И. В. БАКЛАШОВ,
Б. А. КАРТОЗИЯ
МЕХАНИКА
/
ГОРНЫХ
ПОРОД
МОСКВА
«НЕДРА»
1975
УДК 622.831.3.02 : 539.2. 8
Баклашов И. В., Картозия Б. А. Механика горных пород.
М., «Недра», 1975. 271 с.	'
В книге рассмотрено влияние технологических факторов
и свойств массивов горных пород на протекающие в них механи-
ческие процессы, которые реализуются в виде различных про-
явлений горного давления. Приведены основные механические
свойства горных пород и структурно-механические особенности
массивов горных пород. Рассмотрены особенности постановки
задач'мехаиики горных пород и аналитические методы Их реше-
ния. Изложены различные проявления горного давления в одно-
родных изотропных и неоднородных анизотропных породных
массивах при охране горных выработок.
Книга предназначена для широкого круга инженерно-
технических работников, которые в своей научной, проектно-
конструкторской и производственной деятельности связаны
с решением задач механики горных пород. Книга Может бысь
полезна студентам горных вузов и факультетов. .
Табл. 29, ил. 75, список лит. — 108 назв.
30701—493
048(01-75)
314-75
© Издательство «Недра», 1975
ПРЕДИСЛОВ ИЕ
Различные стороны, производственной деятельности человека, такие как
разработка полезных ископаемых, строительство подземных сооружений,
возведение зданий и сооружений на поверхности, и многие другие, связаны
с нарушением естественного состояния зорных пород. Неизбежным следствием
такого нарушения являются механические процессы в породных массивах,
изучением которых занимается механика горных пород. Механика горных
пород, тан же как гидромеханика и азромеханика, представляет основопола-
гающую отрасль науки о Земле и в том числе горней науки. Вместе с тем меха-
ника горных пород является прикладной отраслью науки. В настоящее время
трудно представить обоснованное проектирование горностроительных работ
или разработку современной технологии извлечения полезных ископаемых
без решения прикладных задан механики горных пород.
Перечень прикладных задан настолько обширен, а методы их решения
настолько разнообразны, что практически невозможно и вряд ли целесообразно
излагать все вопросы механики горных пород в рамках одной книги. Настоя-
щая книза посвящена одной из основных задач механики горных пород — описа-
нию механических процессов в окрестности горных выработок, не испытыва-
ющих влияния горных работ, связанных непесредственно с извлечением полез-
ных ископаемых. Эта задача имеет первостепенное фундаментальное вначе-
ние не только в горной практике, но и при строительстве транспортных,
гидротехнических и специальных подземных сооружений.
Научные исследования в втом направлении значительно превосходят
исследования в других направлениях механики горных пород как по объему,
так и по достигнутым результатам. В последние годы наблюдается интен-
сивное накопление информации о механических свойствах и структурно-меха-
нических особенностях породных массивов и применение все более совершенных
методов исследования механических процессов в окрестностях горных вырабо-
ток. Особенно значительные успехи достигнуты в области аналитических
методов исследования.
Вместе с тем имепно большой объем информации и разнообразие методов
исследования создают определенные трудности для правильного понимания
основных механических процессов. Стремясь в первую очередь получить коли-
чественные результаты, многие исследователи пренебрегают изучением каче-
ственных особенностей механических процессов. При атом забывают, что
достоверность любых количественных оценок в механике горных пород опреде-
ляется погрешностью зкспериментального определения механических свойств
пород и других исходных данных, которая до настоящего времени ввиду специ-
фики и влажности зксперимента остается очень высокой.	.
Можно привести много примеров, иллюстрирующих нецелесообразность
такого подхода на данном зтапе развития механики зорных пород. Напри-
мер, достаточно указать на исследования по концентрации напряжений
в окрестности горных выработок различного поперечного сечения. В свое время
»ти исследования составили определенное направление в механике горных
1*
3
пород. Впоследствии, было установлено, что реальные сечения выработок
с учетом их технологического исполнения не вызывают существенного различия
в концентрации напряжений, а размеры зоны концентрации напряжений
в массиве практически такие же, как в окрестности выработки кругового
поперечного сечения. Более того, в выработках, сооружаемых буровзрывным
способом, окружающие породы разбиты системой трещин, и понятие о кон-
центрации напряжений на контуре теряет практический смысл. Необходимо
также упомянуть о существующем увлечении статистическими методами.
Не следует забывать, что зти методы являются зффективными только при
наличии массовой информации, которая в механике горных пород на сегодняш-
ний день обычно отсутствует из-за непреодолимых технических трудностей
зксперимента в производственных условиях.
Учитывая изложенное выше, авторы настоящей книги поставили перед
собой следующую задачу; последовательно применяя единые методы исследо-
вания, показать качественные особенности механических процессов и возмож-
ные их проявления в окрестности горных выработок в зависимости от техно-
логии сооружения выработок и механических свойств окружающих пород.
В качестве единых методов исследования приняты аналитические методы
механики сплошной среды, широко используемые в механике горных пород.
В наиболее доступной форме некоторые из етих методов изложены в книге
К. В. Руппенейта, Ю. М. Либермана «Введение в механику горных пород*
(М., Госгортехиздат, 1960). Преимущество отдано аналитическим методам
по той причине, что они позволяют осуществить обобщение и прогнозирование
механических процессов.
Поскольку авторы поставили перед собой задачу прежде всего отразить
качественные особенности механических процессов, в книге рассматриваются,
главным образом, плоские осесимметричные задачи в полярных координатах
за исключением некоторых задач, которые решаются в более сложной поста-
новке. Упрощение расчетной схемы позволяет записать решения большинства
задач в форме, доступной для анализа, и способствует более последовательному
и глубокому пониманию физического смысла механических процессов в окрест-
ности верных выработок. В качестве примера такого подхода к изложению
вопросов механики горных пород можно привести книгу Ю. М. Либермана
«Давление на крепь капитальных выработок» (М., «Наука, 1969).
Вместе с тем не следует считать, что приведенные в книге количествен-
ные оценки неверны. По мнению авторов, погрешность зтих оценок, как пра-
вило, не более погрешности в определении исходных данных расчета, в част-
ности механических свойств пород. Кроме того, как известно, практическое
применение находят только нормированные расчеты, а расчеты, изложенные
в книге, к таковым не относятся и могут служить лишь теоретической осно-
вой для разработки нормативной документации.
Многие материалы, изложенные в книге, представляют результаты соб-
ственных исследований самих авторов. Остальные материалы, заимствован-
ные у других исследователей, на что имеются ссылки в тексте, творчески
переработаны. Кроме того, в Книге нашел отражение многолетний опыт
авторов, накопленный при чтении курса «Механика горных пород» в Москов-
ском горном институте.
Глава I
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И ЗАДАЧИ
МЕХАНИКИ ГОРНЫХ ПОРОД
§ 1.	МЕХАНИКА ГОРНЫХ ПОРОД
КАК ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ РАЗДЕЛ
ГОРНОЙ НАУКИ
Гравитация, тектонические, сейсмические и другие природ-
ные явления, а также производственная деятельность человека
приводят к возникновению в земной коре различных механиче-
ских процессов. Изучением этих процессов занимается одна из
специальных областей механики — геомеханика, одним из науч-
ных направлений которой является механика горных пород.
Являясь самостоятельным научным направлением геомеха-
ники, механика горных пород в то же время носит ярко выражен-
ный прикладной характер, поскольку область ее исследований
и круг инженерных задач представляют непосредственный практи-
ческий интерес для различных отраслей народного хозяйства и,
в частности, для горнодобывающей промышленности и подзем-
ного строительства. Всестороннее изучение свойств и состояния
породного массива — основного объекта деятельности человека
в горном производстве — открывает возможности научно обосно-
ванного решения таких важнейших задач, как разработка мето-
дов управления состоянием массивов и создание высокопроизво-
дительных способов разрушения горных пород.
В совокупности решение этих задач, составляющее главную
цель механики горных пород, должно обеспечить высокоэффектив-
ную технологию горных работ и их безопасное ведение. Следова-
тельно, механика горных пород является той научной основой,
которая позволяет решать важнейшие практические задачи гор-
ного производства. Это дает основание рассматривать механику
горных пород как фундаментальный раздел горной науки, изуча-
ющий свойства горных пород и массивов, а также механические про-
цессы и явления, протекающие в них при ведении горных работ [1 ].
Сопоставляя задачи механики горных пород и геомеханики,
нетрудно видеть, что они, по существу, различаются лишь мас-
штабами изучаемых объектов. Для геомеханики характерными
объектами являются континенты, их берега, многокилометровые
толщи земной коры и т. п. В механике горных пород такими
объектами являются породные массивы, размеры которых
5
ограничены влиянием производственной деятельности человека.
Иными словами, механика горных пород решает задачи, аналогич-
ные геомеханцке, но применительно к локальным областям земной
коры. Это обстоятельство послужило причиной того, что в послед-
нее время механику горных пород часто называют горной гео-
механикой.
Механика горных пород включает в себя ряд самостоятельных
научных направлений, основными из которых являются:
1.	Физико-механические свойства массивов горных пород.
2.	Механические процессы в породных массивах при ведении
подземных горных работ.
3.	Механические процессы в обнажениях породных массивов
при ведении открытых горных работ.
4.	Механика разрушения горных пород.
5.	Динамические процессы и явления в массивах горных пород.
Кроме того, некоторые исследователи выделяют в самостоятель-
ное направление вопросы, связанные с изучением фильтрацион-
ных процессов в горных породах и сдвижений земной поверх-
ности под влиянием горных работ. Каждое из сформулированных
направлений имеет свои проблемы, конкретные инженерные за-
дачи. Рассмотрим подробнее содержание каждого из этих на-
правлений.
Первое направление связано с изучением свойств горных пород
и структурно-механических особенностей породных массивов.
Знание механических свойств пород необходимо при решении
самых разнообразных вопросов добычи полезных ископаемых,
строительства горных выработок, гидротехнических сооружений
и т. п. Одной из задач данного направления является разработка
классификации и паспортизации горных пород по их свойствам.
При этом имеется в виду, что классификация и паспортизация
пород должны проводиться с учетом реальных условий, в которых
порода находится в массиве.
Второе направление, ставшее предметом наиболее массовых
исследований в механике горных пород, связано с изучением
механических процессов, которые возникают в массиве при веде-
нии подземных горных работ. Одной из важных проблем второго
направления является изучение механических процессов в окрест-
ности выработок, не подверженных влиянию очистных работ.
Примером инженерных задач этой проблемы являются: изучение
механических процессов в окрестности горных выработок, соору-
жаемых без применения мероприятий по упрочнению породного
массива, в упрочненных породных массивах, а также определение
нагрузки на крепь выработок.
Каждая из вышеперечисленных инженерных задач распадается
на ряд отдельных задач. Примером таких задач являются:
определение напряжений, деформаций, смещений и характера
их распределения в породном массиве, исследование режимов вза-
имодействия системы «крепь — порода» и т. п. Помимо выработок,
6
не подверженных влиянию очистных работ, объектом исследова-
ний в рамках данного направления являются очистные выработки
при разработке пластовых и рудных месторождений.
Различные виды реализаций механических процессов в пород-
ном массиве объединяются общим понятием «проявления горного
давления». При этом под термином «горное давление» следует
понимать совокупность механических процессов, возникающих
вследствие действия природных факторов и нарушения массива
горными работами.
Не менее важным представляется направление механики гор-
ных пород, связанное с изучением механических процессов в по-
родных обнажениях при ведении открытых горных работ. К ос-
новным проблемам этого направления относятся устойчивость
оснований сооружений, устойчивость откосов и бортов карьеров.
Разумеется, эти проблемы также распадаются на конкретные
инженерные задачи.
Четвертое из сформулированных выше направлений получило
наибольшую самостоятельность и в механике горных пород зани-
мает несколько обособленное положение. Основные проблемы
данного направления связаны с изучением механики разрушения
горных пород с применением различных видов энергии: механи-
ческой, электрической энергии взрыва.
И, наконец, наиболее сложным является научное направление
механики горных пород, изучающее динамические явления в по-
родных массивах. Такие проблемы, как горные удары, внезапные
выбросы угля и газа, прорывы воды, глин, и ряд других еще не
получили достаточно полного решения. С переводом горных работ
на более глубокие горизонты и ухудшающимися в связи с этим
горно-геологическими условиями это направление механики гор-
ных пород приобретает первостепенное значение и должно стать
предметом самых широких исследований.
В то же время, являясь фундаментальным разделом горной
науки, механика горных пород очень молода и переживает период
интенсивного развития. Причинами этого развития являются
обширная область применения ее достижений и коренные преобра-
зования в горнодобывающей и других отраслях народного хозяй-
ства. Высокие темпы развития горнодобывающей промышлен-
ности, механизация и автоматизация производственных процес-
сов, совершенствование технологии ведения работ требуют от
механики горных пород глубоких исследований и научно обосно-
ванных решений.
§ 2.	УЧЕНИЕ О МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ
И СТРУКТУРНО-МЕХАНИЧЕСКИХ ОСОБЕННОСТЯХ ГОРНЫХ ПОРОД
При проектировании и строительстве подземных сооружений
и шахт, выборе способа разрушения горной породы и эффектив-
ных технологических схем разработки полезного ископаемого
необходим целый комплекс сведений о различных свойствах
горных пород. Более того, нужна определенная систематизация гор-
ных пород по свойствам с тем, чтобы без проведения специальных
исследований было возможно прогнозировать те или иные про-
' цессы. Такая систематизация горных пород по свойствам носит
название классификации. Иными словами, классификацию можно
определить как учение о свойствах горных пород. Чл.-корр. АН
СССР В. В. Ржевский 12] подразделяет существующие классифи-
кации на две основные группы.
К первой группе относятся общие классификации, в кото-
рых породы разбиваются на подгруппы в зависимости от происхо-
ждения, минерального состава и строения. К общим классифика-
циям относятся следующие:
1.	Генетическая классификация, в которой породы подразде-
ляются на осадочные, извёрженные и метаморфические.
2.	Инженерно-геологические классификации, в которых по-
роды подразделяются на рыхлые, связанные и массивные.
3.	Классификации, в которых группы пород генетической
классификации подразделяются по составу и строению.
Ко второй группе относятся частные классификации, т. е.
основанные на подразделении пород по какому-нибудь одному
свойству или характеристике:
1.	Классификациям. М. Протодьяконова [31 по коэффициенту
крепости горных пород.
2.	Классификация по отдельным характеристикам свойств
(пористости, объемному весу, модулю упругости).
3.	Классификация по технологическим параметрам (бури-
мости, взрываемости, дробимости).
Сложность использования в механике горных пород вьпйепере-
численных классификацией заключается в том, что одни из них
(частные) позволяют решать сугубо конкретные задачи, а другие
(общие) не содержат в себе количественных показателей. Следо-
вательно, каждая отдельно взятая классификация не в состоянии
удовлетворить потребности механики горных пород. В то же
время объединить все породы по единому показателю свойств или
признаку не представляется возможным. Наиболее правильным
решением является разработка рациональной системы классифи-
кации и паспортизации горных пород. Например, М. И. Койфман
[4] считав!, что такая классификация должна представлять собой
сочетание классификаций по наиболее характерным физико-ме-
ханическим свойствам, классификаций по технологическим пара-
метрам и единой общетехнической классификации. Первые из них
необходимы, прежде всего, для научно-исследовательских целей,
так как позволяют изучать и прогнозировать поведение пород
в различных условиях, а вторые обеспечат решение конкретных
задач горного производства. В совокупности же они послужат
основой для создания единой общетехнической классификации.
В этой связи самого серьезного внимания заслуживают работы по
классификации и паспортизации свойств горных пород, проводи-
8
мне под руководством чл.-корр. АН СССР В. В. Ржевского [2].
Лз общего числа практически используемых показателей свойств
горных пород выделено 12 базовых, которые не зависят друг от
друга, являются элементарными и широко используются в расче-
тах. Кроме того, предложен принцип паспортизации пород, т. е.
способ компактной записи их свойств. Пользуясь обозначениями,
принятыми для базовых показателей свойств, можно в сжатой
форме записать физические, механические, тепловые и электро-
магнитные свойства данной породы. При этом паспорт породы
позволяет отразить не только количественные показатели указан-
ных свойств, но и структурно-механические особенности пород.
Опыт использования паспортов горных пород в практических
расчетах показал их достаточную универсальность и перспектив-
ность. С их помощью можно решать конкретные задачи механики
горных пород, например, оценивать устойчивость горных выра-
боток и бортов карьеров, определять производительность различ-
ных способов разрушения пород.
В настоящее время различными научно-исследовательскими
организациями накоплен значительный материал по исследова-
нию самых различных свойств горных пород месторождений
СССР. Обобщение и систематизация этого материала на основе ука-
занной классификации должны привести к созданию справочника
(кадастра) свойств горных пород. Следующий этап исследователь-
ских работ в этом направлении — создание общесоюзной техни-
ческой классификации. В настоящее время примером такой клас-
сификации является классификация М. М. Протодьяконова.
Решение сформулированной проблемы представляется крайне
сложным по двум основным причинам: во-первых, необходимо
располагать большим по объему и систематизированным исходным
материалом, во-вторых, следует разработать научно обоснованные
критерии к построению такой классификации. По последнему
вопросу имеются различные мнения. Одни исследователи [41 счи-
тают необходимым в качестве критерия принять прочностной
параметр (прочность при сжатии или растяжении). Другие счи-
тают, что для однозначной и в то же время всесторонней оценки
горных пород одного прочностного показателя недостаточно.
Безусловно, классификации, базирующиеся на прочностном кри-
терии, имеют большое практическое значение. Например, класси-
фикация горных пород по прочности при растяжении [51 позво-
ляет решать целый ряд инженерных задач, связанных с оценкой
прочности массивов и отдельностей горных пород, работающих
в условиях растяжения (кровля в очистных выработках, дробле-
ние полезных ископаемых). Однако вряд ли такая классификация
может отвечать требованиям, предъявляемым к общетехнической
классификации. С этой точки зрения принцип базовых свойств
(параметров), предложенный чл.-корр. АН СССР В. В. Ржевским,
является той реальной основой, на которой должна разрабаты-
ваться общетехническая классификация.
9
§ 3. УЧЕНИЕ О МЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ
В МАССИВАХ ГОРНЫХ
ПОРОД
Производство горных работ и, в частности, сооружение горных
выработок сопровождается нарушением естественного (начального)
напряженно-деформированного состояния породных массивов.
В результате происходит перераспределение напряжений и де-
формаций в окрестности поверхностей обнажения (стенки выра-
ботки, борта карьера и т. д.). Иными словами, следствием наруше-
ния естественного напряженно-деформированного состояния явля-
ются механические процессы, которые приводят к формированию
нового равновесного напряженно-деформированного состояния
массивов.
Образуется новое поле напряжений, которое отличается от
начального концентрацией напряжений вблизи поверхностей
обнажения. На величину концентрации напряжений влияют форма
выработки: камерные выработки, имеющие соизмеримые размеры
по трем направлениям, или протяженные выработки, размеры
которых по продольной оси намного больше поперечных размеров.
Наибольшее влияние оказывает форма поперечного сечения, т. е.
очертание породного контура. Имеет значение также простран-
ственная ориентация выработок в породном массиве относительно
поверхности земли (вертикальные, горизонтальные, наклонные
выработки). Концентрация напряжений в поперечных сечениях
протяженной выработки зависит от близости рассматриваемых
сечений к забою выработки. Существенным образом влияют на
концентрацию напряжений деформационные свойства пород и рас-
пределение их в массиве (анизотропия и неоднородность мас-
сива).
Максимальная концентрация напряжений имеет место на кон-
туре выработки или сдвинута в глубь массива, если породы вблизи
контура имеют повышенную деформируемость по сравнению
с остальным массивом, что наблюдается, например, в окрестности
выработок, сооружаемых буровзрывным способом. И в том и
в другом случае концентрация напряжений быстро затухает по
мере удаления в глубь массива от контура выработки. Размеры
зоны влияния, т. е. зоны породного массива, охваченной концен-
трацией напряжений, зависят от размеров поперечного сечения
выработки.
Установившемуся полю напряжений в окрестности выработки
соответствует поле перемещений. Максимальные перемещения
породного массива в направлении центра выработки наблюдаются
на контуре и так же быстро затухают в глубине массива, как и кон-
центрация напряжений. Условно можно выделить упругую и не-
упругую составляющие перемещений породного контура. Упругие
перемещения происходят практически мгновенно со скоростью
распространения упругих волн в массиве. Величины упругих
10
перемещений очень малы и, как правило, составляют всего лишь
несколько процентов от конечных перемещений.
Неупругие перемещения более значительны и развиваются со
временем, обнаруживая ползучесть горных пород. Их величина
может в десятки раз превосходить величину упругих перемещений,
особенно при большой глубине заложения выработок и пучащих
породах.
Окружающие выработку породы имеют ограниченную несу-
щую способность, т. е. способность сопротивляться дальнейшему
увеличению нагрузки, и могут деформироваться без разрывов
сплошности в ограниченных пределах. Поэтому следствием нового
напряженно-деформированного состояния, образовавшегося после
проведения выработки, могут быть механические процессы, свя-
занные с потерей несущей способности окружающих пород. Эти
процессы в одних породах реализуются в виде пластического
течения, в других — в виде хрупкого разрушения, которое может
иметь двойственный характер: практически мгновенное развитие
трещин или образование в массиве областей, заполненных разру-
шенной породой. Новое состояние горных пород, потерявших
несущую способность, будем в дальнейшем называть состоянием
предельного равновесия. Область предельного равновесия пород
может охватывать часть контура или весь контур выработки.
Процесс перехода пород в состояние предельного равновесия
развивается во времени, так как их прочность падает под дей-
ствием физического выветривания и при длительном приложении
нагрузки. Объем разрушенной породы и ее деформируемость
увеличиваются, что приводит к существенным дополнительным
перемещениям контура выработки.
Концентрация напряжений в зоне предельного равновесия
падает и перемещается в глубь массива в зону неразрушенных
пород. Между этими зонами породного массива не существует
четко выраженной границы, хотя на ее положение ориентировочно
указывает максимум концентрации напряжений.
Даже незначительное силовое воздействие на породы, находя-
щиеся в состоянии предельного равновесия, может привести
к разрыву их сплошности, в первую очередь в своде выработки,
отслоению от остальной части массива и вывалу внутрь выра-
ботки.
Чтобы предотвратить смещения породного контура и образо-
вание вывалов породы, т. е. обеспечить безопасность эксплуатации
выработок, предусматривают специальные мероприятия по их
поддержанию (искусственное укрепление окружающих пород
цементационными и другими растворами, а также их анкеровка,
торкретирование стенок выработки, возведение ограждающих
и грузонесущих конструкций крепи).
При наличии крепи в выработке механические процессы в по-
родах развиваются следующим образом. Конструкция крепи,
деформируясь совместно с породным контуром, уменьшает его
11
перемещения и снижает концентрацию напряжений. При этом
зона предельного равновесия, если она появляется, имеет ограни-
ченные размеры и развивается медленнее. Однако это возможно
только при достаточно жесткой конструкции крепи, воспринима-
ющей большие нагрузки и обладающей высокой грузонесущей
способностью. Более податливые крепи испытывают меньшие
контактные нагрузки, но не способны предотвратить разрывы
сплошности породного массива и образование вывалов, нагрузка
от которых также должна восприниматься конструкцией крепи.
При искусственном упрочнении окружающих пород крепь
испытывает меньшие нагрузки, так как развитие перемещений
породного контура и механических процессов разрушения пород
в этом случае искусственно ограничивается. В достаточно прочных
однородных породах выработки могут эксплуатироваться без
крепи. Нежелательное развитие механических процессов ограни-
чивается выбором надлежащих геометрических размеров выра-
ботки (формы и размеров поперечного сечения).
§ 4. ИНЖЕНЕРНЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
ГОРНЫХ ПОРОД
Механика горных пород является прикладной наукой. Ее
главная инженерная задача — научное обоснование и разработка
способов управления механическими процессами в породных
массивах для обеспечения безопасности горных работ и повышения
производительности и надежности технологических процессов.
Определим задачи, связанные с изучением механических про-
цессов и явлений в породных массивах, вмещающих горные
выработки. Исключим из рассмотрения горные выработки, в ко-
торых непосредственно осуществляется технологический процесс
по выемке полезного ископаемого или сказывается механическое
воздействие технологического процесса. Механические процессы,
протекающие в окрестности таких выработок, имеют определен-
ную специфику и являются предметом самостоятельного изучения.
Таким образом, будем рассматривать капитальные и подгото-
вительные выработки, находящиеся вне зоны влияния технологи-
ческого процесса по выемке полезного ископаемого. Помимо под-
земных выработок горных предприятий сюда относятся также раз-
личные по назначению (транспортные, гидротехнические, комму-
нальные и т. д.) выработки подземных сооружений. Основные
инженерные задачи этой проблемы механики горных пород можно
сформулировать следующим образом:
I. Обеспечение нормального эксплуатационного состояния
горных выработок без проведения специальных мероприятий по
их поддержанию (т. е. без крепления или упрочнения окружа-
ющих пород), что достигается научно обоснованным проектирова-
нием формы и размеров сечения выработок и технологии выемки
породы. Краткая формулировка задачи — определение несущей
12
способности (прочности, устойчивости) незакрепленных горных
выработок.
Указанную общую задачу можно подразделить на отдельные
инженерные задачи, имеющие определенную специфику. В основу
такого подразделения можно положить следующие качественные
признаки выработок:
1)	назначение;
2)	форма, размеры сечения и протяженность (одиночные про-
тяженные, спаренные протяженные, камерные, обычного и боль-
шого сечения, вертикальные, горизонтальные, наклонные и т. д.);
3)	механические свойства и структурно-механические особен-
ности вмещающих породных массивов, которые находят отраже-
ние при выборе соответствующих физических моделей породных
массивов;
4)	длительность эксплуатации, определяющая необходимость
учета фактора времени;
5)	способ выемки породы (буровзрывные работы, комбайновая
выемка, бурение, выщелачивание и т. д.).
В качестве примера достаточно привести две инженерные
задачи по определению несущей способности протяженной выра-
ботки, сооружаемой буровзрывным способом в крепких породах,
и подземной емкости, сооружаемой методом выщелачивания
в отложениях каменной соли.
II. Определение нагрузки на крепь горных выработок для
дальнейшего расчета конструкций крепи, обеспечивающих нор-
мальное эксплуатационное состояние выработок при минимальном
расходе строительных материалов. Сформулированная задача
является одной из наиболее сложных в механике горных пород.
В зависимости от перечисленных выше качественных призна-
ков, определяющих постановку задачи, нагрузка на крепь нахо-
дится различными методами, т. е. в каждом таком случае прихо-
дится решать самостоятельную весьма сложную инженерную
задачу. Перечень таких задач увеличивается, если учесть различие
в существующих конструкциях и режимах работы крепи [61,
а также отдельно рассмотреть статические и динамические
нагрузки.
III. Выбор способа искусственного упрочнения горных пород
и расчет несущей способности ограждающих упрочненных пород-
ных массивов, обеспечивающих безопасность строительных работ
и нормальное эксплуатационное состояние выработок.
В качестве примера наиболее сложных инженерных задач по
расчету упрочненных породных массивов укажем на расчет ледо-
породных ограждений вокруг вертикальных стволов и расчет
подземных емкостей в глинах, сооружаемых взрывом камуфлет-
ных зарядов. Каждая из указанных задач имеет свою специфику.
Все инженерные задачи механики горных пород состоят из
двух частей (двух взаимосвязанных задач): 1) исследование меха-
нических процессов в породных массивах и 2) оценка возможных
13
проявлений механических процессов, степени их опасности или
полезности для производства горных работ и разработка способов
управления этими механическими процессами.
В рассматриваемых инженерных задачах, связанных с изуче-
нием механических процессов вокруг горных выработок, указан-
ные две части обычно формулируются следующим образом:
1) исследование напряженно-деформированного состояния пород-
ных массивов, вмещающих горные выработки, и 2) количествен-
ная оценка возможных проявлений этого напряженно-деформи-
рованного состояния (оценка прочности незакрепленных вырабо-
ток, величины нагрузки на крепь, прочности искусственно упроч-
ненных породных массивов).
§ 5. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МЕТОДАХ ИССЛЕДОВАНИЯ
В МЕХАНИКЕ ГОРНЫХ ПОРОД
Исследование механических процессов, протекающих в пород-
ном массиве, т. е. решение задач механики горных пород, может
быть выполнено различными методами: экспериментальными и
аналитическими. Экспериментальные исследования могут быть
поставлены как в лабораторных условиях (лабораторные методы),
так и в натурных условиях (натурные методы).
Лабораторные методы, помимо изучения механических свойств
горных пород, о чем подробно будет изложено в третьей главе,
широко используются для исследования механических процессов
в породных массивах. С этой целью применяются различные
методы моделирования механических процессов: метод эквива-
лентных материалов, поляризационно-оптический метод, центро-
бежный метод, метод структурных моделей, метод электроанало-
гий и другие.
Метод эквивалентных материалов основан на моделировании
механических процессов с помощью искусственных материалов,
образующих модель исследуемого породного массива при соблю-
дении специальных критериев подобия. Этот метод позволяет
исследовать, главным образом, качественную сторону механиче-
ских процессов. Поляризационно-оптический метод применяют
обычно для исследования распределения напряжений вокруг
горных выработок, но его возможности ограничены при исследо-
вании напряжений в неупруго-деформирующихся горных поро-
дах. Центробежный метод позволяет моделировать действие гра-
витационных сил, являющихся основными силами в породном
массиве. Однако техническая сторона этого метода, особенно для
больших моделей, остается достаточно сложной. Метод структур-
ных моделей применяют для моделирования механических про-
цессов в дискретных средах, например, в породных массивах,
состоящих из отдельных структурных блоков. Метод электро-
аналогий, основанный на математической аналогии некоторых
механических процессов и процессов в электрических моделях,
14
применяется, главным образом, для исследования фильтрации
в породных массивах.
Более подробное описание различных методов лабораторного
моделирования и области их рационального применения можно
найти, например, в работах [6, ^1. В настоящей книге, ограничи-
ваясь приведенным кратким описанием, отметим, что лаборатор-
ные методы, несмотря на их относительную простоту (в сопостав-
лении с натурными методами) и возможность проведения массо-
вых экспериментов, имеют вспомогательное значение. Наиболее
эффективным представляется применение лабораторных методов
в комплексе с натурными и аналитическими методами исследова-
ния. Обычно в сочетании с натурными методами они используются
для изучения физических основ, необходимых для разработки
теории механических процессов в породных массивах.
Натурные методы исследования, применяемые в механике
горных пород, имеют целью изучение механических свойств пород
непосредственно в массиве (например, прессиометрические иссле-
дования деформационных свойств пород), напряженно-деформи-
рованного состояния породных массивов (методом разгрузки,
разности давлений, акустическим, радиометрическими др.) и раз-
личных проявлений горного давления (например, динамические
исследования нагрузки на крепь горных выработок). Более под-
робный перечень натурных методов с указанием области их приме-
нения приводится в работе 161. Следует подчеркнуть, что инфор-
мация, получаемая в результате натурных исследований, хотя
и является весьма ценной для правильного понимания механиче-
ских процессов в породных массивах, но имеет региональный
характер, т. е. отражает специфику горнотехнических условий
эксперимента. В этой связи наиболее эффективным представляется
комплексное использование натурных и аналитических методов
исследования. Причем натурные методы целесообразно применять
в процессе постановки аналитических исследований и для практи-
ческой проверки результатов этих исследований.
Аналитические методы имеют определенные преимущества пе-
ред экспериментальными. Они обладают наибольшей общностью
при описании механических процессов, так как свободны от вли-
яния частных факторов, отражающих специфику горнотехниче-
ской ситуации. Аналитические методы позволяют исследовать
механические процессы в более широком диапазоне, т. е. позво-
ляют не только качественно, но и количественно прогнозировать
проявления горного давления. Таким образом, опередить прак-
тику производства горных работ могут только аналитические
исследования. Вместе с тем практическая проверка теоретических
результатов является обязательным этапом исследований в меха-
нике горных пород.
В качестве аналитических методов наиболее широко исполь-
зуются методы механики сплошной среды: механики твердых де-
формируемых тел (теории упругости, теории пластичности, теории
15
ползучести), механики сыпучих, вязких и жидких тел. Имеется
опыт применения методов механики дискретной среды, которые
в определенных условиях, например для раздельно-блочных по-
родных массивов, представляются весьма перспективными. При-
меняются также аналитические исследования, выполненные с при-
влечением специальных рабочих гипотез. Эти исследования,
получившие в прошлом определенное распространение, в настоя-
щее время значительно сократились, уступив место исследова-
ниям, в основе которых лежат строгие методы механики. Анали-
тические исследования в механике горных пород обычно выпол-
няются в детерминистической постановке. Наряду с этим в по-
следние годы развиваются вероятностно-статистические методы,
обычно отражающие статистическую неоднородность механических
свойств породного массива или граничных условий. Следует
подчеркнуть, что независимо от постановки задачи (детермини-
стическая или статистическая) исходные уравнения механики
остаются неизменными.
В дальнейшем будем рассматривать, главным образом, методы
механики сплошной среды (в случае применения других аналити-
ческих методов в тексте книги имеются специальные указания).
Вывод основных уравнений механики сплошной среды подробно
рассматривается во многих учебниках и монографиях. Достаточно
указать общеизвестный учебник Н. И. Безухова [81 и специаль-
ную монографию К. В. Руппенейта и Ю. М. Либермана по меха-
нике горных пород [91. Монография [91 может быть очень полез-
ной читателю, так как содержит достаточно подробный вывод
этих уравнений с указанием специфики приложения к решению
задач механики горных пород. Поэтому, отсылая читателей,
интересующихся выводом уравнений механики сплошной среды,
к указанной литературе, в следующей главе ограничимся лишь
сводкой уравнений, необходимых для решения прикладных задач
механики горных пород. Кроме того, кратко напомним основные
гипотезы и понятия механики сплошной среды.
Глава II
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И МОДЕЛИ
МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
ДЛЯ ПОРОДНЫХ МАССИВОВ
§ 6. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ
Основная гипотеза о сплошности среды сводится к тому, что
перемещения, деформации и напряжения в точках среды являются
непрерывными функциями координат. Правомерность использо-
вания этой гипотезы в механике горных пород обсуждается в главе
IV. В дальнейшем ограничимся рассмотрением достаточно малых
деформаций, т. е. ограничимся линейной (в геометрическом смысле)
постановкой задач механики горных пород. Напомним, что задачи
с геометрической нелинейностью составляют особый класс задач
в механике сплошной среды. Принятая гипотеза о малых дефор-
мациях не противоречит действительности, если учесть, что пере-
мещения в породных массивах пренебрежимо малы по сравнению
с размерами самих массивов.
Полным напряжением pv в точке среды на площадке с задан-
ной нормалью v называется предел отношения равнодействующей
внутренних или внешних усилий, приходящихся на площадку
(в зависимости от того, где расположена площадка: внутри или
на поверхности), к площади этой площадки, если последняя
стремится к нулю. В механике горных пород, где исследуются
породные массивы, состоящие из минеральных агрегатов с ко-
нечными размерами структурных и текстурных элементов, пло-
щадь рассматриваемой площадки устремляется не к нулю,
а к площади некоторой элементарной площадки. Размеры такой
элементарной площадки зави Кот размеров структурных и тек-
стурных элементов пород устанавливаются в результате спе-
циальных исследовани^указ^нных в главе IV. Следовательно,
механический смысл	«напряжение» в механике горных
^Ц^шной срр^ы различается тем меньше,
ддаентарнои площадки по сравнению с раз-
мерами напр	° масСйва* - *
Полное/йд^р'яз^се	ак векторную .величину можно раз-

ложить нёдвбс^та^л^Ь е: нормальное напряжение av, парал-
лельнрёл’ -а ‘'° у ентарной ццдщадке, касательное на-
пряжение	ее в плоскости площад
/
пород и в механ
чем меньше раз
17
г
Рис 1. Обозначения компонентов напряженного состоя-
ния в прямоугольной системе координат
Для исследования напряженного состояния в точке следует
рассмотреть элементарный объем, например, в виде элементарного
параллелепипеда, вырезанного из тела в окрестности данной
точки плоскостями, параллельными координатным плоскостям
прямоугольной системы координат Oxyz (рис. 1). Размеры граней
элементарного параллелепипеда соответствуют размерам элемен-
тарной площадки, и в этом смысле рассматриваемый элементар-
ный объем является достаточно малым по сравнению с объемом
напряженного породного массива. Полные напряжения, действу-
ющие на каждую из элементарных площадок, которые являются
гранями элементарного параллелепипеда, можно разложить на
три составляющие (одно нормальное и два касательных напряже-
ния), параллельные координатным осям.
Если при оценке напряженного состояния в точке породного
массива учитывать достаточно малые размеры элементарного па-
раллелепипеда и пренебречь его объемным весом, то одно-
именные и параллельные напряжения для каждой пары парал-
лельных граней можно считать практически одинаковыми (при
оценке напряженного состояния в некоторой области породного
массива необходимо учитывать малые приращения напряжений
между параллельными гранями параллелепипеда). Тогда напря-
женное состояние в точке можно охарактеризовать девятью со-
ставляющими напряжений, которые принято называть компонен-
тами напряжений, или компонентами напряженного состояния
в рассматриваемой точке (три нормальных компонента и шесть
касательных компонентов напряжений).
18
Условимся в дальнейшем нормальные напряжения обозначать
о с соответствующим индексом, указывающим на ту ось, парал-
лельно которой направлено напряжение. Учитывая, что в задачах
механики горных пород нормальные напряжения являются, как
правило, сжимающими, будем считать сжимающие нормальные
напряжения (направленные по внутренней нормали к элементар-
ной площадке) положительными, а растягивающие нормальные
напряжения (направленные по внешней нормали к элементарной
площадке) отрицательными. Касательные напряжения условимся
обозначать т с двумя индексами: первый индекс указывает на
координатную ось, параллельно которой направлено касательное
напряжение, а второй — ось, перпендикулярную к площадке, в ко-
торой лежит касательное напряжение. Правило знаков для каса-
тельных напряжений следующее: за положительное направление
касательного напряжения принимается положительное направ-
ление координатной оси, которой параллельно это напряжение,
если нормальное напряжение, действующее на ту же элементар-
ную площадку, также направлено по положительному направле-
нию соответствующей оси; если направления касательного и соот-
ветствующего нормального напряжений совпадают с отрицатель-
ными направлениями координатных осей, касательное напряже-
ние также считается положительным; во всех других случаях
касательные напряжения будут отрицательными. В качестве
иллюстрации на рис. 1 показаны положительные компоненты
напряженного состояния в прямоугольной системе координат.
Рис. 2. Обозначения компонентов напряженного состояния
в цилиндрической системе координат
2*
19
Совокупность компонентов напряжений запишем в виде сле-
дующей квадратной матрицы:
^ху, ^xz 1
Хух, Оу, Хуг I	(Ц,1)
Тгк» ^zy, Og /
По закону о взаимности касательных напряжений, компо-
ненты касательных напряжений, расположенные симметрично
относительно главной диагонали, составленной из компонентов
нормальных напряжений, равны между собой:
1ху = т:ух, Тхг = тгх, Гуг — Ггу.
Такую симметричную квадратную матрицу называют тензором
напряжений.
Для оценки напряженного состояния в точке можно использо-
вать и другие системы координат. В механике горных пород, где
часто приходится исследовать напряженное состояние в окрест-
ности протяженных горных выработок, представляется целесооб-
разным использование цилиндрической системы координат (?r0z.
Соответствующий элементарный объем с указанием положи-
тельных компонентов напряжений приведен на рис. 2. Тензор
напряжений в цилиндрических координатах имеет вид
Тн =
аг, хгв, хгг
T0r, Сте, T0z
ХггХгЬ, ° г
(П.2)
При исследовании механических процессов в окрестности гор-
ных выработок камерного типа (например, подземных емкостей
для хранения нефтепродуктов и сжиженных газов) удобно поль-
зоваться сферической системой координат Ог0<р. На рис. 3 пред-
ставлен соответствующий элементарный объем с указанием поло-
жительных компонентов напряжений, а тензор напряжений имеет
вид:
СТг, тг0> ТГФ
т0г> СТ0> т0ф
ТфГ> Тф0,
(П.з)
При наличии определенной симметрии в геометрических раз-
мерах, механических свойствах материала и граничных условиях
объектов исследования тензор напряжений упрощается. Так, для
анализа напряженного состояния в окрестности протяженной вы-
рабоки при наличии плоскостей симметрии, нормальных к продоль-
ной оси выработки, достаточно рассмотреть любое плоское попе-
речное сечение, удаленное от сопряжений и забоя (например,
горизонтальные выработки). Распределение напряжений в таких
сечениях будет аналогичным, кроме того, деформации по продоль-
20
Рис. 3. Обозначение компонентов напряженного состоя-
ния в сферической системе координат
ной оси выработки будут отсутствовать. Иными словами, доста-
точно рассмотреть плоскую задачу в постановке плоской дефор-
мации. Соответствующий тензор напряжений в прямоугольной
системе координат (если продольная ось выработки параллельна
координатной оси Z):
в —
Ох, Чху, О
Чух, Оу, О
О, 0, ог
(П.4)
а в цилиндрической системе координат:
°Г, тге, 0 '
тег, сте, 0
о, о, ог .
(П.5)
В последнем случае в исследуемой плоскости имеем полярную
систему координат Ог9.
В других выработках элементом симметрии является продоль-
ная ось (например, вертикальные шахтные стволы кругового
сечения при горизонтальном напластовании пород), т. е. напря-
женное состояние породного массива не зависит от полярной коор-
динаты 9, что соответствует так называемой осесимметричной
задаче и характеризуется тензором напряжений:
7’н =
ог, О, т„
О, Од, О
чгг, 0, ог
(П-6)
21
Дальнейшее упрощение тензора напряжений (II.6) имеет
место при наличии плоскостей симметрии, нормальных к осн
симметрии z (продольной оси выработки). Такая задача назы-
вается плоской задачей с осевой симметрией, или плоской полярно-
симметричной задачей в постановке плоской деформации. Ей
соответствует тензор напряжений, включающий только компо-
ненты нормальных напряжений:
' О, О
Тн= 0, о0> О
О, 0, <т2
(П.7)
Гораздо реже в механике горных пород применяется плоская
задача с плоским напряженным состоянием, когда плоскости,
нормальные к оси z, свободны от напряжений. Примером могут
служить некоторые задачи, связанные с механическим испыта-
нием образцов горных пород. В прямоугольной системе коорди-
нат тензор напряжений имеет вид
Ох, Тху, О
ТуХ, Оу, О
(П.8)
10,	0, 0 )
Тензор напряжений в сферической сйстеме координат значи-
тельно упрощается при наличии полярной симметрии:
ог, 0, 0
0, <тв, 0
0. 0,оф
(П.9)
ГД© Од — Оф.
Такая симметрия может иметь место, например, в подземных
емкостях шаровой формы, сооружаемых методом выщелачивания
в отложениях каменной соли или методом внутренних взрывов
в глинах.
Исследуем напряженное состояние в точке, предполагая, что
тензор напряжений для этой точки известен. Приведем общие
выражения применительно к тензору напряжений (ПЛ) в прямо-
угольной системе координат. Запись соответствующих выражений
частного вида и переход к другим системам координат легко осу-
ществить, производя замену компонентов напряжений согласно
(II.2)—(II.9).
Если ввести так называемое среднее напряжение
1
Щр = у (ох + Оу+ог),
(11.10)
тензор напряжений можно разложить на два составляющих
тензора:
ГН = Г° + Д
(П.11)
22
где /в — шаровой тензор напряжений, имеющий вид
Т =
1 и
Оср, о, О
О, Нср, О
О, 0, <тСр
(11.12)
и характеризующий изменение объема в точке; Da — тензор-де-
виатор или девиатор напряжений, имеющий вид
2>н =
Ох—Hep, Тху, txz
О ух. Оу — (Тер, Туг
XZX< xzlh Oz — Hep
(11.13)
и характеризующий формоизменение в точке.
Проекции на координатные оси полного напряжения pv, дей-
ствующего по наклонной элементарной площадке с нормалью у,
расположенной внутри тела или на его поверхности, связаны
с компонентами тензора напряжений (II. 1) в данной точке следу-
ющим образом (рис. 4):
Pyv = xyXl + aym + xyzn’
Pzv = xzxl +xzym + ezn’
(11.14)
где I = cos (x, v), m — cos (y, v), n = cos (z, v) — направляющие
косинуса, определяющие положение элементарной площадки по
отношению к соответствующим координатным осям.
Если рассматриваемая элементарная площадка расположена
на поверхности, соотношения (11.14) имеют смысл статических
граничных условий в напряжениях, которые связывают проек-
ции pxv, pyv, pzv внешнего напряжения pv с компонентами на-
пряженного состояния среды вблизи поверхности.
Полное напряжение pv, действующее по наклонной площадке,
определяется из выраже-
ния
Pv=^v + ^v+?*v.
(11.15)
а соответствующие нор-
мальное ov и касательное
т v напряжения по той же
площадке находятся сле-
дующим образом:
= ох№ + Оутп2 + огп.ч +
2tXylm-\-2Tyzmn-^2izxnl,
(11.16)
xv = Pv~o^- (И.17)
Рис. 4. Напряжения по граням элементар-
ного тетраэдра
23
Среди бесчисленного множества наклонных площадок в данной
точке имеются три взаимно перпендикулярные площадки с каса-
тельными напряжениями tv = О и нормальными напряжениями
<tv = Pv Такие площадки называются главными, а действующие
на них нормальные напряжения имеют стационарные значения
для данной точки и называются главными напряжениями. Вели-
чины главных напряжений, которые в дальнейшем условимся
обозначать <т2, <т3, полагая ох >-о2 >-о3, являются корнями
кубического уравнения
o3-aI(T2 + <TIIa—ош = 0,	(11.18)
где
сг1=Ох+пр+<т2.	(11.19)
аП = Ьхву + Оу<Зг +	— T^y — ^yz —	(11.20)
нга«=НхСТастг+2тхуг„тгХ-Щ;Т2г— вут^ - стгт^.	(11.21)
Величины главных напряжений, а следовательно, и коэффи-
циенты о1, о11, о111 кубического уравнения (11.18) не зависят от
выбора системы координат, т. е. инвариантны по отношению
к преобразованию системы координат. Таким образом, главные
напряжения сг2, о3 и коэффициенты о1, о11, <тш, определяемые
формулами (11.19), (11.20), (11.21) и называемые инвариантами
напряженного состояния, или инвариантами тензора напряжений,
имеют фундаментальное значение для характеристики напряжен-
ного состояния в рассматриваемой точке.
Для определения направляющих косинусов I, т, п главной
площадки можно использовать систему, включающую два из
следующих трех уравнений:
((Тх — О)J + Тх ут -f- тхгп = 0,
—о) m-\-tyzn = Q,	(11.22)
T2^+Txt,m+(az—о) п = 0,
а также Известное из аналитической геометрии условие:
Z24-m24-n2=l.
Координатные оси, нормальные к главном площадкам, назы-
ваются главными осями. Если через главные оси провести пло-
щадки, делящие пополам угол между двумя другими осями,
получим три пары площадок, по которым действуют касательные
напряжения, имеющие относительные максимумы (называемые
также главными касательными напряжениями):
Ti2= ±-2’(<Т1—На),
1 ,
Т23= ± ~2 (СТ2~ Из),
1
Т31= ±у (П3—Щ).
24
По тем же площадкам действуют нормальные напряжения,
равные полусуммам соответствующих главных напряжений. Если
между главными напряжениями выдерживается соотношение
о >>о2 os, т. е. Oj является наибольшим, ао3 — наименьшим
главным напряжением, наибольшее касательное напряжение равно
полуразности 1/2 (04—о3) и действует по площадке, делящей
пополам угол между 04 и о8.
Особое значение в механике сплошной среды имеют площадки,
равно наклоненные к главным площадкам и называемые окта-
эдрическими. Через рассматриваемую точку можно провести
четыре таких площадки. Направляющие косинусы октаэдриче-
ских площадок имеют равное по абсолютной величине значение г/8.
Используя (11.14) и (11.15), поЛучим уравнение для определения
полного напряжения по октаэдрической площадке:
*5= 4н+<*22+<ф-		(п-2з>
Далее на основании (11.16) и (11.17) можем записать выраже-
ние для нормального
1
<Токт = <Тср =-g-(<Т1+стз)	(11.24)
касательного
Токт = Tj" (Щ — <Тг)2+(®2 — <Тз)2 + (стз—<Ti)2	(11.25)
напряжений по октаэдрической площадке, которые называются
октаэдрическими напряжениями и имеют одинаковое значение
для всех октаэдрических площадок.
Для характеристики напряженного состояния также вводится
понятие интенсивности напряжения или обобщенного напряжения
широко используемое при оценке предельного состояния в рас-
сматриваемой точке.
§ 7. ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ
Механические процессы в породном массиве сопровождаются
перемещениями его точек. Перемещение как векторную величину
удобно разложить на составляющие и, v, w, которые являются
проекциями перемещения на координатные оси (например, на
оси х, у, z прямоугольной системы координат) и называются
компонентами смещения рассматриваемой точки. Совершенно
очевидно, что компоненты смещения различных точек породного
массива различны. Например, смещения точек породного контура
в сторону выработки значительно больше, чем смещения в этом же
направлении точек, находящихся Вдали от контура в породном
массиве.
25
Рис. 5. Обозначения компонентов деформи-
рованного состояния в прямоугольной си-
Если считать, что
сплошность породного
массива при этом не
нарушается, зависи-
мость компонентов сме-
щения от координат
является результатом
деформаций, развива-
ющихся в массиве. Де-
формированное состоя-
ние в точке принято
характеризовать компо-
нентами деформации.
Так, пользуясь прямо-
угольной системой ко-
ординат и рассматривая
стеме координат	в окрестности точки
элементарный парал-
лелепипед (рис. 1), имеем шесть компонентов деформации:
три линейных и три угловых. Линейные деформации представляют
относительные удлинения или укорочения ребер элементарного
параллелепипеда. В результате линейных деформаций может
измениться как объем, так и форма элементарного параллелепи-
педа. Линейные деформации будем обозначать е с индексом, ука-
зывающим ту координатную ось, параллельно которой рассматри-
вается удлинение ребра. Положительными линейными деформа-
циями будем считать укорочения, отрицательными — удлинения.
Угловые деформации, или деформации сдвига, представляют
выраженные в радианной мере углы сдвига, т. е. искажения перво-
начально прямых углов между ребрами элементарного паралле-
лепипеда. Угловые деформации вызывают только изменение формы.
Это справедливо лишь в случае принятой гипотезы о малости
деформаций. Будем их обозначать у с двумя индексами: первый
индекс указывает координатную ось, параллельную ребру, по-
ворот которого рассматривается, второй индекс — координатную
ось, параллельную ребру, в направлении которого осуществляется
поворот. Причем очередность индексов принципиального значе-
ния не имеет, так как величина искажения прямого угла и соответ-
ствующее напряженное состояние не зависят от того, поворот
какого ребра рассматривается. Поэтому в дальнейшем целесо-
образно предположить, что поворачиваются сразу два ребра,
вызывая одинаковые искажения прямого угла, в сумме составля-
ющие величину полной угловой деформации в рассматриваемой
плоскости. За положительную угловую деформацию будем прини-
мать увеличение угла между положительными направлениями
осей, за отрицательную — уменьшение того же угла. В качестве
примера на рис. 5 показана первоначальная (пунктирными ли-
ниями) и деформированная (сплошными линиями) форма парал-
26
лелепипеда в случае положительных компонентов линейных де-
формаций ex, eff, ег и угловых деформаций 112угх и Суб-
компоненты деформаций характеризуют деформированное со-
стояние в точке сплошной среды, если рассматриваемый элемен-
тарный объем является бесконечно малым и длины его ребер
устремляются к нулю. В механике горных пород, как указыва-
лось, элементарные объемы имеют достаточно малые, но конеч-
ные размеры, зависящие от размеров структурных и текстурных
элементов породного массива. Поэтому понятие «деформация»
в механике горных пород несколько отличется от соответству-
ющего понятия в механике сплошной среды.
Аналогично тензору напряжений компоненты деформирован-
ного состояния в рассматриваемой точке можно записать в виде
симметричной матрицы, которая для прямоугольной системы
координат имеет вид
{8z, УгУху, ^1гУхг
*/ гУух, £у,
ЧгЪх, ЧгУгу. ег
(11.27)
и называется тензором деформаций. Приведем ниже тензоры
деформаций, соответствующие указанным выше тензорам напря-
жений. Так, в цилиндрической системе координат
ее, ;
1/2Угг, КаУгв, 8г .
в сферической системе координат
ег» 1/2Уг0> 1^2Угф
1Ау ег, е91 1/2у0ф ;
1''2?фг, 1/2Уфе> е<р .
(11.28)
(П.29)
Уд =
в прямоугольной системе координат для плоской задачи в поста-
новке плоской деформации
I&X ^li^xy, 0 1
^Iz^yx, £у, 0	(11.30)
о, о, о J
в цилиндрической системе координат для плоской задачи в поста-
новке плоской деформации

' ег, 1/2Угв, о
^гУвг, ее, 0
о о, о
(11.31)
27
в цилиндрической системе координат для осесимметричной задачи
еГ. О, 1/2YrZ
0. е0! 0
1/2Yzr. 0, ez
(11.32)
в цилиндрической системе координат для плоской полярно сим-
метричной задачи в постановке плоской деформации
Тл =		er, 0, 0 0, e0) 0 0, 0, 0	•;	(11.33)	
в прямоугольной системе к ским напряженным состоя!	оординат для плоской задачи тием: 8*, *72Y*ff, 0 1			с п ло-
Гд =	1/2Yffx, t-y, 0,	0,		0 }• 'z J	СП.34)
в сферической системе координат для полярно симметричной
задачи	
( 8/, 0, 0	
Гд = | о, e0; 0	(П.35)
I 0- 0> 8ф .	
ТДе Eq — е<р.
Анализ деформированного состояния в точке, судя по виду
тензора деформаций, аналогичен анализу напряженного состоя-
ния. Выполним этот анализ применительно к тензору деформаций
(11.27), имея в виду, что для распространения выводов на другие
случаи достаточно произвести замену компонентов деформаций
согласно (П.28)4-(П.35).	j
При соблюдении гипотезы о малости деформаций относитель-
ная объемная деформация в точке имеет вид	1
0 = 8х + е^+ег,
а средняя деформация
1
8ср = ~ (sx-j-Ep + t-г)-
Тензор деформации разложим на два составляющих тензора:
Гд=Г£ + Пд’	(П-38^
где Тд — шаровой тензор дефомации, имеющий вид
о’О =
1 д
8Ср, 0, 0
0, Вер, 0
0, 0, Sep
(II. 39]
и характеризующий объемную деформацию в точке;
28
D — девиатор деформации, выражаемый в виде матрицы
{&х— 8Ср, ЧчУху, 1!чУхг I
ЧнУух, &у — еСр, ЧчУух I	(11.40)
ЧчУгх, ЧзУгУ’ гг— еСр '
и характеризующий формоизменение в точке.
Удлинение по произвольному направлению, проходящему
через рассматриваемую точку, можно выразить через компоненты
тензора деформации в этой точке следующим образом:
в = 8XZ2 +	+ в2п2 + ух ylm + Ywmn + Yz хШ,	(11.41)
где Z, т, п — направляющие косинусы, определяющие ориента-
цию данного направления по отношению к координатным осям
х, у, z в недеформированном состоянии.
Среди бесчисленного множества направлений в рассматривае-
мой точке деформированной среды существуют три взаимно пер-
пендикулярных направления, которые были взаимно перпенди-
кулярными до деформации. Такие направления называются глав-
ными осями деформации. Сдвиги в главных осях отсутствуют,
и наблюдаются только линейные деформации, называемые глав-
ными линейными деформациями и имеющие стационарные значе-
ния для данной точки. Главные линейные реформации, которые
в дальнейшем условимся обозначать еп е2, е3, полагая >е2 <>
> е3, определяются из кубического уравнения
е3 — еМ+епв — еш = 0,	(II. 42)
где
e1 = ex-f-ei/+ez,	(11.43)
в11 = ехеу+8уег+егех—(Уху+У^+Угх) >	(П.44)
8Ш = ех8^г +-LУхуУугУгх	+	+	(П-45)
являются инвариантами тензора деформации.
По аналогии с (11.24) можно записать выражения для главных
угловых деформаций. Так, при соблюдении условия е2 > е2 ?> е3
наибольшая угловая деформация равна (ej—е3).
Линейные деформации в направлении, нормальном к октаэдри-
ческим площадкам, и угловые деформации в октаэдрических пло-
скостях определяются соответственно выражениями:
8ок» = -й" (814-82+в3),	(11.46)
О
Yokt = 4 У (в! — 82)2 + (82—83)2 + («3—81)2 .	(П.47)
V
29
е, =
Интенсивность деформации или обобщенная деформация,
3
2Г2(1 + И) 1’“"
где р — коэффициент Пуассона.
(П.48)
§ 8. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
Переходя от напряженного состояния в точке к напряженному
состоянию в определенной области породного массива, необхо-
димо рассмотреть связь компонентов напряжений в ближайших
точках породного массива. Для этого напряжения, которые
в сплошной среде являются непрерывными функциями координат,
разложим в окрестности рассматриваемой точки в ряд Тейлора
и ограничимся членами первого порядка малости, т. е. линей-
ными членами. Тогда компоненты напряжений в бесконечно
близкой соседней точке (координаты соседней точки отличаются
от координат данной точки на бесконечно малые приращения)
выражаются через компоненты напряжений данной точки линей-
ными зависимостями. В качестве примера на рис. 6. показан
элементарный параллелепипед в прямоугольной системе коорди-
нат. По трем основным граням параллелепипеда, пересека-
ющимся в данной точке, действуют компоненты напряженного
состояния в этой точке. Компоненты напряженного состояния
по другим трем граням, соответственно параллельным первым
граням и отстоящим от них на малые приращения координат по
положительному направлению осей, имеют положительные диф-
ференциальные приращения.
Рис. 6 Схема к выводу уравнений равновесия
30
Рассматривая равновесие элементарного объема, составим
шесть условий равновесия: три условия — суммы проекций на
координатные оси всех сил, действующих на элементарный объем,
равны нулю, три условия — суммы проекций моментов тех же
сил относительно координатных осей равны нулю. Причем, кроме
сил, действующих по граням элементарного параллелепипеда,
учтем объемные силы (в породном массиве — это силы тяжести
и инерционные силы).
Раскрывая первые три условия, получаем три уравнения
равновесия, которые в прямоугольной системе координат имеют
вид	двх  дх *	дхху ।	ЗТхг	_	д2и HP* Р342’	
		ду ‘	dz		
	3Tj,x	1 дву ।	@хУг	4-оУ О а2у	(11.49)
	дх	1 ду 1	dz		
	дхгх _	дхгу ।	двг	„	d^iv	
	дх	Ь ду "J	dz	l-pz р dt2 ,	
где р — плотность вещества; X, Y, Z — проекции объемных сил
на оси координат, отнесенные к единице массы; t — время.
Преобразование остальных трех условий равновесия приводит
к указанному выше условию взаимности касательных напря-
жений:
Хху — Хух> Туг — хгу< Тгх = Тхг.	(11.50)
В общем случае, когда правые части уравнений (11.49) не
равны нулю (случай движения), имеем уравнения динамического
равновесия. Если правые части равны нулю (частный случай
покоя), имеем уравнения статического равновесия. В дальнейшем
при решении задач механики горных пород рассматривается глав-
ным образом случай статического равновесия (статические задачи
механики горных пород).
Уравнения равновесия в других системах координат можно
записать, пользуясь формулами преобразования координат или
непосредственно рассмотрев условия равновесия соответству-
ющих элементарных объемов.
Так, в цилиндрической системе координат имеем следующие
уравнения равновесия
атг0
дОг  1
дг г
дхдг , 1
дг г
дХгг  £ f дхгв
Зг *" г \ 30
-30-т~+7 (<тг-ао) + Рл=Р17Г
( 3<Т0 I 9т А | 9Т0* | л d^V
\ ае +2М+ dz ^'pQ~p~dt2’
daz । „ д-w
dr+pz=p-^-^
(11.51)
и условие взаимности касательных напряжений
тг0 — т0г, т0г — тг0, хгг~ хгг<
(11.52)
31
где /?, 0, Z — проекции объемных сил на оси координат, отнесен-
ные к единице массы.
’ В сферической системе координат уравнения равновесия запи-
сываются следующим образом:
э<тг , 1 Этге 	1 Эт,-ф ,
дг	г	30	г sin 0	’ 3<р
4- ± (2вг	- о0 - оф - тг0 ctg 6) + pR = р ,
аЪ-е		1	дае		1	ЭтеФ	,
дг	г ’	дв	г sin 0	* да>	*
1	(П.53)
+ - [(о0 -оф) ctg 6 + Зтг0] + р0 = р —,
ЭтгФ , 1 Эт6Ф ,	1	% ,
дг * г	д8 • г sin 0 ’ 3<р
+ 7 (3тгф+2твф • <=tg 6) + РФ = р ;
и условие взаимности касательных напряжений:
тг0 = т0г, т0ф = тф0, V=Tn₽,	(IL54>
где R, 0, Ф— проекции объемных сил на оси координат, отнесен-
ные к единице массы.
Уравнения равновесия для частных случаев (плоская, осе-
симметричная, полярно симметричная задача и т. д.) можно полу-
чить из уравнений (11.49)-г (11.54), положив равными нулю соот-
ветствующие компоненты согласно виду тензоров напряжений
(П.4)4-(П.9).
Напряженное состояние породного массива, удовлетворяющее
уравнения^ равновесия, должно также удовлетворять условиям
на поверхности (имеется в виду поверхность породного массива,
поверхность обнажения выработки, внутренняя поверхность раз-
дела в массиве и т. д.) или граничным условиям. Граничные усло-
вия, характеризующие внешнюю нагрузку на поверхности, назы-
ваются статическими граничными условиями. Примером статиче-
ских граничных условий могут служить уравнения (11.14), запи-
санные в прямоугольной системе координат. Аналогичные урав-
нения в других координатах можно записать, сделав в (11.14)
замену обозначений согласно виду тензоров напряжений.
В дальнейшем при исследовании механических процессов
в окрестности горных выработок ширко используется плоская
полярно симметричная задача, для которой, согласно (11.51)
и (II.7), имеем уравнение равновесия
^+^Р- + РЛ = Р.^.	(П.55)
откуда, положив и = 0, получаем уравнение статического равно-
§ 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ
Деформированное со-
стояние породного массива
определено, если известны
компоненты смещений как
непрерывные функции ко-
ординат. Связь между ком-
понентами деформирован-
ного состояния и компо-
нентами смещений в сплош-
ной среде, свойствами
которой наделяется пород-
ный массив, устанавли-
вается с помощью геомет- Рис. 7. Схема к выводу геометрических урав-
рических уравнений. В ос-	нений
нове этих уравнений лежат
выражения для компонентов смещений двух бесконечно близких
точек. Если компоненты смещений в окрестности рассматриваемой
точки представить в виде ряда Тейлора и ограничиться линейными
членами разложения, компоненты смешений в бесконечно близкой
соседней точке выражаются через компоненты смещений данной
точки линейными зависимостями. Разумеется, линейные зависи-
мости справедливы лишь при условии малости смещений. В меха-
нике горных пород это условие обычно выполняется, так как
смещения в породных массивах пренебрежимо малы по сравне-
нию с размерами самих массивов.
В качестве иллюстрации на рис. 7 представлена проекция
элементарного параллелепипеда на плоскость координатных осей
х и у до деформации и после деформации (пунктирный контур)
с указанием смещений угловых точек. Легко видеть, что смещения
двух угловых точек, отстоящих друг от друга на малые прираще-
ния координат, отличаются дифференциальными приращениями.
Далее, имея смещения близко лежащих угловых точек эле-
ментарного объема, можно путем несложных геометрических
построений вычислить его компоненты деформации. Так, в ре-
зультате геометрического обследования элементарного параллеле-
пипеда, получаем следующие геометрические уравнения в прямо-
угольной системе координат:
__ ди . де
__ де . die
die , ди
ди
дх *
ди
ду ’
die
dz •
(11.56)
Из уравнений (11.56) следует, что компоненты деформации ех,
е^, ez, Уху> Ууи Угх> выражаемые через компоненты смещений
3 Заказ 194
33
и, v, w, не могут быть заданы произвольно. Соотношения между
ними должны отражать тот факт, что сплошность среды в про-
цессе деформирования не нарушается. Эти соотношения полу-
чаются из уравнений (11.56) и называются уравнениями совмест-
ности, или неразрывности, деформаций:
дЧх	। д2еУ		 дгУху
ду^	1 Зг2	дх ду
дЧу	32ег	д2У yz
dz^	1 дуг	ду dz
д*ег ,	32ех	_ 32yzx
дх2 ' dz2 dz дх ’
д (	дУуг	I	dVzx	дУ*У	\	о д'2ег
dz \	дх	'	ду	dz	)	“ дх ду ’
9 (	дУгх		дУ*У	<>Ууг	\	д28х
дх \	ду	'	dz	дх	/ = ду dz'
9 (д\ху  дУуг _ дугХ \ __ „ дЧц
ду \ dz дх ду / dz дх'
(И 57)
Пользуясь формулами преобразования координат или непосред-
ственно в результате геометрического обследования соответству-
ющих элементарных объемов, можно записать геометрические
уравнения и уравнения неразрывности деформаций в других
системах координат. При этом будем полагать, что обозначении,
компонентов смещений (и, о, и>) остаются прежними. Так, в ци-
линдрической системе координат имеем геометрические уравнения:
ди „	1 ди f dv v
е'~~’ Угв~ г ' 30 ' ~дг~Т’
1 dv । и _ ди । 1 дю
30 + г ’ Увг~~дТ • ~'~д9~’
дю	дю . ди
Ег=-зГ’ Угг~~дГ'~дГ’
(И. 58)
и уравнения неразрывности деформаций:
32ег д2(ге0) 9вг 32(гуге)
302 + Зг2 дг Зг 30
32ег . 32ег	32угг
3z2 • Зг2	dr dz	’
92ее । 1 32ег , Зег 3 / aVez ।	\ -
r За2 ' г 302 -I" dr dz \ 30	—и,
о 028г , _ 3 [1 д(гу8г)1 ! 32(r2Vr8) Э2 >Угг
30 Зг дг [ г dr J г dr dz дг 30 \ г
3 [₽ Э(геб)] 32угг , g2(rYte) , д2(гУвг)
dz [ г dr J 302 + Зг 30	' Зг 30 ~у
2 /ег\  ^2Уг9	32 /У9г\	1 32угг
30 3г \г / •	3z2 dr dz \ г ) г 30 dz
34
В сферической системе координат имеем геометрические урав-
нения:
9u	1 т , ди v ,
е''= 9r ’	г	sin	ф	90 • дг	г ’
1	ди	,	и	.	w	  1	dv	р ,	1
60 г sin ф	90	•	г	'	г tg ф	’ ^0<₽	г 90	г fg ф •	г sin ф	90 ’
1 die , и	_ die ie ,1 ди .
8<р г 9ф • г '	7<pr Qr г • г 9ф ’
(П.61)
(П.60)
и уравнения неразрывности деформаций, которые получим из
(11.57) при соответствующей замене компонентов деформаций
согласно тензорам (11.27), (11.29) и учете следующих соотноше-
ний для координат:
х = г • sin <р cos 0,
у=г  sin sin 0,
Z = Г • Cos ф.
В частных случаях (плоская, осесимметричная, полярно сим-
метричная задача и т. д.) геометрические уравнения можно полу-
чить, выполнив анализ (II.56) 4-(II.61) с учетом соответствующих
тензоров деформации (П.30)4-(П.35). Например для плоской
полярно симметричной задачи имеем, согласно (11.58), (11.59)
и (II.33), геометрические уравнения
du	и
ЪГ ~ j ~ S д == —
г dr 9	“ г
и уравнение неразрывности деформаций
вд — в»*
—-=0-
dr * г
Эти уравнения широко используются в дальнейшем.
(П.62)
(П.63)
§ 10. ФИЗИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнения равновесия и геометрические являются общими
уравнениями механики сплошной среды независимо от физико-ме-
ханических свойств среды (твердая среда, обладающая свойствами
упругости, пластичности или ползучести, сыпучая среда, жидкая
среда и т. д.). Основное и обязательное условие справедливости
этих уравнений — это сплошность или неразрывность среды как
до начала деформации, так и в процессе деформации. Кроме того,
приведенная форма записи соответствует малым деформациям.
Вместе с тем общих уравнений недостаточно для исследования
напряженно-деформированного состояния среды. Необходимы до-
полнительные уравнения, связывающие деформации с напряже-
ниями, т. е. отражающие физические особенности развития де-
формаций.
9*
35
В зависимости от физического состояния среды и ее деформа-
ционных характеристик физические уравнения включают компо-
ненты напряжений, деформаций, физические константы, темпера-
туру, время и соответствующие производные по времени. Общая
форма записи физических уравнений, включающая все перечис-
ленные параметры, представляется достаточно сложной. Эта
задача еще более осложняется при исследовании механических
5	процессов в породных массивах, где деформационные свойства
1	горных пород зависят не только от их физического состояния,
действующих напряжений, температуры, времени, но и коорди-
нат в силу неоднородности породных массивов. Кроме того, такая
,	общая постановка задачи в механике горных пород на данном
' ,	этапе развития исследований, когда физико-механические свой-
ства пород и распределение их в массиве изучены недостаточно,
представляется нецелесообразной. В настоящее время наиболее
приемлемыми и практически оправданными являются идеали-
зированные модели породного массива, отражающие основное
или комплекс основных свойств массива. Таковы, например,
модели изотропного линейно-деформируемого однородного или не-
однородного массивов, анизотропного линейно-деформируемого
массива с различными видами анизотропии, упруго-пластического
.	массива, упруго-вязкого массива, упруго-вязко-пластического
массива и т. д. Поэтому в дальнейшем остановимся на рассмотре-
нии физических уравнений, отражающих механические свойства
>»	определенных моделей сплошной среды, которые в механике горных
5	пород эквивалентны определенным моделям породного массива.
Большинство горных пород обнаруживает линейную связь
'	между напряжениями и деформациями до нагрузок определенной
1 "	величины: для одних пород (таких, как граниты, песчаники) эти
нагрузки достаточно велики и близки к разрушающим, для дру-
> гих (например, глины) — весьма ограничены. Кроме того, к ли-
нейно-деформируемым можно отнести также и раздеЛьно-зер-
нистые породы в области сжимающих напряжений, которые
обычно наблюдаются в породном массиве, нагруженном силами
тяжести. Таким образом, в отличие от механики сплошной среды,
где рассматриваемся модель упругой среды, деформационные
свойства которой одинаковы во всем диапазоне нагрузок (сжима-
ющих и растягивающих), в механике горных пород обычно при-
меняется модель линейно-деформируемого породного массива,
отражающая деформационные свойства различных по структуре
пород в диапазоне сжимающих напряжений.
Рассматривая модель линейно-деформируемого породного мас-
сива, необходимо учитывать различие деформационных свойств
пород для разных направлений, т. е. анизотропию пород, которую
правильнее называть геометрической анизотропией. Не останав-
ливаясь на общем случае геометрической анизотропии, отметим
лишь, что в механике горных пород чаще всего исследуются два
ее частных случая:
1) через каждую точку породного массива проходит поверх-
ность изотропии, в которой все направления являются эквива-
лентными в отношении деформационных свойств (такой поверх-
ностью может быть, например, плоскость напластования, и пород-
ный массив будет трансверсально-изотропным);
2) все направления, проходящие через каждую точку массива,
эквивалентны или почти эквивалентны (горные породы квазиизо-
тропны) и можно с допустимой погрешностью рассматривать
модель изотропного породного массива.
Наряду с геометрической анизотропией в породных массивах
наблюдается физическая анизотропия — различие деформацион-
ных свойств породы при напряжениях противоположного знака
(например, при сжатии и растяжении). Ниже рассматриваются,
главным образом, модели массивов с геометрической анизотро-
пией, а термин «геометрическая» при этом опускается. При исполь-
зовании моделей с физической анизотропией в книге сделаны
специальные указания.
Если деформационные свойства породного массива в различ-
ных точках по параллельным направлениям (различны (иными
словами, являются функциями координат), такой массив будем
называть неоднородным в отношении деформационных свойств,
так же как при оценке анизотропии можно рассматривать опре-
деленную симметрию неоднородности породного массива, что
значительно упрощает физические уравнения.
Физические уравнения для линейно-деформируемого пород-
ного массива могут включать в качестве параметра температуру,
если изменения температурного поля приводят к изменению
напряженно-деформированного состояния массива в диапазоне
линейной зависимости между напряжениями и деформациями.
В|болыпинстве подобных задач механики горных пород темпера-
турное поле имеет определенную симметрию (обычно полярную
или осевую). Последнее обстоятельство также упрощает физи-
ческие уравнения.
Ниже приводятся физические уравнения для линейно-дефор-
мируемого породного массива, соответствующие различным систе-
мам координат и видам симметрии деформационных свойств. Так,
для линейно-деформируемого неоднородного трансверсально-изо-
тропного породного массива в прямоугольной системе координат,
когда ось у нормальна плоскости изотропии, имеем:
° У -
Ъу =----+	Оу'
1 .	. а,
е2 = -j- (аг - НОх) — -jr-
(11.64)
,, Хху
где Е (х, z) — модуль деформации для направлений в плоскости
изотропии;
37
pi (x, у, z) — коэффициент Пуассона для деформаций в плоскости
изотропии при сжатии в этой же плоскости;
Ег (х, у, z) — модуль деформации для направлений, нормальных
плоскости изотропии;
Рх (х, у, z) — коэффициент Пуассона для деформаций в плоскости
изотропии при сжатии в направлении, нормаль-
ном плоскости изотропии;
Gx(x, у, z)— модуль сдвига, характеризующий искажение углов
в плоскостях, нормальных к плоскости изотро-
пии;
2(1+ц)
(П»64')
Такая модель массива может быть использована при исследова-
нии механических процессов в окрестности горизонтальной выра-
ботки, сооружаемой по напластованию пород.
В случае плоской деформации в плоскости ху, которой соответ-
ствуют тензор напряжений (П.4) и тензор деформаций (II.30)
на основании (11.64) имеем:
1-U.2 г Е Р1 -1
(11.65)

где Е = Е(х, У), Ег = Е±(х, у), р = р (х, у), р± = р, (х, у), G± =
= Gi (х, у).
В цилиндрической системе координат для неоднородного транс-
версально-изотропного массива, когда ось z нормальна плоскости
изотропии, можно записать следующие физические уравнения:
е	И<Тв)	Е1 °”	v Тег Ye*~ G1 •	
1 8в— е	Е1 z’	yrz-~GT’	(П.66)
8г К	Ъг’-	v	T'9 Yre	G >	
где Е (г, 9, z), Et (г, 0, z) — соответственно модули деформации
для направлений в плоскости изо-
тропии г0 и для направлений, нор-
мальных плоскости изотропии;
р (г, 0, z), рх (г, 0, z) — соответственно коэффициенты Пуас-
сона для деформаций в плоскости
38
изотропии при сжатии в этой пло-
скости и в направлении, нормальном
плоскости изотропии;
Gr (г, 0, z) — модуль сдвига, характеризующий ис-
кажение углов в плоскостях, нор-
мальных к плоскости изотропии.
Приведенная модель может найти применение при исследова-
нии механических процессов в окрестности вертикальной выра-
ботки, сооружаемой в слоистом породном массиве.
При наличии осевой симметрии в соответствии с видом тензо-
ров напряжений (JI.6) и деформации (П.32) в уравнениях (11.66)
следует нринять
У{'г = У -=С- Е = Е(г, г), р = р(г, г), £'1 = £,1(Г, г).
=	г), G1 = Gi(r, г).
Если при этом можно рассматривать плоскую деформацию в пло-
скости изотропии, то дополнительно следует учесть, что угг = О
и ег = 0. Тогда физические уравнения приводятся к виду
. Е 2 Г	, Е 2
ев=--------- ае-аг------,
L
(И.67)
где
Е=Е(т\ р = р.(г), Е1 = Е1(г), Ц1 = Ц1(г), G1-=G1(r).
Рассмотрим в цилиндрической системе координат модель не-
однородного анизотропного массива с цилиндрическими поверх-
ностями изотропии, образующие которых параллельны оси z.
Причиной такой анизотропии может быть технология сооружения
и поддержания горной выработки. Если поверхностями изотро-
пии яляются цилиндрические круговые поверхности, равноот-
стоящие от оси z, физические уравнения записываются следу-
ющим образом:
ег~ 4г^-<(ае+^)«	—Г-’
Ui ,	1	.	,	Trz
Рг = — £""<Tr+_И<Т0)’ Yr0 = “S7'’
(И.68)
39
где Е (г, 0, z), 2?! (г, 0, z) — соответственно модули деформации
для направлений, касательных по-
верхности изотропии z0, и направле-
ний, нормальных этой поверхности;
ц (г, 0, z), pij (г, 0, z) — соответственно коэффициенты Пуас-
сона для деформаций, касательных
поверхности изотропии, при сжатии
в направлении, также касательном
этой поверхности, и при сжатии
в направлении, нормальном этой по-
верхности;
G± (г, 0, z) — модуль сдвига, характеризующий ис-
кажение углов в плоскостях, нор-
мальных поверхности изотропии.
Определенный интерес для механики горных пород может пред-
ставлять случай осевой симметрии, когда в уравнениях (И.68)
E — E(r, z), p=p(r, z), Ex = ^i(r, z), p.i = pi(r, z),
Gi = 6i(r, z), 702=^0=°’
и случай плоской деформации в плоскости г0, когда уе2 = уГ2 =
= 0. В последнем случае имеем следующие физические уравнения:
(11.69)
Yre G1 »
где
E-E(r, 0), E1 = E1(r, 0), р = р(г, 0), pi = px(r, 0), G1 = G1(r, 0).
Если при этом неоднородность породного массива осесиммет-
рична относительно продольной оси z, в уравнениях (11.69) сле-
дует принять Е = Е (г), ц = ц (г), Ег = Е± (г), Цх (г),
G = G* (г), а при полярно симметричной плоской*деформации —
дополнительно принять уге = 0.
В сферической системе координат представляет определенный
интерес модель неоднородного анизотропного породного массива
со сферическими поверхностями изотропии в случае полярной
симметрии, которой соответствуют тензор напряжений^ (II.9)
и тензор деформаций (11.35). Такая модель может быть использо-
вана при исследовании механических процессов в окрестности
сферических емкостей, технология сооружения и поддержания
которых нарушает свойства окружающих пород. Учитывая, что
40
g0 = и cr0 = Оф, запишем соответствующие физические урав-
нения:

е0 =
1-И
Е
(Ч
Е
Еу
Hi
1—р.
Hi
(11.70)
где Е (г), Е1 (г) — соответственно модули деформации для на-
правлений, касательных поверхности изотро-
пии Оф, и направлений, нормальных этой
поверхности;
и, (г), ja2 (г) — соответственно коэффициенты Пуассона для
деформаций, касательных поверхности изо-
тропии при сжатии в направлении, также ка-
сательном этой поверхности, и при сжатии
в направлении, нормальном этой поверхности.
Для соответствующих моделей линейно-деформируемого одно-
родного анизотропного массива в уравнениях (П.64)4-(П.7О)
следует принять Е = const, р, = const, Et = const, = const,
= const, для моделей линейно-деформируемого неоднородного
изотропного массива Е = Elt р, = р,15 G = Gr и, наконец, для
моделей линейно-деформируемого однородного изотропного мас-
сива Е = Ег = const, р, = p,j = corifet, G = Gx = const. Так,
для однородного изотропного массива в прямоугольной системе
координат из (11.64) получаем:
= [Ох—И (4j/-|-4z)], Уху=-^-,
eJ/ = _g*[Oy—P(Oz+Ox)l, Ууг = ~^~>
ez = -g" [Яг-И (Ox+Oi;)], Nzx = —^~-
(П.71)
При записи аналогичных физических уравнений в других
системах координат достаточно произвести замену компонентов
напряжений и деформаций в соответствии с тензорами напряжений.
Например, в цилиндрической системе координат имеем:
^ = 4'1<Тг-И(а9.+<Т2)Ь	=
ее=4" l°e-H(42+4r)b Y02=^->
ег^=-^-[ог-и (о, + <>0)], Yzr=^-.
(11.72)
Исследдвание механических процессов в окрестности горных
выработок при наличии температурного воздействия целесообразно
производить в цилиндрической системе координат (температурное
41
поле в окрестности выработок обычно осесимметричное, что значи-
тельно упрощает решение задачи). В общем случае распределения
температуры Т — Т (г, 9, z) имеем:
1
8,.= —[п,-—р (Cz+<Te)]4'a^' 1
1
ee = -g- [Og — р (Oz+<V)] +«2",
1
ez = -g- [oz — p ((Tr-bCTe)]-ba?’ ’
Yre—	Tre G ’	
Yez =	T8z G ’	(11.73)
Yzr =	Tzr G ’	
где	a — коэффициент линейного теплового расширения;
Е (Т), р, (Т), G(T)—деформационные параметры, которые при
значительных изменениях температуры сле-
дует рассматривать как функции темпера-
туры.
Наличие полярно симметричного температурного поля в ок-
рестности сферической выработки с полярной симметрией выра-
жается физическими уравнениями
1
8г=—(<Ъ— 2ро0)+аТ,
е0=(ае-Т^Г ст')+аГ-
(П.74)
Физические уравнения, включающие в качестве параметра
температуру, целесообразно преобразовать. Например, уравне-
ния (11.73) путем замены
е* = ег—аТ, е0 = е0—аТ, г*—е2 — аТ	(П.75)
приводятся к виду, аналогичному (11.72).
Рассмотрим иные формы записи физических уравнений для
линейно-деформируемой среды. Этот анализ выполним примени-
тельно к уравнениям (11.71) в прямоугольной системе коорди-
нат. Выводы анализа легко распространить на другие системы
координат, производя замену компонентов напряжений и дефор-
маций в соответствии с видом тензоров напряжений и деформаций.
Физические уравнения (11.71) можно представить в виде ;
(Tx = 2Gex-|-	tx!, = 2G^-,	
у == 2Gsy-j~ %0,		(II.76
crz = 2Gez-|- %0,	TzX — &	,	
где X = 2р,(?/(1—2р.) — постоянная Ляме.
Для линейно-деформируемой среды справедливо также выражение
TOKT=GYoKT>	(11.77,
42
откуда, используя (11.26) и (11.48), получаем физическое урав
пенив!
ai = Eet.	(11.78)
Запишем физические уравнения, отражающие изменение объема
Т° = Е0Т°,	(П.79)
где Ев — Е/(1—2р.) — объемный модуль деформации, и измене-
ние формы
Da=2GDK.	(11.80)
Уравнение (11.79) имеет смысл линейной зависимости между
соответствующими компонентами шаровых тензоров напряжений
и деформаций, а уравнение (11.80) — между соответствующими
компонентами девиаторов напряжений и деформаций.
Раскрывая уравнения (11.80), получаем:
ох—Ocp = 2G(ex—Сер), тХр = 2С »
ву —<Tcp=2G(B0“ Sep),
&z— (Tcp = 2G(8z — 8cp)» T2x = 2G —•
(11.81)
Раскрывая уравнение (11.79), а затем складывая левые и пра-
вые части, имеем:
ЗсГср — 7?о0.
(11.82)
Поделив соответственно левые и правые части уравнений
(11.80) и (11.78), получим:
Дн = Дд,	(П.83)
где Ед — направляющий тензор напряжений,
[(П.84)
ЕД — направляющий тензор деформаций,
Половина суммы произведений из компонентов тензора напря-
жений на соответствующие компоненты тензора деформаций назы-
вается удельной потенциальной энергией, или упругим потенциа-
лом, в окрестности рассматриваемой точки:
Я=^-Тн7’д.	(П.86)
43
Удельную потенциальную энергию П целесообразно представить
в виде двух составляющих:
	Я=Яо + Яф,	(П.87)
где По — удельная энергия, расходуемая на изменение объема
	Яо = 4-7’®7'“;	(11.88)
Пф — удельная	энергия, расходуемая на изменение формы
X	Яф = 4-ПнДд.	(П.89);
Для .удельной также выражение	энергии изменения объема По справедливо
-	-Ц2~2И) <4т,	(П.90)
а для' удельной энергии формоизменения Пф — выражения
	ДФ=—Токт.	(П.91)
ЯФ=4-<М,.	(П.92)
£
Выше указывалось, что горные породы линейно деформируются,
если действующее напряженно-деформированное состояние не
превосходит определенной величины, которую будем называть
предельным лицейно-деформируемым состоянием. В случае пре-
вышения этого состояния горные породы обнаруживают нелиней-
ную зависимость между напряжениями и деформациями.
Нелинейные деформации в одних породных массивах могут
быть упругими, т. е. полностью восстанавливаться после снятия
нагрузки, в других — упруго-пластическими, которые после
снятия нагрузки восстанавливаются только частичйо (остаточные
деформации будем называть неупругими, или пластическими).
В первом случае следует рассматривать модель нелинейно-упру-
гого, во втором — упруго-пластического массива.
В теории пластичности [101 вводится понятие активной де-
формации, когда обобщенное напряжение о( для данной точки
в рассматриваемый момент нагружения имеет значение, превыша-
ющее все предшествующие его значения, и понятие простого на-
гружения, когда все внешние силы возрастают пропорционально
общему параметру. Далее доказывается, что при активной дефор-
мации и простом нагружении можно использовать единые физи-
ческие уравнения для нелинейно-упругой среды и упруго-пласти-
ческой среды.
Рассматривая механические процессы в породных массивах,
легко убедиться, что они в большинстве случаев удовлетворяют
условиям активной деформации и простого нагружения. Следова-
44
тельно, для указанных выше модели нелинейно-упругого и упруго-
пластического массива можно использовать одни и те же физиче-
ские уравнения. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать об-
щую модель нелинейно-деформируемого породного массива.
Более того, если рассматривать модель изотропного однород-
ного массива, можно обобщить физические уравнения для нели-
нейно-деформируемого и линейно-деформируемого массивов. Это
можно сделать, основываясь на следующих общих закономер-
ностях, экспериментально проверенных для различных тел,
в том числе и для горных пород.
Линейное физическое уравнение (11.82), связывающее среднее
напряжение и объемную деформацию, справедливо при любом
напряженно-деформированном состоянии, и модуль объемной
деформации Ео также не зависит от напряженно-деформирован-
ного состояния. Справедливость уравнения (11.82) подтвер-
ждается экспериментами по гидростатическому сжатию горных
пород до очень высоких напряжений [11].
В каждой точке массива выполняются физические уравнения
(11.80) или (11.83). Обобщая уравнения (11.80) для линейно-дефор-
мируемых и нелинейно-деформируемых породных массивов, обо-
значим модуль деформации второго рода через G* и будем иметь
в виду следующее. Для каждой точки нелинейно-деформируемого
массива модуль деформации G* имеет определенное значение, т. е.
зависит от напряженно-деформированного состояния. В линейно-
деформируемом массиве модуль деформации постоянен для всех
точек и равен G* — G — const, т. е. не зависит от напряженно-
деформированного состояния.	’
Указанную зависимость в условиях сложного напряженного
состояния можно представить в виде
Токт — G*Yokt или G* = -”° т = Ф (Yokt)	(П.93)
Yokt
и установить на основе эксперимента в условиях элементарного
напряженного состояния. Учитывая известное соотношение между
модулями деформации первого и второго рода, эту зависимость
целесообразно записать следующим обпазом:
или Е*=— = Ф(е;)-	(П.94)
в/
В линейно-деформируемой модели, где Е* = Е = const, из
(11.94) получаем линейное физическое уравнение (11.70). Зависи-
мость (11.94) имеет фундаментальное значение. Вид функции
Ф (8Z) зависит только от деформационных свойств породы и не
зависит от вида напряженного состояния, если, разумеется, это
напряженное состояние не является причиной нарушения сплош-
ности породного массива. Поэтому функция Ф (в;) определяется
45
обычно экспериментально в ус-
ловиях одноосного напряжен-
ного состояния, и ее целесооб-
разно представлять в виде
Ф(в,)=£Ф(е,),	(П.95)
где ф (ег) — определяемая экс-
периментально функция, кото-
рая принимает значение, рав-
ное единице, в условиях до
предельного линейно-деформи-
руемого состояния и значения,
меньшие единицы, в условиях
выше предельного линейно-де-
формируемого состояния. В ка-
честве иллюстрации на рис. 8, а
показана зависимость а, = 2?*е(,
построенная по результатам ис-
пытания породы типа аргилли-
та на одноосное сжатие. Здесь же
(рис. 8, б) представлен соответ-
ствующий вид функции Ф (е,)
и (рис. 8, в) вид функции <р (ег).
Через е0 обозначена величина
обобщенной деформации, соот-
ветствующая предельному ли-
нейно-деформируемому состоя-
нию.
Относительно функции Ф (et)
необходимо заметить также
следующее. Экспериментальные
исследования показывают, что
для горных пород, неодинаково
деформирующихся при сжатии
и растяжении, т. е. обладающих физической анизотропией, Ф (ег)
зависит от величины среднего напряжения оср. Поэтому в общем
случае имеем:
-^-=Ф(в<, сгср),
(11.94')
Ф(еь Оср) = Яф(81, Огп).
(11.95')
Учитывая зависимость (11.94) и соотношение между модулями
деформации первого и второго рода, уравнения (П.81) можно
обобщить для линейно-деформируемых и нелинейно-деформиру-
46
емых массивов и записать следующим образом:
VrW
(Тх— (Тер = 2бф (бх— Sep), Тху=2бф—-—,
ву—тТср = 2бф (&у — Sep), Хуг = 2бф —2 ~,
<Т2 — (Тср = 2Сф(е2 — Sep), Т2х = 2Сф-^—,
или в тензорной форме
2?н = 2бф/)д.
(11.96)
(II 96')
Так, если массив деформируется линейно, Е* = Е = const»
<р = 1, уравнения (П.96) и (11.96') преобразуются к виду (11.81)
и (11.80). На основании (11.94) и (11.95) уравнения (11.96) можно
преобразовать к известным соотношениям Генки [121:
у	у
Вх — Scp = -2g‘(Ox — Оср), Уху-ут^ху,
у	у
By— Вср—-^-{ву — (ТСр), Yilz = "g-T(/z,
у	у
8z—ecp = -^g-(<Т2—<Тср), Yzx — "g" тгх,
(11.97)
где % = 1/<р — модуль пластичности.
При исследовании пластических деформаций объемная дефор-
мация практически равна нулю [131. Поэтому с незначительной
погрешностью можно принять 8ср = 0, откуда на основании
(II.79) следует, что р, = 0,5. Тогда физические уравнения (II.96)
приводятся к виду
<Т*~(Тср--з£-8х, тад = —
2(Ti	щ
аУ~а^—3^е«’ tyz—^yz’
2(Т/	ai
° г СГср —зё7 ?2 ’ Хгх — Зе; ^гХ'
(11.98)
В случае плоской задачи в постановке плоской деформации из
(II.98) после ряда преобразований получаем физические урав-
нения
е*~
Зе; .
Ъу~1т (аУ~а^'
Yxjr—~хху,
(11,99)
Аналогичные физические уравнения в других системах коор-
динат легко получить путем замены обозначений компонентов
47
тензоров напряжений и деформаций. Так, например, в цилиндри-
ческой системе координат для плоской полярно симметричной
задачи имеем:
Ее=-457 (сте—^).
Частным случаем модели целинейно-деформируемого массива
является модель идеально-пластического массива, которой на гра-
фике функции сг£ = соответствует горизонтальный участок
(«площадка текучести»), показанный на рис. 8 пунктиром. Для
модели идеально-пластического массива согласно, (II.94) и (II.94'),
имеем
Ф (е>, <тср)- —,	(И.101)
е1
ИЛИ
<т£ = о0,	(И. 102)
где а0 — обобщенное напряжение, соответствующее предельному
линейно-деформируемому состоянию, которое в данном случае
можно считать совпадающим с пластическим состоянием.
Переход горных пород в окрестности выработки в пластиче-
ское состояние обычно связан с потерей их несущей способности
и нарушением нормальной эксплуатации выработки при отсут-
ствии крепи. Очень часто процесс пластического течения непра-
вильно отождествляется с процессом разрушения горных пород.
Правомерно лишь утверждать, что оба механических процесса
в идеально пластичном массиве, где упрочнение горных пород
при их пластическом деформировании не наблюдается, разви-
ваются при одной и той же величине обобщенного напряжения
о,- = о0.
В связи с этим модель идеально пластичного массива широко
используется при исследовании разрушения горных пород. При-
чем наиболее ответственным элементом таких исследований
является обоснование предельного напряженного состояния о£ =
= о0 горных пород по результатам экспериментального изучения
их механических свойств. Предельное состояние пород в компо-
нентах главных напряжений можно охарактеризовать уравне-
нием
•ф (СГ1, 02, <т3) = 0.	(11.103)
Уравнение (11.103) следует рассматривать как общую форму
записи условий перехода горных пород из одного физического
состояния в другое, т. е. условий применимости различных физи-
ческих уравнений, описывающих эти состояния.
Рассмотренные выше модели линейно-деформируемого и не-
линейно-деформируемого массива недостаточно полно отражают
реальные деформационные свойства породных массивов. Непо-
48
средственные наблюдения за состоянием горных пород в натуре
и лабораторные исследования показывают, что механические
процессы в породных массивах зависят от времени. Иными сло-
вами, соответствующие физические уравнения, помимо компонен-
тов напряжений и деформаций, должны включать их производные
по времени.
Такие физические уравнения обычно называются уравнениями
состояния, а раздел механики, в котором изучается зависимость
напряженно-деформированного состояния среды от времени, —
реологией. Введем некоторые дополнительные понятия из реоло-
гии: ползучесть, релаксация, время релаксации. Явление ползу-
чести характеризуется ростом деформаций при постоянных на-
пряжениях, явление релаксации — падением напряжений при
постоянной деформации. Время релаксации характеризует ско-
рость реализации указанных явлений и оценивается отрезком
времени, в течение которого напряжения релаксируют в е раз.
Введем понятие о девиаторе скоростей напряжений Da, де-
виаторе скоростей деформаций Ья, интенсивности скорости на-
пряжения и интенсивности скорости деформации е,-. Необхо-
димые формулы получим, произведя замену компонентов напря-
жений и деформаций ^.а их производные по времени в соответ-
ствующих выражениях;. Так, в прямоугольной системе коорди-
нат имеем:
ДН =	Сд;	Сер» ХУХ1	Xxyi Gy — Сер	Ххг хуг	(II.104)
	тгх»	т2р»	Ог — Сер .	
	е2—Сер»	1/2YxJP	1/гУхг	
Яд=	1!^УуХ1	&у —	X/2Yj,z »	(П.105)
	.	* 1/2?2С,	VaYzp,	82 —8с р.	
^=-p=’/(ax-aJ,)2 + (aJ,-a,)2 + (o2-ax)2 + 6 (т|у + ^2+^), (И.106)
(П.107)
1 .
оСр ==^-(<3x + aff+az)>	(II.108)
8cp=-j-(ex+sy + e2),	(П.109)
где ох — dox/dt, хху — dxxy/dt и т. д. — компоненты скоростей
напряжений;
8Х = de,xldt, уху = dyXy!dt и т. д. — компоненты скоростей
деформаций;
t — время.
4 Заказ 194
49
В других системах координат выражения DH, DR, в;, запи-
сываются аналогичным образом.
Рассмотрим общую модель нелинейно-деформируемого упруго-
вязко-пластического массива. Соответствующие физические урав-
нения запишем в тензорной форме:
тгРн =‘Vg-!- ^iDn-\-v^Dnt	(II.110)
где V/ (/ = 1, 2, 3, 4, 5) — коэффициенты, определяемые экспери-
ментально.
Кроме того, полагая, что объемная деформация ползучести
мала, дополнительно будем учитывать физическое уравнение
(11.79).
Уравнения (11.110) целесообразно представить в виде
Z>H = 2G<pZ)fl,	(11.110')
где
J_ /уд  V5 Дд 	1 v2 Дн \
ф 2G \. vi т- vx Дд "т" vx Дд	vx ' Da ) *
Последняя форма записи (11.110') указывает на аналогию с физи-
ческими уравнениями нелинейно-деформируемого (П.96') и ли-
нейно-деформируемого (11.80) массивов. Действительно, если q>
не зависит от времени, получаем уравнения (11.96'), а при <р = 1
получаем уравнения (11.80). Указанная общность физических
уравнений широко используется в механике горных пород.
В случае модели нелинейно-деформируемого упруго-вязко-
пластического массива коэффициенты V/ и <р являются нелиней
ными функциями следующего общего вида:
V/- = v/((Ti,	ел £/, Оср. <Тср, t, Т),
<р = <р(щ-, *<тл ел е’л сгСр. <т"ср, t, Т),	(11.111)
где Т — температура.
Вид функции Vj зависит также от индекса / = 1, 2, 3, 4, 5.
В случае неоднородного породного массива vf является функцией
координат х, у, z.
Предполагается, что здесь применимы изложенные выше
основные закономерности теории малых упруго-пластических
деформаций и функции (11.111) могут быть построены по резуль-
татам экспериментальных исследований в условиях элементарного
напряженного состояния. В основе таких построений обычно
лежат различные теории ползучести. Наиболее общей в насто-
ящее время является теория нелинейной наследственной ползу-
чести Вольтерра — Больцмана — Работнова. Согласно этой тео-
рии, деформации ползучести в данный момент времени нелинейно
зависят от действующих напряжений и всей предшествующей
истории деформирования. Следует заметить, что результаты
эксперимента для каждой конкретной породы определяют выбор
той или иной теории ползучести.
50
Рис. 9. Графики ползучести горных пород
В качестве иллюстрации на рис. 9 показаны кривые ползу-
чести е (£), полученные при испытаниях глин на одноосное сжатие
с различными напряжениями (ах, а2, о3, о4) и построенные на
основании е (t) — кривые а (е), соответствующие различным
моментам времени (fx, t2, t3, i4).
Будем различать в дальнейшем процесс неустановившейся
(et =7= 0) и установившейся ползучести (е,- — 0). На рис. 9, а
можно видеть, что процесс неустановившейся ползучести наблю-
дается при t <« t2, а установившейся ползучести — при i4 > t г> t2.
В механике горных пород обычно рассматриваются длительные
отрезки времени, когда ползучесть пород носит установившийся
характер. В этом случае функции (11.111) значительно упро-
щаются.
Физические уравнения, соответствующие модели линейно-де-
формируемого упруго-вязко-пластического массива, имеющего
ограниченную ползучесть и способного к релаксации, записы-
ваются так:
',1/ОнН_'У2.Он = '\’з-|-'У4.Од-|-'У5.Од,	(11.112)
где vx = 1, v2 = t0, v3 = о*, v4 = 2Gm, v5 = 2G0£0;
t0 — время релаксации;
a* — имеет размерность напряжения и характеризует пре-
дельное напряженное состояние при переходе поро-
дного массива из одного физического состояния
(Ра <а*) в другое (Он >а*);
= G0/a — длительный, или статический, модуль сдвига;
Go — мгновенный, или динамический модуль, сдвига;
а — реологический параметр.
Причем, для модели неоднородного массива указанные параметры
зависят от координат.
На основании общих уравнений (11.112) легко получить физи-
ческие уравнения частного вида, отражающие различные реоло-
гические модели линейно-деформируемых породных массивов:
4*
51
1)	v4 = 0 — модель упруго-вязко-пластического массива с не-
ограниченной ползучестью, способная к релаксации;
2)	v4 = 0, v2 = О — модель упруго-вязко-пластического мас-
сива с неограниченной ползучестью, неспособная к релаксации;
3)	v3 = О — модель упруго-вязкого массива с ограниченной
ползучестью, способная к релаксации;
4)	v3 = 0, v2 = 0 — модель упруго-вязкого массива с ограни-
ченной ползучестью, неспособная к релаксации;
5)	v3 = 0, v4 = 0 — модель упруго-вязкого массива с неогра-
ниченной ползучестью, способная к релаксации;
6)	v3 = 0, v2 = 0, v4 = 0 — модель идеально-вязкого массива.
В частном случае при = 0, v3 = 0, v4 = 0 получим записан-
ные в дифференциальном виде физические уравнения (11.80) для
модели линейно-деформируемого массива,' в котором реологиче-
ские процессы не наблюдаются.
При решении конкретных задач механики горных пород целе-
сообразно раскрыть тензорную форму записи физических уравне-
ний (11.110). Так, например, в цилиндрической системе координат
для плоской полярно симметричной задачи при условии несжи-
маемости породного массива (ц = 0,5, еср = 0, е2 = 0, ее =—ег)
получаем:
V!—у— +v2 —	2— ) = v3+v48r + v8 —,
ae~°r , д /ав~аг\	Эве < •	>
+ V2—j=v3 + v480 + v6 —,
или
дег	v2___3	/ ffr~ffe \	,	vi	/ ar—Ce __v4	v3
dt	v5	dt	\	2	)	"t	v8	\	2	/	v8	e'	v8	’
gefl	Vjj___Э	(ae~ar\	,	v4	v3
dt = v8	dt	\	2	)	*	v8	V	2 )	v8	80	v8	’
где
qt = -^-(qe~q>-),	q*=_^‘(qe~q'-),
(11.114)
2 8 • 2 •
Уз Уз °’
qe + qr	• qe4"qr
qcp---g» CTcp----------2—’
Коэффициенты, входящие в (11.113), принимают различные
значения в зависимости от рассматриваемой модели породного
массива. В неоднородном породном массиве эти коэффициенты
являются также функциями радиальной координаты.
Глава III
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ГОРНЫХ ПОРОД
§ И. ДЕФОРМАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА
Различные физические уравнения породных массивов, рас-
смотренные в главеП, включают, помимо компонентов напряже-
ний и деформаций, целый ряд характеристик, определяющих
механические свойства пород и структурно-механические особен-
ности породных массивов. Рассмотрим механические свойства
горных пород (прочностные, деформационные, в том числе и реоло-
гические) и соответствующие им характеристики, представленные
в виде физических констант или функций пространственных
координат массива, напряженно-деформационного состояния, вре-
мени, температуры.
Основными характеристиками деформационных свойств гор-
ных пород являются коэффициент связи напряжений и деформа-
ций Е и коэффициент поперечной деформации р. Другой, часто
встречающийся в физических уравнениях коэффициент G является
производным от первых двух и определяется соотношением
(11.64'). В пределах упругого,линейного деформирования коэффи-
циент Е имеет смысл модуля упругости и характеризует отноше-
ние нормального напряжения к величине соответствующей де-
формации в направлении его действия. В этом случае коэф-
фициент G имеет смысл модуля сдвига и также является кон-
стантой.
В отличие от металлов предел упругости у горных пород
носит весьма условный характер, так как остаточные деформации
могут проявляться при сравнительно небольших по величине
напряжениях. Рассмотрим этот вопрос подробнее, используя
результаты исследований процесса хрупкого разрушения, при-
веденные в работах [100, 101], со ссылкой на 3. Т. Бенявского.
На рис. 10 приведены графики «напряжение — осевая деформа-
ция» (кривая 1) и «напряжение — поперечная деформация» (кри-
вая 2).
При увеличении напряжения от 0 до некоторого значения а'
(участки «оя» и «оя'») обе диаграммы представляют линейные зави-
симости. Данная стадия характеризуется закрытием дефектов
в породе, если таковые имеются, и упругим сжатием минераль-
ного скелета.
53
<s
Рис. 10. Графики «напряжение — осевая дефор-
мация» (7) и «напряжение — поперечная де-
формация» (2) для горных пород
Дальнейшее увеличение напряжения приводит к началу про-
цесса трещинообразования, в результате чего происходит посте-
пенное увеличение коэффициента поперечной деформации р,
которое характеризуется нарушением прямой пропорциональной
зависимости «напряжение — поперечная деформация». При этом
зависимость «напряжение — осевая деформация» сохраняет
линейный характер. Однако с появлением неупругих деформаций
коэффициент Е приобретает смысл так называемого модуля де-
формации, численные значения которого меньше, чем модуля
упругости. Так, если путем многократного нагружения с после-
дующей разгрузкой исключить необратимые деформации, то
величина полученного модуля упругости будет в 1,2—1,5 раза,
а в некоторых случаях и больше этой же характеристики, опреде-
ленной в условиях однократного сжатия, т. е. модуля деформа-
ции. В табл. 1 приведены значения модуля упругости, определен-
ного в режиме «нагрузка — разгрузка», и модуля деформации,
определенного при однократном загружении образца.
Таблица 1
Горная порода	Модуль упругости КГС/СМ2	Модуль деформации £•10-’, кгс/см2
Кварцпорфир 		3,2	2,5
Базальт		8,9	7,3
Габбро-диабаз		6,1	5,9
Зеленый туф		6,5	6,3
Замороженный песок (—10s С) . . .	0,15	0,002
54
При достижении напряжением величины а”, которая, как
показывают исследования, связана с длительной прочностью
породы (точка в), начинается процесс развития образовавшихся
трещин, приводящий к нарушению прямой пропорциональной
зависимости «напряжение — осевая деформация». Процесс не-
устойчивого распространения трещин заканчивается потерей проч-
ности породы и ее разрушением.
В общем случае участок ов может быть нелинейным с незначи-
тельными отклонениями от линейной зависимости. В связи с тем,
что при решении задач методами теории упругости используется
модель линейно-деформируемого массива, данный участок следует
считать условно-линейным, а точку в — пределом условно-линей-
ного деформирования. Однако такая замена возможна, если она
не приводит к существенному искажению напряженно-деформи-
рованного состояния массива.
В этом случае коэффициент Е, называемый в дальнейшем моду-
лем деформации, определяется как отношение нормального напря-
жения о", соответствующего пределу линейного (условно линей-
ного) деформирования', к вызываемой им величине полной отно-
сительной деформации е" (рис. 10, кривая 1). За пределом линей-
ного (условно линейного) деформирования коэффициент Е пере-
стает быть константой, зависит от уровня действующих напряже-
ний и, как правило, уменьшается с увеличением напряжений.
В табл. 2 приведены значения коэффициента Е и коэффициента
поперечной деформации р. на разных стадиях деформирова-
ния [101].
Помимо статического способа определения коэффициента Е,
основанного на нагружении образца с одновременным замером
его продольных деформаций, существует динамический способ.
Сущность его заключается в определении коэффициента Е по
скорости прохождения упругих волн через образец исследуемой
породы [14]. Величина динамического коэффициента Един в 1,1 —
1,6 раза больше статического коэффициента Естат. Такое разли-
чие объясняется тем, что при статическом нагружении, скорость
которого измеряется секундами, значительно сильнее прояв-
ляются процессы неупругого деформирования, приводящие
Таблица 2
Стадия деформирования	Е-10-*, кгс/см!	к
Сжатие вплоть до: зарождения трещин 				 неустойчивого распространения трещин . . потери прочности	 Растяжение (все стадии реализуются одновременно). . .	9,5 9,5 0,15 8,5	0,226 0,298 0,33 0,226
55
к снижению величины этой характеристики. При динамических
испытаниях, где время действия нагрузки составляет сотые или
даже тысячные доли секунды, неупругое деформирование про-
является в меньшей степени.
Горные породы, как известно, относятся к группе физически
анизотропных материалов, неодинаково сопротивляющихся сжа-
тию — растяжению. Поэтому следует различать модуль деформа-
ции в зависимости от направления действия нагрузки. К сожа-
лению, в горной литературе не имеется достаточных сведений по
данному вопросу. Результаты отдельных исследований [15, 16]
показывают, что для некоторых типов сланцев модуль деформа-
ции при сжатии в 1,2—1,5 раза больше, чем при растяжении.
Для норита это отношение составляет 1,1, а для суглинков —
1,5—5. Различие в деформационных характеристиках при сжатии
и растяжении объясняется разными характерами процессов
деформирования. Если при сжатии можно различить несколько
последовательно протекающих стадий, таких, как закрытие
имеющихся трещин, образование новых, их неустойчивое распро-
странение с последующей потерей прочности породы, то при рас-
тяжении все указанные процессы протекают практически одно-
временно.
Деформационные характеристики горных пород зависят от
вида напряженного состояния. При переходе от одноосного сжа-
тия к объемному последующее увеличение среднего нормального
напряжения (оср) приводит к тому, что модуль деформации уве-
личивается. Это явление связано с изменением плотности образца
и наиболее характерно для пористых пород. Так, на основании
экспериментов, проведенных авторами с замороженными песками,
жение — деформация» для габбро (а) и аргиллита (б)
56
которые относятся к числу высокопористых материалов, уста-
новлено увеличение модуля деформации в 1,5 раза при изменении
нср от 40 до 80 кгс/см2.
Отмеченное явление также установлено исследованиями [17].
В частности, при увеличении всестороннего давления от 0 до
1000 кгс/см2 модуль деформации известняка увеличился на 10%,
j глины на 12,5%, а для известковистого песчаника это увеличе-
ние составило 35—40%. Качественно аналогичные результаты
получены М. П. Воларовичем [18].
В заключение необходимо подчеркнуть, что большинство гор-
ных пород строго не подчиняется закону линейного деформирова-
ния даже при сравнительно небольших напряжениях, и кривые
деформирования приобретают вид, показанный на рис. 11 (а —
габбро, б — аргиллит) [19]. Для учета этой нелинейности при
решении задач механики горных пород кривые «напряжение —
деформация» можно аппроксимировать степенной зависимостью
вида
a = El-e~me,	(III. 1>
Е = const — модуль деформации; 0 <Z ё < 1 > 0 sg иг< 1 —
безразмерные параметры аппроксимации. Определение указан-
ных параметров осуществляется путем спрямления кривых а—е
в логарифмических координатах. Для кривых, изображенных
на рис. 11, эти параметры составляют: для габбро £ = 0,116,
т — 0,25; для аргиллита £ = 0,133, т = 0,27.
Другой важной деформационной характеристикой является
коэффициент поперечной деформации р, представляющий абсо-
лютную величину отношения поперечной деформациии е' к про-
дольной е в условиях одноосного сжатия или растяжения, т. е.
Н=|4|-	(IIL2>
В области линейного деформирования коэффициент поперечной
деформации называется коэффициентом Пуассона и является
величиной постоянной. За пределами линейного деформирования
р =/= const, что можно показать, воспользовавшись общими урав-
нениями (11.96). В условиях одноосного сжатия!или растяжения
— ° у — 0, аг = а; тогда
i ,	.	,	.	1	(1-2р)
Пср=-у (а*+ав-|-а2) = -д-а; еср-gg— а.
Подставлйя£эти соотношения в уравнения (11.96), по лучим
для поперечной деформации
,	(1 — 2и)	е,
e=ex=e, = X_^La___a,
Для продольной деформации
57
(III.4)
Освобождаясь от слагаемого запишем уравнение
^(УI
..'-U — 2р)	8
2Ё~ G“T-
Из уравнения (III.4) окончательно находим:
I е' I 1	1— 2ц <т	/ттг
|ТГ^ = -2----<ПЕ5)
Анализ этого выражения обнаруживает следующее: если диа-
грамма сжатия (растяжения) имеет вид, показанный на рис. 10
(кривая 1), то за пределами линейного деформирования коэффи-
циент р увеличивается, стремясь к величине 0,5.
Изменение величины коэффициента р за пределами линей-
ного деформирования наглядно подтверждается эксперименталь-
ными исследованиями по сжатию и растяжению различных мате-
риалов, в том числе и горных пород. На рис. 12 показана диа-
грамма растяжения для стали (кривая 1) и соответствующий ей
график изменения коэффициента поперечной деформации (кри-
вая 2) 120], из которого хорошо видно, что р стремится к вели-
чине 0,5. При испытании норита [101] на одноосное сжатие было
зафиксировано увеличение коэффициента поперечной деформации
от р = 0,22 на стадии трещинообразования до р = 0,33 на ста-
дии потери прочности. Интересно, что в диапазоне напряжений,
соответствующих полному разрушению породы, р может прини-
мать значения, большие 0,5. Это свойственно анизотропным
породам.
Величина коэффициента поперечной деформации [7] различна
в зависимости от типа горной породы:
Кварцит Шокшинского месторождения...............0,12
Базальт Талнахского месторождения...............0,23
Алевролит Западного Донбасса....................0,32
Магнетитовая руда...............................0,41
Гранатовый скарн ...........................  ...	0,47
Рис. 12. Графики а — е (7) и ц — е (2)
для стали
Однако и для одного типа
породы коэффициент р колеб-
лется в довольно широком ин-
тервале. Например, для песча-
ников р = 0,1 — 0,4, для але-
вролитов р = 0,29 4- 0,49, для
глинистых сланцев р = 0,15 —
4- 0,3.
Коэффициент поперечной де-
формации (если только его не
связывать с коэффициентом го-
ризонтального распора в нетро-
нутом породном массиве) не
влияет на качественную кар-
тину напряженно-деформиро-
58
ванного состояния массива и весьма незначительно влияет на
количественную сторону этого состояния. Так, погрешность от
замены р. = 0,3 (наиболее распространенное значение для гор-
ных пород) на р = 0,5 составляет всего 104-15%, то есть нахо-
дится в пределах точности экспериментального определения этого
параметра [22]. При решении упруго-пластических задач и за-
дач, учитывающих ползучесть пород, введение коэффициента
поперечной деформации, равного 0,5, является еще более обос-
нованным.
§ 12. ПРОЧНОСТНЫЕ СВОЙСТВА
В массиве горные породы находятся в сложном напряженном
состоянии. Для математического описания процесса их разруше-
ния используются те или иные физические уравнения типа (11.103),
вытекающие из соответствующих теорий прочности, в которых
объемная прочность породы выражается через характеристики ее
прочностных свойств в условиях элементарных напряженных
состояний. К числу таких характеристик относятся, прежде всего,
предел прочности при одноосном сжатии асж и предел прочности
при одноосном растяжении ар.
Под термином «прочность породы» понимают ее способность
сопротивляться различным по интенсивности и характеру сило-
вым воздействиям, не разрушаясь. За величину предела прочности
породы на сжатие или растяжение принимают отношение разру-
шающей силы (сжимающей Рсж или растягивающей Рр) к исход-
ной площади поперечного сечения испытуемого образца Fo:
_ Рсж _ Рр
Стсж—7Г’
Однако было бы ошибочным считать, что определенные таким
способом характеристики асж и ар являются истинными для
данного типа породы. Число факторов, влияющих на абсолютную
величину этих характеристик, так велико, что последние могут
рассматриваться только как относительные показатели, позволя-
ющие производить сопоставление различных типов пород по их
прочности.
Упомянутые факторы можно разделить на две основные группы.
К первой группе относятся факторы, связанные со структурно-
механическими особенностями массива горных пород. Это —
состав пород, структура, текстура, наличие неоднородности, ани-
зотропии, трещиноватости, влажности и т. д. Учет первой группы
факторов пытаются осуществить несколькими способами: путем
максимальной требовательности, предъявляемой к отбору образ-
цов; исключением систематической ошибки путем обработки ре-
зультатов испытаний методами математической статистики; про-
ведением испытаний в натурных условиях.
Ко второй группе относятся факторы, связанные с технической
стороной проведения испытаний. К числу важнейших из них
59
следует отнести: влияние контактных условии на торцах испыту
емого образца; влияние размеров образца и его формы; скороси
приложения нагрузки.
Остановимся более подробно на факторах второй группы
Влияние контактных условий на торцах образца выделено и
случайно. Именно этот фактор в значительной степени опреде
ляет характер разрушения образца. При испытании образцо]
горной породы на одноосное сжатие различают следующие основ
ные формы разрушения образца: конусную —- от сдвигающие
напряжений (рис. 13, а) и столбчатую, являющуюся следствием
отрыва (рис. 13, б).	'
В ИГД им. А. А. Скочинского были проведены испытания по*
род на одноосное сжатие с применением прокладок между торцол
образца и плитой пресса из картона, стали, капрона, свинца
резины и парафина [23]. В результате было установлено, что в те;
случаях, когда используемые прокладки обеспечивали возмож
ность достаточно свободного деформирования торцов образц:
в поперечном направлении (парафин, капрон, свинец, резина)
разрушение происходило путем отрыва по поверхностям, парад
лельным направлению сжимающего усилия. При этом несуща:
способность образца снижалась более чем в 3 раза. Установлен
также, что снижение прочности тем больше, чем меньше отношг
ние высоты образца к диаметру, и может достигать 5 раз и боле!
Какими же должны быть койтактные условия на торцах о!
разца при испытаниях? Чтобы ответить на этот вопрос, необх<
димо обратиться к результатам натурных наблюдений за хара;
тером разрушения горных пород в естественных условиях. Хороп
известно, что в окрестности выработок горные породы, наход:
щиеся в условиях объемного напряженного состояния, смещаютс.
к центру выработки, испытывая
ния. В выработках, не подвер-
женных влиянию взрывных ра-
бот, наблюдаемое образование
трещин, параллельных
или
при этом деформации растяж(
о,
д2
6
Плоскость
разрушения
61
Рис. 14. Характер разрушения обрг
цов при неравномерном трехосй:
сжатии
Рис. 13. Формы разрушения образцов
при одноосном сжатии:
а — конусная, б — столбчатая


6


60
рочти параллельных поверхности
обнажения и, следовательно, пер-
рецдикулярных к направлению
действия наименьшего главного на-
пряжения, подтверждает суще-
ственную роль отрыва в начальной
стадии разрушения. По мнению
Г. Л. Фисенко [24], аналогичный
характер носит процесс разруше-
и при
1000
1500
беж.™?/™2
2000
20 ЬО 60 80 100 120 Fсм2
Рис. 15. Снижение прочности асж
при увеличении диаметра образ-
цов из мрамора 1 и габбро 2
ния породы в целиках
отжиме угля.
Значительный интерес
отношении представляют
денные в ИГД им. А. А.
в этом
прове-
Скочинского исследования прочности
горных пород в условиях неравномерного трехосного сжатия
<71>>ог2 > °з 125]. Практически во всех случаях разрушение
происходило от растягивающих деформаций в плоскости, перпен-
дикулярной к действию наименьшего главного напряжения а3
(рис. 14), что совпадает с результатами проведенных натурных
наблюдений. Наличие растягивающих напряжений внутри об-
разца при одноосном его сжатии подтверждают и результаты
специальных исследований, проведенных IO. М. Карташовым
[26] Изучая влияние торцевых условий на однородность напря-
женного состояния образца при одноосном сжатии, автор сделал
вывод, что «разрушение образцов вызывается действием растяги-
вающих напряжений, направление которых перпендикулярно оси
образца и плоскости разрушения». Разрушение же образцов в ука-
занных условиях путем сдвига автор объясняет неоднородностью
напряженного состояния.
Все сказанное позволяет сделать два существенных вывода.
Во-первых, в условиях сжатия отрыв, наравне со сдвигом, играет
весьма важную роль в процессе разрушения горных пород,
а в определенных условиях является определяющим. И, во-вто-
рых, условия лабораторных экспериментов должны обеспечивать
не только соответствующее напряженное состояние, но и тот же
Характер разрушения, что и в условиях естественного залегания
породы.
Другим важным фактором, влияющим на прочность образца,
являются его размеры, абсолютные и относительные, характери-
зующиеся величиной отношения высоты образца h к его попереч-
ному размеру d. Влияние абсолютных размеров образца, иначе
называемое «масштабным эффектом», прослеживается в том, что
при увеличении размеров образца его прочность изменяется.
Интересно, что это изменение может происходить в сторону как
Увеличения, так и уменьшения прочности.
Так, например, по данным испытаний на одноосное сжатие,
проведенных Ильницкой Е. И. [27], прочность образцов из мра-
мора при увеличении их диаметра в 5,8 раза (высота при этом
61
составляла h = 2 ~\f F0, где F0 — площадь образца) снизилась
в 1,33 раза (рис. 15, кривая 7), а для образцов габбро это умень-
шение составило 1,15 раза (рис. 15, кривая 2). Аналогичные
результаты были получены и другими исследователями.
Вместе с тем имеется целый ряд исследований, не вызывающих
сомнений по своей корректности, результаты которых показы-
вают обратную картину: при увеличении размеров образцов проч-
ность на одноосное сжатие увеличивается. Объяснение этому явле-
нию дал М. И. Койфман [28]. По его мнению, существует масштаб-
ный эффект двух видов: объемный и поверхностный.
Первый проявляется в том, что, согласно статистической тео-
рии, прочность тела определяется прочностью наиболее слабого
участка — дефекта, вероятность встречи которого тем больше,
чем большего размера образец. При изготовлении образцов малых
размеров крупные дефекты вызывают их разрушение, и для испы-
таний остаются наиболее прочные образцы. Это приводит к про-
явлению объемного масштабного эффекта в виде увеличения
прочности при уменьшении размеров образца.
Поверхностный масштабный эффект проявляется из-за нару-
шения поверхностного слоя при изготовлении образцов. Чем
больше образец, тем меньшую часть от его объема занимает нару-
шенная зона и тем выше его прочность.
Влияние относительных размеров образца hid однозначно:
с увеличением этого отношения прочность уменьшается. Это на-
глядно подтверждается результатами исследований, проведенных
М. Ф. Кунтышем [29], для образцов из мрамора (рис. 16, кривая 1)
и ангидрита (кривая 2) с постоянной площадью поперечного се-
чения. Характерно, что наиболее интенсивное снижение прочности
происходит при hid = 0,5	1,0. Причина влияния высоты на
прочность образца заключается' в наличии трения по его торцам
от взаимодействия с давильными плитами пресса. В областях,
прилегающих к торцам, напряженное состояние образца стано-
вится неоднородным. При
Рис. 16. Снижение прочности асж при
увеличении относительных размеров об-
разца из мрамора 1 и ангидрита 2
большей высоте образца вли-
яние трения уменьшается,
напряженное состояние ста-
новится более однородным,
и образец, как отмечалось
выше, разрушается при мень-
ших нагрузках.
Прочностные и деформа-
ционные характеристики гор-
ных пород в подавляющем
большинстве испытаний оп-
ределяются на образцах пра-
вильной геометрической фор-
мы: цилиндрической, кубиче-
ской и призматической. Одна-
62
г
ко изготовление таких образцов (особенно прямоугольной формы)
сопряжено со значительными техническими трудностями. В по-
следнее время наметилась тенденция к определению прочност-
ных показателей на образцах полуправильной кубической
формы (с обработкой только контактных поверхностей) и на об-
разцах неправильной формы. Соотношение прочности образцов
правильной и полуправильной формы, по данным [30, 31], изме-
няется от 1 до 1,16, то есть в пределах статистического разброса
прочностных показателей при испытаниях. Форма поперечного
сечения (круглая или прямоугольная) при прочих равных
условиях не оказывает влияния на прочность образцов.
Еще одним фактором, оказывающим влияние на прочность
образцов, является скорость приложения нагрузки. При этом
рассматриваются скорости приложения нагрузки, значения кото-
рых не выходят за пределы интервала статического нагружения.
Исследования [32], проведенные в широком диапазоне скоростей,
позволили установить общую закономерность; с увеличением
скорости нагружения прочность при сжатии и растяжении уве-
личивается. У пород с меньшим значением осж и ар наблюдается
относительно больший рост прочности при увеличении скорости
нагружения. Однако в диапазоне нагружения от 1 до 10s кгс/см2 с
изменение прочности в зависимости от контактных условий про-
исходит всего на 6—20%.
Существенное влияние на прочность образца оказывает экс-
центриситет приложения нагрузки, имеющий место из-за неточ-
ности обработки торцов. Детальные исследования этого вопроса
позволили установить, что погрешность при определении осж
может достигнуть 30% [33].
Все сказанное в большей степени относилось к пределу проч-
ности горных пород при сжатии. Более сложным вопросом
является определение предела прочности при растяжении. При-
чина тому — как техническая сложность в создании линейного
растяжения, так и все структурно-механические особенности
горных пород, которые при растяжении проявляются в гораздо
большей степени, чем при сжатии. Очевидно, большую роль играет
и сам метод определения ор. В табл. 3 приведены данные по
определению ор (кгс/см2) различными методами [29, 34].
Таблица 3
Порода	Прямое растяже- ние	Изгиб балочек	Изгиб круглых пластин	Бразиль- ский метод	Раскалы- вание цилин- дров	Разрыв пуансо- нами
Гранит ....	62	282	210	105	164	88
Известняк . .	38	102	70	32	50	32
63
Породы	Показатели прочно- сти, кгс/см*		%ж аР
	ар	асж	
Аргиллиты средней крепости		2	6	3
Антрациты 	 Песчаники	21	350	17
перпендикулярно к слоистости .	. .	40	1055	26
параллельно слоистости	 Уголь каменный	104	800	7
перпендикулярно к слоистости		2,8	144	51
параллельно слоистости		6,4	134	21
В связи с тем, что ар определяют главным образом косвенными!
методами, провести анализ влияния всех рассмотренных выше'
факторов на прочность не представляется возможным. \
Как уже отмечалось в предыдущем параграфе, горные породу
относятся к числу материалов, неодинаково сопротивляющихся!
растяжению и сжатию. Причиной этому служит внутреннее тре-,
ние, которое следует понимать как способность тела повышать!
сопротивление разрушению под влиянием среднего нормального
напряжения оср, что объясняется сближением частиц и повыше-'
нием сил взаимодействия между ними. Иными словами, внутрен-
нее трение можно рассматривать как дополнительные силы сцеп-
ленйя, вызванные действием среднего нормального напряжения.
Для горных пород величина отношения <тсж/<тр 14] изменяется
в широком диапазоне. В табл. 4 приведены данные по некоторым
типам пород. Для сравнительно широкого круга горных пород*
среднее значение отношения <тсж/ор изменяется от 8 до 10.	]
§ 13 *. ПРОЧНОСТЬ ГОРНЫХ ПОРОД
В ОБЪЕМНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
Одной из наиболее сложных задач механики горных пород
является разработка теории прочности, которая позволила бы
достоверно оценивать прочность породы при любых видах цапря-
женного состояния. Разнообразие свойств горных пород, а также
зависимость этих свойств от вида напряженного состояния затруд-
няют создание универсальной теории прочности. К тому же еще
не достаточно изучен и сам механизм разрушения, которое может
быть хрупким и пластическим. Основными типами хрупкого раз-
рушения, как указывалось в § 12, являются сдвиг и отрыв.
Причем следует различать отрыв при простом растяжении и отрыв
в условиях сжатия. Пластическое разрушение горных пород
* Параграф написан при участии А. Н. Кузичкина.
обычно является результатом
развития сдвиговых деформаций
и реализуется [35] в виде пла-
стического течения.
Из всего многообразия тео-
рий прочности материалов в ме-
ханике горных пород наиболь-
шее распространение получила
теория прочности О. Мора [36],
экспериментально проверенная
Т. Карманом [37]. Кроме того,
имеются отдельные примеры ис-
пользования теорий прочности,
основанных на критериях хруп-
кого разрушения. Таковы, на-
пример, предложения А. Гриф-
фитса [102,103], Ф. Г. Улинича
[38], Г. П. Черепанова [39, 40]
и др. Рассмотрим сущность этих
Рис. 17. Схема к выводу условия пре-
дельного состояния по О. Меру
теорий и соответствующие им
физические уравнения
дельного состояния в
(11.103).
Особенностью теории
пре-
виде
прочности Мора является то, что она
учитывает разрушение в результате как сдвига, так и отрыва.
Согласно этой теории прочности, разрушение материала путем
сдвига происходит в том случае, когда касательное напряжениет,
действующее в плоскости сдвига и зависящее от нормального
к этой плоскости напряжения а, достигнет величины, определя-
ющей прочность материала. Разрушение материала путем отрыва
происходит тогда, когда наименьшее нормальное напряжение о
достигнет величины предела прочности горной породы при одно-
осном растяжении.
Положим, что главные нормальные напряжения, действующие
на некоторый элементарный объем (рис. 17, а), находятся в соот-
ношении <тх £>с2 ►> <т3. В пло-
Рис. 18. Графическое представление
прочности по О. Мору
скости сечения, нормального к
одной иэ осей, например У,
действуют напряжения ста Г> о3.
На произвольной площадке,
расположенной в пределах вы-
бранного сечения, будут дейст-
вовать касательные т и нормаль-
ное а напряжение, составля-
ющее с направлением действия
<тг угол а. При определенном со-
отношении а1и<т3 величина ка-
сательного напряжения т = / (а)
.> Заказ 194
65
может достигнуть предельного для данного материала зна-
чения. В этом случае разрушение произойдет путем сдвига по
указанной площадке.
Помимо рассмотренного случая возможны также несколько
частных видов напряженного состояния, а именно: одноосное
сжатие Oj = осж, о3 = 0 (рис. 17, б); чистый сдвиг о\ = —о3
(рис. 17, в); одноосное растяжение <т1 = 0, —о3 = ор (рис. 17, г),
которые могут быть изображены графически в координатах то
с помощью предельных кругов Мора (рис. 18, 3, 2, 1).
Очевидно, при различных сочетаниях пх и о3 предельное
состояние материала определяется кругами напряжений, поло-
жение центров которых соответствует выражению <т3)/2,
а величина наибольшего касательного напряжения (радиус пре-
дельного круга) равна (о1—<J3)/2. Если провести огибающую
совокупности предельных кругов, то она будет отображать проч-
ность материала при любом виде напряженного состояния,
(рис. 18, 4).
Уравнение огибающей'О. Мор предложил записывать в следу-
ющей форме *:
(Ш.6)
где К — постоянная величина, равная коэффициенту сцепления,
то есть величина напряжения сдвига при нормальном
напряжении о, равном нулю;
ф — функция, определяемая экспериментально при различ-
ных видах напряженного состояния.
В первом приближении О. Мор считал возможным в качестве
функции ф принять линейную зависимость. Тогда уравнение
(III.6) записывается так:
= К +	(Ш.7)
где С = const.
В таком виде условие прочности содержит две постоянные вели-
чины К и С, характеризующие прочность, и может быть применено
для расчета прочности материалов, неодинаково сопротивля-
ющихся сжатию и растяжению.
Для предельного состояния при одноосном сжатии or j = осж,
<у8 = 0, а при одноосном растяжении — о3 = ор, ах = 0. Исполь-
зуя эти условия, определим С и К'.
ci= g™7gp,	£™.gp .	(Ш.8)
0СЖТ&р	ФсЖ’ТО'Р
Подставляя (III.8) в (III.7), после соответствующих преобразова-
ний будем иметь:
01_.^£ж_аз = асж.	(Ш.9)
__________ ар
* Здесь и в дальнейшем обозначения не соответствуют принятым в рас-
сматриваемых работах.
66
В отечественной литера-
туре больше распространена
другая форма записи усло-
вия предельного состояния
для прямолинейной огиба-
ющей:
l-J-sin р
а1~Г-sinp аз-Щж,
(Ш.9')
где р — угол внутреннего
трения (угол накло-
на прямолинейной
огибающей к оси б).
Анализ теории прочности
Рис. 19. Графическое представление
прочности по А. Боткину
Мора показывает, что предельное
состояние не зависит от среднего по величине главного нормаль-
ного напряжения о.2. Обобщение теории прочности Мора на слу-
чай напряженного состояния вида i> о2 Ь>°з было осуще-
ствлено А. И. Боткиным [41]. Он предложил учитывать влияние сил
сцепления на прочность с помощью среднего нормального напря-
жения оср, под действием которого в элементе возникают силы,
эквивалентные сцеплению.
Условие предельного состояния по А. И. Боткину может быть
записано в следующей форме:
Токт — Го + /Пер,
(ШЛО)
где Токт — октаэдрическое касательное напряжение;
То — сопротивление чистому сдвигу;
/ — коэффициент внутреннего трения.
Графически уравнение (III.10) представляет собой прямую линию
в координатахт;октпср, наклоненную к оси <тср под углом р (рис. 19).
Разрушение породы от сдвигающих напряжений происходит при
достижении ими величины, достаточной для преодоления сил
трения и сцепления. Записывая последовательно условие (III.10)
для случая одноосного сжатия и растяжения, по аналогии с (III.8)
получим:
/= ^(Рс^-пр) ,	(ш.11)
+ <Jp	3(Осж+^р)
Подставляя (III.И) в (III.10), окончательно запишем:
V (°1— аг)2 + (Р1 — аз)2 + (а2—°з)2 — —~~—₽-Ь
Рсж-Гар
+ ^2n(<^7gp) (gl + g2'+g3)-
Осж'Т' Up
Частным случаем (III. 12) является напряженное состояние
вида <rT J> о2 = б3, которое соответствует испытаниям на объемную
5*
67
сланца при направлении а2 па-
раллельно слоистости 1 и
перпендикулярно к слоисто-
сти 2
по величине главное
прочность в стабилометрах. Для
данного вида напряженного состоя-
ния уравнение (III.12) перепишется
следующим образом:
Зосж--Ср	/ттт
go”---°з—Сеж- (III.13)
Сопоставляя левые части уравне-
ний (III.13) и (III.9), можно видеть,
что среднее
напряжение о2 оказывает упрочня-
ющее действие. Так, если в (III.9^
положить осж/Ор = 10, то в уравне-
нии (III.13) коэффициент при <т3 будет
равен 14,5. Таким образом, разность
в левой части уравнения (III.13)
меньше, чем в уравнении (III.9), не
учитывающем о2, и, следовательно,
предельное состояние по А. Боткину
будет достигаться при больших на-
пряжениях чем по О. Мору. Упрочняющее действие о2
подтверждается исследованиями прочности горных пород в усло-
виях трехосного неравномерного сжатия, проведенными А. Беро-
ном и С. Чирковым [251. При постоянном значении наименьшего
напряжения о3 в каждом последующем опыте увеличивалось
значение а2. При этом предельная величина наибольшего напря-
жения возрастала.
Одновременно было установлено, что влияние а2 зависит от
анизотропии горных пород. На рис. 20 представлены графики
зависимости предельного значения от среднего главного на-
пряжения о2 при постоянном значении о3 для образцов глинистого
сланца. Прямая 1 соответствует опытам, в которых о2 было на-
правлено параллельно слоистости, а прямая 2 >— опытам, в кото-
рых направление о2 перпендикулярно к слоистости.
Переходя к вопросу о форме огибающей предельных кругов,
следует отметить, что использование прямолинейной огибающей
в области растягивающих напряжений неверно отражает проч-
ностные свойства пород. Вид огибающей предельных кругов для
различных типов породы должен определяться экспериментально
с учетом их напряженного состояния в массиве. Обширные иссле-
дования объемной прочности различных типов пород [9] позво-
лили сформулировать ряд требований, которым должны удовлет-
ворять огибающие, а также установить их возможные формы.
Основные требования к огибающей сводятся к следующему:
огибающая должна быть монотонной кривой-г = / (о), симметрия-
•»	«*	«* d I т I
нои относительно оси а, производная от этой кривой '  во всем
а (У
диапазоне ее существования должна быть больше или равна
68
нулто. В области растягивающих напряжений огибающая должна
пересекать ось а под прямым углом. Отрезок ар, отсекаемый оги-
бающей на оси а в области растягивающих напряжений, соответ-
с гвует прочности пород при одноосном и объемном растяжении.
Поэтому никаких иных предельных точек, где т = О, существо-
вать не может.
Огибающую предельных кругов Мора можно аппроксимиро-
вать, помимо прямолинейной, также параболической [42], гипер-
болической [43] и другими зависимостями. Однако следует под-
черкнуть, что одни из них не удовлетворяют частично сформули-
рованным выше условиям, а другие имеют слишком сложную
форму записи, что затрудняет тем самым использование этих урав-
нений при решении практических задач механики горных пород.
Поэтому в качестве условия предельного состояния (11.103) боль-
шинство исследователей использует уравнение прямолинейной
огибающей, несмотря на ее недостатки в области описания рас-
тягивающих напряжений, отмеченные выше. При этом справед-
ливо отмечается, что в породном массиве преобладающими
являются напряжения сжатия.'
Как следует из теории прочности О. Мора, разрушение может
носить хрупкий характер и наступить в результате отрыва, когда
наименьшее нормальное напряжение достигнет величины предела
прочности горной породы при одноосном растяжении. Последняя
трактовка является частным случаем теории наибольших нормаль-
ных напряжений.
Помимо такого объяснения хрупкого разрушения в механике
твердых деформируемых тел широко используются критерии
хрупкого разрушения А. Гриффитса и других авторов, в основе
которых лежит теория трещинообразования. Согласно теории
А. Гриффитса [102,1031, ответственными за разрушение считаются
концентраторы напряжений типа трещин, включений менее
прочного материала и т. д. Поскольку трещиноватость является
органическим свойством всех горных пород, использование ука-
занных критериев хрупкого разрушения представляется весьма
перспективным в механике горных пород.
Исследуя предельное равновесие пластинки с трещиной, име-
ющей длину 21 и ориентированной перпендикулярно к растягива-
ющему напряжению <т3 <; 0 (здесь и в дальнейшем в отличие от
цитированных работ растягивающие напряжения считаются отри-
цательными и обозначаются о3), А. Гриффитс установил критиче-
скую величину усилия, обеспечивающую неустойчивое развитие
трещины. В зависимости от вида напряженного состояния выра-
жение для п3 записывается так:
в случае плоского напряженного состояния
-"3 = 1—J ’	(ШЛ/1)
69
в случае плоско-деформированного состояния
—
,	где Е, ц — деформационные характеристики материала;
,	Т — энергия поверхностного натяжения.
„	В дальнейшем, рассматривая произвольно ориентированную
*	эллиптическую трещину в условиях двухосного растяжения —
1	сжатия соответственно главными напряжениями о3 <0 и Oj 7>0,
А. Гриффитс получил следующие критерии прочности для плос-
кого напряженного состояния:
1	если
За34-о1>0, то
8<jp (о3+О1) + (Оз—<Ji)2 = 0,	(111.16}
если
•3a3+<Ji<C0, то
!	-а3 = ср,	(Ш.17}
;	где Ор — среднее значение технической прочности хрупкого тела
'	при растяжении.
•	Положив в (III.16) о3 = 0, получим условие одноосного сжа-
тия, откуда находим
-2^ = 8.	(III.18}
Ср
,	Дальнейшее развитие теория хрупкого разрушения получила
в работах Ирвина [1041 и Орована [1051, где энергетический
'	подход А. Гриффитса распространен на случай квазихрупкого
;	разрушения пластичных материалов. Однако следует отметить,
что учет диссипации энергии на пластическое деформирование
f 	для горных пород не является существенным.
,	В общем случае развивающаяся трещина не будет распростра-
|	няться в своей первоначальной плоскости. Как показано В. В. Па-
насюком [44], гипотеза о сохранении первоначального направле-
ния справедлива лишь для трещин, ориентированных перпенди-
;	кулярно к полю растягивающих напряжений. В случае же хаоти-
1	ческого расположения трещин наиболее опасными при одноосном
растяжении будут трещины, ориентированные под углом а
*	«ь 68° 10' к направлению растягивающих напряжений. Прочность
такого тела при растяжении определится выражением
/2
Ор = 0,97Х (III.19}
*	*	“у I
।	где К — постоянная материала, определяемая экспериментально
'	и называемая модулем сцепления.
'	При этом трещина будет распространяться в направлении,
близком к перпендикулярному по отношению к направлению рас-
тягивающих' напряжений. Экспериментальные исследования на
70
таких материалах, как силикатное и органическое стекло и чугун,
показали хорошую согласованность теоретических выводов с ре-
зультатами экспериментов.
В случае двухосного напряженного состояния растяжение —
сжатие трещина может в процессе деформирования раскрываться
или закрываться. Например, с учетом взаимодействия берегов
закрывающихся трещин критерий прочности при одноосном сжа-
тии напряжениями цх >0 записывается следующим образом:
К V2 lz2____________1
2sina (cos a—/sin a) ’
(III.20)
где f — коэффициент трения берегов трещин.
Трещина начнет распространяться под углом 70° 30' к своему
первоначальному расположению. Минимизируя (III.20) по углу а,
можно определить ориентацию наиболее опасных трещин:
1 , 1
a=-7j-arctgy.
С учетом (III.21) перепишем (IIL20) в виде
a1 = /3-Lp.. -.L
л/1 Vl+P-f
(Ш.21)
(Ш.22)
Тогда, имея в виду (III.19), получим отношение прочности мате-
риала при сжатии к прочности при растяжении:
Пр
1
Отт/
(III.23)
Особый интерес представляют следующие частные случаи:
7=0.
^£2.= 1,8,
(Тр
(III.24)
/=1,	(Ш.25)
<Тр
Экспериментальная проверка на материалах с однородной
структурой (чугун, стекло) показывает, что в случае закрыва-
ющихся трещин теоретические решения дают заниженные значе-
ния разрушающих нагрузок. Таким образом, можно сделать
вывод, что в случае раскрывающейся трещины достижение нагруз-
кой критических значений обеспечивает неустойчивое распростра-
нение трещины и разрушение материала. В случае закрывающейся
трещины можно говорить лишь о критической нагрузке, соответ-
ствующей началу роста трещин (подвижно-равновесное распро-
странение трещин). Исследование же поведения трещин вплоть
До разрушения сопряжено с непреодолимыми прка математи-
ческими трудностями.
Рассмотренные выше исследования в основе своей имеют гипо-
тезу наибольших растягивающих напряжений. Однако в сжатых
71
телах (в массивах горные породы, как правило, находятся в таком
состоянии) в окрестности концов трещин растягивающие напря-
жения не всегда могут возникнуть. Распространению трещин
в сжатых телах посвящены работы Г. П. Черепанова [39, 40/
Вводя гипотезу о сдвиговом характере развития трещин, Г. П. Че-j
репанов получил следующие критерии прочности:
при одноосном сжатии	J
+	,	(III.26);
при двухосном сжатии
f (Щ + а3)-/Т+75(а1-а3) = ^^-+^о.	(Ш.27>
л У I
где L — постоянная материала, определяемая экспериментальна
и называемая сдвиговым модулем;
Кй — постоянная сцепления.
Несмотря на кажущуюся простоту и наглядность приведенных
соотношений, практическое использование их сопряжено со зна-
чительными трудностями, возникающими при экспериментальном*
определении входящих параметров. В механике горных пород
эта задача осложняется также тем, что дефекты породных масси-'
вов в виде трещин, как правило, не поддаются математическому;
описанию. Поэтому, выразив в (III.27) геометрические параметры
трещин и константы материала через интегральную их характер
ристику асж согласно (III.26), получим:	:
(Oj—<т3) = Осж (1—о)4-а (01 + <т3)	(III.28);
или
£1=Яз. = £^(1-а) + а-(£1+Я82.	(III.29^
Ll	Ij	tj
где
Сравнивая выражения (Ш.29) и (III.7), приходим к выводу,/
что они совпадают с точностью до обозначений, т. е. (III.29);
является уравнением прямолинейной огибающей на диаграмм©;
Мора. Кстати,-с учетом расчетных предпосылок, лежащих в основе,
уравнения (III.29), такое совпадение представляется очевидным.'
Сдвиговые трещины имеют наиболее опасную ориентацию при
1 1
а = -g- arctg у. Однако по мере роста сдвиговой трещины в окрест-
ности конца ее происходит рост растягивающих напряжений,
достигающих максимума при р 71°. Очевидно, при некоторой,
их величине гипотеза наибольших растягивающих напряжений
будет предпочтительней сдвиговой гипотезы, и трещина откло-
нится под углом 71°. Такой механизм разрушения описан в ра- •
боте Г. П. Черепанова [39]. Вполне возможно, что разрушение
72	;
Рис. 21. Схема хруп-
кого разрушения по
гипотезе трещинооб-
разования при сжима-
ющих напряжениях
будет иметь вид, изображенный на рис. 21.
Иными словами, характер разрушения будет
в виде отрыва по плоскости наибольших
растягивающих деформаций, как это часто
наблюдается в натуре. Именно в таких ус-
ловиях, как это указывается в работе [26],
должна определяться асж, входящая в урав-
нение (III.28).
Какие же из рассмотренных выше рас-
четных схем и гипотез хрупкого разруше-
ния наиболее полно соответствуют реаль-
ному поведению горных пород при дефор-
мировании? Воспользуемся результатами
экспериментальных исследований, опубли-
кованными в работе [101], где исследовалось
развитие трещин в породах вплоть до раз-
рушения. Некоторые из этих результатов
приведены в табл. 5.
Как видно из табл. 5, при одноосном
сжатии отношение а'/ор 4,7, т. е. до-
вольно хорошо согласуется с (III.25), если
предположить, что для этой весьма прочной породы коэффициент
трения близок к 1. Иными словами, расчетные критические на-
грузки при сжатии будут соответствовать началу распростране-
ния трещин. Следует также оговориться, что сопоставление ре-
зультатов теоретических и экспериментальных исследований хруп-
кого разрушения горных пород носит более качественный, не-
жели количественный, характер ввиду сложности проведения
экспериментов, особенно при растяжении (см. §'12). Следующее
из (III.23) увеличение отношения асж/ар с увеличением коэффи-
циента трения также хорошо согласуется с результатами экспе-
риментов. Уравнение (III.28) отражает известный факт увеличе-
ния прочности пород при всестороннем сжатии. Вместе с тем,
учитывая наличие периода устойчивого развития трещин, пред-
шествующего разрушению, соотношения (III.26) и (III.27)
Таблица 5
Соковые напряже- ния сжатия кгс/см*	Осевые напряжения сжатия а,, кгс/см’, при			аР- кгс/см’
	зарождении трещин (71	неустойчивом распространении трещин <71	потере проч- ности, (71"	
0	762	2160	2 826	160
22	850	2 510	4410	160
82	1095	3 450	7100	160
151	1390	3 750	9140	160
73
следует рассматривать как критерии начала устойчивого развит!
трещин.
Таким образом, расчетная схема для вывода критерия про
ности при хрупком разрушении горных пород должна учитыва’
как основной элемент взаимодействие берегов трещин. Наибол1
перспективным направлением представляется исследование пов
денйя трещин вплоть до разрушения, некоторые основные пол*
женин которого изложены в работах [39, 106].
В заключение необходимо отметить следующее., Использов!
ние рассмотренных критериев хрупкого разрушения в механик
горных пород осложняется еще и тем, что все они получены в пред
положении однородного поля напряжений. В действительност:
поле напряжений породного массива в окрестности горных выря
боток является неоднородным. Критерии прочности в эти:
условиях будут определяться не только величинами напряжений
но и их градиентами. Следовательно, использование критерия
хрупкого разрушения в механике горных пород, несмотря на оче
видную целесообразность такого подхода, сопряжено со знача
тельными трудностями.
§ 14. РЕОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
Характер деформирования горных пород во времени обычно
иллюстрируется кривой ползучести (рис. 22), которая в наиболее
общем случае включает три характерные стадии деформирования.
Участок ОА соответствует начальной условно-мгновенной де-
формации. В зависимости от величины приложенного напряже-
ния она может быть как упругой, связанной с упругим сжатием,
минерального скелета, защемленного воздуха и воды, так и час-t
тично необратимой, обусловленной микроразрушениями (сдви-
гом частиц, их переориентацией, частичным нарушением жестких;
связей).
Участок АБ соответствует стадии неустанов'ившейся или зату-
хающей ползучести (е -> 0). Для ползучести породы в этой ста-
дии ^акже характерны как упругая, так и необратимая дефор-
Рис. 22. Кривая ползучести горных
пород
мации.
Участок БС соответствует
стадии установившейся ползу-
чести или ползучести с посто-
янной скоростью (е = const).
Эта стадия деформирования ха-
рактеризуется разрушением
структурных связей и поэтому
деформации при разгрузке вос-
станавливаются лишь частично.
Участок СД характеризуется
увеличением скорости деформи-
74
6
Рис. 23. Структурная
модель линейно-де-
формируемой упруго-
вязко-пластической
среды
рования, что связано с интенсификацией
процесса разрушения, появлением трещин
и, наконец, полным разрушением. Этот уча-
сток соответствует стадии прогрессирующего
‘течения.
Таким образом, полная деформация пол-
зучести горной породы
8 (0=ео+е1 + е2 + е3'	(III.31)
где е0 — начальная деформация;
ех — деформация неустановившейся пол-
зучести;
е2 — деформация установившейся ползу-
чести;
е3 — деформация прогрессирующего те-
чения.
Рассмотренный случай является наиболее
общим для горных пород.
Как отмечалось в § 10, связь между пе-
ременными (напряжением, деформацией, ско-
ростями их изменения и временем), входя-
щими в реологическое уравнение состояния,
устанавливается на основании той или иной
теории ползучести. В механике горных по-
род наибольшее распространение получили
теории упруго-вязко-пластической среды и наследственной пол-
зучести.
В теории упруго-вязко-пластической среды для наглядности
изображения реологических свойств тела используется метод
структурных моделей [45]. Каждая из таких моделей включает
в себя простейшие элементы, имитирующие упругие, вязкие
и пластические свойства. В общем случае структурная модель
линейно-деформируемой упруго-вязко-пластической среды имеет
вид, показанный на рис. 23.
Упругие свойства среды имитируются пружинами 1 и 2, де-
формирование которых подчиняется закону Гука о = Ее. Пер-
форированные поршни 3 и 4, двигающиеся в цилиндрах с жид-
костью, имеющей вязкость ц, имитируют вязкие свойства
среды. Согласно закону Ньютона, действующее в этом элементе
напряжение прямо пропорционально скорости движения поршня,
т. е. а — ц е. Пластические свойства среды учитываются введе-
нием в модель элемента сухого (кулонова) трения 5, представля-
ющего груз, скольжение которого по площадке возможно лишь
при напряжении о 7>о*, где о* — определенная константа для
данной среды.
Для объемного напряженного состояния реологическим урав-
нением линейно-деформируемой упруго-вязко-пластической среды
является уравнение (11.112). При составлении реологического
75
уравнения состояния, соответствующего структурной модели,
представленной на рис. 23, необходимо перейти к одноосному
напряженному состоянию с нормальным напряжением о и ли-
нейной деформацией е. Тогда уравнение (11.112) перепишется
следующим образом:
da ,, de	,„т
Vj<j-t-v2 ——v3+v^e + V5	.	(III.32)
Раскрывая значения коэффициентов v, и рассматривая случай,
когда v3 = 0, получим:
(Ш.ЗЗ)
где Ео — начальный модуль упругости при t = 0;
Еоо — конечный модуль упругости при t -> 00;
tp — EntnlE«> время последействия, или время ретардации,
характеризующее скорость увеличения дефор-
мации при прстоянной нагрузке.
Уравнение (Ш.ЗЗ) является реологическим уравнением упруто-
вязкой среды с ограниченной ползучестью и способной к релак-
сации. Модель такой среды часто называют линейным стандарт-
ным телом или телом Пойтинга — Томсона.
Решая (Ш.ЗЗ) при о = const, получим уравнение ползучести
е0)=еоо—(e^-eoje ‘р •	(III.34)
где ето = о/Еоэ — конечная стабилизирующаяся деформация;
е0 = в!Ей — начальная мгновенная деформация;
tp — время ретардации, характеризуемое отрезком вре-
мени, в течение которого деформация увеличивается
в е раз.
Положив е = const, получим уравнение релаксации
_t_
0(О = Ооо + (а<’~асо)е	'
(III.35)
где Осо = ЕооЪ — конечное напряжение;
о0 = EQe — начальное напряжение;
t0 — время релаксации, характеризуемое отрезком времени,
в течение которого напряжения уменьшаются в е раз.
Из полученных уравнений видно, что деформирование носит
затухающий характер (е -> 0), а напряжения полностью не ре-
лаксируют.
При v8 = 0, v4 = 0 из (III.32) получим реологическое уравне-
ние состояния
de	1	da , а
dt	Eq dt EqIq *
(III.36)
76
соответствующее упруго-вязкой
среде с неограниченной ползу-
честью и способной к релакса-
ции или среде Максвелла, ре-
шение которого записывается
следующим образом:
при а = const
8(0 = 80(1 + -^-), (Ш-37)
Рис. 24. Кривые ползучести для по-
род первого типа а и второго типа
б по Ю. М. Либерману
при е = const
t
o(t) = a0e" (III.38)
Анализ (III.37) и (III.38)
показывает, что деформации
при о = const увеличиваются
неограниченно по линейному
закону, а напряжения в усло-
виях е = const релаксируют до
нуля.
На основании многочислен-
ных испытаний, проведенных
с породами Донецкого и Под-
московного бассейнов, Ю. М. Ли-
б ерман [46 ] предложил подраз-
Делить горные породы по рео-
логическим свойствам на 2 типа. К первому типу относятся по-
роды, деформирование которых во времени носит ограниченный
характер. Деформации ползучести возрастают по экспоненциаль-
ному закону и стремятся к определенному пределу, нелинейно
зависящему от величины действующего напряжения (рис. 24, а).
В качестве реологического уравнения состояния пород этого
типа можно использовать уравнение (III.33) с введением в него
вместо Всо = ъ1Е№ нелинейной функции / (е,»), которая может
быть представлена одной из следующих зависимостей:
или
(II1.39)
(III.40)
где А, т, а, 0 — параметры аппроксимации.
Для определения параметров а и 0 необходимо иметь как
минимум две кривые ползучести, полученные при различных по
17
величине сжимающих напряжениях и аппроксимированные соот-
ветственно функциями:
8ool^ae01+₽E01’	(III.41)
еоо2 = а802+М2,
где значения боо!, е01, е02 снимаются непосредственно с кри-
вых ползучести. Совместное решение этих двух уравнений позво-
ляет найти коэффициенты аир. Аналогичным образом могут быть
определены параметры А и т. Время ретардации tp получим из
уравнения (III.34) следующим образом. Откладывая по оси аб-
сцисс время t, а по оси ординат соответствующую ему величину
In [(е0—еоо)/(е—Воо)], получим прямую, котангенс угла наклона
которой к оси абсцисс даст значение tp. Зная tp, можно опреде-
лить и время релаксации t0 из соотношения
К породам первого типа относятся, например, слабые и креп-
кие глинистые сланцы, песчаники, аргиллиты и алевролиты.
В табл. 6 приведены значения а, р, А, т для некоторых из этих
пород.
Особенностью деформирования пород второго типа является
то, что на кривых ползучести не прослеживается предельной де-
формации (рис. 24, б). Эта кривая представляет в начальной части
экспоненту, которая затем быстро переходит в прямую, образу-
ющую некоторый угол с осью времени. Для пород второго типа
в качестве реологического уравнения состояния в первом при-
ближении может быть использовано уравнение (II 1.36). Время
релаксации t0, входящее в уравнение (III.36), легко определить
по кривой ползучести. Оно представляет собой время, за которое
начальная деформация е0 увеличивается в 2 раза. Следует иметь
в виду, что величина е0 берется непосредственно по кривой пол-
зучести как ордината точки пересечения на продолжении прямо-
линейного участка кривой с осью е. Соответственно начальный
модуль упругости Ео определяется как Ео = о/е0.
Таблица 6
Породы	а		А	ш	<р, оут
Слабые глинистые сланцы . .	1,5	600- 800 200— 300	10—15	1,2—1,3	30-40
Крепкие глинистые сланцы	1,3		—	—	5-10
Песчанистые сланцы		1,2	100	5-10	1,1—1,2	3-5
Песчаники		1,1	20	1-5	1,0-1,05	2-3
78
Ко второму типу относятся глинистые породы. Время релак-
сации t0 по данным, полученным Ю. М. Либерманом 138], для
глин Подмосковного бассейна составляет 45 сут., начальный
модуль упругости Ео — 2800 кгс/см2.
Для описания реологических свойств различных горных пород
и грунтов могут быть использованы также другие структурные
модели, например Кельвина — Фойгта [107], Бингама — Шве-
дова и Бюргерса [48, 49]. Первую из них получим из уравнения
(III.32) при v2 = 0, вторую при v3 = о*, v2 = v4 = 0, а третья
является моделью более высокого порядка и представляет собой
последовательное соединение моделей Максвелла и Кельвина —
Фойгта.
Горные породы с точки зрения реологических свойств являются
весьма сложными телами, поэтому рассмотренные выше модели
описывают их поведение приближенно. Более детальное описание
реологических свойств связано с необходимостью использования
многоэлементных моделей, интерпретация параметров кото-
рых представляется весьма затруднительной. В этом случае
79
Рис. 26. Кривая длительной прочности на од-
ноосное сжатие для известняка
целесообразно перейти i
к модели с непрерывным ц
распределением элемен- й
тов. Такой переход при-1
водит к уравнению со-;
стояния с одним пара- \
метром и некоторой
функцией влияния, ко- ,
торая имеет совершенно ]
определенный фиэиче- '
ский смысл и может быть j
легко определена.
Наиболее общей теорией ползучести, дающей возможность
учитывать нелинейное деформирование, является теория нели-;
нейной наследственной ползучести, разработанная Ю. Н. Работ-
новым [50] и представляющая обобщение теории Больцмана — ;
Волыерра [108]. Для горных пород эта теория развита в работах
Волыерра [108]. Для горных пород эта теория развита в работах
Ж. С. Ержанова [51] и в дальнейшем использована в работах
[52 , 53].
При исследовании процессов разрушения массива, вмещающего
выработки, а также расчетах различных конструкций крепи с уче-
том фактора времени обычно используется значение пределаj
длительной прочности горных пород. Если на семействе кривых 1
ползучести (рис. 25, а) отметить точки, соответствующие моменту .
разрушения tlt t2, t3, ..., tn при различных напряжениях о,, о2, :
<т3, ..., <т„, то кривая, построенная по этим данным в координатах
Gt, будет изображать процесс снижения прочности горных пород'
во времени (рис. 25, б). Физический смысл полученной зависи-'
мости заключается в том, что в условиях длительного нагружения <
порода разрушается при нагрузках меньших, чем при кратко-,
временном нагружении. Кривая на рис. 25, б называется кривой
длительной прочности на одноосное сжатие, причем начальная j
ордината этой кривой соответствует прочности при кратковремен-
ном нагружении tfCH!0, а асимптота кривой — пределу длитель-:
.ной прочности оСЖ0О. Для практических целей значение оСЖоо еле- ;
дует принимать соответствующим сроку службы данного объекта. <
На рис. 26 показана кривая длительной прочности для извест- j
няка. Рассмотрим отношения мгновенной и длительной прочности ’
Псжз^сжоо ДЛЯ некоторых типов пород:
Известняк	.............................1,36
Песчаник	............................1,55
Глинистый	сланец.........................2,00
Мел......................................1,61
Глина....................................1,35
Каменная	соль..........................1,43
Для большинства исследованных горных пород отношение <
^ежо/^ежоо равно 1,2	1,7.	j
1
Глава IV
СТРУКТУРНО-МЕХАНИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
МАССИВОВ ГОРНЫХ ПОРОД
§ 15. МАССИВ ГОРНЫХ ПОРОД
И ЕГО СПЛОШНОСТЬ
Конкретные условия образования и залегания горных пород
придают им те структурно-механические особенности, учет кото-
рых по испытаниям образцов, отделенных от массива, практически
невозможен. В этом отношении весьма показательными являются
результаты исследований механических свойств горных пород,
приведенные в работе [54]. Значения модулей деформации, опре-
деленные при сжатии призм большого размера, оказались на
один-два порядка меньше, чем при определении на обычных
образцах, а коэффициент поперечной деформации р. больше 0>5,
что с позиций классической теории упругости является парадок-
сальным. Объяснить эти результаты возможно только при учете
тех специфических особенностей, которыми обладает горная по-
рода в условиях ее естественного залегания, то есть в массиве.
Придерживаясь [55], массив горных пород можно определить
как «часть земной коры, находящуюся в сфере инженерного воз-
действия, исследуемую с целью определения условий производ-
ства инженерных работ и эксплуатации сооружений и облада-
ющую инженерно-геологической структурой, отличной от струк-
туры соседних с ним участков земной коры». Из приведенного
определения следует, что границей массива сверху является по-
верхность земли, снизу — граница ведения горных работ, а с бо-
ков — области существенного изменения структуры земной коры.
Важнейшими структурно-механическими особенностями массива
горных пород являются его сплошность, неоднородность и анизо-
тропность.
Во второй главе было сформулировано математическое понятие
сплошности, которое сводится к требованию непрерывности поля
напряжений и деформаций.
От математического понятия сплошности следует отличать
физическое понятие этого свойства, которое подразумевает отсут-
ствие в исследуемом объекте каких-либо дефектов. Зернистость
породной структуры, слоистость, трещиноватость, различного
рода включения нарушают физическую сплошность массива,
6 Заказ 194
81
в результате чего он оказывается разбитым на отдельные слои,
блоки, куски. Однако если все эти элементы деформируются
внешне как единое целое, то, с известной степенью идеализации,
такой массив может рассматриваться как сплошная среда в мате-
матическом смысле этого понятия. Для более детального объяс-
нения этого явления и разрешения противоречий между двумя
понятиями сплошности необходимо рассмотреть базовые положе-
ния механики сплошной среды.
В основе методов механики сплошной среды, используемых при
исследовании массивов горных пород, лежит следующий принцип.
Первоначально изучается напряженное состояние в некоторых
малых объемах породы, называемых элементарными, на которые
мысленно можно расчленить рассматриваемый массив. Затем эти
элементарные объемы снова собираются воедино и, таким обра-
зом, удается описать состояние массива в целом. Следовательно,
необходимым условием применения методов механики сплошной
среды является возможность выделения в породном массиве эле-
ментарных объемов. Каковы же размеры элементарного объема
для породных массивов? Очевидно, элементарным следует считать
объем, обладающий всеми свойствами данного породного массива,
но настолько малый по сравнению с изучаемым объектом, что его
напряженно-деформированное состояние может рассматриваться
как состояние в точке. Иными словами, элементарный объем —
это тот бесконечно малый объем породного массива, который еще
обладает всеми свойствами массива.
Оценим размеры элементарного объема из условия сохране-
ния свойств породного массива. Для этого следует рассмотреть
структуру самой породы (ее внутреннее строение) и структурные
особенности породных массивов. В горной породе, представля-
ющей по своей структуре минеральный агрегат, можно выделить
малые, но имеющие определенные размеры объемы, которые еще)
обладают всеми свойствами породы. Указанные размеры являются
предельными, и при дальнейшем уменьшении объемов начинают,
существенно проявляться свойства слагающих минералов. Раз-s
меры таких объемов зависят от типа породы и, в первую очередь,;
от крупности зерен минерального скелета и взаимного их распо-’
ложения. Например, для песчаника с содержанием кварца до'
80% (размер зерен до 0,5 мм) и цемента до 20% элементарный’
объем составляет 0,025 см* [9]. Боковая грань такого объема^
представляет элементарную площадку размером 0,084 см2, а ребро—<
элементарную длину размером 0,29 см. Таков же порядок разме->
ров элементарных объемов и для других типов пород. i
Если учесть, что размеры объектов исследования в породных^
массивах измеряются метрами и даже десятками метров, стано-1
вится очевидной возможность рассматривать указанные элемен-1
тарные объемы как бесконечно малые. Действительно, линейные 1
размеры объектов исследования на три и даже четыре порядка^
выше размеров элементарных объемов. Таким образом, дефекты’!
82	s
г
внутреннего строения породы не являются существенным препят-
ствием для использования методов механики сплошной среды.
Анализ структурно-механических особенностей породных мас-
сивов показывает, что дефекты их строения более существенно
сказываются на увеличении размеров элементарных объемов,
нежели внутренние дефекты строения самой породы. В отдельных
случаях размеры таких объемов достигают порядка нескольких
метров. Дальнейшая классификация этих объемов, как элементар-
ных, зависит от размеров объекта исследования. Например, при
изучении механических процессов в окрестности подготовитель-
1	ных одиночных выработок, где область влияния выработки изме-
I	ряется метрами и в крайнем случае десятками метров, такие
объемы нельзя классифицировать как элементарные. В другом
случае, при изучении сдвижения породного массива над очистным
пространством, когда размеры области исследований составляют
сотни метров, такие объемы можно считать достаточно малыми
и классифицировать как элементарные. Следовательно, вопрос
о правомерности использования методов механики сплошной
среды должен решаться для каждого конкретного породного
массива с учетом его структурно-механических особенностей.
Некоторое обобщение математического понятия сплошности
для породных массивов предложено Г. А. Крупенниковым [56].
Им введено понятие квазисплошного массива. В качестве крите-
рия, позволяющего рассматривать массив как квазисплошной,
предлагается соотношение
ДА <8 при Да<Ч0,	(IV.1)
где ДА — разность значений напряжений, деформаций и смеще-
ний в соседних точках массива с приращением коорди-
нат Да;
16 — линейный размер элементарного объема, т. е. элемен-
тарная длина;
е — допускаемая погрешность в определении А (до 15% от
среднего значения).
При невыполнении условия (IV.1) следует пользоваться моделями
и методами механики дискретной среды.
Поскольку основными причинами нарушения условия (IV. 1)
являются структурно-механические особенности породных масси-
вов, рассмотрим их более подробно.
§ 16. ТРЕЩИНОВАТОСТЬ и слоистость
По характеру происхождения различают трещиноватость двух
видов: естественную и искусственную. Естественная трещинова-
тость горных пород связана с особенностями их образования
и последующих изменений, а искусственная формируется в ре-
зультате влияния на породный массив взрывных работ при соору-
жении подземных выработок, либо является следствием хрупкого
6*	83
Рис. 27. Упорядоченная трещинова-
тость породного массива
Рис. 28. Неупорядоченная (хаотиче-
ская) трещиноватость породного мас-
сива, ослабленного трещинами
разрушения горных пород от напряжений, действующих в окрест-
ности образованной выработки.
Трещиноватость, в зависимости от ориентации трещин, может
быть упорядоченной, т. е. когда можно выделить одно или не-
сколько направлений преимущественного распространения тре-
щин (рис. 27), или неупорядоченной (хаотической), когда такие
направления выделить нельзя (рис. 28). Трещины, располагаясь
в массиве горных пород на определенном расстоянии друг от други,
пересекаются, сопрягаются, в результате чего массив (или иссле-
дуемая его часть) с характерным размером Н оказывается разби-
тым на множество структурных блоков со средним размером h.
Отношение H/h называют интенсивностью трещиноватости. Кроме
того, для количественной оценки трещиноватости используются
линейный, площадной и объемный коэффициенты интенсивности
трещиноватости. Они представляют собой, соответственно, отно-
шение единиц длины, площади и объема к среднему расстоянию
между соседними трещинами Zcp, к площади Scp и объему струк-
турного блока Уср. При постановке задачи и выборе метода ее
решения необходимо, прежде всего, установить, является данный
массив сплошным или дискретным телом, и, если его можно
рассматривать как сплошной, то каким образом учесть наличие
трещиноватости и ее интенсивность? Для того чтобы ответить на
этот вопрос, снова обратимся к понятию элементарный объем.
Если за элементарную единицу у породы принимается зерно ми-
нерала, то при рассмотрении массива горных пород такой едини-
цей является структурный блок. Следовательно, элементарный
объем массива должен содержать в себе достаточное количество
структурных блоков, чтобы сохранять все .структурные особен-
84
ности массива. Для определения размеров элементарной пло-
щадки 10 воспользуемся соображениями, изложенными в [9]:
Zo«*10fe,	(IV.2)
где h — средний характерный размер структурного блока. Сле-
довательно, размер элементарной площадки примерно на поря-
док больше размера структурного блока. Однако, как уже было
показано в предыдущем параграфе, элементарным размером
можно считать такой, в пределах которого изменение значений
напряжений или деформации не превышает 15%. Известная фор-
мула Ф. С. Ясинского [57 j устанавливает связь между величиной
отклонения от средних значений напряжений на элементарной
площадке и относительными размерами этой площадки
е =	(IV.3)
где L — размер исследуемой области массива горных пород.
Подставляя (IV.3) в (IV.2) и полагая е = 0,15, получим выраже-
ние для определения размера структурного блока, который позво-
ляет в пределах исследуемой области породного массива выделить
элементарные объемы: h = 0,0025 L.
Размер области влияния выработки L можно определить,
полагая, что на ее границе напряжения, например Qg, должны
отличаться от значения в ненарушенном выработкой массиве не
менее чем на 15%. Тогда, пользуясь формулой для og в окрест-
ности выработок кругового поперечного сечения
o6 = yh (i + yr)1	(IV'4>
где г —' текущий радиус, выраженный в долях от внутреннего
радиуса /?„ выработки в проходке,
получим L = 6 2?в.
Например, для выработки с внутренним радиусом RB = 2 м
и областью влияния L = 62? в = 12 м, находим:
Zo 0,27 м, Л 0,027 м.
Размер элементарной площадки|/0 можно определить и не-
сколько иным способом. Будем считать трещиноватый массив
сплошным и линейно деформируемым. Тогда распределение на-
пряжений, например ое, подчиняется выражению (IV.4).
В пределах элементарной площадки размером Zo изменение
напряжений og не должно превышать 15%, т. е.
сте (п)—(гг) =£ о 15<тв (гх),	'	(IV.5)
где (г2—r^RB = Ze.
Положим = 1, тогда, согласно (IV.4), Og (гх) = 2уЛ. Под-
ставляя это значение в (IV.5), после соответствующих преобра-
зований получим
(IV.6)
85
Z0“0,2/?B.
Для принятых выше исходных данных размер элементарной пло-
щадки
10 = 0,4 м.
Таким образом, в обоих рассмотренных нами случаях размеры;
элементарной площадки оказались если не одинаковыми, то, noi
крайней мере, одного порядка. Это позволяет сделать следующий
вывод: трещиноватый массив может считаться квазисплошным,
если размер исследуемой его области на два порядка больше раз-'
мера элементарной площадки и на три порядка больше среднего;
размера структурного блока.	.
Рассмотрим теперь другой пример (рис. 27). Здесь расстояч
ние между трещинами настолько велико, что размеры структур-'
ных блоков соизмеримы с исследуемой выработкой. Пусть сред-
ний размер блока h = 1 м, тогда размер элементарной площадки
10= 10 • 1 = 10 м.	<
Воспользуемся формулой (IV.3) и при L = 12 м определим вели-
чину отклонения действующего на такой площадке напряжения
от его средних значений:
е=]/4т‘1ОО% = 91%-
Таким образом, условие квазисплошности массива (IV.1) не
выполняется, и для решения задачи должны использоваться ме-
тоды механики дискретной среды. Вместе с тем следует отметить,
что полученный размер элементарной площадки не является пре-
пятствием для применения методов механики сплошной среды при
условии, что размер исследуемой области' породного массива
составит
г 1»	10	,//
L~ е2	0,0225	444 м-
К числу таких задач можно отнести, например, изучение сдви-
жений породной толщи и земной поверхности над очистной выра-
боткой, расположенной на определенной глубине.
Перейдем теперь к вопросу об учете трещиноватости в моделях
сплошного массива и соответствующих им физических уравне-
ниях. Если размеры образцов, на которых определяются механи-
ческие характеристики породы, соизмеримы с размерами элемен-
тарного объема, то никакого специального учета трещиноватости
не требуется. Ее влияние автоматически будет учитываться в более
низких значениях этих характеристик по сравнению с характе-
ристиками нетрещиноватых образцов.
В том случае, когда размеры элементарного объема сущест-
венно превышают максимально возможные с технической точки
зрения размеры образцов породы, трещиноватость должны учи-
тываться специальными методами. В частности, трещины должны
рассматриваться как поверхности ослабления, которые могут
«6
привести к возникновению в
окрестности выработки областей
предельного равновесия. Усло-
вие предельного равновесия в
этом случае записывается в
виде:
| т I = a tg Ро-г со, (IV.7)
где с0 — коэффициент сцепле-
ния по поверхности
ослабления;
р0 — угол внутреннего тре-
ния по поверхности
ослабления.
Дальнейшее решение задачи по
определению размеров областей
Рис. 29. Зависимость коэффициента
структурного ослабления ikfjk^ от
величины интенсивности трещинова-
тости H/h
предельного равновесия можно осуществить согласно методу»
предложенному в работе [22].
Прочностные и деформационные характеристики пород по
трещинам значительно ниже тех же характеристик пород в куска
(в дальнейшем с индексом «к»). Следовательно, характеристики
пород в массиве (в дальнейшем с индексом «м») во многом опре-
деляются трещиноватостью последнего. На рис. 29 представлены
зависимости влияния интенсивности трещиноватости (H/h) на
величину коэффициента структурного ослабления (отеошение
сцепления породы в массиве к сцеплению в куске ЛГК) [58].
Эта кривая хорошо аппроксимируется аналитической зависи-
мостью вида
кк=к« (4)’0’6-	(iv.8)
Г. Л. Фисенко [24] соотношение между сцеплением породы
в массиве и куске выражает следующим образом. Если массив
разбит взаимно перпендикулярными трещинами, то
р- .. . __________
м 1 + а1п(Я/Л) ’
(IV.9)
а для массива, ослабленного кососекущими трещинами,
КМ = К'
Кк-К’
(IV.10)
где К' — сцепление между отдельными блоками;
а — коэффициент, зависящий от прочности породы в моно-
литном образце и характера трещиноватости, значения
которого принимаются в соответствии с табл. 7.
Коэффициент структурного ослабления Кк!Кк пород убывает по
мере возрастания прочности горной породы, что связано с приро-
дой разрушения породы в массиве. Чем порода прочнее, тем
87
Таблица 7
Группа пород	Наименование пород	Сцепление в массиве, мгс/см* км	Коэффициент а
III	Слабоуплотненные и слаботрещинова- тые песчано-глинистые отложения, сильно выветренные, полностью као- линизированные, изверженные . . . Уплотненные песчано-глинистые (тре- щиноватость нормально секущая)	4—9 10—20	0,5 2
II	Сильно каолинизированные, извержен- ные, уплотненные песчанно-глинистые с косо секущей трещиноватостью . . Средней крепости, слоистые с нормаль- но секущей трещиноватостью ....	30—80 100—200	2—3 3-5
I	Крепкие с нормально секущей трещи- новатостью *	 Крепкие изверженные с косо секущей трещиноватостью		200—300 200	6 10
процесс разрушения в большей степени связан с поворотом блоков,
а не с их разрушением.
Особенностью механических процессов, протекающих в тре-
щиноватом массиве, является повышенная его деформируемость.
Это происходит за счет перемещения структурных блоков относи-
тельно друг друга. При этом на контактах между ними, которые
могут быть сплошными, точечными или участковыми, возникают
силы трения.
Возможность деформирования (скольжения и поворота) по
контактам структурных блоков приводит к тому, что иногда на-
рушаются общие закономерности деформирования. Кривая зави-
симости «напряжение — осевая деформация» для массива может
значительно отличаться от типичной диаграммы для образца
и иметь вид, показанный на рис. 30. Здесь, согласно исследованиям
[59], участок ОА характеризует процесс последовательного
смыкания сначала более крупных, а затем все более мелких тре-
щин. При этом модуль деформации массива стремится к значе-
нию модуля монолитной породы.
Деформационные характеристики, определенные в лаборатор-
ных условиях, как, впрочем, и любые другие, существенно отли-
чаются от характеристик, определяемых непосредственно в мас-
сиве горных пород. По данным Ю. Р. Перкова и М. А. Долгих
[60], отношение модуля деформации, определенного обычным
лабораторным способом, к модулю деформации, полученному из
88
црессиометрических испытаний непо-
средственно в массиве, составляет в
среднем 2,8, достигая в отдельных слу-
чаях 4,4, Еще больше величина отно-
шения динамического модуля упру-
гости к модулю деформации в массиве,
ьоторая в среднем составляет 3,2. Такое
существенное различие в значениях
модуля деформации связано, в основ-
ном, с наличием в массиве горных по-
род макротрещин, которые обычно от-
сутствуют в образцах. К). М. Либер-
ман 122] показал, что закрытие тре-
щин на величину 0,002 мм может при-
вести к уменьшению модуля деформа-
ции в 2,5 раза.
Результаты исследования влияния трещиноватости на проч-
ностные и деформационные характеристики горной породы, полу-
ченные в работе (59], еще раз подтвердили, что с увеличением
степени трещиноватости прочностные и деформационные характе-
ристики уменьшаются. Существенное влияние на эти характе-
ристики оказывает угол наклона трещин. При объемном напря-
женном состоянии по мере увеличения всестороннего сжатия
влияние трещиноватости снижается.
Другим фактором, существенно влияющим на сплошность
массива, является его слоистость. Обычно различают два ее вида:
микрослоистость (т. е. слоистость в пределах одной литологиче-
ской разности) и макрослоистость — наличие различных литоло-
гических разностей, слагающие породный массив. Для оценки
влияния слоистости можно воспользоваться тем же методом, что
и для оценки влияния трещиноватости. С этих позиций слоистость-
в пределах одной литологической разности, как правило, не при-
водит к нарушению сплошности массива, т. е. условие (IV. 1)
выполняется с требуемой точностью. Поэтому, так же как и для
1 рещиноватого массива, слоистость будет учитываться автома-
тически при испытании образцов, размеры которых соизмеримы
с размером элементарного объема. Микрослоистость, так же как
и упорядоченная трещиноватость, вызывает появление у породы
неоднородности и анизотропии механических свойств.
Породные массивы, слагаемые различными литологическими
разностями, в зависимости от различия в деформационных харак-
теристиках отдельных слоев могут быть отнесены к двум видам:
1. Сложенные слоями без резких скачков в деформационных
свойствах.
2. С резкими изменениями свойств при переходе от одного
слоя к другому.
В массивах первого вида непрерывность изменения их свойств
обеспечивает выполнение установленных условием (IV. 1) требований
89<
к сплошности массивов. В массивах второго вида в слоях
более жестких деформации сдвига достигают предельных значе-
ний и приводят к разрушению, в то время как в пластичных слоях
разрушение не наблюдается. Такая скачкообразность в механи-
ческих свойствах, приводящая к резкому изменению напряжений
на контактах слоев, нарушает выполнение условия (IV. 1), и по-
родный массив не может рассматриваться сплошным. В этом
случае методы механики сплошной среды могут привлекаться
только при специальном учете граничных условий на контактах.
При этом математическая модель массива значительно услож-
няется.
§ 17. ЕСТЕСТВЕННАЯ НЕОДНОРОДНОСТЬ
И АНИЗОТРОПИЯ
Во второй главе при построении физических моделей породные
массивы подразделены на однородные и неоднородные, изотроп-
ные и анизотропные. Такая классификация физических моделей
массива связана с необходимостью отражения их структурных
дефектов и, в первую очередь, трещиноватости и слоистости.
Для однородного (квазиоднородного) массива характерно то, что
его свойства в различных точках одинаковы (почти одинаковы).
Трещиноватость, слоистость, сланцеватость, наличие различного
рода включений нарушают однородность массива таким образом,
что он может рассматриваться однородным или, точнее, квази-
однородным только с известной степенью идеализации, а в осталь-
ных случаях должен быть отнесен к неоднородным. Эти же при-
чины приводят к появлению геометрической и физической анизо-
тропии породных массивов, т. е. к различию свойств по различ-
ным направлениям действия напряжений.
По характеристикам неоднородности и анизотропии массивы
горных пород можно отнести к различным категориям (табл. 8).
По своему происхождению неоднородность может носить ха-
рактер первичной и вторичной. Первичная неоднородность воз-
никает при образовании породы и выражается в непостоянстве
формы, размеров, ориентировки, состава минеральных частиц,
их взаимного расположения в породе.	.
Вторичная неоднородность связана с последующими стадиями
преобразования горных пород и может быть различного происхо-
ждения: естественная, возникающая от выветривания, уплотне-
ния и перекристаллизации пород; искусственная (технологиче-
ская), возникающая в результате воздействия различных горно-
строительных работ на породный массив. Так как последующие
изменения, как правило, протекают крайне неравномерно, вто-
ричная естественная неоднородность характеризуется хаотич-
ностью физико-механических характеристик породы.
По размеру элементов различают неоднородность четырех
порядков [61]. Под термином элемент неоднородности подразу-
90
Таблица 8
Массив горных пород	Однородный	Неоднородный	
		статически неоднородный	с упорядоченной неоднородностью
Изотропный	Свойства пород не зависят от направления и координат точки опробования	Свойства пород не зависят от направле- ния, но являются случайными функ- циями координат точки опробования	Свойства пород не зависят от направ- ления, но являются некоторыми детерми- нированными функ- циями координат точки опробования
Анизотроп- ный	Свойства пород зависят от нап- равления, но не зависят от коор- динат точки опро- бования	Свойства пород зави- сят от направления и являются случай- ными функциями координат точки опробования	Свойства пород зави- сят от направления и являются некото- рыми детерминиро- ванными функциями координат точки опробования
мевают наибольший внутренне однородный объем горной породы,
отличающийся по своим свойствам от соседних с ним объемов.
Неоднородность IV порядка — это неоднородность кристал-
лов: дефекты кристаллической решетки, дислокации и т. п. (раз-
меры элемента неоднородности 10-6—10-3см).
Неоднородность III порядка — различие в химическом и ми-
неральном составе, форме и размере зерен, неоднородность в рас-
пределении цементирующего вещества, наличие микротрещин
(размер элемента неоднородности 10"3—10° см).
Неоднородность II порядка — неоднородность структуры гор-
ных пород и их состава (размеры элемента неоднородности
10°—103 см).
Неоднородность I порядка — наличие литологических раз-
ностей, зон выветривания, разгрузки и т. п. (размер элемента
неоднородности 103 см и более).
Вышеизложенное показывает, что при лабораторных исследо-
ваниях образцов обычно имеют дело с неоднородностью III по-
рядка, при натурных исследованиях в пределах одной литологи-
ческой разности с неоднородностью II порядка. Для макрослои-
стого массива характерен I порядок неоднородности.
При отнесении массива к категории однородных или неодно-
родных обычно пользуются следующими критериями. Массивы
горных пород в пределах одной литологической разности счи-
таются квазиоднородными, если коэффициент вариации ее свойств
не превышает 25%.
91
Массивы горных пород, сложенные различными литологиче
сними разностями, можно, руководствуясь соображениями, при
веденными в § 16, подразделить по степени неоднородности н
два вида.
1. Массивы непрерывно-неоднородные, т. е. такие, в которы:
изменения свойств при переходе от одной литологической pas
ности к другой не вызывают скачкообразного изменения механи
ческого состояния.
2. Массивы с «кусочной» неоднородностью, характеризующей^
резким изменением свойств при переходе от одного слоя к другому?
Массивы первого вида относят к квазиоднородным, если pai ‘
€рос средних значений их механических характеристик удовле'
воряет условию [561
Xi(l—Зр)^К2^Х1(1+Зу),	(IV.1
где Кг, v — соответственно среднее значение характеристики mi
ханического свойства и его коэффициент вариац!
для элемента неоднородности, имеющего нацбол
ший внутренний разброс показателей;
К2 — среднее значение характеристики механическо-
свойства для данного элемента неоднородности.
Массивы второго вида являются неоднородными, и их мат
матическая модель должна учитывать макрослоистость (см. § If
Увязывая неоднородность массивов с их сплошностью, можт
сделать следующий вывод: однородные, квазиоднородные и н
прерывно-неоднородные массивы являются сплошными, масси!
с «кусочной» неоднородностью — дискретными.
Следует также иметь в виду относительный характер неодн
родности. Одна и та же структура в зависимости от соотношеШ
размеров исследуемой области массива и элемента неодноро
ности может оказаться квазиоднородной и неоднородной. Напр
мер, для области влияния выработки размером L = 12 м налич
элементов неоднородностей IV, III порядка не является причин
отнесения массива к категории неоднородных. При наличии з
элементов неоднородности II порядка с размерами, отлича
щимися от L меньше, чем на порядок, требуются специальн
статистические исследования для отнесения массива к cootbi
Вопросы количественного
ствующей категории.
описания мех
нических свойств и разработки статистической модели неодноро,
ного массива горных пород рассмотрены в работах [62, 63 и
64
Анизотропия, так же как и неоднородность, может быть рз
личных порядков. Анизотропия IV порядка — анизотропия кр
сталлов. Анизотропия III порядка определяется мелкой внутре
ней слоистостью, ориентировкой зерен и систематической треЩ
новатостью. Анизотропия II порядка связана с внешней ело
стостью и макротрещиноватостью. В табл. 9 заимствованной
работы [59], приведены некоторые данные о геометрической ai
92
Таблица 9
Горная порода (бассейн)	асж/асж	°р/°р	
Алевролит (Кузнецкий)		1,38	1,3	1,61
Песчанистый сланец		1,39	1,56	1,21
Алевролит (Воркутинский)		2,0	1,45	1,16
Песчаник (Донецкий) 		1,42	1,7	1,28
Песчано-глинистый сланец (Донецкий) . . .	1,25	1,95	1,2
Аргиллит (Кузнецкий) 		1,3	1,74	1,3
Уголь (Кузнецкий)		1,29	1,6	1,22
зотропии* прочностных и деформационных свойств горных пород
при испытании образцов по различным направлениям относи-
тельно слоистости (' — по нормали, ' — параллельно). Анизо-
тропия I порядка связана с упорядоченным залеганием пород
в виде моноклинали, серии блоков, разделенных тектоническими
разрывами.
В целом при анализе конкретного массива для отнесения его
к категории изотропных или анизотропных можно воспользо-
ваться теми же методами, что и при анализе его однородности.
I 18. ИСКУССТВЕННАЯ НЕОДНОРОДНОСТЬ
И АНИЗОТРОПИЯ
Особое место в механике горных пород занимает круг вопро-
сов, связанных с изучением неоднородности и анизотропии искус-
ственного происхождения. При производстве горностроительных
работ по сооружению различных выработок происходит искус-
ственное изменение механических свойств окружающих пород,
например, уменьшение деформационных характеристик нри про-
изводстве взрывных работ и увеличение их при замораживации
рыхлых водоносных пород.
Причины появления искусственной (технологической) неодно-
родности могут быть различными в зависимости от вида произво-
димых горностроительных работ. Так, при производстве взрывных
работ появление неоднородности связано с трещиноватостью, при
замораживании — с процессом льдообразования, а при сооруже-
нии выработок методом внутреннего взрыва — с уплотнением
пластичных горных пород в окружающем выработку массиве.
Рассмотрим более подробно состояние породного массива при
ведении различных горностроительных работ.
Исследования влияния взрывных работ на законтурный мас-
сив [65] показали, что вокруг выработки образуется зона искус-
ственной трещиноватости, размеры которой находятся в прямой
зависимости от мощности применяемого ВВ и в обратной зависи-
мости от крепости разрушаемых пород. В пределах этой зоны,
93
Рис. 32. Распределение модуля деформа-
ции Е в окрестности выработки, со-
оружаемой с применением буровзрыв-
ных работ, по результатам прессио-
метрических испытаний
Рис. 31. Размеры зоны наруше-
ния пород вокруг выработок,
пройденных по простиранию (а) и
вкрест простирания (б)
разбитой трещинами, преимущественно параллельными продоль-
ной оси выработки, механические характеристики пород
суще-
ственно отличаются от соответствующих характеристик ненарушен-
ного массива. Путем визуального осмотра скважин с помощью
прибора РВП-451, изучением трещиноватости на кернах и стати-
ческими испытаниями образцов на сжатие были установлены
размеры зон нарушения в зависимости от прочности пород
(рис. 31).
В работе [66] приведены результаты прессиометрических
измерений модуля деформации пород законтурного массива тон-
нельной выработки, сооружаемой с применением буровзрывных
работ. Исследования показали, что в непосредственной близости
от контура выработки, где интенсивность трещиноватости взрыв-
ного происхождения максимальная, модуль деформации имеет
малые значения, а по мере удаления от контура постепенно воз-
растает, стремясь к значению в нейарушенном массиве (рис. 32).
Кривая распределения значений модуля деформации Е в за-
контурном массиве, показанная на рис. 32, может быть аппрокси-
мирована выражением
Е (г) = Е (1 — аг~п),
(IV.12)
где Е = const — значение модуля деформации в ненарушенном
массиве;
а, п — безразмерные параметры аппроксимации;
г — текущая координата, выраженная в единицах
внутреннего радиуса выработки.
Численные значения параметров аппроксимации а и п, входя-
щих в выражение (IV.12), зависят от размеров зоны нарушений
например прессио^
и должны определяться экспериментально,
метрическим методом. Для приближенной оценки а и п можно
94
также воспользоваться аналитическими зависимостями, предло-
женными в работе [66]:
п
0,824
1g
Во-6
Во + s
5
Во
(IV. 13)
где 7?в — радиус нулевой окружности, то есть окружности,
сумма отклонений от которой реального контура равна
нулю;
б — размер зоны вокруг выработки, в пределах которой
порода потеряла способность сопротивляться растяги-
вающим усилиям (оптимальное значение 6 составляет
0,02 Яо);
s — размер зоны взрывного нарушения, породы: если ра-
диус зоны нарушения то s = R±—Ro-
При изучении механического состояния пород вблизи контура
вертикальных стволов [67] путем отбора и соответствующих испы-
таний породных кернов, взятых на глубину до 10 м, с одновре-
менным измерением напряжений в полученных скважинах был
установлен волновой характер распределения механических ха-
рактеристик, при котором зоны повышенных значений механиче-
ских характеристик чередуются с зонами их понижения. На рис. 33
представлены кривые изменения прочности и модуля деформации
сланца, взятого в стволе с глубины 187 м. В первом приближении
эти кривые могут быть аппроксимированы выражением
E(r) = E [l-ar-nsin(₽-ar)l,	(IV.14)
где а, п, a, р — параметры
аппроксимации.
По мнению автора иссле-
дований, возникновение зон
повышенных и пониженных
значений механических ха-
рактеристик связано с пере-
уплотнением цементирующе-
го материала, а также де-
формациями в кристалличе-
ской решетке. Указанные
деформации обусловлены ин-
терференцией проходящих че-
рез массив динамических
волн напряжений, образован-
ных взрывом зарядов в со-
седних шпурах, а также соб-
ственными колебаниями мас-
сива и волнами, возникающи-
ми в результате отражения
от поверхностей раздела.
Рис. 33. Распределение модуля деформа-
ции Е (б) н предела прочности асж (в)
сланца в окрестности вертикального
ствола по данным В. Борисовца
95
Рис. 34. Характерные плоскости
сечеиия ледопородного цилиндри-
ческого ограждения вокруг ствола
При искусственном заморажи-
вании рыхлых водоносных пород
с помощью замораживающих ко-
лонок вокруг выработки обра-
зуется ледопородное ограждение.
Наиболее низкой температурой
обладают породы, находящиеся
вблизи замораживающих колонок.
По мере удаления от них в направ-
лении к внешней и внутренней
границе ледопородного огражде-
ния температура замороженных
пород повышается. Практически
в процессе сооружения ствола
температура на внутреннем кон-
туре ледопородного ограждения
в зависимости от температуры за-
мораживания и размеров ограж-
дения находится в интервале —5 4- —15° С. На внешнем контуре,
то есть на границе раздела замороженной и талой породы, тем-
пература равна ~0° С.
Имеется целый ряд аналитических и экспериментальных иссле-
дований температурного поля ледопородного ограждения. Резуль-
таты этих исследований, отличаясь друг от друга количественными
показателями, дают единую качественную картину. Обычно тем-
пературное поле ледопородного цилиндрического ограждений
вокруг ствола принято рассматривать в трех характерных пло-
скостях (рис. 34): осевой 1, замковой 2 и главной 3. При решения
задачи о напряженно-деформированном состоянии ледопородногс
Рис. 35. Распределение температуры ледопородного цилиндрического ог|
ждения н замковой и осевой плоскостях
96
г
ограждения целесообразно
ограничиться только двумя
плоскостями: замковой, как
наиболее опасной с точки
зрения прочности ледопород-
ного ограждения, и осевой.
На рис. 35 представлено
типичное распределение тем-
пературы по толщине стенки
ледопородного ограждения в
замковой (а) и осевой (б)
плоскостях.
Неоднородное поле тем-
пературы ледопородного ог-
раждения приводит к появ-
лению неоднородности меха-
нических свойств заморожен-
ных пород. Так, имея в
виду зависимость модуля де-
формации от температуры
Рис. 36. Распределение модуля дефор-
мации Е и предела прочности осж
в замковой плоскости ледопородного ог-
раждения
замораживания, можно по-
строить кривую его распределения в замковой плоскости (рис. 36).
Эта кривая имеет вид^ параболы и может быть аппроксимиро-
вана выражением
Е (г) = аг2 Ъг с.
(IV.15)
где а, Ь, с — параметры аппроксимации (размерные);
г — текущий радиус, выраженный в единицах внутрен-
него радиуса ледопородного цилиндрического огра-
ждения.
На рис. 35, б показано распределение температуры в осевой
плоскости между двумя соседними замораживающими колонками.
Разность температуры замороженной породы, находящейся вблизи
замораживающих колонок и в замковой плоскости, составляет
около 5°. При температурах замораживания ниже —25° С (низко-
температурное замораживание) такой перепад несущественно
сказывается на изменении модуля деформации и последний может
считаться в осевой плоскости постоянным. При температурах
замораживания выше —25° С изменение ее на 5° С дает ощутимое
изменение значений модуля деформации и, следовательно, учет
его переменности в осевой плоскости необходим.
Характер распределения прочностных показателей, например
коэффициента сцепления К, аналогичен модулю деформации.
Коэффициент Пуассона р и угол внутреннего трения р от темпе-
ратуры замораживания практически не зависят.
При сооружении различных подземных сооружений (стволов,
околоствольных дворов, гидротехнических тоннелей) для пре-
довращения фильтрации воды через трещиноватые породы
7 Заказ 194	97
Рис. 37. Распределение модуля дефор-
мации пород, упрочненных цемента-
цией в окрестности выработки
производится их искусствен-
ное укрепление с помощью це-
ментации, которая так же при
определенных условиях поз-
воляет повысить механиче-
ские характеристики' трещи-
новатого массива. Так на-
пример, модуль деформации
в зацементированной зоне
возрастает [68], и его рас-
пределение Е (г) в законтур-
ном пространстве может быть
представлено в виде, пока-
занном на рис. 37. Эта кри-
вая аппроксимируется вы-
ражением вида 1
£(г) = £(14-аг-п),
(IV. 16)
где Е =? const — модуль деформации в неукрепленном массиве;
а, п — безразмерные параметры аппроксимации.
При сооружении подземных полостей, предназначенных для
хранения жидких нефтепродуктов, все более широкое применение
находит метод внутренних взрывов, заключающийся в последова-
тельном взрывании нескольких камуфлетных зарядов в пластич-
ных породах. При этом вокруг образующейся полости форми-
руется область с повышенными механическими характеристиками.
Таким образом, массив горных пород приобретает технологиче-
скую неоднородность.
Исследования [69, 70] физико-механических свойств пород
в окрестности полостей, образованных внутренним взрывом,
путем испытания образцов, отобранных на различном расстоянии
от контура полости, позволили выявить характер распределения
этих свойств в массиве. Например,
было установлено, что на внутрен-
нем контуре предел прочности
породы на одноосное сжатие уве-
личивается в зависимости от типа
породы в 3—4 раза, а сцепление
в 2—2,5 раза. С удалением от кон-
тура полости эти характеристики
уменьшаются, стремясь к значе-
ниям вне зоны влияния взрыва.
На рис. 38 приведены соответ-
ствующие кривые изменения
®сж (г).
К сожалению, в указанных
исследованиях не производилось
определение деформационных ха-
Рие. 38. Распределение прочности
пород Цсж в окрестности емкости,
образованной взрывом камуфлет-
ного заряда
рактеристик. Однако есть
все основания полагать,
что характер изменения
модуля деформации ана-
югичен изменению пре-
дела прочности на сжатие
и описывается выраже-
нием (IV.16).
В некоторых типах по-
род вокруг выработки,
образованной внутренним
взрывом, могут сформи-
роваться три характерные
зоны:
1.	Интенсивной трещи-
новатости, в пределах ко-
торой порода разбита мак-
Е(г)/Е
10
08
06
0i>
02
3 г
Рис. 39. Распределение модуля деформа-
ции пород в окрестности емкости, обра-
зованной взрывом камуфлетного заряда
ротрещинами.
2.	Необратимых деформаций, в которых наблюдается заметное
увеличение механических характеристик.
3.	Обратимых деформаций.
При наличии этих трех зон распределение модуля деформации
соответствует кривой на рис. 39, которая может быть аппрокси-
мирована следующим выражением:
Е(г)=Е
2ar~a — 1
(IV.17)
1 — а
где Е = const — модуль деформации в ненарушенном массиве;
а, п, а — безразмерные параметры аппроксимации.
§ 19. НАЧАЛЬНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
ПОРОДНЫХ МАССИВОВ
Породные массивы как объекты исследования в механике гор-
ных пород имеют еще одну существенную механическую особен-
ность. До начала производства горных работ они уже находятся
в напряженном состоянии, которое в дальнейшем будем называть
начальным в отличие от дополнительного напряженного состоя-
ния, вызванного производством горных работ. Указанная механи-
ческая особенность породных массивов значительно осложняет
аналитическое решение задач механики горных пород, если
учесть, что в задачах механики деформируемых сред обычно
вводится гипотеза о начальном ненапряженном состоянии среды.
Более того, начальное напряженное состояние породного массива
во многих случаях превосходит по величине дополнительное поле
напряжений, и допускаемые ошибки в его определении суще-
ственно сказываются на количественной и качественной оценке
7*
99
механических процессов в породных массивах. К сожалению,
погрешность в определении начального напряженного состояния
породного массива остается достаточно, высокой по сравнению
с решениями других задач механики горных пород. Это объяс-
няется, с одной стороны, ограниченностью информации о свой-
ствах массива, нетронутого горными работами, и необходимостью
введения специальных рабочих гипотез при аналитических иссле-
дованиях, а с другой стороны — сложностью постановки экспери-
ментальных исследований, которые так или иначе связаны с на-
рушением начального напряженного состояния массива.
Тем не менее в настоящее время имеется целый ряд аналити-
ческих и экспериментальных исследований по изучению началь-
ного напряженного состояния породных массивов. Наиболее,
полное обобщение этих исследований и обширная библиография
по данному вопросу приводятся в монографии [71], сведения из
которой используются в дальнейшем изложении настоящего
параграфа.
Начальное напряженное состояние породных массивов в самом
общем случае является функцией пространственных и временной
координат. Поэтому факторы, влияющие на его формирование,
целесообразно подразделить следующим образом: действующие
постоянно и повсеместно, действующие временно и локально.
К первой группе факторов следует отнести: гравитационное
поле, температурное поле, фиэико-механические свойства и струк-
турно-механические особенности породных массивов, рельеф зем-
ной поверхности, космические факторы.
Ко второй группе факторов относятся: тектонические и горо-
образовательные процессы, действие подземных и наземных вод
и газов, производственная деятельность человека.
Основными силами, формирующими начальное напряженное
состояние породных массивов, являются силы гравитации или
силы тяжести. В дальнейшем удобно рассматривать начальное
напряженное состояние как сумму двух составляющих (от грави-
тации и от остальных факторов), полагая, что остальные факторы
искажают начальное напряженное состояние, образовавшееся под
действием сил гравитации. При этом не значит, что составляющая
начальных напряжений от остальных факторов, особенно от дей-
ствующих временно и локально, не может превосходить составля-
ющую гравитационного происхождения.
Оценка величины гравитационной составляющей может быть
выполнена методами механики сплошной или дискретной среды
в зависимости от принятой модели породного массива. Степень
достоверности такой оценки определяется изученностью физико-
механических свойств пород и структурно-механических особен-
ностей массивов (сплошности, слоистости, анизотропии и не-
однородности).
Исследование величины, составляющей от остальных факто-
ров может быть выполнено, главным образом, эксперименталь-
100
г
ными (натурными и реже лабораторными) методами. В моногра-
фии [71] подчеркивается, что среди натурных методов наиболее
приемлемыми для изучения начальных напряжений являются:
метод полной разгрузки для пород, не испытывающих пластиче-
ских деформаций, метод измерения перемещений стенок буровых
скважин для пород, испытывающих пластические деформации
и деформации ползучести, и сейсмоакустические методы. Анали-
тическая оценка величины составляющей начальных напряжений
от остальных факторов представляется чрезвычайно сложной
и в данном направлении имеются лишь единичные исследования,
обобщенные в монографии [71]. Там же излагаются достаточно
простые и наглядные аналитические методы учета следующих
факторов: рельефа земной поверхности, разрывных (дизъюнктив-
ных) и складчатых (пликативных) тектонических нарушений
породных массивов.
Таким образом, аналитические методы дают возможность
оценить хотя бы в первом приближении гравитационную состав-
ляющую и учесть влияние тектонических и горообразовательных
процессов. Экспериментальные методы можно рекомендовать для
проверки аналитической оценки и учета остальных факторов,
формирующих начальные напряжения. Однако если аналитиче-
ские оценки обладают известной общностью, то эксперименталь-
ные оценки в настоящее время носят единичный (не массовый),
сугубо региональный характер и не могут служить основанием
для обобщений. Поэтому, используя аналитические методы, ука-
жем некоторые общие рекомендации по оценке начального напря-
женного состояния породных массивов.
Рассмотрим модель линейно-деформируемого неоднородного
трансверсально-изотропного породного массива с горизонтальным
напластованием и равнинным рельефом земной поверхности.
В прямоугольной системе координат ось у направим нормально
к плоскости изотропии и, следовательно, параллельно векторам
сил тяжести горных пород. Такая ориентация координатной сис-
темы отличается от общепринятой, когда вертикальной считается
ось z, но очень удобна в дальнейшем изложении, где в основном
рассматриваются плоские сечения оху горизонтальных выработок
с продольной осью z. В принятой системе координат напряженное
состояние породного массива характеризуется тензором напря-
жений (II. 1). Определению подлежат шесть компонентов напря-
жений: Оу — нормальное вертикальное напряжение; ог, ох —
нормальные горизонтальные напряжения; хху, %хг, х уг — каса-
тельные напряжения.
Рассматриваемой модели породного массива соответствуют
физические уравнения (11.64), где дополнительно примем, что
деформационные характеристики изменяются только по глу-
бине, т. е.
Е^Е(у), р = р(у), Я1 = £'1(у), Ц1 = Ц1(у), Gl = G1(y).
101
Будем считать, что объемный вес горных пород также изме-
няется с глубиной по закону у = у (г/). В этом смысле породный
массив можно классифицировать как непрерывно неоднородный
по глубине.
Для рассматриваемой модели породного массива из статиче-
ских уравнений равновесия (11.49), где единственными объемными
силами будем считать силы тяжести, то есть и = О, v = 0, w — О,
X = Z = О, рУ = у (у), следует
h
т:Ху=т:Хг = т:уг = 0. csz = az(y). ах = ах(у), ау= J у (у) dy, (IV.18)
о
где h — глубина от поверхности земли до рассматриваемой
точки массива.
Выражение (IV. 18) удовлетворяют граничным условиям на
поверхности земли
Oji=Txz = Tj,z = 0 при /i = 0.	(IV.19)
Далее, накладывая на линейные деформации в горизонтальной
плоскости определенные ограничения в виде
ег = еж=е0,	(IV.20)
из первого или второго физического уравнения системы (11.64)
получим
Большинство исследователей считает наиболее очевидной гипо-
тезу об отсутствии линейных горизонтальных деформаций: е0 =
= 0. Тогда зависимость (IV.21) значительно упрощается:
=	(IV.22)
и при Е = Ег = const, р, = р,г = const переходит в известную
формулу
^ = ^=-7^7-^.	(IV.23)
Тензор начального напряженного состояния линейно-деформи-
руемого трансверсально-изотропного породного массива с на-
клонным напластованием представляется более сложным. Напри-
мер, исследованиями С. Г. Лехницкого [721 установлено:
h
ву== J У (у) dy, Oz = kzOy Ох=^х&у, ^ху—^хуву, ъхг = Туг = 0 (IV.24)
0
где Хг,	— коэффициенты, зависящие от деформационных
характеристик массива.
Породные массивы, перешедшие в предельное состояние или,
точнее, в состояние предельного равновесия, для которых справед-
102	'
ливо физическое уравнение (11.103), могут быть исследованы сле-
дующим образом. Примем, что в таком массиве для компонентов
напряжений справедливы соотношения (IV. 18) и ог = ох, из
уравнения (11.103), где = ау, с2 = ах, <т3 = сг, т. е.
ах, аг) = 0,	(IV.25)
получаем выражение для нормальных горизонтальных напряже-
ний ах и с2. Так, если предельное состояние пород описывается
уравнением (III.9') прямолинейной огибающей предельных кру-
гов Мора, получаем (IV.25), в виде
1 —|— sin р
ау 1 —sinp ° 2 — °сж’	(1 v-26
где асж = ссж (у), р = р (у) — прочностные характеристики пород,
которые в общем случае можно считать переменными по глубине
(непрерывно неоднородный по глубине массив в отношении проч-
ностных характеристик).
Из уравнения (IV.26) находим:
az = a* = -feSHa0-ac>K)-	(IV.27)
A Olu J?
До сих пор для оценки начальных напряжений нами исполь-
зовались методы механики сплошной среды. Вместе с тем можно
привести примеры породных массивов, разбитых трещинами
и представляющих совокупность отдельных структурных блоков,
где методы механики сплошной среды неприемлемы. В моногра-
фии [71] приведена оценка напряженного состояния таких масси-
вов (при этом породы считаются изотропными и однородными),
выполненная методами механики дискретной среды. Для модели
безраспорного массива имеем:
h
ву= J У(У)^У, Иг = аж = 0. Txj, = Txz = Ti,z = O>	(IV.28)
о
и для модели распорного массива:
и
ау—^Ч(У)аУ< az=ax=--^-~- ау, txy = txz = ryz = 0.	(IV.29)
о	-
Все приведенные выше аналитические оценки начального на-
пряженного состояния породных массивов не учитывают время,
хотя последнее является повсеместно действующим фактором.
В существующей литературе неоднократно высказывалось мнение
о влиянии реологических процессов на формирование начального
напряженного состояния породных массивов. Считается, что за
длительный период существования горных пород в результате
релаксации напряжений начальное напряженное состояние
103
выравнивается. Иными словами, при f -> оо соотношения между
компонентами напряжений стремятся к следующим пределам:
-^ = х2 + 1, -££.=^->1,	^=хх2-^о, 2^- = х„2-^о.
Оу	Оу	Оу ХУ  Оу хг ’ Оу уг
(IV.30)
Коэффициенты Х2 и Хх обычно называются коэффициентами
бокового распора. Поле начальных напряжений, в котором )
Х2 =	= 1, кху = А,Х2 = куг — 0, называется гидростатиче- \
ским, а поле напряжений, в котором А,г #= 1,	=£ 1, Zxi/ =£ 0,
А,хг О, Ъуг #= О —• негидростатическим. Следует отметить, что j
влияние локальных факторов, особенно тектонических, может 1
привести к появлению негидростатического поля напряжений 1
с Xz > 1 и > 1.	
Таким образом, реологические процессы в породных масси- •
вах трансформируют негидростатическое попе начальных напря- -
жений в гидростатическое, причем степень такой трансформации '
в различных породах проявляется по-разному. В соответствии ,
с терминологией, приведенной в монографии ]71], будем разли-
чать релаксирующие и нервлаксирующие (точнее, медленно ре- ’
лаксирующие) горные породы.
В защиту гипотезы о гидростатическом начальном напряжен-
ном состоянии породных массивов, помимо достаточно очевидных i
соображений об упрощении расчетной схемы в задачах механики
горных пород, обычно приводятся доказательства эксперименталь- :
ного и теоретического характера. Экспериментальным доказа-
тельством могут служить опыты Б. В. Матвеева со слабыми гор-
ными породами (ссж 600 кгс/см2). Так, было установлено, что
в образцах из песчаника глинистого слабого (ссж = 150 кгс/см2) .
за несколько десятков часов напряжения релаксируют в интер-
вале = 0,39 -> 0,45.
Примером теоретического доказательства является исследова-
ние Ю. М. Либермана 173]. Автор утверждает, что для многих
пород угольных, рудных и соляных месторождений можно кон-
статировать наличие в процессе генезиса физического состояния,
близкого к неограниченной текучести. Соответствующим реологи-
ческим уравнением является уравнение вида (11.110), где v3 = 0,
v4 = 0. Если возраст земной коры (t -> оо) можно считать доста-
точным для установления равновесия, то члены с производными
должны обратиться в нуль, откуда следует
*	ЛН = 0
или, согласно выражению (11.13),
Оу~<1г = Ох, Тад=Тхг = Тр2 = 0,
то есть получаем гидростатическое напряженное состояние мас-
сива.
104
В заключение, придерживаясь терминологии, приведенной
в монографии [71], сформулируем общие рекомендации по оценке
начального напряженного состояния породных массивов.
1.	Массивы, сложенные однородными, изотропными, релак-
сирующими породами; гидростатическое напряженное состояние
с компонентами
h
Gy — J У (4 dy, Gz = <3x — Gy, ^ху = ^хг = ^уг = 0.	(IV.31)
О
2.	Массивы, сложенные однородными и неоднородными, изо-
тропными и анизотропными, нерелаксирующими породами: не-
гидростатическое напряженное состояние в общем виде с компо-
нентами
h
Оц~ J У {У) dy, —	T'xy — hxyGy, ^xz~^xz^yt ^yz-^-yz^y,
О
(IV-32)
где Хг, Кх, Ку, Кху, Кхг,Куг — определяются по формулам (IV. 18)4-
4-(IV.24) в зависимости от свойств и структурно-механических
особенностей массива.
3.	Массивы, сложенные нарушенными породами: негидроста-
тическое напряженное состояние с компонентами
h
Gy — J \(y)dy, Gz — KzGy, Gx = KxGy, ЪХу = Тхг = Туг = О, (IV.33)
О
где Кг, Кх, — определяются по формуле (IV.28) или (IV.29),
т. е. равны нулю в безраспорном массиве и не равны нулю в рас-
порном массиве.
4.	Массивы, сложенные слабыми породами покровных отло-
жений, близко расположенными к земной поверхности, или проч-
ными породами, перешедшими в состояние предельного равнове-
сия: негидростатическое напряженное состояние с компонентами
h
ву— J V (у) dy, Qz~hzQgt <Гх = Хх<т^, =	= —О» (IV.34)
о
где %г, Кх — определяются по формуле (IV.27), если в качестве
физического уравнения для массива принимается уравнение
(IV.26) прямолинейной огибающей предельных кругов Мора;
в частном случае для массивов, сложенных идеально сыпучими
породами, осж = 0, а для массивов, сложенных идеально связан-
ными породами, р = 0.
5.	Массивы, сложенные однородными и неоднородными, изо-
тропными и анизотропными, нерелаксирующими породами, испы-
тывающие влияние тектонических процессов, высоких темпера-
турных градиентов, пригрузки на земной поверхности и других
105
факторов: негидростатическое напряженное состояние с компо-
нентами
h
ву = У Y (.У) dy + ау> Ог = ^гОу+аг’ ах— А.х<ту,ст*,
°	.	(IV.35)
Тху = ^ху^у-'гТ*у, Тхг = ^хгву + тхг, T^z = ^t/z<Tt/4-T*z,
где Хг, Хх, Хчу, Xxz, Х„г — определяются по формулам (IV. 18)—
(IV. 24);
Gy, G*, G*, Тху, Тхг, Туг — СОСТЭВЛЯЮЩИв НаЧаЛЬНЫХ НЭПрЯЖвНИЙ
от остальных факторов, помимо гра-
✓	витационных сил.
Таким образом, сформулированные рекомендации охватывают
четыре типа породных массивов, где начальные напряжения сфор-
мировались в основном под действием гравитации, и пятый тип
породных масссивов, где помимо гравитации сказалось влияние
остальных факторов. Причем условно выделены два типа началь-
ного напряженного состояния (гидростатическое и негидростати-
ческое), которые в дальнейшем и рассматриваются при решении
конкретных задач механики горных пород.
Глава V
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
МЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В МАССИВАХ ГОРНЫХ
ПОРОД
§ 20. ОСОБЕННОСТИ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ
Эффективное использование аналитических методов в решении
тех или иных задач механики горных пород во многом опреде-
ляется корректностью постановки этих задач. Постановка задачи
включает четкую формулировку конечной цели исследования
и необходимых исходных данных для решения задачи. Если
формулировка конечной цели исследования обычно не встречает
трудностей, так как диктуется запросами практики, то запись
необходимых исходных данных порой требует проведения спе-
циальных исследований. Более того, правильная постановка
задачи в части формулировки некоторых исходных данных вы-
ясняется только в процессе решения задачи. В этом состоит су-
щественная особенность постановки задач в механике горных
пород. Например, при исследовании напряжений в породном
массиве может оказаться, что уровень действующих напряжений
достаточно большой и первоначально принятая модель линейно-
деформируемого массива является всего лишь первым грубым
приближением. Тогда необходимо использовать дополнительные
исходные данные о деформируемости горных пород и рассматри-
вать механические процессы в массиве за пределами линейного
деформирования. В этом смысле процесс постановки задачи
является таким же творческим процессом, как и ее решение.
Следуя рекомендациям, изложенным в монографии [9], поста-
новку задач механики горных пород целесообразно осуществлять
в следующей последовательности:
формулируется конечная цель решения задачи;
устанавливается тип задачи из геометрических соображений
и условий симметрии;
принимается физическая модель породного массива с указа-
нием действующих сил в массиве;
приводятся количественные оценки необходимых механиче-
ских свойств горных пород и структурно-механических особен-
ностей массива;
выбирается метод решения задачи;
принимается расчетная схема задачи с указанием начальных
и граничных условий.
107
Рассмотрим более подробно каждый из перечисленных пунктов
постановки задач.
Конечная цель решения задач механики горных пород вытекает
из потребностей практики и заключается в количественной оценке
тех или иных реализаций механических процессов в породном
массиве (нагрузки на крепь выработок, устойчивости откосов,
отжима угля, внезапных выбросов породы и т. д.). Для достиже-
ния конечной цели обычно приходится решать две взаимосвязан-
ные задачи, представляющие два последовательных этапа одной
общей задачи: исследование напряженно-деформированного со-
стояния породного массива и собственно оценка реализаций меха-
нических процессов в таком массиве. Первую задачу можно
рассматривать как самостоятельную, и при ее постановке фор-
мулировать цель исследования в виде оценки напряженно-дефор-
мированного состояния массива, которая является промежуточной
для решения общей задачи.
Например, практика проектирования и эксплуатации неза-
крепленных горных выработок в прочных породах выдвигает
перед механикой горных пород задачу с конечной целью разра-
ботать количественную оценку прочности незакрепленной выра-
ботки. На первом этапе исследования ставится и решается само-
стоятельная задача о построении поля напряжений в окрестности
выработки, чем достигается промежуточная цель исследования.
На втором этапе постановка задачи формулируется так: в усло-
виях найденного поля напряжений оценить возможность нормаль-
ной эксплуатации выработки без крепления, то есть на втором
этапе достигается конечная цель исследования.
Анализ геометрических размеров и распределения структурно-
механических свойств породного массива в процессе постановки
задачи необходим для упрощения расчетной схемы. Предваритель-
ное знакомство с уравнениями механики сплошных сред, при-
веденными в главе II, свидетельствуют о значительных, а порой
непреодолимых математических трудностях, связанных с их
интегрированием. Например, тензор напряжений в самом общем
случае содержит шесть неизвестных компонентов напряжений.
Упрощение задачи возможно при наличии определенной симмет-
рии в геометрических размерах, структурно-механических свой-
ствах и граничных условиях породного массива. Различные слу-
чаи такой симметрии и соответствующие типы задачи подробно
рассмотрены в § 10. Напомним лишь основные типы задач, часто
применяемые в механике горных пород, и необходимые условия
для их постановки.
При наличии осевой симметрии в породном массиве рассматри-
вается осесимметричная задача. Примером могут служить пород-
ные массивы в окрестности вертикальных шахтных стволов кру-
гового поперечного сечения, подземных емкостей в виде тел
вращения с вертикальной осью и т. д. Решение задачи целесо-
образно искать в цилиндрических координатах. Тензор напряже-
108
ний в этом случае имеет вид (II.6), а тензор деформаций — вид
(11.32).
При наличии плоскостей симметрии в породном массиве рас-
сматривается плоская задача в постановке плоской деформации.
Такой тип задачи обычно используется для исследования механи-
ческих процессов в окрестности горизонтальных горных вырабо-
ток, откосов на карьерах с цилиндрической поверхностью и в дру-
гих случаях. Решение задачи целесообразно искать в прямо-
угольных или полярных координатах. Соответствующий тензор
напряжений имеет вид (II.4) или (II.5), а тензор деформаций —
вид (II.30) или (11.31). Решая задачу в постановке плоской де-
формации, необходимо помнить, что решение будет справедливым
только для сечений, которые в процессе деформирования остаются
плоскими. В горных выработках, согласно исследованиям [74],
такие сечения, нормальные к продольной оси выработки, должны
быть удалены от забоя на расстояние I ₽= 6Z>, где D — пролет
поперечного сечения выработки, а в выработках кругового попе-
речного речения — диаметр. При этом погрешность, возникающая
в результате решения задачи в постановке плоской деформации, \
составляет не более 10%. Можно предположить, что таков же
порядок погрешности при исследовании сечений, расположенных
вблизи устьев иЛи сопряжений горных выработок. Отсюда можно
сделать и другой вывод: решение задачи в постановке плоской
деформации будет весьма грубым приближением для непротяжен-
ных выработок и камер с размером по продольной оси I 12Z>.
. Остальные выработки, геометрические размеры которых не удов-
летворяют этому условию, будем называть протяженными. В про-
цессе дальнейшего изложения рассматриваются механические
процессы, главным образом, в окрестности протяженных выработок.
Постановка плоской задачи с плоским напряженным состоя-
нием практически не имеет аналогов в породном массиве. Такая
постановка может быть использована лишь в некоторых задачах,
связанных с механическим испытанием образцов пород.
Одновременное наличие в породном массиве осевой и плоскост-
ной симметрии дает возможность рассматривать плоскую по-
лярно симметричную задачу в постановке плоской деформации —
наиболее простой тип плоской задачи. Соответствующий тензор
напряжений в полярных координатах имеет вид (II.7), а тензор
деформаций — вид (11.33). В такой постановке можно рассматри-
вать достаточно широкий класс задач механики горных пород.
Как будет показано, при этом получается правильная качествен-
ная оценка механических процессов в породном массиве, а по-
грешность количественной оценки за счет нарушения условий
полярной симметрии обычно не превосходит погрешность в опре-
делении исходных данных (например, механических свойств
породного массива).
Наиболее простым типом пространственной задачи, имеющей
применение в механике горных пород, является полярно
109
симметричная задача в сферических координатах с тензором на-
пряжений (II.9) и тензором деформаций (11.35). Указанная сим-
метрия может иметь место, например, в подземных емкостях
шаровой формы, которые сооружаются методом выщелачивания
или методом внутренних взрывов.
Укажем на одну особенность постановки задач механики гор-
ных пород, связанную с анализом геометрических размеров объ-
екта исследования. Граничные поверхности исследуемых пород-
ных массивов являются, как правило, многосвязными (например,
породная поверхность рассматриваемой выработки, земная по-
верхность, породная поверхность соседней выработки). Решение
задачи для породных массивов, ограниченных многосвязными
поверхностями, представляется чрезвычайно сложным. Рассмот-
рим возможность приведения таких задач к расчетной схеме
с односвязным контуром.
В монографии [75] на примере решения задачи теории упру-
гости для тяжелой полуплоскости с круговым отверстием пока-
зано, что влияние прямолинейной грани полуплоскости незначи-
тельно сказывается на распределении напряжений в окрестности
отверстия при h 2D, где h — расстояние от прямолинейной
грани до центра отверстия, a D — диаметр отверстия. При вы-
полнении этого условия допускаемая погрешность в случае за-
мены рассматриваемой задачи с двухсвязным контуром в виде
грани полуплоскости и контура отверстия на задачу с дносвяз-
ным контуром (круговое отверстие в тяжелой плоскости) не пре-
вышает 10% и быстро убывает по мере увеличения h. Согласно
исследованиям, приведенным в [75], такой же порядок имеет
погрешность при замене двухсвязного контура в виде двух со-
седних отверстий на односвязный, если расстояние между центрами
отверстий d Ss 2,5Z>. Так как глубина заложения горных выра-
боток It обычно удовлетворяет условию h 2D, влияние земной
поверхности можно не учитывать. В первом приближении также
можно отказаться от учета влияния соседних выработок, если
размеры целиков между ними удовлетворяют условию d 2,5Z>.
Таким образом, в большинстве случаев, исследуя механические
процессы в окрестности горной выработки, достаточно сформули-
ровать постановку задачи как для односвязного контура, т. е.
рассматривать так называемую одиночную заглубленную выра-
ботку.
Принимаемая модель породного массива должна отражать
механические деформационные и прочностные свойства горных
пород и структурно-механические Особенности массивов (сплош-
ность, неоднородность, анизотропию). Различные модели пород-
ного массива и соответствующие им физические уравнения были
рассмотрены в § 10. Их можно подразделить на модели линейно-
деформируемые и нелинейно-деформируемые, учитывающие и не
учитывающие фактор времени, модели однородного и неоднород-
ного, изотропного и анизотропного массива. Иногда физическая
НО
модель породного массива представляется настолько сложной,
что затрудняет решение задачи. Тогда целесообразно использо-
вать более простые модели, предварительно оценив допускаемую
погрешность на примере простой расчетной схемы. Например,
особые трудности возникают при использовании модели нели-
нейно-деформируемого массива. Предварительно оценив влияние
нелинейности на примере решения полярно симметричной плоской
задачи и убедившись в незначительной погрешности, можно
в дальнейшем использовать модель линейно-деформируемого мас-
сива.
На данном этапе постановки задачи указываются также силы,
действующие в массиве (гравитационные, тектонические и др.),
которые обычно выясняются в процессе исследования начального
напряженного состояния массива, рассмотренного в § 19. Эти
силы должны найти отражение в принимаемой модели породного
массива. Например, в постановке задачи указывается, что при-
нимается модель нелинейно-деформируемого массива, нагружен-
ного только гравитационными силами. В большинстве задач для
оценки действующих в массиве сил достаточно "указать начальное
напряженное состояние массива.
На следующем этапе приводятся количественные оценки меха-
нических свойств пород и структурно-механиче9ких особенностей
массива, нашедшие отражение в принятой физической модели
массива. Количественные оценки применительно к конкретным
породам и массивам рассматривались в главах III и IV. Необхо-
димо подчеркнуть, что математическая запись таких оценок за-
висит от того, в какой постановке решается задача: детерминисти-
ческой или статистической. Для детерминистической постановки
характерна запись количественных оценок в виде физических
констант (модуль деформации, предел прочности на сжатие,{угол
внутреннего трения, время релаксации породы и т. д.) или де-
терминированных функций (модуль упругости породы как функ-
ция координат, предел прочности породы на сжатие как функция
времени и т. д.), а для статистической постановки — в виде стати-
тических характеристик (среднего значения, дисперсии, корреля-
ционных функций и т. д.). Более подробно статистическая поста-
новка задач механики горных пород рассматривается в § 24.
Выбор метода решения задачи определяется не только приня-
той физической моделью массива, но в значительной степени и ко-
нечной целью решения задачи. Поясним это на рассмотренной
выше задаче по оценке прочности незакрепленных выработок.
На первом этапе решения задачи при определении напряжений
в окрестности выработок целесообразно использовать методы
линейной или нелинейной теории упругости в зависимости от
деформационных свойств пород, т. е. в зависимости от принятой
физической модели массива. На втором этапе решения задачи при
исследовании разрушения пород в окрестности выработок и
оценке прочности выработок без крепления целесообразно
5 б
Рис. 40. Построение
расчетной схемы тя-
желого стержня:
а — действительная схе-
ма нагружения; б — эк-
вивалентная схема на-
гружения; в — расчетная
схема
воспользоваться методами теории предельного
равновесия. Кроме того, выбор физической'
модели породного массива, а следовательно,5
и методы решения задачи часто определяются*
напряженным состоянием массива. Одни и(
те же породы в условиях различного напря- *
женного состояния могут обнаруживать"
свойства упругих, пластических или хруп-;
ких тел.
На заключительном этапе постановки за- ;
дачи принимается расчетная схема с ука- '
занием начальных и граничных условий.
Механические процессы в породном массиве,
связанные с производством горных работ
(сооружением выработок, извлечением по-.
лезных ископаемых и т. д.), активно реали-
зуются только в некоторой ограниченной,,
области массива в окрестности этих работ.
Поэтому при настроении расчетной схемы
обычно рассматривается не весь массив, а
некоторая его область, внешние границы
которой выбраны таким образом, что иссле-
дуемые механические процессы в их окрестности практически
затухают, а горные породы находятся в условиях начального
напряженного состояния.
Поясним это на простом наглядном примере. Рассмотрим
длинный тяжелый стержень постоянного сечения, но с выточкой
в окрестности точки А, опирающийся на неподвижную опору
(рис. 40, а). Положим, нас интересует концентрация напряжений
в окрестности точки А. Эта концентрация напряжений будет,
заметной только в некоторой области, примыкающей к выточке,
а в достаточно удаленных от точки А сечениях CnD практически
не наблюдается. Тогда можно выделить часть тяжелого стержня
между сечениями С и D, а остальные части отбросить, заменив
их для сохранения равновесия реактивными силами Рг и Р2,
где Pi — вес стержня выше сечения С, Р2 — вес стержня
выше сечения D. Таким образом, приходим к расчетной схеме,
показанной на рис. 40, б, которая эквивалентна первоначальной
расчетной схеме (рис. 40, а). -
Дальнейшее упрощение расчетной схемы сводится к следу-
ющему. Тот же отрезок стержня между сечениями С и Д предста-
вим невесомым (в отличие от тяжелого стержня он показан без
штриховки на рис. 40, в), а на концах его приложим одинаковые
силы, равные полусумме Рг и Р2. Очевидно, в последнем случае
распределение напряжений в окрестности точки А будет мало
отличаться от распределения напряжений, полученного по пер-
вой и второй схеме, т. е. от действительного распределения на-
пряжений. Кстати, распределение напряжений на концевых
112
Рис. 41. Построение
расчетной схемы по-
родного массива:
а — Действительная схе-
ма нагружения; б — эк-
вивалентная схема на-
гружения; в — расчетная
схема
участках стержня в последней схеме существенно отличается от
действительного, но в данной задаче оно нас мало интересует.
Следовательно, концентрацию напряжений в окрестности точки А
можно с достаточной степенью точности оценить, рассматривая
невесомый стержень, на границах которого, значительно удален-
ных от точки А, приложены силы, равные весу части стержня,
расположенной выше сечения, проходящего через точку А.
Аналогичным образом выбирается расчетная схема для задач
механики горных пород. На рис. 41, а, б, в показаны этапы после-
довательного построения плоской расчетной схемы. Для нагляд-
ности в качестве объекта исследования рассматривается породный
массив с постоянным объемным весом в окрестности горизон-
тальной горной выработки, пройденной на глубине Л. На рис. 41,а
представлена действительная расчетная схема для тяжелого мас-
сива, т. е. нагруженного гравитационными силами, которые
условно обозначены вертикальными векторами. На рис. 41, б —
часть тяжелого массива с внешними границами, значительно
удаленными от центра выработки и нагруженными уравнове-
шивающими реактивными напряжениями. И, наконец, на рис. 41,
в — часть невесомого массива с внешними удаленными от центра
выработки границами, нагруженными гравитационными напряже-
ниями, действующими в нетронутом массиве в точке, соответ-
ствующей центру выработки., (при наличии конструкций грузо-
несущей крепи на контуре выработки указываются напряжения
реактивного сопротивления крепи, 'направленные в сторону
8 Заказ 194
ИЗ
массива). Последняя расчетная схема, отличающаяся простотой
и наглядностью, дает возможность достаточно точно оценить,
концентрацию напряжений в окрестности горизонтальной горной
выработки.
Однако такая расчетная схема, как справедливо отмечает
И. В. Родин [761, дает неверные оценки для распределения сме-
щений в окрестности горной выработки. Действительно, полное
поле напряжений в окрестности горной выработки можно пред-
ставить в виде суммы начального и дополнительного полей напря-
жений. Начальное поле напряжений массива и факторы, его фор-
мирующие, детально рассматривались в § 19. Дополнительное
поле напряжений является результатом производства горных
работ, например, результатом выемки породы в забое выработки.
Соответственно, полное поле смещений также можно представить
в виде суммы двух составляющих: начального и дополнительного
полей смещений. Формирование начальных смещений условно
можно представить следующим образом: в какой-то момент вре-
мени, который принимается за начало отсчета, невесомый пород-
ный массив нагружается объемными гравитационными силами.
Возникающие при этом смещения и будут начальными. Совер-
шенно очевидно, что механические процессы, связанные с форми-
рованием начальных смещений, если даже они являются резуль-
татом ползучести горных пород, давно закончились, так как
возраст земной коры порядка сотен миллионов лет является
достаточным для этого. Отсюда наблюдаемые в породном массиве
механические процессы при производстве горных работ связаны
с формированием дополнительных смещений, если, конечно,
исключить из рассмотрения деформации горных пород, явля-
ющиеся результатом неотектонических процессов.
Таким образом, для оценки распределения смещений в пород-
ном массиве следует построить полное поле смещений, соответ-
ствующее полному полю напряжений, воспользовавшись при этом,
например, расчетной схемой, представленной на рис. 41, в. Затем
из полного поля смещений необходимо вычесть начальное поле
смещений, соответствующее начальному напряженному состоя-
нию массива. Такая методика оценки распределения смещений
справедлива для породных массивов, подчиняющихся линейному
и нелинейному физическим законам деформирования.
Вместе с тем при использовании физической модели линейно-
деформируемого массива указанную задачу можно упростить,
воспользовавшись методом суперпозиции решений. Например,
действительную расчетную схему, показанную на рис. 41, а,
можно представить в виде двух расчетных схем: расчетная схема
нетронутого породного массива (рйс. 42, а), нагруженного грави-
тационными силами, и расчетная схема (рис. 42, б) для части
невесомого -породного массива с внешними удаленными грани-
цами, свободными от напряжений, и с горной выработкой, контур
которой нагружен напряжениями реактивного' сопротивления
114
г
крепи, если таковая имеется, а
и гравитационными напряже- ~
ниями, действующими в не-
тронутом массиве Ъ точке,
соответствующей центру вы-
работки, и направленными
в сторону выработки (по тер-
минологии И. В. Родина,
s
Рис. 42. Решение задач методом супер-
позиции:
а — расчетная схема для определения на-
чального напряженно-деформированного со-
стояния массива, б — расчетная схема для
определения дополнительного напряженно-
деформированного состояния
на контуре выработки при-
кладывается снимаемая на-
грузка). Из первой расчетной
схемы находим начальное по-
те напряжений и смещений,
из второй — дополнительное
поле напряжений и смеще-
ний, Таким образом, в линейно-деформируем ом массиве для оцен-
ки распределения напряжений следует рекомендовать расчетную
схему, показанную на рис. 41, в, а для оценки распределения
смещений можно пользоваться расчетной схемой, представлен-
ной на рис. 42, б.
Остановимся несколько подробнее на формулировке началь-
ных и граничных условий. Обычно в качестве начального условия,
т е. начала отсчета времени, принимается момент извлечения
породы из забоя^ выемки угля из пласта, образования откоса
на карьере и т. д. Иногда начало отсчета времени несколько
сдвигается относительно указанных моментов. Например, считая
скорость упругих деформаций неизмеримо большей скорости
последующего деформирования горных пород (деформаций пла-
стического течения, ползучести), за начальные условия удобно
принимать момент окончания упругих деформаций. При иссле-
довании взаимодействия породного массива и крепи выработок,
которая, как правило, ставится с некоторым отставанием от за-
боя выработки и соблюдением строительного зазора между кон-
туром крепи и породы, в качестве начального условия целесо-
образно принимать момент соприкосновения породного контура
и крепи, называемой моментом ввода крепи в работу. Следует
отметить, что указанный сдвиг начальных условий возможен
только для линейно деформируемых реологических моделей
массива.
Граничные условия на поверхности породных массивов могут
быть заданы в виде статических, кинематических и динамических
условий. Статические граничные условия, которые чаще всего
встречаются в задачах механики горных пород, представляют
запись на поверхности породных массивов компонентов напря-
жений, как зто показано, например, на рис. 41, в и 42, б. Кинема-
тические граничные условия представляют запись на границах
компонентов смещений. Например, кинематические граничные усло-
вия в виде ограничений на смещения могут быть сформулированы
8*
115
на поверхности выработок, закрепленных абсолютно жесткой
крепью. Динамические граничные условия используются при
решении динамических задач механики горных пород и пред-
ставляют запись компонентов скорости, ускорения и т. д.
Статические граничные условия целесообразно применять при
решении задач в напряжениях (методом сил), а кинематические —
при решении задач в перемещениях (методом перемещений).
Возможна также запись смешанных граничных условий: на одной
части поверхности массива — статические, на остальной поверх-
ности массива — кинематические граничные условия. Например,
на поверхности очистной выработки при использовании секцион-
ной механизированной крепи смешанные граничные условия
могут быть записаны так: на контакте с секциями крепи — кине-
матические условия в виде ограничений на перемещения породного
контура, на остальной поверхности — статические граничные
условия в виде равенства нулю компонентов напряжений, каса-
тельных и нормальных к породному контуру.
В то же время граничных условий должно быть ровно столько,
сколько необходимо для решения задачи. Их недостаток приводит
к неопределенности в решении задачи, а избыток — к переопре-
деленности. И в том и в другом случае постановку задачи следует
считать неверной, и решение задачи построить нельзя. Например,
записав в рассмотренной выше задаче, помимо указанных гранич-
ных условий, еще условия для напряжений на контакте породы
и секций механизированной крепи, получим избыток граничных
условий, т. е. на указанном участке кинематические и статиче-
ские условия могут оказаться несовместимыми. Правда, теорети-
чески возможен случай совместного задания кинематических
и статических условий на рассматриваемом участке границы, но
тогда для соблюдения правильности постановки задачи необхо-
димо исключить часть ограничений на остальных участках границы.
Помимо внешних поверхностей породных массивов (поверх-
ности выработки, откоса и т. д.) в некоторых задачах механики
горных пород рассматриваются внутренние поверхности раздела
между областями массива, где породы находятся в различном
физическом состоянии. На поверхностях раздела обычно' задаются
условия непрерывности компонентов напряжений и смещений
(например, такие условия задаются на границе между областями
предельного равновесия пород и остальной частью массива).
Отметим некоторую особенность записи условий на внешней
границе в расчетной схеме, представленной на рис. 41, в. Если
плоская задача решается в полярных координатах, внешнюю
границу удобно представить в в^де окружности бесконечно боль-
шого радиуса с центром, совпадающим с центром поперечного
сечения выработки. Тогда на внешней границе (г = со) стати-
ческие граничные условия
or=f-l^ + -l^coS20) yh, тге = -y/!Sin20,	(V.l)
116
где % — коэффициент бокового распора (% sc 1).
В условиях гидростатического начального напряженного со-
стояния массива, когда % = 1, получаем наиболее простую за-
пись для граничных условий:
ar = yh, тге = 0.	(V.2)
Последняя форма записи граничных условий широко исполь-
зуется в дальнейшем при изложении,
*
§ 21. МЕТОДЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Методы теории упругости широко используются в механике
горных пород. Полная система уравнений включает общие урав-
нения механики сплошной среды (уравнения равновесия, геомет-
рические уравнения) и физические уравнения линейно-деформи-
руемого породного массива, которые в зависимости от принятой
модели массива имеют вид (11.64)—(11.74). В самом общем случае
решение задачи сводится к нахождению 15 неизвестных функций
координат (шесть компонентов напряжений, шесть компонентов
деформаций и три компонента перемещений), удовлетворяющих
указанным уравнениям и граничным условиям.
Существуют три метода решения: метод сил, метод перемеще-
ний и смешанный метод. При решении задачи методом сил за
основные неизвестные принимаются напряжения, которые опре-
деляются в результате интегрирования уравнений равновесия
и уравнений неразрывности деформаций, где деформации выра-
жены через напряжения с помощью физический уравнений.
В методе перемещений за основные неизвестные принимаются
перемещения, определяемые из решения уравнений равновесия,
где напряжения предварительно выражаются через перемещения
с помощью физических и геометрических уравнений. При реше-
нии задачи смешанным методом за основные неизвестные прини-
маются некоторые из напряжений и некоторые из перемещений.
В механике горных пород чаще всего используется метод сил.
Выше отмечалось, что геометрическое и физическое обследо-
вание породных массивов обнаруживает определенную симметрию
и позволяет значительно упростить тензоры напряжений и де-
формаций. Поэтому в дальнейшем, не останавливаясь на решении
общей объемной задачи, которое сопряжено с огромными матема-
тическими трудностями, будем рассматривать частные случаи,
допускающие указанные упрощения (осесимметричная задача,
плоская задача и т. д.). Пользуясь методом сил, запишем соответ-
ствующие системы уравнений.
Рассмотрим осесимметричный случай. Для определения напря-
жений в неоднородном трансверсально-изотропном породном мас-
сиве (11.66) имеем:
117
уравнения равновесия
^- + ^_ + ±2_=0;	1
dz 1 дг 1 г	।
уравнения неразрывности деформаций	j
92 (гее) дег '	1
5г2 дг '	1
д^г , Э2ег	Э2угг _	’
5z2 ' 5r2	dr dz	•	1
а2е	я	я	(V-4)’
О е9 . дег	.
3z2	' dr dz ’
дег 32(ree)
dz dz dr	2
где
1 .	. lb	1 .	. и,
ел=—(ог,-р<т0)—ев=—(а0-раг) —^<т2,
(V.5)j
ег = -А-ог—В.(аг+ай),	Y« = -g-,	
E = E(r, г), • p = p(r, z),	£1 = E1(r, z), Pi = pi(r, z), G1 = G1(r, z)/
Соответственно при исследовании напряжений в неоднородном
анизотропном породном массиве с цилиндрическими поверх-
ностями изотропии имеем уравнения равновесия (V.3) и уравне-
ния неразрывности деформаций (V.4), где деформации выра-
жаются через напряжения с помощью физических уравнений:
1	Р1 у I	1 ,	„ Я1
ег = _ о,—g-(o0 + огг), е0 = — (ае-ра2) —g- сг.
e2 = -L(o2-1w0)—Угг = -^-,	(V.6)
^ = £(r, z),	p = p(r, z),	E1 = E1(r, г),	= pi(r, z),	G1 = G1(r, z).
Дальнейшее упрощение приведенных систем уравнений может
быть достигнуто введением так называемых функций напряжений,
через которые выражаются компоненты напряжений. Указанные
выражения компонент напряжений подбираются таким образом,
что часть уравнений тождественно удовлетворяется и системы
уравнений упрощаются. Однако этот метод приводит к желаемым
результатам только в некоторых задачах. Например, рассматри-
вая модель однородного изотропного породного массива, соответ-
ствующие системы уравнений получим из (V.3) и (V.4), положив
Е = Ег = const, р =	= const. Если ввести функцию на-
118
пряжений F (г, z) и для компонентов напряжений записать вы-
ражения
д Г ( 1 dF . d^F X . W Л
°' dz Lg (. г ' dr dzi J ( И J’
d Г ( diF , d2F\ ..	. 1
dz |_И (. dz2 + 3r2 ) < г ’ dr J’	7
d Г „ х / 92F . 1 dF \	. d^F "I	'
az== dz |_2 И ( dr2 + r ' dr / +	dz2 J’
d Г .	.( dW .1 dF X d*F "I
T'z=—
решение задачи сводится к интегрированию одного уравнения
четвертого порядка:
/ Э2 1	Э , g2 Ч /	, 1	,	32f \
\ dr2	'г	dr ’ dz2 ) \ Эг2	"Г" г	dr '	dz% J	'	'
Можно указать много выражений для функций напряжений
F (г, z), которые являются решениями уравнения (V.8). Учиты-
вая постановку и граничные условия задач механики горных
пород, можно рекомендовать решение следующего вида:
F (г, z) = (C1+C2z + C322+C4z3)lnr,	(V.9)
где Cj, C2, C3, C4 — постоянные коэффициенты, определяемые
из граничных условий.
Для решения более сложных задач можно рекомендовать ЭВМ
и приближенные вариационные методы. В основе этих методов
лежит классический вариационный принцип, согласно которому
действительная форма равновесия отличается от всех возможных
форм равновесия тем, что соответствующая ей полная энергия
системы имеет минимальное значение. Среди приближенных ва-
риационных методов наиболее эффективным в механике горных
пород представляется метод Галеркина. Сущность этого метода
излагается ниже применительно к решению конкретной задачи.
Рассмотрим пространственную задачу в сферической системе
координат с полярной симметрией. Принимая модель неоднород-
ного анизотропного породного массива (11.70) со сферическими
поверхностями изотропии, после ряда преобразований получаем
систему уравнений:
уравнение равновесия
dor  2(<т>-~<те) _р
dr *” г	’
уравнение неразрывности деформаций
d^a 6д—
+ —-=о,
V dr 1 г
где ег и ее определяются уравнениями (11.70).
(V.10>
(V.H)
11&
Уравнение равновесия (V.10) тождественно удовлетворяется,:
если ввести функцию напряжений F (г) и компоненты напряжений;
записать так:
F	1 dF
г г2 ’ у 2r dr
(V.12X
При этом уравнение неразрывности деформаций (V.11) с уч<
том (V.12) преобразуется к виду
d Г 1 — р 1 dF pi F "I । 1 Г ( 1 — И t 2Р1 \ 1 dF
dr L Е ' 2r ’ dr Ex ' r? J+ г Ц E ' Er ) 2r ' dr
-(*+тг)-£Н	<v-13>
где
£ = £(r), p = p(r),	£1 = £1(r), pi = pi(r).
Для неоднородного изотропного массива при Е = Ег = Е (г)
и |л = |л1 = 0,5 соответственно имеем физическое уравнение
6r=_2Se = -^-[0rr-aej	(V.14>
и уравнение неразрывности деформаций
(^+т)Ы7г(-4+=г4Я]~0'	<’Л5’
решением которого является функция напряжений
F (г) = г2[сх	(V.16)
В случае плоской деформации задача значительно упрощается.
Рассмотрим в прямоугольной системе координат модель неодно-
родного трансверсально-изотропного породного массива (11.65),
когда исследуемые плоские сечения (оху) нормальны к плоскости
изотропии. Имеем
уравнения равновесия
двх . дтху _	
дх ’ ду
зг	L	<УЛ7>
ОЪух . дСу „
дх	ду	’
и уравнения неразрывности деформаций
^<>+>н+
32	Н1(1 + н) „ _ a2 frxy\
+1^2- L	Ё~!	------— °\| - 1ГЭ7’	’ (V,18)
где
Е = Е(х, у), р = р,(х, у), Е1 = Е1(х, у) Ц1 = Ц1(ж, у) G1 = G1(x, у).
420
Если ввести функцию напряжений F (х, у) и положить
d^F	d*F	d^F
ах~~дЦ2’	Хху-----дГд^’
(V.19;
уравнения равновесия (V.17) тождественно удовлетворяются,
а уравнение неразрывности деформаций (V.18) преобразуется
к виду
З2 Г / 1-И2 \ diF Hl (1 + н)	d2F "I
LA Е ) дуг Ег ' 3x2 J'
Г/ . Е , \
32	Ех 32f __ (х1 (1 + |1)	32£
3x2 у Е± / Зх2	Е± ду%
Г 1	/	32£ \~1
дх ду |_ G1 \ дх ду J J '
(V.20)
Точное решение уравнения (V.20) может быть получено только
для некоторых частных случаев распределения неоднородностей
в породном массиве. Во всех остальных случаях следует рекомендо-
вать применение приближенных вариационных методов и ЭВМ.
Если рассматривать модель однородного трансверсально-изо-
тропного массива, т. е. положить Е = const, Е± = const, ц =
= const, щ = const, уравнение (V.20) записывается следующим
образом:
/ Е 2\
£1 И1 dtp , Г 1	2(11 (1 + н) ”1 &F f 1 —112 \ dip __0
\. £i ) дх* "I" L Gi Et J 3x2 ду2 + V Е J ду*
(V.21)
Решение F (х, у) уравнения (V.21) исследовано С. Г. Лехниц-
ким [77].
Для модели однородного изотропного массива (Е = Elt ц =
= Цх) уравнение (VI.21) переходит в бигармоническое:
d*F d*F 34£
Зх4 Зх2 Зу2 + Qyi
(V.22)
Такое же уравнение (V.22) получим, рассматривая плоскую де-
формацию в плоскости изотропии. Бигармоническое уравнение
(V.22) детально исследовано в известной монографии Н. И. Мус-
хелишвили [78], где с привлечением теории функций комплекс-
ного переменного разработан общий метод решения плоской
задачи.
Более подробно рассмотрим случай плоской деформации в по-
лярных координатах гб. Исследуем модель неоднородного анизо-
тропного породного массива с цилиндрическими круговыми по-
верхностями изотропии и осесимметричной неоднородностью.
Такое распределение деформационных свойств массива можно
наблюдать в окрестности горных выработок, что является
121
результатом технологии
случае для определения
уравнения равновесия
их сооружения и поддержания. В это:
дополнительных напряжений имеем:
Лгй 1
59 Ь— (сге~°г) = О,
(V.2:
9аг  1
dr ' г
уравнение неразрывности деформаций
д^е,
"зог
д2 (гее)
дг2
дгг д2(гугв)
дг дг 30
(V.24j
где
1	Hi
8» ——•	(У»» 1 А (Уд.
Е*	Ei	0
1
80 —
Hi
.Г1 Г’
(V.25;
г
Yre G1 Tr9’
z?<	Ei
Е1~~-----Ё~7
Р1(1 + Р)
\	Ё~~^
£* = —-—
1 —(Х2 ’
£ = £(г),	[1 = р(г),	£’1=£’1(r), Pi = [ii(r), Gx = Gi(r).
I
n
Уравнениям равновесия можно удовлетворить, если ввести функ-'
цию напряжений F (г, 0) и положить	1
1 dF ,	1 d*F	d*F	R	d / 1 dF \	,.т	1
°г г ‘ dr +	г2 ‘ 302	’ °в Зг2	’	Т»-в	Зг ( г ' 30 /	(V-26)^
В итоге после	подстановки (V.26)	в	(V.25),	а	затем (V.25) в	(V.24)3
получаем следующее	уравнение	четвертого	порядка с перемен-^
ними коэффициентами для определения функции напряжений!^
32 Г 1	3 ( 1 dF х "I
Зг 30 I/ Gi ‘ dr к г ‘ 30 J J-0,
(V.27)
122
Ввиду сложности уравнения (V.27) найти его общее решение не
представляется возможным. Точное решение может быть получено
только в некоторых частных случаях. Так, для модели однород-
ного анизотропного породного массива, когда Е = const, Ег =
= const, р. = const, пх = const, Gx = const на основании (V.27)
получаем уравнение
1 d^F . Г 1 2Hi 1 1 d*F .1	1 d*F
Е* dri л" [ Gx Я* J г® 5г2 302 + £* Н ’ 30*
_2_____1_ d3F Г 1	2ц* 1 1 ff3F_______________1______1_ д2Е
Е* г 5г3 Gx /г* г3 дг 502	£•* г3 дг2
1 d2F
г* 502
J_____1_ dF
F* г3 - dr ’
(V.28)
исследованное С. Г. Лехницким [77].
Если рассматривается модель изотропного неоднородного по-
родного массива, имеющего Е = Ег = Е (г), р = цх = 0,5, урав-
нение (V.27) принимает вид
/_1_	5	3 5______52 \ Г 1	/1 dF . 1_ 52f	d2F \~|
\ г2 ' 502	г ' дг	дг2 / |_ Е (г) \ г дг ‘ г2 ‘ 502	dr2 ) I
(V.28'>
г2 дг 50 L Е (г) дг \ г 50) J	4
И, наконец, для модели изотропного однородного породного
массива получаем известное бигармоническое уравнение
(L	___n <v?q)
k г • dr т" г3 • 502 “ dr2 } \ г • дг "г г2 ’ 502 дг2 ) —	1	'
В случае полярной симметрии уравнение (V.28) упрощается:
<v-»>
Для определения функции напряжений F (г) из уравнения
(V.30) можно поступить следующим образом. Решим уравнение
(V.30) как уравнение второго порядка относительно выражения,
стоящего в квадратных скобках. Затем найденное решение при-
равняем этому выражению и подучим следующее уравнение:
d2F
dr2
Etr),
откуда определим функцию напряжений в виде
F(r) = CxJ[r	dr]dr + C2	5r^dr + C3r2 + C4.
123
Если рассматривается полярно симметричное напряженно-де-
формированное состояние однородного породного массива (Е =
= const), уравнение (V.30) преобразуется к виду	1
(^+4-4) (44-44)-»	™
и записывается обычно так:
/ d2 1 d \ f d»F .1 dF \ п
Уравнению (V.32) удовлетворяет функция напряжений:	’
F (г) = Cl In г+ С2г2 In г+ С3г2 + с4.	(V.33]
Компоненты напряжений определяются через функцию напря-
жений по формулам (V.26). Исследования показывают, что при
решении задач механики горных пород для определения компо^
нентов дополнительных напряжений в однородном массиве доста-
точно вместо (V.33) рассмотреть функцию напряжений в виде
1
Ч
J’(r) = C11пг+С3г2.
(V.34;
Аналогично при исследовании механических процессов в неодно-
родном породном массиве можно рассмотреть функцию напря1
жений
F(r) = CiJ[r	drpr+C3r2.	(V.35)
Следует заметить, что в полярно симметричных плоских зада-
чах механики горных пород функции напряжений могут быть
получены в результате решения уравнения второго порядка,
К которому приводится уравнение неразрывности деформаций
(11.63). В этом случае система уравнений для решения задачи
в напряжениях включает:
уравнение равновесия (11.55) при р = О
.daг . °г—°е
dr Tt“ г
(V.36)
и уравнение неразрывности деформаций (11.63), которое при
р = рх = 0,5 (откуда следует ее = —ег) имеет вид
или
где ее определяется физическим уравнением
3
(V.39)
124
соответствующим модели изотропного и неоднородного породного
массива:
Е — Ех = Е (т), р — [Xj = 0,5.
Уравнение равновесия тождественно удовлетворяется, если
ввести функцию напряжений F (г) и положить
F	dF
°г = — >	—
r н dr
(V.40)
Тогда уравнение неразрывности деформаций (V.37) с учетом
(V.39) преобразуется к виду

Решением (V.41) является функция напряжений
T(r) = C1r j ^LLdr+C3r.
(V.42)
Соответственно для модели однородного изотропного породного
массива имеем
F(r) = -^- + c3r.	(V.43)
Легко видеть, что по еде подстановки найденной функции на-
пряжений (V.42) в формулы (V.40) получаем такие же выражения
для компонентов напряжений, как и по формулам (V.26) с учетом
(V.35). В дальнейшем уравнения (V.36), (V.38) и представление
(V.40) для полярно симметричного случая широко используются
при решении задач механики горных пород.
Полярная симметрия при исследовании механических процес-
сов в окрестности выработок обычно нарушается по следующим
причинам: 1) отсутствие полярной симметрии в распределении
механических свойств породного массива; 2) отклонение контура
выработки или внешней границы от кругового контура; 3) от-
сутствие полярной симметрии в распределении напряжений или
смещений на границах. При выводе общего уравнения (V.27)
и всех последующих полагалось наличие полярной симметрии
в распределении меха-
нических свойств пород-
ного массива. Следует
иметь в виду также, что
при нарушении поляр-
ной симметрии только
по третьей причине об-
щее решение задачи лег-
ко может быть получено,
если граничные усло-
вия разложить на эле-
ментарные гармоники и
Рис. 43. Контур горной выработки (а) и кон-
тур внешней границы породного массива (б)
125
представить в виде тригоно-*
метрических сумм. В связи
с этим для построения об-
щего решения представляется
целесообразным свести зае-
дали с некруговыми кон-
туром выработки или внеш-
ней границы к соответству-
ющим задачам с полярно»
симметричными границами.
Такой метод решения пло-
ской задачи теории упругости
был предложен в работе [79].
Обобщим его для исследова-
ние 44 Схема к записи типичных vc ния механических процессов
*Hv» Чт» ViAvJHu tx oaUHVH Г1>иничныж У'-'
ловий на контуре выработки в неоднородном породном,
массиве в окрестности гор-
ных выработок некругового>
поперечного сечения или с некруговой внешней границей.
Контур горной выработки (рис. 43, а) или контур внешней
границы породного массива (рис. 43, б), например, контур внеш-
ней границы ледопородного ограждения вокруг вертикального
шахтного ствола, зададим уравнением
)	Г = г0 + 40)-	(V.44)
Будем полагать, что отклонение от кругового контура s (0) и его
производные малы по сравнению с радиусом кругового контура г0.
В действительности для большинства гррных выработок (за исклю-
чением очистных выработок) эти условия выполняются. Напри-
мер, для выработок квадратного поперечного сечения (рис. 44, а}
обычно s (0)	-i- г0. Таким образом, в уравнении (V.44) s (9)
является малой величиной:
s(9)«r0. s'(9)«ro. 5"(9)«''оит. д.	1
Причем в дальнейшем будем рассматривать величины первого
порядка, т. е. будем решать задачу в первом приближении.
Если на контуре выработки или внешней границе действуют
нормальные напряжения q, граничные условия в полярных коор-
динатах на основании (11.14) записываются следующим образом:
q cos (rv) = ar cos (rv)4-tr0 cos (0v),	(V.45)
q cos (0v) = тГ9 cos (rv) + a0 cos (0v),
где cos (rv), cos (0v) — соответственно направляющие косинусы,
определяющие положение элементарной площадки с внешней
нормалью v по отношению к координатным осям г и 0.
На рис. 44 показано направление нормали v и соответству-
ющие углы (rv) и (0v) для контура горной выработки. Из рис. 44
126
видно, что направляющие косинусы с точностью до величины
первого порядка малости равны:
cos (rv)»» + 1, cos (0v)s« ± s' (0)	(V.46)
где верхний знак соответствует условиям на внутренней границе
(рис. 44, а), а нижний знак — условиям на внешней границе
(рис. 44, б). Тогда граничные условия (V.45) на границе г = г0 +
+ s (0) преобразуются следующим образом:

(V.47)
Выразим граничные условия (V.47) с той же степенью точ-
ности через граничные условия на круговом контуре г = rQ.
Предварительно выражения для напряжений аг, ое и тге на гра-
нице г = г0 + s разложим в ряд в окрестности т = г0 и удержим
только члены до первого порядка малости:
I	f	I	Г’
Тг 0 I r=To+S = ТГ0 I г«Го + s “57
(V.48)
Подставив (V.48) в (V.47) и ограничиваясь той же степенью
точности, запишем граничные условия для напряжений на круго-
вом контуре г = г0, соответствующие граничным условиям (V.47).
Если при этом для сокращения записи опустить символ |г=Го,
получим:
. дог	s'
g=Or+__s_Tr0—
s' s'	^0
ГО 0 r0 ™ dr
(V.49)
Далее напряжения в породном массиве представим в виде разло-
жений и ограничимся первым приближением:
°0=4°) + 41)
(V.50)
т „ = т(0)4-т(П
тг0 тг0 Т-ТГ0 •
где о^1, Тг*’ — составляющие напряжений нулевого прибли-
жения, соответствующие невозмущенному
полю напряжений иди s = 0;
127
аД\	— возмущения в напряжениях первого прибли-
жения.
Подставим (V.50) в (V.49) и запишем раздельно граничные
условия при г = г0 для невозмущенного поля напряжений

(V 51)
и для возмущений в напряжениях
с той же степенью точности
- dr S
гге)=[ае0)-9]
т<°) —
г0 ’
г0 dr 'S
(V-52)
Для определения компонентов о£0), ое0), тнР невозмущенного
поля напряжений можно воспользоваться функцией напряжений
(V.42), соответствующей случаю полярной симметрии, и подста-
вить ее в формулы (V.40). Так, для модели неоднородного изо-
тропного породного массива находим
°*о)=с1
^’ = 0.
(V.53),
где постоянные интегрирования Сг и С3 определяются из гранич-jj
ных условий (V.51) на внутреннем круговом контуре и на внеш- ‘
ней круговой границе.
Учитывая (V.53) и (V.51), перепишем граничные условия
(V.52) при г = г0 ДЛЯ возмущений в напряжениях следующим
образом:
ор) s>	(V54)
ro
(i) _ с Б (r0)
ve - 1 гз s ’
о
Функцию s (0), характеризующую отклонение границы от круго- J
вого очертания, можно представить в виде тригонометрической 3
суммы. Тогда для определения возмущений в напряжениях о,1*, J
XrV достаточно рассмотреть породный массив с полярно сим- j
метричными границами, по которым имеются граничные условия ]
(V.54), представленные в виде тригонометрических сумм по эле-J
ментарным гармоникам.	|
128
Рассмотрим вначале од-
нородный изотропный по-
родный массив (рис. 45) с
внутренней границей (кон-
туром выработки)
г = rB + sB (0), (V.55)
где
«в (0) = У, «в*е‘*в,
на которой действует нор-
мальное давление дв, и
внешней границей
r = rH + sH(0), (V.56)
где
sh(0)= У sH*e‘*0,
fc=-co
Рис. 45. Расчетная схема породного мас-
сива с некруговыми границами
на которой действует нормальное давление дв. Компоненты не-
возмущенного поля напряжений определим по формулам (V.40),
воспользовавшись функцией напряжений (V.43). Получим:
= С1-^-4-С3,
а^) = _С1_^+Сз1	(V-57)
^>=0.
Постоянные интегрирования и Са находим из граничных
условий (V.51), которые на внутренней круговой границе г = гв
имеют вид
а<0)= дв. т$ = 0,	(V.58)
а на внешней круговой границе г = гв —
<т<0) = дн, т)»> = 0.	(V.59)
Используя (V.58) и (V.59), получим:
1	2	2
гв гв
r Vh-Vb
672 =	Г2_Г2
' н ‘ в
(V.60)
Учитывая (V.57), (V.60), (V.55) и (V.56), на основании (V.52)
можно записать граничные условия для возмущений в напряже-
ниях на внутренней круговой границе г — гв
а<« =
л •	\	9	СО
у s
(г2_г2\ r 4 S»*e
\ Н В/ в k"» — OO
iksB kelk9 ,
(V.61)
9 Заказ 194
129
и на внешней круговой границе г — гн:
„ ,	. я *=ОО
2(gB-gH)rB
2 lkSHk6 •
\ я в/ н ^=—оо
Таким образом, определение возмущений в напряжениях дл,
однородного изотропного породного массива с некруговыми вну
тренней и внешней границами сводится к решению задачи с кру
говыми границами, на которых должны выполняться граничны
условия (V.61) и (V.62). Для-решения такой задачи необходим
рассмотреть бигармоническое уравнение (V.29).
Функцию напряжений F (г, 0), удовлетворяющую уравненш
(V.29), принимаем в виде
F (г, 0) = 6О In r+c0r2+(c_1r3 + fe_1r-i)e-('e + (c1r3 + fe1r-i) ег0+
fe=»OO
+ 2’ (akrW + bkr l&l + ^r|ft|+2 + ^r-lfe|+2) eike, (V.63).
fc»-oo
где штрих после знака суммы означает, что при суммировании
пропущены члены к = 0, ± 1. Подставив (V.63) в формулы (V.26),
определим возмущения в напряжениях:
<4Х) = 2с0 + 60г-2 + (2с_хг — 2&_xr-s) е“‘0 + (2схг — 2&хт-з) е‘0 +
+ 2' [(R|-fc2)aAr|ft|-2-(P| + fc2)&Ar-l^-2 + (p| + 2—*2)САГ1*1_
fe=»-oo
— (| к | — 2+ fc2) 4Г-1*1 ] &ike,
41) = 2со-60г-2+ (6с_хг + 2&_хг-з) e"Z0+ (6схг+26хт-з) е*0 +
+ *2' 11М (IИ -1)	- PK-IM-1) bkr-^-2 +
k=* -со
+ (|fc|+2)(|fc|+ 1) c*rl*l+(~ I к | + 2) (-|fc|+l) +<|/г|] е1*0,
г(1)= i(2c_xr -2&_xr-3)e-'0 — i (2cxr-26xr-3)ei0-
— i 2'	1) a*rl*|-2 + (~ l*| — l)b*<|ft|"2 + (R| + l) cftrl*l +
k= -co
+ (- I к |+1) keil,e.	(V.64)
Для определения коэффициентов Ьо, с0, сх, Ь_х, с_х, ak,
bk, Ck, dk (к = ±2, 3, 4, ...oo) необходимо, учитывая выражения
для напряжений (V.64), удовлетворить граничным условиям (V.61)
130
и (V.62). Приравняв коэффициенты при одинаковых гармониках,
получим следующую систему уравнений:
„	, , _2	2(9в—9н)г2
2с° + Ь°гв---------уг— s»«,
Vh — гв) гв
2(9в —9н) г2
2со + 6огн2- / 2_ 2
V н гв
о	-3	2(9в—9н)г2
2с*гв 2Ььгв — .
Of
н

SB ki
(к=
2(9в—9н)г2
2ckr„ - 2Ькгп3 = -7-— «н k,
Vh-M r“
(I к I - fc2) eftrH-2 - (ffc | + fc2) bkr-\kI-2 + (I к I + 2 - fc2) Cftrl*l _
— (|k| — 2 + ^2) ^Гв1<г~|==- z	(fc= ±2, 3.........oo),
(I к | -fc2)asrW-2 — (| fc | + *2) bjfer-l*l-2 + (| к | + 2—fc2) CkrM _
_(|fc|_2 + fc2)dfcr-M = .	Sakt (fc= ±2, 3.   oo),
(I к | -1) ajr^"2 + (- | к | -1) bAr-ffel+2 + (| к |+1) eftr^+ (- | к | +1)	=
2(gB— qH)4	n n
— i O 2\	(к— ± 2, 3, .... oo),
(V.65)
поля напряжений, которые определяются рыражениями
(V.60). В результате получим искомые напряжения аг,
в породном массиве.
исследовании напряжений в неоднородном породном
с некруговыми граничными кривыми решение задачи
на конкретном примере. Рассмотрим горную выработку
(I к I - 1) akr№-* + (- | к I -1) bkr~/1+2 + (| к I +1) CftrW + (- I к I +1) dfer-l*l =
2 (gB—gH)
= ~(r~r2\r s«k’ (k= ±2, 3.....oo).
(гн~гв) гн
Подставив найденные из уравнений (V.65) коэффициенты
в формулы (V.64), получим возмущения в напряжениях а^х),
и т;)е , возникающие в породном массиве при отклонении формы
граничных кривых от круговой. Далее в соответствии с (V.50)
сложим эти напряжения с компонентами а(г0)»	невозму-
щенного
(V.57) и
<^0 И Хг8
При
массиве
поясним
с некруговым контуром
r = rB4-s (6),
(V.66)
131
9*
где
s (0) = sk cos кв, к — 2, 3, 4, 5 . . . .
Решая задачу в дополнительных напряжениях, будем пола
гать, что на контуре выработки действует нормальное давлени
qB. Внешняя условная граница в породном массиве имеет круге
вое очертание с радиусом г -► ©о, и напряжения на ней отсут
ствуют.
В этом случае для невозмущенного поля напряжений границ
ные условия (V.51) записываются следующим образом:
на контуре г — гв
^о) = Зв.т<ое> = О,	(V.67
на условной внешней границе при г ->00
а<°) = 0, т<§>= 0.
Г ’ nJ
(V.i
Компоненты невозмущенного поля напряжений <40) и т^е
определим по формулам (V.53) с учетом граничных условий
(V.67) и (V.68), которые дают следующие значения для постояв
ных интегрирования:
С1 = -	, Сз = Зв-Цг-^---~ •	(V-69
. \^Ldr
Jr3	Jr3
rB	rB
После подстановки (V.69) в (V.53) получим:
oo
dr
О<°> = 9в
Е(г)
г2
(N.I
С Е(г,
г3
J г3
гв	' в
Соответственно граничные условия (V.54)
dr
Соответственно граничные условия (V.54) для возмущений в и
пряжениях при г — гв с учетом (V.66) и (V.69) принимают В1
г3
= дв  в----------Sk cos кв,
dr
T(i) — Д
ve
в
Е (гв)
7й
-----2------Skk sin кв.
(N.T,
t^O.
3?
в
132
Запишем также граничные условия при г -► ©о
।
[	О<1) = 0, т$ = 0.	(V.72)
| Для исследования распределения компонентов напряжений
1	0^4, и-г^е* в породном массиве определим функцию напряже-
ний F (г, 0) из уравнения (V.28), а затем подставим ее в формулы
(V.26). Учитывая принятое представление некругового контура
выработки (V.66), будем искать функцию напряжений в виде
'	F (г, 0) = /(г)со8ЛЮ.	(V.73)
I	Подставив (V.73) в (V.28), после преобразований получим урав-
s	нение
I	 3 а  я\г 1 (ду 1 э/ , fca ,
i	\ dr2 * r dr * r2 / L E (r) \ <9r2 r dr ' r% / J ’
‘ Определение точного решения данного уравнения представляет
> значительные трудности. Воспользуемся приближенным вариа-
ционным методом Бубнова — Галеркина. На данном примере
i продемонстрируем возможности использования этого весьма эф-
k фективного метода решения краевых задач в механике горных
‘ пород. Решение уравнения (V.74) будем искать в виде
/=/о+5 А/А,	(V-75)
i	1=1
'•> что соответствует решению уравнения (V.28) в виде
cos	(V-76)
тп
F(r,Q) = /о 4-2
где /0 — функция, удовлетворяющая неоднородным граничным
условиям и по возможности лучше аппроксимирующая
искомое решение;
Az — коэффициенты, определяемые из условия ортогональ-
ности;
— базисные функции, удовлетворяющие однородным гра-
ничным условиям.
Построим функцию /о следующим образом. Сравнивая (V.42)
и (V.43), легко заметить, что в полярно симметричном случае
для модели неоднородного изотропного породного массива при
граничных условиях (V.67) и (V.68) уравнению (V.41) удовлетво-
ряет функция напряжений
-	F(r) = F*r2^ -E^Ldr,
где F* — функция напряжений, удовлетворяющая соответству-
ющему бигармоническому уравнению для модели однородного
133
изотропного породного массива при тех же граничных условиях,
т. е. уравнению
(V 77)
\ dr 1 г / dr г )	'	'
Функцию /0 построим аналогично:
/o = /*r2J-^p-dr-	(V.78)
Учитывая общий вид функции напряжений (V.63), выражения для
компонентов напряжений (V.64) и граничные условия (V.71)
и (V.72), можем записать:
i*=Bkr-k^Dkr~k^,	(у.79)
где Bk = 2bk, bk = b_k, Dk = 2dk, dk = d_k, к = 2, 3, 4, 5, ...
После подстановки (V.79) в (V.78) получим:
/о = (Bkr~k+i + Dkr~k+i) § lAp- dr	(V.80)
Коэффициенты Bk и Dk можно вычислить, раскрывая значение f0
в (V.76) согласно выражению (V.80), а затем используя получен-
ную функцию напряжений
F (г, 6) = [(Вкг~к+2 4- Dkr~k+i) J 4з^- d г J cos *0	(V.81)
для определения напряжений ст,1' и тЯ? по формулам (V.26).
Далее, удовлетворив граничным условиям (V.71), получим зна-
чения коэффициентов Вв и Dk.
Базисные функции /г должны удовлетворять однородным
граничным условиям. Таким свойством обладают, например,
функции вида
^Вк^^г->	<V82>
fjdr = O, (7 = 1, 2, 3 ... т),	(V.83)
которые и принимаем для аппроксимации искомого решения.
Коэффициенты А, находим из условия ортогональности:
(т
/о + 2
1=1
(т	\
/0 +	2	I	— дифференциальное уравнение (V.74), в кото-
Х=1	/
ром функция / (г) записана в виде (V.75) с учетом (V.80) и (V.82).
Интегралы (V.83) быстро сходятся, что обусловлено видом
аппроксимирующих функций. Таким образом, после вычисления
интегралов (V.83) получаем систему линейных алгебраических
уравнений для определения коэффициентов Аг (г = 1, 2, 3, ...).
При увеличении числа аппроксимирующих функций /t можно
добиться высокой точности решения задачи.
Вариационный метод Бубнова — Галеркина можно использо-
вать для решения других задач механики горных пород, особенно
пространственных задач, как указывалось выше. При удачном
выборе аппроксимирующих функций и наличии ЭВМ этот метод
представляется весьма эффективным.
§ 22. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
Методы теории пластичности используются в механике горных
пород тогда, когда напряженное состояние некоторой области
породного массива превосходит соответствующее предельное ли-
нейно-деформируемое состояние. Полная система уравнений вклю-
чает общие уравнения механики сплошной среды (уравнения
равновесия, геометрические уравнения) и физические уравнения,
отражающие зависимость между напряжениями и деформациями
за пределами линейно-деформируемого состояния. 7
В § 10 отмечалось, что механические процессы в породных
массивах, как правило, удовлетворяют условиям активной де-
формации и простого нагружения. В этом случае можно рассмат-
ривать общую модель нелинейно-деформируемого массива, отра-
жающую свойства нелинейно-упругого массива и упруго-пласти-
ческого массива. Кроме того, модель изотропного однородного
линейно-деформируемого массива является частным случаем такой
общей модели. Соответствующие физические уравнения имеют
вид (11.93)—(11.103).
Решение объемной задачи с использованием нелинейных физи-
ческих уравнений (11.96) представляется чрезвычайно сложным.
В качестве сравнения достаточно указать на трудности, которые,
как отмечалось в предыдущем параграфе, встречаются при реше-
нии объемной задачи тебрии упругости, использующей линейные
физические уравнения. Поэтому ограничимся рассмотрением за-
дачи в постановке плоской деформации и на ее примере покажем
различные типы задач теории пластичности и возможность их
применения в механике горных пород.
Рассмотрим модель нелинейно-деформируемого породного мас-
сива (11.100) в условиях осесимметричной деформации. В этом
случае р. = 0,5, откуда следует
Система уравнений включает общие уравнения механики сплош-
ной среды:
уравнение равновесия
dor ] °г—^е	0,
dr ' г
(V 84)
1-J5
уравнение неразрывности деформаций
и физическое	уравнение, которое согласно (11.100)	и с учетом
(11.94') имеет	вид 3(а9-<тг)	(V.86) ‘
где	4£<p(ez, аср) ’ £ = £(г),	
	2/Т е, - 3 е0,	(V.87) j
	<тср=='2~ (^e + M*	(V.88)*
Если ввести функцию напряжений F (г) и компоненты напря- <
жений выразить как	*
»г-7-	<VM);
то уравнение равновесия тождественно удовлетворяется, а урав-
некие неразрывности деформаций с учетом (V.86) преобразуется»*
К виду
(^+4)[Ж-ян	.
Решение уравнения (V.90) зависит от вида функции ф. Так, j
в случае ср — ср (et), интегрируя уравнение (V.85) и учитывая '
(V.87), получаем ф = ф (г). Тогда решение уравнения (V.90)«i
записывается следующим образом:	j
F(r)=Cir	(V.91) ;
Следует отметить аналогию (V.91) и (V.42). Иными словами, <;
существует определенная аналогия между физической нелиней-
ностью и неоднородностью породного массива при исследовании ’
распределения напряжений. Это легко объясняется: в точках d
физически нелинейного породного массива, различно удаленных ,
от контура выработки и находящихся в различном напряженном
состоянии, существуют различные отношения между напряже-1
ниями и деформациями, так же как и в неоднородном породном 
массиве.	|
Уравнение (V.90) может быть использовано для исследования *
механических процессов в окрестности одиночных горных выра- j
боток, сооружаемых в нелинейно-деформируемом породном мае-|
Сиве. При этом характер механических процессов существенным i
образом зависит от принятой модели физически нелинейного 3
породного массива.	1
136
В большинстве случаев целесообразным является исследование
только условий превышения предельного линейно-деформируемого
состояния породного массива. Если при выполнении указанных
условий породный массив теряет несущую способность, т. е. пере-
стает сопротивляться дальнейшему увеличению нагрузки, его
новое физическое состояние трактуется как предельное или как
состояние предельноТо равновесия. Можно также рассматривать
наступление состояния предельного равновесия в массиве, кото-
рый до этого деформировался нелинейно. Для исследования по-
добных задач в механике горных пород используются методы
теории предельного равновесия, которая является разделом
теории пластичности.
Необходимо подчеркнуть, что потеря несущей способности
породного массива, как указывалось в § 13, может в зависи-
мости от механических свойств пород проявляться различно:
в результате пластического течения или хрупкого разрушения.
Постановка задач теории предельного равновесия при этом не
меняется. Важен лишь сам факт наступления предельного равно-
весия породного массива, а причины его находят отражение в раз-
личной форме записи соответствующего физического уравнения
(11.103).
В условиях неоднородного напряженно-деформированного со-
стояния породного массива предельное равновесие обычно насту-
пает в некоторых его областях, ограниченных по размеру. Исклю-
чение могут составлять, например, массивы замороженных пород
вокруг горных выработок, полностью переходящие в состояние
предельного равновесия при увеличении внешних нагрузок.
Независимо от природы и размеров областей предельного
равновесия постановка задач теории предельного равновесия суще-
ственным образом отличается от постановки задач теории упру-
гости в механике горных пород. Если в задачах теории упругости
при заданных граничных условиях исследуется распределение
напряжений в породном массиве, то в задачах теории предельного
равновесия при заданных условиях на одной части границы
породного массива исследуются в конечном итоге условия на дру-
гой части границы (обычно нагрузка или очертание границы),
при которых массив переходит в состояние предельного равно-
весия.
В задачах теории предельного равновесия имеющаяся до
начала их решения информация о распределении напряжений
более полная, чем в задачах теории упругости: известно, что
в областях предельного равновесия компоненты напряжений
связаны помимо уравнений равновесия еще уравнением предель-
ного равновесия вида (11.103). Последнее обстоятельство значи-
тельно упрощает решение задач теории предельного равновесия,
которое в большинстве случаев может быть получено без иссле-
дования деформированного состояния породного массива. Пояс-
ним это на примере рассмотренной выше осесимметричной задачи
137
теории пластичности в постановке плоской деформации. Прини-
мая в области предельного равновесия модель идеально пластич-
ного массива (11.101), преобразуем физическое уравнение (V.86)
с учетом (V.87) к виду
2
а0—<Ъ-—
(V.92>
Далее решение задачи сводится к исследованию системы, включа-
ющей физическое уравнение (V.92) и уравнение равновесия (V.84),
при заданных условиях на части границы. Это исследование вы-
полняется элементарно.
Не встречает трудностей также решение плоской осесимметрич-
ной задачи при соблюдении уравнения предельного равновесия
общего вида (11.103), которое в данном случае записывается сле-
дующим образом:
(V.93)
Можно предложить следующий способ решения задачи. После
подстановки в (V.93) выражений (V.89) компонентов напряжений
через функцию напряжений F (г), при которых уравнение равно-
весия (V.84) тождественно удовлетворяется, получаем
T (f,	=0.	(V.94)
Таким образом, решение задачи сводится к интегрированию урав-
нения (V.94) при заданных условиях на части границы пород-
ного массива, перешедшего в состояние предельного равновесия.
Следует подчеркнуть, что уравнение (V.94) было получено
без рассмотрения геометрического уравнения неразрывности де-
формаций (V.85), т. е. без исследования деформированного состо-
яния породного массива. Иными словами, данная задача теории
пластичности, трактуемая как задача теории предельного равно-
весия, является статически определимой по сравнению с задачами
теории упругости или задачами
теории пластичности при соблю-
дении физического уравнения
общего вида (V.86), которые
относятся к задачам статически
неопределимым. Достаточно
сравнить уравнение (V.94) с
уравнением (V.90), составлен-
ным с привлечением уравнения
неразрывности деформаций
(V.85).
Однако при отсутствии осе-
вой симметрии и наличии не-
линейного (относительно компо-
нентов напряжений) уравнения
предельного равновесия (11.103)
Рис. 46. Привитая система координат
с указанием направлений главных
напряжений и линий скольжения в
плоскости охи
138
решение плоской задачи теории пре-
дельного равновесия встречает зна-
чительные математические труд-
ности. Остановимся более подробно
на постановке и решении такой за-
дачи, следуя рекомендациям, изло-
женным в известной монографии
В. В. Соколовского [80]. С целью со-
кращения записи приведем только
основные конечные формулы, опу-
ская промежуточные выкладки и до-
казательства.
Рис. 47. Графическое представ-
ление условия предельного рав-
новесия | тл I = / (ол) в случае
плоской задачи
В принятой прямоугольной си-
стеме координат (рис. 46) уравнения
равновесия (11.120) с учетом объемных сил тяжести имеют
вид
 дхху
дх "Г" ду
дхху , до у
дх ‘ ду ’
(V.95)
где у — объемный вес горных пород.
Физическое уравнение предельного равновесия (11.103) запи-
шем в компонентах напряжений следующим образом:
^((Тх, Оу, xXy)=0.	(V.96)
Уравнения (V.95) и (V.96) образуют систему, достаточную
для определения трех неизвестных ах, оу, хху. Как указывалось
выше, такая задача теории предельного равновесия является ста-
тически определимой.
Для ее решения предварительно рассмотрим уравнение пре-
дельного равновесия (V.96). Положим для определенности, что
нарушение предельного равновесия происходит в результате раз-
вития необратимых сдвиговых деформаций по некоторым площад-
кам с нормалью п в породном массиве (см. § 13), которые будем
называть площадками скольжения и на которых вектор полного
напряжения удовлетворяет условию
|тл | = /(<т„),	(V.97)
где а„, хп — соответственно нормальная и касательная компо-
ненты вектора полного напряжения.
Как показано на рис. 46, в каждой точке породного массива
таких площадок две. Они образуют между собой угол 2р. и на-
клонены к оси х под углами <р ± р,, а к главной оси 1 — под
углами ±р,. Если в породном массиве, находящемся в состоянии
предельного равновесия, построить поверхности таким образом,
что касательные к ним плоскости в каждой точке совпадают
с площадками скольжения, то такие поверхности называются
139


поверхностями скольжения и представлены двумя, вообще говоря,
неортогональными семействами. При плоском предельном равнове-
сии поверхностями скольжения будут цилиндрические поверх-
ности, образующие которых параллельны оси z. Линии пересече-
ния этих поверхностей с плоскостью оху будем называть линиями
скольжения. Два семейства линий скольжения, наклоненных
к оси х под углами <р ± р, образуют так называемую сетку линий
скольжения.
Графическое изображение зависимости (V.97) как огибающей
предельных кругов Мора представлено на рис. 47. Легко убе-
диться, что существует соотношение
ctg2p=/' (<т„),
(V.98)
где р является переменной величиной, а на плоскости Оху, вообще
говоря, функцией координат хну.
По известным формулам преобразования выразим через глав-
ные напряжения <гх и <г2 (пх £><г2) компоненты <Уп и тп
a„ = -£l±^--?4p-cos2p,
<J1 — <J2	• n
——=- sin 2p,
ы
(V.99
а затем компоненты <гх, оу и ixy
°* 1 = £1+£1±£LZ£lC0S2<p,
Oy ।	2	2
i<Ti—<т2 . „
=------—sin 2<р.
(V.100>
После этого искомые
шутся через а„ и тга
компоненты
следующим
напряжений ох, оу итГ}
образом:
запи-'J
cos 2p ± cos 2<p
sin 2p'
sin 2q>
sin 2р.
ах
° у
2
—2
(V.101)J
Совершенно очевидно, что уравнение предельного равновесия]
(V.96) тождественно удовлетворяется после подстановки в него|
(V. 101) с учетом (V.97). Тогда решение задачи сводится к иссле-J
дованию уравнений равновесия (V.95). Если ввести функцию*
напряжений % при помощи дифференциального соотношения |

(V.102);
140
уравнения равновесия (V.95) после подстановки в них (V.101)
с учетом (V.98) и (V.102) преобразуются в так называемую основ-
ную систему уравнений предельного равновесия:
(l + cos2pcos2<p)-^—|	- cos 2ц sin 2<р	—			
. _ 7 . „ Зф	_ 5<р \ sin2 2u sin 2р (sm 2<p	cos 2<р £ ) - 2|Тд| cos 2u sin 2<p	4- (1—COS 2u cos 2<p) ox 1	oy		Y,		(V.103)
+ sin 2p (cos 2<p	4-sin2(₽ay) °-			
Далее целесообразно ввести две шениями £=%(|*)+<Р.	новые функции п=х(н)—Ф-	1 ИТ)		соотно- (V.104)
Тогда уравнения (V.103) можно преобразовать к виду
=	-£-+tg(V-H)-^- = b,	(V.105)
где	« ] _ _ vsin2psin(9?p)	,v И	2|t„|cqs(4>±p) •	(V,10b>
Исследование уравнений (V.105) выполним методом, изложенным
в [80]. Добавим к уравнениям (V.105) дифференциальные соотно-
шения вдоль какой-нибудь линии у = у (х) на плоскости Оху
dt-^d.+ ^d3, d4-^.d.+^dS,	(V.107)
и полученную систему уравнений решим относительно частных
производных от искомых функций £ и т] по координатам. Напри-
мер, находим выражение для производной
gg _ ady—tg(<p+n)d£
да dy—tg(<p-)-p)da
Аналогичным образом вычисляются остальные производные.
Если знаменатель и числитель в полученных выражениях
одновременно обращаются в нуль, значения производных вдоль
линии у = у (х) не единственны, и эта линия называется характе-
ристикой. Выполнив указанные операции, получим дифферен-
циальные уравнения характеристик первого семейства
Й—tg(q>+H),	(v-108)
UX	О*Х
vl второго семейства
й—telt-A	(V.IW)
141
Из уравнений (V.108) и (V.109) следует, что характеристики
наклонены к оси х под углами ф ± р, т. е. под теми же углами,
что и линии скольжения (см. рис. 46). Отсюда следует, что харак-
теристики на плоскости оху являются линиями скольжения.
Точнее говоря, линиями скольжения являются не сами характе-
ристики, а их проекции на плоскость оху. Сами характеристики
принадлежат интегральным поверхностям £ {х, у) и ц (я, у),
которые представляют решения уравнений (V.105). Характери-
стики обладают тем замечательным свойством, что, определив из
(V.108) и (V.109) уравнения характеристик и удовлетворив гра-
ничным условиям, тем самым можно построить «каркас» искомых
интегральных поверхностей. Более подробные сведения из тео-
рии характеристик в доступном изложении можно найти, напри-
мер, в книге [9]. В дальнейшем для простоты условимся называть
характеристиками их проекции на плоскость оху в виде линий
у — у (х), которые совпадают с линиями скольжения. Соответ-
ственно на плоскости оху будем рассматривать сетку характе-
ристик, которая совпадает с сеткой линий скольжения.
Для решения уравнений (V.108) и (V.109) целесообразно
поступить следующим образом. Искомые уравнения характери-
стик первого и второго семейств обозначим соответственно через
а = а(ж, у) = const,	f (ж, у) — const.
Примем сетку характеристик за криволинейную систему коор-
динат на плоскости оху и будем рассматривать я, у, £, ц как функ-
ции от а и р. Тогда уравнения (V.108) и (V.109) можно переписать
в виде канонической системы уравнений
ду . ,	, . дх ду , дх \
^p=tg(<p+H)^p-,
к	(V'110)
30 а Эр * да да ‘
Функциональный определитель преобразования при переходе от
переменных х, у к переменным а, р имеет вид
= D (х, у) _______sin 2р______дх_ дх_
D (а, Р)	cos (ф + р)со8 (<р — р.) да Эр	' ’ '
Решение канонической системы уравнений (V.110), для которой
определитель преобразования D не обращается тождественно
в нуль, является решением уравнений (V.105). Строгое доказа-
тельство этого положения приводится в книге [80].
Построить замкнутое решение канонической системы уравне-
ний (V.110), за исключением некоторых частных случаев, не пред-
ставляется возможным. Для решения рекомендуется [801 прибли-
женный метод, основанный на замене дифференциальных уравне-
ний (V.110) разностными уравнениями и построении решений
в конечном числе точек сетки характеристик.
142
Рассмотрим указанные частные случаи, которые представляют
определенный интерес для дальнейшего изложения. Будем пола-
гать, что объемные силы отсутствуют, т. е. у = 0, что на основа-
нии (V.106) приводит к а = 0 и Ъ = 0.
1-	В = Во = const, Т] =Т]о = const. На основании (V.104)
приходим к выводу, что <р = фо = const, р = р0 = const. Тогда
из (V.108) и (V.109) получаем уравнения характеристик первого
семейства
у = х tg (фо +p0) + const,	(V.112)
и второго семейства
у = х tg (фо — Ро)const,	(V 113)
определяющие сетку характеристик на плоскости оху, состоя-
щую из двух неортогональных семейств параллельных прямых.
2.	| const, т] = т] о = const. На основании (V.104) прихо-
дим к выводу, что <р — <р (|) и р = р-( £). Приняв за параметр а
величину ф, можно уравнения (V.110) переписать в виде
ду . ,	, . дх ду t , дх
-5p- = tg(T+P)-^,	-^- = tg(T-p)1?,
По = X (И)—Ф-
Первое уравнение (V.114) легко интегрируется, если учесть, что
Ф и р не зависят от р. В результате получаем:
дх
У=П8(ф+р) + Ф(ф), — = tg(T-p)^,	(V115)
т10 = %(Р)_-ф,	'
где Ф (ф) — произвольная функция.
Так как вдоль характеристик первого семейства В = х(р)+ф=
= const, а, следовательно, р = const и ф = const, они представ-
лены прямыми линиями, определяемыми из первого уравнения
(V.115). Второе семейство характеристик строится в результате
совместного решения системы уравнений (V.115).
3.	£ = |0 = const, ц const. По аналогии с предыдущим
случаем, учитывая, что ф = ф(ц) и р = р (ц), и принимая за
параметр р величину ф, преобразуем систему (V.110) к виду
ду . .	। . дх ду	дх
^ = tg(T + p)-^-, 75- = tg(T-p)^5-,
£о = Х(р) + ф-
Далее получаем уравнения
=tg(T + p)-|^-, y=*tg^ — р) + ¥(ф),
?о = 5С(Р) + ф,
где Т (ф) — произвольная функция,
(V 114)
(V.117)
143
Рис. 48. Принятая система коор-
динат с указанием направлении
главных напряжений и линии
скольжения в плоскости ozr
vl строим второе семейство харак-
теристик, состоящее из прямых
г] = % (н)~ф — const (или р. =
= const и <р = const). Первое се-
мейство характеристик находим,
решая уравнения (V.117) совме-
стно.
Помимо плоской задачи в ме-
ханике горных пород представляет
определенный практический ин-
терес осесимметричная задача тео-
рии предельного равновесия. Об-
щий метод ее решения рассмотрен
в монографии В. Г. Березанцева
[81], следуя которой, ния^е приведем основные положения этого
метода.
Если оси цилиндрической системы координат расположить
так, как показано на меридиональной плоскости Ozr (рис. 48),
уравнения равновесия (V.3) с учетом объемных сил тяжести при-
нимают вид
даг . 1 ,	,| ^гг п
_L + _(ar-a9) + -^ = o,
о n	(V.118)
°gz I ”Сгг I Trz  „
dz ' дг ' г	*’
Физические уравнения предельного равновесия (11.103) в компо-
нентных напряжений записываются так:
^1(0,, <т0, <тг. Trz) = 0,
^(«Ъ-, <Т0. <Tz, Tr2) = 0.
(V.H9)
Так как четыре уравнения (V.118) и (V.119), образующие систему,
содержат четыре неизвестных <Jr, og,
статически определимой.
Раскроем смысл уравнений пре-
дельного равновесия (V.119). Нару-
шение предельного равновесия про-
исходит в результате развития не-
обратимых сдвиговых деформаций
по площадкам скольжения, когда
действующие по ним напряжения
удовлетворяют условию (V.97). При-
нимая для главных напряжений со-
отношение аа а8 и распо-
лагая координатные оси как по-
казано на рис. 48, т. е. главные оси
1 и 3 — в меридиональной плоскости
ог, тгг, задача является
Рис. 49. Графическое представ-
ление условия предельного рав-
новесия | тп | = / (ап) в случае
осесимметричной задачи
144
Ozr, а главную ось 2 — по нормали к меридиональной пло-
скости, получаем, что площадки скольжения проходят через
главную ось 2, наклонены к оси г под углами <р ± р. и к главной
оси 1 под углами ±р. Таким образом, в породном массиве имеем
два семейства поверхностей скольжения, линии пересечения кото-
рых с меридиональными плоскостями образуют в этих плоскостях
сетку линий скольжения, наклоненных к оси г под углами <р ± р.
Указанную сетку линий скольжения условимся для простоты
называть сеткой характеристйк. Из графического изображения
зависимости (V.97), представленного на рис. 49, следует соотно-
шение (V.98), где р является функцией координат z и г на мери-
диональной плоскости Ozr.
Согласно рекомендациям [81], уравнение предельного равно-
весия (V.97) целесообразно записать в главных напряжениях
sin 2р -/ Г	cos 2р~| = 0,
it	и	шЛ
о”а = 03 или оа — Оь
(V.120)
(сГ1><Тз)
и называть состоянием полного предельного равновесия такое
состояние породного массив а > когда выполняется система уравне-
ний (V.120), а состоянием неполного предельного равновесия —
когда выполняется только первое уравнение системы (V.120),
соответствующее графическому изображению на рис. 49.
В дальнейшем будем рассматривать только состояние полного
предельного равновесия. При этом необходимо иметь в виду сле-
дующее. В осесимметричной задаче для принятой координатной
системы (см. рис. 48) сгв — о2 п легко показать, что случай ав =
— оа = о3 соответствует деформации массива, направленной от
оси симметрии z, а случай Ое = 02 = 0! — деформации массива,
направленной к оси z.
Пользуясь известными формулами преобразования, выразим
через главные напряжения о1,огяог(о1 >» о3) компоненты о„ и ? „
<Т1-|-<ТЗ	<Т1 — <т3
On = о --------------' cos 2р,
|тп|— sin2p,	(V.121)
а затем компоненты or, ajj, о2 и тгг
°' ]==^+^.±£i-2Lcos2<p,
°2 '	(V.122)
(Tl — Оз . л
Vz= 2 sin 2<р,
1	О0=О2=Оз ИЛИ Oq=V2=<Ti«
г
Ю Заказ 194
145
Учитывая (V. 121) и (V. 122), запишем выражения для искомых
компонентов напряжений ar, (ге, az и rrz в состоянии полного
предельного равновесия
о, )	, ,	, cos 2u ± cos 2®
; }=^нтп1——
ТГ2 — | Tfl
sin 2ф
sin 2р ’
<Т0 = <Тп + | тп I
cos 2[л ( =ь ) 1
sin 2р
(V.123}
где знак минус в последнем выражении соответствует условию
= а знак плюс — условию о2 =
Уравнения предельного равновесия (V.119) тождественно удов-
летворяются после подстановки в них выражений (V.123) с учетом
(V.97) и решение сводится к исследованию уравнений равновесия
(V.118). В результате введения функции напряжений % соотно-
шением (V.102) и подстановки выражений (V.123) с учетом (V.98)
уравнения (V.118) преобразуются в основную систему уравнений
предельного равновесия:
dy	dv I
(l + cos 2pcos 2<p)-^--[-соя 2p sin 2<p-
— sin 2p ^sin 2<p-~-cos 2ф —a* sin 2p,
cos 2p sin 2ф	-(-(1 —cos 2p cos 2ф)	-f-
-|-sin 2p ^cos 2ф-^2--|-81п 2ф-^2-) =6* sin 2p,
где
Z	a* = ~ — [соз2ф(^1],
, „	1	. „ , sin 2u
b.=__sin2T + ,w
причем в выражении для а* знак плюс, соответствует
(V.124) ;
(V.125> J
условию j
02 = а знак минус — условию о2 = ох.	’
Если ввести две новые функции | и у, соотношением (V.104), j
можно записать соответствующие дифференциальные уравнения |
характеристик первого семейства	J
77 г= *8 (ф+и). 77 = fl’	(V.126>
и второго семейства	j
-|L = tg(<p-p), -^~ = b,	(V.127) |
146
где
а ) _ а*ялп(ф + р) —fe*cos (<р+р)	(V 128)
b J +	cos(<p±H)
Как указывалось выше, условимся называть характеристиками
их проекции на меридиональную плоскость Ozr в виде линий
z = z (г), которые, будучи наклоненными к оси г под углами
ф ± р, (см. рис. 48), совпадают с линиями скольжения. Два
семейства линий z = z (г) на плоскости Ozr образуют сетку харак-
теристик, которая совпадает с сеткой линий скольжения.
Далее, обозначив искомые уравнения характеристик первого
и второго семейства соответственно через
a=a(r, z) = const, ₽ = ₽(г, ^) = const
и перейдя от переменных г, z к переменным а, р, можем переписать
уравнения (V.126) и (V.127) в виде канонической системы урав-
нений
dz . / , ч дг	t ,	\ дг }
7p-=tg(<p + p)-^->	=tg(q>-p)-^,
Л	Л	(V.129)
dg or от) or
~д$^а~д$’ ~да^Ь~да’
где функциональный определитель преобразования записывается
так
о =	,.±=__________________2121.	(V. 130)
D (а, Р)	cos (<р-|-р.) cos (<р — р) да Зр	'	'
Решение канонической системы уравнений (V.129), для кото-
рой определитель преобразования (V.130) не обращается тождест-
венно в нуль, является решением уравнений (V.124) с учетом
соотношений (V.104).
Так же как и в случае плоской задачи теории предельного
равновесия, не представляется возможным построить общее зам-
кнутое решение системы уравнений (V.129). Исключение состав-
ляют некоторые частные случаи, рассмотренные ниже (§ 31)
на примере решения конкретных задач механики горных пород.
В остальных случаях можно рекомендовать общий приближенный
метод, изложенный в книге [81]. Однако этот метод требует
большого количества вычислений. Поэтому можно воспользоваться
более простым приближенным способом, основанным на замене
линий скольжения, получаемых в результате построения сетки
характеристик, линиями приближенного очертания. Сущность
этого способа будет изложена ниже (§ 31) применительно к реше-
нию конкретных задач.
Учитывая, что разрушение горных пород, согласно условию
(11.103), происходит только при вполне определенной комбинации
компонентов действующих напряжений, легко сделать вывод об
одновременном существовании в породном массиве областей
10*
147
с горными породами, находящимися в неразрушенном линейно-
деформируемом состоянии, и областей предельного равновесия
пород. При этом области предельного равновесия обычно при-
мыкают к контуру горных выработок, где наблюдается наиболее)
высокая концентрация напряжений.	j
Для исследования механических процессов в таких породных)
массивах следует решать смешанные упруго-пластические задачи^
в областях предельного равновесия необходимо пользоваться опи-
санными выше методами теории предельного равновесия, а в об-"
ластях линейно-деформируемого состояния — методами теориж
упругости, приведенными в предыдущем параграфе. Особый инте-
рес в таких задачах представляет определение границ раздел^
между областями. Положение границ раздела находится из грач
ничных условий для механических процессов при переходе изе
одной области в другую.
Решение смешанной осесимметричной задачи в постановке)
плоской деформации не встречает особых трудностей: достаточно»
исследовать решения уравнения (V.94) в области предельного:
равновесия и решения соответствующих уравнений теории упру-;
гости (см. § 21) в остальной части породного массива, а получен-
ные решения связать на концентрических границах раздела.,
При отсутствии полярной симметрии решение задачи значительно»
осложняется)
Рассмотрим приближенный способ решения смешанной задачи
при отсутствии полярной симметрии в результате отклонений
контура горной выработки или внешней границы породного мае-,
сива от кругового очертания. Решая задачу в полярных коорди-'
натах, представим уравнения внутренней границы (контура
горной выработки) и внешней границы соответственно в виде)
(V.55) и (V.56). Нормальную равномерно распределенную на-,
грузку на внутренней границе обозначим qB, на внешней — qB (см.
рис. 45).	)
Положим, что в области между внутренней границей (V.55X
и границей раздела
г=гр-Нр(6).	(У.Ш^
где	»
sP(0)= 2	•	(у.132>
Л—оо
напряжения породного массива подчиняются условию (11.103),
т. е. породы переходят в состояние предельного равновесия,
а в остальной части массива породы находятся в линейно-дефор-
мируемом состоянии. Исследуем распределение напряжений в об-'
ласти предельного равновесия. Представим эти напряжения в виде»
разложений (V.50) по степеням малого параметра, ограничиваясь!
148
построением первого приближения (с точностью до величины
первого порядка малости):
<Vn = <4°2+<4n’
= С +	(V.133)
~ Рп — т/вп+тг0п’
где индекс «п» обозначает напряжения в области предельного
равновесия.
Соответственно граничные условия на внутреннем контуре
(V.55) выразим через граничные условия на круговом контуре
г — гв и запишем раздельно:
на основании (V.51) для невозмущенного поля напряжений (нуле-
вое приближение)
. ^°2=9в,	(V.134)
.(о)
Г0П
= 0,
на основании (11.158) с учетом т*еп == 0 для возмущений в на-
пряжениях (первое приближение)

(V.135>
Как указывалось, для определения напряжений в области
предельного равновесия достаточно исследовать систему Сравне-
ний, включающую уравнения равновесия и физическое уравнение
(11.103). При построении нулевого приближения следует рас-
сматривать уравнение равновесия в виде (V.36), а при построении
первого приближения — уравнения равновесия в виде (V.23).
Следует также раздельно записать физическое уравнение для
нулевого и первого приближений. Для этого подставим (V.133)
в физическое уравнение (11.103) и приравняем члены при одина-
ковых степенях малого параметра, имея в виду, что = 0.
Тогда получим для нулевого приближения
’’'о «>, о*®?] =0	(V.136)
и для первого приближения
°г(1п’ <еп]=°-	<улз7>
Таким образом, в нулевом приближении имеем систему
dr ' г
°эд=°-
(V. 138)
149
первое уравнение которой тождественно удовлетворяется, есл^
ввести функцию напряжений Fo (г) следующим образом:	'
ае°п=^--	(V.139]
После подстановки (V.139) во второе уравнение получим для
определения функции напряжений Fo (г) линейное дифферен-
циальное уравнение первого порядка
Y0[f0, 4г-]=°’	(у-140'
которое следует проинтегрировать при граничных условия:
(V.134). Легко заметить, что уравнение (V.140) аналогично рас
смотренному выше уравнению (V.94), так как построение нулевого
приближения аналогично исследованию осесимметричной задачи,
В первом приближении соответственно имеем систему
даЮ	4 лт(1) nd)_ nd)
°aru ,1 dTr6n  а0п агп	п
аг + г ае + г ’
д^п . 1	 <iJ
дг "г г L 30
ur, Гп(1) 'nd) rd)]___n
TiLa0n’ arn’ Tr0nJ—w’
(V.141
= 0,
первые два уравнения которой тождественно удовлетворяются,
если ввести функцию напряжений Ft (г, 9) следующим образом:
1 3ft , 1 327г,	nd)=2!fl_ Td)= д Z1
Г п г дг Т Г2 302 ’	0П Зг2 ’ 'вп	дг \ г 30 J •
(V.142)
В результате преобразования третьего уравнения системы (V.141)
получим линейное дифференциальное уравнение второго порядку’
да»- <v-‘«
Проинтегрировав уравнение (V.143) и удовлетворив граничным
условиям (V.135), преобразованным с учетом найденных выше
компонентов напряжений нулевого приближения, определим
функцию напряжений Ft (г, 9), а затем по формулам (V.142)
компоненты напряжений первого приближения.
Окончательно, суммируя на основании (V.133) компонент^!
напряжений нулевого и первого приближений, получим распре-
деление напряжений в области предельного равновесия с точ-
ностью до величины первого порядка малости.
Распределение напряжений в остальной части массива, где
породы находятся в линейно-деформируемом неразрушенном со-
стоянии, можно исследовать методами, изложенными в предыду-
150
дем параграфе. Представим эти напряжения по аналогии с (V.133)
в виде разложений по степеням малого параметра
°г л ° г л‘°г л’
®вл=<+<>.	(V.144)
тг0л=тгел+<ел-
где индекс «л» обозначает напряжения в линейно-деформируемом
неразрушенном породном массиве.
Соответствующим образом условия на внешней границе (V.56)
породного массива выразим через граничные условия на круговом
контуре г = гн и запишем раздельно:
на основании (V.51) для нулевого приближения
^л = 9н,
т<°е)л = 0,	(V.145)
на основании (V.52) с учетом т^вл = 0 для первого приближения
„(1)	л „
агл— QT SH,
(V.146)
-d) _ Га(о)_ 1
тг0л — 1аел 9hJ
Предположим, что условия для напряжений на границе раз-
дела (V.131) имеют вид
Огл —огп, Овл~ оеп, — ггвп-
(V.147)
Левые и правые части условий (V.147) разложим в ряд в окрест-
ности г = гр и удержим только члены до первого порядка малости,
как это показано в разложениях (V.48), а затем компоненты напря-
жений представим в виде (V.133), (V.144) и перепишем условия
(V.147) с той же степенью точности:
ЭО<°>	да1-0'»
„(о) । g(i) ।	«п , g(l) . °°гп
оглТ°глТ gr SP °rn'°ru^ gr SP’
+-^p- = <+^)+-^-sp>	<v-148>
T(0) , T(1) I дтгел T(0) I (1) , ^en
тг8л Гтг0лТ gr SP —	тгЭп-Г Qr SP-
Граничные условия (V.148J на круговом контуре г = гр, экви-
валентные (с точностью до величины первого порядка малости)
условиям (V.147) на границе раздела (V.131), запишем раздельно:
151
?	для нулевого приближения	1 ^=^=0;	(V.149)j для первого приближения
ft	Э(/о)	Эс/0) о(1) + Sp = Ml) 4- ±Li Sp, r л dr *	r a or * ад+^-,-«+-^-р.	(v.iw^
г	(П	^re*	T(i) । ^*8° . г0л 1	dr	'0n dr I₽	J
у	При Trel =Тг0п =0 из условий (V.149) и уравнений равно-1 весия (V.23) на контуре г = гр в нулевом приближении получаем
‘ 4	Эо<в2 М°>	эт<§1	<h<&	J dr	dr * dr	dr	' ’ II
i>£ - «‘k***-	С учетом (V.151) условия первого приближения (V.150) преобраЛ зуются к виду	ч	Я иг л иг п*	Я
*i! 1	^ + -5Г-‘Р-<#.Н а,'*?'	(У.152)я T(i) —t/D	Я 1г0л ТГ0П‘	Я Окончательно	для определения напряжений	в	линейно-дефор-я мируемом	неразрушенном породном массиве	можем	записатья условия на границе раздела (V.131) через условия на круговом]! контуре г = гр:	<	м
Й 1 i	для нулевого приближения	Я oJ’W’n’.	^Х=0;	(УЛ53Я для первого приближения	Д
H	«(i)—;О(1) т(1) —т(1)	/у 154ы1 ° г л °ГП’ ТГ0Л ТГ0П‘
t* ,i Г	Соответственно из (V.149) и (V.152) при г = гр получаем условияЯ для исследования положения границы разделы:	и в нулевом приближении (определение гр)	Ж =	(V.155fl
1, h p	и в первом приближении (определение sp)	д
!	„(1) ,	.	U1) । Э°^Д рёл 1 ' д-г— *р-<4п И—§7“ *р-	(уЛ56ч|
152
Компоненты напряжений нулевого приближения Ое®'»
можно определить следующим образом: в однородном изо-
тропном массиве по формулам (V.57), в неоднородном изотропном
массиве по формулам (V.53), где постоянные интегрирования
и С3 находятся из граничных условий (V.145) и (V.153). Так, для
модели однородного изотропного массива находим:
с _ [^п-9н] rtf
С1--------------
'н 'р
„ г2 —п<0)г2
с — ?нГн Pfn Гр
3	г2-г2
Я 'р
(V.157>
Компоненты напряжений первого приближения о^\ о^л\
Хгел определяются по рекомендациям, изложенным в предыду-
щем параграфе, в зависимости от принятой модели породного
массива. Например, для'однородного породного массива решение
задачи сводится к интегрированию бигармонического уравнения
(V.29). Функцию напряжений F (г, 6), удовлетворяющую этому
уравнению, можно принять в виде (V.63). После подстановки
(V.63) в формулы (V.26) получим выражения для компонентов
напряжений а<л\ оЙ? и ТгОл в виде тригонометрических сумм»
аналогичных (V.64). Неизвестные коэффициенты Ьо, с0, Ьх, сР
b-i, с_х, aft, bk, Ck, d* (к = ±2, 3, 4, ...oo) определим из условий
(V.146) на внешней круговой границе г = гн, которые с учетом
(V.57), (V.157), и (V.56) записываются следующим образом:
(/!)__ 2[Р'Д gHl гр у s eifee
гл А ’
-(1) _
-Г0Л—	/2	2 V	Z1 llCSake '
Vh — Гп) ГН
\ Н Р/ &=-со
(V.158}
и условий (V.154) на внутренней круговой границе раздела г — гр,
которые с учетом (V.135) и (V.55) также-представляются в виде
тригонометрических сумм. Приравняв члены с одинаковыми гар-
мониками, получим по аналогии с (V.65) систему алгебраических
уравнений для определения указанных коэффициентов.
Далее, суммируя компоненты напряжений нулевой» и первого
приближений^ получим распределение напряжений в линейно-де-
формируемом породном массиве. Полученное распределение на-
пряжений зависит от координаты гр условного кругового контура
на границе раздела, определяемой из уравнения (V.155).
Координаты границы раздела определяются по формуле (V.131),
где sp находится из уравнения (V.156), которое целесообразно
записать в виде

~дг~ J Sp‘
(V. 159)
153
<
Так как левая и правая части уравнения (V.159) представляю,
тригонометрические суммы, приравняв члены с одинаковыми гар.
мониками, получим систему алгебраических уравнений для опрё
деления коэффициентов sp k.	-
Исследование смещений в линейно деформируемом породно»
массиве можно выполнить, используя найденное распределена
напряжений и соответствующие физические и геометрически»
уравнения. Смещения в области предельного равновесия пород
где можно положить р = 0,5, находятся непосредственно из гео
метрических уравнений и зависят от величины смещений в ля
нейно-деформируемом массиве на границе раздела.	‘
§ 23. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ
Развивающиеся во времени механические процессы в породны;
массивах могут быть исследованы методами теории ползучеств
Полная система уравнений теории ползучести включает общи
уравнения механики сплошной среды (уравнения равновесия
геометрические уравнения) и физические уравнения, устанавливя
ющие связь между компонентами напряжений и деформаций
а также их производными по времени.	’*
Таким образом, методы теории ползучести дают возможност:
изучить механические процессы в породных массивах как про
странственно-временные процессы. В этом отношении уравнение
теории упругости можно рассматривать как частный случай урад
нений теории ползучести, когда производные от компонентов на
пряжений и деформаций по времени равны нулю. Совершена
очевидно, что учет временной координаты помимо пространствен
ных координат значительно осложняет решение задач механик!
торных пород. В настоящее время представляется возможны»
рассмотреть наиболее простые задачи при наличии элементов сим
метрии в породном массиве. Кроме того, использование нелиней
ных физических уравнений также сопряжено со значительным!
математическими трудностями и возможно только для некоторые
частных задач. Поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотре
нием общего метода решения плоской полярно симметрично:
задачи для случая р = 0,5 (ев = —ег), когда физические уравнвя
ния, соответствующие модели линейно-деформируемого упругсй
вязко-пластического породного массива, имеют вид (II. 11 Зга
Возможность использования нелинейных физических уравнении
продемонстрируем на примере решения задачи, соответствующе^
частному виду уравнений (11.110').	«Я
Рассмотрим систему уравнений, включающую уравнение равная
весия	3
dCr  —Ре р
dr ' г	’
(V.H
154

уравнение неразрывности деформаций
-j-5-4—5--0	(V.161}
аг 1 г
и физическое уравнение, в качестве которого принимаем второе
уравнение (11.113)
#ai+W^L=V3+V4ee+v5^’	(V162)
где	at = —g—- (ае — <тг) —обобщенное напряжение;
V1 = const; v2 = const; v3 = const; v4=v4(r); v5 = vs(r).
Положим, что уровень действующих в породном массиве напря-
жений удовлетворяет> условию
(V-163)
Интегрируя уравнение неразрывности деформаций (V. 161), находим
8
в г2
(V. 164)
где F (£) — функция только временной координаты t.
С учетом (V.164) уравнение (V.162) преобразуется к виду
^ + ^ai = ZL(2^_r^F({) + ^m-l+v3|. (V.165)
dt 1 v2 V2 (	L V8 (г) ' ‘ dt J J 1	’
Интеграл уравнения (V.165)
a, (t) = e
0
(V.166)
где o£ (0) — значение обобщенного напряжения o£ (i) в начальный
момент времени t = 0.
Из уравнения равновесия (V.160) следует:
"'"ТГ^‘|г+с-	<v'*6”
155
После интегрирования с учетом выражения (V.166) нах о,
Постоянную интегрирования С определяем из условий на вне1
ней круговой границе г = г№ породного массива
°Г — 9н
и вносим в формулу (V.168):
(V.li
I -^-dr
Jr3	_ V1 t
о>=?и4-2—5—  е Vl
v2
+ 2-^-(l_e"v.	b-—	(V*
/
Затем записываем выражение для напряжений] аг на внутренн
границе породного массива г — гв и приравниваем его реакц]
крепи qB.
При этом для общности рассуждений будем рассматрива
крепь с характеристикой
9в — ^, + Мв.
(V.r
где qt = const — постоянное сопротивление крепи;
fcouB — линейно нарастающее сопротивление креп:
fc0 = ig & — коэффициент сопротивления крепи;
ив — смещение внутреннего кругового контура п
родного массива на контакте с крепью.
156
Если выразить uB через деформации ее на контуре г *= Гв и. учесть
зависимость (V.J64), можно переписать выражение (V.171) следу-
ющим образом:
F(t)

(V.172)
В итоге, выполнив указанные выше операции, получим урав-
нение для определения функции времени F (£)
V2
/5
гв______
гв
f ^-dr
J г3
(1— е
ev* dt
(V.173)
Левую и правую часть уравнения (V.173) продифференцируем
и перепишем в виде
+	(V.174)
где
dt-
гв	Jr3
Ci=--------г-------------------» (У-175)
'	' в
V2 А_2С ^Ldr
rB	J	Г3
Vi (q« — ?*) + 2v3 In ~-
--------------------------н_
(V.176)
rB J Г3
гв
157
(V.177)
(V.178)
В результате интегрирования уравнения (V.174) получим
следующее выражение для функции времени F (t):	!
F (t) = F(0)e"Q1* +	(1—е-^‘9,
Qi
где F (0) — значение функции F (t) в начальный момент вре-
мени t = 0.	•
Из формулы (V.177) следует, что значение функции F (t^
по истечении длительного промежутка времени, т. е. при t °0,,
Выражение для F (t) значительно упрощается, если рассмат-
ривается модель однородного массива (v4 = const, v6 = const).’
В этом случае F (t) находится по формуле (V.177), где Qx и Q%
определяются следующем образом:
ко	/ 1
^7--^ Нг
к0	/ 1
1
<1
1
гв2
(V.179)
vi (?h — ?B)+ 2v3 In —
n —	r«
Qi —

(V.180)
к0	/	1	1
v2-2— -V, —-------
Гв	I	г„	г3
\ н	в
После определения функции времени F (t) легко можно вы-
числить компоненты деформаций и напряжений в породном мае-,
сиве. Так, радиальные смещеция
(V.181);
а компоненты деформаций 8g и ъг соответственно равны
=	=	(V-182)'
Напряжения ог определяются по формуле (V.170) после под-
становки функции F (t) и последующего интегрирования. Напря-3
жения
aQ=-^ai+ar,	(У.183Г
где o’, и ог определяются соответственно формулами (V.166)
и (v.170).	:
В окрестности горных выработок распределение напряжений
таково, что величина обобщенного напряжения о( обычно убы-
вает по мере удаления от контура выработок. Поэтому естественно'
158
предположить образование нескольких областей породного мас-
сива, где наблюдаются различные реологические процессы, соот-
ветствующие различным частным случаям физического уравнения
(V-162). Например, в приконтурной зоне, где уровень действующих
напряжений удовлетворяет условию (V.163), породный массив
можно рассматривать как упруго-вязко-пластический с ограни-
ченной или неограниченной ползучестью и способностью к релак-
сации, используя соответственно физическое уравнение (V.162)
или (V.162) при х4 = 0. Тогда в остальной части массива, где
уровень действующих напряжений не удовлетворяет условию
(V.163), для описания реологических процессов целесообразно
применить модель упруго-вязкой среды с ограниченной или не-
ограниченной ползучестью и способностью к релаксации, которой
соответствует физическое уравнение (V.162) при v3 = 0 или
(V.162) при х3 = 0, v4 = 0. В зависимости от реологических свойств
горных пород возможны и другие варианты использования физи-
ческого уравнения (V.162). Так, в работе [48] предлагается рас-
сматривать приконтурный массив как упруго-вязко-пластический
с неограниченной ползучестью и способностью к релаксации
(v4 = 0), а остальной массив как упруго-вязкий с ограниченной
ползучестью и способностью к релаксации (v3 = 0). В работе [74]
приконтурный массив наделяется свойствами упруго-вязко-пла-
стической среды с неограниченной ползучестью и способностью
к релаксации (х4 = 0), а остальной массив — свойствами упругой
среды (хх = 0, v3 == 0, х4 = 0). Перечисленные задачи имеют
общую особенность: в процессе решения необходимо исследовать
положение границы раздела гр между областями породного мас-
сива с различными реологическими процессами. Искомая коор-
дината границы раздела является функцией времени rp (i).
Можно предложить следующий метод решения подобных
задач. Так как на границе раздела rp (£) обобщенное напряжение,
согласно (V.163), равно
М0=УЗ-^-,	(V.184)
на основании выражения (V.166) для a, (£) в приконтурной зоне
можно записать уравнение
J	<»). (V.,85)
р о
которое используется для определения функции F (t) через коор-
динату границы раздела rp (£). При этом следует заметить, что
начальное положение границы разделы гр (0) определим из (V.185),
положив t = 0, т. е. из условия
о, (0) = /з-^-.	(V 186)
159
Затем, используя граничные условия ar — qB на внутренне1
границе г = гв и граничные условия ar = qa на внешней границ!
г = гв, получим из (V.168) выражение для аг на границе раздел!
со стороны приконтурной зоны
в
в
\ ^-dr
г	-^-t
«V (гр) ~Чв — 2 —2——	е v*
dr
v2 ГР
/3 >
1
dr
и выражение для
части массива
J г3
i______
•В ч(г)
I г3
'р
Л'*
dr
/ —
_2i kl-e"v."
VI
1п^.
rP
(V.l
(V.l
аг на границе раздела со стороны остально
(гр) — 5н + 2 —2——
*2
dr
dr
е v'
Vg ГН _____
/3 rs> , .
V^-dr
) Г3
^7
н
vi
-±-t
е Vt dt
Гн
Приравнивая правые части выражений (V.187) и (V.188) и уч
вая найденное из (V.185) значение функции F (t), записывав
уравнение для определения rp (t).
160

Q
о
t

I Г3
н
До сих пор излагались методы исследования реологических
процессов в линейно деформируемых породных массивах, которым
соответствуют линейные физические уравнения общего вида (11.113).
Использование нелинейных физических уравнений сопряжено
со значительными математическими трудностями и возможно
только для некоторых частных задач. Метод решения подобных
задач продемонстрируем на примере решения задачи, соответству-
ющей нелинейному физическому уравнению вида (11.110*)
Дн = 2С<р£)д,	(V.189)
где
* 2G \ V! Рд)
Подставив (V.189) в (11.110*) и раскрыв тензорную форму записи,
получим для плоской полярно симметричной задачи
°е~°г vs дбе
2	Vi ’ dt
Положим, что функция v5/vx по аналогии с (11.94) и (11.100)
является нелинейной функцией следующего вида:
2	-£ф(ё„ Оср),
0
Ой—о.
(V.190)
(V.191)
где
°е+°,
Оср- —
нелинейно
Такое физическое уравнение соответствует модели
вязкого породного массива.
Будем рассматривать процесс установившейся
в породном массиве ср,— 0,5 (откуда следует = —dzrldt).
В этом случае на основании уравнения неразрывности деформаций
(V.160) получим уравнение
ползучести
0,
(V.192>
интегрируя которое, находим
С учетом (V.191) и
образуется к виду
Ой — о. 9
С = —ф
2	3
Эее С
dt ~ г- '
(V.193) физическое уравнение (V.190) пре-
(V.193>
Од — о,	г
а') Hr- <v-194>
/ I
Определив из (V.194) разность компонентов напряжений
(<Те — ог) и подставив в уравнение равновесия (V.160), получим
Заказ 194	161
*1	3 * gt

2 дее
/3 dt ’
2 С
2
дифференциальное уравнение первого порядка для определения
напряжений <зг. При этом постоянную интегрирования и постоян-
ную С находим из граничных условий на внутренней и внешней
границах породного массива. После определения ог напряже-
ния Ое легко вычисляются из уравнений равновесия
. dcsr
a^ar + r —
(V.195)
Компоненты деформаций находятся в результате интегриро-
вания уравнения (V.193)
8e(t) = — er(<) = e0(O)+ -~-t,	(V.196)
где ее (0) — начальные деформации при t = 0.
Соответственно радиальные смещения
и (t) = u (0)4—— t.
(V.197)
где и (0) = г • ее (0) — начальные смещения при t = 0.
Решение задачи значительно упрощается, если нелинейная
функция имеет вид
Ф = Ф (ёг).
Тогда с учетом (V.194) из уравнения равновесия (V.160) получим:
dor	2	1 / 2 С \	Г 2 С
dr ~~ Уз ' т \ Кз ' 7-2 ) L У3 \г2
или после интегрирования и удовлетворения условиям
на внутренней ^границе породного массива г = гв
ог = qB
Г
(V.198).
Удовлетворив условиям стг = qH на внешней границе пород-
ного массива г = гн, получим уравнение для определения постоян-
ной интегрирования С:
гв
(V.199)-.
Можно предложить другой метод решения задачи. Физическое
уравнение (V.190) с учетом (11.95') и (11.112) запишем в виде
Эее
dt
3(ое~°г)
4Яо<оф (е;, °ср)
(V.200)
162
Если компоненты напряжений выразить через функцию напря-
жений F (г) так: .
то уравнения равновесия тождественно удовлетворяются, а урав-
нение (V.192) с учетом физического уравнения (V.190) преобра-
зуется следующим образом:
 (£+4)[|(£-4)Н
Для интегрирования этого уравнения необходимо по резуль-
татам испытания пород на одномерную ползучесть принять функ-
цию <р = ср (ег, оср). Например, в случае <р = <р (ег), учитывая, что
2 дее
/3 ’ dt ’
где dze/dt определяется выражением (V.193), имеем ср = <р (г).
Тогда решение уравнения (V.201) можно записать в виде
^(O=Cir	dr+C3r,
откуда получим выражение для напряжений ог
^-dr + C3,
(V.202)
(V.203>
которое с точностью до принятых обозначений совпадает с ранее
найденным выражением (V.198).
Анализ полученного распределения напряжений показывает,
что в условиях установившейся ползучести пород при неизменной
во времени нагрузке на границах породного массива поле напря-
жений стационарно, но существенно отличается от поля напря-
жений в соответствующей линейной задаче. Кроме того, сравни-
вая (V.202), (V.91) и (V.42), отметим определенную аналогию
между нелинейной упругостью, нелинейной вязкостью и неодно-
родностью породного массива при исследовании . распределения
напряжений.
Последний вывод представляется весьма ценным при рассмот-
рении породных массивов, в которых реологические процессы
подчиняются более сложным нелинейным физическим уравнениям.
Например, если в массивах с ограниченной ползучестью, где ко-
нечная деформация нелинейно зависит от действующих напряже-
ний, рассматривать механические процессы по истечении длитель-
ного промежутка времени, т. е. положить D„ = 0 и Da = О,
получаем модель, аналогичную модели нелинейно-деформируе-
мого массива. Поэтому при одинаковом виде нелинейной функции
достаточно в решении для нелинейно-деформируемого массива
11*	163
заменить динамические константы на статические, чтобы полу-
чить необходимое решение.
Такой прием был использован в работе [82] со ссылкой на
Ю. М. Либермана, где рассматривалась плоская полярно-симмет-
ричная задача для модели нелинейного упруго-вязкого массива
с ограниченной ползучестью. Придерживаясь принятых обозна-
чений, запишем соответствующее физическое уравнение как
частный случай (11.113)
Vi ('ae~ar\ , v2 д fa0-°r\	, v8	/V 2041
где v1/vi нелинейная функция действующих напряжений;
v2/v4 = const, v5/v4 = const.
При t -> 00 можно принять
dt \	2	/	’
—-=0
dt
и уравнение (V.204) преобразовать к виду
(V'205)
Полученное физическое уравнение (V.205) с точностью до при*
нятых обозначений совпадает с физическим уравнением (V.86).
Таким образом, может быть использовано полученное в § 22
решение для нелинейно-упругого массива при соответствующей’
замене динамических констант на статические.
§ 24. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Статистический подход к описанию механических процессов
в породном массиве используется сравнительно недавно. Однако
его применение уже дало возможность получить качественна
новые результаты и объяснить некоторые явления (например^
разброс механических характеристик и масштабный эффект при
испытании образцов породы), толкование которых в рамках детер^
министического подхода затруднительно. Необходимость исполь-
зования статистических методов объясняется, с одной стороны,"'
естественной неоднородностью породного массива, а с другой
стороны — значительным разбросом наблюдаемых в натуре про-,
явлений механических процессов (смещения породных стенок^
давления на ограждающие конструкции и т. д.).	;
В рамках статистического подхода решение задачи сводится^
1 нахождению в породном массиве компонентов напряжений и де<
формаций как случайных функций координат, удовлетворяющих#
общим уравнениям механики сплошной среды, физическим урав-
нениям и граничным условиям. Согласно терминологии теории'
случайных полей, т. е. случайных функций нескольких перемен-
104
ных, решением задачи является случайное поле напряжений и де-
формаций. В качестве факторов, порождающих такое поле напря-
жений и деформаций, можно рассматривать: случайный разброс
в массиве физико-механических свойств породы (деформационных,
прочностных и т. д.), случайные внешние воздействия, случай-
ные отклонения границ массива. Соответственно можно привести
следующий перечень задач механики горных пород, где примене-
ние статистических методов представляется перспективным:
Первая. Исследование процессов деформирования в масси-
вах, статистически неоднородных по своим деформационным
свойствам.
Вторая. Исследование процессов перехода в состояние предель-
ного равновесия в массивах, статистически неоднородных по своим
прочностным свойствам.
Третья. Исследование механических процессов в массивах
при случайных воздействиях на его границах.
Четвертая. Исследование механических процессов в массивах,
имеющих случайные отклонения границ.
Разумеется, возможны комбинированные задачи из перечислен-
ных четырех типов.
Основы статистических методов решения подобных задач при-
менительно к твердым деформируемым телам изложены в моно-
графии [64]. Решения некоторых статистических задач механики
горных пород приводятся в монографиях [62, 631.
Приведем основные понятия из теории случайных функций,
необходимые для дальнейшего изложения статистических методов,
помимо общих сведений из механики сплошных сред, рассмотрен-
ных ранее.
Случайную функцию § (6) от одного аргумента, имеющую
реализации (6), j — 1, 2, 3, . . ., удобно характеризовать по-
следовательностью корреляционных функций
К [g (di>L К [g (Si), | (32)], К [g (6i), ..., g (З3)]. (V.206)
устанавливающих связь между сечениями
g (Si), g (32), g (38), ....
случайной функции. В дальнейшем будем рассматривать стацио-
нарные случайные функции, статистические характеристики ко-
торых не меняются при замене 6 на 6 Д, где Д — произвольная
величина, и ограничимся первыми двумя статистическими харак-
теристиками в последовательности (V.206). Первая из них пред-
ставляет среднее значение случайной функции и равна
К П (Ml = < g (3) > = const,	(V-207)
а вторая представляет автокорреляционную функцию, равную
K[g(3i), g(32)] = .KE(A).	' <v-208)
165
При А = 0 из (V.208) получаем дисперсию случайной функции
(0) = const.
Кроме того, положим, что рассматриваемые стационарные
случайные функции 1 (6) обладают свойством эргодичности, т. е.
для получения информации о статистических характеристиках
таких функций достаточно иметь одну реализацию (8) на боль-
шом интервале изменения аргумента 8.
Стационарную случайную функцию £ (6) удобно представить
в виде спектрального разложения, записанного в комплексной
форме
£(б) = 2 ₽ке1*6,	(V.209)
£=-СО
где рк — некоррелированные случайные величины с нулевыми
средними значениями.
Необходимые сведения из теории случайных полей § (8(),
i = l, 2, 3 приведены в монографии [64]. Однако при решении
статистических задач механики горных пород в некоторых случаях
достаточно ограничиться рассмотрением случайных функций
| (б). Например, в последних двух типах задач, решая их в по-
лярной системе координат и в постановке плоской деформации,
можно рассматривать воздействия на границах и отклонения
границ как случайные функции £ (6) от угловой координаты 0.
В первых двух типах задач для описания прочностных и деформа-
ционных свойств статистически неоднородного массива будем
следовать указаниям [63]. Рассмотрим пространственную случай-
ную функцию § (г), где г — радиус-вектор точки массива с коор-
динатами (8Х, 82, 83), и введем гипотезу о стационарности простран-
ственного распределения механических характеристик массива.
Иными словами, ^се направления в массиве статистически равно-
правны, т. е. случайная функция | (г) является стационарной
по любым направлениям. Такую случайную функцию следует
классифицировать как стационарную и изотропную. Для нее
справедливы все рассуждения, изложенные выше применительна
к случайной функции | (8). Более того, считая ее удовлетворяющей
условию эргодичности, легко заметить, что статистические ха-
рактеристики можно построить по одной реализации, взятой
по любому направлению.
Метод решения первой из перечисленных статистических за-
дач механики горных пород продемонстрируем на примере плоска
деформируемого породного массива, следуя указаниям [64].
Рассмотрим модель статистически неоднородного массива, которому
соответствуют физические уравнения (11.65), где следует принять:.
£? = £!, 11 = 11!, G1= 2(1 + (г)
166
и считать Е = Е (х, у), р = р (х, у) случайными функциями
координат. Если ввести функцию напряжений F (х, у) и компо-
ненты напряжений задать соотношениями (V.19), решение задачи
сводится к исследованию уравнения, которое записывается, со-
гласно (V.20), следующим образом:
/32	82 \l .Fd2F . 32F-11	32	Э2/г .
\ 8x2 4" 3j,2 ) р |_ 3x2 4" Qy2 JJ —• 3x2 fa	"Ь
. 82	d?F д?	d%F
+-АПГ Ь(х> у>] ’л4~2 h(*> v)l ъ-тг •	(V.210)
1 8у2	'	3x2	- дхду 1'х дхду
где
\ 1 —р2	,	. 1-ЬР	- х
У)=—ег—« Л (х, у} = —^- — случайные функции координат.
Л	Ji
Найденные компоненты напряжений должны удовлетво-
рять граничным условиям, имеющим согласно (11.14), следующий
вид:
Рх? = %г+Тздт>	(V.211)
Pyv = xxyl+aam‘
Таким образом, имеем статистически нелинейную задачу,
решением которой являются случайные поля напряжений их (х, у),
Оу (*, у), хху (х, у).
Задача представляется чрезвычайно сложной. С целью ее упро-
щения произведем линеаризацию. Ограничимся рассмотрением
стационарных изотропных случайных функций | (х, у) Ит, (х, у),
которые можно представить в виде
£= <?> +е?х(х, у),
П= <П > +ег)1(х, у),	(V.212)
(С, П, <£>, <П>>0),
где < £ > = const, < т) > = const — средние значения случай-
ных функций £, ц;
Ci (х. У), Ц 1 (%, У} — случайные функции, ха-
рактеризующие малые пуль-
сации деформационных
свойств массива около их
средних значений;
е — малый неслучайный пара-
метр.
Тогда решения задачи целесообразно разыскивать в виде
f= ^e.kFlk), <Тх=	=2 е^т^.	(V.213)
k-t>	/г-0	/г-0	/г-0
167
Далее, подставив (V.212), (V.213) в (V.210) и (V.211) и при-
равняв коэффициенты при одинаковых степенях е, получим
уравнения для определения F(0>
02	I	92	/ d2/’<<”	,	d2Fw \	__
дх2	'	ду2) \ дх2	' ду2 J
02/?«»	д2/’(0)
?xv ду2 I дх ду
(V 214)
d2F<В 9'	d2Fw
дх ду	дх2 т’
и последовательность уравнений для определения F,hi (к = 1,
2, 3,...)
02 , 02 X [ d2F()t) । d2F(k) 1	1 j 02111 d2F(k~l}
lx2 "1“ 'ду2)	0^2 I dy2 J < £ >	dy2
 Э2П1	_	02П1 d2Ft-k~1'> _ / 02	02 X
* 0y2 дх2	дх ду дх ду \ dx2 * dy2) X
Г / d2F, зг/?**-1) \11
X LC1 \ дх2 t" dy2 ;JJ ’
02jF<ft) 02^<*)
—— 1-------a л. m=0,
dy2	dx dy
02y(fe) , , 02F<ft)
dxdy dx^~m"0.
(V.215)
где
^L = aW	_ 02^W (ft)
ду2 x ’ дх2 У ' дхду *у* U’ lf • • •'
В данной задаче, как и в задачах, рассмотренных в § 21 и § 22
можно ограничиться первым приближением, т. е. искать решен»
в виде
^ = Г(0)+е^(1), aJe==a<0)+ea<1)>	(V.2H
ai/=|a‘0)+ea<,1>, тад= ет<П.
Тогда /’(0’ находим из уравнений (V.214), соответствуют,!
модели однородного изотропного массива. Так, первое уравнен:
соответствует бигармоническому уравнению (V.22), метод решен!
которого указан в § 21. Если функция /,<0) найдена, уравнен!
для определения функции F(r> получим из (V.215), полож:
к = 1. Дальнейший анализ полученных уравнений можно выпо
нить согласно указаниям 164], представив случайные функцз
и ц г в виде спектральных разложений (V.209).
Вторая задача в приведенной классификации, т. е. зада
о механических процессах в массивах, статистически неоднор»
ных по своим прочностным свойствам, представляется не ме!
168
сложной. В общем виде задача сводится к исследованию х равне-
ний равновесия (11.49) и уравнения предельного равновесия
(11.103), где прочностные характеристики породы являются слу-
чайными функциями координат. Решение задачи представляет
случайное поле локальных областей предельного равновесия
в породном массиве. В настоящее время наиболее подробно ис-
следован процесс образования локальных областей предельного
равновесия на контуре породного массива в незакрепленных
горных выработках [62, 63], где физическое уравнение можно
трактовать следующим образом:
°сж-°е=о.	(V.217)
где асж — предел прочности породы на одноосное сжатие; о© —
нормальное напряжение, действующее на контуре выработки по
площадкам, нормальным к контуру. В работе [62] левая часть
выражения (V.217) рассматривалась как случайная величина,
а в работе [63] — как случайная функция координат точек кон-
тура выработки. Последняя постановка задачи является более
общей и позволяет эффективно использовать математический ап-
парат теории случайных функций. В частности, для количествен-
ной оценки размеров и частоты встречи областей предельного
равновесия на контуре выработки используется [63] широко
известная в статистической радиотехнике [83] задача о выбросах
случайных функций.
Метод решения задачи (третья в приведенной классификации)
о механических процессах в массивах, испытывающих случайные
воздействия на границах, является сравнительно простым, если
воздействия статического происхождения и могут быть предста-
влены в виде спектральных разложений (V.61) и (V.62).
Последняя (четвертая) из перечисленных задач и метод ее
решения имеют много общего с предыдущей задачей. Считая слу-
чайные отклонения границ достаточно малыми и плавными, как
это принято в выражении (V.44), и представляя их в виде спект-
ральных разложений (V.55) и (V.56), можно записать условия
на границах также в виде спектральных разложений (V.61) и
(V.62).
Дальнейшее решение третьей и четвертой задач совершенно
аналогично решению,соответствующей задачи в детерминистиче-
ской постановке и зависит от принятой физической модели пород-
ного массива (см. §§ 21 и 22). Расхождение имеет место в заклю-
чительной стадии решения В статистических задачах компоненты
напряженно-деформированного состояния массива будут пред-
ставлены также в виде спектральных разложений, где коэффи-
циенты sBK и sHK при гармониках являются случайными величи-
нами. Причем в третьей задаче они отражают характер случайного
воздействия на границах, а в четвертой — характер случайных
отклонений границ. Напряженно-деформированное состояние мас-
сива удобно характеризовать средним ,значением_его компонентов
169
и соответствующими корреляционными функциями, которые
при известном решении легко могут быть построены методами
спектральных преобразований [841.
Выше указывалось, что определенный интерес в механике
горных пород может представлять решение комбинированных ста-
тистических задач. Так, в работах [62, 631 рассматривается за-
дача о процессах разрушения статистически неоднородного по
прочностным свойствам массива, имеющего случайные отклонения
границ, т. е. задача, представляющая комбинацию второй и чет-
вертой задач.
В заключение необходимо подчеркнуть, что статистические
методы можно использовать в’ механике горных пород только
при наличии массовой статистической информации о величине
исходных параметров (нагрузках, свойствах пород, отклонениях
границ и т. д.). Простая замена детерминистической постановки
на статистическую при отсутствии такой информации (как это
делается некоторыми исследователями) ни в коей мере не является
средством описания качественно новых механических процессов
в породном массиве.
Глава VI
МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ И ПРОЯВЛЕНИЯ
ГОРНОГО ДАВЛЕНИЯ
В ЛИНЕЙНО ДЕФОРМИРУЕМЫХ ПОРОДНЫХ МАССИВАХ
§ 25. ОДНОРОДНО-ИЗОТРОПНЫЕ ПОРОДНЫЕ МАССИВЫ
В настоящей главе рассмотрим механические процессы в ок-
рестности горных выработок, сооружаемых в линейно деформи-
руемых породных массивах. Исследование начнем с решения наи-
более простых задач, когда массив можно считать однородно-
изотропным. В дальнейшем рассмотрим задачи для более сложных
моделей породного массива. При этом нас будет интересовать,
главным образом, качественная сторона механических процессов
в различных породных массивах и возможные формы их проявле-
ния, которые обычно называются проявлениями горного давления.
Приведенные ниже в примерах расчета количественные оценки
носят только иллюстративный характер и не являются рекомен-
дациями.
Механические процессы в окрестности вертикальных протя-
женных горных выработок кругового поперечного сечения, со-
оружаемых в однородно-изотроп-
ном массиве с начальным напря-
женным состоянием (IV.32), где
Xz =	Хху == kxz - Куг = О,
можно рассматривать как осесим-
метричные. Используя цилиндри-
ческую систему координат и со-
вмещая ось z с вертикальной осью
ствола, исследование сводим к
решению осесимметричной задачи
теории упругости. Функция на-
пряжений У (г, z) должна удов-
летворять уравнению четвертого
порядка (V.8) и граничным усло-
виям, а компоненты напряжений
стг, <те, <тг, хгг должны опреде-
ляться через функцию напряже-
ний по формулам (V.7).
Если задачу решать в дополни-
тельных напряжениях и полагать,
Рис. 50. Расчетная схема неза-
крепленной вертикальной выра-
ботки при определении дополни-
тельных напряжений
171
что поперечные сечения в процессе деформирования остаются
плоскими, а начальное напряженное состояние массива, согласно
(VI.23), записать следующим образом:
<тж = у2, Or = a0=-J!—YZ, Tra==Tf0 = Tr0 = o,	(VI.1)
Л Г*
расчетная схема для незакрепленной вертикальной выработки
имеет вид, показанный на рис. 50. Соответствующие граничные
условия имеют вид
о> =—Vz’ = 0 ПРИ г==1 (на контуре ствола),
сгж = О, trz—O при 2 = 0 (на поверхности земли),
аг=а0 = тг2->-О при r->-oo.	(VI.2)^
Для функции напряжений F (г, z) принимаем выражение (V.9).,;
После подстановки этого выражения в формулы для напряжений’
(V.7) с учетом граничных условий (VI.2) получаем:	(
С4=0, С3 = 0.	(VI.3)j
Затем по формулам (V.7) находим компоненты дополнительных
напряжений:
<тг = —~°е=	*~Т’ or =0, T,,=tro==Tin= 0* (VI.4>
Суммируя дополнительные Гн апряжения (VI.4) с начальными
(VI.1) и обозначая z = h, где h — глубина от поверхности, опре*-
деляем полные'напряжения в окрестности вертикальной выработки:
<м=-т=^(1+4)«
=	тл2 = тг0 = тге = р.	(VI.5]
Используя компоненты дополнительных напряжений (VI.4),
о формулам (V.5) определим компоненту деформаций
и радиальные безразмерные смещения (выраженные в долях ра
диуса вертикальной выработки):
(1+Ю 7b	,vr 7
Пример расчета № 1. Исследуем напряженно-деформированное состоя
вне однородного изотропного массива в окрестности вертикальной выра
ботки при коэффициенте поперечной деформации д = 0,375. Результат
расчетов напряжений аг, <тв, аг, выраженные в единицах th, и смещений и -
в единицах yhRJE, сведены в табл. 10, а также представлены в виде граф)
ков на рис. 51.
Таблица 10
Г	Напряжения в единицах yh			Смещения и в еди- ницах yhRk/Е
	аг	%		
1	0	1,2	1	0,82
2	0,45	0,75	1	0,41
4	0,57	0,64	1	0,20
6	0.58	0,62	1	0,14
10	0 59	0,61	1	0,08
Легко заметить, что в однородном изотропном массиве макси-
мальная концентрация напряжений Ое сосредоточена на контуре
выработки. По мере углубления в массив эта концентрация до-
статочно быстро снижается и уже при г = 2 отклонения <1е, °г
от начального напряженного
состояния не превышают 15%.
Радиальные смещения имеют
максимальное значение также
на контуре, но убывают в мас-
сиве значительно медленнее.
Область существенного влия-
ния выработки на распределе-
ние смещений несколько больше
и в данном примере г = 6.
Концентрация напряжений и
-7777777777777777777777
77777777\
а
6!jh.
777'77777
P-fh
Рис. 51. Распределение напряжений а
и смещений б в окрестности верти-
кальной горной выработки, соору-
жаемой в однородном изотропном
массиве
-7777777777777777777777,
Рис. 52. Расчетная схема горизон-
тальной протяженной выработки при
определении дополнительных напря-
жений
I
173
радиальные смещения зависят от величиям коэффициента попе-
речной деформации р. и достигают максимальных значений при
ц = 0,5.
При исследовании механических процессов в окрестности гори-
зонтальных заглубленных протяженных выработок кругового
поперечного сечения, сооружаемых в однородно-изотропном мас-
сиве с гидростатическим начальным напряженным состоянием,
можно воспользоваться решением осесимметричной задачи теории
упругости. Если ось z цилиндрической системы координат совме-
стить с продольной осью выработки, сечения породного массива,
нормальные к оси z, будут находиться в состоянии плоской дефор-
мации. Иными словами, в этом случае можно рассматривать за-
дачу в постановке плоской деформации с полярной симметрией.
Начальное гидростатическое напряженное состояние массива
характеризуется компонентами
= = = Тгг==Тге = тге= °'	(VI-8)
где h — глубина заложения продольной оси выработки от по-
верхности.
Соответствующая расчетная схема для определения дополни-
тельных напряжений в массиве представлена на рис. 52, а гранич-
ные условия имеют вид
Сг—(р— yh) при г = 1 (на контуре выработки),
сг=с9-*-6 при г-» со,	(VI.9)
где р — реактивное сопротивление крепи.
Функцию напряжений F (г), удовлетворяющую уравнению
неразрывности деформаций (V.37), принимаем согласно (V.43)
в виде
F(r) = C1y4-C3r.
Тогда, используя формулы (V.40), из граничных условий
(VI.9) находим
Сз = 0, Сг=(р — yh)
и после подстановки вУформулы (V.40) определяем компоненты
дополнительных напряжений
<*г=(Р— yh)-^-, <% = — (P—yh)-^-, аг = 0, тгг = тг9 = тг0= 0, (VI. 10)
Полные напряжения в породном массиве находим в результате
суммирования начальных (VI.8) и дополнительных напряжений
(VI.10)
S2 = Tze = Tz9=°	(VI. 11)
174
Компоненты деформаций определим из выражения (V.39),
подставив в него дополнительные напряжения (VI. 10):
-_р = (yh—p)
0 г 2Е ’ г2
(VI. 12)
Тогда радиальные безразмерные смещения
м-ге|__3_
м”гее|- 2Е • г
(VI. 13)
Если начальное напряженное состояние массива существенно
отличается от гидростатического, условия симметрии нарушаются.
Рассмотрим начальное напряженное состояние массива с равными
горизонтальными компонентами напряжения, которое в прямо-
угольной системе координат имеет вид
ву=уЪ, az=ax=lyh, тху = тХг = туц = 0,	(VI. 14)
Переходя к цилиндрическйм координатам и решая задачу в до-
полнительных напряжениях, записываем согласно (V.1) граничные
условия следующим образом (при этом полагаем р = 0):
/1 + Х . 1—%	,	1 — 1 . .
сг = — (—2-J — cos 20 } yh, тг0 = —gsin 20 при r =1,
<V=oe==Tre~*’0 при r->oo.
(VI. 15)
He приводя выражение для функции напряжений F (г, 0),
удовлетворяющей бигармоническому уравнению (V.29) и гранич-
ным условиям (VI.15), запишем сразу компоненты дополнительных
напряжений:	,
. Г 1 + 1	1	1 — 1	/3	4	\	оо"|
<уг = — yft. —-— . —-=—	(—j- — — I	cos 20 ,
Г	L 2 r2 2	\ Г* r2 )	J
«.Г1 + 1 1	1 — 1 з nQ-|
oe = Yfc|_— -7Г-----—.7rcos20j,
, 1 — 1 4p nQ
<тж = — yh—?— cos20,
1 — 1/2	3 \ . nQ
-Tre = -Yft^—(7r-7r)sin20’
Tf2 = T0z = O.	(VI.16)
Компоненты начальных напряжений (VI. 14) в цилиндрической
системе координат:
cos 20^,
ff0 = YR (^2~	cos20) ’
175
аг — A, yh,
1 — к ,
тг9 -------—yh sin 20,
t„ = t0z=O.	(VI. 17)
Суммируя (VI.16) и (VI.17), получим компоненты полных на-
пряжений
Oe=,4^(1+4)_<fi(1+^)e.s2e],
az = yh £1 — p.	cos 20
Tr9 = -Yft ~2—(1 + тГ- 7Г) sin20’
Trz = rez=0.	(VI.18)
Используя компоненты дополнительных напряжений (VI.16),
по формулам (V.25) и (11.58) вычисляют компоненты деформаций
и перемещений. Легко видеть, что при X = 1 выражения для напря-.
жений, деформаций и перемещений соответствуют приведенным
выше выражениям для полярно симметричного случая.
Таблица 11
Г	Напряжения в единицах						yh			Коэффициент бокового распо- ра X
	аг			чв			°z			
	0°	45°	. 90°	0°	45°	90°	0°	45°	90°	
1	0,00	0,00	0,00	—0,10	1,30	2,70	—0,02	0,30	0,62	
2	0,56	0,49	0,42	0,40	0,82	1,23	0,22	0,30	0,38	
4	0,79	0,58	0.46	0,36	0,69	1,04	0,28	0,30	0,32	0,3
6	0,94	0,63	0,32	0,32	0,67	1,02	0,29	0,30	0,31	
10	0,99	0,64	0,30	0,31	0,65	1,01	0,29	0,30	0,30	
1	0,00	0,00	0,00	0,80	1,60	2,10	0,30	0,60	0,88	
2	0,64	0,60	0,56	0,72	1,00	1,38	0,52	0,60	0,68	
4	0,90	0,75	0,62	0,65	0,85	1,05	0,58	0,60	0,62	0,6
6	0,96	0,78	0,61	0,63	0,82	1,03	0,59	0,60	0 61	
10	0,98	0,79	0,60	0,61	0,81	1,01	0,59	0,60	0,60	
1 2 4 6 10		0,00 0 75 0,94 0,97 0,99			2,00 1,25 1,06 1,03 1,01			1,00 1,00 1,00 1,00 1,00		1
176
Пример расчета № 2. Ис-
следуем напряженное состоя-
ние однородного изотропного
массива горных пород в окрест-
ности незакрепленной выра-
ботки (у = 0) кругового попе
речного сечения при коэффи-
циенте бокового распора Л =
= 0,3; 0,6; 1,0.
В табл. 11 приведены значе-
ния полных напряжений оу,
о9, <зг, полученных для точек
контура: 0 = 0°; 45°; 90° (см.
расчетную схему на рис. 52).
По данным табл. И по-
строены графики распределе-
ния напряжений or, crj, аг при
к = 0,6 для точек 0 = 0° и
90? (рис. 53).
Анализируя получен-
ные результаты, можно
видеть, что при коэффи-
циенте бокового распора
к <5 1 происходят измене-
Рис. 53. Распределение напряжений в ок.
рестности горизонтальной горной выра-
ботки при коэффициенте бокового расаора
2. = 0,6
ния в распределении напряжений по сравнению со случаем к — 1.
Так, при уменьшении % тангенциальное напряжение Ое на гори-
зонтальной оси контура выработки увеличивается, а на верти-
кальной — уменьшается и при к = 1/3 меняет знак, т. е. ста-
новится растягивающим.
Руководствуясь соображениями, приведенными в § 15 отно-
сительно допускаемой величины отклонения напряжений от сред-
них величин о на элементарной площадке (15%), определим диа-
пазон значений к, в пределах которого замена начального негидро-
статического состояния массива на гидростатическое не приведет
к существенной погрешности. Разумеется такая замена недо-
пустима, если хотя бы в одной точке контура наблюдаются растя-
гивающие напряжения, т. е! при к s: 1/3. Используя формулы
(VI. 18), путем несложных вычислений приходим к выводу, что
искомый диапазон 1 >> к 0,7.	у
§ 26.	НЕОДНОРОДНО-АНИЗОТРОПНЫЕ ПОРОДНЫЕ МАССИВЫ
В предыдущем параграфе рассматривались механические про-
цессы в массивах, где влияние неоднородности и анизотропии
незначительно и массивы можно классифицировать как квазиод-
нородные и квазиизотропные. В этом случае для анализа была
использована модель однородно-изотропного массива.
Настоящий параграф посвящен исследованию механических
процессов в неоднородно-анизотропных массивах. Следуя реко-
мендациям, изложенным в главе IV, будем различать неоднород-
ность и анизотропию естественную и искусственную.
12 Заказ 194
177
Причиной естественной анизотропии в массивах является
чаще всего напластование горных пород. Такие породные массивы,
где плоскость напластования является плоскостью изотропии,
можно классифицировать как трансверсально-изотропные. Рас-
смотрим механические процессы в окрестности горных выработок,
сооружаемых в однородных массивах с горизонтальным напласто-
ванием пород. Очевидно, в окрестности вертикальных выработок
кругового поперечного сечения с вертикальной продольной осью z,
нормальной плоскости напластования, при начальном напряжен-
ном состоянии ах = оу, механические процессы носят осесим-
метричный характер. Если при этом, как указывалось в преды-
дущем параграфе, предположить, что горизонтальные сечения
остаются плоскими в процессе деформирования, можно для опре-
деления дополнительных напряжений воспользоваться моделью
породного массива, которой соответствуют физические уравнения
(11.67), записанные в виде
, Е 2
е.
1
80- —
л &	2	/
Ё °г ~ ае I’
Е 2 /	&	2	\
Ё I ав ~ ~ Ё ~ °r I:
(VI. 19)
где Е, р — деформационные характеристики, определяемые па-
раллельно плоскости напластования;
2?v Р-1 — деформационные характеристики, определяемые по
нормали к плоскости напластования.
В данной задаче рассматривается однородный массив и Е =
= const, Ег = const р, = const, рл = const. Начальные напря-
жения в таком массиве определим по формулам (IV.18) и (IV.22),
которые с учетом перехода к цилиндрическим координатам и при
у — const дают
<т2 = уЛ, <тг = <тв = 1уЛ, хгг = тгв = т02 = О,	(VI.20)
где
Тогда для определения дополнительных напряжений прини-
маем расчетную схему, показанную на рис. 52, и согласно физи-
ческим уравнениям (VI.19) записываем вместо (VI.2) граничные
условия
вг= — ХуЛ при г=1,
<тг = <т0—>0 при г—>оо.	(VI.21)
Анализируя уравнение (V.28), легко убедиться, что решение
задачи сводится к нахождению функции напряжений F (г) из
178
уравнения вида (V.32) с учетом граничных условий (VI.21). Однако
можно поступить гораздо проще. Решение данной плоской задачи
по определению дополнительных напряжений совпадает, с точ-
ностью до граничных условий, с решением соответствующей за-
дачи для изотропного массива, приведенной в предыдущем пара-
графе. Используя это решение и граничные условия (VI.21), по-
лучим:
компоненты дополнительных напряжений
1 1
<rz = 0, <тг = —, пе = ХуЛ—,тгг=тн = твг = О;	(VI.22)
компоненты полных напряжений
пг = у&,	<т9 = ХуЛ (1 +	, т„ = тгв = твг = 0,
(VI.23)
компоненты деформаций, определяемые подстановкой дополни-
тельных напряжений (VI.22) в формулы (VI.19),
е9 = _8,=Л±±Е..11,	(VI.24)
и радиальные безразмерные смещения
u = 89.r=A-l±lL.^.	(VI.25)
Пример расчета № 3. Исследуем напряженно-деформированное состо-
яние однородного анизотропного массива в окрестности вертикальной выра-
ботки кругового поперечного сечения при следующих исходных данных:
E/Ey = 1,5; р = 0,375; рх = 0,2. Результаты расчетов напряжений а,, а9,
<тг, выраженные в единицах yh, я. смещений и — в единицах yhRBfE, сведены
в табл. 12.
Таблица 12
Г	Напряжения в единицах уЛ			Смещения в единицах ?ЛВв/Е
	аг	«в	аг	
1	0,00	0,96	1,00	0,66
2	0,36	0,60	1,00	0,33
4	0,45	0,51	1,00	0,17
6	0,46	0,49	1,00	0,11
10	0,47	0,48	1,00	0,07
Сравнивая полученные значения компонентов напряжений
и смещений в однородном анизотропном массиве (рис. 54, а, б)
с соответствующими компонентами в изотропном массиве (Е =
= Ег-, р = р.! = 0,375; пунктирные кривые на рис. 54, а и б),
приходим к выводу, что качественных изменений в механических
12*
179
a
Рис. 34. Распределение напряжений a
и смещений б в окрестности верти-
кальной выработки, сооружаемой в
анизотропном массиве с горизон-
тальным напластованием
процессах не происходит. Учет
анизотропии горных пород при
их горизонтальном напластова-
нии вносит лишь некоторые
количественные поправки. Так,
например, анизотропия в дан-
ной задаче приводит к сниже-
нию значений компонентов на-
пряжений и смещений по сравне-
нию с изотропным массивом
приблизительно на 20%.
Более сложной представ-
ляется задача по исследованию
механических процессов в ок-
рестности горизонтальных вы-
работок, сооружаемых в анизо-
тропном массиве. Рассмотрим
горизонтальную протяженную
заглубленную выработку кру-
гового поперечного сечения с
продольной осью z, параллель-
ной горизонтальным плоскостям
породного массива. Для упро-
начальное напряженное состоя-
напластования однородного
щения задачи будем считать
ние массива гидростатическим. В процессе деформирования се-
чения, нормальные к продольной оси выработки z, остаются пло-
скими. Поэтому при определении дополнительных напряжений
воспользуемся моделью породного массива, которой соответствуют
физические уравнения (11.65). Перепишем эти уравнения следу-
ющим образом, полагая Е ~ const, Er — const,
gi = const, Gj = const:
p = const

Ex °У'
U’XV	1	^Xl/
еУ=—(VI 26)
где введены обозначения
р Е	_ Ei	_ Е pi /vt
^—1=^2-> ЕУ—	£Г'Т=^Г’	(VL27)
Gr — модуль сдвига, характеризующий искажение углов в пло-
скостях, нормальных к плоскости изотропии.
Расчетная схема задачи при определении дополнительных
напряжений показана на рис. 52, а граничные условия, соответ-
180
ствующие гидростатическому начальному напряженному со-
стоянию, имеют вид
<ТГ=— yh при г = 1,
<Т, = (Тв—>0 при г—> оо.	(VI.28)
Решение задачи сводится к нахождению функции напряжений
F (®, (/)> удовлетворяющей уравнению (V.21) и граничным условиям
(VI.28). Общий интеграл уравнения (V.21) зависит от корней ха-
рактеристического уравнения [77]:
“«*+7—в2+4-=°-	(VL29)
Lx \ (rj Lx / L^
В дальнейшем целесообразно ввести соотношения
а = —а1а2 =	, ₽ = -i(ai+a2)=|//'	~,
„ (sin*0 . / 1	2p.xjA	cos*01-1	...r „л.
-------He	=— sin2 0cos2 0H =—I ,	(VI.30)
\ “x \<n--------------------------------)
в1 + в2=2дж9-
где 0 — полярный угол, отсчитываемый от горизонтальной оси х.
Используя эти обозначения, приведем выражение для дополни-
тельных нормальных напряжений Оо на контуре выработки
<Т|=yh	[—а+р (sins 0 4- а cosS 0) Ч~ (1 + а®) (1 + e|) sin2 0 cos* 0].
(VI.31)
Эти напряжения, ка1к следует из (VI.31), на горизонтальной оси х,
т. е. при 0 = 0, л:
<7, = ^=^-Lzl,	(VI.32)
а на вертикальной оси у, т. е. при 0 — ± -5-:
Z
at = ox=yh (р—а).	(VI.33)'
Полные напряжения <Те на контуре выработки
=	[—«+p(sin2 0 + acos20)+0+eJ) (И*®!) sina 0 cos2 0]|.
(VI.^4)
Соответственно полные напряжения Ое в точках контура на гори-
зонтальной оси х
(VI.351
181
а в точках контура на вертикальной оси у
<тв = yh (1-f-fJ — а).	(VI.36)
Дополнительные напряжения используем для определения
радиальных безразмерных смещений в точках контура выработки
на горизонтальной оси х
«
и~~^~ (Р—a4’P-x»)i	(VI.37)
на вертикальной оси у
ii = 17(a₽“a+fX^)-	(VL38)
Приведенные формулы несколько упрощаются, если принять,
что является коэффициентом Пуассона для деформаций, нор-
мальных плоскости изотропии (напластованию пород) при сжатии
к этой плоскости. Тогда вместо (VI.27) имеем
Ех=—Е — , Ев=--------, ux„=:—hl—.	(VI.39)
1-р2 ’	’ Ег 2 и У 1-Н k
, Соответственно преобразуются и все остальные формулы. При
этом формулы с точностью до принятых обозначений совпадают
с формулами, вытекающими из решения, приведенного в работе
[721 для выработки эллиптического поперечного сечения. Ука-
занное решение в принятых обозначениях имеет следующий вид.
Полные напряжения oq и безразмерные смещения и в точках кон-
тура выработки на горизонтальной оси х равны
, ( . , сВ — X, X yh ( X, „	, X 2с „Г1 ,Л.
-------------------- —и —	— ₽ — a-J-	--q_i , (VI.40)
на вертикальной оси у равны
ае = уА (х, + yP —	« = -^-(аРс—Ла + Х,[*ад)-^-р-, (VI.41)
где X 1 — коэффициент бокового распора для начального
напряженного состояния массива;
с = а/6^1 — отношение горизонтальной большой полуоси а
эллиптического сечения выработки к вертикаль-
ной малой полуоси Ъ;
Ех, — определяются по формулам (VI.39).
Легко видеть, что в рассматриваемом случае гидростатического
начального напряженного состояния (X, = 1) для выработки кру-
гового поперечного сечения (с = 1) формулы (VI.40) и (VI.41)
переходят в приведенные выше (VI.35)4~(VL38).
Пример расчета № 4. Рассмотрим распределение напряжений ста и сме-
I	щений и на контуре горизонтальной протяженной выработки в однородном
182
анизотропном массиве при следующих деформационных характеристиках
массива: Е)Ег = 1,5; E/Gr = 4; р = 0,375; рг — 0,2.
Предварительно по формулам (VI.39) определим Ех, Еу, \ixy, а затем
по формулам (VI.30) — а = 1,30; р = 2,57. Напряжение ае и смещения и
вычислим, используя выражения (VI.35)—(VI.38). Для сравнения опре-
делим и и в тех же точках контура однородного изотропного массива с ха-
рактеристиками Е/Ег = 1, у = рх = 0,375. Для этого воспользуемся ука-
занными расчетными выражениями (VI.35)—(VI.38), приняв в них а = 1,
Р = 2. Результаты расчетов .в принятых безразмерных единицах предста-
влены в табл. 13.
Судя по полученным результатам, в анизотропном массиве
с принятыми характеристиками, соответствующими реальным
породам типа песчанистых сланцев, наблюдается незначительное
увеличение напряжений ое и рост смещений и в точках контура
на вертикальной оси. Однако при относительном росте смещений и
почти на 50% их абсолютная величина остается чрезвычайно
малой и для реальных условий составляет порядка нескольких
миллиметров. Поэтому при оценке влияния анизотропии следует
учитывать, главным образом, отклонения в величине напряжений.
Например, в рассмотренной задаче эти отклонения составляют
—14%, т. е. не выходят за принятые нами допускаемые откло-
нения 15%. Иными словами, в дарном случае анизотропию можно
не учитывать.
Некоторые горные породы обладают различными деформацион-
ными свойствами при напряжениях противоположного знака,
т. е. обладают физической анизотропией. При определении допол-
нительных напряжений в окрестности выработки принимается
расчетная схема, показанная на рис. 52, согласно которой на
контуре выработки прикладываются растягивающие напряжения
аг. Поэтому представляется целесообразным оценить влияние
физической анизотропии пород [85]. Запишем физические урав-
нения для породного массива, имеющего следующие деформацион-
ные свойства: Ег = Ер — модуль деформации породы при растя-
жении, Е — Ес — модуль деформации породы при сжатии, у —
коэффициент Пуассона породы при сжатии, причем из условия
симметрии физических уравнений следует соотношение
Ег
Рг = Р—•
Таблица 13
Координаты точки контура выработки	Анизотропный массив			Изотропный массив		
	напряжения в единицах yh		смеще- ния в единицах vhR-в/Е	напряжения в единицах vh		смещения в единицах ?ЛНв/.Е
	°г	%		°г ,	%	
На горизонталь- ной оси .... На вертикальной оси		0 0	2,21 2,27	1,37 2,03	0 0	2 2	1,38 1,38
183
Используя эти обозначения, перепишем физические уравнения
(11.69), рассматривая однородный породный массив в условиях
осесимметричной плоской деформации:
(VI.42)
Начальное напряженное состояние массива будем считать
тидростатическим (VI.8). Тогда граничные условия для опреде-
ления дополнительных напряжений имеют вид (VI.28). Функцию
напряжений F (г) находим из следующего уравнения, которое
получим, используя соотношения (V.40) и подставив физические
уравнения (VI.42) в уравнение неразрывности деформаций (11.63):
где
д*Р 1 дР	£2
' г дт	г2
(VI 43)
у—Ц2
5	1-р
(VI 44)
1
Решением (VI.43) при граничных условиях (VI.28) является

(VI .45)
откуда по формулам (V.40) и (11.68) находим компоненты допол-
нительных напряжений
1	е г. 1
1) —L-, тгв=тгг = тг9 = о.	(VI.46)
‘Соответственно компоненты
полных напряжений
ar= уМ 1
_____1__\
ri+5 у ’
<Te = yJl-H-p^
1 1
ri4 J ’
<Tz = yfe l + Mfc-i)
тг0 ~ Trz — тгв — О"
(VI 47)
184
Компоненты деформаций и радиальные безразмерные смещения
находим, используя физические уравнения (VI.42) и компоненты
дополнительных напряжений (VI.46):
ео = с^^у.
1
u = Cyh—(VI.48)
где
£
Пример расчета № 5. Исследуем напряженно-деформированное состоя-
ние породного массива с учетом его физической анизотропии при следующих
деформационных характеристиках: Ес/Е-р — Е/Е1 = 1,5; 2,0; 5,0; р = 0,5.
Результаты вычисления напряжений и смещений представлены в табл. 14?
а также на графиках рис. 55 для Е/Ег = 1,5 в сопоставлении с напряжениями
и смещениями, определенными без учета физической анизотропии (пунктир-
ные кривые).
Полученные результаты свидетельствуют о том, что учет фи-
зической анизотропии горных пород в однородном массиве не вно-
сит качественных изменений в механические процессы, а оказы-
вает влияние на, их количественную оценку. При этом количе-
ственная поправка на физическую анизотропию для большинства
твердых горных пород, имеющих отношение EJEV в интервале
1,1-^-1,5, настолько незначительная, что их можно рассматривать
как физически изотропные. Грунты, для которых, в отличие от
прочных пород, отношение EJEV составляет 2—5, должны рас-
сматриваться как физически анизотропные.
Естественная неоднородность наблюдается практически во
всех породных массйвах. Изучение естественной неоднородности,
характеризуемой различием деформационных свойств массива
Таблица 14
£/Et=l,5
E/Ei=2
Е/£,=5
Напряжения в
единицах yh
Напряжения в
единицах th
а
Напряжения в
единицах th
0,00
0,79
0.96
0,98
2,29
1,26
1,05
102
1,19
1,04
1,01
1,00
1,75
0,72
0,29
0,00
0 92
0,97
0,98
2,53
1,26
1,05
1,02
0,00
0,93
0,99
1,00
3,53
1,22
1,02
1,01
1,76
1,07
1,01
1,00
2,62
0,44
0,08
0,03
185
Рис. 55. Распределение напряжений (а) и
смещений (б) в окрестности горизонтальной
горной выработки, сооружаемой в пород-
ном массиве с физической анизотропией
в различных его точках,
сопряжено со значитель-
ными техническими труд-
ностями по отбору образ-
цов породы во многих точ-
ках массива. В настоящее
время такие эксперимен-
тальные данные, к сожа-
лению, ограничены. Од-
нако они позволили вы-
двинуть гипотезу о стати-
стическом характере рас-
пределения неоднородно-
стей в массиве, которая
лежит в основе статисти-
ческих методов исследова-
ния.
Основные положения
статистических методов ис-
следования механических
процессов в массивах, ста-
тистически неоднородных
по своим деформационным
свойствам, рассмотрены в
предыдущей главе.
Искусственная неодно-
родность и анизотропия
появляются в результате технологического воздействия на по-
родный массив при сооружении горных выработок и разработке
полезных ископаемых. В настоящем параграфе подробно рассмот-
рим искусственную или технологическую неоднородность, кото-
рая формируется при буровзрывной выемке породы в горных
выработках. Как отмечалось в главе IV, причиной такой не-
однородности массива является трещиноватость взрывного про-
исхождения.
Ранее опубликованные исследования авторов [86, 87, 88, 89]
показывают, что учет трещиноватости взрывного происхождения
существенным образом изменяет представления о механических
процессах в окрестности горных выработок. Более того, поскольку
такая неоднородность формируется искусственно, возникает воз-
можность в известной мере управлять ею, а, следовательно, и ме-
ханическими (процессами в массиве. Именно с позиций этой за-
дачи перспективы управления состоянием породного массива
не кажутся столь- отдаленными, как во многих других задачах
механики горных пород.
Рассмотрим следующую задачу. В породном массиве с гидроста-
тическим начальным напряженным состоянием (VI.8) сооружается
горизонтальная заглубленная протяженная выработка круго-
186
вого поперечного сечения. Пер-
воначально однородно-изотроп-
ный массив в результате произ-
водства буровзрывных работ
приобретает технологическую
неоднородность . деформацион-
ных характеристик вида (IV.12),
показанную на рис. 32. Иссле-
дования, выполненные в рабо-
тах [90, 66], свидетельствуют
о том, что величина коэффи-
циента Пуассона р практически
не влияет на качественную кар-
тину напряженно-деформиро-
ванного состояния и незначи-
тельно влияет на количествен-
ные показатели. Поэтому с
целью упрощения задачи и пред-
ставления конечных результа-
тов в форме, пригодной для
практического применения, по-
ложим р = 0,5.
В такой постановке для ре-
Рис. 56. Распределение напряжений (а)
и смещений (б) в окрестности гори-
зонтальной горной выработки, со-
оружаемой буровзрывным способом
шения задачи следует восполь-
зоваться моделью неоднородно-изотропного плоско-деформируе-
мого массива с осевой симметрией, которой соответствуют физи-
ческие уравнения (11.69), где следует принять
YrB = 0, Е = Е (1 — аг~п), Ег = Е, |Л=|Л1 = О,5.	(VI.49)
Начальное гидростатическое напряженное состояние в массиве
определяется соотношениями (VI.8). Соответствующая расчетная
схема для определения дополнительных напряжений представлена
на рис. 52. Граничные условия записываются в виде
<ТГ= р — yh при г = 1, <тг = <т9—>0 при г—>оо.	(VI.50)
Задача сводится к исследованию дифференциального уравнения
(V.41). Решением этого уравнения является функция напряжений
(V.42). Подставив в формулу (V.42) выражение (IV. 12) и выполнив
интегрирование, после удовлетворения граничным условиям
(VI.50) получим:
F(r)={P-yh) 4+Г22г 4-	(VL51)
П -f- С.-си Г
Используя формулы (V.40) и (11.68), запишем компоненты допол-
нительных напряжений:
п -}~ 2 — 2я г п
п--2— 2а
1
Г2 ’
<тг= (р—yh)
Oj = — (р— yh)
п + 2 — 2а (п + 1)г~п
п 4-2 — 2а
1
Г2 ’
187
,	,. anr n 1
Trz — Tr9 — T6z — O'
(VI. 52)
Сложив начальные напряжения (VI.8)
получим компоненты полных напряжений:
с дополнительными,
<rr = Y^ + (P-Y^)
п-)-2 — 2аг~п
п-)-2—2а
1
Г2

п4-2*-2а (п +1) г~п
п-\-2 — 2а
1
Г2 ’
, , .	,. anr п 1
^yh + (P-yh) n + 2_2a  — ,
Vz = V9 = '[9z = °-	(VI.53)
После подстановки компонентов дополнительных напряжений
в формулу (V.39) запишем выражение для компонентов деформаций
„ =	=2_ (Yfe—р) ”4-2	1
® г 2 ’ Е ’ n-|~2 — 2а ' г2
м выражение для радиальных безразмерных смещений
а=₽ r=A <Yfe~p) ”4~2 х
8	2' Е п-}-2-2а г'
Положив в формулах (VI.53), (VI.54) и (VI.55) а = 0, т. е.
считая массив в окрестности выработки однородным (ненарушен-
ным взрывными трещинами), получим ранее приведенные формулы
(VI.11), (VI.12) и (VI.13) для однородно-изотропного массива.
(VI.54)
(VI.55)
Таблица 15
Г	Неоднородный массив				Однородный массив			
	Напряжения в единицах			Смещения в едини- цах VhRB/E	Напряжения в единицах th			Смещения (В едини- цах
	°г	°9	°г		°г	°9	°г	
1.0	0,00	0,38	0,19	1,91	0,00	2,00	1,00	1,50
1,4	0,52	1.57	0,95	1,49	0,52	1,48	1,00	1,17
1,8	0,61	1,39	0,99	1,05	0,69	1,31	1,00	0,83
2,2	0,74	1,26	0,99	0,86	0,79	1,21	1,00	0,68
2,6	0,75	1,25	1,00	0,73	0,81	1,19	1,00	0,58
3,0	0,86	1,14	1,00	0,63	0,89	1,11	1,00	0,5
3,4	0,90	1,10	1,00	0,48	0,92	1,08	1,00	0,38
6,0	0,97	1,08	1,00	0,32	0,97	1,03	1,00	0,25
188
Пример расчета № 6. Буровзрывная выемка породы формирует в окре-
стности выработки технологическую неоднородность вида (IV. 12) с пара
метрами п = 6, а = 0,85. Рассмотрим напряженно-деформированное состоя-
ние такого массива при р = 0 и сопоставим его с напряженно-деформиро-
ванным состоянием однородного массива. Расчеты, выполненные по формулам
(VI.53) и (VI.55), сведены в табл. 15 и графически представлены на рис. 56,
где распределения напряжений и смещений в однородном массиве показаны
пунктиром.
Как видно из табл. 15 и графиков, при учете технологической
неоднородности характер распределения аг не меняется, а в рас-
пределении Ое происходят качественные изменения: концентра-
ция Oq смещается с контура выработки в глубь массива. Каче-
ственная картина распределения радиальных смещений и остается
прежней, но величина смещений в неоднородном массиве больше.
§ 27.	УЧЕТ ФАКТОРА ВРЕМЕНИ
Рассмотрим временные механические процессы в линейно-де-
формируемом породном массиве (II.113), вмещающем горные
выработки. Общий метод решения такой задачи изложен в § 23.
Вначале рассмотрим модель упруго-вязкого неоднородного по-
родного массива, приняв в уравнениях (11.113) v3 = 0, v4 (r)/v5 (г) —
const, vx = const, v2= const. Тогда, учитывая, что
<r/(0) = ^-v6(r)-^-t	(VI.56)
выражение (V.168) для радиальных нормальных напряжений аг
можно переписать следующим образом:
<тг = Л (i) С 2Ц±йг + с,	(VI.57)
J г*
где
Л (,)_{ F(0)+Л J	„ (0+	.~d, ) е~(V..SS)
Интегрируя уравнение равновесия (V.36), находим выражение
для напряжений ое:
ав = <тг+гЛ	(VI.59)
Принимая начальное напряженное состояние массива в виде
(VI.8), будем иметь следующие граничные условия для определе-
ния дополнительных напряжений:
<зг = р—yh при г — 1, <тг=(Гв—>0 при г—юо,	(VI.60)
где р — реактивное сопротивление крепи на контуре выработки
(г = 1), которое по аналогии с (V.172) можно представить как
Р = Р* ^k0F(t),	(VI.61)
189
р* = const — постоянное сопротивление крепи;
к0 = tg а = const — коэффициент сопротивления крепи.
Удовлетворив граничным условиям (VI.60), определим
ненты дополнительных напряжений:
компо-
<Tr(r, t) = (p — yh)
v9(r, t) = <rr(r, t)—(p—yh)
^-dr
r3
dr
f2
00
f ^-dr
J Г3
1
0= 2-(<т,+<тв), тгв = тгг = тгв = о.
(VI.62)
Компоненты
и (VI.62):
полных напряжений получим, суммируя
(VI.8)
Cr(r, t) = yh + (p — yh)
•-ь---------
Г Vs(r) Hr
J dr
ъЛг)
г2
а9(г, 1) = <тг(г, t)-(p~yk) —-
( ^-dr
J г3
1
<тг(г, 0= 2-(<Tr+<Te), тгВ = т„ = тг9 = 0.
(VI.63)
Компоненты
деформаций находим по формуле (V.182):
F(t)
е9 = —е, = —
г-
1
t
а радиальные безразмерные смещения — по формуле (V.181):
^(0
U — ———
190
где функция времени F (t) определяется выражением (V.177):
F (t) = F (0) е“«‘г + Яг- (1 —
Vi
Входящие в последнее выражение параметры О. и 09, согласно
(V.175) и (V.176), равны
(VI.64)
vi (yfe—р*)
со
М2+2 J ^^—dr
(VI.65)
Значение F (0) определяется следующим образом. Из уравне-
ния (V.162) при = 0, v3 — 0, v4 = 0 имеем;
V2
8»=2м7Г(а«-^)-
Далее, используя соотношение (V.164), получаем;
F(°)= 2^77j-la«(r’ °)-Мг- 0)]r2,	(VI.66)
где Од (г, 0), ог (г, 0) — компоненты дополнительных напряже-
ний (VI.62) в начальный момент времени t = 0.
Положив в формулах (VI.62) t = 0 и подставив их в (VI.66),
записываем:
F<0)=T-«-----!----—t‘F <°>1-	(Vl.e?)
f ЩЦ*
J г3
1
Из уравнения (VL67) находим значение F (0):
F (0)  --.	(VI.68)
v2fco+2j ?yfi-dr
191
После подстановки (VI.68), (VI.64) и (VL65) в (V.177), а затем
в (V.181) окончательно получим выражение для радиальных без-
размерных смещений:
u = (yh— р*)
со
Мг+2 f ^-dr
J г3
Хехр
*.v1+2f
1
oo
J r*
M1+2p±P-dr
(VI.69)
Анализ выражений для напряжений (VI.63) и смещений (VI.69)
показывает, что поле смещений в окрестности выработки неста-
ционарно, т. е. зависит от времени, а поле напряжений стацио-
нарно для крепи постоянного сопротивления (р — р*) и нестацио-
нарно для крепи нарастающего сопротивления [р = р*
В частном случае незакрепленной выработки напряженное со-
стояние массива не зависит от времени. Аналогичные выводы
были ранее получены в работе [48]. Однака в указанной работе
задача решалась для однородного породного массива, за исклю-
чением одной частной реологической модели массива.
В § 14 отмечалось, что все горные породы можно подразделить
на два типа: породы первого типа обнаруживают ограниченную
ползучесть и аппроксимируются реологическим уравнением стан-
дартного линейного тела, породы второго типа обнаруживают
неограниченную ползучесть и с достаточным приближением ап-
проксимируются реологическим уравнением Максвелла. Рассмот-
рим механические процессы в окрестности горной выработки,
сооружаемой в указанных породах.
Физические уравнения для пород первого типа получим из
(11.113), раскрывая в соответствии с обозначениями, принятыми
в (11.112), значения коэффициентов vt : Vj = 1, v2 = t0,
v3 = 0, v4(r) = 2Gco(r) = --£^-(^, Мг) = 2С,(фо = ^^.
О	о
Подставляя значения соответствующих коэффициентов v7-в (VI.63),
получаем выражения для компонентов полных напряжений
аг=уЛ + (р —уЛ)
1
со
J г8
192
।
1
E^r)^
<*e = —(Р—------------>
f ^-dr
J r3
1
1
&г~~2 (®e4”^r)i Tt-j = Tre = Tzj = 0,
и радиальных смещений
I
(VI.70)
u = (yh—p*)
Хехр
(VI.71)
Для пород второго типа физические уравнения запишем на
основании (П.113), соответственно положив: vx = 1, v2 = t0,
v3 = 0,
v4 = 0, v5 (r) = 2G0 (r) t0 = 2^ (^-°.
О
При этом, выражения для компонентов напряжений сохра-
нятся в виде (VI.70), а выражение для радиальных смещений
на основании (VI.69) записывается так:
для крепи линейно нарастающего сопротивления (ко #= 0)
(VI.72)
для крепи постоянного сопротивления (к0 = 0)
ОО	к 1 fn / Г
4 Г Ео (г)	4	'
-з J -йг-^
1
(VI.73)
13 Заказ 194
193
a
Рис. 57. Распределение смещений в окрестности горизонтальной горной
выработки, сооружаемой буровзрывным способом в породах первого типа
при t -* оо (а). Изменение смещений во времени на контуре незакрепленной
горной выработки, сооружаемой в породах второго (сплошная линия) и пер-
вого (пунктирная кривая) типов (б)
Пример расчета № 7. Исследуем напряженно-деформированное состо-
яние в окрестности незакрепленной выработки (р* = 0; ко = О), пройденной
в массиве пород первого типа с технологической неоднородностью вида
Ео (r) = E0 (t — ar~n), Ет (r) = Em (l — ar~n),
где а = 0,85; п = 6; £0/Еот=а = 1,3. Тогда с учетом принятых обозначений
полные напряжения определяются выражениями (VI.53), а выражение (VI.71)
для смещений перепишется следующим образом:
“ = T"F~'~^£2~22a Га+(1-а)е~^~1у.	(VI.74)
&(l L. \	/	. I г
Смещения определим для моментов времени t = Он t Результаты вы-
числения напряжений и смещений сведем в табл. 16 и сравним данные для
неоднородного и однородного породного массива. Картина распределения
напряжений соответствует рис. 56, а, а распределение смещений при t -*00
показано на рис. 57, а (пунктиром — для однородного массива).
Таблица 16
Г	Неоднородный массив					Однородный массив				
	Напряжения в едини- '	цах			Смещения в единицах thRB/E		Напряжения в еди- ницах yh			Смещения в единицах yhRB/E	
	аг		аг	t—0	/->со	аг	о»	аг	t=0	t-t-co
1,0	0,00	0,38	0,19	1,91	2,49	0,00	2,00	1,00	1,50	1,95
1,4	0,52	1,57	1,00	1,36	1,78 1	0,52	1,48	1,00	1,17	1.39
2,0	0,68	1,31	1,00	0,95	1,25	0,75	1,25	1,00	0,75	0 98
40	0,92	1,08	1,00	0,48	0,62	0,94	1,06	1,00	0,38	0,49
6,0	0,97	1,03	1,00	0,32	0,42	0,97	1,03	1,00	0,25	0,33
194
Полученные результаты подтверждают сделанный ранее вывод
о стационарности поля напряжений и нестационарности поля
смещений. Из приведенного на рис. 57, а графика видно, что учет
фактора времени не приводит к качественным изменениям в рас-
пределении смещений, а количественные изменения определяются
величиной коэффициента а. Влияние технологической неодно-
родности во временной задаче аналогично ее влиянию в задачах
без учета фактора времени.
Пример расчета № 8. Используя исходные условия предыдущего при-
мера, исследуем напряженно-деформированное состояние массива, сложен-
ного породами второго типа. Дополнительно примем t0 = 30 суток. С учетом
принятых обозначений для полных напряжений получаем выражения (VI.53),
а для смещений — выражение (VI.73), которое преобразуется к виду
3 yfe n + 2	/ t X 1
2 Eq n-\-2 — 2a\'t0Jr‘
(VI. 75)
Как уже было показано, распределение напряжений не зависит от вре-
мени и соответствует величинам, приведенным в табл. 16. Поэтому в данной
задаче ограничимся определением смещений для различных моментов времени.
Результаты представлены в виде графика и (0 на рис. 57, б, где смещения
выражены в единицах yhRK/E. Здесь же для сравнения пунктиром показано
изменение смещений иа контуре выработки в породах первого типа, построен-
ные по формуле (VI.74).
Как следует из графиков, в породах первого типа смещения
на контуре нарастают во времени по логарифмическому закону
до определенной величины, а в породах второго типа — по ли-
нейному закону неограниченно.
Перейдем к рассмотрению неоднородного породного массива,
сложенного породами второго типа, в котором реологические свой-
ства обнаруживаются только при определенном уровне напряже-
ний. В приконтурной зоне выработки, где уровень действующих
напряжений настолько велик, что удовлетворяется условие
(V.163), будем считать массив упруго-вязко-пластическим, т. е.
примем
V3 = 'V3(r), v5 = v5(r), V4 = 0, v1 = const, v2 = const. (VI.76)
В остальной части массива, где jae удовлетворяется условие (V.163),
предположим, что породы деформируются линейно, т. е.
v3 = 0, V4—0, vj = 0, v2 = const, v5 = v5(r). (VI.77)
Совершенно очевидно, что на границе раздела гр должно со-
блюдаться условие (V.184) или (V.185), которое целесообразно
записать в виде
1/V v5 (rD) W
Ч (0 = -LA v8 (гр) -щ (0),	(VI.78)
где
Y(0 =	(VI-79)
о
13*
195
Обобщенное напряжение стг (0) во внешней зоне породного
массива определим, пользуясь формулами (VI.63) предыдущей
задачи:
0{ (0) = XijMrp) МН rg(O)
где начальная координата
соотношением
*1 ^2VS [Гр (0)] ’
границы раздела гр (0)
(VI.80k
определяете;
г* (0)
Vj	р—yh
V6 | Гр (0)1	2^' "5 Д
(MU
-ч	,1 Г3
(VI.81)
т
После подстановки (VII.80) в (VII.79) йаходим выражение
функции Y (t) через координату границы раздела rp (t):
V1	ГР (°)
V2VS(r) 1 v8 [гр (t)J v5frp(0)J
(VI.82>!
Радиальные напряжения на границе раздела со стороны при-
контурной зоны, где породы деформируются упруго-вязко-пла*
стически и v8 = const, равны (V.187). Если принять qB = р^
гв — 1, учесть соотношение (VI.82), а также v8 = v8 (г), после;
преобразований вместо (V.187) получим выражение
<Мгр) = Р--^е" v‘ ‘ J ^dr--Le y(t)X
гр
Со стороны внешней части массива, где породы деформируются
линейно, при qH ~ yh, ги = о® и с учетом (VI.82) на основании
(V.188) имеем
MrP) = YM
2
Уз
dr.
(VI.84)
Приравнивая правые части выражений (VI.83) и (VI.84), получаем
уравнение для определения rp (t). Анализ этого уравнения в общем
виде представляется достаточно сложным. В начальный момент
гр увеличивается по экспоненциальному закону, откуда следует,
что в этот период смещение иа контуре выработки можно вычи-
слять по формулам (VI.72) или (VI.73). Особый интерес предста-
вляет вид этого уравнения для случая t -► оо, т. е. для случая
196
предельного положения границы раздела гр (©о) в породном
массиве:
со
>	J sp-*
Дг ~Т>—(г,) У	-1	. (VJ.SS)
J	л
1	р
Если массив однородный (vs = const, vs = const), это уравне-
ние записывается так
1пг*=-^(уЛ-р)-1	(VI.86)
г *2
и, как следовало ожидать, с точностью до принятых обозначений
при р = 0 совпадает с соответствующим выражением, приведен-
ным в работе [74], где в аналогичной постановке рассматривался
однородный породный массив.
Пример расчета № 9. Произведем сравнительную оценку предельного
положения границы раздела гр (оо) в однородном массиве по формуле(VI.86)
при 2v, = <Jca!co и неоднородном массиве по формуле (VI.85), которая при
*1=1. 2vg = orC3!too (1—Ьг~*), v6(r) = ^A,
£0(r) = £0(l-ar-n)
преобразуется к виду
1в г» = 2№-Р) _	(" + 2) гр-2а
стсжсо (п-{-2) Гр—(я-[-2)а
(VI.87)
где оСЖ0О — длительная прочность пород на одноосное сжатие.
Положим а = Ъ — 0,85, п = к — 6. Для сравнения вычислим гр (оо)
при различных отношениях 2 (у Л —	~ 2; 3; 4; 5; 6. Результаты
расчетов гр (°о) в единицах радиуса выработки Яв сведены в табл. 17. ,
Полученные результаты показывают, что наличие технологи- х
ческой неоднородности отодвигает границу раздела гр (оо) дальше
в глубь массива. Причем с увеличением отношения 2 (yh—р)1осжоо,
Таблица 17
В(?Л- л) осж»	Гр(со) в единицах нв	
	Однородный массив	Неоднородный массив
2	1,65	1,91
3	2,72	3,15
4	4,48	5,25
5	7,39	8,45
197
т. е. с увеличением глубины заложения h выработки или умень-
шением прочности (Тсжоо вмещающих пород, разница в положении
границы гр (оо) для однородного и неоднородного массива ниве-
лируется.
§ 28*. ВЛИЯНИЕ ФОРМЫ КОНТУРА ВЫРАБОТКИ
В предыдущих задачах рассматривались выработки круго-
вого поперечного сечения с проектным гладким контуром. Проект-
ные сечения многих выработок существенно отличаются от круго-
вого. Таковы сводчатые, трапециевидные, прямоугольные и другие
сечения выработок. Более того, технология выемки породы также
нарушает проектное очертание контура выработок. Например,
при буровзрывной выемке реальный породный контур горных
выработок значительно отличается от проектного гладкого кон-
тура.
Влияние формы контура выработок на механические процессы
в окружающем линейно деформируемом породном массиве рас-
сматривалось ранее в работе одного из авторов [62] и позднее
в работах [63, 91].
В работе [62] рассматриваются горные выработки, уравнение
контура которых записывается в параметрическом виде следующим
образом:	(
x = R (cos О+Сд cos nO + C3 cos m0),
(VI.88)
y=R (sin 0—Cj sin n0—C3 sin m9),
или в комплексном виде следующим образом:
(/Т С \
£ +	(VI.89)
где R — масштабный параметр, определяющий размеры
контура;
Clt С2, п, тп — параметры, определяющие очертание и форму
контура;
0 — полярный угол; £ = рег9; р = 1.
При соответствующем подборе параметров С1г С2, п и m трех-
членная формула дает возможность описать круговой, эллипти-
ческий, сводчатый, квадратный и прямоугольный проектные
гладкие контуры выработок, а также круговой, эллиптический,
сводчатый и квадратный реальные контуры выработок с техно-
логическими неровностями. Выражение (VI.89) при р 1 пред-
ставляет аналитическую функцию z = <в (£), конформно ото-
бражающую внешность единичного круга с радиусом р = 1
на внешность указанных выше контуров. Эта функция была ис-
пользована в работе [62] для исследования методом Колосова —
Мусхелишвили напряженно-деформированного состояния одно-
• Параграф написан при участии А. Н. Кузичкина.
198
родного изотропного массива в окрестности протяженных за-
глубленных горизонтальных выработок.
Начальное напряженное состояние породного массива рассмат-
ривалось как гидростатическое (VI.8). С целью упрощения ана-
лиза полученное решение задачи запишем для случая двухчлен-
ной функции (VI.89), где следует положить С2 = 0, т. е. рассмот-
рим механические процессы в окрестности выработок с контуром:
круговым гладким = 0), эллиптическим (0 < Сг << 1, п = 1),
сводчатым (Сг = 0,1, п = 2), квадратным (Сг = 0,1; п = 3),
круговым реальным (С1 — амплитуда технологических неровно-
стей в долях радиуса R гладкого кругового контура, п -J- 1 —
число технологических неровностей). В этом случае начальное
напряженное состояние массива определяется аналитическими
функциями
1
ФК) = уЯуЦ, ф(£) = 0,	(VI.90)
а дополнительное напряженное состояние и полное поле пере-
мещений — функциями вида
~ 1 с,	£n(i+»c?)
фК)=-у^-^,	д_—1L.	(VI.91)
Ь	"^1 Ъ
Компоненты напряжений ое, ар,тр0 и перемещений ир, ив в кри-
волинейной ортогональной системе координат р0, даваемой кон-
формным отображением z = <в (£) = R (£ -f- С1/£п), находятся
по известным формулам Колосова — Мусхелишвили [781
<тр + <т9 = 4ВеФ(£),	(VI.92)
*е-*р+ 2rtPe =	Ф'	(VI-93)
р2(й' (Q
2G (ир + г,в) = |	[*Ф (?) -F(O- W],	(VI.94)
где
фк)-£<В'’
»«> = «(t+y),	(VI.03)
Подставив (VI.90) и (VI.91) в (VI.92), а затем просуммировав
и положив р = 1, <тр = 0, получим распределение полных кон-
турных напряжений <те по площадкам, нормальным к контуру
выработки:
1 — nW?
°е ~ 2yh 1 + n2Cl — 2пС\ cos (n +1) 0 ’	(VI. 96)
Распределение полных напряжений в окрестности выработки,
вычисленных по формулам (VI.92) и (VI.93), записывается доста-
199
точно сложно. Поэтому ограничимся записью распределения
полных напряжений по осям симметрии, гдетре = 0, а напряже-
ния (Тр и (Те являются соответственно радиальными аг и танген-
циальными нормальными напряжениями стд в породном массиве.
Так, при 0 — 2л/(м +1) имеем распределение напряжений в окрест-
ности точек контура с максимальной кривизной (угловые точки
и вершины технологических впадин):
°е)
> = у/г
or J
и на контуре
г2п (1 + nC[) • (rn+1 + n2Ci) —
гПт1 +nCt , — n(n4-l)C1rn+1(rn+1 + Ci)
rn+l—nCt~	(rn+1 ~пС i)3
'>-2w4S?	<vL98>
при 0 = n/(n 4-1) — в окрестности точек контура с минимальной
кривизной, а также технологических выступов
ае
Or
r2n (14- nC2) (г"4"1 — П2С1) 4-
rn+1— nfi 4-»(n4-l)C1r"+1(r’,+1 —cj
rn+14-nC1± (r^-h^ClJ3
(VI.99)
и на контуре
Л _ „Г
('0=2*А-т+^-	(VL100>
Пример расчета № 10. Исследуем напряженное состояние в окрестности
выработок различного поперечного сечения, пройденных в однородном изо-
тропном массиве с гидростатическим начальным напряженным состоянием.
Значения параметров, определяющих очертание и форму контура, следующие:
для эллипса п = 1,	= 0,14; для квадрата п = 3, Ct = 0,15; для круга
п = 0,	= 0. Значения полученных напряжений при 0 = 0°; л/(п 4- 1)»
выраженные в единицах yh, сведем в табл. 18 и представим в виде графиков
на рис. 58.
Таблица 18
Г	•	V Напряжения в единицах в окрестности выработок									
	эллиптического сечения				квадратного сечения				кругового сечения	
	°г		Об		аг		Об		аг	<*в
	0°	90°	0°	90°	0°	45°	0°	45°	0°	0°
1	0,00	0,00	2,68	1,50	0,00	0,00	5,28	0,76	0,00	2,00
2	0,72	0,64	1,28	1,22	0,87	0,66	1,35	1,34	0,75	1,25
4	0,98	0,99	1,02	1,01,	0,96	0,99	1,04	1,01	0,94	1,06
6	0,99	1,00	1,01	100	1,00	100	1,00	1,00	0,97	1,03
200
На рис. 58, а показаны
эпюры напряжений в окре-
стности выработок по осям,
проходящим через точки с мак-
симальной кривизной контура,
а на рис. 58, б — по осям, про-
ходящим через точки с мини-
мальной кривизной контура.
На рис. 59 представлены эпю-
ры распределения напряжений
о8 по контуру выработок квад-
ратного поперечного сечения
(а) и эллиптического попереч-
ного сечения (б).
Анализируя эпюры на-
пряжений, приходим к
следующим выводам. Мак-
симальная концентрация
напряжений Ор сосредо-
точена в местах наиболь-
шей кривизны контура вы-
работки (угловые точки
квадратного сечения, точ-
ки на большой полуоси
эллиптического сечения) и
может достигать величины
ор 2yh. На участках не-
кругового контура с ми-
нимальной кривизной на-
пряжения ор <<2уА, т. е.
меньше напряжений ор на
контуре выработки кру-
гового поперечного сече-
ния. Распределение на-
пряжений в окрестности
контура выработок почти
не зависит от формы кон-
тура: концентрация напря-
жений быстро убывает при
удалении от контура в
глубь массива и при г = 4
практически исчезает не-
зависимо от формы кон-
тура, т. е. Op or yh.
Рис. 59. Распределение на-
пряжений ое по контуру неза-
крепленной выработки квадра-
тного и эллиптического попе-
речных сечений
Рис. 58. Распределение напряжений в ок-
рестности выработок эллиптического 1,
квадратного 2 и кругового 3 поперечных
сечений по осям, проходящим через точки
с максимальной кривизной (а) и с мини-
мальной кривизной контура (б)
201
a
6/^
LO
B6Uh
6ljh
стностя выработки с технологическими не-
ровностями контура по осям, проходящим
через вершину породного выступа и пород-
ной впадины
Пример расчета № 11.
Оценим напряженное со-
стояние в окрестности вы-
работки кругового попереч-
ного сечения, контур кото-
рой имеет технологические
неровности с параметрами
С, = 0,1, n+ 1 = 12. Ре-
зультаты расчетов Oj и о, в
единицах у h представлены
на рис. 60 в виде соответ-
ствущих эпюр по осям,
проходящим через вершину
породного выступа (а) и по-
родной впадины (б).
Судя по эпюрам на-
пряжений, так же как
и в предыдущей задаче,
максимальные величины
(Те наблюдаются в об-
ластях с максимальной
кривизной контура (вер-
шины впадин) и мини-
мальные величины се —
в областях с минималь-
ной кривизной контура
(вершины выступов).
Особенно следует отме-
тить появление растяги-
вающих напряжений <тг
в области выступов
(рис. 60, а), где контур
имеет отрицательную
кривизну. Так как гор-
ные породы обычно име-
ют низкую прочность
на растяжение, в ука-
занных областях сле-
дует ожидать скалыва-
ние породных выступов,
часто наблюдаемое в натуре и в некоторых случаях сопровожда-
ющееся «стрелянием» горных пород. Характерно, что в процессе
разрушения контур выработки стремится к «гладкому» очер-
танию, обеспечивающему постоянство контурных напряжений.
Таким образом, увеличение кривизны контура выработки,
по сравнению с круговым контуром, по причине проектного очер-
тания или по технологическим причинам увеличивает концентра-
цию контурных напряжений ое £> 2yfe, и, наоборот, уменьшение
кривизны контура — снижает концентрацию напряжений ое <
< 2-yh. Поскольку технологические неровности контура могут
202
быть очагами более высокой концентрации ое, чем проектные
очертания контура, а в области выступов вызывают появление
растягивающих напряжений, практически исчезает различие
между различными проектными сечениями выработок в отно-
шении их'прочности. Этот вывод подтверждается так же и тем,
что концентрация напряжений, независимо от природы концент-
раторов, охватывает небольшую область приконтурного массива
и быстро затухает при удалении от контура в глубь массива.
Очевидно, наиболее прочной в заданных горно-геологических
условиях будет выработка с контуром, обеспечивающим постоян-
ство контурных напряжений. Приведенные количественные
оценки, разумеется, справедливы, если трещиноватость массива
несущественно влияет на распределение напряжений. В против-
ном случае количественные оценки и выводы можно^использовать
только для сравнительного анализа напряжений.
Для оценки влияния формы контура выработок на механи-
ческие процессы в окружающем породном массиве можно восполь-
зоваться также приближенным методом, изложенным в § 21.
Ниже будет показано, что для реальных контуров горных выра-
боток полученное приближенное решение с допустимой степенью
точности совпадает с решением, построенным методом Колосова —
Мусхелишвили.
Рассмотрим контуры горных выработок, описанные уравне-
нием (VI.88) при С2 = 0, внешности которых соответствует кон-
формно отображающая функция (VI.89). При <*1 уравнение
тех же контуров можно записать в полярных координатах в виде
(V.66), т. е.
г = гв + Sk cos АО,	(VI.101)
где rB = 1 — безразмерный радиус Эквивалентного по площади
кругового контура с радиусом 7?в;
sk = (\ — безразмерная величина, выражаемая в долях от 7?в;
А = (n-|-l); п = 1 ,2, 3, , . .
Чтобы воспользоваться методом, изложенным в § 21, можно
предложить форму записи, аналогичную (VI.55):
r = rB + sBk(elhe+e-ihe),	(VI.102)
где rB = 1, sBft = уСг
Задачу будем решать в той же постановке, что и предыдущую.
При начальном гидростатическом напряженном состоянии пород-
ного массива (VI.8), представив дополнительные напряжения
в виде (V.50), запишем граничные условия по аналогии с (V.67),
(V.68), (V.71) и (V.72), используя уравнение контура (VI.102).
Тогда получим для невозмущенного поля дополнительных напря-
жений:
на границе г = 1
а)0)= — yh, =
203
на границе г -> оо
о<0)-=0, T<g> = 0;	(VI.103)
для возмущений дополнительных напряжений:
на границе г = 1
o)1J = — 2yhsB k (e/fte + e“‘A0),
t<J> = +2yfesB k (ik) (eifte-e-tfte),
на границе г —oo
а<1) = 0, т<1> = 0. '	(VI.104)
Компоненты невозмущенного поля дополнительных напряже-
ний при граничных условиях (VI.103) находим ив (V.70):
°r0) = -yh-^> 40) = yhyr>	Tre) = 0-	(VI-105)
Для определения компонентов возмущений дополнительных
напряжений предварительно вычисляем неизвестные коэффи-
циенты функции напряжений (V.63). Анализируя систему урав-
нений (V.65) при граничных условиях (VI.104), получим:
Ьо = со = = Ci = Ь-1 = С-1 — ak = Ck — 0,
(I к| + к*) bk+ (| к |- 2+ fc2) dk = 2yhsB k.
(] к 14-1) 6*4- (| к | — 1) dk ~ 2yhsB *,
откуда находим
bk = b-k = yhsB k, dk — d-k~—yhsBk,	(VI.106)
где к = 2, 3, 4, 5,’ . . . .
Теперь, используя (V.63), можно записать функцию напряжений
F (г, ®) = yhsB k (r-h —r-ft+2) (e/ft04-e_,ft0),	(VI.107)
а используя (V.64) — компоненты возмущений дополнительных
напряжений
a(i) = _y/iSb k [(fc_|_fc2) r-h~2 — (k-2 + W r-ft] (e/ft04-e“,,t0),
> = — yhsB k[k(—k — i)r~h~z — (k — 2) (—fc +1)	] (e,/ie 4- e""10),
r< J) = Y6sB k (ik) [(fc 4- l)/"ft"2 - (k -1) г"*] (eihe - e~lhe).	(VI. 108)
Суммируя на основании (V.50) выражения (VI.105) и (VI.108)
и переходя вновь к обозначениям — 2 sBk, п = к — 1, после
преобразований получим компоненты дополнительных напряже-
ний:
ог= —Y/i| 73"+ci 1(п+1) («4-2) r-n-s—п («4-3) Г"-1] cos («4-1) 0 J,
о0 = yh | -^-4-C’i [(«4-1) (п-|-2) г-п-3 — п (п — 1) r“n-1] cos (п4-1) 01»
тге= -ykCi (п-Ь 1) {(п4- 2) г~п~3 - иг"""1} sin (n4-1) 0.	(VI.109)
204
Компоненты полных напряжений в массиве найдем, прибавив
к дополнительным напряжениям (VI.109) начальные напряжения:
<jr—yh, (iQ — yh, тг0 = О.	(VI.НО)
Выражения длит напряжений (VI.109} справедливы в окру-
жающем выработку породном массиве, за исключением узкой
приконтурной зоны. Чтобы перейти от этих напряжений к напря-
жениям на контуре выработки, следует обратиться к разложениям
(V.48). Так, для определения нормальных напряжений Ое, дей-
ствующих по площадкам, нормальным к контуру выработки,
воспользуемся второй формулой (V.48), которая с точностью до
первого порядка малой величины (\ преобразуется к виду
ae=ae|r=i+|—j Cicos(n + i)B’	(VI.Ill)
где oe|r=1 — полные напряжения на контуре г = 1, определя-
емые суммированием соответствующих выражений
(VI. 109) и (VI. 110) при г = 1;
Ое0) — полные напряжения при отсутствии возмущений,
определяемые суммированием (VI.109) и (VI.110)
при = 0.
В итоге по формуле (VI.111) находим
' ое= 2yh [l + 2»Ci cos (п-М) 0].	(VI.112)
Сопоставим полученное приближенное выражение с точным
выражением (VI.96). Для этого представим точное выражение
(VI.96) в виде следующего ряда:
ае = ^л|1 + 22 ге8с5со8?(я-|-1)е|.	(VI.113)
'	I 1=1	J
Если пренебречь в разложении (VI. ИЗ) членами выше первого
порядка малой величины Сх, т. е. ограничиться только членом
Е = 1, получим, как и следовало ожидать, приближенное выра-
жение (VI.112).
Полученное выше решение (VI.112) при большом значении п
и малом значении Сг можно трактовать как распределение напря-
жений ое на реальном круговом контуре, имеющем (га + 1) тех-
нологических неровностей с амплитудой Cv При этом число тех-
нологических неровностей (га +1)» очевидно, связано с числом
контурных шпуров.
В действительности на поверхности выработки технологиче-
ские неровности имеют различную амплитуду, а взаимное их рас-
положение и количество, даже при одном и том же паспорте
буровзрывных работ, носит случайный характер. В этом случае
205
реальный контур выработки, согласно (V.55), можно представить
в виде
r = rB4-sB(0>,	(VI.114)
где гв = 1;
&=СО
(0) = 2 ’в — стационарная случайная функция угловой
fe=—оо
координаты 0, представленная каноническим
разложением;
ssk — независимые случайные величины, выра-
женные в долях 7?в с нулевым математи-
ческим ожиданием и дисперсиями DK.
Исследуем механические процессы в окрестности выработки
с контуром (VI.114), сохранив остальные расчетные предпосылки
прежними. В аналогичной постановке применительно к пластинке
с отверстием задача рассматривалась в работе [79], а позднее,
применительно к горизонтальной горной выработке, — в работе
[63]. В такой статистической постановке данная задача относится
к четвертому типу по классификации, указанной в § 24. В общем
виде решение задачи привёдено в § 21. Опуская промежуточные
выкладки, запишем выражение для определения контурных
напряжений: .
<те = 2^11 + 2 S'	(VI.115)
где штрих означает, что при суммировании должен быть пропущен
член с индексом к = 0.
Вычислим статистические характеристики контурных напря-
жений <jg. Как отмечалось, независимые случайные величины
sBk имеют нулевое математическое ожидание и дисперсии Dk.
Отсюда получаем, что математическое ожидание напряжений
<ст0>==2у7г,	(VI.116)
а дисперсия
Лте=СВД2 2' ( I к I-i)2 Dk-	(VI.117)
fc=—оо
Для вычисления дисперсии напряжений по последней формуле
необходимо знать дисперсии случайных величин sBft, которые
можно построить, располагая замерами реальных контуров вы-
работок. Однако такие замеры и последующая их обработка
весьма трудоемки. Поэтому можно рекомендовать приближенную
формулу, дающую оценку сверху для величины дисперсии Da&.
. Корреляционная функция Ks (0) случайной функции sB (0),
заданной спектральным разложением, имеет вид
Ks(0)= 2 Dkeike.	(VI.118)
h.=—oo
206
Учитывая нормальное распределение случайной функции sB (0),
что было доказано в работе [62], можно вычислить [83] среднее
число пересечений т контура г = гъ на участке, равном по длине
/?в, реальным контуром выработки:
т = ± 1/______I	(VI -119)
л V Ks(0)	d02	|9=о •
Выполнив указанные в (VI.119) преобразования с корреляцион-
ной функцией (VI. 118), получим
У k^Dk=m^D,	(VI.120)
k=-co
где D — дисперсия случайной функции sB (0), равная D = У Dk
Л=-оо
и выраженная в долях 7?в.
Далее, произведя замену (|А:| — I)2 на к2 в формуле (VI.117),
что не вызывает существенной погрешности [63], получим при-
ближенное выражение
S k2Dk'	(VI. 121)
h=—oo
которое с учетом (VI.120) дает возможность легко подсчитать
дисперсию контурных напряжений:
Da& = (4уЛ)2	(VI • 122)
если определены т и D по натурным замерам контуров выработки.
При нормальном распределении случайной функции зв (0)
можно рекомендовать следующую формулу для вычисления кон-
центрации напряжений на реальном контуре горизонтальной
выработки с круговым проектным контуром:
^. = 2(1±?*2лш/р),	(VI. 123)
где q* — зависит от принятого уровня надежности расчетов
и составляет q* = 1,44 при уровне надежности 85%, q* = 1,96
при 95%, q* = 2,66 при 99% и т. д.; знак -|- соответствует мак-
симальной концентрации напряжений; знак — соответствует
минимальной концентрации напряжений.
Пример расчета № 12. Рассмотрим незакрепленную горизонтальную
горную выработку кругового поперечного сечения радиусом Яв = 2 м,
пройденную в однородном изотропном массиве. В соответствии с рекоменда-
циями, изложенными в работе [62], примем D = 0,00025. Число пересечений
контура выработки положим равным 2лт — 24. Оценим концентрацию
контурных напряжений о6. Расчеты произведем при уровнях надежности
85%, 90% и 95% и выразим в единицах fh (табл. 19).
207
Таблица 19
%	Уровень надежности, %		
	85	90	95
Мах о9	3 09	3,49	3 97
Min	0,93	0,51	0,03
Принятые параметры технологических неровностей соответ-
ствуют удовлетворительному оконтуриванию выработки. Но даже-
в этом случае максимальная концентрация напряжений прй
уровне надежности 95% в 2 раза больше концентрации напряжен
ний на проектном гладком контуре выработки.	;
Приведенные выше оценки влияния формы контура выработок*
на механические процессы в их окрестности справедливы для
однородных породных массивов. При построении таких же оценок;
в породном массиве с технологической неоднородностью восполь-
зуемся приближенным методом, изложенным в § 21. Будем рас-;
сматривать горизонтальные протяженные заглубленные выработки^
с некруговым контуром (VI. НИ), в окрестности которых наблюй
дается технологическая неоднородность деформационных харак-j
теристик вида (IV. 12)
£(r) = £(l- ar~n).	' I
Полагая начальное напряженное состояние массива известным^
и равным гидростатическому, дополнительное поле напряжений*
будем искать в виде суммы двух составляющих: невозмущенного?
поля и возмущений в напряжениях.
Компоненты невозмущенного поля oj0), ое0), -tri? получим’
из (V.70). Подставив функцию Е (г), q = —yh и выполнив необ-
ходимые операции интегрирования, находим	-	~
(VI. 124)
(<П	/ и anr~n 1
o<0)^(p_vfe)._ 2_2д
j	^0)=^) = т<0> = 0,
что совпадает с выражениями (VI.53),
Возмущения в напряжениях о^, ое1^ тир» которые должны
удовлетворять граничным условиям (V.71), находим через функ-
цию напряжений F (г, 0) вида (V.73). С учетом (V.75) последнее
208
выражение, являющееся решением уравнения (V.28), перепишем
так:
т
Г (г, 0) - /о+2 A;/, cos АО,
(VI 125)
где выражение в квадратных скобках соответствует искомому
решению уравнения (V.74).
Решение задачи продемонстрируем на примере выработки
эллиптического поперечного сечения. Контур такой выработки
описывается уравнением (V.66) при к= 2, sk = 0,1 гв, где целе-
сообразно принять гв = 1. Примем также параметры неодно-
родности массива а = 0,8, п = 6. Тогда функция /0 (г), согласно
(V.80), будет
/о = о, 1В2г~ 8—0,55 2г- 2 + 0, lD2r- 6—0,5Z»2,	(V1.126)
где В2 и D2 находятся из граничных условий (V.71) при qB =
= —у А:
"	я2=—Я2=—0,0625y/i.	(VI.127)
Следовательно, функция напряжений F.(r, 9) нулевого прибли-
жения имеет вид
F (г, 0) = — 0,06257ft [0,lr-«-0,5r-2—0,1г-« + 0,5] cos 20.	(VI.128)
Компоненты возмущений в напряжениях нулевого приближения,
вычисленные по формулам (V.26), равны (ниже приведены только
компоненты о^о) и ОеУ0))
= —0,06257ft ( — 2г-24- Зг-< + г-8— 1,2г-10) cos 20,
ае1()о)== —0,06257ft( —Зг-4—4,2г-84-7,2г-ю). cos20. (VI.129)
Для построения следующего приближения будем искать ре-
шение уравнения (V.74) в виде
/(г)=/о+А1/1.	(VI.130)
где коэффициент Дх определяем из условия ортогональности (V.83)
при i = 1:
J [Lfoifidr
Д1=—-------------•	(VI.131)
J [Lfiihdr
1
Здесь символом Lf0 и Lft обозначено дифференциальное уравне-
ние (V.74), в котором функция f (г) записана1 соответственно
в виде /0 и Приняв базисную функцию согласно (V.82), т. е.
Л = — 0,0625yft	,	(VI .132)
14 Заказ 194
209
Рис. 61. Распределение напряжений в окрестности выработки эллиптического
поперечного сечения, сооружаемой буровзрывным способом
и выполнив указанные в (VI.131) вычислительные операции,
получим:
f [£/ol /1 dr = 0,0193, J [Lft] Я dr = 0,0211, Дх=-09147. (VI.133)
1 1
После подстановки (VI.131) и (VI.132) в (VI.130), а затем
в (VI.125), находим функцию напряжений первого приближения.
Используя формулы (V.26), запишем дополнительный член в на-
(1)
пряжениях eg (I), соответствующий разности первого и нулевого
приближений:
0^) = 0,0625 • 0,9147у/г (20г-в—60г-’4-42^8) cos 20.	(VI. 134)
Приведем также вычисленные по аналогичной методике до-
полнительные члены второго и третьего приближений:
О^П) = 0.0625у/г [0,2448 (20г-в —60г-’4-42г-8)-
—0,0425 (30г-’ —84г-84-56г-8)] cos 20,	(VI.135)
О^Ш) = 0,0б25у/г [0,1884 (20г"в—б0г-’4-42г-8) —
— 0,0560 (30г-’—84г-84- 5бг-в) 4-0,0857 (42г-8 -112г-84-72г-ю)] cos 20.
(VI.136)
Суммируя (VI.136), (VI.135), (VI.134) и (VI.129), находим
возмущения в напряжениях вычисленные с точностью до
третьего приближения. Окончательно, сложив ое15 и напряжения
невозмущенного поля о^0), найденные по формуле (VI.124), полу-
чим дополнительные напряжения, которые в сумме с начальными
напряжениями Ое = yh дают полные напряжения Ое в окружа-
ющем выработку породном массиве.
Пример расчета № 13. Рассмотрим распределение напряжений
в окрестности горизонтальной выработки эллиптического попереч-
ного сечения с отношением полуосей 0,9/1,1, сооружаемой иа глу-
бине Л в изотропном массиве с применением буровзрывных ра-
210
бот, вызывающих технологи-
ческую неоднородность мас-
сива с параметрами а — 0,8;
п = 6. Построим распределе-
ние напряжений по направле-
нию большой (0 — 0°) и ма-
лой полуоси (0 = л/2) эллип-
тического сечення и сопоста-
вим его с распределением на-
пряжений в окрестности выра-
ботки кругового поперечного
сечения при тех же горно-гео-
логических условиях (см.
табл. 20). Указанное распреде-
ление напряжений с точностью
до III приближения представ-
лено на рис. 61 (сплошной лини-
ей показано распределение о0
для выработки кругового попе-
речного сечения, пунктиром —
в направлении большой полу-
оси эллиптического сечения,
штрих-пунктиром — в направ-
лении малой полуоси).
Анализируя данные,
приведенные в табл. 20,
и графики на рис. 61,
можно видеть, что макси-
мальное отклонение значе-
ния Не в рассматриваемой
выработке от сге в выра-
ботке с круговым конту-
ром составляет всего лишь
4%, в то время как в одно-
родном массиве при том
же соотношении размеров
полуосей эллипса макси-
мальное отклонение О'© со-
ставляет 22 %. Следова-
тельно, наличие техноло-
гической неоднородности
взрывного происхождения
приводит к существенному
ослаблению влияния фор-
мы контура выработки на
напряженно - деформиро-
ванное состояние породно-
го массива. Это, в свою
очередь, позволяет обосно-
ванно заменять в расчет-
ной схеме некруговое се-
чение круговым.
еб
СТ
S
ч
О
сб
Ен
			0<1) °е (Ш)	-0,0270 -0,0039 0,0023 0,0007 0,0001 0,0000 —0,0001 —0,0002
		s' II ф	о	-0,0254 0,0035 0,0025 -0,0010 0,0002 —0,0001 -0,0001 -0,0002
	юперечное сечение			еэооооео^оо spcooco-^ooq •^^н^ООООО ^ООООООО о“ o' o' о' о’ о' о’ о' 1	III
§ и я ЕГ				ОГ-ОООСОГОоО ООО^ООСЧООЮ оьлэтн-ноо 0,0 о 0.0,0 0,0, о" o’ o’ о” o’ o’ о” o’ 1 1 1 1 1 1 1
S § 5 И § № Ф g	ф о к 8 Ё i я Я		w ч_^Ф О	0,0270 0,0039 —0,0023 —0,0007 -0,0001 0,0 0,0001 0,0002
& я	Ф	о о II ф	i—i ^Ф О	Л^С^ОООО OJOOOOOOO О О О О О.о о о. о" о”о" о’ o’ о” о" o’ 1 1
			Оф о	МОфСОГО^ОО sfOOeO^OOQ ^Н-НООООО ^ООООООО о” о” o’ о” о” о” o' о’ 1111
			<огл»	Ot—ОООеОСООО qqo^Qocsjcolo 5ю ео	о 0.0 О О. 0,0,0 о. о’ o’ o' о о" o' o’ о”
	Круговое попе- речное сечение		фФ	-Н О Г— О LO ю LO LO^iOspeoeocMM о’	^-Г
				ОМ^ОСООО)^ -^-Г ej csf ej
14*
211
Глава VII
МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ И ПРОЯВЛЕНИЯ
ГОРНОГО ДАВЛЕНИЯ
В НЕЛИНЕЙЦО ДЕФОРМИРУЕМЫХ ПОРОДНЫХ МАССИВАХ
И ПРИ ОБРАЗОВАНИИ ОБЛАСТЕЙ
ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ ПОРОД
§ 29. НЕЛИНЕЙНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ
ПОРОДНЫХ МАССИВОВ
Применение модели линейно деформируемого породного мас-
сива ограничено определенным уровнем действующих напряже-
ний. За пределами линейного деформирования в массиве наблю-
даются качественно новые механические процессы.
В настоящем параграфе рассмотрим такие процессы, полагая
при этом, что в массиве не образуется областей предельного равно-
весия, заполненных породой, потерявшей несущую способность,
т. е. не способной Сопротивляться дальнейшему увеличению на-
грузки. Для определенности будем рассматривать породы, физи-
ческая нелинейность которых аппроксимируется выражением
вида (III.1)
a, = E<p(ez)eZ(	(VII Л)
где
ф(е<) = §е7’П- О от<1, £ г?1.
Произведем оценку механических процессов в окрестности
выработок кругового поперечного сечения, сооружаемых в изо-
тропном массиве с начальным гидростатическим напряженным
состоянием, сложенным породами с физической нелинейностью
вида (VII.1) и технологической неоднородностью Е (г) при р, = 0,5.
Модели такого массива, согласно (V.86) соответствует физическое
уравнение
3(ой—оЛ	3(ой —аг\
= <VIL2>
где Е = const — модуль деформации в ненарушенном массиве.
Так как задача нелинейная, решая ее в полных напряжениях при
граничных условиях
ог=0 при r=l,	(VII.3)
аг=а0 -> yh при г -* оо,
находим функцию напряжений согласно (V.91) в виде
F(r)^Cir j±pdr+C8r,
212
где
C3=yh
1—
f ’±>,1.
(VII.4)
1
Далее по формулам
напряжений;
1
(V.40) определяем компоненты
полных
cr = yh
В случае
±^dr
гЗ
ce=^or+yh
r2
dr
1
технологической неоднородности ,
Е(г) = Е(1 — аг~п)
оо	’	Тг6”0.
1
(VII.5)
1
2
8/ = —я— ее и (V.37) записываем для функции ф (г)
<5
с учетом
выражение
...	1 —аг"*п
W (г) --------
т ' '	— 2т
Выполнив операции интегрирования, как указано в формулах
(VIL5), получим компоненты полных напряжений:
Or = yh /1 - ” + 2 <1-ГО)(1-<П) _1__)
о — V».	I [n —1 + 2(1 —nt)]2(l —nt)(2—ar~”)—в	1	)
6	' n + 2(l —m)(l—о)	r2(i-m)|’
1
az = y(ae + ar)t тг0 = О.	(VII.6)
После подстановки полных напряжений (VII.6) в физическое
уравнение (VII.2) и некоторых преобразований сразу находим
компоненты деформаций и радиальные безразмерные смещения
в массиве, так как начальные смещения равны нулю:
1
_ _ (/ /З yh 2(1 — т) [« + 2(1 — т)]	1
U 86Г r(V 2 J IE' 2(1 —т)(1—о) + « ’ г2 (1-т) |
(VII.7>
Легко заметить, что выражение (VII.4) для функции напряжений
аналогично соответствующему выражению при исследовании ли-
нейно-деформируемого неоднородного массива. Поэтому в данном
213
a
«3///7
Рис. 62. Распределение Напряжений
(а) и смещений (б) в окрестности гори-
зонтальной горной выработки, соо-
ружаемой в нелинейно деформируе-
мом неоднородном массиве горных
пород
случае задачу можно было бы
решать в дополнительных на-
пряжениях.
Пример расчета № 14. Оценим
механические процессы в окрестности
выработки, сооружаемой в нелинейно
деформируемом неоднородном пород-
ном массиве при следующих его
параметрах неоднородности а = 0,85,
п = 6 и физической нелинейности
т = 0,1; £ = 0,4. Результаты расче-
тов при соотношении yh)E = 5-10~з
сведены в таблицу 21 и представлены
графически на рис. 62, где пункти-
ром показаны соответствующие гра-
фики для линейно деформируемого
неоднородного массива.
Полученные результаты сви-
детельствуют о том, что в нели-
нейно деформируемом массиве
качественная картина механи-
ческих процессов сохраняется
неизменной. Нелинейность де-
формирования пород, характе-
ризуемая величинами т и
вносит в оценку этих процессов
лишь количественные поправки.
Так, по сравнению с линейно
деформируемым породным мас-
сивом снижается максималь-
ная концентрация напряжений Ое и увеличиваются радиаль-
ные смещения. При этом влияние нелинейности усиливается
Таблица 21
Г	Нелинейно деформируемый не- однородный массив			Линейно деформируемый неод- нородный массив		
	Напряжения в еди- ницах th		Смещения в единицах yhRB/E	Напряжения в еди- ницах yh.		Смещения в единицах yhRB/E
	°г	°е		аг	ае	
1,0	0,00	0,34	2,78	0,00	0,38	1,91
1,4	0,34	1,43	1,98	0,52	1,57	1,58
1,8	0,58	1,28	1,54	0,61	1,39	1,04
2,2	0,70	1,23	1,26	0,74	1,26	0,86
2,6	0,77	1,17	1,17	080	1,25	0,72
3,0	0,82	1,13	0,93	0,86	1,14	0,63
3,4	0,86	1,05	0,82	0,89	1,10	0,48
6,0	0,95	1,03	0,46	0,97	1,08	0,32
214
с увеличением отношения yh/Е. В рассмотренном выше примере,
где принятые значения т и | являются характерными для срав-
нительно широкого круга пород, снижение максимальной кон-
центрации напряжений ад составляет всего 9% и, руководствуясь
соображениями, высказанными в § 15, можно было бы рассмат-
ривать массив как линейно-деформируемый. В других случаях
физической нелинейности модель линейно-деформируемого мас-
сива является грубым приближением. Таким образом, учет фи-
зической нелинейности позволяет получить более правильную
количественную оценку механических процессов, близко, согла-
сующуюся с результатами натурных наблюдений.
Рассмотрим в аналогичной постановке механические процессы,
развивающиеся в окрестности шаровой полости. При наличии
полярной симметрии для модели изотропного, нелинейно дефор-
мируемого, неоднородного массива на основании (11.70) можно
записать физические уравнения
_	- <g6~g')
80	2 ' 2Еф (ей г) ’
(VI 1.8)
где Е — const, ег- = 2 ед.
Функцию напряжений F (г) для решения задачи в полных
напряжениях ищем согласно (V.16) в виде

Г*
(VII.9)
где
—-----, C3 = yh
оо
dr
dr
при граничных
Компоненты
(V.12)
условиях (VII.3).
полных напряжений
определяем по
формулам
^-dr
ri
1 W
2
, <’e = o4)=<’/+Yfc —
г3
>д—0.
Gr=-yh
1
1
1
1
dr
dr
1
1
(VII-10)
При том же характере неоднородности и нелинейности массива,
что и в предыдущей задаче, будем иметь для функции ф (г) сле-
дующее выражение:
W) = ? Д.  	(VII.11)
215
После интегрирования по формулам (VII.10) находим ком-*
поненты полных напряжений в окрестности сферической полости:
, (.	л+ 3 (1 — т) (1 — ar~n) 1	)	j
°r~7h j1 n+3(l-m)(l-a)	r3<^m> J’	:
(	—1 + y (1——m) (1 —e/~n)~л	1	|	;
а0 = у/г|Я	п + 3(1-тп)(1-а)	j’
ТГ0 = О.	(VII. 12)
Соответственно, используя физическое уравнение (VII.8) и учи-
тывая, что начальные смещения равны нулю, определяем компо-
ненты деформаций и радиальные безразмерные смещения в мас-
сиве:
и — ЕдГ = Г
yh	3(1 —m)[n + 3(l —m)]
2 )	' l-E' 3(1—m)(l —a) + n
1
r3 (l-m)
(VII. 13)
Положив в формулах (VII.12) и (VII.13) g = 1 и т = 0, по-
лучим соответствующие выражения для линейно-деформируемого
неоднородного породного массива, а положив дополнительно а — О—
выражения для линейно-деформируемого однородного породного
массива.
Пример расчета № 15. Исследуем напряженно-деформированное состо-
яние в окрестности сферической выработки, пройденной в нелинейно дефор-
мируемом неоднородном массиве с характеристиками физической нелиней-
ности т = 0,1; £ = 0,4 и неоднородностью вида E(f) — Е (1 — аг~п),
где а = 0,85; п = 6. Результаты расчетов сведены в табл. 22 и представлены
на рис. 63, где пунктиром показано распределение напряжений и смещений
в линейно деформируемом неоднородном массиве. Радиальные смещения и
даны в единицах yhRs/E для отношения yhjE = 5-10-3.
Таблица 22
Т	Нелинейно деформируемый неод- нородный массив			Линейно деформируемый неоднород- ный массив		
	Напряжения в еди- ницах у Л		Смещения в единицах ?ЛВв/£	Напряжения в еди- ницах fh		Смещения в единицах ?ЛВв/Е
	С	<ге=а<р		аг	Од —Оф	
1,0	0,00	0,23	1,38	0,00	0,32	1,05
1,2	0,24	1,04	0,96	0,26	1,14	0,73
1,4	0,47	1,13	0,70	0,51	1,18	0,53
2,0	0,79	1,07	0,34	0,83	1,09	0,26
4,0	0,97	1,01	0,09	0,98	1,01	0,07
6,0	0,99	1,00	0,04	0,99	1,00	0,03
216
Судя по полученным резуль
чатам, учет нелинейности дефор-
мирования не вносйт качествен-
ных изменений в распределе-
ние напряжений и смещений.
Количественные же поправки
носят тот же характер, что и
в предыдущей задаче. Так, в
частности, максимальная кон-
центрация напряжений ае сни-
жается по сравнению с ли-
нейно деформированным масси-
вом, а радиальные смещения
увеличиваются.
Учет фактора времени при
исследовании нелинейно дефор-
мируемых массивов сопряжен
со значительными трудностями.
Поэтому ограничимся рассмо-
трением модели неоднородного
породного массива, реологиче-
ское уравнение которого имеет
вид (V.190) иди (V.200), где
Рис. 63. Распределение напряжений (а)
и смещений (б) в окрестности сфери-
ческой выработки, сооруженной в
нелинейно деформируемом неоднород-
ном массиве^
£o(r) = £o(l-ar-n), <p(M = g(8Z)-m, O=S><1,
Причем будем исследовать процесс установившейся ползучести
в окрестности протяженной горизонтальной выработки кругового
поперечного сечения. Тогда по аналогии с (V.201) и (VII.4) функ-
цию напряжений имеем в виде
F(r) = Cir	dr+c3r,	(VH.14)
где
При граничных условиях (VII.3) вычисляем компоненты полных
напряжений, которые, как и следовало ожидать, совпадают
с компонентами (VII.6), т. е. в условиях установившейся ползу-
чести поле напряжений будет стационарным. Разумеется, это
справедливо только при стационарных граничных условиях.
Поле деформаций и смещений определим, используя физиче-
ское уравнение (V.200). В итоге получим для радиальных безраз-
мерных смещений в массиве следующее выражение, полагая, что
смещения в момент времени t — 0 равны (VII.7):
F	yfe 2(1-т) [«+2(1-m)l	1
x(n^).	(VII.15>
217
Рассмотренная реологическая модель применима для описания
механических процессов в массивах, сложенных глинистыми по-
родами (породами второго типа), где поле напряжений нелинейно
зависит от скорости деформирования.
При исследовании реологических процессов в нелинейно
деформируемых массивах, сложенных твердыми горными породами'
(породами первого типа), трудность решения задачи значительно
увеличивается. Поэтому можно рекомендовать, как это было ука-
зано в § 23, вычислять только конечные (при t -» °°) величины
деформаций и смещений. Для этого достаточно в соответствующих
решениях, выполненных без учета фактора времени, заменить
динамические константы на статические. Так, например, в формуле
(VI 1.7) достаточно положить £ = £«,, и выражение для конечных
радиальных безразмерных смещений и (оо) будет построено.
§ 30. ОБРАЗОВАНИЕ ОБЛАСТЕЙ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
В ОКРЕСТНОСТИ ГОРНЫХ ВЫРАБОТОК
При определенном уровне действующих напряжений в массиве
горные породы теряют свою несущую способность, т. е. перестают
сопротивляться дальнейшему увеличению нагрузки. В этом слу-
чае в окрестности выработок, где отмечаются наибольшие напря-
жения и минимальная прочность пород, образуются области пре-
дельного равновесия. Потеря несущей способности пород может
происходить как в результате пластического течения, так и в ре-
зультате хрупкого разрушения. Необходимо подчеркнуть, что
в данном случае не рассматривается процесс хрупкого разру-
шения от мгновенно рас-
пространяющейся тре-
щины с последующим
отслоением породы от
массива и обрушением
в выработку, что часто
сопровождается дина-
мическими явлениями в
виде горных ударов.
В хрупко разруша-
ющихся породах обра-
зование области пре-
дельного равновесия мо-
жет привести к нару-
шенью сплошности
массива на внешней гра-
нице этой области, что
математически выра-
жается в виде неравен-
ства тангенциальных
нормальных напряже-
218
ний, действующих в массиве по обе стороны от указанной гра-
ницы. При решении подобной задачи это условие впервые было
сформулировано Ю. М. Либерманом [22]. В процессе разрушения
изменяются значения прочностных характеристик породы в обла-
сти предельного равновесия: сцепление породы уменьшается,
а угол внутреннего трения, как показывают экспериментальные
исследования, остается практически равным углу внутреннего
трения ненарушенной породы. Таким образом, физическое урав-
нение предельного равновесия (11.103) в образовавшейся области
будет отличным от этого уравнения для ненарушенных пород.
Если в качестве уравнения предельного равновесия (11.103)
принять уравнение прямолинейной огибающей кругов Мора
(III.9) и учесть, что в рассматриваемой задаче = ад, а2 = аг,
получим в области предельного равновесия
ое-(2Х+1)<тг = <т*Ж1	(VII 16)
п вне области предельного равновесия
Од — (2X-J-1) ог= Ос»,	(VII.17)
где
»:««»»•	<’»«>
В пластичных породах образование области предельного рав-
новесия может происходить без столь заметных разрушений, как
в хрупких, и проявляться в виде пластического течения без раз-
рывов сплошности. При этом в определенном диапазоне деформа-
ций существенного изменения прочностных характеристик не
происходит, что позволяет записать уравнение предельного рав-
новесия для пластичных пород в виде (VII. 17), а в частном случае
(идеально пластичные породы) р можно принять равным нулю, т. е.
Од —Щ = Осж-	(VII.19)
Рассмотрим задачу о напряженно-деформированном состоянии
в окрестности протяженной выработки кругового поперечного
сечения, пройденной в однородном изотропном линейно-деформи-
руемом массиве, при наличии области предельного равновесия.
Начальное напряженное состояние породного массива примем
гидростатическим. Тогда его компоненты запишутся в виде (VII.8).
Расчетная схема представлена на рис. 64, где приняты обозна-
чения: п — область предельного равновесия, граничащая с областью
линейного деформирования пород; гр — граница раздела между
этими областями. Условия на внутренней и внешней границах
имеют вид:
ог=р при г = 1 (на контуре выработки),
a, = ae = Y/i при г -* oo,	(VII 20)
где р — реактивное сопротивление крепи.
219
Кроме этого, на границе раздела гр имеем:
для хрупко разрушающихся пород
п — л,	(VII.21)^
ип = ил,	(VII.22)j
О0л — (2X-J-1) Gr л — Осж;	(VII.23>|
для пластичных пород Or п = Огл,	(VII.24»
°еп=аел,	(VII.25)|
Цп = ил,	(VII.26)|
где в обозначениях индекс «л» соответствует области линейного!
деформирования.	ч
Следует подчеркнуть, что условие (VII.25) является частным^
случаем условия (VII.23) при а*ж = осж согласно (VII.16) и!
(VII.17).
Поэтому рассмотрим более общий случай образования области?
предельного равновесия в хрупко разрушающихся породах.]
Выражение для функции напряжений F (г) в области предельного!
равновесия получим из уравнения (V.94), которое в данном случае!
записывается так:	J
4^-- (2A+1Lf = (T*	(VII.27)1
аг	г	сж
и имеет решение	'	1
'	2?(г) = СггХ+1—^-r,	(VII. 28)|
где С — постоянная интегрирования.	"3
Затем по формулам (V.89) находим компоненты напряжений:!
<Vn=Cr2*—(VII.29)|
аеп = (2Х+1)СггХ—(VI 1.30^
Удовлетворяя граничным условиям (VII.20) при г = 1, опре-]
делим	c=P+^.	(VH.31) 1 4Л	J
Подставляя (VII.31) в (VII.29) и (VII.30), запишем выражения
для компонентов полных напряжений в области предельного
равновесия:
п
“(Р+
°сж \ г Л	°сж
2Л, Г	2Л, ’
ч , °СЖ \ 2Х °СЖ
°0П— (2h-hi) (р + 2Х ) г 2Х ’
(VI 1.32) (
(VII.33) i
220
Смещения в области предельного равновесия получим из урав-
нения неразрывности деформаций (V.37)
u = e0r=^-,	(VII.34)
где D — постоянная интегрирования, определяемая из условия
(VII.22) на границе раздела гр.
Компоненты дополнительных напряжений вне области пре-
дельного равновесия даются выражениями
*гл=-^-, (Т0л=—“Г» ^бл = 0,	(VII.35)
компоненты полных напряжений — выражениями
а,л=-§- + уЬ, п0л=—тг+уЬ, ^ел=0.	(VII.36)
Подставив (VII.35) в физическое уравнение (VI.39), получим
выражение для радиальных смещений вне области предельного
равновесия:
“=ее'-=~2F-V-.	(VII.37)
Приравняв (VIT.34) и (VII.37), согласно’условию (VII.22) на гра-
нице раздела гр, находим
Z>=-~-Ci.	(VII.38)
Постоянную интегрирования Сг легко определим из условия
(VII.23) на границе раздела, используя компоненты полных на-
пряжений (VII.36):
2ЛуЬ+сГсж 2
1	2(1 + %)	Р-
(VI 1.39)
Окончательно, подставив (VII.39) в (VII.38), а затем в (VII.34),
записываем выражение для радиальных безразмерных смещений
в области предельного равновесия:
_ 3	2Xyh -|- <Тсж гр •
п 4Я‘	(1 + Х)	г *
(VI 1.40)
Подставив (VII.39) в (VII.36) и (VII.37), записываем компо-
ненты полных напряжений
п —2Луй-|-сгСж гр	2ЛуЛ-|-сГсж гр
°r^h----аел = ?А+“2(Т+ХГ’'^’ гвл ’
(VII.41)
221
и радиальные безразмерные смещения
3	2Ху/1-|-0сж гр
ил~4Е' (14-Х) ' г
(VII.42)
для компонентов напря-
вне области предельного равновесия.
Анализируя полученные выражения
женно-деформированного состояния массива, можно прийти к вы-
воду, что компоненты напряжений в области предельного равно-
весия не зависят, а компоненты напряжений вне области предель-
ного равновесия и компоненты смещений в любой точке массива
зависят от положения границы раздела гр.
Для определения гр необходимо использовать условие (VII.21),
которое дает уравнение
/п । Осж .21 ас« ___2Ху&4-сгСж
2Х ) р 2Х У 2(14-К) ‘
(VII.43)
Окончательно выражение для определения гр запишем следующим
образом:
1
Гр =
2yfe — Осж
2(1 + Ь)
°сж \ / 2Х \1
2^ / \ 2кр -)- Осж / J
(VII.44)
Для незакрепленной выработки (р = 0) выражение (VII.44)
упрощается:
г
Г К	2yh—Осж , ,1	ZVTT
Г₽=[т+Г-----+	•	(VIL45)
В частном случае образования области предельного равновесия
в пластичных породах, когда а*ж = осж и в области предельного
равновесия справедливо физическое уравнение (VII.17), а на гра-
нице раздела имеют место условия (VII.24), (VII.25) и (VII.26),
необходимые расчетные выражения можно получить из общих
выражений (VII.32), (VII.33), (VII.40), (VII.41), (VII.42), приняв
В НИХ СГсж = Осж-
В результате находим компоненты полных напряжений в об-
ласти предельного равновесия

(VI 1.46)
компоненты полных напряжений вне области предельного равно-
весия
П — Vh 2Ху/г.+ осж ГР	., 2ХуМ-Осж rp	»
гЛ yh 2(1 + Х) г2 ’ 0Л yh+ 2(1 + Х) г2’’	'•0Л °’
(VII.47)
222
и радиальные безразмерные смещения в обоих областях
где
Гр =
а при р = О
3	2Х.у/1 Ц-СГсж ГР
“л~ 4£	Г’
(, , ^сж
Y/1+-257-
1 + К
Г 2А,у^+Дсж~|^
L Осж (1+к) j
(VII.48)
(VI 1.49)
(VII.50)
Приведем также соответствующие выражения для пластичных
‘ пород, имеющих р = 0, т. е. подчиняющихся физическому урав-
нению (VII.19). В этом случае нельзя воспользоваться предыдущим
решением и все расчеты следует повторить. Так функция напря-
жений находится из уравнения
dF	1 „
"5-------^ = осж,
аг	г
(VII.51)
интеграл которого равен
F (г) = Сг4-ОсжГ In г.	(VII.52)
Опуская промежуточные выкладки, запишем окончательные
формулы: для компонентов полных напряжений в области предель-
ного равновесия
п=Р"Ь°сж In г, О0п:=р + Осж(1-|-1п г), 170п = О>	(VII.53)
для компонентов полных напряжений вне области предельного
равновесия
1 г2	1 г2
am=yh------2'<тсж-|-, Одд = Y^4-~2~ °сж ; тг0л = о (VII.54)
и радиальных безразмерных смещений в обеих областях
где
_	_ 3
u—Bgr -сгсж—,
(VII.55)
гр=ехр
Yh—Р
Осж
(VII.56)
1 I
2 Г
Пример расчета № 16. Исследуем напряженно-деформированное состо-
яние однородного изотропного породного массива в окрестности незакреплен-
ной выработки (р = 0) кругового поперечного сечения. Начальное напря-
женное состояние принимается гидростатическим. Кроме того, положим:
К = 1; в пластичных породах оСж = Осж = yh, в хрупко разрушающихся
породах Осж = Юс£ж = yh. В соответствии с формулой (VI 1.45) находим
гр = 2,45; в соответствии с формулой (VII.50) гр = 1,23. Результаты вы-
числений сведены в табл. 23 и представлены в виде графиков на рис. 65.
223
Таблица 23
Г	°0п*°0л (хрупко разрушающиеся породы)				о0п = а0л (пластичные породы)			
	Напряжения в еди- ницах yh			Смещения и в единицах VhBB/E	Напряжения в еди- ницах yh			Смещения и в единицах yhBJE
	%	°0	°2		°г	°0	•°2	
1,00 1,23 2,00 2,45 4,00 6,00 10Д	0,00 0,03 0,15 0,25 0,72 087 0,96	0.10 0,17 0,55 0,85* 1,75 1,28 1,12 1,04	0,05 0,10 0,35 0,50*	6 76 2,25 3,38 2,76 1,69 1,13 0,68 г	0,00 0,25 0,72 0,82 0,93 0,97 0,99	1,00 1,75 1,28 1,18 1,07 1,03 1,01	0,50 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00	1,69 1,37 0,85 0,69 0,42 0,28 0,17
			1,00 1,00 1,00 1,00					
* В числителе дано значение напряжения со стороны области предельного рав- новесия, в знаменателе — извне области предельного равновесия.								
Анализируя графики распределения аг, а0 и и в хрупко разру-
шающихся породах (сплошные линии) и в пластичных породах
(пунктирные линии), приходим к выводу, что в обоих породах
наблюдаются одинаковые - максимальные напряжения ов, но
а ,
6j/h
в хрупко разрушающихся поро-
дах этот максимум смещен в
глубь массива в 2 раза дальше,
чем в пластичных породах, т. е.
ширина зоны предельного рав-
новесия в 2 раза больше. Ука-
занное соотношение зависит от
степени снижения асж/о£ж проч-
ности пород в области предель-
ного равновесия., Кроме того,
как следует из постановки за-
дачи, напряжения а0 в хрупко
разрушающихся породах терпят
Рис. 65. Распределение напряжений (а)
и смещений (б) в окрестности горизон-
тальной горной выработки, соору-
жаемой в однородных хрупко раз-
рушающихся (сплошные линии) и
пластичных (пунктирные кривые)
породах, при наличии области пре-
дельного равновесия
224
Таблица 24
т	Напряжения в единицах yh			Смещения и в еди- ницах yhRB/E
	Ог	°е	°2	
1,00	0,00	1,00	0,50	1,98
1,65	0,50	1,50	1,00	1,20
2,00	0,66	1,34	1.00	0,99
4,00	0,92	1,08	1,00	049
6,00	0,96	1,04	1,00	0,33
10,0	0,99	1,01	1,00	0,20
разрыв на границе раздела. В распределении напряжений <уг
какой-либо качественной разницы не наблюдается. Радиальные
смещения и в обоих породах распределяются по одному ц тому
же закону, но в хрупко разрушающихся породах они значи-
тельно больше по абсолютной величине.
Пример расчета № 17. Исследуем напряженно-деформированное состо-
яние однородного изотропного массива в окрестности незакрепленной выра-
ботки (р = 0) кругового поперечного сечения, пройденной в пластичных
породах с углом внутреннего трения р = 0. Начальное напряженное состоя-
ние — гидростатическое. Как и в предыдущем примере, положим <тсж « у А.
Тогда по формуле (VII.56) находим гр = 1,65. Результаты вычислений <тг,
ов, аг н и сведены в табл. 24.
Из данных табл. 24 следует, что распределение напряжений
качественно не отличается от распределения <тг и <те при р #= 0,
показанного на рис. 65 пунктиром. Все изменения носят лишь
количественный характер: ширина области предельного равно-
весия и радиальные смещения становятся больше, но максимум
ар снижается.
Используя результата! решений, приведенных в §§ 22, 26,
исследуем влияние технологической неоднородности на механи-
ческие процессы в по-
родном массиве, связан-
ные с образованием об-
ласти предельного рав-
новесия. Необходимо от-
метить, что имеющиеся
решения [92, 93, 94] по-
добной задачи получены
из условия переменности
механических характе-
ристик только в области
предельного равновесия.
Иными словами, воз-
никновение неоднород-
ности в распределении
Гр	г
Рис. 66. Распределение прочности горных по-
род на сжатие в окрестности горизонтальной
горной выработки, сооружаемой буровзрыв-
ным способом, до образования области пре-
дельного равновесия (пунктирная кривая) и
после ее образования (сплошная линия)
15 Заказ 194
225
механических свойств связано, по мнению авторов, с разной
степенью разрушенности пород в области предельного равновесия.
Однако, как зто показано в § 18, искусственная неоднородность
может иметь место в породном массиве и до образования этой
области.
Решим задачу в следующей постановке. Область предельного
равновесия образуется в окрестности выработки кругового попе-
речного сечения, пройденной в изотропном массиве, который в ре-
зультате ведения горно-строительных работ приобрел технологи-
ческую неоднородность вида
Е (г} —Е (l — ar~n),	(VI 1.57)
Ссж (г) = Осж (1 — br~k),	(VII.58)
где а, п, Ъ, к — безразмерные параметры аппроксимации. В обра-
зовавшейся области предельного равновесия прочностные свой-
ства могут быть отличными от этих свойств до ее образования,
хотя характер их распределения остается неизменным и соответ-
ствует выражению
осж (г) = о£ж (1 —Ьг~Л),	(VII.59)
где <тсж ^сж1
На рис. 66 показано распределение прочности пород на сжа-
тие до образования области предельного равновесия (пунктирная
кривая) и после ее образования (сплошная линия). Рассмотрен-
ный случай соответствует хрупко разрушающимся породам. В пла-
стичных породах сгсж = а*ж.
Физическое уравнение предельного равновесия в образовав-
шейся области запишется аналогично (VII.16), но с учетом пере-
менности а*ж
о0-(2Х+1)ог = о;ж(г).	(VII.60)
Граничные условия имеют вид (VII.20). Кроме того, на внешней
границе гр области предельного равновесия должны выполняться
условия
Огп = <Ггл,	(VI 1.61)
“гп = Игл,	(VII.62)
а0л-(2Х + 1)агЛ=оСж(1-Ьг;*).	(VII.63)
По аналогии с предыдущими задачами компоненты в области
предельного равновесия (с индексом п) получим из уравнения
(V.94), кцторое с учетом (VII.60) запишется так:
<VIL64)
Отсюда функция напряжений F (г) определится следующим
образом:
/?(г) = г2Х,+1
асж (г) , г
(VII.65)
2’6
С учетом соотношений (V.89) получим компоненты напряжений:
°сж (г)
г2Х+1
dr + C
а9п —	1)
сж
(VII.66)
Раскрывая значение функции ст*ж (И и интегрируя, запишем:
оеп = (2Х+1)	1Г+ (Ц^Ж)г ]+^ж(1-^)- (VII.67)
Постоянную интегрирования С определим из условия (VII.20)
на контуре выработки (г=1;
с-'+Ф-ТгЙу- <тою>
Подставляя (VII.68) в (VII.67), запишем окончательно выра-
жения для компонентов напряжений в области предельного
равновесия:
Г I асж ^°сж 1 2Х °сж I ^°сж
'"-р’+гх	(fc + 2X)Jr	2Х "I" {k+2l)rk ’
авп — (2^+ И 4
°СЖ
2Х
^асж 1 2 X  ° сж . ^асж |
*Ч-2Х Jr	2Х "|_(fc + 2X)rftf
+ а«ж (1 — Ьг к),
тг0=О.
(VII.69>
Для нахождения компонентов напряжений в области линей-
ного деформирования (с индексом «л») воспользуемся выражением
(V.42) для функции напряжений F (г)

(VII.70}
откуда
Огл-сЛ-^-йг + Сз,
J г3
а9л = агл + С1	•
(VII.71}
(VII.72)
Раскрывая значение функции Е (г) и используя граничные
условия (VII.62) и (VII.63), определим сначала постоянные
15*	227
интегрирования и С3, а затем компоненты напряжений вне
области предельного равновесия
О, л= yh
[(2+n)-2ar-"] [оСж(1-Ьг;*) + 2И*]
2 (2+n) (1 + Х—ег*") —4Хаг“”	г* ’
(VI 1.73)
[(2-j-n) —(п + 1) 2аг ”К[осж (1 —brp*) + 2Xyh] г2
2 (2 + п) (1 + X—вг”п) —- 4Хвг“п	г2
и безразмерные радиальные смещения в окрестности выработки
3	[2^+<Тсж(1-Ьг;‘)]2(»+2) г2
It — , JL •	.	к	“	I V 1 А • • /
2(n + 2)(l+X-ar7l)-4Ur;"x г
Радиус границы раздела двух областей гр найдем из условия
(VII.61), которое принимает вид
[ , °сж Ьосж 1 2?к асж Ъосж
Г + 2Х	(к + 2к) J rP	2%	(*+2Х) г*
= vh _ [(2+n)-2ar^] [Осж (1-?O+2M}
2(2+п)(1 + Л-вг71)-4^г-п
Рассмотрим пластичные горные породы, уравнение предель-
ного равновесия которых является частным случаем (VII.60)
при % = 0,	= т. е. v
oe-o, = ocx(i~br-k).	(VII.77)
Функцию напряжений в области предельного равновесия на-
ходим из уравнения
(VII.78)
аГ Г
Опуская промежуточные выкладки, запишем окончательные
формулы для компонентов полных напряжений в области предель-
ного равновесия
Of п = Р +<7сж 1П г + Осж ~у~ (г * — 1),
К
а0п==Р + асж(1пг + 1)+асж-£-[г“*(1—&)—1], тг0п = О; (VII.79)
компонентов полных напряжений вне области предельного равно-
весия
ог л = yh — СГсж (1 — br~k)
(2+л) — 2аг~п
2(п+2)(1-аг^)
1
Г2
+0Л = <)-
аел~ iY^+<Tc« (1 —^rpft)
(2+п) — 2а (п + 1) г~”
2 (п + 2) (1- аг’")
(VII.ЙО)
228
и радиальных безразмерных смещений в обеих областях
3 <Тсж(1 — br~k
U~~ ЬЕ *	/4_яг-п\
где координата границы раздела находится из
(VII.81)
уравнения
Осж (1 —brpfe) = ^Y* —<Гсж1п Гр—р — Осж
2(п + 2) (1-аг;”)
(п + 2) —2аг;"
(VII.82)
Пример расчета № 18. Исследуем напряженно-деформированное состо-
яние породного массива в окрестности незакрепленной горизонтальной выра-
ботки (р = 0) кругового поперечного сечения при наличии области предель-
ного равновесия. Начальное напряженное состояние массива считаем гидро-
статическим. Прочностные характеристики породы принимаем следующие:
а
6/fh
псж = Юо£ж= yh, X = 1. Па-
раметры, характеризующие
технологическую неоднород-
ность: п — к - 6; а = Ь =
= 0,85. В соответствии с фор-
мулой (VII.76) для неоднород-
ного массйва гр == 2,8, для
однородного массива по фор-
муле (VI 1.45) получим гр =
= 2,45. Результаты расчетов
сведем в табл. 25 и представим
в виде графиков На рис. 67.
(сплошная линия — неоднород-
ный, пунктир — однородный
массив).
Судя по результатам, учет
неоднородности породного
массива приводит к уве-
личению размеров обла-
сти предельного равнове-
сия (без
изменения
симальных
<У9) и значительному уве-
личению радиальных сме-
щений на контуре выра-
ботки. Последнее обстоя-
тельство заслуживает осо-
бого внимания, так как
получаемые радиальные
смещения близки к заме-
ренным в натуре. Для сра-
внения на том же рис. 67
показано (штрих-пунктир)
распределение напряже-
существенного
величины мак-
напряжений
1	2	3	4	5 г
Рис. 67. Распределение напряжений (а) и
смещений (б) в окрестности горизонтальной
горной выработки, сооружаемой в массиве
с технологической неоднородностью, при
наличии области предельного равновесия
229
Таблица 25
Г	Однородный массив			Неоднородный массив		
	Напряжения в еди- ницах yh		Смещения и в единицах VhHB/£	Напряжения в еди- ницах yh		Смещения и в единицах yhRB/E
	<зг	°8		Сг	°8	
1,00	0,00	0,10	6,76	0,00	0,015	8,55
1,23	0,03	0,17	5 49	0,02	0,13	6,95
2,00	0,15	0,55	3,38	0,11	0,43	4,27
2,45	0,25	0,85 1,75	2,76	0,18	0,62	3,50
2,80	0,36	1,61	2,41	0,25	0,84 1,74	305
4.00	0,72	1,28	1,69	0,63	1,36	2.74
6,00	0,87	1,12	1,13	0,94	1,15	1,42
ний и смещений в однородном массиве, где <тСж==0Гсж, т. е. по рас-
четной схеме, которая чаще всего встречается в литературе и в рас-
сматриваемом случае гр = 1, 23. Легко видеть, сколь существенны
качественные и количественные различия получаемых оценок.
$ 31. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ
ПОРОДНЫХ ОБНАЖЕНИЙ
Перспективность использования методов теории предельного
равновесия для решения более сложных задач механики горных
пород становится очевидной, если учесть, что во многих из этих
задач предметом исследования являются не сами механические
процессы в породных массивах, а возможные их проявления
в виде предельной нагрузки или предельного очертания обнаже-
ний. К таким задачам относятся, например, следующие: опреде-
ление несущей способности породного основания, откоса, целика;
определение давления породного массива, перешедшего в состоя-
ние предельного равновесия, на ограждающие конструкции (под-
порные стенки, крепи выработок и т. д.). В качестве иллюстра-
ции рассмотрим одну из таких задач, когда нельзя воспользо-
ваться плоской осесимметричной расчетной схемой.
Оценим давление породного массива, перешедшего в состоя-
ние предельного равновесия, на ограждение цилиндрической
выемки. В качестве такого ограждения можно рассматривать
крепь устья вертикального ствола. Для оценки воспользуемся
осесимметричной задачей теории предельного равновесия, основ-
230
ные этапы решения которой, согласно рекомендациям [81], были
изложены в § 22.
Соответствующая ей система уравнений включает уравнения
равновесия (V.118) и физические уравнения (V.119), имеющие
запись (V.120) в компонентах главных напряжений. В дальней-
шем для определенности будем рассматривать условие предель-
ного равновесия породного массива в виде уравнения прямоли-
нейной огибающей предельных кругов Мора. Тогда при анализе
деформаций, направленных к оси z, имеем
Р = ----1-, <12#= Оз. 02 = 01. О1>О3,	(VII.83)
на основании чего физическое уравнение (V. 120) записывается так:
%,"8 — (ох + о3) tg р = осж,
(VII.84)
02 = О1-
Последняя система уравнений тождественно удовлетворяется,
если принять выражения для компонентов напряжений в виде
(V.123) с учетом (V.121) и (V.122). При этом, следуя [81], целе-
сообразно ввести функцию напряжений
Ох — Оз
2 sin р
(VII.85)
Тогда формулы (V.121) преобразуются следующим образом
<Tn=<TC0S2p —
2tgp	(VII.86)
I tn | =j= о sin p cos p,
а формулы (V.122) — следующим образом
°r I = о (1 ± sin p cos 2<p) — ctg p,
oz J	2
o0=o(l+sinp) —-^-ctgp,	(VII.87)
rrz = o sin p sin 2<p.
Если ввести обозначение
6 = <р+р = <р+^---|-,	(VII.88)
последние формулы целесообразно записать в виде
°r 1=0 [1 ± sin р sin (26-|—р)] —222S. ctgp,
ог J	2
ае = а (1 sin р)-^-ctgp,
тгг = —о sin р cos (26-]-р)-	(VII.89)
231
Далее следует подставить выражения (VII.100) в уравнения рав-
новесия (V.118), которые после ряда преобразований записываются
так:
t о-*™ дд । <т .	. 14-sinp
_+2а tg р —+-[sin (б+р) _cos a] tg р	-
sin(a+P)
' СОЗ р *
да о .	53 а , . .. , .	,, х 14-sinp
_ _2а tg ₽	- — [зш (б+pj-cos б] tg р	-
— _ cos
СОЗр *
где Sj и ss — соответственно длины дуг характеристик первого
и второго семейства.
К аналогичной системе уравнений можно прийти после опре-
деленных преобразований системы общего вида|(У.124), где сле-
дует учесть соотношения (VII.83) и выражение
й. ,	1 da
2tgp ’ а •
которое получается из дифференциального соотношения (V.102)
при наличии формул (VII.86).
Для интегрирования уравнений (VII.90) воспользуемся при-
ближенным способом, основанным на замене линий скольжения,
получаемых в результате построения сетки характеристик,
линиями приближенного очертания. Рассмотрим устье вертикаль-
ного ствола кругового поперечного сечения радиусом в проходке
гв и глубиной h (рис. 68) и оценим величину давления на крепь
устья. Положим, что окружающий породный массив под действием
равномерной пригрузки на поверхности р и объемных сил в виде
собственного веса пород у переходит в состояние предельного
равновесия. Если считать, что трение породы о крепь устья равно
нулю, активное давление на крепь будет направлено по нормали
к ней, а линии скольжения, ограничивающие сдвигаемый объем,
можно принять в виде прямых (рис. 68), составляющих с осью ог
угол 3/4л—р/2. В данном случае деформации направлены к оси ги
Рис. 68. Расчетная схема к определению давле-
ния пород на крепь устья ствола
6=-(-^-+^-)=const.
(VII.91)
Тогда из первого урав-
нения системы (VII.90)
с учетом (VII.91) и за-
висимости
получаем дифференциальное уравнение для определения функции
напряжений о
42—в—-|-------1—=0,	(VII.92)
аг г г ’ cosp
где
₽ = 2tgptg	+	(VII.93)
Интегрируя (VI 1.92), находим
<т=*-/а Д-----г+сЛ	(VII. 94)
где С — постоянная интегрирования.
После подстановки (VII.94) в формулы (VII.89) с учетом (VII.91)
получим выражения для компонентов напряжений в области пре-
дельного равновесия, которая на рис. 68 покрыта сеткой харак-
теристик:
т„=0.	(VII.95}
Постоянную интегрирования С находим из граничных условий
на поверхности
az=p при =	(VII.96}
где — радиальная координата точки пересечения характерис-
тики первого семейства с поверхностью;
— координата на вертикальной оси точки пересечения
той же характеристики первого семейства с породной
стенкой устья ствола.
Определив постоянную интегрирования и подставив ее в выра-
жение (VII.96) для ог, а затем положив г — гв, получим искомую
оценку для величины нормального давления на крепь устья в зави-
симости от расстояния до поверхности:
Ь * (W)+
+ £)-*]• <"1Ю>
где (zj определяется соотношением (VII.96).
Для пород, имеющих <тсж#«0 (раздельнозернистые породы),
выражение (VII.97) значительно упрощается и принимает вид
[,-(*.)’-]+, (£)’(A-f).
(VII.98)
233.
Таблица 26
Глубина от по- верхности х,/гв	q в единицах vrB при				
	р —0	Р = ?гв	P = 2VrB	р = 4?гв	р = 10?гв
0,00	0,00	0,34	0,68	1,36	3,4
1,00	0,21	0,35	0,48	0,75	1,57
2,00	0,31	0,38	0,45	0,59	1,02
4, Ь0	0,41	0,44	0,47	0,53	0 72
5,00	0,43	0,45	0,48	0,52	0,67
Пример расчета № 19. Оценим распределение нормального давления ц
на крепь устья ствола, сооружаемого в песках с объемным весом у и углом:
внутреннего трения р = 30°. На поверхности принимаем равномерно распре*
деленную пригрузку р = 0, р = угв, р = 2угв, р = 4угв, р = 10угв. Ре-
зультаты расчетов сведены в табл. 26.
Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие
выводы. При отсутствии дополнительной нагрузки на поверх-
ности (р = 0) давление q на крепь устья увеличивается по нели-
нейной зависимости от 0 (при — 0) до максимального значения**
(при zt -> ©°), равного q = 0,58угв. Влияние пригрузки р ска-1
зывается на величине q только у поверхности, а с глубиной кри-
вая q (gj) асимптотически стремится к q = 0,58 wg.
Глава VIII
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОРОДНОГО МАССИВА С КРЕПЬЮ
ГОРНЫХ ВЫРАБОТОК
§ 32.	РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ
Горные выработки в породном массиве, так же как и любые
наземные инженерные сооружения, предназначены для обеспече-
ния нормального функционирования определенного процесса
(технологического, транспортного и т. д.). В процессе проектиро-
вания горных выработок удовлетворяется целый комплекс требо-
ваний: функциональных, экономических и технических. Функ-
циональные требования удовлетворяются в результате объемно-
планировочных проектных решений. Экономические требования
имеют целью обеспечить наиболее высокие эксплуатационные
качества выработок при минимальных капитальных затратах
и эксплуатационных расходах по ремонту в течение заданного
срока службы.
Комплекс технических требований включает требования проч-
ности, устойчивости, долговечности, ограниченности деформаций,
без которых невозможна нормальная безопасная эксплуатация
выработок. Эти технические требования в равной степени при-
менимы к конструкциям крепи горных выработок и к вмещающему
породному массиву (последний всегда можно рассматривать в виде
породной конструкции горной выработки). Такое обобщение
представляется перспективным, так как позволяет с единых рас-
четных позиций подойти к проектированию горных выработок.
Для указанных технических требований, имеющих первостепен-
ное значение при проектировании, целесообразно привести более
детальную расшифровку.
Прочность горных выработок, как и любого инженерного со-
оружения, — это способность удовлетворять условиям нормаль-
ной эксплуатации без появления разрушений в конструкциях
крепи и породном массиве, размеры которых ограничены суще-
ствующими нормативами. Под общим понятием появление разру-
шений следует понимать следующее: в конструкциях крепи —
хрупкое разрушение бетона, чугуна, пластическое течение стали
и т. д.; в породном массиве — разрушение в виде возникновения
областей предельного равновесия или мгновенного трещино-
образования.
235
Устойчивость горных выработок — способность конструкций
крепи или вмещающего породного массива сохранять статическое
равновесие, т. е. неизменность первоначальной геометрической
формы, заданной по условиям нормальной эксплуатации вырабо-
ток. Следует подчеркнуть, что сформулированное требование
устойчивости принципиально отличается от распространенного
в горной практике специфического требования устойчивости гор-
ных выработок, предусматривающего безопасную их эксплуата-
цию в течение заданного срока службы. Это специфическое тре-
бование устойчивости аналогично по своему содержанию обще-
принятому требованию долговечности.
Долговечность горных выработок — способность конструкции
крепи или вмещающего породного массива сохранять прочность,
и устойчивость в течение намеченного срока службы при заданном
режиме эксплуатации.
При проектировании инженерных сооружений понятия проч-
ности и устойчивости часто объединяются общим понятием несу-
щей способности сооружения, а расчет по несущей способности
трактуется как расчет по первому предельному состоянию. При
этом под предельным состоянием понимается такое напряженно-
деформированное состояние всего сооружения или отдельных его
элементов, при сколь угодно малом превышении которого данное
сооружение перестает удовлетворять требованиям нормальной
эксплуатации. Такой расчетный подход представляется целе-
сообразным и при проектировании горных выработок. В дальней-
шем будем рассматривать расчет горных выработок (конструкции
крепи и вмещающего породного массива) по первому предель-
ному состоянию, имея в виду, главным образом, расчет из условия
прочности.
Техническое требование ограниченности деформаций при про-
ектировании горных выработок предусматривает введение огра-
ничений на перемещения конструкции креци и массива внутрь
выработки в соответствии с требованиями нормальной эксплуа-
тации. Придерживаясь общепринятого метода расчета сооружений
по предельным состояниям, будем трактовать расчет горных выра-
боток по деформациям как расчет по второму предельному со-
стоянию.
Расчетная схема горных выработок существенным образом
зависит от принятой конструкции крепи, механических процес-
сов в породном массиве и режима взаимодействия крепи и массива.
В этом отношении будет полезной следующая классификация
конструкций крепи горных выработок по характеристикам грузо-
несущей способности в порядке ее увеличения:
1)	отсутствие каких-либо конструкций крепи (незакрепленные
выработки);
2)	наличие оградительной крепи или облицовки;
3)	наличие грузонесущей конструкции крепи или об-
делки.
236
По деформационным харак-
теристикам конструкции крепи
можно подразделить следующим
образом:
1)	крепи постоянного сопро-
тивления (рис. 69, график 7)
р — const;
2)	крепи линейно нараста-
ющего сопротивления (рис. 69.
график 6),
р = кои;
3)	крепи нелинейно нараста-
ющего сопротивления (рис. 69,
график 4),
p = f(u).
Рис. 69. Деформационные характе-
ристики крепи в условиях совмест-
ного деформирования ее с породным
массивом
где и — радиальное перемеще-
ние контура крепи.
Характер механических про-
цессов в породном массиве и
возможная их реализация существенным образом влияют на вы-
бор расчетной схемы. Можно предложить такую классификацию
механических процессов в массиве:
локальное вывалообразование;
сплошное сводообразование;
деформирование массива без разрывов сплошности.
При построении расчетной схемы следует учитывать два воз-
можных режима взаимодействия крепи и породного массива:
режим заданной нагрузки, когда ее величина не зависит от
деформационных характеристик и характеристик грузонесущей
способности крепи;
режим совместного деформирования крепи и вмещающего
породного массива, когда величина нагрузки зависит от указан-
ных характеристик.
Оградительные крепи или облицовки обычно имеют постоянное
сопротивление и работают в условиях локального вывалообразо-
вания в режиме заданной нагрузки. Грузонесущие крепи или
обделки, работающие в условиях сплошного сводообразования
или деформирования массива без разрывов сплошности, проекти-
руются постоянного линейно нарастающего и нелинейно нараста-
ющего сопротивления в режиме заданной нагрузки или совмест-
ного деформирования. В конечном итоге при проектировании
горной выработки решается вопрос о выборе одной из указанных
конструкций с таким расчетом, чтобы она обеспечивала нормаль-
ную эксплуатацию 8 течение заданного срока службы с соблюде-
нием всего комплекса функциональных, экономических и техниче-
ских требований. Однако сформулировать универсальную расчет-
ную схему для решения этой задачи не представляется возможным.
237
Поэтому в дальнейшем, учитывая приведенную классифика-
цию характеристик крепи, массивов и режимов их взаимодей-
ствия, рассмотрим следующие расчетные схемы: незакрепленные
выработки, крепи в условиях сводообразования и крепи в усло-
виях совместного деформирования с породным массивом (табл. 27).
При расчете незакрепленных выработок по первому предель-
ному состоянию исследуется процесс локального разрушения
породного массива вблизи контура выработки с последующим
вывалообразованием. Путем сопоставления расчетных параметров
вывалообразования с нормативными делается вывод о возмож-
ности нормальной эксплуатации выработки без крепления. В ка-
честве таких параметров обычно принимается размер вывала
и вероятность появления вывалов большего размера. Сформули-
рованная постановка задачи рассматривалась в работах 195, 62,
63]. В последней [63] из указанных работ критерий прочности
Таблица 27
Расчетная схема				
Характеристика Элементов рас- четной схемы		Н езакреп- ленная выра- ботка	Крепь в условиях сводообразования	Крепь в условиях совместного дефор- мирования крепи и породного массива
Крепь	Грузо- несущая способ- ность	Отсутствие крепи	1. Оградительная крепь или облицовка 2. Грузонесущая крепь или обделка	Грузонесущая крепь или обделка
	Дефор- мацпон- ные свойства	Отсутствие крепи	1.	Постоянного со- противления 2.	Линейно-нарас- тающего сопротивле- ния 3.	Нелинейно на- растающего сопротив- ления	1.	Постоянного со- противления 2.	Линейно нарас- тающего сопротивле- ния 3.	Нелинейно на- растающего сопро- тивления
Режим вза- имодействия крепи и по- родного мас- сива		Отсутствие крепи	1. Заданная на- грузка 2. Совместное де- формирование крепи и массива	Совместное дефор- мирование крепи и массива
Породный массив		Локальное вывалооб- разование	1. Локальное вы- валообразование 2. Сплошное сводо- образование	Деформирование массива без разрывов сплошности
238
незакрепленных выработок для осесимметричной схемы записы-
вается так:
Р И(«доП)>0]	Рдоп,	(VIII.1)
где N («доп) — число вывалов на контуре выработки, размер
которых s >► «доп;
«доп — допустимый по существующим нормативам раз-
мер вывалов в незакрепленной выработке;
Р (5доп) > 0] — вероятность того события, что на контуре
незакрепленной выработки появится хотя бы
один вывал размером s j> «доп;
РДоп — допустимая по существующим нормативам ве-
роятность появления такого вывала.
Обычно задается величина допустимого вывала «доп и прове-
ряется выполнение неравенства (VIII. 1).
Следует подчеркнуть, что в основе критериев прочности, рас-
смотренных в работах [95, 62, 63], лежит представление о сдви-
говом характере разрушения и образовании локальных областей
предельного равновесия горных пород в приконтурной зоне мас-
сива. Вместе с тем, как это подтверждается практикой эксплуа-
тации выработок [96], разрушение может происходить в виде
мгновенного трещинообразования в местах концентрации растяги-
вающих напряжений (см. рис. 60, а) с последующим «стреля-
нием» пород.
По второму предельному состоянию расчет незакрепленных
выработок обычно не производится, так как нарушение их нор-
мальной эксплуатации из условия прочности окружающих пород
реализуется намного раньше, чем перемещения породного контура
достигают предельных величин. Исключение могут составлять
незакрепленные выработки в пластичных глинах, деформиру-
ющихся без разрывов сплошности массива.
Если эксплуатационное состояние незакрепленной выработки
не удовлетворяет предельным неравенствам, например условию
(IX.1), следует изменить проектные параметры выработки (форму
и размеры поперечного сечения), технологию выемки породы
(изменить паспорт буровзрывных работ, стремясь к более глад-
кому контуру выработки, или вообще отказаться от буровзрыв-
ной выемки и перейти на комбайновую проходку), предусмотреть
специальные мероприятия по упрочнению вмещающих пород
и предотвращению вывалов породы в выработку. Одним из таких
мероприятий является установка легкой оградительной крепи
или облицовки.
Оградительная крепь или облицовка, не препятствующая
перемещениям породного контура, т. е. работающая в режиме
заданной нагрузки, обычно рассчитывается на восприятие на-
грузки от веса отдельных вывалов породы (рис. 69, график 7).
При этом сама конструкция крепи (например, металлическая
239
сетка на анкерах) проектируется по первому и второму предель-
ным состояниям.
Нагрузка от веса отдельных вывалов может быть найдена из
решения задачи в той же статистической постановке, что и при
расчете незакрепленных выработок. Только в этом случае прихо-
дится решать обратную задачу, т. е. по заданной вероятности
образования вывалов ищется размер вывалов и, следовательно,
нагрузка на оградительную крепь. Например, если воспользо-
ваться статистическим подходом, изложенным в работе [63],
следует решить неравенство (VII 1.1) относительно «доп при задан-
ной вероятности Рдоп, а затем, варьируя величиной 8ЦОП и соответ-
ствующим числом вывалов, определить максимальные размеры
вывалообразования. Дальнейший переход от размеров вывалообра-
зования к нагрузке представляется несложным.
Нагрузка на оградительные крепи может быть также опреде-
лена по статистической гипотезе вывалообразования, изложенной
в работах [95, 97]. Следует отметить, что в работе [97] предла-
гается определять размеры вывалообразования с учетом снижения
прочности пород в Приконтурной зоне при буровзрывной выемке.
В слоистом породном массиве, однородном по своим деформацион-
ным характеристикам и неоднородном по прочностным характе-
ристикам (прочность пород на контактах слоев ослаблена), раз-
меры вывалообразования и соответствующая нагрузка на огради-
тельные крепи может быть найдена из решения задачи, рассмо-
тренной в работах [98, 22].
Совершенно очевидно, что величина нагрузки на оградитель-
ные крепи ограничена сверху прочностью и прогибами ее элемен-
тов, т. е. первым и вторым предельным состоянием конструкции.
Обычно конструкции оградительной крепи проектируются на
нагрузку от отдельных независимых локальных вывалов по кон-
туру выработки. В тех случаях, когда разрушения охватывают
почти весь контур выработки или, по крайней мере, верхнюю его
половину (свод выработки), т. е. реализуются в виде сплошного
сводообразования, конструкции оградительной крепи должны
€ыть заменены конструкциями грузонесущей крепи.
Ориентировочно верхнюю границу области применения огра-
дительной крепи можно определить следующим образом. В работе
[631 эта граница определяется неравенством
|<асж>-<п0>|</РОсж+РОе,	(VIII.2)
где <Vc«i>,	~ соответственно среднее значение прочности
пород на сжатие и действующих напряже-
ний по контуру выработки, которые в об-
щем случае могут рассматриваться .как
случайные функции угловой координаты;
^°сж’ ^ст0 — соответственно дисперсии указанных слу-
чайных функций.
240
Если учесть технологическую неоднородность породного мас-
сива в окрестности выработки, т. е. считать, что согласно распре-
делению (VII.58) на контуре выработки средняя прочность пород
равна <СаСж>>(1 — 5), а среднее действующее напряжение на осно-
вании (VI.53)
<^>=^(1-^+5227-)’
и принять для дисперсии DO0 оценку (VI.122), неравенство (VIII.2)
можно' переписать так:
| < Чсж ) (1-&)-2уЛ (1—га-+а2П_2а ) |<
<2у^(1-га_а2га_2а)2лтГД-|/ 1+-^. (VIII.4
Неравенство (VIII.4) соблюдается, если второй квадратный
корень, стоящий в правой части, заменить коэффициентом q* —
= 1,44, соответствующим уровню надежности расчетов 85% (см.
§ 28). После указанной замены из (VIII.4) можно получить оценку
для предельной глубины' h заложения выработки, начиная с ко-
торой следует -проектировать грузонесущую крепь, рассчитанную
на нагрузку от сплошного сводообразования, или оценку для
предельной глубины применения оградительной крепи
Л>,— --------.	(VIII.5)
Если ввести обозначение
Ч = 2 0 --ге-2-2« ) (1 +<г‘2П"1 /5)’
Лс»р = (1 —Ь|,
условие (VIII.5) записывается так:
, \ 1 Щж ) ^стр
и с точностью до обозначений совпадает с аналогичным условием,
приведенным в [99]. В отличии от указанного условия рекоменду-
емый коэффициент т) зависит от неоднородности окружающего
породного массива и качества оконтуривания выработки.
Так, согласно рекомендациям [99], на протяженном участке
ствола в породах с < асж > = 5000 т/м2, у = 2,5 т/м* и коэффи-
циентом структурного ослабления хЛстр = 0,7 в зависимости от
технологии сооружения ствола ц составит:
для ствола, сооружаемого бурением и имеющего «гладкий»
контур, к] = 2,00;
1Ь Заказ 194
241
для ствола, сооружаемого с применением БВР, г] = 3,00.
Соответственно предельная глубина устойчивого состояния пород
составит 700 м и 468 м.
С учетом технологической неоднородности (о = Ъ = 0,3; п =
= 52; т = 15; D = 0,0005; q* = 1,44), параметры которой
соответствуют коэффициенту структурного ослабления Лстр =
= 0,7; величина д будет:
для ствола, сооружаемого бурением, т] — 2;
для ствола, сооружаемого с применением буровзрывных
работ, т] = 5,72.
Соответственно, предельная глубина равна 700 м и 245 м.
Таким образом, изложенный выше метод определения предель-
ной глубины устойчивого состояния горных пород учитывает
влияние взрывных работ, т. е. отражает фактическое состояние
породного массива.
Грузонесущая крепь, работающая в условиях сплошного сво-
дообразования', отличается более высокой несущей способностью
и проектируется как в режиме заданной нагрузки, так и в'режиме
совместного деформирования с породным массивом. Существует
несколько рекомендаций по определению нагрузки в условиях
сплошного сводообразования. Такова, например, расчетная схема
М. М. Протодьяконова [2], по которой максимальная нагрузка
в своде
?п,ах = 0,7у	’	(VIII.6)
где I — полупролет выработки;
/ — коэффициент крепости, численно равный < осж > /100 (при
< оСж У > заданном в кгс/см2).
Согласно приведенной выше классификации, эта схема соответ-
ствует режиму заданной нагрузки. В слоистых породах нагрузку
на крепь, независимо от ее деформационных характеристик, можно
определить методом, изложенным в работах [98, 22].
Если в качестве верхней границы свода обрушения принимать
[13, 22] границу области предельного равновесия пород в окрест-
ности выработки, определяемая нагрузка зависит от деформацион-
ных характеристик крепи, совместно работающей с массивом, так
как с увеличением податливости крепи размеры области предель-
ного равновесия увеличиваются (см. рис. 69, кривая 2). Наряду
с режимом совместного деформирования возможен режим задан-
ной нагрузки при отсутствии контакта крепи и массива (см.
рис. 69, кривая 1). Разумеется, расчетная схема сплошного сводо-
образования возможна лишь при наличии отслоения пород на
границе области предельного равновесия. Отслоение обычно
происходит под действием собственного веса пород, если деформа-
ции массйва не ограничены и область предельного равновесия
образовалась в результате хрупкого разрушения пород согласно
физическому уравнению (VII.16). При пластическом характере
242
разрушения пород, согласно физическому уравнению (VII. 17),
сводообразование может не наблюдаться.
Очевидно, сводообразование возможно также при хрупком
разрушении пород в виде мгновенного развития трещин в местах
опасной концентрации напряжений, под которой следует понимать
максимальную разность между главными напряжениями. Такие
очаги концентрации напряжений имеют место в окрестности выра-
ботки, если породный массив нарушен трещинами взрывного
происхождения (см. § 30). В этом случае развитие концентриче-
ских трещин в глубине массива при наличии радиальных трещин
приводит к расчленению массива на блоки различных размеров
с последующим обрушением. Мгновенное развитие трещин в оча-
гах опасной концентрации напряжений может иметь также дина-
мические последствия в виде горных ударов и выбросов породы.
Таким образом, процессы хрупкого разрушения, сопровожда-
ющиеся , трещинообразованием, в зависимости от горно-геологи-
ческой ситуации и свойств горных пород реализуются в виде
сводообразования и статической нагрузки на крепь или в виде
горных ударов и выбросов.
При отсутствии разрывов сплошности массива, что чаще всего
наблюдается в пластичных горных породах, а также в хрупко
разрушающихся породах при высокой жесткости крепи, ограничи-
вающей перемещения породного контура, нагрузка на конструк-
ции грузонеСущей крепи формируется в условиях совместного
деформирования породного массива и крепи, т. е. крепь работает
в режиме совместного деформирования. Величина нагрузки р
определяется из уравнения совместности смещений породного
контура и контура крепи, которое для осесимметричной задачи
записывается так:
“оо (р)=“о+“(р),	(VIII.7)
где Псо (р) — смещение породного контура по истечении длитель-
ного промежутка времени после установления ста-
тического равновесия в системе «крепь — порода»;
ип — начальное смёщение породного контура до ввода
крепи в работу;
и (р) — смещение контура крепи к моменту установления
статического равновесия в системе «крепь —порода».
Как следует из решения уравнения (VIII.7), величина нагрузки
обратно пропорциональна податливости крепи (см. рис. 69, гра-
фик 3). Казалось бы, в таких условиях наиболее предпочтительны
конструкции податливой крепи, например с характеристикой 4,
показанной на рис. 69. Однако деформации породного массива без
разрывов сплошности не могут быть очень большими. Вряд ли
можно утверждать, что смещения породного контура выработки
ца 13 см (см. рис. 69) не приведут к нарушению сплошности мас-
сива и образованию свода. Тогда, рассматриваемая податливая
крепь, работая в условиях сводообразования, будет воспринимать
16*	243
гораздо большую > нагрузку, величина которой определится
при заданном смещении по графику 2. С другой стороны,
конструкция жесткой крепи, например с характеристикой 6\
заведомо обеспечивает сплошность породного Массива, но, рабо-
тая в условиях совместного деформировация, цри тех же пере-
мещения^ воспринимает гораздо большие нагрузки, чем в усло-
виях сводообразования.
Отсюда оптимальной следует считать конструкцию крепй
с характеристикой 5, проходящей через точку 0х пересечения
графиков 2 и 3. Более детально приведенный анализ рассматри-
вается в книге Ю. М. Либермана [22]. В заключение необходимо
отметить, что показанные на рис. 69 деформационные характери-
стики крепи 4, 5, 6 являются идеализацией реальных характе-
ристик.
. $ 33. ПРОЧНОСТЬ НЕЗАКРЕПЛЕННЫХ ВЫРАБОТОК
Расчет незакрепленных выработок, как отмечалось в предыДу*
щем параграфе, сводится обычно к расчету по первому предель-
ному состоянию из условия прочности вмещающих пород. В соот-
ветствии с расчетной схемой, предложенной в работе [63], задается
величина допустимого вывала «доп и вычисляется вероятность
появления. на контуре выработки вывалов, имеющих размер^
больше допустиМоТо. Расчетная вероятность, которая является’
количественной характеристикой нксплуатациониой надежности1
незакрепленной выработки, должна быть меньше допустимой
вероятности зРдвп, определяемой нормативами. Сформулирован-;
ное условие прочности для осесимметричной задачи записывается'
в виде неравенства (VIII.1).	-	1
Расчетная вероятность, стоящая в левой части неравенства!
<VIII.l), может быть определена следующим образом [63]:	J
РрУ(*доп)>0] —1—ехр[—(ЛГ>£Ж(«ДОП)],	(VIII.8)
где ( N У — среднее число вывалов на контуре выработки (здесь;
имеется в виду только верхняя половина контура-
размером л, так как единицей линейного измерения?
принят радиус выработки в проходке);
J>s (хдоп) — вероятность того, что • размер отдельно наблюда- .
емого вывала s окажется больше «доп.
Прежде чем перейти к определению <W> и /\(»ДОп), остано-
вимся на вычислении статистических характеристик случайных
функций <тсж (0) и Ое (0), описывающих соответственно прочность ;
пород на одноосное сжатие и величину действующих напряжений 1
по контуру незакрепленной выработки. Обработка реализаций
осж (0) и Ое (0) дает основание считать их стационарными случай-
ными функциями [63]. В дальнейшем целесообразно перейти от 1
угловой координаты 0 к линейной координате по дуге окруж- ?
ности, измеряемой в единицах радиуса выработки в проХодке,
т. е. 6 = 0, где 0 — угол в радианах.	д
244
В качестве статистических характеристик стационарных слу-
чайных функций <тсж (6) и ое (6) будем рассматривать матема-
тические ожидания < осж > и < ffe > , где для < о0 > принимается
значение напряжений (VI. 116) на гладком круговом контуре
выработки в однородном породном массиве, т. е.
< °е У —W1,
и автокорреляционные функции вида [63]
Чж (6> = ОаСже"“‘|в| (1+ai 1 6	(VIIL9)
*a0(6) = £a0e’/r“!|S| (l+KS’^iai),	(VIII.10)
где
%,= <МЧ;	(vin.ii)
исж — коэффициент вариации прочности пород’ осж в массиве;
% =	-	(VIII. 12)
D — дисперсия отклонений реального контура выработки от
проектного, выраженная в долях квадрата радиуса выра-
ботки в проходке;
Яр а2 — параметры” аппроксимации.
Параметры аппроксимации ат и а2 целесообразно выразить
через количественные характеристки, имеющие наглядное пред-
ставление и легко измеряемые в натуре. Так, для определения
аг предварительно вычислим среднее расстояние Д между нулями
центрированной случайной функции (VIII.9) на основании [84],
получим:
где
4J0)
еж
Чж(0)
(VIII.13)
Ка (0)=Da
°сж	сж
v а2Чж<б)
К„ (°) = -----------
асж '	<?о2	в-0
После подстановки функции (VIII.9) в формулу (VIII. 13)
и соответствующих преобразований находим:
-	(VIII. 14)
где Д — характеристика неоднородности массива, представля-
ющая среднее расстояние между точками перехода значении
<тсж (б) через < осж > , выраженное в долях радиуса выработки.
Чтобы определить а2, воспользуемся оценкой (VI.122) для
дисперсии РО0. Приравнивая правые части (VI.122) и (VIII.12),
получаем
а2 = /3лт,	(VIII.15)
245
где т — характеристика технологических неровностей контура,
представляющая среднее число пересечений реальным контуром
выработки нулевого проектного контура на участке, равном
длине радиуса выработки.
Учитывая выражения (VIIL11), (VIII.12), (VIII.14) и (VIII.15),
перепишем (VIII.9) и (VIII.10):
Я<’сж(6) = <СТсж>^сже"~161 G+t161)’	(VIII.16)
£Oq (6) = (2уЛ)2	е-зят161 (1 +3лт | 6 |).	(VIII.17)
Далее рассмотрим стационарную случайную функцию
Чг(6) = <тсж(6)-<т0(6),	(VIII. 18)
характеризующую разрушения на контуре незакрепленной выра-
ботки, и вычислим ее статистические характеристики по характе-
ристикам случайных функций асж (6) и а0 (6). Математическое
ожидание
< Т> = <аСж>-2уЛ,	(VIII.19)
автокорреляционная функция в предположении некоррелиро-
ванности асж (6) и а0 (6) определится выражением
*w(6) = £OcJ6)+*Oe(d).	(VIII.20)
В дальнейшем используются нормированные автокорреляцион-
ная функция и её первая и вторая производные
’ Л*(б)~1^(0)	д6~~
1
Rxp = Kw (0) дб2 ’
(VIII.21)
где Kv (0) — дисперсия случайной функции (VIII.18), равная
Kv (0) = < Осж > 2*сж + (2Yb)2 4л2т2П.	(VIII.22)
Статистические характеристики < V > и Ps (здоп), входящие
в основное расчетное выражение (VIII.8), могут быть вычислены
согласно рекомендациям [63] по' формулам, приведенным в рабо-
тах [83, 841:
!	1	^ш(5доп)
Ps (’доп) = - .-7==== •	- 2 X
V —(0) у 1—(^доп)	L
|	(	) 2	1 — ^4f(sA0n)|
Х ехр 2KV (0) ' l+/?v(sAon) J ’
($ДОП>0)»
1 , г---г:--- f / ¥ S 2 1
(VIII.23)
(VIII.-24)
246
где Т?Чг(8доп), Ry (здоп), Ryy(s„an) — определяются соотношениями
(VIII.21) при б = 5ДОП. После подстановки (VIIL23) и (VIII.24)
в (VIII.8), а затем в (VIII.1), окончательно получим условие пер-
вого предельного состояния незакрепленных выработок в виде
1 Яф («доп)	(	( Y \ 2	1
-еХ₽ Р Г1-4>Д0П) еХ₽ Г ^(0)[1+^(^доп)] )]" Рд0П’
(VIII.25)
где <<Т>, K\V (0) — определяются соответственно формулами и
(VIII.19) и (VIII.22);
7?чг(8доп)1 Rv (здоп)— находятся из соотношений (VII.21), которые
дают
(2yfe)2 4n2m2Z) е зят!!доп Злт5доп) -|-
+ <0сж)2СдЖе Л д (i + -ysflon)
Яф («доп) -------------------------------;---- ,	(VIII. 26)
(2уЛ)2 4л2ОТ2Д + < осж > 2 v*K
~36 (2y/i)2 AWSsra'e’3ro>n +
+ < <*сж > 21>сж "дГ е Л Д°П
Яф («доп) ----------------------------?----. (VII 1.27)
(2y/l)2 4л2т2Д Ц- ( (Тсж ) 2 р2ж
Анализ выражения (VIII.25) показывает, что прочность неза-
крепленных выработок зависит от целого комплекса факторов,
которые учитываются в расчете в виде следующих расчетных
параметров.
1.	Параметры механических свойств горных пород: объемный
вес вышележащих пород у (т/м®); среднее значение предела проч-
ности пород в массиве на одноосное сжатие < осж > (тс/м2); коэффи-
циент вариации предела прочности пород в массиве осж; среднее
расстояние между точками перехода значений осж через < осж >
в массиве А, выраженное в долях радиуса выработки.
2.	Про.ектные параметры: глубина заложения выработки h (м);
радиус выработки 7?в (м); допустимый по нормативам (в зависимости
от назначения выработки) размер вывала $доп, выраженный
в долях радиуса выработки; допустимая по нормативам (в зависи-
мости от назначения выработки) вероятность Рдоп появления
хотя бы одного вывала большего размера, чем допустимый.
3.	Технологические параметры: дисперсия отклонений реаль-
ного контура выработки от проектного D, выраженная в долях
квадрата радиуса выработки; среднее число пересечений т реаль-
ным контуром выработки нулевого проектного контура на уча-
стке, равном длине радиуса выработки.
247
Обычно расчет сводится к проверке выполнения неравенства
(VIII.25) при заданных расчетных параметрах. Если неравенство
(VIII.25) не выполняется, возникает необходимость в решении
обратной задачи: определении таких параметров (например,
радиуса выработки RB, механических свойств вмещающих пород,
качества оконтуривания выработки), при которых условие (VIII.25)
соблюдается. В конечном итоге это выражается в изменении про-
екта или технологии строительства, в проведении специальных
мероприятий по упрочнению породного массива (цементации,
химизации, силикатизации и др.) и установке оградительной
крепи.
Результаты расчетов существенным образом зависят от допу-
стимых значений «доп и Рдоп. Вопрос о нормировании этих зна-
чений должен решаться с учетом комплекса факторов эксплуата-
ционного и экономического характера. Эксплуатационное назна-
чение выработки, степень ответственности подземного сооруже-
ния и возможный срок его службы являются определяющими
факторами при выборе нормативов.
Пример расчета № 20. Оценим прочность незакрепленной выработки
транспортного назначения с круговым поперечным сечением. Параметры
механических свойств вмещающих пород: у -= 2,5 т/мз; < <тсж) =
5000 тс/М*; »сж— 0,2; А= i. Проектные параметры: fc= 200 м, Йв ==
= 3,0 м; 5д0П = 0,03; Рдоп = 0,01. Технологические параметры: D = 0,002;
т = 15. Воспользовавшись формулами (VIII.26), (VIII.27), (VIII.19) и
(VIII.22), определим Rv («доп) = 0,124; Ry («доп) = —0,83; <’?>’ = 46 X
X 10* (кгс)/см4: Kv(0) = 18,8- 10е (кгс)/см4. Подставляя полученные значения
в (VIII.25), находим: 1—0,82> Рдоп, что свидетельствует о невозможности
эксплуатации данной выработки в незакрепленном состоянии/
§ 34. НАГРУЗКА НА КРЕПЬ
В УСЛОВИЯХ СВОДООБРАЗОВАНИЯ
Придерживаясь расчетных схем, приведенных в § 32, будем
рассматривать нагрузку на крепь в условиях сводообразования
в виде локальных вывалов породы или в виде сплошного сводо-
образования. В первом случае обычно применяется оградитель-
ная крепь или облицовка, во втором случае — грузонесущан
крепь. Области применения этих расчетных схем и соответству-
ющих конструкций крепи ориентировочно разграничены усло-
вием (VIII,4).
Остановимся на определении величины нагрузки от локаль-
ных вывалов. Если придерживаться статистического подхода,
изложенного в предыдущем параграфе, такая задача является
в известном смысле обратной по отношению к расчету незакреплен-'
ных выработок: при заданной вероятности Рао„ вычисляются
максимальные размеры вывалообразования. При этом следует-
иметь в виду, что одной и той же вероятности Рдоп могут соответ-
ствовать различные ситуации;,один вывал максимального размера,
248
два вывала с размерами меньше максимального, три вывала еще
меньшего размера и т. д. Поэтому, имея набор таких ситуаций,
необходимо определить максимальные размеры ^ывалообразова-
ния. В большинстве случаев [63] максимальные размеры вывало-
образования соответствуют первой из рассмотренных ситуаций
(один вывал максимального размера), которую и будем рассмат-
ривать в дальнейшем.
Тогда размеры максимального вывалообразования з опреде-
лим из условия (VIII.25), решая его относительного здоп и прини-
мая з = здоп. После преобразований (VIII.25) получаем необхо-
димое расчетное уравнение
4  ?	ехр {- — <2Г-—--1 =1п(1-РДОп), (VIII.28)
2 У1—	(s) I Ачг(О)[1 + Лчг V)] J
которое целесообразнее решать относительно з графическим
способом.
Предварительно следует убедиться, что механические свойства
вмещающих пород, проектные и технологические параметры
таковы, что условие (VIII.4) не соблюдается, т. е. сплошное сводо-
образование отсутствует и нет необходимости ставить грузонесу-
щую крепь. Зная размеры вывада (sRa) по контуру выработки,
можно вычислить его высоту отконтура, следуя рекомендациям
М. М. Протодьяконова [2]:
'	(VIII.29)
где / — коэффициент крепости вмещающих пород.
Площадь вывала W определим следующим образом (рис. 70).
Площадь параболы с основанием, равным хорде а, стягивающей
дугу згв-, и высотой, равной сумме До и стрелы сегмента Датой дуги,
Wjn=='Ta(h+ir)>	(VIII.30)
где
Я = 2Лвзш(-^-), Л=Лв[1-сов(^)].	(VIII.31)
Площадь ^указанного сегмента определяется выражением
М7 Г 7 180* \”1	/тгттт
И7с = -у I *—sin 1—— I I.	(VIII.32)
Тогда искомая площадь вывала равна,
W = Wn-Wc
или после подстановки (VIII.31) и (VIII.32),
",-тл:[*+т(1+у)si" (T)-fsin (-Т-)]-
249
Рис. 70. Расчетная
схема к определению
нагрузки на крепь в
условиях локального
сводообразования
Нагрузка от веса вывала породы в расчете на
площадь поверхности оградительной крепи
(например, металлической сетки на анке-
рах), имеющей единичный размер по про-
дольной оси выработки и размер sRB по пе-
риметру выработки, будет	1
Q-^Wy.	(VIII.34)
Анализируя (VIII.28) и (VIII.34), легко
видеть, что нагрузка Q с увеличением сече-
ния выработки увеличивается по нелиней-
ному закону.
Пример расчета № 21. Оценим величину на-
грузки на оградительную крепь из металлической
сетки на анкерах, в выработке кругового попереч-
ного сечения. Параметры механических свойств
вмещающих пород: у = 2,5 т/мЗ; ( <уСж) =;
= 5000 тс/м2; г>сж = 0,2; Д = 1,0. Проектные
параметры: h = 200 м, -7?в = 2,5 м, Рдоп = 0,01. Технологические пара-,
метры: D = 0,002, т = 10.
Решая уравнение (VIII.28), получим s= 0,18, а затем по формуле
(VIII.33) определим площадь вывала W — 0,02 м2. Нагрузка на оградитель-
ную крепь от веса вывалившейся породы по формуле (VIII.34) составит Q =’
= 0,05 тс/м и будет распределена на участке контура sRB = 0,45 м. *
В слоистом породном массиве, где разрушение наступает3
прежде всего на ослабленных контактах между слоями, размеры^
вывалов могут быть определены по рекомендациям, приведенным-
в книге Ю. М. Либермана [22]. Согласно этим рекомендациям,*
разрушение породы в слоистом массиве с горизонтальным напла-
стованием происходит по контактам между слоями, если действу-
ющие на контактах нормальные ау и касательные хху напряжения
удовлетворяют условию, аналогичному (III.7):
| Тед |	(У у tg Ро4-СО,
(VIII.35)
где р0, с 0 — соответственно угол внутреннего трения и коэффи-,
циент сцепления на контактах.
Полагая, что такой неоднородный по прочностным характерна
стикам массив является линейно-деформируемым изотропным
и однородным по деформационным характеристикам, восполь-'
зуемся для оценки его напряженного состояния решениями, при-’
веденными в седьмой главе. Например, в окрестности горизонталь-
ной заглубленной протяженной выработки кругового поперечь
ного сечения, пройденной в таком массиве с гидростатическим
начальным напряженным состоянием, согласно (VI.11) будем,
иметь следующее распределение полных напряжений:
= YU1± тг0 = о.	(VIII.36JU
*6
<5-
250
Применяя известные формулы преобразования напряжений
(У г )	(Ул “4“ (У	(Уа—(У	О,
= -Ц-^±-5^-^со829, |тху|-	9--~ | sin 29 |, (VIII.37)
(У у )	£
где 0 — полярный у1*ол, отсчитываемый от оси х, запишем
распределение напряжений в прямоугольных координатах Оху:
1 = yh ( 1 ± 4- cos 29) , |тг/,| = уЛ — | sin291, (VIII.38)
не выражая для удобства записи г и 0 через х и у.
Далее будем считать, что процесс разрушения носит хрупкий
характер в виде трещинообразования на контактах между слоями.
При таком механизме разрушения размеры области разрушения
могут быть определены путем подстановки напряжений (VIII.38)
в условие (VIII.35). В результате подстановки получим, напри-
мер, для первого квадранта, где sin 20 5= О,
— sin (29 — ро) 3-ь sin р0
г со
{--^созро.
(VIII. 39)
Если выражение (VI 11.39) рассматривать как равенство и за-
писать его в виде функции г = г (0), получим уравнение цривой,
ограничивающей в массиве область разрушений. Зная г = г (0),
можно вычислить площадь породного вывала W, а затем по фор-
муле (VIII.34) — нагрузку Q от веса вывала. Высота вывала опре-
деляется соотношением
(УШЛО)
где RB — радйус выработки
в проходке.
Рис. 72. Расчетная схема к определению на-
грузки на крепь в условиях сплошного сводо-
образования
Пример расчета № 22. Про-
изведем оценку размеров
Рис. 71. Очертания границы
вывала породы в слоистом
массиве
251
Таблица 28
o0/Vh	Высота вывала в единицах Я* при р0, градус			
	10	20	30'	40
0,04	1,18	0,62	0,38	0,22
0,06	1,08	0,59	0,34	0,20
0,10	0,92	0,52	0,30	0,18
0,20	0,65	0,38	0,23	0,17
отдельного вывала в незакрепленной выработке, сооружаемой на глубете
h — 200 м в слоистом массиве с объемным весом вмещающих пород у =
=2,5 тс/мз и прочностными характеристиками пород рв = 20°, с0 = 200 т/м*
на контактах между слоями. Очертания границ вывала, построенные на
основании условия (VIII.39), показаны на рис. 71. Ниже в табл. 28, при-
ведены значения безразмерной -высоты вывала he/Rl в зависимости от р,
(градус) = 10; 20; 30; 40 и 0,04; 0,06; Ю,!; 0,2.
Перейдем к рассмотрению методов определения нагрузки
в условиях сплошного сводообразования, когда проектируется
грузонесущая крепь. Как отмечалось в § 32, возможны две рас*
четные схемы определения нагрузки в условиях сплошного своде*
образования, отражающие два типа хрупкого разрушения.
Когда хрупкое разрушение пород носит сдвиговой характер
с последующим образованием в окрестности выработки сплошной
зоны предельного равновесия, нагрузку можно определить как вес
отслоившихся пород зоны предельного равновесия в своде выра*
ботки, ограниченных по бокам вертикальными плоскостями, кан
показано на рис. 72. Тогда интенсивность вертикальной нагрузю
на крепь
Р = уЯв(гР-1),	(VIII. 41
где Дв (гр—1) — высота свода обрушения;
гр — безразмерная координата внешней гранищ
зоны предельного равновесия.
Координату гр определим из решения соответствующей задач!
для неоднородного породного^ массива, которая приведена в § 30
Согласно этому решению, гр определяется из уравнения (VII.76)
имеющего вид
„ । °СЖ	^°СЖ 1 2Х	°СЖ I &°сж ________„ь
2К — (Л+2%) j rV	2k (Л+2Х) гк
Г	[(2+п)-2аг-я] [осж (1 — br-*)4-2X yfe]	п
2 (2 + п) (1 + %—аг-‘) - 4Хагр”
где осж (г), асж (г) — соответственно прочность пород на одно
осное сжатие в зоне и вне зоны предельно;
равновесия как функции (VII.59) и (VII.5
252
радиальной координаты (по причине техно-
логической неоднородности массива);
X, /осж — прочностные характеристики породы, не за-
висящие от радиальйой координаты;
Ь, к — прочностные характеристики массива, отра-
жающий его технологическую неоднород-
ность;
а, п — деформационные характеристики массива,
отражающие его технологическую неодно-
родность.
В частном случае для однородного породного массива (Ъ — О,
а = 0), из уравнения (VIII.42) находим
1
Гр =
2yh— Осж । ®сж \ [ 2Х
2(Х + 1) 1- 2Х Д2Хр+<£ж
(VIII.43)
что, как и следовало ожидать, совпадает с (VII.44).
Анализируя (VIII.42) и (VIII.43), приходим к выводу, что
с уменьшением сопротивления крепи размеры зоны предельного
равновесия увеличиваются. Максимальное значение гр получим,
положив р =-0, т. е. считая, что крепь не оказываем сопротивле-
ния перемещениям породного массива в процессе образования
зоны предельного равновесия (например, установка крепи с боль-
шим отставанием от забоя, наличие большого строительного за-
зора между крепью и породным контуром и т. д.). В этом случае
крепь работает в режиме заданной нагрузки (кривая 1 на рис. 69),
величина которой находится путем подстановки в (VIII.41) коор-
динаты гр, найденной из уравнений (VIII.42) и (VIII.43) прир = 0.
Если крепь ставится вблизи забоя и вплотную к породному
контуру, т. е. оказывает сопротивление перемещениям массива
в процессе образования хдоны предельного равновесия и работает
в режиме совместного деформирования, следует совместно решать
уравнения (VIII.41) и (VIII.42) или (VIII.41) и (VIII.43) относи-
тельно р. Найденная таким образом нагрузка р соответствует по
определению Ю. М. Либермана [22] минимальному постоянному
сопротивлению крепи рх (линия 2. на рис. 69). Подставив рх
в (VII.44) или (VII.76), а затем соответственно "В (VII.40) или
(VII.75) при г = 1, находим величину максимального-смещения
крепи Пц которое последняя должна допускать без искажения
характеристики постоянного сопротивления. Эти два параметра
имеют первостепенное значение при проектирований конструкций
крепи. Так, оптимальная жесткость крепи линейно нараста-
ющего сопротивления будет
Л0=Р1/“1-	(VIII.44)
Пример расчета № 23. Оценим величину интенсивности вертикальной
нагрузки р на крепь постоянного сопротивления в условиях сплошного
сродообразования. Крепь проектируется в выработке кругового поперечного
25,3
сечения с радиусом Л6, сооружаемой в породном массиве с гидростатическим
начальным напряженным состоянием, с деформационными характеристи-
ками а = 0,85, п = 6 и прочностными характеристиками оСж = fh, л = 1,
Ь = 0,85, к = 6. При буровзрывной выемке породы обеспечивается каче-
ственное оконтуривание выработки и можно принять D = 0. Разрушение
пород в окрестности выработки носит сдвиговый характер, в результате чего
образуется область предельного равновесия, где <т?ж = 0,1<тСж.
По формуле (VIII.5), которая при ( <тсж> = <ТсЖи D = 0 преобразуется
к виду
_____Осж (1 — Ь)
2у(1-п + 2-2а
(VIII.45)
подставив исходные данные, убеждаемся-
1 > 0,37,
т. е. в заданных условиях следует проектировать грузонесущую крепь.
Если технология возведения и конструкция крепи определяют ее экс-
плуатацию в режиме заданной нагрузки, величина последней находится
следующим образом. Решая уравнение (VIIL.42) при р = 0 относительно гр,
находим (см. цример расчета № 18) гр = 2,8 и после подстановки в урав-
нение (VIII.41) определяем р = 1,8уЯв.
Если технология возведения и конструкция крепи обеспечивают ее экс-
плуатацию в режиме совместного деформирования с массивом, нагрузку
на крепь определим, выразив гр из уравнения (VIII.41) через p,va затем
подставив в (VIII.42) и решив полученное уравнение относительно Р-
Решение удобцо выполнить методом последовательных приближений или
графическим методом. В итоге получим рх = 1,7уЯв. По формуле (VII.75)
определяем величину максимального смещения крепи: их = 8,55 (УиЯв/£).
Когда хрупкое разрушение пород носит характер трещино-
образования с последующим отслоением от массива, нагрузку на
крепь следует определять как вес отслоившихся пород при макси-
мальной глубине трещинообразования. Если радиальную коорди-
нату максимально удаленной трещины, вызывающей отслоение
пород, обозначать гр, интенсивность вертикальной нагрузки р на
крепь определяется формулой (VIII.41).
Для вычисления координаты гр компоненты напряжений ое
и аг в неоднородном пороДном массиве, определяемые формулами
(VI.53), подставим в условие трещинообразования (VIII.28), кото-
рое с учетом снижения прочности асж пород вблизи контура выра-
ботки целесообразно переписать в виде
ое-(2Л+1)ог=стсж(1— br~k),	(VIII.46)
где
Х= sin Ро
1 —Sin Ро
tg Ро = /.
254
После подстановки получаем следующее уравнение:
п + 2 —2а (п + 1) г-п + (2А.+ 1) (п + 2-2аг-п) ]
~Р)	(n + 2-2a)r*	j ~
-2ХуЛ=осж(1-г>г;А).	(VIII 47)
Если крепь работает в режиме заданной нагрузки, коорди-
ната определяется из уравнения (VIII.47) при р = 0, а затем
после ее подстановки в формулу (VIII. 41) находится интенсивность
нагрузки р. Если крепь работает в режиме совместного деформи-
рования, величина интенсивности нагрузки р, соответствующая
минимальному постоянному сопротивлению крепи рх, находится
в результате совместного решения уравнений (VIII.41) и (VIII.47).
Подставив р — рг в (VII.98), а затем в (VII.75), определим вели-
чину максимального смещения крепи иг.
Пример расчета № 24. Оценим величину интенсивности вертикальной
нагрузки р на крепь постоянного сопротивления в условиях сплошного сводо-
образования. Исходные данные для определения нагрузки те же, что и в пре-
дыдущем примере расчета, за исключением предполагаемого характера раз-
рушения горных пород, которое происходит в виде трещинообразования.
Рассматривая режим заданной нагрузки, из уравнения (VIII.47) при
р = О находим гр « 1,2. Подставив гр в формулу (VTTI.41), определяем
нагрузку р = 0,2уЯв.
При работе крепи в условиях совместного деформирования с породным
массивом нагрузку находим, исключив из уравнения (VIII.47) координату гр
с помовдью формулы (VIII.41) и решая полученное уравнение относительно р.
В результате находим р'=	= 0,13уЯв.
Сопоставляя величины полученных нагрузок с нагрузками,
вычисленными в примере расчета № 23, приходим к выводу, что
в условиях трещинообразования величина нагрузки значительно
меньше-, чем При сдвиговом разрушении горных пород. Однако
не следует забывать, что процесс трещинообразования может
сопровождаться динамическими явлениями (горными ударами,
выбросами породы), более опасными для нормальной эксплуата-
ции выработки, чем статическая нагрузка.
Интересно сопоставить результаты вычислений нагрузки по
рекомендуемым схемам и по распространенной в горной практике
гипотезе свода М. М. Протодьяконова, согласно которой макси-
мальная вертикальная нагрузка определяется выражением (VIII.6).
Легко установить, что гипотезам. М. Протодьяконова не учитывает
деформационных характеристик крепи и, следовательно, соответ-
ствует только режиму заданной нагрузки. Кроме того, при отсут-
ствии зависимости величины нагрузки от глубины заложения вы-
работки гипотеза М. М. Протодьяконова дает результата, сопо-
ставимые с результатами, полученными по рекомендуешям схе-
мам, только при малых глубинах. Причем величина нагрузки по
М. М. Протодьяконову ближе к нагрузке, реализуемой в усло-
виях трещинообразования.
2'5
§ 35 ». НАГРУЗКА НА КРЕПЬ В УСЛОВИЯХ
СОВМЕСТНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ КРЕПИ И МАССИВА
При деформировании массивов без разрывов сплошности, что
чаще всего наблюдается в пластичных породах, а также в хрупко
разрушающихся породах при высокой жесткости крепи, ограничи-
вающей перемещение породного контура, используются грузоне-
сущие конструкции крепи или обделки, работающие в режиме
совместного деформирования. Нагрузка на крепь р определяется
из условия совместного деформирования крепи и породного мас-
сива, которое для рассматриваемого осесимметричного случая
записывается в виде (VIII.7), т. е.
“оо О’) = “о+“(/>).	(VIII.48) '
где компоненты радиальных смещений будем принимать в безраз-
мерном виде. Графическая иллюстрация уравнения (VIII.48)
приведена на рис. 73, а.
В дальнейшем целесообразно рассматривать два типа горных
пород. Породы первого типа (твердые горные породы, например,
песчаники, песчанистые сланцы, аргиллиты и т. д.) при деформи-
ровании во времени обнаруживают затухающие деформации пол-
зучести, а при достижении предельного уровня напряжений хрупко
разрушаются, причем разрушение носит сдвиговый характер
и Сопровождается образованием области предельного равновесия
с граничными условиями (VII.23) или реализуется в виде трещи-
нообразования с последующим отслоением разрушенных пород
от массива. Породы второго типа (глинистые породы, например,
суглинки, ‘ пластичные глины
и т. д.) при деформировании во
времени обнаруживают незату-
хающие деформации ползучести,
а при достижении Предельного
уровня напряжений переходят
в состояние пластического те-
чения, т. е. теряют несущую
способность в образовавшейся
области предельного равнове-
сия без разрывов сплошности
массива на границе раздела.
Таким образом, в массивах,
сложенных указанными поро- \
дами, механические процессы i
деформирования и разрушения |
различаются не только количе- J
ствеино, но и качественно. Рас-Л
смотрим решение уравнения*^
(VIII.48) для каждого типа по-J|
род в отдельности.	чЦ
Рис. 73. Расчетная схема к определе-
нию пагруакн на крепь выработки в
условиях совместного ее деформиро-
вания с породным массивом
• • Параграф написан при участии И. Г. Наумова.
256
При исследовании механических процессов в массивах, сло-
женных породами первого типа, компоненты уравнения (VIII.48)
определяются следующим образом. Смещение контура породного
массива и.» (р) по истечении длительного промежутка времени
в случае образования области предельного равновесия опреде-
ляется выражением (VII.75), где следует принять Е — Е<х>
и г = 1. Тогда будем иметь
3	[2 А,уЛ.стсж (1 — &гр*)]2(п-|-2)
4£оо 2 (п+2) (1 + К-ar~n) - 4Х аг~п р
где радиальная безразмерная координата гр границы
находятся из уравнения
асж
2К
2Х	°СЖ
\ + 2А.]ГР	21.
Ьасж -k
к + 2к Р
= yh —
(VIII.49)
раздела
[(2 + п) - 2аг~п| {асж (1 - br-pk) +2^ Yh]
- 2(» + 2)(1+А —ar-") —4A.er-n
> Бели область предельного равновесия в окрестности выработки
не образуется, смещение u®, (р) определяется выражением (VII.55),
гдетакже следует положить Е = Emt и г — 1. В результате
находим
Лоо (/>)-} п-ЕЙп- (VIIL51)
Так как обычно р yh, граничное условие применимости
выражения (VIII.49) аналогично (VIII. 45), т. е.
h >-—---------------г--	(VIII.52)
27 V “ п + 2—2а )
При меныпих глубинах следует пользоваться выражением (VII.51).
Начальное смещение йородного контура и0 до ввода крепи
в работу должно определяться при условии отсутствия зоны пре-
дельного равновесия на незакрепленном участке выработки. Со-
вершенно очевидно, что хрупкое разрушение пород первого типа
и образование зоны предельного равновесия должно сопровож-
даться вывалообразованием, что недопустимо с точки зрении нор-
мальной эксплуатации выработки. Поэтому крепь 1 вводится
в работу до образования зоны предельного равновесия 2, которая
начинает развиваться на некотором удалении I* от забоя 3, так к ад
последний сдерживает деформации породного контура (см. рис.
73,6). Помимо влияния близости забоя выработки, искомая вели-
чина смещения и0 должна учитывать ползучесть горных пород,
т. е. время от начала обнажения выработки. В общем случае,
учитывая выражение (VI.74), можно рекомендовать формулу
“»=4	ттйя- [«+»-«>•'	(тяг) • <«"•»>
17 Заказ 194	257
где / (l/2RB) — функция расстояния I от забоя выработки до
места ввода крепи в работу, которая изменяется в интервале
О / (7/22?в)	1: и табулирована [74] следующим образом:
U2RB | 0,25 | 0,50 | 1,00 | 2,00 | 4,00 | 6,00	с,
Д1/2ЯВ) | 0,148 | 0,306 | 0,541 | 0,76 | 0,88 | 0,906* I*111’’ '
При сооружении выработки короткими заходками, когда время
поддержания выработки без крепления мало, можно принять
t = 0, и формула (VIII.53) преобразуется к виду
_ 3 yh n-f-2
U°~ 2 Ео п + 2—2а f
27?в )’
(VIII.55)
а в случае применения длинных заходок размером I ?> 4ЯВ можно
принять / (Z/22?B) «Ии формулу (VIII.53) записать так:
"»-4	<™Е56>
При этом длина заходки I, т. е. длина незакрепленного участка
выработки лимитируется расстоянием I* от забоя, на котором
можно ожидать появления области предельного равновесия
в окрестности выработки (рис. 73, б), т. е.
I < Z*.
(VIII.57)
Величина последнего члена в уравнении (VIII.48) представляет
перемещение и (р) контура крепи под нагрузкой р и зависит от
материала крепи (бетон, железобетон, металл, дерево), конструк-
тивного исполнения крепи (сборная или монолитная, шарнирная
или бесшарнирная и т. д.) и наличия забутовки, тампонажного
раствора или других материалов между крепью и породным кон-
туром. Как отмечалось в § 32, по деформационным характеристи-
кам и (р) крепи можно подразделить (см. рис. 69) на крепи с по-
стоянным (график 7), линейно нарастающим (график 6) и нели-
нейно нарастающим (график 4, 5) сопротивлением. Для большин-
ства конструкций крепи и (р) можно представить в виде
z	М?) = “1+“2(?)>	(VIII.58)
где Uj — смещение за счет закрытия при деформировании строи-
тельных и конструктивных зазоров в крепи;
иг О’) — смещение, определяемое жесткостью конструкции и
в общем случае нелинейно зависящее от величины
нагрузки р.
Например, для монолитной бетонной крепи можно считать,
что
u (р) = и2 (р) = -^-р,	(VIII.59)
ко
258
где /с0— коэффициент сопротивления или коэффициент жест-
кости крепи, равный
(VIII 60)
d — толщина крепи; цк — коэффициент Пуассона для бетона крепи;
— расчетный модуль деформации бетона крепи, назначаемый
с учетом реологических процессов в бетоне и в общем случае
зависящий от состава, марки и возраста бетона в момент загру-
жения. В табл. 29 приведены рекомендуемые значения Ек X
X 10“’ (кгс/см*) в зависимости от указанйых факторов.
Таблица 29
Состав бетона	Бетон на портландцементе				Бетон на шлакопортландце- менте с добавкой СДБ			
Возраст бетона в момент загружения, сутки	3	5	7	28	3	5	7	28
к и	150 « f	200 Se	300	27,8 36,8 49,4	31,4 41,4 55,7	33,2 43,8 58,7	38,4 50,6 68,0	13,4 17,7 23,7	15,0 19 8 26 6	16,0 21,3 28,5	18,7 24,8 33,2
Продолжение табл. 29
Состав бетона	Бетон на сульфатостойком портландцементе с добавкой СДБ				Бетон на сульфатоотойком портландцементе с добавкой СДБ и CaCh			
Бозраст бетона в момент загружения, сутки	3	5	7	28	3 '	5	7	28
и S	150	9,3	10,2	11,1	15,3	4,8	6,1	6,7	96
й g	200	12,3	13,5	14,7	20,2	6,3	8,0	8,75	12,7
300	16,3	18,1	19,7	27,0	8,5	10,8	11,8	17,0
Подставив найденные компоненты смещений Uqo(p), и0, и (р)
в основное уравнение (VIII. 48), следует решить его относительно
величины р, которая и будет искомой нагрузкой на крепь. В по-
давляющем большинстве случаев приходится прибегать к числен-
ным методам решения этого уравнения, что удобно выполнить
графически, как это показано на рис. 69, где точки О, Ог и О2
представляют пересечения функций (р) и соответствующих
функций ид 4- и (р), а ординаты этих точек (р, рг и р2) являются
решениями уравнения (VIII.48).
Легко видеть, что при возможном отслоении пород первого
типа на границе зоны предельного равновесия крепь начинает
работать и воспринимать нагрузку в условиях сводообразования
(рис. 69, график 2). Тогда нагрузка соответствующая точке
Ог, будет равна минимальному'постоянному сопротивлению крепи,
17*	259
Рас. 74. Расчетная схема ж оп-
ределению нагрузки на крепь
линейно нарастающего сопро-
тивления и определению оп-
тимальной характеристики кре-
пи в породах первого типа
а характеристика крепи и (р), про-
ходящая через точку Ох, как отме-
чает Ю. М. Либерман [22], будет
оптимальной. Через указанную точку
можно провести любое число харак-
теристик, каждая из которых будет
соответствовать определенному кон-
структивному исполнению крепи.
Пример расчета № 25. Определим на-
грузку на крепь линейно нарастающего
сопротивления е характеристикой и = 1/Zro,
где жесткость крепи к0 = 34,5 • 10“5 (E0/RB).
Крепь устанавливается в горизонтальной
выработке кругового поперечного сечения
с радиусом RB и вводится в работу на рас-
стоянии I = 2RB отзабоя. Глубина зало-
жения выработки h, объемный вес вме-
щающих пород у. Вмещающие породы по
своим деформационным и прочностным ха-
рактеристикам относятся к первому типу.
Деформационные характеристики пород:
£0/yfe= 45,0; п = 6, а = 0,85, а = 1,J.
Прочностные характеристики пород:
Ссж/уЛ = 1,0; o?w/vfe=0.1; А. = 1,0; Л = 6;
А => 0,85. Решение уравнения (VIII.48)
выполним графическим методом. Для этего
вначале, пользуясь формулами (VIII.49)
и (VIII.50), построим в безразмерны^
координатах график их (р) (рис. 74, гра-
фик 1), а затем в соответствии е выраже-
ниями (VIII.55) и (VIII.58) характеристику крепи (рио. 74, график 2) при
заданном в условии коэффициенте жесткости к0. Точка пересечения О
определит нагрузку на крепь: р = 0,0Q32yfe.
Величину минимального постоянного сопротивления крепи в данных
условиях определим в соответствии е требованием равенства нагрузки от веса
отслоившейся части пород, величине сопротивления крепи (22]. Для этого
построим график зависимости и (р) по выражению (VI 1.75), исключив из
него гр с помощью (VIII.41) (рис. 74, график 3). ТочКа пересечения О1 опре-
делит: pi = 0,00215уЛ. Оптимальное значение коэффициента жесткости
крепи-еоетавит к0 = 22,4-10'5 (EB/RBj. '
При установке крепи с меньшей жесткостью, например кв = 9,0 X
• 10~5 (Ea/RB) (рис. 74, график 4), первичное давление от перемещающихся
пород, соответствующее точке Ол, будет меньше. Однако после отслоения
породы в области предельного равновесия оно йозрастает в 2,4 раза и соот-
ветствует трчке О3.
Стремление ограничить перемещения массива за счет установки крепи
с очень высокой-жесткостью, например с i0= 55,4 -10'5 (EB/RB) (рис. 74,
график 5, точка О4), приводит к необходимости резко увеличивать ее грузо-
несущую способность, в рассмотренном примере в 2,4 раза по отношению
к оптимальному варианту.
Рассмотрим методику определения компонентов смещений
в массивах, сложенных породами Второго типа. Эти породы
обнаруживают незатухающие во времени смещения (VI.72) или
(VI.73), если действующие в массиве напряжения превзошли
некоторый уровень, величина которого для реальных пород бывает
269
Ч
незначительной. В рассматриваемой плоской осесимметричной за-
даче деформации ползучести начинают развиваться при условии
(V.163). Реологический параметр 2v8 имеет физический смысл
длительной прочности горных пород на сжатие оСЖ00. Если при
этом учесть технологическую неоднородность массива в виде
(VII.58), условие запишется тйк:
(VIII.61)
В массиве образуется область, где выполняется условие (VIII.61),
и Породы переходят в упруго-вязко-пластическое состояние.
В остальной части массива деформации ползучести ие обнаружи-
ваются. На границе раздела гр должно выполняться условии
(VI.78), или в принятых обозначениях условие
(УШ.62)
Сопоставив (VIII.62) с (VII.63) при X = О, приходим к вы-
воду, что условие (VIII.62) аналогично условию на внешней гра-
нице раздела гр области предельного равновесия в пластичных
породах, т. е. породах второго типа, которое записывается в виде
о0-<тл=сгсж(1—6г“А)-	(УШ.63)
Поскольку <тсж £> Осжоо и осж -> Осжсо при t ©о, граница
раздела гр области предельного равновесия с течением времени
очевидно стремится к предельному положению, которое в неодно-
родном массиве можно определить из уравнения (VI.85), положив
Vj = 1, 2vs = оСЖоо(1 — br~h), v5 (г) = Е (i—ar~n). Как и следо-
вало ожидать, уравнение (VI.85) в этом случае совпадает с уравне-
нием (VII.82) для координаты гр при осж = Осжоо-
Таким образом, в породном массиве в момент времени t могут
существовать три области, считая от контура выработки: область
предельного равновесия, где разрушение пород определяется
характеристикой осж; область упруго-вязко-пластических де-
формаций, где реологические процессы определяются характери-
стикой <гсжоо; область линейного деформирования, где реологиче-
ские процессы и процессы разрушения не обнаруживаются. Такая
трактовка механических процессов в массиве приводится Также-
H. Л. Черняком [52]. В пределе при t -► оо первые две области
сливаются в одну.
Отсюда смещение (р) на породном контуре получим иа
уравнений (VII.81) и (VII.82), приняв осж = Осжоо, Е = £в, т. е.
и |(р1=-3- . °еУ 00 От^Р,). rg '	(УШ.64>
где радиальная безразмерная координата гр находится из урав-
нения
261
Г	b , ь iT 2(nJ-2)(l — <n”)
yh — оСЖоо lnrp —p — a V rnt-1 I------------------=
L 00	сж0° к 'P /J (n + 2) — 2ar~n
= стсж oo (1-irp*)-	(VIII.65)
Разумеется, пользоваться формулами (VIII.64) и (VIII.65) следует
при условии
h >----СТ?Ж О° (-1~Ь)-,	(VIII.66)
п f. ап \	4
.	2у(1	п + 2 — 2а)
которое получено из (VIII.61) при г = 1 и в предположении
jp <£ yh. Если условие (VIII.66) не выполняется, величина ит(р)
находится по формуле (VI.55) при г = 1, т. е.
, . 3 yh— р	п+2	„гтттт
“оо 2' Ео • п + 2—2а •	(VIII-67)
Начальное смещение и0 находим из тех же соображений,
что и для пород первого типа, учитывая влияние забоя и фактор
времени. При этом будем так же полагать, что образование области
предельного равновесия в пределах незакрепленной заходки не-
допустимо. В итоге получим выражение для смещений
=	—" + 2	(VIII.68)
Так как время релаксации t0 для пород второго типа измеряется
десятками суток, то при технологии сооружения выработок
короткими заходками, когда время стояния незакрепленной
заходки t ta, можно в формуле (VIII.68) принять t = 0.
Наоборот, при длинных заходках с незначительной погреш-
ностью можно считать / (Z/2/?B)	1.
Смещения породного контура крепи и (р), зависящие от ее
конструкции, определяются так же, как и при проектировании
выработок в породах первого типа. Аналогичные рекомендации
касаются и решения основного уравнения (VIII.48) относительно
величины нагрузки р. Особые замечания относятся лишь к вы-
бору податливости крепи. Поскольку в породах второго типа
возможны гораздо большие деформации без разрывов сплошности
массива, чем в породах первого типа, следует проектировать
'крепи с увеличенной податливостью, не опасаясь реализации
нагрузки в виде сводообразования. Иными словами, в Тгородах
второго типа точка Ог на рис. 74 может не соответствовать опти-
мальной конструкции крепи. Оптимальными могут оказаться
конструкции крепи с максимальной податливостью, разумеется,
если эта податливость не нарушает нормальной эксплуатации
выработки по второму предельному состоянию, т. е. по условию
ограниченности деформаций элементов крепи внутрь выработки.
Пример расчета № 26. Определим величину нагрузки] на крепь линейно
нарастающего сопротивления, которая установлена в горизонтальной про-
262
тяженной выработке кругового поперечного сечения с внутренним ради-
усом 7?в на расстоянии I — 2ЯВ от забоя. Коэффициент жесткости крепи
ка = 75-10'4 (£0//?в), по абсолютной величине, соответствует кв = 34,5 X
X 10-6 (Ед/Нь) из предыдущей задачи. Глубина заложения выработки h.
Вмещающие породы с объемным весом у по своим деформационным и прочно-
стным свойствам относятся ко второму типу. Деформационные характери-
стики пород: EJyh = 2; п — 6; а = 0,85; а = 2; t/ta = 0,56; прочностные
характеристики пород: -Осж/V^ = 1; к = 6; b = 0,85.
Рце. 75. Раечетнаи схема к определе-
нию нагрузки на крепь линейно на-
растающего сопротивления в поро-
дах второго типа
Определенная графическим методом (рис. 75, график 1, точка О) нагрузка
на крепь р — 0,0176уЛ на 40% выше, чем в породах первого типа. Это объяс-
няется тем, что породы второго типа более деформативны н при одинаковой
жесткости крепи обуславливают большие ее деформации. При установке-
мепее жесткой крепи, например с к0 = 50,3-10"4 (EJRS), который соответ-
ствует оптимальному варианту из предыдущей задачи, нагрузка па крепь
составит р — 0,012-yfe (рис. 75, график 2). При этом увеличение Смещений и
настолько мало, что вряд ли,приведет к сколько-нибудь существенному рас-
слоению пород и нарушению режима работы крепи.
Рассмотренные примеры расчета, разумеется, не охватывают
все возможные случаи реализации нагрузки. Однако они наглядно-
демонстрируют качественные особенности различных расчетных
схем горных выработок.	,
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
/
1.	Мельников Н. В. Выступление па IV Всесоюзной конферен-
ции по механике горных пород. — В кн.: Современные проблемы механики
гордых пород. Л., «Наука», 1972, с. 5—8.
2.	Р яс е в с к и й В. В. Классификация н паспортизация горных
пород ко их физическим свойствам. Изд. МГИ, 1966, 13 с.
З.	Протодьякопов М. М. Материалы для урочпого положе-
ния горных работ. Изд. ЦК горнорабочих, ч. I, М., 1926, *274 с.
4.	К о й ф м а н М. И. Классификации механических свойств твердых
тел И вопросы классификации гордых пород. — В кн.: Современные про-
блемы механики горных пород. Л., «Наука», 1972, с. 252—267.
5.	Протодьяконов М. М., Койфман М. И., Чир-
ков С. Е. Общетехническая классификация горных пород по прочности
прн разрыве. — В кн.: Современные проблемы механики горных породе
Л., «Наука», 1972, с. 276—286.
6.	О б щ и е МйТодическйе положения компленейого последования
проблем горной геомеханикй. — Труды ВНИМИ, 1970, № Й1, 334 с.
<	7. К.у в н е ц о в Г. Н. и др. Изучение проявлений горного давления
«а Моделях. М.,Углетехйадат, 1959, 284 с.
8.	Б е в у х о в Н. И. Основы теории упругости, пластичности
и ползучести. М., «Высшая школа», 1968, 512 с.'
9.	Руппепейт К. В., Либермап Ю. М. Введение в меха-
нику горных пород. М., Госгортехиздат, 1960, 356 с.
10.	И л ь ю ш п н А. А. Пластичность. М., ГостехпздаТ, 1948, 336 с.
11.	Бриджмен П. В. Новейшие исследования в области физики
'больших давлений. М., Государственное изд-во иностр, литерат., 1948, 299 с.
12.	Г е п к п Г. К теории пластических деформаций и вызываемых
ими и материале остаточных напряжений — В' кн.: Теория пластичности.
М., Государственное изд-во иностр, литературы, 1948, с. 114—135.
13.	Р у п п е н е й т К. В. Некоторые вопросы механика горных
пород. М., Углетехиздат, 1952, 384 с.
14.	Я м щ и к о в В. С. Введение в геоакустику. М., изд. МГИ, 1948,
-284 с.
15.	Слесарев В. Д. Крепление подземных горных выработок.
W. — Л., Гостоптехиздат, 1940, 236 с.
264
16.	Лушников В. В., Вулис П. Д., Литвинов Б. М.
О соотношении модулей деформации при сжатии и растяжении грунтов. —
«Основания, фундаменты и механика грунтов», 1973, № 6, с. 18—19.
17.	Экспериментальное исследование упругих свойств пород
в условиях всестороннего давления п определение коэффициента бокового
распора. — В кн.: Разрушение горных пород при бурении скважин. Уфа,
1973. с. 73—78. Авт.: Фаталиев М. Д., Эпштейн А. А., Алиев М. А. и др.
18.	Воларович М. П., Б а ю к Е. И. Влияние всестороннего
давления до 4000 кгс/см2 на упругие свойства образцов горных пород. —
Докл. АН СССР, 1960, т. 135, № 1, с. 65—68.
19.	Результаты изучения прочностных и деформационных свойств
пород Западного Донбасса. Киев, «Наукова думка», 1969, 44 с. Авт.'.
Глушко В. Т., Усаченко Б. М., Кирничанский Г. Т. и др.
20.	Ж у к о в А. М. О коэффициенте Пуассона в пластической об-
ласти. — «Известия АН СССР», Отд.) техн, наук, 1954, № 12, с. 86—91.
21.	Свойства горных пород и методы их определения. М., «Недра»,
1969,392 с. Авт.: Ильницкая Е. И., Тедер Р. И., ВатолинЕ. С., КунтышМ. Ф-
22.	Л и бер м а н Ю. М. Давление на крепь капитальных выработок.
М.', «Наука», 1969, 120 с.
23.	К у и 1 ы ш М. Ф. Исследование влияния скорости приложения
нагрузки и трения по торцам на изменение величины показателя прочности
горных пород ври одноосном сжатии. — Научи, сообщения ИГД
им. А. А. Скочинского, вып. 12, 1962, 26 с.
24.	Ф н с е н к о Г. Л. Методы количественной оценки структурных
ослаблений массива горных пород в связи с анализом их устойчивости. —
В кн..* Современные проблемы механики горных пород. Л., «Наука», 1972,
с. 21-29.
25.	Б е р о н А. Е., Чирков С. Е. Исследование прочности гор
ных пород в условиях трехосного неравномерного сжатия. — Научи, сооб-
щения ИГД им. А. А. Скочинского. М., 1969, № 61, с. 33—38.
26.	К а р т а ш о в Ю. М. Ускоренные методы определения реологи-
ческих свойств горных пород. М., «Недра», 1973, 112 с.
27.	И л ь н и ц к а я Е. И. Влияние масштабного фактора на прочно-
стные свойства горных пород. — В кн.: Фнзико-механичеСкие свойства,
давления н разрушение горных пород. М., Изд-во АН СССР, 1962, с. 17—24.
28.	К о й ф м а н М. И. О влиянии размеров на прочность горных
пород. — В кн.: Исследование физико-механических свойств горных пород
применительно к задачам управления горным давленном. М., Изд-во АН
СССР, 1962, с. 6—14.
29.	К у н т ы ш М. Ф. Исследование методов определения основных
физико-механических характеристик горных пород, используемых при реше-
нии задач горного давления. Дисс. на соиск. уч. степ. канд. техн. наук.
М., ИГД им. А. А. Скочинского, 1964, 166 с.
30.	Чирков С. Е. Исследование влияния масштабного эффекта
на прочность углей в условиях различных напряженных состояний. Днсс.
на соиск. уч. степ. канд. техн. наук. М., ИГД им. А. А. Скочинского, 1965.
153 с.
265
31.	Т е д е р Р. И., Ватоли'н Е, С. Испытание горных пород
на сжатие. — Горный журнал, 1965, № 12, с. 35—37.
32.	Б е р о н А. И., К унтыш М. Ф., Мохначен М. П.
Исследование влияния скорости приложения нагрузки на прочность горных
пород при сжатии. М., изд. ИГД им. А. А. Скочинского, 1968, 29 с.
33.	Л и б е р м а н Ю. М., Чирков С. Е. О влиянии эксцентри-
ситета нагрузки на прочность пород при сжатии. — В кн.: Научные сооб-
щения ИГД им. А. А. Скочинского. М., изд. ИГД им. А. А. Скочинского,
1968, № 59, с. 21—27.
34.	Паспорта прочности горных пород и методы их определения,
М., «Наука», 1964, 78 с. Авт.: М. М. Протодьяконов, М. И. Койфман,
С. Е. Чирков и др.
35.	Т а л о б р Ж. Мехацика горных пород. М., Госгортехиздат, 1968,
430 с.
36.	М о р О. Чем обусловлен предел прочности и временное сопроти-
вление материала. — «Новые идеи в технике». Сб. № 1. Петроград, «Образо-
вание», 1915, с. 1—50.
37.	К а р м а н Т. Опыты по всестороннему сжатию. — «Новые идеи
в технике». Сб. № 1. Петроград, «Образование», 1915, с. 51—102.
38.	У л и н иЧ Ф. Г. Некоторые вопросы теории хрупкого разрушения
торных пород. — В кн.: Разрушение углей и пород. М., Углетехиздат, 1958,
«. 401—510.
39.	Ч е р е п а н о в Г. П. Распространение трещин в сжатых телах.
-«Прикладная математика и механика», 1966, т. 30, вып. 1, с. 82—93.
40.	Черепанов Г. П. Некоторые вопросы разрушения хрупких
пород при сжатии. — В кн.: Проблемы механики горных пород. Алма-Ата.
1966, с. 433—440.
41.	Б о т к и н А. И. О прочности сыпучих и хрупких материалов.
Известия НИИгидротехники, 1940, т. XXVI, с. 205—235.
42.	К у з н е ц о в Г. Н. Механические свойства горных пород. М.
Углетехиздат, 1947, 179 с.
43.	К а ц а у р о в И. Н. Механика горных пород. Вып. 1. — В кн.:
«Физико-механические свойства горных пород», изд. МГИ, М., 1966, 126 с.
44.	П а н а с ю к В. В. Предельное равновесие хрупких тел с трещи-
нами. Киев, «Наукова думка», 1968, 246 с.
45.	Рейнер М. Реология. М., «Наука», 1965, 233 с.
46.	Л и б е р м а н Ю. М. Аналитическое исследование проявлений
горного давления с учетом фактора времени. Дисс. на соиск. уч. степ. канд.
техн. наук. М., ИГД им. А. А. Скочинского, 1958, 150 с.
47.	П а н о в А. Д., Руппенейт К. В., Либерман Ю. М.
Горное давление в очистных и подготовительных выработках. М., Госгортех-
издат, 1959, 99 с.
48.	Д и м о в И. Устойчивость единичных горизонтальных горных
выработок с круглым поперечным сечением во времени. Дисс. на соиск. уч.
степ. канд. техн. наук. М., МГИ, 1970, 155 с.
49.	М а к с и м о в А. П. Выдавливание горных пород и устойчивость
подземных выработок. М., Госгортехиздат, 1963, 144 с.
266
50.	Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.
«Наука», 1966, 752 с.
51.	Е р ж а н о в Ж, С. Теория ползучести горных пород и ее при-
ложения. Алма-Ата, «Наука», 1964, 175 с.
52.	3 а с л а в с к и н К). 3., Зорин А. Н., Черияк И. Л.
Расчеты параметров крепи глубоких шахт. Киев, «Техника», 1972, 156 с.
53.	В я л о в С. С., Зарецкий К). К. Прочность и ползучесть
мерзлых грунтов и расчеты ледогрунтовых ограждений. М., Изд-во АН
СССР, 1962, 254 с.
54.	Н е с т е р е н к о Г. Т., Палий В. Д. Некоторые результаты
и пути совершенствования натурных испытаний прочностных и деформа-
ционных свойств крепких и весьма крепких горных пород. — В кн.: Совре-
менные проблемы механики горных пород. Л., «Наука», 1972, с. 45—249-
55.	П а н ю к о в П. Н. Инженерная геология. М., Госгортехиздат,
1962, 343 с.
56.	Крупенников Г. А. Горнотехнические и механико-статисти-
ческие критерии выбора аналитических методов исследования проблем горной
геомеханики. — Труды ВНИМИ, 1970, № 76, с. 33—55.
57.	Я с и н с к и й Ф. С. Теория упругости. Литографированное
издание, СПБ, 1897, 239 с.
58.	Борщ-Компаниец В. И. Механика горных пород, массивов
и горное давление. М,, Изд. МГИ, 1968, 484 с,
59.	Исследования прочности и деформируемости горных пород.
М., «Наука», 1973, 208 с. Авт.: А. И. Берон, Е. С. Ватолин, М. И. Койфман
и др.
60.	П е р к о в Ю. Р., Долгих М. А. Опыт сравнительного опре-
деления модуля упругости горных пород в лабораторных и полевых усло-
виях. — «Основания, фундаменты и механика грунтов»,4965, № 3, с. 10—11.
61.	Р а ц М. В. Неоднородность горных пород и их физических свойств.
М., «Наука», 1968, 107 с.
62.	Баклашов И. В., Ру ппенейт К. В. Прочность неза-
крепленных горных выработок. М., «Недра», 1965, 104 с.
63.	Ш е й н и н В. И., Руппенейт К. В. Некоторые статисти-
ческие задачи расчета подземных сооружений. М., «Недра», 1969, 153 с.
64.	Ломакин В. А. Статистические задачи механики твердых
деформируемых тел. М., «Наука», 1970, 139 с.
65.	Разрушение породного массива за контуром выработок в ре-
зультате взрывных работ. — «Шахтное строительство», 1969, № 1, с. 5—8.
Авт.: П. Я. Таранов, В. В. Лавриненко, И. И. Антоневич, Я. С. Чересло.
66.	Р у к и н В. В., Руппенейт К. В. Механизм взаимодей-
ствия обделки напорных тоннелей с массивом горных пород. М., «Наука»,
1969, 160 с.
67.	Борисовец В. А. Неоднородности волнового характера в поро-
дах вблизи выработок, сооружаемых буровзрывным способом. — «Шахтное
строительство», 1972, № 9, с. 7—11.
68.	'Я мщиков В. С., Бондаренко В. Г., Щетинин В. А.
О контроле качества укрепительной цементации. — «Шахтное строитель-
ство», 1970, № 9, с. 14—16.
267
69.	Евстропов Н. А. Взрывные работы в строительстве. М.,
Стройиздат, 1965, 208 с.
70.	Смирнов В. И. Сооружение подземных емкостей камуфлет-
ными взрывами и выбор методов их закрепления. — «Шахтное строитель-
ство», 1973, № 12, с. 14—17.
71.	Распределение напряжений в породных массивах. М.,
«Недра», 1972. Авт.: Г. А. Крупенников, Н. А. Филатов, Б. 3. Амусин,
В. М. Барковский, 144 с.
72.	Л е х н и ц к и й С. Г. Распределение напряжений вблизи гори-
зонтальиой выработки эллиптического сечения в трансверсально-изотропном
массиве с наклонными плоскостями анизотропии. — В кн.: «Механика твер-
дого тела», 1966, с. 54—62.
73.	Либерман Ю. М. Естественное напряженное состояние мас-
сива горных пород. — В сб.: Вопросы прочности 'подземных сооружений.
Труды ВНИИСТ, 1962, вып. 12, с. 15—18.
74.	Р а с ч е т крепи шахтных стволов. М., Изд-во АН СССР, 1962. Авт.:
К. В. Руппенейт, Ю. М. Либерман, В. В. Матвиенко, Ю. А. Песляк, 124 с.
75.	С а в и н Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. М.,
Наука», 1968, 887 с.
76.	Р о д и н И. В. К вопросу о решении задач гравитационного давле-
ния горного массива на крепи подземных выработок. — Докл. АН СССР.
М., Изд. АН.СССР.Д951, № 3, с. 421-424.	'
77.	Л е х н и ц к и й С. Г. Анизотропные пластинки. М., ГостехизДат,
1947, 463 с.
78.	Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи матема-
тической теории упругости. М., Изд-во АН СССР, 1954, 707 с.
79.	П а л ь м о в В. А. Упругая плоскость с отверстием случайной
формы. Труды ЛИИ. Л., изд. ЛИИ, 1964, № 235, с. 35—40.
80.	Соколовский В. В. -Статика, сыпучей среды. М., Физматгиз,
1960, 275 с.
81.	Б е р е з а н ц е в В. Г. Осесимметричная задача теории предель-
ного "равновесия. М,, Гостехиздат, 1952, 120 с.
82.	К а ц а у р о в И. Н. Горное давление. Вып. II. Механика горных
пород. М., изд. МГИ, 1972, 264 с.
83.	Т и х о н о в В. И. Статистическая радиотехника. М., «Советское
радио», 1966, 678 с^
84.	Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных
функций. М., «Наука», 1968, 463 с.
85.	Руппенейт К. В., Бронштейн М. И., Долгих М. А*
Решение осесимметричной упругопластической задачи для анизотропного
грунта. — «Основания, фундаменты и механика грунтов», 1973, № 4,
с. 26—29.
86.	Баклашов И. В., Картозия Б. А. Учет технологиче-
ской неоднородности и анизотропии породного массива в решении вопросов
горного давления. — «Шахтное строительство», 1971, № 12, с. 10—14.
87.	Баклашов И. В., Картозия Б. А. Некоторые задачи
механики неоднородно-анизотропных горных пород. Тезисы докладов на
268-
Всесоюзной конференции по физике горных пород. М., изд. МГИ, 1971, '
с. 43—44.
88.	Баклашов И. В., Картозия Б. А. Определение нагрузки
на крепь выработок с учетом технологической неоднородности и анизотропии.
Тезисы докладов на конференции «Крепление и охрана Горных выработок
в условиях поддержания». Ткибули, 1971, с. 47—48.
* 89. Б а к л а ш о в И. В., Картозия Б. А. Влияние трещино-
ватости взрывного происхождения на величину нагрузки на крепь выра-
боток. — В кн.: Горностроительные и взрывные работы. Тула, изд. ТПИ,
вып. I, 1973, с. 136-141.
90.	П л о т н и к ,о в М. М. О влиянии коэффициента Пуассона на
поле напряжений неодиородно-анизотропного цилиндра. — «Известия
ВУЗов». «Машиностроецие», 1967, № 11, с. 32—35.
91.	Протосеня А. Г. Оценка влияния неровностей контура на
напряженное состояние упруго-ползучего массива горных йород. В сб.:
«Новые исследования‘в Горном деле». Изд. ЛГИ, 1969, с. 67—73.
92.	С а ж и н В. С. Определение области неупругих деформаций с учетом
изменения сцепления породы. — В кн.: Основания, фундаменты и подземные
сооружения. М., Стройиздат, 1967, с. 166—169.
93.	Г о г и я Э. К. Исследование горного давления и выбор конструк-
ции крепи капитальных горных выработок глубоких шахт Ткибули-Шаор-
ского месторождения, Дисс. на соиск. уч. степ. канд. техн. иаук. Донецк,
ДГИ, 1973, 163 с.	4	"
94.	Б о к и й Б. В., Обручев Ю. С., Прото с-е ня А. Г.
Расчет нагрузок иа крепь вертикальных стволов при больших глубинах. —
«Шахтное строительство», 1974,-№ 1, с. 4—6.
95.	Долгих М. А., Руппенейт К. В. К вопросу об оценке
прочности незакрепленных выработок кругового поперечного сечения. —
Основания, фундаменты и механика грунтов, 1963, № 6, с. 16—19.
96.	Кравченко Г. И., Асанов В. А., Койставти.
нова С. А. Устойчивость горизонтальных выработок в породах, склонных
к динамическим проявлениям горного давления. Доклад на всесоюзной науч-
ной конференции вузов СССР по физике горных пород и процессов. Изд. МГИ,
1974, с. 66-67.
97.	Баклашов И. В. К расчету нагрузки на крепь горизонтальных
выработок в условиях сводообразования. — «Шахтное строительство», № 3,
1965, с. 13—15.
98.	А й з а к с о н Э. Давление горных пород в шахтах. М., Гоегор-
техиздат, 1961, 176 с.
99.	Взаимодействие массивов горных* пород с крепью вер-
тикальных выработок. М., «Недра», 1966. 314 с. Авт.: Крупенников Г. А.,
Булычев Н. С., Козел А. М., Филатов Н. А,
100.	Brace W. F. Brittle fracture of rocks,-state of stress in the Farth’s
crust (W. R. judd, Ed.), p. 110—178. Elsevier, N. I., 1964.	•
101,	Baria Y. A method for the analysis of stress in Brittle rock. jnt.
j. of Rock Mec. Min. Sci, 1972, vol. 9, № 1, p. 87—102.
102.	Griffith A. A. The Phenomenon of rupture and flow in solids.
Phil. Trans. Roy. Soc., 1920, A. v. 221, p. 150—160.
269
103.	Griffith A. A. The theory of rupture. Proceedings ot I-st Inter-
national Cong. Appl. Meeh., Delft, 1924, p. 55—63.
104.	J rw i n G. R. Fracture’dynamics, in «Fracturing of Metals», —
ASM, Cleveland, 1948, p. 147—166.
105.	О г о w a n E. 0. Fundamentals of brittle behaviar of metals, in
«Fatique Fracture of Metals», Wiley, N. J., 1950, p. 139—167.
106.	Brady В. T. A statistical Theory of brittle fracturing for Rflth
Materials. — Int. J. Roch. Meeh. Min. Sci, f.969, v. 6, № 1, p. 21—42.
107.	Salustowicz A. Gzynnik czask. w ZagadmemaCh mechaniki
gorotwory, — Prezeglad Gomiczy, 1959, № 1—2, p. 4—8.
108.	V о 11 e г г a V. Teory of Functionals and of Integral and Integra —
Differintial Equations. London, a. Glasgow, 1931, 226 p.
ОГЛАВЛЕНИЕ
,		Стр.
Предисловие • >.•**••»•••*•»•..........................•	. .
Глава I. - Основные положения и задачи механики горных пород « *	5
§ 1.	Механика горных пород как фундаментальный раздел гор-
ной науки ................................................ 5
§ 2.	Учение о механических свойствах и структурно-механиче-
ских особенностях горных пород............................ 7
§ 3.	Учение о механических процессах в массивах горных по-
род ...................’................................. 10
§ 4.	Инженерные 'задачи механики горных пород........... 12
§ 5.	Общие сведения о методах исследования в механике горных
пород ..................................................  14
Глава II. Основные уравнения н модели механики сплошной среды
для породных массивов......................................   17
§ 6.	Напряженное состояние в точке..................... 17
§ 7.	Деформированное	состояние в точке................. 25
§ 8.	Уравнения равновесия.............................. 30
§ 9.	Геометрические уравнения.......................... 33
§ 10.	Физические уравнения.............................. 35
Глава III. Механические свойства горных пород................. 53
§11.	Деформационные свойства........................... 53
§ 12.	Прочностные свойства.............................. 59
§ 13.	Прочность горных пород в объемном напряженном состо-
янии ................................................... 64
§ 14.	Реологические свойства............................ 74
Глава IV. Структурно-механические особенности массивов горных
пород .....................................................   81
§ 15.	Массив горных пород и его сплошность.............. 81
§ 16.	Трещиноватость и слоистость....................... 83
§ 17.	Естественная неоднородность и анизотропия......... 90
§ 18.	Искусственная неоднородность и анизотропия........ 93
§ 19.	Начальное напряженное состояние породных массивов .	99
Глава V. Аналитические методы исследования механических про-
цессов в массивах горных пород...........................  .	107
§ 20.	Особенности постановки задач..................... 107
§ 21.	Методы теории упругости,......................... 117
§ 22.	Методы' теории пластичности...................... 135
§ 23.	Методы теории ползучести......................... 154
§ 24.	Статистические методы............................ 1Д4
271
Стр.
Глава VI. Механические процессы и проявления горного давлении
в линейно деформируемых породных массивах.................; .	171
$ 25.	Однородно-изотропные породные массивы.............. 171
§ 26.	Неоднородно-анизотропные породные массивы.......... 177
§ 27.	Учет фактора времени............................... 189
§ 28.	Влияние формы контура выработки.................... 198
Глава VII. Механические процессы и проявления горного давле-
ния в нелинейно деформируемых породных массивах и при образова-
нии областей предельного равновесия пород..................... 212
§ 29.	Нелинейное деформирование породных массивов ....	212
§ 30.	Образование областей предельного равновесия в окре-
стности горных выработок.......................... .	218
§ 31.	Предельное равновесие породных обнажений........... 230
Глава VIII. Взаимодействие породного массива с крепью горных
выработок ’	  235
§ 32.	Расчетные	схемы........................... 235
§ 33.	Прочность	незакрепленных	выработок................ 244
§*34.	Нагрузка на крепь в условиях сводообразования ....	248
§ 35.	Нагрузка на крепь в условиях совместного деформирова-
ния крепи и массива...................................... 256
Список литературы............................................   264
Игорь Владимирович Баклашов
Борис Арнольдович Картозия
механика Горных пород
Редактор издательства Э. Н. Чернегова
Переплет художника А. Е. Григорьева
Художеств, редактор О. Н. Зайцева
ические редакторы В. В. Соколова, 3. А. Болдырева
Корректор Т. М. Столярова
в набор 1/IV 1975 г. Подписано в печать 23/VII 1975 г. Т-10467.
X 90*/,». Бумага 2. ПеЧ. л. 17,0, Уч.-ивд. л. 18,5. Тираж 6300 экз.
Заказ 194/4765-9. Цена 1р. 09 к.
ельство «Недра». 103633, Москва, К-12, Третьяковский проезд, 1/19.
Ленинградская типография JU 6 Союзполиграфпрома прв Государственном
комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли. 196006, Ленинград, Московский пр., 91.