 0вшаре B(x , r) найдётся бесконечно много различных точек множества A; граничной точкой множества A, если для любого r > 0вшаре B(x , r) найдутся как точки множества A, так и точки множества X\A. Совокупность внутренних точек множества A называют внут- ренностью,асовокупностьграничныхточек—границей множе- ства A. Определение .. Замыканием ̄̄A множества A вметрическом пространстве X называется множество ̄ ̄ A ={x ∈ X :либоx ∈ A,либоx — предельная точка A}. Определение .. Множество A в метрическом пространстве X называется открытым, если все его точки — внутренние. Множе- ство A в метрическом пространстве X называется замкнутым,если X \ A открыто или (эквивалентное определение) если ̄̄A = A. Так, например, в любом метрическом пространстве любой от- крытый шар есть открытое множество, а любой замкнутый шар есть замкнутое множество (это следует из неравенства треугольника — проверьте). Задачи .. Проверить аксиомы метрики в следующих пространствах (см. список пространств): а)◦ discr( X ); б)◦ ;в) ◦ R;г)B0;д)L[0, 1]; е) p . . ◦ . Проверить аксиомы метрики ρ = ρ1 + ρ2 в пространстве (X, ρ) = (X1, ρ1) × (X2, ρ2), где X1 и X2 —метрические простран- ства. Метрику ρ на декартовом произведении можно определять и другими способами: ρ = max(ρ1, ρ2), ρ = ρ2 1+ρ2 2 ит.д .Кромето- го, можно рассматривать декартово произведение не только двух, но и любого конечного числа пространств. . ◦ . Доказать, что в метрическом пространстве следующие усло- вия эквивалентны: () множество замкнуто; () множество содержит все свои граничные точки; () множество содержит все свои предельные точки. . ◦ . Верно ли, что в произвольном метрическом пространстве за- мыкание открытого шара B(x , r) есть замкнутый шар ̄̄B(x , r)? . . Доказать, что для произвольного множества A метрического пространства X справедливы следующие утверждения: а) ◦ множество A вложено в своё замыкание: A ⊂ ̄̄A;
§ .. Основные понятия и свойства  б)◦ если A замкнуто, то ̄̄A = A; в) множество ̄̄A замкнуто (отсюда следует, что ̄̄A = ̄̄ A); г)◦еслиA⊂B,то̄̄A⊂̄̄B; д)A∪B= ̄̄ A ∪ ̄̄B (привести пример таких двух множеств A и B на прямой,что A∩B= ̄̄ A ∩ ̄̄B); е) ◦ множество ̄̄A является «наименьшим» замкнутым множе- ством, содержащим множество A,т.е . B ⊃ ̄̄A для любого замкнутого множества B ⊃ A. . ◦ . Описать все открытые и все замкнутые множества в про- странстве discr(X ). . ◦ . Пусть X — произвольное метрическое пространство. Дока- зать, что любые объединения и конечные пересечения открытых множеств открыты. Привести пример бесконечной системы откры- тых множеств, пересечение которых не открыто. . . Доказать, что в метрическом пространстве X пересечение любого числа открытых множеств открыто тогда и только тогда, когда X состоит из изолированных точек 1) . . ◦ . Привести пример метрического пространства X итаких двух различных множеств A и B внём,что A B,но ̄̄A B . .. Привести пример метрического пространства и таких ша- ров B(x , r1)иB( y, r2)внём,чтоr1 > r2,ноB(x, r1) B( y, r2). .. Доказать, что в пространстве p аксиома треугольника вы- полнена в усиленном виде: ρ(x, y) max{ρ(x, z), ρ(y, z)} и, более того, из трёх чисел ρ(x , y), ρ(x , z)иρ( y, z)двачислаобязательно равны (все «треугольники» в этом пространстве равнобедренные). . . Доказать, что в пространстве p : а) любые два открытых шара (замкнутых шара) либо не пересе- каются, либо один из них содержится в другом; б) любой открытый шар B(x , r ) есть одновременно открытое и замкнутое множество; в) любой замкнутый шар ̄̄B(x , r ) также есть одновременно от- крытое и замкнутое множество. Определение .. Диаметром множества A в метрическом про- странстве X называется число diam( A):= sup x,y∈A ρ(x, y). .. Доказать, что: а)◦ в произвольном метрическом пространстве диаметр шара B(a, r)непревосходит2r; б) для любого k ∈ [0, 2] найдётся такое метрическое простран- ство и такой шар B(a, r ) в нём, что диаметр этого шара равен kr. 1) Точка x называется изолированной точкой множества A, ес ли найдется окрест- нос ть B( x , ), >0, не содержащая ни одной точки множества A за исключением x .
 Глава . Метрические пространства Определение . . Множество A в метрическом пространстве X называется ограниченным, если оно вложено в некоторый шар или (эквивалентное определение) если diam( A) < ∞. .. Пусть A — ограниченное множество в метрическом прост- ранстве. Доказать, что замыкание ̄̄A также ограничено и diam( ̄̄A) = = diam( A). Определение .. Пусть ( X , ρ) — метрическое пространство, M ⊂ X — непустое ограниченное множество. Величина rC(M):= inf{r > 0:B(x,r)⊃M для некоторого x ∈ X} называется чебышёвским радиусом множества M .Еслисуществует замкнутый шар радиуса rC (M ), содержащий M , то центр этого шара называется чебышёвским центром множества M . . ◦ . Доказать, что для любого ограниченного множества в мет- рическом пространстве выполнены неравенства 1 2 diam(M) rC(M ) diam(M). .. Доказать, что в пространстве l2(2) для всякого ограничен- ного множества M чебышёвский центр существует и diam(M )/2 rC(M) diam(M)/ 3. .. Доказать, что в пространстве l∞(2) для всякого ограни- ченного множества M чебышёвский центр существует и rC (M ) = = diam(M )/2. . . Привести пример метрического пространства, в котором для всякого ограниченного множества M выполнено равенство rC(M) = diam(M). § . . Пос ледовательности в метрических пространствах. Полнота Определение . . Точка x метрического пространства ( X , ρ)на- зывается пределом последовательности { xn} ∞ 1 ,если lim n→∞ ρ(x, xn) = =0. Определение . . Точка x называется предельной точкой после- довательности { xn} ∞ 1 в метрическом пространстве X ,еслиx явля- ется пределом некоторой подпоследовательности { xnk }∞ k=1 . Определение . . Последовательность {xn} ∞ 1 точек метриче- ского пространства X называется фундаментальной (или последо- вательностью Коши), если для любого >0 найдётся такое N ,что ρ(xn,xm)< длявсехn,m>N.
§ . . Последовательности в метрических пространствах. Полнота  Встречаются ситуации, когда на одном и том же множестве вво- дят различные метрики. Определение .. Пусть на множестве X введены две метри- ки ρ1 и ρ2.Метрикаρ1 называется подчинённой метрике ρ2 (обо- значается ρ1 ≺ ρ2), если любая последовательность, сходящаяся по метрике ρ2, сходится к томуже пределуи по метрике ρ1.Метрики ρ1 и ρ2 называют эквивалентными (или топологически эквивалент- ными)ипишутρ1∼ρ2,еслиρ1≺ρ2иρ2≺ρ1. Определение . . Метрическое пространство X называется полным, если любая фундаментальная последовательность точек этого пространства имеет предел в X . В неполном пространстве критерий Коши не всегда выполня- ется — не все фундаментальные последовательности имеют пре- дел. Любое неполное пространство можно пополнить в следующем смысле. Определение .. Метрическое пространство Y называется по- полнением метрического пространства X ,если: () Y полно; () найдётся такое изометричное вложение f : X → Y ,чтомно- жество f ( X )всюдуплотновY .1) Те ор е м а  .  (о пополнении). Для любого метрического про- странства существует пополнение. Если Y1 иY2 — пополнения од- ного и того же пространства X , то они изометричны. Те ор е м а  .  (о вложенных шарах). Метрическое пространство является полным тогда и только тогда, когда любая последова- тельность замкнутых вложенных шаров, радиусы которых стре- мятся к нулю, имеет общую точку 2) . Задачи .◦ . Описать все фундаментальные последовательности в дис- кретном метрическом пространстве и в пространстве . . . Доказать, что в пространстве B0 предел последовательно- сти{xn=(x 1 n ,x 2 n ,...)}∞ 1 равенx=(x 1 ,x 2 , ...) тогда и только тогда, когда для любого k ∈ найдётся такое Nk ∈ ,что x k n = xk для всех n>Nk. Определение .. Пусть X — метрическое пространство, A ⊂ ⊂ X —непустое множество и x ∈ X . Расстоянием от точки до мно- жества называется число dist(x, A):= inf{ρ(x , y): y ∈ A}. Легко видеть, что dist( x , A) = 0 тогда и только тогда, когда x ∈ ̄̄A. 1) Строго гов оря, пополнением следует называть пару (Y , f ). 2) Легко проверить, что если эта точка существует, то она единственна.
 Глава . Метрические пространства .. Пусть X — метрическое пространство, A —его подмноже- ство, x — произвольная точка X . Доказать, что dist(x , A) = dist(x, ̄̄ A). .. Пусть ( X , ρ) — метрическое пространство, а функция φ(ξ) непрерывна и выпукла вверх (не обязательно строго) на [0, +∞), причем φ(ξ) > 0на(0,+∞) и φ(0) = 0. Доказать, что ρ1(x, y) = = φ(ρ(x , y )) задаёт метрикуна X ,причёмρ1 ∼ ρ ,аеслифункцияφ вдобавок ограничена на [0, +∞), то новое метрическое простран- ство (X , ρ1) также ограничено. Вкачествеφ часто берут функции φ(ξ) = ξ ξ+1 , φ(ξ) = arctg(ξ) и φ(ξ) = min(1,ξ). . . Доказать, что метрическое пространство собычноймет- рикой ρ(x, y) = |x − y| не полно. Существует ли счетное полное мет- рическое пространство? Построение пополнения неполного пространства — как правило непростая задача. При этом полезно иметь в видуследующий про- стой факт. .. Пусть неполное метрическое пространство ( X , ρ)плотнов метрическом пространстве (Y , ρ). Доказать, что если любая фунда- ментальная последовательность точек множества X имеет предел в пространстве Y ,то(Y , ρ) является пополнением пространства (X,ρ). . ◦ . Доказать, что метрическое пространство является попол- нением пространства . .. Для каждой из следующих функций ρk : × → а) ρ1(x, y)=| arctg x − arctg y|;б)ρ2(x, y)= arctg|x − y|; в)ρ3(x, y)=|e x − e y |;г ) ρ4(x, y)=|x 3 − y3| определить, удовлетворяет ли она аксиомам метрики, а если удо- влетворяет, то эквивалентна ли она стандартной метрике ρ0( x , y) = = | x − y |.Полнолипространство относительно метрики ρk ?Для неполных пространств найти пополнение. .. Какие из следующих метрических пространств полны: а) discr( X ); б) ;в) * R;г)B0? Для неполных пространств описать их пополнение. . . Доказать, что в пространстве p последовательность {xn } ∞ 1 фундаментальна тогда и только тогда, когда ρp(xn, xn+1) → 0. .. Доказать, что пространство ̄̄ p (см. список пространств) действительно является пополнением пространства p . . ◦ . Доказать, что если метрическое пространство X полно, то его пополнение Y изоморфно пространству X . Есть два универсальных способа конструирования новых метри- ческих пространств из уже известных: декартово произведение и выделение подпространства.
§ . . Всюдуплотные множества. Теорема Бэра  . ◦ . Пусть имеется метрическое пространство ( X , ρ)=( X1, ρ1) × × (X2, ρ2), где ρ = ρ1 + ρ2,а X1 и X2 —полные метрические про- странства. Доказать, что X полно. . ◦ . Пусть ( X , ρ) — полное метрическое пространство, Y ⊂ X . Доказать, что пространство (Y , ρ) полно тогда и только тогда, когда множество Y замкнуто в X . .. Привести пример таких полных метрических пространств (X,ρ1)и(Y,ρ2), что Y ⊂ X,ноY не замкнуто в (X,ρ1). Привести пример полного метрического пространства ( X , ρ1)инеполного метрического пространства (Y , ρ2), для которых Y ⊂ X и Y замкну- то в (X,ρ1). .. Привести пример полного метрического пространства, в котором расстояние от точки до замкнутого множества может не достигаться. . . Доказать теорему. . .. Привести пример полного метрического пространства, в котором есть последовательность замкнутых вложенных шаров B1 ⊃ B2 ⊃ ..., радиусы которых стремятся к положительному чис- лу, а ∞ n=1 Bn=∅. .◦ . Привести контрпримеры к теореме о вложенных шарах для случая, когда метрическое пространство неполно, и для случая, ко- гда шары открыты. . . Доказать, что в полном метрическом пространстве любая последовательность замкнутых ограниченных вложенных непустых множеств с диаметрами, стремящимися к нулю, имеет в пересече- нии ровно однуточку. .. Доказать, что не существует счетных полных метрических пространств без изолированных точек. § . . Всюду плотные множества. Теорема Бэра Определение .. Множество A в метрическом пространстве X называется всюду плотным1) ,если ̄̄A = X .МножествоA вметриче- ском пространстве X называется нигде не плотным, если для любо- го шараB(x,R)найдётсятакой шар B(y,r)⊂B(x,R),что B(y,r)∩A= =∅. Эквивалентное определение см. в задаче .. 1) Иногда с лово «всюду» опускают — говорят «множес тво A плотно в прос тран- стве X ».
 Глава . Метрические пространства Те ор е м а  .  (Р. Бэр, ). Полное метрическое пространство нельзя представить в виде счётного объединения нигде не плотных множеств. Определение .. Метрическое пространство X называется се- парабельным, если существует не более чем счётное всюду плотное множество A ⊂ X . 1) Задачи .◦ . Доказать, что множество A в метрическом пространстве X нигде не плотно тогда и только тогда, когда множество ̄̄A не содер- жит ни одного шара. .◦ . Доказать, что дополнение к нигде не плотномумножеству всюдуплотно. Привести пример, показывающий, что дополнение к всюдуплотномумножествуне обязано быть нигде не плотным мно- жеством. Доказать, что дополнение к всюдуплотномуоткрытому множествунигденеплотно. .◦ . Доказать, что замыкание нигде не плотного множества ни- гденеплотно. .. Пусть множество U открыто, а множество F замкнуто в мет- рическом пространстве X .ОбозначимчерезF 0 внутренность мно- жества F . Доказать, что следующие множества нигде не плотны в X : а) ̄̄U\U;б)F\F0. .. Доказать, что пересечение не более чем счётного числа от- крытых всюдуплотных множеств в полном метрическом простран- стве есть всюдуплотное множество. .. Доказать теорему.. Показать существенность условия полноты пространства в условии теоремы. .. Существуют ли неполные метрические пространства, для которых теорема Бэра верна? .. Доказать, что в метрическом пространстве, состоящем лишь из изолированных точек, всюдуплотно только все пространство и нигденеплотнотолькопустоемножство. .. Пусть в метрическом пространстве ( X , ρ)множество A вло- жено в замыкание множества B,гдеB — счётно. Доказать, что мет- рическое пространство ( A, ρ) сепарабельно. В частности, любое подпространство сепарабельного метрического пространства сепа- рабельно. .◦ . Доказать, что пополнение сепарабельного метрического пространства сепарабельно. 1) Иными словами, пространс тво X сепарабельно, если оно яв ляетс я замыканием не более чем счётного множества.
§ . . Отображения метрических пространств  . . Доказать, что следующие пространства сепарабельны: а) R;б)B0. . ◦ . Пусть ( X , ρ) — метрическое пространство, а φ(ξ)—неот - рицательная, непрерывная, выпуклая вверх и ограниченная на [0, +∞) функция, причём φ(0) = 0. Доказать, что если ( X , ρ)се- парабельно, то ( X , ρ1), где ρ1 = φ(ρ), также сепарабельно. . . Доказать, что существует функция, непрерывная на отрезке [0, 1], отличная от константы и не являющаяся монотонной ни на одном интервале из этого отрезка. . . Доказать, что не существует функции U (x , y ), непрерыв- ной на квадрате [0, 1] × [0, 1] и универсальной в следующем смыс- ле: для всякой функции f ∈ C[0, 1], удовлетворяющей условию max x ∈[0,1] |f(x)| 1, найдется такое число y = y(f)∈[0,1], что f(x) ≡ ≡ U(x, y(f)). .. Доказать, что если функция f : [0, 1] → является пото- чечным пределом непрерывных функций 1) ,тоеемножествоточек непрерывности всюдуплотно на отрезке [0, 1]. .. Пусть функция f голоморфна в области D идлякаждого z ∈ D найдется такой номер n = n(z), что f (n)(z) = 0. Доказать, что f —многочлен. .*. Пусть функция f бесконечно дифференцируема на отрезке [0, 1] и для каждого x ∈ (0, 1) найдется такой номер n = n(x), что f (n)(x) = 0. Доказать, что f —многочлен . § .. Отображения метрических прос транс тв В определении . были введены два важных класса отображе- ний — изометрии и изометрические вложения. Определение . . Отображение f : X → Y метрического про- странства ( X , ρ) в метрическое пространство (Y , d) называется непрерывным в точке x0 ∈ X , если выполнено одно из двух экви- валентных определений: для любого >0 существует такое δ = δ(x0, ) > 0, что для любо- го x ∈ B(x0,δ)выполнено f(x)∈B(f(x0), ); если последовательность { xn} ∞ 1 точек пространства X стремится к x0,т.е .x 0=lim n→∞ xn,то f (x0) = lim n→∞ f (xn)(секвенциальная непрерыв- ность). Непрерывным отображением называется отображение, непрерыв- ное в каждой точке пространства X . 1) Это означает, что существуют такие fn ∈ C[0, 1], что f (x) = lim n→∞ fn ( x)длякаждо- го x ∈ [0, 1]; такие функции f образуют первый класс Бэра.
 Глава . Метрические пространства Один из примеров непрерывного отображения в произвольном метрическом пространстве ( X , ρ) — отображение ρ : x → ρ(x , x0), где x0 — фиксированная точка из X . Определение . . Отображение f : X → Y метрического про- странства (X , ρ) в метрическое пространство (Y , d) называется ло- кально равномерно непрерывным, если для любого шара B(x , r) ⊂ X для любого >0найдётсяδ>0 такое, что для любой пары точек x1, x2 ∈ B(x , r)сосвойствомρ(x1, x2) <δ выполнено d( f(x1), f(x2)) < <. Определение . . Отображение f : X → Y метрического про- странства (X , ρ) в метрическое пространство (Y , d) называется рав- номерно непрерывным, если для любого >0 найдётся такое δ>0, что для любой пары точек x1, x2 ∈ X со свойством ρ(x1, x2) <δ вы- полнено d( f(x1), f(x2)) < . Любое локально равномерно непрерывное отображение непре- рывно, а любое равномерно непрерывное отображение локально равномерно непрерывно (см. также задачу.). Определение .. Отображение f : X → Y метрического про- странства (X , ρ) в метрическое пространство (Y , d) называется го- меоморфизмом,если: () f непрерывно; () f — биекция (а значит, определено обратное отображение); () обратное отображение f −1 также непрерывно. Определение .. Пространства X и Y называются гомеоморф- ными, если существует гомеоморфизм f : X → Y . Задачи .◦ . Пусть на множестве X введены две метрики ρ1 и ρ2.Дока- зать, что ρ1 ≺ ρ2 тогда и только тогда, когда отображение f :(X , ρ2) → → (X,ρ1), f(x)= x, непрерывно. Доказать, что ρ1 ∼ ρ2 тогда и толь- ко тогда, когда f — гомеоморфизм. .. Пусть X — метрическое пространство, M ⊂ X —произволь- ное непустое множество. Доказать, что отображение f : x → dist( x , M ) из X в непрерывно. .◦ . Пусть X и Y —метрические пространства, а f : X → Y — непрерывное сюръективное отображение. Доказать, что если M — всюдуплотное в X множество, то его образ f (M )—всюдуплотное множество в Y . Любая непрерывная функция f : n → ограничена на каждом ограниченном множестве. В произвольных метрических простран- ствах это уже не так.
§ . . Теорема о неподвижной точке  .. Привести пример непрерывной, но не ограниченной на некотором шаре функции f : X → ,где X —полное метрическое пространство. Теорема Кантора утверждает, что любое непрерывное отображе- ние f : → является локально равномерно непрерывным. В про- извольном метрическом пространстве это не так. .. В полных метрических пространствах привести примеры локально равномерно непрерывного отображения, не являющегося равномерно непрерывным, и непрерывного, но не локально равно- мерно непрерывного отображения. .*. Пусть X = discr(M ). Доказать, что изометричное вложение f:X→ n существует тогда и только тогда, когда пространство X содержит не более чем n + 1точку. .. Доказать, что метрические пространства и вещественное l2(2) не гомеоморфны. . . Доказать, что вещественные метрические пространства l2(2) и l∞(2) гомеоморфны, но не изометричны. Вопросы гомеоморфизма и изометрии метрических пространств обычно очень сложны. Приведём такой пример. Вещественные мет- рические пространства l p(n)иlq(m), n, m 2, p , q ∈ [1, ∞), гомео- морфны тогда и только тогда, когда n = m , и изометричны тогда и толькотогда,когдаn=m и p=q. § .. Теорема о неподвижной точке Определение . . Отображение f : X → Y метрического про- странства ( X , ρ) в метрическое пространство (Y , d) называется сжи- мающим, если существует q ∈ [0, 1), для которого d( f (x1), f (x2)) q·ρ(x1,x2)длялюбых x1,x2∈ X. Те ор е м а  .  (принцип сжимающих отображений). Пусть f : X → → X — сжимающее отображение в полном метрическом простран- стве X . Тогда существует единственная точка x0 ∈ X такая, что f (x0) = x0 . Эта точка есть предел рекуррентно заданной последо- вательности xn = f (xn−1) с произвольной начальной точкой x1 ∈ X. Пример . . Пусть число a > 0. Найти предел последовательно- стиx1=1,xn= xn−1 2 + a 2xn−1 ,n 2. Решение. Положим X = [ a, +∞) (это полное метрическое про- странство), а f (x) = x 2 +a 2x .Заметим,что f (x) a для любо- го x > 0, поскольку x 2 + a 2 x a.Такимобразом, f отображает пространство X всебяи xn ∈ X , n 2. В силутеоремы Лагранжа
 Глава . Метрические пространства |f(x)−f(y)|=|f(ξ)|·|x − y| для некоторого ξ∈[x, y], а f(ξ)= = 1 2 − a 2ξ2∈ 0, 1 2 ,т . е.отображение f сжимает. Тогда, в силу теоремы ., отображение f имеет единственную неподвижную точку, которая и является пределом нашей последовательности. Этуточкуможно найти из уравнения f (x0) = x0 ,о ткудаa = x2 0, т.е.x0= a. Задачи .◦ . Пусть функция f : → дифференцируема на и удовле- творяет условию sup t∈ | f (t)| q < 1. Доказать, что уравнение f (t) = t имеет единственное решение на . .. C помощью теоремы о сжимающем отображении вычис- лить предел последовательности непрерывных дробей: 2; 2 + 1 2 ; 2+ 1 2+ 1 2 ;... .. Пусть функция f : → дифференцируема на иудовле- творяет условию inf t∈ | f (t)| q > 1. Доказать, что уравнение f (t) = t имеет единственное решение на . Более содержательные примеры на принцип сжимающих отоб- ражений можно привести в пространствах функций. В двух сле- дующих задачах используется полнота пространства непрерывных функций C[a, b], которая будет доказана позже (см. пример .). .. Доказать, что уравнение x(t) = t + x(tα), где | | < 1, α>0, имеет единственное решение в пространстве C[0, 1]. .. Доказать, что отображение A : C[0, 1] → C[0, 1], Ax(t) = =λ t 0 x (s) ds + 1, является сжимающим при |λ| < 1, и найти его неподвижную точку. .. Пусть в полном метрическом пространстве X отображе- ние f непрерывно и некоторая степень f p =f◦f◦...◦f p отображе- ния f сжимает: ρ(fp(x), f p (y)) qρ(x,y), гдеq<1, x,y∈X.До- казать, что отображение f имеет в X единственную неподвижную точку: f(x)= x. .◦ . Доказать, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет неподвижную точку. Теорема . (П.Боль, ; Л.Брауэр, ). Пусть B есть вы- пуклое замкнутое ограниченное множество в n ,содержащеехотя бы одну внутреннюю точку. Тогда любое непрерывное отображение множества B в себя имеет неподвижную точку.
§ . . Теорема о неподвижной точке  .◦ . Пусть ̄̄B (0, 1) есть проколотый замкнутый единичный шар пространства n (т. е . шар с выкинутым центром). Привести пример непрерывного отображения этого множества в себя, не имеющего неподвижной точки. .*. Существует ли неполное метрическое пространство, в ко- тором принцип сжимающих отображений справедлив? .. Построить пример такого полного метрического простран- ства X иотображенияf : X → X ,чтоρ(f(x), f(y))<ρ(x, y), но f не имеет неподвижной точки.
Глава  Нормированные пространства § .. Основные понятия и свойства. Примеры нормированных пространств Определение .. Пара ( X , · ), где X — линейное пространство надполемK(K= илиK= )1),а · —о тображение X в (нор- ма), называется нормированным пространством, если выполнены аксиомы нормы: () x 0длялюбогоx∈X,причём x =0⇔x=0; () αx =|α| x длялюбыхx∈X,α∈K; () x+y x + y для любых x, y ∈ X (неравенство тре- угольника). Любое нормированное пространство является метрическим, по- сколькулюбая норма естественным образом задаёт метрику ρ(x,y):= x−y на пространстве X . В этой метрике отображение · : X → явля- ется непрерывным. Определение . . Линейное отображение J нормированного пространства X в нормированное пространство Y называют изометричным вложением (изометрией), если J сохраняет нор- му,т.е. J(x)Y= x X; изометрическим изоморфизмом,если J есть биективное изомет- ричное вложение2) ; вложением,еслиотображение J непрерывно и инъективно; изоморфизмом,если J есть биективное вложение, а обратное отображение J −1 непрерывно3) . Два нормированных пространства, междукоторыми можно по- строить изоморфизм (изометрический изоморфизм), называют изоморфными (соответственно изометрически изоморфными). 1) Везде ниже по умолчанию все пространства рассматриваются над полем . 2) Легко видеть, что любая изометрия инъективна, так что биективнос ть здесь эк- вива лентна сюръек тивности. 3) Из этих ус ловий с ледует также биек тивность и линейнос ть J −1 (докажите это).
§ .. Основные понятия, свойства и примеры  Часто на одном и том же линейном пространстве вводят несколь- ко различных норм. Определение .. Пусть ( X , · 1)и(X, · 2)—два различных нормированных пространства на линейном пространстве X .Норма · 1 называется подчинённой норме · 2 (обозначают · 1 ≺ · 2), если существует постоянная C > 0 такая, что x 1 C x 2 для любо- гоx∈X.Если·1≺·2и · 2 ≺ · 1 , то такие нормы называют эквивалентными: · 1 ∼· 2. Это определение отличается от определения . (см. по этому поводузадачу.). Теорема . . Если dim X < ∞(здесь dim X — линейная размер- ность линейного пространства X ),а · 1 и · 2 — две различные нормы на X, то · 1∼· 2. Напомним, что линейной оболочкой множества M влинейном пространстве называется множество Lin(M ), составленное из всех конечных линейных комбинаций векторов множества M ,авыпук- лой оболочкой множества M называется множество conv(M ), со- ставленное из всех конечных линейных комбинаций αk xk векто- ровxkизM,гдеαk∈[0,1]и αk=1. Определение .. Нормированное пространство X называется строго нормированным (или строго выпуклым), если при x = = y =1равенство x+y = x + y выполненотогдаитолько тогда, когда x = y (другими словами, единичная сфера простран- ства X не содержит отрезков). Определение . . Пусть A — некоторое множество в веществен- ном линейном пространстве X и0∈ A. Функционалом Минковского множества A называется отображение p A : X → + ∪ {+∞}, опреде- лённое равенством 1) pA(x) =inf{α>0: x ∈ αA}. Определение .. Множество A в линейном пространстве L на- зывается уравновешенным, если условие x ∈ A влечёт α x ∈ A для вся- кого α ∈ , |α| = 1. Множество A называется поглощающим,если для любого x ∈ L найдётся такое λ>0, что λ x ∈ A. В случае вещественного пространства L определение уравнове- шенности выглядит так: если x ∈ A,тои− x ∈ A. Определение .. Функция p(x) на линейном пространстве X называется полунормой, если она удовлетворяет аксиомам () и () из определения ., а аксиома () заменена на условие p(x ) 0для любого x ∈ X. 1) Если множество, по которомуздесь берётс я точная нижняя грань, пус то, то зна- чение функционала полагается равным +∞.
 Глава . Нормированные пространства Задачи .. а) Доказать неравенство Юнга: ab ap p+ bq q,гдеa 0,b 0, p>1,q>1и 1 p+ 1 q = 1. Доказать, что равенство достигается тогда и только тогда, когда b = ap−1 . б) Пусть (M , Σ, μ) — измеримое пространство с сигма-конечной мерой, измеримые функции x и y интегрируемы на M по мере μ в степенях 1 < p < ∞и1< q < ∞ соответственно, 1 p+ 1 q = 1. Доказать интегральное неравенство Гёльдера M |x(t) y(t)| dμ M |x(t)|p dμ 1/p M |y(t)|q dμ 1/q .(  .  ) Доказать, что равенство достигается тогда и только тогда, когда функции |x| p и | y|q линейно зависимы. в) Пусть (M , Σ, μ) — измеримое пространство с сигма-конечной мерой, измеримые функции x и y интегрируемы на M по мере μ встепени1 p < ∞. Доказать интегральное неравенство Минковс- кого M |x(t) + y(t)|p dt 1/p M |x(t)|p dt 1/p + M |y(t)|p dt 1/p . (.) Доказать, что при p > 1 равенство в интегральном неравенстве Минковского достигается тогда и только тогда, когда функции x и y линейно зависимы. Неравенство (.) является неравенством треугольника для по- лунормы x p := M |x(t)|p dμ 1/p , вводимой на линейном про- странстве измеримых функций, интегрируемых в p-й степени на M . В общем случае это не норма, поскольку может быть не выполнена первая аксиома нормы. Если же профакторизовать это простран- ство по стандартномуотношению эквивалентности ( x ∼ y ,если x = y почти всюдуна M ), то полунорма · p , вводимая на классах эквивалентности, становится нормой. Полученное нормированное пространство обозначается L p(M , Σ, μ) (см. список пространств). . . Придумать измеримые пространства (M , Σ, μ), для которых неравенства (.) и (.) превращаются в числовые неравенства Гёльдера и Минковского (ak , bk ∈ ): n(∞) k=1 |akbk| n(∞) k=1 |ak|p 1/ p n(∞) k=1 |bk |q 1/q ; а)
§ .. Основные понятия, свойства и примеры  n(∞) k=1 |ak + bk| p 1/p n(∞) k=1 |ak | p 1/p + n(∞) k=1 |bk | p 1/p . б) Числовые неравенства Минковского являются неравенствами треугольника в пространствах l p(n)иl p . Определение .. Измеримая по Лебегуфункция x : M → ,где (M , Σ, μ) — измеримое пространство, называется существенно огра- ниченной, если существует такая постоянная C > 0, что μ({t ∈ M : |x(t)| > C}) = 0 (другими словами, неравенство | x (t)| C выполне- но почти всюду). Наименьшее из чисел C ,удовлетворяющихтако- муусловию, называется существенной верхней гранью функции | x| и обозначается ess sup t∈M |x (t)| или sup vrai t∈M |x(t)|.Эточисломожноопре- делить и с помощью следующей формулы: ess sup t∈X |x(t)| := inf μ(A)=0 sup M\A |x (t)|. Пространство классов эквивалентных междусобой существенно ограниченных функций будем обозначать L∞(M , Σ, μ). На этом про- странстве вводится норма x ∞ := ess sup t∈M |x(t)|,где x есть произ- вольный представитель класса — элемента пространства. . ◦ . Привести примеры таких измеримых функций x ,что: а) x /∈ L∞[0, 1]; б) x принадлежит L∞[0, 1], но не ограничена на [0, 1]. . ◦ . Для функций x ∈ L1(M,Σ,μ), y ∈ L∞(M,Σ,μ) доказать нера- венство M |x(t)y(t)|dμ x 1 y ∞. .. Доказать, что если x ∈ L∞(M , Σ, μ)имераμ конечна, то lim p→∞ x p = x ∞ .Вчастности,длялюбоговектора x ∈ n выполнено lim p→∞ n k=1 |xk| p 1/p = max 1kn |xk|. . ◦ . Проверить аксиомы нормы в пространствах (см. список пространств): а) L∞(M,Σ,μ); б) C[0,1]; в) C1[0,1], г) BC( ); д) AC(D); е)C0( ); ж)Cp[0,1],p∈[1,∞); з)C1 2 [0, 1]. . ◦ . Доказать, что нормы · 1 и · 2, введённые на простран- стве C n[a, b] в списке пространств, удовлетворяют аксиомам нормы иэквивалентны. В пространствах C n [0, 1] можно рассматривать и другие нормы.
 Глава . Нормированные пространства Пример .. Доказать, что нормы x1=max t ∈[0,1] |x (t)| + max t ∈[0,1] |x(t)| и x 2=max max t ∈[0,1] |x (t)|,|x(0)| на линейном пространстве непрерывно дифференцируемых функ- ций эквивалентны. Решение. Неравенство x 2 x 1 очевидно. С другой стороны, max t ∈[0,1] |x(t)|=|x(tmax)|= x(0) + tmax 0 x (t)dt |x(0)| + 1 0 |x (t)|dt |x(0)|+ max t ∈[0,1] |x (t)|. Тогда 1) x12max t ∈[0,1] |x (t)|+|x(0)| 3max max t ∈[0,1] |x (t)|,|x(0)| =3 x 2. .. Среди перечисленных ниже отображений линейного про- странства непрерывно дифференцируемых на отрезке [0, 1] функ- ций выбрать отображения, удовлетворяющие аксиомам нормы, и упорядочить эти нормы по отношению подчинённости: а) x0=max t ∈[0,1] |x (t)|; б)x1=max t ∈[0,1] |x (t)|; в) x2=max t ∈[0,1] |x(t)| + max t ∈[0,1] |x (t)|; г)x3=max t ∈[0,1] |x (t)| + |x(a)|,гдеa ∈ [0, 1]; д)x4=max t ∈[0,1] |x (t)| + 1 0 |x(t)| dt; е)x5=max t ∈[0,1] |x (t)| +|x(a) − x(b)|,гдеa, b ∈ [0,1]. . . Пусть функция v (t) непрерывна и положительна на [0, 1]. Доказать, что отображение F : x → 1 0 v(t)|x(t)|p dt 1/p ,действую- щее из L p[0, 1] в ,где p ∈ [1, ∞), удовлетворяет аксиомам нормы, и эта норма эквивалентна стандартной · p . 1) Покажите, что конс танта 3 в нерав енстве x 1 3 x 2 не может быть умень- шена.
§ .. Множества и последовательности  Этуфункцию v называют весом,анормуF — весовой.Взада- че мы рассмотрели только случай непрерывной и положительной функции v . Читатель может попробовать решить этузадачудля других классов весов и даже найти необходимые и достаточные условия на v , при которых отображение F является эквивалентной нормой (по этомуповодусм. ниже задачу.). . ◦ . Проверить аксиомы нормы на пространстве функций огра- ниченной вариации BV [0, 1]. На пространстве функций ограниченной вариации часто рас- сматривают и другие нормы. .. Доказать, что все нормы x a = Va r 1 0 x(t)+|x(a)|,где0 a 1, на пространстве функций ограниченной вариации BV [0, 1] экви- валентны друг другу и эквивалентны норме · BV из списка про- странств. . ◦ . Проверить аксиомы нормы в пространстве BV0[0, 1] (см. список пространств). .. Доказать теорему. об эквивалентности норм в конечно- мерном пространстве. .. Пусть p — числовая функция на линейном пространстве X , удовлетворяющая первым двум аксиомам нормы. Доказать, что тре- тья аксиома (неравенство треугольника) эквивалентна выпуклости множества {x ∈ X : p(x) 1}. .. Доказать, что функция x p = n k=1 |xk|p 1/p не является нормой при 0 < p < 1наn-мерном линейном пространстве при n2. .. Найти inf x=0 xp xq иsup x=0 xp xq ,гдеx ∈ n ,длявсехp и q ∈[1, ∞], pq. .. Доказать, что в линейном пространстве l p ,1 p ∞, нор- мы·pи · q, q > p,неэквивалентны,но · q ≺ · p . .. Доказать, что нормы · p и · q,1 p<q ∞, влинейном пространстве непрерывных на [0, 1] функций не эквивалентны, но · p≺·q . § . . Множес тва и пос ледовательности в нормированных пространствах. Подпрос транс тва .◦ . Найти необходимые и достаточные условия на последова- тельность {an} ∞ 1 ,гдевсеan > 0, при которых следующие множества являются ограниченными подмножествами l p , p ∈ [1, ∞): а) параллелепипед {x ∈ lp : |xn| < an};
 Глава . Нормированные пространства б) эллипсоид x ∈ lp : ∞ n=1 |xn/an| p <1. . . Найти необходимые и достаточные условия на последова- тельность {an}, где все an > 0, при которых следующие множества являются открытыми подмножествами l p , p ∈ [1, ∞): а) параллелепипед {x ∈ lp : |xn| < an}; б) эллипсоид x ∈ lp : ∞ n=1 |xn/an|p < 1 . .. Доказать, что в любом нормированном пространстве най- дутся два открытых непересекающихся множества, которые нельзя поместить в два непересекающихся замкнутых множества. В каж- дом ли метрическом пространстве существуют такие множества? . . Пусть M —подмножество . Рассмотрим множество M = = {x ∈ C[0,1]: x(t) ∈ M для всех t ∈ [0,1]}. Доказать, что множе- ство M открыто (замкнуто) тогда и только тогда, когда M открыто (соответственно, замкнуто). . ◦ . ВшареB(0, 1) пространства l2 разместить счётное число непересекающихся шаров радиуса 1 10 . .◦ . Привести примеры последовательностей {xn} ∞ 1 со следую- щими свойствами: а) ∞ {xn}1⊂l∞∩l1, ∞ {xn}1 сходится в l∞ ,нонесходитсявl1; б)∞ {xn}1⊂l∞∩l2, ∞ {xn}1 сходится в l∞,нонесходитсявl2; в) ∞ {xn}1⊂l2∩l1, ∞ {xn}1 сходится в l2 ,нонесходитсявl1; г) ∞ {xn}1⊂c0∩l1, ∞ {xn}1 сходится в c0 ,нонесходитсявl1; д) ∞ {xn}1 ⊂ ∞ p=1 lp, ∞ {xn}1 сходится в c0,нонесходитсявl p ни для какого p ∈ [1, ∞). . ◦ . Пусть на линейном пространстве X заданы две нормы · 1 и·2 . Доказать, что следующие свойства эквивалентны: ()·1≺·2; () любая последовательность {xn } ∞ n=1 ,сх одящаясявнормиро- ванном пространстве ( X , · 2 )к x ,сходитсяк x ив(X , · 1); () любая последовательность { xn} ∞ n=1 , фундаментальная в нор- мированном пространстве ( X , · 2), фундаментальна и в (X, · 1); () замыкание произвольного множества A ⊂ X по первой норме содержит замыкание этого множества по второй норме; () отображение A: x → x из (X, · 2)в(X, · 1) непрерывно. В частности, если · 1 · 2, то пространства X1 = (X, · 1)и X2=(X, · 2)изоморфны. По сравнению с общими метрическими пространствами в нор- мированных пространствах появляется новое важное понятие —
§ .. Множества и последовательности  линейное подпространство. В дальнейшем мы будем часто опус- кать слово «линейное», предполагая, что подпространство норми- рованного пространства есть множество, замкнутое относительно линейных операций. Определение . . Пусть ( X , · ) — нормированное простран- ство. Линейное подпространство M называется замкнутым подпро- странством пространства X , если оно замкнуто по норме. .◦ . Доказать, что c0 — замкнутое подпространство в c,аc —за - мкнутое подпространство в l∞ . Доказать, что c00 есть незамкнутое линейное подпространство в пространстве c ивпространствеc0. Найти замыкание этого подпространства. .. Доказать, что в пространстве l p линейное подпространство lq= x∈lp: ∞ n=1 |xn| q < ∞ ,где1 q < p ∞, не является замкнутым подпространством. Найти его замыкание. . ◦ . Доказать, что в нормированном пространстве шар не мо- жет содержать ненулевого линейного подпространства, а линейное подпространство, не совпадающее со всем пространством, не может содержать никакого шара. .◦ . Доказать, что для любого множества M в нормированном пространстве Lin( ̄̄M ) ⊂ Lin(M). Доказать, что для M = {en } ∞ 1 в l1,где en = (0,...,0,1 n ,0,0,...), эти множества различны. .. Доказать, что в нормированном пространстве X любое ко- нечномерное подпространство замкнуто. Пример .. Является ли множество X0 = {x ∈ X : x(0) = x(1)} за- мкнутым линейным подпространством в пространстве: а) X=C[0,1]; б) X=C2[0,1]? Решение. Множество X0 замкнуто относительно линейных опе- раций, а значит, является линейным подпространством. а) Докажем, что X0 замкнуто в пространстве C[0, 1]. Рассмот- рим последовательность {xn} ∞ 1 непрерывных функций, для кото- рых xn(0) = xn(1), причём xn → x в пространстве C[0, 1]. Поскольку для любой точки a ∈ [0,1] выполнено |x(a) − xn(a)| x − xn C, последовательность xn(0) сходится к x (0), а x n(1) → x (1). Отсюда x (0) = x (1), т. е. x ∈ X0 ,азначит,подпространство X0 замкнуто. б) Докажем, что X0 не замкнуто в пространстве C2[0, 1]. Рас- смотрим последовательность xn(t) = t n − t — эти функции лежат в X0. При этом tn C2 = 1 0 t2n dt 1/2 = 1 2n+1 → 0, а значит, после- довательность { xn} ∞ 1 сходится к функции −t , которая уже не лежит в X0.
 Глава . Нормированные пространства Следующие две теоремы хорошо известны из курса математиче- ского анализа. Те ор е м а  .  (К. Вейерштрасс, ). Для любой непрерывной функции x на отрезке [0, 1] илюбого >0 найдётся такой много- членP(t)=a0+a1t+...+ant n ,что max t ∈[0,1] |x(t)−P(t)|= x−P C< . Те ор е м а  .  (К. Вейерштрасс, ). Для любой непрерывной функции x на отрезке [−π, π],длякоторой x(−π) = x (π),илю- бого >0 найдётся такой тригонометрический многочлен T(t)=Tc+Ts = n k=0 ak cos(kt) + n k=1 bk sin(kt), чтоx−TC<. .. Образуют ли следующие множества непрерывных функций замкнутые подпространства в пространстве C[−1, 1]: а) монотонные функции; б) чётные функции; в) многочлены; г) многочлены степени не выше n; д) непрерывно дифференцируемые функции; е) непрерывные кусочно-линейные функции; ж) непрерывные функции с ограниченной вариацией; з) функции x ,длякоторых x (0) = 0; и) функции x ,длякоторых 1 −1 x(t)dt=0; к) функции x ,длякоторых 1 0 x(t)dt=0; л) функции x , удовлетворяющие условию Липшица | x(b)− x (a)| Cx|b−a|длялюбых a,b∈[−1,1]? Тот же вопрос для пространства C2[−1, 1]. .. Образуют ли следующие множества непрерывных функций замкнутые подпространства в пространстве BC( ): а) периодические функции с периодом 1; б) периодические функции? .. Является ли замкнутым линейным подпространством в пространстве lp, p ∈[1,∞], множество M = x ∈ lp: ∞ n=1 xn=0 ? .*. Доказать, что если некоторое замкнутое подпространство в C[0, 1] состоит из непрерывно дифференцируемых функций, то оно конечномерно. .*. Доказать, что если некоторое замкнутое подпространство в L1[0, 1] состоит из непрерывных функций, то оно конечномерно.
§ .. Множества и последовательности  Определение . . Множество K в линейном пространстве на- зывается конусом, если для любых x1, x2 ,...,xn ∈ K илюбыхα1, α2 ,... ...,αn 0выполненоα1x1+α2x2+...+αnxn∈K. .. Привести пример такого конуса K в нормированном про- странстве X ,что K имеет пустую внутренность и Lin(K )всюдуплот- но в X . Показать, что если dim X < ∞, то такой пример невозмо- жен. .. Какие из перечисленных ниже пространств являются стро- го нормированными: а)lp(n),где p∈[1,∞], n 2; б)lp,гдеp∈[1,∞]; в) c;г ) c0; д) Cn[0,1], где n 0; е) Cp[0,1], где p ∈[1, ∞)? Определение .. Нормированное пространство X называет- ся равномерно выпуклым, если для любого >0 существует такое δ>0,чтоесли x = y =1иx+y>2−δ,тоx−y <. .. Доказать, что любое равномерно выпуклое нормированное пространство является строго нормированным. Вывести отсюда, что пространства l1, l∞, c, c0, L1[0, 1], L∞[0,1], C[0,1] и BV[0,1] не являются равномерно выпуклыми. .*. Доказать, что пространства l p и L p , p ∈ (1, ∞), являются равномерно выпуклыми. .. Доказать, что функционал Минковского pA выпуклого урав- новешенного поглощающего множества A в линейном простран- стве X есть полунорма. Доказать, что обратно, для любой полунор- мы p в X множество M = {x ∈ X : p(x) 1} является выпуклым, уравновешенным и поглощающим, а его функционал Минковского pM=p. .◦ . Пусть A есть выпуклое, уравновешенное и поглощающее множество в линейном пространстве X . Доказать, что его функци- онал Минковского pA является нормой тогда и только тогда, когда множество A не содержит ни одной прямой. .◦ . В линейном пространстве 2 найти множества, функци- оналы Минковского которых совпадают с нормами · p ,гдеp ∈ ∈ [1, ∞]. .◦ . Доказать, что правильный 2n-угольник с центром в нуле является единичным шаром для некоторой нормы на простран- стве 2 . Доказать, что правильный (2n + 1)-угольник с центром в нуле не является единичным шаром ни для какой нормы. .. Пусть Y — линейное подпространство нормированного пространства ( X , · ) . Доказать, что всякая норма на Y ,эквива - лентная · , может быть продолжена на всё X с сохранением акси- ом нормы и свойства эквивалентности.
 Глава . Нормированные пространства § . . Банаховы прос транс тва Определение . . Нормированное пространство X называет- ся банаховым (или полным), если оно полно (как метрическое про- странство). Определение . . Нормированное пространство Y называется пополнением нормированного пространства X ,если () Y полно; () найдётся такое изометричное вложение J : X → Y ,чтомно- жество J ( X )всюдуплотновY . 1) Теорема .. Для любого нормированного пространства суще- ствует пополнение. Если Y1 иY2 — пополнения одного и того же про- странства X , то они изометрически изоморфны. Задачи .◦ . Пустьнормы · 1и · 2 на линейном пространстве X эк- вивалентны. Доказать, что нормированное пространство ( X , · 1 ) полно тогда и только тогда, когда полно нормированное простран- ство (X, · 2).2) Докажите, что если · 1∼· 2 на X, то это соотно- шение сохранится и на пополненном пространстве. . ◦ . Пусть нормированные пространства X и Y изоморфны. До- казать, что тогда они либо оба полны, либо оба неполны. . ◦ . Доказать, что любое конечномерное нормированное про- странство банахово. Доказывать неполнотупространства обычно несложно — доста- точно предъявить фундаментальную последовательность, не име- ющую предела. При доказательстве полноты пространства X ча- сто действуют по следующей схеме. Сначала доказывают, что каж- дая фундаментальная последовательность {xn } ∞ 1 имеет предел x в некотором другом, обычно более слабом, чем по норме простран- ства, смысле, а потом показывают, что этот предел лежит в X и xn−x X→0. Пример .. Доказать полнотупространства C[0, 1]. Решение. Пусть {xn} ∞ 1 — фундаментальная последовательность в пространстве C[0,1]. Так как |xn(t) − xm(t)| xn − xm C для лю- бой точки t ∈ [0, 1], каждая числовая последовательность { xn(t)}∞ 1 фундаментальна, а значит, сходится. Обозначим x(t):= lim n→∞ xn(t). Докажем, что x — непрерывная функция, а сходимость не только 1) Строго гов оря, пополнением следует называть пару (Y , J ). 2) Обратите внимание, что для метрических пространс тв это не так (см. з ада- чу.).
§ .. Банаховы пространства  поточечная, но и равномерная. По определению фундаменталь- ности для любого >0 найдётся такой номер N ,чтодлялюбых n, m > N выполнено max t ∈[0,1] |xn(t) − xm(t)| < . В каждом неравен- стве |xn(t) − xm(t)| < перейдём к пределупри n → ∞. Получим |x(t) − xm(t)|< для любой точки t ∈ [0,1] и любого m > N.Это означает, что x − xm < ,т . е. x m → x . Непрерывность функции x (t) следует из неравенства |x(t2) − x(t1)| |x(t2) − xm(t2)|+|xm(t2) − xm(t1)|+|x(t1) − xm(t1)|. Действительно, пусть дано >0. Выберем такой номер m,чтобы первое и третье слагаемое здесь не превосходили /3. Функция xm непрерывна, а значит, и равномерно непрерывна. Выберем теперь число δ>0так,что|xm(t2) − xm(t1)| < /3 для любых точек t1 и t2 отрезка [0, 1] таких, что |t2 − t1| <δ. Таким образом, для любо- го >0мынашлитакоеδ>0, что | x(t2) − x (t1)| < ,кактолько |t2 − t1| <δ. .. Доказать полнотуследующих пространств: а) ◦ lp(n),1 p ∞, n∈ ;б)lp,1 p ∞; в)cиc0;г ) BC( )иC0( ); д)◦ AC(D); е) Cn[0,1], n∈ ; ж) L∞[0, 1]; з) BV [0, 1] и BV0[0, 1]. .◦ . Доказать, что пространство c00 не полно, и найти его по- полнение (сравните с задачей .). . . Доказать, что пространства C p[0, 1], p ∈ [1, ∞), не полны. .. Доказать, что L p[0, 1] является пополнением Cp [0, 1] при p ∈ [1, ∞), но L∞[0, 1] не является пополнением пространства C[0, 1]. . . Доказать, что пространства n Cp[0,1],p∈[1,∞), n∈ ,не полны. Пополнение этих пространств мы будем обозначать n Wp [0, 1] (пространства Соболева). Так же как и пространства L p,онидопус- кают эквивалентное описание. Рассмотрим это описание на приме- ре пространства W 1 1 [0, 1]. Определение .. Непрерывную функцию x на отрезке [0, 1] называют абсолютно непрерывной (x ∈ AC [0, 1]), если для любого >0 найдётся такое δ>0, что для любой конечной системы (ak , bk), k = 1, 2, ..., n, попарно непересекающихся интервалов отрезка [0, 1], сумма длин которых меньше δ (т. е . n k=1 (bk − ak ) <δ), выполнено n k=1 |x(bk) − x(ak)|< .
 Глава . Нормированные пространства Теорема . (А.Лебег, ). Функция x на отрезке [0,1] аб- солютно непрерывна тогда и только тогда, когда её производная x (t)=lim h→0 x(t+h)−x(t) h существует почти всюду и суммируема по Лебегу и справедлива формула Ньютона—Лейбница: x(t)= x(0)+ t 0 x (s)ds для всех t ∈[0,1]. Легко видеть, что абсолютно непрерывные функции образуют линейное пространство. Из теоремы Лебега следует, что на этом пространстве можно ввести норму x AC := 1 0 |x (t)|dt+ 1 0 |x(t)| dt (проверьте аксиомы нормы). . . Доказать, что пространство AC [0, 1] является пополнением пространства C 1 1 [0, 1] и, согласно теореме ., изоморфно простран- ству W1 1 [0, 1]. .. Доказать, что для любой функции x ∈ W 1 1 выполнено x W 1 1 = = Var 1 0x+ 1 0 |x(t)| dt. .. Доказать, что для любой непрерывно дифференцируемой на отрезке [0, 1] функции x (t) выполнено неравенство max t ∈[0,1] |x(t)| 21−1/p 1 0 |x (t)|p dt + 1 0 |x(t)|p dt 1/p для любого p ∈ [1, ∞). Пользуясь этим, доказать теорему о вложении (Г. Г. Харди, Дж. Е . Литтлвуд, ): пространство 1 Wp [0, 1] вложено в пространство C[0, 1]. Аналогично доказывается, что пространства n Wp [0, 1] вложены в C n−1 [0, 1]. В определении вложения требуется существование неко- торого линейного непрерывного инъективного отображения про- странств J : n Wp →C n−1 . Из теоремы . следует, что все пополнения пространства n Cp [0, 1] изоморфны междусобой, а потомуэлемента- ми пространства n Wp можно считать те функции пространства C n−1 , которые можно приблизить функциями из C n по метрике простран- ства n Wp . Теоремуо вложении соболевских пространств можно уси- лить: пространство 1 Wp [0, 1] вложено в пространство AC [0, 1]. .. Доказать следующие утверждения: а) функция x ∈ C n[0, 1], где n 1, принадлежит пространству n+1 Wp [0, 1] тогда и только тогда, когда производная x ∈ n Wp [0, 1];
§ .. Банаховы пространства  б) непрерывная функция x принадлежит 1 Wp [0, 1] в точности то- гда, когда она абсолютно непрерывна, а её производная x ∈ L p[0, 1]. Таким образом, пространства Соболева n Wp [0, 1] состоят в точ- ности из тех функций, (n − 1)-я производная которых абсолютно непрерывна, а n-я производная принадлежит L p[0, 1]. .. Какие из следующих функций принадлежат пространству W1 2[−1,1]: x1(t)=t, x2(t)=signt, x3(t)=|t|, x4(t)=|t|a ,гдеa ∈ ? Для тех функций, которые принадлежат этому пространству, найти норму. Линейное пространство многочленов является в некотором смыс- ле универсальным. Вводя на нём различные нормы и пополняя его, можно получать самые различные пространства. . ◦ . Доказать, что пространство Pn[0, 1], n ∈ ,полно,апрост- ранство P [0, 1] неполно. Найти пополнение пространства P [0, 1]. .. Найти пополнение линейного пространства многочленов на отрезке [0, 1] по норме пространства BV [0, 1]. .. Доказать, что на линейном пространстве многочленов нельзя так ввести норму, чтобы полу чилось банахово пространство. .. Пусть X — метрическое пространство. Обозначим через BC( X ) множество всех непрерывных ограниченных функций из X в . Доказать, что норма f BC(X) := sup x∈X |f(x)| превращает BC(X) в банахово пространство (линейные операции вводятся естествен- ным образом). .. Пусть X — метрическое пространство. Доказать, что най- дётся такое отображение F : X → BC(X), что F(x) − F(y) BC(X) = =ρX(x,y)длялюбыхx,y∈X. Другими словами, всякое метрическое пространство можно изо- метрически вложить в некоторое нормированное пространство. .. Доказать, что всякое конечное метрическое пространство X изометрически вкладывается в пространство l∞(n)длянекоторо- го n. . . Используя предыдущую задачу, доказать теорему . . .. Доказать, что следующие пространства изометрически вкладываются в BV0[0, 1]: а) L1[0, 1]; б) l1. В бесконечномерных (пускай даже и полных) нормированных пространствах ограниченная последовательность вовсе не обязана иметь хотя бы однупредельную точку. Пример . . Последовательность {en = (0,...,0,1 n ,0,0,...)}∞ n=1 в l1 не имеет ни одной фундаментальной подпоследовательности (и, соответственно, не имеет ни одной предельной точки), так как ep−eq =2приp=q.
 Глава . Нормированные пространства . ◦ . Доказать, что в конечномерном нормированном простран- стве любая ограниченная последовательность векторов имеет хотя бы однупредельную точку. .. Определить, какие из следующих последовательностей схо- дятся в пространстве C[0, 1], и найти их пределы: а)xn=t n ;б)xn = t n − tn−1 ;в)xn = t 2n − tn;г)xn = sin(πnt). Для последовательностей, которые не сходятся, найти все предель- ные точки. .. Доказать, что в банаховом пространстве любая система за- мкнутых вложенных шаров имеет непустое пересечение 1) . Определение . . Ряд ∞ k=1 xn из векторов нормированного про- странства X называется абсолютно сходящимся,еслисходитсячис- ловой ряд ∞ k=1 xn. .. Доказать, что нормированное пространство X полно тогда и только тогда, когда в нём выполнен признак Вейерштрасса сходи- мости рядов: любой абсолютно сходящийся ряд сходится. Привести пример ни к чемуне сходящегося, но абсолютно сходящегося ряда в неполном нормированном пространстве. Расстояние от точки до замкнутого множества может не дости- гаться (см. задачу.). Укажем важный случай, когда расстояние всё-таки достигается. Определение .. Пусть X — нормированное пространство, Y — его подпространство, x —произвольный вектор из X .Вектор y0 ∈ Y ,длякоторогоdist(x , Y ) = x − y0 (если такой вектор суще- ствует), называется элементом наилучшего приближения для век- тора x в подпространстве Y . Определение .. Пусть X — нормированное пространство, а Y — линейное подпространство в нём. Подпространство Y называ- ют подпространством существования, если для любого элемента x ∈ X в Y существует элемент наилучшего приближения. .. Пусть X — банахово пространство. Доказать, что любое ко- нечномерное подпространство в X является подпространством су- ществования. В произвольном банаховом пространстве X для произвольного (пусть даже и замкнутого) подпространства Y и произвольного век- тора x элемент наилучшего приближения может и не существовать 1) Здесь, в отличие от теоремы . о вложенных шарах, отсутствует требов ание о стремлении радиусов шаров к нулю (ср. с задачей .).
§ .. Конструкции банаховых пространств  (см. задачи . и .). В случае же если элемент существует, он мо- жет оказаться не единственным. .◦ . Привести пример банахова пространства X , замкнутого ли- нейного подпространства Y внёмивектора x , для которого элемент наилучшего приближения в подпространстве Y не единствен. .. Доказать, что в нормированном пространстве X элемент наилучшего приближения единствен для всякого замкнутого ли- нейного подпространства Y ⊂ X тогда и только тогда, когда про- странство X строго нормировано (см. определение .). .* (П. Л . Чебышёв, ). Доказать, что среди всех многочле- нов вида t n + an−1t n−1 + ... + a0 наименьшую норму в веществен- ном пространстве C[−1, 1] имеет многочлен Чебышёва (I рода) Tn(t) = 21−n cos(n arccos t). Указание. Многочлен степени n − 1неможетменятьзнакболее чем n − 1раз. Отсюда следует, что для вещественного пространства C[−1, 1] элементом наилучшего приближения для t n вподпространствеPn−1 всех многочленов степени меньшей n является многочлен t n − Tn(t), аdist(t n , Pn−1) = 21−n . Определение .. Пусть X — нормированное пространство, X0 —его замкнутое подпространство, ∈ [0, 1]. Вектор x ∈ X назы- вается -перпендикуляром (или почти перпендикуляром)к X0,если x =1иdist(x, X0) 1− . .. Пусть X — нормированное пространство, а X0 X —его замкнутое подпространство. Доказать, что при любом >0суще- ствует -перпендикуляр к X0. .. Пусть X0 — замкнутое подпространство банахова прост- ранства X . Доказать, что если для некоторого вектора x /∈ X0 суще- ствует элемент наилучшего приближения в подпространстве X0,то кподпространству X0 существует 0-перпендикуляр. . ◦ . Доказать, что для всякого конечномерного подпростран- ства в банаховом пространстве существует 0-перпендикуляр. Для бесконечномерных подпространств 0-перпендикуляр суще- ствует не всегда (см. задачу .). § .. Конс трукции банаховых прос транс тв. Прямые суммы подпрос транс тв Есть несколько способов конструирования новых банаховых пространств из уже известных. Один из способов — декартово про- изведение.
 Глава . Нормированные пространства . ◦ . Пусть линейное пространство X = X1 × X2 ,где(X1, · 1 ) и(X2, · 2) — нормированные пространства. Проверить аксиомы нормы x1 x2X =x 1X1 +x2X2 в пространстве X . Доказать, что если X1 и X2 банаховы, то и пространство X банахово. Определение .. Нормированное пространство X , построен- ное в предыдущей задаче, называют декартовым произведением нормированных пространств X1 и X2. .. Доказать, что декартово произведение c0 × c0 снормой (x1, x2) = x1 c0 + x2 c0 не является изометрически изоморфным пространству c0. Нормуна декартовом произведении нормированных пространств можно задать и другим способом, например x1 x2X =(x1 p X1 +x2 p X2 )1/p , p>1, или x1 x2X =max{x1X1 ,x 2X2 }. Однако не любую норму в 2 можно использовать для построения нормы в X1 × X2. .. Привести пример нормы · · на линейном простран- стве 2 и нормированных пространств ( X1, · 1), (X2, · 2)та- ких, что функция p(x1, x2) = x11 x22 на линейном пространстве X1 × X2 не является нормой. Доказать, что если норма · · мо- нотонна по каждой координате, то для любых нормированных про- странств X1, X2 функция p(x1, x2)являетсянормойналинейном пространстве X1 × X2. . . Привести пример нормы на декартовом произведении X1 × X2 нормированных пространств, которая не задаётся спосо- бом, указанным в задаче . . Например, пространство l p ( ), p ∈ [1, ∞], двусторонних после- довательностей можно представить в виде декартова произведения lp( )=lp× ×lpснормой(x,λ,y) = ( x p,|λ|, y p) lp(3). Другой способ конструирования новых банаховых пространств — это переход к факторпространству. Опишем его подробно. Пусть L — линейное пространство, а L0 — его линейное подпространство. Назовём два вектора эквивалентными (x y ), если x − y ∈ L0.Мно- жество факторклассов, на которые разбивает множество L это от- ношение эквивалентности, обозначим L/L0. Для класса [ x] ∈ L/L0 и α ∈ положим α[ x] — класс, содержащий вектор α x ,гдеx —про- извольный представитель класса [ x ]. Определим линейные опера-
§ .. Конструкции банаховых пространств  ции на факторклассах. Для классов [ x] ∈ L/L0 и[y] ∈ L/L0 положим [x] + [ y] — класс, содержащий вектор x + y,гдеx и y —представи- тели классов [ x ]и[y ] соответственно. Эти операции определены корректно (не зависят от выбора представителей), а L/L0 свведён- ными операциями будет линейным пространством (докажите это). В частности, [0] = L0. .. Пусть X0 — замкнутое подпространство нормированного пространства X . Доказать, что [x] 0 = inf x∈[x] x задаёт нормуна линейном пространстве X / X0. . . Пусть X0 — замкнутое подпространство банахового прост- ранства X . Доказать, что нормированное пространство X / X0 полно. . . Пусть X0 — замкнутое подпространство нормированного пространства (X, · ). Доказать, что если пространства (X0, · )и (X/X0, · 0)полны,тои X полно. .◦ . Доказать, что: а) факторпространство c/c0 изометрически изоморфно про- странству ; б) факторпространство L∞[−1, 1]/L∞[0, 1] изометрически изо- морфно пространству L∞[0, 1]. Следует иметь в виду, что в общем случае, когда X — банахово пространство, а X0 — замкнутое подпространство в нём, в X может не быть подпространств, изоморфных X / X0 . Определение . . Пусть X — линейное пространство, X1 и X2 — два линейных подпространства в X ,причём X1 ∩ X2 = {0}. Линейной прямой суммой этих подпространств называют множество X3={x1+x2:x1∈X1,x2∈X2}. Его обозначают X3 = X1 ⊕ X2 . Легко проверить, что если x ∈ X1 ⊕ X2 ,торазложение x = x1 + x2 единственно. Определение .. Пусть X — нормированное пространство, X1 и X2 — два линейных подпространства в X ,причём X1 ∩ X2 = {0}. Линейную прямую сумму этих подпространств называют топологи- ческой прямой суммой, если найдутся такие константы C1 и C2 ,что длялюбогоx=x1+x2,x1∈X1,x2∈X2,выполнено x1 C1x, x2 C2x. Заметим, что в данном определении можно требовать существо- вания только одной из констант (если, например, выполнена оценка x1 C1x,тоx2 x−x1 (1 + C1) x ). В дальнейшем в нор- мированных пространствах, если не оговорено противное, мы бу- дем рассматривать только топологические прямые суммы, обозна- чая их тем же символом ⊕. Несложно видеть, что в конечномерном
 Глава . Нормированные пространства нормированном пространстве любая линейная прямая сумма явля- ется топологической прямой суммой. Приведём ещё два достаточ- ных условия: Те ор е м а  .  . Если X — произвольное нормированное простран- ство, а X1 иX2 — два его подпространства, причём одно из них за- мкнуто, а другое конечномерно, то их линейная прямая сумма явля- ется топологической. Теорема . . Если X — банахово пространство, X1 иX2 —дваего замкнутых подпространства, причём их линейная прямая сумма также есть замкнутое подпространство (в частности, совпадает сX), то эта прямая сумма является топологической 1) . . . Доказать теорему. . .◦ . Доказать, что линейная прямая сумма подпространств c00 иLin(x0), где x0 = 1, 1 2, 1 3 ,... ,впространствеc не является топологической. .◦ . Пусть X1 и X2 — замкнутые подпространства банахова про- странства X . Доказать, что X1 ⊕ X2 — замкнутое подпространство. Доказать обратное: если X1 и X2 —линейные подпространства ба- нахова пространства X ,а X1 ⊕ X2 — замкнутое подпространство, то X1 и X2 замкнуты. . ◦ . Привести пример неполного нормированного простран- ства X идвухзамкнутыхподпространстввнём X1 и X2 таких, что их топологическая прямая сумма X1 ⊕ X2 — незамкнутое подпро- странство. Отметим следующий важный факт2) .Пустьимеютсялинейное пространство X илинейноеподпространствоX1 в нём. Тогда най- дётся такое линейное подпространство X2,что X является линейной прямой суммой X1 и X2. Определение . . Пусть X — линейное пространство, X1 —ли - нейное подпространство в нём, а X2 — его линейное дополнение, т. е . X = X1 ⊕ X2. Тогда размерность пространства X2 (конечную или бесконечную) называют коразмерностью подпространства X1 иобозначаютcodimX1 . Заметим, что подпространство X2,допол- няющее X1, не единственно, но можно доказать, что размерность у всех таких подпространств одинакова. Определение . . Линейное подпространство X0 внормиро- ванном пространстве X называется дополняемым,еслинайдётся такое замкнутое подпространство X1,что X = X0 ⊕ X1 ( X является топологической прямой суммой X0 и X1). 1) Теорема . следует из утверждения задачи .. 2) Доказательство этого факта в общем случае опираетс я на лемму Цорна.
§ . . Сепарабельность нормированных пространств  Отметим, что в произвольном (пусть даже и банаховом) про- странстве X не всякое замкнутое подпространство дополняемо (см. задачу.). § .. Сепарабельность нормированных прос транс тв .◦ . Доказать, что множество финитных последовательностей: плотно в пространствах а) lp, p ∈ [1, ∞); б) c0; не плотно в пространствах в) c;г)l∞ . .. Доказать, что множество многочленов: плотно в пространствах а) ◦ C[0, 1]; б)◦ C n [0, 1]; в) ◦ Cp [0, 1], где p∈[1,∞);г)◦ n Cp[0,1],гдеn=1,2,..., а p∈[1,∞); не плотно в пространствах д) L∞[0, 1]; е) BV [0, 1]. .. Пусть μ — произвольная конечная мера на некоторой σ-ал- гебре Σ подмножеств отрезка [0, 1]. Доказать, что множество мно- гочленов плотно в пространствах L p([0, 1], Σ, μ), p ∈ [1, ∞). В следующей задаче и далее в этом задачнике кусочно-линейной функцией мы будем называть определённую на или на отрезке [a, b] непрерывную функцию x(t)= n k=0 (ak t + bk)χ[tk ,tk+1 ](t), где−∞=t0<t1<...<tn+1=+∞(соответственно,a=t0<t1<... ... < tn+1 = b). График такой функции будем называть ломаной. .◦ . Доказать, что множество кусочно-линейных функций: плотно в пространствах а) C[0, 1]; б) Lp[0, 1], p ∈ [1, ∞); в) 1 Wp[0,1], p∈[1,∞); не плотно в пространствах г) L∞[0, 1]; д) BV [0, 1]. .*. В пространстве C[0, 1] для произвольного натурального n рассмотрим множество функций Fn = {x∈C[0,1]:∃t0∈[0,1]∀t∈[0,1]|x(t)− x(t0)| n|t−t0|}. Доказать, что Fn нигденеплотно. Указание. Доказать вначале, что множество Fn замкнуто. Из утверждения этой задачи и теоремы . следует существова- ние непрерывной нигде не дифференцируемой функции. .◦ . Пусть нормированные пространства X1 и X2 изоморфны. Доказать, что они либо оба сепарабельны, либо оба не сепара- бельны. .◦ . Пусть ( X , · ) — сепарабельное нормированное простран- ство, а X0 — его линейное подпространство. Доказать, что про- странство (X0, · ) сепарабельно.
 Глава . Нормированные пространства Следующее свойство часто используют, когда надо доказать несепарабельность пространства. .◦ . Доказать, что если в нормированном пространстве найдёт- ся несчётная система непересекающихся единичных шаров, то про- странство несепарабельно. Пример .. Доказать, что: а) пространство BC( ) несепара- бельно; б) пространство C0( ) сепарабельно. Решение. а) Рассмотрим системуфункций {eλ (t) = eiλt }ишаров Bλ := B(eλ ,1), где λ ∈ [0, 2π). Посколькупри λ = μ имеем eλ − eμ = = sup{|ei(λ−μ)t − 1| : t ∈ }= (точная верхняя грань достигается при t = π/(λ − μ)), эти шары не пересекаются, и остаётся применить за- дачу.. б) Теперь докажем сепарабельность C0( ). Для каждой функции x ∈ C0( )илюбого >0 найдётся такая финитная непрерывная функция y ,что x − y < . Действительно, посколькуlim |t|→∞ x(t)=0, существуеттакоенатуральноечисло A,чтопривсех|t| > A выпол- нено |x(t)| < .Положимтеперьy(t) = x (t)при|t| A, y(t) = 0 при |t| A + 1,анаотрезках[− A − 1, − A]и[A, A + 1] зададим y(t) линейно и так, чтобы получилась непрерывная на функция. Для каждой такой функции y найдётся такая непрерывная финит- ная кусочно-линейная функция z с рациональными узлами, что y − z < 5 . Действительно, в силунепрерывности, а значит, рав- номерной непрерывности функции y (t)наотрезке[− A, A], най- дётся такое δ>0, что | y(t2) − y(t1)| < ,кактолько|t2 − t1| <δ. Рассмотрим разбиение − A = t0 < t1 < ... < tn = A с рациональными hk = tk+1 − tk <δ.Длякаждогоk найдём такое рациональное yk ,что |yk − y(tk)| < , и соединим точки (−A − 1,0), (−A, y0), (t1, y1), ... ..., (A, yn), (A + 1, 0) отрезками — это и есть ломаная z(t). Тогда на каждом отрезке t ∈ [tk , tk+1]имеем |y(t) − z(t)| |y(t) − y(tk)|+|y(tk) − z(tk)|+|z(t) − z(tk)|< < 2 + |z(tk+1) − z(tk)| 2 + |z(tk+1) − y(tk+1)| + +|y(tk+1)− y(tk)|+|y(tk)− z(tk)|<5 . На отрезках [− A − 1, − A]и[A, A + 1] неравенство |z(t) − y(t)| < очевидно, посколькуздесь обе функции линейны, совпадают в од- ном из концов отрезка и отличаются в другом конце менее чем на . Таким образом, множество L непрерывных финитных кусоч- но-линейных функций с рациональными узлами плотно в C0( ). Докажем, что оно счётно. Пусть Ln — множество ломаных с раци- ональными узлами, состоящих ровно из n звеньев. Такие ломаные однозначно задаются n − 1 точкой с рациональными координатами
§ . . Сепарабельность нормированных пространств  на плоскости. Множество таких точек счётно, объединение n − 1 счётного множества счётно, т. е. Ln — счётное множество. Тогда и L= ∞ n=1 Ln счётно. .◦ . СчётнолимножествоM={x∈l1:xn∈ длявсехn∈ }? .. Определить, какие из следующих пространств сепарабель- ны: а) ◦ lp(n),p∈[1,∞],n∈ ;б ) ◦ lp, p∈[1,∞); в)◦c0иc;г ) ◦ l∞; д)◦ C[0, 1]; е)◦ C n [0,1],n∈ ; ж) ◦ Pn[0, 1]; з) ◦ Cp[0,1], p ∈ [1, ∞); и) ◦ n Wp[0,1],n∈ ,p∈[1,∞); к) ◦ P [0, 1]; л)◦ Lp[0,1], p ∈ [1, ∞); м)◦ L ∞ [0, 1]; н) BV [0, 1] и BV0[0, 1]; о) AC(D); п) Lp([0,1],Σ,μ), p ∈ [1, ∞), мера μ конечна; р) Lp( ,Σ,μ), p ∈ [1, ∞), мера μσ-конечна.
Глава  Гильбертовы пространства § .. Основные понятия и свойс тва. Примеры евклидовых и гильбертовых пространств Определение . . Пусть E — линейное пространство над по- лемK(K= илиK= ).Отображение(·, ·):E×E→Kназывается скалярным произведением, если выполнены аксиомы: ()(x,x) 0длялюбого x∈E,причём(x,x)=0⇔ x=0(поло- жительная определённость); () (x, y)=(y, x) для любых x, y ∈ E (антисимметричность); ()(αx+βy,z)=α(x,z)+β(y,z)длялюбых x,y,z∈E,α,β∈K (линейность по первому аргументу). Линейное пространство E со скалярным произведением называ- ется евклидовым пространством. В евклидовом пространстве имеет место неравенство Коши—Бу- няковского: |(x, y)|2 (x, x)·(y,y). Из этого неравенства следует (см. задачу .), что скалярное про- изведение порождает норму x = (x,x), (.) так что всякое евклидово пространство является нормированным. Соответствующая норма называется евклидовой. В терминах нормы неравенство Коши—Буняковского имеет вид |(x,y)| x · y . Векторы x , y называются ортогональными (x ⊥ y), если (x , y) = 0. В вещественном евклидовом пространстве определён угол меж- ду ненулевыми векторами: cosx,y= (x, y) x·y . Определение . . Евклидово пространство, полное относитель- но нормы (.), называется гильбертовым пространством.Непол- ное евклидово пространство называют предгильбертовым.
§ .. Основные понятия и свойства  Иногда в определение гильбертовых пространств включают тре- бование бесконечномерности. Всякое предгильбертово простран- ство можно пополнить до гильбертова (см. теорему.). Примером гильбертова пространства служит любое простран- ство L2(M , Σ, μ), где M — произвольное множество, Σ ⊂ 2M —н еко- торая σ-алгебра его подмножеств, а μ : Σ → + — σ -аддитивная, конечная или σ-конечная, положительная мера на Σ (см. курс дей- ствительного анализа). Скалярное произведение определяется ра- венством (f,g)= M f ̄gdμ. Частным случаем этого пространства являются гильбертовы про- странства l2, L2[0, 1] и L2( ). Норма в евклидовом пространстве обладает многими замеча- тельными свойствами, которые зачастую являются характеристи- ческими для евклидовости. Приведем классический пример такого свойства. Те ор е м а  .  (П. Йордан, Дж. фон Нейман, ). Нормированное пространстве X является евклидовым тогда и только тогда, когда для любых двух векторов x , y ∈ X выполнено равенство параллело- грамма x−y 2 +x+y2 =2x 2 +2y2 . Задачи . ◦ . Доказать неравенство Коши—Буняковского. Доказать, что равенство |(x , y)| = x · y выполнено тогда и только тогда, когда векторы x и y линейно зависимы. . ◦ . Доказать, что функция, определяемая равенством (.), удо- влетворяет всем аксиомам нормы. . ◦ . Пусть E — евклидово пространство. Доказать непрерыв- ность скалярного произведения по каждомуаргументуи по сово- купности аргументов. . ◦ . Доказать теоремуПифагора в евклидовом пространстве E : x⊥yтогдаитолькотогда,когда x+y2= x 2+ y2.Ввеще- ственном евклидовом пространстве доказать теоремукосинусов: для любых x , y ∈ E выполнено x−y 2 =x 2 +y2 − 2x·ycosx,y. . ◦ . Пусть {xn} ∞ 1 и{yn} ∞ 1 — последовательности векторов евкли- дова пространства, причём xn 1, yn 1длявсехn ∈ .Дока- зать,чтоесли(xn, yn)→1,то xn − yn →0.
 Глава . Гильбертовы пространства . ◦ . Пусть E — евклидово пространство. Доказать поляризаци- онное тождество: для любых векторов x и y из E выполнено ра- венство (x, y) = 1 4 3 k=0 ik x + ik y 2 в случае комплексного простран- ства E или равенство (x, y)= 1 4x+y2 − 1 4x−y 2 вслучаедей- ствительного пространства E . Определение .. Два гильбертовых пространства (H1,(· , · )H1 ) и(H2,(· , · )H2 ) называют унитарно эквивалентными или изометри- чески изоморфными, если существует отображение U : H1 → H2 (уни- тарный оператор), которое () биективно; () линейно; () сохраняет скалярное произведение: (Ux, Uy)H2 = (x, y)H1 для любых x,y∈H1. При замене свойства () на условие инъективности получим опре- деление изометрического вложения (изометрии)гильбертовыхпро- странств. . ◦ . Пусть (H1,(· , · )H1 )и(H2,(· , · )H2 ) — гильбертовы простран- ства. Обозначим · H1 и ·H2 — нормы, порождённые скаляр- ными произведениями. Доказать, что гильбертовы пространства (H1,(· , · )H1 )и(H2,(· , · )H2 ) унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда банаховы пространства (H1, · H1 )и(H2, · H2 )изо- метрически изоморфны (см. определение .). Неизометрические изоморфизмы уже не обязаны сохранять ска- лярное произведение, и, говоря об изоморфизме (или о вложении) пространств X и Y , из которых одно (или оба) гильбертово, имеют в видуизоморфизм (соответственно, вложение) нормированных про- странств X и Y (см. определение .). Обычно довольно просто доказать «гильбертовость» данного конкретного пространства. Сложнее доказывать, что данное ба- нахово пространство не является гильбертовым. Строго говоря, задача ставится так: выяснить, является ли данное банахово про- странство ( X , · ) изометрически изоморфным (более сложный во- прос — изоморфным) некоторомугильбертовупространству. В слу- чае наличия изометрического изоморфизма говорят, что простран- ство ( X , · ) гильбертово, а при наличии произвольного изомор- физма говорят, что ( X , · ) эквивалентно гильбертову простран- ству. Полезным средством для решения первой задачи является теорема . . Пример .. Доказать, что норма в C[0, 1] не может быть порож- дена скалярным произведением (т. е . что C[0, 1] — не гильбертово пространство).
§ .. Основные понятия и свойства  Решение. В силутеоремы . для любых векторов x и y обя- зано выполняться равенство параллелограмма. Возьмём x (t) = 1, y(t)=t.Тогда x = y = x−y =1,а x+y =2,т.е.равенство не выполнено. .. Доказать теорему. . . . Доказать, что если в нормированном пространстве X для произвольных двух векторов x , y выполнено «неравенство парал- лелограмма» x−y 2+ x+y 2 2 x 2+2 y 2,тоX евклидово. . ◦ . Доказать, что следующие пространства не гильбертовы: а)lpприp∈[1,∞],p =2; б)c;в)c0;г)Cn[0,1], n∈ ; д)Lp[0,1],p∈[1,∞],p =2. .. Доказать, что в любом банаховом пространстве X для лю- бых векторов x , y ∈ X , не равных нулю одновременно, выполнено 1 2 x+y2+ x−y 2 2x2+2y2 2. Показать, что в обоих пространствах l∞(2) и C[0, 1] достигаются оба крайние значения.1) На самом деле, пространства C[0, 1]; lp при p ∈ [1, ∞], p = 2; c0; c; Cn[0, 1]; Lp[0, 1] при p ∈ [1, ∞], p = 2 не изоморфны гильбертовым пространствам, что можно доказать, например, с использованием теоремы . . . ◦ . Доказать, что пространство L2(M , Σ, μ) (см. список про- странств) гильбертово. . ◦ . Пусть Ω={rn} ∞ 1 — последовательность положительных чи- сел. Рассмотрим множество последовательностей (x1, x2 ,...), где xn ∈ , для которых сходится ряд ∞ n=1 (rn|xn|)2 . Докажите, что это линейное пространство. Снабдим это множество скалярным произ- ведением (проверьте аксиомы скалярного произведения) (x, y)= ∞ n=1 r 2 n xn ̄yn и обозначим полученное пространство l2,Ω . Доказать, что это про- странство есть L2(M,Σ,μ), где M = , Σ=2 ,аμ(A) = n∈A rn .Отсюда следует, что l2,Ω есть гильбертово пространство.2) Другой пример гильбертовых пространств — пространства Со- болева. 1) При этом пространс тв о l∞(2) изоморфно гильбертовупространс твуl2(2), по- скольк ув конечномерном пространс тве все нормы эквива лентны (см. за дачу.), а прос транство C [0, 1] не изоморфно никакомугильбертовупрос транству. 2) Пространство l2,Ω называют пространством l2 свесомΩ={rn }(ср.сзада- чей .).
 Глава . Гильбертовы пространства .◦ . Доказать, что пространства Соболева W n 2 [0,1], n∈ ,гиль- бертовы. .. Доказать, что пространство Бергмана AL2(|z| < 1) является гильбертовым пространством. .. Какие из следующих пространств сепарабельны: а) ◦ Wn 2 [0,1], n ∈ ;б)◦ l2,Ω;в)L2( ); г)* L2(M,Σ,μ); д) AL2(|z| < 1)? .. Рассмотрим линейное пространство H произвольных функ- ций вещественного переменного, отличных от нуля не более чем в счётном числе точек (для каждой функции набор точек свой). Введём скалярное произведение в этом пространстве по правилу (x,y)= t: x(t)·y(t)=0 x (t) y (t). Доказать, что H —гильбертово несепа- рабельное пространство. . ◦ . Доказать, что всякое гильбертово пространство строго вы- пукло, или, что то же самое, строго нормировано (см. определе- ние .). .◦ . Доказать, что всякое гильбертово пространство равномер- но выпукло (см. определение .). Следующее соотношение называют теоремой о среднем для ска- лярного произведения. . ◦ . Доказать, что в комплексном гильбертовом пространстве H для любых векторов x и y выполнены равенства (x, y)= 1 N N k=1 x+e 2πik/N y 2 e 2πik/N ,г д е N3, (x, y)= 1 2π 2π 0 x+eiθy 2eiθdθ (сравните с задачей .). § .. Множества в гильбертовых прос транс твах Определение .. Два множества M и N вевклидовомпро- странстве называются ортогональными (обозначают M ⊥ N ), если (x, y)= 0 для любых x ∈ M, y ∈ N. Ортогональным дополнением к множеству M в евклидовом пространстве H называется множество M⊥={x∈H:(x,y)=0длявсехy∈M}. Определение . . Пусть H0 — собственное замкнутое подпро- странство гильбертова пространства H ,а x —произвольный вектор из H .Вектор y ∈ H0 называют ортогональной проекцией вектора x на подпространство H0,еслиx − y ∈ H⊥ 0.
§ . . Множества в гильбертовых пространствах  Определение .. Пусть H — гильбертово пространство, а H1 и H2 — два его линейных подпространства, причём H1 ∩ H2 = {0}. Линейную прямую сумму H3 = H1 ⊕ H2 называют ортогональной прямой суммой (обозначают H3 = H1 ⊥ ⊕H2),еслиH1⊥H2. Определение . . Пусть H1 и H2 —гильбертовы пространства. Гильбертово пространство H = x1 x2 :x1∈H1,x2∈H2 соскаляр- ным произведением x1 x2 , y1 y2H := (x1, y1)H1 + (x2, y2)H2 назы- вают ортогональной прямой суммой гильбертовых пространств H1 и H2 иобозначаютH = H1 ⊥ ⊕ H2 (ср. с определением .). 1) Задачи . ◦ . Пусть M — произвольное множество в гильбертовом про- странстве. Докажите, что M ⊥ является замкнутым линейным под- пространством. . ◦ . Пусть H0 — собственное замкнутое подпространство гиль- бертова пространства H . Доказать, что вектор x принадлежит H ⊥ 0 тогда и только тогда, когда для всякого y ∈ H0 имеет место неравен- ство x−y x. . ◦ . Пусть H0 — собственное замкнутое подпространство гиль- бертова пространства H ,а x ∈ H . Доказать, что y ∈ H0 является ортогональной проекцией вектора x тогда и только тогда, когда y есть элемент наилучшего приближения для вектора x вподпро- странстве H0. .. Доказать, что в гильбертовом пространстве любое замкну- тое подпространство является подпространством существования (см. определение .). . ◦ . ПустьH=H0 ⊥ ⊕ H1,гдеH0 и H1 — замкнутые подпростран- ства, x ∈ H .Обозначимчерез y элемент наилучшего приближения для x вподпространствеH0, через z — элемент наилучшего при- ближения для x вподпространствеH1. Доказать, что x = y + z и, соответственно, dist( x , H0) = z ,dist(x , H1) = y ,dist 2 (x, H0) + + dist 2 (x,H1)= x 2 . .. Пусть H0 — замкнутое подпространство гильбертова про- странства H . Доказать, что H = H0 ⊥ ⊕H⊥ 0 . Верно ли это в предгиль- бертовом пространстве H ? Отметим, что в гильбертовых пространствах для любого замкну- того собственного подпространства H0 всегда существует 0-перпен- 1) В результате H1 и H2 «превращаютс я» в подпространс тва пространс тва H ,при- чём H яв ляетс я их ортогона льной прямой суммой.
 Глава . Гильбертовы пространства дикуляр (см. определение .) — им является любой вектор еди- ничной длины из H ⊥ 0. .. Пусть H — гильбертово пространство, H0 — собственное замкнутое подпространство, H /H0 — факторпространство. Дока- зать, что отображение J : H ⊥ 0 → H/H0, Jx = [x]являетсяизометри- ческим изоморфизмом (здесь [ x ] — факторкласс из H /H0,содержа- щий вектор x ). . ◦ . Доказать, что линейное подпространство M вгильберто- вом пространстве H всюдуплотно в H тогда и только тогда, когда M⊥ = {0}. .. Доказать, что в гильбертовом пространстве для любого множества M имеет место равенство (M ⊥)⊥ = Lin(M )(замыкание линейной оболочки множества M ). . . Пусть H — гильбертово пространство, а M и N —два его взаимно ортогональных линейных подпространства. Доказать, что их ортогональная прямая сумма является топологической прямой суммой. Доказать, что если они оба замкнуты, то M ⊥⊕ N —замкну- тое подпространство в H . . ◦ . В гильбертовом пространстве H привести примеры таких замкнутых подпространств M и N ,что H = M ⊕ N ,ноэтатопологи- ческая прямая сумма не является ортогональной прямой суммой. .. Пусть H — гильбертово пространство, {xn} ∞ 1 —последова- тельность векторов из H ,а{λn} ∞ 1 — последовательность комплекс- ных чисел. Доказать, что множество M ={x ∈ H:(x, xk)=λk,k ∈ } либо пусто, либо является замкнутым аффинным подпространством вH. 1) Определение .. Множество M гильбертова пространства H называют чебышёвским, если для любого x ∈ H в M существует и единствен элемент наилучшего приближения, т. е. существует един- ственный y∈M такой, что dist(x,M)= x − y . . . Доказать, что любое замкнутое выпуклое множество в гильбертовом пространстве является чебышёвским. 2) В произвольном полном метрическом пространстве последова- тельность непустых замкнутых вложенных ограниченных множеств 1) Аффинным подпрос транством в линейном прос транс тве L назыв аетс я множе- ство Π={ x 0 + y : y ∈ L}, где L —линейное подпространство, а x0 — фиксированный вектор. 2) До сих пор () не решена проблема (Н. В . Ефимов, С. Б . Стечкин, В. К ли, -е годы): всякое ли чебышёвское множество в гильбертовом пространстве яв- ляетс я выпук лым? В конечномерном евк лидовом пространс тв е множество являет- ся чебышёвским тогда и только тогда, когда оно замкнуто и выпук ло (Л. Бунт, , Т.Моцкин, ).
§ . . Множества в гильбертовых пространствах  с диаметрами, стремящимися к нулю, имеет непустое пересечение (см. задачу.). В случае нормированного пространства можно от- казаться от условия стремления к нулю диаметров для частного слу- чая шаров (см. задачу.). В гильбертовом пространстве вместо шаров можно взять произвольные выпуклые множества и утвержде- ние останется верным (см. задачу.), однако в отсутствие условия выпуклости пересечение множеств может оказаться пустым. .. Привести пример последовательности непустых вложен- ных ограниченных замкнутых множеств в пространстве l2,имею- щих пустое пересечение. Определение . . Угол между подпространством M и векто- ром x в вещественном гильбертовом пространстве определяется равенством x , M := x , y ,где y — ортогональная проекция x на M (еслиx⊥M,тоy=0ивэтомслучае x,M:= π 2 ). .. Доказать, что угол x , M междуподпространством M ивек- тором x в вещественном гильбертовом пространстве H принимает значения в промежутке 0, π 2 . Пример .. В пространстве L2[0, π] найти выпуклую оболочку, замыкание, линейную оболочку, замыкание линейной оболочки и ортогональное дополнение для множества T тригонометрических многочленов Tn(t) = n k=1 ak sin(kt), где n ∈ ,аak 0длявсехk. Решение. Множество T выпукло, а потому его выпуклая обо- лочка совпадает с ним. Действительно, если Tn = n k=1 ak sin(kt)и Sm= m k=1 bk sin(kt) (будем считать m n иположимтогдаan+1 = ... ... =am=0),то αTn+(1−α)Sm = m k=1 (αak + (1 − α)bk)sin(kt), причём αak+(1−α)bk 0, если ak 0,bk 0, α∈[0,1]. Докажем, что замыкание множества T есть множество ̄̄T = {x ∈ ∈ L2[0, π]: (x ,sin(kt)) 0длявсехk ∈ }. Действительно, если Tn ∈ T, то (Tn ,sin(kt)) 0 для любого k ∈ , а при переходе к пределу Tn → x эти неравенства сохранятся, так как скалярное произведе- ние непрерывно по каждомусвоемуаргументу. Итак, замыкание множества T вложено в множество ̄̄T . Докажем теперь, что ̄̄T сов- падает с замыканием множества T. В силутеоремы Рисса—Фишера (см. курс действительного анализа или теорему . ниже) любую функцию x ∈ L2[0, π]можнозаписатьввидесходящегосявL2 ряда
 Глава . Гильбертовы пространства x= 2 π ∞ k=1 (x ,sin(kt)) sin(kt). Для функции x ∈ ̄̄T частичные суммы этого ряда Tn = 2 π n k=1 (x ,sin(kt)) sin(kt)сходятсяк x . Докажем, что Lin T есть множество всех тригонометрических многочленов вида ak sin(kt). Действительно, линейная комбина- ция двух многочленов из T есть такой многочлен. С другой стороны, любой многочлен Pn(t) = n k=1 ak sin(kt)можнозаписатьввидераз- ности двух многочленов с неотрицательными коэффициентами — к первомуотнести слагаемые с ak 0, а ко второму— с ak < 0. В силутеоремы Вейерштрасса . замыкание линейной оболоч- ки Lin T совпадает со всем пространством. Найдём множество S = T⊥. В силуутверждения задачи ., S⊥ = L2[0, π], в частности, для любого x ∈ S выполнено (x, x) = 0, т.е.S ={0}. .. В пространстве L2[−1, 1] для следующих множеств найти выпуклую оболочку, замыкание, линейную оболочку, замыкание линейной оболочки и ортогональное дополнение:1) а) M={x ∈ L2[−1,1]: x(t)=0длявсехt <0}; б)Ma = {x∈L2[−1,1]: x непрерывна в точке a и x(a)=0}; в) M = {x ∈ L2[−1, 1]: x(t) = x(−t)длявсехt ∈ [−1, 1]}; г) M = {x ∈ L2[−1, 1] : x(t) = x(−t)длявсехt ∈ [−1/2, 1/2]}; д)M=C[−1,1]; е) M — множество всех многочленов; ж) M — множество всех многочленов p,длякоторых p(0) = 0; з) M — множество всех многочленов, укоторых коэффициенты при нечётных степенях равны нулю; и) M — множество ступенчатых функций (количество ступенек конечно); к) My = {x ∈ L2[−1,1]: x − y L2[−1,1] 1} для некоторой фикси- рованной функции y ∈ L2[−1, 1]; л) My = {x ∈ L2[−1,1]: x − y L2[0,1] 1} для некоторой фикси- рованной функции y ∈ L2[−1, 1]; м) M = {x ∈ L2[−1, 1]: x(t) 0длявсехt ∈ [−1, 1]} (здесь рас- сматривается пространство над полем ); н) M ={x ∈ L2[−1,1]: |x(t)| 1длявсехt ∈ [−1,1]}; 1) Напомним, что элементами пространства L2 являютс я к лассы эквива лентных функций. Здесь и везде далее, говоря о функции x ∈ L2 ,мыимеемввиду,что x ∈ [ x] — произв ольный предс тавитель к ласса [ x] ∈ L2 . При этом все соотношения для функции x , выполнение которых требуется для любого t , предполагаются выпол- ненными для почти в сех t .
§ . . Множества в гильбертовых пространствах  о) M = {x ∈ L2[−1, 1] : x(a) x(b) для любых a > b}(здесьрас- сматривается пространство над полем ); п) Mα,β = {x ∈ L2[−1,1]: x(t) = 0длявсехt ∈ (α, β)}, где числа −1 α<β 1фиксированы; р)M={x∈L2[−1,1]: 1 −1 x(t)dt= 0}. .. В пространстве W 1 2 [−1, 1] для следующих множеств найти выпуклую оболочку, замыкание, линейную оболочку, замыкание линейной оболочки и ортогональное дополнение: а)M={x∈W1 2 [−1, 1] : x(t) = 0длявсехt < 0}; б)M={x∈W1 2 [−1, 1] : x(t) = x(−t)длявсехt ∈ [−1, 1]}; в)M={x∈W1 2 [−1, 1] : x(t) = x (−t)длявсехt ∈ [−1/2, 1/2]}; г) M = C1[−1,1]; д) M — множество всех многочленов; е) M — множество всех многочленов, укоторых коэффициенты при чётных степенях равны нулю; ж) M — множество непрерывных кусочно-линейных функций (количество точек излома конечно); з)M={x∈W1 2 [−1, 1] : |x(t)| < 1длявсехt ∈ [−1, 1]}; и)M={x∈W1 2[−1,1]: x(a)>x(b)длялюбых a>b}. .. Пусть Hn, n ∈ ∪ {∞}, — множество векторов x = (x1, x2,...) пространства l2,длякоторых n k=1 xn=0.НайтиH⊥ n и доказать, что все Hn , n = ∞, — замкнутые подпространства, а H∞ — незамкнутое всюдуплотное в l2 подпространство. .◦ . В вещественных пространствах L2[0, 1] и W n 2[0,1],n∈ , найти угол между векторами x (t) = 1и y (t) = t . .. В пространстве L2[0, 1] рассмотрим непрерывную кри- вую γ : [0, 1] → L2[0, 1], γ(τ) = χτ ,гдеχa — характеристическая функция отрезка [0, a]. Пусть x = γ(τ2) − γ(τ1), y = γ(τ3) − γ(τ2), 0 τ1 <τ2 <τ3 1, — две хорды кривой γ с общим концом. Дока- зать, что x и y ортогональны. Существует ли такая кривая в конеч- номерном евклидовом пространстве? .. В пространстве L2[0, 1] найти расстояние от вектора x(t) = =t n , n ∈ ,доподпространстваH0 = x ∈ L2[0, 1] : 1 0 x(t)dt=0 . Определение .. Определителем Грама Γ(x1,..., x n)системы векторов {x1, x2 ,..., x n} называется определитель матрицы, состав- ленной из скалярных произведений (xi , x j ) n i,j=1 .
 Глава . Гильбертовы пространства В гильбертовом пространстве расстояние от данного элемента x до конечномерного подпространства H0 и элемент наилучшего при- ближения для x в H0 могут быть найдены в терминах базиса подпро- странства H0 и определителя Грама. .. Пусть H0 — конечномерное подпространство гильбертова пространства H ,а{hk }n 1 — линейный базис (не обязательно ортого- нальный) в H0. Доказать, что для любого x ∈ H элемент наилучшего приближения в H0 имеет вид y= n k=1 akhk,г д е ak= Γ(h1,...,hk−1 , x , hk+1,...,hn) Γ(h1 ,...,hn) , арасстояниеотx до H0 определяется равенством dist 2 (x,H0)= Γ(x, h1,...,hn) Γ(h1 ,...,hn) . В частности, если {hk }n 1 — ортонормированный базис в H0,тоэле- мент наилучшего приближения y = n k=1 (x, hk)hk,а dist 2 (x,H0)= x 2 − n k=1 |(x , hk)|2 . .. В пространстве l2 найти dist(e1, Hn), где e1 = (1,0,0,...), Hn= x∈l2: n k=1 xk=0 ,n∈ . . . В пространстве L2[0, 1] найти расстояние от вектора x(t) = = t2 до подпространства P1 всех линейных функций. Найти элемент наилучшего приближения для x в P1 (ср. с задачей .). § . . Ортонормированные сис темы и базисы в гильбертовых прос транс твах Определение . . Система {eα } векторов гильбертова про- странства (не обязательно конечная или счётная) называется ор- тонормированной,если(eα , eβ ) = 0привсехα = β и(eα , eα ) = 1для любого α. Для любой ортонормированной системы {en } ∞ 1 илюбоговекто- ра x справедливо неравенство Бесселя ∞ n=1 |(x, en)|2 x 2 .
§ . . Ортонормированные системы и базисы  Те ор е м а  .  (Ф.Рисс, ;Е.Фишер,). Пусть {en} ∞ 1 —орто- нормированная система в гильбертовом пространстве H . Тогда сле- дующие условия эквивалентны: () система {en } ∞ 1 тотальна (т. е. любой элемент в H можно сколь угодно точно приблизить конечными линейными комбинаци- ями элементов en); () если для некоторого вектора x ∈ Hсправедливыравенства (x, en) = 0 для любого n ∈ ,тоx= 0(такую систему называют полной); () ∞ n=1 |(x, en)|2 =x 2 для любого x ∈ H (выполнено равенство Парсеваля); () любой вектор x ∈ H единственным образом представляет- ся в виде ряда по системе {en} ∞ 1:x= ∞ n=1 (x, en)en (т. е. {en} ∞ 1 — базис Шаудера,см.главу ниже). Ортонормированную систему, обладающую свойствами ()— (), называют полной ортонормированной системой или ортонор- мированным базисом. К любой линейно независимой системе {xn} ∞ 1 векторов гиль- бертова пространства можно применить процесс ортогонализации Грама—Шмидта, в результате которого получается ортонормиро- ванная система {en } ∞ 1 , и при этом Lin{x1,..., xn} = Lin{e1,...,en}для любого n=1,2, ..., так что Lin{xn} ∞ 1 =Lin{en} ∞ 1 (в частности, если си- стема {xn} ∞ n=1 полна, то полна и система {en } ∞ 1 ). Сам процесс состоит вследующем.Положимe1 = x1 x1 . Теперь будем искать вектор e2,ор- тогональный e1,ввидеe2 = ce1 + x2.Изравенства0= (e2, e1)получа- ем e2 = −(x2, e1)e1 + x2.Положимe2 = e2 e2 . Продолжая этот процесс, на k-м шаге запишем вектор ek , ортогональный векторам e j , j < k, ввидеek = − k−1 j=1 (ej, xk)ej + xk,атогдаek = ek ek . Всякую ортонормированную систему можно дополнить до орто- нормированного базиса. Все ортонормированные базисы данного гильбертова простран- ства H имеют однуи туже мощность. Этот факт позволяет ввести размерность гильбертова пространства H —мощность произволь- ного ортонормированного базиса в H . Эта размерность конечна то- гда и только тогда, когда линейная размерность dim H < ∞, и в этом случае они совпадают.
 Глава . Гильбертовы пространства Те ор е м а  .  (Х. Лёвиг, ; Ф. Реллих, ). Любые два гильбер- товых пространства над одним полем и одинаковой размерности изометрически изоморфны между собой (т. е . существует изомор- физм между ними, сохраняющий норму и скалярное произведение) и изометрически изоморфны некоторому пространству L2(M , Σ, μ). В частности, любое сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство имеет счётный ортонормированный базис и изо- метрически изоморфно любому из пространств L2[0, 1] или l2. Задачи .◦ . Доказать, что система конечного числа векторов {xk }n k=1 гильбертова пространства линейно независима тогда и только то- гда, когда её определитель Грама отличен от нуля. . ◦ . Применить процесс ортогонализации Грама—Шмидта к системе {1, t, t 2 }впространствах а) L2[−1, 1]; б) L2[0, 1]; в) W 1 2 [0, 1]. . ◦ . Применить процесс ортогонализации Грама—Шмидта к системе {e− t 2 /2, te−t 2 /2, t2e−t 2 /2, t3e−t 2 /2}впространствеL2( ). .. Пусть H — сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство, а {en} — произвольная ортонормированная система в нём. Доказать, что этусистемуможно дополнить до ортонорми- рованного базиса {en} ∞ 1 . Вывести отсюда, что в любом сепарабель- ном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис. Приведём примеры различных ортонормированных базисов. Пример . . Доказать, что система многочленов Чебышёва II рода Un(t) = 2 π sin((n + 1) arccos t) 1−t2 , n=0,1,..., образует ортонормированный базис в гильбертовом пространстве L2([−1,1], 1 − t2 dt). Решение. Запишем скалярное произведение (Um, Un) = 2 π 1 −1 sin((n + 1) arccos t)sin((m + 1) arccos t) 1−t2 dt= = 2 π π 0 sin((n + 1)s)sin((m + 1)s) ds = = 1 π π 0 (cos((n − m)s) − cos((n + m + 2)s)) ds.
§ . . Ортонормированные системы и базисы  Поскольку π 0 cos(ks) ds = 0прицеломk = 0, а при k = 0интеграл равен π, ортонормированность системы доказана. Докажем полно- тусистемы — теорема . тогда завершает доказательство. Пусть x — произвольная непрерывная функция на [−1, 1]. В силутеоремы Вейерштрасса . для любого >0 существует такой многочлен p, что x−pC<.Нотогдаx−pL2 1 −1 1−t2dt 1/2 = π 2 . Таким образом, оболочка Lin{t k }∞ 0 плотна в L2([−1, 1], 1 − t2 dt). Остаётся заметить, что Un — многочлен и deg Un = n,азначит , Lin{Uk}n 0 = Lin{tk}n 0 для любого n, откуда следует полнота нашей системы. .. Доказать, что системы а) ◦ 1 2π , 1 π cos(nt), 1 π sin(nt) ∞ 1 ; б)◦ 1 2π e int ∞ −∞ ; в) 1 2π e i(n−1/2)t ∞ −∞ ; г) 1 π cos n− 1 2t, 1 π sin n− 1 2t ∞ 1 являются ортонормированными базисами в пространстве L2[−π, π]. .. Доказать, что системы а) ◦ 2 π sin(nt) ∞ 1 ;б ) ◦ 1 π , 2 π cos(nt) ∞ 1 ; в) 2 π sin n− 1 2t ∞ 1 ;г) 2 π cos n− 1 2t ∞ 1 являются ортонормированными базисами в пространстве L2[0, π]. Применив процесс ортогонализации к системе {t n } ∞ 0 в простран- стве L2[−1, 1], получим систему многочленов Лежандра. .. Доказать, что система многочленов Лежандра Pn(t) = 2n+1 2 1 n!2n dn dtn (t2 − 1)n , n=0,1,..., — ортонормированный базис в пространстве L2[−1, 1]. Следующие системы также получены ортогонализацией систе- мы {tn} ∞ 0 относительно разных скалярных произведений. . . Доказать, что система многочленов Чебышёва I рода (см. за- дачу.) Tn(t) = 2 π cos(n arccos t), n = 0, 1, ..., — ортонормированный базис в пространстве L2 [−1, 1], dt 1−t2 .
 Глава . Гильбертовы пространства .. Доказать, что система многочленов Якоби P(α,β) n (t) = κα,β , n(−1)n(1− t)−α (1+t)−β d n dtn [(1− t)n+α (1 + t)n+β ], κα,β,n = (α+β+2n+1)Γ(α+β+n+1) n!2α+β+2n+1Γ(α+ n+1)Γ(β +n+1) , (здесь α>−1, β>−1, n = 0, 1, ...) — ортонормированный базис в пространстве L2([−1, 1], (1 − t)α(1 + t)βdt). .. Доказать, что система многочленов Лагерра Ln(t) = et n! dn dtn (tn e −t ), n=0,1,..., — ортонормированный базис в пространстве L2((0, ∞), e −t dt). .. Доказать, что система многочленов Эрмита Hn(t) = et2 n!2n π dn dtn (e −t 2 ), n=0,1,..., — ортонормированный базис в пространстве L2( , e −t2 dt). .. Найти ортонормированную систему, полученную в резуль- тате применения процесса ортогонализации Грама—Шмидта к си- стеме {eint }n∈ в пространстве W 1 2 [−π, π]. Является ли полученная система ортонормированным базисом в этом пространстве? .. Будет ли ортонормированная система, полученная в преды- дущей задаче, базисом в пространстве H := { f ∈ W 1 2 [−π,π]: f(−π)= = f (π)}? .. Найти ортонормированную систему {φn}, полученную в результате применения процесса ортогонализации Грама—Шмидта ксистеме{sinnt}∞ n=1 в пространстве W 1 2 [0, π]. Является ли полу- ченная система ортонормированным базисом: а) в пространстве W1 2 [0, π]; б) в пространстве ◦ WW1 2 [0, π]? .. Доказать, что множество последовательностей коэффици- ентов Фурье всех функций из пространства ◦ WW1 2 [0, 1] по системе {φn} из предыдущей задачи совпадает с линейным пространством l2, (см. определение в задаче .). .. Найти ортонормированную систему, полученную в резуль- тате применения процесса ортогонализации Грама—Шмидта к си- стеме {cos nt}∞ n=0 в пространстве W 1 2 [0, π]. Является ли полученная система ортонормированным базисом в этом пространстве? .. Найти ортонормированную систему, полученную в резуль- тате применения процесса ортогонализации Грама—Шмидта к си- стеме {cos nt,sin(n + 1/2)t}∞ n=0 в пространстве W 1 2 [−π, π]. Является ли полученная система ортонормированным базисом в этом про- странстве?
§ . . Ортонормированные системы и базисы  .. Найти ортонормированную систему, полученную в резуль- тате применения процесса ортогонализации Грама—Шмидта к си- стеме {ζn} ∞ n=0 в пространстве AL2(|ζ| < 1). Является ли полученная система ортонормированным базисом в этом пространстве? .. Доказать, что система Радемахера rn(t) = sign sin(2n πt), n =0,1,2, ..., ортонормирована, но не полна в L2[0, 1]. .. Доказать, что система Уолша, состоящая из всевозможных конечных произведений функций из системы Радемахера, является ортонормированным базисом в L2[0, 1]. .. Доказать, что система Хаара χ0(t) = 1, χm(t) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 2n , t∈ 2k 2n+1 , 2k+1 2n+1 , − 2n , t∈ 2k+1 2n+1 , 2k+2 2n+1 , 0и н а ч е , где n —целаячастьlog2 m,аk = m − 2 n , является ортонормирован- ным базисом в L2[0, 1]. Есть простой способ построить базис в декартовом произведе- нии пространств L2. . ◦ . Пусть {xn} ∞ 1 и{yn} ∞ 1 — ортонормированные базисы в про- странствах L2(M1, Σ1, μ1)иL2(M2, Σ2, μ2) соответственно. Дока- зать, что {xn · ym} ∞ m,n=1 — ортонормированный базис в пространстве L2(M,Σ,μ), где (M,Σ,μ)=(M1, Σ1, μ1) ×(M2, Σ2, μ2). 1) .. Предъявить какой-либо ортонормированный базис в про- странстве L2( ). Следующую теорему называют теоремой об устойчивости бази- сов. Эта полезная теорема позволяет доказывать свойство базисно- сти для ортонормированных систем, которые «не сильно отличают- ся» от какого-либо известного ортонормированного базиса. .* (Н.К.Бари, ). Пусть {en } ∞ 1 — ортонормированный ба- зис вгильбертовом пространстве H , а ортонормированная система { fn} ∞ 1 такова, что ∞ n=1 en−fn 2 < ∞. Доказать, что эта система также является ортонормированным базисом в H . Указание. ) Предположив противное, составить ортонормиро- ванную систему { fn} N 0 со свойством k>N ek−fk 2 <1. 1)Под произведением (M1 , Σ1 , μ1) × (M2 , Σ2 , μ2) мы понимаем измеримое про- странство (M1 × M2 , Σ, μ1 × μ2 ), где Σ —наименьшая σ -алгебра, порождённая мно- жес твами из декартова произведения Σ1 × Σ2 (см. курс дейс твительного анализа).
 Глава . Гильбертовы пространства ) Доказать линейную зависимость системы { fn} N 0 , построив век- торh= N n=0 αn fn, ортогональный всем векторам ek, k = 1, ..., N . .*. Пусть множество M в гильбертовом пространстве H обла- дает следующим свойством: для любого x ∈ H множество {(x , y): y ∈ ∈ M } ⊂ ограничено. Доказать, что тогда и само множество M ограничено в пространстве H . Указание. Предположить противное и построить подходящую ортонормированную систему. .. Вычислить с помощью равенства Парсеваля суммы рядов: а) ∞ n=1 1 n2 ;б) ∞ n=1 1 n4. .◦ . Пусть {xn} ∞ 1 — ортогональная система векторов гильбер- това пространства H . Доказать, что следующие условия эквива- лентны: () ряд ∞ n=1 xn сходится; () для каждого y ∈ H ряд ∞ n=1 (xn, y)сходится; 1) () числовой ряд ∞ n=1 xn 2 сходится. 1) Это ус ловие можно сформулировать так: ряд ∞ n=1 xn сходится слабо (см. опреде- ление . ниже).
Глава  Компактные множества § .. Свойства компактных множес тв Компактность в метрических пространствах, как и в более об- щих топологических (см. § .) пространствах, определяется в тер- минах покрытий. Определение . . Множество M в метрическом пространстве X называется компактным, если для любого покрытия множества M открытыми множествами Uλ ⊂ X , λ ∈ Λ, λ∈Λ Uλ ⊃ M ,найдётсяконеч- ное подпокрытие Uλn ,n=1,...,N, N n=1 Uλn⊃M. Определение . . Множество M в метрическом пространстве X называется секвенциально компактным, если для любой последова- тельности {xk}∞ k=1 ⊂ M найдётся подпоследовательность, сходящая- ся к некоторомуэлементу x ∈ M . В топологических пространствах понятия компактности и се- квенциальной компактности, вообще говоря, различны (см. § . ниже). Теорема . . В любом метрическом пространстве X секвенци- альная компактность множества M эквивалентна компактно- сти M. В связи с этой теоремой часто в качестве определения компакт- ности в метрических пространствах сразупринимают секвенциаль- ную компактность. Определение .. Множество M в метрическом пространстве X называется предкомпактным,еслиегозамыкание ̄̄M компактно вX. В литературе эту предкомпактность часто называют относитель- ной компактностью. Определение . . Метрическое пространство X ,компактноеот- носительно своей метрики, называют метрическим компактом. Определение . . Множество N в метрическом пространстве X образует -сеть для множества M (здесь >0), если для любого x ∈ M найдётся такой y ∈N,чтоρ(x, y)< .
 Глава . Компактные множества Определение .. Множество M называется вполне ограничен- ным в метрическом пространстве X , если для этого множества при любом >0существуетконечная -сеть. Теорема . (Ф. Хаусдорф, ). Влюбомметрическомпро- странстве предкомпактность множества M влечёт вполне огра- ниченность M . В полном метрическом пространстве верно и об- ратное: всякое вполне ограниченное множество предкомпактно. Теорема останется верной, если в ней заменить предкомпакт- ность на компактность, а вполне ограниченность на вполне огра- ниченность плюс замкнутость. Задачи .. Доказать теорему. . . . Пусть U — открытое покрытие метрического компакта ( X , ρ). Доказать, что найдется такое r > 0, что всякий шар B(x , r)содержит- ся в некотором элементе покрытия U . . ◦ . Доказать, что в метрическом пространстве компактное мно- жество замкнуто и ограничено. . ◦ . Доказать, что любое подмножество предкомпактного мно- жества предкомпактно. . ◦ . Доказать, что в любом конечномерном нормированном про- странстве предкомпактность равносильна ограниченности. . ◦ . Доказать, что в дискретном метрическом пространстве, в пространстве и пространстве множество предкомпактно тогда и только тогда, когда оно состоит из конечного числа точек. . ◦ . Доказать, что если отображение f : X → Y метрических про- странств непрерывно и X —компакт, то f ( X )—компакт в Y . . ◦ . Доказать, что если множество M предкомпактно в непол- ном метрическом пространстве X , то оно предкомпактно и в по- полнении этого пространства. 1) Привести контрпример к обратно- муутверждению. . ◦ . Привести пример неполного метрического пространства X и вполне ограниченного, но не предкомпактного множества M в нём (сравните этузадачус теоремой .). . . Доказать, что если множество M в метрическом простран- стве X вполне ограничено, то любая последовательность точек мно- жества M содержит фундаментальную подпоследовательность. Из этой задачи легко следует вторая часть теоремы . . Из за- дачи . следует, что в неполном метрическом пространстве мно- 1) Более точно, если (Y , f ) есть пополнение метрического пространс тва X (см. определение .), где f : X → Y —изометрия, то f (M )предкомпактновY .
§ .. Свойства компактных множеств  жество, любая последовательность точек которого содержит фунда- ментальную подпоследовательность, не обязано быть предкомпакт- ным. В определении вполне ограниченного множества -сеть строит- ся из точек пространства X . На самом деле -сеть можно построить только из точек самого множества M — иногда это наблюдение по- лезно. . ◦ . Доказать, что если для некоторого >0длямножества M метрического пространства X найдётся конечная -сеть, то суще- ствует конечная 2 -сеть, состоящая из точек множества M . Из задачи . следует, что всякое компактное множество замкну- то и ограничено. В конечномерном пространстве всякое замкнутое и ограниченное множество компактно (см. задачу.), а в беско- нечномерных пространствах это, вообще говоря, не так. . ◦ . В замкнутом единичном шаре пространства l p ,1 p ∞, предъявить последовательность, не содержащую ни одной фунда- ментальной подпоследовательности. . . Доказать, что в любом бесконечномерном нормированном пространстве X любой шар (замкнутый или открытый) не предком- пактен. .◦ . Доказать, что любое предкомпактное множество в беско- нечномерном банаховом пространстве нигде не плотно. Расстояние между двумя множествами A и B метрического про- странства X можно определять по-разному. Мы будем, в частности, использовать обозначение dist0(A,B)= inf{ρ(x, y): x ∈ A, y ∈ B}. .. Доказать, что если в нормированном пространстве X мно- жество M является предкомпактным, то оно ограничено и его мож- но с любой точностью аппроксимировать конечномерным подпро- странством, т. е . для любого >0 найдётся такое конечномерное подпространство X0,чтоdist0(M , X0) < (см. определение .). До- казать обратное утверждение для банахова пространства X . .. Пусть ( X , ρ) — метрическое пространство, а M —предком- пактное множество в нём. Доказать, что (M , ρ)—сепарабельное метрическое пространство. .. Пусть M — компактное множество в банаховом простран- стве X . Доказать, что найдётся такая последовательность xn → 0, что M ⊂ conv{xn} ∞ 1. Расстояние от точки до произвольного замкнутого множества в метрическом пространстве не обязано достигаться (см. задачу.).
 Глава . Компактные множества С другой стороны, если это множество есть конечномерное подпро- странство в банаховом пространстве (см. задачу.) или произ- вольное замкнутое выпуклое множество в гильбертовом простран- стве (см. задачу.), расстояние достигается. Оказывается, другим достаточным условием является условие ограниченной компакт- ности множества: множество в метрическом пространстве назы- вается ограниченно компактным, если его пересечение с любым замкнутым шаром компактно1) . . ◦ . Пусть X — метрическое пространство, а M — ограниченно компактное множество в нём. Доказать, что для любой точки x ∈ X расстояние от x до M достигается, т. е. найдётся такой y ∈ M ,что dist(x, M)= ρ(x, y). .. Пусть X — метрическое пространство, а M1 и M2 —ком - пактные множества в нём. Доказать, что dist0(M1, M2) = ρ(x0, y0) (см. определение .) для некоторых x0 ∈ M1 и y0 ∈ M2. . . Пусть X — метрическое пространство, а M —компактное множество в нём. Доказать, что diam(M ) = ρ(x , y )длянекоторых x,y∈M. .. Пусть X — метрический компакт. Доказать, что улюбого подмножества в X существует чебышёвский центр. В произвольном полном метрическом пространстве последова- тельность непустых замкнутых вложенных ограниченных множеств с диаметрами, стремящимися к нулю, имеет непустое пересечение (см. задачу.). В случае нормированного пространства можно от- казаться от условия стремления к нулю диаметров для частного слу- чая шаров (см. задачу.). Для последовательности компактных множеств условие стремления диаметров этих множеств к нулю так- же можно опустить. . . Доказать, что в полном метрическом пространстве любая система замкнутых непустых вложенных множеств имеет непустое пересечение, если все эти множества вложены в некоторый ком- пакт. 2) Множество всех компактов произвольного метрического про- странства можно снабдить метрикой и получить метрическое про- странство компактов. Определение . . Пусть ( X , ρ) — метрическое пространство. Пространством Хаусдорфа называют метрическое пространство (exp( X ), distH ), где exp( X ) — множество всех непустых компактов 1) Докажите, что вс якое компактное множес тв о ограниченно компактно. Приве- дите пример ограниченно компактного, но не компак тного множества. 2) Или, другими словами, в се эти множес тв а компак тны (см. за дачу .).
§ .. Свойства компактных множеств  в(X,ρ), а distH(M1, M2):= max sup x ∈M1 dist(x, M2), sup x ∈M2 dist(x , M1) — метрика Хаусдорфа. .. Доказать, что функция distH удовлетворяет аксиомам мет- рики. .*. Обозначим через N ( X ) семейство всех подмножеств мет- рического пространства X , состоящих из конечного числа точек. До- казать, что если X полно, то пространство (exp( X ), distH)является пополнением пространства (N ( X ), distH). Указание. Использовать критерий Хаусдорфа . и задачу .. .. Пусть X — метрический компакт. Доказать, что простран- ство (exp( X ), distH ) также является компактом. .. Пусть X — полное метрическое пространство, а { fj }n 1— сжимающие отображения из X в X . Определим отображение F:exp(X) → exp(X), F(A) = n j=1 fj(A). Доказать, что F — сжимающее отображение в (exp( X ), distH ). Пространство Хаусдорфа является удобным инструментом для построения различных объектов как неподвижных точек сжимаю- щих отображений. Приведём несколько примеров. . Отрезок [0, 1] делится на три равные части и внутренность средней из них выкидывается. С двумя оставшимися отрезками про- делывается та же процедура и т. д . Множество, остающееся в резуль- тате этого процесса, есть множество Кантора на отрезке [0, 1]. . Определим функцию Кантора LK(x )наотрезке[0,1]последо- вательно: )LK(0)=0,LK(1)=1. ) На интервале 1 3 , 2 3 положим LK| 1 3 , 2 3 ≡ LK(0) + LK(1) 2 = 1 2 . ) На каждом следующем интервале Δ, выкидываемом при по- строении канторовского множества, полагаем функцию LK равной среднемуарифметическомууже известных ее значений, определен- ных на ближайших множествах справа и слева от Δ: LK| 1 9 , 2 9 ≡ LK(0) + LK 1 3 + 2 = 1 4, LK| 7 9 , 8 9 ≡ LK 2 3 − + LK(1) 2 = 3 4, и.т.д.
 Глава . Компактные множества ) В точках канторовского множества доопределим функцию LK по непрерывности. График этой функции называется лестницей Кантора. . В треугольнике с вершинами в точках (0, 0), (0, 1) и (1, 0) про- водятся три средние линии. Внутренность центрального треуголь- ника выкидывается, а с оставшимися тремя треугольниками проде- лывается та же процедура и т. д . Множество, оставшееся в результа- те этого процесса, есть треугольник Серпинского. .. Доказать, что следующие множества есть неподвижные точки для некоторых сжимающих отображений. Найти эти отобра- жения. а) Множество Кантора на отрезке [0, 1] — неподвижная точка в пространстве (exp([0, 1]), distH ). б) Треугольник Серпинского — неподвижная точка в простран- стве (exp([0, 1]2), distH ). в) Лестница Кантора — неподвижная точка в пространстве (exp([0, 1]2), distH). г) Функция Кантора — неподвижная точка в множестве X = {x ∈ ∈C[0,1]: x(0)=0, x(1)=1}. Из задачи . следует аналог теоремы Вейерштрасса: любая ве- щественнозначная непрерывная функция на компакте ограничена идостигаетсвоихточнойверхнейиточнойнижнейграней.Ока- зывается, эти свойства являются характеристическими для компак- тов. . . Пусть M — такое множество в полном метрическом про- странстве X , что любая вещественнозначная непрерывная на M функция ограничена. Доказать, что M —компакт . .. Пусть M — такое множество в полном метрическом про- странстве X , что любая вещественнозначная непрерывная и огра- ниченная на M функция достигает своей точной верхней и точной нижней граней. Доказать, что M —компакт . Следующая задача есть аналог теоремы Кантора: любая непре- рывная на отрезке функция равномерно непрерывна на нём. . ◦ . Пусть M — компактное множество в полном метрическом пространстве X1, f : M → X2,где X2 —также полное метрическое пространство. Доказать, что из непрерывности отображения f сле- дует его равномерная непрерывность. .. Пусть M — такое множество в полном метрическом про- странстве X , что любая вещественнозначная непрерывная на M функция равномерно непрерывна. Доказать, что M —компакт . . . Пусть M — компакт в метрическом пространстве X ,аY — нормированное пространство. Обозначим через C(M , Y )множество
§ .. Свойства компактных множеств  непрерывных функций из M в Y . Доказать, что норма x C(M ,Y ) = = max t∈M x (t) Y превращает C(M , Y ) в нормированное пространство (линейные операции вводятся поточечно), а если Y — банахово пространство, то и пространство C(M , Y ) банахово. 1) . (Дини, ). Пусть M —метрический компакт, а последо- вательность функций {fn : M → Y }∞ 1 , непрерывно отображающих M в нормированное пространство Y , сходится к непрерывной функ- ции f поточечно и для любого x ∈ M f1(x)−f(x) Y f2(x)−f(x) Y ... Доказать, что fn → f в пространстве C(M , Y ).2) .. Доказать, что если множество M компактно в метрическом пространстве X , а отображение f : M → M удовлетворяет неравен- ству ρ( f(x), f (y)) <ρ(x , y)прилюбых x = y ,тосуществуетедин- ственная неподвижная точка x ∈ M (сравните с задачей . и тео- ремой .). Теорема . (принцип Ю. Шаудера, ). Пусть B — замкнутое выпуклое множество в банаховом пространстве X . Пусть непрерыв- ное отображение f переводит B в компактное множество M ⊂ B. Тогда это отображение имеет в M неподвижную точку. Заметьте, что из принципа Шаудера следует теорема Боля— Брауэра (см. теорему .). В § . уже отмечалось, что вопросы изоморфизма метрических пространств обычно ведут к сложным задачам. Компактность про- странства несколько упрощает ситуацию. .. Доказать, что в метрическом пространстве любое изомет- рическое вложение компакта в себя является изометрией этого ком- пакта (и показать, что для произвольного замкнутого ограниченно- го множества это неверно). .*. Пусть X — полное метрическое пространство, M —ком - пактное множество в нём, φ : M → M — отображение, удовлетво- ряющее неравенству ρ(φ(x), φ(y)) ρ(x , y). Доказать, что φ есть изометрия множества M . Определение .. Аппроксимативной размерностью (или мет- рической энтропией)множестваM ,гдеM — предкомпактное мно- жество метрического пространства X , называется число γ=−lim →0 lnN( ) ln 1) Важный частный с лучай: Y = или Y = (ср. с задачей .). 2) Частный случай этой теоремы: Y = , а пос ледовательность { fn ( x)}∞ 1 для всяко- го x ∈ X монотонно в озрас тает (или для в сякого x ∈ X монотонно убывает) к f (x).
 Глава . Компактные множества (если этот предел существует), где N ( ) — минимально возможное число элементов в -сети для M . .◦ . Найти аппроксимативную размерность: а) отрезка [0, 1]; б) квадрата [0, 1] × [0, 1]. .. Найти аппроксимативную размерность: а) множества Кантора в пространстве X = [0, 1]; б) треугольника Серпинского в 2 . § .. Компактные множес тва в конкретных нормированных прос транс твах В этом параграфе приведены критерии предкомпактности для различных пространств и задачи на проверкукомпактности (или предкомпактности) различных конкретных множеств.  (Ч. Арцела, ; Г. Асколи, ). Пусть X —метрический ком- пакт. Множество M в пространстве C( X , )предкомпактнотогдаи только тогда, когда оно ограничено и равностепенно непрерывно, т. е . д ля любого >0 существует такое δ>0, что для произвольных t1, t2 ∈ X , ρX (t1, t2) <δ, выполняется неравенство |x(t2) − x(t1)| < привсехx∈M. . Множество M в пространстве l p ,1 p < ∞, предкомпактно то- гда и только тогда, когда оно ограничено и для любого >0суще- ствует такое N ,что ∞ j=N |xj|p 1/p < длявсехx∈M. . Множество M в пространстве c0 предкомпактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и для любого >0 существует такое N , что sup nN |xn|< длявсехx∈M. . Множество M в пространстве c предкомпактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и для любого >0существуеттакоеN , что sup nN |xn − l(x)|< для всех x ∈ M,гдеl(x)= lim n→∞ xn.  (М. Рисс, ). Множество M в пространстве L p[0, 1], 1 p < ∞, предкомпактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и для любого >0 найдётся такое δ>0, что для всех x ∈ M , h ∈ [0, δ]вы- полнено неравенство 1−h 0 |x(t + h)− x(t)|p dt 1/p <. Необходимость во всех этих критериях может быть доказана од- ним способом, опирающимся на теоремуДини (см. задачу.). До-
§ . . Компактность в конкретных нормах  статочность же доказывается при помощи построения -сети, кото- рое проводится в каждом случае по-своему. Продемонстрируем это на примере. Пример . . Доказать, что множество M в пространстве C[a, b] предкомпактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и равно- степенно непрерывно. Решение. Покажем, что предкомпактность влечёт равностепен- ную непрерывность множества (ограниченность следует из зада- чи .). Положим Fn( x) = sup |t− s|<1/n |x(t) − x (s)|, Fn : M → .Очевидно, что |Fn(x)−Fn(y)| 2x−y ,т . е.отображениеFn непрерывно. Последовательность Fn( x) монотонно убывает к нулю для каждого x ∈ ̄̄M ,апоскольку ̄̄M — компакт, получаем (см. задачу .), что Fn( x ) → 0равномернопо x ∈ M , и равностепенная непрерывность множества M доказана. Обратно, пусть M ограничено и равностепенно непрерывно. До- кажем вполне ограниченность множества M .Пусть >0произволь- но. Найдём δ>0, для которого при любых t1, t2 ∈ [a, b]таких,что |t2 − t1| <δ, для любой функции x ∈ M выполнено |x(t2) − x(t1)|< /5. В силуограниченности множества M найдётся такое A > 0, что |x(t)| A для любой функции x ∈ M илюбогоt ∈ [a, b]. Далее, за- мкнутый круг |z| A компактен в , а значит, существуют точ- ки {zk}n 1 ,образующиевнём /5-сеть . Зафиксируем теперь произ- вольное разбиение {t j }m 1 отрезка [a, b]сдиаметром,непревосхо- дящим δ,ипостроим -сеть для множества M .Обозначимчерез xzk1 , zk2 ,...,z km (t) ломаную с узлами в точках (tj, zk j ). Число таких лома- ных конечно (и равно nm ), а для произвольной x ∈ M всегда можно подобрать однуиз этих ломаных y(t)так,что| x (t j ) − y(t j )| /5, j=1, ..., m. Пусть теперь t ∈[tj,tj+1]. Тогда |x(t)− y(t)| |x(t)− x(tj)|+|x(tj)−y(tj)|+|y(t)− y(tj)|< < 2 5 +|y(tj+1)− y(tj)|< 2 5 +|y(tj+1) − x(tj+1)|+ +|x(tj+1)− x(tj)|+|x(tj)− y(tj)|< , т.е.x−y<. При доказательстве предкомпактности какого-либо конкрет- ного множества обычно применяют критерий предкомпактности в данном пространстве. Другой способ основан на задаче . и требует проверки ограниченности множества и возможности ап- проксимации этого множества конечномерным подпространством. При доказательстве непредкомпактности какого-либо множества
 Глава . Компактные множества обычно предъявляют последовательность точек множества, не со- держащую сходящихся подпоследовательностей. Другой способ — найти подмножество, непредкомпактность которого уже доказана (см. задачу.). Пример .. Степенными моментами суммируемой на отрез- ке [0, 1] функции x называют числа pn( x) = 1 0 x(t)tndt, n = 0,1, ... Является ли предкомпактным в C[0, 1] множество функций M1 = = x ∈ C[0,1]: |pn(x)| 1 n , n = 0, 1, ... ? Для суммируемой на отрез- ке [0, 1] функции x рассмотрим её коэффициенты Фурье cn ( x) = = 1 0 x(t)eiπnt dt, n ∈ («тригонометрические моменты»). Является ли предкомпактным в C[0, 1] множество функций M2 = x ∈ C[0, 1] : |cn(x)| 1 n4+1 ,n∈ ? Решение. Множество M1 не предкомпактно. Докажем это двумя способами. Первый способ: пусть xk(t) = tk, k ∈ .Тогдаpn(xk) = = 1 k+n+1 , т. е. последовательность {xk }∞ 1 ⊂ M1. Так как эта последо- вательность не имеет ни одной предельной точки (см. задачу.), множество M1 не предкомпактно. Другой способ: заметим, что ес- ли x C 1,то|pn(x)| 1 n+1 ,т.е . x ∈ M1. Это означает, что множе- ство M1 содержит единичный шар пространства C[0, 1], который не предкомпактен (см. задачу.). Перейдём к множеству M2. Докажем, что оно предкомпактно. Система {e iπnt }n∈ образует ортонормированный базис в простран- стве L2[0,1].Этоозначает,чтолюбуюфункцию x ∈ L2[0, 1] можно представить в виде ряда x (t) = n∈ cn eiπnt ,с ходящегосяпонорме L2[0, 1]. В нашем случае легко видеть, что ряд сходится равномерно на [0, 1], т. е. по норме C[0, 1]. Множество M2 ограничено, посколь- куx n∈ |cn | C,гдеC — абсолютная постоянная. Далее решение можно проводить двумя способами. Первый способ: докажем рав- ностепенную непрерывность множества M2 и применим критерий Арцела—Асколи (см. пример .). Имеем |x(t2) − x(t1)| n∈ |cn |·|e iπnt2 − e iπnt1| π|t2 − t1| n∈ |ncn| C1|t2 − t1|, где C1 — абсолютная постоянная. Другой способ: воспользуемся за- дачей . и покажем, что dist0(M, EN) → 0, где EN = Lin{e iπnt }N n=−N .
§ . . Компактность в конкретных нормах  Действительно, dist(x, EN) |n|>N cne iπnt C |n|>N |cn |→0 приN→∞. Задачи .◦ . Пусть M — равностепенно непрерывное множество в про- странстве C[0, 1]. Пусть последовательность функций из M сходится поточечно к непрерывной функции x . Доказать, что эта последова- тельность сходится и по норме к томуже пределу. .. Какие из перечисленных ниже множеств предкомпактны в пространстве C[0, 1]: а) {tn}n∈ ;б ) { s i n ( t + n)}n∈ ;в){si n αt}α∈ ; г) {sin αt}α∈[0,1] ;д){arctgαt }α∈ ;е ) { e t−α }α 0; ж) {t2n − tn}n∈ ;з){tn+1 − tn}n∈ ;и ){1−t n }n∈ ? .. Является ли предкомпактным в пространстве C[0, 1] мно- жество а)M1= x(t)= t 0 y(s)ds: y ∈C[0,1], y C[0,1] 1 ; б)M2= x(t)= ∞ n=1 bn t2+n : ∞ n=1 |bn | n 1; в)M3= x(t)= 1 0 y(s) t2+s2+1 ds:y∈C[0,1], y C[0,1] 1 ? .. Является ли предкомпактным в пространстве C[a, b]мно- жество а) M1 = x(t)∈ C1[a, b]:|x(a)| C1, b a |x (t)|dt C2 ; б) M2 = x(t)∈C1[a,b]:|x(a)| C1, b a |x(t)|2dt C2 ; в)M3= x(t)∈C1[a,b]: b a (|x(t)|2 + |x (t)|2) dt C ? . (В. Д . Ерохин). Доказать, что всякий компакт диаметра d в пространстве C[0, 1] лежит в некотором замкнутом шаре радиуса d/2 (т. е. его чебышёвский радиус равен d/2). Докажите, что для гильбертовых пространств (размерности больше 1) это неверно. Критерий предкомпактности в пространствах C n [0, 1] можно получить, используя критерий предкомпактности в пространстве C[0, 1]. Идея состоит в использовании отображения dn dxn:Cn→C.
 Глава . Компактные множества Это отображение не является изоморфизмом пространств, посколь- куобладает ненулевым ядром. Однако это обстоятельство не сильно мешает, посколькуядро конечномерно, а ограниченное конечно- мерное множество предкомпактно. . . Доказать, что множество M в пространстве C n [0,1], n = = 1, 2, ..., предкомпактно тогда и только тогда, когда оно ограниче- но и множество Mn функций {x(n)(t): x ∈ M} равностепенно непре- рывно. .◦ . Верноли,чтомножествоM в пространстве C n[0, 1], n = = 1, 2, ..., предкомпактно тогда и только тогда, когда множество Mn из предыдущей задачи предкомпактно в C[0, 1]? .. Привести пример множества M непрерывно дифференци- руемых функций, предкомпактного в пространстве C[0, 1], но не предкомпактного в пространстве C 1[0, 1]. . ◦ . Является ли предкомпактным в пространстве C 1[0, 1] мно- жество аналитических функций M= x(t)∈C1[0,1]: x C1<1,x(t)= ∞ k=0 akt k , где ряд сходится в круге D ⊂ , содержащем [0, 1]? .. Доказать утверждение: а)п.; б)п.; в)п.; г)*п. из списка критериев предкомпактности в начале § . . .. При каком условии на последовательность {ak }∞ k=1 парал- лелепипед Π{ak} = {x ∈ lp : |xn| an} предкомпактен в простран- ствеlp(1 p<∞)? . . При каком условии на последовательность {ak }∞ k=1 эллипсо- идE{ak}= x∈l2: ∞ n=1 |xn| 2 a2 n 1 предкомпактен в пространстве l2? .. Доказать, что любое компактное множество M ⊂ l2 со- держится в некотором эллипсоиде вида x ∈ l2 : ∞ n=1 |xn| 2 a2 n 1 ,где an→0. . ◦ . Доказать предкомпактность в пространстве l1 множества M= x: ∞ n=1 n|xn| 1 . .. Является ли предкомпактным в пространстве l1 множество M= x:xn= 1 0 y(s) n2 + s2 ds ,гдефункции y выбираются из замкнуто- го единичного шара пространства C[0, 1]?
§ . . Компактность в конкретных нормах  .. При каких значениях параметров α ∈ и β>0множество Mα,β = x∈lp: ∞ n=1 n α |xn|β 1 предкомпактно в пространстве l p (1 p<∞)? .*. Является ли множество M= x∈l1:xn= π −π y(t)cosnt dt, y ∈ C1[−π, π], y C1 1 предкомпактным в пространстве l1? Критерий предкомпактности, доказанный для пространства l2, можно обобщить на сепарабельные гильбертовы пространства. .. Пусть H — гильбертово пространство, {en } ∞ 1 — ортонорми- рованный базис в нём. Доказать, что множество M предкомпактно в H тогда и только тогда, когда оно ограничено и для любого >0 найдётся такое N ∈ ,что ∞ k=N |(x, ek)|2 < 2 длявсехx∈M. .. Является ли множество {sin(πnt)}∞ n=1 предкомпактным в пространстве L p[0, 1], p ∈ [1, ∞]? . . Доказать, что если {φα}α∈Λ — предкомпактное множество функций в C[a, b], то множество {xα = φαθ}α∈Λ,гдеθ —фиксиро- ванная функция из L2[a, b], предкомпактно в L2[a, b]. Вопрос предкомпактности множества в пространстве C n [0, 1] сводится к вопросупредкомпактности в пространстве C[0, 1]. В про- странствах n Wp [0, 1] можно действовать аналогично. .. Доказать, что множество M в пространстве n Wp[0,1],1 p< < ∞, n = 1, 2, ..., предкомпактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и для любого >0 найдётся такое δ>0, что для всех x ∈ M и h ∈ [0, δ] выполнено неравенство 1−h 0 |x(n)(t + h) − x(n)(t)|p dt 1/p <. .. Выяснить, являются ли предкомпактными множества Ma = = {n−a sin(nt)}∞ n=1 при a ∈ [0, 1] в пространствах: а) C[0, 1], б) C1[0, 1]; в) 1 Wp[0,1], p ∈[1,∞). .◦ . Является ли предкомпактным в пространстве C[a, b]еди- ничный шар пространства C 1 [a, b]? Последняя задача связана с понятием компактного вложения пространств. Определение . . Нормированное пространство ( X , · X )на- зывается компактно вложенным в нормированное пространство (Y, · Y),еслиX⊂Y, · Y ≺ · X , а единичный шар B(0,1) про-
 Глава . Компактные множества странства X предкомпактен в пространстве Y .Такоевложение обычно обозначают X Y . Пример . . Является ли вложение W 1 1 [0, 1] ⊂ BV [0, 1] компакт- ным? 1) Решение. Заметим, что для произвольной непрерывно диффе- ренцируемой на отрезке [0, 1] функции x (см. задачу.) выполне- но равенство Var 1 0x(t)= 1 0 |x (t)| dt.Посколькуmax t ∈[0,1] |x(t)| x W1 1 , получаем оценку x BV 2 x W1 1 . С другой стороны, 1 0 |x(t)| dt max t ∈[0,1] |x(t)|,азначит, x W1 1 x BV . Итак, на линейном простран- стве непрерывно дифференцируемых на отрезке [0, 1] функций нормы · W1 1 и · BV эквивалентны. Тогда эти нормы будут экви- валентны и на пополненном пространстве (см. задачу.), т. е. на пространстве W 1 1 [0, 1]. Единичный шар пространства W 1 1 [0,1] не предкомпактен в этом пространстве (см. задачу.), а в силудока- занной эквивалентности норм он не предкомпактен и в простран- стве BV [0, 1], т. е. вложение не компактно. .. Доказать компактность вложений: а) Cn+1[0,1] Cn[0,1]; б) W1 2 [0, 1] L2[0, 1]; в) W1 2 [0, 1] C[0, 1]; г) l2,n l2 (см. задачу.). .. Доказать, что следующие вложения пространств неком- пактны: а)◦c0⊂c⊂l∞;б ) lp1⊂lp2⊂c0,где1 p1<p2 ∞; в) ◦ C0( )⊂BC( ); г)C[0,1]⊂Lp[0,1], где p∈[1,∞]; д)Lp1[0,1]⊂Lp2[0,1], где1 p2< p1<∞. 1) Вложение имеет место, так как пространство W 1 1 [0, 1] состоит из абсолютно непрерывных на отрезке [0, 1] функций (см. з адачу .), а каж дая абсолютно непре- рывная функция имеет ограниченную в ариацию (см. курс действительного ана- лиза).
Глава  Линейные непрерывные функционалы § .. Основные свойс тва. Вычис ление норм Определение .. Пусть ( X , · ) — линейное нормированное пространство над полем K (K = или ). Функционал f : X → K называется линейным,если f(αx+βy)=αf(x)+βf(y) для любых α, β ∈ K и x , y ∈ X ,инепрерывным, если для любого эле- мента x∈ X из y−x →0следует|f(y)−f(x)|→0. Для линейных функционалов f , g : X → K и λ ∈ K естественным образом определяются линейные функционалы f + g и λ f .Далее, если не оговорено противное, предполагается, что K = .Будем обозначать Ker f :={x ∈ X : f(x)=0}— ядро функционала f. Непрерывность линейного функционала f равносильна его неп- рерывности только в точке x = 0, которая, в свою очередь, равно- сильна его ограниченности. Определение . . Линейный функционал f на нормированном пространстве ( X , · ) называется ограниченным, если существует число c,длякоторого| f (x)| c x для всех x ∈ X .Наименьшаявоз- можная константа c в этом неравенстве называется нормой функ- ционала f и может быть вычислена по следующим формулам: f =sup x=0 |f(x)| x = sup x1 |f(x)|= sup x=1 |f(x)|.(  .  ) Определённое формулой (.) отображение f → f удовлетворяет всем аксиомам нормы на линейном пространстве функционалов. Из определения (.) следует мультипликативное неравенство для значений функционала: |f(x)| f · x X для всех x ∈ X. Те ор е м а  .  . Совокупность всех линейных непрерывных функци- оналов на нормированном пространстве X вместе с нормой (.) яв- ляется банаховым пространством. Это банахово пространство на- зывается сопряжённым пространством для X и обозначается X ∗ .
 Глава . Линейные непрерывные функционалы Задачи Линейные функционалы на линейном пространстве подробно изучались в курсе линейной алгебры. Напомним некоторые факты. . ◦ . Пусть f — ненулевой линейный функционал на линейном пространстве X . Доказать, что Ker f есть линейное подпростран- ство коразмерности 1 (см. определение .). . ◦ . Пусть f и g — два ненулевых линейных функционала на ли- нейном пространстве X . Доказать, что если Ker f = Ker g,то f = αg для некоторого α ∈ . . ◦ . Пусть f1, f2,..., fn — линейные функционалы на линейном пространстве X .Обозначимчерез X0 пересечение ядер всех этих функционалов. Доказать, что если codim X0 < n, то найдутся такие комплексные числа α1,...,αn, |α1| + ... + |αn| = 0, что n k=1 αkfk=0 (другими словами, функционалы { fk }n 1 являются линейно зависи- мыми). . ◦ . Пусть f1, f2,..., fn — линейно независимая система линей- ных функционалов на линейном пространстве X ,аλ1 , λ2,...,λn — комплексные числа. Доказать, что существует такой вектор x ∈ X , что fk(x)=λkдлявсех1 k n. . ◦ . Доказать теорему. . . ◦ . Пусть f — линейный функционал на нормированном про- странстве. Доказать, что f непрерывен тогда и только тогда, когда для любой последовательности xn → 0 числовая последовательность {f (xn)}∞ 1 ограничена. .. Пусть f — линейный функционал в нормированном про- странстве. Доказать, что f непрерывен тогда и только тогда, когда ядро Ker f замкнуто. .. Привести пример (нелинейного) функционала f : X → на некотором банаховом пространстве X , непрерывном на X ,ноне ограниченном на единичном шаре этого пространства. . ◦ . Доказать, что в конечномерном нормированном простран- стве всякий линейный функционал непрерывен. Определение . . Пусть X — линейное пространство над по- лем . Нарядус линейными функционалами на X рассматривают вещественно-линейные функционалы. Функционал f : X → назы- вают вещественно-линейным,если f (αx + β y) = α f (x) + β f (y)для любыхx,y∈Xиα,β∈ . Например, на пространстве общий вид линейного функциона- ла f (z) = az,гдеa ∈ , а общий вид вещественно-линейного функ- ционала f (z) = az + b̄z ,гдеa, b ∈ . Подобно функциям комплекс-
§ .. Основные свойства. Вычисление норм  ного переменного, линейные функционалы на комплексном линей- ном пространстве раскладываются в сумму двух вещественно-ли - нейных функционалов f(x) = Re f(x) + i Im f(x). .. Пусть f — линейный функционал на комплексном норми- рованном пространстве X . Доказать, что Re f иImf являются веще- ственно-линейными функционалами. Доказать, что если функцио- нал f непрерывен, то функционалы Re f иImf также непрерывны и Re f = Im f = f (нормы функционалов Re f иImf определя- ются аналогично равенству(.)). . ◦ . Пусть φ — вещественно-линейный функционал на ком- плексном линейном пространстве X . Доказать, что единственный комплексный линейный функционал f сусловиемRef = φ имеет вид f(x) = φ(x) − iφ(ix). Следующие две задачи обобщают на нормированные простран- ства формулу расстояния от точки до плоскости. . . Пусть f — ненулевой линейный непрерывный функционал на нормированном пространстве X . Доказать, что для любого x ∈ X справедливо равенство dist(x,Ker f ) = | f (x)|/ f . . ◦ . Пусть f — ненулевой линейный непрерывный функционал на нормированном пространстве X .Обозначим M={x∈X:f(x)=a}. Доказать, что dist(0, M ) = |a|/ f . В конечномерных нормированных пространствах любой линей- ный функционал оказывается ограниченным (см. задачу .). В бес- конечномерном случае это уже не так. .◦ . Пусть X — линейное подпространство функций x ∈ C[0, 1], дифференцируемых в точке t0 ∈ (0, 1). Доказать, что подпростран- ство X не замкнуто и всюду плотно в C[0, 1]. Доказать, что линей- ный функционал f (x ) = x (t0) на нормированном пространстве X (норма на X наследуется из C[0, 1]) не является ограниченным. В предыдущей задаче пространство X не полно. В банаховом пространстве нельзя конструктивно построить пример неограни- ченного всюдуопределённого функционала. Можно лишь доказать, что такой функционал существует, и для этого необходимо понятие алгебраического базиса. Определение .. Система { xα}, где α ∈ Λ, в линейном простран- стве L называется базисом Гамеля или алгебраическим базисом,ес- ли любой элемент x ∈ L может быть единственным образом пред- ставлен в виде конечной линейной комбинации элементов этой сис- темы.
 Глава . Линейные непрерывные функционалы Базис Гамеля существует в любом линейном пространстве. 1) Лю- бые два базиса Гамеля в одном и том же линейном пространстве равномощны. Отметим, что базис Гамеля в банаховом пространстве либо конечен, либо несчётен2) . .. Пусть { xλ }λ∈Λ — базис Гамеля в банаховом пространстве. Доказать, что существует такое n ∈ , что множество {a1 xλ1 + ... ... + anxλn : ak ∈ }всюдуплотновX. .. Пусть {xλ }λ∈Λ — базис Гамеля в бесконечномерном нор- мированном пространстве. При помощи этого базиса построить пример всюдуопределённого неограниченного линейного функци- онала. .◦ . Доказать, что в любом нормированном бесконечномерном пространстве X найдётся незамкнутое линейное подпространство коразмерности 1. Таким образом, в любом бесконечномерном нормированном пространстве существует неограниченный всюду определённый ли- нейный функционал. На практике обычно возникают неограничен- ные функционалы, определённые не на всём пространстве, а на всюдуплотном множестве (как в задаче .). .. Доказать, что если неограниченный функциона л в норми- рованном пространстве определён на всюдуплотном множестве, то его ядро всюдуплотно. Пример . . Вычислить нормуфункционала f ∈ (C[−1, 1])∗ , f(x)= 0 −1 x(t)dt− 1 0 x(t)dt− 3x(0). Решение. Для любой функции x ∈ C[−1, 1] имеем |f(x)| 0 −1 |x(t)|dt + 1 0 |x(t)| dt + 3|x(0)| 1 −1 xdt+3x=5x, откуда f 5. С другой стороны, для непрерывной на [−1, 1] функции xδ(t) = ⎧ ⎨ ⎩ 1, если t ∈ [−1, −δ], −1 − 2t/δ,е с л иt ∈ [−δ,0], −1, если t ∈[0,1], гдеδ>0, имеем f(xδ)=1 −δ+1+3=5 −δ и xδ =1, так что f 5 − δ . В силупроизвольности δ отсюда заключаем, что f = =5. 1) Доказательство этого факта опирается на леммуЦорна. 2) Это утверждение сразу следует из задачи . и теоремы .. Докажите его.
§ .. Основные свойства. Вычисление норм  Как нетрудно видеть, в этом примере функционал f не достигает своей нормы на замкнутом единичном шаре, то есть не существует такойфункцииx∈C[−1,1], x =1,что f(x)= f . .. Доказать, что указанный функционал является линейным и непрерывным на указанном пространстве X , и найти его норму: а)X=c0, f(x)= ∞ n=1 xn 2n; б)X=c, f(x)=lim n→∞ xn; в)X=l∞,f(x)=3x1−x2+2x4; г)X=l2, f(x)= ∞ n=1 xn n ; д)X=l1, f(x)= ∞ n=1 xn n ; е) X=L1[−1,1], f(x)= 1 −1 tx(t) dt; ж) X=L2[−1,1], f(x)= 1 −1 tx(t) dt; з)X=L ∞ [−1,1], f(x)= 1 −1 tx(t) dt; и) X =C[−1,1], f(x)= x(1)− x(−1); к) X=C[−1,1], f(x)= 1 −1 tx(t) dt − x (0); л)X=C[−1,1], f(x)= 0 −1 x(t)dt− 1 0 x (t) dt; м) X=C[0,1], f(x)= n k=1 αkx(tk),гдеtk∈[0,1],аαk∈ ; н) X =C[0,1], f(x)= 1 0 x(t)y(t)dt,где y ∈ C[0,1]; о) X =C[0,1], f(x)= lim n→∞ 1 0 x(tn)dt; п)X=C 1 [−1, 1] с любой из двух норм, указанных в списке про- странств, f(x) = x (1) − x (−1); р)X=C 1 [−1, 1] с любой из двух норм, указанных в списке про- странств, f(x) = 1 −1 x(t)dt+ x (0);
 Глава . Линейные непрерывные функционалы с)X=W1 2 [−π,π], f(x)= π −π (x (t)sint + x (t)cost) dt; т)X=W 1 2 [−π,π], f(x)= π −π (x(t)cost + x (t)sint) dt. .*. Доказать, что указанный функционал является линейным и непрерывным на указанном пространстве X , и найти его норму: а)X=W1 2 [−π,π], f(x)= x(0); б)X=W1 2 [0, π], fa(x) = x(a), где точка a ∈ [0, π]фиксирована; в) X=AL2(|ζ|<1), fa(x)= x(a), где точка a∈ , |a|<1,фикси- рована. Указание. В пунктах а), б) и в) использовать ортонормирован- ные базисы, построенные в задачах ., . и . соответственно. Как видно из примера ., не каждый функционал достигает сво- ей нормы на замкнутом единичном шаре. .. В каждом из пространств привести примеры функциона- лов, которые не достигают своей нормы на единичном шаре: а) c0;б)c;в)l1;г)L1[0, 1]; д) C[0, 1]. Доказать, что в конечномерном нормированном пространстве и в гильбертовом пространстве всякий функционал достигает своей нормы на единичном шаре. . . Пусть f — ненулевой линейный непрерывный функционал на нормированном пространстве X . Доказать, что если для некото- рого x /∈ Ker f существует элемент наилучшего приближения в Ker f (см. определение .), то f достигает своей нормы на единичном шаре. Доказать, что если f достигает своей нормы на единичном ша- ре, то для любого x ∈ X вKerf существует элемент, ближайший к x . . . Привести пример банахова пространства X и замкнутого подпространства X0 в нём, для которого не существует 0-перпенди- куляра (см. определение .). § .. Теорема Хана—Банаха Теорема . (Х.Хан, ; С.Банах, ). Пусть (X, · ) —ли- нейное нормированное пространство, Y — линейное подпростран- ствовX,f∈Y∗ — функционал. Тогда существует такой функцио- налF∈X∗ ,чтоF(y)=f(y)для всех y∈Yи F X∗ = fY∗. Другими словами, функционал f , определённый и непрерывный на подпространстве Y , продолжается до непрерывного линейного функционала на всё пространство X без увеличения нормы. 1) Это 1) В общем случае доказательство этой теоремы использует лемму Цорна, но в се- парабельных нормированных прос транствах можно обойтись без неё.
§ .. Теорема Хана—Банаха  продолжение, вообще говоря, не единственно. Любое такое продол- жение мы будем называть продолжением функционала f по Хану— Банаху. Задачи .. Пусть X — нормированное пространство, Y ⊂ X —подпро- странство конечной коразмерности, а f — линейный непрерывный функционал на Y . Доказать, что любое продолжение f до линейного функциона ла на X есть непрерывный функционал. Теорема Хана—Банаха не гарантирует единственность продол- жения по Хану—Банаху в общем случае. Ситуация здесь следующая: в некоторых пространствах (критерий дан в задаче .) продолже- ние по Хану—Банаху любого функционала единственно. В общей ситуации всё зависит от подпространства Y , на котором задан функ- ционал. .. Пусть банахово пространство X есть: а) вещественное пространство l1(2); б) вещественное пространство l∞(2). Привести пример линейного функционала f с одномерной обла- стью определения, продолжение по Хану—Банаху которого на всё пространство X не единственно. Доказать, что в пространстве l2(2) такой пример невозможен. .. Пусть X — нормированное пространство. Доказать, что продолжение по Хану—Банаху любого линейного непрерывного функциона ла на X единственно тогда и только тогда, когда со- пряжённое пространство X ∗ строго нормировано (см. определе- ние .). .◦ . Доказать, что любой линейный непрерывный функционал, определённый на всюдуплотном линейном подпространстве нор- мированного пространства X , имеет единственное продолжение по Хану—Банаху. . ◦ . Доказать, что для любого ненулевого x ∈ X существует та- кой функционал f ∈ X ∗ ,что f =1,f(x)= x . .◦ . Доказать, что для любых x, y ∈ X, x = y, существует такой функционал f ∈ X∗ ,чтоf(x)= f(y). . ◦ . Пусть x1, x2 ,..., x n — линейно независимая система векто- ров нормированного пространства X ,аλ1 , λ2,...,λn —комплекс - ные числа. Доказать, что существует такой линейный непрерывный функционал f ,что f(xk) = λk для всех 1 k n (сравните с зада- чей .). .. Пусть X — вещественное нормированное пространство, {xn} — конечная или счётная система векторов в X ,а{cn } ⊂ .
 Глава . Линейные непрерывные функционалы Доказать, что существование функционала f ∈ X ∗ со свойством f (xn) = cn для любого n ∈ равносильно тому, что для произвольно- го конечного набора {λn} N n=1 ⊂ выполнено N n=1 λn cn M N n=1 λnxn с некоторой единой постоянной M > 0. . . Доказать, что существует линейный непрерывный функци- онал f на вещественном пространстве l∞, удовлетворяющий следу- ющим условиям: () inf n∈ xn f(x) sup n∈ xn; () если существует lim n→∞ xn=a,тоf(x)=a; () функционал инвариантен при сдвигах, т. е . f ((x1, x2 , x3 ,...))= = f((x2, x3,...))длялюбого x = (x1, x2,...)∈ l∞. Условия ()—() определяют функционал f не единственным об- разом. Любой такой функционал называют обобщённым (или бана- ховым) пределом ограниченной числовой последовательности. Его часто обозначают LIM. . ◦ . Найти: а) LIM(0,1,0,1,...); б) LIM(0,0,1,0,0,1,...). Определение . . Нормированное пространство X называется гладким,еслидлякаждого x ∈ X с x = 1 существует единственный функционал f такой, что f(x) = f = 1. .◦ . Привести примеры гладкого и негладкого пространства. Доказать, что в гладком пространстве продолжение по Хану—Бана- хулюбого линейного функционала с любого одномерного подпро- странства единственно. В рефлексивных (см. далее определение .) гладких простран- ствах любой линейный непрерывный функционал имеет единствен- ное продолжение по Хану—Банаху. .. Пусть линейный функционал f определён на одномерном подпространстве Lin(x) ⊂ C[0, 1], где: а) x(t) = t;б)x(t) = 2t − 1. Единственно ли продолжение по Хану—Банаху такого функцио- нала? .. Пусть на одномерном подпространстве Lin( x ) ⊂ C[0, 1], по- рожденном некоторой ненулевой функцией x(t), определен функ- ционал f (λx) = λ x(t0), где t0 ∈ [0, 1] — фиксированная точка. Един- ственно ли продолжение по Хану—Банаху такого функционала? .. Доказать, что для линейного подпространства Y нормиро- ванного пространства X сусловием̄̄Y = X и произвольной точки x ∈ X существует такой функционал f ∈ X ∗ ,ч то f =1,f(x)= = dist(x,Y)иf(y)=0длялюбого y∈Y. Теорема Хана—Банаха имеет несколько различных формулиро- вок.
§ .. Теорема Хана—Банаха  Те ор е м а  .  . Пусть X — вещественное линейное пространство, Y — линейное подпространство в X . Пусть на X заданы функцио- налы pk : X → + ,k= 1, 2, удовлетворяющие следующим аксиомам (такие функционалы называют калибровочными): () pk(λx) = λpk(x) для всех x ∈ Xиλ 0 (положительная однородность); () pk(x + y) pk(x) + pk(y) для всех x, y ∈ X (полуаддитив- ность). Далее, пусть f — такой линейный функционал на Y , что − p1( y ) f(y) p2(y) для любого y ∈ Y . Тогда существует такой линейный функционал F на X, что F(y) = f(y) для любого y ∈ Yи−p1(x) F(x) p2(x) для любого x ∈ X. Теорема остаётся верной и в случае, если функционал f удовлетворяет одному из неравенств − p1(y) f(y) или f(y) p2(y)(для функционала F тогда будет выполнено тоже лишь одно соответствующее неравенство). Утверждение следующей задачи называют геометрической фор- мой теоремы Хана—Банаха. Дадим вначале некоторые поясне- ния. В задаче . упоминалось понятие аффинного подпростран- ства. Аффинное подпространство коразмерности 1 в произвольном линейном пространстве называют аффинной гиперплоскостью. Несложно видеть, что эквивалентное определение можно дать с по- мощью линейных функционалов. Аффинной гиперплоскостью вли- нейном пространстве X называют множество X f,c = {x ∈ X : f (x) = c}, где f — линейный функционал на X ,аc ∈ . Пусть теперь X — вещественное линейное пространство, U1 и U2 — его непересекающиеся подмножества. Будем говорить, что ненулевой функционал f разделяет эти подмножества, если ли- бо f(z1) f(z2) для любых z1 ∈ U1, z2 ∈ U2;либоf(z1) f(z2)для любых z1 ∈ U1, z2 ∈ U2. Нетрудно видеть, что в этом случае найдётся такое c ∈ ,чтоsup{f (z1): z1 ∈ U1} c inf{ f (z2): z2 ∈ U2} (соответ- ственно, inf{ f (z1): z1 ∈ U1} c sup{ f (z2): z2 ∈ U2}), т. е. аффинная гиперплоскость X f ,c разделяет множества U1 и U2. .*. Пусть U1 и U2 — два выпуклых непустых непересекающих- ся множества вещественного банахова пространства X ,одноизко- торых имеет непустую внутренность. Доказать, что существуют та- койлинейныйнепрерывныйфункционал f итакоечислоc ∈ ,что аффинная гиперплоскость X f ,c разделяет U1 и U2. .. Пусть P — подпространство вещественного пространства C[0, 1], состоящее из всех многочленов. Доказать, что P+ и P− — множества, состоящие из многочленов с положительным (отри- цательным) коэффициентом при старшей степени, — выпуклы, не пересекаются, но не разделяются никакой гиперплоскостью.
 Глава . Линейные непрерывные функционалы Будем говорить, что аффинная гиперплоскость X f ,c строго раз- деляет множества U1 и U2,если либоf(z1) c1<c<c2 f(z2)длялюбыхz1∈U1,z2∈U2; либоf(z1) c1>c>c2 f(z2)длялюбыхz1∈U1,z2∈U2. .. Пусть B1 и B2 — два выпуклых замкнутых непустых непе- ресекающихся множества вещественного банахова пространства X , причём одно из них компактно. Доказать, что существуют такой ли- нейный непрерывный функционал f итакоечислоc ∈ , что аффин- ная гиперплоскость X f ,c с трого разделяет B1 и B2. § . . Сопряжённые пространства Для многих конкретных банаховых пространств X сопряжённые книмпространства X ∗ допускают простое описание, то есть изо- метрически изоморфны конкретным банаховым пространствам Y . В приводимом ниже списке таких описаний равенство пространств X ∗ и Y означает наличие изометрического изоморфизма (линейно- го биективного отображения, сохраняющего норму) Y → X ∗ ,y→fy, междуними, и этот изоморфизм указывается. .c ∗ 0 = l1;функционал fy ∈ c ∗ 0, соответствующий элементу y = = (y1, y2,...) ∈ l1, действует на элементе x = (x1, x2,...) ∈ c0 так: fy(x) = ∞ n=1 ynxn. .c ∗ = l1;функционал fy ∈ c ∗ , соответствующий элементу y = = (y0, y1, y2,...)∈ l1, действует на элементе x = (x1, x2,...)∈ c так: fy(x) = ∞ n=0 ynxn,гдеx0 = lim n→∞ xn.  (Ф. Рисс, ; Дж. Радон, ). Если мера μ на измеримом про- странстве (M , Σ)конечнаилиσ-конечна, то (Lp(M,Σ,μ))∗ = Lq(M,Σ,μ), 1<p<∞, 1 p+ 1 q=1. При этом функционал fy ∈ (Lp(M, Σ, μ))∗ , соответствующий функ- ции y ∈Lq(M,Σ,μ), действует на функции x ∈ Lp(M,Σ,μ)так:fy(x)= = M x (t) y(t) dμ.  (Э. Ландау, ). В частности, ∗ lp=lq,1<p<∞, 1 p+ 1 q=1; функционал fy ∈ ∗ lp, соответствующий элементу y = (y1, y2,...)∈ lq, действует на элементе x = (x1, x2 ,...)∈ lp так: fy(x) = ∞ n=1 ynxn.
§ .. Сопряжённые пространства   (Г. Штейнгауз, ; Н. Данфорд, ). Если мера μ конечна или σ-конечна, то (L1(M , Σ, μ))∗ =L ∞ (M,Σ,μ); функционал fy ∈ ∈ (L1(M , Σ, μ))∗ , соответствующий функции y ∈ L∞(M , Σ, μ), дей- ствует на функции x ∈ L1(M,Σ,μ)так:fy(x) = M x (t) y(t) dμ. . В частности, l ∗ 1 = l∞;функционал fy ∈ l∗ 1, соответствующий эле- менту y = (y1, y2,...)∈ l∞, действует на элементе x = (x1, x2,...)∈ l1 так: fy(x) = ∞ n=1 ynxn.  (Ф. Рисс, ). (C[a, b])∗ = BV0[a, b]; функционал fy ∈ (C[a, b])∗ , соответствующий функции y ∈ BV0[a, b], действует на функции x ∈ C[a, b]так:fy(x) = b a x (t) dy(t) (интеграл Римана—Стилтьеса). . (C1[a, b])∗ = BV0[a, b] × ;функционал fy,λ ∈ (C1[a, b])∗ ,с о- ответствующий функции y ∈ BV0[a, b]ичислуλ ∈ ,действует на функции x ∈ C1[a, b]так:fy,λ(x) = b a x (t) dy(t) + λx(a)(инте- грал Римана—Стилтьеса). При этом, если в качестве нормы в про- странстве C 1 [a, b]выбирается x = | x(a)| + max t∈[a,b] |x (t)|,товка - честве нормы в пространстве BV0[a, b] × выбирается ( y, λ) = =max(yBV0 , |λ|). В гильбертовых пространствах все линейные функционалы мож- но определить с помощью скалярного произведения. Теорема . (М. Фреше, ; Ф. Рисс, ). Пусть H — гиль- бертово пространство. Тогда любой вектор y ∈ Hпорождаетли- нейный непрерывный функционал fy на H , действующий по пра- вилу fy ( x ) = ( x , y). Обратно, для любого линейного непрерывного функционала f на пространстве H найдётся такой вектор y ∈ H, что f = f y . Отображение y → f y является не только биекцией, но изометрией и антилинейным отображением, т. е. α y1 + β y2 → →̄̄ αfy1 + ̄̄βfy2 . Это отображение называют изоморфизмом Рисса. Итак, с точностью до сопряжённо-линейной изометрии простран- ство H ∗ совпадает с H . В случае вещественных пространств H ∗ иH просто изометрически изоморфны. Представления сопряженных пространств позволяют упростить вычисление норм функционалов: если X ∗ =Y,тоfyX∗= yYдля любого y ∈Y. Пример .. Вычислить нормуфункционала f ∈ (C[−1, 1])∗ : f(x)= 0 −1 x(t)dt− 1 0 x(t)dt− 3x(0).
 Глава . Линейные непрерывные функционалы Решение. Имеем f (x) = 1 −1 x(t) dy(t), где y(t) = t+1, если t ∈ [−1, 0], −2 −t,е с л иt ∈(0,1], — функция из пространства BV0[−1, 1]. Отсюда следует, что f = = y =Var1 −1(y)=5. Задачи .. Пусть X — нормированное пространство. Доказать, что пространство X ∗ банахово. Следствие теоремы Хана—Банаха, содержащееся в задаче ., можно неформально интерпретировать так: функционалов на нор- мированном пространстве X «не меньше», чем векторов в X .Ещё одним свидетельством этого можно считать следующую задачу. .. Доказать, что если сопряжённое пространство X ∗ кнор- мированномупространству X сепарабельно, то X тоже сепарабель- но. Привести пример, показывающий, что обратное утверждение неверно. .. Пусть нормированное пространство Z есть декартово про- изведение нормированных пространств X и Y и z = (x, y) Z = = x X + y Y . Доказать, что сопряжённое пространство Z ∗ сов- падает с X ∗ ×Y∗ ,инайтинормувнём. .. Пусть X — конечномерное нормированное пространство. Доказать, что X ∗ изоморфно X (и, стало быть, тоже конечномерно). .. Пусть сопряжённое пространство X ∗ к нормированному пространству X конечномерно. Доказать, что X изоморфно X ∗ (и, стало быть, тоже конечномерно). .. Пусть X0 — неполное нормированное пространство, а X — его пополнение. Доказать, что пространства X ∗ иX ∗ 0 изометрически изоморфны. .. Пусть X1 и X2 — нормированные пространства, X1 ⊂ X2, · X2 ≺·X1 на пространстве X1 (см. определение .) и X1 плотно вX2понорме ·X2 . Доказать, что тогда X ∗ 2⊂X∗ 1и·X ∗ 1 ≺·X ∗ 2 на пространстве X ∗ 2. .◦ . Построить пример таких нормированных пространств X1 и X2,чтоX1 X2, · X2 ≺·X1 ,но X ∗ 2X ∗ 1и·X ∗ 1 · X∗ 2 . Пример .. Доказать утверждение п.  в списке сопряжённых пространств. Решение. Пусть f ∈ c∗ 0 и yn = f(en), где en = (0,...,0,1 n ,0,...) —ба- зисные векторы в пространстве c0 . В силулинейности f (x ) = N n=1 ynxn
§ .. Сопряжённые пространства  для любого финитного вектора x = ( x1, x2 ,..., xN ,0,0,...). Поскольку множество таких векторов плотно в c0, а функционал непрерывен, имеем f(x) = ∞ n=1 yn x n для любого x ∈ c0. Возьмём теперь финит- ный вектор x с координатами xn = ̄ yn| yn| −1 ,е слиyn = 0иn N; xn=0,еслиyn=0илиеслиn>N.Тогдаxc0 =1,аf(x)= N n=1 |yn|, т.е. f c∗ 0 N n=1 |yn| для любого N. Это означает, что y ∈l1 и y l1 fc∗ 0 . Обратное неравенство следует из очевидного неравенства |f(x)|xc0yl1 .Итак, y l1 = fc∗ 0 ,т . е.отображение f → y — изометрия (линейность этого отображения очевидна). Остаётся проверить сюръективность отображения. Действительно, любой вектор y ∈ l1 задаёт функционал f y ∈ c∗ 0 ,действующийпоформу- ле fy(x) = ∞ n=1 yn x n. При таком определении функционала f y имеем fy(en) = yn, т. е. действительно fy → y. .◦ . Доказать утверждение п.  в списке сопряжённых про- странств по схеме, описанной в предыдущей задаче. . ◦ . Найти элементы пространства l1, соответствующие следу- ющим функционалам на пространствах c и c0: а)fn(x)=xn,n∈ ;б)f(x)=x1+x2−x3;в)f(x)=x1−lim n→∞ xn. Найти нормы этих функционалов. .. Доказать следующие утверждения в списке сопряженных пространств: а)* п.  для случая Lp[0, 1]; б) п. ; в)* п.  для случая L1[0,1];г)п.;д)*п.;е)п.. . ◦ . Найти элементы пространства BV0[−1, 1], соответствую- щие следующим функционалам на пространстве C[−1, 1]: а) f(x) = n k=1 akx(tk),гдеak∈ , −1 t1<...<tn 1; б) f(x)= 1 −1 a(t)x(t) dt,гдеa ∈ C[−1, 1]; в)f(x)= −1 − x(t)dt, ∈(0,1]; г)f(x)= −1(x()−x(−)), ∈(0,1]; д)f(x)= −2 (x( )−2x(0)+x(− )), ∈(0,1]; е) f(x)= 1 0 x (t) dt;
 Глава . Линейные непрерывные функционалы ж) f(x)= 0 −1 x(t)dt− 1 0 x (t) dt; з) f(x)= 1 −1 tx(t) dt. Найти нормы этих функционалов. . ◦ . Найти элементы пространства BV0[0, 1], соответствующие следующим функционалам на пространстве C[0, 1]: а) f(x) = 1 0 x( t)dt; б) f(x)= 1 0 x(t2)dt; в) f(x)= lim n→∞ 1 0 x(tn)dt; г) f(x)= 1 0 a(t)x(t)dt+ n k=1 akx(tk),гдеa∈C[0,1],ak∈ ,0 t1< <t2<...<tn−1<tn 1. Найти нормы этих функционалов. .. Пусть f — положительный линейный функционал на ве- щественном пространстве C[0, 1], т. е . f (x ) 0 для любой неот- рицательной функции x (t). Доказать, что f непрерывен и f = = f(x0(t)≡1). . ◦ . Найти элементы пространства L∞[−1, 1], соответствующие следующим функционалам на пространстве L1[−1, 1]: а)f(x)= − x(t)dt, ∈ (0,1]; б) f(x)= 1 0 R(t)x(t) dt,где R(t) = ⎧ ⎨ ⎩ 0, если t иррационально; q−1 ,е с л иt = p/q; 1, еслиt=0, — функция Римана. Найти нормы этих функционалов. .◦ . Найти элементы пространства L2[−1, 1], соответствующие следующим функционалам на пространстве L2[−1, 1]: а) f(x) = 1 −1 tx(t) dt;б)f (x) = − 1/2 − x(t)dt, ∈ (0,1];
§ .. Сопряжённые пространства  в) f(x)= lim n→∞ 1 0 x (t)sin(πnt) dt. Найти нормы этих функционалов. .◦ . Найти элементы пространства l∞, соответствующие следу- ющим функционалам на l1 : а) fn(x)= xn, n∈ ;б)f(x)= x1 + x2;в)f(x)= ∞ n=1 xn. Найти нормы этих функционалов. . ◦ . Найти элементы пространства l2, соответствующие следу- ющим функционалам на l2 : а) fn(x)= xn, n∈ ;б)f(x)= x1 + x2;в)f(x)= ∞ n=1 xn n . Найти нормы этих функционалов. .. Доказать, что пространство l1 изометрически вложено в пространство l ∗ ∞ ,но неизоморфноему. .◦ . Доказать, что следующие функционалы являются линей- ными и непрерывными на пространстве l∞ ,инайтиихнормы: а)fn(x)=xn, n∈ ;б)f(x)= ∞ n=2 xn nln 2 n ;в)f(x) = LIM(x). Можно ли для этих функционалов найти такие векторы y ∈ l1,что f(x)= ∞ n=1 ynxn для любого x ∈ l∞? .. Доказать, что продолжение по Хану—Банаху любого линей- ного непрерывного функционала с c0 на l∞ единственно.1) .. Доказать, что L1[0, 1] изометрически вложено в простран- ство (L∞[0, 1])∗ ,нонеизоморфноему. .◦ . Доказать, что следующие функционалы являются линей- ными и непрерывными в пространстве L∞[−1, 1], и найти их нормы: а) f(x) = 1 −1 tx(t) dt;б)f (x) = −1 − x(t)dt, ∈ (0,1]. . . Найти элементы пространства BV0[−1, 1] × , соответству- ющие следующим функционалам на пространстве C 1[−1, 1] с нор- мой x C1[−1,1] = |x(−1)|+ max −1t1 |x (t)|: а) f(x) = n k=1 akx (tk)+ m l=0 blx(sl),гдеak∈ ,bl∈ , −1 t1<... ... <tn 1, −1=s0<s1<...<sm 1; б)f(x)=(x()−x(−)) 2 , ∈ (0, 1]; 1) То же самое утверждение можно сформулировать по-другому: если у функцио- нала f ∈l∗ ∞ норма сужения на c0 совпадает с нормой на всём l∞ ,то f задаётся равен- ством f(x) = ∞ n=1 xn yn для некоторого y ∈ l1 .
 Глава . Линейные непрерывные функционалы в)f(x)= x( )−2x(0)+x(−) 2 , ∈ (0, 1]; г) f(x)= 1 0 x (t) dt; д) f(x)= 0 −1 x(t)dt− 1 0 x (t) dt; е) f(x)= 1 −1 tx(t) dt; ж) f(x)= 1 0 x (t)cos(πt) dt − 2x(0). Найти нормы этих функционалов. .. Найти элементы пространства W 1 2 [0, 1], соответствующие следующим функционалам на пространстве W 1 2 [0, 1]: а) f(x)= x(0); б) f(x)= x(1)+x(0); в) f(x)= 1 0 x (t) dt;г ) f(x) = 1 0 x (t)sintdt; д) f(x)= 1 0 (x (t)sint + x (t)cost ) dt;е )f(x)= 1 0 x (t) dt. Найти нормы этих функционалов. .. Решить пункты а), б) задачи . с помощью теоремы .. § .. Второе сопряжённое прос транс тво. Рефлексивность Каждое линейное нормированное пространство X вкладывается в свое второе сопряженное пространство X ∗∗ . Это вложение задаёт- ся формулой π: x → Fx,гдеFx(f)= f(x) для любого f ∈ X∗ ,иназы- вается каноническим.ФункционалыFx из X ∗∗ , сопоставляющие каж- домуэлементу f ∈ X ∗ число f (x), называют функционалами означи- вания. Доказывается, что вложение π является линейным и изометри- ческим,тоесть Fx X∗∗ = x Xдлялюбогоx∈X. Определение .. Нормированное пространство X называется рефлексивным,еслиπ( X ) = X ∗∗ (обычно пишут X ∗∗ = X),т.е.если отображение π является изоморфизмом пространств X и X ∗∗ . Приведем наиболее часто используемый критерий рефлексивно- сти банахова пространства.
§ . . Второе сопряжённое пространство. Рефлексивность  Теорема . (Р.Джеймс, ). Банахово пространство (X, · ) рефлексивно тогда и только и тогда, когда любой функционал f ∈ X ∗ достигает своей нормы на единичном шаре пространства X , т. е. существует такой x ∈ Xснормой x = 1,что f(x) = f . Задачи .. Доказать, что если X — рефлексивное пространство, то для любого функционала f ∈ X ∗ существует такой элемент x ∈ X ,что x = 1и f (x ) = f (необходимость в теореме Джеймса). .◦ . Доказать, что каноническое вложение π : X → X ∗∗ является изометрией. Теорема Джеймса помогает проверять рефлексивность конкрет- ных пространств, не находя сопряжённые к ним. .. Доказать нерефлексивность пространств: а) C[a, b]; б) Cn[0, 1], n = 1, 2, ...; в) l1;г)c0;д)c;е)L1[a, b]. .. Доказать, что если пространство X рефлексивно, то и X ∗ ре- флексивно. .◦ . Доказать нерефлексивность пространств: а) l∞;б)L∞[0, 1]. .◦ . Доказать, что любое конечномерное нормированное про- странство и любое гильбертово пространство рефлексивно. Доказывать рефлексивность пространств обычно сложнее, чем нерефлексивность. Обратите внимание, что здесь нужно не просто доказать, что X и X ∗∗ изометрически изоморфны, но проверить, что именно каноническое вложение является изометрическим изомор- физмом. Есть пример (Р. Джеймс, ) пространства X ,длякоторо- го изометрический изоморфизм (какой-то) между X и X ∗∗ существу- ет, но каноническое вложение π изоморфизмом не является. .. Доказать рефлексивность пространств: а)lp, p∈(1,∞); б)Lp[0,1],p∈(1,∞). .. Доказать, что если X — банахово пространство и X ∗ ре- флексивно, то X также рефлексивно. Для каждого нормированного пространства X определено со- пряжённое пространство X ∗ . Возникает задача: для каждого ли нормированного пространства X существует такое нормированное пространство Y ,чтоY ∗ = X ? Посколькусопряжённые пространства всегда банаховы, то ясно, что пространство X должно быть бана- ховым. Далее, если само пространство X рефлексивно, то задача имеет решение: Y = X ∗ . Свойство рефлексивности, конечно, не яв- ляется критерием: например, пространство l1 не рефлексивно, но (c0)∗ = l1. Однако для нерефлексивных пространств X искомое про- странство Y может не существовать (см. задачи . и .).
 Глава . Линейные непрерывные функционалы .. Доказать, что не существует такого банахова простран- ства X,чтоX∗ =c 0. Ещё один критерий рефлексивности пространства связан с суще- ствованием элемента наилучшего приближения в подпространстве. .. Доказать, что банахово пространство X рефлексивно тогда и только тогда, когда всякое замкнутое подпространство Y ⊂ X ко- размерности 1 является подпространством существования (ср. с за- дачей .). . ◦ . Привести пример банахова пространства X и замкнутого подпространства Y ⊂ X , которое не является подпространством су- ществования (сравните с задачей .). Выражение f (x), где x есть вектор нормированного простран- ства X ,а f есть линейный непрерывный функционал на X ,являет- ся билинейным непрерывным функционалом (билинейной формой) на X × X ∗ (иногда, чтобы подчеркнуть равноправие x и f ,использу- ют обозначение f (x) = 〈 x , f 〉). Таким образом, для нормированного пространства X над полем K возникает отображение X × X ∗ → K , схожее со скалярным произведением. Так, запись f ⊥ x означает, что f (x ) = 0. Для произвольного множества M ⊂ X можно опреде- лить аннуляторM⊥={f∈X∗: f(x)=0длялюбого x∈M}.Есть и «ана лог» ортонормированных систем — биортогональные системы (см. главу). .. Пусть M — произвольное множество в нормированном пространстве X . а)◦ Доказать, что M ⊥ — замкнутое подпространство в X ∗ . б)Доказать, что множество {x ∈ X : f(x)=0 для любого f ∈M⊥} совпадает с Lin(M ). в)◦ Доказать, что если M — замкнутое линейное подпростран- ство в рефлексивном пространстве X ,то(M ⊥)⊥ = M . г) Доказать, что если M —линейное подпространство в X ,то dim(M⊥) = codim M. Пример .. Найти аннулятор M ⊥ для множества M={x=(..., x−2,x−1,x0,x1,x2,...): x−k =−xk для любого k∈ }⊂lp( ), p∈[1,∞). Решение. В пространстве lq( ), где 1 q+ 1 p = 1, рассмотрим мно- жество N ={y=(..., y−2, y−1,0,y1, y2,...):y−k = yk для любогоk∈ } идокажем,чтоM ⊥ = N . Нетрудно видеть, что любой функционал fy ∈ (lp( ))∗ , порождённый вектором y ∈ N (см. список сопряжён- ных пространств), обнуляется на множестве M ,т . е.N ⊂ M⊥.До- кажем обратное включение. Заметим, что векторы e0, e1 − e −1,
§ . . Второе сопряжённое пространство. Рефлексивность  e2−e − 2 ,гдеen = (...,0,0,1 n ,0,0,...), лежат в M .Пусть fy —функ- ционал, порождённый произвольным вектором y =(..., y−2, y−1, y0, y1, y2,...)∈ lq. Тогда fy(e0)=y0=0, fy(e1−e −1)=y1−y − 1 =0ит.д .,тоестьy∈N. .. Найти множество M ⊥ ,если: а) ◦ M = B(x , r) в нормированном пространстве X ; б) M={x ∈C[−1,1]: x(t)=0длялюбогоt <0} в пространстве C[−1, 1]; в) M = {x ∈ C[0,1]: x(0) = 0} в пространстве C[0,1]; г)M={x∈L1[0,1]:xнепрерывнавточкеaиx(a)=0}впро- странстве L1[0, 1]; д)M={x ∈L1[−1,1]: x(t)= x(−t)длялюбогоt∈[−1,1]}впро- странстве L1[−1, 1]; е) множество M есть множество всех многочленов в простран- стве C[0, 1]; ж) множество M в пространстве C[0, 1] есть множество всех многочленов p таких, что p(0) = 0; з)M ={x ∈ C[0,1]: x(t) 0 для любого t ∈ [0,1]}впространстве C[0,1] над полем ; и) M ={x ∈ C[0,1]: x(a) x(b)длялюбого a > b} в простран- стве C[0, 1] над полем ; к)M={x∈L3[−1,1]: 1 0 x (t) dt = 0} в пространстве L3[0, 1]; л) M = c00 в пространстве c0; м) M = c0 в пространстве c; н)M={x∈l1:x1>x2>x3>...}впространствеl1надполем ; о)*M= x =(λ,λ 2 ,λ 3 ,...):λ ∈ 1, 1 2 , 1 3 ,... в пространстве c. . . Пусть Y — линейное подпространство нормированного пространства X . Доказать, что для любого элемента x ∈ X спра- ведливо равенство dist(x,Y)= max{f(x): f ∈Y⊥, f = 1}. .. Привести пример нормированного пространства X ,за - мкнутого подпространства Y в X ∗ и линейного непрерывного функ- ционала f0 /∈ Y таких, что для всякого вектора x ∈ X из равенств f (x) = 0 для любого f ∈ Y следует f0(x) = 0(замкнутоеподпро- странство Y ифункционал f0 нельзя отделить с помощью вектора). Доказать, что в рефлексивном пространстве обязательно найдётся такой вектор x0 ∈ X,чтоf(x0) =0 для любого f ∈Y,ноf0(x0) =0 (сравните с задачей .).
Глава  Линейные операторы § .. Определения и основные примеры операторов Определение .. Пусть ( X , · X)и(Y, · Y ) — линейные нор- мированные пространства над полем K (K = или ). Отображе- ние A : X → Y называется линейным оператором,если A(αx+βy)=αAx+βAy для любых α, β ∈ K и x , y ∈ X ,инепрерывным оператором,еслидля любогоэлементаx∈Xиз y−x X→0следуетAy−AxY→0. Множество линейных операторов будем обозначать L( X , Y ), а мно- жество линейных непрерывных операторов — B( X , Y ). В случае X =Y будем использовать обозначения L(X,Y)=L(X)иB(X,Y)= = B(X). Все операторы, если не оговорено противное, будем считать определёнными на всём пространстве X .ОбозначимImA := {Ax : x ∈ X}—образ оператора A,KerA := {x ∈ X : Ax = 0}— ядро опера- тора A. Линейный непрерывный функционал есть частный случай опе- ратора. Так же, как и в случае функционалов, доказывается, что непрерывность линейного оператора A равносильна его непрерыв- ности только в точке x = 0(иливлюбойдругойточке x = x0), кото- рая, в свою очередь, равносильна его ограниченности. Определение . . Линейный оператор A ∈ L( X , Y ) называется ограниченным, если существует число c,длякоторого Ax Y c x X при всех x ∈ X . Наименьшая возможная константа c в этом неравен- стве называется нормой оператора A иможетбытьвычисленапо следующим формулам: A =sup x=0 AxY xX = sup x1 Ax=sup x=1 Ax .(  .  ) Эта величина удовлетворяет всем аксиомам нормы на линейном пространстве операторов. Из этого определения следует мультипликативное неравенство для норм: Ax Y A·x Xдлявсехx∈X.
§ .. Определения и основные примеры операторов  Теорема . . Совокупность B(X, Y) всех линейных непрерывных операторов из нормированного пространства X в банахово про- странство Y с нормой (.) является банаховым пространством. Пространство B( X , Y ) называют пространством операторов.Из этой теоремы вытекает теорема . . Задачи .. Пусть X и Y — нормированные пространства, T ∈ L( X , Y ). Доказать что следующие условия эквивалентны: () T непрерывен в каждой точке пространства X ; () T непрерывен в нуле; () T ограничен; () T равномерно непрерывен на X (см. определение .). . . Пусть A : C[0, 1] → C[0, 1] — положительный линейный опе- ратор, т. е. ( Ax)(t) 0 для всякой неотрицательной функции x ∈ ∈ C[0, 1] и всякого t ∈ [0, 1]. Доказать, что A непрерывен и A = = A(x0(t) ≡ 1) .(Ср.сзадачей..) . . Доказать, что в гильбертовом пространстве H нормупроиз- вольного ограниченного оператора T ∈ B(H ) можно найти по фор- мулеT= sup x=y=1 |(Tx, y)|. . ◦ . Пусть X и Y — линейные пространства, X1 = (X, · X1), X2=(X, · X2 ),Y1=(Y, · Y1 ),аY2=(Y, · Y2 ), причём · X1 ∼· X2 , а·Y1 ∼· Y2 . Доказать, что B(X1, Y1) = B(X1, Y2) = B(X2, Y1) = B(X2, Y2). Что можно утверждать, если · X1 ≺·X2 ,а ·Y1 ≺·Y2 ? Часто приходится сталкиваться с ситуацией, когда оператор определен не на всём пространстве, а на некотором подпростран- стве. Тогда возникает вопрос о возможности продолжения этого оператора на всё пространство. Мы подробно обсудим этузадачув § ., а пока рассмотрим важный частный случай. . ◦ . Пусть X и Y — банаховы пространства, X0 —всюдуплотное в X подпространство и A ∈ B( X0, Y ). Доказать, что существует един- ственный линейный ограниченный оператор ̃A ∈ B( X , Y ), совпада- ющий с оператором A на X0. Доказать, что ̃ A B(X,Y) = A B(X0,Y). Если нормированное пространство X вложено в нормированное пространство Y , то определён оператор вложения J : X → Y , Jx = x . Если · Y ≺ · X на X , то этот оператор ограничен. Пример .. Доказать ограниченность и найти нормуоператора вложения J : W 1 1 [0,1]→L1[0,1].
 Глава . Линейные операторы Решение. Для любой функции x ∈ W 1 1 [0, 1] имеем xW1 1 = 1 0 (|x (t)| +|x(t)|)dt, аxL1 = 1 0 |x(t)| dt,т . е.xL1 xW1 1 .Подставив x (t) = 1, имеем xW1 1 = xL1 ,т.е . J =1. .. Доказать ограниченность и найти нормуследующих опера- торов вложения: а)◦J:c0→c;б ) ◦ J:c→l∞; в)J:lp→lq,1 p<q ∞; г) ◦ J: C[0,1]→L∞[0,1]; д)J:Lp[0,1]→Lq[0,1],1 q<p ∞; е)J:C 1 [0,1] → C[0, 1];1) ж)*J:W1 2 [0,1]→C[0,1]; з)J:W1 2 [0,1]→L2[0,1]; и) J:(C1[0,1], · 2)→(C1[0,1], · 1). . ◦ . Пусть X и Y — нормированные пространства, A ∈ B(X, Y). Доказать, что Ker A — замкнутое подпространство пространства X . Привести пример, показывающий, что Im A не обязан быть замкну- тым подпространством в Y . Другой важный класс операторов — операторы проектирования. Определение . . Пусть X — нормированное пространство, ко- тороеявляетсялинейнойпрямойсуммойсвоих(вообщеговоря, незамкнутых) подпространств X0 и X1. Тогда каждый вектор x ∈ X единственным образом раскладывается в сумму x = x0 + x1,где x0 ∈ X0, x1 ∈ X1. Оператором проектирования (проектором) на под- пространство X0 вдоль подпространства X1 называют оператор, определённый равенством Px = x0 . Линейность этого оператора очевидна. Легко видеть также, что Ker P = X1 ,аImP = X0. Класс операторов проектирования можно описать и другим способом. .. Доказать, что линейный оператор P в нормированном про- странстве X является оператором проектирования тогда и только тогда, когда P2 = P. . ◦ . Пусть X — нормированное пространство, X0 и X1 —линей- ные подпространства в нём, причём X является линейной пря- мой суммой X0 и X1.ПустьP — оператор проектирования на X0 вдоль X1 . Доказать, что оператор P ограничен тогда и только то- гда, когда прямая сумма X0 и X1 является топологической прямой 1) В прос транстве C 1 [0, 1] рассмотреть четыре эквива лентные нормы: x 1 = = max t∈[0,1] |x(t)| + max t∈[0,1] |x(t)|, x 2 =max{max t∈[0,1] |x(t)|,max t∈[0,1] |x(t)|}, x 3 =|x(0)|+ + max t∈[0,1] |x (t)|, x 4 = max{|x(0)|,max t∈[0,1] |x (t)|}.
§ .. Определения и основные примеры операторов  суммой (см. определение .). Доказать, что если хотя бы одно из подпространств X0 или X1 конечномерно, то P ограничен. . ◦ . В пространстве C[−1, 1] рассмотрим оператор (Px)(t) = 1 2 (x(t) + x(−t)). Доказать, что этот оператор — ограниченный проектор. Найти его образ, ядро и норму. В определении . было введено понятие дополняемого под- пространства. Часто в это определение сразувключают требование замкнутости обоих подпространств. Следующая задача показывает, что такое определение эквивалентно определению .. . ◦ . Пусть линейное подпространство X0 в нормированном про- странстве X дополняемо. Доказать, что тогда само подпростран- ство X0 и дополняющее его подпространство X1 замкнуты. В силуутверждения задачи ., дополняемость подпространства X0 ⊂ X эквивалентна существованию ограниченного проектора X на X0. . . Существует ли в пространстве C[0, 1] ограниченный опера- тор проектирования а) на подпространство Pn[0, 1]; б) на подпро- странство P [0, 1]? .. Пусть X0 — конечномерное подпространство в нормиро- ванном пространстве X . Доказать, что X0 дополняемо. .. Пусть X0 — замкнутое подпространство конечной кораз- мерности в нормированном пространстве X . Доказать, что X0 до- полняемо. Поставим обратный вопрос к утверждению задачи .. Пусть X — банахово пространство, а X0 —его замкнутое подпростран- ство. Обязано ли оно быть дополняемым? В гильбертовом простран- стве это так: достаточно взять X1 = X ⊥ 0 (см. задачу.). Отметим, что в силу утверждения задачи . вопрос допускает эквивалентную формулировку: верно ли, что для любого замкнутого подпростран- ства в банаховом пространстве найдётся ограниченный оператор проектирования на это подпространство? Чуть позже (см. зада- чу.) мы покажем, что в общем случае ответ на данный вопрос отрицательный. Определение .. Рангом оператора A называют число rank A := := dim Im A.ОператорA называется оператором конечного ранга (конечномерным оператором), если rank A < ∞. Ограниченные операторы конечного ранга устроены весьма просто. . . Пусть X и Y — нормированные пространства. Доказать, что оператор A ∈ B( X , Y ) является оператором конечного ранга то-
 Глава . Линейные операторы гда и только тогда, когда он допускает следующее представление: Ax= n k=1 fk(x)yk,гдеfk ∈ X∗ ,аyk∈Y.Доказать,чтоесли X иY— гильбертовы пространства, то оператор A ∈ B( X , Y )являетсяопе- ратором конечного ранга тогда и только тогда, когда он допускает представление Ax = n k=1 sk (x, ψk)φk,где{ψk}n 1 — ортонормирован- ная система в X ,{φk }n 1 — ортонормированная система в Y ,аsk ∈ (ср. с задачей .). .◦ . Найти норму, образ и ядро оператора A ∈ B(X,Y), Ax = = f(x)y,гдеf ∈ X∗ — фиксированный ненулевой функционал, а y ∈ Y — фиксированный ненулевой вектор. Пример .. Доказать, что оператор ( Ax)(t) = 1 −1 (1+ ts)x(s)ds в L2[−1, 1] является оператором конечного ранга. Найти его образ и ядро. Оценить его норму. Решение. Легко видеть, что Im A = Lin(1, t), а значит, rank A = 2. Ядро оператора A образуют функции x ∈ L2[−1, 1], д ля которых 1 −1 x(s)ds= 1 −1 sx(s) ds = 0. Остаётся оценить нормуоператора. Если y(t) = (Ax)(t) = 1 −1 (1+ ts)x(s)ds,то |y(t)|2 x 2 1 −1 (1+ts) 2 ds= 2+ 2 3t2 x2 . Тогда y 40 3x,т.е . A 40 3. .◦ . Доказать, что следующие операторы являются оператора- ми конечного ранга: а) A∈B(c), A(x1, x2,...)=(y1, y2,...),где yn = 1 n ∞ k=1 xk k2; б) A ∈ B(C[0, π]), (Ax)(t) = π 0 sin(t + s)x(s) ds; в) A ∈ B(L2[0, 1]), ( Ax)(t) = 1 0 (1+s+t+2st+2t2+2s 2 )x(s) ds. Найтиихобразиядро.Оценитьнорму. .. Найти точное значение нормы оператора A из примера . . Рассмотрим другой важный класс операторов — диагональные операторы (или операторы умножения на последовательность).
§ .. Определения и основные примеры операторов  Этот класс операторов важен: как будет видно дальше, многие опе- раторы становятся диагональными при разумном выборе базисных векторов. .. Доказать, что оператор A(x1, x2 ,...) = (λ1x1, λ2 x2,...) огра- ничен в пространстве а) lp, p ∈[1, ∞); б) c0;в)l∞ тогда и только тогда, когда {λn} ∞ 1 ∈ l∞ . Найти его нормуи ядро в каждом из пространств в зависимости от последовательности {λn} ∞ 1. . . Найти нормуоператора A ∈ B(L2[−π, π]), ( Ax)(t) = π −π n∈ 2−|n|ein(t−s)x(s) ds. .. Доказать, что оператор из задачи . сюръективен в каж- дом из пространств а)—в) тогда и только тогда, когда inf n1 |λn| > 0. В случаях а) и б) доказать, что его образ всюду плотен в соответству- ющем пространстве тогда и только тогда, когда все числа λn отлич- ны от нуля. В случае в) доказать, что его образ всюду плотен в соот- ветствующем пространстве тогда и только тогда, когда inf n1 |λn| > 0. . ◦ . Доказать, что оператор из задачи . является оператором проектирования в каждом из пространств а)—в) тогда и только то- гда, когда λn ∈{0,1} для любого n∈ . . ◦ . Доказать, что операторы правого и левого сдвига Tr :(x1, x2 ,...)→(0, x1 ,x 2,...), Tl(x1, x2 ,...)→(x2, x3 ,...) ограничены в пространствах l p , p ∈ [1, ∞], c и c0 . Найти норму, образ и ядро этих операторов в каждом из пространств. Аналогом диагонального оператора в функциональных про- странствах является оператор умножения на функцию ( Ax)(t) = = a(t)x(t). .. Доказать, что оператор умножения на непрерывную функ- цию a(t) ограничен в пространстве а) L∞[0, 1]; б) C[0, 1]. Найти его нормуи ядро в каждом из пространств. При каких условиях на a оператор A инъективен? . . Доказать, что оператор умножения на измеримую функ- цию a(t) ограничен в пространствах L p[0, 1], p ∈ [1, ∞], тогда и только тогда, когда a ∈ L∞[0, 1]. Найти его нормуи ядро в каждом из пространств. .. Пусть A — оператор умножения на непрерывную функцию a(t), действующий в пространстве C[0, 1]. Доказать, что если функ-
 Глава . Линейные операторы ция a не обращается в ноль на отрезке [0, 1], то оператор A сюръек- тивен, а если a имеет нули, то оператор A не сюръективен и, более того, замыкание его образа не совпадает с пространством C[0, 1]. .. Пусть A — оператор умножения на функцию a ∈ L∞[0, 1], действующий в пространстве L p[0, 1], где p ∈ [1, ∞). Доказать, что если ess inf t ∈[0,1] |a(t)| > 0, то оператор A сюръективен.1) Доказать, что если ess inf t ∈[0,1] |a(t)|=0, но μ({t∈[0,1]:a(t)=0})=0, то оператор A не сюръективен, но его образ всюдуплотен в L p[0, 1]. Доказать, что если μ({t∈[0,1]: a(t)=0})>0, то ImA =Lp[0,1]. .. Пусть оператор умножения на независимую переменную ( Ax)(t) = tx(t) действует в пространстве а)◦ C[0,1]; б)Lp[0,1], p ∈[1, ∞]; в)* W1 2 [0, 1]. Найти нормуи ядро этого оператора. Выяснить, сюръективен ли оператор и совпадает ли замыкание образа со всем пространством. .. Доказать, что оператор интегрирования ( Ax)(t) = t 0 x(s)ds ограничен а)вC n [0,1], n =0,1,2, ...; б)вLp[0,1], p∈[1,∞]; в) как оператор из C n [0,1]вC n+1 [0,1], n =0,1, ... Найти его образ и ядро в каждом из пространств. Найти его нор- му(в пунктах а) и в) считать, что пространство C n [0, 1] снабжено нормой x 1= n k=0 x (k) C [0,1], а в пункте б) ограничиться случаем p = 1). Доказать, что (Anx)(t) = t 0 (t − s)n−1 (n−1)! x(s)ds, n =1,2,3, ... .. Доказать, что оператор дифференцирования A x = x огра- ничен как оператор а)изC n [0,1] в C n−1 [0,1],n=1,2,...; б)изW 1 2 [0,1] в L2[0,1]. Найти его образ, ядро и норму(в пункте а) считать, что простран- ство C n [0, 1] снабжено нормой x 1 = n k=0 x (k) C[0,1] ). .. Доказать, что не существует нормированного простран- ства, содержащего целые функции 2) , на котором оператор диффе- ренцирования непрерывен. Оператор интегрирования является частным случаем интеграль- ного оператора. Интегральные операторы можно рассматривать 1) Здесь ess inf t∈[0,1] f(t):= − ess sup t∈[0,1] (− f (t)). 2)Т. е . функц и и f : → , голоморфные во всей комплексной плоскости.
§ .. Определения и основные примеры операторов  в любом из пространств C(M ), C n (M), Lp(M), n Wp(M)ит.д., где M = [a, b], , + или какое-либо другое измеримое пространство. Эти операторы определяются равенством (AK x)(t) = M K(t, s)x(s) ds.(  .  ) Функцию K(t , s) называют ядром интегрального оператора (или производящей функцией). Сразуже оговоримся, что для корректного определения оператора AK равенство (.) часто требует расшиф- ровки, посколькуинтеграл, стоящий в правой части, может быть определен не для всех точек t инедлявсехфункций x . Каждый раз в подобном случае мы будем уточнять определение оператора AK . . . Доказать, что оператор ( AK x )(t) = b a K(t, s)x(s)ds, K(t, s) ∈ ∈ C([a, b]2), ограничен а) в C[a, b]; б) в L1[a, b]; в) как оператор из L1[a, b]вC[a, b]. Найти его норму. Пример . . Доказать, что если K ∈ Lq([a, b]2), то интегральный оператор A: Lp[a,b]→Lq[a,b], p,q ∈(1, ∞), 1 p+ 1 q=1, ( Ax)(t) = b a K(t, s)x(s) ds, ограничен и A q b a b a |K(t, s)|q ds dt. Решение. По условию b a b a |K(t, s)|q dt ds < ∞. В силутеоремы Фу- бини функция φ(t) = b a |K(t , s)|q ds определена почти всюдуи ин- тегрируема по Лебегу. Это означает, что для почти всех t ∈ [a, b] функция K (t, · ) (по второму аргументу) попадает в пространство Lq [a, b], а значит, интеграл b a K(t , s) x (s) ds определён для всякой функции x ∈ L p[a, b]. Далее, в силунеравенства Гёльдера b a K(t, s)x(s)ds q b a |K(t, s)|q ds · x q Lp . Посколькунеравенство выполнено для почти всех t ∈ [a, b], его мож- но проинтегрировать по переменной t,откуда Axq Lq b a b a |K(t,s)|qdsdt· x q Lp .
 Глава . Линейные операторы .. Рассмотрим интегральный оператор Харди ( Ax)(t) = 1 t t 0 x (s) ds. а) Доказать, что этот оператор ограничен в пространстве L p[0, 1] при p ∈ (1, ∞) и не ограничен в L1[0, 1]. б)* Доказать, что для каждого p ∈ (1, ∞) A B(Lp [0,1]) = p p−1 . в) Доказать, что оператор A переводит непрерывные функции в непрерывные и A B(C [0,1]) = 1 (при этом полагаем ( Ax)(0) := x (0)). Оператор, рассмотренный в предыдущей задаче, является част- ным случаем оператора Римана—Лиувилля (Ax)(t) = 1 tr t 0 (t−s) r−1 x(s) ds,(  .  ) а также частным случаем общего оператора Харди (Ax)(t) = t r−1 t 0 x (s) sr ds.(  .  ) .. При каких вещественных r оператор Харди (.) ограничен в пространстве L2[0, 1]? . . При каких вещественных r оператор Римана—Лиувил- ля (.) ограничен в пространстве L2[0, 1]? .. Пусть функция K (t, s), определенная при t, s ∈ [0, +∞), неотрицательна и однородна со степенью однородности −1(т.е . K(λt, λs) = λ −1 K(t,s)длялюбогоλ>0).Пустьp>1,1/p+1/q=1и ∞ 0 K(t,1)t−1/p dt = ∞ 0 K (1, s)s −1/qds=:k<∞. Доказать, что интегральный оператор A : x (t) → ∞ 0 K(t, s)x(s)dsогра- ничен в пространстве L p[0, ∞) и A k. .*. Доказать, что оператор ( Ax)(t) = ∞ 0 x(s)e −ts ds ограничен в пространстве L2[0, ∞), и оценить его норму. .. Пусть a ∈ C[−1, 1]. Доказать, что оператор свёртки A : x → → 1 0 x (s)a(t − s) ds ограничен в пространстве C[0, 1], и найти его норму.
§ . . Различные свойства операторов  .◦ . Доказать, что оператор сдвига ( Ax)(t) = x (t + a)ограни- чен как оператор в пространстве а) C0( ); б) Lp( ), p ∈ [1, ∞]. Най- ти его норму, образ и ядро в каждом из пространств. Ещё один интересный класс операторов — операторы следа,со- поставляющие каждой функции, определённой на некотором мно- жестве, ограничение этой функции на фиксированное подмноже- ство. .◦ . Найти норму, образ и ядро оператора следа: а) A:C[−1,1]→C[0,1]; б) A:BC( )→L2[0,1]; в)A:C( )→C( ),где ={z∈ :|z| 1},а ={z∈ :|z|=1}. Следующий оператор называют оператором замены переменной или оператором суперпозиции. .. НайтинормуиядрооператораA : C[0, 1]→C[0, 1], ( Ax)(t) = = ( x ◦ φ)(t) = x (φ(t)), где φ — фиксированная непрерывная функ- ция, отображающая отрезок [0, 1] в себя. Доказать, что оператор A сюръективен тогда и только тогда, когда отображение φ инъектив- но. § .. Различные свойства операторов Теорема Хана—Банаха . позволяет продолжать без увеличе- ния нормы линейные непрерывные функционалы. Естественный вопрос: справедлив ли аналог этой теоремы для непрерывных опе- раторов? В общем случае ответ отрицательный. Более того, ответ остаётся отрицательным, даже если допустить увеличение нормы оператора при продолжении. .. Пусть X — нормированное пространство, а X0 —его за - мкнутое подпространство. Доказать эквивалентность следующих условий: () подпространство X0 дополняемо; () тождественный оператор на X0 допускает продолжение до ограниченного оператора из X в X0; () любой ограниченный оператор из X0 в Y ,гдеY —произволь- ное нормированное пространство, допускает продолжение до неко- торого ограниченного оператора из X в Y . .. Доказать, что банахово пространство X обладает следую- щим свойством: для всяких Z ⊂ Y и для всякого линейного ограни- ченного оператора A:Z →X продолжение ̃A:Y →X с ̃A = A су- ществует тогда и только тогда, когда X 1-дополняемо в любом содер- жащемегобанаховомпространстве X1 (т. е. существует линейный проектор из X1 в X единичной нормы).
 Глава . Линейные операторы Итак, вопрос о продолжении всевозможных операторов с данно- го подпространства эквивалентен вопросуо дополняемости этого подпространства. .. Пусть A ∈ B( X0, Y ) — конечномерный оператор, где X0 и Y — нормированные пространства, X0 —линейное подпростран- ство нормированного пространства X . Доказать, что A допуска- ет продолжение до ограниченного оператора ̃A ∈ B( X , Y ), причём ̃ A можно выбрать так, что Im( ̃A) = Im( A). .. Пусть оператор A определён на подпространстве c0 про- странства c как тождественный оператор. Доказать, что этот опера- тор нельзя продолжить до ограниченного оператора ̃A из c в c0 без увеличения нормы. Предъявить продолжение A до ограниченного оператора ̃A из c в c0 с увеличением нормы. .* (Р. Филлипс, ). Доказать, что замкнутое подпростран- ство c0 банахова пространства l∞ не дополняемо. Напомним, что в гильбертовых пространствах любое подпро- странство дополняемо, а значит, любой оператор допускает огра- ниченное продолжение. Это свойство является характеристическим свойством пространств, изоморфных гильбертову. Те ор е м а  .  (Й. Линденштраусс, Л. Цафрири, ). В банаховом пространстве ( X , · ) следующие свойства эквивалентны: () любое замкнутое подпространство в X дополняемо; () существует скалярное произведение, порождающее на про- странстве X норму, эквивалентную норме · . Как уже отмечалось, не всякий линейный непрерывный функци- онал в банаховом пространстве достигает своей нормы на единич- ном шаре. Однако в рефлексивном пространстве уже каждый функ- ционал достигает своей нормы (см. теорему.). Покажем, что для операторов ситуация сложнее. .. Пусть A ∈ B( X , Y ), где X — рефлексивное банахово про- странство, Y — произвольное банахово пространство, а rank A < ∞. Доказать, что A достигает своей нормы на единичном шаре, т. е . найдётсятакойвекторx∈X,что x X=1иAx Y= A . .◦ . Пусть X — конечномерное нормированное пространство, а Y — произвольное нормированное пространство. Доказать, что L(X,Y) = B(X,Y) и каждый оператор достигает своей нормы на единичном шаре. .. Привести пример ограниченного оператора в рефлексив- ном банаховом пространстве, не достигающего своей нормы на единичном шаре. В произвольном бесконечномерном банаховом пространстве су- ществует всюду определённый, но не ограниченный функционал
§ . . Различные свойства операторов  (см. задачу.). Как показывает задача ., ядро такого функцио- нала заведомо не замкнуто. .*. Привести пример неограниченного оператора A ∈ L( X )в банаховом пространстве X , который определён всюдуна X иимеет замкнутое ядро. Указание. Использовать алгебраический базис. .. Пусть X и Y —банаховы пространства, A ∈ L(X,Y), KerA замкнуто в X ,аrankA < ∞. Доказать, что оператор A ограничен. . . Привести пример ненулевого оператора в бесконечномер- ном банаховом пространстве, квадрат которого равен нулю. . ◦ . Привести пример такого оператора A ∈ B( X )вбесконечно- мерном банаховом пространстве X ,чтоKerA Im A. .. Пусть X — банахово пространство и оператор A ∈ B( X ). До- казать, что: а) либо {0} Ker( A) Ker( A2) ..., либо существует наимень- шее целое m 0такое,что{0} Ker( A) ... Ker( Am)иKer(Am) = = Ker(Am+p ) для любого p ∈ (оператор имеет конечный подъ- ем m); б) либо X Im( A) Im( A2) ..., либо существует наименьшее целое m 0такое,что X Im(A) ... Im(Am)иIm(Am) = Im(Am+p) для любого p ∈ (оператор имеет конечный спуск m). . . Для произвольного n ∈ привести пример операторов A и B в бесконечномерном банаховом пространстве X со свойствами Ker( A) Ker( A2) ... Ker( An) = Ker( An+1 )= ..., Im(B) Im(B2) ... Im(Bn) = Im(Bn+1 )= .... .. Пусть X — банахово пространство и оператор A ∈ B( X ). До- казать, что если A имеет конечный подъем n иконечныйспускm, тоn=mи X=Ker(Am)⊕Im(Am). .. Доказать, что если для A, B ∈ L( X ) выполнено коммутаци- онное соотношение AB − BA = I ,то ABn − BnA = nBn−1 . Доказать, что либо A,либоB неограничен. Вывести отсюда, что матричное уравнение AB − BA = I ,где A и B — неизвестные матрицы размера n × n, не имеет решений. .. Пусть X — банахово пространство, A ∈ B(X ). При каких условиях на оператор A выражения а)x1=AxX,б)x2=xX+AxX задают нормуна X ? .. Пусть X — банахово пространство, A —инъективныйогра- ниченный оператор в X . Для норм из предыдущей задачи доказать, что ·1≺·X ,а ·2 ∼· X . Доказать, что · 1∼· X тогда и только тогда, когда inf x=1 Ax r>0.
 Глава . Линейные операторы В § . мы ввели определения изометричных вложений, изо- метрических изоморфизмов и изоморфизмов нормированных про- странств. Несложно видеть, что в этих определениях речь идёт об ограниченных линейных операторах. .* (С. Мазур, С. Улам, ). Пусть X и Y — нормированные пространства, отображение J — изометрия, т. е. для любых x , y ∈ X выполняется J(x) − J(y) Y = x − y X и J(0) = 0. Доказать, что J — линейный изометрический изоморфизм нормированных про- странствX иY. .. Пусть J — изометрия действительного пространства c0 или lp,1 p < ∞, p =2, и J(0)= 0. Доказать, что найдутся такой на- бор знаков n ∈ {±1} и такая перестановка σ натурального ряда, что J(x1,..., xn,...)= ( 1 xσ(1),..., n x σ(n) ,...). § . . Операторы в гильбертовых прос транс твах Понятие ортогональности позволяет ввести в гильбертовых прост- ранствах важный класс операторов ортогонального проектирования. Определение . . Пусть H — гильбертово пространство, P — оператор проектирования на подпространство H0 вдоль подпро- странства H1 (см. определение .). Оператор P называют ортопро- ектором,еслиподпространстваH0 и H1 ортогональны. .◦ . Пусть P ∈ B(H ) — проектор гильбертова пространства H на некоторое его подпространство. Доказать, что P является орто- проектором тогда и только тогда, когда для любых x , y ∈ H справед- ливо равенство (Px, y) = ( x , Py).1) .◦ . Пусть P — ортопроектор в гильбертовом пространстве H . Доказать, что он ограничен, и найти P . . . Пусть P1 и P2 — ортопроекторы в гильбертовом простран- стве H . Обозначим подпространства H1 = Im P1 и H2 = Im P2.Дока- зать,чтоеслиH1⊂H2(или,наоборот,H2⊂H1)иP1−P2 <1,то P1 = P2. Привести пример таких двух ортопроекторов P1 = P2,что P1−P2 <1. .◦ . В обозначениях предыдущей задачи доказать, что если P2 − P1 < 1, то dim H1 = dim H2. Привести пример двух таких орто- проекторов P1 и P2,что P2 − P1 = 1иdimH1 = dim H2. .. Пусть H — гильбертово пространство, P — ортопроектор на собственное подпространство H0 ⊂ H . Что можно утверждать про Im A иKerA оператора A ∈ B(H), если а) AP = A;б)PA = A? 1) Операторы, удовлетворяющие такому соотношению, назыв ают самосопряжён- ными (см. определение . и з адачу. ниже).
§ . . Операторы в гильбертовых пространствах  .. Доказать, что если в условиях предыдущей задачи выпол- нено равенство AP = PA ,то A(H0) ⊂ H0. Доказать, что обратное неверно. Любой оператор A в гильбертовом пространстве H порождает функцию B(x, y):= (Ax, y)изH × H в . Эта функция линейна по первому аргументу, сопряженно-линейна по второму аргументу, со- пряженно симметрична и непрерывна по каждомуаргументув от- дельности и по совокупности аргументов. Функцию B называют би- линейной (или полуторалинейной) формой, а функцию B(x , x )— квадратичной формой оператора A. .. Пусть H — гильбертово пространство, а B : H × H → — линейная по первомуаргументу, сопряжённо-линейная по второму аргументу и непрерывная по каждомуаргументуформа. Доказать, что найдётся такой оператор A ∈ B(H), что B(x, y) = (Ax, y)для любых x,y∈H. В сепарабельном гильбертовом пространстве H при выборе ор- тонормированного базиса {ei} ∞ i=1 каждомуоператоруA ∈ B(H )мож- но сопоставить бесконечную вниз и вправо матрицу с матричны- ми элементами aij :=(Aei,ej), i,j =1,2, ... Тогда для всякого x ∈ H вектор y = Ax можно найти, разложив x врядx = ∞ k=1 xk ek по систе- ме {ek }∞ 1 ,гдеxk = (x, ek) (см. § .). Вектор y при этом примет вид y= ∞ k=1 ykek,гдеyk = ∞ j=1 a jk xk (докажите это). Поскольку Ae j A ,получаемsup j∈ ∞ i=1 |aij |2 A 2 .Отметим, что из неравенства sup j∈ ∞ i=1 |aij |2 < ∞ не следует ограниченность опе- ратора A. .. Для любого M > 0 привести пример такого оператора A в гильбертовом пространстве H , что для некоторого ортонормиро- ванного базиса {en } ∞ 1 все нормы Aen ограничены единицей, но A >M. В настоящее время неизвестен формулирующийся сколько-ни- будь удобным и эффективным образом в терминах элементов мат- рицы критерий того, что бесконечная вправо и вниз матрица явля- ется матрицей ограниченного оператора в l2. Приведём два доста- точных условия. .. Пусть ∞ i=1 ∞ j=1 |aij|2 < ∞, а {ei} ∞ 1 — произвольный ортонорми- рованный базис в гильбертовом пространстве H . Доказать, что су-
 Глава . Линейные операторы ществует такой оператор A ∈ B(H), что ( Aei , e j ) = aij . Привести при- мер линейного ограниченного оператора в гильбертовом простран- стве, матрица которого (в любом ортонормированном базисе) не удовлетворяет указанному неравенству. .. Пусть оператор A действует в пространстве l2, и в некото- ром ортонормированном базисе его матрица имеет вид {aij }∞ i,j=1 , aij 0длявсехi , j . Доказать, что если для этой матрицы найдутся такиечисла pj>0,j =1,2, ..., и α,β>0,что ∞ j=1 aijpj αpi для любогоi∈ , ∞ i=1 aijpi βpj длялюбого j ∈ (неравенства Шура), то оператор ограничен, причём A 2 αβ. .. Доказать, что оператор A cматрицей{aij }∞ i,j=1 ,гдеaij = 1 i+j (оператор Гильберта), ограничен в l2,причём A π. .*. Пусть матрица {aij = K (i, j)}∞ i,j =1 задана функцией K(x, y), удовлетворяющей следующим условиям: () K неотрицательна, причём K (x , x ) = 0, симметрична и одно- родна со степенью однородности −1, т. е . K (ax, ay) = a −1 K(x, y); () ∞ 0 K(1, y) dy y=k; () K(1, y) y убывает при y ∈ (0, ξ) ∪ (1, +∞) и возрастает при y∈(ξ,1),гдеξ∈[0,1]. Доказать, что матрица {aij } задаёт ограниченный оператор A впро- странстве l2,причём A k.1) Указание. ) Для произвольных x , y ∈ l2 доказать, что ∞ i,j=1 K(i, j)xiyj PQ, где P= ∞ i=1 x 2 i ∞ j=1 K(i, j) i j,Q= ∞ j=1 y2 j ∞ i=1 K(i, j) j i. ) Используя однородность и условие (), доказать, что K(i, j) i j< j/i ( j −1)/i K(1, y) dy y 1) Ограничения на функцию K могут быть существенно ослаблены, см. [].
§ . . Пространство операторов  при j∈[1,ξi]∪(1+i,+∞) и K(i, j) i j< ( j +1)/i j/i K(1, y) dy y при j∈(ξi,i). ) Применить результат задачи .. .. Доказать, что оператор A cматрицей{aij }∞ i,j=1 ,гдеaij = = 1 (i + j)1−α |i − j|α (aij := 0приi = j)спараметромα ∈ (0, 1), ограни- чен в l2. .. Доказать, что для любого оператора A в сепарабельном гильбертовом пространстве H можно выбрать такой ортонорми- рованный базис {e j }∞ 1 ,чтодлякаждого j ∈ лишь конечное чис- ло элементов j -го столбца матрицы {aij = ( Aei , e j )}∞ i, j =1 отличны от нуля. .. Доказать, что матрица {aij }∞ i, j =1 является матрицей некото- рого оператора из B(l2, c0) тогда и только тогда, когда () найдётся M такое, что ∞ j=1 |aij|2<Mдлялюбогоi∈ ; () lim i→∞ aij=0длялюбогоj∈ . § .. Пространство операторов .. Доказать теорему. . .◦ . Пусть X , Y и Z — нормированные пространства, A∈B(Y, Z), B ∈ B(X, Y). Доказать неравенство AB A·B . Доказать, что если один из операторов A или B является изометрическим изомор- физмом соответствующих пространств, то AB = A · B . Приве- сти пример банахова пространства X и операторов A и B из B( X ) таких,что AB<A·B . Определение .. Алгеброй называется линейное пространство X с операцией умножения векторов, удовлетворяющей следующим аксиомам ()(αx+βy)z=αxz+βyz; ()z(αx+βy)=αzx+βzy; ()(xy)z = x(yz), где x , y , z — произвольные векторы из X ,аα и β —комплексные числа. Алгебра называется унитальной, если она обладает едини- цей: существует вектор, обозначаемый 1,такой,что1x = x 1 = x для любого x ∈ X .Алгебраназываетсякоммутативной, если для любых x∈X,y∈Xвыполненоxy=yx.
 Глава . Линейные операторы Определение . . Пусть X — алгебра, на которой введена норма (т. е . функция, удовлетворяющая трём аксиомам нормы). Алгебру X называют нормированной, если дополнительно выполнена следую- щая аксиома: xy x · y для любых x, y ∈ X.Полнуюотноси- тельно своей нормы нормированную алгебру называют банаховой. .◦ . Доказать, что пространство C[0, 1] с обычной операцией умножения функций является унитальной коммутативной банахо- вой алгеброй. . ◦ . Доказать, что для произвольного банахова пространства X множество ограниченных операторов B( X ) является унитальной некоммутативной (если dim X > 1) банаховой алгеброй относитель- но операции суперпозиции. .. Пусть X и Y — нормированные пространства, оператор A ∈ B( X , Y ). Какие из следующих утверждений выполнены для лю- бого оператора A ∈ B(X,Y)? а) Если множество U открыто в X ,то A(U ) открыто в Y . б) Если множество V замкнуто в X ,то A(V ) замкнуто в Y . в) Если множество A(U) открыто в Y ,тоU открыто в X . г) Если множество A(V ) замкнуто в Y ,тоV замкнуто в X . . ◦ . Пусть X и Y — нормированные пространства, X0 —за - мкнутое подпространство в X .Положим M={A∈B(X,Y):KerA=X0}. Является ли M замкнутым подпространством в B( X , Y )? . ◦ . Пусть X и Y — нормированные пространства, X0 —за - мкнутое подпространство в X .Положим M={A∈B(X,Y):KerA⊃X0} Является ли M замкнутым подпространством в B( X , Y )? .. Пусть X — нормированное пространство, A —фиксиро- ванный оператор из B(X). Положим M = {B ∈ B(X): AB = 0}, N = = {B ∈ B(X ): AB = BA}. Доказать, что M и N являются замкнутыми подпространствами в B( X ). Для многих конкретных банаховых пространств сопряжённые к ним пространства линейных непрерывных функционалов допуска- ют простое описание (см. § .). Пространства непрерывных опера- торов устроены сложнее. . . Пусть H — бесконечномерное гильбертово пространство. Доказать, что пространство B(H ) не сепарабельно. .. Доказать, что пространство B(lp), p ∈[1, ∞], не сепарабельно. .. Пусть X и Y — банаховы пространства, причём Y = Y1 ⊕ ⊕ Y2 — прямая сумма двух замкнутых подпространств. Доказать, что B(X,Y)=B(X,Y1)⊕B(X,Y2).
§ . . Дифференцирование в банаховых пространствах  Сходимость в пространстве операторов (сходимость по норме) называют равномерной сходимостью (см. задачу.) и обозначают знаком ⇒,т.е .An⇒A⇔ An−A B(X,Y)→0. . ◦ . Пусть X — банахово пространство, {Pn} ∞ 1 ∈ B(X), причём все операторы Pn являются операторами проектирования и Pn ⇒ P. Обязательно ли P — оператор проектирования? .. Пусть X — банахово пространство, { An} ∞ 1 ⊂ B(X), причём все операторы An являются операторами с одинаковым конечным рангом: rank An = r < ∞и An ⇒ A.Верноли,чтоrankA r? .◦ . В пространстве X,гдеX — это cp или lp, p ∈ [1, ∞], рассмот- рим последовательность {An} ∞ 1 операторов умножения на последо- вательности λn ∈ l∞ . Доказать, что последовательность { An} ∞ 1 име- ет предел в пространстве B( X ) тогда и только тогда, когда последо- вательность {λn} ∞ 1 имеет предел в пространстве l∞ . Доказать, что в случае, когда предел A = lim n→∞ An существует,онтакжеравенопера- торуумножения на последовательность λ = lim n→∞ λn. .◦ . В пространстве X,гдеX — это c0, c или lp, p ∈ [1, ∞], рас- смотрим две последовательности операторов {T n r }∞ 1 и{Tn l}∞ 1: Tr :(x1, x2,...)→(0, x1, x2,...), Tl :(x1, x2,...)→(x2, x3,...) — операторы правого и левого сдвига. Доказать, что обе эти после- довательности не имеют предела в пространстве B( X ). § .. Дифференцирование в банаховых пространствах Пусть X , Y — линейные нормированные пространства над , отображение F : U (x) → Y определено в окрестности U (x) точки x∈X. Определение .. Отображение F называется дифференцируе- мым по Фреше вточке x , если найдется такой линейный оператор F (x)∈B(X,Y), что F(x+h)−F(x)=F(x)h+o( h), h→0,h∈X (для любого >0 найдется такое δ>0, что из h <δ следует F(x+h)−F(x)−F(x)h < h).ПриэтомоператорF(x)на- зывается производной по Фреше отображения F вточке x . Определение . . Отображение F называется дифференцируе- мым по Гато вточке x , если найдется такой линейный оператор
 Глава . Линейные операторы F (x)∈ B(X,Y), что для каждого вектора h ∈ X lim ξ→0 F(x+ξh)−F(x) ξ =F(x)h (сходимость в норме пространства Y ). При этом оператор F (x )на- зывается производной по Гато отображения F вточке x . В частном случае, когда Y = ,производнаяF (x )являетсяли- нейным непрерывным функционалом на X ,тоестьэлементом X ∗ . ВслучаеX = Y = оба определения дифференцируемости дают обычную дифференцируемость числовой функции в точке. .. Доказать, что если отображение дифференцируемо по Фре- ше в точке, то оно дифференцируемо по Гато в этой точке (и произ- водные совпадают). .. Доказать, что если отображение F дифференцируемо по Фреше в точке x , то оно непрерывно в этой точке. Привести при- меротображения,дифференцируемогопоГатовточкесвоегораз- рыва. .. Пусть X , Y , Z — нормированные пространства, отобра- жение F : X → Y дифференцируемопоФрешевточке x ,отбраже- ние G : Y → Z дифференцируемо по Фреше в точке F (x). Доказать, что G ◦ F дифференцируемо по Фреше в точке x и(G ◦ F) (x) = = G (F (x)) ◦ F (x). Показать, что композиция дифференцируемых по Гато отображений может не быть дифференцируемой по Гато. .. Пусть отображение F : X → Y дифференцируемопоГатов каждой точке x из окрестности U точки x0,ипроизводная F (x) непрерывна в точке x0 (то есть F (x) − F (x0) →0приx → x0). Доказать, что F дифференцируемопоФрешевточке x0. Пример . . Исследовать отображение F : x (t) → sin x (t) в дей- ствительном пространстве C[0, 1] на дифференцируемость по Фре- шеипоГатоинайтипроизводную. Решение. Прежде всего, lim ξ→0 F(x+ξh)−F(x) ξ = lim ξ→0 sin(x(t) + ξh(t)) − sin x(t) ξ = = lim ξ→0 2sin ξh(t) 2 cos x (t) + ξh(t) 2 ξ = h(t)cosx(t), т. е. производной по Гато отображения F в точке (функции) x ∈ ∈ C[0, 1] является оператор умножения на функцию cos x (t), дей- ствующий из пространства C[0, 1] в себя. Покажем, что этот же оператор является производной отображения F по Фреше. Для это- го покажем, что он непрерывно зависит от точки x (см. преды- дущую задачу). Если x0 и x — функции из пространства C[0, 1],
§ . . Дифференцирование в банаховых пространствах  то разность F (x) − F (x0) есть оператор умножения на функцию cos x (t) − cos x0(t). Согласно утверждению задачи ., его норма равна cos x (t) − cos x0(t) C [0,1]. Остается заметить, что cos x(t) − cos x0(t) C[0,1] = sup t ∈[0,1] |cos x(t) − cos x0(t)| 2sup t ∈[0,1] sin x(t) − x0(t) 2 · sup t ∈[0,1] cos x(t)+ x0(t) 2 sup t ∈[0,1] |x(t)− x0(t)|= x − x0 C[0,1]. .. Исследовать отображения на дифференцируемость по Фре- ше и по Гато и найти производные (все банаховы пространства предполагаются действительными): а) F: H → , F(x) =(x, x)(H — гильбертово пространство); б) F : H → , F(x) = x (H — гильбертово пространство); в)F:l1→ ,F(x)= x ; г)F:L1[0,1]→ , F(x)= 1 0 sin x (t) dt; д)F:L2[0,1]→ , F(x)= 1 0 sin x (t) dt; е)F:C[0,1]→ , F(x)= 1 0 sin x(t) dt; ж) F: C[0,1]→ C[0,1], F(x)(t)= x(t)x(1− t); з) F: Lp[0,1]→L1[0,1], F(x)(t)=|x(t)|p(1 p<∞). .. Доказать, что если сопряженное пространство X ∗ равно- мерно выпукло (см. определение .), то норма в X (отображение x → x ) дифференцируема по Фреше в каждой точке x ∈ X \ {0}. Как показывает следующая задача, теорема о среднем для чис- ловых функций одного переменного прямо не переносится на диф- ференцируемые отображения. .◦ . Доказать, что найдется отображение F : → 2 , диффе- ренцируемое во всех точках отрезка [a, b], для которого равенство F(b)− F(a) = F (c)(b− a) неверно ни для какой точки c ∈ (a, b). .*. Пусть X и Y — нормированные пространства, U —откры- тое выпуклое множество в X и F : U → Y дифференцируемо по Гато вкаждойточкеизU . Доказать, что для всяких a, b ∈ U разность F (b) − F(a) лежит в замыкании выпуклой оболочки множества {F(c)(b−a):c∈(a,b)}. . . Доказать, что в условиях предыдущей задачи справедливо неравенство F (b) − F(a) sup c∈(a,b) F(c)·b−a .
Глава  Теорема Банаха—Штейнгауза. Слабая сходимость векторов, функционалов и операторов §.. Теорема Банаха—Штейнгауза Теор е ма . (С. Банах, Г. Штейнгауз, ). Пусть X — банахово пространство, Y — нормированное пространство, а M ⊂ B( X , Y ) — семейство операторов. Если для любого x ∈ X sup A∈M Ax C(x), где константа C(x ) зависит только от вектора x , то найдётся та- кая константа C1 > 0,что sup A∈M A C1,т.е .м ножествоM огра- ничено в пространстве B(X , Y ). . (Часть доказательства теоремы .). Пусть X — банахово про- странство, Y — нормированное пространство, а {Tn} ∞ n=1 ⊂ B(X,Y), причём Tn →∞приn → ∞. Доказать, что для любого λ>0мно- жество Mλ={x∈X: Tnx <λдлявсехn∈ } нигденеплотнов X . Теорема . следует из утверждения предыдущей задачи и теоре- мы .. . . Показать, что полнота пространства X в условии теоремы . существенна. ..Пусть fn ∈ l∞ — последовательность функционалов на про- странстве l1 , fn( x ) = nxn , n = 1, 2, ... Это семейство функционалов не ограничено в пространстве l∞ = (l1) ∗ ,азначит,потеоремеБана- ха—Штейнгауза существует такой вектор x ∈ l1,чтоsup n |fn(x)|= ∞. Найти такой вектор x . . (Е. Хеллингер, О. Тёплиц, ). Пусть A : H → H —линейный оператор в гильбертовом пространстве H . Доказать, что если для
§ . . Критерии слабой сходимости  всех x, y ∈ H выполнено равенство (Ax, y)=(x, Ay), то оператор A ограничен.1) . . Пусть X и Y — банаховы пространства. Доказать, что если билинейная форма B(x , y), определённая на X × Y , непрерывна от- дельно по каждому аргументу, то она непрерывна по совокупности аргументов. Ещё одно применение теоремы Банаха—Штейнгауза относится к вопросам суммирования тригонометрических рядов. Напомним, что для произвольной функции x ∈ L1[−π, π]можноопределить коэффициенты Фурье cn ( x) = 1 2π π −π e − int x(t)dt, n ∈ . По этим ко- эффициентам можно составить тригонометрический ряд Фурье S(x) = n∈ cn(x)e int .Дляфункций x ∈ L1[−π, π]нельзяутверждать ни сходимость этого ряда (в пространстве L1[−π, π]), ни равенство S(x ) = x (см. задачу. ниже). Из утверждения задачи . сле- дует, что для функций x ∈ L2[−π, π]рядS(x )сходитсявпростран- стве L2[−π, π]иS(x) = x . В пространстве непрерывных функций ситуация сходна с ситуацией в пространстве L1[−π, π]—можно предъявить пример непрерывной функции, ряд Фурье которой не сходится равномерно (т. е. в пространстве C[−π, π], см. задачу. ниже). Более того, оказывается, существуют непрерывные функции, ряд Фурье которых не сходится даже поточечно. . . Определим оператор (Snx)(t)= n k=−n cke ikt = 1 2π π −π x (s) n k=−n e ik(t−s) ds в пространстве C[−π, π]. Доказать, что Sn →∞. Вывести отсюда, что существует непрерывная функция x ∈ C[−π, π], укоторой три- гонометрический ряд Фурье расходится в точке t = 0. Пример непрерывной на [−π, π] функции, тригонометрический ряд Фурье которой расходится в точке 0, можно найти в []. § . . Слабая сходимость: основные свойства. Критерии с лабой сходимос ти Определение .. Последовательность {xn} ∞ 1 в нормированном пространстве Xслабосходитсяквектору x ∈ X ,если f (xn) → f (x) длялюбого f ∈ X∗ .Обозначение:xn x . 1) Операторы, удовлетворяющие такому соотношению, назыв ают самосопряжён- ными (см. определение . ниже).
 Глава . Теорема Банаха—Штейнгауза. Слабая сходимость Последовательность { xn} ∞ 1 в нормированном пространстве X слабо фундаментальна, если последовательность { f (xn)}∞ 1 фунда- ментальна для любого f ∈ X ∗ . Множество M в нормированном пространстве X слабо ограниче- но, если множество f (M ) ограничено для любого f ∈ X ∗ . Отображение f : X → слабо секвенциально непрерывно,если для любой последовательности {xn} ∞ 1 ,слабосходящейсяк x впро- странстве X , последовательность { f (xn)}∞ 1 сходится к f (x). В связи с введённым понятием слабой сходимости возника- ют следующие вопросы. Как связана эта сходимость с линейны- ми операциями? Какова связь со сходимостью по норме? Можно ли задать слабую сходимость какой-либо метрикой? Какие множе- ства замкнуты относительно этой сходимости (в частности, полно ли всё пространство)? Какие множества являются секвенциально предкомпактными относительно слабой сходимости? Какие про- странства являются слабо сепарабельными? Мы изучим здесь эти вопросы, за исключением вопроса о сепарабельности, который бу- дет решён чуть позже в задаче .. Задачи . ◦ . Доказать, что из сходимости по норме следует слабая схо- димость. Привести пример последовательности в банаховом про- странстве, сходящейся слабо, но не сходящейся по норме. Чтобы различать слабую сходимость и сходимость по норме, при- держиваются следующего соглашения: говоря «сходимость» , подразу- мевают сходимость по норме. Сходимость по норме часто также назы- вают равномерной сходимостью, имея в видуследующий критерий. . ◦ . Доказать, что x n → x ,где{xn}иx — векторы нормированно- го пространства X , тогда и только тогда, когда xn слабо сходятся к x равномерно по единичномушарупространства X ∗ ,т.е . ∀ >0∃N∀f∈B(X∗)∀n>N:|f(xn)−f(x)|< . . ◦ . Пустьxn x, yn y, αn →α, βn →β,где{xn}, x,{yn}иy — векторы нормированного пространства X ,а{αn }, α,{βn}, β —ком - плексные числа. Доказать, что αn xn + βn yn αx + β y. Доказать, что еслиxn xиxn x,тоx=x. . (С. Мазур, ). Пусть последовательность xn слабо сходится к x в нормированном пространстве X . Доказать, что x ∈ conv{ xn} ∞ 1. Последнюю задачуможно сформулировать так: любое замкну- тое выпуклое множество (в частности, любое замкнутое линейное подпространство) в нормированном пространстве слабо секвенци- ально замкнуто.
§ . . Критерии слабой сходимости  . ◦ (Х. Хан, ). Доказать, что в произвольном нормирован- ном пространстве X любое слабо ограниченное множество огра- ничено по норме. Доказать, что из слабой сходимости или слабой фундаментальности некоторой последовательности векторов нор- мированного пространства следует ограниченность этой последо- вательности по норме. Утверждение предыдущей задачи легко следует из теоремы Ба- наха—Штейнгауза. Отметим, что утверждение задачи . также получается теперь простым следствием этой теоремы. . . Доказать, что на ограниченных множествах сепарабельно- го гильбертова пространства слабая сходимость равносильна поко- ординатной сходимости, а именно x n x тогда и только тогда, когда (xn, ek)→(x,ek) для любого k ∈ ,где{ek}∞ k=1 — произвольный фик- сированный ортонормированный базис. . ◦ . Пусть X и Y — нормированные пространства, A ∈ B(X, Y). Доказать, что если x n x в пространстве X ,то Axn Ax в простран- стве Y . Привести пример, показывающий, что последовательность {Axn} ∞ 1 не обязана сходится к Ax по норме. .. Доказать критерий слабой сходимости. Пусть X —норми- рованное пространство, а { xn} ∞ n=1 — последовательность векторов в нём. Доказать, что x n x тогда и только тогда, когда выполнены два условия: () последовательность ограничена, т. е . существует такое чис- лоC,что xn <Cдлявсехn∈ ; () в X ∗ найдётся такое всюдуплотное множество Y ,что f (xn) → → f(x)длялюбогоf∈Y. Пример . . Доказать критерий слабой сходимости в простран- стве W 1 2 [0, 1]: последовательность { xn} ∞ 1 слабо сходится к x тогда и только тогда, когда выполнены два условия: () существует такое число C ,что x n W 1 2 <Cдлявсехn∈ ; () lim n→∞ xn(t) = x(t) для любого t ∈ [0,1]. Решение. Пусть последовательность {xn} ∞ 1 удовлетворяет усло- виям (), (). Рассмотрим произвольную ломаную h(t)—непре- рывную функцию, линейную на отрезках [tj−1, tj]: h(t) = ajt + bj, j=1, ..., n,где0=t0<t1<...<tn−1<tn =1 —произвольноеразби- ение отрезка [0, 1]. Для любой функции x ∈ W 1 2 [0, 1] имеем (x,h)= n j=1 aj tj tj−1 x (t)dt+ 1 0 x(t)h(t) dt = = n j=1 aj(x(tj)− x(tj−1))+ 1 0 x(t)h(t) dt := S(x) + I(x).
 Глава . Теорема Банаха—Штейнгауза. Слабая сходимость Сходимость суммы S(xn) → S(x) следует из условия (), а для доказа- тельства сходимости интеграла I (xn ) → I (x ) применим теоремуЛе- бега о предельном переходе (см. курс действительного анализа): ес- ли последовательность интегрируемых по Лебегу функций { fn} схо- дится к f почти всюду на [0, 1] и | fn(t)| < Cпривсехn∈ ,t∈ [0, 1], то 1 0 fn(t) dt → 1 0 f (t) dt.Внашемслучае fn(t) = xn(t)h(t) → f(t) = x(t)h(t) для любой точки t ∈ [0, 1] в силуусловия (), а равномерная огра- ниченность | fn(t)| < C следует из условия () и утверждения за- дачи . . Остаётся заметить, что множество ломаных плотно в W1 2 [0, 1] (см. задачу.), и применить критерий из задачи .. Обратное утверждение очевидно, поскольку любая слабо сходя- щаяся последовательность ограничена (см. задачу.), а функцио- налы ft(x) = x(t) непрерывны на W1 2 [0, 1] (см. задачу.). . ◦ . Доказать, что в конечномерном нормированном простран- стве слабая сходимость совпадает со сходимостью по норме, т. е. xn x⇔xn→x. .. Доказать критерий слабой сходимости в l p , p ∈ (1, ∞): по- следовательность x n =(x n 1,x n 2,...)сходитсяслабокx = (x1, x2,...)то- гда и только тогда, когда выполнены два условия: () существует такое число C ,что x n lp<Cдлявсехn∈ ; () lim n→∞ x n k=xkдлявсехk∈ . . (Я. Шур, ). Доказать, что слабая сходимость в l1 совпада- ет со сходимостью по норме (равномерной сходимостью). . . Доказать, что в пространстве l1 нет подпространств, изо- морфных пространству l2 . .. Доказать критерий слабой сходимости в c0: последователь- ность x n =(x n 1,x n 2 ,...) сходится слабо к x = (x1, x2,...) тогда и только тогда, когда выполнены два условия: () существует такое число C ,что x n c0 <Cдлявсехn∈ ; () lim n→∞ xn k=xkдлявсехk∈ . . . Доказать критерий слабой сходимости в c: последователь- ность x n =(x n 1,x n 2 ,...) сходится слабо к x = (x1, x2,...) тогда и только тогда, когда выполнены три условия: () существует такое число C ,что x n c<Cдлявсехn∈ ; () lim n→∞ xn k=xkдлявсехk∈ ; () если обозначить ln = lim k→∞ x n kиl=lim k→∞ xk,тоln → l.
§ . . Критерии слабой сходимости  . . Доказать критерий слабой сходимости в C[0, 1]: последова- тельность xn = x n(t)сходитсяслабок x тогда и только тогда, когда выполнены два условия: () существует такое число C,что x C[0,1] < C для всех n ∈ ; () lim n→∞ xn(t) = x(t) для любого t ∈ [0,1]. .. Доказать критерий слабой сходимости в L p[0, 1], p ∈ [1, ∞): последовательность xn = x n(t)сходитсяслабок x тогда и только то- гда, когда выполнены два условия: () существует такое число C ,что x n L p <Cдлявсехn∈ ; () для каждого элемента произвольной системы функций {gα} ⊂ ⊂ Lq[0,1] =(Lp[0, 1])∗ , удовлетворяющей условию Lin{gα} = Lq[0, 1], справедливо равенство lim n→∞ 1 0 xn(t)gα(t) dt = 1 0 x (t)gα(t) dt. В главе  будет доказано, что при p > 1 в качестве системы {gα} можно взять любую из систем {tm} ∞ m=0 ,{ s i n πmt}∞ m=1 ,{ χ(a,b)(t):a∈[0,1],b∈[0,1],a<b} (здесь χ(a,b) — характеристическая функция интервала (a, b)). В слу- чае p = 1иq = ∞ в качестве системы {gα}можновыбратьсистему характеристических функций всех измеримых по Лебегу множеств на [0, 1]. Пример .. Доказать, что в произвольном бесконечномерном гильбертовом пространстве функция · не является слабо секвен- циально непрерывной функцией. Решение. Рассмотрим произвольную ортонормированную систе- му{en} ∞ 1 (она существует, так как dim H = ∞, см. задачу.). То- гда в силунеравенства Бесселя (см. § .) для любого x ∈ H име- ем (en , x ) → 0, а так как по теореме . любой линейный непрерыв- ный функционал на H задаётся в виде f(·) =( · , x), получаем en 0. Сдругойстороны, en = 1, а 0 = 0. . ◦ . Доказать, что в гильбертовом пространстве xn → x тогда и толькотогда,когдаxn xи xn →x . .. Доказать, что в любом равномерно выпуклом нормирован- ном пространстве (см. определение .) xn → x тогда и только то- гда,когдаxn xи xn →x . В курсе действительного анализа доказывается, что сходимость в любом пространстве L p[0, 1], p ∈ [1, ∞], влечёт сходимость по ме- ре — вспомните это доказательство. . . Доказать, что из слабой сходимости в пространстве L p[0, 1], p ∈ [1, ∞), вообще говоря, не следует сходимость по мере.
 Глава . Теорема Банаха—Штейнгауза. Слабая сходимость .. Доказать, что если p > 1 и последовательность функций xn ∈ Lp[0, 1], ограниченная по норме Lp[0, 1], сходится по мере к некоторой функции x,тоx ∈ Lp[0, 1] и xn x . Доказать, что при p = 1 это утверждение неверно. .. Доказать, что если x n 0 в нормированном пространстве X , то lim n→∞ x−xn x для любого элемента x . Ясно, что любая слабо сходящаяся последовательность слабо фундаментальна. Обратное утверждение в произвольном банахо- вом пространстве может не выполняться. . ◦ . В пространствах c0 и C[0, 1] привести примеры слабо фун- даментальных последовательностей, не имеющих слабого преде- ла. Условие рефлексивности пространства является достаточным условием для того, чтобы любая слабо фундаментальная последова- тельность имела слабый предел в этом пространстве. .. Доказать, что любое рефлексивное банахово пространство является секвенциально слабо полным (т. е. любая слабо фундамен- тальная последовательность имеет слабый предел). Привести при- мер нерефлексивного, но секвенциально слабо полного банахова пространства. . . Пусть H — гильбертово пространство, {xn} ∞ 1 и{yn} ∞ 1 —по - следовательности векторов из H . Будет ли числовая последователь- ность ( xn , yn) сходящейся, если последовательности {xn } ∞ 1 и{yn} ∞ 1 фундаментальны (по норме или слабо)? Исследовать все три слу- чая. Можно ли найти такую метрику w(x, y), что xn x тогда и толь- ко тогда, когда w(xn, x ) → 0? Ясно, что в случае конечномерного пространства X (см. задачу.), а также, например, для X = l1 (см. задачу.) слабая сходимость метризуема, а w( x , y ) = x − y . Заметим, что случай l1 является исключительным: в остальных бес- конечномерных банаховых пространствах из списка пространств слабая сходимость не метризуема. Тем не менее, слабая сходимость векторов ограниченного множества метризуема в достаточно об- щих ситуациях. . . Пусть X — нормированное пространство, а X ∗ сепарабель- но (отсюда, в силуутверждения задачи ., следует сепарабель- ность самого пространства X ). Доказать, что слабая сходимость в единичном шаре пространства X метризуема. . . Пусть X — нормированное пространство, а X ∗ сепарабель- но. Указать такую метрику w( x , y), определённую на всём X ,чтопо- следовательность {xn} ∞ 1 слабо сходится к x ∈ X тогда и только тогда,
§.. ∗ -слабая сходимость в сопряжённом пространстве  когда выполнены два условия: () последовательность { xn} ∞ 1 ограничена; () w(xn, x)→0. . (С. Банах, ). Пусть банахово пространство X рефлексив- но,аX ∗ сепарабельно. Доказать, что из любой последовательности точек единичного шара { x : x X 1} можно выбрать подпоследо- вательность, слабо сходящуюся к точке единичного шара (то есть единичный шар секвенциально слабо компактен). .. Пусть банахово пространство X рефлексивно, а X ∗ сепара- бельно. Доказать, что любое ограниченное множество B ⊂ X слабо секвенциально предкомпактно, т. е . из любой последовательности {xn} ∞ 1 точек множества B можно выделить слабо сходящуюся подпо- следовательность xnk → x ∈ X. Доказать, что если к томуже B есть замкнутое и выпуклое множество, то x ∈ B,т.е . B слабо секвенци- ально компактно. . . Доказать, что единичные шары в пространствах l1, c0 , C[0, 1] не являются слабо секвенциально компактными множествами. .. Доказать, что любая последовательность вложенных непу- стых замкнутых выпуклых ограниченных множеств в рефлексивном банаховом пространстве имеет непустое пересечение. Привести контрпример к этому утверждению для случая нерефлексивных ба- наховых пространств (ср. с задачами ., ., ., . и .). §.. ∗-с лабая сходимость в сопряжённом пространстве Определение . . Последовательность функционалов { fn} ∞ 1 всо- пряжённом пространстве X ∗ ∗-слабо сходится (произносится «звёз- дочка-слабо сходится») к функционалу f ∈ X ∗ ,если fn(x) → f(x)для любого x ∈ X .Обозначение: fn ∗ f. Последовательность { fn} ∞ 1 в сопряжённом пространстве X ∗ ∗-сла- бо фундаментальна, если для любого x ∈ X последовательность {fn(x)}∞ 1 фундаментальна. Множество M в сопряжённом пространстве X ∗-слабо ограниче- но, если для любого x ∈ X множество { f (x): f ∈ M}ограничено. .◦ . Пусть fn ∗ f, gn ∗ g, αn →α, βn →β,где{fn}, f ,{gn}иg — функционалы из сопряжённого пространства X ∗ ,а{αn }, α,{βn}, β — комплексные числа . Доказать, что αn fn + βn gn ∗ αf +βg.До- казать, что если fn ∗ fиfn ∗ ̃f,тоf= ̃ f. . ◦ . Доказать, что из сходимости по норме сопряжённого про- странства следует ∗-слабая сходимость. Привести пример последо-
 Глава . Теорема Банаха—Штейнгауза. Слабая сходимость вательности в сопряжённом пространстве, сходящейся ∗-слабо, но не сходящейся по норме. .. Доказать, что линейные непрерывные функционалы fn ∈ X ∗ сходятся по норме к функционалу f тогда и только тогда, когда они ∗-слабо сходятся к f равномерно по единичномушарупро- странства X (т. е. для любого >0 найдётся такое N ,чтоспра- ведливо неравенство |(fn − f)(x)|< при всех x ∈ X, x 1,и n>N). В сопряжённом пространстве X ∗ , таким образом, определены три сходимости: сходимость по норме, ∗-слабая и слабая. .◦ . Доказать, что из слабой сходимости в сопряжённом про- странстве следует ∗-слабая сходимость. Привести пример последо- вательности в сопряжённом пространстве, сходящейся ∗-слабо, но не сходящейся слабо. Итак, три вида сходимости в сопряжённом пространстве упоря- дочены следующим образом: сходимость по норме ⇒ слабая сходи- мость ⇒∗-слабая сходимость. .◦ . Пусть X — нормированное пространство и dim X < ∞. До- казать, что тогда все три вида сходимости (по норме, слабая и ∗-сла- бая) в пространстве X ∗ совпадают. .◦ . Пусть X — рефлексивное нормированное пространство. Доказать, что слабая и ∗-слабая сходимости в пространстве X ∗ сов- падают. Существуют и нерефлексивные пространства X (пространства Гротендика), для которых слабая и ∗-слабая сходимости в X ∗ сов- падают (сравните с задачей .). Примером такого пространства служит X =l∞. .◦ (Х. Хан, ). Доказать, что любое ∗-слабо ограниченное множество в X ∗ ограничено по норме. Доказать, что из ∗-слабой сходимости или ∗-слабой фундаментальности последовательности функционалов из X ∗ следует ограниченность этой последователь- ности по норме. Слабо фундаментальная последовательность не обязана иметь слабого предела (см. задачу.). Ситуация со ∗-слабой сходимо- стью проще. . . Пусть X — нормированное пространство. Доказать, что пространство X ∗ полно относительно ∗-слабой сходимости (т. е. лю - бая ∗-слабо фундаментальная последовательность функционалов имеет ∗-слабый предел в X ∗ ). Слабый предел всегда лежит в замыкании выпуклой оболочки векторов последовательности (см. задачу.), но ∗-слабые преде- лы таким свойством уже не обладают.
§.. ∗ -слабая сходимость в сопряжённом пространстве  .. Привести пример такой последовательности fn ∗ f ,что f ∈Lin{fn} ∞ 1. .. Пусть X — сепарабельное нормированное пространство. Доказать, что ∗-слабая сходимость в единичном шаре пространства X∗ метризуема. .. Пусть X — сепарабельное нормированное пространство. Указать такую метрику w( x , y ), определённую на всём X ∗ ,чтопо- следовательность { fn} ∞ 1 ∗-слабо сходится к f ∈ X ∗ тогда и только тогда, когда выполнены два условия: () последовательность { fn} ∞ 1 ограничена; () w(fn, f)→0. .. Пусть X — сепарабельное нормированное пространство. Доказать, что единичный шар в X ∗ ∗-слабо секвенциально ком- пактен, т. е. из любой последовательности { fn} ∞ 1, fn X∗ 1,можно выбрать подпоследовательность, ∗-слабо сходящуюся к точке еди- ничного шара. .. Пусть X — нормированное пространство, а { fn} ∞ 1 —после - довательность функционалов из X ∗ . Доказать, что fn ∗ f тогда и только тогда, когда выполнены два условия: () последовательность ограничена, т. е . существует такое чис- лоC,что fn X∗<Cдлявсехn∈ ; () в X найдётся такое всюдуплотное множество Y ,что fn( x) → → f(x)длялюбогоx∈Y. Приведём критерии ∗-слабой сходимости в конкретных нере- флексивных пространствах (для рефлексивных пространств X сла- бая и ∗-слабая сходимости в X ∗ совпадают, см. задачу.). .. Доказать критерий ∗-слабой сходимости в l1 = (c0) ∗ :после- довательность xn = (x(n) 1,x (n) 2 ,...) сходится ∗-слабо к x = (x1, x2,...) тогда и только тогда, когда выполнены два условия: () существует такое число C,что xn l1 < C для всех n ∈ ; () lim n→∞ x (n) k =xkдлявсехk∈ . .. Доказать критерий ∗-слабой сходимости в l∞ = (l1)∗ :после- довательность xn = (x(n) 1,x (n) 2 ,...) сходится ∗-слабо к x = (x1, x2,...) тогда и только тогда, когда выполнены два условия: () существует такое число C,что xn l∞ < C для всех n ∈ ; () lim n→∞ x (n) k =xkдлявсехk∈ . . . Доказать критерий ∗-слабой сходимости в пространстве BV0[0, 1] = (C[0, 1])∗: последовательность gn сходится ∗-слабо к g тогда и только тогда, когда выполнены два условия: () существует такое число C ,что gn BV0 [0,1] < C для всех n ∈ ;
 Глава . Теорема Банаха—Штейнгауза. Слабая сходимость () для каждого элемента произвольной системы функций { fα }в пространстве C[0, 1], удовлетворяющей условию Lin{ fα } = C[0, 1], справедливо равенство lim n→∞ 1 0 fα(t)dgn = 1 0 fα (t) dg. Из теорем . и . следует, что в качестве системы { fα}можно взять любую из систем {t m } ∞ m=0 ,{cosπmt}∞ m=0 . Понятие ∗-слабой сходимости можно применять в вопросах сум- мирования числовых рядов. Как известно, при суммировании ряда ∞ k=1 xk методом Чезаро (средних арифметических) строится последо- вательность усреднённых частичных сумм: ˆ s1 = s1,ˆ s2= s1+s2 2 ,... ,ˆ sn= s1+s2+...+sn n , гдеsn= n k=1 ak .Еслисуществуетlimˆsn , то говорят, что ряд суммирует- ся в смысле Чезаро. С этим способом суммирования можно связать оператор, действующий в пространстве последовательностей и за- данный бесконечной вправо и вниз нижнетреугольной матрицей: A:= ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1000...0 ... ... 11 2 00...0 ... ... 12 3 1 3 0...0 ... ... ......................................... 1 n−1 n n−2 n n−3 n ... 1 n 0... ....................................... ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ . Способ суммирования, заданный этой матрицей, определяется по правилу S(A) = lim n→∞ n j=1 anjxj В связи с этим возникает следующая задача. .. Пусть A = {aij }∞ i,j=1 — бесконечная нижнетреугольная мат- рица. Пусть ∞ j=1 x j — произвольный ряд. Рассмотрим метод сумми-
§.. ∗ -слабая сходимость в сопряжённом пространстве  рования этого ряда, определённый матрицей A по правилу S( A) = = lim n→∞ n j=1 anj x j . Доказать, что необходимым условием корректно- сти 1) этого метода суммирования является условие sup n1 |anj| < ∞д л яв с е хj∈ . .. Для числовой последовательности { xk }∞ 1 определим обоб- щённый предел с помощью произвольной бесконечной вправо и вниз матрицы A = {ai, j}∞ i,j=1: σ(A, x):= lim n→∞ ∞ k=1 ank xk (если этот предел существует). Доказать, что σ(A, x )=lim xk для всякой последовательности {xk}∞ 1∈ ∈ c тогда и только тогда, когда выполнены три условия: () lim n→∞ ank=0,k =1,2,...; () lim n→∞ ∞ k=1 ank=1; () существует такое число M ,что ∞ k=1 |ank| M для всех n. Ещё один метод суммирования рядов (метод Абеля) состоит в следующем. Пусть дан числовой ряд ∞ n=1 an . Рассмотрим функцию f(x)= ∞ n=1 anx n на интервале (a, 1) (предположим, что она определе- на на этом интервале). Суммой ряда ∞ n=1 an в смысле суммирования методом Абеля называют предел lim x→1, x<1 f (x)(еслионсуществует). . (Н. Абель, ). Доказать корректность метода суммиро- вания Абеля. Пусть ряд ∞ k=1 ak сходится к числу a. Доказать, что lim x<1,x →1 ∞ k=1 akxk=a. .. Пусть X — нормированное пространство, { xn} ∞ 1 —последо- вательность векторов из X ,а{fn} ∞ 1 — последовательность функци- оналов из X ∗ . Будет ли числовая последовательность fn( xn)сходя- щейся, если последовательность {xn} ∞ 1 фундаментальна (по норме или слабо) и последовательность { fn} ∞ 1 фундаментальна (по норме, слабо или ∗-слабо)? Исследовать все шесть случаев. 1) Метод суммирования называется коррек тным, если каж дый сходящийс я ряд суммируется этим методом к обычной сумме.
 Глава . Теорема Банаха—Штейнгауза. Слабая сходимость Пример . . В пространстве а) (C[−1, 1])∗;б)(L∞[−1, 1])∗ рассмотрим последовательность { fn} ∞ 1 ,гдеfn(x) = n 2 1/n − 1/n x(t) dt. Определить вид сходимости (по норме, слабая, ∗-слабая или от- сутствует), а в случае сходимости найти предел. Решение. а) Для непрерывной функции x ипроизвольного >0 найдётся такой номер N ,что max |t|<1/N |x(t) − x (0)| < .Тогдадлявсех n N имеем |fn(x)− x(0)|= n 2 1/n − 1/n (x(t)− x(0))dt < , азначит, fn ∗ δ0,гдеδ0( x ) = x (0). Итак, в пространстве (C[−1, 1])∗ последовательность { fn}сходитсякфункционалу δ0 ∗-слабо. До- кажем, что слабой сходимости нет. Положим x(t) = 0приt 0, x (t) = 1наотрезке[1/2, 1], x (t) = −1наотрезке[1/4, 1/2], x (t) = 1 при t ∈ [1/8, 1/4], x(t) = −1приt ∈ [1/16, 1/8] и т. д. Нетрудно по- казать, что x ∈ (C[−1, 1])∗∗ .Тогдаприn = 2 2k ,гдеk ∈ ,получим x(fn) =2 2k−1 (2−2k−1 − 2−2k−2 + 2−2k−3 − ...) =1/6, априn = 22k−1 аналогично получим x( fn) = −1/6, т. е. в простран- стве (C[−1, 1])∗ последовательность { fn} ∞ 1 не сходится ни слабо, ни тем более по норме. б) Определённая в пункте а) функция x принадлежит L∞[−1, 1], поэтомув пространстве (L∞[−1, 1])∗ последовательность { fn} ∞ 1не сходится ни ∗-слабо, ни слабо, ни по норме. .. Определить вид сходимости (по норме, слабая, ∗-слабая — если речь идёт о сопряжённом пространстве — или отсутствует) сле- дующих последовательностей, и в случае сходимости найти предел: а) {en = (0,...,0,1 n ,0,...)}∞ 1 в пространстве (lp) ∗ , p∈[1,∞); б) {en = (0,...,0,1 n ,0,...)}∞ 1 в пространстве c; в) {sin πnt}∞ 1 в пространстве (L p[0, 1])∗ , p∈[1,∞); г) {sin πnt}∞ 1 в пространстве C[0, 1]; д){fn} ∞ 1 ,где fn ∈ (C1[−1, 1])∗ , fn(x) = n 2 x 1 n − x− 1 n ; е) {tn} ∞ 1 в пространстве C[0, 1]; ж) {tn} ∞ 1 в пространстве (L p[0, 1])∗ , p∈[1,∞). .. Пусть X — банахово пространство. Доказать, что для лю- бого оператора A ∈ B( X , c0) найдётся такая последовательность функционалов { fn} ∞ 1⊂X∗ ,ч то fn 0и(Ax)n = fn( x ) для любого x ∈ X . Доказать, что наоборот, любая слабо сходящаяся к нулю по-
§ . . Различные виды сходимости в пространстве операторов  следовательность функционалов { fn} ∞ 1⊂X∗ порождает оператор A ∈ B(X , c0)поправилу(Ax)n = fn(x). § .. Различные виды сходимости в прос транс тве операторов Пусть X и Y — линейные нормированные пространства. Определение . . Последовательность {An} ⊂ B( X , Y ) сходит- ся равномерно (по норме) к оператору A ∈ B( X , Y ) (обозначение: An⇒A),если An−A →0. Определение .. Последовательность {An} ⊂ B( X , Y ) сходит- ся сильно коператору A ∈ B( X , Y ) (обозначение: An s → A), если An x − Ax Y → 0 для любого x ∈ X . Этусходимость называют также сильной операторной сходимостью. Заметим, что имеет место несогласованность определений: лю- бой линейный непрерывный функциона л есть частный случай ли- нейного ограниченного оператора (пространство Y = ), так что ∗-слабая сходимость функционалов есть частный случай сильной сходимости операторов. Чтобы избежать путаницы, термин ∗-сла- бая сходимость употребляют только для случаев Y = или Y = .Во всех остальных случаях говорят о сильной сходимости операторов. Определение . . Последовательность {An} ⊂ B( X , Y ) сходится слабо коператору A ∈ B(X , Y ) (обозначение: An A), если An( x) A(x)приn → ∞ для любого x ∈ X . Этусходимость называют так- же слабой операторной сходимостью. Заметим, что слабая операторная сходимость не совпадает со слабой сходимостью в банаховом пространстве B( X , Y ). Так же, как и для функционалов, определяются сильно фунда- ментальная и слабо фундаментальная последовательности опера- торов, сильно ограниченное и слабо ограниченное множества. Задачи .◦ . Пусть X и Y — нормированные пространства, последова- тельности операторов An и Bn сильно сходятся в B( X , Y )к A и B со- ответственно, а последовательности комплексных чисел αn и βn схо- дятся к α и β соответственно. Доказать, что αn An + βn Bn s →αA+βB. Доказать, что если An s →AиAn s → BвB(X,Y),тоA=B.Доказатьоба утверждения задачи с заменой сильной операторной сходимости на слабую операторную сходимость. .◦ . Доказать, что из равномерной сходимости последователь- ности операторов из B( X , Y ) следует сильная операторная сходи-
 Глава . Теорема Банаха—Штейнгауза. Слабая сходимость мость, а из сильной операторной сходимости следует слабая опера- торная сходимость. .◦ . Привести пример последовательности операторов про- странства B( X , Y ), сходящейся сильно, но не равномерно. Привести пример последовательности операторов, сходящейся слабо, но не сильно. .◦ . Доказать, что последовательность операторов { An} ∞ 1из B( X , Y ) сходится по норме к оператору A тогда и только тогда, когда An s → A равномерно на единичном шаре пространства X , т. е . для любого >0 найдётся такое число N,чтодлявсякогоx ∈ X, x X 1идлявсехn > N справедливо неравенство An x − Ax Y . Доказать, что последовательность {An} ∞ 1 сходится по норме к опе- ратору A тогда и только тогда, когда An A равномерно на еди- ничном шаре пространства X и единичном шаре пространства Y ∗ , т. е . для любого >0 найдётся такое число N,чтодлявсякихx ∈ X, xX 1иf∈Y∗ , f Y ∗ 1идлявсехn > N имеет место неравен- ство |f(Anx − Ax)| . .◦ . Пусть X и Y — нормированные пространства, причём X ко- нечномерно. Доказать, что в пространстве B( X , Y ) равномерная и сильная операторные сходимости совпадают. . ◦ . Пусть X и Y — нормированные пространства, причём Y ко- нечномерно. Доказать, что в пространстве B( X , Y )сильнаяислабая операторные сходимости совпадают. .. Пусть X — нормированное пространство, а Y — банахово пространство. Доказать, что пространство B( X , Y ) полно относи- тельно сильной операторной сходимости. .. Пусть X и Y — нормированные пространства и Y полно от- носительно слабой сходимости. Доказать, что пространство B( X , Y ) полно относительно слабой операторной сходимости. . (Х. Хан, ). Пусть X — банахово пространство, а Y —нор- мированное пространство. Пусть M ⊂ B( X , Y ) — слабо ограничен- ноемножествооператоров,т.е.длявсех x∈ X и f ∈Y∗ имеют место неравенства sup A∈M |f(Ax)|< Cf,x < ∞. Доказать, что M ограничено по норме.1) В частности, любая слабо сходящаяся и любая слабо фун- даментальная последовательность ограничена по норме. .. Пусть последовательность непрерывных операторов An в банаховом пространстве X слабо сходится к A ∈ B( X ). Доказать, что A lim n→∞ An . Привести пример, показывающий, что даже 1) Естественно, это утв ерждение ос таётся справедливым, ес ли ус ловие слабой ограниченнос ти з аменить на условие сильной ограниченности.
§ . . Различные виды сходимости в пространстве операторов  в случае сильной операторной сходимости равенства может не быть. Отметим, что утверждение последней задачи в случае сильной ограниченности является переформулировкой теоремы Банаха— Штейнгауза .. .. Пусть X , Y и Z — нормированные пространства, последова- тельность {An} ∞ 1 ⊂ B( X , Y ) сходится (равномерно, сильно или сла- бо) к оператору A ∈ B(X, Y), а последовательность {Bn} ∞ 1 ⊂B(Y,Z) сходится (равномерно, сильно или слабо) к оператору B ∈ B(Y , Z). В каждом из девяти возможных случаев исследовать, будет ли по- следовательность Bn An сходиться к оператору BA, и указать тип схо- димости. .. Доказать критерий сильной сходимости операторов. Пусть X и Y — банаховы пространства. Последовательность операторов {An} ∞ 1 в B(X , Y ) сходится сильно к оператору A тогда и только то- гда, когда выполнены два условия: () для любого x ∈ X последовательность { An x } ∞ 1 ограничена; () в X найдётся такое всюдуплотное множество M ,что An x → Ax для любого x ∈ M. .. Доказать критерий слабой сходимости операторов. Пусть X и Y — банаховы пространства. Последовательность операторов {An} ∞ 1 в B( X , Y ) сходится слабо к оператору A тогда и только тогда, когда выполнены два условия: () для любых x ∈ X и f ∈ Y∗ последовательность {f(Anx)}∞ 1 огра- ничена; () в X найдётся такое всюдуплотное множество M ,авY ∗ най- дётся такое всюдуплотное множество L,что f ( An x ) → f ( Ax) для лю- быхx∈Mиf∈L. .. Пусть X и Y — банаховы пространства, пространства X и Y ∗ (а значит, и пространство Y ) сепарабельны и Y рефлексивно. До- казать, что слабая операторная сходимость в любом ограниченном множестве пространства B( X , Y ) метризуема (сравните с задачами . и .). .. Пусть X и Y — банаховы пространства, пространства X и Y ∗ (а значит, и пространство Y ) сепарабельны и Y рефлексивно. Дока- зать, что из любой ограниченной последовательности операторов из B( X , Y ) можно выделить слабо сходящуюся подпоследователь- ность (т. е . любое ограниченное множество в B( X , Y )секвенциаль- но предкомпактно относительно слабой операторной сходимости; сравните с задачами . и .). . . Привести пример, показывающий, что утверждение преды- дущей задачи для случая сильной операторной сходимости неверно.
 Глава . Теорема Банаха—Штейнгауза. Слабая сходимость Пример .. Пусть Tr(x1, x2, x3,...)=(0, x1, x2, ...) — оператор пра- вого сдвига в пространстве а) lp, p ∈ (1, ∞); б) l1;в)c0;г)c;д)l∞ . Определить вид сходимости последовательности {T n r }∞ 1. Решение. а) Так как ∗ lp = lq, q = p/(p − 1) (см. список сопря- жённых пространств на с. ), для любого линейного непрерыв- ного функционала fy , которомусоответствует последовательность y =(y1, y2,...)∈ lq, имеем |fy(Tn r x)|= ∞ k=n+1 yk xk−n xlp ∞ k=n |yk| q 1/q →0(n→∞), посколькуряд | yk |q сходится. Таким образом, T n r 0вB(lp)при p ∈ (1, ∞). Заметим теперь, что T n r x = x , т. е. сильной сходимо- сти к нулю нет. В силу задачи . сильный и слабый пределы (если они оба существуют) обязаны совпадать. Итак, в пространствах l p , p ∈ (1, ∞), операторы T n r сходятся к нулю слабо и не сходятся сильно или равномерно. б) Положим x =(1,1/2,1/4, ...)∈l1,аy =(1, −1,1, −1, ...)∈l∞ . Тогда fy(Tn r x) = 2/3причётныхn и fy(Tn r x ) = −2/3принечётныхn, т. е. в пространстве l1 операторы T n r не сходятся ни слабо, ни сильно, ни равномерно. в) В пространстве c0 нужно повторить рассуждения пункта а), поскольку c∗ 0 = l1. Получим, что в пространстве c0 операторы T n r сла- бо сходятся к нулю и не сходятся сильно или равномерно. г) Докажем, что в пространстве c операторы T n r не сходятся ни слабо, ни сильно, ни равномерно. Функционал f y ∈ c ∗ , соответ- ствующий элементу y = (y0, y1, y2,...) ∈ l1, действует на элементе x=(x1,x2 ,...)∈ c так: fy(x)= ∞ n=0 ynxn,гдеx0 = lim n→∞ xn (см. § .). Пусть T n r T ∈ B(c). С одной стороны, для всякого вектора x = = (x1, x2 ,...)∈ c илюбогоk ∈ выполнено (Tx)k = fek (Tx) = lim n→∞ fek (Tn r x)=lim n→∞ (Tn r x)k=0, так как (Tn r x)k = 0привсехn k (здесь ek = (0,...,0,1 k ,0,0,...)). Таким образом, Tx = 0длявсякого x ∈ c,т.е .T = 0. С другой стороны, для функционала f0 ∈ c∗ , соответствующего элементу y = (1,0,0,...)∈ l1, имеем f0(T n r x)=lim k→∞ xk = f0(x), откуда f0(Tx) = f0(x) = 0, например, для x = (1,1,...). д) Докажем, что в пространстве l∞ операторы T n r также не схо- дятся ни слабо, ни сильно, ни равномерно. Повторим рассужде-
§ . . Различные виды сходимости в пространстве операторов  ния пункта г). Пусть T n r T ∈ B(l∞). Тогда для всякого вектора x=(x1,x2 ,...)∈ l∞ илюбогоk ∈ выполнено (Tx)k = fek (Tx) = lim n→∞ fek (Tn r x)=lim n→∞ (Tn r x)k=0, т. е . вн овь T = 0. Теперь остаётся рассмотреть функционал LIM (см. задачу.). Этот функционал инвариантен при сдвигах, а значит, LIM(T n r x)=LIM(x),т.е.T n r не сходятся к нулю слабо. .. Для следующих последовательностей операторов An опре- делить вид сходимости (равномерная, сильная, слабая или отсут- ствует) и найти предел в указанных пространствах: а)◦ An ∈ B(lp), p ∈ [1, ∞), An(x1, x2 ,...)= (0,...,0,xn n ,0,0...); б)◦ An ∈ B(X ), где X — нормированное пространство, An x = x n ; в) ◦ An ∈ B(lp), p ∈ [1, ∞), An(x1, x2,...)=(0,...,0,xn n , xn+1 n+1 ,...); г) ◦ An ∈ B(lp), p ∈ [1, ∞), An(x1, x2,...) = (λ1,n x1, λ2,n x2,...), где векторы λn = (λ1,n , λ2, n ,...) лежат в l∞ и сходятся по норме этого пространства к вектору λ = (λ1, λ2,...); д) An∈B(lp), p∈[1,∞), An(x1,x2 ,...) = (λ1,n x1, λ2,n x2,...), где |λk,n|<Cиλk,n→λkприn→∞ длялюбогоk∈ (т.е.векторы λn = (λ1,n, λ2,n,...) сходятся кλ =(λ1, λ2,...) ∗-слабо в l∞); е) ◦ An∈B(X),гдеX=lp, p∈[1,∞),X =c0 или X =c, An(x1,x2,...)= = (xn, xn+1,...) (т.е. An = T n l ,гдеTl — оператор левого сдвига); ж) An ∈ B(C[0,1]), (Anx)(t) = t 0 n k=0 sk k! x (s) ds; з) An ∈ B(C[0,1]),(Anx)(t)= 1−1/n 1/n K(t, s)x(s) ds,гдеK(t, s)—непре- рывная на квадрате [0, 1]2 функция; и) An∈B(C[0,1]),(Anx)(t)= 1 0 Kn(t , s) x (s) ds,где Kn(t, s)—непре- рывные на квадрате [0, 1]2 функции, равномерно сходящиеся к функции K(t, s); к) An ∈ B(C[0,1]),(Anx)(t)= 1 0 Kn(t, s)x(s) ds,гдеKn(t, s)—рав- номерно ограниченные по n, непрерывные на квадрате [0, 1]2 функ- ции, поточечно сходящиеся к непрерывной функции K (t, s); л) An∈B(C[0,1]), An = A n ,где(Ax)(t) = t 0 x (s) ds;
 Глава . Теорема Банаха—Штейнгауза. Слабая сходимость м) An∈B(C[0,1]), An= A n ,где(Ax)(t) = t 0 K(t, s)x(s)ds,аK(t, s)— непрерывная на треугольнике {(t, s): 0 s t 1} функция; н) An ∈ B(L2[0,1]), An = A n ,где(Ax)(t) = t 0 K(t, s)x(s)ds,аK ∈ ∈ L2([0, 1]2); о) An ∈ B(L2[0,1]), (Anx)(t) = 1 0 Kn(t, s)x(s) ds,гдеKn ∈ L2([0, 1]2) и Kn→K вL2([0,1]2); п) An ∈ B(C1[0,1],C[0,1]), (Anx)(t) = n k=0 x (k/n)Pk,n(t)—интер- поляционный многочлен Лагранжа для функции x (t), где Pk,n (t) = = n j=0, j =k (t−tj) (tk − tj) ,аtk = k/n; р)An∈B(C1 per[−π, π], C[−π, π]), где C1 per [−π, π] — подпростран- ство пространства C 1[−π, π], состоящее из функций, удовлетво- ряющих условиям x(−π) = x(π), x (−π) = x (π), (Anx)(t) = a0 2 + + n k=1 (ak cos kt + bk sin kt) — частичная сумма ряда Фурье для функ- ции x(t), где ak = 1 π π −π x (t)coskt dt, bk = 1 π π −π x (t)sinkt dt; с) An ∈ B(C[0,1]), (Anx)(t) = x(t1+1/n); т) An∈B(Lp[0,1]), p∈[1,∞],(Anx)(t)= x(t),еслиt<1−1/n, 0, еслиt>1−1/n; у)An∈B(Lp[0,1]),p∈[1,∞),(Anx)(t)= n k=1 n tk tk−1 x(s) dsχk,n(t), где χk,n(t) — характеристическая функция отрезка [tk−1, tk], а tk = k/n; ф) An ∈ B(Lp[0,1]), p ∈ [1, ∞], (Anx)(t) = an(t)x(t), где функции an∈L∞[0,1]иan→aвL∞[0,1]; х) An ∈ B(Lp[0,1]), p ∈ [1, ∞], (Anx)(t) = an(t)x(t), где функции an ∈ C[0, 1] равномерно по n ограничены в этом пространстве и по- точечно сходятся к функции a(t); ц)* An ∈ B(Lp[−π, π]), p ∈ [1, ∞], (Anx)(t) = a0 2 + n k=1 (akcoskt+bksinkt) — частичная сумма ряда Фурье для функции x (t), где ak= 1 π π −π x(t)coskt dt, bk = 1 π π −π x (t)sinkt dt;
§ . . Различные виды сходимости в пространстве операторов  ч) An∈B(Lp[0,1]),p∈[1,∞], (Anx)(t)= x(t +1/n), еслиt+1/n 1, x(t+1/n−1), еслиt+1/n>1; ш)An∈B(Lp[0,1]),p∈[1,∞],An = A n ,(Ax)(t) = x (φ(t)), где φ(t) ∈ L∞[0, 1] отображает отрезок [0, 1] в себя; щ)An∈B(Lp( )),p∈[1,∞],(Anx)(t)=x(t+1/n); ы)An∈B(Lp( )),p∈[1,∞],(Anx)(t)=x(t+n). . . Пусть X и Y — нормированные пространства, последова- тельность {An} ∞ n=1 ⊂ B( X , Y ) равномерно, сильно или слабо сходит- ся к оператору A ∈ B(X, Y), а последовательность {xn} ∞ n=1⊂Xпо норме или слабо сходится к вектору x ∈ X . В каждом из шести воз- можных случаев исследовать, будет ли последовательность {An x n} ∞ 1 сходиться к вектору Ax, и указать тип сходимости. . . Пусть X и Y — банаховы пространства, A : X → Y —линей- ный оператор, который переводит любую сходящуюся по норме X последовательность в слабо сходящуюся последовательность из Y . Доказать, что A∈B(X,Y). .* (П. П . Коровкин, ). Пусть Ln ∈ B(C[0, 1]), n ∈ ,—поло - жительные операторы (т. е . для любой неотрицательной функции x ∈ C[0, 1] её образы Ln x — тоже неотрицательные функции). Дока- зать, что если Ln(1)→1,Ln(t)→t и Ln(t2)→t 2 ,тоLnx → x для лю- бой функции x ∈ C[0,1] (т. е. Ln s → I). Указание. Воспользоваться тем, что для любой непрерывной функции x илюбого >0 найдётся такое C = C( , x) > 0, что − − C(t − t0) 2 <x(t)−x(t0)< +C(t−t0) 2 длявсех t,t0 ∈[0,1].
Глава  Сопряжённые операторы § .. Сопряжённые операторы в банаховом прос транс тве Пусть X и Y — нормированные пространства, A ∈ B(X, Y). Для произвольного функционала g ∈ Y ∗ определим на X линейный функ- ционалAg:=g◦A,т . е.(A g)(x):= g(Ax) для любого x ∈ X .Лег- ко видеть, что отображение A линейно и корректно определено, так как A g есть непрерывный функционал на пространстве X ,при- чём AgX∗ A B(X ,Y ) g Y ∗ . Таким образом, оператор A отобража- ет пространство Y ∗ в пространство X ∗ линейно и непрерывно (при- чём A B(Y∗ ,X ∗ ) A B(X,Y)). Определение .. Оператор A ∈ B(Y ∗ ,X ∗ ) называется банахо- вым сопряжённым оператором для оператора A. Действие банахова сопряжённого оператора хорошо иллюстри- руется следующей коммутативной диаграммой: X A / / Af   @ @ @ @ @ @ @ Y f   Теор е ма . (Ф. Рисс, ). Норма оператора A совпадает с нор- мой оператора A, т. е . операция сопряжения сохраняет норму. Легковидеть также, что если α,β ∈ , A,B∈B(X,Y)иC ∈B(Y,Z), то(αA+βB)=αA +βB,а(CA)=AC . Второй сопряжённый оператор A отображает пространство X ∗∗ в пространство Y ∗∗ .ПустьπX:X →X ∗∗ , πY:Y→Y ∗∗ —к анониче- ские вложения. Нетрудно видеть, что A ◦ π X = πY ◦ A,т.е .с ледую- щая диаграмма коммутативна: X A / / πX   Y πY   X∗∗ A / / Y∗∗
§ .. Сопряжённые операторы в банаховом пространстве  Задачи .. Доказать теорему. . . ◦ . Пусть X,Y , Z — нормированные пространства, A, B∈B(X,Y), C∈B(Y,Z), α,β∈ .Доказать, что а)(αA+βB)=αA +βB;б)(CA)=AC . . ◦ . Пусть X и Y — банаховы пространства, A ∈ B(X , Y )ипосле- довательность gn ∗ gвY ∗ . Доказать, что A gn ∗ AgвX ∗ . Пример . . В пространстве C[−1, 1] задан ограниченный опе- ратор A,(Ax)(t) = x (t2), t ∈ [−1, 1]. Найти A .1) Решение. По определению, A ∈ B((C[−1, 1])∗), а значит A ∈ ∈ B(BV0[−1, 1]). Для произвольного функционала g y , порождён- ного функцией y ∈ BV0[−1, 1], необходимо вычислить композицию Ag=g◦A.Имеемg(x)= 1 −1 x (t) dy(t), так что (A g)(x) = 1 −1 x(t2)dy(t)= − 1 0 x(s)dy(− s)+ 1 0 x(s)dy( s)= = 1 0 x (s) dz(s). Таким образом, функционал A g y задаётся функцией z(t) = 0п р и t∈[−1,0]; y( t)−y(− t)пр иt ∈[0,1], такчтоJ−1AJ:y→z. . . Найти сопряжённые операторы в следующих случаях. а) ◦ X — произвольное нормированное пространство, A = λI , λ ∈ ∈. б) X — конечномерное пространство над полем ,операторA записан матрицей M в некотором линейном базисе. Пусть в про- странстве X ∗ = X выбран тот же базис. Найти матрицуоператора A . в) ◦ X и Y — банаховы пространства, X ⊂ Y как линейное под- пространство, · Y ≺ · X на X, J ∈B(X,Y)—оператор вложения, т.е.J:x→x; г)◦ X = X0 ⊕ X1 — банахово пространство, X0 , X1 —его замкну- тые подпространства, P ∈ B( X ) — оператор проектирования на X0 вдоль X1. 1) В этом примере и в нижес ледующих з адачах с лова «найти сопряжённый опе- ратор A », с трого говоря, означают «найти оператор J −1 A J », где J : X ∗ →Y—изо - метрический изоморфизм прос транства X ∗ на конкретное банахово пространс тв о Y (список этих изометрических из оморфизмов прив едён на с. ).
 Глава . Сопряжённые операторы . ◦ . Найтисопряжённыйоператор A для оператора A впро- странствах lp, p ∈[1, ∞), и c0: а) A(x1, x2 ,...)=(x2, x3 ,...), т.е. A = Tl —левый сдвиг; б) A(x1, x2 ,...)=(0, x1 ,x 2,...), т.е. A = Tr —правый сдвиг; в) A(x1, x2,...)= (λ1x1, λ2 x2,...),{λn} ∞ n=1 ∈ l∞; г) A(x1, x2 ,...)= x2 , x3 2 ,..., xn+1 n ,.... .. Найтисопряжённыйоператор A для следующих операто- ров A: а) ◦ A ∈ B(C[0, 1]), (Ax)(t) = a(t)x(t), a ∈ C[0, 1]; б) A ∈ B(Lp[0,1]), p ∈[1, ∞), (Ax)(t) = a(t)x(t), a ∈ L∞[0,1]; в) A ∈ B(Lp[0,1]), p ∈ [1, ∞), (Ax)(t) = t 0 x (s) ds; г) A∈B(Lp[0,1]), p∈[1,∞), (Ax)(t) = x(t + a), еслиt+a 1, x(t+a−1), еслиt+a>1, где a∈[0,1]; д)◦ A ∈ B(C[0, 1]), (Ax)(t) = 1 0 K(t, s)x(s) ds,гдеK ∈ C([0, 1]2); е) A ∈ B(C[0, 2]), (Ax)(t) = x(t), если t ∈ [0,1], x(1), если t ∈ [1,2]; ж) A ∈ B(C1[0, 1], C[0,1]), (Ax)(t) = x (t); з) A∈B(C[0,1]),(Ax)(t)= x(0)+tx(1)+t2 1 0 x (s) ds. .. Найти сопряжённый оператор A для оператора A впрост- ранстве C[a, b]: ( Ax)(t) = n i=1 αi(t)fi(x), где αi ∈ C[a, b]), fi ∈ (C[a, b])∗ , fi(x) = b a x (t) dwi(t), wi ∈ BV 0[0, 1]. .. Пусть оператор S в c∗ 0 = l1 задан формулой S :(x1, x2 ,x 3,...)→ → ∞ k=1 xk, x2, x3,... . Доказать, что S является линейным изомор- физмом в l1, но не является сопряжённым ни для какого оператора T ∈ B(c0). .. Пусть X и Y — банаховы пространства, A ∈ B(X, Y). Обозна- чим канонические вложения π X : X → X ∗∗ , πY:Y→Y ∗∗ . Доказать, чтоA ◦πX=πY◦A.
§ . . Сопряжённые операторы в гильбертовом пространстве  .. Пусть X и Y — банаховы пространства, A ∈ B( X , Y ). Дока- зать, что а)еслиImA=Y,тоKerA ={0}; б)еслиKerA ={0},тоImA=Y; в)еслиImA =X ∗ ,тоKerA = {0}; г) если X рефлексивно иKerA={0}, то ImA =X ∗ .Привести пример нерефлексивного пространства X и оператора A ∈ B( X )с KerA={0}иImA =X ∗ . .. Пусть X и Y — банаховы пространства, A ∈ B(X, Y). Дока- зать, что (Im A)⊥ = Ker A ,а(KerA)⊥ ⊇ Im A (напомним, что для произвольного множества M ⊂ X множество M ⊥ = { f ∈ X ∗ : f(x)= = 0длявсякого x ∈ M }). Привести пример, когда последнее вклю- чение строгое. . . Пусть X и Y — банаховы пространства, A ∈ B( X , Y ). Дока- зать, что если A —сюръекция, то (KerA)⊥ = Im A . .. Пусть X и Y — банаховы пространства, A ∈ B(X, Y). Дока- зать, что (Im A )⊥ = Ker A,(KerA )⊥ = Im A (здесь для множества M⊂X∗ обозначено M⊥ = {x ∈ X : f(x)=0длявсякогоf ∈M}). Из теоремы . следует, что операция сопряжения непрерывна относительно равномерной операторной сходимости. .. Пусть X и Y — банаховы пространства, An s → A в B(X,Y). Сходится ли последовательность {An} ∞ n=1 сильно к A в B(Y∗ ,X ∗ )? Сходится ли она слабо? Ответьте на те же вопросы при условии ре- флексивности X или Y . § .. Сопряжённые операторы в гильбертовом пространстве. Унитарные и нормальные операторы В гильбертовом пространстве кроме банахова сопряжённого оператора рассматривают эрмитов (гильбертов) сопряжённый опе- ратор A∗ . Определение . . Пусть H1 и H2 —гильбертовыпространства,а A ∈ B(H1, H2). Оператор A∗ ∈ B(H2, H1) называют гильбертовым со- пряжённым оператором для оператора A,если (Ax, y)H2 =(x,A ∗ y )H1 длялюбыхx∈H1, y∈H2. Гильбертов сопряжённый оператор существует и единствен для любого линейного непрерывного оператора A ∈ B(H1, H2). Так же как и операция банахова сопряжения (см. теорему.), опера-
 Глава . Сопряжённые операторы ция гильбертова сопряжения сохраняет норму, т. е. A ∗ B(H2,H1) = = A B(H1,H2). Отличие в том, что (αA+ βB)∗ =̄̄ αA∗+ ̄̄βB∗(α,β∈ ). Далее, (CA)∗ =A ∗ C∗ , а второй сопряжённый оператор A∗∗ совпадает с оператором A. Вслучае,когдаоператор A отображает гильбертово простран- ство H в себя, оператор A∗ действует также в пространстве H . Определение . . Оператор A ∈ B(H ) называется самосопряжён- ным,если A = A ∗ . Напомним (см. определение . и задачу.), что оператор A ∈ B(H1, H2) в гильбертовых пространствах является изометрией (т. е. Ax = x для любого x ∈ H1) тогда и только тогда, когда он сохраняет скалярное произведение (т. е . ( Ax, Ay ) = ( x , y) для любых x,y∈H1). Определение .. Оператор U ∈ B(H1, H2), где H1 и H2 —гиль - бертовы пространства, называется унитарным,еслионизометри- чен и биективен. Это определение можно записать в эквивалентном виде: UU ∗ = =IH2иU ∗ U=IH1 . Введём ещё один важный класс операторов — нормальные опе- раторы. Определение . . Оператор A, действующий в гильбертовом пространстве H , называется нормальным, если он коммутирует со своим сопряжённым, т. е . AA ∗ =A ∗ A. Нетрудно видеть, что любой самосопряжённый или унитарный оператор является нормальным. Задачи . . Доказать следующие свойства операции сопряжения (здесь H1 и H2 —гильбертовыпространства, A ∈ B(H1, H2)): а) для всякого оператора A существует единственный сопряжён- ный оператор A∗ ∈ B(H2, H1); б) A∗∗ =A; в) (αA+βB)∗ =̄̄ αA ∗ + ̄̄βB∗; г) A∗ =A; д) если H3 — гильбертово пространство, B ∈ B(H2, H3), то (BA)∗ = =A ∗ B∗ . В теореме . для гильбертова пространства H был определён оператор J:H →H ∗ — изоморфизм Рисса. Напомним, что изомор- физм Рисса отличен от упоминавшегося в примере . изометриче- ского изоморфизма тем, что J(λx ) = ̄ ̄ λJx. .◦ . Используя изоморфизм Рисса, установить для произволь- ного оператора A ∈ B(H1, H2) соотношение A ∗ =J −1 H1 A JH2 ,т.е .дока-
§ . . Сопряжённые операторы в гильбертовом пространстве  зать коммутативность следующей диаграммы: H1 JH1   A ' ' H2 A∗ o o JH2   H∗ 1 H∗ 2 A o o Пример .. Найти гильбертов сопряжённый оператор к опера- тору A: L2[0,1]→W1 2 [0,1], (Ax)(t) = t 0 x(s)ds, t∈[0,1]. Решение. Положим A∗y = z,гдеy ∈ W1 2 ,аz ∈ L2,изапишемра- венство (Ax, y)W1 2 = (x, z)L2 , справедливое для всякого x ∈ L2: 1 0 (Ax) (t)y (t)dt+ 1 0 (Ax)(t)y(t)dt = 1 0 x (t)z(t) dt. Тогда 1 0 x(t)z(t)dt = 1 0 x(t)y (t)dt+ 1 0 t 0 x(s)ds y(t)dt. Меняя порядок интегрирования в последнем слагаемом, получим 1 0 x(t) z(t)−y(t)− 1 t y(s)ds dt=0, что в силупроизвольности функции x влечёт (A∗y)(t)=z(t)=y(t)+ 1 t y(s)ds, t∈[0,1]. .◦ . Найти сопряжённые операторы A∗ для следующих операто- ров в пространстве L2[0, 1]: а) Ax(t) = t 0 x(s) ds;б ) Ax(t) = 1 0 sx(s) ds; в) Ax(t) = 1 0 tx(s) ds;г ) Ax(t) = 1 0 t 2 sx(s) ds; д) Ax(t) = 1 0 (ts + s)x(s) ds;е )Ax(t) = t 0 sx(s) ds; ж) Ax(t) = t 0 s 2 x (s) ds;з ) Ax(t) = a(t)x(t), a ∈ L∞[0, 1].
 Глава . Сопряжённые операторы В пункте з) найти A и сравнить его действие с действием операто- ра A∗ . .. Пусть оператор A ∈ B(l2) в некотором ортонормированном базисе задан матрицей {aij }∞ i,j=1 . Доказать, что A в этом же базисе задаётся матрицей {a ji} ∞ i,j=1 ,аA ∗ задаётся матрицей {̄a ji} ∞ i,j=1 . .◦ . Найти сопряжённые операторы A∗ для следующих операто- ров в пространстве l2 : а) Ax = (x1, x2,...,xn n ,0,0,...); б)Ax=(0,x1 ,0,x3 ,...,0, x2n−1 2n ,0,...); в) Ax = (0, x1,0,x2,...,0,xn 2n ,0,...); г) Ax = (0, x1, x2, x3,...) —правый сдвиг; д) Ax = (x2, x3, x4,...) —левыйсдвиг; е) Ax = (xn+1, xn+2,...); ж) Ax = (λ1x1, λ2 x2, λ3 x3,...), где {λn} ∞ 1 ∈l∞; з) Ax = (x1, x2, x4, x8,...,x2 n−1 n ,...). В пункте ж) найти A и сравнить его действие с действием операто- ра A∗ . . ◦ . Найти эрмитовы сопряжённые операторы для операторов левого и правого сдвигов в пространстве l2( ). . ◦ . Найти сопряжённые операторы A и A ∗ к интегрально- муоператору( Ax)(t) = b a K(t, s)x(s) ds в пространстве L2[a, b], где K ∈ L2([a, b]2). Найти условия на функцию K , при которых опера- тор A самосопряжён. . ◦ . При каких условиях на последовательность {λn} ∞ 1 ∈l∞опе- ратор Ax = (λ1 x1, λ2 x2, λ3 x3,...) в пространстве l2 является самосо- пряжённым? При каких условиях на функцию a ∈ L∞[0, 1] оператор (Bx)(t) = a(t) x(t)впространствеL2[0, 1] является самосопряжён- ным? . . Найти сопряжённый оператор A∗ к операторузамены пере- менной а) A: L2[0,1]→L2[0,1],(Ax)(t)= x( t); б) A : L2[0, 1] → L2[0, 1], (Ax)(t) = x(φ(t)), где φ(t)—непрерыв- ная функция, отображающая отрезок [0, 1] в себя со свойством φ(t)>0длялюбогоt∈[0,1]. .. Найти сопряжённые операторы A ∗ для следующих операто- ров: а)◦ H — произвольное гильбертово пространство, y и z —фик- сированные векторы, Ax = ( x , y)z;
§ . . Сопряжённые операторы в гильбертовом пространстве  б)A:L2( )→L2( ),Ax(t)=x(t+a); в)* A:W1 2[0,1]→L2[0,1], Ax= x; г)* A: W1 2[0,1]→L2[0,1], Ax=x . Указание. Получить описание действия оператора A∗ y = z на плотном множестве гладких функций, решив краевую задачу −z + +z=y,z(0)=z(1)=0впунктев),атакжекраевуюзадачу−z + +z= −y , z(0)=y(0), z(1)=y(1)впункте г).Далее воспользо- ваться задачей .. . ◦ . Пусть H0 — подпространство гильбертова пространства H , инвариантное относительно оператора A ∈ B(H ). Доказать, что H ⊥ 0 инвариантно относительно A ∗ . .◦ . Пусть гильбертово пространство H разложено в прямую сумму замкнутых подпространств H = H0 ⊕ H1, и пусть задан про- ектор P на подпространство H0 вдоль H1. Доказать, что H0 ⊥ H1 ⇔ ⇔P=P ∗ (ср. с задачей .). .. Пусть H — гильбертово пространство, а P1 и P2 — ортопро- екторы на подпространства H1 и H2. Доказать эквивалентность сле- дующих утверждений: ()P1 P2(т.е.((P2−P1)x,x) 0длялюбогоx∈H); ()H1⊆H2; () P1P2 = P2P1 = P1; () P2 − P1 — ортопроектор. . ◦ . Пусть P1 и P2 — ортопроекторы в гильбертовом простран- стве H на подпространства H1 и H2 . При каких условиях на P1 и P2 (при каких условиях на H1 и H2) следующие операторы также явля- ются ортопроекторами: а) P1 + P2;б)P1 P2? В том случае, когда эти операторы являются ортопроекторами, найти их образы и ядра. .◦ . Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ B(H ). Доказать, что а) Ker(A∗) = (Im A)⊥;б)KerA = (Im A∗)⊥;в)Im A = (Ker A∗)⊥; г)ImA∗ = (Ker A)⊥. .. Пусть H — гильбертово пространство, A∈B(H )иdimImA= = n < ∞. Доказать, что dimIm(A∗) = n. .. Пусть H1 и H2 — гильбертовы пространства, причём про- странство H2 сепарабельно. Доказать, что если существует инъек- тивный оператор A ∈ B(H1, H2), то пространство H1 также сепара- бельно. Верно ли это утверждение для банаховых пространств? . ◦ . Пусть H1 и H2 —гильбертовы пространства, {An} ∞ 1⊂ ⊂ B(H1, H2)иAn ⇒ A ∈ B(H1, H2). Доказать, что A ∗ n ⇒A∗ . Доказать, чтоесли An A∈B(H1,H2),то A∗ n A∗ . .. Привести пример такой последовательности операторов {An} ∞ 1 ⊂ B(H1, H2) в гильбертовых пространствах H1 и H2,что
 Глава . Сопряжённые операторы An s → A ∈ B(H1, H2), но последовательность {A∗ n }∞ 1 не имеет силь- ного предела. .. Пусть H1 и H2 — гильбертовы пространства. Доказать, что оператор U ∈ B(H1, H2) унитарен (см. определение .) тогда и толь- ко тогда, когда выполнены оба равенства UU ∗ = IH2 иU ∗ U=IH1 .При- вести пример не унитарного оператора, для которого выполнено од- но из этих равенств. . ◦ . При каких условиях на последовательность {λn} ∞ 1 ∈l∞опе- ратор Ax = (λ1x1, λ2 x2, λ3 x3, ...) является унитарным в простран- стве l2? При каких условиях на функцию a ∈ L∞[0, 1] оператор ( Ax)(t) = a(t) x (t) является унитарным в пространстве L2[0, 1]? .◦ . Доказать, что оператор сдвига ( Ax)(t) = x (t − a)унитарен вL2(). .◦ . Доказать, что операторы левого и правого сдвига унитар- ны в пространстве l2( ). .. Пусть H — гильбертово пространство, а U ∈ B(H ). Дока- зать, что если {en } ∞ 1 — некоторый ортонормированный базис в H исистема{Uen } ∞ 1 также является ортонормированным базисом, то U унитарен. Обратно, доказать, что если оператор U унитарен, то он переводит любой ортонормированный базис в ортонормирован- ный базис. Определение .. Оператор W ∈ B(H , K), где H и K —гильбер- товы пространства, называется частично изометрическим опера- тором (частичной изометрией), если H = H1 ⊥ ⊕H2,K=K1⊥ ⊕ K2, H2 = Ker W и W : H1 → K1 — изометрический изоморфизм. .. Пусть H1 и H2 —гильбертовыпространства,W ∈ B(H1, H2). Доказать, что W является частично изометрическим оператором то- гда и только тогда, когда WW ∗ W = W . Как действует оператор W∗? Пример .. Доказать, что оператор A: x(t) → 1 3 x(t)+x t+ 2π 3+xt+ 4π 3 (здесь сложение в аргументах функций — по модулю 2π)является частичной изометрией в пространстве L2[0, 2π]. Решение. Разложим функцию x (t) в ряд Фурье по системе en(t) = 1 2π e int n∈ . Легко видеть, что A : en → en ,еслиn = 3k,и A : en → 0иначе.Обо- значим H1 = Lin{e3n}n∈ и H2 = H⊥ 1 . Тогда оператор A изометрично отображает подпространство H1 на себя и тождественно равен ну- лю на подпространстве H2 .
§ . . Сопряжённые операторы в гильбертовом пространстве  .*. Преобразованием Гильберта функции x ∈ L2[0, 2π]назы- вают функцию y(t) = 1 2π 2π 0 x (s)ctg t−s 2 ds.1) Доказать, что оператор A : x → y является частичной изометрией. Указание. Разложить функцию x в ряд Фурье и доказать, что A :sin(nt) →−cos(nt)и A :cos(nt) → sin(nt). .◦ . Доказать, что операторы левого и правого сдвига являются частичными изометриями пространства l2. .◦ . При каких условиях на последовательность {λn} ∞ 1 ∈l∞опе- ратор Ax = (λ1 x1, λ2 x2, λ3 x3, ...) является частичной изометрией в пространстве l2? При каких условиях на функцию a ∈ L∞[0, 1] опера- тор ( Ax)(t) = a(t) x(t) является частичной изометрией в простран- стве L2[0, 1]? .◦ . Пусть H — гильбертово пространство. Доказать, что мно- жество а) унитарных, б) изометрических операторов замкнуто в B(H ). Доказать, что композиция унитарных (изометрических) опе- раторов является унитарным (соответственно изометрическим) оператором. .. Доказать, что и слабый, и сильный предел самосопряжён- ных операторов (если он существует) есть самосопряжённый опе- ратор. Доказать, что и слабый, и сильный предел унитарных опе- раторов — унитарный оператор, а сильный предел ортогональных проекторов — ортогональный проектор. Привести пример, показы- вающий, что слабый предел ортогональных проекторов не обязан быть проектором. .◦ . Пусть H — гильбертово пространство а) над ;б)над . Является ли множество самосопряжённых операторов замкнутым подпространством в пространстве B(H )? Доказать, что компози- ция двух самосопряжённых операторов является самосопряжённым оператором тогда и только тогда, когда эти операторы коммутиру- ют. .. Пусть A и B — два самосопряженных оператора в ком- плексном гильбертовом пространстве H .Длявсякого x ∈ H , x = 0, определяется UC(x) = Ax− (Ax, x)x x2 · Bx− (Bx, x)x x2 |((AB−BA)x,x)| — константа неопределенности, соответствующая паре операто- ров A, B для элемента x (если знаменатель дроби равен нулю, то UC(x):= ∞). Доказать, что всегда выполнено неравенство UC(x) 1 2 . 1) Функцию y назыв ают ещё тригонометрической сопряжённой к функции x .
 Глава . Сопряжённые операторы . ◦ . Пусть H — гильбертово пространство, A — самосопряжён- ный оператор. Может ли образ Im A быть незамкнутым? .◦ . Пусть H — гильбертово пространство, A — самосопряжён- ный оператор. Доказать, что Im A = H тогда и только тогда, когда KerA={0}. .. Пусть H — гильбертово пространство, A — самосопряжён- ный оператор, x /∈ Ker A. Доказать, что последовательность αn = =A n+1 x / An x сходится. . . Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ B(H ). Доказать, что Ker(AA∗) = Ker A ∗ ,Ker(A∗ A) = Ker A.Верноли,что а) Im(AA∗) = Im A;б)Im(A∗A) = Im A ∗ ? .. Пусть A = A ∗ . Доказать, что A = sup x=1 |( Ax, x )|.Привести пример несамосопряжённого оператора, для которого эта формула неверна. . . Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ B(H ). Доказать, что AA∗ =A ∗ A=A2. . ◦ . Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ B(H ). Доказать, что существует единственная пара таких самосопряжённых опера- торов Are и Aim,чтоA = Are + iAim. Определение . . Оператор A в гильбертовом пространстве H называется положительным (неотрицательным), если его квад- ратичная форма ( Ax, x ) положительна (неотрицательна) для всех x = 0. Обозначение: A > 0или A 0. Неравенство A B означает, чтоA−B 0. .. Пусть H — гильбертово пространство. Доказать, что для самосопряжённых операторов в нём выполнены следующие утвер- ждения: а)еслиA BиB A,тоA=B; б)еслиA BиB C,тоA C; в)еслиA1 B1иA2 B2,тоA1+B1 A2+B2; г)еслиA Bиk>0,тоkA kB; д) если A B,тодлявсякогоC ∈ B(H) C∗ AC C ∗ BC; е)еслиA B,C 0иAC=CA,BC =CB,тоAC BC; ж)еслиαI A βI,то A max(α, β ), α, β>0; з)если−B A B,то A B. . . Доказать, что для положительного оператора A справедли- во обобщённое неравенство Коши—Буняковского: |(Ax, y)|2 (Ax, x)(Ay, y). .. Пусть последовательность {An} ∞ 1 положительных операто- ров слабо сходится к нулю. Доказать, что An сходятся к нулю сильно.
§ . . Сопряжённые операторы в гильбертовом пространстве  .. Пусть A и B — ограниченные операторы в гильбертовом пространстве H . Доказать, что неравенство A∗ A B ∗ B эквивалент- но системе неравенств Ax Bx длялюбогоx∈H. . ◦ . Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ B(H ). Доказать, что AA ∗ 0. Легко видеть, что выражение ( Ax, x ) вещественно для любого вектора x из комплексного гильбертова пространства, если опера- тор A самосопряжён. Оказывается, верно и обратное. .. Пусть H — комплексное гильбертово пространство, A ∈ ∈ B(H). Доказать, что если для любого x ∈ H квадратичная форма ( Ax, x ) вещественна (в частности, если оператор положителен), то A∗ =A. .◦ . Пусть H — гильбертово пространство, A и B — самосопря- жённые операторы и A 0. Доказать, что BAB 0. .. Пусть H — гильбертово пространство, A и B — самосопря- жённые операторы, 0 A B и AB = BA. Доказать, что AB 0и A2B 2 . Привести примеры, показывающие, что условие AB = BA в этом утверждении существенно. .. Пусть H — гильбертово пространство, а последователь- ность {An} ∞ 1 самосопряжённых операторов из B(H ) монотонно не убывает, т. е. A1 A2 A3 ... Доказать, что такая последователь- ность имеет предел в смысле сильной операторной сходимости, но не обязательно имеет предел в смысле равномерной операторной сходимости. .*. Пусть H — гильбертово пространство, A — самосопряжён- ный оператор и A 0. Доказать, что существует единственный са- мосопряжённый неотрицательный оператор B,длякоторогоB 2 =A. Указание. Рассмотреть рекуррентную последовательность B0=0, Bn+1= 1 2 (I−A+B 2 n ), n=0,1,..., иприменитьзадачу.. Этот оператор B называют квадратным корнем из оператора A иобозначают A. . ◦ . Для следующих операторов A найти A: а) Ax = (λ1x1, λ2 x2, λ3 x3,...), где{λn} ∞ 1∈l∞,λn 0; б) (Ax)(t) = a(t)x(t), где a ∈ L∞[0,1], a(t) 0 для любого t ∈ [0,1]; в) A — ортопроектор в гильбертовом пространстве H ; г) (Ax)(t) = 1 0 tsx(s) ds. .◦ . Пусть H — гильбертово пространство, A — самосопряжён- ный оператор и A 0. Доказать, что A=A.
 Глава . Сопряжённые операторы .. Показать, что из неравенств 0 A B для операторов в гильбертовом пространстве следует неравенство A B. .. Доказать, что в гильбертовом пространстве всякий само- сопряжённый оператор есть линейная комбинация двух унитарных операторов. Как следствие, всякий ограниченный оператор есть ли- нейная комбинация четырех унитарных. .. Пусть H1 и H2 — гильбертовы пространства, а оператор A ∈ B(H1, H2). Доказать, что существует такой частично изометри- ческий оператор W : H1 → H2 и такие неотрицательные операторы S ∈ B(H1)иR ∈ B(H2), что A = WS = RW . При этом пара операторов W , S однозначно определена условием Ker W = Ker S,апараW , R — условием (Im W )⊥ = Ker R. Указание. Взять S = A ∗ A,R= AA ∗ . Определение .. Представления A = WS = RW (см. задачу.) называют полярным разложением оператора A. Условие частичной изометрии оператора W нельзя заменить на условие изометрии. Действительно, из построения операторов W и S следует, что Ker W = Ker S = Ker A,азначит,W будет изомет- рией тогда и только тогда, когда оператор A инъективен. Пример .. Найти полярное разложение A = WS = RW для опе- ратора A : x(t) → x ( t )впространствеL2[0, 1]. Решение. В задаче . был найден оператор A∗ : x(t) → 2tx(t2). То г д а ( A∗ Ax)(t) = 2tx(t), а значит, (Sx)(t) = 2tx(t). Отсюда следу- ет, что (Wx)(t) = x( t) 4 4t .Наконец,(AA∗ x)(t)=2 tx(t), т. е. (Rx)(t)= = 4 4tx(t). .. Найти полярное разложение A = WS = RW для оператора A ∈ B(H)вслучае а) H = L2[0,1], Ax(t) = a(t)x(t), где a ∈ L∞[0,1]; б) H =l2, A(x1, x2,...)=(0, x1, x2,...). .. Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ B(H ). Доказать, что существует единственный самосопряжённый неотрицатель- ный оператор B ∈ B(H) такой, что для любого x ∈ H выполнено Ax=Bx. Очевидно, что любое замкнутое подпространство гильбертова пространства является образом некоторого самосопряженного опе- ратора (достаточно рассмотреть ортопроектор на это подпростран- ство). Утверждение следующей задачи показывает, что условие за- мкнутости подпространства не является необходимым. .. Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ B(H )иH0 := Im A. Доказать, что найдётся такой самосопряжённый оператор в H ,что его образ совпадает с H0.
§ . . Сопряжённые операторы в гильбертовом пространстве  .. Пусть A и B — ограниченные операторы в гильбертовом пространстве H . Доказать равносильность следующих свойств: ()ImA⊂ImB; () A = BC для некоторого C ∈ B(H); () существует такое λ 0, что ( A∗ x,A ∗ x ) λ2(B∗ x,B ∗ x )длявсех x∈H. .. Для всякого ли оператора A ∈ B( X )(X — банахово про- странство) существует такой оператор B ∈ B( X ), что B2 = A? . ◦ . Доказать, что оператор A нормален тогда и только тогда, когда Are Aim = Aim Are (см. задачу.). .◦ . Доказать, что если оператор A нормальный, то для любого λ ∈ оператор A − λI тоже нормальный. .. Пусть H — гильбертово пространство и оператор A ∈ B(H ) нормален. Доказать, что существует такой унитарный оператор U∈B(H),что A∗ = UA. .. Пусть H — гильбертово пространство. Доказать, что опера- тор A ∈ B(H) нормален тогда и только тогда, когда Ax = A ∗ x для любого x ∈ H. .. Пусть H — гильбертово пространство и оператор A ∈ B(H ) нормален. Доказать, что A2 = A 2 и вообще A2n = A2n для лю- бого натурального n. 1) .◦ . Какие из следующих операторов нормальны в l2: а) Ax = (x1, x2,...,xn n ,0,0,...); б) Ax = (0, x1,0,x3,...,0,x2n−1 2n ,0,...); в)Ax=(0,x1 ,0,x2 ,...,0,xn 2n ,0,...); г)Ax=(0,x1 ,x 2, x3 ,...) —правый сдвиг; д)Ax=(x2,x3 , x4,...) — левый сдвиг; е) Ax = (λ1x1, λ2 x2, λ3 x3,...), где {λn} ∞ 1 ∈l∞; ж) Ax = (xn+1, xn+2,...); з) Ax = (x1, x2, x4, x8,...,x2 n−1 n ,...)? . . При каких условиях на функцию K ∈ L2([0, 1]2)оператор ( Ax)(t) = 1 0 K(t, s)x(s) ds в пространстве L2[0, 1] нормален? . ◦ . Доказать, что для любой функции a ∈ L∞[0, 1] оператор ( Ax)(t) = a(t) x (t)нормаленвL2[0, 1]. 1) На самом деле, для вс якого норма льного оператора A ∈ B(H) верно соотноше- ние An =A n привсехn∈ .
Глава  Обратный оператор § .. Теорема Банаха обобратном операторе. Примеры Определение .. Пусть A ∈ B(X,Y), где X, Y — банаховы про- странства. Оператор −1 Ar ∈ B(Y , X ) будем называть правым обрат- ным,если A ◦ −1 Ar = IY ,гдеIY — тождественный оператор в Y .Ана- логично, оператор −1 Al ∈ B(Y , X ) будем называть левым обратным, если −1 Al ◦ A =IX,гдеIX — тождественный оператор в X. Несложно показать, что если существуют и левый, и правый об- ратный операторы −1 Alи −1 Ar ,то −1 Ar= −1 Al .Вэтомслучаебудемго- ворить, что уоператора A есть (ограниченный) обратный оператор A−1 ∈ B(Y , X ). Множество обратимых операторов, действующих из пространства X в пространство Y , будем обозначать IB( X , Y ). Те ор е м а  .  (Банаха об обратном операторе, С. Банах, ). Пусть A ∈ B( X , Y ), где X , Y — банаховы пространства. Тогда опера- тор A−1 ∈ B(Y , X ) существует тогда и только тогда, когда A биек- тивен. Пусть X и Y — нормированные пространства. Напомним, что множество всех пар (x, y), где x ∈ X , y ∈ Y , называют декарто- вым произведением X × Y . Пространство X × Y является линей- ным с естественной операцией сложения и умножения на число. На нём также можно ввести норму (x, y) := x + y (см. опре- деление . и задачу.). Определение . . Пусть X , Y — нормированные пространства, а линейный оператор A задан на некотором плотном подпространст- ве D( A) ∈ X , которое называют областью определения оператора A. Определим в декартовом произведении X × Y линейное подпро- странство, называемое графиком оператора: Γ( A):= {(x , Ax): x ∈ ∈ D( A)}. На Γ( A) естественным образом вводится норма графика: (x,Ax)=xX+AxY. Понятия области определения и графика оператора важны при исследовании многих задач математической физики, где возни-
§ .. Теорема Банаха об обратном операторе. Примеры  кают (вообще говоря, неограниченные) операторы — например, оператор (Ax)(t) = ix (t), D(A) = ◦ WW1 2 [0, 1] ⊂ L2[0, 1]. Нетрудно про- верить, что оператор A неограничен и выполнено соотношение (Ax, y) = (x, Ay) для любых x, y ∈ D(A), а значит, в силутеоремы Хеллингера—Тёплица (задача .), этот оператор не может быть продолжен на всё пространство L2[0, 1] с сохранением равенства ( Ax, y) = ( x , Ay ). В дальнейшем, если не оговорено обратное, мы будем считать, что D( A) = X . Определение . . Оператор A, действующий из банахова про- странства X в банахово пространство Y с областью определения D( A) ⊂ X , называется замкнутым,еслиегографикзамкнутв X × Y , т. е. если из существования пределов x = lim n→∞ xnиy=lim n→∞ Axn ,где xn ∈ D(A), следует x ∈ D(A)иy = Ax. Другими словами, оператор A замкнут, если его график Γ( A) является банаховым пространством всвоейнорме. Те ор е м а  .  (о замкнутом графике, С. Банах, ). Пусть X и Y — банаховы пространства. Оператор A ∈ L( X , Y ) ограничен тогда и только тогда, когда его график замкнут. В дальнейшем, если не оговорено противное, под правым обрат- ным, левым обратным и обратным оператором понимается ограни- ченный правый обратный, ограниченный левый обратный и огра- ниченный обратный оператор соответственно. Задачи . ◦ . Пусть X и Y — нормированные пространства, A ∈ B( X , Y )и для некоторой последовательности {xn} ∞ 1 векторов с xn = 1по- следовательность Axn стремится к нулю. Доказать, что A не об- ратим. . ◦ . Пусть X и Y — нормированные пространства, A ∈ B(X , Y ). Доказать, что если обратный оператор A−1 ∈ B(Y , X )существует,то он единствен. . ◦ . Рассмотрим в пространстве а)X=lp,p∈[1,∞]; б)X=c0;в)X=c операторы Tr x = (0, x1 ,x 2,...,xn,...)иTlx =(x2,x3 ,..., x n,...) сдвига вправо и влево соответственно. Доказать, что эти операторы необ- ратимы, но уоператора правого сдвига есть левый обратный, а уоператора левого сдвига — правый обратный операторы. Найти их. . ◦ . Привести пример оператора, для которого существует ле- вый обратный, но он не единствен. Привести пример оператора, для которого существует правый обратный, но он не единствен.
 Глава . Обратный оператор .. Пусть X и Y — банаховы пространства, оператор A ∈ B( X , Y ). Доказать, что единственность а) правого обратного; б) левого обратного оператора эквивалентна обратимости оператора A. . ◦ . Пусть X и Y — нормированные пространства, оператор A ∈ ∈ B(X , Y ) обладает правым обратным −1 Ar ∈ B(Y , X )илевымобрат- ным −1 Al ∈ B(Y, X). Доказать, что тогда −1 Ar= −1 Al =A −1 . . ◦ . Пусть X и Y — нормированные пространства, A ∈ B(X, Y). Доказать, что если A обратим, то он биективен; если существует правый обратный −1 Ar ∈ B(Y , X ), то A сюръективен; если же суще- ствует левый обратный −1 Al ∈ B(Y,X), то A инъективен. Теорема . утверждает, что в банаховых пространствах биектив- ность ограниченного линейного оператора влечёт его обратимость. Отметим, что сюръективность ограниченного линейного оператора не влечёт существование ограниченного правого обратного, равно как инъективность не влечёт существование левого обратного. Всё дело в том, что в банаховых пространствах существуют недополня- емые подпространства (см. задачу.). .. Привести пример ограниченного инъективного оператора в банаховых пространствах, для которого нет ограниченного левого обратного оператора, но есть правый обратный. . . Привести пример ограниченного сюръективного оператора в банаховых пространствах, для которого нет ограниченного право- го обратного оператора, но есть левый обратный. .. Пусть X и Y — банаховы пространства, оператор A ∈ B( X , Y ). Доказать, что A имеет левый обратный тогда и только тогда, когда выполнены два условия: () A инъективен; () Im A — замкнутое дополняемое подпространство в Y . .. Пусть X и Y — банаховы пространства, оператор A ∈ B( X , Y ). Доказать, что A имеет правый обратный тогда и только тогда, когда выполнены два условия: () A сюръективен; () Ker A — дополняемое подпространство в X . . ◦ . Привести пример, показывающий, что в теореме Банаха об обратном операторе условие полноты пространства Y сущест- венно. .. Показать, что в теореме Банаха об обратном операторе условие полноты пространства X существенно. Указание. Использовать базис Гамеля (см. определение .). .. Предполагая верной теорему., доказать теорему., и наоборот.
§ .. Теорема Банаха об обратном операторе. Примеры  .. Пусть X — банахово пространство, линейное подпростран- ство Y ⊂ X имеет конечную коразмерность и Y = Im A,гдеA : Z → → X — ограниченный оператор, Z — банахово пространство. Дока- зать, что Y замкнуто (ср. с теоремой .). ..Пусть X, Y и Z—банаховы пространства и J:Y →Z — инъективный непрерывный линейный оператор. Пусть A ∈ L( X , Y ), причём композиция JA ∈ B(X, Z). Доказать, что A ∈ B(X,Y). .*. Существует ли обратимый оператор A ∈ B(c, c0)? .. Пусть A ∈ B(L2[0, 1]), причём Im A ⊂ C[0, 1]. Доказать, что A ∈ B(L2[0, 1], C[0, 1]). Доказать, что вообще, если X , Y , Z — бана- ховы прос транс тва, Y непрерывно вложено в Z ,анекоторыйопе- ратор A ограниченно действует из X в Z иобладаетсвойством ImA⊂Y,тоA∈B(X,Y). .. Доказать, что оператор дифференцирования A : W 1 2[0,1]→ → L2[0, 1], (Ax)(t) = x (t) имеет замкнутый график. . . Доказать, что функционал f : x → x (0), действующий в L2[0, 1] с D( f ) = C[0, 1], имеет незамкнутый график. .. Привести пример банаховых пространств X и Y иоперато- ра A ∈ L( X , Y ) с незамкнутым графиком. .. Пусть X — линейное пространство, · 1и·2 — две нор- мы, и пусть Xi := ( X , · i )—банаховы пространства,причём · 1 ≺ ≺·2 . Доказать, что нормы · 1 и · 2 эквивалентны. . . Пусть X — банахово пространство, X0 — замкнутое под- пространство и X1 — его линейное дополнение. Доказать, что про- ектор на подпространство X0 вдоль подпрос транс тва X1 ограничен тогда и только тогда, когда X1 тоже замкнуто. Из утверждений задач . и . следует, что в банаховом про- странстве X линейная прямая сумма любых двух замкнутых подпро- странств X0 ⊕ X1 = X всегда является топологической прямой сум- мой (см. определение .). Из курса линейной алгебры известно, что один и тот же опе- ратор задаётся различными матрицами в различных базисах. Мат- рицы при этом называются подобными. Перенося этуситуацию на бесконечномерный случай, приходим к следующему опреде- лению. Определение . . Пусть X и Y — нормированные пространства, A ∈ B( X ), B ∈ B(Y ). Операторы A и B называются подобными,ес- ли найдётся такой ограниченный и ограниченно обратимый опера- тор S (то есть S ∈IB(Y,X)), что AS=SB(обозначение A ∼B). Ясно, что, заменив в определении равенство AS = SB на TA = BT , где T ∈ IB( X , Y ), получим эквивалентное определение (надо взять T=S −1 ).
 Глава . Обратный оператор Определение . . Пусть H1 и H2 —гильбертовы пространства, A ∈ B(H1), B ∈ B(H2). Операторы A и B называются унитарно экви- валентными, если найдётся такой унитарный оператор U : H2 → H1, что AU =UB. Это определение можно проиллюстрировать диаграммами: X A / / XH 1 A / / H1 Y S O O B / / Y S O O H2 U O O B / / H2 U O O .◦ . Доказать, что подобные операторы обратимы или необра- тимы одновременно. Доказать, что нормы уунитарно эквивалент- ных операторов совпадают. Привести пример подобных операторов с различной нормой. Пример . . Рассмотрим оператор дискретного дифференциро- вания (Ax)n = xn+1 − xn−1 2 в пространстве l p( ), где p ∈ [1, ∞). Имеет ли оператор A а) левый обратный; б) правый обратный? Решение. а) Рассмотрим векторы x n = 1 p 2n+1 n k=−n ek ,где{ek}k∈ — стандартный базис пространства l p ( ), и векторы y n := Axn . Заме- тим, что x n = 1иy n = 1 2p2n+1 (e−n−1 + e−n − en − en+1), отку- да Ax n →0. 1) Если теперь −1 Al — левый обратный оператор, то −1 Al : yn → x n, т. е . оператор разрывен в нуле, так что ограниченного левого обратного уоператора A нет. б) Покажем, что оператор A не сюръективен, откуда следует, что правого обратного уоператора A также нет. Рассмотрим вектор y= ∞ k=1 21−kek.Еслиx = (xn) — прообраз вектора y,тоx1 = x−1 = =x −3 = ...иx 0=x −2 =x −4 =..., а посколькуx∈lp( ),товсеэтико- ординаты равны нулю. Тогда x2 = 2, x4 = 2 + 2 4, x6=2+ 2 4+ 2 16 ,ит.д . , чтоневозможнодлявектораx ∈ l p . .. Пусть Ax = (λ1 x1, λ2 x2, ...) — оператор умножения на по- следовательность {λn} ∞ 1 ∈ l∞, действующий в пространстве а)X=lp,p∈[1,∞]; б)X=c0. Доказать, что A−1 существует тогда и только тогда, когда inf{|λn| : n ∈ ∈ } > 0. Найти A−1 иегонорму. 1) Такую последовательнос ть в ек торов назыв ают пос ледов ательностью Вейля, см. определение . ниже.
§ .. Теорема Банаха об обратном операторе. Примеры  .. Доказать, что оператор Ax = (0, x1 ,0, x2,0, x3 ,...) в про- странстве l2 не имеет правого обратного. Найти A−1 l . Доказать, что оператор Bx = (x1, x2 ,x4,x8 ,...) в пространстве l2 не имеет левого обратного. Найти B−1 r . Пример .. Пусть (Sa x )(t) = π −π x (s)a(t − s) ds — оператор свёрт- ки 1) в пространстве L2[−π, π]. Для каких функций a ∈ L2[−π, π]об- ратимы операторы Sa и I + Sa? Решение. Докажем, что при любой функции a образ оператора Sa состоит только из непрерывных функций. Отсюда будет следовать, что оператор Sa не сюръективен, а значит, не обратим. Зафиксиру- ем функцию x ∈ L2 = L2[−π, π] и докажем, что функция Sa x непре- рывна. Для произвольного >0 построим такую непрерывную функцию b,что a − b L2 </xL2 .ТогдафункцияSb x непрерывна и для любого t ∈ [0, π]имеем|(Sb x )(t) − (Sa x )(t)| x L2 b−a L2 <, т.е. Sax =lim →0 Sb x в пространстве C[−π, π]. Значит, и сама функ- ция Sa x непрерывна. Для исследования оператора I + Sa рассмотрим оператор U:L2[−π,π]→l2( ), Ux=(xn) ∞ −∞ , гдеxn= 1 2π π −π x (t)eint dt.Система en (t) = 1 2π e−int ∞ −∞ является ортонормированным базисом в пространстве L2[−π, π](см.зада- чу. б)). Тогда, в силутеоремы ., оператор U унитарен. Вычис- лим теперь (Sax,en) = 1 2π π −π π −π x (s)a(t − s)ds eint dt= = 1 2π π −π π−s − π−s a(ξ)einξdξ einsx (s) ds = 2π(a, en)xn (пределы интегрирования во внутреннем интеграле можно заме- нить на −π и π,посколькуифункцияa(ξ), и функция e inξ являются 2π-периодическими). Используя оператор U , это равенство можно записать так: USa x = TaUx, где оператор Ta действует в простран- стве l2( ), (Tax)n = λnxn,аλn = 2π(a, e n), n ∈ .Такимобразом, мы доказали, что оператор I + Sa унитарно эквивалентен операто- ру I + Ta . В силуутверждения задачи . обратимость оператора I + Sa равносильна обратимости оператора I + Ta .Используяза- 1) Предполагаетс я, что функция a ∈ L2 [−π, π] продолжена периодически на отре- зок [−2π,2π], т.е. a(−π +t)= a(π+t)дляt ∈[−π,π].
 Глава . Обратный оператор дачу., получим ответ: оператор I + Sa обратим тогда и только тогда, когда последовательность {(1 + 2π(a, en)) − 1}∞ −∞ ограниче- на. Поскольку(a, en) → 0(|n|→ ∞), последнее равносильно тому, что1+ 2π(a,en)=0длялюбогоn∈ . .◦ . Пусть X = C[0, 1], (Ax)(t) = a(t)x(t) — оператор умноже- ния на непрерывную функцию. Доказать, что этот оператор обра- тим тогда и только тогда, когда функция a не обращается в ноль на отрезке [0, 1]. Найти обратный оператор. .. Пусть X = L p[0, 1], p ∈ [1, ∞], (Ax)(t) = a(t)x(t)—опера- тор умножения на функцию a ∈ L∞[0, 1]. Доказать, что этот опера- тор обратим тогда и только тогда, когда ess inf t ∈[0,1] |a(t)| > 0(определе- ние ess inf см. в задаче .). Найти обратный оператор. .◦ . Рассмотрим в пространстве а)X=C[0,1]; б)X=Lp[0,1],p∈[1,∞], оператор взятия первообразной ( Ax)(t) = t 0 x(s) ds. Доказать, что у этого оператора нет ни левого, ни правого обратного оператора. . ◦ . ПустьA:C 1 [0, 1] → C[0, 1], (Ax)(t) = x (t). Доказать, что он не обратим. Найти правый обратный оператор. .. Доказать, что уоператора Харди ( Ax)(t) = 1 t t 0 x (s) ds впро- странстве L p[0, 1], p ∈ (1, ∞), нет ни левого, ни правого обратного оператора. .. НайтиобратныйоператордляоператораA в пространстве Lp[0,1], p ∈ [1, ∞]: а) (Ax)(t)= x(t)+ t 0 x (s) ds; б)◦ (Ax)(t) = x(t+a), еслиt+a 1, x(t+a−1),еслиt+a>1. .. Найти обратный оператор для оператора A в пространстве C[0,1]: (Ax)(t) = x(t)+ 1 0 e t+s x (s) ds. ..ПустьX⊂Y—банаховы пространства и · Y ≺ · X на X (тогда оператор J : X → Y , Jx = x , непрерывен, т. е. пространство X вложено в Y , см. определение .). При каких условиях на простран- ства X и Y оператор J имеет а) правый обратный; б) левый обрат- ный? .. Пусть φ(t) — непрерывная на [0, 1] функция, отображаю- щая отрезок [0, 1] в себя. При каких условиях на функцию φ опе-
§ .. Свойства обратимых операторов  ратор замены переменной ( Ax)(t) = x (φ(t)) в пространстве C[0, 1] имеет а) правый обратный; б) левый обратный? § . . Свойства обратимых операторов .◦ . Пусть X , Y и Z — банаховы пространства, а операторы A ∈ B( X , Y ), B ∈ B(Y , Z) имеют ограниченные обратные. Доказать, что BA также обратим. Что можно сказать о произведении обрати- мого и необратимого операторов? Что можно сказать о произведе- нии двух необратимых операторов? .. Пусть X , Y — банаховы пространства, A∈B(X,Y), B∈B(Y, X) и операторы AB и BA обратимы. Что можно утверждать об обрати- мости операторов A и B? .. Пусть A = A1A2...An (A, Ai ∈ B(X), где X —банахово про- странство). Доказать, что если все операторы Ai обратимы, то и A обратим. Доказать, что если операторы Ai, i = 1, 2, ..., n,ком- мутируют, то из обратимости A следует обратимость каждого из Ai . Как показывает следующая задача, множество IB( X , Y )является открытым в пространстве B( X , Y ). .. Пусть X — банахово пространство, C ∈ B( X )и C < 1. До- казать, что оператор I + C обратим и (I + C)−1 1 1−C . Получить явный вид для (I + C)−1 в виде сходящегося ряда из опе- раторов. .. Пусть X и Y — банаховы пространства, A —обратимый оператор,B ∈B(X,Y)и B <1/ A−1 . Доказать, что оператор A + B обратим и (A+ B)−1 A−1 1−A −1 · B . Получить явный вид для ( A + B)−1 ввидеряда. .. Пусть Tr :(x1, x2,...) → (0, x1, x2, ...) — оператор правого сдвига в пространстве l2. Доказать, что если A ∈ B(l2)—произволь- ный оператор с A < 1, то оператор Tr + A не обратим1) . Таким образом множество обратимых операторов не плотно в B(l2). .. Пусть H — гильбертово пространство. Доказать, что мно- жество операторов, для которых существует а) ограниченный правый обратный оператор; 1) Иными словами, оператор Tr лежит в множестве необратимых операторов с окрестнос тью радиуса 1.
 Глава . Обратный оператор б) ограниченный левый обратный оператор, всюдуплотно в B(H ). Пример .. Пусть A :(x1, x2 ,...) → (λ1x1, λ2 x2,...) —диагональ- ный оператор в пространстве l2 (здесь sup n∈ |λn| < ∞). Найти рассто- яние от оператора A до множества необратимых операторов в про- странстве B(l2) (это расстояние называют спектральным). Решение. Необходимо найти d = inf{ T : A + T /∈ IB(l2)}. Обо- значим c := inf n∈ |λn|.Еслиc = 0, то (см. задачу.) A необратим и d = 0. Пусть теперь c > 0. Если найдётся λn ,длякоторого|λn| = c, то положим T = −λnI .ТогдаKer(A + T) ⊃ en,т . е.оператор A + T необратим. При этом T = c.Еслидлявсехλn выполнено |λn| > c, то выберем подпоследовательность {λnk }∞ k=1 со свойством |λnk |↓c и рассмотрим операторы Tk = −λ nk I . Заметим, что операторы A + Tk необратимы, так как Ker( A + Tk ) ⊃ enk ,и Tk →c.Отсюдаследует неравенство d c. Докажем обратное неравенство. Легко видеть, что оператор A−1 есть оператор умножения на последовательность {λ−1 n }∞ 1 , а значит (см. задачу.), A −1 = 1/c. В силуутвержде- ния задачи . любой оператор вида A + T будет обратим, ес ли T <1/ A−1 < c,откудаd c.Итак,d = inf n∈ |λn|. .. Найти расстояние от оператора A ∈ B(L2[0, 1]) до множе- ства необратимых операторов, если а) (Ax)(t) = a(t)x(t), где a ∈ L∞[0, 1]; б)(Ax)(t)= x(1−t); в) (Ax)(t)= x(t)− 1 2 1 0 x (s) ds. .. Пусть X — нормированное пространство, A ∈ B( X )идля некоторых комплексных λ1, λ2 ,...,λn выполнено I + λ1 A + λ2 A 2 +... ... +λnA n = 0. Доказать, что A обратим. .. Пусть X — банахово пространство, A, B ∈ B( X ) и оператор I + AB обратим. Доказать, что оператор I + BA также обратим. .. Пусть X — нормированное пространство, A, B ∈ B( X )и AB+A+I=BA+A+I =0.Доказать, что операторAобратим. . ◦ . Пусть X — нормированное пространство, A ∈ IB( X ), B ∈ ∈ B(X)иAB = BA. Доказать, что A −1 B=BA −1 . .. Пусть X — нормированное пространство, A ∈ IB( X ). Опре- делимk:= A · A −1 — число обусловленности оператора A.Пред- положим, при решении уравнения Ax = y (здесь y задан и надо най- ти x ) найдено приближенное решение ̃x ,длякоторого A ̃x = ̃ y.До- казать оценкудля относительной погрешности 1 k ̃ y−y y x−̃ x x k ̃ y−y y .
§ .. Свойства обратимых операторов  Из задачи . следует, что обратимость оператора A влечёт оцен- куinf x=1 Ax > 0. Обратное утверждение в общем случае невер- но: необходимо дополнительно требовать сюръективность опера- тора A. .. Пусть X — банахово пространство, а Y — нормированное пространство; оператор A ∈ B(X, Y)и inf x X=1 Ax Y=c>0.Доказать, что образ Im A замкнут и A обратим как оператор из X вImA. . ◦ . Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ B(H ) — самосо - пряженный равномерно положительный оператор в H ,т.е .A cI, где c > 0. Доказать, что A обратим. .. Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ B(H ), inf x=1 Ax> > 0иKerA∗ = {0}. Доказать, что A обратим. Множество обратимых операторов открыто в пространстве опе- раторов (см. задачу.). Докажем, что оно не замкнуто. . ◦ . Привести пример таких банаховых пространств X , Y ита- кой последовательности обратимых операторов {An} ∞ 1 ∈ B(X,Y), An ⇒ A, что оператор A не обратим. .. Доказать, что если An ∈ B(X,Y), An ⇒ A,всеAn обратимы и An − 1 C ,то A также обратим. .◦ . Привести пример банахового пространств X и оператора A ∈ IB( X ), для которого найдётся последовательность таких необ- ратимых ограниченных операторов { An} ∞ 1 ,что An s →A. .. Пусть An s → A в B(X), причем () все An обратимы; () обратные операторы равномерно ограничены: A −1 n <C. Верно ли, что A обратим: а) на всем X ;б)наImA? .◦ . Пусть X и Y — банаховы пространства, A ∈ IB(X, Y ). Дока- зать, что оператор A также обратим и ( A )−1 = ( A−1) . Доказать, что если X и Y —гильбертовы пространства, A ∈ IB( X , Y ), то A∗ также обратим и (A∗) −1 = (A−1)∗ . .. Пусть X и Y — банаховы пространства, A ∈ B(X,Y), A ∈ ∈ IB(Y∗ ,X ∗ ). Доказать, что оператор A также обратим и A −1 = =π −1 X ((A )−1 )πY,гдеπX: X →X ∗∗ , πY:Y→Y ∗∗ —к анонические вложения. . ◦ . Пусть H — гильбертово пространство, A —обратимый са- мосопряжённый оператор. Доказать, что обратный оператор A−1 также самосопряжён. Доказать, что если самосопряжённый обрати- мыйоператорA 0,тоиA −1 0. .◦ . Пусть H — гильбертово пространство, A и B — самосопря- жённые операторы и I A B. Доказать, что операторы A и B обра- тимыиB −1 A−1 I.
Глава  Базисы § . . Полные и минимальные сис темы векторов Определение алгебраического базиса (базиса Гамеля) уже дава- лось (см. определение .) в главе . Там же мы отмечали, что он су- ществует в любом линейном пространстве, но в бесконечномерных банаховых пространствах несчётен, а потомуна практике применя- ется редко. В нормированных пространствах возникают гораздо бо- лееполезныесистемы. Определение .. Система { xα }α∈ A векторов нормированного пространства X называется тотальной,еслиLin{xα }α∈ A = X .Систе- ма называется полной, если единственный линейный непрерывный функционал, равный нулю на всех векторах системы, — это нуле- вой функционал. Система называется минимальной,еслиниодин из векторов системы не содержится в замыкании линейной оболоч- ки остальных векторов системы. Оказывается, что в нормированных пространствах понятие то- тальной и полной системы совпадают. В дальнейшем мы будем пользоваться термином «полная система», понимая под этим и пол- ноту, и тотальность. 1) Чаще всего на полнотуисследуются счётные системы. Нормированное пространство обладает счётной полной системой тогда и только тогда, когда оно сепарабельно. Приведём классические теоремы (К. Вейерштрасс, см. теоремы . и .) о полноте некоторых систем: система {t n} ∞ n=0 полна в пространстве C[0, 1]; система {e int }n∈ полна в пространстве Cper [0, 2π]. Определение . . Система функционалов { fk }∞ 1 пространства X ∗ называется биортогональной системе векторов { xk }∞ 1 нормиро- ванного пространства X ,если fn( xk ) = δn,k для любых n, k ∈ . 1) Именно в силу эквив алентнос ти двух этих понятий в различных учебниках да- ются различные определения — сис темы, названные з десь тотальными, иногда на- зывают полными, а иногда замкнутыми; сис темы, назв анные здесь полными, также иногда назыв ают замкнутыми, а иногда и тотальными.
§ .. Полные и минимальные системы векторов  Для полной минимальной системы векторов всегда существует единственная биортогональная система функционалов. Задачи . ◦ . Пусть X — нормированное пространство. Доказать, что оно сепарабельно тогда и только тогда, когда в X существует счёт- ная полная система. .. Доказать, что в любом бесконечномерном банаховом про- странстве существует линейно независимая система { xk }∞ 1 (т.е.ни один из векторов системы не является конечной линейной комби- нацией остальных), не являющаяся минимальной. Указание. Использовать задачу. и теорему.. . . Доказать, что система {xk }∞ k=1 векторов нормированного пространства X полна тогда и только тогда, когда она тотальна. .. Пусть {xk}∞ k=1 — система векторов нормированного про- странства X . Доказать, что она минимальна тогда и только тогда, когда для неё найдётся биортогональная система функционалов {fk}∞ k=1 . Доказать, что эти функционалы также образуют минималь- ную систему в пространстве X ∗ . .. Привести пример банахова пространства X и минималь- ной системы { fk}∞ k=1⊂X∗ , для которой не существует биортогональ- ной системы {xk}∞ k=1 . Доказать, что в рефлексивном пространстве такой пример невозможен. .. Пусть X — нормированное пространство. Доказать, что для любой конечной линейно независимой системы функциона- лов {fk}n k=1⊂X∗ существует биортогональная ей система векторов {xk}n k=1 ⊂ X (ср. с задачей .). Доказать, что для любой конечной линейно независимой системы векторов {xk }n k=1 ⊂ X существует биортогональная ей система функционалов { fk }n k=1⊂X∗ . .. Пусть {xk}∞ k=1 — полная минимальная система векторов нормированного пространства X . Доказать, что биортогональная система { fk}∞ k=1 (она существует согласно задаче .) единствен- на. Доказать, что в случае рефлексивного пространства X система {fk}∞ k=1 полна в X ∗ (согласно задаче . она минимальна). . ◦ . Пусть X и Y — нормированные пространства, оператор T ∈ B(X,Y)иImT = Y . Доказать, что полнота системы {xk}∞ 1вX влечёт полнотусистемы {Txk }∞ 1вY. . ◦ . Пусть система {xk}∞ 1 полна в нормированном простран- стве X икаждыйвектор xk есть конечная линейная комбина- ция векторов системы { yk}∞ 1 . Доказать, что система {yk}∞ 1 тоже полна.
 Глава . Базисы . ◦ . Пусть X и Y — нормированные пространства, T ∈ B( X , Y ) иinf x=1 Tx = c > 0. Доказать, что минимальность системы {xk}∞ 1вX влечёт минимальность системы {Txk }∞ 1вY. .. Привести пример банахова пространства X ,инъективного оператора T ∈ B( X ) и такой минимальной системы { xk }∞ 1 ⊂ X,что система {Txk }∞ 1 не является минимальной. Пример .. Выяснить, является ли система векторов {xn} ∞ 1 ,где xn= 1, 1 n+1 , 1 (n + 1)2 ,... ,полнойвпространствеl p , p ∈ [1, ∞). Яв- ляется ли эта система минимальной? Решение. Докажем полнотусистемы. Пусть функционал f ∈ ∗l p та- ков, что f(x1) = f(x2) = ... = 0. Поскольку ∗ lp = lq,где1/q + 1/p = 1, то f = fy для некоторого вектора y = ( y1, y2,...)∈ lq ,откуда f (xn) = = ∞ k=1 yk(n + 1)1−k = 0длявсехn = 1, 2, ... Рассмотрим функцию комплексного переменного w(z) = ∞ k=1 ykzk−1 .Таккакрядсходит- ся в круге |z| < 1, функция w голоморфна в этом круге. Имеем w (1/2) = w (1/3) = ... = 0, что по теореме единственности для голо- морфныхфункций влечётw≡0.Нотогдаw(0)=w (0)=w (0)= ... ... =0,чтоозначаетy1=y2=y3=...=0,т.е.функционалf=0,а значит, система {xn} ∞ 1 полна. Теперь докажем, что система не мини- мальна. Удалим из неё, например, вектор x1. Повторяя приведённое выше рассуждение, получим полноту новой системы. Но тогда век- тор x1 (как и любой другой вектор) лежит в замыкании линейной оболочки векторов новой системы, а стало быть, исходная система не минимальна. 1) . ◦ . Исследовать систему{en = (0,0,...,0,1 n ,0,0,...)}∞ 1 на пол- нотуи минимальность в пространствах а) lp, p ∈ [1, ∞); б) c0;в)c;г)l∞ . .. Для всякого λ с |λ| < 1 исследовать системувекторов x1=(1,λ,λ 2 ,λ 3 , λ4 ,... ) ; x2 = (0, 1, 2λ,3λ2 ,4 λ3 ,... ) ; x3=(0,0,2 ·1,(3·2)λ,(4·3)λ2 ,... ); x4=(0,0,0, 3 ·2 ·1, (4·3 ·2)λ,...); ... .... .... .... ... .... .... .... ... .... . 1) Таким образом, наша сис тема «переполнена». Более того, любая её подсистема либо содержит конечное число векторов и неполна, либо содержит бесконечное чис- ло век торов и не минимальна.
§ .. Полные и минимальные системы векторов  на полнотуи минимальность в пространствах а) lp , p ∈ [1, ∞); б) c0. .. Исследовать системувекторов { xn = (1,...,1 n ,0,0,...)}∞ 1на полнотуи минимальность в пространствах а) lp , p ∈ [1, ∞); б) c0 . .. Исследовать системы векторов а) {tn} ∞ n=0;б ) { t2n }∞ n=0;в ) { t2n+1 }∞ n=0; г) {eiπnt }n∈ ;д ) { c o s ( πnt)}∞ n=0;е ) { s i n ( πnt)}∞ n=1; ж) {teiπnt }n∈ ;з ){cos2(πnt/2)}∞ n=0 на полнотуи минимальность в пространствах L p[0, 1], p ∈ [1, ∞), и C[0, 1]. .. Пусть {αn} ∞ 1 — строго возрастающая последовательность положительных чисел со свойством αn → 1. Доказать, что система {tαn } ∞ n=1 полна а) в пространстве L2[0, 1]; б) в пространстве C[0, 1]. .* (Х. Мюнц, ). Система степеней {t nk } ∞ k=0 ,гдеn0<n1 <..., полна в пространстве C[0, 1] тогда и только тогда, когда n0 = 0и ∞ k=1 1 nk =∞. Указание. Воспользоваться теоремой В. Бляшке (): если функ- ция f (z) голоморфна и ограничена в круге |z| < 1, то последователь- ность {an} ∞ 1 её нулей удовлетворяет условию ∞ n=1 (1−|an|)<∞; а также теоремой: для любой последовательности {an } ∞ 1 точек круга |z| < 1,длякоторой ∞ n=1 (1 −|an|) < ∞, найдётся такая голоморфная и ограниченная функция f (z) ≡ 0,что f(an) = 0 для всех n. .. В пространстве C[0, 1] привести пример такой неполной системы векторов { xn} ∞ 1 , что для любой непрерывной функции x ∈ C[0,1] из равенств 1 0 x(t)xn(t)dt=0,n =1,2, ..., следуетx=0. .. Пусть X — банахово пространство, а система {en } ∞ 1 слабо полна в нём, т. е . для любого вектора x ∈ X существует последова- тельность {xk}∞ 1 ⊂ Lin{en} ∞ 1 ,слабосходящаясякx . Доказать, что то- гда система {en} ∞ 1 полна в X вобычномсмысле. Утверждение этой задачи можно эквивалентно сформулировать так: всякое слабо секвенциально сепарабельное банахово простран- ство сепарабельно в обычном смысле. .. Пусть {xn} ∞ 1 — полная и минимальная система в гильбер- товом пространстве H ,а{yn} ∞ 1 — биортогональная ей система. До- казать, что если x n = yn = 1длявсехn ∈ ,то{xn} ∞ 1 — ортонор- мированный базис в H .
 Глава . Базисы § . . Базисы Шаудера Полная система позволяет представить любой вектор простран- ства в виде предела конечных линейных комбинаций векторов си- стемы. Это на первый взгляд ценное свойство системы мало что да- ёт, посколькув общем случае нет никакого алгоритма поиска этих линейных комбинаций. Определение .. Система { xk }∞ 1 векторов нормированного пространства X называется базисом Шаудера, если любой вектор x ∈ X единственным образом раскладывается в ряд по векторам этой системы: x = ∞ k=1 fk(x)xk. Ниже в этом параграфе нормированное пространство X пред- полагается банаховым. Всякий базис Шаудера является полной си- стемой. Оказывается, коэффициенты разложения { fk}∞ 1 являются непрерывными линейными функциона лами на X .Отсюдаследу- ет, что система {xk}∞ 1 является минимальной, а система { fk }∞ 1— биортогональной ей (см. задачу.). Итак, любой базис Шаудера есть полная минимальная система. Обратное неверно (см. зада- чу. ниже). Не всякое сепарабельное банахово пространство обладает базисом Шаудера (см. теорему .), но все сепарабельные пространства из списка пространств таким базисом обладают. Определение . . Система { xk }∞ 1 векторов банахова простран- ства X называется безусловным базисом Шаудера,еслионаявляется базисом Шаудера и для любого x ∈ X ряд ∞ k=1 fk(x)xk сходится к x при любых перестановках слагаемых ряда. Задачи .*. Доказать линейность и непрерывность функционалов {fk}∞ 1 в определении .. Указание. Ввести пространство последовательностей F = { fx = = (f1(x), f2(x), ...) : x ∈ X} и доказать, что оно является банаховым пространством с нормой fx F := sup N∈ N k=1 fk(x)xk X . Рассмотреть оператор A : F → X , A( fx ) = x , и применить к немутеоремуБанаха об обратном операторе. . ◦ . В каких из пространств lp, p ∈ [1, ∞], c, c0 система {en = = (0,0,...,0,1 n ,0,0,...)}∞ n=1 является базисом Шаудера? . ◦ . Пусть система {en} ∞ 1 является базисом Шаудера в рефлек- сивном пространстве X и en < C, n = 1,2, ... Доказать, что en 0.
§ .. Базисы Шаудера  .. Привести пример такой линейно независимой системы {en} ∞ 1 в банаховом пространстве X , что любой вектор x ∈ X рас- кладывается в ряд x = ∞ n=1 cn en по этой системе, но для некоторых векторов такое разложение не единственно. .. Пусть система векторов { xk }∞ 1 полна и минимальна в ба- наховом пространстве X ,а{fk }∞ 1 — биортогональная ей система. Доказать, что система { xk }∞ 1 является базисом Шаудера тогда и толь- ко тогда, когда последовательность операторов {Lm} ∞ 1 ⊂ B(X), где Lmx = m k=1 fk(x)xk, ограничена (слабо, сильно или по норме — это одно и тоже, см. задачу.) в пространстве B(X). Определение . . Система { xk }∞ 1 векторов банахова простран- ства X называется равномерно минимальной, если существует C > 0 такое, что dist(xn, Lin{xk: k=n})>C xn для любого n∈ . Авторам неизвестно, всякое ли сепарабельное банахово про- странство обладает полной равномерно минимальной системой. .. Доказать, что в банаховом пространстве X полная и мини- мальная система {xk}∞ 1 с биортогональной системой { fk}∞ 1 является равномерно минимальной тогда и только тогда, когда sup k∈ xkX fkX∗<∞. .. Пусть система векторов { xk }∞ 1 банахова пространства X является базисом Шаудера в X . Доказать, что она равномерно ми- нимальна. Обратное утверждение неверно (см. задачи .—.). Пример .. Является ли система {e −nt }∞ 1 базисом Шаудера в пространстве C0[0, +∞), состоящем из непрерывных функций, для которых lim t→+∞ x(t)=0, с нормой x =max t0 |x(t)|? Решение. Пусть x = ∞ k=1 ake −kt , где ряд сходится в пространстве C0( ), т. е. равномерно на [0, ∞). Тогда ряд ∞ k=1 ak сходится, а значит, при всяком t ∈ (0, ∞) сходится формально продифференцирован- ный ряд − ∞ k=1 kak e−kt . Тогда (см. курс математического анализа) этот ряд сходится к функции x ,азначит,функция x дифференци- руемана(0,+∞). Это означает, что система {e −nt }∞ 1 не является базисом Шаудера. . ◦ . Доказать, что система {t n } ∞ 0 не является базисом Шаудера ни в одном из пространств C[0,1] или Lp[0,1], p ∈ [1, ∞].
 Глава . Базисы .. Доказать, что система {e int }∞ −∞ не является базисом Шауде- ра в пространстве Cper [0, 2π]. Указание. Использовать задачи . и .. .. Пусть система векторов { xk }∞ 1 полна и минимальна в ба- наховом пространстве X ,а{fk }∞ 1 — биортогональная система. Дока- зать, что если {fk}∞ 1 есть базис Шаудера в X ∗ ,тосистема{xk }∞ 1 явля- ется базисом Шаудера в пространстве X . Привести пример такого базиса Шаудера {xk }∞ 1 в банаховом пространстве X , что биортого- нальная система { fk}∞ 1 не образует базис Шаудера в X ∗ . .. Пусть система векторов {xk }∞ 1 является базисом Шаудера в банаховом пространстве X ,а{fk }∞ 1 — биортогональная система. В пространстве X ∗ положим Y = Lin{ fk}∞ 1 . Доказать, что система {fk}∞ 1 является базисом Шаудера в пространстве Y . Доказать, что для рефлексивного пространства X справедливо равенство Y = X ∗ . . ◦ . Пусть {xk}∞ 1 — базис Шаудера в банаховом простран- стве X,а yk = Txk,гдеT ∈ B(X,Y). Доказать, что система {yk}∞ 1 является базисом Шаудера в Y тогда и только тогда, когда опера- тор T обратим. В пространстве C[0, 1] ни система многочленов {t n} ∞ n=0 (см. за- дачу.), ни система тригонометрических многочленов {1, cos(2πnt), sin(2πnt)}∞ n=1 (см. задачу.) не являются базисами Шаудера. .*. Система {φk }∞ 0 Фабера—Шаудера функций на [0, 1] опре- деляется равенствамиφ0(x)=1, φ1(x)= x , φk(x)=2 χk L∞ x 0 χk (t) dt, при k 2, где {χk}∞ 1 — система Хаара (см. задачу.). Доказать, что система Фабера—Шаудера является базисом Шаудера в C[0, 1]. Указание. ) Доказать, что если ряд ∞ n=0 Anφn(t)сходитсявкаж- дой точке отрезка [0, 1] к конечной функции f ,то A0 = f (0), A1 = = f(1)− f(0), An = S2k+1 2i−1 2k+1 − S2k 2i−1 2k+1 =f 2i−1 2k+1 − 1 2 f i−1 2k +f i 2k , гдеn=2k+i,k =0,1,..., i =1,2,...,2k,SN(t)= N n=0 Anφ n(t). ) Доказать, что подпространство Lin{φ j }n j =0 имеет размерность n + 1 и совпадает с подпространством непрерывных функций, ли- нейных на отрезках s−1 2k+1 , s 2k+1 , s=1,2,...,2i,и r−1 2k, r 2k,r= = i+1,i+2,...,2k.
§ .. Базисы Шаудера  ) Доказать, что функция Sn(t), где коэффициенты An определе- ны равенствами пункта , совпадает с функцией f (t) в точках s 2k, s=0,1,...,2k,и 2r−1 2k+1 ,r=1,2,...,i. .. Доказать, что система Фабера—Шаудера не является ми- нимальной в пространствах L p[0, 1], p ∈ [1, ∞). .. Построить базис Шаудера в пространстве C n[0, 1], n ∈ . .*. Доказать, что система Хаара является базисом Шаудера в пространствах Lp[0, 1], p ∈ [1, ∞). .*. Доказать, что система {e int }∞ −∞ является базисом Шаудера в пространствах L p[0, 2π], p ∈ (1, ∞). .. Доказать, что система {e int }∞ −∞ не является базисом Шауде- ра в пространстве L1[0, 2π] (см. также задачу.). Доказать, что система {sin(nt)}∞ 1 не является базисом Шаудера в пространствах L1[0, π]и ◦ CC[0,π]={x ∈C[0,π]: x(0)= x(π)=0}. .. Доказать, что система {eint }∞ −∞ полна и равномерно ми- нимальна в пространствах L p[0, 2π], p ∈ [1, ∞), и в пространстве Cper[0, 2π]. .. Доказать, что система {sin(nt)}∞ 1 полна и равномерно ми- нимальна в пространствах L p[0, π], p ∈ [1, ∞), и в пространстве Cper[0, π]. .. Пусть {xn} ∞ 1 — полная минимальная система в банаховом пространстве X ,а{fn} ∞ 1 — биортогональная система. Для произ- вольного N ∈ и любого набора = { n} N n=1 с n = ±1положим BN,x= N n=1 n fn(x)xn. Доказать, что система {xn } ∞ 1 является безусловным базисом Шауде- ра (см. определение .) тогда и только тогда, когда множество опе- раторов {BN , } ограничено (слабо, сильно или по норме — это одно итоже,см.задачу.)впространствеB( X ). Отметим, что в пространствах L p[0, 1], p ∈ (1, 2) ∪ (2, ∞), не су- ществует безусловного базиса Шаудера, ограниченного по норме L∞[0, 1] и ортонормированного относительно скалярного произве- дения (x, y)= 1 0 x (t) y(t)dt. В пространствах L1[0, 1] и C[0, 1] безусловных базисов Шаудера нет. Как уже отмечалось (см. задачу .), в банаховых простран- ствах сходимость ряда следует из его абсолютной сходимости.
 Глава . Базисы Определение .. Сходящийся ряд ∞ k=1 xk в нормированном про- странстве X называется безусловно сходящимся,еслионсходится при любой перестановке его слагаемых. .. Доказать, что если ряд в нормированном пространстве сходится безусловно, то все его перестановки имеют однуи туже сумму. .◦ . Пусть H — гильбертово пространство. Рассмотрим фор- мальный ряд ∞ n=1 xn, где система {xn} ∞ 1 ортогональна. Доказать, что если ряд сходится, то он сходится безусловно. .. Доказать, что в конечномерном нормированном про- странстве ряд сходится безусловно тогда и только тогда, когда он сходится абсолютно. .◦ . Привести пример ряда в гильбертовом пространстве, схо- дящегося безусловно, но не абсолютно. .*. Привести пример ряда, сходящегося безусловно, но не аб- солютно, в пространствах: а) L1[0, 1]; б) l1. Те ор е м а  .  (А. Дворецкий, К. А . Роджерс, ). Влюбомбес- конечномерном банаховом пространстве существует ряд, который сходится безусловно, но не абсолютно. Напомним теоремуРимана о перестановках ряда вещественных чисел: если ряд ∞ n=1 xn условно сходится, то, переставляя члены ря- да, можно получить ряд, сходящийся ко всякому наперёд заданному s ∈ . Теорема Римана обобщается на произвольное конечномерное нормированное пространство X : множество сумм условно сходяще- гося ряда ∞ n=1 xn , получаемое в результате всевозможных его переста- новок, представляет собой аффинное подпространство в X (П. Леви, ; Е. Штейниц, ). Следующая задача показывает, что в беско- нечномерных банаховых пространствах такая теорема, вообще го- воря, неверна. .. Привести пример ряда в L2[0, 1], который при некоторой перестановке своих членов сходится к x (t) ≡ 0, при другой переста- новке — к x (t) ≡ 1, но ни при какой перестановке не может сойтись к x(t)≡1/2. Сдругойстороны,известно,чтоесличисловойрядсходитсяаб- солютно, то его сумма не зависит от перестановки слагаемых ряда. Это утверждение сохраняется и в банаховых пространствах. .. Доказать, что сумма абсолютно сходящегося ряда в бана- ховом пространстве не зависит от перестановки членов ряда.
§ .. Базисы в гильбертовых пространствах  .. Пусть ряд ∞ k=1 xk в банаховом пространстве сходится по Че- заро, т. е. существует lim n→∞ S1+S2+...+Sn n (где Sn = n k=1 xk ). Доказать, чтоесли xn =o 1 n ,торядсходитсяпонорме. . ◦ . Пусть {en} ∞ 1 — нормированный базис Шаудера ( en = 1) в банаховом пространстве X . Определим оператор A на базисе по правилу Aen = λnen , n ∈ ,где{λn} ∞ 1 — ограниченная последова- тельность комплексных чисел. Доказать, что A единственным обра- зом продолжается до линейного ограниченного оператора ˆA на всё пространство X . .. Пусть X и Y — нормированные пространства, и A —ли - нейный ограниченный и ограниченно обратимый оператор из X в Y . Доказать, что A сохраняет следующие свойства систем век- торов: линейную независимость, линейную зависимость, мини- мальность, равномерную минимальность, полноту, базисность, без- условную базисность. . (М.Г .Крейн, Д.П .Мильман, М.А .Рутман, ). Пусть {xn} ∞ 1 — базис Шаудера в банаховом пространстве X , x n = 1и sup n∈ Pn = C,гдеPnx = n k=1 ck xk — частичная сумма разложения век- тора x .Пустьсистема{yn} ∞ 1 векторов в X обладает свойством ∞ k=1 xk − yk < C/2. Доказать, что {yn} ∞ 1 также есть базис Шауде- равX. § . . Базисы в гильбертовых прос транс твах Для случая гильбертовых пространств мы уже вводили понятия тотальности, полноты и базисности системы векторов в § .. Там же сформулирована теорема ., согласно которой для ортонор- мированных систем эти понятия эквивалентны. Таким образом, в сепарабельных гильбертовых пространствах, в отличие от произ- вольных банаховых пространств, существуют системы, обладающие «наилучшими» базисными свойствами, — ортонормированные си- стемы. Здесь мы изучим системы, «близкие» к ортонормированным. Определение . . Система { xk }∞ 1 векторов гильбертова про- странства H называется базисом Рисса, если найдутся ортонорми- рованный базис {ek }∞ 1 и обратимый линейный оператор A ∈ B(H ), длякоторых xk=Aek,k =1,2, ...
 Глава . Базисы Теорема . . Пусть {xk}∞ 1 — система векторов гильбертова пространства H . Тогда следующие условия эквивалентны: () система {xk}∞ 1 является базисом Рисса; () существует новое скалярное произведение 〈 x , y〉,эквивалент- ное стандартному (т. е. нормы 〈x, x〉 и (x, x) эквивалентны) и такое, что система {xk }∞ 1 является ортонормированным базисом пространства H относительно нового скалярного произведения; () система {xk}∞ 1 полна и обладает свойством Бесселя:суще- ствуют такие константы γ1, γ2 > 0,чтодлялюбогоn∈ идля любых комплексных чисел {ck }n 1 выполнено γ1 n k=1 |ck |2 ∞ k=1 ck xk 2 γ2 n k=1 |ck|2; () система {xk}∞ 1 полна и минимальна и существуют такие константы γ1, γ2 > 0,чтодлялюбого x∈ H выполнено γ1x2 ∞ k=1 |(x, xk)|2 γ2 x 2 ; () (Н. К . Бари, ) система {xk } полна и минимальна в H (то- гда для неё существует единственная биортогональная система { yk }) и для любого x ∈ H справедливы неравенства ∞ k=1 |(x, yk)|2 < ∞ и ∞ k=1 |(x, xk)|2 < ∞; () (Н. К. Бари, ) система { xk }∞ 1 полна и её матрица Грама ((xi, xj))∞ i, j =1 порождает в пространстве l2 ограниченный и обрати- мый оператор; () система {xk } является безусловным базисом Шаудера и по- чти нормирована, т. е . существуют такие константы γ1, γ2 > 0, что справедливы неравенства γ1 xk γ2,k=1,2, ... Вслучае,когдаконстантыγ1 и γ2 в пункте () этой теоремы рав- ны 1, система превращается в ортонормированный базис (см. тео - рему.). . ◦ . Доказать, что любая ортонормированная система векто- ров гильбертова пространства равномерно минимальна. .*. Доказать теорему. . . ◦ . Пусть система {xn} ∞ 1 образует базис Рисса в гильбертовом пространстве H . Доказать, что биортогональная ей система также является базисом Рисса. Пример .. В пространстве L2[0, π] рассмотрим систему ek(t)= 2 π sin(kt) + yk(t)cos(kt) ,
§ .. Базисы в гильбертовых пространствах  где функции yk лежат в W 1 2[0,π]и yk W1 2 C,C< 2 π+π . Доказать, что система {ek }∞ 1 образует базис Рисса в L2[0, π]. Решение. Определим оператор T на Lin{sin(kt)}∞ 1 ⊂ L2[0, π]ра- венствами T : 2 π sin(kt) → ek (t). Покажем, что этот оператор огра- ничен. Прежде всего, Tx−x= ∞ k=1 xk yk (t)cos(kt), где xk= 2 π π 0 x (t)sin(kt) dt. Обозначим zk(t):= yk(t) ∈ L2[0, π]. Тогда yk(t) = yk(0) + t 0 zk(s) ds. Отсюда Tx−x= ∞ k=1 xk yk(0) cos(kt) + ∞ k=1 cos(kt) t 0 xk zk(s) ds, атаккак| yk (0)| C,получаем ∞ k=1 xk yk (0) cos(kt) 2 πC2 2 ∞ k=1 |xk|2 πC2 2 x 2 . Пусть теперь w ∈ L2[0, π] — произвольная функция. Тогда ∞ k=1 cos(kt) t 0 xk zk(s) ds, w(t) 2 ∞ k=1 |xk|2 · ∞ k=1 π 0 cos(kt) t 0 zk(s) ds w(t) dt 2 x 2 L2 ∞ k=1 π 0 zk(s) π s w(t)cos(kt) dt ds 2 x 2 L2 ∞ k=1 π 0 |zk(s)|2 ds · π 0 π s w (t)cos(kt) dt 2 ds C2x2 L2 π 0 ∞ k=1 π s w (t)cos(kt) dt 2 ds= = π 2 C2x2 L2 π 0 w(t)χ[s,π](t) 2 L2 ds π2 2 C2x2 L2 w2 L2 .
 Глава . Базисы Отсюда следует оценка Tx − x π 2 + π 2 C x ,азначит,опе- ратор T ограничен и однозначно продолжается на Lin{sin(kt)}∞ 1= = L2[0, π] до ограниченного оператора. Обратимость оператора T следует из задачи ., поскольку T − I < 1. .. Доказать, что система {sin 2 (nt)}∞ 1 не образует базис Рисса в пространстве L2[0, π/2]. .. Доказать, что система {sin 2 (nt)}∞ 1 ∪ {1} образует базис Рисса в пространстве L2[0, π/2]. .. Доказать, что система {sin(2nt), t cos(2nt)}∞ 0 образует ба- зис Рисса в пространстве L2[0, π]. .* (М. И. Кадец, ). Пусть {λn} ∞ 1 — последовательность вещественных чисел со свойством |λn − n| < 1/4 для любого n ∈ . Доказать, что система {eint }n∈ является базисом Рисса в простран- стве L2[0, π]. Указание. Доказать, что оператор A : eint →e iλnt , определённый на Lin{e int }n∈ ,имеетвидA=I+T,где T <1. .* (К. И. Бабенко, ). Доказать, что система {|t|α ei πnt }∞ −∞ является базисом Шаудера, но не является базисом Рисса в про- странстве L2[−1, 1], если |α| < 1/2, α = 0. .. Доказать, что система многочленов Чебышёва Tn(t) = = cos(n arccos t), n = 0, 1, ..., не образует базис Рисса в пространстве L2[−1, 1]. .. Пусть p(t) 0 — суммируемая на отрезке [0, 1] функция. В гильбертовом пространстве L2([0, 1], p(t)dt) рассмотрим произ- вольный ортогональный базис {en} ∞ 1 . Доказать, что эта система об- разует базис Рисса в пространстве L2[0, 1] (с обычной мерой Лебега) тогда и только тогда, когда ess sup t ∈[0,1] p(t) < ∞иessinf t ∈[0,1] p(t) > 0. .◦ . Пусть {xn} ∞ 1 — базис Рисса в пространстве L2(M1, μ1), {yn} ∞ 1 — базис Рисса в пространстве L2(M2, μ2). Доказать, что систе- ма{xn·ym} ∞ m,n=1 образует базис Рисса в L2(M1 × M2, μ1 × μ2)(ср.с задачей .). В задаче . утверждалось, что ортонормированная система, квадратично близкая к ортонормированному базису (такие систе- мы называют ещё базисами Бари), сама является базисом. Следую- щая задача — вариант того же утверждения для, воообще говоря, не ортогональных систем (см. также задачу.). . . Пусть {en } ∞ 1 — ортонормированный базис в гильбертовом пространстве H .Пусть{xn} ∞ 1 — система векторов в H ,длякоторой ∞ n=1 xn−en 2 < 1. Доказать, что система {xn} ∞ 1 является базисом Рисса.
Глава  Компактные операторы и теория Фредгольма § .. Общие свойства компактных операторов Определение .. Пусть X , Y — нормированные пространства. Оператор A ∈ B( X , Y ) называется компактным, если для любого ограниченного множества M ⊂ X его образ A(M )являетсяпред- компактным множеством в Y . Часто в определении компактного оператора множество M заме- няют на единичный шар B(0, 1) пространства X . При этом получа- ется эквивалентное определение. Множество всех компактных операторов из пространства X в пространство Y образует замкнутое линейное подпространство в B(X,Y), которое мы будем обозначать через K(X,Y). При X =Y это множество обозначается через K( X ). В этом случае K( X )образует двусторонний замкнутый идеал в кольце ограниченных операто- ров B( X ), т. е . K( X )естьподпространствоB( X ), замкнутое относи- тельно операций A → AB и A → BA,гдеB ∈ B( X )—произвольный оператор. Класс компактных операторов включает в себя класс ко- нечномерных операторов (см. определение .). Теорема . (Ю.Шаудер, ). Пусть X и Y — банаховы про- странства. Оператор A ∈ B( X , Y ) компактентогдаитолькото- гда, когда A ∈K(Y∗ ,X ∗ ). Задачи . ◦ . Доказать, что оператор A ∈ B( X , Y )являетсякомпактным тогда и только тогда, когда образ единичного шара в X является предкомпактным множеством в Y . . ◦ . Доказать, что конечная линейная комбинация компактных операторов есть компактный оператор. . ◦ . Доказать, что композиция компактного и ограниченного операторов (в любом порядке) есть компактный оператор. .. Доказать, что если { An} ∞ 1 — компактные операторы и An ⇒ ⇒ A,то A — тоже компактный оператор.
 Глава . Компактные операторы и теория Фредгольма .* (Дж. Калкин, ). Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство. Доказать, что единственным нетривиальным соб- ственным замкнутым двусторонним идеалом в B(H )является K(H). Указание. ) Доказать, что если идеал содержит хотя бы один ненулевой оператор, то он содержит все операторы конечного ран- га. ) Доказать, что если идеал содержит хотя бы один некомпакт- ный оператор, то он содержит ортопроектор на бесконечномерное подпространство. .. Пусть X и Y — банаховы пространства, A ∈ K(X, Y). Дока- зать, что A может иметь правый обратный оператор только в случае dim Y < ∞. Доказать, что A может иметь левый обратный оператор только в случае dim X < ∞. Из последней задачи следует, что компактный оператор в беско- нечномерном пространстве не имеет ограниченного обратного. . ◦ . Привести пример последовательности таких компактных операторов { An} ∞ 1 в банаховом пространстве X ,что An s → A∈B(X), но A — не компактный оператор. . ◦ . Пусть X и Y — нормированные пространства, A ∈ B(X, Y). Доказать, что если dim(Im A) < ∞, то A компактен. .. Пусть X — банахово пространство, A∈K(X,Y), а Y0⊂Im A — замкнутое подпространство. Доказать, что dim Y0 < ∞. Утверждение этой задачи иногда помогает при доказательстве некомпактности оператора: образ компактного оператора не может содержать бесконечномерного замкнутого подпространства. . . Привести пример таких банаховых пространств X и Y и такого некомпактного оператора A ∈ B( X , Y ), что Im A не содержит бесконечномерных замкнутых подпространств. Указание. См. задачу.. . ◦ . Пусть A ∈ B(X), где X — банахово пространство, и Im A = = X . Может ли оператор A быть компактным? .. Пусть X и Y —банаховы пространства, A ∈ K(X,Y), B ∈ ∈ B(X,Y)иImB ⊂ImA. Доказать, что B ∈K(X,Y). . . Пусть X и Y — нормированные пространства, оператор A ∈ K( X , Y ). Доказать, что пространство (Im A, · Y ) сепарабель- но. .. Пусть X — банахово пространство. Доказать, что тожде- ственный оператор в нём компактен тогда и только тогда, когда X конечномерно. .. Доказать, что оператор проектирования в банаховом про- странстве компактен тогда и только тогда, когда он конечноме- рен.
§ . . Общие свойства компактных операторов  .. Пусть X — рефлексивное банахово пространство, X ∗ сепа- рабельно и A ∈ K( X ). Доказать, что образ замкнутого единичного шара A(̄̄B(0, 1)) есть компактное множество.1) .. Пусть X — банахово пространство. Доказать, что если для всякого оператора A ∈ K( X ) образ замкнутого единичного шара A(̄̄B(0, 1)) есть компактное множество, то пространство X рефлек- сивно. . ◦ . Верно ли, что если в бесконечномерном нормированном пространстве A2 = 0, то оператор A компактен? .. Пусть X — бесконечномерное банахово пространство, опе- ратор A ∈ K(X), а многочлен P(z) = anz n +an−1z n−1 + ... + a0.Дока- зать, что если a0 = 0, то и P( A) = 0. Для произвольного многочлена P(z) с коэффициентом a0 = 0 привести пример компактного опера- тора A,длякоторогоP( A) = 0. . ◦ . Доказать, что подобные операторы (см. определение .) либо оба компактны, либо оба не компактны. .. Доказать, что компактный оператор переводит всякую слабо сходящуюся последовательность в последовательность, схо- дящуюся по норме. Это свойство компактного оператора часто используется в зада- чах. В рефлексивных пространствах это свойство является критери- ем компактности оператора. .. Доказать, что оператор в рефлексивном пространстве, пе- реводящий всякую слабо сходящуюся последовательность в после- довательность, сходящуюся по норме, является компактным. При- вести пример оператора в нерефлексивном пространстве, перево- дящего всякую слабо сходящуюся последовательность в последо- вательность, сходящуюся по норме, и не являющегося компакт- ным. . ◦ . Пусть X и Y — банаховы пространства, A ∈ K(X, Y ), после- довательность xn x в X , последовательность fn ∗ fвY∗ . Доказать, что fn(Axn) → f(Ax). .. Пусть X и Y — банаховы пространства, причём Y сепара- бельно. Пусть A ∈ B( X , Y ), а оператор A переводит всякую ∗-слабо сходящуюся в Y ∗ последовательность в сходящуюся по норме после- довательность в X ∗ . Доказать, что A компактен. .. Пусть банахово пространство X рефлексивно, а X ∗ сепара- бельно. Доказать, что любой компактный оператор A ∈ K( X )дости- 1) Утверждение задачи остаётс я справедливым и без ус ловия сепарабельнос ти сопряжённого прос транства (для доказательс тв а необходимо использов ать теоре- му.).
 Глава . Компактные операторы и теория Фредгольма гает своей нормы на замкнутом единичном шаре 1) . Привести при- мер компактного оператора в нерефлексивном пространстве, не до- стигающего своей нормы на замкнутом единичном шаре. Указание. Использовать задачи . и .. Определение . . Пусть X и Y — банаховы пространства. Опе- ратор A ∈ B( X , Y ) называется ядерным или оператором со сле- дом ( A ∈ Sp( X , Y )), если существуют такие одномерные операторы Ak∈B(X,Y),чтоA= ∞ k=1 Ak , где ряд сходится абсолютно в простран- стве B(X,Y). .. Доказать, что Sp( X , Y ) — (вообще говоря, незамкнутое) линейное подпространство в K( X , Y ). Доказать, что dim Sp( X , Y ) = =∞, еслиdimX=∞илиdimY=∞. .. На линейном пространстве Sp( X , Y ) введем норму A Sp(X,Y) =inf ∞ k=1 Ak, где точная нижняя грань берётся по всем представлениям опера- тора A в виде суммы абсолютно сходящегося ряда A = ∞ k=1 Ak одно- мерных операторов. Доказать, что эта функция удовлетворяет акси- омам нормы. Доказать оценку A B( X ,Y ) A Sp(X,Y). Доказать, что пространство Sp( X , Y ) банахово относительно введённой нормы. Определение . . Говорят, что пространство X обладает свой- ством аппроксимации, если для любого банахова пространства Y и для любого компактного оператора A ∈ K(Y , X )найдётсяпосле- довательность конечномерных операторов { An} ∞ 1 ,сходящаясяк A по норме B(Y , X ), т. е . замыкание подпространства конечномерных операторов по норме в B(Y , X )совпадаетсK(Y , X ). .. Доказать, что любое банахово пространство, в котором есть счётный базис Шаудера, обладает свойством аппроксимации. Доказать, что любое (не обязательно сепарабельное) гильбертово пространство обладает свойством аппроксимации. Те ор е м а  .  (П. Энфло, ). Существуют сепарабельные бана- ховы пространства, не обладающие свойством аппроксимации. Эти пространства не имеют базиса Шаудера. .◦ . Пусть в банаховом пространстве X существует базис Ша- удера. Доказать, что замыкание подпространства конечномерных 1) Утверждение задачи остаётс я справедливым и без ус ловия сепарабельнос ти сопряжённого прос транства (для доказательс тв а необходимо использов ать теоре- му.).
§ .. Компактные операторы в конкретных пространствах  операторов в смысле сильной операторной сходимости в B( X )сов- падает с B(X). § .. Компактные операторы в конкретных прос транс твах При доказательстве компактности (некомпактности) различных конкретных операторов используют критерии компактности мно- жеств (см. список этих критериев в § .) и результаты о компакт- ном вложении пространств (см. задачи ., .). . ◦ . При каких λ ∈ l∞ оператор Ax = (λ1x1,...,λn xn,...) являет- ся компактным оператором в l p (1 p < ∞)? При каких условиях на последовательность λ этот оператор является ядерным? .. При каких a ∈ L∞[a, b]оператор(Ax)(t) = a(t) x(t)является компактным оператором в L p[0, 1], p ∈ [1, ∞]? При каких a ∈ C[0, 1] оператор ( Ax)(t) = a(t) x(t)компактен вC[0, 1]? .. Доказать, что любой ограниченный оператор, действу- ющий из рефлексивного пространства в пространство l1,явля - ется компактным. В частности, если A ∈ B(lp , l1), 1 < p < ∞, то A ∈ K(lp, l1). . . Доказать, что любой ограниченный оператор, действую- щий из пространства c0 в рефлексивное пространство, является компактным. .. Пусть A ∈ B(L2[0, 1]) и Im A ⊂ C[0, 1]. Доказать, что A ∈ ∈ K(L2[0, 1]) (ср. с задачей .). Указание. Использовать задачу.. . ◦ . Доказать, что операторы правого и левого сдвига в любом из пространств l p , p ∈ [1, ∞], c или c0 не компактны. Пример .. Доказать, что оператор интегрирования ( Ax)(t) = = t 0 x (s) ds компактен в пространстве C n [0,1], n =0,1, ... Решение. Заметим, что оператор (Bx)(t) = t 0 x(s)dsиз C n [0,1]в C n+1 [0, 1] ограничен (см. задачу.), а оператор вложения Jx = x из C n+1[0, 1] в C n[0, 1] компактен (см. задачу.). Поскольку A = JB, для доказательства компактности оператора A остаётся вос- пользоваться утверждением задачи .. .. Доказать, что если K ∈ C([a, b]2), то интегральный опера- тор A: Lp[a,b] → Lr[a,b], (Ax)(t) = b a K(t, s)x(s) ds, компактен при любыхp,r∈[1,∞).
 Глава . Компактные операторы и теория Фредгольма .. Доказать, что если K ∈ Lq ([a, b]2), то интегральный опера- тор A: Lp[a,b]→Lq[a,b], 1 p+ 1 q=1,q<∞, (Ax)(t)= b a K(t, s)x(s) ds, является компактным. .. Доказать, что если функция K(t , s) непрерывна на квад- рате [a, b]2 за исключением конечного числа непрерывных кри- вых вида s = sk(t), k = 1, ..., n, t ∈ [a, b], то интегральный оператор A: C[a,b]→C[a,b],(Ax)(t)= b a K(t , s) x (s) ds,являетсякомпактным. .◦ . Доказать, что не является компактным оператор диффе- ренцирования Ax = x , действующий: а) из C1[0,1] в C[0,1]; б)из W1 2 [0,1] в L2[0,1]. .◦ . Доказать, что оператор сдвига ( Ax)(t) = x (t − a)неком- пактен в пространствах: а)Lp( ),p∈[1,∞]; б)C0( ); в)BC( ). .. С помощью задачи . доказать, что оператор Харди (Ax)(t) = 1 t t 0 x(s)ds в пространстве L p[0, 1], p ∈ (1, ∞), не компактен. .. а) Доказать, что любой интегральный оператор (Tx)(t) = = 1 0 K (t, s) x(s) ds в пространстве L1[0, 1] с измеримым ядром, удо- влетворяющим условию sup s∈[0,1] 1 0 |K(t, s)| dt < ∞, компактен. б)* Доказать, что всякий компактный оператор T в пространстве L1[0, 1] может быть записан в таком виде. .. Привести пример некомпактного ограниченного опера- тора A в пространстве L p[0, 1], p ∈ (1, ∞), и последовательности {xn} ∞ 1 ⊂ Lp[0, 1] со свойствами () xn 0; () xn Lp = 1длявсехn ∈ ; () Axn Lp → 0 (ср. с задачей .). .. Пусть X — одно из пространств: lp, p ∈ (1, ∞), c или c0 . Пусть A ∈ K(X), а {en = (0,0,...,0,1 n ,0,0,...)}∞ n=1 . Доказать, что Aen → → 0. Привести пример такого компактного оператора A в простран- стве l1,что Aen → 0. .. Доказать, что оператор A вида Ax= x1, x1+x2 2 , x1+x2+x3 3 ,...
§ . . Компактные операторы в гильбертовых пространствах  в пространствах l p , p ∈ (1, ∞), c и c0 ограничен, не компактен, но Aen →0. . ◦ . Является ли компактным в пространстве C[−1, 1] опера- тор (Ax)(t) = 1 2 (x(t) + x(−t))? .. Пусть φ(t) — непрерывное отображение отрезка [0, 1] в себя. Доказать, что оператор композиции A ∈ B(C[0, 1]), ( Ax)(t) = = x (φ(t)) является компактным в C[0, 1] тогда и только тогда, когда φ(t) ≡ const. .* (Теорема И. К. Даугавета, ). Доказать, что для вся- кого компактного оператора A в C[0, 1] имеет место равенство A+λI = A +|λ|(λ∈ ). § . . Компактные операторы в гильбертовых прос транс твах .. Пусть в гильбертовом пространстве H оператор A∗ A ком- пактен. Доказать, что оператор A компактен. Утверждение следующей задачи легко следует из теоремы . и утверждения задачи ., но его полезно доказать и независимо. .. Доказать, что в гильбертовом пространстве оператор A компактен тогда и только тогда, когда A∗ компактен. .. Пусть A — самосопряжённый неотрицательный оператор в гильбертовом пространстве H . Доказать, что A компактен тогда и только тогда, когда A компактен. .. Пусть A, B и C — самосопряжённые операторы в гильбер- товом пространстве, B A C ,причёмB и C компактны. Доказать, что A также компактен. .. При каких значениях параметра r оператор Харди A: L2[0,1] → L2[0,1], (Ax)(t) = t r−1 t 0 x(s) sr ds (см. задачу.), является компактным? .. Доказать, что если A ∈ K(H), а {en} ∞ n=1 — ортонормирован- ный базис пространства H ,то Aen →0. Обратное утверждение к утверждению предыдущей задачи см. в задаче . . Пример такого некомпактного оператора A,что Aen → → 0 для некоторого ортонормированного базиса, см. в задаче .. .. Доказать компактность оператора A : l2 → l2 , (Ax)k = +∞ n=1 akn x n,г д е +∞ k=1 +∞ n=1 |akn| 2 <∞.
 Глава . Компактные операторы и теория Фредгольма Является ли оператор A компактным в l2 при условии lim i→∞ +∞ j=1 |aij |2 = =0? .*. Является ли компактным в пространстве l2 оператор Гиль- берта (см. задачу.), определённый матрицей {aij }∞ i,j=1 ,гдеaij = = 1 i+j? .◦ . Привести пример компактного оператора A в простран- стве l2, элементы матрицы которого в стандартном базисе удовле- творяют соотношению ∞ k=1 ∞ n=1 |akn|2 = ∞. .. Пусть Tr :(x1, x2,...) → (0, x1, x2, ...) — оператор правого сдвига в пространстве l2 . Доказать, что если компактный опера- тор K коммутирует с Tr ,то K = 0. .. Доказать, что оператор ( Ax)(t) = +∞ −∞ e−|t−s|x(s) ds не ком- пактен в пространстве L2( ). Следующая задача является частным случаем задачи ., но, используя гильбертовость пространства L2[0, 1], этузадачуможно решить более просто. .. Доказать компактность в пространстве L2[a, b]интеграль- ного оператора ( Ax)(t) = b a K(t, s)x(s) ds сядромK ∈ L2([a, b]2). Указание. Разложить K(t , s) по ортонормированномубазису {φn(t)φn(s)}∞ 1 ,где{φn} ∞ 1 — ортонормированный базис в L2[a, b]. Отметим, что условие K ∈ L2([a, b]2)неявляетсянеобходимым для компактности оператора A. .. При каких α ∈ (0, 1) оператор A: L2[0,1] → L2[0,1], (Ax)(t) = 1 0 x(s) |t−s|αds, компактен? Указание. Доказать, что оператор A равномерно приближается операторами ( An x )(t) = En(t) x(s) |t−s|αds,гдеEn(t)={s∈[0,1]:|s−t| 1/n}. .. Доказать компактность оператора A : L2[0, 1] → L2[0, 1], ( Ax)(t) = 1 0 1 t−s ln 1+t 1+s x(s) ds. .. Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ K(H ). Доказать, чтосуществуеттакойвекторx∈H, x =1,что Ax = A (ср.с задачей .).
§.. Теория Фредгольма  .. Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ K(H ), вектор x ∈ H, x = 1и Ax = A . Доказать, что оператор A переводит {x }⊥ в{Ax}⊥ . §.. Теория Фредгольма Определение .. Пусть X , Y — банаховы пространства, A ∈ ∈ B(X,Y). Положим α(A):= dimKer A; β(A):= codimIm A. Эти числа (конечные или бесконечные) называют дефектными чис- лами оператора A. Оператор называют фредгольмовым ( A∈F ( X, Y )), если оба этих числа конечны. В этом случае можно определить чис- ло ind A := α( A) − β ( A), называемое индексом оператора A. В некоторых случаях в определение фредгольмова оператора до- бавляют условие замкнутости образа оператора. Это условие, впро- чем, выполнено для всякого оператора с конечными дефектными числами. Теорема . . Если X иY —банаховы пространства, A∈F(X,Y), то Im Aзамкнут(см. задачу .). Определение . . Пусть X , Y — банаховы пространства. Опера- тор A ∈ B( X , Y ) называется почти обратимым, если существуют та- кие операторы R ∈B(Y, X), L ∈B(Y, X), что LA=IX+K1, AR=IY+K2, где K1 ∈ K(X), K2 ∈ K(Y). Теорема . (С. М. Никольский, ). Пусть X, Y — банаховы пространства. Оператор A ∈ B( X , Y ) является фредгольмовым то- гда и только тогда, когда он почти обратим. При этом операторы R и L можно выбрать равными и такими, что K1 иK2 являются операторами конечного ранга (конечномерными операторами). Теорема . (Ф. Рисс, ). Если оператор A ∈ K(X),тоопера- тор I − Aфредгольмов. Теория Фредгольма изучает вопрос разрешимости (относитель- но x )уравнения(I − A)x = y в банаховом пространстве X для опе- ратора A ∈ K( X ). Для формулировки результатов удобнее ввести оператор A ∈ K( X ∗) и рассмотреть четыре уравнения: ()(I−A)x=y;()(I−A)f=g; ()(I−A)x=0; ()(I−A)f=0. Пусть M = Ker(I − A) (решения уравнения ()), а N = Ker(I − A ) (решения уравнения ()).
 Глава . Компактные операторы и теория Фредгольма Те ор е м а  .  (первая теорема Фредгольма). Уравнение () (соот- ветственно уравнение ()) имеет решение тогда и только тогда, когда y ⊥ N (соответственно f ⊥ M ).1) Те ор е м а   .  (вторая теорема Фредгольма, или альтернатива Фредгольма). Либо уравнение () (соответственно уравнение ()) имеет решение для любой правой части, либо уравнение () (соот- ветственно уравнение ()) имеет ненулевое решение. Теорема . (третья теорема Фредгольма). dim M = dim N < ∞. В работе Э. Фредгольма () эти теоремы доказаны для инте- гральных операторов. Из теорем Фредгольма несложно получить, что для компактного оператора A справедливо равенство ind(I−A)=ind(I−A)=0. Задачи .◦ . Доказать, что подобные операторы в банаховых простран- ствах либо оба фредгольмовы и их индексы совпадают, либо оба не фредгольмовы. . ◦ . Доказать, что всякий обратимый оператор в банаховом пространстве фредгольмов. . ◦ . Пусть X и Y —банаховы пространства, A ∈K(X,Y). Дока- зать, что A ∈ F(X, Y) тогда и только тогда, когда оба пространства X и Y конечномерны. .. Пусть X — банахово пространство и A — фредгольмов опе- ратор в X . Доказать, что тогда оператор A также фредгольмов и α(A)=β(A),β(A)=α(A). В случае гильбертовых пространств теоремы Фредгольма мо- гут быть легко получены из теорем о системе линейных уравнений (см. курс алгебры). .. Доказать теоремы .—. для случая гильбертова про- странства H и конечномерного оператора A ∈ B(H ). Указание. Использовать задачу.. .. Доказать первую теорему Фредгольма . для случая гиль- бертова пространства. Указание. Используя задачу ., свести доказательство к пре- дыдущей задаче. В произвольном банаховом пространстве метод, использован- ный в предыдущей задаче для доказательства теорем Фредголь- ма, не применим, посколькупространство может не удовлетворять свойствуаппроксимации (см. теорему.). 1)Дляпары x∈ X, f ∈X∗ говорят, что x⊥f,еслиf(x)=0.
§.. Теория Фредгольма  В утверждениях задач .—. содержатся теоремы из начала параграфа. Эти задачи необходимо решить без использования тео- рем .—. . .◦ . Пусть X — банахово пространство, A ∈ K(X)иT = I − A. Доказать, что α(T ) < ∞. .. Пусть X — банахово пространство, A ∈ K(X)иT = I − A. Доказать, что подпространство Im T замкнуто в X . Указание. Использовать задачи ., . и .. .. Пусть X — банахово пространство, A ∈ K( X )иT = I − A. Доказать, что β (T ) < ∞. Указание. Использовать задачу.. Таким образом, утверждения задач .—. составляют тео- рему., а теорема . следует из утверждений задач . и .. . . Доказать теорему.. Указание. ВслучаеKerA = 0 придумать биективный оператор ˆ A:X⊕ n → Y и применить теорему. и задачу.. .. Пусть X — банахово пространство, A ∈ K(X)иT = I − A. Доказать, что: а) T имеет конечный подъем и равный емуконечный спуск m; б) для всех натуральных k ядра Ker(T k )конечномерны,аобразы Im(T k ) замкнуты (см. задачи . и .). Теоремы . и . теперь легко вытекают из утверждений задач ., . и .. .. Пусть X , Y и Z — банаховы пространства, A ∈ F(Y, Z), B∈F(X,Y).Доказать, что AB∈F(X,Z)и ind(AB)=indA+indB. Указание. Использовать задачи . и .. .. Пусть X и Y — банаховы пространства, A ∈ IB( X , Y )—об- ратимый оператор, T ∈K(X,Y).Доказать, что A + T ∈F(X,Y)и ind(A+T)=0. .. Пусть X и Y — банаховы пространства, A ∈F ( X , Y )иindA= = 0. Не используя теорему., доказать теоремуФ. Рисса о разло- жении: существует такой обратимый оператор R ∈ IB( X , Y )итакой конечномерный оператор S,что A = R + S. Указание. Используя задачи . и ., продолжить оператор A до биективного оператора R. .. Доказать теорему.. . (Первая теорема об устойчивости индекса). Пусть X и Y — банаховы пространства, S ∈ F(X,Y), T ∈ K(X,Y). Доказать, что S+T∈F(X,Y)и ind(S+T)=indS.
 Глава . Компактные операторы и теория Фредгольма . (Вторая теорема об устойчивости индекса). Пусть X и Y — банаховы пространства, S ∈ F ( X , Y ). Доказать, что найдётся такое >0, что для всякого оператора T ∈ B( X , Y )с T < имеет место включение S + T ∈F(X,Y)иравенствоind(S+T)=indS. . ◦ . Пусть X ⊂ Y — банаховы пространства. Доказать, что опе- ратор вложения J : X → Y фредгольмов тогда и только тогда, когда коразмерность линейного пространства X в Y конечна. . ◦ . Доказать, что оператор проектирования в банаховом про- странстве фредгольмов тогда и только тогда, когда его образ имеет конечную коразмерность. Пример .. Является ли оператор A : x (t) → x ( t ) фредгольмо- вым в пространстве L2[0, 1]? Решение. Заметим, что функции t α при α ∈ (−1/2, −1/4) лежат в пространстве L2[0, 1], но не лежат в Im A.Этотнаборфункцийли- нейно независим, так как если для некоторых α1 <α2 < ... <αn и некоторых комплексных чисел c1, c2 ,...,c n выполнено x(t)= c1t α1 +c2t α2+...+cnt αn≡0, то0=lim t→0 x (t)t−α1 =c 1,атогда0= lim t→0 x (t)t−α2 =c 2,ит.д .Такимоб- разом, codim Im A = ∞, а значит оператор не фредгольмов. .◦ . Доказать, что следующие операторы фредгольмовы: а) (Ax)(t)= x (t); A: C1[0,1]→C[0,1]; б) ( Ax)(t) = t 0 x(s)ds; A: C[0,1]→ C1[0,1]. Найти числа α( A), β ( A)иindA. .. При каких условиях на последовательность {λn} ∞ 1∈l∞ оператор Ax = (λ1x1, λ2x2,...,λnxn,...) в lp,где1 p < ∞, является фредгольмовым оператором? В тех случаях, когда оператор фред- гольмов, вычислить α( A), β ( A)иindA. .. При каких условиях на функцию a оператор ( Ax)(t) = = a(t) x(t)являетсяфредгольмовым: а) в L2[0,1](a∈ L∞[0,1]); б)в C[0,1](a∈C[0,1])? В тех случаях, когда оператор фредгольмов, вычислить α( A), β ( A)и ind A. .◦ . Доказать, что операторы правого и левого сдвига в любом из пространств l p , p ∈ [1, ∞], c или c0 фредгольмовы. Вычислить де- фектные числа и индекс для этих операторов. . ◦ . Доказать, что оператор ( Ax)(t) = x (t + a) фредгольмов в любом из пространств L p( ), p ∈ [1, ∞], BC( ). Вычислить α( A), β( A)иindA для этого оператора в каждом из указанных про- странств.
§.. Интегральные уравнения  .. Пусть {en } ∞ 1 — ортонормированный базис в гильберто- вом пространстве H ,асистема{xn} ∞ 1 квадратично близка к нему, т.е. ∞ n=1 xn−en 2 < ∞. Доказать, что в этих условиях следующие утверждения эквивалентны: () система {xn} ∞ 1 полна; () система {xn} ∞ 1 минимальна; () система {xn} ∞ 1 является базисом Рисса.1) Указание. Использовать фредгольмов оператор T : en → x n , n ∈ . § .. Интегральные уравнения Уравнение вида x(t)+λ b a K(t, s)x(s)ds= y(t) относительно функции x называют уравнением Фредгольма второго рода. Легко видеть, что эти уравнения можно записать в оператор- ном виде (I + λ A)x = y . Если интегральный оператор A компактен в соответствующем банаховом пространстве, то к таким уравнениям применима теория Фредгольма. Уравнения вида b a K(t, s)x(s)ds= y(t) называются уравнениями Фредгольма первого рода. В случае, если K(t, s) ≡ 0приt > s (или при t < s), соответству- ющий интегральный оператор называется оператором с треуголь- ным ядром. Отвечающее емууравнение Фредгольма второго рода (при условии K (t, s) ≡ 0приt > s)имеетвид x(t)+λ t a K(t, s)x(s)ds= y(t) и называется уравнением Вольтерра второго рода (см. определе- ние . и задачу. ниже). Интегральный оператор с ядром K (t, s) = n i=1 pi(t)qi(s) называет- ся оператором с вырожденным ядром. Для таких операторов тео- ремы Фредгольма сводятся к известной теореме линейной алгебры (теорема Кронекера—Капелли). 1) Сравните с задачами . и ..
 Глава . Компактные операторы и теория Фредгольма Пример .. При каких значениях параметра λ ∈ интеграль- ное уравнение x(t) + λ π −π ch(π −|t − s|)x (s) ds = y(t)имеетрешение при любой правой части y ∈ L2[−π, π]? Решить это интегральное уравнение при y(t)= t, λ = 3 2shπ . Решение. Функция ch ξ непрерывна, а значит, интегральный опе- ратор с ядром ch(π −|t − s|) компактен в пространстве L2[−π, π]. В этом случае согласно второй теореме Фредгольма неоднородное интегральное уравнение разрешимо для любой правой части тогда и только тогда, когда однородное уравнение не имеет нетривиаль- ных решений. Запишем однородное уравнение x(t)+λ t −π ch(π−t+s)x(s)ds+λ π t ch(π+t− s)x(s)ds=0 и прежде всего заметим, что x (π) − x (−π) = 0. Затем продифферен- цируем это уравнение и получим равенство x (t)−λ t −π sh(π−t+s)x(s)ds+λ π t sh(π+t−s)x(s)ds=0. Заметим, что x (π) − x (−π) = 0, и после следующего дифференци- рования получим: x (t)+λ t −π ch(π−t+s)x(s)ds+λ π t ch(π+t−s)x(s)ds−2λsh πx(t)=0, откуда x (t) − x (t) 1 + 2λ sh π) = 0. Общее решение полученного дифференциального уравнения имеет вид x(t)=Ash(t 1+2λshπ)+Bch(t 1+2λshπ) с неизвестными постоянными A, B. Учитывая, что x (−π) = x (π), а x (−π) = x (π), видим, что нетривиальное решение однородного интегрального уравнения существует тогда и только тогда, когда sh(π 1+2λshπ)=0,т.е.приλ=λk= − k2+1 2shπ ,гдеk ∈ .Итак,ис- ходное интегральное уравнение имеет решение при любой правой части, если параметр λ/∈ {λk }k∈ . Найдём теперь решение исходного уравнения для y(t) = t и λ= 3 2shπ . Продифференцировав дважды неоднородное уравне- ние и учтя, что y =0, получим: x(t)= Ash(2t)+Bch(2t)+ t 4с неизвестными постоянными A и B. Краевые условия в этом слу- чае имеют вид x(π)−x(−π)=2π и x(π)−x(−π)=0, откуда x(t)= 3π 4sh(2π) sh(2t) + t 4.
§.. Интегральные уравнения  .. Доказать, что общее решение уравнения x(t)− b a n i=1 pi(t)qi(s) x(s) ds = y(t) (относительно функции x при известной y )имеетвид x(t)= n i=1 ci pi(t) + y(t); здесь ci ∈ ,1 i n, являются решениями системы уравнений n j=1 aijcj=bi, i =1,...,n, где коэффициенты aij и bi зависят от y , pi и qi . Сформулировать аль- тернативуФредгольма в терминах матрицы aij иправойчастиbi . Функции pi считать линейно независимыми. .. В пространстве C[0, 1] найти решение следующих инте- гральных уравнений при всех значениях комплексных параметров λ,α,βиγ: а) x(t)−λ 1 0 tsx(s)ds=α+βt+γt2; б)x(t)−λ 1 0 (ts+ t2s2)x(s)ds= αt. .. В пространстве C[0, π] найти решение следующих инте- гральных уравнений при всех значениях комплексных параметров λ,αиβ: а) x(t)−λ π 0 cos(t−s)x(s)ds=αsint+βcost; б)x(t)−λ π 0 cos(t+s)x(s)ds=αsint+βcost. .. При каких условиях на функцию y ∈ L2[0, π]ипараметр λ ∈ уравнение x(t)+λ π 0 sin(t − s)x(s)ds= y(t) имеет единственное решение в пространстве L2[0, π]? .. Найти все β ∈ , для каждого из которых уравнение x(t)+ 1 0 (1+αts)x(s)ds= β +t2 разрешимо в L2[0, 1] при любом α ∈ .
 Глава . Компактные операторы и теория Фредгольма .. В пространстве L2[0, 1] найти решение следующих инте- гральных уравнений при всех значениях комплексных параметров λ,aиb: а) x(t)−λ 1 0 3tsx(s)ds= at + 4t2; б)x(t)−λ 1 0 5t2s2x(s)ds= 4t +bt2 . .. В пространстве L2[0, 1] найти решение следующих инте- гральных уравнений при всех значениях λ ∈ : а) x(t)−λ 1 0 min(t, s)x(s) ds = 0; б)x(t)+λ 1 0 max(t, s)x(s)ds= 0. .. В пространстве L2[0, 1] найти решение интегрального уравнения при всех значениях λ ∈ : x(t)+λ 1 0 (ts − min(t, s))x(s) ds= y(t), если а) y(t) = t;б)y(t)= sin2πt. .. В пространстве L2[0, 1] найти решение интегрального уравнения при всех значениях λ ∈ : x(t)+λ 1 0 1 2 −|t−s| x(s)ds= y(t), если а) y(t) = cos πt;б)y(t) = cos 2πt. . . В пространстве L2[0, 1] найти решение интегрального уравнения при всех значениях λ ∈ : x(t)+λ 1 0 (ts + max(t, s))x(s)ds= y(t), если а) y(t) = cos πt;б)y(t) = cos 2πt. .. Разрешимо ли уравнение Фредгольма первого рода t 0 (t − s)x(s)ds= y(t), где а) y(t) = sin t;б)y(t) = cos t;в)y(t) = sin 2 t в пространствах C[0, π]; Lp[0, π], p ∈ [1, ∞]?
Глава  Основы спектральной теории ограниченных операторов в банаховых пространствах §.. Спектр Многие уравнения математической физики сводятся к решению в некотором банаховом пространстве X уравнения (A−λI)x= y, где y — известный элемент пространства X , x — неизвестный эле- мент, а λ ∈ . Таким образом, возникает вопрос об обратимости оператора A − λI , зависящего от комплексного параметра λ. Определение .. Спектром σ( A) оператора A ∈ B( X ) называ- ется множество таких значений λ ∈ , для которых не существует ограниченного обратного оператора ( A − λI )−1 . Дополнительное кспектрумножествоρ( A):= \ σ( A) называют резольвентным множеством оператора A.Дляλ ∈ ρ( A) определяют резольвенту Rλ(A):= (A − λI)−1 оператора A. Говорят: «резольвента операто- ра A вточкеλ». Для всякого оператора A ∈ B( X ) (кроме случая X = {0}) его спектр σ( A)—непустой компакт в . В спектре оператора можно выделять различные компоненты (классифицировать). Одна из классификаций спектра связана с теоремой Банаха об обратном операторе. А именно, рассмотрим случаи, когда оператор A − λI не биективен. . Оператор A − λI не инъективен. Следовательно, существует ненулевой вектор x ∈ Ker( A − λI ). Такое λ называют собственным значением,вектор x — собственным вектором,апару x = 0, λ,для которой выполнено Ax = λ x — собственной парой. Совокупность всех собственных значений оператора A называют точечным спек- тром оператора A иобозначаютσp( A). Кратностью (геометри- ческой кратностью) собственного значения λ ∈ σp( A) называют dimKer(A − λI).
 Глава . Основы спектральной теории ограниченных операторов . Оператор A − λI инъективен, но не сюръективен. Следова- тельно, Im( A − λI ) = X .Выделимдваподслучая: а. Im( A − λI ) = X .Множествотакихλ называют непрерывным спектром оператора A иобозначаютσc ( A). б. Im( A − λI ) = X .Множествотакихλ называют остаточным спектром оператора A иобозначаютσr( A). В соответствии с такой классификацией весь спектр оператора A разбивается на три непересекающихся множества: σ( A) = σp( A) σc(A) σr(A). В задачах этой главы при нахождении спектра читателю предла- гается провести его классификацию. Эта классификация точек спектра не единственна. Рассматрива- ются и другие классификации точек спектра (см. определение . и главу). C понятием спектра тесно связано понятие спектрального ради- уса. Определение . . Пусть X — банахово пространство. Спек- тральным радиусом оператора A ∈ B( X ) называется число r( A) = = max λ∈σ(A) |λ|. Теорема . . Пусть X — банахово пространство. Если A ∈ B(X), то существует предел lim n→∞ An1/nи r(A) = lim n→∞ An 1/n . Задачи . ◦ . Пусть X — банахово пространство, A ∈ B( X ). Используя за- дачу., доказать, что ρ( A) — открытое множество (следователь- но, σ( A) — замкнутое множество) в . .. C помощью задачи . доказать, что спектр ограниченного оператора A расположен внутри круга {λ ∈ : |λ| A }. Доказать, что при |λ| > A резольвента задаётся в виде ряда К. Неймана: Rλ(A) = − 1 λ ∞ n=0 An λn. .. Доказать теорему. . . ◦ . Пусть λ, μ ∈ ρ( A). Доказать тождество Гильберта для ре- зольвент: Rλ(A) − Rμ(A) =(λ− μ)Rλ(A)Rμ(A). Используя это тождество, доказать, что Rλ(A)Rμ(A) = Rμ(A)Rλ(A).
§.. Спектр  .. Пусть λ0, λ ∈ ρ(A). Доказать, что если |λ − λ0| < 1 Rλ0(A) , то Rλ(A) − Rλ0(A) |λ−λ0|· R 2 λ0 (A) 1−|λ−λ0|· Rλ0(A) . .. Доказать, что Rλ( A)являетсяа)непрерывной;б)аналити- ческой функцией переменного λ вобластиρ( A) ∪ {∞} со значения- ми в B(X). Доказать, что если λ0 ∈ ρ(A), то при |λ−λ0| < 1 Rλ0(A) для резольвенты справедливо представление Rλ(A) = ∞ k=0 (λ−λ0) k Rλ0(A) k+1 , апри|λ| > r(A) Rλ(A) = − 1 λ ∞ n=1 An λn. .. Пусть X — банахово пространство, A ∈ B( X )(X = {0}). До- казать, что спектр A не пуст. Указание. Воспользоваться теоремой Лиувилля: если комплекс- нозначная функция w(z) голоморфна и ограничена в ,тоw(z) ≡ ≡ const. . ◦ . Пусть X — банахово пространство, A ∈ B(X), λ ∈ σ(A)ису- ществует c > 0такое,что Ax − λx > c x для всех x ∈ X.Используя задачу., доказать, что λ ∈ σr( A). Определение .. Пусть A — ограниченный оператор в бана- ховом пространстве X . Последовательность { xn} ∞ n=1 ⊂ X называ- ется последовательностью Вейля для числа λ ∈ ,если x n = 1, n=1,2, ..., и (A−λI)xn →0. . . Пусть X — банахово пространство, A ∈ B( X ). Доказать, что если для точки λ ∈ найдётся последовательность Вейля, то λ ∈ σ(A). Доказать, что если λ ∈ σp(A) ∪ σc(A), то для неё найдётся последовательность Вейля (см. также задачу.). . . Пусть X — банахово пространство, A ∈ B( X )—обрати- мый оператор. Доказать, что λ ∈ σ( A) тогда и только тогда, когда 1/λ ∈ σ(A−1 ). Доказать это утверждение с заменой σ на σp, σc и σr. Доказать, что собственные векторы операторов A и A−1 ,отвечаю- щие собственным значениям λ и1/λ,совпадают. Пример .. Найти и классифицировать спектр оператора сдви- га влево (Ax)n = xn+1 в lp( )(p ∈ [1,+∞]). Решение. Очевидно, что A = 1 и существует ограниченный об- ратный, являющийся оператором сдвига вправо: ( A−1 x )n = x n−1 .То- гда из задачи . следует, что если |λ| > 1или|λ| < 1, то λ ∈ ρ( A).
 Глава . Основы спектральной теории ограниченных операторов Следовательно, σ( A) ⊂ {λ : |λ| = 1}. Рассмотрим те λ,длякоторых |λ| = 1. Задача на собственные значения Ax = λ x приводит к соот- ношениям xn+1 = λxn, n∈. Если положить x0 = 0, то x ≡ 0 и, следовательно, такой вектор не является собственным. Если положить x0 = 1, то x = {λn} +∞ −∞ ,n∈. Такой вектор является элементом пространства l p( )приp = ∞. Та- ким образом, σ(A) = σp(A) = {λ: |λ| = 1} в пространстве l∞( ). При 1 p < ∞ рассмотрим последовательность x (n) ,где x (n) k= λk p 2n+1 при |k| n, 0п р и |k|>n. Так как x(n) lp( ) =1, а (A−λI)x(n) = p 2 p 2n+1 → 0, последова- тельность x (n) является последовательностью Вейля. Следователь- но, σ(A) = {λ: |λ| = 1}. Определим теперь тип спектра в lp( ), p ∈ (1, ∞). Зафиксируем целое число i и зададим последователь- ность векторов x i,n k= ⎧ ⎨ ⎩ 0п р и k<i, λk−i приk=i,i+1, ..., i+n, 0п р и k>i+n. Тогда ((A − λI)xi,n )k= ⎧ ⎨ ⎩ 1п р и k=i −1, −λ n+1 приk=i+n, 0и н а ч е . Для базисного вектора ei−1 получаем, что 1 m m n=1 (A − λI)xi,n − ei−1 = pm m →0 при m → ∞. Таким образом, при 1 < p < ∞и|λ| = 1получаем,что Im(A−λI)=lp( ), т.е. σ(A)=σc(A)={λ:|λ|=1}. Определим тип спектра в l1( ). Вектор (..., λ 2 , λ,1,λ −1 ,λ −2 ,...) задаёт ограниченный функционал f на l1 и f((A − λI)x) = 0 для лю- бого x ∈ l1.Такимобразом, f ⊥ Im(A − λI), а значит, σ(A) = σr(A) = = {λ: |λ| = 1} в пространстве l1(Z).
§.. Спектр  .. Доказать, что спектр обратимого изометрического опе- ратора, действующего в нормированном пространстве, лежит на единичной окружности. Доказать, что спектр унитарного опера- тора, действующего в гильбертовом пространстве, лежит на еди- ничной окружности. Найти резольвенту этих операторов для λ ∈ , |λ|=1. . ◦ . Пусть X = X0 ⊕ X1 — банахово пространство, представлен- ное в виде прямой суммы двух своих замкнутых подпространств, а P ∈ B( X ) — проектор на X0 вдоль X1.Найтииклассифицироватьего спектр. Найти его резольвенту. . (Р. С. Филлипс, ). Пусть X — банахово пространство, A ∈ B(X). Доказать, что σ(A) = σ(A ). . (Р. С. Филлипс, ). Пусть H — гильбертово пространст- во, A ∈ B(H). Доказать, что1) σ(A) = σ(A∗). .. Пусть X — банахово пространство, A ∈ B( X ). Доказать, что еслиλ∈σr(A),тоλ∈σp(A);еслиλ∈σp(A),тоλ∈σp(A)∪σr(A); еслиλ∈σc(A),тоλ∈σc(A)∪σr(A). .. Пусть X — рефлексивное банахово пространство, A ∈ B( X ). Доказать, что σc(A) = σc(A ), σr(A ) ⊂ σp(A). .. Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ B(H ). Доказать, что если λ∈σr(A), то ̄ ̄ λ∈σp(A∗), если λ∈σp(A), то ̄ ̄ λ∈σp(A∗)∪σr(A∗), если λ ∈ σc(A), то ̄ ̄ λ∈ σc(A∗). Проиллюстрируем на примере, как использование задач . и . облегчает нахождение спектров операторов (и их сопряжён- ных). Пример .. Рассмотрим в пространстве l p ,1< p < ∞, опера- торы сдвига вправо Tr x = (0, x1 ,x 2,..., xn,...) и сдвига влево Tl x = = (x2, x3 ,..., x n , ...), введённые в задаче .. Найти их спектр. Решение. Во-первых, отметим, что Tr = Tl = 1. Следователь- но, в соответствии с задачей . спектры этих операторов лежат в единичном круге комплексной плоскости. Во-вторых, T r =Tl,Tl=Tr (имеются в видуоператоры Tr и Tl в пространстве lq ,1/ p + 1/q = 1). Следовательно, можно воспользоваться задачей .. Найдём сначала точечные спектры операторов Tr и Tl .Изурав- нения Tlx = λx следует цепочка равенств x2 = λx1, x3 = λx2,... , xn = λxn−1,... Можноположить x1 = 1, тогда x2 = λ,...,xn = λ n−1 ,... Вектор (1, λ, λ2,...,λ n ,...) ∈ l p ⇔|λ| < 1. Следовательно, вся внут- ренность единичного круга представляет собой точечный спектр оператора Tl . 1) Черта над множеством означает здесь не з амыкание этого множес тв а, а ком- плексное сопряжение.
 Глава . Основы спектральной теории ограниченных операторов Теперь найдём точечный спектр оператора Tr .Изуравнения Tr x =λx следует цепочка равенств 0=λx1, x1 = λx2,...,xn−1 = λxn,... Из первого уравнения следует, что или λ = 0, или x1 =0.Ивтом и в другом случае получаем, что x1 =x 2=...=xn=...=0.Таким образом, собственных значений уоператора Tr нет, а значит, по задаче . все |λ| < 1 представляют собой остаточный спектр опе- ратора Tr . В силу замкнутости спектра получаем, что граница еди- ничного круга (|λ| = 1) принадлежит непрерывномуспектрукаж- дого из операторов Tr и Tl . Полученные результаты удобно свести в таблицу: Оператор Спектр Tl Tr σp |λ|<1 ∅ σc |λ|=1 |λ|=1 σr ∅ |λ|<1 .. Найти спектры следующих операторов (c классификаци- ей) и вычислить их резольвенты: а) оператор умножения на ограниченную последовательность вlp,p∈[1,∞],ивc0: Ax = (λ1x1, λ2x2,...,λn xn,...), λ = (λ1, λ2,...,λn,...)∈ l∞; б) операторы сдвига вправо и влево в пространствах l1 и l∞; в) оператор умножения ( Ax)(t) = a(t) x (t)вC[0, 1], a ∈ C[0, 1]; г) оператор умножения (Ax)(t) = a(t)x(t)вL p[0, 1], p ∈ [1, ∞], a ∈ L∞[0, 1]; д) оператор (Ax)(t) = a(t)x(t)вC0( ), где a ∈ C0( ); е)операторсдвигавLp( ),p∈[1,∞]:(Ax)(t)=x(t−a),a∈ . .. Найти спектры операторов A и A ∗ ,если A действует в l2( ) следующим образом: (Ax)n = x n+1 при n 0, ( Ax)n = 0приn < 0. .. Найти спектр, спектральный радиус и резольвенту опера- тора (Ax)(t) = t 0 x (s) ds в пространствах: а)Lp[0,1], p∈[1,∞]; б)C[0,1]. .. Найти спектр, спектральный радиус и резольвенту опера- тораA:lp→lp,p∈[1,∞): а) Ax = (0, x1,0,x3,...,0,x2n−1,0,...); б) Ax = (0, x1,0,x2,...,0,xn,0,...); в)Ax=(0,x1 ,x 2,0,x4, x5,0...,0,x3n+1, x3n+2,0,...); г)Ax=(x2,x1 ,x4,x3 ,..., x 2n+2, x2n+1,...); д) Ax = (x2, x3, x1, x5, x6, x4,..., x3n+2, x3n+3, x3n+1,...);
§.. Спектр  е) Ax = (x1, x2,...,xn,0,0,...). .. Найти спектр и резольвентуследующих операторов: а) (Ax)(t) = x(−t)вC[−1, 1]; б) (Ax)(t) = − x(−t)вC[−1, 1]; в) (Ax)(t) = x(1− t)вC[0,1]; г) (Ax)(t)= x(1− t)вLp[0,1], p ∈ [1, ∞]; д) (Ax)(t) = π −π cos(t + s)x(s) ds в C[−π, π]; е) (Ax)(t) = tx(1)− x(0) в C[0,1]. .. Привести примеры ограниченных операторов в банахо- вых пространствах, показывающие, что для числа λ ∈ ,лежащего в остаточном спектре, последовательность Вейля может существо- вать, а может и не существовать (ср. с задачей .). Разбиение спектра на точечную, непрерывную и остаточную компоненты удобно тем, что у большого класса операторов, возни- кающего в приложениях, нет остаточного спектра. .. С помощью задач ., . доказать, что унормальных операторов остаточный спектр отсутствует. . ◦ (Г. Вейль, ). Пусть A — нормальный оператор. Дока- зать, что λ ∈ σ( A) тогда и только тогда, когда существует последо- вательность Вейля. .◦ . Доказать, что усамосопряжённого оператора спектр ве- щественный. Указание. Показать, что σc ( A) ⊂ , при помощи задачи а) .; б) . . .. Доказать, что если спектр нормального оператора веще- ственный, то этот оператор самосопряжён. .. Доказать, что если спектр нормального оператора лежит на окружности {z ∈ : |z| = 1}, то этот оператор унитарен. Определение .. Число λ принадлежит существенному спек- тру оператора A (λ ∈ σess ( A)), если оператор A − λI не фредголь- мов. Остальные точки спектра принадлежат несущественному спек- тру. .. Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве H . Доказать, что σess(A) \ σp(A) = σc(A). . . Пусть A — ограниченный самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве H . Доказать, что если для оператора A − λI существует ортонормированная последовательность Вейля, то λ ∈ σess(A). Пример .. Оператор A в пространстве l2( )заданформулой A:x→ ∞ k=1 xk e2k .Найтиσ( A)иσess ( A).
 Глава . Основы спектральной теории ограниченных операторов Решение. Прежде всего заметим, что оператор A не увеличивает норму, а значит, σ( A) ⊂ {|z| 1}. Обозначим через B ограничение оператора A на подпространство Lin{ek }∞ 1 и найдём σ(B)иσess (B) (в пространстве l2). Запишем уравнение на собственные значения для оператора B: (0, x1,0,x2,0,x3,0,...)= λ(x1, x2, x3, x4, x5, x6,...), из которого видим, что x1 =x2 =x3 = ... = 0, т.е. σp(B)=∅.Теперь найдём сопряжённый оператор B∗ . Согласно определению, (Bx, y)= x1 ̄ y2+x2̄y4+x3̄y6+...= (x,B ∗ y), откуда видно, что B∗ :(y1, y2, y3,...) → ( y2, y4, y6,...). Запишем урав- нение на собственные значения для оператора B ∗ : (y2, y4, y6, y8, y10,...)= λ( y1, y2, y3, y4, y5,...), откудаy2=λy1, y4=λ 2 y1ивообщеy2n =λ n y1. Далее, y6 = λ y3, y12=λ 2 y3 ит.д . , y3·2 n=λ n y3. Отсюда видно, что для любого задан- ного нечётного числа m вектор с координатами yn= λs ,е с л иn=m·2 s ; 0и н а ч е является собственным вектором для собственного значения λ.Эти векторы лежат в пространстве l2 вточностипри|λ| < 1, т. е . все точ- ки круга {|z| < 1} являются собственными значениями оператора B∗ бесконечной кратности (а значит — точками существенного спек- тра оператора B ∗ ). Посколькуспектр есть замкнутое множество, все точки окружности {|z| = 1} лежат в спектре оператора B ∗ ,атаккак они не являются собственными значениями ни оператора B,ниопе- ратора B∗ , то это есть точки непрерывного, а значит, и существенно- го спектра. Итак, мы доказали, что σ(B∗) = σess(B∗) = {|z| 1}, а зна- чит, σ( A) ⊃ {|z| 1} и σess ( A) ⊃ {|z| 1} (строго докажите это само- стоятельно). Посколькув самом начале решения мы отметили об- ратное включение, окончательно имеем σ( A)= σess ( A)={|z| 1}. .. Найти существенный спектр для следующих операторов: а) оператор умножения на ограниченную последовательность вlp,p∈[1,∞],ивc0: Ax = (λ1x1, λ2x2,...,λn xn,...), λ = (λ1, λ2,...,λn,...)∈ l∞; б) операторы сдвига вправо Tr ивлевоTl в пространстве l p , p∈[1,∞]; в) оператор умножения ( Ax)(t) = a(t) x (t)вC[0, 1], a ∈ C[0, 1]; г) оператор умножения (Ax)(t) = a(t)x(t)вL p[0, 1], p ∈ [1, ∞], a ∈ L∞[0, 1];
§ .. Спектр  д)операторсдвигавLp( ),p∈[1,∞]:(Ax)(t)=x(t−a), a∈ ; е) оператор интегрирования ( Ax)(t) = t 0 x (s) ds в пространствах Lp[0,1], p ∈[1, ∞] и C[0,1]; ж) оператор ( Ax)(t) = x (−t )вC[−1, 1]; з) оператор (Ax)(t) = x (1 − t)вC[0, 1]; и) оператор ( Ax)(t) = π −π cos(t + s)x(s)ds в C[−π, π]; к) оператор (Ax)(t) = tx(1) − x(0) в C[0, 1]. .. Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ B(H )и A = A ∗ . Определим числа m := inf x=1 (Ax, x)иM := sup x=1 ( Ax, x ). Доказать, что σ(A)⊂[m,M]иобе точки m и M лежат в спектре. . ◦ . Используя задачу ., доказать, что для любого огра- ниченного оператора A в гильбертовом пространстве σ( A∗ A) ⊂ ⊂ [0, A 2], причём точка A 2 лежит в спектре. .◦ . Доказать, что собственные векторы, отвечающие различ- ным собственным значениям, ортогональны для: а) самосопряжён- ного оператора; б) унитарного оператора. .. Пусть H — гильбертово пространство, A —нормальный оператор. Доказать, что r( A) = A (см. задачу.). .◦ . Пусть X, Y — банаховы пространства, A∈B(X), B∈B(Y)— подобные операторы (см. определение .). Доказать, что σp( A) = = σp(B), σc ( A) = σc (B)иσr( A) = σr(B)(отсюдаследует,чтоσ( A) = = σ(B)). .. Привести пример двух не являющихся подобными опе- раторов A и B в банаховом пространстве с одинаковыми спек- трами: σ(A) = σ(B), σp(A) = σp(B), σc(A) = σc(B), σr(A) = σr(B) и σess(A) = σess(B). .. С помощью задачи . найти спектр следующих опера- торов: а) (Ax)n =βxn−1+αxn+βxn+1, A∈B(l2( )); б) (Ax)n = xn−1 − xn+1, A ∈ B(l2( )); в) (Ax)n = αx1+βx2, n=1; βxn−1+αxn+βxn+1, n 2, A ∈ B(l2). Классифицировать спектр, определив σp, σc , σr и σess . .*. Оператор A в пространстве L2[0, 1] задан формулой (Ax)(t) = x(2t), если t ∈ [0, 1/2]; x(2t − 1), если t ∈ [1/2,1]. Классифицировать спектр, определив σp, σc , σr и σess . Указание. Использовать задачу..
 Глава . Основы спектральной теории ограниченных операторов .. Пусть X — банахово пространство, A, B ∈ B( X ). Доказать, что σ( AB) ∪ {0} = σ(BA) ∪ {0}. Доказать это равенство с заменой σ на σp, σc и σr . Доказать, что если хотя бы один из операторов A или B обратим, то операторы AB и BA подобны и, следовательно, σ( AB) = σ(BA). .◦ . Пусть X — банахово пространство и для операторов A ∈ ∈ L( X )иB ∈ L( X ) выполнено соотношение AB − BA = I .Cпомощью задачи . доказать, что один из операторов неограничен. .. Доказать, что для любого компакта Ω ⊂ существует та- койнормальныйоператор A в гильбертовом пространстве, что σ( A) =Ω. Доказать, что любое компактное подмножество веще- ственной оси является спектром некоторого самосопряжённого опе- ратора. Доказать, что любое замкнутое подмножество единичной окружности является спектром некоторого унитарного оператора. Указание. Использовать задачу. а). .*. Доказать, что для любого компакта Ω ⊂ существует та- кой оператор A в гильбертовом пространстве, что σ( A) = σp( A) =Ω. Указание. ) Можно считать, что Ω ⊂ {|z| < 1}. ) В качестве H взять пространство, сопряжённое к пространству Бергмана AL2(|z| < 1) (здесь удобно не отождествлять H ∗ и H ). Пусть H — гильбертово пространство и дано его разложение в прямую сумму ортогональных подпространств: H = H1 ⊥ ⊕ H2.Тогда любойвекторx∈Hпредставимввидеx=x1+x2(xi∈Hi,i =1,2). Определим оператор ортогонального отражения U x = x1 − x2. . ◦ . Пусть H — гильбертово пространство, U ∈ B(H ). Дока- зать, что U является ортогональным отражением тогда и только тогда, когда U ∗ =U=U −1 .Найтиσ(U ). .◦ . Пусть X — нормированное пространство, A, B ∈ B( X ). До- казать, что если A и B коммутируют, то Rλ( A) коммутирует с B для всех λ ∈ ρ( A). Доказать, что если B и Rλ( A) коммутируют для неко- торого λ ∈ ρ( A), то A и B коммутируют. .. Пусть X — банахово пространство, A, B ∈ B(X)иAB = BA. Доказать, что r(A + B) r(A) + r(B), r(AB) r(A)r(B). .. Привести пример такой последовательности операторов {An} ∞ 1 ⊂ B( X ) и такого оператора A в банаховом пространстве X , что An ⇒ A, σ( An) — единичная окружность, а σ( A) — единичный круг. .. Пусть {An} ∞ 1 ⊂B(X)иAn⇒A. а) Доказать, что если λ ∈ ρ( A), то λ ∈ ρ( An)длявсехn,начиная с некоторого номера.
§ .. Спектр  б) Пусть U (σ(A)) = {z ∈ :dist(z, σ(A)) < }— -о крестность спектра оператора A. Доказать, что для любого >0существует такой номер N ,чтодлявсехn > N выполнено включение σ( An) ⊂ ⊂ U (σ(A)). Свойство спектра, описанное в предыдущей задаче, называют полунепрерывностью спектра. Определение . . Числовым образом оператора A ∈ B(H )в (комплексном) гильбертовом пространстве H называют подмно- жество комплексной плоскости W(A):= {(Ax, x): x = 1}. Теорема . (О. Тёплиц, ; Ф. Хаусдорф, ). Для любо- го ограниченного оператора A в комплексном гильбертовом про- странстве числовой образ является выпуклым ограниченным мно- жеством, замыкание которого содержит спектр оператора A: σ(A) ⊂ W(A). .◦ . Найти числовой образ следующих операторов: а) 10 00 в l2(2); б) 00 10 в l2(2). .. Доказать первое утверждение теоремы .: для любо- го ограниченного оператора A в комплексном гильбертовом про- странстве H числовой образ W ( A) — выпуклое ограниченное мно- жество. .. Доказать второе утверждение теоремы .: для любо- го ограниченного оператора A в комплексном гильбертовом про- странстве H выполнены включения σ(A)⊂W(A)⊂{z ∈ : |z| A }. . . Пусть H — комплексное гильбертово пространство, A — самосопряжённый оператор. Доказать, что W ( A) = [m, M ], где m = = inf{λ: λ ∈ σ(A)}, а M = sup{λ: λ ∈ σ(A)}. Обязано ли множество W ( A) быть замкнутым? . ◦ . Пусть H — комплексное гильбертово пространство, A — самосопряжённый оператор. Доказать, что W ( A) = [m, M ], где либо M=A ,либоm=− A . .◦ . Пусть H — комплексное гильбертово пространство, A ∈ ∈ B(H )идлялюбого x число ( Ax, x ) равно нулю. Доказать, что A = 0. Привести пример ненулевого оператора A в вещественном гильбертовом пространстве со свойством ( Ax, x ) = 0 для любого x . .. Пусть H — комплексное гильбертово пространство, A ∈ ∈ B(H), w(A):= sup{|z|: z ∈ W(A)}. Доказать, что w(A) A . Можно доказать, что отображение w : A → w ( A)задаетнормуна пространстве B(H)иw( A) 1 2 A ,т.е .н ормаw( A)эквивалентна операторной норме.
 Глава . Основы спектральной теории ограниченных операторов .. Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ B(H ). Доказать, чтоесли|λ|= A иλ∈W(A),тоλ∈σp(A). .. Доказать, что для нормального оператора A ∈ B(H )вгиль- бертовом пространстве множество W ( A) совпадает с выпуклой обо- лочкой спектра σ( A). . ◦ . Найти числовой образ следующих операторов: а) оператор умножения на ограниченную последовательность в l2: Ax = (λ1x1, λ2x2,...,λnxn,...); б) оператор умножения (Ax)(t) = a(t)x(t)вL2[0, 1], a ∈ C[0, 1]; в) операторы сдвига вправо и влево в пространстве l2. § . . Спектр компактного оператора .. Пусть X — бесконечномерное банахово пространство, A ∈ ∈ K(X). Доказать, что 0 ∈ σess(A). .. Пусть X — бесконечномерное банахово пространство, A ∈ ∈ K( X ). Опираясь на альтернативуФредгольма, доказать, что: а) σess(A)\{0} =∅; б)еслиλ∈σ(A),λ=0,тоλ∈σp(A). .◦ . Доказать, что ненулевое собственное значение компакт- ного оператора имеет конечную кратность. .. Пусть X — банахово пространство, A ∈ K( X ). Доказать, что для любого δ>0множествоσp( A) ∩ {z : |z| >δ} состоит из конечного числа точек, каждая из которых является собственным значением оператора A конечной кратности. Определение .. Компактный оператор A, действующий в ба- наховом пространстве X , называется оператором Вольтерра,если σ(A) ={0}. .. Доказать, что интегральный оператор ( Ax)(t) = t a K(t, s)x(s) ds, является оператором Вольтерра в пространстве а) C[a, b], если функция K(t, s) непрерывна при a s t; б) L2[a, b], если функция K(t , s) измерима и ограничена при ast. .. Пусть A — оператор Вольтерра и λ ∈ . Доказать, что урав- нение (I − λ A)x = y в банаховом пространстве X разрешимо для любойправойчастиилюбогоλ. Доказать, что решение представи- моввидерядаx= ∞ k=0 λkAky.
§ . . Спектр компактного оператора  .◦ . Решить уравнение x(t) + λ t 0 x(s) ds = y(t) (относительно функции x при известной функции y) в следующих пространствах: а) L2[0, 1]; б) C[0, 1]. .. Пусть X — комплексное бесконечномерное банахово про- странство, A ∈ B(X )иσ( A) = {0}. Верно ли, что A компактен? . ◦ . Пусть X — бесконечномерное банахово пространство. Привести примеры операторов A ∈ K( X ), для которых а)0∈σp(A); б)0∈σc(A); в)0∈σr(A). Пример . . Найти собственные значения оператора Римана— Лиувилля (.) с параметром r = 2впространствеL2[0, 1]. Является ли этот оператор компактным? Решение. Запишем уравнение на собственные значения: t 0 x(s)(t− s)ds=λt2x(t). Продифференцируем дважды это уравнение и положим x (t) = y(t) t2. То г д а фун к ц и я y(t)привсехt > 0 удовлетворяет дифференциаль- номууравнению λ y = t − 2 y .Приλ = 0 два линейно независимых решения этого уравнения легко угадываются — это функции t a1 иt a2 ,гдеa1 и a2 — корни квадратного уравнения λa(a − 1) = 1. x y 0 4 3 σp(A) Согласно общей теории дифференциаль- ных уравнений, других линейно незави- симых решений ууравнения нет. Теперь вернёмся к интегральномууравнению. Мы доказали, что его решения имеют вид x(t)=t z .Подставляяэтуфункциюв интегральное уравнение, получим равен- ствоλ= 1 (z+1)(z+2) .Ф ункцияt z лежит в пространстве L2[0, 1] в точности при Re z > −1/2, т. е . собственные значения λ оператора A заполняют область D —образ полуплоскости Re z > −1/2 при отображении w = 1 (z+1)(z+2)(гра- ница этой области в полярных координатах (r, φ)задаётсяуравне- нием r 2 + 1 = (2r − cos φ)2). Оператор A не компактен, поскольку множество его собственных значений, лежащих вне круга |λ| <δ, бесконечно при любом δ<4/3(см.задачу.). .. Исследовав собственные значения оператора Римана— Лиувилля в пространстве L2[0, 1] с произвольным параметром r > > 1/2 (см. задачу.), доказать некомпактность этого оператора.
 Глава . Основы спектральной теории ограниченных операторов .. Найти собственные значения оператора Харди (Ax)(t) = 1 t t 0 x(s)ds в пространствах а) Lp[0, 1], 1 < p < ∞; б) L∞[0, 1]; в) C[0, 1] (доопре- деленного равенством ( Ax)(0) = x (0)) и на основании полученного результата сделать вывод о некомпактности этого оператора в ука- занных пространствах (ср. с задачей .). .. Найти собственные значения оператора ( Ax)(t) = 1 tα t 0 s α−1 x(s) ds,R e α> 1 p, в пространстве Lp[0, 1] (1 p < ∞). .◦ . В пространстве C[0, π] найти собственные значения и соб- ственные функции интегрального оператора ( Ax)(t) = π 0 K(t, s)x(s) ds, вслучаеа)K(t, s) = sin(t + s); б) K(t, s) = cos(t + s). .. В пространстве L2[−π, π] найти собственные значения и собственные функции интегрального оператора ( Ax)(t) = π −π K(t, s)x(s) ds, если K(t, s) = n∈ 3−|n| e−in(t− s) . .. В пространстве L2[0, π] найти собственные значения и собственные функции интегрального оператора ( Ax)(t) = π 0 K(t, s)x(s) ds, если K(t, s) = sintcossпри0 t s π, sinscostпри0 s t π. . . В пространстве L2[0, 1] найти собственные значения и собственные функции интегрального оператора ( Ax)(t) = 1 0 K(t, s)x(s) ds, еслиа)K(t,s)=ts+max(t,s);б)K(t,s)=ts+max(t,s)−2min(t,s)− −2.
§ .. Теорема Гильберта—Шмидта  . (Г. Вейль, ). Пусть X — банахово пространство, A ∈ ∈ B(X),λ ∈ σ(A) \ σp(A)иB = A + K ,гдеK ∈ K(X). Доказать, что λ ∈ σ(B). .. Пусть Tr ∈ B(lp( )), p ∈ [1, ∞), — оператор правого сдвига, т. е . (Tr x)n = xn−1, n ∈ . Доказать, что σ(Tr) совпадает с единичной окружностью, и построить одномерный оператор K ∈ B(lp( )) та- кой, что σ(Tr + K) совпадает с единичным кругом. (См. пример . иср.сзадачей.). .. Пусть X — бесконечномерное банахово пространство, A,B ∈B(X), K ∈K(X). Доказать, что равенство AB −BA =I +K невозможно (т. е . компактное возмущение тождественного опера- тора не может быть коммутатором, ср. с задачей .). § . . Теорема Гильберта—Шмидта Теорема . (Д. Гильберт, ; Э. Шмидт, ). Пусть H — бес- конечномерное сепарабельное гильбертово пространство, A = A ∗ ∈ ∈ K(H ). Тогда существует ортонормированный базис {en } ∞ n=1 про- странства H , состоящий из собственных векторов оператора A: Aen = λn en . Ненулевые собственные значения вещественны и их мож- но занумеровать в порядке невозрастания модулей: |λ1| |λ2| ... ... |λn| ..., приэтом|λ1|= A иlim n→∞ λn=0. Ниже {λn( A)}∞ 1 всегда обозначает так упорядоченную последо- вательность собственных значений компактного самосопряжённо- го оператора A. Для несепарабельного гильбертова пространства H этутеорему можно сформулировать следующим образом. Теорема .. Пусть H — бесконечномерное гильбертово про- странство, а оператор A = A ∗ ∈ K(H ).ТогдаH можнопредста- вить в виде H = Ker( A) ⊥⊕ H1 ,гдеH1 — сепарабельное простран- ство, причём существует ортонормированный базис {en} ∞ n=1 про- странства H1, состоящий из собственных векторов оператора A: Aen = λ n en (λn ∈ , λn = 0). Эти собственные значения веществен- ны, и их можно занумеровать в порядке убывания модулей: |λ1| |λ2| ... |λn| ..., при этом |λ1| = A и limλn = 0.Вкаче- стве H1 можно взять Im A. Сепарабельность этого пространства следует из компактности оператора A. Из теоремы . следует, что в бесконечномерном гильбертовом пространстве спектр компактного самосопряжённого оператора A всегда состоит только из собственных значений и точки λ = 0, кото-
 Глава . Основы спектральной теории ограниченных операторов рая может либо быть также собственным значением, либо принад- лежать непрерывномуспектру. Теорема . означает также, что любой компактный самосопря- жённый оператор в пространстве l2 унитарно эквивалентен опера- тору A(x1, x2,...)= (λ1x1, λ2 x2,...), где {λn} ∞ 1 ∈ l∞ .Отсюдавытекает, что два компактных самосопряжённых оператора унитарно эквива- лентны тогда и только тогда, когда их спектры совпадают (с учётом кратности). Для любого A ∈ K(H )оператор A∗ A — компактный и самосопря- жённый, а согласно задаче . σ( A∗ A) ⊂ [0, +∞). Это позволяет определить следующие понятия. Определение .. Пусть H — гильбертово пространство, опера- тор A ∈ K(H ). Определим s-числа этого оператора: sn(A):= λn(A∗A), n = 1,2, ... (нумерация ведётся в порядке невозрастания и с учётом кратности). Будем говорить, что оператор A принадлежит классу Sp (H ) Нейма- на—Шаттена,если{sn} ∞ n=1 ∈ lp,1 p < ∞. Элементы класса S1(H) называют ядерными операторами. Для таких операторов опреде- лён ряд ∞ n=1 sn( A) =:tr(A), называемый следом оператора.Элементы класса S2(H ) называют операторами Гильберта—Шмидта.Вкаж- дом классе вводится норма ASp = Ap:= ∞ k=1 sk(A)p 1/p . Понятие ядерного оператора уже определялось в произвольном банаховом пространстве (см. определение .). Из утверждения за- дачи . ниже следует эквивалентность этих определений. Можно определить s-числа оператора и классы Неймана—Шаттена и для операторов, действующих из одного гильбертова пространства H1 в другое гильбертово пространство H2. В дальнейших задачах этого параграфа, если не оговорено про- тивное, гильбертовы пространства считаются бесконечномерными. Задачи .. Доказать теорему.. Указание. Использовать задачи . и .. . (Д. Гильберт, ; Э. Шмидт, ). Доказать, что в сепара- бельном гильбертовом пространстве компактный оператор может быть представлен в виде Ax= N i=1 si(A)(x, ψi)φi,
§ .. Теорема Гильберта—Шмидта  где N ∞, {ψi} — ортонормированный базис, {φi} — ортонормиро- ванная система. .. Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство, A ∈ ∈ K(H ). Доказать, что числа sk ( A) являются расстояниями от опера- тора A до множества всех (k − 1)-мерных операторов, т. е . sk(A) = inf rank Pk=k−1 A−Pk . В частности, s1 = A . . (Вариационный принцип Куранта—Фишера). Доказать, что для всякого компактного самосопряженного неотрицательного оператора A в гильбертовом пространстве H справедливы равен- ства λn=min{max{(Ax,x):x⊥X, x =1}:dimX=n−1}, где λn — собственные значения оператора A, занумерованные по невозрастанию с учетом кратности, а минимум берется по всем подпространствам размерности n − 1. . . Пусть A и B — компактные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве и 0 A B. Доказать, что λn( A) λn(B), где λn — собственные значения, занумерованные по невозрастанию с учетом кратности. .*. Пусть A и B — компактные операторы в гильбертовом пространстве H ,причёмImA ⊂ Im B. Доказать, что найдётся такое число C > 0, что sn(A) Csn(B)длявсехn ∈ . .. Пусть A ∈ B(L2[0, 1]) и Im A ⊂ ◦ WW1 2 [0, 1]. Доказать, что A ∈ K(L2[0,1]) и sn(A) Cn −1 для некоторого C > 0илюбогоn ∈ . . ◦ . Дана последовательность sk 0, sk 0. Доказать, что су- ществует такой оператор A ∈ K(l2), что sk ( A) = sk для любого k 1. .. Пусть H — бесконечномерное сепарабельное гильберто- во пространство, A ∈ K(H), {sk }∞ 1 — s -числа оператора A,{en } ∞ 1— произвольный ортонормированный базис в H . Доказать, что ∞ k=1 s 2 k= = ∞ n=1 Aen 2 (т. е . либо оба ряда расходятся, либо оба ряда сходятся и их суммы равны). .. Пусть H1 и H2 — сепарабельные гильбертовы простран- ства, A ∈ K(H1, H2), {en} ∞ 1 — ортонормированный базис в H1 .Дока- зать, что A 2 ∞ n=1 Aen 2. .. Пусть H1 и H2 — сепарабельные гильбертовы простран- ства, A ∈ B(H1, H2), {en} ∞ 1 — ортонормированный базис в H1.Дока- зать, что если ряд ∞ n=1 Aen 2 сходится, то A компактен.
 Глава . Основы спектральной теории ограниченных операторов .. Пусть H — бесконечномерное сепарабельное гильберто- во пространство, A ∈ K(H ). Доказать эквивалентность следующих утверждений: ()A∈S2(H), т.е. ряд ∞ k=1 s2 k ( A)сходится; () для некоторого ортонормированного базиса {en} ∞ 1 впро- странстве H ряд ∞ n=1 Aen 2 сходится; () для любого ортонормированного базиса {en } ∞ 1 в простран- стве H ряд ∞ n=1 Aen 2 сходится; () для матричных элементов a jk = ( Ae j , ek ) оператора A внеко- тором ортонормированном базисе {en} ∞ 1 пространства H выполне- но неравенство ∞ j,k=1 |ajk|2 < ∞; () для матричных элементов a jk = ( Ae j , ek ) оператора A впроиз- вольном ортонормированном базисе {en} ∞ 1 пространства H выпол- нено неравенство ∞ j,k=1 |ajk|2 < ∞. Доказать, что если оператор A удовлетворяет этим условиям, то сум- мы всех указанных рядов совпадают. .◦ . Пусть H — сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство. Доказать, что множество S2(H )являетсянезамкну- тым (по норме B(H )) линейным подпространством пространства K(H). .. Пусть H — сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство. Доказать, что норма в S2(H )порождаетсяскалярным произведением (A, B)S2(H) = ∞ j,k=1 ajk ̄ bjk, где ajk = (Aej, ek)иbjk = (Bej, ek) — матричные элементы операто- ров A и B в произвольном ортонормированном базисе {en } ∞ 1 про- странства H . Доказать, что то же самое скалярное произведение можно задать по правилу (A, B)S2(H) = ∞ k=1 sk(A∗B). .. Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство. До- казать, что S2(H ) — гильбертово пространство со скалярным про- изведением, определённым в предыдущей задаче.
§ .. Теорема Гильберта—Шмидта  .. Доказать, что оператор A в пространстве L2[0, 1] является оператором Гильберта—Шмидта тогда и только тогда, когда ( Ax)(t) = 1 0 K(t, s)x(s) ds, где K ∈ L2([0, 1]2). Доказать, что отображение A → K является уни- тарным изоморфизмом пространств S2(L2[0, 1]) и L2([0, 1]2)(в частности, A 2 S2(L2 [0,1]) = 1 0 1 0 |K(x, t)|2 dxdt). .. Доказать, что всякий ограниченный линейный оператор в пространстве L2[0, 1] имеет вид (Ax)(t) = d dt 1 0 K(t, s)x(s)ds для некоторой функции K ∈ L2([0, 1]2). .. Доказать, что класс Sp( X ) ядерных операторов в бана- ховом пространстве X (см. определение .) совпадает с классом S1(H ), если пространство X = H —гильбертово. .. Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство и A ∈ S1(H ). Доказать, что для произвольного ортонормированно- го базиса {ek }∞ k=1 ряд ∞ k=1 (Aek, ek) сходится, и его сумма не зависит от выбора базиса {ek }∞ k=1 . Сумму ∞ k=1 ( Aek , ek ) называют следом оператора A иобозначают tr( A)(иногдаsp(A)). Операторы из класса Sp( X ) = S1(H ) называют также операторами со следом. .. Доказать, что для оператора A ∈ S1(H ) = Sp(H )справедли- вы равенства A Sp(H) = ∞ k=1 sk(A) = sup U —унитарный ∞ k=1 (UAek, ek) , где {ek}∞ k=1 — произвольный ортонормированный базис (определе- ние A Sp(H) см. в задаче .). .. Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство. До- казать, что Sp(H ) — линейные подпространства в K(H )ивB(H ). Доказать, что Sp (H ) — незамкнутые двусторонние идеалы в B(H ). . . Пусть A, B ∈ S2(H). Доказать, что AB ∈ S1(H). .. Пусть T — интегральный оператор в пространстве L2[0, 1], (Tx)(t) = 1 0 K(t, s)x(s) ds,причёмK( · , · ) ∈ L2([0, 1]2)иприпочти
 Глава . Основы спектральной теории ограниченных операторов всех s ∈ [0, 1] функция t → K(t , s) удовлетворяет условию Липшица: |K(t2, s) − K(t1, s)| C(s)|t2 − t1| для всех t1, t2 ∈ [0, 1], где функция C( · ) ∈ L2[0, 1]. Доказать, что T является ядерным оператором. До- казать, что если функция K ещё и непрерывна на ква драте [0, 1]2, то tr(T) = 1 0 K(t, t)dt. . (Пример Т. Карлемана). Привести пример не ядерного ин- тегрального оператора в пространстве L2[0, 1] с непрерывным яд- ром. .. Существуют ли: а) такой ядерный оператор A и такой ортонормированный базис {en} ∞ 1 в гильбертовом пространстве, что ∞ n=1 Aen =+∞; б) такой ограниченный, но не ядерный оператор A и такой ор- тонормированный базис {en } ∞ 1 ,что(Aen , e n) = 0длявсехn ∈ ипо- тому ∞ n=1 (Aen, en)<∞? . ◦ . Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство и A ∈ K(H), A 0. Пусть λk( A) — собственные значения операто- ра A, занумерованные в порядке невозрастания. Доказать, что λk(A) = sk(A). .◦ . Пусть A и B — компактные операторы в гильбертовом пространстве H ,причёмImA ⊂ Im B. Доказать, что если B ∈ Sp(H), тои A∈Sp(H). Пример .. При каждом α ∈ (0, 1/2) определить, каким клас- сам Неймана—Шаттена принадлежит оператор Kα: x(t)→ π −π x (s) |t−s|αds, действующий в пространстве L2[−π, π]. Решение. Прежде всего заметим, что функция |t − s|−α суммиру- ема в квадрате на [−π, π] 2 вточностиприα<1/2, а значит, при всех заданных в условии значениях параметра α оператор Kα ком- пактен и принадлежит классу S2 (см. задачу.). Далее, разложим функцию |ξ|−α в ряд по системе экспонент: |ξ|−α = 1 2π n∈ an (α)e inξ . Тогда действие оператора Kα примет вид (Kαx)(t)= 1 2π n∈ an (α) π −π x(s)e in(t−s) ds = n∈ an(α)xne int ,
§ .. Теорема Гильберта—Шмидта  гдеxn= 1 2π π −π x (t)e−int dt. Таким образом, оператор Kα унитарно эквивалентен оператору Tα , действующему в пространстве l2( )по правилу Tα(..., x−1, x0, x1,...)=(..., a−1x − 1, a0x0, a1x1,...), азначит,Kα ∈ Sp в точности тогда, когда сходится ряд n∈ |an|p .Вы- ясним асимптотическое поведение чисел an . Имеем an= 1 2π π −π e−inξ |ξ|α dξ = |n|α−1 2π π|n| − π|n| e−iτ |τ|α dτ = = |n|α−1 2π ∞ −∞ e−iτ |τ|α dτ − |τ|>π|n| e−iτ |τ|α dτ = C|n| α−1 (1 + o(1)), посколькуфункция e−i τ|τ|−α интегрируема на при всех α ∈ (0, 1/2). Таким образом (по признакуВейерштрасса), ряд n∈ |an| p сходит- ся тогда и только тогда, когда сходится ряд n=0 1 |n| p(1−α) ,т . е.при p> 1 1−α . Итак, оператор Kα ∈ Sp при всех p > 1 1−α .Вчастности, при всех α ∈ (0, 1/2) оператор Kα не является ядерным. .. Найти нормуоператора интегрирования ( Ax)(t) = t 0 x(s)ds в L2[0, 1]: а) с помощью задачи .; б) разложив функцию x (s)врядпосистеме{cos(π(k − 1/2)s)}∞ 1 (см. задачу.). Определить, каким классам Неймана—Шаттена принадлежит этот оператор. .. Найти полярное разложение A = WS для оператора из за- дачи . . .. Найти нормы операторов в L2[−b, b]: а) (Ax)(t) = t −b x (s) ds;б)(Ax)(t) = b t x(s) ds; в) (Ax)(t) = t 0 x (s) ds.
 Глава . Основы спектральной теории ограниченных операторов .. Найти спектр интегральных операторов в L2[0, π]сяд- ром а)K(t,s)= ∞ n=1 2−n sin nt sin ns;б)K(t, s) = ∞ n=0 2−n cos nt cos ns; в)K(t,s)= ∞ n=1 2−n cos nt cos ns. Определить, каким классам Неймана—Шаттена принадлежат эти операторы. .. Найти спектр интегральных операторов в L2[0, 1] с ядром а) K(t, s) = min(t, s); б) K(t, s) = max(t, s) (сравните с задачей .). Определить, каким классам Неймана— Шаттена принадлежат эти операторы. § .. Основные типы операторов на примерах .. Для оператора A(x1, x2,...) = (λ1x1, λ2 x2,...) в простран- стве l2 ,гдеλ := {λn} ∞ 1 ∈ l∞, найти критерии для следующих утвер- ждений в терминах последовательности λn: а) A ∈ K(l2); б)A∈Sp(l2),p∈[1,∞); в) A ∈ IB(l2); г) A∈F(l2); д) A — самосопряжённый оператор; е) A — унитарный оператор; ж) A — проектор; з) A — ортогональный проектор; и) A — частичная изометрия; к) A — положительный оператор; л) A — нормальный оператор; м) A — ортогональное отражение. .. Для оператора Af(x ) = a( x) f (x)впространствеL2[0, 1], где a ∈ L∞[0, 1], найти критерии для следующих утверждений в тер- минах функции a: а) A ∈ K(L2[0, 1]); б) A ∈ S1(L2[0, 1]); в) A ∈ IB(L2[0, 1]); г) A∈F(L2[0,1]); д) A — самосопряжённый оператор; е) A — унитарный оператор; ж) A — проектор; з) A — ортогональный проектор;
§ . . Основные типы операторов на примерах  и) A — частичная изометрия; к) A — положительный оператор; л) A — нормальный оператор; м) A — ортогональное отражение.
Глава  Функциональное исчисление и спектральная теорема § .. Функциона льное исчис ление ограниченного оператора Линейные операторы, действующие в банаховом пространстве X , можно подставлять в качестве аргументов различных функций. Од- нако не во всякую функцию можно подставить произвольный опе- ратор. А именно, чем шире класс M функций f ,тем́ уже класс опе- раторов A ∈ B( X ), для которых можно определить f ( A). Первым и самым простым шагом является определение для любого A ∈ B( X ) имногочлена p(z) = n k=0 ak z k оператора p( A):= n k=0 akAk(т.е. M — множество всех многочленов). Отображение φ : M → B( X ), φ( f ) = = f ( A), всегда является гомоморфизмом и называется функциональ- ным исчислением. Задачи . (Теорема об отображении спектра для многочленов). Дока- зать, что для ограниченного оператора A в банаховом пространстве и для многочлена p справедливо соотношение σ(p( A)) = p(σ( A)). .. Пусть X — банахово пространство, A ∈ B(X )и A ∈σ( A). Доказать,что I+A =1+A . . . Пусть A — ограниченный оператор в банаховом простран- стве X ,аr(z) = p(z) q(z) , z ∈ ,гдеp и q —многочлены, и пусть q(z) не имеет нулей на спектре оператора A. Доказать, что для любого z ∈ σ( A) справедливо соотношение σ(r(A)) = r(σ(A)) (здесь r ( A):= p( A)(q( A))−1 ). Следующим шагом является определение голоморфной функ- ции f от оператора A. Заметим, что в этом случае область голо- морфности функции f должна содержать σ( A).
§ .. Функциональное исчисление ограниченного оператора  Те ор е м а   .  (спектральная теорема в терминах голоморфного исчисления, Н. Данфорд1) ,). Пусть X — банахово простран- ство, A ∈ B(X),Ur = {z ∈ : |z| < r}(в частности, если r = ∞,то Ur = ).Пусть A < r . Тогда существует единственный непрерыв- ный гомоморфизм φ : A(Ur ) → B( X ),сопоставляющийвсякойголо- морфной функции f ∈ A(Ur) оператор f ( A) ∈ B( X ) иудовлетворяю- щий свойствам ()—(): () φ(1) = I(здесь1 — функция, тождественно равная единице в круге Ur ); () φ(z) = A; () φ(f + g) = φ(f)+ φ(g), φ(fg) = φ(f)◦ φ(g),f ,g∈A(Ur) (условия гомоморфизма); () φ — линейный непрерывный оператор из A(Ur) в B( X )(т. е. если последовательность функций { fn} ∞ 1 из A(Ur) сходится к f ∈ ∈ A(Ur) равномерно на каждом компакте в Ur ,тооператоры fn( A)⇒ ⇒ f(A) в B(X)); Этот гомоморфизм удовлетворяет дополнительному условию: () если некоторый ограниченный оператор B коммутирует с A, то он коммутирует и с любым оператором f ( A). . . Доказать теорему. . .* (Теорема об отображении спектров). Пусть X — банахо- во пространство, A ∈ B( X ). Пусть f (z)—голоморфная в (целая) функция. Доказать, что σ( f ( A)) = f (σ( A)). .. Пусть X — банахово пространство, A ∈ B( X )иλ0 ∈ σ( A2). Верно ли, что λ0 ∈ σ( A) (хотя бы для одного значения корня)? Вер- но ли это утверждение с заменой σ на σp, σc или σr? .. Найти спектр оператора A, действующего по правилу Ax = = (x1+x2,−x2+x3,x3+x4,−x4+x5,...)впространствеlp, p∈[1,∞] (провести классификацию спектра, определив точечный, непрерыв- ный и остаточный спектр). Указание. Рассмотреть A2 и воспользоваться задачей .. .. Найти оператор f ( A), где f —целаяфункция, A ∈ B(Lp[0,1]), p ∈ [1, ∞], (Ax)(t) = a(t)x(t), где a ∈ L∞[0,1]. Пример .. Пусть Tr ∈ B(l2( )) — оператор правого сдвига: Tr(..., x−1 −1 ,x0 0 ,x1 1 ,...)= (..., x−2 −1 , x−1 0 ,x0 1 ,...). Найти оператор A ∈ B(l2( )) со свойством eA = Tr . 1) На самом деле в теореме Данфорда рассматривается более общая ситуация, ко- гда функция f аналитична в некоторой облас ти D ∈ , содержащей спектр операто- ра A.
 Глава . Функциональное исчисление и спектральная теорема Решение. Положим U ∈ B(l2( ), L2[−π, π]), U :(...,x−1, x0, x1,...)→ 1 2π n∈ xne int . Этот оператор является унитарным изоморфизмом, и легко видеть, что UTr U −1 :x(t)→e it x (t). Тогда (см. задачу.) UTr U −1 = exp(B), где (Bx)(t) = itx(t). Отсюда Tr=U −1 e B U=U −1 ∞ k=0 1 k!Bk U= ∞ k=0 1 k!(U−1 BU)k=e U−1 BU , т. е . искомый оператор A = U − 1 BU . Найдём действие этого операто- ра в явном виде: (Ax)n = 1 2π π −π it k∈ xk eikte − int dt= k∈ xkan−k , гдеal= 1 2π π −π ise − ilsds= (−1)l+1 l приl=0иa0=0. . . Пусть X — банахово пространство, A ∈ B( X ). Доказать, что операторная функция U (t) = exp(tA), t ∈ , дифференцируема и U (t)= AU(t)=U(t)A. .. Пусть X — банахово пространство, A ∈ B( X ). Доказать, что exp( A) e A . Доказать, что exp( A) — обратимый оператор и его обратный есть exp(− A). .. Пусть A — оператор интегрирования: ( Ax)(t) = t 0 x (s) ds, рассматриваемый в а) C[0, 1]; б) L2[0, 1]. Найти exp( A). .. Пусть X — банахово пространство, A ∈ B( X ). Сходятся ли (равномерно) операторы I + 1 n A n коператоруexp(A)при n→∞? .. Пусть X — банахово пространство, A, B ∈ B(X ). Доказать, что если AB = BA,тоexp(A + B) = exp( A)exp(B). Привести пример неперестановочных операторов A и B, для которых exp( A + B) = = exp( A)exp(B). .. Пусть X — банахово пространство, A ∈ B( X ). Верно ли, что (sin( A))2 + (cos( A))2 =I? .. Пусть X — банахово пространство, A ∈ B( X ). Доказать, что еслиλ∈σp(A),тоe λ ∈ σp(exp(A)). Пусть μ ∈ σp(exp(A)) и λ ∈ та- ково, что eλ = μ.Верноли,чтоλ ∈ σp(A)? .*. Можно ли представить оператор сдвига A ∈ B(L2( )), Ax(t)=x(t+a),a=0,ввидеA=exp(B)?
§ .. Исчисление по самосопряженномуоператору  § . . Функциональное исчис ление, пос троенное по самосопряжённому оператору Для многих приложений голоморфных функций недостаточно. Чтобы расширить класс рассматриваемых функций, приходится ограничивать класс операторов. Рассмотрим непрерывные функ- ции и самосопряжённые операторы в гильбертовом пространстве. .. Доказать, что для самосопряжённого оператора A вгиль- бертовом пространстве и многочлена p(x ) p(A) B(H) = max λ∈σ(A) |p(λ)|. Привести пример, показывающий, что для произвольного несамо- сопряжённого оператора это утверждение неверно. Доказать это утверждение для произвольного нормального оператора A (исполь- зовать задачу.). .. Пусть A = A ∗ и σ(A) = {0; 1}. Доказать, что оператор A — ортопроектор. .. Пусть A = A ∗ и σ(A) ={−1;1}. Найти A−1 . На основании задачи . можно доказать следующую теорему. Те ор е м а  .  (спектральная теорема в терминах функциональ- ного исчисления для непрерывных функций, Д. Гильберт, ; Ф. Рисс, ). Для любого самосопряжённого оператора A в гиль- бертовом пространстве H существует единственный непрерывный гомоморфизм φ алгебры C (σ( A)) в B(H ), обладающий свойствами ()—(): ()φ(f(x)≡1)=I; ()φ(f(x)≡x)=A; () φ(f + g)=φ(f)+φ(g), φ(fg)=φ(f)◦φ(g)(условия гомо- морфизма); () φ — линейный непрерывный оператор из C(σ( A)) в B(H ) (т. е . если последовательность функций { fn} ∞ 1 из C(σ( A)) сходится кf∈ C(σ(A)),то fn(A) ⇒ f(A)). Этот гомоморфизм также обладает следующим свойствами: () φ(f) B(H) = max x∈σ(A) | f (x)| (усиление свойства непрерывности гомоморфизма φ); () если некоторый ограниченный оператор B коммутирует с A, то он коммутирует и с любым оператором f ( A); ()φ(̄f)=(φ(f))∗ . Теорема . обобщается на более широкий класс функций. Но непрерывность гомоморфизма понимается в более слабом смысле (см. пункты () теорем . и .).
 Глава . Функциональное исчисление и спектральная теорема Те ор е м а  .  (спектральная теорема в терминах функциональ- ного исчисления для ограниченных борелевских функций, Д. Гиль- берт, ; Ф. Рисс, ). Для любого самосопряжённого операто- ра A в гильбертовом пространстве H существует единственный непрерывный гомоморфизм алгебры B(σ( A)) ограниченных борелев- ских функций в B(H ), обладающий свойствами ()—(): ()φ(f(x)≡1)=I; ()φ(f(x)≡x)=A; () φ(f + g)=φ(f)+φ(g), φ(fg)=φ(f)◦φ(g)(условия гомо- морфизма); () если fn(x) Cи fn(x) → f (x) вкаждойточкеx∈ [a, b],то φ( fn) s → φ(f). Этот гомоморфизм также обладает следующими свойствами: () φ(f) B(H) = sup x ∈σ(A) |f(x)|; () если некоторый ограниченный оператор B коммутирует с A, то он коммутирует и с любым оператором f ( A); ()φ(̄f)=(φ(f))∗ . . . Пусть H — гильбертово пространство, A — самосопря- жённый оператор и λ ∈ ρ( A). Доказать, что справедлива оценка Rλ(A) 1 dist(λ, σ( A)) : а) с помощью задачи .; б) с помощью теоремы . . .. Пусть H — гильбертово пространство, A — самосопряжён- ный оператор. Доказать, что его преобразование Кэли U=(A−iI)(A+iI)−1 определено и является унитарным оператором. Доказать, что A = = i(I+U)(I−U)−1 . Определение . . Операторнозначная функция U (t), t ∈ ,вба- наховом пространстве X называется сильно непрерывной однопа- раметрической операторной группой,если )U(0)=I; ) U(t + s) = U(t)U(s)привсехs, t ∈ ; ) lim t→t0 U(t)x − U(t0)x = 0длявсехx ∈ X. Если в гильбертовом пространстве дополнительно выполнено усло- вие ) для любого t ∈ оператор U (t) унитарен, то такая группа называется унитарной. Если свойство  выполнено для любых s, t ∈ и для любого t0 ∈ существует такой оператор A,что lim t→t0 U(t) −U(t0) t−t0 = iAU(t0),
§ .. Исчисление по самосопряженномуоператору  то такая операторная группа называется голоморфной ( -диффе- ренцируемой). В этом случае оператор A называется генератором группы. .. Пусть H — гильбертово пространство, A — самосопряжён- ный оператор в H .ПоложимU (t):= exp(itA) = ∞ k=0 (itA)k k! ,t∈ .Дока- зать, что U (t) является голоморфной операторной группой с генера- тором A. . . Пусть H — гильбертово пространство, A — самосопря- жённый оператор в H , φ[a,b] и φ[c,d] —функциональные исчисле- ния для непрерывных функций на отрезках [a, b]и[c, d], причём a c<d b и σ(A)⊂[c,d], τ: C[a,b]→C[c,d]—оператор суже- ния. Доказать, что φ[a,b] = φ[c,d]τ, т. е. функциональные исчисления на указанных отрезках согласованы. .. Пусть H — гильбертово пространство, A — самосопряжён- ный оператор в H . Доказать согласованность функциональных ис- числений непрерывных и голоморфных функций. А именно, если f — голоморфная функция в круге, содержащем σ( A), то оператор f ( A), построенный в соответствии с теоремой ., совпадает с опе- ратором, построенным в соответствии с теоремой . . .. Пусть H — бесконечномерное гильбертово пространство, A — самосопряжённый оператор. Доказать, что если A компактен, а f — функция, определённая и непрерывная на σ( A), то оператор f ( A) компактен тогда и только тогда, когда f (0) = 0 (сравните с за- дачей .). .. Пусть f ∈ C( )иH — гильбертово пространство. Найти f ( A)вслучае: а)A=I; б) A — ортогональный проектор; в)H=l2 иA(x1,x2 ,..., xn) = (λ1x1, λ2 x2,...), где все λn веще- ственны и {λn} ∞ 1 ∈l∞; г) H = L2[0, 1] и Ax(t) = a(t)x(t), где a ∈ L∞[0, 1] — веществен- ная функция. .. Пусть A — самосопряжённый компактный оператор в гиль- бертовом пространстве H и f ∈ C( ). Найти матрицуоператора f ( A) в базисе из собственных векторов оператора A (см. теоре- му.). .. Пусть H — гильбертово пространство, A — ограниченный самосопряжённый оператор в H , σ( A) ⊂ [a, b]и f ∈ C[a, b]. Дока- зать, что для функционального исчисления, построенного по опе- ратору A на отрезке [a, b], справедлива теорема об отображении спектров: σ( f (A)) = f (σ( A)).
 Глава . Функциональное исчисление и спектральная теорема .. Пусть A и B — подобные самосопряжённые операторы в B(H ), где H — гильбертово пространство (т. е. AC = CB для некото- рого C ∈ IB(H )). Пусть отрезок [a, b] содержит спектры операторов A и B. Доказать, что для любой f ∈ C[a, b] операторы f(A)и f(B) подобны, причём подобие осуществляется посредством того же опе- ратора C . .. Пусть A 0 в гильбертовом пространстве H ,инепрерыв- ная на отрезке [a, b] ⊇ σ( A)функция f также неотрицательна. До- казать, что f ( A) 0. .. Пусть ограниченные самосопряжённые операторы A и B, действующие в гильбертовых пространствах H1 и H2 соответствен- но, подобны. Доказать, что они унитарно эквивалентны, т. е. опе- ратор U ∈ B(H1, H2), осуществляющий подобие (UA = BU ), является изометрическим изоморфизмом. .. Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве H ,отрезок[a, b] содержит σ( A). Доказать, что а) если f g,то f(A) g(A); б)если|f| |g|,то f(A)x g(A)x для любого x ∈ H. .. Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве H . Доказать, что | A| = A2. Доказать, что полярное разложение самосопряжённого оператора в H имеет вид A = | A|W = = W | A|,гдеW — частичная изометрия (см. определения . и .). .. Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве H . Доказать, что KerA=Ker|A|={x∈H:(|A|x,x)=0}. .. Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве H , f ∈ C[a, b] — вещественнозначная функция. Дока- зать, что 1) а)f(A)=f+(A)−f − ( A); б) f+(A)f−(A) = f − (A)f+(A) = 0; в) f(A) = max{ f+(A) , f−(A) }. .. Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве H , f ∈ C[a, b] — вещественнозначная функция. Дока- зать, что а) Im( f+(A)) ⊥ Im( f−(A)); б) Ker(f+(A)) + Ker(f−(A)) = H; в) Ker(f(A)) = Ker(f+(A)) ∩ Ker(f−(A)). .*. Построить функциональное исчисление (для непрерывных функций) от унитарного оператора U в гильбертовом простран- 1)Здесь f+(x) = max(f(x),0), а f−(x) = − min(f(x),0).
§ . . Спектральная теорема в терминах интеграла  стве H . А именно, доказать, что существует единственный непре- рывный гомоморфизм φ алгебры C(σ(U )) в B(H ), обладающий свойствами ()—(): ()φ(f(x)≡1)=I; ()φ(f(x)≡x)=U; () φ(f + g)=φ(f)+φ(g), φ(fg)=φ(f)◦φ(g)(условиягомо- морфизма); () φ — линейный непрерывный оператор из C(σ(U )) в B(H ) (т. е. если последовательность функций { fn} ∞ 1 из C(σ(U )) сходится к f ∈ C(σ(U)), то fn(U)⇒ f(U)). Этот гомоморфизм также обладает свойствами () (φ( f))∗ = φ(g), где g(x) = ̄ f (1/x); () φ(f) B(H) = max t∈σ(U) | f (t)| (усиление свойства непрерывности гомоморфизма φ); () если некоторый ограниченный оператор V коммутирует с U , то он коммутирует и с любым оператором f (U ). Указание. Используя теорему ., доказать вначале, что для любой непрерывной функции f на единичной окружности T = = {z ∈ : |z| = 1} и любого >0 существует такой многочлен P(z) = = a−Nz −N + a−N+1z −N+1 +...+aNz N ,что max |z|=1 |f(z)−P(z)|= f −P C(T)< . § . . Спектральная теорема в терминах интеграла Лебега—Стилтьеса Определение . . Пусть заданы множество M, некоторая σ-ал- гебра Σ подмножеств M, а также гильбертово пространство H . Отображение E : Σ → B(H ) называется проекторнозначной мерой на (M, Σ) со значениями в B(H ), если выполнены следующие усло- вия: () E(Ω) = E(Ω)∗ для любого Ω ∈ Σ; () E(Ω1 ∩ Ω2) = E(Ω1)E(Ω2) для любых Ω1, Ω2 ∈ Σ; () E(Ω1 Ω2) = E(Ω1) + E(Ω2) для любых непересекающихся Ω1,Ω2∈Σ; () если Ωn ∈ Σ исуществует lim n→∞ Ωn =Ω (т. е . индикаторы мно- жеств Ωn поточечно сходятся к индикаторумножества Ω), то E(Ωn) s → s → E(Ω). Из () и () следует, что E(Ω) — ортогональный проектор для лю- богоΩ∈Σ.
 Глава . Функциональное исчисление и спектральная теорема Если Σ совпадает с борелевской σ-алгеброй B( ), то проектор- нозначную меру E называют борелевской. По проекторнозначной мере, определённой на борелевской σ-ал- гебре B( ), можно определить интеграл Лебега—Стилтьеса со зна- чениями в B(H). Если f —простая, т.е. f = n k=1 ck χΩk , Ωk∈B( ),то f(λ)dEλ := n k=1 ck E(Ωk). Если же f — борелевская ограниченная функция и последовательность простых функций { fn}сходитсяк f поточечно, то можно доказать, что последовательность fn(λ) dEλ сходится в смысле сильной операторной сходимости к некоторому оператору, называемому f (λ) dEλ, который не зависит от выбора последовательности { fn}. Те ор е м а   .  (спектральная теорема в терминах интеграла Ле- бега—Стилтьеса). Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбер- товом пространстве H . Существует борелевская проекторнознач- ная мера E на со значениями в B(H ), обладающая свойством f(A)= σ( A) f (λ) dEλ для любой борелевской ограниченной функции f . В частности, A= σ( A) λ dEλ. Эта мера определяется в соответствии с теоремой . следую- щим образом: для любого борелевского множества Ω полагает- ся E(Ω):= χΩ( A),гдеχΩ — характеристическая функция множе- ства Ω. Определение . . Меру E, связанную с оператором A, называ- ют спектральной мерой оператора A,атакжеразложением единицы оператора A.ЧерезEλ в дальнейшем мы будем обозначать проек- торы E((−∞, λ)), а через Hλ семейство подпространств Hλ := Eλ H , ассоциированных с оператором A. Задачи .. Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве H ипусть f , g ∈ C( ) — две функции, тождественно совпадающие на луче t λ. Доказать, что ( f (A) − g(A))Eλ = 0. .. Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве H ,а Eλ — разложение единицы для оператора A.До- казать следующие свойства: а) если λ<min σ(A), то Eλ = 0; если λ>maxσ(A), то Eλ = I;
§ . . Спектральная теорема в терминах интеграла  б) если λ<μ,то Eλ Eμ; в) для любого x ∈ H выполнено равенство Eλ x = lim μ→λ−0 Eμx; г) все операторы Eλ коммутируют с операторами f ( A), где f ∈ ∈ C( ) (в частности, с самим оператором A). .. Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве H . Доказать, что семейство подпространств Hλ , ассо- циированных с оператором A, обладает следующими свойствами: а) если λ<min σ(A), то Hλ = {0}; если λ>max σ(A), то Hλ = H; б) если λ<μ,тоHλ ⊆ Hμ; в) для любого λ ∈ выполнено равенство Hλ = μ<λ Hμ; г) все пространства Hλ инвариантны относительно f ( A) для лю- бой f ∈ C( ) (в частности, они инвариантны относительно опера- тора A). .*. Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве H . Доказать, что: а) число λ ∈ σ( A) тогда и только тогда, когда оно является точ- кой возрастания семейства Hλ (т. е. в любой окрестности точки λ найдётся точка μ,длякоторойHλ = Hμ); б) число λ ∈ σp( A) тогда и только тогда, когда оно является точ- кой разрыва семейства Hλ (т. е. μ>λ Hμ = Hλ). .. Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве H. Доказать, что если λ ∈ σess( A) (см. определение .) или λ ∈ σc ( A), то уоператора A − λI существует ортонормирован- ная последовательность Вейля (сравнить с задачей .). .. Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве H . Доказать, что σess(A) ={λ ∈ :rank(Eλ+ − Eλ) = ∞ для любого >0}. Доказать, что если λ ∈ σ( A) \ σess ( A), то λ — изолированное соб- ственное значение оператора A конечной кратности. .. Найти семейство проекторов Eλ иподпространствHλ ,ас- социированных с оператором P ортогонального проектирования на некоторое подпространство Y ⊂ H . .. Найти семейство проекторов Eλ иподпространствHλ ,ас- социированных с оператором A, заданным в l2(n)матрицей A= ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ λ1 0...0 0λ2...0 .................. 00...λn ⎞ ⎟ ⎟ ⎠,
 Глава . Функциональное исчисление и спектральная теорема где все числа λi, i = 1, ..., n, вещественны и попарно различны. Как изменится ответ, если среди чисел λi есть одинаковые? Пример .. Найти семейство проекторов Eλ иподпространств Hλ , ассоциированных с оператором A ∈ B(L2[0, 1]), (Ax)(t) = (1 − 2t)x(t). Решение. Легко видеть, что σ(A) = [−1, 1], а значит, Eλ = 0при λ<−1иEλ = I при λ>1. Соответственно, Hλ = 0приλ<−1и Hλ = H при λ>1. В соответствии с результатом задачи . г), для произвольной непрерывной функции f выполнено f ( A): x(t) → → f (1 − 2t)x(t). Переходя к пределу f (t) → χ(−∞,λ)(t)почтивсюду на [−1, 1], имеем Eλ : x(t) → χ((1−λ)/2,1](t)x(t), так как сужение χ(−∞,λ)(1 − 2t)наотрезок[−1, 1] есть χ((1−λ)/2,1] (t). Таким образом, при λ ∈ [−1,1] подпространство Hλ есть подпро- странство функций из L2[0, 1] с носителем на [(1 − λ)/2, 1], а опе- ратор Eλ есть оператор ортогонального проектирования на это под- пространство. .. Найти семейство проекторов Eλ иподпространствHλ ,ас- социированных с оператором A: L2[0, 1] → L2[0, 1], ( Ax)(t) = tx(t). .. Найти семейство проекторов Eλ иподпространствHλ, ассоциированных с оператором A(x1, x2,...)= (λ1x1, λ2 x2,...) в про- странстве l2,где{λk }∞ 1 — ограниченная вещественная последова- тельность. .. Найти семейство проекторов Eλ иподпространствHλ ,ас- социированных с оператором, заданным матрицей: а) A= 02 20;б)A = 21 12;в)A = 0−i i0; г)A= ⎛ ⎜ ⎝ 010 10 −i 0i0 ⎞ ⎟ ⎠. .. Пусть a — непрерывная строго возрастающая функция на [0, 1]. Найти семейство проекторов Eλ иподпространствHλ , ассоци- ированных с оператором A : L2[0, 1] → L2[0, 1], Ax(t) = a(t)x(t). . . Описать семейство проекторов Eλ иподпространствHλ, ассоциированных с самосопряжённым компактным оператором A в гильбертовом пространстве (в терминах собственных значений и собственных векторов). .*. Найти семейство проекторов Eλ иподпространствHλ ,ас- социированных с оператором A ∈ B(L2[−1, 1]), ( Ax)(t) = t 2 x (−t). Указание. Разложить пространство H = L2[−1, 1] в ортогональ- нуюсуммуH=H1 ⊥ ⊕ H2 подпространств всех чётных и нечётных
§ . . Спектральная теорема в терминах интеграла  функций и построить спектральные разложения для операторов A1:=A|H1 иA2:=A|H2 по отдельности. .*. Пусть A — ограниченный оператор в гильбертовом про- странстве H и для любого ортонормированного базиса {en} ∞ 1вH выполнено Aen →0приn → ∞. Доказать, что оператор A компак- тен (ср. с задачами . и .). Указание. Свести задачук самосопряжённомуоператоруA∗ A и использовать спектральную теорему. . . Доказать, что любой самосопряжённый оператор A вгиль- бертовом пространстве H можно с любой точностью приблизить ко- нечными линейными комбинациями ортогональных проекторов в пространстве B(H). .. Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве H ,аB — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве K .ПустьHλ и Kλ — семейства подпространств, ассо- циированные с операторами A и B. Доказать, что операторы A и B подобны (унитарно эквивалентны), т. е. BC = CA для некоторого C ∈ IB(H , K)(C — унитарный оператор из H в K)тогдаитолько тогда, когда C осуществляет биекцию (унитарный изоморфизм) HλиKλдлялюбогоλ∈ . .. Пусть U — унитарный оператор в гильбертовом простран- стве H . Доказать, что существует единственная проекторнозначная мера Eλ на окружности = {z ∈ : |z| = 1} со значениями в B(H), для которой справедливо равенство f(U)= 2π 0 f(eiλ)dEλ для любой борелевской ограниченной функции f на . .. Пусть U — унитарный оператор в гильбертовом простран- стве H . Доказать, что 1 n n k=1 Uks → P ,гдеP — ортопроектор на подпро- странство Ker(U − I ). .. Пусть A и B — самосопряжённые операторы в гильберто- вом пространстве H и Eλ , Fμ — их разложения единицы соответ- ственно. Доказать, что A и B коммутируют тогда и только тогда, когда EλFμ = FμEλ для любыхλ,μ∈ . .. Пусть M1 и M2 — полные метрические сепарабельные пространства, Σ1 и Σ2 — σ -алгебры борелевских множеств на этих пространствах. Пусть на (M1, Σ1)и(M2, Σ2) заданы соответствен- но борелевские разложения единиц E (1) и E (2) , значениями которых являются ортогональные проекторы в одном и том же гильберто- вом пространстве H . Пусть эти разложения единиц коммутируют,
 Глава . Функциональное исчисление и спектральная теорема т. е . для всех Ωi ∈ Σi (i = 1, 2) E(1)(Ω1)E(2)(Ω2) = E(2)(Ω2)E(1)(Ω1). На декартовом произведении M := M1 × M2 определим Σ — борелев- скую σ-алгебру подмножеств, содержащую все «прямоугольники» вида Ω1 × Ω2. Доказать, что на (M, Σ) существует единственное разложение единицы, определяемое условием E(Ω1 × Ω2) = E(1)(Ω1)E(2)(Ω2), гдеΩi∈Σi,i =1,2. .. Пусть A = Are + iAim — ограниченный нормальный опера- тор в гильбертовом пространстве H , Π := σ( Are) + iσ( Aim ). Дока- зать, что существует такое разложение единицы E , определённое на борелевских подмножествах Π,что A = Π λ dEλ ,гдеинтегралпони- мается в смысле Лебега—Стилтьеса (см. преамбулу этого парагра- фа). .. Пусть A — ограниченный нормальный оператор в гиль- бертовом пространстве H . Доказать, что Ax2 = (s2+t2)(dEλx,x), λ =s+it. .. Пусть A = Are + iAim — ограниченный нормальный опера- тор в гильбертовом пространстве H . Доказать, что σ( A) ⊆ σ( Are) + + iσ( Aim ). Привести примеры нормальных операторов, для которых а) это включение строгое; б) σ(A) = σ(Are) + iσ(Aim). .. Пусть A — унитарный оператор в гильбертовом простран- стве H. Доказать, что σ(A)⊆σ(Are) + iσ(Aim). § . . Спектральная теорема в терминах оператора умножения Суть спектральной теоремы в данной формулировке означает, что произвольный самосопряжённый оператор подобен оператору умножения. Определение . . Оператор A, действующий в банаховом про- странстве X ,имеетциклический вектор x0,если Lin{x0, Ax0,..., A n x0,...}= X . Го в о р я т , ч т о A — оператор с простым спектром,еслиунегоесть циклический вектор. Те ор е м а  .  (спектральная теорема в терминах оператора ум- ножения). Пусть A — ограниченный самосопряжённый оператор с простым спектром в гильбертовом пространстве H и σ( A) ⊆ [a, b].
§ .. Спектральная теорема в терминах оператора умножения  Тогда существует такая мера μ на [a, b] и изометрический изомор- физм U : H → L2([a, b], μ), что оператор A подобен оператору умно- жения на независимую переменную в L2([a, b], μ): (UAU −1 x )(t) = tx(t) для любого x ∈ L2([a, b], μ). Те ор е м а  .  . Пусть A — ограниченный самосопряжённый опе- ратор в сепарабельном гильбертовом пространстве H . Тогда суще- ствуют такие меры {μk}N k=1 (N = 1, 2, ...или∞) на [a, b](σ(A) ⊆ ⊆ [a, b]) и такой изометрический изоморфизм U : H = N ⊥ n=1 Hn→ → N ⊥ n=1 L2([a, b], μn), что сужение оператора A на Hn подобно опе- ратору умножения на независимую переменную в L2([a, b], μn): (UAU −1 )|L2([a,b],μn ) = M n ∈ B(L2([a, b], μn)), (Mn x )(t) = tx(t). Из теоремы . вытекает следующее утверждение. Теор е ма . . Пусть A — ограниченный самосопряжённый опе- ратор в гильбертовом пространстве H . Тогда существуют мера μ и изометрический изоморфизм U : H → L2( , μ) такие, что опе- ратор UAU −1 является оператором умножения на ограниченную функцию φ вL2( , μ). Недостаток формулировки последней теоремы состоит в том, что мера μ ифункцияφ определяются не единственным образом. Втеореме.выборподпространствHn имерμn такженеодно- значен. В конце этой главы мы обсудим каноническую функцио- нальную модель самосопряженного оператора, инвариантную при унитарных изоморфизмах. Задачи .. При каких условиях на комплексные числа {λk }n k=1 удиа- гонального оператора A(x1,..., x n) = (λ1 x1,...,λn x n)вl2(n)естьцик- лический вектор? Сформулировать условие существования цикли- ческого вектора в терминах характеристического многочлена про- извольного оператора A : n → n . . . При каких условиях на ограниченную последовательность комплексных чисел {λk}∞ k=1 удиагонального оператора A(x1, x2 ,...)= (λ1x1, λ2 x2,...) в l2 есть циклический вектор? .. Доказать, что оператор ( Ax)(t) = a(t) x(t)умноженияна непрерывную строго монотонную функцию a(t)имеетцикличе- ский вектор: а) в пространстве C[0, 1]; б) в пространстве L2[0, 1].
 Глава . Функциональное исчисление и спектральная теорема .. Доказать, что оператор ( Ax)(t) = a(t) x (t)умноженияна непрерывную немонотонную функцию a(t), действующий в про- странстве C[0, 1], не имеет циклического вектора. .. Пусть A — ограниченный самосопряжённый оператор с простым спектром в гильбертовом пространстве H . Доказать, что все его собственные значения (если они есть) имеют кратность 1. .. Доказать, что компактный самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве обладает циклическим вектором в точ- ности тогда, когда все его собственные значения просты. .. Пусть A — оператор с циклическим вектором в бесконеч- номерном гильбертовом пространстве H . Доказать, что операторы I,A,A 2 , ... линейно независимы. .*. Доказать, что уоператора Tl левого сдвига в простран- стве l2 есть «суперциклический» вектор, т. е. такой вектор x ,что множество Tn lx Tn lx ∞ n=0 плотно на единичной сфере. Существует ли обратимый оператор с суперциклическим вектором? .. Пусть A — самосопряжённый оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве H . Доказать, что существует такое раз- ложение в прямую сумму H = N ⊥ n=1 Hn,гдеN =1,2, ... или ∞, что AHn ⊂ Hn и для любого n = 1,2, ..., N существует вектор xn ∈ Hn, который цикличен для сужения A на Hn ,т.е .Lin{Ak xn} ∞ k=0 = Hn. Пример . . Пусть A — оператор умножения на функцию t, действующий в пространстве L2[0, 1]. Привести этот оператор к виду умножения на независимую переменную (найти изометриче- ский изоморфизм и меру μ). Решение. Рассмотрим оператор U ,(Ux)(t) = x (t2), действующий из L2[0, 1] в L2([0, 1], d(t2)). Имеем Ux2 = 1 0 |x(t2)|2 d(t2) = 1 0 |x(s)|2ds= x 2 , т. е. оператор U унитарен. Поскольку (U −1 x )(t) = x ( t ), имеем (UAU −1 x)(t)=UAx( t)=U( tx( t))=tx(t). Таким образом, оператор A унитарно эквивалентен операторуумно- жения на независимую переменную, действующему в пространстве L2([0, 1], d(t2)), т. е. для произвольного измеримого множества Ω получаем: μ(Ω) = Ω 2tdt, а унитарный изоморфизм осуществляется при помощи оператора U .
§ .. Спектральная теорема в терминах оператора умножения  .. Найти в пространстве L2[−1, 1] разложение единицы опе- ратора умножения: а) на |t|;б)наt 2. Доказать, что уэтого оператора нет циклического вектора. .. Для каждого из операторов из предыдущей задачи найти какой-нибудь изометрический изоморфизм U : L2[−1, 1] → L2([a, b], μ1) ⊕ L2([a, b], μ2), такой, что оператор UAU −1 , суженный на каждое из пространств L2([a, b], μi), есть оператор умножения на независимую перемен- ную. Найти a, b имерыμi . .. Привести пример двух ограниченных самосопряжённых операторов A и B в пространстве l2, укоторых спектры совпадают, причём σp( A) = σp(B) (и кратности соответствующих собственных значений совпадают), σc ( A) = σc (B), но сами операторы не являют- ся унитарно эквивалентными. Указание. Придумать два таких оператора с одинаковым спек- тром, что только уодного из них есть циклический вектор. .. Найти разложение единицы оператора умножения на t 3 в пространстве L2[0, 1]. Привести оператор к видуумножения на независимую переменную (найти изометрический изоморфизм и меру μ). .. Найти разложение единицы оператора умножения на sin t в пространстве L2[0, π/2]. Привести оператор к видуумножения на независимую переменную (найти изометрический изоморфизм и меру μ). .. Найти разложение единицы оператора умножения на sin t в пространстве L2( ). .. Для оператора из задачи . найти унитарный изомор- физм U:L2( )= ∞ ⊥ n=−∞ L2− π 2 + πn, π 2 +πn → ∞ ⊥ n=−∞ L2([a, b], μ n), такой, что оператор UAU −1 , суженный на пространство L2([a, b], μi), есть оператор умножения на независимую переменную. Найти a, b имерыμi . .. Привести оператор (Ax)(t) = 1 0 min(t, s)x(s)ds, действующий в пространстве L2[0, 1], к видуумножения на неза- висимую переменную (найти изометрический изоморфизм и ме- ру μ).
 Глава . Функциональное исчисление и спектральная теорема . . Пусть A — линейный самосопряжённый оператор в конеч- номерном пространстве. Найти унитарный оператор U ,меруμ и функцию a такие, что UAU −1 = B,гдеB ∈ B(L2([0, 1], μ)), (Bx)(t) = = a(t)x(t). .. В пространстве l2( ) рассмотрим оператор A = Tr + Tl ,где Tr , Tl — операторы правого и левого сдвигов соответственно. Най- ти унитарный оператор U ифункциюa такие, что UAU −1 = B,где B ∈ B(L2[−π, π]), Bx(t) = a(t)x(t). .. Доказать, что если оператор A ∈ B(H ) в гильбертовом пространстве унитарно эквивалентен оператору B ∈ B(L2[0, 1]) умножения на функцию Bx(t) = a(t) x(t), то A —нормальный опе- ратор. . . Доказать, что любой нормальный оператор A вгильберто- вом пространстве H унитарно эквивалентен оператору умножения на некоторую функцию a в пространстве L2([0, 1]2, μ)снекоторой мерой μ. Отметим, что построенное представление самосопряжённого оператора как оператора умножения на независимую переменную еще не даёт способа установить унитарную эквивалентность или неэквивалентность двух заданных операторов. Конечно, если опе- раторы унитарно эквивалентны, они должны иметь одинаковую норму, одинаковый спектр, одинаковые части спектра (точечный, непрерывный, остаточный и существенный спектр), одновремен- но обладать или не обладать циклическим вектором и т. д. Однако совпадение всех этих характеристик не влечёт унитарную эквива- лентность операторов. .*. Доказать, что операторы ( Ax)(t) = tx(t)и(Bx)(t) = 1 2 (t + LK(t))x(t), действующие в пространстве L2[0, 1] (здесь LK(t)—функция Кан- тора, см. определение на с. ), не являются унитарно эквивалент- ными. Указание. ) Доказать, что оператор B унитарно эквивалентен оператору C умножения на независимую переменную, действующе- мув пространстве L2([0, 1], db(t)), где b(t) есть обратная функция к функции 1 2 (t + LK(t)). ) Пусть K ⊂ [0, 1] — канторовское множество. Построить рав- номерно ограниченную последовательность многочленов {pn} ∞ 1, которая сходится к функции χK(t) почти всюдуотносительно ме- ры dt + db(t) на [0, 1] (см. курс действительного анализа) — тогда pn → χK почти всюдуотносительно обеих мер.
§ .. Спектральная теорема в терминах оператора умножения  ) Предположив унитарную эквивалентность операторов A и B, доказать унитарную эквивалентность операторов χK( A)иχK(B), что невозможно, так как первый из них равен нулю, а второй — нет. .*. Пусть μ и ν — две неотрицательные борелевские меры на отрезке [0, 1], а Tμ и Tν — операторы умножения x(t) → tx(t), дей- ствующие в пространствах L2([0, 1], μ)иL2([0, 1], ν ) соответствен- но. Эти операторы унитарно эквивалентны тогда и только тогда, ко- гда эквивалентны меры μ и ν .1) Указание. Необходимость. Повторить часть решения предыду- щей задачи. Достаточность. Воспользоваться тем, что для эквива- лентных мер μ и ν найдётся измеримая ν -интегрируемая функ- ция ζ,длякоторойμ( A) = A ζ(t) dν . Теорема . . Для любого самосопряжённого оператора A в се- парабельном гильбертовом пространстве H существует такое раз- ложение H = k∈K Hk ,гдеK = ∪ {∞} (некоторые из подпространств могут быть нулевыми), такой набор попарно сингулярных борелев- ских мер 2) {μk }k∈K с носителями supp μk =: Xk ⊂ σ( A)(некоторые из множеств Xk могут быть пустыми) и такой унитарный изомор- физм U:H= ⊥ k∈K Hk→ ⊥ k∈K (L2(Xk, μk)) k , что сужение оператора A на Hk унитарно эквивалентно ортого- нальной прямой сумме k экземпляров оператора умножения на неза- висимую переменную в L2( Xk , μk ): (UAU −1 )|(L2(Xk,μk))k = Mk ⊕ Mk ⊕ ... kслагаемых , где Mk ∈ B(L2(Xk, μk)), (Mk x)(t) = tx(t). Теорема . позволяет определить функцию кратности n A опе- ратора A: nA(λ)= 0внеσ(A); nA(λ)= k при λ ∈ Xk, k ∈ K и канони- ческую спектральную меру оператора A: μ = k∈K μk .Функциональ- ную модель, построенную в теореме ., называют канонической функциональной моделью оператора A. 1) Меры μ и ν назыв ают эквива лентными, если мера μ абсолютно непрерывна от- носительно меры ν и, наоборот, ν абсолютно непрерывна относительно μ. 2) Напомним, что две меры μ и ν называются взаимно сингулярными (обозначе- ние μ ⊥ ν ), если пересечение их носителей имеет нулевую меру и относительно μ,и относительно ν .
 Глава . Функциональное исчисление и спектральная теорема Пример . . Построить каноническую функциональную мо- дель операторов а) A= ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 0101 1010 0101 1010 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ в пространстве 4; б) A: x(t) → φ(t)x(t), где φ(t) = 3 4 |2t − 1|−2|t| + 3 2 t+ 1 4 ,впро- странстве L2[−1, 1]; в) (Ax)(t)= x(t)+ π −π K(t, s)x(s) ds в пространстве L2[−π, π], где K(t, s) = 1 π ∞ n=1 2−n sin(ns)sin(nt). Решение. а) Характеристический многочлен матрицы A равен λ4−4λ 2 , так что собственными значениями A являются точки λ1 = −2, λ2 = 2иλ3 = λ4 = 0. Сооответствующие нормирован- ные собственные векторы имеют вид e1 = 1 2 (1, −1, 1, −1)t ,e2= = 1 2 (1,1,1,1)t ,e 3= 1 2 (0,1,0,−1)t и e4 = 1 2 (1, 0, −1, 0)t ,т акчто H1 = Lin{e1, e2}, а H2 = Lin{e3 , e4}. Согласно теореме . спектраль- ные меры определены неоднозначно: мера μ1 —любая мера, со- средоточенная в точках −2и2,амераμ2 — любая мера, сосредо- точенная в точке 0. Положим, например, μ1 = δ−2 + δ2, μ2 = δ0. Оператор U отображает пространство 4 =H1 ⊥ ⊕ H2 в пространство L2({−2, 2}, μ1) ⊥⊕ (L2({0}, μ2)) 2 . НаподпространствеH1 оператор U действует так: Ux = (Ux)(t), где (Ux)(−2) = (x , e1), (Ux)(2) = (x, e2) (здесь скалярные произведения ( x , e1)и(x , e2) — коэффициенты разложения вектора x по базису e1 , e2 ,такчтоx =(x,e1)e1+(x,e2)e2, афункция(Ux)(t) может быть доопределена как угодно вне то- чек t = ±2). На подпространстве H2 оператор U действует так: Ux = (Ux)(t), где (Ux)(0) = ((x, e3),(x, e4))t —в образе ImU лежат вектор-функции с двумя компонентами (так как мера μ2 сосредо- точена в точке 0, функция (Ux)(t) может быть доопределена как угодно вне точки t = 0). Тогда (UAU −1 )|L2({−2,2},μ1 ) : x(t) → tx(t), (UAU −1 )|L2 ({0},μ2 ) : x1(t) x2(t) → tx1(t) tx2(t) . б) Множество значений функции φ(t)наотрезкеt ∈ [−1, 1] есть отрезок [−1, 1]. При этом значения φ ∈ [−1, 0) принимаются од- нократно, при t ∈ −1, − 1 2 , значения φ ∈ 1 2 ,1 —двукратно, при
§ .. Спектральная теорема в терминах оператора умножения  t∈− 1 4, 1 4 ,азначенияφ ∈ 0, 1 2 — трехкратно, при t ∈ − 1 2 ,− 1 4∪ ∪ 1 4 ,1 . В соответствии с этим положим H1=L2 −1,− 1 2 , X1 = [−1, 0), H2=L2 − 1 4,0 ⊥ ⊕L20, 1 4,X2= 1 2 ,1, H3=L2 − 1 2 , 1 4⊥ ⊕L2 1 4, 1 2⊥ ⊕L2 1 2 ,1,X3=0, 1 2 . Построим унитарный изоморфизм U (зададим его на каждом под- пространстве Hk по отдельности) и меры μk, k = 1, 2, 3. На подпро- странстве H1 положим (Ux)(t) = x t−1 2 , U:H1→L2 [−1,0], 1 2dt . На подпространстве H2 положим (Ux)(t) = x t−1 2 x 1−t 2 , U:H2→ L2 1 2,1 , 1 2dt 2 . Наконец, на подпространстве H3 положим (Ux)(t) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ x t−1 2 x 1−t 2 x t+1 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠, U:H3→ L2 0, 1 2 , 1 2 dt 3 . Тогда (UAU −1 )|L2 [−1 ,0], 1 2 dt : x(t)→tx(t), (UAU −1 )| L2 1 2 ,1, 1 2 dt 2: x1 (t) x2(t) → tx1 (t) tx2 (t) , (UAU −1 )|L2 0, 1 2 , 1 2 dt 3: ⎛ ⎝x1 (t) x2 (t) x3 (t) ⎞ ⎠→ ⎛ ⎝tx1(t) tx2(t) tx3(t) ⎞ ⎠. в) Разложим пространство L2[−π, π] в ортогональную сумму пространства четных и пространства нечетных функций Heven ⊥ ⊕ Hodd. На подпространстве Heven оператор A равен тождественному. В про- странстве Heven = H∞ (в обозначениях теоремы .) выберем орто- нормированный базис e0 = 1 2π , e2k= 1 π cos(kt), k ∈ , и опреде- лим оператор U : H∞ → (L2({1}, μ∞)) ∞ ,гдемераμ∞ = δ1 сосредо- точена в точке 1, равенством (Ux)(1)=((x, e0),(x, e2),(x, e4), ...) t — значения функции (Ux)(t) в точках t = 1 могут быть выбраны произ- вольно. На подпространстве Hodd оператор A является оператором
 Глава . Функциональное исчисление и спектральная теорема спростымспектром,σ( A) = {2− n }∞ 1 .ВпространствеHodd = H1 вы- берем ортонормированный базис из собственных векторов e2k−1 = = 1 π sin(kt), k ∈ , и определим оператор U : H1 → L2({2− n }∞ 1,μ1), где мера μ1 = ∞ n=1 δ2−n ,равенством(Ux)(2− n ) = ( x , e2n−1)—значения функции (Ux)(t) в точках t /∈ {2−n }∞ 1 могут быть выбраны произ- вольно. Тогда (UAU −1 )|L2({2−n }∞ 1 ,μ1): x(t)→tx(t), (UAU −1 )|(L2({1}, μ ∞ )) ∞: ⎛ ⎝x1(t) x2(t) ... ⎞ ⎠→ ⎛ ⎝tx1 (t) tx2 (t) ... ⎞ ⎠ Теорема . . Два самосопряженных оператора A и B в гильбер- товом пространстве унитарно эквивалентны тогда и только то- гда, когда их функции кратности совпадают, а спектральные меры, определенные в теореме ., эквивалентны: μk, A ∼ μk,B для любого k∈K. .. Пользуясь теоремой ., доказать теорему . . .. Выяснить, есть ли среди следующих операторов унитарно эквивалентные: A1 ∈ B(L2[0, 1]), (A1 x)(t) = tx(t); A2 ∈ B(L2[−1, 1]), (A2x)(t) = |t|x(t); A3 ∈ B(L2[0,1]), (A3x)(t) = t2x(t); A4 ∈ B(L2[0,1]), (A4x)(t) = t 3 x(t); A5 ∈ B(L2[0, 1]), ( A5 x )(t) = tx(t); A6 ∈ B(L2[0, π/2]), (A6 x )(t) = sin tx(t); A7 ∈ B(L2[0, π]), (A7x)(t) = sin tx(t); A8 ∈ B(L2[0,1]), (A8x)(t) =(1− t)x(t); A9 ∈ B(L2[0, 1]), (A9 x)(t) = LK(t)x(t). .. Построить каноническую функциональную модель: а) для оператора ( Ax)(t) = 1 t2+1 x (t)впространствеL2( ); б) для оператора ( Ax)(t) = x (1 − t )впространствеL2[0, 1]; в) для оператора ( Ax)(t) = e −|t| cos |t| x(t)впространствеL2( ); г) для оператора ( Ax)(t) = LK(t) x(t)впространстве L2[0, 1]. .. Построить каноническую функциональную модель для следующих операторов в пространстве l2: а) A:(x1, x2,...) → (r1x1, r2x2,...), где {rj}∞ 1 — ограниченная по- следовательность попарно различных действительных чисел; б) A:(x1, x2,...)→ x1, 1 2 x2, 1 2 x3, 1 3 x4, 1 3 x5, 1 3 x6, 1 4 x7,... ,гдемно- житель 1 n повторяется n раз.
Глава  Топологические, линейные топологические и полинормированные пространства § .. Топологические прос транс тва Определение .. То п о ло г ия на множестве X — это такая систе - ма τ его подмножеств, что ()∅,X∈τ; () объединение любой совокупности множеств из τ принадле- жит τ; () пересечение любого конечного числа множеств из τ принад- лежит τ. Множества из τ называются открытыми, дополнения к откры- тым множествам называются замкнутыми,пара(X , τ) называется топологическим пространством. Всякое метрическое пространство является топологическим про- странством с топологией τ, состоящей из всех открытых (в смыс- ле определения .) множеств (см. задачу.). Топологическое про- странство называется метризуемым, если его топология порожда- ется некоторой метрикой. На одном и том же множестве можно задать много топологий. Говорят, что топология τ на Xслабеетопологии τ на X ,еслиτ ⊂ τ. Совокупность β ⊂ τ открытых множеств называется базой топо- логии τ, если для любого открытого множества U ∈ τ и любой точки x ∈U найдётсятакое множество V ∈β,чтоx ∈V ⊂U. Совокупность β0 ⊂ τ открытых множеств называется предбазой топологии τ, если всевозможные конечные пересечения множеств из β0 образуют базу этой топологии. Точка x называется предельной для множества A ⊂ X ,еслидля любого открытого U x в пересечении U ∩ A найдётся точка, отлич- ная от x. Любая топология определяет сходимость последовательностей: говорят, что последовательность {xn}точектопологическогопро- странства (X , τ) сходится к точке x , если для любой открытой окрестности U (x) ∈ τ найдётся такое N ,чтоxn ∈ U (x)длявсех
 Глава . Линейные топологические пространства n > N . В метрических пространствах так определённая сходимость совпадает со сходимостью по метрике (см. определение .). Окрестностью точки x в топологическом пространстве ( X , τ) называется произвольное множество V , для которого существует та- кое U ∈ τ,что x ∈ U ⊂ V . В совокупности всех окрестностей данной точки x обычно выделяют локальную базу окрестностей,т.е .т акой набор окрестностей B, что для любой окрестности V точки x най- дётся такое множество B ∈ B,чтоB ⊂ V . Топологическое пространство ( X , τ) называется сепарабельным, если в нём существует счётное всюду плотное множество (то есть такое счётное множество M ⊂ X ,чтопересечениеM ∩ U непусто для любого непустого U ∈ τ). Подмножество M ⊆ ( X , τ) называется компактным в X ,если из любого его покрытия открытыми множествами {Uα} ⊂ τ мож- но выделить конечное подпокрытие. Если хаусдорфово (см. ниже) топологическое пространство ( X , τ)самокомпактновсвоейто- пологии, то его называют компактом (в некоторых учебниках би- компактом, и при этом компактом называют метризуемый биком- пакт). Множество M в топологическом пространстве X называется счетно компактным, если из любого его счетного покрытия от- крытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие. Множество M называется секвенциально компактным в топологи- ческом пространстве ( X , τ), если для любой последовательности {xk}∞ k=1 ⊂ M существует подпоследовательность {xnk }∞ k=1 ,сх одяща- яся к x ∈ M. Множество, замыкание которого в X компактно, на- зывают предкомпактным, а множество, замыкание которого счет- но компактно, называют счетно предкомпактным.МножествоM называется секвенциально предкомпактным, если для любой по- следовательности {xk }∞ k=1 ⊂ M существует подпоследовательность {xnk }∞ k=1 ,с ходящаясяк x ∈ X . В топологических пространствах, удовлетворяющих второй аксиоме счетности (см. ниже), в част- ности в метрических пространствах, эти три свойства равносильны (см. теорему. и задачи . и .). В общих топологических про- странствах компактность влечет счетную компактность и секвен- циальная компактность влечет счетную компактность, но других импликаций междуэтими тремя свойствами нет (см. [, .(iii)]). Отображение f : X → Y междудвумя топологическими про- странствами называется непрерывным в точке x ∈ X , если для лю- бого открытого множества V ⊂ Y , содержащего f (x ), найдётся такое открытое множество U ⊂ X , содержащее x ,что f (U ) ⊂ V .Отобра- жение f называется секвенциально непрерывным, если для любой последовательности xn → x выполнено f (xn) → f (x). Отображение
§ .. Топологические пространства  f : X → Y , непрерывное в каждой точке, называется непрерывным. Непрерывное и биективное отображение f : X → Y ,длякоторого обратное отображение также непрерывно, называется гомеморфиз- мом. Любое подмножество X топологического пространства ( X , τ) тоже является топологическим пространством с индуцированной топологией τ = {A ∩ X : A ∈ τ}. Пару(X , τ ) называют подпро- странством пространства ( X , τ). Аксиомы счётности служат для измерения «массивности» топо- логии. Топологическое пространство ( X , τ) удовлетворяет первой аксио- ме счётности, если укаждой точки x ∈ X существует такой счётный набор окрестностей {Un( x )}∞ n=1 (счётная локальная база окрестно- стей точки x), что совокупность {Un(x): x ∈ X , n = 1, 2, ...} всех этих окрестностей составляет базутопологии τ. Топологическое пространство ( X , τ) удовлетворяет второй ак- сиоме счётности,еслиутопологииτ есть счётная база. Аксиомы отделимости служат для измерения «качества» топо- логии. Аксиома T1 . Для любых двух различных точек x , y ∈ X существу- ет такая открытая окрестность U(x) точки x,что y ∈ U (x). Аксиома T2 (аксиома Хаусдорфа). У любых двух различных то- чек x , y ∈ X существуют непересекающиеся открытые окрестности U(x)иU(y). Аксиома T3 . Для любой точки x ∈ X и любого не содержащего её замкнутого множества F существуют непересекающиеся открытые окрестности U (x)иU (F). Аксиома T4 . У любых двух непересекающихся замкнутых мно- жеств F1 и F2 существуют непересекающиеся открытые окрестности U (F1)иU (F2). Аксиома T1 не следует из аксиом T3, T4 (точка необязательно является замкнутым множеством), поэтому среди аксиом T2, T3, T4 каждая следующая сильнее предыдущей только при условии выпол- нения аксиомы T1. Топологическое пространство, удовлетворяющее аксиоме T2,на- зывают хаусдорфовым; удовлетворяющее аксиомам T1 и T3 — регу- лярным; удовлетворяющее аксиомам T1 и T4 — нормальным. Задачи В различных случаях топологию удобно задавать разными спосо- бами: указанием системы открытых множеств, системы замкнутых множеств, базы или предбазы топологии.
 Глава . Линейные топологические пространства . ◦ . Пусть ( X , τ) — топологическое пространство, а σ — сово - купность всех его замкнутых множеств. Доказать, что ()∅,X∈σ; () пересечение произвольного семейства множеств из σ при- надлежит σ; () объединение любого конечного семейства множеств из σ принадлежит σ. Пусть, наоборот, X — некоторое множество, а σ — семейство его подмножеств, удовлетворяющее условиям (), (), (). Доказать, что совокупность подмножеств τ, состоящая из дополнений к мно- жествам из σ, есть топология на X . . . Пусть X —множество, а β0 — произвольное семейство его подмножеств, образующих покрытие X . Доказать, что существует единственная топология на X , предбазой которой служит β0. . ◦ . Пусть {τα } — некоторый набор топологий на множестве X . Доказать, что система τ = α τα есть топология (τ слабее любой из топологий τα ). . ◦ . Доказать, что система открытых подмножеств β топологи- ческого пространства X образует базу топологии τ тогда и только тогда, когда каж дый элемент τ является объединением каких-то элементов β . .. Пусть τ1 и τ2 — две топологии на множестве X с базами β1 и β2 соответственно. Доказать, что τ1 слабее τ2 тогда и только тогда, когда для любого B1 ∈ β1 и любой точки x ∈ B1 найдётся та- коеB2∈β2,чтоx∈B2⊂B1. Пример . . На множестве введём топологию следующим об- разом: объявим замкнутыми все ограниченные множества, ∅, и только их. Проверить аксиомы топологии. Каким из аксиом отдели- мости и счётности удовлетворяет эта топология? Метризуема ли эта топология? Решение. Легко видеть, что для системы ограниченных множеств выполнены условия ()—() из задачи ., а значит, эта система действительно задаёт топологию на . Покажем, что эта топология удовлетворяет аксиоме T1.Пустьx = y ∈ ; рассмотрим множество \ y — оно открыто (так как его дополнение ограничено), содер- жит точку x и не содержит точки y . Теперь покажем, что введённая топология не удовлетворяет аксиоме Хаусдорфа T2 (а стало быть, не удовлетворяет аксиомам T3 , T4 инеметризуема).Пустьx = y ∈ и U(x) ∩ U(y) = ∅. Заметим, что множества \ U(x)и \ U(y) ограничены, а значит, существует круг {|z| < r}, содержащий оба эти множества. Тогда множество {|z| r}вложеновU (x ) ∩ U ( y ), азначит,U (x) ∩ U ( y) = ∅. Покажем, что топология удовлетворяет
§ .. Топологические пространства  первой аксиоме счётности. Пусть x ∈ и U (x )—окрестность точ- ки x .Заметим,что \ U (x ) ограничено, а значит, вложено в круг {|z| <q}, где q ∈ . Тогда множество Vq(x) ={x} ∪{|z| q} открыто, содержит точку x ивложеновU (x ). Таким образом, мы доказали, что система {Vq ( x)}x ∈ ,q ∈ является базой топологии. Кроме того, для каждого x ∈ система {Vq( x )}q∈ счётна, т. е. мы проверили, что первая аксиома счётности выполнена. Покажем, наконец, что вторая аксиома счётности также выполнена. Для этого рассмотрим счётное семейство открытых множеств {Vq }q∈ + ,гдеVq = {|z| q}. Для любого открытого множества U множество \ U ограничено, а значит, вложено в некоторый круг {|z| < q}. Это означает, что Vq ⊂ U , т. е . выбранная система образует базу топологии. .. Привести пример топологического пространства, не удо- влетворяющего аксиоме T1. .. Доказать, что аксиома T1 эквивалентна следующей аксиоме: любое множество, состоящее из конечного числа точек, замкнуто. .. Привести пример топологического пространства, удовле- творяющего аксиоме T1, но не удовлетворяющего аксиоме Хаусдор- фа. . . Привести пример хаусдорфова, но не регулярного тополо- гического пространства. . . Доказать, что любое метрическое пространство нормаль- но (в топологии метрики). .*. Привести пример регулярного, но не нормального топо- логического пространства. .. Доказать, что любое метрическое пространство удовле- творяет первой аксиоме счётности. .. Доказать, что в топологическом пространстве, удовлетво- ряющем первой аксиоме счётности, точка x является предельной точкой множества A тогда и только тогда, когда существует после- довательность { xn} ∞ 1 точек из A,сходящаясякx . .. Доказать, что метрическое пространство удовлетворяет второй аксиоме счётности тогда и только тогда, когда оно сепара- бельно. Доказать, что топологическое пространство со счётной ба- зой сепарабельно, но не всякое сепарабельное пространство имеет счётную базу. . (Свойство Э. Линделёфа). Пусть X — топологическое про- странство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности. Доказать, что из всякого набора открытых множеств в X можно выбрать не более чем счётный поднабор с тем же объединением. .. Доказать, что в хаусдорфовом пространстве у каждой по- следовательности существует не более одного предела. Привести
 Глава . Линейные топологические пространства примеры нехаусдорфовых пространств, в одном из которых это свойство, тем не менее, выполнено, а в другом — нет. .. На множестве непрерывных на отрезке [0, 1] функций за- дадим топологию следующим образом. Множество U назовём от- крытым, если каждая точка x ∈ U входит в U со своей окрестностью U⊃V(t1,...,tn, 1,..., n;x)= = {y∈C[0,1]:|y(tk)− x(tk)|< k,1 k n}, где0 t1<...<tn 1—некоторыйнаборточек,n∈ ,аk>0, 1 k n. Проверить аксиомы топологии и доказать, что это тополо- гическое пространство хаусдорфово. Доказать, что последователь- ность xn → x в этой топологии тогда и только тогда, когда xn схо- дится к x поточечно, т. е. xn(t) → x(t) для любого t ∈ [0, 1]. Привести пример множества и его предельной точки, не являющейся преде- лом никакой последовательности точек этого множества. Построенное топологическое пространство будем обозначать Ce[0, 1] (см. список пространств). .. Доказать, что система τ = {∅} ∩ {U ⊂ [0,1]: [0,1]\ U со- держит не более чем счётное число точек} образует топологию. Привести пример множества A ⊂ [0, 1] и его предельной точки, не являющейся пределом никакой последовательности точек A. .. Привести пример двух не сравнимых 1) топологий на од- ном и том же множестве, задающих однуи туже сходимость. . . Привести пример сепарабельного топологического про- странства, обладающего несепарабельным подпространством. .*. Доказать, что в пространстве измеримых по Лебегуфунк- ций на отрезке [0, 1] сходимость почти всюдуне задаётся никакой топологией. Указание. ) Доказать, что если последовательность { xn} ∞ 1 то- чек топологического пространства X не сходится к x ,тонайдётся окрестность U (x) и подпоследовательность { xnk /∈ U(x)}∞ k=1 .)Вос- пользоваться тем, что последовательность, сходящаяся по мере, не обязательно сходится почти всюду, но обязательно содержит подпо- следовательность, сходящуюся почти всюду. . ◦ . Доказать, что в топологических пространствах отображе- ние непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз любого откры- того множества открыт. . ◦ . Доказать, что в топологических пространствах отображе- ние непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз любого за- мкнутого множества замкнут. 1) То есть не включающихся друг в друга.
§ .. Топологические пространства  .. Доказать, что в топологическом пространстве ( X , τ)спер- вой аксиомой счётности непрерывность функции f : X → эквива- лентна её секвенциальной непрерывности. Привести пример се- квенциально непрерывного, но разрывного отображения топологи- ческого пространства. .. Пусть X — метрическое пространство, M1, M2 —замкну- тые множества в нём, причём M1 ∩ M2 = ∅. Построить такую непре- рывную функцию f : X →[0,1], что f|M1 = 0иf|M2 =1. .. Пусть X — полное метрическое пространство, M —за - мкнутое множество в нём, U1, U2,...,Un —покрытие M открытыми множествами. Построить системунепрерывных функций {ek(x): X → } n k=1 , называемую разбиением единицы, соответствующим покрытию U j , удовлетворяющую условиям ()0 ej(x) 1длялюбогоx∈X; ()ej(x)=0,если x /∈Uj; () n j=1 ej(x)=1длялюбого x∈M. В утверждениях последних двух задач метрическое простран- ство X можно заменить на нормальное топологическое простран- ство X. .. Пусть ( X , τ) — топологическое пространство. Доказать, что оно компактно тогда и только тогда, когда любая центрирован- ная1) система замкнутых множеств имеет непустое пересечение. Простейшие свойства компактных множеств в топологических пространствах совпадают со свойствами компактных множеств в метрических пространствах. . ◦ . Пусть X , Y — топологические пространства, а множество M ⊂ X компактно. Докажите, что: а) любое замкнутое подмножество множества M компактно; б) если X хаусдорфово, то M замкнуто; в) если Y хаусдорфово, а отображение f : M → Y непрерывно, то f (M )компактновY ; г) всякое бесконечное подмножество множества M имеет пре- дельную точку x ∈ M . .. Доказать, что компактное хаусдорфово пространство (т. е . компакт) нормально. . . Пусть M — компактное множество в топологическом про- странстве X ,а f : M → Y — непрерывное биективное отображе- 1) Система подмножеств топологического прос транства назыв аетс я центрирован- ной, если всякая её конечная подсистема имеет непустое пересечение.
 Глава . Линейные топологические пространства ние M на хаусдорфово пространство Y . Доказать, что обратное отображение f −1 также непрерывно, т. е. f есть гомеоморфизм MиY. .. Доказать теорему.: подмножество метрического про- странства X компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и секвенциально компактно (то есть всякая последовательность его элементов содержит сходящуюся в X подпоследовательность). § . . Линейные топологические прос транс тва Определение . . Линейное пространство X над полем или с введённой на нём топологией τ называется линейным топологи- ческим пространством (или топологическим векторным простран- ством), если операции сложения и умножения на скаляр в X непре- рывны в топологии τ: () для любых x, y ∈ X и для любой открытой окрестности U(x + y) точки x + y найдутся такие открытые окрестности U (x )иU ( y)то- чек x и y соответственно, что U(x)+ U(y)⊂ U(x + y); () для любого x ∈ X ,скаляраλ и для любой открытой окрест- ности U (λ x) точки λ x найдутся такая открытая окрестность U (x ) точки x итакоеr > 0, что t · U(x) ⊂ U(λx) для любого числа t,для которого |t − λ| < r. Нетрудно показать, что при условиях () и () топология τ ин- вариантна относительно сдвигов на векторы из X иумноженийна скаляры. Поэтомутопология в линейном топологическом простран- стве полностью определяется локальной базой B окрестностей ну- ля: открытыми являются те и только те множества, которые пред- ставляются в виде объединений сдвигов окрестностей из B. Всякое нормированное пространство является линейным топо- логическим в топологии, определяемой его нормой. Определение . . Подмножество E линейного топологического пространства X называется ограниченным, если для всякой окрест- ности нуля U ⊂ X найдется такое число s > 0, что E ⊂ tU для любого t>s. 1) Линейное топологическое пространство X называется локально выпуклым, если в нём существует локальная база ок- рестностей нуля, состоящая из выпуклых множеств; локально ограниченным, если в нём существует ограниченная окрестность нуля; 1) Обратите внимание, что так определённое ограниченное множес тв о может со- держать лучи вида {α x : α ∈ [0, ∞)}, где x = 0 — фиксиров анный вектор.
§ .. Линейные топологические пространства  F-пространством, если его топология порождается некоторой метрикой d, инвариантной относительно сдвига: d(x + z, y + z) = = d(x, y)длялюбых x, y,z∈ X,иX полно в этой метрике; пространством Фреше, если оно является локально выпуклым F -пространством; нормируемым, если его топология порождается некоторой нор- мой. Теорема . (Дж. Биркгоф, С. Какутани, ). Хаусдорфово ли- нейное топологическое пространство X метризуемо тогда и толь- ко тогда, когда оно обладает счётной локальной базой окрестно- стей нуля. Теорема . (А. Н . Колмогоров, ). Хаусдорфово линейное то- пологическое пространство X нормируемо тогда и только тогда, когда оно локально выпукло и локально ограничено. Точка множества M в линейном пространстве называется край- ней точкой множества M , если она не лежит внутри никакого от- резка с концами из M . Теорема . (М.Г .Крейн, Д.П.Мильман, ). Всякое непустое выпуклое компактное множество в локально выпуклом линейном топологическом пространстве X совпадает с замыканием выпук- лой оболочки своих крайних точек. Задачи . ◦ . Пусть в линейном топологическом пространстве множе- ство A открыто, а множество B — произвольное. Доказать, что мно- жество A + B открыто. .. Пусть в линейном топологическом пространстве множе- ства A и B — замкнутые линейные подпространства. Верно ли, что A + B — также замкнутое подпространство? .. Пусть в линейном топологическом пространстве множе- ство A замкнуто, а множество B компактно.Верноли,чтомноже- ство A + B замкнуто? .. Пусть в линейном топологическом пространстве X множе- ства A и B компактны. Будет ли компактным множество C = A + B? .◦ . Пусть в линейном топологическом пространстве множе- ство A открыто, а множество B замкнуто. Доказать, что для любого скаляра λ множество λ A открыто, а множество λB замкнуто. .◦ . В нормированном пространстве описать какую-нибудь локальную базу B окрестностей нуля. . . Привести пример топологии в линейном пространстве, относительно которой сложение непрерывно, а умножение на ска- ляр разрывно.
 Глава . Линейные топологические пространства .. Привести пример топологии в линейном пространстве, относительно которой сложение разрывно, а умножение на скаляр непрерывно. .. Доказать, что линейное топологическое пространство удо- влетворяет третьей аксиоме отделимости T3. .. Доказать, что линейное топологическое пространство от- делимо (то есть удовлетворяет первой аксиоме отделимости T1)то- гда и только тогда, когда пересечение всех окрестностей нуля состо- ит только из нуля. В частности, всякое локально ограниченное ли- нейное топологическое пространство отделимо. .. Доказать, что в конечномерном линейном пространстве X есть только одна топология (с точностью до эквивалентности), от- носительно которой X является отделимым линейным топологиче- ским пространством. .. Пусть X — линейное пространство. Доказать, что среди всех отделимых топологий, превращающих X в локально выпуклое линейное топологическое пространство, существует самая силь- ная топология (её называют ядерно-выпуклой топологией). Дока- зать, что этутопологию можно эквивалентно определить так: база окрестностей нуля состоит из всех выпуклых множеств, содержа- щих нуль и пересекающихся с каждой прямой, проходящей через нуль, по интервалу положительной длины. .*. Доказать теорему. . .*. Доказать теорему. . Пример .. Найти крайние точки единичного шара в про- странстве C0( )надполем . Решение. Пусть x ∈ C0( )и x = 1. Тогда найдутся такие точ- ки a, b ∈ ,что| x(a)| = 1и| x(b)| = 1/4. В силунепрерывности функции x найдётся окрестность (b − , b + ) точки b,вкоторой выполнено неравенство | x(t)| < 1/2. Кроме того, число можно всегда выбрать так, чтобы a ∈ (b − , b + ). Обозначим через h ку- сочно-линейную функцию, тождественно равную нулю на лучах (−∞, b − ), (b + , +∞) и соединяющую по линейности точки с ко- ординатами (b − ,0), b, 1 2 ,(b+ ,0).Тогда x+h = x −h =1 иx= 1 2(x+h)+ 1 2 ( x − h), т. е. x не является крайней точкой единич- ного шара. Это означает, что единичный шар пространства C0( ) не имеет крайних точек. .. Найти крайние точки единичного шара в пространствах а)lp, p∈(1,∞), б)l1,в )c,г )c0,д )l∞,е )C[0, 1], ж) L1[0, 1] (над полем инадполем ).
§ .. Линейные топологические пространства  .*. Найти крайние точки единичного шара в пространстве BV0[0, 1] над полем . Указание. ) Доказать, что всякая функция κθ (t − a), где |κ| = 1, а θ (t) есть функция Хевисайда, является крайней точкой единично- го шара в пространстве BV0[0, 1]. ) Пусть Var 1 0 w (t) = 1иw(t) = κθ (t − a). Доказать, что найдутся такиеточки0 a<b<c<d 1,чтоVarb a w(t)>0,Vard c w(t) = β>0, и рассмотреть функции x (t):= w(t)пр иt∈(a,b]; 0п р и t /∈(a,b], y (t):= w(t)пр иt∈(c,d]; 0п р и t /∈(c,d]. .. Доказать, что среди комплексных пространств l1 , l2, l ∞ ,c 0, c, L1[0, 1], L∞[0, 1], C[0, 1], BV[0, 1], BC( ), C0( ) нет ни одной пары изометрически изоморфных пространств. Указание. Разделить пространства на два класса — сепарабель- ные и несепарабельные — и внутри каждого класса сравнить мно- жества крайних точек единичного шара. .. Доказать, что существует изометрическое вложение про- странства l∞ в пространство L∞[0, 1] и изометрическое вложение L∞[0, 1] в l∞ (хотя сами пространства L∞[0, 1] и l∞,согласнопреды- дущей задаче, не являются изометрически изоморфными). . ◦ . Пусть lp, p ∈ (0, 1), — комплексное или вещественное ли- нейное пространство бесконечных последовательностей (x1, x2 ,...), для которых ряд ∞ k=1 |xk | p сходится. Зададим базуокрестностей нуля B = {Gr}r>0,гдеGr = x : ∞ k=1 |xk|p < r . Доказать, что эта база зада- ёт линейное топологическое пространство, которое не является ло- кально выпуклым. . ◦ . Проверить, является ли линейное пространство с дискрет- ной топологией (это топология, в которой открытыми являются все множества) линейным топологическим. . . Рассмотрим пространство классов эквивалентности изме- римых по Лебегуна [0, 1] функций с метрикой ρ(x, y)= 1 0 |x(t) − y(t)| 1 + |x(t) − y(t)| dμ. Доказать, что это F -пространство, которое локально ограничено (но не локально выпукло — см. задачу .) и сепарабельно. Доказать,
 Глава . Линейные топологические пространства что последовательность измеримых функций сходится по метрике этого пространства тогда и только тогда, когда она сходится по мере Лебега на [0, 1]. § .. Локально выпуклые прос транс тва как полинормированные прос транс тва Напомним (см. определение .), что полунормой (преднормой) на линейном пространстве X называется такая функция p : X → + , что p(x + y) p(x)+ p(y)иp(λx) =|λ|p(x) для любых x, y ∈ X и любого числа λ. Определение .. Линейное пространство, снабженное семей- ством полунорм {pα}α∈ A , называется полинормированным прост- ранством. Всякое полинормированное пространство является линейным топологическим с базой B окрестностей нуля вида Uα1 ,...,αn ,r ={x∈X:pαk (x)<r;k=1, ..., n}, где α1 ,...,αn — произвольный конечный набор индексов из A и r — произвольное положительное число. Пусть на линейном пространстве X заданы два семейства полу- норм {pα}α∈A1 и{pα}α∈A2 . Говорят, что второе семейство мажориру- ет первое, если для каждого α ∈ A1 существуют такие α1 ,...,αn ∈ A2 иконстантаC > 0, что для любого x ∈ X справедливо неравенство pα(x) C max{pα1(x), ..., pαn (x)}. Если два семейства полунорм ма- жорируют друг друга, то они называются эквивалентными. Задачи Как показывают следующие две задачи, класс полинормирован- ных пространств среди всех линейных топологических пространств совпадает с классом локально выпуклых пространств. . ◦ . Доказать, что полинормированное пространство локаль- но выпукло. .. Пусть X — линейное топологическое локально выпуклое пространство. Доказать, что топология в X может быть задана неко- торой системой полунорм, т. е. X можно считать полинормирован- ным пространством. Полинормированное пространство X со счётным набором полу- норм {pn} ∞ 1 называется счётно-нормированным.Еслисчётно-нор- мированное пространство хаусдорфово, то оно метризуемо с мет-
§ . . Локально выпуклые пространства  рикой d(x, y)= ∞ n=1 1 2n pn(x − y) 1+pn(x−y) и является пространством Фреше. . ◦ . Доказать, что сходимость в пространствах s, A(D), C ∞ [0, 1], C( )иCe( ) задаётся указанной в списке пространств системой по- лунорм (обратите внимание, что для всех пространств, кроме Ce( ), эта система полунорм счётна). .. Доказать, что топология полинормированного простран- ства (X ,{pα}α∈ A ) с указанной в преамбуле базой B окрестностей ну- ля является пересечением τ всех топологий τ,относительнокаж- дой из которых непрерывны все полунормы pα , α ∈ A. .◦ . Доказать, что последовательность {xn} ∞ 1 вполинормиро- ванном пространстве ( X ,{pα}α∈ A ) сходится (в смысле топологии, порождённой системой полунорм) к вектору x тогда и только тогда, когда pα(xn − x) → 0 относительно всякой полунормы pα . .. Доказать, что полинормированное пространство X явля- ется хаусдорфовым относительно топологии, порождённой систе- мой его полунорм {pα}α∈ A , тогда и только тогда, когда для каждого вектора x ∈ X , x = 0, существует такая полунорма pα , α = α(x), что pα(x) >0. .. Доказать, что пространства s, l ∞ 2,C ∞ [0, 1], A(D), C( )и Ce[0, 1] хаусдорфовы. .. Пусть на линейном пространстве X заданы два семейства полунорм {pα}α∈ A1 и{pα }α∈ A2 . Обозначим топологии, порожденные этими семействами, через τ1 и τ2. Доказать, что τ1 слабее τ2 тогда и только тогда, когда второе семейство полунорм мажорирует первое. .. Не используя теорему ., доказать, что хаусдорфово по- линормированное пространство X нормируемо тогда и только то- гда, когда его семейство полунорм эквивалентно своему конечному подсемейству. .. Пусть в счётно-нормированном пространстве X каждая последующая полунорма мажорирует предыдущую, но не эквива- лентна ей. Доказать, что X не нормируемо. .. Доказать, что пространства s, l ∞ 2,C ∞ [0, 1], A(D), C( )и Ce[0, 1] не нормируемы. . . Не используя теорему ., доказать, что хаусдорфово полинормированное пространство метризуемо тогда и только то- гда, когда его семейство полунорм эквивалентно своему не более чем счётномуподсемейству. В частности, любое хаусдорфово счёт- но-нормированное пространство метризуемо.
 Глава . Линейные топологические пространства .. Доказать, что пространство Ce[0, 1] не метризуемо. . ◦ . Доказать, что пространства s, l ∞ 2,C ∞ [0, 1], A(D)иC( )яв- ляются сепарабельными пространствами Фреше. .. Доказать, что множество E в полинормированном про- странстве ( X ,{pα}α∈ A ) ограничено в смысле определения . тогда и только тогда, когда для всякого α ∈ A существует такая константа Cα>0, что sup{pα(x):x∈E}<Cα. .. Доказать, что множество M в пространстве s предком- пактно тогда и только тогда, когда оно ограничено, т. е . для любого k ∈ существует такое Ak > 0, что |xk| Ak для всех x = (x1, x2,...)∈ ∈M. .. Доказать, что множество M в пространстве C ∞ [0, 1] пред- компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено, т. е . для лю- богоk =0,1,2, ... существует такое Ak >0, что max t ∈[0,1] |x (k)(t)| Ak для всехx∈M. . (Принцип компактности, П. Монтель, ). Доказать, что множество M в пространстве A(D) предкомпактно тогда и только тогда, когда оно ограничено в пространстве A(D)(т.е.sup{| f (z)| : f ∈ ∈M,z∈Q}<∞длялюбогокомпактаQ⊂D). Определение . . Пространство Фреше, в котором каждое огра- ниченное (в смысле определения .) множество предкомпактно, называется пространством Монтеля. .◦ . Являются ли множества: а)En={x∈s:xn=xn+1=xn+2=...=0}; б)c00 замкнутыми подпространствами в пространстве s? .◦ . Является ли множество голоморфных на отрезке [0, 1] функций замкнутым подпространством в пространстве C ∞[0, 1]? .◦ . Доказать, что линейное подпространство непрерывных ограниченных на функций является незамкнутым всюду плот- ным подпространством в полинормированном пространстве C( ). .. Доказать, что любое конечномерное подпространство в хаусдорфовом полинормированном пространстве замкнуто. .. Пусть Y — замкнутое подпространство полинормирован- ного пространства ( X ,{pα}α∈ A ). Доказать, что pα,0(x):= inf y∈Y pα(x − y) — полунормы на линейном пространстве X /Y . . . Пусть X — счётно-нормированное пространство, а Y — его собственное замкнутое подпространство. Вектор x ∈ X назы- вается -перпендикуляром к Y ,еслиd(x ,0) = 1иd(x , Y ) > 1 − . Доказать, что -перпендикуляр к Y существует при любом >0.
§ . . Локально выпуклые пространства  .. Пусть X является счётно-нормированным пространством Фреше. Доказать, что любая система вложенных замкнутых ша- ров пространства X имеет непустое пересечение (сравните с зада- чей .). .. Пусть X является счётно-нормированным пространством Фреше. Доказать, что если Y — конечномерное подпространство в X ,а x —произвольный вектор из X ,товY найдётся вектор y0, для которого dist( x , Y ) = d(x , y0)(сравнитесзадачей.). Определение .. Отображение T из полинормированного пространства ( X ,{pα}α∈ A ) в полинормированное пространство (Y ,{qβ }β ∈B) называется непрерывным в точке x0, если оно непре- рывно как отображение топологических пространств, т. е. для лю- бой полунормы qβ и для любого >0 найдутся такие полунормы pα1 ,..., pαn итакоечислоδ>0, что qβ (T (x) − T (x0)) < для всяко- го x из окрестности {x : pα1(x − x0) <δ,..., pαn (x − x0) <δ} точки x0. .◦ . Пусть f — линейный функционал на полинормированном пространстве ( X ,{pα}α∈ A ). Доказать эквивалентность следующих условий: () f непрерывен в каждой точке x ∈ X ; () f непрерывен в нуле; () существуют такие α1,...αn ∈ A иконстантаC > 0, что для лю- бого x ∈ X справедливо неравенство |f(x)| C max{pα1(x), ..., pαn (x)}. . . Привести пример такого полинормированного простран- ства (X ,{pα}α∈ A ) и такого непрерывного линейного функционала f в нём, что оценка | f (x)| Cpα( x) не выполняется ни для одной по- лунормы pα . . (Аналог теоремы Хана—Банаха). Пусть ( X ,{pα}α∈ A )—ха - усдорфово полинормированное пространство. Доказать, что ес- ли f — линейный непрерывный комплекснозначный функционал, определённый на линейном подпространстве Y пространства X , то существует линейный непрерывный функционал F , определён- ный на всём X исовпадающийс f на подпространстве Y .Вывести отсюда, что для всякого x ∈ X , x = 0, существует такой линейный непрерывный функционал f на X ,что f (x) = 0. Пример .. Доказать, что функционал f (w) = w (0) непреры- вен на пространствеA( ), где ={z∈ :|z|<1}. Решение. Рассмотрим полунорму p(w) = sup |z| 1/2 |w(z)|.Всилуин- тегральной формулы Коши имеем f(w)=w (0)= 1 2πi |z|=1/2 w(z) z2 dz.
 Глава . Линейные топологические пространства Тогда |f(w)| 1 2π |z|=1/2 p(w) |z|2 |dz| 2p(w), а значит (см. условие () в задаче .), функционал f непреры- вен. . ◦ . Доказать, что функционал fn( x) = x (n)(0) непрерывен на C∞[−1,1] для любого n= 0,1,2, ... . ◦ . Доказать, что любой линейный непрерывный функцио- нал на пространстве s имеет вид f ((x1, x2,...)) = ∞ n=1 xnyn,гдеy = = ( y1, y2,...)∈ c00. .. Доказать, что любой линейный непрерывный функционал на пространстве C( )имеетвид f(x) = x(t) dy(t), где y ∈ BV( ), причём мера dy финитна (т. е. существует такое A = A( y ) > 0, что y(t)≡const1 приt>Aи y(t)≡const2 приt<−A). . . Доказать, что любой линейный непрерывный функцио- нал на пространстве Ce[0, 1] имеет вид f (x) = n k=1 λkx(αk),гдеn∈ , λk∈ ,αk∈[0,1](k=1,...,n). .. Доказать, что в полинормированном пространстве со счетным набором полунорм всякий секвенциально непрерывный линейный функционал является непрерывным. .*. Доказать, что в пространстве Ce[0, 1] всякий секвенци- ально непрерывный линейный функционал является непрерывным. .*. Пусть пространство C 1 0 ( ) состоит из непрерывно диффе- ренцируемых функций x : → , каждая из которых равна нулю вне некоторого (своего) отрезка. Пусть на этом пространстве введена система полунорм {pg : g ∈C( )}∪{P}, где pg(x) = sup{|g(t)x(t)|: t ∈ ∈ }, P(x) = sup{|x (t)|: t ∈ }. Доказать, что а) сходимость xn → x в этом полинормированном пространстве равносильна тому, что все функции xn равны нулю вне некоторого (одного и того же) отрезка и их производные xn равномерно на этом отрезке сходятся к x ; б) функционал f (x) = ∞ n=1 x (n) является секвенциально непре- рывным, но не является непрерывным на этом пространстве. .. Доказать, что в следующих пространствах нет ни одного непрерывного линейного функционала, кроме нулевого: а) в пространстве классов эквивалентности измеримых по Лебе- гуна [0, 1] функций с метрикой ρ(x, y) = 1 0 |x(t) − y(t)| 1 + |x(t) − y(t)| dμ;
§ . . Локально выпуклые пространства  б) в пространстве Cp [0, 1], 0 < p < 1, с базой окрестностей нуля, состоящей из множеств V = x ∈ C[0,1]: 1 0 |x(t)|p dt 1/p < Отсюда, в частности, следует, что эти пространства не являются ло- кально выпуклыми. .◦ . Пусть ( X ,{pα}α∈ A )и(Y ,{pγ}γ∈G ) — полинормированные пространства, T : X → Y — линейное отображение. Доказать, что следующие условия эквивалентны: () T непрерывно в каждой точке пространства X ; () T непрерывно в нуле; () для любой полунормы pγ , γ ∈ G, существуют такие индексы α1,...αn ∈ A иконстантаC > 0(зависящиеотγ), что для любого x ∈ X справедливо неравенство pγ(Tx) C max{pα1 ( x ), ..., pαn (x)}. Пример .. Доказать, что оператор T , заданный в простран- стве s произвольной нижнетреугольной матрицей (ank), непреры- вен. Действие оператора описывается следующим образом: (Tx)n = = n k=1 ankxk. Решение. Для произвольной полунормы pn имеем pn(Tx) = |(Tx)n| = n k=1 ank xk max 1kn |xk|· n k=1 |ank| = Cn max{p1(x), ..., pn(x)}. .◦ . Доказать, что оператор дифференцирования ( Af)(z) = = f (z)впространствеA(D), где D ⊂ —произвольная область, непрерывен. .◦ . Доказать, что оператор дифференцирования ( Ax)(t) = = x (t) непрерывен в пространстве C ∞[0, 1]. Найти его образ и яд- ро. .◦ . Доказать, что оператор умножения на бесконечно диффе- ренцируемую функцию ( Ax)(t) = a(t) x(t) непрерывен в простран- стве C ∞[0, 1]. Найти его образ и ядро в случаях а) a(t)=t+1, б)a(t)=sin(2πt). . (Аналог теоремы Банаха об обратном операторе). Пусть X и Y — счётно-нормированные пространства Фреше, а T : X → Y — линейный непрерывный биективный оператор. Доказать, что T имеет линейный непрерывный обратный оператор. . (Аналог теоремы Банаха—Штейнгауза). Пусть M —про- извольное семейство непрерывных линейных операторов из счёт-
 Глава . Линейные топологические пространства но-нормированного пространства Фреше ( X ,{pn} ∞ 1 )всчётно-нор- мированное пространство Фреше (Y ,{qn} ∞ 1 ), причём для любого x ∈ X и n ∈ множество {qn(Tx): T ∈ M}ограничено.Доказать, что для любой полунормы qn найдутся такие полунормы pk1 ,...,pkj и такая постоянная Cn > 0, что qn(Tx) Cn max{pk1(x), ..., pk j (x)} длявсехx∈XиT∈M. § .. Слабая топология в нормированном прос транс тве Определение .. Слабая топология в линейном нормирован- ном пространстве X — это топология, базукоторой составляют мно- жества V(x;f1,f2,...,fn, ):={y∈X:|fj(x−y)|< ,j =1,...,n}, гдеx∈X,f1,...,fn∈X∗ , >0. Другими словами, множество U от- крыто в слабой топологии, если оно является объединением мно- жеств V(x; f1, f2,..., fn, ) указанного вида. Теорема . (С. Банах, ; Л. Алаоглу, ). Пусть X — линей- ное нормированное пространство. Замкнутый единичный шар про- странства X компактен в слабой топологии тогда и только тогда, когда X рефлексивно. Задачи .. Пусть X — нормированное пространство. Доказать, что слабая топология w в X порождается некоторым набором полунорм (т. е . ( X , w ) — полинормированное пространство). .◦ . Доказать, что последовательность векторов нормирован- ного пространства слабо сходится тогда и только тогда, когда она сходится в слабой топологии. .◦ . Доказать, что в конечномерном нормированном про- странстве слабая топология совпадает с топологией нормы. . . Доказать, что в бесконечномерном нормированном про- странстве любая окрестность нуля в слабой топологии содержит бесконечномерное подпространство. . . Доказать, что в произвольном бесконечномерном норми- рованном пространстве слабая топология всегда строго слабее то- пологии нормы (то есть всякое открытое в слабой топологии мно- жество открыто и в топологии нормы, но не наоборот)1) . 1) Сравните с задачей . .
§.. ∗ -слабая топология в сопряжённом пространстве  .. Доказать, что для любого нормированного пространства слабая топология хаусдорфова. . . Пусть X — нормированное пространство. Доказать, что любой функционал f ∈ X ∗ непрерывен относительно слабой топо- логии. Доказать, что наоборот, любой линейный функционал на X , непрерывный в слабой топологии, лежит в X ∗ . . . Пусть X — банахово пространство, а U — выпуклое мно- жество в нём. Доказать, что U замкнуто относительно нормы тогда и только тогда, когда U замкнуто в слабой топологии. .. Привести пример банахова пространства X имноже- ства A в нём, замкнутого относительно нормы, но не замкнутого в слабой топологии. .. Доказать, что нормированное пространство сепарабель- но относительно нормы тогда и только тогда, когда оно сепарабель- но в слабой топологии. .. Привести пример такого множества M в пространстве l2, что оно не открыто в слабой топологии, но для любой последова- тельности xn,слабосходящейсяк x ∈ M ,все x n , начиная с некоторо- го номера лежат в M . .. Пусть X — нормированное пространство, а X ∗ сепара- бельно. Доказать, что слабая топология в единичном шаре про- странства X метризуема. . ◦ . В пространстве l p , p ∈ (1, ∞), привести пример такой по- следовательности {xn} ∞ 1 ,что xn →∞, но точка 0 лежит в замыка- нии множества {xn} ∞ n=1 в слабой топологии. .. Доказать, что для любой функции x0 ∈ L1[0, 1] множество {x ∈ L1[0, 1]: |x(t)| |x0(t)| для почти всех t ∈ [0, 1]} слабо секвен- циально компактно в L1[0, 1]. §.. ∗-с лабая топология в сопряжённом пространстве Определение .. ∗ -слабая топология в пространстве X ∗ —т о- пология, базукоторой составляют множества V(f;x1, x2 ,...,xn, ):={g∈X∗ :|(f−g)(xj)|< ,j =1,...,n}, гдеf∈X∗ , x1,..., xn ∈ X , >0. Другими словами, множество U от- крыто в слабой топологии, если оно является объединением мно- жеств V(f; x1, x2,...,xn, ) указанного вида. Теорема . (С. Банах, ; Л. Алаоглу, ). Пусть X — линей- ное нормированное пространство. Тогда замкнутый единичный шар пространства X ∗ компактен в ∗-слабой топологии.
 Глава . Линейные топологические пространства Задачи . ◦ . Пусть X — нормированное пространство. Доказать, что ∗-слабая топология ∗w в X ∗ порождается некоторым набором полу- норм (т. е. (X∗ , ∗ w) — полинормированное пространство). . ◦ . Доказать, что последовательность { fn} ∞ 1⊂X∗ ∗-слабо схо- дится тогда и только тогда, когда она сходится в ∗-слабой топологии. . ◦ . Пусть X — конечномерное нормированное простран- ство. Доказать, что ∗-слабая топология в X ∗ совпадает с топологией нормы. . . Пусть X — бесконечномерное нормированное простран- ство. Доказать, что ∗-слабая топология в X ∗ строго слабее топологии нормы. .. Пусть X — нормированное пространство. В пространстве X ∗ рассмотрим слабую топологию (она вводится стандартным обра- зом, при помощи функционалов из X ∗∗ ). Доказать, что если X нере- флексивно, то в X ∗ ∗-слабая топология слабее слабой топологии. До- казать, что в случае рефлексивного пространства эти топологии сов- падают. . ◦ . Пусть X — бесконечномерное нормированное простран- ство. Доказать, что всякая окрестность нуля в ∗-слабой топологии пространства X ∗ содержит бесконечномерное подпространство. .. Доказать, что для любого нормированного пространства ∗-слабая топология в сопряжённом пространстве хаусдорфова. .. Пусть X — нормированное пространство. Доказать, что для любого линейного функционала F на X ∗ , непрерывного в ∗-сла- бой топологии, существует такой вектор x из X ,чтоF( f ) = f (x)для любого f ∈X∗ . .. Привести пример нормированного пространства X иза- мкнутого подпространства X0 ⊂ X ∗ такого, что X0 замкнуто относи- тельно нормы, но не замкнуто в ∗-слабой топологии. .. Пусть X — нормированное пространство. Доказать, что из сепарабельности X ∗ относительно нормы следует ∗-слабая сепа- рабельность. Привести контрпример к обратномуутверждению. .. Пусть X — сепарабельное нормированное пространство. Доказать, что ∗-слабая топология в единичном шаре пространства X∗ метризуема. .. Пусть X — банахово пространство. Доказать, что про- странство X ∗ метризуемо в ∗-слабой топологии тогда и только то- гда, когда dim X < ∞. .. Доказать теорему. Банаха—Алаоглудля сепарабель- ного пространства X .
§.. ∗ -слабая топология в сопряжённом пространстве  .. Пусть X — нормированное пространство. Обозначим Y=π(X),гдеπ:X→X ∗∗ —к аноническое вложение. Доказать, что отображение π является изоморфизмом (т. е . непрерывно, биек- тивно и имеет обратное отображение, которое также непрерывно) топологических пространств ( X , w)и(Y , ∗w), где X — простран- ство со слабой топологией, Y — пространство с топологией, инду- цированной из ( X ∗∗ , ∗w), а ∗w — ∗ -слабая топология. Доказать, что замыкание подпространства Y в этой топологии есть всё простран- ство X ∗∗ . .. Доказать теорему. в случае, когда X ∗ сепарабельно. .. Доказать, что в рефлексивном бесконечномерном бана- ховом пространстве слабая сходимость не совпадает со сходимо- стью по норме. .. Доказать, что замкнутое подпространство рефлексивного нормированного пространства рефлексивно. .. Доказать, что любое замкнутое подпространство рефлек- сивного нормированного пространства является подпространством существования (см. определение .). .. Пусть X и Y — банаховы пространства, A : X → Y —ли - нейный оператор, непрерывный относительно слабых топологий. Доказать, что A ∈ B( X , Y ) (сравните с задачей .). .*. Доказать, что каждое из пространств c, c0 , C[0, 1], L1[0, 1] не является изометрически изоморфным никакомупространству, сопряженномук нормированному. Указание. Применить теорему. и задачу..
Глава  Пространства пробных (основных) функций Следующие три пространства являются основными простран- ствами пробных функций на действительной оси . Определение . . Пространство E — это линейное простран- ство C ∞ ( ), снабженное системой полунорм pN,n(f):= max{|f(k)(t)|:k =0,1, ..., n; t ∈[−N,N]}; n=0,1,2,...;N=1,2,... Определение . . Пространство S быстро убывающих функ- ций (пространство Шварца) состоит из тех функций f ∈ C ∞( ), для которых конечны все полунормы pn,k(f):=sup{|tnf(k)(t)|:t∈ }; n=0,1,2, ...; k=0,1,2, ... Эти же полунормы задают топологию на S. Определение .. Пространство D финитных функций — это линейное подпространство всех функций φ ∈ C ∞( ), имеющих ограниченный носитель suppφ:={t∈ :φ(t)=0}, снабженное системой P допустимых полунорм, задаваемой так: p ∈ P ⇔ для любого N существует такая постоянная C > 0итакое целое n 0, что для любой функции φ ∈ D сносителемsuppφ ⊂ ⊂ [−N , N ] выполняется неравенство p(φ) C · pN ,n (φ). Другими словами, полунорма p допустима, если на любом отрезке она ма- жорируется полунормами пространства E . Другая (эквивалентная P ) система полунорм на D описана в за- даче .. Теорема . . Сходимость φn → φ в D, определяемая системой полунорм P , равносильна тому, что все носители supp φn и supp φ принадлежат одному отрезку I и при каждом k = 0, 1, 2, ...произ- водные φ(k) n равномерно на I сходятся к φ (k).
Глава . Пространства пробных (основных) функций  Задачи Ясно, что пространство E непусто (например, оно содержит все многочлены). Функция e− t 2 —пример ненулевой функции из S . В следующей задаче строится пример ненулевой функции из D. .. Доказать, что финитная функция ωa,b(t) = exp 1 (t−a)(t−b) , t∈(a,b), 0, t /∈(a,b), бесконечно дифференцируема на действительной оси (мы будем на- зывать этуфункцию «шапочкой»). . . Доказать, что для любого δ>0существуетфункцияφδ ∈ D со свойствами: suppφδ=[−1 −δ,1+δ], φδ(t)∈[0,1] при всех t, φδ(t) = 1приt ∈ [−1, 1] (мы будем называть эту функцию «шляпой»). . ◦ . Доказать, что функция φ ∈ D является производной неко- торойдругойфункцииизD тогда и только тогда, когда φ(t)dt=0. . ◦ . Доказать, функция φ ∈ D удовлетворяет равенству φ(0) = 0 тогда и только тогда, когда φ(t) = t · ψ(t), где ψ — некоторая другая функция из D. . ◦ . Привестипримерыфункцийφ∈S\Dиψ∈E\S. . ◦ . Каким из пространств E , S , D принадлежат функции а) φ(t) = sin t t , φ(0)=1; б)ψ(t)= 1−cost t2 , ψ(0) = 1/2? Найти носители этих функций. .*. Доказать, что для любой числовой последовательности {an } ∞ 0 найдётся такая функция φ ∈ D,чтоφ (n)(0) = an при всех n=0,1,2,... .. Пусть φ ∈ C ∞[a, b] (в концах отрезка требуется существова- ние соответствующих односторонних производных любого поряд- ка). Доказать, что существует функция ψ ∈ D такая, что ψ|[a,b] ≡ φ . . . Доказать, что любую функцию ψ ∈ E можно представить в виде ряда ψ = ∞ k=1 φk ,гдевсеφk ∈ D и каждая точка t ∈ принадле- жит лишь конечномучислуносителей supp φk . .*. Существует ли такая функция φ ∈ D,чтоsuppφ ⊂ [0, ∞) и при этом сама функция φ и все её производные положительны на интервале (0, 1)?
 Глава . Пространства пробных (основных) функций По определению, любая полунорма pN ,n ( f ) из определения . является допустимой полунормой на пространстве D. В следующих задачах приводятся примеры других допустимых полунорм. . ◦ . Доказать, что следующие полунормы являются допусти- мыми на D: а) q1(φ) = sup{|α(t)φ(t)|: t ∈ }, где α: → — непрерывная функция; б) q2(φ) = ∞ k=0 |φ(k)(k)|; в) q3(φ) = |φ (t)|2 dt 1/2 . .. Пусть p —допустимая полунорма на D. Доказать, что сле- дующие выражения являются допустимыми полунормами: а)q1(φ)=p(αφ), где α∈E; б) q2(φ) = p(φ ); в) полунорма q3, подчинённая полунорме p (т. е . найдётся такое C > 0, что q3(φ) Cp(φ) для любого φ ∈ D); г) q(φ) = max k=1,2,...,n pk(φ), где pk, k = 1, 2, ..., n, — допустимые полу- нормы на D. .*. Привести пример полунормы, определённой на всём про- странстве D и не являющейся допустимой. Указание. Использовать базис Гамеля в пространстве C[0, 1] (сравните с задачей .). .. Доказать, что следующие три системы полунорм в S экви- валентны (т. е . задают однуи туже топологию): а) {pn,k}∞ n,k =0 ,б)pn,k ,1(φ) = |tnφ(k)| dt ∞ n,k =0 , в) pn,k ,2(φ) = |tnφ(k)|2 dt ∞ n,k =0 . .. Зададим системуполунорм P на пространстве D следую- щим образом: P = {pα,c }, где α = (α1 , α2 , ...) — произвольная после- довательность неотрицательных целых чисел, c = (c1, c2 ,...) — про- извольная последовательность положительных чисел, а pα,c (φ):= := ∞ m=1 cm pm,αm (φ), где pm,k (φ) = max 0jk, m−1 |t| m |φ( j )(t)|. Доказать, что си- стемы P и P эквивалентны. Как и в любом полинормированном пространстве (см. задачу .), в пространствах E , S и D последовательность является схо- дящейся, если она сходится по каждой полунорме.
Глава . Пространства пробных (основных) функций  .. Доказать теорему. . .. Доказать, что если множество M ⊂ D ограничено по каж- дой из допустимых полунорм, то носители всех функций из M рас- положены на одном и том же отрезке и множество M секвенциально предкомпактно в D: из любой содержащейся в нём последователь- ности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Пример . . Найти предел lim n→∞ te−nt 2 в пространстве S. Решение. Вкаждойточкеt выполнено fn(t) = te−nt 2 → 0. Поэтому если предел последовательности существует в пространстве S ,тоон равен нулю. Однако p0,1(fn) = max t∈ | fn(t)| fn(0) = 1, т. е. последовательность { fn} не имеет предела в пространстве S . .. Найти предел (или доказать расходимость) последователь- ностей в пространстве E : а) fn(t) = nt n2 + t2 ;б)fn(t) = n3t 2 (1+ n2t2)2 ;в)fn(t) = e −nt 2 ; г) fn(t) = n k=0 tk k! ;д )fn(t) = 1 t+n+i/n ;е )fn(t) = sin(nt + n2) t+n . .◦ . Пусть φ0 ∈ D — ненулевая функция. Найти предел (или до- казать расходимость) последовательностей в пространстве D: а) fn(t) = 1 n φ0(t/n); б) fn(t) = 1 n2 φ0(nt); в) fn(t) = 1 n φ0(n+ t). .. Привести пример последовательности финитных функ- ций, которая сходится в E ,нонесходитсявS . .. Привести пример последовательности финитных функ- ций, которая сходится в S ,нонесходитсявD. . . Доказать, что пространства E и S метризуемы (и, более то- го, являются пространствами Фреше), а пространство D не метри- зуемо. .. Доказать, что естественные вложения D ⊂ S ⊂ E непре- рывны. .. Показать, что: а) D плотно в E ;б)D плотно в S . .. Доказать, что D плотно в каждом из пространств а)Lp( ),1 p<∞; б)Cn[a,b],n=0,1,... .. Доказать, что множество всех многочленов плотно в E . .. Доказать, что для любой функции φ ∈ D илюбойдругой функции ψ ∈ D, не равной нулю ни в одной точке из supp φ ,найдёт- ся такая последовательность многочленов pn ,чтоψ pn → φ в D. .. Доказать, что пространство D сепарабельно. .. Доказать, что оператор дифференцирования непрерывен в каждом из пространств D, S , E .
 Глава . Пространства пробных (основных) функций .. Пусть α: → — бесконечно гладкая функция. При ка- ких условиях на функцию α оператор φ → αφ непрерывен а) в пространстве E ,б ) в п р о с т р а н с т в е D, в)* в пространстве S ,г )изE в S, д)изEвD,е ) и з SвD? .. Доказать непрерывность оператора интегрирования (Aφ)(t) = t −∞ φ(s) ds, действующего в пространстве D и определённого на подпростран- ствеD0={φ∈D: φ(t)dt=0}. .. Пусть α : → — монотонно возрастающая бесконечно дифференцируемая функция. а) Доказать непрерывность оператора замены переменной (Aφ)(t) = φ(α(t)), действующего в пространстве E . б) Доказать, что если α(±∞) = ±∞, то этот оператор непрерывен в пространстве D. в)* Доказать, что если существует такое p > 0, что |α(t)| > |t| p при |t|→∞идлялюбогоk ∈ найдётся такое sk ,что|α(k)(t)| < |t|s k при |t|→∞, то этот оператор непрерывен в пространстве S . .. Пусть α: → — финитная суммируемая по Лебегу функ- ция. Доказать непрерывность оператора свёртки (Aφ)(t) = φ(s)α(t − s) ds в пространствах D и E . Доказать непрерывность этого оператора в пространстве S вслучае,когдаα — измеримая быстро убывающая (т. е . sup{(1 + |t|)n|α(t)|} < ∞ для любого n = 0, 1, ...) функция. .. Пусть ω−1,1 — функция из задачи . («шапочка»), c = = ω−1,1 (t) dt,а f ∈ C( )иsuppf ⊂ [−N , N ]. Доказать, что свёртка φ (t) = (c )−1 f (s)ω((t − s)/ ) ds лежит в пространстве D,причём suppφ ⊂[−N − ,N +].Доказать,чтоφ →fпри →0впро- странстве C( ). Верно ли, что φ → f в пространстве D (в случае f∈D)?
Глава  Обобщенные функции § .. Основные понятия Пространства D , S и E , сопряженные к введённым в преды- дущей главе полинормированным пространствам D, S и E ,на - зываются, соответственно, пространством обобщённых функций, пространством обобщённых функций умеренного роста и простран- ством обобщённых функций с компактным носителем.Частовме- сто термина «обобщённая функция» используют термин распреде- ление. Из непрерывных и плотных вложений D ⊂ S ⊂ E следуют непре- рывныевложенияE ⊂S ⊂D . Таким образом, обобщённая функция F — это линейный непре- рывный функционал на пространстве D, то есть линейный функ- ционал F : φ →〈F, φ〉 со следующим свойством: для любого нату- рального N существуют такие C > 0иn ∈ {0,1,2,...}, что для любой функции φ ∈ D сsuppφ ⊂ [−N , N] имеет место оценка |〈F,φ〉| C·pN,n(φ) (см. задачу. и определение .). Среди обобщённых функций выделяются регулярные обобщён- ные функции Ff , порождаемые обычными функциями f . Именно, если измеримая функция f : → локально интегрируема на дей- ствительной оси (то есть интегрируема по Лебегу на каждом конеч- ном интервале, обозначение f ∈ L1,loc ( )