Автор: Бородин П.А. Савчук А.М. Шейпак И.А.
Теги: дифференциальные, интегральные и другие функциональные уравнения конечные разности вариационное исчисление функциональный анализ математический анализ математика задачи по математике издательство мцнмо
ISBN: 978-5-4439-3092-3
Год: 2017
Текст
П. А. Бородин, А. М. Савчук, И. А. Шейпак
Задачи
по функциональному
анализу
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени М. В. ЛОМОНОСОВА
Механико-математический факультет
П. А . Бородин, А. М. Савчук, И. А . Шейпак
Задачи
по функциональному анализу
Электронное издание
Мocква
Издательство МЦНМО
УДК .
ББК .
Б
Бородин П. А., Савчук А. М ., Шейпак И. А.
Задачи по функциональному анализу
Электронное издание
М.: МЦНМО,
с.
ISBN - ---
Задачник содержит более задач по в сем основным разде-
лам функционального ана лиза, входящим в учебную программу ме-
ханико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. По-
чти все за дачи, в которых требуется что-то найти, снабжены ответа-
ми, а некоторые из ос та льных з адач — указаниями и комментария-
ми.
Для студентов и аспирантов математических специальнос тей
университетов.
Подготовлено на основе книги: П. А . Бородин, А. М. Савчук,
И. А . Шейпак. Задачи по функциональному анализу. — Новое
изд. — М.: МЦНМО, . — ISBN - ---.
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
, Москва, Большой Власьевский пер., ,
тел. () ––.
http://www.mccme.ru
ISBN ----
©БородинП.А
.
,СавчукА.М
.
,
Шейпак И. А ., .
©МЦНМО,.
Оглавление
Предисловие .................................
Списокпространств ............................
Глава.Метрическиепространства ................
§.
. Основныепонятияисвойства................
§ . . Последовательности в метрических пространствах.
Полнота...............................
§.
. Всюдуплотныемножества.ТеоремаБэра ........
§.
. Отображенияметрическихпространств .........
§.
. Теоремаонеподвижнойточке................
Глава.Нормированныепространства .............
§ .. Основные понятия и свойства. Примеры нормиро-
ванныхпространств.......................
§ . . Множества и последовательности в нормированных
пространствах.Подпространства ..............
§.
. Банаховыпространства....................
§ .. Конструкции банаховых пространств. Прямые сум-
мыподпространств .......................
§.
. Сепарабельностьнормированныхпространств ....
Глава.Гильбертовыпространства................
§ .. Основные понятия и свойства. Примеры евклидовых
игильбертовыхпространств .................
§.
. Множествавгильбертовыхпространствах .......
§ .. Ортонормированные системы и базисы в гильберто-
выхпространствах........................
Глава.Компактныемножества ..................
§.
. Свойствакомпактныхмножеств ..............
§ . . Компактные множества в конкретных нормирован-
ныхпространствах .......................
Глава.Линейныенепрерывныефункционалы .......
§.
. Основныесвойства.Вычислениенорм ..........
§.
. ТеоремаХана—Банаха ....................
§.
. Сопряжённыепространства .................
§ .. Второе сопряжённое пространство. Рефлексивность .
О
г
л
а
в
л
е
н
и
е
Глава.Линейныеоператоры....................
§.
. Определенияиосновныепримерыоператоров.....
§.
. Различныесвойстваоператоров ..............
§.
. Операторывгильбертовыхпространствах .......
§.
. Пространствооператоров ..................
§ .. Дифференцирование в банаховых пространствах . . .
Глава . Теорема Банаха—Штейнгауза. Слабая сходимость
векторов,функционаловиоператоров ...........
§.
. ТеоремаБанаха—Штейнгауза ................
§ . . Слабая сходимость: основные свойства. Критерии
слабойсходимости .......................
§.. ∗ -слабая сходимость в сопряжённом пространстве . .
§ .. Различные виды сходимости в пространстве операто-
ров..................................
Глава.Сопряжённыеоператоры .................
§ .. Сопряжённые операторы в банаховом пространстве .
§ . . Сопряжённые операторы в гильбертовом простран-
стве.Унитарныеинормальныеоператоры........
Глава.Обратныйоператор.....................
§ .. Теорема Банаха об обратном операторе. Примеры . .
§.
. Свойстваобратимыхоператоров..............
Глава.Базисы .............................
§.
. Полныеиминимальныесистемывекторов ......
§.
. БазисыШаудера ........................
§.
. Базисывгильбертовыхпространствах .........
Глава . Компактные операторы и теория Фредгольма . .
§.
. Общиесвойствакомпактныхоператоров........
§ . . Компактные операторы в конкретных пространствах
§ .. Компактные операторы в гильбертовых простран-
ствах.................................
§.
. ТеорияФредгольма ......................
§.
. Интегральныеуравнения ..................
Глава . Основы спектральной теории ограниченных опе-
ратороввбанаховыхпространствах .............
§.
. Спектр ..............................
§.
. Спектркомпактногооператора ..............
§.
. ТеоремаГильберта—Шмидта ...............
§.
. Основныетипыоператоровнапримерах........
Оглавление
Глава . Функциональное исчис ление и спектральная тео-
рема ...................................
§ .. Функциональное исчисление ограниченного опера-
тора .................................
§ . . Функциональное исчисление, построенное по само-
сопряжённомуоператору ...................
§ .. Спектральная теорема в терминах интеграла Лебе-
га—Стилтьеса...........................
§ .. Спектральная теорема в терминах оператора умно-
жения................................
Глава . Топологические, линейные топологические и поли-
нормированныепространства .................
§.
. Топологическиепространства ...............
§.
. Линейныетопологическиепространства........
§ .. Локально выпуклые пространства как полинорми-
рованныепространства ....................
§ . . Слабая топология в нормированном пространстве .
§.. ∗ -слабая топология в сопряжённом пространстве . .
Глава . Пространства пробных (основных) функций . . .
Глава.Обобщенныефункции ..................
§.
. Основныепонятия.......................
§.
. Операциинадобобщённымифункциями .......
Глава.ПреобразованиеФурье ..................
§.
. ПреобразованиеФурьеобычныхфункций .......
§.
. ПреобразованиеФурьеобобщённыхфункций.....
Глава.Свёртка.............................
§ .. Свёртка функций в L1( ) ..................
§ . . Оператор свёртки в L2( )..................
§.
. Свёрткаобобщённыхфункций ..............
Глава . Обобщённые функции нескольких переменных .
§ .. Дополнительные операции над обобщёнными функ-
циями................................
§.
.Ф
ундаментальныерешения ................
Ответы.....................................
Предметныйуказатель ..........................
Списоклитературы.............................
Предисловие
Эта книга возникла в результате работы авторов на механи-
ко-математическом факультете Московского государственного уни-
верситета имени М. В. Ломоносова. Первые два ее издания выхо-
дили в издательстве «Попечительский совет механико-математиче-
ского факультета» в и г.
Курс функционального анализа изучается на механико-матема -
тическом факультете в и семестрах (одна лекция и один семи-
нар в неделю, в каждом семестре зачет и экзамен). За последние
лет ядро этого курса вполне сложилось, так что программы раз-
ных лекторов отличаются лишь последовательностью тем из этого
ядра и набором тех специальных тем, которые определяются их лич-
ными предпочтениями. Имеется много учебников по функциональ-
номуанализу, в том числе написанных лекторами мехмата, и все
вместе эти учебники полностью покрывают потребности студентов
в теоретическом освоении предмета.
В то же время задачников по функциональному анализу сравни-
тельно мало, и ни один из них не подходит для ведения семинарских
занятий по мехматскомукурсу. Каждый преподаватель использует
на семинарах и зачетах свой собственный, отработанный годами,
список задач, лишь малую порцию которого студент может едино-
временно увидеть на доске в виде домашнего задания или на сво-
ем листке во время контрольной или зачета. В результате средний
студент мехмата видит и решает сравнительно мало задач, слиш-
ком зависит от своей семинарской тетради и получает представле-
ние о функциональном анализе как об очень сложной и очень тео-
ретической науке, представленной такими разными мастер-класса -
ми преподавателей с кафедры теории функций и функционального
анализа.
Настоящий сборник задач (идея его написания принадлежит
И. А . Шейпаку) имеет своей целью восполнить этот пробел. В нём
представлены все основные темы мехматского курса функциональ-
ного анализа в их наиболее традиционной последовательности, а
также некоторые специальные темы. Каждая глава содержит сводку
основных определений и теорем, необходимых для решения задач
этой главы, а также примеры решений типовых «ремесленных» за-
дач. Почти все задачи, в которых требуется что-то найти, снабжены
Предисловие
ответами, а некоторые из остальных задач — указаниями и коммен-
тариями. Задачи, отмеченные кружочком, считаются базовыми для
данной главы. Задачи, отмеченные звездочкой, являются сложными
и, как правило, сопровождаются указаниями к решению.
Нам не удалось избежать неравномерного распределения задач
по главам: какие-то темы представлены лишь необходимым мини-
мумом задач, а каким-то — в силу личных вкусов авторов — отве -
дено номеров во много раз больше, чем может вместить реальный
учебный процесс. Из более чем задач сборника лишь несколько
десятков придуманы нами, а остальные появились в результате со-
бирания и обработки задач из различных источников, прежде все-
го — из упоминавшихся личных списков преподавателей кафедры
теории функций и функционального анализа механико-математи -
ческого факультета.
Мы глубоко благодарны всему коллективу преподавателей ка-
федры, ныне покойномуруководителю кафедры академикуРАН
П. Л . Ульяновуи нынешнемуруководителю академикуРАН Б. С. Ка-
шинуза ценные советы и постоянное стимулирующее воздействие.
Особенно мы благодарны В. В . Рыжикову, принимавшему участие
в начальной стадии составления задачника, а также В. И. Богачеву,
А.Н.Бахвалову, М.И.Дьяченко, А.Г
.Костюченко, О.Г
.Смолянову,
В.М.Федорову, А.Я.Хелемскому и А.А.Шкаликову. Мы также бла-
годарим студентов механико-математического факультета, способ-
ствовавших поискуошибок и опечаток в рукописи.
Кроме того, каждый из нас благодарен своей жене за терпение и
полезные замечания.
Работа первого автора поддержана грантом РФФИ (проект
No --), второго и третьего авторов — грантом РФФИ
(проект No - -).
Авторы
Список пространств
Метрические пространства
Обозначение
Описание и метрика
discr( X )
дискретное метрическое пространство на множестве X
ρ(x, y)=
1, еслиx=y,
0, еслиx=y
натуральные числа, ρ(m, n) = |m − n|
B0
бэровское нуль-пространство векторов x = (n1 , n2 ,...), где
nk∈ ,
ρ(x , y) = 1/k,гдеk — первый из номеров, для которых ко-
ордината nk последовательности x отлична от k-й коорди-
наты последовательности y (ρ(x , x ):= 0)
R
подмножества отрезка [0, 1], состоящие из конечного числа
полуинтервалов,
ρ(X,Y)=μ(X Y), гдеμ
n
k=1
[ak, bk) =
n
k=1
(bk −ak)
L[0, 1]
факторклассы подмножеств отрезка [0, 1], измеримых по
Лебегу(два множества X и Y принадлежат одномуфактор-
классу, если μ∗(X Y)=0),
ρ([X],[Y]) = μ
∗
(X Y), где X∈[X],Y∈[Y], а μ∗(A)=
= inf
∞
k=1
(bk−ak):B=
∞
k=1
[ak, bk),B ⊃ A —внешняя мера
множества A
pӣ̄
p
рациональные числа с p-адической метрикой ρp (здесь p —
произвольное простое число) и пополнение этого простран-
ства по метрике ρ p . Пополнение реализуется как ряды вида
x=
∞
n=1
bnp
n−N
, bn∈{0,...,p−1},
ρp(x, y) =|x − y|p для x, y ∈ p;здесь|·|p — p -адический
модуль числа: pk m
np
=p
−k
,гдеmиnнеделятсянаp,k∈ ;
|0|p := 0;
ρp(x, y) = lim
n→∞
|Sn(x) − Sn(y)|p для x, y ∈ ̄̄
p ,гдеSn —ча
-
стичные суммы рядов для чисел x и y
Список пространств
Нормированные пространства
Обозначение
Описание и норма
lp(n)
n-мерное пространство векторов x = {xk }n
1 снормой · p
,
xp=
n
k=1
|xk|p
1/p
,1 p<∞
l∞(n)
n-мерное пространство векторов x = {xk }n
1 снормой ·
∞
,
x∞
= max
1kn
|xk |
c00
пространство финитных последовательностей,
x =max
k1
|xk|
c0
пространство последовательностей x = {xk }∞
k=1
, сходящихся
кнулю: lim
k→∞
xk=0,
x =max
k1
|xk|
c
пространство последовательностей x = {xk}∞
k=1
,и
меющих
предел,
x =sup
k1
|xk |
lp
пространство последовательностей x = {xk }∞
k=1 сусловием
∞
k=1
|xk|p<∞, где1 p<∞,
x=
∞
k=1
|xk|p
1/p
l∞
пространство ограниченных последовательностей x ={xk}∞
k=1
,
x =sup
k1
|xk |
lp( )
пространство двусторонних последовательностей
x = {xk}∞
k=−∞
сусловием
∞
k=−∞
|xk|p<∞,где1 p<∞,
x=
k∈
|xk|p
1/p
Pn[a, b]
пространство многочленов на отрезке [a, b]состепеньюне
выше n,
x =max
t∈[a,b]
|x(t)|
Список пространств
P[a, b]
пространство всех многочленов на отрезке [a, b],
x =max
t∈[a,b]
|x(t)|
C[a, b]
пространство непрерывных на отрезке [a, b] функций,
x =max
t∈[a,b]
|x(t)|
Cper [a, b]
подпространство пространства C [a, b], состоящее из функ-
ций, значения которых в точках a и b совпадают,
x =max
t∈[a,b]
|x(t)|
C()
пространство непрерывных на окружности
:={z∈ :
|z| = 1} функций (изометрически изоморфно пространству
Cper [0, 2π]),
x =max
|z|=1
|x(z)|
Cn[a, b]
пространство n раз непрерывно дифференцируемых на от-
резке [a, b] функций,
x1=
n
k=0
x (k)
C[a,b], x 2 = max
0kn
x (k)
C[a,b]
Cp[a, b]
пространство непрерывных на отрезке [a, b] функций с нор-
мой·Cp
,1 p<∞,
xCp
=
b
a
|x(t)|p dt
1/p
n
Cp[a, b]
пространство n раз непрерывно дифференцируемых на от-
резке [a, b] функций с нормой · C
n
p
,1p<∞,n∈ ,
xCn
p
=
n
k=0
x(k) p
Cp [a,b]
1/p
BC( )
пространство непрерывных ограниченных на функций,
x =sup
t∈
|x(t)|
C0( )
пространство непрерывных на функций, для которых
lim
|t|→∞
x(t)=0,
x =max
t∈
|x(t)|
Lp(M,Σ,μ)
пространство классов эквивалентных функций, суммируе-
мых в p-йстепени,1 p<∞,
x=
M
|x(t)|p dμ
1/p
Список пространств
L∞ (M , Σ, μ) пространство классов эквивалентных существенно ограни-
ченных функций,
x =esssup
t∈M
|x(t)| := inf
μ( A)=0
sup
M\A
|x(t)|
Lp[a, b]
L p [a, b]:= L p ([a, b], μ), где μ — мера Лебега; пополнение
пространства Cp[a, b]приp = ∞,
x=
b
a
|x(t)|p dt
1/p
при1 p<∞,
x=inf
μ( A)=0
sup
[a,b]\A
|x(t)|приp=∞
n
Wp [a, b]
пополнение пространства n
Cp[a,b],1 p<∞,n∈ ,
xWn
p
=
n
k=0
x(k) p
Lp
1/p
n
◦
WWp [a, b]{
x∈n
Wp[a,b]:x(j)(a)=x(j)(b)=0,0 j<n},1 p<∞,
n∈,
x◦
WWn
p
=x
Wn
p
BV [a, b]
пространство функций ограниченной вариации,
x =Varb
a
x+sup
t∈[a,b]
|x(t)|
BV0[a, b]
пространство функций ограниченной вариации, для кото-
рых x(t − 0) = x(t)на(a, b)иx(a) = 0,
x =Varb
a
x
AC(D)
пространство функций, голоморфных в ограниченной обла-
сти D ⊂ и непрерывных в замыкании этой области ̄̄D ,
x AC=sup
ξ∈ ̄̄D
|x (ξ)|
Список пространств
Евклидовы пространства
Обозначение
Описание и скалярное произведение
l2(n)
n
,(x, y)=
n
k=1
xk ̄yk
l2
последовательности x = {xk }∞
k=1 сусловием
∞
k=1
|xk|2 < ∞,
(x,y)=
∞
k=1
xk ̄yk
l2( )
двусторонние последовательности с условием
∞
k= −∞
|xk|2 < ∞
(x,y)=
k∈
xk ̄yk
C2[a, b]
непрерывные на [a, b] функции, (x , y) =
b
a
x (t)y(t) dt
Cn
2[a,b]
n раз непрерывно дифференцируемые на [a, b]функциис
нормой · C
n
2
,
(x,y)=
n
k=0
b
a
x (k)(t)y(k)(t) dt
L2(M,Σ,μ)
пространство классов эквивалентных функций, суммируе-
мых во второй степени,
(x,y)=
M
x (t)y(t)dμ
Wn
2 [a,b]
пополнение пространства C n
2 [a, b],
(x, y)Wn
2
=
n
k=0
b
a
x(k)(t)y(k)(t) dμ
◦
WWn
2 [a, b]{
x∈Wn
2 [a,b]:x(j)(a)=x(j)(b)=0,0 j<n},
(x,y)◦
WWn
2
= (x, y)Wn
2
AL2(|z| < 1) функции, голоморфные в круге |z| < 1 и такие, что
| f (z)|2 dx dy < ∞(пространствоБергмана),
(f,g)= f(z)g(z)dxdy
Список пространств
Полинормированные пространства
Обозначение
Описание и система полунорм
s
счётно-нормированное пространство всех последователь-
ностей x = {xk}∞
k=1 с покоординатной сходимостью,
pk(x) =|xk|, k ∈
l∞
2
полинормированное (счётно-гильбертово) пространство
быстро убывающих последовательностей x = (x1 , x 2 ,...):
∞
k=1
kn|xk|2 <∞, n =0,1,2,...,
система полунорм определяется скалярными произведени-
ями: pn(x)= (x,x)n,(x, y)n =
∞
k=1
knxk ̄yk, n =0,1,2,...
C∞[a, b]
счётно-нормированное пространство бесконечно диф-
ференцируемых функций со сходимостью xn → x ⇔
⇔ x(k)
n
⇒
[a,b]
x (k) для любого k 0,
pk(x) = max
[a,b]
|x (k)(t)|, k 0
A(D)
функции, голоморфные в области D ⊂ со сходимостью
fn→f⇔fn⇒
z∈K
f для всякого компакта K ⊂ D,
pK(f)=sup
z∈K
|f(z)|
Ce[0, 1],
Ce( )
непрерывные на [0, 1] (на ) функции с поточечной сходи-
мостью,
pt(x) =|x(t)|, t ∈ [0,1] (соответственно t ∈ )
C()
счётно-нормированное пространство непрерывных на
функций со сходимостью xn → x ⇔ xn ⇒
[−A,A]
x для любого
A>0,
pk(x) = sup
|t|<k
|x(t)|, k ∈
E
счётно-нормированное пространство бесконечно диффе-
ренцируемых функций со сходимостью xn → x ⇔ x (k)
n
⇒
[a,b]
⇒
[a,b]
x (k) для любого k 0идлялюбогоотрезка[a, b] ⊂ ,
pN,k(x) = max
t∈[−N ,N]
max
0jk
|x(k)(t)|, k 0, N ∈
S
счётно-нормированное пространство бесконечно диффе-
ренцируемых быстро убывающих функций (пространство
Шварца): sup
t∈
|xk(t)|(1+ |t|)n < ∞ для любых k, n 0,
pn,k(f):=sup
t∈
|tnx(k)(t)|, n =0,1,2,..., k =0,1,2, ...
Список пространств
D
пространство бесконечно дифференцируемых финитных
функций, где сходимость определяется так: xn → x ⇔ все
носители supp xn иsuppx принадлежат одномуотрезкуI и
при каждом k = 0, 1, 2, ... производные x (k)
n
равномерно на I
сходятся к x (k),
система полунорм P состоит из всех допустимых по-
лунорм: p ∈ P ⇔ для всякого N существуют постоян-
ная C > 0ицелоеn 0такие,чтодлялюбогоx ∈ D
с носителем supp x ⊂ [−N , N ] выполняется неравенство
p(x) C · pN,n(x)
E
пространство обобщённых функций с компактным носите-
лем — сопряжённое пространство к пространству E ,
pφ(F) = |〈F, φ〉|,гдеφ ∈ E
S
пространство обобщённых функций умеренного роста —
сопряжённое пространство к пространству S ,
pφ(F) = |〈F, φ〉|,гдеφ ∈ S
D
пространство обобщённых функций — сопряжённое про-
странство к пространству D,
pφ(F) = |〈F, φ〉|,гдеφ ∈ D
Глава
Метрические пространства
§ .. Основные понятия и свойс тва
Определение .. Пара (X, ρ), где X —множество, а ρ( · , · )—
отображение X × X в (метрика), называется метрическим про-
странством, если выполнены аксиомы метрики:
()ρ(x,y) 0длялюбых x,y∈X,причёмρ(x, y)=0⇔ x= y;
()ρ(x,y)=ρ(y,x)длялюбых x, y∈X;
()ρ(x,z) ρ(x, y)+ρ(y,z)для любых x, y,z ∈ X (неравенство
треугольника).
Определение . . Отображение f : X → Y метрического про-
странства ( X , ρ) в метрическое пространство (Y , d) называется
изометричным вложением, если оно сохраняет расстояния, т. е.
ρ(x, y)=d(f(x),f(y))для любых x, y ∈ X;
изометрией,если f — изометричное вложение и биекция.1)
Определение .. Пространства X и Y называются изометрич-
ными, если существует изометрия f : X → Y .
Изометричные пространства являются, по сути, одним и тем же
объектом: с точки зрения общей теории метрических пространств
их можно не различать.
Определение . . Открытым шаром B(a, r )вметрическомпро-
странстве X сцентромвточкеa ∈ X радиуса r > 0 называется мно-
жество B(a, r) = {x ∈ X : ρ(x, a) < r}. Замкнутым шаром ̄̄B(a, r)в
метрическом пространстве X сцентромвточкеa ∈ X радиуса r > 0
называется множество ̄̄B(a, r) ={x ∈ X : ρ(x, a) r}.
Определение . . Пусть X — метрическое пространство, A —
множество в X . Точка x ∈ X называется
внутренней точкой множества A, если существует r > 0такое,
что B(x,r)⊂A;
внешней точкой множества A, если существует r > 0такое,что
B(x,r)⊂X\A;
1) Легко видеть, что любое изометричное в ложение инъективно, так что биек тив-
нос ть здесь эквива лентна сюръек тивности.
Глава . Метрические пространства
предельной точкой множества A, если для любого r > 0вшаре
B(x , r) найдётся бесконечно много различных точек множества A;
граничной точкой множества A, если для любого r > 0вшаре
B(x , r) найдутся как точки множества A, так и точки множества
X\A.
Совокупность внутренних точек множества A называют внут-
ренностью,асовокупностьграничныхточек—границей множе-
ства A.
Определение .. Замыканием ̄̄A множества A вметрическом
пространстве X называется множество
̄
̄
A ={x ∈ X :либоx ∈ A,либоx — предельная точка A}.
Определение .. Множество A в метрическом пространстве X
называется открытым, если все его точки — внутренние. Множе-
ство A в метрическом пространстве X называется замкнутым,если
X \ A открыто или (эквивалентное определение) если ̄̄A = A.
Так, например, в любом метрическом пространстве любой от-
крытый шар есть открытое множество, а любой замкнутый шар есть
замкнутое множество (это следует из неравенства треугольника —
проверьте).
Задачи
.. Проверить аксиомы метрики в следующих пространствах
(см. список пространств):
а)◦ discr( X ); б)◦ ;в)
◦
R;г)B0;д)L[0, 1]; е) p .
.
◦
. Проверить аксиомы метрики ρ = ρ1 + ρ2 в пространстве
(X, ρ) = (X1, ρ1) × (X2, ρ2), где X1 и X2 —метрические простран-
ства.
Метрику ρ на декартовом произведении можно определять и
другими способами: ρ = max(ρ1, ρ2), ρ = ρ2
1+ρ2
2 ит.д
.Кромето-
го, можно рассматривать декартово произведение не только двух,
но и любого конечного числа пространств.
.
◦
. Доказать, что в метрическом пространстве следующие усло-
вия эквивалентны:
() множество замкнуто;
() множество содержит все свои граничные точки;
() множество содержит все свои предельные точки.
.
◦
. Верно ли, что в произвольном метрическом пространстве за-
мыкание открытого шара B(x , r) есть замкнутый шар ̄̄B(x , r)?
. . Доказать, что для произвольного множества A метрического
пространства X справедливы следующие утверждения:
а)
◦
множество A вложено в своё замыкание: A ⊂ ̄̄A;
§ .. Основные понятия и свойства
б)◦
если A замкнуто, то ̄̄A = A;
в) множество ̄̄A замкнуто (отсюда следует, что ̄̄A = ̄̄
A);
г)◦еслиA⊂B,то̄̄A⊂̄̄B;
д)A∪B= ̄̄
A ∪ ̄̄B (привести пример таких двух множеств A и B на
прямой,что A∩B= ̄̄
A ∩ ̄̄B);
е)
◦
множество ̄̄A является «наименьшим» замкнутым множе-
ством, содержащим множество A,т.е
. B ⊃ ̄̄A для любого замкнутого
множества B ⊃ A.
.
◦
. Описать все открытые и все замкнутые множества в про-
странстве discr(X ).
.
◦
. Пусть X — произвольное метрическое пространство. Дока-
зать, что любые объединения и конечные пересечения открытых
множеств открыты. Привести пример бесконечной системы откры-
тых множеств, пересечение которых не открыто.
. . Доказать, что в метрическом пространстве X пересечение
любого числа открытых множеств открыто тогда и только тогда,
когда X состоит из изолированных точек
1)
.
.
◦
. Привести пример метрического пространства X итаких
двух различных множеств A и B внём,что A B,но ̄̄A B .
.. Привести пример метрического пространства и таких ша-
ров B(x , r1)иB( y, r2)внём,чтоr1 > r2,ноB(x, r1) B( y, r2).
.. Доказать, что в пространстве p аксиома треугольника вы-
полнена в усиленном виде: ρ(x, y) max{ρ(x, z), ρ(y, z)} и, более
того, из трёх чисел ρ(x , y), ρ(x , z)иρ( y, z)двачислаобязательно
равны (все «треугольники» в этом пространстве равнобедренные).
. . Доказать, что в пространстве p :
а) любые два открытых шара (замкнутых шара) либо не пересе-
каются, либо один из них содержится в другом;
б) любой открытый шар B(x , r ) есть одновременно открытое и
замкнутое множество;
в) любой замкнутый шар ̄̄B(x , r ) также есть одновременно от-
крытое и замкнутое множество.
Определение .. Диаметром множества A в метрическом про-
странстве X называется число diam( A):= sup
x,y∈A
ρ(x, y).
.. Доказать, что:
а)◦ в произвольном метрическом пространстве диаметр шара
B(a, r)непревосходит2r;
б) для любого k ∈ [0, 2] найдётся такое метрическое простран-
ство и такой шар B(a, r ) в нём, что диаметр этого шара равен kr.
1) Точка x называется изолированной точкой множества A, ес ли найдется окрест-
нос ть B( x , ), >0, не содержащая ни одной точки множества A за исключением x .
Глава . Метрические пространства
Определение . . Множество A в метрическом пространстве X
называется ограниченным, если оно вложено в некоторый шар или
(эквивалентное определение) если diam( A) < ∞.
.. Пусть A — ограниченное множество в метрическом прост-
ранстве. Доказать, что замыкание ̄̄A также ограничено и diam( ̄̄A) =
= diam( A).
Определение .. Пусть ( X , ρ) — метрическое пространство,
M ⊂ X — непустое ограниченное множество. Величина
rC(M):= inf{r > 0:B(x,r)⊃M для некоторого x ∈ X}
называется чебышёвским радиусом множества M .Еслисуществует
замкнутый шар радиуса rC (M ), содержащий M , то центр этого шара
называется чебышёвским центром множества M .
.
◦
. Доказать, что для любого ограниченного множества в мет-
рическом пространстве выполнены неравенства
1
2
diam(M) rC(M ) diam(M).
.. Доказать, что в пространстве l2(2) для всякого ограничен-
ного множества M чебышёвский центр существует и diam(M )/2
rC(M) diam(M)/ 3.
.. Доказать, что в пространстве l∞(2) для всякого ограни-
ченного множества M чебышёвский центр существует и rC (M ) =
= diam(M )/2.
. . Привести пример метрического пространства, в котором
для всякого ограниченного множества M выполнено равенство
rC(M) = diam(M).
§ . . Пос ледовательности в метрических
пространствах. Полнота
Определение . . Точка x метрического пространства ( X , ρ)на-
зывается пределом последовательности { xn}
∞
1 ,если lim
n→∞
ρ(x, xn) =
=0.
Определение . . Точка x называется предельной точкой после-
довательности { xn}
∞
1 в метрическом пространстве X ,еслиx явля-
ется пределом некоторой подпоследовательности { xnk
}∞
k=1
.
Определение . . Последовательность {xn}
∞
1 точек метриче-
ского пространства X называется фундаментальной (или последо-
вательностью Коши), если для любого >0 найдётся такое N ,что
ρ(xn,xm)< длявсехn,m>N.
§ . . Последовательности в метрических пространствах. Полнота
Встречаются ситуации, когда на одном и том же множестве вво-
дят различные метрики.
Определение .. Пусть на множестве X введены две метри-
ки ρ1 и ρ2.Метрикаρ1 называется подчинённой метрике ρ2 (обо-
значается ρ1 ≺ ρ2), если любая последовательность, сходящаяся по
метрике ρ2, сходится к томуже пределуи по метрике ρ1.Метрики
ρ1 и ρ2 называют эквивалентными (или топологически эквивалент-
ными)ипишутρ1∼ρ2,еслиρ1≺ρ2иρ2≺ρ1.
Определение . . Метрическое пространство X называется
полным, если любая фундаментальная последовательность точек
этого пространства имеет предел в X .
В неполном пространстве критерий Коши не всегда выполня-
ется — не все фундаментальные последовательности имеют пре-
дел. Любое неполное пространство можно пополнить в следующем
смысле.
Определение .. Метрическое пространство Y называется по-
полнением метрического пространства X ,если:
() Y полно;
() найдётся такое изометричное вложение f : X → Y ,чтомно-
жество f ( X )всюдуплотновY .1)
Те ор е м а . (о пополнении). Для любого метрического про-
странства существует пополнение. Если Y1 иY2 — пополнения од-
ного и того же пространства X , то они изометричны.
Те ор е м а . (о вложенных шарах). Метрическое пространство
является полным тогда и только тогда, когда любая последова-
тельность замкнутых вложенных шаров, радиусы которых стре-
мятся к нулю, имеет общую точку
2)
.
Задачи
.◦
. Описать все фундаментальные последовательности в дис-
кретном метрическом пространстве и в пространстве .
. . Доказать, что в пространстве B0 предел последовательно-
сти{xn=(x
1
n
,x
2
n
,...)}∞
1 равенx=(x
1
,x
2
, ...) тогда и только тогда,
когда для любого k ∈ найдётся такое Nk ∈ ,что x k
n
= xk для всех
n>Nk.
Определение .. Пусть X — метрическое пространство, A ⊂
⊂ X —непустое множество и x ∈ X . Расстоянием от точки до мно-
жества называется число dist(x, A):= inf{ρ(x , y): y ∈ A}.
Легко видеть, что dist( x , A) = 0 тогда и только тогда, когда x ∈ ̄̄A.
1) Строго гов оря, пополнением следует называть пару (Y , f ).
2) Легко проверить, что если эта точка существует, то она единственна.
Глава . Метрические пространства
.. Пусть X — метрическое пространство, A —его подмноже-
ство, x — произвольная точка X . Доказать, что dist(x , A) = dist(x, ̄̄
A).
.. Пусть ( X , ρ) — метрическое пространство, а функция φ(ξ)
непрерывна и выпукла вверх (не обязательно строго) на [0, +∞),
причем φ(ξ) > 0на(0,+∞) и φ(0) = 0. Доказать, что ρ1(x, y) =
= φ(ρ(x , y )) задаёт метрикуна X ,причёмρ1 ∼ ρ ,аеслифункцияφ
вдобавок ограничена на [0, +∞), то новое метрическое простран-
ство (X , ρ1) также ограничено.
Вкачествеφ часто берут функции φ(ξ) =
ξ
ξ+1
, φ(ξ) = arctg(ξ)
и φ(ξ) = min(1,ξ).
. . Доказать, что метрическое пространство собычноймет-
рикой ρ(x, y) = |x − y| не полно. Существует ли счетное полное мет-
рическое пространство?
Построение пополнения неполного пространства — как правило
непростая задача. При этом полезно иметь в видуследующий про-
стой факт.
.. Пусть неполное метрическое пространство ( X , ρ)плотнов
метрическом пространстве (Y , ρ). Доказать, что если любая фунда-
ментальная последовательность точек множества X имеет предел
в пространстве Y ,то(Y , ρ) является пополнением пространства
(X,ρ).
.
◦
. Доказать, что метрическое пространство является попол-
нением пространства .
.. Для каждой из следующих функций ρk : × →
а) ρ1(x, y)=| arctg x − arctg y|;б)ρ2(x, y)= arctg|x − y|;
в)ρ3(x, y)=|e
x
−
e
y
|;г
)
ρ4(x, y)=|x
3
−
y3|
определить, удовлетворяет ли она аксиомам метрики, а если удо-
влетворяет, то эквивалентна ли она стандартной метрике ρ0( x , y) =
= | x − y |.Полнолипространство относительно метрики ρk ?Для
неполных пространств найти пополнение.
.. Какие из следующих метрических пространств полны:
а) discr( X ); б) ;в)
*
R;г)B0?
Для неполных пространств описать их пополнение.
. . Доказать, что в пространстве p последовательность {xn }
∞
1
фундаментальна тогда и только тогда, когда ρp(xn, xn+1) → 0.
.. Доказать, что пространство ̄̄
p (см. список пространств)
действительно является пополнением пространства p .
.
◦
. Доказать, что если метрическое пространство X полно, то
его пополнение Y изоморфно пространству X .
Есть два универсальных способа конструирования новых метри-
ческих пространств из уже известных: декартово произведение и
выделение подпространства.
§ . . Всюдуплотные множества. Теорема Бэра
.
◦
. Пусть имеется метрическое пространство ( X , ρ)=( X1, ρ1) ×
× (X2, ρ2), где ρ = ρ1 + ρ2,а X1 и X2 —полные метрические про-
странства. Доказать, что X полно.
.
◦
. Пусть ( X , ρ) — полное метрическое пространство, Y ⊂ X .
Доказать, что пространство (Y , ρ) полно тогда и только тогда, когда
множество Y замкнуто в X .
.. Привести пример таких полных метрических пространств
(X,ρ1)и(Y,ρ2), что Y ⊂ X,ноY не замкнуто в (X,ρ1). Привести
пример полного метрического пространства ( X , ρ1)инеполного
метрического пространства (Y , ρ2), для которых Y ⊂ X и Y замкну-
то в (X,ρ1).
.. Привести пример полного метрического пространства, в
котором расстояние от точки до замкнутого множества может не
достигаться.
. . Доказать теорему. .
.. Привести пример полного метрического пространства, в
котором есть последовательность замкнутых вложенных шаров
B1 ⊃ B2 ⊃ ..., радиусы которых стремятся к положительному чис-
лу, а
∞
n=1
Bn=∅.
.◦
. Привести контрпримеры к теореме о вложенных шарах для
случая, когда метрическое пространство неполно, и для случая, ко-
гда шары открыты.
. . Доказать, что в полном метрическом пространстве любая
последовательность замкнутых ограниченных вложенных непустых
множеств с диаметрами, стремящимися к нулю, имеет в пересече-
нии ровно однуточку.
.. Доказать, что не существует счетных полных метрических
пространств без изолированных точек.
§ . . Всюду плотные множества. Теорема Бэра
Определение .. Множество A в метрическом пространстве X
называется всюду плотным1) ,если ̄̄A = X .МножествоA вметриче-
ском пространстве X называется нигде не плотным, если для любо-
го шараB(x,R)найдётсятакой шар B(y,r)⊂B(x,R),что B(y,r)∩A=
=∅.
Эквивалентное определение см. в задаче ..
1) Иногда с лово «всюду» опускают — говорят «множес тво A плотно в прос тран-
стве X ».
Глава . Метрические пространства
Те ор е м а . (Р. Бэр, ). Полное метрическое пространство
нельзя представить в виде счётного объединения нигде не плотных
множеств.
Определение .. Метрическое пространство X называется се-
парабельным, если существует не более чем счётное всюду плотное
множество A ⊂ X .
1)
Задачи
.◦
. Доказать, что множество A в метрическом пространстве X
нигде не плотно тогда и только тогда, когда множество ̄̄A не содер-
жит ни одного шара.
.◦
. Доказать, что дополнение к нигде не плотномумножеству
всюдуплотно. Привести пример, показывающий, что дополнение к
всюдуплотномумножествуне обязано быть нигде не плотным мно-
жеством. Доказать, что дополнение к всюдуплотномуоткрытому
множествунигденеплотно.
.◦
. Доказать, что замыкание нигде не плотного множества ни-
гденеплотно.
.. Пусть множество U открыто, а множество F замкнуто в мет-
рическом пространстве X .ОбозначимчерезF 0 внутренность мно-
жества F . Доказать, что следующие множества нигде не плотны в X :
а) ̄̄U\U;б)F\F0.
.. Доказать, что пересечение не более чем счётного числа от-
крытых всюдуплотных множеств в полном метрическом простран-
стве есть всюдуплотное множество.
.. Доказать теорему.. Показать существенность условия
полноты пространства в условии теоремы.
.. Существуют ли неполные метрические пространства, для
которых теорема Бэра верна?
.. Доказать, что в метрическом пространстве, состоящем лишь
из изолированных точек, всюдуплотно только все пространство и
нигденеплотнотолькопустоемножство.
.. Пусть в метрическом пространстве ( X , ρ)множество A вло-
жено в замыкание множества B,гдеB — счётно. Доказать, что мет-
рическое пространство ( A, ρ) сепарабельно. В частности, любое
подпространство сепарабельного метрического пространства сепа-
рабельно.
.◦
. Доказать, что пополнение сепарабельного метрического
пространства сепарабельно.
1) Иными словами, пространс тво X сепарабельно, если оно яв ляетс я замыканием
не более чем счётного множества.
§ . . Отображения метрических пространств
. . Доказать, что следующие пространства сепарабельны:
а) R;б)B0.
.
◦
. Пусть ( X , ρ) — метрическое пространство, а φ(ξ)—неот
-
рицательная, непрерывная, выпуклая вверх и ограниченная на
[0, +∞) функция, причём φ(0) = 0. Доказать, что если ( X , ρ)се-
парабельно, то ( X , ρ1), где ρ1 = φ(ρ), также сепарабельно.
. . Доказать, что существует функция, непрерывная на отрезке
[0, 1], отличная от константы и не являющаяся монотонной ни на
одном интервале из этого отрезка.
. . Доказать, что не существует функции U (x , y ), непрерыв-
ной на квадрате [0, 1] × [0, 1] и универсальной в следующем смыс-
ле: для всякой функции f ∈ C[0, 1], удовлетворяющей условию
max
x ∈[0,1]
|f(x)| 1, найдется такое число y = y(f)∈[0,1], что f(x) ≡
≡ U(x, y(f)).
.. Доказать, что если функция f : [0, 1] →
является пото-
чечным пределом непрерывных функций
1)
,тоеемножествоточек
непрерывности всюдуплотно на отрезке [0, 1].
.. Пусть функция f голоморфна в области D идлякаждого
z ∈ D найдется такой номер n = n(z), что f (n)(z) = 0. Доказать, что
f —многочлен.
.*. Пусть функция f бесконечно дифференцируема на отрезке
[0, 1] и для каждого x ∈ (0, 1) найдется такой номер n = n(x), что
f (n)(x) = 0. Доказать, что f —многочлен
.
§ .. Отображения метрических прос транс тв
В определении . были введены два важных класса отображе-
ний — изометрии и изометрические вложения.
Определение . . Отображение f : X → Y метрического про-
странства ( X , ρ) в метрическое пространство (Y , d) называется
непрерывным в точке x0 ∈ X , если выполнено одно из двух экви-
валентных определений:
для любого >0 существует такое δ = δ(x0, ) > 0, что для любо-
го x ∈ B(x0,δ)выполнено f(x)∈B(f(x0), );
если последовательность { xn}
∞
1 точек пространства X стремится
к x0,т.е
.x
0=lim
n→∞
xn,то f (x0) = lim
n→∞
f (xn)(секвенциальная непрерыв-
ность).
Непрерывным отображением называется отображение, непрерыв-
ное в каждой точке пространства X .
1) Это означает, что существуют такие fn ∈ C[0, 1], что f (x) = lim
n→∞
fn ( x)длякаждо-
го x ∈ [0, 1]; такие функции f образуют первый класс Бэра.
Глава . Метрические пространства
Один из примеров непрерывного отображения в произвольном
метрическом пространстве ( X , ρ) — отображение ρ : x → ρ(x , x0),
где x0 — фиксированная точка из X .
Определение . . Отображение f : X → Y метрического про-
странства (X , ρ) в метрическое пространство (Y , d) называется ло-
кально равномерно непрерывным, если для любого шара B(x , r) ⊂ X
для любого >0найдётсяδ>0 такое, что для любой пары точек
x1, x2 ∈ B(x , r)сосвойствомρ(x1, x2) <δ выполнено d( f(x1), f(x2)) <
<.
Определение . . Отображение f : X → Y метрического про-
странства (X , ρ) в метрическое пространство (Y , d) называется рав-
номерно непрерывным, если для любого >0 найдётся такое δ>0,
что для любой пары точек x1, x2 ∈ X со свойством ρ(x1, x2) <δ вы-
полнено d( f(x1), f(x2)) < .
Любое локально равномерно непрерывное отображение непре-
рывно, а любое равномерно непрерывное отображение локально
равномерно непрерывно (см. также задачу.).
Определение .. Отображение f : X → Y метрического про-
странства (X , ρ) в метрическое пространство (Y , d) называется го-
меоморфизмом,если:
() f непрерывно;
() f — биекция (а значит, определено обратное отображение);
() обратное отображение f
−1
также непрерывно.
Определение .. Пространства X и Y называются гомеоморф-
ными, если существует гомеоморфизм f : X → Y .
Задачи
.◦
. Пусть на множестве X введены две метрики ρ1 и ρ2.Дока-
зать, что ρ1 ≺ ρ2 тогда и только тогда, когда отображение f :(X , ρ2) →
→ (X,ρ1), f(x)= x, непрерывно. Доказать, что ρ1 ∼ ρ2 тогда и толь-
ко тогда, когда f — гомеоморфизм.
.. Пусть X — метрическое пространство, M ⊂ X —произволь-
ное непустое множество. Доказать, что отображение f : x → dist( x , M )
из X в непрерывно.
.◦
. Пусть X и Y —метрические пространства, а f : X → Y —
непрерывное сюръективное отображение. Доказать, что если M —
всюдуплотное в X множество, то его образ f (M )—всюдуплотное
множество в Y .
Любая непрерывная функция f : n → ограничена на каждом
ограниченном множестве. В произвольных метрических простран-
ствах это уже не так.
§ . . Теорема о неподвижной точке
.. Привести пример непрерывной, но не ограниченной на
некотором шаре функции f : X → ,где X —полное метрическое
пространство.
Теорема Кантора утверждает, что любое непрерывное отображе-
ние f : → является локально равномерно непрерывным. В про-
извольном метрическом пространстве это не так.
.. В полных метрических пространствах привести примеры
локально равномерно непрерывного отображения, не являющегося
равномерно непрерывным, и непрерывного, но не локально равно-
мерно непрерывного отображения.
.*. Пусть X = discr(M ). Доказать, что изометричное вложение
f:X→
n
существует тогда и только тогда, когда пространство X
содержит не более чем n + 1точку.
.. Доказать, что метрические пространства и вещественное
l2(2) не гомеоморфны.
. . Доказать, что вещественные метрические пространства
l2(2) и l∞(2) гомеоморфны, но не изометричны.
Вопросы гомеоморфизма и изометрии метрических пространств
обычно очень сложны. Приведём такой пример. Вещественные мет-
рические пространства l p(n)иlq(m), n, m 2, p , q ∈ [1, ∞), гомео-
морфны тогда и только тогда, когда n = m , и изометричны тогда и
толькотогда,когдаn=m и p=q.
§ .. Теорема о неподвижной точке
Определение . . Отображение f : X → Y метрического про-
странства ( X , ρ) в метрическое пространство (Y , d) называется сжи-
мающим, если существует q ∈ [0, 1), для которого d( f (x1), f (x2))
q·ρ(x1,x2)длялюбых x1,x2∈ X.
Те ор е м а . (принцип сжимающих отображений). Пусть f : X →
→ X — сжимающее отображение в полном метрическом простран-
стве X . Тогда существует единственная точка x0 ∈ X такая, что
f (x0) = x0 . Эта точка есть предел рекуррентно заданной последо-
вательности xn = f (xn−1) с произвольной начальной точкой x1 ∈ X.
Пример . . Пусть число a > 0. Найти предел последовательно-
стиx1=1,xn=
xn−1
2
+
a
2xn−1
,n 2.
Решение. Положим X = [ a, +∞) (это полное метрическое про-
странство), а f (x) =
x
2
+a
2x
.Заметим,что f (x)
a для любо-
го x > 0, поскольку x 2 + a 2 x a.Такимобразом, f отображает
пространство X всебяи xn ∈ X , n 2. В силутеоремы Лагранжа
Глава . Метрические пространства
|f(x)−f(y)|=|f(ξ)|·|x − y| для некоторого ξ∈[x, y], а f(ξ)=
=
1
2
−
a
2ξ2∈ 0,
1
2
,т
.
е.отображение f сжимает. Тогда, в силу
теоремы ., отображение f имеет единственную неподвижную
точку, которая и является пределом нашей последовательности.
Этуточкуможно найти из уравнения f (x0) = x0
,о
ткудаa = x2
0,
т.е.x0= a.
Задачи
.◦
. Пусть функция f : → дифференцируема на и удовле-
творяет условию sup
t∈
| f (t)| q < 1. Доказать, что уравнение f (t) = t
имеет единственное решение на .
.. C помощью теоремы о сжимающем отображении вычис-
лить предел последовательности непрерывных дробей: 2; 2 +
1
2
;
2+
1
2+
1
2
;...
.. Пусть функция f : → дифференцируема на иудовле-
творяет условию inf
t∈
| f (t)| q > 1. Доказать, что уравнение f (t) = t
имеет единственное решение на .
Более содержательные примеры на принцип сжимающих отоб-
ражений можно привести в пространствах функций. В двух сле-
дующих задачах используется полнота пространства непрерывных
функций C[a, b], которая будет доказана позже (см. пример .).
.. Доказать, что уравнение x(t) = t + x(tα), где | | < 1, α>0,
имеет единственное решение в пространстве C[0, 1].
.. Доказать, что отображение A : C[0, 1] → C[0, 1], Ax(t) =
=λ
t
0
x (s) ds + 1, является сжимающим при |λ| < 1, и найти его
неподвижную точку.
.. Пусть в полном метрическом пространстве X отображе-
ние f непрерывно и некоторая степень f
p
=f◦f◦...◦f
p
отображе-
ния f сжимает: ρ(fp(x), f
p
(y)) qρ(x,y), гдеq<1, x,y∈X.До-
казать, что отображение f имеет в X единственную неподвижную
точку: f(x)= x.
.◦
. Доказать, что любое непрерывное отображение отрезка в
себя имеет неподвижную точку.
Теорема . (П.Боль, ; Л.Брауэр, ). Пусть B есть вы-
пуклое замкнутое ограниченное множество в n
,содержащеехотя
бы одну внутреннюю точку. Тогда любое непрерывное отображение
множества B в себя имеет неподвижную точку.
§ . . Теорема о неподвижной точке
.◦
. Пусть ̄̄B (0, 1) есть проколотый замкнутый единичный шар
пространства n (т. е . шар с выкинутым центром). Привести пример
непрерывного отображения этого множества в себя, не имеющего
неподвижной точки.
.*. Существует ли неполное метрическое пространство, в ко-
тором принцип сжимающих отображений справедлив?
.. Построить пример такого полного метрического простран-
ства X иотображенияf : X → X ,чтоρ(f(x), f(y))<ρ(x, y), но f не
имеет неподвижной точки.
Глава
Нормированные пространства
§ .. Основные понятия и свойства.
Примеры нормированных пространств
Определение .. Пара ( X , · ), где X — линейное пространство
надполемK(K= илиK= )1),а ·
—о
тображение X в (нор-
ма), называется нормированным пространством, если выполнены
аксиомы нормы:
() x 0длялюбогоx∈X,причём x =0⇔x=0;
() αx =|α| x длялюбыхx∈X,α∈K;
() x+y
x + y для любых x, y ∈ X (неравенство тре-
угольника).
Любое нормированное пространство является метрическим, по-
сколькулюбая норма естественным образом задаёт метрику
ρ(x,y):= x−y
на пространстве X . В этой метрике отображение · : X → явля-
ется непрерывным.
Определение . . Линейное отображение J нормированного
пространства X в нормированное пространство Y называют
изометричным вложением (изометрией), если J сохраняет нор-
му,т.е. J(x)Y= x X;
изометрическим изоморфизмом,если J есть биективное изомет-
ричное вложение2) ;
вложением,еслиотображение J непрерывно и инъективно;
изоморфизмом,если J есть биективное вложение, а обратное
отображение J −1 непрерывно3) .
Два нормированных пространства, междукоторыми можно по-
строить изоморфизм (изометрический изоморфизм), называют
изоморфными (соответственно изометрически изоморфными).
1) Везде ниже по умолчанию все пространства рассматриваются над полем .
2) Легко видеть, что любая изометрия инъективна, так что биективнос ть здесь эк-
вива лентна сюръек тивности.
3) Из этих ус ловий с ледует также биек тивность и линейнос ть J −1 (докажите это).
§ .. Основные понятия, свойства и примеры
Часто на одном и том же линейном пространстве вводят несколь-
ко различных норм.
Определение .. Пусть ( X , ·
1)и(X, ·
2)—два различных
нормированных пространства на линейном пространстве X .Норма
·
1 называется подчинённой норме · 2 (обозначают · 1 ≺ · 2),
если существует постоянная C > 0 такая, что x 1 C x 2 для любо-
гоx∈X.Если·1≺·2и
·
2 ≺ · 1 , то такие нормы называют
эквивалентными: · 1
∼·
2.
Это определение отличается от определения . (см. по этому
поводузадачу.).
Теорема . . Если dim X < ∞(здесь dim X — линейная размер-
ность линейного пространства X ),а · 1 и
·
2 — две различные
нормы на X, то
·
1∼·
2.
Напомним, что линейной оболочкой множества M влинейном
пространстве называется множество Lin(M ), составленное из всех
конечных линейных комбинаций векторов множества M ,авыпук-
лой оболочкой множества M называется множество conv(M ), со-
ставленное из всех конечных линейных комбинаций αk xk векто-
ровxkизM,гдеαk∈[0,1]и αk=1.
Определение .. Нормированное пространство X называется
строго нормированным (или строго выпуклым), если при x =
= y =1равенство x+y = x + y выполненотогдаитолько
тогда, когда x = y (другими словами, единичная сфера простран-
ства X не содержит отрезков).
Определение . . Пусть A — некоторое множество в веществен-
ном линейном пространстве X и0∈ A. Функционалом Минковского
множества A называется отображение p A : X → + ∪ {+∞}, опреде-
лённое равенством
1)
pA(x) =inf{α>0: x ∈ αA}.
Определение .. Множество A в линейном пространстве L на-
зывается уравновешенным, если условие x ∈ A влечёт α x ∈ A для вся-
кого α ∈ , |α| = 1. Множество A называется поглощающим,если
для любого x ∈ L найдётся такое λ>0, что λ x ∈ A.
В случае вещественного пространства L определение уравнове-
шенности выглядит так: если x ∈ A,тои− x ∈ A.
Определение .. Функция p(x) на линейном пространстве X
называется полунормой, если она удовлетворяет аксиомам () и ()
из определения ., а аксиома () заменена на условие p(x ) 0для
любого x ∈ X.
1) Если множество, по которомуздесь берётс я точная нижняя грань, пус то, то зна-
чение функционала полагается равным +∞.
Глава . Нормированные пространства
Задачи
.. а) Доказать неравенство Юнга: ab
ap
p+
bq
q,гдеa 0,b 0,
p>1,q>1и
1
p+
1
q = 1. Доказать, что равенство достигается тогда
и только тогда, когда b = ap−1
.
б) Пусть (M , Σ, μ) — измеримое пространство с сигма-конечной
мерой, измеримые функции x и y интегрируемы на M по мере μ в
степенях 1 < p < ∞и1< q < ∞ соответственно,
1
p+
1
q = 1. Доказать
интегральное неравенство Гёльдера
M
|x(t) y(t)| dμ
M
|x(t)|p dμ
1/p
M
|y(t)|q dμ
1/q
.(
.
)
Доказать, что равенство достигается тогда и только тогда, когда
функции |x|
p
и | y|q линейно зависимы.
в) Пусть (M , Σ, μ) — измеримое пространство с сигма-конечной
мерой, измеримые функции x и y интегрируемы на M по мере μ
встепени1 p < ∞. Доказать интегральное неравенство Минковс-
кого
M
|x(t) + y(t)|p dt
1/p
M
|x(t)|p dt
1/p
+
M
|y(t)|p dt
1/p
.
(.)
Доказать, что при p > 1 равенство в интегральном неравенстве
Минковского достигается тогда и только тогда, когда функции x и y
линейно зависимы.
Неравенство (.) является неравенством треугольника для по-
лунормы x p :=
M
|x(t)|p dμ
1/p
, вводимой на линейном про-
странстве измеримых функций, интегрируемых в p-й степени на M .
В общем случае это не норма, поскольку может быть не выполнена
первая аксиома нормы. Если же профакторизовать это простран-
ство по стандартномуотношению эквивалентности ( x ∼ y ,если
x = y почти всюдуна M ), то полунорма · p , вводимая на классах
эквивалентности, становится нормой. Полученное нормированное
пространство обозначается L p(M , Σ, μ) (см. список пространств).
. . Придумать измеримые пространства (M , Σ, μ), для которых
неравенства (.) и (.) превращаются в числовые неравенства
Гёльдера и Минковского (ak , bk ∈ ):
n(∞)
k=1
|akbk|
n(∞)
k=1
|ak|p
1/ p n(∞)
k=1
|bk |q
1/q
;
а)
§ .. Основные понятия, свойства и примеры
n(∞)
k=1
|ak + bk|
p
1/p
n(∞)
k=1
|ak |
p
1/p
+
n(∞)
k=1
|bk |
p
1/p
.
б)
Числовые неравенства Минковского являются неравенствами
треугольника в пространствах l p(n)иl p .
Определение .. Измеримая по Лебегуфункция x : M → ,где
(M , Σ, μ) — измеримое пространство, называется существенно огра-
ниченной, если существует такая постоянная C > 0, что μ({t ∈ M :
|x(t)| > C}) = 0 (другими словами, неравенство | x (t)| C выполне-
но почти всюду). Наименьшее из чисел C ,удовлетворяющихтако-
муусловию, называется существенной верхней гранью функции | x| и
обозначается ess sup
t∈M
|x (t)| или sup vrai
t∈M
|x(t)|.Эточисломожноопре-
делить и с помощью следующей формулы:
ess sup
t∈X
|x(t)| := inf
μ(A)=0
sup
M\A
|x (t)|.
Пространство классов эквивалентных междусобой существенно
ограниченных функций будем обозначать L∞(M , Σ, μ). На этом про-
странстве вводится норма x ∞ := ess sup
t∈M
|x(t)|,где x есть произ-
вольный представитель класса — элемента пространства.
.
◦
. Привести примеры таких измеримых функций x ,что:
а) x /∈ L∞[0, 1];
б) x принадлежит L∞[0, 1], но не ограничена на [0, 1].
.
◦
. Для функций x ∈ L1(M,Σ,μ), y ∈ L∞(M,Σ,μ) доказать нера-
венство
M
|x(t)y(t)|dμ x 1 y ∞.
.. Доказать, что если x ∈ L∞(M , Σ, μ)имераμ конечна, то
lim
p→∞
x p = x ∞ .Вчастности,длялюбоговектора x ∈
n
выполнено
lim
p→∞
n
k=1
|xk|
p
1/p
= max
1kn
|xk|.
.
◦
. Проверить аксиомы нормы в пространствах (см. список
пространств):
а) L∞(M,Σ,μ); б) C[0,1]; в) C1[0,1], г) BC( ); д) AC(D);
е)C0( ); ж)Cp[0,1],p∈[1,∞); з)C1
2 [0, 1].
.
◦
. Доказать, что нормы · 1 и
·
2, введённые на простран-
стве C n[a, b] в списке пространств, удовлетворяют аксиомам нормы
иэквивалентны.
В пространствах C
n
[0, 1] можно рассматривать и другие нормы.
Глава . Нормированные пространства
Пример .. Доказать, что нормы
x1=max
t ∈[0,1]
|x (t)| + max
t ∈[0,1]
|x(t)|
и
x 2=max max
t ∈[0,1]
|x (t)|,|x(0)|
на линейном пространстве непрерывно дифференцируемых функ-
ций эквивалентны.
Решение. Неравенство x 2
x 1 очевидно. С другой стороны,
max
t ∈[0,1]
|x(t)|=|x(tmax)|= x(0) +
tmax
0
x (t)dt
|x(0)| +
1
0
|x (t)|dt |x(0)|+ max
t ∈[0,1]
|x (t)|.
Тогда
1)
x12max
t ∈[0,1]
|x (t)|+|x(0)| 3max max
t ∈[0,1]
|x (t)|,|x(0)| =3 x 2.
.. Среди перечисленных ниже отображений линейного про-
странства непрерывно дифференцируемых на отрезке [0, 1] функ-
ций выбрать отображения, удовлетворяющие аксиомам нормы, и
упорядочить эти нормы по отношению подчинённости:
а) x0=max
t ∈[0,1]
|x (t)|;
б)x1=max
t ∈[0,1]
|x (t)|;
в) x2=max
t ∈[0,1]
|x(t)| + max
t ∈[0,1]
|x (t)|;
г)x3=max
t ∈[0,1]
|x (t)| + |x(a)|,гдеa ∈ [0, 1];
д)x4=max
t ∈[0,1]
|x (t)| +
1
0
|x(t)| dt;
е)x5=max
t ∈[0,1]
|x (t)| +|x(a) − x(b)|,гдеa, b ∈ [0,1].
. . Пусть функция v (t) непрерывна и положительна на [0, 1].
Доказать, что отображение F : x →
1
0
v(t)|x(t)|p dt
1/p
,действую-
щее из L p[0, 1] в ,где p ∈ [1, ∞), удовлетворяет аксиомам нормы,
и эта норма эквивалентна стандартной · p
.
1) Покажите, что конс танта 3 в нерав енстве x 1 3 x 2 не может быть умень-
шена.
§ .. Множества и последовательности
Этуфункцию v называют весом,анормуF — весовой.Взада-
че мы рассмотрели только случай непрерывной и положительной
функции v . Читатель может попробовать решить этузадачудля
других классов весов и даже найти необходимые и достаточные
условия на v , при которых отображение F является эквивалентной
нормой (по этомуповодусм. ниже задачу.).
.
◦
. Проверить аксиомы нормы на пространстве функций огра-
ниченной вариации BV [0, 1].
На пространстве функций ограниченной вариации часто рас-
сматривают и другие нормы.
.. Доказать, что все нормы x a = Va r
1
0 x(t)+|x(a)|,где0 a 1,
на пространстве функций ограниченной вариации BV [0, 1] экви-
валентны друг другу и эквивалентны норме · BV из списка про-
странств.
.
◦
. Проверить аксиомы нормы в пространстве BV0[0, 1] (см.
список пространств).
.. Доказать теорему. об эквивалентности норм в конечно-
мерном пространстве.
.. Пусть p — числовая функция на линейном пространстве X ,
удовлетворяющая первым двум аксиомам нормы. Доказать, что тре-
тья аксиома (неравенство треугольника) эквивалентна выпуклости
множества {x ∈ X : p(x) 1}.
.. Доказать, что функция x p =
n
k=1
|xk|p
1/p
не является
нормой при 0 < p < 1наn-мерном линейном пространстве при
n2.
.. Найти inf
x=0
xp
xq
иsup
x=0
xp
xq
,гдеx ∈
n
,длявсехp и q ∈[1, ∞],
pq.
.. Доказать, что в линейном пространстве l p ,1 p ∞, нор-
мы·pи
·
q, q > p,неэквивалентны,но · q ≺ · p
.
.. Доказать, что нормы · p и
·
q,1 p<q ∞, влинейном
пространстве непрерывных на [0, 1] функций не эквивалентны, но
·
p≺·q
.
§ . . Множес тва и пос ледовательности
в нормированных пространствах. Подпрос транс тва
.◦
. Найти необходимые и достаточные условия на последова-
тельность {an}
∞
1 ,гдевсеan > 0, при которых следующие множества
являются ограниченными подмножествами l p , p ∈ [1, ∞):
а) параллелепипед {x ∈ lp : |xn| < an};
Глава . Нормированные пространства
б) эллипсоид x ∈ lp :
∞
n=1
|xn/an|
p
<1.
. . Найти необходимые и достаточные условия на последова-
тельность {an}, где все an > 0, при которых следующие множества
являются открытыми подмножествами l p , p ∈ [1, ∞):
а) параллелепипед {x ∈ lp : |xn| < an};
б) эллипсоид x ∈ lp :
∞
n=1
|xn/an|p < 1 .
.. Доказать, что в любом нормированном пространстве най-
дутся два открытых непересекающихся множества, которые нельзя
поместить в два непересекающихся замкнутых множества. В каж-
дом ли метрическом пространстве существуют такие множества?
. . Пусть M —подмножество . Рассмотрим множество M =
= {x ∈ C[0,1]: x(t) ∈ M для всех t ∈ [0,1]}. Доказать, что множе-
ство M открыто (замкнуто) тогда и только тогда, когда M открыто
(соответственно, замкнуто).
.
◦
. ВшареB(0, 1) пространства l2 разместить счётное число
непересекающихся шаров радиуса
1
10
.
.◦
. Привести примеры последовательностей {xn}
∞
1 со следую-
щими свойствами:
а)
∞
{xn}1⊂l∞∩l1,
∞
{xn}1 сходится в l∞ ,нонесходитсявl1;
б)∞
{xn}1⊂l∞∩l2,
∞
{xn}1 сходится в l∞,нонесходитсявl2;
в)
∞
{xn}1⊂l2∩l1,
∞
{xn}1 сходится в l2 ,нонесходитсявl1;
г)
∞
{xn}1⊂c0∩l1,
∞
{xn}1 сходится в c0 ,нонесходитсявl1;
д)
∞
{xn}1 ⊂
∞
p=1
lp,
∞
{xn}1 сходится в c0,нонесходитсявl p ни для
какого p ∈ [1, ∞).
.
◦
. Пусть на линейном пространстве X заданы две нормы · 1
и·2
. Доказать, что следующие свойства эквивалентны:
()·1≺·2;
() любая последовательность {xn }
∞
n=1
,сх
одящаясявнормиро-
ванном пространстве ( X , · 2 )к x ,сходитсяк x ив(X , · 1);
() любая последовательность { xn}
∞
n=1
, фундаментальная в нор-
мированном пространстве ( X , ·
2), фундаментальна и в (X, ·
1);
() замыкание произвольного множества A ⊂ X по первой норме
содержит замыкание этого множества по второй норме;
() отображение A: x → x из (X, · 2)в(X, · 1) непрерывно.
В частности, если
·
1
·
2, то пространства X1 = (X, · 1)и
X2=(X, ·
2)изоморфны.
По сравнению с общими метрическими пространствами в нор-
мированных пространствах появляется новое важное понятие —
§ .. Множества и последовательности
линейное подпространство. В дальнейшем мы будем часто опус-
кать слово «линейное», предполагая, что подпространство норми-
рованного пространства есть множество, замкнутое относительно
линейных операций.
Определение . . Пусть ( X , · ) — нормированное простран-
ство. Линейное подпространство M называется замкнутым подпро-
странством пространства X , если оно замкнуто по норме.
.◦
. Доказать, что c0
—
замкнутое подпространство в c,аc —за
-
мкнутое подпространство в l∞
. Доказать, что c00 есть незамкнутое
линейное подпространство в пространстве c ивпространствеc0.
Найти замыкание этого подпространства.
.. Доказать, что в пространстве l p линейное подпространство
lq= x∈lp:
∞
n=1
|xn|
q
< ∞ ,где1 q < p ∞, не является замкнутым
подпространством. Найти его замыкание.
.
◦
. Доказать, что в нормированном пространстве шар не мо-
жет содержать ненулевого линейного подпространства, а линейное
подпространство, не совпадающее со всем пространством, не может
содержать никакого шара.
.◦
. Доказать, что для любого множества M в нормированном
пространстве Lin( ̄̄M ) ⊂ Lin(M). Доказать, что для M = {en }
∞
1 в l1,где
en = (0,...,0,1
n
,0,0,...), эти множества различны.
.. Доказать, что в нормированном пространстве X любое ко-
нечномерное подпространство замкнуто.
Пример .. Является ли множество X0 = {x ∈ X : x(0) = x(1)} за-
мкнутым линейным подпространством в пространстве:
а) X=C[0,1]; б) X=C2[0,1]?
Решение. Множество X0 замкнуто относительно линейных опе-
раций, а значит, является линейным подпространством.
а) Докажем, что X0 замкнуто в пространстве C[0, 1]. Рассмот-
рим последовательность {xn}
∞
1 непрерывных функций, для кото-
рых xn(0) = xn(1), причём xn → x в пространстве C[0, 1]. Поскольку
для любой точки a ∈ [0,1] выполнено |x(a) − xn(a)| x − xn C,
последовательность xn(0) сходится к x (0), а x n(1) → x (1). Отсюда
x (0) = x (1), т. е. x ∈ X0 ,азначит,подпространство X0 замкнуто.
б) Докажем, что X0 не замкнуто в пространстве C2[0, 1]. Рас-
смотрим последовательность xn(t) = t
n
−
t — эти функции лежат
в X0. При этом tn
C2
=
1
0
t2n dt
1/2
=
1
2n+1
→ 0, а значит, после-
довательность { xn}
∞
1 сходится к функции −t , которая уже не лежит
в X0.
Глава . Нормированные пространства
Следующие две теоремы хорошо известны из курса математиче-
ского анализа.
Те ор е м а . (К. Вейерштрасс, ). Для любой непрерывной
функции x на отрезке [0, 1] илюбого >0 найдётся такой много-
членP(t)=a0+a1t+...+ant
n
,что max
t ∈[0,1]
|x(t)−P(t)|= x−P C< .
Те ор е м а . (К. Вейерштрасс, ). Для любой непрерывной
функции x на отрезке [−π, π],длякоторой x(−π) = x (π),илю-
бого >0 найдётся такой тригонометрический многочлен
T(t)=Tc+Ts =
n
k=0
ak cos(kt) +
n
k=1
bk sin(kt),
чтоx−TC<.
.. Образуют ли следующие множества непрерывных функций
замкнутые подпространства в пространстве C[−1, 1]:
а) монотонные функции;
б) чётные функции;
в) многочлены;
г) многочлены степени не выше n;
д) непрерывно дифференцируемые функции;
е) непрерывные кусочно-линейные функции;
ж) непрерывные функции с ограниченной вариацией;
з) функции x ,длякоторых x (0) = 0;
и) функции x ,длякоторых
1
−1
x(t)dt=0;
к) функции x ,длякоторых
1
0
x(t)dt=0;
л) функции x , удовлетворяющие условию Липшица | x(b)− x (a)|
Cx|b−a|длялюбых a,b∈[−1,1]?
Тот же вопрос для пространства C2[−1, 1].
.. Образуют ли следующие множества непрерывных функций
замкнутые подпространства в пространстве BC( ):
а) периодические функции с периодом 1;
б) периодические функции?
.. Является ли замкнутым линейным подпространством в
пространстве lp, p ∈[1,∞], множество M = x ∈ lp:
∞
n=1
xn=0 ?
.*. Доказать, что если некоторое замкнутое подпространство
в C[0, 1] состоит из непрерывно дифференцируемых функций, то
оно конечномерно.
.*. Доказать, что если некоторое замкнутое подпространство
в L1[0, 1] состоит из непрерывных функций, то оно конечномерно.
§ .. Множества и последовательности
Определение . . Множество K в линейном пространстве на-
зывается конусом, если для любых x1, x2
,...,xn ∈ K илюбыхα1, α2
,...
...,αn 0выполненоα1x1+α2x2+...+αnxn∈K.
.. Привести пример такого конуса K в нормированном про-
странстве X ,что K имеет пустую внутренность и Lin(K )всюдуплот-
но в X . Показать, что если dim X < ∞, то такой пример невозмо-
жен.
.. Какие из перечисленных ниже пространств являются стро-
го нормированными:
а)lp(n),где p∈[1,∞], n 2; б)lp,гдеp∈[1,∞];
в) c;г
)
c0;
д) Cn[0,1], где n 0;
е) Cp[0,1], где p ∈[1, ∞)?
Определение .. Нормированное пространство X называет-
ся равномерно выпуклым, если для любого >0 существует такое
δ>0,чтоесли x = y =1иx+y>2−δ,тоx−y <.
.. Доказать, что любое равномерно выпуклое нормированное
пространство является строго нормированным. Вывести отсюда,
что пространства l1, l∞, c, c0, L1[0, 1], L∞[0,1], C[0,1] и BV[0,1] не
являются равномерно выпуклыми.
.*. Доказать, что пространства l p и L p , p ∈ (1, ∞), являются
равномерно выпуклыми.
.. Доказать, что функционал Минковского pA выпуклого урав-
новешенного поглощающего множества A в линейном простран-
стве X есть полунорма. Доказать, что обратно, для любой полунор-
мы p в X множество M = {x ∈ X : p(x) 1} является выпуклым,
уравновешенным и поглощающим, а его функционал Минковского
pM=p.
.◦
. Пусть A есть выпуклое, уравновешенное и поглощающее
множество в линейном пространстве X . Доказать, что его функци-
онал Минковского pA является нормой тогда и только тогда, когда
множество A не содержит ни одной прямой.
.◦
. В линейном пространстве
2
найти множества, функци-
оналы Минковского которых совпадают с нормами · p ,гдеp ∈
∈ [1, ∞].
.◦
. Доказать, что правильный 2n-угольник с центром в нуле
является единичным шаром для некоторой нормы на простран-
стве
2
. Доказать, что правильный (2n + 1)-угольник с центром в
нуле не является единичным шаром ни для какой нормы.
.. Пусть Y — линейное подпространство нормированного
пространства ( X , · ) . Доказать, что всякая норма на Y ,эквива
-
лентная · , может быть продолжена на всё X с сохранением акси-
ом нормы и свойства эквивалентности.
Глава . Нормированные пространства
§ . . Банаховы прос транс тва
Определение . . Нормированное пространство X называет-
ся банаховым (или полным), если оно полно (как метрическое про-
странство).
Определение . . Нормированное пространство Y называется
пополнением нормированного пространства X ,если
() Y полно;
() найдётся такое изометричное вложение J : X → Y ,чтомно-
жество J ( X )всюдуплотновY .
1)
Теорема .. Для любого нормированного пространства суще-
ствует пополнение. Если Y1 иY2 — пополнения одного и того же про-
странства X , то они изометрически изоморфны.
Задачи
.◦
. Пустьнормы · 1и
·
2 на линейном пространстве X эк-
вивалентны. Доказать, что нормированное пространство ( X , · 1 )
полно тогда и только тогда, когда полно нормированное простран-
ство (X, ·
2).2) Докажите, что если
·
1∼·
2 на X, то это соотно-
шение сохранится и на пополненном пространстве.
.
◦
. Пусть нормированные пространства X и Y изоморфны. До-
казать, что тогда они либо оба полны, либо оба неполны.
.
◦
. Доказать, что любое конечномерное нормированное про-
странство банахово.
Доказывать неполнотупространства обычно несложно — доста-
точно предъявить фундаментальную последовательность, не име-
ющую предела. При доказательстве полноты пространства X ча-
сто действуют по следующей схеме. Сначала доказывают, что каж-
дая фундаментальная последовательность {xn }
∞
1 имеет предел x в
некотором другом, обычно более слабом, чем по норме простран-
ства, смысле, а потом показывают, что этот предел лежит в X и
xn−x X→0.
Пример .. Доказать полнотупространства C[0, 1].
Решение. Пусть {xn}
∞
1 — фундаментальная последовательность
в пространстве C[0,1]. Так как |xn(t) − xm(t)| xn − xm C для лю-
бой точки t ∈ [0, 1], каждая числовая последовательность { xn(t)}∞
1
фундаментальна, а значит, сходится. Обозначим x(t):= lim
n→∞
xn(t).
Докажем, что x — непрерывная функция, а сходимость не только
1) Строго гов оря, пополнением следует называть пару (Y , J ).
2) Обратите внимание, что для метрических пространс тв это не так (см. з ада-
чу.).
§ .. Банаховы пространства
поточечная, но и равномерная. По определению фундаменталь-
ности для любого >0 найдётся такой номер N ,чтодлялюбых
n, m > N выполнено max
t ∈[0,1]
|xn(t) − xm(t)| < . В каждом неравен-
стве |xn(t) − xm(t)| < перейдём к пределупри n → ∞. Получим
|x(t) − xm(t)|< для любой точки t ∈ [0,1] и любого m > N.Это
означает, что x − xm < ,т
.
е. x m → x . Непрерывность функции
x (t) следует из неравенства
|x(t2) − x(t1)| |x(t2) − xm(t2)|+|xm(t2) − xm(t1)|+|x(t1) − xm(t1)|.
Действительно, пусть дано >0. Выберем такой номер m,чтобы
первое и третье слагаемое здесь не превосходили /3. Функция xm
непрерывна, а значит, и равномерно непрерывна. Выберем теперь
число δ>0так,что|xm(t2) − xm(t1)| < /3 для любых точек t1 и t2
отрезка [0, 1] таких, что |t2 − t1| <δ. Таким образом, для любо-
го >0мынашлитакоеδ>0, что | x(t2) − x (t1)| < ,кактолько
|t2 − t1| <δ.
.. Доказать полнотуследующих пространств:
а)
◦
lp(n),1 p ∞, n∈ ;б)lp,1 p ∞;
в)cиc0;г
)
BC( )иC0( );
д)◦ AC(D);
е) Cn[0,1], n∈ ;
ж) L∞[0, 1];
з) BV [0, 1] и BV0[0, 1].
.◦
. Доказать, что пространство c00 не полно, и найти его по-
полнение (сравните с задачей .).
. . Доказать, что пространства C p[0, 1], p ∈ [1, ∞), не полны.
.. Доказать, что L p[0, 1] является пополнением Cp [0, 1] при
p ∈ [1, ∞), но L∞[0, 1] не является пополнением пространства C[0, 1].
. . Доказать, что пространства
n
Cp[0,1],p∈[1,∞), n∈ ,не
полны.
Пополнение этих пространств мы будем обозначать
n
Wp [0, 1]
(пространства Соболева). Так же как и пространства L p,онидопус-
кают эквивалентное описание. Рассмотрим это описание на приме-
ре пространства W
1
1 [0, 1].
Определение .. Непрерывную функцию x на отрезке [0, 1]
называют абсолютно непрерывной (x ∈ AC [0, 1]), если для любого
>0 найдётся такое δ>0, что для любой конечной системы (ak , bk),
k = 1, 2, ..., n, попарно непересекающихся интервалов отрезка [0, 1],
сумма длин которых меньше δ (т. е .
n
k=1
(bk − ak ) <δ), выполнено
n
k=1
|x(bk) − x(ak)|< .
Глава . Нормированные пространства
Теорема . (А.Лебег, ). Функция x на отрезке [0,1] аб-
солютно непрерывна тогда и только тогда, когда её производная
x (t)=lim
h→0
x(t+h)−x(t)
h
существует почти всюду и суммируема по
Лебегу и справедлива формула Ньютона—Лейбница:
x(t)= x(0)+
t
0
x (s)ds
для всех t ∈[0,1].
Легко видеть, что абсолютно непрерывные функции образуют
линейное пространство. Из теоремы Лебега следует, что на этом
пространстве можно ввести норму x AC :=
1
0
|x (t)|dt+
1
0
|x(t)| dt
(проверьте аксиомы нормы).
. . Доказать, что пространство AC [0, 1] является пополнением
пространства C
1
1 [0, 1] и, согласно теореме ., изоморфно простран-
ству W1
1 [0, 1].
.. Доказать, что для любой функции x ∈ W 1
1 выполнено x W 1
1
=
= Var
1
0x+
1
0
|x(t)| dt.
.. Доказать, что для любой непрерывно дифференцируемой
на отрезке [0, 1] функции x (t) выполнено неравенство
max
t ∈[0,1]
|x(t)| 21−1/p
1
0
|x (t)|p dt +
1
0
|x(t)|p dt
1/p
для любого p ∈ [1, ∞). Пользуясь этим, доказать теорему о вложении
(Г. Г. Харди, Дж. Е . Литтлвуд, ): пространство
1
Wp [0, 1] вложено в
пространство C[0, 1].
Аналогично доказывается, что пространства n
Wp [0, 1] вложены в
C n−1
[0, 1]. В определении вложения требуется существование неко-
торого линейного непрерывного инъективного отображения про-
странств J : n
Wp →C
n−1
. Из теоремы . следует, что все пополнения
пространства n
Cp [0, 1] изоморфны междусобой, а потомуэлемента-
ми пространства
n
Wp можно считать те функции пространства C
n−1
,
которые можно приблизить функциями из C n по метрике простран-
ства n
Wp . Теоремуо вложении соболевских пространств можно уси-
лить: пространство
1
Wp [0, 1] вложено в пространство AC [0, 1].
.. Доказать следующие утверждения:
а) функция x ∈ C n[0, 1], где n 1, принадлежит пространству
n+1
Wp [0, 1] тогда и только тогда, когда производная x ∈
n
Wp [0, 1];
§ .. Банаховы пространства
б) непрерывная функция x принадлежит
1
Wp [0, 1] в точности то-
гда, когда она абсолютно непрерывна, а её производная x ∈ L p[0, 1].
Таким образом, пространства Соболева n
Wp [0, 1] состоят в точ-
ности из тех функций, (n − 1)-я производная которых абсолютно
непрерывна, а n-я производная принадлежит L p[0, 1].
.. Какие из следующих функций принадлежат пространству
W1
2[−1,1]: x1(t)=t, x2(t)=signt, x3(t)=|t|, x4(t)=|t|a
,гдеa ∈ ?
Для тех функций, которые принадлежат этому пространству, найти
норму.
Линейное пространство многочленов является в некотором смыс-
ле универсальным. Вводя на нём различные нормы и пополняя его,
можно получать самые различные пространства.
.
◦
. Доказать, что пространство Pn[0, 1], n ∈ ,полно,апрост-
ранство P [0, 1] неполно. Найти пополнение пространства P [0, 1].
.. Найти пополнение линейного пространства многочленов
на отрезке [0, 1] по норме пространства BV [0, 1].
.. Доказать, что на линейном пространстве многочленов
нельзя так ввести норму, чтобы полу чилось банахово пространство.
.. Пусть X — метрическое пространство. Обозначим через
BC( X ) множество всех непрерывных ограниченных функций из X
в . Доказать, что норма f BC(X) := sup
x∈X
|f(x)| превращает BC(X)
в банахово пространство (линейные операции вводятся естествен-
ным образом).
.. Пусть X — метрическое пространство. Доказать, что най-
дётся такое отображение F : X → BC(X), что F(x) − F(y) BC(X) =
=ρX(x,y)длялюбыхx,y∈X.
Другими словами, всякое метрическое пространство можно изо-
метрически вложить в некоторое нормированное пространство.
.. Доказать, что всякое конечное метрическое пространство X
изометрически вкладывается в пространство l∞(n)длянекоторо-
го n.
. . Используя предыдущую задачу, доказать теорему . .
.. Доказать, что следующие пространства изометрически
вкладываются в BV0[0, 1]: а) L1[0, 1]; б) l1.
В бесконечномерных (пускай даже и полных) нормированных
пространствах ограниченная последовательность вовсе не обязана
иметь хотя бы однупредельную точку.
Пример . . Последовательность {en = (0,...,0,1
n
,0,0,...)}∞
n=1
в l1 не имеет ни одной фундаментальной подпоследовательности
(и, соответственно, не имеет ни одной предельной точки), так как
ep−eq =2приp=q.
Глава . Нормированные пространства
.
◦
. Доказать, что в конечномерном нормированном простран-
стве любая ограниченная последовательность векторов имеет хотя
бы однупредельную точку.
.. Определить, какие из следующих последовательностей схо-
дятся в пространстве C[0, 1], и найти их пределы:
а)xn=t
n
;б)xn = t
n
−
tn−1
;в)xn = t
2n
−
tn;г)xn = sin(πnt).
Для последовательностей, которые не сходятся, найти все предель-
ные точки.
.. Доказать, что в банаховом пространстве любая система за-
мкнутых вложенных шаров имеет непустое пересечение
1)
.
Определение . . Ряд
∞
k=1
xn из векторов нормированного про-
странства X называется абсолютно сходящимся,еслисходитсячис-
ловой ряд
∞
k=1
xn.
.. Доказать, что нормированное пространство X полно тогда
и только тогда, когда в нём выполнен признак Вейерштрасса сходи-
мости рядов: любой абсолютно сходящийся ряд сходится. Привести
пример ни к чемуне сходящегося, но абсолютно сходящегося ряда
в неполном нормированном пространстве.
Расстояние от точки до замкнутого множества может не дости-
гаться (см. задачу.). Укажем важный случай, когда расстояние
всё-таки достигается.
Определение .. Пусть X — нормированное пространство,
Y — его подпространство, x —произвольный вектор из X .Вектор
y0 ∈ Y ,длякоторогоdist(x , Y ) = x − y0 (если такой вектор суще-
ствует), называется элементом наилучшего приближения для век-
тора x в подпространстве Y .
Определение .. Пусть X — нормированное пространство, а
Y — линейное подпространство в нём. Подпространство Y называ-
ют подпространством существования, если для любого элемента
x ∈ X в Y существует элемент наилучшего приближения.
.. Пусть X — банахово пространство. Доказать, что любое ко-
нечномерное подпространство в X является подпространством су-
ществования.
В произвольном банаховом пространстве X для произвольного
(пусть даже и замкнутого) подпространства Y и произвольного век-
тора x элемент наилучшего приближения может и не существовать
1) Здесь, в отличие от теоремы . о вложенных шарах, отсутствует требов ание о
стремлении радиусов шаров к нулю (ср. с задачей .).
§ .. Конструкции банаховых пространств
(см. задачи . и .). В случае же если элемент существует, он мо-
жет оказаться не единственным.
.◦
. Привести пример банахова пространства X , замкнутого ли-
нейного подпространства Y внёмивектора x , для которого элемент
наилучшего приближения в подпространстве Y не единствен.
.. Доказать, что в нормированном пространстве X элемент
наилучшего приближения единствен для всякого замкнутого ли-
нейного подпространства Y ⊂ X тогда и только тогда, когда про-
странство X строго нормировано (см. определение .).
.* (П. Л . Чебышёв, ). Доказать, что среди всех многочле-
нов вида t
n
+ an−1t
n−1
+ ... + a0 наименьшую норму в веществен-
ном пространстве C[−1, 1] имеет многочлен Чебышёва (I рода)
Tn(t) = 21−n
cos(n arccos t).
Указание. Многочлен степени n − 1неможетменятьзнакболее
чем n − 1раз.
Отсюда следует, что для вещественного пространства C[−1, 1]
элементом наилучшего приближения для t
n
вподпространствеPn−1
всех многочленов степени меньшей n является многочлен t
n
−
Tn(t),
аdist(t n
, Pn−1) = 21−n
.
Определение .. Пусть X — нормированное пространство,
X0 —его замкнутое подпространство, ∈ [0, 1]. Вектор x ∈ X назы-
вается -перпендикуляром (или почти перпендикуляром)к X0,если
x =1иdist(x, X0) 1−
.
.. Пусть X — нормированное пространство, а X0 X —его
замкнутое подпространство. Доказать, что при любом >0суще-
ствует -перпендикуляр к X0.
.. Пусть X0 — замкнутое подпространство банахова прост-
ранства X . Доказать, что если для некоторого вектора x /∈ X0 суще-
ствует элемент наилучшего приближения в подпространстве X0,то
кподпространству X0 существует 0-перпендикуляр.
.
◦
. Доказать, что для всякого конечномерного подпростран-
ства в банаховом пространстве существует 0-перпендикуляр.
Для бесконечномерных подпространств 0-перпендикуляр суще-
ствует не всегда (см. задачу .).
§ .. Конс трукции банаховых прос транс тв.
Прямые суммы подпрос транс тв
Есть несколько способов конструирования новых банаховых
пространств из уже известных. Один из способов — декартово про-
изведение.
Глава . Нормированные пространства
.
◦
. Пусть линейное пространство X = X1 × X2 ,где(X1, · 1 )
и(X2, ·
2) — нормированные пространства. Проверить аксиомы
нормы
x1
x2X
=x
1X1
+x2X2
в пространстве X . Доказать, что
если X1 и X2 банаховы, то и пространство X банахово.
Определение .. Нормированное пространство X , построен-
ное в предыдущей задаче, называют декартовым произведением
нормированных пространств X1 и X2.
.. Доказать, что декартово произведение c0 × c0 снормой
(x1, x2) = x1 c0 + x2 c0 не является изометрически изоморфным
пространству c0.
Нормуна декартовом произведении нормированных пространств
можно задать и другим способом, например
x1
x2X
=(x1
p
X1
+x2
p
X2
)1/p
,
p>1,
или
x1
x2X
=max{x1X1
,x
2X2
}. Однако не любую норму в 2
можно использовать для построения нормы в X1 × X2.
.. Привести пример нормы
·
·
на линейном простран-
стве 2 и нормированных пространств ( X1, ·
1), (X2, ·
2)та-
ких, что функция p(x1, x2) =
x11
x22
на линейном пространстве
X1 × X2 не является нормой. Доказать, что если норма
·
·
мо-
нотонна по каждой координате, то для любых нормированных про-
странств X1, X2 функция p(x1, x2)являетсянормойналинейном
пространстве X1 × X2.
. . Привести пример нормы на декартовом произведении
X1 × X2 нормированных пространств, которая не задаётся спосо-
бом, указанным в задаче . .
Например, пространство l p ( ), p ∈ [1, ∞], двусторонних после-
довательностей можно представить в виде декартова произведения
lp( )=lp× ×lpснормой(x,λ,y) = ( x p,|λ|, y p) lp(3).
Другой способ конструирования новых банаховых пространств —
это переход к факторпространству. Опишем его подробно. Пусть
L — линейное пространство, а L0 — его линейное подпространство.
Назовём два вектора эквивалентными (x y ), если x − y ∈ L0.Мно-
жество факторклассов, на которые разбивает множество L это от-
ношение эквивалентности, обозначим L/L0. Для класса [ x] ∈ L/L0 и
α ∈ положим α[ x] — класс, содержащий вектор α x ,гдеx —про-
извольный представитель класса [ x ]. Определим линейные опера-
§ .. Конструкции банаховых пространств
ции на факторклассах. Для классов [ x] ∈ L/L0 и[y] ∈ L/L0 положим
[x] + [ y] — класс, содержащий вектор x + y,гдеx и y —представи-
тели классов [ x ]и[y ] соответственно. Эти операции определены
корректно (не зависят от выбора представителей), а L/L0 свведён-
ными операциями будет линейным пространством (докажите это).
В частности, [0] = L0.
.. Пусть X0 — замкнутое подпространство нормированного
пространства X . Доказать, что [x] 0 = inf
x∈[x]
x задаёт нормуна
линейном пространстве X / X0.
. . Пусть X0 — замкнутое подпространство банахового прост-
ранства X . Доказать, что нормированное пространство X / X0 полно.
. . Пусть X0 — замкнутое подпространство нормированного
пространства (X, · ). Доказать, что если пространства (X0, · )и
(X/X0, ·
0)полны,тои X полно.
.◦
. Доказать, что:
а) факторпространство c/c0 изометрически изоморфно про-
странству ;
б) факторпространство L∞[−1, 1]/L∞[0, 1] изометрически изо-
морфно пространству L∞[0, 1].
Следует иметь в виду, что в общем случае, когда X — банахово
пространство, а X0 — замкнутое подпространство в нём, в X может
не быть подпространств, изоморфных X / X0 .
Определение . . Пусть X — линейное пространство, X1 и X2 —
два линейных подпространства в X ,причём X1 ∩ X2 = {0}. Линейной
прямой суммой этих подпространств называют множество
X3={x1+x2:x1∈X1,x2∈X2}.
Его обозначают X3 = X1 ⊕ X2 .
Легко проверить, что если x ∈ X1 ⊕ X2 ,торазложение x = x1 + x2
единственно.
Определение .. Пусть X — нормированное пространство,
X1 и X2 — два линейных подпространства в X ,причём X1 ∩ X2 = {0}.
Линейную прямую сумму этих подпространств называют топологи-
ческой прямой суммой, если найдутся такие константы C1 и C2 ,что
длялюбогоx=x1+x2,x1∈X1,x2∈X2,выполнено x1
C1x,
x2
C2x.
Заметим, что в данном определении можно требовать существо-
вания только одной из констант (если, например, выполнена оценка
x1
C1x,тоx2
x−x1
(1 + C1) x ). В дальнейшем в нор-
мированных пространствах, если не оговорено противное, мы бу-
дем рассматривать только топологические прямые суммы, обозна-
чая их тем же символом ⊕. Несложно видеть, что в конечномерном
Глава . Нормированные пространства
нормированном пространстве любая линейная прямая сумма явля-
ется топологической прямой суммой. Приведём ещё два достаточ-
ных условия:
Те ор е м а . . Если X — произвольное нормированное простран-
ство, а X1 иX2 — два его подпространства, причём одно из них за-
мкнуто, а другое конечномерно, то их линейная прямая сумма явля-
ется топологической.
Теорема . . Если X — банахово пространство, X1 иX2 —дваего
замкнутых подпространства, причём их линейная прямая сумма
также есть замкнутое подпространство (в частности, совпадает
сX), то эта прямая сумма является топологической
1)
.
. . Доказать теорему. .
.◦
. Доказать, что линейная прямая сумма подпространств
c00 иLin(x0), где x0 = 1,
1
2,
1
3 ,... ,впространствеc не является
топологической.
.◦
. Пусть X1 и X2 — замкнутые подпространства банахова про-
странства X . Доказать, что X1 ⊕ X2 — замкнутое подпространство.
Доказать обратное: если X1 и X2 —линейные подпространства ба-
нахова пространства X ,а X1 ⊕ X2 — замкнутое подпространство, то
X1 и X2 замкнуты.
.
◦
. Привести пример неполного нормированного простран-
ства X идвухзамкнутыхподпространстввнём X1 и X2 таких, что
их топологическая прямая сумма X1 ⊕ X2 — незамкнутое подпро-
странство.
Отметим следующий важный факт2)
.Пустьимеютсялинейное
пространство X илинейноеподпространствоX1 в нём. Тогда най-
дётся такое линейное подпространство X2,что X является линейной
прямой суммой X1 и X2.
Определение . . Пусть X — линейное пространство, X1 —ли
-
нейное подпространство в нём, а X2 — его линейное дополнение,
т. е . X = X1 ⊕ X2. Тогда размерность пространства X2 (конечную
или бесконечную) называют коразмерностью подпространства X1
иобозначаютcodimX1 . Заметим, что подпространство X2,допол-
няющее X1, не единственно, но можно доказать, что размерность у
всех таких подпространств одинакова.
Определение . . Линейное подпространство X0 внормиро-
ванном пространстве X называется дополняемым,еслинайдётся
такое замкнутое подпространство X1,что X = X0 ⊕ X1 ( X является
топологической прямой суммой X0 и X1).
1) Теорема . следует из утверждения задачи ..
2) Доказательство этого факта в общем случае опираетс я на лемму Цорна.
§ . . Сепарабельность нормированных пространств
Отметим, что в произвольном (пусть даже и банаховом) про-
странстве X не всякое замкнутое подпространство дополняемо
(см. задачу.).
§ .. Сепарабельность нормированных прос транс тв
.◦
. Доказать, что множество финитных последовательностей:
плотно в пространствах а) lp, p ∈ [1, ∞); б) c0;
не плотно в пространствах в) c;г)l∞ .
.. Доказать, что множество многочленов:
плотно в пространствах а)
◦
C[0, 1]; б)◦ C
n
[0, 1]; в)
◦
Cp [0, 1], где
p∈[1,∞);г)◦ n
Cp[0,1],гдеn=1,2,..., а p∈[1,∞);
не плотно в пространствах д) L∞[0, 1]; е) BV [0, 1].
.. Пусть μ — произвольная конечная мера на некоторой σ-ал-
гебре Σ подмножеств отрезка [0, 1]. Доказать, что множество мно-
гочленов плотно в пространствах L p([0, 1], Σ, μ), p ∈ [1, ∞).
В следующей задаче и далее в этом задачнике кусочно-линейной
функцией мы будем называть определённую на
или на отрезке
[a, b] непрерывную функцию
x(t)=
n
k=0
(ak t + bk)χ[tk ,tk+1 ](t),
где−∞=t0<t1<...<tn+1=+∞(соответственно,a=t0<t1<...
... < tn+1 = b). График такой функции будем называть ломаной.
.◦
. Доказать, что множество кусочно-линейных функций:
плотно в пространствах а) C[0, 1]; б) Lp[0, 1], p ∈ [1, ∞);
в)
1
Wp[0,1], p∈[1,∞);
не плотно в пространствах г) L∞[0, 1]; д) BV [0, 1].
.*. В пространстве C[0, 1] для произвольного натурального n
рассмотрим множество функций
Fn = {x∈C[0,1]:∃t0∈[0,1]∀t∈[0,1]|x(t)− x(t0)| n|t−t0|}.
Доказать, что Fn нигденеплотно.
Указание. Доказать вначале, что множество Fn замкнуто.
Из утверждения этой задачи и теоремы . следует существова-
ние непрерывной нигде не дифференцируемой функции.
.◦
. Пусть нормированные пространства X1 и X2 изоморфны.
Доказать, что они либо оба сепарабельны, либо оба не сепара-
бельны.
.◦
. Пусть ( X , · ) — сепарабельное нормированное простран-
ство, а X0 — его линейное подпространство. Доказать, что про-
странство (X0, · ) сепарабельно.
Глава . Нормированные пространства
Следующее свойство часто используют, когда надо доказать
несепарабельность пространства.
.◦
. Доказать, что если в нормированном пространстве найдёт-
ся несчётная система непересекающихся единичных шаров, то про-
странство несепарабельно.
Пример .. Доказать, что: а) пространство BC( ) несепара-
бельно; б) пространство C0( ) сепарабельно.
Решение. а) Рассмотрим системуфункций {eλ (t) = eiλt }ишаров
Bλ := B(eλ ,1), где λ ∈ [0, 2π). Посколькупри λ = μ имеем eλ − eμ
=
= sup{|ei(λ−μ)t
−
1| : t ∈ }= (точная верхняя грань достигается при
t = π/(λ − μ)), эти шары не пересекаются, и остаётся применить за-
дачу..
б) Теперь докажем сепарабельность C0( ). Для каждой функции
x ∈ C0( )илюбого >0 найдётся такая финитная непрерывная
функция y ,что x − y < . Действительно, посколькуlim
|t|→∞
x(t)=0,
существуеттакоенатуральноечисло A,чтопривсех|t| > A выпол-
нено |x(t)| < .Положимтеперьy(t) = x (t)при|t| A, y(t) = 0
при |t| A + 1,анаотрезках[− A
−
1, − A]и[A, A + 1] зададим
y(t) линейно и так, чтобы получилась непрерывная на функция.
Для каждой такой функции y найдётся такая непрерывная финит-
ная кусочно-линейная функция z с рациональными узлами, что
y − z < 5 . Действительно, в силунепрерывности, а значит, рав-
номерной непрерывности функции y (t)наотрезке[− A, A], най-
дётся такое δ>0, что | y(t2) − y(t1)| < ,кактолько|t2 − t1| <δ.
Рассмотрим разбиение − A = t0 < t1 < ... < tn = A с рациональными
hk = tk+1 − tk <δ.Длякаждогоk найдём такое рациональное yk ,что
|yk − y(tk)| < , и соединим точки (−A
−
1,0), (−A, y0), (t1, y1), ...
..., (A, yn), (A + 1, 0) отрезками — это и есть ломаная z(t). Тогда на
каждом отрезке t ∈ [tk , tk+1]имеем
|y(t) − z(t)| |y(t) − y(tk)|+|y(tk) − z(tk)|+|z(t) − z(tk)|<
< 2 + |z(tk+1) − z(tk)| 2 + |z(tk+1) − y(tk+1)| +
+|y(tk+1)− y(tk)|+|y(tk)− z(tk)|<5 .
На отрезках [− A
−
1, − A]и[A, A + 1] неравенство |z(t) − y(t)| <
очевидно, посколькуздесь обе функции линейны, совпадают в од-
ном из концов отрезка и отличаются в другом конце менее чем
на . Таким образом, множество L непрерывных финитных кусоч-
но-линейных функций с рациональными узлами плотно в C0( ).
Докажем, что оно счётно. Пусть Ln — множество ломаных с раци-
ональными узлами, состоящих ровно из n звеньев. Такие ломаные
однозначно задаются n − 1 точкой с рациональными координатами
§ . . Сепарабельность нормированных пространств
на плоскости. Множество таких точек счётно, объединение n − 1
счётного множества счётно, т. е. Ln — счётное множество. Тогда и
L=
∞
n=1
Ln счётно.
.◦
. СчётнолимножествоM={x∈l1:xn∈ длявсехn∈ }?
.. Определить, какие из следующих пространств сепарабель-
ны:
а)
◦
lp(n),p∈[1,∞],n∈ ;б
)
◦
lp, p∈[1,∞);
в)◦c0иc;г
)
◦
l∞;
д)◦ C[0, 1];
е)◦ C
n
[0,1],n∈ ;
ж)
◦
Pn[0, 1];
з)
◦
Cp[0,1], p ∈ [1, ∞);
и)
◦
n
Wp[0,1],n∈ ,p∈[1,∞); к)
◦
P [0, 1];
л)◦ Lp[0,1], p ∈ [1, ∞);
м)◦ L
∞
[0, 1];
н) BV [0, 1] и BV0[0, 1];
о) AC(D);
п) Lp([0,1],Σ,μ), p ∈ [1, ∞), мера μ конечна;
р) Lp( ,Σ,μ), p ∈ [1, ∞), мера μσ-конечна.
Глава
Гильбертовы пространства
§ .. Основные понятия и свойс тва. Примеры
евклидовых и гильбертовых пространств
Определение . . Пусть E — линейное пространство над по-
лемK(K= илиK= ).Отображение(·, ·):E×E→Kназывается
скалярным произведением, если выполнены аксиомы:
()(x,x) 0длялюбого x∈E,причём(x,x)=0⇔ x=0(поло-
жительная определённость);
() (x, y)=(y, x) для любых x, y ∈ E (антисимметричность);
()(αx+βy,z)=α(x,z)+β(y,z)длялюбых x,y,z∈E,α,β∈K
(линейность по первому аргументу).
Линейное пространство E со скалярным произведением называ-
ется евклидовым пространством.
В евклидовом пространстве имеет место неравенство Коши—Бу-
няковского:
|(x, y)|2 (x, x)·(y,y).
Из этого неравенства следует (см. задачу .), что скалярное про-
изведение порождает норму
x = (x,x),
(.)
так что всякое евклидово пространство является нормированным.
Соответствующая норма называется евклидовой. В терминах нормы
неравенство Коши—Буняковского имеет вид
|(x,y)| x · y
.
Векторы x , y называются ортогональными (x ⊥ y), если (x , y) = 0.
В вещественном евклидовом пространстве определён угол меж-
ду ненулевыми векторами:
cosx,y=
(x, y)
x·y
.
Определение . . Евклидово пространство, полное относитель-
но нормы (.), называется гильбертовым пространством.Непол-
ное евклидово пространство называют предгильбертовым.
§ .. Основные понятия и свойства
Иногда в определение гильбертовых пространств включают тре-
бование бесконечномерности. Всякое предгильбертово простран-
ство можно пополнить до гильбертова (см. теорему.).
Примером гильбертова пространства служит любое простран-
ство L2(M , Σ, μ), где M — произвольное множество, Σ ⊂ 2M
—н
еко-
торая σ-алгебра его подмножеств, а μ : Σ → + — σ -аддитивная,
конечная или σ-конечная, положительная мера на Σ (см. курс дей-
ствительного анализа). Скалярное произведение определяется ра-
венством
(f,g)=
M
f ̄gdμ.
Частным случаем этого пространства являются гильбертовы про-
странства l2, L2[0, 1] и L2( ).
Норма в евклидовом пространстве обладает многими замеча-
тельными свойствами, которые зачастую являются характеристи-
ческими для евклидовости. Приведем классический пример такого
свойства.
Те ор е м а . (П. Йордан, Дж. фон Нейман, ). Нормированное
пространстве X является евклидовым тогда и только тогда, когда
для любых двух векторов x , y ∈ X выполнено равенство параллело-
грамма
x−y
2
+x+y2
=2x
2
+2y2
.
Задачи
.
◦
. Доказать неравенство Коши—Буняковского. Доказать, что
равенство |(x , y)| = x · y выполнено тогда и только тогда, когда
векторы x и y линейно зависимы.
.
◦
. Доказать, что функция, определяемая равенством (.), удо-
влетворяет всем аксиомам нормы.
.
◦
. Пусть E — евклидово пространство. Доказать непрерыв-
ность скалярного произведения по каждомуаргументуи по сово-
купности аргументов.
.
◦
. Доказать теоремуПифагора в евклидовом пространстве E :
x⊥yтогдаитолькотогда,когда x+y2= x 2+ y2.Ввеще-
ственном евклидовом пространстве доказать теоремукосинусов:
для любых x , y ∈ E выполнено
x−y
2
=x
2
+y2
−
2x·ycosx,y.
.
◦
. Пусть {xn}
∞
1 и{yn}
∞
1 — последовательности векторов евкли-
дова пространства, причём xn
1, yn 1длявсехn ∈ .Дока-
зать,чтоесли(xn, yn)→1,то xn − yn →0.
Глава . Гильбертовы пространства
.
◦
. Пусть E — евклидово пространство. Доказать поляризаци-
онное тождество: для любых векторов x и y из E выполнено ра-
венство (x, y) =
1
4
3
k=0
ik x + ik y 2 в случае комплексного простран-
ства E или равенство (x, y)=
1
4x+y2
−
1
4x−y
2
вслучаедей-
ствительного пространства E .
Определение .. Два гильбертовых пространства (H1,(· , · )H1 )
и(H2,(· , · )H2
) называют унитарно эквивалентными или изометри-
чески изоморфными, если существует отображение U : H1 → H2 (уни-
тарный оператор), которое
() биективно;
() линейно;
() сохраняет скалярное произведение: (Ux, Uy)H2
= (x, y)H1
для
любых x,y∈H1.
При замене свойства () на условие инъективности получим опре-
деление изометрического вложения (изометрии)гильбертовыхпро-
странств.
.
◦
. Пусть (H1,(· , · )H1 )и(H2,(· , · )H2 ) — гильбертовы простран-
ства. Обозначим · H1
и ·H2
—
нормы, порождённые скаляр-
ными произведениями. Доказать, что гильбертовы пространства
(H1,(· , · )H1
)и(H2,(· , · )H2
) унитарно эквивалентны тогда и только
тогда, когда банаховы пространства (H1, · H1
)и(H2, · H2
)изо-
метрически изоморфны (см. определение .).
Неизометрические изоморфизмы уже не обязаны сохранять ска-
лярное произведение, и, говоря об изоморфизме (или о вложении)
пространств X и Y , из которых одно (или оба) гильбертово, имеют в
видуизоморфизм (соответственно, вложение) нормированных про-
странств X и Y (см. определение .).
Обычно довольно просто доказать «гильбертовость» данного
конкретного пространства. Сложнее доказывать, что данное ба-
нахово пространство не является гильбертовым. Строго говоря,
задача ставится так: выяснить, является ли данное банахово про-
странство ( X , · ) изометрически изоморфным (более сложный во-
прос — изоморфным) некоторомугильбертовупространству. В слу-
чае наличия изометрического изоморфизма говорят, что простран-
ство ( X , · ) гильбертово, а при наличии произвольного изомор-
физма говорят, что ( X , · ) эквивалентно гильбертову простран-
ству. Полезным средством для решения первой задачи является
теорема . .
Пример .. Доказать, что норма в C[0, 1] не может быть порож-
дена скалярным произведением (т. е . что C[0, 1] — не гильбертово
пространство).
§ .. Основные понятия и свойства
Решение. В силутеоремы . для любых векторов x и y обя-
зано выполняться равенство параллелограмма. Возьмём x (t) = 1,
y(t)=t.Тогда x = y = x−y =1,а x+y =2,т.е.равенство
не выполнено.
.. Доказать теорему. .
. . Доказать, что если в нормированном пространстве X для
произвольных двух векторов x , y выполнено «неравенство парал-
лелограмма» x−y 2+ x+y 2 2 x 2+2 y 2,тоX евклидово.
.
◦
. Доказать, что следующие пространства не гильбертовы:
а)lpприp∈[1,∞],p =2; б)c;в)c0;г)Cn[0,1], n∈ ;
д)Lp[0,1],p∈[1,∞],p =2.
.. Доказать, что в любом банаховом пространстве X для лю-
бых векторов x , y ∈ X , не равных нулю одновременно, выполнено
1
2
x+y2+ x−y
2
2x2+2y2
2. Показать, что в обоих пространствах
l∞(2) и C[0, 1] достигаются оба крайние значения.1)
На самом деле, пространства C[0, 1]; lp при p ∈ [1, ∞], p = 2; c0; c;
Cn[0, 1]; Lp[0, 1] при p ∈ [1, ∞], p = 2 не изоморфны гильбертовым
пространствам, что можно доказать, например, с использованием
теоремы . .
.
◦
. Доказать, что пространство L2(M , Σ, μ) (см. список про-
странств) гильбертово.
.
◦
. Пусть Ω={rn}
∞
1 — последовательность положительных чи-
сел. Рассмотрим множество последовательностей (x1, x2 ,...), где
xn ∈ , для которых сходится ряд
∞
n=1
(rn|xn|)2
.
Докажите, что это
линейное пространство. Снабдим это множество скалярным произ-
ведением (проверьте аксиомы скалярного произведения)
(x, y)=
∞
n=1
r
2
n
xn ̄yn
и обозначим полученное пространство l2,Ω
. Доказать, что это про-
странство есть L2(M,Σ,μ), где M = , Σ=2 ,аμ(A) =
n∈A
rn .Отсюда
следует, что l2,Ω есть гильбертово пространство.2)
Другой пример гильбертовых пространств — пространства Со-
болева.
1) При этом пространс тв о l∞(2) изоморфно гильбертовупространс твуl2(2), по-
скольк ув конечномерном пространс тве все нормы эквива лентны (см. за дачу.), а
прос транство C [0, 1] не изоморфно никакомугильбертовупрос транству.
2) Пространство l2,Ω называют пространством l2 свесомΩ={rn }(ср.сзада-
чей .).
Глава . Гильбертовы пространства
.◦
. Доказать, что пространства Соболева W
n
2 [0,1], n∈ ,гиль-
бертовы.
.. Доказать, что пространство Бергмана AL2(|z| < 1) является
гильбертовым пространством.
.. Какие из следующих пространств сепарабельны:
а)
◦
Wn
2 [0,1], n ∈ ;б)◦ l2,Ω;в)L2( ); г)* L2(M,Σ,μ);
д) AL2(|z| < 1)?
.. Рассмотрим линейное пространство H произвольных функ-
ций вещественного переменного, отличных от нуля не более чем
в счётном числе точек (для каждой функции набор точек свой).
Введём скалярное произведение в этом пространстве по правилу
(x,y)=
t: x(t)·y(t)=0
x (t) y (t). Доказать, что H —гильбертово несепа-
рабельное пространство.
.
◦
. Доказать, что всякое гильбертово пространство строго вы-
пукло, или, что то же самое, строго нормировано (см. определе-
ние .).
.◦
. Доказать, что всякое гильбертово пространство равномер-
но выпукло (см. определение .).
Следующее соотношение называют теоремой о среднем для ска-
лярного произведения.
.
◦
. Доказать, что в комплексном гильбертовом пространстве H
для любых векторов x и y выполнены равенства
(x, y)=
1
N
N
k=1
x+e
2πik/N y
2
e
2πik/N
,г
д
е
N3,
(x, y)=
1
2π
2π
0
x+eiθy 2eiθdθ
(сравните с задачей .).
§ .. Множества в гильбертовых прос транс твах
Определение .. Два множества M и N вевклидовомпро-
странстве называются ортогональными (обозначают M ⊥ N ), если
(x, y)= 0 для любых x ∈ M, y ∈ N. Ортогональным дополнением к
множеству M в евклидовом пространстве H называется множество
M⊥={x∈H:(x,y)=0длявсехy∈M}.
Определение . . Пусть H0 — собственное замкнутое подпро-
странство гильбертова пространства H ,а x —произвольный вектор
из H .Вектор y ∈ H0 называют ортогональной проекцией вектора x
на подпространство H0,еслиx − y ∈ H⊥
0.
§ . . Множества в гильбертовых пространствах
Определение .. Пусть H — гильбертово пространство, а H1
и H2 — два его линейных подпространства, причём H1 ∩ H2 = {0}.
Линейную прямую сумму H3 = H1 ⊕ H2 называют ортогональной
прямой суммой (обозначают H3 = H1 ⊥
⊕H2),еслиH1⊥H2.
Определение . . Пусть H1 и H2 —гильбертовы пространства.
Гильбертово пространство H =
x1
x2
:x1∈H1,x2∈H2 соскаляр-
ным произведением
x1
x2
,
y1
y2H
:= (x1, y1)H1
+ (x2, y2)H2
назы-
вают ортогональной прямой суммой гильбертовых пространств
H1 и H2 иобозначаютH = H1 ⊥
⊕ H2 (ср. с определением .).
1)
Задачи
.
◦
. Пусть M — произвольное множество в гильбертовом про-
странстве. Докажите, что M ⊥ является замкнутым линейным под-
пространством.
.
◦
. Пусть H0 — собственное замкнутое подпространство гиль-
бертова пространства H . Доказать, что вектор x принадлежит H ⊥
0
тогда и только тогда, когда для всякого y ∈ H0 имеет место неравен-
ство x−y
x.
.
◦
. Пусть H0 — собственное замкнутое подпространство гиль-
бертова пространства H ,а x ∈ H . Доказать, что y ∈ H0 является
ортогональной проекцией вектора x тогда и только тогда, когда
y есть элемент наилучшего приближения для вектора x вподпро-
странстве H0.
.. Доказать, что в гильбертовом пространстве любое замкну-
тое подпространство является подпространством существования
(см. определение .).
.
◦
. ПустьH=H0 ⊥
⊕ H1,гдеH0 и H1 — замкнутые подпростран-
ства, x ∈ H .Обозначимчерез y элемент наилучшего приближения
для x вподпространствеH0, через z — элемент наилучшего при-
ближения для x вподпространствеH1. Доказать, что x = y + z и,
соответственно, dist( x , H0) = z ,dist(x , H1) = y ,dist
2
(x, H0) +
+ dist
2
(x,H1)= x 2
.
.. Пусть H0 — замкнутое подпространство гильбертова про-
странства H . Доказать, что H = H0 ⊥
⊕H⊥
0 . Верно ли это в предгиль-
бертовом пространстве H ?
Отметим, что в гильбертовых пространствах для любого замкну-
того собственного подпространства H0 всегда существует 0-перпен-
1) В результате H1 и H2 «превращаютс я» в подпространс тва пространс тва H ,при-
чём H яв ляетс я их ортогона льной прямой суммой.
Глава . Гильбертовы пространства
дикуляр (см. определение .) — им является любой вектор еди-
ничной длины из H ⊥
0.
.. Пусть H — гильбертово пространство, H0 — собственное
замкнутое подпространство, H /H0 — факторпространство. Дока-
зать, что отображение J : H ⊥
0 → H/H0, Jx = [x]являетсяизометри-
ческим изоморфизмом (здесь [ x ] — факторкласс из H /H0,содержа-
щий вектор x ).
.
◦
. Доказать, что линейное подпространство M вгильберто-
вом пространстве H всюдуплотно в H тогда и только тогда, когда
M⊥ = {0}.
.. Доказать, что в гильбертовом пространстве для любого
множества M имеет место равенство (M ⊥)⊥ = Lin(M )(замыкание
линейной оболочки множества M ).
. . Пусть H — гильбертово пространство, а M и N —два его
взаимно ортогональных линейных подпространства. Доказать, что
их ортогональная прямая сумма является топологической прямой
суммой. Доказать, что если они оба замкнуты, то M ⊥⊕ N —замкну-
тое подпространство в H .
.
◦
. В гильбертовом пространстве H привести примеры таких
замкнутых подпространств M и N ,что H = M ⊕ N ,ноэтатопологи-
ческая прямая сумма не является ортогональной прямой суммой.
.. Пусть H — гильбертово пространство, {xn}
∞
1 —последова-
тельность векторов из H ,а{λn}
∞
1 — последовательность комплекс-
ных чисел. Доказать, что множество M ={x ∈ H:(x, xk)=λk,k ∈ }
либо пусто, либо является замкнутым аффинным подпространством
вH.
1)
Определение .. Множество M гильбертова пространства H
называют чебышёвским, если для любого x ∈ H в M существует и
единствен элемент наилучшего приближения, т. е. существует един-
ственный y∈M такой, что dist(x,M)= x − y
.
. . Доказать, что любое замкнутое выпуклое множество в
гильбертовом пространстве является чебышёвским.
2)
В произвольном полном метрическом пространстве последова-
тельность непустых замкнутых вложенных ограниченных множеств
1) Аффинным подпрос транством в линейном прос транс тве L назыв аетс я множе-
ство Π={ x 0 + y : y ∈ L}, где L —линейное подпространство, а x0 — фиксированный
вектор.
2) До сих пор () не решена проблема (Н. В . Ефимов, С. Б . Стечкин, В. К ли,
-е годы): всякое ли чебышёвское множество в гильбертовом пространстве яв-
ляетс я выпук лым? В конечномерном евк лидовом пространс тв е множество являет-
ся чебышёвским тогда и только тогда, когда оно замкнуто и выпук ло (Л. Бунт, ,
Т.Моцкин, ).
§ . . Множества в гильбертовых пространствах
с диаметрами, стремящимися к нулю, имеет непустое пересечение
(см. задачу.). В случае нормированного пространства можно от-
казаться от условия стремления к нулю диаметров для частного слу-
чая шаров (см. задачу.). В гильбертовом пространстве вместо
шаров можно взять произвольные выпуклые множества и утвержде-
ние останется верным (см. задачу.), однако в отсутствие условия
выпуклости пересечение множеств может оказаться пустым.
.. Привести пример последовательности непустых вложен-
ных ограниченных замкнутых множеств в пространстве l2,имею-
щих пустое пересечение.
Определение . . Угол между подпространством M и векто-
ром x в вещественном гильбертовом пространстве определяется
равенством x , M := x , y ,где y — ортогональная проекция x на M
(еслиx⊥M,тоy=0ивэтомслучае x,M:=
π
2
).
.. Доказать, что угол x , M междуподпространством M ивек-
тором x в вещественном гильбертовом пространстве H принимает
значения в промежутке 0,
π
2
.
Пример .. В пространстве L2[0, π] найти выпуклую оболочку,
замыкание, линейную оболочку, замыкание линейной оболочки и
ортогональное дополнение для множества T тригонометрических
многочленов Tn(t) =
n
k=1
ak sin(kt), где n ∈ ,аak 0длявсехk.
Решение. Множество T выпукло, а потому его выпуклая обо-
лочка совпадает с ним. Действительно, если Tn =
n
k=1
ak sin(kt)и
Sm=
m
k=1
bk sin(kt) (будем считать m n иположимтогдаan+1 = ...
... =am=0),то
αTn+(1−α)Sm =
m
k=1
(αak + (1 − α)bk)sin(kt),
причём αak+(1−α)bk 0, если ak 0,bk 0, α∈[0,1].
Докажем, что замыкание множества T есть множество ̄̄T = {x ∈
∈ L2[0, π]: (x ,sin(kt)) 0длявсехk ∈ }. Действительно, если Tn ∈ T,
то (Tn ,sin(kt)) 0 для любого k ∈ , а при переходе к пределу
Tn → x эти неравенства сохранятся, так как скалярное произведе-
ние непрерывно по каждомусвоемуаргументу. Итак, замыкание
множества T вложено в множество ̄̄T . Докажем теперь, что ̄̄T сов-
падает с замыканием множества T. В силутеоремы Рисса—Фишера
(см. курс действительного анализа или теорему . ниже) любую
функцию x ∈ L2[0, π]можнозаписатьввидесходящегосявL2 ряда
Глава . Гильбертовы пространства
x=
2
π
∞
k=1
(x ,sin(kt)) sin(kt). Для функции x ∈ ̄̄T частичные суммы
этого ряда Tn =
2
π
n
k=1
(x ,sin(kt)) sin(kt)сходятсяк x .
Докажем, что Lin T есть множество всех тригонометрических
многочленов вида ak sin(kt). Действительно, линейная комбина-
ция двух многочленов из T есть такой многочлен. С другой стороны,
любой многочлен Pn(t) =
n
k=1
ak sin(kt)можнозаписатьввидераз-
ности двух многочленов с неотрицательными коэффициентами — к
первомуотнести слагаемые с ak 0, а ко второму— с ak < 0.
В силутеоремы Вейерштрасса . замыкание линейной оболоч-
ки Lin T совпадает со всем пространством.
Найдём множество S = T⊥. В силуутверждения задачи .,
S⊥ = L2[0, π], в частности, для любого x ∈ S выполнено (x, x) = 0,
т.е.S ={0}.
.. В пространстве L2[−1, 1] для следующих множеств найти
выпуклую оболочку, замыкание, линейную оболочку, замыкание
линейной оболочки и ортогональное дополнение:1)
а) M={x ∈ L2[−1,1]: x(t)=0длявсехt <0};
б)Ma = {x∈L2[−1,1]: x непрерывна в точке a и x(a)=0};
в) M = {x ∈ L2[−1, 1]: x(t) = x(−t)длявсехt ∈ [−1, 1]};
г) M = {x ∈ L2[−1, 1] : x(t) = x(−t)длявсехt ∈ [−1/2, 1/2]};
д)M=C[−1,1];
е) M — множество всех многочленов;
ж) M — множество всех многочленов p,длякоторых p(0) = 0;
з) M — множество всех многочленов, укоторых коэффициенты
при нечётных степенях равны нулю;
и) M — множество ступенчатых функций (количество ступенек
конечно);
к) My = {x ∈ L2[−1,1]: x − y L2[−1,1] 1} для некоторой фикси-
рованной функции y ∈ L2[−1, 1];
л) My = {x ∈ L2[−1,1]: x − y L2[0,1] 1} для некоторой фикси-
рованной функции y ∈ L2[−1, 1];
м) M = {x ∈ L2[−1, 1]: x(t) 0длявсехt ∈ [−1, 1]} (здесь рас-
сматривается пространство над полем );
н) M ={x ∈ L2[−1,1]: |x(t)| 1длявсехt ∈ [−1,1]};
1) Напомним, что элементами пространства L2 являютс я к лассы эквива лентных
функций. Здесь и везде далее, говоря о функции x ∈ L2 ,мыимеемввиду,что
x ∈ [ x] — произв ольный предс тавитель к ласса [ x] ∈ L2 . При этом все соотношения
для функции x , выполнение которых требуется для любого t , предполагаются выпол-
ненными для почти в сех t .
§ . . Множества в гильбертовых пространствах
о) M = {x ∈ L2[−1, 1] : x(a) x(b) для любых a > b}(здесьрас-
сматривается пространство над полем );
п) Mα,β
= {x ∈ L2[−1,1]: x(t) = 0длявсехt ∈ (α, β)}, где числа
−1 α<β 1фиксированы;
р)M={x∈L2[−1,1]:
1
−1
x(t)dt= 0}.
.. В пространстве W 1
2 [−1, 1] для следующих множеств найти
выпуклую оболочку, замыкание, линейную оболочку, замыкание
линейной оболочки и ортогональное дополнение:
а)M={x∈W1
2 [−1, 1] : x(t) = 0длявсехt < 0};
б)M={x∈W1
2 [−1, 1] : x(t) = x(−t)длявсехt ∈ [−1, 1]};
в)M={x∈W1
2 [−1, 1] : x(t) = x (−t)длявсехt ∈ [−1/2, 1/2]};
г) M = C1[−1,1];
д) M — множество всех многочленов;
е) M — множество всех многочленов, укоторых коэффициенты
при чётных степенях равны нулю;
ж) M — множество непрерывных кусочно-линейных функций
(количество точек излома конечно);
з)M={x∈W1
2 [−1, 1] : |x(t)| < 1длявсехt ∈ [−1, 1]};
и)M={x∈W1
2[−1,1]: x(a)>x(b)длялюбых a>b}.
.. Пусть Hn, n ∈ ∪ {∞}, — множество векторов x = (x1, x2,...)
пространства l2,длякоторых
n
k=1
xn=0.НайтиH⊥
n
и доказать, что
все Hn , n = ∞, — замкнутые подпространства, а H∞ — незамкнутое
всюдуплотное в l2 подпространство.
.◦
. В вещественных пространствах L2[0, 1] и W
n
2[0,1],n∈ ,
найти угол между векторами x (t) = 1и y (t) = t .
.. В пространстве L2[0, 1] рассмотрим непрерывную кри-
вую γ : [0, 1] → L2[0, 1], γ(τ) = χτ ,гдеχa — характеристическая
функция отрезка [0, a]. Пусть x = γ(τ2) − γ(τ1), y = γ(τ3) − γ(τ2),
0 τ1 <τ2 <τ3 1, — две хорды кривой γ с общим концом. Дока-
зать, что x и y ортогональны. Существует ли такая кривая в конеч-
номерном евклидовом пространстве?
.. В пространстве L2[0, 1] найти расстояние от вектора x(t) =
=t
n
, n ∈ ,доподпространстваH0 = x ∈ L2[0, 1] :
1
0
x(t)dt=0 .
Определение .. Определителем Грама Γ(x1,..., x n)системы
векторов {x1, x2
,..., x n} называется определитель матрицы, состав-
ленной из скалярных произведений (xi , x j )
n
i,j=1
.
Глава . Гильбертовы пространства
В гильбертовом пространстве расстояние от данного элемента x
до конечномерного подпространства H0 и элемент наилучшего при-
ближения для x в H0 могут быть найдены в терминах базиса подпро-
странства H0 и определителя Грама.
.. Пусть H0 — конечномерное подпространство гильбертова
пространства H ,а{hk }n
1 — линейный базис (не обязательно ортого-
нальный) в H0. Доказать, что для любого x ∈ H элемент наилучшего
приближения в H0 имеет вид
y=
n
k=1
akhk,г
д
е
ak=
Γ(h1,...,hk−1 , x , hk+1,...,hn)
Γ(h1 ,...,hn)
,
арасстояниеотx до H0 определяется равенством
dist
2
(x,H0)=
Γ(x, h1,...,hn)
Γ(h1 ,...,hn)
.
В частности, если {hk }n
1 — ортонормированный базис в H0,тоэле-
мент наилучшего приближения y =
n
k=1
(x, hk)hk,а
dist
2
(x,H0)= x
2
−
n
k=1
|(x , hk)|2
.
.. В пространстве l2 найти dist(e1, Hn), где e1 = (1,0,0,...),
Hn= x∈l2:
n
k=1
xk=0 ,n∈ .
. . В пространстве L2[0, 1] найти расстояние от вектора x(t) =
= t2 до подпространства P1 всех линейных функций. Найти элемент
наилучшего приближения для x в P1 (ср. с задачей .).
§ . . Ортонормированные сис темы и базисы
в гильбертовых прос транс твах
Определение . . Система {eα } векторов гильбертова про-
странства (не обязательно конечная или счётная) называется ор-
тонормированной,если(eα , eβ ) = 0привсехα = β и(eα , eα ) = 1для
любого α.
Для любой ортонормированной системы {en }
∞
1 илюбоговекто-
ра x справедливо неравенство Бесселя
∞
n=1
|(x, en)|2 x 2
.
§ . . Ортонормированные системы и базисы
Те ор е м а . (Ф.Рисс, ;Е.Фишер,). Пусть {en}
∞
1 —орто-
нормированная система в гильбертовом пространстве H . Тогда сле-
дующие условия эквивалентны:
() система {en }
∞
1 тотальна (т. е. любой элемент в H можно
сколь угодно точно приблизить конечными линейными комбинаци-
ями элементов en);
() если для некоторого вектора x ∈ Hсправедливыравенства
(x, en) = 0 для любого n ∈ ,тоx= 0(такую систему называют
полной);
()
∞
n=1
|(x, en)|2
=x
2
для любого x ∈ H (выполнено равенство
Парсеваля);
() любой вектор x ∈ H единственным образом представляет-
ся в виде ряда по системе {en}
∞
1:x=
∞
n=1
(x, en)en (т. е. {en}
∞
1 — базис
Шаудера,см.главу ниже).
Ортонормированную систему, обладающую свойствами ()—
(), называют полной ортонормированной системой или ортонор-
мированным базисом.
К любой линейно независимой системе {xn}
∞
1 векторов гиль-
бертова пространства можно применить процесс ортогонализации
Грама—Шмидта, в результате которого получается ортонормиро-
ванная система {en }
∞
1 , и при этом Lin{x1,..., xn} = Lin{e1,...,en}для
любого n=1,2, ..., так что Lin{xn}
∞
1 =Lin{en}
∞
1 (в частности, если си-
стема {xn}
∞
n=1
полна, то полна и система {en }
∞
1 ). Сам процесс состоит
вследующем.Положимe1 =
x1
x1
. Теперь будем искать вектор e2,ор-
тогональный e1,ввидеe2 = ce1 + x2.Изравенства0= (e2, e1)получа-
ем e2 = −(x2, e1)e1 + x2.Положимe2 =
e2
e2
. Продолжая этот процесс,
на k-м шаге запишем вектор ek , ортогональный векторам e j , j < k,
ввидеek = −
k−1
j=1
(ej, xk)ej + xk,атогдаek =
ek
ek
.
Всякую ортонормированную систему можно дополнить до орто-
нормированного базиса.
Все ортонормированные базисы данного гильбертова простран-
ства H имеют однуи туже мощность. Этот факт позволяет ввести
размерность гильбертова пространства H —мощность произволь-
ного ортонормированного базиса в H . Эта размерность конечна то-
гда и только тогда, когда линейная размерность dim H < ∞, и в этом
случае они совпадают.
Глава . Гильбертовы пространства
Те ор е м а . (Х. Лёвиг, ; Ф. Реллих, ). Любые два гильбер-
товых пространства над одним полем и одинаковой размерности
изометрически изоморфны между собой (т. е . существует изомор-
физм между ними, сохраняющий норму и скалярное произведение) и
изометрически изоморфны некоторому пространству L2(M , Σ, μ).
В частности, любое сепарабельное бесконечномерное гильбертово
пространство имеет счётный ортонормированный базис и изо-
метрически изоморфно любому из пространств L2[0, 1] или l2.
Задачи
.◦
. Доказать, что система конечного числа векторов {xk }n
k=1
гильбертова пространства линейно независима тогда и только то-
гда, когда её определитель Грама отличен от нуля.
.
◦
. Применить процесс ортогонализации Грама—Шмидта к
системе {1, t, t
2
}впространствах
а) L2[−1, 1]; б) L2[0, 1]; в) W 1
2 [0, 1].
.
◦
. Применить процесс ортогонализации Грама—Шмидта к
системе {e− t
2
/2, te−t
2
/2, t2e−t
2
/2, t3e−t
2
/2}впространствеL2( ).
.. Пусть H — сепарабельное бесконечномерное гильбертово
пространство, а {en} — произвольная ортонормированная система
в нём. Доказать, что этусистемуможно дополнить до ортонорми-
рованного базиса {en}
∞
1 . Вывести отсюда, что в любом сепарабель-
ном гильбертовом пространстве существует ортонормированный
базис.
Приведём примеры различных ортонормированных базисов.
Пример . . Доказать, что система многочленов Чебышёва II рода
Un(t) =
2
π
sin((n + 1) arccos t)
1−t2
,
n=0,1,...,
образует ортонормированный базис в гильбертовом пространстве
L2([−1,1], 1 − t2 dt).
Решение. Запишем скалярное произведение
(Um, Un) =
2
π
1
−1
sin((n + 1) arccos t)sin((m + 1) arccos t)
1−t2
dt=
=
2
π
π
0
sin((n + 1)s)sin((m + 1)s) ds =
=
1
π
π
0
(cos((n − m)s) − cos((n + m + 2)s)) ds.
§ . . Ортонормированные системы и базисы
Поскольку
π
0
cos(ks) ds = 0прицеломk = 0, а при k = 0интеграл
равен π, ортонормированность системы доказана. Докажем полно-
тусистемы — теорема . тогда завершает доказательство. Пусть
x — произвольная непрерывная функция на [−1, 1]. В силутеоремы
Вейерштрасса . для любого >0 существует такой многочлен p,
что x−pC<.Нотогдаx−pL2
1
−1
1−t2dt
1/2
=
π
2
.
Таким образом, оболочка Lin{t k }∞
0 плотна в L2([−1, 1], 1 − t2 dt).
Остаётся заметить, что Un — многочлен и deg Un = n,азначит
,
Lin{Uk}n
0 = Lin{tk}n
0 для любого n, откуда следует полнота нашей
системы.
.. Доказать, что системы
а)
◦
1
2π
,
1
π
cos(nt),
1
π
sin(nt)
∞
1
;
б)◦ 1
2π
e
int
∞
−∞
;
в)
1
2π
e
i(n−1/2)t
∞
−∞
;
г)
1
π
cos n−
1
2t,
1
π
sin n−
1
2t
∞
1
являются ортонормированными базисами в пространстве L2[−π, π].
.. Доказать, что системы
а)
◦
2
π
sin(nt)
∞
1
;б
)
◦
1
π
,
2
π
cos(nt)
∞
1
;
в)
2
π
sin n−
1
2t
∞
1
;г)
2
π
cos n−
1
2t
∞
1
являются ортонормированными базисами в пространстве L2[0, π].
Применив процесс ортогонализации к системе {t n }
∞
0 в простран-
стве L2[−1, 1], получим систему многочленов Лежандра.
.. Доказать, что система многочленов Лежандра
Pn(t) =
2n+1
2
1
n!2n
dn
dtn (t2
− 1)n
,
n=0,1,...,
—
ортонормированный базис в пространстве L2[−1, 1].
Следующие системы также получены ортогонализацией систе-
мы {tn}
∞
0 относительно разных скалярных произведений.
. . Доказать, что система многочленов Чебышёва I рода (см. за-
дачу.)
Tn(t) =
2
π
cos(n arccos t), n = 0, 1, ...,
—
ортонормированный базис в пространстве L2 [−1, 1],
dt
1−t2
.
Глава . Гильбертовы пространства
.. Доказать, что система многочленов Якоби
P(α,β)
n
(t) = κα,β , n(−1)n(1− t)−α
(1+t)−β d
n
dtn [(1− t)n+α
(1 + t)n+β ],
κα,β,n =
(α+β+2n+1)Γ(α+β+n+1)
n!2α+β+2n+1Γ(α+ n+1)Γ(β +n+1)
,
(здесь α>−1, β>−1, n = 0, 1, ...) — ортонормированный базис в
пространстве L2([−1, 1], (1 − t)α(1 + t)βdt).
.. Доказать, что система многочленов Лагерра
Ln(t) =
et
n!
dn
dtn (tn
e
−t
), n=0,1,...,
—
ортонормированный базис в пространстве L2((0, ∞), e
−t
dt).
.. Доказать, что система многочленов Эрмита
Hn(t) =
et2
n!2n π
dn
dtn (e
−t
2
), n=0,1,...,
—
ортонормированный базис в пространстве L2( , e
−t2
dt).
.. Найти ортонормированную систему, полученную в резуль-
тате применения процесса ортогонализации Грама—Шмидта к си-
стеме {eint
}n∈ в пространстве W 1
2 [−π, π]. Является ли полученная
система ортонормированным базисом в этом пространстве?
.. Будет ли ортонормированная система, полученная в преды-
дущей задаче, базисом в пространстве H := { f ∈ W 1
2 [−π,π]: f(−π)=
= f (π)}?
.. Найти ортонормированную систему {φn}, полученную в
результате применения процесса ортогонализации Грама—Шмидта
ксистеме{sinnt}∞
n=1
в пространстве W
1
2 [0, π]. Является ли полу-
ченная система ортонормированным базисом: а) в пространстве
W1
2 [0, π]; б) в пространстве
◦
WW1
2 [0, π]?
.. Доказать, что множество последовательностей коэффици-
ентов Фурье всех функций из пространства
◦
WW1
2 [0, 1] по системе
{φn} из предыдущей задачи совпадает с линейным пространством
l2, (см. определение в задаче .).
.. Найти ортонормированную систему, полученную в резуль-
тате применения процесса ортогонализации Грама—Шмидта к си-
стеме {cos nt}∞
n=0
в пространстве W 1
2 [0, π]. Является ли полученная
система ортонормированным базисом в этом пространстве?
.. Найти ортонормированную систему, полученную в резуль-
тате применения процесса ортогонализации Грама—Шмидта к си-
стеме {cos nt,sin(n + 1/2)t}∞
n=0
в пространстве W 1
2 [−π, π]. Является
ли полученная система ортонормированным базисом в этом про-
странстве?
§ . . Ортонормированные системы и базисы
.. Найти ортонормированную систему, полученную в резуль-
тате применения процесса ортогонализации Грама—Шмидта к си-
стеме {ζn}
∞
n=0
в пространстве AL2(|ζ| < 1). Является ли полученная
система ортонормированным базисом в этом пространстве?
.. Доказать, что система Радемахера
rn(t) = sign sin(2n
πt), n =0,1,2, ...,
ортонормирована, но не полна в L2[0, 1].
.. Доказать, что система Уолша, состоящая из всевозможных
конечных произведений функций из системы Радемахера, является
ортонормированным базисом в L2[0, 1].
.. Доказать, что система Хаара
χ0(t) = 1, χm(t) =
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
2n
,
t∈
2k
2n+1
,
2k+1
2n+1
,
−
2n
,
t∈
2k+1
2n+1
,
2k+2
2n+1
,
0и
н
а
ч
е
,
где n —целаячастьlog2 m,аk = m − 2
n
, является ортонормирован-
ным базисом в L2[0, 1].
Есть простой способ построить базис в декартовом произведе-
нии пространств L2.
.
◦
. Пусть {xn}
∞
1 и{yn}
∞
1 — ортонормированные базисы в про-
странствах L2(M1, Σ1, μ1)иL2(M2, Σ2, μ2) соответственно. Дока-
зать, что {xn · ym}
∞
m,n=1
—
ортонормированный базис в пространстве
L2(M,Σ,μ), где (M,Σ,μ)=(M1, Σ1, μ1) ×(M2, Σ2, μ2).
1)
.. Предъявить какой-либо ортонормированный базис в про-
странстве L2( ).
Следующую теорему называют теоремой об устойчивости бази-
сов. Эта полезная теорема позволяет доказывать свойство базисно-
сти для ортонормированных систем, которые «не сильно отличают-
ся» от какого-либо известного ортонормированного базиса.
.* (Н.К.Бари, ). Пусть {en }
∞
1 — ортонормированный ба-
зис вгильбертовом пространстве H , а ортонормированная система
{ fn}
∞
1 такова, что
∞
n=1
en−fn
2
< ∞. Доказать, что эта система также
является ортонормированным базисом в H .
Указание. ) Предположив противное, составить ортонормиро-
ванную систему { fn}
N
0 со свойством
k>N
ek−fk
2
<1.
1)Под произведением (M1 , Σ1 , μ1) × (M2 , Σ2 , μ2) мы понимаем измеримое про-
странство (M1 × M2 , Σ, μ1 × μ2 ), где Σ —наименьшая σ -алгебра, порождённая мно-
жес твами из декартова произведения Σ1 × Σ2 (см. курс дейс твительного анализа).
Глава . Гильбертовы пространства
) Доказать линейную зависимость системы { fn}
N
0 , построив век-
торh=
N
n=0
αn fn, ортогональный всем векторам ek, k = 1, ..., N .
.*. Пусть множество M в гильбертовом пространстве H обла-
дает следующим свойством: для любого x ∈ H множество {(x , y): y ∈
∈ M } ⊂ ограничено. Доказать, что тогда и само множество M
ограничено в пространстве H .
Указание. Предположить противное и построить подходящую
ортонормированную систему.
.. Вычислить с помощью равенства Парсеваля суммы рядов:
а)
∞
n=1
1
n2 ;б)
∞
n=1
1
n4.
.◦
. Пусть {xn}
∞
1 — ортогональная система векторов гильбер-
това пространства H . Доказать, что следующие условия эквива-
лентны:
() ряд
∞
n=1
xn сходится;
() для каждого y ∈ H ряд
∞
n=1
(xn, y)сходится;
1)
() числовой ряд
∞
n=1
xn
2 сходится.
1) Это ус ловие можно сформулировать так: ряд
∞
n=1
xn сходится слабо (см. опреде-
ление . ниже).
Глава
Компактные множества
§ .. Свойства компактных множес тв
Компактность в метрических пространствах, как и в более об-
щих топологических (см. § .) пространствах, определяется в тер-
минах покрытий.
Определение . . Множество M в метрическом пространстве X
называется компактным, если для любого покрытия множества M
открытыми множествами Uλ ⊂ X , λ ∈ Λ,
λ∈Λ
Uλ ⊃ M ,найдётсяконеч-
ное подпокрытие Uλn
,n=1,...,N,
N
n=1
Uλn⊃M.
Определение . . Множество M в метрическом пространстве X
называется секвенциально компактным, если для любой последова-
тельности {xk}∞
k=1 ⊂ M найдётся подпоследовательность, сходящая-
ся к некоторомуэлементу x ∈ M .
В топологических пространствах понятия компактности и се-
квенциальной компактности, вообще говоря, различны (см. § .
ниже).
Теорема . . В любом метрическом пространстве X секвенци-
альная компактность множества M эквивалентна компактно-
сти M.
В связи с этой теоремой часто в качестве определения компакт-
ности в метрических пространствах сразупринимают секвенциаль-
ную компактность.
Определение .. Множество M в метрическом пространстве X
называется предкомпактным,еслиегозамыкание ̄̄M компактно
вX.
В литературе эту предкомпактность часто называют относитель-
ной компактностью.
Определение . . Метрическое пространство X ,компактноеот-
носительно своей метрики, называют метрическим компактом.
Определение . . Множество N в метрическом пространстве X
образует -сеть для множества M (здесь >0), если для любого
x ∈ M найдётся такой y ∈N,чтоρ(x, y)< .
Глава . Компактные множества
Определение .. Множество M называется вполне ограничен-
ным в метрическом пространстве X , если для этого множества при
любом >0существуетконечная -сеть.
Теорема . (Ф. Хаусдорф, ). Влюбомметрическомпро-
странстве предкомпактность множества M влечёт вполне огра-
ниченность M . В полном метрическом пространстве верно и об-
ратное: всякое вполне ограниченное множество предкомпактно.
Теорема останется верной, если в ней заменить предкомпакт-
ность на компактность, а вполне ограниченность на вполне огра-
ниченность плюс замкнутость.
Задачи
.. Доказать теорему. .
. . Пусть U — открытое покрытие метрического компакта ( X , ρ).
Доказать, что найдется такое r > 0, что всякий шар B(x , r)содержит-
ся в некотором элементе покрытия U .
.
◦
. Доказать, что в метрическом пространстве компактное мно-
жество замкнуто и ограничено.
.
◦
. Доказать, что любое подмножество предкомпактного мно-
жества предкомпактно.
.
◦
. Доказать, что в любом конечномерном нормированном про-
странстве предкомпактность равносильна ограниченности.
.
◦
. Доказать, что в дискретном метрическом пространстве, в
пространстве и пространстве множество предкомпактно тогда
и только тогда, когда оно состоит из конечного числа точек.
.
◦
. Доказать, что если отображение f : X → Y метрических про-
странств непрерывно и X —компакт, то f ( X )—компакт в Y .
.
◦
. Доказать, что если множество M предкомпактно в непол-
ном метрическом пространстве X , то оно предкомпактно и в по-
полнении этого пространства.
1) Привести контрпример к обратно-
муутверждению.
.
◦
. Привести пример неполного метрического пространства X
и вполне ограниченного, но не предкомпактного множества M в
нём (сравните этузадачус теоремой .).
. . Доказать, что если множество M в метрическом простран-
стве X вполне ограничено, то любая последовательность точек мно-
жества M содержит фундаментальную подпоследовательность.
Из этой задачи легко следует вторая часть теоремы . . Из за-
дачи . следует, что в неполном метрическом пространстве мно-
1) Более точно, если (Y , f ) есть пополнение метрического пространс тва X (см.
определение .), где f : X → Y —изометрия, то f (M )предкомпактновY .
§ .. Свойства компактных множеств
жество, любая последовательность точек которого содержит фунда-
ментальную подпоследовательность, не обязано быть предкомпакт-
ным.
В определении вполне ограниченного множества -сеть строит-
ся из точек пространства X . На самом деле -сеть можно построить
только из точек самого множества M — иногда это наблюдение по-
лезно.
.
◦
. Доказать, что если для некоторого >0длямножества M
метрического пространства X найдётся конечная -сеть, то суще-
ствует конечная 2 -сеть, состоящая из точек множества M .
Из задачи . следует, что всякое компактное множество замкну-
то и ограничено. В конечномерном пространстве всякое замкнутое
и ограниченное множество компактно (см. задачу.), а в беско-
нечномерных пространствах это, вообще говоря, не так.
.
◦
. В замкнутом единичном шаре пространства l p ,1 p ∞,
предъявить последовательность, не содержащую ни одной фунда-
ментальной подпоследовательности.
. . Доказать, что в любом бесконечномерном нормированном
пространстве X любой шар (замкнутый или открытый) не предком-
пактен.
.◦
. Доказать, что любое предкомпактное множество в беско-
нечномерном банаховом пространстве нигде не плотно.
Расстояние между двумя множествами A и B метрического про-
странства X можно определять по-разному. Мы будем, в частности,
использовать обозначение
dist0(A,B)= inf{ρ(x, y): x ∈ A, y ∈ B}.
.. Доказать, что если в нормированном пространстве X мно-
жество M является предкомпактным, то оно ограничено и его мож-
но с любой точностью аппроксимировать конечномерным подпро-
странством, т. е . для любого >0 найдётся такое конечномерное
подпространство X0,чтоdist0(M , X0) < (см. определение .). До-
казать обратное утверждение для банахова пространства X .
.. Пусть ( X , ρ) — метрическое пространство, а M —предком-
пактное множество в нём. Доказать, что (M , ρ)—сепарабельное
метрическое пространство.
.. Пусть M — компактное множество в банаховом простран-
стве X . Доказать, что найдётся такая последовательность xn → 0, что
M ⊂ conv{xn}
∞
1.
Расстояние от точки до произвольного замкнутого множества в
метрическом пространстве не обязано достигаться (см. задачу.).
Глава . Компактные множества
С другой стороны, если это множество есть конечномерное подпро-
странство в банаховом пространстве (см. задачу.) или произ-
вольное замкнутое выпуклое множество в гильбертовом простран-
стве (см. задачу.), расстояние достигается. Оказывается, другим
достаточным условием является условие ограниченной компакт-
ности множества: множество в метрическом пространстве назы-
вается ограниченно компактным, если его пересечение с любым
замкнутым шаром компактно1) .
.
◦
. Пусть X — метрическое пространство, а M — ограниченно
компактное множество в нём. Доказать, что для любой точки x ∈ X
расстояние от x до M достигается, т. е. найдётся такой y ∈ M ,что
dist(x, M)= ρ(x, y).
.. Пусть X — метрическое пространство, а M1 и M2 —ком
-
пактные множества в нём. Доказать, что dist0(M1, M2) = ρ(x0, y0)
(см. определение .) для некоторых x0 ∈ M1 и y0 ∈ M2.
. . Пусть X — метрическое пространство, а M —компактное
множество в нём. Доказать, что diam(M ) = ρ(x , y )длянекоторых
x,y∈M.
.. Пусть X — метрический компакт. Доказать, что улюбого
подмножества в X существует чебышёвский центр.
В произвольном полном метрическом пространстве последова-
тельность непустых замкнутых вложенных ограниченных множеств
с диаметрами, стремящимися к нулю, имеет непустое пересечение
(см. задачу.). В случае нормированного пространства можно от-
казаться от условия стремления к нулю диаметров для частного слу-
чая шаров (см. задачу.). Для последовательности компактных
множеств условие стремления диаметров этих множеств к нулю так-
же можно опустить.
. . Доказать, что в полном метрическом пространстве любая
система замкнутых непустых вложенных множеств имеет непустое
пересечение, если все эти множества вложены в некоторый ком-
пакт.
2)
Множество всех компактов произвольного метрического про-
странства можно снабдить метрикой и получить метрическое про-
странство компактов.
Определение . . Пусть ( X , ρ) — метрическое пространство.
Пространством Хаусдорфа называют метрическое пространство
(exp( X ), distH ), где exp( X ) — множество всех непустых компактов
1) Докажите, что вс якое компактное множес тв о ограниченно компактно. Приве-
дите пример ограниченно компактного, но не компак тного множества.
2) Или, другими словами, в се эти множес тв а компак тны (см. за дачу .).
§ .. Свойства компактных множеств
в(X,ρ), а
distH(M1, M2):= max sup
x ∈M1
dist(x, M2), sup
x ∈M2
dist(x , M1)
—
метрика Хаусдорфа.
.. Доказать, что функция distH удовлетворяет аксиомам мет-
рики.
.*. Обозначим через N ( X ) семейство всех подмножеств мет-
рического пространства X , состоящих из конечного числа точек. До-
казать, что если X полно, то пространство (exp( X ), distH)является
пополнением пространства (N ( X ), distH).
Указание. Использовать критерий Хаусдорфа . и задачу ..
.. Пусть X — метрический компакт. Доказать, что простран-
ство (exp( X ), distH ) также является компактом.
.. Пусть X — полное метрическое пространство, а { fj }n
1—
сжимающие отображения из X в X . Определим отображение
F:exp(X) → exp(X), F(A) =
n
j=1
fj(A).
Доказать, что F — сжимающее отображение в (exp( X ), distH ).
Пространство Хаусдорфа является удобным инструментом для
построения различных объектов как неподвижных точек сжимаю-
щих отображений. Приведём несколько примеров.
. Отрезок [0, 1] делится на три равные части и внутренность
средней из них выкидывается. С двумя оставшимися отрезками про-
делывается та же процедура и т. д . Множество, остающееся в резуль-
тате этого процесса, есть множество Кантора на отрезке [0, 1].
. Определим функцию Кантора LK(x )наотрезке[0,1]последо-
вательно:
)LK(0)=0,LK(1)=1.
) На интервале
1
3
,
2
3
положим LK| 1
3
,
2
3
≡
LK(0) + LK(1)
2
=
1
2
.
) На каждом следующем интервале Δ, выкидываемом при по-
строении канторовского множества, полагаем функцию LK равной
среднемуарифметическомууже известных ее значений, определен-
ных на ближайших множествах справа и слева от Δ:
LK| 1
9
,
2
9
≡
LK(0) + LK
1
3
+
2
=
1
4,
LK| 7
9
,
8
9
≡
LK
2
3
−
+ LK(1)
2
=
3
4,
и.т.д.
Глава . Компактные множества
) В точках канторовского множества доопределим функцию LK
по непрерывности.
График этой функции называется лестницей Кантора.
. В треугольнике с вершинами в точках (0, 0), (0, 1) и (1, 0) про-
водятся три средние линии. Внутренность центрального треуголь-
ника выкидывается, а с оставшимися тремя треугольниками проде-
лывается та же процедура и т. д . Множество, оставшееся в результа-
те этого процесса, есть треугольник Серпинского.
.. Доказать, что следующие множества есть неподвижные
точки для некоторых сжимающих отображений. Найти эти отобра-
жения.
а) Множество Кантора на отрезке [0, 1] — неподвижная точка в
пространстве (exp([0, 1]), distH ).
б) Треугольник Серпинского — неподвижная точка в простран-
стве (exp([0, 1]2), distH ).
в) Лестница Кантора — неподвижная точка в пространстве
(exp([0, 1]2), distH).
г) Функция Кантора — неподвижная точка в множестве X = {x ∈
∈C[0,1]: x(0)=0, x(1)=1}.
Из задачи . следует аналог теоремы Вейерштрасса: любая ве-
щественнозначная непрерывная функция на компакте ограничена
идостигаетсвоихточнойверхнейиточнойнижнейграней.Ока-
зывается, эти свойства являются характеристическими для компак-
тов.
. . Пусть M — такое множество в полном метрическом про-
странстве X , что любая вещественнозначная непрерывная на M
функция ограничена. Доказать, что M —компакт
.
.. Пусть M — такое множество в полном метрическом про-
странстве X , что любая вещественнозначная непрерывная и огра-
ниченная на M функция достигает своей точной верхней и точной
нижней граней. Доказать, что M —компакт
.
Следующая задача есть аналог теоремы Кантора: любая непре-
рывная на отрезке функция равномерно непрерывна на нём.
.
◦
. Пусть M — компактное множество в полном метрическом
пространстве X1, f : M → X2,где X2 —также полное метрическое
пространство. Доказать, что из непрерывности отображения f сле-
дует его равномерная непрерывность.
.. Пусть M — такое множество в полном метрическом про-
странстве X , что любая вещественнозначная непрерывная на M
функция равномерно непрерывна. Доказать, что M —компакт
.
. . Пусть M — компакт в метрическом пространстве X ,аY —
нормированное пространство. Обозначим через C(M , Y )множество
§ .. Свойства компактных множеств
непрерывных функций из M в Y . Доказать, что норма x C(M ,Y ) =
= max
t∈M
x (t) Y превращает C(M , Y ) в нормированное пространство
(линейные операции вводятся поточечно), а если Y — банахово
пространство, то и пространство C(M , Y ) банахово.
1)
. (Дини, ). Пусть M —метрический компакт, а последо-
вательность функций {fn : M → Y }∞
1 , непрерывно отображающих M
в нормированное пространство Y , сходится к непрерывной функ-
ции f поточечно и для любого x ∈ M
f1(x)−f(x) Y f2(x)−f(x) Y ...
Доказать, что fn → f в пространстве C(M , Y ).2)
.. Доказать, что если множество M компактно в метрическом
пространстве X , а отображение f : M → M удовлетворяет неравен-
ству ρ( f(x), f (y)) <ρ(x , y)прилюбых x = y ,тосуществуетедин-
ственная неподвижная точка x ∈ M (сравните с задачей . и тео-
ремой .).
Теорема . (принцип Ю. Шаудера, ). Пусть B — замкнутое
выпуклое множество в банаховом пространстве X . Пусть непрерыв-
ное отображение f переводит B в компактное множество M ⊂ B.
Тогда это отображение имеет в M неподвижную точку.
Заметьте, что из принципа Шаудера следует теорема Боля—
Брауэра (см. теорему .).
В § . уже отмечалось, что вопросы изоморфизма метрических
пространств обычно ведут к сложным задачам. Компактность про-
странства несколько упрощает ситуацию.
.. Доказать, что в метрическом пространстве любое изомет-
рическое вложение компакта в себя является изометрией этого ком-
пакта (и показать, что для произвольного замкнутого ограниченно-
го множества это неверно).
.*. Пусть X — полное метрическое пространство, M —ком
-
пактное множество в нём, φ : M → M — отображение, удовлетво-
ряющее неравенству ρ(φ(x), φ(y)) ρ(x , y). Доказать, что φ есть
изометрия множества M .
Определение .. Аппроксимативной размерностью (или мет-
рической энтропией)множестваM ,гдеM — предкомпактное мно-
жество метрического пространства X , называется число
γ=−lim
→0
lnN( )
ln
1) Важный частный с лучай: Y = или Y = (ср. с задачей .).
2) Частный случай этой теоремы: Y = , а пос ледовательность { fn ( x)}∞
1 для всяко-
го x ∈ X монотонно в озрас тает (или для в сякого x ∈ X монотонно убывает) к f (x).
Глава . Компактные множества
(если этот предел существует), где N ( ) — минимально возможное
число элементов в -сети для M .
.◦
. Найти аппроксимативную размерность: а) отрезка [0, 1];
б) квадрата [0, 1] × [0, 1].
.. Найти аппроксимативную размерность:
а) множества Кантора в пространстве X = [0, 1];
б) треугольника Серпинского в
2
.
§ .. Компактные множес тва в конкретных
нормированных прос транс твах
В этом параграфе приведены критерии предкомпактности для
различных пространств и задачи на проверкукомпактности (или
предкомпактности) различных конкретных множеств.
(Ч. Арцела, ; Г. Асколи, ). Пусть X —метрический ком-
пакт. Множество M в пространстве C( X , )предкомпактнотогдаи
только тогда, когда оно ограничено и равностепенно непрерывно,
т. е . д ля любого >0 существует такое δ>0, что для произвольных
t1, t2 ∈ X , ρX (t1, t2) <δ, выполняется неравенство |x(t2) − x(t1)| <
привсехx∈M.
. Множество M в пространстве l p ,1 p < ∞, предкомпактно то-
гда и только тогда, когда оно ограничено и для любого >0суще-
ствует такое N ,что
∞
j=N
|xj|p
1/p
< длявсехx∈M.
. Множество M в пространстве c0 предкомпактно тогда и только
тогда, когда оно ограничено и для любого >0 существует такое N ,
что sup
nN
|xn|< длявсехx∈M.
. Множество M в пространстве c предкомпактно тогда и только
тогда, когда оно ограничено и для любого >0существуеттакоеN ,
что sup
nN
|xn − l(x)|< для всех x ∈ M,гдеl(x)= lim
n→∞
xn.
(М. Рисс, ). Множество M в пространстве L p[0, 1], 1 p < ∞,
предкомпактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и для
любого >0 найдётся такое δ>0, что для всех x ∈ M , h ∈ [0, δ]вы-
полнено неравенство
1−h
0
|x(t + h)− x(t)|p dt
1/p
<.
Необходимость во всех этих критериях может быть доказана од-
ним способом, опирающимся на теоремуДини (см. задачу.). До-
§ . . Компактность в конкретных нормах
статочность же доказывается при помощи построения -сети, кото-
рое проводится в каждом случае по-своему. Продемонстрируем это
на примере.
Пример . . Доказать, что множество M в пространстве C[a, b]
предкомпактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и равно-
степенно непрерывно.
Решение. Покажем, что предкомпактность влечёт равностепен-
ную непрерывность множества (ограниченность следует из зада-
чи .). Положим Fn( x) = sup
|t− s|<1/n
|x(t) − x (s)|, Fn : M → .Очевидно,
что |Fn(x)−Fn(y)| 2x−y ,т
.
е.отображениеFn непрерывно.
Последовательность Fn( x) монотонно убывает к нулю для каждого
x ∈ ̄̄M ,апоскольку ̄̄M
—
компакт, получаем (см. задачу .), что
Fn( x ) → 0равномернопо x ∈ M , и равностепенная непрерывность
множества M доказана.
Обратно, пусть M ограничено и равностепенно непрерывно. До-
кажем вполне ограниченность множества M .Пусть >0произволь-
но. Найдём δ>0, для которого при любых t1, t2 ∈ [a, b]таких,что
|t2 − t1| <δ, для любой функции x ∈ M выполнено |x(t2) − x(t1)|< /5.
В силуограниченности множества M найдётся такое A > 0, что
|x(t)| A для любой функции x ∈ M илюбогоt ∈ [a, b]. Далее, за-
мкнутый круг |z| A компактен в , а значит, существуют точ-
ки {zk}n
1 ,образующиевнём /5-сеть . Зафиксируем теперь произ-
вольное разбиение {t j }m
1 отрезка [a, b]сдиаметром,непревосхо-
дящим δ,ипостроим -сеть для множества M .Обозначимчерез
xzk1
, zk2
,...,z km
(t) ломаную с узлами в точках (tj, zk j ). Число таких лома-
ных конечно (и равно nm ), а для произвольной x ∈ M всегда можно
подобрать однуиз этих ломаных y(t)так,что| x (t j ) − y(t j )| /5,
j=1, ..., m. Пусть теперь t ∈[tj,tj+1]. Тогда
|x(t)− y(t)| |x(t)− x(tj)|+|x(tj)−y(tj)|+|y(t)− y(tj)|<
<
2
5
+|y(tj+1)− y(tj)|<
2
5
+|y(tj+1) − x(tj+1)|+
+|x(tj+1)− x(tj)|+|x(tj)− y(tj)|< ,
т.е.x−y<.
При доказательстве предкомпактности какого-либо конкрет-
ного множества обычно применяют критерий предкомпактности
в данном пространстве. Другой способ основан на задаче . и
требует проверки ограниченности множества и возможности ап-
проксимации этого множества конечномерным подпространством.
При доказательстве непредкомпактности какого-либо множества
Глава . Компактные множества
обычно предъявляют последовательность точек множества, не со-
держащую сходящихся подпоследовательностей. Другой способ —
найти подмножество, непредкомпактность которого уже доказана
(см. задачу.).
Пример .. Степенными моментами суммируемой на отрез-
ке [0, 1] функции x называют числа pn( x) =
1
0
x(t)tndt, n = 0,1, ...
Является ли предкомпактным в C[0, 1] множество функций M1 =
=
x ∈ C[0,1]: |pn(x)| 1
n
, n = 0, 1, ... ? Для суммируемой на отрез-
ке [0, 1] функции x рассмотрим её коэффициенты Фурье cn ( x) =
=
1
0
x(t)eiπnt
dt, n ∈ («тригонометрические моменты»). Является
ли предкомпактным в C[0, 1] множество функций M2 = x ∈ C[0, 1] :
|cn(x)| 1
n4+1
,n∈ ?
Решение. Множество M1 не предкомпактно. Докажем это двумя
способами. Первый способ: пусть xk(t) = tk, k ∈ .Тогдаpn(xk) =
=
1
k+n+1
, т. е. последовательность {xk }∞
1 ⊂ M1. Так как эта последо-
вательность не имеет ни одной предельной точки (см. задачу.),
множество M1 не предкомпактно. Другой способ: заметим, что ес-
ли x C 1,то|pn(x)| 1
n+1
,т.е
. x ∈ M1. Это означает, что множе-
ство M1 содержит единичный шар пространства C[0, 1], который не
предкомпактен (см. задачу.).
Перейдём к множеству M2. Докажем, что оно предкомпактно.
Система {e
iπnt
}n∈ образует ортонормированный базис в простран-
стве L2[0,1].Этоозначает,чтолюбуюфункцию x ∈ L2[0, 1] можно
представить в виде ряда x (t) =
n∈
cn eiπnt
,с
ходящегосяпонорме
L2[0, 1]. В нашем случае легко видеть, что ряд сходится равномерно
на [0, 1], т. е. по норме C[0, 1]. Множество M2 ограничено, посколь-
куx
n∈
|cn | C,гдеC — абсолютная постоянная. Далее решение
можно проводить двумя способами. Первый способ: докажем рав-
ностепенную непрерывность множества M2 и применим критерий
Арцела—Асколи (см. пример .). Имеем
|x(t2) − x(t1)|
n∈
|cn |·|e
iπnt2 − e
iπnt1| π|t2 − t1|
n∈
|ncn| C1|t2 − t1|,
где C1 — абсолютная постоянная. Другой способ: воспользуемся за-
дачей . и покажем, что dist0(M, EN) → 0, где EN = Lin{e
iπnt
}N
n=−N
.
§ . . Компактность в конкретных нормах
Действительно,
dist(x, EN)
|n|>N
cne
iπnt
C |n|>N
|cn |→0
приN→∞.
Задачи
.◦
. Пусть M — равностепенно непрерывное множество в про-
странстве C[0, 1]. Пусть последовательность функций из M сходится
поточечно к непрерывной функции x . Доказать, что эта последова-
тельность сходится и по норме к томуже пределу.
.. Какие из перечисленных ниже множеств предкомпактны в
пространстве C[0, 1]:
а) {tn}n∈ ;б
)
{
s
i
n
(
t + n)}n∈ ;в){si
n
αt}α∈ ;
г) {sin αt}α∈[0,1] ;д){arctgαt }α∈ ;е
)
{
e
t−α
}α 0;
ж) {t2n
−
tn}n∈ ;з){tn+1
−
tn}n∈ ;и
){1−t
n
}n∈ ?
.. Является ли предкомпактным в пространстве C[0, 1] мно-
жество
а)M1= x(t)=
t
0
y(s)ds: y ∈C[0,1], y C[0,1] 1 ;
б)M2= x(t)=
∞
n=1
bn
t2+n
:
∞
n=1
|bn |
n
1;
в)M3= x(t)=
1
0
y(s)
t2+s2+1
ds:y∈C[0,1], y C[0,1] 1 ?
.. Является ли предкомпактным в пространстве C[a, b]мно-
жество
а) M1 = x(t)∈ C1[a, b]:|x(a)| C1,
b
a
|x (t)|dt C2 ;
б) M2 = x(t)∈C1[a,b]:|x(a)| C1,
b
a
|x(t)|2dt C2 ;
в)M3= x(t)∈C1[a,b]:
b
a
(|x(t)|2 + |x (t)|2) dt C ?
. (В. Д . Ерохин). Доказать, что всякий компакт диаметра d в
пространстве C[0, 1] лежит в некотором замкнутом шаре радиуса
d/2 (т. е. его чебышёвский радиус равен d/2). Докажите, что для
гильбертовых пространств (размерности больше 1) это неверно.
Критерий предкомпактности в пространствах C
n
[0, 1] можно
получить, используя критерий предкомпактности в пространстве
C[0, 1]. Идея состоит в использовании отображения
dn
dxn:Cn→C.
Глава . Компактные множества
Это отображение не является изоморфизмом пространств, посколь-
куобладает ненулевым ядром. Однако это обстоятельство не сильно
мешает, посколькуядро конечномерно, а ограниченное конечно-
мерное множество предкомпактно.
. . Доказать, что множество M в пространстве C
n
[0,1], n =
= 1, 2, ..., предкомпактно тогда и только тогда, когда оно ограниче-
но и множество Mn функций {x(n)(t): x ∈ M} равностепенно непре-
рывно.
.◦
. Верноли,чтомножествоM в пространстве C n[0, 1], n =
= 1, 2, ..., предкомпактно тогда и только тогда, когда множество Mn
из предыдущей задачи предкомпактно в C[0, 1]?
.. Привести пример множества M непрерывно дифференци-
руемых функций, предкомпактного в пространстве C[0, 1], но не
предкомпактного в пространстве C 1[0, 1].
.
◦
. Является ли предкомпактным в пространстве C 1[0, 1] мно-
жество аналитических функций
M= x(t)∈C1[0,1]: x C1<1,x(t)=
∞
k=0
akt
k
,
где ряд сходится в круге D ⊂ , содержащем [0, 1]?
.. Доказать утверждение:
а)п.; б)п.; в)п.; г)*п.
из списка критериев предкомпактности в начале § . .
.. При каком условии на последовательность {ak }∞
k=1 парал-
лелепипед Π{ak} = {x ∈ lp : |xn| an} предкомпактен в простран-
ствеlp(1 p<∞)?
. . При каком условии на последовательность {ak }∞
k=1 эллипсо-
идE{ak}= x∈l2:
∞
n=1
|xn|
2
a2
n
1 предкомпактен в пространстве l2?
.. Доказать, что любое компактное множество M ⊂ l2 со-
держится в некотором эллипсоиде вида x ∈ l2 :
∞
n=1
|xn|
2
a2
n
1 ,где
an→0.
.
◦
. Доказать предкомпактность в пространстве l1 множества
M= x:
∞
n=1
n|xn| 1 .
.. Является ли предкомпактным в пространстве l1 множество
M= x:xn=
1
0
y(s)
n2 + s2 ds ,гдефункции y выбираются из замкнуто-
го единичного шара пространства C[0, 1]?
§ . . Компактность в конкретных нормах
.. При каких значениях параметров α ∈ и β>0множество
Mα,β = x∈lp:
∞
n=1
n
α
|xn|β 1 предкомпактно в пространстве l p
(1 p<∞)?
.*. Является ли множество
M= x∈l1:xn=
π
−π
y(t)cosnt dt, y ∈ C1[−π, π], y C1 1
предкомпактным в пространстве l1?
Критерий предкомпактности, доказанный для пространства l2,
можно обобщить на сепарабельные гильбертовы пространства.
.. Пусть H — гильбертово пространство, {en }
∞
1 — ортонорми-
рованный базис в нём. Доказать, что множество M предкомпактно
в H тогда и только тогда, когда оно ограничено и для любого >0
найдётся такое N ∈ ,что
∞
k=N
|(x, ek)|2 <
2
длявсехx∈M.
.. Является ли множество {sin(πnt)}∞
n=1
предкомпактным в
пространстве L p[0, 1], p ∈ [1, ∞]?
. . Доказать, что если {φα}α∈Λ — предкомпактное множество
функций в C[a, b], то множество {xα = φαθ}α∈Λ,гдеθ —фиксиро-
ванная функция из L2[a, b], предкомпактно в L2[a, b].
Вопрос предкомпактности множества в пространстве C
n
[0, 1]
сводится к вопросупредкомпактности в пространстве C[0, 1]. В про-
странствах n
Wp [0, 1] можно действовать аналогично.
.. Доказать, что множество M в пространстве
n
Wp[0,1],1 p<
< ∞, n = 1, 2, ..., предкомпактно тогда и только тогда, когда оно
ограничено и для любого >0 найдётся такое δ>0, что для всех
x ∈ M и h ∈ [0, δ] выполнено неравенство
1−h
0
|x(n)(t + h) − x(n)(t)|p dt
1/p
<.
.. Выяснить, являются ли предкомпактными множества Ma =
= {n−a
sin(nt)}∞
n=1
при a ∈ [0, 1] в пространствах:
а) C[0, 1], б) C1[0, 1]; в) 1
Wp[0,1], p ∈[1,∞).
.◦
. Является ли предкомпактным в пространстве C[a, b]еди-
ничный шар пространства C
1
[a, b]?
Последняя задача связана с понятием компактного вложения
пространств.
Определение . . Нормированное пространство ( X , ·
X )на-
зывается компактно вложенным в нормированное пространство
(Y, · Y),еслиX⊂Y,
·
Y ≺ · X , а единичный шар B(0,1) про-
Глава . Компактные множества
странства X предкомпактен в пространстве Y .Такоевложение
обычно обозначают X Y .
Пример . . Является ли вложение W 1
1 [0, 1] ⊂ BV [0, 1] компакт-
ным?
1)
Решение. Заметим, что для произвольной непрерывно диффе-
ренцируемой на отрезке [0, 1] функции x (см. задачу.) выполне-
но равенство Var
1
0x(t)=
1
0
|x (t)| dt.Посколькуmax
t ∈[0,1]
|x(t)| x W1
1
,
получаем оценку x BV 2 x W1
1
.
С другой стороны,
1
0
|x(t)| dt
max
t ∈[0,1]
|x(t)|,азначит, x W1
1
x BV . Итак, на линейном простран-
стве непрерывно дифференцируемых на отрезке [0, 1] функций
нормы · W1
1
и · BV эквивалентны. Тогда эти нормы будут экви-
валентны и на пополненном пространстве (см. задачу.), т. е. на
пространстве W 1
1 [0, 1]. Единичный шар пространства W 1
1 [0,1] не
предкомпактен в этом пространстве (см. задачу.), а в силудока-
занной эквивалентности норм он не предкомпактен и в простран-
стве BV [0, 1], т. е. вложение не компактно.
.. Доказать компактность вложений:
а) Cn+1[0,1] Cn[0,1]; б) W1
2 [0, 1] L2[0, 1];
в) W1
2 [0, 1] C[0, 1];
г) l2,n
l2 (см. задачу.).
.. Доказать, что следующие вложения пространств неком-
пактны:
а)◦c0⊂c⊂l∞;б
)
lp1⊂lp2⊂c0,где1 p1<p2 ∞;
в)
◦
C0( )⊂BC( ); г)C[0,1]⊂Lp[0,1], где p∈[1,∞];
д)Lp1[0,1]⊂Lp2[0,1], где1 p2< p1<∞.
1) Вложение имеет место, так как пространство W
1
1 [0, 1] состоит из абсолютно
непрерывных на отрезке [0, 1] функций (см. з адачу .), а каж дая абсолютно непре-
рывная функция имеет ограниченную в ариацию (см. курс действительного ана-
лиза).
Глава
Линейные непрерывные функционалы
§ .. Основные свойс тва. Вычис ление норм
Определение .. Пусть ( X , · ) — линейное нормированное
пространство над полем K (K = или ). Функционал f : X → K
называется линейным,если
f(αx+βy)=αf(x)+βf(y)
для любых α, β ∈ K и x , y ∈ X ,инепрерывным, если для любого эле-
мента x∈ X из y−x →0следует|f(y)−f(x)|→0.
Для линейных функционалов f , g : X → K и λ ∈ K естественным
образом определяются линейные функционалы f + g и λ f .Далее,
если не оговорено противное, предполагается, что K =
.Будем
обозначать Ker f :={x ∈ X : f(x)=0}— ядро функционала f.
Непрерывность линейного функционала f равносильна его неп-
рерывности только в точке x = 0, которая, в свою очередь, равно-
сильна его ограниченности.
Определение . . Линейный функционал f на нормированном
пространстве ( X , · ) называется ограниченным, если существует
число c,длякоторого| f (x)| c x для всех x ∈ X .Наименьшаявоз-
можная константа c в этом неравенстве называется нормой функ-
ционала f и может быть вычислена по следующим формулам:
f =sup
x=0
|f(x)|
x
= sup
x1
|f(x)|= sup
x=1
|f(x)|.(
.
)
Определённое формулой (.) отображение f → f удовлетворяет
всем аксиомам нормы на линейном пространстве функционалов.
Из определения (.) следует мультипликативное неравенство
для значений функционала: |f(x)| f · x X для всех x ∈ X.
Те ор е м а . . Совокупность всех линейных непрерывных функци-
оналов на нормированном пространстве X вместе с нормой (.) яв-
ляется банаховым пространством. Это банахово пространство на-
зывается сопряжённым пространством для X и обозначается X
∗
.
Глава . Линейные непрерывные функционалы
Задачи
Линейные функционалы на линейном пространстве подробно
изучались в курсе линейной алгебры. Напомним некоторые факты.
.
◦
. Пусть f — ненулевой линейный функционал на линейном
пространстве X . Доказать, что Ker f есть линейное подпростран-
ство коразмерности 1 (см. определение .).
.
◦
. Пусть f и g — два ненулевых линейных функционала на ли-
нейном пространстве X . Доказать, что если Ker f = Ker g,то f = αg
для некоторого α ∈ .
.
◦
. Пусть f1, f2,..., fn — линейные функционалы на линейном
пространстве X .Обозначимчерез X0 пересечение ядер всех этих
функционалов. Доказать, что если codim X0 < n, то найдутся такие
комплексные числа α1,...,αn, |α1| + ... + |αn| = 0, что
n
k=1
αkfk=0
(другими словами, функционалы { fk }n
1 являются линейно зависи-
мыми).
.
◦
. Пусть f1, f2,..., fn — линейно независимая система линей-
ных функционалов на линейном пространстве X ,аλ1 , λ2,...,λn —
комплексные числа. Доказать, что существует такой вектор x ∈ X ,
что fk(x)=λkдлявсех1 k n.
.
◦
. Доказать теорему. .
.
◦
. Пусть f — линейный функционал на нормированном про-
странстве. Доказать, что f непрерывен тогда и только тогда, когда
для любой последовательности xn → 0 числовая последовательность
{f (xn)}∞
1 ограничена.
.. Пусть f — линейный функционал в нормированном про-
странстве. Доказать, что f непрерывен тогда и только тогда, когда
ядро Ker f замкнуто.
.. Привести пример (нелинейного) функционала f : X → на
некотором банаховом пространстве X , непрерывном на X ,ноне
ограниченном на единичном шаре этого пространства.
.
◦
. Доказать, что в конечномерном нормированном простран-
стве всякий линейный функционал непрерывен.
Определение . . Пусть X — линейное пространство над по-
лем . Нарядус линейными функционалами на X рассматривают
вещественно-линейные функционалы. Функционал f : X → назы-
вают вещественно-линейным,если f (αx + β y) = α f (x) + β f (y)для
любыхx,y∈Xиα,β∈ .
Например, на пространстве общий вид линейного функциона-
ла f (z) = az,гдеa ∈ , а общий вид вещественно-линейного функ-
ционала f (z) = az + b̄z ,гдеa, b ∈ . Подобно функциям комплекс-
§ .. Основные свойства. Вычисление норм
ного переменного, линейные функционалы на комплексном линей-
ном пространстве раскладываются в сумму двух вещественно-ли -
нейных функционалов f(x) = Re f(x) + i Im f(x).
.. Пусть f — линейный функционал на комплексном норми-
рованном пространстве X . Доказать, что Re f иImf являются веще-
ственно-линейными функционалами. Доказать, что если функцио-
нал f непрерывен, то функционалы Re f иImf также непрерывны
и Re f = Im f = f (нормы функционалов Re f иImf определя-
ются аналогично равенству(.)).
.
◦
. Пусть φ — вещественно-линейный функционал на ком-
плексном линейном пространстве X . Доказать, что единственный
комплексный линейный функционал f сусловиемRef = φ имеет
вид f(x) = φ(x) − iφ(ix).
Следующие две задачи обобщают на нормированные простран-
ства формулу расстояния от точки до плоскости.
. . Пусть f — ненулевой линейный непрерывный функционал
на нормированном пространстве X . Доказать, что для любого x ∈ X
справедливо равенство dist(x,Ker f ) = | f (x)|/ f .
.
◦
. Пусть f — ненулевой линейный непрерывный функционал
на нормированном пространстве X .Обозначим
M={x∈X:f(x)=a}.
Доказать, что dist(0, M ) = |a|/ f .
В конечномерных нормированных пространствах любой линей-
ный функционал оказывается ограниченным (см. задачу .). В бес-
конечномерном случае это уже не так.
.◦
. Пусть X — линейное подпространство функций x ∈ C[0, 1],
дифференцируемых в точке t0 ∈ (0, 1). Доказать, что подпростран-
ство X не замкнуто и всюду плотно в C[0, 1]. Доказать, что линей-
ный функционал f (x ) = x (t0) на нормированном пространстве X
(норма на X наследуется из C[0, 1]) не является ограниченным.
В предыдущей задаче пространство X не полно. В банаховом
пространстве нельзя конструктивно построить пример неограни-
ченного всюдуопределённого функционала. Можно лишь доказать,
что такой функционал существует, и для этого необходимо понятие
алгебраического базиса.
Определение .. Система { xα}, где α ∈ Λ, в линейном простран-
стве L называется базисом Гамеля или алгебраическим базисом,ес-
ли любой элемент x ∈ L может быть единственным образом пред-
ставлен в виде конечной линейной комбинации элементов этой сис-
темы.
Глава . Линейные непрерывные функционалы
Базис Гамеля существует в любом линейном пространстве.
1) Лю-
бые два базиса Гамеля в одном и том же линейном пространстве
равномощны. Отметим, что базис Гамеля в банаховом пространстве
либо конечен, либо несчётен2) .
.. Пусть { xλ }λ∈Λ — базис Гамеля в банаховом пространстве.
Доказать, что существует такое n ∈ , что множество {a1 xλ1 + ...
... + anxλn : ak ∈ }всюдуплотновX.
.. Пусть {xλ }λ∈Λ — базис Гамеля в бесконечномерном нор-
мированном пространстве. При помощи этого базиса построить
пример всюдуопределённого неограниченного линейного функци-
онала.
.◦
. Доказать, что в любом нормированном бесконечномерном
пространстве X найдётся незамкнутое линейное подпространство
коразмерности 1.
Таким образом, в любом бесконечномерном нормированном
пространстве существует неограниченный всюду определённый ли-
нейный функционал. На практике обычно возникают неограничен-
ные функционалы, определённые не на всём пространстве, а на
всюдуплотном множестве (как в задаче .).
.. Доказать, что если неограниченный функциона л в норми-
рованном пространстве определён на всюдуплотном множестве, то
его ядро всюдуплотно.
Пример . . Вычислить нормуфункционала f ∈ (C[−1, 1])∗
,
f(x)=
0
−1
x(t)dt−
1
0
x(t)dt− 3x(0).
Решение. Для любой функции x ∈ C[−1, 1] имеем
|f(x)|
0
−1
|x(t)|dt +
1
0
|x(t)| dt + 3|x(0)|
1
−1
xdt+3x=5x,
откуда f 5.
С другой стороны, для непрерывной на [−1, 1] функции
xδ(t) =
⎧
⎨
⎩
1,
если t ∈ [−1, −δ],
−1 − 2t/δ,е
с
л
иt ∈ [−δ,0],
−1,
если t ∈[0,1],
гдеδ>0, имеем f(xδ)=1 −δ+1+3=5 −δ и xδ =1, так что
f 5 − δ . В силупроизвольности δ отсюда заключаем, что f =
=5.
1) Доказательство этого факта опирается на леммуЦорна.
2) Это утверждение сразу следует из задачи . и теоремы .. Докажите его.
§ .. Основные свойства. Вычисление норм
Как нетрудно видеть, в этом примере функционал f не достигает
своей нормы на замкнутом единичном шаре, то есть не существует
такойфункцииx∈C[−1,1], x =1,что f(x)= f .
.. Доказать, что указанный функционал является линейным и
непрерывным на указанном пространстве X , и найти его норму:
а)X=c0, f(x)=
∞
n=1
xn
2n;
б)X=c, f(x)=lim
n→∞
xn;
в)X=l∞,f(x)=3x1−x2+2x4;
г)X=l2, f(x)=
∞
n=1
xn
n
;
д)X=l1, f(x)=
∞
n=1
xn
n
;
е) X=L1[−1,1], f(x)=
1
−1
tx(t) dt;
ж) X=L2[−1,1], f(x)=
1
−1
tx(t) dt;
з)X=L
∞
[−1,1], f(x)=
1
−1
tx(t) dt;
и) X =C[−1,1], f(x)= x(1)− x(−1);
к) X=C[−1,1], f(x)=
1
−1
tx(t) dt − x (0);
л)X=C[−1,1], f(x)=
0
−1
x(t)dt−
1
0
x (t) dt;
м) X=C[0,1], f(x)=
n
k=1
αkx(tk),гдеtk∈[0,1],аαk∈ ;
н) X =C[0,1], f(x)=
1
0
x(t)y(t)dt,где y ∈ C[0,1];
о) X =C[0,1], f(x)= lim
n→∞
1
0
x(tn)dt;
п)X=C
1
[−1, 1] с любой из двух норм, указанных в списке про-
странств, f(x) = x (1) − x (−1);
р)X=C
1
[−1, 1] с любой из двух норм, указанных в списке про-
странств, f(x) =
1
−1
x(t)dt+ x (0);
Глава . Линейные непрерывные функционалы
с)X=W1
2 [−π,π], f(x)=
π
−π
(x (t)sint + x (t)cost) dt;
т)X=W
1
2 [−π,π], f(x)=
π
−π
(x(t)cost + x (t)sint) dt.
.*. Доказать, что указанный функционал является линейным
и непрерывным на указанном пространстве X , и найти его норму:
а)X=W1
2 [−π,π], f(x)= x(0);
б)X=W1
2 [0, π], fa(x) = x(a), где точка a ∈ [0, π]фиксирована;
в) X=AL2(|ζ|<1), fa(x)= x(a), где точка a∈ , |a|<1,фикси-
рована.
Указание. В пунктах а), б) и в) использовать ортонормирован-
ные базисы, построенные в задачах ., . и . соответственно.
Как видно из примера ., не каждый функционал достигает сво-
ей нормы на замкнутом единичном шаре.
.. В каждом из пространств привести примеры функциона-
лов, которые не достигают своей нормы на единичном шаре:
а) c0;б)c;в)l1;г)L1[0, 1]; д) C[0, 1].
Доказать, что в конечномерном нормированном пространстве и в
гильбертовом пространстве всякий функционал достигает своей
нормы на единичном шаре.
. . Пусть f — ненулевой линейный непрерывный функционал
на нормированном пространстве X . Доказать, что если для некото-
рого x /∈ Ker f существует элемент наилучшего приближения в Ker f
(см. определение .), то f достигает своей нормы на единичном
шаре. Доказать, что если f достигает своей нормы на единичном ша-
ре, то для любого x ∈ X вKerf существует элемент, ближайший к x .
. . Привести пример банахова пространства X и замкнутого
подпространства X0 в нём, для которого не существует 0-перпенди-
куляра (см. определение .).
§ .. Теорема Хана—Банаха
Теорема . (Х.Хан, ; С.Банах, ). Пусть (X, · ) —ли-
нейное нормированное пространство, Y — линейное подпростран-
ствовX,f∈Y∗
—
функционал. Тогда существует такой функцио-
налF∈X∗
,чтоF(y)=f(y)для всех y∈Yи F X∗ =
fY∗.
Другими словами, функционал f , определённый и непрерывный
на подпространстве Y , продолжается до непрерывного линейного
функционала на всё пространство X без увеличения нормы.
1) Это
1) В общем случае доказательство этой теоремы использует лемму Цорна, но в се-
парабельных нормированных прос транствах можно обойтись без неё.
§ .. Теорема Хана—Банаха
продолжение, вообще говоря, не единственно. Любое такое продол-
жение мы будем называть продолжением функционала f по Хану—
Банаху.
Задачи
.. Пусть X — нормированное пространство, Y ⊂ X —подпро-
странство конечной коразмерности, а f — линейный непрерывный
функционал на Y . Доказать, что любое продолжение f до линейного
функциона ла на X есть непрерывный функционал.
Теорема Хана—Банаха не гарантирует единственность продол-
жения по Хану—Банаху в общем случае. Ситуация здесь следующая:
в некоторых пространствах (критерий дан в задаче .) продолже-
ние по Хану—Банаху любого функционала единственно. В общей
ситуации всё зависит от подпространства Y , на котором задан функ-
ционал.
.. Пусть банахово пространство X есть:
а) вещественное пространство l1(2);
б) вещественное пространство l∞(2).
Привести пример линейного функционала f с одномерной обла-
стью определения, продолжение по Хану—Банаху которого на всё
пространство X не единственно. Доказать, что в пространстве l2(2)
такой пример невозможен.
.. Пусть X — нормированное пространство. Доказать, что
продолжение по Хану—Банаху любого линейного непрерывного
функциона ла на X единственно тогда и только тогда, когда со-
пряжённое пространство X
∗
строго нормировано (см. определе-
ние .).
.◦
. Доказать, что любой линейный непрерывный функционал,
определённый на всюдуплотном линейном подпространстве нор-
мированного пространства X , имеет единственное продолжение по
Хану—Банаху.
.
◦
. Доказать, что для любого ненулевого x ∈ X существует та-
кой функционал f ∈ X ∗
,что f =1,f(x)= x .
.◦
. Доказать, что для любых x, y ∈ X, x = y, существует такой
функционал f ∈ X∗
,чтоf(x)= f(y).
.
◦
. Пусть x1, x2
,..., x n — линейно независимая система векто-
ров нормированного пространства X ,аλ1 , λ2,...,λn —комплекс
-
ные числа. Доказать, что существует такой линейный непрерывный
функционал f ,что f(xk) = λk для всех 1 k n (сравните с зада-
чей .).
.. Пусть X — вещественное нормированное пространство,
{xn} — конечная или счётная система векторов в X ,а{cn } ⊂ .
Глава . Линейные непрерывные функционалы
Доказать, что существование функционала f ∈ X ∗
со свойством
f (xn) = cn для любого n ∈ равносильно тому, что для произвольно-
го конечного набора {λn}
N
n=1 ⊂ выполнено
N
n=1
λn cn
M
N
n=1
λnxn
с некоторой единой постоянной M > 0.
. . Доказать, что существует линейный непрерывный функци-
онал f на вещественном пространстве l∞, удовлетворяющий следу-
ющим условиям:
() inf
n∈
xn f(x) sup
n∈
xn;
() если существует lim
n→∞
xn=a,тоf(x)=a;
() функционал инвариантен при сдвигах, т. е . f ((x1, x2 , x3 ,...))=
= f((x2, x3,...))длялюбого x = (x1, x2,...)∈ l∞.
Условия ()—() определяют функционал f не единственным об-
разом. Любой такой функционал называют обобщённым (или бана-
ховым) пределом ограниченной числовой последовательности. Его
часто обозначают LIM.
.
◦
. Найти: а) LIM(0,1,0,1,...); б) LIM(0,0,1,0,0,1,...).
Определение . . Нормированное пространство X называется
гладким,еслидлякаждого x ∈ X с x = 1 существует единственный
функционал f такой, что f(x) = f = 1.
.◦
. Привести примеры гладкого и негладкого пространства.
Доказать, что в гладком пространстве продолжение по Хану—Бана-
хулюбого линейного функционала с любого одномерного подпро-
странства единственно.
В рефлексивных (см. далее определение .) гладких простран-
ствах любой линейный непрерывный функционал имеет единствен-
ное продолжение по Хану—Банаху.
.. Пусть линейный функционал f определён на одномерном
подпространстве Lin(x) ⊂ C[0, 1], где: а) x(t) = t;б)x(t) = 2t − 1.
Единственно ли продолжение по Хану—Банаху такого функцио-
нала?
.. Пусть на одномерном подпространстве Lin( x ) ⊂ C[0, 1], по-
рожденном некоторой ненулевой функцией x(t), определен функ-
ционал f (λx) = λ x(t0), где t0 ∈ [0, 1] — фиксированная точка. Един-
ственно ли продолжение по Хану—Банаху такого функционала?
.. Доказать, что для линейного подпространства Y нормиро-
ванного пространства X сусловием̄̄Y = X и произвольной точки
x ∈ X существует такой функционал f ∈ X ∗
,ч
то f =1,f(x)=
= dist(x,Y)иf(y)=0длялюбого y∈Y.
Теорема Хана—Банаха имеет несколько различных формулиро-
вок.
§ .. Теорема Хана—Банаха
Те ор е м а . . Пусть X — вещественное линейное пространство,
Y — линейное подпространство в X . Пусть на X заданы функцио-
налы pk : X → + ,k= 1, 2, удовлетворяющие следующим аксиомам
(такие функционалы называют калибровочными):
() pk(λx) = λpk(x) для всех x ∈ Xиλ 0 (положительная
однородность);
() pk(x + y) pk(x) + pk(y) для всех x, y ∈ X (полуаддитив-
ность).
Далее, пусть f — такой линейный функционал на Y , что − p1( y )
f(y) p2(y) для любого y ∈ Y . Тогда существует такой линейный
функционал F на X, что F(y) = f(y) для любого y ∈ Yи−p1(x)
F(x) p2(x) для любого x ∈ X. Теорема остаётся верной и в
случае, если функционал f удовлетворяет одному из неравенств
− p1(y) f(y) или f(y) p2(y)(для функционала F тогда будет
выполнено тоже лишь одно соответствующее неравенство).
Утверждение следующей задачи называют геометрической фор-
мой теоремы Хана—Банаха. Дадим вначале некоторые поясне-
ния. В задаче . упоминалось понятие аффинного подпростран-
ства. Аффинное подпространство коразмерности 1 в произвольном
линейном пространстве называют аффинной гиперплоскостью.
Несложно видеть, что эквивалентное определение можно дать с по-
мощью линейных функционалов. Аффинной гиперплоскостью вли-
нейном пространстве X называют множество X f,c = {x ∈ X : f (x) = c},
где f — линейный функционал на X ,аc ∈ .
Пусть теперь X — вещественное линейное пространство, U1
и U2 — его непересекающиеся подмножества. Будем говорить, что
ненулевой функционал f разделяет эти подмножества, если ли-
бо f(z1) f(z2) для любых z1 ∈ U1, z2 ∈ U2;либоf(z1) f(z2)для
любых z1 ∈ U1, z2 ∈ U2. Нетрудно видеть, что в этом случае найдётся
такое c ∈ ,чтоsup{f (z1): z1 ∈ U1} c inf{ f (z2): z2 ∈ U2} (соответ-
ственно, inf{ f (z1): z1 ∈ U1} c sup{ f (z2): z2 ∈ U2}), т. е. аффинная
гиперплоскость X f ,c разделяет множества U1 и U2.
.*. Пусть U1 и U2 — два выпуклых непустых непересекающих-
ся множества вещественного банахова пространства X ,одноизко-
торых имеет непустую внутренность. Доказать, что существуют та-
койлинейныйнепрерывныйфункционал f итакоечислоc ∈ ,что
аффинная гиперплоскость X f ,c разделяет U1 и U2.
.. Пусть P — подпространство вещественного пространства
C[0, 1], состоящее из всех многочленов. Доказать, что P+ и P−
—
множества, состоящие из многочленов с положительным (отри-
цательным) коэффициентом при старшей степени, — выпуклы, не
пересекаются, но не разделяются никакой гиперплоскостью.
Глава . Линейные непрерывные функционалы
Будем говорить, что аффинная гиперплоскость X f ,c строго раз-
деляет множества U1 и U2,если
либоf(z1) c1<c<c2 f(z2)длялюбыхz1∈U1,z2∈U2;
либоf(z1) c1>c>c2 f(z2)длялюбыхz1∈U1,z2∈U2.
.. Пусть B1 и B2 — два выпуклых замкнутых непустых непе-
ресекающихся множества вещественного банахова пространства X ,
причём одно из них компактно. Доказать, что существуют такой ли-
нейный непрерывный функционал f итакоечислоc ∈ , что аффин-
ная гиперплоскость X f ,c с трого разделяет B1 и B2.
§ . . Сопряжённые пространства
Для многих конкретных банаховых пространств X сопряжённые
книмпространства X
∗
допускают простое описание, то есть изо-
метрически изоморфны конкретным банаховым пространствам Y .
В приводимом ниже списке таких описаний равенство пространств
X ∗ и Y означает наличие изометрического изоморфизма (линейно-
го биективного отображения, сохраняющего норму) Y → X
∗
,y→fy,
междуними, и этот изоморфизм указывается.
.c
∗
0 = l1;функционал fy ∈ c
∗
0, соответствующий элементу y =
= (y1, y2,...) ∈ l1, действует на элементе x = (x1, x2,...) ∈ c0 так:
fy(x) =
∞
n=1
ynxn.
.c
∗
= l1;функционал fy ∈ c
∗
, соответствующий элементу y =
= (y0, y1, y2,...)∈ l1, действует на элементе x = (x1, x2,...)∈ c так:
fy(x) =
∞
n=0
ynxn,гдеx0 = lim
n→∞
xn.
(Ф. Рисс, ; Дж. Радон, ). Если мера μ на измеримом про-
странстве (M , Σ)конечнаилиσ-конечна, то
(Lp(M,Σ,μ))∗
= Lq(M,Σ,μ), 1<p<∞,
1
p+
1
q=1.
При этом функционал fy ∈ (Lp(M, Σ, μ))∗
, соответствующий функ-
ции y ∈Lq(M,Σ,μ), действует на функции x ∈ Lp(M,Σ,μ)так:fy(x)=
=
M
x (t) y(t) dμ.
(Э. Ландау, ). В частности,
∗
lp=lq,1<p<∞,
1
p+
1
q=1;
функционал fy ∈
∗
lp, соответствующий элементу y = (y1, y2,...)∈ lq,
действует на элементе x = (x1, x2
,...)∈ lp так: fy(x) =
∞
n=1
ynxn.
§ .. Сопряжённые пространства
(Г. Штейнгауз, ; Н. Данфорд, ). Если мера μ конечна
или σ-конечна, то (L1(M , Σ, μ))∗
=L
∞
(M,Σ,μ); функционал fy ∈
∈ (L1(M , Σ, μ))∗
, соответствующий функции y ∈ L∞(M , Σ, μ), дей-
ствует на функции x ∈ L1(M,Σ,μ)так:fy(x) =
M
x (t) y(t) dμ.
. В частности, l
∗
1 = l∞;функционал fy ∈ l∗
1, соответствующий эле-
менту y = (y1, y2,...)∈ l∞, действует на элементе x = (x1, x2,...)∈ l1
так: fy(x) =
∞
n=1
ynxn.
(Ф. Рисс, ). (C[a, b])∗
= BV0[a, b]; функционал fy ∈ (C[a, b])∗
,
соответствующий функции y ∈ BV0[a, b], действует на функции
x ∈ C[a, b]так:fy(x) =
b
a
x (t) dy(t) (интеграл Римана—Стилтьеса).
. (C1[a, b])∗
= BV0[a, b] × ;функционал fy,λ ∈ (C1[a, b])∗
,с
о-
ответствующий функции y ∈ BV0[a, b]ичислуλ ∈ ,действует
на функции x ∈ C1[a, b]так:fy,λ(x) =
b
a
x (t) dy(t) + λx(a)(инте-
грал Римана—Стилтьеса). При этом, если в качестве нормы в про-
странстве C
1
[a, b]выбирается x = | x(a)| + max
t∈[a,b]
|x (t)|,товка
-
честве нормы в пространстве BV0[a, b] × выбирается ( y, λ) =
=max(yBV0
, |λ|).
В гильбертовых пространствах все линейные функционалы мож-
но определить с помощью скалярного произведения.
Теорема . (М. Фреше, ; Ф. Рисс, ). Пусть H — гиль-
бертово пространство. Тогда любой вектор y ∈ Hпорождаетли-
нейный непрерывный функционал fy на H , действующий по пра-
вилу fy ( x ) = ( x , y). Обратно, для любого линейного непрерывного
функционала f на пространстве H найдётся такой вектор y ∈ H,
что f = f y . Отображение y → f y является не только биекцией,
но изометрией и антилинейным отображением, т. е. α y1 + β y2 →
→̄̄
αfy1 + ̄̄βfy2
. Это отображение называют изоморфизмом Рисса.
Итак, с точностью до сопряжённо-линейной изометрии простран-
ство H
∗
совпадает с H . В случае вещественных пространств H
∗
иH
просто изометрически изоморфны.
Представления сопряженных пространств позволяют упростить
вычисление норм функционалов: если X ∗
=Y,тоfyX∗= yYдля
любого y ∈Y.
Пример .. Вычислить нормуфункционала f ∈ (C[−1, 1])∗
:
f(x)=
0
−1
x(t)dt−
1
0
x(t)dt− 3x(0).
Глава . Линейные непрерывные функционалы
Решение. Имеем f (x) =
1
−1
x(t) dy(t), где
y(t) =
t+1,
если t ∈ [−1, 0],
−2 −t,е
с
л
иt ∈(0,1],
—
функция из пространства BV0[−1, 1]. Отсюда следует, что f =
= y =Var1
−1(y)=5.
Задачи
.. Пусть X — нормированное пространство. Доказать, что
пространство X ∗ банахово.
Следствие теоремы Хана—Банаха, содержащееся в задаче .,
можно неформально интерпретировать так: функционалов на нор-
мированном пространстве X «не меньше», чем векторов в X .Ещё
одним свидетельством этого можно считать следующую задачу.
.. Доказать, что если сопряжённое пространство X ∗ кнор-
мированномупространству X сепарабельно, то X тоже сепарабель-
но. Привести пример, показывающий, что обратное утверждение
неверно.
.. Пусть нормированное пространство Z есть декартово про-
изведение нормированных пространств X и Y и z = (x, y) Z =
=
x X + y Y . Доказать, что сопряжённое пространство Z ∗ сов-
падает с X
∗
×Y∗
,инайтинормувнём.
.. Пусть X — конечномерное нормированное пространство.
Доказать, что X
∗
изоморфно X (и, стало быть, тоже конечномерно).
.. Пусть сопряжённое пространство X ∗ к нормированному
пространству X конечномерно. Доказать, что X изоморфно X ∗ (и,
стало быть, тоже конечномерно).
.. Пусть X0 — неполное нормированное пространство, а X —
его пополнение. Доказать, что пространства X
∗
иX
∗
0 изометрически
изоморфны.
.. Пусть X1 и X2 — нормированные пространства, X1 ⊂ X2,
·
X2
≺·X1
на пространстве X1 (см. определение .) и X1 плотно
вX2понорме ·X2
. Доказать, что тогда X
∗
2⊂X∗
1и·X
∗
1
≺·X
∗
2
на
пространстве X ∗
2.
.◦
. Построить пример таких нормированных пространств X1
и X2,чтоX1 X2,
·
X2
≺·X1
,но X
∗
2X
∗
1и·X
∗
1
·
X∗
2
.
Пример .. Доказать утверждение п. в списке сопряжённых
пространств.
Решение. Пусть f ∈ c∗
0 и yn = f(en), где en = (0,...,0,1
n
,0,...) —ба-
зисные векторы в пространстве c0 . В силулинейности f (x ) =
N
n=1
ynxn
§ .. Сопряжённые пространства
для любого финитного вектора x = ( x1, x2 ,..., xN ,0,0,...). Поскольку
множество таких векторов плотно в c0, а функционал непрерывен,
имеем f(x) =
∞
n=1
yn x n для любого x ∈ c0. Возьмём теперь финит-
ный вектор x с координатами xn = ̄
yn| yn|
−1
,е
слиyn = 0иn N;
xn=0,еслиyn=0илиеслиn>N.Тогдаxc0
=1,аf(x)=
N
n=1
|yn|,
т.е. f c∗
0
N
n=1
|yn| для любого N. Это означает, что y ∈l1 и y l1
fc∗
0
. Обратное неравенство следует из очевидного неравенства
|f(x)|xc0yl1
.Итак, y l1
=
fc∗
0
,т
.
е.отображение f → y —
изометрия (линейность этого отображения очевидна). Остаётся
проверить сюръективность отображения. Действительно, любой
вектор y ∈ l1 задаёт функционал f y ∈ c∗
0 ,действующийпоформу-
ле fy(x) =
∞
n=1
yn x n. При таком определении функционала f y имеем
fy(en) = yn, т. е. действительно fy → y.
.◦
. Доказать утверждение п. в списке сопряжённых про-
странств по схеме, описанной в предыдущей задаче.
.
◦
. Найти элементы пространства l1, соответствующие следу-
ющим функционалам на пространствах c и c0:
а)fn(x)=xn,n∈ ;б)f(x)=x1+x2−x3;в)f(x)=x1−lim
n→∞
xn.
Найти нормы этих функционалов.
.. Доказать следующие утверждения в списке сопряженных
пространств: а)* п. для случая Lp[0, 1]; б) п. ; в)* п. для случая
L1[0,1];г)п.;д)*п.;е)п..
.
◦
. Найти элементы пространства BV0[−1, 1], соответствую-
щие следующим функционалам на пространстве C[−1, 1]:
а) f(x) =
n
k=1
akx(tk),гдеak∈ , −1 t1<...<tn 1;
б) f(x)=
1
−1
a(t)x(t) dt,гдеa ∈ C[−1, 1];
в)f(x)=
−1
−
x(t)dt, ∈(0,1];
г)f(x)=
−1(x()−x(−)), ∈(0,1];
д)f(x)=
−2
(x( )−2x(0)+x(− )), ∈(0,1];
е) f(x)=
1
0
x (t) dt;
Глава . Линейные непрерывные функционалы
ж) f(x)=
0
−1
x(t)dt−
1
0
x (t) dt;
з) f(x)=
1
−1
tx(t) dt.
Найти нормы этих функционалов.
.
◦
. Найти элементы пространства BV0[0, 1], соответствующие
следующим функционалам на пространстве C[0, 1]:
а) f(x) =
1
0
x( t)dt;
б) f(x)=
1
0
x(t2)dt;
в) f(x)= lim
n→∞
1
0
x(tn)dt;
г) f(x)=
1
0
a(t)x(t)dt+
n
k=1
akx(tk),гдеa∈C[0,1],ak∈ ,0 t1<
<t2<...<tn−1<tn 1.
Найти нормы этих функционалов.
.. Пусть f — положительный линейный функционал на ве-
щественном пространстве C[0, 1], т. е . f (x ) 0 для любой неот-
рицательной функции x (t). Доказать, что f непрерывен и f =
= f(x0(t)≡1).
.
◦
. Найти элементы пространства L∞[−1, 1], соответствующие
следующим функционалам на пространстве L1[−1, 1]:
а)f(x)=
−
x(t)dt, ∈ (0,1];
б) f(x)=
1
0
R(t)x(t) dt,где
R(t) =
⎧
⎨
⎩
0,
если t иррационально;
q−1
,е
с
л
иt = p/q;
1,
еслиt=0,
—
функция Римана.
Найти нормы этих функционалов.
.◦
. Найти элементы пространства L2[−1, 1], соответствующие
следующим функционалам на пространстве L2[−1, 1]:
а) f(x) =
1
−1
tx(t) dt;б)f (x) =
− 1/2
−
x(t)dt, ∈ (0,1];
§ .. Сопряжённые пространства
в) f(x)= lim
n→∞
1
0
x (t)sin(πnt) dt.
Найти нормы этих функционалов.
.◦
. Найти элементы пространства l∞, соответствующие следу-
ющим функционалам на l1 :
а) fn(x)= xn, n∈ ;б)f(x)= x1 + x2;в)f(x)=
∞
n=1
xn.
Найти нормы этих функционалов.
.
◦
. Найти элементы пространства l2, соответствующие следу-
ющим функционалам на l2 :
а) fn(x)= xn, n∈ ;б)f(x)= x1 + x2;в)f(x)=
∞
n=1
xn
n
.
Найти нормы этих функционалов.
.. Доказать, что пространство l1 изометрически вложено в
пространство l
∗
∞
,но неизоморфноему.
.◦
. Доказать, что следующие функционалы являются линей-
ными и непрерывными на пространстве l∞ ,инайтиихнормы:
а)fn(x)=xn, n∈ ;б)f(x)=
∞
n=2
xn
nln
2
n
;в)f(x) = LIM(x).
Можно ли для этих функционалов найти такие векторы y ∈ l1,что
f(x)=
∞
n=1
ynxn для любого x ∈ l∞?
.. Доказать, что продолжение по Хану—Банаху любого линей-
ного непрерывного функционала с c0 на l∞ единственно.1)
.. Доказать, что L1[0, 1] изометрически вложено в простран-
ство (L∞[0, 1])∗
,нонеизоморфноему.
.◦
. Доказать, что следующие функционалы являются линей-
ными и непрерывными в пространстве L∞[−1, 1], и найти их нормы:
а) f(x) =
1
−1
tx(t) dt;б)f (x) =
−1
−
x(t)dt, ∈ (0,1].
. . Найти элементы пространства BV0[−1, 1] × , соответству-
ющие следующим функционалам на пространстве C 1[−1, 1] с нор-
мой x C1[−1,1] = |x(−1)|+ max
−1t1
|x (t)|:
а) f(x) =
n
k=1
akx (tk)+
m
l=0
blx(sl),гдеak∈ ,bl∈ , −1 t1<...
... <tn 1, −1=s0<s1<...<sm 1;
б)f(x)=(x()−x(−))
2
,
∈ (0, 1];
1) То же самое утверждение можно сформулировать по-другому: если у функцио-
нала f ∈l∗
∞
норма сужения на c0 совпадает с нормой на всём l∞ ,то f задаётся равен-
ством f(x) =
∞
n=1
xn yn для некоторого y ∈ l1 .
Глава . Линейные непрерывные функционалы
в)f(x)=
x( )−2x(0)+x(−)
2
,
∈ (0, 1];
г) f(x)=
1
0
x (t) dt;
д) f(x)=
0
−1
x(t)dt−
1
0
x (t) dt;
е) f(x)=
1
−1
tx(t) dt;
ж) f(x)=
1
0
x (t)cos(πt) dt − 2x(0).
Найти нормы этих функционалов.
.. Найти элементы пространства W
1
2 [0, 1], соответствующие
следующим функционалам на пространстве W 1
2 [0, 1]:
а) f(x)= x(0);
б) f(x)= x(1)+x(0);
в) f(x)=
1
0
x (t) dt;г
)
f(x) =
1
0
x (t)sintdt;
д) f(x)=
1
0
(x (t)sint + x (t)cost ) dt;е
)f(x)=
1
0
x (t) dt.
Найти нормы этих функционалов.
.. Решить пункты а), б) задачи . с помощью теоремы ..
§ .. Второе сопряжённое прос транс тво.
Рефлексивность
Каждое линейное нормированное пространство X вкладывается
в свое второе сопряженное пространство X ∗∗
. Это вложение задаёт-
ся формулой π: x → Fx,гдеFx(f)= f(x) для любого f ∈ X∗
,иназы-
вается каноническим.ФункционалыFx из X
∗∗
, сопоставляющие каж-
домуэлементу f ∈ X ∗
число f (x), называют функционалами означи-
вания.
Доказывается, что вложение π является линейным и изометри-
ческим,тоесть Fx X∗∗ = x Xдлялюбогоx∈X.
Определение .. Нормированное пространство X называется
рефлексивным,еслиπ( X ) = X
∗∗
(обычно пишут X
∗∗
= X),т.е.если
отображение π является изоморфизмом пространств X и X ∗∗
.
Приведем наиболее часто используемый критерий рефлексивно-
сти банахова пространства.
§ . . Второе сопряжённое пространство. Рефлексивность
Теорема . (Р.Джеймс, ). Банахово пространство (X, · )
рефлексивно тогда и только и тогда, когда любой функционал
f ∈ X ∗ достигает своей нормы на единичном шаре пространства X ,
т. е. существует такой x ∈ Xснормой x = 1,что f(x) = f .
Задачи
.. Доказать, что если X — рефлексивное пространство, то для
любого функционала f ∈ X ∗ существует такой элемент x ∈ X ,что
x = 1и f (x ) = f (необходимость в теореме Джеймса).
.◦
. Доказать, что каноническое вложение π : X → X
∗∗
является
изометрией.
Теорема Джеймса помогает проверять рефлексивность конкрет-
ных пространств, не находя сопряжённые к ним.
.. Доказать нерефлексивность пространств:
а) C[a, b]; б) Cn[0, 1], n = 1, 2, ...; в) l1;г)c0;д)c;е)L1[a, b].
.. Доказать, что если пространство X рефлексивно, то и X
∗
ре-
флексивно.
.◦
. Доказать нерефлексивность пространств: а) l∞;б)L∞[0, 1].
.◦
. Доказать, что любое конечномерное нормированное про-
странство и любое гильбертово пространство рефлексивно.
Доказывать рефлексивность пространств обычно сложнее, чем
нерефлексивность. Обратите внимание, что здесь нужно не просто
доказать, что X и X ∗∗ изометрически изоморфны, но проверить, что
именно каноническое вложение является изометрическим изомор-
физмом. Есть пример (Р. Джеймс, ) пространства X ,длякоторо-
го изометрический изоморфизм (какой-то) между X и X
∗∗
существу-
ет, но каноническое вложение π изоморфизмом не является.
.. Доказать рефлексивность пространств:
а)lp, p∈(1,∞); б)Lp[0,1],p∈(1,∞).
.. Доказать, что если X — банахово пространство и X ∗ ре-
флексивно, то X также рефлексивно.
Для каждого нормированного пространства X определено со-
пряжённое пространство X
∗
.
Возникает задача: для каждого ли
нормированного пространства X существует такое нормированное
пространство Y ,чтоY ∗
= X ? Посколькусопряжённые пространства
всегда банаховы, то ясно, что пространство X должно быть бана-
ховым. Далее, если само пространство X рефлексивно, то задача
имеет решение: Y = X
∗
. Свойство рефлексивности, конечно, не яв-
ляется критерием: например, пространство l1 не рефлексивно, но
(c0)∗
= l1. Однако для нерефлексивных пространств X искомое про-
странство Y может не существовать (см. задачи . и .).
Глава . Линейные непрерывные функционалы
.. Доказать, что не существует такого банахова простран-
ства X,чтоX∗
=c
0.
Ещё один критерий рефлексивности пространства связан с суще-
ствованием элемента наилучшего приближения в подпространстве.
.. Доказать, что банахово пространство X рефлексивно тогда
и только тогда, когда всякое замкнутое подпространство Y ⊂ X ко-
размерности 1 является подпространством существования (ср. с за-
дачей .).
.
◦
. Привести пример банахова пространства X и замкнутого
подпространства Y ⊂ X , которое не является подпространством су-
ществования (сравните с задачей .).
Выражение f (x), где x есть вектор нормированного простран-
ства X ,а f есть линейный непрерывный функционал на X ,являет-
ся билинейным непрерывным функционалом (билинейной формой)
на X × X ∗ (иногда, чтобы подчеркнуть равноправие x и f ,использу-
ют обозначение f (x) = 〈 x , f 〉). Таким образом, для нормированного
пространства X над полем K возникает отображение X × X ∗ → K ,
схожее со скалярным произведением. Так, запись f ⊥ x означает,
что f (x ) = 0. Для произвольного множества M ⊂ X можно опреде-
лить аннуляторM⊥={f∈X∗: f(x)=0длялюбого x∈M}.Есть и
«ана лог» ортонормированных систем — биортогональные системы
(см. главу).
.. Пусть M — произвольное множество в нормированном
пространстве X .
а)◦ Доказать, что M ⊥ — замкнутое подпространство в X ∗
.
б)Доказать, что множество {x ∈ X : f(x)=0 для любого f ∈M⊥}
совпадает с Lin(M ).
в)◦ Доказать, что если M — замкнутое линейное подпростран-
ство в рефлексивном пространстве X ,то(M ⊥)⊥ = M .
г) Доказать, что если M —линейное подпространство в X ,то
dim(M⊥) = codim M.
Пример .. Найти аннулятор M ⊥ для множества
M={x=(..., x−2,x−1,x0,x1,x2,...): x−k =−xk для любого k∈ }⊂lp( ),
p∈[1,∞).
Решение. В пространстве lq( ), где
1
q+
1
p = 1, рассмотрим мно-
жество N ={y=(..., y−2, y−1,0,y1, y2,...):y−k = yk для любогоk∈ }
идокажем,чтоM ⊥ = N . Нетрудно видеть, что любой функционал
fy ∈ (lp( ))∗
, порождённый вектором y ∈ N (см. список сопряжён-
ных пространств), обнуляется на множестве M ,т
.
е.N ⊂ M⊥.До-
кажем обратное включение. Заметим, что векторы e0, e1 − e
−1,
§ . . Второе сопряжённое пространство. Рефлексивность
e2−e
− 2 ,гдеen = (...,0,0,1
n
,0,0,...), лежат в M .Пусть fy —функ-
ционал, порождённый произвольным вектором
y =(..., y−2, y−1, y0, y1, y2,...)∈ lq.
Тогда fy(e0)=y0=0, fy(e1−e
−1)=y1−y
− 1 =0ит.д
.,тоестьy∈N.
.. Найти множество M ⊥ ,если:
а)
◦
M = B(x , r) в нормированном пространстве X ;
б) M={x ∈C[−1,1]: x(t)=0длялюбогоt <0} в пространстве
C[−1, 1];
в) M = {x ∈ C[0,1]: x(0) = 0} в пространстве C[0,1];
г)M={x∈L1[0,1]:xнепрерывнавточкеaиx(a)=0}впро-
странстве L1[0, 1];
д)M={x ∈L1[−1,1]: x(t)= x(−t)длялюбогоt∈[−1,1]}впро-
странстве L1[−1, 1];
е) множество M есть множество всех многочленов в простран-
стве C[0, 1];
ж) множество M в пространстве C[0, 1] есть множество всех
многочленов p таких, что p(0) = 0;
з)M ={x ∈ C[0,1]: x(t) 0 для любого t ∈ [0,1]}впространстве
C[0,1] над полем ;
и) M ={x ∈ C[0,1]: x(a) x(b)длялюбого a > b} в простран-
стве C[0, 1] над полем ;
к)M={x∈L3[−1,1]:
1
0
x (t) dt = 0} в пространстве L3[0, 1];
л) M = c00 в пространстве c0;
м) M = c0 в пространстве c;
н)M={x∈l1:x1>x2>x3>...}впространствеl1надполем ;
о)*M= x =(λ,λ
2
,λ
3
,...):λ ∈ 1,
1
2
,
1
3
,...
в пространстве c.
. . Пусть Y — линейное подпространство нормированного
пространства X . Доказать, что для любого элемента x ∈ X спра-
ведливо равенство dist(x,Y)= max{f(x): f ∈Y⊥, f
= 1}.
.. Привести пример нормированного пространства X ,за
-
мкнутого подпространства Y в X ∗ и линейного непрерывного функ-
ционала f0 /∈ Y таких, что для всякого вектора x ∈ X из равенств
f (x) = 0 для любого f ∈ Y следует f0(x) = 0(замкнутоеподпро-
странство Y ифункционал f0 нельзя отделить с помощью вектора).
Доказать, что в рефлексивном пространстве обязательно найдётся
такой вектор x0 ∈ X,чтоf(x0) =0 для любого f ∈Y,ноf0(x0) =0
(сравните с задачей .).
Глава
Линейные операторы
§ .. Определения и основные примеры операторов
Определение .. Пусть ( X , ·
X)и(Y, ·
Y ) — линейные нор-
мированные пространства над полем K (K = или ). Отображе-
ние A : X → Y называется линейным оператором,если
A(αx+βy)=αAx+βAy
для любых α, β ∈ K и x , y ∈ X ,инепрерывным оператором,еслидля
любогоэлементаx∈Xиз y−x X→0следуетAy−AxY→0.
Множество линейных операторов будем обозначать L( X , Y ), а мно-
жество линейных непрерывных операторов — B( X , Y ). В случае
X =Y будем использовать обозначения L(X,Y)=L(X)иB(X,Y)=
= B(X).
Все операторы, если не оговорено противное, будем считать
определёнными на всём пространстве X .ОбозначимImA := {Ax :
x ∈ X}—образ оператора A,KerA := {x ∈ X : Ax = 0}— ядро опера-
тора A.
Линейный непрерывный функционал есть частный случай опе-
ратора. Так же, как и в случае функционалов, доказывается, что
непрерывность линейного оператора A равносильна его непрерыв-
ности только в точке x = 0(иливлюбойдругойточке x = x0), кото-
рая, в свою очередь, равносильна его ограниченности.
Определение . . Линейный оператор A ∈ L( X , Y ) называется
ограниченным, если существует число c,длякоторого Ax Y c x X
при всех x ∈ X . Наименьшая возможная константа c в этом неравен-
стве называется нормой оператора A иможетбытьвычисленапо
следующим формулам:
A =sup
x=0
AxY
xX
= sup
x1
Ax=sup
x=1
Ax .(
.
)
Эта величина удовлетворяет всем аксиомам нормы на линейном
пространстве операторов.
Из этого определения следует мультипликативное неравенство
для норм: Ax Y
A·x Xдлявсехx∈X.
§ .. Определения и основные примеры операторов
Теорема . . Совокупность B(X, Y) всех линейных непрерывных
операторов из нормированного пространства X в банахово про-
странство Y с нормой (.) является банаховым пространством.
Пространство B( X , Y ) называют пространством операторов.Из
этой теоремы вытекает теорема . .
Задачи
.. Пусть X и Y — нормированные пространства, T ∈ L( X , Y ).
Доказать что следующие условия эквивалентны:
() T непрерывен в каждой точке пространства X ;
() T непрерывен в нуле;
() T ограничен;
() T равномерно непрерывен на X (см. определение .).
. . Пусть A : C[0, 1] → C[0, 1] — положительный линейный опе-
ратор, т. е. ( Ax)(t) 0 для всякой неотрицательной функции x ∈
∈ C[0, 1] и всякого t ∈ [0, 1]. Доказать, что A непрерывен и A =
= A(x0(t) ≡ 1) .(Ср.сзадачей..)
. . Доказать, что в гильбертовом пространстве H нормупроиз-
вольного ограниченного оператора T ∈ B(H ) можно найти по фор-
мулеT= sup
x=y=1
|(Tx, y)|.
.
◦
. Пусть X и Y — линейные пространства, X1 = (X, · X1),
X2=(X, ·
X2
),Y1=(Y, ·
Y1
),аY2=(Y, ·
Y2
), причём · X1
∼·
X2
,
а·Y1
∼·
Y2
. Доказать, что
B(X1, Y1) = B(X1, Y2) = B(X2, Y1) = B(X2, Y2).
Что можно утверждать, если
·
X1
≺·X2
,а ·Y1
≺·Y2
?
Часто приходится сталкиваться с ситуацией, когда оператор
определен не на всём пространстве, а на некотором подпростран-
стве. Тогда возникает вопрос о возможности продолжения этого
оператора на всё пространство. Мы подробно обсудим этузадачув
§ ., а пока рассмотрим важный частный случай.
.
◦
. Пусть X и Y — банаховы пространства, X0 —всюдуплотное
в X подпространство и A ∈ B( X0, Y ). Доказать, что существует един-
ственный линейный ограниченный оператор ̃A ∈ B( X , Y ), совпада-
ющий с оператором A на X0. Доказать, что
̃
A B(X,Y) = A B(X0,Y).
Если нормированное пространство X вложено в нормированное
пространство Y , то определён оператор вложения J : X → Y , Jx = x .
Если · Y ≺ · X на X , то этот оператор ограничен.
Пример .. Доказать ограниченность и найти нормуоператора
вложения J : W
1
1 [0,1]→L1[0,1].
Глава . Линейные операторы
Решение. Для любой функции x ∈ W 1
1 [0, 1] имеем
xW1
1
=
1
0
(|x (t)| +|x(t)|)dt,
аxL1
=
1
0
|x(t)| dt,т
.
е.xL1
xW1
1
.Подставив x (t) = 1, имеем
xW1
1
= xL1
,т.е
.
J =1.
.. Доказать ограниченность и найти нормуследующих опера-
торов вложения:
а)◦J:c0→c;б
)
◦
J:c→l∞;
в)J:lp→lq,1 p<q ∞;
г)
◦
J: C[0,1]→L∞[0,1];
д)J:Lp[0,1]→Lq[0,1],1 q<p ∞; е)J:C
1
[0,1] → C[0, 1];1)
ж)*J:W1
2 [0,1]→C[0,1];
з)J:W1
2 [0,1]→L2[0,1];
и) J:(C1[0,1], · 2)→(C1[0,1], · 1).
.
◦
. Пусть X и Y — нормированные пространства, A ∈ B(X, Y).
Доказать, что Ker A — замкнутое подпространство пространства X .
Привести пример, показывающий, что Im A не обязан быть замкну-
тым подпространством в Y .
Другой важный класс операторов — операторы проектирования.
Определение . . Пусть X — нормированное пространство, ко-
тороеявляетсялинейнойпрямойсуммойсвоих(вообщеговоря,
незамкнутых) подпространств X0 и X1. Тогда каждый вектор x ∈ X
единственным образом раскладывается в сумму x = x0 + x1,где
x0 ∈ X0, x1 ∈ X1. Оператором проектирования (проектором) на под-
пространство X0 вдоль подпространства X1 называют оператор,
определённый равенством Px = x0
.
Линейность этого оператора очевидна. Легко видеть также, что
Ker P = X1 ,аImP = X0. Класс операторов проектирования можно
описать и другим способом.
.. Доказать, что линейный оператор P в нормированном про-
странстве X является оператором проектирования тогда и только
тогда, когда P2 = P.
.
◦
. Пусть X — нормированное пространство, X0 и X1 —линей-
ные подпространства в нём, причём X является линейной пря-
мой суммой X0 и X1.ПустьP — оператор проектирования на X0
вдоль X1 . Доказать, что оператор P ограничен тогда и только то-
гда, когда прямая сумма X0 и X1 является топологической прямой
1) В прос транстве C 1 [0, 1] рассмотреть четыре эквива лентные нормы: x 1 =
= max
t∈[0,1]
|x(t)| + max
t∈[0,1]
|x(t)|, x 2 =max{max
t∈[0,1]
|x(t)|,max
t∈[0,1]
|x(t)|}, x 3 =|x(0)|+
+ max
t∈[0,1]
|x (t)|, x 4 = max{|x(0)|,max
t∈[0,1]
|x (t)|}.
§ .. Определения и основные примеры операторов
суммой (см. определение .). Доказать, что если хотя бы одно из
подпространств X0 или X1 конечномерно, то P ограничен.
.
◦
. В пространстве C[−1, 1] рассмотрим оператор
(Px)(t) =
1
2
(x(t) + x(−t)).
Доказать, что этот оператор — ограниченный проектор. Найти его
образ, ядро и норму.
В определении . было введено понятие дополняемого под-
пространства. Часто в это определение сразувключают требование
замкнутости обоих подпространств. Следующая задача показывает,
что такое определение эквивалентно определению ..
.
◦
. Пусть линейное подпространство X0 в нормированном про-
странстве X дополняемо. Доказать, что тогда само подпростран-
ство X0 и дополняющее его подпространство X1 замкнуты.
В силуутверждения задачи ., дополняемость подпространства
X0 ⊂ X эквивалентна существованию ограниченного проектора X
на X0.
. . Существует ли в пространстве C[0, 1] ограниченный опера-
тор проектирования а) на подпространство Pn[0, 1]; б) на подпро-
странство P [0, 1]?
.. Пусть X0 — конечномерное подпространство в нормиро-
ванном пространстве X . Доказать, что X0 дополняемо.
.. Пусть X0 — замкнутое подпространство конечной кораз-
мерности в нормированном пространстве X . Доказать, что X0 до-
полняемо.
Поставим обратный вопрос к утверждению задачи .. Пусть
X — банахово пространство, а X0 —его замкнутое подпростран-
ство. Обязано ли оно быть дополняемым? В гильбертовом простран-
стве это так: достаточно взять X1 = X ⊥
0 (см. задачу.). Отметим,
что в силу утверждения задачи . вопрос допускает эквивалентную
формулировку: верно ли, что для любого замкнутого подпростран-
ства в банаховом пространстве найдётся ограниченный оператор
проектирования на это подпространство? Чуть позже (см. зада-
чу.) мы покажем, что в общем случае ответ на данный вопрос
отрицательный.
Определение .. Рангом оператора A называют число rank A :=
:= dim Im A.ОператорA называется оператором конечного ранга
(конечномерным оператором), если rank A < ∞.
Ограниченные операторы конечного ранга устроены весьма
просто.
. . Пусть X и Y — нормированные пространства. Доказать,
что оператор A ∈ B( X , Y ) является оператором конечного ранга то-
Глава . Линейные операторы
гда и только тогда, когда он допускает следующее представление:
Ax=
n
k=1
fk(x)yk,гдеfk ∈ X∗
,аyk∈Y.Доказать,чтоесли X иY—
гильбертовы пространства, то оператор A ∈ B( X , Y )являетсяопе-
ратором конечного ранга тогда и только тогда, когда он допускает
представление Ax =
n
k=1
sk (x, ψk)φk,где{ψk}n
1 — ортонормирован-
ная система в X ,{φk }n
1 — ортонормированная система в Y ,аsk ∈
(ср. с задачей .).
.◦
. Найти норму, образ и ядро оператора A ∈ B(X,Y), Ax =
= f(x)y,гдеf ∈ X∗
—
фиксированный ненулевой функционал, а
y ∈ Y — фиксированный ненулевой вектор.
Пример .. Доказать, что оператор ( Ax)(t) =
1
−1
(1+ ts)x(s)ds в
L2[−1, 1] является оператором конечного ранга. Найти его образ и
ядро. Оценить его норму.
Решение. Легко видеть, что Im A = Lin(1, t), а значит, rank A = 2.
Ядро оператора A образуют функции x ∈ L2[−1, 1], д ля которых
1
−1
x(s)ds=
1
−1
sx(s) ds = 0. Остаётся оценить нормуоператора. Если
y(t) = (Ax)(t) =
1
−1
(1+ ts)x(s)ds,то
|y(t)|2 x 2
1
−1
(1+ts)
2
ds= 2+
2
3t2 x2
.
Тогда y
40
3x,т.е
.
A
40
3.
.◦
. Доказать, что следующие операторы являются оператора-
ми конечного ранга:
а) A∈B(c), A(x1, x2,...)=(y1, y2,...),где yn =
1
n
∞
k=1
xk
k2;
б) A ∈ B(C[0, π]), (Ax)(t) =
π
0
sin(t + s)x(s) ds;
в) A ∈ B(L2[0, 1]), ( Ax)(t) =
1
0
(1+s+t+2st+2t2+2s
2
)x(s) ds.
Найтиихобразиядро.Оценитьнорму.
.. Найти точное значение нормы оператора A из примера . .
Рассмотрим другой важный класс операторов — диагональные
операторы (или операторы умножения на последовательность).
§ .. Определения и основные примеры операторов
Этот класс операторов важен: как будет видно дальше, многие опе-
раторы становятся диагональными при разумном выборе базисных
векторов.
.. Доказать, что оператор A(x1, x2
,...) = (λ1x1, λ2 x2,...) огра-
ничен в пространстве
а) lp, p ∈[1, ∞); б) c0;в)l∞
тогда и только тогда, когда {λn}
∞
1 ∈ l∞ . Найти его нормуи ядро
в каждом из пространств в зависимости от последовательности
{λn}
∞
1.
. . Найти нормуоператора
A ∈ B(L2[−π, π]), ( Ax)(t) =
π
−π
n∈
2−|n|ein(t−s)x(s) ds.
.. Доказать, что оператор из задачи . сюръективен в каж-
дом из пространств а)—в) тогда и только тогда, когда inf
n1
|λn| > 0.
В случаях а) и б) доказать, что его образ всюду плотен в соответству-
ющем пространстве тогда и только тогда, когда все числа λn отлич-
ны от нуля. В случае в) доказать, что его образ всюду плотен в соот-
ветствующем пространстве тогда и только тогда, когда inf
n1
|λn| > 0.
.
◦
. Доказать, что оператор из задачи . является оператором
проектирования в каждом из пространств а)—в) тогда и только то-
гда, когда λn ∈{0,1} для любого n∈ .
.
◦
. Доказать, что операторы правого и левого сдвига
Tr :(x1, x2
,...)→(0, x1
,x
2,...), Tl(x1, x2
,...)→(x2, x3
,...)
ограничены в пространствах l p , p ∈ [1, ∞], c и c0 . Найти норму, образ
и ядро этих операторов в каждом из пространств.
Аналогом диагонального оператора в функциональных про-
странствах является оператор умножения на функцию ( Ax)(t) =
= a(t)x(t).
.. Доказать, что оператор умножения на непрерывную функ-
цию a(t) ограничен в пространстве а) L∞[0, 1]; б) C[0, 1]. Найти его
нормуи ядро в каждом из пространств. При каких условиях на a
оператор A инъективен?
. . Доказать, что оператор умножения на измеримую функ-
цию a(t) ограничен в пространствах L p[0, 1], p ∈ [1, ∞], тогда и
только тогда, когда a ∈ L∞[0, 1]. Найти его нормуи ядро в каждом
из пространств.
.. Пусть A — оператор умножения на непрерывную функцию
a(t), действующий в пространстве C[0, 1]. Доказать, что если функ-
Глава . Линейные операторы
ция a не обращается в ноль на отрезке [0, 1], то оператор A сюръек-
тивен, а если a имеет нули, то оператор A не сюръективен и, более
того, замыкание его образа не совпадает с пространством C[0, 1].
.. Пусть A — оператор умножения на функцию a ∈ L∞[0, 1],
действующий в пространстве L p[0, 1], где p ∈ [1, ∞). Доказать, что
если ess inf
t ∈[0,1]
|a(t)| > 0, то оператор A сюръективен.1) Доказать, что
если ess inf
t ∈[0,1]
|a(t)|=0, но μ({t∈[0,1]:a(t)=0})=0, то оператор A
не сюръективен, но его образ всюдуплотен в L p[0, 1]. Доказать, что
если μ({t∈[0,1]: a(t)=0})>0, то ImA =Lp[0,1].
.. Пусть оператор умножения на независимую переменную
( Ax)(t) = tx(t) действует в пространстве
а)◦ C[0,1]; б)Lp[0,1], p ∈[1, ∞]; в)* W1
2 [0, 1].
Найти нормуи ядро этого оператора. Выяснить, сюръективен ли
оператор и совпадает ли замыкание образа со всем пространством.
.. Доказать, что оператор интегрирования ( Ax)(t) =
t
0
x(s)ds
ограничен
а)вC
n
[0,1], n =0,1,2, ...; б)вLp[0,1], p∈[1,∞];
в) как оператор из C
n
[0,1]вC
n+1
[0,1], n =0,1, ...
Найти его образ и ядро в каждом из пространств. Найти его нор-
му(в пунктах а) и в) считать, что пространство C
n
[0, 1] снабжено
нормой x 1=
n
k=0
x (k)
C [0,1], а в пункте б) ограничиться случаем
p = 1). Доказать, что (Anx)(t) =
t
0
(t − s)n−1
(n−1)!
x(s)ds, n =1,2,3, ...
.. Доказать, что оператор дифференцирования A x = x огра-
ничен как оператор
а)изC
n
[0,1] в C
n−1
[0,1],n=1,2,...; б)изW
1
2 [0,1] в L2[0,1].
Найти его образ, ядро и норму(в пункте а) считать, что простран-
ство C
n
[0, 1] снабжено нормой x 1 =
n
k=0
x
(k)
C[0,1] ).
.. Доказать, что не существует нормированного простран-
ства, содержащего целые функции
2)
, на котором оператор диффе-
ренцирования непрерывен.
Оператор интегрирования является частным случаем интеграль-
ного оператора. Интегральные операторы можно рассматривать
1) Здесь ess inf
t∈[0,1]
f(t):= − ess sup
t∈[0,1]
(− f (t)).
2)Т. е . функц и и f : → , голоморфные во всей комплексной плоскости.
§ .. Определения и основные примеры операторов
в любом из пространств C(M ), C
n
(M), Lp(M),
n
Wp(M)ит.д., где
M = [a, b], , + или какое-либо другое измеримое пространство.
Эти операторы определяются равенством
(AK x)(t) =
M
K(t, s)x(s) ds.(
.
)
Функцию K(t , s) называют ядром интегрального оператора (или
производящей функцией). Сразуже оговоримся, что для корректного
определения оператора AK равенство (.) часто требует расшиф-
ровки, посколькуинтеграл, стоящий в правой части, может быть
определен не для всех точек t инедлявсехфункций x . Каждый раз
в подобном случае мы будем уточнять определение оператора AK .
. . Доказать, что оператор ( AK x )(t) =
b
a
K(t, s)x(s)ds, K(t, s) ∈
∈ C([a, b]2), ограничен
а) в C[a, b]; б) в L1[a, b]; в) как оператор из L1[a, b]вC[a, b].
Найти его норму.
Пример . . Доказать, что если K ∈ Lq([a, b]2), то интегральный
оператор A: Lp[a,b]→Lq[a,b], p,q ∈(1, ∞),
1
p+
1
q=1,
( Ax)(t) =
b
a
K(t, s)x(s) ds,
ограничен и A
q
b
a
b
a
|K(t, s)|q ds dt.
Решение. По условию
b
a
b
a
|K(t, s)|q dt ds < ∞. В силутеоремы Фу-
бини функция φ(t) =
b
a
|K(t , s)|q ds определена почти всюдуи ин-
тегрируема по Лебегу. Это означает, что для почти всех t ∈ [a, b]
функция K (t, · ) (по второму аргументу) попадает в пространство
Lq [a, b], а значит, интеграл
b
a
K(t , s) x (s) ds определён для всякой
функции x ∈ L p[a, b]. Далее, в силунеравенства Гёльдера
b
a
K(t, s)x(s)ds
q
b
a
|K(t, s)|q ds · x
q
Lp
.
Посколькунеравенство выполнено для почти всех t ∈ [a, b], его мож-
но проинтегрировать по переменной t,откуда
Axq
Lq
b
a
b
a
|K(t,s)|qdsdt· x
q
Lp
.
Глава . Линейные операторы
.. Рассмотрим интегральный оператор Харди
( Ax)(t) =
1
t
t
0
x (s) ds.
а) Доказать, что этот оператор ограничен в пространстве L p[0, 1]
при p ∈ (1, ∞) и не ограничен в L1[0, 1].
б)* Доказать, что для каждого p ∈ (1, ∞) A B(Lp [0,1]) =
p
p−1
.
в) Доказать, что оператор A переводит непрерывные функции в
непрерывные и A B(C [0,1]) = 1 (при этом полагаем ( Ax)(0) := x (0)).
Оператор, рассмотренный в предыдущей задаче, является част-
ным случаем оператора Римана—Лиувилля
(Ax)(t) =
1
tr
t
0
(t−s)
r−1
x(s) ds,(
.
)
а также частным случаем общего оператора Харди
(Ax)(t) = t
r−1
t
0
x (s)
sr ds.(
.
)
.. При каких вещественных r оператор Харди (.) ограничен
в пространстве L2[0, 1]?
. . При каких вещественных r оператор Римана—Лиувил-
ля (.) ограничен в пространстве L2[0, 1]?
.. Пусть функция K (t, s), определенная при t, s ∈ [0, +∞),
неотрицательна и однородна со степенью однородности −1(т.е
.
K(λt, λs) = λ
−1
K(t,s)длялюбогоλ>0).Пустьp>1,1/p+1/q=1и
∞
0
K(t,1)t−1/p dt =
∞
0
K (1, s)s
−1/qds=:k<∞.
Доказать, что интегральный оператор A : x (t) →
∞
0
K(t, s)x(s)dsогра-
ничен в пространстве L p[0, ∞) и A k.
.*. Доказать, что оператор ( Ax)(t) =
∞
0
x(s)e
−ts
ds ограничен в
пространстве L2[0, ∞), и оценить его норму.
.. Пусть a ∈ C[−1, 1]. Доказать, что оператор свёртки A : x →
→
1
0
x (s)a(t − s) ds ограничен в пространстве C[0, 1], и найти его
норму.
§ . . Различные свойства операторов
.◦
. Доказать, что оператор сдвига ( Ax)(t) = x (t + a)ограни-
чен как оператор в пространстве а) C0( ); б) Lp( ), p ∈ [1, ∞]. Най-
ти его норму, образ и ядро в каждом из пространств.
Ещё один интересный класс операторов — операторы следа,со-
поставляющие каждой функции, определённой на некотором мно-
жестве, ограничение этой функции на фиксированное подмноже-
ство.
.◦
. Найти норму, образ и ядро оператора следа:
а) A:C[−1,1]→C[0,1]; б) A:BC( )→L2[0,1];
в)A:C( )→C( ),где ={z∈ :|z| 1},а
={z∈ :|z|=1}.
Следующий оператор называют оператором замены переменной
или оператором суперпозиции.
.. НайтинормуиядрооператораA : C[0, 1]→C[0, 1], ( Ax)(t) =
= ( x ◦ φ)(t) = x (φ(t)), где φ — фиксированная непрерывная функ-
ция, отображающая отрезок [0, 1] в себя. Доказать, что оператор A
сюръективен тогда и только тогда, когда отображение φ инъектив-
но.
§ .. Различные свойства операторов
Теорема Хана—Банаха . позволяет продолжать без увеличе-
ния нормы линейные непрерывные функционалы. Естественный
вопрос: справедлив ли аналог этой теоремы для непрерывных опе-
раторов? В общем случае ответ отрицательный. Более того, ответ
остаётся отрицательным, даже если допустить увеличение нормы
оператора при продолжении.
.. Пусть X — нормированное пространство, а X0 —его за
-
мкнутое подпространство. Доказать эквивалентность следующих
условий:
() подпространство X0 дополняемо;
() тождественный оператор на X0 допускает продолжение до
ограниченного оператора из X в X0;
() любой ограниченный оператор из X0 в Y ,гдеY —произволь-
ное нормированное пространство, допускает продолжение до неко-
торого ограниченного оператора из X в Y .
.. Доказать, что банахово пространство X обладает следую-
щим свойством: для всяких Z ⊂ Y и для всякого линейного ограни-
ченного оператора A:Z →X продолжение ̃A:Y →X с ̃A = A су-
ществует тогда и только тогда, когда X 1-дополняемо в любом содер-
жащемегобанаховомпространстве X1 (т. е. существует линейный
проектор из X1 в X единичной нормы).
Глава . Линейные операторы
Итак, вопрос о продолжении всевозможных операторов с данно-
го подпространства эквивалентен вопросуо дополняемости этого
подпространства.
.. Пусть A ∈ B( X0, Y ) — конечномерный оператор, где X0
и Y — нормированные пространства, X0 —линейное подпростран-
ство нормированного пространства X . Доказать, что A допуска-
ет продолжение до ограниченного оператора ̃A ∈ B( X , Y ), причём
̃
A можно выбрать так, что Im( ̃A) = Im( A).
.. Пусть оператор A определён на подпространстве c0 про-
странства c как тождественный оператор. Доказать, что этот опера-
тор нельзя продолжить до ограниченного оператора ̃A из c в c0 без
увеличения нормы. Предъявить продолжение A до ограниченного
оператора ̃A из c в c0 с увеличением нормы.
.* (Р. Филлипс, ). Доказать, что замкнутое подпростран-
ство c0 банахова пространства l∞ не дополняемо.
Напомним, что в гильбертовых пространствах любое подпро-
странство дополняемо, а значит, любой оператор допускает огра-
ниченное продолжение. Это свойство является характеристическим
свойством пространств, изоморфных гильбертову.
Те ор е м а . (Й. Линденштраусс, Л. Цафрири, ). В банаховом
пространстве ( X , · ) следующие свойства эквивалентны:
() любое замкнутое подпространство в X дополняемо;
() существует скалярное произведение, порождающее на про-
странстве X норму, эквивалентную норме · .
Как уже отмечалось, не всякий линейный непрерывный функци-
онал в банаховом пространстве достигает своей нормы на единич-
ном шаре. Однако в рефлексивном пространстве уже каждый функ-
ционал достигает своей нормы (см. теорему.). Покажем, что для
операторов ситуация сложнее.
.. Пусть A ∈ B( X , Y ), где X — рефлексивное банахово про-
странство, Y — произвольное банахово пространство, а rank A < ∞.
Доказать, что A достигает своей нормы на единичном шаре, т. е .
найдётсятакойвекторx∈X,что x X=1иAx Y= A .
.◦
. Пусть X — конечномерное нормированное пространство,
а Y — произвольное нормированное пространство. Доказать, что
L(X,Y) = B(X,Y) и каждый оператор достигает своей нормы на
единичном шаре.
.. Привести пример ограниченного оператора в рефлексив-
ном банаховом пространстве, не достигающего своей нормы на
единичном шаре.
В произвольном бесконечномерном банаховом пространстве су-
ществует всюду определённый, но не ограниченный функционал
§ . . Различные свойства операторов
(см. задачу.). Как показывает задача ., ядро такого функцио-
нала заведомо не замкнуто.
.*. Привести пример неограниченного оператора A ∈ L( X )в
банаховом пространстве X , который определён всюдуна X иимеет
замкнутое ядро.
Указание. Использовать алгебраический базис.
.. Пусть X и Y —банаховы пространства, A ∈ L(X,Y), KerA
замкнуто в X ,аrankA < ∞. Доказать, что оператор A ограничен.
. . Привести пример ненулевого оператора в бесконечномер-
ном банаховом пространстве, квадрат которого равен нулю.
.
◦
. Привести пример такого оператора A ∈ B( X )вбесконечно-
мерном банаховом пространстве X ,чтоKerA Im A.
.. Пусть X — банахово пространство и оператор A ∈ B( X ). До-
казать, что:
а) либо {0} Ker( A) Ker( A2) ..., либо существует наимень-
шее целое m 0такое,что{0} Ker( A) ... Ker( Am)иKer(Am) =
= Ker(Am+p
) для любого p ∈ (оператор имеет конечный подъ-
ем m);
б) либо X Im( A) Im( A2) ..., либо существует наименьшее
целое m 0такое,что X Im(A) ... Im(Am)иIm(Am) = Im(Am+p)
для любого p ∈ (оператор имеет конечный спуск m).
. . Для произвольного n ∈ привести пример операторов A
и B в бесконечномерном банаховом пространстве X со свойствами
Ker( A) Ker( A2) ... Ker( An) = Ker( An+1
)= ...,
Im(B) Im(B2) ... Im(Bn) = Im(Bn+1
)= ....
.. Пусть X — банахово пространство и оператор A ∈ B( X ). До-
казать, что если A имеет конечный подъем n иконечныйспускm,
тоn=mи X=Ker(Am)⊕Im(Am).
.. Доказать, что если для A, B ∈ L( X ) выполнено коммутаци-
онное соотношение AB − BA = I ,то ABn
−
BnA = nBn−1
.
Доказать,
что либо A,либоB неограничен. Вывести отсюда, что матричное
уравнение AB − BA = I ,где A и B — неизвестные матрицы размера
n × n, не имеет решений.
.. Пусть X — банахово пространство, A ∈ B(X ). При каких
условиях на оператор A выражения
а)x1=AxX,б)x2=xX+AxX
задают нормуна X ?
.. Пусть X — банахово пространство, A —инъективныйогра-
ниченный оператор в X . Для норм из предыдущей задачи доказать,
что ·1≺·X
,а ·2
∼·
X . Доказать, что
·
1∼·
X тогда и
только тогда, когда inf
x=1
Ax r>0.
Глава . Линейные операторы
В § . мы ввели определения изометричных вложений, изо-
метрических изоморфизмов и изоморфизмов нормированных про-
странств. Несложно видеть, что в этих определениях речь идёт об
ограниченных линейных операторах.
.* (С. Мазур, С. Улам, ). Пусть X и Y — нормированные
пространства, отображение J — изометрия, т. е. для любых x , y ∈ X
выполняется J(x) − J(y) Y = x − y X и J(0) = 0. Доказать, что
J — линейный изометрический изоморфизм нормированных про-
странствX иY.
.. Пусть J — изометрия действительного пространства c0 или
lp,1 p < ∞, p =2, и J(0)= 0. Доказать, что найдутся такой на-
бор знаков n ∈ {±1} и такая перестановка σ натурального ряда, что
J(x1,..., xn,...)= ( 1 xσ(1),...,
n x σ(n) ,...).
§ . . Операторы в гильбертовых прос транс твах
Понятие ортогональности позволяет ввести в гильбертовых прост-
ранствах важный класс операторов ортогонального проектирования.
Определение . . Пусть H — гильбертово пространство, P —
оператор проектирования на подпространство H0 вдоль подпро-
странства H1 (см. определение .). Оператор P называют ортопро-
ектором,еслиподпространстваH0 и H1 ортогональны.
.◦
. Пусть P ∈ B(H ) — проектор гильбертова пространства H
на некоторое его подпространство. Доказать, что P является орто-
проектором тогда и только тогда, когда для любых x , y ∈ H справед-
ливо равенство (Px, y) = ( x , Py).1)
.◦
. Пусть P — ортопроектор в гильбертовом пространстве H .
Доказать, что он ограничен, и найти P .
. . Пусть P1 и P2 — ортопроекторы в гильбертовом простран-
стве H . Обозначим подпространства H1 = Im P1 и H2 = Im P2.Дока-
зать,чтоеслиH1⊂H2(или,наоборот,H2⊂H1)иP1−P2 <1,то
P1 = P2. Привести пример таких двух ортопроекторов P1 = P2,что
P1−P2 <1.
.◦
. В обозначениях предыдущей задачи доказать, что если
P2 − P1 < 1, то dim H1 = dim H2. Привести пример двух таких орто-
проекторов P1 и P2,что P2 − P1 = 1иdimH1 = dim H2.
.. Пусть H — гильбертово пространство, P — ортопроектор
на собственное подпространство H0 ⊂ H . Что можно утверждать
про Im A иKerA оператора A ∈ B(H), если а) AP = A;б)PA = A?
1) Операторы, удовлетворяющие такому соотношению, назыв ают самосопряжён-
ными (см. определение . и з адачу. ниже).
§ . . Операторы в гильбертовых пространствах
.. Доказать, что если в условиях предыдущей задачи выпол-
нено равенство AP = PA ,то A(H0) ⊂ H0. Доказать, что обратное
неверно.
Любой оператор A в гильбертовом пространстве H порождает
функцию B(x, y):= (Ax, y)изH × H в . Эта функция линейна по
первому аргументу, сопряженно-линейна по второму аргументу, со-
пряженно симметрична и непрерывна по каждомуаргументув от-
дельности и по совокупности аргументов. Функцию B называют би-
линейной (или полуторалинейной) формой, а функцию B(x , x )—
квадратичной формой оператора A.
.. Пусть H — гильбертово пространство, а B : H × H →
—
линейная по первомуаргументу, сопряжённо-линейная по второму
аргументу и непрерывная по каждомуаргументуформа. Доказать,
что найдётся такой оператор A ∈ B(H), что B(x, y) = (Ax, y)для
любых x,y∈H.
В сепарабельном гильбертовом пространстве H при выборе ор-
тонормированного базиса {ei}
∞
i=1 каждомуоператоруA ∈ B(H )мож-
но сопоставить бесконечную вниз и вправо матрицу с матричны-
ми элементами aij :=(Aei,ej), i,j =1,2, ... Тогда для всякого x ∈ H
вектор y = Ax можно найти, разложив x врядx =
∞
k=1
xk ek по систе-
ме {ek }∞
1 ,гдеxk = (x, ek) (см. § .). Вектор y при этом примет вид
y=
∞
k=1
ykek,гдеyk =
∞
j=1
a jk xk (докажите это).
Поскольку Ae j
A ,получаемsup
j∈
∞
i=1
|aij |2 A 2 .Отметим,
что из неравенства sup
j∈
∞
i=1
|aij |2 < ∞ не следует ограниченность опе-
ратора A.
.. Для любого M > 0 привести пример такого оператора A в
гильбертовом пространстве H , что для некоторого ортонормиро-
ванного базиса {en }
∞
1 все нормы Aen ограничены единицей, но
A >M.
В настоящее время неизвестен формулирующийся сколько-ни-
будь удобным и эффективным образом в терминах элементов мат-
рицы критерий того, что бесконечная вправо и вниз матрица явля-
ется матрицей ограниченного оператора в l2. Приведём два доста-
точных условия.
.. Пусть
∞
i=1
∞
j=1
|aij|2 < ∞, а {ei}
∞
1 — произвольный ортонорми-
рованный базис в гильбертовом пространстве H . Доказать, что су-
Глава . Линейные операторы
ществует такой оператор A ∈ B(H), что ( Aei , e j ) = aij . Привести при-
мер линейного ограниченного оператора в гильбертовом простран-
стве, матрица которого (в любом ортонормированном базисе) не
удовлетворяет указанному неравенству.
.. Пусть оператор A действует в пространстве l2, и в некото-
ром ортонормированном базисе его матрица имеет вид {aij }∞
i,j=1
,
aij 0длявсехi , j . Доказать, что если для этой матрицы найдутся
такиечисла pj>0,j =1,2, ..., и α,β>0,что
∞
j=1
aijpj αpi для любогоi∈ ,
∞
i=1
aijpi βpj длялюбого j ∈
(неравенства Шура), то оператор ограничен, причём A
2
αβ.
.. Доказать, что оператор A cматрицей{aij }∞
i,j=1
,гдеaij =
1
i+j
(оператор Гильберта), ограничен в l2,причём A
π.
.*. Пусть матрица {aij = K (i, j)}∞
i,j =1 задана функцией K(x, y),
удовлетворяющей следующим условиям:
() K неотрицательна, причём K (x , x ) = 0, симметрична и одно-
родна со степенью однородности −1, т. е . K (ax, ay) = a
−1
K(x, y);
()
∞
0
K(1, y)
dy
y=k;
()
K(1, y)
y убывает при y ∈ (0, ξ) ∪ (1, +∞) и возрастает при
y∈(ξ,1),гдеξ∈[0,1].
Доказать, что матрица {aij } задаёт ограниченный оператор A впро-
странстве l2,причём A k.1)
Указание. ) Для произвольных x , y ∈ l2 доказать, что
∞
i,j=1
K(i, j)xiyj
PQ,
где
P=
∞
i=1
x
2
i
∞
j=1
K(i, j) i
j,Q=
∞
j=1
y2
j
∞
i=1
K(i, j)
j
i.
) Используя однородность и условие (), доказать, что
K(i, j) i
j<
j/i
( j −1)/i
K(1, y)
dy
y
1) Ограничения на функцию K могут быть существенно ослаблены, см. [].
§ . . Пространство операторов
при j∈[1,ξi]∪(1+i,+∞) и
K(i, j) i
j<
( j +1)/i
j/i
K(1, y)
dy
y
при j∈(ξi,i).
) Применить результат задачи ..
.. Доказать, что оператор A cматрицей{aij }∞
i,j=1
,гдеaij =
=
1
(i + j)1−α
|i − j|α (aij := 0приi = j)спараметромα ∈ (0, 1), ограни-
чен в l2.
.. Доказать, что для любого оператора A в сепарабельном
гильбертовом пространстве H можно выбрать такой ортонорми-
рованный базис {e j }∞
1 ,чтодлякаждого j ∈ лишь конечное чис-
ло элементов j -го столбца матрицы {aij = ( Aei , e j )}∞
i, j =1 отличны от
нуля.
.. Доказать, что матрица {aij }∞
i, j =1 является матрицей некото-
рого оператора из B(l2, c0) тогда и только тогда, когда
() найдётся M такое, что
∞
j=1
|aij|2<Mдлялюбогоi∈ ;
() lim
i→∞
aij=0длялюбогоj∈ .
§ .. Пространство операторов
.. Доказать теорему. .
.◦
. Пусть X , Y и Z — нормированные пространства, A∈B(Y, Z),
B ∈ B(X, Y). Доказать неравенство AB
A·B
. Доказать, что
если один из операторов A или B является изометрическим изомор-
физмом соответствующих пространств, то AB = A · B
. Приве-
сти пример банахова пространства X и операторов A и B из B( X )
таких,что AB<A·B
.
Определение .. Алгеброй называется линейное пространство
X с операцией умножения векторов, удовлетворяющей следующим
аксиомам
()(αx+βy)z=αxz+βyz;
()z(αx+βy)=αzx+βzy;
()(xy)z = x(yz),
где x , y , z — произвольные векторы из X ,аα и β —комплексные
числа. Алгебра называется унитальной, если она обладает едини-
цей: существует вектор, обозначаемый 1,такой,что1x = x 1 = x для
любого x ∈ X .Алгебраназываетсякоммутативной, если для любых
x∈X,y∈Xвыполненоxy=yx.
Глава . Линейные операторы
Определение . . Пусть X — алгебра, на которой введена норма
(т. е . функция, удовлетворяющая трём аксиомам нормы). Алгебру X
называют нормированной, если дополнительно выполнена следую-
щая аксиома: xy
x · y для любых x, y ∈ X.Полнуюотноси-
тельно своей нормы нормированную алгебру называют банаховой.
.◦
. Доказать, что пространство C[0, 1] с обычной операцией
умножения функций является унитальной коммутативной банахо-
вой алгеброй.
.
◦
. Доказать, что для произвольного банахова пространства X
множество ограниченных операторов B( X ) является унитальной
некоммутативной (если dim X > 1) банаховой алгеброй относитель-
но операции суперпозиции.
.. Пусть X и Y — нормированные пространства, оператор
A ∈ B( X , Y ). Какие из следующих утверждений выполнены для лю-
бого оператора A ∈ B(X,Y)?
а) Если множество U открыто в X ,то A(U ) открыто в Y .
б) Если множество V замкнуто в X ,то A(V ) замкнуто в Y .
в) Если множество A(U) открыто в Y ,тоU открыто в X .
г) Если множество A(V ) замкнуто в Y ,тоV замкнуто в X .
.
◦
. Пусть X и Y — нормированные пространства, X0 —за
-
мкнутое подпространство в X .Положим
M={A∈B(X,Y):KerA=X0}.
Является ли M замкнутым подпространством в B( X , Y )?
.
◦
. Пусть X и Y — нормированные пространства, X0 —за
-
мкнутое подпространство в X .Положим
M={A∈B(X,Y):KerA⊃X0}
Является ли M замкнутым подпространством в B( X , Y )?
.. Пусть X — нормированное пространство, A —фиксиро-
ванный оператор из B(X). Положим M = {B ∈ B(X): AB = 0}, N =
= {B ∈ B(X ): AB = BA}. Доказать, что M и N являются замкнутыми
подпространствами в B( X ).
Для многих конкретных банаховых пространств сопряжённые к
ним пространства линейных непрерывных функционалов допуска-
ют простое описание (см. § .). Пространства непрерывных опера-
торов устроены сложнее.
. . Пусть H — бесконечномерное гильбертово пространство.
Доказать, что пространство B(H ) не сепарабельно.
.. Доказать, что пространство B(lp), p ∈[1, ∞], не сепарабельно.
.. Пусть X и Y — банаховы пространства, причём Y = Y1 ⊕
⊕ Y2 — прямая сумма двух замкнутых подпространств. Доказать,
что B(X,Y)=B(X,Y1)⊕B(X,Y2).
§ . . Дифференцирование в банаховых пространствах
Сходимость в пространстве операторов (сходимость по норме)
называют равномерной сходимостью (см. задачу.) и обозначают
знаком ⇒,т.е
.An⇒A⇔ An−A B(X,Y)→0.
.
◦
. Пусть X — банахово пространство, {Pn}
∞
1 ∈ B(X), причём
все операторы Pn являются операторами проектирования и Pn ⇒ P.
Обязательно ли P — оператор проектирования?
.. Пусть X — банахово пространство, { An}
∞
1 ⊂ B(X), причём
все операторы An являются операторами с одинаковым конечным
рангом: rank An = r < ∞и An ⇒ A.Верноли,чтоrankA r?
.◦
. В пространстве X,гдеX — это cp или lp, p ∈ [1, ∞], рассмот-
рим последовательность {An}
∞
1 операторов умножения на последо-
вательности λn ∈ l∞ . Доказать, что последовательность { An}
∞
1 име-
ет предел в пространстве B( X ) тогда и только тогда, когда последо-
вательность {λn}
∞
1 имеет предел в пространстве l∞
. Доказать, что в
случае, когда предел A = lim
n→∞
An существует,онтакжеравенопера-
торуумножения на последовательность λ = lim
n→∞
λn.
.◦
. В пространстве X,гдеX — это c0, c или lp, p ∈ [1, ∞], рас-
смотрим две последовательности операторов {T n
r
}∞
1 и{Tn
l}∞
1:
Tr :(x1, x2,...)→(0, x1, x2,...), Tl :(x1, x2,...)→(x2, x3,...)
—
операторы правого и левого сдвига. Доказать, что обе эти после-
довательности не имеют предела в пространстве B( X ).
§ .. Дифференцирование в банаховых
пространствах
Пусть X , Y — линейные нормированные пространства над ,
отображение F : U (x) → Y определено в окрестности U (x) точки
x∈X.
Определение .. Отображение F называется дифференцируе-
мым по Фреше вточке x , если найдется такой линейный оператор
F (x)∈B(X,Y), что
F(x+h)−F(x)=F(x)h+o( h), h→0,h∈X
(для любого >0 найдется такое δ>0, что из h <δ следует
F(x+h)−F(x)−F(x)h < h).ПриэтомоператорF(x)на-
зывается производной по Фреше отображения F вточке x .
Определение . . Отображение F называется дифференцируе-
мым по Гато вточке x , если найдется такой линейный оператор
Глава . Линейные операторы
F (x)∈ B(X,Y), что для каждого вектора h ∈ X
lim
ξ→0
F(x+ξh)−F(x)
ξ
=F(x)h
(сходимость в норме пространства Y ). При этом оператор F (x )на-
зывается производной по Гато отображения F вточке x .
В частном случае, когда Y = ,производнаяF (x )являетсяли-
нейным непрерывным функционалом на X ,тоестьэлементом X ∗
.
ВслучаеX = Y =
оба определения дифференцируемости дают
обычную дифференцируемость числовой функции в точке.
.. Доказать, что если отображение дифференцируемо по Фре-
ше в точке, то оно дифференцируемо по Гато в этой точке (и произ-
водные совпадают).
.. Доказать, что если отображение F дифференцируемо по
Фреше в точке x , то оно непрерывно в этой точке. Привести при-
меротображения,дифференцируемогопоГатовточкесвоегораз-
рыва.
.. Пусть X , Y , Z — нормированные пространства, отобра-
жение F : X → Y дифференцируемопоФрешевточке x ,отбраже-
ние G : Y → Z дифференцируемо по Фреше в точке F (x). Доказать,
что G ◦ F дифференцируемо по Фреше в точке x и(G ◦ F) (x) =
= G (F (x)) ◦ F (x). Показать, что композиция дифференцируемых
по Гато отображений может не быть дифференцируемой по Гато.
.. Пусть отображение F : X → Y дифференцируемопоГатов
каждой точке x из окрестности U точки x0,ипроизводная F (x)
непрерывна в точке x0 (то есть F (x) − F (x0) →0приx → x0).
Доказать, что F дифференцируемопоФрешевточке x0.
Пример . . Исследовать отображение F : x (t) → sin x (t) в дей-
ствительном пространстве C[0, 1] на дифференцируемость по Фре-
шеипоГатоинайтипроизводную.
Решение. Прежде всего,
lim
ξ→0
F(x+ξh)−F(x)
ξ
= lim
ξ→0
sin(x(t) + ξh(t)) − sin x(t)
ξ
=
= lim
ξ→0
2sin
ξh(t)
2
cos x (t) + ξh(t)
2
ξ
= h(t)cosx(t),
т. е. производной по Гато отображения F в точке (функции) x ∈
∈ C[0, 1] является оператор умножения на функцию cos x (t), дей-
ствующий из пространства C[0, 1] в себя. Покажем, что этот же
оператор является производной отображения F по Фреше. Для это-
го покажем, что он непрерывно зависит от точки x (см. преды-
дущую задачу). Если x0 и x — функции из пространства C[0, 1],
§ . . Дифференцирование в банаховых пространствах
то разность F (x) − F (x0) есть оператор умножения на функцию
cos x (t) − cos x0(t). Согласно утверждению задачи ., его норма
равна cos x (t) − cos x0(t) C [0,1]. Остается заметить, что
cos x(t) − cos x0(t) C[0,1] = sup
t ∈[0,1]
|cos x(t) − cos x0(t)|
2sup
t ∈[0,1]
sin
x(t) − x0(t)
2
·
sup
t ∈[0,1]
cos
x(t)+ x0(t)
2
sup
t ∈[0,1]
|x(t)− x0(t)|= x − x0 C[0,1].
.. Исследовать отображения на дифференцируемость по Фре-
ше и по Гато и найти производные (все банаховы пространства
предполагаются действительными):
а) F: H → , F(x) =(x, x)(H — гильбертово пространство);
б) F : H → , F(x) = x (H — гильбертово пространство);
в)F:l1→ ,F(x)= x ;
г)F:L1[0,1]→ , F(x)=
1
0
sin x (t) dt;
д)F:L2[0,1]→ , F(x)=
1
0
sin x (t) dt;
е)F:C[0,1]→ , F(x)=
1
0
sin x(t) dt;
ж) F: C[0,1]→ C[0,1], F(x)(t)= x(t)x(1− t);
з) F: Lp[0,1]→L1[0,1], F(x)(t)=|x(t)|p(1 p<∞).
.. Доказать, что если сопряженное пространство X
∗
равно-
мерно выпукло (см. определение .), то норма в X (отображение
x → x ) дифференцируема по Фреше в каждой точке x ∈ X \ {0}.
Как показывает следующая задача, теорема о среднем для чис-
ловых функций одного переменного прямо не переносится на диф-
ференцируемые отображения.
.◦
. Доказать, что найдется отображение F : →
2
, диффе-
ренцируемое во всех точках отрезка [a, b], для которого равенство
F(b)− F(a) = F (c)(b− a) неверно ни для какой точки c ∈ (a, b).
.*. Пусть X и Y — нормированные пространства, U —откры-
тое выпуклое множество в X и F : U → Y дифференцируемо по Гато
вкаждойточкеизU . Доказать, что для всяких a, b ∈ U разность
F (b) − F(a) лежит в замыкании выпуклой оболочки множества
{F(c)(b−a):c∈(a,b)}.
. . Доказать, что в условиях предыдущей задачи справедливо
неравенство F (b) − F(a)
sup
c∈(a,b)
F(c)·b−a
.
Глава
Теорема Банаха—Штейнгауза.
Слабая сходимость векторов,
функционалов и операторов
§.. Теорема Банаха—Штейнгауза
Теор е ма . (С. Банах, Г. Штейнгауз, ). Пусть X — банахово
пространство, Y — нормированное пространство, а M ⊂ B( X , Y ) —
семейство операторов. Если для любого x ∈ X
sup
A∈M
Ax C(x),
где константа C(x ) зависит только от вектора x , то найдётся та-
кая константа C1 > 0,что sup
A∈M
A C1,т.е
.м
ножествоM огра-
ничено в пространстве B(X , Y ).
. (Часть доказательства теоремы .). Пусть X — банахово про-
странство, Y — нормированное пространство, а {Tn}
∞
n=1 ⊂ B(X,Y),
причём Tn →∞приn → ∞. Доказать, что для любого λ>0мно-
жество
Mλ={x∈X: Tnx <λдлявсехn∈ }
нигденеплотнов X .
Теорема . следует из утверждения предыдущей задачи и теоре-
мы ..
. . Показать, что полнота пространства X в условии теоремы .
существенна.
..Пусть fn ∈ l∞
—
последовательность функционалов на про-
странстве l1 , fn( x ) = nxn , n = 1, 2, ... Это семейство функционалов
не ограничено в пространстве l∞ = (l1)
∗
,азначит,потеоремеБана-
ха—Штейнгауза существует такой вектор x ∈ l1,чтоsup
n
|fn(x)|= ∞.
Найти такой вектор x .
. (Е. Хеллингер, О. Тёплиц, ). Пусть A : H → H —линейный
оператор в гильбертовом пространстве H . Доказать, что если для
§ . . Критерии слабой сходимости
всех x, y ∈ H выполнено равенство (Ax, y)=(x, Ay), то оператор A
ограничен.1)
. . Пусть X и Y — банаховы пространства. Доказать, что если
билинейная форма B(x , y), определённая на X × Y , непрерывна от-
дельно по каждому аргументу, то она непрерывна по совокупности
аргументов.
Ещё одно применение теоремы Банаха—Штейнгауза относится
к вопросам суммирования тригонометрических рядов. Напомним,
что для произвольной функции x ∈ L1[−π, π]можноопределить
коэффициенты Фурье cn ( x) =
1
2π
π
−π
e
− int
x(t)dt, n ∈ . По этим ко-
эффициентам можно составить тригонометрический ряд Фурье
S(x) =
n∈
cn(x)e
int
.Дляфункций x ∈ L1[−π, π]нельзяутверждать
ни сходимость этого ряда (в пространстве L1[−π, π]), ни равенство
S(x ) = x (см. задачу. ниже). Из утверждения задачи . сле-
дует, что для функций x ∈ L2[−π, π]рядS(x )сходитсявпростран-
стве L2[−π, π]иS(x) = x . В пространстве непрерывных функций
ситуация сходна с ситуацией в пространстве L1[−π, π]—можно
предъявить пример непрерывной функции, ряд Фурье которой не
сходится равномерно (т. е. в пространстве C[−π, π], см. задачу.
ниже). Более того, оказывается, существуют непрерывные функции,
ряд Фурье которых не сходится даже поточечно.
. . Определим оператор
(Snx)(t)=
n
k=−n
cke
ikt
=
1
2π
π
−π
x (s)
n
k=−n
e
ik(t−s) ds
в пространстве C[−π, π]. Доказать, что Sn →∞. Вывести отсюда,
что существует непрерывная функция x ∈ C[−π, π], укоторой три-
гонометрический ряд Фурье расходится в точке t = 0.
Пример непрерывной на [−π, π] функции, тригонометрический
ряд Фурье которой расходится в точке 0, можно найти в [].
§ . . Слабая сходимость: основные свойства.
Критерии с лабой сходимос ти
Определение .. Последовательность {xn}
∞
1 в нормированном
пространстве Xслабосходитсяквектору x ∈ X ,если f (xn) → f (x)
длялюбого f ∈ X∗
.Обозначение:xn x .
1) Операторы, удовлетворяющие такому соотношению, назыв ают самосопряжён-
ными (см. определение . ниже).
Глава . Теорема Банаха—Штейнгауза. Слабая сходимость
Последовательность { xn}
∞
1 в нормированном пространстве X
слабо фундаментальна, если последовательность { f (xn)}∞
1 фунда-
ментальна для любого f ∈ X ∗
.
Множество M в нормированном пространстве X слабо ограниче-
но, если множество f (M ) ограничено для любого f ∈ X ∗
.
Отображение f : X →
слабо секвенциально непрерывно,если
для любой последовательности {xn}
∞
1 ,слабосходящейсяк x впро-
странстве X , последовательность { f (xn)}∞
1 сходится к f (x).
В связи с введённым понятием слабой сходимости возника-
ют следующие вопросы. Как связана эта сходимость с линейны-
ми операциями? Какова связь со сходимостью по норме? Можно
ли задать слабую сходимость какой-либо метрикой? Какие множе-
ства замкнуты относительно этой сходимости (в частности, полно
ли всё пространство)? Какие множества являются секвенциально
предкомпактными относительно слабой сходимости? Какие про-
странства являются слабо сепарабельными? Мы изучим здесь эти
вопросы, за исключением вопроса о сепарабельности, который бу-
дет решён чуть позже в задаче ..
Задачи
.
◦
. Доказать, что из сходимости по норме следует слабая схо-
димость. Привести пример последовательности в банаховом про-
странстве, сходящейся слабо, но не сходящейся по норме.
Чтобы различать слабую сходимость и сходимость по норме, при-
держиваются следующего соглашения: говоря «сходимость» , подразу-
мевают сходимость по норме. Сходимость по норме часто также назы-
вают равномерной сходимостью, имея в видуследующий критерий.
.
◦
. Доказать, что x n → x ,где{xn}иx — векторы нормированно-
го пространства X , тогда и только тогда, когда xn слабо сходятся к x
равномерно по единичномушарупространства X ∗
,т.е
.
∀ >0∃N∀f∈B(X∗)∀n>N:|f(xn)−f(x)|< .
.
◦
. Пустьxn x, yn y, αn →α, βn →β,где{xn}, x,{yn}иy —
векторы нормированного пространства X ,а{αn }, α,{βn}, β —ком
-
плексные числа. Доказать, что αn xn + βn yn αx + β y. Доказать, что
еслиxn xиxn x,тоx=x.
. (С. Мазур, ). Пусть последовательность xn слабо сходится
к x в нормированном пространстве X . Доказать, что x ∈ conv{ xn}
∞
1.
Последнюю задачуможно сформулировать так: любое замкну-
тое выпуклое множество (в частности, любое замкнутое линейное
подпространство) в нормированном пространстве слабо секвенци-
ально замкнуто.
§ . . Критерии слабой сходимости
.
◦
(Х. Хан, ). Доказать, что в произвольном нормирован-
ном пространстве X любое слабо ограниченное множество огра-
ничено по норме. Доказать, что из слабой сходимости или слабой
фундаментальности некоторой последовательности векторов нор-
мированного пространства следует ограниченность этой последо-
вательности по норме.
Утверждение предыдущей задачи легко следует из теоремы Ба-
наха—Штейнгауза. Отметим, что утверждение задачи . также
получается теперь простым следствием этой теоремы.
. . Доказать, что на ограниченных множествах сепарабельно-
го гильбертова пространства слабая сходимость равносильна поко-
ординатной сходимости, а именно x n x тогда и только тогда, когда
(xn, ek)→(x,ek) для любого k ∈ ,где{ek}∞
k=1
—
произвольный фик-
сированный ортонормированный базис.
.
◦
. Пусть X и Y — нормированные пространства, A ∈ B(X, Y).
Доказать, что если x n x в пространстве X ,то Axn Ax в простран-
стве Y . Привести пример, показывающий, что последовательность
{Axn}
∞
1 не обязана сходится к Ax по норме.
.. Доказать критерий слабой сходимости. Пусть X —норми-
рованное пространство, а { xn}
∞
n=1
—
последовательность векторов в
нём. Доказать, что x n x тогда и только тогда, когда выполнены два
условия:
() последовательность ограничена, т. е . существует такое чис-
лоC,что xn <Cдлявсехn∈ ;
() в X ∗ найдётся такое всюдуплотное множество Y ,что f (xn) →
→ f(x)длялюбогоf∈Y.
Пример . . Доказать критерий слабой сходимости в простран-
стве W
1
2 [0, 1]: последовательность { xn}
∞
1 слабо сходится к x тогда и
только тогда, когда выполнены два условия:
() существует такое число C ,что x n W 1
2
<Cдлявсехn∈ ;
() lim
n→∞
xn(t) = x(t) для любого t ∈ [0,1].
Решение. Пусть последовательность {xn}
∞
1 удовлетворяет усло-
виям (), (). Рассмотрим произвольную ломаную h(t)—непре-
рывную функцию, линейную на отрезках [tj−1, tj]: h(t) = ajt + bj,
j=1, ..., n,где0=t0<t1<...<tn−1<tn =1 —произвольноеразби-
ение отрезка [0, 1]. Для любой функции x ∈ W 1
2 [0, 1] имеем
(x,h)=
n
j=1
aj
tj
tj−1
x (t)dt+
1
0
x(t)h(t) dt =
=
n
j=1
aj(x(tj)− x(tj−1))+
1
0
x(t)h(t) dt := S(x) + I(x).
Глава . Теорема Банаха—Штейнгауза. Слабая сходимость
Сходимость суммы S(xn) → S(x) следует из условия (), а для доказа-
тельства сходимости интеграла I (xn ) → I (x ) применим теоремуЛе-
бега о предельном переходе (см. курс действительного анализа): ес-
ли последовательность интегрируемых по Лебегу функций { fn} схо-
дится к f почти всюду на [0, 1] и | fn(t)| < Cпривсехn∈ ,t∈ [0, 1],
то
1
0
fn(t) dt →
1
0
f (t) dt.Внашемслучае
fn(t) = xn(t)h(t) → f(t) = x(t)h(t)
для любой точки t ∈ [0, 1] в силуусловия (), а равномерная огра-
ниченность | fn(t)| < C следует из условия () и утверждения за-
дачи . . Остаётся заметить, что множество ломаных плотно в
W1
2 [0, 1] (см. задачу.), и применить критерий из задачи ..
Обратное утверждение очевидно, поскольку любая слабо сходя-
щаяся последовательность ограничена (см. задачу.), а функцио-
налы ft(x) = x(t) непрерывны на W1
2 [0, 1] (см. задачу.).
.
◦
. Доказать, что в конечномерном нормированном простран-
стве слабая сходимость совпадает со сходимостью по норме, т. е.
xn x⇔xn→x.
.. Доказать критерий слабой сходимости в l p , p ∈ (1, ∞): по-
следовательность x
n
=(x
n
1,x
n
2,...)сходитсяслабокx = (x1, x2,...)то-
гда и только тогда, когда выполнены два условия:
() существует такое число C ,что x
n
lp<Cдлявсехn∈ ;
() lim
n→∞
x
n
k=xkдлявсехk∈ .
. (Я. Шур, ). Доказать, что слабая сходимость в l1 совпада-
ет со сходимостью по норме (равномерной сходимостью).
. . Доказать, что в пространстве l1 нет подпространств, изо-
морфных пространству l2 .
.. Доказать критерий слабой сходимости в c0: последователь-
ность x
n
=(x
n
1,x
n
2 ,...) сходится слабо к x = (x1, x2,...) тогда и только
тогда, когда выполнены два условия:
() существует такое число C ,что x
n
c0
<Cдлявсехn∈ ;
() lim
n→∞
xn
k=xkдлявсехk∈ .
. . Доказать критерий слабой сходимости в c: последователь-
ность x
n
=(x
n
1,x
n
2 ,...) сходится слабо к x = (x1, x2,...) тогда и только
тогда, когда выполнены три условия:
() существует такое число C ,что x
n
c<Cдлявсехn∈ ;
() lim
n→∞
xn
k=xkдлявсехk∈ ;
() если обозначить ln = lim
k→∞
x
n
kиl=lim
k→∞
xk,тоln → l.
§ . . Критерии слабой сходимости
. . Доказать критерий слабой сходимости в C[0, 1]: последова-
тельность xn = x n(t)сходитсяслабок x тогда и только тогда, когда
выполнены два условия:
() существует такое число C,что x C[0,1] < C для всех n ∈ ;
() lim
n→∞
xn(t) = x(t) для любого t ∈ [0,1].
.. Доказать критерий слабой сходимости в L p[0, 1], p ∈ [1, ∞):
последовательность xn = x n(t)сходитсяслабок x тогда и только то-
гда, когда выполнены два условия:
() существует такое число C ,что x n L p
<Cдлявсехn∈ ;
() для каждого элемента произвольной системы функций {gα} ⊂
⊂ Lq[0,1] =(Lp[0, 1])∗
, удовлетворяющей условию Lin{gα} = Lq[0, 1],
справедливо равенство
lim
n→∞
1
0
xn(t)gα(t) dt =
1
0
x (t)gα(t) dt.
В главе будет доказано, что при p > 1 в качестве системы {gα}
можно взять любую из систем
{tm}
∞
m=0
,{
s
i
n
πmt}∞
m=1
,{
χ(a,b)(t):a∈[0,1],b∈[0,1],a<b}
(здесь χ(a,b) — характеристическая функция интервала (a, b)). В слу-
чае p = 1иq = ∞ в качестве системы {gα}можновыбратьсистему
характеристических функций всех измеримых по Лебегу множеств
на [0, 1].
Пример .. Доказать, что в произвольном бесконечномерном
гильбертовом пространстве функция · не является слабо секвен-
циально непрерывной функцией.
Решение. Рассмотрим произвольную ортонормированную систе-
му{en}
∞
1 (она существует, так как dim H = ∞, см. задачу.). То-
гда в силунеравенства Бесселя (см. § .) для любого x ∈ H име-
ем (en , x ) → 0, а так как по теореме . любой линейный непрерыв-
ный функционал на H задаётся в виде f(·) =( · , x), получаем en 0.
Сдругойстороны, en = 1, а 0 = 0.
.
◦
. Доказать, что в гильбертовом пространстве xn → x тогда и
толькотогда,когдаxn xи xn →x .
.. Доказать, что в любом равномерно выпуклом нормирован-
ном пространстве (см. определение .) xn → x тогда и только то-
гда,когдаxn xи xn →x .
В курсе действительного анализа доказывается, что сходимость
в любом пространстве L p[0, 1], p ∈ [1, ∞], влечёт сходимость по ме-
ре — вспомните это доказательство.
. . Доказать, что из слабой сходимости в пространстве L p[0, 1],
p ∈ [1, ∞), вообще говоря, не следует сходимость по мере.
Глава . Теорема Банаха—Штейнгауза. Слабая сходимость
.. Доказать, что если p > 1 и последовательность функций
xn ∈ Lp[0, 1], ограниченная по норме Lp[0, 1], сходится по мере к
некоторой функции x,тоx ∈ Lp[0, 1] и xn x . Доказать, что при
p = 1 это утверждение неверно.
.. Доказать, что если x n 0 в нормированном пространстве X ,
то lim
n→∞
x−xn
x для любого элемента x .
Ясно, что любая слабо сходящаяся последовательность слабо
фундаментальна. Обратное утверждение в произвольном банахо-
вом пространстве может не выполняться.
.
◦
. В пространствах c0 и C[0, 1] привести примеры слабо фун-
даментальных последовательностей, не имеющих слабого преде-
ла.
Условие рефлексивности пространства является достаточным
условием для того, чтобы любая слабо фундаментальная последова-
тельность имела слабый предел в этом пространстве.
.. Доказать, что любое рефлексивное банахово пространство
является секвенциально слабо полным (т. е. любая слабо фундамен-
тальная последовательность имеет слабый предел). Привести при-
мер нерефлексивного, но секвенциально слабо полного банахова
пространства.
. . Пусть H — гильбертово пространство, {xn}
∞
1 и{yn}
∞
1 —по
-
следовательности векторов из H . Будет ли числовая последователь-
ность ( xn , yn) сходящейся, если последовательности {xn }
∞
1 и{yn}
∞
1
фундаментальны (по норме или слабо)? Исследовать все три слу-
чая.
Можно ли найти такую метрику w(x, y), что xn x тогда и толь-
ко тогда, когда w(xn, x ) → 0? Ясно, что в случае конечномерного
пространства X (см. задачу.), а также, например, для X = l1
(см. задачу.) слабая сходимость метризуема, а w( x , y ) = x − y
.
Заметим, что случай l1 является исключительным: в остальных бес-
конечномерных банаховых пространствах из списка пространств
слабая сходимость не метризуема. Тем не менее, слабая сходимость
векторов ограниченного множества метризуема в достаточно об-
щих ситуациях.
. . Пусть X — нормированное пространство, а X ∗ сепарабель-
но (отсюда, в силуутверждения задачи ., следует сепарабель-
ность самого пространства X ). Доказать, что слабая сходимость в
единичном шаре пространства X метризуема.
. . Пусть X — нормированное пространство, а X ∗ сепарабель-
но. Указать такую метрику w( x , y), определённую на всём X ,чтопо-
следовательность {xn}
∞
1 слабо сходится к x ∈ X тогда и только тогда,
§.. ∗ -слабая сходимость в сопряжённом пространстве
когда выполнены два условия:
() последовательность { xn}
∞
1 ограничена;
() w(xn, x)→0.
. (С. Банах, ). Пусть банахово пространство X рефлексив-
но,аX
∗
сепарабельно. Доказать, что из любой последовательности
точек единичного шара { x : x X 1} можно выбрать подпоследо-
вательность, слабо сходящуюся к точке единичного шара (то есть
единичный шар секвенциально слабо компактен).
.. Пусть банахово пространство X рефлексивно, а X ∗ сепара-
бельно. Доказать, что любое ограниченное множество B ⊂ X слабо
секвенциально предкомпактно, т. е . из любой последовательности
{xn}
∞
1 точек множества B можно выделить слабо сходящуюся подпо-
следовательность xnk
→ x ∈ X. Доказать, что если к томуже B есть
замкнутое и выпуклое множество, то x ∈ B,т.е
. B слабо секвенци-
ально компактно.
. . Доказать, что единичные шары в пространствах l1, c0 , C[0, 1]
не являются слабо секвенциально компактными множествами.
.. Доказать, что любая последовательность вложенных непу-
стых замкнутых выпуклых ограниченных множеств в рефлексивном
банаховом пространстве имеет непустое пересечение. Привести
контрпример к этому утверждению для случая нерефлексивных ба-
наховых пространств (ср. с задачами ., ., ., . и .).
§.. ∗-с лабая сходимость
в сопряжённом пространстве
Определение . . Последовательность функционалов { fn}
∞
1 всо-
пряжённом пространстве X ∗ ∗-слабо сходится (произносится «звёз-
дочка-слабо сходится») к функционалу f ∈ X ∗
,если fn(x) → f(x)для
любого x ∈ X .Обозначение: fn
∗
f.
Последовательность { fn}
∞
1 в сопряжённом пространстве X
∗
∗-сла-
бо фундаментальна, если для любого x ∈ X последовательность
{fn(x)}∞
1 фундаментальна.
Множество M в сопряжённом пространстве X ∗-слабо ограниче-
но, если для любого x ∈ X множество { f (x): f ∈ M}ограничено.
.◦
. Пусть fn
∗
f, gn
∗
g, αn →α, βn →β,где{fn}, f ,{gn}иg —
функционалы из сопряжённого пространства X
∗
,а{αn }, α,{βn},
β — комплексные числа . Доказать, что αn fn + βn gn
∗
αf +βg.До-
казать, что если fn
∗
fиfn
∗ ̃f,тоf=
̃
f.
.
◦
. Доказать, что из сходимости по норме сопряжённого про-
странства следует ∗-слабая сходимость. Привести пример последо-
Глава . Теорема Банаха—Штейнгауза. Слабая сходимость
вательности в сопряжённом пространстве, сходящейся ∗-слабо, но
не сходящейся по норме.
.. Доказать, что линейные непрерывные функционалы fn ∈ X ∗
сходятся по норме к функционалу f тогда и только тогда, когда
они ∗-слабо сходятся к f равномерно по единичномушарупро-
странства X (т. е. для любого >0 найдётся такое N ,чтоспра-
ведливо неравенство |(fn − f)(x)|< при всех x ∈ X, x
1,и
n>N).
В сопряжённом пространстве X ∗
, таким образом, определены
три сходимости: сходимость по норме, ∗-слабая и слабая.
.◦
. Доказать, что из слабой сходимости в сопряжённом про-
странстве следует ∗-слабая сходимость. Привести пример последо-
вательности в сопряжённом пространстве, сходящейся ∗-слабо, но
не сходящейся слабо.
Итак, три вида сходимости в сопряжённом пространстве упоря-
дочены следующим образом: сходимость по норме ⇒ слабая сходи-
мость ⇒∗-слабая сходимость.
.◦
. Пусть X — нормированное пространство и dim X < ∞. До-
казать, что тогда все три вида сходимости (по норме, слабая и ∗-сла-
бая) в пространстве X ∗ совпадают.
.◦
. Пусть X — рефлексивное нормированное пространство.
Доказать, что слабая и ∗-слабая сходимости в пространстве X
∗
сов-
падают.
Существуют и нерефлексивные пространства X (пространства
Гротендика), для которых слабая и ∗-слабая сходимости в X ∗ сов-
падают (сравните с задачей .). Примером такого пространства
служит X =l∞.
.◦ (Х. Хан, ). Доказать, что любое ∗-слабо ограниченное
множество в X ∗ ограничено по норме. Доказать, что из ∗-слабой
сходимости или ∗-слабой фундаментальности последовательности
функционалов из X ∗ следует ограниченность этой последователь-
ности по норме.
Слабо фундаментальная последовательность не обязана иметь
слабого предела (см. задачу.). Ситуация со ∗-слабой сходимо-
стью проще.
. . Пусть X — нормированное пространство. Доказать, что
пространство X
∗
полно относительно ∗-слабой сходимости (т. е. лю -
бая ∗-слабо фундаментальная последовательность функционалов
имеет ∗-слабый предел в X
∗
).
Слабый предел всегда лежит в замыкании выпуклой оболочки
векторов последовательности (см. задачу.), но ∗-слабые преде-
лы таким свойством уже не обладают.
§.. ∗ -слабая сходимость в сопряжённом пространстве
.. Привести пример такой последовательности fn
∗
f ,что
f ∈Lin{fn}
∞
1.
.. Пусть X — сепарабельное нормированное пространство.
Доказать, что ∗-слабая сходимость в единичном шаре пространства
X∗
метризуема.
.. Пусть X — сепарабельное нормированное пространство.
Указать такую метрику w( x , y ), определённую на всём X
∗
,чтопо-
следовательность { fn}
∞
1 ∗-слабо сходится к f ∈ X ∗ тогда и только
тогда, когда выполнены два условия:
() последовательность { fn}
∞
1 ограничена;
() w(fn, f)→0.
.. Пусть X — сепарабельное нормированное пространство.
Доказать, что единичный шар в X ∗ ∗-слабо секвенциально ком-
пактен, т. е. из любой последовательности { fn}
∞
1, fn X∗ 1,можно
выбрать подпоследовательность, ∗-слабо сходящуюся к точке еди-
ничного шара.
.. Пусть X — нормированное пространство, а { fn}
∞
1 —после
-
довательность функционалов из X ∗
.
Доказать, что fn
∗
f тогда и
только тогда, когда выполнены два условия:
() последовательность ограничена, т. е . существует такое чис-
лоC,что fn X∗<Cдлявсехn∈ ;
() в X найдётся такое всюдуплотное множество Y ,что fn( x) →
→ f(x)длялюбогоx∈Y.
Приведём критерии ∗-слабой сходимости в конкретных нере-
флексивных пространствах (для рефлексивных пространств X сла-
бая и ∗-слабая сходимости в X
∗
совпадают, см. задачу.).
.. Доказать критерий ∗-слабой сходимости в l1 = (c0)
∗
:после-
довательность xn = (x(n)
1,x
(n)
2 ,...) сходится ∗-слабо к x = (x1, x2,...)
тогда и только тогда, когда выполнены два условия:
() существует такое число C,что xn l1 < C для всех n ∈ ;
() lim
n→∞
x
(n)
k =xkдлявсехk∈ .
.. Доказать критерий ∗-слабой сходимости в l∞ = (l1)∗ :после-
довательность xn = (x(n)
1,x
(n)
2 ,...) сходится ∗-слабо к x = (x1, x2,...)
тогда и только тогда, когда выполнены два условия:
() существует такое число C,что xn l∞ < C для всех n ∈ ;
() lim
n→∞
x
(n)
k =xkдлявсехk∈ .
. . Доказать критерий ∗-слабой сходимости в пространстве
BV0[0, 1] = (C[0, 1])∗: последовательность gn сходится ∗-слабо к g
тогда и только тогда, когда выполнены два условия:
() существует такое число C ,что gn BV0 [0,1] < C для всех n ∈ ;
Глава . Теорема Банаха—Штейнгауза. Слабая сходимость
() для каждого элемента произвольной системы функций { fα }в
пространстве C[0, 1], удовлетворяющей условию Lin{ fα } = C[0, 1],
справедливо равенство
lim
n→∞
1
0
fα(t)dgn =
1
0
fα (t) dg.
Из теорем . и . следует, что в качестве системы { fα}можно
взять любую из систем {t m }
∞
m=0
,{cosπmt}∞
m=0
.
Понятие ∗-слабой сходимости можно применять в вопросах сум-
мирования числовых рядов. Как известно, при суммировании ряда
∞
k=1
xk методом Чезаро (средних арифметических) строится последо-
вательность усреднённых частичных сумм:
ˆ
s1 = s1,ˆ
s2=
s1+s2
2
,...
,ˆ
sn=
s1+s2+...+sn
n
,
гдеsn=
n
k=1
ak .Еслисуществуетlimˆsn , то говорят, что ряд суммирует-
ся в смысле Чезаро. С этим способом суммирования можно связать
оператор, действующий в пространстве последовательностей и за-
данный бесконечной вправо и вниз нижнетреугольной матрицей:
A:=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1000...0
...
...
11
2
00...0
...
...
12
3
1
3
0...0
...
...
.........................................
1 n−1
n
n−2
n
n−3
n
...
1
n
0...
.......................................
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Способ суммирования, заданный этой матрицей, определяется
по правилу
S(A) = lim
n→∞
n
j=1
anjxj
В связи с этим возникает следующая задача.
.. Пусть A = {aij }∞
i,j=1
—
бесконечная нижнетреугольная мат-
рица. Пусть
∞
j=1
x j — произвольный ряд. Рассмотрим метод сумми-
§.. ∗ -слабая сходимость в сопряжённом пространстве
рования этого ряда, определённый матрицей A по правилу S( A) =
= lim
n→∞
n
j=1
anj x j . Доказать, что необходимым условием корректно-
сти
1)
этого метода суммирования является условие
sup
n1
|anj| < ∞д
л
яв
с
е
хj∈ .
.. Для числовой последовательности { xk }∞
1 определим обоб-
щённый предел с помощью произвольной бесконечной вправо и
вниз матрицы A = {ai, j}∞
i,j=1:
σ(A, x):= lim
n→∞
∞
k=1
ank xk (если этот предел существует).
Доказать, что σ(A, x )=lim xk для всякой последовательности {xk}∞
1∈
∈ c тогда и только тогда, когда выполнены три условия:
() lim
n→∞
ank=0,k =1,2,...;
() lim
n→∞
∞
k=1
ank=1;
() существует такое число M ,что
∞
k=1
|ank| M для всех n.
Ещё один метод суммирования рядов (метод Абеля) состоит в
следующем. Пусть дан числовой ряд
∞
n=1
an . Рассмотрим функцию
f(x)=
∞
n=1
anx
n
на интервале (a, 1) (предположим, что она определе-
на на этом интервале). Суммой ряда
∞
n=1
an в смысле суммирования
методом Абеля называют предел lim
x→1, x<1
f (x)(еслионсуществует).
. (Н. Абель, ). Доказать корректность метода суммиро-
вания Абеля. Пусть ряд
∞
k=1
ak сходится к числу a. Доказать, что
lim
x<1,x →1
∞
k=1
akxk=a.
.. Пусть X — нормированное пространство, { xn}
∞
1 —последо-
вательность векторов из X ,а{fn}
∞
1 — последовательность функци-
оналов из X
∗
. Будет ли числовая последовательность fn( xn)сходя-
щейся, если последовательность {xn}
∞
1 фундаментальна (по норме
или слабо) и последовательность { fn}
∞
1 фундаментальна (по норме,
слабо или ∗-слабо)? Исследовать все шесть случаев.
1) Метод суммирования называется коррек тным, если каж дый сходящийс я ряд
суммируется этим методом к обычной сумме.
Глава . Теорема Банаха—Штейнгауза. Слабая сходимость
Пример . . В пространстве
а) (C[−1, 1])∗;б)(L∞[−1, 1])∗
рассмотрим последовательность { fn}
∞
1 ,гдеfn(x) =
n
2
1/n
− 1/n
x(t) dt.
Определить вид сходимости (по норме, слабая, ∗-слабая или от-
сутствует), а в случае сходимости найти предел.
Решение. а) Для непрерывной функции x ипроизвольного >0
найдётся такой номер N ,что max
|t|<1/N
|x(t) − x (0)| < .Тогдадлявсех
n N имеем
|fn(x)− x(0)|=
n
2
1/n
− 1/n
(x(t)− x(0))dt < ,
азначит, fn
∗
δ0,гдеδ0( x ) = x (0). Итак, в пространстве (C[−1, 1])∗
последовательность { fn}сходитсякфункционалу δ0 ∗-слабо. До-
кажем, что слабой сходимости нет. Положим x(t) = 0приt 0,
x (t) = 1наотрезке[1/2, 1], x (t) = −1наотрезке[1/4, 1/2], x (t) = 1
при t ∈ [1/8, 1/4], x(t) = −1приt ∈ [1/16, 1/8] и т. д. Нетрудно по-
казать, что x ∈ (C[−1, 1])∗∗
.Тогдаприn = 2
2k
,гдеk ∈ ,получим
x(fn) =2
2k−1
(2−2k−1
−
2−2k−2
+ 2−2k−3
− ...) =1/6,
априn = 22k−1 аналогично получим x( fn) = −1/6, т. е. в простран-
стве (C[−1, 1])∗ последовательность { fn}
∞
1 не сходится ни слабо, ни
тем более по норме.
б) Определённая в пункте а) функция x принадлежит L∞[−1, 1],
поэтомув пространстве (L∞[−1, 1])∗
последовательность { fn}
∞
1не
сходится ни ∗-слабо, ни слабо, ни по норме.
.. Определить вид сходимости (по норме, слабая, ∗-слабая —
если речь идёт о сопряжённом пространстве — или отсутствует) сле-
дующих последовательностей, и в случае сходимости найти предел:
а) {en = (0,...,0,1
n
,0,...)}∞
1 в пространстве (lp)
∗
, p∈[1,∞);
б) {en = (0,...,0,1
n
,0,...)}∞
1 в пространстве c;
в) {sin πnt}∞
1 в пространстве (L p[0, 1])∗
, p∈[1,∞);
г) {sin πnt}∞
1 в пространстве C[0, 1];
д){fn}
∞
1 ,где fn ∈ (C1[−1, 1])∗
, fn(x) =
n
2
x
1
n
−
x−
1
n
;
е) {tn}
∞
1 в пространстве C[0, 1];
ж) {tn}
∞
1 в пространстве (L p[0, 1])∗
, p∈[1,∞).
.. Пусть X — банахово пространство. Доказать, что для лю-
бого оператора A ∈ B( X , c0) найдётся такая последовательность
функционалов { fn}
∞
1⊂X∗
,ч
то fn 0и(Ax)n = fn( x ) для любого
x ∈ X . Доказать, что наоборот, любая слабо сходящаяся к нулю по-
§ . . Различные виды сходимости в пространстве операторов
следовательность функционалов { fn}
∞
1⊂X∗
порождает оператор
A ∈ B(X , c0)поправилу(Ax)n = fn(x).
§ .. Различные виды сходимости
в прос транс тве операторов
Пусть X и Y — линейные нормированные пространства.
Определение . . Последовательность {An} ⊂ B( X , Y ) сходит-
ся равномерно (по норме) к оператору A ∈ B( X , Y ) (обозначение:
An⇒A),если An−A →0.
Определение .. Последовательность {An} ⊂ B( X , Y ) сходит-
ся сильно коператору A ∈ B( X , Y ) (обозначение: An
s
→ A), если
An x − Ax Y → 0 для любого x ∈ X . Этусходимость называют также
сильной операторной сходимостью.
Заметим, что имеет место несогласованность определений: лю-
бой линейный непрерывный функциона л есть частный случай ли-
нейного ограниченного оператора (пространство Y = ), так что
∗-слабая сходимость функционалов есть частный случай сильной
сходимости операторов. Чтобы избежать путаницы, термин ∗-сла-
бая сходимость употребляют только для случаев Y = или Y =
.Во
всех остальных случаях говорят о сильной сходимости операторов.
Определение . . Последовательность {An} ⊂ B( X , Y ) сходится
слабо коператору A ∈ B(X , Y ) (обозначение: An A), если An( x)
A(x)приn → ∞ для любого x ∈ X . Этусходимость называют так-
же слабой операторной сходимостью.
Заметим, что слабая операторная сходимость не совпадает со
слабой сходимостью в банаховом пространстве B( X , Y ).
Так же, как и для функционалов, определяются сильно фунда-
ментальная и слабо фундаментальная последовательности опера-
торов, сильно ограниченное и слабо ограниченное множества.
Задачи
.◦
. Пусть X и Y — нормированные пространства, последова-
тельности операторов An и Bn сильно сходятся в B( X , Y )к A и B со-
ответственно, а последовательности комплексных чисел αn и βn схо-
дятся к α и β соответственно. Доказать, что αn An + βn Bn
s
→αA+βB.
Доказать, что если An
s
→AиAn
s
→ BвB(X,Y),тоA=B.Доказатьоба
утверждения задачи с заменой сильной операторной сходимости на
слабую операторную сходимость.
.◦
. Доказать, что из равномерной сходимости последователь-
ности операторов из B( X , Y ) следует сильная операторная сходи-
Глава . Теорема Банаха—Штейнгауза. Слабая сходимость
мость, а из сильной операторной сходимости следует слабая опера-
торная сходимость.
.◦
. Привести пример последовательности операторов про-
странства B( X , Y ), сходящейся сильно, но не равномерно. Привести
пример последовательности операторов, сходящейся слабо, но не
сильно.
.◦
. Доказать, что последовательность операторов { An}
∞
1из
B( X , Y ) сходится по норме к оператору A тогда и только тогда,
когда An
s
→ A равномерно на единичном шаре пространства X ,
т. е . для любого >0 найдётся такое число N,чтодлявсякогоx ∈ X,
x X 1идлявсехn > N справедливо неравенство An x − Ax Y
.
Доказать, что последовательность {An}
∞
1 сходится по норме к опе-
ратору A тогда и только тогда, когда An A равномерно на еди-
ничном шаре пространства X и единичном шаре пространства Y ∗
,
т. е . для любого >0 найдётся такое число N,чтодлявсякихx ∈ X,
xX 1иf∈Y∗
,
f Y ∗ 1идлявсехn > N имеет место неравен-
ство |f(Anx − Ax)| .
.◦
. Пусть X и Y — нормированные пространства, причём X ко-
нечномерно. Доказать, что в пространстве B( X , Y ) равномерная и
сильная операторные сходимости совпадают.
.
◦
. Пусть X и Y — нормированные пространства, причём Y ко-
нечномерно. Доказать, что в пространстве B( X , Y )сильнаяислабая
операторные сходимости совпадают.
.. Пусть X — нормированное пространство, а Y — банахово
пространство. Доказать, что пространство B( X , Y ) полно относи-
тельно сильной операторной сходимости.
.. Пусть X и Y — нормированные пространства и Y полно от-
носительно слабой сходимости. Доказать, что пространство B( X , Y )
полно относительно слабой операторной сходимости.
. (Х. Хан, ). Пусть X — банахово пространство, а Y —нор-
мированное пространство. Пусть M ⊂ B( X , Y ) — слабо ограничен-
ноемножествооператоров,т.е.длявсех x∈ X и f ∈Y∗
имеют место
неравенства sup
A∈M
|f(Ax)|< Cf,x < ∞. Доказать, что M ограничено по
норме.1) В частности, любая слабо сходящаяся и любая слабо фун-
даментальная последовательность ограничена по норме.
.. Пусть последовательность непрерывных операторов An в
банаховом пространстве X слабо сходится к A ∈ B( X ). Доказать,
что A lim
n→∞
An . Привести пример, показывающий, что даже
1) Естественно, это утв ерждение ос таётся справедливым, ес ли ус ловие слабой
ограниченнос ти з аменить на условие сильной ограниченности.
§ . . Различные виды сходимости в пространстве операторов
в случае сильной операторной сходимости равенства может не
быть.
Отметим, что утверждение последней задачи в случае сильной
ограниченности является переформулировкой теоремы Банаха—
Штейнгауза ..
.. Пусть X , Y и Z — нормированные пространства, последова-
тельность {An}
∞
1 ⊂ B( X , Y ) сходится (равномерно, сильно или сла-
бо) к оператору A ∈ B(X, Y), а последовательность {Bn}
∞
1 ⊂B(Y,Z)
сходится (равномерно, сильно или слабо) к оператору B ∈ B(Y , Z).
В каждом из девяти возможных случаев исследовать, будет ли по-
следовательность Bn An сходиться к оператору BA, и указать тип схо-
димости.
.. Доказать критерий сильной сходимости операторов. Пусть
X и Y — банаховы пространства. Последовательность операторов
{An}
∞
1 в B(X , Y ) сходится сильно к оператору A тогда и только то-
гда, когда выполнены два условия:
() для любого x ∈ X последовательность { An x }
∞
1 ограничена;
() в X найдётся такое всюдуплотное множество M ,что An x → Ax
для любого x ∈ M.
.. Доказать критерий слабой сходимости операторов. Пусть
X и Y — банаховы пространства. Последовательность операторов
{An}
∞
1 в B( X , Y ) сходится слабо к оператору A тогда и только тогда,
когда выполнены два условия:
() для любых x ∈ X и f ∈ Y∗ последовательность {f(Anx)}∞
1 огра-
ничена;
() в X найдётся такое всюдуплотное множество M ,авY
∗
най-
дётся такое всюдуплотное множество L,что f ( An x ) → f ( Ax) для лю-
быхx∈Mиf∈L.
.. Пусть X и Y — банаховы пространства, пространства X и Y ∗
(а значит, и пространство Y ) сепарабельны и Y рефлексивно. До-
казать, что слабая операторная сходимость в любом ограниченном
множестве пространства B( X , Y ) метризуема (сравните с задачами
. и .).
.. Пусть X и Y — банаховы пространства, пространства X и Y
∗
(а значит, и пространство Y ) сепарабельны и Y рефлексивно. Дока-
зать, что из любой ограниченной последовательности операторов
из B( X , Y ) можно выделить слабо сходящуюся подпоследователь-
ность (т. е . любое ограниченное множество в B( X , Y )секвенциаль-
но предкомпактно относительно слабой операторной сходимости;
сравните с задачами . и .).
. . Привести пример, показывающий, что утверждение преды-
дущей задачи для случая сильной операторной сходимости неверно.
Глава . Теорема Банаха—Штейнгауза. Слабая сходимость
Пример .. Пусть Tr(x1, x2, x3,...)=(0, x1, x2, ...) — оператор пра-
вого сдвига в пространстве
а) lp, p ∈ (1, ∞); б) l1;в)c0;г)c;д)l∞
.
Определить вид сходимости последовательности {T n
r
}∞
1.
Решение. а) Так как
∗
lp = lq, q = p/(p − 1) (см. список сопря-
жённых пространств на с. ), для любого линейного непрерыв-
ного функционала fy , которомусоответствует последовательность
y =(y1, y2,...)∈ lq, имеем
|fy(Tn
r
x)|=
∞
k=n+1
yk xk−n
xlp
∞
k=n
|yk|
q
1/q
→0(n→∞),
посколькуряд | yk |q сходится. Таким образом, T
n
r
0вB(lp)при
p ∈ (1, ∞). Заметим теперь, что T n
r
x = x , т. е. сильной сходимо-
сти к нулю нет. В силу задачи . сильный и слабый пределы (если
они оба существуют) обязаны совпадать. Итак, в пространствах l p ,
p ∈ (1, ∞), операторы T
n
r
сходятся к нулю слабо и не сходятся сильно
или равномерно.
б) Положим x =(1,1/2,1/4, ...)∈l1,аy =(1, −1,1, −1, ...)∈l∞
.
Тогда fy(Tn
r
x) = 2/3причётныхn и fy(Tn
r
x ) = −2/3принечётныхn,
т. е. в пространстве l1 операторы T
n
r
не сходятся ни слабо, ни сильно,
ни равномерно.
в) В пространстве c0 нужно повторить рассуждения пункта а),
поскольку c∗
0 = l1. Получим, что в пространстве c0 операторы T n
r
сла-
бо сходятся к нулю и не сходятся сильно или равномерно.
г) Докажем, что в пространстве c операторы T
n
r
не сходятся ни
слабо, ни сильно, ни равномерно. Функционал f y ∈ c
∗
, соответ-
ствующий элементу y = (y0, y1, y2,...) ∈ l1, действует на элементе
x=(x1,x2
,...)∈ c так: fy(x)=
∞
n=0
ynxn,гдеx0 = lim
n→∞
xn (см. § .).
Пусть T
n
r
T ∈ B(c). С одной стороны, для всякого вектора x =
= (x1, x2
,...)∈ c илюбогоk ∈ выполнено
(Tx)k = fek
(Tx) = lim
n→∞
fek
(Tn
r
x)=lim
n→∞
(Tn
r
x)k=0,
так как (Tn
r
x)k = 0привсехn k (здесь ek = (0,...,0,1
k
,0,0,...)). Таким
образом, Tx = 0длявсякого x ∈ c,т.е
.T = 0. С другой стороны, для
функционала f0 ∈ c∗
, соответствующего элементу y = (1,0,0,...)∈ l1,
имеем f0(T n
r
x)=lim
k→∞
xk = f0(x), откуда f0(Tx) = f0(x) = 0, например,
для x = (1,1,...).
д) Докажем, что в пространстве l∞ операторы T n
r
также не схо-
дятся ни слабо, ни сильно, ни равномерно. Повторим рассужде-
§ . . Различные виды сходимости в пространстве операторов
ния пункта г). Пусть T
n
r
T ∈ B(l∞). Тогда для всякого вектора
x=(x1,x2
,...)∈ l∞ илюбогоk ∈ выполнено
(Tx)k = fek
(Tx) = lim
n→∞
fek
(Tn
r
x)=lim
n→∞
(Tn
r
x)k=0,
т. е . вн овь T = 0. Теперь остаётся рассмотреть функционал LIM
(см. задачу.). Этот функционал инвариантен при сдвигах, а
значит, LIM(T n
r
x)=LIM(x),т.е.T
n
r
не сходятся к нулю слабо.
.. Для следующих последовательностей операторов An опре-
делить вид сходимости (равномерная, сильная, слабая или отсут-
ствует) и найти предел в указанных пространствах:
а)◦ An ∈ B(lp), p ∈ [1, ∞), An(x1, x2
,...)= (0,...,0,xn
n
,0,0...);
б)◦ An ∈ B(X ), где X — нормированное пространство, An x =
x
n
;
в)
◦
An ∈ B(lp), p ∈ [1, ∞), An(x1, x2,...)=(0,...,0,xn
n
, xn+1
n+1
,...);
г)
◦
An ∈ B(lp), p ∈ [1, ∞), An(x1, x2,...) = (λ1,n x1, λ2,n x2,...), где
векторы λn = (λ1,n , λ2, n ,...) лежат в l∞ и сходятся по норме этого
пространства к вектору λ = (λ1, λ2,...);
д) An∈B(lp), p∈[1,∞), An(x1,x2
,...) = (λ1,n x1, λ2,n x2,...), где
|λk,n|<Cиλk,n→λkприn→∞ длялюбогоk∈ (т.е.векторы
λn = (λ1,n, λ2,n,...) сходятся кλ =(λ1, λ2,...) ∗-слабо в l∞);
е)
◦
An∈B(X),гдеX=lp, p∈[1,∞),X =c0 или X =c, An(x1,x2,...)=
= (xn, xn+1,...) (т.е. An = T
n
l ,гдеTl — оператор левого сдвига);
ж) An ∈ B(C[0,1]), (Anx)(t) =
t
0
n
k=0
sk
k!
x (s) ds;
з) An ∈ B(C[0,1]),(Anx)(t)=
1−1/n
1/n
K(t, s)x(s) ds,гдеK(t, s)—непре-
рывная на квадрате [0, 1]2 функция;
и) An∈B(C[0,1]),(Anx)(t)=
1
0
Kn(t , s) x (s) ds,где Kn(t, s)—непре-
рывные на квадрате [0, 1]2 функции, равномерно сходящиеся к
функции K(t, s);
к) An ∈ B(C[0,1]),(Anx)(t)=
1
0
Kn(t, s)x(s) ds,гдеKn(t, s)—рав-
номерно ограниченные по n, непрерывные на квадрате [0, 1]2 функ-
ции, поточечно сходящиеся к непрерывной функции K (t, s);
л) An∈B(C[0,1]), An = A
n
,где(Ax)(t) =
t
0
x (s) ds;
Глава . Теорема Банаха—Штейнгауза. Слабая сходимость
м) An∈B(C[0,1]), An= A
n
,где(Ax)(t) =
t
0
K(t, s)x(s)ds,аK(t, s)—
непрерывная на треугольнике {(t, s): 0 s t 1} функция;
н) An ∈ B(L2[0,1]), An = A
n
,где(Ax)(t) =
t
0
K(t, s)x(s)ds,аK ∈
∈ L2([0, 1]2);
о) An ∈ B(L2[0,1]), (Anx)(t) =
1
0
Kn(t, s)x(s) ds,гдеKn ∈ L2([0, 1]2)
и Kn→K вL2([0,1]2);
п) An ∈ B(C1[0,1],C[0,1]), (Anx)(t) =
n
k=0
x (k/n)Pk,n(t)—интер-
поляционный многочлен Лагранжа для функции x (t), где Pk,n (t) =
=
n
j=0, j =k
(t−tj)
(tk − tj)
,аtk = k/n;
р)An∈B(C1
per[−π, π], C[−π, π]), где C1
per [−π, π] — подпростран-
ство пространства C 1[−π, π], состоящее из функций, удовлетво-
ряющих условиям x(−π) = x(π), x (−π) = x (π), (Anx)(t) =
a0
2
+
+
n
k=1
(ak cos kt + bk sin kt) — частичная сумма ряда Фурье для функ-
ции x(t), где ak =
1
π
π
−π
x (t)coskt dt, bk =
1
π
π
−π
x (t)sinkt dt;
с) An ∈ B(C[0,1]), (Anx)(t) = x(t1+1/n);
т) An∈B(Lp[0,1]), p∈[1,∞],(Anx)(t)=
x(t),еслиt<1−1/n,
0,
еслиt>1−1/n;
у)An∈B(Lp[0,1]),p∈[1,∞),(Anx)(t)=
n
k=1
n
tk
tk−1
x(s) dsχk,n(t), где
χk,n(t) — характеристическая функция отрезка [tk−1, tk], а tk = k/n;
ф) An ∈ B(Lp[0,1]), p ∈ [1, ∞], (Anx)(t) = an(t)x(t), где функции
an∈L∞[0,1]иan→aвL∞[0,1];
х) An ∈ B(Lp[0,1]), p ∈ [1, ∞], (Anx)(t) = an(t)x(t), где функции
an ∈ C[0, 1] равномерно по n ограничены в этом пространстве и по-
точечно сходятся к функции a(t);
ц)* An ∈ B(Lp[−π, π]), p ∈ [1, ∞],
(Anx)(t) =
a0
2
+
n
k=1
(akcoskt+bksinkt)
—
частичная сумма ряда Фурье для функции x (t), где
ak=
1
π
π
−π
x(t)coskt dt, bk =
1
π
π
−π
x (t)sinkt dt;
§ . . Различные виды сходимости в пространстве операторов
ч) An∈B(Lp[0,1]),p∈[1,∞],
(Anx)(t)=
x(t +1/n),
еслиt+1/n 1,
x(t+1/n−1), еслиt+1/n>1;
ш)An∈B(Lp[0,1]),p∈[1,∞],An = A
n
,(Ax)(t) = x (φ(t)), где
φ(t) ∈ L∞[0, 1] отображает отрезок [0, 1] в себя;
щ)An∈B(Lp( )),p∈[1,∞],(Anx)(t)=x(t+1/n);
ы)An∈B(Lp( )),p∈[1,∞],(Anx)(t)=x(t+n).
. . Пусть X и Y — нормированные пространства, последова-
тельность {An}
∞
n=1 ⊂ B( X , Y ) равномерно, сильно или слабо сходит-
ся к оператору A ∈ B(X, Y), а последовательность {xn}
∞
n=1⊂Xпо
норме или слабо сходится к вектору x ∈ X . В каждом из шести воз-
можных случаев исследовать, будет ли последовательность {An x n}
∞
1
сходиться к вектору Ax, и указать тип сходимости.
. . Пусть X и Y — банаховы пространства, A : X → Y —линей-
ный оператор, который переводит любую сходящуюся по норме X
последовательность в слабо сходящуюся последовательность из Y .
Доказать, что A∈B(X,Y).
.* (П. П . Коровкин, ). Пусть Ln ∈ B(C[0, 1]), n ∈ ,—поло
-
жительные операторы (т. е . для любой неотрицательной функции
x ∈ C[0, 1] её образы Ln x — тоже неотрицательные функции). Дока-
зать, что если Ln(1)→1,Ln(t)→t и Ln(t2)→t
2
,тоLnx → x для лю-
бой функции x ∈ C[0,1] (т. е. Ln
s
→ I).
Указание. Воспользоваться тем, что для любой непрерывной
функции x илюбого >0 найдётся такое C = C( , x) > 0, что
−
−
C(t − t0)
2
<x(t)−x(t0)< +C(t−t0)
2
длявсех t,t0 ∈[0,1].
Глава
Сопряжённые операторы
§ .. Сопряжённые операторы
в банаховом прос транс тве
Пусть X и Y — нормированные пространства, A ∈ B(X, Y). Для
произвольного функционала g ∈ Y ∗ определим на X линейный функ-
ционалAg:=g◦A,т
.
е.(A g)(x):= g(Ax) для любого x ∈ X .Лег-
ко видеть, что отображение A линейно и корректно определено,
так как A g есть непрерывный функционал на пространстве X ,при-
чём AgX∗
A B(X ,Y ) g Y ∗ . Таким образом, оператор A отобража-
ет пространство Y ∗ в пространство X ∗ линейно и непрерывно (при-
чём A B(Y∗
,X
∗
) A B(X,Y)).
Определение .. Оператор A ∈ B(Y ∗
,X
∗
) называется банахо-
вым сопряжённым оператором для оператора A.
Действие банахова сопряжённого оператора хорошо иллюстри-
руется следующей коммутативной диаграммой:
X
A
/
/
Af
@
@
@
@
@
@
@
Y
f
Теор е ма . (Ф. Рисс, ). Норма оператора A совпадает с нор-
мой оператора A, т. е . операция сопряжения сохраняет норму.
Легковидеть также, что если α,β ∈ , A,B∈B(X,Y)иC ∈B(Y,Z),
то(αA+βB)=αA +βB,а(CA)=AC .
Второй сопряжённый оператор A отображает пространство X
∗∗
в пространство Y
∗∗
.ПустьπX:X →X
∗∗
, πY:Y→Y
∗∗
—к
анониче-
ские вложения. Нетрудно видеть, что A ◦ π X = πY ◦ A,т.е
.с
ледую-
щая диаграмма коммутативна:
X
A
/
/
πX
Y
πY
X∗∗
A
/
/
Y∗∗
§ .. Сопряжённые операторы в банаховом пространстве
Задачи
.. Доказать теорему. .
.
◦
. Пусть X,Y , Z — нормированные пространства, A, B∈B(X,Y),
C∈B(Y,Z), α,β∈ .Доказать, что
а)(αA+βB)=αA +βB;б)(CA)=AC .
.
◦
. Пусть X и Y — банаховы пространства, A ∈ B(X , Y )ипосле-
довательность gn
∗
gвY
∗
. Доказать, что A gn
∗
AgвX
∗
.
Пример . . В пространстве C[−1, 1] задан ограниченный опе-
ратор A,(Ax)(t) = x (t2), t ∈ [−1, 1]. Найти A .1)
Решение. По определению, A ∈ B((C[−1, 1])∗), а значит A ∈
∈ B(BV0[−1, 1]). Для произвольного функционала g y , порождён-
ного функцией y ∈ BV0[−1, 1], необходимо вычислить композицию
Ag=g◦A.Имеемg(x)=
1
−1
x (t) dy(t), так что
(A g)(x) =
1
−1
x(t2)dy(t)= −
1
0
x(s)dy(− s)+
1
0
x(s)dy( s)=
=
1
0
x (s) dz(s).
Таким образом, функционал A g y задаётся функцией
z(t) =
0п
р
и
t∈[−1,0];
y( t)−y(− t)пр
иt ∈[0,1],
такчтоJ−1AJ:y→z.
. . Найти сопряжённые операторы в следующих случаях.
а)
◦
X — произвольное нормированное пространство, A = λI , λ ∈
∈.
б) X — конечномерное пространство над полем ,операторA
записан матрицей M в некотором линейном базисе. Пусть в про-
странстве X
∗
= X выбран тот же базис. Найти матрицуоператора A .
в)
◦
X и Y — банаховы пространства, X ⊂ Y как линейное под-
пространство,
·
Y ≺ · X на X, J ∈B(X,Y)—оператор вложения,
т.е.J:x→x;
г)◦ X = X0 ⊕ X1 — банахово пространство, X0 , X1 —его замкну-
тые подпространства, P ∈ B( X ) — оператор проектирования на X0
вдоль X1.
1) В этом примере и в нижес ледующих з адачах с лова «найти сопряжённый опе-
ратор A », с трого говоря, означают «найти оператор J −1 A J », где J : X ∗
→Y—изо
-
метрический изоморфизм прос транства X
∗
на конкретное банахово пространс тв о Y
(список этих изометрических из оморфизмов прив едён на с. ).
Глава . Сопряжённые операторы
.
◦
. Найтисопряжённыйоператор A для оператора A впро-
странствах lp, p ∈[1, ∞), и c0:
а) A(x1, x2
,...)=(x2, x3
,...), т.е. A = Tl —левый сдвиг;
б) A(x1, x2
,...)=(0, x1
,x
2,...), т.е. A = Tr —правый сдвиг;
в) A(x1, x2,...)= (λ1x1, λ2 x2,...),{λn}
∞
n=1 ∈ l∞;
г) A(x1, x2
,...)= x2
,
x3
2
,...,
xn+1
n
,....
.. Найтисопряжённыйоператор A для следующих операто-
ров A:
а)
◦
A ∈ B(C[0, 1]), (Ax)(t) = a(t)x(t), a ∈ C[0, 1];
б) A ∈ B(Lp[0,1]), p ∈[1, ∞), (Ax)(t) = a(t)x(t), a ∈ L∞[0,1];
в) A ∈ B(Lp[0,1]), p ∈ [1, ∞), (Ax)(t) =
t
0
x (s) ds;
г) A∈B(Lp[0,1]), p∈[1,∞),
(Ax)(t) =
x(t + a),
еслиt+a 1,
x(t+a−1), еслиt+a>1,
где a∈[0,1];
д)◦ A ∈ B(C[0, 1]), (Ax)(t) =
1
0
K(t, s)x(s) ds,гдеK ∈ C([0, 1]2);
е) A ∈ B(C[0, 2]), (Ax)(t) =
x(t), если t ∈ [0,1],
x(1), если t ∈ [1,2];
ж) A ∈ B(C1[0, 1], C[0,1]), (Ax)(t) = x (t);
з) A∈B(C[0,1]),(Ax)(t)= x(0)+tx(1)+t2
1
0
x (s) ds.
.. Найти сопряжённый оператор A для оператора A впрост-
ранстве C[a, b]: ( Ax)(t) =
n
i=1
αi(t)fi(x), где αi ∈ C[a, b]), fi ∈ (C[a, b])∗
,
fi(x) =
b
a
x (t) dwi(t), wi ∈ BV 0[0, 1].
.. Пусть оператор S в c∗
0 = l1 задан формулой S :(x1, x2
,x
3,...)→
→
∞
k=1
xk, x2, x3,... . Доказать, что S является линейным изомор-
физмом в l1, но не является сопряжённым ни для какого оператора
T ∈ B(c0).
.. Пусть X и Y — банаховы пространства, A ∈ B(X, Y). Обозна-
чим канонические вложения π X : X → X
∗∗
, πY:Y→Y
∗∗
. Доказать,
чтоA ◦πX=πY◦A.
§ . . Сопряжённые операторы в гильбертовом пространстве
.. Пусть X и Y — банаховы пространства, A ∈ B( X , Y ). Дока-
зать, что
а)еслиImA=Y,тоKerA ={0};
б)еслиKerA ={0},тоImA=Y;
в)еслиImA =X
∗
,тоKerA = {0};
г) если X рефлексивно иKerA={0}, то ImA =X
∗
.Привести
пример нерефлексивного пространства X и оператора A ∈ B( X )с
KerA={0}иImA =X
∗
.
.. Пусть X и Y — банаховы пространства, A ∈ B(X, Y). Дока-
зать, что (Im A)⊥ = Ker A ,а(KerA)⊥ ⊇ Im A (напомним, что для
произвольного множества M ⊂ X множество M ⊥ = { f ∈ X ∗
: f(x)=
= 0длявсякого x ∈ M }). Привести пример, когда последнее вклю-
чение строгое.
. . Пусть X и Y — банаховы пространства, A ∈ B( X , Y ). Дока-
зать, что если A —сюръекция, то (KerA)⊥ = Im A .
.. Пусть X и Y — банаховы пространства, A ∈ B(X, Y). Дока-
зать, что (Im A )⊥ = Ker A,(KerA )⊥ = Im A (здесь для множества
M⊂X∗
обозначено M⊥ = {x ∈ X : f(x)=0длявсякогоf ∈M}).
Из теоремы . следует, что операция сопряжения непрерывна
относительно равномерной операторной сходимости.
.. Пусть X и Y — банаховы пространства, An
s
→ A в B(X,Y).
Сходится ли последовательность {An}
∞
n=1
сильно к A в B(Y∗
,X
∗
)?
Сходится ли она слабо? Ответьте на те же вопросы при условии ре-
флексивности X или Y .
§ .. Сопряжённые операторы в гильбертовом
пространстве. Унитарные и нормальные операторы
В гильбертовом пространстве кроме банахова сопряжённого
оператора рассматривают эрмитов (гильбертов) сопряжённый опе-
ратор A∗
.
Определение . . Пусть H1 и H2 —гильбертовыпространства,а
A ∈ B(H1, H2). Оператор A∗ ∈ B(H2, H1) называют гильбертовым со-
пряжённым оператором для оператора A,если
(Ax, y)H2
=(x,A
∗
y )H1
длялюбыхx∈H1, y∈H2.
Гильбертов сопряжённый оператор существует и единствен для
любого линейного непрерывного оператора A ∈ B(H1, H2). Так же
как и операция банахова сопряжения (см. теорему.), опера-
Глава . Сопряжённые операторы
ция гильбертова сопряжения сохраняет норму, т. е. A
∗
B(H2,H1) =
= A B(H1,H2). Отличие в том, что (αA+ βB)∗
=̄̄
αA∗+ ̄̄βB∗(α,β∈ ).
Далее, (CA)∗
=A
∗
C∗
, а второй сопряжённый оператор A∗∗ совпадает
с оператором A.
Вслучае,когдаоператор A отображает гильбертово простран-
ство H в себя, оператор A∗ действует также в пространстве H .
Определение . . Оператор A ∈ B(H ) называется самосопряжён-
ным,если A = A
∗
.
Напомним (см. определение . и задачу.), что оператор
A ∈ B(H1, H2) в гильбертовых пространствах является изометрией
(т. е. Ax = x для любого x ∈ H1) тогда и только тогда, когда он
сохраняет скалярное произведение (т. е . ( Ax, Ay ) = ( x , y) для любых
x,y∈H1).
Определение .. Оператор U ∈ B(H1, H2), где H1 и H2 —гиль
-
бертовы пространства, называется унитарным,еслионизометри-
чен и биективен.
Это определение можно записать в эквивалентном виде: UU
∗
=
=IH2иU
∗
U=IH1
.
Введём ещё один важный класс операторов — нормальные опе-
раторы.
Определение . . Оператор A, действующий в гильбертовом
пространстве H , называется нормальным, если он коммутирует со
своим сопряжённым, т. е . AA
∗
=A
∗
A.
Нетрудно видеть, что любой самосопряжённый или унитарный
оператор является нормальным.
Задачи
. . Доказать следующие свойства операции сопряжения (здесь
H1 и H2 —гильбертовыпространства, A ∈ B(H1, H2)):
а) для всякого оператора A существует единственный сопряжён-
ный оператор A∗ ∈ B(H2, H1);
б) A∗∗
=A;
в) (αA+βB)∗
=̄̄
αA
∗
+ ̄̄βB∗;
г) A∗
=A;
д) если H3 — гильбертово пространство, B ∈ B(H2, H3), то (BA)∗
=
=A
∗
B∗
.
В теореме . для гильбертова пространства H был определён
оператор J:H →H
∗
—
изоморфизм Рисса. Напомним, что изомор-
физм Рисса отличен от упоминавшегося в примере . изометриче-
ского изоморфизма тем, что J(λx ) =
̄
̄
λJx.
.◦
. Используя изоморфизм Рисса, установить для произволь-
ного оператора A ∈ B(H1, H2) соотношение A
∗
=J
−1
H1
A JH2
,т.е
.дока-
§ . . Сопряжённые операторы в гильбертовом пространстве
зать коммутативность следующей диаграммы:
H1
JH1
A
'
'
H2
A∗
o
o
JH2
H∗
1
H∗
2
A
o
o
Пример .. Найти гильбертов сопряжённый оператор к опера-
тору A: L2[0,1]→W1
2 [0,1], (Ax)(t) =
t
0
x(s)ds, t∈[0,1].
Решение. Положим A∗y = z,гдеy ∈ W1
2 ,аz ∈ L2,изапишемра-
венство (Ax, y)W1
2
= (x, z)L2
, справедливое для всякого x ∈ L2:
1
0
(Ax) (t)y (t)dt+
1
0
(Ax)(t)y(t)dt =
1
0
x (t)z(t) dt.
Тогда
1
0
x(t)z(t)dt =
1
0
x(t)y (t)dt+
1
0
t
0
x(s)ds y(t)dt.
Меняя порядок интегрирования в последнем слагаемом, получим
1
0
x(t) z(t)−y(t)−
1
t
y(s)ds dt=0,
что в силупроизвольности функции x влечёт
(A∗y)(t)=z(t)=y(t)+
1
t
y(s)ds, t∈[0,1].
.◦
. Найти сопряжённые операторы A∗ для следующих операто-
ров в пространстве L2[0, 1]:
а) Ax(t) =
t
0
x(s) ds;б
)
Ax(t) =
1
0
sx(s) ds;
в) Ax(t) =
1
0
tx(s) ds;г
)
Ax(t) =
1
0
t 2 sx(s) ds;
д) Ax(t) =
1
0
(ts + s)x(s) ds;е
)Ax(t) =
t
0
sx(s) ds;
ж) Ax(t) =
t
0
s
2
x (s) ds;з
)
Ax(t) = a(t)x(t), a ∈ L∞[0, 1].
Глава . Сопряжённые операторы
В пункте з) найти A и сравнить его действие с действием операто-
ра A∗
.
.. Пусть оператор A ∈ B(l2) в некотором ортонормированном
базисе задан матрицей {aij }∞
i,j=1
. Доказать, что A в этом же базисе
задаётся матрицей {a ji}
∞
i,j=1
,аA
∗
задаётся матрицей {̄a ji}
∞
i,j=1
.
.◦
. Найти сопряжённые операторы A∗ для следующих операто-
ров в пространстве l2 :
а) Ax = (x1, x2,...,xn
n
,0,0,...);
б)Ax=(0,x1
,0,x3
,...,0, x2n−1
2n
,0,...);
в) Ax = (0, x1,0,x2,...,0,xn
2n
,0,...);
г) Ax = (0, x1, x2, x3,...) —правый сдвиг;
д) Ax = (x2, x3, x4,...) —левыйсдвиг;
е) Ax = (xn+1, xn+2,...);
ж) Ax = (λ1x1, λ2 x2, λ3 x3,...), где {λn}
∞
1 ∈l∞;
з) Ax = (x1, x2, x4, x8,...,x2
n−1
n
,...).
В пункте ж) найти A и сравнить его действие с действием операто-
ра A∗
.
.
◦
. Найти эрмитовы сопряжённые операторы для операторов
левого и правого сдвигов в пространстве l2( ).
.
◦
. Найти сопряжённые операторы A и A
∗
к интегрально-
муоператору( Ax)(t) =
b
a
K(t, s)x(s) ds в пространстве L2[a, b], где
K ∈ L2([a, b]2). Найти условия на функцию K , при которых опера-
тор A самосопряжён.
.
◦
. При каких условиях на последовательность {λn}
∞
1 ∈l∞опе-
ратор Ax = (λ1 x1, λ2 x2, λ3 x3,...) в пространстве l2 является самосо-
пряжённым? При каких условиях на функцию a ∈ L∞[0, 1] оператор
(Bx)(t) = a(t) x(t)впространствеL2[0, 1] является самосопряжён-
ным?
. . Найти сопряжённый оператор A∗
к операторузамены пере-
менной
а) A: L2[0,1]→L2[0,1],(Ax)(t)= x( t);
б) A : L2[0, 1] → L2[0, 1], (Ax)(t) = x(φ(t)), где φ(t)—непрерыв-
ная функция, отображающая отрезок [0, 1] в себя со свойством
φ(t)>0длялюбогоt∈[0,1].
.. Найти сопряжённые операторы A
∗
для следующих операто-
ров:
а)◦ H — произвольное гильбертово пространство, y и z —фик-
сированные векторы, Ax = ( x , y)z;
§ . . Сопряжённые операторы в гильбертовом пространстве
б)A:L2( )→L2( ),Ax(t)=x(t+a);
в)* A:W1
2[0,1]→L2[0,1], Ax= x;
г)* A: W1
2[0,1]→L2[0,1], Ax=x .
Указание. Получить описание действия оператора A∗ y = z на
плотном множестве гладких функций, решив краевую задачу −z +
+z=y,z(0)=z(1)=0впунктев),атакжекраевуюзадачу−z +
+z= −y , z(0)=y(0), z(1)=y(1)впункте г).Далее воспользо-
ваться задачей ..
.
◦
. Пусть H0 — подпространство гильбертова пространства H ,
инвариантное относительно оператора A ∈ B(H ). Доказать, что H ⊥
0
инвариантно относительно A
∗
.
.◦
. Пусть гильбертово пространство H разложено в прямую
сумму замкнутых подпространств H = H0 ⊕ H1, и пусть задан про-
ектор P на подпространство H0 вдоль H1. Доказать, что H0 ⊥ H1 ⇔
⇔P=P
∗
(ср. с задачей .).
.. Пусть H — гильбертово пространство, а P1 и P2 — ортопро-
екторы на подпространства H1 и H2. Доказать эквивалентность сле-
дующих утверждений:
()P1 P2(т.е.((P2−P1)x,x) 0длялюбогоx∈H);
()H1⊆H2;
() P1P2 = P2P1 = P1;
() P2 − P1 — ортопроектор.
.
◦
. Пусть P1 и P2 — ортопроекторы в гильбертовом простран-
стве H на подпространства H1 и H2 . При каких условиях на P1 и P2
(при каких условиях на H1 и H2) следующие операторы также явля-
ются ортопроекторами: а) P1 + P2;б)P1 P2? В том случае, когда эти
операторы являются ортопроекторами, найти их образы и ядра.
.◦
. Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ B(H ). Доказать,
что
а) Ker(A∗) = (Im A)⊥;б)KerA = (Im A∗)⊥;в)Im A = (Ker A∗)⊥;
г)ImA∗
= (Ker A)⊥.
.. Пусть H — гильбертово пространство, A∈B(H )иdimImA=
= n < ∞. Доказать, что dimIm(A∗) = n.
.. Пусть H1 и H2 — гильбертовы пространства, причём про-
странство H2 сепарабельно. Доказать, что если существует инъек-
тивный оператор A ∈ B(H1, H2), то пространство H1 также сепара-
бельно. Верно ли это утверждение для банаховых пространств?
.
◦
.
Пусть H1 и H2 —гильбертовы пространства, {An}
∞
1⊂
⊂ B(H1, H2)иAn ⇒ A ∈ B(H1, H2). Доказать, что A
∗
n
⇒A∗
. Доказать,
чтоесли An A∈B(H1,H2),то A∗
n
A∗
.
.. Привести пример такой последовательности операторов
{An}
∞
1 ⊂ B(H1, H2) в гильбертовых пространствах H1 и H2,что
Глава . Сопряжённые операторы
An
s
→ A ∈ B(H1, H2), но последовательность {A∗
n
}∞
1 не имеет силь-
ного предела.
.. Пусть H1 и H2 — гильбертовы пространства. Доказать, что
оператор U ∈ B(H1, H2) унитарен (см. определение .) тогда и толь-
ко тогда, когда выполнены оба равенства UU
∗
= IH2
иU
∗
U=IH1
.При-
вести пример не унитарного оператора, для которого выполнено од-
но из этих равенств.
.
◦
. При каких условиях на последовательность {λn}
∞
1 ∈l∞опе-
ратор Ax = (λ1x1, λ2 x2, λ3 x3, ...) является унитарным в простран-
стве l2? При каких условиях на функцию a ∈ L∞[0, 1] оператор
( Ax)(t) = a(t) x (t) является унитарным в пространстве L2[0, 1]?
.◦
. Доказать, что оператор сдвига ( Ax)(t) = x (t − a)унитарен
вL2().
.◦
. Доказать, что операторы левого и правого сдвига унитар-
ны в пространстве l2( ).
.. Пусть H — гильбертово пространство, а U ∈ B(H ). Дока-
зать, что если {en }
∞
1 — некоторый ортонормированный базис в H
исистема{Uen }
∞
1 также является ортонормированным базисом, то
U унитарен. Обратно, доказать, что если оператор U унитарен, то
он переводит любой ортонормированный базис в ортонормирован-
ный базис.
Определение .. Оператор W ∈ B(H , K), где H и K —гильбер-
товы пространства, называется частично изометрическим опера-
тором (частичной изометрией), если H = H1 ⊥
⊕H2,K=K1⊥
⊕ K2,
H2 = Ker W и W : H1 → K1 — изометрический изоморфизм.
.. Пусть H1 и H2 —гильбертовыпространства,W ∈ B(H1, H2).
Доказать, что W является частично изометрическим оператором то-
гда и только тогда, когда WW
∗
W = W . Как действует оператор W∗?
Пример .. Доказать, что оператор
A: x(t) →
1
3 x(t)+x t+
2π
3+xt+
4π
3
(здесь сложение в аргументах функций — по модулю 2π)является
частичной изометрией в пространстве L2[0, 2π].
Решение. Разложим функцию x (t) в ряд Фурье по системе
en(t) =
1
2π
e
int
n∈
.
Легко видеть, что A : en → en ,еслиn = 3k,и A : en → 0иначе.Обо-
значим H1 = Lin{e3n}n∈ и H2 = H⊥
1 . Тогда оператор A изометрично
отображает подпространство H1 на себя и тождественно равен ну-
лю на подпространстве H2 .
§ . . Сопряжённые операторы в гильбертовом пространстве
.*. Преобразованием Гильберта функции x ∈ L2[0, 2π]назы-
вают функцию y(t) =
1
2π
2π
0
x (s)ctg
t−s
2
ds.1) Доказать, что оператор
A : x → y является частичной изометрией.
Указание. Разложить функцию x в ряд Фурье и доказать, что
A :sin(nt) →−cos(nt)и A :cos(nt) → sin(nt).
.◦
. Доказать, что операторы левого и правого сдвига являются
частичными изометриями пространства l2.
.◦
. При каких условиях на последовательность {λn}
∞
1 ∈l∞опе-
ратор Ax = (λ1 x1, λ2 x2, λ3 x3, ...) является частичной изометрией в
пространстве l2? При каких условиях на функцию a ∈ L∞[0, 1] опера-
тор ( Ax)(t) = a(t) x(t) является частичной изометрией в простран-
стве L2[0, 1]?
.◦
. Пусть H — гильбертово пространство. Доказать, что мно-
жество а) унитарных, б) изометрических операторов замкнуто в
B(H ). Доказать, что композиция унитарных (изометрических) опе-
раторов является унитарным (соответственно изометрическим)
оператором.
.. Доказать, что и слабый, и сильный предел самосопряжён-
ных операторов (если он существует) есть самосопряжённый опе-
ратор. Доказать, что и слабый, и сильный предел унитарных опе-
раторов — унитарный оператор, а сильный предел ортогональных
проекторов — ортогональный проектор. Привести пример, показы-
вающий, что слабый предел ортогональных проекторов не обязан
быть проектором.
.◦
. Пусть H — гильбертово пространство а) над ;б)над .
Является ли множество самосопряжённых операторов замкнутым
подпространством в пространстве B(H )? Доказать, что компози-
ция двух самосопряжённых операторов является самосопряжённым
оператором тогда и только тогда, когда эти операторы коммутиру-
ют.
.. Пусть A и B — два самосопряженных оператора в ком-
плексном гильбертовом пространстве H .Длявсякого x ∈ H , x = 0,
определяется
UC(x) =
Ax−
(Ax, x)x
x2
·
Bx−
(Bx, x)x
x2
|((AB−BA)x,x)|
—
константа неопределенности, соответствующая паре операто-
ров A, B для элемента x (если знаменатель дроби равен нулю, то
UC(x):= ∞). Доказать, что всегда выполнено неравенство UC(x)
1
2
.
1) Функцию y назыв ают ещё тригонометрической сопряжённой к функции x .
Глава . Сопряжённые операторы
.
◦
. Пусть H — гильбертово пространство, A — самосопряжён-
ный оператор. Может ли образ Im A быть незамкнутым?
.◦
. Пусть H — гильбертово пространство, A — самосопряжён-
ный оператор. Доказать, что Im A = H тогда и только тогда, когда
KerA={0}.
.. Пусть H — гильбертово пространство, A — самосопряжён-
ный оператор, x /∈ Ker A. Доказать, что последовательность αn =
=A
n+1
x / An x сходится.
. . Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ B(H ). Доказать,
что Ker(AA∗) = Ker A
∗
,Ker(A∗ A) = Ker A.Верноли,что
а) Im(AA∗) = Im A;б)Im(A∗A) = Im A
∗
?
.. Пусть A = A
∗
. Доказать, что A = sup
x=1
|( Ax, x )|.Привести
пример несамосопряжённого оператора, для которого эта формула
неверна.
. . Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ B(H ). Доказать,
что AA∗
=A
∗
A=A2.
.
◦
. Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ B(H ). Доказать,
что существует единственная пара таких самосопряжённых опера-
торов Are и Aim,чтоA = Are + iAim.
Определение . . Оператор A в гильбертовом пространстве H
называется положительным (неотрицательным), если его квад-
ратичная форма ( Ax, x ) положительна (неотрицательна) для всех
x = 0. Обозначение: A > 0или A 0. Неравенство A B означает,
чтоA−B 0.
.. Пусть H — гильбертово пространство. Доказать, что для
самосопряжённых операторов в нём выполнены следующие утвер-
ждения:
а)еслиA BиB A,тоA=B;
б)еслиA BиB C,тоA C;
в)еслиA1 B1иA2 B2,тоA1+B1 A2+B2;
г)еслиA Bиk>0,тоkA kB;
д) если A B,тодлявсякогоC ∈ B(H) C∗ AC C
∗
BC;
е)еслиA B,C 0иAC=CA,BC =CB,тоAC BC;
ж)еслиαI A βI,то A
max(α, β ), α, β>0;
з)если−B A B,то A
B.
. . Доказать, что для положительного оператора A справедли-
во обобщённое неравенство Коши—Буняковского:
|(Ax, y)|2 (Ax, x)(Ay, y).
.. Пусть последовательность {An}
∞
1 положительных операто-
ров слабо сходится к нулю. Доказать, что An сходятся к нулю сильно.
§ . . Сопряжённые операторы в гильбертовом пространстве
.. Пусть A и B — ограниченные операторы в гильбертовом
пространстве H . Доказать, что неравенство A∗ A B
∗
B эквивалент-
но системе неравенств Ax
Bx длялюбогоx∈H.
.
◦
. Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ B(H ). Доказать,
что AA
∗
0.
Легко видеть, что выражение ( Ax, x ) вещественно для любого
вектора x из комплексного гильбертова пространства, если опера-
тор A самосопряжён. Оказывается, верно и обратное.
.. Пусть H — комплексное гильбертово пространство, A ∈
∈ B(H). Доказать, что если для любого x ∈ H квадратичная форма
( Ax, x ) вещественна (в частности, если оператор положителен), то
A∗
=A.
.◦
. Пусть H — гильбертово пространство, A и B — самосопря-
жённые операторы и A 0. Доказать, что BAB 0.
.. Пусть H — гильбертово пространство, A и B — самосопря-
жённые операторы, 0 A B и AB = BA. Доказать, что AB 0и
A2B
2
. Привести примеры, показывающие, что условие AB = BA
в этом утверждении существенно.
.. Пусть H — гильбертово пространство, а последователь-
ность {An}
∞
1 самосопряжённых операторов из B(H ) монотонно не
убывает, т. е. A1 A2 A3 ... Доказать, что такая последователь-
ность имеет предел в смысле сильной операторной сходимости, но
не обязательно имеет предел в смысле равномерной операторной
сходимости.
.*. Пусть H — гильбертово пространство, A — самосопряжён-
ный оператор и A 0. Доказать, что существует единственный са-
мосопряжённый неотрицательный оператор B,длякоторогоB
2
=A.
Указание. Рассмотреть рекуррентную последовательность
B0=0, Bn+1=
1
2
(I−A+B
2
n
), n=0,1,...,
иприменитьзадачу..
Этот оператор B называют квадратным корнем из оператора A
иобозначают A.
.
◦
. Для следующих операторов A найти A:
а) Ax = (λ1x1, λ2 x2, λ3 x3,...), где{λn}
∞
1∈l∞,λn 0;
б) (Ax)(t) = a(t)x(t), где a ∈ L∞[0,1], a(t) 0 для любого t ∈ [0,1];
в) A — ортопроектор в гильбертовом пространстве H ;
г) (Ax)(t) =
1
0
tsx(s) ds.
.◦
. Пусть H — гильбертово пространство, A — самосопряжён-
ный оператор и A 0. Доказать, что
A=A.
Глава . Сопряжённые операторы
.. Показать, что из неравенств 0 A B для операторов в
гильбертовом пространстве следует неравенство A B.
.. Доказать, что в гильбертовом пространстве всякий само-
сопряжённый оператор есть линейная комбинация двух унитарных
операторов. Как следствие, всякий ограниченный оператор есть ли-
нейная комбинация четырех унитарных.
.. Пусть H1 и H2 — гильбертовы пространства, а оператор
A ∈ B(H1, H2). Доказать, что существует такой частично изометри-
ческий оператор W : H1 → H2 и такие неотрицательные операторы
S ∈ B(H1)иR ∈ B(H2), что A = WS = RW . При этом пара операторов
W , S однозначно определена условием Ker W = Ker S,апараW , R —
условием (Im W )⊥ = Ker R.
Указание. Взять S = A
∗
A,R= AA
∗
.
Определение .. Представления A = WS = RW (см. задачу.)
называют полярным разложением оператора A.
Условие частичной изометрии оператора W нельзя заменить
на условие изометрии. Действительно, из построения операторов
W и S следует, что Ker W = Ker S = Ker A,азначит,W будет изомет-
рией тогда и только тогда, когда оператор A инъективен.
Пример .. Найти полярное разложение A = WS = RW для опе-
ратора A : x(t) → x ( t )впространствеL2[0, 1].
Решение. В задаче . был найден оператор A∗
: x(t) → 2tx(t2).
То г д а ( A∗ Ax)(t) = 2tx(t), а значит, (Sx)(t) = 2tx(t). Отсюда следу-
ет, что (Wx)(t) =
x( t)
4
4t
.Наконец,(AA∗
x)(t)=2 tx(t), т. е. (Rx)(t)=
=
4
4tx(t).
.. Найти полярное разложение A = WS = RW для оператора
A ∈ B(H)вслучае
а) H = L2[0,1], Ax(t) = a(t)x(t), где a ∈ L∞[0,1];
б) H =l2, A(x1, x2,...)=(0, x1, x2,...).
.. Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ B(H ). Доказать,
что существует единственный самосопряжённый неотрицатель-
ный оператор B ∈ B(H) такой, что для любого x ∈ H выполнено
Ax=Bx.
Очевидно, что любое замкнутое подпространство гильбертова
пространства является образом некоторого самосопряженного опе-
ратора (достаточно рассмотреть ортопроектор на это подпростран-
ство). Утверждение следующей задачи показывает, что условие за-
мкнутости подпространства не является необходимым.
.. Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ B(H )иH0 := Im A.
Доказать, что найдётся такой самосопряжённый оператор в H ,что
его образ совпадает с H0.
§ . . Сопряжённые операторы в гильбертовом пространстве
.. Пусть A и B — ограниченные операторы в гильбертовом
пространстве H . Доказать равносильность следующих свойств:
()ImA⊂ImB;
() A = BC для некоторого C ∈ B(H);
() существует такое λ 0, что ( A∗
x,A
∗
x ) λ2(B∗
x,B
∗
x )длявсех
x∈H.
.. Для всякого ли оператора A ∈ B( X )(X — банахово про-
странство) существует такой оператор B ∈ B( X ), что B2 = A?
.
◦
. Доказать, что оператор A нормален тогда и только тогда,
когда Are Aim = Aim Are (см. задачу.).
.◦
. Доказать, что если оператор A нормальный, то для любого
λ ∈ оператор A − λI тоже нормальный.
.. Пусть H — гильбертово пространство и оператор A ∈ B(H )
нормален. Доказать, что существует такой унитарный оператор
U∈B(H),что A∗
= UA.
.. Пусть H — гильбертово пространство. Доказать, что опера-
тор A ∈ B(H) нормален тогда и только тогда, когда Ax = A
∗
x для
любого x ∈ H.
.. Пусть H — гильбертово пространство и оператор A ∈ B(H )
нормален. Доказать, что A2 = A 2 и вообще A2n
= A2n
для лю-
бого натурального n.
1)
.◦
. Какие из следующих операторов нормальны в l2:
а) Ax = (x1, x2,...,xn
n
,0,0,...);
б) Ax = (0, x1,0,x3,...,0,x2n−1
2n
,0,...);
в)Ax=(0,x1
,0,x2
,...,0,xn
2n
,0,...);
г)Ax=(0,x1
,x
2, x3
,...) —правый сдвиг;
д)Ax=(x2,x3
, x4,...) — левый сдвиг;
е) Ax = (λ1x1, λ2 x2, λ3 x3,...), где {λn}
∞
1 ∈l∞;
ж) Ax = (xn+1, xn+2,...);
з) Ax = (x1, x2, x4, x8,...,x2
n−1
n
,...)?
. . При каких условиях на функцию K ∈ L2([0, 1]2)оператор
( Ax)(t) =
1
0
K(t, s)x(s) ds в пространстве L2[0, 1] нормален?
.
◦
. Доказать, что для любой функции a ∈ L∞[0, 1] оператор
( Ax)(t) = a(t) x (t)нормаленвL2[0, 1].
1) На самом деле, для вс якого норма льного оператора A ∈ B(H) верно соотноше-
ние An
=A
n
привсехn∈ .
Глава
Обратный оператор
§ .. Теорема Банаха обобратном
операторе. Примеры
Определение .. Пусть A ∈ B(X,Y), где X, Y — банаховы про-
странства. Оператор
−1
Ar ∈ B(Y , X ) будем называть правым обрат-
ным,если A ◦
−1
Ar = IY ,гдеIY — тождественный оператор в Y .Ана-
логично, оператор
−1
Al ∈ B(Y , X ) будем называть левым обратным,
если −1
Al ◦ A =IX,гдеIX — тождественный оператор в X.
Несложно показать, что если существуют и левый, и правый об-
ратный операторы
−1
Alи
−1
Ar ,то
−1
Ar=
−1
Al .Вэтомслучаебудемго-
ворить, что уоператора A есть (ограниченный) обратный оператор
A−1
∈ B(Y , X ). Множество обратимых операторов, действующих из
пространства X в пространство Y , будем обозначать IB( X , Y ).
Те ор е м а . (Банаха об обратном операторе, С. Банах, ).
Пусть A ∈ B( X , Y ), где X , Y — банаховы пространства. Тогда опера-
тор A−1
∈ B(Y , X ) существует тогда и только тогда, когда A биек-
тивен.
Пусть X и Y — нормированные пространства. Напомним, что
множество всех пар (x, y), где x ∈ X , y ∈ Y , называют декарто-
вым произведением X × Y . Пространство X × Y является линей-
ным с естественной операцией сложения и умножения на число.
На нём также можно ввести норму (x, y) := x + y (см. опре-
деление . и задачу.).
Определение . . Пусть X , Y — нормированные пространства, а
линейный оператор A задан на некотором плотном подпространст-
ве D( A) ∈ X , которое называют областью определения оператора A.
Определим в декартовом произведении X × Y линейное подпро-
странство, называемое графиком оператора: Γ( A):= {(x , Ax): x ∈
∈ D( A)}. На Γ( A) естественным образом вводится норма графика:
(x,Ax)=xX+AxY.
Понятия области определения и графика оператора важны при
исследовании многих задач математической физики, где возни-
§ .. Теорема Банаха об обратном операторе. Примеры
кают (вообще говоря, неограниченные) операторы — например,
оператор (Ax)(t) = ix (t), D(A) =
◦
WW1
2 [0, 1] ⊂ L2[0, 1]. Нетрудно про-
верить, что оператор A неограничен и выполнено соотношение
(Ax, y) = (x, Ay) для любых x, y ∈ D(A), а значит, в силутеоремы
Хеллингера—Тёплица (задача .), этот оператор не может быть
продолжен на всё пространство L2[0, 1] с сохранением равенства
( Ax, y) = ( x , Ay ). В дальнейшем, если не оговорено обратное, мы
будем считать, что D( A) = X .
Определение . . Оператор A, действующий из банахова про-
странства X в банахово пространство Y с областью определения
D( A) ⊂ X , называется замкнутым,еслиегографикзамкнутв X × Y ,
т. е. если из существования пределов x = lim
n→∞
xnиy=lim
n→∞
Axn ,где
xn ∈ D(A), следует x ∈ D(A)иy = Ax. Другими словами, оператор A
замкнут, если его график Γ( A) является банаховым пространством
всвоейнорме.
Те ор е м а . (о замкнутом графике, С. Банах, ). Пусть X
и Y — банаховы пространства. Оператор A ∈ L( X , Y ) ограничен
тогда и только тогда, когда его график замкнут.
В дальнейшем, если не оговорено противное, под правым обрат-
ным, левым обратным и обратным оператором понимается ограни-
ченный правый обратный, ограниченный левый обратный и огра-
ниченный обратный оператор соответственно.
Задачи
.
◦
. Пусть X и Y — нормированные пространства, A ∈ B( X , Y )и
для некоторой последовательности {xn}
∞
1 векторов с xn = 1по-
следовательность Axn стремится к нулю. Доказать, что A не об-
ратим.
.
◦
. Пусть X и Y — нормированные пространства, A ∈ B(X , Y ).
Доказать, что если обратный оператор A−1 ∈ B(Y , X )существует,то
он единствен.
.
◦
. Рассмотрим в пространстве
а)X=lp,p∈[1,∞]; б)X=c0;в)X=c
операторы Tr x = (0, x1
,x
2,...,xn,...)иTlx =(x2,x3
,..., x n,...) сдвига
вправо и влево соответственно. Доказать, что эти операторы необ-
ратимы, но уоператора правого сдвига есть левый обратный, а
уоператора левого сдвига — правый обратный операторы. Найти
их.
.
◦
. Привести пример оператора, для которого существует ле-
вый обратный, но он не единствен. Привести пример оператора,
для которого существует правый обратный, но он не единствен.
Глава . Обратный оператор
.. Пусть X и Y — банаховы пространства, оператор A ∈ B( X , Y ).
Доказать, что единственность
а) правого обратного; б) левого обратного оператора
эквивалентна обратимости оператора A.
.
◦
. Пусть X и Y — нормированные пространства, оператор A ∈
∈ B(X , Y ) обладает правым обратным
−1
Ar ∈ B(Y , X )илевымобрат-
ным
−1
Al ∈ B(Y, X). Доказать, что тогда
−1
Ar=
−1
Al =A
−1
.
.
◦
. Пусть X и Y — нормированные пространства, A ∈ B(X, Y).
Доказать, что если A обратим, то он биективен; если существует
правый обратный
−1
Ar ∈ B(Y , X ), то A сюръективен; если же суще-
ствует левый обратный
−1
Al ∈ B(Y,X), то A инъективен.
Теорема . утверждает, что в банаховых пространствах биектив-
ность ограниченного линейного оператора влечёт его обратимость.
Отметим, что сюръективность ограниченного линейного оператора
не влечёт существование ограниченного правого обратного, равно
как инъективность не влечёт существование левого обратного. Всё
дело в том, что в банаховых пространствах существуют недополня-
емые подпространства (см. задачу.).
.. Привести пример ограниченного инъективного оператора в
банаховых пространствах, для которого нет ограниченного левого
обратного оператора, но есть правый обратный.
. . Привести пример ограниченного сюръективного оператора
в банаховых пространствах, для которого нет ограниченного право-
го обратного оператора, но есть левый обратный.
.. Пусть X и Y — банаховы пространства, оператор A ∈ B( X , Y ).
Доказать, что A имеет левый обратный тогда и только тогда, когда
выполнены два условия:
() A инъективен;
() Im A — замкнутое дополняемое подпространство в Y .
.. Пусть X и Y — банаховы пространства, оператор A ∈ B( X , Y ).
Доказать, что A имеет правый обратный тогда и только тогда, когда
выполнены два условия:
() A сюръективен;
() Ker A — дополняемое подпространство в X .
.
◦
. Привести пример, показывающий, что в теореме Банаха
об обратном операторе условие полноты пространства Y сущест-
венно.
.. Показать, что в теореме Банаха об обратном операторе
условие полноты пространства X существенно.
Указание. Использовать базис Гамеля (см. определение .).
.. Предполагая верной теорему., доказать теорему., и
наоборот.
§ .. Теорема Банаха об обратном операторе. Примеры
.. Пусть X — банахово пространство, линейное подпростран-
ство Y ⊂ X имеет конечную коразмерность и Y = Im A,гдеA : Z →
→ X — ограниченный оператор, Z — банахово пространство. Дока-
зать, что Y замкнуто (ср. с теоремой .).
..Пусть X, Y и Z—банаховы пространства и J:Y →Z —
инъективный непрерывный линейный оператор. Пусть A ∈ L( X , Y ),
причём композиция JA ∈ B(X, Z). Доказать, что A ∈ B(X,Y).
.*. Существует ли обратимый оператор A ∈ B(c, c0)?
.. Пусть A ∈ B(L2[0, 1]), причём Im A ⊂ C[0, 1]. Доказать, что
A ∈ B(L2[0, 1], C[0, 1]). Доказать, что вообще, если X , Y , Z — бана-
ховы прос транс тва, Y непрерывно вложено в Z ,анекоторыйопе-
ратор A ограниченно действует из X в Z иобладаетсвойством
ImA⊂Y,тоA∈B(X,Y).
.. Доказать, что оператор дифференцирования A : W 1
2[0,1]→
→ L2[0, 1], (Ax)(t) = x (t) имеет замкнутый график.
. . Доказать, что функционал f : x → x (0), действующий в
L2[0, 1] с D( f ) = C[0, 1], имеет незамкнутый график.
.. Привести пример банаховых пространств X и Y иоперато-
ра A ∈ L( X , Y ) с незамкнутым графиком.
.. Пусть X — линейное пространство,
·
1и·2
— две нор-
мы, и пусть Xi := ( X , · i )—банаховы пространства,причём · 1 ≺
≺·2
. Доказать, что нормы · 1 и
·
2 эквивалентны.
. . Пусть X — банахово пространство, X0 — замкнутое под-
пространство и X1 — его линейное дополнение. Доказать, что про-
ектор на подпространство X0 вдоль подпрос транс тва X1 ограничен
тогда и только тогда, когда X1 тоже замкнуто.
Из утверждений задач . и . следует, что в банаховом про-
странстве X линейная прямая сумма любых двух замкнутых подпро-
странств X0 ⊕ X1 = X всегда является топологической прямой сум-
мой (см. определение .).
Из курса линейной алгебры известно, что один и тот же опе-
ратор задаётся различными матрицами в различных базисах. Мат-
рицы при этом называются подобными. Перенося этуситуацию
на бесконечномерный случай, приходим к следующему опреде-
лению.
Определение . . Пусть X и Y — нормированные пространства,
A ∈ B( X ), B ∈ B(Y ). Операторы A и B называются подобными,ес-
ли найдётся такой ограниченный и ограниченно обратимый опера-
тор S (то есть S ∈IB(Y,X)), что AS=SB(обозначение A ∼B).
Ясно, что, заменив в определении равенство AS = SB на TA = BT ,
где T ∈ IB( X , Y ), получим эквивалентное определение (надо взять
T=S
−1
).
Глава . Обратный оператор
Определение . . Пусть H1 и H2 —гильбертовы пространства,
A ∈ B(H1), B ∈ B(H2). Операторы A и B называются унитарно экви-
валентными, если найдётся такой унитарный оператор U : H2 → H1,
что AU =UB.
Это определение можно проиллюстрировать диаграммами:
X
A
/
/
XH
1
A
/
/
H1
Y
S
O
O
B
/
/
Y
S
O
O
H2
U
O
O
B
/
/
H2
U
O
O
.◦
. Доказать, что подобные операторы обратимы или необра-
тимы одновременно. Доказать, что нормы уунитарно эквивалент-
ных операторов совпадают. Привести пример подобных операторов
с различной нормой.
Пример . . Рассмотрим оператор дискретного дифференциро-
вания (Ax)n =
xn+1 − xn−1
2
в пространстве l p( ), где p ∈ [1, ∞). Имеет
ли оператор A
а) левый обратный; б) правый обратный?
Решение. а) Рассмотрим векторы x n
=
1
p
2n+1
n
k=−n
ek ,где{ek}k∈ —
стандартный базис пространства l p ( ), и векторы y n := Axn
. Заме-
тим, что x
n
= 1иy
n
=
1
2p2n+1
(e−n−1 + e−n
−
en − en+1), отку-
да Ax
n
→0.
1) Если теперь
−1
Al — левый обратный оператор, то
−1
Al : yn → x n, т. е . оператор разрывен в нуле, так что ограниченного
левого обратного уоператора A нет.
б) Покажем, что оператор A не сюръективен, откуда следует,
что правого обратного уоператора A также нет. Рассмотрим вектор
y=
∞
k=1
21−kek.Еслиx = (xn) — прообраз вектора y,тоx1 = x−1 =
=x
−3
= ...иx
0=x
−2
=x
−4
=..., а посколькуx∈lp( ),товсеэтико-
ординаты равны нулю. Тогда x2 = 2, x4 = 2 +
2
4, x6=2+
2
4+
2
16 ,ит.д
.
,
чтоневозможнодлявектораx ∈ l p .
.. Пусть Ax = (λ1 x1, λ2 x2, ...) — оператор умножения на по-
следовательность {λn}
∞
1 ∈ l∞, действующий в пространстве
а)X=lp,p∈[1,∞]; б)X=c0.
Доказать, что A−1 существует тогда и только тогда, когда inf{|λn| : n ∈
∈ } > 0. Найти A−1 иегонорму.
1) Такую последовательнос ть в ек торов назыв ают пос ледов ательностью Вейля,
см. определение . ниже.
§ .. Теорема Банаха об обратном операторе. Примеры
.. Доказать, что оператор Ax = (0, x1 ,0, x2,0, x3 ,...) в про-
странстве l2 не имеет правого обратного. Найти A−1
l . Доказать, что
оператор Bx = (x1, x2
,x4,x8
,...) в пространстве l2 не имеет левого
обратного. Найти B−1
r
.
Пример .. Пусть (Sa x )(t) =
π
−π
x (s)a(t − s) ds — оператор свёрт-
ки
1)
в пространстве L2[−π, π]. Для каких функций a ∈ L2[−π, π]об-
ратимы операторы Sa и I + Sa?
Решение. Докажем, что при любой функции a образ оператора Sa
состоит только из непрерывных функций. Отсюда будет следовать,
что оператор Sa не сюръективен, а значит, не обратим. Зафиксиру-
ем функцию x ∈ L2 = L2[−π, π] и докажем, что функция Sa x непре-
рывна. Для произвольного >0 построим такую непрерывную
функцию b,что a − b L2
</xL2
.ТогдафункцияSb x непрерывна и
для любого t ∈ [0, π]имеем|(Sb x )(t) − (Sa x )(t)| x L2
b−a L2
<,
т.е. Sax =lim
→0
Sb x в пространстве C[−π, π]. Значит, и сама функ-
ция Sa x непрерывна.
Для исследования оператора I + Sa рассмотрим оператор
U:L2[−π,π]→l2( ), Ux=(xn)
∞
−∞
,
гдеxn=
1
2π
π
−π
x (t)eint
dt.Система en (t) =
1
2π
e−int
∞
−∞
является
ортонормированным базисом в пространстве L2[−π, π](см.зада-
чу. б)). Тогда, в силутеоремы ., оператор U унитарен. Вычис-
лим теперь
(Sax,en) =
1
2π
π
−π
π
−π
x (s)a(t − s)ds eint
dt=
=
1
2π
π
−π
π−s
− π−s
a(ξ)einξdξ einsx (s) ds = 2π(a, en)xn
(пределы интегрирования во внутреннем интеграле можно заме-
нить на −π и π,посколькуифункцияa(ξ), и функция e
inξ
являются
2π-периодическими). Используя оператор U , это равенство можно
записать так: USa x = TaUx, где оператор Ta действует в простран-
стве l2( ), (Tax)n = λnxn,аλn =
2π(a, e n), n ∈ .Такимобразом,
мы доказали, что оператор I + Sa унитарно эквивалентен операто-
ру I + Ta . В силуутверждения задачи . обратимость оператора
I + Sa равносильна обратимости оператора I + Ta .Используяза-
1) Предполагаетс я, что функция a ∈ L2 [−π, π] продолжена периодически на отре-
зок [−2π,2π], т.е. a(−π +t)= a(π+t)дляt ∈[−π,π].
Глава . Обратный оператор
дачу., получим ответ: оператор I + Sa обратим тогда и только
тогда, когда последовательность {(1 + 2π(a, en))
− 1}∞
−∞
ограниче-
на. Поскольку(a, en) → 0(|n|→ ∞), последнее равносильно тому,
что1+ 2π(a,en)=0длялюбогоn∈ .
.◦
. Пусть X = C[0, 1], (Ax)(t) = a(t)x(t) — оператор умноже-
ния на непрерывную функцию. Доказать, что этот оператор обра-
тим тогда и только тогда, когда функция a не обращается в ноль на
отрезке [0, 1]. Найти обратный оператор.
.. Пусть X = L p[0, 1], p ∈ [1, ∞], (Ax)(t) = a(t)x(t)—опера-
тор умножения на функцию a ∈ L∞[0, 1]. Доказать, что этот опера-
тор обратим тогда и только тогда, когда ess inf
t ∈[0,1]
|a(t)| > 0(определе-
ние ess inf см. в задаче .). Найти обратный оператор.
.◦
. Рассмотрим в пространстве
а)X=C[0,1]; б)X=Lp[0,1],p∈[1,∞],
оператор взятия первообразной ( Ax)(t) =
t
0
x(s) ds. Доказать, что у
этого оператора нет ни левого, ни правого обратного оператора.
.
◦
. ПустьA:C
1
[0, 1] → C[0, 1], (Ax)(t) = x (t). Доказать, что
он не обратим. Найти правый обратный оператор.
.. Доказать, что уоператора Харди ( Ax)(t) =
1
t
t
0
x (s) ds впро-
странстве L p[0, 1], p ∈ (1, ∞), нет ни левого, ни правого обратного
оператора.
.. НайтиобратныйоператордляоператораA в пространстве
Lp[0,1], p ∈ [1, ∞]:
а) (Ax)(t)= x(t)+
t
0
x (s) ds;
б)◦ (Ax)(t) =
x(t+a),
еслиt+a 1,
x(t+a−1),еслиt+a>1.
.. Найти обратный оператор для оператора A в пространстве
C[0,1]: (Ax)(t) = x(t)+
1
0
e
t+s
x (s) ds.
..ПустьX⊂Y—банаховы пространства и · Y ≺ · X на X
(тогда оператор J : X → Y , Jx = x , непрерывен, т. е. пространство X
вложено в Y , см. определение .). При каких условиях на простран-
ства X и Y оператор J имеет а) правый обратный; б) левый обрат-
ный?
.. Пусть φ(t) — непрерывная на [0, 1] функция, отображаю-
щая отрезок [0, 1] в себя. При каких условиях на функцию φ опе-
§ .. Свойства обратимых операторов
ратор замены переменной ( Ax)(t) = x (φ(t)) в пространстве C[0, 1]
имеет а) правый обратный; б) левый обратный?
§ . . Свойства обратимых операторов
.◦
. Пусть X , Y и Z — банаховы пространства, а операторы
A ∈ B( X , Y ), B ∈ B(Y , Z) имеют ограниченные обратные. Доказать,
что BA также обратим. Что можно сказать о произведении обрати-
мого и необратимого операторов? Что можно сказать о произведе-
нии двух необратимых операторов?
.. Пусть X , Y — банаховы пространства, A∈B(X,Y), B∈B(Y, X)
и операторы AB и BA обратимы. Что можно утверждать об обрати-
мости операторов A и B?
.. Пусть A = A1A2...An (A, Ai ∈ B(X), где X —банахово про-
странство). Доказать, что если все операторы Ai обратимы, то
и A обратим. Доказать, что если операторы Ai, i = 1, 2, ..., n,ком-
мутируют, то из обратимости A следует обратимость каждого из Ai .
Как показывает следующая задача, множество IB( X , Y )является
открытым в пространстве B( X , Y ).
.. Пусть X — банахово пространство, C ∈ B( X )и C < 1. До-
казать, что оператор I + C обратим и
(I + C)−1
1
1−C
.
Получить явный вид для (I + C)−1
в виде сходящегося ряда из опе-
раторов.
.. Пусть X и Y — банаховы пространства, A —обратимый
оператор,B ∈B(X,Y)и B <1/ A−1
. Доказать, что оператор A + B
обратим и
(A+ B)−1
A−1
1−A
−1
·
B
.
Получить явный вид для ( A + B)−1 ввидеряда.
.. Пусть Tr :(x1, x2,...) → (0, x1, x2, ...) — оператор правого
сдвига в пространстве l2. Доказать, что если A ∈ B(l2)—произволь-
ный оператор с A < 1, то оператор Tr + A не обратим1)
.
Таким образом множество обратимых операторов не плотно в
B(l2).
.. Пусть H — гильбертово пространство. Доказать, что мно-
жество операторов, для которых существует
а) ограниченный правый обратный оператор;
1) Иными словами, оператор Tr лежит в множестве необратимых операторов с
окрестнос тью радиуса 1.
Глава . Обратный оператор
б) ограниченный левый обратный оператор,
всюдуплотно в B(H ).
Пример .. Пусть A :(x1, x2
,...) → (λ1x1, λ2 x2,...) —диагональ-
ный оператор в пространстве l2 (здесь sup
n∈
|λn| < ∞). Найти рассто-
яние от оператора A до множества необратимых операторов в про-
странстве B(l2) (это расстояние называют спектральным).
Решение. Необходимо найти d = inf{ T : A + T /∈ IB(l2)}. Обо-
значим c := inf
n∈
|λn|.Еслиc = 0, то (см. задачу.) A необратим и
d = 0. Пусть теперь c > 0. Если найдётся λn ,длякоторого|λn| = c,
то положим T = −λnI .ТогдаKer(A + T) ⊃ en,т
.
е.оператор A + T
необратим. При этом T = c.Еслидлявсехλn выполнено |λn| > c,
то выберем подпоследовательность {λnk
}∞
k=1 со свойством |λnk
|↓c и
рассмотрим операторы Tk = −λ nk
I . Заметим, что операторы A + Tk
необратимы, так как Ker( A + Tk ) ⊃ enk
,и Tk →c.Отсюдаследует
неравенство d c. Докажем обратное неравенство. Легко видеть,
что оператор A−1
есть оператор умножения на последовательность
{λ−1
n
}∞
1 , а значит (см. задачу.), A
−1
= 1/c. В силуутвержде-
ния задачи . любой оператор вида A + T будет обратим, ес ли
T <1/ A−1
< c,откудаd c.Итак,d = inf
n∈
|λn|.
.. Найти расстояние от оператора A ∈ B(L2[0, 1]) до множе-
ства необратимых операторов, если
а) (Ax)(t) = a(t)x(t), где a ∈ L∞[0, 1];
б)(Ax)(t)= x(1−t);
в) (Ax)(t)= x(t)−
1
2
1
0
x (s) ds.
.. Пусть X — нормированное пространство, A ∈ B( X )идля
некоторых комплексных λ1, λ2 ,...,λn выполнено I + λ1 A + λ2 A
2
+...
... +λnA
n
= 0. Доказать, что A обратим.
.. Пусть X — банахово пространство, A, B ∈ B( X ) и оператор
I + AB обратим. Доказать, что оператор I + BA также обратим.
.. Пусть X — нормированное пространство, A, B ∈ B( X )и
AB+A+I=BA+A+I =0.Доказать, что операторAобратим.
.
◦
. Пусть X — нормированное пространство, A ∈ IB( X ), B ∈
∈ B(X)иAB = BA. Доказать, что A
−1
B=BA
−1
.
.. Пусть X — нормированное пространство, A ∈ IB( X ). Опре-
делимk:= A · A
−1
—
число обусловленности оператора A.Пред-
положим, при решении уравнения Ax = y (здесь y задан и надо най-
ти x ) найдено приближенное решение ̃x ,длякоторого A ̃x = ̃
y.До-
казать оценкудля относительной погрешности
1
k
̃
y−y
y
x−̃
x
x
k
̃
y−y
y
.
§ .. Свойства обратимых операторов
Из задачи . следует, что обратимость оператора A влечёт оцен-
куinf
x=1
Ax > 0. Обратное утверждение в общем случае невер-
но: необходимо дополнительно требовать сюръективность опера-
тора A.
.. Пусть X — банахово пространство, а Y — нормированное
пространство; оператор A ∈ B(X, Y)и inf
x X=1
Ax Y=c>0.Доказать,
что образ Im A замкнут и A обратим как оператор из X вImA.
.
◦
. Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ B(H ) — самосо -
пряженный равномерно положительный оператор в H ,т.е
.A cI,
где c > 0. Доказать, что A обратим.
.. Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ B(H ), inf
x=1
Ax>
> 0иKerA∗
= {0}. Доказать, что A обратим.
Множество обратимых операторов открыто в пространстве опе-
раторов (см. задачу.). Докажем, что оно не замкнуто.
.
◦
. Привести пример таких банаховых пространств X , Y ита-
кой последовательности обратимых операторов {An}
∞
1 ∈ B(X,Y),
An ⇒ A, что оператор A не обратим.
.. Доказать, что если An ∈ B(X,Y), An ⇒ A,всеAn обратимы и
An
− 1 C ,то A также обратим.
.◦
. Привести пример банахового пространств X и оператора
A ∈ IB( X ), для которого найдётся последовательность таких необ-
ратимых ограниченных операторов { An}
∞
1 ,что An
s
→A.
.. Пусть An
s
→ A в B(X), причем
() все An обратимы;
() обратные операторы равномерно ограничены: A
−1
n
<C.
Верно ли, что A обратим: а) на всем X ;б)наImA?
.◦
. Пусть X и Y — банаховы пространства, A ∈ IB(X, Y ). Дока-
зать, что оператор A также обратим и ( A )−1
= ( A−1) . Доказать, что
если X и Y —гильбертовы пространства, A ∈ IB( X , Y ), то A∗ также
обратим и (A∗)
−1
= (A−1)∗
.
.. Пусть X и Y — банаховы пространства, A ∈ B(X,Y), A ∈
∈ IB(Y∗
,X
∗
). Доказать, что оператор A также обратим и A
−1
=
=π
−1
X ((A )−1
)πY,гдеπX: X →X
∗∗
, πY:Y→Y
∗∗
—к
анонические
вложения.
.
◦
. Пусть H — гильбертово пространство, A —обратимый са-
мосопряжённый оператор. Доказать, что обратный оператор A−1
также самосопряжён. Доказать, что если самосопряжённый обрати-
мыйоператорA 0,тоиA
−1
0.
.◦
. Пусть H — гильбертово пространство, A и B — самосопря-
жённые операторы и I A B. Доказать, что операторы A и B обра-
тимыиB
−1
A−1
I.
Глава
Базисы
§ . . Полные и минимальные сис темы векторов
Определение алгебраического базиса (базиса Гамеля) уже дава-
лось (см. определение .) в главе . Там же мы отмечали, что он су-
ществует в любом линейном пространстве, но в бесконечномерных
банаховых пространствах несчётен, а потомуна практике применя-
ется редко. В нормированных пространствах возникают гораздо бо-
лееполезныесистемы.
Определение .. Система { xα }α∈ A векторов нормированного
пространства X называется тотальной,еслиLin{xα }α∈ A = X .Систе-
ма называется полной, если единственный линейный непрерывный
функционал, равный нулю на всех векторах системы, — это нуле-
вой функционал. Система называется минимальной,еслиниодин
из векторов системы не содержится в замыкании линейной оболоч-
ки остальных векторов системы.
Оказывается, что в нормированных пространствах понятие то-
тальной и полной системы совпадают. В дальнейшем мы будем
пользоваться термином «полная система», понимая под этим и пол-
ноту, и тотальность.
1) Чаще всего на полнотуисследуются счётные
системы. Нормированное пространство обладает счётной полной
системой тогда и только тогда, когда оно сепарабельно.
Приведём классические теоремы (К. Вейерштрасс, см. теоремы
. и .) о полноте некоторых систем:
система {t n}
∞
n=0
полна в пространстве C[0, 1];
система {e
int
}n∈ полна в пространстве Cper [0, 2π].
Определение . . Система функционалов { fk }∞
1 пространства
X ∗ называется биортогональной системе векторов { xk }∞
1 нормиро-
ванного пространства X ,если fn( xk ) = δn,k для любых n, k ∈ .
1) Именно в силу эквив алентнос ти двух этих понятий в различных учебниках да-
ются различные определения — сис темы, названные з десь тотальными, иногда на-
зывают полными, а иногда замкнутыми; сис темы, назв анные здесь полными, также
иногда назыв ают замкнутыми, а иногда и тотальными.
§ .. Полные и минимальные системы векторов
Для полной минимальной системы векторов всегда существует
единственная биортогональная система функционалов.
Задачи
.
◦
. Пусть X — нормированное пространство. Доказать, что
оно сепарабельно тогда и только тогда, когда в X существует счёт-
ная полная система.
.. Доказать, что в любом бесконечномерном банаховом про-
странстве существует линейно независимая система { xk }∞
1 (т.е.ни
один из векторов системы не является конечной линейной комби-
нацией остальных), не являющаяся минимальной.
Указание. Использовать задачу. и теорему..
. . Доказать, что система {xk }∞
k=1 векторов нормированного
пространства X полна тогда и только тогда, когда она тотальна.
.. Пусть {xk}∞
k=1
—
система векторов нормированного про-
странства X . Доказать, что она минимальна тогда и только тогда,
когда для неё найдётся биортогональная система функционалов
{fk}∞
k=1
. Доказать, что эти функционалы также образуют минималь-
ную систему в пространстве X ∗
.
.. Привести пример банахова пространства X и минималь-
ной системы { fk}∞
k=1⊂X∗
, для которой не существует биортогональ-
ной системы {xk}∞
k=1
. Доказать, что в рефлексивном пространстве
такой пример невозможен.
.. Пусть X — нормированное пространство. Доказать, что
для любой конечной линейно независимой системы функциона-
лов {fk}n
k=1⊂X∗
существует биортогональная ей система векторов
{xk}n
k=1 ⊂ X (ср. с задачей .). Доказать, что для любой конечной
линейно независимой системы векторов {xk }n
k=1 ⊂ X существует
биортогональная ей система функционалов { fk }n
k=1⊂X∗
.
.. Пусть {xk}∞
k=1
—
полная минимальная система векторов
нормированного пространства X . Доказать, что биортогональная
система { fk}∞
k=1 (она существует согласно задаче .) единствен-
на. Доказать, что в случае рефлексивного пространства X система
{fk}∞
k=1 полна в X ∗ (согласно задаче . она минимальна).
.
◦
. Пусть X и Y — нормированные пространства, оператор
T ∈ B(X,Y)иImT = Y . Доказать, что полнота системы {xk}∞
1вX
влечёт полнотусистемы {Txk }∞
1вY.
.
◦
. Пусть система {xk}∞
1 полна в нормированном простран-
стве X икаждыйвектор xk есть конечная линейная комбина-
ция векторов системы { yk}∞
1 . Доказать, что система {yk}∞
1 тоже
полна.
Глава . Базисы
.
◦
. Пусть X и Y — нормированные пространства, T ∈ B( X , Y )
иinf
x=1
Tx = c > 0. Доказать, что минимальность системы {xk}∞
1вX
влечёт минимальность системы {Txk }∞
1вY.
.. Привести пример банахова пространства X ,инъективного
оператора T ∈ B( X ) и такой минимальной системы { xk }∞
1 ⊂ X,что
система {Txk }∞
1 не является минимальной.
Пример .. Выяснить, является ли система векторов {xn}
∞
1 ,где
xn= 1,
1
n+1
,
1
(n + 1)2 ,... ,полнойвпространствеl p , p ∈ [1, ∞). Яв-
ляется ли эта система минимальной?
Решение. Докажем полнотусистемы. Пусть функционал f ∈ ∗l p та-
ков, что f(x1) = f(x2) = ... = 0. Поскольку
∗
lp = lq,где1/q + 1/p = 1,
то f = fy для некоторого вектора y = ( y1, y2,...)∈ lq ,откуда f (xn) =
=
∞
k=1
yk(n + 1)1−k
= 0длявсехn = 1, 2, ... Рассмотрим функцию
комплексного переменного w(z) =
∞
k=1
ykzk−1
.Таккакрядсходит-
ся в круге |z| < 1, функция w голоморфна в этом круге. Имеем
w (1/2) = w (1/3) = ... = 0, что по теореме единственности для голо-
морфныхфункций влечётw≡0.Нотогдаw(0)=w (0)=w (0)= ...
... =0,чтоозначаетy1=y2=y3=...=0,т.е.функционалf=0,а
значит, система {xn}
∞
1 полна. Теперь докажем, что система не мини-
мальна. Удалим из неё, например, вектор x1. Повторяя приведённое
выше рассуждение, получим полноту новой системы. Но тогда век-
тор x1 (как и любой другой вектор) лежит в замыкании линейной
оболочки векторов новой системы, а стало быть, исходная система
не минимальна.
1)
.
◦
. Исследовать систему{en = (0,0,...,0,1
n
,0,0,...)}∞
1 на пол-
нотуи минимальность в пространствах
а) lp, p ∈ [1, ∞); б) c0;в)c;г)l∞
.
.. Для всякого λ с |λ| < 1 исследовать системувекторов
x1=(1,λ,λ
2
,λ
3
,
λ4
,...
)
;
x2 = (0, 1, 2λ,3λ2
,4
λ3
,...
)
;
x3=(0,0,2 ·1,(3·2)λ,(4·3)λ2
,...
);
x4=(0,0,0, 3 ·2 ·1, (4·3 ·2)λ,...);
... .... .... .... ... .... .... .... ... .... .
1) Таким образом, наша сис тема «переполнена». Более того, любая её подсистема
либо содержит конечное число векторов и неполна, либо содержит бесконечное чис-
ло век торов и не минимальна.
§ .. Полные и минимальные системы векторов
на полнотуи минимальность в пространствах а) lp , p ∈ [1, ∞);
б) c0.
.. Исследовать системувекторов { xn = (1,...,1
n
,0,0,...)}∞
1на
полнотуи минимальность в пространствах а) lp , p ∈ [1, ∞); б) c0 .
.. Исследовать системы векторов
а) {tn}
∞
n=0;б
)
{
t2n
}∞
n=0;в
)
{
t2n+1
}∞
n=0;
г) {eiπnt
}n∈ ;д
)
{
c
o
s
(
πnt)}∞
n=0;е
)
{
s
i
n
(
πnt)}∞
n=1;
ж) {teiπnt
}n∈ ;з
){cos2(πnt/2)}∞
n=0
на полнотуи минимальность в пространствах L p[0, 1], p ∈ [1, ∞), и
C[0, 1].
.. Пусть {αn}
∞
1 — строго возрастающая последовательность
положительных чисел со свойством αn → 1. Доказать, что система
{tαn }
∞
n=1
полна а) в пространстве L2[0, 1]; б) в пространстве C[0, 1].
.* (Х. Мюнц, ). Система степеней {t nk }
∞
k=0
,гдеn0<n1 <...,
полна в пространстве C[0, 1] тогда и только тогда, когда n0 = 0и
∞
k=1
1
nk
=∞.
Указание. Воспользоваться теоремой В. Бляшке (): если функ-
ция f (z) голоморфна и ограничена в круге |z| < 1, то последователь-
ность {an}
∞
1 её нулей удовлетворяет условию
∞
n=1
(1−|an|)<∞; а
также теоремой: для любой последовательности {an }
∞
1 точек круга
|z| < 1,длякоторой
∞
n=1
(1 −|an|) < ∞, найдётся такая голоморфная
и ограниченная функция f (z) ≡ 0,что f(an) = 0 для всех n.
.. В пространстве C[0, 1] привести пример такой неполной
системы векторов { xn}
∞
1 , что для любой непрерывной функции
x ∈ C[0,1] из равенств
1
0
x(t)xn(t)dt=0,n =1,2, ..., следуетx=0.
.. Пусть X — банахово пространство, а система {en }
∞
1 слабо
полна в нём, т. е . для любого вектора x ∈ X существует последова-
тельность {xk}∞
1 ⊂ Lin{en}
∞
1 ,слабосходящаясякx . Доказать, что то-
гда система {en}
∞
1 полна в X вобычномсмысле.
Утверждение этой задачи можно эквивалентно сформулировать
так: всякое слабо секвенциально сепарабельное банахово простран-
ство сепарабельно в обычном смысле.
.. Пусть {xn}
∞
1 — полная и минимальная система в гильбер-
товом пространстве H ,а{yn}
∞
1 — биортогональная ей система. До-
казать, что если x n = yn = 1длявсехn ∈ ,то{xn}
∞
1 — ортонор-
мированный базис в H .
Глава . Базисы
§ . . Базисы Шаудера
Полная система позволяет представить любой вектор простран-
ства в виде предела конечных линейных комбинаций векторов си-
стемы. Это на первый взгляд ценное свойство системы мало что да-
ёт, посколькув общем случае нет никакого алгоритма поиска этих
линейных комбинаций.
Определение .. Система { xk }∞
1 векторов нормированного
пространства X называется базисом Шаудера, если любой вектор
x ∈ X единственным образом раскладывается в ряд по векторам
этой системы: x =
∞
k=1
fk(x)xk.
Ниже в этом параграфе нормированное пространство X пред-
полагается банаховым. Всякий базис Шаудера является полной си-
стемой. Оказывается, коэффициенты разложения { fk}∞
1 являются
непрерывными линейными функциона лами на X .Отсюдаследу-
ет, что система {xk}∞
1 является минимальной, а система { fk }∞
1—
биортогональной ей (см. задачу.). Итак, любой базис Шаудера
есть полная минимальная система. Обратное неверно (см. зада-
чу. ниже). Не всякое сепарабельное банахово пространство
обладает базисом Шаудера (см. теорему .), но все сепарабельные
пространства из списка пространств таким базисом обладают.
Определение . . Система { xk }∞
1 векторов банахова простран-
ства X называется безусловным базисом Шаудера,еслионаявляется
базисом Шаудера и для любого x ∈ X ряд
∞
k=1
fk(x)xk сходится к x при
любых перестановках слагаемых ряда.
Задачи
.*. Доказать линейность и непрерывность функционалов
{fk}∞
1 в определении ..
Указание. Ввести пространство последовательностей F = { fx =
= (f1(x), f2(x), ...) : x ∈ X} и доказать, что оно является банаховым
пространством с нормой fx F := sup
N∈
N
k=1
fk(x)xk X . Рассмотреть
оператор A : F → X , A( fx ) = x , и применить к немутеоремуБанаха
об обратном операторе.
.
◦
. В каких из пространств lp, p ∈ [1, ∞], c, c0 система {en =
= (0,0,...,0,1
n
,0,0,...)}∞
n=1
является базисом Шаудера?
.
◦
. Пусть система {en}
∞
1 является базисом Шаудера в рефлек-
сивном пространстве X и en < C, n = 1,2, ... Доказать, что en 0.
§ .. Базисы Шаудера
.. Привести пример такой линейно независимой системы
{en}
∞
1 в банаховом пространстве X , что любой вектор x ∈ X рас-
кладывается в ряд x =
∞
n=1
cn en по этой системе, но для некоторых
векторов такое разложение не единственно.
.. Пусть система векторов { xk }∞
1 полна и минимальна в ба-
наховом пространстве X ,а{fk }∞
1 — биортогональная ей система.
Доказать, что система { xk }∞
1 является базисом Шаудера тогда и толь-
ко тогда, когда последовательность операторов {Lm}
∞
1 ⊂ B(X), где
Lmx =
m
k=1
fk(x)xk, ограничена (слабо, сильно или по норме — это
одно и тоже, см. задачу.) в пространстве B(X).
Определение . . Система { xk }∞
1 векторов банахова простран-
ства X называется равномерно минимальной, если существует C > 0
такое, что dist(xn, Lin{xk: k=n})>C xn для любого n∈ .
Авторам неизвестно, всякое ли сепарабельное банахово про-
странство обладает полной равномерно минимальной системой.
.. Доказать, что в банаховом пространстве X полная и мини-
мальная система {xk}∞
1 с биортогональной системой { fk}∞
1 является
равномерно минимальной тогда и только тогда, когда
sup
k∈
xkX fkX∗<∞.
.. Пусть система векторов { xk }∞
1 банахова пространства X
является базисом Шаудера в X . Доказать, что она равномерно ми-
нимальна.
Обратное утверждение неверно (см. задачи .—.).
Пример .. Является ли система {e
−nt
}∞
1 базисом Шаудера в
пространстве C0[0, +∞), состоящем из непрерывных функций, для
которых lim
t→+∞
x(t)=0, с нормой x =max
t0
|x(t)|?
Решение. Пусть x =
∞
k=1
ake
−kt
, где ряд сходится в пространстве
C0( ), т. е. равномерно на [0, ∞). Тогда ряд
∞
k=1
ak сходится, а значит,
при всяком t ∈ (0, ∞) сходится формально продифференцирован-
ный ряд −
∞
k=1
kak e−kt
.
Тогда (см. курс математического анализа)
этот ряд сходится к функции x ,азначит,функция x дифференци-
руемана(0,+∞). Это означает, что система {e
−nt
}∞
1 не является
базисом Шаудера.
.
◦
. Доказать, что система {t n }
∞
0 не является базисом Шаудера
ни в одном из пространств C[0,1] или Lp[0,1], p ∈ [1, ∞].
Глава . Базисы
.. Доказать, что система {e
int
}∞
−∞
не является базисом Шауде-
ра в пространстве Cper [0, 2π].
Указание. Использовать задачи . и ..
.. Пусть система векторов { xk }∞
1 полна и минимальна в ба-
наховом пространстве X ,а{fk }∞
1 — биортогональная система. Дока-
зать, что если {fk}∞
1 есть базис Шаудера в X
∗
,тосистема{xk }∞
1 явля-
ется базисом Шаудера в пространстве X . Привести пример такого
базиса Шаудера {xk }∞
1 в банаховом пространстве X , что биортого-
нальная система { fk}∞
1 не образует базис Шаудера в X ∗
.
.. Пусть система векторов {xk }∞
1 является базисом Шаудера
в банаховом пространстве X ,а{fk }∞
1 — биортогональная система.
В пространстве X ∗ положим Y = Lin{ fk}∞
1 . Доказать, что система
{fk}∞
1 является базисом Шаудера в пространстве Y . Доказать, что
для рефлексивного пространства X справедливо равенство Y = X
∗
.
.
◦
. Пусть {xk}∞
1 — базис Шаудера в банаховом простран-
стве X,а yk = Txk,гдеT ∈ B(X,Y). Доказать, что система {yk}∞
1
является базисом Шаудера в Y тогда и только тогда, когда опера-
тор T обратим.
В пространстве C[0, 1] ни система многочленов {t n}
∞
n=0 (см. за-
дачу.), ни система тригонометрических многочленов
{1, cos(2πnt), sin(2πnt)}∞
n=1
(см. задачу.) не являются базисами Шаудера.
.*. Система {φk }∞
0 Фабера—Шаудера функций на [0, 1] опре-
деляется равенствамиφ0(x)=1, φ1(x)= x , φk(x)=2 χk L∞
x
0
χk (t) dt,
при k 2, где {χk}∞
1 — система Хаара (см. задачу.). Доказать,
что система Фабера—Шаудера является базисом Шаудера в C[0, 1].
Указание. ) Доказать, что если ряд
∞
n=0
Anφn(t)сходитсявкаж-
дой точке отрезка [0, 1] к конечной функции f ,то A0 = f (0), A1 =
= f(1)− f(0),
An = S2k+1
2i−1
2k+1
− S2k
2i−1
2k+1
=f
2i−1
2k+1
−
1
2
f i−1
2k +f
i
2k
,
гдеn=2k+i,k =0,1,..., i =1,2,...,2k,SN(t)=
N
n=0
Anφ n(t).
) Доказать, что подпространство Lin{φ j }n
j =0 имеет размерность
n + 1 и совпадает с подпространством непрерывных функций, ли-
нейных на отрезках
s−1
2k+1 ,
s
2k+1 , s=1,2,...,2i,и
r−1
2k,
r
2k,r=
= i+1,i+2,...,2k.
§ .. Базисы Шаудера
) Доказать, что функция Sn(t), где коэффициенты An определе-
ны равенствами пункта , совпадает с функцией f (t) в точках
s
2k,
s=0,1,...,2k,и
2r−1
2k+1 ,r=1,2,...,i.
.. Доказать, что система Фабера—Шаудера не является ми-
нимальной в пространствах L p[0, 1], p ∈ [1, ∞).
.. Построить базис Шаудера в пространстве C n[0, 1], n ∈ .
.*. Доказать, что система Хаара является базисом Шаудера в
пространствах Lp[0, 1], p ∈ [1, ∞).
.*. Доказать, что система {e
int
}∞
−∞
является базисом Шаудера
в пространствах L p[0, 2π], p ∈ (1, ∞).
.. Доказать, что система {e
int
}∞
−∞
не является базисом Шауде-
ра в пространстве L1[0, 2π] (см. также задачу.). Доказать, что
система {sin(nt)}∞
1 не является базисом Шаудера в пространствах
L1[0, π]и
◦
CC[0,π]={x ∈C[0,π]: x(0)= x(π)=0}.
.. Доказать, что система {eint
}∞
−∞
полна и равномерно ми-
нимальна в пространствах L p[0, 2π], p ∈ [1, ∞), и в пространстве
Cper[0, 2π].
.. Доказать, что система {sin(nt)}∞
1 полна и равномерно ми-
нимальна в пространствах L p[0, π], p ∈ [1, ∞), и в пространстве
Cper[0, π].
.. Пусть {xn}
∞
1 — полная минимальная система в банаховом
пространстве X ,а{fn}
∞
1 — биортогональная система. Для произ-
вольного N ∈ и любого набора = { n}
N
n=1
с n = ±1положим
BN,x=
N
n=1
n fn(x)xn.
Доказать, что система {xn }
∞
1 является безусловным базисом Шауде-
ра (см. определение .) тогда и только тогда, когда множество опе-
раторов {BN , } ограничено (слабо, сильно или по норме — это одно
итоже,см.задачу.)впространствеB( X ).
Отметим, что в пространствах L p[0, 1], p ∈ (1, 2) ∪ (2, ∞), не су-
ществует безусловного базиса Шаудера, ограниченного по норме
L∞[0, 1] и ортонормированного относительно скалярного произве-
дения
(x, y)=
1
0
x (t) y(t)dt.
В пространствах L1[0, 1] и C[0, 1] безусловных базисов Шаудера нет.
Как уже отмечалось (см. задачу .), в банаховых простран-
ствах сходимость ряда следует из его абсолютной сходимости.
Глава . Базисы
Определение .. Сходящийся ряд
∞
k=1
xk в нормированном про-
странстве X называется безусловно сходящимся,еслионсходится
при любой перестановке его слагаемых.
.. Доказать, что если ряд в нормированном пространстве
сходится безусловно, то все его перестановки имеют однуи туже
сумму.
.◦
. Пусть H — гильбертово пространство. Рассмотрим фор-
мальный ряд
∞
n=1
xn, где система {xn}
∞
1 ортогональна. Доказать, что
если ряд сходится, то он сходится безусловно.
.. Доказать, что в конечномерном нормированном про-
странстве ряд сходится безусловно тогда и только тогда, когда он
сходится абсолютно.
.◦
. Привести пример ряда в гильбертовом пространстве, схо-
дящегося безусловно, но не абсолютно.
.*. Привести пример ряда, сходящегося безусловно, но не аб-
солютно, в пространствах: а) L1[0, 1]; б) l1.
Те ор е м а . (А. Дворецкий, К. А . Роджерс, ). Влюбомбес-
конечномерном банаховом пространстве существует ряд, который
сходится безусловно, но не абсолютно.
Напомним теоремуРимана о перестановках ряда вещественных
чисел: если ряд
∞
n=1
xn условно сходится, то, переставляя члены ря-
да, можно получить ряд, сходящийся ко всякому наперёд заданному
s ∈ . Теорема Римана обобщается на произвольное конечномерное
нормированное пространство X : множество сумм условно сходяще-
гося ряда
∞
n=1
xn , получаемое в результате всевозможных его переста-
новок, представляет собой аффинное подпространство в X (П. Леви,
; Е. Штейниц, ). Следующая задача показывает, что в беско-
нечномерных банаховых пространствах такая теорема, вообще го-
воря, неверна.
.. Привести пример ряда в L2[0, 1], который при некоторой
перестановке своих членов сходится к x (t) ≡ 0, при другой переста-
новке — к x (t) ≡ 1, но ни при какой перестановке не может сойтись
к x(t)≡1/2.
Сдругойстороны,известно,чтоесличисловойрядсходитсяаб-
солютно, то его сумма не зависит от перестановки слагаемых ряда.
Это утверждение сохраняется и в банаховых пространствах.
.. Доказать, что сумма абсолютно сходящегося ряда в бана-
ховом пространстве не зависит от перестановки членов ряда.
§ .. Базисы в гильбертовых пространствах
.. Пусть ряд
∞
k=1
xk в банаховом пространстве сходится по Че-
заро, т. е. существует lim
n→∞
S1+S2+...+Sn
n
(где Sn =
n
k=1
xk ). Доказать,
чтоесли xn =o
1
n
,торядсходитсяпонорме.
.
◦
. Пусть {en}
∞
1 — нормированный базис Шаудера ( en = 1)
в банаховом пространстве X . Определим оператор A на базисе по
правилу Aen = λnen , n ∈ ,где{λn}
∞
1 — ограниченная последова-
тельность комплексных чисел. Доказать, что A единственным обра-
зом продолжается до линейного ограниченного оператора ˆA на всё
пространство X .
.. Пусть X и Y — нормированные пространства, и A —ли
-
нейный ограниченный и ограниченно обратимый оператор из X
в Y . Доказать, что A сохраняет следующие свойства систем век-
торов: линейную независимость, линейную зависимость, мини-
мальность, равномерную минимальность, полноту, базисность, без-
условную базисность.
. (М.Г
.Крейн, Д.П
.Мильман, М.А
.Рутман, ). Пусть
{xn}
∞
1 — базис Шаудера в банаховом пространстве X , x n = 1и
sup
n∈
Pn = C,гдеPnx =
n
k=1
ck xk — частичная сумма разложения век-
тора x .Пустьсистема{yn}
∞
1 векторов в X обладает свойством
∞
k=1
xk − yk < C/2. Доказать, что {yn}
∞
1 также есть базис Шауде-
равX.
§ . . Базисы в гильбертовых прос транс твах
Для случая гильбертовых пространств мы уже вводили понятия
тотальности, полноты и базисности системы векторов в § .. Там
же сформулирована теорема ., согласно которой для ортонор-
мированных систем эти понятия эквивалентны. Таким образом,
в сепарабельных гильбертовых пространствах, в отличие от произ-
вольных банаховых пространств, существуют системы, обладающие
«наилучшими» базисными свойствами, — ортонормированные си-
стемы. Здесь мы изучим системы, «близкие» к ортонормированным.
Определение . . Система { xk }∞
1 векторов гильбертова про-
странства H называется базисом Рисса, если найдутся ортонорми-
рованный базис {ek }∞
1 и обратимый линейный оператор A ∈ B(H ),
длякоторых xk=Aek,k =1,2, ...
Глава . Базисы
Теорема . . Пусть {xk}∞
1 — система векторов гильбертова
пространства H . Тогда следующие условия эквивалентны:
() система {xk}∞
1 является базисом Рисса;
() существует новое скалярное произведение 〈 x , y〉,эквивалент-
ное стандартному (т. е. нормы 〈x, x〉 и (x, x) эквивалентны) и
такое, что система {xk }∞
1 является ортонормированным базисом
пространства H относительно нового скалярного произведения;
() система {xk}∞
1 полна и обладает свойством Бесселя:суще-
ствуют такие константы γ1, γ2 > 0,чтодлялюбогоn∈ идля
любых комплексных чисел {ck }n
1 выполнено
γ1
n
k=1
|ck |2
∞
k=1
ck xk
2
γ2
n
k=1
|ck|2;
() система {xk}∞
1 полна и минимальна и существуют такие
константы γ1, γ2 > 0,чтодлялюбого x∈ H выполнено
γ1x2
∞
k=1
|(x, xk)|2 γ2 x
2
;
() (Н. К . Бари, ) система {xk } полна и минимальна в H (то-
гда для неё существует единственная биортогональная система
{ yk }) и для любого x ∈ H справедливы неравенства
∞
k=1
|(x, yk)|2 < ∞
и
∞
k=1
|(x, xk)|2 < ∞;
() (Н. К. Бари, ) система { xk }∞
1 полна и её матрица Грама
((xi, xj))∞
i, j =1 порождает в пространстве l2 ограниченный и обрати-
мый оператор;
() система {xk } является безусловным базисом Шаудера и по-
чти нормирована, т. е . существуют такие константы γ1, γ2 > 0,
что справедливы неравенства γ1
xk
γ2,k=1,2, ...
Вслучае,когдаконстантыγ1 и γ2 в пункте () этой теоремы рав-
ны 1, система превращается в ортонормированный базис (см. тео -
рему.).
.
◦
. Доказать, что любая ортонормированная система векто-
ров гильбертова пространства равномерно минимальна.
.*. Доказать теорему. .
.
◦
. Пусть система {xn}
∞
1 образует базис Рисса в гильбертовом
пространстве H . Доказать, что биортогональная ей система также
является базисом Рисса.
Пример .. В пространстве L2[0, π] рассмотрим систему
ek(t)=
2
π
sin(kt) + yk(t)cos(kt) ,
§ .. Базисы в гильбертовых пространствах
где функции yk лежат в W 1
2[0,π]и yk W1
2
C,C<
2
π+π
. Доказать,
что система {ek }∞
1 образует базис Рисса в L2[0, π].
Решение. Определим оператор T на Lin{sin(kt)}∞
1 ⊂ L2[0, π]ра-
венствами T :
2
π
sin(kt) → ek (t). Покажем, что этот оператор огра-
ничен. Прежде всего,
Tx−x=
∞
k=1
xk yk (t)cos(kt),
где
xk=
2
π
π
0
x (t)sin(kt) dt.
Обозначим zk(t):= yk(t) ∈ L2[0, π]. Тогда yk(t) = yk(0) +
t
0
zk(s) ds.
Отсюда
Tx−x=
∞
k=1
xk yk(0) cos(kt) +
∞
k=1
cos(kt)
t
0
xk zk(s) ds,
атаккак| yk (0)| C,получаем
∞
k=1
xk yk (0) cos(kt)
2
πC2
2
∞
k=1
|xk|2 πC2
2
x
2
.
Пусть теперь w ∈ L2[0, π] — произвольная функция. Тогда
∞
k=1
cos(kt)
t
0
xk zk(s) ds, w(t)
2
∞
k=1
|xk|2
·
∞
k=1
π
0
cos(kt)
t
0
zk(s) ds w(t) dt
2
x
2
L2
∞
k=1
π
0
zk(s)
π
s
w(t)cos(kt) dt ds
2
x
2
L2
∞
k=1
π
0
|zk(s)|2 ds ·
π
0
π
s
w (t)cos(kt) dt
2
ds
C2x2
L2
π
0
∞
k=1
π
s
w (t)cos(kt) dt
2
ds=
=
π
2
C2x2
L2
π
0
w(t)χ[s,π](t) 2
L2
ds
π2
2
C2x2
L2
w2
L2
.
Глава . Базисы
Отсюда следует оценка Tx − x
π
2
+
π
2
C x ,азначит,опе-
ратор T ограничен и однозначно продолжается на Lin{sin(kt)}∞
1=
= L2[0, π] до ограниченного оператора. Обратимость оператора T
следует из задачи ., поскольку T − I < 1.
.. Доказать, что система {sin
2
(nt)}∞
1 не образует базис Рисса
в пространстве L2[0, π/2].
.. Доказать, что система {sin
2
(nt)}∞
1 ∪ {1} образует базис
Рисса в пространстве L2[0, π/2].
.. Доказать, что система {sin(2nt), t cos(2nt)}∞
0 образует ба-
зис Рисса в пространстве L2[0, π].
.* (М. И. Кадец, ). Пусть {λn}
∞
1 — последовательность
вещественных чисел со свойством |λn − n| < 1/4 для любого n ∈ .
Доказать, что система {eint
}n∈ является базисом Рисса в простран-
стве L2[0, π].
Указание. Доказать, что оператор A : eint
→e
iλnt
, определённый
на Lin{e
int
}n∈ ,имеетвидA=I+T,где T <1.
.* (К. И. Бабенко, ). Доказать, что система {|t|α ei πnt
}∞
−∞
является базисом Шаудера, но не является базисом Рисса в про-
странстве L2[−1, 1], если |α| < 1/2, α = 0.
.. Доказать, что система многочленов Чебышёва Tn(t) =
= cos(n arccos t), n = 0, 1, ..., не образует базис Рисса в пространстве
L2[−1, 1].
.. Пусть p(t) 0 — суммируемая на отрезке [0, 1] функция.
В гильбертовом пространстве L2([0, 1], p(t)dt) рассмотрим произ-
вольный ортогональный базис {en}
∞
1 . Доказать, что эта система об-
разует базис Рисса в пространстве L2[0, 1] (с обычной мерой Лебега)
тогда и только тогда, когда ess sup
t ∈[0,1]
p(t) < ∞иessinf
t ∈[0,1]
p(t) > 0.
.◦
. Пусть {xn}
∞
1 — базис Рисса в пространстве L2(M1, μ1),
{yn}
∞
1 — базис Рисса в пространстве L2(M2, μ2). Доказать, что систе-
ма{xn·ym}
∞
m,n=1
образует базис Рисса в L2(M1 × M2, μ1 × μ2)(ср.с
задачей .).
В задаче . утверждалось, что ортонормированная система,
квадратично близкая к ортонормированному базису (такие систе-
мы называют ещё базисами Бари), сама является базисом. Следую-
щая задача — вариант того же утверждения для, воообще говоря,
не ортогональных систем (см. также задачу.).
. . Пусть {en }
∞
1 — ортонормированный базис в гильбертовом
пространстве H .Пусть{xn}
∞
1 — система векторов в H ,длякоторой
∞
n=1
xn−en
2
< 1. Доказать, что система {xn}
∞
1 является базисом
Рисса.
Глава
Компактные операторы
и теория Фредгольма
§ .. Общие свойства компактных операторов
Определение .. Пусть X , Y — нормированные пространства.
Оператор A ∈ B( X , Y ) называется компактным, если для любого
ограниченного множества M ⊂ X его образ A(M )являетсяпред-
компактным множеством в Y .
Часто в определении компактного оператора множество M заме-
няют на единичный шар B(0, 1) пространства X . При этом получа-
ется эквивалентное определение.
Множество всех компактных операторов из пространства X в
пространство Y образует замкнутое линейное подпространство в
B(X,Y), которое мы будем обозначать через K(X,Y). При X =Y это
множество обозначается через K( X ). В этом случае K( X )образует
двусторонний замкнутый идеал в кольце ограниченных операто-
ров B( X ), т. е . K( X )естьподпространствоB( X ), замкнутое относи-
тельно операций A → AB и A → BA,гдеB ∈ B( X )—произвольный
оператор. Класс компактных операторов включает в себя класс ко-
нечномерных операторов (см. определение .).
Теорема . (Ю.Шаудер, ). Пусть X и Y — банаховы про-
странства. Оператор A ∈ B( X , Y ) компактентогдаитолькото-
гда, когда A ∈K(Y∗
,X
∗
).
Задачи
.
◦
. Доказать, что оператор A ∈ B( X , Y )являетсякомпактным
тогда и только тогда, когда образ единичного шара в X является
предкомпактным множеством в Y .
.
◦
. Доказать, что конечная линейная комбинация компактных
операторов есть компактный оператор.
.
◦
. Доказать, что композиция компактного и ограниченного
операторов (в любом порядке) есть компактный оператор.
.. Доказать, что если { An}
∞
1 — компактные операторы и An ⇒
⇒ A,то A — тоже компактный оператор.
Глава . Компактные операторы и теория Фредгольма
.* (Дж. Калкин, ). Пусть H — сепарабельное гильбертово
пространство. Доказать, что единственным нетривиальным соб-
ственным замкнутым двусторонним идеалом в B(H )является
K(H).
Указание. ) Доказать, что если идеал содержит хотя бы один
ненулевой оператор, то он содержит все операторы конечного ран-
га. ) Доказать, что если идеал содержит хотя бы один некомпакт-
ный оператор, то он содержит ортопроектор на бесконечномерное
подпространство.
.. Пусть X и Y — банаховы пространства, A ∈ K(X, Y). Дока-
зать, что A может иметь правый обратный оператор только в случае
dim Y < ∞. Доказать, что A может иметь левый обратный оператор
только в случае dim X < ∞.
Из последней задачи следует, что компактный оператор в беско-
нечномерном пространстве не имеет ограниченного обратного.
.
◦
. Привести пример последовательности таких компактных
операторов { An}
∞
1 в банаховом пространстве X ,что An
s
→ A∈B(X),
но A — не компактный оператор.
.
◦
. Пусть X и Y — нормированные пространства, A ∈ B(X, Y).
Доказать, что если dim(Im A) < ∞, то A компактен.
.. Пусть X — банахово пространство, A∈K(X,Y), а Y0⊂Im A —
замкнутое подпространство. Доказать, что dim Y0 < ∞.
Утверждение этой задачи иногда помогает при доказательстве
некомпактности оператора: образ компактного оператора не может
содержать бесконечномерного замкнутого подпространства.
. . Привести пример таких банаховых пространств X и Y и
такого некомпактного оператора A ∈ B( X , Y ), что Im A не содержит
бесконечномерных замкнутых подпространств.
Указание. См. задачу..
.
◦
. Пусть A ∈ B(X), где X — банахово пространство, и Im A =
= X . Может ли оператор A быть компактным?
.. Пусть X и Y —банаховы пространства, A ∈ K(X,Y), B ∈
∈ B(X,Y)иImB ⊂ImA. Доказать, что B ∈K(X,Y).
. . Пусть X и Y — нормированные пространства, оператор
A ∈ K( X , Y ). Доказать, что пространство (Im A, ·
Y ) сепарабель-
но.
.. Пусть X — банахово пространство. Доказать, что тожде-
ственный оператор в нём компактен тогда и только тогда, когда
X конечномерно.
.. Доказать, что оператор проектирования в банаховом про-
странстве компактен тогда и только тогда, когда он конечноме-
рен.
§ . . Общие свойства компактных операторов
.. Пусть X — рефлексивное банахово пространство, X
∗
сепа-
рабельно и A ∈ K( X ). Доказать, что образ замкнутого единичного
шара A(̄̄B(0, 1)) есть компактное множество.1)
.. Пусть X — банахово пространство. Доказать, что если для
всякого оператора A ∈ K( X ) образ замкнутого единичного шара
A(̄̄B(0, 1)) есть компактное множество, то пространство X рефлек-
сивно.
.
◦
. Верно ли, что если в бесконечномерном нормированном
пространстве A2 = 0, то оператор A компактен?
.. Пусть X — бесконечномерное банахово пространство, опе-
ратор A ∈ K(X), а многочлен P(z) = anz
n
+an−1z
n−1
+ ... + a0.Дока-
зать, что если a0 = 0, то и P( A) = 0. Для произвольного многочлена
P(z) с коэффициентом a0 = 0 привести пример компактного опера-
тора A,длякоторогоP( A) = 0.
.
◦
. Доказать, что подобные операторы (см. определение .)
либо оба компактны, либо оба не компактны.
.. Доказать, что компактный оператор переводит всякую
слабо сходящуюся последовательность в последовательность, схо-
дящуюся по норме.
Это свойство компактного оператора часто используется в зада-
чах. В рефлексивных пространствах это свойство является критери-
ем компактности оператора.
.. Доказать, что оператор в рефлексивном пространстве, пе-
реводящий всякую слабо сходящуюся последовательность в после-
довательность, сходящуюся по норме, является компактным. При-
вести пример оператора в нерефлексивном пространстве, перево-
дящего всякую слабо сходящуюся последовательность в последо-
вательность, сходящуюся по норме, и не являющегося компакт-
ным.
.
◦
. Пусть X и Y — банаховы пространства, A ∈ K(X, Y ), после-
довательность xn x в X , последовательность fn
∗
fвY∗
. Доказать,
что fn(Axn) → f(Ax).
.. Пусть X и Y — банаховы пространства, причём Y сепара-
бельно. Пусть A ∈ B( X , Y ), а оператор A переводит всякую ∗-слабо
сходящуюся в Y ∗ последовательность в сходящуюся по норме после-
довательность в X ∗
. Доказать, что A компактен.
.. Пусть банахово пространство X рефлексивно, а X
∗
сепара-
бельно. Доказать, что любой компактный оператор A ∈ K( X )дости-
1) Утверждение задачи остаётс я справедливым и без ус ловия сепарабельнос ти
сопряжённого прос транства (для доказательс тв а необходимо использов ать теоре-
му.).
Глава . Компактные операторы и теория Фредгольма
гает своей нормы на замкнутом единичном шаре
1)
. Привести при-
мер компактного оператора в нерефлексивном пространстве, не до-
стигающего своей нормы на замкнутом единичном шаре.
Указание. Использовать задачи . и ..
Определение . . Пусть X и Y — банаховы пространства. Опе-
ратор A ∈ B( X , Y ) называется ядерным или оператором со сле-
дом ( A ∈ Sp( X , Y )), если существуют такие одномерные операторы
Ak∈B(X,Y),чтоA=
∞
k=1
Ak , где ряд сходится абсолютно в простран-
стве B(X,Y).
.. Доказать, что Sp( X , Y ) — (вообще говоря, незамкнутое)
линейное подпространство в K( X , Y ). Доказать, что dim Sp( X , Y ) =
=∞, еслиdimX=∞илиdimY=∞.
.. На линейном пространстве Sp( X , Y ) введем норму
A Sp(X,Y) =inf
∞
k=1
Ak,
где точная нижняя грань берётся по всем представлениям опера-
тора A в виде суммы абсолютно сходящегося ряда A =
∞
k=1
Ak одно-
мерных операторов. Доказать, что эта функция удовлетворяет акси-
омам нормы. Доказать оценку A B( X ,Y )
A Sp(X,Y). Доказать, что
пространство Sp( X , Y ) банахово относительно введённой нормы.
Определение . . Говорят, что пространство X обладает свой-
ством аппроксимации, если для любого банахова пространства Y
и для любого компактного оператора A ∈ K(Y , X )найдётсяпосле-
довательность конечномерных операторов { An}
∞
1 ,сходящаясяк A
по норме B(Y , X ), т. е . замыкание подпространства конечномерных
операторов по норме в B(Y , X )совпадаетсK(Y , X ).
.. Доказать, что любое банахово пространство, в котором
есть счётный базис Шаудера, обладает свойством аппроксимации.
Доказать, что любое (не обязательно сепарабельное) гильбертово
пространство обладает свойством аппроксимации.
Те ор е м а . (П. Энфло, ). Существуют сепарабельные бана-
ховы пространства, не обладающие свойством аппроксимации. Эти
пространства не имеют базиса Шаудера.
.◦
. Пусть в банаховом пространстве X существует базис Ша-
удера. Доказать, что замыкание подпространства конечномерных
1) Утверждение задачи остаётс я справедливым и без ус ловия сепарабельнос ти
сопряжённого прос транства (для доказательс тв а необходимо использов ать теоре-
му.).
§ .. Компактные операторы в конкретных пространствах
операторов в смысле сильной операторной сходимости в B( X )сов-
падает с B(X).
§ .. Компактные операторы
в конкретных прос транс твах
При доказательстве компактности (некомпактности) различных
конкретных операторов используют критерии компактности мно-
жеств (см. список этих критериев в § .) и результаты о компакт-
ном вложении пространств (см. задачи ., .).
.
◦
. При каких λ ∈ l∞ оператор Ax = (λ1x1,...,λn xn,...) являет-
ся компактным оператором в l p (1 p < ∞)? При каких условиях на
последовательность λ этот оператор является ядерным?
.. При каких a ∈ L∞[a, b]оператор(Ax)(t) = a(t) x(t)является
компактным оператором в L p[0, 1], p ∈ [1, ∞]? При каких a ∈ C[0, 1]
оператор ( Ax)(t) = a(t) x(t)компактен вC[0, 1]?
.. Доказать, что любой ограниченный оператор, действу-
ющий из рефлексивного пространства в пространство l1,явля
-
ется компактным. В частности, если A ∈ B(lp , l1), 1 < p < ∞, то
A ∈ K(lp, l1).
. . Доказать, что любой ограниченный оператор, действую-
щий из пространства c0 в рефлексивное пространство, является
компактным.
.. Пусть A ∈ B(L2[0, 1]) и Im A ⊂ C[0, 1]. Доказать, что A ∈
∈ K(L2[0, 1]) (ср. с задачей .).
Указание. Использовать задачу..
.
◦
. Доказать, что операторы правого и левого сдвига в любом
из пространств l p , p ∈ [1, ∞], c или c0 не компактны.
Пример .. Доказать, что оператор интегрирования ( Ax)(t) =
=
t
0
x (s) ds компактен в пространстве C
n
[0,1], n =0,1, ...
Решение. Заметим, что оператор (Bx)(t) =
t
0
x(s)dsиз C
n
[0,1]в
C n+1
[0, 1] ограничен (см. задачу.), а оператор вложения Jx = x
из C n+1[0, 1] в C n[0, 1] компактен (см. задачу.). Поскольку
A = JB, для доказательства компактности оператора A остаётся вос-
пользоваться утверждением задачи ..
.. Доказать, что если K ∈ C([a, b]2), то интегральный опера-
тор A: Lp[a,b] → Lr[a,b], (Ax)(t) =
b
a
K(t, s)x(s) ds, компактен при
любыхp,r∈[1,∞).
Глава . Компактные операторы и теория Фредгольма
.. Доказать, что если K ∈ Lq ([a, b]2), то интегральный опера-
тор A: Lp[a,b]→Lq[a,b],
1
p+
1
q=1,q<∞, (Ax)(t)=
b
a
K(t, s)x(s) ds,
является компактным.
.. Доказать, что если функция K(t , s) непрерывна на квад-
рате [a, b]2 за исключением конечного числа непрерывных кри-
вых вида s = sk(t), k = 1, ..., n, t ∈ [a, b], то интегральный оператор
A: C[a,b]→C[a,b],(Ax)(t)=
b
a
K(t , s) x (s) ds,являетсякомпактным.
.◦
. Доказать, что не является компактным оператор диффе-
ренцирования Ax = x , действующий:
а) из C1[0,1] в C[0,1]; б)из W1
2 [0,1] в L2[0,1].
.◦
. Доказать, что оператор сдвига ( Ax)(t) = x (t − a)неком-
пактен в пространствах:
а)Lp( ),p∈[1,∞]; б)C0( ); в)BC( ).
.. С помощью задачи . доказать, что оператор Харди
(Ax)(t) =
1
t
t
0
x(s)ds
в пространстве L p[0, 1], p ∈ (1, ∞), не компактен.
.. а) Доказать, что любой интегральный оператор (Tx)(t) =
=
1
0
K (t, s) x(s) ds в пространстве L1[0, 1] с измеримым ядром, удо-
влетворяющим условию sup
s∈[0,1]
1
0
|K(t, s)| dt < ∞, компактен.
б)* Доказать, что всякий компактный оператор T в пространстве
L1[0, 1] может быть записан в таком виде.
.. Привести пример некомпактного ограниченного опера-
тора A в пространстве L p[0, 1], p ∈ (1, ∞), и последовательности
{xn}
∞
1 ⊂ Lp[0, 1] со свойствами
() xn 0;
() xn Lp
= 1длявсехn ∈ ;
() Axn Lp
→ 0 (ср. с задачей .).
.. Пусть X — одно из пространств: lp, p ∈ (1, ∞), c или c0
.
Пусть A ∈ K(X), а {en = (0,0,...,0,1
n
,0,0,...)}∞
n=1
. Доказать, что Aen →
→ 0. Привести пример такого компактного оператора A в простран-
стве l1,что Aen → 0.
.. Доказать, что оператор A вида
Ax= x1,
x1+x2
2
,
x1+x2+x3
3
,...
§ . . Компактные операторы в гильбертовых пространствах
в пространствах l p , p ∈ (1, ∞), c и c0 ограничен, не компактен, но
Aen →0.
.
◦
. Является ли компактным в пространстве C[−1, 1] опера-
тор (Ax)(t) =
1
2
(x(t) + x(−t))?
.. Пусть φ(t) — непрерывное отображение отрезка [0, 1] в
себя. Доказать, что оператор композиции A ∈ B(C[0, 1]), ( Ax)(t) =
= x (φ(t)) является компактным в C[0, 1] тогда и только тогда, когда
φ(t) ≡ const.
.* (Теорема И. К. Даугавета, ). Доказать, что для вся-
кого компактного оператора A в C[0, 1] имеет место равенство
A+λI = A +|λ|(λ∈ ).
§ . . Компактные операторы
в гильбертовых прос транс твах
.. Пусть в гильбертовом пространстве H оператор A∗ A ком-
пактен. Доказать, что оператор A компактен.
Утверждение следующей задачи легко следует из теоремы . и
утверждения задачи ., но его полезно доказать и независимо.
.. Доказать, что в гильбертовом пространстве оператор A
компактен тогда и только тогда, когда A∗ компактен.
.. Пусть A — самосопряжённый неотрицательный оператор в
гильбертовом пространстве H . Доказать, что A компактен тогда и
только тогда, когда A компактен.
.. Пусть A, B и C — самосопряжённые операторы в гильбер-
товом пространстве, B A C ,причёмB и C компактны. Доказать,
что A также компактен.
.. При каких значениях параметра r оператор Харди
A: L2[0,1] → L2[0,1], (Ax)(t) = t
r−1
t
0
x(s)
sr ds
(см. задачу.), является компактным?
.. Доказать, что если A ∈ K(H), а {en}
∞
n=1
— ортонормирован-
ный базис пространства H ,то Aen →0.
Обратное утверждение к утверждению предыдущей задачи см. в
задаче . . Пример такого некомпактного оператора A,что Aen →
→ 0 для некоторого ортонормированного базиса, см. в задаче ..
.. Доказать компактность оператора A : l2 → l2 ,
(Ax)k =
+∞
n=1
akn x n,г
д
е
+∞
k=1
+∞
n=1
|akn|
2
<∞.
Глава . Компактные операторы и теория Фредгольма
Является ли оператор A компактным в l2 при условии lim
i→∞
+∞
j=1
|aij |2
=
=0?
.*. Является ли компактным в пространстве l2 оператор Гиль-
берта (см. задачу.), определённый матрицей {aij }∞
i,j=1
,гдеaij =
=
1
i+j?
.◦
. Привести пример компактного оператора A в простран-
стве l2, элементы матрицы которого в стандартном базисе удовле-
творяют соотношению
∞
k=1
∞
n=1
|akn|2 = ∞.
.. Пусть Tr :(x1, x2,...) → (0, x1, x2, ...) — оператор правого
сдвига в пространстве l2 . Доказать, что если компактный опера-
тор K коммутирует с Tr ,то K = 0.
.. Доказать, что оператор ( Ax)(t) =
+∞
−∞
e−|t−s|x(s) ds не ком-
пактен в пространстве L2( ).
Следующая задача является частным случаем задачи ., но,
используя гильбертовость пространства L2[0, 1], этузадачуможно
решить более просто.
.. Доказать компактность в пространстве L2[a, b]интеграль-
ного оператора ( Ax)(t) =
b
a
K(t, s)x(s) ds сядромK ∈ L2([a, b]2).
Указание. Разложить K(t , s) по ортонормированномубазису
{φn(t)φn(s)}∞
1 ,где{φn}
∞
1 — ортонормированный базис в L2[a, b].
Отметим, что условие K ∈ L2([a, b]2)неявляетсянеобходимым
для компактности оператора A.
.. При каких α ∈ (0, 1) оператор
A: L2[0,1] → L2[0,1], (Ax)(t) =
1
0
x(s)
|t−s|αds,
компактен?
Указание. Доказать, что оператор A равномерно приближается
операторами ( An x )(t) =
En(t)
x(s)
|t−s|αds,гдеEn(t)={s∈[0,1]:|s−t|
1/n}.
.. Доказать компактность оператора A : L2[0, 1] → L2[0, 1],
( Ax)(t) =
1
0
1
t−s
ln
1+t
1+s
x(s) ds.
.. Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ K(H ). Доказать,
чтосуществуеттакойвекторx∈H, x =1,что Ax = A (ср.с
задачей .).
§.. Теория Фредгольма
.. Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ K(H ), вектор
x ∈ H, x = 1и Ax = A . Доказать, что оператор A переводит
{x }⊥ в{Ax}⊥ .
§.. Теория Фредгольма
Определение .. Пусть X , Y — банаховы пространства, A ∈
∈ B(X,Y). Положим
α(A):= dimKer A; β(A):= codimIm A.
Эти числа (конечные или бесконечные) называют дефектными чис-
лами оператора A. Оператор называют фредгольмовым ( A∈F ( X, Y )),
если оба этих числа конечны. В этом случае можно определить чис-
ло ind A := α( A) − β ( A), называемое индексом оператора A.
В некоторых случаях в определение фредгольмова оператора до-
бавляют условие замкнутости образа оператора. Это условие, впро-
чем, выполнено для всякого оператора с конечными дефектными
числами.
Теорема . . Если X иY —банаховы пространства, A∈F(X,Y),
то Im Aзамкнут(см. задачу .).
Определение . . Пусть X , Y — банаховы пространства. Опера-
тор A ∈ B( X , Y ) называется почти обратимым, если существуют та-
кие операторы R ∈B(Y, X), L ∈B(Y, X), что
LA=IX+K1, AR=IY+K2,
где K1 ∈ K(X), K2 ∈ K(Y).
Теорема . (С. М. Никольский, ). Пусть X, Y — банаховы
пространства. Оператор A ∈ B( X , Y ) является фредгольмовым то-
гда и только тогда, когда он почти обратим. При этом операторы
R и L можно выбрать равными и такими, что K1 иK2 являются
операторами конечного ранга (конечномерными операторами).
Теорема . (Ф. Рисс, ). Если оператор A ∈ K(X),тоопера-
тор I − Aфредгольмов.
Теория Фредгольма изучает вопрос разрешимости (относитель-
но x )уравнения(I − A)x = y в банаховом пространстве X для опе-
ратора A ∈ K( X ). Для формулировки результатов удобнее ввести
оператор A ∈ K( X ∗) и рассмотреть четыре уравнения:
()(I−A)x=y;()(I−A)f=g;
()(I−A)x=0; ()(I−A)f=0.
Пусть M = Ker(I − A) (решения уравнения ()), а N = Ker(I − A )
(решения уравнения ()).
Глава . Компактные операторы и теория Фредгольма
Те ор е м а . (первая теорема Фредгольма). Уравнение () (соот-
ветственно уравнение ()) имеет решение тогда и только тогда,
когда y ⊥ N (соответственно f ⊥ M ).1)
Те ор е м а . (вторая теорема Фредгольма, или альтернатива
Фредгольма). Либо уравнение () (соответственно уравнение ())
имеет решение для любой правой части, либо уравнение () (соот-
ветственно уравнение ()) имеет ненулевое решение.
Теорема . (третья теорема Фредгольма). dim M = dim N < ∞.
В работе Э. Фредгольма () эти теоремы доказаны для инте-
гральных операторов.
Из теорем Фредгольма несложно получить, что для компактного
оператора A справедливо равенство
ind(I−A)=ind(I−A)=0.
Задачи
.◦
. Доказать, что подобные операторы в банаховых простран-
ствах либо оба фредгольмовы и их индексы совпадают, либо оба не
фредгольмовы.
.
◦
. Доказать, что всякий обратимый оператор в банаховом
пространстве фредгольмов.
.
◦
. Пусть X и Y —банаховы пространства, A ∈K(X,Y). Дока-
зать, что A ∈ F(X, Y) тогда и только тогда, когда оба пространства
X и Y конечномерны.
.. Пусть X — банахово пространство и A — фредгольмов опе-
ратор в X . Доказать, что тогда оператор A также фредгольмов и
α(A)=β(A),β(A)=α(A).
В случае гильбертовых пространств теоремы Фредгольма мо-
гут быть легко получены из теорем о системе линейных уравнений
(см. курс алгебры).
.. Доказать теоремы .—. для случая гильбертова про-
странства H и конечномерного оператора A ∈ B(H ).
Указание. Использовать задачу..
.. Доказать первую теорему Фредгольма . для случая гиль-
бертова пространства.
Указание. Используя задачу ., свести доказательство к пре-
дыдущей задаче.
В произвольном банаховом пространстве метод, использован-
ный в предыдущей задаче для доказательства теорем Фредголь-
ма, не применим, посколькупространство может не удовлетворять
свойствуаппроксимации (см. теорему.).
1)Дляпары x∈ X, f ∈X∗ говорят, что x⊥f,еслиf(x)=0.
§.. Теория Фредгольма
В утверждениях задач .—. содержатся теоремы из начала
параграфа. Эти задачи необходимо решить без использования тео-
рем .—. .
.◦
. Пусть X — банахово пространство, A ∈ K(X)иT = I − A.
Доказать, что α(T ) < ∞.
.. Пусть X — банахово пространство, A ∈ K(X)иT = I − A.
Доказать, что подпространство Im T замкнуто в X .
Указание. Использовать задачи ., . и ..
.. Пусть X — банахово пространство, A ∈ K( X )иT = I − A.
Доказать, что β (T ) < ∞.
Указание. Использовать задачу..
Таким образом, утверждения задач .—. составляют тео-
рему., а теорема . следует из утверждений задач . и ..
. . Доказать теорему..
Указание. ВслучаеKerA = 0 придумать биективный оператор
ˆ
A:X⊕
n
→ Y и применить теорему. и задачу..
.. Пусть X — банахово пространство, A ∈ K(X)иT = I − A.
Доказать, что:
а) T имеет конечный подъем и равный емуконечный спуск m;
б) для всех натуральных k ядра Ker(T k )конечномерны,аобразы
Im(T k ) замкнуты (см. задачи . и .).
Теоремы . и . теперь легко вытекают из утверждений задач
., . и ..
.. Пусть X , Y и Z — банаховы пространства, A ∈ F(Y, Z),
B∈F(X,Y).Доказать, что AB∈F(X,Z)и
ind(AB)=indA+indB.
Указание. Использовать задачи . и ..
.. Пусть X и Y — банаховы пространства, A ∈ IB( X , Y )—об-
ратимый оператор, T ∈K(X,Y).Доказать, что A + T ∈F(X,Y)и
ind(A+T)=0.
.. Пусть X и Y — банаховы пространства, A ∈F ( X , Y )иindA=
= 0. Не используя теорему., доказать теоремуФ. Рисса о разло-
жении: существует такой обратимый оператор R ∈ IB( X , Y )итакой
конечномерный оператор S,что A = R + S.
Указание. Используя задачи . и ., продолжить оператор A
до биективного оператора R.
.. Доказать теорему..
. (Первая теорема об устойчивости индекса). Пусть X и Y —
банаховы пространства, S ∈ F(X,Y), T ∈ K(X,Y). Доказать, что
S+T∈F(X,Y)и
ind(S+T)=indS.
Глава . Компактные операторы и теория Фредгольма
. (Вторая теорема об устойчивости индекса). Пусть X и Y —
банаховы пространства, S ∈ F ( X , Y ). Доказать, что найдётся такое
>0, что для всякого оператора T ∈ B( X , Y )с T < имеет место
включение S + T ∈F(X,Y)иравенствоind(S+T)=indS.
.
◦
. Пусть X ⊂ Y — банаховы пространства. Доказать, что опе-
ратор вложения J : X → Y фредгольмов тогда и только тогда, когда
коразмерность линейного пространства X в Y конечна.
.
◦
. Доказать, что оператор проектирования в банаховом про-
странстве фредгольмов тогда и только тогда, когда его образ имеет
конечную коразмерность.
Пример .. Является ли оператор A : x (t) → x ( t ) фредгольмо-
вым в пространстве L2[0, 1]?
Решение. Заметим, что функции t α при α ∈ (−1/2, −1/4) лежат в
пространстве L2[0, 1], но не лежат в Im A.Этотнаборфункцийли-
нейно независим, так как если для некоторых α1 <α2 < ... <αn и
некоторых комплексных чисел c1, c2 ,...,c n выполнено
x(t)= c1t
α1 +c2t
α2+...+cnt
αn≡0,
то0=lim
t→0
x (t)t−α1
=c
1,атогда0= lim
t→0
x (t)t−α2
=c
2,ит.д
.Такимоб-
разом, codim Im A = ∞, а значит оператор не фредгольмов.
.◦
. Доказать, что следующие операторы фредгольмовы:
а) (Ax)(t)= x (t); A: C1[0,1]→C[0,1];
б) ( Ax)(t) =
t
0
x(s)ds; A: C[0,1]→ C1[0,1].
Найти числа α( A), β ( A)иindA.
.. При каких условиях на последовательность {λn}
∞
1∈l∞
оператор Ax = (λ1x1, λ2x2,...,λnxn,...) в lp,где1 p < ∞, является
фредгольмовым оператором? В тех случаях, когда оператор фред-
гольмов, вычислить α( A), β ( A)иindA.
.. При каких условиях на функцию a оператор ( Ax)(t) =
= a(t) x(t)являетсяфредгольмовым:
а) в L2[0,1](a∈ L∞[0,1]); б)в C[0,1](a∈C[0,1])?
В тех случаях, когда оператор фредгольмов, вычислить α( A), β ( A)и
ind A.
.◦
. Доказать, что операторы правого и левого сдвига в любом
из пространств l p , p ∈ [1, ∞], c или c0 фредгольмовы. Вычислить де-
фектные числа и индекс для этих операторов.
.
◦
. Доказать, что оператор ( Ax)(t) = x (t + a) фредгольмов в
любом из пространств L p( ), p ∈ [1, ∞], BC( ). Вычислить α( A),
β( A)иindA для этого оператора в каждом из указанных про-
странств.
§.. Интегральные уравнения
.. Пусть {en }
∞
1 — ортонормированный базис в гильберто-
вом пространстве H ,асистема{xn}
∞
1 квадратично близка к нему,
т.е.
∞
n=1
xn−en
2 < ∞. Доказать, что в этих условиях следующие
утверждения эквивалентны:
() система {xn}
∞
1 полна;
() система {xn}
∞
1 минимальна;
() система {xn}
∞
1 является базисом Рисса.1)
Указание. Использовать фредгольмов оператор T : en → x n , n ∈ .
§ .. Интегральные уравнения
Уравнение вида
x(t)+λ
b
a
K(t, s)x(s)ds= y(t)
относительно функции x называют уравнением Фредгольма второго
рода. Легко видеть, что эти уравнения можно записать в оператор-
ном виде (I + λ A)x = y . Если интегральный оператор A компактен в
соответствующем банаховом пространстве, то к таким уравнениям
применима теория Фредгольма. Уравнения вида
b
a
K(t, s)x(s)ds= y(t)
называются уравнениями Фредгольма первого рода.
В случае, если K(t, s) ≡ 0приt > s (или при t < s), соответству-
ющий интегральный оператор называется оператором с треуголь-
ным ядром. Отвечающее емууравнение Фредгольма второго рода
(при условии K (t, s) ≡ 0приt > s)имеетвид
x(t)+λ
t
a
K(t, s)x(s)ds= y(t)
и называется уравнением Вольтерра второго рода (см. определе-
ние . и задачу. ниже).
Интегральный оператор с ядром K (t, s) =
n
i=1
pi(t)qi(s) называет-
ся оператором с вырожденным ядром. Для таких операторов тео-
ремы Фредгольма сводятся к известной теореме линейной алгебры
(теорема Кронекера—Капелли).
1) Сравните с задачами . и ..
Глава . Компактные операторы и теория Фредгольма
Пример .. При каких значениях параметра λ ∈ интеграль-
ное уравнение x(t) + λ
π
−π
ch(π −|t − s|)x (s) ds = y(t)имеетрешение
при любой правой части y ∈ L2[−π, π]? Решить это интегральное
уравнение при y(t)= t, λ =
3
2shπ
.
Решение. Функция ch ξ непрерывна, а значит, интегральный опе-
ратор с ядром ch(π −|t − s|) компактен в пространстве L2[−π, π].
В этом случае согласно второй теореме Фредгольма неоднородное
интегральное уравнение разрешимо для любой правой части тогда
и только тогда, когда однородное уравнение не имеет нетривиаль-
ных решений. Запишем однородное уравнение
x(t)+λ
t
−π
ch(π−t+s)x(s)ds+λ
π
t
ch(π+t− s)x(s)ds=0
и прежде всего заметим, что x (π) − x (−π) = 0. Затем продифферен-
цируем это уравнение и получим равенство
x (t)−λ
t
−π
sh(π−t+s)x(s)ds+λ
π
t
sh(π+t−s)x(s)ds=0.
Заметим, что x (π) − x (−π) = 0, и после следующего дифференци-
рования получим:
x (t)+λ
t
−π
ch(π−t+s)x(s)ds+λ
π
t
ch(π+t−s)x(s)ds−2λsh πx(t)=0,
откуда x (t) − x (t) 1 + 2λ sh π) = 0. Общее решение полученного
дифференциального уравнения имеет вид
x(t)=Ash(t 1+2λshπ)+Bch(t 1+2λshπ)
с неизвестными постоянными A, B. Учитывая, что x (−π) = x (π),
а x (−π) = x (π), видим, что нетривиальное решение однородного
интегрального уравнения существует тогда и только тогда, когда
sh(π 1+2λshπ)=0,т.е.приλ=λk= −
k2+1
2shπ
,гдеk ∈ .Итак,ис-
ходное интегральное уравнение имеет решение при любой правой
части, если параметр λ/∈ {λk }k∈ .
Найдём теперь решение исходного уравнения для y(t) = t и
λ=
3
2shπ
.
Продифференцировав дважды неоднородное уравне-
ние и учтя, что y =0, получим: x(t)= Ash(2t)+Bch(2t)+
t
4с
неизвестными постоянными A и B. Краевые условия в этом слу-
чае имеют вид x(π)−x(−π)=2π и x(π)−x(−π)=0, откуда
x(t)=
3π
4sh(2π)
sh(2t) +
t
4.
§.. Интегральные уравнения
.. Доказать, что общее решение уравнения
x(t)−
b
a
n
i=1
pi(t)qi(s) x(s) ds = y(t)
(относительно функции x при известной y )имеетвид
x(t)=
n
i=1
ci pi(t) + y(t);
здесь ci ∈ ,1 i n, являются решениями системы уравнений
n
j=1
aijcj=bi, i =1,...,n,
где коэффициенты aij и bi зависят от y , pi и qi . Сформулировать аль-
тернативуФредгольма в терминах матрицы aij иправойчастиbi .
Функции pi считать линейно независимыми.
.. В пространстве C[0, 1] найти решение следующих инте-
гральных уравнений при всех значениях комплексных параметров
λ,α,βиγ:
а) x(t)−λ
1
0
tsx(s)ds=α+βt+γt2;
б)x(t)−λ
1
0
(ts+ t2s2)x(s)ds= αt.
.. В пространстве C[0, π] найти решение следующих инте-
гральных уравнений при всех значениях комплексных параметров
λ,αиβ:
а) x(t)−λ
π
0
cos(t−s)x(s)ds=αsint+βcost;
б)x(t)−λ
π
0
cos(t+s)x(s)ds=αsint+βcost.
.. При каких условиях на функцию y ∈ L2[0, π]ипараметр
λ ∈ уравнение
x(t)+λ
π
0
sin(t − s)x(s)ds= y(t)
имеет единственное решение в пространстве L2[0, π]?
.. Найти все β ∈ , для каждого из которых уравнение
x(t)+
1
0
(1+αts)x(s)ds= β +t2
разрешимо в L2[0, 1] при любом α ∈ .
Глава . Компактные операторы и теория Фредгольма
.. В пространстве L2[0, 1] найти решение следующих инте-
гральных уравнений при всех значениях комплексных параметров
λ,aиb:
а) x(t)−λ
1
0
3tsx(s)ds= at + 4t2;
б)x(t)−λ
1
0
5t2s2x(s)ds= 4t +bt2
.
.. В пространстве L2[0, 1] найти решение следующих инте-
гральных уравнений при всех значениях λ ∈ :
а) x(t)−λ
1
0
min(t, s)x(s) ds = 0;
б)x(t)+λ
1
0
max(t, s)x(s)ds= 0.
.. В пространстве L2[0, 1] найти решение интегрального
уравнения при всех значениях λ ∈ :
x(t)+λ
1
0
(ts − min(t, s))x(s) ds= y(t),
если а) y(t) = t;б)y(t)= sin2πt.
.. В пространстве L2[0, 1] найти решение интегрального
уравнения при всех значениях λ ∈ :
x(t)+λ
1
0
1
2
−|t−s| x(s)ds= y(t),
если а) y(t) = cos πt;б)y(t) = cos 2πt.
. . В пространстве L2[0, 1] найти решение интегрального
уравнения при всех значениях λ ∈ :
x(t)+λ
1
0
(ts + max(t, s))x(s)ds= y(t),
если а) y(t) = cos πt;б)y(t) = cos 2πt.
.. Разрешимо ли уравнение Фредгольма первого рода
t
0
(t − s)x(s)ds= y(t),
где
а) y(t) = sin t;б)y(t) = cos t;в)y(t) = sin
2
t
в пространствах C[0, π]; Lp[0, π], p ∈ [1, ∞]?
Глава
Основы спектральной теории
ограниченных операторов
в банаховых пространствах
§.. Спектр
Многие уравнения математической физики сводятся к решению
в некотором банаховом пространстве X уравнения
(A−λI)x= y,
где y — известный элемент пространства X , x — неизвестный эле-
мент, а λ ∈ . Таким образом, возникает вопрос об обратимости
оператора A − λI , зависящего от комплексного параметра λ.
Определение .. Спектром σ( A) оператора A ∈ B( X ) называ-
ется множество таких значений λ ∈ , для которых не существует
ограниченного обратного оператора ( A − λI )−1
.
Дополнительное
кспектрумножествоρ( A):= \ σ( A) называют резольвентным
множеством оператора A.Дляλ ∈ ρ( A) определяют резольвенту
Rλ(A):= (A − λI)−1
оператора A. Говорят: «резольвента операто-
ра A вточкеλ».
Для всякого оператора A ∈ B( X ) (кроме случая X = {0}) его
спектр σ( A)—непустой компакт в .
В спектре оператора можно выделять различные компоненты
(классифицировать). Одна из классификаций спектра связана с
теоремой Банаха об обратном операторе. А именно, рассмотрим
случаи, когда оператор A − λI не биективен.
. Оператор A − λI не инъективен. Следовательно, существует
ненулевой вектор x ∈ Ker( A − λI ). Такое λ называют собственным
значением,вектор x — собственным вектором,апару x = 0, λ,для
которой выполнено Ax = λ x — собственной парой. Совокупность
всех собственных значений оператора A называют точечным спек-
тром оператора A иобозначаютσp( A). Кратностью (геометри-
ческой кратностью) собственного значения λ ∈ σp( A) называют
dimKer(A − λI).
Глава . Основы спектральной теории ограниченных операторов
. Оператор A − λI инъективен, но не сюръективен. Следова-
тельно, Im( A − λI ) = X .Выделимдваподслучая:
а. Im( A − λI ) = X .Множествотакихλ называют непрерывным
спектром оператора A иобозначаютσc ( A).
б. Im( A − λI ) = X .Множествотакихλ называют остаточным
спектром оператора A иобозначаютσr( A).
В соответствии с такой классификацией весь спектр оператора A
разбивается на три непересекающихся множества: σ( A) = σp( A)
σc(A) σr(A).
В задачах этой главы при нахождении спектра читателю предла-
гается провести его классификацию.
Эта классификация точек спектра не единственна. Рассматрива-
ются и другие классификации точек спектра (см. определение .
и главу).
C понятием спектра тесно связано понятие спектрального ради-
уса.
Определение . . Пусть X — банахово пространство. Спек-
тральным радиусом оператора A ∈ B( X ) называется число r( A) =
= max
λ∈σ(A)
|λ|.
Теорема . . Пусть X — банахово пространство. Если A ∈ B(X),
то существует предел lim
n→∞
An1/nи
r(A) = lim
n→∞
An 1/n
.
Задачи
.
◦
. Пусть X — банахово пространство, A ∈ B( X ). Используя за-
дачу., доказать, что ρ( A) — открытое множество (следователь-
но, σ( A) — замкнутое множество) в .
.. C помощью задачи . доказать, что спектр ограниченного
оператора A расположен внутри круга {λ ∈ : |λ| A }. Доказать,
что при |λ| > A резольвента задаётся в виде ряда К. Неймана:
Rλ(A) = −
1
λ
∞
n=0
An
λn.
.. Доказать теорему. .
.
◦
. Пусть λ, μ ∈ ρ( A). Доказать тождество Гильберта для ре-
зольвент:
Rλ(A) − Rμ(A) =(λ− μ)Rλ(A)Rμ(A).
Используя это тождество, доказать, что
Rλ(A)Rμ(A) = Rμ(A)Rλ(A).
§.. Спектр
.. Пусть λ0, λ ∈ ρ(A). Доказать, что если |λ − λ0| <
1
Rλ0(A)
,
то
Rλ(A) − Rλ0(A)
|λ−λ0|· R
2
λ0
(A)
1−|λ−λ0|· Rλ0(A)
.
.. Доказать, что Rλ( A)являетсяа)непрерывной;б)аналити-
ческой функцией переменного λ вобластиρ( A) ∪ {∞} со значения-
ми в B(X). Доказать, что если λ0 ∈ ρ(A), то при |λ−λ0| <
1
Rλ0(A)
для резольвенты справедливо представление
Rλ(A) =
∞
k=0
(λ−λ0)
k
Rλ0(A) k+1
,
апри|λ| > r(A)
Rλ(A) = −
1
λ
∞
n=1
An
λn.
.. Пусть X — банахово пространство, A ∈ B( X )(X = {0}). До-
казать, что спектр A не пуст.
Указание. Воспользоваться теоремой Лиувилля: если комплекс-
нозначная функция w(z) голоморфна и ограничена в ,тоw(z) ≡
≡ const.
.
◦
. Пусть X — банахово пространство, A ∈ B(X), λ ∈ σ(A)ису-
ществует c > 0такое,что Ax − λx > c x для всех x ∈ X.Используя
задачу., доказать, что λ ∈ σr( A).
Определение .. Пусть A — ограниченный оператор в бана-
ховом пространстве X . Последовательность { xn}
∞
n=1 ⊂ X называ-
ется последовательностью Вейля для числа λ ∈ ,если x n = 1,
n=1,2, ..., и (A−λI)xn →0.
. . Пусть X — банахово пространство, A ∈ B( X ). Доказать,
что если для точки λ ∈ найдётся последовательность Вейля, то
λ ∈ σ(A). Доказать, что если λ ∈ σp(A) ∪ σc(A), то для неё найдётся
последовательность Вейля (см. также задачу.).
. . Пусть X — банахово пространство, A ∈ B( X )—обрати-
мый оператор. Доказать, что λ ∈ σ( A) тогда и только тогда, когда
1/λ ∈ σ(A−1
). Доказать это утверждение с заменой σ на σp, σc и σr.
Доказать, что собственные векторы операторов A и A−1
,отвечаю-
щие собственным значениям λ и1/λ,совпадают.
Пример .. Найти и классифицировать спектр оператора сдви-
га влево (Ax)n = xn+1 в lp( )(p ∈ [1,+∞]).
Решение. Очевидно, что A = 1 и существует ограниченный об-
ратный, являющийся оператором сдвига вправо: ( A−1 x )n = x n−1
.То-
гда из задачи . следует, что если |λ| > 1или|λ| < 1, то λ ∈ ρ( A).
Глава . Основы спектральной теории ограниченных операторов
Следовательно, σ( A) ⊂ {λ : |λ| = 1}. Рассмотрим те λ,длякоторых
|λ| = 1. Задача на собственные значения Ax = λ x приводит к соот-
ношениям
xn+1 = λxn,
n∈.
Если положить x0 = 0, то x ≡ 0 и, следовательно, такой вектор не
является собственным. Если положить x0 = 1, то x = {λn}
+∞
−∞
,n∈.
Такой вектор является элементом пространства l p( )приp = ∞. Та-
ким образом, σ(A) = σp(A) = {λ: |λ| = 1} в пространстве l∞( ).
При 1 p < ∞ рассмотрим последовательность x (n)
,где
x
(n)
k=
λk
p
2n+1
при |k| n,
0п
р
и
|k|>n.
Так как x(n)
lp( ) =1, а (A−λI)x(n)
=
p
2
p
2n+1
→ 0, последова-
тельность x (n) является последовательностью Вейля. Следователь-
но, σ(A) = {λ: |λ| = 1}. Определим теперь тип спектра в lp( ),
p ∈ (1, ∞). Зафиксируем целое число i и зададим последователь-
ность векторов
x
i,n
k=
⎧
⎨
⎩
0п
р
и
k<i,
λk−i приk=i,i+1, ..., i+n,
0п
р
и
k>i+n.
Тогда
((A − λI)xi,n
)k=
⎧
⎨
⎩
1п
р
и
k=i −1,
−λ
n+1
приk=i+n,
0и
н
а
ч
е
.
Для базисного вектора ei−1 получаем, что
1
m
m
n=1
(A − λI)xi,n
−
ei−1 =
pm
m
→0
при m → ∞. Таким образом, при 1 < p < ∞и|λ| = 1получаем,что
Im(A−λI)=lp( ), т.е. σ(A)=σc(A)={λ:|λ|=1}.
Определим тип спектра в l1( ). Вектор (..., λ
2
, λ,1,λ
−1
,λ
−2
,...)
задаёт ограниченный функционал f на l1 и f((A − λI)x) = 0 для лю-
бого x ∈ l1.Такимобразом, f ⊥ Im(A − λI), а значит, σ(A) = σr(A) =
= {λ: |λ| = 1} в пространстве l1(Z).
§.. Спектр
.. Доказать, что спектр обратимого изометрического опе-
ратора, действующего в нормированном пространстве, лежит на
единичной окружности. Доказать, что спектр унитарного опера-
тора, действующего в гильбертовом пространстве, лежит на еди-
ничной окружности. Найти резольвенту этих операторов для λ ∈ ,
|λ|=1.
.
◦
. Пусть X = X0 ⊕ X1 — банахово пространство, представлен-
ное в виде прямой суммы двух своих замкнутых подпространств, а
P ∈ B( X ) — проектор на X0 вдоль X1.Найтииклассифицироватьего
спектр. Найти его резольвенту.
. (Р. С. Филлипс, ). Пусть X — банахово пространство,
A ∈ B(X). Доказать, что σ(A) = σ(A ).
. (Р. С. Филлипс, ). Пусть H — гильбертово пространст-
во, A ∈ B(H). Доказать, что1) σ(A) = σ(A∗).
.. Пусть X — банахово пространство, A ∈ B( X ). Доказать, что
еслиλ∈σr(A),тоλ∈σp(A);еслиλ∈σp(A),тоλ∈σp(A)∪σr(A);
еслиλ∈σc(A),тоλ∈σc(A)∪σr(A).
.. Пусть X — рефлексивное банахово пространство, A ∈ B( X ).
Доказать, что σc(A) = σc(A ), σr(A ) ⊂ σp(A).
.. Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ B(H ). Доказать,
что если λ∈σr(A), то
̄
̄
λ∈σp(A∗), если λ∈σp(A), то
̄
̄
λ∈σp(A∗)∪σr(A∗),
если λ ∈ σc(A), то
̄
̄
λ∈ σc(A∗).
Проиллюстрируем на примере, как использование задач .
и . облегчает нахождение спектров операторов (и их сопряжён-
ных).
Пример .. Рассмотрим в пространстве l p ,1< p < ∞, опера-
торы сдвига вправо Tr x = (0, x1
,x
2,..., xn,...) и сдвига влево Tl x =
= (x2, x3
,..., x n , ...), введённые в задаче .. Найти их спектр.
Решение. Во-первых, отметим, что Tr = Tl = 1. Следователь-
но, в соответствии с задачей . спектры этих операторов лежат в
единичном круге комплексной плоскости. Во-вторых, T
r
=Tl,Tl=Tr
(имеются в видуоператоры Tr и Tl в пространстве lq ,1/ p + 1/q = 1).
Следовательно, можно воспользоваться задачей ..
Найдём сначала точечные спектры операторов Tr и Tl .Изурав-
нения Tlx = λx следует цепочка равенств x2 = λx1, x3 = λx2,...
,
xn = λxn−1,... Можноположить x1 = 1, тогда x2 = λ,...,xn = λ
n−1
,...
Вектор (1, λ, λ2,...,λ
n
,...) ∈ l p ⇔|λ| < 1. Следовательно, вся внут-
ренность единичного круга представляет собой точечный спектр
оператора Tl .
1) Черта над множеством означает здесь не з амыкание этого множес тв а, а ком-
плексное сопряжение.
Глава . Основы спектральной теории ограниченных операторов
Теперь найдём точечный спектр оператора Tr .Изуравнения
Tr x =λx следует цепочка равенств 0=λx1, x1
= λx2,...,xn−1
= λxn,...
Из первого уравнения следует, что или λ = 0, или x1
=0.Ивтом
и в другом случае получаем, что x1
=x
2=...=xn=...=0.Таким
образом, собственных значений уоператора Tr нет, а значит, по
задаче . все |λ| < 1 представляют собой остаточный спектр опе-
ратора Tr . В силу замкнутости спектра получаем, что граница еди-
ничного круга (|λ| = 1) принадлежит непрерывномуспектрукаж-
дого из операторов Tr и Tl . Полученные результаты удобно свести в
таблицу:
Оператор
Спектр
Tl
Tr
σp
|λ|<1
∅
σc
|λ|=1 |λ|=1
σr
∅
|λ|<1
.. Найти спектры следующих операторов (c классификаци-
ей) и вычислить их резольвенты:
а) оператор умножения на ограниченную последовательность
вlp,p∈[1,∞],ивc0:
Ax = (λ1x1, λ2x2,...,λn xn,...), λ = (λ1, λ2,...,λn,...)∈ l∞;
б) операторы сдвига вправо и влево в пространствах l1 и l∞;
в) оператор умножения ( Ax)(t) = a(t) x (t)вC[0, 1], a ∈ C[0, 1];
г) оператор умножения (Ax)(t) = a(t)x(t)вL p[0, 1], p ∈ [1, ∞],
a ∈ L∞[0, 1];
д) оператор (Ax)(t) = a(t)x(t)вC0( ), где a ∈ C0( );
е)операторсдвигавLp( ),p∈[1,∞]:(Ax)(t)=x(t−a),a∈ .
.. Найти спектры операторов A и A
∗
,если A действует в l2( )
следующим образом: (Ax)n = x n+1 при n 0, ( Ax)n = 0приn < 0.
.. Найти спектр, спектральный радиус и резольвенту опера-
тора (Ax)(t) =
t
0
x (s) ds в пространствах:
а)Lp[0,1], p∈[1,∞]; б)C[0,1].
.. Найти спектр, спектральный радиус и резольвенту опера-
тораA:lp→lp,p∈[1,∞):
а) Ax = (0, x1,0,x3,...,0,x2n−1,0,...);
б) Ax = (0, x1,0,x2,...,0,xn,0,...);
в)Ax=(0,x1
,x
2,0,x4, x5,0...,0,x3n+1, x3n+2,0,...);
г)Ax=(x2,x1
,x4,x3
,..., x
2n+2, x2n+1,...);
д) Ax = (x2, x3, x1, x5, x6, x4,..., x3n+2, x3n+3, x3n+1,...);
§.. Спектр
е) Ax = (x1, x2,...,xn,0,0,...).
.. Найти спектр и резольвентуследующих операторов:
а) (Ax)(t) = x(−t)вC[−1, 1];
б) (Ax)(t) = − x(−t)вC[−1, 1];
в) (Ax)(t) = x(1− t)вC[0,1];
г) (Ax)(t)= x(1− t)вLp[0,1], p ∈ [1, ∞];
д) (Ax)(t) =
π
−π
cos(t + s)x(s) ds в C[−π, π];
е) (Ax)(t) = tx(1)− x(0) в C[0,1].
.. Привести примеры ограниченных операторов в банахо-
вых пространствах, показывающие, что для числа λ ∈ ,лежащего
в остаточном спектре, последовательность Вейля может существо-
вать, а может и не существовать (ср. с задачей .).
Разбиение спектра на точечную, непрерывную и остаточную
компоненты удобно тем, что у большого класса операторов, возни-
кающего в приложениях, нет остаточного спектра.
.. С помощью задач ., . доказать, что унормальных
операторов остаточный спектр отсутствует.
.
◦
(Г. Вейль, ). Пусть A — нормальный оператор. Дока-
зать, что λ ∈ σ( A) тогда и только тогда, когда существует последо-
вательность Вейля.
.◦
. Доказать, что усамосопряжённого оператора спектр ве-
щественный.
Указание. Показать, что σc ( A) ⊂ , при помощи задачи а) .;
б) . .
.. Доказать, что если спектр нормального оператора веще-
ственный, то этот оператор самосопряжён.
.. Доказать, что если спектр нормального оператора лежит
на окружности {z ∈ : |z| = 1}, то этот оператор унитарен.
Определение .. Число λ принадлежит существенному спек-
тру оператора A (λ ∈ σess ( A)), если оператор A − λI не фредголь-
мов. Остальные точки спектра принадлежат несущественному спек-
тру.
.. Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбертовом
пространстве H . Доказать, что σess(A) \ σp(A) = σc(A).
. . Пусть A — ограниченный самосопряжённый оператор в
гильбертовом пространстве H . Доказать, что если для оператора
A − λI существует ортонормированная последовательность Вейля,
то λ ∈ σess(A).
Пример .. Оператор A в пространстве l2( )заданформулой
A:x→
∞
k=1
xk e2k .Найтиσ( A)иσess ( A).
Глава . Основы спектральной теории ограниченных операторов
Решение. Прежде всего заметим, что оператор A не увеличивает
норму, а значит, σ( A) ⊂ {|z| 1}. Обозначим через B ограничение
оператора A на подпространство Lin{ek }∞
1 и найдём σ(B)иσess (B)
(в пространстве l2). Запишем уравнение на собственные значения
для оператора B:
(0, x1,0,x2,0,x3,0,...)= λ(x1, x2, x3, x4, x5, x6,...),
из которого видим, что x1 =x2 =x3 = ... = 0, т.е. σp(B)=∅.Теперь
найдём сопряжённый оператор B∗
. Согласно определению,
(Bx, y)= x1
̄
y2+x2̄y4+x3̄y6+...= (x,B
∗
y),
откуда видно, что B∗ :(y1, y2, y3,...) → ( y2, y4, y6,...). Запишем урав-
нение на собственные значения для оператора B
∗
:
(y2, y4, y6, y8, y10,...)= λ( y1, y2, y3, y4, y5,...),
откудаy2=λy1, y4=λ
2
y1ивообщеy2n =λ
n
y1. Далее, y6 = λ y3,
y12=λ
2
y3 ит.д
.
, y3·2
n=λ
n
y3. Отсюда видно, что для любого задан-
ного нечётного числа m вектор с координатами
yn=
λs
,е
с
л
иn=m·2
s
;
0и
н
а
ч
е
является собственным вектором для собственного значения λ.Эти
векторы лежат в пространстве l2 вточностипри|λ| < 1, т. е . все точ-
ки круга {|z| < 1} являются собственными значениями оператора B∗
бесконечной кратности (а значит — точками существенного спек-
тра оператора B
∗
). Посколькуспектр есть замкнутое множество, все
точки окружности {|z| = 1} лежат в спектре оператора B
∗
,атаккак
они не являются собственными значениями ни оператора B,ниопе-
ратора B∗
, то это есть точки непрерывного, а значит, и существенно-
го спектра. Итак, мы доказали, что σ(B∗) = σess(B∗) = {|z| 1}, а зна-
чит, σ( A) ⊃ {|z| 1} и σess ( A) ⊃ {|z| 1} (строго докажите это само-
стоятельно). Посколькув самом начале решения мы отметили об-
ратное включение, окончательно имеем σ( A)= σess ( A)={|z| 1}.
.. Найти существенный спектр для следующих операторов:
а) оператор умножения на ограниченную последовательность
вlp,p∈[1,∞],ивc0:
Ax = (λ1x1, λ2x2,...,λn xn,...), λ = (λ1, λ2,...,λn,...)∈ l∞;
б) операторы сдвига вправо Tr ивлевоTl в пространстве l p ,
p∈[1,∞];
в) оператор умножения ( Ax)(t) = a(t) x (t)вC[0, 1], a ∈ C[0, 1];
г) оператор умножения (Ax)(t) = a(t)x(t)вL p[0, 1], p ∈ [1, ∞],
a ∈ L∞[0, 1];
§ .. Спектр
д)операторсдвигавLp( ),p∈[1,∞]:(Ax)(t)=x(t−a), a∈ ;
е) оператор интегрирования ( Ax)(t) =
t
0
x (s) ds в пространствах
Lp[0,1], p ∈[1, ∞] и C[0,1];
ж) оператор ( Ax)(t) = x (−t )вC[−1, 1];
з) оператор (Ax)(t) = x (1 − t)вC[0, 1];
и) оператор ( Ax)(t) =
π
−π
cos(t + s)x(s)ds в C[−π, π];
к) оператор (Ax)(t) = tx(1) − x(0) в C[0, 1].
.. Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ B(H )и A = A
∗
.
Определим числа m := inf
x=1
(Ax, x)иM := sup
x=1
( Ax, x ). Доказать, что
σ(A)⊂[m,M]иобе точки m и M лежат в спектре.
.
◦
. Используя задачу ., доказать, что для любого огра-
ниченного оператора A в гильбертовом пространстве σ( A∗ A) ⊂
⊂ [0, A 2], причём точка A 2 лежит в спектре.
.◦
. Доказать, что собственные векторы, отвечающие различ-
ным собственным значениям, ортогональны для: а) самосопряжён-
ного оператора; б) унитарного оператора.
.. Пусть H — гильбертово пространство, A —нормальный
оператор. Доказать, что r( A) = A (см. задачу.).
.◦
. Пусть X, Y — банаховы пространства, A∈B(X), B∈B(Y)—
подобные операторы (см. определение .). Доказать, что σp( A) =
= σp(B), σc ( A) = σc (B)иσr( A) = σr(B)(отсюдаследует,чтоσ( A) =
= σ(B)).
.. Привести пример двух не являющихся подобными опе-
раторов A и B в банаховом пространстве с одинаковыми спек-
трами: σ(A) = σ(B), σp(A) = σp(B), σc(A) = σc(B), σr(A) = σr(B)
и σess(A) = σess(B).
.. С помощью задачи . найти спектр следующих опера-
торов:
а) (Ax)n =βxn−1+αxn+βxn+1, A∈B(l2( ));
б) (Ax)n = xn−1
−
xn+1, A ∈ B(l2( ));
в) (Ax)n =
αx1+βx2,
n=1;
βxn−1+αxn+βxn+1, n 2,
A ∈ B(l2).
Классифицировать спектр, определив σp, σc , σr и σess .
.*. Оператор A в пространстве L2[0, 1] задан формулой
(Ax)(t) =
x(2t),
если t ∈ [0, 1/2];
x(2t − 1), если t ∈ [1/2,1].
Классифицировать спектр, определив σp, σc , σr и σess .
Указание. Использовать задачу..
Глава . Основы спектральной теории ограниченных операторов
.. Пусть X — банахово пространство, A, B ∈ B( X ). Доказать,
что σ( AB) ∪ {0} = σ(BA) ∪ {0}. Доказать это равенство с заменой σ
на σp, σc и σr . Доказать, что если хотя бы один из операторов
A или B обратим, то операторы AB и BA подобны и, следовательно,
σ( AB) = σ(BA).
.◦
. Пусть X — банахово пространство и для операторов A ∈
∈ L( X )иB ∈ L( X ) выполнено соотношение AB − BA = I .Cпомощью
задачи . доказать, что один из операторов неограничен.
.. Доказать, что для любого компакта Ω ⊂ существует та-
койнормальныйоператор A в гильбертовом пространстве, что
σ( A) =Ω. Доказать, что любое компактное подмножество веще-
ственной оси является спектром некоторого самосопряжённого опе-
ратора. Доказать, что любое замкнутое подмножество единичной
окружности является спектром некоторого унитарного оператора.
Указание. Использовать задачу. а).
.*. Доказать, что для любого компакта Ω ⊂ существует та-
кой оператор A в гильбертовом пространстве, что σ( A) = σp( A) =Ω.
Указание. ) Можно считать, что Ω ⊂ {|z| < 1}.
) В качестве H взять пространство, сопряжённое к пространству
Бергмана AL2(|z| < 1) (здесь удобно не отождествлять H ∗ и H ).
Пусть H — гильбертово пространство и дано его разложение в
прямую сумму ортогональных подпространств: H = H1 ⊥
⊕ H2.Тогда
любойвекторx∈Hпредставимввидеx=x1+x2(xi∈Hi,i =1,2).
Определим оператор ортогонального отражения U x = x1
−
x2.
.
◦
. Пусть H — гильбертово пространство, U ∈ B(H ). Дока-
зать, что U является ортогональным отражением тогда и только
тогда, когда U
∗
=U=U
−1
.Найтиσ(U ).
.◦
. Пусть X — нормированное пространство, A, B ∈ B( X ). До-
казать, что если A и B коммутируют, то Rλ( A) коммутирует с B для
всех λ ∈ ρ( A). Доказать, что если B и Rλ( A) коммутируют для неко-
торого λ ∈ ρ( A), то A и B коммутируют.
.. Пусть X — банахово пространство, A, B ∈ B(X)иAB = BA.
Доказать, что
r(A + B) r(A) + r(B), r(AB) r(A)r(B).
.. Привести пример такой последовательности операторов
{An}
∞
1 ⊂ B( X ) и такого оператора A в банаховом пространстве X ,
что An ⇒ A, σ( An) — единичная окружность, а σ( A) — единичный
круг.
.. Пусть {An}
∞
1 ⊂B(X)иAn⇒A.
а) Доказать, что если λ ∈ ρ( A), то λ ∈ ρ( An)длявсехn,начиная
с некоторого номера.
§ .. Спектр
б) Пусть U (σ(A)) = {z ∈ :dist(z, σ(A)) < }—
-о крестность
спектра оператора A. Доказать, что для любого >0существует
такой номер N ,чтодлявсехn > N выполнено включение σ( An) ⊂
⊂ U (σ(A)).
Свойство спектра, описанное в предыдущей задаче, называют
полунепрерывностью спектра.
Определение . . Числовым образом оператора A ∈ B(H )в
(комплексном) гильбертовом пространстве H называют подмно-
жество комплексной плоскости
W(A):= {(Ax, x): x = 1}.
Теорема . (О. Тёплиц, ; Ф. Хаусдорф, ). Для любо-
го ограниченного оператора A в комплексном гильбертовом про-
странстве числовой образ является выпуклым ограниченным мно-
жеством, замыкание которого содержит спектр оператора A:
σ(A) ⊂ W(A).
.◦
. Найти числовой образ следующих операторов:
а)
10
00 в l2(2); б)
00
10 в l2(2).
.. Доказать первое утверждение теоремы .: для любо-
го ограниченного оператора A в комплексном гильбертовом про-
странстве H числовой образ W ( A) — выпуклое ограниченное мно-
жество.
.. Доказать второе утверждение теоремы .: для любо-
го ограниченного оператора A в комплексном гильбертовом про-
странстве H выполнены включения σ(A)⊂W(A)⊂{z ∈ : |z| A }.
. . Пусть H — комплексное гильбертово пространство, A —
самосопряжённый оператор. Доказать, что W ( A) = [m, M ], где m =
= inf{λ: λ ∈ σ(A)}, а M = sup{λ: λ ∈ σ(A)}. Обязано ли множество
W ( A) быть замкнутым?
.
◦
. Пусть H — комплексное гильбертово пространство, A —
самосопряжённый оператор. Доказать, что W ( A) = [m, M ], где либо
M=A ,либоm=− A
.
.◦
. Пусть H — комплексное гильбертово пространство, A ∈
∈ B(H )идлялюбого x число ( Ax, x ) равно нулю. Доказать, что
A = 0. Привести пример ненулевого оператора A в вещественном
гильбертовом пространстве со свойством ( Ax, x ) = 0 для любого x .
.. Пусть H — комплексное гильбертово пространство, A ∈
∈ B(H), w(A):= sup{|z|: z ∈ W(A)}. Доказать, что w(A) A .
Можно доказать, что отображение w : A → w ( A)задаетнормуна
пространстве B(H)иw( A)
1
2
A ,т.е
.н
ормаw( A)эквивалентна
операторной норме.
Глава . Основы спектральной теории ограниченных операторов
.. Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ B(H ). Доказать,
чтоесли|λ|= A иλ∈W(A),тоλ∈σp(A).
.. Доказать, что для нормального оператора A ∈ B(H )вгиль-
бертовом пространстве множество W ( A) совпадает с выпуклой обо-
лочкой спектра σ( A).
.
◦
. Найти числовой образ следующих операторов:
а) оператор умножения на ограниченную последовательность
в l2: Ax = (λ1x1, λ2x2,...,λnxn,...);
б) оператор умножения (Ax)(t) = a(t)x(t)вL2[0, 1], a ∈ C[0, 1];
в) операторы сдвига вправо и влево в пространстве l2.
§ . . Спектр компактного оператора
.. Пусть X — бесконечномерное банахово пространство, A ∈
∈ K(X). Доказать, что 0 ∈ σess(A).
.. Пусть X — бесконечномерное банахово пространство, A ∈
∈ K( X ). Опираясь на альтернативуФредгольма, доказать, что:
а) σess(A)\{0} =∅;
б)еслиλ∈σ(A),λ=0,тоλ∈σp(A).
.◦
. Доказать, что ненулевое собственное значение компакт-
ного оператора имеет конечную кратность.
.. Пусть X — банахово пространство, A ∈ K( X ). Доказать,
что для любого δ>0множествоσp( A) ∩ {z : |z| >δ} состоит из
конечного числа точек, каждая из которых является собственным
значением оператора A конечной кратности.
Определение .. Компактный оператор A, действующий в ба-
наховом пространстве X , называется оператором Вольтерра,если
σ(A) ={0}.
.. Доказать, что интегральный оператор
( Ax)(t) =
t
a
K(t, s)x(s) ds,
является оператором Вольтерра в пространстве
а) C[a, b], если функция K(t, s) непрерывна при a s t;
б) L2[a, b], если функция K(t , s) измерима и ограничена при
ast.
.. Пусть A — оператор Вольтерра и λ ∈ . Доказать, что урав-
нение (I − λ A)x = y в банаховом пространстве X разрешимо для
любойправойчастиилюбогоλ. Доказать, что решение представи-
моввидерядаx=
∞
k=0
λkAky.
§ . . Спектр компактного оператора
.◦
. Решить уравнение x(t) + λ
t
0
x(s) ds = y(t) (относительно
функции x при известной функции y) в следующих пространствах:
а) L2[0, 1]; б) C[0, 1].
.. Пусть X — комплексное бесконечномерное банахово про-
странство, A ∈ B(X )иσ( A) = {0}. Верно ли, что A компактен?
.
◦
. Пусть X — бесконечномерное банахово пространство.
Привести примеры операторов A ∈ K( X ), для которых
а)0∈σp(A); б)0∈σc(A); в)0∈σr(A).
Пример . . Найти собственные значения оператора Римана—
Лиувилля (.) с параметром r = 2впространствеL2[0, 1]. Является
ли этот оператор компактным?
Решение. Запишем уравнение на собственные значения:
t
0
x(s)(t− s)ds=λt2x(t).
Продифференцируем дважды это уравнение и положим x (t) =
y(t)
t2.
То г д а фун к ц и я y(t)привсехt > 0 удовлетворяет дифференциаль-
номууравнению λ y = t
− 2 y .Приλ = 0 два линейно независимых
решения этого уравнения легко угадываются — это функции t
a1
иt
a2 ,гдеa1 и a2 — корни квадратного уравнения λa(a − 1) = 1.
x
y
0
4
3
σp(A)
Согласно общей теории дифференциаль-
ных уравнений, других линейно незави-
симых решений ууравнения нет. Теперь
вернёмся к интегральномууравнению.
Мы доказали, что его решения имеют
вид x(t)=t
z
.Подставляяэтуфункциюв
интегральное уравнение, получим равен-
ствоλ=
1
(z+1)(z+2)
.Ф
ункцияt z лежит
в пространстве L2[0, 1] в точности при
Re z > −1/2, т. е . собственные значения λ
оператора A заполняют область D —образ
полуплоскости Re z > −1/2 при отображении w =
1
(z+1)(z+2)(гра-
ница этой области в полярных координатах (r, φ)задаётсяуравне-
нием r
2
+ 1 = (2r − cos φ)2). Оператор A не компактен, поскольку
множество его собственных значений, лежащих вне круга |λ| <δ,
бесконечно при любом δ<4/3(см.задачу.).
.. Исследовав собственные значения оператора Римана—
Лиувилля в пространстве L2[0, 1] с произвольным параметром r >
> 1/2 (см. задачу.), доказать некомпактность этого оператора.
Глава . Основы спектральной теории ограниченных операторов
.. Найти собственные значения оператора Харди
(Ax)(t) =
1
t
t
0
x(s)ds
в пространствах а) Lp[0, 1], 1 < p < ∞; б) L∞[0, 1]; в) C[0, 1] (доопре-
деленного равенством ( Ax)(0) = x (0)) и на основании полученного
результата сделать вывод о некомпактности этого оператора в ука-
занных пространствах (ср. с задачей .).
.. Найти собственные значения оператора
( Ax)(t) =
1
tα
t
0
s
α−1
x(s) ds,R
e
α>
1
p,
в пространстве Lp[0, 1] (1 p < ∞).
.◦
. В пространстве C[0, π] найти собственные значения и соб-
ственные функции интегрального оператора
( Ax)(t) =
π
0
K(t, s)x(s) ds,
вслучаеа)K(t, s) = sin(t + s); б) K(t, s) = cos(t + s).
.. В пространстве L2[−π, π] найти собственные значения и
собственные функции интегрального оператора
( Ax)(t) =
π
−π
K(t, s)x(s) ds,
если K(t, s) =
n∈
3−|n| e−in(t− s)
.
.. В пространстве L2[0, π] найти собственные значения и
собственные функции интегрального оператора
( Ax)(t) =
π
0
K(t, s)x(s) ds,
если K(t, s) =
sintcossпри0 t s π,
sinscostпри0 s t π.
. . В пространстве L2[0, 1] найти собственные значения и
собственные функции интегрального оператора
( Ax)(t) =
1
0
K(t, s)x(s) ds,
еслиа)K(t,s)=ts+max(t,s);б)K(t,s)=ts+max(t,s)−2min(t,s)−
−2.
§ .. Теорема Гильберта—Шмидта
. (Г. Вейль, ). Пусть X — банахово пространство, A ∈
∈ B(X),λ ∈ σ(A) \ σp(A)иB = A + K ,гдеK ∈ K(X). Доказать, что
λ ∈ σ(B).
.. Пусть Tr ∈ B(lp( )), p ∈ [1, ∞), — оператор правого сдвига,
т. е . (Tr x)n = xn−1, n ∈ . Доказать, что σ(Tr) совпадает с единичной
окружностью, и построить одномерный оператор K ∈ B(lp( )) та-
кой, что σ(Tr + K) совпадает с единичным кругом. (См. пример .
иср.сзадачей.).
.. Пусть X — бесконечномерное банахово пространство,
A,B ∈B(X), K ∈K(X). Доказать, что равенство AB −BA =I +K
невозможно (т. е . компактное возмущение тождественного опера-
тора не может быть коммутатором, ср. с задачей .).
§ . . Теорема Гильберта—Шмидта
Теорема . (Д. Гильберт, ; Э. Шмидт, ). Пусть H — бес-
конечномерное сепарабельное гильбертово пространство, A = A
∗
∈
∈ K(H ). Тогда существует ортонормированный базис {en }
∞
n=1
про-
странства H , состоящий из собственных векторов оператора A:
Aen = λn en . Ненулевые собственные значения вещественны и их мож-
но занумеровать в порядке невозрастания модулей: |λ1| |λ2| ...
...
|λn|
..., приэтом|λ1|= A иlim
n→∞
λn=0.
Ниже {λn( A)}∞
1 всегда обозначает так упорядоченную последо-
вательность собственных значений компактного самосопряжённо-
го оператора A.
Для несепарабельного гильбертова пространства H этутеорему
можно сформулировать следующим образом.
Теорема .. Пусть H — бесконечномерное гильбертово про-
странство, а оператор A = A
∗
∈ K(H ).ТогдаH можнопредста-
вить в виде H = Ker( A) ⊥⊕ H1 ,гдеH1 — сепарабельное простран-
ство, причём существует ортонормированный базис {en}
∞
n=1
про-
странства H1, состоящий из собственных векторов оператора A:
Aen = λ n en (λn ∈ , λn = 0). Эти собственные значения веществен-
ны, и их можно занумеровать в порядке убывания модулей: |λ1|
|λ2| ... |λn|
..., при этом |λ1| = A и limλn = 0.Вкаче-
стве H1 можно взять Im A. Сепарабельность этого пространства
следует из компактности оператора A.
Из теоремы . следует, что в бесконечномерном гильбертовом
пространстве спектр компактного самосопряжённого оператора A
всегда состоит только из собственных значений и точки λ = 0, кото-
Глава . Основы спектральной теории ограниченных операторов
рая может либо быть также собственным значением, либо принад-
лежать непрерывномуспектру.
Теорема . означает также, что любой компактный самосопря-
жённый оператор в пространстве l2 унитарно эквивалентен опера-
тору A(x1, x2,...)= (λ1x1, λ2 x2,...), где {λn}
∞
1 ∈ l∞ .Отсюдавытекает,
что два компактных самосопряжённых оператора унитарно эквива-
лентны тогда и только тогда, когда их спектры совпадают (с учётом
кратности).
Для любого A ∈ K(H )оператор A∗ A — компактный и самосопря-
жённый, а согласно задаче . σ( A∗ A) ⊂ [0, +∞). Это позволяет
определить следующие понятия.
Определение .. Пусть H — гильбертово пространство, опера-
тор A ∈ K(H ). Определим s-числа этого оператора:
sn(A):= λn(A∗A), n = 1,2, ...
(нумерация ведётся в порядке невозрастания и с учётом кратности).
Будем говорить, что оператор A принадлежит классу Sp (H ) Нейма-
на—Шаттена,если{sn}
∞
n=1 ∈ lp,1 p < ∞. Элементы класса S1(H)
называют ядерными операторами. Для таких операторов опреде-
лён ряд
∞
n=1
sn( A) =:tr(A), называемый следом оператора.Элементы
класса S2(H ) называют операторами Гильберта—Шмидта.Вкаж-
дом классе вводится норма
ASp
= Ap:=
∞
k=1
sk(A)p
1/p
.
Понятие ядерного оператора уже определялось в произвольном
банаховом пространстве (см. определение .). Из утверждения за-
дачи . ниже следует эквивалентность этих определений. Можно
определить s-числа оператора и классы Неймана—Шаттена и для
операторов, действующих из одного гильбертова пространства H1
в другое гильбертово пространство H2.
В дальнейших задачах этого параграфа, если не оговорено про-
тивное, гильбертовы пространства считаются бесконечномерными.
Задачи
.. Доказать теорему..
Указание. Использовать задачи . и ..
. (Д. Гильберт, ; Э. Шмидт, ). Доказать, что в сепара-
бельном гильбертовом пространстве компактный оператор может
быть представлен в виде
Ax=
N
i=1
si(A)(x, ψi)φi,
§ .. Теорема Гильберта—Шмидта
где N ∞, {ψi} — ортонормированный базис, {φi} — ортонормиро-
ванная система.
.. Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство, A ∈
∈ K(H ). Доказать, что числа sk ( A) являются расстояниями от опера-
тора A до множества всех (k − 1)-мерных операторов, т. е .
sk(A) = inf
rank Pk=k−1
A−Pk .
В частности, s1 = A .
. (Вариационный принцип Куранта—Фишера). Доказать,
что для всякого компактного самосопряженного неотрицательного
оператора A в гильбертовом пространстве H справедливы равен-
ства
λn=min{max{(Ax,x):x⊥X, x =1}:dimX=n−1},
где λn — собственные значения оператора A, занумерованные по
невозрастанию с учетом кратности, а минимум берется по всем
подпространствам размерности n − 1.
. . Пусть A и B — компактные самосопряженные операторы в
гильбертовом пространстве и 0 A B. Доказать, что λn( A) λn(B),
где λn — собственные значения, занумерованные по невозрастанию
с учетом кратности.
.*. Пусть A и B — компактные операторы в гильбертовом
пространстве H ,причёмImA ⊂ Im B. Доказать, что найдётся такое
число C > 0, что sn(A) Csn(B)длявсехn ∈ .
.. Пусть A ∈ B(L2[0, 1]) и Im A ⊂
◦
WW1
2 [0, 1]. Доказать, что
A ∈ K(L2[0,1]) и sn(A) Cn
−1
для некоторого C > 0илюбогоn ∈ .
.
◦
. Дана последовательность sk 0, sk 0. Доказать, что су-
ществует такой оператор A ∈ K(l2), что sk ( A) = sk для любого k 1.
.. Пусть H — бесконечномерное сепарабельное гильберто-
во пространство, A ∈ K(H), {sk }∞
1 — s -числа оператора A,{en }
∞
1—
произвольный ортонормированный базис в H . Доказать, что
∞
k=1
s
2
k=
=
∞
n=1
Aen
2
(т. е . либо оба ряда расходятся, либо оба ряда сходятся
и их суммы равны).
.. Пусть H1 и H2 — сепарабельные гильбертовы простран-
ства, A ∈ K(H1, H2), {en}
∞
1 — ортонормированный базис в H1 .Дока-
зать, что A 2
∞
n=1
Aen
2.
.. Пусть H1 и H2 — сепарабельные гильбертовы простран-
ства, A ∈ B(H1, H2), {en}
∞
1 — ортонормированный базис в H1.Дока-
зать, что если ряд
∞
n=1
Aen
2
сходится, то A компактен.
Глава . Основы спектральной теории ограниченных операторов
.. Пусть H — бесконечномерное сепарабельное гильберто-
во пространство, A ∈ K(H ). Доказать эквивалентность следующих
утверждений:
()A∈S2(H), т.е. ряд
∞
k=1
s2
k ( A)сходится;
() для некоторого ортонормированного базиса {en}
∞
1 впро-
странстве H ряд
∞
n=1
Aen
2 сходится;
() для любого ортонормированного базиса {en }
∞
1 в простран-
стве H ряд
∞
n=1
Aen
2 сходится;
() для матричных элементов a jk = ( Ae j , ek ) оператора A внеко-
тором ортонормированном базисе {en}
∞
1 пространства H выполне-
но неравенство
∞
j,k=1
|ajk|2 < ∞;
() для матричных элементов a jk = ( Ae j , ek ) оператора A впроиз-
вольном ортонормированном базисе {en}
∞
1 пространства H выпол-
нено неравенство
∞
j,k=1
|ajk|2 < ∞.
Доказать, что если оператор A удовлетворяет этим условиям, то сум-
мы всех указанных рядов совпадают.
.◦
. Пусть H — сепарабельное бесконечномерное гильбертово
пространство. Доказать, что множество S2(H )являетсянезамкну-
тым (по норме B(H )) линейным подпространством пространства
K(H).
.. Пусть H — сепарабельное бесконечномерное гильбертово
пространство. Доказать, что норма в S2(H )порождаетсяскалярным
произведением
(A, B)S2(H) =
∞
j,k=1
ajk
̄
bjk,
где ajk = (Aej, ek)иbjk = (Bej, ek) — матричные элементы операто-
ров A и B в произвольном ортонормированном базисе {en }
∞
1 про-
странства H . Доказать, что то же самое скалярное произведение
можно задать по правилу
(A, B)S2(H) =
∞
k=1
sk(A∗B).
.. Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство. До-
казать, что S2(H ) — гильбертово пространство со скалярным про-
изведением, определённым в предыдущей задаче.
§ .. Теорема Гильберта—Шмидта
.. Доказать, что оператор A в пространстве L2[0, 1] является
оператором Гильберта—Шмидта тогда и только тогда, когда
( Ax)(t) =
1
0
K(t, s)x(s) ds,
где K ∈ L2([0, 1]2). Доказать, что отображение A → K является уни-
тарным изоморфизмом пространств S2(L2[0, 1]) и L2([0, 1]2)(в
частности, A
2
S2(L2 [0,1]) =
1
0
1
0
|K(x, t)|2 dxdt).
.. Доказать, что всякий ограниченный линейный оператор в
пространстве L2[0, 1] имеет вид
(Ax)(t) =
d
dt
1
0
K(t, s)x(s)ds
для некоторой функции K ∈ L2([0, 1]2).
.. Доказать, что класс Sp( X ) ядерных операторов в бана-
ховом пространстве X (см. определение .) совпадает с классом
S1(H ), если пространство X = H —гильбертово.
.. Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство и
A ∈ S1(H ). Доказать, что для произвольного ортонормированно-
го базиса {ek }∞
k=1 ряд
∞
k=1
(Aek, ek) сходится, и его сумма не зависит
от выбора базиса {ek }∞
k=1
.
Сумму
∞
k=1
( Aek , ek ) называют следом оператора A иобозначают
tr( A)(иногдаsp(A)). Операторы из класса Sp( X ) = S1(H ) называют
также операторами со следом.
.. Доказать, что для оператора A ∈ S1(H ) = Sp(H )справедли-
вы равенства
A Sp(H) =
∞
k=1
sk(A) =
sup
U —унитарный
∞
k=1
(UAek, ek) ,
где {ek}∞
k=1
—
произвольный ортонормированный базис (определе-
ние A Sp(H) см. в задаче .).
.. Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство. До-
казать, что Sp(H ) — линейные подпространства в K(H )ивB(H ).
Доказать, что Sp (H ) — незамкнутые двусторонние идеалы в B(H ).
. . Пусть A, B ∈ S2(H). Доказать, что AB ∈ S1(H).
.. Пусть T — интегральный оператор в пространстве L2[0, 1],
(Tx)(t) =
1
0
K(t, s)x(s) ds,причёмK( · , · ) ∈ L2([0, 1]2)иприпочти
Глава . Основы спектральной теории ограниченных операторов
всех s ∈ [0, 1] функция t → K(t , s) удовлетворяет условию Липшица:
|K(t2, s) − K(t1, s)| C(s)|t2 − t1| для всех t1, t2 ∈ [0, 1], где функция
C( · ) ∈ L2[0, 1]. Доказать, что T является ядерным оператором. До-
казать, что если функция K ещё и непрерывна на ква драте [0, 1]2,
то tr(T) =
1
0
K(t, t)dt.
. (Пример Т. Карлемана). Привести пример не ядерного ин-
тегрального оператора в пространстве L2[0, 1] с непрерывным яд-
ром.
.. Существуют ли:
а) такой ядерный оператор A и такой ортонормированный базис
{en}
∞
1 в гильбертовом пространстве, что
∞
n=1
Aen =+∞;
б) такой ограниченный, но не ядерный оператор A и такой ор-
тонормированный базис {en }
∞
1 ,что(Aen , e n) = 0длявсехn ∈ ипо-
тому
∞
n=1
(Aen, en)<∞?
.
◦
. Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство и
A ∈ K(H), A 0. Пусть λk( A) — собственные значения операто-
ра A, занумерованные в порядке невозрастания. Доказать, что
λk(A) = sk(A).
.◦
. Пусть A и B — компактные операторы в гильбертовом
пространстве H ,причёмImA ⊂ Im B. Доказать, что если B ∈ Sp(H),
тои A∈Sp(H).
Пример .. При каждом α ∈ (0, 1/2) определить, каким клас-
сам Неймана—Шаттена принадлежит оператор
Kα: x(t)→
π
−π
x (s)
|t−s|αds,
действующий в пространстве L2[−π, π].
Решение. Прежде всего заметим, что функция |t − s|−α
суммиру-
ема в квадрате на [−π, π]
2
вточностиприα<1/2, а значит, при
всех заданных в условии значениях параметра α оператор Kα ком-
пактен и принадлежит классу S2 (см. задачу.). Далее, разложим
функцию |ξ|−α
в ряд по системе экспонент: |ξ|−α
=
1
2π n∈
an (α)e
inξ
.
Тогда действие оператора Kα примет вид
(Kαx)(t)=
1
2π n∈
an (α)
π
−π
x(s)e
in(t−s) ds =
n∈
an(α)xne
int
,
§ .. Теорема Гильберта—Шмидта
гдеxn=
1
2π
π
−π
x (t)e−int
dt. Таким образом, оператор Kα унитарно
эквивалентен оператору Tα , действующему в пространстве l2( )по
правилу
Tα(..., x−1, x0, x1,...)=(..., a−1x
− 1, a0x0, a1x1,...),
азначит,Kα ∈ Sp в точности тогда, когда сходится ряд
n∈
|an|p .Вы-
ясним асимптотическое поведение чисел an . Имеем
an=
1
2π
π
−π
e−inξ
|ξ|α dξ = |n|α−1
2π
π|n|
− π|n|
e−iτ
|τ|α dτ =
=
|n|α−1
2π
∞
−∞
e−iτ
|τ|α dτ −
|τ|>π|n|
e−iτ
|τ|α dτ = C|n|
α−1
(1 + o(1)),
посколькуфункция e−i τ|τ|−α
интегрируема на при всех α ∈ (0, 1/2).
Таким образом (по признакуВейерштрасса), ряд
n∈
|an| p сходит-
ся тогда и только тогда, когда сходится ряд
n=0
1
|n| p(1−α)
,т
.
е.при
p>
1
1−α
. Итак, оператор Kα ∈ Sp при всех p >
1
1−α
.Вчастности,
при всех α ∈ (0, 1/2) оператор Kα не является ядерным.
.. Найти нормуоператора интегрирования
( Ax)(t) =
t
0
x(s)ds
в L2[0, 1]:
а) с помощью задачи .;
б) разложив функцию x (s)врядпосистеме{cos(π(k − 1/2)s)}∞
1
(см. задачу.).
Определить, каким классам Неймана—Шаттена принадлежит этот
оператор.
.. Найти полярное разложение A = WS для оператора из за-
дачи . .
.. Найти нормы операторов в L2[−b, b]:
а) (Ax)(t) =
t
−b
x (s) ds;б)(Ax)(t) =
b
t
x(s) ds;
в) (Ax)(t) =
t
0
x (s) ds.
Глава . Основы спектральной теории ограниченных операторов
.. Найти спектр интегральных операторов в L2[0, π]сяд-
ром
а)K(t,s)=
∞
n=1
2−n
sin nt sin ns;б)K(t, s) =
∞
n=0
2−n
cos nt cos ns;
в)K(t,s)=
∞
n=1
2−n
cos nt cos ns.
Определить, каким классам Неймана—Шаттена принадлежат эти
операторы.
.. Найти спектр интегральных операторов в L2[0, 1] с ядром
а) K(t, s) = min(t, s); б) K(t, s) = max(t, s)
(сравните с задачей .). Определить, каким классам Неймана—
Шаттена принадлежат эти операторы.
§ .. Основные типы операторов на примерах
.. Для оператора A(x1, x2,...) = (λ1x1, λ2 x2,...) в простран-
стве l2 ,гдеλ := {λn}
∞
1 ∈ l∞, найти критерии для следующих утвер-
ждений в терминах последовательности λn:
а) A ∈ K(l2);
б)A∈Sp(l2),p∈[1,∞);
в) A ∈ IB(l2);
г) A∈F(l2);
д) A — самосопряжённый оператор;
е) A — унитарный оператор;
ж) A — проектор;
з) A — ортогональный проектор;
и) A — частичная изометрия;
к) A — положительный оператор;
л) A — нормальный оператор;
м) A — ортогональное отражение.
.. Для оператора Af(x ) = a( x) f (x)впространствеL2[0, 1],
где a ∈ L∞[0, 1], найти критерии для следующих утверждений в тер-
минах функции a:
а) A ∈ K(L2[0, 1]);
б) A ∈ S1(L2[0, 1]);
в) A ∈ IB(L2[0, 1]);
г) A∈F(L2[0,1]);
д) A — самосопряжённый оператор;
е) A — унитарный оператор;
ж) A — проектор;
з) A — ортогональный проектор;
§ . . Основные типы операторов на примерах
и) A — частичная изометрия;
к) A — положительный оператор;
л) A — нормальный оператор;
м) A — ортогональное отражение.
Глава
Функциональное исчисление
и спектральная теорема
§ .. Функциона льное исчис ление
ограниченного оператора
Линейные операторы, действующие в банаховом пространстве X ,
можно подставлять в качестве аргументов различных функций. Од-
нако не во всякую функцию можно подставить произвольный опе-
ратор. А именно, чем шире класс M функций f ,тем́
уже класс опе-
раторов A ∈ B( X ), для которых можно определить f ( A). Первым и
самым простым шагом является определение для любого A ∈ B( X )
имногочлена p(z) =
n
k=0
ak z k оператора p( A):=
n
k=0
akAk(т.е. M —
множество всех многочленов). Отображение φ : M → B( X ), φ( f ) =
= f ( A), всегда является гомоморфизмом и называется функциональ-
ным исчислением.
Задачи
. (Теорема об отображении спектра для многочленов). Дока-
зать, что для ограниченного оператора A в банаховом пространстве
и для многочлена p справедливо соотношение σ(p( A)) = p(σ( A)).
.. Пусть X — банахово пространство, A ∈ B(X )и A ∈σ( A).
Доказать,что I+A =1+A .
. . Пусть A — ограниченный оператор в банаховом простран-
стве X ,аr(z) =
p(z)
q(z)
, z ∈ ,гдеp и q —многочлены, и пусть q(z)
не имеет нулей на спектре оператора A. Доказать, что для любого
z ∈ σ( A) справедливо соотношение
σ(r(A)) = r(σ(A))
(здесь r ( A):= p( A)(q( A))−1
).
Следующим шагом является определение голоморфной функ-
ции f от оператора A. Заметим, что в этом случае область голо-
морфности функции f должна содержать σ( A).
§ .. Функциональное исчисление ограниченного оператора
Те ор е м а . (спектральная теорема в терминах голоморфного
исчисления, Н. Данфорд1) ,). Пусть X — банахово простран-
ство, A ∈ B(X),Ur = {z ∈ : |z| < r}(в частности, если r = ∞,то
Ur = ).Пусть A < r . Тогда существует единственный непрерыв-
ный гомоморфизм φ : A(Ur ) → B( X ),сопоставляющийвсякойголо-
морфной функции f ∈ A(Ur) оператор f ( A) ∈ B( X ) иудовлетворяю-
щий свойствам ()—():
() φ(1) = I(здесь1 — функция, тождественно равная единице в
круге Ur );
() φ(z) = A;
() φ(f + g) = φ(f)+ φ(g), φ(fg) = φ(f)◦ φ(g),f
,g∈A(Ur)
(условия гомоморфизма);
() φ — линейный непрерывный оператор из A(Ur) в B( X )(т. е.
если последовательность функций { fn}
∞
1 из A(Ur) сходится к f ∈
∈ A(Ur) равномерно на каждом компакте в Ur ,тооператоры fn( A)⇒
⇒ f(A) в B(X));
Этот гомоморфизм удовлетворяет дополнительному условию:
() если некоторый ограниченный оператор B коммутирует с A,
то он коммутирует и с любым оператором f ( A).
. . Доказать теорему. .
.* (Теорема об отображении спектров). Пусть X — банахо-
во пространство, A ∈ B( X ). Пусть f (z)—голоморфная в (целая)
функция. Доказать, что σ( f ( A)) = f (σ( A)).
.. Пусть X — банахово пространство, A ∈ B( X )иλ0 ∈ σ( A2).
Верно ли, что λ0 ∈ σ( A) (хотя бы для одного значения корня)? Вер-
но ли это утверждение с заменой σ на σp, σc или σr?
.. Найти спектр оператора A, действующего по правилу Ax =
= (x1+x2,−x2+x3,x3+x4,−x4+x5,...)впространствеlp, p∈[1,∞]
(провести классификацию спектра, определив точечный, непрерыв-
ный и остаточный спектр).
Указание. Рассмотреть A2 и воспользоваться задачей ..
.. Найти оператор f ( A), где f —целаяфункция, A ∈ B(Lp[0,1]),
p ∈ [1, ∞], (Ax)(t) = a(t)x(t), где a ∈ L∞[0,1].
Пример .. Пусть Tr ∈ B(l2( )) — оператор правого сдвига:
Tr(..., x−1
−1
,x0
0
,x1
1
,...)= (..., x−2
−1
, x−1
0
,x0
1
,...).
Найти оператор A ∈ B(l2( )) со свойством eA = Tr .
1) На самом деле в теореме Данфорда рассматривается более общая ситуация, ко-
гда функция f аналитична в некоторой облас ти D ∈ , содержащей спектр операто-
ра A.
Глава . Функциональное исчисление и спектральная теорема
Решение. Положим U ∈ B(l2( ), L2[−π, π]),
U :(...,x−1, x0, x1,...)→
1
2π n∈
xne
int
.
Этот оператор является унитарным изоморфизмом, и легко видеть,
что UTr U
−1
:x(t)→e
it
x (t). Тогда (см. задачу.) UTr U
−1
= exp(B),
где (Bx)(t) = itx(t). Отсюда
Tr=U
−1
e
B
U=U
−1
∞
k=0
1
k!Bk U=
∞
k=0
1
k!(U−1
BU)k=e
U−1
BU
,
т. е . искомый оператор A = U
− 1 BU . Найдём действие этого операто-
ра в явном виде:
(Ax)n =
1
2π
π
−π
it
k∈
xk eikte
− int
dt=
k∈
xkan−k
,
гдеal=
1
2π
π
−π
ise
− ilsds=
(−1)l+1
l приl=0иa0=0.
. . Пусть X — банахово пространство, A ∈ B( X ). Доказать, что
операторная функция U (t) = exp(tA), t ∈ , дифференцируема и
U (t)= AU(t)=U(t)A.
.. Пусть X — банахово пространство, A ∈ B( X ). Доказать, что
exp( A) e A . Доказать, что exp( A) — обратимый оператор и его
обратный есть exp(− A).
.. Пусть A — оператор интегрирования:
( Ax)(t) =
t
0
x (s) ds,
рассматриваемый в а) C[0, 1]; б) L2[0, 1]. Найти exp( A).
.. Пусть X — банахово пространство, A ∈ B( X ). Сходятся
ли (равномерно) операторы I +
1
n
A
n
коператоруexp(A)при
n→∞?
.. Пусть X — банахово пространство, A, B ∈ B(X ). Доказать,
что если AB = BA,тоexp(A + B) = exp( A)exp(B). Привести пример
неперестановочных операторов A и B, для которых exp( A + B) =
= exp( A)exp(B).
.. Пусть X — банахово пространство, A ∈ B( X ). Верно ли, что
(sin( A))2 + (cos( A))2
=I?
.. Пусть X — банахово пространство, A ∈ B( X ). Доказать, что
еслиλ∈σp(A),тоe
λ ∈ σp(exp(A)). Пусть μ ∈ σp(exp(A)) и λ ∈ та-
ково, что eλ = μ.Верноли,чтоλ ∈ σp(A)?
.*. Можно ли представить оператор сдвига A ∈ B(L2( )),
Ax(t)=x(t+a),a=0,ввидеA=exp(B)?
§ .. Исчисление по самосопряженномуоператору
§ . . Функциональное исчис ление, пос троенное
по самосопряжённому оператору
Для многих приложений голоморфных функций недостаточно.
Чтобы расширить класс рассматриваемых функций, приходится
ограничивать класс операторов. Рассмотрим непрерывные функ-
ции и самосопряжённые операторы в гильбертовом пространстве.
.. Доказать, что для самосопряжённого оператора A вгиль-
бертовом пространстве и многочлена p(x )
p(A) B(H) = max
λ∈σ(A)
|p(λ)|.
Привести пример, показывающий, что для произвольного несамо-
сопряжённого оператора это утверждение неверно. Доказать это
утверждение для произвольного нормального оператора A (исполь-
зовать задачу.).
.. Пусть A = A
∗
и σ(A) = {0; 1}. Доказать, что оператор A —
ортопроектор.
.. Пусть A = A
∗
и σ(A) ={−1;1}. Найти A−1
.
На основании задачи . можно доказать следующую теорему.
Те ор е м а . (спектральная теорема в терминах функциональ-
ного исчисления для непрерывных функций, Д. Гильберт, ;
Ф. Рисс, ). Для любого самосопряжённого оператора A в гиль-
бертовом пространстве H существует единственный непрерывный
гомоморфизм φ алгебры C (σ( A)) в B(H ), обладающий свойствами
()—():
()φ(f(x)≡1)=I;
()φ(f(x)≡x)=A;
() φ(f + g)=φ(f)+φ(g), φ(fg)=φ(f)◦φ(g)(условия гомо-
морфизма);
() φ — линейный непрерывный оператор из C(σ( A)) в B(H )
(т. е . если последовательность функций { fn}
∞
1 из C(σ( A)) сходится
кf∈ C(σ(A)),то fn(A) ⇒ f(A)).
Этот гомоморфизм также обладает следующим свойствами:
() φ(f) B(H) = max
x∈σ(A)
| f (x)| (усиление свойства непрерывности
гомоморфизма φ);
() если некоторый ограниченный оператор B коммутирует с A,
то он коммутирует и с любым оператором f ( A);
()φ(̄f)=(φ(f))∗
.
Теорема . обобщается на более широкий класс функций. Но
непрерывность гомоморфизма понимается в более слабом смысле
(см. пункты () теорем . и .).
Глава . Функциональное исчисление и спектральная теорема
Те ор е м а . (спектральная теорема в терминах функциональ-
ного исчисления для ограниченных борелевских функций, Д. Гиль-
берт, ; Ф. Рисс, ). Для любого самосопряжённого операто-
ра A в гильбертовом пространстве H существует единственный
непрерывный гомоморфизм алгебры B(σ( A)) ограниченных борелев-
ских функций в B(H ), обладающий свойствами ()—():
()φ(f(x)≡1)=I;
()φ(f(x)≡x)=A;
() φ(f + g)=φ(f)+φ(g), φ(fg)=φ(f)◦φ(g)(условия гомо-
морфизма);
() если fn(x) Cи fn(x) → f (x) вкаждойточкеx∈ [a, b],то
φ( fn)
s
→ φ(f).
Этот гомоморфизм также обладает следующими свойствами:
() φ(f) B(H) = sup
x ∈σ(A)
|f(x)|;
() если некоторый ограниченный оператор B коммутирует с A,
то он коммутирует и с любым оператором f ( A);
()φ(̄f)=(φ(f))∗
.
. . Пусть H — гильбертово пространство, A — самосопря-
жённый оператор и λ ∈ ρ( A). Доказать, что справедлива оценка
Rλ(A)
1
dist(λ, σ( A))
: а) с помощью задачи .; б) с помощью
теоремы . .
.. Пусть H — гильбертово пространство, A — самосопряжён-
ный оператор. Доказать, что его преобразование Кэли
U=(A−iI)(A+iI)−1
определено и является унитарным оператором. Доказать, что A =
= i(I+U)(I−U)−1
.
Определение . . Операторнозначная функция U (t), t ∈ ,вба-
наховом пространстве X называется сильно непрерывной однопа-
раметрической операторной группой,если
)U(0)=I;
) U(t + s) = U(t)U(s)привсехs, t ∈ ;
) lim
t→t0
U(t)x − U(t0)x = 0длявсехx ∈ X.
Если в гильбертовом пространстве дополнительно выполнено усло-
вие
) для любого t ∈ оператор U (t) унитарен,
то такая группа называется унитарной.
Если свойство выполнено для любых s, t ∈ и для любого t0 ∈
существует такой оператор A,что
lim
t→t0
U(t) −U(t0)
t−t0
= iAU(t0),
§ .. Исчисление по самосопряженномуоператору
то такая операторная группа называется голоморфной ( -диффе-
ренцируемой). В этом случае оператор A называется генератором
группы.
.. Пусть H — гильбертово пространство, A — самосопряжён-
ный оператор в H .ПоложимU (t):= exp(itA) =
∞
k=0
(itA)k
k!
,t∈ .Дока-
зать, что U (t) является голоморфной операторной группой с генера-
тором A.
. . Пусть H — гильбертово пространство, A — самосопря-
жённый оператор в H , φ[a,b] и φ[c,d] —функциональные исчисле-
ния для непрерывных функций на отрезках [a, b]и[c, d], причём
a c<d b и σ(A)⊂[c,d], τ: C[a,b]→C[c,d]—оператор суже-
ния. Доказать, что φ[a,b] = φ[c,d]τ, т. е. функциональные исчисления
на указанных отрезках согласованы.
.. Пусть H — гильбертово пространство, A — самосопряжён-
ный оператор в H . Доказать согласованность функциональных ис-
числений непрерывных и голоморфных функций. А именно, если
f — голоморфная функция в круге, содержащем σ( A), то оператор
f ( A), построенный в соответствии с теоремой ., совпадает с опе-
ратором, построенным в соответствии с теоремой . .
.. Пусть H — бесконечномерное гильбертово пространство,
A — самосопряжённый оператор. Доказать, что если A компактен,
а f — функция, определённая и непрерывная на σ( A), то оператор
f ( A) компактен тогда и только тогда, когда f (0) = 0 (сравните с за-
дачей .).
.. Пусть f ∈ C( )иH — гильбертово пространство. Найти
f ( A)вслучае:
а)A=I;
б) A — ортогональный проектор;
в)H=l2 иA(x1,x2
,..., xn) = (λ1x1, λ2 x2,...), где все λn веще-
ственны и {λn}
∞
1 ∈l∞;
г) H = L2[0, 1] и Ax(t) = a(t)x(t), где a ∈ L∞[0, 1] — веществен-
ная функция.
.. Пусть A — самосопряжённый компактный оператор в гиль-
бертовом пространстве H и f ∈ C( ). Найти матрицуоператора
f ( A) в базисе из собственных векторов оператора A (см. теоре-
му.).
.. Пусть H — гильбертово пространство, A — ограниченный
самосопряжённый оператор в H , σ( A) ⊂ [a, b]и f ∈ C[a, b]. Дока-
зать, что для функционального исчисления, построенного по опе-
ратору A на отрезке [a, b], справедлива теорема об отображении
спектров: σ( f (A)) = f (σ( A)).
Глава . Функциональное исчисление и спектральная теорема
.. Пусть A и B — подобные самосопряжённые операторы в
B(H ), где H — гильбертово пространство (т. е. AC = CB для некото-
рого C ∈ IB(H )). Пусть отрезок [a, b] содержит спектры операторов
A и B. Доказать, что для любой f ∈ C[a, b] операторы f(A)и f(B)
подобны, причём подобие осуществляется посредством того же опе-
ратора C .
.. Пусть A 0 в гильбертовом пространстве H ,инепрерыв-
ная на отрезке [a, b] ⊇ σ( A)функция f также неотрицательна. До-
казать, что f ( A) 0.
.. Пусть ограниченные самосопряжённые операторы A и B,
действующие в гильбертовых пространствах H1 и H2 соответствен-
но, подобны. Доказать, что они унитарно эквивалентны, т. е. опе-
ратор U ∈ B(H1, H2), осуществляющий подобие (UA = BU ), является
изометрическим изоморфизмом.
.. Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбертовом
пространстве H ,отрезок[a, b] содержит σ( A). Доказать, что
а) если f g,то f(A) g(A);
б)если|f| |g|,то f(A)x
g(A)x для любого x ∈ H.
.. Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбертовом
пространстве H . Доказать, что | A| = A2. Доказать, что полярное
разложение самосопряжённого оператора в H имеет вид A = | A|W =
= W | A|,гдеW — частичная изометрия (см. определения . и .).
.. Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбертовом
пространстве H . Доказать, что
KerA=Ker|A|={x∈H:(|A|x,x)=0}.
.. Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбертовом
пространстве H , f ∈ C[a, b] — вещественнозначная функция. Дока-
зать, что
1)
а)f(A)=f+(A)−f
−
( A);
б) f+(A)f−(A) = f
−
(A)f+(A) = 0;
в) f(A) = max{ f+(A) , f−(A) }.
.. Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбертовом
пространстве H , f ∈ C[a, b] — вещественнозначная функция. Дока-
зать, что
а) Im( f+(A)) ⊥ Im( f−(A));
б) Ker(f+(A)) + Ker(f−(A)) = H;
в) Ker(f(A)) = Ker(f+(A)) ∩ Ker(f−(A)).
.*. Построить функциональное исчисление (для непрерывных
функций) от унитарного оператора U в гильбертовом простран-
1)Здесь f+(x) = max(f(x),0), а f−(x) = − min(f(x),0).
§ . . Спектральная теорема в терминах интеграла
стве H . А именно, доказать, что существует единственный непре-
рывный гомоморфизм φ алгебры C(σ(U )) в B(H ), обладающий
свойствами ()—():
()φ(f(x)≡1)=I;
()φ(f(x)≡x)=U;
() φ(f + g)=φ(f)+φ(g), φ(fg)=φ(f)◦φ(g)(условиягомо-
морфизма);
() φ — линейный непрерывный оператор из C(σ(U )) в B(H )
(т. е. если последовательность функций { fn}
∞
1 из C(σ(U )) сходится
к f ∈ C(σ(U)), то fn(U)⇒ f(U)).
Этот гомоморфизм также обладает свойствами
() (φ( f))∗
= φ(g), где g(x) =
̄
f (1/x);
() φ(f) B(H) = max
t∈σ(U)
| f (t)| (усиление свойства непрерывности
гомоморфизма φ);
() если некоторый ограниченный оператор V коммутирует с U ,
то он коммутирует и с любым оператором f (U ).
Указание. Используя теорему ., доказать вначале, что для
любой непрерывной функции f на единичной окружности T =
= {z ∈ : |z| = 1} и любого >0 существует такой многочлен P(z) =
= a−Nz
−N
+ a−N+1z
−N+1
+...+aNz
N
,что
max
|z|=1
|f(z)−P(z)|= f −P C(T)< .
§ . . Спектральная теорема в терминах
интеграла Лебега—Стилтьеса
Определение . . Пусть заданы множество M, некоторая σ-ал-
гебра Σ подмножеств M, а также гильбертово пространство H .
Отображение E : Σ → B(H ) называется проекторнозначной мерой
на (M, Σ) со значениями в B(H ), если выполнены следующие усло-
вия:
() E(Ω) = E(Ω)∗ для любого Ω ∈ Σ;
() E(Ω1 ∩ Ω2) = E(Ω1)E(Ω2) для любых Ω1, Ω2 ∈ Σ;
() E(Ω1 Ω2) = E(Ω1) + E(Ω2) для любых непересекающихся
Ω1,Ω2∈Σ;
() если Ωn ∈ Σ исуществует lim
n→∞
Ωn =Ω (т. е . индикаторы мно-
жеств Ωn поточечно сходятся к индикаторумножества Ω), то E(Ωn)
s
→
s
→ E(Ω).
Из () и () следует, что E(Ω) — ортогональный проектор для лю-
богоΩ∈Σ.
Глава . Функциональное исчисление и спектральная теорема
Если Σ совпадает с борелевской σ-алгеброй B( ), то проектор-
нозначную меру E называют борелевской.
По проекторнозначной мере, определённой на борелевской σ-ал-
гебре B( ), можно определить интеграл Лебега—Стилтьеса со зна-
чениями в B(H). Если f —простая, т.е. f =
n
k=1
ck χΩk
, Ωk∈B( ),то
f(λ)dEλ :=
n
k=1
ck E(Ωk). Если же f — борелевская ограниченная
функция и последовательность простых функций { fn}сходитсяк f
поточечно, то можно доказать, что последовательность fn(λ) dEλ
сходится в смысле сильной операторной сходимости к некоторому
оператору, называемому f (λ) dEλ, который не зависит от выбора
последовательности { fn}.
Те ор е м а . (спектральная теорема в терминах интеграла Ле-
бега—Стилтьеса). Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбер-
товом пространстве H . Существует борелевская проекторнознач-
ная мера E на со значениями в B(H ), обладающая свойством
f(A)=
σ( A)
f (λ) dEλ
для любой борелевской ограниченной функции f . В частности,
A=
σ( A)
λ dEλ.
Эта мера определяется в соответствии с теоремой . следую-
щим образом: для любого борелевского множества Ω полагает-
ся E(Ω):= χΩ( A),гдеχΩ — характеристическая функция множе-
ства Ω.
Определение . . Меру E, связанную с оператором A, называ-
ют спектральной мерой оператора A,атакжеразложением единицы
оператора A.ЧерезEλ в дальнейшем мы будем обозначать проек-
торы E((−∞, λ)), а через Hλ семейство подпространств Hλ := Eλ H ,
ассоциированных с оператором A.
Задачи
.. Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбертовом
пространстве H ипусть f , g ∈ C( ) — две функции, тождественно
совпадающие на луче t λ. Доказать, что ( f (A) − g(A))Eλ = 0.
.. Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбертовом
пространстве H ,а Eλ — разложение единицы для оператора A.До-
казать следующие свойства:
а) если λ<min σ(A), то Eλ = 0; если λ>maxσ(A), то Eλ = I;
§ . . Спектральная теорема в терминах интеграла
б) если λ<μ,то Eλ Eμ;
в) для любого x ∈ H выполнено равенство Eλ x = lim
μ→λ−0
Eμx;
г) все операторы Eλ коммутируют с операторами f ( A), где f ∈
∈ C( ) (в частности, с самим оператором A).
.. Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбертовом
пространстве H . Доказать, что семейство подпространств Hλ , ассо-
циированных с оператором A, обладает следующими свойствами:
а) если λ<min σ(A), то Hλ = {0}; если λ>max σ(A), то Hλ = H;
б) если λ<μ,тоHλ ⊆ Hμ;
в) для любого λ ∈ выполнено равенство Hλ =
μ<λ
Hμ;
г) все пространства Hλ инвариантны относительно f ( A) для лю-
бой f ∈ C( ) (в частности, они инвариантны относительно опера-
тора A).
.*. Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбертовом
пространстве H . Доказать, что:
а) число λ ∈ σ( A) тогда и только тогда, когда оно является точ-
кой возрастания семейства Hλ (т. е. в любой окрестности точки λ
найдётся точка μ,длякоторойHλ = Hμ);
б) число λ ∈ σp( A) тогда и только тогда, когда оно является точ-
кой разрыва семейства Hλ (т. е.
μ>λ
Hμ = Hλ).
.. Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбертовом
пространстве H. Доказать, что если λ ∈ σess( A) (см. определение .)
или λ ∈ σc ( A), то уоператора A − λI существует ортонормирован-
ная последовательность Вейля (сравнить с задачей .).
.. Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбертовом
пространстве H . Доказать, что
σess(A) ={λ ∈ :rank(Eλ+ − Eλ) = ∞ для любого >0}.
Доказать, что если λ ∈ σ( A) \ σess ( A), то λ — изолированное соб-
ственное значение оператора A конечной кратности.
.. Найти семейство проекторов Eλ иподпространствHλ ,ас-
социированных с оператором P ортогонального проектирования на
некоторое подпространство Y ⊂ H .
.. Найти семейство проекторов Eλ иподпространствHλ ,ас-
социированных с оператором A, заданным в l2(n)матрицей
A=
⎛
⎜
⎜
⎝
λ1 0...0
0λ2...0
..................
00...λn
⎞
⎟
⎟
⎠,
Глава . Функциональное исчисление и спектральная теорема
где все числа λi, i = 1, ..., n, вещественны и попарно различны. Как
изменится ответ, если среди чисел λi есть одинаковые?
Пример .. Найти семейство проекторов Eλ иподпространств
Hλ , ассоциированных с оператором A ∈ B(L2[0, 1]),
(Ax)(t) = (1 − 2t)x(t).
Решение. Легко видеть, что σ(A) = [−1, 1], а значит, Eλ = 0при
λ<−1иEλ = I при λ>1. Соответственно, Hλ = 0приλ<−1и
Hλ = H при λ>1. В соответствии с результатом задачи . г), для
произвольной непрерывной функции f выполнено f ( A): x(t) →
→ f (1 − 2t)x(t). Переходя к пределу f (t) → χ(−∞,λ)(t)почтивсюду
на [−1, 1], имеем
Eλ : x(t) → χ((1−λ)/2,1](t)x(t),
так как сужение χ(−∞,λ)(1 − 2t)наотрезок[−1, 1] есть χ((1−λ)/2,1] (t).
Таким образом, при λ ∈ [−1,1] подпространство Hλ есть подпро-
странство функций из L2[0, 1] с носителем на [(1 − λ)/2, 1], а опе-
ратор Eλ есть оператор ортогонального проектирования на это под-
пространство.
.. Найти семейство проекторов Eλ иподпространствHλ ,ас-
социированных с оператором A: L2[0, 1] → L2[0, 1], ( Ax)(t) = tx(t).
.. Найти семейство проекторов Eλ иподпространствHλ,
ассоциированных с оператором A(x1, x2,...)= (λ1x1, λ2 x2,...) в про-
странстве l2,где{λk }∞
1 — ограниченная вещественная последова-
тельность.
.. Найти семейство проекторов Eλ иподпространствHλ ,ас-
социированных с оператором, заданным матрицей:
а) A=
02
20;б)A =
21
12;в)A =
0−i
i0;
г)A=
⎛
⎜
⎝
010
10 −i
0i0
⎞
⎟
⎠.
.. Пусть a — непрерывная строго возрастающая функция на
[0, 1]. Найти семейство проекторов Eλ иподпространствHλ , ассоци-
ированных с оператором A : L2[0, 1] → L2[0, 1], Ax(t) = a(t)x(t).
. . Описать семейство проекторов Eλ иподпространствHλ,
ассоциированных с самосопряжённым компактным оператором A
в гильбертовом пространстве (в терминах собственных значений и
собственных векторов).
.*. Найти семейство проекторов Eλ иподпространствHλ ,ас-
социированных с оператором A ∈ B(L2[−1, 1]), ( Ax)(t) = t 2 x (−t).
Указание. Разложить пространство H = L2[−1, 1] в ортогональ-
нуюсуммуH=H1 ⊥
⊕ H2 подпространств всех чётных и нечётных
§ . . Спектральная теорема в терминах интеграла
функций и построить спектральные разложения для операторов
A1:=A|H1
иA2:=A|H2
по отдельности.
.*. Пусть A — ограниченный оператор в гильбертовом про-
странстве H и для любого ортонормированного базиса {en}
∞
1вH
выполнено Aen →0приn → ∞. Доказать, что оператор A компак-
тен (ср. с задачами . и .).
Указание. Свести задачук самосопряжённомуоператоруA∗ A и
использовать спектральную теорему.
. . Доказать, что любой самосопряжённый оператор A вгиль-
бертовом пространстве H можно с любой точностью приблизить ко-
нечными линейными комбинациями ортогональных проекторов в
пространстве B(H).
.. Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбертовом
пространстве H ,аB — самосопряжённый оператор в гильбертовом
пространстве K .ПустьHλ и Kλ — семейства подпространств, ассо-
циированные с операторами A и B. Доказать, что операторы A и B
подобны (унитарно эквивалентны), т. е. BC = CA для некоторого
C ∈ IB(H , K)(C — унитарный оператор из H в K)тогдаитолько
тогда, когда C осуществляет биекцию (унитарный изоморфизм)
HλиKλдлялюбогоλ∈ .
.. Пусть U — унитарный оператор в гильбертовом простран-
стве H . Доказать, что существует единственная проекторнозначная
мера Eλ на окружности = {z ∈ : |z| = 1} со значениями в B(H),
для которой справедливо равенство
f(U)=
2π
0
f(eiλ)dEλ
для любой борелевской ограниченной функции f на .
.. Пусть U — унитарный оператор в гильбертовом простран-
стве H . Доказать, что
1
n
n
k=1
Uks
→ P ,гдеP — ортопроектор на подпро-
странство Ker(U − I ).
.. Пусть A и B — самосопряжённые операторы в гильберто-
вом пространстве H и Eλ , Fμ — их разложения единицы соответ-
ственно. Доказать, что A и B коммутируют тогда и только тогда,
когда EλFμ = FμEλ для любыхλ,μ∈ .
.. Пусть M1 и M2 — полные метрические сепарабельные
пространства, Σ1 и Σ2 — σ -алгебры борелевских множеств на этих
пространствах. Пусть на (M1, Σ1)и(M2, Σ2) заданы соответствен-
но борелевские разложения единиц E (1) и E (2) , значениями которых
являются ортогональные проекторы в одном и том же гильберто-
вом пространстве H . Пусть эти разложения единиц коммутируют,
Глава . Функциональное исчисление и спектральная теорема
т. е . для всех Ωi ∈ Σi (i = 1, 2) E(1)(Ω1)E(2)(Ω2) = E(2)(Ω2)E(1)(Ω1). На
декартовом произведении M := M1 × M2 определим Σ — борелев-
скую σ-алгебру подмножеств, содержащую все «прямоугольники»
вида Ω1 × Ω2. Доказать, что на (M, Σ) существует единственное
разложение единицы, определяемое условием
E(Ω1 × Ω2) = E(1)(Ω1)E(2)(Ω2),
гдеΩi∈Σi,i =1,2.
.. Пусть A = Are + iAim — ограниченный нормальный опера-
тор в гильбертовом пространстве H , Π := σ( Are) + iσ( Aim ). Дока-
зать, что существует такое разложение единицы E , определённое на
борелевских подмножествах Π,что A =
Π
λ dEλ ,гдеинтегралпони-
мается в смысле Лебега—Стилтьеса (см. преамбулу этого парагра-
фа).
.. Пусть A — ограниченный нормальный оператор в гиль-
бертовом пространстве H . Доказать, что
Ax2
=
(s2+t2)(dEλx,x), λ =s+it.
.. Пусть A = Are + iAim — ограниченный нормальный опера-
тор в гильбертовом пространстве H . Доказать, что σ( A) ⊆ σ( Are) +
+ iσ( Aim ). Привести примеры нормальных операторов, для которых
а) это включение строгое; б) σ(A) = σ(Are) + iσ(Aim).
.. Пусть A — унитарный оператор в гильбертовом простран-
стве H. Доказать, что σ(A)⊆σ(Are) + iσ(Aim).
§ . . Спектральная теорема в терминах
оператора умножения
Суть спектральной теоремы в данной формулировке означает,
что произвольный самосопряжённый оператор подобен оператору
умножения.
Определение . . Оператор A, действующий в банаховом про-
странстве X ,имеетциклический вектор x0,если
Lin{x0, Ax0,..., A
n
x0,...}= X .
Го в о р я т , ч т о A — оператор с простым спектром,еслиунегоесть
циклический вектор.
Те ор е м а . (спектральная теорема в терминах оператора ум-
ножения). Пусть A — ограниченный самосопряжённый оператор с
простым спектром в гильбертовом пространстве H и σ( A) ⊆ [a, b].
§ .. Спектральная теорема в терминах оператора умножения
Тогда существует такая мера μ на [a, b] и изометрический изомор-
физм U : H → L2([a, b], μ), что оператор A подобен оператору умно-
жения на независимую переменную в L2([a, b], μ): (UAU −1 x )(t) = tx(t)
для любого x ∈ L2([a, b], μ).
Те ор е м а . . Пусть A — ограниченный самосопряжённый опе-
ратор в сепарабельном гильбертовом пространстве H . Тогда суще-
ствуют такие меры {μk}N
k=1 (N = 1, 2, ...или∞) на [a, b](σ(A) ⊆
⊆ [a, b]) и такой изометрический изоморфизм U : H =
N
⊥
n=1
Hn→
→
N
⊥
n=1
L2([a, b], μn), что сужение оператора A на Hn подобно опе-
ратору умножения на независимую переменную в L2([a, b], μn):
(UAU −1
)|L2([a,b],μn ) = M n ∈ B(L2([a, b], μn)), (Mn x )(t) = tx(t).
Из теоремы . вытекает следующее утверждение.
Теор е ма . . Пусть A — ограниченный самосопряжённый опе-
ратор в гильбертовом пространстве H . Тогда существуют мера μ
и изометрический изоморфизм U : H → L2( , μ) такие, что опе-
ратор UAU −1 является оператором умножения на ограниченную
функцию φ вL2( , μ).
Недостаток формулировки последней теоремы состоит в том,
что мера μ ифункцияφ определяются не единственным образом.
Втеореме.выборподпространствHn имерμn такженеодно-
значен. В конце этой главы мы обсудим каноническую функцио-
нальную модель самосопряженного оператора, инвариантную при
унитарных изоморфизмах.
Задачи
.. При каких условиях на комплексные числа {λk }n
k=1 удиа-
гонального оператора A(x1,..., x n) = (λ1 x1,...,λn x n)вl2(n)естьцик-
лический вектор? Сформулировать условие существования цикли-
ческого вектора в терминах характеристического многочлена про-
извольного оператора A :
n
→
n
.
. . При каких условиях на ограниченную последовательность
комплексных чисел {λk}∞
k=1 удиагонального оператора
A(x1, x2
,...)= (λ1x1, λ2 x2,...)
в l2 есть циклический вектор?
.. Доказать, что оператор ( Ax)(t) = a(t) x(t)умноженияна
непрерывную строго монотонную функцию a(t)имеетцикличе-
ский вектор: а) в пространстве C[0, 1]; б) в пространстве L2[0, 1].
Глава . Функциональное исчисление и спектральная теорема
.. Доказать, что оператор ( Ax)(t) = a(t) x (t)умноженияна
непрерывную немонотонную функцию a(t), действующий в про-
странстве C[0, 1], не имеет циклического вектора.
.. Пусть A — ограниченный самосопряжённый оператор с
простым спектром в гильбертовом пространстве H . Доказать, что
все его собственные значения (если они есть) имеют кратность 1.
.. Доказать, что компактный самосопряжённый оператор в
гильбертовом пространстве обладает циклическим вектором в точ-
ности тогда, когда все его собственные значения просты.
.. Пусть A — оператор с циклическим вектором в бесконеч-
номерном гильбертовом пространстве H . Доказать, что операторы
I,A,A
2
, ... линейно независимы.
.*. Доказать, что уоператора Tl левого сдвига в простран-
стве l2 есть «суперциклический» вектор, т. е. такой вектор x ,что
множество
Tn
lx
Tn
lx
∞
n=0
плотно на единичной сфере. Существует ли
обратимый оператор с суперциклическим вектором?
.. Пусть A — самосопряжённый оператор в сепарабельном
гильбертовом пространстве H . Доказать, что существует такое раз-
ложение в прямую сумму H =
N
⊥
n=1
Hn,гдеN =1,2, ... или ∞, что
AHn ⊂ Hn и для любого n = 1,2, ..., N существует вектор xn ∈ Hn,
который цикличен для сужения A на Hn ,т.е
.Lin{Ak xn}
∞
k=0
= Hn.
Пример . . Пусть A — оператор умножения на функцию t,
действующий в пространстве L2[0, 1]. Привести этот оператор к
виду умножения на независимую переменную (найти изометриче-
ский изоморфизм и меру μ).
Решение. Рассмотрим оператор U ,(Ux)(t) = x (t2), действующий
из L2[0, 1] в L2([0, 1], d(t2)). Имеем
Ux2
=
1
0
|x(t2)|2 d(t2) =
1
0
|x(s)|2ds= x 2
,
т. е. оператор U унитарен. Поскольку (U −1 x )(t) = x ( t ), имеем
(UAU −1
x)(t)=UAx( t)=U( tx( t))=tx(t).
Таким образом, оператор A унитарно эквивалентен операторуумно-
жения на независимую переменную, действующему в пространстве
L2([0, 1], d(t2)), т. е. для произвольного измеримого множества Ω
получаем: μ(Ω) =
Ω
2tdt, а унитарный изоморфизм осуществляется
при помощи оператора U .
§ .. Спектральная теорема в терминах оператора умножения
.. Найти в пространстве L2[−1, 1] разложение единицы опе-
ратора умножения: а) на |t|;б)наt 2. Доказать, что уэтого оператора
нет циклического вектора.
.. Для каждого из операторов из предыдущей задачи найти
какой-нибудь изометрический изоморфизм
U : L2[−1, 1] → L2([a, b], μ1) ⊕ L2([a, b], μ2),
такой, что оператор UAU −1
, суженный на каждое из пространств
L2([a, b], μi), есть оператор умножения на независимую перемен-
ную. Найти a, b имерыμi .
.. Привести пример двух ограниченных самосопряжённых
операторов A и B в пространстве l2, укоторых спектры совпадают,
причём σp( A) = σp(B) (и кратности соответствующих собственных
значений совпадают), σc ( A) = σc (B), но сами операторы не являют-
ся унитарно эквивалентными.
Указание. Придумать два таких оператора с одинаковым спек-
тром, что только уодного из них есть циклический вектор.
.. Найти разложение единицы оператора умножения на t
3
в пространстве L2[0, 1]. Привести оператор к видуумножения на
независимую переменную (найти изометрический изоморфизм и
меру μ).
.. Найти разложение единицы оператора умножения на sin t
в пространстве L2[0, π/2]. Привести оператор к видуумножения на
независимую переменную (найти изометрический изоморфизм и
меру μ).
.. Найти разложение единицы оператора умножения на sin t
в пространстве L2( ).
.. Для оператора из задачи . найти унитарный изомор-
физм
U:L2( )=
∞
⊥
n=−∞
L2−
π
2
+ πn,
π
2
+πn →
∞
⊥
n=−∞
L2([a, b], μ n),
такой, что оператор UAU −1
, суженный на пространство L2([a, b], μi),
есть оператор умножения на независимую переменную. Найти a, b
имерыμi .
.. Привести оператор
(Ax)(t) =
1
0
min(t, s)x(s)ds,
действующий в пространстве L2[0, 1], к видуумножения на неза-
висимую переменную (найти изометрический изоморфизм и ме-
ру μ).
Глава . Функциональное исчисление и спектральная теорема
. . Пусть A — линейный самосопряжённый оператор в конеч-
номерном пространстве. Найти унитарный оператор U ,меруμ и
функцию a такие, что UAU −1
= B,гдеB ∈ B(L2([0, 1], μ)), (Bx)(t) =
= a(t)x(t).
.. В пространстве l2( ) рассмотрим оператор A = Tr + Tl ,где
Tr , Tl — операторы правого и левого сдвигов соответственно. Най-
ти унитарный оператор U ифункциюa такие, что UAU
−1
= B,где
B ∈ B(L2[−π, π]), Bx(t) = a(t)x(t).
.. Доказать, что если оператор A ∈ B(H ) в гильбертовом
пространстве унитарно эквивалентен оператору B ∈ B(L2[0, 1])
умножения на функцию Bx(t) = a(t) x(t), то A —нормальный опе-
ратор.
. . Доказать, что любой нормальный оператор A вгильберто-
вом пространстве H унитарно эквивалентен оператору умножения
на некоторую функцию a в пространстве L2([0, 1]2, μ)снекоторой
мерой μ.
Отметим, что построенное представление самосопряжённого
оператора как оператора умножения на независимую переменную
еще не даёт способа установить унитарную эквивалентность или
неэквивалентность двух заданных операторов. Конечно, если опе-
раторы унитарно эквивалентны, они должны иметь одинаковую
норму, одинаковый спектр, одинаковые части спектра (точечный,
непрерывный, остаточный и существенный спектр), одновремен-
но обладать или не обладать циклическим вектором и т. д. Однако
совпадение всех этих характеристик не влечёт унитарную эквива-
лентность операторов.
.*. Доказать, что операторы
( Ax)(t) = tx(t)и(Bx)(t) =
1
2
(t + LK(t))x(t),
действующие в пространстве L2[0, 1] (здесь LK(t)—функция Кан-
тора, см. определение на с. ), не являются унитарно эквивалент-
ными.
Указание. ) Доказать, что оператор B унитарно эквивалентен
оператору C умножения на независимую переменную, действующе-
мув пространстве L2([0, 1], db(t)), где b(t) есть обратная функция к
функции
1
2
(t + LK(t)).
) Пусть K ⊂ [0, 1] — канторовское множество. Построить рав-
номерно ограниченную последовательность многочленов {pn}
∞
1,
которая сходится к функции χK(t) почти всюдуотносительно ме-
ры dt + db(t) на [0, 1] (см. курс действительного анализа) — тогда
pn → χK почти всюдуотносительно обеих мер.
§ .. Спектральная теорема в терминах оператора умножения
) Предположив унитарную эквивалентность операторов A и B,
доказать унитарную эквивалентность операторов χK( A)иχK(B),
что невозможно, так как первый из них равен нулю, а второй —
нет.
.*. Пусть μ и ν — две неотрицательные борелевские меры на
отрезке [0, 1], а Tμ и Tν — операторы умножения x(t) → tx(t), дей-
ствующие в пространствах L2([0, 1], μ)иL2([0, 1], ν ) соответствен-
но. Эти операторы унитарно эквивалентны тогда и только тогда, ко-
гда эквивалентны меры μ и ν .1)
Указание. Необходимость. Повторить часть решения предыду-
щей задачи. Достаточность. Воспользоваться тем, что для эквива-
лентных мер μ и ν найдётся измеримая ν -интегрируемая функ-
ция ζ,длякоторойμ( A) =
A
ζ(t) dν .
Теорема . . Для любого самосопряжённого оператора A в се-
парабельном гильбертовом пространстве H существует такое раз-
ложение H =
k∈K
Hk ,гдеK = ∪ {∞} (некоторые из подпространств
могут быть нулевыми), такой набор попарно сингулярных борелев-
ских мер
2) {μk }k∈K с носителями supp μk =: Xk ⊂ σ( A)(некоторые из
множеств Xk могут быть пустыми) и такой унитарный изомор-
физм
U:H= ⊥
k∈K
Hk→ ⊥
k∈K
(L2(Xk, μk))
k
,
что сужение оператора A на Hk унитарно эквивалентно ортого-
нальной прямой сумме k экземпляров оператора умножения на неза-
висимую переменную в L2( Xk , μk ):
(UAU −1
)|(L2(Xk,μk))k = Mk ⊕ Mk ⊕ ...
kслагаемых
,
где Mk ∈ B(L2(Xk, μk)), (Mk x)(t) = tx(t).
Теорема . позволяет определить функцию кратности n A опе-
ратора A: nA(λ)= 0внеσ(A); nA(λ)= k при λ ∈ Xk, k ∈ K и канони-
ческую спектральную меру оператора A: μ =
k∈K
μk .Функциональ-
ную модель, построенную в теореме ., называют канонической
функциональной моделью оператора A.
1) Меры μ и ν назыв ают эквива лентными, если мера μ абсолютно непрерывна от-
носительно меры ν и, наоборот, ν абсолютно непрерывна относительно μ.
2) Напомним, что две меры μ и ν называются взаимно сингулярными (обозначе-
ние μ ⊥ ν ), если пересечение их носителей имеет нулевую меру и относительно μ,и
относительно ν .
Глава . Функциональное исчисление и спектральная теорема
Пример . . Построить каноническую функциональную мо-
дель операторов
а) A=
⎛
⎜
⎜
⎝
0101
1010
0101
1010
⎞
⎟
⎟
⎠ в пространстве 4;
б) A: x(t) → φ(t)x(t), где φ(t) =
3
4 |2t − 1|−2|t| +
3
2
t+
1
4 ,впро-
странстве L2[−1, 1];
в) (Ax)(t)= x(t)+
π
−π
K(t, s)x(s) ds в пространстве L2[−π, π], где
K(t, s) =
1
π
∞
n=1
2−n
sin(ns)sin(nt).
Решение. а) Характеристический многочлен матрицы A равен
λ4−4λ
2
, так что собственными значениями A являются точки
λ1 = −2, λ2 = 2иλ3 = λ4 = 0. Сооответствующие нормирован-
ные собственные векторы имеют вид e1 =
1
2
(1, −1, 1, −1)t
,e2=
=
1
2
(1,1,1,1)t
,e
3=
1
2
(0,1,0,−1)t и e4 =
1
2
(1, 0, −1, 0)t
,т
акчто
H1 = Lin{e1, e2}, а H2 = Lin{e3 , e4}. Согласно теореме . спектраль-
ные меры определены неоднозначно: мера μ1 —любая мера, со-
средоточенная в точках −2и2,амераμ2 — любая мера, сосредо-
точенная в точке 0. Положим, например, μ1 = δ−2 + δ2, μ2 = δ0.
Оператор U отображает пространство 4
=H1 ⊥
⊕ H2 в пространство
L2({−2, 2}, μ1) ⊥⊕ (L2({0}, μ2))
2
. НаподпространствеH1 оператор U
действует так: Ux = (Ux)(t), где (Ux)(−2) = (x , e1), (Ux)(2) = (x, e2)
(здесь скалярные произведения ( x , e1)и(x , e2) — коэффициенты
разложения вектора x по базису e1 , e2
,такчтоx =(x,e1)e1+(x,e2)e2,
афункция(Ux)(t) может быть доопределена как угодно вне то-
чек t = ±2). На подпространстве H2 оператор U действует так:
Ux = (Ux)(t), где (Ux)(0) = ((x, e3),(x, e4))t
—в
образе ImU лежат
вектор-функции с двумя компонентами (так как мера μ2 сосредо-
точена в точке 0, функция (Ux)(t) может быть доопределена как
угодно вне точки t = 0). Тогда
(UAU −1
)|L2({−2,2},μ1 ) : x(t) → tx(t),
(UAU −1
)|L2 ({0},μ2 ) :
x1(t)
x2(t) →
tx1(t)
tx2(t)
.
б) Множество значений функции φ(t)наотрезкеt ∈ [−1, 1] есть
отрезок [−1, 1]. При этом значения φ ∈ [−1, 0) принимаются од-
нократно, при t ∈ −1, −
1
2
, значения φ ∈
1
2
,1 —двукратно, при
§ .. Спектральная теорема в терминах оператора умножения
t∈−
1
4,
1
4 ,азначенияφ ∈ 0,
1
2
— трехкратно, при t ∈ −
1
2
,−
1
4∪
∪
1
4 ,1 . В соответствии с этим положим
H1=L2 −1,−
1
2
,
X1 = [−1, 0),
H2=L2 −
1
4,0
⊥
⊕L20,
1
4,X2=
1
2
,1,
H3=L2 −
1
2
,
1
4⊥
⊕L2
1
4,
1
2⊥
⊕L2
1
2
,1,X3=0,
1
2
.
Построим унитарный изоморфизм U (зададим его на каждом под-
пространстве Hk по отдельности) и меры μk, k = 1, 2, 3. На подпро-
странстве H1 положим
(Ux)(t) = x
t−1
2 , U:H1→L2 [−1,0],
1
2dt .
На подпространстве H2 положим
(Ux)(t) =
x
t−1
2
x
1−t
2
,
U:H2→ L2
1
2,1 ,
1
2dt
2
.
Наконец, на подпространстве H3 положим
(Ux)(t) =
⎛
⎜
⎜
⎝
x
t−1
2
x
1−t
2
x
t+1
2
⎞
⎟
⎟
⎠, U:H3→ L2 0,
1
2
,
1
2
dt
3
.
Тогда
(UAU −1
)|L2 [−1 ,0],
1
2
dt
: x(t)→tx(t),
(UAU −1
)| L2
1
2
,1,
1
2
dt
2:
x1 (t)
x2(t) →
tx1 (t)
tx2 (t) ,
(UAU −1
)|L2 0,
1
2
,
1
2
dt
3:
⎛
⎝x1 (t)
x2 (t)
x3 (t)
⎞
⎠→
⎛
⎝tx1(t)
tx2(t)
tx3(t)
⎞
⎠.
в) Разложим пространство L2[−π, π] в ортогональную сумму
пространства четных и пространства нечетных функций Heven ⊥
⊕ Hodd.
На подпространстве Heven оператор A равен тождественному. В про-
странстве Heven = H∞ (в обозначениях теоремы .) выберем орто-
нормированный базис e0 =
1
2π
, e2k=
1
π
cos(kt), k ∈ , и опреде-
лим оператор U : H∞ → (L2({1}, μ∞))
∞
,гдемераμ∞ = δ1 сосредо-
точена в точке 1, равенством (Ux)(1)=((x, e0),(x, e2),(x, e4), ...)
t
—
значения функции (Ux)(t) в точках t = 1 могут быть выбраны произ-
вольно. На подпространстве Hodd оператор A является оператором
Глава . Функциональное исчисление и спектральная теорема
спростымспектром,σ( A) = {2− n
}∞
1 .ВпространствеHodd = H1 вы-
берем ортонормированный базис из собственных векторов e2k−1
=
=
1
π
sin(kt), k ∈ , и определим оператор U : H1 → L2({2− n
}∞
1,μ1),
где мера μ1 =
∞
n=1
δ2−n ,равенством(Ux)(2− n
) = ( x , e2n−1)—значения
функции (Ux)(t) в точках t /∈ {2−n
}∞
1 могут быть выбраны произ-
вольно. Тогда
(UAU −1
)|L2({2−n
}∞
1 ,μ1): x(t)→tx(t),
(UAU −1
)|(L2({1}, μ ∞ ))
∞:
⎛
⎝x1(t)
x2(t)
...
⎞
⎠→
⎛
⎝tx1 (t)
tx2 (t)
...
⎞
⎠
Теорема . . Два самосопряженных оператора A и B в гильбер-
товом пространстве унитарно эквивалентны тогда и только то-
гда, когда их функции кратности совпадают, а спектральные меры,
определенные в теореме ., эквивалентны: μk, A
∼ μk,B для любого
k∈K.
.. Пользуясь теоремой ., доказать теорему . .
.. Выяснить, есть ли среди следующих операторов унитарно
эквивалентные:
A1 ∈ B(L2[0, 1]), (A1 x)(t) = tx(t);
A2 ∈ B(L2[−1, 1]), (A2x)(t) = |t|x(t);
A3 ∈ B(L2[0,1]), (A3x)(t) = t2x(t);
A4 ∈ B(L2[0,1]), (A4x)(t) = t
3
x(t);
A5 ∈ B(L2[0, 1]), ( A5 x )(t) = tx(t);
A6 ∈ B(L2[0, π/2]), (A6 x )(t) = sin tx(t);
A7 ∈ B(L2[0, π]), (A7x)(t) = sin tx(t);
A8 ∈ B(L2[0,1]), (A8x)(t) =(1− t)x(t);
A9 ∈ B(L2[0, 1]), (A9 x)(t) = LK(t)x(t).
.. Построить каноническую функциональную модель:
а) для оператора ( Ax)(t) =
1
t2+1
x (t)впространствеL2( );
б) для оператора ( Ax)(t) = x (1 − t )впространствеL2[0, 1];
в) для оператора ( Ax)(t) = e
−|t|
cos |t| x(t)впространствеL2( );
г) для оператора ( Ax)(t) = LK(t) x(t)впространстве L2[0, 1].
.. Построить каноническую функциональную модель для
следующих операторов в пространстве l2:
а) A:(x1, x2,...) → (r1x1, r2x2,...), где {rj}∞
1 — ограниченная по-
следовательность попарно различных действительных чисел;
б) A:(x1, x2,...)→ x1,
1
2
x2,
1
2
x3,
1
3
x4,
1
3
x5,
1
3
x6,
1
4 x7,... ,гдемно-
житель
1
n
повторяется n раз.
Глава
Топологические, линейные топологические
и полинормированные пространства
§ .. Топологические прос транс тва
Определение .. То п о ло г ия на множестве X — это такая систе -
ма τ его подмножеств, что
()∅,X∈τ;
() объединение любой совокупности множеств из τ принадле-
жит τ;
() пересечение любого конечного числа множеств из τ принад-
лежит τ.
Множества из τ называются открытыми, дополнения к откры-
тым множествам называются замкнутыми,пара(X , τ) называется
топологическим пространством.
Всякое метрическое пространство является топологическим про-
странством с топологией τ, состоящей из всех открытых (в смыс-
ле определения .) множеств (см. задачу.). Топологическое про-
странство называется метризуемым, если его топология порожда-
ется некоторой метрикой.
На одном и том же множестве можно задать много топологий.
Говорят, что топология τ на Xслабеетопологии τ на X ,еслиτ ⊂ τ.
Совокупность β ⊂ τ открытых множеств называется базой топо-
логии τ, если для любого открытого множества U ∈ τ и любой точки
x ∈U найдётсятакое множество V ∈β,чтоx ∈V ⊂U.
Совокупность β0 ⊂ τ открытых множеств называется предбазой
топологии τ, если всевозможные конечные пересечения множеств
из β0 образуют базу этой топологии.
Точка x называется предельной для множества A ⊂ X ,еслидля
любого открытого U x в пересечении U ∩ A найдётся точка, отлич-
ная от x.
Любая топология определяет сходимость последовательностей:
говорят, что последовательность {xn}точектопологическогопро-
странства (X , τ) сходится к точке x , если для любой открытой
окрестности U (x) ∈ τ найдётся такое N ,чтоxn ∈ U (x)длявсех
Глава . Линейные топологические пространства
n > N . В метрических пространствах так определённая сходимость
совпадает со сходимостью по метрике (см. определение .).
Окрестностью точки x в топологическом пространстве ( X , τ)
называется произвольное множество V , для которого существует та-
кое U ∈ τ,что x ∈ U ⊂ V . В совокупности всех окрестностей данной
точки x обычно выделяют локальную базу окрестностей,т.е
.т
акой
набор окрестностей B, что для любой окрестности V точки x най-
дётся такое множество B ∈ B,чтоB ⊂ V .
Топологическое пространство ( X , τ) называется сепарабельным,
если в нём существует счётное всюду плотное множество (то есть
такое счётное множество M ⊂ X ,чтопересечениеM ∩ U непусто для
любого непустого U ∈ τ).
Подмножество M ⊆ ( X , τ) называется компактным в X ,если
из любого его покрытия открытыми множествами {Uα} ⊂ τ мож-
но выделить конечное подпокрытие. Если хаусдорфово (см. ниже)
топологическое пространство ( X , τ)самокомпактновсвоейто-
пологии, то его называют компактом (в некоторых учебниках би-
компактом, и при этом компактом называют метризуемый биком-
пакт). Множество M в топологическом пространстве X называется
счетно компактным, если из любого его счетного покрытия от-
крытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие.
Множество M называется секвенциально компактным в топологи-
ческом пространстве ( X , τ), если для любой последовательности
{xk}∞
k=1 ⊂ M существует подпоследовательность {xnk
}∞
k=1
,сх
одяща-
яся к x ∈ M. Множество, замыкание которого в X компактно, на-
зывают предкомпактным, а множество, замыкание которого счет-
но компактно, называют счетно предкомпактным.МножествоM
называется секвенциально предкомпактным, если для любой по-
следовательности {xk }∞
k=1 ⊂ M существует подпоследовательность
{xnk
}∞
k=1
,с
ходящаясяк x ∈ X . В топологических пространствах,
удовлетворяющих второй аксиоме счетности (см. ниже), в част-
ности в метрических пространствах, эти три свойства равносильны
(см. теорему. и задачи . и .). В общих топологических про-
странствах компактность влечет счетную компактность и секвен-
циальная компактность влечет счетную компактность, но других
импликаций междуэтими тремя свойствами нет (см. [, .(iii)]).
Отображение f : X → Y междудвумя топологическими про-
странствами называется непрерывным в точке x ∈ X , если для лю-
бого открытого множества V ⊂ Y , содержащего f (x ), найдётся такое
открытое множество U ⊂ X , содержащее x ,что f (U ) ⊂ V .Отобра-
жение f называется секвенциально непрерывным, если для любой
последовательности xn → x выполнено f (xn) → f (x). Отображение
§ .. Топологические пространства
f : X → Y , непрерывное в каждой точке, называется непрерывным.
Непрерывное и биективное отображение f : X → Y ,длякоторого
обратное отображение также непрерывно, называется гомеморфиз-
мом.
Любое подмножество X топологического пространства ( X , τ)
тоже является топологическим пространством с индуцированной
топологией τ = {A ∩ X : A ∈ τ}. Пару(X , τ ) называют подпро-
странством пространства ( X , τ).
Аксиомы счётности служат для измерения «массивности» топо-
логии.
Топологическое пространство ( X , τ) удовлетворяет первой аксио-
ме счётности, если укаждой точки x ∈ X существует такой счётный
набор окрестностей {Un( x )}∞
n=1 (счётная локальная база окрестно-
стей точки x), что совокупность {Un(x): x ∈ X , n = 1, 2, ...} всех этих
окрестностей составляет базутопологии τ.
Топологическое пространство ( X , τ) удовлетворяет второй ак-
сиоме счётности,еслиутопологииτ есть счётная база.
Аксиомы отделимости служат для измерения «качества» топо-
логии.
Аксиома T1 . Для любых двух различных точек x , y ∈ X существу-
ет такая открытая окрестность U(x) точки x,что y ∈ U (x).
Аксиома T2 (аксиома Хаусдорфа). У любых двух различных то-
чек x , y ∈ X существуют непересекающиеся открытые окрестности
U(x)иU(y).
Аксиома T3 . Для любой точки x ∈ X и любого не содержащего её
замкнутого множества F существуют непересекающиеся открытые
окрестности U (x)иU (F).
Аксиома T4 . У любых двух непересекающихся замкнутых мно-
жеств F1 и F2 существуют непересекающиеся открытые окрестности
U (F1)иU (F2).
Аксиома T1 не следует из аксиом T3, T4 (точка необязательно
является замкнутым множеством), поэтому среди аксиом T2, T3, T4
каждая следующая сильнее предыдущей только при условии выпол-
нения аксиомы T1.
Топологическое пространство, удовлетворяющее аксиоме T2,на-
зывают хаусдорфовым; удовлетворяющее аксиомам T1 и T3 — регу-
лярным; удовлетворяющее аксиомам T1 и T4 — нормальным.
Задачи
В различных случаях топологию удобно задавать разными спосо-
бами: указанием системы открытых множеств, системы замкнутых
множеств, базы или предбазы топологии.
Глава . Линейные топологические пространства
.
◦
. Пусть ( X , τ) — топологическое пространство, а σ — сово -
купность всех его замкнутых множеств. Доказать, что
()∅,X∈σ;
() пересечение произвольного семейства множеств из σ при-
надлежит σ;
() объединение любого конечного семейства множеств из σ
принадлежит σ.
Пусть, наоборот, X — некоторое множество, а σ — семейство его
подмножеств, удовлетворяющее условиям (), (), (). Доказать,
что совокупность подмножеств τ, состоящая из дополнений к мно-
жествам из σ, есть топология на X .
. . Пусть X —множество, а β0 — произвольное семейство его
подмножеств, образующих покрытие X . Доказать, что существует
единственная топология на X , предбазой которой служит β0.
.
◦
. Пусть {τα } — некоторый набор топологий на множестве X .
Доказать, что система τ =
α
τα есть топология (τ слабее любой из
топологий τα ).
.
◦
. Доказать, что система открытых подмножеств β топологи-
ческого пространства X образует базу топологии τ тогда и только
тогда, когда каж дый элемент τ является объединением каких-то
элементов β .
.. Пусть τ1 и τ2 — две топологии на множестве X с базами
β1 и β2 соответственно. Доказать, что τ1 слабее τ2 тогда и только
тогда, когда для любого B1 ∈ β1 и любой точки x ∈ B1 найдётся та-
коеB2∈β2,чтоx∈B2⊂B1.
Пример . . На множестве введём топологию следующим об-
разом: объявим замкнутыми все ограниченные множества, ∅, и
только их. Проверить аксиомы топологии. Каким из аксиом отдели-
мости и счётности удовлетворяет эта топология? Метризуема ли эта
топология?
Решение. Легко видеть, что для системы ограниченных множеств
выполнены условия ()—() из задачи ., а значит, эта система
действительно задаёт топологию на . Покажем, что эта топология
удовлетворяет аксиоме T1.Пустьx = y ∈ ; рассмотрим множество
\ y — оно открыто (так как его дополнение ограничено), содер-
жит точку x и не содержит точки y . Теперь покажем, что введённая
топология не удовлетворяет аксиоме Хаусдорфа T2 (а стало быть, не
удовлетворяет аксиомам T3 , T4 инеметризуема).Пустьx = y ∈
и U(x) ∩ U(y) = ∅. Заметим, что множества \ U(x)и \ U(y)
ограничены, а значит, существует круг {|z| < r}, содержащий оба
эти множества. Тогда множество {|z| r}вложеновU (x ) ∩ U ( y ),
азначит,U (x) ∩ U ( y) = ∅. Покажем, что топология удовлетворяет
§ .. Топологические пространства
первой аксиоме счётности. Пусть x ∈ и U (x )—окрестность точ-
ки x .Заметим,что \ U (x ) ограничено, а значит, вложено в круг
{|z| <q}, где q ∈ . Тогда множество Vq(x) ={x} ∪{|z| q} открыто,
содержит точку x ивложеновU (x ). Таким образом, мы доказали,
что система {Vq ( x)}x ∈ ,q ∈ является базой топологии. Кроме того,
для каждого x ∈ система {Vq( x )}q∈ счётна, т. е. мы проверили,
что первая аксиома счётности выполнена. Покажем, наконец, что
вторая аксиома счётности также выполнена. Для этого рассмотрим
счётное семейство открытых множеств {Vq }q∈ +
,гдеVq = {|z| q}.
Для любого открытого множества U множество \ U ограничено,
а значит, вложено в некоторый круг {|z| < q}. Это означает, что
Vq ⊂ U , т. е . выбранная система образует базу топологии.
.. Привести пример топологического пространства, не удо-
влетворяющего аксиоме T1.
.. Доказать, что аксиома T1 эквивалентна следующей аксиоме:
любое множество, состоящее из конечного числа точек, замкнуто.
.. Привести пример топологического пространства, удовле-
творяющего аксиоме T1, но не удовлетворяющего аксиоме Хаусдор-
фа.
. . Привести пример хаусдорфова, но не регулярного тополо-
гического пространства.
. . Доказать, что любое метрическое пространство нормаль-
но (в топологии метрики).
.*. Привести пример регулярного, но не нормального топо-
логического пространства.
.. Доказать, что любое метрическое пространство удовле-
творяет первой аксиоме счётности.
.. Доказать, что в топологическом пространстве, удовлетво-
ряющем первой аксиоме счётности, точка x является предельной
точкой множества A тогда и только тогда, когда существует после-
довательность { xn}
∞
1 точек из A,сходящаясякx .
.. Доказать, что метрическое пространство удовлетворяет
второй аксиоме счётности тогда и только тогда, когда оно сепара-
бельно. Доказать, что топологическое пространство со счётной ба-
зой сепарабельно, но не всякое сепарабельное пространство имеет
счётную базу.
. (Свойство Э. Линделёфа). Пусть X — топологическое про-
странство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности. Доказать,
что из всякого набора открытых множеств в X можно выбрать не
более чем счётный поднабор с тем же объединением.
.. Доказать, что в хаусдорфовом пространстве у каждой по-
следовательности существует не более одного предела. Привести
Глава . Линейные топологические пространства
примеры нехаусдорфовых пространств, в одном из которых это
свойство, тем не менее, выполнено, а в другом — нет.
.. На множестве непрерывных на отрезке [0, 1] функций за-
дадим топологию следующим образом. Множество U назовём от-
крытым, если каждая точка x ∈ U входит в U со своей окрестностью
U⊃V(t1,...,tn, 1,..., n;x)=
= {y∈C[0,1]:|y(tk)− x(tk)|< k,1 k n},
где0 t1<...<tn 1—некоторыйнаборточек,n∈ ,аk>0,
1 k n. Проверить аксиомы топологии и доказать, что это тополо-
гическое пространство хаусдорфово. Доказать, что последователь-
ность xn → x в этой топологии тогда и только тогда, когда xn схо-
дится к x поточечно, т. е. xn(t) → x(t) для любого t ∈ [0, 1]. Привести
пример множества и его предельной точки, не являющейся преде-
лом никакой последовательности точек этого множества.
Построенное топологическое пространство будем обозначать
Ce[0, 1] (см. список пространств).
.. Доказать, что система τ = {∅} ∩ {U ⊂ [0,1]: [0,1]\ U со-
держит не более чем счётное число точек} образует топологию.
Привести пример множества A ⊂ [0, 1] и его предельной точки, не
являющейся пределом никакой последовательности точек A.
.. Привести пример двух не сравнимых
1)
топологий на од-
ном и том же множестве, задающих однуи туже сходимость.
. . Привести пример сепарабельного топологического про-
странства, обладающего несепарабельным подпространством.
.*. Доказать, что в пространстве измеримых по Лебегуфунк-
ций на отрезке [0, 1] сходимость почти всюдуне задаётся никакой
топологией.
Указание. ) Доказать, что если последовательность { xn}
∞
1 то-
чек топологического пространства X не сходится к x ,тонайдётся
окрестность U (x) и подпоследовательность { xnk
/∈ U(x)}∞
k=1
.)Вос-
пользоваться тем, что последовательность, сходящаяся по мере, не
обязательно сходится почти всюду, но обязательно содержит подпо-
следовательность, сходящуюся почти всюду.
.
◦
. Доказать, что в топологических пространствах отображе-
ние непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз любого откры-
того множества открыт.
.
◦
. Доказать, что в топологических пространствах отображе-
ние непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз любого за-
мкнутого множества замкнут.
1) То есть не включающихся друг в друга.
§ .. Топологические пространства
.. Доказать, что в топологическом пространстве ( X , τ)спер-
вой аксиомой счётности непрерывность функции f : X → эквива-
лентна её секвенциальной непрерывности. Привести пример се-
квенциально непрерывного, но разрывного отображения топологи-
ческого пространства.
.. Пусть X — метрическое пространство, M1, M2 —замкну-
тые множества в нём, причём M1 ∩ M2 = ∅. Построить такую непре-
рывную функцию f : X →[0,1], что f|M1
= 0иf|M2
=1.
.. Пусть X — полное метрическое пространство, M —за
-
мкнутое множество в нём, U1, U2,...,Un —покрытие M открытыми
множествами. Построить системунепрерывных функций
{ek(x): X → }
n
k=1
,
называемую разбиением единицы, соответствующим покрытию U j ,
удовлетворяющую условиям
()0 ej(x) 1длялюбогоx∈X;
()ej(x)=0,если x /∈Uj;
()
n
j=1
ej(x)=1длялюбого x∈M.
В утверждениях последних двух задач метрическое простран-
ство X можно заменить на нормальное топологическое простран-
ство X.
.. Пусть ( X , τ) — топологическое пространство. Доказать,
что оно компактно тогда и только тогда, когда любая центрирован-
ная1) система замкнутых множеств имеет непустое пересечение.
Простейшие свойства компактных множеств в топологических
пространствах совпадают со свойствами компактных множеств в
метрических пространствах.
.
◦
. Пусть X , Y — топологические пространства, а множество
M ⊂ X компактно. Докажите, что:
а) любое замкнутое подмножество множества M компактно;
б) если X хаусдорфово, то M замкнуто;
в) если Y хаусдорфово, а отображение f : M → Y непрерывно, то
f (M )компактновY ;
г) всякое бесконечное подмножество множества M имеет пре-
дельную точку x ∈ M .
.. Доказать, что компактное хаусдорфово пространство (т. е .
компакт) нормально.
. . Пусть M — компактное множество в топологическом про-
странстве X ,а f : M → Y — непрерывное биективное отображе-
1) Система подмножеств топологического прос транства назыв аетс я центрирован-
ной, если всякая её конечная подсистема имеет непустое пересечение.
Глава . Линейные топологические пространства
ние M на хаусдорфово пространство Y . Доказать, что обратное
отображение f −1 также непрерывно, т. е. f есть гомеоморфизм
MиY.
.. Доказать теорему.: подмножество метрического про-
странства X компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и
секвенциально компактно (то есть всякая последовательность его
элементов содержит сходящуюся в X подпоследовательность).
§ . . Линейные топологические прос транс тва
Определение . . Линейное пространство X над полем или
с введённой на нём топологией τ называется линейным топологи-
ческим пространством (или топологическим векторным простран-
ством), если операции сложения и умножения на скаляр в X непре-
рывны в топологии τ:
() для любых x, y ∈ X и для любой открытой окрестности U(x + y)
точки x + y найдутся такие открытые окрестности U (x )иU ( y)то-
чек x и y соответственно, что U(x)+ U(y)⊂ U(x + y);
() для любого x ∈ X ,скаляраλ и для любой открытой окрест-
ности U (λ x) точки λ x найдутся такая открытая окрестность U (x )
точки x итакоеr > 0, что t · U(x) ⊂ U(λx) для любого числа t,для
которого |t − λ| < r.
Нетрудно показать, что при условиях () и () топология τ ин-
вариантна относительно сдвигов на векторы из X иумноженийна
скаляры. Поэтомутопология в линейном топологическом простран-
стве полностью определяется локальной базой B окрестностей ну-
ля: открытыми являются те и только те множества, которые пред-
ставляются в виде объединений сдвигов окрестностей из B.
Всякое нормированное пространство является линейным топо-
логическим в топологии, определяемой его нормой.
Определение . . Подмножество E линейного топологического
пространства X называется ограниченным, если для всякой окрест-
ности нуля U ⊂ X найдется такое число s > 0, что E ⊂ tU для любого
t>s.
1)
Линейное топологическое пространство X называется
локально выпуклым, если в нём существует локальная база ок-
рестностей нуля, состоящая из выпуклых множеств;
локально ограниченным, если в нём существует ограниченная
окрестность нуля;
1) Обратите внимание, что так определённое ограниченное множес тв о может со-
держать лучи вида {α x : α ∈ [0, ∞)}, где x = 0 — фиксиров анный вектор.
§ .. Линейные топологические пространства
F-пространством, если его топология порождается некоторой
метрикой d, инвариантной относительно сдвига: d(x + z, y + z) =
= d(x, y)длялюбых x, y,z∈ X,иX полно в этой метрике;
пространством Фреше, если оно является локально выпуклым
F -пространством;
нормируемым, если его топология порождается некоторой нор-
мой.
Теорема . (Дж. Биркгоф, С. Какутани, ). Хаусдорфово ли-
нейное топологическое пространство X метризуемо тогда и толь-
ко тогда, когда оно обладает счётной локальной базой окрестно-
стей нуля.
Теорема . (А. Н . Колмогоров, ). Хаусдорфово линейное то-
пологическое пространство X нормируемо тогда и только тогда,
когда оно локально выпукло и локально ограничено.
Точка множества M в линейном пространстве называется край-
ней точкой множества M , если она не лежит внутри никакого от-
резка с концами из M .
Теорема . (М.Г
.Крейн, Д.П.Мильман, ). Всякое непустое
выпуклое компактное множество в локально выпуклом линейном
топологическом пространстве X совпадает с замыканием выпук-
лой оболочки своих крайних точек.
Задачи
.
◦
. Пусть в линейном топологическом пространстве множе-
ство A открыто, а множество B — произвольное. Доказать, что мно-
жество A + B открыто.
.. Пусть в линейном топологическом пространстве множе-
ства A и B — замкнутые линейные подпространства. Верно ли, что
A + B — также замкнутое подпространство?
.. Пусть в линейном топологическом пространстве множе-
ство A замкнуто, а множество B компактно.Верноли,чтомноже-
ство A + B замкнуто?
.. Пусть в линейном топологическом пространстве X множе-
ства A и B компактны. Будет ли компактным множество C = A + B?
.◦
. Пусть в линейном топологическом пространстве множе-
ство A открыто, а множество B замкнуто. Доказать, что для любого
скаляра λ множество λ A открыто, а множество λB замкнуто.
.◦
. В нормированном пространстве описать какую-нибудь
локальную базу B окрестностей нуля.
. . Привести пример топологии в линейном пространстве,
относительно которой сложение непрерывно, а умножение на ска-
ляр разрывно.
Глава . Линейные топологические пространства
.. Привести пример топологии в линейном пространстве,
относительно которой сложение разрывно, а умножение на скаляр
непрерывно.
.. Доказать, что линейное топологическое пространство удо-
влетворяет третьей аксиоме отделимости T3.
.. Доказать, что линейное топологическое пространство от-
делимо (то есть удовлетворяет первой аксиоме отделимости T1)то-
гда и только тогда, когда пересечение всех окрестностей нуля состо-
ит только из нуля. В частности, всякое локально ограниченное ли-
нейное топологическое пространство отделимо.
.. Доказать, что в конечномерном линейном пространстве X
есть только одна топология (с точностью до эквивалентности), от-
носительно которой X является отделимым линейным топологиче-
ским пространством.
.. Пусть X — линейное пространство. Доказать, что среди
всех отделимых топологий, превращающих X в локально выпуклое
линейное топологическое пространство, существует самая силь-
ная топология (её называют ядерно-выпуклой топологией). Дока-
зать, что этутопологию можно эквивалентно определить так: база
окрестностей нуля состоит из всех выпуклых множеств, содержа-
щих нуль и пересекающихся с каждой прямой, проходящей через
нуль, по интервалу положительной длины.
.*. Доказать теорему. .
.*. Доказать теорему. .
Пример .. Найти крайние точки единичного шара в про-
странстве C0( )надполем .
Решение. Пусть x ∈ C0( )и x = 1. Тогда найдутся такие точ-
ки a, b ∈ ,что| x(a)| = 1и| x(b)| = 1/4. В силунепрерывности
функции x найдётся окрестность (b − , b + ) точки b,вкоторой
выполнено неравенство | x(t)| < 1/2. Кроме того, число можно
всегда выбрать так, чтобы a ∈ (b − , b + ). Обозначим через h ку-
сочно-линейную функцию, тождественно равную нулю на лучах
(−∞, b − ), (b + , +∞) и соединяющую по линейности точки с ко-
ординатами (b − ,0), b,
1
2
,(b+ ,0).Тогда x+h = x −h =1
иx=
1
2(x+h)+
1
2 ( x − h), т. е. x не является крайней точкой единич-
ного шара. Это означает, что единичный шар пространства C0( )
не имеет крайних точек.
.. Найти крайние точки единичного шара в пространствах
а)lp, p∈(1,∞), б)l1,в
)c,г
)c0,д
)l∞,е
)C[0, 1],
ж) L1[0, 1]
(над полем инадполем ).
§ .. Линейные топологические пространства
.*. Найти крайние точки единичного шара в пространстве
BV0[0, 1] над полем .
Указание. ) Доказать, что всякая функция κθ (t − a), где |κ| = 1,
а θ (t) есть функция Хевисайда, является крайней точкой единично-
го шара в пространстве BV0[0, 1].
) Пусть Var
1
0 w (t) = 1иw(t) = κθ (t − a). Доказать, что найдутся
такиеточки0 a<b<c<d 1,чтоVarb
a
w(t)>0,Vard
c
w(t) = β>0,
и рассмотреть функции
x (t):=
w(t)пр
иt∈(a,b];
0п
р
и
t /∈(a,b],
y (t):=
w(t)пр
иt∈(c,d];
0п
р
и
t /∈(c,d].
.. Доказать, что среди комплексных пространств l1 , l2, l
∞
,c
0,
c, L1[0, 1], L∞[0, 1], C[0, 1], BV[0, 1], BC( ), C0( ) нет ни одной пары
изометрически изоморфных пространств.
Указание. Разделить пространства на два класса — сепарабель-
ные и несепарабельные — и внутри каждого класса сравнить мно-
жества крайних точек единичного шара.
.. Доказать, что существует изометрическое вложение про-
странства l∞ в пространство L∞[0, 1] и изометрическое вложение
L∞[0, 1] в l∞ (хотя сами пространства L∞[0, 1] и l∞,согласнопреды-
дущей задаче, не являются изометрически изоморфными).
.
◦
. Пусть lp, p ∈ (0, 1), — комплексное или вещественное ли-
нейное пространство бесконечных последовательностей (x1, x2
,...),
для которых ряд
∞
k=1
|xk | p сходится. Зададим базуокрестностей нуля
B = {Gr}r>0,гдеGr = x :
∞
k=1
|xk|p < r . Доказать, что эта база зада-
ёт линейное топологическое пространство, которое не является ло-
кально выпуклым.
.
◦
. Проверить, является ли линейное пространство с дискрет-
ной топологией (это топология, в которой открытыми являются все
множества) линейным топологическим.
. . Рассмотрим пространство классов эквивалентности изме-
римых по Лебегуна [0, 1] функций с метрикой
ρ(x, y)=
1
0
|x(t) − y(t)|
1 + |x(t) − y(t)| dμ.
Доказать, что это F -пространство, которое локально ограничено (но
не локально выпукло — см. задачу .) и сепарабельно. Доказать,
Глава . Линейные топологические пространства
что последовательность измеримых функций сходится по метрике
этого пространства тогда и только тогда, когда она сходится по мере
Лебега на [0, 1].
§ .. Локально выпуклые прос транс тва
как полинормированные прос транс тва
Напомним (см. определение .), что полунормой (преднормой)
на линейном пространстве X называется такая функция p : X → + ,
что p(x + y) p(x)+ p(y)иp(λx) =|λ|p(x) для любых x, y ∈ X и
любого числа λ.
Определение .. Линейное пространство, снабженное семей-
ством полунорм {pα}α∈ A , называется полинормированным прост-
ранством.
Всякое полинормированное пространство является линейным
топологическим с базой B окрестностей нуля вида
Uα1 ,...,αn ,r
={x∈X:pαk
(x)<r;k=1, ..., n},
где α1 ,...,αn — произвольный конечный набор индексов из A и r —
произвольное положительное число.
Пусть на линейном пространстве X заданы два семейства полу-
норм {pα}α∈A1 и{pα}α∈A2
. Говорят, что второе семейство мажориру-
ет первое, если для каждого α ∈ A1 существуют такие α1 ,...,αn ∈ A2
иконстантаC > 0, что для любого x ∈ X справедливо неравенство
pα(x) C max{pα1(x), ..., pαn
(x)}. Если два семейства полунорм ма-
жорируют друг друга, то они называются эквивалентными.
Задачи
Как показывают следующие две задачи, класс полинормирован-
ных пространств среди всех линейных топологических пространств
совпадает с классом локально выпуклых пространств.
.
◦
. Доказать, что полинормированное пространство локаль-
но выпукло.
.. Пусть X — линейное топологическое локально выпуклое
пространство. Доказать, что топология в X может быть задана неко-
торой системой полунорм, т. е. X можно считать полинормирован-
ным пространством.
Полинормированное пространство X со счётным набором полу-
норм {pn}
∞
1 называется счётно-нормированным.Еслисчётно-нор-
мированное пространство хаусдорфово, то оно метризуемо с мет-
§ . . Локально выпуклые пространства
рикой
d(x, y)=
∞
n=1
1
2n
pn(x − y)
1+pn(x−y)
и является пространством Фреше.
.
◦
. Доказать, что сходимость в пространствах s, A(D), C
∞
[0, 1],
C( )иCe( ) задаётся указанной в списке пространств системой по-
лунорм (обратите внимание, что для всех пространств, кроме Ce( ),
эта система полунорм счётна).
.. Доказать, что топология полинормированного простран-
ства (X ,{pα}α∈ A ) с указанной в преамбуле базой B окрестностей ну-
ля является пересечением τ всех топологий τ,относительнокаж-
дой из которых непрерывны все полунормы pα , α ∈ A.
.◦
. Доказать, что последовательность {xn}
∞
1 вполинормиро-
ванном пространстве ( X ,{pα}α∈ A ) сходится (в смысле топологии,
порождённой системой полунорм) к вектору x тогда и только тогда,
когда pα(xn − x) → 0 относительно всякой полунормы pα .
.. Доказать, что полинормированное пространство X явля-
ется хаусдорфовым относительно топологии, порождённой систе-
мой его полунорм {pα}α∈ A , тогда и только тогда, когда для каждого
вектора x ∈ X , x = 0, существует такая полунорма pα , α = α(x), что
pα(x) >0.
.. Доказать, что пространства s, l
∞
2,C
∞
[0, 1], A(D), C( )и
Ce[0, 1] хаусдорфовы.
.. Пусть на линейном пространстве X заданы два семейства
полунорм {pα}α∈ A1 и{pα }α∈ A2
. Обозначим топологии, порожденные
этими семействами, через τ1 и τ2. Доказать, что τ1 слабее τ2 тогда и
только тогда, когда второе семейство полунорм мажорирует первое.
.. Не используя теорему ., доказать, что хаусдорфово по-
линормированное пространство X нормируемо тогда и только то-
гда, когда его семейство полунорм эквивалентно своему конечному
подсемейству.
.. Пусть в счётно-нормированном пространстве X каждая
последующая полунорма мажорирует предыдущую, но не эквива-
лентна ей. Доказать, что X не нормируемо.
.. Доказать, что пространства s, l
∞
2,C
∞
[0, 1], A(D), C( )и
Ce[0, 1] не нормируемы.
. . Не используя теорему ., доказать, что хаусдорфово
полинормированное пространство метризуемо тогда и только то-
гда, когда его семейство полунорм эквивалентно своему не более
чем счётномуподсемейству. В частности, любое хаусдорфово счёт-
но-нормированное пространство метризуемо.
Глава . Линейные топологические пространства
.. Доказать, что пространство Ce[0, 1] не метризуемо.
.
◦
. Доказать, что пространства s, l
∞
2,C
∞
[0, 1], A(D)иC( )яв-
ляются сепарабельными пространствами Фреше.
.. Доказать, что множество E в полинормированном про-
странстве ( X ,{pα}α∈ A ) ограничено в смысле определения . тогда
и только тогда, когда для всякого α ∈ A существует такая константа
Cα>0, что sup{pα(x):x∈E}<Cα.
.. Доказать, что множество M в пространстве s предком-
пактно тогда и только тогда, когда оно ограничено, т. е . для любого
k ∈ существует такое Ak > 0, что |xk| Ak для всех x = (x1, x2,...)∈
∈M.
.. Доказать, что множество M в пространстве C
∞
[0, 1] пред-
компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено, т. е . для лю-
богоk =0,1,2, ... существует такое Ak >0, что max
t ∈[0,1]
|x (k)(t)| Ak для
всехx∈M.
. (Принцип компактности, П. Монтель, ). Доказать, что
множество M в пространстве A(D) предкомпактно тогда и только
тогда, когда оно ограничено в пространстве A(D)(т.е.sup{| f (z)| : f ∈
∈M,z∈Q}<∞длялюбогокомпактаQ⊂D).
Определение . . Пространство Фреше, в котором каждое огра-
ниченное (в смысле определения .) множество предкомпактно,
называется пространством Монтеля.
.◦
. Являются ли множества:
а)En={x∈s:xn=xn+1=xn+2=...=0}; б)c00
замкнутыми подпространствами в пространстве s?
.◦
. Является ли множество голоморфных на отрезке [0, 1]
функций замкнутым подпространством в пространстве C ∞[0, 1]?
.◦
. Доказать, что линейное подпространство непрерывных
ограниченных на функций является незамкнутым всюду плот-
ным подпространством в полинормированном пространстве C( ).
.. Доказать, что любое конечномерное подпространство в
хаусдорфовом полинормированном пространстве замкнуто.
.. Пусть Y — замкнутое подпространство полинормирован-
ного пространства ( X ,{pα}α∈ A ). Доказать, что
pα,0(x):= inf
y∈Y
pα(x − y)
—
полунормы на линейном пространстве X /Y .
. . Пусть X — счётно-нормированное пространство, а Y —
его собственное замкнутое подпространство. Вектор x ∈ X назы-
вается -перпендикуляром к Y ,еслиd(x ,0) = 1иd(x , Y ) > 1 −
.
Доказать, что -перпендикуляр к Y существует при любом >0.
§ . . Локально выпуклые пространства
.. Пусть X является счётно-нормированным пространством
Фреше. Доказать, что любая система вложенных замкнутых ша-
ров пространства X имеет непустое пересечение (сравните с зада-
чей .).
.. Пусть X является счётно-нормированным пространством
Фреше. Доказать, что если Y — конечномерное подпространство
в X ,а x —произвольный вектор из X ,товY найдётся вектор y0,
для которого dist( x , Y ) = d(x , y0)(сравнитесзадачей.).
Определение .. Отображение T из полинормированного
пространства ( X ,{pα}α∈ A ) в полинормированное пространство
(Y ,{qβ }β ∈B) называется непрерывным в точке x0, если оно непре-
рывно как отображение топологических пространств, т. е. для лю-
бой полунормы qβ и для любого >0 найдутся такие полунормы
pα1
,..., pαn
итакоечислоδ>0, что qβ (T (x) − T (x0)) < для всяко-
го x из окрестности {x : pα1(x − x0) <δ,..., pαn
(x − x0) <δ} точки x0.
.◦
. Пусть f — линейный функционал на полинормированном
пространстве ( X ,{pα}α∈ A ). Доказать эквивалентность следующих
условий:
() f непрерывен в каждой точке x ∈ X ;
() f непрерывен в нуле;
() существуют такие α1,...αn ∈ A иконстантаC > 0, что для лю-
бого x ∈ X справедливо неравенство
|f(x)| C max{pα1(x), ..., pαn
(x)}.
. . Привести пример такого полинормированного простран-
ства (X ,{pα}α∈ A ) и такого непрерывного линейного функционала f
в нём, что оценка | f (x)| Cpα( x) не выполняется ни для одной по-
лунормы pα .
. (Аналог теоремы Хана—Банаха). Пусть ( X ,{pα}α∈ A )—ха
-
усдорфово полинормированное пространство. Доказать, что ес-
ли f — линейный непрерывный комплекснозначный функционал,
определённый на линейном подпространстве Y пространства X ,
то существует линейный непрерывный функционал F , определён-
ный на всём X исовпадающийс f на подпространстве Y .Вывести
отсюда, что для всякого x ∈ X , x = 0, существует такой линейный
непрерывный функционал f на X ,что f (x) = 0.
Пример .. Доказать, что функционал f (w) = w (0) непреры-
вен на пространствеA( ), где ={z∈ :|z|<1}.
Решение. Рассмотрим полунорму p(w) = sup
|z| 1/2
|w(z)|.Всилуин-
тегральной формулы Коши имеем
f(w)=w (0)=
1
2πi
|z|=1/2
w(z)
z2 dz.
Глава . Линейные топологические пространства
Тогда
|f(w)| 1
2π
|z|=1/2
p(w)
|z|2 |dz| 2p(w),
а значит (см. условие () в задаче .), функционал f непреры-
вен.
.
◦
. Доказать, что функционал fn( x) = x (n)(0) непрерывен на
C∞[−1,1] для любого n= 0,1,2, ...
.
◦
. Доказать, что любой линейный непрерывный функцио-
нал на пространстве s имеет вид f ((x1, x2,...)) =
∞
n=1
xnyn,гдеy =
= ( y1, y2,...)∈ c00.
.. Доказать, что любой линейный непрерывный функционал
на пространстве C( )имеетвид f(x) = x(t) dy(t), где y ∈ BV( ),
причём мера dy финитна (т. е. существует такое A = A( y ) > 0, что
y(t)≡const1 приt>Aи y(t)≡const2 приt<−A).
. . Доказать, что любой линейный непрерывный функцио-
нал на пространстве Ce[0, 1] имеет вид f (x) =
n
k=1
λkx(αk),гдеn∈ ,
λk∈ ,αk∈[0,1](k=1,...,n).
.. Доказать, что в полинормированном пространстве со
счетным набором полунорм всякий секвенциально непрерывный
линейный функционал является непрерывным.
.*. Доказать, что в пространстве Ce[0, 1] всякий секвенци-
ально непрерывный линейный функционал является непрерывным.
.*. Пусть пространство C 1
0 ( ) состоит из непрерывно диффе-
ренцируемых функций x : → , каждая из которых равна нулю вне
некоторого (своего) отрезка. Пусть на этом пространстве введена
система полунорм {pg : g ∈C( )}∪{P}, где pg(x) = sup{|g(t)x(t)|: t ∈
∈ }, P(x) = sup{|x (t)|: t ∈ }. Доказать, что
а) сходимость xn → x в этом полинормированном пространстве
равносильна тому, что все функции xn равны нулю вне некоторого
(одного и того же) отрезка и их производные xn равномерно на этом
отрезке сходятся к x ;
б) функционал f (x) =
∞
n=1
x (n) является секвенциально непре-
рывным, но не является непрерывным на этом пространстве.
.. Доказать, что в следующих пространствах нет ни одного
непрерывного линейного функционала, кроме нулевого:
а) в пространстве классов эквивалентности измеримых по Лебе-
гуна [0, 1] функций с метрикой ρ(x, y) =
1
0
|x(t) − y(t)|
1 + |x(t) − y(t)| dμ;
§ . . Локально выпуклые пространства
б) в пространстве Cp [0, 1], 0 < p < 1, с базой окрестностей нуля,
состоящей из множеств V = x ∈ C[0,1]:
1
0
|x(t)|p dt
1/p
<
Отсюда, в частности, следует, что эти пространства не являются ло-
кально выпуклыми.
.◦
. Пусть ( X ,{pα}α∈ A )и(Y ,{pγ}γ∈G ) — полинормированные
пространства, T : X → Y — линейное отображение. Доказать, что
следующие условия эквивалентны:
() T непрерывно в каждой точке пространства X ;
() T непрерывно в нуле;
() для любой полунормы pγ , γ ∈ G, существуют такие индексы
α1,...αn ∈ A иконстантаC > 0(зависящиеотγ), что для любого
x ∈ X справедливо неравенство pγ(Tx) C max{pα1 ( x ), ..., pαn
(x)}.
Пример .. Доказать, что оператор T , заданный в простран-
стве s произвольной нижнетреугольной матрицей (ank), непреры-
вен. Действие оператора описывается следующим образом: (Tx)n =
=
n
k=1
ankxk.
Решение. Для произвольной полунормы pn имеем
pn(Tx) = |(Tx)n| =
n
k=1
ank xk
max
1kn
|xk|·
n
k=1
|ank| = Cn max{p1(x), ..., pn(x)}.
.◦
. Доказать, что оператор дифференцирования ( Af)(z) =
= f (z)впространствеA(D), где D ⊂ —произвольная область,
непрерывен.
.◦
. Доказать, что оператор дифференцирования ( Ax)(t) =
= x (t) непрерывен в пространстве C ∞[0, 1]. Найти его образ и яд-
ро.
.◦
. Доказать, что оператор умножения на бесконечно диффе-
ренцируемую функцию ( Ax)(t) = a(t) x(t) непрерывен в простран-
стве C ∞[0, 1]. Найти его образ и ядро в случаях
а) a(t)=t+1, б)a(t)=sin(2πt).
. (Аналог теоремы Банаха об обратном операторе). Пусть
X и Y — счётно-нормированные пространства Фреше, а T : X → Y —
линейный непрерывный биективный оператор. Доказать, что T
имеет линейный непрерывный обратный оператор.
. (Аналог теоремы Банаха—Штейнгауза). Пусть M —про-
извольное семейство непрерывных линейных операторов из счёт-
Глава . Линейные топологические пространства
но-нормированного пространства Фреше ( X ,{pn}
∞
1 )всчётно-нор-
мированное пространство Фреше (Y ,{qn}
∞
1 ), причём для любого
x ∈ X и n ∈ множество {qn(Tx): T ∈ M}ограничено.Доказать,
что для любой полунормы qn найдутся такие полунормы pk1
,...,pkj
и такая постоянная Cn > 0, что qn(Tx) Cn max{pk1(x), ..., pk j (x)}
длявсехx∈XиT∈M.
§ .. Слабая топология
в нормированном прос транс тве
Определение .. Слабая топология в линейном нормирован-
ном пространстве X — это топология, базукоторой составляют мно-
жества
V(x;f1,f2,...,fn, ):={y∈X:|fj(x−y)|< ,j =1,...,n},
гдеx∈X,f1,...,fn∈X∗
,
>0. Другими словами, множество U от-
крыто в слабой топологии, если оно является объединением мно-
жеств V(x; f1, f2,..., fn, ) указанного вида.
Теорема . (С. Банах, ; Л. Алаоглу, ). Пусть X — линей-
ное нормированное пространство. Замкнутый единичный шар про-
странства X компактен в слабой топологии тогда и только тогда,
когда X рефлексивно.
Задачи
.. Пусть X — нормированное пространство. Доказать, что
слабая топология w в X порождается некоторым набором полунорм
(т. е . ( X , w ) — полинормированное пространство).
.◦
. Доказать, что последовательность векторов нормирован-
ного пространства слабо сходится тогда и только тогда, когда она
сходится в слабой топологии.
.◦
. Доказать, что в конечномерном нормированном про-
странстве слабая топология совпадает с топологией нормы.
. . Доказать, что в бесконечномерном нормированном про-
странстве любая окрестность нуля в слабой топологии содержит
бесконечномерное подпространство.
. . Доказать, что в произвольном бесконечномерном норми-
рованном пространстве слабая топология всегда строго слабее то-
пологии нормы (то есть всякое открытое в слабой топологии мно-
жество открыто и в топологии нормы, но не наоборот)1) .
1) Сравните с задачей . .
§.. ∗ -слабая топология в сопряжённом пространстве
.. Доказать, что для любого нормированного пространства
слабая топология хаусдорфова.
. . Пусть X — нормированное пространство. Доказать, что
любой функционал f ∈ X ∗ непрерывен относительно слабой топо-
логии. Доказать, что наоборот, любой линейный функционал на X ,
непрерывный в слабой топологии, лежит в X
∗
.
. . Пусть X — банахово пространство, а U — выпуклое мно-
жество в нём. Доказать, что U замкнуто относительно нормы тогда
и только тогда, когда U замкнуто в слабой топологии.
.. Привести пример банахова пространства X имноже-
ства A в нём, замкнутого относительно нормы, но не замкнутого в
слабой топологии.
.. Доказать, что нормированное пространство сепарабель-
но относительно нормы тогда и только тогда, когда оно сепарабель-
но в слабой топологии.
.. Привести пример такого множества M в пространстве l2,
что оно не открыто в слабой топологии, но для любой последова-
тельности xn,слабосходящейсяк x ∈ M ,все x n , начиная с некоторо-
го номера лежат в M .
.. Пусть X — нормированное пространство, а X ∗ сепара-
бельно. Доказать, что слабая топология в единичном шаре про-
странства X метризуема.
.
◦
. В пространстве l p , p ∈ (1, ∞), привести пример такой по-
следовательности {xn}
∞
1 ,что xn →∞, но точка 0 лежит в замыка-
нии множества {xn}
∞
n=1
в слабой топологии.
.. Доказать, что для любой функции x0 ∈ L1[0, 1] множество
{x ∈ L1[0, 1]: |x(t)| |x0(t)| для почти всех t ∈ [0, 1]} слабо секвен-
циально компактно в L1[0, 1].
§.. ∗-с лабая топология
в сопряжённом пространстве
Определение .. ∗ -слабая топология в пространстве X
∗
—т
о-
пология, базукоторой составляют множества
V(f;x1, x2
,...,xn, ):={g∈X∗
:|(f−g)(xj)|< ,j =1,...,n},
гдеf∈X∗
, x1,..., xn ∈ X , >0. Другими словами, множество U от-
крыто в слабой топологии, если оно является объединением мно-
жеств V(f; x1, x2,...,xn, ) указанного вида.
Теорема . (С. Банах, ; Л. Алаоглу, ). Пусть X — линей-
ное нормированное пространство. Тогда замкнутый единичный шар
пространства X
∗
компактен в ∗-слабой топологии.
Глава . Линейные топологические пространства
Задачи
.
◦
. Пусть X — нормированное пространство. Доказать, что
∗-слабая топология ∗w в X ∗ порождается некоторым набором полу-
норм (т. е. (X∗
, ∗ w) — полинормированное пространство).
.
◦
. Доказать, что последовательность { fn}
∞
1⊂X∗
∗-слабо схо-
дится тогда и только тогда, когда она сходится в ∗-слабой топологии.
.
◦
. Пусть X — конечномерное нормированное простран-
ство. Доказать, что ∗-слабая топология в X ∗ совпадает с топологией
нормы.
. . Пусть X — бесконечномерное нормированное простран-
ство. Доказать, что ∗-слабая топология в X
∗
строго слабее топологии
нормы.
.. Пусть X — нормированное пространство. В пространстве
X ∗ рассмотрим слабую топологию (она вводится стандартным обра-
зом, при помощи функционалов из X
∗∗
). Доказать, что если X нере-
флексивно, то в X
∗
∗-слабая топология слабее слабой топологии. До-
казать, что в случае рефлексивного пространства эти топологии сов-
падают.
.
◦
. Пусть X — бесконечномерное нормированное простран-
ство. Доказать, что всякая окрестность нуля в ∗-слабой топологии
пространства X
∗
содержит бесконечномерное подпространство.
.. Доказать, что для любого нормированного пространства
∗-слабая топология в сопряжённом пространстве хаусдорфова.
.. Пусть X — нормированное пространство. Доказать, что
для любого линейного функционала F на X
∗
, непрерывного в ∗-сла-
бой топологии, существует такой вектор x из X ,чтоF( f ) = f (x)для
любого f ∈X∗
.
.. Привести пример нормированного пространства X иза-
мкнутого подпространства X0 ⊂ X ∗ такого, что X0 замкнуто относи-
тельно нормы, но не замкнуто в ∗-слабой топологии.
.. Пусть X — нормированное пространство. Доказать, что
из сепарабельности X
∗
относительно нормы следует ∗-слабая сепа-
рабельность. Привести контрпример к обратномуутверждению.
.. Пусть X — сепарабельное нормированное пространство.
Доказать, что ∗-слабая топология в единичном шаре пространства
X∗
метризуема.
.. Пусть X — банахово пространство. Доказать, что про-
странство X
∗
метризуемо в ∗-слабой топологии тогда и только то-
гда, когда dim X < ∞.
.. Доказать теорему. Банаха—Алаоглудля сепарабель-
ного пространства X .
§.. ∗ -слабая топология в сопряжённом пространстве
.. Пусть X — нормированное пространство. Обозначим
Y=π(X),гдеπ:X→X
∗∗
—к
аноническое вложение. Доказать, что
отображение π является изоморфизмом (т. е . непрерывно, биек-
тивно и имеет обратное отображение, которое также непрерывно)
топологических пространств ( X , w)и(Y , ∗w), где X — простран-
ство со слабой топологией, Y — пространство с топологией, инду-
цированной из ( X ∗∗
, ∗w), а ∗w — ∗ -слабая топология. Доказать, что
замыкание подпространства Y в этой топологии есть всё простран-
ство X ∗∗
.
.. Доказать теорему. в случае, когда X
∗
сепарабельно.
.. Доказать, что в рефлексивном бесконечномерном бана-
ховом пространстве слабая сходимость не совпадает со сходимо-
стью по норме.
.. Доказать, что замкнутое подпространство рефлексивного
нормированного пространства рефлексивно.
.. Доказать, что любое замкнутое подпространство рефлек-
сивного нормированного пространства является подпространством
существования (см. определение .).
.. Пусть X и Y — банаховы пространства, A : X → Y —ли
-
нейный оператор, непрерывный относительно слабых топологий.
Доказать, что A ∈ B( X , Y ) (сравните с задачей .).
.*. Доказать, что каждое из пространств c, c0 , C[0, 1], L1[0, 1]
не является изометрически изоморфным никакомупространству,
сопряженномук нормированному.
Указание. Применить теорему. и задачу..
Глава
Пространства пробных (основных)
функций
Следующие три пространства являются основными простран-
ствами пробных функций на действительной оси .
Определение . . Пространство E — это линейное простран-
ство C
∞
( ), снабженное системой полунорм
pN,n(f):= max{|f(k)(t)|:k =0,1, ..., n; t ∈[−N,N]};
n=0,1,2,...;N=1,2,...
Определение . . Пространство S быстро убывающих функ-
ций (пространство Шварца) состоит из тех функций f ∈ C ∞( ), для
которых конечны все полунормы
pn,k(f):=sup{|tnf(k)(t)|:t∈ }; n=0,1,2, ...; k=0,1,2, ...
Эти же полунормы задают топологию на S.
Определение .. Пространство D финитных функций — это
линейное подпространство всех функций φ ∈ C ∞( ), имеющих
ограниченный носитель
suppφ:={t∈ :φ(t)=0},
снабженное системой P допустимых полунорм, задаваемой так:
p ∈ P ⇔ для любого N существует такая постоянная C > 0итакое
целое n 0, что для любой функции φ ∈ D сносителемsuppφ ⊂
⊂ [−N , N ] выполняется неравенство p(φ) C · pN ,n (φ). Другими
словами, полунорма p допустима, если на любом отрезке она ма-
жорируется полунормами пространства E .
Другая (эквивалентная P ) система полунорм на D описана в за-
даче ..
Теорема . . Сходимость φn → φ в D, определяемая системой
полунорм P , равносильна тому, что все носители supp φn и supp φ
принадлежат одному отрезку I и при каждом k = 0, 1, 2, ...произ-
водные φ(k)
n
равномерно на I сходятся к φ (k).
Глава . Пространства пробных (основных) функций
Задачи
Ясно, что пространство E непусто (например, оно содержит все
многочлены). Функция e− t
2
—пример ненулевой функции из S .
В следующей задаче строится пример ненулевой функции из D.
.. Доказать, что финитная функция
ωa,b(t) =
exp
1
(t−a)(t−b) , t∈(a,b),
0,
t /∈(a,b),
бесконечно дифференцируема на действительной оси (мы будем на-
зывать этуфункцию «шапочкой»).
. . Доказать, что для любого δ>0существуетфункцияφδ ∈ D
со свойствами:
suppφδ=[−1 −δ,1+δ],
φδ(t)∈[0,1] при всех t,
φδ(t) = 1приt ∈ [−1, 1]
(мы будем называть эту функцию «шляпой»).
.
◦
. Доказать, что функция φ ∈ D является производной неко-
торойдругойфункцииизD тогда и только тогда, когда
φ(t)dt=0.
.
◦
. Доказать, функция φ ∈ D удовлетворяет равенству φ(0) = 0
тогда и только тогда, когда φ(t) = t · ψ(t), где ψ — некоторая другая
функция из D.
.
◦
. Привестипримерыфункцийφ∈S\Dиψ∈E\S.
.
◦
. Каким из пространств E , S , D принадлежат функции
а) φ(t) =
sin t
t
, φ(0)=1; б)ψ(t)=
1−cost
t2
, ψ(0) = 1/2?
Найти носители этих функций.
.*. Доказать, что для любой числовой последовательности
{an }
∞
0 найдётся такая функция φ ∈ D,чтоφ (n)(0) = an при всех
n=0,1,2,...
.. Пусть φ ∈ C ∞[a, b] (в концах отрезка требуется существова-
ние соответствующих односторонних производных любого поряд-
ка). Доказать, что существует функция ψ ∈ D такая, что ψ|[a,b] ≡ φ .
. . Доказать, что любую функцию ψ ∈ E можно представить в
виде ряда ψ =
∞
k=1
φk ,гдевсеφk ∈ D и каждая точка t ∈ принадле-
жит лишь конечномучислуносителей supp φk .
.*. Существует ли такая функция φ ∈ D,чтоsuppφ ⊂ [0, ∞) и
при этом сама функция φ и все её производные положительны на
интервале (0, 1)?
Глава . Пространства пробных (основных) функций
По определению, любая полунорма pN ,n ( f ) из определения .
является допустимой полунормой на пространстве D. В следующих
задачах приводятся примеры других допустимых полунорм.
.
◦
. Доказать, что следующие полунормы являются допусти-
мыми на D:
а) q1(φ) = sup{|α(t)φ(t)|: t ∈ }, где α: →
—
непрерывная
функция;
б) q2(φ) =
∞
k=0
|φ(k)(k)|;
в) q3(φ) = |φ (t)|2 dt
1/2
.
.. Пусть p —допустимая полунорма на D. Доказать, что сле-
дующие выражения являются допустимыми полунормами:
а)q1(φ)=p(αφ), где α∈E;
б) q2(φ) = p(φ );
в) полунорма q3, подчинённая полунорме p (т. е . найдётся такое
C > 0, что q3(φ) Cp(φ) для любого φ ∈ D);
г) q(φ) = max
k=1,2,...,n
pk(φ), где pk, k = 1, 2, ..., n, — допустимые полу-
нормы на D.
.*. Привести пример полунормы, определённой на всём про-
странстве D и не являющейся допустимой.
Указание. Использовать базис Гамеля в пространстве C[0, 1]
(сравните с задачей .).
.. Доказать, что следующие три системы полунорм в S экви-
валентны (т. е . задают однуи туже топологию):
а) {pn,k}∞
n,k =0
,б)pn,k ,1(φ) = |tnφ(k)| dt
∞
n,k =0
,
в) pn,k ,2(φ) = |tnφ(k)|2 dt
∞
n,k =0
.
.. Зададим системуполунорм P на пространстве D следую-
щим образом: P = {pα,c }, где α = (α1 , α2 , ...) — произвольная после-
довательность неотрицательных целых чисел, c = (c1, c2 ,...) — про-
извольная последовательность положительных чисел, а pα,c (φ):=
:=
∞
m=1
cm pm,αm
(φ), где pm,k (φ) = max
0jk,
m−1 |t| m
|φ( j )(t)|. Доказать, что си-
стемы P и P эквивалентны.
Как и в любом полинормированном пространстве (см. задачу
.), в пространствах E , S и D последовательность является схо-
дящейся, если она сходится по каждой полунорме.
Глава . Пространства пробных (основных) функций
.. Доказать теорему. .
.. Доказать, что если множество M ⊂ D ограничено по каж-
дой из допустимых полунорм, то носители всех функций из M рас-
положены на одном и том же отрезке и множество M секвенциально
предкомпактно в D: из любой содержащейся в нём последователь-
ности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
Пример . . Найти предел lim
n→∞
te−nt
2
в пространстве S.
Решение. Вкаждойточкеt выполнено fn(t) = te−nt
2
→ 0. Поэтому
если предел последовательности существует в пространстве S ,тоон
равен нулю. Однако
p0,1(fn) = max
t∈
| fn(t)| fn(0) = 1,
т. е. последовательность { fn} не имеет предела в пространстве S .
.. Найти предел (или доказать расходимость) последователь-
ностей в пространстве E :
а) fn(t) =
nt
n2 + t2 ;б)fn(t) =
n3t
2
(1+ n2t2)2 ;в)fn(t) = e
−nt
2
;
г) fn(t) =
n
k=0
tk
k! ;д
)fn(t) =
1
t+n+i/n
;е
)fn(t) =
sin(nt + n2)
t+n
.
.◦
. Пусть φ0 ∈ D — ненулевая функция. Найти предел (или до-
казать расходимость) последовательностей в пространстве D:
а) fn(t) =
1
n
φ0(t/n); б) fn(t) =
1
n2 φ0(nt); в) fn(t) =
1
n
φ0(n+ t).
.. Привести пример последовательности финитных функ-
ций, которая сходится в E ,нонесходитсявS .
.. Привести пример последовательности финитных функ-
ций, которая сходится в S ,нонесходитсявD.
. . Доказать, что пространства E и S метризуемы (и, более то-
го, являются пространствами Фреше), а пространство D не метри-
зуемо.
.. Доказать, что естественные вложения D ⊂ S ⊂ E непре-
рывны.
.. Показать, что: а) D плотно в E ;б)D плотно в S .
.. Доказать, что D плотно в каждом из пространств
а)Lp( ),1 p<∞; б)Cn[a,b],n=0,1,...
.. Доказать, что множество всех многочленов плотно в E .
.. Доказать, что для любой функции φ ∈ D илюбойдругой
функции ψ ∈ D, не равной нулю ни в одной точке из supp φ ,найдёт-
ся такая последовательность многочленов pn ,чтоψ pn → φ в D.
.. Доказать, что пространство D сепарабельно.
.. Доказать, что оператор дифференцирования непрерывен
в каждом из пространств D, S , E .
Глава . Пространства пробных (основных) функций
.. Пусть α: →
—
бесконечно гладкая функция. При ка-
ких условиях на функцию α оператор φ → αφ непрерывен
а) в пространстве E ,б
)
в
п
р
о
с
т
р
а
н
с
т
в
е
D,
в)* в пространстве S ,г
)изE в S,
д)изEвD,е
)
и
з
SвD?
.. Доказать непрерывность оператора интегрирования
(Aφ)(t) =
t
−∞
φ(s) ds,
действующего в пространстве D и определённого на подпростран-
ствеD0={φ∈D: φ(t)dt=0}.
.. Пусть α : →
—
монотонно возрастающая бесконечно
дифференцируемая функция.
а) Доказать непрерывность оператора замены переменной
(Aφ)(t) = φ(α(t)),
действующего в пространстве E .
б) Доказать, что если α(±∞) = ±∞, то этот оператор непрерывен
в пространстве D.
в)* Доказать, что если существует такое p > 0, что |α(t)| > |t| p
при |t|→∞идлялюбогоk ∈ найдётся такое sk ,что|α(k)(t)| < |t|s k
при |t|→∞, то этот оператор непрерывен в пространстве S .
.. Пусть α: →
—
финитная суммируемая по Лебегу функ-
ция. Доказать непрерывность оператора свёртки
(Aφ)(t) = φ(s)α(t − s) ds
в пространствах D и E . Доказать непрерывность этого оператора в
пространстве S вслучае,когдаα — измеримая быстро убывающая
(т. е . sup{(1 + |t|)n|α(t)|} < ∞ для любого n = 0, 1, ...) функция.
.. Пусть ω−1,1
— функция из задачи . («шапочка»), c =
=
ω−1,1 (t) dt,а f ∈ C( )иsuppf ⊂ [−N , N ]. Доказать, что свёртка
φ (t) = (c )−1 f (s)ω((t − s)/ ) ds лежит в пространстве D,причём
suppφ ⊂[−N
−
,N +].Доказать,чтоφ →fпри →0впро-
странстве C( ). Верно ли, что φ → f в пространстве D (в случае
f∈D)?
Глава
Обобщенные функции
§ .. Основные понятия
Пространства D , S и E , сопряженные к введённым в преды-
дущей главе полинормированным пространствам D, S и E ,на
-
зываются, соответственно, пространством обобщённых функций,
пространством обобщённых функций умеренного роста и простран-
ством обобщённых функций с компактным носителем.Частовме-
сто термина «обобщённая функция» используют термин распреде-
ление.
Из непрерывных и плотных вложений D ⊂ S ⊂ E следуют непре-
рывныевложенияE ⊂S ⊂D .
Таким образом, обобщённая функция F — это линейный непре-
рывный функционал на пространстве D, то есть линейный функ-
ционал F : φ →〈F, φ〉 со следующим свойством: для любого нату-
рального N существуют такие C > 0иn ∈ {0,1,2,...}, что для любой
функции φ ∈ D сsuppφ ⊂ [−N , N] имеет место оценка
|〈F,φ〉| C·pN,n(φ)
(см. задачу. и определение .).
Среди обобщённых функций выделяются регулярные обобщён-
ные функции Ff , порождаемые обычными функциями f . Именно,
если измеримая функция f : → локально интегрируема на дей-
ствительной оси (то есть интегрируема по Лебегу на каждом конеч-
ном интервале, обозначение f ∈ L1,loc ( )), то она порождает обоб-
щённую функцию Ff , действующую по правилу
〈Ff,φ〉= f(t)φ(t)dt.(
.
)
В случае комплексного пространства D функция f может быть ком-
плекснозначной, и под интегралом иногда пишут f (t).
Часто локально интегрируемую функцию f не отличают от зада-
ваемой ею обобщённой функции и пишут 〈 f , φ〉 вместо 〈F f , φ〉.Вот
Глава . Обобщенные функции
примеры регулярных обобщённых функций:
〈1, φ〉 := φ(x) dx;
〈θ,φ〉:=
∞
0
φ(x) dx (тета-функция Хевисайда);
〈x
λ
+,φ〉:=
∞
0
e
λln xφ(x)dx (Reλ>−1);
〈x
λ
−
,φ〉:=
0
−∞
e
λ ln |x|φ(x) dx (Reλ>−1);
〈ln x+, φ〉 :=
∞
0
lnx ·φ(x)dx;
ln(x + i0):= lim
→+0
ln(x+i )=ln|x|+iπθ(−x).
Обобщенные функции, действие которых не может быть пред-
ставлено в виде (.), называются сингулярными. Примерами син-
гулярных функций являются
〈δa,φ〉:=φ(a), a∈
(дельта-функция Дирака);
P1
x
,φ :=v.p.
φ(x)
x
dx;
1
x±i0
,φ :=lim
→0+
φ(x)
x±i dx;
P1
|x|
,φ :=
|x|>1
φ(x)
|x| dx+
|x|<1
φ(x) − φ(0)
|x|
dx.
Говорят, что обобщённая функция F равна нулю на открытом
множестве U ⊂ , если для любой функции φ ∈ D сsuppφ ⊂ U име-
ет место равенство 〈F, φ〉 = 0. Точка a ∈ называется существен-
ной для обобщённой функции F ,еслиF не равна нулю ни в какой
окрестности этой точки. Совокупность всех существенных для F
точек называется носителем обобщённой функции F .
Говорят, что обобщённая функция F является гладкой на откры-
том множестве U ⊂ , если для любой функции φ ∈ D сsuppφ ⊂ U
имеет место равенство 〈F, φ〉 = 〈Ff , φ〉 с некоторой функцией f ∈
∈ C ∞(U ). Точка a ∈ называется точкой сингулярности для обоб-
§ .. Основные понятия
щённой функции F,еслиF не является гладкой ни в какой окрест-
ности этой точки. Совокупность всех точек сингулярности для F на-
зывается сингулярным носителем обобщённой функции F .
Сингулярный носитель обобщённой функции — подмножество
её носителя; оба этих множества замкнуты.
В пространствах обобщённых функций обычно вводится ∗-сла-
бая топология. Эта топология может быть задана системой полу-
норм {pφ }, pφ (F):= |〈F , φ〉|,гдеφ — произвольная функция из соот-
ветствующего пространства пробных функций (D, S или E ). После-
довательность обобщённых функций Fn сходится в этой топологии
к обобщённой функции F ,если〈Fn , φ〉→〈F , φ〉 для любой пробной
функции φ.
Задачи
.. На подпространстве {φ ∈ D : φ(0) = 0} определён линейный
функционал φ →
φ(t)
t
dt. Доказать, что этот функционал непреры-
вен, и найти все его непрерывные продолжения на всё простран-
ство D.
.. На подпространстве {φ ∈ D : φ(x) ≡ 0при|x| < }(чис-
ло = (φ)—своё для каждой функции φ) определён линейный
функциона л φ → exp(1/t2)φ(t) dt. Доказать, что этот функционал
нельзя продолжить до непрерывного функционала на всём про-
странстве D.
.. Привести примеры обобщённых функций, принадлежащих
а)D\S;б)S\E.
.. Доказать, что функционалы δa , P
1
x
и
1
x±i0
лежат в про-
странстве D .
.. Доказать, что обобщённые функции δa , P
1
x
и
1
x±i0
сингу-
лярны.
.. Доказать формулы Сохоцкого:
1
x±i0
=P
1
x
∓ iπδ(x).
.. Определим обобщённую функцию ( x + i0)λ ,Reλ>−1, как
предел регулярных обобщённых функций
(x+i )λ
=e
λ(ln|x+i |+iarg(x+i ))
(где arg z ∈ [0, 2π)) при → +0. Доказать, что
(x + i0)λ
=x
λ
++e
iπλ
x
λ
−
.
Глава . Обобщенные функции
.. Пусть Re λ −1, λ = −1, −2, ..., а n есть целая часть числа
− Re λ.Длякаждойфункцииφ ∈ D положим
〈xλ
+, φ〉:=
1
0
xλ φ(x)−φ(0)−xφ (0)− ... −
x n−1
(n − 1)!φ(n−1)(0) dx+
+
∞
1
xλφ(x) dx+
n
k=1
φ(k−1)(0)
(k−1)!(λ+k),
〈x
λ
−
, φ〉:=
1
0
x
λ φ(−x)−φ(0)+xφ (0)− ... −
(− x )n−1
(n −1)! φ(n−1)(0) dx+
+
∞
1
x
λφ(−x)dx+
n
k=1
(−1)k−1
φ(k−1)(0)
(k−1)!(λ+k) .
Доказать, что эти формулы задают обобщённые функции на D.До-
казать, что в каждой полосе −n
−
1 < Re λ<−n эти функционалы
могут быть заданы формулами
〈x
λ
+,φ〉:=
∞
0
x
λ φ(x)−φ(0)−xφ(0)− ... −
x n−1
(n − 1)! φ(n−1) (0) dx,
〈x
λ
−
,φ〉:=
∞
0
x
λ φ(−x)−φ(0)+xφ(0)− ... −
(−x )n−1
(n − 1)! φ(n−1)(0) dx.
Определение . . Для λ ∈ \ {−1, −2, ...} положим
|x|λ := x
λ
++xλ
−
,
|x|λsignx:=x
λ
+−x
λ
−
,
(x + i0)λ
:=x
λ
++e
iπλ
x
λ
−
и(
x−i0)λ
:=x
λ
++e
− iπλ
x
λ
−
.
. . Доказать, что при фиксированной φ функция g(λ):= 〈 x λ
+, φ〉
голоморфна в области \ {−1, −2, ...} и, вообще говоря, имеет по-
люсы первого порядка в точках −1, −2, ... Найти вычеты в этих
точках.
. . Доказать, что при фиксированном φ функция g(λ):=
:= 〈|x|λ, φ〉 голоморфна в области \ {−1, −3, −5, ...} и, вообще
говоря, имеет полюсы первого порядка в точках −1, −3, −5, ... Най-
ти вычеты в этих точках.
Таким образом, нельзя определить функционалы x − n
+иx
−n
−
при
помощи предельного перехода по λ →−n при n ∈ . Определённый
нами ранее функционал P
1
|x|
также не является пределом функцио-
налов |x|λ при λ →−1.
.. Доказать, что при фиксированном φ функции g+(λ):=
:= 〈(x + i0)λ, φ〉 и g−(λ):= 〈(x − i0)λ, φ〉 голоморфны в .
§ .. Основные понятия
.. Доказать, что если две локально суммируемые функции
f , g ∈ L1,loc( ) определяют однуи туже регулярную обобщённую
функцию (〈Ff,φ〉 =〈Fg, φ〉 для любой φ ∈ D), то f(x) = g(x)почти
всюдуна .
.*. Пусть F ∈ D и 〈F , φ〉 0 для любой неотрицательной
функции φ ∈ D. Доказать, что найдется такая неубывающая функ-
ция μ,что〈F , φ〉 = φ(t) dμ, где интеграл понимается в смысле
Римана—Стилтьеса.
.. Доказать, что всякая обобщённая функция регулярна на
дополнении к своемусингулярномуносителю.
.
◦
. Найти носитель и сингулярный носитель следующих обоб-
щённых функций: а) θ(x); б) δa;в)P 1
x
.
.. Доказать, что обобщённая функция F принадлежит E то-
гда и только тогда, когда носитель F лежит на некотором отрезке (то
есть компактен).
.. Доказать, что если функция f имеет вид f (x)=g(x)(1+|x|
n
),
где g ∈ L1( )иn ∈ ∪ {0}, то f порождает обобщенную функцию
Ff∈S.
.. Пусть W
−1
2 [−π, π] — пополнение пространства L2[−π, π]
по норме
f W−1
2 [−π,π] = sup
φW1
2
=1
π
−π
fφdx .
Показать, что δ0 ∈ W −1
2 [−π,π], и найти δ0 W−1
2 [−π,π] (ср. с зада-
чей . а)).
Определение . . Последовательность Fn ∈ D называется δ-об-
разной,еслиFn → δ0 в D .
.. Доказать, что если последовательность функций { fn}
∞
n=1 ⊂
⊂ L1,loc( ) для любого отрезка [a, b] удовлетворяет условиям ()
и(),то fn — δ -образная последовательность:
() для любых a1, b1,[a1, b1] ⊂ [a, b], имеет место неравенство
b1
a1
fndx <C,
где конс танта C не зависит от a1, b1 и n,азависиттолькоот[a, b];
()
b
a
fndx→
1, если0∈(a,b),
0, если 0/∈[a,b].
Глава . Обобщенные функции
.. Пусть f ∈ L1( ) — неотрицательная функция и fdx= 1.
Доказать, что fn( x ) = nf (nx)являетсяδ-образной последовательно-
стьювD.
.. Найти предел в D следующих последовательностей:
а)
◦1
πx2+2при →+0;б)1
e
−x
2/
при → +0;
в)◦ 1
e−|x|/ при → +0; г)
1
π
sin nx
x
приn→+∞.
Пример . . Найти предел в D последовательности
Fn=e
inx
(x + i0)−1
.
Решение. Из формул Сохоцкого (см. задачу .) следует ра-
венство Fn = P
einx
x
−
iπδ(x). Докажем, что P
ein x
x
→ iπδ(x). Пусть
φ(x ) ∈ D — произвольная ненулевая функция с носителем supp φ ⊂
⊂ [− A, A]. Обозначим через φδ( x )функциюиззадачи.
. Для
функции (φ(x) − φ(0)) · φδ(x) найдётся функция ψ ∈ D,длякото-
рой x · ψ(x) = (φ(x) − φ(0)) · φδ(x)длявсехx ∈ [−A, A](см.зада-
чу.). Тогда x · ψ(x) = φ(x) − φ(0) для всех x ∈ [−1, 1], а значит,
Peinx
x
,φ(x) =v.p.
A
−A
einx
x
φ(x) dx =
1
−1
ein x
(φ(x) − φ(0))
x
dx+
+v.p.
1
−1
einx
x
φ(0) dx+
1<|x|<A
einx
x
φ(x) dx =
1
−1
e
inx
ψ(x)dx+
+ iφ(0)
n
−n
sin t
t
dt+
1<|x|<A
einx φ(x)
x
dx.
Первый и третий интегралы стремятся к нулю при n → ∞(длядока-
зательства достаточно провести интегрирование по частям). Таким
образом, Fn → 0впространствеD .
. . Найти предел F = lim
n→∞
Fn в D следующих последовательно-
стей:
а) Fn = n(δ1/n − δ0);
б) 〈Fn, φ〉 = φ(n)(n);
в)〈Fn,φ〉=
n
k=0
φ(k)(k);
г)〈Fn,φ〉=v.p.
φ(x)cosnx
x
dx;
д)〈Fn,φ〉=v.p.
φ(x)n cos nx
x
dx;
е)〈Fn,φ〉=
φ(x)n sin nx
x
dx;
§ . . Операции над обобщёнными функциями
ж)〈Fn,φ〉=v.p.
φ(x)sinnx
x2
dx;
з)〈Fn,φ〉=
φ(x)(1 − cos nx)
x2
dx.
.. Верно ли, что любая последовательность непрерывных
функций fn , сходящаяся поточечно на к нулю, сходится к нулю и
вD?
.. Доказать, что регулярные обобщённые функции плотны
вD.
.. Доказать, что регулярные обобщённые функции, порож-
денные финитными бесконечно дифференцируемыми функциями,
плотнывD(тоестьDплотновD).
.. Доказать, что для любой обобщённой функции F ∈ D
найдётся последовательность регулярных функций, порожденных
функциями из D, которая сходится к F в D .1)
§ .. Операции над обобщёнными функциями
В этом параграфе рассматриваются три основные операции над
обобщёнными функциями — умножение на гладкую функцию, диф-
ференцирование и замена переменной (о других операциях см. гла-
выи).
Умножение на гладкую функцию. Для любой обобщённой
функции F ∈ D илюбойфункции f ∈ E определяется обобщённая
функция f · F:
〈f·F,φ〉:=〈F,fφ〉, φ∈D.
Умножение на гладкую функцию — линейный непрерывный опера-
торвD.
Дифференцирование. Для любой обобщённой функции F ∈ D
определяется её обобщённая производная F :
〈F,φ〉:= −〈F,φ〉, φ∈D.
Всякая обобщённая функция имеет производные всех порядков.
Оператор дифференцирования линеен и непрерывен в D .Если
F f — регулярная обобщённая функция, порожденная дифференци-
руемойфункцией f,иf ∈L1,loc( ), то (Ff) =Ff .
Пример .. Вычислим производную тета-функции Хевисайда:
〈θ ,φ〉= −〈θ,φ〉= −
∞
0
φ (x)dx=φ(0),
откуда θ = δ0.
1) Это утверждение не эквивалентно утверждению предыдущей задачи!
Глава . Обобщенные функции
В этом примере производная регулярной функции равна сингу-
лярной функции.
Теорема . . Для любой обобщённой функции F ∈ E (обобщён-
ной функции с компактным носителем) существуют такие f ∈
∈ L1,loc( ) иn∈ +,чтоF= F(n)
f.
Для произвольной функции F ∈ D наименьшее возможное n в
представлении F = F (n)
f ,гдеFf — регулярная функция, называется
порядком сингулярности функции F .
Замена переменных. Пусть имеется бесконечно гладкий гомео-
морфизм γ : → и обобщённая функция f ∈ D . Тогда композици-
ей f ◦ γ называется обобщённая функция, действующая так:
〈f◦γ,φ〉:=〈f ,φ(γ−1
(x ))(γ−1
) (x)〉.
Задачи
..Пустьφ∈D,F∈D .Доказать,чтоеслиφ·F =0,то〈F,φ〉=
= 0. Верно ли обратное утверждение?
.. Доказать, что всякая обобщённая функция является пре-
делом обобщённых функций с компактным носителем (иными сло-
вами, E секвенциальноплотновD ).
.. Доказать, что x
m
xλ
+=x
m+λ
+ ,λ=−1,−2,...,m∈ .
. . Доказать, что x
2m
|x|λ=|x|
2m+λ
,аx
2m+1
|x|λ =|x|
2m+1+λ
sign x,
λ=−1,−2,...,m∈ .
.. Решить в D уравнения:
а)x·F=0; б)sinx·F=0; в)x·F=cosx;г)x·F =P
1
x
.
.. Доказать, что если функция f абсолютно непрерывна
на ,то(Ff) = Ff . Доказать правило Лейбница: если f ∈ E,аF ∈ D ,
то(fF)=fF+fF.
. . Пусть { xk }k∈K — последовательность действительных чи-
сел, занумерованная в порядке возрастания, K = {1, ..., n}, либо
K = , причём последовательность {xk }∞
k=1 не имеет конечных точек
накопления. Пусть функция f абсолютно непрерывна на каждом
промежутке ( xk , xk+1) и имеет в точках xk разрывы первого рода,
hk := f(xk +0)−f(xk −0).Доказать, что fобобщ.
=f
классич.
+
k∈K
hkδxk
.
.. Вычислить производную следующих обобщённых функций:
а) xλ
+ при −1<Reλ<0;
б)P1
|x|
;
в) ln x+;г
)
l
n
|x|;
д)P1
x
;е
)
l
n
(
x+i0);
ж) xλ
+приReλ −1,λ=−1,−2,...; з)(x+i0)λ,λ∈ ;
и) xδ0.
§ . . Операции над обобщёнными функциями
.. Вычислить вторую производную следующих обобщённых
функций:
а) |x|;б
)
|sin x|;в
)
xλ
+ при−1<Reλ<0; г)lnx+;
д) ln | x|;е)ln(
x+i0); ж)P1
x
.
.. Вычислить n-ю производную x λ
+ при −1 < Re λ<0(опре-
деление x λ
+ см. в задаче .).
.. Доказать, что носитель производной любой обобщённой
функции F является подмножеством носителя F .
.
◦
. Найти порядок сингулярности обобщённых функций:
a) δ0;б)δ(n)
0 ;в)
1
x±i0;г)P1
x
.
.◦
. Найти носитель и порядок сингулярности обобщённых
функций:
а)〈f,φ〉=
2
−2
|x|φ(x)dx,б)〈f,φ〉=
2
−2
sign(x)φ (x) dx.
.*. Доказать теорему. .
.. Доказать, что любая обобщённая функция F ∈ D предста-
вима в виде не более чем счётной суммы F
(nk )
fk
,гдевсеfk ∈ L1,loc( )
и каждый отрезок на прямой пересекается с конечным числом но-
сителей функций fk .
.. Привести пример функции F ∈ D сбесконечнымпоряд-
ком сингулярности.
.. Доказать, что улюбой обобщённой функции G есть перво-
образная, то есть такая обобщённая функция F ,что F = G . Рассмот-
реть случаи:
а)F,G∈D;б)F,G∈S;в)F,G∈E .
Доказать, что если F1 и F2 — две первообразные функции G,тораз-
ность F1 − F2 равна обобщённой функции, порождённой некоторой
константой.
Пример .. Проверить, что обобщённая функция F(x ) = |sin x|
является решением уравнения (F (x) + F(x)) · sin x = 0. Найти все
π-периодические решения этого уравнения в пространстве D .
1)
Решение. Всилузадачи.б)|sin x| = 2
n∈
δ(x − πn) −|sin x|.
Тогда F (x)+F(x)=2
n∈
δ(x − πn), а значит, для произвольной ос-
новной функции φ ∈ D выполнено
〈(F (x)+F(x)) sin x, φ(x)〉=〈F +F,sinxφ(x)〉=
n∈
sin(πn)φ(πn) =0.
1) Обобщённая функция F называется T -периодической, ес ли она не меняетс я при
замене переменной γ: x → x +T.
Глава . Обобщенные функции
Теперь найдём общее решение уравнения (F (x) + F(x)) · sin x = 0.
Заметим, что для произвольной функции φ ∈ D сносителемsuppφ ⊂
⊂ (πn, πn + π)существуетфункцияψ ∈ D со свойством sin x ψ(x ) =
= φ(x). Таким образом, равенство 〈F + F, φ(x)〉 = 0 выполнено
для всякой φ ∈ D, а значит, в носитель функции F + F могут вхо-
дить лишь точки вида πn,гдеn ∈ . Тогда (см. задачу.) F (x) =
= Ansinx+Bncosx для всех x ∈(πn,πn + π). Согласно результа-
тузадачи ., F + F =
n∈
Kn
k=0
ck,nδ(k)(x − πn). Легко видеть, что
произведение sin x ·
K
k=0
ck δ(k)(x − πn) равно нулю только в слу-
чае c1 = c2 = ... = cK = 0 (докажите это самостоятельно), а зна-
чит,F+F=
n∈
cn δ(x − πn). В этой сумме отсутствуют произ-
водные δ-функций, а значит, функция F(x ) непрерывна, откуда
Bn = B для всех n ∈ . Наконец, условие π-периодичности влечёт
равенство F (π/2 + πn) = F (π/2 + πm), откуда окончательно F(x ) =
= A|sinx|+Bcosx.
. . Решить в D дифференциальные уравнения:
а) F(n)
=0;
б)* xF =λF,гдеλ∈ ;в)F +F=δ0;
г)F +F=δ0;д
)xF =1;
е)F −F=δ0.
.. Доказать, что обобщённая функция F инвариантна отно-
сительно сдвигов (〈F,φ(x)〉=〈F,φ(x + a)〉для любыхφ ∈D и a ∈ )
тогда и только тогда, когда она совпадает с регулярной функцией,
порожденной некоторой константой.
.. Доказать, что любая обобщённая функция, удовлетворяю-
щая уравнению
y(n)+an−1y(n−1)+...+a1y +a0y=0
с постоянными коэффициентами ak ∈ , является регулярной обоб-
щённой функцией, порожденной некоторым обычным решением
этого уравнения.
.. Доказать, что обобщённая функция F имеет одноточечный
носитель {a}: supp F = {a} тогда и только тогда, когда F представима
в виде конечной линейной комбинации функции δa иеёпроизвод-
ных.
Указание. Воспользоваться теоремой ..
.. Доказать равенство
∞
n=1
cosnx= −
1
2+π
k∈
δ2πk
(суммы рядов в обеих частях берутся в D ).
§ . . Операции над обобщёнными функциями
Указание. Доказать, что обе части равны обобщённой функции
∞
n=1
sin nx
n
.
.. Доказать равенство
∞
n=1
sinnx=
1
2
ctg
x
2
(ряд сходится в D ;
ctg
x
2,φ :=v.p. ctg
x
2 φ(x) dx).
.. Доказать, что ряд
∞
n=1
an cos nx сходится в D тогда и только
тогда, когда найдутся такие C > 0иk ∈ ,что|an| < Cnk
,n=1,2,...
.
◦
. Вычислить композицию δ(ax + b), где a = 0иb — некото -
рыедействительныечисла.
.. Пусть Fg — регулярная обобщённая функция, порожден-
ная локально интегрируемой функцией g. Доказать, что для любого
диффеоморфизма γ : → справедливо равенство Fg ◦ γ = Fg◦γ ,где
g ◦ γ — обычная композиция функций g и γ.
Глава
Преобразование Фурье
§ . . Преобразование Фурье обычных функций
Определим для любой функции f ∈ L1( ) следующие преобразо-
вания:
(ˆFf)(y)=
ˆ
f(y):=
1
2π
+∞
−∞
f (x)e−ixy dx,
(ˆF
−1
f)(y)=
ˇ
f(y):=
1
2π
+∞
−∞
f (x)eixy dx,
которые называют (прямым) преобразованием Фурье и обратным
преобразованием Фурье соответственно. Иногда множитель 1/ 2π
в определении ˆF не ставят, и тогда в определении ˆF
−1
возникает
множитель 1/(2π).
Преобразование Фурье обладает следующими свойствами:
() ˆF является непрерывным оператором из L1( )вC0( ), при
этом ˆF =
1
2π
;
() ˆF является изоморфизмом пространства S на себя, причём
ˆ
F−1
ˆ
F=I;
() если f (x), xf(x) ∈ L1( ), то функция ˆf дифференцируема и
(ˆf) = −ixf;
()еслиf(x),f(x)∈L1( ),то
ˆ
f =iy
ˆ
f ,такчто
ˆ
f(y)= o(1/y)при
|y|→∞;
()f(x−a)=e
− iay ˆf;
() если функция f ∈ L1( ) удовлетворяет в точке x0 условию Ди-
ни
1
−1
f(x0 +t)−f(x0)
t
dt<∞,
то
f(x0) = lim
N→∞
1
2π
N
−N
ˆ
f(y)eix0y dy.
§ .. Преобразование Фурье обычных функций
В пространстве S удобно ввести операторы Mf = xf и Df = if .То-
гдасвойства()и()впространствеS можно записать в следую-
щем виде:
ˆ
FM=DˆF; ˆFD=−M
ˆ
F;
ˆ
F−1
M=−D
ˆ
F−1
;ˆF
−1
D=MˆF
−1
.
Задачи
.
◦
. Пусть функция f ∈ L1( ). Доказать, что:
а) f чётна тогда и только тогда, когда ˆf чётна;
б) f нечётна тогда и только тогда, когда ˆf нечётна;
в) если f вещественна, то
ˆ
f(y)=
ˆ
f(−y);
г) если if вещественна, то
ˆ
f(y)= −
ˆ
f(−y);
д) если f(x)= f(−x), то
ˆ
f вещественна;
е) если f(x) = − f(−x), то i ˆf вещественна.
.
◦
. Найти преобразование Фурье характеристической функ-
ции χ[a,b]( x)отрезка[a, b].
.
◦
. Доказать свойство () преобразования Фурье.
.
◦
. Привести пример функции f ∈L1( ), для которой ˆf /∈ L1( ).
..Доказать,чтоесли f ∈L1( )иˆf ≡0,то f =0.
.. Привести пример последовательности функций { fn}
∞
1⊂L1( )
сосвойствами fn L1( )=1,n=1,2,..., и
ˆ
fn C0( )→0приn→∞.
Из утверждений последних двух задач и теоремы Банаха об об-
ратном операторе следует, что образ оператора ˆF : L1( ) → C0( )не
совпадает со всем пространством C0( ).
.*. Привести пример функции g ∈ C0( ), которая не является
преобразованием Фурье никакой функции из L1( ).
.. Доказать свойство () преобразования Фурье. Доказать, что
если f(x), xf(x), ..., x
n
f(x)∈L1( ),то
ˆ
f∈Cn( )иˆFM
n
=D
nˆ
F.
. . Доказать свойство () преобразования Фурье. Доказать, что
если f ∈L1( )∩Cn( )иf(j)∈L1( ),j =1,2, ..., n,то
ˆ
f(y)=o
1
|y|k
при | y|→∞и ˆFD
n
= (−1)nM
nˆ
F.
.
◦
. Доказать свойство () преобразования Фурье.
.*. Доказать свойство () преобразования Фурье.
.*. Доказать свойство () преобразования Фурье.
.. Пусть существует такое положительное число a,чтоe
a|x|
·f∈
∈ L1( ). Доказать, что
ˆ
f ( y ) продолжается до функции ̃f (z), аналити-
ческой в полосе|Imz|<a.
.. Пусть функция φ ∈ D имеет носитель supp φ ⊂ [−a, a]. До-
казать, что её преобразование Фурье ˆφ продолжается до целой
Глава . Преобразование Фурье
(аналитической во всей комплексной плоскости) функции ком-
плексного переменного z = s + it, удовлетворяющей при каждом
n = 0, 1, 2, ... неравенству |z|n| ˆφ(z)| C(φ, n)ea|t|
.
Верно и обратное утверждение.
.. Пусть целая функция ψ комплексного переменного z =
= s + it удовлетворяет при каждом n = 0, 1, 2, ... неравенству
|z|
n
|ψ(z)| C(n)e
a|t|
.
Тогда существует такая функция φ ∈ D,чтоsuppφ ⊂ [−a, a]и ˆ
φ=ψ.
Определение .. Определим пространство Z всех целых функ-
ций ψ комплексного переменного z = s + it,удовлетворяющихпри
каждом n = 0, 1, 2, ... неравенству |z|n|ψ(z)| C(ψ, n)ea|t| (a = a(ψ) >
> 0).
Последние две задачи показывают, что ˆF есть изоморфизм меж-
дуDиZ.
Определение . . Последовательность {ψn}
∞
n=1
стремится к ну-
лю в Z ,еслистремитсякнулювD последовательность функций
{φn}
∞
n=1
,длякоторых ˆ
φn=ψn,n=1,2,...
.. Доказать, что ψk → 0вZ тогда и только тогда, когда вы-
полнены два свойства:
() |z|
n
|ψk (z)| C(n)e
a|Imz|
с постоянными C(n)иa > 0, не зави-
сящими от k;
() ψn ⇒ 0налюбоминтервале[α, β ] ∈ .
.. Пусть у функции f равнынулювсестепенныемоменты:
x
n
f(x)dx=0, n =0,1,2, ...
Следует ли отсюда, что f ≡0, если: а) f ∈D;б)f ∈S?
.. Доказать, что для всякого множества A ⊂ положитель-
ной меры найдется такая функция f ∈ L1( )сносителемна A,что
функция ˆf не имеет нулей на действительной оси.
.. Существует ли функция f с носителем на отрезке
а) [0, 1]; б) [1, 2],
для которой Re ˆf(y)> 0длявсехy ∈ ?
. . Доказать, что для любых функций f , g ∈ S справедливо ра-
венство Парсеваля:(ˆf ,ˆ
g)L2( ) =(f,g)L2( ).
На основании свойства () и задачи . несложно доказыва-
ется
Те ор е м а . (М. Планшерель, ). Существует единственный
унитарный оператор U: L2( )→ L2( ),совпадающийнаL1( )∩ L2( )
с классическим преобразованием Фурье.
§ .. Преобразование Фурье обычных функций
Этот оператор U называют преобразованием Фурье в L2( )и,как
правило, обозначают тем же символом ˆF . Его действие на каждой
функции f ∈ L2( ) можно определить следующим образом:
(ˆFf)(y)=
ˆ
f(y):= lim
N→∞
1
2π
N
−N
f (x)e−ixy dx,
где предел понимается в смысле пространства L2( ). В L2( )также
справедлива формула обращения: ˆF
−1
ˆ
F=I.
.. Найти преобразование Фурье следующих функций (пара-
метр a всюдупредполагается положительным):
а) χ[−a,a](x); б) e−a|x|;в
)1
x2+a2;
г)e
−ax
2
;д
)
x
x2+a2;е
)1
x+α
,α∈\;
ж)
sin ax
x
;з
)
1−cosax
x2
;и
)1
chx
.
.. Для функций φ ∈ D доказать формулу суммирования Пуас-
сона (ср. с задачей .):
2π
+∞
k=−∞
φ(2πk) =
+∞
k=−∞
ˆ
φ(k).
. . Доказать, что в пространствах S и L2( )справедливытож-
дества: а) (ˆF2φ)(x)=φ(−x);б) ˆF4 = I.
.. Доказать, что функции Чебышёва—Эрмита Hn( x )e
−x
2/2
,
получаемые из функций x
n
e
−x
2
/2
, n = 0, 1, 2..., процессом ортого-
нализации в L2( ), являются собственными функциями оператора
преобразования Фурье в L2( ), и найти соответствующие собствен-
ные значения.
.
◦
. Найти спектр оператора преобразования Фурье в L2( ).
.. Пусть функция f ∈ L2( ) почти всюдуотлична от нуля и
существует такое положительное число a,чтоe
a|x|
· f∈L2( ).Дока-
зать, что система функций {x n f }∞
n=0
полна в L2( ).
.. Доказать, что функции Чебышёва—Эрмита образуют пол-
ную ортонормированную систему в L2( ) (ср. с задачей .).
.. Доказать утверждение задачи . с использованием пре-
образования Фурье.
Пространство Соболева n
Wp( )(1 p<∞, n∈ )определяется
как пополнение пространства бесконечно дифференцируемых фи-
нитных функций, определенных на ,понорме
xWn
p
=
n
k=0
x
(k) p
Lp( )
1/p
.
Глава . Преобразование Фурье
.. Доказать, что пространство Соболева W
n
2 ( )изометриче-
ски изоморфно пространству{ f ∈ L2( ):|λ|n ˆf (λ) ∈ L2( )}.
.. Доказать, что всякая функция из пространства W n
2()
ограничена.
.* (Р. Пэли, Н. Винер, ). Доказать, что функция g : →
является преобразованием Фурье некоторой функции f ∈ L2( )с
supp f ⊆ [−a, a] тогда и только тогда, когда g ∈ L2( )и g является
сужением на целой функции g(z), удовлетворяющей неравенству
|g(z)| Cea|Imz| при всех z∈ .
.. Доказать, что для функций f и g из задачи . имеет ме-
сто равенство
f(x) =
1
a
π
2k∈
g
πk
a
e
(ikπx )/a
,
где ряд сходится в L2[−a, a].
. (В. А . Котельников, ). Доказать, что функция g из зада-
чи . удовлетворяет равенству
g(y)=
k∈
gπk
a
sin(ay − πk)
ay−πk
,
где ряд в правой части равенства сходится в L2( ).
1)
§ .. Преобразование Фурье обобщённых функций
Определение . . Для обобщённой функции f ∈ S преобразо-
вание Фурье вводится как непрерывный оператор ˆF : S → S ,опре-
деляемый соотношением
〈ˆFf,φ〉=〈f , ˆ
Fφ〉
(.)
для любой функции φ ∈ S .
Так определённое преобразование Фурье обладает следующими
свойствами:
()f(x−a)=e
−iay ˆf;
()(ˆf) = −ixf;
() ˆf =iy
ˆ
f.
Пример .. Найти ˆδ0.
Решение. Имеем 〈 ˆFδ0, φ〉 = 〈δ0, ˆ
Fφ〉 =
1
2π
φ(t) dt,такчто ˆFδ0
есть регулярная обобщённая функция, порождённая константой
1/ 2π.
1) В других формулировках эта теорема была получена Э. Уиттекером (),
Х. Найквис том () и К. Шенноном ().
§ . . Преобразование Фурье обобщённых функций
Для определения преобразования Фурье произвольной обобщён-
ной функции f ∈ D введём сопряженное к Z пространство: линей-
ный функционал f : Z → принадлежит Z ,если〈 f , φn〉→〈f , φ〉
для любой последовательности φn → φ в Z (см. задачу.).
Определение . . Для обобщённой функции f ∈ D преобразо-
вание Фурье вводится как непрерывный оператор ˆF : D → Z ,опре-
деляемый соотношением
〈ˆFf,g〉=〈f , ˆ
Fg〉
(.)
для любой функции g ∈ Z (напомним, что ˆFg ∈ D для любой функ-
цииg∈Z).
При таком определении преобразование Фурье для обобщённых
функций f ∈ S ⊂ D получается таким же, как в определении . .
Можно встретить и другое определение преобразования Фурье
для функций f ∈ D , в котором (.) заменяется на
〈ˆFf, ˆ
Fφ〉=〈f ,φ〉
(.)
для любой функции φ ∈ D.
Аналогично определению . вводится преобразование Фурье в
S ( n) — как оператор, сопряженный к действующему в S( n)опе-
раторуφ→ ˆ
φ:
ˆ
φ(y):=
1
(2π)n/2
n
φ(x)e
− i(x,y)dx,
где ( x , y) — скалярное произведение n-мерных векторов x и y .
Задачи
.. Доказать, что формула (.) определяет непрерывный
изоморфизм пространства S , а обратный оператор задается ра-
венством 〈 ˆF
−1f,φ〉=〈f, ˆ
F−1φ〉.
.. Доказать, что если f ∈ S — регулярная обобщённая функ-
ция, порождённая некоторой функцией g ∈ S , то преобразование
Фурье ˆFf, определённое по формуле (.), есть регулярная обоб-
щённая функция, порождённая функцией ˆg .
.◦
. Доказать свойства ()—() преобразования Фурье обоб-
щённых функций из S .
.. Доказать, что формулы (.) и (.) определяют непре-
рывные операторы из D в Z . Чем отличаются преобразования Фу-
рье, определяемые по этим формулам?
.. Доказать, что обобщённая функция f ∈ Z аналитична в
следующем смысле:
f(z+h)=
∞
k=0
f (k)(z)
hk
k!
,
z,h∈ ,
Глава . Преобразование Фурье
где ряд в правой части равенства сходится в смысле Z ,а f (z + h)—
обобщённая функция в Z , определяемая формулой
〈f(z+h),ψ(z)〉=〈f(z),ψ(z− h)〉
длялюбойψ∈Z.
.. Найти преобразование Фурье обобщённых функций в со-
ответствующих пространствах:
а)P1
x
;б
)
◦
δ(x − a);
в) δ(n)(x − a);
г)
1
x±i0;д
)
s
i
g
n
(
x);
е) θ(x);
ж) arctg x;з
)
x arctg x;и
)
v
.
p
.
cos x
x
;
к) θ(x)eax
, a>0; л)*xλ
+;м
)
*
l
n
x+;
н) cos(ax), a > 0; о) sin(ax), a > 0; п) eix2
;
р)P1
|x|
.
.. Найти все функции f ∈ S , удовлетворяющие уравнению:
а)xnf =0; б)xf =0; в)xf=signx;г)f+f=δ0;
д)f+f=δ0;е
)−f +f=iδ0.
Глава
Свёртка
§ .. Свёртка функций в L1( )
Определение .. Свёрткой двух функций f и g из L1( )назы-
вается функция
(f∗g)(x)=
∞
−∞
f(t)g(x − t)dt.
Задачи
.
◦
. Доказать, что если f , g, h ∈ L1( ), то их свёртка обладает
следующими свойствами:
а)f∗(αg+βh)=α(f∗g)+β(f∗h)длявсехα,β∈ ;
б)(f∗g)∗h=f∗(g∗h).
.. Доказать, что если f , g ∈ L1( ), то их свёртка обладает сле-
дующими свойствами:
а)f∗g∈L1( )иf∗g L1( )
fL1()·gL1();
б)f∗g=g∗f.
Утверждения задач . и . означают, что L1( )являетсяком-
мутативной банаховой алгеброй относительно операции ∗ (см. []).
.
◦
. Доказать, что supp(f ∗g)⊆supp f +suppg.
.
◦
. Вычислить свёрткухарактеристических функций χ[1,2] ( x ) ∗
∗ χ[3,4](x).
.
◦
. Вычислить свёртку f (x) ∗ χ[2,4](x), где
f(x)=
x+1,
−1x0,
1−x,0<x 1.
.. Доказать, что свёртка ωa,b ∗ χ[c,d],гдеωa,b
— «шапочка» из
задачи ., есть функция типа «шляпы» из задачи . .
Утверждения задач . и . позволяют рассматривать свёрт-
купри фиксированной функции f ∈ L1( ) как непрерывный ли-
нейный оператор Sf: L1( )→L1( ), Sfg:= f ∗g для произвольной
g∈L1( ).
..Доказать, что если f,g∈L1( ),f ∈C1( )иf ∈L1( ), то
f∗g∈C1( )и(f∗g)=f ∗g.
Глава . Свёртка
..Доказать,чтоесли f,g∈L1( ),то f∗g= 2πˆf · ˆ
g.
. . Вычислить свёртку
1
x2+a2∗
1
x2+b2, a,b>0.
.. Доказать, что если f ∈ L1( )иg ∈ L∞( ), то свёртка f ∗ g
равномерно непрерывна на .
..Доказать,чтоесли f∈L1( )∩L∞( )иg∈L1( ),то f ∗g∈
∈C0()∩L1()иf∗gC0()
fL∞()
·
gL1().
.. Доказать, что если f ∈ L2( )иg ∈ L2( ), то свёртка f ∗ g
определена и принадлежит пространству C0( ).
. . Привести пример двух таких функций f , g ∈ L1( ), что
f ∗ g разрывна.
.(Ф.Титчмарш, ).Пусть f,g∈L1( ),f ≡g≡0приt<0
и f ∗ g = 0. Доказать, что тогда одна из функций f или g равна нулю
почти всюду.
.*. Пусть функции f , g ∈ L1( ) имеют носители на отрезке
[0, 1], непрерывны на этом отрезке, и f (1) = 0. Доказать, что если
supp(f∗g)⊆[0,1], то g≡0.
§.. Оператор свёртки в L2( )
Утверждение задачи . позволяет для произвольной фикси-
рованной функции f ,такой,что
ˆ
f ∈ L∞( ), определить оператор
свёрткиSf:L2( )→L2( ),Sfg:= f ∗gдлялюбойфункцииg∈L2( ):
Sfg= 2πˆF
−1
(ˆf·ˆ
g).
.◦
. Доказать, что оператор свёртки S f в L2( )унитарноэк-
вивалентен оператору умножения на функцию 2π ˆf : ˆFSf ˆF
−1h=
=
2π ˆfhдля любой функции h ∈ L2( ).
.◦
. Найти спектр оператора свёртки с функцией e−| x| в L2( ).
.
◦
. Найти спектр оператора A : L2( ) → L2( ) следующего
вида:
(Af)(x) =
+∞
−∞
e−(x−t)2/2 f(t)dt.
Является ли этот оператор компактным?
.. Найти спектр оператора Гильберта в L2( ):
Aφ(x) =
1
π
v.p.
+∞
−∞
φ(t)
x−t
dt.
. (Н. Винер, ). Пусть f ∈ L2( ). Доказать, что система
{ f (x − a): a ∈ } сдвигов этой функции полна в L2( )тогдаитоль-
ко тогда, когда мера множества {y ∈ : ˆf(y)=0} равна нулю.
§ . . Свёртка обобщённых функций
§ . . Свёртка обобщённых функций
Определение . . Для любой основной функции φ ∈ D (или S ,
или E )еёсвёртка с обобщённой функцией F ∈ D (соответственно,
S , E ) как функция переменной x определяется следующим обра-
зом:
(F ∗ φ)(x):= 〈F(t), φ(x − t)〉.
Определение .. Свёрткой обобщённых функций F и G назы-
вается функционал, действующий на основную функцию φ по фор-
муле
〈F ∗ G,φ〉:= 〈F(x),(G(y)∗φ(−y))(−x)〉.
Свёртка обобщённых функций определена не всегда: например,
не определена свёртка функций F = G = 1 (регулярные функции, за-
даваемые тождественной единицей).
.. Доказать, что для обобщённой функции G ∈ E отображе-
ние φ → G ∗ φ определяет непрерывный оператор SG : D → D испра-
ведливо включение:
supp(G∗φ)⊂suppG+suppφ={x+y:x∈suppG,y∈suppφ}.
. . Доказать, что если регулярная обобщённая функция G = Gφ
порождена основной функцией φ, то для любой обобщённой функ-
ции F свёртка F ∗ G есть регулярная функция, порожденная свёрт-
кой F ∗ φ (которая вычисляется по определению .).
.. Доказать, что если одна из обобщённых функций F и G яв-
ляется элементом из E , а другая — элементом из D ,тосвёрткаF ∗ G
определена, является элементом пространства D исправедливосо-
отношение F∗G=G∗F.
.. Доказать, что если одна из обобщённых функций F и G яв-
ляется элементом из E , а другая — элементом из S ,тосвёрткаF ∗ G
определена, является элементом пространства S исправедливосо-
отношение F∗G=G∗F.
.. Доказать, что если одна из обобщённых функций G и H
является элементом из E , а другая — элементом из S ,то ˆF[G ∗ H ] =
=
2πˆF[G] ·
ˆ
F[H].
.*. Пусть f ∈ L2[−π, π]. Для каждого a ∈ [0, 2π]иt ∈ [−π, π]
положим
fa(t) =
f(t − a),
t−a
−π,
f(t−a+2π), t −a<π.
Доказать, что система функций { fa}a∈[0,2π] полна в L2[−π, π]тогда
и только тогда, когда cn( f ) =
1
2π
π
−π
f (t)e
− int
dt = 0длявсехn ∈ .
Глава . Свёртка
Указание. Продолжить f периодически на всю прямую до
регулярной функции F ∈ S . Неполнота системы равносильна суще-
ствованию такой ненулевой функции g ∈ L2( )сsuppg ⊂ [−π, π],
что F ∗ Fg ≡ 0, где Fg — регулярная обобщённая функция из E ,по-
рождённая функцией g.
.. Обозначим через D+ множество обобщённых функций
F со свойством supp F ⊂ [0, +∞). Доказать, что если F , G ∈ D+,то
свёрткаF∗G определенаиF∗G∈D+.
.. Доказать, что в D+ свёртка ассоциативна.
.. Привести пример обобщённых функций F, G и H ,для
которых выражения F ∗ (G ∗ H)и(F ∗ G) ∗ H определены и различ-
ны.
.. Пусть функция g ∈ L1( )и gdx= 1. Пусть Fn ∈ D —ре-
гулярные обобщённые функции, порождённые функциями ng(nx).
Доказать,что Fn∗φ→φ вDдлялюбойфункцииφ∈D(ср.сзада-
чами . и . а)).
Пример . . Найти свёртку P
1
x
∗ δ0.
Решение. Поскольку P
1
x
∈ S ,аδ0 ∈ E , то можно применить ре-
зультат задачи . . Тогда
ˆ
FP1
x
∗δ0 = 2πˆF P1
x
·
ˆ
F[δ0] = ˆ
FP1
x
(см. задачу. б)). Таким образом, P
1
x
∗δ0=P
1
x
,таккаквсилу
утверждения задачи . оператор ˆF инъективен.
.. Вычислить свёртки:
а)
◦
δ0∗φ,φ∈D;б
)
◦
δ(n)
0 ∗φ,φ∈D;
в)
◦
δ(n)
0 ∗δ(k)
0;г
)
δ(n)
0∗x
k
+(x);
д) (θ(x)eax) ∗ (θ(x)ebx); е) xk
+∗x
n
+;
ж)x
α
+∗x
β
+ ,Reα>−1, Re β>−1.
.. Показать, что для линейного непрерывного оператора
A : D → E следующие свойства эквивалентны:
() A перестановочен со сдвигами: (Aφ)(x − a) = A(φ(x − a)) для
всехa∈ ;
() A перестановочен с дифференцированием: ( Aφ) = A(φ );
() Aφ = F ∗ φ для всех φ,гдеF ∈ D — некоторая обобщённая
функция.
Введём оператор взятия n-й первообразной (n ∈ ): I (n) f :=
:=
x
0
(x − t)n−1
(n − 1)! f (t) dt. Если обобщённая функция f ∈ D+, то этот опе-
§ . . Свёртка обобщённых функций
ратор можно определить как свёртку двух функций из D+ : I (n) f =
=f∗
x n−1
+
(n−1)!
. Можно обобщить последнюю формулу и определить
оператор дробного интегрирования порядка α ∈ (0, 1): I (α) f :=
:= f ∗Ψα,гдеΨα =
x α−1
+
Γ(α)
, Γ(α) — гамма-функция Эйлера. При отри-
цательных α ∈ (−1, 0) этот оператор естественно называть операто-
ром дробного дифференцирования (при этом необходимо учитывать
определение действия x λ
+ для λ<−1
— с м . задачу.). Заметим,
что функция Ψα продолжается по параметру α до аналитической
функции во всей комплексной плоскости, за исключением целых
отрицательных значений. Это позволяет определить оператор I (α)
дляα∈ ,α=−1,−2,...
. . Вычислить первообразную порядка 1/2от
а) θ(x); б) χ[0,1](x).
.. Проверить, что I
1
2
I1
2
θ(x) = x+.
.. Доказать, что I(α)I(β)f = I(α + β)f для f ∈ D+, α,β ∈
∈−
1
2
,
1
2
.
.. Вычислить производную порядка 1/2отθ (x).
.. Доказать, что интегральное уравнение Абеля
g(x) =
1
Γ(1−α)
x
0
f(t)dt
(x−t)α
с известной дифференцируемой функцией g имеет решение f (x ) =
=
1
Γ(α)
x
0
g (t)dt
(x − t)1−α
при любом α ∈ (0, 1).
Глава
Обобщённые функции нескольких
переменных
Пусть Ω —область в n
, n 1. Пространство D(Ω) по опреде-
лению состоит из бесконечно дифференцируемых финитных функ-
ций φ(x1,..., x n), носители которых лежат в Ω. В этом пространстве,
так же как и в D, вводится система допустимых полунорм (см. гла -
ву), сходимос ть φn → φ по которой эквивалентна тому, что все
носители supp φn иsuppφ лежат на одном и том же компакте M ⊂ Ω
и для каждого мультииндекса α = (α1,...,αn)частныепроизводные
Dαφk =
∂|α| φk
∂α1 x1...∂
αn xn
(|α| = α1 + ... + αn )равномернонаM сходятся
к Dαφ.
Пространство D (Ω) обобщённых функций состоит из всех ли-
нейных непрерывных функционалов на этом полинормированном
пространстве D(Ω) пробных функций. Как и в пространстве D ,в
D (Ω) вводятся операции умножения на бесконечно дифференциру-
емую функцию и дифференцирования: 〈Dα F , φ〉 := (−1)|α|〈F, D
α
φ〉.
В D ( n) выделяются подпространства S ( n) обобщённых функ-
ций умеренного роста и E ( n) обобщённых функций с компактным
носителем, сопряженные к соответствующим пространствам проб-
ных функций.
§ .. Дополнительные операции
над обобщёнными функциями
Прямое произведение обобщённых функций F1 ∈ D (Ω1)иF2 ∈
∈ D (Ω2) — это обобщённая функция F1 × F2 ∈ D (Ω1 × Ω2), действу-
ющая следующим образом:
〈F1 × F2, φ(x, y)〉:= 〈F1(x),〈F2(y),φ(x, y)〉〉.
Прямой и обратный образы. Пусть имеется бесконечно глад-
кое отображение γ: Ω1 → Ω2 области Ω1 ⊂ n на область Ω2 ⊂ k.
Прямым образом обобщённой функции F ∈ D (Ω1) называется обоб-
§ .. Дополнительные операции над обобщёнными функциями
щённая функция Aγ F ∈ D (Ω2), действующая так:
〈AγF,φ〉 := 〈F, φ(γ(x))〉.
Обратный образ вычисляется для обобщённых функций G ∈
∈ D (Ω2). Именно, пусть {gn} — произвольная последовательность
функций, локально интегрируемых на области Ω2 итаких,чтопо-
рождаемая ими последовательность регулярных обобщённых функ-
ций сходится к G в D (Ω2). Если последовательность регулярных
обобщённых функций, порожденных функциями gn ◦ γ =: Aγ gn ,схо-
дится в D (Ω1) к некоторой обобщённой функции, не зависящей
от выбора последовательности {gn}, то эта функция называется об-
ратным образом функции G иобозначаетсяAγG.
Прямой и обратный образы не всегда определены. Если γ —диф-
феоморфизм, то операторы взятия прямого и обратного образов
γ
A : D (Ω1) → D (Ω2)иAγ : D (Ω2) → D (Ω1) определены, линейны и
непрерывны. При этом оператор взятия обратного образа является
обобщением операции замены переменной, упомянутой в § . .
Пример .. Ω1 =
2
, Ω2=
1
, γ(x, y) = x + y.Найтиобратный
образ δ-функции.
Решение. Пусть {gn}—произвольная δ-образная последователь-
ность в D = D ( 1), φ(x, y) — произвольная функция из D( 2).
Имеем
〈Aγgn, φ〉=
2
gn(x + y)φ(x, y)dxdy=
=
gn(t)φ(x,t − x)dtdx → φ(x, −x)dx=〈Aγδ,φ〉.
Задачи
.. Доказать, что действие свёртки обобщённых функций F, G ∈
∈ D может быть выражено через прямое произведение:
〈F∗G,φ〉=〈F(x)×G(y),φ(x+ y)〉.
.
◦
. Вычислить прямое произведение обобщённых функций од-
ной переменной: а) δ(k)
0 ×δ(n)
0 ;б)θ×θ.
.. Образуют ли прямые произведения обобщённых функций
из D всюдуплотное множество в D ( 2)? А линейные комбинации
этих произведений?
.
◦
. Найти прямой образ функции δ(k)
0 ×δ(n)
0 при отображении
γ: 2→ ,γ(x,y)=x+y.
.
◦
. Найти обратный образ δ-функции при отображении γ: 2 →
→ ,γ(x,y)=x.
Глава . Обобщённые функции нескольких переменных
.
◦
. Найти обратный образ δ-функции при отображении γ:
2
→
→
2,γ(x,y)=(x+ey,y −1).
.. Найти прямой и обратный образы δ-функции при линей-
ном отображении γ : 2 → 2
, γ(x) = Bx + v,гдематрицаB невы-
рождена.
.*. Доказать, что обратный образ δ-функции при отображе-
нии γ:
2
→ , γ(x , y) = xy,несуществуеткакэлементD ( 2), одна-
ко может быть определен на подпространстве {φ ∈ D( 2): φ(0, 0) =
= 0} следующим образом:
〈Aγδ,φ〉 =
∞
−∞
φ(x,0)
|x| dx+
∞
−∞
φ(0, y)
|y| dy.
Иногда это действие коротко записывают формулой Дирака
δ(xy) = δ(x)/|y| + δ(y)/|x|.
§ . . Фундаментальные решения
ПустьL=P
∂
∂x1
,...,
∂
∂xn
—
дифференциальный оператор ко-
нечного порядка с постоянными комплексными коэффициентами
(P — комплексный многочлен от n переменных). Фундаменталь-
ным решением для этого оператора называется любая обобщённая
функция E ∈ D ( n), удовлетворяющая уравнению L(E) = δ0.
Если искать фундаментальное решение в классе S ( n), то мож-
но применить преобразование Фурье1) к обеим частям последнего
уравнения, и получится P(iλ1,...,iλn) ˆE = 1/(2π)n/2.Еслифункция
(P(iλ1,...,iλn))
−1
принадлежит S ( n), то отсюда можно найти E об-
ратным преобразованием Фурье.
Когда в дифференциальном операторе выделена переменная
времени: L = P
∂
∂t
,
∂
∂x1
,...,
∂
∂xn
,причёмL имеет порядок m по t ,
рассматривают фундаментальное решение задачи Коши для этого
оператора — такое непрерывное по t семейство обобщённых функ-
ций E(t, x ) ∈ D ( n), что L(E) = 0ивыполненыначальныеусловия
E(0, x) =
∂E
∂t
(0,x)=...=
∂m−2
E
∂tm−2 (0, x) =0,
∂m−1
E
∂tm−1 (0, x) = δ0(x).
1) Многомерным преобразованием Фурье функции f (x1 ,..., x n ) ∈ L1 (
n
) называют
функцию ˆFf =
ˆ
f(λ1,...,λn) = (2π)−n/2
n
f(x)e−i(x,λ)dx,где(x,λ)= x1λ1 + ...+ xnλn.
Преобразование Фурье распрос траняетс я на обобщенные функции из к ласса S ( n)
так же, как в одномерном с лучае, — см. главу .
§ . . Фундаментальные решения
Применяя к последним уравнениям преобразование Фурье толь-
ко по переменным x ,получаемсистему
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
P
∂
∂t
, iλ1,...,iλn
ˆ
E(t,λ)=0,
ˆ
E(0, λ) =
∂ˆE
∂t
(0,λ)= ... =
∂m−2
ˆ
E
∂tm−2 (0, λ) = 0,
∂m−1
ˆ
E
∂tm−1 (0, λ) =
1
(2π)n/2 ,
которая в ряде случаев позволяет найти решение E .
. . Доказать, что решение уравнения Lu = v (v ∈ D ( n)—за
-
данная функция) может быть найдено в виде u = E ∗ v ,гдеE —фун-
даментальное решение оператора L (если эта свёртка существует).
. . Доказать, что фундаментальное решение для операто-
раLy=y(n)+an−1y(n−1)+...+a0y вD( ),гдеak∈ ,имеетвид
θ(x)y0(x), где y0 — решение уравнения Ly = 0 с начальными усло-
виями y0(0) = y0(0) = ... = y (n−2)
0
(0) = 0, y(n−1)
0
(0)=1.
.
◦
. Найти фундаментальное решение оператора L:
а) (Lx)(t)= x (t)− x(t); б)(Lx)(t)= x (t)+x(t);
в) (Lx)(t)= x (t)− x(t); г)(Lx)(t)=x (t)+2ix(t)−5x(t).
.. Пусть l(y) = y(n) + an−1 y(n−1) + ... + a0 y — дифференци-
альное выражение с постоянными коэффициентами ak ∈ .Опре-
делим оператор A ∈ B(C[0, 1]), A : x → y , как решение дифферен-
циального уравнения l( y) = x сначальнымиусловиями y (0) =
= y (0) = ... = y(n−1)(0) = 0. Доказать, что A есть интегральный опе-
ратор, т. е. (Ax)(t) =
1
0
K(t, s)x(s) ds.НайтифункциюK(t, s), Ker A и
Im A.
. . Найти фундаментальное решение для оператора Коши—
Римана
∂
∂̄z
=
1
2
∂
∂x
+i∂
∂y
.
.*. Найти фундаментальное решение для оператора Лапласа
Δ=
∂2
∂x2
1
+...+
∂2
∂x2
n
,n 2.
.. Доказать, что фундаментальное решение дифференциаль-
ного оператора с постоянными коэффициентами не может иметь
компактный носитель.
.. Доказать, что решение задачи Коши L[u(t, x)] = 0, u(0, x) =
=
∂u
∂t
(0,x)= ...=
∂m−2
u
∂tm−2 (0, x) = 0,
∂m−1
u
∂tm−1(0,x)=v(x)(v∈E( n)—
заданная функция) может быть найдено в виде u = E(t, x ) ∗ v(x),
где E — фундаментальное решение задачи Коши для оператора L
(свёртка берётся по переменным x).
Глава . Обобщённые функции нескольких переменных
.. Найти фундаментальное решение задачи Коши для опера-
торов
а)
∂
∂t
−
∂2
∂x2 (оператор из уравнения теплопроводности);
б)i
∂
∂t
−
∂2
∂x2 ;
в)
∂2
∂t2 −
∂2
∂x2 (оператор из волнового уравнения).
.. Найти решение E(t, x)задачиКошиL(E)=0, E(0, x) =δ(x),
для оператора L =
∂2
∂t2 +
∂2
∂x2 , удовлетворяющее условию E(t, · ) → 0
приt→∞.
Ответы
. . Нет.
.. д) Пример множеств A и B на прямой, таких, что A ∩ B = ̄̄
A∩̄̄B:
A = {1/n}∞
1,B={0}.
. . Любое множество является одновременно открытым и замкнутым.
..X =
,
∞
k=1
(−2
−k
,1+ 2
−k) =[0,1].
..X =
, A =(0,1),B =[0,1).
.. В пространстве X =
шар B(1, 4) = {1,2,3,4}, а шар B(3, 3) =
= {1,2,3,4,5}.
. . Три точки с попарными расстояниями 1.
.. Последовательности, для которых начиная с некоторого номера
n>NвыполненоxN=xN+1=...=x.
. . Да.
.. Все функции удовлетворяют аксиомам метрики и эквивалентны
стандартной метрике. Пространства ( , ρ2 )и( , ρ4 )полны,апространства
( , ρ1 )и( , ρ3 ) не полны. Пополнением первого пространства является
∪ {±∞}, причем ρ1(±∞, x ) = |±π/2 − x |, ρ1(−∞, +∞) = π. Пополнением
пространства ( , ρ3)является ∪ {−∞}, ρ3(−∞, x ) = e
x
. Пополнением про-
странства ( , ρ1)такжеявляетсяотрезок[−π/2, π/2] с обычной метрикой,
а пространства ( , ρ3 )—луч [0,+∞) с обычной метрикой.
.. а), б), г) Пространства полны. в) Пространство не полно. Его по-
полнение есть метрическое пространство L.
.. Первый пример: ([0, 1], | x − y |) и discr(0, 1) — оба пространства
полны, но множество (0, 1) не замкнуто в первом пространстве. Второй
пример: discr[0, 1] и ((0, 1), | x − y |) — первое пространство полно и множе-
ство (0, 1) замкнуто в нём, но второе пространство не полно.
..Положим X =(0,1)∪{2},ρ(x,x)=0,ρ(x, y)=1, если x, y∈(0,1),
а ρ( x ,2)= 2 − x . Рассмотрим теперь множество (0, 1) и точку2.
..X =( ,ρ),гдеρ(n,n)=0,аρ(n,m)=1+
1
min(n, m)
приn=m.
.. X =(0,1),Bn = (0,2/n]; X= ,Bn = (0,2/n).
.. В пространстве множество иррациональных чисел всюдуплотно,
так же как и его дополнение.
.. Пространство является счётным объединением точек.
. . Да.
..f:discr()→ , f(n)=n.
..Первыйпример:X = , f(x)= x
2
. В качестве второго примера мож-
но взять функцию f (x), построенную в задаче ..
..1+ 2.
Ответы
.. eλt
.
.. Да.
.. X =
, f(t)=t+arcctgt.
.. а) x(t) = 1/t; б) функция Римана (x(t) = 0 в иррациональных точ-
ках, x ( p/q) = 1/q для любой несократимой дроби p/q).
. . Функции из пунктов б) и е) — не нормы. Остальные являются нор-
мами и упорядочены так: нормы в), г) и д) эквивалентны друг другу, а нор-
ма а) подчинена им, но не эквивалентна.
..При1 p q<∞sup
x=0
xp
xq
=n
1/ p −1/q
,априq = ∞sup
x=0
xp
xq
=n
1/p;
вобоихслучаяхinf
x=0
xp
xq
=1.
.. Тогда и только тогда, когда а) {an }
∞
1 ∈lp;б)inf
n∈
an>0.
. . Тогда и только тогда, когда а) inf
n∈
an>0;б)inf
n∈
an>0.
. . Нет.
.. Обозначим en = (0,...,0,1
n
,0,0,...) —базисные векторы. Тогда по-
дойдут, например, шары B(en /2, 1/10).
..а),б)xn = 1,
1
2
,
1
3
,...,
1
n
,0,0,... ;
в),г)xn= 1,
1
2
,...,
1
n
,0,0,... ;
д)xn=
1
ln2
,
1
ln3
,...,
1
ln(n + 1)
,0,0,... .
.. ̄
c00 = c0 ивпространстве c0 , и в пространстве c.
.. При p = ∞ замыкание lq есть всё пространство l p ,априp = ∞за-
мыкание lq есть множество векторов, координаты которых стремятся к ну-
лю.
.. Для пространства C [−1, 1]: а) нет; б) да; в) нет; г) да; д) нет;
е)нет;ж)нет;з)да;и)да;к)да;л)нет.
Для пространства C2 [−1, 1]: а) нет; б) да; в) нет; г) да; д) нет; е) нет;
ж) нет; з) нет; и) да; к) да; л) нет.
.. а) Да; б) нет.
.. Замкнуто при p = 1 и не замкнуто при p > 1.
.. K = {f ∈ L1[0, 1]: f(t) 0почтивсюду}.
.. а), б) Пространства строго нормированы при p ∈ (1, ∞);
в), г), д) пространства не являются строго нормированными;
е) пространства строго нормированы.
..A=̄̄
B(0,1)={(x, y): (x, y) p 1}.
.. c0.
.. x1 = 8/3, x2 /∈W1
2,x3=8/3,x4=
2a2
2a−1
+
2
2a+1
при
a>1/2,x4/∈W1
2 приa 1/2.
.. C[0, 1].
.. Пространство AC [0, 1] (см. определение .) с нормой простран-
ства BV [0, 1].
Ответы
.. а), в), г) Последовательность не имеет ни одной предельной точ-
ки; б) последовательность сходится к нулю.
..
∞
k=1
en
n2 ,гдеen = (0,0,...,0,1
n
,0,0,...) в пространстве c00 .
.. X = l∞(2), Y = Lin{(1, 0)}, x = (0, 1).
..
u
v
=
u2−αuv+v2приαдостаточноблизкихк2,X1=X2=
= l2(2).
.. X1={(x,y):x,y∈ }, (x,y) X1
=
x2+y2;X2={z∈ }, z X2
= |z|;
X3=X1×X2={(x,y,z):x,y,z∈ },(x,y,z) X3
= |x|+|y|+|z|.
.. X — нормированное пространство непрерывно дифференцируе-
мых на [−1, 1] функций с нормой x = max
t∈[−1,1]
|x(t)|, X1 —линейное под-
пространство функций из X , тождественно равных нулю при t 0, а X2 —
подпространство функций из X ,равныхнулюприt 0.
.. Нет.
.. а), б), в), д), ж), з), и), к), л), о), п), р) Сепарабельны;
г), м), н) несепарабельны.
.. а), б), в), е) Сепарабельны; г) несепарабельно; д) пространство
сепарабельно тогда и только тогда, когда мера μ является σ-конечной.
.. Нет.
.. H =l2(2), M ={(x,0)},N ={(x,x)}.
..Mn={x=(x1,x2,...)∈l2:x1=x2=...=xn−1=0, x =1}.
.. а) conv(M) =Lin(M) = ̄̄
M=Lin(M)=M,M⊥={x∈L2[−1,1]:x(t)=
= 0длявсехt > 0};
б) conv(Ma) = Lin(Ma) = Ma, ̄̄
Ma = Lin(Ma) = L2[−1,1], M⊥
a
= {0};
в) conv(M)=Lin(M)= ̄̄
M=Lin(M)=M,M⊥={x∈L2[−1,1]: x(t)=−x(−t)
для всех t ∈ [0, 1]};
г) conv(M) = Lin(M) = ̄̄
M=Lin(M)=M,M⊥={x∈L2[−1,1]:x(t)=0
при t ∈ [−1, −1/2) ∪ (1/2, 1]; x(t) = − x(−t)длявсехt ∈ (0, 1/2]};
д)conv(M)=Lin(M)=M, ̄̄
M =Lin(M)=L2[−1,1], M⊥ = {0};
е) conv(M)=Lin(M)=M, ̄̄
M =Lin(M)= L2[−1,1], M⊥ = {0};
ж)conv(M)=Lin(M)=M, ̄̄
M=Lin(M)=L2[−1,1], M⊥ ={0};
з) conv(M)=Lin(M)=M, ̄̄
M =Lin(M)={x ∈ L2[−1,1]: x(t) = x(−t)для
всех t ∈ [0,1]}, M⊥ = {x ∈ L2[−1,1]: x(t) = −x(−t)длявсехt ∈ [0,1]};
и)conv(M)=Lin(M)=M, ̄̄
M=Lin(M)=L2[−1,1], M⊥ ={0};
к) conv(My) = ̄̄
My = My,Lin(My)=Lin(My)=L2[−1,1], M⊥
y={0};
л) conv(My) = ̄̄
My = My,Lin(My) =Lin(My)=L2[−1,1], M⊥
y ={0};
м) conv(M) = ̄̄
M = M,Lin(M)=Lin(M)= L2[−1,1], M⊥ = {0};
н) conv(M) = ̄̄
M = M ,Lin(M) = L∞[−1,1], Lin(M) = L2[−1,1], M⊥ = {0};
о) conv(M) = ̄̄
M=M,Lin(M)={x − y: x,y∈M}, Lin(M)=L2[−1,1],
M⊥ = {0};
п) conv(Mα,β ) = Lin(Mα,β ) = ̄̄
Mα,β
= Lin(Mα,β ) = Mα,β
,M⊥
α,β
= {x ∈ L2[−1,1]:
x |[−1,1]\(α,β ) = 0};
Ответы
р) conv(M) = Lin(M) = ̄̄
M=Lin(M)=M,M⊥={x(t)=const}.
.. а) conv(M) = Lin(M) = ̄̄
M=Lin(M)=M,M⊥={x∈W1
2 [−1,1]: x(t)≡
≡αch(t−1),α∈ ,длявсехt 0};
б) conv(M) = Lin(M) = ̄̄
M=Lin(M)=M,M⊥={x∈W1
2 [−1,1]: x(t) =
= − x(−t)длявсехt ∈ [−1, 1]};
в) conv(M) = Lin(M) = ̄̄
M=Lin(M)=M,M⊥={x∈W1
2 [−1,1]: x(t) =
= − x(−t)длявсехt ∈ [−1/2, 1/2], x(t) ≡ x(1/2) ch(t − 1)/ ch(1/2) для всех
t ∈ [1/2, 1], x (t) ≡ x(−1/2) ch(t + 1)/ch(1/2) для всех t ∈ [−1, −1/2]};
г)conv(M)=Lin(M)=M, ̄̄
M=Lin(M)=W
1
2 [−1,1], M⊥ = {0};
д)conv(M)=Lin(M)=M, ̄̄
M=Lin(M)=W
1
2 [−1,1],M⊥ ={0};
е) conv(M)=Lin(M)=M, ̄̄
M=Lin(M)={x∈W1
2 [−1,1]: x(t) = −x(−t)
длявсехt∈[−1,1]},M⊥={x∈W1
2 [−1,1]: x(t) = x(−t)длявсехt ∈[−1,1]};
ж)conv(M)=Lin(M)=M, ̄̄
M=Lin(M)=W
1
2 [−1,1],M⊥ ={0};
з) conv(M)=M, ̄̄
M={x∈W1
2 [−1, 1]: |x(t)| 1длявсехt ∈ [−1, 1]},
Lin(M) = Lin(M) = W
1
2 [−1,1], M⊥ ={0};
и) conv(M)=M, ̄̄
M={x∈W1
2 [−1,1]: x(a)
x (b)длявсехa > b},
Lin(M) = Lin(M) = W
1
2 [−1,1], M⊥ ={0}.
.. H⊥
n
= Lin((1,1,...,1
n
,0
n+1
,0,...)), H⊥
∞
= {0}.
..ВL2[0,1]x,y =π/6,авWn
2 [0,1] x, y =arccos
3
4
.
.. Нет.
.. dist(x, H0) =
1
n+1
.
.. dist(e1 , Hn) =
1
n
.
. . dist(t2
,P1)=
1
320
, элемент наилучшего приближения: t − 1/6.
.. а) e1(t) = 1/2, e2(t) = 3/2· t, e3(t) = 5/8(3t2
− 1);б)e1(t)=1,
e2(t) = 3(2t − 1), e3(t) = 5(6t2
− 6t+1);в)e1(t)=1, e2(t)= 3/13(2t−1),
e3(t)=6 5/61·t
2
− 6t+1.
.. e0(t) = π
−1/4 e
−t
2/2
, e1(t)=π
− 1/42
1/2 te−t2 /2
,
e2(t) = π
−1/4 2
−1/2(2t2
− 1)e−t2/2
, e3(t)=π
− 1/43
− 1/2(2t3
− 3t)e−t2/2
.
..
1
2π(n2 + 1)
eint
n∈
, система не является базисом.
.. Да.
. .
2
π(n2 + 1)
sin(nt)
∞
n=1
, система является базисом в
◦
WW1
2 [0, π]ине
является базисом в W 1
2 [0, π].
..
1
π
,
2
π(n2 + 1)
cos(nt)
∞
n=1
, система является базисом.
..
1
2π
,
1
π(n2 + 1)
cos(nt),
1
π((n − 1/2)2 + 1)
sin((n − 1/2)t)
∞
n=1
,си-
стема является базисом.
..
n+1
π
ζn
∞
n=0
, система является базисом.
Ответы
. . Пусть {en (t)}∞
1 — функции с носителем на отрезке [0, 1], обра-
зующие ортонормированный базис в L2[0, 1]. Тогда {en (t + k)}n∈ ,k ∈ —
ортонормированный базис в L2 ( ).
.. а)
π
2
6
;б)π4
90
.
..M =X = ∩[0,1].
..X =
, M = ∩[0,1].
.. x n = (0,...,0,1/2
n
,0,0,...).
.. а)F(M)={x/3:x∈M}∪{2/3+x/3:x∈M};
б) F(M) =
x
2
,
y
2
:(x,y)∈M ∪
1
4
+
x
2
,
1
2
+
y
2
:(x,y)∈M ∪
∪
1
2
+
x
2
,
y
2
:(x,y)∈M ;
в) F(M) =
x
3
,
y
2
:(x,y)∈M ∪ x,
1
2
:x∈
1
3
,
2
3
∪
∪
2
3
+
x
3
,
1
2
+
y
2
:(x,y)∈M ;
г) F(x)= y,гдеy(t)=
⎧
⎨
⎩
x (3t)/2п
р
и
t ∈ [0, 1/3],
1/2п
р
и
t ∈ [1/3, 2/3],
1/2 + x (3t − 2)/2приt ∈ [1/3, 2/3].
.. а) 1; б) 2.
. . а)
ln2
ln3
;б)
ln3
ln2
.
.. Предкомпактны множества в пунктах б), г), е), з).
.. Да (для всех пунктов).
.. а) Нет; б), в) да.
.. Нет.
. . Замкнутый единичный шар пространства C 1 [0, 1].
. . Нет.
.. Множество предкомпактно тогда и только тогда, когда
∞
n=1
|an|
p
<∞.
. . Множество предкомпактно тогда и только тогда, когда ak → 0.
.. Да.
.. Множество предкомпактно, если β ∈ (0, p], α>0иеслиβ>p,
α>
β
p
− 1. В остальных случаях множество не предкомпактно.
.. Да.
.. Нет.
.. При a = 0 множество не предкомпактно ни в одном из исследуе-
мых пространств. При a ∈ (0, 1] множество предкомпактно в C [0, 1], но не
предкомпактно в остальных пространствах.
.. Да.
Ответы
.. В пространстве C [0, 1] рассмотрим систему{ xn (t)}∞
1 ,где
xn(t) =
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
0,
если0 t
1
n+1
,
2n(n+1) t−
1
n+1
,е
с
л
и
1
n+1
t
1
2
1
n+1
+
1
n
,
2n(n + 1)
1
n
−t,е
с
л
и
1
2
1
n+1
+
1
n
t
1
n
,
0,
если
1
n
t1.
Теперь положим fn(x ) = max{n(1/2 − ρ( x , xn )), 0}. Требуемое отображение
f(x)=
∞
n=1
fn(x).
.. Выберем произвольную последовательность индексов {λn }
∞
1 ипо-
ложим f (xλn ) = n xλn X , а для остальных векторов базиса положим f (xλ) =0
ипродолжим f по линейности на всё пространство X .
..а);б)1;в)6;г)
π
6
;д)1;е)1;ж)
2
3
;з)1;и)2;к)2;л)2;
м)
n
k=1
|αk |; н)
1
0
|y(t)|dt;о)1;п)2;р)3;с) 2π;т)0.
.. а)
1
2π
+
1
π
∞
n=1
1
n2+1
1/2
=
cth π
2
;
б)
1
π
+
∞
n=1
2cos2 (an)
π(n2 + 1)
1/2
=
chach(π−a)
shπ
;
в)
1
π
∞
n=0
(n + 1)|a|2n
1/2
=
1
π(1 −|a|2)
.
.. а) f(x) =
∞
n=1
xn
2n; б) f(x)=lim
n→∞
xn−
∞
n=1
xn
2n; в) f(x)=
∞
n=1
n−1
n
xn;
г) f(x)=
1
0
tx(t)dt;д) f(x)=
1/2
0
x(t)dt−
1
1/2
x (t) dt.
.. X0 = Ker f ,где f — любой из функционалов задачи . в соответ-
ствующем пространстве X .
.. а) 1/2; б) 1/3.
.. а) Да; б) нет.
.. Единственно, если {t : |x(t)| = x } = {t0}.
.. l
∗
1=l
∞
, l1 сепарабельно, а l∞
—н
ет.
.. h =(f,g) Z∗ =max{ f X∗, g Y∗}.
..X1= ,X2=l2(2).
. . а) 1; б) 3; в) 1вслучаеc0 и2вслучаеc.
. . а) y(t) есть ступенчатая функция, имеющая скачки в точках tk ве-
личины ak сначальнымусловием y (−1) = 0; f =
n
k=1
|ak |;
б) y(t) =
t
−1
a(s)ds, f =
1
−1
|a(t)| dt;
Ответы
в)y(t)=0приt∈[−1,− ],y(t)=
t
+1приt∈[− , ), y(t)=2при
t∈[ ,1]; f =2;
г) y(t) =
1
2
χ(−,];f=
1
;
д) y(t) =
1
2
(χ(− ,0]−χ(0, ]); f =
4
2;
е) y(t) = tχ[0,1](t); f = 1;
ж)y(t)=1 −|t|; f =2;з)y(t)=
t2−1
2
;f=1.
.. а) y(t) = t
2
; f =1;б)y(t)= t; f =1;в)y(t)=0приt=0и
y(t) = 1приt ∈ (0, 1]; f = 1; г) y(t) есть сумма функции
t
0
a(s) ds исту-
пенчатой функции с разрывами в точках tk величины ak ; f =
1
0
|a(t)| dt +
+
n
k=1
|ak |.
.. а) ; б) .
.. а)
2
3
;б) 2;в).
..а);б);в).
..а);б) 2;в)
π
6
.
..а);y=en∈l1;б)
∞
n=2
1
nln
2
n
;y=(0,
1
2ln2 2
,
1
3ln2 3
,...)∈l1; в) 1.
.. а) 1; б) 2.
.. Норма считается в соответствии с пунктом из преамбулы § . .
а)λ=
m
j=0
bl; y(t) = y1 (t) + y2(t) есть сумма двух функций. Первая функ-
ция y1 есть ступенчатая функция со скачками в точках tk величины ak и
начальным значением y1 (−1) = 0. Вторая функция y2 (t) есть ломаная с уз-
лами в точках t = sl . А именно, y2 (t) есть ступенчатая функция со скачка-
ми в точках sl величины −bl и начальным значением y2 (1) = 0 (при этом
y2 (−1) = 0).
б)λ=0; y(t)=0приt∈[−1,− ], y(t)=
t+
2
приt∈[− , ],y(t)=1
приt∈[ ,1]; f =1.
в)λ=0; y(t)=0при|t| , y(t)=|t|−
2 при|t| ;f =2/.
г)λ=1;y(t)=t+1приt 0,y(t)= −
t2
2
+t+1приt 0; f =3/2.
д)λ=0;y(t)= −
t2
2
−t
−
1
2
приt 0,y(t)=
t2
2
−t
−
1
2
приt 0; f =1.
е)λ=0;y(t)=−
t3
6
+
t2
2
−
2
3
;f=1.
ж) y(t)= −2t −2приt ∈[−1,0]; y(t)= −2 +(sinπt)/πпри t ∈[0,1];
λ= −2; f =2+2/π.
..а)y(t)= −sht+cth1cht; f 2
=
ch1
sh1
;
Ответы
б)y(t)=−sht+
1+ch1
sh1
cht;f2
=
2ch1+ 2
sh1
;
в)y=1; f =1;
г) y(t) =
sin 1
2sh1
cht−
1
2
cost; f 2
=
sin2 1
8
cth1+
(sin1 − cos1)2
4
;
д) y(t) =
sin 1
sh1
cht;f2
=
1
2
sin
2
1cth1;
е)y(t)=sht−
1+ch1
sh1
cht;f2
=
1+(1−ch1)2
2sh
2
1
sh2+
(1−ch1)(ch2−1)
sh1
.
.. X =C[−1,1],Y ={x∈X:
0
−1
x(t)dt=
1
0
x (t) dt}.
.. а) M⊥ = {0};
б) M⊥ ={y∈BV0[−1,1]: y(t)= y(0) для всех t 0};
в) M⊥ = Lin(f0), где f0(x)= x(0);
г)M⊥=0;
д) M⊥ = {y ∈ L∞[−1,1]: y(t) = − y(−t)длявсехt > 0};
е)M⊥=0;
ж) M⊥ = Lin(f0), где f0(x) = x(0);
з)M⊥={0};
и)M⊥={0};
к) M ⊥ = Lin(θ (t)) в пространстве L3/2[0, 1], где θ —функция Хевисайда,
равная нулю при t < 0и1приt > 0;
л) M⊥ =Lin(f0), где f0(x)=limxn;
м)M⊥={0};
н)M⊥=0;
о)M⊥ = {0}.
..X =c,X
∗
= l1, Y =Lin{en}
∞
2, f0=e1, f(x)=y1limxn+
∞
n=1
xn yn+1 ,где
x =(x1, x2,...)∈c, f =(y1, y2,...)∈l1.
.. B(X1, Y2)⊂B(X2, Y1), B(X1, Y1)⊂B(X2, Y1), B(X1, Y2)⊂B(X2, Y2).
.. а) 1; б) 1; в) 1; г) 1; д) 1; е) 1 для первых трёх норм, 2 для четвёртой
нормы;ж) 2;з)1;и)2.
.. См. пункт д) задачи ..
.. Образ оператора — все чётные функции из C [−1, 1], а ядро —
нечётные функции; P = 1.
.. а) Да; б) нет.
..ImA=Y,KerA=Kerf, A = f
·
y.
..а) A=
π
2
6
;б)A=2;в)A 9.
.. .
.. A = sup
n∈
|λn| во всех пространствах.
.. A = 2π.
.. Во всех пространствах: Tr = Tl = 1, Im Tr = Lin{e j }∞
j=2
,KerTr = {0},
Ker Tl = Lin{e1}, а Im Tl совпадает со всем пространством.
Ответы
.. A = a C[0,1]. Положим N={t∈[0,1]:a(t)=0}.ТогдаKerA=
= {x :suppx ⊂ N }. Критерий инъективности для пункта а): μ(N ) = 0; для
пункта б):множество N не содержит ни одной внутренней точки.
..A =aL∞
для всех p. Положим N = {t ∈ [0,1]: a(t) = 0}. Тогда
KerA={x∈L∞:suppx⊂N}.
..а),б)A=1,в)A=
Ax0
x0
,где x0(t) = sh t/t.Вовсехслучаях
Ker A = {0}, оператор не сюръективен, причём Im A совпадает со всем про-
странством только в пункте б) при p = ∞.
..а)ImA={x∈Cn+1
[0,1]:x(0)=0},KerA={0}, A =2;
б)ImA={x∈ 1
Wp[0,1]:x(0)=0},KerA={0}, A =1;
в)ImA={x∈Cn+1
[0,1]: x(0)=0},KerA={0}, A =2.
. . Во всех пунктах A = 1, оператор сюръективен, Ker A = Lin{1}.
.. а) AK = max
t∈[a,b]
b
a
|K(t, s)|ds; б) AK = max
s∈[a,b]
b
a
|K(t, s)|dt; в) AK =
= max
t, s∈[a,b]
|K(t, s)|.
.. При r < 1/2.
.. При r > 1/2.
.. A
π.
.. A = max
t∈[0,1]
1
0
|a(t − s)| ds.
.. Во всех пунктах A = 1, Im A —всё пространство, а KerA = {0}.
.. A = 1 во всех пространствах.
.. A =1, Ker A ={x ∈ C[0,1]: x(t) =0длявсехt ∈ φ([0,1])}.
.. Например, ̃
Ax=x−e
∞
l(x), где e∞ = (1,1,...), а l(x) = lim
n→∞
xn.
.. В пространстве l p , p ∈ [1, ∞], оператор
A(x1, x2, x3,...)=
1
2
x1,
2
3
x2,
3
4
x3,...,
n
n+1
xn,... .
. . В произвольном бесконечномерном банаховом пространстве X за-
фиксируем нормированный алгебраический базис {eλ}λ∈Λ . В этом базисе
выберем произвольную последовательность {eλn }
∞
n=1 иположим Aeλn = neλn
для всех n ∈ ,адляоставшихсявекторовбазисаположим Aeλ = eλ
.Продол-
жим теперь оператор A на всё пространство X по линейности.
. . В пространстве l p , p ∈ [1, ∞], оператор
A(x1, x2, x3, x4,...)=(0, x1,0,x3,0,x5,...).
.. В пространстве l p , p ∈ [1, ∞], оператор
A(x1, x2, x3, x4,...)=(0, x1, x3, x4, x5,...).
. . В пространстве l p , p ∈ [1, ∞], операторы
A(x1, x2, x3, x4,...)=(x2, x3, x4,..., xn
n−1
,0
n
, xn+1
n+1
, xn+2, xn+3,...),
B(x1, x2, x3, x4,...)=(0, x1, x2, x3,...,xn−1
n
, xn+1
n+1
, xn+2, xn+3,...).
Ответы
.. а) Ker A = {0}; б) A — любой ограниченный оператор.
.. P =1.
.. Pix =(x,vi)vi, i =1,2, где v1, v2 —единичныевекторыс v1 − v2 <
< 1/2.
.. P1 — ортопроектор на любое собственное подпространство, а P2 = 0.
.. а) H⊥
0 ⊂KerA;б)ImA⊂H0.
..Aen=e1длявсехn<M2+1;Aen=0дляn M2+1.
..A=I.
.. В пространстве l2(2) положим A(x, y) = (x,0), а B(x, y) = (0, y).
.. в) и г).
. . Нет.
.. Да.
.. Обязательно.
.. Да.
..F: 2
→ , F(x,y)=y
3
/x2 при x =0иF(x, y)=0приx =0.
..F: 2
→
2
, F(x,y)=(x,y
2
),G: 2
→ , G(x,y)=x
3
y/(x4 + y2)
при(x, y)=(0,0)иG(0,0)=0.
.. а) Отображение дифференцируемо по Фреше в каждой точке,
F (x):h→(2x,h);
б) отображение дифференцируемо по Фреше в каждой точке, кроме 0,
F (x):h→(x/ x ,h);внуле нет и производной поГато;
в) нет производной даже по Гато ни в одной точке;
г) отображение дифференцируемо по Гато в каждой точке, F ( x): h →
→
1
0
cosx(t)·h(t)dt;
д) отображение дифференцируемо по Фреше в каждой точке, F (x ): h →
→
1
0
cosx(t)·h(t)dt;
е) отображение дифференцируемо по Фреше в каждой точке, F (x ): h →
→
1
0
cosx(t)·h(t)dt;
ж) отображение дифференцируемо по Фреше в каждой точке, F ( x): h →
→ x(t)h(1− t)+ x(1− t)h(t);
з) при p > 1 отображение дифференцируемо по Фреше в каждой точке,
F (x): h → p|x(t)|p−1
h(t); при p = 1 дифференцируемость только по Гато и
только в точках-функциях x , отделенных от 0: | x(t)| >δ= δ(x) > 0почти
всюду, при этом F (x): h → sign x(t) · h(t).
. . В пространстве X = c00 семейство непрерывных функционалов fn ,
fn(x)=nxn, n=1,2,...
. . Последовательность {en = (0,0,...,0,1
n
,0,0,...)}∞
1 в пространстве l2 .
..I .
. . Последовательности {xn = (1,1,...,1
n
,0
n+1
,0,...)}∞
1 в c0;{xn(t)=t
n
}∞
0
в C[0, 1].
Ответы
.. l1.
. .
xn
yn
фундаментальна
по норме
слабо
фундаментальна
фундамента льна
по норме
да
да
слабо
фундамента льна
да
не обяз ательно
.. w(x,y)=
∞
n=1
|fn(x − y)|
2n(1+|fn(x − y)|),где{fn}
∞
n=1
— счётное всюдуплотное
множество функционалов в X ∗
.
.. Mn = {f ∈C[0,1]: f 1, f(1/k)=(−1)k,k =1, ..., n}.
. . Координатные орты {en }
∞
1 в пространстве l1 = (c0)
∗
.
. . Координатные орты {en }
∞
1 в пространстве l1 = (c0)
∗
.
.. fn = (1,0,...,0,−1
n
,0,0,...) в пространстве l1 .
..
xn
fn
фундамента льна
по норме
слабо
фундаментальна
фундаментальна
по норме
да
да
слабо
фундаментальна
да
не обяз ательно
∗-с лабо
фундаментальна
да
не обяз ательно
.. а) →0приp∈[1,∞);б) 0;в)
∗
0приp =1и 0приp ∈(1, ∞);
г) сходимость отсутствует; д) ∗ δ0 ,гдеδ0 (x ):= x (0); е) сходимость отсут-
ствует, хотя последовательность слабо фундаментальна; ж) → 0при p > 1
и 0при p = 1. Во всех пунктах указаны самые «сильные» сходимости из
имеющихся.
.. X = Y = l2, An — операторы ортогонального проектирования на
Lin(en ), сходятся к нулю сильно, но не равномерно; T n
r
,гдеTr —оператор
правого сдвига, сходятся к нулю слабо, но не сильно.
.. Пространство l2 , An — операторы ортогонального проектирования
на Lin(en ).
..
Bn
An
⇒
s
→
⇒
⇒
s
→
s
→
s
→
s
→
нет
нет
. . X = Y = l2, из последовательности Tn
r
,гдеTr — оператор правого
сдвига, нельзя выделить сильно сходящуюся подпоследовательность.
.. а) An
s
→0;
б)An⇒0;
в) An
s
→0;
Ответы
г) An ⇒ A,гдеAx = (λ1x1,λ2x2,...);
д) An
s
→ A,гдеAx = (λ1x1, λ2x2,...);
е) An
s
→ 0вlpЁи c0; An
s
→ A,гдеAx= lim
n→∞
xn · (1,1,1,...), в c;
ж) An ⇒ A,где(Ax)(t) =
t
0
esx(s)ds;
з) An ⇒ A,где(Ax)(t) =
1
0
K(t, s)x(s) ds;
и) An ⇒ A,где(Ax)(t) =
1
0
K(t, s)x(s) ds;
к) An A,где(Ax)(t) =
1
0
K(t, s)x(s) ds;
л)An⇒0;
м)An⇒0;
н) An
s
→0;
о) An
s
→ A,где(Ax)(t) =
1
0
K(t, s)x(s) ds;
п) An
s
→I;
р) An
s
→ J,гдеJ:C1
per[−π,π]→C[−π,π], Jx= x;
с) An
s
→I;
т) An
s
→Iприp∈[1,∞),Anникчемунесходятсяприp=∞;
у) An
s
→I;
ф) An → A,где(Ax)(t) = a(t) x(t);
х) An
s
→ A,где(Ax)(t) = a(t) x(t)при p ∈ [1, ∞), An ни к чемуне сходятся
приp=∞;
ц) An
s
→Iприp∈(1,∞),Anникчемунесходятсяприp=1иp=∞;
ч) An
s
→Iприp∈[1,∞),Anникчемунесходятсяприp=∞;
ш) для φ , выбранной произвольно, An могут ни к чему не сходиться;
щ) An
s
→Iприp∈[1,∞),Anникчемунесходятсяприp=∞;
ы) An 0приp∈(1,∞), An ни к чемуне сходятся при p=1иp= ∞.
. .
An
xn
⇒
s
→
→
→
→
нет
нет
..а)A=λI;б)M=M
t
;в)J:Y∗
→X
∗
, Jf = f ; г) для произвольного
функционала f ∈X∗ ивектораx ∈ X:(P f)(x)=f(x0), где x = x0 + x1.
. . Для произвольного функционала f y , порождаемого вектором y =
= (y1, y2,...),гдеy∈lq =(lp)
∗
,1/q+1/p=1,если x∈lp; y∈l1=(c0)
∗
,если x ∈
∈c0: A (fy)=gz ,гдефункционалgz порождается вектором а) z =(0, y1, y2,...);
б)z=(y2, y3,...);в) z=(λ1y1,λ2y2,...);г) z= 0,y1,
y2
2
,
y3
3
,....
Ответы
.. а) Для произвольного функционала f y , порождаемого функцией
y ∈ BV0[0, 1]: A ( fy ) = gz ,гдефункционалgz порождается функцией z(t) =
=
t
0
a(s) dy(s).
б) Для произвольного функционала f y , порождаемого функцией y ∈
∈ Lq[0, 1], 1/q + 1/p = 1: A ( fy) = gz ,гдефункционалgz порождается функ-
цией z(t) = a(t) y(t).
в) Для произвольного функционала f y , порождаемого функцией y ∈
∈ Lq[0, 1], 1/q + 1/p = 1: A ( fy) = gz ,гдефункционалgz порождается функ-
цией z(t) =
1
t
y(s) ds.
г) Для произвольного функционала f y , порождаемого функцией y ∈
∈ Lq[0, 1], 1/q + 1/p = 1: A ( fy) = gz ,гдефункционалgz порождён функцией
z(t) =
y(t − a),
еслиt>a,
y(t+1−a),еслиt a.
д) Для произвольного функционала f y , порождаемого функцией y ∈
∈ BV0 [0, 1]: A ( fy ) = gz ,гдефункционалgz порождён функцией
z(t) =
t
0
1
0
K (s, u) dy(s) du.
е) Для произвольного функционала f y , порождаемого функцией y ∈
∈ BV0 [0, 2]: A ( fy ) = gz ,гдефункционалgz порождён функцией
z(t) =
y(t), если t 1,
y(2), если t > 1.
ж) Для произвольного функционала f y , порождаемого функцией y ∈
∈ BV0 [0, 1]: A ( fy ) = gz ,гдефункционал gz порождается парой — функцией
z(t) = y (t)ичислом0.
з) Для произвольного функционала f y , порождаемого функцией y ∈
∈ BV0 [0, 1]: A ( fy ) = gz ,гдефункционалgz порождён функцией
z(t) =
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
0,
если t=0,
t
1
0
s2 dy(s) + y(1),
если t∈(0,1),
1
0
s2 dy(s) +
1
0
sdy(s) + y(1), если t = 1.
. . Пусть функционал F ∈ (C[a, b])∗ порождается функцией y ∈ BV0 [0, 1].
То г д а A F = G ,гдефункционалG ∈ (C[a, b])∗ порождается функцией z(t) =
=
n
i=1
wi (t)
b
a
αi (s) dy(s).
.. ( Ax)(t) = tx(t)впространстве L1[0, 1].
.. A(x1, x2, x3,...)= x1,
x2
2
,
x3
3
,... в пространстве l1 .
Ответы
.. Слабо — да; сильно — вообще говоря, нет (вне зависимости от ре-
флексивности пространства).
..AJ =JA
∗
,гдеJ:H→H
∗
— и з оморфизм Рисса.
.. а) (A∗x)(t) =
1
t
x(s) ds;
б)(A∗x)(t)=t
1
0
x (s) ds;
в) (A∗x)(t) =
1
0
sx(s) ds;
г)(A∗x)(t)=t
1
0
s2x(s)ds;
д)(A∗x)(t)=t
1
0
(s + 1)x(s)ds;
е) (A∗x)(t)=t
1
t
x(s) ds;
ж)(A∗x)(t)=t
2
1
t
x(s) ds;
з) ( A∗ x )(t) = a(t)x(t). Для произвольного функционала f y , порождаемо-
го функцией y ∈ L2[0, 1]: A ( fy ) = gz ,гдефункционалgz порождается функ-
цией z(t) = a(t) y(t).
.. а) A∗
=A;
б) A∗ x = (x2,0,x4,0,x6,0,...);
в) A∗x = (x2, x4, x6,...);
г) A∗x = (x2, x3, x4,...);
д)A∗x =(0,x1,x2,x3,...);
е) A∗ x = (0,0,...,0, x1
n+1
, x2,...);
ж)A∗x=(
̄
̄
λ1x1,
̄
̄
λ2 x2 , ...) . Для произвольного функционала f y ,порожда-
емого вектором y = (y1 , y2,...)∈ l2: A ( fy) = gz ,гдефункционалgz порожда-
ется вектором z = (λ1 y1 , λ2 y2 ,...);
з) A∗x = (x1, x2,0,x3,0,0,0,x4
8
,0,...,0,x5
16
,0,...).
.. Сопряжённым к операторуправого сдвига является оператор ле-
вого сдвига и наоборот.
.. (A∗x)(t) =
b
a
K (s, t)x (s) ds.Оператор A самосопряжён тогда и толь-
ко тогда, когда K(t, s) = K(s, t)вL2([a, b]2). Для оператора A аналогично.
.. Оператор A самосопряжён тогда и только тогда, когда λ j =
̄
̄
λj для
всех j ∈ .ОператорB самосопряжён тогда и только тогда, когда a(t) = a(t)
в пространстве L∞ [0, 1].
.. а) (A∗ x )(t) = 2tx(t2);
Ответы
б)(A∗x)(t)=
x(φ−1
(t))
φ (φ−1(t))
,еслиt ∈ [φ(0), φ (1)],
0и
н
а
ч
е
.
.. а) A∗x =(x,z)y;
б)(A∗x)(t)= x(t−a);
в) (A∗x)(t)=
1
0
K(t, s)x(s)ds,гдеK(t, s) =
1
sh1
chs·ch(t−1),если t>s,
cht·ch(s−1),если t s;
г) (A∗x)(t)=
1
0
K(t, s)x(s) ds,где
K(t, s) =
ch(t−s)+
cht
sh1
sh(s−1), еслиt>s,
cht
sh1
sh(s − 1),
если t s.
.. а) Оператор P1 + P2 является ортопроектором тогда и только то-
гда,когдаH1⊥H2. ВэтомслучаеIm(P1+P2)=H1 ⊥
⊕ H2,аKer(P1 + P2) =
=(H1 ⊥
⊕ H2)⊥.
б) Оператор P1 P2 является ортопроектором тогда и только тогда, когда
P1P2 = P2P1. В этом случае Im(P1P2) =Im(P1), а Ker(P1P2) =KerP1 ∩KerP2.
. . Нет.
..An=T
n
l ,гдеTl x = (x2, x3, ...) — левый сдвиг в пространстве l2.
.. Операторы сдвига влево и вправо в пространстве l2 .
. . Оператор A унитарен тогда и только тогда, когда |λ j | = 1длявсех
j ∈ .ОператорB унитарен тогда и только тогда, когда |a(t)| = 1впростран-
стве L∞ [0, 1].
.. В обозначениях определения . Ker W ∗
=K2,W
∗
:K1→H1—изо
-
метрический изоморфизм.
.. Оператор A есть частичная изометрия тогда и только тогда, когда
для всех j ∈ либо |λj| = 1, либо λj = 0. Оператор B есть частичная изомет-
рия тогда и только тогда, когда (|a(t)|−1)a(t) = 0впространстве L∞[0, 1].
.. (An x)(t) =
1
2
(x(t)+x(n−t))вL2( ).
.. а) Нет. б) Да.
. . Да.
. . Нет в обоих случаях.
.. В l2(2) оператор A =
11
01.
.. В l2(2) оператор A =
11
11,B=
11
12.
.. а) Ax=( λ1x1, λ2x2,...);б)( Ax)(t)= a(t)x(t);в) A=A;
г) ( Ax)(t) =
1
0
3stx(s) ds.
.. а) (Wx)(t) = (sign a(t))x(t), где sign a(t) =
arg a(t), если a(t) = 0,
0,
если a(t) = 0;
(Sx)(t) = (Rx)(t) = |a(t)|x(t);
б)S=I,Rx=(0,x2,x3,...),W =A.
Ответы
.. Нет.
.. а), е) Да; б), в), г), д), ж), з) нет.
. .
1
0
K(ξ,t)K(ξ, s)dξ=
1
0
K(t,ξ)K(s, ξ)dξ.
..
−1
(Tr)l =Tl,
−1
(Tl)r =Tr.
..Tl иTr.
. . Оператор вложения Y → X ,гдеY — замкнутое недополняемое под-
пространство в банаховом пространстве X .
.. Оператор X → X /Y , x → [ x] (каждый вектор переходит в фактор-
класс, содержащий этот вектор), где Y — замкнутое недополняемое подпро-
странство в банаховом пространстве X .
.. A:C[0,1]→C1[0,1], Ax=x.
.. Пусть Y = (L, · Y ) — произвольное бесконечномерное банахово
пространство, { yα }—базис Гамеля в Y ,причём yα Y = 1длявсехα.По-
ложим X =(L, ·
X ) — нормированное пространство, на том же линейном
пространстве L,носнормой y = λk yk X := |λk |.
.. Да. Таким образом, c и c0 изоморфны.
. . Произвольный неограниченный функционал на банаховом про-
странстве X (см. задачу.).
..X =l2(2),Y =l1(2),операторыA:X→X иB:Y →Y задаютсяоди-
наковой матрицей
0−1
10.
.. A
−1
x = (x1/λ1, x2/λ2,...), A
−1
= sup
n∈
|1/λn| во всех пространствах.
.. A
−1
l x=(x2,x4,x6,...),B
−1
r
x = (x1, x2,0,x3,0,0,0,x4,0,...).
.. ( A−1
x )(t) = x (t)/a(t).
.. (A−1
x )(t) = x (t)/a(t).
.. ( A−1
r
x)(t) =
t
0
x (s) ds.
.. а) ( A−1
x)(t)=x(t)−e
−t
t
0
esx(s)ds;
б) (A−1
x)(t)=
x(t+1−a),еслиt a,
x(t−a),
еслиa<t 1.
.. ( A−1
x)(t)= x(t)−
2et
1+e2
1
0
esx(s)ds.
.. а) Тогда и только тогда, когда X = Y . б) Тогда и только тогда, когда
X есть замкнутое дополняемое подпространство в Y .
.. а) Тогда и только тогда, когда φ строго монотонна. б) Тогда и толь-
ко тогда, когда множество значений функции φ содержит отрезок [0, 1].
.. (I + C)−1
=
∞
n=0
(−1)n C
n
.
.. (A+ B)−1
=A
−1
∞
n=0
(−1)n(BA−1
)n
.
Ответы
.. а) ess inf
t∈[0,1]
|a(t)|; б) 1; в)
1
2
.
.. An =
1
n
I в любом пространстве.
.. X =l2, A =I, Anx =(x1,...,xn,0,0,...).
.. а) Нет; б) да.
..X =l1, X
∗
=l
∞
, система функционалов: e∞ ∪ {en}
∞
1 ,где
en = (0,0,...,0,1
n
,0,0,...), e∞ = (1,1,1,...).
.. (Tx)(t) =
t
0
x(s)ds в L2[0, π], {xk(t) = cos(kt)}∞
k=0
.
.. Система минимальна во всех пространствах и полна в простран-
ствах lp, p∈[1,∞), c0.
.. Система полна и минимальна во всех пространствах.
.. Система полна и минимальна во всех пространствах.
. . а) Система полна и не минимальна во всех пространствах.
б) Система полна и не минимальна во всех пространствах.
в) Система полна и не минимальна в пространствах L p [0, 1], p ∈ [1, ∞).
СистеманеполнаинеминимальнавпространствеC [0, 1].
г) Система полна и не минимальна во всех пространствах.
д) Система полна и минимальна во всех пространствах.
е) Система полна и минимальна в пространствах L p [0, 1], p ∈ [1, ∞). Си-
стема не полна и минимальна в пространстве C [0, 1].
ж) Система полна и минимальна в пространствах L p [0, 1], p ∈ [1, ∞). Си-
стема не полна и минимальна в пространстве C [0, 1].
з) Система полна и минимальна во всех пространствах.
.. {tn}
∞
n=1
.
.. Система является базисом Шаудера в lp, p ∈ [1, ∞), и в c0.
.. В пространстве l2 система e∞ ∪ {en }
∞
1 ,гдеen = (0,0,...,0,1
n
,0,0,...),
аe∞
= (1, 1/2, 1/3, ...).
. . В пространстве X = l1 система {en = (0,0,...,0,1
n
,0,0,...)}∞
1.
. . {ψk (t)}∞
k=0 ∪{tk}
n−1
k=0
,гдеψk — n -я первообразная функции φk (k-й
функции системы Фабера—Шаудера) с начальными условиями ψk(0) = ...
...=ψ
(n−1)
k
(0)=0.
.. Например, в l2 ряд
∞
n=1
en
n
.
. . а) Ряд
∞
n=1
rn(t)
n
,гдеrn — система Радемахера (см. задачу.).
б) Использовать тот факт, что для любого n ∈ в l1 существует подпро-
странство, изометричное линейной оболочке 〈r1 ,...,rn 〉⊂L1 [0, 1].
..ВL2[0,1]рядχ1−χ1+χ2−χ2+χ3−χ3+..., где{χm}
∞
1 —систе
-
ма Хаара.
.. В пространстве l2 последовательность операторов { An }
∞
1 ,где
An(x1, x2, x3,...)=(x1, x2,...,xn,0,0,...).
Ответы
. . Такой оператор компактен тогда и только тогда, когда dim X < ∞.
. . Нет.
.. В пространстве l2 положим
A(x1, x2, x3,...)=(z1x1, z2x2,...,zmxm,0,0,...),
где {zk}
m
k=1
— все
ненулевые корни многочлена p(z).
. . Любой ограниченный оператор в пространстве l1 .
. . В пространстве C [−1, 1] оператор ( Ax)(t) =
1
−1
x (s) ds.
.. Оператор компактен тогда и только тогда, когда λn → 0. Оператор
ядерный тогда и только тогда, когда
∞
n=1
|λn| < ∞.
.. В обоих случаях оператор компактен тогда и только тогда, когда
a≡0.
.. ( Ax)(t) = t
−1
t
0
x (s) ds.
.. Ax =
∞
n=1
xn ,0,0,0,... .
. . Нет.
.. Никогда не компактен.
.. Не обязательно.
.. Нет.
.. При α ∈ (0, 1).
.. а) α(A)=1,β(A)=0,indA=1;б)α(A)=0,β(A)=1,indA= −1.
. . Пусть I — конечное множество индексов. Оператор фредгольмов
тогда и только тогда, когда λk = 0лишьприk ∈ I иinf
n∈I
|λn| > 0. В этом случае
α(A)=β(A)=|I|,indA=0.
.. а) Оператор фредгольмов тогда и только тогда, когда ess inf
t∈[0,1]
|a(t)|>
>0.В этом случае α(A)=β(A)=indA=0.
б) Оператор фредгольмов тогда и только тогда, когда обратим, т. е .
a(t) =0длявсехt ∈ [0,1]. В этом случае α(A)=β(A)=ind A=0.
.. Для правого сдвига α(A) = 0, β(A) = 1, ind A = −1. Для левого
сдвига α(A)=1,β(A)=0,indA= −1.
.. α(A)=β(A)=indA=0.
.. а) При λ = 3 решение существует и единственно: x (t) = a + bt + ct2
,
гдеa=α,b=
3(4β+2αλ+γλ)
4(3−λ)
, c =γ.Приλ=3и6α+4β+3γ=0решений
нет. Приλ=3и6α+4β+3γ=0решениенеединственно: x(t)=a+bt+ct2
,
гдеa=α,b∈ ,c=γ.
б) При λ= 64±4 241 решение существует и единственно: x (t) = at + bt2
,
гдеa=
48(5 − λ)α
λ2 −128λ+240
,b=
60λα
λ2 −128λ+240
.Приλ=64±4 241иα=0ре-
шений нет. Приλ=64±4 241иα=0решениенеединственно: x(t)=
= at+bt2
,гдеa =
4b(5 − λ)
5λ
,b∈.
Ответы
.. а) При λ =
2
π
решение существует и единственно: x (t) = a sin t +
+bcost,гдеa=
2α
2−λπ
,b=
2β
2−λπ
.Приλ =
2
π
и |α|+|β|=0 решений нет.
Приλ=
2
π
и α=β =0решениенеединственно: x(t)=asint+bcost,где
a,b∈ .
б)Приλ=±
2
π
решение существует и единственно: x (t) = a sin t + b cos t,
гдеa=
2α
2+λπ
,b=
2β
2−λπ
.Приλ =
2
π
иβ=0решенийнет.Приλ=
2
π
и
β=0решениенеединственно: x(t)=asint+bcost,гдеb∈ , a =
2α
2+λπ
.
Приλ=−
2
π
иα=0решенийнет.Приλ=−
2
π
иα=0решениенеедин-
ственно: x(t)=asint+bcost,гдеb=
2α
2−λπ
,a∈.
.. Если λ = ±
2i
π
,то y — любая функция. Если λ =
2i
π
,то y —любая
функция, для которой
(y, e
−it
)=
π
0
y (t)eit
dt=0.
Еслиλ=−
2i
π
,то y — любая функция, для которой
(y, e
it
)=
π
0
y(t)e−it
dt=0.
..β =−
2
3
.
.. а) При λ = 1 решение существует и единственно:
x(t) =
a+3λ
1−λ
t+4t2
.
При λ = 1иa = −3 решений нет. При λ = 1иa = −3 решение не единствен-
но: x(t)=ct+4t2
,гдеc ∈ .
б) При λ = 1 решение существует и единственно:
x(t)=4t+
5λ+b
1−λ
t2
.
При λ = 1иb = −5 решений нет. При λ = 1иb = −5 решение не единствен-
но: x(t)=4t+ct2
,гдеc ∈ .
..а)Приλ=π
2
(n − 1/2)2
, n ∈ , решение существует и единствен-
но: x(t)=0.Приλ=π
2
(n − 1/2)2 решение не единственно и имеет вид
x(t)=asin(π(n−1/2)t),a∈ .
б)Приλ=z
2
n
(n = 0,1, ...), где z0 — решение уравнения th z =
1
z
,
{zn }
∞
1 —корни уравнения1) tg z = −1/z в , решение существует и един-
ственно: x(t)=0.Приλ=z
2
n
решение не единственно: x (t) = a ch(z0 t)
(n=0), x(t)=acos(znt)(n∈ ).
1) Можно показать, что все числа z 2
n
в еще стве нны и все , кр оме одного, положи-
тельны. Если занумеров ать их в порядке возрастания, то z2
n
= (πn − π + O(n−1))2.
Ответы
..а)Приλ=π
2
n2
,гдеn ∈ \ {0}, решение существует и единствен-
но: x(t) =
sh −λt
sh −λ
(приλ=0x(t)=t).Приλ=π
2
n2
,гдеn ∈ \ {0}, реше-
ний нет.
б)Приλ=π
2
n2
,гдеn ∈ , решение существует и единственно: x (t) =
=
4π2
4π2−λ
sin 2πt.Приλ = π
2
n2
,гдеn ∈ , n = 2, решение не единственно:
x(t)=asinπnt+
4π2
4π2−λ
sin 2πt,гдеa ∈ .Приλ = 4π2 решений нет.
..а)Приλ=−
π2
2
(2n + 1)2
,гдеn ∈ , решение существует и един-
ственно: x (t) =
π2
π2+2λ
cos πt.Приλ = −
π2
2
(2n + 1)2
,гдеn∈ ,n=0,реше-
ние не единственно: x (t) = ae
2λt+be− 2λt+
π
2
π2+2λ
cos πt.Приλ = −
π
2
2
решений нет.
б)Приλ=−2π2иλ=−
π2
2
(2n + 1)2
,гдеn ∈ , решение существует и
единственно:
x(t)=
λ
2π2+λ
e
2λt
1+e 2λ
+
e
−
2λt
1+e− 2λ
+
2π2
2π2+λ
cos(2πt).
Приλ=−
π2
2
(2n + 1)2
,гдеn ∈ , решений нет. При λ = −2π2 решение су-
ществует и единственно: x(t) = cos(2πt) + π
1
2
− t sin(2πt).
. . а) При λ/∈ {−1, π
2
n2}, где n ∈ , решение существует и единствен-
но:
x(t) =
λ(1+ λsin λ+cos λ)
(1+λ)(π2 −λ)sin λ
sin( λt) +
+
λ( λ+ λcos λ−sin λ)
(1+λ)(π2 −λ)sin λ
cos( λt) +
π2
π2−λ
cos(πt).
Приλ=−1,λ=π
2
иприλ = 4π2 n
2
,гдеn ∈ , решений нет. При λ =
=π
2
(2n + 1)2
,гдеn ∈ , решение не единственно:
x(t)=asin( λt)+ a λ−
λ
π2−λ
cos( λt) +
π2
π2−λ
cos(πt), a ∈ .
б) При λ/∈ {−1, π
2
n2}, где n ∈ , решение существует и единственно:
x(t) =
λ(−1+ λsin λ+cos λ)
(1 + λ)(4π2 − λ)sin λ
sin( λt) −
−
λ( λ− λcos λ+sin λ)
(1 + λ)(4π2 − λ)sin λ
cos( λt) +
4π2
4π2−λ
cos(2πt).
Приλ=−1,λ=4π2иприλ=π
2
(2n − 1)2
,гдеn ∈ , решений нет. При
λ=4π2n
2
,гдеn 2, решение не единственно:
x(t)=asin( λt)+ a λ−
λ
4π2−λ
cos( λt) +
4π2
4π2−λ
cos(2πt), a ∈ .
Ответы
.. а), б) Уравнение не имеет решений ни в C [0, π], ни в L p [0, π],
p∈[1, ∞]. в) Уравнение разрешимо и в C[0,π], и в Lp[0,π], p ∈[1, ∞].
.. При |λ|>1: Rλ(U)= −
∞
n=0
Unλ
−n−1
.При|λ| < 1: Rλ(U) =
∞
n=0
U−n −1
λn
.
.. σ(P) = σp(P) = {0, 1}, Rλ(P) =
P
1−λ
−
I−P
λ
.
.. а) σ(A) = {λn}
∞
1; σp(A)={λn}
∞
1 ;еслиλ ∈ {λn}
∞
1 \{λn}
∞
1,тоλ∈
∈ σc(A).
б)
Оператор
Спектр
Tlвl1 Trвl1 Tlвl∞ Trвl∞
σp
|λ|<1
∅
|λ| 1
∅
σc
|λ|=1
∅
∅
|λ|=1
σr
∅
|λ| 1
∅
|λ|<1
ρ
|λ|>1 |λ|>1 |λ|>1 |λ|>1
в) σ( A) = {λ :существуеттакое x ∈ [0, 1], что a( x) = λ}(множествозна-
чений функции a). Если существует такой интервал (α, β ) ⊂ [0, 1], что для
любого x ∈ (α,β) выполнено a(x) =λ,тоλ ∈ σp(A), иначе λ ∈ σr(A).
г) σ(A)={λ:μ{x:|a(x)−λ|< }>0длялюбого >0}(множествосу-
щественных значений функции a). Если μ{x : a(x) = λ} > 0, то λ ∈ σp(A).
Еслиλ∈σ(A)иμ{x:a(x)=λ}=0, то λ∈σc(A)приp<∞иλ∈σr(A)при
p=∞.
д) σ(A) = E(a) ∪ {0}, где E(a):= {λ:существуеттакоеx ∈ ,чтоa(x) =
= λ} — множество значений функции a. Если существует такой интервал
(α, β) ⊂ ,чтодлялюбогоx ∈ (α, β) выполнено a(x) = λ,тоλ ∈ σp(A), если
0 /∈ E (a), то 0 ∈ σc( A). Во всех остальных случаях спектр остаточный.
е)При1<p<∞имеемσ(A)=σc(A)={λ:|λ|=1}.Приp=∞ имеем
σ(A)=σp(A)={λ:|λ|=1}.При p=1 имеем σ(A)=σr(A)={λ:|λ|=1}.
..
Оператор
Спектр
A
A∗
σp
|λ|<1
λ=0
σc
|λ|=1
|λ|=1
σr
∅
0<|λ|<1
.. а) σ(A)= σc(A)={0}, r(A)=0;
б)σ(A)=σr(A)={0}, r(A)=0.
Для пунктов а) и б):
(Rλ(A))f(x) = −
1
λ
f(x)+
1
λ
x
0
e
x−t
λ f(t)dt
.. а) σ(A)= σp(A)={0}, r(A)=0, Rλ(A)= −
1
λ
I+
A
λ
;
Ответы
б)
Оператор
Спектр
A
A∗(A)
σp
∅
|λ|<1(p>1q<∞)
|λ| 1(p=1,q =∞)
σc
|λ|=1(p>1)
|λ|=1(p>1)
∅(p=1)
∅(p=1)
σr
|λ|<1(p>1)
∅
|λ| 1(p=1)
r(A)=1,Rλ(A)x= y,гдеyn = −
xn/2k
λk+1 , где суммирование производится по
тем k 0, для которых
n
2k∈ .
в) σ(A)=σp(A)={0}, r(A)=0, Rλ(A)= −
1
λ
I+
A
λ
+
A2
λ2;
г) σ(A)=σp(A)={±1}, r(A)=1,Rλ(A)= −
A+λI
λ2−1
;
д)σ(A)=σp(A)= 1,−
1
2
±i
3
2
, r(A)=1,Rλ(A)= −
A2+λA+λ2I
λ3−1
;
е) σ(A)= σp(A)={0,1}, Rλ(A)=
A
1−λ
−
I−A
λ
.
.. а), б), в), г) σ(A)= σp(A)={±1}, Rλ(A)= −
A+λI
λ2−1
;
д) σ(A)= σp(A)={0,±π},
(Rλ(A))f(x) =
cos x
λ(π−λ)
π
−π
f (t)costdt+
sin x
λ(π+λ)
π
−π
f (t)sintdt−
f(x)
λ
;
е) σ(A)= σp(A)={0,±1},
(Rλ(A))f(x) =
1
λ
x
f (1)
1−λ
−
f (0)
1−λ2 +
f (0)
1+λ
−
f(x) .
.. Оператор ( Ax)(t) =
t
0
x(s)dsвC[0,1]и оператор A(x1, x2, x3,...)=
= (0, x1, x2, x3,...)вl2.
.. а) σess(A)={z ∈ σ(A):λnk
→ z} для некоторой подпоследователь-
ности;
б) σess(Tl) =σess(Tr) ={z∈ : |z|=1};
в) σess(A)= σ(A)={a(t): t ∈ [0,1]};
г) σess(A)=σ(A)={z∈ : μ{t∈[0,1]: |a(t)−z|< }>0 для любого >0};
д)σess(A)=σ(A)={z∈ :|z|=1};
е) σess(A)= σ(A)={0};
ж) σess(A)= σ(A)={−1,1};
з) σess(A)= σ(A)={−1,1};
и) σess(A)={0};
к) σess(A)={0}.
.. Оператор ( Ax)(t) = tx(t)в L2 [0, 1] и оператор (Bx)(t) = t
2
x (t)
в L2 [−1, 1].
Ответы
.. а), в)Еслиβ =0, то σ(A)=σc(A)=σess(A)=[α−2β,α+2β], а
если β =0, то σ(A)=σp(A)=σess(A)={α};
б) σ(A)= σc(A)= σess(A)=[−2i;2i].
.. σ(A) = σess(A) = {|z| 1}, σp(A) = {1}, σc(A) = {|z| = 1} \ {1},
σr(A)={|z| <1}.
.. Если подпространства H1 и H2 нетривиальны, то σ(U ) = σp (U ) =
= {−1, 1}. Если подпространство H1 тривиально, то σ(U ) = σp (U ) = {−1}.
Если подпространство H2 тривиально, то σ(U ) = σp (U ) = {1}.
.. В пространстве l2( )положим(Akx)n = xn−1 при n = 1и(Ak x)1 =
= x0/k.
.. а) [0, 1]; б) {|z| 1/2}.
. . Нет.
..а) conv{λn: n∈ };б)conv{a(t):t∈[0,1]};в){z∈ :|z|<1}.
.. Вобоихпространствах x (t) = y (t) − λ
t
0
y(s)eλ(s−t) ds.
.. Нет.
. . а) A = 0 в произвольном пространстве; б) ( Ax)(t) =
t
0
x(s)ds
в L2[0, 1]; в) (Ax)(t) =
t
0
x(s)ds в C[0,1].
..а)σp(A)= λ=a+ib: a−
q
2
2
+b2<
q2
4
,гдеq =
p
p−1
;
б)σp(A)= λ=a+ib: a−
1
2
2
+b2 1
4
,λ=0;
в)σp(A)= λ=a+ib: a−
1
2
2
+b2<
1
4
∪ {1}.
.. Обозначим a := Re α, Ax = λx , λ = σ + iτ. Тогда собственные зна-
чения заполняют круг σ −
1
2
p
pa−1
2
+τ2<
p2
4(pa−1)2.
.. а) σ( A) = {±π/2, 0}. При λ = π/2 собственная функция x (t) =
= a(sin(t) + cos(t)), где a —ненулевая константа. При λ = −π/2собствен-
ная функция x (t) = a(sin(t) − cos(t)), где a —ненулевая константа. При
λ = 0 все функции, ортогональные sin(t)иcos(t), являются собственными.
б) σ( A) = {±π/2, 0}. При λ = π/2 собственная функция x (t) = a cos(t),
где a —ненулевая константа. При λ = −π/2 собственная функция x (t) =
= a sin(t), где a —ненулевая константа. При λ = 0всефункции,ортого-
нальные sin(t)иcos(t), являются собственными.
.. σp(A)=
2π
3n
∞
n=0
, соответствующие собственные функции x (t) =
=e
±int
.
.. σp(A) =
1
n+
1
2
2
−
1
∞
n=1
, соответствующие собственные функ-
цииx(t)=sin n+
1
2
t.
Ответы
..а)λ0=1, x0(t)=e
t
,λn=−
1
π2 n2 , xn (t) = sin(πnt) + πn cos(πnt),
n∈;
б)λn=
3
z2
n
,гдеzn — положительные корни уравнения tg(z2 ) =
2z
z2−1
,
xn(t) = sin(znt)+zn cos(znt), n ∈ (заметим, что zn = πn + o(1) при n → ∞).
. . ( Ax)(t) =
1
0
F(t − s)x(s)ds, F(ξ) =
n∈
ane
2iπnξ
, где ряд сходится
равномерно на [0, 1], но не сходится абсолютно.
. . а), б) Существуют.
.. A =
2
π
, A∈Spприp>1.
.. Sx =
∞
n=0
2
π(2n+1)(x,en)en, Wx =
∞
n=0
(x, en)fn,где
en (t) = 2cos
π(2n + 1)t
2
,
fn(t) = 2sin
π(2n + 1)t
2
.
.. а) A =
4b
π
;б)A=
4b
π
;в)A=
2b
π
.
.. а) σp =
π
2n+1
∞
1
, σc={0};б)σp={π}∪
π
2n+1
∞
1
,σc={0};в)σp=
= {0}∪
π
2n+1
∞
1
. Все три оператора принадлежат всем классам S p , p 1.
.. а) σp(A) =
1
π2 (n − 1/2)2
∞
n=1
, σc(A) = {0}; б) σp(A) = {z−2
n
}∞
n=1
,
где {zn}
∞
1 —корни уравнения tgz = −1/z в , σc( A) = {0}. Оба оператора
лежат в любом классе Sp , p 1.
.. а) λ∈ c0; б) λ∈lp; в) inf|λn| >0; г) конечное число нулевых чи-
сел λn , а все остальные по модулю отделены от нуля; д) λn ∈ для любого n;
e) |λn| =1 для любого n; ж), з) λn ∈ {0,1} для любого n; и) |λn|∈{0,1} для
любого n; к)λn 0 для любого n; л) для всех λ; м)λn ∈{−1,1}для любо-
го n.
..а)a=0;б)a=0;в),г)essinf|a|>0;д)Ima=0;e)|a|=1;
ж), з) функция a равна характеристической функции некоторого измери-
мого множества; и) |a(t)|∈{0, 1} для почти всех t ∈ [0, 1]; к) a(t) 0для
почти всех t ∈ [0, 1]; л) для всех a; м) a(t) = χΩ − χ[0,1]\Ω,гдеΩ — некоторое
измеримое множество.
. . Верно для всех случаев.
.. σ(A) ={λ: |λ2
− 1| 1}, σp(A)={λ:|λ2
− 1|<1}, σc(A)={λ∈ :
|λ2
− 1|=1}при p∈[1;∞);σ(A)=σp(A)={λ:|λ2
− 1| 1}приp=∞.
.. (f(A)x)(t) = f(a(t))x(t).
.. (exp(A)x)(t) = x(t) +
t
0
∞
n=0
(t−s)n
n!(n + 1)!
x (s) ds.
. . Да.
.. X = l2(2), A =
01
00,B=
00
10.
.. Верно.
. . В общем случае неверно.
Ответы
.. Да.
.. X = L2[0, 1], ( Ax)(t) =
t
0
x(s)ds, p(x)= x.
.. A
−1
=A.
.. а) f(A)=f(1)·I;
б) f(A)=f(0)(I−A)+f(1)A;
в) f(A)(x1, x2, x3,...)=(f(λ1)x1, f(λ2)x2, f(λ3)x3,...);
г) (f(A)x)(t) = f(a(t))x(t).
..Пусть H=KerA ⊥
⊕ H1,{en}
∞
1 —базис в H1 из собственных векто-
ров оператора A, причём соответствующие собственные значения зануме-
рованы в порядке убывания модуля |λ1| |λ2| ... с учётом кратности. То-
гда f (A)|Ker A = f (0)I,аматрицаM = (mi, j ) оператора f (A)вбазисе{en }
∞
1
имеет вид mi,j =δ
j
i f(λj).
.. Eλ =
⎧
⎨
⎩
0,
если λ 0,
I − P ,если0<λ 1,
I,е
с
л
и
λ>1;
Hλ=
⎧
⎨
⎩
0, еслиλ 0,
Y ⊥ ,если0<λ 1,
H ,еслиλ>1.
.. Eλ =
λjλ
Pj,гдеPj x = (x, e j)ej —проектор на j-й координатный
орт, Hλ =Lin{ej: λj λ}.
. .
(Eλx)(t)=
⎧
⎨
⎩
0,
если λ 0,
x (t)χ[0,λ](t), если 0 <λ 1,
x (t),
если λ>1,
Hλ=
⎧
⎨
⎩
0,
если λ 0,
L2[0,λ], если 0 <λ 1,
L2 [0, 1], если λ>1,
где χ[a,b] — характеристическая функция отрезка [a, b].
.. Eλ =
λjλ
Pj,гдеPj x = (x, e j)ej —проектор на j-й координатный
орт, Hλ =Lin{ej: λj λ}.
.. Eλ =
λjλ
Pj ,где{λ j } — собственные значения, {e j }—нормиро-
ванные собственные векторы оператора A,аPj x = ( x , e j )e j —проектор на
j-й собственный вектор; Hλ = Lin{e j : λ j λ}.
а)λ1=−2,e1=
1
2
1
−1
,λ2=2,e2=
1
2
1
1.
б)λ1=1,e1=
1
2
1
−1
,λ2=3,e2=
1
2
1
1.
в)λ1=−1,e1=
1
2
i
1,λ2=1,e2=
1
2
−i
1.
г)λ1=− 2,e1=
1
2
⎛
⎜
⎝
1
−
2
i
⎞
⎟
⎠,λ2=0,e2=
1
2
⎛
⎜
⎝
i
0
1
⎞
⎟
⎠,λ3= 2,e3=
1
2
⎛
⎜
⎝
1
2
i
⎞
⎟
⎠.
Ответы
.. Обозначим φ (a) = α, φ(b) = β ,ачерезφ−1
= ψ обозначим обрат-
ную функцию, т. е. ψ(φ(t)) = t для всех t ∈ [a, b]. Тогда
(Eλx)(t) =
⎧
⎨
⎩
0,
если λ α,
x (t)χ[0,ψ(λ)](t), если α<λ β ,
x (t),
если λ>β,
Hλ=
⎧
⎨
⎩
0,
если λ α,
L2 [0, ψ(λ)], если α<λ β ,
L2 [0, 1],
если λ>β,
где χ[a,b] — характеристическая функция отрезка [a, b].
.. Пусть {λ j } — все попарно различные собственные значения опе-
ратора A, занумерованные в произвольном порядке, X j = Ker( A − λ j I )—
соответствующие собственные подпространства, а Pj — ортопроекторы на
подпространства X j .Тогда Eλ =
λjλ
Pj,аHλ = Lin{Xj: λj λ}.
.. Разложим пространство H = L2[−1, 1] в ортогональную сумму
H=H1 ⊥
⊕ H2 подпространств всех чётных и нечётных функций и обозначим
Q1: x(t) → x1(t):=
1
2
(x(t) + x(−t)), Q2 : x(t) → x2(t):=
1
2
(x(t) − x(−t)) —
операторы ортогонального проектирования на подпространства H1 и H2
соответственно. Тогда
(Eλx)(t) =
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
0,
λ −1,
(χ[−1,− −λ)(t) + χ( −λ,1](t))x2 (t),
λ∈(−1,0];
x2(t) + (χ[−1,− λ)(t) + χ( λ,1](t))x1(t), λ ∈ (0,1];
x (t),
λ>1.
При λ ∈ [−1, 0] Hλ есть подпространство нечётных функций с носителем,
вложенным в [−1, − −λ) ∪ ( −λ,1], а при λ ∈ [0, 1] Hλ есть ортогональ-
ная сумма подпространства всех нечётных функций и подпространства чёт-
ных функций с носителем, вложенным в [−1, − λ) ∪ ( λ,1].
.. Циклический вектор существует тогда и только тогда, когда все
числа {λ j } попарно различны.
.. Циклический вектор существует тогда и только тогда, когда все
числа {λ j } попарно различны.
.. Да.
.. а) (Eλx )(t) =
⎧
⎨
⎩
0,
если λ 0,
x (t)χ[−λ,λ](t), если 0 <λ 1,
x (t),
если λ>1;
б) (Eλx)(t) =
⎧
⎨
⎩
0,
если λ 0,
x(t)χ[− λ, λ](t), если 0 <λ 1,
x (t),
если λ>1,
где χ[a,b] — характери-
стическая функция отрезка [a, b].
Ответы
..а)a=0,b=1,μ1=−dt,μ2=dt,U:x→(y1,y2),гдеy1(t)=x(−t),
а y2(t) = x(t)(t ∈ [0,1]);
б)a=0,b=1,μ1=−d t,μ2=d t,U:x→(y1,y2),гдеy1(t)=x(− t),
а y2(t)= x( t)(t∈[0,1]).
.. (Eλ x)(t) =
⎧
⎨
⎩
0,
если λ 0,
x (t)χ[0,
3
λ](t), если 0 <λ 1,
x (t),
если λ>1,
где χ[a,b] — характери-
стическая функция отрезка [a, b]. Оператор A унитарно эквивалентен опе-
ратору умножения на независимую переменную в L2 ([0, 1], d
3
t); унитар-
ный изоморфизм осуществляет оператор U : x (t) → x (
3
t).
.. (Eλx)(t) =
⎧
⎨
⎩
0,
если λ 0,
x (t)χ[0,arcsin(λ)](t), если 0 <λ 1,
x (t),
если λ>1,
где χ[a,b] — характе-
ристическая функция отрезка [a, b]. Оператор A унитарно эквивалентен
оператору умножения на независимую переменную в L2 ([0, 1], d arcsin t);
унитарный изоморфизм осуществляет оператор U : x (t) → x (arcsin t).
.. (Eλx)(t) =
⎧
⎨
⎩
0,
если λ −1,
x (t)
n∈
χ[an ,bn](t), если − 1 <λ 1,
x (t),
если λ>1,
где χ[a,b] —ха
-
рактеристическая функция отрезка [a, b], an = −π
−
arcsin λ + 2πn,аbn =
= arcsinλ + 2πn.
..a=−1,b =1,μn =(−1)ndarcsint+πn,U: x→(yn)
∞
−∞
,где yn(t) =
= x(πn+(−1)n arcsint), t ∈[−1,1].
.. Мера μ =
∞
n=1
δn ,гдеδn — точечная мера, сосредоточенная в точке
1
π2(n − 1/2)2 , т. е. для любого множества A ⊂ [0,4/π2]
δn(A)=
1, если
1
π2(n − 1/2)2 ∈ A,
0и
н
а
ч
е
.
Изометрический изоморфизм V : L2[0, 1] → L2 ([0, 4/π2], μ)действуетпо
правилу(Vx)(t) =
∞
n=1
fnχn(t), где fn =
2
1
0
x (t)sin(π(n − 1/2)t) dt,аχn (t) =
=
1,еслиt=
1
π2(n − 1/2)2 ,
0иначе.
.. Пусть оператор A действует в конечномерном евклидовом про-
странстве E размерности n 2. Пусть {λ j }n
j=1
— собственные значения опе-
ратора A, занумерованные в произвольном порядке с учётом кратности, а
{ej}n
j=1
— соот в е т с твующие ортонормированные собственные векторы. Вы-
берем произвольные n точек {t j }n
j=1 на отрезке [0,1], например t j = j/(n+1),
Ответы
иположимμ =
n
j=1
δ j ,гдеδ j — точечная мера, сосредоточенная в точке t j ,
т.е. δj(A)=
1,еслиtj∈A,
0иначе
для любого множества A ⊂ [0, 1]. Определим
оператор U по правилу U : x →
n
j=1
fjχj(t), где χj =
1,еслиt=tj,
0иначе,
аfj=
= (x , e j ) — коэффициент в разложении вектора x по базису{e j }n
1 .Остаётся
положить a(t) =
n
j=1
λjχj(t).
.. Оператор U : L2 [−π, π] → l2( ) действует по правилу
(Ux)n =
1
2π
π
−π
x (t)e−int
dt,
афункцияa(t) = 2cost.
. . X — любое множество, содержащее более одного элемента, τ =
= {X,∅}.
.. X =
, τ={ \M:M конечно;X,∅}.
.. X = [0, 1], τ — топология с базой
β={(a,b):0 a<b 1}∪{[0,a)\{n
−1
}∞
n=1 :0< a 1}.
.. X =[0,1) ×[0,1), τ — топология с базой
β={[a,b)×[c,d):0 a<b 1,0 c<d 1}.
.. В пространстве (X,τ), где X = , τ ={ \M: M конечно;X,∅},
любая нестабилизирующаяся последовательность сходится к любой точке
x∈ .Впространстве(X,τ),где X = , τ ={ \M:M неболеечем счётно;
X , ∅}, любая стабилизирующаяся последовательность имеет единственный
предел, а любая нестабилизирующаяся последовательность не имеет преде-
ла.
.. Множество M = {sin(nt): n ∈ } и предельная точка x = 0.
. . Множество M = [0, 1], а предельная точка — любая.
.. Пусть X = A(D), а K1 ⊂ K2 ⊂ ...—произвольная система вложен-
ных компактов, исчерпывающая область D ,т.е
.D=
∞
n=1
Kn .Тогдатопология
спредбазойизмножеств
Vn, (g)={f∈A(D): sup
z∈Kn
|f(z) −g(z)|< }
задаёт равномерную сходимость внутри D .Однакодляразныхсистемком-
пактов {Kn } определяемые по ним топологии не сравнимы.
. . X — любое несчётное множество, а топология τ состоит из пусто-
го множества и всех подмножеств X , содержащих некоторую фиксирован-
ную точку x0.
.. X = [0, 1] с топологией τ всех подмножеств, дополнение которых
(в отрезке [0, 1]) содержит не более чем счётное число точек, а отображе-
ние f(x)=1приx ∈[0,1/2], f(x) =0приx ∈(1/2,1].
Ответы
.. Нет.
.. Да.
. . Да.
.. Открытые шары B(0, 1/n), n = 1, 2, ...
. . X = с дискретной топологией: все подмножества открытые.
.. X = , база топологии состоит из всех интервалов вида (r1 e
iφ
, r2e
iφ
),
где r1 , r2 > 0, φ ∈ [0, 2π), и всех открытых кругов с центром в нуле.
. . а) Все точки единичной сферы крайние (и для ,идля ).
б) Для поля :{±en }
∞
n=1
,гдеen = (0,0,...,0,1
n
,0,0,...);
для поля :{eiφ en }n∈ ,φ∈[0,2π) .
в) Для поля :всевекторы(x1 , x2 , ...) из пространства c,где xn ∈ {±1}
длявсехn∈ ;
для поля :всевекторы(x1 , x 2 , ...) из пространства c,где| xn | = 1для
всехn∈ .
г) Крайних точек нет (и для ,идля ).
д) Для поля :всевекторы(x1 , x 2 ,...), где xn ∈ {±1} для всех n ∈ ;для
поля :всевекторы(x1, x2,...), где |xn| = 1длявсехn ∈ .
е) Для поля :{x(t) ≡±1}; для поля :{x(t) ≡ eiφ }, φ ∈ [0, 2π).
ж) Крайних точек нет (и для ,идля ).
.. а) Да; б) нет.
.. Нет.
..X =s,f(x)=x1+x2.
..ImA=C
∞
[0,1], KerA =Lin1.
.. а)ImA=C
∞
[0,1],KerA={0};
б)ImA={x∈C∞[0,1]:x(0)=x(1/2)=x(1)=0},KerA={0}.
..X =l2, A ={en:n∈ },гдеen = (0,0,...,0,1
n
,0,0,...).
..M ={x=(x1,x2,...)∈l2: |xn|< 3 nдлявсехn∈ }.
.. xn = n
α
en,гдеα ∈ (0,1 − 1/p), а en = (0,0,...,0,1
n
,0,0,...).
.. X = l1, X
∗
=l∞⊃c0=X0.
.. X =l1, X
∗
=l
∞
не сепарабельно в топологии нормы, но сепара-
бельно в ∗-слабой топологии.
.. e
−x2
∈S\D;1∈E\S.
. . ВобоихслучаяхфункциилежатвE \ S,аносительравен .
. . Нет.
. . а) 0; б) нет предела; в) нет предела; г) e x ; д) 0; е) нет предела.
.. Во всех случаях нет предела.
.. fn(x) = ω−1,1(x − n), где ω — «шапочка» из задачи ..
.. fn(x) =
1
n!
φ0(x − n), где φ0 — любая ненулевая функция из D.
.. а) При любой α ∈ C∞( );
б)прилюбойα∈C∞( );
в) оператор непрерывен тогда и только тогда, когда для любого k = 0, 1,
2, ... найдётся такое pk ,чтоsup
t∈
|α(k) (t)|(1 + |t|)pk < ∞;
г), д), е) оператор непрерывен тогда и только тогда, когда α ∈ D.
Ответы
.. Верно.
.. P
1
x
+cδ0,c∈ .
.. а)
∞
n=1
n!δ0(x − n); б)
∞
n=1
δ0(x − n).
..
φ(k−1)(0)
(k−1)!
.
. .
2φ(k−1)(0)
(k−1)!
.
. . а) [0, ∞) и {0}; б) {a}и{a}; в) и{0}.
. .
cth π
2
.
.. а) δ0; б) πδ0; в) 2δ0; г) δ0.
..а)〈F,φ〉=φ(0);б)F=0;в)〈F,φ〉=
∞
k=0
φ(k)(k);г)F=0;д)F=0;
е) предела нет; ж) 〈F, φ〉 = πφ (0); з) предела нет.
.. Нет.
.. Нет.
..а)cδ0,c∈ ;
б)
∞
n=−∞
cnδ0(x − πn), {cn} — любые числа;
в)cosx·P
1
x
+ cδ0;
г) −P
1
x
+c1θ(x)+c2.
.. а) 〈(xλ
+) ,φ〉=λ
∞
0
(φ(x) − φ(0))xλ−1
dx;
б)P
1
|x|
,φ
= 2φ(0)−
|x|>1
sign x
x2 φ(x)dx−
−
1
−1
sign x
x2 (φ(x) −φ(0)−φ (0)x)dx;
в)〈(lnx+) ,φ〉=
1
0
φ(x) − φ(0)
x
dx+
∞
1
φ(x)
x
dx;
г)P
1
x
;
д)P
1
x
,φ
=v.p.
φ(0) − φ(x)
x2
dx;
е)P
1
x
− iπδ0;
ж) λxλ−1
+;
з) λ(x + i0)λ−1
;
и) −δ0.
.. а) 2δ0;
Ответы
б)−|sinx|+2
∞
k=−∞
δkπ(x);
в) 〈(xλ
+) ,φ〉=
∞
0
(φ(x) − φ(0) − φ (0)x)λ(λ − 1)xλ−2
dx;
г)〈(lnx+) ,φ〉=φ(0)+φ(0)−
1
0
φ(x)−φ(0)−φ (0)x
x2
dx−
∞
1
φ(x)
x2 dx;
д)〈(ln|x|) ,φ〉=v.p .
φ(0) − φ(x)
x2
dx;
е)〈(ln(x+i0)) ,φ〉=v.p.
φ(0) − φ(x)
x2
dx − iπδ0;
ж)P
1
x
,φ
= 2v.p.
φ(x)−φ(0)−φ(0)x
x3
dx.
.. λ(λ − 1)(λ − 2)...(λ − n − 1)xλ−n
+.
..а)1;б)n+1;в)1;г)1.
.. а) [−2, 2], 1; б) {−2, 0, 2}, 1.
.. а) Регулярная функция, порождённая произвольным многочле-
ном степени не выше n − 1;
б)F=c1xλ
++c2xλ
−
приλ=−1,−2,..., F=c1 P
1
x
(n−1)
+ c2δ
(n−1)
0
,где
cj∈ ,приλ=−n,n∈ ;
в) e−x
(θ(x) + C), где C — произвольное число;
г)θ(x)sinx + Acos x +Bsin x,гдеA и B — произвольные числа;
д)ln|x|+c1θ(x)+c2,гдеcj ∈ ;
е)θ(x)shx+Achx+Bshx,гдеA иB—произвольные числа.
..
1
a
δ−b/a .
. .
e−iay
−
e−iby
i 2πy
.
.. См. задачу..
.. ˆ
φ1/n/ ˆφ1/n L1( ),гдеφδ — функции из задачи ..
..g(x)=v.p.
1/2
−1/2
e−it x
tln|t| dt.
.. а) Да; б) нет.
.. а) Да; б) нет.
.. а) ˆf(y)=
2
π
sin ay
y
;
б) ˆf(y)=
2
π
a
y2+a2;
в) ˆf(y)=
π
2
e−a| y|
a
;
г) ˆf(y)=
1
2a
e−y2/(4a);
д) ˆf(y)= −isigny
π
2
e−a| y|;
Ответы
е) если Im α>0, то
ˆ
f(y) =
0п
р
и
y<0;
−i 2πeiαy
приy>0;
если Im α<0, то
ˆ
f(y)=
i 2πeiαy
приy<0;
0п
р
и
y>0;
ж)
π
2
χ[−a,a];
з)
π
2
(a −|y|)χ[−a,a]( y); и)
π
2
1
ch
πy
2
.
.. σ(ˆF) = σp(ˆF) ={±1,±i}.
.. Получающиеся в (.) и (.) обобщённые функции ( ˆFf)1 и
(ˆFf)2 связаны так: ( ˆFf)1(y) = ( ˆFf)2(−y).
.. а) −i
π
2
sign y;
б)
e−iay
2π
;
в)
(iy)n
2π
e−iay
;
г) ∓i 2πθ(y);
д) −i
2
π
P
1
y
;
е)−
i
2π
1
x−i0
;
ж) −i
π
2
v.p.
e−| y|
y
;
з)
π
2
v.p.
e−| y|
y
,где
v.p.
e−| y|
y
,φ
=−v.p.
e−|y|(|y|+1)
y2
(φ(y) − φ(0))dy;
и)i
π
2
(θ(1− x)−θ(1+x));
к)
−i
2π
1
y+ai
;
л)−
iΓ(λ + 1)
2π
e−iλπ/2 ( y − i0)−λ−1
=
iΓ(λ + 1)
2π
(−e
− iλπ/2 y
−λ−1
+
+ eiλπ/2 y
−λ−1
−
);
м)
i
2π
−Γ(1)+i
π
2
1
y−i0
−
ln(y−i0)
y−i0
,где
ln(y−i0)
y−i0
,φ :=lim
→+0
ln(y−i
y−i
φ(y) dy,
аln(x+i )=ln|x+i |+iarg(x+i ), причёмarg∈[0,2π);
н)
π
2
(δ−a + δa);
о)i
π
2
(δ−a
− δa);
п)
1
2
ei(π−y2)/4;
Ответы
р)−
2
π
(γ0+ln|y|), где γ0 =
1
0
1−cost
t
dt−
∞
1
cos t
t
dt — постоянная Эй-
лера.
.. а) f =
n
k=1
ckδ
(k−1)
0
,гдеck∈ ,k=1,...,n;
б) f=c1θ(x)+c2,гдеc1,c2∈ ;
в)f=P
1
|x|
+cδ0,гдеc ∈ ;
г) f =θ(x)e−x
;
д) f = −θ(x)e−x
+ δ0;
е) f = ie−|x|/2.
..
⎧
⎨
⎩
0,
x ∈ \(4,6);
x−4,x∈(4,5];
6−x,x∈[5,6).
. .
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
0,
x ∈ \(1,5);
1
2
(x−1)2
,
x ∈[1,2];
1−
1
2
(x−3)2
. x∈[2,4];
1
2
(x−5)2
,
x ∈[4,5].
..
π(a+b)
ab
1
x2+(a+b)2.
.. f =χ(0,1)/ x, g =χ(−1,0)/ −x .
.. σ =σc = [0,2].
. . σ = σc = [0, 2π]; оператор не компактен.
.. σ = σp = {±i}.
..F=θ,G=δ,H=1.
.. а) φ; б) φ(n); в) δ(k+n)
0
; г) k!δ(n−k −1)
0
приn>k+1,k!δ0приn=
= k+1,
k!
(n−k)!
x k−n
+ приn k;д)θ(x)
e
ax
−
e
bx
a−b
приa=b,θ(x)xeaxприa=b;
е)
k!n!
(n+k+1)!
x n+k+1
+
;ж)
Γ(α+1)Γ(β+1)
Γ(α+β+2)
x
α+β +1
+
.
.. а)
2
π
x
1/2
+;б)2
π
(x
1/2
+ −(x−1)1/2
+).
..
1
π
x
−1/2
+.
. . а) 〈δ(k)
0×δ
(n)
0 ,φ〉=(−1)k+n δk+nφ
∂xk ∂yn (0, 0);
б)〈θ×θ,φ〉=
2
+
φ(x, y)dxdy.
.. Прямые произведения не плотны, а их линейные комбинации
плотны.
.. δ
(k+n)
0
.
.. 〈Aγδ0,φ〉= φ(0, y)dy.
. . δ(−e,1) .
Ответы
. . Прямой образ: δv , обратный образ: det(B−1
)δB−1 (−v ) .
.. а) θ(x)ex; б) θ(x)sinx; в) θ(x)shx; г)
1
2
θ(x)e−ix
sh2x.
.. ( Ax)(t)=
t
0
y0 (t − s)x (s) ds,где y0 —функцияиззадачи.;KerA =
= {0};ImA={y∈Cn[0,1]: y(0)= ... = y(n−1)
= 0}.
.. E(z) =
1
πz
.
.. E(x) =
cn
|x|n−2
,гдеcn = −
Γ(n/2 − 1)
4πn/2
,приn 3иE(x) =
1
2π
ln|x| при
n=2.
.. а) E(t, x) =
1
4πt
e−x2/(4t); б) E(t, x) =
1+i
2 2πt
e−ix2/(4t); в) E(t, x) =
=
1
2
χ[−t,t](x).
.. E(t, x) =
t
π(x2+ t2)
.
Предметный указатель
∗-слабая ограниченность
—с
ходимость
—
топология
—
фундаментальность
δ-образная последовательность
-п ерпендикуляр
-сеть
аксиома Хаусдорфа
аксиомы метрики
—н
ормы
—о
тделимости
—
счётности
алгебра
—
коммутативная
—
унитальная
аппроксимативная размерность
множества
аффинная гиперплоскость
——разделяющая
—
—
строго разделяющая
база окрестностей локальная
—
—
нуля
—
топологии
базис алгебраический
— Бари
—Гамеля
—
ортонормированный
—Рисса
—
Шаудера ,
——безусловный
банахова алгебра
банахово пространство
эквивалентное гильбертову
билинейная форма
биортогональность
вложение каноническое
—
нормированных пространств
внешняя точка множества
внутренняя точка множества
вполне ограниченное множество
всюдуплотное множество
выпуклая оболочка множества
гильбертова размерность
гильбертовы пространства
изометрически вложенные
———и
зоморфные
—
—
унитарно эквивалентные
гомеоморфизм метрических
пространств
—
топологических пространств
Грама—Шмидта процесс
граничная точка множества
график оператора
группа операторная
группы генератор
декартово произведение норми-
рованных пространств
диаметр множества
допустимые полунормы
замкнутое множество ,
замыкание множества
изолированная точка множества
изометрический изоморфизм
гильбертовых пространств
Предметный указатель
изометрический изоморфизм
нормированных пространств
изометричное вложение
метрических пространств
—
—
нормированных
пространств
изометричные метрические
пространства
изометрия гильбертовых
пространств
—м
етрическихпространств
—
частичная
изоморфизм нормированных
пространств
—
Рисса
Канторалестница
—м
ножество
—функция
компактное множество ,
коразмерность подпространства
крайняя точка множества
линейная оболочка множества
линейное топологическое
пространство
———Монтеля
———н
ормируемое
метрика
—
подчинённая
—Хаусдорфа
метрики эквивалентные
метрическая энтропия
множества
метрические пространства
гомеоморфные
——и
зометричные
метрический компакт
метрическое пространство
полное
——с
епарабельное
многочлены Лагерра
— Лежандра
— ЧебышёваIрода,
——I
Iрода
— Эрмита
— Якоби
неравенство Бесселя
—
Гёльдера
——и
нтегральное
—
Коши—Буняковского
— Минковского
——и
нтегральное
— треугольника,
—
Шура
— Юнга
нигде не плотное множество
норма
—в
есовая
—е
вклидова
—
оператора
—
подчинённая
— функционала
нормированное пространство
гладкое
—
—
равномерно выпуклое
—
—
со свойством
аппроксимации
——с
троговыпуклое
———н
ормированное
нормированные пространства
изометрически изоморфные
—
—
изоморфные
носитель обобщённой функции
— функции
обобщённая функция
—
—
регулярная
—
—
сингулярная
обобщённый предел числовой
последовательности ,
обратный образ обобщённой
функции
ограниченно компактное
множество
Предметный указатель
ограниченное множество в
метрическом пространстве
—
—
в топологическом
пространстве
окрестность точки
оператор банахов сопряжённый
—в
ложения
—
Вольтерра
—Гильберта
—
Гильберта—Шмидта
—
гильбертов сопряжённый
—
диагональный
—
дифференцирования
—
дробного дифференцирования
—
—
интегрирования
—
замены переменной
—з
амкнутый
—
интегральный
—
—
с вырожденным ядром
——с треугольнымядром
—
интегрирования
—
класса Неймана—Шаттена
—к
омпактный
—
конечного ранга
—
левый обратный
—
линейный
—
неотрицательный
—
непрерывный
—н
ормальный
—обратный
—
ограниченный
—
ортогонального отражения
—
—
проектирования
—п
оложительный
—
почти обратимый
— правыйобратный
—
проектирования
—
Римана—Лиувилля
—
с простым спектром
—
самосопряжённый
—с
вёртки
—
сдвига
—
—
последовательности
—с
леда
—
умножения на независимую
переменную
—
—
на последовательность
—
—
на функцию
— унитарный,
— фредгольмов
— Харди
—
частично изометрический
— ядерный,
оператора s-числа
— график
—
дефектные числа
—и
ндекс
—
интегрального ядро
(производящая функция)
—к
аноническаяспектральная
мера
— — функциональнаямодель
—к
вадратный корень
—
непрерывный спектр
—н
орма
— областьопределения
— образ
—о
статочныйспектр
—
полярное разложение
—
разложение единицы
— ранг
—
резольвента
—
резольвентное множество
—с
лед
—
собственное значение
—
собственные векторы
—с
пектр
—
спектральная мера
—
спектральный радиус
—
существенный спектр
—т
очечныйспектр
—
функциональное исчисление
—
функция кратности
—
циклический вектор
Предметный указатель
оператора число
обусловленности
—ч
исловойобраз
—ядро
операторов равномерная сходи-
мость (сходимость по норме)
,
—
сильная сходимость
—с
лабаясходимость
операторы подобные
—
унитарно эквивалентные
определитель Грама
ортогональная проекция
ортогональное дополнение
—
отражение ,
ортогональные векторы
—м
ножества
открытое множество ,
отображение дифференцируемое
по Гато
—
—
по Фреше
—м
етрическихпространств,
изометричное вложение
———
,изометрия
———л
окальноравномерно
непрерывное
———н
епрерывное
————в т
очке
———равномерно
непрерывное
———с
жимающее
—
нормированных пространств,
вложение
—
—
— , из ометрический
изоморфизм
—
—
— , из ометричное вложение
—
—
— , из оморфизм
—
полинормированных про-
странств непрерывное в точке
—
топологических пространств
гомеоморфизм
———н
епрерывное
————в т
очке
—
—
—
секвенциально
непрерывное в точке
поглощающее множество
подпространство нормированно-
го пространства дополняемое
———з
амкнутое
—
—
—
существования
—
топологического
пространства
полинормированное простран-
ство счётно-нормированное
полунепрерывность спектра
полунорма ,
полярное разложение оператора
пополнение метрического
пространства
—
нормированного
пространства
порядок сингулярности
последовательность Вейля
почти перпендикуляр
предбаза топологии
предел последовательности в
метрическом пространстве
—
—
в топологическом
пространстве
предельная точка множества в
метрическом пространстве
———вт
опологическом
пространстве
—
—
последовательности
предкомпактное множество ,
преобразование Гильберта
—
Кэли
—Ф
урьевпространстве L2 ( )
—
—
обобщённой функции из
D( )
————и
зS ( )
—
—
обратное
— — прямое
Предметный указатель
проекторнозначная мера
производнаяпоГато
—
по Фреше
пространство банахово
—г
ильбертово
—е
вклидово
—
линейное топологическое
F -пространство
———л
окальновыпуклое
————о
граниченное
———Ф
реше
—м
етрическое
—
нормированное
—
операторов
—
полинормированное
—предгильбертово
—рефлексивное
—
сопряжённое
—Хаусдорфа
прямая сумма гильбертовых
пространств ортогональная
—
—
подпространств линейная
———ортогональная
———т
опологическая
прямой образ обобщённой
функции
равенство параллелограмма
—Парсеваля
—
—
для преобразования Фурье
—
поляризационное
равномерная операторная
сходимость ,
разбиение единицы
разложение единицы оператора
распределение
расстояние в метрическом про-
странстве между
множествами
———о
тточкидомножества
—Хаусдорфамежду
множествами
резольвента оператора
резольвентное множество
Рисса изоморфизм
ряд в нормированном простран-
стве абсолютно сходящийся
———безусловносходящийся
—
Неймана для резольвенты
свёртка обобщённых функций
—
основной и обобщённой
функций
— функцийизL1( )
секвенциально компактное
множество ,
—
предкомпактное множество
сепарабельное метрическое
пространство
сильная операторная сходимость
сильно ограниченное множество
операторов
сингулярный носитель
система векторов бесселева
—
—
минимальная
—
—
ортонормированная
——п
олная
—
—
—
ортонормированная
—
—
равномерно минимальная
—
—
тотальная ,
—
—
Фабера—Шаудера
—
Радемахера
— Уолша
—
Хаара
скалярное произведение
слабая операторная сходимость
—с
ходимостьвекторов
—
топология
—
фундаментальность векторов
Предметный указатель
слабо ограниченное множество
векторов
———о
ператоров
след оператора
собственное значение,
геометрическая кратность
—
—
оператора
собственный вектор оператора
спектр оператора
—
—
непрерывный
—
—
остаточный
—
—
существенный
—
—
точечный
спектральная мера оператора
спектральный радиус оператора
существенная верхняя грань
функции
сходимость обобщённых
функций
—п
онорме
счетно компактное множество
—
предкомпактное множество
теорема Абеля о методе
суммирования
—
Банаха о замкнутом графике
—
—
о слабой секвенциальной
предкомпактности
—
—
об обратном операторе
—
Банаха—Алаоглу,
—
Банаха—Штейнгауза
— Бари
—Биркгофа—Какутанио
метризуемости
— Боля—Брауэрао
неподвижной точке
— Бэра
—
вариационный принцип
Куранта—Фишера
—
Вейерштрасса
— Вейляокомпактном
возмущении
—
Гильберта—Шмидта
—
Йордана—фон Неймана
— Калкина
— Колмогорова
о нормируемости
—
Коровкина
—
Котельникова
—
Крейна—Мильмана
—
критерий Джеймса
— Лебега
—
Линденштраусса—Цафрири о
дополняемых
подпространствах
—
Мазура—Улама
— Мюнца
— Никольского
—
о базисах Рисса
—
о вложенных шарах
—
о голоморфном исчислении
—
о пополнении метрического
пространства
—
—
нормированного
пространства
—ос
пектральныхинвариантах
—
о среднем для скалярного
произведения
—ос
ходимостивD
—
о функциональном
исчислении ,
—
об изоморфизме
гильбертовых пространств
—
об отображении спектра ,
,
—
об устойчивости индекса
—
Планшереля
—
принцип компактности
Монтеля
—
—
сжимающих отображений
— — Шаудера
—
Пэли—Винера
Предметный указатель
—
Рисса о сопряжённом
операторе
—
—
об общем виде линейного
функционала в C [a, b]
——————вг
ильбертовом
пространстве
—
Рисса—Фишера
—
спектральная в терминах
интеграла
—
—
в терминах оператора
умножения
—Тёплица—Хаусдорфао
числовом образе
—Филлипса
о недополняемости c0
—Ф
редгольма
—Ханао∗-слабо ограниченных
множествах
—
—
о слабо ограниченных
множествах векторов
—
—
—
—
—
операторов
—
Хана—Банаха ,
—
Харди—Литтлвуда о вложении
—
Хаусдорфа (критерий
компактности)
—
Хеллингера—Тёплица
— Чебышёва
—Шаудераокомпактном
операторе
—
Шмидта о компактном
операторе
—
Энфло об аппроксимации
тождество Гильберта для
резольвенты
—
параллелограмма
—
поляризационное
топологическое пространство
——к
омпактное
——м
етризуемое
—
—
нормальное
—
—
регулярное
——с
епарабельное
——х
аусдорфово
топология
—
индуцированная
— ядерно-выпуклая
треугольник Серпинского
угол между векторами
—
междувектором и
подпространством
уравнение Абеля интегральное
—
Вольтерра второго рода
—Ф
редгольма
уравновешенное множество
формулы Сохоцкого
фундаментальная
последовательность
фундаментальное решение диф-
ференциального оператора
——з
адачиКоши
—
—
оператора Коши—Римана
———Лапласа
функционал
вещественно-линейный
—к
алибровочный
—л
инейный
— Минковского
—
непрерывный
—
ограниченный
—
означивания
— разделяющиймножества
—с
лабосеквенциально
непрерывный
функционала норма
—
продолжение по Хану—Банаху
— ядро
функциональное исчисление
оператора
функция абсолютно
непрерывная
— Кантора
—
обобщённая
—
существенно ограниченная
Предметный указатель
циклический вектор
чебышёвский радиус множества
—
центр множества
чебышёвское множество
шар замкнутый
—
открытый
эквивалентные нормы
—
семейства полунорм
элемент наилучшего
приближения
Литература
[] Антоневич А. Б ., Князев П. Н ., Радыно Я. В . Задачи и упражнения по
функциональному анализу. М .: КомКнига, .
[] Ахиезер Н. И ., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбер-
товом пространстве. М .: Наука, .
[] Балакришнан А. В. Прикладной функциональный анализ. М.: Наука,
.
[] Банах С. Теория линейных операций. Москва—Ижевск: РХД, .
[] Бари Н. К . Тригонометрические ряды. М .: Физматгиз, .
[] Березанский Ю. М ., Ус Г. Ф ., Шефтель З. Г. Функциональный анализ.
Киев: Высшая школа, .
[] Богачёв В. И . Основы теории меры. В -х т. Москва—Ижевск: РХД,
.
[] Богачёв В. И ., Смолянов О. Г. Действительный и функциональный
анализ. Москва—Ижевск: РХД, .
[] Богачёв В.И., Смолянов О.Г., Соболев В.И. Топологические вектор-
ные пространства и их приложения. Москва—Ижевск: РХД, .
[] Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М .: Наука,
.
[] Гельфанд И.М ., Шилов Г.Е .Обобщённыефункции идействия над ни-
ми. Вып. I . М .: Добросвет, .
[] Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопря-
жённых операторов. М .: Наука, .
[] Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. М .:
УРСС, .
[] Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств. Киев: Вища школа,
.
[] Дьяченко М. И ., Ульянов П. Л . Мера и интеграл. М.: Факториал, .
[] Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, .
[] Кадец В. М ., Кадец М. И . Перестановки рядов в пространствах Банаха.
Тарту: Тартуский гос. университет, .
[] Канторович Л. В ., Акилов Г. П . Функциональный анализ. М.: Наука,
.
[] Кашин Б. С., Саакян А. А . Ортогональные ряды. М .: АФЦ, .
[] Кириллов А. А ., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функционального
анализа. М.: Наука, .
[] Колмогоров А. Н., Фомин С. В . Элементы теории функций и функцио-
нального анализа. М .: Наука, .
Литература
[] Люстерник Л. А ., Соболев В. И . Элементы функционального анализа.
М.: Наука, .
[] Пугачёв В. С. Лекции по функциональному анализу. М .: Издательство
МАИ, .
[] Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики.
Т. I: Функциональный анализ. М.: Мир, .
[] Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики.
Т. II: Гармонический анализ. Самосопряженность. М.: Мир, .
[] Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу.
М.: Мир, .
[] Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные простран-
ства. М .: Мир, .
[] Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, .
[] Садовничий В. А . Теория операторов. М.: Изд-во Московского уни-
верситета, .
[] Тр е но гин В . А . Функциональный анализ. М .: Физматлит, .
[] Треногин В. А ., Писаревский Б. М ., Соболева Т. С. Задачи и упражнения
по функциональному анализу. М .: Физматлит, .
[] Ульянов П. Л., Бахвалов А. Н., Дьяченко М. И., Казарян К. С., Сифуэн-
тес П. Действительный анализ в задачах. М .: Физматлит, .
[] Фёдоров В. М . Курс функционального анализа. СПб: Лань, .
[] ХалмошП. Гильбертово пространство в задачах. М.: Мир, .
[] Харди Г. Г., Литтлвуд Дж. Е ., Полиа Г. Неравенства. М .: Изд-во ино-
странной литературы, .
[] Хелемский А. Я . Лекции по функциональному анализу. М .: МЦНМО,
.
[] Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М.:
Наука, .
[] Эдвардс Э. Функциональный анализ. М.: Мир, .
[] Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces. V. I, II. Berlin—
Heidelberg—New York: Springer, , .
[] Функциональный анализ / Под общей редакцией С. Г. Крейна. М .:
Наука, . («Справочная математическая библиотека»).
[] Математическая энциклопедия. В т. М.: Сов. энциклопедия, —
.
Магазин «Математическая книга»
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая
книга» в Москве по адресу: Б. Власьев ский пер., д. ; тел. () - -;
biblio.mccme .ru
Книга — почтой: biblio.mccme.ru/shop/order
Книги в электронном виде: www.litres.ru/mcnmo
Мы сотрудничаем с интернет-магазинами
• Книготорговая компания «Абрис»; тел. () --, () - -;
www.umlit.ru, www.textbook.ru, абрис.рф
• Интернет-магазин «Книга.ру»; тел. () --; www.kniga.ru
Наши партнеры в Москве и Подмосковье
• Мос ковский Дом Книги и его филиалы (работает интернет-магазин);
тел. () --; www.mdk-arbat.ru
• Магазин «Молодая Гвардия» (работает интернет-магазин): ул. Б . Полянка, д. ;
тел. () --, () - -; www.bookmg.ru
• Магазин «Библио-Глобус» (работает интернет-магазин): ул. Мясницкая, д. /,
стр. ; тел. () --; www.biblio-globus.ru
• Спорткомплекс «Олимпийский», -й этаж, точка ; тел. () --
• Сеть киосков «Аргумент» в МГУ; тел. () --, () --; www.arg.ru
• Сеть магазинов «Мир школьника» (работает интернет-магазин);
тел. () - -, () --, () --, () --;
www.uchebnik.com
• Сеть магазинов «Шаг к пятерке»; тел. () --, () - -;
www.shkolkniga.ru
• Издательская группа URSS, Нахимов ский проспек т, д. , Выс тав очный за л «Науку
—
Всем», тел. () --, www.urss .ru
• Книжный магазин издательского дома «Интеллект» в г. Долгопрудный: МФТИ
(новый корпус); тел. () - -
Наши партнеры в Санкт-Петербурге
• Санк т-Петербургский Дом книги: Невский пр-т, д. ; тел. () --
• Магазин «Мир науки и медицины»: Литейный пр-т, д. ;
тел. () --
• Магазин «Новая техническая книга»: Измайловский пр-т, д. ;
тел. () - -
• Информационно-книготорговый центр «Академическая литература»: Васильев-
ский остров, Менделеевская линия, д.
• Киоск в здании физического факультета СПбГУ в Петергофе;
тел. () --, () --, () - -
• Издательство «Петроглиф»: Фарфоров ская, , к. ; тел. () --,
() - -; k_i_@bk.ru
• Сеть магазинов «Учебная литература»; тел. () - -,
тел. () --, тел. () -- (доб. )
Наши партнеры в Челябинске
• Магазин «Библио-Глобус», ул. Молдавская, д. , www.biblio-globus.ru
Наши партнеры в Украине
• Александр Елисаветский . Рассылка книг на ложенным платежом по Украине: тел.
---; df-al-el@bk.ru
ISBN 978-5 -4439-1092-5
9 785443 910925 >