Автор: Полонников Р.И.   Костюк В.И.   Краскевич В.Е.  

Теги: электротехника   электроника   обработка сигналов   кибернетика   теория автоматического управления  

Год: 1977

Похожие

Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления. Методы ТАУ. Том 1

Методы современной теории автоматического управления. Том 3

Методы управления нелинейными механическими системами

Математические методы оптимального управления

Текст 
                    МАТРИЧНЫЕ
МЕТОДЫ
ОБРАБОТКИ
СИГНАЛОВ

П 68437

Р. и. полонников,	П 5^
В. и. костюк,
В. Е. КРАСКЕВИЧ
МАТРИЧНЫЕ
МЕТОДЫ
ОБРАБОТКИ
СИГНАЛОВ
Киев
«Техжка»

6Ф0.1
П52
УДК 621.391
Матричные методы обработки сигналов. Полов-
ников Р. И., К ос т юк В. И., Краске-
вич В. Е. Киев, «Техшка», 1977. 136 с.
Изложены новые матричные методы обработки сиг-
налов и показано их применение при комплексной
микроминиатюризации радиоэлектронной аппара-
туры. В основу этих методов положен обобщенный
спектральный анализ, предоставляющий исследова-
телям широкий класс систем ортонормированных
базисных функций для получения спектров сигнала.
Показано, что наиболее удобными в практической
реализации при построении радиоэлектронной ап-
паратуры на интегральных микросхемах являются
функции Уолша и Хаара. Рассмотрены устройства
цифровых фильтров и обучаемых распознающих
устройств для систем с сосредоточенными и распре-
деленными параметрами.
Рассчитана на инженеров, работающих в области
технической кибернетики, радиоэлектроники и си-
стем автоматического управления, и может быть
полезна студентам соответствующих специальнос-
тей.
Табл. 7. Ил. 32. Список лиТ.: 31 назв.
Рецензент д-р техн, наук Р. М. Юсупов
Редакция литературы по энергетике, электронике,
кибернетике и связи
Зав. редакцией 3. В. Божко
_	30401-105	_7
П М202 (04)-77 46’

ПРЕДИСЛОВИЕ
Основным направлением развития радиоаппарато-
строения является комплексная микроминиатюриза-
ция, предполагающая широкое, комплексное внедре-
ние методов и средств микроэлектроники, или интег-
ральной электроники, в развитие технической базы
радио- и электронного приборостроения, в схемо-
и системотехнику. С внедрением этих методов и средств
открываются новые, чрезвычайно широкие возможнос-
ти по «крупноблочному строительству» аппаратуры
самого разнообразного назначения и, что самое су-
щественное, увеличивающейся функциональной слож-
ности.
С появлением микроэлектроники стало возмож-
ным реализовать практически большое разнообразие
схем с переменными параметрами, что в значительной
мере способствовало повышению интереса к другим
системам полных и ортогональных базисных функций.
Наибольшее предпочтение, однако, отдается сейчас
полным прямоугольным, ортонормированным систе-
мам базисных функций и в первую очередь функциям
Уолша и Хаара. Обобщенный спектральный анализ
на основе использования этих и некоторых других
функций является в настоящее время математиче-
ским аппаратом наиболее адекватным как современной
элементной базе микроэлектроники, так и основным
тенденциям ее развития. Использование в качестве
3

базисной системы функций Уолша, принимающих на
всем интервале только два значения 4-1 и —1,
избавляет от необходимости реализации операций
умножения функций и позволяет синтезировать циф-
ровые фильтры, всевозможные спектральные анализа-
торы и другие устройства обработки сигналов без при-
менения индуктивностей, тем самым исключая один
из наиболее сложных в микроэлектронике элементов.
Весьма интересные перспективы, связанные также с
применением функций Уолша, открываются и при по-
строении фазированных антенных решеток (ФАР),
при синтезе оптимальных сигналов, при разработке
обучаемых распознающих систем, при решении цело-
го ряда задач оптимизации и численного анализа.
Данная книга является попыткой систематизиро-
ванного, хотя и краткого, изложения последних до-
стижений в области обобщенного спектрального ана-
лиза и матричных методов применительно к решению
задач обработки сигналов. При ее написании прихо-
дилось учитывать то обстоятельство, что методы обоб-
щенного спектрального анализа, применение функций
Уолша и быстрого преобразования Адамара еще ма-
ло знакомы широким кругам инженеров-разработчи-
ков и поэтому нуждаются в подробном разъяснении
и популяризации.
Глава 1 написана совместно Р. И. Полонниковым,
В. И. Костюком, В. Е. Краскевичем; глава 2 —
Р. И. Полонниковым; глава 3 — совместно В. И. Кос-
тюком, В. Е. Краскевичем и Р. И. Полонниковым;
глава 4 — Р. И. Полонниковым.
Замечания и отзывы просьба направлять по адресу:
252 601 л Киев» 1» ГСП» Пушкинская» 28, издательст-
во «Техшкаъ.

Глава 1
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ
В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ
ОРТОГОНАЛЬНЫХ БАЗИСАХ
1. ДИСКРЕТНЫЕ ФУНКЦИИ УОЛША
И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
АДАМАРА
Появление новых экономичных методов спек-
трального анализа позволило ускорить процесс полу-
чения спектра в сотни и даже тысячи раз без увели-
чения быстродействия ЭВМ. Решающая роль здесь
принадлежит методам быстрого преобразования Фурье,
Адамара и Хаара.
Представление сигнала в виде суммы синусоидаль-
ных и косинусоидальных составляющих не является
единственно возможным. В наиболее общем виде,
оставаясь в рамках линейных представлений, любой
сигнал можно рассматривать как совокупность эле-
ментарных функций (сигналов), взятых с некоторыми
весами. Совокупность элементарных функций обычно
называют системой базисных функций, а представле-
ние сигнала в виде суммы — разложением сигнала по
системе базисных функций. Набор весовых коэффи-
циентов называют спектром сигнала. Используя эти
представления, удобно рассматривать сигнал как век-
тор в многомерном пространстве. Тогда система
базисных функций образует в этом пространстве сис-
тему координат (координатных функций), а спектр
является проекцией вектора-сигнала на соответст-
вующие оси координат.
Рассмотрим преобразование Адамара и представ-
ление сигнала с использованием базисных функций
Уолша.
5

Дискретные функции Уолша (ДФУ) образуются
равномерной выборкбй непрерывных функций Уол-
М=1
ша. Пронумеруем моменты выборки i = У ik2k при
ьо
общем количестве моментов выборки и дискретных
функций Уолша N = 2П. Обозначим ДФУ:
Wj (i, N), wal (Z, N);
cal(j, Z, N), sal (/, Z, AZ);
Mi, AZ).
Для описания свойств дискретной функции Уол-
ша примем следующую форму записи:
wf (i, N) =	(т/Т0) 6 (t — in).
К основным свойствам ДФУ относятся:
ортогональность
N-]
2 О’/ (Z, AZ) wk (i, М) = 2Ч-ъ
/=о
где 8ik — символ Кронекера;
полнота	'
N—1
2 ^.(Z, AZ)^(^, AZ) = 2ns^;
1=0
симметрия
Wj (i, N) =	(/, AZ);
мультипликативность
(i, AZ) wk (i9 AZ) = Wf^k (Z, N). ’
Прямое и обратное преобразования Адамара оп-
ределяются соответственно следующим образом:
/V—I
f* (/) = 2 wt f
1=0
/V—1
f(Z) = 2-n
6

Пара преобразований обозначается
(1-1)
Преобразования Адамара можно записать в мат-
ричной форме:
= f=(l/N)HNf*,
где /* = [/*(0), f(l), ••••	и f = [f(O),
f (1), .... f(N— 1)]г — векторы-столбцы; Нм — матри-
ца Адамара порядка N, определяемая из условия
HNHTN = NI.
Строки матрицы Н соответствуют дискретным функ-
циям Уолша и принимают значения ± 1. В соответ-
ствии с различными формами записи функций Уолша
строки матрицы Н размера N х N могут быть упо-
рядочены согласно с номерами функций:	— Wj (i,
N); N wal	Hm — hi (i, N) — собственно матрица — wal (j, i, N). Для N =8 (n =3)		Адамара;
Hw-		111111 -1 1 1 1 —1 —1 — 1 1—1—1 1 1 _ 1 1 _ 1 _ 1 _ 1 _ 1 1—1 1—1 1—1	1 Г 1 -1 1 - 1 1 1 . 1 -1 ’
HN		1—1 1—1—1 1 _ 1-1-1 1 1-1- 1—1—1 1-1 1 “111111 1—1 1—1 1—1 1 1—1—1 1 1 — 1—1—1 1 1 — 1 — 1 1 1 1 - 1 — 1 -	1	1 1	1 1	— L 1	r i -1 i -1 i i . i -i ’
		1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 	1	i	i i	i i — i
1

1 1 1 1 1	1	г
1 1 1 —1 —1 —1 —1
1	-1	-1	—1	—1	1	1
1—1—1 1	1—1 —1
1—1 1 1-1—1 1 •
1-1 1-1	1 1-1
1 1-1-1	1—1 1
1 1-1 1-1 1 —1_
Перечисленные ниже основные свойства преобра-
зования Адамара справедливы независимо от способа
упорядочения матрицы Н.
1.	Преобразование Адамара f (i) отличается от
функции f (i © k) только множителем, равным зна-
чению ДФУ Wj (k, N) (теорема сдвига):
N—1
2 N)Dk{f(i)}=Wi(k,
i=0
где Dk {/ (t)} = f (i © k) — двоичный оператор сдвига.
2.	Преобразование Адамара от диодной (логиче-
ской) свертки двух дискретных функций /(i) и g(i):
(i, щ f а ® k) g (k) --= г о) g* (/),
t=0	k=0
т. e. преобразование Адамара от двоичной свертки
двух функций равно произведению их дискретных
преобразований (теорема свертки).
3.	Если f (i) и g (i) — произвольные дискретные
функции и
f(i) «—>/*(£); g(i)^-+g*(k),
N—l	N—l	।
то	f*(k)g* (k)
1=1	/?=1
8

или в матричном виде
(теорема Парсеваля).
4.	Сложение вектора с постоянной:
+	(Z) + ^6 (/).
5.	Нулевая составляющая вектора f* с точностью
до множителя 2“п есть среднее составляющих вектора /:
N—1
Г(0)= 2/(0-
1=0
Среднее суммы составляющих вектора /* дает
нулевую составляющую вектора f:
N—1
f(0) = 2-"2 Г(/)•
/=о
6.	Свойство симметрии. Если —>/*, то
2.	ФАКТОРИЗАЦИЯ МАТРИЦ АДАМАРА
Быстрое преобразование Адамара (БПА) можно по-
лучить разложением матрицы Ни (N — 2п) в произведе-
ние матриц Гуда Gr [28] с небольшим количеством
-1
отличных от нуля членов Ни = П Gr- Поэтому вы-
г=0
числение спектра f* можно представить следующим
образом:
=	... GiGJ
9

или в виде последовательности преобразований
/i = Gof;
/2 = ^ifli
f* = fn = Gn-\fn-i-i
Матрица Gr, представленная в виде блочно-диаго-
нальной матрицы
- I ll'4w-
содержит 2п~г~1 отличных от нуля блоков (г = 1,
2, п — 1). Подматрицы А (г) находятся Kaif Кро-
некерово произведение матриц:
А(г) = Н2®12.	(1.3)
Для п =3 и М = 8 на основании выражений (1.2)
и (1.3)
Л(0)=Яа; Л(1)=Я2®/2; Д(2)=Я2®/4;
Ga (8) =
Gi(8)
10

G2(8)= 4
где H2 =
Граф БПА, соответствующий этому разложению,
показан на рис. 1. Ввиду симметричности матриц
Адамара
HN = HTN = Gn-iGn-2 ... G&^G^ ... Gn_i. (1.4)
Рис. 1. Граф быстрого преобразования Адамара.
Из выражения (1.4), представляющего собой одну из
возможных модификаций матриц Адамара, следует,
что БПА имеет два алгоритма, соответствующих
прямой и обратной последовательности сомножителей
в произведении матриц Gr. Другой подход к синтезу
БПА состоит в разбиении Hn на блоки с последующей
п

факторизацией:
12


Все матрицы Gr можно привести к одинаковому виду.
Например, для п = 3 матрица Гуда
110 0 0
0 0 110
0 О
О О
G =	0 0 0 0 0 110 0 0 0 0 110 _0 ’ 0 0' 0 0
1 1
О О
О о
1 1
1 1
(1-5)
поэтому Hn = Gn.
Каждая строка матрицы Гуда содержит два от-
личных от нуля элемента, равных +1 или —1. По-
этому умножение на одну матрицу Гуда размером
2" х 2" требует всего 2" арифметических операций
(сложение и вычитание), а из матрицы (1.5) следует,
что общее число операций при нахождении спектра
равно nN. Непосредственное же вычисление пре-
образования Адамара потребовало бы N (N —1) ариф-
метических операций. Аналогичные разложения и
соответствующие им быстрые алгоритмы можно полу-
чить и для других дискретных линейных преобразо-
ваний, таких как Фурье, Хаара, причем наименьшее
число операций, равное 2 (Л7 — 1), необходимо при
использовании преобразования Хаара.
Рассмотрим еще одну модификацию БПА. Если
На = Н.®Н2 =
А я;
-н,_
Л -J’
Ht о
. 0 я4
н2
-н^
где Ht =
Н,
о 1ГА
К
2
Уа
0
13

то
Матрицу (1.6) можно записать в виде
^8 — (^2 ® Л) U2 ® ^2 ® ^2) (Л ® ^/2) —
= (я4 ®12® /2) (Л ®н2® /2) (/2 ® /2 ® Н2)
или в общем виде
Н2п = (Т/2 ® ^2 ® * ’ * ® ^2) (^2 ® ^2 ® ^2 ® ‘	•
®/2)	«2®'2®	®^2),	(1.7)
где число членов (скобок) в правой части выражения
(1.7) равно п. 1 .
Введем оператор «идеальной перетасовки»
|ро 1
_Xn-1
-Хо
Xn/2
Хх
X(w+2)/2
X(W—2)/2
X/v—1 .
14

тогда
	Н2П = (СР)п,	(1.8)	
где С = Для	^2® ^2®	®^2- п = 3 и N = 8 “1	10	00 1—10	0 0 0	0 1	10	0	0	0 0	0	0 0	0	0	
G3 =	0	01—10 0	0	0	0	1 0	0	0	0	1	— 0	0	0	0	0 0	0	0	0	0	0	0	0 1	0	0 1	0	0 0	1	1 0	1—1	• (1.9)
Пользуясь выражениями (1.8) и (1.9) находим преобразования Адамара:			
fl = [(/о + Л), (fo - Л), (fl + f5), (fl - f6),
(fa + feh (f2-feh (f3 + f7), (f3-f7)lr;
Известна также модификация БПА [14, 15], при-
водящая к спектру, инвариантному относительно цик-
лических сдвигов вектора, зеркальных отражений, из-
менений масштаба и смещений. Здесь вместо операций
сложения и вычитания проводятся чисто логические
15

операции, что более удобно при технической реа-
лизации. Так, вместо сложения используется опера-
ция И—НЕ:
1 + 1= 0; 0+1 = 1;
0 + 0 = 1; 1 + 0=1,
а вместо вычитания —операции НЕРАВНОЗНАЧ-
Рис. 2. Функциональная схема эле-
ментов, выполняющих операции
И—НЕ и НЕРАВНОЗНАЧНОСТЬ.
НОСТЬ:
1-1=0;
1 — 0=1;
0-0=0;
0—1 = 1..
Поэтому данное пре-
образование назвали
логическим БПА (ЛБ
ПА). Устройство, осу-
ществляющее Л БПА,
просто реализуется на интегральных микросхемах
и обладает большой однородностью структуры. Функ-
циональная схема элементов, выполняющих операции
И—НЕ и НЕРАВНОЗНАЧНОСТЬ, показана на рис. 2.
Структурная схема всего устройства показана на
рис. 3. Число разнообразных выходных кодов после
ЛБПА может быть найдено по формуле
#вых = (N - 3) log2 N + (№/4) - (5W2) + 10,
где W — размерность преобразуемого входного век-
тора.
Свойство инвариантности ЛБПА к упоминавшим-
ся возмущениям типа сдвига, переносов, изменения
масштаба и толщины линий изображения можно проде-
монстрировать с помощью рис. 4, 5, 6.
16

Рис. 3. Структурная схема автоустройства, реализующего
логическое быстрое преобразование Адамара: *
Я/ — я32 ячейки
3.	ЛОГИЧЕСКАЯ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ
И КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ В БАЗИСЕ УОЛША
Пусть имеются выборочные функции х (/) и у (/)
(/ =0,1, ...» N —1) некоторых дискретных случай-
ных процессов X (/) и Y (/). Логическая корреляцион-
ная функция этих двух выборочных последователь-
ностей
1 AZ—1
М*) = — 2 x<J®b)y(j),	(1.10)
м
где k = 0,1,..., (N — 1) и N = 2п\ / и k — целые
положительные числа, меньшие, чем 2Л —1.
Рассмотрим ряд таких чисел:
{0, 1, 2, ...,(2rt-l)} =Z„.	(1.11)
П68437
17
£ а г а 4 ж i
Г.IV


О	О	О	О	О	О	с	О	О	О	О	О	О	О	О	О	3	СО	-X	-	—«	СО —	—	—«	со	—'	—	—	со—*	—	—•	ко
о	о	о	о	о	о	о	о	о	о	о	о	о	о	о	о	СО	—	—	СО —	—<	—	СО	—1	—	СО —	—	—'
О	О	О	О	О	О	о	О	О	О	О	О	О	О	О	О	СО	—	—	—	СО—«	—	—	со	—<	—«	—	со —	—	—«

ООООООООО о о о о о О о
ооооооооо с о о о О О о
ооооооооо о оооооо
СО	—<	—<	—.	СО — —	—1	СО	—<	—« .	СО —	—<
СО	—	—«	—'	СО	—	—<	—‘СО	— . —'	—«СО	—	-I
Ю	СО	—	—1	СО	—	—«	— Ю	—<	СО	СО	Ю	—	coco
СО—«	—	—	СО	—	—'	— со*-	—	—<	со	•
СО	—	—	—<СО	—	—''-'СО	—	—'	—	СО	—	—«	—
со^^-.«со^ — ^ео — — —.йо.—' — —
LQ СО — — СО—« — — ио — СО’СО LO —• СОСО
СО	г-ч	•—	со	«*—	—«	—	СО	—<	— '—	СО-	—	-
СО —	—	—	со	—	—	—	со	—	— —	со	—
СО —	—	—	СО	—	—	—	СО	—	—,—	СО	—	—	—
ю СО	—	—	со	—	—	—	Ш	—	CO CO'LO	—	СОСО

0	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0	1	1
0	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0	1	0
1	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0	1	1
0	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0	1	1
1	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0	1	0	. ‘J
0	0	1	0	0	0	1	0	L	0	1	0	0	0	1	1
1	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0	1	0
1	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0	1	1
0	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0	1	1
1	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0	1	0
1	0	1	0	1	1	1	1	1	0	1	0	1	1	1	1
															в
Рис. 4. Код фигуры в виде креста на входной матрице (16X16)
	гический адамаров спектр (в) до			
0 0 0 0 0 0 0	0 0 0	0	0 0 0	0 0
0 0 0 0 0 0 0	0 0 0	0	0 0 0	0 0
0 0 0 0 0 0 0	0 0 0	0	0 0 0	0 0
0 0 0 0 0 0 0	0 0 0	0	0 0 0	0 0
0 0 0 0 0 0 0	0 0 0	0	0 0 0	0 0
0 0 0 0 0 0 0	0 0 0	0	0 0 0	0 0
0 0 0 0 0 0 0	0 0 0	0	0 0 0	0 0
0 0 0 0 0 0 0	0 0 0	0	ООО	0 0
0 0 0 0 0 0 0	0 0 0	1	0 0 0	0 0
0 0 0 0 0 0 0	0 0 0	1	0 0 0	0 0
0 0 0 0 0 0 0	0 0 0	1	0 0 0	0 0
0 0 0 0 0 0 0	1 1 1	1	1 1 1	0 0
0 0 0 0 0 0 0	0 0 0	1	0 0 0	0 0
0 0 0 0 0 0 0	0 0 0	1	0 0 0	0 0
о 0 0 0 0 0 0	0 0 0	1	0 0 0	0 0
0 0 0 0 0 0 0	0 0 0	0	0 0 0	0 0
а
2Q

О О 1
О О 1
1 О 1
О О 1
О О 1
О О 1
1 О 1
О О 1
1 О 1
О О 1
1 О 1
О О 1
О О 1
О О 1
1 О 1
1 О 1
ООО
ООО
ООО
ООО
ООО
ООО
ООО
ООО
ООО
ООО
ООО
ООО
ООО
ООО
ООО
О 1 1
1	О	1
1	О	1
1	О	1
10 1
1	0	1
1	0	1
1	0	1
1	0	1
1	0	1
1	0	1
1	0	1
1	0	1
1	0	1
1	0	1
1	0	1
1	1	1
О 1 о
О 1 о
0 1 о
О 1 о
О 1 о
0 1 о
О 1 о
О 1 о
О 1 о
О 1 о
О 1 о
0 1 о
О 1 о
О 1 о
О 1 о
О 1 о
О	0	1
О	0	1
О	О	1
О	0	1
О	О	1
О	0	1
О	0	1
О	0	1
О	0	1
О	0	1
О	0	1
О	О	1
О	0	1
О	0	1
О	0	1
1	1	1
1
о
о
о
1
1
о
L
о
о
о
о
1
1
о
1
элементов (а), адамаров спектр этого
и после смещения изображения.
00	0	0	0	0 000
оо	о	о	о	оооо
О о	о	|Т|	о	0 0 0 0
О О | 1	1	1	0 0 0 0
00	О	|	1	|	О	0 0 0 0
00	О	О	О	0000
0 0 о
изображения (6), ло-
0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0
О 0	00000000000
0	0	о
0	0	о
0	0	о
0	0	о
0	0	о
0	0	о
0	0	о
0	0	о
0	0	о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
О	00000000000
О	00000000000
О	00000000000
О	0000 0 000000
О	00000000000
О	0000 0 00 000 о
О	00000000000
О	00000000000
О	00000000000
21

13	777777	7
5	111111	1
5	111|11	1
5	111111	1
7	111111	1
7	111111	1
7	111111	1
7	111111	1
1з	7 7 7 7 7 7	7~
5	111111	1
5	111111	1
5	111111	1
7	111111	1
7	111111	1
7	111111	1
7	111111	1
0	0	1	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0	1	0
13 7 7 7 7 7 7	7
5 111111	1
5.1111111
5 111111	1
7 111111	1
7 111111	1
7 111111	1
7 111111	1
13 7 7 7 7 7 7	7
5 1 1 1 1 1. 1	1
5 111111	1
5 111111	1
7 111111	1
7 111111 I
7 111111	1
7 111111	1
б
1 0 10 0 0 1 0
1 0 10 0 0 1 0
1	0	1	0	0
0	0	1	0	0
0	0	1	0	0
0	0	1	0	0
1	0	1	0	0
0	0	1	0	0
1	0	1	0	0
0	0	1	0	0
1	0	1	0	0
0	0	1	0	0
0	0	1	0	0
0	0	1	0	0
1	0	1	0	0
0	0	1	0	0
0	10	10
0	10	10
0	10	10
0	10	10
0	10	10
0	10	10
0	10	10
0	10	10
0	10	10
0	10	10
0	1	0	10
О	1 0	1 о
О	1	0	10
0	10	0 0
1 0	0	0	1	0
1 0	0	0	1	0
1 0	0	0	1	0
10	0	0	1	0
1 0	0	0	1	0
1 0	0	0	1	0
1 0	0	0	1	1
1 0	0	0	1	0
10	0	0	1	0
1 О	О	О	Г	1
1 0	0	0	1	0
1 0	0	0	1	0
10	0	0	1	0
110 0 11
Рис. 5. Код фигуры в виде креста на входной матрице (16Х
адамаров спектр этих изображений (б), логиче-
22

5 3 3 3
1111
3	111
3	111
5	3	3	3
1111
3	111
3	111
5 3 3 3
1111
3	111
3	111
5 3	3 3
1111
3	111
3	111
5 3 3 3
1111
3	111
3	111
5	з	з	Г
i	i	i	i
3	11	1
3	111
5	3	3	У
1111
3	111
3	111
5 3 3 Г
1111
3	111
3	111
5 3 3 3
1111
3 111
3 111
5 3 3 3
1111
3 111
3 111
5 3 3 3
1111
3 111
3 111
5 3 3 3
1111
3 111
3 111
5 3 3 3
1111
3 111
3 111
5 3 Г~3
1111
3111
3 111
5 3 3 3
1111
3 111
3 111
5 3 3 3
1111
3 111
3 111
0	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0 1	1 0
0	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0 ]	[ 0
1	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0 ]	1 0
0	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0 1	1 0
0	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0 1	1 0
0	0	1	0	0	0	0	0	1	0	1	0	0	0 ]	1 0
1	0	1	0	0	0	0	0	1	0	1	0	0	0 ]	[ 0
0	0	1	0	0	0	0	0	1	0	1	0	0	0 ]	1 0
1	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0 1	1 0
0	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0 1	1 0
1	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0 1	1 0
0	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0 1	1 0
0	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0 1	1 1
0	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0 1	1 1
1	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0 1	1 0
0	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0.	1	1 . ]	1 1
16) элементов до и после смещения и изменения масштаба (а),
ский адамаров спектр тех же изображений (в).
23

о о о о о о о о
О О О О О О О 3

О О © О О 0'0 ооооооооо о о о о о о о оо о о о о о о о

0	0	1	0	0	0 1	1 0	1	0 1	0	0	0 1	0
0	0	1	0	0	0 1	1 0	1	0- 1	1 0	0	0 1	0
1	0	1	0	0	0 1	1 0	1	0 1	0	0	0 1	0
0	0	1	0	0	0 ]	1 0	1	0 1	0	0	0 1	0
0	0	1	0	0	0 ]	1 0	1	0 1	0	0	0 1	0
0	0	1	0	0	0 1	1 0	1	0 1	0	0	0 1	0
1	0	1	0	0	0 1	1 0	1	0 ]	[ 0	0	0 1	0
0	0	1	0	0	0 1	1 0	1	0 1	0	0	0 1	0
1	0	1	0	0	0 ]	1 1	1	0 1	0	0	0 1	1
0	0	1	0	0	0 1	1 0	1	0 1	0	0	0 1	0 “
1	0	1	0	0	0 ]	1 0	1	0 1	[ 0	0	0 1	0
0	0	1	0	0	0 ]	1 0	1	0 1	0	0	0 1	1
0	0	1	0	0	0 1	1 0	1	0 1	0	0	0 1	0
0	0	1	0	0	0 1	1 0	1	0 1	0	0	0 1	0
1	0	1	0	0	0 ]	1 0	1	0 1	0	0	0 1	0
0	0	1	0	0	0 1	1 0	0	0 1	1 1	0	0 1	1
												в
Рис,	. 6.	Код фигуры в виде креста						на входной матрице (16X16)				
		ны	линий		(а), адамаров		спектр этих изображений					(6),
Каждый элемент ряда (1.11) можно представить в дво-
ичной системе. В табл. 1 приведена матрица поразряд-
ного сложения по модулю 2 (/ ф k) для ряда Z4 =
= {0,1,	15}. Если для какого-то определенного
п матрица делится на четыре матрицы 2П/2 х 2П/2,
то каждая из них является симметричной относитель-
но обеих диагоналей. Это позволяет расширять таб-
лицу для п > 4. Если в выражении (1.10) у (/) = х(/),
то L(m) (k) —логическая функция автокорреляции
для /*-й выборки длины N, которую можно определить
как математическое ожидание по ансамблю локальных
автокорреляционных функций:
L (Л) = М {L(m> (k)}, k = 0, 1.....(N — 1).
В частности, для N =4 логическая автокорреляцион-
ная функция в матричной форме имеет вид							x(3)“
	L(0)			x(0)	x(l)	x(2)	
Ln —	L(l)	= M	1	x(l)	x(0)	x(3)	x(2)
	L(2)		4	x(2)	x(3)	x(0)	x(l)
	Lb(3)J			|_x(3)	x(2)	x(l)	x(0)
26

0	0	1	0
0	0	1	0
1	0	1	0
0	0	1	0
0	0	1	0
0	0	г	0
1	0	1	0
0	0	1	0
1	0	1	0
0	0	1	0
1	0	1	0
0	0	1	0
0	0	1	0
0	0	1	0
0	0	1	0
0	0	1	0
0 0 10
0 0 10
0 0 10
о о i о
0 0 10
О О 1 о
0 0 0 0
0 0 10
0 010
0 0 10
0 0 10
0 0 10
0 0 10
0 0 10
0 0 10
0 0 10
10	10
10	10
1 ого
10 1 о
1 0 1 о
ГО 1 о
10	10
10	10
1 о го
10	10
10	10
10	10
10	10
10	10
1 0 1 о
10	10
0	0	0 0
0	0	10
о	от о
О	0	1 < о
0	0	10
О	0	1 о
О	ООО
О	0	1 о
О	0	10
0	0	10
0	0	10
0	0	10
0	0	10
0	0	10
0	0	0 0
0	0	10
элементов до и после смещения, изменения масштаба и толщи-
логический адамаров спектр тех же изображений (в).
х(0)
х(1)
х(2)
Г(3)
(1-12)
Значения аргумента у элементов квадратной матрицы
в правой части определены с помощью табл. 1 [30].
Учитывая выражение (1.12) и табл. 1, получаем логи-
ческую ковариационную матрицу, которая для N =
= 4 имеет вид
	/(0)	/(1)	/(2)	Z(3)‘
CL = а2	41)	/(0)	/(3)	1(2)
	/(2)	Z(3)	Z(0)	/(1)
	J(3)	1(2)	/(1)	/(0)J
где l(k) = L (k)/^-,	; /(0)	= 1;	L(0)	« a2.
Если имеется матричное уравнение Y = ТХ, пред-
ставляющее линейное ортонормированное преобразо-
вание входного случайного вектора X в выходной
27

Таблица 1
k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1	1	0	3	2	5	4	7	6	9	8	11	10	13	12	15	14
2	2	3	0	1	6	7	* 4	5	10	11	8	9	14	15	12	13
3	3	2	1	0	7	6	5	4	11	10	9	8	15	14	13	12
4	4	5	6	7	0	1	2	3	12	13	14	15	8	9	10	11
5	5	4	7	6	1	0	3	2	13	12	15	14	9	8	11	10
6	6	7	4	5	2	3	0	1	14	15	12	13	10	11	8	9
7	7	6	5	4	3	2	1	0	15	14	13	12	11	10	9	8
8	8	9	10	11	12	13	14	15	0	1	2	3	4	5	6	7
9	9	8	11	10	13	12	15	14	1	0	3	2	5	4	7	6
10	10	11	8	9	14	15	12	13	2	3	0	1	6	7	4	5
11	11	10	9	8	15	14	13	12	3	2	1	0	7	6	5	4
12	12	13	14	15	8	9	10	11	4	5	6	7	0	1	2	3
13	13	12	15	14	9	8	11	10	5	4	7	6	1	0	3	2
14	14	15	12	13	10	11	8	9	6	7	4	5	2	3	0	1
15	15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
28

вектор Y, то ковариационная матрица выходного век-
тора Y
CY = ТСХТ*,
где Сх — ковариационная матрица X, а индекс «♦»
означает сопряженное транспонирование. Если Т —
матрица Адамара, а Сх — Cl, то матрица Су = HClH*
является диагональной. Для N = 4 ее элементы
Х00 = ^{1+/(1) + /(2) + /(3)};
Xu = Na2 {1 + I (D — I (2) — /(3)};
122 = Afa2 {1 —/(1) —/(2) +/(3)};
Х33 = ^2{1-/(1) + /(2)-/(3)}.
Таким образом, в рассмотренном случае преобра-
зование Адамара эквивалентно преобразованию Ко-
рунена — Лоэва.
Спектр плотности мощности в базисе Уолша есть
преобразование Адамара для логической автокорре-
ляционной функции [13]
Ln = Рн<—> Ln
или
Л7—1
Ln (/) = 2 Ln V) wt («. ^)-
f=0
Дискретные спектры плотности в обычном базисе
тригонометрических функций (sin, cos) и в базисе
Уолша для речевого сигнала исследовались в работе
[30]. Из непрерывной речи (текст из пяти предложений
читали мужчина и женщина) в течение 30 с были сде-
ланы выборки на частоте 8 кГц при N = 16 и найдены
арифметическая и логическая автокорреляционные
функции, а также собственные величины ковариацион-
ной матрицы. Затем значения выборочных автоко-
релляционных функций взвешивались с помощью
29

ядер Парзена р (/г) =
1—6 (k/(N — 1))4-61 k/(N— 1) I3 при |fc| < (N — 1)/2;
= 2 — (1 — | k/(N — 1) |3) при (N — 1)/2 < | fe | <	1;
.0 при | k | > N — 1
для ослабления влияния коэффициентов Уолша —
ности мощности при гармониче-
ском (sin, cos) базисе для муж-
ского (/) и женского (2) голо-
сов (речь); в базисе Уолша для
мужского голоса (<?), мужского
(4) и женского (5) голосов со
чины речевой ковариаци-
онной матрицы для муж-
ского (/) и женского (2)
голосов.
взвешиванием по Парзену.
автокорреляционных функций определялись дискрет-
ные спектры плотности мощности. Оказалось, что они
близки к спектрам (собственным величинам) ковари-
ационной матрицы этих процессов, что иллюстриру-
ется рис. 7, 8.
Такая же близость обнаружена [24] и для изо-
бражений при их обработке с помощью аналогичной
методики с целью последующего распознавания. Су-
ществует линейное преобразование, связывающее ло-
гическую L (k) и арифметическую R (k) автокорреля-
ционные функции, а также соответствующие спектры
30

плотности мощности. Это преобразование можно за-
писать в матричной форме в виде матрицы
T^ — DnTn,	(1-13)
где индекс «ал» означает переход от арифметической
к логарифмической форме; Dn — диагональная матрица
размерностью М х N и элементами d(/,	j =
= 0, 1, 2.......(N — 1); т, = 2и~1+б°’0); V,- — число
единиц в двоичном представлении /; 6 (/, 0) — символ
Кронекера.
В табл. 2 [30] приведены элементы mf и для об-
ратной матрицы Dn_\ при N = 16 и п =4. Матрицу
TN (1.13) можно сформировать рекуррентное помощью
матрицы S/v/2, у которой все элементы — нули, не
Таблица 2
Значения /			mi
десятичные	двоичные		
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 10
0 0 11
0 10 0
0 10 1
0 110
0 111
10 0 0
10 0 1
10 10
10 11
110 0
110 1
1110
1111
о
1
1
2
1
2
2
3
1
2
2
3
2
3
3
4
1
1
1
2
1
2
2
4
1
2
2
4
2
4
4
8
31

считая единиц, размещенных вправо па один элемент
от элемента неглавной диагонали:
О О'
О 1
1 О
О 0_
Рекуррентность матрицы начинается с 7\ == 1
Tn = ^N/2 О
Tn/vSn/v Tn/2_
Обратный переход от логической формы к арифме-
тической производится с помощью матрицы
Тла = Tn—iDn—1.	(1.14)
Для W = 16

1000000000000600
0100000000000000
0010000000000000
0101000000000000
0000100000000000
0001010000000000
0010001000000000
0101010100000000
0000000010000000
0000000101000000
0000001000100000
0 0 00010101010000
0000100000001000
0001010000010100
0010001000100010
0101010101010101
1
о
о
0	0 0	0	0	0	00	0	0	00	0 0 0
1	0 -0	0	0	0	00	0	0	00	0 0 0
0	1 0	0	0	0	00	0	0	00	0 0 0
32

N—1
0—10 1
0 0 0 0
0 10—1
0 0—1 о
0—1 о о
0 0 0 0
0 10 0
0 0 10
0—10 1
0 0 0 0
О 1 0—1
0 0—1 о
0—1 0 0
ООО
1 о о
О 1 о
О 0 1
0—1 о
ООО
О 1 о
О 0—1
0—1 о
—10 0
ООО
ООО
ООО
00 0 0
00 0 0
00 0 0
00 0 0
10 0 0
0 10 0
—10 10
00 О I
00—1 о
00 0 0
00 1 о
0 0 0—1
00—1 о
00 000
00	000
00	000
00	000
00 000
00	000
00	000
00	000
10	000
0 1	000
-10	10 0
00 ' 0 10
00—10 1
Арифметическую корреляционную функцию Ru
находим следующим образом. Пусть имеем m-ю вы-
борку временной функции х{пг) (Z), i =0, 1, N —
— 1 и N = 2п, для которой спектр Адамара
1=0
Спектр плотности мощности в базисе Уолша опреде-
ляется как среднее из локальных энергетических спек-
тров Адамара:
Рн(/)=^-2	(/)Л
0 т=1
Обратное преобразование Адамара, аналогичное пря-
мому от вектора Рн = {Рн (0), Рн (1), ...» Рн (N —
— 1)}г, дает вектор (логическую автокорреляцион-
ную функцию)
Ln =
Л(0)
= НРн.
L(N-Y)
2 7-1403
33

Используя матрицу (1.14), находим Rv = {R (0),
R (1), R (N —1)}г —арифметическую корреля-
ционную функцию:
Ru = Tn—\Dn_\Ln.
Применение БПА позволяет здесь сократить число
операций сложения и вычитания.
4. ОРТОГОНАЛЬНОЕ
РАЗЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ
В БАЗИСЕ ХААРА
Система функций Хаара является полной орто-
нормированной системой функций, определенных на
промежутке [0,1]. Непрерывные функции Хаара упо-
рядочиваются по двум индексам и определяются сле-
дующим образом:
Хп(0 =
' /2^ при /6[(2/г — 2)/2"+‘, (2* — 1)/2"+11;
= — KF при t£[(2k — l)/2"+l, 2k/2n+l]-,
>	0 при остальных t, на отрезке [0, 1].
Индекс п указывает на длительность ненулевого
периода функции Хаара, равного — 1/2", и ее
амплитуды, равной У2п, индекс k — на местона-
хождение данного ненулевого периода на интерва-
ле [0,1].
Для определения дискретных функций Хаара не-
обходимо выбрать значения непрерывных функций
Хаара в равноотстоящих точках — в точках перехода
через нуль функций Хаара первого (по п) отбрасыва-
емого порядка. Полученные таким образом дискрет-
ные функции также являются полной ортогональной
системой функций, определенной на выбранной ре-
34

тетке. Множитель 1 /К2”+’ (где 2п+1 — количество
точек в решетке) делает систему ортонормированной.
На рис. 9 показаны графики первых непрерывных
и дискретных функций Хаара. Здесь {X*} —функции
первого отбрасываемого порядка, нули которых
определяют решетку дискретных функций Хаара, ха-
рактеризующиеся следую-
щими особенностями: они
кусочно-постоянны, на зна-
чительной части интерва-
ла определения равны ну-
лю, значение функции по-
рядка п равно ± Y2п при
всех k. Эти особенности
дают возможность сущест-
венно сократить число
арифметических операций
до 2 (N — 1) при нахож-
дении коэффициентов раз-
ложения функции в ряд Ха-
ара с помощью перемно-
жения вектора на матрицу.
Такая экономия опера-
ций достигается с помощью
быстрого преобразования
Хаара (БПХ) в связи с тем,
что большинство членов ма-
трицы преобразования рав-
Рис. 9. Графики первых не-
прерывных и дискретных
функций Хаара.
ны нулю. В результате уменьшаются затраты ма-
шинного времени, например, по сравнению с преоб-
разованием Фурье, так как при четных п—умно-
жение на 2П/2 — является просто сдвигом двоичного
члена на п/2 разрядов влево.
Любую непрерывную функцию S (/), удовлетворя-
ющую условиям Дирихле, можно разложить в рав
2*
35

номерно сходящийся ряд Фурье в базисе Хаара. Так
как эта система является ортонормированной, то коэф-
фициенты этого ряда при любой функции Хаара X* (О
можно найти по формуле
1
а*= CS(0Xj(0d/,	(1.15)
о
а функция
S(0 = 5апХп(/).	(1.16)
n,k
При каждом фиксированном
V/€[0, 1] Эй:Х*(/о)#=О.
Другими словами, в окрестности точки t0 функция
S (/) интегрируется п раз.
Чтобы уменьшить количество операций интегри-
рования при вычислении коэффициентов ряда (1.15)
в п раз при ограничении количества членов ряда
(1.16) функциями порядка п и ниже, рассмотрим мат-
рицу, строками которой являются ненормированные
дискретные функции Хаара соответствующего поряд-
ка. Обозначим эту матрицу Ап. Построим вектор
(l/2"+l _	2/2"+1 _	1	_	\
J S(t)dt, J S(t)dt, .... J S(0dtj
о	1/2°+1	1—1/2"—1	'
(Т — знак транспонирования).
Вектор Sx = состоит из коэффициентов я* раз-
ложения функции s' (/) в ряд Фурье — Хаара. При
этом функция (при нахождении вектора S) интегри-
руется однократно на интервале [0,11.
36

Матрицей дискретного преобразования Фурье будет
матрица Лл, умноженная на 1/У2п+1 (для нормирова-
ния к 1 системы ортогональных векторов, составляю-
щих матрицу). Обозначим Лл/И 2n+1 через Лл. С по-
мощью дискретного преобразования Хаара сигнал
(определим его как вектор, элементами которого будут
значения функции S(t) в 2П^1 равноотстоящих точках
интервала [0, 1]) можно представить в виде суммы
дискретных функций Хаара:
SD=2^(D>.	(1.17)
n.k
Так как строки матрицы Лл —ортонормированная
система векторов, являющихся дискретными функ-
циями Хаара, коэффициенты суммы (1.17) будут ска-
лярные произведения вектора SD на строки матрицы
Лл. Обозначив вектор коэффициентов суммы (1.17)
х, получим Sx = Лл5 .
Точность приближения непрерывными функциями
Хаара равна МЛ, где М — максимум первой произ-
водной приближаемой функции (для гармоники М
равно круговой частоте сигнала cos со/, sin со/); А =
= 1/2"+1 — величина шага ступенчатой функции, ко-
торую образует частичная сумма ряда Фурье — Ха-
ара для приближаемой функции.
В случае дискретного приближения, если количест-
во членов ряда Фурье — Хаара взято равным коли-
честву отсчетов приближаемого сигнала, представ-
ление является точным, без погрешности (так как это
просто разложение вектора из Евклидова пространства
Еп по п линейно независимым векторам).
Период аппроксимируемого сигнала определяет-
ся по формуле Та = 2~п I с, где 2”п — длительность
37

соответствующей функции Хаара; I — число функций
Хаара (п = const), укладывающихся в периоде ап-
проксимируемого сигнала.
Абсолютная погрешность в определении периода
определяется по формуле АТ = Т — 2~п1 < 2Л, где
Т — период аппроксимируемой функции.
Относительная погрешность у < АТ/Т < 1/(2пТ),
откуда 2п 1/(?Т), а
n > — (In у — In Т)/1п 2.	(1.18)
Формула (1.18) устанавливает аналитическую связь
между периодом анализируемого сигнала, размер-
ностью базиса Хаара и допустимой погрешностью
представления периода анализируемого сигнала.
Реализуемость методов анализа сигнала в базисе
Хаара определяется возможностью вычислительных
машин. Рассмотрим аналитическую связь периодов,
входящих в формулу (1.18), с быстродействием ЦВМ.
Если задана частота сигнала и относительная погреш-
ность разложения у, то по формуле (1.18) можно опре-
делить необходимую- размерность базиса Хаара.
Для выбора вычислительной машины необходимо
знать быстродействие ЦВМ при выполнении элемен-
тарных операций: Б(+),	5(2), 5(Х), 5(уП) — ско-
рости выполнения операции соответственно сложения,
сдвига на один разряд, сдвига на два разряда, умноже-
ния, условного перехода.
Время, затрачиваемое вычи лительной машиной
на разложение сигнала, определяется формулой
+ -/^ + ^--2л
D(X) °(уп)
где п — количество дискретизаций интервала [0,1].
38

Если время Т превышает допустимое время обра-
ботки 'сигнала То, то данная ЦВМ не удовлетворяет
поставленным требованиям. Если Т < То, то быстро-
действия ЦВМ достаточно, чтобы с заданной точностью
разложить сигнал в базисе Хаара.
Глава 2
ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФУНКЦИЙ
УОЛША
1. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПРИМЕНЕНИЕМ ФУНКЦИЙ УОЛША
Имеется дифференциальное уравнение n-го порядка
d^r^x	d^n
-^- + 01(0-^^+ ••• +an(t)x = f(t)
с начальными условиями, определенными для t = t0,
х (*о) = хо> х' (U = х'о, • • • , (Q = 4п-1).
Положим, что
•	(2.1)
где U (/) — известная функция.
Проинтегрировав обе части выражения (2.1), най-
дем
х(п-1) = у и (?)	+ х(п-1> (/о)>	(2,2)
о
Интегрируя аналогично выражение (2.2), получаем
39

х("”2’= И и ®+х<"~п (/о)	+х("~я
6) 6>
m-й интеграл от (2.1)
x(n-m’ = С ... (и О dlm + x(n-1’ (/0) (t ~j)n7 +
V	V	V'* л) I
to	t0
I Jn-2) /4 4 (t ~ t^m~2 |	Jn—m) „ 4
+ * W (m~2)~+	+ x (/o)
или в более компактной форме
t	т	tn fz
....	+	й->)1 
to t0	6=1
(2.3)
Искомая функция x (/) находится из выражения (2.3)
при т = п
t	t	П	Д
x(t) = $... j(/(*)4n + 2x(n-k)(t0) (/(720fe)i •
2*0	*0	^=1
(2.4)
Если в исходное уравнение (2.1) подставить значения
функции х (/) и производных, определенных выраже-
нием (2.3), то получим
и (0 + аг (О J и О dl + а2 (t) j J ^ (?) df +
+ ••• + J ...	+ a1(t)x(n~')
+ a2(O^',~^2o)-4j!!- + a2(O^"2,(U+ ••• +
40

+ вп (О У -x(n~k}(Q	= f <2-5>
\IL К.) ।
6=1
Все слагаемые, не содержащие интегралов в выраже-
нии (2.5), запишем в виде суммы:
п т	mb
т—\ 6=1
а кратные интегралы сведем к простым по формуле
t	1	*	т—\
J ... J и (g)	= j  (<( и (Е)	(2.6)
to	t0	t0
С учетом формулы (2.6) слагаемые в выражении (2.5),
содержащие U (/) под знаком интеграла, запишутся
следующим образом:
m=l to
Положив
п т t	(1	2 xm—k
в (0 -1 m - s 2 с'"-к V.) т (	.
т—1 6=1
получим следующее выражение:
и	t
и (t) + 2 J (/ - ^m_1 U^dl = g (/), (2.7)
т=\	. t0
которое является уравнением Вольтерра второго рода.
Решение этого уравнения с использованием функций
Уолша [27] требует представления в виде ряда Фурье
по функциям Уолша множителя, стоящего под
41

\ т	0	1	2	3	4	5	
П \							
0	1	1	1	1	1	1	
00		2	 3	4	5	6	
1	0	1	1	7	3	__3i_	
01		4	4	32	16	192	
2	0	1	1	31	15	691	-
10		8	8	256	128	6144	
3	0	0	1	3	27 .	55	
11			16	32	256	512	
4	0	1	1	127	63	11 971	
100	V	16	16	2048	1024	196 608	
5	о	о	1	3	111	235	
101			32	64	2048	4096	
6	о	о	1	3	123	295	
ПО			64	128	4096	8192	
7	о	о	о	3	3	535	
111				256	128	16 384	
8	о	1	1	511	255	195 331	
1000		32	32	16 384	8192	6 291 456	
42

Таблица 3
	6	7	8
	1	1	1
	7	8	9
	9	127	85
	64	1024	768
	2J9	13 231	9325
	2048	131 072	93 304
	429	819	18 565
	4096	8192	196 608
	3939	993 007	731 725
	65 536	16 777 216	12 582 912
	7659	15 309	1 454 125
	131 072	262 144	25 165 824
	10 749	23 499	2 390 725
	262 144	524 288	60 331 648
	645	46 179	37 065
	16 384	1 048 576	786 432
	64 899	66 198 511	49 424 845
	2 097 152	2 147 483 648	1 610 612 736
43

знаком суммы во втором слагаемом (2.7),
_L_ J {t - g)'"-1 U (£) dl = 2 Cr (т> wr (0. (2.8)
t,	r=°
что в свою очередь требует представления в виде ря-
да Фурье по функциям Уолша функции tm (0 < t < 1)
и интегрирования функций Уолша. Покажем это.
Запишем ряд для tm в виде
tm= ^Dn(m)wn(i), 0</<1.
п=0
Коэффициенты ряда Dn (tri) определяются из уравне-
ния
Dn (tn) = \	(0 dt.
О
(2.9)
Можно показать, что, например, для п = 2 (или в
двоичной форме записи двойки —«10») интегрирова-
ние по частям уравнения (2.9) и выполнение простей-
ших преобразований с использованием свойств функ-
ций Уолша дает
' т .............. 2
Dlo (т) = С Ги>10 (0 dt =  .,-------х
10 v J 10 ''	4m+> (m + i)
X [1 - 2m+1 + 3m+l-----у 4m+‘j.
В табл. 3 [10] приведены значения Dn (tri) для це-
лых п и т в пределах от 0 до 8.	........_.
t
Для интегрирования функций Уолша J ау00 (g) dl =
t	i 	-
= t, 0 < t < 1; С ®01 (Ю dl = t, 0 < t < 4-; J “’oi (В) dl =
0	0
44

= 1 — t, -i- < t < 1 используем табл. 3, откуда при
т = 1 находим
t = 4" “’«о (0 — “Г “’oi (0 — 4" “’ю ® ~
---j^ioo(0- •••	(2.10)
Учитывая выражение (2.10) и правило умножения
функций Уолша, получаем
J ^oi ® di, = 4" w»o (0-Г (0 —
— -jy a»ioi(0 — -4-^1001 (0 — • •. ,
или в общем виде
О	т-0
Коэффициенты разложения dn (m) сведены в табл. 4
[27]. Разложим интеграл вида (2.8), где U (£) =
= t0oi (?), в ряд Фурье по функциям Уолша:
•4rJ(/-l)m№oiO^ =
о
1 [ g-g)w+l Г <m+1	о</< —•
т\ [ т + 1 J	(m + 1)! ’	*
f+i-2^—£Г+‘
-------1----1___ _L < t << i
(«+1)1	’ 2 b
Используя функции Уолша, получаем (для интервала
45

$
Таблица 4
\ т п \	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12 1	’ 13	14	15
00	1 9	1 4	1 8.	л	1 16	0	0	ф	1 32	о •	и	0	0	0	0	0
01	1 4	0	0 1	Г 8	0	1 “ 16	0	0	0	1 "32	0	0	0	0	0	0
10	1 8	0	0	0	0	0	_ 1 16	0	0	0	1 “ 32	0	0	0	0	0
11	0	_1_ 8	.0	0	0	0	0	1 16	0	0	1!	1 32	0	0	0	0
100	1 16	• 0	0	0	Oi	0	0	п	0	0	0	0	1 32	0	0	0
101	0	1 16	0	0	0	0	0	0	0	1 0	0	0	0	1 32	0	0
по	0	0	1 16	0		и	0		и	0	и	Ji	0	0	1 32	0
																

	32	о	о	=	-	о	©	О	о
<	©	О	о	о	©	о	о	©	о
	о	о	©	О	о	о	о	©	о
	о	О	о	©	С	©	с	о	О
	о	о	о	©	г	о	©	©	©
	о	о	о	о	© -	о	©	©	о
	о	о	о	о	©	о	©	©	о
	о	с	©	©	©	©	•©	©	• о
	о	о	о	©	©	©	о	О	1 32
	о	о	о	с	©		©	1 32	о
	О	о	о	о	о	о	1 32	©	О
	о	о	О	о	©	1 32	о	о	о
	91 I	о	О	=	1 32	©	©	©	о
f	с	о	©	32	©	О	©	о	©
	о	о	1 32	о	о	о	о	о	©
г	о	1 32	о	©	о	о	о	©	©
	2	1000	1001	1010	1011	ООП	ЮП	о	ПП
47

Таблица 5
О 01	10	11	100	101 НО 111
О
01
10
11
100
101
НО
111
1
6
1
8
1
16
1
32
1
32
1
64
1
128
О
1
128
О
О
О
О
О
1
192
О
О
1
128.
О
О
О
О
О
1
192
Ю, 11)
1 л
J«-а"
о	.	_	.
/____i\m-i
V 2 )
----(от+1)|	f^o(0—^01(01.
Раскладывая каждую степень in t — 1/2 с использо-
ванием табл. 3, перемножая функции Уолша и группи-
руя члены, можно получить коэффициенты разложения •
Gr (т, 1). Значения этих коэффициентов для т = 1
и т = 2 приведены соответственно в табл. 5 и 6 [27].
Пример 1. Решим дифференциальное уравнение х — х = 0;
х(1)= 1.
48

Таблица 6
	0	01	10	И	100	101	110	111
	1	7	31	1	127	1	1	1
0	24	192	1536	64	12 288	128	256	512 .
01	7	1	1	17	1	65	1	0
	192	32	64	1536	128	12 288	512	
10	3b	1	1	1	1	1	17	0
	1536	64	128	256	256	512	12 288	
	1	17	1	0	1	0	0	17
11	64	• 1536	256		512			12 288
100	127	1	1	1	1	1	1	0
	12 288	128	256	512	512	1024	2048 *	
101	1	65	1	0	1	0	0	1
	128	12 288	512		1024			2048
но	1	1	17	0	1	о	о	0
	256	512	12 288		2048			
111	1	0	0	17	о	1	о	0
	512			12 288		2048		

Пусть U (f) = х, тогда соответствующее интегральное -урав-
нение
t
i/(q=i +
О
Возьмем первое приближение в виде UQ (/) = о>0 (/), тогда с по-
мощью табл. 6
/
Ui (О = и>0 (0 + j (I) wo (О — 4" “’of W-
о
Второе приближение
t
W = ш0 (/) + J [-1 и>0 (?)---L woi Й)]	=
о L
= &о (0 — Woi (0-------------ПГ ®!» (О + -^2~wii (Л — • • •
Этот процесс можно продолжать до получения требуемой точности.
Для определения х (t) необходимо полученное для U (t) выра-
жение проинтегрировать с помощью табл. 4. Это дает ступенча-
тую функцию. Для восьмичленного приближения результат
приведен в табл. 7. Здесь же для сравнения приводятся значения,
соответствующие точному решению в точках, лежащих на сере-
дине двоичных отрезков.
Таблица 7
Двоичные отрезки	х (t) (восьмичленное приближение)	et (точное решение,
0—1/8	1,065 19	1,064 49
1/8—2/8	1,207 01	1,206 23
2/8—3/8	1,367 73	1,366 84
3/8—4/8	1,549 83	1,548 83
4/8—5/8	1,756 2 Г	1,755 05
5/8—6/8	1,990 03	1,988 74
6/8—7/8	2,254 99	2,253 53
7/8—1	2,555 25	2,553 59
50

Таким образом, с помощью предварительно рас-
считанных таблиц (вида табл. 3—6) можно достаточно
просто находить решения дифференциальных и ин-
тегральных уравнений. При этом в каждом малом ин-
тервале приближенное * решение будет стремиться к
среднему значению истинного решения для того же
интервала. Способы построения электронных схем
для реализации табличных функций подробно изло-
жены в [23].
2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ АДАМАРА
ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Если имеются результаты замеров полезного поли-
номиального сигнала S (t) в аддитивной смеси с по-
мехой £ (/):
х(0 = *(0 + И0,	(2.11)
П	/ч
где s(0 = оценки коэффициентов kh полу-
f=0
ченные с помощью обработки замеров (2.11), взятых
в дискретные моменты времени tm(m =^= 1, N) по ме-
тоду наименьших квадратов (МНК), есть результат
решения системы нормальных уравнений
АТАК = АТХ.
(2.12)
Здесь
А =
’ 1
i	4	ti
_ 1	tN	ttf
t2
fN_
51

Кт = [k0, к .. , U; хт = [X (^, х (/2)....X
При этом корреляционная матрица оценок
D(k) =* о* (АТА)~\.
где а2 —дисперсия помехи £ (О-
Хорошо известны трудности, возникающие при
практическом решении системы (2.12) и связанные
с плохой обусловленностью матрицы А [25] при боль-
ших N и чувствительностью решения к вариациям
значений элементов матрицы и правых частей исход-
ной системы, вызванных помехами и вычислительны-
ми погрешностями.
Наиболее эффективные методы преодоления указан-
ных трудностей (метод ортогонализации и метод ре-
гуляризации А. Н. Тихонова) не просты в технической
реализации. Поэтому здесь будет рассмотрен, хотя и
менее эффективный, но более просто реализуемый на
практике метод решения в частотной области. Пусть
имеется система уравнений
АК = Х.	(2.13)
Преобразуем ее по Адамару, для чего умножим слева
обе части равенства (2.13) на матрицу Н размерности
N х N (N ~ 2k):
НАК = НХ.	(2.14)
Адамаров спектр вектора замеров обозначим через
X* = НХ, а матрицу НА через А*, тогда равенство
(2.14) запишем в виде
А*К = Х*.	(2.15)
Образуя из выражения (2.15) систему нормальных
52

уравнений и решая ее, найдем
Х = [(Л*)гЛ*Г‘ (Л*)г X*.
Корреляционная матрица оценок в этом случае оста-
ется той же. Действительно,
D (К) = [(Л*) Л*]-1 (а*)2 = [(НА)Т НА]~' Мт2 =
= [АТННА]~1 Na2 = [ Лт А ] N'o2/N = о2 [АТА].
Однако переход к новой матрице системы А* приво-
дит к новому спектру матрицы. Обусловленность
системы улучшается, так как происходит проектиро-
вание векторов-строк матрицы А.
Пример 2. Пусть дана плохо обусловленная система
[10,04 19,981 Г£1  [ 501
I = I .	(2 161
[19,98 40,01]	[ЮОJ	К 7
Собственные значения матрицы системы находим из,уравнения
%2 — 50,05% + 2,5 = 0,
откуда = 50, %2 = 0,05 и число обусловленности Zo = 50/0,05=
= 1000, что говорит о высокой чувствительности решения к ва-
риациям числовых значений правых частей системы (2.16). Гео-
метрически это означает, что система (2.16) описывает две прямые,
пересекающиеся под очень малым углом (почти параллельные
прямые). Преобразуем систему (2.16) по Адамару
1
1
ll Г 10,04
— 1][19,98
19>98]| йЫ1
40,01][#J	[1
' 501
.100] ‘
1
— 1
В результате получаем
30,02
— 9,94
59’"1ГКо
-20,03]^
1501
— 50]
(2.17)
Собственные значения матрицы системы (2.17) находятся из урав-
нения
%2 — 9,99% — 5=0,
53

решая которое, найдем = 10,46 и Х2 = — 0,48, откуда чис-
ло обусловленности ZoH = | 10,46 | /| 0,48 |	22. Выигрыш, ко-
торый при этом получается, составляет Zq!ZqH = 1000/22 = 45 раз.
Обратим внимание еще на одну особенность пре-
образованной системы. Рассмотрим для этого случай,
когда влиянием помех в выражении (2.11) можно пре-
небречь. Пусть s(/) = kQ +^krt + k2l2 и замеры
представлены в виде вектора
Sr = [s(4), s(4), s.(/,), s(Q].
Матрица системы в этом случае
"1 к tV
л= 1	1 .
1 t3 tl
_i tt tl_
Преобразуя эту систему по Адамару, получаем
4
0
0
0
(4 4-4 44 4-^
(^1 4* ^2	^3
0
(/х —t2 4-t3 —
(tl 4- tl 4- tl + tl)
(tl + tl-tl-tl)
(tl-tl-H + ft)
(tl-tl-Ytl-t^
s (^i) 4- s (^2) 4- s (t3) 4- s (/4)
siQ + s^-s^-s^)
S (/,) — S (t2) —s(t3)+s (/4)
s <4) — s (As) H- s (*8) — «(4)
Если использовать только первые три уравнения систе-
мы (2.18), что вполне достаточно (система становится
определенной), то приходим к системе с треугольной
матрицей. Решение такой системы не Представляет
затруднений и не требует обращения матрицы.

Глава 3
СИНТЕЗ СТРУКТУРЫ ФИЛЬТРОВ
1. ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ
Цифровые фильтры (ЦФ) по сравнению с аналого-
выми имеют ряд преимуществ.
1.	ЦФ не имеет реактивных элементов, поэтому
при его разработке исключаются все проблемы, свя-
занные с точностью изготовления и стабильностью
этих элементов.
2.	ЦФ можно выполнять на интегральных схемах
или в виде нескольких (или даже одной) интегральных
субсистем. Такие фильтры экономичны, имеют неболь-
шие размеры.
3.	ЦФ могут быть запрограммированы в тех слу-
чаях, когда для обработки сигналов применяется ЦВМ,
работающая в реальном масштабе времени. Такая ре-
ализация ЦФ особенно удобна, когда ЦВМ исполь-
зуется для моделирования динамических систем.
4.	Характеристики ЦФ прогнозируются и выпол-
няются с высокой точностью.
5.	Характеристические частоты ЦФ зависят от
внешней тактовой характеристики (частоты). Изме-
няя эту частоту, можно легко перестраивать фильтр.
Можно также легко изменять и другие параметры
фильтра (ширину полосы пропускания), что дает воз-
можность использовать их в адаптивных и следящих
системах.
6.	ЦФ имеют высокую стабильность, определяе-
мую стабильностью генератора тактовой частоты.
Это позволяет реализовать фильтры с очень высокой
добротностью или*чрезвычайно большими постоянны-
ми времени.
7.	ЦФ можно выполнять с линейными фазовыми
характеристиками, что важно в тех случаях синтеза
55

систем, когда необходимо иметь постоянную задерж-
ку на всех частотах или хорошую импульсную харак-
теристику.
8.	При разработке ЦФ не возникает проблем с фи-
зической реализацией отрицательных индуктивностей,
поэтому можно увеличить разнообразие структур
фильтров.
9.	При разработке ЦФ не возникает задача со-
гласования нагрузок.
10.	Преимущества ЦФ особенно видны на сверх-
низких частотах, где габаритные размеры аналоговых
фильтров недоступно велики.
И. ЦФ не имеет дрейфа, присущего активным
фильтрам.
12. В случае реализации фильтровых гребенок
одно управляющее устройство и один арифметический
блок могут обслуживать много ЦФ, что дает существен-
ную экономию оборудования.
В то же время следует иметь в виду, что в отличие
от аналоговых фильтров работа ЦФ сопровождается об-
разованием специфического шума за счет недостаточ-
но четкого ограничения полосы частот входного ана-
логового сигнала, неточного определения частоты
дискретизации и применения квантования, а также
за счет неизбежного округления чисел при проведении
вычислений. Области применения ЦФ и вообще циф-
ровых методов обработки сигналов в значительной
степени определяются возможным быстродействием
используемых вычислительных средств.
Математические схемы цифровых фильтров опи-
сываются с помощью разностных схем подобно тому,
как схемы аналоговой фильтрации описываются с по-
мощью дифференциальных уравнений. Для решения
разностных уравнений и синтеза ЦФ удобно исполь-
зовать математический аппарат г-преобразований, вы-
полняющий в дискретном анализе ту же роль, что и
56

преобразование Лапласа в непрерывном анализе.
Некоторые типы ЦФ можно рассматривать как аппро-
ксимацию известных аналоговых фильтров. В общем
же случае ЦФ составляют широкий класс устройств,
которые можно проектировать непосредственно, не опи-
раясь на аналоговые прототипы, т. е. можно создать
ЦФ, не имеющие себе подобных среди аналоговых
фильтров.
В ЦФ входной и выходной сигналы квантуются
по времени и по уровню и системная функция реали-
зуется в числовом виде так же, как и в вычислитель-
ных машинах. Цифровой фильтр по существу реали-
зует решение разностных уравнений, с помощью
которых связывается требуемый выходной сигнал и
текущие значения входного, а также предыдущие
значения входного и выходного сигналов. Его основны-
ми элементами являются линии задержки, умножители
на константу и сумматоры. Уравнение, описывающее
ЦФ, можно записать в виде
У W =	6] + 2 z/[n —(3.1)
<?=0	п=1
Из этого уравнения следует, что текущее значение
выходного сигнала у In] находится взвешиванием и
последующим суммированием текущего значения вход-
ного сигнала х [и] и предыдущих значений х [п — /г]
и выходного сигнала у \п — k].
Фильтр, выходной сигнал которого является функ-
цией только значений входного сигнала и не зависит
от предыдущих значений выходного (bk =0), назы-
вается поперечным или нерекурсивным. Однако, ес-
ли выходной сигнал ЦФ зависит хотя бы от одного
предыдущего значения выходного сигнала, то фильтр
называется рекурсивным.
Рекурсивные ЦФ в основном бывают прямой или
канонической формы (рис. 10, а, б). Обычно отдается
57

предпочтение фильтру канонической формы, поскольку
он имеет вдвое меньше задержек и, следовательно,
меньший уровень собственных шумов, хотя оба вида
Рис. 11. Обобщенная структура цифрового фильтра ЦФ.
фильтров описываются одним и тем же-разностным
уравнением. Фильтры высших порядков любой фор-
мы чувствительнее к неточности величин коэффици-
ентов, вызванной ограниченной длиной слова.
Рассмотрим принцип действия цифровых фильт-
58

ров, выполняющих одни и те же операции. Фильтр
ЦФ, схема которого показана на рис. 11, состоит из
трех частей: преобразователя аналог —цифра АЦП\
цифрового счетного устройства ЦСУ', преобразова-
теля цифра — аналог ЦАП.
Входным и выходным сигналами ЦФ являются
узкие модулированные по амплитуде импульсы (по
одному за период стробирования 7\ = 2л/со5). В мо-
менты времени t = nTs мгновенно производятся от-
счеты непрерывного входного сигнала и на входе
ЦФ появляется импульс х (nTs). В преобразователе
АЦП амплитуда импульса переводится в кодовое
слово, являющееся кодированной последовательностью
бинарных единиц (бит), которые представляют ам-
плитуду х (nTs). Точность ее представления опреде-
ляется длиной слова, т. е. количеством содержащихся
в нем бит. Все работы производятся над этими слова-
ми, а выход вычислительного устройства подключа-
ется к преобразователю ЦАП для того, чтобы полу-
чить выходной импульс фильтра у [пТ$]. Вслед за
ЦФ размещена схема затягивания ЗЦ, превращаю-
щая последовательность импульсов в непрерывный
выходной сигнал. Ступеньки, получающиеся при та-
кой аппроксимации, могут быть устранены последу-
ющей аналоговой фильтрацией.
Для того чтобы ЦФ работал в аналоговых схемах
в реальном масштабе времени, требуются промежуточ-
ные цепи. Типичные входные и выходные цепи вмес-
те с ЦФ показаны на рис 12,а Спектры сигналов в
отмеченных буквами точках этой схемы изображены
на рис. 12, б. Входной спектр А показывает, что мож-
но ожидать присутствия сигнала любой частоты.
Поскольку стробирование по сути является модуляци-
онным процессом, частота его должна выбираться
вдвое выше верхней частоты входного сигнала, иначе
произойдет перекрытие спектров. Эта минимальная
59

частота стробирования является частотой Найквиста.
Поэтому, чтобы подготовить аналоговый сигнал к про-
Рис. 12. Структурная схема ци-
фрового фильтра (а), работающе-
го в аналоговых схемах, и спек-
тры сигналов в характерных точ-
ках этой схемы (б).
тотах, кратных частоте стробирования.
Обычно используемые затягивающие цепи ЗЦ —
это цепи нулевого порядка. Такая цепь задерживает
цессу последовательной
дискретизации, вначале
сигнал следует ограни-
чить по полосе частот
путем фильтрации филь-
тром низких частот ФНЧ.
В зависимости от задан-
ной фазовой характерис-
тики может потребовать-
ся фазовый корректор
ФК (фильтр, пропускаю-
щий все частоты) для
компенсации фазовых
искажений, вносимых
фильтром низких час-
тот.
Для иллюстрации
предположим, что циф-
ровой фильтр имеет ха-
рактеристику идеально-
го полосового фильтра
от со = cos/10 до со =
=cos/5. Выходной спектр
напоминает входной
спектр тем, что и его по-
лоса пропускания как
бы модулируется на час-
величину последнего импульса до появления следую-
щего. Передаточная функция затягивающегося устрой-
ства нулевого порядка, имеет вид
Но (со) = sin (co7,s/2)/(coTs/2) < — (<oTs/2).
60

Абсолютная величина АЧХ этой функции показана
на рис. 12, б, где хорошо заметна фильтрация высших
гармоник. В зависимости от применения может быть
желательной последующая фильтрация обычным
фильтром низких частот (срезаются ступеньки функ-
ции).
Полный фазовый сдвиг равен сумме фазовых сдви-
гов, вносимых в ЦФ затягивающей цепью, обычными
аналоговыми фильтрами и задержкой в цепи сигна-
ла. Фазовый угол, обусловленный временной задерж-
кой /g, возрастает линейно с ростом частоты и имеет
величину —(dig рад. Временные задержки возникают
в АЦП и в счетном устройстве. Время счета уменьша-
ется с ростом стоимости и сложности и увеличивается
с ростом требований к точности. Поскольку счет дол-
жен быть закончен за период стробирования, время
счета накладывает ограничения на верхнюю частоту
стробирования.
Для анализа ЦФ используется г-преобразование,
которое записываем в следующем виде:
x(z) = % х (nTs) z~n.
п=0
С учетом этого выражения перепишем уравнение (3.1)
в виде
у(г)=х (г) 2 akz~k + у (г) 2	(3.2)
k==Q	6=0
Уравнения (3.1) и (3.2) идентичны и одно из них мож-
но легко получить из другого. Для этого нужно пре-
дыдущие значения сигнала умножить на z~\ где k —
количество периодов частоты стробирования, на
которое следует сдвинуть импульсы или слово. Из
61

уравнения (3.2) можно определить передаточную
функцию системы
Н (г) = у (z)/x (г) = 2 akz~kll 1 - 2	• (3-3)
£=Г	\ fe=0 /
С полюсами и нулями этой функции в z-плоскости
можно оперировать так же, как с полюсами и нулями
передаточной функции.
2. МЕТОДЫ УПРОЩЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
Передаточная функция цифровых фильтров может
оказаться сложной — иметь высокий порядок, обла-
дать неминимально фазовыми свойствами.
Для упрощения структуры математических мо-
делей синтезируемых цифровых фильтров применя-
ются методы теории гомоморфизмов.
Рассмотрим некоторые методы синтеза структуры
гомоморфных фильтров, полученных эквивалентным
упрощением исходных моделей.
МЕТОД ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
Пусть имеется исходная структура фильтра с ха-
рактеристикой Кр. Известно, что частотные характерис-
тики устойчивой системы, полученные из передаточ-
ной функции при р = /со (в случае дискретного
'времени К (z) при z = г/СйГ), однозначно определяют
ее динамические свойства. Поэтому в качестве крите-
рия для понижения порядка передаточной функции
дифференциального (разностного) уравнения может
быть принято условие, состоящее в том, что мало от-
62

личающимся частотным характеристикам соответ-
ствуют мало отличающиеся переходные процессы
Рассмотрим устойчивую линейную систему, вы-
ходная величина которой в форме г-преобразования
имеет вид
x(z)’=K(z)K(z),	(3.4)
где х (z), Y (z) — z-изображения соответственно вы-
ходной величины х (&А/) и внешнего воздействия
Y А/—период дискретизации, а
btnzm + Ьт^п *+ • • • + Ьгг + Ьо
ап^п + an—l^ 1 + * • * + aiz + 1
(3.5)
.— передаточная функция.
Задача заключается в том, чтобы достаточно точно
описать переходные процессы в этой системе переда-
точной функции пониженного порядка
djZ5 ds\Zs 1 -|- • • • + drz -}- do
+ cr—i2^ 1 + • • • +	1
($<r <n),
(3.6)
которая с достаточной точностью аппроксимирует
исходную.
Из теории дробно-рациональных приближений
функций в комплексной области известно, что наилуч-
шее приближение, не требующее сложных выкладок,
получается при помощи цепных дробей [7].
Передаточным функциям (3.4) и (3.5) соответствуют
АЧХ
Ьт(е/<оГ)т + »„,_1(е/ц>Г)'п~1+ •• +Ме/Д?7’)-Но
(е'шГ)п + ап_, (е^7)"-' + • • + о, (Z',T) + i
К1(е'ы7) =
63

ds (е^_ + ds_, (ey<aT)s—1 + •   + (е^Г) + d0
с,(е'“7У + с(._1(е/“7’)Г~'+ •• +с1(е/шГ)+1 ’
где b0 и dQ — коэффициенты усиления, определяющие
статические свойства системы, поэтому dQ = b0 при
условии тождественности статических свойств.
Для определения остальных коэффициентов сь
с2, ...» с„ dlt d2> ...» ds АЧХ К (е/сй/) выражение (3.7)
преобразуем в соответствующую цепную дробь
) = g|-n + а2,о <е/юГ) _L a3,o <е'юГ) .
«1.0	' «2,0
а2п,0 (е/6)Г)
«2п—1,0
при условии а/г,о=И=О; aitk=bk (й=0, 1, 2, ... , /и);
= (k — 1, 2, ... , п). Если а^.о=О, то цепная
дробь имеет вид
«2,0 <е/ЮГ)
«1,0
«6,1 (g/<°r)	,
ak-1.0	"Г ‘
(3.8)
(е1шТ)

ak 1,0
ak—2,0
“ + 
а2п—1.1 (g/WT)
(3.9)
a2n—1,1
Коэффициенты a*.о в выражениях (3.8) и (3.9) при ус-
ловии aoo = 1 определяем по формуле
ak,i = (Xfc_i .otZfc—— ОС/г—2,0afe—l,i4-b
Если вместо каждой цепной дроби (3.8) и (3.9) взять
необходимую дробь, имеющую тот же порядок, что
и (3.7), то получим
/<1(e/“r) = Pft^“T)/lQ(^r)J,
64

где k — порядок подходящей дроби, которую нахо-
дим по формуле
Р>	(^шГ) + «м (г/иГ) ^k-2
Qk ^аТ) a»_i,A-i (е/“Г) + а*,о (в/шГ) <4-2 (e/wr) ’
справедливой при всех й > 2. При этом PQ(e^T)/[Q0 X
X (е**)] = 0/1;	(e^)/[Qi (^61 = сс10/а00.
Величину погрешности, возникающую при пони-
жении порядка передаточной функции, можно оце-
нить при помощи неравенства
I к (е/шТ) _ /<1 (е/штц < 1д/5$ (е/“г)].
По данному методу можно найти выражения для
коэффициентов упрощенной модели передаточной функ-
ции (3.6) через коэффициенты передаточной функции
(3.5) в общем виде при любых значениях tn, п, s, г,
т. е. можно последовательно понижать порядок пере-
даточной функции(З.б) на единицу.
Рассмотрим цифровой фильтр, для системы иденти-
фикации, рабочий сигнал которой представляется
последовательностью радиоимпульсов длитель-
ностью /и, следующих с периодом повторения Ти > 1И.
Радиоимпульс на интервале t — 1И достаточно точно
описывается аналитическим выражением
5И (/) = Am cos Q/ cos со/.
Работа цифрового фильтра описывается линейным
разностным уравнением
у \пТ] = 5 А,Х [пТ - iT] т 5 В(у [пт - 1Т]. (3.10)
1=1	1=1
Нерекурсивный фильтр, Bt = 0 в уравнении (3.10),
не может быть использован для фильтрации разрыв-
ной последовательности импульсов с периодом повто-
рения Ти /н вследствие очистки регистров хранения
3 7—1403
65

предыдущих значений входного сигнала нулевыми
значениями, соответствующими интервалу времени
/и входного сигнала При использовании рекурсив-
ного фильтра (даже при полной очистке регистра хра-
нения предыдущих значений входного сигнала) на
выход фильтра будут поступать значения выходного
сигнала, . полученные сложением предыдущих зна-
чений выходного сигнала, умноженных на коэффици-
ент, соответствующий элементу задержки.
Таким образом, для фильтрации заданной после-
довательности разрывных импульсов необходимо
использовать рекурсивный ЦФ, структура которого
учитывает запаздывание импульсов. Проектируемый
цифровой фильтр должен иметь линейную фазовую
характеристику, что соответствует расположению ну-
лей и полюсов передаточной функции на единичной
окружности (расположение полюсов на границе'устой-
чивости является признаком резонанса в системе).
Описанные в литературе методы синтеза рекур-
сивных фильтров во временной области позволяют
синтезировать фильтры с хорошими временными ха-
рактеристиками и менее качественными частотными
характеристиками. Фильтры, синтезированные в час-
тотной области, обладают хорошими частотными
и худшими временными характеристиками. Кроме
того, большинство из разработанных методов синте-
за в частотной области основано на дискретизации
предварительно рассчитанных аналоговых фильтров,
в результате чего часто возникают отклонения полу-
ченных характеристик от проектируемых.
Выполнение всех требований, предъявляемых к
проектируемому фильтру, возможно при использова-
нии классического метода синтеза передаточной функ-
ции, определяемой как отношение изображения вы-
ходного сигнала к изображению входного:
W(z) = Y(z)/X(z).	(3.11)
66

Для определения z-преобразования входного сиг-
нала необходимо определить изображение одного ра-
диоимпульса, а затем изображение периодической по-
следовательности импульсов, для чего можно вос-
пользоваться методикой определения изображения
Лапласа непериодических разрывных функций.
Если г-преобразование непрерывной последова-
тельности радиоимпульсов определяется выражением
z {A,nw cos2 Й/ cos co/} =
Д
_ ГПВХ aBZ<i —	~	-- fll2
~	4	6Gz6 — b5zb 4- b4z4 — b3z3 + b2z2 — byz + bQ “
Am
= —^-S(z),
где ah bL — постоянные коэффициенты, представля-
ющие собой периодические функции периода кванто-
вания Т, а изображение смещенной на длительность
импульса /и = kT, где k — количество целых перио-
дов, непрерывной последовательности имеет вид
?см MmBX COS2 Ш cos w/}	z~kS (г),
то изображение одного радиоимпульса
гх {AnBX cos2 й/ cos со/} = z {Amw cos2 й/ cos co/} —
Am	ь
— ZCM {AnBX cos2 Й/ CQS CO/} =-(1 — Z )S (z).
На основании теоремы запаздывания оригиналов
z-преобразование входного сигнала, представляюще-
го собой периодическую последовательность импуль-
сов, принимает вид
гвх (AnBX cos2 й/ cos со/} =
3*
67

Лт м „м—k
= _2»1 г | S(?) = X (г).	(3.12)
а изображение выходного сигнала, представляющего
собой гармониче кое колебание,
2вых {Апвых Sin со/} == Аивь1Х г2 _ 2г cos мТ + i = Y
(3.13)
Таким образом, передаточная функция цифрового
фильтра на основании выражений (3.11) — (3.13)
определяется следующим выражением:
/ гм — 1	\
й^(г) = у	j х
Affi — Л6г& + А42' — Л3г3 + Л2г2 — Aji + Ло /о i4\
Л B7z7 — Bt:z6 + B5z5 - B4z4 + B3z3 — B2z2 +	- B(} ’ 1	'
Сомножитель (zA< — !)/(/’	в выражении для
передаточной функции определяет запаздывание им-
пульсов во входном сигнале.
Цифровой фильтр с передаточной функцией (3.14)
физически нереализуем, так как оператор г-преобра-
зования в положительной степени указывает на зави-
симость выходного сигнала фильтра от последующих
значений входного и выходного сигналов. Разде-
лив выражение (3.14) на г в максимальной степени,
получим физически реализуемую передаточную фун-
кцию
UZ(2) =
А^Г' — Л5г“2 + Л4г“3 — Л3г~4 +
__ь О — 2 ^)______~Н	6 ~Н Аа____ /о 1 г\
+	- В^-5 + B12“g - Вог-7
68

где М — количество целых периодов квантования,
укладывающихся на период повторения входного
сигнала Т < Л4Д/ <7+1; k —количество целых
периодов непрерывной последовательности tn = kT.
Используя определение передаточной функции и
учитывая, что z-преобразование последовательности,
Рис. 13. Блок-схема алгоритма вычислений, необходимых
для определения значения выходного сигнала.
задержанной на i выборок, равно z-преобразованию
исходной последовательности, умноженной на z“l,
записываем разностное уравнение, описывающее ра-
боту проектируемого фильтра:
y[nT] = Lex[nT-T] + ... -\-L0x[nT-7T] +
+ .Цх[пТ — (М + 1)7] + ... +LoX[nT —
-(M + 7)T] + k.y[nT^T]+ ... +koy[nT-7T] +
+ k7y[nT-kT] + ... + k'y[nT~(k + 7)T]. (3.16)
Алгоритм определения каждого значения выходного
сигнала, соответствующий разностному уравнению
(3.1Г’) и передаточной функции (3.15) и составленный
по способу прямого программирования, показан на
рис. 13. Блок-схема алгоритма моделирования дан-
ного фильтра показана на рис. 14.
69

I
|K
7>Te
I Z=Z/7
Г Начало J
r
J*O,№O,YzO, \JX[7]^O,i,...,O;A£7J:M
J1^0, N1=0 П YC7M(L..ft3m,B1[ll
Wo. |
71=цут>вск])
>^HET
Y2-0

z=z-z
JU/i
-<<>7>
I am»/ |«
Ysi (YCK]>6[KT)
_SJA
Г I
ДА
Y4=Z (Y[K]>B2[L1-MJ)
K-L1-N1______________
HET
Рис. 14. Блок-схема алгоритма моделирования
фильтра.

Если принять, что М и k целые числа, то можно
— г i и (1 — z ) разложить:
1 — z~M = (1 - ?“')(1 + г“‘ + Z-2 + • • • + г-Л1+‘);
1 —г-'=(1 -г~')(1 +г-'+г-2+ ... +z~*+1),
в результате чего получим
(!+?-'+ .. + z-M+‘) (Алг~' - 46г-2 +
1 \ _ а, + Л4г~~3 — Vl.jZ-'1 -f-	~ Л,г 6 + Лрг~7)
’	(1+г-'+ •• +2-^)(В7-Вв2-' + В5г-2+'
4" Btz 3 4- В3г 4 — в2г 5 4- Вгг 6 4" Во2 7)
Если выполним умножение полиномов и сделаем
переход от W (г-1) к W (z), то получим
Д^+б2^6 + ^М-Ьб2*-1”5 +	4- • • •
+^_/-‘+ • + А'/~м+'+ ^-М
(Z) B^ + Bk+6^+ .+Bk_^+	'
• • • + BjZ + Bo
Коэффициенты со штрихами вычисляем по форму-
лам:
1)	для k = М
k-\	/г-1
Дб-нл—D—• = 2	Sz+(fe—D—i = 2 ^7—(/—/),
/=о	z=o
где i=0, 1, 2,	[7 + (й- 1)|; / = 0, 1, 2, .... [6 +
4-(6—1)]. Если (/ — /)<0 и 7 — (Z — /)<0, то
До—(1—1) = В?—с—/) = 0;
2)	для 6У=Л4 и 6> /И
Имея выражение для коэффициентов передаточной
функции как некоторых периодических функций пе-
риода квантования, можно, варьируя частотой кван-
тования, корректировать частотные характеристики
фильтр'а. В данном случае условие резонанса в системе
71

Рис. 15. Алгоритм упрощения передаточной функции
путем понижения ее порядка.

определяется самим подходом к синтезу передаточной
функции. Кроме того, условию резонанса соответству-
ет расположение полюсов на единичной окружности,
что является условием линейности фазовой характе-
ристики фильтра.
Представленный пример требует большого числа
вычислительных операций и поэтому задачи такого
рода удобнее решать на ЦВМ. Общий алгоритм ре-
шения порядка K(z) показан на рис. 15. По этому
алгоритму может быть успешно решена задача со-
кращения W (z) при фиксированных k и М.
«
МАТРИЧНЫЙ МЕТОД
Представим модель дискретного во времени ста-
ционарного фильтра	* .
х(/+1)=Фх(/)+Д1/(/)	(3.17)
в виде разбиения
xi U + 1) Ф]
х2 и + nJ “ |ф8
Ф21 Г Х1 (/)'
Ф4.
Д.
£/(/)• (3.18)
2_
Здесь Ф и А - п Х'П и п х т постоянные матрицы;
U — m-мерный вход системы; х — n-мерный вектор,
состоящий из /-мерного вектора хг и (п — /)-мерного
вектора х2.
Необходимо построить упрощенную модель
Х1 (/ + 1) = Фях, (/) = bRU (/)	(3.19)
заданного порядка Z, в которой подлежат определению
матрицы соответствующих порядков Ф* и ДЛ.
Известно, что существует п х п матрица /И, ко-
торая позволяет преобразовать уравнение (1.14) к
жордановой канонической форме [31]. Запишем это
преобразование в виде х (/) = Mz (/) и в блочной
73

форме
(/)
Ла(/)] ~ L^h
м2 rz.(/T
mJ х [z2(/).
(3.20)
где Z — канонический вектор состояния, а векторы
Zj и Z2 имеют размерность I и п — I соответственно.
Столбцы матрицы М будем считать упорядочен-
ными слева направо в порядке убывающей значимости
соответствующих собственных значений переходной
матрицы Ф. Это всегда можно сделать подходящей
перестановкой столбцов. Так как система (3.17) пред-
полагается устойчивой, го все собственные значения
Ф лежат в единичном круге. Следовательно, столбцам,
расположенным слева, соответствуют собственные
значения Ф, лежащие ближе к единице (по абсолют-
ной величине), а расположенным справа — лежащие
ближе к нулю. Если Ф имеет п различных собствен-
ных значений, то столбцами М являются собствен-
ные векторы Ф, а М называется модельной матри-
цей. Подставив выражение (3.20) в уравнение (3.18),
получим систему в жордановой канонической форме
о
^i(/ + 1)	_ ai
Л(/+ 1)J L0
z^n] [б/
линк
</(/); (3.21)
«1
(3.22)
где а —блочно-диагональная матрица; б — матрица;
и2

У,
(3.23)
— блочное представление обратной матрицы М '.
Вследствие предполагаемого упорядочения столб-
цов преобразования М жордановая каноническая мат-
рица а имеет следующую структуру: в ее левом верх-
74

нем блоке а2 размера I х / сосредоточены собственные
значения Ф, расположенные ближе к единице, а в
(п —I) х (п — /) блоке а2 сосредоточены собствен-
ные значения, расположенные ближе к нулю. Из ска-
занного и уравнения (3.21) заключаем, что каноничес-
кие координаты Z3 характеризуют медленное движе-
ние систем, a Z2 —быстрое, т. е. после приложения
входного возмущения координаты Z2 стремятся к сво-
им установившимся значениям быстрее, чем коорди-
наты Zr Из уравнения (3.21) видно, что движения,
характеризуемые координатами Z2, не связаны.
Для систем с линейно независимыми собственными
векторами а является диагональной матрицей и по-
этому Zi и Z2 всегда будут несвязанными. Если же чис-
ло линейно независимых собственных векторов меньше
и, то представление исходной системы в матричной
форме в виде выражения (3.18) следует произво-
дить так, чтобы не расщеплялись жордановые блоки
а; тогда Zj и Z2 остаются независимыми.
Для решения поставленной задачи сокращения раз-
мерности дискретной модели воспользуемся подхо-
дом Маршалла [31], который применяется для решения
аналогичной задачи в пространстве непрерывного вре-
мени. Идея этого метода состоит в пренебрежении
динамикой быстрого движения в исходной модели
высокого порядка. Для координаты х{ из уравнения
(3.18) имеем
Х1 (/ + 1) = ФЛ (/) + Ф2х2 (/) +	(/). (3.24)
Выражение для х2 (/) можно получить, комбинируя
уравнения (3.19) и (3.23):
(/) = ^4 (^2 (/)	Кз-^1 (/)]•
Реакция координаты Z2 на входное возмущение
оказывается более быстрой, чем реакция координаты
Zlt так как собственные значения блока а2 расположе-
75

ны ближе к нулю, чем собственные значения блока
av В качестве приближения предположим, что Z2 (/)
немедленно достигает нового установившегося состо-
яния, т. е. обладает мгновенной реакцией. Тогда
из уравнения (3.24) получаем
z2(/ + 1) = Z2 (/) = (! — a2)-1 62(/(/). (3.25)
Объединяя теперь уравнения (3.24) и (3.25), находим
модель системы пониженного порядка, где
Фк = Фх - Ф8ИГЧ;	(3.26)
= Aj + Ф2|/Т' (/ - а2Г' 62.	(3.27)
При постоянных входах координаты исходной
и упрощенной системы достигают одного и того же
установившегося значения.
Другой метод анализа непрерывных систем, пред-
ложенный Дэвисоном [31], основан на предположе-
нии, что вклад несущественных собственных значе-
ний исходной системы в ее реакцию незначителен
и им можно пренебречь. Решение записывается в сле-
дующем виде:
/—1
х(/ + 1) =Ф'х(0)+ 2 Фк&и (k),
*=0
где х (0) — начальное состояние системы.
Следуя Дэвисону, рассмотрим случай, когда х (0) =
= 0. Тогда
Х(/+ 1) = 3 Ф*ДЩ£).
• 6=0
(3.28)
Используя преобразование (3.22), выражение (3.28)
можно переписать в следующем виде:
/ ,“1	\
х(/ + 1) = М 2 а*ЛГ1Д(/ (Л) .
\£=»о	/
76

После разбиения это уравнение принимает форму
*1(/ + 1)1 _
.-М/ + 1) “
ЛЛ
Л43
м2
м4
It к
/ (XJ
\ о
О
ОС2
. (3.29)
Предположим, что собственные значения а2 не ока-
зывают существенного влияния на реакцию системы,
а потому ими можно пренебречь (т. е. а2 = 0). Урав-
нение (3.29) в результате упрощается:
~xl(j + 1)1 ' ГМХ ТТ1 д,
х , . = М 2 (аГ(УЛ)Л£/(*)} .(3.30)
1Л1/ + Uj L/waJ U=o
/=1
Определим I х 1 вектор £ = 5	Д^ (£)} и,
6=0
подставив его в уравнение (3.30), получим
xi(/ + 1)
.*«(/ + О
После преобразований из последнего уравнения полу-
чаем
Мг
l==MTlx1(i+ 1);
*,(/ + 1) = М8МГ1х1(/+ 1).	(3.31)
Для вычисления ФА подставим выражение (3.31) в
невозмущенное уравнение (3.24), т. е. примем в нем
U (j) = 0:
(7 + 1) = (Ф1 + Ф^МГ1) хг (/),	(3.32)
тогда Ф/? = Фг + ФгМд/ИГ1-
Для вычисления ДЛ сравним решения исходной
м упрощенной моделей лри % (0) Q. Если лреие
77

бречь а2, то решением исходной модели будет
/—1	\
Х1 (j + 1) =	' 2 (a? (VA + 1/2Д2) и (k)} , (3.33)
k—0	/
а решением упрощенной —
М
*1 (/ + !) = 2 (Ф^д₽(7(*)}.
k=0
Используя соотношения Ф = МаУ и УМ*=/, можно
показать, что Фд = М^МГ1, в результате чего реше-
ние упрощенной модели принимает вид
//-1	\
ХЛ1+ 1) = М> 5 {aiMrW (*)}’• (3.34)
\/г=0	/
Сравнивая уравнения (3.33) и (3.34), получаем
Л* = М. (V^ + V2A2) = МД. (3,35)
При разбиении на блоки выражения VM — 1 пере-
ходная матрица из уравнения (3.32) эквивалентна пе-
реходной матрице (3.26), полученной методом Мар-
шалла.
Рассмотрим задачу преобразования непрерывной
модели высокого порядка в дискретную модель низ-
кого порядка. Пусть модель физической системы
представлена в виде системы линейных дифференци-
альных уравнений
X = AX + BU.	(3.36)
Для решения поставленной задачи можно предло-
жить два подхода. Согласно первому непрерывная
модель высокого порядка (3.36) преобразуется в не-
прерывную модель более низкого, а уже от нее произ-
водится переход к дискретной модели низкого поряд-
ка вида (3.19). В соответствии же со вторым подходом
поступают наоборот — аппроксимируют непрерыв-
78

ную модель (3.36) дискретной моделью высокого по-
рядка (3.17), а затем, используя изложенный выше
метод, переходят к дискретной модели низкого порядка
(3.19). Для полноты изложения приведем методы Мар-
шалла и Дэвисона понижения порядка непрерывных
систем, которые используются в первом подходе.
Известно, что существует матрица М [31 ], пре-
образующая уравнение к жордановой канонической
форме:
/Л 0\/Zn /Л\
A-MZ; Z-7Z+W-(0-
где J = М~{АМ\ Р = М~'В = VB.
Как и в случае дискретного времени для получе-
ния упрощенной модели, уравнение (3.36) следует
представить в блочном виде типа уравнения (3.18)
Далее необходимо упорядочить столбцы матрицы М.
Теперь столбцы слева должны соответствовать собст-
венным значениям матрицы А с действительными час-
тями, расположенными ближе к нулю, а столбцы спра-
ва — собств иным значениям Д, действительная часть
которых ближе к — оо. В результате получается не-
прерывная модель пониженной размерности =
= AtfXj + BrU, где по методу Маршалла
Ar = МЛМГ1;	(3.37)
BR = Вх - A2V7vJ^P2,	(3.38)
а по методу Дэвисона
= Л, + Д2М3МГ1;	(3.39)
BR = МХРХ.	(3.40)
Рассмотренные подходы различаются между собой
порядком шагов сокращения размерности и дискрети-
зации. Так как шаги содержат только линейные
79

операции, то можно ожидать, что указанные подходы
приводят к эквивалентным результатам. Эту эквива-
лентность можно показать аналитически, если исполь-
зовать соотношения
т
Ф = ыр(АТ}-, Д = J ехр (Л (Т — т)) Bdx (3.41)
О
и выразить Ф/? и Д/? через AR и BR по формулам
т
Фя = exp (ArT)\ Ад = У exp (AR (Т — т)) BRdx.
о
Для сравнения результатов дискретного и непре-
рывного подходов к упрощению модели высокой раз-
мерности можно воспользоваться представлением
выражений Ф = MaV и MV = I и показать, что
дискретная переходная матрица в выражении (3.26)
эквивалентна
Фл = Ф1-Ф217Г1У8 = /И1а1МГ1.	(3.42)
Учитывая это и сравнивая уравнения (3.42) и (3.37),
(3.38) и (3.27), (3.32) и (3.39), (3.35) и (3.40), замечаем,
что имеется прямое почленное соответствие между ре-
зультатами дискретного и непрерывного методов по-
нижения размерности модели.
*
Пример 3. Дана непрерывная система второго порядка
которую желательно аппроксимироваать одномерной системой
относительно хг. Собственными значениями матрицы системы
(3.43) являются —1 и —4, так что
Модель эквивалентности дискретной системы с периодом Т имеет
80

вид
*(/+D =
II 4 exp (—Г) — exp (—4T), exp (—T) — exp (-4T)
3 [—4 exp (—T) + 4 exp (—4T), —exp (—T) + 4 exp (—4T)
Xx(/) +4-
u
3/4 - exp (- T) + exp (- 4T)1
exp (— T) — exp (— 4T)	]
X (/(/*)• (3.44/
Уравнение (3.44) имеет собственные значения exp (—Т) и
exp (—4Т).
Вначале для аппроксимации непрерывной дву
мерной системы (3.43) дискретной одномерной моделью
воспользуемся первым подходом и методом Маршалла.
Используя уравнения (3.37) и (3.38), получаем
AR = Л4ЛМГ1 == - I; BR = в, - a2vt'Jt'p2 = 7<-
Таким образом, непрерывная модель имеет вид
%i = —xt + (7/4,
а соответствующая ей дискретная модель
*1(/ + 1) = ехР (— Т) Х1 (/) + 11 — ехр (Т)] и
(3.45)
Если же воспользоваться вторым подходом сокраще-
ния размерности, то из уравнений (3.26), (3.27) и (3.44)
найдем
ф« = ф, - Ф2УГ‘к, = ехр (- ту,.
АЛ = А, + Ф^Г' (/ - а2)-' 62 = [ 1 - ехр (- Т)]/4.
В этом случае дискретная модель имеет вид
-Ч (/ + 1) = ехр (— Т) х, (/) + 11 — ехр (Г)] U
т. е. она идентична модели (3.45), полученной с по-
мощью первого метода.
Решим эту задачу с помощью метода Дэвисона
81

При. первом подходе из уравнений (3.39) и (3.40)
имеем
Ar = Л + АгМ3МГ' = - 1; BR =	= •/,.
В этом случае непрерывная модель первого порядка
получается
Xj — —	-f- U/3,
а соответствующая ей дискретная модель
*1 (/ + 1) = ехр (— Т} хг (/) + [ 1 — ехр (— Г)] U (/)/3.
При втором подходе с помощью уравнений (3.32),
(3.35) и (3.44) находим
Фд = Ф, + Ф2Л43Л4Г' = ехр(— Т},
= М. (У1Д1 + У2Д2) = [ 1 - exp (- Tjj/3,
чему соответствует одномерная дискретная модель
х(/ + 1) = exp (— Т)Xj (/) 4- (1 — ехр (7)] U(/)/3,
совпадающая с моделью (3.45).
3. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ В БАЗИСЕ УОЛША
Кроме рассмотренного дискретного преобразования
Фурье, большое значение для цифровой обработки
сигналов представляет дискретное преобразование
Уолша (ДПУ), которое может быть определено сле-
дующим образом [6].
Рассмотрим конечную аппроксимацию случайного
процесса х (/)
N—\
xN(t) = S Х&1 (0>	(3.46)
1=0
где ср, (/) — набор ортогональных функций; xt — со-
82

ответствующий коэффициент Фурье для данного про-
цесса.
Если рассмотреть процесс (3.46) в дискретные мо-
менты времени в точках i = О, Т/Л/, (N — Т,
Т — интервал наблюдения, то получим набор дискрет-
/. у1 \
ных значений случайного процесса х I/у I, который
обозначим f (/), и дискретных функций ф, (/), / =
= 0, 1, 2, N — 1, удовлетворяющих условию
2ф/(/)ф*(/) — | о при /=#/г, <р*(/) =	(3’47)
Исходя из рассмотренных вводных определений,
сформулируем прямое и обратное дискретные пре-
образования соответственно:
1 N~'
= v 2 fU)<Vk(iY, (3.48)
/V i=0
N-\
f(j) = 2	/=6.1,2.........N-l.
• fe=0
(3.49)
Среди набора дискретных ортогональных функ-
ций очень удобным является набор дискретных функ-
ций Уолша, которые определяются следующим обра-
зом:
wal (0, /) = 1 для / = О, 1, 2, ... , Л/— 1;
1 для / = О, 1......... 1;
где W = 2р, р — натуральное число.
83

Последующие функции набора получаем по ре-
куррентной формуле вида
wal [k, j) =
wal (2 [k/2], j) = cal (£, /);
wal (A — 2 [A/2], /) = sal (k, j)f
где [ ] —функция entier.
Если для функции Уолша выполняются соотноше-
ния (3.47) —(3.49), то прямое дискретное преобра-
зование Уолша принимает вид
=	2 /(/) wal(fc, /),
w i=o
а обратное
/V—1	N—i
f (/) = 2 F(A) wal (k, j)= 2 F(k) wal (/, k),
k=0	k=0
N—1	/V—1
где /(0) = 2 F(k), a F(0)=	2 /(/).
/?=o	/v /=0
Используя определение так называемой логиче-
ской свертки, можно определить следующую величину:
N-1
Ln (/) = / (/) */(/) = -м- 5 / (/ ф tn) f (т),
v m=’0
где Ln — логическая свертка; * — символ свертки;
ф —сумма по модулю двух соответствующих битов
двоичного разложения чисел / и т.
После преобразований получаем соотношение
N—1
Ln(J)= 2 (F( A))2 wal (&,/),	. (3.50)
fc=0
аналогичное результатам, полученным в теории Ви-
нера — Хинчина, где Ln (/) является аналогом функ-
ции автокорреляции, a (F (k))2 —аналогом функции
мощности спектральной плотности.

Если обозначить (F (&))2 = Р (k), то обратное пре-
образование
1 /v“1
P{k) = -rr- 2 Lyv(/)wal(A!, /).
/v /=о
При k = 0, 1, 2......AZ—1 Р(й)>0 и L/v(0) =
N—1
= 2 P (£). где LN(0) представляет полную мощность
k=0	*
последовательности fm.
Рассмотрим простейшую задачу фильтрации по-
лезного сигнала на фоне помехи типа «белый шум» —
£(/), где 0< /.< 1.
Предположим, что полезный сигнал неизвестной
формы можно приближенно представить отрезком
Фурье по функциям Уолша
/v—i
^Ckwk(t),	(3.51)
Ь=0
где ck —случайные величины с начальными момента-
ми второго порядка Rkb
Переходя к дискретному времени tr —г = 1, 2,Л7,
имеем вектор замера процесса Хт =[x(t^, x(t2), ...
где x(t,) = s(Q + C(O-
Преобразуем вектор-столбец х по Адамару: х* =
= ИХ, где Н — матрица Адамара размером N xN,
a N = 2п, причем п =1,2, ...
Необходимо с помощью диагональной матрицы Q =
= diag{9r/} так трансформировать спектр X*, чтобы
при обратном преобразовании вектора QX* иметь оцен-
ку вектора ST = [s(/1), s(/2).	, £(/д/)], наиболее близ-
кую (в среднеквадратическом смысле) к требуемому
вектору Sr=l$(/X),	Выражение для
№

вектора ошибки фильтрации
e = S — HQX*!N	(3.52)
преобразуем к виду
е = [НС — HQH (S + Z)]/N =
= [НС — HQC — HQHZ]/N =\(H — HQ)C~ HQHZ\/N
при условии, что С1 = [с0, q, с2, ..., cv_i] — неизвест-
ный спектр сигнала (3.51); ZT = [&(/х), ?(/2)» •••
... > С(/д')]— вектор шума.
Найдем выражение для ковариационной матрицы
ошибок оценок М {еет}9 где М — оператор математи-
ческого ожидания (осреднения по реализации). Опре-
делим сначала матрицу для одной реализации
еет = [(// — HQ) С — HQHZ] \(Н — HQ)C —
- HQHZ]T/N2 = ](Н — HQ) С—HQHZ] [СТ(Н — HQ)—
- ZT (HQH)T]/N2 = [(H —HQ) CCT (H — HQ)T —
— (H — HQ) CZT (HQH)T — HQHZCT (H — HQ)T +
+ HQHZZT (HQH)T]/NK -	(3.53)
Полагая, что случайные величины ct и g (tj) некор-
релированы, найдем
М ]еег] =М{(Н- HQ) ССТ (Н — HQ)T}/N2 +
+ М \HQHZZT (HQH)T}/N2.	(3.54)
Если считать, что известны корреляционные матрицы
в виде
. • Ro(N—1)
. Run—1)
R(N-1)0 . . . R(N— 1)(Л/—1)_
86

ССС0^ • • *. С^С \ —
-----2	--
. c^Cn—i
(3.55)
“-----Z Z2
C{N—1)CO . • . Cft—j
RooRoi . . . Rq(N— 1)
R*N-1)0 . . . R2(N—l)(W—1)
Oi)l2
ШЖ) ...fuW
(3.56)
то в выражении (3.54) определению подлежат только
элементы матрицы Q, которые находятся путем ми-
нимизации величин ковариационной матрицы ошибок
М {еет}.
В матрицах (3.55) и (3.56) черта сверху означает
операцию усреднения по m реализациям Дифферен-
цируя элементы матрицы М {ееГ) по элементам Q —
— grr и приравнивая результат нулю, получаем систе-
му N2 уравнений для определения
д [М {eeT}]/dgrr = 0, г = 0, N - 1.
Пример 4. Пусть N = 2 и
Rc =
0
Пользуясь выражениями (3.53) и (3.54), находим
М |еег) =
I	(1 — ?оо)2	(1 — 9и)2 ср (I — ?оо)2 «о — (I ~ ?н)
” 4	(1 - <?оо)2 3 - (1 - <711) ~cv (1 - ‘Zoo)2 Со + (1 - flu)2
87

2 (Voo 4" а2
2 (?оо - <?ii) 0,2
2 (?оо — <?n) ff2'
2 (?оо + ?ц) °2
—У^-1-- = -2(1- <?„„) ?0 + 4<?оо02 = О
°чоо
д1Л1?е7)1 =-2(1- qn) % + 4<7па2 = О
(3.57)
Система уравнений (3.57) получена в результате дифферен-
цирования только одного элемента матрицы М \еет] — элемента,
стоящего на пересечении первой строки и первого столбца. Решая
уравнения (3.57), найдем
Чц = «1/(^1 + 20s) = Rcn/(Rcn + 2gs).	(3.58)
Таким образом, если известны матрицы Rc и /?z,
то фильтр имеет достаточно простую структуру и рас-
чет его не представляет затруднений. Однако такой
случай на практике не встречается. Рассмотрим ре-
альный случай, когда матрицы Rc и Rz неизвестны.
Здесь для синтеза фильтра потребуется использовать
свойство адаптации. Адаптивный блок фильтра дол-
жен обладать памятью: необходимо вначале запомнить
пг реализаций вектора х* (р) (р = 1, т). Далее в бло-
ке следует определить и запомнить выборочные сред-
ние значения из компонент вектора х*
1 т
Х1 = 4- 2 xi (р), i = 0, 1, ...» N — 1, (3.59)
т p=i
а затем найти приближенную к Rc матрицу
(Хо)2	ХОХ]’ XqX2 . . . XoXw-l
Х\Хо	(хГ)2	... X*X*N-1
XN-lXo ................. ...	(Xfl-l)2
88

Приближением к /?г будет матрица А+, элементы ко-
г
торой

74 1 74 *
где = -jj- hf — вектор-строка, компоненты
которого равны элементам i-й строки матрицы Адамара,
а вектор-столбец
4 — Xq (р)
х* — Xi (р)
(3.60)
Xn-\ — Xn-\ (р)
Таким образом, совершив обратное преобразование
Адамара над вектором (3.60), необходимо для получе-
ния найти корреляцию между полученными ком-
понентами. Чтобы облегчить расчеты элементов
ty, можно с некоторого номера / считать их нулевыми.
Для проверки справедливости такой гипотезы следует
воспользоваться аппроксимацией Бартлетта [3], ко-
торая для дисперсии D (| дает
\ W/ /

1 + 23 &/Й
0=1
(3.61)
Если в выражение (3.61) вместо и подставить
fit, и и задаться q < /, то квадратный корень из
полученного числа даст стандартную ошибку, которая
не должна превосходить где г > q.
Итак, адаптивный цифровой фильтр с памятью вы-
дает первый результат (отфильтрованный неизвест-
ный полезный сигнал), спустя {пгТ + /сч) с, и далее
89

будет его возобновлять через каждые Т + /сч с. Здесь
Т — время, приходящееся на интервал разложения
по функциям Уолша (на интервал 0,1), m — число
реализаций, т. е. число повторений интервала (пред-
полагается, что полезный сигнал повторяется на каж-
дом интервале Г); fC4 — время счета, необходимое для
практической реализации описанных вычислений, на-
правленных на получение значений qrr- Если /гч не
превосходит Г, то фильтр работает в реальном мас-
штабе времени.
4. АДАПТИВНАЯ ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
В БАЗИСЕ ХААРА
По аналогии с фильтрами Уолша можно строить
цифровые фильтры Хаара Коэффициентам таких
фильтров присваиваются значения элементов строки
матрицы преобразования Хаара. Как и в фильтрах
Уолша, отношение fQlj^ приближенно определяется
величиной \/Т (fs — частота квантования сигнала,
Т — период, на котором функции Хаара не равны
нулю), поэтому для практического синтеза этих фильт-
ров необходимо заранее снимать их АЧХ и заносить
в таблицу. Пользуясь этими таблицами, можно под-
бирать фильтр с необходимой центральной частотой
пропускания, а также количество последовательных
однотипных фильтров, необходимое для достижения
заданного качества фильтрации.
Адаптивную фильтрацию в базисе Хаара можно
проводить по алгоритму, иллюстрируемому структур-
ной схемой (рис. 16, а).
На вход блока А подается смесь полезного сигна-
ла и помехи. В блоке А поступивший сигнал разла-
гается в .ряд Хаара, а коэффициенты этого ряда вычис-
ляются методом, описанным ранее. Блок весовых
90

коэффициентов БВК, исходя из имеющихся в памяти
ЦВМ коэффициентов разложения в ряд Хаара полез-
ного сигнала, умножает коэффициенты Хаара посту-
пившего сигнала таким образом, чтобы на выходе
Рис. 16. Адаптивный фильтр:
а — структурная схема в бази-
се Хаара; А — спектр-анали-
затор Хаара; БВК — блок ве-
совых коэффициентов, С — син-
тезатор; БП — блок подстрой-
ки весовых коэффициентов; б —
устройство.
блока были коэффициенты ряда Хаара полезного сиг-
нала вида
an = X*(s)/[X*(s + A/)],
где ап — весовые коэффициенты; (s) — коэффици-
енты разложения в ряд Хаара полезного сигнала,
хранящиеся в памяти ЦВМ; (s + М) — коэффи-
циенты Хаара фильтруемого сигнала.
Блок синтеза С умножает функции Хаара на по-
ступившие из БВК коэффициенты, в результате чего
91

может быть получен отфильтрованный сигнал. В за-
висимости от требуемого качества фильтрации, блок
подстройки БП изменяет весовые коэффициенты.
Рассмотрим пример синтеза устройства фильтра-
ции смеси радиосигнала и помехи в виде «белого шума»
и гармонического сигнала.
Структурная схема устройства адаптивной фильт-
рации в базисе Хаара представлена на рис. 16, б.
Сигналы и помеха, поступающие на вход адаптивного
фильтра, обрабатываются в отсчетном устройстве
ОУ, предназначенном для получения отсчетов огиба-
ющей, и преобразуются к форме, удобной для дальней-
шей обработки и анализа сигналов.
Для обнаружения радиосигнала на фоне помех по-
следний раскладывается по базисным функциям Хаара
(схема разложения СР), где коэффициенты опреде-
1
ляются по формуле ае = § I (/) X* {/) dt.
о
Для реализации указанной зависимости служат:
блок ключей БК, блок интеграторов БИ, генератор
длительностей функций Хаара ГФХ. Количество ко-
эффициентов разложения выбирается в зависимости
от точности представления сигнала в пространстве ба-
зисных функций Хаара. Генератор длительностей
функций Хаара управляет временем интегрирования
блока интеграторов, на выходе которого получаются
значения коэффициентов разложения принятого сиг-
нала, т. е. получаем некоторый вектор 0 представле-
ния сигнала в пространстве базисных функций Ха-
ара.
Синхронизация временной диаграммы принимае-
мых сигналов с временной диаграммой адаптивного
фильтра осуществляется следующим образом.
92

Устройство опенки УО анализирует полученные
ранее компоненты вектора Р, в результате чего прини-
мается решение о наличии или отсутствии сигнала
в данном отрезке временного интервала. При этом
если сигнал не обнаружен, то устройство оценки
УО выдает команду на сдвиг интервала интегрирова-
ния, в противном случае значение компоненты векто-
ра Р поступает на вход следующего устройства. На
этом процесс обнаружения заканчивается.
Устройство точной фильтрации сигнала УТФ со-
стоит из функциональных блоков (рис. 16, б).
Значения элементов вектора р поступают на вход
устройства БВКС, представляющего собой набор
некоторых матриц Л, элементы которых — значения
весовых коэффициентов суммирования
В устройстве БВКС происходит поиск и выделение
не искаженных помехой составляющих вектора р,
т. е. при умножении р на матрицу А получаем но-
вый вектор а, содержащий только не искаженные по
мехой компоненты вектора р. При этом выбирается
только одна из матриц А указанного выше набора.
Набор матриц (блок БМ) позволяет восстановить ис-
каженные компоненты вектора отфильтрованного сиг-
нала в пространстве базисных функций Хаара.
Устройство сравнения УС позволяет получить
оценку рассогласования полученных компонент век-
тора р с компонентами вектора выходного сигнала
модели (устройство МС). Величина получаемой в ус-
тройстве сравнения ошибки оценивается устройством
управления УУ, которое выбирает матрицы А и В
таким образом, чтобы сигнал ошибки был минималь-
ным. Модель сигнала МС запускается при обнаруже-
нии сигнала, т. е. в момент совпадения фазы прини-
маемого сигнала и начала отсчета функций Хаара [101.
93

Рис. 17. Блок-схема мо-
делирующего алгоритма
адаптивного фильтра при
помехе типа «белый шум»:
J — счетчик числа обраще-
ний к массиву Р; L — если
L = 1, то значение функ-
ции Хаара равно -f- X, если
L = 2, то значение функ-
ции Хаара равно — X; /V7V —
число участков разбиения
участков интегрирования;
N—оставшееся число участ-
ков интегрирования; tM —
конечный участок интегри-
рования; К — номер функ-
ции Хаара; t— текущее вре-
мя; И — значение интегра-
ла; И1 — результат инте-
грирования положительной
полуволны функции Хаара;
И2 — результат интегрирова-
ния отрицательной полувол-
ны функции Хаара; А — ко-
эффициент функции Хаара
С целью проверки
работоспособности из-
ложенного выше ал-
горитма было прове-
дено его частичное
моделирование.
Моделировались
следующие режимы
работы: обнаружение
сигнала на фоне «бе-
лого шума» и на фо-
не детерминированной помехи. В качестве генератора
«белого шума» была использована программа выделе-
ния псевдослучайных чисел с математическим ожи-
данием, равным 0,11, дисперсией — 1,13, показателем
асимметрии — 0,22. В качестве полезного сигнала
была выбрана синусоида с частотой колебаний 8 Гц.
На рис. 17 показана схема моделирующего алго-
ритма при помехе типа «белый шум».
94

Оператор 1 присваивает начальные значения иден-
тификаторам L, J Переход к оператору 2 означает
выбор нового интервала интегрирования. Оператор
3 — условный. В зависимости от значения L выбира-
Рис. 19. Блок-схема моделирующе-
го алгоритма адаптивного фильтра
при детерминированной помехе.
Рис. 18. Разложение в ба
зисе Хаара сигналов:
а — полезный сигнал 4- «бе-
лый шум»; б — реализации
«белого шума»; в — реали-
зации «белый шум» + по-
лезный сигнал
ются те или иные конечные интервалы интегрирования.
Операторы 4 и 5 вычисляют конечные интервалы
95

интегрирования, т. е. определяют интервал существо-
вания функции Хаара Оператор 6 производит
м
интегрирование U =§ f (M)K(t) dt<
ч
В программе значение /0 сразу же присваивается
значению текущего времени t. Оператор 7 — услов-
ный переход. Если интегрировалась положительная
полуволна функции Хаара (L = 1), то результат
интегрирования запоминается (оператор 8) и затем
интегрируется отрицательная полуволна.
Если интегрировалась отрицательная полуволна.
(L = 2), то результат также запоминается (оператор 9)
и затем вычисляется коэффициент функции Хаара
(оператор 10). Оператор 11 — условный переход.
Если К максимально, то решение прекращается, если
нет — К увеличивается на единицу (оператор 12) и уп-
равление передается оператору 2. Результаты разло-
жения по функциям Хаара изображены на рис. 18.
Таким образом, синтезированное устройство поз-
воляет фильтровать сигнал. При наличии сигнала
коэффициенты функций Хаара приблизительно на по-
рядок больше тех же функций без сигнала.
Моделирование работы устройства обнаружения
сигнала при воздействии детерминированной помехи
проводилось по алгоритму, показанному на рис. 19.
Программы моделирования показаны на рис. 20.
Полезный сигнал представлен синусоидой с часто-
той 8 Гц, а аддитивная помеха — синусоидой с час-
тотой 1 Гц.
Оператор 1 (рис. 19) присваивает идентификатору
амплитуды помехи значение, равное 0,2. Оператор
2выбирает на отрезке [0,1 1 первую из восьми функций
Хаара. Операторы 3 и 4 производят интегрирование
в соответствии со знаком функции Хаара. Оператор
5 вычисляет значение коэффициента функции Хаара.
96

"РАЗ"б."для”м»1”шя1"до"1б”вмп""дая”1-1"ш*1"до"2Ки-1)"вып"
(K-2+(M-l)+J;CCK]=(i/™)xKl=(J-l)/2KM-i)xlB-3,(J-l/2)/2t
(М-4)х1ю-3,20,2+((М-1)/2)хЗ(1))+(1/й/)х5(1=(Д-1/2)/2+(М-1)
х1»-'3^/2+(М-1)х1ю-3,20,-(2+((М-1)/2))хЗ(1));"ВЬ1В””ЗНА"К,"
ПРОБ’’1,С[К],"П1ОБ”3)"ГДЕ”А=1;МЮ=2;1МЮ=ЗОю-б;ОМС=2х^х1ю5;Т0
=1ю-3;3(Т)=”Е”Т<160ю-б”ТО’(Ах(Т/1МЮ)1МЮхЕХР(МЮ4аЗх(Т/1ЫЮ))
ХСОЗ(ОМСХТ))”ИН”(0);С[1035]"КОН”
а
”PA3”5.Ir=l;K=i;M2,N=”EC’*7(8(NN)/2)“0"TO”(8(NN))"lffl”(S(NN)+i
);”EC’’L=l”T0”(T=(K-l)/2+NX;IM»(2xK-l)/(2+NX+l);l>2),HH"(T-(
2xk-1)/2+nx+1);im=k/2+nx;l=i);h=Cim-t)/n;n=n-1;h=f(t)+p[i];
I=i+l;M.T=T+H;H=fl+i|x(F(T)+p[i]);i=i+i;T=T+H;”EC”N-i"TO”(H-(
и+(р(Т)+р[1]))хн/з;1=1+1;”на”М1)“ин”(и=и+2х(к(т)+р[1]);1=^
);Н=К-2;”ИА”М;М1.’’ЕС”11=2”Т0”(И1=И;”НА"М2)’ИН*(И241);А=(И1-И
2)х/(2Ш); "BblB’K, ”ПР0Б”2, А, "СТРОК”; "EC"K=2+NX"T0"("CT0n”)"
HH”(K=K+l;”HA”M2)”r4E”F(J)=SIN(2xffx8xJ)jNN=10;NX=3;P[200]‘,K
ОН"
б
”РАЗ”5.К=1;Х=/(2+Н);”ДЛЯ"1)=18”Ш”-8”Д0*2"В1>1П”(”ВЫВ”"СТР0’4,1)
; ”JUIH”F=0"lU”i^O”30”Bbin”(”EC”F=8"TO’(F=9); ”BUB””CTP0”3,F; "Д
ЛЯ”А=.2”Ш”.2”Д0"2”ВЫП”(”ВЬ1В”"СТР0”2,А;”ДЛЯ”К=1”Ш”1"Д0”21Н"В
ЫП"(И1=1(T=(K-i)/2tH,(2xK-l)/2+(H+l),D,S);H2=i(T=(2xK-l)/2t
(H+l),K/2iH ,Б,3);И=(И1-И2)хХ;”ВЫВ"К,”ПР0Б”3,И,"СТР0"))))”ГД
E”H=3;S=SIN(2x»x8xT);A=SIN(2xffxFxT)"K0H"
в
Рис. 20. Программы моделирования адаптивного фильтра:
а — вычисления коэффициентов Фурье — Хаара функции S (Т); б —
при помехе типа «белый шум», в — при детерминированной помехе:
X — абсолютное значение функции Хаара; KN — индексы функции
Хаара; D — дискретность численного интегрирования; F — частота
помехи; А — амплитуда помехи; И — значение коэффициента функ-
ции Хаара; S « сигнал + помеха.
4"/2 7—1403	97

И
м- I I
а,н 1111 к
° 12 3 4 5 6 7 8 к
Рис. 21. Результаты модели
рования фильтра по блок-
схеме рис. 19 (Л = 1,6).
Операторы 6, 7, 8 и 9 образуют циклы для изменения
амплитуды помехи и для выбора следующей функции
Хаара.
Результаты проведенного моделирования показаны
на рис. 21.
Таким образом, при действии помехи коэффициенты
функций Хаара сохраняют свои положительные зна-
чения, которые приобрели
колебательный характер с
частотой, равной частоте
помехи, но сдвинутой на
четверть периода. Амплиту-
да помехи ослаблена в 10
раз. Учитывая, что коэффи-
циенты сохраняют положи-
тельные значения при дей-
ствии детерминированной помехи, можно сделать вы-
вод о наличии полезного сигнала.
Следовательно, для ортогонального разложения
сигналов в задачах цифровой фильтрации целесообраз-
но применять базисные функции Хаара, позволяющие
уменьшать время обработки сигнала и являющиеся
наиболее удобными для обработки на ЦВМ.
5. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
В БАЗИСЕ УОЛША
В винеровской теорий анализа нелинейных систем
выход неизвестной системы представляется в виде
суммы полной системы ортогональных функционалов
Gn [Лл, х (/)], где {Кп} — последовательность ядер,
характеризующих нелинейную систему; х (/) — вход
системы.
Функционалы Gn являются ортогональными в том
смысле, что если на вход системы поступает «белый
98

шум», то
S {Gn [Кп, *(/)] Gm \Кт, х(0П = о, п ф ту
где символ 3 обозначает усреднение по совокупности
Последовательность ядер Кп можно определить
путем конструирования параллельных фильтров с им-
пульсными характеристиками, образующими полную
систему ортогональных функций {Fn (/)}. На входы
анализируемой системы и фильтра поступает «белый
шум» х (t). Выход системы умножается на выходы па-
раллельных фильтров и результирующий сигнал по-
ступает в блок, интегрирующий по t (усреднение).
Пусть п — число параллельных фильтров, тогда ре-
зультат усреднения есть коэффициент CpiPi„.pn раз-
ложения ядра п-го порядка в виде суммы и-кратных
произведений функций Ff (Uf):
кп (Ultu2, .... и„) =
= 2 2 ... 2 СР1Р1...Р/Р,(^)... FPn(un).
Предлагаемый метод [26), основанный на исполь-
зовании свойства функции Уолша, представляется на-
иболее эффективным с точки зрения практических
применений винеровской теории нелинейных систем.
Для практических целей удобно использовать вы-
ражение функций Уолша через функции Радемахера.
Известно, что функции Уолша wn (Z) обладают сле-
дующими свойствами:
а)	одп(0 = wn<2k> О’.
б)	wn, (Z) о)„2 (/) = Wntn®, (Z);
в)	wn (t1)wn (Z2) = wn (Д ф Z2);
0	/1	n
с	1 при m = 0:
r) \ wn(t)wm(t)dt = {
’ J n m' I 0 при tn 0;
4'/2*	99

д) ш(2п, t)= w(n, 2t— 1)	]	]
te>1(2n+ 1, t)---w(n, 2t— 1)) ПрИ ~2 <Z<1:
1
e) J wn (t) wm (ti ф t2) dt2 = anwn,
0
где an — коэффициенты Уолша — Фурье функции wn.
Знаком ф обозначено поразрядное сложение по
mod 2 величин, которые представлены в двойной си-
стеме счисления и определяются так:
p=i
d ф е = 2 ф е J 2‘,
1=0
Р=1	Р=1
где d = 2 е = S eft1. Например, 0 ф 0 = 0;
i=0	1=0
0 ф 1 = 1 ф 0 = 1; 1 ф 1 = 0.
Для отрицательных чисел d и е
(— d) ф (— е) = d ф е\- (—d) ф е = d ф (—е) =
= — (d Ф е).
Из свойств функций Уолша, указанных в пп. б),
в) и е), следует:
о	1
J wn (/,) w (/, ф t2) d^ = §wn (ti ф t2) w (fi) dtlt
1	0
что является аналогом свойств интеграла свертки
ОО	оо
J wttjwiti — tjdt! = j w(t2 — t^w^dtj,.
•— oo	—oo
Эта аналогия, как и соответствующая аналогия с тео-
ремой Хинчина — Винера, является основой предла-
гаемого подхода к анализу нелинейных систем.
100

В винеровской теории параллельными фильтрами
являются фильтры Уолша, осуществляющие преобра
зование входа f (/) в выходную функцию
1
у (/) = У шп (и) w(t © и) du,
о
или в другой фазе записи
y(t)=anwn(t\	(3.62)
В случае, когда на входе фильтра Уолша — «бе
лый шум» с нулевым средним и дисперсией А, коэф*
фициенты ап выхода фильтра имеют гауссовские рас-
пределения с параметрами, определяемыми формулами
S {а„} = 0; 8 {апат} = Дб^, (3.63)
где Ьпт — символ Кронекера.
Так как 8 {x(t1)x(t2) ... х (/„)} = 0 при нечетных п
И 3{х(/1)х(/а) ... Xо =5 Пз {%(/,) *(/,)} при
четных и, где' суммирование осуществляется по всем
произведениям двух сомножителей, из этого следует,
что В {аРхар, ... аРп\ = 0, если п — нечетное, и
S {ар,аР1 ... аРп] = 2 П В {aPlap.} 8ц,	(3.64)
если п—четное.
Пусть сигнал на выходе нелинейной системы свя-
зан с входным сигналом х (/) уравнением
• y(t)= i Gn [Нп, х(П1.	(3.65)
н=0
где {GJ — система ортогональных функционалов с
соответствующей заменой интегралов свертки опе-
ратором ®.
10J

При n = О, I, 2, 3, ... имеют место следующие со-
отношения:
Go 1^0* (01 = я0; Gx [Ни х (01 = j Н. (иу,
^2 [Н2> % (0]=
1 1 1
= j j Н2(и, v)x(t Ф u)x(t ф v) dudv — Л j #2(u,u)du;
С3[Я3, *(/)] =
111
= J У j H3 (u, v, ку) x (t ф и) х (/ ф v) х (t ф ш) dudvdw —
i i
— ЗЛ У У Н3 (и, v, w) х (/ ф и) dudv. (3.66)
о о
Ядра {Нп} определяются путем разложения в ряд
Уолша — Фурье следующим образом:
Я1(О = 2 ckwk(uy,	(3.67)
fe=0
Hi(u, v) = S 2 diiWi(u)w (v).	(3.68)
i=o /=0
При подаче на вход системы «белого шума» х (t) —
оо
= 2 akwk (0 выходной сигнал может быть выражен
м
[с учетом подстановки уравнений (3.66), (3.67) и
(3.68), (3.65)] в следующей форме:
i/(O = ^o+S akckwk(t) +
k=Q
+ 23	(0 wj	dt, + • • • (3.69)
i=o j=o	i=0
102

Используя основное мультипликативное свойство
функции Уолша, указанное в п. б, выходной сигнал
неизвестной системы можно представить в виде
y(0=SM*(0.	(3.70)
fe=0
Коэффициенты bk вычисляются путем сравнения ко-
эффициентов при cofr (Z), k #= 0, в формулах (3.69)
и (3.70)
= akck + 22* aiajdii + • • •»	(3.71)
где * — двойная сумма по тем индексам, для которых
i ф / = k.
Рис. 22. Алгоритмы оценки ядра первого (а) и второго
(б) порядков.
Поскольку по предположению k #= 0, из свойств
оператора следует, что i j. При k = 0
со	оо
ьо = но + аосо + 2 aldii - л 2 diz + • • • (3.72)
f=0	1=0
Из последней формулы следует, что S{&0} = HOi так
как второй член в правой части выражения (3.72)
равен нулю (в соответствии с формулой (3.63) S{a0} =
103

= 0 и 3 {а?} = Л; остальные члены по той же при-
чине также равны нулю).
Как видно из рис. 22, а, коэффициенты Уолша —
Фурье для Нг (и) определяются из уравнения
= а
Для доказательства этого рассмотрим выход z (/)
фильтра Уолша. Из формулы (3.62) следует, что z(t) =
= anwn (t\ и, следовательно,
i	00	г
j У (t) г (о dt = S bkan \ wk (t) wn (t) dt.
о	*=o	о
Поскольку (/)} — ортогональная система функций
в интервале [0, 1 ], то j у (t)z (/) dt = anbn. Из форму-
о
лы (3.71) при k = 0 следует
3 {апЬп} = 3 {а„а„} сп 4- 2 2’ S {aza,a„} d(/+ • • •,
i i
откуда, с учетом формулы (3.64), вытекает, что
S{anbn} — Асп> что и требовалось доказать.
Рис. 22, б иллюстрирует методику определения
ядра второго порядка Н2 (и, v). Коэффициенты раз-
ложения Н2 (и, v) находятся по формуле
1 Г 3 {anambn®m} S {b0} о /о 7о\
drun = “2~ ——Д2------------~д Vn™ *	1
Доказательство этого результата основывается на
использовании свойства мультипликативности и ор-
тогональности функции Уолша.
Пример 5. Рассмотрим систему второго порядка общего вида,
изображенного на рис. 23, где крайние блоки соответствуют
фильтрам Уолша.	.
104

Выход системы может быть представлен в следующей форме:
м(О
= j j j (<2> ® («2
non
Ф U) w (t2 ф V) x ф u) X
X x (/j ф v) dt2dudv	(3.74)
Из этой формулы можно выделить ядро второго порядка, поло-
жив
1
н2 (и, v) = j ОУ (/2) w (t2 ф и) w (t2 ф v) dt2.
о
У«)
Рис. 23. Структурная схе-
ма анализа системы вто-
рого порядка.
Поскольку Но — S {/>0) и S {d0} = S {у (/)}, можно записать
выражение для ядра нулевого порядка Но = A J Н2 (и, и) du.
о
Следовательно, у (/) представляется в виде суммы ортогональ-
ных функционалов:
I 1
у (/) = HQ _|_ j у (U> V) х е и) х (/х ф v) dudv —
о о
1
— А У Н2 (и, и) du.
о
Представляют интерес два следующих случая: 1) w (/х) =
= 6 (/) и 2) w (t2) = 6 (/), для которых проведены расчеты ядра
второго порядка.
В первом случае ядро имеет вид Н2 (и, v) = w (и) 6 (и — v),
где 6 (и — v) — дельта-функция Дирака.
Таким образом, ядро равно нулю всюду вне прямой и = v,
на которой оно совпадает с функцией w (и).
5 7-1403

6. ФИЛЬТР КАЛМАНА В СИСТЕМАХ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
ФИЛЬТР КАЛМАНА
В ПРОСТРАНСТВЕ НЕПРЕРЫВНОГО ВРЕМЕНИ
Пусть задано некоторое линейное
дифференциальное уравнение
стохастическое
—<*’ ° = LJJ (х, f) + В (х, /) W (х, t), xQD-,
(х, /) = 0,	xgnD;
Zx (х, t) = М (х, t) U (х, /) + V (х, /), х £ D,
(3.75)
определенное при / > /0 в п-мерной области D с по-
верхностью В этом уравнении (3 (х, t) — некото-
рая неизвестная матрица входных сигналов; Zx (•)
и Рх (*) — заданные линейные операторы в D и nD.
Эти операторы могут быть дифференциальными, ин-
тегральными и интегро-дифференциальными; М (х, t) —
известный оператор наблюдений, воздействующий на
пространственные переменные; W (х, /), У (*» 0 —
регулярные гауссовские случайные процессы, распре-
деленные в пространстве и удовлетворяющие следу-
ющей системе равенств:
E\W(x, /)] = 0; Е= |И(х,/)] =0;	.	1
E[W{x, t)WT (хъ т)] = Q(x, х1г /)6(/ —т);
т	(3./и)
Е |V(x, t)V (хг, т)] = R(x, xlt t) 6(/ — т);
E\V(x, l)WT (xlt /)| = 0
при всех /, т > Zo и xr, х7 £ D. Здесь Е [• ] обознача-
ет операцию усреднения; Q (х, хг, /) — симметриче-
ская положительно полуопределенная матрица, а
R (х, х1т /) — симметрическая положительно опреде-
ленная матрица.
юе

Для систем (3.75) и (3.76) задача оптимальной
фильтрации формулируется следующим образом [31 ]:
при заданных уравнениях и наблюдаемости системы,
имеющейся реализации Z (х, /) (при х g D) наблюде-
ний в интервале /0 < т < t найти оптимальную оценку
(х, /); х g D для U (х, t) и при / > /0.
Уравнения фильтра Калмана, которые решают
так сформулированную задачу, имеют вид
= LJJ(xt/t) + J J P(x,xv t/t) MT (x, t) x
D D
X R2 (x„ xs, t) Z (x2, t/t) dD^Dt, (3.77)
dP^, =	t/t} + p(x> t/f}LT +
+ B(x, t)BT (x, t)—j § P(x, x‘i, t/t)MT(x', t) x
D D
X QT (x',x",t)M(xfl,t)P(x",x1, t/t)dD'dD'\ (3.78)
pj) (x, t/t) = 0; xgttD; U (x,	= E (V0(x)], x£D\
z(x, t/t) = z(x, /) —/И(х, t)U(x, t/t)\ P(x, xlt t/t) —
= Po (x, Xj),
где t/t — означает, что на основе наблюдений до
момента /t принимаем решение о значениях х в мо-
мент //.
Уравнения (3.77) и (3.78), описывающие ФК, яв-
ляются дифференциальными уравнениями в частных
производных. Их решение на универсальной аналого-
вой технике требует применения ряда специальных
приемов. Если же решать эту задачу на специальных
типа сеточных АВМ, то приходится разрабатывать со-
вершенно новые подходы к ее решению. Кроме того,
5*
107

при решении этой задачи нужно выполнять большой
объем трудоемких вычислений. Весь этот комплекс
трудностей и послужил толчком для рассмотрения
других способов решения поставленной Калманом за-
дачи фильтрации. Поэтому рассматривается дискрет-
ный вариант Калман^, описываемый системой разност-
ных уравнений, которые легко представить в виде
алгоритма для решения на ЦВМ. Учитывая недостатки
аналогового и цифрового моделирования фильтров
Калмана, ниже предложен алгоритм решения уравне-
ний фильтра на гибридных вычислительных системах
и, в частности, на аналого-цифровых вычислительных
комплексах
ФИЛЬТР КАЛМАНА
в ПРОСТРАНСТВЕ ДИСКРЕТНОГО ВРЕМЕНИ
Рассмотрим случай, когда измерения производят-
ся в дискретные моменты времени, т. е. t = Mk и в
дискретных точках пространства, т. е. х = /Дх; / =
= 1, 2, ..., L\ k = 1, 2, .., К Для этого случая урав-
нения (3.75), (3.77) и (3.78) принимают вид
U[l, k+ 1] = L3U[l, k] + В [I,.k\w[L, й]; (3.79)
Zs] = 0; /= 1, L;
Z [L, k] = M [L, k] U [L, k\ + V [L, k],
где
L, = / + A/Lz; В [I, k\ = MB [L, A];	(3.80)
P[l, n,k+ 1J = L,P[l, n, k] + P[l, n, k]Ln +
+ B[L, k\Q[L, n, k]BT \n, k\ —
L N
— У У P |/, г, /г| М7 [г, /г) Q |r, т, £| М \т, k] х
Г=1 т=\
X Р [т, п, /г],	(3.81)
Ю8

Рис. 24. Общая структурная схема филь-
тра в пространстве дискретного времени:
РО — процедура генерации псевдослучайных
гауссовских процессов IP (х, I) и V (х, i)',
Pl — процедура решения уравнения (3.79);
Р2 — процедура решения ковариации ошиб
ки (3.81); РЗ — процедура решения уравне
ния (3.80)
где(?| | = Q| |/Д/; Р\ | =Р[ ]/ДЛ
п = 1, 2, ... , N-,
B,U\L, k\ =0;
/=1, L; U\l, \] = E{Uoll]}-,
I = 1, 2, ..., L-. z\m, k] = z\m
fe| — M \m, k]U\m,k];
P\L,n, 1) = Po[/, n|.
Задачу фильтрации в такой поста-
новке целесообразно решать на
ЦВМ. Общий алгоритм решения
такой задачи показан на рис. 24.
Фильтр Калмана, синтезирован-
ный по предложенному алгоритму
для систем с распределенными па-
раметрами, может найти свое при-
менение в тех областях, где инфор-
мация о протекающем процессе
распределена в пространстве (ме-
теорология, радиоастрономия), а
время является непрерывным или дискретным.
При последовательном решении уравнений ФК (чис-
то цифровая реализация) ограничено количество
возможных узлов пространственной сетки (конечная
память ЦВМ) и необходимо длительное время решения.
109

ФИЛЬТР КАЛМАНА В ПРОСТРАНСТВЕ
НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНОГО ВРЕМЕНИ
Сформулированные уравнения ФК (3.77) и (3.78)
могут быть успешно решены также на аналого-циф-
ровом комплексе. Рассмотрим принцип решения этих
уравнений методом Либмана.
При моделировании сигнала U (х, /), оценки U (х, /)
и ковариационной функции Р (х, хь /) на аналого-циф-
Рис. 25. Блок-схема алгоритма
решения задачи на гибридной
системе.
Рис. 26. Временные диаграммы
работы гибридного фильтра:
В — быстродействие ЦВМ; /нак —
время накопления в буферной па-
мяти результатов измерений с при-
нятой дискретизацией времени и
пространства; fnep — время обме-
на информацией между буферной
памятью и ЦВМ; /счет— вРемя сче-
та задачи фильтрации; /пот — вре-
мя, когда теряется информация из-
за параллельности работы ком-
плекса АЦВК во времени.
ровом комплексе необходимо использовать два гене-
ратора гауссовских шумов W (х, /) и V (х, /).
но

Двойные интегралы в правых частях уравнений
ФК (3.77), (3.78) предполагается вычислять на АВМ.
Выражения Р (х, x't t/t), Р (х", х, t/t) и Z (х, tit) не
делают данные уравнения нелинейными, так как при
методе Либмана время является дискретным, а, кро-
ме того, на данном этапе все вычисления ведутся при
/ = А/ = const. Исходными данными при вычисле-
нии интегралов являются начальные значения функ-
ций Р (х, xn t0/tQ) и U (х, tQltQ).
Для решения задачи фильтрации на гибридной си-
стеме предполагается следующая блок-схема алгорит-
ма решения, показанная на рис. 25.
Временные диаграммы работы такого гибридного
фильтра Калмана можно представить в виде диаграм-
мы (рис. 26).
Определяющим фактором практической пригод-
ности фильтра при его работе в реальном масштабе
времени является время потери /Пот- Допустимая
величина /ПОт, а тем самым величина погрешности
фильтра, является разной при решении определенных
задач.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЛЬТРА КАЛМАНА
В качестве примера моделирования фильтра по
проведенным алгоритмам рассмотрим решение задачи
фильтрации распределенных помех [10].
Процесс описывается стохастическим дифференци-
альным уравнением в частных производных
—	° = 1,5	° + W (х, 0; о < х < R,
для которого граничные условия U (0, t) = 0;
U (7?, 1) = 0, а начальные U (х, 0) = 0, 1 sin (лх).
Наблюдаемый процесс аддитивно связан с помехой
Ш

V (X, t):
Z(x, t) = U(x, t)+V(x, t).
Дополнительно заданы характеристики случай-
ных распределенных процессов W (х, I) и V (х, t)
в виде ковариационных матриц
Q(x,x1,/) = 0, 5 ехр|—(х — хг)2|; Q(x,хг,I) = 6(х,х,);
R (х, хх /) = 6 (х — хх).
д2,
В этом примере Lx = 1,5	B(x,t)= 1;Л4(х,/) = 1.
Уравнения ФК принимают вид
—l- + J Р(х, хх, l/t) Z(xx, l/t)dD-,
D
dP (x, Xp t/t) __ d2P (x, xp ///) , d2P (x, Xp t/t) .
di - dx2 + ax?
+ Q (x, xb t) — \ У P (x, xp t/t) Q (x', x", t) X
D D
X P(x", Xp t/^dD'dD".
При моделировании ФК приняты граничные условия
U (0, /) = 0; U (k, z) = 0; Р (0, Vlt t) = 0;
Р(х, 0,0 = 0
и начальные условия
С/ (х, 0) = 0,1 sin (лх), Р(х, Хр 0) = 0,1 sin(^x1)sin (лх).
Отметим ряд особенностей моделирования этой задачи.
1.	Моделирование случайных распределенных
процессов W (х, I) и И (х, /)•
Так как такие процессы в каждой точке пространст-
ва и во времени (х, /) характеризуются своей плот-
112

ностью распределения, то в данном случае сделано
упрощение, заключающееся в следующем. Принято,
что плотность распределения в каждой точке (х, /)
является постоянной. Такое упрощение делает моде-
лирующий алгоритм более быстродействующим. Для
обоих процессов W (х, /) и V (х, /) принят нормаль-
ный закон распределения с нулевым математическим
ожиданием и различными дисперсиями.
2.	Присутствие в задаче трехмерных массивов.
Эта задача решена методом, близким к методу Либ-
мана, который применяется при решении дифферен-
циальных уравнений в частных производных на гиб-
ридных комплексах (АЦВМ). Содержание метода
заключается в фиксировании времени t = /ф и на-
хождении значения Р (х, х1? /ф), т. е. массива Р [Z, £].
Выводом из памяти ЦВМ /ф и соответствующего мас-
сива Р делается следующий шаг во времени и находит-
ся соответствующий массив Р.
3.	Для решения уравнений в частных произвол
ных применен метод прогонки, обладающий преиму-
ществами по сравнению с другими численными мето-
дами решения таких уравнений.
4.	При любом численном методе решения диффе-
ренциальных уравнений в частных производных
необходимо рассмотреть два вопроса: пригодность
разностных схем и условия устойчивости.
Если дифференциальное уравнение аппроксими-
руется двумя различными разностными уравнениями,
то даже при одном и том же шаге сетки можно полу-
чить значительное расхождение. Кроме того, не всег-
да возможно улучшить аппроксимацию путем умень-
шения шага сетки, даже если разностное уравнение
допускает точное решение. Пригодны только такие
схемы, в которых при уменьшении шага сетки решение
разностного уравнения сходится к решению рассмат-
риваемого дифференциального уравнения. Для пара-
113

болических и гиперболических уравнений в частных
производных такая сходимость имеет место только
тогда, когда шаги сетки по обеим координатам
удовлетворяют некоторому условию устойчивости.
Так, решение разностного уравнения
(7 (х +	0	2(7 (х> t) U (х — Дх, 0
Дх2
1 и (х, t — М) — и (х, 0
а2	Д/
сходится к решению уравнения теплопроводности
d2U (х, 0	1 dU (х, 0
дх2 ~ a2 dt
при Д/->0, Дх->0, если Дх <Дх2. Решение раз-
ностного уравнения
(х + &х, t) — 2U (х, 0 4- (х — Дх, 0
Дх2
1 <7 (х, / — Д0 — 2U (х, 0 U (х, t — Д0
с2	Л/2
сходится к решению волнового уравнения
д2и (х, 0	1 d2U (х, 0
дх2 с2 dt2
при Д/->0, Дх->0, если Д/<-^-Дх.
Такие условия устойчивости обеспечивают также
лучшую аппроксимацию при конечном шаге сетки. f
В данном случае при 0 < х < 0,5 и Дх = 0,125
Д/ = -Л- Дх2 = -5-Vr о, 125а = 0,0052.
При моделировании ФК было принято Д/ = 0,004 с,
в результате чего получены следующие данные: кова-
114

риации ошибки Р (х, хь t)\ сигналы системы —
идеальный U (х, /), с помехой Z (х, /), отфильтрован-
ный U (х, t).
О качестве работы ФК судим на основе следую-
щих факторов.
1. Матрица ковариации ошибки Р (х, xlt /) во всех
точках пространства (х, хг) должна иметь затухающий
Рис. 27. Зависимость матрицы ковариации ошибок:
а — при фиксированных х; I — xt = 0,25; 2 —лх = 0,25; xt =
«= 0,125; 3 — х = 0,25; xt = 0,375; б — при фиксированном
времени
Р (*, хь 0 свидетельствуют о постоянной ошибке
фильтрации, минимальной при данных условиях филь-
трации. Следовательно, при разработке таких фильт-
ров необходимо стремиться получить возможно мини-
мальное значение ошибки. Нулевое значение ошибки
невозможно получить даже теоретически, так как
в правой части уравнения ковариации ошибки есть
свободный член [В (х, t) Q (х, хх, /) Вт (х, /) ]. На рис. 27, а
показаны характеристики Р (х, xlt t) для разных
точек пространства (х, хг) и на рис. 27, б — при фикси-
рованном времени.
2. Для наглядного восприятия результатов филь
трации приведены совместные характеристики сигна-
115

лов U (х, f), U (х, t) и 7 (х, /) при фиксированной точ-
ке пространства (рис. 28).
На основе полученных результатов можно сделать
следующие выводы:
1) фильтр не дает искажения формы сигнала
(%, 0;
2) достигнута высокая с практической точки зре-
ния степень близости сигнала U (х, I) к V (х, /). Эту
близость в установившемся режиме оцениваем на ос-
нове значения Р (х, хъ /). Меру близости можно пред-
ставить как
6 = 1 —
|^(х, о — <7 (Х> 0 |
U (х. о
В точках х = 0,375 наблюдается самое большое рас-
хождение в момент t = 0,008 с. Для этого момента
я .	0,038489 — 0,0354464 п поо
6 = 1----------0ДО54464----® °>923
Для оценки качества фильтрации на всем отрезке
рассматриваемого времени при фиксированной точ-
ке пространства можно применять обобщенную меру
близости в виде
s-i-4-
/?	к	/ к.
2 U h) — 2 U /2 U
h),
где i = 1, 2, ... , fe; А/ = A/i; j = 1, 2, ... , L; x = Ax/.
Для x = 0,375 получено 6 = 0,982.
Рассмотрим оценку превышения уровня сигнала
W (х, /) над уровнем помехи V (х, /). Так как сигналы
W (ху /) и V (х, /) являются случайными процессами,
то в каждой точке (х) соотношение уровня сигнала
и помехи во времени будет различное. Для его оценки
в данный момент времени (/) и в данной точке про-
странства (х) можно определить показатель р = Уро-
116

вень сигнала/Уровень помехи. Для оценки р в данной
точке пространства (х) на продолжении интервала на*
блюдения процесса используем обобщенную оценку
k	и
*1=1	*	1=]
где k — количество точек отсчета; с( и ht — уровень
соответственно сигнала и
Для примера приведем
оценки сигналов, исполь-
зуемых при моделирова-
нии.
Превышение сигнала
W (х, t) над V (х, t) может
быть довольно большим.
Кроме того, при моделиро-
вании решения для х =
= 0,25 показатель р = 3,7.
Так, например, большое
значение имеют граничные
условия. При рассмотрении
вопроса о качестве работы
ФК не была проанализиро-
вана динамика этого про-
цесса. На основе обработ-
ки (рис. 27, а и б) и приве-
денных исследований мож-
но заключить следующее:
начальное значение Ро (х,
xj не меняет своей формы,
а меняет лишь свой уро-
вень только тогда, когда
Рис. 28. Результаты модели-
рования фильтра Калмана
для различных условий:
а — х = 0,125; б — х = 0,25;
а — х — 0,375 (масштаб време-
ни 9 X >	10~2).
сам процесс Р (х, xlt /) при х, х\ = const имеет ха-
рактер, показанный на рис. 28.
Блок-схема комплекса алгоритмов моделирования
ФК показана на рис. 29.
117

Рис. 29. Блок-схема алгоритмов моделирования фильтра Калмана.

Глава 4
РАСПОЗНАВАНИЕ СИГНАЛОВ
НА ОСНОВЕ ПРЕОБРАЗОВАНИИ
АДАМАРА
1. ОПТИМАЛЬНЫЕ РАВНОУДАЛЕННЫЕ
СИГНАЛЫ
В теории идеального приема доказывается, что
в условиях действия гауссовской помехи условная ве-
роятность регистрации сообщения / вместо i опреде-
ляется расстоянием между сигналами этих сообщений
to+T
4- I
Это соответствует метрическим соотношениям для
пространства Гильберта. Если sz (t) = 0, то
Pzo =
t.+т
4 J si(t)dt = ^E(/T,	(4.1)
где pzo — длина вектора или расстояние между точкой
пространства, представляющей функцию (/), и нача-
лом координат; — энергия r-го сигнала.
Если (/) и s, (0 ортогональны, то
1/ 2	2
РО = ' PiO + Р/0-
(4.2)
Так как вероятность трансформации i -> / опреде-
119

ляется значением р£/, то при требовании одинаковой
достоверности всех т сообщений целесообразно по-
строить такую систему сигналов, для которой выпол-
няется условие
Ро = р — const, ij = 1, m,	(4.3)
т. е. расстояние между всеми сигналами одинаково.
Такие сигналы называются равноудаленными, или
эквидистантными.
Если энергия всех ортогональных сигналов оди-
накова, т. е. Ег = Е2 = ...= Ет = Е, то из формул
(4.1), (4.2) и (4.3) имеем р£/ = /2Ё7Ё.
В. А. Котельников впервые сформулировал и ре-
шил важную для теории связи задачу [9]:
найти систему равноудаленных сигналов, обладаю-
щих одинаковой энергией и обеспечивающих мини-
мальную вероятность неправильного опознания их
или заданную вероятность неправильного опознания
при минимальной энергии.
Такая система сигналов называется оптимальной.
Доказано, что скалярное произведение оптимальных
равноудаленных сигналов
'о+Г
= J s, (/)$,(/)/# =
ЕОпт/Т
— Еоит/[Т(т — 1)]
при i — j\
при i =£ /,
где Еопт — энергия оптимальных равноудаленных сиг-
налов.
Таким образом, проверкой на оптимальность мо-
жет служить величина отношения
120

ViflVi = — (m — 1)
(4.4)
Симплексный код является системой оптимальных
сигналов. Для них строго выполняется отношение
(4.4).	. .
Двоичные сигналы, равноудаленные по Хеммингу,
являются также равноудаленными по Котельникову.
При проверке на оптимальность по формуле (4.4)
следует пользоваться правилом умножения разрядов
двоичных чисел: 0’0=1 * 1 = +1; 0 • 1 =1 - 0 =
= —1.
Таким образом, идеальными условиями работы
классификатора в распознающем автомате будут та-
кие, при которых каждому классу объектов соответ-
ствует сигнал с выхода блока сложных (или простых)
признаков, записанный в соответствующей строке
симплексного кода. В этом случае на классификатор
будут поступать всегда сигналы, соответствующие
системе оптимальных сигналов, а это гарантирует ми-
нимальное число ошибок при их распознавании. Впер-
вые было предложено использовать симплексные ко-
ды в качестве универсальной системы эталонов при
распознавании сигналов в работах [17, 18, 19].
Симплексный код (Н9) просто может быть полу-
чен из нормализованной матрицы Адамара путем вы-
черкивания первого столбца, состоящего из +1.
Пример 6, Пусть имеем , i
11 1"1 •
1 -1 — 1
— 1 — 1 1 ’
— 1 1 — 1_
121

тогда Нэ =
— 1
— 1
Здесь т = 4, vL- = — 1/3, v£i = 1
(4.4) дает v£j/vi£ = —1/3 = —1/4—1.
— 1.
и проверка по формуле
2. АЛГОРИТМ РАСПОЗНАВАНИЯ СИГНАЛОВ
Рассмотрим схему распознающего автомата (РА),
изображенную на рис. 30. Пусть имеется т сигналов,
подлежащих классификации Выше было показано,
Рис. 30. Структурная схема распознающего автомата.
122

что идеальными условиями работы классификатора
в РА будут такие, при которых каждому классу объек-
тов соответствует сигнал с выхода блока сложных
(или простых) признаков, записанный в соответствую-
щей строке матрицы Н3 — матрицы универсаль-
ных эталонов. Покажем, как, пользуясь 27э, строить
процесс минимизации описания или отбора при-
знаков.
Результат накопления информации о распознавае-
мых сигналах можно представить с помощью матрицы
Gs = {gij}, i = 1, пт, j = 1, L (L — размерность сиг-
нального вектора XL), где gt, = (2п$ — E)/g; — 1 <
< gij < 1,	— число + 1 образовавшихся на /-м
выходе блока формирования признаков при предъявле-
нии в процессе обучения Е объектов Z-го класса.
Образуем матрицу отбора информативных координат
Ф = HT3Gz (пх L, L'frn); Ф = {ф//}. Критерий для
отбора sup |ф£/|; / = 1, L.
/ /
Отметим в матрице Ф соответствующие элементы
знаков О:
Расположим отобранные элементы в порядке воз-
растания индекса строки: ф1л, фг*, Фзр» ...» фп/.
.123

Пользуясь указанием вторых индексов, образуем
матрицу весов
gik	gu	gip	.. •	g\t ~
Q =	g^	g2l	g2p	...	g2r
_	gmk	gtnl	gmp	• • •	gmt _
Вторые индексы k, lt p, ..., t указывают на номера
информативных разрядов вектора XL (номера столб-
цов Gs).
Действительно, например, k-я координата вектора
Xl при предъявлении объектов 1 класса чаще будет
выдавать символ, совпадающий с /ii*, при предъяв-
лении объектов 2 класса — символ, совпадающий
с Лг/г, и т. д.» а весь вектор X = {xki xh xpi ..., xt}
при предъявлении объектов 1 класса будет больше по-
хож на вектор, записанный в первой строке Нэ, при
предъявлении объектов 2 класса — похожий на век-
тор, записанный во второй строке, и т. д. Решаю-
щая процедура здесь получается очень простой.
Отыскав вектор R — GXT-------G° = [/?х, /?2, ...
..., /?т]г, где G0 — столбец, образованный из. диаго-
нальных элементов матрицы G* = GGr, по sup R(
определяют класс I.
Надежность распознавания по каждому из т клас-
сов Pt (i = 1, tn) также можно приближенно оценить
по сравнительно простой формуле
т
V=o
1 п
где р, = -5— 2 (gahii + 1) — средняя вероятность по-
гп /=1
явления необходимого кодового слова (вектора X)
при предъявлении объектов n-го класса.; т = I(d —
124

— 1)/2] — число допустимых ошибок в коде; d —
хэммингово расстояние; [•] — наибольшее целое.
В ряде случаев оказывается удобней работать с
отображением сигнала (или его преобразования ли-
нейного или нелиней-
ного) на фазовой плос-
кости {s, $}. Для по-
иска подходящих пре-
образований сигнала
и отображения, из-
бавляющих от влия-
ния неинформатив-
ных, мешающих па-
раметров, требуется
индивидуальный под-
ход [12]. Ранее была
Рис. 31. Схема преобразований сиг
нала s (/) для формирования фазово
го изображения.
показана полезность преобразования Адамара и его ло-
гической модификации для получения инвариантности
к возмущениям типа сдвига, изменения масштаба и др
Рассмотрим еще одну возможность. Пусть имеется
сигнал (рис. 31), аналитическая запись которого
s(0 = (7ja(/)cos((o0/ + срг) +
+ U2a (t — т) cos |(о0 (/ —; т) + <р2],
где а (/) = 12е~2’ — модулирующая функция; Uv U2, <p1}
<р2 —• случайные величины, постоянные во время из-
мерения, но медленно меняющиеся от измерения к из-
мерению. Требуется оценить т. Постараемся исклю-
чить влияние мешающих параметров Ulf cpt (f = 1, 2).
Запишем, используя преобразование Гильберта, выра-
жение для квадрата Огибающей сигнала
А2 (0 = U]a2(t) + Lfa2 (t — т) +
4- 2игига (t) a (I — т) cos (<аот +	— <р2).
125

Мгновенное значение фазы s (/)
Ч>(0 =
- «..-Мд uia ®sin (w°z + Ф1) + и*а <z ~ т>sin 1“о V ~ х> + ‘₽2*
~arctg	s(Z)
откуда мгновенное значение частоты
о)оЛ2 (/) + С/ги2 sin (соо/ + (рх — <р2) X
-ф(/) = X [д (Q а (/ — т) — а (0 а (/ — т)]
42/
Из последнего выражения получим
%{/)= Л2(/)[ф(/) —со0] = cQ (аах — аах), где
с0 = t/1Z/2sin(cooT + фх — ф2); а = a(t)\ ах = a(t — т).
Все мешающие параметры являются составляющи-
ми случайной амплитуды cQ сигнала х '(f). Чтобы до-
биться инвариантности к изменениям мешающих па-
раметров, достаточно в качестве фазовых координат
выбрать отношение двух линейных преобразований
процесса х (/). Выбираем такие преобразования в виде
^ = 4 + -2-[1пх(01 = -Ц^-;
Z = 4 + (In [Yx (/)]) = х + ^+16 .
х + 4х
Так как х (t) = ct (I т) e~~4i; с=— 2соте2г, то окон-
чательно получим
У = (2/-т)/[/(/-т)]; Z=2/(2/-t).
Следовательно, значения фазовых координат У,
Z зависят только от i и т и фазовое изображение ин-
вариантно к неизвестным параметрам Дф и у = U2IUV
Уравнение фазового отображения
Y = 8Z/(4 — t2Z2); Y = 0; 0 < Z < 2/т.
126

Рис. 32. Блок-схема распознающего автомата при груп-
повом методе обучения.

Схема преобразований сигнала s (/) показана на
рис. 32. Характерной особенностью рассмотренного ал-
горитма распознавания является использование од-
нотипных операций (умножение на матрицу Н или Н3
и G) на всех этапах решения задачи. Действительно,
на этапе формирования сложных признаков, инвари-
антных к определенным возмущениям входа, исполь-
зуется преобразование Адамара или его логическая мо-
дификация, на этапе отбора информативных призна-
ков — умножение на матрицу НЗУ полученную из
матрицы Адамара, и на этапе принятия решения —
на матрицу весов G. Однотипность операций обуслов-
ливает однородность структуры РА, что очень ценно,
так как наиболее полно удовлетворяет требованиям
интегральной технологии, считающейся сейчас наи-
более прогрессивной при производстве радиоэлектрон-
ной аппаратуры (РЭА) на интегральных и больших
интегральных микросхемах. Вопросы аппаратурной
реализации подобных РА с использованием новей-
ших достижений микроэлектроники освещены в ра-
ботах [2, 16, 21].
3. ГРУППОВОЙ МЕТОД ОБУЧЕНИЯ
ПРИ РАСПОЗНАВАНИИ
Структура Н3 такова, что каждый столбец содер-
жит одинаковое число элементов со значением +1
и —1. Это является основанием для разработки груп-
пового метода обучения [20]. Идея его состоит в том,
что информация об объектах (сигналах) записывается
в п матриц Gza (a = 1, п), каждая из которых имеет
размерность 2 X L и образуется элементами
glj = (2n+ — 0,5mg)/0,5mg, i = 1, 2; j = ТД.
128

Здесь rtij — число 4-1, образовавшихся на /-м
выходе блок^ формирования признаков при предъяв-
лении в процессе обучения распознающему устройст-
ву 0,5 mt объектов /-й группы; g — полное число
объектов в каждом классе; т — число классов.
Объединение объектов в группы при обучении
производится в соответствии со структурой Н3. На-
пример, для Н3 вида 8x7							
	" 1	1	1 1	1	1	1“	
	— 1	1 -	1 1	— 1	1	-1	
	1	-1 —	1 1	1.	-1	— 1	
	— 1	— 1	1 • 1	— 1	— 1	1	
Нэ =	1	1	1 -1	-1	-1	-1	(4.5)
	-1	1 -	1 -1	1	— 1	1	
	1	— 1 —	1 -1	— 1	1	1	
	1	-1	1 -1	1	1	-1_	
и а = 1 (т. е. рассматривается первый столбец) в мат-
рице (4.5) в первую группу войдут объекты 1,3, 5, 7,
а во вторую — 2, 4, 6, 8 классов. Соответственно
для этого же случая, но для а = 7 (предпоследний
столбец), в первую группу войдут объекты 1, 4, 6, 7,
во вторую — 2, 3, 5, 8 классов.
Матрица отбора при групповом обучении строит-
ся с использованием простейшей матрицы
Г
— 1
/^Э(2Х1) —
Процесс отбора должен быть повторен для каждой
из матриц 02а
Фа = Т/э(2хП^Ха‘
Критерий для отбора тот же: sup | ф^|, /=!;/= 1, £.
/
129

Отбор можно повторять, считая каждый раз исклю-
ченными элементами отмеченные как наибольшие в
предыдущем шаге. При этом для останова можно ру-
ководствоваться соотношением 6 = 2 — | <р“- | < бтах,
где б — допустимое отклонение от идеального сходства
столбцов GZa со столбцом НЭ(2х1), а бщах — заданное
максимальное допустимое отклонение. Отмеченные
элементы расположим в порядке их убывания (по ве-
личине) фь,, <pi% (ри, cp“s. Значения индексов
7, г, с, s указывают на номера информативных раз-
рядов Л-мерного вектора признаков и из них формиру-
ется матрица весов
[ffk ёь	gic ... gls
Oa —	.
_gUq gllr gUc ... g’Hs.
Решение за номером a об отнесении предъявленного
объекта к первой или ко второй группе формируется
подачей на групповой классификатор сигнала (ин-
формативных разрядов):
Ха = {Xq, Хг, Хс....Xs)	(4.6)
ИЛИ
па
Ra = GaXTa-±-Gl= ' ,
t\2
где G? матрица-столбец, образованная из диагональ-
ных элементов матрицы G*x = GaGa-
Выход детектора наибольшего напряжения груп-
пового классификатора
|+1> если Rf>R%,
1-1, если /??</#.
Этот выход можно рассматривать как сложный при-
знак. Совокупность сложных признаков образует
вектор Z = {za} (a = 1, /г), информация о котором
130

может быть записана в виде матрицы
nF/ — число 4 1, образовавшихся на выходе детекто-
ра наибольшего напряжения группового классифи-
катора под номером а при предъявлении автомату £
объектов i-го класса. Окончательное решение об от-
несении объекта к классу принимается в соответствии
с расположением элемента с наибольшим значением
у вектора
R = G,zr-^G°
Rm.
Блок-схема структуры РА для этого варианта по-
казана на рис. 32. Хотя в этом варианте процесс обу-
чения РА значительно больше по времени, тем не ме-
нее такое построение РА имеет преимущества, главны-
ми из которых являются следующие:
значительная экономия элементов памяти, так как
матрица памяти РА должна здесь иметь размерность
2 X L, а не т X L;
задача на распознавание т классов здесь расчле-
нилась на п параллельно решаемых альтернативных
задач, для решения которых разработаны весьма эф-
фективные методы классификации.
Поясним последнее с помощью частного примера
Вектор Ха можно преобразовать в линейную дискри-
минантную функцию. Для этого необходимо провести
многомерный дисперсионный анализ над выборкой,
относящейся к первой Ха и ко второй Ха группам.
Схема анализа такова. Определяются функции
0,5m-	0.5ml
w(l = 5 (4)2+ 2 (41)2-
/«1	/=|
131

0,5mH	\2	/Ъ.Ьт"
I] 4 - 2 х!'
7=1	/	\ /==]
i = q, г, с, , s [см. (4.6)];
»5m$	0,5m:
W = 2 XiiXjk + 2 Xji%jk—
7=1	'==1
" /0,5m.	0,5m:	.5m	0«5mx
- S' 4 2 4+2 4 S 4
\ /=1	/=]	r=1	/=1
i =/= k\ i, k= q, r, c, ... , s.
Затем определяются расстояния
/0,5m;	0,5m •	\
dt = 2 x}< - S x" /(0,5/ng),
\ 7=1	7=1	/
2“
I /(0,5/ng),
|/(0,5/nE)
где i = q, r, c, ... ъ.
a 1, 2—по-прежнему, номера групп объектов.
Далее решается система уравнений относительно
неизвестных весов В матричном виде эта система
записывается следующим образом:
ится на основе данных решения (4.7) и выбора некото-
рого порога ДЛЯ уа'. Ra = Х«Л Если Ra Уа, ТО
объект относят к первой группе, если Ra < уа — то
ко второй. Решающим устройством здесь может быть
обычный пороговый элемент. Его выход следует рас-
сматривать как некоторый информативный признак.
132

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Адаптивные системы идентификации. Под ред. В. И. Кос-
тюка. Киев, «Техшка», 1975. 284 с.
2.	Александров В. В., Полонников Р. И., Трофимов Е. И.
Оптоэлектронное устройство распознавания образов.— В кн.:
Оптическая и электрооптическая обработка информации. М.,
«Наука», 1971, с. 66—71.
3.	Брюс Р. Цифровая обработка сигналов.— «Зарубежная
радиоэлектроника», 1971, № 12, с. 18—31.
4.	Голд Б., Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М.,
«Сов. радио», 1973. 367 с.
5.	Гольденберг Л. М., Левчук Ю. П., Поляк М. Н. Цифро-
вые фильтры. М., «Связь», 1974 160 с.
6.	Гусев В. Д. Процедуры быстрого преобразования Фурье
и Уолша.— В кн.: Вычислительные системы. Под ред. Н. Г. За-
горуйко. Вып. 45. Новосибирск, «Наука», 1971, с. 107—116.
7.	Зеленский К. X. Упрощение моделей, идентифицирующих
объекты с распределенными параметрами.— «Вестн. КПИ. Сер.
Автоматика и электроприборостроение». Киев, Изд-во КГУ,
1974, № 11, с. 18—21.
8.	Клейбанов С. Б Стабилизация коэффициентов в дискрет-
ном фильтре Калмана.— «Автоматика и телемеханика», 1974,
№ 3, с. 76—82.
9.	Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустой-
чивости. М., Госэнергоиздат, 1956.
10.	Краскевич В. Е., Корбич Ю. С. Дискретный фильтр
Калмана для систем с распределенными параметрами.—«Вестн.
КПИ. Сер. Автоматика и электроприборостроение». Киев, Изд-
во КГУ, 1975, № 12, с. 79—81.
11.	Крутько П. Д. Оптимальная фильтрация в дискретных
автоматических системах.— «Автоматика и вычислительная
техника», 1970, № 4, с. 39—41.
12.	Основы разделений и измерения сигналов по структур-
ным свойствам. Под ред. А. М. Заездного. М. Изд-во М-ва свя-
зи СССР, 1971. 123 с.
133

13.	Пирл Г. Обработка случайных сигналов функциями
Уолша,— «Зарубежная радиоэлектроника», 1972, № 8, с. 42—50.
14.	Полонников Р. И. Адаптивные однородные структуры
для распознавания сигналов.— В кн.: Адаптивные системы
автоматического управления. Вып. 1. Киев, «Техника», 1973,
с. 23—31.
15.	Полонников Р. И. Быстродействующий распознающий
автомат.— В кн.: Автоматическое управление и регулирование
в различных отраслях народного хозяйства. Вып. 1. Куйбышев,
изд. МВ и ССО РСФСР, 1971, с. 39—47.
16.	Полонников Р. И. Логическое преобразование сигнала
рецепторного поля, инвариантное к некоторым его возмущени-
ям.— «Вопросы радиоэлектроники. Сер. общетехн.», 1973,
вып. 5, с. 84—95.
17.	Полонников Р. И., Александров В. В. Некоторые методы
выделения информативных параметров и их применение в адап-
тивных системах.— В кн.: Теория и применение адаптивных
систем. Алма-Ата, Изд-во Каз. ПИ, 1971.
18.	Полонников Р. И., Александров В. В. Об одном спосо-
бе решения задач опознания объектов.— «Известия АН СССР.
Сер. Техническая кибернетика», 1967, № 1, с. 92—102.
19.	Полонников Р. И., Александров В. В. Обучаемые клас-
сификаторы и устройства опознавания, использующие симплекс-
ные коды.— «Вопросы радиоэлектроники. Сер. общетехн.», 1971,
вып. 19, с. 56—66.
20.	Полонников Р. И., Александров В. В. Обучаемый распоз-
нающий автомат на основе адаптивных матричных структур.—
В кн.: Технические средства для адаптивной переработки инфор-
мации и аналоговые запоминающие устройства. Труды ин-та
электронных управляющих машин. М., «Наука», 1969, с. 35.
21.	Полонников Р. И., Трофимов Е. И. Применение методов
теории чувствительности при разработке устройств классифика-
ции, выполненных на основе бескорпусных оптоэлектронных
элементов.— В кн.: Чувствительность систем управления.
Труды Всесоюзной школы-семинара по теории чувствительности
систем управления и ее применению. Т. 2. Владивосток, ДВНЦ
АН СССР, 1975, с. 204-209.
22.	Романов В. А., Селяран В. А. Идентификация динами-
ческих характеристик многомерных объектов с помощью орто-
гональных разложений Уолша.— «Автоматика и телемеханика»,
1974, № 11, с. 173-178.
23.	Смолов В. Б., Фомичев В. С. Аналоге-цифровые и циф-
роаналоговые нелинейные вычислительные устройства. Л.,
«Энергия», 1974. 264 с.
134

24.	Уинтц П. А. Кодирование изображений посредством
преобразований.— В кн.: Обработка изображений при помощи
ЦВМ М., «Мир», 1973, с. 98-110.
25.	Хсмминз Р. В. Численные методы. М., «Наука», 1972,
400 с.
26.	Andrews Н. С., Caspar! К. Z. A Generalized technique
for Spectral Analysis. IEEE Irans. Comput., vol. C-19, N 1, 1970,
p. 16 25.
27.	Corrington M. S. Solution of Differentional and Integral
Equations with Walsh Functions. IEEE Irans on circuit theory,
vol. G. 20, N 5, 1973, p. 470-476.
28.	Good I. T. The interaction algorithm and practical Fou-
rier Analysis. T. Roy Statigtical Sos (London) vol. В 20, 1959,
p. 361.
29.	Kalman R. New Methods and Results in Lineare Pre-
diction and Fieltering Theory. Res. Tnst. Advanced Studiens.
Baltimore. Md. Tech. Rep., 1961, p. 1—61.
30.	Robinson G. S. Logical Convolution and discrete Walsh
and Pourier power Spectra. IEEE Trans On Audio and Electro-
acustics, vol. AU-20, N 4, 1972, p. 271—280.
31.	Tzafestas S. G. On Optimum distributed Parameter Fil-
tering and Fixed-Interval Smoothig for covered Noise. IEEE
'Irans on Automatic Control, vol. AC-17, 1972, N 4,p. 448—558.

Содержание
Стр.
Предисловие ........................................ 3
Глава 1,	Представление сигналов в прямоугольных ор-
тогональных базисах	............. 5
1.	Дискретные функции Уолша и преобразова-
ние Адамара ............................ 5
2.	Факторизация матриц	Адамара ......... 9
3.	Логическая корреляционная функция и кор-
реляционный анализ в	базисе	Уолша ... 17
4.	Ортогональное разложение сигналов в ба-
зисе Хаара ............................ 34
Г лава 2.	Обработка сигналов с использованием фун
кций Уолша .........................  39
1. Решение дифференциальных и интегральных
уравнений с применением функций Уолша 39
2. Использование преобразований Адамара при
решении систем алгебраических уравнений 51
Г лава 3. Синтез структуры фильтров ................55
1.	Цифровая фильтрация сигналов ..... 55
2.	Методы упрощения математических моделей
цифровых фильтров.......................62
3.	Цифровые фильтры в базисе Уолша ... 82
4.	Адаптивная цифровая фильтрация в базисе
Хаара...................................90
5.	Анализ нелинейных систем в базисе Уолша 98
6.	Фильтр Калмана в системах с распределен-
ными параметрами.......................106
Г лава 4.	Распознавание сигналов на основе преобразо-
ваний Адамара..................................119
1.	Оптимальные равноудаленные сигналы	119
2.	Алгоритм распознавания	сигналов	.... 122
3.	Групповой метод обучения при распознава
нии ...................................128
Список литературы..................................133

Рсвольд Иванович Полонников, канд. техн, наук
Всеволод Иванович Костюк, д-р техн, наук
Валерий Евгеньевич Краскевич, канд. техн, наук
Матричные методы обработки сигналов
Редактор издательства Л. О. Полянская
Оформление художников В. А. Потиевского,
А. А. Шурховецкого
Художественные редакторы Е. А. Ильницкий,
В. С. Шапошников
Технический редактор Л. И. Левочкина
Корректор Г. Г. Бондарчук
ИБ № 441
Сдано в набор 22. 11. 1976 г. Подписано в печать 25. 03.
1977 г. Формат 70Х100*/з2. Бумага типогр. № 3. Усл. печ.
л. 5,48. Уч.-изд. л. 5,22. Тираж 4500 экз. БФ 02918. Зак.
№ 7—1403. Цена 32 коп.
Издательство «Техника», 252601, Киев, 1, ГСП, Пушкин-
ская, 28.
Отпечатано с матриц головного предприятия республи-
канского производственного объединения «Полиграфкни-
га» Госкомиздата УССР, г. Киев, ул. Довженко, 3 на
КиевскоП фабрике печатной рекламы, Киев, Выборг-
ская, 84.