С. Л. СОБОЛЕВ
НЕКОТОРЫЕ
ПРИМЕНЕНИЯ
ФУНКЦИОНАЛЬНОГО
АНАЛИЗА
В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКЕ
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Под редакцией О. А. ОЛЕЙНИК
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1988

ББК 22.162
С54
УДК 517.98
Соболев С. Л. Некоторые применения функционального
анализа в математической физике.— 3-е изд., перераб. и доп./Под
ред. О. А. Олейник.— М.: Наука. Гл. ред. фпз.-мат. лит., 1988.—
С. 336.- ISBN 5-02-013756-1.
Излагается теория функциональных пространств, получивших
в настоящее время название пространств Соболева, широко ис-
используемая в теории дифференциальных уравнений в частных про-
производных, математической физике и многочисленных приложени-
приложениях, вариационный метод решения красных задач для эллиптиче-
эллиптических уравнений, в том числе с краевыми условиями, заданными
на многообразиях различных размерпостсй, о также теория задачи
Коши для гиперболических уравнений второго порядка с пере-
переменными коэффициентами.
2-е изд.— 1962 г.
Для научных работников в области математики, математиче-
математической физики, а также аспирантов и студентов старших курсов.
Ил. 12. Библиогр. 334 пазв.
1702050000—188
С 053 @2)-88 45~88
ISBN 5-02-013756-1
j Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1988
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию
Предисловие к первому изданию
Глава I. Специальные вопросы функционального анализа 9
1. Введение 9
2. Основные свойства пространств Lp 18
3. Лннейпые функционалы в Lp 27
4. Компактность пространства Lp 40
5. Обобщенные производные 46
С. Свойства интегралов типа потенциалов .... 56
7. Пространства L™ и Wpl) 60
8. Теоремы вложения 74
9. Общие способы нормировки Wl и следствия теорем
вложения 78
10. Некоторые следствия теорем вложения .... 88
И. Полная непрерывность оператора вложения (теоре-
(теорема Кондрашова) 95
Глава II. Вариационные методы в математической физике 108
12. Задача Дирихле 108
13. Задача Неймана 121
14. Полигармоническое уравнение 126
15. Единственность решения основной краевой задачи
для полигармоппческого уравнения 135
36. Задача о собственных зпачепиях 148
Глава III. Теория гиперболических уравнений в частных
производных 1С5
17. Решение задачи Коши для волнового уравнения с
гладкими пачальпыми условиями 165
18. Обобщенная задача Коши для волнового уравнения 175
19. Линейное уравнение нормальпого гиперболического
типа с переменными коэффициентами (основные
свойства) 186

Оглавление
20. Задача Коши для линейных уравнений с гладкими
коэффициентами 204
21. Исследование линейных гиперболических уравнений
с переменными коэффициентами 226
Примечания 249
Дополнение. Новый метод решения задачи Коши для
линейных нормальных гиперболических уравнений . . 268
1. Основное тождество 269
2. Функциональное пространство 289
3. Обобщенная задача Коши 294
Примечания к дополпеншо 300
Список литературы ... 315
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Настоящая книга является существенно переработан-
переработанным переизданием моих лекций «Некоторые применения
функционального анализа в математической физике»,
изданных в 1950 году Издательством Ленинградского
университета и переизданных без изменений в 1962 году
в г. Новосибирске, а также переведенных в КНР A959),
США A963), Японии A963), ГДР A964).
В данном издании исправлены опечатки и погреш-
погрешности, уточнены некоторые определения и формули-
формулировки теорем, добавлены пояснения и сделаны поправки
в ряде доказательств, даны библиографические примеча-
примечания, внесены редакционные изменения.
В книгу по предложению О. А. Олейник в качестве
дополнения к главе III помещена моя статья «Новый
метод решения задачи Коши для линейных нормальных
гиперболических уравнений», опубликованная в журнале
«Математический сборник» за 1936 год (краткое изло-
изложение результатов этой статьи содержится в заметке
«Задача Коши в пространстве функционалов», напеча-
напечатанной в «Докладах АН СССР» за 1935 год). Эта статья
является естественным продолжением § 21 гл. III. Опа
содержит изложение основ теории обобщенных функций
и решение задачи Коши для гиперболического уравне-
уравнения второго порядка в пространстве функциопалов
(обобщенных функций, распределений). Перевод статьи
с французского выполнен В. П. Паламодовым. Им же
написаны примечания к этой статье.

6
Предисловие к третьему изданию
Основы применения функционального анализа в ма-
математической физике, заложенные в работах, выполнен-
выполненных более 50 лет назад в нашей стране и за рубежом
(понятие обобщенной производной, обобщенного решения
дифференциального уравнения, теоремы вложения, обоб-
обобщенные функции и др.), послужили отправным пунктом
для дальнейших многочисленных исследований в теории
дифференциальных уравнений, математической физике,
теории функций, теории функциональных пространств и
во многих других областях анализа, для создания аппара-
аппарата применения функционального анализа к исследованию
дифференциальных уравнений. Большую роль в его соз-
создании сыграли работы Л. Шварца по теории обобщенных
функций (распределений), появившиеся в 1950—1951гг.,
п введенное им понятие преобразования Фурье обобщен-
обобщенных функций. Развитие указанного аппарата исследова-
исследования в течение более полувека привело к огромному
прогрессу в теории уравнений с частными производными
и в математической физике. О достижениях в этом направ-
направлении можно, например, судить по четырехтомному тру-
труду Л. Хёрмапдера «The analysis of linear partial differen-
differential operators» (имеется русский перевод), подводящему
в определенном смысле итог исследований по общей тео-
теории линейных уравнений с частными производными к
настоящему времени. Этот аппарат прочно вошел в оби-
обиход современных исследователей. Его элементы вклю-
включены в соответствующие обязательные лекциопные кур-
курсы для студентов университетов.
Настоящая книга снабжена примечаниями, указываю-
указывающими на исследования по рассматриваемым вопросам,
выполненные в последние годы, однако приведенная
библиография ни в какой мере не претендует на полноту.
Книга предназначена для студентов и аспирантов —
математиков, механиков, физиков, а также для научных
работников, использующих дифференциальные уравнения
и методы их исследования в своей работе.
Предисловие к третьему изданию
Приношу глубокую благодарность моему ученику и
большому другу О. А. Олейник за огромный и самоот-
самоотверженный труд по подготовке настоящего издания,
существенно переработанного ею и дополненного.
Я глубоко благодарен В. И. Буренкову, большая и
кропотливая работа которого далеко выходила за рамки
обычного редактирования.
Приношу искреннюю благодарность В. П. Паламодову
за перевод моей статьи и примечания к ней.
Благодарю также О. В. Бесова, Б. Р. Вайнберга,
М. И. Вишика, М. В. Карасева, Б. М. Левитана,
В. Г. Мазью, В. Г. Перепелкина за предоставленные
ими материалы, использованные в переиздании при на-
написании примечаний и составлении списка литературы.
Я благодарен моей дочери Т. С. Соболевой за боль-
большую помощь в подготовке рукописи.
С. Л. Соболев

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящая книга возникла в результате обработки
курса лекций, прочитанного автором в Ленинград-
Ленинградском ордена Ленина Государственном университете.
Записи лекций были составлены и обработаны X. Л. Смо-
лицким и И. А. Яковлевым, которые внесли в них ряд
ценных изменений и дополнений. Кроме того, ряд до-
дополнений, естественно возникающих при издании таких
лекций, был сделан самим автором.
Таким образом возникла монография, объединяющая
трактованный с единой точки зрения ряд вопросов тео-
теории уравнений в частных производных. В ней рассмат-
рассматриваются вариационные методы в применении к уравне-
уравнению Лапласа и полигармоническому уравнению, а также
задача Коши для линейного и квазилинейного гипербо-
гиперболического уравнения*). Изложению вопросов математиче-
математической физики предшествует подробное рассмотрение не-
некоторых новых результатов и методов функционального
анализа, представляющих собою основу всего дальней-
дальнейшего. Этому посвящена первая глава. Указанный выше
материал и особенно постановки задач и методы их
исследования не входят в обычные курсы математической
физики и, в частности, в мой курс «Уравнения матема-
математической физики». Данная книга предназначена для
аспирантов и научных работников.
Автор приносит горячую благодарность своим слуша-
слушателям X. Л. Смолицкому и И. А. Яковлеву, без помощи
которых, вероятно, такая книга не смогла бы быть напи-
написана в столь короткий срок.
С. Соболев
*) Параграф, касающийся квазилинейных гиперболических
уравнений, в третьем издании опущен.— Примеч. ред.
Глава I
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
1. Введение
В изложении всех вопросов, разбираемых в этой кни-
книге, придется неоднократно ссылаться на некоторые про-
простейшие свойства интегрируемых в смысле Лебега функ-
функций и на некоторые простейшие понятия и теоремы
функционального анализа, которые стали общеизвестны-
общеизвестными. Поэтому мы не будем по большей части излагать их
доказательства и лишь повторим необходимые форму-
формулировки и определения.
Для понимания всего изложенного ниже достаточно
быть знакомым с теорией кратных интегралов от функ-
функций вещественного переменного, хотя бы, например,
в объеме лекции VI «Уравнений математической физи-
физики» [212] или т. V «Курса высшей математики» В.И.Смир-
В.И.Смирнова [190]. Дополнительные сведения, касающиеся рас-
рассматриваемых вопросов теории функций и функциональ-
функционального анализа, можно найти в книгах А. Н. Колмогорова
и С. В. Фомина [95], Л. В. Канторовича и Г. П. Акило-
ва [89], Ф. Рисса и Б. С. Надя ,[182], У. Рудина [184].
Напомним некоторые свойства кратных интегралов и
суммируемых функций.
1. Суммируемые функции. Для всякой функции
f{xu ..., хп) от п переменных в ограниченной области Q
можно указать такие замкнутые множества F, на кото-
которых она непрерывна*).
Внутренним интегралом от неотрицательной функции
/ называется верхняя граница
(вн) j f dx1 . . . dxn = sup \ fdx1 .. . dxn. A.1)
Q
FCQ
*) Всюду в дальнейшем, если не оговорено особо, область Q
предполагается ограниченной.

10 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
Если для неотрицательной функции внутренний ин-
интеграл существует и обладает свойством:
(вн) J (/ + 1) dx± ... dxn =
п
= (вн) ) fdx1 ... dxn + (вн) ] 1-dXt... dxn, A.2)
a h
то функция называется суммируемой, а интеграл
(вн) \ / dxl ... dxn обозначают просто
x ...dxn
A.3)
и называют интегралом в смысле Лебега.
Функция, принимающая значения разных знаков,
называется суммируемой, если порознь суммируемы
функции
/+=4-{/+|/|}и Г = -|{|/|-/}, A-4)
причем интеграл от функции / определяется равенством
) / dx± ... dxn = ] /+ dxx .. . dxn — \ f dx1 ... dxn. A.5)
fi Q Q
Мерой Лебега для множества Е называют интеграл
A.6)
тЕ = J фв dx1 ... dxn,
где Ц)Е принимает зпачение 1 в точках Е и 0 в точках
дополнения (Q — Е), Е с Q.
Функция / называется измеримой в области ?2, если
мера замкнутых множеств F, на которых она непрерывна,
может быть сделана сколь угодно близкой к мере Q.
Всякая суммируемая функция измерима.
Интеграл Лебега обладает теми же основными свой-
свойствами, какими обладают интегралы Римана (в дальней-
дальнейшем вместо dxi... dxn будем писать просто dv):
A.7)
f Ui + U)dv= \fidv+ \f2dv,
h ah
\ afdv = a j f dv; a = const.
1. Введение
11
Если ряд /i + /2+... + /*+...==/о равномерно схо-
сходится, то
J f2dv
Q
fhdv + ... A.8)
Больше того, формула A.8) имеет место, если
I/1 + /2 + ... + /wl < Ф для любых N и, кроме того, Ч* —
суммируемая функция.
Если />0и J / dv = 0, то множество точек, где / Ф О,
имеет меру 0 (лг{/ Ф 0} = 0).
Две функции /4 и /2 эквивалентны, если ) | fl—fz\dv=
= 0. Если \ ftydv = 0, гдеф — любая функция, непрерыв-
непрерывен
пая со всеми производными внутри Q, то / эквивалентна
нулю.
Если k^f^K, то
A.9)
Интеграл Лебега абсолютно непрерывен. Иными сло-
словами, каково бы ни было число
8 > 0 для всякой функции /, У
суммируемой в области Q, мож-
можно указать такое 6(е)>0,
что интеграл по любому мно-
множеству ?сй удовлетворяет
условию J | /1 dv < е, как толь-
Е
ко тЕ < б(е).
Докажем два важных эле-
элементарных неравенства.
2. Неравенства Гёльдера и
Минковского.1 Пусть р> 1; тогда, если р' =
х
л. Кг
p—V
A.10)

12 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
Рассмотрим кривую у = хр~1 (рис. 1). На этой кривой
Пусть х и у — два любых положительных числа. Про-
Проведя на чертеже линии AD : х = const и ЕВ : у = const до
пересечения с кривой, видим, что сумма площадей фигур
ОЕВ и OAD больше площади прямоугольника OECD,
как бы ни были выбраны х и у. Иными словами,
J xv^
A.11)
или
*р г/р ^_
A.12)
Равенство будет иметь место лишь в том случае, если
илия" = г/р
Пусть (? означает перемепную точку области Q п-мер-
ного пространства и Р((?)>0— некоторая ограниченная
функция в п. Пусть x(Q) и y{Q) — две положительные
функции в Q, удовлетворяющие условиям
P(Q)dv=l, $\y(Q)\p'P(Q)dv=l. A.13)
Тогда, умножая A.12) на P(Q), интегрируя по Я и ис-
используя A.10), получим
A.14)
Пусть теперь X(Q) и Y(Q) — две любые функции в Q,
интегрируемые соответственно со степенью р и р'. Тогда
для функций
*«?) =
I7F, y{Q) =
Y(Q)
Y f P dv
i/p'
имеют место равенства A.13), и, следовательно, верно
неравенство A.14), которое после упрощения принимает
1. Введение
13
вид
\Yf Pdv
i/p'
откуда следует неравенство Гёльдера
\X{Q)Y(Q)P{Q)dv
A.15)
_й J La
Очевидно, знак равенства в A.14) может иметь место
—*
лишь в том случае, если для почти всех значений Q
имеет место равенство xv = yv . Следовательно, в нера-
неравенстве A.15) знак равенства имеет место лишь в случае,
когда
sign XY = const
почти везде, т. е. когда функции |Х|ри|У|р почти
везде отличаются лишь постоянным множителем, а X и
Y имеют почти везде одинаковые знаки.
Из A.15) вытекает общее неравенство Гёльдера для
нескольких функций.
Пусть А,1 + ... + Xh = 1, Xj > 0 и пусть функции ф^ (/ =
= 1, ..., к) таковы, что
Ф; | ; Р do ¦< оо.
Тогда произведение ф4... ц>к суммируемо, и имеет место
неравенство
A.16)
причем равенство имеет место только тогда, когда

14 Гл. I. Специальные вопросы функционального апализа
1ф
il%i
отличаются друг от друга лишь постоянными
множителями (т. е. 1ф,-| ^' = с/ф) и signal ... фА] = const
почти всюду на Q.
Докажем это неравенство переходом от к к к + 1.
Пусть фь ..., фь, фА+1 положительны и пусть для к
функций неравенство A.16) доказано. Тогда, если
Xi + ... + К + Хк+1 = 1, то будем иметь, полагая р = ; ,
4+1
Но в силу предположения о справедливости A.16) для
к функций получим
J'
A.18)
Подставляя это выражение в A.17), получим неравен-
неравенство A.16) для к + l функций. Для к = 2 неравенство
доказано в A.15). Следовательно, неравенство Гёльдера
доказано для любого к.
Можно проверить, применяя последовательно полу-
полученный ранее результат, что знак равенства имеет место
только тогда, когда все функции \ц>1\ , ..., | фь | от-
отличаются лишь постоянными множителями (с точностью
до множества точек меры нуль).
Если функции ф4, ..., фА принимают каждая лишь
конечное число значений, то интегралы могут быть за-
1. Введение
15
ыенепы суммами, и мы получим
IV
ffl^...fl(ftokl
_t=i
. A.19)
Это неравенство также называется неравенством Гёльде-
Гёльдера. Из A.19) в случае Л,± = Л,г = 1/2 можно получить по-
полезное неравенство
IV |
Л*
у
1=1
1
/ N
<B
4=1
1
,1/2
/
JV
2
,i=i
1/2
Г W 11/2
= VN 2 (а'"J • A-20)
L г=1 J
Пусть x(Q)> 0, y{Q)>0 в Q. Рассмотрим
(x -f у)р^ dv = f x (x + у)" Р dy + j у (х + yf'1 P dv.
К каждому слагаемому правой части применим не-
неравенство Гёльдора. Получим
f (х-т yf
, Сокращая на первый множитель правой части, полу-
получим неравенство Минковского
f j(x-
In
yvPdv 1/P. A.21)
J
Очевидно, как распространить A.21) на сумму несколь-
нескольких слагаемых функций какого угодно знака в Q. Тогда

16 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
получаем неравенство Минковского
xh\p P dv
\pP
A.22)
Знак равенства может иметь место лишь в случае,
если почти всюду на Q xt = сгср, i = 1, ..., к, где ф е= Lp,
а с,- — неотрицательные числа.
Если функции х ж у принимают каждая лишь конеч-
конечное или счетное число значений, то интегралы можно за-
заменить суммами, и мы получим неравенство Минков-
Минковского для числовых рядов. Из A.21) получим
[2 а\ \xi + yi |ТР < [2 «I I *i f\llv + [2 «ч I уг 1Тр A.23)
или, когда этих числовых рядов несколько,
2|2
i 3
[
3 L i
3. Обратные неравенства Гёльдера и Минковского.
Пусть 0<р< 1; тогда р' = р/(р — 1)<0.
Рис. 2
Рис. 3
Рассмотрим кривую y = xv~\ x > 0 (рис. 2). На этой
кривой, очевидно, я = г/р'~1- Пусть точка С с координата-
координатами х и у расположена выше кривой у = хр~\
Площадь q фигуры OABDE меньше площади прямо-
прямоугольника О АСЕ. Пусть К— бесконечно далекая точка
на оси у. Площадь q выражается как разность площадей
1. Введение
17
OAKBDE = \ у dx и площади АКБ = х dy. Иными сло-
вами,
X ОО
или — + у~г
Р Р
Возьмем теперь точку d ниже кривой у~хр~* (рис. 3)'.
ж
Составим разность площадей KAOECJ) — \ xp~ldx ш
о
оо
KACJ1D = J у9 ~г dy. Эта разность равна разности пло-
v
щадей OACJE и CJ)B и, следовательно, меньше, нежели
OAdE, т. е.
A.25)
В случае, если у = хр~\ т. е. хр — ур , неравенства
A.25) обращается в равенство.
Из A.25), так же, как было выведено A.15), полу-
получим для положительных X и Y обратное неравенство
Гёльдера
J
xpPdvY/P U Yp' PdvY'V'. A.26)
Из обратного неравенства Гёльдера A.26) можно по-
получить обратное неравенство Минковского
Р dv
х\Р
справедливое при 0 < р < 1 для положительных хи ..., хк.
Как и прежде, знак равенства может иметь место
лишь в том случае, если почти всюду на п х{ — лср,
i=l, ..., к, где <р е ЬР, а с{ — неотрицательные числа.
Доказательство вполне аналогично прежнему.
2 С. Л. Соболев

18 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
Замечание. Пусть х задана в П. Полагая у = х на мно-
множестве Е cz Q, у = О на множестве Q — Е, z — х — у в Q, для р ^
.^ 1 получим, применяя к у и z неравенство Минковского,
ММРИ + j \x?dv\ .
Для-O < /> < 1 неравенство переходит в обратное.
2. Основные свойства пространств Lp
1. Норма. Определение. В обычном евклидовом п-мер-
шом пространстве для определения понятия сходимости
<ж предельного перехода пользуются расстоянием между
двумя точками р = V 2 (Щ — УгJ-
Функция р = |/ 2 ?ь выражающая длину вектора х
с координатами ?,-, является частным случаем так назы-
называемой нормы вектора. Расстояние между точками вы-
выражается, таким образом, как норма разности векторов,
соответствующих этим точкам. Способ введения нормы
лектора с помощью его евклидовой длины является не
единственным. Будем говорить, что функция р является
нормой, если она удовлетворяет трем требованиям.
А. Функция р есть однородная функция первой сте-
степени, т. е.
, & = const. B.1)
Б. Функция о есть выпуклая функция своих аргумен-
тов. Иными словами, если определить вектор %х + цу
как вектор с координатами X%f + iir\i, где |« и т^ — соот-
-> ->
ветственно координаты векторов х и у, то из равепств
—* —»
р{х) = а, р(у) — а следует, что
?J B.2)
если А,+ |л==1, 0<А,<1.
В. Функция р неотрицательна, причем из равенства
-р Ци ..., 1„) = 0 следует, что ^ = ... = 1„ = 0.
Неравенство треугольника. Свойство выпук-
.лости часто формулируют несколько иначе. Пусть ?, т\ —
два любых вектора. Рассмотрим величину р(|+г|) и
2. Основные свойства пространств Lp
попробуем оценить ее. Имеем
_pjg) I ,
тГ_1
(n)J
X
Если положить
—> —>
видно, р(х)=1, р(г/)=1. Далее, полагаяЛ =
— х, т)/р(т])=г/, то получим, оче-
р(Г)
Р (Г) + Р (if)*
и пользуясь однородностью нормы,..
Р (Г) + Р (if)
имеем
pA+tJ) = &)(!)
Но последний множитель по свойству Б не превышает
единицы, поэтому
Р(?+Л)«РA) + Р(?). . B-3)
Это неравенство называется неравенством треугольни-
треугольника. Таким образом, неравенство B.2) влечет за 006010
неравенство треугольника для однородных функций пер-
первой степени.
Легко видеть, что и обратно для однородных функ-
функций первой степени выпуклость функции р следует из
неравенства треугольника. В самом деле, если р(х) = «,
р(у) = а, то
р (кх + цу) sS р (кх) + р (цу) = (к + ц) а = а,
что и требовалось доказать.
Мы будем называть две нормы pi(l) и р2(^) эквива-
лентными или равносильными, если при любых ? имеет
место неравенство
причем числа m и М не зависят от ?, 0 < /?г < Л/. В ев-
евклидовом гс-мерном пространстве все нормы эквивалент-
эквивалентны. В самом деле, так как функции р4 и р2 выпуклы
в Вп, то они непрерывны (см. [249, с. 22]). Поэтому по-
поверхность S, определяемая уравнением pi (ж) = 1, является
2*

20 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
замкнутым множеством. В силу А она ограничена,
так как на ней 1 = рх (х) —
\х\, где
min px
0, и Ы
i. Следова-
ifli
тельно, на этой поверхности функция р2(х) достигает
своего наибольшего и наименьшего значений и последние
положительны в силу В. Обозначим эти значения соот-
соответственно М и т. Согласно А и В
= Pi (?) р2 (х), х = ¦
Px(i) '
откуда сразу вытекает искомое неравенство.
Любое линейное преобразование «-мерного простран-
пространства сохраняет свойство выпуклости поверхностей. По-
Поэтому, если p(?/i, ..., уп)— норма в пространстве с ко-
координатами уи ..., уп, то рBя1Л", ..-,2апЛ) являет-
является нормой в пространстве с координатами хи •••, #»,
если определитель преобразования \a{j\ не равен нулю.
В самом деле, если в пространстве с координатами хи ...
..., хп все yi(Xi, ..., хп), ..., yn(xi, ..., хп) равны нулю,
то все координаты хи ..., хп равны нулю. Таким обра-
образом, из равенства р = 0 следует, что xt = ... = хп = 0.
Однородность р также очевидна,
Пусть /?=>1. Множество измеримых функций ф, для
которых функция |ф|" интегрируема в области Q, мы
будем называть Lv. Введем в множестве функций Lp
понятие нормы. Обозначим! ф|| = ]|ф|рйг; и Нф1! бу-
I.Q J
дем называть нормой ф. Норма в функциональном прост-
пространстве служит обобщением геометрического понятия
длины вектора. Часто там, где это необходимо, мы будем
снабжать норму особым значком, показывающим, в ка-
каком пространстве эта норма определена. Мы будем писать,
например, || Ф \\Lp.
Для нормы, очевидно, справедливы следующие утверж-
утверждения:
а) 11ф + арН < ПфН + И-фН (норшшнство Мипковского),
б) ИвфИ = \а\ ¦ ИфИ, а = const,
в) 11фН>и, и если Иф!1 = 0, то ф = 0 (с точностью до
множества с мерой нуль).
2. Осповные свойства пространств Lp
21
В дальнейшем нам придется пользоваться некоторы-
некоторыми обозначениями теории множеств. Мы будем писать
<р е //у, если функция ф есть элемент пространства Lv.
Последовательность фА каких-либо элементов мы будем
обозначать {фА}. Если множество Et есть часть Е2, то мы
будем писать Ei <= E2. Если элемент ф не принадлежит
множеству Е, то будем писать фё?. Через АВ будем
обозначать пересечение множеств А и В, через А + В —
их объединение и через А — В — их разность.
Мы будем говорить, что последовательность функций
{q>k} сходится сильно к функции ф0 в пространстве Lp,
если 1'фА — ф0И -*¦ 0. Мы будем обозначать сильную схо-
сходимость знаком
ф* =*¦ фо.
2. Теорема Рисса — Фишера.
Теорема. Пусть имеется последовательность функ-
функций (ф),}, фь е Lp, таких, что для любого е> 0 существует
номер ^V(e) такой, что Ифл — фт11 < е при к, m>N(e).
Тогда существует функция ф0 s Lv такая, что ф^ =*- фо.
Замечание. Эха теорема утверждает полноту функциональ-
функционального пространства Lv. Доказательство этой теоремы мы не при-
приводим. Оно может быть проведено так же, как аналогичное дока-
доказательство для р = 2 (см. [212, с. 335—337]).
3. Непрерывность в целом функций в Lp. Пусть ф
задана во всем пространстве, причем ф = 0 вне Q и ф е
^ Lp в Q. Пусть P(Xi, ..., хп)—вектор в тг-мерном про-
пространстве, IP! — его длина.
Определение. Функция фе!р в Q называется
непрерывной в целом в Lv, если для любого е > 0 найдет-
найдется 6(s)>0 такое, что*)
Ф {Р + Q) - ф (Р) Г dv-^'v < e, B.4)
лишь только \Q\ <б(е).
Теорема. Всякая функция феЬр (lsg/?<oo) в
ограниченной области Q непрерывна в целом в этой об-
области (').
*) Здесь и в дальнейшем, если в интеграле не указана об-
область интегрирования, то подразумевается интегрирование но все-
всему пространству.

22 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
Доказательство. Вследствие абсолютной непре-
непрерывности интеграла Лебега по данному е > 0 можно ука-
указать такое б!(8)>0, что 1 | <p\pdv<^ (-5-) , как только
п'
mQ'<8i. Выберем такое f (s)>- 0, что т(Q — йт)< 6^4,
где Ят — множество тех точек из Q, расстояние которых до
границы области Q больше у. Так как функция ф изме-
измерима на QT, то можно выбрать такое замкнутое множе-
множество F(e)<=Qb что функция ф непрерывна на F и mF >
> mui — 6i/4 > mQ — 8i/2. Очевидно, функция ф равно-
равномерно непрерывна на F. Поэтому существует такое
б2(е)>0, что если точки Р и P+Q принадлежат F и
|<?|<62(е),то
B.5)
Обозначим через AR сдвиг множества А на вектор
-»¦ ->
R. Пусть далее \Q\ <б(е) = mining), 62(e)}. Так как
\Q\<4, то F ч с: Q. Рассмотрим пересечение F* =*
= FF~Q. Тогда
mF* = m (f — (Q - F~*)) >mF -т{п — F~
= mF— {mQ — mH) = 2mF —
Следовательно,
m(Q-F*)<S1.
Далее,
Q+Q*
-Q
+
2. Основные свойства пространств Z.,,
23
Если P<^F*. то P, P+Cef, поэтому на F* выполняет-
выполняется неравенство B.5). Следовательно,
Учитывая, что функция ср равна нулю вне Q, по-
получаем
1
f*
I
q((q+q-~q)-f*)Q
= |.е B.6)
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега, по-
поскольку, как уже доказано, m(Q — F*)-< 6t и
m\Q
= m {Q ((q« + fi) - (F*
= m (q — (F*)«) =0 m (Q - F*).
Следовательно, при \Q\ < 8 выполнено B.4). Теорема
доказана.
4. Средние функции. Пусть функция ф интегрируема
в области Q. Будем считать, что ф = 0 вне Q.
Рассмотрим ядро (г = IQ \)
B.7)
при г</г,
при г^/'г.
Отметим очевидные свойства ядра.
1. (o(Q; h) непрерывно во всем пространстве вместе
со всеми производными.

24 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
2. На границе шара радиуса h сама функция a(Q; h)
и все ее производные равны нулю.
У-h'
Второе свойство вытекает из того, что ет " и лю-
любая ее производная -> 0 при r-*-h и r<h. В самом деле,
методом полной индукции можно установить, что любая
дае
производная
.. . дхп'1
имеет вид
Pav,.an(xy ¦•¦' хп) r2_ft2
где в числителе стоит многочлен от хи ..., хп.
3. Обозначим % — J er ~
B.8)
; тогда j со (<?; /i) <fo = yu/in,
где п — число измерений пространства.
При этом — \ со (О; К) dv = 1.
%hnJ vv ;
Замечание. Мы будем пользоваться лишь отмеченными
тремя свойствами ядра, не принимая во внимание конкретный вид
ядра, данный равенством B.7). Это замечание будет полезно в
дальнейшем.
Составим среднюю функцию для ф по шару радиуса
h с центром в Р:
Фа Й = 4; IW - Ъ Л)"Ф Фг) dv7 . B.9)
Свойства средних функций B).
1. Функции q>h{P) имеют все производные любого по-
порядка.
Доказательство. Пусть (хи ..., хп) и (уи ...
..., уп)— координаты точек Р и Pi. Выражение
н Ч(х1 + к< х2 Яп)-Фд(дг. *8. ••-. хп)
= -^п J
(xi + к — Уъ fa — г/г. ..., «п — г/»; й) —
2. Осповные свойства пространств Lv
25
—со («!—ух, х2—у2, .. .,хп—уп; h)]j-4> (г/i, г/г, • • •, Уп)
B.10)
при к -*¦ 0. Предельный переход под знаком интеграла за-
законен, так как
а
К1 ~Уух2~У2' ¦¦•'Хп-Уп'к)
к
-^МР-РХ;
дх
i- = ^
где Af = max
"
, и, кроме того, при \к\ < 1
I
1 С да , ^
Llp-Pil^ft+i J L J
при к ->- 0 (тогда и г| ->¦ 0).
Совершенно аналогично можно провести доказательст-
доказательство существования и непрерывности любой производной
любого порядка.
2. Функции фЛ сильно сходятся к ф при h ->¦ 0, т. е.
J I ^л — ф jp cZf —>- 0 при h-^-0.
а
Доказательство. Рассмотрим б = Иф — <рЛ11. Имеем
< j {^S j оэ (Р - Рх; fe) | ф (Р) - ф (Рх) | dv^J dv?.
Обозначим Р — Pi = Q и для оценки внутреннего инте-

26 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
грала используем неравенство Гельдера
х ЫР-О)-
Из ограниченности со следует, что
\to(Q;h)fdv.
\Q\<h
тогда
\Q\<h
вследствие непрерывности функции ф в целом следует,
что при k достаточно малом J | ф (Р — Q) — ср (Р) |р dv-+ <Cr\;
тогда
-" \Ып J r\dv^^C3r\. B.11)
5. Счетная плотная сеть.
Теорема 1. Для всякой функции фе1, '(Кр<«>)
в области Q существует последовательность {q>k} непре-
непрерывных функций с непрерывными производными всех по-
порядков, заданных во всем пространстве, сходящихся силъ~
по к у в Lp na Q.
Доказательство. Средние функции фль с hk ->¦ О
при к->-°° образуют, очевидно, последовательность функ-
функций, непрерывных с производными любого порядка, за-
заданных во всем пространстве, сходящуюся сильно
к функции ф в Др на Q.
Теорема 2. В пространстве Lp A </><<») функ-
функций ф, заданных в ограниченной области Q, существует
счетное всюду плотное множество функций {q>h} {k=
= 1, 2, ...), фле?Р) т. е. такое счетное множество^ {ф*}»
3. Линейные функционалы в Lp
27
что для любого элемента
Lp и любого е > 0 найдется
ф p
такой элемент ф„ что Иф — ф,Н < е.
Доказательство. Пусть фsLp. Построим фл —
среднюю функцию для ф так, чтобы Иф — ifyjl < еУЗ. Далее,
.для -фл по теореме Beiiepnnpacca можно найти такой мно-
многочлен Р, что Игрл — PW < еУЗ.
Наконец, существует такой многочлен Рг с рацио-
пальными коэффициентами, что IIJP — Рт\\ < е/3. Из этих
трех неравенств следует
а так как функций Рг счетное множество, то теорема до-
доказана C). ^~
Замечание. Свойство какого-либо пространства иметь счет-
счетное всюду плотное множество (говорят «счетную всюду плотную
сеть») называется сепарабельностью. Таким образом, пространст-
пространство Ьр сепарабельно.
3. Лилейные функциопалы в Lp
1. Определение. Ограниченность линейных функцио-
функционалов. Если каждой ф е Lp в Q приведено в соответствие
число ?ф, то говорят, что ?ф есть функционал от функ-
функции ф. Функционалы можно складывать, вычитать и ум-
умножать на постоянное число. Мы будем полагать
= а
Функционал Z<p, обладающий свойствами
1) дистрибутивности:
где а и Ъ — любые постоянные;
2) непрерывности:
если
ф, то
C.1)
C.2)
называется линейным функционалом в Lv.
Функционал 1ц> называют ограниченным, если суще-
существует такая постоянная М > 0, что для любой ф
|йр|<ЛГНфИ, C.3)
где 1 ф || = I J j ф |р dv I Р — норма функции ф в Lp.
[1
J

28 Гл. I. Специальпые вопросы функционального
анализа
ог-
огТеорема. Всякий линейный функционал в Lp
раничен.
Доказательство. Докажем эту теорему от про-
противного. Если это утверждение неверно, то должна су-
существовать такая последовательность {q>s} с Lp, что
j——г Z>k (k юб
- Z>k (k — любое натуральное число).
Рассмотрим |it>J
Ф
Очевидно, ifseip и
|| af>ft I = —j= -v 0 при /c-voo; следовательно, ф& =*¦(), а по
непрерывности функционала и 1§к -*¦ 0. С другм! сторо-
стороны, 1-§к>Ук, и, следовательно, Z\jL->-°° при /г-*-». Мы
пришли к противоречию. Теорема доказана.
Из всех чисел М, удовлетворяющих C.3), найдется
наименьшее, называемое нормой функционала lq> и обо-
обозначаемое НЛ1. Норма функционала I удовлетворяет ус-
условиям
и
IIZ4 + 12W «? IIZJI + IIZ2H (неравенство треугольника),
Эти свойства следуют непосредственно из определения
суммы функционалов и фукционала al.
Нашей задачей является установление общего вида
линейного функционала в Lp. Предварительно докажем
два вспомогательных неравенства.
2. Неравенства Кларксона.
Лемма 1. Если Х> 1 и O^x^i, то
Ф(х) = A + х)х + A-х)х-21-<0. C.4)
Доказательство. Имеем Ф'(х) =ЯA + х)* —
-ХA-х)к-г>0 и ФA)=0, т. е. Ф(х)— неубывающая
функция в [0; 1], равная нулю на правом конце проме-
промежутка, и, следовательно, Ф(#)<0 при х<1.
Лемма 2. При р> 2, 0< ? 1
Доказательство. Рассмотрим
3. Линейные фупкционалы в Lp
29
и
Имеем
X
_ _p_
Вследствие леммы 1 Ф'{х)~^§ и, следовательно, Ф(х)^
< 0, а, значит, и F(x)^,0, что и требовалось доказать.
Первое неравенство Кларксона. Рассмот-
. Пусть в данной точке, напри-
напририм
Ф —
мер, |ф|<|ф|; полагаем — =х. Тогда по лемме 2 по-
получим
Ф + Ч>
2
Р
+
Ф —Ф
2
2
1р). C.6)
Интегрируя, получим первое неравенство Кларксона
' p>2- C-7>
C-8)
Лемма 3. Функция
1
со (р) = [zp + A - z)pp-i
есгь возрастающая функция р при р~>1,
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную
функцию %(p) = ln[z" + (l-zy]. Тогда 1пв>(р) = ^&.
Имеем
zp In z + A — z)p In A — z)
\,' (p) =
2P + A

30 Гл. I. Специальные вопросы функционально:
го анализа
Покажем, что %' (р) — возрастающая функция р, т. е.,
что %(р) — функция выпуклая.
Действительно, 7-^— >1 и, следовательно, ln-r^- >¦
1 — z 1 — z
Z> 0. Кроме того,
+ A —
есть возрастающая функция р, так как A —z)/z<l.
Поэтому
- z) =
' (р) ^
«сть также возрастающая функция />, что и требовалось
доказать. Следовательно, кривая Х(р) (р>1) выпуклая.
Из монотонности %'(р) следует, очевидно, X" (р)>0.
Рассмотрим производную от—^4- = г/(р) = 1псо (р). Мы
.получим
У'(Р) =
1
(P-D2
C.9)
Выражение в квадратной скобке всегда положитель-
-но. Действительно,
и, как мы убедились, всегда положительно. Следователь-
Следовательно, функция [%'(р) (р — 1) — h(p)] возрастает. При р — 1
¦она обращается в нуль, так как ЯA) = 0. Следовательно,
всегда положительной будет и функция у'{р)- Значит,
У (Р) — возрастающая функция, что и требовалось доказать.
Замечание. Заметим, что • функция <о(р, а) = [z? +
+ A — z)J3]l/<1'~a' является возрастающей при а>1 (с особен-
Ьостью р = а) и убывающей при a < 0. При 0 < a < 1 она име-
имеет один минимум. Легко доказать это утверждение геометри-
геометрически.
Имеем In « (р, а) = ~~Г^.
Кривая %(р) (р > 1) имеет вид, изображенный на рис. 4. Для
р > 1 она выпуклая, ибо Х"(р) > 0. С осью р она пересекается
3. Линейные функционалы в Lp
3*
при р = 1. Кривая имеет асимптоту К = plnz, так как
/1
J J,
и, следовательно, разность Я(р) —plnz стремится к нулю при р-
->-оо. Любая прямая может иметь -, .
с этой кривой не более двух об- *
щих точек. Очевидно, что
у б
р — а
геометрически представляет со-
собой тангенс угла ср, образованно-
образованного с осью р прямой, проходящей
через данную точку на кривой
и точку р = а, К — 0 на оси р.
Если а > 1, то угол ф возрастает
от —п до arctg In z. Аналогично,
если а ^ 0, то угол ф убывает от
0 до arctg In z.
Наконец, если 0 < а < 1, то
из точки р = а, X = 0 можно
провести одну касательную к на-
нашей кривой. Следовательно, угол
Ф сначала убывает до некоторого минимума, а затем возрастает до
значения arclg In z. Отсюда, так как со (р, а) — etg ф, следует спра-
справедливость утверждений о ш(р, а).
Второе неравенство Кларксона. Положим
для определенности ф > ф > 0 и рассмотрим функцию
Рис. 4
Р-1
C.10)
Очевидно, что если ф = |ф, то F((p) =
Г _?_ _р_"|р-2
-Ц—г-) +{—т-} J '
Далее имеем
. Тогда
р-1

32 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
Поэтому
{ C.12)
так как по лемме 3 м ,~. ' < 1, а р' — 2>0. Следова-
Следовательно, F(q>)— убывающая функция, а так как при <р = ф
F(q>)~0, то, следовательно, /*(ф)<0 при ф>г|).
Очевидно, имеет место неравенство
р-1
IP—1
C.13)
при 1 < р < 2 и любых <р и ф.
Для вывода второго неравенства Кларксона применим
обратное неравенство Минковского @<<7<1)
C.14)
Полагаем в C.14) х =- , 2
— 1. Получаем
v
р-1
р
р-1
и, используя C.13), получим второе неравенство Кларк-
Кларксона
. C.15)
3. Линейные функционалы в Lp
33
Пусть ф и ф — два единичных вектора. Полусумма их
1 ^ представляет собою середину соединяющей их хор-
хорды. Длина хорды при этом равна 11<р — tf>H.
Неравенства Кларксона позволяют утверждать, что
середина всякой хорды длины б имеет норму строго
меньшую, чем некоторое число т](б)<1, т. е. лежит су-
существенно в глубине единичного шара. Это свойство
можно назвать равномерной выпуклостью единичного
шара.
3. Теорема об общем виде линейного функционала.
Теорема. Всякий линейный функционал в Lp пред-
представили в виде
C.16)
где
Ln, -L
Доказательство. Обозначим sup | ЩI = g. Это оз-
11<рИ=1
налает, что существует последовательность {ц>к}, ПфА11 = 1
такая, что hmlq>k = g. Докажем, что {фА} сходится
СИЛЬНО.
Предположим противное. Тогда можно указать такое
е0 > 0, что найдутся пары чисел пк и mh (nh-*¦ °°, тк->~
-*- оо при к-*-оо) такие, что|фтА — фпА|>е0- Применяя
к функциям q>mk и ф„д неравенства Кларксона C.7), если
р > 2, C.15), если 1 < р «? 2, получим
<Pmk + ФпА
2
Фт
Р/(
fe + <Pnfe
2
P-l)
V
ФтЛ
Фж
1
-Фг
2
ft
2
Ц
Отсюда следует, что
2
где 1^ > 0 и не зависит от к.
3 С. Л. Соболев
C.17)

34 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
Рассмотрим %k
™h ™
-Имеем
1 = 1. Вслед-
ствие дистрибутивности функционала имеем
2
1-г,
Ho l^mk~^g, Uvnk-*gnpn к-+°о^ откуда следует, что при
достаточно большом к будем иметь l%k > g. __ = g, что
противоречит тому, что sup | hp |= g.
l№ll=l
Следовательно, {фт} сходится сильно н вследствие
полноты Lp существует предельный элемент <р0 ^ Lv.
Очевидно 11фо11 = 1.
Замечание. Из доказательства следует единственность
(с точпостыо до эквивалентности) функции cp0 e Lp такой, что
(|фо|| =1 j /ф0 = g, иначе мы могли бы составить расходящуюся
последовательность, для которой lim l(ph = g, что невозможно.
k-KX>
Докажем, что
= g \ i | Фо IP~J sign Фо1 Ф dv
C.18)
или, полагая g\q>0\p~i signфo = г|H,
l(f = j г|)оф dv.
Лемма. Если для некоторой функции
\ [\%\"-lsign%]tydv^O,
h
го Z\|) = 0.
0
где г|з Ф сф0 (с — постоянная).
C.19)
Так как
= 1 и
то y{K)^g, причем равенство достигается при Х — 0.
Следовательно, при Х — 0 у (X) имеет максимум. Если
3. Линейные функционалы в Lp
существует г/'@), то г/'@) = 0. Нетрудно убедиться
в существовании этой производной.
Дифференцируя формально, имеем
~\\ Фо + Ч\\ = i:
Г j I
+
X р f | Фо + М> Г sign (ф0 + Я-ф) г|5 dvt
и так как интеграл] |
sign (ф0 + Щ г|з dv равно-
мерно сходится [212, лекция VII], то законно формальное
дифференцирование по К. Далее
и поэтому
У'@) =
'@) = Й^Т - ,ГТ2!| ^ I1"" f
II ^0 II || Фо || ?
Фо lp-x sign Фо] ур dv,
откуда в силу C.19) следует Zi|) = 0, и лемма доказана.
Докажем C.18). П-усть ф е Lp — любая функция. По-
Положим
а = j 11 Фо lp~x sign ф0] Ф ^p-
Тогда г? = ф — аф0 удовлетворяет C.19), так как
J II Фо I" sign ф0] (ф — аф0) dv =
= а — а \ | Фо |p-i | фо | dv == а — а = 0.
Следовательно, Z-ф = /ф - а/фо = 0, т. е.
= g j 11 Фо I25 sign Фо] ф rfy,
и C.18) доказано.
3*

36 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
Так как ф0 е Lp, то
11 Фо |p-i sign cPo |р' = [ | Фо |p-i]p/(p-i) = | Фо |р,
и, следовательно,
причем ||i|30||r,p, =g.
Таким образом, получаем из C.18)
и теорема доказана. Кроме того, очевидно, IIZII = ||tpo!|i. .
Замечание. Из C.10) следует, что каждому линейному
функционалу в Lp соответствует функция if e Lp/ и, наоборот,
каждая \|> е Lp. порождает линейный функционал в Lp. Прост-
Пространства Lp и Lp, являются взаимно сопряженными функциональ-
функциональными пространствами.
4. Сходимость функционалов. Понятие сходимости
легко перенести на пространство функционалов.
Будем называть последовательность функционалов
{lh} слабо сходящейся, если для каждого элемента ф из
Lp существует предел lim lhq> = /оф.
Этот предел удовлетворяет свойству дистрибутивно-
дистрибутивности, так как
h KfPl + «аФч) = lim h («1Ф1 +
h-^oo
= lim (ajpspi + а3^лФ2) =* ai
= «l^oTl + «г'оФг-
Если предельный функционал 10 ограничен, то он бу-
будет и непрерывным, т. е. линейным.
Теорема 1. Пространство Lp, т. е. пространство
функционалов для LPJ является полным в смысле сла-
слабой сходимости. Иными словами, всякая слабо сходящая-
сходящаяся последовательность функционалов имеет пределом
линейный функционал A < р < °°).
Очевидно, достаточно доказать ограниченность всякой
сходящейся последовательности функционалов. Отсюда
уже будет следовать ограниченность предельного функ-
дионала.
3. Линейные фупкциопалы в Lv
37
Мы докажем справедливость предложения, из которо-
которого будет следовать теорема 1.
Теорема 2. Если последовательность линейных
функционалов
1и ..., Z», ... C.20);
неограничена, т. е. может принимать на единичном ша-
шаре из Lp сколь угодно большие значения, то найдется
такой элемент соо из Lp, на котором эта последователь-
последовательность расходится A< р < °°).
Доказательство. Идея доказательства состоит
в том, что из последовательности функционалов C.20)
мы выберем некоторую подпоследовательность
C.21)'
ms,
где
— lk/s (s=l,2,
= \
Lv,.
C.22)
\%f asignts _
Пусть (os = J—! —— . Очевидно,
cos e Lp, 1@,1=1, msas --
Составим ряд по функциям со„
С00 =
s=l
C.23)
где а, = 11ф8И-1/2.
Ряд сходится в Lp, если сходится ряд 2||'Ф«|Г1 •
мы докажем при соответствующем выборе {тЛ, ряд
C.23) окажется сильно сходящимся к элементу со0, а по-
последовательность ZfttOo будет расходиться.
Последовательность ms мы будем строить индуктивно.
Пусть ms выбрано; покажем, как нужно выбрать тя+,.
Рассмотрим последовательность (Аоь), ..., (/Зсо8). ...
Если она не ограничена, то теорема доказана. Если эта
последовательность ограничена, то полагаем
As = sup | ZjCO/г |.
fel
Имеем
°°. Каждому функционалу 4 по-

¦38 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
следовательности C.20) отвечает ^k^.Lv,, такая, что
норма 4 равна ИфйЦг-р,- Так как последовательность
C.20) неограничена, и в силу этого {Нг|)АН} неограничена,
то в качестве ms+i всегда можно выбрать такой 4, чтобы
выполнялись неравенства
lip.lV>1 Й = 1,2,...), C-24)
H.+iIv>4D1+ ...+AS), C.25)
l^Hfv>3a(s+1-j)№i|v . (/<*)• • C-26)
В силу C.24) и C.26) имеем||ф3|ьр,>32(^1), откуда
следует, что ряд 2 а8=.2||'1МГ:1/2 годящийся и поэтому
ряд C.23) сходится в Lp. Поэтому
s-l
msco01 =
Имеем
В силу C.24), C.25) имеем
s-l
. C.27)
W\ C.28)
;4-|ЫГ C.29)
Из C.26), меняя обозначения, легко находим
откуда
2 а^т8щ
<2?
Тогда из C.27), C.28), C.29), C.30) получаем
3. Линейные функционалы в LP
39
откуда ясно, что 1к(д0 не может стремиться ни к какому
пределу при возрастании к. Теорема 2 доказана.
Следовательно, если последовательность D) сходится
слабо, то она не может быть неограниченной, и поэтому
для всякой ф е Lp имеем
\imlk<?
C.31)
где А — верхняя грань норм всех 4- Таким образом,
функционал 4 ограничен и, следовательно, непрерывен.
Теорема 1 о полноте Lp доказана.
Слабая сходимость в Lp. Последовательность
функций {фА} называется слабо сходящейся к функции
Фо, если для любого функционала I e Ьр имеет м"есто
равенство
lim 1щ = !ф0. C.32)
В пространстве Lp множество функционалов совпадает
с пространством Lv,. Поэтому формула C.32) имеет ме-
место в случае, если функционалы !4elj-, соответствую-
соответствующие фЛ, слабо сходятся к функционалу I, s IJ-, соответ-
соответствующему фо.
Мы имеем окончательно в пространстве Ьр два вида
сходимости: сильную и слабую, которую будем обозначать
фл -*¦ фо. Очевидно, что из сильной сходимости <fk =*- фо
следует слабая сходимость фЛ -> фо. Обратное не всегда
верно. Приведем пример слабо сходящейся последова-
последовательности, не сходящейся сильно.
Пример. Пусть Q = [0, 2я], р = 2, q>k(x) = sinkx.
Тогда sin kx -> 0, так как для любой функции г|) е ?2
2Л
sinkxdx
поскольку ряд
Ь\
2 Л
f ib2 dx
s1
сходится. Ho sin kxi>0 при А; -> оо, так как
2Л
| si
sin2

40 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
Заме ч апис. Теорему 2 можно формулировать в терминах
слабой сходимости функций так: неограниченная по норме после-
последовательность функций не может быть слабо сходящейся.
4. Компактность пространства Lp
1. Определение компактности. Множество М норми-
нормированного пространства называется компактным, если из
всякой его бесконечной части можно выделить сходя-
сходящуюся последовательность.
Примеры. 1. Всякое бесконечное ограниченное
множество точек плоскости компактно (принцип Боль-
цаио — Вейерштрасса).
2. Компактность в пространстве непрерывных функ-
функции устанавливается в теореме Арцела: если семейство-
функций {ф} равномерно ограничено и равностепенно
непрерывно, то оно компактно в смысле равномерной
сходимости (т. е. если 1ф1<А и по е > 0 найдется
б(е)>0 такое, что |ф(Р +(?) —ф(Р) 1 < е для всех (ре
е {ф}, лишь только |<?|<б(е), то семейство {ф} ком-
компактно) .
Компактность в Lp. В соответствии с двумя ви-
видами сходимости, в Lp различают сильную и слабую
компактность.
1. Множество функций {ф} <= Lp называется слабо
компактным, если любая бесконечная его часть содержит
слабо сходящуюся последовательность.
2. Множество функций {ф} с: Lp называется сильно
компактным, если любая бесконечная его часть содержит
сильно сходящуюся последовательность.
2. Теорема о слабой компактности.
Теорема. Для того чтобы множество X<^LP было
слабо компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно
было ограниченным A < р < °°).
Доказательство необходимости. Необходи-
Необходимость условия следует просто из теоремы о слабой пол-
полноте пространства Lv.
Если множество X неограничен©, то из него можно
выделить последовательность {фл} такую, что ИфйЧ -*¦ °°,
из которой на основании замечания к п. 4, § 3 невоз-
невозможно выделить слабо сходящуюся подпоследователь-
подпоследовательность, и, следовательно, множество X не является слабо
компактным.
4. Компактность пространства Lp
41
Доказательство достаточности. Пусть для
всех ф s J с Z,,,
НфН<4. D.1)
Рассмотрим сопряженное пространство Lv,. Оно сепа-
рабельно (п. 4, § 2). Счетную, всюду плотную сеть в
ЬР1 обозначим
Фь ..., Ф*, ... D.2)
Пусть {ф&} — любая бесконечная последовательность,
{ф4} сг X. Покажем, что из нее можно выделить слабо
сходящуюся подпоследовательность. Возьмем if>i и обра-
образуем последовательность чисел (фь, if>i)= j tyhtyi dv = а^.
h
Эта последовательность чисел ограничена: ja^1*!^
^¦4|4|'i|) и из нее можно выделить сходящуюся подпо-
подпоследовательность, соответствующую подпоследователь-
подпоследовательности
,Ф^, ...; |ф(ДМг;-
„CD
Ф1 ,
при
Возьмем фг- Последовательность чисел я&2) = (ф^ ', г|з2)
ограничена, и из нее можно выделить сходящуюся под-
подпоследовательность, соответствующую подпоследователь-
подпоследовательности ф(г2), фг2), .. ., Фй2>, ...; | Фй.2Ч>2 dv-*-aW при /c-v оо.
h
Продолжая этот процесс, получим ряд сходящихся по-
(s)
следовательностеи чисел а\ и соответствующих им
функциональных последовательностей, являющихся ча-
частичными последовательностями {ф^} и таких, что по-
последующая является подпоследовательностью предыду-
((8)}{фГ1)}с{Ф,}, и
при к ->- оо и s — 1, 2, 3, ...
Диагональным процессом из них можно выбрать по-
последовательность [щ }, слабо сходящуюся на всей счет-
счетной всюду плотной сети {фЛ, т. е.
h^ps — \ (p^tysdv-t-aW = Щв при /c-v оо и s = 1, 2,3, ...;

42 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
Сходимость Uki на множестве {г|)Л влечет за собою
сходимость везде.
В самом деле, любой элемент if>e Lv> может быть
представлен в виде
ф = ip. + ф',
где Нф'Н < е, a i|)s — элемент нашей сети D.2). Тогда в
силу ограниченности всех 1к имеем
<Аг,
для любых к я т.
Далее
и, выбрав достаточно большие т и к, получим
откуда следует сходимость функционалов 1к на ф. По до-
доказанному ранее предел Z-ф является линейным функ-
функционалом в Lpr, и, следовательно, представим в виде
Ы — mnibdf. Таким образом, для всякой г|зе/>р< имеем
¦\ ffltydv-*-^ %tydvw, следовательно, для всякого функ-
й Q ...
ционала в ?р имеем l(fk -*-l%. Таким образом, мно-
множество X слабо компактно, что и требовалось доказать.
3. Теорема о сильной компактности. ^
Теорема. Для того чтобы множество X<=LP (К
<?<оо) было сильно компактно, необходимо и доста-
достаточно, чтобы
1) ИфИ <А для всех (pel; D.3)
2) множество X было бы равностепенно непрерывно
-в целом, т. е. по любому е >0 нашлось бы б(е)>0 та-
такое, что для всех ф^Х
/ф @ = [ | ф (Р + Q) - ср (?) |р dv< e, D.4)
лишь только |<?1<6(е) (полагаем ф = 0 вне Q).
4. Компактность пространства
43
Лемма. Множество Х<=^ЬР A</><°о) является
сильно компактным тогда и только тогда, когда по лю-
любому е > 0 найдется конечная г-сетъ на X, т. е. найдется
конечное число функцзхй фь ф2, ..., <р*г(*> е X таких, что
для любой (pel среди них найдется такая функция ф„
что Нф — ф8Н < е.
Доказательство необходимости. Пусть су-
существует такое е0 > 0, что для него нельзя построить
конечную ео-сеть. Это значит, что, каков бы ни был эле-
элемент ф! еX, найдется фге1 такой, что lkp4 — ф2И > е0.
Элементы ф! и ф2 не являются ео-сетью; следовательно,
найдется такой ф3 s X, что
—ф3И>е0 и
80.
Продолжая рассуждать таким образом, построим беско-
бесконечную последовательность {(fh) <=¦ X такую, что 11ф4 —
— cpftll > е0 для i Ф к. Очевидно, из нее нельзя выбрать
сильно сходящуюся подпоследовательность, что противо-
противоречит предположению о сильной компактности множе-
множества X. Необходимость условия доказана.
Доказательство достаточности. Пусть X
таково, что на нем можно построить конечную е-сеть
для любого е > 0 (тем более это возможно для любой его
части). Пусть Yy cr X — любое бесконечное множество.
Строим на нем A/2)-сетьф^, ф21}, ..., ф(^- Для любой
Фе^, найдется Фа° такая, что ||ф — ф11)|< 1/2. Пусть
Y\ —множество функции еГ[ и отстоящих от щ1 менее
чем на 1/22. По крайней мере одно из Y[s^ бесконечное,
так как Y — бесконечное множество. Обозначим его че-
через Y2 и строим на нем 1/22-сеть. Повторяя этот процесс,
получим на к-м шаге Yh а Ул_4 с ... с У4 и па нем
A/2*)-сеть: 4>[h\ ФBЙ), ..., Ф^. Пусть <р', <р" е У,, тогда
11ф'-ф1^11ф/-фЛ-11ф"-ф,!1^1/2л+1/2'! = 1/2*-1, т. е.
любые две функции ^Yh отстоят друг от друга менее
чем на 1/2*-\
Последовательность функций {(fh), где ф4<=У^ сильно
сходится, так как Ифк+т — фк11 < 1/2*-' < е при доста-
достаточно большом к (%+.е7,+1,сУ, при любом ш).
Таким образом, из У1 с X мы выделили сильно схо-
дящуюся_ последовательность, и, следовательно, X
компактно.

44 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
4. Доказательство теоремы о сильной компактности.
Достаточность. Рассмотрим семейство {ф} = X,
удовлетворяющее условиям D.3) и D.4). Строим семей-
семейство средних функций для всех (реХ посредством семей-
ства ядер <o(Q, h) (§2, п. 4):
4" f
Ф
dvlt
D.5)
По оценке п. 4, § 2 НфЛ — фН < KJ^(h), где Z не зави-
зависит ни от выбора функции семейства, ни от параметра h
ядра, а /ф (h) = sup/v(<2)- Вследствие условия D.4)
по заданному е>0 найдется 6(е)>0 такое, что при
л — фИ < е/2 для всех
D.6)
Тогда е/2-сеть для Uph) будет е-сетью для {ф}.
Если мы теперь установим компактность семейства
средних функций, то на основании леммы отсюда будет
следовать существование для средних функций конечной
е/2-сети. Значит, на множестве X можно построить ко-
конечную е-сеть для любого г. На основании той же лем-
леммы X будет компактным. Для того чтобы установить
компактность {ф,,}, покажем, что {фЛ} при заданном h
равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
Тогда по теореме Арцела оно компактно в смысле рав-
равномерной сходимости и тем более в смысле сходимости
в Lp. Но при достаточно малом \Q\ вследствие непрерыв-
непрерывности ядра
-Р; h)
откуда
— i" Ф (Л) [»(^i — P — Q; h) — © (Px — P; ft)] di>!
4. Компактность пространства Lv
45
и при достаточно малом \Q\ и фиксированном /г
т. е. {ф,,} равностепенно непрерывно.
Равномерная ограниченность следует из оценки
Таким образом, семейство {ф,,} компактно, и по лем-
лемме в ном можно построить конечную е/2-сеть. Она явля-
является конечной е-сетью для X, и, следовательно, по лемме
X сильно компактно, что и требовалось доказать.
Необходимость. Пусть X сильно компактно, тог-
тогда оно и слабо компактно и по теореме о слабой ком-
компактности для всех <pel; Нф!1<Л, т. е. доказана необ-
необходимость условия D.3).
По лемме существует конечная е/3-сеть Uph} (к =
= 1, ..., N). Каждая из функций фА непрерывна в целом,
а так как их конечное число, то по данному е можно
указать такое 6(е/3)>0, что
-|- (к
Q) -
лишь только \Q\ < 6.
Возьмем любую функцию (реХ и выберем ближай-
ближайшую к ней фь из е/3-сети. Используя неравенство Мип-
ковского, получим

46 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
1/р
<e/3 + е/3 + 8/3 = е при |<?|<б,
т. е. для всех ц>^Х по заданному е можно указать та-
такое б, что Лр((?)<е, лишь только \Q\<8, и, следова-
следовательно, доказана необходимость условия D.4).
5. Обобщенные производные
1. Основные определения. Пусть ф задана в области
?2 и суммируема по любой ограниченной области G та-
такой, что G <= Q. Рассмотрим функцию if, непрерывную
«о всеми производными до порядка I включительно и
равную тождественно 2гулю вне некоторой ограниченной
области V$ такой, что Fm <= Q.
Если ф имеет непрерывные производные, то
Ф"
Кп
dv = 0. E.1)
Пусть теперь мы ничего не знаем о существовании про-
производных от ф и пусть существует функция (Оаг..ап, сум-
суммируемая по любой ограниченной области G такой, что
G <= Q, и удовлетворяющая равенству
ф-
»аг..ап ЫУ = О
= 0 E.2)
для всех функций if из рассматриваемого класса. Тогда
обозначаем
E.3)
и будем называть юа1...ап обобщенной производной фугек-
ции ф.
Замечание. Равенство E.3) по основной лемме вариаци-
вариационного исчисления верно в обычном смысле почти везде, если ср
имеет соответствующую производпую и оправдано интегрирование
по частям.
5. Обобщенные производные
47
Может существовать лишь одна обобщенная производная
<ва а от функции ф. Если бы их было две: ©„'...ani №а...ап'
то на основании E.2) имели бы
j
9.
откуда в силу произвольности -ф получили бы «в^1^ „п = <в^2). „п
почти везде. Таким образом, обобщенная производная определя-
определяется однозначно (с точностью до множества меры нуль).
Новое определение производной не совпадает с оп-
определением производной почти всюду, как показывают
примеры.
Пример 1. Пусть ф(х) непрерывна на [О, 1J, но не
абсолютно непрерывна. Если бы <$(х) имела, обобщен-
обобщенную производную to (ж), то для всякой "ф(ж), непрерыв-
непрерывной с первой производной и обращающейся в нуль вне-
(е> 1 _ е) @ < е < 1/2),.имели бы равенство
1 1
\ ф —— dx = — \ со (х) г|) (х) dx.
о о
X
Пусть Q (х) = j со (I) dg. Тогда
(x) -^ dx,
1
о
и, следовательно,
1
J dx
О
откуда в силу произвольности -г—, удовлетворяющей
лишь условию 1 -j^- dx = 0, вытекало бы, что ф — Q(x) —
dx
U
— С, т. е. ф = О(ж)+С, и, следовательно, ф(ж) абсолют-
абсолютно непрерывна, что противоречит предположению. Та-
Таким образом, ф(ж) не имеет обобщенной производной.
Поэтому, если <р(х) непрерывна, имеет почти везде про-

48 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
изводную-т-1-, но не абсолютно непрерывна, то она не
имеет обобщенной производной. Таким образом, из су-
существования производной почти везде не следует суще-
существование обобщенной производной.
Пример 2. Рассмотрим функцию двух переменных
ф(ж> У)— fi(x) + fz(y), где /i и /2 непрерывные на всей
прямой, но нигде не дифференцируемые функции; тогда
ф(ж, у) не имеет производных в обычном смысле, но
обобщенная производная ^— существует и равна 0 в
любом прямоугольнике Q: a<x<b, c<y<d. В самом
деле,
дхду
dv ¦¦
dv +
дхду
dv.
= —¦ = 0 на границе Q, и поэтому
Их
у=с
и аналогично
Следовательно,
Ф
дхду
dv = 0,
что и требовалось доказать.
2. Производные от средних функций. Существование
обобщенных производных.
Теорема I. Пусть функция ф имеет обобщенную
производную а аГ в области Q. Тогда производ-
дх1 •¦¦дхп
ная средней функции для <р равна средней функции для
ее обобщенной производной:
5. Обобщенные производные
на множестве Qh тех точек PeQj расстояние от кото-
которых до границы области Q больше h.
Доказательство. Так как
= ^ J
Ф (Pi)« (Pi - % h)
где Р=(хи ..., хп), Р,(У1, ..., Un)t то
.1» даы(Р.—Р;К)
По определению обобщенной производной для всякой а
раз непрерывно дифференцируемой функции -ф, кото-
которая обращается в нуль вне некоторой ограниченной об-
области V$ такой, что F* <= Q, имеем равенство E.2). Если
P^Qh, то функция (о (Pi — Р; h) обращается в нуль вн&
шара IjPi — Р\ ^ h, содержащегося в Q. Взяв -ф =
= to (Pi — Р; h), получим
что и требовалось доказать.
Следствие. Если ф суммируемая функция и
ааф т а „
-1 ^~-. Ьрв области У, го
"п
при h-v О
в Lp в любой области GcQ такой, что расстояние от G
до границы области Q положительно.
4 с. л. Соболев

50 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
Доказательство. Так как для достаточно малых
h имеем G <= Qh, то это следует из свойств средних
функций.
Теорема 2. Если к данной функции <р, суммируе-
суммируемой в любой ограниченной области G такой, что G со-
содержится в области Q, можно приблизиться с помощью
последовательности непрерывно дифференцируемых
функций <рЛ (к = 1, 2, ...) в том смысле, что для всякой
функции ty непрерывной и такой, что \р = 0 вне ограни-
ограниченной области F* и V* с Q, имеет место
lim J ф, (Р) г)) (Р) dy = \ ср (Р) я|> (Р) dv E.5)
•м если, кроме того,
E.6)
где A(Q) не зависит от к, то в Q существует обобщен-
обобщенная производная
дха^ ...дхапп'
Доказательство. Из ограниченности интегралов
E.6) вытекает слабая компактность в Lp цоследователь-
лости {— ¦=——} и, следовательно, существует слабо
сходящаяся подпоследовательность
/причем <оа ...апе Ьр). Имеет место равенство
для всех if непрерывных с производными до порядка a
ж обращающихся в нуль вне F+ с Q.
5. Обобщенные производные
51
Переходя к проделу при kt -»- °°, получим
что и доказывает теорему.
Замечание. В силу C.31) f I coa a lp tto < Л (Q), так
а
как соа
Lp и является слабым пределом
^^
Следствие. Если множество производных порядка
а от средних функций слабо компактно, то данная функ-
функция имеет обобщенную производную порядка а.
3. Правила дифференцирования. Из определения
обобщенной производной вытекают следующие утверж-
утверждения.
1. Если ф4 и ф2 имеют обобщенные производные од-
одного порядка
"«^' а Cl и Сг ~~ по~
ах^...дхпп дх^...дхпп
стоянные, то с{ц>{ + с2фг имеет обобщенную производную-
то го же порядка
= с,
Доказательство очевидно.
2. Если ф имеет обобщенную производную——
= (o(Xi, ..., х„) и a>(Xi, ..., х„) имеет обобщенную про-
производную s 77- =%(ХЪ . . ., Х„), ТО 1(Х,, ..., Хп)
есть обобщенная производная от ф порядка а + ^:
Доказательство. Пусть if имеет непрерывные
производные до ее + ?1 порядка во всем пространстве и
равна нулю вне некоторой ограниченной области V$ та-
4*

52 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
кон, что F* <= Q. Тогда
...дх
— = %г..рп имеет непре-
непрерывные производные до порядка а и равна нулю вне V
Из определения обобщенных производных следует
г '''
da,
что ввиду произвольности i|) и доказывает утверждение.
дер 5ср
и 1 е L и ^
3. Если
-х-1
5ср
Lp, ф2 и -т-^ е -Ьр/, то произведе-
произведе1 "~1
ние Ф1Ф2 имеет обобщенную производную
о (ф,ф 'i Зф„ аф,
Доказательство. В самом деле, Ф1е Ьр и
tp2 e Lp', и поэтому ф1ф2 суммируема. Аналогично сум-
суммируемы фх у-^-, фг у-^ и фс у-2- -}- Фг"Г^"- Пусть ф!/, И фгл
1 ^i xi х\
¦средние функции для ф4 и ф^. По свойству средних
функций в любой G такой, что G <= Q, имеем
jp,
¦Фа,
¦д-5 в Lvi.
Пусть i|) непрерывна с производными первого поряд-
порядка во всем пространстве и равна пулю вне F*c Q.
Пусть |i|i| ,
¦'i
<А. Тогда
Р2Л — Ф1Ф2) a7
<А
(ФЗА - Ф0
(Ф
1А
Irfy:
5. Обобщенные производные
53
< А j I Ф1А I
\dV
Ф2 I I Ф1Л - Ф1 \dV <
- Ф2 lv
p, 1 Фхл - Ф1 кр] -> О
при h -v О,
t. e.
3\|з Г
дг|)
Аналогично доказывается, что
Тогда из очевидного равенства
при h -»- 0 следует, что
ф, ф
а это означает, что <Pi^ + Ф2^-
дх
Замечание. Если ф( и фг имеют непрерывные производпые
до порядка а, то
гДе Cp r — бипомиалыгые коэффициенты.
Эта же формула верпа, если ф1 и ф2 принадлежат соответст-
соответственно Lp и Lp, и имеют обобщенные производные, входящие в
правую часть, причем производные от ф[ принадлежат Lv, произ-
производные от ф2 принадлежат Lp/. Доказательство аналогично только
что приведенному.
4. Независимость от области. Пусть ф и Я — две за-
заданные в области Q функции, суммируемые по любой
ограниченной области G такой, что G <= Q. Если А, есть

54 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
обобщенная производная от ф:
Х= —
в Q, то X есть обобщенная производная от ф в любой
части Q, что легко следует из определения обобщенной
производной. Таким образом, хотя определение обобщен-
обобщенной производной «глобально», но ее характер в любой
окрестности некоторой точки определяется локальными
свойствами функции ф. Рассмотрим возможность рас-
расширения области первоначального определения обобщен-
обобщенной производной.
Предварительно докажем лемму.
Лемма. Пусть функции ф и X заданы в области Q
и суммируемы по любой ограниченной области G такой,
что G <= Q, причем в каждом шаре радиуса меньше не-
некоторого 6 > 0, лежащем в Q, X есть обобщенная произ-
производная от го:
Тогда X есть обобщенная производная от ф в Q.
Доказательство. Пусть 0<h<8i^8. Соглас-
но теореме 1 из п. 2 Xh =
на Qa . Рассмотрим
теперь любую функцию if, непрерывную со всеми про-
производными до порядка а включительно и равную тож-
тождественно пулю вне некоторой ограниченной области Уф
такой, что F^ <= Q. Тогда V$ cz йбх для некоторого
О < 6i < б, следовательно,
Так как при h -*- 0 Xh =>¦ X и фл
реходя к пределу, получим, что
Г ЦХ dv = (- 1)а Г Ф
в Lp на V$, то, пе-
пеdv,
5. Обобщенные производные
55
т. е.
dv,
две произвольные области. Очевидно,
и лемма доказана
Пусть Q(l) и
Если, каково бы ни было б > 0, найдется б' @ <
б' < б) такое, что
то пару областей Q(l) и QB) назовем суммируемой.
Теорема./71/сгь йA) и Q<2) — суммируемая пара
областей, функция ф, определена в QA), ф2 — в QB) и
<Pi = ф2 в Q(l)Q(Z) (с точностью до множества меры
нуль). Пусть ф1 имеет в QA) обобщенную производную
•—„ — ы ф3 в й("' имеет обобщенную производную
Ях1дхп
дац>
OJl • • • 0хп
равенством
. Тогда функция ф, определенная в QA) + QB)
к
имеет в Q(l) + Qm обобщенную производную, равную
E.7)
Доказательство. В силу того, что а>, = w2 в
3V дац>
' имеем — !—— = — 2__ в о<')дB)? что сле.
...дх"п
дует из локального характера обобщенной производной.
Поэтому правая часть формулы E.7) непротиворечива
в QA)QB).

56 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
Очевидно, достаточно доказать, что X есть обобщен-
обобщенная производная от ф в (QA) + QB)N, где 6 >0 произ-
произвольно малое.
Так как пара областей QA) и QB) суммируема, то
<1> Q<«)ec:Q^) + Q^) для некоторого 6'>0, щ
следовательно, всякая точка Р е(О<'> + Q<2»N принадле-
принадлежит по крайней мере одной из областей: йвЛ ^б' •
Пусть Р е Об1/'. Тогда шар С6, (Р) cz QA), где X совпадает
совпадает с фь Поэтому X есть
обобщенная производная от ф в Cg/ (P), какова бы ни
была ^е(аA) + йB))в, На основании леммы X есть
обобщенная производная от ф в (QA) + Q<2)N. В силу
произвольности б, X есть обобщенная производная от ср
в ОA) + Й<2) D)
6. Свойства интегралов типа потенциалов
1. Интегралы типа потенциалов. Непрерывность.
Пусть /eip (р>1) во всем пространстве п измерений,
причем / = О вне некоторой ограниченной области Q.
Построим функцию
[7@= J r->-f(P)dvp
F.1)
где X — число, Х< п, г = \Р — (? | = I/ 2j (xi — у if; r <
< R — шар, содержащий область Q.
„ „ , . п ( 1 , 1 Л
1еорема. Если Х<С —г 1 1—г=1|,1<р<°°, то
U(Q) непрерывна и в любой ограниченной области о>
удовлетворяет неравенству
\uCQ)\<K\\f\\Lp, F.2)
где К — постоянная, зависящая, вообще говоря, от ш, но
не зависящая от /.
Доказательство. Имеем Хр' < п. Поэтому интег-
интеграл j r-to'dv-* сходится и стремится к нулю при h -*¦ 0.
r'kh
6. Свойства интегралов типа потенциалов
57
Пользуясь неравенством Гёльдера, получим
F.3)
если h достаточно мало, независимо от положения точ-
точки Q. Так как#Й= j r-^f{P)dv3+ j r^f(P)dv?
h<r<R T4ih
и первое слагаемое правой части есть непрерывная
функция Q, то и U (Q) непрерывна как равномерный:
предел непрерывных функций*). Применяя к F.1) не-
неравенство Гёльдера, так же как и в F.3), найдем
J
= K\\f\\Lv,
т. е. оценку F.2). Теорема доказана E).
2. Принадлежность к Lq*.
Теорема- Рассмотрим гиперплоскость s измерений
ys+1 = ... = уп= 0, и пусть QM (уи ..., у8)— точки этой
гиперплоскости. Тогда, если 1 < р < °°Д^— м —> Я,—
w ~**
г, г. е. s > п — (п — Х)р, то U(Q(S)) суммируема (по
любой конечной области Еа в гиперплоскости) со степенью
q*, где q* у
ет место неравенство
q, у = X - у, m. e. g =
_ {^_ ^ р
, и име-
где К^ — постоянная, не зависящая от /.
(В тех случаях, когда у нас одновременно будут встре-
встречаться пространства Lq* в евклидовых пространствах с
различным числом измерений, мы будем иногда обозна-
обозначать эти пространства Lq*s.)
*) Более подробно об интегралах, зависящих от параметра, см.
[212, лекция VII].

58 Гл. I. Специальные вопросы функционального апализа
Доказательство. Из определения q следует, что
q > р. Пусть q* — некоторое число, удовлетворяющее
неравенству
р < q* < q.
Положим % — -4- + -г — 2е, где е = -i-( — ) > О,
F.1) имеем
Из
riR
и, применяя неравенство Гёльдера к трем множитолим,
положив %i = 1/5*, Х2 = д ~рр = 1/р — 1/5*, Я5 = Ир'
(очевидно, что hi + hz + Я3 = 1), получим
J 1/Р-1/9*
X
J i/i
X
I г
I J
/р'
Принимая во внимание, что интеграл ) г~п+$'*с1и сходя-
rkR
шийся (так как п — ер' ¦< п) и J | ffdv-^=\f\fL получим
4R
. F.5)
J
Возводя F.5) в степень q*, интегрируя по области Е„ в
гиперплоскости ys+i = ys+2 = ...== уп = 0 и переставляя
порядок интегрирования, найдем
Е.
jR | / |p П| r*M,^J dvT F.6)
Покажем, что интеграл J r~s+tiq*dv-^s) ограничен.
6. Свойства интегралов типа потенциалов
59
В самом деле, в полярных координатах в гиперплоско-
сти Qw имеем
F.7)
г =
где й — расстояние от точки Р до гиперплоскости,
d(o'-s) — элемент телесного угла в плоскости вокруг
д
d(o
р
элемент телесного угла в плоскости вокруг
основания перпендикуляра, опущенного из Р на эту
гиперплоскость.
Если %s — поверхность шара в s-мерном пространст-
пространстве, г s? R при ре?„РеИ, то
r-s+89*dz;
Ё,
Подставляя в F16) и обозначая К
II и &)
= ЦI и
что и требовалось доказать.
Пусть qi < q*. Тогда
J | U
через К, найдем
* < к«/ |,р,
l«i/e*
откуда следа-ет, что ||f/ (^)||Lg < C\U (Q) \Lq*, и нера-
неравенство F.4) справедливо для любого q*. Следова-
Следовательно, условие q* > p может быть отброшено и теоре-
теорема полностью доказана F|7).
Замечапие. Постоянные К и К\ в теоремах из п.п. 1 и 2
зависят исключительно от вида области, чисел Я, р, s, n, q*, но не
зависят от функции f(P).
Если многообразие s измерепий не является плоским, то со-
соответствующая тоорома может быть получена из предыдущей при

60 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
помощи замены переменных. Нужно предположить, что существу-
существует такое преобразование координат, которое вносит лишь конеч-
конечное искажение расстояпий (т. е. в конечной части пространства
можно указать такие числа М > от > 0, что от < р/г < М, где
г — расстояние в старой системе, р — в новой) и которое преобра-
преобразует рассматриваемое многообразие в плоское.
7. Пространства Lp i
1. Определения. 1. Линейное пространство всех
функций ф, суммируемых на любом замкнутом ограни-
ограниченном множестве, содержащемся в области Q, имею-
имеющих в области Q все обобщенные производные порядка
I, суммируемые в степени р > 1, назовем пространством
Lv в Q,
2. Под Lv будем понимать множество, элементами
которого являются классы элементов из Wp\ имеющих
все одинаковые производные порядка I, т. е. ф! и <р2 бу-
будем считать принадлежащими одному и тому же классу
из Lp , если
дх«1
*
l) почти всюду в Q.
Элементы из Lp будем обозначать буквой if. Функции
Ф одного и того же класса if будем называть эквива-
эквивалентными между собой.
Элементы Lvl) можно складывать и умножать на дей-
действительные числа. Тем самым Lp1' образует векторное
пространство.
Для умножения элемента if на постоянную достаточ-
достаточно умножить на нее все функции ф, входящие в класс if.
Нетрудно видеть, что при этом мы снова получим
элементы одного и того же класса.
Класс i|5i + "ф2 получается, если мы сложим попарно
все элементы из ij^i и \f>2- Нетрудно видеть, что при этом
снова будут получаться элементы одного и того же
класса.
7. Пространства L^ и
2. Норма в Lpl). Под нормой элемента if из L^l) бу-
будем понимать число
2 ч1/р
dv\ =
dv\ , G.1)
понимая
где ф принадлежит классу if.
В некоторых случаях там, где это не вызывает недо-
недоумений, мы будем писать ||ф| (!) для (р'
под этим норму класса if, к которому принадлежит <р.
Отметим несколько простейших свойств нормы.
I. НафН = \а\ • ИфИ, если а — число.
II. Нф1 4- ф211 ^ Нср1|] + Пфг11 (неравенство треугольника).
III. НфИ^О и, если НфН=О, то ф эквивалентно нулю,
т. е. представляет собою многочлен степени не вы-
выше 1—1.
IV. Норма инвариантна при всяких ортогональных
преобразованиях пространства xi, ..., хп.
Первое свойство совершенно очевидно. Докажем
справедливость неравенства треугольника, для чего вос-
воспользуемся первым представлением нормы. Тогда, поль-
пользуясь тем, что (по неравенству Минковского при р = 2)
Г
находим
l<Pi+ ФгИло
'-р
2\l/2
+
+
2\l/2"lP \1/P
dv\

€2 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
Применяя неравенство Минковского вторично, получим
|р/2 Шр
|
21P/2 ]l/p
dv\ = I Ф11
r@
Jp
|ф2 L(i).
Третье свойство нормы следует из того, что если все
обобщенные производные порядка I некоторой функции <р
равны нулю, то обращаются в нуль все производные по-
порядка I от средних функций фЛ на QA. Значит, средние
функции есть многочлены степени не выше I— 1. Но пре-
пределом последовательности многочленов степени не выше
1—1 могут быть только многочлены степени не выше
1—1, и, следовательно, ф есть многочлен степени не вы-
выше I — 1 и эквивалентна нулю.
Инвариантность нормы при ортогональных преобра-
преобразованиях координат легко следует из первого представ-
ления нормы, так как выражение
•есть один из инвариантов тензора^—" т _—
ОХ• , . . ОХ г
»1 Ч
Отметим еще два неравенства:
max
G.2)
G.3)
В самом деле, неравенство G.3) очевидно. Неравен-
Неравенство G.2) следует из того, что
у ( д1(? у<Г у
.А [дх, . ..дх. ) ^= Zd
Применяя неравенство Минковского к правой части
7. Пространства
последнего неравенства, получим
Кх max
где Ki есть число слагаемых в последней сумме. Таким
образом, G.2) доказано.
После введения нормы множество Lv' становится
нормированным функциональным пространством. Далее
мы введем норму и в Wp . Поэтому мы можем с са-
самого начала считать Wvl) нормированным функцио-
функциональным пространством.
3. Разложение W^ и его нормировка. Рассмотрим
еще пространство St всех многочленов степени не выше
I — 1. Это пространство представляет собою, очевидно,
подпространство в пространстве Wpl\ Пространство Lp1'
является, говоря алгебраически, фактор-пространством
пространства Wv по пространству St.
Проекционным оператором в пространстве Wp на-
называется оператор, квадрат которого совпадает с ним
самим:
Пгф = ППф = Пф.
Если некоторый проекционный оператор П! перево-
переводит пространство Wpl) во все пространство Sh то он бу-
будет на Si тождественным оператором.
С помощью каждого такого проекционного оператора
легко построить некоторое разложение пространства
Wpl). Положим П*ф"= ф — П^, т. е. П*= Е — Пь где Е —
тождественный оператор.
Оператор Пх является, в свою очередь, проекцион-
проекционным. В самом деле,
что и требовалось доказать.
Любой элемент ф из Wp может быть представлен в
форме
П*ф.

64 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
Элементы вида ср* = Пхф образуют подпространство в
векторном пространстве Wp, ибо сумма двух таких эле-
элементов П1ф1 + Пхф2 может быть представлена в виде
^(фх+Фг) и, следовательно, опять принадлежит этому
подпространству.
Нетрудно видеть, что пространство элементов вида
Пхф изоморфно пространству Lp\ ибо каждому классу
из ?р!> будет отвечать только один элемент вида П*ф.
Это следует из того, что Пхф = 0, если ф е Si. Сумма
элементов вида П^Ф отвечает сумме классов из Ьр' и
наоборот. Аналогично умножение на постоянную соот-
соответствующих элементов приводит снова к соответствую-
соответствующим элементам.
Пространство St можно нормировать, как и всякое
конечномерное пространство. Удобно определить в нем
норму, например, следующим образом. Пусть Р — много-
многочлен степени ниже I, имеющий вид
Р — У* У п г г"™
Тогда положим
I—1
P/2
G.4)
Определенная таким образом норма инвариантна при
повороте осей координат, однако в отличие от рассмот-
рассмотренной нормы в Ьр она уже не будет инвариантна
при переносе начала. В самом деле, величина
——: . а%
ап есть один из инвариантов тензора
«аг..апи поэтому сохраняет свою величину при ортого-
ортогональных преобразованиях.
Можно проверить, что для такой нормы выполняют-
выполняются все три основных условия:
а) ПЛ + Ра" < "ЛИ + ВД
б) \\аР\\=- \а\ -ПРИ;
в) ПРИ > 0; если ПРИ = 0, то Р = 0.
Выполнение условий б) ив) очевидно. Установим
еще неравенство треугольника.
7. Пространства L^ и
65
Пусть
Р
г-1
Р = У У яB) г™1 г""
й=0 2й Х
Имеем
1-1
llP —
1Г —
г-i
fa) 121P/2
1/2
}
(l-l
+
2*
Up
обозначено
что и требовалось доказать (здесь через
суммирование с весом —-. : |.
ai- •• • ап-1
Установление но.рмы в St позволяет нам произвести
также и нормировку пространства Wp\ Эта нормировка
может быть выполнена, если нам дап какой-нибудь про-
проекционный оператор.
Естественно положить
up
W.
¦О)
=||п1ф л,+
=л п1фт,+и Фf
Такой способ введения нормы зависит от заданного
проекционного оператора. Позднее мы займемся вопро-
вопросом о том, в каком соотношении между собой будут на-
находиться нормы, построенные при помощи различных
проекционных операторов. Пока нам нужно проверить,
5 С. Л. Соболев

66 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
что три основных свойства нормы при нашем определе-
определении выполнены.
В самом деле, очевидно, ||яф|1 (о = Ы1ф||„ДО- Далее,
р
w\
если ||Ф|1 (о
= 0, то ф = 0 почти всюду.
Неравенство треугольника следует с очевидностью из
неравенства Минковского.
4. Специальное разложение W(pl). Для наших целей
полезно изучить подробно один специальный вид проек-
проекционного оператора П4. Этим мы и займемся. Вначале
мы наложим некоторые ограничения на ту область про-
пространства, в которой мы изучаем наши функции.
Пусть Q есть звездная область относительно шара С
радиуса Н, лежащего внутри Q, т. е. отрезок, соединяю-
соединяющий любую точку шара С и любую точку области Q,
принадлежит Я. Для удобства положим сначала, что
центр этого шара_лежит в начале координат, и будем
предполагать, что C<=Q.
Пусть Р и Q — две произвольные точки Q. Положим
r=\P — Q\ и 1= (Q — Р)/г — единичный вектор, имею-
—* ->
щий направление из Р в Q. Каждую функцию двух пере-
->- -*¦
менных точек \i(Q, P) можно представить как функцию
Р, I и г, полагая Q — Р + rl и
где черта над ц означает, что Q заменено через Р, г, I.
Наоборот, всякую^ функцию уь(г, I, P) можно представить
в виде функции Q и Р.
Введем в рассмотрение функцию
при R < II,
при Я>#,
где R — расстояние от начала координат до точки Q.
Функция v(Q) непрерывна вместе с производными всех
порядков и отлична от нуля лишь в шаре С.
7. Пространства lf?> и W
67
Образуем новую функцию двух точек Р и Q, по-
положив
G.6)
Интеграл, очевидно, вырождается в интеграл в конечных
пределах, так как v отлична от нуля
лишь в конечной области.
Отметим, что когда а пробегает ин-
тервал (г, оо)) точка Р + rj пробегает
луч, исходящий из точки Q в направле-
направлении вектора I. Если этот луч не пересе-
пересекает шар С, то %(г, I, Р)=0. Таким об-
образом, при фиксированном Р функция
ОС (г, I, P) отлична от нуля лишь для тех
->• -?•-»¦->.
г и I, для которых Q = Р + rl лежит
внутри области, состоящей из точек всех
интервалов, соединяющих точку Р и
точки шара С (рис. 5). Очевидно, что
функция % (г, I, P) непрерывно дифференцируема. Вве-
Введем еще одну функцию
Какова бы ни была теперь функция ф, непрерывно
дифференцируемая до порядка I в области й, мы можем
привести ей в соответствие функцию Ф по формуле
ф = (р —-—i. _
дг1
Очевидно, имеем
дф — д'тЬ
G.7)
5*

68 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
Кроме того,
г=0
дг1
Вычисляя —rrri получим
дг1 к
оо
-%фХ.р)--^(гЛ
дг
1-1
г=0
откуда следует, что
Ф(ОД^) = -Ф
ф(°оДр) = о.
Интегрируя G.7) по г от 0 до °°, найдем
4{P))v(r» I,
о
Домножив G.8) на элемент телесного угла dco-> и ин-
интегрируя по единичной сфере, получим
(O-v О
Принимая во внимание, что r\~ drxdco-> = dz;-* ГДе
-— элемент объема в точке Q, найдем
(O-v О
т, е, величина этого интеграла не зависит от положения
7. Пространства L^ n
69
точки Р. Таким образом, получаем
или, вводя dv-+ в интегралы справа, получим
фЙ =
= — \ го —]- —- dv^- H гЬ —f ——- йу-*. G.9)
X .) дг1 rn~y Q % ¦) Г дг1 rn~x Q V
Q Q
Покажем, что первый интеграл в G.9) есть многочлен
степени =^Z— 1 относительно координат ж4, ..., хп точки Р.
Действительно, из определения г|з следует, что
= 2
T=rix\°(r4hP)X-ldrl-
I P)) =
h=X s=o
г ft-i
ft=l s=o
где fiA, Ch, Dhi, — постоянные числа (биномиальные коэф-
коэффициенты и их комбинации).
Но v (r, I, P) = v (Q), где положено Q = Р + rl, Q —
п п
= (j/x, ..., Ы- Поэтому - = 2 ^ ^ = 2 ^ "ПН. где
! Vi — Xi 7
ij= — проекция I, и аналогично находим
-4 2 g«1-«n-a/i|> ^(ух-^Г1---^-^)"".

70 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
Подставляя в G.10), получаем
дг1
xi ¦ • ¦ хп bar..anU/i, • • -, Уп),
где Ц...ап(г/х, •••, уи) — ограниченная и непрерывная
функция от (у и ..., у а):
-"+P% Рг-а
—fay
а
Поэтому первый интеграл в G.9) примет вид
-дЧ
2а4<г1
т. е. он представляет собою многочлен степени ^Z — 1 от-
относительно Xi, ..., хп. Заметим, что ?а ...ап@ ^0 вне ша-
ра С, так как этим свойством обладают v(Q) и ее про-
производные.
Оператор
1 Г-а'ф 1 ,
обладает тем свойством, что он переводит любой много-
многочлен степени не выше I — 1 в самого себя. В этом легко
убедиться, заметив, что при подстановке в G.9) такого
многочлена второе слагаемое исчезает. Следовательно,
П4ф есть проекционный оператор, и формула G.9) дает
интересующее нас разложение.
Переходим к изучению второго интеграла в G.9),
т. е. к изучению оператора Пхф. Для этого заметим, что
Последняя формула получается так же, как и для —-.
дг
7. Пространства Z^,!) и
71
Далее отсюда следует, что
в
Ф^« ?
Имеем
= ^КЦ. шаг..ап (г, I, P),
где wa ,,.an(r, I, P)—ограниченная и сколь утодпо раз
непрерывно дифференцируемая функция своих аргумен-
аргументов. Рассматриваемая как функция от Q, Р, она являет-
является ограниченной функцией своих аргументов. Тогда вто-
второй интеграл в G.9) принимает вид
do-». G.11)
!Zl{-± У w (Q m МО)
... дх„
Относя коэффициенты 1/% и (—1)г~'/% к функциям ? и
г^, перепишем G.9) в виде
Ф (Р) =
Г1 • • ¦ ^ j Ц-¦ •«« @ Ф @
ц=1
Формула G.12) доказана нами для функций, имею-
имеющих непрерывные производные до порядка I. Нетрудно

72 Гл, I. Специальные вопросы функционального анализа
убедиться в том, что почти для всех х е Q она остается
справедливой для любой функции из Wy. Действительно,
пусть (p&Wp и фл — ее средняя функция. Для срл спра-
справедливо G.12), т. е.\имеем
Обозначим
/?...aC
. G.13)
Л(?,Р)
dv-+.
ж'
Очевидно, что ?к „.ссфл^-*-*- 1 ?а ...а^Ф^-»- при /г -
с ' Q с ' Q
следовательно, Sih) -»- S равномерно в Q.
Будем предполагать сначала, что функция ф е
в Q и равна нулю в окрестности ее границы. Тогда со-
согласно теореме из п. 2, § 5
в Я. Следовательно, если 1р > п, то из оценки F.2) вы-
вытекает, что Ф* ->¦ Ф* равномерно в Q, а если 1р < п, то
из оценки F.4) вытекает, что ф*(Л)=^ф* в Lp на Q (так
как p<^q=-—— при s = n). Кроме того, согласно
свойствам средних функций фЛ =>• ф в Ьг на Q. Поэтому,
переходя к пределу при h -»¦ 0 в G.13), получим, что
формула G.12) имеет место почти всюду в Q.
Заметим далее, что-поскольку функции wa ...an(Q, P)
обращаются в нуль вне «конуса», представляющего собой
объединение всех интервалов (Р, Q), где Q^C (см.
рис. 5), то для любого б > 0 существует такое 6i > 0, что
если Р е fi5, то все эти конусы содержатся в Q& . Следо-
7. Пространства Ь^ и
73
вательно, во втором слагаемом правой части равенства
G.12) для PeQj можно интеграл по Q заменить на ин-
интеграл по Йе •
Для любой функции фе^' выполнение равенства
G.12) для почти всех Рей( для любого 6 >0 (а, зна-
значит, почти всюду на Q) следует из того, что для каждой
области Qej существует функция ф r e Wp , равная ну-
нулю в некоторой окрестности границы Q и совпадающая
с ф на Qe•
Случай, когда центр шара С лежит в некоторой точке
Т{Ци ..., Уп), сводится к рассмотренному переносом на-
начала координат в точку Т (т. е. применением формулы
G.12) к функции т|>, определяемой равенством 1|э(-Р) =
= ф(Р+ Т\. При этом из G.12) следует, что
S
.-. E - ?. ? -
<7-14)
Если точка Г — начало координат, то равенство G.14)
переходит в G.12). Положим еще
G.15)
Таким образом, для функций ф, имеющих непрерывные
производные до порядка I включительно, ф совпадает
с ф на Q, а для функций ф е Wp она равна ф почти
всюду на Q (8~12).
Важным классом пространств являются нормирован-
нормированные функциональные пространства, обладающие свой-
свойством полноты, т. е. существования предельного элемен-
элемента у всякой сходящейся в себе последовательности. Про-
Пространство Wp с введенной нормой является полным. Мы
установим это позднее. Сейчас докажем несколько важ-
важных теорем.

74 - Гл. I. Специальные вопросы функционального апализа
8. Теоремы вложения
1. Вложение Wp в С. Обозначим через С простран-
пространство функций, непрерывных и ограниченных в области
Q и положим || Ф|с = sup | ф |.
Теорема 1. Если Q — ограниченная область, звезд-
звездная относительно некоторого шара, ф е Wpl) в Q и п<
<1р A < р < оо), то ф s С и
|ф|с<ЛЯ|ф| (п, (8.1)
Wp
где М —¦ постоянная, не зависящая от выбора функции ф.
Доказательство. Действительно, непрерывность
Ф следует из G.15) и теоремы из п. 1, § 6сл=га—Z<
< п/р'. Далее из G.15) заключаем
Обозначая max \xxl ... хпп \ — А Lrj e Q, 2 ai ^% Z — lL
V t=i /'
получим, применяя неравенство Гёльдера A.20) и обо-
обозначая через N число различных одночленов хгх ... х^\
п
Sioi</-i,
1-Х
I v! \i/2 ,
г-i
1/2
„(О-
Применяя неравенство F.2), найдем оценку для |ф*|.
Обозначая sup | г^...^ | = В (Р е й, <? е Q, 2 «г = 0. п0"
лучим
| ф*
дха^...дх1п
8. Теоремы вложения
75
Используя G.3), найдем
где iV4 — число различных производных порядка I.
Отсюда | ф| <| S | + | Ф* |<(К' + К")| Ф\\wW = М1Ф||^0(
и неравенство (8.1) доказано A3).
2. Вложение Wp!) в L9*.
Теорема. Если Q — ограниченная область, звездная
относительно некоторого шара, фе1гр ей и n^lp
(К/><<»), то феЬ,* на сечении Я любой гиперпло-
S X)
скостью s измерений, где s > n — lp и q*-<.q = n_ t ¦•
Кроме того, имеет место неравенство
|| Ф ||L .<ilfiq>|| (i), (8.2)
3 Wp
где М ~ постоянная, не зависящая от выбора функции ф.
^ Доказательство. Действительно, тот факт, что
ф.е i5», следует из G.15) и теоремы из п. 2, § б с
а == га — Z^—7 и s>n—(n — %)p. Остается доказать
(8.2). Согласно G.15) имеем
Обозначая А = max Ц^1 • • • *nn||tg*, так же, как при до-
2а4«г-1
казательстве теоремы из п. 1, найдем
W
(О-
Обозначив опять sup| ^...aJ = В (Р ^ Q, ()<= Q,,
%г = I), найдем, используя оценку F.4) для а = n — Z,
dv\
д'ср
уТ

76 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
Отсюда находим
р *
т. е. выполнено неравенство (8.2). Теорема доказа-
доказана A4-15)\
Теоремы из п.п. 1 и 2 означают, что оператор вложе-
вложения, переводящий функцию ср как элемент Wp в Q в
функцию ф как элемент С в Q (п<1р) или элемент Lq*
на сечении Q гиперплоскостью s измерений (п ^ 1р,
s>n — lp, q* < sp/(n — lp)), является ограниченным опе-
оператором. В § 11 будет доказано, что он является и впол-
вполне непрерывным оператором.
3. Примеры. Нами доказано, что если ср е Wp и
п^> 1р, тофе Lg* па сечении Q любой гиперплоскостью
s измерений, где s > п — lp, q*<q = sp/(n — 1р),ш тогда
имеет место неравенство (8.2). Приведем два примера,
показывающие, что в теореме из п. 2 число q* нельзя
заменить числом q + е, как бы мало ни было е > 0. Этим
самым будет доказано, что найденные показатели q яв-
являются точными, не допускающими увеличения.
Пример 1. Пусть R<1. Рассмотрим полушар Q
радиуса R в n-мерном пространстве
Тогда и = г 2 (In r)-11
в Q, так как
и
2 J lrn L (In rJ T(lnrKT(lnrL.
СХОДИТСЯ.
Здесь а„ означает площадь поверхности сферы в п~
мерном пространстве.
8. Теоремы вложения
77
Рассмотрим сечение Qt полушара Я плоскостью Xi = О
и обозначим 2 Ж1 = Р2- По теореме из п. 2 1ге1/д* в Ох, где
1=2
_ 2 (в -1)
Покажем, что \\u\v+edvn-i расходится, если е > 0. Дей-
ствительно,
f I и
p—* =
0 [P
- 2 |lnp|«.. ^ 2 _Jr
9+8
откуда следует, что интеграл расходится, как бы мало ни
было е > 0. Таким образом, и не принадлежит Lq+t на Q4.
Пример 2. Пусть б > 0. Обозначим через ^ расстоя-
расстояние от точки @, ..., 0, —б) до точки (хи ..., хп), т. е.
[n-i -]i/a
(*„ + б)« + ]3 sij .
Тогда в полушаре Q семейство функций
равномерно ограничено по норме
i I V аиб а
Действительно, интегралы от | ^е | и ^ -^ по полу-
шару радиуса i? + б <A + Л)/2 < 1 с центром в точке
@, 0, ..., —б) равномерно ограничены, так как интегралы
г 1 In г
+)/ ()
Г гп'Чг Г
сходятся.

78 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
¦Поэтому интегралы от \иА и
дх-
по Q также рав-
равномерно ограничены (Q есть часть каждого из полуша-
полушаров радиуса R + 6) ив силу G.12) и G.5) ||аб|| <d рав-
w),
номерно ограничены.
С другой стороны, нетрудно видеть, что
| щ
оо при б->0,
и, следовательно, || и ||z,g+e на Q4 не является ограничен-
ограниченной, т. е. для q* = q + e неравенство (8.2) не имеет ме-
места A6-18).
9. Общие способы нормировки Wvl)
и следствия теорем вложения
1. Теорема об эквивалентных нормах. Пусть П4 и
П2 — два проекционных оператора, переводящие Wpl>
в St. Эти операторы порождают в Wpl) нормы, которые
обозначим 'ПфН и 211ф11. Будем говорить, что эти нормы эк-
эквивалентны, если можно указать два положительных чис-
числа т, М так, что
для всех ф
(9.1)
Рассмотрим оператор Н12ф =\Hi — П2)ф. Этот оператор
обладает двумя свойствами.
1. Bl2S = 0, т. е. В12 обращает в нуль всякий много-
многочлен S e Si. Это следует из того, что UtS = H2S = S. От-
Отсюда вытекает, что В12 приводит в соответствие один и
тот же многочлен S всем функциям одного и того же
класса if) e Lpl\
2. Н12ф= 0, т. е. квадрат оператора Bi2 есть оператор
аннулирования.
Действительно, В12ф = S ^ Si и, следовательно,
Е212ф = 3nS = 0.
Теорема. Для эквивалентности норм *!1фИ и 2Нф11,
порожденных операторами П4 и П2, необходимо и доста-
9. Общие способы нормировки
79
точно, чтобы существовало число М>0 такое, что
(9.2)
для всех ф е Wpl) в области й.
Доказательство необходимости. Доказа-
Доказательство проведем от противного. Пусть условие (9.2) не
имеет места. Тогда можно указать такую последователь-
последовательность функций {ф„}, фь<= Wp\ для которых
II312ФЙ||s, > k || щЦьA) (к = 1, 2, ...). (9.3)
Нормируя фЛ, можем считать, что
*
Рассмотрим функцию трь = П1ф?1 = ф^—
лим обе нормы i|v Так как П^ = 0, то
л|| <о = 1.
и вычис-
вычисТак как П4фА е 5(, то ПгШф,, = П4фА. Кроме того,
приняв во внимание (9.3), получим
ТЫ = i
- ПхФй Ид, + 1=
+ 1 > к + 1,
fe" voo. Это противоречит (9.1)
откуда следует, что
и означает, что нормы 4IIср I и 211ф11 не эквивалентны. Про-
Противоречие говорит о том, что предположение (9.3) невер-
неверно и для всех функций ф е Wp1' выполняется (9.2).
Доказательство достаточности. Пусть вы-
выполнено (9.2). Тогда
П2ф[S
(М
-П2)ф|«г] +
^(г)=1П2ф1Ьг
П2фЬг + |ф| (о! = (-^
Аналогично доказывается, что 2Нф11 ^(М + 1) • 'ПфИ.
Наличие последних двух неравенств означает выполне-
выполнение (9.1), и теорема доказана.

80 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
Условие (9.2) удобно записать в несколько иной фор-
форме. Мы имеем
и аналогично
Пользуясь этим, легко видеть, что каждое из трех
приводимых ниже неравенств является необходимым и
достаточным условием эквивалентности норм:
I). (9.2)
(9.4)
(9.5)
Этим мы и будем пользоваться в дальнейшем.
2. Общий вид нормы, эквивалентной данной. Займем-
Займемся теперь более детальным изучением структуры проек-
проекционных операторов, порождающих нормы, эквивалент-
эквивалентные данной. Пусть П4 задан.
Всякий проекционный оператор П2 имеет вид
П2ф =
^i1 ... xnnla
где 1а .,,ап представляют собою функционалы, обладаю-
обладающие свойством дистрибутивности (см. § 3).
Нетрудно видеть, что эти функционалы обладают так-
также свойством
11, если 2 (сц - РгJ = 0,
[о, если 2 («г — PiJ > 0.
(9.6)
Теорема. Для того чтобы нормы Ч1фН и 211ф11 были
эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы все функ-
функционалы 1аг..ап были ограничены в смысле нормы, оп-~
ределяемой проекционным оператором Ш.
9. Общие Способы нормировки
81
Доказательство. Легко видеть, что условие эк-
эквивалентности норм (9.5) равносильно системе условий
й(г). (9.7)
Нам остается показать, что (9.7) эквивалентно условию
теоремы.
Пусть все функционалы 1а^,.ап ограничены по норме
М1фН. Тогда
т. е. (9.7) справедливо.
Обратно, если справедливо (9.7), то, учитывая (9.6),
легко найдем
|| П1ф [в + М|| Ф1
т. е. из (9.7) вытекает ограниченность функционалов
la. ...an, и теорема полностью доказана.
Таким образом, произвольная система линейных
функционалов lav..an в Wp , удовлетворяющих уравне-
уравнениям (9.6), порождает проекционный оператор П2 и, сле-
следовательно, новую норму в W\, , и эта норма эквивалент-
эквивалентна норме, относительно которой определялась ограничен-
ограниченность функционалов.
Если теперь рассмотреть i произвольную систему лп-
пейных функционалов ha ...вп, число которых в точности
равно числу одночленов степени не выше I — 1, и притом
таких, что определитель квадратной матрицы
в каждой строке которой стоят значения одного и того
же функционала, а в каждом столбце функционалы над
одним и тем же одночленом, не равен нулю,— то из них
всегда можно составить линейные комбинации 1а,...ап%
такие, которые будут удовлетворять уравнениям (9.6).
6 С. Л, Соболев

82 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
Каждая такая система линейных функционалов по-
позволяет определить норму в Si формулой
|1/2. (9.8)
Такая норма, как мы видели выше, эквивалентна ис-
исходной норме в Si.
Условие |Л|т^0 можно сформулировать в форме,
удобней для приложений, двояким образом.
Известно, что если определитель квадратной матрицы
пе равен нулю, то невозможно составить линейную ком-
комбинацию столбцов этой матрицы или линейную комбина-
комбинацию строк этой матрицы с коэффициентами, из которых
по крайней мере один отличен от нуля, состоящую из
одних нулей. Обратно, если такую линейную комбинацию
столбцов, состоящую из одних нулей, составить нельзя,
то определитель матрицы не равен нулю. То же справед-
справедливо, если нельзя составить такую же линейную комби-
комбинацию строк, состоящую из одних нулей. Отсюда выте-
вытекают два замечания.
а) Условие \А 1=^=0 выполнено, если справедливо сле-
следующее: каков бы ни был многочлен Р степени не выше
I — 1, РФ 0, найдется функционал йа ..а„ такой, что
Р0
Кг..апф
б) Условие \А 1=^=0 выполнено, если справедливо сле-
следующее: какова бы ни была линейная Комбинация функ-
функционалов
Р =
Р, Рп
всегда можно указать такой одночлен хх ... хп , для ко-
которого p^i1 . . . Хп ф 0
3. Нормы, эквивалентные специальной норме. До сих
пор рассматривалась эквивалентность норм, порожденных
двумя произвольными проекционными операторами, и все
рассуждения годились для произвольной области Q. Вер-
Вернемся к области, звездной относительно шара С, для ко-
которой построен специальный проекционный оператор,
определяемый формулой G.12).
Для нормы, порожденной этим оператором, справед-
справедливы теоремы вложения из п. 1 и 2, т. е. неравенство
(8.1) в случае п<1рж (8.2) в случае п>1р.
9. Общие способы нормировки
83
Пусть ha ...an
I—l) —
система
линейных
функционалов в С (если п<1р) или в Lq* (если n^lp),
удовлетворяющих условию: если функции ср и г|) совпа-
совпадают почти всюду на Я, то
hav..anV = haL...aJp. (9.9)
Тогда, например, в случае п<1р найдем, пользуясь (8.1),
| Kv..a.ny\ = | \...а,^> \< #i| ф|с< #2 II Ф1!„,(О.
"П
т. е. "ar..an ограничен в Wv по норме с проекционным
оператором G.12). Аналогичное утверждение справедли-
справедливо, если hav..on линеен в Lq* (n^lp). Отсюда, поль-
пользуясь предыдущей теоремой, получаем следующее ут-
утверждение.
Теорема, Пусть Я — область, звездная относитель-
относительно шара, {hav,an} Bat<[ I— 1) — линейные функцио-
функционалы в С (п<1р) или в Lq* (n^lp), удовлетворяю-
удовлетворяющие условию (9.9), и пусть для каждого многочлена
S^Sh 5^0, хотя бы один из har..an отличен от нуля.
Тогда норма, определенная G.5) и (9.8), эквивалентна
норме G.5), порожденной оператором G.12), и справед-
справедливы (8.1) или (8.2), если в правой части последних
неравенств считать нормы ср определенными, в свою оче-
очередь, формулами G.5) и (9.8).
4. Шаровые проекционные операторы. Будем пред-
предполагать, ч*го область Я звездна относительно шара С
радиуса // с центром в начале координат. Формула
G.12) определяет проекционный оператор П в виде
ПФ = 2 ? ... хп11 f Saf.}. .ап (Q) Ф (<?) dv*,
2сц«г-1 с
вриводящий в соответствие каждой функции ср е Wpl)
многочлен S e S,, причем коэффициенты этого многочле-
многочлена определяются только значениями ср в шаре С (функ-
(функция ?<хг..а„ в G.12) выражается через функцию v, ко-
которая зависит от Н; чтобы подчеркнуть эту зависимость,
здесь мы ее обозначим через Q*Р...а„)-
Пусть Т(уи ..., уп)—такая точка области Q, что
шар С4 радиуса Н1 с центром в Т содержится в области
6*

84 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
Q (при этом не предполагается, что область Q звездна
относительно шара С4). Построим оператор
nCicp = S fa - yf* ...(*»- */„)"" f й?> .«„ $ _ г) х
ХфE)Л>?. (9.10)
Оператор IICi каждой функции ф <= W^ приводит в со-
соответствие некоторый многочлен S е 5,. Кроме того, Пс^
переводит каждый многочлен S ^ St в себя, так как для
него справедливо равенство G.14) с заменой С на Ct
и Q на Q4, где Qt — любая область, звездная относитель-
относительно шара Си например, Q4 = C4 (второе слагаемое при
этом равно нулю). Отсюда следует, что оператор П^
проекционный. Операторы Псх, определяемые равенст-
равенством (9.10), будем называть шаровыми проекционными
операторами.
Теорема. Пусть Q — область, звездная относитель-
относительно некоторого шара; тогда нормы, построенные при по-
помощи любых шаровых проекционных операторов, экви-
эквивалентны.
Доказательство. Как и в п. 4, § 7, без огра-
ограничения общности можно считать, что Q — область, звезд-
звездная относительно шара С с центром в начале координат.
Чтобы доказать эту теорему, достаточно установить эк-
эквивалентность нормы, определенной с помощью любого
шарового проекционного оператора, норме ||ф|| ц), опре-
деленной формулами G.5) и (9.8) с функционалами
ha....an, линейными в С (п<1р) или в Lq* (n^lp,
q* < npl (n — lp)', s — n). Покажем, что эти нормы эк-
эквивалентны.
Действительно, функции tav..an ограничены и по-
поэтому функционалы
f
?.. «„
(Q ~ Т) Ф
S «1 < I - U
ограничены в С (п<1р) или в Ь9* (^pq
<npl(n — lp), s = n). Как отмечено выше, на множестве
Si оператор IICi есть оператор тождественного преобра-
9. Общие способы нормировки
85
зования, поэтому функционалы ha ...an, 2«i^^—1 об-
обладают тем свойством, что для всякого многочлена Se
е 5,, отличного от нуля, по крайней мере один из функ-
функционалов отличен от нуля. Следовательно, на основании
теоремы из п. 3 норма, порожденная оператором П^ф,;
эквивалентна норме 11<рИ*. Таким образом, нормы, порож-
порожденные любыми шаровыми проекционными операторами,
*
w
,(D, а, следовательно, эквива-
эквивалентны норме
пептны между собой, и теорема доказана.
5. Области незвездные. Мы можем теперь освобо-
освободиться от ограничения звездности, наложенной нами на
область Q при доказательстве теорем вложения.
Пусть Q — ограниченная область, содержащая неко-
некоторый шар С радиуса Н. Формула (9.11) определяет
проекционный оператор в Wp\ и мы определим норму
по формуле G.5). Нам остается показать, что при не-
некоторых ограничениях на Q останутся справедливыми
теоремы вложения из пп. 1 и 2 и неравенства (8.1) и
(8.2). Заметим, что если для некоторой области спра-
справедливы теоремы вложения, то для этой области спра-
справедлива предыдущая теорема.
Лемма. Пусть область Q имеет вид Q = й( + Q2,
где Q4 и Q2 — две области, для каждой из которых спра-
справедлива теорема вложения. Тогда для области Q спра-
справедливы теоремы вложения (функция <р определяется
равенством G.15) на каждой из областей й4 и й2),
и нормы, определенные для всех шаровых проекцион-
проекционных операторов, эквивалентны.
Доказательство. Пусть Ф е W^ в Q. Тогда фе
е Ир в Q4 и Q2 в отдельности, и поэтому ф^С (если
п<1р) в Q4 и Q2 и, следовательно, в Q4 + Q2. Апалогич-
но рассматривается случай п 5* 1р. Остается доказать
(S.1) и (8.2).
Предполагая п<1р, докажем (8.1)\ Пусть б712 шар в
Й(О2 и Пс12 — шаровой проекциоппый оператор. Тогда
откуда следует, что в области Q = ?24 + Q2 справедливо

Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
неравенство
так как
¦¦ max [Ки К2].
Следовательно, справедливо (8.1). Аналогично в слу-
случае n^lp доказывается (8.2). На основании теоремы
из п. 4 следует эквивалентность всех норм, определен-
определенных для шаровых проекционных операторов.
Теорема. Пусть область Q представляет собой сум-
сумму конечного числа областей Qi7 ..., Qh, каждая из ко-
которых является звездной относительно своего шара. Тог-
Тогда для области Q имеет место теорема вложения (функ-
(функция ф определяется равенством G.15) на каждой из
областей Qj), и нормы всех шаровых проекционных опе-
операторов эквивалентны.
Доказательство. Эта теорема следует из повтор-
повторного применения леммы к областям Qt + Q2, Q4 + Q2 +
+ Q3 и т. д.
В последующем будем иметь в виду такие области,
не оговаривая это каждый раз особо.
Мы можем впредь ограничиться рассмотрением толь-
только таких норм в пространстве Wv , которые эквивалент-
эквивалентны нормам, получаемым при помощи шаровых проек-
проекционных операторов. Такие нормы мы будем называть
естественными. Каждый раз, говоря о норме и сходимо-
сходимости в Wp , если не будет сделано специальной оговор-
оговорки, мы будем иметь в виду какую-либо естественную
норму и сходимость для любой естественной нормы.
6. Примеры. Приведем два примера, иллюстрирую-
иллюстрирующие применение вышеприведенных теорем.
Пример 1. Пусть р — 2, 1 = 1, s = n>3. Так как
q = о">2, то можно взять q* = 2, т. е. W%cL2.
то — Zi
Так как 1 = 1, то для определения нормы достаточно
взять один функционал. Положим /мр == (h, ц>) = ] ф dv.
а
Очевидно, что (h, 1)^0, и функционал h линеен в L2.
Поэтому на основании теоремы из п. 2 имеем
(С|ф|а4
9. Общие способы пормировки
87
откуда следует, что
(9.12)
где М, Mi — постоянные.
Последнее неравенство известно под названием не-
неравенства Пуанкаре.
Пример 2. Пусть р=2, 1 = 1, s>n-2; sl = n-l,
s2 = п.
Так как qx = 2{^~^ > 2, то W{1] cr L2na сечениях S
области й гиперплоскостями размерности п — 1.
Положим
(h, ф) = [ ф dvn-x.
S
Имеем (h, l)=*=0, и функционал h ограничен в L2
на многообразии S.
На основании той же теоремы из п. 2 имеет место
теорема вложения относительно нормы
r(D'
L2b Q(s2 = n),
S
и, в частности, так как
откуда следует, что
Q »=
^J4- (9.13)
Ясно, что теорема из п. 2 может служить источником
для многих неравенств, если варьировать выбор функ-
функционалов hav..an-

88 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
10. Некоторые следствия теорем вложения
1. Полнота пространства Wp . Рассмотрим сходящую-
сходящуюся в себе последовательность {фй}, cpft e Wp'. Пусть нор-
норма в Wp' определена каким-либо шаровым проекцион-
проекционным оператором П. Имеем
||фт— фйЦ-ЛО-^0* т1 ^->0О- (ЮЛ)
На основании теоремы вложения заключаем, что
Пусть фо — предельная функция. Обозначая Пф;, = Sk,
получим из A0.1)
A0.2)
A0.3)
откуда следует, что
|| Sn - Sk ||Sl -> 0х т, к -> оо,
-щ\\
A)^0,
Из A0.2) следует, что коэффициенты Sh стремятся
к определенным копечным пределам и, следовательно,
Sh равномерно стремится к некоторому многочлену Sa.
Очевидно, имеем
IISft-SollSj-*O, ft--*-». (Ю.4)
Из A0.3) следует, что
•••**
?
-0,
а8 = ^ т, /с -> ооа
1 п
т. е. каждая из производных at an стремится в
Lp к некоторой фупкции соаг..аяе Lp. Покажем, что
СОп
A0.5)
10. Некоторые следствия теорем вложения
89
Действительно, для всякой г|з, имеющей непрерывные
производные до I порядка во всем пространстве _и рав-
равной нулю вне конечной области V^ такой, что F* <= Q,
имеем
4>к
- dv = .
-dv,
откуда предельным переходом при к -*¦ °° следует спра-
справедливость A0.5).
Таким образом, Фо е Wp° (так как (Oar..ane Lj,).
Нетрудно убедиться, что Пф0 = 50. Действительно, по-
полагая в (9.11) фЛ вместо ф и переходя к пределу, по-
получим
П ф0 = lim П щ = lim 5ft = So.
ft-»oo h->oo
Так как
"¦"I • • • VJyn
видно, имеем | ф0 — щ ||т
Lp и в силу A0.4), оче-
, к ->- оо.Полнота простран-
ства Wp) доказана.
2. Вложение TF(p° в W™. До сих нор в §§ 7, 8, 9
не шла речь о производных порядка ниже I. В § 5 было
замечено, что из существования обобщенных производ-
производных высшего порядка не следует, вообще говоря, су-
существование производных низшего порядка. Сейчас бу-
будет доказана следующая теорема.
Теорема. Если феИ'р'' в области Q, представля-
представляющей собой сумму конечного числа ограниченных об-
областей, каждая из которых является звездной относи-
относительно своего шара, то функция ф, определенная в тео-
теореме из п. 5, § 9, имеет в Q все обобщенные производные
порядка низке I. При этом
1) если lp> n,
Т' то
дт(р
рывна и
в.?
непре-
A0.6)

90 Гл. I. Специалытые вопросы функционального анализа
2) если Ip^n, mS^O um
то на всяком сечении области Q s измерений
, s>n —
— m)p,
где q*<q=
sp
п_{1_т)р
-, причем
... ахп
-EH
A0.7)
т. е. W(pl)
Замечание. Если Ip > n, то Wj,!)cC p
есть часть пространства функций, имеющих после изменения на
\п Л
множестве меры нуль I ~ I — I — 1 непрерывных производных. Это
следует из первой части теоремы. Полагая во второй части тео-
теоремы s = п и учитывая, что в этом случае доказана возможность
q* = q (см. С4)), заключаем, что если к ^0 жк^1~ —-, то W^ с:
A 1 \
— — — 1,
пр
Доказательство. Теорему достаточно доказать
для* области Q, звездной относительно некоторого шара.
Пусть ср(Р) непрерывна и имеет непрерывные произ-
производные до порядка I. Тогда имеет место формула G.12):
Ф(?)=
2
2
<7Л2»
Теорема будет доказана, если покажем, что
ат С 1 а'ф г1 _
...дх
п Я
Р,-..рп
где ioa\..an—ограниченная функция.
10. Некоторые следствия теорем вложения
91
Действительно, продифференцируем т раз обе части
G.12), написанные для средней функции ф„. Пределом
первого слагаемого правой части при h-*-0 будет мно-
d™S
, коэффициенты которого выражаются
-
гочлеи
... з
а-
апросто через коэффициенты S и, следовательно,
Пределом второго слагаемого правой части будет сум-
сумма слагаемых вида правой части A0.8). На основании
теорем § 6 об иптегралах типа потенциалов следуют ут-
утверждения теоремы.
Для доказательства A0.8) достаточно доказать, что
%...ах*п»
где wim) — ограниченная функция (для простоты индек-
индексы опущены). Имеем (п. 4, § 7)
Покажем, что каждое дифференцирование функции
и_г w (Q, Р) увеличивает на единицу порядок особен-
особенности этой функции.
Действительно, относительно первого множителя
(xi — Z/i) ¦ ¦¦ (хп — Уп) irn это очевидно.
Если заданы Q и Р, то r=\Q — P\; 1=
v(r,l, Р)=Л>(<?1), где Q^P+rJ^P^-1 {Q
Поэтому
Р

92 Гл. 1. Специальные вопросы функционального анализа
Дифференцируя по хи найдем
дх.
i\ ,-"-1,
-> -»¦ -»• ->
Обозначая через Xi(<2, ^), Xa(<?, ^) и т. д. интегралы
того же типа, что и %(Q, P) (v(Qi) заменяется другой
сколь угодно раз непрорывпо дифференцируемой функ-
функцией, г" заменяется г", r™+1 и т. д.), получим
откуда легко следует, что дальнейшие дифференциро-
дифференцирования по Xi увеличивают порядок особенности каждый
раз не более, чем на единицу. Таким образом,
дту (о р)
В в„
5ж10хп
1
1 * *
~Ha(Qr р)> гДе «(<?, ^) — ограниченная
г
1п
функция своих аргументов. Этим доказано A0.9), а сле-
следовательно, и теорема.
Замечание. Во всем § 7 формулировались теоремы для
плоских многообразий s измерений. Эти теоремы распространяют-
распространяются па достаточно гладкие многообразия s измерений. Именпо, ес-
если многообразие s измерений лежит в некоторой области, в ко-
которой существует взаимно однозначное непрерывно дифференци-
дифференцируемое преобразование с ограниченными производными, перево-
переводящее рассматриваемое многообразие в плоское, то для этого мно-
многообразия верны все теоремы, относившиеся к плоским многооб-
многообразиям.
Для исследования некоторых вопросов нам будет важно иног-
иногда знать поведение фупкции на границах области. Мы введем
10. Некоторые следствия теорем вложения
93
класс областей, который удобно называть областями с простой
границей. Будем говорить, что область Q имеет простую границу
в случае, если эта граница может быть разбита на конечное число
многообразий S(?LV S%lv ..., 5<15, ..., S(oh) различной размер-
пости и притом так, что каждое многообразие S3n_s при помощи
преобразования координат, определенного на части области Q, не-
непрерывного с непрерывными производными до 1-го порядка, пре-
преобразуется в плоское. Для области с простой границей можно ут-
утверждать, что теорема вложения будет справедлива и для гранич-
граничных многообразий.
3. Инвариантная нормировка Wp\ Для дальнейшего
нам будет удобно ввести норму в Wp еще одним спо-
способом.
Пусть ф е Wp в области Q, удовлетворяющей усло-
условиям теоремы из п. 5, § 9. Тогда
рем вложения (p
ив силу тео-
тео. Покажем, что норма Цф|("(гь оп"
редел-яемая равенством
эквивалентна любой норме, построенной при помощи
шаровых проекционных операторов, т. е. является есте-
естественной нормой.
Правая часть написанного равенства определяется
способом, не зависящим пи от выбора начала координат,
пи от направления координатных осей, и является ин-
инвариантной при всевозможных ортогональных преобра-
преобразованиях. Отсюда мы видим, что естественная норма
может быть определена инвариантным образом.
Докажем эквивалентность
A)
w
.(О
любой естественной
норме. Пусть || Ф || (о— норма, опредолоппая при помощи
w
какого-нибудь шарового проекционного оператора. Тре-
Требуется доказать, что существуют числа т и М (О < т <
.< М) такие, что
тп\
w
.(О-
Мы имеем
! п1ф ц, = || сР |Г @ + (|| п1ф \
где Hi — заданный проекционный оператор.

94 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
Далее || cp||Lu)<l фЦ^ш- Докажем еще, что
4
где К — постоянная, зависящая от области Q.
Пусть коэффициенты многочлена П4ф суть аа ...«„;
тогда, очевидно,
ЦПхфИ^^^тахК^.с^!- A0.10)
С другой стороны, каждый из коэффициентов аа ._ап
представляется интегралом:
%...«„ = ] Ц...«„(<?) ф(<?) dVg,
С Ч
где t, (Q) — ограниченная непрерывная функция своих
аргументов [см. G.12)]. Применяя неравенство Гёльдера,
получим
Из A0.10) и A0.11) имеем
Отсюда находим оценку сверху
/||ф|%Лр<7к/1
Остается получить оценку снизу. На основании тео-
теорем вложения имеем Wpl) сЬри
цA)
wl
Кроме того,
до
w\
откуда, очевидно, следует, что
что и требовалось доказать A9-28).
И. Полная непрерывность оператора вложения
95
11. Полная непрерывность оператора вложения
(теорема Коидрашова)
1. Постановка вопроса. В этом параграфе будет до-
доказано, что всякое ограниченное множество в Wp (ог-
раниченпое по норме) является ограниченным и рав-
ностепеппо непрерывным в С, если п< 1р, и в Lq*, если
п > 1р, для ограниченных областей Q, звездных отно-
относительно шара.
Предварительно докажем леммы об интегралах спе-
специального вида. Введем обозначения. Пусть Р и Р +
+ АР *— две произвольные точки, Q — точка интегриро-
интегрирования, г=|Р-^>|, rl = |Р + ЛР-<?|. Пусть /eLp B п.
—у
Будем считать f(P) равной нулю вне Q и продолжен-
продолженной на все пространство. Пусть % < п. Рассмотрим
U{P,
Представим A1.1) в виде
*7 (Р, АР) =
A1.1)
I
г>1ЛР|/2
г\\
При фиксированном АР последний интеграл ограничен,
в первом интеграле ограничено l/r^, во втором 1/г\
Каждый из этих интегралов представляет собой при этом
функцию из С, если п<(п — Х)р, или функцию из Lq*,
если п^ (п~Х)р, так как переменная область интегри-
интегрирования может быть заменена в них постоянной об-
областью с помощью введения мпожителей, равных нулю
или единице в соответствующих областях. Поэтому
—> —*
U(P, АР) также принадлежит С или Ь9* в соответству-
соответствующих случаях.
2. Лемма о компактности специальных интегра-
интегралов в С.
Лемма. Если п<(п~К)р (т. е. Х<п/р'), то
¦для |АР| ^ 1 и Р, принадлежащих ограниченной об-

Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
ласти со,
|AP|.|[/(P,AP)|<q|/||Lp|AP|p
A1.2)
где р — постоянная, О < р =? 1, постоянная С зависит от
со, по не зависит от /.
Доказательство. Так как К<п/р', то i/r%e Lp,
в конечной области. Имеем
\U(P,AP)\
где Л — такое число, что шар радиуса R с центром в
любой точке Р е со содерншт Q.
Применяя неравенство Гёльдера с показателями р
и jp', найдем
I-
U/P'
.-J
Г Г*
" 1 II / ll^p'
A1.3)
>-. Для этого
—V
перейдем к новым переменным, положив х{=\АР\%(,
uJ=lAPliii, где координаты точки Р суть xt, а коорди-
-*¦ -* -*¦
паты (? суть yt. При этом точка Р перейдет в точку Р4,
—* —>¦ —»¦ —> —>
точка Р + АР в точку Р2, так что |Р4 —Р21 = 1. Точка
интегрирования Q перейдет в точку Qu
Имеем |$, - Р,1 = р = 1/1 API, 1<?, - Р2\ = р, = rj\ ДР|,
dv-+= I АР Гиг;-*. Получим
'.- I
(Р + р
iAPl
|ДР
M-%p'~p' Г
A1.4)
11. Полная непрерывность оператора вложения
97
Разбивая интеграл /2 на две части, получим
т _ (P + Pi) Л. _
A- J
д
1др1
i
_R_ ' rl l
1ЛР|_^
Первое слагаемое не зависит от |АР|. Это сходящий-
сходящийся интеграл.
Оценивая второе слагаемое, заметим, что при р ^ 2
отношение р(/р заключено в постоянных пределах, ибо
р — 1 «? pi «? р + 1, откуда следует, что 1 — ^ —^- ^ 1 +
Н , т. е. -^-^ — <!-s-. Поэтому
Р z р z
г
J
d\<K
где К—константа. Отсюда вытекает, что при п — р'
-кр'ФО
n-v'—bv'
АЯ/
Учитывая A1.4) и A1.5), получим
(Ц.5)
Из формулы A1.3) следует при этом
откуда находим
| АР 11U (Р, АР) | < || /1| [С21 АР lp' + d | АР |п
Обозначив min f I, w ~, J = |3, получим
IAPI |ЕГ(?л?I <С11/ЩАР|р, где 0<р
и лемма доказана.
7 С. Л, Соболев

98 Гл. I. Специальные вопросы фупкциопального анализа
Замечание. Если п — Хр'— р' = 0, то, несколько изме-
изменяя вывод, получим искомое неравенство с любым 0 < р < 1.
3. Лемма о компактности интегралов в Lq*. Из тео-
теоремы п. 2, § 6 имеем, что если п^(п — К)р (т. е. Я>
>п/р') и, кроме того, s>n — (n — Х)р, то U(P, ДР)'е
е Lq* как функция точки Р при фиксированном АР
в любой ограниченной области Е, в гиперплоскости s
измерений, где q* < <? — ^ „ (J— ^) р •
Лемма. В условиях теоремы п. 2, § 6 имеет место
неравенство
\AP\-\\U (Pt AP)\\Lq^C\\f\\Lp\AP\V, С = const, A1.6)
где норма в Lq* функции U(P, АР), как функции от Р,
берется по ограниченной области Е, гиперплоскости s
l, (J=min'(l, 2е), если 2е'= —г +
измерений,
+-j А,=^= 1, м ^ — любое число такое, что 0<р<1,
если -у + ^г — л, = 1.
Докажем лемму для случая 2е Ф 1, предоставляя до-
доказательство в особом случае 2е = 1 провести читателю.
Доказательство. Имеем, как и ранее, при до-
доказательстве теоремы из п. 2, § 6 Х>—г, — = ——п +
+ % = % ^-, т. е. Х=-А- + —. Положим К = Д- 4-
+ 4г — 2е, где 2е = -^- — > 0. Выберем, как и рань-
раньше, д* > р. (р < q* < q). _» _«.
Прежде всего установим для функции | U (Р, АР) |
одно вспомогательное неравенство. Именно, мы докажем,
что
| U (Р, АР) Г <Ц/ИГ,
Г1
| АР l
_Л Лч*1У
X
r<R
X
- (И-
11. Полная непрерывность оператора вложения 99
Действительно, очевидно, имеем
-i-e—1
1* а
X
X
Применим к последнему интегралу неравенство Гёль-
дера с показателями
р q*
8* —р« И 1
Как легко видеть, ~*-^ + -jy H—- = 1. Получим
_i i_
Р 9*
X
|/|*di;-
1/9*
X
(AP)
n—(e+ —]p'
p tr + r ) \ а Г
"Г 9*
1/9*
A1.8)
где со (ДР) =
и—(e+ —)»
J rn~ep' п—гр'
1/р
Оценивая
©(АР) таким же способом, как мы оценивали /4 в
7»

100 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
доказательстве леммы из п. 2, получим
И)--
I
(P+Pl)
р<Н/|ДР|
рП-Ер'рИ-EJ)'
й/1д?|
j
<|ЛР|
—>¦
Из A1.8) и полученной оценки |со(АР)| следует
A1.7). Заметим, что в оценке |со(ЛРIР' при s< —
-^ 1
главным является первый член, при е >-^ второй член.
Пользуясь A1.7), мы приступим к оценке интеграла
от | U (Р, АР) |9* по Es.
Интегрируя неравенство A1.7) по переменной Р и
переставляя порядок интегрирования, получим
г ( 1 \ ]<г*/1Р'
J \U(T>,Abrdvs^\\fl*p-vlA1 + A2\APf—r\ X
. A1.9)
Во внутреннем интеграле при переменной точке Р бу-
будут возможны две особых точки Q и Q — АР. Каждая из
этих точек при разных значениях Q может оказаться или
на той же плоскости, где меняется Р, или вне се. Мы оце-
оцепим внутренний интеграл способом, не зависящим от по-
положения точек Q и Q — АР.
11. Полная непрерывность оператора вложения
101
Прежде всего, выполняя прежнюю замену перемен-
переменных интегрирования, получим
X
rs—zq*rs—eg*
X
I
(P+Pi)
-И)-
¦ dvs = I AP
Jx. A1.10)
Разобьем опять область интегрирования на часть, ле-
лежащую внутри шара р ^ 2, и часть, лежащую впе это-
этого шара
J1 =
+ J з = j + j
s
¦dvs. A1.11)
Докажем теперь, что иптеграл /2 ограничен при любом
расположении точек Q и Q — АР. Введем на гиперплоско-
гиперплоскости полярную систему координат, взяв за ее центр про-
проекцию точки Q на эту гиперплоскость. Пусть эта проекция
будет Qa. Расстояние в гиперплоскости Ps, содержащей
область Е„ до точки Qo обозначим через 9*. Тогда р =
= УЗ?2 + h2, где h — расстояние от точки Q до плоскости Ра.
Пуси,, далее, проекция Q — АР на гиперплоскость Р3
будет Qu расстояние на гиперплоскости Ps до точки Qi
обозначим через % и расстояние от Q — АР до гиперпло-
гиперплоскости через hi. Тогда р! = VШ* + h\.
При h > 1/4, hi > 1/4 интеграл /2 ограничен в силу
того, что р и р4 ограничепы как сверху, так и снизу (значе-
(значением 1/4). При h < 1/4, hi > 1/4 оценим интеграл, заме-
заметив, что р + р4 ?? 5, рх> ^-, р > fR. Отсюда
где Ki — некоторая постоянная.

102 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
Так же оценивается /2 в случае, если h > 1/4,
hi < 1/4. Наконец, в последнем случае, когда h < 1/4,
hi < 1/4, расстояние между точками Qo и @i больше 1/2,
и, следовательно,
dvs
т. е. интеграл /2 сходится.
Оценим теперь интеграл /3. Замечая по-прежнему, что
отношение — заключено в конечных пределах, и, поль-
пользуясь полярными координатами в гиперплоскости Р„
паходим
j
Й/1ДР1
< К f Я8 [ /»а +
dSR,
где а = 0 для й>2 и а = У4 — й2 для й «? 2. При й > 2
этот интеграл есть убывающая функция h. Поэтому оцен-
оценку достаточно провести для h =? 2. При этих значениях
подыптегральная функция ограничена в промежутке
а ^ 3? < 2.
Далее, если di> 2, получим путем несложных оценок
\^p\
s-v \i*
Отсюда, пользуясь A1.11) и ограниченностью /2, найдем
Отсюда, на основании A1.10), получаем
11. Полная непрерывность оператора вложения 103
и, пользуясь A1.9), находим
f |
J
Отсюда легко заключаем, что
где
в
II
если е > 1/2,
если е < 1/2,
откуда следует, что
|др|Г[ \и$
Vе s
где § = min(l, 2e)', и лемма доказана.
4. Полная непрерывность оператора вложения в С.
Теорема. Если К р < °°, п<1р и область Q пред-
представляет сумму конечного числа ограниченных областей,
каждая из которых является звездной относительно своего
шара, то оператор вложения Wp в С вполне непрерывен,
т. е. для всякого ограниченного множества {ф} с:
cz WpVlq>l (i)^.N\ множество {ф}, где функции ф оп-
определяются так же, как в теореме из п. 5, § 9, является
компактным в С.
Доказательство. Из теорем вложения следует,
что {ф} ограничено в С. Достаточно доказать равностепеп-
ную непрерывность в С множества {ф}. Имеем ф =
= S + ф* — разложение ф по формуле G.15).
Так как \\S\\Sl + ||<p||LU)<-/V для всех фе{ф}, то
||5|s;^iV, и, следовательно, коэффициенты многочленов
ограничены одним числом. Отсюда легко следует равно-
равностепенная непрерывность многочленов S. Остается пока-
показать, что из неравенства ||ф| <i)^ N следует равносте-
равностепенная непрерывность ф*. Имеем

104 Гл. I. Специальные вопросы функциональпого анализа
Обозначим г4 = 1E - {Р + ДР) \. Тогда
? u>ar..an (Q, Р)
jn-l
_п—г
+ ~hr {[«V.«n(ri,7i, P+ ДР) -^„.«„(гД, P + AP)] +
+ [Wav..an(rX, ^ + AP) - ^...«„(r, % P + ЛР)] +
+ [Wav,.an(rX P + AP) - Ъа1..Дп(г,Х Щ- (И-13)
Так как wa ...an(r, I, P) и ее производные по г, I, P огра-
ограничены, и, кроме того, !г4 —r|<|AP|, (r + r4)/r>l и
1/(г + г4)> .4 > 0 (область ограниченная), то при п~>1
-^...^(гХ^р + щ]]
А 1ДР1
И
rn-lrn-l
Аналогично найдем
-±T[war..an(rX Р + &Р)- ^...ajr, I, P)]
Далее, так как / = —-—, 1г = j—
то
7 _Т-
1
^ — г) (<? - Р — ДР) -
ГГ.
11. Полная попрерывпость оператора вложения 105
откуда следует, что
Поэтому
1 г-
и, наконец,
АР) - ^ar..an (г, 7, Р + АР)]
ч-ln—l л
ч-ljn-l
Г1
- Г | (г*-'-1
Подставляя эти оценки в A1.13), получим
у...«„ (Q, Р)
и из A1.12) находим
| <р* (Р + ДР) - Ф* (Р)
*. A1.14)
Для вывода неравенства A1.14) мы пигде не пользо-
пользовались тем обстоятельством, что 1р > п. Применим лем-
лемму из п. 2 к A1.14), положив % = п — 1. Получим: п — Х —

106 Гл. I. Специальные вопросы функционального анализа
= I, (га — К)р — 1р и по условию теоремы 1р > п; следо-
следовательно, неравенство п<[п — %)р выполнено. Тогда
ф*
К || ф |i(J) | Ар
A1.15)
откуда следует равностепенная непрерывность q>* для
множества {q>}, ограниченного в Wp , так как эта оцен-
оценка сдвига не зависит от функции q> е {ф}. Теорема дока-
доказана при I ^ п (доказательство при I > n проводится ана-
аналогично и с существенными упрощениями).
5. Полная непрерывность оператора вложения в Lq*.
Теорема. Если 1 <р < °°, n>lp, s> n — lp, q* <
<sp/(n — lp), область Q удовлетворяет условиям теоре-
теоремы из п. 4, то оператор вложения пространства Wp в L9*
на сечении Q любой гиперплоскостью s измерений впол-
вполне непрерывен, т. е. для всякого ограниченного множе->
ства {ср} с VFpJ (\ ф || (i) ^ N\ множество {ф} является ком-
компактным в Lg* ка этом сечении.
Доказательство. Эта теорема доказывается в
основном так же, как и теорема из п. 4. Все сводится к
доказательству равностепенной непрерывности в целом
функций ф* в?д*, если |ф| (;)^iV. Надо доказать, что
Ф
* (P<s) + ДР) - Ф*
<
A1.16)
—>
лишь только IAPI < б(е), где б -^- 0 вместе с е -> 0. Для
этого к правой части A1.14) применим лемму 2, положив
"k — n — l; тогда неравенство ге > (?г — Х)р выполнено, так
как по условию теоремы п ^ 1р. Мы получаем, используя
неравенство A1.6),
АР) - Ф*
К\\ ф|| A).| АР |р; A1.17)
L9
откуда следует A1.16). Теорема доказана.
11. Полная непрерывность оператора вложепия
107
Замечание. Пусть в области Q задана суммируемая функ-
функция <p(zi, ..., хп). Пусть EczQ — гладкое многообразие s измере-
измерений. Будем говорить, что <p(zi, ..., хп) непрерывна в смысле L^ s,
если
при
Е
A1.18)
каково бы ни было многообразие Е, лишь бы сдвиг Е па вектор
АР лежал в Q. Из доказанной выше теоремы следует, что для вся-
всякой фупкцин ф s W^P функция ф непрерывна в смысле LqttSf
если s> n — 1р и g* < sp/(n — lp). Если п — 1р < 0, то ф непре-
непрерывна в обычном смысле после измепения па множестве меры
нуль B93).

Глава II
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
12. Задача Дирихле
1. Введение. Как известно, уравнения математической
физики часто оказываются уравнениями Эйлера для не-
некоторых вариационных задач.
В вариационном исчислении для отыскания экстрему-
экстремума какого-либо функционала вида
где 5 — граница области Q, в некотором классе функций
находят решение некоторой краевой задачи для соответ-
соответствующего уравнения Эйлера.
Однако эти же вариационные задачи об экстремуме
функционалов могут иногда быть решены прямым путем.
Естественно возникает вопрос, нельзя ли обратно в тех
случаях, где основное уравнение есть уравнение Эйлера,
свести данную краевую задачу к задаче вариационного
исчисления, которую можно решить затем при помощи
прямого метода. Именно в этом и состоит идея вариаци-
вариационных методов в математической физике D4).
Мы начнем изучение вариационных методов в мате-
математической физике с изучения простейшего уравнения
эллиптического типа, а именно с уравнения Лапласа
Аи = 0. A2.1)
Рассмотрим для этого уравнения задачу Дирихле, т. е.
задачу отыскания гармонической функции, принимаю-
принимающей на границе заданные значения.
12. Задача Дирихле
109
Пусть О — ограниченная область re-мерного простран-
пространства и S — ее граница, простая в смысле, определенном
выше в п. 2, § 10, гл. I.
Рассмотрим в \Q функцию и{хи ... хп), суммируемую
и имеющую суммируемые с квадратом все обобщенные
производные первого порядка. Пусть
(и) =
du
оо.
A2.2)
Это означает, что и
нии теорем вложения
п — 1 измерения, так как
и, следовательно, на основа-
основаtj на всяком многообразии
га — 2
Более того, можно утверждать в силу полной непрерыв-
непрерывности оператора вложения, что если кусок Si некоторого
многообразия п — 1 измерения сдвинуть на вектор АР
так, чтобы он оставался в Q, то
если
и {Р + АР) — и (Р) |2 dS-+-+O,
IAPI
A2.3)
Очевидно также, что не всякая функция ф ^ Ьг, задан-
заданная на поверхности S, может быть предельным значени-
значением некоторой функции и е W^ , заданной внутри обла-
области. В самом деле, уже из теоремы вложения следует
суммируемость предельных значений v на поверхности
с любой степенью, меньшей чем 2 ——г. Позднее мы
га — и
убедимся (см. п. 5), что такой суммируемости и даже
непрерывности предельных значений еще недостаточно
для того, чтобы эта функция могла служить предельным
значением для функции изИ7^-
Условимся называть функцию <р, заданную на грани-
границе S области Q, допустимой, если существует такая функ-
функция velf/', для которой <р служит»предельным зна-
значением (").
Задача Дирихле состоит в отыскании такой гармони-
гармонической функции из W% ь которая принимает в указанном

НО Гл. II. Вариационные методы в математической функции
выше смысле на границе заданные допустимые значе-
значения ф:
и|8 = ф. A2.4)
Переходим к решению этой задачи.
Для этого решим сначала вариационную задачу и за-
затем докажем, что решение вариационной задачи является
решением задачи Дирихле.
2. Решение вариационной задачи. Обозначим WV (ф)
множество функций v e W%\ принимающих на S значе-
значения ф. Так как ф — допустимая функция, то W% (ф) —•
непустое множество. Для каждой »е W2 (ф) имеем
О ^ D (v) < °°, поэтому существует точная нижняя грани-
граница значений D (v):
d= inf D(v), d^>0. A2.5)
Из множества \?% (ф) можно выделить последователь-
последовательность {ик}, для которой
limD(vh)=>dt A2.6)
ft-»oo
что следует из определения точной нижней границы. По-
После довательность {vh} назовем минимизирующей.
Теорема. Минимизирующая последовательность
{vk} сходится в W^; предельная функция принадлежит
WB (ф) и дает функционалу D (v) наименьшее значение
среди всех таких функций.
Доказательство. Действительно, определим
норму в W^ формулой
+ D (v)Y!\. A2.7)
получающейся из формул G.5) и (9.8) при (h,v) =J vdS,
s
Из равенства J (vk — vm) dS — 0 получим
s
= [D (Vk -
- Vm
"w\
Сходимость {vh} в \?21) будет доказана, если мы докажем,
что D(vh — vml~>- 0 при ft, m -*¦ <»,
12. Задача Дирихле
111
Пусть задано е > 0. Найдется такое N > 0, что
D(vh)<d + e, если к > N. Пусть к и m > N. Очевидно
D _L- у , r*i ?
—2~~^ е ^аг) (ф); и поэтому
Из очевидного равенства
следует неравенство
т. е,
D
2 j ^ °i или D (vk — vm) < 4e,
и, следовательно,
D(vh - vm)[-+¦ 0 при к, т ->- <».
Из полноты пространства И7!0 следует, что {yft} сходится
к некоторой функции ^eW1/1, т. е. lvo—vk\\ A)->0,
fc.-H.-oo, Докажем, что D(vo)=d. Для этого заметим,
что
\D(vo)-D(vh)\ =
(l)l

112 Гл. II. Вариациопные методы в математической функции
Отсюда следует, что
D (у0) = lim D (vh) = d.
&-»оо
Нетрудно теперь установить, что v0 е И7B1) (ф).
Действительно, vQ e W^ и, следовательно, функция
1>0 имеет смысл на каждом многообразии п — 1 измерения
и на всяком таком многообразии принадлежит L2.
Значение функции иа на поверхности б1 равно ф. В са-
самом дело,
и, следовательно,
но vh\ s = Ф, и поэтому
S
Функция ?>о принимает свое граничное значение ф,
стремясь к нему в среднем, как это было установлено в
теоремах вложения.
Таким образом,У„е PF2 такова, что
D)
Ф, 2) D(vo)=d.
A2.8)
Следовательно, вариационная задача решена.
3. Решение задачи Дирихле.
Теорема. Функция, дающая минимум D(v) в
W721) (ф)> всть решение задачи Дирихле.
Доказательство. Докажем, что va внутри Q
имеет непрерывные производные любого порядка и удов-
удовлетворяет уравнению A2.1).
Пусть I e Wa1*, I \s = 0. Рассмотрим
, |)+ЯЛО(|), A2.9)
a i=i г
В силу того, что v0 +4 s^11 (ф), имеем D(va +
12. Задача Дирихле
113
~> d = D(v0), и поэтому A2.9) имеет минимум при X = 0.
По теореме Ферма имеем
ДК6)=0. A2.10)
Выберем 1(^1, ..., хп) специальным образом. Пусть
) такова, что ф(т))= 1 для 0 < т) < 1/2, ^(т)) = 0 для
., , 1, г|)(т)) монотонна в [1/2, 1] и имеет для всех r\ e
^ [0, °о] непрерывные производные любого порядка. На-
Например, положим
1
th
Ч--Н1Ч-
Рассмотрим некоторую внутреннюю точку Мо области Q;
расстояние до нее от любой точки обозначим г; пусть Мо
отстоит от S на расстоянии б. Выберем два числа hy и h2
и положим при п > 2
6 = г«
(при ге = 2 доказательство проводится аналогично, пола-
полагая I = 1п~[г1з[т-Х) — гИ-^-Ш. Очевидно, что Цв == 0 в
L \ i / \ a/J/
силу выбора hi и й2. Кроме того, 1 = 0 для г < hJ2, и,
следовательно, функция % непрерывна и имеет непрерыв-
непрерывные производные любого порядка, а, значит,!elf a • Для
такой 1 имеет место A2.10). В силу определения обобщен-
d
ной производной
имеем
При этом равенство A2.10) дает
f у„А| dQ = 0.
а
8 С. Л. Соболев
A2.11)

114 Гл. II. Вариадиоппые методы в математичрской функции
Но
видно, что правая часть есть функция только от rlhu
Пользуясь тем, чтсфК--) = 1 Для г < у и Ar2~n =0г
получим
со 1~) = 0 при r<Chi/2 и г>>/ц.
Таким образом, АЪ, есть разность двух сколь угодно раз
непрерывно дифференцируемых во всем пространстве
функций, и равенство A2.11) дает
П. A2.12)
Умножая обе части A2.12) на ; ^г—, гДе °»»—
щадь поверхности единичной сферы в га-мерном простран-
пространстве, получим
^й* A2лз>
1 ( г \
Функция — со\-j-\ может быть принята за ядро
усреднения (см. п. 4, § 2, глава I), так как интеграл от
нее по всему пространству равен единице. В самом деле,
1 С / г \ 1 С
! со[¦±-)<Ki =—,—^— \ /
f
А (г»-"* Ш
(n-2)ovn
г=Л
12. Задача Дирихле
115
(n-2)an
J
г=Л/2.
Пользуясь этим, равенство A2.13) можно переписать
в виде
K)ftl = (^2- A2-14)
Мы видим, что средние функции для и0 не меняются с из-
изменением h (если h < б) в точках, отстоящих от грани-
границы дальше чем на б, и, следовательно, предел (vo)h сов-
совпадает с (vo)h, т. е. (vo)h = vo. Так как (vo)h имеет непре-
непрерывные производные любого порядка, то это же верно и
для и0.
Пусть теперь | — любая функция, непрерывная с про-
производными первого порядка в Q и равная нулю вне не-
некоторой внутренней области. Тогда, очевидно, интегриро-
интегрирование по частям дает
откуда вследствие произвольности | заключаем
Ауо = О,
т. е. v0 есть решение уравпения A2.1) и, как было пока-
показано ранее, принимает на S зпачение ф (в смысле L2n-i)-
Таким образом, и0 есть решение задачи Дирихле D6).
4. Единственность решения задачи Дирихле.
Теорема. Решение задачи Дирихле в указанной по-
постановке единственно.
Установим предварительно одпу важную лемму. Вве-
Введем функцию
A в п2Н
*2h \0 вне Q2ft,
где ?29 — совокупность тех точек Q, расстояние которых
до S больше б. Образуем среднюю функцию для XF2/,
где гр — введенная ранее
с помощью
8*
ядра
ру

116 Гл. П. Вариационные методы в математической функции
1
функция и х= оп J ti"^ (т]) dr|. Эту среднюю функцию
о
обозначим через %/,:
где r=\P-Pi\.
Лемма. Пусть JsWj1' непрерывна с частными
производными первого порядка в Q и g|s = 0 e смысле
L2,n-i. Тогда, какова бы ни была функция se flj ,
имеет место равенство
D-(v,t) = limD(v,tti>- A2.15)
ft->0
Доказательство. Очевидно, %д имеет непрерыв-
непрерывные производные любого порядка и %л = 1 в О«,, %л = О
вне Q/,. Из равенства
заключаем, что
дх.
A2.16)
Функция %%h имеет непрерывные производные первого
порядка в Q, равпа нулю вне Qh и равна | внутри Qsh.
Нам нужно доказать, что
ЯA;,6-Ы-0при&-0, A2.17)
какова бы ни была v e= W^\ Оценим это выражение.
Имеем
д1 IA
12. Задача Дирихле
117
Как легко видеть, 11 — xJ ^ 1, поэтому первый инте-
интеграл правой части не превосходит
п 11/2
и, следовательно, стремится к нулю при h -*¦ 0 в силу
сходимости интегралов -О(у) и D(^,).
Изучим второй интеграл. Мы имеем в силу A2.16)
о»
<4
h\ J
ii/a
В силу сходимости D(v)
при /г-^0.
Поэтому нам достаточно доказать ограниченность при
h-*-0 выражения
A2.18)
и лемма будет доказана.
Пусть S' есть некоторая область в плоскости г/„ = О
и Q' — цилиндрическая область в re-мерном пространстве
(j/i, • • •, Уп), заданная неравенствами
0<уп<К (уи ..., г/п_
Пусть
TF
(X)
s> = 0 в смысле L2, „_, и имеет в fi'
у | 2, | \s ,
непрерывные производные. Тогда имеем, считая, что

118 Гл. II. Вариационные методы в математической физике
/п > О,
(Уъ . • •., Уп-i, уп + Аг/п) — | (iJx ,.. у„) |а =
Vn
* J
Vn
Интегрируя по S', получим
J 11(г/i, •.., Уп-i, уп + Ауп)-ЪЬл ... уп)I2dS<
4'
<AJ/n||l|^1). A2.19)
Устремляя уп к нулю и заменяя Ауп через р, получим
|i(j/i, • • •., Уп— 1, i
S'
W о
Интегрируя по р в пределах от Ah до Bh(A<B),
найдем
Bft
откуда
- f
h* . J
A2.20)
где постоянная /? не зависит от h.
Докажем теперь ограниченность выражения A2.18).
Пусть h0 > 0 — достаточно малое число. Разобьем область
Q — Qh на конечное число перекрывающихся областей V{
(i = 1, 2, ..., к) так, чтобы каждая часть «опиралась»
на некоторый кусок S( поверхности S. В каждом Vit
в силу наших предположений о поверхности S, найдется
взаимно однозначное точечное непрерывно дифференци-
дифференцируемое с ограниченными первыми производными преоб-
преобразование V{ на цилиндрическую область Q{ с основани-
основанием S{, При этом область F< (Qft — Q3J (пересечение Vt
12. Задача Дирихле
119
и (Qh — &3h)) перейдет в некоторую область, лежащую
в полосе
Л,й < уп *? Б,й.
Цринимая во внимание A2.20), заключаем, что выраже-
выражение A2.18) ограничено для каждого Vt и, следовательно,
и для всей области Qh — ?2зь. Таким образом, для всякой
v е И^" и | s W7^) (| Is = 0) имеем
Лемма доказана*).
Доказательство теоремы. Допустим, что кро-
кроме v0 существует еще функция и е W7a1) (ф) такая, что
Аи = 0. Для такой функции D (и) > d. Если бы D (и) = d,
то и можно было бы поместить сколь угодно раз и как
угодно далеко в минимизирующую последовательность,
сходящуюся к v0, и тогда мы пришли бы к выводу, что
vо = и, так как мипимизирующая последовательность схо-
сходится к у„ всегда без выбора подпоследовательности.
Поэтому, предполагая, что и отлично от v0, мы долж-
должны сделать заключение, что D (и) > d. Покажем, что это
невозможно.
Если и е Wa1) и, кроме того, Аи = 0, а | — функция
из только что доказанной леммы, то D(u, |) = 0. Это
равенство получается очевидным предельным переходом
из D(u, ?%h) = 0 в силу леммы.
Далее
D (и + Щ = D {и) + 2KD{и, I) + %ZD (|); =
в силу предположения D(u)>d. С другой стороны, поло-
положив % — i п | = у0 — и (?ls = 0), найдем Z)(t>o)>d, что
противоречит доказанному рапее равенству Z)(fo)=d.
Теорема полностью доказана.
5. Пример Лдамара. В заключение приведем пример,
принадлежащий Адамару и показывающий, что сумми-
*) Формула A2.20), а с пою и вся лемма могут быть доказа-
доказаны не только для функций |, имеющих непрерывные производ-
производные впутрп области, по и для любых фупкций из W^\ обращаю-
обращающихся в нуль на границе. Для этого достаточно осуществить пре-
предельный переход в A2.19), заменив | средней функцией |Л.

120 Гл. II. Вариациоппые методы в математической физике
руемости и даже непрерывности функции, заданной на
поверхности, еще недостаточно для того, чтобы эта
функция могла служить предельным значением для
функции из W?\
Пусть Q есть круг х2 + у2<1 в плоскости (х, у) и
(pi 9) — полярные координаты в этой плоскости.
Пусть Ф @) =
п=\
Очевидно, что ф(8)—не-
ф(8)—непрерывная функция и функция
"!^Лп*
П=1
есть гармоническая функция в круге х2 + у2 < 1, непре-
непрерывная в его замыкании и обращающаяся в ф(8) при
Далее имеем
Я
при
откуда следует, что их е W\"' в Q.
Если бы ф(8) была допустимой функцией в смысле
п. 1, то, решая задачу Дирихле вариационным методом,
нашли бы гармоническую функцию и2 (х, у) е FFB1) та-
такую, что
2Я
1 I  (Р, 9) - Ф (9) |2 Й8 + 0 при р-* 1,
о
и, следовательно,
2Я
J |Мр,8)-ф(8)|сЮ->-0 при р->1.
о
Такое же утверждение имеет место для и,, так как
13. Задача Неймана
121
Ki(p. 6) равномерно непрерывна. Поэтому
ая
J" IMP, 8)-«i(p, 9)|d8->0 A2.21)
о
при р ->- 1.
Пусть ро < р < 1. Тогда по формуле Пуассона для гар-
гармонических функций в круге (см. [212, с. 240]) имеем
и2 (Ро, 90) — ui (Ро, 90) =
2Я „
При фиксированном р0 и р -»-1 функция
A2.22)
остается ограниченной, и, следовательно, на основании
A2.21) правая часть A2.22) стремится к нулю при
р -*- 1. Так как левая часть A2.22) от р не зависит, то
она равна нулю, и в силу произвольности р0, 80 имеем:
Ul == иг. Это невозможно, так как их е W^. Следова-
Следовательно, ф не является допустимой функцией D7).
13. Задача Неймана
1. Постановка задачи. Мы рассмотрели для уравнения
Лапласа простейшую задачу: задачу Дирихле. Переходим
к изучению другой основной задачи: задачи Неймана.
Пусть Q — ограниченная область re-мерного простран-
пространства с достаточно гладкой границей S.
Пусть bgWj . Рассмотрим функционал
H(u) = D(u)+2(p,u), A3.1)
\ (¦^-] йп и (р, и) — линейный функцио-
а i=i
нал в
\ В дальнейшем будем предполагать, что
(Р, 1) = 0. A3.2)
Теорема. Если (р, 1) = 0, то функционал Н(и)
огранцчен снизу.

122 Гл. II. Вариационные методы в математической физике
Доказательство. Если и — v = const, то (р, и) =
= (р, v), т. е. (р, и) сохраняет постоянное значение на
всяком классе if>eZ4 . В силу линейности функциона-
функционала р имеем
Так как для всего класса г]) е Д1) (р, и) сохраняет по-
постоянное значение, а для одной из функций Ui из этого
класса | щ || A) = || их || A), то
Поэтому имеем
М)г -
-Ш\
т. е.
Н(и)>-М2.
Теорема доказана.
Следовательно, существует точная нижняя грань
Н(и), которую обозначим через — d:
ini II (u) = -d. A3.3J
2. Решение вариационной задачи.
Теорема. Существует функция и <= W^ такая, что
Н(и) = —d. Кроме того, для любой ?еИг справедливо
равенство
D(u, Ъ) + (р, 1) = 0. A3.4)
Доказательство. Пусть {vh) — минимизирующая
последовательность, т. е. vh^W21 и limH(vh) = —d.
ft-» оо
Тогда очевидно, что
+ 2 (р, vk)] + -j[D (vm) + 2 (р, vm)] —
13. Задача Неймана
123
Выбрав hum настолько большими, чтобы H(vh)<— d +
+ е и H(vm)< —d+ е, и принимая во внимание, что
— н
т. е.
B(ip)
имеем
< —
— й+е
= е,
Таким образом, {vj сходится в Ь2г\ В силу того, что
Н(и) сохраняет постоянное значение на всяком классе
i|) e L2 и для одной из функций Ui этого класса
llwilL(D = lMiL(i), то в качестве минимизирующей после-
 ^2
довательности всегда можно взять последовательность,
для которой
IKIL(i) = HL(i).
При таком выборе последовательность vh сходится bTF^-
Пусть и s W^P — предельпая функция.
Подобно тому как это мы имели выше при рассмот-
рассмотрении задачи Дирихле, получим
\\LW + IIЪ\\L
U)) \\u-vh\\Ly + 2M\\u-vh\\
поэтому
откуда следует, что Н (и) = lim Я (vh) = — d. Пусть |
. Тогда
имеет минимум при Я = 0, и по теореме Ферма имеем
Л (и, 6) +(Р. 6) = 0.
Теорема доказана.

124 Гл. II. Вариационпые методы в математической физике
Каждая функция и е И7B1) суммируема по 5 с лю-
любой степенью q*, где
'• Л ^ 2 (п — 1)
Обозначим через Lq* (S) множество функций v,
определенных на S и суммируемых со степенью <?*.
Пусть (pg, v) есть линейный функционал в Ь9*(?).
Тогда по теореме вложения (рв, u|s) линееп в W^. Дей-
Действительно, если и е И^а , то
I (Ps, и Is) К Я1II и lte,(S) < ^iM [| ы 11^) = Ж || и 1w(d,
где /f!, М, К — некоторые постоянные. Полученное не-
неравенство доказывает наше утверждение.
3. Решение задачи Неймана.
Теорема 1. Если (рв, 1) = 0, то существует функ-
функция и е W^ такая, что
1) и имеет в Q непрерывные производные любого по-
порядка и удовлетворяет уравнению
Дц = 0, A3.5)
2) пусть Qh — произвольная возрастающая последова-
последовательность областей, имеющих достаточно гладкую грани-
границу Sh, содержащихся в Q и стремящихся к Q. Тогда
lim
A3.6)
— произволь-
произвольгде v — внешняя нормаль к Sh и ?.
ная функция.
Задачу об отыскании такой функции и мы будем на-
называть задачей Неймана.
Доказательство. На основании теоремы из п. 2
существует функция и е W%\ такая^ что
D (и, g) + (ps, g) = 0 для любой I
A3.7)
Если выбрать g = 0 в некоторой полосе у границы S, то
(Ps, |) = 0, и мы получим, что D(u, 1) = 0. Отсюда, бук-
буквально повторяя рассуждения предыдущего параграфа,
заключаем, что и непрерывно дифференцируема сколько
13. Задача Неймана
125
угодно раз и удовлетворяет уравнению Аи = 0. Первое
утверждение доказано.
Пусть | — произвольная функция из И72г\ Имеем тогда
Принимая во внимание A3.7), получим A3.6).
Теорема 2. Решение задачи Неймана определяется
однозначно с точностью до постоянного слагаемого.
Доказательство. Пусть существуют две функ-
функции щ и и2 е W% , удовлетворяющие уравнению Аи = О
и одному и тому же условию A3.6). Их разность \|) =
= щ — щ является гармонической фупкцией и удовлет-
удовлетворяет условию
j -^ dSh = 0.
•h
Положив | = г]з, найдем
lim I г|з —^ dSk = lim \ | grad г|з |а dQh=D (г|)) = 0,
откуда следует, что я|) = const.
Замечание. Если (ps, и)=\ еры dS, то «гранич-
s
ное» условие A3.6) принимает вид
lim \ g ~ dSk = 0.
Функционал — (pg, |) задает обобщенное граничное
Y ди
условие для функции и, причем величина -х- стремится
к ф в слабом смысле. Такая постановка является в дан-
данном случае вполне естественной, так как предельное зна-
ди тт/A)
чение для -д-, если ые W\ , может не существовать

126 Гл. II. Вариационные методы в математической физике
14. Полигармоническое уравнение
1. Поведение функции из W^ у граничных много-
многообразий различных измерений. Рассмотренные нами ва-
вариационные методы могут быть перенесены и на краевые
задачи для полигармонических уравнений. Переходим к
изучению основной краевой задачи для такого уравнения.
Пусть ограниченная область Q в га-мерном простран-
пространстве имеет простую границу S (см. п. 2, § 10, гл. I).
Уравнение
ИЛИ
A U = Л-,
m!
A4.1)
d2mu
называется полигармоническим уравнением.
Уравнение A4.1) является уравнением Эйлера для
фупкционала
Очевидно,
D(u)=\\ut(m).
Пусть и е PFBm), Если га — 2т < 0, то из теорем вло-
вложения следует, что и(хи ..., хп) непрерывна, и тогда она
имеет предельные значения на многообразиях любого
числа измерений. Если га — 2т ^ 0, и га — s > га — 2т, то
и(хи ..., хп) суммируема на многообразиях (га — s) из-
измерений с любой степенью q* < q = п_2т' ^ак как
q > 2, то можно взять д* = 2. Следовательно, если п —
— s > га — 2те S5 0, то u e= L2i „_8 на многообразиях га — s
измерений, которые будем обозначать M„-,.
Таким образом, и <= L2, n-. на 5„-„ если
s<2t?i. A4.3)
Более того, из полной непрерывности оператора вложе-
вложения следует, что u{xh ..., хп) непрерывна в смысле
14. Полигармоническое уравнение
127
L2,n-, и потому имеет предельные значения в смысле
L2, n-. на частях границы S, имеющих размерность га — s,
где s < 2т. Как было доказано в п. 2, § 10, и (хи ..., х„)
имеет все обобщенные производные порядка ниже т.
Рассмотрим производные k-то порядка, где к < пг.
Если п < 2т, то производные к-то порядка принадле-
принадлежат L3 на многообразиях Sn-S (га — s) измерений, где
s<2(m-k). A4.4)
Из полной непрерывности оператора вложения следует,
что производные к-ro порядка непрерывны в смысле
L2i „_,; где s удовлетворяет A4.4), и поэтому на частях
границы Sn-, имеют предельные зпачения в смысле
L'l, п-в-
Из неравенства A4.4) следует, что
- 1, A4.5)
т. е. па многообразиях (га — s) измерений существуют
предельные значепия в смысле L2, „_, производных > до
порядка /те — I -|- — 1.
Эти результаты сведем в таблицу.
На многообразиях
границы
Sn-l
Sn-2
On—3
O*n-4
On-2ft
Sn-2k-l
Sn-2m+2
Sn-2m+l
существуют
предельные значения
в смысле
¦^2, n-I
¦^2, n—2
L2, п—Ъ
^2, n-4
L2, n—2h
L2, п-2Ъ—1
Lj2, n-2m+2
L2, n-2m+l
функции и всех
производных
до порядка
включительно
т — 1
m — 2
m — 2
m —3
m — k — i
m — к — 1
0
0
Эта таблица составлена в предположении, что га —
— 2т + 1 > 0. Если га — 2т +1<0, то при некотором к
либо п — 2к = 0, либо га — 2к — 1 = 0. Тогда имеем т —
— к — \<im—2", и, следовательно, сама функция и все
ее производные до порядка т — к — I непрерывны.

128 Гл. II. Вариационные методы в математической физике
Таблица оборвется строчкой: на So существуют пре-
предельные значения функции и всех производных до т —
— к — 1 порядка включительно. На многообразиях Su ...
,.., Sn-i производные до (m-k-l)-ro порядка также
непрерывны.
Очевидно, из непрерывности функций следует непре-
непрерывность в смысле Z/2i „_,. Поэтому в последующих оцен-
оценках обычную непрерывность отмечать не будем и все
рассуждения будем вести в предположении непрерывпо-
сти в смысле L2, „_,.
2. Постановка основной краевой задачи. Пусть грани-
граница области состоит из многообразий Sn-i, ..., Sn_2m+i,
если п — 2т + 1 > 0, и из многообразий Sn-i, . ¦., So, если
п — 2т +1^0. Некоторые из многообразий могут отсут-
отсутствовать.
Пусть теперь на каждом из многообразий Sn_, заданы
функции
:1<т-[Ц-1.
Если существует функция и е Иг такая, что
Sn-s
(n—s)
= фаг..<»„|
A4.6)
то будем говорить, что система граничных значений
допустима (м).
Для любых допустимых граничных значений очевид-
очевидно, что если п — 2т + 1 > 0, то все cpc^~San s L2tn-s, и, ес-
если п — 2т + К 0, то те функции, для которых 0 ^
^^Ыг^т— у -1, непрерывны, а остальные при-
принадлежат L2, п-«-
Для полигармонического уравнепия, в отличие от
уравнения Лапласа, мы можем задавать краевые значе-
значения не только на поверхности размерности п — 1, но и
задавать допустимые значения на поверхности меньшей
размерности, как это показывает следующий пример.
Рассмотрим уравнение А2и = 0 в трехмерном прост-
пространстве. Имеем п = 3, т = 2, п — 2т +1 = 0.
14. Полигармоническое уравнение
129
В качестве граничных многообразий обязательно
должно быть S2 и могут быть Si и So. Так как т — I -^- —
— 1=0, то сама функция и непрерывна. На многообра-
зии ib2 мы задаем и \s непрерывной и -т— е Ь2, кото-
г S2
рые должны быть допустимы. На Si и So задается функ-
функция и.
Пусть Q — шар единичного радиуса с исключенным
центром: 0<Сх1 + х\ + х\<_ 1. В нашем примере Sj
отсутствует. Рассмотрим решение, удовлетворяющее ус-
условиям
и @, 0, 0) = 1 (задание на So);
и |г=1 = 37 I _ = ^ (задание на S2).
Задание на S2, очевидно, равносильно следующему:
¦ ди
' 'sa ~ дх~
ди
ди
= 0.
Функция м = A — гJ является решением задачи. Дей-
Действительно, она удовлетворяет уравнению и граничным
условиям. В точке г = 0 производные не существуют.
Вторые производные суммируемы с квадратом по Q, т. е.
и е Wz. Как мы докажем позднее, другого решения в
Иг нет. Если бы So отсутствовало, то решение было
бы и = 0.
3. Решение вариационной задачи. Переходим к изуче-
изучению основной краевой задачи для полигармонического
уравнения в общем виде.
Теорема. Если система /фаП7!а„} допустима, то су-
существует единственная функция u€=W2 , удовлетво-
удовлетворяющая условиям A4.6) и дающая минимум интегралу
D(u) среди всех таких функций.
Доказательство. Обозначим W^/фа""^} мно-
множество функций Detff'n удовлетворяющих A4.6). Так
Как Система |фа"~!а„} ОпусТИМа, ТО W^ |фа"~!а„| —
непустое множество. Для каждой функции v из этого
множества имеем 0^D(v)<oo, Поэтому существует точ-
9 С. Л. Соболев

130 Гл. II. Вариационные методы в математической физике
ная нижняя граница значений D(v), которую обозна-
обозначим d:
d = iniD(v), v
Из множества W^ /cp^T^Xi) можно выделить минимизи-
минимизирующую последовательность ivh}, так что
lim D (vh) = d. A4.7)
&-»оо
Докажем, что {vh} сходится в
Для того чтобы определить в пространстве W^ ка-
какую-либо естественную норму, как мы видели, достаточ-
достаточно задать систему линейных функционалов
ограниченных в одной из естественных норм и таких, что
для любой их линейной комбинации
Р= 2 ¦4Р1...р„Рр1...Р„.
2р4<т-1
у которой не все коэффициенты равны нулю, найдется
ai а™ л
хоть один одночлен хх ... хп , для которого эта комби-
комбинация не равна нулю.
Рассмотрим поверхность Sn-\. По предположению эта
поверхность состоит из конечного числа гладких кусков.
Положим
рр--р"у= 1 Ъг-^*8™ A4-8)
п—1 1 п
п
где v — любой элемент из PFBm), 2 Pi ^ т — 1-
i=i
Нетрудно видеть, что все функционалы Ррг..рп линей-
линейны в VFBm\ если норму в нем определить при помощи
шарового проекционного оператора. Это непосредственно
следует из теорем вложения.
Пусть теперь Ф = 2^р1...рпРр1...р„ — какая-либо ли-
линейная комбинация функционалов Ррг..рп. Пусть
14. Полигармоническое уравнение
131
А,(о) (о) — какой-либо из не равных нулю коэффициен-
Pl ••¦Рп
тов, для которых сумма rpi0) + ... + pl0) = а@) имеет наи-
наименьшее значение среди всех сумм fii + ... + C„ = а.
„( ) „(о)
Тогда px^i ,.. х^п фО.
В самом деле, для фъ ..., $п)ф (р^, . .., рп0)) имеем
= 0, так как хотя бы для одного к
h>Pk\ поскольку Рх + .. . + Р„> Pio) + .. • + Р«0)- Поэ-
Поэтому получим
о
J
ЬП—
П—1
что и требовалось доказать.
Таким образом, мы можем определить норму в
формулой
)a + fl(w), A4.9)
2 р.
п
где ii обозначает C„ ..., р„, причем 2 Рг^'И — 1. Тогда
для двух функций vh и Vi минимизирующей последова-
последовательности получим рцУь = рцУг, и поэтому
\\vk — Vi\\<m)=D(vk — vi).

Возьмем к vi I настолько большими, чтобы D(vh)< d+ e,
D(vt)<d+ e, что возможно вследствие A4.7).
Очевидно, ^±^е ИГ^ср^}, и поэтому D
~^ d. Из прежнего равенства
найдем D
vk~vi
8 d + 8
— d = e, т. е. D(vh —
2 У""""- 2 """ 2
— Vi) < 4е, откуда в силу произвольности е следует, что
\\vu-v4 ,т)^0, к,1^оо. A4.10)
Так как пространство W™ полное, то заключаем, что

132 Гл. II. Вариационные методы в математической физике
14. Полигармоническое уравнение
133
существует предельная функция u^WK™\ для которой
||и — vk\ (m)->0. Так же как в задаче Дирихле, дока-
зывается, что
2)
A4.11)
A4.12)
Не существует двух различных функций, удовлетво-
удовлетворяющих A4.11) и A4.12). Действительно, если бы Ui
и щ были такими двумя функциями, то последователь-
последовательность щ, и2, щ, ц2, ии ... была бы минимизирующей и,
следовательно, сходящейся, что возможно лишь при
щ = щ.
Теорема доказана.
4. Решение основной краевой задачи.
Теорема. Функция и, дающая минимум интегралу
D(v) в W^ |tpLn~!an}i имеет непрерывные производные
любого порядка внутри Q и удовлетворяет уравнению
A4.1).
Доказательство. Пусть Ie FFam){0}. Тогда
) Я = COnSt,
и поэтому D(u + %l) = D{u) + 21D{u, %) + X2D(l)>d для
всех X и имеет минимум, равный d, при Я = 0. Отсюда
следует, что -^ D (и + Я|) |4_л = 0, что дает
=о
D(u,l) = 0. A4.13)
Рассмотрим элементарное решение полигармоническо-
полигармонического уравнения
m-n; если 2тп — п < 0 или п нечетно,
'~
если 2т— п ^ 0 и п четно.
Легко проверить, что Amgr(r) = O при г?=0.
Пусть б > 0 — достаточно малое число. Рассмотрим
область Qt и образуем функцию | = gr(r)[x|)(rA1) —
— i|) (r//i2)], где 0 < hi < h2 < б и i|r— рассматривавшаяся
ранее усредняющая функция (см. п. 3, § 12). Из свойств
этой функции заключаем, что | = 0 для г < Ai/2, г > /i2,
все производные | непрерывны. Если точка, от которой
отсчитывается г, лежит в fie, то | и все ее производные
на границе Q обращаются в нуль. Поэтому для | имеет
место A4.13). Так как % имеет непрерывные производ-
производные любого порядка и равна нулю вне Qo, то по опре-
делению обобщенных производных —
имеем
дти
¦dQ.
Поэтому равенство A4.13) дает
или
JuAm|dQ = 0. A4.14)
Q
Но Ат| = Ат [* (г) у (fj ] - Дт ^ (г) ^ ^j], и так как
¦ф(г//г() = 1 для г ^ hi/2, a Amg(r)=0, то
Am[^(r)it('-/^)]^0 для r<kt/2 (i = l, 2).
Поэтому равенство A4.14) можно представить в виде
J «Am [g (г) ч, ^] dQ = J «Am [г (г) я), ^j] dQ, A4.15)
причем обе части равенства имеют смысл.
Пусть п > 2. Рассмотрим функцию
С01
где а„ — площадь поверхности единичной сферы в га-мер-
га-мерном пространстве и А — постоянная из равенства
Ain~1g(r) = AJrn~l, Очевидно, что со (г, h) имеет непрерыв-
непрерывные производные любого порядка и равна нулю для
г ^ k/2 и r^h, так как этими же свойствами обладает

134 Гл. II. Вариационные методы в математической физике
Am{g{r)${r/h)}. Далее
Так как if (г/А) и все ее производные при г = А равны
нулю, то первое слагаемое равно нулю. Второе слагаемое
отлично от нуля, так как
В результате получаем
(n-2)Adr I rn-2 V[ fcJII,=.
r=ft/2
Таким образом, ] ю (г, h) dQ = 1, что показывает, что
Q
«(г, h) есть ядро усреднения (см. п. 4, § 2, гл. I).
Умножая A4.15) на -, ^т—;—, перепишем его
15. Единственность решения ocuoBHoii краевой задачи 135
в виде
J ша (г, hj) dQ = j мю (г,
Это равенство означает, что средние функции для и не
меняются в Qe при изменении радиуса усреднения
h (А < б) и поэтому в йв и равна своей средней функции.
Так как средние функции имеют непрерывные производ-
производные любого порядка, то это же верно и для и. Ввиду
произвольности б заключаем, что и имеет непрерывные
производные в любой точке Q при п > 2. Случай п = 2
рассматривается аналогично.
Пусть | имеет непрерывные производные до m-го по-
порядка в Q и равна нулю вне некоторой области, целиком
лежащей в Q. Для такой функции | имеет место A4.13),
так как, очевидно, ?eW(am){0}. Интегрируя по частям
в A4.13), найдем j |AmudQ = 0, откуда ввиду произволь-
Q
ности ^ следует, что Amu = 0. Мы доказали, что и есть
решение уравнения A4.1) при условиях A4.6). Будем
называть рассмотренную задачу основной краевой зада-
задачей для полигармонического уравнения.
15. Единственность решения
основной краевой задачи
для полигармонического уравнения
1. Постановка задачи.
Теорема. Решение в W[m' основной краевой задачи
A4.1), A4.6) единственно.
Доказательство. Если допустить, что в W ™' су-
существует еще одно решение w уравнения A4.1) при ус-
условиях A4.6), то мы должны иметь D(w)> d, так как
в противном случае можно было бы образовать миними-
минимизирующую последовательность, в которой w встречались
бы под какими угодно большими номерами. Из сходимо-
сходимости этой последовательности мы пришли бы к выводу:
u — w. Докажем, что для всякого решения w e W™'* урав-
уравнения A4.1) при условиях A4.6) невозможно нера-
неравенство
D(w)>d.
A5.1)

136 Гл. II. Вариационные методы в математической физике
Пусть | е W™^ {0} и пусть | внутри Q имеет непрерыв-
непрерывные производные до т-ro порядка.
Если мы докажем, что
D(w,l) = 0, A5.2)
то, повторяя буквально соответствующие рассуждения из
доказательства единственности задачи Дирихле, придем
к неравенству
D{u)>d,
что противоречит A4.12). Поэтому для доказательства
невозможности A5.1) и установления единственности
основной краевой задачи достаточно доказать A5.2).
2. Лемма. Подобно тому как мы поступали при дока-
доказательстве единственности задачи Дирихле, введем в Q
функцию
A в Qrtf
*яЛ~\0 вне Q2/l,
где h > 0.
Образуем среднюю функцию для Ч^л с помощью ядра
—" ^ (~К )' ^ТУ среднюю функцию обозначим %h. Оче-
видно, что %h имеет производные любого порядка и %л = 1
в Q3ft, нулю вне Qh и всюду \%h\ < 1. Кроме того, нетруд-
нетрудно установить, что-
я ™
... охп
<"?¦
A5.3)
Функция |%л имеет непрерывные производные до т-го
порядка в Q, равна нулю вне Qh, совпадает с % в Q3/,.
Докажем следующую основную лемму.
Лемма. Для каждой v^W^ можно указать такую
последовательность {hr} (hr-+0), что
)(v,ftor)- A5-4)
Доказательство. Легко видеть, что
D(v,l- Ш =
m! ( dmv am(l-
= 12
а, а
¦п дх^...дхУ
15. Единственность решения осповпой краевой задачи 137
J -*J a ! ... a ! а я an л «,
O-Oah г 1 Sxi •• • дхщп дх^
... дхпп
Jn
¦dQ.
где С\ ...р — постоянные.
При h -*¦ 0 первый интеграл стремится к нулю, так
как v и |s Wj и те (Q — й3л) ~*~ 0. Для доказательства
A5.4) достаточно доказать, что второй интеграл стре-
стремится к нулю.
Для этого достаточно доказать, что
dmv dm~hl
Г
X
X
1, 2 ттг)
¦dQ
(для ft = 0 очевидно, что Jo{h)^O, так как y,
и l/ftl s?l). Вследствие A5.3) имеем
A
-а3л
12 N1/2
dQ)
X
( J
|2 \ 1/2
Обозначим hi = 1/3» (ц =. 1, 2, ...). Тогда
A5.5)

138 Гл. II. Вариационные методы в математической физике
и так как v e И^, то ряд
°° dmv
-1=1 Q /-Q
3ft,
сходящийся. Поэтому найдется бесконечная последова-
последовательность членов этого ряда, меньших соответствующих
оо
оо
V
членов заведомо расходящегося ряда 2d u inn '
Ц=2Г
Иначе говоря, для бесконечной последовательности
{цт} имеем, обозначая h^r — hr,
amv
1пЗ
~~ | In ftr |- [In | In fer 1 — In In 3] ~-~ |lnfer|-ln|lnfer
Если доказать, что
V- A5-6)
1
*1...**
A5.7)
то, очевидно, будем иметь из A5.5) и A5.6)
к
Следовательно, Jh{hr)-+O при г->°°, чем будет дока-
доказано A5.4).
Таким образом, для доказательства A5.4) и основной
леммы достаточно доказать A5.7).
3. Структура областей ?ih — Qsh. Займемся более де-
детальным изучением структуры областей QA —Q3*. Разо-
Разобьем всю границу области Q на конечное число гладких
кусков различных измерений 5*-8; к числу этих кусков
присоединим все границы между двумя гладкими куска-
15. Единственность решения основной краевой задачи 139
ми одинаковой размерности и все особые многообразия
типа конических точек или конических линий. Границы
между кусками размерностей I будут, вообще говоря,
иметь размерность 1 — 1. Например, если область Q есть
куб, то многообразия ?2 будут все грани куба, St — все
его ребра и многообразия So — все его вершины. Если
область есть прямой круговой конус, то нам придется
рассмотреть два многообразия ^2 — боковую поверхность
и основание, 5а — границу основания и So — вершину
этого конуса.
Построим для каждого из, этих многообразий область
(Qh — Q3h)n-s, состоящую из тех точек области Q, ко-
которые отстоят от многообразия Sn-S на расстояние,
меньшее 3h, но большее h. Область Qh — й3л покрывается
суммой областей (?2д — Q3ft)«-s-
Выделим теперь из каждой области (Q& — Q3;t)n-s
некоторую ее часть (fift — ^аи)п-зя которая при помо-
помощи невырожденного преобразо-
преобразования координат с непрерыв-
непрерывными ограниченными производ-
производными может быть переведена
в некоторый цилиндр радиуса
h, «ось» которого есть гипер-
гиперплоскость размерности п — s, и
представляет собой образ мно-
многообразия Sn-s, причем сделаем
это так, чтобы области (Q^ —
— &3h)n-s продолжали покрывать всю область Qh — Qsh.
Наглядный чертеж (рис. 6) показывает, каким долж-
должно быть это разбиение, если область Q есть невыпуклый
шестиугольник. Здесь области (Q^ —¦ Q3h)n-s показаны
штриховкой.
Для того чтобы установить справедливость A5.7),
достаточно установить это неравенство для каждой из
областей (Qk — ^3ft)n-s-
Проводя соответствующую оценку, мы можем с са-
самого начала предположить, что все многообразия Sn—S
суть точки или куски гиперплоскости соответствующего
числа измерений. Очевидно, к этому всегда можно све-
свести задачу заменой координат.
У/
\
у,
V////.
У/,
У,
1
У/////////////
У///////////////////////
%
у,
'//
у/.
Рис. 6

140 Гл. II. Вариационные методы в математической физике
Будем считать сначала, что многообразие <5„_3 есть
область в гиперплоскости хг — ... = ха — 0. В силу пред-
предположения о простоте границы S, общий случай сводит-
сводится к этому. В пространстве (хи хг, ..., xs, xs+i, ..., хп)
введем цилиндрические координаты с
^«осью» Sn-S, т. е. положим
Xi = р COS фь
Хг = Р Sin ф1 COS ф2,
хг = р sin ф4 sin ф2 cos q>s,
X.-i = Р Sin ф1 Sin ф2 ... Sin ф5-2 COS ф.-ь
ха = р sin ф4 sin ф2 ¦. ¦ sin ф5-г sin ф.-
+ 1 =* Xs+i,
Рис. 7
Тогда многообразие ж, = ... = х, = 0 перейдет в многооб-
многообразие р = 0 (рис. 7). #
Доказательства для областей, стремящихся к Sn-S,
в случае s четного и нечетного несколько различны. Мы
будем вести доказательство одновременно, указывая раз-
различие в необходимых случаях.
Пусть s = 2t или s = 2i+l. Тогда нам придется рас-
рассмотреть -отдельно случай I, когда к = 1, 2, ..., t, т. е.
оценить интеграл A5.7) для производных, значения ко-
которых на Sis не определены (см. п. 1, § 14), рассмот-
рассмотреть отдельно случай II, когда k = t + l и, наконец, слу-
случай Ш: /с = ? + 2, ..., т, т. е. случай, когда производ-
производные, стоящие под знаком интеграла в A5.7), определе-
определены на Sn^s.
4. Доказательство леммы для &^ Иг!1 Исследуем
чала случай I: к = 1, 2, ..., t. Обозначим
дт-Ч(Р,%,*1)
Z (р, Фг, Xj) = —Т -в—,
сна-
где &=1, ..., t, i = l, ..., s-1, / = s+l, ..., п. Пусть
Ро > 0 некоторое число. Будем считать 0 < р < ро. Так
15. Единственность решения основной краевой задачи 141
как | имеет непрерывные производные до порядка т,
хо Z имеет таковые до порядка к всюду, кроме много-
многообразия р = 0.
Поэтому, применяя формулу Тейлора, найдем
¦ "(Р - Ро)" 1 dh'lZ
(А-1I dph~l
Р=Р,
0 Pn
Обозначим
p=const
Тогда равенство A5.8) дает
»=Pn
\Zf dxs+1 ... dxn\'\
'\
\Z (p, Ц>и Xj) «?2]П_з< С 12 (p0, ф,, ^) 1ГЧ|П_8 +
Умножая A5.9) на ps*"'dco и интегрируя по единичной
сфере «и, получим, обозначая (п — 1)-мерное многообра-
многообразие р = const Ф 0 через Sp,
(Р
A1)"
az
dSPo+...
I

142 Гл. II. Вариационные методы в математической физике
... dxn.
A5.10)
Так как 1<=W(™\ то на основании теорем вложения все
производные % до порядка т-1 принадлежат L3,n_,,
и вся фигурная скобка правой части A5.10) оценивает-
оценивается через
Рассмотрим последнее слагаемое правой части A5.10).
Считая р < ро, получим
2 „_! rfPi X
PK
J
p=const p
1
. • * XA/tAjf^ —~
X
A5.11)
15. Единственность решения основной краевой задачи 143
Оценим -з| dpx. Для этого положим pj = рж,
р р*
Ро — РУ, тогда
р,
РГ1
Если 2/с < s, то интеграл сходится при у -»¦ °° (т. е. при
р->-0). Если 2& = s, то интеграл растет как In у, т. е.
как llnpl. Следовательно, если 2к ^ s, то имеем из
A5.10) и A5.11)
lw(m) [С,
2
Интегрируя по р от Ah до 5/г, получим
| Z р dQ < Ш| w(m)[^^s+ ^2/г2" | In ft
h\ In A|.
Таким образом, неравенство A5.7) доказано для к =
= 1, ..., ? (s = 2t или s = 2? + 1).
г s 1
5. Доказательство леммы для к = -^ + !• Перейдем
к доказательству A5.7) для случая II: ft = t + l. В этом
случае мы уже знаем, что стоящая под интегралом про-
производная стремится к нулю на границе. Однако те оцен-
оценки, которые мы провели выше в § 11, оказываются не-
недостаточными, и мы дадим небольшое их усиление.
Рассмотрим некоторую область Qs в гиперплоскости
Xi — const, ..., х„ = const и обозначим расстояния от то-
точек xi = ... = xs = 0 и (Аха, ..., Axs) B Ах2 = | АР |2)
этой гиперплоскости для любой точки этой же гиперпло-
гиперплоскости через г и г, соответственно.
Обозначим
х,1 ... дх„
= ср (хи ..., xs, xs+1, ..., хп).
Производные t+l порядка по хи хг, ,.., хп от ф суть

144 Гл. II. Вариационные методы в математической физике
производные т-то порядка от ?. Поэтому, применяя
формулу G.12) для оценки
ф(Аж,, ..., Ах„ xa+i, ..., ж„)>ф@, ..., 0, х.+и ..., хп) =
= Ф(АР, ^)-
найдем так же, как при выводе A1.14),
;X
х
"i... дхапп
dQs + В
г v/sr
J \q>\2dQs\
я8 J .
АР\
|2] N1/2
I \dQs) X
у/* /{•¦ у/2]
/ \a4 / J
Рассмотрим случай s = It. Тогда, проделывая преобразо-
преобразования, встречавшиеся ранее в § И главы I, получим
Г (г + rj28'2*-*
J r2(s-t-l)r2(s-t-l)
r2(t-l)r2(t-l
р<й/|ДР|
Тогда из A5.11) найдем
= C1 + C2|ln|AP||.
X
"i ••••'•*„
15. Единственность решения основной краевой задачи 145
Интегрируя по ?*_8 (^ = ... = xs = 0), получим
, a?i) - Ф (О, X}) |2 ffin_s < | АР \^
"i • • • "•*„
л:.
| АР
In | АР 1

|. A5.12)
Эта оценка точнее чем та, которая непосредственно
следует из формулы A1.15), так как, применяя ее, мы
получили бы в A5.12) |АР|2-е вместо |1п|ДР|| |ДР|2.
При выводе A5.12) было использовано то обстоятель-
обстоятельство, что
ят-t-le 12
Воспользовавшись тем, что ф@,
перепишем A5.12) в виде
am-t-lz |2
— 0 (в смысле L2l я-.)'»
t.. dxn
. A5.13)
¦ ¦&
Вводя цилиндрические координаты с осью ?„_„ заменяя
В A5,13), |АР| на р, умножая на р2'^ и интегрируя по
единичной сфере со, получим
J
. A5.14)
Интегрируя по р от Ah до Bh, найдем
0m-i-ig |2
fa
Ю С, Л. Соболев

146 Гл. II. Варпациоштыс методы в математической физике
Аналогичные рассуждения для случая s = It + 1 дают
оценку A5.14) с правой частью порядка p2i+t и для
A5.15) с правой частью порядка hzt+z. Таким образом,
A5.7) для k = t+l доказано.
[о I
у +2^fc^jre. Пе-
Перейдем к доказательству A5.7) для случая III: к —
= t + 2, ..., т. Полагаем
Z (р, Ц>и X)) =
Z(p, ф(, х^ имеет непрерывные производные до fc-ro по-
порядка (k>t+{) по всем аргументам всюду, кроме мно-
многообразия р = 0. Применяя формулу Тейлора, найдем
Z(p,<p1)a!j)
, (P-Pof
{, х-)
О —*—
a ^7
+
(k-t-2)l \gpk-t-2l ' J (*-t-2)!
A5.16)
Из формулы A5.16) получим
Z (P, Фг, ^) 1х2|П_8 <
I P ~
lfc-i-2
(A—« —2)!
ft-t—2
)=P0 ||L2
(p ft_4_2
J (A— t — 2)! do?-* X
Ь2,П—S
12 Л 1/2
lS»-S LPo
В силу граничных условий для | (| и все ее производ-
производные до (m-^t — 1)-го порядка равны нулю в смысле
L2, п-8 на многообразии р = 0), при • предельном переходе
15. Единственность решения основной краевой задачи 147
р0 -*¦ 0, получим
J
*
sn—s
Sn—8
gh-t-lZ
Р
dxs+1. . .dxn (p—f
о
dPl. A5.17)
Рассмотрим случай s = 2t. Умножая A5.17) на р2' ' da
и интегрируя по единичной сфере со, получим
p
-4 Г 1 Г
J р?г-1 J
am~f-^
... 5а:
откуда, принимая во внимание A5.14), найдем
. . fpf+Mlnpl
fc-* I Pl—i-Jiii dPl =
= Л
J p! I in Pi IФ1 < Лр2" I in p |.
Интегрируя по р от Ah до 5Д, найдем
f |Z|»d
В случае р = 2i + 1 правая часть получается порядка Кгк.
Таким образом, A5.7) доказано для всех к — 1, ..., т.
10*

148 Гл. II. Вариационные методы в математической физике
16. Задача о собственных значениях
149
Отсюда сразу вытекает справедливость основной лем-
леммы *).
Из леммы очевидным способом выводится равенство
A5.2). В самом деле, для любой функции w, удовлетво-
удовлетворяющей уравнению Amw — О, имеем D(w, |%ft) =0.
Переходя к пределу, докажем A5.2), а с ним и теорему
единственности.
7. Замечание о постановке краевых условий. Назовем
функцию | функцией из W™ @), если она является пре-
пределом в W^ функций, обращающихся в нуль в пригра-
приграничной полосе. Если даны некоторые функции и и г|з,
принадлежащие W^, то мы будем говорить, что и совпа-
совпадает на границе области с г|> в смысле W™ @), если и —
-^ePFBm)@).
В ряде работ по вариационным методам рассматри-
рассматривалась задача об отыскании функции, дающей экстремум
функционалу D(u) (для случая т — 1) и совпадающей
на границе с заданной функцией г|> в смысле W™ @).
Такая задача, очевидно, имеет единственное решение,
в чем легко убедиться непосредственно. Однако без на-
нашего исследования неясно было, каковы будут истинные
граничные условия для решения, у которого и — if e=
е- WT} @) E0).
16. Задача о собственных значениях
1. Введение. Пусть Q — ограниченная область «-мер-
«-мерного пространства с достаточно гладкой границей S.
Задача о собственных значениях уравнения
Аи + Ки = 0 в Q A6.1)
при условиях на границе S
r^f —hu\ = 0 (v— внешняя нормаль),. A6.2)
oV \S \S
где h — непрерывная на S функция, заключается в опре-
определении всех значений К, при которых уравнение A6.1)
*) Здесь, как и при доказательстве леммы из п. 4, § 12, мож-
можно избавиться от требования непрерывности производных от |
до порядка т. Для этого нужно лишь осуществить предельный
переход от средппх функций в формулах A5.9), A5.12), A5.17).
Остальное доказательство проходит без изменений,
при условии A6.2) имеет ненулевое решение. Мы будем
пользоваться тем, что существуют такие непрерывно диф-
дифференцируемые функции at, ограниченные, с ограниченны-
ограниченными производными в замкнутой области Q + SH аг \ <М";
да,
Ьх
<.М,М = const , что
¦).
|s cos au
A6.3)
где <Xi — угол между v и. осью Oxt. Так как S — доста-
достаточно гладкая поверхность, то можно построить доста-
достаточно гладкие функции С,-, обращающиеся в cosa4 на
поверхности. Тогда достаточно взять а( = Mid, где
Мх= m&x\h\.
s
Вариационный метод позволяет построить решение
этой задачи, найти все ее собственные функции и по-
показать ортонормальность и полноту в L2 системы этих
функций. Напомним, что ортонормальная система функ-
функций из L2 называется полной, если с помощью линейной
комбинации этих функций можно приблизиться в норме
L2 с любой точностью к произвольной функции из L2.
2. Вспомогательные неравенства. Переходим к реше-
решению этой задачи. Рассмотрим функционалы в
Q i=lv *'
Лемма. Имеют место неравенства
^bDW + LtHiv), A6.4)
I <Я,ЯA;) +*,/(!;), A6.5)
fde Lu L2, Ku K2 — некоторые положительные посто-
постоянные.

150 Гл. II. Вариационные методы в математической физике
Доказательство. Докажем A6.5). Имеем, исполь-
используя A6.3),
hv2 dS ^i) v* 2j ai c°s nxi dS =
?
i=1
.. *=i г а
Пользуясь тем, что 2 | v \
К > 0 — любое число, получим
i=l
M
+ МпН (v).
К
dv
dxi
где
МпН (v) + KMnH (v) + -fJ (v) =
M
Из определения D(v) и J(v) имеем
f hv4S
- К) Н (v) +
i+~)J(v) = K1H(v) + K2J(v),
и неравенство A6.5) доказано.
С другой стороны, из определения D(v) и J(v)
следует
J{v) = D (v) + J hv2dS ^D(v) + Mn(l + K)H (v) + J J(v),
s
откуда /(y)/l —|г|<ЯA;) + ЛГиA + Я)Д:(у). Выбрав К>
> 2M, ПОЛУЧИМ ( 1 — -гг ) > ",
J(w) sS 2D(y) + 2MnA + ЛГ)Я(у) = LtD(v)+ L2H(v),
т. е. справедливо неравенство A6.4). Лемма доказана.
16. Задача о собственных значениях
151
Из A6.4) следует, что
и поэтому, если Н(v) = 1, то D(v)^ — LJLu.
Отсюда следует, что существует
inf D (v) = Xv
H(v)=l
Поэтому существует минимизирующая последователь-
последовательность {vk}:
vk e W%\ H (vh) = 1, lim D (vh) = Xx.
3. Минимизирующая последовательность и уравнение
в вариациях.
Теорема. Существует функция m^Wj11 такая, что
Я(В1)=1, ?)(»,) = >,,.
Функция в, имеет непрерывные производные любого по-
порядка в Q и удовлетворяет уравнению
Ащ + KiUi = 0.
Доказательство. Пусть {yft} — минимизирующая
последовательность. Покажем, что последовательность
II vh |L,(i) ограничена. Действительно, положив (р, v) =
= J fc^Qj (p, 1)^=0, получим, приняв во внимание огра-
а
ниченность D(vh), A6.4) и условие H(vk)—l,
i^lL(D = {(p, ^J +
"
LX\D(vk) | + L
+ L2) + L.A}1'2,
где .4 = sup | D (vh) \. Таким образом, ограниченность
k
последовательности \\vh\\ <d доказана. Из полной непре-
рывности оператора вложения следует, что последова-
последовательность {vh} сильно компактна в Ь2 в Q. Из ivk} мож-
можно выделить подпоследовательность, сходящуюся в L2. Эта
подпоследовательность также является минимизирующей.

152 Гл. II. Вариационные методы в математической физике
Следовательно, существует минимизирующая последова-
последовательность, сходящаяся в L2. Будем поэтому с самого
начала считать, что {vh} обладает этим свойством. Далее,
\\vh — vili2 = tf(vh — v}X& лишь только к, l>N(e).
Из очевидного равенства
так как Е(vh) = H(v{) = {, Ну h 2 ' j <-|-, получим, что
Функционалы D(v) и H(v) суть однородные квадратич-
квадратичные функционалы, и поэтому их отношение D(v)/H(v)
не меняется при замене v на cv (с = const ?= О, #(v)#0),
и, следовательно,
inf
= inf
H(v)
Отсюда D(v)>KiH(v) для всех v
и, в частности,
Тогда, считая к ж I настолько большими, что при этом
D (vk) <К1 + г и D (vt) <Kl + e, получим
Из неравенства A6.4) следует
и поэтому
D
16. Задача о собственных значениях
153
Следовательно, D(vh — vt)-*- 0, J(vk — vt)-+- О, к, I-*¦<*>. Ho
^ mQH (vh — vi) + / (yft — fj) -*- 0,
т.е. |K — yj|| d)-*-0. Следовательно, {vj сходится в
W721), и вследствие полноты W^ существует предельная
функция их е W^\ так что' '
Кроме того,
< I /ты- /ты | (/ты +
при к ->• °°, так как
|/Ты-/ТЫ I = KJr(i)-I«il(i)|<
I ffe — "i Id) < IK — «i IL(D -* o,
w\
-i>ftlL<i)-*0,

множители H(vk)+ U{ui) и j № (ux + vkJdS ограни-
s
s
чены. Поэтому D(vh)-+D(ui), и, следовательно,
Аналогично убеждаемся, что
Я(»,)'= 1.
A6.6)
A6.7)
Пусть теперь
Отношение
^ некоторая функция. Рассмотрим
Я (и,)

154 Гл. II. Вариационные методы в математической физике
где
II (и, g)=Jugdfi.
а
Оно является непрерывно дифференцируемой функцией
^ в некоторой окрестности точки [X = 0. Это отношение
при [X = 0 имеет минимум, равный Ки и на основании
теоремы Ферма имеем
_
A6.8)
что дает в силу A6.6) и A6.7)
Равенство A6.8) имеет место для любой ?
Покажем, что Ui имеет непрерывные производные лю-
любого порядка и удовлетворяет уравнению
AUi + M. = 0. A6.9)
Действительно, пусть б есть расстояние некоторой точки
PeQ от границы S. Положим для п > 2
где hi и hi < б, ty(r/hi)— функция, введенная ранее в п. 3,
§ 12, функция Х(г) является решением уравнения
ЛХ + KiX = 0 и при г = О имеет особенность порядка г~п+г.
а функция X' — порядка r
~"+t
Так как i|) (т^-
\ftl / V
в шаре г <% min (^ъ ^г)> то | = 0 в этом же шаре. Поэто-
Поэтому | не имеет особенности при г = 0 и имеет непрерывные
производные любого порядка. Следовательно, 5 ^ Wa •
Кроме того, | = 0 вне шара г > max (ft,, fe2), и так как
тах(/г,, ^2)<б, то | = 0 на S. Поэтому A6.8) принима-
принимает вид
16. Задача о собственных значениях
155
Так как
(по определению обобщенной производной
j их (Д| + ^il) dQ = 0. A6.10)
5и \
ой -г-= \,
Обозначим ц^ {А ^ ^) X (г)j + btf ^ Z (r)J = <вЛ (г), где
c(h)—постоянная, которую определим позднее. Оче-
Очевидно, что (Ол'(г) = О при r^h. Кроме того, соЛ(г) = О при
r^h/2, так как в этом случае \|>(r/ft)=l, AZ + ^tZ = 0.
Следовательно, соЛ(г) имеет непрерывные производные
любого порядка.
Так как Ag + КЪ = с (fex) cofti (r) — с (fea) co^ (г), то ра-
равенство A6.10) принимает вид
x) \ ихщ (г) d?2 =
dQ. A6.11)
Положим
с (h) = J [А ^ (f
т)х(г)}'
Тогда j (oft (r) dQ = 1.
Нетрудно показать, что существует отличный от нуля
предел \imc(h) = c0. Функцию (оЛ(г) можно взять в ка-
Л->0
честве усредняющего ядра. Равенство A6.11) означает
тогда, что средние функции для Ui в области Qe при раз-
различных h < б отличаются лишь множителем. Мы полу-
c(hi)
¦
чим Мл2 =
„ ¦
Ai. В силу того, что Ui есть предел своих
средних функций, то и он отличается лишь множителем
От любой средней функции. Но последняя непрерывно
дифференцируема сколь угодно раз, и, следовательно, то
же верно для и, в области Qe. Так как б произвольно,
то Ui бесконечно непрерывно дифференцируема в любой
внутренней точке Q. Пусть теперь % непрерывно диф-
дифференцируема и обращается в нуль в некоторой погра-

156 Гл. II. Вариационные методы в математической физике
ничной полосе. Тогда из A6.8) интегрированием по ча-
частям получим
f ? (Ащ + XlUl) dQ = 0,
а
откуда в силу произвольности | следует, что
Аи1 + ^1ц1 = 0, A6.12)
и теорема доказана при п > 2. Случай п = 2 рассматри-
рассматривается аналогично.
Замечание. Рассмотрим последовательность областей {Я'},
лежащих внутри Я и стремящихся к Q. Пусть границы S' этих
областей кусочно непрерывно дифференцируемы. Равенство A6.8)
для 5 е W^ принимает вид
i=1 * /
Но
С
= lim \
ди
Aбл3)
dQ =
= lim
8'
Тогда A6.13) принимает вид
lim Г l9-^US— [huAdS=0. A6.14)
s> s
Если, кроме того, S'-+S в том смысле, что не только точки S'
стремятся к точкам S, но и нормали в этих точках стремятся к
соответствующим нормалям S, то
f huAdS= lim f huAdS,
8'
если считать h предельным значением на S некоторой функции,
заданной в Q.
16. Задача о собственных значениях
157
Тогда условие A6.14) принимает вид
A6.15)
Таким образом, щ удовлетворяет условию A6.2) в «слабом
смысле».
Поэтому собственной функцией задачи A6.1), A6.2)
мы будем называть функцию и (х) Ф 0, которая удовлетво-
удовлетворяет уравнению A6.1) в Q при некотором К и гранично-
граничному условию A6.2) в смысле соотношения A6.15). Число
К называется собственным значением, соответствующим
собственной функции и(х).
Из доказанной теоремы вытекает существование соб-
собственной функции ии соответствующей собственному зна-
значению Xi, в указанном смысле.
Переходим к отысканию остальных собственных зна-
значений.
4. Существование следующих собственных функций.
Допустим, что уже найдены (тп — А) функций щ^Ш^
и(т —1) чисел %( (i = i, 2, ..., m — 1) таких, что
D(ui: ?)-МГ(в„ 1) = 0, A6.16)
Я(в1)=1, Н(щ, uh) = 0 (i?*k), A6.17)
i, к = 1, 2, ..., m~ 1,
причем A6.16) имеет место для произвольной \ gWj ¦
Пусть v e PFB1) удовлетворяет тга — 1 условиям
Я (у, Bi) = 0 (i = l, 2, ..., m-l). A6.18)
Совокупность таких функций у e W\ обозначим
W^(иъ ...,ит-г). Очевидно, что W^ (иг, ...,um_i)
представляет собою линейное пространство, так как лю-
любая линейная комбинация его элементов снова принадле-
принадлежит этому пространству.
Покажем, что это пространство замкнуто. В самом
деле, пусть последовательность vh сходится к у в
т. е. 1| у — Vh || (г) -*- 0. По теореме вложения
и, следовательно, II v — vk\\L
-О.

158 Гл. II. Вариационные методы в математической физике
Тогда
| Я (v, щ) — Я (vk, щ) | =
Ui (v — Vft) d?2
т.е. //(v, ui) — lim H(vh,
1/2
= v — vh
-0,
и если vh <
u1?
..,,um-i), то и i><= ^'(i*!, ..., um_i). Следовательно,
пространство И^1'^, ....Илц) замкнуто. Так как
W^1} (u1? м2, ..., um_i) с И^х), то функционал D (v) огра-
ограничен снизу для ve PFB1) ("i> • • ¦ > Um-i) таких, что
H(v)= 1. Точную нижнюю границу D(v) для этих г; обо-
обозначим через Хт:
inf Z)(y) = ?.m. A6.19)
^V«m-l)
произвольной ? е
A6.20) принимает вид
Теорема. Существует функция um e
..., um-j) с H(um)= 1 такая, что
D(un, 1)-ХтЯ(цт, 1) = 0 A6.20)
В частности, для | = ит
= JU.. A6.21)
Кроме того, ит имеет в Q непрерывные производные лю-
любого порядка и удовлетворяет уравнению
Aum + kmum = 0 A6.22)
и граничному условию A6.2) в смысле соотношения
A6.15).
Доказательство. Из определения точной ниж-
нижней грани следует, что в W^(иъ ..., um-j) найдется
минимизирующая последовательность {vj:
vk e= Wix) (иъ ..., um_i), Я (vh) = 1, lim D (vh) = Xm.
Буквально повторяя доказательство теоремы из п. 3, по-
покажем, что || vh\\d) ограничены и, следовательно, {vh}
сильно компактна в L2. Будем считать, что сама последо-
последовательность {vh} сходится в L2. Тогда для достаточно
16. Задача о собственных значениях
159
больших к, I H(vk — vt)< г и, как в теореме из п. 3,
К 2 / 4
...,um_i) имеем D(v)> KmH(v),
иъ ..., Mm_.i) одновременно с vh
Для всех v<=
и так как
и Vi, то
D
1-Т.
Отсюда, как в теореме из п. 3, найдем, что D(vh— Vi)-+ 0,
к, I -»- оо, и далее
К —i>ill__m-*0. к,1-
Л1У
т. е. {yfe} сходится в W^\ Вследствие полноты W^ су-
существует предельная функция ит е W^K Так как vh e
е И^^ (мь ..., Um-i) и пространство WK21) (иъ ..., um-j)
замкнуто, то ит е W^ (иъ ...,ит-г). Кроме того, как
в теореме из п. 3, доказываем, что D(um)='Km, Я(мт)=1.
Пусть л s W,p (иъ ..., um_j). Рассмотрим отношение
D (»m + \"\) _ D Ы + 2цД (цго, и) + ц^Д (тр
Я («т +11 Л) Я («т) + 2цЯ (ит, л) + |12Я (т,)'
Это отношение есть непрерывно дифференцируемая
функция в некоторой окрестности точки [X = 0, имеющая
при [х = 0 минимум, равный Л,т (так как ит + [.и] е
? ^г1 (Mi> ¦ • •> "„_!)). Отсюда по теореме Ферма найдем
D(um, у\)-КтН(ит, т]) = 0. A6.23)
Покажем, что A6.23) имеет место для всех r| e W7^.
Действительно, положим в A6.16) | = цт. Так как ит е
^^"К, •••, «m-l), ТО Я(№,-, Цт) = 0 A=1, 2, ...
..., т—1), и A6.16) принимает вид D(ut, um) = 0. По-
Поэтому A6.23) имеет место для r| = ut (I = 1, 2, ..., т — 1).
Следовательно, A6.23) имеет место для любой линейной
комбинации функций щ и r| e VF21) (иъ ..., ит^.
Пусть \ е W2 — произвольная функция. Тогда функ-
функция
(uit g)

160 Гл. II. Вариационные методы в математической физике
16. Задача о собственных значениях
161
что нетрудно проверить. Поэтому
m-1
= л + 2 щн (щ, i),
т. е. произвольная функция ? е W7^ есть линейная ком-
комбинация и,- и r|e VPa1^!, ..., Um-i). Значит, A6.23)
имеет место для |, т. е. доказана справедливость A6.20).
Доказательство того, что ит имеет в Q непрерывные
производные любого порядка и удовлетворяет A6.22),
есть буквальное повторение соответствующей части дока-
доказательства теоремы из п. 3.
Относительно того, в каком смысле функции ит удов-
удовлетворяют граничному условию A6.2), можно сделать
то же замечание, что и для функции и, в теореме из п. 3.
5. Бесконечная последовательность собственных зна-
значений.
Теорема 1. Существует неубывающая бесконечная
последовательность чисел {Хт} и последовательность со-
соответствующих им сколь угодно раз непрерывно диффе-
дифференцируемых в Q функций {ит} таких, что
Aum + K,um = 0, Н{щ,щ)=Ьц, D(u{, щ) = 6цХ{, A6.24)
где бу — символ Кронекера.
Каждая функция ит удовлетворяет граничному усло-
условию A6.2) в смысле равенства A6.15).
Доказательство. Теорема из п. 3 утверждает
существование числа Xi и функции и^ таких, что
Aiii + Xiiii = 0, Я(ц1) =
Рассмотрим подпространство
ф
щ). По теореме из п. 5
существуют число Х2 и функция и2 такие, что
Аи2 + ХгЩ = О, Я(№2)=1, Н(iii, и2) —О,
D(uz) = X2, D(uuu2) = 0.
Таким образом, Хи щ и Х2, и2 удовлетворяют A6.24) при
i, j = 1, 2. Так как W1^ (щ) <=. W%\ то
inf D(v)^2 inf D(v), H(v) = l.
i>eff2 \ui) »eW2
Это означает, что Хг ^ Л-i. Рассматривая подпространство
W{2 (иъ и2) и пользуясь теоремой из п. 5, найдем Х3 и и3.
Пользуясь теоремой из п. 5, этот процесс получения чи-
чисел Xi и функций «j продолжаем неограниченно. При
этом получаем Xm = inf D (v) (v <= W^ (ut, ..., um_x),
H (v) = 1). Так как W^\uu ..., um^) zd W^ (ult ...,um)
(функция v, принадлежащая W[x) (ult ..., ит-г), удовлет-
удовлетворяет m — 1 условиям, в то время как v<^W? (иъ ..., ит)
удовлетворяет еще одному условию H(v, um) = 0), то
Ят^^т+i. Выполнение условий A6.24) следует из тео-
теоремы из п. 5.
Так как Н(иг, щ) = $ц, то последовательность {ип}
образует ортогональную и нормированную систему
функций.
Теорема 2. Для последовательности собственных
значений {Хт)
lim %m = + оо.
m-»oo
Доказательство. Действительно, %m ограничены
снизу и не убывают. Допустим, что %т не стремятся к °°.
Тогда Кт ограничены:
\KJ<A (m = l, 2, ...).
Из A6.24) следует, что
\D(um)\<A, H(um)=l (m = l, 2, ...).
На основании неравенства A6.4) имеем
J(um) < LJ) (ит) + L2H(um) < L,A + L, = B,
т. е. последовательность {»„.} равномерно ограничена по
норме в Д1) числом 1/В.
Докажем, что {ит) ограничена по норме и в
Действительно, определив норму в W% равенством
\\v\f ,1)=
)
найдем
Un
тп
В =
В.
Вследствие полной непрерывности оператора вложения
можем заключить, что последовательность {ит} сильно
11 С. Л. Соболев

162 Гл. II. Вариационные методы в математической физике
компактна в L2 в Q. Иными словами, из Ыт} можно выде-
выделить подпоследовательность \umi)(i = l, 2, .,.) такую, что
H(umi — um]i)-+0, i,k-+oo.
Последнее невозможно, так как
Я (umi — итп) = Я (ищ) — IE (Um., Umk) + # (umft) = 2.
Таким образом, допущение lim Xm Ф °° приводит к проти-
противоречию, и теорема доказана.
6. Замкнутость множества собственных функций.
Теорема. Система {ит} замкнута в L2, т. е. для вся-
всякой фе^ справедливо равенство
^2
f Ф2^ = 2 ( f
о =1 V О
Доказательство. Так как А,т-»-+°°, .то пачиная
с некоторого номера / имеем Л™ > 0 (m>j). Пусть к —
некоторое число, к>]', а се^11- некоторая функция.
Положим
Очевидно, что
Поэтому
2 мтЯ (у, um).
«!, . ..,ufe), так как
H(Rh, Ui) =
\Пк)
С другой стороны,
0<D(Rh) =
= D(V) — ID \V,
\
m=l
0 (i = l, 2, ..., ft),
откуда следует, что
, 2) H(Rk)<D(Rh)/Kh+i.
m=l
= D(v) — 2 2
m=l
ft ft
~\ / i 71 JJ. (t/,
16. Задача о собственных значениях
163
— D (v) — 2 2j H (vx um) *kmH (vx um) +
m=l
ft " ft
[H (V, Um)fD (Mm) = Z) (У) — 2 hm [H (V, UTl
m=l
ft
L
m=i
= \P(v)- 2 ^[я^
I m=l
m=i
.Таким образом, D(Rh) ограничена и из
^D(Rh)/Xh+i и ^ft+1 -+¦ оо следует, что H(Rk)-*-0, что озна-
означает замкнутость {um} в классе функций г; е И^Ч
Пусть фе?г — произвольная функция. Как бы мало
ни было е > 0, найдется v e W^ такая, что
1ф-^я<|. A6.25)
Действительно, обозначая через Qe совокупность точек Q,
отстоящих от границы больше чем на б, получим
f (f2d?i = lim f
откуда следует, что по заданному е > 0 найдется б > О
такое, что
_2
Вводя функцию
получим
I Jq>adQ— Гф2
в
0 вне
A6.26)
Строя для фй среднюю функцию с ядром радиуса меньше
б, получим функцию v, имеющую в замкнутой области Q
непрерывные первые производные. Следовательно, v e
G^j ! и, выбрав достаточно малым радиус усреднения,
И*

164 Гл. II. Вариационные методы в математической физике
находим
A6.27)
Из A6.26) и A6.27) заключаем справедливость A6.25).
Для функции v, как было доказано, можно найти такую
линейную комбинацию конечного числа функций {ит},
что
[/ к^ 4-11/2 | ^ |
Il\v— 2jamum\\ = lv — 2u amuml <.\,
\ m=l J J II m=l |L2
k
ф— 2 ат.и
1
<е. Если а
что вместе с A6.25) дает
и >>*—j. „ л
заменить через Н(ц>, ит), то, как это следует из общей
теории ортогональпых систем, левая часть пе увеличива-
увеличивается, и, значит, справедливо неравенство
h
ф — Zj UmH (ф, Um) < 8,
т=1 L2
что ввиду произвольности 8 приводит к равенству
<p»dQ =2
Q ">=
Теорема доказана E1).
Глава III
ТЕОРИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
В настоящей главе мы рассмотрим несколько задач,
относящихся к теории гиперболических уравнений в част-
частных производных. Мы разберем два вопроса.
1. Решение задачи Коши для волнового уравнения.
Зависимость решений от пачальных данных и обобщен-
обобщенные решения.
2. Гиперболическое уравнение с переменными коэф-
коэффициентами.
Эти вопросы объединены общпостью метода исследо-
исследования, который состоит в изучепии решений в простран-
пространствах Lv' и Wp , рассмотренных в первой главе. Однако
попутно нам придется развить вспомогательный вопрос
об интегрировании гиперболического уравнения с пере-
переменными достаточно гладкими коэффициентами. Нам не-
необходимо доказать существование решения задачи Коши
у таких уравнений при достаточно гладких пачальпых
условиях. Для этой цели мы пользуемся методом харак-
характеристик в 2А:-мерном пространстве и методом спуска в
пространстве 2к + 1 измерений E2).
17. Решение задачи Коши для волнового уравнения
с гладкими начальными условиями
1. Вывод основного неравенства. Рассмотрим волновой
оператор
dt2
A7.1)
в области Q в пространстве п + 1 измерения с координа-
координатами Xi, ..., х„, t, ограниченной гладкой поверхностью S.

160
Гл. Ш. Теория гиперболических уравпений
Пусть u(xt, ..., хп, t) и v(xi, ..., хп, t) дважды диффе-
дифференцируемы в Q, а их первые производные непрерывны
в замыкании Q.
Пусть
Рассмотрим интеграл
( п
_ П V (ди dv Ov ди '
в и=Л5ж* dt dXi dt
ди
ди
где v внешняя нормаль к S, at — угол между v и осью
Охг, а а0 — угол между v и осью Of.
Простое преобразование дает
f п \
ди dv
n
¦^ d (du dv dv du \
A7.2)
Заменяя Пц и Пу их значениями, получим
Имеет место равенство
2 (?;
17. Задача Кошп для волнового уравнения
167
2/?«_ _^? , dv du
= cos а,
du dv dv du
+
[
du dv
cosau + 2^ ^7^: cosa0
du
Пусть 5 = S' + iS", причем
= 0 на S". Тогда
/ (й, v) =
на 5" и cosa0 =
cos
S' I
—
Зм dv
~дТ~дТ
A7.3)
где через Ф обозначено все подынтегральное выражение
интеграла /(«, v).
Полезно заметить, что если и = v, то в тех точках
поверхности, где lcosa0l > 1/V2, подынтегральпое выра-
выражение имеет тот же знак, что и —cosa0:
sign Ф = —sign cos «о. A7-4)
Пусть и есть решение волнового уравпения
?и = 0 A7.5)'
в полупространстве t S* 0. Считая v = и, применим к
функции и выведенную выше формулу A7.2), причем за
область О, возьмем усеченный конус, образующие кото-
которого составляют угол я/4 с осью Ot (рис. 8). Тогда
1/2 на Su
cos a0 —
-1 на S.,
1 на S3,
где S2 — нижнее основание, S3 — верхнее основание,

168
Гл. III. Теория гиперболических уравнений
а I?! — боковая поверхность усеченного конуса. Пусть
для определенности величина t на S3 равна ta. При этом
в силу A7.2) и A7.5) получим
/(и, и)= f ФА5+ f <&dS + f <DdS=O. A7.6)
«1 S2 «3
Вследствие A7.4) J OdS^fi. Тогда
— j ф dS= J Ф Й5+ J Ф dS< f Ф dS.
S2
 °2 ul
Отсюда, так как на S2 и S3 cos at = 0 при j^O, имеем
оцепку
A7.7)
Рис s 2. Оценка роста решения
и его производных. Для наших
целей необходимо еще оценить интеграл
\ u4S.
К
—¦) dS ограничен.
Г
Обозначим у {t) = J u2dS, где St — сечение плоскостью
t = x цилиндра с основанием S3 и осью Ot. Тогда
17. Задача Коши для волпового уравнения
169
Применяя неравенство Буняковского, получим
11/2
и в силу неравенства A7.7)
где
Отсюда следует, что-зт KJ/^^4- Интегрируя это нера-
неравенство от 0 до t, получим l/y(t)^ Уу(О) + At. Полагая
у @) = [ u4S = В2, имеем
Пересечем еще наш усеченный конус V плоскостью
t = const и пусть О( — полученная в сечении область
тг-мерного пространства.
Рассуждая подобно прежнему, получим
Интегрируя по t от 0 до t0, находим
Аналогично тому, как доказана оценка для y(t),
получим
AtJ.
A7.10)

170
Гл. III. Теория гиперболических уравнепий
Интегрируя по t от 0 до U, имеем
,. 1
58 3
A7.11)
Неравенство
следствий.
A7.11) влечет за собою ряд важных
ди
Следствие 1. Пусть начальные значения и, и~- об-
обращаются в нуль внутри шара S2, тогда и = 0 в усечен-
усеченном конусе V.
Ян
Доказательство. Так как и— -тгг = 0 на Sz, то
.4=5 = 0, и вследствие A7.11) и = 0 на V.
Следствие 2. Значение функции и, решения рас-
рассматриваемого уравнения, в некоторой точке х\, ...,#*,
t определяется значениями начальных данных и и -~
— х\)г
1/2
t°x являющемся пересечением
конуса характеристик с вершиной в данной точке с пло-
плоскостью t — 0. 
Доказательство. В самом деле, если для двух
каких-либо решений волнового уравнения начальные
ди „ _.
значения и и -^— в этоп области совпадают, то их раз-
разность обращается в нуль в этой области и на основании
следствия 1 равна нулю в вершине конуса. Следователь-
Следовательно, в вершине конуса, т. е. в рассматриваемой точке,
оба решения совпадают, что и требовалось доказать.
3. Решение при специальных начальных данных.
Теорема. Пусть функция и есть решение однород-
однородного волнового уравнения. Если начальные значения
ди
и [t=0 и -j- _ имеют со всем пространстве хи ..., хп все
производные любого порядка, то и сама, функция и тоже
имеет все производные любого порядка.
Доказательство. Спачала установим эту теоре-
теорему в специальном случае. Докажем лемму.
Лемма. Пусть функция и удовлетворяет уравнению
A"-S=o с17-5)
в области —
(s = 1, . .., п), где а > 0
некото-
17. Задача Коти для волнового уравнения
171
рая постоянная, и пусть, кроме того,
«Ц=±а = 0, i = 1, .. ., п,
A7.12)
т. е. функция и обращается в нуль на границе области.
Пусть, кроме того, при t — 0
ди_
dt
t=o
= Фо>
= Фь-
A7.13)
причем функции ф0 и <pi имеют все непрерывные произ-
производные любого порядка и обращаются в нуль на границе
области вместе со всеми своими производными. Тогда
функция и имеет все непрерывные производные любого
порядка.
Доказательство. В самом деле, в этом случае
решение задачи может быть написано в явном виде при
помощи ряда Фурье.
Разложим функции ф0 и q)t в ряды Фурье:
Фо
<Pl=
1хп-\-а)п
A7.14)
Эти ряды Фурье равномерно сходятся вместе со своими
производными любого порядка.
Рассмотрим отрезки этих рядов. Обозначим
- 2d Ч-3'™^"'1 2а
• . К +а) Л • . (Хп + а)п
la
2a
Если в начальные условия подставить вместо ф0 и ср{
функции фоМ) и фх^* то мы найдем решение w(N) волнового

172
Гл. III. Теория гиперболических уравнений
уравнения, удовлетворяющее этим начальным условиям
N
= 2
2a
V ;
У 1
Sin
4- r
• • • T In
...'+ jn
X
Это решение, очевидно, имеет все непрерывные про-
производные. Докажем, что при возрастании N последова-
последовательность «<w) сходится в любом
пространстве W2 , где Z — любое
число, к некоторой функции и.
Отсюда уже сразу будет следо-
следовать, что предельная функция и
есть решение волнового уравне-
уравнения, удовлетворяющее начальным
условиям A7.13) и непрерывно
дифференцируемое сколько угодно
раз. Из того, что это решение
единственно, вытекает и наша
лемма.;
Нам осталось установить схо-
димость последовательности u{N).
Применим интегральное равенство
A7.G) к параллелепипеду, пижнее основание которого
S2: \xt\ ^a лежит в плоскости t = 0, а верхнее основание
S3 лежит в плоскости t — t0 (рис. 9). Пользуясь тем, что
на боковой поверхности Si этого параллелепипеда имеет
im duW n
место равенство ш"> = д ¦ = U, получим
/
/ V
\t
/
/
7^~
Рис-
и, следовательно,
+
J dt dv
dS =
-f 2
A7.15)
17. Задача Коши для волнового уравнения
173
Рассмотрим еще функцию
Эта функция, в свою очередь, удовлетворяет волновому
уравнепию *). Заметим еще, что на гранях параллеле-
параллелепипеда при \xj\ = а функция va ап удовлетворяет
либо условию i4 ?..ап = 0, если а^ четное, либо условию
—-—— = 0, если а, нечетное. Применяя к этой функ-
функции формулу A7.6), получим таким же образом
На начальной плоскости S2 все интегралы при задан-
заданных И], ..., а„ ограничены числом, не зависящим от N.
Рассмотрим еще функцию
Для этой функции получим, подобно прежнему,
A7.17)
Нетрудно установить, что при достаточно больших к и
г интеграл в правой части последнего равенства сколь
угодно мал. Это непосредственно следует из сходимости
с любыми производными рядов Фурье для ф0 и фь
*) Если и — решение волнового уравнения, имеющее непре-
непрерывные производные до (? + 2)-го порядка во всем пространстве,
то, очевидно, любая производная от и до порядка I есть также ре-
решение волнового уравнения.

174
Гл. III. Теория гиперболических уравнений
Отсюда следует, что и в левой части стоит сколь угодно
малая величина:
<?Ы2 л. (дЗТ
дх. ) +
:ь,т) \2т
dt } J
Проинтегрируем это неравенство по t в пределах от
О до Т. Имеем
< Те,
где через Q обозначена область 0<?^Г; |агЛ<а. Поль-
Пользуясь затем теми же рассуждениями, которые были нами
использованы при выводе A7.11), докажем, что
где постоянная М не зависит от А; и г.
В силу полноты пространства W^ мы заключаем,
что последовательность vai!..anf удовлетворяющая при-
признаку сходимости Коши, сходится в этом пространстве.
Сходимость всех производных от uiN) в Wj ) влечет за
собою равномерную сходимость всех производных от
этой функции в силу теоремы вложения. Лемма доказана.
Опираясь на эту лемму, легко докажем нашу теоре-
теорему. В самом деле, значения неизвестной функции внутри
конуса
--|a:| A7.18)
зависят только от значений функции ф0 и
ра \х\^а/2.
Построим функции
внутри ша-
шагде ф(|)—функция, равная единице при \ < 1/2, равная
нулю при | > 1 и имеющая непрерывные производные
всех порядков. Будем искать решение иш волнового
18. Обобщенная задача Коти для волнового уравпопия 175
уравнения, удовлетворяющее условиям
и t=o — Фо 1
at
.4=0
(а)
= Щ. •
На основании леммы видим, что uin) имеет все не-
непрерывные производные. Но по доказанному ранее внут-
внутри конуса A7.18) это решение совпадает с и.
Следовательно, и в свою очередь имеет все непре-
непрерывные производные, что и требовалось доказать,
18. Обобщенная задача Коши
для волнового уравнения
1. Дважды дифференцируемые решения. Поставим
следующую задачу: найти решение волнового уравнения
? « = Ли-§¦ = () A7.5)
во всем пространстве, удовлетворяющее начальным ус-
условиям
¦ ди
— ил
A7.13)
Доказано, что если щ и и^ имеют все производные, то
решение задачи существует и имеет все производные.
Однако нет, конечно, никакой надобности во всех про-
производных для получения решения, в то время как в
уравнении участвуют только производные второго по-
рядка.,
Мы рассмотрим прежде всего следующую задачу.
Задача 1. Найти, какие условия, наложенные на
щ и ии обеспечивают существование дважды непрерывно
дифференцируемого решения.
В предыдущей главе мы познакомились с обобщен-
обобщенными производными, а теперь по той же схеме опреде-
определим обобщенный волновой оператор.
Пусть и (xt, ..., хп, t) — функция, суммируемая в лю-
любой ограниченной замкнутой подобласти области Q (п +
+ 1)-мерного пространства. Если существует суммируе-
суммируемая в любой ограниченной замкнутой подобласти Q
функция f(xu ..., хп, t) такая, что
J и ? i|) <2г;= j i|>/ dv,

176
Гл. III. Теория гиперболических уравнений
какова бы ни была дважды непрерывно дифференцируе-
дифференцируемая во всем пространстве функция ty{xu ..., х„, t), от-
отличная от нуля лишь в некоторой ограниченной замк-
замкнутой подобласти Q, то будем записывать Пи = / и счи-
считать, что / есть результат при-
применения к и обобщенного вол-
волнового оператора ?.
Если ?« = 0, где ? — обоб-
обобщенный волновой оператор, то
функцию и мы будем называть
обобщенным решением волно-
волнового уравнения.
Естественно поставить зада-
задачу Коши для обобщенных ре-
решений.
Задача 2. Найти, ка-
какие условия, наложенные на
щ и ии обеспечивают существование обобщенного
решения.
Обе эти задачи будут нами рассмотрены.
Теорема. Если, щ имеет обобщенные производные
до -т- + 3 порядка, а щ имеет обобщенные производ-
производные до -?г + 2 порядка, интегрируемые с квадратами по
Рис. 10
любой конечной области, то уравнение A7.5) имеет дваж-
дважды непрерывно дифференцируемое решение, удовлетво-
удовлетворяющее условиям A7.13).
Доказательство. Построим семейства средних
функций {ыоЛ} и {ulhi. По теореме из § 17, п. 4 суще-
существует решение uh уравнения A7.5), удовлетворяющее
начальным условиям
¦ ди
и |<=0 = uoh, —
t=0
U\h
A8.1)
и имеющее производные любого порядка.
Рассмотрим функцию vp>q = млр— Uhq', vP: q — есть ре-
решение A7.5) с начальными условиями
dvn
Vp,q |<=o — uOhp — U0hq, -Jf
= UlhP ~ Ulh*'
\8. Обобщенная задача Коши для волпового уравпепия 177
По неравенству A7.8) имеем (рис. 10)
и аналогично для любой производной от vPj <
A8.2)
Кроме того, вследствие A7.10)
^ d5 Л. A8.3)
В силу теоремы вложения из § 10, п. 2 имеем
sup
1
д\
P,Q
dXidXi ^!' ••¦'
M \\vp,q
I)
где взята норма vPt q в W% у я dt в If j По
S2, причем М не зависит от t е @, t0].
По свойству средних функций (§5, п. 2) uoh=>un
в^2 ' жихи^ихъ Pf^bJ ^ Поэтому правая
12 С. Л. Соболев

178
Гл. III. Теория гиперболичрекпх уравнений
часть неравенства A8.4) может быть сделана сколь
угодно малой при достаточно малых hp и hq, а тогда и
левая часть сколь угодно мала, т. е. последовательность
{uhp} сходится равномерно по усеченному конусу V, сле-
следовательно, предельная фупкция и е С2. Аналогичными
оценками доканЛзм, что
ди_
dt
¦ С1. Так как Auhp =
dt
сходится равномерно в V и,
последовательность
значит, теС.
Таким образом, функция и дважды непрерывно диф-
дифференцируема в (п+1)-мерпом пространстве и является
решением волнового уравнения.
2. Пример. Рассмотрим волновое уравнение в 5-мер-
5-мерном пространстве. Мы видели выше, что от начальных
условий достаточно потребовать существования интегри-
интегрируемых с квадратом производных пятого порядка от щ
и четвертого порядка от щ. Покажем, что если интегри-
интегрируемы с квадратом лишь производные более низкого
порядка (для ий — производные четвертого порядка,
а для И] — третьего порядка), то решение может не иметь
непрерывных производных второго порядка.
Г1 ~
х прд
Г1 ~
Пусть г — 1/ 2 *!; тогда, если /(г/) непрерывно
Г г=1
дифференцируемая т раз (т ^ 5) функция, то
и =
/ (* - Г) - / (t + Г) + Г (t~r)+ f (t + Г)
является решением волнового уравнения с начальными
данными
2f1 (г) 2/^
5 Г 2 '.
где
==_2М0+2_Мг)) ще 2/а(г)=/(,.)+/(_г).
Имеем,
?и I Г (* - г) - /"
18. Обобщепная задача Коши для волнового уравнения 179
2
Если иг ^= 5, то нетрудно убедиться, что —j и
dt
непрерывны и применение правила Лопиталя дает
г=0
Г-»0
¦ (I - г) - f (t + r)] + r у" (i - г) + Г (t + г)]
Пусть
Тогда
О,
ц0 = \ (Г-1)а (г-1H1-1
3 ¦" а "г .»
м, = i
\а— 1
и нетрудно видеть, чтом0е ИГ'. Miе И'г") но м0еТ?2 ,
мх еТ?з4), если -^-<а<-2-. При этом получим
О, *<1.
д?
=о U(<-1)°
= const Ф 0),
и функция u(r, t), заданная A8.5), не является дважды
непрерывно дифференцируемой, если 9/2 < а ?? 5. Как
нетрудно убедиться, и (г, t) является обобщенным реше-
решением волнового уравнения для заданных щ и ии и при-
притом единственным решением (см. теорему из п. 5). Если
5<а<11/2, то хотя и0 е W^\ ^elFj41, но соответ-
соответствующее решение дважды непрерывно дифференцируе-
мо, и условия и0 е W% и их gW2u j не яв-
являются необходимыми. Аналогичные примеры легко
построить для B/с + 1)-мерных пространств E3),
12»

180
Гл. III. Теория гиперболических уравнепий
3. Обобщенные решения. Мы видели ранее, что ре-
решения волнового уравнения, имеющие все непрерывные
производные, обладают тем свойством, что их норма в
любом пространстве W[l) в ограниченной области пло-
плоского сечения t = const (если их рассматривать как эле-
элементы этого пространства) остается равномерно ограни-
ограниченной. Эту норму удается оценить, если известны на-
начальные значения функции, точнее — если известна
норма в том же пространстве Wj' от и0 и норма в W2~~r
от «1.
Мы будем говорить, что функция и есть обобщенное
решение волнового уравнения из W2 , если Ои = 0, где
? — обобщенный волновой оператор, и если эта функция
в любой конечной области принадлежит W2 .
Очевидно, что всякое обобщенное решение волнового
уравнения в Ш[г) является пределом последовательности
функций ик, сходящихся в W2 в любой конечной об-
области, являющихся дважды непрерывно дифференцируе-
дифференцируемыми решениями волнового уравнения: ПмЛ = 0.
В самом деле, по доказанному выше и является
в любой конечной области пределом в W*^ последова-
последовательности средних функций: uhh=^u. Далее, каждая сред-
средняя функция, очевидно, удовлетворяет волновому урав-
уравнению, так как для волнового оператора можно устано-
установить перестановочность с оператором усреднения. Это
доказывается тем же способом, который мы использо-
использовали ранее при доказательстве того, что производная от
средней функции равна средней функции от производ-
производной (см. § 5, п. 2).
Докажем обратное утверждение.
Теорема. Если функция и служит пределом после-
последовательности uk непрерывных со вторыми производными
решений волнового уравнения, обладающих нормой в
W^, ограниченной в совокупности в любой конечной
области, причем последовательность сходится к и хотя
бы слабо в Li в любой конечной области, то и есть обоб-
обобщенное решение в W^ .
Доказательство. На основании теоремы о суще-
существовании обобщенных производных мы заключаем, что
и принадлежит W^ в любой конечной области. Тот
18. Обобщеппая задача Коши для волнового уравнения 181
факт, что и является обобщенным решением волнового
уравнения, следует из того, что J и ? г|з dv = lim | uk ? -ф do,
где г|з — произвольная функция, имеющая все непрерыв-
непрерывные производные и обращающаяся в пуль вне некоторой
ограниченной области V$. Так как] ukOtydv=0, мы по-
получим, что
J и ? if dv = 0,
A8.6)
что и требовалось доказать.
4. Существование начальных данных.
Теорема. Всякое обобщенное решение из \
имеет в любой конечной области G на плоскости t = 0
предельные значения и0 е W[x) и иуе= L2, т. е. для лю-
любой конечной области G
lim I и (t) — щ
т \\dutt)
hm I -rrf- — и-.
t-»o
dt
= 0.
= 0,
A8.7)
лие и yi) ¦— и \Ai, . . ., xn, I) .
Плоскость t = 0, разумеется, является выбранной со-
совершенно произвольно. Теорема приводит нас к заклю-
заключению, что решение волнового
уравнения из PF21) может иметь
плоскость t = const лишь в каче-
качестве устранимой особенности.
Напомним, что из теоремы
вложения следует в этом случае
несколько более слабый резуль-
результат, а именно: всякое решение и
волнового уравнения из И/21) мо-
может иметь плоскость t = const
лишь в качестве устранимой
особенности, если рассматривать
значение самого и в Ьг (без про-
производных) . Переходим к доказательству теоремы.
Доказательство. Рассмотрим в плоскости t = 0
произвольный гс-мерный шар 52 и проведем через его
границу обратный характеристический конус (рис. 11).
Рис. 11

182
Гл. III. Теория гиперболических уравпений
Обозначим через H(t) шар, получаемый в пересече-
пересечении этого конуса с плоскостью t = const. Множество S (t)
при t = T обозначим S3. Пусть V(t)—область, ограничен-
ограниченная S3, S(?) и боковой поверхностью конуса, F@) = F.
Пусть, далее, v — некоторое дважды непрерывно диф-
дифференцируемое решение волнового уравнения. Для него
справедливо неравенство:
если t>tu получаемое из A7.7) заменой t на T — t.
Интегрируя по t от ti до Т, получим
Пусть vh = uh(t + к) — uh(t), где uh — средняя функция
для и и к > 0.
Применяя A8.8) к уЛ при фиксированном значении
к и подставляя вместо vh его значение, имеем
В формуле A8.9) можно перейти к пределу при h -»-
0, так как сходимость uh к и имеет место в W^. Cxo-
д5
димость в
на
производных -~ и —-:* следует
18. Обобщсппая задача Коши для волнового уравттепия 183
из оценок для uh вида A7.8). Поэтому
. A8.10)
Функции ^— и — принадлежат ь2 в к и, следова-
тельно, непрерывны в целом в области V. Пусть t, <
< Т/2. Тогда можно выбрать б(е) столь малым, что при
к<8(г) правая часть неравенства A8.10) будет мень-
меньше е независимо от ti.
Следовательно,
(t) U=iL '
- u
Положив tz = ti + к, получим
где нормы взяты по 2(<i), при f] и f2 достаточно близ-
близких, и, зпачит, для любых достаточно малых tt и f2-
В силу полноты пространств L2 и L^ отсюда выте-
вытекает существование предельного значения при t -*¦ 0 в
Ьг для -^- и предельного значения при ? -*• 0 в ^2 для
и по любой конечной области ?г-мерпого пространства.
Если учесть еще, что предельное значение и в Ьг суще-
существует в силу теоремы вложения, мы приходим к заклю-
заключению, что существуют значения и@) и -дт(О), соответ-
соответственно принадлежащие W% и Ьг. Поэтому при к -> 0

184
Гл. III. Теория гиперболических уравпепии
по любой конечной области re-мерного пространства
\и(к)-и@)\\
W
A)
-О,
-0.
Теорема доказана.
5. Решение обобщенной задачи Коши.
Теорема. Каковы бы ни были функции ио(хъ...
..., хп) е \У% и и1(х1, ..., xn)etz в любой конечной
области, существует единственное обобщенное решение и
волнового уравнения из W\ , удовлетворяющее условиям
ди_
dt
t=0
= щ,
A7.13)
причем при t ->- 0 u(t) стремится к и0 в
стремится к и, в L2 no любой конечной области.
Доказательство. Рассмотрим средние функции
для начальных данных: uOh и ulh. Подставляя их вместо
щ и и, в начальные данные, мы можем найти решение
задачи Коши, так как эти новые начальные данные не-
неограниченно дифференцируемы. Обозначим ото решение
волнового уравнения через uh.
Легко показать, что при hp ->- 0 последовательность
ukp сходится в W2 в любой конечной области (га+1)-
мерного пространства хи ..., хп, t и в любой конечной
области га-мерного пространства хи ..., хп при любом
значении t.
Действительно, положим^—uhq= vPiq. Функция vV:4
есть решение волнового уравнения, для которого вели-
величины А и В в неравенствах A7.9) и A7.11) сколь угод-
угодно малы при достаточно малых hv и hq. Пользуясь этими
неравенствами, видим, что при достаточно малых hv и hq
J"p.a
dV<e,
откуда немедленно вытекает, что последовательность мдр
сходится в силу полноты Wi . Предельная функция и
в силу теоремы из п. 3 является обобщенным решением
волнового уравнения.
18. Обобщенная задача Коши для волнового уравнения 185
Далее, воспользовавшись неравенствами A7.8) и
A7.10), получим
П 'dv. ^
1
+
(%•)']
*'<••
A8.11)
Эти неравенства говорят о том, что последовательность
utip сходится в любой конечной части плоскости t = const
в смысле W2 , причем относительно t сходимость равно-
равномерна на любом отрезке [0, Т].
Отсюда легко заключить, что предельная функция и,
которая по доказанному в теореме из п. 4 имеет пре-
дельные значения и и -г- при t -> 0, принадлежащие
соответственно W% и L2 в любой конечной области,
принимает на начальной плоскости именно значения щ
и ut. В самом деле,
| uh (t) - и (t) \\
@) - и01|
При достаточно малом h ввиду равномерных по t оценок
A8.11) имеем
I иА (*)-«(*) Л^A)<е/3, ¦
1К@) — ЩII A) = 1"ол —"oil A)<e/3.
il
w
W.V
Выбрав t при фиксированном h достаточно малым, полу-
получим в силу гладкости uh (t), что | uh (t) — uh @) | A) ^ е/3.
Следовательно,
\u(t)-u@)\\
W
A)"
. е.
Аналогично легко доказывается, что
ди
Тем самым теорема доказана.

186
Гл. III. Теория гиперболических уравнений
19. Линейное уравнение
нормального гиперболического типа
с переменными коэффициентами (основные свойства)
1. Характеристики и бихарактеристики. В настоящем
параграфе мы докажем существование решения задачи
Коши у линейного уравнения гиперболического типа
с достаточно гладкими коэффициентами при достаточно
гладких начальных данных.
Рассмотрим уравнение
2ft+l 2Й+1 2k+l
¦^Ti \"i g^u ^П г, ди
Lu= Z 1 А»д^ЫГ.+ 1 BidF. + Cu = F> A9-1)
1=0 j=0 % 3 i=0 *
где Ац (Ац = Ан), Bh С и F суть функции переменных
х0, ..., xih+t, непрерывные с производными до порядка
К + 1 включительно, где К — достаточно большое число.
Допустим, что в каждой точке пространства квадра-
квадратичная форма
2Й+1 2ft+l
i=0 j^0 Ч l 1
приводится к виду
2Й+1
А(Р)~- 2
A9.3)
при помощи линейной замены переменных pt.
Уравнение A9.1) называется в этом случае уравне-
уравнением нормального гиперболического типа.
Характеристическими поверхностями или характери-
характеристиками уравнения A9.1) называют поверхности
G(x0, хи ..., x2h+l) = 0 A9.4)
A9.5)
A9,6)
такие, для которых па этой поверхности
А(р) = 0,
2Й+1
где
dG
Уравнение нормального гиперболического типа имеет
характеристические поверхности с конической точкой
19. Линейное уравпепие гиперболического типа
187
в любой заданной точке пространства х°0, . ..,^+1. Эти
поверхности называются характеристическими коноида-
коноидами. В случае уравнения с постоянными коэффициентами
характеристические коноиды превращаются в характери-
характеристические конусы.
Напомним некоторые простейшие свойства характе-
характеристических коноидов и их построение.
Все дальнейшие рассмотрения проводятся в некото-
некоторой достаточно малой окрестности фиксированной точки
х.
О)
о
X2h+1-
Обозначим
dG__
Ox, ~ Pi'
A9.7)
Как известно из теории уравнений в частных произ-
производных первого порядка [190], поверхность A9.4), удов-
удовлетворяющая уравнению A9.5), получается как много-
многообразие, сотканное из бихарактеристик, т. е. решений си-
системы обыкновенных дифференциальных уравнений
's. A9.8)
\ ЗА
1 дА
2 дх-
Более точно: параметрическое уравнение поверхности
A9.4) получается в виде
„ е (v Jo) (о) (о) (о)
Xi = ci\SX Xh p ph
где x@0), ..., xfh+i, p(o\ . • ., plk+i суть функции от 2к не-
независимых параметров vu ..., vZh. При этом
а) функции A9.9) вместе с
Р. = 4 «i (*, 40), • •
должны представлять собой общее решение системы
A9.8), зависящее от 4& + 4 произвольных постоянных;
в A9.9) и A9.10) положено
xi\t!=0 = x\°\ Ы8=0 = Д0) (»«01...12ft+l); A9.11)
б) функции 40) (Уц •¦¦! v2h)i р\0) ("и • • ¦ г vzh) должны
удовлетворять условиям
4О>)|._о = О. A9.12)
A9.13)

188
Гл. III. Теория гиперболических уравнений
в условии A9.13) величины х{ и р{ следует считать вы-
выраженными через s по формулам A9.9) и A9.10);
в) уравнения A9.9) должны давать параметрическое
представление многообразия 2к + 1 измерения (не ниже).
Покажем, как строится с помощью этой теории ха-
характеристический коноид с вершиной в точке х@° ,...
~<о)
• • • 1 Л-2Й+1-
Допустим, что нами построены решения A9.9) и
A9.10) системы A9.8). Будем считать в них за незави-
независимые параметры р0 , ..., pSi+i^ которые мы подчиним
двум условиям: уравнению A9.12) и условию нор-
нормировки
2Я + 1
г=0
= 1.
A9.14)
Величины хо° , . .., a4fc.fi будем считать постоянными,
не зависящими от ]э0 , .. ., pfh+i-
Нетрудно проверить, что уравнения A9.9) дадут при
этом параметрическое уравнение поверхности, удовлетво-
удовлетворяющей уравнению A9.5). Условие A9.12) выполняется
в силу выбора Pi . Условие A9.13) также выполнено,
ибо
= 0.
В том, что мы будем иметь в этом случае из A9.9)
параметрическое уравнение многообразия 2/с + 1 измере-
измерения, мы убедимся непосредственно несколько позднее.
Отметим прежде всего несколько важных свойств
уравнений A9.9) и A9.10).
Положим
i0) = У и sp. = щ.
A9.15)
Покажем, что функции |< и я, зависят от s и
только через посредство у{, т. е. что
J0)
„(О) ^0 •
X2fe+l! ~> • • •! '
Г
Щ S,
A9.16)
пе зависят от s при заданных г/< и х-х.
19. Линейное уравнение гиперболического типа
189
Действительно, вместо s и pt рассмотрим новые пере-
переменные s, и pi, полагая
s =
PY'
A9.17)
Подставляя эти новые переменные в систему A9.8),
мы получим систему уравнений для р% и х, с незави-
независимым переменным s^ Эта система оказывается совпа-
совпадающей с системой A9.8) и могла бы быть получена
простым переименованием независимого переменного и
функций pt. Отсюда следует, что функции
г(о)
x
г(о)
Pi —
(о) (о) \
i Po ) • • • ! P2h+l/i
r@) n<0)
@)
k
также удовлетворяют системе A9.8).
Обозначим
Pi l
n(o)(i)
i
тогда pi0)<1) =
или
Имеем, очевидно,
X
A9.18)
A9.19)
A9.20)
„
Уравнения A9.18) можно при этом переписать так
0(o)(D D(o)(ib
JO) @) ?0 Р 2к+1
t-о , ..., х2Л+1, - , ..., - I.
__ / _.. ..(о) (о) Pa P?,h+i\
г(о)
li Х0 I
,(о)A)ч A9-21)
у
С другой стороны, для этих же функций х\ и pi как
решений системы A9.8), удовлетворяющих условиям
A9.19) и A9.11), на основании теоремы единственности
имеем
г@)
Pi — T~
sl
г@) п(
•i-2ft+l) Po
(o)
Xft
п@)A)
Pth+l
n(e)(D
Po i
A9-22)
Правые части A9.21) и A9.22) тождественны при
любом а. Полагая s4 = 1, a = s, получим наше ут-
утверждение.

190
Гл. III. Теория гиперболических уравнений
Обозначим
в, (<. г@) „@) @) @) \ _
= Л j [Хо , . . . , ^2й + 1) Уй-> Ун • • • '
г(о)
„(о) (о)
Ж2/+ Pa i
п(о) \ _
h+lJ —
п(о)
= IIj (Хо , . . . , ^2Й
Покажем, что уравнения
а* = *( D°>, ..., a&Vi, %.-¦•. J/2fe+i) A9.23)
выражают замену координат xt на координаты yt в на-
нашем пространстве и притом такую, которая переводит
точку у{ = 0 в точку Х{ = xf\ имеет вблизи этой точки
определитель, отличный от нуля, и непрерывна вместе
с производными до порядка К, где К — достаточно боль-
большое число. ,
В силу известной теоремы теории обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений функции л{ и ?, имеют не-
непрерывные производные по xf* и pf^ до порядка К
включительно.
Будем считать функции х{ и pt функциями перемен-
переменного s с параметрами хо°\ .. ., х%+1, ро°\ ..., pSi+i и рас-
рассмотрим производные от хг и р} по s. Покажем, что
—" есть однородный многочлен степени а,
s-»o Us
dap
a lim ——* — степени а + 1 от р\°\
«->о ds
Для доказательства воспользуемся опять системой
уравнений A9.8). Дифференцируя по s уравнения этой
системы последовательно и исключая каждый раз из
правых частей первые производные, мы можем выразить
~ds~* И Т" чеРез величины Xi и pt. Мы покан«ем, что
dax.
ds'
¦? = Xl (Ж0' • • ¦ г X2k+U Poi • • • l P2h+l)'
где Х[а' и
от pt.
A9.24)
суть многочлены степени а или a + 1
19. Линейное уравнение гиперболического типа
191
Чтобы установить это, применим полную индукцию.
Для а = 1 утверждение очевидно. Положим, что для не-
некоторого а Зг 1 утверждение доказано.
Дифференцируя A9.24) по s, получим
j==0
~dx7ds
j=0
0x.
. 2Й+1
J'—0
3—0 '
2 ^ ^ dxi
1—0 m=o J
откуда ясно, что утверждение сохраняет силу и для
а+1.
Перейдя к пределу при s -*¦ 0, получим требуемое ут-
утверждение. Аналогично доказывается это утверждение и
для рг. Так как производные по s существуют до порядка
К-\-1, то, применяя формулу Тейлора, получим
2/!+1
j—0
К
к
A9.25)
Pi
где Х{™ , П^+1) — многочлены степени а и а+1 от Р} .
Отсюда следует, что для любого г ^ К — 1 можно выра-
выразить Xi и р{ через i/j так:
2fe+l
2 ¦
3=0
г+1
И=2
Rr+i
где производные порядка а от Rr+i и -^r+L взятые по
р, обращаются в нуль при s — 0 как sK+2~a. Простые вы-
выкладки показывают, что при этом производные от -fl(r+i
и Rr+\ no yj до порядка г+1 включительно обращаются
в нуль в начале координат. Следовательно, производные
от х, по г/j до порядка г+1 существуют и непрерывны
везде.

192
Гл. III. Теория гиперболических уравнений
Очевидно, что якобиан
"'2fe+1
на ос-
S=0
новании теорем о неявных функциях существует такая
окрестность точки х^\ . .., a^M-i, в которой справедливо
и обратное: у0, ..., y2h+i суть однозначные функции
переменных х„, ..., х2к+1.
В этой области мы получим
2
3=0
r+1
2
A9.26)
где Я4° — матрица, обратная А($, a Y^ — многочлен сте-
степени п от (хг — х{У), } = 0, . .., 2к + 1.
Уравнение A(pw)—0 в переменных г/; может быть
написано в виде
4(у) = 0 A9.27)
и, следовательно, представляет собой уравнение конуса,
т. е. многообразия 2к + 1 измерения.
Таким образом, доказано выполнение условий а), б),
в), указанных выше, и, следовательно, A9.27) есть
уравнение характеристического коноида.
В силу нашего предположения о том. что уравнение
имеет нормально гиперболический тип, конус характе-
характеристик делит все пространство на три части: внешность,
верхняя внутренность и нижняя внутренность конуса.
Всякое направление в любой точке пространства либо
уводит во внутренность конуса и по аналогии с обыч-
обычным случаем называется времяобразным, либо во внеш-
внешность конуса и в этом случае называется пространствеи-
нообразным.
При аналитическом определении пространствепнооб-
разными будут те направления I, для которых А (I) < О,
а времяобразными — те, для которых А{1)> 0.
В окрестности данной точки (х^, . . ., x^k+i) можпо
сделать линейное преобразование, переводящее матрицу
Ыц\\ в точке (xq° , . . .,х°ъ+1) в каноническую. Пусть пре-
преобразование координат, приводящее уравнение A9.1) к
каноническому виду в точке (xf , ..., ar^+i), имеет вид
т. — т(-0)— У <*••?¦• ?¦ —Уг (х- — г@))
i i
19. Линейное уравнение гиперболического типа
193
где а« и y« — непрерывно дифференцируемые к + 1 раз
функции переменных х^\ ..., a4°fe+i> причем определитель
\а,ц\ > h, где h — положительное число, не зависящее от
х„°\ .., x^h+i, а К — достаточно большое число (см., на-
например, 1174])',
п
Тогда при замене pi = 2 YjA имеем
1 = 1
+
г=0 ;=0
2Й + 1 2h+l <2h+l 2Й + 1 1
"V V V V y| ,, ,,
(=0 m=o \ i=0 J=O J
и, следовательно, в силу предположения о канонично-
каноничности преобразования должно быть
0,
j=o
= те = 0.
Полагая, что такое преобразование уже выполнено и
г/г — соответствующая локальная система координат,
для A9.27) получим
2h+l
У'о ~ 2 & = 0 A9.28)
/2ft+i \г/2
или, если обозначим р = 2 у\\ т
\ i=x /
то
A9.29)
т. е. в координатах г/,- характеристический коноид пре-
превратился в прямой круговой конус. Такое преобразова-
преобразование можно сделать в некоторой окрестности каждой
точки пространства.
В случае переменных коэффициентов необходимо, од-
однако, отметить следующее важное обстоятельство. При
решении задачи Коши для волнового уравнения биха-
бихарактеристики были прямыми линиями, и поэтому наше
решение уравнения характеристик годилось для любого
момента времени t. В случае же уравнения с перемен-
переменными коэффициентами поле бихарактеристик может
13 с. Л. Соболев

194
Гл. III. Теория гиперболических уравнений
иметь какие-либо особенности ('например фокусы), и по-
поэтому мы можем построить коноид лишь в некоторой
окрестности его вершины. Размер этой окрестности мо-
может быть оценен по коэффициентам при производных
второго порядка.
2. Характеристический коноид. Преобразуем уравне-
уравнение A9.1) к координатам у{. В новых переменных оно
принимает вид
2Й+1 2Й+1.
2Й+1
2 »*?
При этом конус с уравнением
=0,
A9.31)
Bft+l
2 i
i=l
1/2
, является характеристическим конусом,
2Й+1
а линии г/4 = а,г/0, где 2 а? = 1, являются бихарактери-
1=0
стиками. Рассмотрим подробнее, какие следствия выте-
вытекают из этого обстоятельства. На характеристическом
конусе
^dG_ _У\_ _ _V_i_ _ С^Г)\
"Ir P У° ' A9-32)
Подставим эти решения в систему уравнений
-^Х=& (i = 0,...,2k + l),
2Й+1
где А=
»=O j=0
- Так как
ds l ds
(*=1, ...,2ft
то, положив
A9.33)
19. Линейное уравнение Гиперболического funa
195
запишем эту систему в виде
3=1
Таким образом,
3=1
1. A9.34)
A9.35)
A9.36)
3=1
Умножая второе равенство на а* и суммируя по г от 1
до 2к + 1, получаем
2&+1 2fe+12fe+l 2fe+l
2 Л№- 2 2 Лда= 2 а?ф(*) = Ф(*). A9.37)
i=l i=l j=l »=1
Отсюда следует, что на поверхности характеристиче-
характеристического конуса
2&+1 2fe+l
Ло - 2 2 ^«iOj = 2ф (*) A9.38)
i=l j=X
i=l j=X
или
+
2 2
«i^ = loo - 2Ф (*).
A9.39)
3. Уравнение в канонических координатах. Перехо-
Переходим к исследованию задачи Коши для уравнения A9.1).
Пусть нам требуется отыскать такое решение этого
уравнения, которое удовлетворяет условиям:
и |жо=о
ди
A9.40)
О хо=О
Сделаем еще одно существенное предположение. Допус-
Допустим, что в дополнение к A9.2) — A9.3) в каждой точке
рассматриваемой нами части пространства
А00->пг>0, Ац<—т<0 (?=^0).
Введем теперь новую переменную, положив t =
= у о + р. Для удобства рассуждений будем в дальней-
дальнейшем обозначать через ^ частные производные по у{,
13*

196
Гл. III. Теория гиперболических уравнений
взятые вдоль поверхности у0 = const, т. е. при постоян-
постоянном г/о, а через g частные производные по yt, взя-
взятые вдоль поверхности t = const. Тогда
Д
y^ 9 Д*' dyQ DV
д2 Д2 Уг I
Dt2
ОУгО1 ' р ?>42>
dyidyj
yjVjJl, f±
' о3 Д* Р
Vj Д2
^¦^2 (^Л,
Р р3
V\ D2
^ Dt
Подставляя эти значения в наше уравнение, имеем
2Й+1 2ft+l "I
V 4 * _L У R Vi 4- Д
2j л" t + Z 5« -p- + ^o
2ft+l
i=l
ИЛИ
Г2Й+1 2Й+1
19. Линейное уравнение гиперболического типа 197
[2Й+1 2fe+l 2ft+l
i=i v i=i j=i P
что мы коротко перепишем в виде
A9.42)
где через L@), Mm обозначены операторы, стоящие со-
соответственно в первой и второй фигурных скобках левой
части A9.41), и /—третья фигурная скобка в A9.41).
Как легко видеть в силу A9.32), A9.35) и A9.39), на
характеристическом конусе ? — 0 имеем Лг=о = О, и
A9.42) при t = 0 принимает вид
Сделаем еще одну замену независимых переменных,
введя вместо уг, ..., г/2*+1 полярные координаты.
4. Основные операторы Mw и L(o) в полярных ко-
координатах. Мы будем определять положение точки ко-
координатой р, где
/2Й+1 \1
и единичным вектором Я.
Нам необходимо изучить подробнее дифференциаль-
дифференциальные операторы в этих переменных.
Для того чтобы вычислить какой-либо дифференци-
дифференциальный оператор на единичной сфере, следует выбрать
какую-либо координатную систему на поверхности этой
сферы. Для нас выбор такой системы безразличен, я по-
поэтому мы можем, например, выбрать для каждой точки
сферы свою координатную систему, регулярную в ок-
окрестности этой точки.
Можно, например, рассмотреть с этой целью полярные
координаты. Система полярных координат на единичной

198
Гл. III. Теория гиперболических уравнений
сфере задается уравнениями:
= Р COS ft2A,
= Р Sin ft2s COS ft2s-i,
A9.43)
z3 = p sin ft2S sin ftsui-!... sin ft3 cos ft2,
z2 = p sin ft» sin ft2ft-,... sin ft3 sin ft2 cos ftt,
z, = p sin ft2ft sin ft»-!... sin ft3 sin fta sin ftj,
где _я<©1<л; 0<fti<n; i = 2, ..., 2ft, a z, - про-
произвольная декартова координатная система, получаемая
из и, - поворотом осей, т. е. ортогональным преобразова-
2fe+l
нием Уг = 2 V«zr
Полезно отметить формулу
'» *x* •••>*2ь) ^(P>wi' •¦•-"aW
Отсюда немедленно следует, что
dQ = р24 sin24 ft2ft sin2* ft2ft_i... sin ft2dp db,... dft2ft.
A9.45)
Принимая еще во внимание, что поверхности р =
= const суть сферы, линии 04 = const, ..., 62к = const
суть радиусы этих сфер и что — = 1, где v — внешняя
нормаль к сфере, заключаем, что элемент поверхности
сферы
dS = p24 sin24-1 62k sin24-2 Gas-!... sin 0^ ... dQ2h.
A9.46)
Система уравнений A9.43),разрешенная относитель-
относительно р и 0j, имеет вид
'2Й+1 \1/2
2 А) ,
г=1 /
Q1 = (sign zx) arccos -^,
Рг
02 = arccos —,
A9.47)
19. Линейное уравнение гиперболического типа
199
A9.47)
= arccos
2ft
1/2
(
V
Мы будем в дальнейшем для удобства, вычисляя ка-
кой-либо оператор от функции в точке Хо на сфере, вы-
выбирать оси zu ..., z2s+i таким образом,_ чтобы рассмат-
->
риваемая точка Ао лежала на оси zu т. е. чтобы в этой
точке zt = p, z2 = ... = z2h = 0.
Функцию *?, заданную на сфере, называют s раз
непрерывно дифференцируемой в точке Яо, если она
имеет в этой точке непрерывные производные до поряд-
порядка s включительно по всем координатам 04, ..., 024 при
выборе этой координатной системы так, как это описано
выше. Функцию, непрерывно дифференцируемую s раз
в любой точке сферы, называют s раз непрерывно диф-
дифференцируемой на сфере.
Линейный дифференциальный оператор порядка s
на сфере называется непрерывным в точке Хо сферы, ес-
если он состоит из линейной комбинации производных до
порядка s включительно по переменным 0lt ..., 02k с
коэффициентами, непрерывными в окрестности точки Ао.
Если он непрерывен в окрестности любой точки, то он
называется непрерывным на сфере.
Оператор порядка s может быть применен к любой
s раз непрерывно дифференцируемой функции.
Будем называть дифференциальный оператор L, за-
заданный на единичной сфере, г раз дифференцируемым,
если его коэффициенты в любой точке непрерывно диф-
дифференцируемы г раз. Если оператор порядка I, диффе-
дифференцируемый г раз, применен к функции, дифференци-
дифференцируемой т раз, где К т < 1 + г, то результат является
функцией, дифференцируемой т — I раз.
После этих замечаний переходим к вычислению опе-
операторов М{0) и Ьт в полярных координатах. Найдем
сначала вид оператора М{0).

200
Гл. III. Теория гиперболических уравнений
Легко видеть, что
Dv _ v Dv
wr
В свою очередь для / — 2, ..., 2к
2ft ъП
dv
A9.48)
Dz. *-i_ DQS Dz. ^ Dp Dzj
zj dv
^ р|
2k
¦^i dv '¦
P.V
Аналогичное равенство имеем при / = 1.
Заменяя все z и р их выражениями и принимая во
внимание, что в искомой точке все р„ равны р, мы мо-
можем придать оператору М{0) следующий вид:
М{% = G(o) — + - A@)v, A9.49)
dp р
где G@) — функция переменных t, p, 9t, ..., 62/„ опреде-
определенная на всей сфере 9 и для всех р из промежутка
О < р < М, непрерывно дифференцируемая по этим пе-
переменным, а. А@) — дифференциальный оператор первого
порядка на единичной сфере, дифференцируемый доста-
достаточно много раз.
Рассмотрим еще значение оператора Мт при t — О,
т. е. на поверхности характеристического конуса. При
этом имеем г//р = —а,, и в силу уравнений A9.36)
2Й+1
'2
(|
2Й+1
Dv
2Й+1
Уi Dv
dv
1=1
а в силу A9.39)
2/1+1 2h+12k+l
Ч- 2
2Й+Х
г=1
12Й+1
i=l
J
2fe+l
19. Линейное уравнение гиперболического типа 201
Поэтому
Ло ~ 2j ¦
2h+l \
в + У в.уЛ
^ j=i ;
2ф(»)
Докажем теперь, что
Г 2fe+l 1
Л» - 2 Аи = Bк + 2) ф @). A9.50)
L i=i Jp=o
Рассмотрим с этой целью значения Яц\р=0. Очевидно,
справедливы равенства
^ + _
¦01 р=о— 2j oCt-
_ 1р=о -
2Й+1 _
|р=0 — 2 OCi^tj 1р=0 = кгф @),
3=1
2h+l
где а< — произвольные числа такие, что 2 а? = 1. По-
»=i
дожив а( = ±1, а( = 0, i Ф I, видим, что Л"оо1Р=о =
= ±^о/1 Р=о + ф @), откуда
Д"оо1р=о = ф@); Л"Ог1р=о = О.
Далее, полагая at = sin о, am = ±cos и, где 1Ф m,
a,i = 0, ? т^ Z, 1Ф m, получим
sin о)|[Яи|р=0 + ф@)]±созо)Л'гт!р=о = 0,
откуда, пользуясь произвольностью и, находим
Л",т|р=0 = 0 AФ тп), Л"ц|р=0 = —ф@).
Из этих равенств и следует формула A9.50).
Далее из существования непрерывных производных
по Уо, у и • •; yzh-i от коэффициентов З.ц следует, что
где Лу — остаток, обращающийся в пуль с производ-
производными до'порядка N включительно при р = 0.

202
Гл. III. Теория гиперболических уравнений
N
Аналогично
*' 'р=°
,
+
Si
Принимая во внимапие это разложение, получим
окончательно
Ц 4| (} )]Ц A9.51)
где функция G(A, p) ограничена вместе с производными
достаточно высокого порядка.
Выразим теперь в тех же координатах оператор L@).
Мы будем иметь после очевидных выкладок
A9-52)
где @@) — функция, непрерывно дифференцируемая до-
достаточно много раз на сфере, Rm — оператор первого
порядка на сфере и >S@) — оператор второго порядка на
сфере, дифференцируемые достаточно много раз.
Представляет интерес вычислить значение Lwv при
t = 0. С этой целью представим L{O)v\t=o в виде
A9.53)
Такое представление с непрерывно дифференцируе-
дифференцируемыми по р и 6j функциями Сц следует из A9.41),
A9.42) и равенств Ж1т\р=0 = О (I Ф т), Жи\р=0 = — ф@).
Очевидно, что
2& + 1 „ 2Й+Х „
^ D2v
где А — поверхностный оператор Лапласа. Имеем
,U + Р^(рДI + ? [2ft + P&(p,*3]
(=0
A9.54)
19. Линейное уравнение гиперболического типа
203
5. Система основных соотношений на конусе. Пусть
А(о) — некоторый оператор второго порядка в перемен-
переменных г/4, ..., г/24+i или, что то же, в переменных р, ¦&,, ...
..., ¦Огл, коэффициенты которого зависят от перемен-
переменного t
2fe+l
( )
Мы будем обозначать знаком —j- = А( ) оператор вида
2НПН1 „17
Л(О„_ V V D Aij Dv ,
i Dv ,DlC
» — i J — л. - _
A9.55)
коэффициенты которого суть производные порядка I от
коэффициентов оператора Л(о).
Составим операторы Ж4" и L(I) по правилу, описан-
описанному выше, и построим их выражение в полярных ко-
координатах.
Проделывая выкладки, аналогичные прежним, по-
получим
A9.56)
Коэффициенты G(!) и ()@ суть функции, непрерывно
дифференцируемые на сфере, А(!) и Л(!) — операторы
первого порядка на сфере, a Su) — оператор второго по-
порядка на сфере, дифференцируемые достаточное чис-
число раз.
Вернемся теперь к уравнению A9.42). Дифферен-
Дифференцируя его Z раз по i и полагая t = 0, получим, приняв
во внимание, что /|(=0 — 0,
r=o r! (Z - г) 1 и Dtr + ^ г! (I - г)! Dtr+i +

204
Гл. III. Теория гиперболических уравнений
Вводя обозначения
D[l)v = L(%, D[l)v =
l\
' (г -2)! {I — r + 2I Dt
перепишем уравнение A9.57) в виде
V, 2:
A9.58)
'Jt
V nV)Dru _ м I Du Dl+1A DlF ,.nKn.
2 Dr 5?-=Aflk_I^lK.,...,5-r_j=_.. A9.59)
Положим теперь
Dru
A9.60)
При таких обозначениях уравнение A9.59) примет вид
г+i ^
Мп-г (и0, иъ . .., щ+1) = 2 D[l)ur = Ц-. A9.61)
г=0
В правой части A9.61) стоят, очевидно, известные ве-
величины.
20. Задача Коши для линейных уравнений
с гладкими коэффициентами
1. Операторы, сопряженные с операторами основной
системы. Пусть дана некоторая система т линейных
операторов над I функциями в 2к + 1-мерном простран-
пространстве р, тЭ1!, ..., -&2h с элементом объема
dQ, = p2ftdp dS = р2\ dp d®t... d&n, B0.1)
где dS — элемент поверхности единичной сферы,
sin2
24 sin2"-2 О»-.... sin2 ^ sin О,. B0.2)
20. Задача Коши для линейных уравнений
205
Операторы Afjs) можно расположить в виде прямо-
прямоугольной таблицы М, содержащей т строк и I столбцов:
...,M[S\ ...,
{1) мB) м(-5)
(s),
i 1
Пусть М{р* обозначает оператор, сопряженный с
р
оператором Mf\, т. е. такой, что
ар(»)
)
4 B0.3)
где Ру}— некоторые функции*).
Будем называть системой, сопряженной с системой
Mj, систему Ns, состоящую из I линейных операторов
над т функциями wu ..., wm вида
Ns К, ..., wm) = _2 М^ щ = Д
Таблица операторов iVsj) имеет вид
/V =
Эта таблица получается из таблицы для операторов
М3-$\ если в этой последней заменить строки на столб-
столбцы и взять сопряженный к каждому оператору \NS° =
f>)
*) Несложные выкладки показывают, что оператор Mj' оп-
определяется при этом единственным образом.

206
Гл. III. Теория гиперболических уравнений
Система сопряженных операторов удовлетворяет сле-
следующему тождеству
Гга I 1
кр2к 2 WjMj (vu ...,vi)— 2 v,N, (Wi, ...,wm)\ =
I j=l a=l J
Ob
.1=1.
Построим систему операторов N} (/ = 0, ..., к) над
/с функциями Oi,..., oft, сопряженную с системой A9.61).
Таблица М для .системы A9.61) имеет вид
М =
?)(h—2) J)(k — 2)
0 ' 1 '
Z)f, Df,
D[h~2\...,l
Dih~3\ ...,?
Д2^4) z
'2 ' * * * ?
2 » • • • ?
0
)(fe-2)j
lft~3), 1
)(?з4)-
0
0
0
0
2)(ft—l)
2)(ft—2) j
j(fe-3)
о
0
0
0
0
5(fc-l)t
j(ft-2)
0
о
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Соответственно этому таблица N примет вид
N =
(ft-l)* n№-2)* n(ft-3)* n(ft-4)* 7)C)* 7)B)* пA)* п@)*
0 ' 0 ' 0 ' 0 '- - "' 0 'О 'О 'О
2) ?)J)
n(ft-l)* n(fe-2)* n(ft-3)* n(
^2 > 2 '2 • '2
n(ft-D* n(fe-2)* n(ft-3)* n(fe
¦L'Q » ¦L'Q J L/O J ¦L/Q
* ПC)* 7)B)* )
'•••'i/2 '2 '2
* n(8)* nB)* n
n(fc-i>* n(ft-2)* д(й-
^ft-з '^h-з )iyft-3
0,
0,
0,
О,
0,
0,
О, О,
О, О,
О, 0,
0 О
О, О
О, О
0, ' О
2. Построение функций о4. Построим теперь систему
функций аи о2, ..., ак, являющихся решениями системы
20. Задача Коши для линейных уравнений
207
уравнении
г = и,
-1 CT1 — и>
= о.
Эта система является рекуррентной, функции стй ...
..., аь определяются из нее последовательно одна за
другой.
Пусть далее
- B0.6)
Очевидно справедливо тонедество, получающееся из
B0.4) и B0.5),
[fe-i ^ 
2 oh-i jp — uoiVo (fflt ..., ffft) =
ft—i Г ~ T
г=о Ldi J
ftiг+i
2 2
г=о
= *p2ft 2 aft_J g
J g -
т 2ft
+ 2 ^+^
B0.7)
- fe-iг+i
где Pro = 2 2 ^!*-1.
1=0 r=o _^
Из выражения для J(t, p, Я,) в A9.42) легко видеть,
—>
что /(?, р, Я,) и ее производные по t до порядка к + 1
непрерывны при р =' 0. Поэтому, принимая во внимание
формулы A9.58) и A9.56) для L"> и М((> при t = О,

208
Гл. III. Теория гиперболических уравнений
найдем
= - 2Ф W g + [A + G (р Д)]
, B0.8)
где G, (?i, A — функции, Q2, В — операторы первого по-
порядка, А, Qz, С — операторы второго порядка,, диффе-
дифференцируемые достаточпо много раз.
Переходим к вычислению сопряженных операторов.
Заметим прежде всего с этой целью, что операторы В*
или $2, сопряженные с операторами первого порядка В
или Q2, определенными па единичной сфере, являются
в свою очередь операторами первого порядка, опреде-
леппыми на единичной сфере. Операторы A*, Q3 и С*,
сопряжеппые с операторами второго порядка па сфере,
также являются операторами второго порядка па сфере.
Оператор А* совпадает с оператором А, так как опера-
оператор Лапласа па сфере есть самосопряженный оператор.
Далее, справедливы формулы
В самом деле,
20. Задача Коши для линейных уравнений
209
[з:
2ft
где Рг — некоторые выражения, заданные на поверхно-
поверхности единичной сферы.
Пользуясь тем, что сопряженный оператор является
единственным, видим, что наше утверждение доказано.
В силу формул B0.8) получим
а -G
о] =
B0Л0)
где Н — непрерывно дифференцируемая, ограниченная
функция.
Проделывая аналогичные выкладки для D(P и D[l\
где г =g I — 1( имеем окончательно
D\l?a == 2Ф (,) ||? + 1 (ft
ptf) а],
B0,11)
B0.12)
r<Z-l. B0.13)
3. Исследование свойств функций о;. Переходим к
изучению функций аи определяемых системой B0.5).
Докажем, что при соответствующем выборе каждая
из них представляется в виде
_ 2'Г Bft -1 -1) Г (к) 1 г.
где Yi — ограниченная функция переменных р и ¦0.-,
дифференцируемая достаточное число раз.
14 С, Л. Соболев

210 Гл. III. Теория гиперболических уравнений
Прежде всего заметим, что Oi есть решение урав-
уравнения
ll +
B0.15)
и, следовательно,
р. р
Jl^Pi-
1М1 0
-J H(Pl,fl)dPl
. B0.16)
ПОЛОЖИМ X (#1, • • •, #2ft) = rBfe-l)-
Наше утверждение для а4 доказано.
Свойства функции ak-t для любого I доказываются
полной индукцией.
Уравнение для ah-t имеет вид
(к
cxft_;] = Xft-j (P. «I,...,
где
Mft—1)*_. /ОЛ ЛП\
+i аг. (ZO.ll)
Подставляя в правую часть последнего равенства зна-
значения Oi, ..., Oft-i-i, которые мы будем считать извест-
известными и притом удовлетворяющими поставленному выше
условию, убеждаемся, что главный член правой части
получается из подстановки в оператор Dt+i функции
аА-г_1 и имеет вид
г+1 Г Bft-г-2) г (ft) Г д2 1 2ft д 1 1
Z Y(l + 2)TBk—1) T(ft—I—l)[dp2 paft-i-a" p dpp2ft-*-2j
_ 2l+1 Г Bft- I -2) Г (ft) №-l-\2k-l-l)-2k] =
~" ^ Г (/+2) Г Bft—1) Г (ft—/—1) p2k~l K ' i
= -2
г+i
Г Bft — I — 1) Г (ft)
Г (/ + 1) Г BА — 1) Г (ft - / - 1) p2fe-r
20. Задача Коши для линейных уравнений
211
Частное решение уравнения B0.17) легко получить
обычным приемом. Имеем
B0.18)
Отсюда значение главного члена в разложении ак~{
получается элементарным путем. Наша формула для ак-.г
доказана'.
Остановимся еще на одном вопросе. Оценим главный
член в iVo(<Ji, ..., aft) при р -*- 0. Он представляет собой
результат подстановки функции ак в оператор D^* и,
очевидно, равен
t\ С
_?!
{да2
,2ft—1
= 0.
Таким образом, N0(au ..., ak) начинается с членов
порядка р~2\ так как члены порядка р-*2'1*1' исчезают.
4. Вывод основного интегрального тождества Ви = SF.
Вернемся теперь к тождеству B0.7). Рассмотрим при
t = 0 область Q в пространстве уи ..., у2к+1, содержащую
начало координат внутри себя. В переменных х,, ..., x^+i
это область па характеристическом конусе, содержащая
внутри вершину конуса. Исключим из этой области шар
р < е с центром в начале координат и обозначим остав-
оставшуюся область через Q'. Граница области Q' состоит из
внешней поверхности S и поверхности р = е. Из равен-
равенства B0.7) получим
г [ h-i г
»V д F ,, ,
1 1>Ф Zj Oft-г —; Мь-i (ип, ..
m=l
= «P2ft 2 Oh-i~-uQN0(au ...,ak)\dpdB, B0.19)
где dQ —
dlF
Очевидно, —j- —Мь_г(и0) .. .,ul+1) = 0 в силу урав-
U t
нений A9.61). Левая часть может быть преобразована в
14*

212
Гл. III. Теория гиперболических уравнений
интеграл по границе Q'. Мы получим
at п
ah~l~diT~~
(au .,,,cTft) \dpdQ =
2ft
EdS' =
dp
s
...dQ,
p=8
'2ft
SS
B0.20)
B0.21)
Перейдем теперь в формуле 'B0.20) к пределу при
е -+¦ 0. С левой стороны мы будем иметь при этом сходя-
сходящийся интеграл, ибо No имеет особенность порядка не
выше р~2\ а каждая из функций а — особенность поряд-
поряд2ft+1 Р
ка не выше p
мится интеграл
~2ft+1
ф р
Рассмотрим предел, к которому стре-
стреJ PodQ при е -*¦ 0. Покажем, что этот
где С — постоянная, не равная
р=8
—Сыо1р=о
о1р=о,
предел равен
нулю.
В самом деле, отличный от нуля предел может иметь
в этом случае только то из слагаемых, составляющих
J PodQ, которому соответствует слагаемое в Ро, не содер-
Р=8
жащее множителя р. Такое слагаемое не может полу-
получиться ни для одной из функций ah-s, кроме оА, так как
уже ah-i имеет особенность порядка p-<2h-2\ и производ-
производная от р2*<тА_1 по р при р = 0 обращается в нуль.
Очевидно также, что такое слагаемое не может полу-
получиться из членов, содержащих щ, так как Ui и оА встре-
встречаются вместе в уравнении B0.7) лишь в слагаемом
[
ohD[
ка, и,
щ —
но Dx — оператор первого поряд-
слагаемое Р(ой будет содержать
произведение акиф'п, которое равно нулю при р = 0.
Таким образом, остается вычислить главную часть
р(о)
следовательно,
p2h
которая имеет вид
20. Задача Коши для линейных уравнений
213
Отсюда следует, что
lim \ PodQ = — Си0 |p=os
«^о р=8
где С — некоторая постоянная, пе равная нулю.
Пользуясь этим, получим окончательно, подставляя
этот результат в B0.20) и деля на соответствующую
постоянную, что E4)
"о |р=о = с" ] u0N0 (оъ ...., ok) du —
2a§ § Г B0-22)
i=0Q dt S '
5. Обратный интегральный оператор В~J и метод
последовательных приближений. Полученное нами соотно-
соотношение дает возможность построить решение задачи Коши
для уравнений с достаточно гладкими коэффициентами
в случае, если такое решение существует. Существование
такого решения мы установим позднее. Рассмотрим за-
задачу об отыскании решения уравпения A9.1) при усло-
условиях A9.40). Пусть нам нужно найти значение неиз-
неизвестной функции и в точке Р0(х0, ..., xih+i).
Будем предполагать, что все бихарактеристики, выхо-
выходящие из точки Ро, пересекают плоскость х0 = 0.
Построим характеристический коноид с вершипой в
точке Ро. Этот копоид в своей нижней части пересечет
плоскость х0 = 0 по многообразию ?, ограничивающему
участок Q поверхности этого коноида, содержащей внутри
себя точку Ро. На многообразии S величина EdS' из-
известна. В самом деле, это многообразие лежит в плос-
плоскости х0 = 0, где все производные от функции и опреде-
определяются из уравнения A9.1) и условий A9.40). Все про-
производные, содержащие не более одного дифференцирова-
дифференцирования по х0, определяются из условий A9.40) дифферен-
д2и
х2к+1, производная
цированием по
в.»
опре-
определяется из уравнения A9.1), вслед за нею находятся
все производные, содержащие дифференцирования по х0
не более двух раз. Дифференцируя A9.1) по х0, получим
уравнение для нахождения
ТТ и т. д. Любая

214
Гл. III, Теория гиперболических уравнений
производная
определяется при помощи дифферен-
дифференцирования уравнения A9.1) и подстановки уже извест-
известных производных. Остальные производные получаются
дифференцированием по хи ..., х2к+1 производных вида
д$и
<
Введем следующие обозначения. Положим
и(х0, .._.,x2k+x) — ^-J u(x'o, ...,x'2h+1)N0dQ = Bu. B0.23)
я
Оператор В переводит функцию и, определенную в
области х0 > 0, в некоторую новую функцию Ви, опре-
определенную в той же области, и применим к любой непре-
непрерывной функции.
Пусть еще
- ± j 2 <rft_s 0 dQ == SF, B0.24)
Оператор S применим к любой функции, имеющей
непрерывные производные порядка к и определенной
при Хо > 0, и переводит ее в функцию, заданную в той
же области.
Равенство B0.22) записывается при этом в виде
Bu = SF + flt B0.25)
где F и /i — известные функции. Положив SF = /2,
/i + /«=7, имеем
5м = /. B0.26)
Уравнение B0.26) представляет собою интегральное
уравнение типа Вольтерра. Несколько позже мы уста-
установим его разрешимость и найдем его решение. Иссле-
Исследуем частный вид уравнения B0.26).
Положим, что функция F обращается в нуль вместе
со всеми своими производными до порядка к включи-
включительно при х0 < 0, и пусть функция и также равна нулю
при Хо < 0. Тогда в равенстве B0.22) интеграл ) EdS'
s
обратится в нуль,,ибо он зависит только от начальных
20. Задача Коши для линейных уравнений
215
значений функции и и ее производных порядка не выше
к, а эти начальные значения равны нулю, в чем легко
убедиться, рассмотрев способ их вычисления, указанный
выше.
Мы получим в этом случае
Bu = SF B0.27)
или
Bu = SLu, B0.28)
где под L мы понимаем гиперболический дифференциаль-
дифференциальный оператор, стоящий в левой части уравнения A9.1).
Изучим свойства операторов В ш S.
Теорема 1. Пусть для точки Р0(х0°\ ...,x?h+l) по-
построен характеристический коноид 2 и ®<Т1<^Т2^.Хц .
Обозначим через Qi и Q2 области, вырезанные из ха-
характеристического конуса гиперплоскостями xo==Ti и
ха = Т2 {очевидно, О4=зО2). Пусть далее Q — ограничен-
ограниченное замкнутое множество такое, что всякая бихаракте-
бихарактеристика, выходящая из' точек множества Q, пересекает
гиперплоскости х0 — Ti и х0 — Т2.
Тогда справедлива оценка
j
o
где К — постоянная, не зависящая от точки Ро е Q.
Доказательство. Эту оценку легче всего дока-
доказать, заменив в выражении dQ независимые переменные
р, 0i, ..., 02д на переменные х0, 0i, ..., 02ft. При этом
D (p,Qv ...,Q2h) __ _др_
~~ дх'
D(xo,Qv...,Q2k)
др
Но р = —г/о в силу нашего построения. Поэтому vj- < Мо,
о
где Мо > 0 — постоянная, не зависящая от Ра е Q. Далее
\Na\ ^Кф~2к, и, следовательно,
| No | dQ ^ Кг \ хр2 р~2 dp dQx ... dQ2u =
... dQ
'aft-
0,-1
Отсюда сразу вытекает наше неравенство.
Теорема 2. Оператор В имеет обратный.

216
Гл. III. Теория гиперболических уравнений
Доказательство. Установим, что уравнение
Ви — f разрешимо методом последовательных прибли-
приближений. Отсюда будет следовать существование обратного
оператора.
Положим
и{п) D°\ ¦ ¦,
,. .А).
Покажем, что последовательность и{п) равномерно схо-
сходится. Отсюда будет, очевидно, следовать, что ее предел
является решением интегрального уравнения.
К б
р р ураеня.
Как обычно, достаточно рассмотреть м("+1) — и
— и(п) =
, д р
= v{n\ где г/п) связаны с г;'"
шением
однородным соотно-
соотноB0.29)
Пусть |г;<0)| ^М. Докажем, что при этом
I »{п) D°\ .,-, *ffin) | < МКп Щ^х B0.30)
где К—постоянная из теоремы 1.
Доказательство проведем при помощи полной индук-
индукции. Пусть это неравенство установлено для некоторого
п; покажем, что оно останется справедливым и для
(и+1). Используя теорему 1, получим
т4г. МК
П\Х0 /
п\
Jo)
\С | J n\
11
N0\dQ
юо ^ о
(Х<?(\ ¦
Jo)
п+1
что и требовалось доказать.
20. Задача Коши для линейных уравнений
217
Построив решение уравнения Ви = /, мы находим ре-
решение задачи Коши для рассматриваемого уравнения ги-
гиперболического типа, если оно существует.
Нам остается еще показать существование такого ре-
решения. Предварительно докажем еще несколько теорем.
6. Сопряженный интегральный оператор В*. Пусть
v(x0, ..., #2fc+i)—^функция переменных х0, ..., xZk+1, обра-
обращающаяся в нуль при х0 > То > 0 и при \х(\>То, где
То — некоторая постоянная. Функцию и будем считать
равной нулю при х0 < 0. Рассмотрим интеграл
v (х0, ..., x2h+1) Ви (х0, ...,
dx0 ,., dx2k+l B0.31)
по всему пространству. Этот интеграл может быть пре-
преобразован в интеграл
и (х0, ..., x2h+1) B*v (х0, ,.,, x2h+1) dx0 ... dx2k+i.
Оператор В* называется сопряженным оператором с опе-
оператором В.
Теорема. Оба оператора В и В* применимы к лю-
любым непрерывным функциям и и v, удовлетворяющим
указанным выше условиям, при этом Ви и B*v также
непрерывные функции.
Операторы В и В* имеют обратные операторы. Иными
словами, каждое из уравнений Bu = f и 5*у = г|) имеет
единственное непрерывное решение при непрерывных
правых частях.
Доказательство. Существование обратного опе-
оператора для В было доказано нами выше. Для того чтобы
доказать теорему, нам нужно прежде всего построить
оператор В* в явном виде.
Преобразуем интеграл B0.31). Имеем
v(x0, ..., x2h+1)[u(x0,
— -?-j u(x'o, . ..,#2
X No (p, 0X, ..., %h, z0, ..., x2k+l) X
X p2hndpdQ1 ... dQ2k] dx0 ... dx2h+1=
= J v (x0, ..., x2h+1) и (x0, ..., x2k+1) dx0... dx2h+1 —
— -i J J v (x0, ..., x2h+1) No (p, 0l5 ... ,02fe, xo, ..., x2h+1)X

218
Гл. III. Теория гиперболических уравнений
X и (х'о (х0, ..., x2k+1, р, 91; ..., 92fe), . ..
• • •, ^2fe+i (^0! • • • > X2k+i, P, 9j, ..., 92fe)) р2 и X
XdpdQ1... dQ2kdx0 ... dx2h+1. B0.32)
В последнем интеграле фупкция No зависит от коор-
координат вершины х0, ..., х2к+! и полярных координат на
конусе. От этих же переменных зависят переменные
х0, ...,x2h+1, вычисляемые на поверхности конуса. Совер-
Совершим замену независимых переменных, взяв за новые
переменные х'о, ..., x'2k+1, р, 0Х, ..., 92ft.
При этом второй интеграл в равенстве B0.32) пере-
перепишется в виде
J J -™0\Р> "l! • • •) ft, Xo (^0, • • •, X2k+1, P, 9l, • • ., 02fe), • . .
Q
P0 0 }") v (т ( \
X
7 ' ' 2fe
X dx0 ... dx2k+ip % dp d®! . .. dQ2k ==
= j и (x'o, ..., xah+l) J f No (p, 0X, . . ., 02fe, x0 (x'o, . ..
. . . , X2k-|_i, p, Oj, . . . , ^J2h)i • • • j X2ll+1 \X0i • • • j
¦ ••))x
eah)
P,
X
^(*;,....x;fc+1,p,elt...,ert
X
X
Отсюда видно, что
B*v(x'p, ..., x'2h+1) = v(x'o, ..., x'2h+1) —
(f ) -^o'P> ^1' • • •> ®2h, ^oV^Oi • • •> X2k+1, P,
dx
2k+1.
. . ., X2k+1 (x0, . . ., X2k+1, p, 01; . . .,
1, p, er ...,eaft)
X
X
P.
X
X
1... dQ2k. B0.33)
20. Задача Коши для линейпых уравнений
219
Сходство между оператором В и оператором В* про-
проявляется не только во внешнем представлении, но и во
многих свойствах.
Исследуем прежде всего характер поверхности в
Bк + 2) -мерном пространстве, заданной параметриче-
параметрическими уравнениями
х0 = х0 (х'о, ..., х'2к+1, р, 0Х, ..., 02й),
«•• B0.34)
l) Р) "ll • • •, ®2к)-
Докажем, что поверхность B0.34) снова представляет
собою характеристический конус с вершиной в точке
#0) • ••» Ж2й+ъ но обращенный в сторону возрастающих зна-
значений х0, т. е. верхнюю половину полного характеристи-
характеристического конуса. В самом деле, точка х0, ..., x2k+i и точка
xoi ••¦> X2h+i по построению должны лежать на одной и
той же бихарактеристике. Следовательно, множество тех
точек Хо, ..., x2h+i, для которых х0, ..., x2h+ г окажется на
поверхности характеристического конуса, направленного
вниз, совпадает с множеством точек всех бихаракте-
бихарактеристик, проходящих черезж0, ..., x2k+j,a. это множество
и есть верхняя часть характеристического копуса, что и
требовалось доказать.
Обозначим
(x0, ..., x2k+1, p, 0x, ...,02fe
С
D(x'o, ..., x'2k+v p, 8r ..., G2ft)
и оценим величину определителя Якоби
Р(х0, ..., x2k+v р, 9Х, ...,
D =
D(x'Q, ..., x'2k+v p, 9^ ...,
Определитель этот ограничен. В самом деле, мы могли
бы для его вычисления совершить сначала замену пере-
переменных^, ...,ж2,;+1на переменные у0, ..., J/a+1 и вы-
вычислить функции
у0 (х0, ..., )
х0,
где Хо, ..., xzk+i — координаты вершины конуса, в котором

220
Гл. III. Теория гиперболических уравнений
осуществляется подстановка, а х0, ...,x2u+i— текущие
координаты, связанные с у0, ..., г/2&+1 формулами A9.23),
исследованными выше.
Из теории обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений следует, что при постоянных s, ро°, ..., р2\+г в
уравнениях A9.9) х0, .. ., x2h+1 являются непрерывными,
достаточное число раз дифференцируемыми функциями на-
начальных данных х0, ...,x2h+i с функциональным опре-
определителем, отличным от нуля (начальное значение опре-
определителя равно единице).
Следовательно,
Х
• •! X2h+1,
B0.35)
непрерывные функции х0, ..., x2h+i с функциональным
определителем, отличным от нуля. Но функции
x'j (х0, ..., x2k+1, р, 91? .,., 0№) суть именно функции
/2ft + l \l/2
B0.35), где положено у0 =Р = 2 у1) • Ограничен-
\ i=l /
ность определителя D доказана.
Отсюда непосредственно следует, что функция No =
= -Q-N0\D\ удовлетворяет неравенству
Покажем, что функция JV* так же, как и No, удов-
удовлетворяет неравенству (см. теорему 1 из п. 5)
J \Nt\pahdpdS^K(Ta-T^x 40)<^i<^2- B0.36)
При этом, в отличие от предыдущего случая, Тг > хо°\
ибо конус, на котором задано No, обращен в сторону
возрастания х0. Отсюда, как и ранее, следует существо-
существование обратного оператора для В* в пространстве функ-
функций, обращающихся в нуль при х0 > Т, где Т — постоян-
постоянная. (В случае оператора В мы имеем дело с пространст-
пространством функций, обращающихся в нуль при х0 < 0.) Для
того чтобы установить B0.36), нам нужно, как и прежде,
заменить под знаком интеграла переменную р на х0 при
фиксированных х0, ., .^ x'2k+1, ви ., ,г 0^.
20. Задача Коши для линейных уравнений
221
7. Сопряженный интегральный оператор S*. Подобно
тому как мы строили оператор В*, сопряженный с опе-
оператором В, можно построить оператор S*, сопряженный
с оператором S. Мы докажем, что оператор S* определен
на всех достаточно гладких функциях, обращающихся в
нуль при Хо > То и \Xi\>T0, где То — некоторая' посто-
постоянная.
Чтобы построить оператор S*, используем прежний
прием. Имеем
5м = -4-
5=0
11
X
/о
Ox ... ox k+l
Q s=0
Здесь %s0.,.p2fe+1— коэффициенты в представлении про-
ои —;
теграл по-прежнему распространен на участок поверх-
поверхности характеристического конуса, лежащий выше плос-
плоскости Хо — 0. Его можно считать распространенным по
всей поверхности конуса, так как и = 0 при хй < 0.
Рассмотрим интеграл
изводпои —; через производные по х0, .. ., x2h+l, а ип-
/ = j v (х0, .. .j x2h+1) Su dx0... dx2k+1.
Преобразуя его подобно прежнему, получим
X
X
ft_s (x0 (x'o, .. .j x'2h+1, p, Qu ...,
x2h+1
ftx I DI dp
X d4 .,.
X
X
.. B0.38)

222
Гл. 1П. Теория гиперболических уравнений
Так как при х0 < 0 функция и обращается в нуль,
а при хо>Т, а также при \xi\>TB, i = l, ..., 2/c+l,
обращается в нуль функция v, то интегрируя по частям
в B0.38), получим
s=o
X
дх'°... дх,
•J ah-s(x0 (x'o, ..., x'zk+1, p, 0X, .,,, 02fe),,,,
..., x2h+1(..
X р2йи | Z) | dp
(...)) X
dx'o ... dx'2h+1.
Отсюда видно, что оператор S* имеет вид
S*v(x0, ...,x2k+1) =
-42 2 (-
2P<
J CTft_s (ж0 D, . . ,
a;aft+1
X
,.. dQ2k. B0.39)
x'2h+1, p,
Из самого вида оператора S* ясно, что он определен
на всех функциях, имеющих непрерывные производные
до порядка к — 1. Мы можем теперь перейти к доказа-
доказательству существования решения задачи Коши.
8. Решение задачи Коши для четного числа перемен-
переменных. Прежде всего сведем вопрос к более простому. Вы-
Вычислим значение всех производных по х0 до порядка
к 4- 1 включительно от функции и и положим
ди
rk+l
+ ...¦ +
dh+1u
B0.40)
Для новой неизвестной функции w мы получим уже
однородную задачу Коши и уравнение с другим свобод-
свободным членом Fu Очевидно, что Ft вместе со своими про-
20. Задача Коши для линейных уравнений
223
изводными до порядка к включительно обращается в
нуль при х0 — 0.
РаССМОтрИМ ПРОИЗВОЛЬНУЮ фуНКЦИЮ Ц)(х0, . . ., X2k+l),
достаточно гладкую и отличную от нуля лишь в некото-
некоторой конечной области Vv, заключенной в полосе 0 < х0 <
^ Т„. Построим дифференциальный оператор L* второго
порядка, сопряженный с оператором L. Оператор L*
имеет вид
Cv-
- 2?
г
i=0 j=0
Положим
L*<p = ф.
Для функции ф мы можем поставить задачу Коши в
области х0 < То. Начальными данными при этом будут
служить условия
<р = 0, х0 > То.
Развитая нами выше теория позволяет выписать для
функции ф интегральное тождество
Д1Ч> = й!>, B0.41)
причем решение задачи Коши может быть записано
в виде
Ф = B^Stf.
Операторы Bt и St, аналогичные операторам В и S,
отличаются лишь тем, что в них роли прямого и обрат-
обратного конуса переменились. Если считать, что перемен-
переменное х0 обозначает время, то обычная задача Коши со-
состоит в отыскании решения в более поздние моменты
времени при заданных начальных условиях в момент
t = 0, а сопряженная задача — в отыскании решения в
более ранние моменты, нежели t = То, для которого из-
известны начальные данные.
Умножая обе части равенства B0.41) на достаточно
гладкую функцию Ф, равную нулю при х0 < 0, и интег-
интегрируя по всему пространству, получим J

224
Гл. III. Теория гиперболических уравнений
Пользуясь определением сопряженного оператора, пе-
перепишем это равенство в виде
J ср5*Ф dQ = j я|>?*Ф dQ.
B0,42)
Правую часть можно преобразовать следующим образом.
Подставим в нее я|э — Ь*ц>. Интегрируя по частям, по-
получим
= J ср??*Ф dQ,. B0.43)
так как функция ф обращается в нуль вне конечной об-
области. Перенося в равенстве B0.42) оба интеграла в
левую часть и объединяя их, получим, пользуясь B0.43),
Ф [В^Ф -
dQ = 0.
Последнее равенство имеет место при любых рас-
рассматриваемых ф. Отсюда следует тождество
#*ф _ LSlO = 0.
Составим теперь интегральное уравнение
В*Ф = Ft
B0.44)
где F — правая часть уравнения A9.1). Оператор В\
имеет обратный. Следовательно, это уравнение разреши-
разрешимо, причем Ф = В\ F.
Подставляя это выражение для Ф в B0.44), получим
V.
B0.45)"
l
Это равенство говорит о том, что функция S\Bl F
удовлетворяет уравнению Lu = F, если функция F имеет
непрерывные производные до порядка к включительно
и обращается в нуль при х0 < 0. К этой задаче при по-
помощи замены неизвестной функции, как мы уже отме-
отмечали выше, может быть сведена общая задача Коши при
достаточно гладких F и достаточно гладких начальных
данных.
Нами доказано, таким образом, существование реше-
решения у линейного нормального гиперболического уравне-
уравнения в частных производных с достаточно гладкими ко-
коэффициентами и достаточно гладкими начальными уело-
20. Задача Коши для линейных уравнений
225
виями, в случае, если число независимых переменных
четное, в достаточно малой окрестности фиксированной
точки гиперплоскости х0 = 0.
9. Задача Коши для нечетного числа переменных.
Случай, когда число независимых переменных нечетное,
как известно, сводится к предыдущему.
Пусть, например, нужно найти решение уравнения
2ft 2ft 2 2ft
> > Ац -— 1- X Bi 1- Си = r BU.4b)
при условиях
U |xo=o =
ди
= и1
B0.47)
Мы предполагаем, что в каждой точке пространства
2fe 2ft
квадратичная форма Л(р) = 2 2 AijPiPj приводится
к виду
2ft
i=l
B0.48)
при помощи линейной замены переменных р,-, Аоо > 0,
Аи < 0, i Ф 0.
Ёведем еще одну новую независимую переменную
Хги+i и рассмотрим уравнение
2Й 2ft
Z Z
д2и
2ft
Уравнение B0.49) является уравнением нормального
гиперболического типа с четным числом независимых пе-
переменных, причем Ац, Вц С и F не зависят от перемен-
переменного x2k+i.
По доказанному это уравнение имеет решение, удов-
удовлетворяющее условиям B0.47), которые следует
толковать как условия в пространстве Bк + 2) перемен-
переменных, причем правые части не зависят от x2h+i-
15 С. Л. Соболев

226
Гл. III. Теория гиперболических уравнений
Решение этой задачи даст нам функцию и, которая,
как нетрудно убедиться, в свою очередь не зависит от
x2k+l. В самом деле, уравнение, которому удовлетворяет
ди
функция , совпадает с уравнением для и при F = О,
2Й+1
а начальные условия для этой функции
дх,
дх,
Следовательно, -я = 0. Но это решение единствен-
ное, как мы установили выше. Следовательно, для полу-
полученного нами решения и всюду J^ ==0 и, значит,
оно не зависит от x2h+l. Но в таком случае функция и
как функция 2к+ 1 переменного х0, ..., x2h+l удовлетво-
удовлетворяет уравнению B0.46) и начальным условиям B0.47),
что и требовалось доказать (").
21. Исследование линейных гиперболических
уравнений с переменными коэффициентами
1. Упрощение уравнения. В предыдущем параграфе
мы установили существование единственного решения
у нормального гиперболического линейпого уравнения в
частных производных, с переменными достаточно глад-
гладкими коэффициентами при достаточно гладких началь-
начальных данных. Методы, развитые нами в первых главах,
позволяют значительно точнее оценить степень гладкости
коэффициентов уравнения и начальных данных, которую
нужно требовать для того, чтобы решение существовало.
Пусть дано линейное дифференциальное уравнение
п п
у у
i=0 i=0
=-+ 2
где Ац =
функции от х0,
суть непрерывно дифференцируемые
ф ., хп, причем А00?=0. В дальнейшем
будут указаны добавочные условия, налагаемые на ко-
коэффициенты Aih Bh С и свободный член F.
Это уравнение можно упростить при помощи замены
независимых переменных.
21. Исследование линейных гиперболических уравнений 227
Положим х0 = t и построим векторное поле I с по-
помощью равенств
Ао}
j = J-, / = 1, . . ., П.
00
B1.2)
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений
их
-?=и (*= 1,.... и),
B1.3)
и пусть Ct(t, Xi, ..., хп) (? = 1, ..., п) суть первые
интегралы этой системы.
Из системы B1.3) вытекает, что линии
Ct(t, хи .. ., хп)= const (i = 1, ..., п)
трапсверсальны по отношению к плоскостям t = const.
Положим
t=*Ci(t, xt, ..., хп)
(S = l, ..., и). B1.4)
В окрестности фиксированной точки х@°\ х^, ...,х(^)
в уравнении B1.1) можно перейти к переменным t,
J/i, ..., у„. В этих переменных уравнение B1.1) прини-
принимает особо простой вид. В нем уничтожаются коэффи-
коэффициенты Яо1 при смешанных производных / " .
Докажем это. Как известно, коэффициенты при сме-
смешанных производных Aoj в уравнении гиперболического
типа после преобразования имеют вид
dCi
1ак как
B1.3)
± + —L = 0,
то на основании уравнений
Принимая во внимание B1.2), видим, чд'о A0j = 0, j =
— 1, ..., п.
15*

Поделив затем уравнение на Жоо = Аю, придем к но-
новому уравнению вида
dt*
i=i 3=1
¦ Си =
2 J 1
Положим еще и = e ° v. Тогда
t
-тг=—т
- — \hdt-,
2 ¦> x
e ° ¦
После такой замены из уравнения исключается и
„ ди „
член, содержащий — . В дальнейшем при исследовании
dt
общих линейных уравнений мы будем всегда преднола-
дЧ
гать с самого начала, что члены, содержащие
dx.dt
ди
—, в уравнение не входят.
О t
Рассмотрим уравнение
П П .9
где Ац, В{, С в F — заданные функции от xh ..., хп, t.
Пусть в любой точке пространства и в любой момент
времени
? ? AijPiPj^c ? pf; Ay = Л,-,, B1.6)
те с > 0 — некоторая постоянная E6).
Д Будем искать решение этого уравнения, удовлетвори-
гощее условиям
Ахи ...,хп). B1.7)
ди
|*=о = ио (xi- • • •' ХпУ' ~Ы
U=o
Мы будем рассматривать две различные постановки
этой задачи.
2. Постановка задачи Коши для обобщенных реше-
решений. Пусть Q область (п+1) -мерного пространства t,
21. Исследовапие линейных гиперболических уравнений 229
хи ..., хп. Функцию u(t, xt, .. ., Хп), определенную в Q
и суммируемую по любой ограниченной области Q' та-
такой, что й'сй, будем называть обобщенным решением
уравнения B1.5), если, какова бы ни была дважды не-
непрерывно дифференцируемая во всем пространстве функ-
функция v, отличная от пуля лишь в ограниченной области
Qi, такой, что Qi <= Q, имеет место равенство
J uL*vdQ = J vFdti,
Q Q
где L* — сопряженный оператор, определенный равен-
равенством
2 2
V) - S ~ IA{BiV)+Cv-
i=lj=l ""%"")
Первая постановка задачи Коши состоит в следую-
следующем.
Найти обобщенное решение и уравнения B1.5) та-
такое, что на любом сечении области Q гиперплоскостью
t — const и представляет собою элемент пространства
W^, а -?¦—элемент пространства Ь2. Траектория в W%
г г - ди
и Ь2, определяемая как пара функции и и -j~ в этой паре
пространств, должна быть непрерывной по t ш удовлет-
удовлетворять начальным условиям B1.7).
Наложим на Atj, Bi7 С и F ограничения, которые на-
назовем условиями о) или условиями существования реше-
решения обобщенной задачи Коши. Эти условия следующие.
В области Q:
1) коэффициенты Atj непрерывны с первыми произ-
производными и удовлетворяют неравенствам
I Я Л 1
; А B1.8)
дхи
dt
(i, i, к = 1, ..., п),
где т ш А — постоянные;
2) коэффициенты Вг непрерывны и удовлетворяют не-
неравенствам |Z?jl sS A (i — 1, ..., п).
3) первые обобщенные производные от функций 54
существуют и для некоторого е > 0 удовлетворяют

230
Гл. III. Теория гиперболических уравнений
неравенствам
J
1
¦a@ V=1
¦дВг
—- dx1 .. . dxn
(i=l, ..., п),
^ A (t) <! А
B1.9)
где Q(x)—сечение области Q гиперплоскостью ? = т,
Hi — п + г при /г>2иA, = 2 при ге = 1.
4) коэффициенты С удовлетворяют неравенству
| С pi
B1.10)
5) первые обобщеппыс производные от С существуют
и для некоторого г > 0 удовлетворяют неравенству
1Л>
1Л>,
B1.11)
где <v1 = (« + e)/2 при n ^ 4 и v, = 2 при n = l, 2, 3;
6) свободный член F удовлетворяет неравенству
\F\*dx1...dxn\ *?F(t)^F, B1.12)
где F — постоянная;
7) первые обобщенные производные от F существуют
и удовлетворяют неравенству
dF_
dt
1/2
)
dx,...dxA <F(f)<F; B1.13)
8) bQ@)
9) в Q@)
ио<=\?[2); B1.14)
Ul<=W^\ B1.15)
На вопрос о решении задачи Коши в первой поста-
постановке дает ответ следующая теорема.
Теорема. Выполнение условий о) достаточно для
существования решения задачи Коши B1.5), B1.7) в
21. Исследование линейных гиперболических уравнений 231
некоторой окрестности G множества Й@) в первой по-
постановке. Решение непрерывно зависит от начальных
данных в следующем смысле: для любого г > 0 суще-
существует такое б > 0, что если ||и0Ц^^ <б и \\щ\\Li> <6 в
0@), то
G П Q(t).
|||
Прежде чем доказывать эту теорему, нам необходимо
установить несколько важных неравенств.
3. Основное неравенство. Пусть w — любая функция
переменных хи ..., хп, t, непрерывная с производными
второго порядка.
Выведем некоторое неравенство, аналогичное нера-
неравенству A7.7). Рассмотрим некоторую область V в про-
пространстве переменных х{, ..., хп, t с кусочно гладкой
границей S. Тогда по формуле Гаусса — Остроградского
uw uw о ^^ij dw dw
дЩ~ ~д^Щ~дГ
dV, B1.16)
где а,- — угол между внешней нормалью v к S и осью
Oxt, а а0 — угол между v и осью Ot.
Если в некоторой части поверхности S
п п
2 2 Ац cosctj cosctj — cos2ct0 <! 0, i
то на ней зпак квадратичной формы
dw dw
dw)]
'О
n n
о "V V л $w dw I Vi v л
-22 2^^г7гсоз^ = съ^-2 2л
0 j=] j=1
dw

232
Гл. III. Теория гиперболических уравнений
dw
¦coscti
ди> dw , ,
^j;cosa0 —— cosctJ +
cos2aQ —
AH cos ai cos aj
COS ОС
dw
Ш
J B1.17)
совпадает со знаком cos «о-
Рассмотрим замкнутый шар S2, содержащийся в О@),
и пусть (?2, [О, Г]) есть цилиндр, построенный на S2
и ограниченный гиперпло-
11 скостями ? = О и t = T >
i> 0. Положим ct =
= п max Ыь-|-Прове-
4(s Ю3!)
Рис. 12
—>¦ дем через границу шара
& коническую поверх-
поверхность 5, (рис. 12) так,
чтобы па ней cos2 а0 >
>с1/A + с1). Этот усечен-
усеченный конус, лежащий в
цилиндре (S2, [О, Г]),
обозначим через Q*; верхнее основание конуса, лежащее
в гиперплоскости t = Ti ^ T, обозначим через б^. Тогда
на поверхности Si квадратичная форма положительна,
так как на пей cos ао>0и
п п п
2 2 Aij COS <Xi COS Ctj — COS2a0 << Cx 2 COS2O5j — COS2Ct0 =
i=l j=l i=l
= cx A — cos2a0) — cos2a0 = cx — A + cx) cos2ct0 < 0.
Отсюда получается неравенство, аналогичное ранее вы-
выведенному неравенству A7.7):
-B1Л8)
21. Исследование линейных гиперболических уравпепий 233
где
Обозначим через Й*(х) сечение конуса Q* плоскостью
t ~ х. Пусть для функции w имеет место неравенство
j {Lxwf dxx... dxn =
B1.19)
Тогда можно оценить интеграл по Й* в неравенстве
B1.18) следующим образом:
П П
п п
V
>ot
•2f ^
<
dw I Idw
It
[И П
i=lj=l
^!У | drj . . . dxn
4| 1 [i
о lQ*(t)Li=l
it\ +2
J
^i» I X
X dxj_ .. . dxn) dt.
dw
Hi
Положим
г v fdw\2 , idw\A ,
J 2 bz) + hr ^i...^n = Jfiri(^|^). B1.20)
Очевидно, вследствие B1.6) и условия \AV\ ^ cjn имеем
f n n
У У
(t\
где c2 = min {c, 1}, C2 = max {c,, 1}.
), B1.21)

234
Гл. III. Теория гиперболических уравнений
Легко видеть, что
dxt .. . dxn J X
XI | \Llw\*dx1...dxn
Полагая в B1.18) Г, = t и, значит, Ss = Q*(t), по-
получим, что
c2lA (t | w) < C3^! (О | w) + Сг j [Кг (tx | м?) +
Для наших целей необходимо вывести еще одно не-
неравенство. Положим
:г (*! \wf2N (hI'2] dtx. B1.22)
>ходимо вывести еще одно не-
юЧхг . .. dxn -=K0(t\ w). B1.23)
Очевидно, что
JL\. п It* -i I iX.' I ^^ 1 IV \ v 1)"*/i5 • • • i г^П/ «"*' 1 • • • *-vi*'7i}
если ti > t. Поэтому
dKn V \w) !. ^o (h \w)~K0(t^w) ^
= lim ,—-1 ^
dt
'. lim-
п2 //" 'У» 'У» | /V'V" /7'У*
— j w2 (t, x±, .
e*(t)
= —/ w^ir^^ .
= 2 w-
J i^da?! . .. ttenY/
* /
O*@
,, xn) dxx ... dxn \
/
.,xn)dx1. ..dxn
/
d^! ... cfcn ^
\Q*(i)
, 1/2
21. Исследование линейных гиперболических уравнений 235
Тогда
@1 w)
[К, (t, |
B1.24)
Неравенства B1.22) и B1.24)—основные для всего
дальнейшего.
4. Лемма об оценках приближенных решений. До-
Докажем теперь основную лемму. Рассмотрим уравнение
B1.5), удовлетворяющее условиям о).
Заменим в нем все функции Ац, Bi, С и F их сред-
средними функциями Aijh, Bih, Ch и Fh по xt, ..., хп, t, а на-
начальные данные и, и и, - их средними функциями uoh
и uih по хи ..., ж„. Новое уравнение Lhuh = Fh будем на-
называть усредненным. Это уравнение с новыми началь-
начальными условиями имеет решение uh в некоторой окрестно-
окрестности G множества Q@), не зависящей от h > 0 E8).
Пусть Q* — усеченный конус, содержащийся в G.
Составим для этого решения интегралы KAt\uh),
ВД) и
i^- J[i;
Q*(t)
4
+
Лемма. Для функций K0(t\uh), K^tlu,,) и K2(t\uh)
справедливы неравенства
\Kt(t\ih)\<yt(t), « = 0,1,2,
где уг — решения системы уравнений
B1.25)
B1.26)

236
Гл. III. Теория гиперболических уравпений
при условиях
B1.27)
где М — некоторая положительная постоянная, не зави-
зависящая от h. (Таким образом, K0(t\uh), Ki(t\uh) и K2(t\uh)
имеют оценку, пе зависящую от h.)
Доказательство. Вернемся к неравенству B1.22)
и рассмотрим для uh^w уравнение
B1.28)
Lxhw = Fh — > Bih — — Chw,
где функции Bih согласно свойствам средних функций
ограничены:
\BJ^A, B1.29)
функция Ch удовлетворяет неравенству
Г J | Ch \HdXl ... dxnY'^ < А (*)< А, B1.30)
\_QHt) J
и, кроме того,
Г С 11/2 „. ^,
J F'hdx1 ... dxn\ =F(t)^F. B1.31)
1 а*(П J
В этом случае в области
t=i
Очевидно,
Fh\\r =
"г L,
dw
. B1.32)
i==l
Для оценки || Chw |]t воспользуемся неравенством Гёль-
дера и теоремами вложения.
21. Исследование линейных гиперболических уравнений 237
Если п > 2, то ц,1 = тг + е > 2, и согласно неравенству
Гёльдера и теореме вложения из п. 2, § 8, гл. I имеем
\Chw\2dx1 .. . dx
О*@
2
) \Ch\ dxx...dxn\ \ \w\q dxx. ..dxn
L(
], B1.33)
— постоянная из
теоремы вложения.
Если 7г = 1, то jo,! = 2, и согласно теореме вложения
из п. 1, § 8, гл. I имеем
[ \Chw\2dx1 ,.. dxn
2A (t) I
w),
B3A [K, (t |
B2, B3 = const.
Таким образом, согласно B1.19)
^CdK^tiwI'* + K0(t\w)i
, B1.34)
где C\ — постоянная, не зависящая от w, t и h.
Подставляя эту оценку в неравенство B1.22), получим
К,
,КХ @1 w)
X
i)]d*i- B1-35)
Вместе с B1.24) мы получим систему неравенств, из ко-
которой легко оцениваются функции K0(t\w) и Ki(t\w).

238
Гл. III. Теория гиперболических уравнений
Обозначим через у„, Vi функции, удовлетворяющие
системе уравнений
t
Vl (t) = с2к;@\ т) + 2С3 J у\» [$' + у{/2 + f] dtlt
t ° B1.36)
Нетрудно показать, что yo(t)> K0(t\w),
3* Ki(t\w). В самом деле, функции у0 и yt можно
как пределы возрастающих последовательностей
Ух > определенных формулами
г/Г = caKA0\w) + 2C3 J [^Г-ТЧ^']1'" +
найти
г/цт) и
+ F) dtlt
„(m)
i/o
= /v0 (О И + 2 J
/2 й,
если первые члены этих последовательностей взять рав-
равными K0(t\w) и Kt(t\w). Наша оценка доказана.
Функции г/о и г/4 суть решения системы дифферен-
дифференциальных уравнений
(l/o1/2 + i/i/2 + ?t). B1-37)
Взяв за новые переменные J/J/2=z0 и г/{/2= zlt получим
z; = Zl, Z; = C3(zo + z1 + ?'). B1.38)
Нам осталось оценить K2{t\w). Дифференцируя усред-
усредненное уравнение B1.28) по хг и по t, получим
1 дх, дх.
дАт
дх, дх-
dxidxl
*4 дх, дх,
i=l - ' *
_„Л??^ B1.39)
21. Исследование линейных гиперболических уравнений 239
9Fh
dt dt
д\
dt дхгдх-
dBih duh n duh
gx.dt
i=1 dt dxi
Мы можем легко оценить величину K2(t\w) с помощью
применения неравенства B1.22). Применяя его к каждой
производной и замечая, что
dw
паходим
К, (* | н;)< CJB @ | w) + С, f [к, (t± \w)
dtlt B1.40)
где [Nt(t))
лучим
г лт /j\,1/2 ^
\Nl{t)\ ^
у J *вл
Оценивая
1/2 _
duh
dxi
дВШ
дх1
т dUh
I
i Л
+ A
к
1 (
T" L
5"л||
^i Ik
[Л
I1 2
n n
1=1 3=1
, duh II
и
4|j
ro(i)]
1/2
дх{дх.
AdCh
я
duh
dxt
Г,
i=l«
1
так же, как ранее
(см. B1.33)), получим
||^~||L <CeA(t)[K2(t\uhf2 + K
], B1.41)
Наконец, для оценки Г^~ил снова
II I Hi
воспользуемся

240
Гл. III. Теория гиперболических уравпепий
неравенством Гёльдера и теоремами вложения. Если п З5
5^4, то Vi=(n + г)/2>2, и согласно неравенству Гёль-
Гёльдера и теореме вложения из п. 2, § 8, гл. I, имеем
дх,
(п+е)
< В3А @ (I uh || B

,1/9*
где в этот раз q* =
2 \-
1
<
— постоян-
постоянпая теоремы вложения.
Если п = {, 2, 3, то Vi = 2 п согласно теореме вложе-
вложения из п. 1, § 8, гл. I имеем
\1/2
хл ...dxn\ |uh\c<
' »' 2 \Q*(t)
дх,
Таким образом, для 1 = 1,...,
[N^r2 ^CAK0(t\uh)l/z + K^tlun)^2 + K2(i\uh)i/2]. B1.43)
Аналогично получаем оценку для [N0(t)]l/z.
Учитывая все вышесказанное, из B1.40) получим
!
Если
о
t\ uhI12 + F (t,)] K2 (t, |
@1ЫА) + 2
+ J/i (*iI/2 + Уг (hf2 + F (h)]
. B1.44)
B1.45)
21. Исследование линейных гиперболических уравпепий 241
то, как н выше, получим
K2(t\uh)<y2(t). B1.46)
Для уг имеем уравнение
У, = 2Q/1/3 [^/3 + УГ + ^ + ^]- B1-47)
Считая у\/2 = z2, находим
• z'2 = C7(z0 + Zl + z2 + F). B1.48)
Лемма доказана (с М = шах{1, С2, С3, С7)) (").
5. Решение обобщенной задачи Коши. Переходим к
доказательству основной теоремы E8).
Семейство Uh в силу наших оценок имеет ограничен-
ограниченный интеграл от суммы квадратов всех производных вто-
второго порядка по Й*. Иными словами, uh e L22), причем
1 ^, где М — постоянная, не зависящая от h. Из
L2
ограниченности ||Uft| B) и \uh]L заключаем,что
\\un
•wi
B1.49)
ди,ч
В силу теоремы вложения цл и —^- компактны в W2
(Jt
и Ьг соответственно на Q* (t), причем эта пара функций,
зависящих от t, представляет собой равностепенно по h
непрерывную траекторию в паре пространств W^ и L2.
Следовательно, из этого семейства траекторий можно
выбрать подпоследовательность, равномерно по t сходя-
ди „
щуюся к траектории и, -щ. Переходя к пределу в нера-
неравенствах B1.25) и пользуясь теоремой о существовании
обобщенных производных (см. п. 2, § 5, гл. I), получим
K,{t\u)^y,(t), K^tluj^y^t), K2(t\u)^y2(t). B1.50)
Семейство
тождеству
удовлетворяет, очевидно, иптегралыгому
j UkLlvd?i= ) v FhdQ,
B1.51)
где v — произвольная функция перемонпых хи ..., хп, t,
непрерывная с производными до второго порядка включи-
включительно и обращающаяся в нуль вне некоторой области Vv
16 С, Л. Соболев

242
Гл. III. Теория гиперболических уравнений
такой, что Vv <= fi* (через Lh обозначен оператор, сопря-
сопряженный с оператором Lh).
Переходя к пределу при h -*¦ 0 по соответствующей
подпоследовательности, получим
\ uL*vdQ = j vFdQ.
а'*- я*
B1.52)
Это равенство по определению означает, что функция и
является обобщенным решением уравнения B1.5).
Легко видеть, что эта функция удовлетворяет началь-
начальным условиям.
Непрерывная зависимость решения от начальных дан-
данных устанавливается также без труда.
Если F(t) достаточно мало и Ко@\и) и Ki(O\u) малы
в свою очередь, то функции yo(t) и yi(t) будут малыми.
Из неравенств B1.50) следует малость К0A\и) и Ki(t\u).
Теорема доказана (").
Задача Коши в 1-й постановке решена. Переходим ко
2-й постановке.
6. Постановка классической задачи Коши. Будем
искать решение уравнения B1.5) с условиями B1.7),
имеющее непрерывные производные второго порядка.
На коэффициенты Ац, Bt, С и F, а также на началь-
начальные условия нам придется наложить теперь несколько
иные условия, которые мы будем называть условиями н).
Условия н) следующие.
В области Я:
1) коэффициенты Ац непрерывны с первыми произ-
производными и удовлетворяют неравенствам
дх.
К А,
dt
B1.53)
/, /, к= 1, ,,., п),
где т и А — постоянные;
2) обобщенные производные от Ац удовлетворяют для
некоторого е > 0 неравенствам
хЧ \iA;
] dx1 ,..dxn\ <^A B1.54)
... дхапп
21. Исследование линейных гиперболических уравнений 243
где %1 = (п+гIA— 1) при п>21 — 2 и ta = 2 при К
=?Src<2Z-2;
3) коэффициенты Вг непрерывны и удовлетворяют не-
неравенствам
\В,\^А (i = l, ..., и); B1.55)
4) обобщенные производные от Bi удовлетворяют для
некоторого е > 0 неравенствам
д1В,
dx1 ... dxn
\ i/i*i
B1.56)
где [X; = ге, 8 при п 3* 21 и цг = 2 при 1 < п < 21;
5) обобщенные производные от С удовлетворяют для
некоторого е > 0 неравенствам
dlC
dx1 . .. dxn
B1.57)
где v; =
при
= 0, ..., h-l),
^2l + 2 и v, = 2 при 1 ^ n < 21 + 2;
6) обобщенные производные от F удовлетворяют не-
неравенствам
A = 0, ..., u,-
где F — постоянная;
7) в Q@)
8) в Q@)
uo<=W{*l];
Ut€=W\
B1.58)
B1.59)
B1.60)
Если ki = 2, то условия н) совпадают с условиями о).
Мы можем теперь сформулировать основную теорему.
Теорема. Для того чтобы задача Коши B1.5),
B1.7) имела решение, непрерывное с производными до
16*

244
Гл. III. Теория гиперболических уравнений
порядка т^2 в некоторой окрестности множества Q@),
достаточно, чтобы условия н) выполнялись при k1=m -\-
1 [1]
[]
Доказательство этой теоремы основано на применении
теорем вложения и использовании тех же неравенств,
которые позволили доказать теорему из п. 2. При m = 2
получаем решение задачи Коши во второй постановке.
Прежде чем переходить к доказательству, сделаем не-
несколько замечаний. Подобно тому как мы поступили при
доказательстве теоремы из п. 2, построим средние функ-
функции для Ац, Вг, С, F, щ и и,, и составим новое уравнение
Lhuh = Fh, B1.61)
решение которого будем искать при условиях
щ
11=0
— "lA,
B1.62)
и пусть, как п выше,
'Vh- Fh-\Bih-±-Chuh.
г=1
Одновременно с уравнением B1.61) рассмотрим всевоз-
всевозможные уравнения для функций
Vao...anh ?¦ ^
dt
Дифференцируя, имеем
д V
B1.63)
L
lhVaQ...anh —
i\/i ...дхУ
Л-Pn
X
x
+
X
21. Исследование линейных гиперболических уравнений 245
X
@
(til')
B1.64)
где Са...ап— биномиальные коэффициенты.
Обозначим
Kp(t\w)= j
dx1...dxn. B1.65)
7. Лемма об оценке производных.
Лемма. При соблюдении условий н) функции uk
удовлетворяют неравенствам
Kp(t\uh)<ye (p = l, .... А,). B1-66)
где
dy
1/2
dt
= M \yT + УТ + ...+ yll2+ F (t)], B1.67)
при условиях J/Pl(=o = MKp@\uh), где М — некоторая по-
положительная постоянная, не зависящая от h, a F{t) —
функция, стоящая в правой части 6-го условия.
Доказательство. Для р = 0, 1, 2 эта оценка уста-
установлена ранее. Переходим к доказательству леммы для
¦ остальных р.
Прежде всего оценим |Фа^...ап|ь2.
Если п >2$ + 2, то vp = (n +e)/(fl + 1)> 2 и согласно
неравенству Гёльдера
I X
г -( Г ( д*С»
\й*«) \ot ° 1 •¦¦ ° п
1/2
X
,a*(t)
dxn
dxn
X
X
\
! ... dxn
l/9*

246
Гл. III. Теория гиперболических уравнений
dxt... dxn
B1.68)
—i
- Так как
на основании теоремы вложения из п. 2, § 8, гл. I мы по-
получим, что
l B1.69)
Если 1 < п < Зр + 2, то vp = 2 и
*...
2 . \1/2
dx1... dxn
X
Согласно теореме вложения из п. 1, § 1, гл. I вновь по-
получим B1.69).
Аналогично получаются оценки
-Г f ( «4» )
X
X
\2 П1/2
dri .. . dxn\
X
/в-Г f (— **" ^
i=0
X
"n "^i .
1 + 1
i=0
а, B1.70)
"Jl/2
x . .. йа:п
B1.71)
21. Исследовапие линейных гиперболических уравнений 247
Собирая эти оценки вместе, получим
i+i
—0
F(t)\ B1.72)
(Ai, ..., Л4 — некоторые постоянные, не зависящие от h).
Верпемся теперь к неравенству B1.22), положим в
нем w = Уао...ап и просуммируем по всем производным
порядка I. Мы получим
^i @1 %...«„)
i=l
+ с,
+
г, Ci, C2 = const > 0.
и тем, что
ПОЛЬЗУЯСЬ ОЦОНКОЙ ДЛЯ ЦФа'^.ап
C3Kl+1 (t, U) < 2_ ^i (* I Vao...an) < C4/f«
Sai—1
C3, C4 = const > 0,
имеем окончательно
I u),
B1.73)
Kl+1(O\uh) +
I [i+i
+ )Kl+1(t1\uh)ll2\2lKi(t1\uhy2
n li—1
> J
B1.74)
(Z = l, ..., Л.-1),
где M — соответствующая постоянная.
Отсюда, как и прежде, полагая
У1+1A) = м\у1+1@)+2\у1+1ЦлУ
L о
можем доказать неравенства
Kl+l(t\uh)<yl+l(t).
1)\ dtl
' J
B1.75)

248
Гл. III. Теория гиперболических
уравнений
Для функций у9, р = 1, ..., ки получаем
dt
У о U
Ы" + У?* +
МКр@\и„).
B1.76)
Лемма доказана F0).
8. Решение классической задачи Коши. Мы можем
теперь доказать теорему, сформулированную в п. 6 E9).
Рассмотрим последовательность решений Uh усреднен-
усредненных уравнений с усредненными начальными условия-
условиями (").
Эти функции имеют ограниченные интегралы K9(t\uk),
р = 0, 1, .. .,т + 1 + -у , а, следовательно, и ограничеп-
ные нормы в пространстве W? .
Из теоремы вложения в пространство С на Q* (t) и
оценок вида A1.15) для функций uh и их производных
до порядка т включительно следует, что эти производ-
производные образуют компактные множества в пространстве С
на Q*.
Выбрав из множества {uh) последовательность, равпо-
мерпо сходящуюся с производными до порядка т вклю-
включительно, и переходя к пределу в основном уравпепии
B1.61) по этой последовательности, получим, что пре-
предельная функция и удовлетворяет уравнению Lu = F и
обладает непрерывными производными до порядка т
включительно.
Полезно заметить, что неравенства B1.75), установ-
установленные нами для Uh, остаются верными и для решения и.
Это следует из теоремы о существовании обобщенных
производных (см. п. 2, § 5) F2).
ПРИМЕЧАНИЯ
1. Теорема справедлива и для пеограпичепиых областей ?3.
При этом достаточно учесть, что для любого 8 > 0 существует
такой шар С, что
dv -> <; е, и воспользоваться до-
н-с
казашшм утверждением для ограниченных областей.
2. В ряде задач возникает необходимость использования опе-
операторов усреднения более сложной структуры. Различные типы
таких операторов были введены и изучены в работах [268, 110, 27,
264, 113, 176, 2461.
3. Теорема справедлива и для неограниченных областей. В этом
случае всюду плотное множество образуют функции вида Рг%к,
где Рг — многочлен с рациональными коэффициентами, a Xt — ха-
характеристическая функция шара радиуса к с центром в начале
координат (к = 1, 2, ...).
4. В [46] показано, что любая пара ограниченных областей
является суммируемой. Поэтому приведенная теорема справедли-
справедлива для любой пары ограниченных областей и в силу локального
характера обобщенной производной она верна и для пары любых
(в том числе и неограниченных) областей. Отметим, что сущест-
существуют пары неограниченных областей, пе являющихся сумми-
суммируемыми.
5. При р = I теорема справедлива при .К sg; 0. Рассуждения
при этом упрощаются: неравенства F.3) и F.2) устанавливаются
непосредственно без применения неравенства Гёльдера.
6. В предположениях теоремы 2 функция U(Q) определена, во-
вообще говоря, пе для любого Q. Из проведенного доказательства вид-
видно, что i/(()<s)) можно определить как предел в ?д!И на Es интеграла
%f (?)
при е -> + 0.
J p
6<Г<Д
Если р = 1, 0 < X < п, s > X, то функция i/(<2(s)) суммируе-
суммируема (по любой копечпой области Es в гиперплоскости s измере-
пий) со степенью q* <Z q = s/A.. Доказательство проводится с уп-
упрощениями по той же схеме.
7. Эта теорема для случая s = п в более сильной формули-
формулировке (для продельного показателя q* = q) при п = 1 была .до-
.доказана Харди и Литтлвудом (см. [241]), при п > 1 — С. Л. Собо-
Соболевым [203]. При s < п С. Л. Соболев доказал эту теорему при
р = 2, д* = 2, В. И. Кондратов [101] при q* < q, В. П. Ильин
[79] при q* = q. Подробные доказательства этих утверждений
можно найти в книге [19].

250
Примечания
Д. Адаме [252, 253] установил, что если 1 < /> < g < °о, А. >
> п/р', то для того чтобы во всем пространстве выполнялось не-
неравенство
при некоторой постоянной С\, не зависящей от /, необходимо и
достаточно, чтобы мера |х удовлетворяла условию
р>о
sup
B)
где В(Р, р) —открытый шар с центром в точке Р радиуса р.
8. Ю. Г. Решетпяк [180] и В. И. Бурепков [29] показали, что
равенство G.12) может быть записано в виде
Приведем, следуя [29], вывод этой формулы непосредственно из
формулы Тейлора
Ф(Р) =
X
? —г^ Гм-tW-i <^(Q' + t(p~d'))
1Л1-«"Ч ^^ ZbT-
где Q' = (yv ..., уп) е= С. Уашожим обе части этого равенст-
равенства на v(Q') и проинтегрируем по Q' по всему пространству, счи-
¦ агф
тая, что все фупкции —^ ^~ доопределены нулем вне ?3.
ду[!... в»;п
Тогда
Ф(Р)= у, _^_J
*
¦ х
х (хг -
Примечания
251
I
l
х-
X у «?') dv+. D)
Первое слагаемое в правой части D) после интегрирования по
частям переходит в первое слагаемое формулы C). Обозначим
интегралы, стоящие под знаком второй суммы в D), через
Ja a . Меняя порядок интегрирования и заменяя Q' +
+ t(P — Q') па Q (при этом xi— уг заменится на A — t)~l(xi —- yi),
a dv^. ¦— на A — t)~~ndv->.), получим, снова меняя порядок инте-
Q' Q
грирования, что
X
X
замену переменных ^ _ f — rv где r= \P — Q\, нахо-
дим, полагая, как и прежде, I = , что
X
Таким образом, приходим к формуле C) с
X
х —

252
Примечания
(нетрудно убедиться, что функция wa ...a B G-12) имеет
именно такой вид).
Другие выводы интегрального представления G.12) можно
пайти в книгах [190; 89, 2-е изд.].
9. Отметим, что в равенствах G.12) и C) можно считать, что
и — любая функция, имеющая непрерывные производные до по-
порядка I включительно в С, обращающаяся в нуль вместе с произ-
производными до порядка I — 1 включительно на границе шара С и
v (Q) dv^.^ 0.
С Q
В равенстве D) за v можно взять любую суммируемую в С
фупкцию, для которой у, Ф 0.
Из D) для функций ф, имеющих в области Q непрерывные
производные до порядка I включительно и обращающихся в нуль
впе некоторых ограниченных областей Fq> таких, что F, с: Q, сле-
следует более простое интегральное представление
V(P)=±rj_ У
X
X
F)
где о„ —площадь единичной (п — 1)-мерной сферы.
Для получения F) будем считать, что для фиксированной точ-
ки ? е Q в D) С — шар [Р— Q\ < R, содержащий Vv, и заменим
-У 1 -V
в D) v на фупкцию v% такую, что vh(Q) = 1 при Л — -?- < | Р ~
— Q\ <R и Vk(Q) = 0 для остальных Q. Переходя к пределу в
равенстве D) при fc-voo, получим F), так как в E)
При / = 1, и = 1, Q = (а, &) равенство F) сводится к оче-
ъ
1
видному равенству ф (х)
- I sign (x — у) ср' (у) dy. Прямой вы-
а
а
вод представления F) можно найти в книгах [150, 219, 135].
В кпиге [135] получено еще одно представление, справедли-
справедливое для произвольной ограниченной области Q и более широкого
класса функций Wt f) Wx при 2ft ^ I, где через Wi обозна-
обозначено замыкание по норме пространства W\ множества Cq° всех
бесконечно дифференцируемых в Q функций \|), обращающихся
Примечания
253
в нуль в окрестности границы и в окрестности бесконечности, ес-
если область Q неограничена. Из этого интегрального представле-
представления следует, что теоремы вложения из § 8 остаются справедли-
справедливыми для любой ограниченной области Q, если функции из W^
о ...
дополнительно принадлежат пространству W^ J> причем 2k ^ I.
При 2/; < I этот факт уже не имеет места.
10. Ю. Г. Решетняк (см. [65]) и О. В. Бесов [16] получили
представление вида G.12) для более широкого класса областей,
связанных с так называемым условием «гибкого конуса».
11. Построены также интегральные представления функций
ф через несмешанные производные различных порядков функ-
функции ф по разным переменным. Приведем одно из них, принадле-
принадлежащее В. П. Ильину [83] и иллюстрирующее способ вывода по-
подобных представлений, основапный на использовании усреднений.
Пусть функция ф — непрерывная в области Q вместе с производ-
ньгми
—Л {h — натуралышо числа, 4 = 1, ..., и), К{Р), Р =
Ьх>
= (х\, ..., хп), бесконечно дифференцируемая фупкция, удовлет-
удовлетворяющая условиям:
а) К = 0 впе П = [аь Ъ,] X • • • X \ап, Ь„], где <цЬ< > 0, i =
= 1, ...., п,
б) \К(Р) йу_>=1,
ОО
в) f xlK(P)dxi = 0 (s = 1, ..., г. —1) при
всех
— «5
= {х\, ..., Жг-i, xt + \, ..., хп) и при каждом i=l,..., п.
-*- д ->¦
Тогда фупкция Nг [Р) =-т^ (х fi (P)) удовлетворяет соотно-
соотношениям
оо
J x\N{ (P) dxx = 0,
при всех P(i), а функция
бесконечно дифференцируема и удовлетворяет условиям Lt = 0
д Ll
вне П, ¦
дх,%

254
Примечания
При h > О, К =
-г—, • • •, "Т~ I рассмотрим анизотропное усреднение функции ср:
h I /г™/
Равенство
G)
справедливо при любых 8, h таких, что 0 < в < h. Учитывая, что
Ф ^ (Р) -> ф (Р) при е->- + 0, предельным переходом в G) при
е->- + 0 получаем интегральное представление функции ср в точ-
-*•
ко Р. В правой части G) используются значения функции ф лишь
—> —*¦ —*¦
в точках Р + Q, где t%Q е П, 0 < I ^ Л, т. е. в точках некоторого
«рога»
U
0<t<h
т-п
с вершипой в точке Р. Параметры a,, &i, h рога следует выби-
выбирать так, чтобы F_>. с: Q для любой точки Рей. Этим на Q на-
Р
кладывается определенное условие геометрического характера.
Пусть Q = (г/i, ..., г/n). Учитывая, что
dt[t
после интегрирования по частям в G) приходим к интегрально-
интегральному представлению
dt (8)
для любых Рей.
12. Другие интегральные представления функций были полу-
получены и использованы в работах [256, 17, 323, 180, 233, 171]. Под-
Подробное изложение вопроса об интегральных представлениях функ-
функций можно найти в книгах [19, 65J.
Примечания
255
13. При р = 1 теорема справедлива для I ^ п. Это следует из
соответствующей оценки для интегралов типа потенциала (см. E)).
14. При га > 1р теорема верна и для предельного показателя
g* = q. Для ее доказательства при р > 1 достаточно привлечь со-
соответствующие оценки для интегралов типа потенциала (см. G)).
При р = 1, I < n доказательство для случая q* = q дано Гальяр-
до [280]. Оп предложил другой подход к доказательству теорем
вложения (при р ^ 1, q* ^ q), пе использующий интегральных
представлений и свойств интегралов типа потенциала.
15. При п — 1р, р > 1, теорема гараптирует вложение W^' в
L * при любом д* < оо. Этот результат был уточнен в работах
[250, 179, 331], где было доказано, что в этом случае для любых
функций ф i
где C2 — некоторая положительная постоянная, не зависящая от
Ф (показатель р' нельзя заменить на больший). Случай неограни-
неограниченных областей рассмотрен в [269]. В статье [307] при I = 1,
р = п 5г 2 для функций Ф е Wp в произвольной ограниченной
области Q получено точное значение постоянпой Сг в (9).
16. Если s < га, то значение функции ф на сечении Q гипер-
гиперплоскостью s измерений называют следом функции ф па этом
сечении. По поводу других определений следа см. книги [156,
219, 19].
17. Теорема вложения пространства Wp в L^ па сечениях
гиперплоскостями s измерений доказана в предположении, что
s>« — lp. При s ^; п — 1р след в указанном в A6) смысле для
отдельно взятой гиперплоскости, вообще говоря, но существует.
Однако можно'охарактеризовать поведение функции ф на та-
таких сечениях, если привлечь к рассмотрению пространства со
смешанной нормой, определяемой равенством
I ср 11.
HPv
dxn
(считаем, что вне области Q функция ф доопределена нулем). Свой-
Свойства пространств со смешанной нормой были подробно изучены в
[262, 19].
р (п — s)
При 1 ^; s < га — 1р и q* 5J п _ s __ i— при тех же предполо-
предположениях относительно области Q, что и в теореме из п. 2, § 8, спра-

256
Примечания
ведливо неравенство
9* ij
Ml
W
ДО'
A0)
которое характеризует поведение нормы
/ оо оо \1/р
Ф(тг ..., xn)fdx1...d*A
к — ОО — ОО
как функции от xs+u ¦¦¦, х-п. Неравенство A0) было сформулиро-
сформулировано в качестве гипотезы в докладе С. Л. Соболева и С. М. Ни-
Никольского [214]; оно является частным случаем неравенства
ll<Plbo......o.,\<c'5ll<PlLm. t11)
где 1 < р
qn < оо и
I— У — —
k=l
Впервые неравенства, аналогичные A0) —A1), были доказа-
доказаны С. М. Никольским [154] для введенных им пространств Яр •
Для пространств W^ эти неравенства были установлены в [68].
18. Говорят, что область Q удовлетворяет условию конуса, ес-
если каждой ее точки можно коснуться вершиной лежащего в Q
конуса с фиксированной высотой и углом раствора (по-видимому,
впервые это условие рассматривалось в [197]). В [53] показано,
что класс ограниченных областей, удовлетворяющих условию ко-
конуса, совпадает с классом областей, представимых в виде суммы
конечного числа областей, каждая из которых является звездной
относительно своего шара.
19. Из результатов Ю. Г. Решетпяка и О. В. Бесова (см. A0))
следует, что приведенные в § 8 теоремы вложения справедливы
для более широкого класса областей, удовлетворяющих условию
«гибкого» конуса». Отметим, что условие копуса и более слабое
условие «гибкого» конуса па область Q не являются необходимы-
необходимыми для справедливости теорем вложения (соответствующие при-
примеры можно найти в книге [135]).
20. В. Г. Мазья получил [131—135] необходимые и достаточ-
достаточные условия справедливости теорем вложения в терминах изопе-
риметрических или емкостных характеристик области Q, а также
достаточные условия геометрического характера. Приведем, сле-
следуя [135], один из результатов такого рода. Пусть Q — открытое
множество, (л — мера в Q. Тогда для всех ф е CjJ° в Q справед-
справедливо неравенство
,1/9
I уф (<?)
Q
если
A2)
A3)
где q ^ 1, a {g} — совокупность ограниченных открытых мпожеств
Примечания
257
g таких, что f cQ и граница dg является бесконечпо дифферен-
дифференцируемым многообразием, a{dg) — площадь поверхности dg. IIo-
стояппую Сб нельзя заменить на меньшую.
21. В [131, 132] с помощью понятия емкости и изопериметри-
ческих неравенств получены теоремы вложения для областей,
удовлетворяющих условию вырожденного конуса, определяемого,
как в A8), заменой конуса телом вида [х\-{- ••• + хп^ ао-г^' ^ ^
^ а^ sg; а ], где Х>1. Подобные теоремы с помощью метода ин-
интегральных представлений независимо были получепы в [52]. При
этом соотношение между I, р, n в теореме вложения в С и пока-
показатель з в теореме вложепия в Lq зависят от %.
22. Обозначим через С пространство равномерно непрерывных
ограниченных в области Q функций с той же нормой, что п в
пространстве С. В предположениях теоремы вложения из п. 1, § 8
справедливо более сильное утверждение: если Q — ограниченная
область, звездная относительно шара, то для любой функции ф е
s WW функция феС, Отметим, что если п есть объединение ко-
конечного числа областей, звездных относительно шара, то это ут-
утверждение не имеет места.
23. Для нормировки пространств W^ чаще всего употребля-
употребляется норма ||ф1^°\п. Широко используется также норма
с<
которая для рассматриваемых в настоящей книге областей экви-
эквивалентна норме ||ф||^0\г) (доказательство эквивалентности этих
норм для более широкого класса областей — ограниченных обла-
областей с непрерывной границей — приведено, например, в книгах
[309, 296]; для произвольных областей эти нормы не эквивалент-
эквивалентны—соответствующие примеры можно найти в книге [135]. В ря-
ряде случаев используется норма
IIФ1 г i =
Для областей, являющихся объединением конечного числа огра-
ограниченных областей, звездных относительно шара, эта норма при
1 < р < оо эквивалентна норме || ф || ^ (при р = 1 и р = оо эк-
эквивалентность не имеет места даже для куба). Доказательство это-
этого утверждения и соответствующие примеры можно найти в кни-
книгах [19, 135].
24. Если определить для неограниченной области Q пространст-
пространство W^ как пространство функций ф, для которых конечна норма
из п. 3, § 10, то для таких пространств теоремы вложения
17 с, Л. Соболев

258
Примечания
из § 8 при тех же предположениях относительно параметров спра-
справедливы (см., например, [156, 19]) и для неограниченных областей,
удовлетворяющих условию конуса (в теореме из п. 2, § 8 нужно
дополнительно считать, что q* ^ р).
25. В ряде случаев найдены точные (наименьшие возможные)
постоянные в неравенствах типа (8.1), (8.2). В случае всего про-
пространства для функций ф е С^° справедливо неравенство
¦и-
1 Г G1
г,
(р = 1 — см. [131, 274], р > 1 - см. [258, 330]).
Для выпуклых областей Q достаточно малого диаметра d
(d < d0, где d0 определяется параметрами I, n и р) доказано [32],
что при I > nip
а при I < nip, i s^ q* < q = npl(n — Zp)
q* p
для любых ф e Wp (норма ||ф|| (^ определяется в B0)).
26. В случае всего пространства (см. B4)) справедливо не-
неравенство
|?||( <МЛ1ф||, -ЫфЦ гЛ, A4)
Lg* V р lp J
аналогичное A0.7), где постоянная Ж не зависит от фей'р1'. При-
Применяя его для функций ф(81/рР), где 8 > 0, получим неравенство
с произвольным параметром
IMI(m)<W8-<l-V>!M|L +е*|ф1(Г
ig* V " Lp'
где v=-T-lt — т — —-}- j% I. Минимизируя правую часть этого
неравенства по е > 0, получим мультипликативное неравенство
М
A6)
Примечания
259
Так как
У
1—v
^х-\-у, то из неравенства A6) сле-
следует неравенство A4).
В случае ограниченных областей Q, являющихся объединени-
объединением конечного числа областей, звездных относительно шара, не-
неравенство A5) также справедливо, но не для любых 8 > 0, а для
0 < 8 sg; 8о, где 80 зависит от п, р, I и Q. Неравенство A6) для
функций из W^ в Q не имеет места, по справедлива следующая
его модификация:
Впервые неравенства типа A7) были получены В. П. Ильи-
Ильиным [78] и Эрлиигом [272]. Другие неравенства такого вида до-
доказаны Гальярдо [281], Ниреибсргом [312], В. А. Солонниковым
[217] и др.
27. Пусть n^lp, n — l^s>n — lp. Тогда в силу теоремы
вложения из п. 2, § 8 для случая всего пространства (см. B4))
для любой функции фей'!,1' существует след (см. Aв)) на гипер-
гиперплоскости s измерений, принадлежащий Lp.
Задача о построении функций во всем пространстве по задап-
ному следу была поставлена С. М. Никольским, решившим ее в
шкале введенных им пространств Н^ A<Р<°°, I — любое
положительное число), состоящих из функций, принадлежащих
Lp вместе со всеми производными порядков, меньших /, старшие
из которых удовлетворяют в Lp условию Гёльдера с показателем
I — Щ при нецелом I или условию Зигмунда при целом I (см.
[156]). Необходимые и достаточные условия на след функции из
пространства Н^1 заключаются в принадлежности следа прост-
ранству Н^ ' на гиперплоскости s измерений (предполага-
(предполагается, что I > (п — s)/p).
При натуральпом I и в > 0 имеем H(J+E) cz W^ с Н^\ От-
Отсюда и из результатов С. М. Никольского вытекают необходимые
условия на след функции /е Wp , а также достаточные условия,
близкие к необходимым, на функцию q> на гиперплоскости для
ее продолжения во все пространство как функции из W^I,
Точная характеристика следа функции из пространства Wp"
при 1=1, s = re— 1 получена для р = 2 независимо Ароншайном
[255], В. М. Бабичем и Л. Н. Слободецким [7], Фройдом и Кра-
ликом [277], а затем для р^1 Гальярдо [279]. Эти результаты
распространены Л. Н. Слободецким [188, 189] на случай s ^ п — 1,
п — 1
р — 2, / > (ге — s)/2 и s = и — 1, р > l,t > —-—. В случае р > 1,
р ф 2, 1>(п — s)/2 соответствующий завершающий результат
принадлежит О. В. Бесову [12], получившему точную характери-
характеристику следов функций из W^ в терминах введенных им прост-
17*

260
Примечания
ранств В^ A sg; р ^ оо, I — любое положительное число): для
того чтобы при 1 < р < со, 1 sg; s < п, I > (п — s)/p заданная иа
гиперплоскости s измерений функция ср являлась следом неко-
некоторой функции из W^\ необходимо и достаточно, чтобг.т
(-"-г)
Ф s ?~ на этой гиперплоскости. Несколько позже этот
результат был получен независимо В. А. Солонниковым [216].
Приведем определение пространств В^> (при нецелых I >
> 0 оно совпадает с определениями Ароншайна, Гальярдо,
Л. Н. Слободецкого пространств Ир ): функция ф, заданная во
всем пространстве, принадлежит В^\ если при нецелых / копеч-
па норма
дх,
«1 дхап
а при целых / копечпа норма
Ч(Р) _
Свойства пространств Нр\ В^^ подробно изучены в книгах
[156, 19].
Аналогичные результаты справедливы и для ограниченной об-
области Q, являющейся суммой конечного числа областей, звезд-
пых относительно шара, граница которой является простой в смыс-
смысле п. 2, § 10. Для того чтобы функция ф, заданная на границе
области Q, состоящей из многообразий 5, размерности s (s =0,
1, ..., re —1), была следом некоторой функции, принадлежащей
(
в Q, необходимо и достаточно, чтобы (реву
В
па
W^ в Q, необходимо и достаточно, ру
S, (s = 0, 1, ..., ге — 1). Определение пространств В1р на много-
многообразиях и доказательство этого утверждения см. в [19].
28. В предельном случае I = (re — s)lp, p = 1, описание сле-
следов функций из пространств W™~s на гиперплоскости s измерений
дано Гальярдо [281]. В работах [31, 319, 70] исследованы вопро-
Примечания
261
сы, связанные с несуществованием в этом случае линейного опе-
оператора продолжения с гиперплоскости.
29. В теореме из п. 5, § 11 для предельного показателя q* =
= ^„ полная непрерывность оператора вложения но имеет
места. Соответствующие примеры были построены в [6]. В книге
[254] приведены достаточные условия, обеспечивающие полную
непрерывность соответствующего оператора вложения в случае
неограниченных областей, а в книге [135] даны для ограниченных
областей Q, удовлетворяющих условию конуса, необходимые и до-
достаточные условия на меру и., при которых оператор вложения
в пространство L. ||]ф||г = | |ф|94Ч 1 вполне
9'* \ *» [ )
еру и., при которых оператор вл
. ||]ф||г = | |ф|94Ч 1
9'* \ *'» [о ) )
непрерывен.
30. Построена теория функциональных пространств, состоя-
состоящих из функций, имеющих в определенном смысле «гладкость не-
нецелого порядка I». Среди таких пространств наиболее хорошо изу-
изученными являются пространства Никольского — Бесова В^
Eр?~ = яр°> др,р = Яр0 (см- П) и пространства Лизор-
кина —Трибеля F^e (при I натуральном F^ = W^~>). Подроб-
Подробное изложение результатов, относящихся к этим пространствам,
можно найти в книгах [156, 19, 219, 228, 229].
При р = G = 2 эти пространства совпадают и эквивалентной
нормой в этих пространствах является норма
1A + ш2)г/2?©!?а, (is)
гдо ф — преобразование Фурье функции ф. Пространства с нор-
нормой A8) впервые рассматривались Л. Н. Слободецким [188].
Пространства с нецелым I теспо связаны с общей теорией ин-
интерполяции пространств (см. [106, 127, 107, 228, 9] и др.).
Дальнейшие обобщепия пространств Ир связаны с изуче-
изучением пространств, в которых дифференциальные свойства харак-
характеризуются некоторой функцией гладкости (см. [73, 242, 45, 230,
61, 87, 88, 96, 62, 151], обзор [125] и др.).
31. В связи с различными задачами теории уравнепий с част-
частными производными и математического анализа возникла потреб-
потребность в построении_ теории вложепия для различных обобщений
рассматриваемых в пастоящей кпиго пространств. Подробно изу-
изучены анизотрониые прострапства типа И7^ с нормой, определяе-
определяемой равенством
п "Л
.h 1-п
l Рп
(вместо Lp. рассматривались также прострапства со смешанной
нормой LtT). „,„¦; — см. (")).

262
Примечания
Теоремы вложения, теоремы о следах и теоремы продолжения
для анизотропных пространств дифференцируемых функций были
впервые получены С. М. Никольским [152] (для пространств
Нр" ' )• Изучение анизотропных пространств Wj-""' n
{pa = Pi = • • • = Vn = р) было начато Л. Н. Слободецким [188]
и развивалось в работах различных авторов (см. [80, 123, 17, 217,
93, 235, 234, 16, 108] и др.).
При формулировке соответствующих результатов на область
Q необходимо наложить так называемое «условие рога» (см. (")),
заменяющее в случае анизотропных пространств условие конуса
(см. A8)). Параметры рога выбираются в зависимости от парамет-
параметров 1и ..., In, pi, ..., рп.
Подробное изложение результатов можно найти в книгах [156,
19, 234].
32. С. М. Никольский [157] ввел пространства S^W с доми-
доминирующей смешанной производной, в которых норма для функ-
функций, определенных в области Q, задается равенством
И/И
где 9j принимает только два значения 0 или 1. Теория таких про-
пространств и их обобщений развивалась в работах [126, 4, 72] и др.
Дальнейшие обобщения связаны с изучением пространств
K p> с нормой
11/11
w(K>v
(«1.
daf
где К — некоторое множество индексов (ai, ..., an), («j — неотри-
неотрицательные целые числа) — см. работы [81, 129, 86, 130] и др.
33. В работах [206—208] доказаны теоремы вложения для про-
пространств функций типа W^ со значениями в банаховом прост-
пространстве. Дальнейшие результаты в этом направлении получены
в работах [51, 105] и др.
34. Для приложений к теории дифференциальных операторов
полезно рассмотрение пространства W- , где I — отрицательное це-
целое число, определяемого как сопряженное пространство к
Ир, A<р<°о). Прп р =2 такие пространства были введе-
введены и использованы в работах Лере (см. книгу [120]), Лакса [297],
Л. Шварца [328], при р ф 2 — в работах Лионса и Мадженеса (см.
книгу [127]). Можно дать единое определение пространств W<?\
пригодное как для положительных, так и для отрицательных /.
Подробно этот вопрос рассмотрен в книге [229] в терминах прост-
пространств /*^в (^р^^-Рр'г). Изучены также пространства
Примечапия
263
(см. B7)) с любым действительным I, в частности простран-
пространства В(р0)9 (ф Lv при р ф 2 или Ъф2) — см. [311, 156].
35. Значительное число работ посвящено изучению теории вло-
вложения для пространств типа И7^, в определении пормы которых
Lp — норма заменена на норму в пространстве Орлича (или норму
в симметрическом пространстве). Подробное изложение результа-
результатов можно найти в книге [295]. Пространства такого типа возни-
возникают при изучении нелинейных дифференциальных уравнений в
частных производных.
36. Во многих задачах возникает необходимость в изучении
весовых пространств типа W^\ в их определении Lp-норма за-
I Ф (Р) I P (P) dy-> I гДе Р (Р) ~ неот-
рицательная весовая функция, или на норму
где [X — некоторая мера. Систематическое изучение весовых прост-
пространств было начато в работе Л. Д. Кудрявцева [110]. Обзор ре-
результатов по теории весовых пространств и их примепепий к тео-
теории уравнений с частными производными можно найти в статьях
[18, 285, 260, 259, 167, 94] и в книгах [156, 2-е изд.; 228, 295,
234, 135].
37. Теория пространств типа W^ обобщалась также в дру-
других направлениях. В частности, проведено систематическое изу-
изучение пространств бесконечного порядка в связи с приложениями
к теории уравнений в частных производных бесконечного поряд-
порядка (см., например, [75, 76]). Исследовались пространства типа
WW функций бесконечного числа переменных (см., например,
[240]). Изучались также пространства типа Ир переменного (за-
(зависящего от точки) порядка [261, 332]. Более общие рассмотрения
в этом направлении связаны с теорией псевдодифференциальпых
операторов (см., например, [226]). Пространства И7^' при 0 <
< р < 1 изучались в [317, 229]. Аналоги теорем вложения для
дифференциальных форм получены в [64].
38. В ряде работ изучались различные геометрические харак-
характеристики операторов вложения (см., например, [215, 85, 92, 21,
.227, 84, 90] и обзор [225, гл. III]).
39. В [268, 302] установлено, что для любой области ?3 прост-
пространство И7^ A ^ р < оо) совпадает с пополнением по норме это-
этого пространства мпожества бесконечно дифференцируемых в Q
фупкций феИ^.В [27, 264] доказано, что для любой области Q
любую функцию ф е И7*,' можно сколь угодно точно приблизить
в норме этого пространства бесконечно дифференцируемыми в Q
функциями, принимающими в определенном смысле то же гра-
граничные значения, что и функция ф. Установлено [280], что для
областей Q с локально непрерывной границей множество функций,
бесконечно дифференцируемых во всем пространстве, плотно в

264
Примечания
^ (обобщения этого результата можно найти в книге [19, § 19]).
В [263] для некоторого класса областей Q, для которых это ут-
утверждение не имеет места, даны необходимые и достаточные ус-
условия на функцию ф е Wp , при которых ее могкно сколь угодно
точно приблизить бесконечно дифференцируемыми во всем прост-
пространстве функциями.
40. В книге [213, с. 283] приведены необходимые и достаточ-
достаточные условия на функцию <р е W^ в Q A < р < оо) для того,
чтобы ее можно было сколь угодно точно в норме W^ прибли-
приблизить функциями из С% в ограниченной области Q, являющейся
суммой конечного числа областей, звездных относительно шара, и
имеющей простую границу в смысле п. 2, § 10. В [28] найдены
при р > п соответствующие необходимые и достаточные условия
в случае произвольной области Q. Там же при р > п найдены не-
необходимые и достаточные условия на Q, при которых возможность
сколь угодно точного приближения функций <р е W^ функциями
из С^° эквивалентна тому, что продолжение нулем вне Q функ-
функций ф е W^ в Q принадлежит W^ во всем пространстве. При
р :g: и ряда результатов в этом направлении получен в [286, 287].
В [287] решена тесно связанная с этим вопросом задача о «спект-
«спектральном синтезе» для пространств W^\
41. В [209—211] доказаны теоремы об аппроксимации функ-
функций из ЦР в Л" A fg: p < °°) функциями из С^°. Аналогичные
вопросы для неограниченных областей рассмотрены в [14]. Вопро-
Вопросы об аппроксимации потенциальных и соленоидальиых векторных
полей с приложениями к гидродинамике рассмотрены в работах
[288, 139, 140].
42. При изучении пространств W)^' важным является вопрос
о продолжении функций, принадлежащих W^~> в области Q, на
все пространство с сохранением класса, т. о. о построении для лю-
любой функции ф е W^ в Q функции Ф е W^ в R", совпадающей
с ф на О. Для областей с достаточно гладкой границей теорема о
продолжении доказана при 1 ^ р ^ оо в [158], для областей с
границей класса Lip 1 при 1 < р < оо этот результат получоп в
[265], а при l^p^oo — в [21]. Дальнейшие результаты полу-
получены в работах [30, 25, 42, 291, 104, 39]. Для некоторых значений
параметров I, р и п получены необходимые и достаточные усло-
условия па Q, при которых справедлива теорема продолжения (см.
[42,104]).
Для областей с границей класса Lip i при 0 < f < 1 теорема
продолжения с сохранением класса, вообще говоря, не имеот ме-
места. Для таких областей в [30] доказана теорема продолжения с
минимальным ухудшением класса, а именно в пространство
W^4. Для различных типов областей с границей класса Lip f
доказаны теоремы о продолжении с сохранением показателя глад-
гладкости с минимальным ухудшением показателя суммируемости (см.
[136, 237]).
Примечания
265
Для анизотропных пространств Wj-"^'' п р (см. C1)) тео-
теоремы продолжения доказаны в работах [33, 236, 248].
43. Пусть ф: Л" ->- Д" — гомеоморфизм и <р* — оператор, опре-
определенный равенством (<р*/) (р) = /(ф(р)). В работах [40, 43, 183]
изучен вопрос о необходимых и достаточных условиях па <р, при
которых оператор ф* осуществляет изоморфизм пространств W^\
44. Решению краевых задач вариационными методами посвя-
посвящены многочисленные работы (см. [305] и приведенную там биб-
библиографию [147, 148, 110, 239] и др.).
45. По поводу необходимых и достаточных условий на функ-
функцию ф, при которых она является допустимой, см. B7).
46. Это утверждение было доказано в работе [200], опублико-
опубликованной в 1937 г. Там же доказано аналогичное предложение для
полнгармонических уравнений, которое приведено в п. 4, § 14. Для
уравнения Лапласа это утверждение получено также в 1940 г. в
работе Г. Вейля [333]; часто в литературе его называют леммой
Вейля. (Простое доказательство можно найти в [162], с. 71.)
47. Аналогичный пример в 1871 г. был построен Примом [321],
но его работа долгое время оставалась незамеченной. Пример, по-
построенный Адамаром в 1906 г. [284], оказал влияние па исследо-
исследования в области вариационного исчисления и теории функций,
способствовал постановке проблемы о нахождении необходимых и
достаточных условий продолжимости функции в область с ее
границы с условием принадлежности этой функции в области
пространству W^ (см.'B7)).
48. Изучению обобщенных решений краевых задач для эллип-
эллиптических уравнений второго порядка посвящены многие моногра-
монографии и статьи, основные вопросы включены в учебники (см. [282,
305, 116] и приведенную там библиографию [149, 146, 162] и др.).
Обзор по уравнениям второго порядка с неотрицательной харак-
характеристической формой можно найти в [163].
49. По поводу необходимых и достаточных условий на систе-
систему функций |ф^7.*а }> ПРИ которых опа является допустимой,
см. [19].
50. Дальнейшее изучение краевых задач для эллиптических
уравнений с граничивши условиями на многообразиях различных
размерностей было проведено в работах [98, 165, 100]. Боль-
Большой интерес для приложений в теории упругости представляет
изучение бигармонического уравнения с двумя независимыми пе-
переменными, возникающего в теории пластин. Поведение в окрест-
окрестности граничных точек обобщенного решения основной краевой
задачи для бигармонического уравнения, рассмотренной в §§ 14—
15, и вопрос о гладкости обобщенного решения в замкнутой дву-
двумерной области подробпо исследованы в работах [97, 98, 293]. Эти
вопросы тесно связаны с важным в механике принципом Сон-Ве-
напа (см. [164]). Для полигармонического уравнения аналогичные
вопросы рассмотрены в работе [222]. В статье [99] дан обзор ра-
работ по исследованию краевых задач в негладких областях. Изло-
Изложение совремеппой теории эллиптических краевых задач можпо
найти в книгах [242, 11, 127, 224, 226].

266
Примечания
51. Вариационные методы нашли широкое применение в спект-
спектральной теории операторов, получили дальнейшее развитие (см.,
например, [114, 173, 148, 1, 128, 69] и указанную там библио-
библиографию).
52. В настоящее время имеется ряд монографий [66, 121, 2,
120] (см. также [77], [145], [242], [243], [141]), где различными
методами исследуется задача Коши для гиперболических уравне-
уравнений и систем. Работа И. Г. Петровского, где впервые было вве-
введено понятие гиперболической системы и исследована для нее за-
задача Коши, помещена в переводе на русский язык в книге [174].
Таи же имеется комментарий к этой работе, написанный Л. Р. Во-
левичем и В. Я. Иврием [44], где дан обзор работ по задаче Коши
и сметанной задаче для гиперболических уравнений.
53. Аналогичное исследование задачи Коши для волнового
уравнения с начальными данными из пространств В^ g проведе-
проведено в [15].
54. Полученпое интегральное уравнение B0.22) для решения
задачи Коши A9.1), A9.40) использовалось Б. М. Левитаном [118,
119] при изучепии асимптотики спектральной функции задачи на
собственные значения для самосопряженного эллиптического урав-
уравнения второго порядка с граничным условием Дирихле.
55. В настоящем параграфе решение задачи Коши сводится
к интегральному уравнению Вольтерра. Все рассмотрения прово-
проводятся «в малом», т. е. в достаточно малой окрестности фиксирован-
фиксированной точки, что обеспечивает отсутствие особых (фокальных) точек
на коноиде характеристик. В работах В. П. Маслова [142, 143] пред-
предложен метод, позволяющий свести задачу Коши к интегральному
уравнению Вольтерра глобально, т. е. в любой области существова-
существования решепия задачи. Этим методом им доказаны существование и
единственность решения задачи Коши «в целом», исследована
структура фундаментального решения, изучен вопрос о распрост-
распространении особенностей начальных функций щ и щ.
56. В последние десятилетия много работ было посвящено ис-
исследованию задачи Коши для уравнений второго порядка вида
п
B1.5), когда условие B1.0) заменено условием 2 -^ijPiPj 5M'-
Такие уравнения называются вырождающимися гиперболически-
гиперболическими уравнениями или гиперболическими уравнениями с кратными
характеристиками. Задача Коши и краевые задачи для таких урав-
непий и гиперболических уравнений высокого порядка с кратными
характеристиками изучались в работах [22, 313] и других- (см. об-
обзор [44]).
57. С учетом теоремы вложения в Ьд„ для предельного пока-
показателя (см. G)) в условии о) в 3) и 4) при п > 2, а в 5) при
п > 4 можно' считать, что е = 0. При доказательстве леммы из
п. 4 достаточно использовать теорему вложения для предельного
показателя.
58. Покажем, что функции uh имеют общую область определе-
определения Q' такую, что й@)сй'сй, для всех h, 0 < h sg /<о, К =
= const > 0. Это существеппо для доказательства теоремы.
Согласно построениям § 20 задача Коши для уравнения A9.1)
с гладкими коэффициентами и гладкими начальными функция-
Примечания
267
ми в0 и В], заданными на О@), имеет решение в тех точках ок-
окрестности ?3@), каждая из которых является вершиной характе-
характеристического коноида, принадлежащего при 0 < х0 < ж° области О,
пересекающего гиперплоскость хо = 0 в точках О@) и приводяще-
приводящегося невырожденной заменой переменных хо, ..., x^k+i вида A9.26)
к круговому конусу A9.28). Как показано в п. 1, § 19, определи-
определитель D(x0, ..., xik+i)!D{y(h ¦¦-, 2/2fc+i) отличен от нуля в вершине
коноида, и можно указать шар радиуса т с центром в вершине ко-
коноида, где этот определитель отличен от нуля, причем % не зави-
зависит от расположения вершины. Это легко видеть из формул A9.25),
если учесть гладкость коэффициентов уравнения A9.1) при стар-
старших производных.
Докажем, что решение пи при каждом фиксированном h,
0 < h ^ h0, можно определить в области Q', которая состоит из
объединения круговых конусов К сг О и таких, что угол при вер-
вершине К, составленный образующей конуса К с осью t, равен а,
а пересечение конуса с гиперплоскостью 4 = 0 принадлежит ?3@),
причем а — некоторое число, 0 < а < it/2. Легко видеть, что чис-
число а можно выбрать не зависящим от ft и положения вершины ко-
конуса К так, что характеристический коноид с вершиной, совпадаю-
совпадающей с вершиной конуса К, лежит внутри К при t > 0.
По доказанному в п. 8 и п. 9 § 20 решение иъ, задачи Коши
для усредненного уравнения с усредненными начальными условия-
условиями при 4 = 0 существует в каждом конусе К при 0 ^ t sg Y, где
1 = % cos а (т, быть может, зависит от h). Далее, решая задачу
Коши с полученными начальными условиями для ил при t = 7,
продолжим решение иъ в конусе К при ч г? t < 2у, затем 2у =g
< t < 3"f и т. д. Через конечное число шагов построим вд во всем
конусе к. Заметим, что область ?3', определяемая числом а, в ко-
которой определены пъ, зависит лишь от О и максимумов модулей
коэффициентов Ац уравнения B1.5).
59. С учетом теорем вложения в Lg# для предельного пока-
показателя (см. G)) в условиях н) в 2) при п > 21 — 2, в 4) при п ">
> 21 и в 5) при п > 21 + 2 можно считать е = 0. При этом для
доказательства леммы из п. 7 нужно использовать теорему вложе-
вложения для предельного показателя.
60. Аналогом приведенного здесь метода получения априорных
оценок для решения задачи Коши для гиперболического уравне-
уравнения второго порядка для случая гиперболических уравнений вы-
высокого порядка является метод разделяющего оператора Ж. Ло-
Лоре [120]. - - ¦--
61. Относительно области существования решений см. (°8),
62. Отметим, что используя оценки, аналогичные тем, которые
получены в пп. 4 и 7, можно построить решепия обобщенной и
классической задачи Коши B1.5), B1.7) методом Хопфа—Галер-
кина [289]. Приближенное решение ищется при этом в виде ли-
линейной комбинации конечного числа функций, зависящих от х
и взятых из некоторой полной системы функций, с коэффициен-
коэффициентами, зависящими от t. Коэффициенты определяются как решения
соответствующей системы обыкновенных дифферентом льны х урнг.-
нений. Теоремы вложения позволяют получить сходимость таких
приближенных решепий к решению задачи Коши (см., напри-
например, [36]).

Дополнение
НОВЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ НОРМАЛЬНЫХ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ*)
Проблема, которой мы займемся в этой статье, изучалась раз-
различными авторами. В наиболее общем случае эта проблема впер-
впервые решена Адамаром в его хорошо известных статьях и его изящ-
изящной книге «Лекции о задаче Коши для гиперболических уравне-
уравнений» [2]. Другое решение принадлежит М. Матиссону [300].
Мы даем здесь иное решение этой задачи. Основная идея на-
нашего метода, отличпая от методов упомянутых авторов, является
развитием идей Кирхгофа, примененных им к волновому уравне-
уравнению с постоянными коэффициентами в пространстве трех изме-
измерений (четыре независимых переменных). В. Г. Гоголадзе и автор
уже применяли излагаемый в этой работе метод к некоторым ча-
стпым случаям [191, 192, 54, 55, 56]. Три заметки на эту тему
были опубликованы в журнале «Доклады АН СССР» [193, 194, 195].
В данной статье мы изложим этот метод детальпо. Первая гла-
глава содержит вывод нашей осповной формулы, которая использует-
используется для построения первого вычислительного метода. Эта формула
ость интегральное тождество, связывающее произвольную функ-
функцию и с начальными значениями
да
i=0
этой функции и ее первой производной на начальной поверхно-
поверхности и с функцией р = I/B, которая есть результат применения
линейной дифференциальной гиперболической операции к в.
Затем мы изложим некоторые элементарные вычисления по-
последовательных приближений, которые позволят вывести второе
основное тождество. Это тождество дает выражепие значения
функции и через указанные выше функции р, и@), иA).
*) Настоящее дополнение является переводом с французского
языка статьи С. Л. Соболева [196], опубликованной в 1936 г.
(Краткое изложение результатов этой статьи содержится в его
заметке [195], напечатаппой в «Докладах АН СССР» в 1935 г.). Пе-
Перевод статьи вынолпон В. П. Паламодовым, им же написаны при-
примечания к этой статье, помещенные в конце дополнения.
1. Основное тождество
269
В других главах содержатся общие соображения, касающиеся
существования искомого решения. Используя некоторые попятил
функционального анализа, мы представим пашу задачу в новом
виде и покажем, что в этом виде она всегда имеет единствощгоо
решение. Если искомое решение существует в классическом смыс-
смысле, то наше решение совпадает с ним.
1. Основное тождество
1. Задача Коши. В этой главе мы займемся обобщением фор-
формулы, принадлежащей Кирхгофу, которая будет очень важна в
дальнейшем.
Наиболее общее уравнение липейного нормального гипербо-
гиперболического типа с четным числом независимых переменных, как
известно, может быть приведено к виду
l 2/1+1 „ 2k+l
где коэффициенты Aij = Aji, В,, С суть функции независимых
переменных х\, х2, ..., ж»+ь t, a. F — известная функция тех же
переменных.
Задача Коши состоит в отыскании решения этого уравнения,
удовлетворяющего условиям
at
= иA) (х1
.,x2k+1
i)-
A.2)
В дальнейшем мы ограничимся случаем, когда коэффициенты Aij,
В,, С являются аналитическими функциями независимых пере-
переменных, но это предположение несущественно для последующего
изложения и может быть заменено условием, что коэффициенты
имеют некоторое число непрерывных производных.
Для того чтобы уравнение A.1) было нормального гиперболи-
гиперболического типа, необходимо и достаточно, чтобы квадратичная форма
была положительно определена. Будем пред-
полагать, что это условие всегда выполнено.
2. Предварительные замечания. Напомним теперь некоторые
основные детали, связанные с конструкцией характеристическо-
характеристического коноида, имеющего вершину в точке М° с координатами х^,
я*, ..., X1k+i' *°# ^ак известно, уравнение характеристической по-
поверхности для уравнения A.1) есть
- о2 = 0, A.3)
2&+1 2ft+l
j
2&+1 2Й.+ 1
sa 2 2
3=1
2
i
Pt, q означают величины, пропорциональные направляющим

270 Дополнение. Новый метод решения задачи Коши
косинусам нормали к характеристической поверхности. Пусть
G = 0 A.4)
есть уравнение этой поверхности; тогда pt и q могут быть выбра-
выбраны по формуле
8G
dG
dt m
A.5)
Уравнения для бихарактеристик, т. е. «характеристик для харак-
характеристик» суть
d d dt ~dq
Бихарактеристики для A.1) —это те решения A.6), для которых
•4=0. A7)
Интегральная поверхность уравнения A.1) порождается мпо-
гообразием M2h+1 точек М с координатами хи х2, ..., x2k+h t, при-
принадлежащих семейству бихарактеристик, удовлетворяющих A 7)
и зависящему от 2/с параметров vu v2, ..., v2h, таких, что
z +...
+ q dt = 0.
A.8)
Из теории уравнений первого порядка известно, что условие A.7)
удовлетворяется вдоль любой интегральной кривой системы A 6),
если оно выполнено в некоторой точке s = 0 этой кривой. Подоб-
Подобным образом условие A.8) автоматически удовлетворяется на всем
многообразии M2h+h если оно справедливо на подмногообразии М2ъ
отвечающем некоторому постоянному значению s.
Построим далее семейство бихарактеристик, проходящих че-
через точку М°. Ясно, что их можно определить как интегральные
кривые A.6), удовлетворяющие начальным условиям:
A.9)
Здесь p\ji q\ произвольные параметры, которые, как мы уяге
видели, должны удовлетворять соотношению
2ft+l 2U+1
VI VI
л0п0
PiPj
„О2
A.10)
(смысл А0^ очевиден).
Таким образом, мы получаем семейство, зависящее от 1к + 1
параметра, но, как легко понять, с точки зрения величин ж< и t
1. Основное тождество
271
один из этих параметров лишний, поскольку он входит как общий
множитель для pi и q. В самом деле, заменяя в A.6) р% и q вели-
величинами ар* и ад*, as — величиной s*/a, мы по меняем уравне-
уравнений, т. е. если система функций
xi{s), t(s), pi(s), q(s)
удовлетворяет A.6), то система функций
Xi(sla), t{s/a), ap<(s/a), ag(s/a)
также удовлетворяет этой системе уравнений.
Итак, для того чтобы сохранить в пространстве Д2&+2 все точ-
точки, принадлежащие бихарактеристикам, проходящим через М°,
можно ограничиться рассмотрением лишь тех кривых, для кото-
которых, например, д° = 1. При таком предположении наше семейство
удовлетворяет обоим условиям A.7) и A.8) при s = 0, т. е. в точ-
точке М°, и, следовательно, многообразие M2h+i точек этого семейства
представляет собой характеристическую поверхность в R2h+2. Эта
поверхность называется характеристическим коноидом.
Чтобы уточнить некоторые свойства этого коноида, мы про-
проделаем более детальный анализ интегралов уравнения A.6). Пред-
Предположив, что в окрестности точки М° функции Л,-Зу Вг и С могут
быть разложены в ряды по степеням (а^ — я?) и (t—1°), мы за-
заключаем, что общее решение A.6) при условиях A.9) также мо-
может быть разложено в ряды по степеням s, коэффициенты кото-
которых суть функции от я?, t°, p\, g°, Легко показать, что коэффици-
коэффициенты при s" в разложениях для xi ш t являются однородными по-
полиномами п-ш степени от величин р\ и д°, в то время как коэф-
коэффициенты при s" в разложениях р< и q суть однородные полино-
полиномы порядка п + 1 от этих величин. Действительно, процесс вычисле-
вычисления этих коэффициентов состоит в определении значения и-й
производной неизвестной функции по переменной s в начальной
точке. Если мы установим, что п-в производная х\ и t (или pi
и q) представляет собой в каждой точке однородный полином сте-
степени п (соответственно п + 1) от величин р\ и q°, то наше утверж-
утверждение будет доказано. Это доказывается по индукции с учетом
того, что производная по s такого полинома Пп—1 (р?, q ) выра-
выражается следующим образом:
2Й+1
ds ?i dp, ds
дхг ds
Я fl*
dq
dt
A.11)
dx, dt dpi dq
Заменяя здесь производные —, —, -—, -± их выражениями, co-
cods ds ds ds
держащимися в A.6), мы видим, что указанная выше производ-
производная есть полином степени п, что и требовалось доказать.

272 Дополнение. Новый метод решения задачи Коши
Прямые вычисления показывают, что xt, t, p{ и q имеют сле-
следующие разложения:
2Й + 1 то
J--1 п—2
оо
' п=Я* "№'*'' A.12)
П=2
Следует заметить, что эти ряды равномерно сходятся в некоторой
окрестности точки s = 0 не только для вещественных р\ и q°, но
также и для любых комплексных значений этих параметров, огра-
ограниченных некоторым числом М.
Вместо if и ( введем нормальные перомеппые Липшица, т. е.
переменные
Pi = «Pi» Q = ч°- A.13)
Как мы видим, переменные xt — ж? и t —1° могут быть раз-
разложены в равномерно сходящиеся ряды по Pi и Q:
A.14)
П—2
a pi и q представляются рядами
A.15)
Связь между Pi, Q и xi — x°i, t — t° обратима, т. е. функции Pt
и Q можпо разложить по степеням 1(-г|я(-(,
Пусть
A.16)
1. Основное тождество
273
— эти разложения, причем Н^ и Нп суть однородные многочле-
многочлены otZj — х°г и t — t°, а матрица Н^. является обратной к матри-
матрице А°ц, т. е.
В координатах Pi ж Q уравпепие характеристического коноида
приводится к виду
2 A%PiPj - <?2 - о.
A.18)
Это следует из соотношения A.10) после умножепия па s2. Для
дальнейшего необходимо разрешить это уравнение относительно I.
Допустим, что после этого разрешения уравнепие коноида приоб-
приобретает вид
t — x(xu х2, ..., x2k+l) =0. A.19)
Теперь мы вычислим некоторые частные производные t по пе-
переменным х\, Х2, • • ¦, x2h+\. Очевидно, что
дх
дх,
8G
dt
Рг+
П=2
2Й+1
j=l
W—2
-; A.20)
n
П=2
A.21)
где в числителе опущены все члены порядка, равного или пре-
превосходящего три, а в знаменателе опущены члены порядка, боль-
большего три. Вычисления производных высших порядков очевидны.
18 с. Л. Соболев

274
Дополнение. Новый метод решения задачи Коши
Числители и знаменатели полученных функций очевидно схо-
сходятся в области, общей для всех производных. Степень первого
члена в знаменателе равна степени соответствующего члена чи-
числителя плюс т— 1, где т — порядок производной.
3. Некоторые соотношения между последовательными произ-
производными данной функции. Вместо переменной t введем новую не-
независимую переменную
Ц = t — х.
Условимся обозначать результат замены независимых переменных
в произвольной функции ф символом ф, т. е.
Ь Х2, ..
)=ф(хЬ Х2, ..
A.22)
д
Обозначая через -^ частную производную по xt при условии,
что независимыми перемегшыми являются х\, х%, ..., x2k+i, t, a
D
через -jjj- производную по той же поремеппой в предположении,
что независимые переменные суть xt, х2,
но, получаем, что
'i, MbIi очевид-
очевидди_
dt
Du ?^f
d2u
дх.дх
_D4_
'Dxfix.
D2u Ox
ди
D2u
Du
ОХ
Du d?
Dt'^i
Dxfit^
DxjDt1 dx{'
D*u Ox Ox Du
После указаппой замены операция Lu примет вид
т, Du
A.23)
2'ft+l
¦2
i=i j=
t=l I 3=1
~a x\
2-
u
ex\Du
J
2^-
i=l j=l
- at ox
A.24)
Введем некоторые обозначения. Рассмотрим в пространстве i?2fc+i
с координатами х\, х2, ..., хгл+i следующие линейные операции:
at ат 04
1. Основное тождество
275
2Й+1 Г2к+1агл
2Й+1
V.
=o
A.25)
Кроме того, условимся обозначать через us значение —j" на ха-
характеристическом копоидо, т. е.
. A.26)
Дифференцируя тождество A.24) s раз по t и полагая tx = 0, мы,
очевидно, получим
2я! .
г! (s — г
OsLu
r=l
dts
= 0). A.27)
операции, примененные к одной функции и обо-
мы окончательно получаем
A.28)
*-r (%' uv ¦ ¦ ¦ > u
8=0
_l). A.29)
18*

276 Дополнение. Новый метод решения задачи Коши
Система тождеств A.29) играет в последующем существенную
роль.
4. Конструкция функций аг. Операции Мн-Г суть к линейных
преобразований над к + 1-й функцией щ, щ, ..., пн. Введем си-
систему из к + 1 линейного преобразования Nr, действующего на к
функций oi, 02, ..., Ok, которые будем называть сопряженными к
преобразованиям Мъ-Г. Эти сопряженные операции получаются
интегрированием по частям выражения
ft
S CTArfi?2b+i'
8 = 1
где интегрирование ведется по части пространства Лгл+i, таким
образом, что возникающий интеграл не содержит производных и.
Коэффициент при щ в этом интеграле есть операция Ni. Простые
вычисления дают
N
h—r+l!
s=o
(г = 2, 3, ...,к),
ft-i
A.30)
s=o
где знак * указывает на операцию сопряжения в классическом
смысле. По определению мы имеем
j=i " " i=o " «=i
ft ft-j+l 2ft+l
+2 2 (»д*-М-владчд=
j=l s=o r=l r
Ниже мы уточним вид функций Ur, которые легко вычислить.
Построим теперь систему функций аг, являющихся частными
решениями системы уравнений
Z = 1,2, ..., к).
A.32)
Выберем эту систему так, чтобы она обладала следующими свой-
свойствами:
а) каждая функция ar является однозначной аналитической
функцией переменных pj, p\, ..., p'ft+i' 2° и s и зависит лишь
от произведений p\-s, p%-s, ..., P^h+1-s, q°-s. Следует заметить,
что эти переменные зависимые, так как на нашем характеристи-
характеристическом многообразии мы можем веегда положить д° = 1, а с дру-
1. Основное тождество
277
гой стороны
2ft+l
S
«°
б) каждая функция ог как функция перемепной s может быть
представлена как полином степени i— 1 от ]og(q°s):
l°8 № +¦¦¦+ Я^1 (s) flog (A)]1"- A-33)
Коэффициенты при степенях log(q°s) суть ряды по степеням s,
содержащие некоторое число членов отрицательных степеней и
сходящиеся в определенной области.
Первый член в ряде R^ (*) имеет вид cs~(*+r-'~1', причем в
первом ряде, т. о. в Д^' (s), этот член в точности равен
= а^"*-^1, A.34)
где А0 есть значение дискриминанта формы А в точкеzj, zjjj, ...
* '" ^ частности, первый член в ряде R^ (s) есть
*2ft+i' '"
1
A.35)
Ясно, что полное разложение о> зависит от выбора первого члена
Легко видеть, что система A.32) рекуррентна и функции сгг
могут быть последовательно определены. Для каждой функции
ог мы, таким образом, имеем линейное дифференциальное уравне-
уравнение первого порядка, правая часть которого зависит от всех функ-
функций о"; (I = 1, ..., г—1). Поэтому все ov могут быть получены
простыми квадратурами. Чтобы доказать существование этих ре-
решений, мы будем действовать по индукции.
Предположим, что функции аи сг2, ..., ar_i уже определены
указанным образом. Уравнение для ov имеет вид
s=o
A.36)
Проинтегрируем это уравнение методом вариации произвольной
постоянной. Соответствующее однородное уравнение есть
•? = 0.
A.37)

278 Дополнение. Новый метод решения задачи Коши
Операция /(ft~r)*0r имеет вид
_а\_
дх-дх-
2Й+1
*i-o г\
Zd Ot
т. e.
(
=2 2 2 ^
dx
j
Учитывая, что
at
ds
(cm. A.6)), и обозначая через Or коэффициент при аг в уравне-
уравнении A.38), мы получаем
Из уравнения A.39)
A.39)
A.40)
Рассмотрим подробнее второй множитель в A.40). Функция
qsQr есть, очевидно, значение на характеристическом коноиде
частного двух регулярных степенных рядов от Р\, ^2, ...,P&+i, Q-
Это становится очевидным, если мы заметим, что коэффициенты
А дА
А--
и
дАЧ
дхг'
dt
суть регулярные степенные ряды по
г
Р, Ро С а производные t суть частные, как мы это видели в
п. 2. Следовательно, qsQr как функция переменной s и параметров
р°, ...,q° может быть разложена в сходящийся ряд по степеням
1. Основное тождество
279
этой переменной в некотором круге
М < I
A.41)
зависящем только от ближайшего корня знаменателя в выраже-
выражениях для производных t, т. е. от ближайшего корня функции
g(s, pj, ..., p°2h+1, q°) и радиусов сходимости других рядов, вхо-
входящих в выражение для qsQr (учитывая, что начальное значе-
значение q есть единица, мы видим, что радиус круга A.41) отличен
от нуля).
Вычисляя первый чЖен в разложении qsQr, мы видим, что он
связан с выражением
a2t '
и равен
2Й + 1 2Й+1
Q ^^
г=1 г=1
++
- 2 (/, +
i") <?2 -
¦=-2ft. A.42)
Используя этот результат, мы можем уточнить формулу A.40),
положив
A.43)
Выражение A.42) есть аналитическая функция переменных
Pi, Рь ..., Pik+i, Q и функция переменной s, которая может быть
.разложена в ряд по степеням s с ненулевым радиусом сходимости.
Отсюда следует, что функция
1 (-
Г Bк -
(к) ~
1) ffi
A.44)
будем иметь указанный вид.
Перейдем к вычислению самой функции аг. Обозначая правую
часть уравнения A.36) через %г, мы сможем получить общее ре-
решение этого уравнения в виде
A.45)
Теперь рассмотрим выражение %г более детально. Производные

280
Дополнение. Новый метод решения задачи Коши
по хи х2, ..., x2k+\, которые входят в операции A.30), могут быть
заменены производными по нормальным переменным Pi, Р2, ...
..., jP»+i, Q. С другой стороны, производные по Р{ или Q функции,
которая зависит только от этих аргументов, т. е. от произведений
р\ и q° и переменной s, могут быть сведены к производным по
р\ и q° с помощью следующей простой формулы:
dF(PvPt, ...,P2h+vQ)
откуда
др\
dF
¦ dF
' дР,
l dF
s дР\ '
A.46)
Из этого замечания и структуры функций аь а2, ..., аг-1 следует,
что % также является полиномом степени г — 2 относительно
log (<Л):
Хг = Т« («) + Т^ (») log (q°s) + ... + Т^ 2 (в) [log (<А)]Г~. A.47)
Коэффициенты полинома т[г\ очевидно, будут рядами по сте-
степеням s, сходящимися в том же круге A.41).
Легко проворить, что главный член выражения Ту
имеет вид
а главный член в Т^ (s) эквивалентен величине
D2 (—2)k-r+1 T(k+r — 2) Г (ft)
ШЖ> т/То Г(й-г+2)ГBЛ-1)Г(г-1)<?"
2fe+12ft+l
V
Т(к+г~2)Т(к) (^k-r+2)
22^
Zi 4dAVdx.dx. Т/То Г(Л-г+2)ГBЛ-1)Г(»-1)
x
^о, _х—А—; х
Г (ft + г - 2) Г (к) (- ft - г + 2) (- ft - г + 1) ^_„_г.
9
+
г (к + г - 1) Г
Г (ft - г + 1) Г Bft _ 1) Г (г — 1)
1. Основное тождество
281
и, следовательно, равен
_ (- 2)h~r+1 Г (ft + г — 1) Г (к)
~ Т/^оГ Г(А-г+1)ГBА-1)Г(г-1)
Выражение
2аг
A.49)
A.50)
также является полиномом от log (g°s) вида
¦^= L« (S) + L« (,) log (9°») + ... + 4'2a(.) [log (g°S)]r~2. A.51)
Главный член в L^p (s) имеет порядок *~r~I+1, а главный член
в Ц^ (s) равен
(~ ^2Г r(ft+r-l)T(ft) (?o,)-r+i A 52)
Наше утверждение можно доказать, почленно интегрируя A.45).
Полезно отмстить, что выражение для ./V* совпадает с — %T+i
и что к нему также применима формула A.47). Следует за-
заметить, что главный член в r^ft+1) обращается в нуль, так как
функция Г (ft — г+1), находящаяся в знаменателе, обращается в
бесконечность.
5. Первое основное тождество. Теперь нетрудно вывести наше
первое основное тождество. С этой целью снова рассмотрим харак-
характеристический коноид с вершиной в точке М°. Этот коноид пере-
пересекается с гиперплоскостью t = 0 по многообразию, которое являет-
является границей области До:
0 < т (xv xv ..., х2к+1; х\, х\, ..., x%h+v t°) = t (M; M°, t°)
A.53)
в нашем пространстве R2h+i- Удалим точку х^, х^, ..., a^h+1 из
области Do вместе с малым эллипсоидом
2ft+l
а оставшуюся область обозначим DrQ. В D'Q функции а имеют не-
непрерывные производные и удовлетворяют системе A.32). Таким
образом, сравнивая A.29) и A.31), мы будем иметь в D'Q тож-
тождество
r—1

282
Дополнение. Новый метод решения задачи Коши
Теперь, чтобы вывести нашу первую основную формулу, не-
необходимо проинтегрировать тождество A.55) по области D'o и
преобразовать правую часть к интегралу по границе '
лучим
dh~'Lu
D'Q. Мы по-
поD0
С
1=0
С
~ J
где cos nxT — направляющие косинусы внутренней нормали в
евклидовом смысле, а через dS^h+i обозначен элемент гиперповерх-
гиперповерхности в Дгь+i также в евклидовом смысле.
Теперь остается перейти к пределу при в-»-0. С этой целью
сделаем замену переменных Х[, х$, ..., x^k+i, введя координаты
у и у^, ..., ул+i так, чтобы положительно определенная форма #°
превратилась в сумму квадратов
3=1
Очевидно, что коэффциенты а,3- удовлетворяют уравнению
2fe+12ft+l In j , j.
i=l j=l I1' ' — *•
Введем также коэффициенты обратного преобразования
A.59)
A.60)
рг— 2j $jisj (i-6i)
сводит форму А°(Рг) к сумме B& + 1)-го квадрата. Чтобы это
доказать, полезно применить некоторые определения из теории
матриц. Пусть а = ||ajj|| матрица и а транспонированная матрица,
т, е. ац =ац. Тогда, если б единичная матрица, то условие A.58)
которые связаны с ац формулой
2Ы-1
i=i
Транспонированное обратное преобразование
1. Основное тождество
283
может быть записано в виде аЯ°а = б, откуда, обращая, получаем
EЛ°Р = б и окончательно
A.62)
что доказывает наше утверждение.
Следует отметить, что_определитель линейной подстановки ац
выглядит так: |aij| = УД0. Это вытекает из формулы A.58).
Для дальнейшего полезно оценить величину g°s, т. е. величи-
величину Q в координатах г/г. Для этого достаточно заметить, что на
нашем характеристическом коноиде
= S
так как он преобразуется в <?2 = 2 ^\. С другой стороны, пе-
г=1
ременные 5г связаны с yi формулами
П=2
откуда следует, что
= S
п=з
A.63)
/2ft+l
г=1
мы видим, что величина q°s того
же порядка, что и р.
Из нашей оценки величин JV* и о, следует, что интегралы
в правой части A.56) равномерно сходятся во всей области Do п
что правая часть имеет определенный предел при е -»¦ 0. Это стано-
становится очевидным, если, например, мы введем «полярные коорди-
координаты» с помощью формул
уг = pcos61,
yih = р sin ex sin e2... sin e2ft_1 С08 Ф,
A.64)

284 Дополнение. Новый метод решения задачи Коши
Мы будем иметь
Уя. "м Vth+1)
= / aV* sin2ft-Je, sin2*-* e2... sin 0^4, ^ ... ^.^
A.65)
Учитывая, что абсолютные значения величины N* (а) и вели-
величин а,- не превосходят 4p-24ogp, мы заключаем, что они инте-
интегрируемы на Д»+ь что и требовалось доказать.
ТепеРь заменим переменные жь ж2, ..., ж2ь+! в правой части
A.56) переменными уи у2, ..., уы+i. Заметим, что выражение
J 2 tfr
преобразуется в
'^1 1
*=1
где Fs связаны с Ua формулами
+
A.66)
Для доказательства нужно заменить cos nxrdxS2k+i величиной
dxidx2 ...
dx.
и сделать замену переменных.
В координатах у г эллипсоид A.54) превратится в сферу, cos nyi
Уг
станут равными — a dyS2h+i обратится в
ft-10, si
... sin 92*-i
Можно показать, что член порядка е~2* в каждом выраже-
выражении Us возникает в результате интегрирования по частям функции
ак о о — ио^о ак' Точнее говоря, этот член происходит из
7 ипА°,,-х—.Если мы учтем лишь слагаемое —,— „ь т в он,
М. ° п дхз У A°Q2h x
то сможем заменить это выражение на
ggHik-l)
Pi
-
1. Основное тождество
285
на -y==Bk~l)uo(q°s)-2k-1 2 АОуР;, и,
V A
-y=
V A
наконец,
j=i
Bfc - 1) uos~
A.67)
С помощью простого вычисления мы можем найти, что
lim j 2 uscos nxsdxS2k+i =
2h+l
2k+i\
В(х°,Я°, ...,*°л+1,*0). A-68)
„B + D/2
Обозначая постоянную 2 B& — 1) —J2k+i\ через к' мы полУчим
из A.56) основное тождество
2ft+l
C°S ^«
т(м;м°,*о)=о s=1
1 j J u (M, t) N*o (M;M°, t°) dR2k+1 -
2 a, (M; M°, i")
j=1
0
/
, A.69)
где Ж —точка с координатами жь ж2, ..., ж2а+ь а Ж0 — точка с ко-
координатами x°v ж", ..., «gft+i' Это интегральное тождество есть
основа нашего метода.
6. Метод последовательных приближений и вторая основная
формула. Преобразуем формулу A.69), подставим в правую часть
A.69) значение и, взятое из левой части. Мы получим
-г И
o<T(M;M
j
т(м;м°,«°)=о
at*

286 Дополнение. Новый метод решения задачи Коши
N* (M; M\ t°) X
0<x(M;M°,t°)=t
X { —
т(мA);м,*)=о s=1
К (MA)=M' 0в
X
Сеотношение A.70) есть итерированная основная формула.
Повторяя эту процедуру, т. е. подставляя в последний интеграл в
A.70) значение »(M<'>, iA>), взятое из A.69), мы получим дважды
итерированную формулу и т. д.
Докажем теперь, что правые части итерированных формул
сходятся к некоторому пределу, если число итераций неограни-
неограниченно растет. В результате получим наше второе основное тож-
тождество. Для этого достаточно лишь доказать, что член, содержащий
саму функцию и в правой части п раз итерированной формулы
<(М;ЛЛ*°)Х
X
X
M()(
)
; М,
JV* (M<2>;
X и {M^\ *<«)) ^^dfl^J) • ¦ • dfl&Vi'HWi. A-71)
стремится к нулю. Сначала заметим, что величины Un(Ma, t°) свя-
связаны следующим рекуррентным соотношением:
(о
; М°, t°) Un_x (M, t) dRth+v
A.72)
1. Основное тождество
287
Функция Uo, очевидно, ограничена,
полярные координаты
Х\ — р cos 0i,
Хч = р sin 0i cos 02,
. Если мы введем
= р sin 0i sin 02 ... sin 02a-i cos cp,
= p sin 0i sin 02 ... sin 02ft—i sin <p,
A.73)
то сможем записать
dR2h+i = 92k sin 2*-% sin»-2e2 ... sin
... dQ2k-idy. A.74)
Из формулы A.47) следует, что величина ЛГ0 (М; М°, t°) не пре-
превосходит MQ~2h~a, где М есть константа, а a — любая положитель-
положительная постоянная. С другой стороны, из A.18) следует, что Q ^Ар.
Формула A.72) нам дает
4
J
oo
о о
X
{sin
2'i-
:101d01
X
A.75)
Заметим теперь, что для фиксированных 0Ь 02, ..., ф функция
Pi = la — т зависит лишь от р и удовлетворяет неравенству
р, s? Lt p и
Ln.
Заменяя р переменной pi, мы получим
°, t°) | < 1J ...
о о
A.76)
Далее предположим, что Un-i удовлетворяет неравенству
\Un-i(M°, t°)\ <^»-I«()(»-1)(i-«)/r((re — 1)A — a) +1),
и докажем, что для Un справедливо неравенство
\ип(М°, t°)\ ^SntOnl-l-a4T(n(l-a) + 1).
Поскольку это условие выполнено для Uo, мы сможем заклю-
заключить, что оно выполнено для всех функций Un, и, следовательно,
они равномерно стремятся к нулю.

288 Дополнение. Новый метод решения задачи Коши
С этой целью мы подставим в A.75) предполагаемую оценку
для Un-i. Мы получим "
77
\tt° —
Pi d
= 8п~гС
,On(i—а)
В ((re — 1) A — а) + 1, 1 — а) =
_ a)T ((№ _ t) A _ а) + ^ г A _ а)'
Г ((в _ 1) A _ «) + 1) Г ((в - 1) A - а) + 2 - а)
и, полагая S =СТA —а), придем к искомому неравенству.
Переходя к пределу в итерированном тождестве, мы приходим
к нашей второй основной формуле, которая записывается в виде
ряда
A.77)
п=о
где
Us (M; M°,t°) cos nxsds2k+1'-
г(м;м°,«»)=о s=1
И
(M;
Jn_x (M, t)
1.78)
A.79)
7. Первый алгоритм решения. Сказанное выше позволит нам
построить алгоритм для нахождения решения задачи Коши для
уравнения A.1) в предположении, что такое решение существует
и имеет ограниченные производные до порядка (fc + 1). Действи-
Действительно, в ряде A.77) теперь известны все члены, так как U, зави-
зависит лишь от значений производных функции а на поверхности
t = 0. Но, как известно, эти производные могут быть вычислены
с помощью данных Коши A.2). Значения функции Lu и ее произ-
производных также могут быть получены из уравнения.
Заметим, что сходимость ряда A.77) может быть установлена
немедленно с помощью оценок, полностью аналогичных тем, ко-
которые мы проделали выше. Мы получим
|/„| ^^""('-«YIXl —а) + 1).
Теперь нам остается доказать существование решения. Этот во-
вопрос есть тема следующих глав.
2. Функциональное пространство
289
2. Функциональное пространство A)
1. Основное функциональное пространство. Для дальнейшего
очень важно рассмотрение функционального пространства, которое
мы обозначим Ф. Элементы этого пространства суть функции ф,
зависящие от 2к + 2 независимых переменных х\, х2, ..., жгм-ь t,
непрерывные вместе с некоторыми своими производными. Каждой
такой функции ф должна отвечать некоторая ограниченная об-
область Уф, вне которой эта функция обращается в нуль. Множество
функций нашего пространства, которые имеют непрерывные про-
производные до порядка s, образуют подпространство Ф3.
Определим понятие сходимости для функций нашего про-
пространства. Скажем, что последовательность фп функций сходится
со степенью s в Ф к функции ф, если
1) существует ограниченная область Уф, содержащая внутри
себя все У„ ;
2) функции ф„ со своими производными до порядка s равно-
равномерно сходятся к функции <р и соответствующим ее производным.
Эту сходимость мы обозначим так:
Ф„4Ф. B.1)
г
Очевидно, что соотношение B.1) влечет фп=>ф для каждого
г sg; s.
Введем понятие линейного функционала на Ф. Пусть
(Р ¦ ф)—число, которое получается в результате применения
функционала р к функции ф. Функционал ip называется линейным
класса s, если он определен для каждой функции из Ф„ и удо-
удовлетворяет условиям:
(р • aq>i + 6ф2) = а(р • <pi) + Ь(р ¦ ф2), B.2)
если
B.3)
Множество функционалов класса s будет обозначаться через Z8.
Очевидно, можно определить сумму двух функционалов и произ-
произведение функционала и константы. Введем понятие предела по-
последовательности функционалов (слабая сходимость). Мы скажем,
что последовательность >рп сходится в Zs к функционалу р, если
(рпф) ->- (р ¦ ф) для всякой ф из Ф,. Эта сходимость будет обозна-
обозначаться так:
Далее рассмотрим линейные операции в нашем пространстве.
Пусть ?ф — функция, полученная применением операции L
к функции ф. Операция Ltp в Ф называется линейной, если она
1) аддитивна и 2) непрерывна:
bLq>2,
если
B.4)
B.5)
19 С, Л, Соболев

290 Дополнение. Новый метод решения задачи Коши
т. е. если эта операция сопоставляет некоторому множеству Ф8
подмножество Ф8 с сохранением сходимости. Непрерывность
этой операции определяется, таким образом, функцией si(s2), ко-
которая сопоставляет числу s% некоторое другое число s\. Предпо-
Предполагается, чта эта функция, которую мы назовем функцией не-
непрерывности, определена по крайней мере для одного значепия в г.
Подобным образом можно задать линейные операции в про-
пространстве функционалов. Линейная операция есть операция, кото-
которая сопоставляет каждому функционалу из Zs некоторый функ-
функционал из класса Zs и является аддитивной и непрерывной:
6р2) =
B.6)
l 2
Lpn-s-Lp, если р„-*-р.
B.7)
Характер непрерывности этих операций также задается соответ-
соответствием между двумя числами sj и s2.
2. Некоторые важные примеры функционалов. Теорема о при-
приближении функционалов. Среди линейных функционалов некото-
некоторые имеют совсем простую форму. Они могут быть записаны
в виде
B.?
(pep) = j j j p (M) <p (M) dR2k+2,
где р(М) есть функция точки М, суммируемая со всеми своими
производными до порядка s на каждой ограниченной части про-
пространства. Такие функционалы мы назовем функционалами сте-
степени s. Свойства таких функционалов имеют важное зпачепие в
дальнейшем, поскольку всегда можно построить последователь-
последовательность функционалов произвольной степени, которая сходится к
любому функционалу р из Z3.
Построим такую последовательность. Пусть ш^ (Мх) — функ-
функция, заданная формулами
/цЬ 4-1
если
г (Ж1, Ж2) <т),
а константа К определяется как
B.9)
B.10)
2. Функциональное пространство
291
По заданному функционалу р построим функцию Рп(М) по формуле
Рт1(М) = (Р.(о^). B.11)
Докажем, что при бесконечно малом т] функционалы \рч сходятся
к функционалу р в Z,. В самом деле, находим
(р1-ф)=J Пф(М) ръ{М) йд^+2' B-12)
Хорршо известно, что этот интеграл может быть заменен суммой
Ф (М) р„ (М) dR2h+2 =|Ф (|4) р„ (Ц AFi + е =
где е бесконечно малая величина, когда малы AF,. Таким образом,
' Ф (М) 9ц (М) йД2Ь+а =
Переходя к пределу при AF, стремящихся к нулю и замечая, что
сумма ^ Ф (?i) шт] A^i равномерно стремится к предельной
i=l
функции
(М)
Ф
вместе с производными до порядка s, мы получаем
GPti • ф) = (Р -Фч).
B.13)
Еще раз переходя к пределу и учитывая, что ф,, стремится к ф
равномерно с производными до порядка s, мы видим, что (рл • ф) -*¦
S
-*¦ (р ¦ ф), т. е. р^-э-р. Функционалы рп, очевидно, имеют беско-
бесконечную степень. Следовательно, наша теорема доказана.
3. Некоторые важные примеры линейных операций. Сопря-
Сопряженные операции. Дадим несколько примеров линейных операций
в пространстве функций. Наиболее простая есть операция умно-
умножения на данную функцию со (Ж)
?ф = соф. B.14)
Легко понять, какова ее функция непрерывности. Если функция со
имеет непрерывные производные до порядка^. то *1=niin(s2i s>2)'
Рассмотрим также операцию дифференцирования. Мы имеем
?ф=т!гф. B.15)
Функция непрерывности в этом случае есть si = s2 — 1. При цо-

292
Дополнение. Новый метод решения задачи Коши
мощи сложения и умножения из этих операций получаются обык-
обыкновенные дифференциальные операции, представляющие для нас
специальный интерес.
Можно построить примеры линейных операций в пространстве
функционалов, используя понятие сопряженной операции. Рас-
Рассмотрим произведение
(Р ' Ьф). B.16)
Легко видеть, что это произведение зависит от <р линейно, т. е.
(р • L(a<p, + 6ф2)) =а(р • ?фО + 6(р • ?ф2) и (р • ?фп) -> (р . ?ф),
S
если psZs и фп
быть записано как
¦ ф. Следовательно, это произведение может
(X -ф),
B.17)
где % есть функционал. Функционал % зависит от р также линей-
линейно. Аддитивность очевидна, так как
a(pi ¦ Zkp) + 6(p2 • Ltp) = (api + 6р2 • Lq>). B.18)
Непрерывность следует из того, что (рп • 1лр) -*¦ (р • ?ф), если
и
B.19)
а поэтому функция непрерывности является обратной к функции
si=|x(s2) (точнее, каждому значению s\ отвечает наибольшее
возможное число s2)- Итак, % = L*p. Операция L*p называется
сопряженной к операции L<p.
Для функционалов специального вида, которые мы рассматри-
рассматривали в п. 2, можно естественным образом определить операции
умножения на произвольную функцию со и дифференцирования.
Если
B.20)
мы полагаем
(сор-ф) = \ j j сорф,
Можно проворить формулу
B.22)
B.23)
которая следует из B.21) после интегрирования по частям. С дру-
другой стороны,
(сор ¦ ф) = (р • охр). B.24)
Из этого замечания о сопряженных операциях следует, что опе-
2. Функциональное пространство
293
рации -д^ и со могут быть распространены на функционалы общего
вида. Очевидно, нужно рассмотреть правые части B.23) и B.24)
как определения левых частей.
д
Операция -^ применима к любому функционалу и ее функция
непрерывности равна s2 = s\ + 1. Операция умножения на со, когда
функция со имеет непрерывные производные до порядка s', опре-
определена для всех функционалов до класса /; ее функция непрерыв-
непрерывности есть S2 = «ь Описанное распространение операций един-
единственно, поскольку множество, на котором определение имеет
смысл, всюду плотно. Используя сделанные замечания, можно
также определить любые дифференциальные операции на про-
пространстве, функционалов.
Особенно интересно будет отыскать решение уравнения
Lu = p B.25)
при определенных начальных условиях, предполагая, что р и в
не функции, а функционалы. Основная цель дальнейшего — уста-
установить существование и единственность такого решения.
4. Задача Коши для, пространства функционалов. Теперь пе-
перейдем к задаче Коши, которая была поставлена в § 1. Пусть и —
неизвестная функция, удовлетворяющая уравнению
Lu =
E1L. + Cu— — =F B.26)
' dxi dt2
(уравнение A.1)) и начальным условиям
ди
B.27)
*=о
Рассмотрим разрывную функцию в, которая совпадает с функ-
функцией и при t > 0 и обращается в нуль при t < 0. Построим
соответствующий функционал
(м-ф) = j j f мф dR2k+2 = j" j" J м-ф dR
2fe+2"
B.28)
Теперь вычислим операцию Lu для этого функционала. По опре-
определению
= f f f м?*ф
Применяя интегрирование по частям, мы получим
i=0
dR,

294 Дополнение. Новый метод решения задачи Коши
Принимая во внимание B.26) и B.27), мы получим
3. Обобщенная задача Коши
295
. B.29)
Поскольку операции в правой части B.29) известны, мы видим,
что значение Lu равно некоторому известному функционалу р.
Итак, мы имеем
Lu_ = p, B.30)
где
t>0 i=0
Существенное свойство нашего функционала состоит в том, что
произведение (и • ф) не зависит от значений функции ф при / < 0.
Если мы условимся говорить, что функционал р обращается в
нуль в области D, если (р • ф) не зависит от значений ф в D, то
сможем сформулировать «обобщенную задачу Коши»: найти реше-
решение уравнения
Lu=p, р | «о = 0 B.32)
с начальными условиями
в|«о = 0.
B.33)
Заметим, что если такое решение существует и выражается
формулой B.28) с функцией в, имеющей суммируемые производ-
производные второго порядка, то функция и удовлетворяет уравнению
B.26) и начальным условиям B.27). Действительно, в этом случае
для любой функции ф
Ш
<=0
i>0
1 I I „(о) 9ф
¦ I lit* i
J J I 9t
Но это соотношение может иметь место только в случае, если
B.26) и B.27) выполняются, что и требовалось доказать.
3. Обобщенная задача Коши
1. Исследование основной обратной операции. Формула A.77)
дает представление произвольной функции, имеющей непрерыв-
непрерывные производные до порядка к +1 по заданным значениям Lu
прп |>Ои начальным значениям функции в и производной -гг
при / = 0. Установим некоторые свойства, касающиеся операции
в правой части этой формулы. Мы докажем следующее утверж-
утверждение.
Теорема. Если мы подставим в правую часть уравнения
A.77) вместо Lu произвольную функцию, обладающую непрерыв-
непрерывными производными до порядка s + к + 1, вместо it@) •— произ-
произвольную функцию, имеющую непрерывные производные до поряд-
порядка s + к + 1, а вместо и('> — произвольную функцию с непрерыв-
непрерывными производными до порядка s -f- k, то сумма
оо
оказывается функцией, имеющей непрерывные производные по-
порядка s.
Для доказательства мы почленно продифференцируем ряд
A.77), учитывая формулы A.78). Для упрощения выкладки удобно
свести интегралы A.78) к интегралам но фиксированным областям.
С этой целью можно, например, ввести новые переменные
fl = -^,ere2 е2,_11ф, C.2,
где 0i, 02, ..., G2ft-i, ф заданы формулами, аналогичными форму-
формулам A.64):
Si = р cos 0i,
?2 = р sin 0i cos 02,
Si = р sin 0i sin 02 ... sin 0,-i cos 0f
C.3)
52ft = p sin 0i sin 02 ... sin 02&-i cos ф,
Sik+i = p sin 0i sin 02... sin 02&-i sin ф,
a Si суть нормальные переменные Липшица для координат у,
введенных формулами A.62). Из этих формул видно, что перемен-
переменные 0i, 02, ..., 02ft—ь ф остаются постоянными на каждой бихарак-
бихарактеристике. Функциональный определитель, который входит в ин-
интегралы A.78), после замены становится аналитической функцией.
Переменные хи жг, ..., ягь+ь ' заменяются аналитическими функ-
функ0
циями переменных ж°,
л—i, ф, *• И /0 станет
^ t только че-
чеинтегралом, который зависит от параметровж^,
рез функции oivi г-> и^ и и^'
dtJ
Дифференцирование под знаком интеграла, очевидно, возмож-
возможно. Поскольку функция as-j представляется рядом, содержащим
отрицательные степени s, а также logs, которые преобразуются
после нашей замены переменных в члены с отрицательными сте-
степенями 1 — t\ и log A — /i), не зависящими от координат ж^, ...
• • • i ж2Ь+1''"' ДпФФеРенЦиРование не меняет порядка бесконечности
функции Ok-}. Теперь возможность почленного дифференцирова-
дифференцирования ряда A.77) может быть доказана по индукции. Равномерная
сходимость рядов из производных следует из сходных оценок.
Наша теорема доказана.

296 Дополнение. Новый метод решения задачи Коши
Все наши результаты сохраняются, если вместо I = 0 мы рас-
рассмотрим новую поверхность, несущую данные Коши, имеющую
пространственную ориентацию, т. о. такую, которая высекает на
любом характеристическом коноиде ограниченную область, содер-
содержащую вершину этого коноида в своей внутренности. Рассмотрим
задачу нахождения функции, которая обращается в нуль со всеми
производными на такой поверхности.
Правая часть A.77) в этом случае зависит только от функ-
функции Lu. Она является аддитивной операцией над Lu. Обозначим
эту операцию G. Наше уравнение A.77) запишется в виде
в = GLu. C.4)
Операция G сопоставляет каждой функции t|) из нашего основного
пространства Os+s+i другую функцию
<Р = Gx|), C.5)
которая имеет непрерывные производные до порядка s, определе-
определена и отлична от нуля в неограниченной области, которую мы даль-
дальше определим точнее.
2. Гиперболическое пространство. Чтобы упростить изложение
нашего метода, будет удобно ввести новое функциональное про-
пространство, которое мы назовем гиперболическим и будем обозна-
обозначать *Р. Это пространство строится следующим образом.
Мы назовем область прямой гиперболической, если ее общая
часть с любым прямым характеристическим коноидом (т. е. таким,
у которого" значение 't в вершине максимально) конечна. Обратная
гиперболическая область есть область, для которой общая часть
с любым -обратным характеристическим коноидом -конечна. Пря-
Прямое гиперболическое пространство образовано функциями t|), кото-
которые отличны от нуля каждая в своей прямой гиперболической
области, отвечающей Vy, и которые имеют непрерывные произ-
производные до порядка s (s = 0, 1, ...). Множество функций такого
сорта, обладающих непрерывными производными до порядка s-,
образуют подпространство Wa.
Понятие сходимости в Ч, аналогично тому, которое мы рас-
рассматривали в гл. II. Мы скажем, что последовательность t|)n схо-
сходится к предельной функции \р в Ws, если производные t|)n до по-
порядка s равномерно сходятся к соответствующим производным t|)
на каждой ограниченной части пространства и если существует
прямая гиперболическая область F^, содержащая внутри себя
все V^n.
Очевидно, что наше основное пространство, рассмотренное в
гл. II, является частью гиперболического пространства. Простран-
Пространство функционалов, заданных на гиперболическом пространстве,
будет обозначаться W. Значение символа Ws очевидно. Ясно, что
всякий функционал на гиперболическом пространстве является
также функционалом на основном пространстве.
Необходимо заметить, что слабая сходимость последователь-
последовательности функционалов рп, принадлежащих одновременно Ws и Z,;
различна в этих двух пространствах. Последовательность, сходя-
сходящаяся в Ws, очевидно, сходится и в Zs, в то время как для того,
чтобы последовательность рп, сходящаяся в Zs, сходилась также
и в Wa, необходимо и достаточно, чтобы существовал (прямой)
3. Обобщенная задача Коши
297
характеристический коноид, вне которого все рп обращались бы
в нуль. Действительно, в противном случае можно построить
функцию 1|з, принадлежащую Ws, т. е. отличную от нуля лишь в
некоторой прямой гиперболической области, для которой последо-
последовательность (р„ • i|)) не имеет никакого предела.
В нашем гиперболическом пространстве можно ввести линей-
линейные операции, полностью аналогичные линейным операциям в
фундаментальных пространствах. Теперь мы можем более точно
охарактеризовать операцию G.
Операция G есть линейная операция в прямом гиперболиче-
гиперболическом пространстве, непрерывно преобразующая каждое мноокество
^s+a-i в некоторое подмножество пространства 4%.
Доказательство очевидно. Возвращаясь сейчас к формуле
GLu = и, C.6)
мы видим, что она справедлива, если B)
ве?1+»-1 (s>2). C.7)
3. Операция, сопряженная к операции G. Поскольку про-
пространство функционалов на гиперболическом пространстве уже,
чем пространство функционалов на основном пространстве, опе-
операция G*, сопряженная к G, определена не на всем основном про-
пространстве функционалов, но только на тех функционалах, которые
являются также функционалами на прямом гиперболическом про-
пространстве. Сейчас мы увидим, что эту операцию можно распро-
распространить на множество несколько более общих функционалов.
Для того чтобы функционал р на основном пространстве был
также функционалом на прямом гиперболическом пространстве,
необходимо и достаточно, чтобы этот функционал был отличен от
нуля только внутри некоторого фиксированного прямого характе-
характеристического коноида. В противном случае можно найти прямую
гиперболическую область К, общая часть которой с областью,
где р отличен от нуля, неограничена. Выделяя из этой общей
части последовательность неограниченно удаляющихся областей
Dv и строя для каждой Dv функцию <pv так, чтобы (р ¦ <pv) = 1, мы
получаем функцию
C.8)
2
v=l
отличную от нуля только в К, для которой произведение
(р • ф) C.9)
ие имеет смысла.
Сейчас мы покажем, что операция G* может быть продолжена
на все функционалы, которые отличны от нуля в обратной гипер-
гиперболической области C). Для этого достаточно установить, что
если два функционала р, и р2 различны лишь во внешности
фиксированного обратного коноида (т. е. совпадают для каждой
функции, которая отлична от нуля лишь внутри этого коноида),
то G*pi и G*p2 могут отличаться также лишь снаружи этого ко-
коноида. Теперь доказательство вытекает из определения G*. В са-
самом деле, если функция г|> отлична от нуля лишь в фиксирован-

298 Дополнение. Новый метод решения задачи Коши
ном обратном коноиде С, то согласно A.77) операция Gtf> тоже не
обращается в нуль лишь в этом коноиде. Следовательно, мы имеем
3. Обобщенная задача Коши
299
т. е.
(р, •
(G*p,
= (Р2
=. (G*p2 ¦ -ф),
C.10)
C.11)
что и требовалось доказать.
Далее мы водим новое абстрактное пространство Q, чьи эле-
элементы суть функции со, обращающиеся в нуль вне соответствую-
соответствующего обратного характеристического коноида Ум. Пусть па есть
подпространство Q. Мы говорим, что последовательность со„ схо-
сходится к со в Qs, если в каждой ограниченной части евклидова про-
пространства (жь xi, ..., t) со„ сходится к со со всеми производными
до порядка s и, кроме того, существует характеристический коноид
Va, содержащий все Уш„ внутри себя. Способом, аналогичным
предыдущему; строится пространство функционалов на Qs, кото-
которое мы обозначим Ys. Пространство У„ есть линейное подмноже-
подмножество в Z3- Условие сходимости в У„ (слабой сходимости) несколь-
несколько более ограничительное, чем в Za. Соотношение между Z* и Ws
аналогично соотношению между Zs и У8.
Теперь легко установить, что G* есть линейная операция в У„,
которая сопоставляет каждому пространству У8 некоторое под-
подмножество в Ys+k-u Можно установить формулу, аналогичную
C.6), которая является основным свойством операции G*:
L*G*p = р.
C.12)
Очевидно, эта формула имеет место для любого функционала.
4. Обратная задача. Наша задача, состоящая в исследовании
уравнения
Lu= p,
C.13)
привела нас к операциям G и G*. Полезно одновременно рас-
рассмотреть уравнение
L*v = х C:14)
и построить аналогичным методом операции G'* и G', заменив
повсюду прямой коноид обратным коноидом и наоборот. Опе-
Операция G'* определена на обратном гиперболическом пространстве
функций t|)*. Ее закон непрерывности состоит в том, что она сопо-
сопоставляет множеству ?*+ft_1 подмножество в ?* с сохранением
непрерывности. С другой стороны, она преобразует каждое под-
подмножество Qs+k—1 пространства xPs+h_v состоящее из функций
со*, отличных от нуля внутри соответствующего прямого коноида,
в другое подмножество в Qs с сохранением непрерывности
в смысле Q'.
Операция G' определена на функционалах, заданных на ос-
основном пространстве, которые отличны от нуля в прямых гипер-
гиперболических областях. Она преобразует всякое множество функ-
функционалов из Y*+h__v обладающих этим свойством, в подмноже-
ство в У* с тем же свойством и сохраняет непрерывность в
смысле У*. Для операций G' и G'* справедливы следующие основ-
основные формулы:
G'*L*(o = со, C.15)
LG'p = р. C.10)
5. Правые и левые обратные для операции L в функциональ-
функциональном пространстве. В предыдущих параграфах мы обнаружили,
что для операции L в пространстве функционалов, отличных от
нуля, в прямой гиперболической области всегда существует пра-
правая обратная операция G', удовлетворяющая уравнению C.16),
и что на множестве некоторых специальных функционалов су-
существует левая обратная операция G*, удовлетворяющая C.6).
Докажем следующую теорему.
Теорема. Операция G', действующая на функционалы, пред-
ставимые в виде B.8) с плотностью р, принадлежащей прямому
гиперболическому пространству и являющейся функцией порядка
s + к — 1, совпадает с операцией G из предыдущего пункта, т. е.
G'p есть функционал, представимый в виде B.8), где плотность
есть Gp(M).
Для функции р из ^Уы рассмотрим выражение
GLG'p.
C.17)
Полагая, что результат G'p есть функция из Yd+i (*) и используя
формулу C.6), мы видим, что величина C.17) равна G'p. С другой
стороны, рассматривая р как функционал и применяя C.16), мы
заключаем, что она совпадает с Gp. Следовательно,
Gp = G'p,
C.18)
что и требовалось доказать.
Также можно доказать совпадение операций G* и G'* на всех
функционалах, которые могут быть представлены в виде B.8) с
плотностью р, которая принадлежит обратному гиперболическому
пространству V*h.
Теперь докажем, что операция G' является левой обратной
к L также на всех наших функционалах. Доказательство основы-
основывается на замечании, сделанном в гл. II. Мы показали там, что
множество функционалов, представимых в виде B.8) с плотностью,
дифференцируемой любое число раз, всюду плотно. Нетрудно рас-
распространить это замечание на пространства W,, У„, Wt и Ys.
После этого рассмотрим величину
G'Lp. C.19)
Из непрерывности G' и L вытекает, что
G'Lp = lim G'liPn, C.20)
где pn — функционалы, представимые с помощью функций из Ч'гь.
С, другой стороны,
lim G'Lpn = lim pn = p, C.21)

300
Примечания к дополнению
откуда окончательно
что и требовалось доказать.
G'Lp = р,
C.22)
Теперь мы можем опустить знак ' в обозначениях G и G* и
сформулировать конечный результат:
существует линейная операция G, которая одновременно
является правой и левой обратной для операции L, определенной
в пространстве Y и в пространстве W. Существует также опера-
операция G*, служащая правой и левой обратной для L*.
6. Существование и единственность для обобщенной задачи
Коши. Теперь не составляет труда установить существование и
единственность решения задачи Коши в пространстве функциона-
функционалов. Эта задача, поставленная в п. 4 § 2, заключается в отыскании
решения уравнения
La = р
C.23)
при условии, что данный функционал р и искомый функционал
должны обращаться в нуль вне некоторой прямой гиперболиче-
гиперболической области.
Существование решения вытекает из существования правой
обратной операции. В самом деле, согласно определению функ-
функционал
и = Gp C.24)
удовлетворяет уравнению C.23). С другой стороны, действуя опе-
операцией G слева на уравнение C.23), мы видим, что уравнение
C.24) следует немедленно из C.23). Единственность также до-
доказана.
7. Существование решения в классическом смысле. Было бы
интересно теперь ответить на вопрос о существовании классиче-
классического решения задачи Коши. Ответ вытекает из предыдущей тео-
теоремы. Такое решение существует лишь в случае, когда функцио-
функционал а = Gp представим в форме B.8) с плотностью, имеющей вто-
вторые непрерывные производные. Результат этого параграфа дает
также достаточное условие, которое может быть полезным в неко-
некоторых специальных случаях. С помощью теоремы из п. 1 этого
параграфа мы заключаем, что такое решение существует, если
функция F = Lu имеет непрерывные производные до порядка
к + 1, функция и(О>=и|(=о имеет непрерывные производные до
порядка к + 3, а функция и'1' =
dt
производными до порядка к + 2 E).
*=о
обладает непрерывными
ПРИМЕЧАНИЯ К ДОПОЛНЕНИЮ
1. В этой главе впервые подробно излагается принадлежащая
С. Л. Соболеву теория обобщенных функций (краткий очерк тео-
теории содержится в его предшествующей заметке [195]). Ее основ-
основные идеи и конструкция вошли в современную теорию практиче-
практически без изменений. Перечислим наиболее важные из них:
Примечания к дополнению
301
1. Определение обобщенной функции как функционала на про-
пространстве финитных гладких функций.
2. Порядок сингулярности обобщенной функции — класс функ-
функционала в терминологии Соболева.
3. Регуляризация обобщенных функции с помощью свертки,
возможность приближения бесконечно дифференцируемыми функ-
функциями.
А. Линейные дифференциальные операции в пространство
обобщенных функций как сопряженные с операторами иа про-
пространстве основных функций.
5. Гибкое использование иных необходимых для данной зада-
задачи пространств основных и обобщенных функций. Эти простран-
пространства выделяются или описываются условиями на носители обыч-
обычных или обобщенных функций. Хотя автор и не вводит явно этого
понятия, но фактически постоянно им оперирует.
6. Сведение задачи Коши к решению уравнения с правой ча-
частью, по без начальных условий путем превращения начальных
данных в дельтообразные цо времени источники. Подобный прием
в различных вариантах широко использовался впоследствии.
Возникновение теории обобщенных функций было подготов-
подготовлено развитием математического анализа и теоретической физики.
Известные идеи Хевисайда и Дирака, а в особенности работы
Кирхгофа и Адамара способствовали ее появлению. Однако в рабо-
работах предшественников не было понятий и построений, подобных
строгим конструкциям Соболева.
Современный вид теория обобщенных функций приобрела в
книге Л. Шварца [328], в которой был построен анализ Фурье
для распределений (обобщенных функций) медленного роста.
Л. Шварц включил в теорию важные идеи Адамара и М. Рисса
о «конечпых частях» расходящихся интегралов, а также ряд но-
новых идей, в частности, локально выпуклые топологии и частичную
регулярность (см., например, [299]).
Новые возможности, возникшие в теории Соболева — Шварца
в результате синтеза разнообразных идей, привели к быстрому
развитию ее приложений. Отметим некоторые из основных на-
направлений этих приложений. Мальгранж и Эренпрайс с помощью
теории целых функций продолжили разработку метода преобра-
преобразования Фурье обобщенных функций и применили этот метод для
доказательства существования фундаментальных решений урав-
уравнений с частными производными. Методы теории целых функций
были использованы И. М. Гельфандом и Г. Е. Шиловым [48—50]
для решения другой известной проблемы — отыскания наиболее
широких классов единственности и корректности задачи Коши
для систем уравнений эволюционного типа с постоянными коэф-
коэффициентами. Эти авторы расширяют понятие обобщенной функции,
включая в рассмотрение целую шкалу пространств основных функ-
функций как гладких, так и аналитических. Это направление под на-
названием теории ультрараспроделешш разрабатывалось далее Румьё
и Бёрлингом. Следующий этап в развитии этого направления пред-
представляет теория гиперфункций, построенная Сато (см., например,
[244]).
В рамках теории обобщенных функций свой естественный вид
приобрела проблема деления (Л. Шварц [328]) — возможность
деления обобщенной функции на полином или аналитическую

302
Примечания к дополнению
функцию. Эта проблема также связана с решением- дифферент
циальных и сверточных уравнений; в своем первоначальном виде
она рассматривал» еще Бохнером. Решение этой проблемы было
получено в работах Хёрмандера, Лоясевича и Мальгранжа. Возник-
Возникшая здесь глубокая теория, выходящая далеко за рамки исходной
задачи, отражена в книге [138].
В результате соединения теории обобщенных функций с но-
новыми аналитическими и алгебраическими методами был построен
анализ Фурье в пространстве решений произвольной системы диф-
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Итог
этого анализа — экспоненциальное представление решений — за-
заключает в себе общий метод исследования других задач теории
таких систем уравнений, в частности, локальных свойств решений,
единственности задачи Коши, разрешимости системы с правыми
частями. Изложение этой теории и ее обобщений содержится в
книгах В. П. Паламодова [168] и Эренпрайса [273] (см. также п. 5).
В ЗО-е годы С. Л. Соболев развивает теорию обобщенных функ-
функций в новом направлении. На основе понятия обобщенной про-
производной обычной функции он вводит и изучает шкалу прост-
пространств W*?\ называемых теперь пространствами Соболева. Он
применяет эту теорию к исследованию задачи Дирихле для неко-
некоторых эллиптических уравнений высокого порядка ([198, 199, 200,
204]). Эти идеи Соболева также получили широкое развитие и при-
приложения, а основные факты теории пространств Соболева и их
обобщений — теоремы вложения и теоремы о следах — стали
одним из важнейших средств современного математического
анализа.
Для С. Л. Соболева обобщенные функции — это прежде всего
язык, важный для приложений. Позднее он использует этот язык
в совсем новой области — теории кубатурных формул [213].
Сейчас язык и методы теории обобщенных функции стали
неотъемлемой частью теории линейных дифференциальных урав-
уравнений в частных производных, они широко применяются также
в других областях анализа и математической физики, становятся
все более привычными в прикладных исследованиях. О роли и при-
приложениях теории обобщенных функций можно судить по моно-
монографиям [47, 247, 37, 38], обзору [170] и фундаментальному тру-
ДУ [243].
2. Фактически здесь доказан лишь следующий локальный по t
результат: если функция а отлична от нуля в полупространстве
t>to(x), то соотношение C.6) имеет место при t<ti(x), где
t\(x)—непрерывная функция точки ж = (жь х2, ..., ж»-и), удов-
удовлетворяющая условию: для всякого х° нулевые бихарактеристики,
выходящие из точки (х°, to(x0)), не имеют фокальных точек в по-
полосе h(x) <it^ti(x). Отсюда следует, что все прямые характе-
характеристические коноиды с вершинами в этой полосе не имеют в ней
особых точек. Это свойство коноидов существенно используется в
рассуждениях. Простые дополнительные соображения позволяют
перейти к глобальному результату при некоторых предположе-
предположениях о поведении бихарактеристик.
Рассмотрим непрерывную функцию
Примечания к дополнению
303
близкую к U (ж), и бесконечно дифференцируемую функцию h (ж, t)j
равную единице при t < «1-е(ж) и нулю при t > ^(ж). Для всякой
функции
ОО
т0 == т оо — И т S
1
функция ftGi|>o определена при t =s? U, бесконечно дифференци-
дифференцируема и равна нулю со всеми производными в окрестности гипер-
гиперповерхности t = t\. Обозначим через difo ее продолжение нулем
в полупространстве t > U. Из доказанной в настоящей статье
теоремы следует, что функция
равна нулю в полупространстве t<ti_e(«). Далее можно найти
непрерывную функцию h{x) > U(x) такую, что на нулевых би-
бихарактеристиках, выходящих из точек (ж0, ti-e(x0)), не появляет-
появляется фокальных точек, если t <; t2. Применяя подобные рассуждения,
можно построить оператор G2 такой, что функция
принадлежит V» и равна нулю при t ^ h-t и т. д.
Продолжая эту конструкцию, мы строим последовательность
функции to < *i < *2-< • • • так, чтобы она стремилась к бесконеч-
бесконечности на каждом компакте. Это возможно, если ни одна из биха-
бихарактеристик не уходит на бесконечность за конечное время. Пред-
Предположив, что это условие выполнено, мы получим последователь-
последовательность операторов Gk, действующих в?.. Искомый оператор G
определяется на пространстве функций, равных нулю при
t < к (ж), формулой
G = d + G2(l - LG,) + G3(l - LG%) A - LG,) + ...
Этот ряд, очевидно, сходится в V» и удовлетворяет соотношению
C.6). Построив подходящую последовательность функций ... i_2 <
< t_i <C to и соответствующих операторов ... G-%, G_i, Go, можно
продолжить G до непрерывного оператора на всем пространстве
Ч», удовлетворяющего C.6). Таким образом, эта теорема и все
последующие, основанные на ней, справедливы и в глобальном
варианте.
Другой более обозримый метод построения оператора G дает
конструкция параметрикса с помощью канонического оператора
В. П. Маслова (см. [141—144]), а также конструкция [270], исполь-
использующая интегралы Фурье. Эти методы позволяют, в принципе,
детально исследовать структуру параметрикса в окрестности
фокальных точек. Однако для такого исследования необходимо
применение теории обобщенных функций, начало которой поло-
положено в данной работе С. Л. Соболева (см. [67], [169]).
3. Фактически ниже доказывается, что оператор G* может
быть продолжен на пространство функционалов, заданных на про-
произвольном обратном характеристическом коноиде К, т. е. на фак-
торпространство W по подпространству, состоящему из обобщен-
обобщенных функций, равных нулю на К.

304
Примечания к дополнению
4. Это предположение не является необходимым. Искомое со-
соотношение C.18) можно установить с помощью следующей
леммы.
Лемма. Для всякого 1^0 образ оператора L: Ч'г+г-»- Ч*"г
плотен eTj.
Доказательство. Выберем произвольную функцию i|) e
sf; л сделаем аналитическую замену переменных у = у(х, t),
s = s(x, t) таким образом, чтобы 1) функция "ф была отлична от
нуля только в полупространстве s ^ 1 и 2) каждая гиперповерх-
гиперповерхность s = a была нехарактеристической для уравнения A.1).
Функцию i|) можно приблизить в смысле сходимости в Ч?г по-
последовательностью функций
a-i(y, s),/ = l, 2, ...,
каждая из которых принадлежит ^Рг+г, отлична от нуля только в
полупространстве s>0b при каждом фиксированном s аналитич-
на по переменным
У = Vh ¦¦; УЯ+1-
Таким образом, достаточно показать, что для всякой функции а,
обладающей описанными свойствами, существует функция
b e Ч'г+г такая, что Lb = a.
Такую функцию мы построим с помощью принципа Дюамеля.
Рассмотрим вспомогательную задачу Коши
j, o) = 0,
дЬ{у, а)
ds
зависящую от параметра а ^ 0. Так как а(у, а) есть аналитиче-
аналитическая функция у, а коэффициенты оператора L являются по усло-
условию аналитическими функциями всех переменных, в силу теоре-
теоремы Коши — Ковалевской эта задача имеет решение Ьа, опреде-
определенное, по крайней мере, в окрестности гиперповерхности s = а.
Применяя многократно эту теорему, мы сможем продолжить это
решение до аналитической функции Ьа во всем пространстве Д2ь+2,
если ни одна из бихарактеристик не уходит на бесконечность за
конечное время. Исследуя зависимость этого решения от а, не-
нетрудно установить, что оно имеет непрерывные производные до
порядка I + 2 по совокупности переменных у, s, а. Положив
= ba (У' s) da'
получим искомое решение уравнения Lb = a.
Вернемся к доказательству теоремы. Покажем, что G является
правым обратным к оператору L на пространстве "*F. Для всякого
I ~$z 0 и функции i|) e ~Vi+z положим ф = iif. Имеем
LGcp =
Таким образом, оператор LG совпадает с тождественным операто-
оператором на образе оператора L: Чг(+2->Ч|'г. В силу леммы этот образ
нжмюы, -еяедовйтельно, ввиду непрерывности оператор LG являет-
является тождественным на всем W, что и требовалось доказать.
Примечания к дополнению
305
Оператор G' является левым обратным к L (так как G*' пра-
правый обратный к L* по доказанному). В прежних обозначениях
имеем
(G - С)Ф = (G -
= ф - ф = 0,
следовательно,
G - G' = 0
па плотпом подпространстве j?i, откуда G = G'.
5*). Читатель, проследивший за рассуждениями Соболева, мо-
может оценить простоту и лаконичность стиля последних глав, их
прагматичный характер изложения. Подчеркну, что здесь изло-
изложены основы той теории Соболева — Шварца, которая стала од-
одним из основных событий в анализе нашего времени. Может
быть, имеет смысл задуматься над возникающими в этой связи
вопросами: какова предыстория этой теории, в чем ее значение
и причины той роли, которую она играет. Постараюсь дать отве-
ответы на эти вопросы, пе претендуя на полноту. О предыстории тео-
теории обобщепных функций написапа целая книга: Лютцен [299].
Автор этой книги отпосит к предыстории и анализирует большое
число работ, где предпринимались попытки расширить рамки тра-
традиционного попятия функции и решения дифференциального
уравнения, в частности, известную дискуссию 18 века о понима-
понимании решения уравнения движения струны, проходившую между
Эйлером, Даламбером и Лаграшкем. Следует отметить, что Эйлер
наиболее широко трактовал понятие решения, а у Лаграпжа име-
имеется зачаток идеи использования пробных функций в связи с
изучением решений. В XIX и пачале XX века побуждения к со-
созданию теории обобщенных функций возникали в различных об-
областях анализа, в частности в теории потенциала и других обла-
областях математической физики. Несколько особняком стоят работы
до Рама о потоках на гладких многообразиях — обобщении поня-
понятия сингулярной цепи и одновременно понятия дифференциаль-
дифференциальной формы. Понятие потока нашло адекватное выражение лишь
в терминах теории обобщенных функций-распределений Соболева —
Шварца. Почему осповы теории обобщенных функций не возник-
возникли раньше или позже, а появились именно в этой работе
С. Л. Соболева? Конечно же, здесь проявились научная смелость
и склонность автора к общим теоретико-функциональным конст-
конструкциям. Эти качества позже отразились в создании очень важ-
пой теории функциональных пространств, которые сейчас назы-
называются пространствами Соболева. Эту теорию Соболев ценил и не-
неоднократно возвращался к ней впоследствии.
Помимо этих субъективных причин для возникновения обоб-
обобщенных функций в этот момент и в этой работе имеются, на мой
взгляд, важные объективные причипы. Говоря коротко, дело в
том, что в данной работе теория обобщепных функций появляет-
появляется ради решения одной из центральных задач теории гиперболи-
гиперболических дифференциальных уравпений со многими независимыми
переменными. Заметим, что многие «предысторические» работы,
которые, объективно говоря, подводили к теории обобщенпых
функций, но не дали ей толчок, так или иначе связаны с эллип-
*) Добавлено при корректуре.
20 С. Л. Соболев

306
Примечания к дополнению
тическими уравнениями. Сюда относятся исследования по теории
потенциала, а также работы начала века, связанные с основной
теоремой интегрального исчисления. Сюда также можно отнести
теорию де Рама, которая в значительной степени есть теория опе-
оператора Лапласа на многообразии. Хотя совремеппая теория эл-
эллиптических (псевдо) дифференциальных уравнений широко
использует понятия обобщенных функций, однако, по-видимому,
внутренних стимулов для возникновения этих понятий в этой
теории было недостаточно.
Данная работа С. Л. Соболева относится к одному из важней-
важнейших направлений анализа, возникшему еще в работах Гюйген-
Гюйгенса в XVII веке и включающему имена Римапа, Пуассона, Кирх-
Кирхгофа, Вольтерра и Адамара. В работах этого направления появи-
появились те импульсы и идеи, которые и привели Соболева к созда-
созданию основ теории. Еще Эйлер предложил выйти за пределы уз-
узкого понимания уравнения струны, предлагая считать решением
любую функцию вида и(х, t) = /(ж — t) + g(x + t), где / и g —
произвольные функции, как это понималось в то время. Это обоб-
щенпое понимание решения, однако, не могло стать общей идеей,
поскольку зависело от конкретного вида уравнения. Для родст-
родственного телеграфного уравнения четкое понятие обобщенного ре-
решения было дано и исследовано лишь в начале двадцатого века
Н. Винером. Он определяет такое решение как произвольную функ-
функцию, удовлетворяющую уравнению в слабом смысле, т. е. как
функционал на финитных бесконечно дифференцируемых функ-
функциях. Близкие идеи высказывались также Н. М. Гюнтером и
Н. Е. Кочиным. Предысторией теории обобщепных функций Со-
Соболева в узком смысле слова являются работы Ж. Адамара о за-
задаче Коши для гиперболических дифференциальных уравпений,
появившиеся в начале нашего века [2]. Труды Адамара в боль-
большой степени послужили возникновению идей обобщенных фупк-
ций, хотя, следует подчеркнуть, никаких общих определений бу-
будущей теории в них нет. В то же время в работах Адамара по-
появились важные конкретные примеры обобщенных функций под
названием «несобственные интегралы нового вида». В простей-
простейшей форме такой интеграл Адамар записывает в виде
а (ж) dx
A)
где р — любое целое число, а 0 < ц< 1. Он определяет этот интег-
интеграл путем предельного перехода в собственном интеграле с верх-
верхним пределом 6 — «, добавляя сумму р подходящих слагаемых со
степенной особенностью при е -*¦ 0. Позже стало ясно, что эти
интегралы представляют собой важное семейство, своего рода
элементарные обобщенные функции, однако в работе Соболева
они не появляются, поскольку это выходило бы за рамки той за-
задачи, которая в ней решается.
Особую роль гиперболических дифференциальных уравнений
можно объяснить тем, что она дает большое разпообразие сингу-
сингулярных решений. Таковым является, в частности, фундаменталь-
фундаментальное (элементарное у Адамара) решение, описывающее распрост-
Примечания к дополнению
307
ранение волны от точечного моментального источника. В отличие
от случая эллиптического уравнения, для которого фундаменталь-
фундаментальное решение имеет точечную особенность, элементарная функция
гиперболического уравнения второго порядка имеет разрыв на
гиперповерхности, служащей траекторией фронта волны, вызван-
вызванного источником. В случае движения волны на плоскости фун-
фундаментальное решение уходит ца бесконечность вблизи этой
гиперповерхности (хотя и остается локально интегрируемым).
Если движение происходит в трехмерном пространстве, фундамен-
фундаментальное решение имеет дельта-образпую сингулярность — именно
так дельта-функция появилась в работах Кирхгофа конца прош-
прошлого века. С ростом размерности га физического пространства
«порядок сингулярности» растет как га/2. Если уравнение имеет
переменные коэффициенты, то сам фронт волны (коноид лучей)
может приобрести особенности, в которых происходит (частичная
или полпая) фокусировка лучей, и сингулярность фундаменталь-
фундаментального решения усложняется. В данной работе Соболев не касает-
касается вопроса о возможпых особенностях волнового фронта и свя-
связанных с ними особенностях фундаментального решения, однако
сложпость аналитической картины неявно присутствует в любом
методе конструкции. Эта сложность в конечном счете и привела
Соболева к мысли найти простую и эффективную аксиоматику,
которая бы позволила вместить эту сложную картину. Учитывая,
что аксиоматика обобщенных функций с самого начала была при-
приспособлена, чтобы выразить любые особенности фундаментально-
фундаментального решения (а также любого решения гиперболического уравне-
уравнения с обобщенными данными Коши), мы сейчас можем понять,
почему она оказалась тем расширением классического анализа,
которое смогло вместить, в частности, понятие слабого решения
эллиптического уравнения. Впрочем, такой вывод, сделанный
спустя полвека после пионерской работы Соболева, ни в то время,
ни двадцать лет спустя ни в коей мере не был очевиден, и успех
теории был поразителен.
Этот успех был обеспечен также большим вкладом Л. Швар-
Шварца [327], который внес в теорию ряд важных идей, соединил раз-
различные подходы и поставил ряд проблем, стимулировавших даль-
дальнейшее развитие теории. Заслугой Шварца является прежде всего
соединение теории с преобразованием Фурье. К предыстории этой
идеи относится работа самого Фурье A822), где он записывает
формулу восстановления функции по ее ряду Фурье как свертку
с символом б, где
cos ix
есть то, что мы сейчас называем дельта-функцией. Обращение пре-
преобразования Фурье приводит к подобной формуле. Эти формулы,
не имеющие смысла с точки зрения классического анализа, были
подвергнуты критике со стороны Дарбу. Однако критика матема-
математиков не останавливает Хевисайда, который пишет уже в совре-
современном виде эти и подобные формулы для обращения преобразо-
преобразования Бесселя и даже «доказывает» их. Близко к конструкции
20*

Примечания к дополнению
обобщенного преобразования Фурье подошел Бохнер [1*] *), кото-
который определил преобразование Фурье функции одной переменной,
имеющей рост по выше степенного, как сумму формальных про-
изводпых от подходящих непрерывных функций, т. е. на совре-
меппом языке — как обобщенную функцию конечного порядка.
Не ясно было, однако, как можно распространить это определе-
определение на функции многих переменных. Конструкция преобразова-
преобразования Фурье в пространстве обобщенных функций медленного ро-
роста, предложенная Шварцем, включила подход Бохнера и прида-
придала точный смысл рассуждениям Фурье и выкладкам (по крайней
мере, их части) Хевисайда. Из теории Соболева — Шварца стало
ясно, что дельта-функции Фурье, Кирхгофа, Хевисайда, Дирака
и аналогичные символы других авторов суть одно и то же, если
им придать смысл обобщенных функций. Теория Шварца значи-
значительно упростила применение преобразования Фурье в теории
дифференциальных уравнений, в первую очередь в теории урав-
уравнений с постоянными коэффициентами. Возможность неограни-
неограниченного дифференцирования в пространстве S'(Rn) превращает
это пространство в модуль над кольцом А мпогочлепов от п пе-
переменных, причем базисные элементы кольца действуют как ча-
частные производные по независимым переменным. Преобразова-
Преобразование Фурье, сохраняя пространство S'(Rn), превращает эту струк-
структуру в ДРУГУЮ структуру модуля над тем же кольцом, в которой
базисные элементы действуют умножением на 2jti^i, ¦•¦, 2ni?n.
С помощью этих структур Шварц формулирует известную проб-
проблему деления: можно ли любую обобщенную функцию oeS' раз-
разделить па ненулевой элемент аеА, т. е. всегда ли разрешимо в S'
уравнение av = и? Таким образом, ото уравнение можно попи-
мать и как алгебраическое, и как дифференциальное. Положи-
Положительное решение этой проблемы (Лоясевич, Хёрмандер, Маль-
гранж) привело к развитию повой -области анали.ча (см. [138J),
сыгравшей впоследствии важную роль в теории особенностей
гладких отображений (подготовительная теорема Мальграшка).
Другая важная идея, внесенная в теорию Шварцем, есть ши-
широкое использование методов двойственности локально выпуклых
пространств. Суть этих методов состоит в том, что некоторые важ-
важные свойства линейного оператора, действующего на обобщенные
функции (например, дифференциального оператора), могут быть
пересказаны в терминах сопряженного оператора, действующего
в пространствах основных функций. Например, если основное или
сопряженное пространство метризуемо и полно (пространство
Фреше), то эпиморфность оператора эквивалентна тому, что .со-
.сопряженный оператор является изоморфизмом сопряжеипого про-
пространства на свой образ (теорема Дьёдонне — Шварца). Возмож-
Возможности, которые открыли методы теории двойственности, вызва-
вызвали — в особенности в первое время •— энтузиазм и позволили по-
получить ряд общих теорем о разрешимости и локальных свойствах
решений дифференциальных и сверточных уравнений со многими
независимыми переменными. Позднее появилось более критиче-
критическое понимание достижений, основанных на теории двойствен-
двойственности. В конечном счете всякая теорема двойственности оиирает-
*) Здесь и далее звездочкой помечены ссылки на дополни-
дополнительный список литературы.
Примечания к дополнению
309
ся на теорему Хана — Банаха, которая не содержит конструктив-
конструктивного метода нахождения искомого линейного функционала (если
только речь идет не о гильбертовом пространстве). В своей пол-
полной общности теорема Хана — Банаха опирается на трансфинит-
трансфинитную индукцию, которая эквивалентна аксиоме выбора. Послед-
Последняя, как известно, не зависит от других аксиом теории множеств
и может быть принята или отвергнута по вкусу исследователя.
В результате возникает противоречие между целью и методом:
исходная задача — некоторый копкретпый вопрос, относящийся,
например, к дифференциальному уравнению, решается с привле-
привлечением средства, совершенно постороннего этой задаче. Это про-
противоречие, впрочем, не сказывается на справедливости результа-
результатов, полученных этими методами. По крайней мере, основные из
них могут быть передоказаны без привлечения теории двойствен-
двойственности, но песколько более сложными рассуждениями. Теория двой-
ственпости продолжает применяться и сейчас, однако несомнеп-
по, что в послодпие десять — пятнадцать лет произошел сдвиг в
сторону более конкретных эффективных методов, а также и по-
постановок задач.
Дальнейший прогресс теории обобщенных функций происхо-
происходил по нескольким большим направлениям. Одно из них — рас-
распространение теории преобразования Фурье на функции (обыч-
(обычные или обобщенные) произвольного роста. Эта задача была
рассмотрена в пятидесятые годы Эренпрайсом и Мальграпжем в
связи с проблемой деления, а также И. М. Гельфандом
и Г. Е. Шиловым [49—50] в связи с изучением характеристиче-
характеристической задачи Коши. Преобразование Фурье таких функций опре-
определяется как липейные непрерывные функционалы на подходя-
подходящем пространстве целых функций. Такие фупкционалы — это не
обобщенные функции Соболева, а более сложные объекты. В ча-
частности, для них не определено понятие носителя и локализации,
поскольку в основном пространстве нет финитных функций, за
исключением тождественпо равной пулю. Пространство таких
функционалов, а также пространство обобщенпых функций вкла-
вкладываются в естественным образом устроенное семейство прост-
пространств Eц) Гельфанда—-Шилова, в котором параметр а ха-
характеризует рост элементов па бесконечности, а Р — степень син-
сингулярности этих функционалов. Здесь обнаруживается эффект за-
зависимости между величинами аир, отсутствующий в теории Со-
Соболева — Шварца: если а + [5 < 1, то осповпое пространство S^
оказывается тривиальным, т. е. сводится к единственной функ-
функции, тождественно равной нулю.
Другое большое направление — теория псевдодифферепциаль-
ных операторов — есть развитие идеи, состоящей в-* том, что диф-
ферепциальпый оператор с гладкими коэффициентами может быть
задан в терминах преобразования Фурье. Следующий этап в этом
направлении — теория общих операторов Фурье (В. П. Маслов —
Хёрмапдер), представляющая собой синтез теории псевдодиффе-
псевдодифференциальных операторов, обычного преобразования Фурье, а также
операторов решения задачи Коши для гиперболических уравнений)
(см., например, [243]). Это направление обогатило теорию обоб-
обобщенных функций, выработав, в частности, нонятия волнового

310
Примечания в дополнению
фронта и обобщенной функции, связанной с коническим лагран-
жевым многообразием (Хёрмандер).
Отмечу еще одну идею, введенную в теорию обобщенных
функций М. Риссом и Л. Шварцем. В своей большой работе [2*]
М. Рисе применил метод аналитического продолжения для прида-
придания смысла расходящимся интегралам. Этот метод в простейшем
виде относится к интегралу Адамара [2]. Рисе рассматривает его
как оператор свертки, действующий на функцию а,-носитель которой
принадлежит правой полупрямой. Трудность, с которой столкнул-
столкнулся Адамар в случае, когда показатель р + \i становится целым,
Рисе обошел, поделив интеграл на гамма-функцию, имеющую по-
полюса в точках [д, = 0, которые исключил из рассмотрения Адамар.
В результате он получил семейство операторов свертки
Эти интегралы сходятся в обычном смысле лишь при Re a > 0, но
если функция а бесконечно дифференцируема, они имеют целое
аналитическое продолжение по параметру а и таким образом до-
допускают продолжение в целые отрицательные значения а. В ча-
частности, /о оказывается тождественным оператором. Эти операто-
операторы обладают замечательным свойством /а * h = ?а+р для всех зна-
значений аир, которое озпачает, что соответствие а <-» /а есть
гомоморфизм групп. При целых отрицательных а оператор /а есть
дифференцирование, при целых положительных — оператор крат-
кратного интегрирования (формула Дирихле). Заметим, что, оста-
оставаясь в рамках классического анализа, мы сможем наблюдать
лишь часть этой картины, а именно определить 1а лишь при
Re а > 0 и отдельно при а = 0, —1, —2, ..., не замечая, что оба
случая вкладываются (единственным способом) в общее семейство
операторов, которое является целой функцией а! Этот пример яв-
является простым и убедительным свидетельством того, что теория
о. ф. есть наиболее естественное (и экономное) расширение
классического анализа.
Основной результат работы М. Рисса состоит в конструкции
аналогичного группового гомоморфизма, связанного с квадратич-
квадратичной формой д(х) сигнатуры A, в — 1). Он исходит из семейства
функционалов
B)
= J
9>0
где g __ функция, равная 1 на одной выпуклой компоненте Q
конуса }>0и равная 0 на другой. При Re a > 0 подынтеграль-
подынтегральное выражение непрерывно и эти функционалы определены на
пространстве SDq бесконечно дифференцируемых функций <р, но-
носители которых принадлежат множеству вида K-\-Q, где it —
компакт (зависящий от <р). Рисе обнаружил, что это семейство
имеет мероморфное продолжение на комплексную плоскость с по-
полюсами, расположенными па двух арифметических прогрессиях
а = —1, —2,... и а = — у, — ~2 — 1» ¦ • • Первая из них связа-
Примечания к дополнению
311
па с неособой частью границы Q; в окрестности точки х е dQ,
х Ф 0 интеграл B) сводится к интегралу Адамара A), чьи полюса
суть — 1, — 2, ... Вторая серия полюсов связана с особой точкой
х = 0 множества корней полинома q. Чтобы компенсировать эти
полюса, Рисе делит это семейство на произведение двух гамма-
функций и приходит к семейству функциопалов
-
где д (х) = х*п — х^ — ... — ж^—i • Это семейство имеет целое
аналитическое продолжение по параметру как семейство не-
непрерывных функционалов па пространстве 3)Q. Операторы
свертки в 2)q, заданпые с помощью этих функционалов, обладают
групповым свойством
Za * Zp = Za-(-p,
причем Zo = б задает тождественный оператор, a Z-n = П*б, где
? =
dxi
Ьх\
есть волновой оператор в ге-мерпом пространстве. Последнее свой-
свойство в сочетании с групповым законом влечет соотношение
DhZk = б.
Отсюда следует вывод, являющийся основпой целью работы Рис-
Рисса: обобщенная функция Z% есть фундаментальное решение для
fe-й степени волнового оператора. Это изящное построение завер-
завершает цикл исследований, начавшихся еще в девятнадцатом веке,
посвященных конструкциям фундаментальных решений для вол-
волновых уравнений с постоянными коэффициентами, и одновремен-
одновременно объясняет причину того, что усиленный принцип Гюйгенса
справедлив лишь в пространстве четного числа переменных.
Именно, если п > 2 четно, то значение а = 1 является полюсом
п
семейства q+ 2 и одновременно полюсом функции Г I а -\-1 — _ ).
V 2 /
Значение семейства Za в этой точке пропорционально отпошепию
2
вычетов числителя и знаменателя, по вычет семейства <7+
в точке а = 1 есть функционал, носитель которого принадлежит
границе Q, так как внутри Q эта обобщенная функция совпадает
п
•п
а,—
2
с обычной функцией q 2 . Таким образом, Za есть обобщен-
обобщенная функция с носителем, принадлежащим (фактически совпа-
совпадающим) с dQ, что и влечет выполнение усиленного припципа
Гюйгенса (наличие заднего фронта волны) для волнового урав-
уравнения.

312
Примечания к дополнению
Здесь снова теория обобщенных фупкций послужила естест-
естественным языком, на котором стало возможным изложить конст-
конструкцию Рисса. Эта конструкция получила развитие в рамках бо-
более общего направления, которое можно определить как соедине-
соединение теории с веществеппой алгебраической геометрией.
Обобщение теоремы М. Рисса о возможности мероморфного
продолжения семейства /™ для любого многочлена / (задача
И. М. Гельфанда) была решена с привлечением мощных средств
алгебраической геометрии, в частности теоремы Хиронака о раз-
разрешении особенностей аналитических гиперповерхностей. Полю-
Полюса этого продолжения расположены в конечном числе арифме-
арифметических прогрессий с разностью, равной 1. Коэффициенты cai
лорановских разложений в этих полюсах суть некоторые обоб-
обобщенные функции, носители которых задают алгебраическую стра-
стратификацию множества корней полинома /. Эта стратификация,
как и расположение полюсов, несомненно, играет важную роль
в алгебраической геометрии этого множества. Однако эти глу-
глубокие вопросы еще недостаточно исследованы.
Прогресс в теории дифференциальных уравнений в частных
производных, который был достигнут на основе методов теории
Соболева — Шварца, привел к постановке более общих задач,
выходящих за пределы классических вопросов. Это развитие
привело к формулировке общей проблемы, которая на языке
дифференциальных уравнепий звучит как проблема экспонен-
экспоненциального представления решений уравнений с постоянными
коэффициентами, а на двойственном языке (в смысле двой-
двойственности векторных пространств и одновременно в смысле
двойственпости Фурье) называется вслед за Эренпрайсом «фун-
«фундаментальным принципом». Экспоненциальное представление есть
далекий аналог результата Эйлера, согласно которому всякое
решение обыкновенного уравнения с постоянными коэффициен-
коэффициентами может быть записано как сумма экспонент, удовлетворяю-
удовлетворяющих тому же уравнению. В случае, если характеристическое
уравнение имеет кратные корни, это представление включает
соответствующие экспоненциальные многочлены. Проблема со-
состоит в том, можно ли всякое решение уравнения в частных
производных в Л" с постоянными коэффициентами или системы
таких уравнепий представить в виде интеграла с некоторой ме-
мерой по многообразию экспонент вида ехр(?-ж), ^е(Л")' или
экспоненциальных полиномов, удовлетворяющих той же системе?
Такая постановка не использует (по крайней мере, явно) теории
обобщенных функций и, говоря формально, могла быть высказана
самим Эйлером двести лет назад. Однако фактически эта пробле-
проблема была сформулирована только в конце пятидесятых годов в
результате прогресса этой теории. В то же время физики уже
широко использовали в теории квантованных полей возможность
экспоненциального представления для различных уравпений вол-
волнового типа, применяя для обоснования результаты теории обоб-
обобщенных функций. Трудность в общей постановке проблемы за-
заключается, в частности, в вопросе, как понимать сам интеграл.
Действительно, экспоненциальное представление в тривиальном
случае, когда дифференциальный оператор равен нулю, если
разложение произвольной функции, заданной в Rn или в об-
Примечания к дополнению
313
ласти этого пространства, в интеграл по экспонентам с линей-
линейными фазовыми функциями, т. е. в интеграл Фурье. Как мы
отмечали, разложение функций произвольного роста на беско-
бесконечности в иптеграл Фурье было получено лишь в результате
развития теории обобщенных функций.
В начале шестидесятых годов проблема экспоненциального
представления и круг связанных вопросов были решены (В. П. Па-
ламодов [168], Эренпрайс [273]), в частпости, была установлена
возможность разложения любого решения произвольной системы
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами,
определенного в любой выпуклой области U с Rn. Вывод этого
результата, говоря коротко, основан на соединении двух методов:
1) разработка теории преобразования Фурье функций произвольно-
произвольного роста (или функций, заданных лишь в области) и 2) развитие
алгебраической геометрии. Как мы отмечали, преобразование
Фурье быстро растущей обобщенной функции уже, не является
обобщенной функцией, а представляет собой функционал, задан-
заданный на пространстве Z целых функций, удовлетворяющих спе-
специфическим ограничениям роста на бесконечности. Такие функ-
функционалы нельзя локализовать, так как в Z нет разбиений еди-
единицы. Если мы хотим описать те функционалы, которые аннули-
аннулируются операцией умножения на многочлен (частный случай
проблемы экспоненциального представления), то должны поль-
пользоваться другими методами. Один из этих методов использует
конструкцию, подобпую той, которая применяется в теории пуч-
пучков: пространство Z вкладывается в правую резольвенту, об-
образованную голоморфными коцепями Чеха, которые подчинены
таким же ограничениям роста на бесконечности. Вариант этого
метода использует мягкую резольвепту, образованную гладкими
^-дифференциальными формами в Сп. На этом пути возникло
сочетание языка теории обобщенных функций с методами теории
пучков и гомологической алгеброй.
Еще^ одна новая идея была включена в теории обобщенных
функций в начале шестидесятых годов, хотя, по существу, вос-
восходит к работам Коши и Сохоцкого. Известная формула Сохоц-
кого может быть истолкована как равенство обобщенных
функций
1
х —. Ю ~~ х +
C)
1
где х + tO есть предельное значение аналитической функции па
вещественной оси со стороны нижней, соответствеппо верхней
полуплоскости. Вообще, если / — функция, аналитическая в C\R,
то можно рассмотреть ее предельные значения на веществеп-
пой оси с двух сторон /(жгрЮ)ей)' (при условии, что такие
значения существуют). Оказывается, что всякая обобщенная
функция может быть записана в виде и — /(ж—Ю)— /(ж + Ю)
с подходящей аналитической функцией / (аналитическое представ-
представление); в частпости, равенство C) есть аналитическое представ-
представление дельта-функции. Для аналитического представления обоб-
обобщенных фупкций многих переменных используются различные
трубчатые покрытия пространства Cn\Rn, причем всякая функция,

314
Примечания к дополнению
заданная в Rn или в области этого пространства, имеет хотя бы
одно аналитическое представление. Отправляясь от таких представ-
представлений, Мартино [3*] строит левую резольвенту пространства
обобщенных функций в Rn, образованную коцепями Чеха на
указанном трубчатом покрытии, коэффициенты которых суть
голоморфные функции, имеющие рост не выше степенного отно-
относительно расстояния до Rn (условие существования предельных
значений на Rn). На этом языке теорема об аналитическом
представлении есть изоморфизм пространства &>' и (ге—1)-мерной
когомологической группы описанного комплекса коцепей (ра-
(равенство нулю (в—2)-мерной когомологии есть вариант известной
теоремы Боголюбова об острие клина [4*]). С этой реализацией
обобщенных функций тесно связана идея гиперфункций, предло-
предложенная ранее М. Сато [5*]- Гиперфункция Сато по определению
является элементом группы (в —1)-мерной когомологии простран-
пространства Cn\Rn с коэффициентами в пучке голоморфных функций.
Сравнивая это определение с аналитическими представлениями
обобщенных функций, можно так выразить идею гиперфункций:
это комбинация предельных значений на Rn голоморфных функ-
функций, которые, вообще говоря, таких предельных значений не
имеют (поскольку никакие ограничения на их рост вблизи Rn
не накладываются). Гиперфункции Сато — это наиболее далекое
обобщение понятия обобщенной функции Соболева, в некоторых
отношениях слишком далекое, поскольку в теории Сато нет
не только понятия носителя, но нет также никакой разумной
топологии или хотя бы сходимости. В пространстве гиперфунк-
гиперфункций нет привычного анализа, но зато имеются необычные ал-
алгебраические и пучковые свойства, в частности, пучок гипер-
гиперфункций вялый, т. е. всякое сечение над произвольным открытым
подмножеством U cz Rn имеет продолжение до гиперфункции,
заданной на всем Rn.
Мощный импульс, приданный теорией обобщенных функций
анализу, привел к появлению новых направлений, содержащих
конкретные достижения и методы, использующие необычные
сочетания аналитических, топологических и алгебраических идей.
Сама теория обобщенных функций, растворяясь в этих на-
направлениях, становилась в большей степени языком, универ-
универсальным для всего анализа. Этот язык стал столь же необ-
необходим, как и язык банаховых пространств. Роль теории обоб-
обобщенных функций как универсального языка и места соединения
разнообразных идей имеет мало параллелей в математике. В ал-
алгебраической топологии подобную роль, пожалуй, играет, уступая
ей в масштабах, гомологическая алгебра — как единый язык и
совокупность общих приемов. В алгебраической геометрии по-
подобное место занимает теория схем Гротендика. Хотя теория
обобщенных функций уже имеет более чем полувековую исто-
историю, возможности ее развития и влияния на анализ, как я
полагаю, еще не исчерпаны.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. А б р а м о в Ю. Ш. Вариационные методы в теории оператор-
операторных пучков. Спектральная* оптимизация.— Л.: ЛГУ, 1983.
2. А д а м а р Ж. Задача Коши для линейных уравнений с част-
частными производными гиперболического типа: Пер. с фр.— М.:
Наука, 1978.
3. А л и м о в Ш. А. Дробные степени эллиптических операто-
операторов и изоморфизм классов дифференцируемых функций /
Дифференц. уравнения.-1972.-Т. 8, № 9.-С. 1609-1626.^
4. Аманов Т.П. Пространства дифференцируемых функции с
доминирующей смешанной производной.— Алма-Ата: Наука
КазССР, 1976.
5. А н д р и е н к о В. А. Теоремы вложения для функции одного
переменного // Итоги науки и техники. Математический ана-
анализ.— м.: ВИНИТИ.— 1970.— С. 203—262.
6. В а б и ч В. М. К вопросу о теоремах вложения в случае пре-
предельного показателя // Вестн. ЛГУ. Математика, механика,
астрономия.— 1956.- Т. 19, № 4.- С. 186-188.
7 Бабич В. М., Слободецкий Л. Н. Об ограниченности
интеграла Дирихле // Докл. АН СССР — 1956.- Т. 106, № 4 —
С. 604—607.
8. Б а х в а л о в Н. С. Теоремы вложения для классов функции
с несколькими ограниченными производными // Вестн. МГУ.
Сер. 1. Математика, механика.— 1963.— № 3.— С. 7—16.
9. Б е р г И., Л ё ф с т р ё м Й. Интерполяционные пространства.
Введение: Пер с англ.— М.: Мир, 1980.
10. Б е р к о л а и к о М. 3. Теоремы о следах на координатных
подпространствах для некоторых пространств дифференци-
дифференцируемых функций с анизотропной смешанной нормой // Докл.
АН СССР.— 1985.— Т. 282, № 5.— С. 1042—1046.
И. Б ер с Л., Джон ф., Шехтер М. Уравнения с частными
производными: Пер. с англ.— М.: ИЛ, 1966.
12. Б е с о в О. В. О некотором семействе функциональных про-
пространств. Теоремы вложения и продолжения // Докл. АН
СССР.— 1959.— Т. 126, № 6.— С. 1163—1165.
13. Б е с о в О. В. Исследование одного семейства функциональ-
функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолже-
продолжения // Тр. МИАН СССР.—1961.—Т. 60.-С. 42-81.
14. Б е с о в О. В. О плотности финитных функций в i?PiQ и рас-
распространении функций // Тр. МИАН СССР— 1967.— Т. 89.—
С. 5—17.
15. В е с о в О. В. Об условиях существования классического ре-
решения волнового уравнения // Сиб. мат. журн.—1967.— Т. 8,
№ 2.— С. 243-256.

316
Список литературы
16. Б е с о в О. В. Интегральные представления функций и тео-
теоремы вложения для области с условием гибкого рога /
Тр. МИАН СССР.— 1984.— Т. 170.- С. 12—30.
17. Б е с о в О. В., Ильин В. П. Естественное расширепие клас-
класса областей в теоремах вложения / Мат. сб.—1968.—
Т. 75A17), № 4.—С. 483—495.
18. Бесов О. В., Ильин В. П., Кудрявцев Л. Д., Л и-
зоркий П. И., Никольский СМ. Теория вложении
классов дифференцируемых функций многих переменных /
Ин-т мат. СО АН СССР. Труды симпозиума, посвященного
60-летию акад. С. Л. Соболева.—М.: Наука, 1970.—С. 38—63.
19. Б е с о в О. В., Ильин В. П., Никольский СМ. Инте-
Интегральные представления функций и теоремы вложения.— М.:
Наука, 1975.
20. Бирман М. Ш., Павлов Б. С. О полной непрерывности
некоторых операторов вложения // Вестн. ЛГУ. Математика,
механика, астрономия.— 1961.— С. 61—74.
21. Бирман М. Ш., С о до мяк М. 3. Количественный анализ
в теоремах вложения Соболева и приложения к спектральной
теории II Тр. десятой мат. школы,— Киев: ИМ АН УССР,
1974.— С. 5—189.
22. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа.—М.: АН
СССР, 1959.
23. Б р у д п ы й Ю. А. Пространства, определяемые с помощью
локальных приближений // Тр. Моск. мат. общества.— 1971 —
Т. 24.- С. 69—132.
24. Бугров Я. С. Функциональные пространства со смешанной
нормой // Изв. АН СССР. Сер. мат.—1971.—Т. 35, № 5.—
С. 1137—1158.
25. Б у р а г о Ю. Д., М а з ь я В. Г. Некоторые вопросы теории
потенциала и теории функций для областей с нерегулярными
границами / Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР.— 1967.—
Т. 3.— С. 1—152.
26. Б у р е н к о в В. И. Теоремы вложения и продолжения для
классов дифференцируемых функций многих переменных, за-
данпых во всем пространстве // Итоги науки. Математический
анализ, 1965.— М.: ВИНИТИ АН СССР.— 1966.— С. 71—155.
27. Б у р е н к о в В. И. О плотности бесконечно дифференцируе-
дифференцируемых функций в пространствах Соболева для произвольного
открытого множества // Тр. МИАН СССР,— 1974,— Т. 131.—
С. 39—50.
28. Б у р е и к о в В. И. О приближении функций из простран-
пространства W-J"' (Q) фпнитными функциями для произвольного
открытого множества / Тр. МИАН СССР.—1974.—Т. 131.—
С. 51-63.
29. Б у р е н к о в В. И. Интегральное представление Соболева и
формула Тейлора / Тр. МИАН СССР.—1974.— Т. 131.—
С. 33—38.
30. Б у р е н к о в В. И. Об одном способе продолжения диффе-
дифференцируемых функций II Тр. МИАН СССР.— 1976.— Т. 140.—
С. 27—67.
31. Б у р е н к о в В. И., Г о л ь д м а н М. Л. О продолжении функ-
функций из Lp I/ Тр. МИАН СССР.—1979.—Т. 150.—С. 31—51.
Список литературы
317
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
Буренков В. И., Гусаков В. А. О точных постоянных
в теоремах вложения для выпуклых областей малого диамет-
диаметра / Докл. АН СССР — 1987.— Т. 294, № 6.- С. 1293-1297.
В у р е п к о в В. И., Ф а й н Б. Л. О продолжении функций
из анизотропных пространств с сохранением класса / Тр.
МИАН СССР.—Т. 150.—1979.—Т. 150.—С. 52—66.
Бухвалов А. В. Интерполяция обобщенных пространств
Соболева и Бесова с приложением к теореме о следах прост-
пространств Соболева / Докл. АН СССР.—1984.—Т. 279, № 6.—
С. 1293—1296.
В и ш и к М. И. Метод ортогональных и прямых разложений
в теории эллиптических дифференциальных уравнений //
Мат. сб.- 1949.— Т. 25.- С. 189-234.
В и ш и к М. И. О краевых задачах для квазилинейных пара-
параболических систем уравнений и о задаче Коши для гипербо-
гиперболических уравнений // Докл. АН СССР.— 1961.—Т. 140, № 5.—
С. 998—1001.
Владимиров В. С. Обобщенные функции в математиче-
математической физике.— М.: Наука, 1979,
Владимиров В. С, Д р о ж ж и н о в Ю. Н., Завья-
Завьялов Б. И. Многомерные тауберовы теоремы для обобщенных
функций.— М.: Наука, 1986.
Водопьянов С. К. Изопериметрические соотношения и
условия продолжения дифференцируемых функций / Докл.
АН СССР.— 1987.— Т. 292, № 1.— С. 11—15.
Водопьянов С. К., Гольдштейн В. М. Структурные
изоморфизмы пространств W\ и квазиконформные отобра-
отображения / Сиб. мат. журн.—1975.—Т. 16, № 2.—С. 224—246.
Водопьянов С. К., Гольдштейн В. М. Пространства
Соболева и специальные классы отображений: Учеб. пособие.—
Новосибирск: НГУ, 1981.
Водопьянов С. К.,- Гольдштейн В. М., Латфул-
лин Т. Г. Критерий продолжения функций класса L^ из
неограниченных плоских областей / Сиб. мат. журн.— 1979.—
Т. 20, № 2.- С. 416-419.
Водопьянов С. К., Гольдштейн В. М., Решет-
п я к Ю. Г. О геометрических свойствах функций с первыми
обобщенными производными / Успехи мат. наук,—1979.—
Т. 34, № 1 — С. 17-65.
В о л е в и ч Л. Р., И в р и й В. Я. Гиперболические уравне-
уравнения II И. Г. Петровский. Избранные труды. Системы уравне-
уравнений с частными производными. Алгебраическая геометрия.—
М.: Наука, 1986.— С. 395—418.
В о л е в и ч Л. Р., П а н е я х Б. П. Некоторые пространства
обобщенных функций и теоремы вложения / Успехи мат.
наук,- 1965.— Т. 20, № 1.— С. 3-74.
Галахов М. А. О суммируемых областях // Тр. МИАН
СССР.— 1967,— Т. 89.— С. 69.
Г е л ь ф а н д И. М., Граев М. И., В и л е н к и н Н. Я. Ин-
Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории пред-
представлений.— М.: Физматгиз, 1962.
Г е л ь ф а н д И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и
действия над ними.— М.: Физматгиз, 1958.

318
Список литературы
49. Г е л ь ф а н д И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных
и обобщенных функций.— М.: Физматгиз, 1958.
50. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Некоторые вопросы тео-
теории дифференциальных уравнений.— М.: Физматгиз, 1958.
51. Гильдерман Ю. И. Абстрактные функции множеств и
теоремы вложения С. Л. Соболева // Докл. АН СССР.— 1962.—
Т. 144, № 5.— С. 962—964.
52. Г л о о е н к о И. Г. Некоторые вопросы теории вложения для
областей с особенностями на границе // Мат. сб.—1962.—
Т. 57(99), № 2.—С. 201—224.
53. Глушко В. П. Об областях, звездных относительно шара /
Докл. АН СССР.- 1962.— Т. 144, № 6.- С. 1215—1216.
54. Г о г о л а д з е В. Г. Волновое уравнение для неоднородной и
анизотропной среды // Тр. МИАН СССР.—1935.— Т. 9.—
С. 107—166.
55. Г о г о л а д з е В. Г. Проблема Коши для «обобщенного» волно-
волнового уравнения // Докл. АН СССР.—1934.—Т. 1, № 4.—
С. 166-169. ¦
56. Г о г о л а д з е В. Г. К теории запаздывающих потенциалов //
Докл. АН СССР.— 1934.— Т. 3, № 7.— С. 481—484.
57. Г о д у н о в С. К., Г о р д и е н к о В. М. Смешанная задача
Коши для волнового уравнения / Тр. семинара С. Л. Собо-
Соболева.— Новосибирск.— 1978.— № 2.— С. 93—118.
58. Г о л о в к и н К. К. К теоремам вложения / Докл. АН СССР.—
I960,— Т. 134, № 1.— С. 19—22.
59. Г о л о в к и н К. К. О невозможности некоторых неравенств
между функциональными нормами / Тр. МИАН СССР.—
1964.— Т. 70.— С. 5—25.
60. Г о л о в к и н К. К. Параметрически нормированные про-
пространства и нормированные массивы // Тр. МИАН СССР.—
1969.— Т. 106.- С. 1-135.
61. Г о л ь д м а н М. Л. Описание следов для некоторых функцио-
функциональных пространств / Тр. МИАН СССР.— 1979.— Т. 150.—
С. 99-127.
62. Г о л ь д м а н М. Л. О вложении конструктивных и структур-
структурных липшицевых пространств в симметричные // Тр. МИАН
СССР.- 1986.- Т. 173.— С. 90—112.
63. Г о л ь д ш т е й и В. М. Теоремы вложения, продолжения п
емкость: Учеб. пособие.— Новосибирск: НГУ, 1982.
64. Г о л ь д ш т е й н В. М., К у з ь м и н о в В. И., Ш в е д о в И. Л.
Об интегрировании дифференциальных форм классов Wpq //
Сиб. мат. журн.—1982.—Т. 23, № 5.—С. 63—79.
65. Г о л ь д ш т е й н В. М., Р е ш е т н я к Ю. Г. Введение в тео-
теорию функций с обобщенными производными и квазиконформ-
квазиконформные отображения.— М.: Наука, 1983.
66. Г о р д и н г Л. Задача Коши для гиперболических уравнений:
Пер. с англ.—М.: ИЛ, 1961.
67. Г о р д и н г Л. Резкие фронты парных осциллирующих инте-
интегралов / Успехи мат. наук.— 1983.— Т. 38, № 6.— С. 85—96.
68. Г у д и е в А. X. Проблема С. Л. Соболева и С. М. Николь-
Никольского для предельного показателя / Докл. АН СССР.— 1963.—
Т. 149, № 3-С. 509-512.
69. Г у л д С. Вариационные методы в задачах о собственных
значениях: Пер. с англ.— М.: Мир, 1970.
Список литературы
319
70. Г у л и с а ш в и л и А. В. О следах функций из пространств
Бесова на подмножествах евклидова пространства.— Пре-
принт/ЛОМИ.—Ленинград, 1985.—№ Р—2—85.—С. 31.
71. Дезин А. А. К теоремам вложения и задаче о продолже-
продолжении // Докл. АН СССР.— 1953.— Т. 88 — С. 741—743.
72. Д ж а б р а и л о в А. Д. О некоторых функциональных про-
пространствах. Прямые и обратные теоремы вложения // Докл.
АН СССР.— 1964.— Т. 159.— С. 254—257.
73. Д ж а ф а р о в Али С. О некоторых свойствах функций мно-
многих переменных // Исследования по современным проблемам
теории функций комплексного переменного.— М.: Физматгиз,
I960.— С. 537—544.
74. Дубинский Ю. А. Некоторые теоремы вложения в классах
Орлича / Докл. АН СССР.—1963.-Т. 152, № 3.—С. 529—532.
75. Дубинский Ю. А. Некоторые вопросы теории пространств
Соболева бесконечного порядка и нелинейные уравнения /
Дифференциальные уравнения с частными производными.—
Новосибирск, 1980.— С. 75—80.
76. Д у б и и с к и и Ю. А. О следах функций из пространств Собо-
Соболева бесконечного порядка и неоднородной задаче Коши — Ди-
Дирихле II Дифференц уравнения.— 1978.— № 6.— С. 1002—1012.
77. И в р и й В. А., П е т к о в В. Необходимые условия коррект-
корректности задачи Коши для нестрого гиперболических уравне-
уравнений II Успехи мат. наук.— 1974.— Т. 29, № 5.— С. 3—70.
78. Ильин В. П. Интегральные неравенства в функциональных
пространствах и их применение к исследованию сходимости
вариационных процессов. — Автореф. дис. канд. физ.-мат.
наук.— Л., 1951.— 15 с.
79. И л ь и н В. П. О теореме вложения для предельного показа-
показателя / Докл. АН СССР.— 1954.— Т. 96, № 5.—С. 905—908.
80. И л ь и н В. П. Свойства некоторых классов дифференцируе-
дифференцируемых функций многих переменных, заданных в в-мерной об-
области // Тр. МИАН СССР.—1962.—Т. 66.—С. 227—363.
81. И л ь и н В. П. О неравенствах между нормами частных про-
производных функций многих переменных / Тр. МИАН СССР.—
1965.- Т. 84.— С. 144-173.
82. Ильин В. П. Интегральные представления дифференцируе-
дифференцируемых функций и их применения к вопросам продолжения
функций классов Wl (G) ¦// Сиб. мат. журн.— 1967.— Т. 8.—
С. 573—586.
83. И л ь и н В. П. О приближении функций класса Blp 0 (G)
анизотропными средними / Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН
СССР.— 1978.— Т. 80.— С. 30—47.
84. И с м а г и л о в Р. С. Поперечники компактов в линейных
нормированных пространствах // Геометрия пространств и
теория операторов.— Ярославль, 1977.—С. 75—113.
85. К а д л е ц И., Короткое В. Б. Об оценках s-чисел опера-
операторов вложения и операторов, повышающих гладкость // Че-
хосл. мат. журн.— 1968.— Т. 18, № 4.— С. 678—699.
86. К а з а р я н Г. Г. Оценки в Ьр смешанных производных через
дифференциальные многочлены // Тр. МИАН СССР,— 1969.—
Т. 105.— С. 66—76.

320
Список литературы
87. К а л я б и н Г. А. Описание следов для анизотропных про-
пространств типа Трибеля — Лизоркина // Тр. МИАН СССР.—
1979.— Т. 150.— С. 160—173.
88. К а л я б и н Г. А. Описание функций из классов типа Бесо-
Бесова — Лизоркина — Трибеля // Тр. МИАН СССР.— 1980.—
Т. 156.— С. 82—109.
89. К а н т о р о в и ч Л. В., А к и л о в Г. П. Функциональный
анализ в нормированных пространствах.— 2-е изд.— М.: Нау-
Наука, 1977. 3-е изд.— М.: Наука, 1985.
90. К а ш и н Б. С. О поперечниках классов Соболева малой глад-
гладкости / Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика.— 1981.—
№ 5.- С. 50-54.
91. К и п р и я н о в И. А. Об одном, классе теорем вложения с ве-
весом // Докл. АН СССР.- 1962.— Т. 147, № 3.- С. 540-543.
92. К и с л я к о в СВ. Соболевские операторы вложения и не-
неизоморфность некоторых банаховых пространств // Функц.
анализ и его прил.— 1975.— Т. 9, № 4.— С. 22—27.
93. К л и м о в В. С. К теоремам вложения для анизотропных
классов функций // Мат. сб.— 1985.— Т. 127, № 2.— С. 198—208.
94. К о к и л а ш в и л и В. М. Максимальные функции и сингуляр-
сингулярные интегралы в весовых функциональных пространствах //
Тр. мат. ин-та АН ГССР.— 1985.— Т. 80.— С. 1—114.
95. Колмогоров А. Н., Фомин СВ. Элементы теории функ-
функций и функционального анализа.— 5-е изд.— М.: Наука, 1981.
96. Ко л яд а В. И. О вложении классов Н ^ п // Мат. сб.—
1985.— Т. 127, № 3.— С. 352—381.
97. Кондратьев В. А., К о п а ч е к И., Олейник О. А.
О наилучших показателях Гёльдера для обобщенных решений
задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго по-
порядка // Мат. сб.—1986.—Т. 131, № 1.—С. 113—125.
98. К о н д р а т ь е в В. А., Олейник О. А. Неулучшаемые
оценки в пространствах Гёльдера для обобщенных решений
бигармонич^ского уравнения, системы уравнений Навье —
Стокса и системы Кармана в негладких двумерных обла-
областях / Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика.— 1983.—
№ 6.- С. 22-39.
99. К о н д р а т ь е в В. А., Олейник О. А. Краевые задачи
для уравнений с частными производными в негладких обла-
областях II Успехи мат. наук.— 1983.— Т. 38, № 2.— С. 3—76.
100. Кондратьев В. А., Олейник О. А. Об оценках вторых
производных решения задачи Дирихле для бигармонического
уравнения в окрестности угловых точек границы // Успехи
мат. наук.— 1987.— Т. 42, № 2.— С. 231—232.
101. Кондратов В. И. О некоторых оценках семейств функ-
функций, подчиненных интегральным неравенствам / Докл. АН
СССР — 1938.— Т. 18, № 4-5.- С. 235-239.
102. Кондратов В. И. О некоторых свойствах функций про-
пространства Lp II Докл. АН СССР.— 1945.— Т. 48, № 6.— С. 563—
566.
103. Кондратов В. И. Поведение функций из Ь^ на много-
многообразиях различных размерностей. / Докл. АН СССР.—
1950.— Т. 6, № 5 — С. 1005—1012,
Список литературы
321
104. Коновалов В. Н. Критерий продолжения пространств Со-
Соболева w?' из ограниченных плоских областей // Докл. АН
СССР.— 1986.— Т. 289, № 1.— С. 36—38.
105. Коротков В. Б. К теоремам вложения С. Л. Соболева для
абстрактных функций / Докл. АН СССР.—1961.— Т. 141,
№2.—С. 308—311.
106. К р е й н С. Г. Интерполяционные теоремы в теории операто-
операторов и теоремы вложения // Тр. 4-го Всесоюзного мат. съез-
съезда, 1961,—Т. 2.—Л.: Наука.—1964.—С. 504—510.
107. К р е й н С. Г., Петунии Ю. И., Семенов Е. М. Интер-
Интерполяция линейных операторов.— М.: Наука, 1977.
108. Кружков С. Н., Королев А. Г. К теории вложения ани-
анизотропных функциональных пространств // Докл. АН СССР.—
1985.— Т. 285, № 5.— С. 1054—1057.
109. Крылов Н. В. Нелинейные эллиптические и параболиче-
параболические уравнения второго порядка.— М.: Наука, 1985.
110. Кудрявцев Л. Д. Прямые и обратные теоремы вложения.
Приложения к решению вариационным методом эллиптиче-
эллиптических уравнений / Тр. МИАН СССР.— 1959.— Т. 55.— С. 1—181.
111. Кудрявцев Л. Д. Теоремы вложения для классов функций,
определенных на всем пространстве или полупространстве //
I.—Мат. сб.—1966.—Т. 69.—С. 3—35. П.—Мат. сб. Т. 70A12).—
№ 1._ с. 3-35.
112. Кудрявцев Л. Д. Теоремы вложения для весовых про-
пространств и их приложения к решению задачи Дирихле //
Исследования по современным проблемам конструктивной
теории функций.— Баку: АН АзССР, 1965.— С. 493—501.
113. Кузнецов 10. В. К вопросу о плотности бесконечно диф-
дифференцируемых функций в пространствах Бесова II Тр. МИАН
СССР.— 1984.— Т. 170.— С. 203—212.
114. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической фи-
зпки. Т. 1, 2: Пер. с нем.—М.—Л.: ГИТТЛ, 1951.
115. Ладыженская О. А. Смешанная задача для гиперболи-
гиперболического уравнения.—М.: Гостехиздат, 1953.
116. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и
квазилинейные уравнения эллиптического типа.—¦ М.: Наука,
1964.— С. 306—333.
117. Ландис Е. М., Олейник О. А. К теории уравнений
эллиптического типа // И. Г. Петровский. Избранные труди.
Дифференциальные уравнения. Теория вероятностей.— М.:
Наука, 1987. '
118. Левитан Б. М. О решении задачи Коши для уравнения
Аи— q (xv ..., жп) и = —- по методу С. Л. Соболева // Изв.
dt
АН СССР. Сер. мат.— 1956.— Т. 20.— С. 237—276.
119. Левитан Б. М. О разложении по собственным функциям
самосопряженного уравнения в частных производных // Тр.
Моск. мат. общества.— 1956.— Т. 5.— С. 269—298.
120. Л е р е Ж. Гиперболические уравнения: Пер. с англ.— М.:
Наука, 1984.
121. Л е р е Ж., Г о р д и п г Л., К о т а к е Т. Задача Коши: Пер.
с фр.—М.: Мир, 1967.
21 С. П. Соболев

322
Список литературы
122. Л и з о р к и н П. И. Обобщенное лиувиллевскоо дифферен-
дифференцирование и функциональные пространства ??(?„). Теоремы
вложения II Мат. сб.— 1963.— Т. 60, № 3.— С. 325—353.
123. Лизоркин П. И. Неизотропныо бесселевы потенциалы.
Теоремы вложения для пространств Соболева Lpv"" п с
дробными производными II Докл. АН СССР.—1966.— Т. 170,
№ 3.- С. 508-511.
124. Лизоркин П. И. Обобщенное лиувиллевское дифференци-
дифференцирование и метод мультипликаторов в теории вложений клас-
классов дифференцируемых функций / Тр. МИАН СССР.— 1969.—
Т. 105.- С. 89-167.
125. Лизоркин П. И. Добавление. Пространства обобщенной
гладкости / Трибель Г. Теория функциональных пространств:
Пер. с англ.— М.: Мир, 1986.— С. 381—415.
126. Лизоркин П. И., Никольский СМ. Классификация
дифференцируемых функций па основе пространств с доми-
доминирующей производной / Тр. МИАН СССР.— 1965.— Т. 77.—
С. 143-167.
127. Лионе Ж., Мадженес Е. Неоднородные краевые задачи
и их приложения: Пер. с франц.— М.: Мир. 1971.
128. Литвинов В. Г. Оптимизация в эллиптических граничных
задачах с приложениями к механике.— М.: Наука, 1987.
129. Лу Вень-туан. К теоремам вложения для пространств
функций с частными производными, суммируемыми с различ-
различными степенями // Вестн. ЛГУ. Сер. «Математика, механика,
астрономия».— 1961.— № 7.— С. 23—37.
130. Магарил-Ильяев Г. Г. Обобщенные соболевские клас-
классы и неравенства типа Бернштейна — Никольского // Докл.
АН СССР.— 1982.- Т. 264, № 5.- С. 1066-1069.
131. М а з ь я В. Г. Классы областей и теоремы вложения функ-
функциональных пространств / Докл. АН СССР.—1960.—Т. 133,
№ 3.— С. 527—530.
132. М а з ь я В. Г. Классы областей и мер, связанные с теоремами
вложения II Теоремы вложения и их приложения. Тр. симп.
по теоремам вложения. Баку. 1966.— М.: Наука, 1970.—
С. 142-159.
133. М а з ь я В. Г. О непрерывности и ограниченности функций
из пространств С. Л. Соболева // Пробл. мат. анализа.— Л.,
1973.— № 4.— С. 46—77.
134. М а з ь я В. Г. О суммируемости функций из пространств
С. Л. Соболева // Пробл. мат. анализа.— Л.— 1975.— № 5.—
С. 66—98.
135. М а з ь я В. Г. Пространства С. Л. Соболева.— Л.: ЛГУ,
1985.
136. Мазья В. Г., Поборчий СВ. О продолжении функций
из пространств С. Л. Соболева во внешность области с верши-
вершиной пика на границе / Докл. АН СССР.— 1984.— Т. 275, № 5.—
С. 1066—1069.
137. Мазья В. Г., Шапошникова Т.О. Мультипликаторы
в пространствах дифференцируемых функций.— Л.: ЛГУ, 1986.
138. Мальгранж Б. Идеалы дифференцируемых функций.—
М.: Мир, 1964.
Список литературы
323
139. Масленникова В. Н., Боговский М. Е. Простран-
Пространства Соболева соленоидальных векторных полей / Сиб. мат.
журн.— 1981.— Т. 22, № 3.— С. 91—118.
140. Масленникова В. Н., Боговский М. Е. Аппрокси-
Аппроксимация соленоидальных и потенциальных векторных полей в
пространствах Соболева и задачи математической физики /
Дифференц. уравнения с частными производными. Тр. межд.
конференции по дифференц. уравнениям с частными произ-
производными. Новосибирск. 1983.— Новосибирск: Наука, 1986.—
С. 129-137.
141 М а с л о в В. П. Теория возмущений и асимптотические ме-
методы.— М.: МГУ, 1965.
142. М а с л о в В. П. Операторные методы.— М.: Наука, 1973.
143. Маслов В. П. О регуляризации задачи Коши для псевдо-
дифференцпальных уравнений / Докл. АН СССР.—1967.—
Т. 177, № 6.— С. 1277—1280.
144. Маслов В. П., Данилов В. Г. Квазиобращение в теории
псевдодифференциальных уравнений // Итоги науки. Совре-
Современные проблемы математики. Т. 6.— М.: ВИНИТИ, 1976.—
С. 5-132.
145. М и з о х а т а С. Теория уравнений с частными производны-
производными: Пер. с англ.— М.: Мир, 1977.
146. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных
производных.— М.: Наука, 1983.
147. М и х л и н С. Г. Проблем^ минимума квадратичного функ-
функционала.— М.: Гостехиздат, 1952.
148. М и х л и н С. Г. Вариационные методы в математической
физике.— М.: Гостехиздат, 1957.
149. М и х л и н С. Г. Линейные уравнения в частных производ-
производных.— М.: Высшая школа, 1977.
150. Н а г у м о М. Лекции по современной теории дифференциаль-
дифференциальных уравнений в частных производных: Пер. с японск.— М.:
Мир, 1967.
151. Нетрусов Ю. В. Теоремы вложения пространств Бесова
в идеальные пространства / Зап. науч. семинаров ЛОМИ.—
1987.- Т. 159.- С. 69-82.
152. Никольский СМ. Неравенства для целых функций ко-
конечной степени и их применение в теории дифференцируемых
функций многих переменных / Тр. МИАН СССР.—1951.—
Т. 38.— С. 244—278.
153. Никольский СМ. О теоремах вложения, продолжения
и приближения дифференцируемых функций многих перемен-
переменных а Успехи мат. наук.— 1961.—Т. 16A01), № 5.—С. 63—114.
154. Никольский СМ. Об одной задаче С. Л. Соболева / Сиб.
мат. журн.— 1962.— Т. 3, № 6.— С. 845—851.
155. Никольский СМ. О граничных свойствах дифференци-
дифференцируемых функций многих переменных / Докл. АН СССР.—
1962.— Т. 146, № 3.— С. 542—545.
156. Никольский СМ. Приближение функций многих пере-
переменных и теоремы вложения.— М.: Наука, 1 изд.—1969,
2 изд.— 1977.
157. Никольский СМ. Вариационная задача // Мат. сб.—
1963 — Т. 62, № 1.— С 53—75.
21*

324
Список литературы
158.
159.
160.
161.
162.
163.
164.
165.
160.
167.
168.
169.
170.
171.
172.
173
Никольский СМ. К вопросу о решении полигармониче-
полигармонического уравнения вариационным методом // Докл. АН СССР.—
1953.— Т. 33, № 2.— С. 409—411.
Никольский 10. С. Граничные значения функций из ве-
весовых классов II Докл. АН СССР.—1965.— Т. 164, № 3.—
С. 503—506.
Никольская Н. С. Приближение дифференцируемых
функций многих переменных суммами Фурье в метрике Lp //
Сиб. мат. журн.— 1974.— Т. 15, № 2,— С. 395—412.
Новиков С. П., Стернин В. Ю. Эллиптические опера-
операторы и подмногообразия / Докл. АН СССР.—1966.— Т. 171,
№ 3.- С. 525-528.
Олейник О. А. Лекции об уравнениях с частными произ-
производными. I.— M.: МГУ, 1976.
Олейник О. А., Радкевич Е. В. Уравнения второго
порядка с неотрицательной характеристической формой Ц
Итоги науки. Математический анализ, 1969.— М.: ВИНИТИ,
1971.
Олейник О. А., Иосифьян Г. А. Принцип Сен-Венана
в плоской теории упругости и краевые задачи для бигармо-
нического уравнения в неограниченных областях // Сиб. мат.
журн — 1978.—Т. 19, № 5.—С. 1154—1165.
Олейник О. А., Кондратьев В. А., Копачек И.
Об асимптотических свойствах решений бигармонического
уравнения // Дифференц. уравнения.— 1981.— Т. 17, № 10.—
С. 1886—1899.
Олейник О. А., П а л а м о д о в В. П. Системы линейных
уравнений с частными производными / Петровский И. Г.
Избранные труды. Системы уравнений с частными производ-
производными. Алгебраическая геометрия.— М.: Наука, 1986.— С. 427—
434.
Отелбаев М. Теоремы вложения для пространств с весом
и их применения к изучению спектра оператора Шрединге-
ра // Тр. МИАН СССР.—1979.—Т. 150.—С. 265—305.
Паламодов В. П. Линейные дифференциальные операторы
с постоянными коэффициентами.— М.: Наука, 1967.
.Паламодов В. П. Каустики волновых процессов и обоб-
обобщенные функции, связанные с особыми аналитическими ги-
гиперповерхностями II Обобщенные функции и их применения
в математической физике. Тр. Межд. конф., Москва. 1980.—
МИАН СССР, 1981.— С. 383—400.
Паламодов В. П. Обобщенные функции и гармонический
анализ / Современные проблемы математики. Фундамен-
Фундаментальные направления.—М.: ВИНИТИ, 1989.
Перепслкин В. Г. Интегральные представления функ-
функций, принадлежащих весовым классам С. Л. Соболева в обла-
областях, и некоторые приложения // I — Сиб. мат. журн.— 1976.—
Т. 17, № 1.—С. 119—140. II —Сиб. мат. журн.—1976.—Т. 17,
№ 2.— С. 318—330.
Петровский И. Г. tJber das Cauchysche Problem fur Sys-
teme von partiellen Differentialgleichungen // Мат. сб.— 1937.—
Т. 2, №5.—С. 815—870.
Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными
производными.— М.: Наука, 1964.
Список литературы
325
174. Петровский И. Г. Избранные труды. Системы уравнений
с частными производными. Алгебраическая геометрия.— М.:
Наука, 1986.
175. Пиголкина Т. С. Теоремы вложения для функций, опре-
определенных в неограниченных областях, и их применение к
краевым задачам для полигармонпческих уравнений II Докл.
АН СССР.— 1966.— Т. 168, № 5.— С. 1012—1014.
176. Попова Е. М. Дополнения к теореме В. И. Буренкова
о приближении функций из пространств Соболева с сохране-
пием граничных значений // Дифференциальные уравнения
и функциональный анализ.— М.: УДН, 1984.— С. 76—87.
177. Портнов В. Р. Об одном проекционном операторе типа
С. Л. Соболева / Докл. АН СССР.—1969.—Т. 189, № 2.—
С. 258—260.
178. Потапов М. К. О вложении и совпадении некоторых клас-
классов функций И Изв. АН СССР. Сер. мат.—1969.—Т. 33.—
С. 840-860.
179. П о х о ж а е в СИ. О теореМе вложения С. Л. Соболева в
случае pi = п // Докл. научно-техн. конф. МЭИ.— М.— 1965.—
С. 158—170.
180. Решетняк Ю. Г. Некоторые интегральные представления
дифференцируемых функций // Сиб. мат. журн.—1971.—
Т. 12, № 2.— С. 420—432.
181. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической
физики: Пер. с англ.— М.: Мир; Т. 1: Функциональный анализ,
1977; Т. 4: Спектральная теория, 1978.
182. Рисе Ф., Надь Б. С. Лекции по функциональному анали-
анализу: Пер. с англ.— М.: Мир, 1979.
183. Романов А. С. О замене переменной в пространствах потен-
потенциалов Бесселя и Рисса // Функциональный анализ и матема-
математическая физика.—Новосибирск: Наука, 1985.— С. 117—133.
184. Рудин У. Функциональный анализ: Пер. с англ.— М.: Мир,
1975.
185. Р ы б а л о в Ю. В. О теоремах вложения одного естественного
расширения сободевского класса Wp(Q) // Изв. АН СССР.
Сер. мат.— 1970.— Т. 34.— С. 145—155.
186. Самко С. Г. Гиперсингулярные интегралы.— Ростов-на-До-
Ростов-на-Дону: РГУ, 1983.
187-. Седов В. Н. О функциях, обращающихся на оо в полином /
Теоремы вложения и их приложения. Тр. Всесоюзного симп.
по теоремам вложения. Баку. 1966.— М.: Наука, 1970.— С. 204—
212.
188. Слободецкий Л. Н. Обобщенные пространства С. Л. Со-
Соболева и их приложения к краевым задачам в частных про-
производных / Уч. зап. Ленингр. пед. ин-та им. А. И. Герцена.—
1958.—Т. 197.—С 54—112.
189. Слободецкий Л. Н. Оценки в Lv решений эллиптических
систем // Докл. АН СССР.- 1958.— Т. 123, № 4.- С. 616-619.
190. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 5.— М.: Физ-
матгиз, 1960.
191. Соболев С. Л. Sur l'equation d'onde pour le cas d'un milieu
heterogeno isotropc // Докл. АН СССР.— 1930.— Т. 7. С. 163—167.
192. Соболев С. Л. Волновое уравнение для неоднородной сре-
среды / Тр. Сейсм. ин-та.—1930.—Т. 6.—С. 1—57.

326
Список литературы
193.
194.
195.
196.
197.
198.
199.
200.
201.
202.
203.
204.
205.
206.
207.
208.
209.
210.
211.
Соболев С. Л. Об одном обобщении формулы Кирхгофа //
Докл. АН СССР.— 1933.— № 6.— С. 256—262.
Соболев С. Л. Новый метод решения задачи Коши для
уравнений в частных производных второго порядка / Докл.
АН СССР.— 1934.- Т. 1, № 8.— С. 433-438.
Соболев С. Л. Le probleme de Cauchy dans l'espace des
fonctionelles / Докл. АН СССР.—1935.—T. 3(8), № 7 F7).—
С 291—294.
Соболев С. Л. Methode nouvclle a resoudre le probleme de
Cauchy pour les equation lineaires hyperbolic normales // Мат.
сб.— 1936.—Т. 1D3).—С. 39—72.
Соболев С. Л. О некоторых оценках, относящихся к се-
семействам функций, имеющих производные, интегрируемые с
квадратом // Докл. АН СССР.— 1936.— Т. 1.— С. 267—270.
Соболев С. Л. Основная задача для полигармонического
уравнения в области с вырожденным контуром // Докл. АН
СССР.— 1936.— Т. 3.— С. 311—314.
Соболев С. Л. О прямом методе решения полигармониче-
полигармонического уравнения // Докл. АН СССР.— 1936.— Т. 4.— С. 339—342.
Соболев С. Л. Об одной краевой задаче для политармоня-
чсских уравнений // Мат. сб.—1937.—Т. 2D4).—С. 467—500.
Соболев С. Л. Об одной теореме функционального анали-
анализа // Докл. АН СССР.— 1938.— Т. 20.— С. 5—10.
Соболев С. Л. О задаче Коши для квазилинейных гипер-
гиперболических уравнений // Докл. АН СССР.—1938.— Т. 20.—
С. 79—84.
Соболев С. Л. Об одной теореме функционального анали-
анализа // Мат. сб.— 1938.—Т. 4D6).—С. 471—498.
Соболев С. Л. Об одной краевой задаче для полигармони-
полигармонических уравнений // Успехи мат. наук.— 1938.— Т. 4.— С. 275—
277.
Соболев С. Л. Об одном неравенстве / Успехи мат. наук.—
1946.-Т. 3-4A3-14).—С. 197.
Соболев С. Л. Расширение пространств абстрактных функ-
функций, связанных с теорией интеграла // Докл. АН СССР.—
1957.—Т. 114.—С. 1170—1173.
Соболев С. Л. Теоремы вложения для абстрактных функ-
функций множеств // Докл. АН СССР.—1957.—Т. 115.—С. 57—59.
Соболев С. Л. Некоторые обобщения теорем вложения /
Fundam. math.— 1959.— V. 47, № 3.— P. 277—324.
Соболев С. Л. Плотность финитных функций в простран-
пространстве L^fEn) II Докл. АН СССР.—1963.—Т. 149, № 1.—
С. 40—43.
Соболев С. Л. Плотность финитных функций в простран-
(Еп) II Сиб. мат. журн.—1963.—Т. 4, № 3.—
стве Лр '
С. 673—682.
Соболев
212.
213.
р *. *
518.
Соболев С.
Наука, 1966.
Соболев С. Л.
М.: Наука, 1974.
С. Л. О плотности финитных функций в
Докл. АН СССР.- 1966.— Т. 167, № 3.— С. 516—
Л. Уравнения математической физики.— М.:
Введение в теорию кубатурных формул.—
Список литературы
327
214. Соболев С. Л., Никольский С. М. Теоремы вложе-
вложения II Тр. 4-го Всесоюзного мат. съезда. 1961. Т. 1.— Л.: Нау-
Наука, 1963.— С. 227—242.
215. Соломяк М. 3., Тихомиров В. М. О геометрических
характеристиках вложения классов W^ в С // Изв. вузов.
Математика.— 1967.— Т. 10.— С. 76—82.
216. Солонников В. А. О некоторых свойствах пространств
Wljp дробного порядка / Докл, АН СССР.— I960.— Т. 134, № 2.
С. 282—285.
217. Солонников В. А. О некоторых неравенствах для функций
из классов И^т) (Лп) // Зап. науч. семин. ЛОМИ АН СССР.—
1972.— Т. 27.— С. 194—210.
218. Солонников В. А., У р а л ь ц е в а И. Н. Пространства
Соболева II Избранные главы анализа и высшей алгебры/
Учеб. пособие.—Л.: ЛГУ, 1981.—С. 129—197.
219. С т е й н И. Сингулярные интегралы и дифференциальные
свойства функций: Пер. с англ.— М.: Мир, 1973.
220. Стернин Б. Ю. Эллиптические и параболические задачи на
многообразиях с границей, состоящей из компонент различ-
различной размерности // Тр. Московского мат. общества.— 1966.—•
Т. 15.— С. 346—382.
221. Стернин Б. Ю. Топологические аспекты проблемы С. Л. Со-
Соболева.— М.: МИЭМ, 1977.
222. Т а в х е л и д з о И. Н. Аналог принципа Сен-Венана для по-
полигармонических уравнений и его приложения / Мат. сб.—¦
1982.—Т. 118, № 2.—С. 236—251.
223. Тандит Б. В. О граничных свойствах функций из простран-
пространства Wr^ II Тр. МИАН СССР.— 1980.— Т. 156.- С. 223-232.
224. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы: Пер. с
англ.— М.: Мир, 1985.
225. Тихомиров В. М. Теория приближений // Современные
проблемы математики. Фундаментальные направления.— М.:
ВИНИТИ АН СССР, 1987.—С. 103—260. (Итоги науки и тех-
техники. Т. 14).
226. Т р е в Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных опе-
операторов и интегральных операторов Фурье. Т. 1, 2: Пер. с
англ.— М.: Мир, 1984.
227. Трибель X. Интерполяционные свойства е-энтропии и по-
поперечников. Геометрические характеристики вложения про-
пространств функций типа Соболева — Бесова // Мат. сб.— 1975.—
Т. 98,- С. 27-41.
228. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные про-
пространства, дифференциальные операторы: Пер. с англ.— М.:
Мир, 1980.
229. Трибель X. Теория функциональных пространств: Пер. с
англ.— М.: Мир, 1986.
230. Ульяпов П. Л. Вложение некоторых классов функций
Н® I/ Изв. АН СССР. Сер. мат.—1968.—Т. 32.—С. 649—686.
231. Успенский СВ. Свойства классов W(pr) с дробной про-
производной на дифференцируемых многообразиях / Докл. АН
СССР.— I960.— Т. 132.— С. 60—62.

328
Список литературы
232. Успенский СВ. О теоремах вложения для весовых клас-
классов // Тр. МИАН СССР.—1961.—Т. 60.—С. 282—303.
233. Успенский СВ. О представлении функций, определяе-
определяемых одним классом операторов // Тр. МИАН СССР.— 1972.—
Т. 117.— С. 292—299.
234. У спей ский СВ., Демиденко Г. В., Перепел-
к и н В. Г. Теоремы вложения и их приложения к дифферен-
дифференциальным уравнениям.— Новосибирск: Наука, 1984.
235. Ф а й н Б. Л. Теоремы вложения для пространств функций с
частными производными, суммируемыми в разных степенях //
Мат. заметки. 1975.— Т. 18, № 3.— С. 379—393.
236. Ф а й н Б. Л. Об одном способе продолжения дифференцируе-
дифференцируемых функций/МИРЭА.—М., 1982.—И с—Деп. в ВИНИТИ
4.02.1983, № 3352.
237. Ф а й н Б. Л. О продолжении функций из пространств Собо-
Соболева для нерегулярных областей с сохранением показателя
гладкости // Докл. АН СССР.— 1985.— Т. 285.— № 2.— С. 296—
301.
238. Ф и к е р а Г. Теоремы существования в теории упругости:
Пер. с англ.— М.: Мир, 1974.
239. Филиппов В. М. Вариационные принципы для нопотен-
циальных операторов.— М.: УДН, 1985.
240. Фролов Н. И. Теоремы вложения для функций счетного
числа переменных и их приложения к задаче Дирихле II Докл.
АН СССР.- 1972.- Т. 203.- С 39-42.
241. Харди Г. Г., Литтлвуд Дж. Б., Полна Г. Неравен-
Неравенства/Пер, с англ.— М.: ИЛ, 1948.
242. Хёрмандер Л. Линейпые дифференциальные операторы
с частными производными: Пер. с англ.— М.: Мир, 1965.
243. Хёрмандор Л. Анализ линейных дифференциальных опе-
операторов с частными производными. Т. 1—4: Пер. с англ.— М.:
Мир, 1986-1987.
244. Ш а и и р а П. Теория гиперфункций: Пер. с фр.— М.: Мир,
1972.
245. Шаталов В. Е. Некоторые асимптотические разложения в
задачах Соболева // Сиб. мат. жури.— 1977.— Т. 18, - № 6.—
С. 1393—1410.
246. Шаньков В. В. Оператор усреднения с переменным радиу-
радиусом и обратная теорема о следах II Сиб. мат. журн.— 1985.—
Т. 26, № 6.— С. 141—152.
247. Шварц Л. Применение обобщенных функций к изучению
элементарных частиц в квантовой механике: Пер. с фр.— М.:
Мир, 1964.
248. Шварцман П. А. Локальные приближения функций и тео-
теоремы продолжения/Ярослав, ун-т.— Ярославль, 1983.— 30 с—
Деп. в ВИНИТИ 18.04.1983, № 2025.
249. Э к л а н д И., Т ъ м а м Р. Выпуклый анализ и вариацион-
вариационные проблемы: Пер. с фр.— М.: Мир, 1979.
250. 10 д о в и ч В. И. О некоторых оценках, связанных с инте-
интегральными операторами и решениями эллиптических уравне-
уравнений // Докл. АН СССР.— 1961.— Т. 138, № 4.— С. 805—808.
Список литературы
329
251.
252.
253.
254.
255.
256.
257.
258.
259.
200.
261.
262.
263.
264.
Яковлев Г. Н. Граничные свойства функций класса ^
на областях с угловыми точками // Докл. АН СССР.— 1961.—
Т. 140, № 1.— С. 73—76.
Adams D. R. A trace inequality for generalized potentials //
Stud, math.— 1973.— V. 48, № 1.— P. 99—105.
Adams D. R. Trace of potentials. II // Indiana Univ. math. J.—
1973.— V. 22, № 10.— P. 907—918.
Adams R. A. Sobolev spaces.— New York — San Francisko —
London: Acad. Press, 1975.
Aronszajn N. On coercive mtegro-differential quadratic
forms II Conference on partial Differential Equations. Univ. of
Kansas.— 1954.— Report № 14.— P. 94—106.
Aronszajn N., Mulla F., Szeptycki P. On spaces of
potentials connected with V classes // Ann. Inst. Fourier.—
1963.— V. 13.— P. 211—306.
Aronszajn N., Smith К. Т. Theory of Bessel potentials.
I // Ami. Inst. Fourier.— 1961.— V. 11.—P. 385—475.
Aubin T. Problemes isoperimetriques ct espaces de Sobolev //
С r. Acad. sci. Ser. A.— 1975.— T. 280.— P. 279—281.
Avanlaggiatti A. Spazi di Sobolev con peso ed alcune
applicazioni / Boll. Unioiie mat. ital.— 1976.— V. 13 A, № 5.—
P. 1-52.
Avantaggiati A., Troisi M. Spazi di Sobolev con peso
e problemi ellillici in un angolo //I — Ann. mat. pura ed appl.—
1973.—V. 95.—P. 361—408; II —Там же.—1973.—V. 97.—
P. 207—252.—III.—Там же.—1974.—V. 99.—P. 1—51.
Beauzamy B. Espaces de Sobolev et de Besov d'ordre variab-
variable definis sur L,v // С r. Acad. sci. Ser. A.— 1972.— T. 274.—
P. 1935-1938.
Benedek A., Panzone R. The spaces 2> with mixed
norm // Duke math. J.—1961.—V. 28, № 3.—P. 301—324.
В 6 11 g e r H.— J. Ein Kriterium fur die Approxiinierbarkeit von
Funktionen aus Sobolewschen Raumen durch glatte Funktio-
nen / Manuscr. math.— 1981.— Bd. 34.— S. 93—120.
Burenkov V. I. Mollifying operators with variable step and
their application to approximation by infinitely differentiable
functions II Nonlinear Analysis, Function spaces and Applica-
Applications. V. 2.— Leipzig: Teubner — Texte zur Mathematik.— 1982.—
Bd. 49.- S. 5-37.
Lebeques spaces of differentiable functions
Pros. Symp. Pure Math.—1961.— V. 4.—
265. Calderon A. P.
and distributions /
P. 33—49.
266. Calkin J. W. Functions of several variables and absolute
continuity. I // Duke math. J.— 1940.— V. 6.— P. 176—186.
267. Campanato S. II teorema di immersione de Sobolev per
una classe di aparti non dotati della proprieta di cono // Ric.
mat— 1962.—V. 11, № 1.—P. 103—122.
268. Deny L., Lions J. L. Les espaces de type de Beppo Levi /
Ann. inst. fourier.—1953—1954.—V. 5.—P. 305—370.
269. Donaldson T. Nonlinear elliptic boundary value problems
in Orlich — Sobolev spaces // J. different, equat.— 1971.— V. 10.—
P. 507—528.

330
Список литературы
270.
271.
272.
273.
274
275.
276.
277.
278.
279.
280.
281.
282.
283.
284.
285.
286.
287.
288.
289.
Duistermaat J. J., Hormander L. Fourier integral
operators. II // Acta Math.—1972.—V. 128.—P. 183—269.
Edmunds D. E., Evans W. D. Orlich and Sobolev spaces on
unbounded domains // Proc. roy. soc. London. A.— 1975.— V. 342.—
P. 373—400.
Ehrling G. On a type of eigenvalue problems for certain
elliptic differential operators / Math, scand.— 1954.— V. 2.—
P. 267—285.
Eh renpreis L. Fourier analysis in several complex variab-
variables.— New-York, London, Sydney, Toronto: Wiley Publ., 1970.
F e d e r e r H., Fleming W. H. Normal and integral cur-
currents / Ann. math.—I960.—V. 72.—P. 458—520.
Fichera G. Linear elliptic differential systems and eigen-
eigenvalue problems / Lecture notes in mathematics. V. 8.— Ber-
Berlin.— Heidelberg — New York: Springer,. 1965.
Fraenkel I. E. On regularity of the boundary in the theory
of Sobolev spaces // Proc. London Math. Soc—1979.— V. 39,
№ 3.— P. 385—427.
Freud G., Kralik D. Uber die Anwendbarkeit des Dirichlet-
schen Prinzips fur den Kreis / Acta math. hung.— 1956.— V. 7,
№ 3—4,— P. 411—418.
Friedrichs К. О. On the identity of weak and strong exten-
extensions of differential operators // Trans, amer. math, soc— 1944.—
V. 55.- P. 132-151.
Gagliardo E. Caratterizzazione delle tracce sulla fronliera
relative ad alcune classi di funzioni in n variabili // Rend. Sem.
Matem. Univ. di Padova.— 1957.— V. 27.— P. 284—305.
Gagliardo E. Proprieta di alcune classi di funzioni in piu
variabili // Ric. mat.— 1958.— V. 7. P. 102—137.— Русский пе-
перевод: Математика.—1961.—Т. 5, № 4.—С. 87—116. ,
Gagliardo E. Ulterori proprieta di alcune classi di funzio-
funzioni in piu variabili / Ric. mat.— 1959.— V. 8.— P. 24—51.
l'analiticita delle
Mem. accad. sci.
De Giorgi E. Sulla differenziabilita e
estremali degli intcgrali multipli regolari //
Torino.— 1957.— V. 3.— P. 25—43.
Gol'dstein V. M., Vodop'janoy S. K. Prolongement de
fonctions differentiables hors de domaines plans // C. r. Acad.
sci. Ser. A.— 1981.— T. 293.— P. 581—584.
Hadamard J. Sur le pricipe de Dirichlet // Bull. soc. math.
France.— 1906.— V. 24.— P. 135—138.
Hanouzet B. Espaces de Sobolev avec poids. Applications
an probleme de Dirichlet dans une demi espace // Rend. sem.
mat. univ. Padova.— 1971.— V. 46.— P. 227—272.
Hedberg L. I. Two approximation problems in function spa-
spaces // Ark. math.— 1978.— V. 16, № 1.— P. 51—81.
Hedberg L. I. Spectral synthesis in Sobolev spaces and uni-
uniqueness of solutions of the Dirichlet problem / Acta math.—
1981.— V. 147.— P. 237—264.
Hcywood I. G. On uniqueness questions in the theory of
viscous flow // Acta math.— 1976.— V. 136, № 1—2.— P. 61—102.
H о p f E. Uber die Anfangswerlaufgabe fur die Hydrodynami-
schen Grundgleichungen /I Mat. Nachr.—1950—51.— Bd. 4.—
S. 213-231.
Список литературы
331
290. John F., Nirenberg L. On functions of bounded mean
oscillation // Communs pure and ap.pl. math.—1961.—V. 14,
№ 3.— P. 415—426.
291. Jones P. W. Quasiconformal mappings and extendability of
functions in Sobolev spaces // Acta math.— 1981.— V. 147.—
P. 71—88.
292. Komatsu H. The Sobolev — Besov imbedding theorem from
the viewpoint of semi-groups of operators II Sem. Goulaonic —
Schwarts.— 1972—1973.— Exp. 1.
293. К о n d r a t i e v V. А., О 1 e i n i k O. A. On the smoothness
of weak solutions of the Dirichlet problem for the biharmonic
equation in domains with nonregular boundary // Nonlinear par-
partial differential equations and their applications. College de
France Seminar, Pitman.— 1986.— V. 7.— P. 180—199.
294. К о n d r a t i e v V. А., О 1 e i n i k O. A. Estimates near the
boundery for second order derivatives of solutions of the Di-
Dirichlet problem for the biharmonic equations // Atti. accademia
naz. Lincei, rendiconti.— Roma, 1986.— V. 80, № 7—12.—
С 525—529.
295. К u f n e r A. Weighted Sobolev spaces.— Leipzig: Teubner-
Texte zur Mathematik, 1980.
296. Kufner A., John O., Fucik S. Function spaces.— Pra-
Prague: Academia, 1977.
297. Lax P. D. On Cauchy's problem for hyperbolic equations and
the differentiability of solutions of elliptic equations / Com-
¦ muns pure and appl. math.— 1955.— V. 8.— P. 615—633.
298. Lax P. D. Asymptotic solutions of oscillatory initial value
problem /I Duke math. J.—1957.—V. 24.—P. 627—646.
299. L ii t z e n .1. The prehistory of the theory of distribution.—
Institut for de eksakte videnskabers historic. Aarhus Univ., 1979.
300. Mathisson M. Eine neue Losungsmethode fur Differenlial-
gleichuiigon von normalen hyperbolishen Typus II Math, ann.—
1932.- Bd. 107, № 3.— P. 400-419.
301. M a z j a V. G. Einbettungssatze fur Sobolewsche Raume.—
Leipzig: Teubner-Texte zur Mathematik; Bd. 1, 1979; Bd. 2,
1980.
302. Meyers N., Serrin J. H = W // Proc. Nat. Acad. Sci.
USA.- 1964.- V. 51 — P. 1055-1056.
303. Michlin S. G. Konstanten in einigen Ungleichungen der
Analysis.— Leipzig: Teubner-Texte zur Mathematik, 1981.
304. M о г г е у СВ., Jr. Functions of several variables and absolute
continuity II. // Duke Math. J.— 1940.— V. 6, № 1.— P. 187—215.
305. M о г г е у СВ. Integrals in the calculus of variations.— Berlin,
Heidelberg, New York: Springer verlag, 1966.
306. M о s e r J. A new proof of De Giorgi's theorem concerning the
regularity problem for elliptic differential equations // Communs
pure and appl. math.— I960.— V. 13.— P. 457—468.
307. M о s e r J. A sharp form of an inequality by N. Trudinger /
Indiana univ. math, j.—1971.—V. 20, № 11.—P. 1077—1092.
308. Muramatu T. On imbedding theorems for Sobolev spaces and
some of their generalization // Publ. res. inst. math. sci. Kyoto
univ. Ser. A.— 1968.— V. 3.— P. 393—416.
309. N e с a s J. Les methodes directes en theorie des equations
elliptiques.— Prague: Academia, 1967.

332
Список литературы
310. Nikodym О. М. Sur une classe de fonctions considerees dans
le probleme de Dirichlet // Fund, math.— 1933.— V. 21,— P. 129—
150.
311. Nikolsky S. M., Lions J. L., Lizorkin P. I. Integral
representation and isomorphism properties of some classes of
functions И Ann. scuola norm, super. Pisa.— 1965.— V. 19, № 11,
P. 127-178.
312. Nirenberg L. On elliptic partial differential equations (Lec-
(Lecture II) II Ann. scuola norm, super. Pisa. Ser. 3.— 1959.— V. 13.—
P. 115—162.
313. О 1 e i n i k O. A. On the Cauchy problem for weakly hyperbolic
equations // Communs pure and appl. math.—1970.—V. 23.—
P. 569—589.
314. О 1 e i n i k 0. A. On some mathematical problems of elasticity //
Atti. dei convegni Lincei. Acad. naz. Lincei.— 1986.— V. 77.—
P. 259—273.
315. Oleinik 0. A. On the behaviour at infinity of solutions of
second order elliptic equations // Ordinary and partial differen-
differential equations; 1986. Pitman Research Notes in Mathematics,
Series 157. Proceedings of the 9 Dundee Conference.— 1987.—
P. 161—175.
316. P e e t r e J. Espaces d'interpolation et theorome de Soboleff //
Ann. Inst. Fourier.— 1966.— V. 16.— P. 279—317.
317. Peetre J. A remark on Sobolev spaces. The case 0 < p < 1 /
J. approxim. theory.— 1975.— V. 13.— P. 218—228.
318. Peetre J. Now thoughts on Besov spaces.—Duke Univ. Math.
Series, 1976.
319. Peetre J. A counterexample connected with Gagliardo's trace
theorem / Comment, math. Prace mat.— 1979.— T. 2.— P. 277—
282.
320. V о u 1 s e n E. T. Boundary value properties connected with
i Diihlt itl / Mth d I960 V 8
y
some improper Dirichlet integral
№ 1.- P. 5-14.
pp
/ Math, scand.— I960.— V. 8,
321. P г у m F. Zur Integration der Differentialgleichunge
д2и
д?
+—5 = 0 // J. de Crelle.—1871.—V. 73.-P. 340-349.
дУ
322. Rosen G. Minimum value for С in the Sobolev inequality
IMKCHgradcpll3 // SIAM J. appl. math.-1971 —V. 21, № 1.—
P. 30—33.
323. Smith К. Т. Formulas to represent functions by their deriva-
derivatives // Math, ann.—1970.—V. 188, № 1.—P. 53—77.
324. Stampacchia G. S?^v< X)-spaces and interpolation // Com-
Communs pure and appl. math.— 1964.— V. 17.— P. 293—306.
325. Stein E. M. The characterization of functions arising as po-
potentials / Bull. Amer. Math. Soc— I.—1961.— V. 67,
№ 1.—P. 102—104; И.— Там же.—1962.—V. 68, № 6.—
P. 577-584.
326. Stricharts R. S. Multipliers on fractional Sobolev spaces /
J. math, and mech.— 1967.— V. 16.— P. 1031—1060.
327. Schwartz L. Theorie des distribution. I. II.—Paris: Hermann,
1950-51.
Список литературы
333
328. Schwartz L. Les travaux de Garding sur le problem de Di-
Dirichlet.— Sem Bourbaki, Paris, 1952.
329. T а Ы e s о n M. N. On the theory of Lipshitz spaces of distri-
distributions on Euclidian re-space // I.— J. math, and mech.— 1964.—
V. 13.— P. 407—479.— П.— Там же.— 1965.— V. 14.— P. 821—
840.— III.— Там же.— 19G6.— V. 15.— P. 973—981.
330. T a 1 e n t i G. Best constant in Sobolev inequality / Ann. mat.
pura ot appl.—1976.—V. 110.—P. 353—372.
331. T r u d i n g с r N. S. On imbeddings into Orlich spaces and so-
some applications // J. math, and mech.— 1967.— V. 17.— P. 473—
483.
332. Unterberger A. Sobolev spaces of variable order and prob-
problems of convexity for partial differential operators with constant
coefficients / Coll. Intern. С N. R. S. sur les equations aux
derivees partielles lineaires.— Asterisque 2 et. 3. Soc. math.
France.— 1973.— P. 325—341.
333. W с у 1 H. The method of orthogonal projection in potential
theory / Duke Math. J. 1940.—№ 7.—P. 411—444.
334. Yoshikawa A. On abstarct formulation of Sobolev type
imbedding theorems and its applications to elliptic boundary
value problems // J. Fac. sci. univ. Tokyo. Sect. I. A.— 1970.—
V. 17.— P. 543—558.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1*. В о с h n e r S. Vorlesungen iiber Fouriersche Integrale.— Leip-
Leipzig, 1932.
2*. Riesz M. L'inlegral de Ricmann — Liouville et le probleme de
Cauchy I/ Acta Math,— 1949.— V. 81.— P. 1—223.
3*. M a r t i n e a u A. Distributions et valeurs au bord des fonctions
holomorphes // Proc. of the Intern. Summer Inst.— Lisbon, 1964.
4*. Владимиров В. С. Методы теории функций многих комп-
комплексных переменных,— М.: Наука, 1976.
5*. Sato M. Theory of hyperfunctions I, II / J. Fac. Sci. Univ.
Tokyo- 1959-1960.— V. 8.- P. 139-193, 387-437.