В. М. БУХШТАБЕР
Т. Е. ПАНОВ
ТОРИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ
В ТОПОЛОГИИ
И КОМБИНАТОРИКЕ
Москва
Издательство МЦНМО
2004

УДК 515.164.8 Издание осуществлено при поддержке РФФИ
ББК 22.152 (издательский проект № 03-01-14115).
Б94
Бухштабер В.М., Панов Т.Е.
Б94 Торические действия в топологии и комбинаторике. — М.:
МЦНМО, 2004. —272 с: ил.
ISBN 5-94057-145-Х
Цель настоящей книги — ввести читателя в обширную область исследований, бо-
богатую фундаментальными результатами и важными приложениями. Она формируется
последние тридцать лет на основе взаимопроникновения идей, методов и достижений
комбинаторной геометрии и топологии, алгебраической топологии и геометрии, гомо-
гомологической алгебры, теории особенностей, а в самое последнее время и дискретной
математической физики.
Среди топологических и комбинаторных объектов, изучаемых в книге, присут-
присутствуют как классические, так и появившиеся совсем недавно. Это — выпуклые мно-
многогранники, симплициальные и кубические комплексы, симплициально клеточные
разбиения, триангуляции сфер и более общих многообразий, пространства триан-
триангуляции, алгебраические торические многообразия и различные топологические ана-
аналоги их, момент-угол комплексы, представляющие собой новый класс торических
действий, конфигурации подпространств и их дополнения.
В книге излагаются яркие результаты, обязанные глубоким связям геометрии,
топологии, комбинаторики и гомологической алгебры. Приводится ряд классических
и современных конструкций, позволяющих эффективно использовать эти связи. Кни-
Книга содержит большой список открытых проблем.
ББК 22.152
© В.М. Бухштабер, Т.Е.Панов, 2004.
ISBN 5-94057-145-Х © МЦНМО, 2004.

Оглавление
Введение 5
Глава 1. Многогранники 14
1.1 Определения и основные конструкции 14
1.2 /-векторы и соотношения Дена—Соммервилля 22
1.3 g-теорема 26
1.4 Теоремы о верхней и нижней границе 31
1.5 Кольцо Стенли—Райснера простого многогранника 34
Глава 2. Топология и комбинаторика симплициальных комплексов 35
2.1 Основные понятия кусочно-линейной (PL-) топологии .... 35
2.2 Операции над симплициальными комплексами 39
2.3 Симплициальные сферы и я-диаграммы 48
2.4 Триангулированные многообразия 53
2.5 Звездные подразбиения и бизвездные преобразования .... 56
Глава 3. Коммутативная алгебра симплициальных комплексов 60
3.1 Кольца Стенли—Райснера симплициальных комплексов ... 61
3.2 Резольвенты и функтор Тог . 64
3.3 Гомологические свойства колец граней 71
3.4 Регулярные последовательности и алгебры Коэна—Маколея 73
3.5 Симплициальные комплексы Коэна—Маколея 78
3.6 Горенштейновы комплексы и соотношения Дена—Соммер-
Дена—Соммервилля 81
Глава 4. Симплициально клеточные комплексы 85
4.1 Основные определения 85
4.2 Кольца граней 87
4.3 Свойства Коэна—Маколея и Горенштейна 91
Глава 5. Кубические комплексы 96
5.1 Обзор основных понятий и области приложений 96
5.2 Кубические разбиения многогранников и комплексов 99
Глава 6. Действия тора на многообразиях 106
6.1 Торические многообразия 107

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
6.2 Локально стандартные действия тора и многообразия с углами 118
6.3 Квазиторические многообразия 120
6.4 Стабильно комплексные структуры и кобордизмы . '. 129
6.5 Комбинаторные формулы для родов Хирцебруха 135
6.6 Проблемы классификации 144
6.7 Top-многообразия и другие действия тора 146
Глава 7. /(-степени пространств и торические действия 161
7.1 Многообразия 2?Ру определяемые простыми многогранниками 161
7.2- Инвариантные подкомплексы в полидиске и /(-степени . . .165
7.3 Клеточные разбиения момент-угол комплексов 168
7.4 Соединения, связные суммы и бизвездные преобразования .171
7.5 Конструкция Бореля и пространство Дэвиса—Янушкиевича 174
7.6 Обзор смежных конструкций 179
Глава 8. Когомологии /(-степеней 183
8.1 Алгебра когомологии комплекса 2?к 183
8.2 Биградуированные числа Бетти комплекса 2?к 193
8.3 Биградуированные числа Бетти для симплициальных сфер . 197
8.4 Произведения Масси в когомологиях 2?к 201
8.5 Факторпространства многообразия &Р 204
8.6 Двойственность Пуанкаре и соотношения Дена—Соммер-
вилля 209
8.7 Минимальные триангуляции многообразий 215
Глава 9. Топология конфигураций подпространств 219
9.1 Конфигурации общего вида и их дополнения 219
9.2 Конфигурации координатных подпространств 222
9.3 Конфигурации диагональных подпространств 229
Приложение А. Действия групп и эквивариантные когомологии 232
Приложение Б. Характеристические классы и кобордизмы 236
Приложение В. Дифференциальные градуированные алгебры 240
Приложение Г. Произведения Масси 246
Приложение Д. Спектральная последовательность Эйленберга—
Мура 249
Литература 252
Предметный указатель 266

Введение
Обзор тематики
Изучение действий торов на топологических пространствах является
одной из наиболее разработанных областей эквивариантной топологии,
хорошо известной фундаментальными результатами. Вопросы, связанные
с торическими действиями, регулярно возникают в совершенно различных
областях математики и математической физики, что обеспечивает посто-
постоянный интерес к теории действий торов, мощный источник ее приложений
и проникновение новых идей в топологию. Различным аспектам обширной
теории действий групп посвящено множество обзоров и монографий. При-
Применению методов алгебраической топологии к изучению компактных топо-
топологических групп преобразований посвящены монографии Бредона [61]
и Сяна [107]. Описанные в них общие подходы в случае торов приводят
к наиболее глубоким следствиями. В монографии Оден [44] действия торов
изучаются с точки зрения симплектической геометрии. Изучение действий
торов в алгебраической геометрии привело к возникновению бурно разви-
развивавшейся в последние 30 лет «геометрии торических многообразий», или
просто «торической геометрии». Систематическое изложение ее началось,
по существу, со ставшего классическим обзора Данилова [14]. Затем по-
появились монографии Оды [137], Фултона [93] и Эвальда [90].
Пространство орбит действия тора несет богатую комбинаторную
структуру. Во многих случаях изучение комбинаторики пространства
орбит является простейшим и наиболее эффективным способом опи-
описания топологии самого пространства с действием тора. Замечательно,
что этот подход работает также и обратном направлении: в терминах
топологических инвариантов пространств с действием тора удается ин-
интерпретировать и доказывать весьма тонкие комбинаторные результаты
топологически. В наиболее регулярных случаях (таких как проективные
торические многообразия или гамильтоновы действия торов на симплекти-
ческих многообразиях) пространство орбит канонически отождествляется
с выпуклым многогранником, комбинаторная и геометрическая структура
которого полностью восстанавливает действие. Более общие действия то-
торов приводят к другим интересным комбинаторным структурам, связанным

6 Введение
с их пространствами орбит. Среди таких структур выделим симплициаль-
ные сферы, триангулированные многообразия, общие симплициальные
комплексы, симплицнально клеточные комплексы, многообразия с угла-
углами, кубические комплексы, конфигурации подпространств и т.д. На этом
пути получили развитие новые направления исследований: в топологии
это изучение многообразий с углами, а в дискретной и комбинаторной
геометрии — изучение пространств триангуляции многообразий и конфи-
конфигураций.
Эта книга задумывалась как систематическое и в то же время доста-
достаточно элементарное изложение аспектов топологической теории действий
торов, имеющих наибольшее отношение к комбинаторике. Нашей целью
было изложить наиболее яркие результаты, обязанные глубоким связям
топологии и комбинаторики. В качестве читателей мы видим как тополо-
топологов, так и специалистов по комбинаторике. В связи с этим необходимо
сразу предупредить, что требования к читателю не сбалансированы между
топологией и комбинаторикой (что отражает тот факт, что в эту тематику
мы вошли со стороны топологии). В нашем изложении мы не предполага-
предполагаем никаких специальных знаний в комбинаторике. В то же время знание
основных элементов теории характеристических классов и техники спек-
спектральных последовательностей окажется весьма полезным при прочтении
последних глав. Все необходимые сведения по алгебраической топологии
содержатся, например, в книге Новикова [22] (которую мы рекомендуем
в силу ее компактности, совмещенной с большим вниманием к ключевым
идеям и базисным результатам, в том числе и комбинаторным аспектам то-
топологии). Среди других учебников топологии, наиболее подходящих по духу
к нашему изложению, выделим [29] и [149]. Идя навстречу читателю, мы
приводим большинство необходимых сведений из топологии в основном
тексте и в четырех приложениях.
Выделим два аспекта топологической теории действий торов, которым
в книге уделено особое внимание.
Во-первых, широкий класс многообразий с действием торов возника-
возникает благодаря перенесению в топологию достижений геометрии торических
многообразий. Это один из признанных случаев, когда область алгебраиче-
алгебраической геометрии, вобрав в себя многие топологические методы и результаты,
затем сама служит источником новых идей и направлений исследований
в топологии. Совместное применение методов комбинаторики, топологии
и алгебраической геометрии стимулировало развитие торической геомет-
геометрии в течение последних трех десятилетий. Получившееся в итоге слияние
идей обогатило все эти области исследований большим количеством заме-
замечательных результатов. С начала 1990-х годов идеи торической геометрии
стали проникать в топологию.

Введение . 7
Имеется два подхода к определению торического многообразия. Во-
первых, компактное торическое многообразие можно определить как эк-
вивариантную компактификацию алгебраического тора (С*)я (построение
таких компактификаций и было отправной точкой в развитии геометрии то-
рических многообразий). С другой стороны, имеется более синтетический
подход, позволяющий строить торические многообразия, исходя из комби-
комбинаторных объектов, называемых веерами. В ряде важных случаев вееры
происходят из выпуклых многогранников. Пространство орбит неособого
компактного проективного торического многообразия относительно дей-
действия компактного тора Тп с (Ся)* можно отождествить с простым много-
многогранником, «двойственным» к соответствующему вееру. Кроме того, дей-
действие компактного тора на неособом торическом многообразии является
«локально стандартным», т. е. локально моделируется диагональным дей-
действием тора на Ся.
В своей пионерской работе [79] М.Дэвис и Т. Янушкиевич приняли
эти два свойства за отправную точку в построении топологических ана-
аналогов торических многообразий — квазиторических многообразий. Ква-
зиторическое многообразие представляет собой компактное многообра-
многообразие М2п с локально стандартным действием тора Тп, пространство орбит
которого является (комбинаторным) простым многогранником. Как оказа-
оказалось, большинство топологических результатов о торических многообра-
многообразиях переносится на этот значительно более широкий класс действий тора.
Альтернативное далеко идущее обобщение компактных неособых ториче-
торических многообразий было введено М.Масудой и Т.Хаттори в работах [123]
и [102] под названием тор-многообразий.
Top-многообразие представляет собой гладкое многообразие М2п с дей-
действием тора Гя, множество неподвижных точек которого непусто, и вы-
выбранными ориентациями некоторых выделенных подмногообразий. Класс
тор-многообразий включает в себя все неособые компактные торические
многообразия и квазиторические многообразия. Ограничения на действия
тора здесь значительно слабее по сравнению с квазиторическими много-
многообразиями. Тем не менее, тор-многообразия все равно допускают комби-
комбинаторное описание, аналогичное конструкции торического многообразия
по вееру. Top-многообразия представляются наиболее подходящей обла-
областью для исследования взаимосвязей между топологией действий торов
и комбинаторикой пространства орбит в случае действий торов половин-
половинной размерности.
Другое перспективное направление связано с недавно введенным поня-
понятием /(-степеней пространств. По каждому симплициальному комплексу К
на m вершинах и паре пространств (X, W) можно построить подмноже-
подмножество (X, W)KcXm в произведении m копий X, называемое К -степенью

б Введение
пары (X, W). Частными случаями /(-степени с W — (точка) являются бу-
букет т копий X (в случае, когда К имеет лишь нульмерные, симплексы),
произведение т копий X (когда К есть полный симплекс с т верши-
вершинами) и толстый букет (когда К есть граница симплекса). Важнейший
пример /(-степени возникает в случае X —D2 B-диск) и W =Sl (гранич-
(граничная окружность). Соответствующая /(-степень 3fK := (D2, S1)*, которую
мы также называем момент-угол комплексом, несет каноническое дей-
действие m-мерного тора Тту индуцированное из стандартного диагонального
действия на полидиске (D2)m. Эквивалентная конструкция пространства
2?к появлялась также в работах М.Дэвиса и Т. Янушкиевича и была мо-
мотивирована (см. [78, §13]) конструкцией комплекса Кокстера для группы
Кокстера и его обобщениями, рассмотренными Э. Б. Винбергом [13].
Комплекс 2?к имеет каноническое клеточное разбиение с естествен-
естественной биградуировкой. Наличие дополнительной градуировки в когомологиях
приводит к важным комбинаторным последствиям. Конструкция простран-
пространства 2?к определяет функтор из категории симплициальных комплексов
и симплициальных отображений в категорию пространств с действием то-
тора и эквивариантных отображений. Одним из замечательных свойств этого
функтора является тот факт, что он переводит пару Лефшеца симплици-
симплициальных комплексов (/(,, /(г) (т.е. такую пару, что К\ \ /(г является откры-
открытым многообразием) в другую пару Лефшеца соответствующих комплексов
2?к- Например, если сам комплекс К задает триангуляцию многообразия,
то пара симплициальных комплексов (/(, 0) переходит в пару {&к, 2?0),
где 2f0 = Tm и 2?к\2?в есть открытое многообразие. Изучение функто-
функтора К *-* &к позволяет интерпретировать комбинаторные свойства симпли-
симплициальных комплексов в терминах биградуированных колец когомологий
соответствующих комплексов 2ГК. В случае, когда К задает триангуля-
триангуляцию многообразия, дополнительная комбинаторная информация возникает
за счет биградуированной двойственности Пуанкаре в когомологиях па-
пары Лефшеца BfK, 2f0). В частности, из этой двойственности вытекают
обобщенные соотношения Дена—Соммервилля для чисел ^-мерных гра-
граней в триангулированном многообразии.
Важным источником приложений топологических и алгебраических ме-
методов в комбинаторике является теория колец Стенли—Райснера (также
известных как кольца граней) и симплициальных комплексов Коэна—Ма-
колея, основы которой были заложены в монографии Стенли [159]. Эта
теория существенно опирается на методы коммутативной и гомологической
алгебры, которые также играют важную роль в описываемой нами тополо-
топологической теории действий торов, как в ее части, связанной с торическими
многообразиями, так и в связи с /(-степенями пространств. В частности,
мы доказываем, что кольцо биградуированных когомологий пространства

Введение ' 9
. изоморфно Tor-алгебре кольца Стенли—Райснера симплициального
комплекса К.
Изучение этой алгебры при помощи комплекса Кошуля приводит к
построению в ней нетривиальных произведений Масси. Тем самым мы по-
получаем широкий класс наглядных примеров многообразий 2?к, имеющих
нетривильные произведения Масси в когомологиях, и в частности, не яв-
являющихся формальными в смысле рациональной теории гомотопий.
Нашей целью было расширение существующего моста между теорией
торических действий и комбинаторикой путем введения и изучения новых
конструкций пространств с действием торов, которые имеют непосред-
непосредственную комбинаторную интерпретацию. Мы также излагаем ряд важных
известных топологических результатов о действиях торов таким образом,
что на первый план выходит из связь с комбинаторикой.
Традиционно, симплициальные комплексы, или триангуляции, исполь-
использовались в топологии как инструмент изучения топологических инвари-
инвариантов многообразий и пространств комбинаторными методами. С другой
стороны, триангуляции сами по себе являются структурами, представляю-
представляющими самостоятельный интерес. Таким образом возникает задача изучения
различных пространств триангуляции. В последнее время эта задача при-
привлекла также внимание в связи с вопросами, пришедшими из физики.
Комбинаторные проблемы, связанные с числами граней данной размер-
размерности в триангуляциях, можно эффективно исследовать, рассматривая их
как задачи минимизации функций на пространствах триангуляции. В нашей
книге мы развиваем этот подход, параллельно привлекая к исследованию
пространств триангуляции методы эквивариантной топологии.
Книга состоит из 9 глав, главы содержат разделы, разделы часто под-
разбиваются на параграфы. Каждая глава и большинство разделов книги
снабжены дополнительными вводными замечаниями. Для того, чтобы чи-
читатель представил себе содержание книги в целом, мы начинаем со следу-
следующего небольшого обзора.
Путеводитель по главам
В главе 1 мы приводим необходимые комбинаторные и геометриче-
геометрические сведения о выпуклых многогранниках. Так как этой теме посвящено
большое количество литературы (см., например, недавно вышедшие лекции
Циглера [169], где можно найти большое количество дальнейших ссылок),
мы лишь даем небольшой обзор определений и конструкций, используе-
используемых в книге. Хотя большинство этих конструкций происходят из выпуклой
геометрии, мы старались подчеркнуть их комбинаторные свойства. Раз-
Раздел 1.1 содержит два классических определения многогранников, приме-

10 Введение
ры, понятия простого и симплициального многогранника и конструкцию
связной суммы простых многогранников. В разделе 1.2 мы вводим поня-
понятия /- и Л-вектора многогранника и приводим доказательство соотноше-
соотношений Дена—Соммервилля для чисел граней простого (или симплициально-
симплициального) многогранника, основанное на идеях, «подсказанных» теорией Мор-
Морса. Раздел 1.3 посвящен так называемой g-теореме— одному из основ-
основных результатов, связанных с числами граней многогранников. Эта тео-
теорема дает полную характеризацию целочисленных векторов, возникающих
как /-векторы (т. е. векторы чисел граней) простых (или симплициальных)
многогранников, и с ней связано множество нерешенных проблем ком-
комбинаторики. В разделе 1.4 мы обсуждаем теоремы о верхней и нижней
границах для числа граней простого (или симплициального) многогран-
многогранника. В разделе 1.5 мы вводим понятия кольца граней (кольца Стенли—
Райснера) простого многогранника.
Симплициальные комплексы в полной общности впервые появляются
в главе 2. В разделе 2.1 мы определяем абстрактные и геометрические
симплициальные комплексы (полиэдры) и приводим ряд базовых поня-
понятий из кусочно-линейной топологии. В разделе 2.2 мы описываем опера-
операции над симплициальными комплексами (барицентрическое подразбиение,
соединение, связная сумма и т.д.). Здесь же мы также обсуждаем двой-
двойственность Александера и ее интерпретацию на уровне симплициальных
комплексов. С самого начала развития топологии особый интерес пред-
представляли триангуляции «хороших» пространств, таких как многообразия
или сферы. Триангуляции сфер или «симплициальные сферы» обсужда-
обсуждаются в разделе 2.3. Здесь мы также обсуждаем взаимосвязи между раз-
различными специальными классами триангуляции сфер (такими как PL-сфе-
PL-сферы, границы многогранников и т.д.) и рассматриваем одну знаменитую
комбинаторную проблему — так называемую g-гипотезу для чисел граней
симплициальных сфер. Триангулированные (или симплициальные) много-
многообразия появляются в разделе 2.4; здесь также обсуждаются проблемы
маломерной и кусочно-линейной топологии, связанные с триангуляциями
многообразий. Понятие бизвездных преобразований, как особо интересный
и важный класс операций над симплициальными комплексами, обсужда-
обсуждается в разделе 2.5.
В главе 3 мы даем обзор понятий коммутативной и гомологической ал-
алгебры, используемых при изучении комбинаторики симплициальных ком-
комплексов и топологии действий тора. Понятие кольца Стенли—Райснера
(или кольца граней) симплициального комплекса вводится в разделе 3.1.
Раздел 3.2 содержит необходимые базовые конструкции из гомологической
алгебры, такие как резольвенты и функтор Тог, которые затем применяют-
применяются к кольцам Стенли—Райснера в разделе 3.3. В последних трех разделах

Введение ' 11
обсуждаются важные для комбинаторных и топологических приложений
классы колец и комплексов Коэна—Маколея и Горенштейна. Класс горен-
штейновых комплексов содержит все симплициальные сферы и, в некото-
некотором смысле, является «наилучшим алгебраическим приближением» к ним.
Несмотря на обширность используемого аппарата коммутативной и го-
гомологической алгебры, мы попытались сделать эту главу как можно более
самодостаточной и привели по крайней мере наброски доказательств боль-
большинства алгебраических утверждений. Глава заканчивается обсуждением
некоторых обобщений соотношений Дена—Соммервилля.
В главе 4 рассматривается более широкий класс комбинаторно-топо-
комбинаторно-топологических объектов — так называемые симплициально клеточные ком-
комплексы, дающие геометрическую реализацию симплициальных частично
упорядоченных множеств. В отличие от симплициальных комплексов, сим-
симплексы в симплициально клеточном комплексе могут пересекаться более
чем по одной грани. Мы показываем, что на этот класс объектов пере-
переносится большинство алгебраических конструкций из предыдущей главы,
и они играют весьма важную роль в изучении действий тора.
Глава 5 посвящена кубическим комплексам. В разделе 5.1 мы приводим
основные определения и обсуждаем ряд интересных проблем, происходя-
происходящих из дискретной геометрии. В разделе 5.2 мы описываем ряд конструк-
конструкций кубических комплексов, играющих важную роль в теории К -степеней
и момент-угол комплексов. В частности, мы вводим канонические кубиче-
кубические разбиения простых многогранников и симплициальных комплексов.
Оставшаяся часть книги посвящена различным аспектам действий
торов.
Глава 6 начинается с обзора алгебраической геометрии торических мно-
многообразий. Мы уделяем особое внимание тем свойствам торических мно-
многообразий, которые затем будут приняты за отправную точку в построе-
построении их различных топологических обобщений. Мы также приводим при-
принадлежащее Стенли знаменитое доказательство необходимости условий
g-теоремы, являющееся одним из наиболее замечательных приложений
алгебраической геометрии в комбинаторике многогранников. Оставшаяся
часть этой главы посвящена изучению топологии квазиторических мно-
многообразий и тор-многообразий — уже обсуждавшихся выше двух незави-
независимых топологических обобщений торических многообразий. Каждый раз
мы старались подчеркивать тесные взаимосвязи топологических резуль-
результатов с комбинаторикой. В этой главе, как и далее, важную роль играют
алгебраические и комбинаторные конструкции из предыдущей части книги.
В главах 7 и 8 мы изучаем действия торов на К -степенях и момент-угол
комплексах. Раздел 7.1 мы начинаем с построения по каждому простому
многограннику Р многообразия &Р с действием тора. Общее определение

12 Введение
комплекса 2?к приводится в разделе 7.2 и использует конструкции кубиче-
кубических комплексов из раздела 5.2. Здесь же доказывается, что комплекс 2?к
является многообразием, если К есть триангуляция сферы. В разделе 7.3
вводятся два канонических биградуированных клеточных разбиения по-
полидиска, определяющих клеточную структуру на момент-угол комплексах.
В разделе 7.4 изучаются различные функториальные свойства конструк-
конструкции пространства &к по отношению к операциям над симплициальными
комплексами из раздела 2.2. В разделе 7.5 мы начинаем изучение эквива-
риантной топологии и гомотопических свойств комплекса &к и связанных
с ним пространств. Целью завершающего раздела 7.6 является изложение
более широкого взгляда на конструкции квазиторических многообразий,
тор-многообразий и комплексов &к. Здесь мы обсуждаем различные вза-
взаимосвязи, аналогичные конструкции и возможные обобщения.
В главе 8 изучается алгебра когомологии комплекса &к и ее взаимосвя-
взаимосвязи с алгебраическими и комбинаторными конструкциями из первой части
книги. Раздел 8.1 содержит доказательства основных результатов (в част-
частности, об изоморфизме когомологии 2?к и Tor-алгебры кольца Стенли—
Райснера комплекса К) и ряд примеров. Важнейшие общие свойства би-
биградуированных чисел Бетти комплекса &к описаны в разделе 8.2. В раз-
разделе 8.3 получены некоторые дополнительные результаты в случае, когда К
является триангуляцией сферы. В разделе 8.4 приводится конструкция
симплициальной сферы К такой, что в когомологиях соответствующего
многообразия ??к имеются нетривиальные произведения Масси. В раз-
разделе 8.5 изучаются факторпространства многообразия 3?Р по действиям
торических подгрупп Н сТт. Квазиторические многообразия возникают
в этой ситуации как факторпространства, соответствующие свободно дей-
действующим подгруппам максимального возможного ранга. В оставшейся
части главы исследуются взаимосвязи полученных результатов с комби-
комбинаторикой триангулированных многообразий.
В главе 9 теория К -степеней применяется к изучению топологии допол-
дополнений конфигураций подпространств. В разделе 9.1 дан небольшой обзор
общей теории конфигураций подпространств. Затем мы переходим к рас-
рассмотрению координатных конфигураций в разделе 9.2 и диагональных кон-
конфигураций в разделе 9.3. В частности, мы вычисляем кольцо когомологии
дополнения конфигурации координатных подпространств путем сведения
к когомологиям комплекса 2fK. Это также открывает некоторые замеча-
замечательные взаимосвязи между результатами из коммутативной алгебры и то-
топологическими результатами о конфигурациях подпространств. В случае
диагональной конфигурации когомологии ее дополнения включаются в ка-
качестве канонического подпространства в когомологии пространства петель
на комплексе 2fK.

Введение * 13
В конце книги в четырех приложениях мы собрали необходимые све-
сведения из топологии, используемые в различных главах.
Большинство новых понятий в книге поясняются соответствующими
примерами. Мы также приводим примеры вычислений, иллюстрирующих
общие теоремы. Читатель также столкнется с большим количеством от-
открытых проблем. Некоторые из них приводятся впервые, другие являются
давно известными гипотезами. В большинстве случаев мы старались дать
топологическую интерпретацию соответствующего вопроса, надеясь, что
она может привести к новому подходу к его решению.
При написании данной книги мы существенно опирались на нашу кни-
книгу [67], вышедшую на английском языке. Ее содержание было существенно
расширено и переработано за счет развития заложенных в ней идей и но-
новых результатов, полученных нами и нашими коллегами.
Благодарности
Авторы глубоко признательны Сергею Петровичу Новикову, влияние
которого на наше топологическое образование и вкусы трудно переоце-
переоценить. Мы также особо благодарны Найджелу Рэю (Nigel Ray), в ходе
многолетнего плодотворного сотрудничества с которым родился ряд идей,
нашедших отражение в книге. Мы благодарим Левана Аланию, Ивана
Аржанцева, Илью Баскакова, Виктора Васильева, Фолькмара Велькера
(Volkmar Welker), Наталью Добринскую, Николая Долбилина, Майк-
Майкла Дэвиса (Michael Davis), Ивана Изместьева, Франка Лютца (Frank
Lutz), Микию Масуду (Mikiya Masuda), Олега Мусина, Анджея Раниц-
кого (Andrew Ranicki), Элмера Риса (Elmer Rees), Владимира Смирнова,
Джеймса Сташеффа (James Stasheff), Нила Стрикланда (Neil Strickland),
Сергея Тарасова, Михаила Фарбера, Константина Фельдмана, Райнера
Фогта (Rainer Vogt), Понтера Циглера (Gunter Ziegler), Юсуфа Чивана
(Yusuf Civan), Алексея Чернавского, Михаила Штанько, Михаила Што-
Штогрина и Сергея Юзвинского за стимулирующие обсуждения результатов,
вошедших в книгу. Мы признательны Российкому Фонду Фундаменталь-
Фундаментальных Исследований за поддержку исследовательскими грантами в течение
всей работы над книгой и за грант в поддержку ее издания.

Глава 1
Многогранники
1.1. Определения и основные конструкции
Комбинаторные и геометрические аспекты теории выпуклых многогран-
многогранников изложены в большом количестве учебников и монографий. В первую
очередь среди них мы отметим классическую монографию Грюнбаума [98]
и более современные лекции Циглера [169]. Комбинаторным аспектам те-
теории посвящены книги Макмюллена—Шефарда [130], Брёнстеда [64],
Емеличева—Ковалева—Кравцова [18], а также обзорная статья Кли и
Клейншмидта [115]. В этих источниках можно найти большое количество
дополнительных ссылок. Здесь мы лишь кратко изложим основные опре-
определения и конструкции, используемые в книге в дальнейшем.
Имеется два алгоритмически различных способа определить выпуклый
многогранник в /г-мерном аффинном пространстве R".
Определение 1.1. Выпуклым многогранником называется выпуклая
оболочка конечного набора точек в некотором пространстве R".
Определение 1.2. Выпуклым полиэдром называется пересечение Р
конечного набора полупространств в некотором пространстве Шп:
P = {*€R":(/b*)?-a/,'/=l,...,m}, A.1)
где /, € (ЖпУ — некоторые линейные функции, at € R, / = 1, ..., т. Огра-
Ограниченный выпуклый полиэдр называется (выпуклым) многогранником.
Тем не менее, два предыдущих определения производят один и тот же
геометрический объект, т. е. подмножество в R" является выпуклой обо-
оболочкой конечного набора точек тогда и только тогда, когда оно является
пересечением конечного набора полупространств и ограничено. Этот клас-
классический факт доказывается во многих учебниках по многогранникам и
выпуклой геометрии, см., например, [169, Th. 1.1].
Размерность многогранника — это размерность его аффинной обо-
оболочки. Если не оговорено противное, мы будем предполагать, что любой

1.1. Определения и основные конструкции 15
л-мерный многогранник, или просто п-многогранник Рп, является под-
подмножеством в л-мерном объемлющем подпространстве R". Аффинная ги-
гиперплоскость //, пересекающая многогранник Р", называется несущей ги-
гиперплоскостью, если многогранник целиком содержится в одном из двух
определяемых ей замкнутых полупространств. В этом случае пересечение
Рп ПН называется гранью многогранника. Сам многогранник Рп также
считается гранью; остальные его грани называются собственными. Объ-
Объединение всех собственных граней называется границей многогранника и
обозначается дРп. Каждая грань «-многогранника в свою очередь являет-
является многогранником размерности не выше п. Нульмерные грани называются
вершинами, одномерные грани—ребрами, а грани коразмерности один —
гипергранями.
Два многогранника Я, с М и Р2 С Ш одной размерности называ-
называются аффинно эквивалентными (или аффинно изоморфными), если
существует аффинное отображение R —>R, устанавливающее взаимно
однозначное соответствие между точками этих многогранников. Два мно-
многогранника называются комбинаторно эквивалентными, если имеется
взаимно однозначное соответствие между их множествами граней, сохра-
сохраняющее отношение включения.
Заметим, что любые два аффинно изоморфных многогранника комби-
комбинаторно эквивалентны, но не наоборот. Более формальное определение
комбинаторной эквивалентности использует понятия частично упорядочен-
упорядоченного множества и решетки.
Напомним, что частично упорядоченным множеством называется
множество У с отношением частичного порядка «<», которое рефлек-
рефлексивно (х < х для всех х € У), транзитивно (х < у и у < z влечет х < z) и
антисимметрично {х < у и у < х влечет х—у). Далее все частично упорядо-
упорядоченные множества будут предполагаться конечными. Если отношение «<»
применимо к любой паре х, у, то У называется вполне упорядочен-
упорядоченным множеством. Любое вполне упорядоченное подмножество в частич-
частично упорядоченном множестве У называется цепью.
Грани многогранника Р всех размерностей относительно вложения об-
образуют частично упорядоченное множество. Теперь можно заметить, что
два многогранника комбинаторно эквивалентны тогда и только тогда, когда
их множества граней изоморфны как частично упорядоченные множества.
Определение 1.3. Под комбинаторным многогранником мы будем
понимать класс комбинаторно эквивалентных выпуклых (или геометри-
геометрических) многогранников.
Соглашение. Пусть многогранник Рп задан как пересечение полу-
полупространств, см. A.1). В дальнейшем мы будем предполагать, что среди
неравенств (/,, х) ^ —а,- в этом представлении нет лишних, т. е. удал е-

16 Глава 1. Многогранники
ние любого из неравенств в A.1) изменяет задаваемый ими многогранник.
В этом случае многогранник Рп имеет в точности т гиперграней, каждая из
которых задается как пересечение некоторой гиперплоскости (/,-, х) = —а, с
многогранником Рп. Фиксируем в R" стандартное скалярное произведение
и при помощи него отождествим /, с вектором в Шп. Мы получим век-
вектор, ортогональный соответствующей гиперграни и направленный внутрь
многогранника.
Пример 1.4 (симплекс и куб). Симплексом А" размерности п называ-
называется выпуклая оболочка набора из (п + 1) точек в R", не лежащих в одной
аффинной гиперплоскости. Все грани /г-симплекса являются симплексами
размерности не выше п. Любые два /г-симплекса аффинно эквивалент-
эквивалентны. Стандартным «-симплексом называется выпуклая оболочка точек
A,0, ...,0), @, 1, ...,0), ...,@, ...,0, 1) и@, ...,0) bR". Эквивалентно,
стандартный «-симплекс задается (п+ 1) неравенствами
*,^0, /=1,...,/г; -jc, - ... - хп ^ — 1. A.2)
Правильным /г-симплексом называется выпуклая оболочка точек A,0,...
...,0), @, 1 0) @ 0, 1)bR"+1.
Стандартным q-кубом называется выпуклый многограник Iя cR?,
задаваемый в виде
A-3)
Эквивалентно, стандартный q-куб есть выпуклая оболочка 2Ч точек в R4,
каждая из координат которых есть 0 или 1.
Следующая конструкция показывает, что любой выпуклый /г-много-
гранник с т гипергранями аффинно эквивалентен пересечению положи-
положительного конуса
/ = 1 m}cR" A.4)
с некоторой л-мерной плоскостью.
Конструкция 1.5. Пусть Р С R" — некоторый /г-многогранник, задан-
заданный в виде A.1) с некоторыми /, € (R")*, а* ? R, / = 1, ..., т. Образуем
(п х т)-матрицу L, столбцами которой являются векторы /ь записанные
в стандартном базисе R", т.е. L;, = (/,);. Заметим, что матрица L имеет
ранг п. Кроме того, положим а — (аи ..., атI € Шт. Тогда мы можем пе-
переписать A.1) в виде
A.5)
где Ll —транспонированная матрица и х = (*,, ..., хпI — столбец коор-
координат. Рассмотрим аффинное отображение
A.6)

Его-образом является некоторая /г-мерная плоскость в Rm, и АР(Р) есть
пересечение этой плоскости с положительным конусом Ш™, см. A.5).
Пусть W — матрица размера т х (т — п), столбцы которой образуют
базис в пространстве линейных зависимостей между векторами /,. Други-
Другими словами, W есть матрица ранга т — п, удовлетворяющая уравнению
LW = 0. Тогда мы имеем
Ар(Р) = {уе IT: W'y = W'a, у> 0; i = 1, ..., m}.
По определению многогранники Р и Л/>(Я) аффинно эквивалентны.
Пример 1.6. Рассмотрим стандартный /г-симплекс ДлсМ", опре-
определяемый неравенствами A.2). Он имеет т = п+\ гиперграней и мо-
может быть задан в виде A.1) с /, = A,0,..., 0)', ..., /„ = @, ..., 0, 1)',
/я+1 = (—1,..., — 1)', п\ = ... = а„=0, an+i = 1. Мы можем положить
W = A, ..., 1)' в конструкции 1.5. Тогда Wiy = yl + ... + ут, W(a= 1 и
мы имеем
ААп(Ап) = {i/€R/1+I: ?/, + ... + уя+1 = 1,^-^0; i = 1, ..., я}.
Это — правильный /г-симплекс в R"+l.
Два различных определения выпуклых многогранников приводят к двум
различным понятиям многогранников общего положения.
Набор из т > п точек Ж" находится в общем положении, если никакие
п + 1 из них не лежат на одной аффинной гиперплоскости. Тогда, с точки
зрения определения 1.1, выпуклый многогранник является многогранником
общего положения, если он является выпуклой оболочкой набора точек в
общем положении. Такой многогранник является симплициальным, т.е.
все его собственные грани являются симплексами. Заметим, что обратное,
вообще говоря, неверно, т. е. вершины симплициального многогранника не
обязаны находится в общем положении.
С другой стороны, скажем, что набор из т > п гиперплоскостей
(/,-, х) - -а,, /,- € (R")*, х € Мя, а,- е R, / = 1, ..., т находится в общем
положении, если никакая точка не содержится более чем в п гипер-
гиперплоскостях из этого набора. С точки зрения определения 1.2, выпуклый
многогранник Рп является многогранником общего положения, если огра-
ограничивающие его гиперплоскости (см. A.1)) находятся в общем положении.
В каждой вершине такого многогранника Рп сходится в точности п ги-
гиперграней. Многогранники с таким свойством называются простыми.
Заметим, что каждая грань простого многогранника есть снова простой
многогранник.
Определение 1.7. Для любого выпуклого многогранника РcRn опре-
определим его полярное множество Р* с (R")* как
Р* = {/ в (ШпУ- (*, х) ^ -1 для всех х е Р).
2 - 9957

18 Глава 1. Многогранники
Замечание. Наше определение полярного множества взято из алге-
алгебраической геометрии торических многообразий и отличается от класси-
классического определения, принятого в выпуклой геометрии. Классическое оп-
определение получается при замене неравенства «^ —1» выше на «< 1».
В выпуклой геометрии хорошо известно, что полярное множество Р*
является выпуклым полиэдром в двойственном пространстве (Rn)*. Более
того, если многогранник Р содержит 0 в своей внутренности, то Р* являет-
является выпуклым многогранником (т.е. ограниченым множеством) и (Р*)* =Р,
см., например, [169, §2.3]. Многогранник Р* называется полярным (или
двойственным) к Р. Частично упорядоченное множество граней много-
многогранника Р* получается из множества граней многогранника Р обращением
отношения порядка. В частности, если Р — простой многогранник, то Р* —
симплициальный, и наоборот.
Пример 1.8. Любой многоугольник B-многогранник) является одно-
одновременно простым и симплициальным. В размерностях больше 2 един-
единственным многогранником, обладающим этим свойством, является сим-
симплекс. Полярным многогранником для симплекса снова является сим-
симплекс. Куб является простым многогранником. Полярным многогранником
для трехмерного куба является октаэдр.
Конструкция 1.9 (произведение многогранников). Для любых двух
простых многогранников Я, и Я2 их произведение Я, х Р2 снова является
простым многогранником. Двойственная операция на симплициальных
многогранниках может быть описана следующим образом. Пусть S\ с R
и S2 С М — два симплициальных многогранника. Предположим, что оба
многогранника содержат 0 в своих внутренностях. Тогда определим
S, о 52 := conv(S, х О U 0 х S2) с Wl+rl2
(здесь conv обозначает взятие выпуклой оболочки). Легко видеть, что
S] о S2 есть симплициальный многогранник, и для любых двух простых
многогранников Яь Я2, содержащих 0 в своих внутренностях, имеет место
равенство
РГ о я; = (Р, х р2)\
Очевидно, что операции произведения и о также определены на комби-
комбинаторных многогранниках; в этом случае предыдущая формула верна без
всяких ограничений.
Конструкция 1.10 (связная сумма). Пусть Рп и Qn—два «-мерных
простых многогранника с выделенными вершинами ниш соответственно.
Неформально, связная сумма Рп #„>а, Qn многогранника Рп в v с много-
многогранником Qn в w получается следующим образом. «Срежем» вершину v
с многогранника Рп и w с Q", затем после подходящего проективного пре-
преобразования мы можем «приклеить» оставшуюся часть Р" к оставшейся

i.i. ипределения и основные конструкции iy
части Qn вдоль вновь образованных граней-симплексов. Результат этой
операции и есть Рп #ViW Qn. Ниже мы введем строгое определение, сле-
следуя [69, §6].
Вначале введем я-мерный полиэдр Р\ получаемый как произведение
стандартного (я — 1)-симплекса А" в подпространстве {#:*, =0} с Шп и
первой координатной оси. Гиперграни Gr полиэдра Г" имеют вид RxDf,
где Dr — гиперграни симплекса А", 1 < г < я. Полиэдр Г и все его ги-
гиперграни Gr разделены на две части, положительную и отрицательную, в
зависимости от знака координаты *,.
Обозначим гиперграни многогранника Рп, сходящиеся в вершине у,
через ?|, ...,?„, а гиперграни Qn, сходящиеся в до, через Fx,..., Fn (заме-
(заметим, что тем самым мы также зафиксировали порядок этих гиперграней).
Обозначим дополнительные множества гиперграней через % и % соот-
соответственно; таким образом, гиперграни из *%, не содержат v, а гиперграни
из %„ не содержат w.
Выберем теперь два проективных преобразования ф/> и ф<? простран-
пространства R", которые переводят вершины v и w в jc, = ±oo соответственно. Мы
также потребуем, чтобы преобразование ф/> отображало Рп внутрь полиэд-
полиэдра Гя и удовлетворяло двум условиям: во-первых, гиперплоскость, содер-
содержащая гипергрань ?г, переходит в гиперплоскость, содержащую Gry для
любого г = 1, ..., л, и, во-вторых, образы гиперплоскостей, содержащих
гиперграни из множества #„, пересекают полиэдр Г" в его отрицательной
части. Аналогично, преобразование фф переводит гиперплоскость, содер-
содержащую гипергрань />, в гиперплоскость, содержащую гипергрань Gr, для
любого /•= 1, ..., я, но образы гиперплоскостей, содержащих гипергра-
гиперграни из %, пересекают полиэдр Гл в его положительной части. Определим
теперь связную сумму Р" #UiK, Qn многогранника Рп в вершине v с мно-
многогранником Qn в до как простой многогранник, ограничиваемый образами
гиперплоскостей, соответствующих гиперграням из *%, и ^, и гиперплос-
гиперплоскостями, содержащими гиперграни Gr, г= 1, ..., п. Связная сумма опре-
определена лишь с точностью до комбинаторной эквивалентности; более того,
она, вообще говоря, зависит от выбора вершин у и до и от нумерации ги-
гиперграней Ег и />. Если этот выбор определяется контекстом, или же если
для данных Р" и Q" результат не зависит от этого выбора, то мы будем
использовать сокращенное обозначение Рп #Qn.
Таким образом, операция взятия связной суммы простых многогран-
многогранников дает новый простой многогранник. Имеются и другие близкие кон-
конструкции. Например, данному простому многограннику Р" и симплици-
альному многограннику S" можно сопоставить я-многогранник, получа-
получаемый срезанием вершины многогранника Рп и последующим «приклеи-
«приклеиванием» к вновь образованной грани многогранника Sn по одной из его
¦у*

20 Глава 1. Многогранники
граней. Полученный в результате многогранник, вообще говоря, не будет
ни простым, ни симплициальным. Эта операция была использована в [169,
Ex. 8.41] для построения многогранников, векторы граней которых обла-
обладают некоторыми специальными свойствами.
Пример 1.11. 1. Пусть Р2 есть гп\ -угольник, a Q2 есть т2-угольник.
Тогда Я# Q есть (т\ + гаг — 2)-угольник.
2. Если Р есть /г-симплекс, то связная сумма P#v,w Q есть резуль-
результат «срезания» вершины w многогранника Q гиперплоскостью, которая
отделяет w от остальных вершин. Связь между связными суммами и ги-
гиперплоскими сечениями простых многогранников обсуждается в [69, §6].
3. Если оба многогранника Р и Q являются /г-симплексами, то мы
имеем Р# Q = Ап~] х /' (произведение (п — 1)-симплекса и отрезка, или
призма). Комбинаторный тип связной суммы А" # Ап не зависит от вы-
выбора вершин и порядка гиперграней. У получающейся призмы An~l x /'
все вершины эквивалентны, и поэтому комбинаторный тип связной суммы
А" # Дл # А" также не зависит от выбора вершин и порядка гиперграней.
Но уже в случае связной суммы четырех симплексов результат зависит от
выбора вершин.
Определение 1.12. Симплициальный многогранник S называется
k-смежпостным, если любые k его вершин порождают некоторую грань.
Аналогично, простой многогранник Р называется двойственно k-смеж-
ностным, если любые k его гиперграней имеют непустое пересечение
(которое в этом случае является гранью коразмерности k). Очевидно,
любой симплициальный (простой) многогранник является 1 -смежностным
(двойственно 1-смежностным). Можно показать ([64, следствие 14.5], см.
также пример 1.22 ниже), что если S является /г-смежностным симплици-
симплициальным /г-многогранником и к > - , то S есть /г-симплекс. Отсюда вы-
вытекает, что любой 2-смежностный симплициальный 3-многогранник есть
симплекс. В то же время, существуют симплициальные /г-многогранники с
произвольным числом вершин, которые являются - -смежностными. Та-
Такие многогранники называются смежностными. В частности, существует
симплициальный 4-многогранник, отличный от 4-симплекса, любые две
вершины которого соединены ребром.
Пример 1.13 (смежностный 4-многогранник). Пусть Р = А2 х Д2 —
произведение двух треугольников. Тогда Р есть простой многогранник, и
легко видеть, что любые две его гиперграни пересекаются по некоторой
2-грани. Таким образом, Р является двойственно 2-смежностным. Поляр-
Полярный многогранник Р* является смежностным симплициальным 4-много-
гранником.

1.1. Определения и основные конструкции 21
6 общем случае, если простой многогранник Р| является двой-
двойственно fci-смежностным, а Р2—двойственно /е2-смежностным, то их
произведение Р\ х Р2 является двойственно min(fcb /г2)-смежностным
простым многогранником. Отсюда следует, что многогранники (Дл х А")*
и (Ал х Ал+|)* дают примеры смежностных симплициальных 2п~ и
Bп + 1)-многогранников. В следующем примере описывается смежност-
ный многогранник с произвольным числом вершин.
Пример 1.14 (циклические многогранники). Кривая моментов в R"
задается как образ отображения
X. К —> К. , I I—»¦ Х\1) = [1, I у ... у I jtlK.
Для каждого т > п определим циклический многогранник Cn(t\,..., tm)
как выпуклую оболочку т различных точек *(/,), t\ < t2 <... < tmy на кривой
моментов.
Теорема 1.15. а) Циклический многогранник С(/|,..., tm) является
симплициальным п-многогранником;
б) Ся(/Ь ..., tm) имеет в точности т вершин *(/,), / = 1, ..., /и;
в) комбинаторный тип циклического многогранника не зависит
от выбора значений /,, ..., tm\
г) C"(/i, ..., tm) является смежностным многогранником.
Доказательство. Приводимое ниже доказательство взято нами из ра-
работы [169]. Рассмотрим известное тождество для определителя Вандер-
монда:
/1 1 ... 1 \
fo U • • • in
,,/ 1 1 ... 1 \ , ,
deti и х ,4 х ,. ч) = det
V*(/o) *(^i) ••• *(W
П
^л-l fn-\ fn-\
*o ч" ••• tf
Отсюда вытекает, что никакие (п + 1) точек на кривой моментов не лежат
на одной аффинной гиперплоскости, и тем самым утверждение а) доказа-
доказано. Свойства б) и в) вытекают из следующего утверждения: л-элементное
подмножество to с [т] соответствует множеству вершин некоторой гипер-
гиперграни многогранника Cn(t\, ..., tm) тогда и только тогда, когда выполнено
следующее «условие четности» Гейла:
Если элементы i < j не содержатся в to, то число элементов ke<*>
между i и } четно.
Для доказательства положим <*> = {/1э ..., in) и рассмотрим гиперплос-
гиперплоскость tfw, проходящую через соответствующие точки x(tis) на кривой мо-
моментов. Тогда мы имеем
/„ = {*Е
":

22 Глава 1. Многогранники
где
(это есть в точности линейная функция, обращающаяся в нуль в указанных
точках). Пусть теперь точка x(t) движется вдоль кривой моментов. Тогда
функция Fu(x(t)) является многочленом степени п от t. Этот многочлен
имеет п различных корней /,,, ..., tin и меняет знак в каждом из них. Под-
Подмножество to соответствует множеству вершин некоторой гиперграни тогда
и только тогда, когда значения /гм(а:(//)) имеют один и тот же знак для всех
точек x(U) с i ? to. Это эквивалентно тому, что функция /гм(а:(/)) меняет
знак четное число раз между t = /,- и / = /; при i < j и i, j' ? со. Тем самым
условие четности, а значит и утверждения б) и в) теоремы, доказаны.
Осталось доказать утверждение г). Нужно проверить, что любое под-
можество т = {/|, ..., ik) с [пг] из к < \-Л элементов соответствует набору
вершин некоторой грани циклического многогранника. Выберем достаточ-
достаточно малое е > 0 так что /,• < /; 4- е < /,+i при всех i < m и выберем некоторое
N >tm + z. Определим линейную функцию Fx(x) как
det(*, *(*,,), x(th + е), ..., x(tlk), x(tik + е), x(N + 1), ..., x(N + л - 2k)).
Эта линейная функция обращается в нуль в точках *(/,) с i € т. В то же
время, Fx(x(t)) является многочленом от / степени пу который имеет п
различных корней
th,/,-,+ е, ..., tlk, Uk + е, Л^ + 1, ..., N + п - 2k.
Если /, j ? т, то между значениями / = 1/и/ = t} всегда имеется четное
число корней этого многочлена, так как вместе с корнем вида / = // всегда
имеется корень вида t — tt + е. Следовательно, линейная функция Fx(x)
имеет один и тот же знак во всех точках x(tt) для i ? т, что означает, что
х соответствует набору вершин некоторой грани. ?
Далее мы будем обозначать комбинаторный циклический л-многогран-
ник с пг вершинами через Сп(пг).
1.2. /-векторы и соотношения Дена—Соммервилля
Понятие /-вектора (или вектора граней) является одним из основных
в комбинаторной теории многогранников. Различные свойства /-векторов
изучаются со времен Эйлера.
Определение 1.16. Пусть S — симплициальный я-многогранник. Обо-
Обозначим через /, число его /-мерных граней. Целочисленный вектор f(S) =
= (/о, ••-, /я-i) называется f-вектором многогранника S. Для дальней-

1.2. /-векторы и соотношения Дена—Соммервилля
23
шего нам удобно также положить /_, = 1. Введем также h-вектор много-
многогранника 5 как целочисленный вектор h(S) = (Ло, h\,..., Л„), определяемый
из уравнения
A.7)
), где g0 = 1, & = Л| - A*-i,
Наконец, последовательность (go,
i > 0, называется g-вектором многогранника 5.
Для простого w-многогранника Рп определим его /-вектор как /-век-
/-вектор полярного симплициального многогранника: f(P) := f(P*), аналогично
определяются h- и g-векторы. Таким образом, f(P) = (/0,..., /л_|), где // —
число граней многогранника Р коразмерности (/+1) (т.е. размерности
(я — i — 1)). В частности, /0 есть число гиперграней, которое мы часто
будем обозначать т(Р) или просто т. Теперь наше соглашение /_i = 1
оправдывается тем фактом, что сам многогранник Р является гранью ко-
коразмерности 0.
Замечание. Определение Л-вектора может показаться неестественным
на первый взгляд. Однако, как мы увидим в дальнейшем, /i-вектор имеет
множество комбинаторных и алгебраических интерперетаций и во многих
ситуациях более удобен в вычислениях.
По определению, /-вектор является комбинаторным инвариантом мно-
многогранника Рп, т. е. зависит лишь от его комбинаторного типа. Для удобства
все многогранники далее в этом разделе предполагаются комбинаторными,
если не оговорено противное.
Пример 1.17. Два различных комбинаторных простых многогранни-
многогранника могут иметь одинаковые /-векторы. Например, пусть Я3— трехмерный
куб, а Р| — простой 3-многогранник с двумя треугольными, двумя четы-
четырехугольными и двумя пятиугольными гранями, см. рис. 1.1. (Заметим, что
Р\ является двойственным к циклическому многограннику С3F) из опре-
определения 1.14.) Тогда /(Я3) = /(Я23) = F, 12, 8).
Рис. 1.1. Два комбинаторно неэквивалентных простых многогранника с одинаковыми /-век-
/-векторами

24
Глава 1. Многогранники
Заметим, что /-вектор и Л-вектор несут одну и ту же информацию
о многограннике и выражаются друг через друга при помощи линейных
соотношений, а именно,
,_qy Л = 0, ..., п. A.8)
(-l)"/«-i). Всилуфор-
/=о
В частности, Ло = 1 и Л„ = (—1)"A - /0 + /, +... +
мулы Эйлера (см., например, [64, Теорема 16.1])
п-\
A.9)
ind=3
что эквивалентно соотношению hn = ho(= 1). В случае простых многогран-
многогранников формула Эйлера допускает следующее обобщение.
Теорема 1.18 (соотношения Дена—Соммервилля). Для любого про-
простого (или симплициального) п-многогранника h-вектор симметри-
симметричен, т. е. имеет место соотношение
hi = Лл_«, i = 0, 1, ..., п.
Имеется множество различных способов доказательства соотношений
Дена—Соммервилля. Мы приводим доказательство, впервые появивше-
появившееся в [64] и использующее соображения, напоминающие идеи из теории
Морса. Мы вернемся к этому аргументу в главе 6.
Доказательство теоремы 1.18. Пусть Рп С К" — простой многогран-
многогранник. Выберем линейную функцию ср: R" —> R, принимающую различные
значения на всех вершинах Рп. Для этой
функции ср найдется вектор v 6 Шп такой, что
cp(jc) = (v, x). Заметим, что вектор v не пер-
перпендикулярен ни одному ребру многогранни-
многогранника Рп. Теперь мы будем рассматривать ср как
функцию высоты на Рп. При помощи ср мы
превратим 1-остов многогранника Рп в ори-
ориентированный граф, направляя каждое ребро
так, чтобы функция ср возрастала вдоль него.
Для каждой вершины v многогранника Рп
определим ее индекс ind(iz) как число ре-
бер, входящих в и. Обозначим число вершин
индекса i через Щ. Мы утверждаем, что
/v(i) =Лл_«. Действительно, каждая грань Р"
имеет единственную верхнюю вершину (мак-
(максимум функции высоты ср, ограниченной на грань) и единственную нижнюю
вершину (минимум ср). Пусть Fk — некоторая /г-грань и vF — ее верхняя
ind=0
Рис. 1.2. Ориентированный 1-ос-
1-остов многогранника Р и индексы
вершин

1.2. /-векторы и соотношения Дена—Соммервилля 25
вершина. Так как многогранник Рп простой, в вершине vF сходятся в точно-
точности к ребер из грани Fk, т.е. ind(Uf) ^ к. С другой стороны, каждая вершина
индекса q ^ к является верхней вершиной для ( J граней размерности /г.
Отсюда следует, что /„_i_* (число /г-граней) может быть вычислено как
Второе из тождеств A.8) показывает, что I^(q) — hn^q, что и требова-
требовалось. В частности, число I^(q) не зависит от v. С другой стороны, так
как indv(u) = п — ind_v(y) для любой вершины и, мы имеем
hn-q = Ця) = I-Лп -Ф = К D
В силу соотношений Дена—Соммервилля, многочлен F(t) в правой
части соотношения A.7) удовлетворяет соотношению F(t) — t"F(l/t). Вы-
Вычисляя коэффициент при tn~k в обеих частях этого равенства, мы можем
переписать соотношения Дена—Соммервилля в терминах /-вектора:
Соотношения Дена—Соммервилля были получены Деном для л<5 в
1905 г. и Соммервиллем в общем случае в 1927 г. (см. [151]) в виде,
аналогичном A.10).
Пример 1.19. Пусть Я и Я?2 —Два простых многогранника. Из опре-
определения /-вектора мы получаем соотношение
«1-1
* = -1, 0, ..., л, +п2- 1,
так как любая грань многогранника Р\ х Р2 размерности пх +п2 — к — 1
есть произведение некоторой грани Pj (скажем, размерности пх — i — 1) на
грань Р2 (которая в этом случае имеет размерность п2 — к + /). Положим
Л(Ял;/)=Ло + Л,/ + ... + Лл/л. A.11)
Тогда из предыдущей формулы и A.7) вытекает соотношение
h(PixP2;t) = h(Pl;Oh(P2\f). A.12)
Пример 1.20. Выразим /-вектор и /i-вектор связной суммы Рп # Q"
в терминах /-векторов и Л-векторов простых многогранников Рп и Q".
Из конструкции 1.10 следует, что
«#Q-) = Д(Я-) + /,(Q«) - (. " j), / = 0, 1 я-2;
- # 0я) = /„..(Я") + /„_,((?") - 2.

26 Глава 1. Многогранники
Тогда из A.8) вытекает, что
ho(Pn # 0е) = hn(Pn # Qn) = 1;
Л,(Я- # 0е) = Л,
Как видно из этих формул, Л-вектор связной суммы не зависит от выбо-
выбора вершин, в которых производится связная сумма, и от порядка, в котором
отождествляются гиперграни. В связи с этим свойством возникает следу-
следующий вопрос.
Проблема 1.21. Описать все целочисленные функции на множестве
комбинаторных простых многогранников, линейные относительно связной
суммы.
Пример 1.22. Пусть 5 — некоторый ^-смежностный симплициаль-
ный л-многогранник (см. определение 1.12), отличный от л-симплекса.
Тогда fk-\(S) = ( , ), k < q. Из A.8) мы выводим равенство
i=0
Последнее равенство получается вычислением коэффициента при /* в обе-
обеих частях тождества
! л + /у = п + /уя-я+*-1
Мы имеем т > п+ 1, так как S не является симплексом. Тогда из A.13)
следует, что hQ<h\ <... <hq. Эти неравенства вместе с соотношениями
Дена—Соммервилля дают верхнюю оценку q < т>, упомянутую в опреде-
определении 1.12.
1.3. ^-теорема
В связи с понятиями, введенными в разделе 1.2, возникает следующий
естественный вопрос: какие целочисленные векторы являются /-вектора-
/-векторами простых (или, эквивалентно, симплициальных) многогранников? Соот-
Соотношения Дена—Соммервилля дают необходимые условия. Если ограни-
ограничиться рассмотрением лишь линейных уравнений, то других ограничений
на /-векторы простых многогранников нет.
Предложение 1.23 (Кли [114]). Соотношения Дена—Соммервил-
Дена—Соммервилля являются наиболее общими линейными уравнениями, которым
удовлетворяют f-векторы всех простых (или симплициальных) мно-
многогранников.

1.3. g-теорема 27
Доказательство. В [114] это утверждение было доказано непосред-
непосредственно, в терминах /-векторов. Однако использование Л-векторов су-
существенно упрощает доказательство. Достаточно показать, что аффинная
оболочка Л-векторов (Ло, hu ..., hn) простых «-многогранников представ-
представляет собой -т -мерную плоскость (напомним, что Ло= 1 всегда). Это мож-
можно сделать, например, указав - + 1 простых многогранников с аффинно
независимыми Л-векторами. Положим Qk := Д* х Д"~*, k = 0, 1, ..., « .
Так как Л(Д*; /)= 1 + / + ... + /* (см. A.11)), формула A.12) дает
*<&; 0 = -ггг ¦ —ГП—
Отсюда вытекает, что разность h(Qk+\\ t) — h(Qk; t) представляется в виде
суммы tk+1 и членов более высокого порядка, Л = О,1,...,тИ — 1. Таким
образом, векторы h(Qk), k = 0, 1, ..., Ur , аффинно независимы. П
Пример 1.24. Каждая вершина простого w-многогранника Рп принад-
принадлежит в точности п ребрам и каждое ребро соединяет две вершины. Отсюда
вытекает следующее линейное соотношение на компоненты /-вектора:
2/л_2 = «/„_,. A.14)
В силу предложения 1.23, это равенство должно вытекать из соотношений
Дена—Соммервилля. (Можно заметить, что это есть в точности равен-
равенство A.10) для k — n— 1.)
Из A.14) и формулы Эйлера A.9) следует, что /-вектор простого (или
симплициального) 3-многогранника полностью определяется числом ги-
гиперграней (или вершин), а именно,
/(Р3) = (/о, З/о - 6, 2/0 - 4). A.15)
Заметим также, что формула Эйлера A.9) является единственным ли-
линейным соотношением, которому удовлетворяют векторы граней произ-
произвольных выпуклых многогранников. (Доказательство аналогично приве-
приведенному в предложении 1.23, предъявляется достаточное количество мно-
многогранников с аффинно независимыми векторами граней.)
Условия, полностью характеризующие /-векторы простых (или сим-
плициальных) многогранников, ныне известные как g-теорема, были
впервые сформулированы в виде гипотезы П.Макмюлленом [127] в 1970 г.
и доказаны Р.Стенли [154] (необходимость) и Биллерой и Ли [53] (доста-
(достаточность) в 1980 г. Кроме соотношений Дена—Соммервилля, g-теорема
содержит две системы неравенств, одна из которых линейна, а другая —

28 Глава 1. Многогранники
нелинейна. Для того, чтобы полностью сформулировать g-теорему, нам
понадобится следующая конструкция.
Определение 1.25. Для любой пары натуральных чисел a, i существует
единственное биномиальное i-разложение числа а, имеющее вид
где а( > а,_, > ... > а, ^ / ^ 1. Определим
Пример 1.26. 1.Приа>0, <*<1> = (а* {\
2. Если i ^ а, то биномиальное разложение имеет вид
и, следовательно, а(|) = а.
3. Пусть а = 28, i =4. Соответствующее биномиальное разложение есть
Следовательно,
Теорема 1.27 (g-теорема). Целочисленный вектор (/0, /ь ..., /„_
является f-вектором некоторого простого п-многогранника то-
тогда и только тогда, когда соответствующая последовательность
(Ло, ...,Л„), определяемая A.7), удовлетворяет следующим трем
условиям:
а) hi = /*„_,, i = 0, ..., п (соотношения Дена—Соммервилля);
я], i=0, 1, ..., [
в) Ло = 1, Л,+, -Л, < [?]
Замечание. Очевидно, те же самые условия характеризуют и /-векто-
/-векторы симплициальных многогранников.
Пример 1.28. 1. Первое неравенство h0 <A| части б) в g-теореме эк-
вавалентно следующему: /0 = т ^ п + 1. Это лишь выражает тот факт, что
для того, чтобы ограничить многогранник в R", требуется как минимум
п + 1 гиперплоскость.
2. Принимая во внимание соотношение

1.3. g-теорема
29
(см. A.8)), мы можем переписать первое неравенство
h2 - Л, < (Л, - ho){l)
части в) в g-теореме как
п+\
k-n
(см. пример 1.26.1). Это эквивалентно оценке сверху
которая выражает тот факт, что любые две гиперграни пересекаются не
более чем по одной грани коразмерности два. В терминах двойственного
симплициального многогранника это означает, что две вершины могут быть
соединены не более чем одним ребром.
3. Второе неравенство h\ ^h2 (при п ^ 4) части б) в g-теореме экви-
эквивалентно следующему:
Это есть первое (и наиболее существенное) из неравенств в знаменитой
гипотезе о нижней границе для простых многогранников (см. теоре-
теорему 1.35 ниже).
Таким образом, первые две координаты Л-векторов простых много-
многогранников Рп, п ^ 4, всегда попадают в область между двумя кривыми
h\(h\ +1) . . ., . .
- и — и •— |, Л2)-плоскости
h2 —
и
= h\ на
у ho=h\
(см. рис. 1.3). Заметим, что наиболее общи-
ми линейными неравенствами, которым удо-
удовлетворяют точки в этой области являются
h\ ^ 1 иА2> hi.
Определение 1.29. Последовательность
целых чисел (k0, ku ..., /гг), удовлетворяю-
удовлетворяющая условиям &о = 1 и 0 < ki+\ < k\^ при
i = 1,..., г — 1, называется М-вектором (по
имени М.Маколея).
Условия б) и в) из g-теоремы означа- Рис. 1.3. (hь h2)-область, п ^4
ют, что g-вектор (g0, gi, ..., gr2i) просто-
простого л-многогранника является Af-вектором. Понятие М-вектора возни-
возникает в следующем классификационном результате из коммутативной ал-
алгебры [65, Th. 4.2.10].
0

30 Глава 1. Многогранники
Теорема 1.30 (Маколей). Целочисленная последовательность
(/е0, &i, ..., &г) является М-вектором тогда и только тогда, когда
ki =dimki42', / = 1, ..., г,
для некоторой коммутативной градуированной алгебры А — А0 ф
ф Л2 ф... ф А2г над полем к = Л°, порожденной элементами степе-
степени два.
Доказательство достаточности условий g-теоремы было получено
Биллерой и Ли, которые предложили замечательную элементарную ком-
комбинаторно-геометрическую конструкцию, позволяющую построить сим-
плициальный многогранник с любой наперед заданной М-последователь-
ностью в качестве g-вектора. С другой стороны, доказательство Стенли
необходимости условий g-теоремы (т. е. утверждения о том, что g-вектор
простого многогранника является М-вектором) основывается на глубоких
результатах алгебраической геометрии: на сильной теореме Лефшеца для
когомологий торических многообразий. Мы приводим идеи доказательства
Стенли в разделе 6.1. С 1993 г. появилось несколько более элементарных
комбинаторных доказательств g-теоремы. Первое такое доказательство
принадлежит Макмюллену [128]. Оно основывается на понятии алгебры
многогранника, заменяющем алгебру когомологий торического много-
многообразия. Несмотря на свою элементарность, это тем не менее достаточно
сложное доказательство. Позднее Макмюллен несколько упростил свой
подход в работе [129]. Еще одно элементарное доказательство ^-теоре-
^-теоремы было недавно предложено В. А. Тимориным [27]. Оно основывается
на интерпретации алгебры многогранника как факторалгебры алгебры
дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами на про-
пространстве Ш." по идеалу, порожденному операторами, обращающимися в
нуль на многочлене объема многогранника.
Задача характеризации /-векторов f(Pn) = (/о, /ь • • •, /я-i) произволь-
произвольных выпуклых многогранников имеет богатую историю (здесь мы считаем,
что /,- есть число /-мерных граней в Рп). В общем случае не удается полу-
получить столь полных результатов, как для симплициальных и простых много-
многогранников. В 1906 г. Штейницем было получено полное описание множе-
множества /-векторов /(Я3) = (/о, /ь /г) трехмерных выпуклых многогранников.
Оно представляет собой множество целых точек в двумерном выпуклом
многогранном конусе, определяемом следующими тремя условиями:
/о - /. + /2 = 2, /2 - 4 < 2 (/о - 4), /0 - 4 < 2 (/2 - 4).
Первое неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, ко-
когда Я3— симплициальный многогранник (см. A.15)), а второе — когда Ръ
является простым многогранником. Уже в размерности 4 проблема ха-

1.4. Теоремы о верхней и нижней границе 31
рактеризации /-векторов многогранников далека от завершения. Анализ
положения дел в этой области за прошедшие 100 лет дан в докладе Цигле-
ра на международном конгрессе математиков в Пекине 2002 г., см. [171].
1.4. Теоремы о верхней и нижней границе
Следующее утверждение, ныне известное как теорема о верхней гра-
границе (ТВГ), было предложено Моцкиным в 1957 г. и доказано П.Макмюл-
леном [126] в 1970 г.
Теорема 1.31 (ТВГ для симплициальных многогранников). Среди всех
симплициальных п-многогранников S с т вершинами, циклический
многогранник Сп(т) (пример 1.14) имеет максимальное число i-гра-
ней, 2^/^/z—l. Таким образом, если /0(S) = my то
fi(S) ^ h(Cn(m)) для i = 2, ..., п - 1.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда S является
смежностным многогранником (см. определение 1.12).
Мы не будем приводить здесь классическое доказательство этой тео-
теоремы. Вместо этого мы сведем ее к одному утверждению (следствие 1.33),
которое докажем в более общем случае в разделе 3.5 алгебраическими
методами.
Заметим, что так как Сп(т) — смежностный многогранник,
для« =
В силу соотношений Дена—Соммервилля, это целиком определяет /-век-
/-вектор многогранника Сп(т). Явные формулы для остальных компонент век-
вектора f(Cn(m)) даются следующей леммой.
Лемма 1.32. Число l-граней циклического многогранника Сп(т)
(или произвольного смежностного п-многогранника с т вершинами)
равно
<?=о
Гл-П
^ ( п-р \(т-п + р-\\
где мы полагаем ( J = 0 при р <q или q < 0.
Доказательство. Используя второе из соотношений A.8), соотноше-
соотношения Дена—Соммервилля и A.13) и учитывая, что - + 1 =/г — \^—— ,

32 Глава 1. Многогранники
мы вычисляем
[й] [«=!]
f \/ + 1\ А / п-р \/т-п + р-\\
Д р А
Следствие 1.33. ТВГ для симплициальных многогранников (см. те-
теорему 1.31) эквивалентна следующим неравенствам для h-вектора
симплициального многогранника S с т вершинами:
m —
n + i'¦- 1\ • л ГЛ1
Доказательство. Вычисление в доказательстве леммы 1.32 показы-
показывает, что данные неравенства являются достаточными для ТВГ. С дру-
другой стороны, если имеет место ТВГ, то мы получаем /,(S) ^ ( . ) при
i = 0,..., ^ — 1 и необходимые неравенства для /*,(S) вытекают из при-
примера 1.13. ?
Последнее утверждение было одним из ключевых наблюдений в дока-
доказательстве ТВГ для симплициальных многогранников, данном Макмюлле-
ном. Это доказательство можно также найти в [64, § 18] или [169, §8.4].
ТВГ верна для произвольных выпуклых многогранников, не обяза-
обязательно симплициальных. А именно, циклический многогранник С"(т) име-
имеет максимальное возможное число /-граней среди всех выпуклых я-много-
гранников с т вершинами. Идея доказательства этого утверждения (при-
(принадлежащего Кли и Макмюллену, см. [169, Lemma 8.24]) заключается
в следующем. Немного «пошевелив» вершины выпуклого многогранника,
можно добиться того, что получится симплициальный многогранник с тем
же числом вершин, который в каждой размерности имеет не меньше гра-
граней, чем исходный. Другие обобщения ТВГ мы обсудим в разделе 3.5.
Другим фундаментальным фактом теории выпуклых многогранников
является теорема о нижней границе (ТНГ) для симплициальных мно-
многогранников.
Определение 1.34. Симплициальный /г-многогранник S называется
многогранником пирамидальной надстройки, если имеется последо-
последовательность л-многогранников So, St,..., Sk = S такая, что So есть /z-сим-
плекс, a Si+l получается из S,- добавлением пирамиды над некоторой его
гипергранью. В комбинаторных терминах, многогранники пирамидальной

1А. Теоремы о верхней и нижней границе 33
надстройки получаются из симплекса применением нескольких последо-
последовательных звездных подразделений гиперграней.
Замечание. Добавление пирамиды (или звездное подразделение гипер-
гиперграни) является двойственной операцией к «усечению вершины» простого
многогранника (см. пример 1.11.2). Соответственно, многогранники, двой-
двойственные к многогранникам пирамидальной надстройки, называются мно-
многогранниками усечения.
Теорема 1.35 (ТНГ для симплициальных многогранников). Для любо-
любого симплициального п-многогранника S (п ^ 3) с т = /0 вершинами
имеют место неравенства
для 1 = 1,..., л-2;
(/2 - 1)/0 - (/2 + 1)(/2 - 2).
Равенство достигается тогда и только тогда, когда S есть мно-
многогранник пирамидальной надстройки.
Рассуждение Макмюллена, Перлса и Уолкапа [131] сводит ТНГ к слу-
случаю i = 1, т. е. к неравенству /i ^ /о — ( 9 ) • Первое доказательство ТНГ
было получено Барнеттом [48], [50]. Тот факт, что равенство в ТНГ дости-
достигается только для многогранников пирамидальной надстройки, был доказан
в [54] на основе g-теоремы. В отличие от ТВГ, возможности обобщения
ТНГ на несимплициальные выпуклые многогранники очень мало изуче-
изучены. Некоторые результаты в этом направлении получены в [111], наряду с
обобщениями ТНГ на симплициальные сферы и многообразия (см. также
разделы 2.3—2.4 в этой книге).
В силу двойственности, ТВГ и ТНГ дают соответственно верхнюю и
нижнюю оценки на число граней простого многогранника с данным чис-
числом гиперграней. Обе теоремы были доказаны приблизительно в одно и
то же время (в 1970 г.) и послужили основанием П.Макмюллену сфор-
сформулировать g-теорему в виде гипотезы [127]. С другой стороны, как ТВГ,
так и ТНГ являются следствиями g-теоремы (см., например, [64, §20]).
На самом деле, ТНГ вытекает из утверждений а) и б) теоремы 1.27, в то
время как ТВГ следует из а) и в).
Неравенства части б) g-теоремы, т.е.
были предложены в [131] как обобщение ТНГ для симплициальных мно-
многогранников. Второе неравенство h\ ^,h<i эквивалентно неравенству для
/=1 в ТНГ (см. пример 1.28.3). Из результатов [131] и [54] вытекает,
что A.16) являются наиболее общими линейными неравенствами, которым
удовлетворяют /-векторы симплициальных (или простых) многогранников

34 Глава 1. Многогранники
(сравните с предложением 1.23 и комментарием после примера 1.28). Во-
Вопрос о справедливости этих неравенств для целого ряда более общих ком-
комбинаторных объектов в настоящее время известен под названием «Обоб-
«Обобщенная гипотеза о нижней границе» (ОГНГ).
В последние два десятилетия было проделано много работы по обоб-
обобщению соотношений Дена—Соммервилля, ОГНГ и g-теоремы на объекты
более общие, чем симплициальные многогранники. Тем не менее, здесь
по-прежнему остается очень много интригующих открытых проблем. Мы
вернемся к этому вопросу в разделе 2.3 этой книги; кроме того, большой
список открытых проблем по этой тематике можно найти в первой части
обзора Стенли [160].
1.5. Кольцо Стенли—Райснера простого многогранника
Фундаментальное понятие кольца Стенли—Райснера будет одним из
основных объектов изучения на протяжении всей книги. Целью этого ко-
короткого раздела является введение независимого определения в случае
простого многогранника, что будет удобно в дальнейшем.
Пусть Р— простой /z-многогранник с т гипергранями FXy ..., Fm. За-
Зафиксируем некоторое коммутативное кольцо к с единицей (нас будут инте-
интересовать лишь случаи к = Z или к — поле). Пусть k[v\, ..., vm] —алгебра
многочленов над к от т переменных. Мы превратим ее в градуированную
алгебру, положив deg(u,) = 2.
Определение 1.36. Кольцом Стенли—Райснера (или кольцом гра-
граней) простого многогранника Р называется факторкольцо
где УР — идеал, порожденный такими мономами vi{vi2...vis, что Fi{ П...
...nFis = 0BP,/1<...< is.
Так как «//> — однородный идеал, к[Р] является градуированной к-ал-
геброй.
Пример 1.37. 1. Пусть Рп есть я-симплекс (рассматриваемый как про-
простой многогранник). Тогда
к[Рп] = к[у, tf«+i]/(i;ii>2 • • • Vn+i)-
2. Пусть Р есть трехмерный куб /3. Тогда
к[Р] = k[vu v2..., u6]/(r/|U4, v2v5, v3v6).
3. Пусть Р2 есть m-угольник, m ^ 4. Тогда
УР2 = (viV,: i — j Ф 0, ±1 mod m).
В главе З мы вернемся к обсуждению колец Стенли—Райснера в более
общем контексте симплициальных комплексов.

Глава 2
Топология и комбинаторика
симплициальных комплексов
Симплициальные комплексы, или триангуляции (впервые введенные
Пуанкаре), дают элегантный, строгий и удобный инструмент изучения то-
топологических инвариантов комбинаторными методами. Именно изучение
триангуляции стимулировало развитие методов алгебраической тополо-
топологии в первой половине XX века. Усложнение и совершенствование ал-
алгебраического аппарата в топологии позволило использовать другие, бо-
более общие, комбинаторные разбиения пространств, такие как клеточные
комплексы или симплициальные множества. В то же время, симплици-
симплициальные комплексы всегда играли существенную роль в кусочно-линейной
(PL-) топологии, дискретной и комбинаторной геометрии. Важный класс
триангуляции сфер возникает в выпуклой геометрии как граничные ком-
комплексы симплициальных многогранников. Появление современной вычис-
вычислительной техники способствовало возрождению интереса к классической
«комбинаторной топологии», ввиду того, что симплициальные комплексы
предоставляют пока наиболее эффективный метод перевода топологиче-
топологических структур на машинные языки. Таким образом, нам представляется,
что для топологов пришло время воспользоваться замечательными резуль-
результатами из дискретной и комбинаторной геометрии последних десятилетий,
часть из которых мы уже рассмотрели в предыдущей главе.
2.1. Основные понятия кусочно-линейной
(PL-) топологии
Подробное изложение основ кусочно-линейной (PL-) топологии можно
найти в классических монографиях Хадсона [108] и Рурка—Сандерсо-
на [147]. Место PL-категории в современной топологии отражено, напри-
например, в книге С.П.Новикова [22].

36 Глава 2. Топология и комбинаторика симплициальных комплексов
В центре внимания кусочно-линейной топологии лежат понятия сим-
плициального комплекса. Пусть Л — конечное множество. Для каждо-
каждого подмножества со С Л мы будем обозначать его число элементов че-
через |со .
Определение 2.1. (Абстрактным) симплициальным комплексом на
множестве Л называется такой набор К = {а} подмножеств в Л, что
для каждого a G К все подмножества а (включая 0) также принадле-
принадлежат К. Подмножество а е К называется (абстрактным) симплексом ком-
комплекса /С. Одноэлементные подмножества называются вершинами ком-
комплекса К. Если К содержит все одноэлементные подмножества в Л, то мы
будем говорить, что К является симплициальным комплексом на мно-
множестве вершин Л'. Размерность абстрактного симплекса ст е К есть
число его элементов минус один: dim а = |ст| — 1. Размерностью абстракт-
абстрактного симплициального комплекса называется максимальная размерность
его симплексов. Симплициальный комплекс К называется чистым, ес-
если все его максимальные симплексы имеют одну и ту же размерность.
Поднабор К' ЯК, который также является симплициальным комплексом,
называется подкомплексом в /С.
Как правило, в наших конструкциях можно без опасений зафик-
зафиксировать порядок на Л и отождествить Л с множеством индексов
[т] = {1, ..., т). Это делает обозначения более прозрачными; однако
в некоторых случаях удобно использовать неупорядоченные множества.
Далее мы будем обозначать одноэлементные подмножества {*'} 6 [т] про-
просто через /.
Многогранники, являющиеся выпуклыми оболочками наборов аффинно
независимых точек, мы будем далее называть геометрическими симплек-
симплексами, для того, чтобы отличать их от абстрактных симплексов.
Определение 2.2. Геометрическим симплициальным комплексом
(или полиэдром) называется набор & геометрических симплексов про-
произвольных размерностей, лежащих в некотором пространстве Шп, удовле-
удовлетворяющий следующим двум условиям:
(а) каждая грань симплекса из «^ (в том числе 0) лежит в ??\
(б) пересечение любых двух симплексов из & является гранью каждого
из них.
Симплексы из набора & также называются гранями полиэдра &; как
обычно, 0-мерные грани называются вершинами. Размерностью поли-
полиэдра & называется максимальная размерность его граней.
Соглашение. Понятие полиэдра, введенное ранее в определении 1.2,
очевидно, отличается от введенного определения 2.2. Первое из зна-
значений термина «полиэдр» (т. е. неограниченный многогранник) принято
в выпуклой геометрии, в то время как второе значение (т. е. геомет-

2.1. Основные понятия кусочно-линейной (PL-) топологии 37
рический симплициальный комплекс) используется в комбинаторной
геометрии. Так как оба термина стали общепринятыми в соответству-
соответствующей области, мы не можем полностью менять их названия. Мы будем
использовать термин «полиэдр» для геометрических симплициальных
комплексов и «выпуклый полиэдр» для неограниченных многогранников.
В любом случае, из контекста будет всегда ясно, какой из полиэдров
имеется ввиду.
В дальнейшем как абстрактные, так и геометрические симплициальные
комплексы всегда будут предполагаться конечными.
В зависимости от контекста, мы будем обозначать через Ат~1 три раз-
различных объекта: абстрактный симплициальный комплекс 2|ml, содержа-
содержащий все подмножества [т\\ геометрический симплекс (выпуклый много-
многогранник); а также геометрический симплициальный комплекс, состоящий
из всех граней геометрического симплекса.
Определение 2.3. Пусть К — симплициальный комплекс на множе-
множестве вершин [т]. Полиэдр & называется геометрической реализацией
комплекса К, если существует взаимно однозначное соответствие между
множеством [т] и множеством вершин полиэдра &, при котором симплек-
симплексы комплекса К переходят в наборы вершин симплексов полиэдра &.
Если не заботиться о размерности объемлющего пространства, то гео-
геометрическую реализацию произвольного симплициального комплекса
можно построить следующим достаточно очевидным образом.
Конструкция 2.4. Пусть К — симплициальный комплекс на множестве
вершин [т]. Рассмотрим стандартный базис е,, ..., ет в Жт и для каждо-
каждого подмножества а С [т] обозначим через Ао выпуклую оболочку концов
векторов еп где / е о. Тогда До является (правильным, геометрическим)
симплексом. Полиэдр
является геометрической реализацией комплекса К.
Описанная конструкция есть просто геометрическая интерпретация то-
того факта, что любой симплициальный комплекс на множестве [т] является
подкомплексом в симплексе Д. В то же время, согласно классическо-
классическому результату Небелинга—Понтрягина [25], любой /г-мерный абстракт-
абстрактный симплициальный комплекс Кп допускает геометрическую реализацию
в B/г + 1)-мерном пространстве.
Пример 2.5. Пусть 5 — симплициальный я-многогранник. Тогда его
граница dS является (геометрическим) симплициальным комплексом, го-
меоморфным (п — 1)-мерной сфере. Мы вернемся к этому примеру в раз-
разделе 2.3.

38 Глава 2. Топология и комбинаторика симплициальных комплексов
Определение 2.6. Понятия /-, h- и g-векторов (п — 1)-мерного сим-
плициального комплекса Кп~1 вводятся аналогично тому, как это делалось
для симплициальных многогранников. А именно, /(/("""') = (/о, /ь • •., /л-0>
где /, —число /-мерных симплексов в /С", a h(Kn~l) = {h0, h\, ..., hn),
где компоненты ht определяются формулой A.7). Здесь мы также полагаем
/_i = 1. Если Кп~х —dS — граница симплициального п-многогранника S,
то мы, очевидно, имеем f(Kn~l) = f(S).
Определение 2.7. Пусть К\ и /B — симплициальные комплексы
на множествах [ш\] и [т2] соответственно, а &\ и ^2 — их геомет-
геометрические реализации. Отображение множеств ср: [ш\] —> [т2] называется
симплициальным отображением между К\ и Кч, если ср(ст) е /B для
любого а е К\. Симплициальное отображение ср называется невырожден-
невырожденным, если |ср(а)| = |а| для любого aG/Ci. На геометрическом уровне,
симплициальное отображение продолжается (линейно на гранях поли-
полиэдра ^j) до отображения ср:^| —> &2 (обозначаемого тем же символом
для простоты). Это отображение мы будем называть симплициальным
отображением полиэдров. Симплициальное отображение полиэдров,
для которого существует симплициальное обратное, называется сим-
плициальным изоморфизмом. Полиэдр &' называется подразбиением
полиэдра ^, если каждый симплекс полиэдра &' содержится в некотором
симплексе полиэдра & и каждый симплекс в & представляется в виде
конечного объединения симплексов из &'. Кусочно-линейным (или PL-)
отображением ср: &\ —> ^2 называется отображение, которое является
симплициальным отображением некоторого подразбиения полиэдра &\
в некоторое подразбиение ^2. Кусочно-линейным (PL-) гомеоморфиз-
гомеоморфизмом называется кусочно-линейное отображение, для которого существует
кусочно-линейное обратное. Иногда кусочно-линейно гомеоморфные по-
полиэдры называют комбинаторно эквивалентными. Таким образом,
два полиэдра &\ и ?*2 являются кусочно-линейно гомеоморфными тогда
и только тогда, когда существует полиэдр ^, изоморфный подразбиению
каждого из них.
Пример 2.8. Для любого симплициального комплекса К на множестве
[т] существует симплициальное отображение (вложение) К <-* А.
Имеется очевидный симплициальный изоморфизм между любыми дву-
двумя геометрическими реализациями данного симплициального комплекса К.
Это оправдывает наше единое обозначение \К\ для всех геометрических
реализаций комплекса К. Если это возможно, мы не будем различать аб-
абстрактные симплициальные комплексы и их геометрические реализации.
Например, мы будем говорить «симплициальный комплекс К кусочно-ли-
кусочно-линейно гомеоморфен А"», имея в виду «геометрическая реализация комплек-
комплекса К кусочно-линейно гомеоморфна А"».

2.2. Операции над симплициальными комплексами 39
2.2. Операции над симплициальными комплексами
Здесь мы описываем важнейшие способы построения новых симпли-
циальных комплексов.
Конструкция 2.9 (соединение симплициальных комплексов). Пусть К\
и /С2 — симплициальные комплексы на множествах JC\ и Лч соответ-
соответственно. Соединением, (или джойном) комплексов К\ и /B называется
симплициальный комплекс
К\ * /Сг •= {о С М\ U ^2* о = О\ U а2, С\ Е /С|, а2 Е /С2}
на множестве ^ U
Пример 2.10. 1. Если К\ = Ат>-\ К2 = Д*, то К, *К2 = Дт'+/712-«.
2. Симплициальный комплекс А0*К (соединение комплекса К и точки)
называется конусом над К и обозначается cone(/Q.
3. Пусть 5° — пара точек @-мерная сфера). Тогда S0 * К называется
надстройкой над К и обозначается Е/(.
Геометрические реализации комплексов сопе(/() и ЯК суть соответ-
соответственно топологические конус и надстройка над \К\.
4. Пусть Р| и ?2 — простые многогранники. Тогда
х
(см. конструкцию 1.9).
Конструкция 2.11. Тот факт, что произведение двух симплексов не есть
симплекс, приводит к вопросу о триангуляции произведения полиэдров.
Имеется канонический способ построения симплициального разбиения
произведения двух полиэдров для каждого упорядочения их вершин.
А именно, пусть К\ и Кг — симплициальные комплексы на множествах [гп\\
и [тг] соответственно (здесь — одно из немногих мест, где мы существен-
существенно используем порядок вершин). Мы построим новый симплициальный
комплекс на множестве [тх\ х [т2], который назовем декартовым про-
произведением комплексов К\ и Кг и обозначим К\ х /С2. По определению,
симплексами комплекса К\ х /С2 являются подмножества множеств вида
<7i х а2 (с Ст| € К\ и ст2 6 /С2), устанавливающие неубывающие соответствия
между множествами а\ и ст2. Более формально,
К\ х К2 := {оСо, х ст2: a, G /Сь о2 € К2
и для любых двух пар («, /), (/', /') G о из г"^ /' вытекает у ^ у'}.
Полиэдр |/Ci х К2| определяет каноническую триангуляцию пространства
\К\\ х |/С2|. Заметим, что в случае К\— К2 — К диагональное отображение
К —> /С х К становится симплициальным. Это важный шаг в построении
умножения в симплициальных когомологиях, см. [121J.

40 Глава 2. Топология и комбинаторика симплициальных комплексов
Конструкция 2.12 (связная сумма симплициальных комплексов).
Пусть К\ и /С2 — два чистых (п — 1)-мерных симплициальных" комплекса
на множествах Л\ и Лг соответственно, причем \Л\\ = ти |^2| = m2.
Выберем два максимальных симплекса о\ е К\ и а2 Е /С2. Зафиксиру-
Зафиксируем некоторое отождествление ах с а2 и обозначим через Л\ Uo Лг
объединение множеств Л\ и Лг с отождествленными с\ и ст2 (под-
(подмножество, получающееся при отождествлении, мы обозначили а). Тогда
\Л\ иаЛг\ = т.\ + т2 — п. Теперь оба комплекса К\ и Кг можно рас-
рассматривать как наборы подмножеств в множестве Л\ Uo Лг. Определим
связную сумму комплекса К\ в о\ с комплексом Кг в а2 как симплици-
альный комплекс
на множестве Л\ Uo Лг. В случае, когда выбор симплексов сь ст2 и отож-
отождествление ctj с с2 определяются контекстом, мы будем использовать со-
сокращенное обозначение К\ # Кг- Геометрически, связная сумма полиэд-
полиэдров \К\\ и |/С2| в Ст| и а2 получается склеиванием полиэдров \К\\ и \Кч\
вдоль граней ох и а2 и последующим удалением грани а, получаемой при
отождествлении о\ с с2.
Пример 2.13. 1. Пусть К\ есть (п— 1)-мерный симплекс, а К.2—чистый
(п - 1)-мерный комплекс с выделенным максимальным симплексом ст2. То-
Тогда К\ # Кг = /С2 \ а2, т. е. Ki # Кг получается удалением из Ki симплекса ст2.
2. Конструкция связной суммы симплициальных комплексов следую-
следующим образом связана со связной суммой простых многогранников (см.
конструкцию 1.10). Пусть Р, и Р2 — простые многогранники. Положим
. Тогда
Кх # К2 = 0((/>, # Я2Г).
Определение 2.14. Барицентрическое подразделение абстракт-
абстрактного симплициального комплекса К есть симплициальный комплекс К',
определяемый следующим образом. Множеством вершин комплекса К'
является множество {a G К:аф 0}. Симплексами комплекса К' являют-
являются цепи вложенных непустых симплексов комплекса /С. Таким образом,
{<7|, ..., аг} е К' тогда и только тогда, когда aj с а2 С ... С ог в К (после
возможного переупорядочивания) и ot Ф 0.
Барицентром симплекса A" CR" с вершинами vu ..., vn+] называет-
называется точка Ьс(Дя) = -(v\ +... + vn+i) e А". Барицентрическое подраз-
подразделение &* полиэдра & определяется следующим образом. Множество
вершин &' состоит из барицентров симплексов полиэдра &. Набор ба-
барицентров {Ьс(Д','), ..., Ьс(А'/)} порождает симплекс полиэдра &' тогда

2.2. Операции над симплициальными комплексами 41
и только тогда, когда Д',1 С... С Д1/ в ??. Очевидно, \К'\ = \К\' для любого
абстрактного симплициального комплекса К.
Пример 2.15. Для любого (п — 1)-мерного симплициального комплек-
комплекса Кп~1 на множестве [т] имеется невырожденное симплициальное отоб-
отображение К' —> А", определенное на вершинах как о —> |о|, о € К. (Здесь
о рассматривается как вершина комплекса /С', а \а\— как вершина сим-
симплекса Д".)
Пример 2.16. Пусть К — симплициальный комплекс на множестве М
и \\K—>Jt — некоторая функция, сопоставляющая каждому симплексу
а € К некоторый элемент из а. Например, если М = [т], мы можем взять
/ = mini. Для каждой такой функции / имеется каноническое симплици-
альное отображение Vf'.K'—^K, задаваемое следующим образом. По опре-
определению комплекса /С', его вершины находятся во взаимно однозначном
соответствии с непустыми симплексами комплекса К. Для каждого a G К
положим Vf(o) = /(а). Это отображение продолжается на симплексы из К'
по формуле
V,(o, С <т2 С ... С ог) = {/(а,), /(о2), ..., /(аг)}.
В правой части стоит подмножество из аг, которое, таким образом, явля-
является симплексом из К. Итак, V^ действительно является симплициальным
отображением.
Далее мы опишем преобразования /- и Л-векторов симплициальных
комплексов при переходе к их барицентрическим подразделениям. Введем
матрицу
Можно показать, что Ьц = 0 при / > / (т.е. В — верхнетреугольная матрица)
и Ьц = (/ -|-1)!. Таким образом, матрица В обратима.
Лемма 2.17. Пусть К' — барицентрическое подразбиение симпли-
симплициального комплекса /С". Тогда f-векторы комплексов К и К' свя-
связаны соотношением:
п-\
^0 = Х>,Ш, / =0 /1—1;
/='
т.е.
f(K') = Bf(K).
Доказательство. Рассмотрим барицентрическое подразбиение /-мер-
/-мерного симплекса Д;, и пусть Ъ\. есть число /-симплексов в (Ду)', не

42 Глава 2. Топология и комбинаторика симплициальных комплексов
лежащих в дА'. Тогда мы имеем /«(/(') = J2 KJiW- Докажем, что Ьц — Ь'Гг
¦I,-
Действительно, легко видеть, что число Ь'ц удовлетворяет следующему ре-
рекуррентному соотношению:
tf. = (/+l)tf + (/ +
Отсюда по индукции легко выводится, что b'it задается той же формулой,
что и Ьц. ?
Теперь введем матрицу
(здесь мы полагаем 0° = 1).
Лемма 2.18. h-векторы комплексов К и К' связаны соотноше-
соотношением'.
Р = 0, ..., /z; h(Kr) = Dh(K).
q=0
Кроме того, матрица D обратима.
Доказательство. Это устанавливается рутинной проверкой с исполь-
использованием леммы 2.17, соотношений A.7) и ряда тождеств для биномиаль-
биномиальных коэффициентов, которые можно найти, например, в [26]. Если к /-век-
/-вектору добавить компоненту /_i = 1 и соответствующим образом изменить
матрицу В, то мы будем иметь соотношение D = С~{ВСУ где С — матрица
перехода от Л-вектора к /-вектору (ее явный вид легко устанавливается
из соотношений A.7)). Отсюда вытекает обратимость матрицы D. ?
Таким образом, переход к барицентрическому подразделению индуци-
индуцирует линейные обратимые операторы В и D на /- и Л-векторах симплици-
симплициальных комплексов. Возникает интересная задача: для данного /-вектора /
симплициального комплекса описать свойства вектора f = B~lf (и анало-
аналогично для Л-вектора huh = D~lh). Вообще говоря, такой вектор / уже
не будет /-вектором симплициального комплекса, но в ряде случаев он
сохраняет важные свойства /-вектора, см., например теорему 4.13.
Пример 2.19 (порядковый комплекс). Пусть 5? — произвольное ча-
частично упорядоченное множество. Его порядковым комплексом ord(^)
называется набор всех цепей Х\ < х2 < ... < xk, jc,- e 5?. Очевидно, что
ord(^) является симплициальным комплексом. Порядковый комплекс
частично упорядоченного (относительно вложения) множества непу-
непустых симплексов произвольного симплициального комплекса К есть его

2.2. Операции над симплициальными комплексами 43
барицентрическое подразделение К'. Если добавить пустой симплекс,
то соответствующий порядковый комплекс есть cone К'.
Определение 2.20. Симплициальный комплекс К называется флаго-
флаговым, если любой набор его вершин, которые попарно соединены ребрами,
порождает симплекс.
Предложение 2.21. Для произвольного симплициального графа
{{-мерного симплициального комплекса) Г существует единствен-
единственный флаговый комплекс Кг на том же множестве вершин, {-мерный
остов которого есть Г.
Доказательство. Симплексами комплекса /Сг являются наборы вер-
вершин полных подграфов в Г. ?
Определение 2.22. Минимальный флаговый комплекс, содержащий
данный симплициальный комплекс /С, называется флагизацией комплек-
комплекса К и обозначается fl(/Q.
Определение 2.23. Пусть К — симплициальный комплекс на множе-
множестве [т]. Недостающей гранью комплекса К называется подмножество
со С [т] такое, что со ^ /С, но любое собственное подмножество в со является
симплексом в /С.
Следующее утверждение вытекает непосредственно из определений.
Предложение 2.24. Комплекс К является флаговым тогда и толь-
только тогда, когда каждая его недостающая грань имеет две вершины.
Пример 2.25. 1. Порядковый комплекс любого частично упорядочен-
упорядоченного множества (в частности, барицентрическое подразделение симплици-
симплициального комплекса) является флаговым комплексом. С другой стороны,
например, граница 5-угольника является флаговым комплексом, но не яв-
является порядковым комплексом.
2. Граница симплекса дАп~1 не является флаговым комплексом при
п>2.
3. Пусть К = К\ #О{,о2 %2 (см. конструкцию 2.12). Тогда а является недо-
недостающей гранью комплекса /С.
Определение 2.26. Симплициальный комплекс К на множестве вер-
вершин [т] называется k-смежностным, если любое ^-элементное подмно-
подмножество в [т] является симплексом.
Определение 2.27. Линк и звезда симплекса о G К определяются как
подкомплексы
link/c о := {т G К: a U т G К, о П т = 0}; star* а := {т G К: о U т G К).
Определим также подкомплекс
dstarKo:={zeK: oUxG/(,

44 Глава 2. Топология и комбинаторика симплициальных комплексов
Тогда мы имеем последовательность вложений
/c о С д star/c о С star* a.
Для любой вершины v G К подкомплекс star^ v можно отождествить с ко-
конусом над link/c v — дъ\.ъхк v. Полиэдр | star* u\ состоит из всех граней по-
полиэдра \К\, содержащих и. Мы будем опускать индекс К в обозначениях
линка и звезды, когда это допускается контекстом.
Подкомплексы link а определяют локальную топологическую структуру
полиэдра \К\ вблизи каждой его точки. В частности, следующее утвержде-
утверждение описывает «локальные когомологии» полиэдра.
Предложение 2.28. Пусть х — внутренняя точка некоторого
симплекса оеК. Тогда
Доказательство. Имеют место изоморфизмы
r, (stara) \*) =
^ #,(stara, (до) * (linka)) S //,_,(@а) * (linkа)) ^ //,_Лга«-1(linkа).
Здесь в первом изоморфизме мы воспользовались свойством вырезания,
во втором — тем фактом, что (до) * (link а) является деформационным ре-
трактом для (stara) \x, в третьем — гомологической последовательностью
пары и, наконец, в четвертом — изоморфизмом надстройки. ?
Для любого подкомплекса L С К определим его (замкнутую) комбина-
комбинаторную окрестность UK(L) как следующий подкомплекс в К:
UK(L):=[JsiarKo.
Эквивалентно, комбинаторная окрестность UK(L) состоит из всех сим-
симплексов комплекса /С, вместе со всеми их гранями, содержащими неко-
некоторый симплекс из L в качестве грани. Введем также открытую ком-
о
бинаторную окрестность UK(L) полиэдра \Ц в \К\ как объединение
внутренностей всех граней из |/С|, содержащих некоторый симплекс из \Ц
в качестве грани.
Пусть К — симплициальный комплекс на множестве М. Для любого
подмножества о С ^ определим полный подкомплекс Кш как
К» := {а € К: а С <о}. B.1)
Положим core ^ = {у € ^: star у фК). Ядром комплекса К называется
подкомплекс соге/С = /Ссоге^. Таким образом, ядро есть максимальный под-
подкомплекс, содержащий все вершины, звезды которых не совпадают с К.

2.2. Операции над симплициальными комплексами 45
Комплекс К представляется в виде К = соге(Л^) * As~', где As~l —симплекс
на множестве вершин Ж \ core j&'.
Пример 2.29. 1. link* 0 = К.
2. Пусть К = дД3 — граница тетраэдра на четырех вершинах 1, 2, 3, 4
ио = {1,2}. Тогда link а есть подкомплекс, состоящий из двух точек 3 и 4.
3. Пусть К — конус с вершиной v над некоторым комплексом L. Тогда
link и =L, star и = К и core К С L.
Пример 2.30 (двойственный комплекс). Пусть К — симплициальный
комплекс на множестве Jt\ отличный от полного симплекса на М. По-
Положим
А.
Тогда К есть снова симплициальный комплекс на Л. Он называется двой-
двойственным комплексом к /С.
Конструкция двойственного симплициального комплекса К позволяет
дать следующую «чисто симплициальную интерпретацию» двойственно-
двойственности Александера (см., например [22, с. 54]) для канонического вложения
симплициального комплекса К на множестве [т] в (т — 2)-мерную сферу
0дт-1 Рассмотрим барицентрическое подразделение (дАт~1)'. По опре-
определению, грани комплекса (дАт~])' соответствуют таким цепям ai С... С аг
вложенных подмножеств в [/я], что |gi| ^ 1 и |ог| ^ т — 1. Обозначим со-
соответствующие грани через До,с...со,- (Например, Д{/} есть вершина v = {/}
симплекса Дт~!, рассматриваемая как вершина комплекса (дД"-1)'.) То-
Тогда полиэдр
U А°1С.Сог
о\С.-Сог,ог€К
является геометрической реализацией комплекса К'. Положим г= [m]\{i]
и а = [т] \ а для каждого подмножества о С [/я]. Для любого симплици-
симплициального комплекса К на [т] введем следующий подкомплекс в (дАт~{)':
D(K)=
Предложение 2.31. Для любого симплициального комплекса К
Ф Ат~1 на множестве [т], полиэдр D(K) является геометрической
реализацией барицентрического подразделения двойственного ком-
комплекса:
D(K) = \K'\.
Кроме того, если барицентрическое подразделение комплекса К ре-
реализовано канонически как подполиэдр в (дАт~1)\ то

46 Глава 2. Топология и комбинаторика симплициальных комплексов
Доказательство. Отобразим вершину {/} комплекса К в вершину /
(точнее, Д/) комплекса (дАт~1)', а барицентр грани о€К — в вершину Дд.
Тогда весь комплекс К' перейдет в подкомплекс
I I Д-
который есть не что иное, как D(K). Второе утверждение также непосред-
непосредственно вытекает из определений. ?
Приведем пример (см. рис. 2.1). Пусть К — есть граница 4-угольни-
ка с вершинами 1, 2, 3, 4. Тогда К состоит из двух несвязных отрезков.
На рисунке К' и К' изображены как подкомплексы в (дД3)'.
Рис. 2.1. Двойственный подкомплекс и двойственность Александера
Предложение 2.32. Для любого симплициального комплекса К ф
Д на множестве [т] имеет место изоморфизм
Hj{K) ?
-1 ^ у ^ т - 2,
где //*(•) и //*(•) обозначают k-e приведенные группы симплициаль-
симплициальных гомологии и когомологий (с целыми коэффициентами) соответ-
соответственно. Здесь мы используем соглашение /?_,@) = Й~1@) = Z.
Доказательство. Имеется каноническое симплициальное отображение

2.2. Операции над симплициальными комплексами 47
которое строится следующим образом. Множества вершин комплексов \К'\
и |А"'| не пересекаются, а их объединение есть множество всех вершин
комплекса (дДт~')', так что отображение а однозначно определено на вер-
вершинах. Проверим, что это — действительно симплициальное отображение.
Пусть Дв|С...со, С (д&т~1)' — некоторая грань. Тогда найдется такое /, что
oi € К, Oi+\ ? К. В этом случае, очевидно,
Отображение а индуцирует невырожденное спаривание
ЙР(\К'\) ® Н"(\К'\) -> Hp+q+]((dAm~lY) =
что доказывает утверждение. ?
Следствие 2.33 (двойственность Александера). Для любого полиэд-
полиэдра &, вложенного в сферу S, имеют место изоморфизмы
Н}(&>) ^ я«-з-/E«-2 \ ^), -1 < / < m - 2.
Доказательство. Это утверждение непосредственно вытекает из пред-
предложений 2.31 и 2.32. ?
Предложение 2.32 допускает следующее обобщение, которое мы ис-
используем в главе 9.
Предложение 2.34. Пусть К Ф Ат~] —симплициальный комплекс
на [т] и о?К, т.е. 6 = [т] \о€К. Тогда имеют место изоморфизмы
где Ко — полный подкомплекс в /С, введенный в B.1).
Предложение 2.32 получается при а = [т].
Рис. 2.2. Граница 5-угольника и ее двойственный комплекс
Пример 2.35. Пусть К — граница 5-угольника. Тогда К является лен-
лентой Мёбиуса, триангулированной, как показано на рис. 2.2. Если мы
отобразим точки 1, 2, 3, 4 в вершины 3-мерного симплекса, а 5 — в его
барицентр, то вся триангуляция К ленты Мёбиуса станет подкомплексом
в 3-мерной диаграмме Шлегеля (см. определение 2.38 в следующем раз-
разделе) 4-мерного симплекса.

48
Глава 2. Топология и комбинаторика симплициальных комплексов
2.3. Симплициальные сферы и «-диаграммы
Граничные комплексы симплициальных многогранников дают важный,
хотя и достаточно ограниченный, класс триангуляции сфер. В этом разде-
разделе мы рассматриваем различные классы триангуляции сфер и связанные
с ними комплексы, возникающие в топологии и выпуклой геометрии, и опи-
описываем их взаимосвязи.
Определение 2.36. Симплициальной сферой размерности q называ-
называется симплициальный комплекс Kq, гомеоморфный q-сфере. PL-сферой
называется симплициальная сфера Кя, которая кусочно-линейно гомео-
морфна границе симплекса (другими словами, существует подразбиение
полиэдра Кя, изоморфное подразбиению границы симплекса Aq+i). Гомо-
Гомологической q-сферой SqH называется топологическое многообразие, ко-
которое имеет целочисленные гомологии как у q-сферы Sq.
Предложение 2.37. Граница симплициального п-многогранника
является (п — \)-мерной PL-сферой.
При доказательстве этого предложения (а также в других конструкци-
конструкциях) нам понадобится понятие о диаграммах Шлегеля.
Определение 2.38. По аналогии с понятием геометрического симпли-
симплициального комплекса (полиэдра), определим комплекс многогранников
как такой набор ^ выпуклых многогранников такой, что грань любого
многогранника из ^ принадлежит ^ и пересечение любых двух много-
многогранников из if снова принадлежит if. Два комплекса многогранников if,
и if2 называются комбинатор-
комбинаторно эквивалентными, если имеется
взаимно однозначное соответствие
между составляющими их много-
многогранниками, сохраняющее отноше-
отношение включения.
Примером комплекса много-
многогранников является граница дРп вы-
выпуклого «-многогранника Рп. Дру-
Другой важный комплекс многогранни-
многогранников, связанный с Рп, строится сле-
Рис. 2.3. Разбиение грани F образует диа- ДУЮЩИМ образом. Выберем ГИПер-
грамму Шлегеля для /3 грань F многогранника Рп и точку
р^Р" «достаточно близко» к F так,
что любой отрезок, соединяющий р с точкой в Я", не принадлежащей F,
пересекает внутренность многогранника (см. рис. 2.3 для случая Рп = /3).
Теперь спроектируем комплекс дРп на F из точки р. Образы граней
многогранника Рп, отличных от F, образуют комплекс, подразбивающий F.

2.3. Симплициальные сферы и «-диаграммы 49
Каждый комплекс многогранников ^, получаемый таким образом, называ-
называется диаграммой Шлегеля многогранника Рп. Мы будем также называть
диаграммой Шлегеля любой комплекс многогранников, комбинаторно эк-
эквивалентный *#\
Назовем п-диаграммой комплекс многогранников ^, состоящий
из «-многогранников и их граней, удовлетворяющий двум условиям:
а) объединение всех многогранников из ^ есть некоторый «-много-
«-многогранник Q;
б) любое непустое пересечение многогранника из ^ с границей Q снова
принадлежит *€.
Доказательство предложения 2.37. Нам нужно построить полиэдр,
который одновременно изоморфен некоторым подразбиениям полиэд-
полиэдров дРп и дАп. Это можно сделать следующим образом. Заменим одну
из гиперграней полиэдра дАп на диаграмму Шлегеля многогранника Рп.
По определению, полученный полиэдр & является подразбиением дАп.
В то же время, конструкция диаграммы Шлегеля показывает, что &
симплициально изоморфен подразбиению полиэдра дР", получаемому за-
заменой одной из гиперграней многогранника Рп на диаграмму Шлегеля
симплекса Дя. (Заметим, что хотя центральное проецирование не является
линейным отображением, это можно исправить при помощи конструкции
псевдопроектирования, см. [147].) ?
По определению, любая диаграмма Шлегеля «-многогранника явля-
является «-диаграммой. Очевидно, что любая 1-диаграмма является диаграм-
диаграммой Шлегеля некоторого 2-многогранника. Любая 2-диаграмма также
является диаграммой Шлегеля некоторого 3-многогранника. Это — од-
одна из эквивалентных формулировок знаменитой теоремы Штейница
(см. [64, с. 152] или [169, Th.5.8]). Однако, уже начиная с размерности 3
понятия «-диаграммы и диаграммы Шлегеля расходятся. Первый пример
3-диаграммы, не являющейся диаграммой Шлегеля никакого 4-многогран-
ника, был найден Грюнбаумом ([98, §11.5], см. также [99]) в результате
исправления результата Брюкнера 1909 г. о классификации симплициаль-
ных 4-многогранников с 8 вершинами. Другой, более наглядный пример
был найден Барнеттом [47].
Конструкция 2.39 C-диаграмма Барнетта). Здесь мы построим неко-
некоторую симплициальную 3-диаграмму #. Рассмотрим октаэдр Q, получен-
полученный небольшим поворотом верхнего основания (abc) треугольной призмы
в плоскости (abc) (см. рис. 2.4, а). Предположим, что ребра (bd), (се) и (af)
лежат внутри октаэдра. Тетраэдры (abde), (beef) и (aedf) будут принад-
принадлежать нашей 3-диаграмме ^. Каждый из этих тетраэдров имеет по две
грани внутри октаэдра Q. Эти 6 треугольников вместе с (abc) и (def) обра-
образуют триангуляцию 2-сферы, которую мы обозначим У. Теперь поместим

50 Глава 2. Топология и комбинаторика симплициальных комплексов
внутрь сферы У точку р так, что отрезки, соединяющие р с вершина-
вершинами У, лежат внутри У. Добавим к комплексу ^ восемь тетраэдров, по-
получаемых как конусы с вершиной р над гранями У (а именно, тетраэдры
(pabc), (pdef), (pabd), (pbed), (pbce), (pcef), (pacf) и (padf)). Заме-
Заметим, что У — link p. Далее, выберем вершину р' вне октаэдра Q так, что
отрезки, соединяющие р' с вершинами Q, лежат вне Q (см. рис. 2.4, б).
Наконец, добавим к комплексу ^ тетраэдры, получаемые как конусы с вер-
вершиной р' над гранями Q, отличными от (def) (всего 7 тетраэдров: {p'abc),
(p'abe), (p'ade), (p'acd), (p'cdf), {p'bcf) и (p'bef)). Объединение всех
тетраэдров из ^ есть тетраэдр (p'def), так что *€ действительно является
3-диаграммой. Эта 3-диаграмма имеет 8 вершин и 18 тетраэдров.
а
Рис. 2.4. 3-диаграмма Барнетта
Предложение 2.40. 3-диаграмма из предыдущей конструкции не
является диаграммой Шлегеля.
Доказательство. Предположим, что существует 4-многогранник Я,
для которого ^ является диаграммой Шлегеля. Не ограничивая общности
можно считать, что вершины Р находятся в общем положении. Будем
обозначать вершины Р теми же буквами, что и вершины ^. Рассмот-
Рассмотрим комплекс У = link p. Пусть Р' есть выпуклая оболочка всех вершин
многогранника Я, кроме р. Тогда Р' снова является симплициальным
многогранником и У является подкомплексом в дР'. В комплексе дР'
сфера У должна быть заполнена тетраэдрами. При этом хотя бы одно

2.3. Симплициальные сферы и я-диаграммы 51
из ребер каждого тетраэдра должно лежать внутри У'. Однако каждая па-
пара вершин комплекса У, не соединенных ребром из У, соединена ребром
комплекса #, лежащим вне У'. Так как многогранник не может иметь
двойных ребер, мы пришли к противоречию. ?
Теперь мы вернемся к рассмотрению триангуляции сфер. PL-сфера,
симплициально изоморфная границе симплициального многогранника, на-
называется многогранной сферой. Таким образом, мы имеем следующую
иерархию комбинаторных объектов:
г многогранные 1 _ lrtl , > _ Г симплициальные 1 /п оч
{ д. гс {PL-сферы} С { \ B.2)
I сферы J -l ^ v } ~ I сферы J v '
Аргумент, использованный в доказательстве предложения 2.37, показыва-
показывает, что имеется взаимно однозначное соответствие между симплициальны-
ми /z-диаграммами и я-мерными PL-сферами. Таким образом, из теоре-
теоремы Штейница вытекает, что в размерности 2 любая PL-сфера является
многогранной сферой. Кроме того, любая триангуляция 2-сферы являет-
является кусочно-линейной (см. раздел 2.4). Это означает, что в размерности 2
все три класса комбинаторных объектов совпадают. Однако в высших
размерностях оба включения в B.2) являются строгими. Как показывает
конструкция 2.39, первое включение является строгим уже в размерно-
размерности 3. Всего имеется 39 комбинаторно различных триангуляции 3-сферы
с 8 вершинами, две из которых не являются многогранными. Это — триан-
триангуляции, получаемые соответственно из 3-диаграммы Барнетта (так назы-
называемая сфера Барнетта) и упомянутой выше 3-диаграммы, найденной
Грюнбаумом (сфера Брюкнера). Полная классификация симплициаль-
ных 3-сфер не более чем с 8 вершинами была получена в работе [49].
Мы упомянем также результат Мани [122] о том, что любая симплици-
альная q-сфера, число вершин которой не превосходит q + 4, является
многогранной.
Что касается второго включения в B.2), известно, что в размерности 3
любая симплициальная сфера является PL-сферой. В размерности 4 со-
соответствующий вопрос остается открытым (см. обсуждение в разделе 2.4).
Однако начиная с размерности 5 существуют we-PL-симплициальные сфе-
сферы. Одна из таких триангуляции описана далее в примере 2.44. В со-
соответствии с результатом из работы [56], для любого п ^ 5 существует
He-PL-триангуляция сферы Sn с п + 13 вершинами.
Так как /-вектор многогранной сферы совпадает с /-вектором соот-
соответствующего симплициального многогранника (см. определение 2.6), те-
теорема 1.27 (g-теорема) имеет место для многогранных сфер. Таким об-
образом, возникает естественный вопрос, обобщается ли ^-теорема на про-
произвольные симплициальные сферы. Этот вопрос был впервые поставлен

52 Глава 2. Топология и комбинаторика симплициальных комплексов
Макмюлленом [127] как обобщение его гипотезы для симплициальных
многогранников. С 1980 г., когда гипотеза Макмюллена была доказана
Биллерой, Ли и Стенли, следующий вопрос считается основной открытой
комбинаторно-геометрической проблемой, связанной с /-векторами сим-
симплициальных комплексов.
Проблема 2.41 (^-гипотеза для симплициальных сфер). Верна ли
^-теорема (теорема 1.27) для симплициальных сфер?
Эта гипотеза остается открытой даже для PL-сфер. Заметим, что необ-
необходимо лишь доказать условие необходимости в g-теореме (т. е. тот факт,
что g-вектор является М-вектором). Если ^-гипотеза верна, то она дает
полную характеризацию /-векторов симплициальных сфер.
Соотношения Дена—Соммервилля (часть а) теоремы 1.27) имеют ме-
место для произвольных симплициальных сфер (см. далее следствие 3.46).
Кроме того, /-векторы симплициальных сфер удовлетворяют неравенствам
из ТВГ и ТНГ (теоремы 1.31 и 1.35). ТНГ (в частности, неравенство
h\ ^ h2) для сфер была доказана Барнеттом [50] (см. также [111]). Дока-
Доказательство ТВГ для сфер принадлежит Стенли [152] (мы приводим его ар-
аргумент далее в следствии 3.39). Из всех этих утверждений вытекает ^-ги-
^-гипотеза для симплициальных сфер размерности не выше 4. Неравенство
h2 ^ Аз из ОГНГ A.16) для сфер остается открытым. В течение послед-
последних двух десятилетий было предпринято множество попыток доказатель-
доказательства ^-гипотезы. Несмотря на то, что доказательство получено не было,
эти усилия привели к некоторым очень интересным эквивалентным форму-
формулировкам g-гипотезы. Результаты Пахнера [141], [142] сводят ^-гипотезу
(для PL-сфер) к доказательству некоторых свойств бизвездных преоб-
преобразований (см. обсуждение после предложения 2.50). Мы также упомя-
упомянем результаты [162], согласно которым ^-гипотеза вытекает из свойства
остовной г-жесткости симплициальных (п — 1)-сфер для г < Кг . Как
было показано независимо Калаи и Стенли [158, Corollary 2.4], ОГНГ
имеет место для границы я-мерного шара, являющегося подкомплексом
в граничном комплексе симплициального (п+ 1)-многогранника. При этом,
однако, неизвестно, какие симплициальные комплексы могут появлять-
появляться таким образом. Безуспешность многочисленных попыток доказатель-
доказательства ^-гипотезы послужила основанием для Бьорнера и Люца организо-
организовать компьютерный поиск контрпримеров [56]. Их компьютерная програм-
программа BISTELLAR позволила получить множество замечательных результа-
результатов о триангуляциях многообразий, однако контрпримеры к ^-гипотезе
обнаружены не были. Дополнительную информацию об истории ^-тео-
^-теоремы и связанных с этим вопросах можно найти в [159], [160], [169,
Lecture 8].

2.4. Триангулированные многообразия 53
2.4. Триангулированные многообразия
Кусочно-линейная топология интенсивно развилась в последние че-
четыре десятилетия двадцатого века благодаря усилиям Смейла, Браудера,
Новикова, Сулливана, Кирби, Зибенманна (в размерностях не ниже 5),
Фридмана (в размерности 4) и других. Мы не ставим цели изложить здесь
доказательства полученных ими глубоких результатов, так как эта тема
стоит немного в стороне от основного направления нашей книги. Тем не
менее мы приводим далее краткий обзор современного состояния этой
области (уделяя основное внимание результатам по триангуляциям мно-
многообразий) и даем ссылки на основные источники.
Определение 2.42. Симплициальный комплекс К называется триан-
триангулированным многообразием (или симплициальным многообразием),
если полиэдр \К\ является топологическим многообразием. (Все много-
многообразия, рассматриваемые в этой книге, предполагаются компактными,
связными и замкнутыми, если не оговорено противное.) Симплициальный
комплекс К4 называется <7-мерным комбинаторным многообразием,
если для любого непустого симплекса а € К4 подкомплекс link а является
PL-сферой размерности q — \а\. Полиэдр \КЧ\ называется PL-многообра-
PL-многообразием, если Kq является комбинаторным многообразием.
Каждое PL-многообразие \КЧ\ является (триангулированным) много-
многообразием: оно имеет атлас карт, координатные замены которых являются
кусочно-линейными отображениями. Действительно, для любой вершины
v e Kq соответствующая (q — 1)-мерная PL-сфера link у ограничивает от-
открытую окрестность Uv, гомеоморфную открытому (/-шару. Так как любая
точка из \КЧ\ содержится в Uv для некоторой вершины v, эти окрестности
определяют требуемый атлас на \КЧ\.
Верно ли, что любая триангуляция топологического многообразия дает
полиэдр, являющийся PL-многообразием? Ответ на этот вопрос отрица-
отрицательный, а сам вопрос восходит к знаменитой гипотезе времен рождения
топологии, известной как Hauptvermutung der Topologie (основная ги-
гипотеза топологии). В начале развития топологии все известные топологи-
топологические инварианты определялись в комбинаторных терминах и было очень
важно выяснить, полностью ли определяется комбинаторика триангуляции
топологией самого полиэдра. В современных терминах, гипотезу Haupt-
Hauptvermutung можно сформулировать следующим образом: любые два гомео-
морфных полиэдра комбинаторно эквивалентны (кусочно-линейно гомео-
морфны). Это утверждение верно в размерностях не выше 3 (и было дока-
доказано Радо в 1926 г. для 2-многообразий, Папакирьякопулосом в 1943 г. для
2-комплексов, Мойсом в 1953 г. для 3-многообразий и Э.Брауном в 1964 г,
для 3-комплексов; современное изложение этих результатов можно найти

54 Глава 2. Топология и комбинаторика симплициальных комплексов
в [133]). Первые примеры комплексов, опровергающих Hauptvermutung
в размерностях не менее б были найдены Милнором в начале 1960-х гг. Тем
не менее Hauptvermutung для многообразий, а именно, гипотеза о том,
что любые два гомеоморфные триангулированные многообразия комбина-
комбинаторно эквивалентны, оставалась открытой вплоть до начала 1970-х гг. Она
была окончательно опровергнута с появлением следующего результата.
Теорема 2.43 (Кэннон—Эдварде). Двукратная надстройка ??S?
над любой гомологической п-сферой SnH гомеоморфна сфере S"+2.
Эта теорема была доказана Эдвардсом [87] для гомологической 3-сфе-
ры Пуанкаре и в ряде других случаев, а также для всех тройных надстроек.
В общем случае теорема была доказана Кэнноном [70]. Вскоре Эдварде
дал альтернативное доказательство для общего случая. На основе этой
теоремы строятся примеры He-PL-триангуляции сфер, что таким образом
опровергает Hauptvermutung для многообразий в размерностях не ниже 5.
Пример 2.44 (He-PL-триангуляция 5-сферы). Пусть S% — произволь-
произвольная симплициальная гомологическая сфера, не являющаяся топологиче-
топологической сферой. Пример такого многообразия дает знаменитая сфера Пуан-
Пуанкаре, получаемая факторизацией группы SOC) по знакопеременной груп-
группе Л5, представленной как группа самосовмещений додекаэдра в R3. Опи-
Описание триангуляции сферы Пуанкаре можно найти в работе [56]. В силу
теоремы 2.43, двойная надстройка ?2S# гомеоморфна S5. Тем не менее,
?2SJ не может быть PL-сферой, так как гомологическая сфера S% возни-
возникает как линк некоторого 1-симплекса в ?2S#.
Отметим, что доказательство теоремы 2.43 опирается на бесконечные
процессы теоретико-множественной топологии. А именно, в отличие от
комбинаторных триангуляции, симплексы некомбинаторной триангуляции
дико вложены в объемлющее многообразие. Говорят, что вложение ком-
компакта коразмерности больше двух дико, если в некоторой его точке ло-
локальная фундаментальная группа дополнения нетривиальна. Например, в
двойной надстройке над гомологической сфербй возникает дикое вложение
окружности, содержащей вершины надстроек (и состоящей из 4 отрезков).
В основе изучения диких вложений лежат понятия и техника введённые
Штанько ([32, 33]). Основным здесь является понятие размерности вло-
вложения. В случае коразмерности большей 2, если вложение локально одно-
связно, то размерность вложения совпадает с размерностью, а в противном
случае размерность вложения равна п — 2, где п есть размерность объем-
объемлющего многообразия, и в этом случае вложение дико. Техника Штанько
позволила доказать, что любое вложение коразмерности больше 2 аппрок-
аппроксимируется локально односвязным вложением.
В случае теоремы о двойной надстройке важным оказался тот факт, что
множество точек, в которых нарушена локальная евклидовость, имеет ко-

2.4. Триангулированные многообразия 55
размерность больше 2. Схема доказательства заключается в следующем.
Вначале через это множество проводится подмногообразие N коразмер-
коразмерности 1. Его вложение не будет локально односвязным, но пользуясь мо-
модифицированной техникой Штанько, можно построить новую пару М', N'
и отображение f\M' -*М так, что / гомеоморфно отображает N' на Л/,
причем М' является гомологическим многообразием, локально евклидовым
вне N', и N' лежит в М' локально односвязно. В этом случае доказывается,
что М' является локально евклидовым (теорема Ферри), и что отобра-
отображение / аппроксимируется гомеоморфизмами. Многообразие М' в задаче
о двойной надстройке проще всего построить, если известно, что данная
гомологическая сфера М ограничивает стягиваемое многообразие. (Такое
многообразие естественным образом отображается на конус над М.) В слу-
случае если размерность М больше 3 этот факт достаточно известен, а для
трехмерной сферы он был доказан Фридманом в рамках глубокой теории,
в основе которой также лежит техника Штанько.
Вместе с тем, при дополнительных ограничениях гипотеза Hauptver-
mutung оказывается верной. Считается, что любые два гомеоморфные
односвязные PL-многообразия размерности не ниже 5 без 2-кручения
в группе третьих гомологии комбинаторно эквивалентны (PL-гомеоморф-
ны). Это — формулировка известной теоремы Сулливана (уточнение о
2-кручении принадлежит Браудеру и Новикову). Общая классификация
PL-структур на многообразиях больших размерностей была получена Кир-
би и Зибенманном [113] на основе более ранних результатов Браудера—
Новикова о перестройках.
Следующая теорема дает характеризацию симплициальных комплек-
комплексов, являющихся триангулированными многообразиями размерности не
ниже 5 и обобщает теорему 2.43.
Теорема 2.45 (Эдварде [88]). При q^b полиэдр \КЧ\ является топо-
топологическим q-многообразием тогда и только тогда, когда подком-
подкомплекс link а имеет гомологии как у (q — \а\)-мерной сферы для любого
непустого симплекса а € К4, а подкомплекс link и односвязен для лю-
любой вершины v € К.
Обнаружение He-PL-триангуляций топологических многообразий по-
породило дальнейшие вопросы. Среди них вопрос о том, верно ли, что любое
топологическое многообразие допускает PL-триангуляцию или хотя бы
произвольную триангуляцию, не обязательно кусочно-линейную. Другой
вопрос — о справедливости Hauptvermutung в размерности 4.
Триангуляции двумерных многообразий известны с момента зарожде-
зарождения топологии. Доказательство того, что любое 3-многообразие может
быть триангулировано, было получено независимо Бингом и Мойсом в на-
начале 1950-х гг. (его изложение можно найти в [133]). Отсюда и из того

56 Глава 2. Топология и комбинаторика симплициальных комплексов
факта, что линк любой вершины в триангулированном 3-многообразии
является PL-сферой размерности 2, вытекает, что все 3-многообразия
являются PL-многообразиями. Любое гладкое многообразие может быть
триангулировано по теореме Уитни (это утверждение доказано, например,
как теорема 10.6 в приложении Манкрса к [132]). Однако в размерно-
размерности 4 существуют топологические многообразия, которые не допускают
PL-триангуляции. Одним из примеров является фальшивое СР2 Фридма-
Фридмана [92, §§8.3,10.1] —топологическое многообразие, которое гомеоморфно,
но не диффеоморфно, комплексной проективной плоскости СР2. Этот при-
пример также показывает, что Hauptvermutung неверна в размерности 4. Хуже
того, как было показано в [39], существуют топологические 4-многообра-
зия, которые вообще не могут быть триангулированы (примером яв-
является построенное Фридманом топологическое 4-многообразие с формой
пересечений Е&). В размерностях не ниже 5 вопрос о триангулируемости
многообразий остается открытым.
Проблема 2.46 (гипотеза о триангулируемости). Верно ли, что любое
топологическое многообразие размерности не ниже 5 может быть триан-
триангулировано?
Другая широко известная проблема кусочно-линейной топологии — во-
вопрос о единственности PL-структуры на топологической сфере.
Проблема 2.47. Верно ли, что PL-многообразие, гомеоморфное топо-
топологической 4-сфере, является PL-сферой?
Четыре является единственной размерностью, в которой вопрос о един-
единственности PL-структуры на топологической сфере остается открытым.
В размерностях не выше 3 это вытекает из результатов Мойса [133],
а в размерностях не ниже 5 это вытекает из упомянутой выше теоре-
теоремы Сулливана. В размерности 4 категория PL-многообразий эквивалентна
гладкой категории, так что предыдущая проблема эквивалентна проблеме
существования экзотических 4-сфер.
История Hauptvermutung изложена в обзоре А. Раницкого [145].
Там же можно найти более детальное изложение современных достиже-
достижений и открытых проблем (в том числе упомянутых выше) комбинаторной
и кусочно-линейной топологии.
2.5. Звездные подразбиения и бизвездные
преобразования
Бизвездные преобразования (также называемые бизвездными операци-
операциями) были введены Пахнером (см. [141], [142]) как обобщение звездных
подразбиений. Они позволяют разложить произвольный кусочно-линей-
кусочно-линейный гомеоморфизм в последовательность простых преобразований, что

2.5. Звездные подразбиения и* бизвездные преобразования 57
дает удобный способ описания и вычисления топологических и комбина-
комбинаторных инвариантов PL-многообразий. Задавшись некоторой PL-триан-
PL-триангуляцией, можно использовать бизвездные преобразования для построе-
построения новых триангуляции со специальными свойствами, например, обла-
обладающих некоторой симметрией или имеющих минимальное число вершин.
С другой стороны, бизвездные операции можно также применять для по-
построения некоторых «очень плохих» триангуляции, начниная с некоторой
He-PL-триангуляции. На основе этих двух подходов, в работе [56] бы-
были найдены многие интересные триангуляции маломерных многообразий.
Бизвездные преобразования также позволяют комбинаторно интерпрети-
интерпретировать алгебраические операции раздутия и сдутия для проективных
торических многообразий (см. раздел 6.1) и некоторые топологические
перестройки (хирургии) (см. конструкцию 7.24). Наконец, бизвездные
операции позволяют ввести метрику в пространстве всех PL-триангуля-
ций данного PL-многообразия (детали можно найти в [135]).
Определение 2.48. Пусть К — триангулированное g-многообразие
(или произвольный чистый q-мерный симплициальный комплекс) и аеК
есть (<7 — /)-симплекс @ ^ / ^ q). Тогда операция ?в на комплексе /С,
определяемая как
С» (Я) := (К \ star* a) U (conedstar* а),
называется звездным подразбиением комплекса К относительно сим-
симплекса а. Таким образом, при звездном подразбиении звезда симплекса
заменяется на конус над ее границей.
Предположим теперь, что подкомплекс link* а представляет собой гра-
границу /-симплекса (который мы обозначим т), не являющегося гранью ком-
комплекса К- Тогда операция %о на комплексе К, определяемая как
Ха(К) := (К\(а* дх)) U (да * т),
называется бизвездным [-преобразованием. Так как а * о\ = star* a,
а да * т = star*/ т, где К' = XoW» бизвездное преобразование Ха можно
представить в виде композиции звездного подразбиения относитель-
относительно а и операции, обратной к звездному подразбиению относительно т.
В частности, звездное подразбиение С(/() является общим подразби-
подразбиением комплексов К и К' = x°W и» следовательно, К и К' являются
комбинаторно эквивалентными.
Бизвездные /-преобразования q-мерного симплициального комплек-
комплекса К, где / ^ | , также называются обратными (q — ^-преобразова-
^-преобразованиями. Заметим, что О-преобразование добавляет одну вершину к три-
триангуляции (мы предполагаем, что граница О-симплекса есть 0), обратное

58 Глава 2. Топология и комбинаторика симплициальных комплексов
О-преобразование удаляет одну вершину, а все остальные бизвездные пре-
преобразования не изменяют число вершин триангуляции, см. рис. 2.5 и 2.6.
Рис. 2.5. Бизвездные преобразования для q = 2
Рис. 2.6. Бизвездные преобразования для q = 3
Два чистых симплициальных комплекса называются бизвездно эквива-
эквивалентными, если их можно перевести друг в друга конечной последова-
последовательностью бизвездных операций.
Замечание. Бизвездное О-преобразование есть просто звездное под-
подразбиение относительно максимального симплекса, или связная сумма
с границей симплекса. В частности, сферы, являющиеся границами мно-
многогранников пирамидальной надстройки (см. определение 1.34), получа-

2.5. Звездные подразбиения и бизвездные преобразования 59
ются из .границы симплекса применением последовательности бизвездных
О-преобразований.
Из сказанного выше вытекает, что два бизвездно эквивалентных
PL-многообразия являются кусочно-линейно гомеоморфными. Следу-
Следующий замечательный результат показывает, что верно и обратное.
Теорема 2.49 (Пахнер [141, Th. 1], [142, E.5)]). Два PL-многооб-
PL-многообразия бизвездно эквивалентны тогда и только тогда, когда они
кусочно-линейно гомеоморфны.
Изменение чисел граней триангуляции при применении бизвездных
преобразований легко контролируемо. А именно, непосредственно прове-
проверяется следующее утверждение.
Предложение 2.50 (Пахнер [141]). Пусть L — q-мерное триангу-
триангулированное многообразие, получаемое из К применением бизвездно-
го k-преобразования, 0 < k ^ ^— . Тогда
gk+l(L) = gk+l(K) + 1;
где gi(K)=hi(K) — hi-l(fy,O<i^№L — компоненты g-вектора. Кро-
Кроме того, если q четно и k = ^, то g,(L) = gi(K) для всех i.
Это предложение позволяет интерпретировать неравенства из ^-гипо-
^-гипотезы для PL-сфер (см. теорему 1.27) в терминах числа бизвездных /г-опе-
раций, необходимых для преобразования данной PL-сферы в границу сим-
симплекса. Например, неравенство Л| ^ А2, п ^ 4, эквивалентно утверждению
о том, что число 1 -преобразований в любой последовательности бизвезд-
бизвездных преобразований, переводящей данную (п — 1)-мерную PL-сферу в гра-
границу я-симплекса, не превосходит числа обратных 1-преобразований. (За-
(Заметим, что g-вектор комплекса дАп имеет вид A,0,..., 0).)
Замечание. Пахнер также доказал аналог теоремы 2.49 для PL-мно-
PL-многообразий с границей, см. [142, F.3)]. Для этой цели им был введен
другой класс операций над триангуляциями, называемых элементарны-
элементарными расщеплениями.

Глава 3
Ко м мутати в н ая
и гомологическая алгебра
симплициальных комплексов
Кольца Стенли—Райснера (кольца граней) симплициальных комплек-
комплексов, введенные в начале 1970-х годов, открыли новые пути комбинаторных
приложений развитого к тому времени мощного аппарата коммутативной
и гомологической алгебры. В основу были положены результаты, описыва-
описывающие взаимосвязи колец Стенли—Райснера и таких ключевых алгебраи-
алгебраических понятий, как регулярные последовательности, кольца Коэна—Ма-
колея и Горенштейна, Тог-алгебры, локальные когомологии и т.д. Первым
источником по теории колец Стенли—Райснера явилась монография [159],
которая оказала существенное влияние на все последующие изложения
этой теории, в том числе и в нашей книге.
Далее, говоря об основном кольце к, мы будем иметь в виду некоторое
поле или кольцо целых чисел. В этой главе мы, как правило, будем иметь
дело с градуированными коммутативными конечно порожденными алге-
алгебрами А = ф Л' над к и градуированными конечно порожденными Л-мо-
дулями М. Мы всегда будем предполагать алгебру А связной, т.е. Л° = к.
Тогда отображение аугментации А —*¦ к, тождественное на Л° и переводящее
элементы из Л+ (т. е. положительной степени) в нуль, задает на к структу-
структуру Л-модуля. Для того, чтобы не использовать термин «модуль» в разных
контекстах, мы будем часто говорить о «k-векторных пространствах», имея
в виду абелевы группы в случае k = Z. Таким образом, каждая градуиро-
градуированная компонента М' модуля М является конечномерным к-векторным
пространством. За исключением редких и четко оговоренных случаев,
наши алгебры будут иметь нетривиальные градуированные компоненты
только в четных размерностях (этого всегда можно достичь удвоением

3.1. Кольца Стенли—Райснера симплициальных комплексов 61
градуировки). Дело в том, что в последующих главах мы будем иметь дело
с топологическими приложениями, где возникают алгебры, которые комму-
коммутативны в градуированном, а не в обычном смысле. В соответствии с этим
соглашением, говоря далее об алгебрах, порожденных линейными элемен-
элементами, мы будем иметь в виду алгебры, порожденные элементами из А2.
Мы часто будем использовать сокращенное обозначение к[т] для гра-
градуированной алгебры многочленов k[v]f ..., vm]. Если не оговорено про-
противное, мы будем считать, что образующие у, имеют степень два. Для
каждого подмножества g> = {/,, ..., ik} С [т] моном vix ...vik будем обо-
обозначать через с/ы.
3.1. Кольца Стенли—Райснера симплициальных
комплексов
Определение 3.1. Кольцом Стенли—Райснера (или кольцом гра-
граней) симплициального комплекса К на множестве [т] называется фак-
торкольцо
где Ук — однородный идеал, порожденный мономами va, для которых <о
не является симплексом в К. Идеал Ук называется идеалом Стенли—
Райснера комплекса К.
Пусть Р — простой «-многогранник, Р* — его полярный многогран-
многогранник, и Кр — граница Р*. Тогда Кр является многогранной симплициальной
(п — 1)-сферой. Кольцо Стенли—Райснера много-
многогранника Р из определения 1.36 совпадает с коль-
кольцом Стенли—Райснера комплекса Кр, введенным
выше:к[Р]=к[КР].
Пример 3.2. 1. Пусть К — 2-мерный симпли-
циальный комплекс, изображенный на рис. 3.1. То-
Тогда
А = (V\V5, V3V4, V\V2V3, V2V4V5).
Рис. 3.1.
2. Кольцо Стенли—Райснера к[К] является
квадратичной алгеброй (т.е. идеал Ук порожден квадратичными мо-
мономами) тогда и только тогда, когда К — флаговый комплекс (см. опреде-
определение 2.20 и предложение 2.21).
3. Пусть К\ * К2 — соединение К\ и К2 (см. конструкцию 2.9). Тогда
В частности, для любых двух простых многогранников Р\ и Р2 мы имеем
k[P, xP2]=k[P,]<S>k[P2]

62 Глава 3. Коммутативная алгебра симплициальных комплексов
(см. конструкцию 1.9). Здесь и далее <8> обозначает тензорное произведение
над к.
4. Пусть К\#О1,<,2К2 — связная сумма двух чистых (п — 1)-мерных
симплициальных комплексов на множествах М\ и М2 соответственно,
рассматриваемая как комплекс на множестве М\ Ц, ^t2 (см. конструк-
конструкцию 2.12). Тогда идеал «Л:,#С1,С2к2 порожден идеалами JKv УКг и монома-
мономами ve и у,,у,-2, где i'i € Л\ \ о\ и |2 € Л2 \ <*2-
Заметим, что идеал Ук является мономиальным и имеет базис из мо-
мономов уы, соответствующих недостающим граням о> комплекса К (см. оп-
определение 2.23). Все такие мономы в своей записи не содержат квадратов.
Предложение 3.3. Каждый идеал У в кольце многочленов, по-
порожденный мономами без квадратов, является идеалом Стенли—
Райснера некоторого симплициального комплекса К.
Доказательство. Положим
К = {со С [ml: va i У}.
Легко видеть, что К — симплициальный комплекс и У = Ук. ?
Предложение 3.4. Пусть ср:#, —> #2 — симплициальное отображе-
отображение (см. определение 2.7) между комплексами К\ и К2 на множе-
множествах вершин [тх] и [т2] соответственно. Определим отображение
ф*:к[шь ..., шт2]-»к[и,, ..., vmi] как
ф*(ш;-):=
Тогда ф* индуцирует гомоморфизм к[/Сг] —*-k[/Ci], который мы также
будем обозначать <р*.
Доказательство. Необходимо установить, что <р*(^2) С JKv Предпо-
Предположим, что х = {/*!, ..., /s} Q [^2] не является симплексом в /С2. Мы имеем
Нам надо проверить, что правая часть этого равенства лежит в SKi, т. е.
для любого монома vix. ..vis в правой части множество a = {i\,..., is} не яв-
является симплексом в К\. Действительно, иначе мы бы имели ф(сг) = х € /С2
по определению симплициального отображения, что противоречит предпо-
предположению. ?
Для каждого симплекса а€/С мы имеем Ка — А'0' и к[/Со] есть кольцо
многочленов к[а,:/ €а] от \о\ образующих. Вложение КосК индуцирует
гомоморфизм ограничения sa из к[/С] в кольцо многочленов, который
отображает а, тождественно если i € о, и в нуль, если i g a.

3.1. Кольца Стенли—Райснера симплициальных комплексов 63
Следующее простое утверждение используется в ряде важных алгебра-
алгебраических и топологических конструкций, и мы не раз еще вернемся к нему
в дальнейшем.
Предложение 3.5. Отображения ограничения sa задают моно-
мономорфизм
s:=0se:k[/C]->0k[ti,fi€a].
Доказательство. Рассмотрим композицию отображений
е€К
где р — каноническая проекция на факторкольцо. Предположим, что
sp{Q) = 0, где Q = Q(vu ..., vm) — некоторый многочлен. Тогда для каж-
каждого монома у .-.у,"\ входящего в Q с ненулевым коэффициентом, мы
имеем {/j, ..., ik} ? К. Следовательно, p(Q) = 0 и s — мономорфизм. ?
Пример 3.6. Кольцо Стенли—Райснера барицентрического подразби-
подразбиения К' комплекса К имеет вид
где Ьв — образующая, соответствующая непустому симплексу a G К. Име-
Имеется симплициальное отображение V:/C' -+ К (см. пример 2.16). Тогда для
любой образующей vf G k[/C] мы имеем
a?K,m\no—j
Пример 3.7. Невырожденное отображение К' -*• Д" из примера 2.15
индуцирует следующее отображение соответствующих колец Стенли—
Райснера:
k[)klK'l ti,-
Это определяет каноническую структуру k[vu ..., уя]-модуля на
Напомним, что рядом Пуанкаре градуированного k-векторного про
странства М называется ряд
оо
/=о
В алгебраической литературе ряд F{M\ t) также известен под названием
ряда Гильберта.

64 Глава 3. Коммутативная алгебра симплициальных комплексов
Лемма 3.8 (Стенли). Ряд Пуанкаре кольца V\Kn~x\ имеет вид
где (/о,..., fn-i) — f-вектор, a (h0,..., hn)— h-вектор комплекса Кп~1.
Доказательство. Каждый моном из к[#л~'] имеет вид с/... v^+f, где
{'it •••» h+\} — симплекс в Кп~\ а а,, ..., аА+, —некоторые натураль-
натуральные числа. Следовательно, каждый /г-симплекс из Кп~1 вносит слагаемое
2*1
/] _ /2u+i B Ряд Пуанкаре, что доказывает первое равенство. Второе ра-
равенство является очевидным следствием из A.7). ?
Пример 3.9. 1. Пусть К — Ая~' - Тогда fi=(n Л для -1 ^ i ^ п - 1,
a h0 = 1 и hi =0 при i > 0. Так как любое подмножество в [п] является сим-
симплексом в Дя-\ мы имеем к[Дя-']=к[у,,..., vn] и F(k[An-1]; t) = (\-t2)-n,
что соответствует формуле из леммы 3.8.
2. Пусть К — граница «-симплекса. Тогда ht — 1, i = 0, 1,..., п, и к[/С] =
= к[У|, ..., vn+i]/(viv2...vn+i). Из леммы 3.8 получаем
1-1- /2-I. 4-t2n
3.2. Резольвенты и функтор Тог
В этом разделе мы рассмотрим ряд конструкций гомологической алге-
алгебры, которые будут использованы в дальнейшем. Этот материал является
стандартным и мы приводим его здесь лишь для удобства читателя и фик-
фиксации обозначений. Заметим, что мы, как правило, нумеруем компонен-
компоненты коцепных комплексов и резольвент неположительными числами. Это
не является общепринятым в алгебраической литературе, однако удобно
для топологических приложений в последующих главах, например, при вы-
вычислениях со спектральной последовательностью Эйленберга—Мура. Де-
Детали определений и доказательств можно найти в известных монографиях
по гомологической алгебре, например, в [71] или [121]. Если не оговорено
противное, все к-алгебры А и Л-модули М предполагаются градуирован-
градуированными неотрицательными четными числами. Все гомоморфизмы Л-модулей
предполагаются сохраняющими градуировку. Для большинства излагае-
излагаемых приложений достаточно рассматривать случай градуированных конеч-
конечно порожденных модулей над кольцом многочленов k[v\, ..., vm], однако
в некоторых случаях нам понадобится несколько большая общность.

3.2. Резольвенты и функтор Тог 65
Пусть Л — коммутативная конечно порожденная градуированная связ-
связная к-алгебра. Последовательность
...->/Г' *->...->R-2Xr-[^R°->0 C.1)
отображений градуированных Л-модулей называется коцепным комплек-
комплексом, если dtdi+\ = 0 (эквивалентно, \n\di+\ CKercf,) для всех i. После-
Последовательность C.1) называется точной, если \mdi+] =Kerd, для всех /
и Im di = R°. Модуль (-i)-x когомологий коцепного комплекса опреде-
определяется как фактормодуль
#-'[?, d] :=Кег[*: /Г' -+R-l+l]/\m[dl+l: /Г1' -*/Г'].
Набор У однородных элементов Л-модуля М называется системой
образующих, если любой элемент М представляется в виде конечной
комбинации J2 fls5» гДе а* €i4. Для /^0 обозначим через Л1'1 градуи-
s€S*
рованный Л-модуль с (Л1'1)'= Л'""'. Множество элементов т€М таких,
что am — 0 для некоторого ае А является подмодулем в М и называет-
называется А-кручением. Модуль F называется свободным, если он изоморфен
прямой сумме модулей вида Л1'1 (возможно, с различными /). Ясно, что
если Л не имеет делителей нуля, то Л-кручение свободного модуля есть 0.
Свободные Л-модули F характеризуются следующим свойством универ-
универсальности: существует подмножество У однородных элементов F такое,
что для любого Л-модуля М отображение множеств У —¦ М степени нуль
однозначно продолжается до отображения модулей F —+ М. Модуль Р на-
называется проективным, если он является прямым слагаемым в свободном
модуле, т.е. если существует свободный модуль F и отображения i:P—> F
и p:F —>Р такие, что pi — id/>. Непосредственная проверка показывает, что
проективные модули Р выделяются следующим свойством универсально-
универсальности: для любого эпиморфизма модулей p:M-*N и отображения f:P—>N
существует отображение f'.P -* М такое, что pf = /.
Точная последовательность Л-модулей
где все R~l являются свободными (проективными) модулями, называется
свободной {проективной) резольвентой модуля М. Минимальное чис-
число h, для которого существует проективная резольвента C.2), в которой
/?"' = 0 при i > h, называется гомологической (или проективной) раз-
размерностью модуля М и обозначается hd M (или hd^ M, если необходимо
подчеркнуть, что М является Л-модулем). Если такого h не существует,
полагаем hdM = оо. Модуль Mt — Ker[d:/?~'+1 —>/?~'+2] называется моду-
модулем i-x сизигий для М (здесь мы полагаем R1 = М — Мо). Таким образом,
hd M есть наименьшее h, для которого модуль Mh проективен.
5 - 9957

66 Глава 3. Коммутативная алгебра симплициальных комплексов
Рассмотрим биградуированный дифференциальный модуль [R, d],
где R = ©/?"'"•' и R~1' := (/?"')' есть /-я градуированная компонента моду-
модуля R~', a d:R~li' —*R~i+hi. Таким образом, /? имеет первую, или внешнюю,
градуировку, происходящую из нумерации членов резольвенты (которая,
согласно нашему соглашению, неположительна) и вторую, или внутрен-
внутреннюю градуировку, происходящуюю из градуировок в членах резольвенты
(которая неотрицательна и четна). При действии элементов из А на эле-
элементы из [R, d] внешняя градуировка не изменяется, в то время как диффе-
дифференциал d повышает внешнюю градуировку на 1, но не меняет внутренней.
Полная градуировка в R определяется как сумма двух градуировок. Мы
будем иметь дело с полной градуировкой в главе 8 при работе со спек-
спектральными последовательностями.
Если [R, d] является резольвентой Л-модуля М, то для биграду-
ированных когомологий H[R, d] мы имеем H~ik[R, d] = 0 при />0
и Hok[R, d] =Mk. Пусть [М, 0]— биградуированный модуль с нуле-
нулевым дифференциалом и тривиальной внешней градуировкой, т.е. М~'-к = 0
при / > 0 и M°-k = Мк. Тогда резольвента C.2) определяет отображение
[R, d] —> [М, 0], индуцирующее изоморфизм в когомологиях — так назы-
называемый квазиизоморфизм. Это отображение можно рассматривать как
отображение коцепных комплексов Л-модулей:
-l^—R° ^0
C.3)
0 >-... >¦ 0 >¦ М >¦ 0.
Следующее утверждение показывает, что ряд Пуанкаре модуля М (рас-
(рассматриваемого как градуированное k-векторное пространство) можно вы-
вычислить при помощи любой свободной резольвенты C.2).
Предложение 3.10. Пусть модуль R~l имеет ранг qi и базис, со-
состоящий из элементов размерностей du, ..., dq.t. Тогда
F(M; t) = F{A;
Доказательство. Так как Я"а[/?, d] = 0 при i > 0 и Я°*[/?, d] = Mk,
мы имеем
в силу свойств эйлеровой характеристики. Умножая на /* и суммируя по к,
получаем

3.2. Резольвенты и функтор Тог 67
Так как R~l —свободный Л-модуль, мы имеем F{R~l; t) = F(A; t)(tdu +...
... + /rf"')i откуда и вытекает требуемая формула. ?
Конструкция 3.11 (минимальная резольвента). Имеется следующий
канонический способ построения свободной резольвенты для М.
Рассмотрим минимальную ненулевую градуированную компоненту мо-
модуля М и выберем в ней базис k-векторного пространства. Породим под-
подмодуль Mj этим базисом и затем рассмотрим минимальную размерность,
в которой М Ф ЬА\. В этой градуированной компоненте модуля М выберем
базис в дополнении к А/, и рассмотрим модуль М2, порожденный этим
базисом и подмодулем М\. Продолжая этот процесс, мы получим систему
образующих для М, имеющую конечное число элементов в каждой размер-
размерности и обладающую тем свойством, что образы ее элементов дают базис
в k-векторном пространстве М ®А к — М/(А+ ¦ М). Такая система образу-
образующих модуля М называется минимальной (или минимальным базисом).
Выберем минимальную систему образующих в М и рассмотрим сво-
свободный Л-модуль /?Jj,in, порожденный ее элементами. Тогда определен эпи-
эпиморфизм /?°in —> М. Теперь выберем минимальный базис в ядре этого эпи-
эпиморфизма и натянем на него свободный модуль R~^. Затем выберем ми-
минимальный базис в ядре отображения R~*n -»/?2,in и так далее. На i-м шаге
мы выбираем минимальный базис в ядре уже построенного отображения
^:#mi!i+l ~"^mi'n^2 и порождаем им свободный модуль /?",'„. В результате
мы получаем свободную резольвенту модуля М, называемую минималь-
минимальной. Если к — поле, то минимальная резольвента обладает следующим
дополнительным свойством: ядро каждого отображения d: R~ln—> R~t*\
/=1,2,..., содержится в Л+ ¦ R^t а образ — в А+ • R^!*1 • В частности,
индуцированное отображение /?~/п ®А к —> /?~'n+1 <8>л к тривиально. Мини-
Минимальная резольвента единственна с точностью до изоморфизма.
Заметим, что конструкция минимальной резольвенты работает также
и в более общем случае Л-модулей М, все градуированные компоненты
которых являются конечномерными k-векторными пространствами (такие
модули уже не обязательно являются конечно порожденными).
На основе конструкции минимального базиса мы можем доказать сле-
следующее утверждение.
Предложение 3.12. Пусть А — коммутативная конечно по-
порожденная градуированная неотрицательными числами связная
k-алгебра и М — конечно порожденный градуированный неоти-
цательными числами А-модуль. При этих условиях М является
проективным тогда и только тогда, когда он свободен.
Доказательство. Выберем минимальный базис в М и натянем на него
свободный Л-модуль F\ тем самым мы получим эпиморфизм F —> М.
Пусть S — ядро этого эпиморфизма. Предположим, что модуль М проек-

68 Глава 3. Коммутативная алгебра симплициальных комплексов
тивен; тогда точная последовательность
расщепляется (т. е. F = М 0 5). Следовательно, мы получаем точную по-
последовательность k-векторных пространств
Если к— поле, то F <8>л к —¦ М ®А к — изоморфизм в силу минимальности
базиса, так что S ®д к = 0. Если k = Z, то М <8>А % — свободный Z-модуль
(как подмодуль в свободном Z-модуле F ®A Z) и rank F ®A Z = rank M ®A Z,
так что опять-таки S <8>A Z = 0. Это означает, что S = А+ • S, что возможно
лишь при S = 0 так как S имеет градуированную компоненту минимальной
размерности. Итак, F —*М есть изоморфизм, что и требовалось доказать. ?
Тем самым, далее мы можем не различать свободные и проективные
резольвенты.
Замечание. В предыдущем рассуждении предположение о связности А
существенно: если А = А0 = к 0 к, то М = М° = к является проективным,
но не свободным Л-модулем (модульная структура в М задается при помо-
помощи проекции на первое слагаемое). Кроме того, предыдущее рассуждение
существенно опирается на градуированную структуру в А и М. Тем не ме-
менее, если А есть кольцо многочленов, то даже в неградуированном случае
все проективные Л-модули свободны, хотя доказательство этого утвержде-
утверждения несравнимо сложнее. Этот факт был известен как проблема Серра
и доказан в 1976 г. независимо Квилленом и Суслиным.
Конструкция 3.13 (резольвента Кошуля). Пусть Л = к[т] (алгебра
многочленов) и М — к. Рассмотрим внешнюю к-алгебру А[и\, ..., ит]
от образующих степени 1, определяемую соотношениями и? = 0и щщ +
+ Ujiii = 0. Превратим тензорное произведение Е = Ет = Л[мь ..., ит] <8>
<8>к[уь ..., vm\ в биградуированную дифференциальную алгебру,
полагая
bidegu, =@,2), йщ = щ, ^=0 C.4)
и требуя чтобы d было дифференцированием алгебр (общее определение
дифференциальных алгебр см. в приложении В). Дифференциальная би-
градуированная алгебра [?, d] вместе с отображением аугментации е:?-»к
определяет коцепной комплекс к[т]-модулей
...-?¦ Л1 [и,, ..., Mm]<g>k[ub ..., vm]l+k[vlt ..., vm]-^k->0, C.5)
где Л'[И|, ..., ит] —подпространство в Л[мь ..., ит], порожденное моно-

3.2. Резольвенты и функтор Тог 69
мами длины /. Докажем, что этот комплекс является точной последова-
последовательностью. Для этого достаточно доказать, что е: [Е, d] —¦ [к, 0] являет-
является квазиизоморфизмом. Имеется очевидное вложение г\: к —> Е такое, что
ет) = id. Для завершения доказательства мы построим k-линейное отобра-
отображение s:?~'>2/ —> ?~'~1>2/, являющееся коцепной гомотопией между id и т)е,
т. е. удовлетворяющее соотношению
ds + sd = id - т)б. C.6)
При т = 1 определим отображение Si:?0>* = k[v] —> ?-'•* по формуле
s^ao + a,t> + ... + ар1) = (ai + a2v + ... + ар'~
Тогда для / = a0 + a^ +... + ujV1 6EQ-2j мы имеем ds{f = f — ао= f — r\sf,
a S\df = 0. В то же время для /м 6 Е~12' имеем sxd{fu) = /м, а dS](fu) — 0.
В любом случае имеет место соотношение C.6). Далее по индукции мы
можем предположить, что для т = k - 1 оператор коцепной гомото-
пии sk_\\Ek-\ —> ?*_! уже построен. Так как ?ft =?*_i <8>?ь е* = ?a-i <S>?i
и t\k =T)*_i <8>7)i, непосредственная проверка показывает, что отображение
Sk = 5ft_i (8) id + T)ft_|?ft_, ® 5,
является коцепной гомотопией между id и т)*е*.
Так как Л'[мь ..., мт] ® k[m] есть свободный к[т]-модуль, ком-
комплекс C.5) является свободной резольвентой для к. Эта резольвента
называется резольвентой Кошуля. По построению, резольвента Кошуля
является минимальной.
Пусть C.2) — некоторая проективная резольвента Л-модуля М и N —
другой Л-модуль. Применяя функтор <8>лЛ/ к C.3), мы получаем гомомор-
гомоморфизм дифференциальных модулей
который, вообще говоря, не будет индуцировать изоморфизм когомологий.
Градуированный модуль (—/)-х когомологий коцепного комплекса
" N ->...-> /Г1 ®а N ->#° ®AN -> 0
обозначается Тогд'(М, N). Мы также будем рассматривать биградуирован-
ный Л-модуль
ч
Аналогично, применяя к C.3) функтор Hom/4(-, W), мы приходим к ком-
комплексу
0 -> Нотл(/?°, N) -> HomA(R~\ N) ->...-> Нот,,(/Г', Л/) -*...,
модуль (—/)-х гомологии которого обозначается Ext^'(M, Л0-

70 Глава 3. Коммутативная алгебра симплициальных комплексов
Хорошо известны следующие свойства модулей Тог^'(М, N) (см., на-
например, [121]).
Предложение 3.14. а) А-модуль ТотА'(М, N) не зависит, с точно-
точностью до изоморфизма, от выбора резольвенты C.2);
б) TorJ'(«, N) и Тог^'(М, •) являются ковариантными функторами',
°
г)Тог;'(М, N)*Torf(Nt М)\
д) короткая точная последовательность модулей
индуцирует длинную точную последовательность
... -> Тог;' (М,, N) -> Тог;'(М2, N) -* Тог;'(А/3, N) ->...
ь N) - Тог;'(М2, N) -
-* Тог°А(Ми N) -> Тог°А(М2, N)
Пусть N = к, где к — поле, и C.2) — минимальная резольвента А -мо
дуля М. Тогда все дифференциалы в коцепном комплексе
тривиальны. Таким образом, мы имеем
Тог;' (А/, к) <* /Сп <8>„ к, dimk Тог;'(М, к) = rank Я"/„. C.7)
Тем самым нами доказано следующее утверждение.
Предложение 3.15. Если к—поле, то имеет место формула
hd M = max{/: TorJ'(Af, k) ^ 0}.
В частности, если А = к[уь ..., ут] и М = УУ = к, то в силу минималь-
минимальности резольвенты Кошуля мы получаем
Тогк(г>1 Vm](k, к) = А[||Ь ..., ит]
и hd k = т.
Замечание. Аналогичным образом можно определить Тог^М, iV) для
некоммутативных k-алгебр А. В этом случае предполагается, что М и N
являются соответственно правым и левым Л-модулями. Получаемый
Тог,,(М, N) уже не является Л-модулем, а лишь к-векторным простран-
пространством. Однако, если М и УУ являются Л-бимодулями, то и Тогл(Л/, N)
является Л-бимодулем.

3.3. Гомологические свойства колец граней 71
3.3. Гомологические свойства колец граней: Тог-алгебры
и числа Бетти
Кольцо Стенли—Райснера к[К] обладает канонической структурой мо-
модуля над кольцом многочленов k[m], задаваемой проекцией к[т] —> к[/С].
В этом разделе мы описываем специфические свойства Tor-модулей колец
Стенли—Райснера:
т
Tork(Ul Um](k[/C], к) = фТог^2у..,Vm]DK], к).
Определим биградуированные числа Бетти кольца к[/С] как
P~'-2/(k[/C]) := dimk Тог^'2/ Um|(k[/C], к), 0 ^ /, у ^ т. C.8)
Мы также положим
р-'(к[/ф =dimkTork-;; Vm](k[K], к) = 5^р-^(к[АГ]).
у
Рассмотрим минимальную резольвенту для к[т]-модуля к[/С] (кон-
(конструкция 3.11). Тогда R^in = 1 • k[m] есть свободный модуль с одной об-
образующей степени 0. Образующие свободного модуля /?~,J задаются эле-
элементами минимального базиса в УК и соответствуют недостающим граням
комплекса /С. Обозначим через и,-, ik образующую модуля R~*n, отвечаю-
отвечающую недостающей грани {/i,..., /*} С [щ]. Тогда отображение d:R~*n —уR^in
переводит у,,,...^ в vi{... vik.
Согласно C.7), мы получаем
*. C.9)
Пример 3.16. Пусть К — граница 4-угольника. Тогда
^k[vu ...tv4]/(vtv3iv2vi).
Построим минимальную резольвенту для к[/С] и найдем соответствую-
соответствующие числа Бетти. Модуль R0 имеет одну образующую 1 (степени 0), а
мономы UiU3 и v2v4 образуют минимальный базис в ядре эпиморфизма
R0 -* к[/С]. Следовательно, R~l имеет две образующие y]3 и v24 степе-
степени 4, а отображение d:R~l —> R° переводит Ui3 в U|U3 и v24 в v2v4. Мини-
Минимальный базис в ядре отображения R~l -* R° состоит из одного элемента
^2^4^13 — ^1^3^24- Поэтому R~2 имеет одну образующую степени 8, которую
мы обозначим а, а отображение d:R~2 —* R~l мономорфно и переводит а
в ^2^4^13 — V\V$v24. Итак, минимальная резольвента имеет вид

72 Глава 3. Коммутативная алгебра симплициальных комплексов
где
rank#°=poo(k[/(]) = I, rank/? =p~!4(k[/C]) = 2, rank#-2=p-2S(k[/(]) = 1.
Числа Бетти p~*'2'(k[/C]) являются важными комбинаторными инвари-
инвариантами симплициального комплекса К. Следующий результат сводит их
вычисление к вычислению групп гомологии полных подкомплексов в К.
Теорема 3.17 (Хохстер [106] или [159, Th. 4.8]). Имеет место фор-
формула
ыС[т]|ы|=/
где Кш — полный подкомплекс в К, натянутый на со. Здесь мы пола-
полагаем //-'@; к) = к.
Исходное доказательство этого утверждения, полученное Хохсте-
ром, опирается на достаточно сложную комбинаторную и алгебраиче-
алгебраическую технику. В главе 8 мы дадим топологическую интерпретацию чисел
р-''2/(к[/(]) как биградуированных чисел Бетти некоторого пространства &к
и приведем новое доказательство теоремы Хохстера (см. следствие 8.9).
Пример 3.18. Пусть К — снова граница 4-угольника. На этот раз мы
вычислим числа Бетти p~'i2/(k[/(]) на основе теоремы Хохстера. Среди
двухэлементных подмножеств в [т], наряду с симплексами, имеется два
несимплекса, а именно {1,3} и {2,4}. Симплексы вносят тривиальный вклад
в сумму для р~м(к[/(]), в то время как каждый из несимплексов вносит 1.
Следовательно, р~14(к[/С]) = 2. Далее, каждый из четырех полных подком-
подкомплексов с тремя вершинами стягиваем, поэтому p-'i6(k[/C]) =0 для всех /.
Наконец, полный подкомплекс Кы с |со| = 4 есть сам /С. Следовательно,
p-'8(k[/C]) = dimkЯ4"' (Кы; к), что равно 1 при / = 2 и 0 в остальных слу-
случаях.
Числа Бетти кольца к[/С] можно также вычислять при помощи ре-
резольвенты Кошуля (см. конструкцию 3.13). Покажем, как при помощи
этой резольвенты вводится каноническая мультипликативная структура
в Tor-модуле. Рассмотрим дифферециальную биградуированную алгебру
[А[и\, ..., ит] ®k[/C], d], где дифференциал d определяется как в C.4).
Лемма 3.19. Tork(U| Wm](k[/C], k) является алгеброй, и имеет место
изоморфизм алгебр
Tork|tM Umi(k[/C],,J<) э* Н[К[ии ..., ит] <g> k[/C], d].
Доказательство. Используя резольвенту Кошуля при определении Тог
и предложение 3.14 г), мы вычисляем
Тогч„ Оя](к[К\, к) й Tork|Ul Um,(k, k[/CJ) = //[А[и,, ..., ит] ®
1и, Оя] Ц/С]] ?Н[А[ии ..., ит]

3.4. Регулярные последовательности и алгебры Коэна—Маколея 73
Определение 3.20. Биградуированная алгебра Tork(U| Ут](к[/(], k) на-
называется Tor-алгеброй симплициального комплекса /С.
Замечание. Вообще говоря, при N Ф к модуль Тогк[у, Vm\(M, N) не име-
имеет канонической мультипликативной структуры, даже если М и N являются
алгебрами.
Лемма 3.21. Симплициальное отображение (p:/d -*/C2 между сим-
плициальными комплексами на множествах вершин [mj и [т2] со-
соответственно индуцирует гомоморфизм
ФГ: Тогц., „m2,(k[K2], k) - ТогЧВ1 ,„,,D*,]. к) C.10)
соответствующих Тог-алгебр.
Доказательство. Это вытекает непосредственно из предложений 3.4
и 3.14 б). ?
Таким образом, Tork(m](k[/C], k) является контравариантным функтором
из категории симплициальных комплексов.
Конструкция 3.22 (мультиградуированная структура в Тог-алгебре).
Наделим кольцо многочленов k[i/|, ..., vm] мультиградуировкой (точнее,
Мт-градуировкой), положив mdegu',1 ...uj? = Bib ..., 2im). Так как k[/C]
является факторкольцом кольца многочленов по мономиальному идеалу,
в нем сохраняется мультиградуированная структура. Мы также можем
предполагать, что все модули в резольвенте C.2) мультиградуированы
и дифференциалы сохраняют эту структуру. Тогда алгебра Tork(m](k[/C], k)
приобретает каноническую NфNm-градуировку, т.е.
Тогк|„, „.,(к[АС], к) = ф Torb^ vJk[K], к).
С учетом этой структуры, теорема 3.17 допускает следующее уточнение.
Для любого подмножества о С [т] положим
, к),
где /* = 1, если /гесо, и /А = 0 иначе. Тогда Tor-^UmJ(k[/(], к) =
и Torjjjjj(k[/C], к) = 0, если / ^ 2со для некоторого о С [т].
3.4. Регулярные последовательности и алгебры Коэна—
Маколея
Кольца и модули Коэна—Маколея играют важную роль в гомологиче-
гомологической коммутативной алгебре, алгебраической геометрии и комбинаторике.
Изложение современного состояния этой теории можно найти в моногра-
монографии [65]. Общее определение кольца Коэна—Маколея опирается на поня-
понятие регулярной последовательности (см. определение 3.23 ниже). В случае

74 Глава 3. Коммутативная алгебра симплициальных комплексов
конечно порожденных алгебр над полем к это определение эквивалент-
эквивалентно тому, что алгебра является свободным модулем конечного ранга над
некоторым своим подкольцом многочленов. Наличие свойства Коэна—
Маколея у кольца граней симплициального комплекса приводит к важ-
важным комбинаторно-геометрическим и топологическим последствиям.
Хотя многие результаты этого раздела верны в значительно большей
общности, в этом разделе мы будем рассматривать лишь случай градуи-
градуированных конечно порожденных связных k-алгебр А над полем к и конеч-
конечно порожденных градуированных Л-модулей М (в самом конце мы также
обсудим случай k = Z). Обозначим через Я?(А+) множество однородных
элементов из А положительной степени.
Определение 3.23. Пусть М — некоторый Л-модуль. Однородный эле-
элемент / е Я?(А+) называется М-регулярным, если он не является делите-
делителем нуля для М, т.е. tx = О для х еМ влечет х = 0. Последовательность
t = {tu •. •, tk) элементов из Ж{А+) называется М-регулярной последо-
последовательностью, если /, является M/(t\,..., /,_i)Af-регулярным элементом
для i = 1, ..., k. Часто Л-регулярные элементы и последовательности мы
будем для краткости называть регулярными.
Замечание. Понятие регулярной последовательности может быть вве-
введено в значительно более общей ситуации. Например, в гомологической
теории коммутативных колец рассматриваются регулярные последователь-
последовательности в нетеровых локальных кольцах; в этом случае вместо элементов
из Ж(А+) рассматриваются элементы из максимального идеала. Ре-
Регулярные последовательности в градуированных кольцах многочленов
R[ai, a2, ..., ] от бесконечного числа переменных естественно возникли
и в алгебраической топологии (где они также известны под названием
esp-последовательностей). Особенно важную роль они играют при по-
построении теорий комплексных бордизмов с коэффициентами; в этом случае
dega,=2/ и R — подкольцо в кольце Q рациональных чисел, см. [117].
Следующее утверждение показывает роль регулярных последователь-
последовательностей в изучении гомологических свойств модулей.
Предложение 3.24. Пусть дана точная последовательность
А-модулей:
... _+5"'-^S"''+'-+...->S0-^ М->0.
Если t является М-регулярной и Sk-регулярной последовательно-
последовательностью для любого k = 0, -1,..., то последовательность A/(t)-модулей
... - s-'/ts-1 i... -> s°/ts° -^ м/tM -+ о
также является точной.

3.4. Регулярные последовательности и алгебры Коэна—Маколея 75
Доказательство. При помощи индукции мы сводим утверждение к слу-
случаю, когда t состоит из единственного элемента /. Так как
а ®аА/{1) является точным справа функтором, точность индуцированной
последовательности необходимо проверять начиная с члена S~l/tS~l.
Рассмотрим фрагмент индуцированной последовательности:
Для каждого элемента xeS~' обозначим через х его класс в фактор-
кольце mod t. Пусть fi(x) — О, тогда />(jc) = ty для некоторого у е S~{i~l)
и tfi-\(y) = O. В силу 5~('~2)-регулярности / мы имеем fi-i(y) = 0, поэтому
существует х' Е 5"' такой, что у = /,(*')• Следовательно, ft(x — tx') = 0.
Итак, х - txf e //+,(S-(i+l)) и х е ji+l(S-{i+l)/tS-{i+l)). Тем самым, индуци-
индуцированная последовательность также является точной. ?
В качестве следствия мы получаем утверждение, которое бывает по-
полезным при вычислении Тог-алгебр симплициальных комплексов.
Следствие 3.25. Пусть t — последовательность элементов из А,
которая является А-регулярной и М-регулярной. Тогда имеем
1отА(М, к) = Тогл/^М/М, к).
Доказательство. Применяя предыдущее предложение к минималь-
минимальной резольвенте Л-модуля М, мы получаем минимальную резольвенту
A/(t)-модуля M/tM. Теперь требуемое утверждение вытекает из C.7). ?
М-регулярная последовательность называется максимальной, если
она не содержится в М-регулярной последовательности большей длины.
Можно доказать, что все максимальные М-регулярные последовательно-
последовательности имеют одинаковую длину, равную
depth Af = min{/: Ext;'(k, M)^0} C.11)
(см. [65, Th. 1.2.5]). Длина максимальной регулярной последовательности
называется глубиной модуля М (мы будем также использовать обозначе-
обозначение depth^Af, если необходимо подчеркнуть, что М является Л-модулем).
Следующий фундаментальный результат связывает глубину и гомологиче-
гомологическую размерность модулей.
Теорема 3.26 (Ауслендер—Буксбаум). Пусть М^О—некото-
М^О—некоторый А-модуль, причем hdAf < оо. Тогда имеет место формула
hd M +depth M = depth Л.

76 Глава 3. Коммутативная алгебра симплициальных комплексов
Доказательство. Предположим сначала, что depth/4 = O. Допустим,
что hd М = h > 0. Рассмотрим минимальную резольвенту для М (которая,
по предположению, конечна):
о-»яг; ^* л^+|-»...-»«ь.—м—о.
Так как depths = 0, мы имеем Homi4(k, Л) = Ext°(k, Л) ^ 0 в силу C.11).
Поэтому имеется мономорфизм Л-модулей /:к—* Л. В коммутативной диа-
диаграмме
id®,,/
id®,,/
-A dh D-A+l
R~h -^-+R
отбражения dh и id ®A i являются мономорфизмами (последнее в силу сво-
бодности модуля R~h). Следовательно, dh <8>А к также является мономор-
мономорфизмом, что противоречит минимальности резольвенты. Итак, hdM = 0,
т. е. М — свободный Л-модуль и depth М = depth Л = 0.
Пусть теперь depth Л > 0. Предположим вначале, что depth M = 0. Рас-
Рассмотрим модуль первых сизигий Мх =Кег[#°—*М] для М. Из C.11) и точ-
точной последовательности для Ext легко выводится, что depth М, = 1. Так как
hdMi =hdM — 1, формулу из утверждения теоремы достаточно доказать
для Mi. Поэтому мы можем считать, что depthM > 0. Значит, существует
элемент t еА, который является одновременно Л-регулярным и М-регу-
лярным. Тогда
depthM<) A/(t) = depths Л - 1, depth^ M/tM = depth,, M - 1
по определению глубины и
ЫА/{() M/tM = hd^ M
в силу предложения 3.15 и следствия 3.25. Теперь доказательство завер-
завершается при помощи индукции. ?
В качестве следствия получаем, что если Л = k[m], то hdM ^ m, или,
другими словами, модуль т-х сизигий для произвольного к[т] -модуля
свободен. Этот факт, известный как теорема Гильберта о сизигиях, яв-
является одним из классических результатов, положивших начало развитию
коммутативной гомологической алгебры.
Наряду с глубиной и гомологической размерностью, важнейшим ал-
алгебраическим инвариантом алгебры Л является ее размерность Крулля
dim Л, которая в случае конечно порожденных k-алгебр равна максималь-
максимальному числу алгебраически независимых элементов. Далее мы рассмотрим
взаимосвязи между этими инвариантами.

3.4. Регулярные последовательности и алгебры Коэна—Маколея 77
Определение 3.27. Последовательность tx, ..., tn алгебраически неза-
независимых однородных элементов алгебры Л называется однородной си-
системой параметров, если dim A/(tu ...,/„) = 0 (т.е. Л является конечно
порожденным к[/ь ..., /л]-модулем). Заметим, что в этом случае мы имеем
п = dim Л.
Следующий результат был впервые получен Гильбертом и является
градуированной версией полученного позднее более общего результата, из-
известного как лемма Нётер о нормализации.
Теорема 3.28 (см. [65, Th. 1.5.17]). В алгебре А над полем к су-
существует однородная система параметров. Если к имеет нулевую
характеристику, а алгебра А порождена линейными элементами,
то и однородную систему параметров можно выбрать из линей-
линейных элементов.
Напомним, что линейные элементы у нас имеют степень два. Однород-
Однородная система параметров, образованная линейными элементами, называется
линейной системой параметров.
Замечание. Если характеристика поля к отлична от нуля, то в алгебре,
порожденной элементами степени два, не всегда можно выбрать линейную
систему параметров, см. пример 6.33 ниже.
Легко видеть, что регулярная последовательность состоит из алгебра-
алгебраически независимых элементов, так что depth Л < dim Л.
Определение 3.29. Алгебра Л называется алгеброй Коэна—Мако-
Коэна—Маколея, если она допускает регулярную последовательность tx, ..., tn длины
п = dim Л, т. е. если depth Л = dim Л.
Следующее утверждение приводит к альтернативному определению ал-
алгебр Коэна—Маколея.
Предложение 3.30. Последовательность /,, ..., tk элементов из
Ж(А+) является регулярной тогда и только тогда, когда А яв-
является свободным k[/|, ..., гк\-модулем. В частности, А является
алгеброй Коэна—Маколея тогда и только тогда, когда она являет-
является свободным конечно порожденным модулем над своим подкольцом
многочленов.
Доказательство. Если Л является свободным к[/|, ..., /*]-модулем,
то A/(tu ..., /,-_,) является свободным к[/,-, ..., ^-модулем, так что U
является A/(t\, ..., /^О-регулярным элементом для i = 1, ..., k. Следо-
Следовательно, t\, ..., tk является Л-регулярной последовательностью.
Обратно, пусть tx,...,tk является регулярной последовательносью.
Рассмотрим минимальную резольвенту [Rm\n, d] для k[/i, ...,/^-моду-
...,/^-модуля Л. Тогда, в силу предложения 3.24, последовательность к-модулей
•. •, У/?1 - RIAU,.. ¦, tk)RL - A/(tx ,...,

78 Глава 3. Коммутативная алгебра симплициальных комплексов
является точной. Заметим, что R~U(U, • • •, W^mi = ^min ®ц/, /*] к. В си-
силу минимальности, отображение /??!п ®|ф, /*i к —> Л ®ц/| /jkj к является
изоморфизмом. Следовательно, /?„/„ ®ц/, ^к = 0 при / > 0, что влечет
^min = О- Итак, /?JJin —> Л есть изоморфизм, т. е. Л является свободным
k[/i, ..., tk]-модулем. П
Предложение 3.31 (см. [65, 2.1.2]). Пусть А — алгебра Коэна—Ма-
Коэна—Маколея. Последовательность t = (tu ..., tk) элементов из Ж{А+) явля-
является регулярной тогда и только тогда, когда она является частью
однородной системы параметров.
Доказательство. Мы приведем доказательство лишь в одну сторону.
Пусть dim Л —п. Предположим, что t — регулярная последовательность.
Легко видеть, что из Л/(/ь ..., /,-_|)-регулярности элемента /, вытекает,
что
ШтЛ/(/ь ..., /,) = dimA/(tu ...,/,_,) - 1
для / = 1, ..., k. Следовательно, dim A/(t) = п — k, т. е. t является частью
однородной системы параметров. ?
В частности, любая однородная система параметров алгебры Коэна—
Маколея является регулярной последовательностью. Если, кроме того, Л
допускает линейную систему параметров, то мы получаем следующую фор-
формулу для ряда Пуанкаре:
F{A;t)=F(m{l'-t^;)'t\ C.12)
где F(A/(tu ¦¦-, tn)\ t) — некоторый многочлен.
Замечание. Понятия регулярных последовательностей и алгебр Коэ-
Коэна—Маколея над кольцом целых чисел определяются таким же образом,
как и выше в случае поля к. Однако, как показывают простые приме-
примеры, предложение 3.30 не имеет место для алгебр над Z. Действительно,
пусть Л = Z[yb v2]/Bv2). Тогда V\ является регулярным элементом, но Л
не является свободным Щрх\-модулем. Тем не менее, если Z-алгебра А яв-
является свободным конечно порожденным модулем над своим подкольцом
многочленов, то она является алгеброй Коэна—Маколея.
3.5. Симплициальные комплексы Коэна—Маколея
Пусть К — симплициальный комплекс на множестве [т] и к[/С] —
его кольцо Стенли—Райснера. Вначале мы опишем линейные системы
параметров в к[/С] на основе конструкции мономорфизма ограничения
s: k[/C] —* 0 k[u,: / е а] (см. предложение 3.5).
Лемма 3.32. Набор элементов t ={t\, ..., tn) элементов степе-
степени 2 кольца V[Kn~x] является линейной системой параметров тогда

3.5. Симплициальные комплексы Коэна—Маколея 79
и только тогда, когда для каждого симплекса о€К набор sa(t)
порождает положительный идеал k[u«: i ео]+.
Доказательство. Предположим сначала, что t—линейная система па-
параметров. Отображение sa индуцирует отображение факторколец:
Ч*]/№ - Kw. i € a]/sa(t).
Так как t — система параметров, k[K]/(t) — конечномерное к-векторное
пространство. Следовательно, k[u,:/Go]/so(/) — также конечномерное
k-векторное пространство. Однако это имеет место только если sa(t)
порождает над к линейную часть кольца многочленов.
Пусть теперь для каждого а € К набор sa(t) порождает положительный
идеал k[u,-:i 6o]+. Тогда мы имеем
< 00.
.об*
Отсюда и из того, что s: k[K] -* 0 k[i/f: i e a] — мономорфизм, можно вы-
вести, что dimk k[K]/(t) < oo (см. [65, Lemma 4.7.1]). Таким образом, t
является системой параметров. П
В частности, если /С" —чистый комплекс (все максимальные сим-
симплексы имеют одну размерность), то последовательность t\,..., tn является
линейной системой параметров тогда и только тогда, когда ее ограничение
на каждый (п— 1)-симплекс дает базис в пространстве линейных форм
(над к).
Определение 3.33. Симплициальный комплекс К называется ком-
комплексом Коэна—Маколея (над к), если к[/С] является алгеброй Коэна—
Маколея.
Если К является комплексом на множестве [т], то кольцо к[/С] яв-
является к[т]-модулем. Для любого элемента / € к[т] обозначим через /
его образ при проекции к[т] —> к[/С]. Очевидно, что последовательность t
элементов из к[т] является к[/С] -регулярной тогда и только тогда, когда
таковой является последовательность I элементов из к[/С]. В частности,
depth k[/C] = depthk|mJ k[/C]. Ввиду этого в дальнейшем мы не будем разли-
различать эти два понятия регулярных последовательностей.
Легко видеть, что dimkJA'''] =/г, причем образующие, соответствую-
соответствующие вершинам любого (п — 1)-симплекса, алгебраически независимы.
Пример 3.34. Пусть К = дА2. Тогда к[/С] = к[и,, у2» Vz]/(V\V2V3).
Элементы vit v2? k[K] являются алгебраически независимыми, но не об-
образуют однородную систему параметров, так как к[/С]/(Уь v2) = к[и3]
и dim k[/C]/(t/|, v2) = 1 ф 0. С другой стороны, элементы tx = и, - у3» h =
= v2 - щ образуют однородную систему параметров, так как k[K]/(t\, t2) =
= k[t]/tz. Легко видеть, что к[К] является свободным k[/b

80 Глава 3. Коммутативная алгебра симплициальных комплексов
с одной 0-мерной образующей 1, одной 1-мерной образующей Vi и одной
2-мерной образующей v\. Таким образом, к[К] является кольцом Коэна—
Маколея, и (t\, /2) — регулярная последовательность.
Предложение 3.35 (Стенли). Если Кп~1 является комплексом Коэ-
Коэна—Маколея, то h(Kn~x) = (h0,..., hn) есть М-вектор (см. определе-
определение 1.29).
Доказательство. Пусть /,,...,/„ — регулярная последовательность
из элементов степени два в к[/С] (здесь мы предполагаем, что к — поле
нулевой характеристики). Тогда А = k[K]/(t{, ..., tn) есть градуирован-
градуированная алгебра, порожденная элементами степени два и dimk Л2' = ht. Теперь
результат вытекает из теоремы 1.30. ?
Следующая фундаментальная теорема дает комбинаторную характери-
зацию комплексов Коэна—Маколея.
Теорема 3.36 (Райснер [146]). Симплициальный комплекс К являет-
является комплексом Коэна—Маколея над к тогда и только тогда, когда
для любого симплекса а € К (включая а = 0) и i < dim(link о) имеет
место равенство //«(linkа; к) = 0.
Предыдущую теорему можно также переформулировать в чисто топо-
топологических терминах.
Предложение 3.37 (Манкрс). Комплекс /С" является комплексом
Коэна—Маколея над к тогда и только тогда, когда для любой точ-
точки х е\К\ имеет место равенство
//,(|/С|;к) = //,-(|/(|, |/С|\*;к) = О
при i <п- 1.
Доказательство непосредственно вытекает из предложения 2.28. П
Следствие 3.38. Симплициальная сфера является комплексом Ко-
Коэна—Маколея.
Из теоремы 3.35 вытекает, что /г-вектор симплициальной сферы явля-
является Af-вектором. Этот факт был использован Стенли для обобщения ТВГ
(теоремы 1.31) на произвольные триангуляции сфер.
Следствие 3.39 (теорема о верхней границе для сфер). Для произ-
произвольной симплициальной (п — \)-сферы Кп~{ с т вершинами п-вектор
(h0, hi, ..., hn) удовлетворяет неравенствам
Следовательно, имеет место ТВГ для симплициальных сфер, т. е.
fi(Kn-1) ^ h(Cn(m))
(см. следствие 1.33).

3.6. Горенштейновы комплексы и соотношения Дена—Соммервилля 81
Доказательство. Так как h(Kn~l) есть Af-вектор, существует гра-
градуированная алгебра А — А0 ф А2 ф... ф А2п, порожденная элементами
степени два, для которой d\mk A2' = hi (теорема 1.30). В частности,
dimki42 = h\=m — n. Так как А порождена своей компонентой Л2, число Л,-
не может превышать числа всех мономов степени / от т — п переменных.
_ (m-n + i -1\ ._,
Последнее число есть в точности ( • ) • СП
Комплексы Коэна—Маколея могут быть охарактеризованы при помо-
помощи чисел Бетти следующим образом.
Предложение 3.40. /С" является комплексом Коэна—Маколея
тогда и только тогда, когда р~'(к[/С]) = 0 при i>m — n.B этом случае
имеем $-{т-п){к[К])^0.
Доказательство. Свойство Коэна—Маколея означает, что depth k[/C]=
—п. Следовательно, hdk[/C] — т — п (теорема 3.26). Теперь утверждение
вытекает из предложения 3.15. ?
3.6. Горенштейновы комплексы и соотношения Дена—
Соммервилля
В коммутативной гомологической алгебре наряду с кольцами Коэна—
Маколея важное место занимает класс горенштейновых колец. Их общая
теория изложена в [65, Ch. 3]. Как и в случае колец Коэна—Маколея,
в комбинаторике большой интерес представляют симплициальные ком-
комплексы, кольца граней которых являются горенштейновыми. Общее оп-
определение горенштейнова кольца выходит за рамки данной книги, однако
в случае колец граней это свойство имеет простую интерпретацию в тер-
терминах чисел Бетти, которую мы и используем в качестве определения.
Определение 3.41. Комплекс Коэна—Маколея /С" на множестве [т]
называется горенштейновым, если р~(ш~л)(к[/(]) = 1, т.е.
ТогЙГ'ОФа к) = к.
(Заметим, что р~'(к[/С]) = 0 при 1>т~ я в силу предложения 3.40.) Если,
кроме того, К = core К (см. определение 2.27), то К называется горен-
горенштейновым* (в обозначениях Стенли, ставших общепринятыми).
Так как К — core К * А5 для некоторого s, мы имеем
k[/C] = k[core/C]®k[s].
Тогда из следствия 3.25 получаем
Toi&MK]. k) йТо1й_,(к1соге/С1. к).
Отсюда вытекает, что К является горенштейновым тогда и только тогда,
когда таковым является core/С.
6 - 9957

82 Глава 3. Коммутативная алгебра симплициальных комплексов
Следующая теорема дает комбинаторно-топологическую характериза-
цию горенштейновых* симплициальных комплексов.
Теорема 3.42 (см. [159, §11.5]). Симплициальный комплекс К яв-
является горенштейновым* над к тогда и только тогда, когда для
любого симплекса оеК (включая о = 0) подкомплекс link о имеет го-
гомологии сферы размерности dim(linko).
Имеется также очевидный аналог предложения 3.37. В топологии поли-
полиэдры, удовлетворяющие условию из предыдущей теоремы, иногда называ-
называются обобщенными гомологическими сферами. В частности, симплици-
альные сферы и симплициальные гомологические сферы (триангулирован-
(триангулированные многообразия, имеющие гомологии как у сферы) являются горенштей-
новыми* комплексами. Однако свойство горенштейновости* не гаранти-
гарантирует, что комплекс является триангуляцией многообразия (линки вершин
не обязательно односвязны, см. теорему 2.45).
Из теорем 3.17 и 3.42 вытекает, что если К — горенштейнов* комплекс,
то
р-(т-я)(к[К]) = р-{т-п)'2т(к[К]) = 1.
Градуированная коммутативная (в градуированном смысле) конечно-
d
мерная над к связная алгебра Н = 0 Н1 называется алгеброй Пуанкаре,
если к-линейные отображения Н1 —> Homk(#d~\ Hd), аь-*-фа, ya(b) —ab яв-
являются изоморфизмами для всех i = О, ..., d. Название объясняется тем,
что соответствующее свойство для когомологий многообразий есть не что
иное, как двойственность Пуанкаре.
Для произвольных нётеровых локальных колец имеет место фундамен-
фундаментальный результат Аврамова—Голода, согласно которому кольцо является
горенштейновым тогда и только тогда, когда его Tor-алгебра является ал-
алгеброй Пуанкаре. Мы будем использовать градуированный аналог этого
результата для колец граней симплициальных комплексов.
Теорема 3.43 (см. Аврамов—Голод [1]; [65, Th. 3.4.5]). Симплици-
Симплициальный комплекс является горенштейновым тогда и только тогда,
когда его Tor-алгебра является алгеброй Пуанкаре.
Так как мы работаем с градуированными кольцами, Tor-алгебра явля-
является биградуированной и двойственность Пуанкаре уважает дополнитель-
дополнительную градуировку. В частности, имеет место следующее утверждение.
Следствие 3.44. Пусть Кп~1—горенштейнов* комплекс на [т].
Тогда имеются следующие соотношения для ряда Пуанкаре Тог-ал-
гебры и чисел Бетти:
г?,(к[К1, к): t) = t2"F(TorJ"-»'(klK], к); I), i = 0 т-п;
р--2'(к[АП) = р-""-"|+|*"-я(к[/С]), / = 0 т.

3.6. Горенштейновы комплексы и соотношения Дена—Соммервилля 83
В качестве дальнейшего следствия мы получаем соотношение типа
двойственности для ряда Пуанкаре самого кольца граней.
Следствие 3.45. Если Кп~1 является горенштейновым* комплек-
комплексом, то
Доказательство. Применим предложение ЗЛО к минимальной резоль-
резольвенте к[К] как модуля над k[m]. Заметим, что F(k[m], t) = (\ — t2)~m.
Из C.9) вытекает, что числители слагаемых в правой части формулы
из предложения 3.10 равны в точности /7(Тогц^1)(к[/С], k); t), i = 1,..., т — п.
Следовательно,
т—п
i2\—m
F(k[K\; t) = (i- t2rm ^нттог;;;, „jwi к); t).
1=0
Используя следствие 3.44, мы вычисляем
т—п
F(k[K}', 0 = 0 -^-^(-^'^^(WnlT'M^], к); ±
i=0
(;}). D
Следствие 3.46. Для любого горенштейнова* комплекса (в част-
частности, для любой триангуляции сферы) имеют место соотношения
Дена—Соммервилля hi = /*„_,-, / = 0, ..., п.
Доказательство. Это вытекает из явного вида ряда Пуанкаре для к[/С]
(лемма 3.8) и предыдущего следствия. ?
Как было отмечено Стенли в работе [158], с алгебраической точки
зрения горенштейновы* комплексы являются наиболее подходящими кан-
кандидатами для обобщения g-теоремы. (Мы уже видели, что многогранные
сферы, кусочно-линейные сферы, симплициальные сферы и симплициаль-
симплициальные гомологические сферы являются подклассами горенштейновых* ком-
комплексов.)
В свою очередь, соотношения Дена—Соммервилля допускают даль-
дальнейшие обобщения в различных направлениях. В [114] были получены
соотношения Дена—Соммервилля в /-векторной форме A.10) для эйле-
эйлеровых комплексов. (Чистый симплициальный комплекс Кп~х называется
эйлеровым, если для любого симплекса о G /С, включая 0, имеет место

84 Глава 3. Коммутативная алгебра симплициальных комплексов
равенство х(Нпка) = х^""'0'"') = 1 + (—l)".) Другие обобщения со-
соотношений A.10) были получены в [52] (для эйлеровых частично упоря-
упорядоченных множеств, см. также [155, C.40)] и следующую главу) и в [73].
В разделе 8.6 мы получаем обобщенные соотношения Дена—Соммер-
вилля для триангулированных многообразий как следствие биградуирован-
ной двойственности Пуанкаре. В частности, это дает следующий простой
вид соотношений в терминах /г-вектора:
xx)(i) / = o,i,...,п.
Здесь х(Кй~')= /о -/|+... + (-1)я-7«-1 = 1 + (-1)яЛя — эйлерова ха-
характеристика комплекса Кп~1 и х(^я~') = 1 + (—1)л~'. Заметим, что пре-
предыдущие соотношения сводятся к классическим /*„_, = /г, в случае когда К
является триангуляцией сферы или имеет нечетную размерность. Заметим
также, что триангулированное многообразие, вообще говоря, не является
горенштейновым* комплексом или даже комплексом Коэна—Маколея.

Глава 4
Симплициально клеточные
комплексы
Понятие кольца граней (или кольца Стенли—Райснера) можно рас-
распространить на комбинаторные структуры более общие, чем простые
многогранники или двойственные им симплициальные комплексы. К та-
таким структурам относятся симплициальные частично упорядоченные
множества и соответствующие им топологические объекты — симпли-
симплициально клеточные комплексы, которые мы и рассмотрим в этой главе.
Симплициально клеточные комплексы возникают как двойственные объек-
объекты к так называемым регулярным многообразиям с углами, играющим
важную роль в топологических приложениях, связанных с действиями
тора. Взаимоотношения между регулярными многообразиями с углами
и симплициально клеточными комплексами аналогичны взаимосвязям
между простыми многогранниками и симплициальными комплексами.
К многообразиям с углами мы вернемся в главе 6.
Кольца граней симплициальных частично упорядоченных множеств бы-
были введены Стенли в работе [157]. Они являются градуированными, одна-
однако, в отличие от колец граней симплициальных комплексов, уже не поро-
порождаются элементами минимальной положительной градуировки. В то же
время, алгебраические свойства кольца граней симплициального частич-
частично упорядоченного множества (в частности, его ряд Пуанкаре, свойства
Коэна—Маколея и Горенштейна, регулярные последовательности и т.д.)
описываются в комбинаторных терминах в полной аналогии с симплици-
симплициальными комплексами.
4.1. Основные определения
Определение 4.1. Частично упорядоченное множество У называется
симплициальным, если оно содержит наименьший элемент 0 и для любого

86 Глава 4. Симплициально клеточные комплексы
о € У отрезок
[О, а] = {т е У: 0 ^ т ^ о}
является частично упорядоченным множеством граней некоторого сим-
симплекса (т.е. булевой алгеброй). Для каждого элемента о?У \0 положим
rank о = k, если [0, а] является множеством граней (k - 1)-симплекса, и
rank 0 = 0. Положим также dim У = max rank о — 1. Наконец, определим
вершины множества У как элементы ранга 1. Тогда любой элемент ран-
ранга k содержит в точности k вершин.
Очевидно, что множество всех симплексов некоторого симплициаль-
симплициального комплекса является симплициальным частично упорядоченным мно-
множеством. Однако далеко не все симплициальные частично упорядоченные
множества получаются таким образом (см. пример 4.2 ниже).
Напомним, что клеточным комплексом называется хаусдорфово то-
топологическое пространство X, представленное в виде объединения \Jef
попарно непересекающихся множеств е] (называемых клетками) таким
образом, что для каждой клетки е] существует отображение ^-мерного
замкнутого шара D4 ъХ {характеристическое отображение), ограни-
ограничение которого на внутренность шара Dq есть гомеоморфизм на е]. (Здесь,
как обычно, считается, что внутренность точки есть сама эта точка.) При
этом предполагаются выполенными следующие аксиомы.
(С) Граница клетки е? содержится в объединении конечного числа кле-
клеток erj размерности г <q.
(W) Подмножество У С X замкнуто тогда и только тогда, когда для
любой клетки el замкнуто пересечение У П ё] (другими словами, тополо-
топология пространства X является самой слабой из топологий, относительно
которых все характеристические отображения непрерывны).
Далее в этом разделе У будет обозначать симплициальное частич-
частично упорядоченное множество. Каждому элементу а ? У \ 0 сопоставим
геометрический симплекс, множеством граней которого является [0, о],
и склеим все эти геометрические симплексы в соответствии с отношением
порядка в У. Тогда мы получим клеточный комплекс, замыкание каждой
клетки которого отождествляется с симплексом с сохранением структу-
структуры граней, причем все приклеивающие отображения являются вложения-
вложениями. Мы будем называть этот комплекс симплициально клеточным ком-
комплексом и обозначать его \У\. В случае, когда У является множеством
симплексов некоторого симплициального комплекса К, пространство \У\
совпадает с полиэдром (геометрической реализацией) |/С|.
Пример 4.2. Клеточный комплекс, получаемый отождествлением двух
(п — 1)-мерных симплексов по их границам (с сохранением структуры гра-
граней) является симплициально клеточным. Соответствующее симплициаль-

4.2. Кольца граней ' 87
ное частично упорядоченное множество не является множеством граней
никакого симплициального комплекса при п > 1.
На рис. 4.1, а—в, изображены три клеточных разбиения окружно-
окружности. Первое из них не является симплициально клеточным комплексом.
Второе является симплициально клеточным комплексом, но не является
симплициальным комплексом (это — в точности построенный выше в этом
примере симплициально клеточный комплекс для п = 2). Наконец, третье
разбиение является симплициалным комплексом.
а) б) в)
Рис. 4.1. Клеточные разбиения окружности
Очевидным образом определяется барицентрическое подразбиение
симплициально клеточного комплекса, которое снова является симплици-
симплициально клеточным комплексом.
Предложение 4.3. Барицентрическое подразбиение любого сим-
симплициально клеточного комплекса У является полиэдром (т.е. гео-
геометрической реализацией некоторого симплициального комплекса).
Доказательство. Действительно, мы можем отождествить рассмат-
рассматриваемое барицентрическое подразбиение с геометрической реализацией
порядкового комплекса (см. определение 2.19) ог<1(У\0) для соответству-
соответствующего симплициального частично упорядоченного множества У'. ?
В дальнейшем мы не будем различать симплициальные частично упо-
упорядоченные множества и симплициально клеточные комплексы и будем
называть порядковый комплекс ord(c5"\0) барицентрическим подразби-
подразбиением симплициального частично упорядоченного множества и обозначать
его У.
4.2. Кольца граней
Здесь мы перейдем к описанию кольца граней симплициально клеточ-
клеточного комплекса У. Большинство алгебраических утверждений в этом раз-
разделе вытекают из общей теории алгебр с законом выпрямления и алгебр
Ходжа, см. [157] и [65, Ch. 7]. Однако в нашем изложении, приспособ-
приспособленном для топологических приложений, мы следуем работе [125].
Для того, чтобы сделать мотивировки более прозрачными, мы сна-
сначала рассмотрим случай, когда У является настоящим симплициальным

Глава 4. Симплициально клеточные комплексы
комплексом К. Для любых двух симплексов о, т ? К обозначим через аЛт
их единственную точную нижнюю грань (т. е. максимальный симплекс, од-
одновременно содержащийся в о и х). Точная нижняя грань всегда существу-
существует, но может быть пустым симплексом 0 ? К. С другой стороны, точная
верхняя грань симплексов о и т (т. е. минимальный симплекс, одновремен-
одновременно содержащий о и т) может не существовать. Если же точная верхняя
грань существует, то она единственна, и мы обозначим ее через о V т.
Рассмотрим кольцо многочленов k[uff:o? К \0], имеющее по одной
образующей на каждый непустой симплекс в К. Введем градуировку, по-
положив degyff=2|o|. Кроме того, отождествим v0 с 1. Следующее утвержде-
утверждение дает альтернативное «менее экономное» представление кольца граней
к[/(], в котором расширены как набор образующих, так и набор соотноше-
соотношений. Оно будет использовано как основа для обобщения понятия кольца
граней на произвольные симплициально клеточные комплексы.
Предложение 4.4. Имеется канонический изоморфизм градуиро-
градуированных колец
где У — идеал, порожденный всеми элементами вида
Здесь мы полагаем uoVx = 0, если точная верхняя грань а V т не суще-
существует.
Доказательство. Изоморфизм устанавливается при помощи отобра-
отображения, переводящего va в П и«- Е
Пусть теперь У — произвольный симплициально клеточный комплекс.
В этом случае для любых двух элементов о, т ? У множество о V т их точ-
точных верхних граней может состоять более чем из одного элемента (но мо-
может быть и пустым). Множество о Л т точных нижних граней всегда непу-
непусто; кроме того, оно состоит из единственного элемента при условии, что
а V т Ф 0. Введем градуированное кольцо многочленов k[va: а ? У \ б], где
deg va — 2 rank о. Мы также формально положим v^ = 1.
Определение 4.5. Кольцом граней симплициально клеточного ком-
комплекса У называется факторкольцо
где J?& — идеал, порожденный всеми элементами вида
p€oV*
В частности, если а V т = 0, то vav^ = 0 в к[У].

4.2. Кольца граней " 89
Соотношения, порождающие идеал «^», позволяют выразить произ-
произведение образующих va и ит, соответствующих несравнимым элементам
а, т € <У, в виде суммы мономов, представляющих собой произведение упо-
упорядоченных образующих. В алгебраической литературе такие соотношения
называются выпрямляющими.
Далее мы приводим ряд утверждений, описывающих алгебраические
свойства кольца граней к\У\.
Лемма 4.6. Каждый элемент а е к[У] может быть записан в виде
а=
«1 «*
где А{а\ < ... < ok', oti,..., а*) ? к и а,- — некоторые неотрицательные
целые числа.
Доказательство. Можно считать, что a=v^v^...v4 (некоторые
из элементов т, могут совпадать). Нам достаточно доказать, что такой
элемент можно записать в виде ]Г ио, ... vai, где о\ < ... ^ а, для каждо-
каждого слагаемого. По индукции мы можем предположить, что т2 ^ ... ^ т*.
Применим соотношение из определения 4.5 и заменим а на
Теперь два первых элемента в каждом мономе этой записи упорядочены.
Затем мы заменим каждое произведение ириТз на ирлт3( ? и«)- ^ак как
"Ci Лт2 ^ рЛтз, мы получаем, что уже первые три элемента в каждом мономе
упорядочены. Продолжая этот процесс, мы в конце концов получим сумму
мономов, соответствующих упорядоченным наборам элементов. ?
Мы будем называть представление из леммы 4.6 цепным разложени-
разложением элемента а е ЩУ].
Для каждого элемента о € У определим гомоморфизм ограничения
sa: к[У] - k[y]/(vx: x ? а).
Легко видеть, что имеет место следующее утверждение.
Предложение 4.7. Пусть ranka = & и {/b ..., ik) — набор вершин
элемента а€У. Тогда образом гомоморфизма sa является кольцо
многочленов k[vir ..., vik] от k образующих степени два.
Далее мы докажем аналог предложения 3.5 для симплициально кле-
клеточных комплексов. Этот результат является ключевым для описания ал-
алгебраических свойств колец граней.

90 Глава 4. Симплициально клеточные комплексы
Теорема 4.8. Сумма s = 0so отображений ограничения по всем
о
элементам а€У является мономорфизмом из кольца граней \\У\
в прямую сумму колец многочленов.
Доказательство. Пусть а ? к[«5"] — ненулевой элемент. Запишем его
цепное разложение. Зафиксируем моном i/?j.. .i?j, входящий в это разло-
разложение с ненулевым коэффициентом. Можно считать, что а* — максималь-
максимальный элемент в У (мы допускаем ос* = 0) и rank о,- = i, /= 1 ,...,?. Докажем,
что sa/t(a) ф 0. Отождествим sffft(k[c^]) с кольцом многочленов к[Л, ..., /*]
(так что tj — vt. в обозначениях предложения 4.7). Тогда sak(vak) — t\...tk
и мы можем также предположить, что sak(vaj) = tx... /,-, / = 1,..., п. Итак,
Отсюда вытекает, что sak{a) Ф 0, если только какой-то другой моном
... uf™ не переходит под действием отображения sOft в тот же самый элемент
из k[^i, ..., tk]. Заметим, что sak(v^ ...t/J*) = 0 если т,- ? ok при р, ф0, так
что можно считать, что т = k. Допустим, что
\k D.1)
Мы хотим доказать, что тогда v*\... i/?* = v^ ... v%*, т. е., а, = p, и о,- = т,- при
а,>Ф 0, i = 1,..., k. Используя индукцию, нам достаточно доказать это для
i = у, предполагая, что утверждение верно для / > /. Тогда равенство D.1)
принимает вид
откуда sak(v^ ... Va'j) = sOk(v^ ... и,/). Пусть Р/ — последний ненулевой по-
показатель (т. е. P/+i =... = Р; = 0). Тогда мы также имеем ос,+! =... = а;- = 0,
так как иначе sak(v*\ ...u«j) делилось бы на /|...//+|, в то время как
sOjfe(uJ' ...vVj) не делится на t\...tt+\. Мы также имеем щ =Р/ и о, =т/,
так как а/ есть максимальная степень монома t\...//, на которую делится
sak(vl\... vl'j). По индукции мы заключаем, что и?|... v^ =и?'...t/J*, откуда
Замечание. Как непосредственно вытекает из доказательства, преды-
предыдущая теорема остается верной, если в качестве отображения s =
a
о
брать сумму лишь по максимальным элементам о
Следствие 4.9. Цепное разложение элемента а е У\У] един-
единственно, так что мономы v^\ ••¦vl*, соответствующие всем цепям
а\ < ... < ok и всем показателям а,-, образуют аддитивный базис
кольца

4.3. Свойства Коэна—Маколея и Горенштейна 91
Определим f-вектор симплициально клеточного комплекса У как
/(У) = (!оу ..., /я-|), где /г- 1 = А\тУ и /, есть количество элементов ранга
/ + 1 (т. е. количество симплексов размерности i). Как обычно, h-вектор
Н(У) = (h0, ..., hn) определяется из соотношения A.7).
Пример 4.10. Рассмотрим комплекс У, описанный в примере 4.2 при
я = 2. Таким образом, У получается склеиванием двух отрезков по их
границам, см. рис. 4.1, б. Мы имеем два элемента ранга 1 (две вершины),
скажем, с\ и аг, и два элемента ранга 2 (два максимальных симплекса),
скажем, tj и т2. Тогда {{У) = B, 2), к(У) = A,0, 1), и кольцо граней имеет
вид
к[У] = к[ио,, 0О2, иТ1, 0Т2]/@О,0О2 = 0т, + 0т2, 0т,Ут2 = 0),
где deg0Ol = deg0O2 = 2, deg0T, = deg0T2 = 4.
Ряд Пуанкаре кольца граней симплициально клеточного комплекса вы
глядит точно так же, как и в случае симплициальных комплексов.
Теорема 4.11. Справедливы равенства
k=0
Доказательство. В силу следствия 4.9, для того, чтобы вычислить ряд
Пуанкаре кольца к[У], нам нужно подсчитать число мономов 0"[...0jj
с аА ^ 0 и ai < ... < Ok. Вначале заметим, что все множество М таких
мономов распадается в несвязное объединение подмножеств, состоящих
из мономов с одним и тем же последним элементом ak. Ограничимся од-
одним из таких подмножеств ^„к, т.е. фиксируем элемент ak и рассмотрим
лишь мономы, имеющие последний множитель вида y?j ca^O. Рассмот-
Рассмотрим отображение ограничения sOft в кольцо многочленов к[/ь ..., /А].
Тогда 5Oft(yOft) = t\. ..tk и sak(^a/t) совпадает с множеством мономов
из к[/ь ..., tk], которые делятся на t\ ...tk. Поэтому ряд Пуанкаре для
подпространства, порожденного множеством ^Oft, есть ——гщ. Так как
rankafe = к, ряд Пуанкаре для всего кольца \\У] (которое аддитивно поро-
порождается мономами из множества М) задается первой из формул в теореме.
Второе равенство непосредственно вытекает из соотношения A.7). ?
4.3. Свойства Коэна—Маколея и Горенштейна
По определению, У называется симплициально клеточным ком-
комплексом Коэна—Маколея, если барицентрическое подразделение У
является комплексом Коэна—Маколея. Как вытекает из предложе-
предложения 3.37, свойство Коэна—Маколея является чисто топологическим,

92 Глава 4. Симплициально клеточные комплексы
т.е. определяется лишь топологией пространства \У\. Как было показа-
показано в [157, Сог. 3.5, 3.7], кольцо граней к[У] симплициально клеточного
комплекса Коэна—Маколея является кольцом Коэна—Маколея. Кроме
того, если к — поле нулевой характеристики, то к[У] допускает линей-
линейную систему параметров (несмотря на то, что это кольцо, вообще говоря,
не порождается линейными элементами, см. [157, Lemma 3.9]). На самом
деле, для колец граней к[У] имеет место очевидный аналог леммы 3.32,
описывающий линейные системы параметров. Следующее утверждение
дает полную характеризацию Л-векторов симплициально клеточных ком-
комплексов Коэна—Маколея.
Теорема 4.12 (см. [157, Th. 3.10]). Целочисленный вектор h =
= (h0, hu ..., hn) является h-вектором симплициально клеточного
комплекса Коэна—Маколея тогда и только тогда, когда п0 = 1
и hi^O для любого L
Доказательство. Пусть сначала h = к{У) для некоторого симплици-
симплициально клеточного комплекса Коэна—Маколея У. Условие п0 = 1 непо-
непосредственно вытекает из соотношения A.7). Пусть /ь ..., tn—линейная
система параметров в к[У]. Сравнивая формулу C.12) для ряда Пуанкаре
с формулой из теоремы 4.11, мы получаем
Следовательно, Л, ^ 0, что и требовалось.
Теперь мы построим симплициально клеточный комплекс Коэна—Ма-
Коэна—Маколея У с любым наперед заданным Л-вектором таким, что h0 = 1 и Л, ^ 0.
Для начала заметим, что h(An~]) = A, 0, ..., 0) и Д" —симплициально
клеточный комплекс Коэна—Маколея. Далее, пусть У — симплициально
клеточный комплекс Коэна—Маколея с Л-вектором (Ло, • • ¦, hn). Для каж-
каждого k = 1, ..., п мы построим новый симплициально клеточный комплекс
Коэна—Маколея 5?\ с /г-вектором
h(yl) = {hOy ..., Л*_,,Л* + 1, hk+ly ...,ЛЯ)
и тем самым завершим доказательство. Выберем в комплексе У неко-
некоторый (п — 1)-симплекс и в этом симплексе выберем некоторые k граней
размерности (п — 2). Приклеим к У новый (п — 1)-симплекс путем отож-
отождествления некоторых k его (п — 2)-граней с выбранными (п — 2)-граня-
ми в комплексе У. Непосредственная проверка показывает, что Л-вектор
получаемого симплициально клеточного комплекса S?\ имеет описанный
выше вид. Тот факт, что У\ является симплициально клеточным комплек-
комплексом Коэна—Маколея, непосредственно проверяется с помощью предло-
предложения 3.37. Детали см. в [157, Th. 3.10]. ?

4
4.3. Свойства Коэна—Маколея и Горенштейна 93
Таким образом, имеется полная характеризация Л-векторов симплици-
симплициально клеточных комплексов Коэна—Маколея.
Далее, симплициально клеточный комплекс У называется горен-
штейновым (соответственно, горенштейновым*), если барицентри-
барицентрическое подразделение У является горенштейновым (соответственно,
горенштейновым*) симплициальным комплексом. Как и в случае свойства
Коэна—Маколея, свойство горенштейновости* зависит лишь от топологии
пространства \У\ (это вытекает из очевидного аналога предложения 3.37
для горенштейновых* симплициальных комплексов). В частности, У яв-
является горенштейновым*, если \У\ = Sn~l.
Вопрос о характеризации Л-векторов горенштейновых* симплициаль-
симплициально клеточных комплексов несколько тоньше, чем аналогичный вопрос для
множеств Коэна—Маколея, хотя и существенно проще, чем соответству-
соответствующий вопрос {g-гипотеза) для горенштейновых* симплициальных ком-
комплексов. Начнем с того, что здесь также имеют место соотношения Дена—
Соммервилля.
Теорема4.13. Пусть h(y) = (ho,hu.. .,hn) — h-вектор горенштей-
нового* симплициального частично упорядоченного множества У
размерности (п — 1). Тогда ho — 1, Л,- ^ 0 и h,,= hn-i для любого L
Доказательство. Неравенства Л, ^ 0 вытекают из того, что У является
симплициально клеточным комплексом Коэна—Маколея (теорема 4.12).
Как уже отмечалось выше, доказательство соотношений Дена—Соммер-
Дена—Соммервилля для эйлеровых частично упорядоченных множеств (частным случаем
которых являются горенштейновы* частично упорядоченные множества)
можно найти в [155, C.40)]. Другое доказательство можно получить, выра-
выразив /i-вектор барицентрического подразделения У через к(У) и исполь-
использовав соотношения Дена—Соммервилля для горенштейнова* симплици-
симплициального комплекса У. Действительно, повторяя рассуждение из лемм 2.17
и 2.18 мы получаем соотношение к{У) = Dh{y), причем вектор к(У)
симметричен, т. е. удовлетворяет соотношениям Дена—Соммервилля. Ру-
Рутинная проверка с использованием известных биномиальных тождеств
показывает, что матрица D (и ее обратная) переводит симметричные
векторы в симметричные (это эквивалентно тому, что dpq =dn+i-p<ft+\-.q,
т. е. матрица D центрально симметрична). Однако это можно доказать
и не прибегая к вычислениям, и даже не используя явный вид матрицы D
из леммы 2.18. Действительно, соотношения Дена—Соммервилля выделя-
выделяют в пространстве Rn+1 (с координатами h0,..., hn) линейное подпростран-
подпространство W размерности k = - + 1 (или аффинное пространство размерности
I 2 » если мы добавим соотношение h0 = 1). Нам необходимо проверить ин-
инвариантность этого подпространства относительно обратимого линейного

94 Глава 4. Симплициально клеточные комплексы
оператора D. Для этого достаточно выбрать в W любой базис еи ..., ек
и проверить, что De, e W для всех /. Но подпространство W допускает
базис из h-векторов симплициальных сфер (и даже многогранников, см.
доказательство предложения 1.23). Так как барицентрическое подразби-
подразбиение симплициальной сферы есть снова симплициальная сфера, образы
Det, i = \, ..., k, также удовлетворяют соотношениям Дена—Соммер-
вилля. Следовательно, подпространство W является D-инвариантным.
Отсюда вытекает, что вектор к{У) — В~ХН{У) является симметричным
для любого горенштейнова* симплициально клеточного комплекса У. ?
В [157, Th. 4.3] были получены следующие достаточные условия.
Теорема 4.14. Пусть h = (Ло, /ii,..., /г„) — целочисленный вектор
с ho = I, hi^O и hi — hn_i. Каждое из следующих условий является
достаточным для существования горенштейнова* симплициально
клеточного комплекса У размерности (п — 1) с h-вектором h:
а) п нечетно;
б) п четно и ha/2 четно;
в) п четно, hn/2 нечетно и Н(>0 для всех i.
Доказательство. Сначала рассмотрим два базовых примера симпли-
симплициально клеточных разбиения сферы: дАп — граница /г-симплекса, име-
имеющая Л-вектор h(dAn) = (\, 1, ..., 1) и J^ — симплициально клеточный
комплекс, получаемый отождествлением двух (п — 1)-мерных симплексов
по их границам (пример 4.2), для которого п{<Жп) = A, 0, ..., О, 1). При
помощи стандартных операций соединения и связной суммы (см. конструк-
конструкции 2.9 и 2.12, непосредственно обобщаемые на симплициально клеточные
комплексы) мы построим из этих двух примеров симплициально клеточный
комплекс с любым Л-вектором, удовлетворяющим условиям из теоремы.
Действительно, легко видеть, что при k ф п — k мы имеем
?-*) = A,0, .... 0, 1,0, ...,0, 1,0, ...,0, 1),
где hk — hn..k — 1 • В то же время, при четном n = 2k имеем
h(Jfk * Xk) = A, 0, ..., 0, 2, 0, ..., 0, 1),
где hk — 2. Далее, беря связную сумму нужного количества множеств дАпу
и Xk * Xn-k и используя соотношение
i = 1, 2, ..., п -
имеющее место для любых горенштейновых* симплициально клеточных
комплексов У\ и Уг размерности (п— 1) (см. пример 1.20), мы получим
любой нужный h-вектор. ?
Таким образом, для завершения характеризации Л-векторов горен-
горенштейновых симплициально клеточных комплексов необходимо получить

4.3. Свойства Коэна—Маколея и Горенштейна 95
следующее утверждение, которое было высказано Стенли в качестве ги-
гипотезы в [157] и полностью доказано Масудой в [124].
Теорема 4.15. Пусть п{У) = (Ло, пи . •., hn) — h-вектор горенштей-
нова* симплициально клеточного комплекса У размерности (п — 1),
причем п — четно и hi = 0 для некоторого L Тогда число hn/2 четно.
В разделе 6.7 мы приведем доказательство этого результата для Л-век-
торов тех горенштейновых* симплициально клеточных комплексов, кото-
которые происходят из пространств орбит действий тора на многообразиях. Это
доказательство было получено в работе [125] топологическими метода-
методами. Доказательство Масуды общего утверждения опирается на несколько
иные, хотя и родственные, методы.
Теоремы 4.13, 4.14 и 4.15 дают полную характеризацию Л-векторов
горенштейновых* симплициально клеточных комплексов (и, в частности,
симплициально клеточных разбиений сфер).

Глава 5
Кубические комплексы
В определенный период развития комбинаторной топологии кубиче-
кубические комплексы рассматривались как альтернатива симплициальным для
построения топологических инвариантов пространств комбинаторными ме-
методами. В частности, была надежда получить более эффективное описание
умножения в когомологиях, используя тот факт, что произведение стан-
стандартных кубов есть снова куб. Позднее оказалось, однако, что на этом пути
кубические когомологии не дают существенных преимуществ по сравне-
сравнению с симплициальными. Комбинаторные структуры, связанные с кубами,
применяются в некоторых разделах современной алгебраической топо-
топологии (например, рассматриваются кубические аналоги симплициальных
множеств). Тем не менее, основные приложения кубические комплексы
в настоящее время находят в комбинаторной геометрии благодаря тому,
что ряд естественных конструкций из разных разделов математики и мате-
математической физики приводят к пространствам с выделенным разбиением
на кубы. В этой небольшой главе мы описываем некоторые из таких при-
приложений и вводим ряд канонических кубических разбиений, используемых
в дальнейшем.
5.1. Обзор основных понятий и области приложений
Мы начнем с определения кубического комплекса, подчеркивающего
его комбинаторную структуру, а затем приведем более привычное для то-
топологов геометрическое определение.
Определение 5.1. (Конечным) абстрактным кубическим комплек-
комплексом называется (конечное) частично упорядоченное множество pf, С), со-
содержащее наименьший элемент 0 и удовлетворяющее следующим двум
условиям:
а) для любого элемента G G ^ отрезок [0, G] изоморфен частично упо-
упорядоченному множеству граней некоторого куба;

5.1. Обзор основных понятий ri области приложений 97
б) для любых двух элементов Gb G2 G ^ существует единственная точ-
точная нижняя грань, т. е. среди всех элементов Н е *€, удовлетворяющих
включениям Н CG\ и Я С G2, существует единственный максимальный
элемент.
Элементы G ? # называются гранями кубического комплекса. Если
[0, G] является множеством граней куба /*, то говорят, что грань G имеет
размерность k. Для любых двух граней Gb G2 их точная нижняя грань
называется пересечением граней и обозначается G\ П G2.
Далее мы введем понятие геометрической (вернее, топологической) ре-
реализации абстрактного кубического комплекса. Определим топологиче-
топологический куб размерности q как ^-мерный шар, для которого фиксирован го-
гомеоморфизм со стандартным кубом Iя. При помощи этого гомеоморфизма
топологический куб разбивается на грани, где под гранями мы подразу-
подразумеваем гомеоморфные образы граней куба Iя.
Определение 5.2. (Конечным) топологическим кубическим ком-
комплексом называется набор ^ топологических кубов произвольных раз-
размерностей, лежащих в некотором Шп и удовлетворяющий следующим двум
условиям:
(а) каждая грань куба из ^ (в том числе 0) лежит в ^;
(б) пересечение любых двух кубов из ^ является гранью каждого
из них.
Кубы из набора <%? также называются гранями комплекса <%?; как
обычно, 0-мерные грани называются вершинами. Размерностью ку-
кубического комплекса ^ называется максимальная размерность его
граней.
По каждому абстрактному кубическому комплексу *€ можно постро-
построить его геометрическую реализацию—топологический кубический ком-
комплекс ^, грани которого образуют относительно включения частично упо-
упорядоченное множество, изоморфное <#'. Это можно сделать, например, взяв
несвязное объединение топологических кубов, соответствующих отрезкам
[0, G] С ^, и произведя отождествления граней в соответствии с отноше-
отношением частичного порядка.
В дальнейшем мы не будем различать абстрактные кубические ком-
комплексы и их топологические реализации.
По аналогии с симплициальными комплексами, определим /-вектор
кубического комплекса 4f как /(#) = (/0, /ь...), где /, есть число /-мерных
граней. Теория /-векторов кубических комплексов параллельна, до неко-
некоторой степени, соответствующей теории для симплициальных комплек-
комплексов, но значительно меньше развита. Она включает понятия п-вектора,
свойства Коэна—Маколея и горенштейновости*, а также кубические
аналоги ТВГ, ТНГ и g-гипотезы. Подробности можно найти, например,
7 - 9957

98 Глава 5. Кубические комплексы
в работах [38] и [45]. Кроме того, небольшой обзор этой теории и даль-
дальнейшие ссылки приведены в [160, §2].
Различные вопросы дискретной геометрии и комбинаторики кубических
комплексов естественно возникают в задачах статистической физики (ре-
(решеточные модели), а также в задачах, приводящих к дискретным аналогам
дифференциальных операторов, играющих важную роль в математической
физике. Ниже мы обсуждаем одну из задач, связанных с трехмерной моде-
моделью Изинга, которая приводит к проблеме вложимости кубических ком-
комплексов в стандартную решетку.
Определение 5.2 аналогично определению 2.2 геометрического симпли-
циального комплекса с той разницей, что в данном случае мы реализуем
абстрактные кубы не многогранниками, а топологическими кубами. За-
Заметим, что это ослабление существенно. Действительно, если заменить в
определении 5.2 топологические кубы на комбинаторные (т. е. на выпуклые
многогранники, комбинаторно эквивалентные кубу), то мы получим опре-
определение кубического комплекса многогранников. Это понятие является
важным в комбинаторно-геометрических приложениях, но простые приме-
примеры показывают, что не любой абстрактный кубический комплекс допускает
реализацию в виде кубического комплекса многогранников. Всамом деле,
рассмотрим разбиение ленты Мёбиуса на 3 квадрата (см. рис. 5.1).
В С D А
A F Е В
Рис. 5.1. Кубический комплекс, не допускающий реализации многогранниками
Предложение 5.3. Топологический кубический комплекс, изобра-
изображенный на рис. 5.1, не допускает реализации в виде кубического
комплекса многогранников.
Доказательство. Предположим, такая реализация существует. Тогда,
так как ABED является выпуклым 4-угольником, точки А и D лежат
в одной полуплоскости относительно прямой BE, а следовательно, и в од-
одном полупространстве относительно плоскости ВСЕ. Аналогично, так как
ABCF является выпуклым 4-угольником, точки Аи F лежат в одном полу-
полупространстве относительно плоскости ВСЕ. Значит, и точки D и F лежат
в одном полупространстве относительно плоскости ВСЕ. Но, с другой сто-
стороны, так как CDEF также является выпуклым 4-угольником, точки D и F
лежат в разных полупространствах относительно плоскости ВСЕ. Полу-
Получено противоречие. D
Таким образом, в отличие от симплициальных комплексов, теория аб-
абстрактных кубических комплексов не может быть описана лишь на основе

5.2. Кубические разбиения многогранников и комплексов 99
конструкций из выпуклой геометрии. Другим проявлением этого факта яв-
является то, что, в отличие от симплициальных комплексов, которые всегда
вкладываются в качестве подкомплексов в стандартный симплекс, дале-
далеко не любой кубический комплекс является подкомплексом в стандартном
кубе. Например, комплекс, изображенный на рис. 5.1, не является подком-
подкомплексом ни в каком Iя (так как любой такой подкомплекс по определению
реализуем выпуклыми многогранниками). Однако имеются и более простые
примеры: граница треугольника представляет собой одномерный кубиче-
кубический комплекс многогранников, невложимый в куб. Более того, этот ком-
комплекс невложим в стандартную кубическую решетку в Жя (ни для какого q).
Тем не менее, как будет показано в следующем разделе, любой кубический
комплекс допускает кубическое подразбиение, вложимое в стандартный
куб. В то же время, для исходного кубического разбиения вопрос о вло-
жимости является нетривиальным.
Проблема 5.4 (С. П. Новиков). Охарактеризовать ^-мерные кубиче-
кубические комплексы ^ (в частности, кубические многообразия), которые до-
допускают
а) (кубическое) вложение в стандартную кубическую решетку в R^;
б) отображение в стандартную кубическую решетку в Ш"у ограниче-
ограничение которого на любой k-мерный куб является изоморфизмом на некото-
некоторую &-грань решетки.
Проблема 5.4 восходит к следующему вопросу.
Проблема 5.5 (С. П. Новиков). Пусть в стандартной кубической ре-
решетке в R3 задан 2-мерный кубический mod 2-цикл а. Описать все отоб-
отображения кубических разбиений 2-мерных поверхностей в а, при которых
никакие два квадрата не отображаются в один и тот же квадрат из а.
С. П. Новиков сообщил авторам, что этот вопрос возник как результат
его обсуждений с А. М. Поляковым трехмерной модели Изинга. Пробле-
Проблемам 5.4 и 5.5 посвящены работы [16] и [17]. В [16] получено необходимое и
достаточное условие вложимости кубического разбиения двумерной сферы
в кубическую решетку. В работе [17] найдены необходимые и достаточные
условия существования кубического отображения кубического многообра-
многообразия Мк в стандартную кубическую решетку в W для некоторого q.
5.2. Кубические разбиения простых многогранников
и симплициальных комплексов
Здесь мы приводим несколько конструкций кубических комплексов,
которые будут играть ключевую роль в наших дальнейших построениях
(в частности, в теории момент-угол комплексов). В конце мы даем неко-
некоторые ссылки на источники, в которых встречаются подобные построения.
7*

100
Глава 5. Кубические комплексы
Все кубические комплексы, с которыми мы будем иметь дело да-
далее, допускают каноническое вложение в стандартный куб. В завершение
обсуждения из предыдущего раздела мы заметим, что вопрос о вложимости
комплекса в кубическую решетку тесно связан с вопросом о вложимости
в стандартный куб. Например, как показано в [16], кубическое разбие-
разбиение 2-мерной поверхности вложимо в стандартную решетку в Жя тогда и
только тогда, когда оно допускает кубическое вложение в Iq.
Любая грань стандартного куба Iя представляется в виде
СоСт = {(У\, ••-,УЯ)€ Iя: yi = 0 при / еа, у{ = 1 при i <?т}, E.1)
где аСх — два (возможно, пустых) подмножества в [q]. Положим Ст :=
Конструкция 5.6 (каноническая триангуляция для 1т). Для кратко-
краткости введем обозначение А = Ат~\ Сопоставим каждому подмножеству
a—{i\,..., *'*}C[m] вершину ио:=Сосо куба 1т. Более явно, va = (eu ..., еот).
где е, = 0, если /Go, и е, = 1 иначе. Рассматривая подмножества а как
вершины барицентрического подразбиения симплекса Д, мы можем про-
продолжить соответствие ан-* va до кусочно-линейного вложения ie: A' —»¦ /"•.
При этом вложении вершины симплекса Д отображаются в вершины ку-
куба /т, имеющие лишь одну нулевую координату, в то время как барицентр
симплекса Д отображается в @, ..., 0) е /*" (см. рис. 5.2).
М12)
23
13
/с B3)
Рис. 5.2. Конус над Д' как стандартная триангуляция куба
Образ /ДД') представляет собой объединение т граней куба /"", сходя-
сходящихся в вершине @, ..., 0). Для каждой пары а С т непустых подмножеств
в [т] все симплексы из Д' вида а = о\ С а2 С ... С ak = x отображают-
отображаются в одну и ту же грань Cacz Я 1т- Вложение ie: Д7 —> /"• продолжается

5.2. Кубические разбиения многогранников и комплексов 101
на сопе(Д') путем отображения вершины конуса в A, ..., 1) € /ш. Обра-
Образом полученного вложения сопе(/с) является весь куб 1т. Таким образом,
сопе(/с): сопе(Д') —> /т есть кусочно-линейный гомеоморфизм, линейный
на симплексах из сопе(Д'). Это определяет триангуляцию куба /ш, кото-
которая совпадает с канонической триангуляцией произведения т отрезков,
см. конструкцию 2.11.
Итак, каноническая триангуляция куба 1т реализована при помощи
отождествления куба с конусом над барицентрическим подразбиением
симплекса Дт~'.
Конструкция 5.7 (разбиение простого многогранника на кубы). Пусть
Р" сШп — простой многогранник с т гипергранями F"~\ ..., F^~\ Вы-
Выберем по одной точке во внутренности каждой из граней многогранника,
включая вершины и сам многогранник. В результате получим множество «У
из 1 + /о + /|+...+ /я-1 точек, где/(Ря) = (/0, /i,..., fn-\) — /-вектор мно-
многогранника. Построим абстрактный кубический комплекс с множеством
вершин «У, реализация которого будет задавать разбиение многогранника
на кубы. Для каждой вершины v e Рп определим подмножество У„ с У,
состоящее из точек, соответствующих всем граням, содержащим v. Так
как Рп — простой многогранник, количество /е-граней, сходящихся в вер-
вершине и, равно ( , J, 0 < /г < я. Следовательно, \yv\ — 2я. Каждое множе-
множество вида У„ мы объявим максимальной гранью кубического комплекса
и обозначим ее С". Теперь мы должны указать, какие из подмножеств
в множествах вида У„ предшествуют С" в нашем абстрактном кубическом
комплексе, т.е. описать грани куба С". Пусть Gf и Gl2—две грани много-
многогранника Рп такие, что v e Gf С Gl2. Тогда имеется в точности 2'~* граней
многогранника между Gf и Gl2. Будем считать, что соответствующие 2l~k
точек из У образуют множество вершин некоторой (/ — &)-грани куба С",
и обозначим эту грань Сд~сс2. Таким образом, любая грань куба С" имеет
вид Cg,cg2 для некоторых "G|, G2, содержащих v. Легко видеть, что в ре-
результате мы действительно получаем кубический комплекс, т. е. множество
всех граней каждого С" отождествляется с множеством граней стандартно-
стандартного я-куба (это также вытекает из нижеследующей конструкции кубическо-
кубического вложения). Заметим, что для любых двух вершин v, v' многогранника Рп
мы имеем С" П С", — С^Гсрп, где G' —наименьшая грань, содержащая v
и v'. Обозначим полученный кубический комплекс через ^{Pn). Он имеет
fn-\(Pn) граней размерности п.
Построим теперь каноническое вложение комплекса <&(Рп) в /т следу-
следующим образом. Каждая (п — /е)-грань многогранника Рп есть пересечение k
гиперграней: Gn~k — F"~l П.. .C\F"~l. Отобразим точку из «У, соответству-
соответствующую грани G, в вершину (е,, ..., гт) е 1т, где е, = 0, если / е {/|, ..., ik),

102
Глава 5. Кубические комплексы
и е, = 1 иначе. Тем самым мы получим отображение из множества вершин
кубического комплекса *lf(Pa) в множество вершин куба /т. Используя
каноническую триангуляцию куба (конструкция 5.6), мы продолжим это
отображение до кусочно-линейного вложения iP\c€{Pn) —> /m. Для каждой
вершины v = F/J ' П ... П F"n ' е Рп имеем
iP(Cnv) = {(*/, ут) е Г: у, = I при у; ^ {/,, ..., /„}},
E.2)
т.е. iP(C") = С{«, in) с /m в обозначениях E.1). Вложение iP:Рп —*>/т в слу-
случае /г = 2, m = 3 показано на рис. 5.3.
В
D
Рис. 5.3. Вложение
/m для п = 2, m = 3
Свойства предыдущей конструкции собраны в следующем утвер-
утверждении.
Предложение 5.8. Каждый простой многогранник Рп с т гипер-
гипергранями допускает кубическое разбиение на кубы С", соответству-
соответствующие вершинам v e Рп. Получаемый кубический комплекс ^(Р") ка-
канонически вкладывается в границу куба /т, как описано в E.2).
Лемма 5.9. Количество k-мерных граней кубического комплекса
п) задается формулой
n-k
<=о
Доказательство. Формула вытекает из того факта, что &-грани ком-
комплекса *€(Рп) находятся во взаимно однозначном соответствии с парами
G\ С Gl2+k вложенных граней многогранника Рп. П

5.2. Кубические разбиения многогранников и комплексов 103
Конструкция 5.10 (кубическое разбиение симплициального комплек-
комплекса). Пусть /С" —симплициальный комплекс на множестве [га]. Тогда К
канонически вкладывается как подкомплекс в Д, а К' — как подком-
подкомплекс в (Дт~')'. Как вытекает из конструкции 5.6, имеется кусочно-линей-
кусочно-линейное вложение lc\Kr. \K'\ -»/m. Его образ ic{\K'\) есть некоторый (п - 1 ^мер-
^мерный кубический подкомплекс в 1т, который мы обозначим сиЬ(К). Непо-
Непосредственная проверка показывает, что
cub(/()= U СвсхС/я, E.3)
т.е. сиЪ(К) есть объединение граней Сосх Q 1т по всем парам оСт непустых
симплексов из К.
Конструкция 5.11. Так как комплекс сопе(/С') является подкомплек-
подкомплексом в сопе((Дт~')'), конструкция 5.6 также дает кусочно-линейное вло-
вложение
): | сопе(/С')| -> Г.
Образ этого вложения есть /г-мерный кубический подкомплекс в 1т, ко-
который мы обозначим сс(К). Легко видеть, что
(/() = U Сос, = U С, E.4)
сс
(последнее равенство имеет место ввиду того, что Сос* ^ Се>сх = Сх).
Замечание. Если i e [га] не является вершиной комплекса К, то сс(К)
содержится в гиперграни {#, = 1} куба /т.
В следующем утверждении сведены результаты предыдущих кон-
конструкций.
Предложение 5.12. Для любого симплициального комплекса К
на множестве [га] имеется кусочно-линейное вложение полиэдра \К\
в куб 1т, линейное на симплексах из К'. Образ этого вложения есть
кубический подкомплекс E.3). Более того, имеется кусочно-линейное
вложение полиэдра |сопе/С| в 1т, линейное на симплексах из сопе(/С'),
образ которого есть кубический подкомплекс E.4).
Кубический комплекс *#" называется кубическим подразбиением ку-
кубического комплекса if, если каждая грань из if' содержится в некоторой
грани из if, и каждая грань из if представляет собой объединение конеч-
конечного числа граней из if'.
Предложение 5.13. Для каждого кубического комплекса if cq вер-
вершинами существует кубическое подразбиение, вложимое в качестве
подкомплекса в стандартный куб Iя.

104
Глава 5. Кубические комплексы
Доказательство. Сначала построим симплициальный комплекс /О*-,
подразбивающий кубический комплекс *€ и имеющий то же число вер-
вершин q. Это можно сделать при помощи индукции по остовам комплекса #,
«продолжая» триангуляцию с /е-мерного остова внутрь k + 1-мерных ку-
кубов при помощи достаточно общей выпуклой фукции f:Rk —*IR, см. [169,
§5.1] (заметим, что 1-остов кубического комплекса *€ уже является сим-
плициальным комплексом). Далее, применяя конструкцию 5.10 к /(<*-, мы
получим кубический комплекс сиЬ(/0*), который подразбивает К<*, а зна-
значит и <&. Комплекс cub(/Cy) вложим в /* в силу предложения 5.12. D
Пример 5.14. Кубический комплекс сиЬ(К) в случае, когда К пред-
представляет собой набор из трех точек, показан на рис. 5.4, а. На рис. 5.4, б
показан тот же кубический комплекс в случае, когда К = дА2 — грани-
граница 2-симплекса. Соответствующие кубические комплексы сс(К) показаны
на рис. 5.5, а и б.
а) К = 3 точки
б) к = ад2
Рис. 5.4. Кубический комплекс cub(/()
а) К — 3 точки
б) к = ад2
Рис. 5.5. Кубический комплекс сс(К)
Замечание. Как топологическое пространство, комплекс cub(/Q го-
гомеоморфен полиэдру |/С|, в то время как сс(К) гомеоморфен |сопе(/()|.
С другой стороны, имеется кубический комплекс cub(cone/Q, также го-

5.2. Кубические разбиения многогранников и комплексов 105
меоморфный | сопе/С|. Тем не менее, как кубические комплексы, сс(К)
и cub(cone/Q отличаются ввиду того, что сопе(/С') ф (сопе/()'.
Пусть Р— простой /г-многогранник и Кр — соответствующая симпли-
циальная (п — 1)-сфера (граница полярного симплициального многогран-
многогранника Я*). Тогда комплекс сс(Кр) совпадает с комплексом ^(Р) из кон-
конструкции 5.7, а точнее, сс(/0>) = /Р(^(Я)). Следовательно, конструкция 5.7
является частным случаем конструкции 5.11 (ср. рис. 5.2—5.5).
Замечание. Различные варианты конструкции 5.11 можно найти в [45]
и в некоторый более ранних работах, перечисленных там же на с. 299. В ра-
работе [79, р. 434] аналогичная конструкция была рассмотрена при изучении
некоторых торических пространств; мы вернемся к этому в следующих
главах. Кубический подкомплекс сиЬ(К) С /ш также исследовался в [34]
в связи с проблемой 5.4.

Глава 6
Действия тора на многообразиях
В этой главе мы рассмотрим ряд важных классов многообразий с дей-
действием тора. Как правило, мы будем иметь дело с действиями /г-мерного
тора Т на компактном многообразии М размерности 2/г. Многие конструк-
конструкции таких действий происходят из алгебраической или симплектической
геометрии и характеризуются тесной связью с комбинаторными конструк-
конструкциями из предыдущих глав. А именно, изучение комбинаторной структуры
пространства орбит действия позволяет описывать топологию как мно-
многообразия М, так и самого действия. В разделе 6.1 мы рассматриваем
алгебраические торические многообразия, на которых действие компактно-
компактного тора возникает как часть действия большей группы — алгебраического
тора, имеющего плотную орбиту. В этом случае комбинаторная структура
в пространстве орбит описывается при помощи понятия веера и полно-
полностью восстанавливает торическое многообразие. В последующих разделах
мы рассматриваем различные классы гладких многообразий с действием
тора, в той или иной степени моделирующие действие компактного тора
на неособых торических многообразиях. При этом на пространствах орбит
возникают новые интересные комбинаторные структуры, в терминах ко-
которых описываются важные топологические инварианты многообразия М.
Требования к подготовке читателя в этой главе немного возрастают:
в первых разделах необходимо знакомство с основными понятиями алге-
алгебраической геометрии, а далее — и алгебраической топологии. Мы также
будем предполагать знакомство с начальными понятиями теории действий
компактных групп на многообразиях. Основные определения приведены
в приложении А, а подробное изложении теории действий групп можно
найти, например, в монографии [61].

6.1. Торические многообразия 107
6.1. Торические многообразия
Торические многообразия как класс алгебраических многообразий
впервые возникли в алгебраической геометрии в начале 1970-х годов в свя-
связи с задачами эквивариантной компактификации действий алгебраического
тора. Геометрия торических многообразий, или «торическая геометрия»,
очень быстро превратилась в один из самых привлекательных разделов
алгебраической геометрии и нашла приложения во многих других областях
исследований, которые до этого казались весьма далекими друг от друга.
Мы уже упоминали доказательство необходимости условий g-теоремы для
симплициальных многогранников, принадлежащее Стенли. Другие извест-
известные приложения включают подсчет целых точек и объемов целочисленных
многогранников; взаимосвязи с многогранниками Ньютона и особенностя-
особенностями алгебраических многообразий (исследованные, в основном, в работах
Кушниренко, Хованского и их последователей); теорию дискриминан-
дискриминантов, результантов и гипергеометрических функций (работы Гельфанда,
Зелевинского и Капранова); рефлексивные многогранники и зеркальная
симметрия для гиперповерхностей Калаби—Яу в торических многооб-
многообразиях (Батырев). За годы развития торической геометрии появились и
замечательные ее изложения в монографиях и обзорах. Главным источни-
источником по-прежнему остается ставший классическим обзор Данилова [14].
Затем появлялись все более современные изложения в монографиях
Оды [137], Фултона [93] и Эвальда [90]. Упомянем также сравнительно
недавний обзор Кокса [77], который охватывает новые приложения, в том
числе и упомянутые выше. Мы не ставили целью дать еще один обзор
торической геометрии. В этом разделе мы излагаем ряд топологических
и комбинаторных аспектов торических многообразий. Мы также приводим
доказательство Стенли необходимости условий g-теоремы.
6.1.1. Торические многообразия и вееры. Пусть С* = С \ {0} обозна-
обозначает мультипликативную группу комплексных чисел. Группа (С*)я, пред-
представляющая собой произведение п экземпляров С*, в теории алгебраиче-
алгебраических групп называется тором. Тем не менее, согласно классическому опре-
определению, принятому и в топологии, под тором Т — Тп подразумевается
произедение п окружностей. Мы будем использовать топологические обо-
обозначения, а группу (С*)я будем называть алгебраическим тором. Тор Т
является подгруппой в алгебраическом торе (С*)я стандартным образом:
Т = {(е2тоф' e2ici<fn)eCn}, F.1)
где (ф,, ..., ф„) пробегает пространство R\
Определение 6.1. Торическим многообразием называется нор-
нормальное алгебраическое многообразие Af, содержащее алгебраический

108 Глава 6. Действия тора на многообразиях
тор (С*)я в качестве открытого по Зарисскому подмножества таким обра-
образом, что естественное действие (С*)" на себе продолжается до действия
на всем М.
Таким образом, М представляет собой эквивариантную компактифи-
кацию алгебраического тора (С*)я, и (С*)я действует на М с плотной ор-
орбитой.
Одним из замечательных свойств торических многообразий является
тот факт, что их наиболее глубокие алгебро-геометрические свойства опи-
описываются на языке комбинаторики и выпуклой геометрии. В следующем
определении мы вводим необходимые комбинаторные понятия.
Определение 6.2 (терминология вееров). Пусть Ш"—евклидово про-
пространство и Z" с Шп — стандартная целочисленная решетка. Для каждого
набора векторов /,,..., /5 ? М" определим порожденный ими выпуклый
многогранный конус а как
а = {/-,/, + ... + rsls e R": г, ^ 0}. F.2)
Каждый выпуклый многогранный конус является выпуклым полиэдром
в смысле определения 1.2. Таким образом, определены грани выпуклого
многогранного конуса. Конус а называется рациональным, если его поро-
порождающие векторы /ь ..., /s можно выбрать из целочисленной решетки Z",
и называется строго выпуклым, если он не содержит ни одной прямой.
Далее мы будем рассматривать только строго выпуклые рациональные ко-
конусы а. Конус называется симплициальным (соответственно неособым),
если он порождается частью базиса пространства Шп (сооветственно, ре-
решетки Z"). Веером называется такой набор Е конусов в R", что грань
каждого конуса из Е также содержится в Е, и пересечение любых двух
конусов из Е является гранью каждого из них. Веер Е в Шп называется
полным, если объединение всех конусов из Е есть все R". Веер Е назы-
называется симплициальным (соответственно неособым) если все его конусы
являются симплициальными (соответственно неособыми). Пусть Е — сим-
плициальный веер вМ"ст одномерными конусами (или лучами). Выберем
порождающие векторы 1\, ..., 1т этих лучей целочисленными и примитив-
примитивными, т. е. со взаимно простыми целыми координатами. Веер Е определяет
симплициальный комплекс /СЕ на множестве вершин [т\. По определе-
определению, {i,,..., ik) С [т] является симплексом в /СЕ тогда и только тогда, когда
векторы /,,,..., Uk порождают конус из Е. Очевидно, веер Е является пол-
полным тогда и только тогда, когда /СЕ представляет собой симплициальную
(п — 1)-сферу.
Имеется взаимно однозначное соответствие между веерами в К" и тори-
ческими многообразиями комплексной размерности п. Ниже мы приведем
набросок соответствующей конструкции; детали можно найти в [93, Ch. 1].

6.1. Торические многообразия 109
Конструкция 6.3. Сначала покажем, как по конусу а построить аф-
аффинное торическое многообразие. Определим двойственный конус а* как
а* - {и е (W)*: (ы, х)^0 для всех х е а)
(сравните с определением 1.7 полярного множества). Можно проверить,
что а* действительно является выпуклым рациональным конусом, од-
однако а* является строго выпуклым, только если размерность конуса а
равна п. Тогда Sa := а* П (Z")* является конечно порожденной полу-
полугруппой (относительно сложения). Эта полугруппа определяет групповое
кольцо C[SO], которое является коммутативной С-алгеброй. Как ком-
комплексное векторное пространство, алгебра C[SO] имеет базис {х": и е So}.
Умножение определяется при помощи сложения в S
o:
а единицей является элемент х°- Конечно порожденной коммутативной
С-алгебре С[5О] стандартным образом сопоставляется аффинное алгебра-
алгебраическое многообразие:
U. := Spec(C[5o]),
которое называется аффинным торическим многообразием, соответ-
соответствующим конусу а. Таким образом, если в алгебре C[SO] выбрать набор
образующих и тем самым представить ее в виде факторалгебры кольца
многочленов:
C[Se]=C[x,,... ,*,]/./,
то многообразие Ua можно отождествить с подмногообразием общих нулей
многочленов из идеала J. Далее, если т — грань конуса а, то мы имеем
отображение Ux —*> Ua, которое является вложением открытого (по Зарис-
скому) подмножества. Это позволяет склеить аффинные многообразия Ua,
соответствующие всем конусам обЕ некоторого веера Е в одно алге-
алгебраическое многообразие (схему) AfE, которое и называется торическим
многообразием, соответствующим вееру Е. Более формально, AfE можно
определить как копредел в категории схем многообразий Ua по частично
упорядоченному множеству конусов веера Е:
МЕ := colim Ua.
Пример 6.4. Пусть а сШп — конус, порожденный k базисными век-
векторами в\, ..., ek, 0 < k < п. Тогда полугруппа So порождена элементами
е*, ..., el и ±е%+1, ..., ±е*. Следовательно,
, ..., Хп, Хп

110 Глава 6. Действия тора на многообразиях
где мы положили xt := у?*. Таким образом, соответствующее аффинное то-
торическое многообразие имеет вид
Ua S С х ... х С х С* х ... х С* = С* х (СТ~*.
В частности, при k = п мы получаем /г-мерное аффинное пространство,
а при 6 = 0 (т.е. когда а = {0}) получаем алгебраический тор (С*)". Тем
самым (С*)я вкладывается в любое торическое многообразие в качестве
открытого по Зарисскому подмногообразия.
Пример 6.5. Пусть оСК2 — конус, порожденный двумя векторами е2
и 2е\ - е2 (заметим, что этот конус не является неособым). Тогда двой-
двойственный конус а* порожден векторами е* и е\ + 2е? • В качестве образу-
образующих полугруппы Sa можно взять е*, е\ + е2 и е* + 2е2. Положив х — хе*
и у = х*2 f мы получаем
C[Se] =C[x, xy, xy2]*C[u, v, w]/(v2 - uw),
a Ua является особым многообразием (конусом над кривой второго по-
порядка).
Пример 6.6. Рассмотрим полный веер Е в К2, имеющий три макси-
максимальных конуса: конус а0 порожден векторами ех и е2, конус <ц порожден
векторами е2 и -ех - е2у конус а2 порожден векторами -в\ - е2 и ех. Тогда
каждое аффинное многообразие Ua. изоморфно С2 с координатами (х, у)
для а0, (я, х~ху) для <з\ и (у~1, ху~1) для а2. Эти три аффинные кар-
карты склеиваются в комплексную проективную плоскость СЯ2 стандартным
образом: если (z0: Z\ ' z2) — однородные координаты в СЯ2, то мы имеем
х = z,/z0 и у = z2/z0.
Таким образом, в принципе, геометрические и топологические свойства
торических многообразий можно описывать в терминах комбинаторики со-
соответствующего веера.
Частично упорядоченное по включению множество замыканий орбит
(С*)"-действия на Afs изоморфно частично упорядоченному множеству
граней веера Е относительно обратного включения. Таким образом, /г-мер-
ные конусы веера Е соответствуют орбитам коразмерности k действия
алгебраического тора на AfE. В частности, /г-мерные конусы соответству-
соответствуют неподвижным точкам, а нульмерный конус соответствует единственной
плотной орбите. Кроме того, если некоторый веер комбинаторно вкла-
вкладывается в больший веер, то соответствующее торическое многообразие
эквивариантно вкладывается в большее в качестве открытого по Зарисско-
Зарисскому множества. В частности, вложение нульмерного конуса в произвольный
веер соответствует вложению алгебраического тора в торическое многооб-
многообразие в виде плотной орбиты действия. Торическое многообразие AfE ком-
компактно тогда и только тогда, когда веер S является полным. Если S являет-

6.1. Торические многообразия * 111
ся симплициальным веером, то УИЕ является орбиобразием, т. е. локально
гомеоморфно факторпространству R2" по действию некоторой конечной
группы. Наконец, многообразие УИЕ является неособым (гладким) тогда
и только тогда, когда веер Е является неособым, что и объясняет название.
Замечание. Бизвездные преобразования (см. определение 2.48) сим-
плициального комплекса /СЕ могут быть также интерпретированы как неко-
некоторые комбинаторные преобразования веера Е. На уровне торических мно-
многообразий эти преобразования реализуются в виде раздутий (сигма-про-
(сигма-процессов) с последующим сдутием вдоль другого подмногообразия (такие
операции на алгебраических многообразиях иногда называют флипами).
Одной из центральных проблем бирациональной алгебраической геомет-
геометрии является вопрос о представлении бирациональной эквивалентности
между двумя полными алгебраическими многообразиями в виде последо-
последовательности раздутий и сдутий вдоль замкнутых неприводимых подмно-
подмногообразий. Обычно различают два варианта этой проблемы: гипотеза
о сильной факторизации, согласно которой любую бирациональную эк-
эквивалентность можно представить в виде последовательности раздутий,
за которой идет последовательность сдутий, и гипотеза о слабой фак-
факторизации, в которой порядок раздутий и сдутий несуществен. Так как
все торические многообразия являются рациональными (бирационально
эквивалентны (С*)\ а значит, и С), любые два торических многообразия
одной размерности бирационально эквивалентны. Эквивариантная версия
слабой гипотезы о факторизации для неособых торических многообра-
многообразий была доказана в 1991 г. Влодарчиком [166] на основе интерпретации
эквивариантных флипов на торических многообразиях в виде бизвезд-
ных преобразований на соответствующих веерах. Тем самым гипотеза сла-
слабой факторизации для неособых торических многообразий была сведена
к утверждению о том, что любые два полных неособых веера в R" можно
перевести друг в друга последовательностью бизвездных преобразований,
в которой все промежуточные вееры являются неособыми. Доказательство
это результата и составляет основную часть работы [166]. (Заметим, что
это утверждение не сводится к теореме Пахнера 2.49 ввиду дополнитель-
дополнительного предположения о неособости.) Эквивариантная торическая гипотеза
сильной факторизации была доказана Морелли [134] схожими методами.
6.1.2. Когомологии неособых торических многообразий. Теорема
Данилова—Юркевича позволяет описывать кольцо целочисленных кого-
когомологии неособого торического многообразия непосредственно в терминах
соответствующего вера Е. Запишем целочисленные примитивные векторы
вдоль лучей веера Е в стандартном базисе решетки Z"
*/' = V*l/» • • • у IП)'<) » / = 1» • • • »
7П.

112 Глава 6. Действия тора на многообразиях
Сопоставим каждому вектору // образующую v{ степени 2 и определим
линейные формы
в,- := lnvi + ... + limvm €Z[ub • • •, vm], l^i^n.
Обозначим через^E идеал в кольце Z[ub ..., vm], порожденный этими
линейными формами, т. е.^2 = (вь • • • > 9я)- Мы будем обозначать теми же
символами образы элементов 9|, ..., 6Я и идеала JP?. в кольце Стенли—
Райснера Z[/(E] = Z[ub ..., vm]/SKll- Здесь и далее группы (ко)гомологий
рассматриваются с целочисленными коэффициентами, если явно не ука-
указано другое кольцо коэффициентов.
Теорема 6.7 (Данилов—Юркевич). Пусть Е — полный неособый ве-
веер в Rn и М-z — соответствующее торическое многообразие. Тогда
а) группы гомологии многообразия УИЕ являются нулевыми в не-
нечетных размерностях, а в четных размерностях являются свобод-
свободными абелевыми группами ранга
Ь*(М*) = Ь(К*), i=0, 1, ....л,
где Л(/СЕ) = (Ло, • • •, hn) — h-вектор комплекса /(Е;
б) кольцо когомологий многообразия МЕ имеет вид
где v(, 1 ^ / ^ m, суть двумерные классы когомологий двойствен-
двойственные к инвариантным дивизорам (подмногообразиям коразмерности
два) Д, соответствующим лучам веера Е. Более того, 9|, ..., 6„ яв-
является регулярной последовательностью в кольце Z[/CE].
Эта теорема была доказана Юркевичем для проективных торических
многообразий и Даниловым [14, теорема 10.8] в общем случае. Заме-
Заметим, что идеал с//сЕ определяется лишь комбинаторной структурой веера
(т. е. частично упорядоченным множеством граней комплекса /СЕ), в то
время как идеал ^ъ зависит от геометрического расположения конусов
в пространстве. Можно также отметить, что первая часть теоремы 6.7
вытекает из ее второй части и леммы 3.8. Кроме того, как было показано
Даниловым, теорема 6.7 остается верной для симплициальных вееров и
торических многообразий, если в ней заменить целочисленные коэффици-
коэффициенты рациональными.
Как следует из теоремы 6.7, кольцо когомологий многообразия МЕ
порождается двумерными классами. Это есть первое свойство, которое
необходимо проверить для того, чтобы выяснить, является ли данное ал-
алгебраическое или гладкое многообразие неособым (или симплициальным)
торическим. Например, таким образом устанавливается, что грассманиа-
ны, за исключением проективных пространств, не являются торическими

o.i. юрические многоооразия n<5
многообразиями. См. также предложение 6.47 ниже. Другим интересным
свойством неособых торических многообразий, наличие которого под-
подсказывается теоремой 6.7, является тот факт, что кольцо пересечений
Чжоу [93, §5.1] неособого многообразия МЕ совпадает с его кольцом
целочисленных когомологий.
6.1,3. Торические многообразия, происходящие из многогран-
многогранников.
Конструкция 6.8 (нормальный веер). Пусть задан я-мерный много-
многогранник A.1) с вершинами в точках целочисленной решетки Z" С К". Такие
многогранники называются целочисленными (или решеточными). Векто-
Векторы U в A.1), 1 ^ i ^ т, можно выбрать целочисленными и примитивными,
а значения at — целочисленными. Заметим, что вектор /, является нор-
нормальным к гиперграни Ft С Рп и направлен внутрь многогранника Р. Опре-
Определим полный веер Е(Я), конусы которого порождаются такими наборами
нормальных векторов /,,, ..., lik, для которых соответствующие гипергра-
гиперграни Ftl,..., Fik имеют непустое пересечение (таким образом, формально веер
Е(Я) лежит в двойственном пространстве (R")*). Веер Е(Я) называется
нормальным для многогранника Р. Если 0 содержится во внутренности
многогранника, то нормальный веер можно также определить как веер,
состоящий из конусов над гранями полярного многогранника Р*. Опреде-
Определим торическое многообразие МР :=М^(Р>. Оно является неособым тогда
и только тогда, когда многогранник Р является простым и нормальные
векторы //,,..., lin для любого набора п гиперграней Fix,..., Fin, имеющих
общую вершину, образуют базис целочисленной решетки Z".
Нормальный веер Е(Я) имеет по одному максимальному конусу av
на каждую вершину v E P многогранника. Двойственный конус а* отож-
отождествляется с «конусом при вершине v», который порожден векторами,
соединящими вершину v с точками многогранника Р. Так как нормальный
веер Е(Я) не зависит от линейных размеров многогранника, мы можем
предполагать, что для каждой вершины v полугруппа Sav (см. конструк-
конструкцию 6.3) порождается целыми точками из многогранника (этого всегда
можно достичь, заменив Р на многогранник kP с достаточно большим к).
Отождествим точки целочисленной решетки Z" с характерами алгебраи-
алгебраического тора (С*)л, т.е. с элементами группы
Нот((С*)л, C
Тогда целочисленные точки из многогранника Р определяют вложение тора
(С*)" в тор (C*)|z"n/J| (здесь |Z" ПР\ —число целых точек в Р). При этом
можно показать, что торическое многообразие МР отождествляется с про-
проективным замыканием образа тора (С*)л при этом вложении. В частности,
многообразие МР проективно (является подмногообразием в CP|z"n/J|).
8 - 9957

114 Глава 6. Действия тора на многообразиях
Замечание. Любой комбинаторный простой многогранник является
рациональным, т. е. допускает выпуклую реализацию с рациональными
координатами вершин. Действительно, небольшим возмущением определя-
определяющих неравенств A.1) можно добиться того, что они станут рациональны-
рациональными, а комбинаторный тип не изменится (так как полупространства, опре-
определяемые неравенствами, находятся в общем положении). В результате мы
получим простой многогранник Р' того же комбинаторного типа и с раци-
рациональными координатами вершин. Можно также получить целочисленный
многогранник, рассмотрев растяжение кР' для подходящего целого к.
Аналогично, шевеля вершины вместо гиперплоскостей, можно получить
рациональную реализацию для произвольного симплициального многого-
гранника. Тем не менее, эти соображения не работают для произвольных
многогранников, и действительно, в каждой размерности не менее 8 су-
существуют нерациональные выпуклые многогранники (не являющиеся
ни простыми, ни симплициальными), см. [169, Example 6.21]. В размерно-
размерностях меньше 8 пока не известно ни одного нерационального многогранника.
Возвращаясь к простым многогранникам и торическим многообразиям, за-
заметим, что различные целочисленные реализации данного комбинаторного
простого многогранника часто дают различные (даже топологически) тори-
ческие многообразия МР. Кроме того, существуют комбинаторные простые
многогранники, которые не допускают ни одной целочисленной реализа-
реализации, определяющей неособое торическое многообразие. Мы приведем один
из таких примеров в следующем разделе, см. пример 6.33.
Как топологическое пространство (но не как алгебраическое многооб-
многообразие), любое торическое многообразие МР можно определить при помощи
следующей конструкции (см. [93, §4.1]).
Конструкция-6.9. Отождествим тор Т с факторгруппой Rn/Z". Для
каждой точки q € Р определим G(q) как наименьшую грань многогранни-
многогранника Я, содержащую точку q в своей внутренности. Нормальное простран-
пространство к грани G(q), которое мы обозначим N, порождается примитивны-
примитивными векторами /,, соответствующими тем гиперграням Ft, которые содер-
содержат G{q). (Если Р — простой многогранник, то число таких гиперграней
равно в точности codimG(^); в общем случае их может быть больше.)
Так как N является рациональным подпространством, оно проектирует-
проектируется на торическую подгруппу в Т, которую мы обозначим T(q). Заметим,
что dim T(q) = л — dim G(q). Тогда топологическое пространство МР можно
определить как пространство отождествления
МР = Т х Р/~,
где (/ь р)~(/2, q) тогда и только тогда, когда р — q и /|/2~' ? T(q). Торы T(q),
таким образом, являются стационарными подгруппами действия Т на МР,

6.1. Торические многообразия 115
а многогранник Р отождествляется с пространством орбит. Заметим, что
если q — вершина многогранника, то T(q) — Т, так что вершины соответ-
соответствуют Г-неподвижным точкам в МР. С другой стороны, если q GintP,
то T(q) = {е}у так что действие тора Т свободно над внутренностью мно-
многогранника. В общем случае, если тс: МР —> Р — проекция на пространство
орбит, то
Замечание. Предыдущую конструкцию можно обобщить на произ-
произвольные полные торические многообразия (не обязательно происходящие
из многогранников) путем замены многогранника Р на л-мерный шар
с клеточным разбиением на границе. Это клеточное разбиение является
«двойственным» к разбиению, высекаемому на границе шара конусами
веера.
На основе конструкции 6.8 можно по любому целочисленному просто-
простому многограннику Р построить симплициальный веер Е(Р) и торическое
многообразие МР. Тем не менее, целочисленный многогранник Р несет
в себе больше информации, чем веер Е(Р). Действительно, кроме нор-
нормальных векторов /, и комбинаторной структуры граней многогранника,
которые полностью определяют веер, мы также имеем значения а, Е Z,
1 ^ / ^ т, см. A.1). В торической геометрии хорошо известно, что, в обо-
обозначениях теоремы 6.7, линейная комбинация D = a]D]+.. . + amDm явля-
является обильным дивизором на МР. Таким образом, дивизор kD при некото-
некотором достаточно большом к является дивизором гиперплоского сечения для
проективного вложения МР С СРГ для некоторого г. Это вложение и опи-
описано в конструкции 6.8 (там же можно найти условие на к и описание
числа г в терминах многогранника; заметим, что если многообразие МР
неособо, то в качестве г можно взять число вершин многогранника Р).
Таким образом, все торические многообразия, возникающие из многогран-
многогранников, являются проективными. Наоборот, если торическое многообразие
допускает проективное вложение М с СРГ, то мы получаем очень обиль-
обильный дивизор (линейное расслоение) D гиперплоского сечения, нульмерные
когомологии (т.е. глобальные сечения) которого порождаются сечения-
сечениями, соответствующими точкам решетки внутри некоторого целочисленно-
целочисленного многогранника Р. Для этого Р мы имеем М = МР. Обозначим через
w := а,и, + ... + amvm € Н2(МР\ Q) класс когомологии, соответствующий
дивизору D.
Теорема 6.10 (сильная теорема Лефшеца для торических многообра-
многообразий). Пусть Р — целочисленный простой многогранник A.1), МР —
торическое многообразие, происходящее из Р, и 6>=aiU| +.. . + amvm e
€ Н2(МР; Q) — введенный выше класс когомологии. Тогда отображе-
8*

116 Глава 6. Действия тора на многообразиях
ния
Нп-'1{МР- Q) ^U Hn+i(MP; Q), U / ^ я, '
являются изоморфизмами.
Если многообразие МР неособо, то, будучи проективным, оно являет-
является кэлеровым, и в этом случае <о представляет собой класс когомологий
некоторой кэлеровой 2-формы.
Замечание. Теорема 6.10 верна лишь для симплициальных проектив-
проективных торических многообразий. Тем не менее, если в ее формулировке заме-
заменить обычные когомологий когомологиями пересечений, то утверждение
становится верным для произвольного проективного торического многооб-
многообразия. См. обсуждение в [93, §5.2].
Пример 6.П. Комплексное проективное пространство
>n = {(z0:zl:..-:zn),zieC}
является торическим многообразием. Алгебраический тор (С*)л действует
на СРп как
(t\, ..., tn) • {zq \Z\ '....\ zn) — (zq : t[Z[ :...: tnzn).
Очевидно, (С*)" С С" с СРп является плотным открытым подмножеством.
Стандартный веер, определяющий торическое многообразие СРп состоит
из конусов, порожденных всеми собственными подмножествами множе-
множества из п+ 1 векторов ех,..., еп, —ех -... - еп в R" (ср. пример 6.6). Теоре-
Теорема 6.7 отождествляет кольцо когомологий Н*(СРп) =Z[u]/(un+l), dimu=2,
с факторкольцом
Торическое многообразие СРп происходит из многогранника: СРп = МР,
где Р есть стандартный л-симплекс A.2). Соответствующий класс кого-
когомологий 6> Е H2(CPn; Q) из теоремы 6.10 представляется элементом vn+i.
Теперь все готово для того, чтобы привести доказательство Стенли
необходимости условий g-теоремы для простых многогранников.
Доказательство необходимости условий теоремы 1.27. Реализуем
данный простой многогранник Р в пространстве R" с целыми коорди-
координатами вершин. Пусть МР — соответствующее торическое многообразие.
Условие а) из теоремы (соотношения Дена—Соммервилля) уже дока-
доказано (теорема 1.18). Как вытекает из теоремы 6.10, умножение на эле-
элемент б> Е Н2(МР\ Q) определяет мономорфизм H2i~2{MP; Q) —*¦ H2i(MP; Q)
для i ^ - . Отсюда и из теоремы 6.7 получаем неравенство Л,_| < Л,,
0^/^ ^ , что доказывает условие б). Для доказательства в) опре-
определим градуированную Q-алгебру А :=Н*(МР; Q)/(o>). Тогда 4° = Q,

6.1. Торические многообразия 117
A2i=H2i{MP\ Q)/w • H2i~2{Mp\ Q) при 1 ^ i ^ [|], и алгебра Л порожда-
порождается элементами степени два (так как это верно для Н*(Мр\ Q)). Теперь
из теоремы 1.30 вытекает, что числа dim Л2' = Л, — Л,-_|, 0 ^ / ^ ^ , явля-
являются компонентами УИ-вектора, что завершает доказательство условия в)
и всей теоремы. ?
Замечание. Соотношения Дена—Соммервилля теперь можно интер-
интерпретировать как соотношения двойственности Пуанкаре для МР. Хотя МР
не обязательно является неособым, алгебра рациональных когомологий
симплициального торического многообразия является алгеброй Пуанкаре.
Сильная теорема Лефшеца (теорема 6.10) имеет место только для про-
проективных торических многообразий. Таким образом, приведенный выше
аргумент Стенли неприменим к более общим объектам, чем выпуклые
простые многограннники. По-видимому, простые многогранники являют-
являются единственным классом объектов, для которого g-теорема может быть
доказана методами, основанными на использовании торических многооб-
многообразий и сильной теоремы Лефшеца (см. также обсуждение в конце раз-
раздела 8.6). В то же время, изучение когомологий торических многообразий
оказалось очень полезным для обобщений g-теоремы в принципиально
ином направлении, а именно, для произвольных (не обязательно простых
или симплициальных) выпуклых многогранников. Пусть Я — выпуклый це-
целочисленный многогранник. Как описано в конструкции 6.8, он определяет
проективное торическое многообразие. Если многогранник Р не являет-
является простым, то многообразие МР имеет более сложные особенности, чем
факторпространствр R" по действию конечной группы. Числа Бетти мно-
многообразия МР не определяются комбинаторным типом многогранника Р
и не удовлетворяют двойственности Пуанкаре. С другой стороны, ока-
оказывается, что размерности Л, групп когомологий пересечений много-
многообразия МР являются комбинаторными инвариантами многогранника Р.
Целочисленный вектор
А А А А
называется h-вектором пересечений многогранника Р. Если Р является
простым многогранником, то его Л-вектор перечений совпадает с обыч-
обычным, но в общем случае вектор h(P) не определяется лишь числами граней
многогранника и его комбинаторное определение весьма сложно (детали
см. в [156]). Этот вектор удовлетворяет «соотношениям Дена—Соммер-
Дена—Соммервилля» hi = Л„_,-, и сильная теорема Лефшеца показывает, что он также
удовлетворяет неравенствам из ОГНГ:
п %• П\ %....%. П

118 Глава 6. Действия тора на многообразиях
В случае, когда многогранник Р не допускает целочисленной реализации
(т. е. Р не является рациональным, см. замечание после конструкции 6.8),
комбинаторное определение Л-вектора пересечений все равно работает.
Однако для нерациональных многогранников неравенства ОГНГ и сильная
теорема Лефшеца нуждаются в отдельном доказательстве. В ряде частных
случаев оно было получено в работах [62], [28], а полное доказательство
«сильной теоремы Лефшеца для нерациональных многогранников» недав-
недавно было получено в работе [112].
Подводя итог, мы можем сказать, что, хотя сильная теорема Лефшеца
и методы когомологий пересечений по-видимому неприменимы в невы-
невыпуклой ситуации (например, для кусочно-линейных или симплициальных
сфер), они являются весьма мощным инструментом в случае общих вы-
выпуклых многогранников.
6.2. Локально стандартные действия тора и многообразия
с углами
Действие тора Т = Тп на неособом торическом многообразии М локаль-
локально выглядит как стандартное действие Т на С (см. определение 6.12 ниже).
Если многообразие М компактно, то пространство орбит М/Т гомеоморф-
но л-мерному шару. Граница этого шара имеет клеточное разбиение, каж-
каждая клетка которого состоит из орбит, имеющих одну и ту же стационар-
стационарную подгруппу. Это клеточное разбиение определяет в пространстве орбит
структуру многообразия с углами. Грубо говоря, многообразие с углами
представляет собой гладкое многообразие с краем, которое локально мо-
моделируется открытыми подмножествами в положительном конусе R+ A.4).
Далее мы приведем точные определения.
Представление тора Т диагональными матрицами из U(n) мы будем
называть стандартным действием на С. Пространством орбит стан-
стандартного действия является положительный конус Rn+ A.4). Каноническая
проекция
Т х Rn+ -> С": (/,, ..., /„) х (*,, ..., хп) -* (/,*,, ..., /„*„)
отождествляет С с факторпространством Т х Щ./~. Это факторпростран-
ство в дальнейшем будет служить «локальной моделью» для некоторых
других факторпространств.
Пусть М — многообразие размерности 2п с действием /i-мерного то-
тора Т (или, кратко, Т-многообразие).
Определение 6.12. Стандартной картой на многообразии М на-
называется тройка (U, /, ф), где U СМ — некоторое Г-инвариантное от-
открытое подмножество, ф — автоморфизм тора Т, а /—ф-эквивариантный

6.2. Локально стандартные действия тора и многообразия с углами 119
гомеоморфизм f\U -*W на некоторое (Г-инвариантное) открытое под-
подмножество И^сС". (Это означает, что /(/ -у) = ty(t)f(y) для всех t ?Т,
у eU.) Скажем, что действие тора Т на М является локально стан-
стандартным, если М допускает стандартный атлас, т. е. каждая точка из М
лежит в некоторой стандартной карте.
Каждая точка пространства орбит Q = М/Т локально стандартного
действия тора имеет окрестность, диффеоморфную открытому множеству
в положительном конусе Шп+.
Определение 6.13. Пусть Q — (сепарабельное, со счетной базой) то-
топологическое пространство, представленное в виде объединения откры-
открытых множеств U (У,-, для каждого из которых существует гомеоморфизм
(fi'.Ui —> Wi на некоторое открытое подмножество WL СК+. В простран-
пространстве R+ имеется очевидное понятие коразмерности (точка у € К+ имеет
коразмерность k, если в точности k ее координат обращаются в нуль).
Пространство Q называется (гладким) многообразием с углами, если все
отображения cp/cpj являются диффеоморфизмами, сохраняющими кораз-
коразмерность. Тем самым понятие коразмерности переносится на точки много-
многообразия с углами. Связные компоненты множества точек коразмерности не
меньше k называются гранями коразмерности k. Грани коразмерности 1
называются гипергранями.
Таким образом, пространство орбит Q локально стандартного действия
тора является многообразием с углами. Понятие многообразия с углами
изучалось, например, в работах [109], [78].
Определение 6.14. Два Г-многообразия М\ и М2 называются слабо
эквивариантно диффеоморфными, если существует автоморфизм тора
ф: Т —> Т и диффеоморфизм /: М\ —> М2 такие, что /(/ • х) = ty(t)f(x) для
любых / G Т и х Е Af |. Если М\ и М2 являются локально стандартными,
то их пространства орбит диффеоморфны как многообразия с углами.
Простейшими примерами многообразий с углами являются простые
многогранники.
Конструкция 6.15. Пусть Я — простой многогранник. Для каждой вер-
вершины v G Р обозначим через Uv открытое подмножество в Р, полученное
удалением всех граней, не содержащих v. Подмножество Uv диффеоморф-
но Шп+ (более того, оно аффинно изоморфно окрестности нуля в Шп+). Сле-
Следовательно, Р является многообразием с углами, с атласом {Uv}.
Легко видеть что два простых многогранника диффеоморфны как мно-
многообразия с углами тогда и только тогда, когда они комбинаторно экви-
эквивалентны. Локально стандартные действия, пространства орбит которых
являются простыми многогранниками, представляют особый интерес и бу-
будут рассмотрены в следующих разделах. Мы вернемся к общим локально
стандартным действиям в конце этой главы.

120 Глава 6. Действия тора на многообразиях
6.3. Квазиторические многообразия
Если неособое торическое многообразие М происходит из целочис-
целочисленного многогранника Р (который таким образом является простым),
то пространство орбит М/Т диффеоморфно, как многообразие с углами,
многограннику Р. На самом деле, в этом случае имеется явное отобра-
отображение М —> R" (называемое отображением моментов), образ которого
есть Я с К", а слоями являются Г-орбиты, см. [93, §4.2]. (Мы еще
вернемся к отображению моментов в разделе 9.2.) На основе описания
неособого торического многообразия как пространства отождествления
(конструкция 6.9) М.Дэвис и Т. Янушкиевич в работе [79] ввели новый
класс гладких многообразий, который мы называем квазиторическими
многообразиями.
Квазиторические многообразия можно рассматривать как «топологиче-
«топологический аналог» алгебраических неособых торических многообразий. В опре-
определениях и конструкциях этого раздела мы следуем работе [79], принимая
во внимание некоторые дополнения и уточнения из [69]. Как и в случае
торических многообразий, мы сначала определяем квазиторические мно-
многообразия как некоторый класс многообразий с действием тора, а затем
приводим синтетическую комбинаторную конструкцию (аналогичную по-
построению торического многообразия по вееру).
6.3.1. Характеристические подмногообразия и отображения.
Определение 6.16. Пусть Р — комбинаторный простой многогран-
многогранник размерности п. Квазиторическим многообразием над Я называется
2/1-мерное Г-многообразие М, удовлетворяющее следующим двум усло-
условиям:
а) действие тора является локально стандартным;
б) пространство орбит диффеоморфно, как многообразие с углами, мно-
многограннику Р.
Таким образом, мы имеем проекцию тс: М —> Р, которая постоянна
на Г-орбитах и отображает каждую /г-мерную орбиту в точку из внутрен-
внутренности некоторой ^-мерной грани для k = 0, ..., п. В частности, действие
свободно над внутренностью многогранника, в то время как вершины со-
соответствуют Г-неподвижным точкам многообразия М. Непосредственный
анализ конструкции 6.9 показывает, что любое неособое (проективное)
торическое многообразие МР, происходящее из простого целочисленного
многогранника Я, является квазиторическим многообразием над соответ-
соответствующим комбинаторным многогранником.
Предположим, как обычно, что многогранник Р имеет т гиперграней
F\y ..., Fm. Для любой гиперграни F,- прообраз K~l(\ntFi) ее внутренности
состоит из орбит коразмерности один, имеющих одну и ту же одномерную

6.3. Квазиторические многообразия 121
стационарную подгруппу, которую мы обозначим Д/7,). Легко видеть, что
ii~l{Fi) является 2{п — 1)-мерным квазиторическим многообразием над Z7
относительно действия (п — 1)-мерного тора 7/Д/7). Это подмногообразие
называется характеристическим подмногообразием квазиторического
многообразия М. Мы будем обозначать его MFi или просто М(. Его ста-
стационарную подгруппу T(Fi) можно записать в виде
T(Ft) = {{е™"* e2niXniff) e 7}, F.3)
где ср G R и X/ = (Xi/,..., Хш)' G Ъп — некоторый примитивный вектор. Этот
вектор определяется подгруппой Д/7,) лишь с точностью до знака. Выбор
знака соответствует выбору ориентации для Д/7,). Пока мы не будем забо-
заботиться об этих знаках и выберем их произвольно. В следующем разделе мы
вернемся к этому и рассмотрим дополнительные структуры на квазитори-
ческих многообразиях, определяемые выбором этих знаков. Соответствие
I: F, ~ Д/7) F.4)
называется характеристическим отображением квазиторического
многообразия М.
Рассмотрим некоторую грань Gn~k коразмерности k и запишем ее как
пересечение k гиперграней: Gn~k = Fix П... ПFik. Тогда характеристические
подмногообразия М,-,,..., Мik пересекаются трансверсально по некоторому
подмногообразию М2дп~к\ Отображение Д/7,,) х ... х T(Fik)—> T являет-
является вложением, так как Д/7,,) х ... х T(Fik) отождествляется с 6-мерной
стационарной подгруппой подмногообразия Ма. Таким образом, векторы
Х/(, ..., Х,л составляют часть целочисленного базиса в Ъп.
Введем целочисленную матрицу Л размера п х ш, в которой i-й стол-
столбец составляют координаты вектора X/, i = l, ..., /п. Каждую вершину
v GР можно записать как пересечение п гиперграней: v = F-lx C\ ...C\Fin.
Рассмотрим максимальный минор Л(и) :=Л(,-, in) матрицы Л, образованный
столбцами с номерами /ь ..., in. Тогда
detA(B) = ±l. F.5)
Соответствие
G •-»• стационарная подгруппа подмногообразия MG
продолжает характеристическое отображение F.4) до отображения из ча-
частично упорядоченного множества граней многогранника Р в множество
торических подгрупп в Т.
Определение 6.17. Пусть Р — комбинаторный простой многогран-
многогранник и ? — некоторое отображение из множества его гиперграней в мно-
множество замкнутых одномерных подгрупп тора Т. Тогда (Я, ?) называется

122 Глава 6. Действия тора на многообразиях
характеристической парой, если отображение ?{FH) х ... х ?(Fift) —> Т
является мономорфизмом при Fit П...Г)Fik ф 0.
Если (Я, ?) является характеристической парой, то отображение ? непо-
непосредственно продолжается на все грани многогранника Ру так что мы по-
получаем торическую подгруппу ?(G) С Т для каждой грани GCP.
Как и в случае стандартного действия Т на С", имеется проекция
Т х Р —> Л4, слоем которой над х G М является стационарная подгруп-
подгруппа точки х. Это позволяет восстановить квазиторическое многообразие
по характеристической паре (Я, ?).
Конструкция 6.18 (восстановление многообразия). Для каждой точки
q G Р обозначим через G(q) наименьшую грань, содержащую q. Положим
М(?) := (Т х />)/-
где (/|, p)~(t2, q) тогда и только тогда, когда p = q и txt^ e?(G(q))
(сравните с конструкцией 6.9 для торических многообразий). Свободное
действие тора Т на Т х Р очевидно опускается до действия на факторпро-
странстве {Т х Я)/~, имеющего пространство орбит Р. Последнее действие
свободно над внутренностью многогранника (так как там не происходит
отождествления точек) и имеет по одной неподвижной точке для каж-
каждой вершины. Аналогично тому, как многогранник Р покрывается откры-
открытыми множествами Uvy каждое из которых содержит некоторую верши-
вершину и и диффеоморфно R^. (см. конструкцию 6.15), пространство (Т х Р)/~
покрывается открытыми множествами (Т х Uv)/~y эквивариантно гомео-
морфными (Т х Шп+)/~ = Сп. Таким образом, действие тора является ло-
локально стандартным и (Т х Я)/~ — квазиторическое многообразие.
Определение 6.19. Две характеристические пары (Я, ?) и (Я, ?') (с од-
одним и тем же комбинаторным многогранником Р) называются эквива-
эквивалентными, если существует автоморфизм тора ф: Т —*¦ Т такой, что ?' = ф«.^
(здесь ф* обозначает индуцированное отображение на торических под-
подгруппах).
Предложение 6.20 (см. [79, Prop. 1.8]). Конструкция 6.18 опре-
определяет взаимно однозначное соответствие между классами сла-
слабо эквивариантно диффеоморфных квазиторических многообразий
и эквивалентных характеристических пар.
Доказательство. Очевидно, что если два квазиторических многооб-
многообразия слабо эквивариантно диффеоморфны, то соответствующие харак-
характеристические пары эквивалентны. Для того, чтобы доказать, что много-
многообразия, имеющие эквивалентные характеристические пары, слабо экви-
эквивариантно эквивалентны, достаточно построить слабый эквивариантный
диффеоморфизм М(?) —>М из «канонической модели» М(?) в любое квази-
квазиторическое многообразие М, имеющее характеристическую пару (Р, ?). Для

6.3. Квазиторические многообразия 123
этого вначале строится непрерывное отображение /: Г х Я—>Л1, отобража-
отображающее Т х q на тс (q) для каждой точки q e Р. Это делается путем последо-
последовательного «раздутия особых стратов». Тот факт, что Р есть стягиваемое
множество, гарантирует, что получаемое в конце главное Г-расслоение
над Р тривиально. Отображение / опускается до необходимого слабого
эквивариантного диффеоморфизма. Детали можно восстановить по [79]. D
Итак, квазиторическое многообразие определяется своей характери-
характеристической парой с точностью до слабого эквивариантного диффеоморфиз-
диффеоморфизма. Из предыдущего наброска доказательства вытекает, что единственным
существенным условием на пространство орбит Q, обеспечивающим диф-
диффеоморфизм со «стандартной моделью», является то, что главное Г-рас-
Г-расслоение над Q, получаемое после всех раздутий, тривиально. Это во всяком
случае верно, если H2(Q) = 0, так что предыдущее предложение допускает
обобщения и на более общие действия тора. Мы вернемся к этому в конце
главы.
6.3.2. Когомологии квазиторических многообразий. Кольцо к о го-
гомологии квазиторического многообразия по своей структуре аналогично
когомологиям неособого торического многообразия. Перед тем, как опи-
описать мультипликативную структуру, мы построим каноническое клеточное
разбиение квазиторического многообразия, имеющее клетки лишь в четных
размерностях, и соответственно вычислим числа Бетти (т.е. размерности
групп целочисленных гомологии).
Пусть М — квазиторическое многообразие и к: М —*¦ Р — его проекция
на пространство орбит.
Конструкция 6.21. Напомним рассуждения «в духе теории Мор-
Морса», которые мы использовали при доказательстве соотношений Дена—
Соммервилля (теорема 1.18). Там мы превратили 1-остов многогранника Р
в ориентированный граф и определили индекс ind(u) вершины v e P как
число входящих в нее ребер. Эти входящие в v ребра порождают грань Gv
размерности ind(u). Обозначим через Gv подмножество, получаемое из Gv
удалением всех граней, не содержащих вершину v. Очевидно, Gv диффео-
морфно R+d(u) и содержится в открытой карте Uv С Р из конструкции 6.15.
Тогда прообраз ev :=k~1Gv гомеоморфен Cind(u) и объединение подмножеств
ev с М по всем вершинам многогранника Р определяет клеточное разбие-
разбиение многообразия М. Заметим, что все клетки имеют четную размерность,
и замыкание клетки ev есть квазиторическое подмногообразие MGv Q М.
Это рассуждение было впервые применено Хованским [31] для построения
клеточного разбиения неособого торического многообразия. Обобщение
на случай квазиторических многообразий было получено в [79].
Предложение 6.22. Целочисленные гомологии квазиторического
многообразия М обращаются в нуль в нечетных размерностях,

124 Глава 6. Действия тора на многообразиях
а в четных размерностях являются свободными абелевыми группа-
группами. Их ранги (числа Бетти) задаются формулами
ЫМ) = Л,(Я), 1=0, 1 п,
где h(P) = (h0, ..., hn) — h-вектор многогранника P.
Доказательство. Размерность 2/-Й группы гомологии равна числу
2/-мерных клеток в построенном выше клеточном разбиении. Это чис-
число равно числу вершин индекса /", что есть ht(P) в силу рассуждения
из доказательства теоремы 1.18. ?
Рассмотрим целочисленные векторы X, = (\и, ..., Хт)', / = 1, ..., т,
определяемые характеристическим отображением F.4) квазиторического
многообразия М, и введем линейные формы
б,- := \nVi + ... + \imvm еЩрх vm], l^i^n. F.6)
Для простоты мы будем обозначать образы этих линейных форм в кольце
Стенли—Райснера ЩР] теми же символами.
Лемма 6.23. Набор 9i, ..., 6Я является (линейной) регулярной по-
последовательностью в кольце ЩР].
Доказательство. В силу предложения 3.31, достаточно доказать, что
бь ..., 0Я—линейная система параметров. Условие F.5) эквивалентно то-
тому, что ограничения элементов 0|, ..., 0„ образуют базис в пространстве
линейных форм кольца многочленов Z[vir ..., vin] для любой вершины
v = F,-, П ... П Fin многогранника Р. Теперь утверждение вытекает из лем-
леммы 3.32. D
Очевидно, что и обратно, любая линейная система параметров в кольце
ЩР] определяет характеристическую пару (Р, ?) и соответствующее ква-
зиторическое многообразие.
Пусть J?e обозначает идеал в кольце ЩР], порожденный элементами
б|, ..., бд.
Теорема 6.24 (Дэвис—Янушкиевич). Имеет место изоморфизм ко-
колец
Н*(М) a ZK ..., vm]l(JP
где V-, — двумерный класс когомологий, двойственный подмногооб-
подмногообразию Mi (с выбранной ориентацией), i = 1,..., т.
Мы приведем доказательство этой теоремы в разделе 7.5 (см. также
следствие 6.86).
6.3.3. Торические и квазиторические многообразия. Здесь мы бо-
более подробно сравниваем два класса многообразий — неособые компакт-
компактные торические многообразия и квазиторические многообразия. В общем,
ни один из этих классов не содержится в другом, и пересечение этих

6.3. Квазиторические многообразия 125
классов* содержит неособые проективные торические многообразия как
собственное подмножество (см. рис. 6.1). Далее мы обсуждаем соответ-
соответствующие примеры.
,
квазиторические / / неособые проективные \\ неособые компактные
многообразия у V торические многообразия JJ торические многообразия
Рис. 6.1.
Пример 6.25. Как вытекает из сравнения конструкций 6.9 и 6.18,
неособое проективное торическое многообразие МР, происходящее из це-
целочисленного простого многогранника Р, является квазиторическим мно-
многообразием над комбинаторным многогранником Р. Соответствующее
характеристическое отображение ?:Fj*-*T(Fi) получается подстановкой
\i-li в F.3). Таким образом, векторы, отвечающие гиперграням при
характеристическом отображении, суть просто нормальные векторы lt
к гиперграням геометрического многогранника Р, i = 1, ..., т (см A.1)).
Соответствующая характеристическая (п х т)-матрица Л совпадает с мат-
матрицей L из конструкции 1.5. В частности, если Р есть стандартный
симплекс Ал A.2), то МР есть СРп (пример 6.11). В этом случае мы
имеем Л = (/ | -1), где / есть единичная (п х я)-матрица и 1 —столбец
из единиц. См. также пример 6.62 ниже.
Вообще говоря, неособое непроективное торическое многообразие
не обязано быть квазиторическим: хотя пространство орбит (относитель-
(относительно действия компактного тора Т) является многообразием с углами, оно
может не быть диффеоморфным (или комбинаторно эквивалентным) ника-
никакому простому многограннику. Авторы благодарны Н. Стрикланду, который
обратил наше внимание на этот факт. Тем не менее, на данный момент
соответствующие примеры нам неизвестны.
Проблема 6.26. Построить неособое торическое многообразие, кото-
которое не является квазиторическим.
Следующий пример, взятый нами из [93, р. 71], показывает, что суще-
существуют полные неособые вееры, которые нельзя получить из выпуклого
симплициального многогранника взятием конусов с вершиной 0 над его
гранями.
Пример 6.27. Рассмотрим трехмерный веер Е, имеющий 7 одномер-
одномерных конусов, порожденных векторами V\ = еь v2 = e2, v3 = e$, v4 = —в\ —
-^2- e3, v5 — у3 + v4, v6 = v, + v4, v7 = v2 + v4, и 10 двумерных конусов с

126
Глава 6. Действия тора на многообразиях
Рис. 6.2. Полный нео-
неособый веер, определяю-
определяющий непроективное тори-
ческое многообразие
вершиной 0 над гранями триангулированной границы тетраэдра на рис. 6.2.
Легко видеть, что этот веер является полным и неособым. С другой сторо-
стороны, нетрудно показать (см. [93, р. 71]), что веер Е нельзя получить взятием
конусов над гранями выпуклого симплициального
многогранника, так что соответствующее ториче-
ское многообразие Л"Е не является проективным.
Заметим, что симплициальный комплекс /СЕ, со-
соответствующий вееру из предыдущего примера, яв-
является триангуляцией 2-сферы. Поэтому он ком-
комбинаторно эквивалентен границе некоторого мно-
многогранника. Это означает, что соответствующее
неособое торическое многообразие Л1Е, не явля-
являясь проективным, все же является квазиторическим
многообразием. Здесь уместно ввести следующее
определение.
Определение 6.28. Скажем, что симплициаль-
симплициальный веер Е в R" является многогранным в силь-
сильном смысле (или просто многогранным), если его
можно получить взятием конусов с вершиной 0 над гранями некоторого
выпуклого симплициального многогранника. Эквивалентно, веер являет-
является многогранным в сильном смысле, если он является нормальным веером
некоторого целочисленного простого многогранника (см. конструкцию 6.8).
Скажем, что симплициальный веер Е является многогранным в слабом
смысле, если соответствующий симплициальный комплекс /СЕ является
многогранной сферой (т. е. комбинаторно эквивалентен границе некоторого
симплициального многогранника).
Пусть Е — неособый веер и МЕ — соответствующее торическое мно-
многообразие. Тогда AfE является проективным тогда и только тогда, когда Е
является многогранным в сильном смысле, и МЕ является квазиториче-
квазиторическим многообразием тогда и только тогда, когда S является многогран-
многогранным в слабом смысле. Таким образом, для решения проблемы 6.26 можно
предъявить неособый веер, который не является многогранным в слабом
смысле. Это можно сделать, сначала построив произвольный (особый) ве-
веер Е, для которого симплициальный комплекс /СЕ является сферой Барнет-
та (см. раздел 2.3)» а затем разрешив особенности при помощи стандартной
процедуры (см. [93, §2.6]). Комбинаторные свойства сферы Барнетта пре-
препятствуют тому, чтобы получаемый (неособый) веер был многогранным
в слабом смысле. Детали см. в [75, Ex. 3.2].
С другой стороны, легко построить квазиторическое многообразие, ко-
которое не является торическим. Простейшим примером является многооб-
многообразие СР2#СР2 — связная сумма двух экземпляров СР2 (со стандартными

6.3. Квазиторические многообразия 127
ориентациями). Это многообразие является квазиторическим над квад-
квадратом /2 (это вытекает из конструкции эквивариантной связной суммы,
см. [79, 1.11] или раздел 6.4 и следствие 6.68 в этой книге). В то же время,
многообразие СР2 # СР2 не допускает комплексной структуры, и потому
не может быть алгебраическим. Говорят, что многообразие М2п облада-
обладает почти комплексной структурой, если в его касательном расслоении
может быть введена структура комплексного векторного расслоения. Име-
Имеет место следующее утверждение.
Предложение 6.29. Многообразие СР2 #СР2 не допускает почти
комплексной структуры.
Доказательство. Пусть М — четырехмерное почти комплексное мно-
многообразие. Рассмотрим следующие его инварианты: х — х(^) (эйлерова
характеристика), s =sign(M) (сигнатура) и td = td(M) (родТодда), см. оп-
определение Б.4 в приложении Б. Эти инварианты выражаются через харак-
характеристические числа Сч —Сч\М\ и с2 = с2[М] следующим образом:
С2 - 2С2 , , С2 + С2
Х = ?2, S = J-^—. td= 12~'
см. Приложение Б. Отсюда вытекает соотношение
м=.
4
Допустим теперь, что М = СР2#СР2. Тогда мы имеем х = 4 и s =2. Отсюда
td = 3/2, что противоречит целочисленности рода Тодда. ?
Заметим, что если вместо связной суммы СР2#СР2 рассмотреть связ-
связную сумму СР2#СР2, где СР2 обозначает СР2 с обращенной ориентацией,
то мы получим алгебраическое (в частности, комплексное) торическое мно-
многообразие с сигнатурой s = 0 и родом Тодда td = 1, см. пример 6.66. В связи
с этим возникает следующий вопрос.
Проблема 6.30. Пусть (Р, ?) — характеристическая пара (см. опре-
определение 6.17) и М(?) — соответствующее квазиторическое многообразие.
Найти условия на Р и I, при которых М(?) допускает Г-инвариантную
комплексную (или почти комплексную) структуру.
Предыдущий вопрос относительно почти комплексной структуры был
сформулирован в [79, Prob. 7.6]. Так как каждое неособое торическое мно-
многообразие является комплексным, примером достаточного условия в про-
проблеме 6.30 является то, что характеристическая пара происходит из неко-
некоторого целочисленного простого многогранника (как описано в приме-
примере 6.25). Однако это условие не является необходимым даже для су-
существования инвариантной комплексной структуры. Действительно, суще-
существуют неособые непроективные торические многообразия, происходящие
из вееров, которые являются многогранными в слабом смысле (см. уже

128 Глава 6. Действия тора на многообразиях
упомянутый выше пример из [93, с. 71]). В то же время, нам неизвест-
неизвестны примеры комплексных квазиторических многообразий, не являющихся
торическими.
Проблема 6.31. Построить пример квазиторического многообразия,
которое допускает Г-инвариантную комплексную структуру и при этом
не является торическим.
Хотя общее квазиторическое многообразие может не быть комплекс-
комплексным или почти комплексным, оно всегда допускает Г-инвариантную ком-
комплексную структуру в стабильном касательном расслоении. Соответству-
Соответствующие конструкции будут описаны в следующем разделе. Мы также еще
вернемся к проблеме 6.30 в разделе 6.5.2.
Другой класс проблем возникает в связи с классификацией квазито-
квазиторических многообразий над данным комбинаторным многогранником. Мы
рассмотрим соответствующие вопросы в разделе 6.6. Пример 6.33 ниже
показывает, что имеются комбинаторные простые многогранники, которые
не допускают ни одного характеристического отображения и, следователь-
следовательно, не могут возникать как пространства орбит квазиторических многооб-
многообразий.
Проблема 6.32. Дать комбинаторное описание класса многогранни-
многогранников Р, которые допускают характеристическое отображение F.4).
Мы также рассмотрим несколько более общий вопрос в главе 8 (про-
(проблема 8.29).
Характеристическое отображение определяется целочисленной матри-
матрицей Л размера лхт, удовлетворяющей соотношению F.5) для каждой
вершины v е Р. Уравнение (det ЛA))J = 1 задает гиперповерхность в про-
пространстве Jt{n, m; Z) целочисленных п х m-матриц. Таким образом, мно-
множество целочисленных матриц, задающих характеристические отображе-
отображения, совпадает с пересечением гиперповерхностей
f|{(detA(u)J = l}, F.7)
где v пробегает вершины многогранника. Таким образом, необходимо найти
условия, при которых для данного многогранника это пересечение непусто.
Пример 6.33 (см. [79, Ex. 1.22]). Пусть Рп — некоторый двойствен-
двойственно 2-смежностный простой многогранник с т ^ 2" гипергранями (напри-
(например, двойственный к циклическому многограннику Сп{т) с п ^ 4 и т ^ 2",
см. пример 1.14). Тогда такой многогранник не допускает характеристи-
характеристического отображения и, следовательно, не может быть реализован как
пространство орбит квазиторического многообразия. Действительно, до-
достаточно показать, что пересечение F.7) пусто. Так как т ^ 2", любая
матрица Л е Jt{n, m\ Z) (не имеющая нулевых столбцов) содержит два

6.4. Стабильно комплексные структуры и кобордизмы 129
столбца, скажем, с номерами / и /\ которые равны по модулю 2. Так много-
многогранник Рп является 2-смежностным, соответствующие гиперграни Ft и Ff
имеют непустое пересечение. Следовательно, столбцы i и у матрицы Л вхо-
входят в минор Л(„) для некоторой вершины v e Рп. Тогда определитель этого
минора четен, и значит, пересечение F.7) пусто.
Из этого примера также вытекает, что никакой целочисленный много-
многогранник, комбинаторно эквивалентный (Сп(т))* с т ^ 2", не может зада-
задавать неособое торическое многообразие. Другими словами, комбинаторный
тип (Сп(т))* с т ^ 2" не допускает целочисленной реализации с неособым
нормальным веером. В торической геометрии вопрос о том, можно ли для
любого данного полного симплициального веера ? построить комбинатор-
комбинаторно эквивалентный веер ?', определяющий неособое торическое многооб-
многообразие, был известен с 1986 г. как гипотеза Эвальда. Первые контрпримеры
были найдены в работе [96]. Там было показано, что любая целочисленная
реализация многогранника Сп(т) ст^п + 3^7 дает особый веер. Сравне-
Сравнение с результатом из примера 6.33 позволяет предположить, что некоторые
многогранники (Сп(т))* с малым количеством вершин (в интервале между
п + 3 и 2") могут быть реализованы как пространства орбит для квазито-
рического многообразия, но не для неособого торического многообразия.
Другим интересным следствием примера 6.33 является тот факт, что
кольца граней Z[C(m)] и Z/p[Cn(m)] (для любого простого р) не допус-
допускают линейной системы параметров. В то же время, так как Ъ/р\Сп(т)\
является кольцом Коэна—Маколея, оно допускает нелинейную регуляр-
регулярную последовательность. Заметим, что в случае, когда поле к имеет нуле-
нулевую характеристику, кольцо к[Ся(/я)] всегда допускает линейную систему
параметров в силу теоремы 3.28.
6.4. Стабильно комплексные структуры и комплексные
кобордизмы
В этом разделе мы приводим обзор результатов о связи квазиториче-
ских многообразий и комплексных кобордизмов, в основном следуя ра-
работам [11], [69] В. М. Бухштабера и Н. Рэя. Ряд идей о взаимосвязях
действий тора и кобордизмов восходит к работам Коннера и Флойда. В мо-
монографии [76, §42] был построен набор многообразий с действием окруж-
окружности, которые можно выбрать в качестве мультипликативных образующих
кольца ориентированных кобордизмов. Можно показать, что эти много-
многообразия получаются как частный случай конструкции многообразий Bitj
из примера 6.42 ниже.
Краткий обзор понятий теории кобордизмов можно найти в приложе-
приложении Б. Весьма важную роль в теории кобордизмов и ее приложениях играет
9 - 9957

130 Глава 6. Действия тора на многообразиях
вопрос о выборе подходящих образующих (как аддитивных, так и муль-
мультипликативных) в кольце комплексных кобордизмов Qu. Как показано в
работах [11] и [69], любой класс комплексных кобордизмов содержит ква-
зиторическое многообразие. Построение квазиторических представителей
в классах комплексных кобордизмов основано на выборе дополнительной
структуры на квазиторическом многообразии, называемой полиориента-
полиориентацией, и предоставляющей каноническое комбинаторное описание стабиль-
стабильно комплексных структур.
Пусть тс: М —*¦ Р — квазиторическое многообразие с характеристическим
отображением ?. Раз и навсегда зафиксировав ориентацию тора Т F.1),
мы можем считать, что выбор ориентации многогранника Р эквивалентен
выбору ориентации многообразия М. (Ориентация многогранника задается
ориентацией объемлющего пространства Шп.)
Определение 6.34. Полиориентацией квазиторического многообра-
многообразия М называется выбор ориентации самого М и каждого характеристи-
характеристического подмногообразия М( = iCl(Ft), i = 1, ..., т.
Таким образом, на данном квазиторическом многообразии Мет ха-
характеристическими подмногообразиями имеется 2Ш+1 полиориентаций.
Полиориентация многообразия М определяет ориентацию каждого
нормального расслоения v, := v(M, с М), i = 1, ..., т. Так как каждое
расслоение v, является вещественным двумерным расслоением, выбор
ориентации позволяет интерпретировать его как одномерное комплексное
расслоение. Стационарная подгруппа T(F{) F.3) подмногообразия М, по-
послойно действует в нормальном расслоении V/. Выбор направления для
вектора X, в F.3) соответствует выбору ориентации окружности T(F{).
Теперь мы можем выбрать это направление таким образом, что действие
T(Fi) в нормальном расслоении v,- сохраняет его ориентацию. Обратно,
задав знаки всех векторов X;, i = 1, ..., ш, мы можем ввести ориентацию
в расслоениях v,- таким образом, чтобы действия окружностей T(Fi) со-
сохраняли эти ориентации. Ориентация многообразия М и расслоения v;,
в свою очередь, определяет ориентацию подмногообразия М{. Итак, нами
доказано следующее утверждение.
Предложение 6.35. Выбор полиориентации для многообразия М
эквивалентен выбору ориентации для многогранника Р и направле-
направлений для векторов X,, i = 1, ..., m, из F.3).
Мы будем называть характеристическое отображение I направлен-
направленным, если для каждой из окружностей ?(Fi), i = 1,..., m, задана ориента-
ориентация. Это позволяет однозначно выбрать знаки векторов X, = (Х|/, ..., Хш-)',
* = 1,..., т. В предыдущем разделе мы записывали эти векторы по столб-
столбцам в целочисленную {п х ш)-матрицу Л. Эта матрица удовлетворяет соот-
соотношениям F.5). В силу F.3), матрица Л несет в ту же самую информацию,

6.4. Стабильно комплексные структуры и кобордизмы 131
что и направленное характеристическое отображение. Пусть Ъ^ обознача-
обозначает свободный Z-модуль ранга т, порожденный множеством & гиперграней
многогранника Р. Тогда матрица Л определяет эпиморфизм X: Ъ* —> Z" как
\(F,)=\i, а также соответствующий эпиморфизм Т9 —> 71, который мы бу-
будем обозначать тем же символом X. В дальнейшем мы иногда будем писать
1Г вместо Ъ^ и Тт вместо Т*, считая, что вектор ех стандартного базиса
в Ът соответствует гиперграни Z7, е Z-*", / = 1,..., т, и аналогично для Тт.
Определение 6.36. Направленная характеристическая пара
(Р, Л) состоит из ориентированного комбинаторного простого я-мно-
гогранника Р и целочисленной п х m-матрицы Л (или, эквивалентно,
отображения \\Ът —> Z"), которая удовлетворяет уравнению F.5).
Предложение 6.35 показывает, что характеристическая пара, соответ-
соответствующая полиориентированному квазиторическому многообразию, явля-
является канонически направленной. С другой стороны, квазиторическое мно-
многообразие, построенное при помощи конструкции 6.18 из направленной
характеристической пары, обладает канонической полиориентацией.
Конструкция 6.37. Ориентированное подмногообразие М{ с М ко-
коразмерности два задает (двойственный по Пуанкаре) класс когомологий
Vi € Н2(М), который в свою очередь определяет одномерное комплексное
расслоение р,- над М. (Элементы из Н2(М) находятся во взаимно однознач-
однозначном соответствии с гомотопическими классами отображений М—^СР00,
и расслоение р/ индуцируется из канонического расслоения над СР°°.)
Ограничение расслоения р,- на Mt изоморфно нормальному расслоению v,-.
В алгебраической геометрии эта конструкция соответствует сопоставлению
дивизору одномерного расслоения. В частности, если М является неосо-
неособым торическим многообразием, расслоение р, соответствует дивизору Д,
см. теорему 6.7.
Теорема 6.38 (см. [79] и [69, Тп. 3.8]). Каждая полиориентация
квазиторического многообразия М определяет на нем стабильно
комплексную структуру при помощи следующего изоморфизма ве-
вещественных 2т-мерных расслоений:
Построение изоморфизма векторных расслоений из предыдущей тео-
теоремы фактически принадлежит Дэвису и Янушкиевичу (см. [79, Тп. 6.6]).
Интерпретация стабильно комплексных структур в терминах полиориен-
таций была получена в [69].
Следствие 6.39. Полный класс Чженя стабильно комплексной
структуры на М, определяемой полиориентацией, задается фор-
формулой
9*

132 Глава 6. Действия тора на многообразиях
Таким образом, направленная характеристическая пара (Р, Л) опре-
определяет класс комплексных кобордизмов [М, pi ф ...Фрш] € пи. Кольцо
комплексных кобордизмов полиориентированного квазиторического мно-
многообразия может быть описано на основе структуры его кольца когомоло-
гий, приведенной в теореме 6.24.
Предложение 6.40 (см. [69, Prop. 5.3]). Пусть щ обозначает пер-
первый класс Чженя С\ (р,) € ^1%{М) расслоения р, в комплексных кобордиз-
кобордизмах. Тогда кольцо комплексных кобордизмов многообразия М зада-
задается формулой ?l*u(M) = Qu[uu ..., ит]/(^Р +(/\), где идеалы JP и^А
определяются таким же образом, как и в теореме 6.24.
По определению расслоения р,, его первый класс Чженя С|(р,), как
в когомологиях, так и в кобордизмах, является двойственным по Пуанкаре
к вложению подмногообразия Mt с М. В качестве следствия мы получаем
замечательный факт, что группы комплексных бордизмов п"(М) порожда-
порождаются вложенными подмногообразиями. Фундаментальный класс кобордиз-
кобордизмов (М) € п2ип(М), по определению, двойственен по Пуанкаре классу бор-
бордизмов точки. Поэтому {М) — vi{... vin для любого набора i\,..., /„ такого,
что Fix П... П Fin — вершина многогранника Р.
Следующие два примера будут использованы для построения квазито-
рических представителей в классах комплексных кобордизмов.
Пример 6.41 (многообразие ограниченных флагов [68]). Ограничен-
Ограниченным флагом в С+| называется полный флаг 0 = {Ux с U2 С... С Un+i =
= С+|} такой, что подпространство Uk содержит координатное подпро-
подпространство С* (порожденное первыми k — 1 векторами стандартного бази-
базиса) при 2^k^n. Как показано в [69, Ex. 2.8], 2я-мерное многообразие Вп
всех ограниченных флагов в Cn+1 является квазиторическим многообрази-
многообразием над кубом Iя относительно действия тора, индуцированного действи-
действием Тп на С+1 по формуле / • z — {txzu •. •, tnzn, zn+l).
Пример 6.42. В работе [11] было введено семейство многообразий 5|>;,
0 ^ i < у. Точками многообразия Вц являются пары (?/, W), где U — огра-
ограниченный флаг в Ci+1, a W — одномерное подпространство в iff фС'"'.
Таким образом, Вц является пространством гладкого расслоения над 5,
со слоем CPJ~[. В [69, Ex. 2.9] показано, что 5(i/ является квазиториче-
квазиторическим многообразием над произведением /' х А'~1 куба и симплекса.
Канонические стабильно комплексные структуры и полиориентации
на многообразиях Вп и Bitj описаны в [69, Ex. 4.3, 4.5].
Замечание. Произведение двух квазиторических многообразий М\
и М2 над многогранниками Pi и Р2 является квазиторическим многообра-
многообразием над Р\ х Р2. Эта конструкция продолжается на полиориентированные
квазиторические многообразия и согласована со стабильно комплексными
структурами.

6.4. Стабильно комплексные структуры и кобордизмы 133
Как показано в [11], классы многообразий Btj мультипликативно по-
порождают кольцо ?1и, т.е. каждое 2/2-мерное стабильно комплексное мно-
многообразие содержит в своем классе кобордизмов несвязное объединение
многообразий
5м.л x5«w2x---x5w*> F-8)
где Ylih + h) — 2k = 2n. Каждое такое произведение является квазито-
рическим многообразием. Это основной результат работы [11]. Стабильно
комплексные структуры на произведениях F.8) индуцированы полиориен-
тациями и поэтому сохраняются под действием тора.
Пример 6.43. Стандартный набор многообразий, классы кобордизмов
которых порождают кольцо Пи, состоит из проективных пространств СР1,
i ^ 0, и гиперповерхностей Милнора Нц С СР'1 х СР'1, 1 < / < у, опре-
определяемых следующим образом:
Иц = {B0:...: zi) х (ш0:...: w,) G СР'1 х СР* :
<?=о
Однако, как было отмечено в работе [11], гиперповерхности Иц не яв-
являются квазиторическими многообразиями при / ^ 2. Ниже мы приводим
соответствующее рассуждение.
Конструкция 6.44. Пусть С/+| СС/+| —подпространство, порожден-
порожденное первыми / +1 векторами стандартного базиса в С/+|. Отождествим СР'
с множеством прямых / сС'+|. Каждой прямой / сопоставим множество
гиперплоскостей аСС/+1, содержащих /. Это множество гиперплоскостей,
в свою очередь, отождествляется с СР'~Х. Рассмотрим пространство Е пар
(/, а), / С а. Проекция (/, а) н+ / определяет расслоение Е —*¦ СР1 со сло-
слоем СР'-1.
Лемма 6.45. Гиперповерхность Ни отождествляется с про-
пространством Е из предыдущей конструкции.
Доказательство. Прямая / с С'+| задается своим направляющим век-
вектором (zo: Z|:...: Zt). Гиперплоскость а С С/+| задается некоторой линейной
формой. Если обозначить через ш0, шь ..., w, коэффициенты этой линей-
линейной формы, то условие / С а в точности эквивалентно условию из опреде-
определения поверхности Нц. ?
Теорема 6.46. Кольцо когомологий гиперповерхности Hi:, задает-
задается следующим образом:
= 0, v>
i \
где

134 Глава 6. Действия тора на многообразиях
Доказательство. Мы будем использовать обозначения из конструк-
конструкции 6.44. Пусть ? обозначает расслоение над С/3', слоем которого над
/ е СР1 является /-мерное подпространство I1- сС/+|. Тогда мы можем
отождествить Нц с проективизацией CP(Q. Действительно, для каждой
прямой /' с /•*•, представляющей точку слоя расслоения CP(Q над / € С/3',
гиперплоскость а = (I'I- С С/+| содержит /, так что пара (/, а) задает неко-
некоторую точку из Hij (см. лемму 6.45). Оставшаяся часть доказательства
воспроизводит общее рассуждение из теоремы Дольда о когомологиях про-
ективизации векторного расслоения (см., например, [161, гл.У]).
Обозначим через \ тавтологическое одномерное расслоение над СР'
(его слоем над / € СР' является сама прямая /). Тогда ?0С есть тривиаль-
тривиальное (у + 1)-мерное расслоение. Положим до = cl(t) € Н2(СР') и обозначим
через с(?) = 1 + с{ (?) + с2(%) +... полный класс Чженя. Так как c(^)c(Q = 1
и с(?) = 1 — до, мы имеем
с@ = 1+о> + ... + о>'. F.9)
Рассмотрим проекцию p:CP(Q—+CPl. Обозначим через т) тавтологи-
тавтологическое одномерное расслоение над CP(C), слоем которого над Г е CP(Q
является прямая Г. Далее, пусть т)-1 обозначает (у — 1)-мерное рас-
расслоение над СР(О, слоем которого над /' с /-1 является ортогональное
дополнение к /' в /-1 (по определению CP(Q, каждая точка из CP(Q
представляется некоторой прямой /' в некотором слое расслоения ?,
который имеет вид /х). Легко видеть, что p*{Q =7)фт)х. Положим
v = c,Gj) G H2{CP{Q) ии = p*{w) e H2{CP{Q). Тогда ui+x = 0. Мы имеем
с(г\) = 1 - v и c{p*(Q) = c(t))c(t)-l), следовательно,
2 + )
и + ... 4- и')A + v + v )
(см. F.9)). Но расслоение т)-1- имеет ранг (у - 1), так что сДт)-1-) = 0. Вы-
Вычисляя однородную компоненту степени у в предыдущем равенстве, мы
kv'~k
получаем второе соотношение 0 = v'~l Yl ukv'
k=Q
Так как оба пространства СР' и СР7 имеют лишь клетки четной
размерности, спектральная последовательность Лере—Серра расслоения
p:CP(Q—>CPl вырождается в члене Е2. Следовательно, мы имеем эпи-
эпиморфизм Z[u, v] —> H*(CP(Q), и группы когомологий пространств CP(Q
и СР' х СР1'1 совпадают. Отсюда вытекает, что в кольце H*(CP(Q) нет
других соотношений, кроме указанных в теореме. ?
Предложение 6.47. Нц не является квазиторическим многооб-
многообразием при / >1.
Доказательство. В силу теоремы 6.24, кольцо когомологий квазито-
рического многообразия изоморфно факторкольцу Z[v\,..., vm]/{JP +#?),

6.5. Комбинаторные формулы для родов Хирцебруха 135
где идеал J порождается мономами без квадратов, а^ —линейными фор-
формами. Ввиду F.5), мы можем выразить некоторые п переменных (скажем,
первые уь ..., vn) через последние т — п при помощи линейных уравнений
с целыми коэффициентами. Поэтому мы имеем
Щои ..., vm\/{S +/) * Z[wlt ..., wm_n\lf,
где J' — некоторый идеал, имеющий базис, все элементы которого пред-
представляются произведениями не меньше чем из 2 целочисленных линейных
форм. Предположим теперь, что Нц — квазиторическое многообразие. То-
Тогда мы имеем изоморфизм
где«/" — идеал из теоремы 6.46. Сравнивая размерности линейных компо-
компонент в предыдущем равенстве, мы получаем, что т — п = 2, так что W\, w2
можно отождествить с и, и (возможно, после линейной замены). Итак,
идеал «/" должен иметь базис, состоящий из многочленов, разложимых
в линейные множители над Z, что невозможно при / > 1. ?
6.5. Комбинаторные формулы для родов Хирцебруха
Конструкции из предыдущего раздела открывают путь для вычисления
инвариантов кобордизмов (чисел Чженя, родов Хирцебруха и др.) полио-
полиориентированных квазиторических многообразий в терминах комбинаторики
пространства орбит. Некоторые результаты в этом направлении получены
вторым автором в работах [23], [24] применением метода локализации. Ряд
важных характеристик действия тора на квазиторическом многообразии М
можно описать, ограничиваясь рассмотрением действия одномерной под-
подгруппы-окружности достаточно общего положения. Например, множество
неподвижных точек такого действия совпадает с множеством неподвиж-
неподвижных точек действия тора (и, следовательно, представляет собой конечное
множество, точки которого соответствуют вершинам многогранника). Если
многообразие М полиориентировано, то такое действие окружности сохра-
сохраняет соответствующую стабильно комплексную структуру и его локаль-
локальные представления в касательных пространствах к неподвижным точкам
описываются при помощи характеристической матрицы Л. Это позволя-
позволяет, например, вычислить х«гР°Д Хирцебруха как сумму вкладов, соответ-
соответствующих вершинам многогранника, в которой слагаемые зависят лишь
от «локальной комбинаторики» вблизи вершины. Используя некоторые
дополнительные соображения, мы получаем в качестве следствия комби-
комбинаторные формулы для сигнатуры и рода Тодда многообразия.

136 Глава 6. Действия тора на многообразиях
Определения родов Хирцебруха и некоторые примеры можно найти
в приложении Б.
Мы будем считать заданным полиориентированное квазиторическое
многообразие М2п над многогранником Рп с характеристической матри-
матрицей Л. Тем самым на М фиксирована стабильно комплексная структура,
как описано в предыдущем разделе. Ориентация многообразия также
определяет фундаментальный класс [М] е Н2п(М).
6.5.1. Знак и индекс вершины, векторы ребер и вычисление Ху~Р°~
да. Здесь мы вычисляем х«гР°Д квазиторического многообразия при по-
помощи некоторых комбинаторных характеристик действия тора.
Пусть v — некоторая вершина многогранника Р. Запишем ее как пе-
пересечение п гиперграней:
u = F,in...n/v F.10)
Рассмотрим соответствующие одномерные комплексные (или двумерные
ориентированные вещественные) расслоения р,,, ..., р,л (напомним, что
ограничение р, на М, =тГ"|(/7,) является нормальным расслоением к Mh
а комплексная структура в нем определяется полиориентацией). Тогда
мы имеем канонический изоморфизм неориентированных вещественных
векторных пространств:
. F.11)
При этом каждая часть этого равенства имеет каноническую ориента-
ориентацию: ориентация касательного пространства TVM происходит из ориента-
ориентации всего многообразия М, а ориентация суммы в правой части происходит
из ориентации каждого из расслоений р,-,, ..., р,л.
Определение 6.48. Введем знак o(v) вершины v = Fi{ П...r\Fin много-
многогранника Р следующим образом: о(у) = 1 если ориентации левой и правой
части в F.11) совпадают, и a(v) = —1 иначе.
Знак вершины v также можно вычислить непосредственно из направ-
направленной характеристической пары (Р, Л). Будем считать, что Р с R" (рас-
(рассмотрим произвольную геометрическую реализацию). Сопоставим каждой
гиперграни Fik единственное ребро Ek такое, что Ek П Fik = v; таким обра-
образом, Ek = p| Fi.. Пусть ek — вектор вдоль Ek с началом v. Тогда ех,..., еп —
базис R", который может быть как положительно, так и отрицательно
ориентирован, в зависимости от порядка гиперграней в F.10). На протя-
протяжении всего этого параграфа мы предполагаем, что этот порядок таков, что
в|, ..., еп — положительно ориентированный базис. При фиксированном
порядке гиперграней в F.10), векторы Х(|,..., Х/л гиперграней в вершине v
могут, в свою очередь, составлять как положительно, так и отрицательно

6.5. Комбинаторные формулы для родов Хирцебруха 137
ориентированный базис в зависимости от знака минора Л(а) = (X,,, ..., Х,л)
(см. F.5)).
Предложение 6.49. Для вершины v = Fix П... П Fin имеем
Доказательство. Каждый из векторов X,-,, ..., Х,„ задает ориентиро-
ориентированную подгруппу-окружность в торе Т, так что весь набор определяет
некоторую ориентацию тора. Эта ориентация тора Т вместе с ориентаци-
ориентацией многогранника Р, задаваемой направленной характеристической парой,
определяет ориентацию в Г-пространстве ТЦМ, которая совпадает с ориен-
ориентацией в правой части соотношения F.11). С другой стороны, ориентация
в левой части соотношения F.11) происходит из стандартной ориентации
тора Г и ориентации многогранника Р. Таким образом, разница между
двумя ориентациями определяется знаком определителя Л(а), что и требо-
требовалось доказать. ?
Как мы увидим далее, набор знаков вершин многогранника Р является
важным инвариантом полиориентированного квазиторического многооб-
многообразия. Заметим, что обращение ориентации многообразия М изменяет все
знаки a{v) на противоположные. В то же время, изменение направления
вектора X,- обращает знаки лишь тех вершин, которые содержатся в соот-
соответствующей гиперграни Ft.
Пусть Е — некоторое ребро многогранника Р. Стационарная подгруппа
двумерного подмногообразия ъ~х(Е) с М является (п — 1)-мерным тором,
который мы обозначим Т(Е). Тогда мы имеем
/ \С) — \\с ,...,(? ) t / . ^JLi Cp 1 -f- . . . -f- (xnCpn — yJf [D. 1L)
для некоторых целых чисел ^,..., (хл. Мы будем называть \к := (ji,,..., (in)'
вектором ребра Е. Этот вектор \i является примитивным вектором
в двойственной решетке (Zn)*; он определяется ребром Е лишь с точно-
точностью до знака. При этом нет канонического способа выбрать эти знаки
одновременно для всех ребер. Однако, следующая лемма показывает,
что полиориентация многообразия М предоставляет канонический способ
выбора знаков векторов ребер «локально» в каждой вершине.
Лемма 6.50. Для любой фиксированной вершины и еР направле-
направления векторов \il, ..., \хп ребер, сходящихся в v, можно однозначно
выбрать таким образом, чтобы (п х п)-матрица М(о) := fttp • • ¦»tO
удовлетворяла соотношению
Щ*)' К) = Л
где I — единичная матрица. Другими словами, jt,, ..., \kn и X,-,, ..., Х,Л
являются сопряженными базисами.

138 Глава 6. Действия тора на многообразиях
Доказательство. Вначале выберем знаки векторов ребер в v произ-
произвольно и представим v как в F.10). Тогда \л.к — вектор ребра Ek, противопо-
противоположного гиперграни Fik, k = 1,..., п. Таким образом, Ек СFit и T(Fit)C T(Ek)
при / ф- k. Следовательно,
<^,X.-,)=0, 1фкл F.13)
(см. F.3) и F.12)). Так как \ik является примитивным вектором, из F.13)
вытекает, что (щ, X,ft) = ±1. Изменяя, если необходимо, знак вектора \xk
на противоположный, мы получаем
что вместе с F.13) дает М[а) • А{Х)) = I. ?
Далее, производя локальные вычисления вблизи некоторой вершины v,
мы будем считать, что знаки векторов ребер выбраны как описано выше.
Из предыдущей леммы вытекает также, что векторы \х1,..., \in ребер, схо-
сходящихся в у, образуют базис решетки (Zn)* и
detM(a) = a(y). F.14)
Пример 6.51. Пусть М = МР — неособое торическое многообразие,
происходящее из целочисленного простого многогранника Р, определяе-
определяемого формулой A.1). Тогда X, =/,,/ = 1,..., m (см. пример 6.25), в то время
как векторы ребер в вершине v е Р суть примитивные векторы еь ..., еп
вдоль ребер с началом в v. В этом случае, очевидно, мы имеем a(v) = 1
для всех и. Лемма 6.50 в этом случае выражает тот факт, что е\, ..., еп
и /,,, ..., /,„ —сопряженные базисы решетки Z".
Замечание. Глобально лемма 6.50 дает два направления (знака) для
вектора ребра, по одному для каждого из его концов. Эти знаки всегда
различны при условии, что М — комплексное многообразие (например, то-
торическое многообразие), однако в общем случае это неверно.
Пусть v = (vb ..., vn)' G IIх — примитивный вектор такой, что
, v) т^О для любого вектора ребра \х. F.15)
Вектор v определяет одномерную ориентированную окружность
rv := {(<?2niV|4\ ..., е2™»*) е Т: <р G Ш}.
Лемма 6.52 (см. [24, теорема 2.1]). Для любого v, удовлетворяюще-
удовлетворяющего F.15), окружность Т„ действует на М с изолированными непо-
неподвижными точками (соответствующими вершинам Р). Для каж-
каждой вершины v = Fh П...ПFin действие окружности Т„ индуциру-
индуцирует S1 -представление в касательном пространстве TVM с весами
v), ..., (рп, v).

6.5. Комбинаторные формулы для родов Хирцебруха 139
Замечание. Если М = МР — неособое торическое многообразие, то
условие общего положения F.15) эквивалентно условию из доказатель-
доказательства соотношений Дена—Соммервилля (теорема 1.18).
Определение 6.53. Пусть задан примитивный вектор v, удовлетворя-
удовлетворяющий условию F.15). Введем индекс indv(a) вершины veP как число
отрицательных весов 5'-представления в TVM из леммы 6.52. Таким об-
образом, если v = Fix D...nFin, то
ind.(u) = #{*: (it*, v> < 0}.
Индекс вершины v можно также определить в терминах векторов ги-
гиперграней, сходящихся в и. Действительно, лемма 6.50 показывает, что
если v = Fi{ П ...ПFin, то
v = <|t,, v)X,, +... + <tiBf v)Xie.
Таким образом, indv(iz) равен числу отрицательных коэффициентов в пред-
представлении вектора v в виде линейной комбинации базисных векторов
Д/1, . . . , Д;л.
Теорема 6.54 (см. [23, теорема 6], [24, теорема 3.1]). Для любого v,
удовлетворяющего условию F.15), Ху~Р°д многообразия М может
быть вычислен как
Доказательство этой теоремы основано на применении формулы
Атьи—Хирцебруха [43] к действию окружности, определенному в лем-
лемме 6.52. Другое доказательство можно получить на основе теоремы
локализации для действий тора (см., например, [100, Ch.X]). Этот под-
подход был использован в работе [102, §10], где предыдущая теорема была
(независимо) доказана в более общем контексте унитарных тор-мно-
тор-многообразий.
6.5.2. Старшее число Чженя и эйлерова характеристика. Значе-
Значение х«/-рода Ху(М) при у =—\ равно n-му числу Чженя cn(?)[Af] для
любого 2я-мерного стабильно комплексного многообразия [М, ?]. Если
стабильно комплексная структура на многообразии М происходит из ком-
комплексной структуры в касательном расслоении (т.е. если М является по-
почти комплексным), то n-е число Чженя равно эйлеровой характеристике
многообразия М. Тем не менее, для общих стабильно комплексных много-
многообразий эти два числа могут отличаться, см. пример 6.63 ниже.
Для данного полиориентированного квазиторического многообразия М
теорема 6.54 дает следующую формулу для его старшего числа Чженя:
F.16)

140 Глава 6. Действия тора на многообразиях
Если М является неособым проективным торическим многообразием, то
o(v) = 1 для любой вершины v € Р (ом. пример 6.51), и сп[М] равно эйле-
эйлеровой характеристике е(М). Таким образом, для торических многообразий
эйлерова характеристика равна числу вершин многогранника Я, что, ко-
конечно, хорошо известно. Это также имеет место для произвольного ква-
зиторического многообразия М:
e(M) = fn.l(P). F.17)
Для доказательства достаточно заметить, что эйлерова характеристи-
характеристика 5'-многообразия равна сумме эйлеровых характеристик неподвижных
подмногообразий и использовать лемму 6.52.
Из сравнения соотношений F.16) и F.17) можно получить препятствие
к существованию Г-инвариантной почти комплексной структуры на ква-
зиторическом многообразии М (см. проблему 6.30).
Почти комплексная структура определяет каноническую ориентацию
многообразия М. Если почти комплексная структура является Г-инвари-
антной, то она также определяет ориентацию характеристических подмно-
подмногообразий М( С М, i = 1, ..., т (так как каждое из них является множе-
множеством неподвижных точек для некоторой подгруппы), т. е. полиориента-
полиориентацию многообразия М. Следующее утверждение непосредственно вытекает
из определения 6.48 знака вершины.
Предложение 6.55. Предположим, что полиориентация квазито-
рического многообразия М происходит из некоторой Т-инвариант-
Т-инвариантной почти комплексной структуры. Тогда o(v) = 1 для любой верши-
вершины и е Р и, следовательно,
сп[М]=е{М).
Используя предложение 6.49, мы получаем следующее утвержде-
утверждение, описывающее препятствие к существованию инвариантной почти
комплексной структуры на квазиторическом многообразии в терминах
характеристической пары.
Следствие 6.56. Пусть М — квазиторическое многообразие и
(Р, ?) — соответствующая характеристическая пара. Предпо-
Предположим, что М допускает Т-инвариантную почти комплексную
структуру. Тогда можно выбрать ориентации окружностей i{Fi) С
С Т таким образом, что миноры Л(о) соответствующей матрицы Л
(см. F.5)) положительны для всех вершин v = Fiin...f\Fin много-
многогранника Р.
С другой стороны, теорема Томаса [163, Th. 1.7] утверждает, что ве-
вещественное ориентируемое расслоение 5 ранга 2п допускает комплексную

6.5. Комбинаторные формулы для родов Хирцебруха 141
структуру тогда и только тогда, когда оно допускает стабильно комплекс-
комплексную структуру со такую, что сп(о>) = е(?,) (в правой части стоит эйлеров
класс). Отсюда и из соотношений F.16) и F.17) вытекает, что условие
из предыдущего следствия также является достаточным для существова-
существования на квазиторическом многообразии М почти комплексной структуры
(не обязательно Г-инвариантной).
6.5.3. Сигнатура. Значение Ху~Р°№ при у = 1 есть сигнатура (или
L-род) многообразия. Из теоремы 6.54 мы получаем следующую формулу.
Следствие 6.57. Сигнатура полиориентированного квазитори-
ческого многообразия М вычисляется по формуле
Будучи инвариантом класса ориентированного кобордизма, сигнатура
многообразия М не зависит от стабильно комплексной структуры (т. е.
из всей дополнительной структуры на М, задаваемой полиориентацией,
лишь ориентация самого М влияет на сигнатуру). Следующая модифи-
модификация следствия 6.57 дает формулу для sign(M), которая зависит лишь
от ориентации.
Следствие 6.58 ([24, Сл. 3.3]). Сигнатура ориентированного ква-
зиторического многообразия М вычисляется по формуле
где (хл, k = 1, ..., п, — векторы ребер, сходящихся в v, направленные
таким образом, что {\Lk, v) > 0.
Если М = МР является неособым торическим многообразием, то o(v) =
= 1 для любой вершины v G Р. Тогда следствие 6.57 дает равенство
v€P
Так как в этом случае индекс indv(t/) совпадает с индексом из доказа-
доказательства теоремы 1.18, мы получаем формулу, известную в торической
геометрии [137, Th. 3.12]:
F.18)
*=о
Заметим, что если п нечетно, то правая часть предыдущей формулы обра-
обращается в нуль ввиду соотношений Дена—Соммервилля. Число в правой
части формулы F.18) возникает в следующей известной комбинаторной
гипотезе.

142 Глава 6. Действия тора на многообразиях
Проблема 6.59 (гипотеза Черни—Дэвиса). Пусть К — Bq — 1)-мерный
флаговый горенштейнов* комплекс с /г-вектором (h0, h\,..., h,2q). Верно ли,
что
(-1)«(Ао - Л, + п2 - Л3 + •.. + h2q) > О?
Эта гипотеза была сформулирована в работе [72, Conj.D] для флаго-
флаговых симплициальных гомологических сфер. Ее обобщение на случай го-
ренштейновых* комплексов принадлежит Стенли [160, Conj. 4]. Гипотеза
Черни—Дэвиса тесно связана со следующей гипотезой из дифференци-
дифференциальной геометрии.
Проблема 6.60 (гипотеза Хопфа). Пусть M2q — риманово многообра-
многообразие неположительной секционной кривизны. Верно ли, что эйлерова ха-
характеристика x(M2q) удовлетворяет неравенству
Известно, что обе гипотезы верны при </ = 1, 2, а также в ряде част-
частных случаев. Дополнительные подробности можно найти в работе [72].
Взаимосвязям двух предыдущих проблем с сигнатурой торического мно-
многообразия посвящена работа [119].
6.5.4. Род Тодда. Следующим важным частным случаем х^-рода явля-
является род Тодда, соответствующий значению у — 0. В этом случае слагаемые
в формуле из теоремы 6.54 не определены для вершин, имеющих индекс 0.
Однако дополнительный анализ показывает, что в этом случае мы имеем
следующее утверждение.
Теорема 6.61 (см. [23, теорема 7], [24, теорема 3.4]). Род Тодда по-
полиориентированного квазиторического многообразия вычисляется
по формуле
(сумма берется по всем вершинам индекса 0).
В случае неособого торического многообразия имеется лишь одна вер-
вершина индекса 0. Это — «нижняя» вершина многогранника Р, для которой
все инцидентные ребра направлены из нее (в обозначениях, используемых
при доказательстве теоремы 1.18). Так как o(v) = 1 для любой v e Я, теоре-
теорема 6.61 дает id(Mp) = 1, что хорошо известно (см., например, [93, §5.3]; род
Тодда для алгебраических многообразий равен арифметическому роду).
Если же М является почти комплексным многообразием, то, как пока-
показывает предложение 6.55 и теорема 6.61, мы имеем td(vW) ^ 0.
6.5.5. Примеры.
Пример 6.62. Комплексная проективная плоскость СЯ2, рассматрива-
рассматриваемая как торическое многообразие, имеет стабильную комплексную струк-

6.5. Комбинаторные формулы для родов Хирцебруха
143
туру, определяемую стандартной комплексной структурой, т. е. при помо-
помощи изоморфизма расслоений т(СЯ2) 0С~тHтHт). Здесь С обозначает
тривиальное комплексное одномерное расслоение, а т) — тавтологическое
расслоение Хопфа над СР2. Ориентация также определяется комплексной
структурой. Торическое многообразие СЯ2 происходит из 2-мерного сим-
симплекса с вершинами @, 0), A, 0) и @, 1). Таким образом, векторы-столбцы
Xi, ^2, Хз матрицы Л являются примитивными векторами, нормальными
к гиперграням симплекса и направленными внутрь. Векторы ребер яв-
являются примитивными векторами вдоль ребер, направленными от соот-
соответствующей вершины. Это изображено на рис. 6.3. Вычислим род Тод-
да и сигнатуру при помощи следствия 6.57 и теоремы 6.61. Мы имеем
о(и,) = a(v2) = o(t/3) = 1. Возьмем v = A, 2), тогда ind(y,) = 0, ind(t/2) = 1,
ind(t>3) = 2 (напомним, что индекс есть число отрицательных скалярных
произведений векторов ребер с v). Итак,
sign(CP2) = sign(CP2,
2 «
td(CP2) = td(CP2,
2 -
Пример 6.63. Теперь рассмотрим СЯ2 с полиориентацией, определяе-
определяемой тремя векторами Xl5 Х2, Хз> изображенными на рис. 6.4. Эта полиори-
полиориентация отличается от предыдущего примера знаком вектора Х3. Соответ-
Соответствующая стабильно комплексная структура определяется изоморфизмом
т(СЯ2)ф!2 = т)Фт)фт). Используя F.14), мы вычисляем
1 О
0 1
a(v2) =
-1 1
1 0
= -1, о(и3) =
0 1
1 -1
= -1.
Взяв v = A, 2), мы находим indv(f,) = 0, indv(t/2) = 0, indv(t/3) = 1. Итак,
signfCP2, fj 0 ij 0 T)] = 1, td[СЯ2, fj 0 fj 0 T)] = 0.
@,-1)
Xi=(l,0)
A,0) X2=@,l) (-1,0)
X,=A.0)
@,1)
=A,1)
i-I.I)
A,0) X2=@,l) A,0) 
Рис. б.з.
Рис. 6.4. т(ся2)

144 Глава 6. Действия тора на многообразиях
Заметим, что в этом случае формула F.16) дает
сп[СР\ rj 0f) 0т)] = о(и,) + o(v2) + o(w3) = -1,
в то время как эйлерова характеристика многообразия СЯ2 равна 3.
6.6. Проблемы классификации
Имеется две основных задачи классификации для квазиторических
многообразий над данным простым многогранником: эквивариантная (т. е.
с точностью до слабого эквивариантного диффеоморфизма) и тополо-
топологическая (с точностью до диффеоморфизма). В силу предложения 6.20,
задача эквивариантной классификации сводится к описанию всех характе-
характеристических отображений для данного простого многогранника Р. Задача
топологической классификации, как правило, требует дополнительного
анализа. В общем случае, обе проблемы, видимо, являются труднообо-
труднообозримыми. Однако в некоторых случаях могут быть получены интересные
классификационные результаты. В этом разделе мы сделаем небольшой
обзор известных результатов такого типа.
Пусть М — некоторое квазиторическое многообразие над Р с характе-
характеристическим отображением ?. Мы также будем предполагать, что первые п
гиперграней У7,, ..., Fn имеют общую вершину.
Лемма 6.64. С точностью до эквивалентности характеристиче-
характеристических отображений {см. определение 6.19), мы можем предполагать,
что ?{Fj) есть i-я координатная подгруппа T-tс 7\ / = 1, ..., п.
Доказательство. Так как одномерные подгруппы ?(Fi), i — I, ..., п,
порождают Т, мы можем определить ф как произвольный автоморфизм
тора Т, который переводит ?{Fi) в Tit i — 1, ..., п. ?
Отсюда также вытекает, что на М можно выбрать полиориентацию та-
таким образом, что соответствующая характеристическая {п х т)-матрица
Л имеет вид (/ | *), где / — единичная матрица, а * обозначает некоторую
целочисленную {п х {т- я))-матрицу.
В простейшем случае Р = А" эквивариантная (и топологическая) клас-
классификация квазиторических многообразий сводится к следующему просто-
простому результату.
Предложение 6.65. Любое квазиторическое многообразие над
симплексом А" слабо эквивариантно диффеоморфно СРп {рассмат-
{рассматриваемому как торическое многообразие, см. примеры 6.11 и 6.25).
Доказательство. Характеристическое отображение для СРп имеет вид
— 1, ..., п, ?cp"{Fn+\) — Sd,

6.6. Проблемы классификации 145
где S] :^= {(e2ldtf,..., e2id<9) е Т} — диагональная подгруппа в Т. Пусть М —
некоторое квазиторическое многообразие над Д" с характеристическим
отображением ?м. В силу леммы 6.64, мы можем предполагать, что ?м(^1) =
— Ti,i = \,...,n. Тогда из условия F.5) непосредственно вытекает, что
iM(Fn+i) = {(e2idti\ ..., е2™»*) е 7}, ? е R,
где е; = ±1, / = 1, ..., п. Теперь определим автоморфизм ф: Т —> Г как
Тогда легко видеть, что ф • ?м = ?C/>", и утверждение вытекает из предложе-
предложения 6.20. ?
Заметим, что слабый эквивариантный диффеоморфизм, существование
которого утверждается в предложении 6.65, вообще говоря, не сохраняет
ориентацию квазиторического многообразия.
Задачи топологической и эквивариантной классификации также допус-
допускают полное решение при п — 2 (т. е. для квазиторических многообразий
над многоугольниками).
Пример 6.66. Для каждого целого k поверхностью Хирцебруха Нк
называется двумерное комплексное многообразие СЯ(?* ©С), где ?Л — од-
одномерное комплексное расслоение над СР] с первым классом Чженя k
и С — одномерное тривиальное расслоение, а СР(-) обозначает проек-
тивизацию комплексного векторного расслоения. Таким образом, имеется
расслоение Hk—>CP] со слоем СР]. Как гладкое многообразие, поверх-
поверхность^ диффеоморфна S2 x S2 при четных k и СР2#СР2 при нечетных k,
где СР2 обозначает СР2 с обращенной ориентацией. Поверхности Хирце-
Хирцебруха являются неособыми проективными торическими многообразиями,
см. [93, р. 8]. Пространство орбит для поверхности Hk, рассматриваемой
как квазиторическое многообразие, представляет собой комбинаторный
квадрат; для нахождения соответствующих характеристических отображе-
отображений можно воспользоваться примером 6.25 (см. также [79, Ex. 1.19]).
Теорема 6.67 (см. [138, р. 553]). Любое квазиторическое много-
многообразие размерности 4 слабо эквивариантно диффеоморфно экви-
эквивариантной связной сумме нескольких экземпляров СР2 и поверхно-
поверхностей Хирцебруха Hk.
Следствие 6.68. Любое квазиторическое многообразие размер-
размерности 4 диффеоморфно связной сумме нескольких экземпляров СР2,
СР2 uS2x S2.
Задача классификации квазиторических многообразий над задан-
заданным простым многогранником может рассматриваться как обобщение
соответствующей задачи для неособых торических многообразий. Клас-
Классификационный результат для торических многообразий комплексной
10 - 9957

146 Глава 6. Действия тора на многообразиях
размерности 2 аналогичен следствию 6.68; его можно найти, например,
в работе [91]. В [137] каждому торическому многообразию над простым
3-многогранником Я3 ставится в соответствие два целых веса на каж-
каждом ребре двойственного симплициального комплекса Кр. При помощи
специальных «условий монодромии» на веса в [137] построена полная
классификация торических многообразий над простыми 3-многогранни-
ками с числом гиперграней не более 8. В [116] аналогичная конструкция
использована для получения классификации торических многообразий над
многогранником Рп с числом гиперграней т = п + 2 (заметим, что любой
такой простой многогранник является произведением двух симплексов).
В работе [15] конструкция весов из [137] обобщена на случай квазито-
квазиторических многообразий. Это позволило получить критерий [ 15, теорема 3]
существования квазиторического многообразия с данным набором весов
и знаков вершин a(v) (см. определение 6.48). Методы, развитые в рабо-
работе [15], позволяют упростить уравнения F.5) на компоненты характеристи-
характеристического отображения для данного многогранника. В качестве приложения
получены результаты о классификации квазиторических многообразий над
произведением произвольного числа симплексов.
6.7. Top-многообразия и другие действия тора
Оказывается, что многие понятия, конструкции и результаты, связан-
связанные с торическими и квазиторическими многообразиями, допускают обоб-
обобщения на более общие классы действий тора. Ряд результатов в этом
направлении получен в работах [101]—[103], [123]—[125], которым мы
следуем в приводимом ниже изложении.
Вначале мы заметим, что понятие выпуклого многогранника, играя
весьма важную роль в геометрических построениях, связанных с алге-
алгебраическими торическими многообразиями, представляется менее суще-
существенным в топологической теории действий тора. Здесь более уместным
является понятие многообразия с углами (см. определение 6.13), част-
частным случаем которого является простой многогранник. Пространство
орбит Q = М/Т неособого компактного торического многообразия М яв-
является многообразием с углами, в котором все грани, включая само Q,
ацикличны, и все непустые пересечения граней связны. (Напомним, что
пространство X называется ацикличным, если Й'(Х) = 0 для любого /".)
Мы называем такое многообразие с углами гомологическим многогран-
многогранником. Оно является настоящим комбинаторным многогранником, если
исходное торическое многообразие было проективным, но, вообще говоря,
может не быть комбинаторно эквивалентным никакому многограннику
(см. обсуждение в разделе 6.3.3). Как мы уже видели, это приводит к

6.7. Top-многообразия и другие действия тора 147
тому, что класс квазиторических многообразий не охватывает всех неосо-
неособых компактных торических многообразий, что, конечно, не очень удобно.
В то же время можно ожидать, что все топологические свойства, ха-
характеризующие квазиторические многообразия, будут также иметь место,
если ослабить условия на действие тора, и потребовать, чтобы, наряду с
локальной стандартностью действия, пространство орбит было лишь го-
гомологическим (а не комбинаторным) многогранником. Это действительно
подтверждается некоторыми из приводимых ниже результатов (см. теоре-
теорему 6.88).
Альтернативное далеко идущее обобщение компактных неособых то-
торических многообразий было введено в работах [123] и [102] под на-
названием тор-многообразий. Замечательным свойством тор-многообра-
тор-многообразий является то, что они допускают комбинаторное описание по аналогии
с торическими многообразиями. Оно основано на понятиях мультивеера
и мулыпимногогранника, введенных и описанных в [ 102] как альтернати-
альтернатива веерам, сопоставляемым торическим многообразиям. Мультивеер пред-
представляет собой набор конусов, которые могут накладываться друг на друга,
в отличие от обычного веера.
Как и в случае классов многообразий с действием тора, рассмотрен-
рассмотренных ранее, изучение тор-многообразий приводит к новым замечательным
взаимосвязям между топологией и комбинаторикой. Кольцо когомологий
тор-многообразия М порождается элементами степени два тогда и только
тогда, когда М является локально стандартным, а пространство орбит Q —
гомологическим многогранником. Этот результат сформулирован ниже как
теорема 6.88. В этом случае само кольцо когомологий имеют структуру,
знакомую в торической геометрии: оно изоморфно факторкольцу Стен-
Стенли—Райснера пространства орбит Q по некоторому идеалу, порожденному
линейными формами. Тем самым видна степень аналогии между когомо-
когомологическими свойствами неособых компактных торических многообразий
и тор-многообразий.
Большой интерес также представляет класс тор-многообразий М, у ко-
которых когомологий обращаются в нуль в нечетных размерностях. В этом
случае эквивариантные когомологий многообразия М являются свободным
конечно порожденным модулем над кольцом эквивариантных когомологий
точки, т.е. кольцом многочленом tff (pt) = Z[/j, ..., /„]. Тем самым Hj(M)
является кольцом Коэна—Маколея. Эту условие эквивалентно тому, что
многообразие М является эквивариантно формальным в терминоло-
терминологии монографии [100]. Пространство орбит тор-многообразия с нулевыми
нечетномерными когомологиями не обязательно является гомологическим
многогранником, как показывает простой пример действия тора на чет-
номерной сфере (см. пример 6.69 ниже). Можно ввести более общее по-
ю*

148 Глава 6. Действия тора на многообразиях
нятие гранеацикличного многообразия с углами Q, в котором все грани
по-прежнему ацикличны, но их пересечения уже не обязаны быть связ-
связными. Оказывается, что нечетномерные когомологии тор-многообразия М
обращаются в нуль тогда и только тогда, когда М является локально стан-
стандартным, а пространство орбит Q — гранеацикличным (теорема 6.89 ниже).
При этом кольцо эквивариантных когомологии оказывается изоморфным
кольцу граней симплициального частично упорядоченного множества гра-
граней Q (заметим, что это кольцо граней уже, вообще говоря, не порождается
линейными элементами, см. раздел 4.2).
Теперь мы перейдем к изложению необходимых определений.
6.7.1. Характеристические подмногообразия и эквивариантные
когомологии. Пусть М — 2л-мерное замкнутое связное ориентируемое
гладкое многообразие с эффективным действием /г-мерного тора Т, причем
Мт Ф 0. (Здесь Мт обозначает множество неподвижных точек действия.)
Так как dim М — 2 dim Т и М — компактно, множество Мт состоит из ко-
конечного числа неподвижных точек.
Подмногообразие коразмерности два в М называется характеристи-
характеристическим, если оно является связной компонентой множества неподвижных
точек для некоторой подгруппы в Т, изоморфной S1. Мы будем обозначать
характеристические подмногообразия через Mh i = 1,..., m. Для 2 ^ k ^ п
любые k характеристических подмногообразий пересекаются трансвер-
сально (если их пересечение непусто), и их пересечение представляет собой
несвязное объединение некоторого количества подмногообразий коразмер-
коразмерности 2k, неподвижных под действием некоторой торической подгруппы
коразмерности k. В частности, пересечение любого набора из п характе-
характеристических подмногообразий состоит из конечного числа Г-неподвижных
точек или пусто.
Каждое подмногообразие Л1, ориентируемо. Как и в случае квазитори-
ческих многообразий, мы скажем, что Т-многообразие М полиориенти-
ровано, если выбраны ориентации самого М и всех характеристических
подмногообразий Mt. Таким образом, всего на М имеется 2m+l полиори-
ентаций. М называется тор-многообразием, если на нем фиксирована
некоторая полиориентация.
Очевидно, что любое полиориентированное квазиторическое многооб-
многообразие, а также любое неособое компактное торическое многообразие, яв-
является тор-многообразием. Однако следующий пример показывает, что
класс тор-многообразий намного шире.
Пример 6.69. Рассмотрим 2я-сферу S2n, выделяемую как следующее
подмножество в С х R:
{(z,, ..., zn, у) е Сп х R: |z,|2 + ... + \zn\2 + у2 = 1}.

6.7. Top-многообразия и другие действия тора 149
Определим действие тора Т по формуле
, ..., tn)-(zu ..., zn,y) = (tlz], ..., tnzn,y).
Имеется п характеристических подмногообразий {z\ = 0},..., {zn = 0} и две
неподвижные точки @,..., 0, ±1). Пересечение k характеристических под-
подмногообразий связно при k ^ п — 1, но несвязно (состоит из двух неподвиж-
неподвижных точек) при k = п.
Классифицирующее пространство ВТ для л-мерного тора Т есть, с точ-
точностью до гомотопии, произведение (СЯ°°)Л бесконечномерных комплекс-
комплексных проективных пространств. В частности,
//;(Pt) = tf*(fl7M*Z[f ,,...,*„], deg/,-=2.
Пусть М — некоторое тор-многообразие. Отображение р, стягиваю-
стягивающее М в точку, индуцирует гомоморфизм p*:H^(pt) —> Hj(M) и тем самым
определяет в эквивариантных когомологиях Hf(M) каноническую струк-
структуру Я *(/?7)-модуля. Так как множество Мт непусто, отображение р* яв-
является мономорфизмом. При этом Н*(ВТ)-мояулъ Н$(М) не обязательно
является свободным, т.е. может содержать #*(?7)-кручения.
Так как оба многообразия М и Mi ориентированы, определен гомомор-
гомоморфизм Гизина H^(Mi) —? Hf+2(M) в эквивариантных когомологиях (см. при-
приложение А). Образ единицы из Hj{Mi) под действием этого гомоморфизма
мы обозначим через т« е ИЦМ). Таким образом, ограничение элемента т,-
на Щ(М{) есть эквивариантный класс Эйлера нормального расслоения
v, = v(Mi с М). Следующее несложно доказываемое утверждение (см. раз-
раздел 1 из [123]) описывает элементарные свойства эквивариантных кого-
мологий тор-многообразий и устанавливает аналогию с квазиторическими
многообразиями.
Предложение 6.70. Пусть М — некоторое тор-многообразие.
1. Для каждого i = 1, ..., т существует единственный элемент
ui e И2(ВТ) такой, что
т
p*@ = 2^(f, а')т' п0 модулю Н*(ВТ)-кручений
для любого элемента t еН2(ВТ).
2. Подгруппа-окружность, оставляющая неподвижным под-
подмногообразие Mi, совпадает с подгруппой, задаваемой элементом
а, е И2(ВТ) при помощи отождествления И2(ВТ) = Hom(S', 7).
3. Если k различных характеристических подмногообразий
Mi{, ..., Mik имеют непустое пересечение, то элементы а,-,, ..., aik
образуют часть базиса целочисленной решетки Н2(ВТ) = Z".

150 Глава 6. Действия тора на многообразиях
Так как Н*(ВТ) = Z[f|,..., tn\, мы получаем, что Hf(M) является сво-
свободным И*(ВТ)-модулем тогда и только тогда, когда Hf(M) является коль-
кольцом Коэна—Маколея. Следующее утверждение дает топологическую ха-
рактеризацию тор-многообразий, обладающих этим свойством.
Лемма 6.71. Hj(M) является свободным И*(ВТ)-модулем (изо-
(изоморфным, Н*(ВТ)®Н*(М) как Н* (ВТ)-мод у ль) тогда и только тогда,
когда Нш(М)=0.
Доказательство. Предположим, что Нш(М) = 0. Тогда спектраль-
спектральная последовательность Серра расслоения р:ЕТ хт М—>ВТ вырождается
в члене ?г, и когомологии Н*(М) не имеют кручений. Следовательно,
эквивариантные когомологии Hf(M) изоморфны (как //*(/? 7)-модуль)
тензорному произведению Н*(ВТ)<8> Н*(М), и значит, являются свобод-
свободным Н* (В Т) -модулем.
Пусть теперь Hf(M) является свободным Н*(ВТ)-модулш. Рассмот-
Рассмотрим спектральную последовательность Эйленберга—Мура расслоения
ЕТ хт М —*¦ ВТ со слоем М (см. приложение Д). Она сходится к Н*(М)
и мы имеем
Так как Hj(M) является свободным Я*(ВТ)-модулем, мы имеем далее
\ Z) = 1ог%т(н;(М\ z> =
= и;(М) ®н.т z = н;(М)/(9*(н>\вт))).
Следовательно, ?20'* = Н;(М)/(9*(Н>\ВТ))) и ?2~л* = 0 при р > 0. Отсюда
вытекает, что спектральная последовательность вырождается в члене ?2 и
н*(М) = н;(М)/(9*(н>\вт))). F.19)
С другой стороны, теорема локализации (см., например, [100, Th. 11.44])
утверждает, что ядро отображения ограничения
т) = н*(вт) ® н*(мт)
является #*(?7)-кручением. Следовательно, в нашем случае это отобра-
отображение является мономорфизмом. Так как Мт есть конечное множество
точек, мы имеем Hfd(M) = Q. Наконец, отсюда и из F.19) вытекает, что
Нш(М) = 0. D
6.7.2. Пространства орбит и многообразия с углами. Пусть Q :=
:= М/Т обозначает пространство орбит тор-многообразия М и к: М -»Q —
соответствующая проекция. Определим гиперграни пространства Q как
пространства орбит характеристических подмногообразий: Q, := к(М{),

6.7. Top-многообразия и другие действия тора 151
/ = 1, . г., т. Каждая гипергрань является замкнутым связным под-
подмножеством в Q. Непустое пересечение k гиперграней мы будем на-
называть предгранью коразмерности k, k = 1, ..., п. Таким образом, любая
предгрань есть пространство орбит для некоторого непустого пересече-
пересечения М;, П ... П Mik характеристических подмногообразий. Вообще говоря,
предграни коразмерности > 1 могут быть несвязными (см. пример 6.69).
Связные компоненты предграней мы будем называть гранями. Мы также
считаем само Q гранью коразмерности нуль; другие грани мы будем на-
называть собственными. Пространство X называется ацикличным, если
Hi(X) = 0 для всех /. Мы скажем, что пространство орбит Q является
гранеацикличным, если все его грани (включая само Q) являются ацик-
ацикличными. Мы назовем Q гомологическим многогранником, если все его
предграни ацикличны (в частности, связны). Заметим, что пространство
Q = М/Т является гомологическим многогранником тогда и только тогда,
когда оно гранеациклично и всевозможные пересечения характеристиче-
характеристических многообразий М{ являются связными.
Предположим теперь, что тор-многообразие М является локально
стандартным (см. определение 6.12). Тогда пространство орбит Q —ЬА/Т
является многообразием с углами. В частности, Q является многообразием
с границей dQ = [)Qi. Пусть К обозначает нерв покрытия границы 3Q ги-
пергранями. Таким образом, К является (п — 1)-мерным симплициальным
комплексом на m вершинах. Симплексы размерности k — 1 из К находят-
находятся во взаимно однозначном соответствии с предгранями коразмерности k
пространства Q.
Замечание. Простой многогранник является многообразием с угла-
углами и также является гомологическим многогранником. Таким образом,
квазиторическое многообразие можно определить как локально стандарт-
стандартное тор-многообразие (забывая полиориентациею) с пространством орбит,
диффеоморфным, как многообразие с углами, некоторому простому много-
многограннику. Соответствующий нерв К есть граничный комплекс двойствен-
двойственного симплициального многогранника.
Пример 6.72. Top-многообразие S2n из примера 6.69 является локаль-
локально стандартным и отображение
(Z|, ...fZnty)-+ (|Z||, .... \zn\y У)
отождествляет пространство орбит S2n/T с пространством
х\
Это пространство не является простым многогранником (и даже гомоло-
гомологическим многогранником), но является гранеацикличным многообразием
с углами.

152 Глава 6. Действия тора на многообразиях
Предложение 6.70 позволяет построить аналог характеристического
отображения для локально стандартных тор-многообразий. Рассмотрим
отображение
Л: {<?,,..., Qm}-//2(?7) = Hom(S', 7)9*Z", Q,^ait F.20)
(мы используем обозначения из предложения 6.70). Отображение Л удо-
удовлетворяет условию неособости, аналогичному соответствующему условию
для квазиторических многообразий:
Если Qf| П... П Qijt Ф 0, то образы Л((?,-,), ..., A(Qik) задают часть ба-
базиса решетки Hom(S', Т)^Ъп.
Для каждой точки q e Q рассмотрим наименьшую грань G{q), содер-
содержащую q. Эта грань есть связная компонента пересечения некоторых
гиперграней: G(q) e Qit П...П Qik. Рассмотрим торическую подгруппу
T{q) С Т', порожденную одномерными подгруппами, соответствующими
элементам A(Q,,), ..., A(Qik). Введем факторпространство
М9(Л):=Гх©/~, F.21)
где (/,, р) ~ (/2, q) тогда и только тогда, когда р = q и /i/2~' е T(q). Про-
Пространство Mq(A) является замкнутым многообразием с действием тора Т
(это вытекает из того, что отображение Л удовлетворяет приведенному вы-
выше условию, a Q является многообразием с углами). Следующий результат
является непосредственным обобщением предложения 6.20 (см. замечание
там же).
Лемма 6.73. Пусть М — локально стандартное тор-многооб-
тор-многообразие с пространством орбит Qy a A — отображение F.20). Если
H2(Q) = 0, то существует эквивариантный диффеоморфизм
MQ(A)->M,
накрывающий тождественное отображение Q в себя.
Таким образом, как и в случае квазиторических многообразий Дэвиса—
Янушкиевича, тор-многообразие с пространством орбит Q, удовлетворя-
удовлетворяющим соотношению H2(Q) = 0, однозначно определяется парой (Q, А).
Как уже отмечалось выше, важную роль играет класс тор-многооб-
тор-многообразий, для которых когомологии обращаются в нуль в нечетных размер-
размерностях. Следующее утверждение показывает, что такие тор-многообразия
автоматически являются локально стандратными.
Теорема 6.74 ([125, Th. 3.3]). Top-многообразие М с Нш(М)=0 яв-
является локально стандартным.
6.7.3. Кольца граней многообразий с углами. Теперь мы перейдем
к более подробному изучению комбинаторной структуры пространств ор-
орбит локально стандартных тор-многообразий. Любое такое пространство

6.7. Top-многообразия и другие действия тора 153
орбит Q является многообразием с углами. Кроме того, многообразия
с углами, получаемые таким образом, являются регулярными, т. е. каждая
грань коразмерности k содержится в точности в k гипергранях. В принципе,
все результаты данного раздела верны для произвольных регулярных мно-
многообразий с углами, однако в наших приложениях мы будем рассматривать
лишь случай, когда Q является пространством орбит локально стандарт-
стандартного тор-многообразия.
В регулярном многообразии с углами множество всех граней, содер-
содержащих данную грань, является частично упорядоченным множеством, изо-
изоморфным множеству граней симплекса (т.е. булевой алгеброй). Таким об-
образом, все грани регулярного многообразия с углами Q образуют симпли-
симплициальное частично упорядоченное множество по отношению к обратному
включению (так что само Q является наименьшим элементом), называе-
называемое двойственным к Q (по аналогии с двойственностью между простыми
многогранниками и симплициальными разбиениями сфер). Двойственное
симплициальное частично упорядоченное множество является множеством
граней некоторого симплициального комплекса К тогда и только тогда,
когда все непустые пересечения наборов гиперграней из Q являются связ-
связными. В этом случае К совпадает с нервом покрытия Q гипергранями.
Пример 6.75. Рассмотрим три структуры многообразия с углами
на двумерном диске D2, изображенные на рис. 6.5. Первое из этих мно-
многообразий с углами не является регулярным. Второе является регулярным
и гранеацикличным многообразием с углами, но не диффеоморфно ни-
никакому простому многограннику (и даже не является гомологическим
многогранником). В частности, соответствующее симплициальное ча-
частично упорядоченное множество не происходит из симплициального
комплекса. Наконец третье многообразие с углами диффеоморфно просто-
простому многограннику B-симплексу) и, в частности, является гомологическим
многогранником. Сравните с симплициальными частично упорядоченными
множествам из примера 4.2.
а)
Рис. 6.5. 2-диск как многообразие с углами
Пример 6.76. Пусть Q = S2n/T — пространство орбит тор-многообра-
тор-многообразия S2", см. примеры 6.69 и 6.72 (случай /1 = 2 изображен на рис. 6.5, б).
Здесь имеется всего п гиперграней, пересечение любых к гиперграней

154 Глава 6. Действия тора на многообразиях
связно при k^n— 1, но пересечение п гиперграней состоит из двух то-
точек. Следовательно, двойственный симшшциальный клеточный комплекс
получается склейкой двух (п — 1)-симплексов по их границам (он описан
в примере 4.2).
Далее мы могли бы определить кольцо граней пространства Q как
кольцо граней двойственного симплициального клеточного комплекса
(см. определение 4.1). Однако ввиду особой важности этого случая для
приложений, а также для того, чтобы облегчить понимание, мы сформули-
сформулируем основные понятия и утверждения в терминах комбинаторики граней
самого пространства орбит Q. Доказательства утверждений в этом пара-
параграфе получаются очевидной дуализацией соответствующих утверждений
из раздела 4.2.
Пересечение двух граней G и Н в многообразии с углами может быть
несвязным. Мы будем рассматривать пересечение G ПН как множество
его связных компонент и использовать обозначение EeGnH для связных
компонент Е пересечения.
Предложение 6.77. Допустим, что пересечение GCiH непусто.
Тогда существует единственная минимальная грань G V#, содер-
содержащая G и Н.
Доказательство. Пусть Е €G OH. Тогда множество граней, содержа-
содержащих Е, есть множество граней некоторого симплекса, откуда и вытекает
утверждение. ?
Определение 6.78. Кольцом граней регулярного многообразия с угла-
углами Q называется фактор-кольцо
k[Q] := k[vG: G —некоторая грань]Д^,
где Jq — идеал, порожденный всеми элементами
Ve'
(Здесь мы формально полагаем vQ = 1 и v0 = 0.)
В частности, если грани G и Н трансверсальны, т.е. codimG ПН =
= codim G + codim Я, то G V Н = Q, и в k[Q] мы получаем тождество
E€Gr\H
Замечание. Нерв К пространства Q является симплициальным ком-
комплексом. Кольцо граней k[Q] совпадает с классическим кольцом граней
к[К] симплициального комплекса К, если все непустые пересечения набо-
наборов граней из Q являются связными. Однако в общем случае кольца k[Q]
и к[/(] могут отличаться.

6.7. Top-многообразия и другие действия тора 155
Лемма 6.79. Любой элемент a G k[Q] можно записать в виде
GtD.DGn
«I «л
где Л(G| э... Э 0„; ai,..., ая) G к. Сумма берется по всем цепям граней
G\ D ...DGn с codimG, = / и всем неотрицательным целыми числам а,-.
Как и в случае симшшциальных частично упорядоченных множеств, мы
называем представление из леммы 6.79 цепным разложением элемента
Для любой вершины @-грани) v 6 Q определим отображение огра-
ограничения sv по формуле
so:k[Q]->k[Q]/(vG:Gjv).
Предложение 6.80. Образ sv(k[Q]) отображения ограничения
отождествляется с кольцом многочленов k[vQ. ,..., vQin ] от п обра-
образующих степени два, соответствующих п гиперграням Q,,,..., Qin,
содержащим v.
Лемма 6.81. Сумма s = 0sy отображений ограничения по всем
вершинам v e Q задает мономорфизм из кольца граней k[Q] в пря-
прямую сумму колец многочленов.
Определим /-вектор многообразия с углами Q как f(Q)={fo, • • •» /я-i)»
где fi — число граней коразмерности / + 1 (так что fo = m есть число гипер-
гиперграней, по аналогии с простыми многогранниками). Как обычно, п-вектор
h(Q) = (Ло, ..., пп) определяется из соотношения A.7).
Теорема 6.82. Выполняется соотношение
1 _ /2)* - П
6.7.4. Эквивариантные когомологии тор-многообразий. Здесь мы
построим естественный кольцевой гомоморфизм из кольца граней Z[Q]
в кольцо эквивариантных когомологии Hj{M) по модулю Н* (В Т) -круче-
-кручений, который является изоморфизмом при условии Hodd(M) =0.
Как и в алгебраической ситуации из предыдущего раздела, мы имеем
отображение ограничения из эквивариантных когомологии в сумму колец
многочленов:
г = ф г„: Щ(Щ - Щ(МТ) = 0 Н*(ВТ). F.22)
v?MT v?MT
Ядро этого отображения является #*(В7)-кручением. Поэтому если
НШ(М) = 0, то г — мономорфизм в силу леммы 6.71.

156 Глава 6. Действия тора на многообразиях
Прообраз MG :=n~l(G) произвольной грани G С Q коразмерности к
является замкнутым Г-подмногообразием в М. Это подмногообразие так-
также является связной компонентой пересечения некоторых к характери-
характеристических подмногообразий. Полиориентация тор-многообразия М задает
ориентацию подмногообразия MG. Поэтому определен гомоморфизм Гизи-
на Hj(MG)^Hf{M). Обозначим образ единицы при этом гомоморфиз-
гомоморфизме через тс. Элемент т0 можно рассматривать как класс, «двойственный
по Пуанкаре» к MG в эквивариантных когомологиях. Образ ограничения
элемента tg E Hfk(M) на Hjk(MG) совпадает с эквивариантным классом
Эйлера нормального расслоения v(MG СМ) и rv(iG) = 0 для v ? (MG)T.
Определим факторкольцо Й}(М) :=//f (Л4)/#* (Б 7)-кручения. Отобра-
Отображение ограничения г из F.22) индуцирует мономорфизм Й^(М) -^Н^(МТ),
который мы также будем обозначать г. Следующая лемма показывает, что
соотношение из определения 6.78 имеет место в кольце Н^(М) (после за-
замены vG на xG).
Лемма 6.83 (см. [125, Lemma 5.5]). Для любых двух граней G и Н
пространства Q в кольце Й^(М) имеет место соотношение
E?Gr\H
где мы положили х0 = 0.
Доказательство. Так как отображение r:Hf(M)—>Hf(MT) мономорф-
но, достаточно доказать, что для любой неподвижной точки v € МТ отоб-
отображение rv переводит обе части соотношения в один и тот же элемент.
Детали можно найти в [125]. ?
Из предыдущей леммы вытекает, что отображение
Z[vG: G — некоторая грань] —> НЦМ), vG >-> tg
индуцирует гомоморфизм
# F.23)
Лемма 6.84. Отображение <р является мономорфизмом.
Доказательство. Мы имеем s = г о <р, где s — отображение из лем-
леммы 6.81. Так как s — мономорфизм, ср также является мономорфизмом. ?
Теорема 6.85 (см. [125, Сог. 6.6]). Пусть Нш(М)=0. Тогда отоб-
отображение cp:Z[Q] —> Hj(M) является изоморфизмом.
Доказательство. Необходимо доказать эпиморфность отображе-
отображения <р, т.е. что кольцо Hf(M) порождается элементами xG при условии
Нш(М) = 0. См. [125]. ?
Следующее описание кольца когомологий тор-многообразия с нулевы-
нулевыми нечетномерными когомологиями обобщает соответствующие результаты

6.7. Top-многообразия и другие действия тора 157
для полных неособых торических многообразий и квазиторических много-
многообразий (теоремы 6.7 и 6.24 соответственно).
Следствие 6.86. Пусть М — тор-многообразие и НШ(М) = О. Тогда
имеется изоморфизм колец
Н*{М) 9* Z[vG: G — грань в Q\/f,
где J — идеал, порожденный следующими двумя типами элементов:
\.vgvh-vGvh
m
2. ^(t, ai)vQi для t еН2(ВТ). Здесь Q, —гиперграни, а элементы
at e H2(BT) определены в предложении 6.70.
Доказательство. Так как спектральная последовательность Сер-
ра расслоения р:ЕТ хт М —¦ ВТ вырождается в члене Е2, отображение
Hj(M) —»Н*(М) эпиморфно и его ядро есть идеал, порожденный все-
всеми элементами p*(t), teH2(BT). Таким образом, утверждение вытекает
из предложения 6.70 и теоремы 6.85. ?
Пример 6.87. Вычислим эквивариантные и обычные когомологии тор-
многообразия S4, рассмотренного выше в примерах 6.69 и 6.72. Простран-
Пространство орбит Q — SA/T2 имеет две вершины, скажем р и а, и две одномерные
грани, скажем G и Н. Таким образом, кольцо граней имеет вид
Z[Q] = Z[i/0, vH, vp, vq]/(vGvH =vp+ vqy vpvq = 0),
где degvG = degy// = 2 и degy^ = degi^ = 4. Это кольцо изоморфно кольцу
эквивариантных когомологии Я*2E4). Кольцо обычных когомологии полу-
получается дополнительной факторизацией по идеалу, порожденному элемен-
элементами VG ИУ//.
6.7.5. Связь гомологических свойств тор-многообразий с комби-
комбинаторикой пространств орбит. Вначале мы приведем два утверждения,
характеризующих тор-многообразия, пространства орбит которых явля-
являются гомологическими многогранниками или гранеацикличными многооб-
многообразиями с углами соответственно, в терминах колец когомологии.
Теорема 6.88 (см. [125, Th. 7.3]). Когомологии mop-многообразия М
порождаются элементами размерности два тогда и только то-
тогда, когда М является локально стандартным, а пространство ор-
орбит Q — гомологическим многогранником.
Теорема 6.89 (см. [125, Th. 8.3]). Когомологии тор-многообразия М
обращаются в нуль в нечетных размерностях тогда и только то-
тогда, когда М является локально стандартным, а пространство ор-
орбит Q — гранеацикличным.
Замечание. Теорему 6.89 можно свести к теореме 6.88 при помощи
операций раздутия. Пусть MG =n~l(G) — подмногообразие, соответству-

158 Глава 6. Действия тора на многообразиях
ющее грани G с Q и vc = v(Mq С М) — соответствующее нормальное рас-
расслоение. Обозначим через CP{vG) комплексную проективизацию рассло-
расслоения vG. Заменяя в М подмногообразие MG на P(vg), мы получаем новое
тор-многообразие М. Переход от М к М называется раздутием много-
многообразия М вдоль MG. Пространство орбит Q многообразия М получа-
получается из Q «срезанием» грани G. Симплициальный клеточный комплекс,
двойственный к Q получается из комплекса, двойственного к Q, в ре-
результате применения звездного подразбиения грани, двойственной к G.
Если пространство орбит исходного тор-многообразия было гранеацик-
личным, то путем раздутия достаточного количества подмногообразий MG
можно добиться того, что пространство орбит станет гомологическим мно-
многогранником, а когомологии самого многообразия, соответственно, будут
порождаться элементами степени два. (Например, можно воспользовать-
воспользоваться предложением 4.3, заметив, что барицентрическое подразбиение можно
получить как последовательность звездных подразбиений.)
Предположим теперь, что //^(УИ) =0. Тогда, в силу леммы 6.71, мы
имеем изоморфизм Н*(ВТ)-модулей Н}(М) ^ Н*(ВТ) ® Н*(М). Так как
Н*{ВТ) является кольцом многочленов от п переменных, мы можем за-
записать ряд Пуанкаре для Hf (M) в виде
(где b2i(M) = rankH2i(M)). С другой стороны, ряд Пуанкаре кольца гра-
граней Z[Q] дается теоремой 6.82 и эти два ряда должны совпадать в силу
теоремы 6.85. Таким образом, мы имеем
b2i(M) = hh F.24)
Так как М является многообразием, из двойственности Пуанкаре мы по-
получаем соотношения Дена—Соммервилля
hi = hn^h / = 0, ...,/z. F.25)
Скажем, что симплициальное частично упорядоченное множество
(или симплициальный комлекс К) ассоциировано с тор-многообрази-
тор-многообразием М, если У (или К) является множеством граней (относительно обрат-
обратного включения) пространства орбит Q=M/T. Следующее утверждение
характеризует такие симплициальные частично упорядоченные множества
в алгебраических терминах (как обычно, мы не различаем симплициальные
частично упорядоченные множества и симплициально клеточные комплек-
комплексы, см. раздел 4.1).

6.7. Top-многообразия и другие действия тора 159
Теорема 6.90 ([125, §7]). Симплициально клеточный комплекс У
ассоциирован с тор-многообразием М, когомологии которого обра-
обращаются в нуль в нечетных размерностях, тогда и только тогда,
когда У является горенштейновым* и Ъ\У\ допускает линейную
систему параметров.
Симплициальный комплекс К ассоциирован с тор-многообрази-
тор-многообразием М, когомологии которого порождены элементами степени два,
тогда и только тогда, когда К является горенштейновым* и Ъ\К\
допускает линейную систему параметров.
В частности, симплициально клеточный комплекс, ассоциированный с
тор-многообразием М, для которого НШ(М) — 0, горенштейнов*. Поэтому
соотношения F.25) являются частным случаем соотношений Дена—Сом-
мервилля для горенштейновых* симплициально клеточных комплексов (см.
теорему 4.13). С другой стороны, не любой горенштейнов* симплициально
клеточный комплекс У ассоциирован с тор-многообразием, так как кольцо
Ъ\У\ может не допускать линейной системы параметров, см. пример 6.33.
Следующее утверждение дает характеризацию /г-векторов горен-
горенштейновых* симплициально клеточных комплексов, ассоциированных
с тор-многообразиями, и подводит итог обсуждению из раздела 4.3.
Теорема 6.91. Пусть h = (Ло, hit ..., hn) — вектор неотрицатель-
неотрицательных целых чисел, удовлетворяющий условиям hQ = 1 и п,; = /г„_, для
любого i. Каждое из следующих условий достаточно для существо-
существования горенштейнова* симплициально клеточного комплекса У, ас-
ассоциированного с 2п-мерным тор-многообразием с нулевыми нечет-
номерными когомологиями и имеющего h-вектор h:
а) п нечетно;
б) п четно и Ля/2 четно;
в) п четно, Нп/2 нечетно и ht > 0 для любого i.
Кроме того, если h является h-вектором симплициально клеточ-
клеточного комплекса, то он удовлетворяет одному из трех вышепере-
вышеперечисленных условий.
Доказательство. Для торического многообразия М положим /г,(М) =
= b2i(M). Ввиду F.24) мы можем использовать hi{M) вместо п\У).
Симплициально клеточный комплекс, ассоциированный с тор-много-
тор-многообразием СРп есть граница /i-симплекса, а ассоциированный с тор-мно-
тор-многообразием S2n из примера 6.69 — комплекс из примера 4.2 (получаемый
отождествлением двух (п — 1)-мерных симплексов по их границам). От-
Отсюда вытекает, что каждый из симплициальных клеточных комплексов,
используемых в доказательстве теоремы 4.14, ассоциирован с некоторым
тор-многообразием с нулевыми нечетномерными когомологиями. Это до-
доказывает первое утверждение в теореме.

160 Глава 6. Действия тора на многообразиях
Для доказательства второго утверждения достаточно показать, что если
п четно и hi(M) = 0 для некоторого / > 0, то число hn/2(M) четно.
Пусть G —подгруппа в 7\ изоморфная (Z/2)". Тогда определен полный
эквивариантный класс Штифеля—Уитни wG(M) G Hq(M\ Z/2). Обозначим
через т/ образ единицы под действием эквивариантного гомоморфизма Ги-
зина H%{Mr, 1/2)->H2G{M\ Z/2). Тогда, как показано в [125, §9],
т
i=\
Отображение Н?(М; Z/2) -*H*(M; Z/2) переводит эквивариантный класс
wG(M) в (обычный) класс Штифеля—Уитни w(M) многообразия М. Так
как все элементы т,- имеют степень два, старший класс W2n(M) есть мно-
многочлен от элементов степени два. Пусть hi(M) = 0 для некоторого / > 0.
Тогда w2n(M) = 0. Следовательно, эйлерова характеристика х(М) четна.
п
Но х(М) = ]С^(М) и hi(M) = hn_i(M) в силу двойственности Пуанкаре.
Итак, hn/2(M) при четном п должно быть четным. D
В заключение заметим, что результаты о родах Хирцебруха из разде-
раздела 6.5 были (независимо) получены в работах [123] и [103] в контексте
тор-многообразий. Род Тодда стабильно комплексного тор-многообразия
был вычислен в [123] в терминах степени наложения соответствующего
мультивеера. Этот результат эквивалентен нашей теореме 6.61 в случае
квазиторических многообразий. В работе [103] была также получена фор-
формула для х^-рода, эквивалентная нашей формуле из теоремы 6.54.

Глава 7
/(-степени пространств
и торические действия
7.1. Многообразия «?}>, определяемые простыми
многогранниками
Для любого комбинаторного многогранника Рп с т гипергранями
М.Дэвис и Т. Янушкиевич в [79] ввели Р1-многообразие 2?Р с простран-
пространством орбит Рп. Это многообразие обладает следующим универсальным
свойством: для любого квазиторического многообразия к: М2п —> Рп суще-
существует главное Г""-расслоение 2?Р —> АР, композиция которого с проек-
проекцией тс дает проекцию на пространство орбит для 2РР. Изучение топологии
многообразий iTP и их обобщений оказалось очень полезным для уста-
установления новых взаимосвязей между алгебраическими и комбинаторными
объектами, такими как кольца Стенли—Райснера, конфигурации подпро-
подпространств, кубические комплексы и т. д.
Пусть & = {FU ...,Fm)— множество гиперграней многогранника Р.
Для каждой гиперграни Ft Е & обозначим через TFl одномерную коор-
координатную подгруппу в Т^ = Тт, соответствующую Ft. Сопоставим теперь
каждой грани G координатную торическую подгруппу
'
с г
Заметим, что dim TG = codim G. Как и ранее, для каждой точки q E Я обо
значим через G(q) наименьшую грань, содержащую q.
Определение 7.1. Для данного комбинаторного простого многогран
ника Рп введем факторпространство
= (Г' х Я")/~,
где (/,, р) ~ (t2, q) тогда и только тогда, когда р = q и tit^1 G TG{Q).

162 Глава 7. К -степени пространств и торические действия
Замечание. Предыдущее определение напоминает конструкции 6.9
и 6.18, но на этот раз отношение эквивалентности зависит лишь от ком-
комбинаторной структуры граней многогранника Р. Аналогичные конструкции
появлялись в более ранних работах Э.Б. Винберга [13] и М.Дэвиса [78]
по группам отражений.
Свободное действие тора Тт на Т^ х Р опускается до действия на 2fP
с пространством орбит Р. Пусть р:2?Р—>Р — проекция на пространство
орбит. Действие Тт на 2fP является свободным над внутренностью мно-
многогранника, в то время как каждая вершина v G Рп представляет орбиту
р~'(у) с максимальной стационарной подгруппой размерности п.
Лемма 7.2. Пространство 2?Р является гладким многообразием
размерности т + п.
Мы приведем несколько различных доказательств этой леммы, каждое
из которых возникает из эквивалентного определения пространства 2РР.
Для того чтобы привести первое доказательство, нам понадобится следу-
следующий простой геометрический факт.
Предложение 7.3. Top Tk допускает гладкое вложение в R*+1.
Доказательство. Воспользуемся тем, что Тк = S1 х ... х 51 и приме-
применим индукцию по k. В случае k = 1 отождествим 51 с границей диска
D2 с R2. Шаг индукции проходит благодаря следующему общему факту.
Пусть Мп — компактное связное гладкое многообразие. Тогда, если су-
существует вложение Мп с1я+|, то его нормальное расслоение тривиально
и поэтому многообразие Мп х S1 можно отождествить с границей трубча-
трубчатой окрестности v{Mn) = Мп х D2 вложения Мп х {0} С R"+1 х R1. ?
Доказательство леммы 7.2. Конструкция 6.15 определяет атлас {Uv}
для Рп как многообразия с углами. Множество Uv содержит верши-
вершину у и диффеоморфно R"+. Тогда p~l(Uv) = Tm~n x R2". Мы утверждаем,
что Тт~п х R2" может быть реализовано как открытое подмножество
в Мш+Я, задавая таким образом карту для 2fP. Чтобы увидеть это, вло-
вложим Тт~п в R" как замкнутую гиперповерхность Н (предложение 7.3).
Так как нормальное расслоение тривиально, малая окрестность гиперпо-
гиперповерхности И С R" гомеоморфна Тт~п х R. Рассматривая декартово
произведение с R2", мы получаем открытое подмножество в Шт+п, го-
меоморфное Тт~" х R2". ?
Следующее утверждение непосредственно вытекает из определения 2?Р.
Предложение 7.4. Если Р = Р\ х Р2 для некоторых простых мно-
многогранников Ри Р2, то 2?Р — 2?Рхх 2fP2. Если G С Я — грань, то 2?G
является подмногообразием &Р.
Предположим теперь, что задано некоторое характеристическое отоб-
отображение ? на Р и М(?)—соответствующее квазиторическое многообра-
многообразие (конструкция 6.18). Выбирая полиориентацию произвольным образом,

7.1. Многообразия 2fP, определяемые простыми многогранниками 163
мы получаем направленное характеристическое отображение X: Т^ —> Т".
Обозначим его ядро через Н{?) (оно зависит лишь от t}\ тогда Н(?) есть
(ш — л)-мерная торическая подгруппа в Т^.
Предложение 7.5. Подгруппа Н(?) действует на 2?Р свободно, та-
таким образом определяя главное Тт~п-расслоение 2РР —> М(?).
Доказательство. Как вытекает из F.5), подгруппа Н(?) пересекает
каждую стационарную подгруппу лишь по единице. Это означает, что дей-
действие И(?) на % свободно. По определению пространств 2?Р и М(?), про-
проекция X х id: Т* х Я —> Тп х Я индуцирует проекцию
(Г* х Я)/~ - (Г х Я)/~.
Это определяет в 2?Р структуру главного 7'т~"-расслоения над М(?). ?
Для упрощения обозначений далее мы будем использовать Tm, Cm и т.д.
вместо Т^, С^ и т.д.
Определим единичный полидиск (D2) в комплексном пространстве С"
как
(D2) = {(*!,.... *«)е С": |2,|^1, /=1,...,
Тогда (D2)m инвариантен относительно стандартного действия Тт на Ст,
а пространство орбит есть единичный куб 1т С R™.
Лемма 7.6. Кубическое вложение iP:P"—>Im из конструкции 5.7
индуцирует эквивариантное вложение ie: 2fP —> (D2)m.
Доказательство. Напомним, что кубическое разбиение многогранни-
многогранника Я состоит из кубов С", соответствующих вершинам v E Я. Заметим,
что С" содержится в открытом множестве Uv С Я (см. конструкцию 6.15).
Вложение С" с Uv индуцирует эквивариантное вложение Bv С С", где
Я» = Р~'(С") — замкнутое подмножество, гомеоморфное (D2)" х 7'Я|~Я. Так
как 2?Р — (J Bv и Bv инвариантно относительно /''"-действия, получаемое
вложение 2РР —> (D2) эквивариантно. ?
Из доказательства вытекает, что многообразие 2?Р представляется в ви-
виде объединения fn-\{P) замкнутых Тт-инвариантных замкнутых подмно-
подмножеств Bv. В разделе 7.3 мы приводим два различных способа построения
клеточного разбиения каждого из подмножеств Bv, таким образом вводя
на 2fP структуру клеточного комплекса. Пока мы лишь отметим, что если
V =Fit П...П/7; , ТО
или, точнее,
ЦВв) = {{zu ...,zm)e {D2)m: \г,\ = 1 при / i{/,,..., /„}}.
и*

164 Глава 7. /(-степени пространств и торические действия
Так как вершины многогранника Р соответствуют максимальным симплек-
симплексам многогранной сферы Кр (границы полярного многогранника Р*), мы
имеем
ЦЗГР) = U (D2)o х Tlm]Xa С ф2Г G.1)
Это может рассматриваться как альтернативное определение 2fP. Вводя
полярные координаты на (D2)m, мы видим, что ie(Bv) параметризуется п
радиальными (или моментными) и т угловыми координатами. Ввиду этого
мы иногда будем называть 2?Р момент-угол многообразием, определя-
определяемым многогранником Я.
Пример 7.7. Пусть Р = Ап (я-симплекс). Тогда &р гомеоморф-
но Bл+1)-сфере S2n+] = d((D2)n+l). Кубический комплекс <#(Ап) (см.
конструкцию 5.7) состоит из (п+\) кубов С". Каждое подмножество
Bv = р~'(С") гомеоморфно (D2)" х 51. В частности, при п = 1 мы получаем
известное представление 3-сферы 53 = d(D2 x D2) в виде объединения
двух полноторий D2 х 51 и 51 х D2, склеенных по тождественному диф-
диффеоморфизму границ.
Другой способ построения эквивариантного вложения 2?Р в С" основан
на конструкции 1.5.
Конструкция 7.8. Рассмотрим вложение АР:Р ^Ш.™, см. A.6). Легко
видеть, что 2РР входит в следующую коммутативную диаграмму:
¦»ш
Итак, имеется эквивариантное вложение 2РР ^ Ст, накрывающее отоб-
отображение Лр. Выбор матрицы W в конструкции 1.5 определяет базис в
(т — л)-мерном подпространстве, ортогональном к л-мерной плоскости,
содержащей АР(Рп), см. A.6). Отсюда вытекает следующее утверждение.
Следствие 7.9 (см. также [69, §3]). Вложение 2Гр<-*Ст имеет три-
тривиальное нормальное расслоение. В частности, многообразие 2fP яв-
является границей другого многообразия {т. е. представляет нулевой
класс кобордизма).
Замечание. Другой способ увидеть, что 2?Р является границей, заклю-
заключается в том, чтобы построить на нем свободное 5'-действие (см., на-
например, предложение 8.31). Тогда мы получаем многообразие 2?Р x5i D2
с границей

4
7.2. Инвариантные подкомплексы в полидиске и /(-степени 165
7.2. Инвариантные подкомплексы в полидиске
и К-степени
В этом разделе мы сопоставляем каждому кубическому подкомплек-
подкомплексу в 1т некоторое Тт-инвариантное подпространство в полидиске (D2).
Таким образом для произвольного симплициального комплекса К мы по-
получим конструкцию пространства 2?к, совпадающего с 2?Р если К = Кр —
комплекс, двойственный к границе простого многогранника Р. В общем
случае пространство 2?к уже не есть многообразие, однако оно является
таковым, когда К—симплициальная сфера. Комплекс 2fK, как обобще-
обобщение многообразия 2?Р, впервые появился в работе [79, §4.1]. Там был
использован подход, основанный на понятии «простого полиэдрального
комплекса», которое переносит соответствие между многогранными сим-
плициальными сферами и простыми многогранниками на случай общих
симплициальных комплексов.
Рассмотрим каноническую проекцию р:(?J)ш —>/ш. Для каждой гра-
грани Сост куба 1т (см. E.1)) положим
= {(*,, ..., га) е (D2)m: Zi = О при i e a, |z,| = 1 при / ? т}. G.2)
Таким образом, если \а\ = i и |т| = /', то 5ос, = (D2)'"' x Тт~!, где сомно-
сомножители-диски D2 с (D2y~l параметризуются множеством т \ а, а сомно-
сомножители-окружности 51 С Тт~' параметризуются множеством [т] \т.
Определение 7.10. Пусть ^ — некоторый кубический подкомплекс
в 1т. Тогда прообраз ma(^) :=p~1(^f) представляется в виде объедине-
объединения Тт-инвариантных «момент-угол» блоков ?ос, G.2), соответствующих
граням Сост комплекса ^. Таким образом, пространство та(^) определя-
определяется из диаграммы
ma(if) ^ (D2)m
p
rm
Мы будем называть та(^) момент-угол комплексом, соответствующим
кубическому подкомплексу ^С /ш. Тор Тт действует на та(^) с простран-
пространством орбит с€.
Пусть Кп~1 —некоторый симплициальный комплекс на множестве [т].
В разделе 5.2 мы сопоставили /С" два канонических кубических под-
подкомплекса в /ш, а именно, cub(/Q E.3) и cc(/Q E.4). Соответствующие
момент-угол комплексы представляют для нас особый интерес, и мы обо-

166 Глава 7. /(-степени пространств и торические действия
значим их WK и 2?к соответственно. Итак, мы имеем
> {D2)m 2ГК ^ (D2)
P IP И P
\t * u
cub(/() >/" cc(/Q
G.3)
где горизонтальные стрелки являются вложениями, а вертикальные — про-
проекциями на пространства орбит для Тт-действий. Заметим, что 6\m2fK =
= m + п и dim ^ = т + л - 1.
Замечание. Пусть К = Кр для некоторого простого многогранника Р.
Тогда из G.1) вытекает, что 2fK отождествляется с 2?Р (или, точнее,
с ЦЗГр)).
Пример 7.11. 1. Пусть К — граница (га — 1)-симплекса. Тогда сс(/С)
есть объединение т гиперграней куба 1т, сходящихся в вершине A,..., 1),
а 2?к есть сфера S2m~] (ср. с примером 7.7).
2. Пусть К = Дш~'. Тогда сс(К) есть весь куб /ш, а 2?к представляет
собой m-диск (D2)m.
В ряде конструкций удобно рассматривать симплициальные комплек-
комплексы К на [т], множество вершин которых является собственным подмно-
подмножеством в [т]. В этом случае, чтобы подчеркнуть возникающую зави-
зависимость от множества [т], мы будем использовать обозначение 2?к\т\,
а элементы множества [ш], не являющиеся вершинами /С, мы будем на-
называть призрачными вершинами.
Пусть {/} — некоторая призрачная вершина комплекса К. Тогда куби-
кубический подкомплекс сс(К) С 1т целиком содержится в гиперграни {*/, = 1}
куба 1т (см. замечание после конструкции 5.11). Следующее утверждение
легко вытекает из G.3).
Предложение 7.12. Пусть {/|}, ...,{/*} — призрачные вершины
для К. Тогда
&К\т\ = &К\т\\{1х ik) X Т .
Таким образом, если К рассматривается как симплициальный комплекс
на множестве большем, чем его множество вершин, то от соответствующе-
соответствующего комплекса 2?к отщепляется тор размерности, равной числу призрачных
вершин.
Лемма 7.13. Пусть К есть триангуляция (п - \)-мерной сферы.
Тогда &к представляет собой (т + п)-мерное (замкнутое) многооб-
многообразие.
Доказательство. Отождествим полиэдр | cone/C'| с его образом
cc(/Q с 1т при отображении | сопе/С'| —> 1т, см. предложение 5.12. Кро-
Кроме того, отождествим сс(К) с пространством орбит 2?К/Тт. Рассмотрим

7.2. Инвариантные подкомплексы в полидиске и К -степени 167
«разбиение на грани» пространства | сопе/С'|, в котором гиперграни опре-
определяются как подмножества Fj :=\starKf{i}\, /=l,...,m, а /-мерные
грани определяются как непустые пересечения наборов из i гиперграней.
Так как К является триангуляцией сферы, полиэдр | cone /C'j гомео-
морфен л-мерному шару. Вершины (т.е. 0-мерные грани) в |сопе/С'|
соответствуют барицентрам (п — 1)-симплексов из |/С|. Для каждого та-
такого барицентра b обозначим через Ub открытое подмножество в сс(К),
получаемое удалением всех граней, не содержащих Ь. Тогда Ub гомео-
морфно открытому подмножеству вЕя+с сохранением структуры граней.
Следовательно, |сопе/С'| является многообразием с углами (см. определе-
определение 6.13), с атласом {Ub}. В то же время, каждая точка из 2?к =р~'(сс(/С))
лежит в одном из подмножеств {p~l(Ub)}, которое является открытым
подмножеством в R2" х тт~п, а значит, и в Rm+r\ ?
Вернемся теперь к рассмотрению общих комплексов 2?к. По опреде-
определению, 2fK есть объединение момент-угол блоков ?ос, С (D2)m с т Е К.
Положим
Вх := В0с, = {B,, ..., гт) Е (D2): \z,\ = 1 при / i т}. G.4)
Тогда Вх = р~'(Ст) (напомним, что мы используем обозначение Ст :=
и Bacz Q В* для любого о С т. Отсюда вытекает, что
к = U в-
Замечание. Если К = Кр для некоторого простого многогранника Р
и |х| = п, то Bz есть в точности ie(Bv), где v = p| Fr Таким образом, раз-
разует
ложение G.5) в этом случае сводится к G.1).
Представление комплекса 2?к в виде объединения G.5) является част-
частным случаем следующей конструкции.
Конструкция 7.14 (/(-степень). Пусть X — некоторое пространство
и W с X — его подпространство. Для произвольного симплициального
комплекса К на множестве [т] и о Е К положим
(X, Щ° := {(*,, ...,хт)е Хт: х, Е W при / ? а}
и
Подпространство (X, W)K С Хт мы будем называть К-степенью пары
(X, W). Если X — пространство с отмеченной точкой pt и W = pt, то мы
будем использовать сокращенное обозначение Хк := (X,

168 Глава 7. /(-степени пространств и торические действия
Пример 7.15. 1. Кубический комплекс сс(К) совпадает с /(-степенью
(Л 1)*, см. E.4).
2. Мы имеем 2fK = (D2, SX)K. В обозначениях G.5) мы также имеем
Далее мы встретимся с другими важными примерами конструкции
/(-степени.
7.3. Клеточные разбиения момент-угол комплексов
Здесь мы рассматриваем два клеточных разбиения полидиска (D2)m,
которые задают клеточную структуру на момент-угол комплексах. Первое
клеточное разбиение имеет Ът клеток и определяет клеточную структуру
(с 5 типами клеток) на любом момент-угол комплексе та(^) С (D2). Вто-
Второе клеточное разбиение полидиска (D2) имеет Зш клеток, однако может
быть использовано лишь для построения клеточных разбиений (с 3 типами
клеток) комплексов
а)
Рис. 7.1. Клеточные разбиения диска D2
Рассмотрим клеточное разбиение диска D2, имеющее одну 2-клетку D,
две 1-клетки /, Т и две 0-клетки 0, 1, см. рис. 7.1, а. Оно определяет
клеточное разбиение полидиска (D2), имеющее 5Ш клеток. Каждая клетка
этого клеточного комплекса представляет собой произведение клеток 5
различных типов: Db /,, О,, Т{ и 1,-, / = 1,..., т. Будем представлять каждую
клетку в (D2)m вектором J? е {D, I, О, Т, 1}ш. Обозначим через J?o, J?/,
J?o, &т и J?i соответственно D-, /-, 0-, Т- и 1-компоненту вектора J?.
Каждую из этих компонент можно рассматривать как подмножество в [ш],
эти 5 подмножеств попарно не пересекаются и вместе дают все [ш]. Через
№|, |^/|, |^оI» \&т\ и \&\\ мы будем соответственно обозначать число
сомножителей (компонент) типа D, /, 0, Т и 1 в клетке J?. Заметим, что
замыкание клетки J? представляет собой произведение |J?D| дисков, |J?/|
отрезков и \@т\ окружностей. Как показывает следующее утверждение,
это клеточное разбиение полидиска (D2) индуцирует клеточное разбиение
любого момент-угол подкомплекса в (D2).

7.3. Клеточные разбиения момент-угол комплексов 169
Лемма 7.16. Для любого кубического подкомплекса *? в 1т со-
соответствующий момент-у гол комплекс та(^) является клеточным
подкомплексом в (D2)m.
Доказательство. Действительно, та(^) представляет собой объеди-
объединение «момент-угол» блоков ?ос, G.2), и каждый блок ?ос, есть замыка-
замыкание клетки J? с J?D = т \ о, Мо = о, &Т = [m\ \ "с, @i=@\=0. D
Теперь мы сосредоточимся на момент-угол комплексе 2?к, соответству-
соответствующем кубическому комплексу cc(/Q с /ш, см. G.3). Этот комплекс имеет
более простое представление G.5), в котором Вт П Вт/ = Bzrn>. Это позво-
позволяет упростить клеточное разбиение из леммы 7.16 в случае та(^) = ^.
Для этого мы заменим объединение клеток 0, /, D (см. рис. 7.1, а) на одну
двумерную клетку, которую мы для простоты будем снова обозначать че-
через D. Получаемое в результате клеточное разбиение диска D2 на 3 клетки
показано на рис. 7.1, б. Оно определяет клеточное разбиение полидиска
(D2) с Зш клетками, каждая из которых представляет собой произведение
клеток 3 различных типов Д, Т{ и 1,, / = 1, ..., т. Клетки этого клеточно-
клеточного разбиения полидиска мы будем представлять векторами & е {D, Т, 1}ш.
Обозначения «^Ь, \&т\ и т.д. будут иметь тот же смысл, что и в случае
предыдущего разбиения на 5Ш клеток. Замыкание клетки & на этот раз
представляет собой произведение \&о\ дисков и \&т\ окружностей.
Лемма 7.17. Комплекс 2fK является клеточным подкомплексом
в (D2) относительно клеточного разбиения с Зт клетками (см.
рис. 7.1, б. Клетки & с (D2), которые попадают в 2?к, выделяются
условием &о ? К.
Доказательство. Так как Вт = В0ст есть замыкание клетки «57", име-
имеющей &о — t, &r = [m] \ т и «5?! = 0, утверждение вытекает из разложе-
разложения G.5). D
Замечание. Для произвольного кубического подкомплекса ^ мо-
момент-угол комплекс та(^), вообще говоря, не является клеточным под-
подкомплексом в Зш-клеточном разбиении полидиска (D2)m. Это видно уже
в простейшем случае, когда m = 1 и ^ есть вершина 0 отрезка /' = [0, 1].
Лемма 7.18. Пусть cp:/(i—>/С2 — симплициальное отображение
комплексов на множествах [ш,] и [ш2] соответственно. Тогда оно
индуцирует эквивариантое клеточное отображение срта: 2?Кх —>• ^2.
Доказательство. Пусть ср: [mi] —> [m2] — отображение множеств, огра-
ограничение которого на множество вершин комплекса К\ совпадает с данным
отображением ср (если [тх] не совпадает с множеством вершин для К\,
то в выборе этого отображения очевидно имеется произвол). Отображе-
Отображение <р индуцирует отображение полидисков:

170 Глава 7. /(-степени пространств и торические действия
где
(если <р~1(/) = 0, то мы полагаем до,-= 1). Пусть т€К\. В обозначени-
обозначениях G.4), мы имеем ф(?т) СВф(т). Так как ср является симплициальным отоб-
отображением, мы имеем ср(т) G /С2 и ?ф(т) С ^2. Следовательно, отображение ф
индуцирует эквивариантное отображение срта: 3?К] —¦ ^с2. П
Замечание (см. [4]). Предыдущая лемма также обобщается на /(-сте-
/(-степени (X, W)K в случае, когда X допускает ассоциативное умножение с еди-
единицей, т.е. является топологическим моноидом, a W — подмоноидом.
Рассмотрим теперь комплекс 2ГК, соответствующий К = 0, рассматри-
рассматриваемому как симплициальный комплекс на [т]. Тогда cc(/Q = (l,..., 1) е/ш
(конус над пустым множеством состоит из одной точки), так что
2?0 = 2?в>\т\ = Р A> • . ч 1) — Тт.
(Это также вытекает из предложения 7.12.) Заметим также, что для любо-
любого К на [т] комплекс ЗГ0 содержится в 2?к в качестве Тт-инвариантного
подмножества.
Лемма 7.19. Пусть К — сиплициальный комплекс на множестве
вершин [т]. Тогда тор 2?z = 2Гя.\т\ является клеточным подкомплек-
подкомплексом в 2fK, стягиваемым по 2ГК в точку.
Доказательство. Тор 2?0 с 2?к является замыканием такой ш-мерной
клетки «57", что «^ = [т], и тем самым является клеточным подкомплексом.
Применим индукцию по т. Если т = 1, то К = А0 @-симплекс), 2fK=D2
и 2?0 =5' стягиваемо по D2. Пусть теперь множество вершин К есть [ш].
Тогда вложение подкомплекса 2Р0 разлагается в композицию
^0,[т] ^ %К\т-Ху\т\ С~> ^КХт], G.6)
где /С[Ш_1] — полный подкомплекс в К на множестве вершин [т — 1]. В си-
силу предложения 7.12, 2T0tlm] = ^0Iш_,] х 51 и ЗГК1я_1]Лт] = &К{т_цАт-.ц х S1.
По предположению индукции мы можем считать, что вложение 2?0у[т-ц с
С ^7f,ffl_,,,[/n-ii гомотопно отображению в точку, так что композиция G.6)
гомотопна отображению ^0\т-\\ х 51 —> 2?к\т\, которое переводит 2^0^т_ц
в точку, а 51 —в замыкание клетки A, ..., 1, 7) с 2?к\т\- Но так как {т}
является вершиной в К, комплекс 2?к также содержит клетку A,..., 1, D),
так что диск D2 затягивает замыкание клетки A, ..., 1, 7). Отсюда выте-
вытекает, что все отображение G.6) гомотопно отображению в точку. ?
Следствие 7.20. Для любого симплициального комплекса К на мно-
множестве вершин [т] соответствующий комплекс 2?к является одно-
связным.

7.4. Соединения, связные суммы и бизвездные преобразования 171
Доказательство. Действительно, 1-остов клеточного разбиения
содержится в торе 2f0, который стягиваем в силу леммы 7.19. ?
7.4. Соединения, связные суммы и бизвездные
преобразования
Здесь мы опишем поведение комплексов 2fK относительно операций
соединения, связной суммы симплициальных комплексов, бизвездных пре-
преобразований и других конструкций из раздела 2.2.
Соглашение. Пусть т = {/"|, ..., /*} — некоторое подмножество в [т].
В этом разделе нам будет удобно обозначать «момент-угол блок» Вх =
s (D2)* х Тт~к G.4) через Df x Тт~К Граница этого блока есть
x Tm~k+l - s2k~l х
(ср. с примером 7.7). Обозначим dBx = S^k~l x Тт~к. Кроме того, для лю-
любого разбиения [т] = a U x U р на три попарно непересекающихся под-
подмножества с \а\ = /, |т| = у, |р| = г мы будем использовать обозначение
D* х Sy~l х 7рг для соответствующего подмножества в (D2)m.
Конструкция 7.21 (соединение). Пусть /С|, /С2 — симплициальные ком-
комплексы на множествах [Ш|], [т2] соответственно, и /С| */С2 — их соединение
(см. конструкцию 2.9). Отождествим куб /"ч+^г с /ш' х /Ш2. Тогда, исполь-
используя E.4), мы получаем
сс(/С, * /С2) =
cc(/C,) x cc(/C2).
4|G/(, ^ 426 /B ^
Следовательно,
Таким образом мы для произвольных симплициальных комплексов полу-
получили результат, соответствующий предложению 7.4.
Конструкция 7.22 (связная сумма). Пусть /С| и /С2 — два чистых
(п — 1)-мерных симпилициальных комплекса на множествах [т\], [т2] со-
соответственно, и пусть К\ #/С2 — их связная сумма в некоторых (п — ^-сим-
^-симплексах О[ и а2. (Здесь К\ # /С2 рассматривается как симплициальный
комплекс на множестве [тх -\-т2 — п] после подходящего отождествления
оч =о2 = о, см. конструкцию 2.12.) Если мы рассмотрим К\ как комплекс
на множестве [т\ -+¦ т2 — п], то мы получим

172 Глава 7. /(-степени пространств и торические действия
(см. предложение 7.12), где 2?Кх = %К\\тх\, и аналогично для /С2. Положим
ь = ЗГКх \ G""' -" х D*), &Ri = ЗГк2 \ {D% х Г*"") G.7)
в силу G.5). Отсюда мы получаем
-) U (Г»'- х
где две части склеиваются вдоль Тщ~~п х S2"" х Тт2~~п = Тщ~п х S2" x
х 7т2~я, используя отождествление о{ с а2. Эквивалентно,
ИЛИ
Пример 7.23. Пусть К\ = К — чистый (п — 1)-мерный симплици-
альный комплекс на множестве [т] и /С2 = дАп (граница я-симплекса).
Выберем максимальный симплекс а е К и рассмотрим связную сумму
К#адАп (выбор максимального симплекса в дАп несуществен). Заметим,
что &дА" — S2n+l допускает следующее разложение:
(см. примеры 7.7 и 7.11). Следовательно, 2fg^n =Sf"~1 x D2. Теперь из G.8)
и G.7) вытекает, что
= (ЗГК х S1 \ Тт~п х D2: х S1) Ur.-nxS2n-IxS. (Г-я х S?-1 x D2). G.9)
Итак, ^с#ваА" получается удалением «эквивариантной ручки» 7m~" x D2" х
х S1 из ^ х S1 с последующей приклейкой Гт~" х S2"" x D2 вдоль гра-
границы Tm~n xS2"-1 xS1.
Как было отмечено выше, связная сумма с границей симплекса есть
не что иное, как бизвездное О-пребразование. Другие бизвездные преобра-
преобразования также можно интерпретировать как «эквивариантные перестрой-
перестройки» на 2fK.
Конструкция 7.24 (эквивариантные перестройки). Пусть Кп~х —чи-
—чистый симплициальный комплекс на множестве [т] и а € К — некоторый
(п — 1 — &)-симплекс A < k < n — 2) такой, что link а есть граница неко-
некоторого ^-симплекса т, не являющегося гранью комплекса К. Пусть К' —
комплекс, получаемый из К применением соответствующего бизвездно-
го ^-преобразования, см. определение 2.48:
К' = (К \ {о * дт)) U (да * х) G.10)

7.4. Соединения, связные суммы и бизвездные преобразования 173
(заметим; что в силу нашего предположения К' имеет столько же вершин,
сколько и К). Мы имеем
(это вытекает из примера 7.11 и конструкции 7.21). Далее, используя пред-
предложение 7.12, мы получаем
к, = (%>к \ Тт-п-х х D2Jn~k) х Sf+1) U
x S2Jn~k)-1 x D2<*+1)) '
где Тт~п~1 x 5J(«-*)-' x D2(*+l) приклеивается вдоль своей границы
jm-n-\ x <j2<rt-*)-i x 52Л+'. Это описывает, как изменяется комплекс 2fK
в результате бизвездного ^-преобразования (случаи 6 = 0 и k~n—\
покрываются соотношением G.9)).
Лемма 7.25. Пусть Кп~х — некоторая симплициальная сфера
и К' — симплициальная сфера, получаемая из К применением одного
бизвездного k-преобразования, О < k < п — 1. Тогда соответствую-
соответствующие многообразия 2fK и ^ являются эквивариантно кобордант-
ными. Если К' получается из К применением бизвездного ^-преоб-
^-преобразования, то имеется эквивариантный кобордизм между 2fn' u
2?к xSl.
Доказательство. Мы приведем доказательство для &-преобразова-
ний с 0 < k < п— 1. Случай 6 = 0 рассматривается аналогично. Пусть
(У = ^ х [0, 1] — произведение 2?к на отрезок. Введем пространства
X = Тт-п~х х О?"-*> х S2xk+l и Y = Тт~п-у х ??"-*> х Dx2(*+1). Так как ХсЗГк
и X с дК, мы можем приклеить Y к U вдоль Л" х 1 с i2fr x 1. Обозначим
получаемое многообразие (с границей) через V, т. е. V = (У U* К. Тогда
из G.11) вытекает, что dV = 2fK U ^/ (здесь 2fK происходит из 2fK xOcU,
а 2?к х 1 заменяется на ^/). ?
Теперь, применяя теорему Пахнера (теорема 2.49), мы получаем сле-
следующее утверждение.
Теорема 7.26. Пусть /С" — некоторая PL-сфера. Тогда для неко-
некоторого р многообразие 2fK хТр эквивариантно кобордантно мно-
многообразию S2n+l х jm+p-n-\^ $mom кобордизм реализуется последо-
последовательностью эквивариантных перестроек.
Доказательство. В силу теоремы 2.49, PL-сфера К переводится в дАп
последовательностью бизвездных преобразований. Так как 2fd&n — S2"+l,
утверждение вытекает из леммы 7.25. D

174 Глава 7. /(-степени пространств и торические действия
7.5. Конструкции Бореля и пространство
Дэвиса—Янушкиевича
Здесь мы начинаем изучение топологических инвариантов комплек-
комплексов 2fK.
Пусть ЕТт — стягиваемое пространство универсального главного
Гш-расслоения над классифицирующим пространством ВТт (см. при-
приложение А). Хорошо известно, что пространство ВТт представляет
собой, с точностью до гомотопической эквивалентности, произведение т
экземпляров бесконечномерного комплексного проективного простран-
пространства СЯ°°. Клеточное разбиение пространства СЯ°°, имеющее по одной
клетке в каждой четной размерности, определяет каноническое клеточ-
клеточное разбиение для ВТт. Кольцо целочисленных когомологий пространства
ВТт представляет собой кольцо многочленов Z[ub ..., vm], degu,- = 2.
Для произвольного Тт-пространства^ рассмотрим конструкцию Боре-
Бореля ЕТт хТтХ (см. приложение А), которую мы также будем обозначать че-
через ВТХ. В частности, для любого симплициального комплекса К наш вер-
вершинах мы имеем конструкцию Бореля ВТ2?К и расслоение р:Вт2?к ->ВТт
со слоем 2fK.
Для каждого подмножества со С [т] определим
ВТ" := {(*,, ..., хт) е ВТт: x-t = pt при i ? со}.
В обозначениях конструкции 7.14 мы имеем ВТ" = (СЯ°°, pt)"\ Очевидно,
ВТ" является клеточным подкомплексом в ВТ.
Определение 7.27. Пусть К — симплициальный комплекс на множе-
множестве [т]. Мы будем называть клеточный подкомплекс
= U ВТ° С ВТ
т
пространством Дэвиса—Янушкиевича и обозначать его DJ(K).
Пример 7.28. 1. Пусть К представляет собой набор из т точек. Тогда
DJ(K) = СР°° V ... V СЯ°° (букет т экземпляров СЯ°°).
2. Пусть К = ЯД1"-1. Тогда DJ(K) = (СЯ00)^""' известно в топологии
под названием толстого букета т копий пространства СЯ°°.
Далее в этом разделе мы будем рассматривать целочисленные когомо-
когомологий, если явно не указано другое кольцо коэффициентов.
Предложение 7.29. Кольцо когомологий H*(DJ{K)) изоморфно
кольцу граней Z[K]. Вложение клеточного подкомплекса i:DJ(K)
ВТт индуцирует эпиморфизм в когомологиях:
Г: Z[vu ..., vm] -> Ъ\К\ =

7.5. Конструкция Бореля и пространство Дэвиса—Янушкиевича 175
Доказательство. Моном и*1 ...и/ G Н*(ВТт) представляет клеточ-
клеточную коцепь (D?*1 ...D*kp)*, где Dfk — 26-мерная клетка в /-сомножителе
СЯ°° С ВТт. Под действием гомоморфизма, индуцированного вложением
DJ(K) С ВТт, эта коцепь отображается тождественно, если {/ь ..., ip) е К,
и переходит в нуль иначе. Отсюда вытекает утверждение. ?
Теорема 7.30. Расслоение p:BT2fK-+ BTm гомотопически экви-
эквивалентно клеточному вложению i:DJ(K)^BTm. Более того, су-
существует деформационная ретракция BT3fK —»DJ(K) такая, что
диаграмма
коммутативна.
Доказательство. Рассмотрим разложение G.5). Так как каждое под-
подмножество Bxc2fK является 7ш-инвариантным, мы получаем соответству-
соответствующее разложение для конструкции Бореля:
тек
Пусть |т| = t, тогда Вх = (D2)' х Тт~'. По определению конструкции Бо-
Бореля, мы имеем ЕТт хТт ВХ = (ЕР хР (D2)') х ЕТт~*. Пространство
ЕР xTt (D2)' расслаивается над ВР со слоем (D2)', а ЕТт~* —стя-
—стягиваемо. Поэтому имеется деформационная ретракция ЕТт хТт Вх -> ВР.
Ретракции, соответствующие различным симплексам х € К, согласованы
между собой и вместе определяют требуемую деформационную ретракцию
Приведенное доказательство также показывает, что
BT3fK=(ESl xs, D2, ESl xs. S[)K
в обозначениях конструкции 7.14.
Следствие 7.31. Комплекс 2fK является гомотопическим слоем
клеточного вложения i:DJ(K)^> ВТт.
В качестве следствия мы получаем результат, впервые полученный в
работе [79, Th. 4.8].
Следствие 7.32. Кольцо когомологий H*(BT3fK) изоморфно кольцу
граней Z[K]. Проекция p\BT2fK -* ВТт индуцирует в когомологиях
проекцию на факторкольцо
p*:Z[vl,...,vm]-+Z[K]=Z[vl,...,vm)/j?K.

176 Глава 7. /(-степени пространств и торические действия
Следствие 7.33. Кольцо Тт-эквивариантных когомологий про-
пространства &к изоморфно кольцу граней комплекса К:
Из предыдущих конструкций можно извлечь следующую информацию
о гомотопических группах комплекса 2?к.
Предложение 7.34. 1. Комплекс 2fK является 2-связным (т.е.
щ(Хк) = к2BГк) = 0), и щ(ЗГк) = МВт&к) = MDJ(K)) при i > 3.
2. Если К является q-смежностным комплексом (см. определе-
определение 2.26), то Ki(^K) = 0 при i<2q + \. Кроме того, jfy+iB?р) есть
свободная абелева группа, порожденная (q + \)-элементными недо-
недостающими гранями в К.
Доказательство. Заметим, что ВТт = K{Zm, 2) и 3-мерный остов про-
пространства DJ(K) совпадает с 3-мерным остовом ВТт. Если К являет-
является ^-смежностным, то из определения 7.27 вытекает, что Bq + 1)-осто-
1)-остовы пространств DJ(Kp) и ВТт совпадают. Теперь оба утверждения лег-
легко вытекают из точной гомотопической последовательности отображения
i:DJ(K) —* ВТт с гомотопическим слоем 2?к. ?
В дальнейшем нам также понадобится следующее утверждение (необ-
(необходимые определения можно найти в приложении В). Этот результат был
впервые получен в работе [136].
Лемма 7.35. Для любого симплициального комплекса К простран-
пространство DJ(K) формально. Более того, существует гомоморфизм диф-
дифференциальных градуированных алгебр:
индуцирующий изоморфизм в когомологиях (дифференциал в левой
части считается нулевым). Здесь А* обозначает алгебру Суллива-
на—де Рама.
Перед тем как перейти к доказательству этой леммы, мы докажем два
вспомогательных утверждения. Рассмотрим толстый букет DJ(dAm~l) =
= (СР°°)дАт~ . Для каждого собственного подмножества а С [т] мы имеем
вложение
ie: (СЯ°Т -
и проекцию
аАЯ~1 -> (СР°°)а.
Заметим, что pja = \d. Мы также будем обозначать pk := рщ и pk := p\m\\ki
k = 1, ..., т, и аналогично для ik, i-k.

7.5. Конструкция Бореля и пространство Дэвиса—Янушкиевича 177
Предложение 7.36. Любой элемент х е А*((СР°°)дАт~1) представ-
представляется в виде
для некоторых xt е ^((СЯ00)-1), / = 1, ..., т.
Доказательство. Это вытекает из того, что существует проекция
т
°°)дАт~1
)-1 -> (СР°°)
(в левой части стоит несвязное объединение), при которой /-я копия
(СЯ00) переходит в (CP°°)[m|V с (СР°°)9*т~1. Эта проекция индуцирует
мономорфизм алгебр Л*. ?
Предложение 7.37. Для любых элементов уи ..., t/mEA^iCP00) мы
имеем
в A
Доказательство. Сначала мы по индукции докажем, что для любого
у = 1, ..., т — 1 мы имеем представление
где ха € А*((СР°°)а). При } = т—\ это вытекает из предыдущего предло-
предложения. Пусть G.12) имеет место для у =k и докажем, что оно также имеет
место для у = k — 1. Подействуем отображением I* на G.12). Так как а —
собственное подмножество в [т], для любого j ?о отображение psia есть
отображение в точку. Итак, мы получаем
Отсюда и из G.12) вытекает
= Е р*лр*(х*)= Е
Так как |аПа'| < k, мы получаем требуемое. При у = 1 соотношение G.12)
приобретает вид
Р*\{У\) '¦¦¦¦ Рт(Ут) = РГ(ДС|) + • • • + Р*т(Хт),

178 Глава 7. К -степени пространств и торические действия
где Xi eA>0(CP°°). Подействовав на обе части отображением /?, мы полу-
получаем 0 = xkt что и требовалось. П
Доказательство леммы 7.35. Так как пространство СЯ°° формально,
мы имеем гомоморфизм алгебр
/: /Г((СЯ°Т, Q) = QK ..., vm] - A*((CP°°)m),
индуцирующий изоморфизм в когомологиях. Так как DJ(K) С (СЯ°°)т, мы
имеем эпиморфизм i*:A*((CP°°)m) -+A*(DJ(К)). Мы докажем, что суще-
существует требуемый гомоморфизм, замыкающий коммутативную диаграмму
Q[K]
Для этого достаточно доказать, что элементы из идеала Ук переходят
в нуль под действием композиции / и i*. Идеал J?K имеет базис из мо-
мономов вида уы, где со С [т] — недостающая грань для К (т. е. минимальный
несимплекс). Для каждого такого со мы имеем (СР°°)длМ~1 с DJ(K) и тре-
требуемое утверждение вытекает из предложения 7.37. ?
Замечание. Несколько модифицировав предыдущие рассуждения,
можно также доказать, что если X — формальное пространство, то /(-сте-
/(-степень Хк также формальна для любого симплициального комплекса К.
Пусть теперь К = Кр для некоторого простого «-многогранника Р
и М2п — квазиторическое многообразие над Р с характеристическим отоб-
отображением ?. Тогда мы имеем торическую подгруппу И(?) с Тту свободно
действующую на 2fPt и главное Тт~"-расслоение 2fP—> М2п (см. предло-
предложение 7.5).
Предложение 7.38. Конструкция Бореля ЕТп хТп М2п гомогпопиче-
ски эквивалентна BT2fP.
Доказательство. Так как И(?) свободно действует на ^>, мы имеем
& ЕН(?) х (Е(Тт/Н(?)) хтт/ще) &р/Н{?)) ~ ЕГ хТп М2п. ?
Отсюда получаем следующее утверждение (которое также вытекает
из общей теоремы 6.85 для тор-многообразий).
Следствие 7.39. Кольцо Тп-эквивариантных когомологий квази-
торического многообразия М2п над Рп изоморфно кольцу граней

7.6. Обзор смежных конструкций 179
Лемма 7.40 (см. [79, Th. 4.12]). Спектральная последовательность
Л ере—Серра расслоения
ЕТ" хТпМ2п-+ ВТ" G.13)
со слоем М2" вырождается в члене Е2.
Доказательство. Так как ВТ" и М2" имеют клетки лишь в четных раз-
размерностях (см. предложение 6.22), все дифференциалы в рассматриваемой
спектральной последовательности тривиальны по соображениям размер-
размерности. D
Следствие 7.41. Проекция ЕТ" хг« М2п —> ВТ" индуцирует моно-
мономорфизм Z[ttj ..., tn] -+Z[P] в когомологиях. Вложение слоя М2" ^->
«-»¦ ЕТ" хТп М2" индуцирует эпиморфизм ЩР] —> Н*(М2").
Отсюда также вытекает, что ядро проекции Ъ\Р\ —> И*(М2") есть в точ-
точности идеал J?i = (9|, ..., 9„), что завершает доказательство теоремы 6.24.
7.6. Обзор смежных конструкций
Конструкция 7.14 /(-степени пары пространств тесно связана с кате-
горными конструкциями пределов и копределов (в другой терминологии
обратных и прямых пределов соответственно) различных диаграмм над
категорией cat(K) граней и вложений комплекса К. (Объектами в cat(K)
являются симплексы а € /С, а морфизмами — вложения симплексов.) На-
Например, определение 7.27 является частным случаем этой процедуры: про-
пространство Дэвиса—Янушкиевича является копределом диаграммы про-
пространств над cat(/Q, которая сопоставляет симплексу а € К простран-
пространство ВТ°. Аналогичным образом можно описать /(-степень произволь-
произвольной пары. В случае, когда К является флаговым комплексом, копредел
над cat(/Q сводится к так называемому граф-произведению, изучаемо-
изучаемому в теории групп (см., например, [74]). Широко известными примерами
граф-произведений являются прямоугольные группы Кокстера и Арти-
на (см., например, [79], [80]). Более общий категорный подход к описан-
описанным выше конструкциям основан на использовании понятия гомотопи-
гомотопического копредела [60], [164]. Это фундаментальное понятие алгебра-
алгебраической топологии уже нашло интересные комбинаторные приложения,
см., например, [165]. Комплекс 2?к можно рассматривать как гомотопиче-
гомотопический копредел некоторой диаграммы торов; эта интерпретация аналогична
описанию торических многообразий как гомотопических копределов, пред-
предложенному в [165]. Дополнительную информацию об этом круге вопросов
можно найти в [143].
Изложенная в этой главе комбинаторная теория пространств с дей-
действием тора имеет «вещественный» или Z/2-аналог. Здесь мы лишь при-

180 Глава 7. К -степени пространств и торические действия
ведем ряд соответствующих понятий, отсылая читателя к работам [79], [80]
за более детальным изложением. Первым шагом является переход от то-
тора Тт к его «вещественному аналогу», т.е. группе (Z/2)m. Стандартный
куб /т = [0, 1]т служит пространством орбит для действия (Z/2)m отра-
отражениями на большем кубе [—1, 1]ш, который, в свою очередь, может рас-
рассматриваться как «вещественный аналог» полидиска (D2)m с Ст. Теперь
с каждым кубическим подкомплексом # с /ш можно связать (Z/2) -сим-
-симметричный кубический комплекс, вложенный в [—1, I], аналогично тому,
как это делалось в определении 7.10 в торической ситуации. В частности,
для любого симплициального комплекса К на множестве вершин [т] мож-
можно определить вещественные версии Ж2?к и ШРК комплексов 2?к и WK G.3).
В обозначениях конструкции 7.14 мы имеем
,{-1, 1})*,
где{1, — 1}=д[— 1, 1]. Этот комплекс изучался, например, в работе [45] под
названием зеркальной конструкции. Если К является симплициальной
(п — 1)-сферой, то Ж2?к является «-мерным многообразием (это доказы-
доказывается так же, как и лемма 7.13). Тем самым для любой симплициальной
сферы /С" с т вершинами мы получаем (Z/2)m-симметричное л-много-
образие с (Z/2)m-инвариантным кубическим разбиением. Результаты [45]
показывают, что этот класс кубических многообразий является полезным
в комбинаторной теории векторов граней кубических комплексов. Веще-
Вещественный аналог ШЗ?Р многообразия 2?Р является универсальным абе-
левым накрытием многогранника Я, рассматриваемого как орбиобразие
(или многообразие с углами), см. [97, §4.5]. В работе [19] многообразия
Ж2?Р и 2?Р были интерпретированы как конфигурационные пространства
для шарнирных механизмов в R2 и R3.
Пример 7.42. Пусть Р2т — m-угольник. Тогда М^г является двумер-
двумерным многообразием. Легко видеть, что Ж2?рч =R3fA2 = S2 (двумерная сфе-
3
ра, склеенная из 8 треугольников) и Ж2?Р2 —Ж2^А\ хА\ = Т (двумерный тор,
склеенный из 16 квадратов). В общем случае, Ж%"Р2 склеивается из 2т
т-угольников, сходящихся по 4 в каждой вершине. Таким образом, мы
имеем m2m~2 вершин и т2т~| ребер, так что эйлерова характеристика есть
Следовательно, К^/>2 есть поверхность рода 1 -2m~' +m2m~3. Это так-
также можно увидеть непосредственно, раскладывая Р2т в связную сумму
(т — 1)-угольника и треугольника и применяя вещественную версию при-
примера 7.23.
Заменяя тор Тп на (Z/2)" в определении 6.16, мы получаем веществен-
вещественные аналоги квазиторических многообразий, которые были введены в [79]

7.6. Обзор смежных конструкций 181
под названием малые накрытия. Таким образом, малое накрытие над
простым многогранником Рп представляет собой (Z/2)"-многообразие Мп
с пространством орбит Рп. Название объясняется тем фактом, что любое
разветвленное накрытие над Р" (как над орбиобразием) гладким многооб-
многообразием имеет как минимум 2" листов. Малые накрытия изучались в [79]
наряду с квазиторическими многообразиями; многие результаты из нашего
раздела 6.3 имеют очевидные аналоги в случае малых накрытий. Кроме
того, как и в торическом случае, каждое малое накрытие является фак-
торпространством универсального накрытия Ж% по свободному действию
группы (Z/2)m~rt.
Важный класс малых накрытий (а также квазиторических многообра-
многообразий) был введен в [79, Ex. 1.15] под названием многообразий, индуциро-
индуцированных из линейной модели. Они соответствуют простым многогранни-
многогранникам Рп, для которых двойственные симплициальные сферы Кр допускают
невырожденное симплициальное отображение в Д". (Заметим, что это
всегда верно, если Кр является барицентрическим подразбиением другой
многогранной сферы, см. пример 2.15.) В этом случае многогранник Рп
допускает характеристическое отображение специального вида: каждой
гиперграни сопоставляется некоторая координатная одномерная подгруп-
подгруппа Ti с Тп (или (Z/2); С (Z/2)" в случае малых накрытий). Многообразия,
индуцированные из линейной модели, обладают многими замечательными
свойствами, например, они являются стабильно параллелизуемыми [79,
Сог. 6.10], ср. с теоремой 6.38. Существование невырожденного симпли-
циального отображения из Кр в Ап~] эквивалентно тому, что многогран-
многогранник Рп допускает правильную раскраску в п цветов. Это означает, что
гиперграни Рп можно раскрасить в п цветов таким образом, что любые
две соседних гиперграни будут иметь различные цвета. Простой много-
многогранник Рп допускает правильную раскраску в п цветов тогда и только
тогда, когда любая его двумерная грань имеет четное число ребер (см.,
например, [ПО]). Ряд результатов о малых накрытиях, индуцированных
из линейной модели, в размерности 3 был получен в работе [20]. Там было
показано, что любое такое малое накрытие Мъ допускает эквивариантное
вложение bI4=I3xR со стандартным действием (Z/2K на 1R3 и три-
тривиальным действием на R. Кроме того, в [20] было показано, что любое
малое накрытие Af3, индуцированное из линейной модели, можно получить
из набора 3-мерных торов применением операций эквивариантной связной
суммы и эквивариантной перестройки Цена.
Хотя не любой простой 3-многогранник допускает правильную рас-
раскраску в 3 цвета, благодаря теореме четырех красок всегда существует
правильная раскраска в 4 цвета. Этот факт был использован в [79,
Ex. 1.21] для доказательства того, что над любым простым 3-много-

182 Глава 7. /(-степени пространств и торические действия
гранником существует малое накрытие (и квазиторическое многообразие).
Действительно, можно определить характеристическое отображение, со-
сопоставляя первым трем цветам три координатные одномерные подгруппы
в Г3 и сопоставляя четвертому цвету диагональную подгруппу.
Было бы также весьма интересным развить кватернионный аналог
излагаемой теории. В отличие от вещественного случая, здесь сделано
достаточно мало. Кватернионным аналогом тора Т" является некомму-
некоммутативная группа Sp(l)" = (S3)". Определение кватернионных аналогов
торических и квазиторических многообразий весьма проблематично. В ра-
работе [148] был построен кватернионный аналог характеристического
отображения. Однако, ввиду ее некоммутативности, группа Sp(l)" не
содержит достаточного количества подгрупп и, вообще говоря, не может
действовать на соответствующих «кватернионных торических многообра-
многообразиях». В то же время, так как в конструкции комплекса 2?к участвуют
лишь координатные подгруппы тора Тт, эта конструкция непосредственно
обобщается на кватернионный случай.
В заключение мы покажем, как конструкция 7.14 /(-степени приводит к
конструкции классифицирующего пространства для любой топологической
группы G, см. приложение А.
Пример 7.43. Пусть К — симплициальный комплекс на множестве
[га] и G—топологическая группа. Положим 2fK{G) := (coneG, G)K> где
coneG обозначает конус над G с очевидным G-действием. По построе-
построению, группа Gm действует на 2?K{G) с пространством орбит сопеД". Также
легко видеть, что группа G, как диагональная подгруппа в Gm, действует
на ^vc(G) свободно. Таким образом, 2?k{G) является пространством глав-
главного G-расслоения.
Пусть теперь К\ С /(г С... С /(,• С ... —последовательность вложенных
симплициальных комплексов, в которой комплекс /(, является /-смежност-
ным. Группа G действует свободно на пространстве lim^c.(G), которое
является стягиваемым согласно предложению 7.34. Следовательно, соот-
соответствующее пространство орбит является классифицирующим простран-
пространством BG. Мы имеем следующую фильтрацию в универсальном расслое-
расслоении EG-+BG:
(G)/G «
Заметим, что в случае К; = А' эта фильтрация в универсальном главном
G-расслоении есть не что иное, как классическая фильтрация Милнора.

Глава 8
Когомологии /(-степеней
и комбинаторика триангулиро
ванных многообразий
Здесь мы продолжаем изучение топологических инвариантов /(-степе-
/(-степеней пространств (в частности, алгебры когомологии комплекса 2?к). Опи-
Описываются взаимосвязи этих инвариантов с коммутативной и гомологиче-
гомологической алгеброй симплициальных комплексов и многогранников.
8.1. Алгебра когомологии комплекса
В этом разделе мы описываем алгебру когомологии комплекса
в терминах кольца граней к[К\. Мы приводим два подхода к доказатель-
доказательству основного утверждения. Первый основан на применении спектральной
последовательности Эйленберга—Мура (см. приложение Д), что прак-
практически сразу ведет к необходимому результату. Однако этот подход
эффективно работает лишь в случае когомологии с рациональными ко-
коэффициентами. Другой подход основан на более детальном изучении
клеточных когомологии комплекса 2?ц методами классической комбина-
комбинаторной топологии и гомологической алгебры. Такой подход был заложен
авторами в работе [10] и получил существенное развитие в работе Баска-
Баскакова [5]. Достоинство этого подхода заключается в его независимости
от кольца коэффициентов; в частности, он работает над целыми числами.
В каждом из подходов алгебра когомологии комплекса 2?к отождествля-
отождествляется с Тог-алгеброй кольца граней к[/С], введенной и описанной нами
в разделе 3.3. В качестве непосредственного следствия мы получаем, что
алгебра когомологии 2?к приобретает каноническую биградуированную
структуру. Кроме того, устанавливается связь между топологическими

184 Глава 8. Когомологии/(-степеней
числами Бетти комплекса 2?к и алгебраическими числами Бетти кольца
граней к[К], что приводит к важным комбинаторным последствиям.
Теорема 8.1. Имеет место следующий изоморфизм градуирован-
градуированных алгебр
] Vm](Q[K], Q).
Эту формулу можно рассматривать как изоморфизм градуирован-
градуированных алгебр, где градуировка в правой части определяется полной
степенью, и как способ задания биградуированной структуры в ле-
левой части. В частности,
-i+2j=p
где в правой части стоят биградуированные числа Бетти, опреде-
определяемые формулой C.8).
Доказательство. Рассмотрим коммутативную диаграмму
ЕТт , (8.1)
DJ(K)
где левая вертикальная стрелка обозначает расслоение, индуцированное
вложением /. Следствие 7.31 показывает, что пространство Е гомотопиче-
ски эквивалентно 2?к. Соответствующая спектральная последовательность
Эйленберга—Мура имеет член Е2 вида
и сходится к
TorA.{BTm)(A*(DJ(K)), А
(здесь Л* обозначает алгебру Сулливана—де Рама, см. замечание в конце
приложения Д).
Так как пространства ВТт — (СР°°)т и DJ(K) являются формальными
(см. лемму 7.35), существуют гомоморфизмы дифференциальных градуи-
градуированных алгебр
H*(DJ(K), Q) = Q[/C] - A*(DJ(K)),
индуцирующие изоморфизмы в когомологиях (т. е. квазиизоморфизмы).
Кроме того, так как пространство ЕТт стягиваемо, мы имеем цепную

8.1. Алгебра когомологий комплекса 2?к 185
эквивалентность А*(ЕТт) ~Q. Из свойств функтора Тог в категории диф-
дифференциальных алгебр вытекает, что мы имеем изоморфизм
TorA.lBTm)(A*(DJ(K)), A*(ETm)) a Toiq,,, Vm](Q[K\, Q).
Отсюда вытекает утверждение теоремы, а также тот факт, что рассматри-
рассматриваемая спектральная последовательность Эйленберга—Мура вырождает-
вырождается в члене Е2. ?
Теперь мы изложим другой подход к доказательству предыдущей теоре-
теоремы. Ниже мы построим дифференциальную градуированную алгебру, кото-
которая, с одной стороны, будет изоморфна клеточным коцепям комплекса 2?Ку
а с другой стороны, ее когомологий будут изоморфны TorZ[Ulv..(ym](Z[/C], Z).
Конструкция 8.2. Введем факторалгебру
/Г(/0 := А[и,, ..., ит] ® Z[K]/{v? = щи, = 0, i = 1, ..., /я).
Дифференциал и биградуировка определяются соотношениями C.4). Пусть
р:Л[«|, ..., ит] ®Ъ\К] —>R*(K)—каноническая проекция. Алгебра R*(K)
имеет конечный аддитивный базис из мономов вида иыиау где со С [га], a е К
и а) П а = 0 (напомним, что мы используем обозначение иы = и,-, ... щы для
<*) = {/),..., ik}). Таким образом, мы имеем аддитивное вложение (мономор-
(мономорфизм биградуированных дифференциальных модулей)
которое удовлетворяет соотношению р • t = id.
Напомним, что в силу леммы 3.19 мы имеем изоморфизм
Torz(y, Vm](Z[K], Z) a H[A[uu ..., ит] ® Z[/C], rf].
Оказывается, что алгебра R*(K), будучи конечномерной над Z, имеет те же
когомологий, что и Л[«|, ..., ит] ® Z[/C]. Более того, имеет место следую-
следующее утверждение.
Лемма 8.3. Гомоморфизм р:А[ии ..., ит] ®Ъ[К] -*R*(K) дифферен-
дифференциальных (би)градуированных алгебр является квазиизоморфизмом,
т.е. индуцирует изоморфизм когомологий.
Доказательство. Приводимое доказательство аналогично доказатель-
доказательству ацикличности резольвенты Кошуля (см. конструкцию 3.13). Мы по-
построим оператор s, являющийся коцепной гомотопией между отображени-
отображениями id и t • р из алгебры Л[«|,..., ит] ® Ъ[К] в себя, т. е. удовлетворяющий
соотношению
ds + sd = id - t • p. (8.2)
Вначале рассмотрим случай /С = Дш~'. В этом случае алгебра Л[мь ...
•.. , ит]®Ъ[К\ есть
Е = Ет = Л[и,, ..., ит] ® Z[u, 4 (8.3)

186 Плавав. Когомологии /(-степеней
а алгебра R*(K) изоморфна алгебре
(А[и] 0 Z[y]/(u2 = uv = 0))®ш. (8.4)
Для га = 1 определим отображение SjiE0-* = k[v] —> ?"'•* по формуле
' = (a2v 2 ]
Тогда для / = по + Я)у +... + ajo'1 GE°-2j мы имеем dsi/ = / — flo — fliу =
= / — tp/, a S| d/ = 0. В то же время для fu е Е~и2' имеем ds\{fu) = 0,
a S\d(fu) = fu — aou = fu — ipfu. В любом случае имеет место соотноше-
соотношение (8.2). Далее по индукции мы можем предположить, что для т = k — 1
оператор коцепной гомотопии s*_i:?*_i —>?*_i уже построен. Так как
?* = ?*_j ® ?|, р* = p*_i ® pi и I* = i*_i ® t|, непосредственная проверка
показывает, что отображение
sk = sk-i ® id + t*_ip*_i ® Si
является коцепной гомотопией между id и ikpk.
В случае произвольного комплекса К алгебры Л[М|, ..., ит] ®Z[/(]
и R*(K) получаются дополнительной факторизацией алгебр (8.3) и (8.4)
по идеалу Стенли—Райснера SK. Непосредственно проверяется, что по-
построенный выше оператор s опускается на эти факторалгебры. Следова-
Следовательно, он определяет необходимую коцепную гомотопию. ?
Теперь мы рассмотрим клеточное разбиение комплекса 2?к, см. лем-
лемму 7.17. Клетки из &к параметризуются векторами &е{D, Т, \}т с SD eК.
Сопоставим каждой паре a, w непересекающихся подмножеств в [га] век-
вектор «^(а, о), имеющий S{o, fc>)D =а, «^"(а, ы)Т = w. Таким образом,
является клеткой из ^ тогда и только тогда, когда а еК. Пусть
и С*B?к) обозначают соответственно комплексы клеточных цепей и ко-
коцепей для 2fK (с целым коэффициентами). Комплекс С*B&к) имеет адди-
аддитивный базис из коцепей «^"(а, а>)*. Мы можем рассматривать С*B?к) как
биградуированный дифференциальный модуль, положив
= (-|<о|, 2|о|
Тогда клеточный дифференциал прибавляет A,0) к бистепени. Отсюда
видно, что размерности биградуированных компонент в С*B?к) и R*(K)
совпадают. Более того, непосредственная проверка показывает, что имеет
место следующее утверждение.
Лемма 8.4. Отображение
g: R*(K) -> СтBк), uava » ЗГ{су со)*

8.1. Алгебра когомологий комплекса 2?к 187
представляет собой изоморфизм дифференциальных биградуиро-
ванных модулей. В частности, имеет место аддитивный изомор-
изоморфизм
Замечание. На основе предыдущей леммы мы можем также получить
другое, топологическое, доказательство существования квазиизоморфиз-
квазиизоморфизма из леммы 8.3. Для этого мы отождествим алгебру Л[«|, ..., ит] ® ЩК]
с клеточными коцепями некоторого пространства, гомотопически эквива-
эквивалентного комплексу 2?к. Пусть S°° — бесконечномерная сфера, получаемая
как прямой предел (объединение) вложенных стандартным образом друг
в друга нечетномерных сфер. Каждую нечетномерную сферу S2k+l можно
получить из сферы S2* путем приклеивания двух клеток размерностей 2k
и2Л+1:
Здесь отображение f:dD2k —> S2k~l тождественно (и имеет степень 1), а
отображение g:dD2k+l =S2k —>D2* есть проекция сферы на экваториаль-
экваториальную плоскость (и имеет степень 0). Отсюда вытекает, что пространство S°°
стягиваемо и имеет клеточное разбиение с одной клеткой в каждой размер-
размерности такое, что граница четномерной клетки есть замыкание нечетномер-
ной клетки, а граница нечетномерной клетки есть нуль. Двумерным остовом
этого разбиения является диск D2, разбитый на клетки как на рис. 7.1, б,
а одномерным — окружность S1 С S°°. Соответствующий комплекс кле-
клеточных коцепей для S°° можно отождествить с алгеброй
degw=l, degu = 2, du = v, dv = 0.
Из вышесказанного вытекает, что если К — произвольный симплициаль-
ный комплекс, то для 2?K = (D2y SX)K имеет место последовательность отоб-
отображений
ЗГК = (D2, S1)* «-> (S°°, SY -+ (D2, S')\
первое из которых есть вложение клеточного подкомплекса, а второе —
деформационная ретракция. С другой стороны, клеточные коцепи /(-сте-
/(-степени (S°°, S1)* отождествляются с Л[мь ..., ит] ®Ъ[К]. Таким образом,
вложение клеточного подкомплекса 2?к с (S°°y Sl)K задает эпиморфизм
клеточных коцепей
Л[И|, ..., ит] ® Z[/C] - С*BГК) = R*(K),
который индуцирует изоморфизм в когомологиях. Так как это отображение
на самом деле является гомоморфизмом алгебр, оно является квазиизо-
квазиизоморфизмом. На самом деле оператор коцепной гомотопии, построенный

188 Глава 8. Когомологии /(-степеней
в доказательстве леммы 8.3 есть не что иное, как оператор, индуцируемый
на коцепях описанной выше гомотопией.
Наша ближайшая цель — показать, что изоморфизм, описанный в пре-
предыдущей лемме, является мультипликативным. Эта задача осложняется
тем, что в клеточных коцепях, вообще говоря, нет функториального ассо-
ассоциативного умножения. Классическое определение умножения в когомоло-
гиях включает диагональной отображение, которое не является клеточным.
Однако в нашем случае удается построить каноническую аппроксимацию
диагонального отображения Д:^->^х^ так, что соответствующее
умножение в клеточных коцепях совпадает с умножением в алгебре R*(K).
Стандартное определение умножения в когомологиях пространства X
через клеточные коцепи [29] заключается в следующем. Рассмотрим
сквозное отображение комплексов клеточных коцепей
С*(Х) ® С*(Х) Л С*(Х хХ)-^> С*(Х). (8.5)
Здесь отображение х сопоставляет клеточной коцепи С\ ® с2 Е CQl (X) <g>
® СЧ7(Х) коцепь С| х с2е CQ]+q2(X х Х)у которая на клетке в\ х е2 GX х X
принимает значение, равное {—\)Я]Я2С\{е\)с2{е^). Отображение А* ин-
индуцируется клеточной аппроксимацией А диагонального отображения
А:Х —>ХхХ (которое не является клеточным). В когомологиях отоб-
отображение (8.5) индуцирует умножение Н*(Х)®Н*(Х) -+ Н*(Х), которое
функториально и не зависит от выбора клеточной аппроксимации. (Од-
(Однако само отображение (8.5) не является функториальным именно в силу
произвола в выборе клеточной аппроксимации.)
Лемма 8.5. Имеет место изоморфизм биградуированных алгебр
Доказательство. Вначале построим клеточную аппроксимацию А диа-
диагонального отображения А:ЗГК —> 2?к х 2?к. На первом шаге рассмотрим
случай К = А0, тогда ^ = D2. Введем полярные координаты: z = ре'ф е D2,
р е [0, 1], tp G [0, 2тс). Определим A: ?>2 —> D2 x D2 по формуле
{A + p(e2'v — 1), 1) при tp G [0, тс],
A, l+p(e2'v-l) приср€[тс, 2я).
Легко видеть, что это действительно клеточное отображение, переводящее
3D2 в 3D2 х 5D2 и гомотопное Д в классе таких отображений. Клеточный
коцепной комплекс C*(D2) аддитивно порождается коцепями 1 е C°(D2)y
Т* G C*(D2) и D* G C2(D2) (двойственными к соответствующим клеткам,
см. рис. 7.1, б). Непосредственно проверятся, что умножение в C*(D2)y

8.1. Алгебра когомологий комплекса 2?к
189
определяемое (8.5), тривиально, так что мы имеем мультипликативный изо-
изоморфизм
/Г(Д°) = Л[м] ® Z[v]/(v2 = uv = 0) -> C*(D2).
Отсюда вытекает, что и для /С = Дт~' мы имеем клеточную аппроксимацию
A: (D2)m —»¦ (D2)m x (D2)m диагонального отображения и мультипликатив-
мультипликативный изоморфизм:
/:
t ..., uM)(8>Z[vu ...tvm]/(vf
2 _
Из определения комплекса 2?к (см. G.5)) вытекает, что клеточная аппрок-
аппроксимация A: (D2)m —> (ZJ)m x (D2)m определяет для любого К клеточную
аппроксимацию А: 2?к —> 2?к х ^, замыкающую коммутативную диаграм-
диаграмму
х
2)m
х (D2)
Отсюда также следует, что вложение 2fK —* (D2)m индуцирует мультипли-
мультипликативное отображение q:C*((D2)m) —> С*(&к)у где умножение в клеточных
коцепях определяется из (8.5). Теперь рассмотрим коммутативную диа-
диаграмму
-])—^C*((D2)m)
Здесь отображения р, f и q мультипликативны, a g является аддитивным
изорфизмом в силу леммы 8.4. Докажем, что g также мультипликативно.
Пусть а, р €R*(K). Так как р — эпиморфизм, мы имеем <х= р(а') и р= рф').
Тогда
(ap) = gp(a'p') = qftfp) = gp(<t')gp(g?) = g(*
что и требовалось. Следовательно, g — мультипликативный изоморфизм,
что завершает доказательство. ?
Комбинируя результаты лемм 3.19, 8.3 и 8.5, мы приходим к главному
результату этого раздела.
Теорема 8.6. Имеют место изоморфизмы биградуированных ал-
алгебр
*<*BГК) ? Torz[Ul vJZ[K]y Z) s
, ..., um]
, d),

190 Плавав. Когомологии /(-степеней
где биградуированная структура и дифференциал в последней ал-
алгебре определяются соотношениями C.4).
Далее мы не будем различать алгебры R*(K) и С*B?к) и отождествим щ
с 77, a vt с D*.
В качестве первого приложения полученных результатов мы опишем
умножение в когомологиях комплекса 2?к в терминах полных подкомплек-
подкомплексов в К.
Вначале заметим, что биградуированный комплекс клеточных коцепей
пространства 2?к можно рассматривать как мультиградуированный следу-
следующим образом:
uC|ffl]
где С*'2(Л(&к) — подкомплекс, порожденный коцепями иы\аиа с oCw и
о е К. Соответствующим образом раскладываются и биградуированные
группы когомологии:
Н~1'21(Хк) = 0 Н-1-*"Bк), (8.6)
соС(т],
11
где Н~'1'Ы(ЗГК) := //
Напомним, что для каждого подмножества <о С [т] мы имеем полный
подкомплекс /Cu = {oG/(:aCw}, который можно рассматривать как огра-
ограничение К на а>. Далее мы введем умножение в прямой сумме
aC|ffl|
где как обычно H~l@) = Z. Рассмотрим два элемента аеЙр(КЫ]) и
Ь ? ЙЯ(КЫ2)- Предположим сначала, что W| П W2 = 0. Тогда мы имеем
вложение подкомплексов
и изоморфизм приведенных симплициальных коцепей
/: С>(КЩ) ® С'(КЫ2) ^ Ср+"+1(КЫ] * КЫ2).
Теперь положим
_ ' 0, а>, П оJ ф 0,

8.1. Алгебра когомологий комплекса 2Рц 191
Теорема 8.7 (см. [4, теорема 1]). Имеют место функториальные
относительно симплициальных отображений изоморфизмы
индуцирующие изоморфизм колец
шС[/п)
Доказательство. Утверждение об изоморфизме групп когомологий вы-
вытекает из того факта, что соответствие а* ь-> иш\аиа определяет функтори-
альный изоморфизм коцепных комплексов
Утверждение об изоморфизме колец вытекает из приведенной выше кон-
конструкции умножения и леммы 8.5. ?
Следствие 8.8. Мы имеем
шС[т],
Н
В качестве дальнейшего следствия получаем эквивалентную формули-
формулировку теоремы 3.17 Хохстера, доказательство которой было обещано в
главе 3.
Следствие 8.9 (Хохстер). Имеет место изоморфизм групп
uC|m]
Следующее утверждение бывает полезным в практических вычислениях
когомологий комплекса 2?к.
Предложение 8.10. Спектральная последовательность Серра
главного Тт-расслоения ЕТт х 2fK —* BT2fK вырождается в члене Еъ,
т.е. ?3 = ?оо.
Доказательство. Рассматриваемая нами спектральная последователь-
последовательность сходится к Н*(ЕТт х 2?к) = Н*B?к). Член Е2 имеет вид
Дифференциал в члене Е2 действует как в C.4). Следовательно,
в силу теоремы 8.6.

192 Глава 8. Когомологии К -степеней
Теперь мы сведем результаты предложения 3.4, лемм 3.21 и 7.18, след-
следствия 7.33 и теоремы 8.6 в следующем утверждении, описывающем функ-
ториальные свойства соответствия К •—»¦ 2?к-
Предложение 8.11. Рассмотрим следующие функторы:
а) 2?, ковариантный функтор К *-* 2?к из категории конечных
симплициальных комплексов и симплициальных отображений в ка-
категорию пространств с действием тора и эквивариантных отоб-
отображений;
б) к[«], контравариантный функтор К *-> к[/С] из симплициальных
комплексов в градуированные k-алгебры (функтор Стенли—Райс-
нера);
в) Tor-alg, контравариантный функтор
К ~ Тогк1„, Vm](k[K], к)
из симплициальных комплексов в биградуированные k-алгебры (этот
функтор можно получить как композицию к[] и Тогк[„, „т)(-, к));
г) Mj, контравариантный функтор и X ь-» Hf(X; к) из категории
пространств с действием тора и эквивариантных отображений
в k-алгебры (функтор эквивариантных когомологии)',
д) //*, контравариантный функтор Х\-+Н*(Х; к) из пространств
в k-алгебры (функтор обычных когомологии).
Тогда мы имеем следующие тождества:
= Tor-alg.
Из второго тождества вытекает, что для каждого симплици-
ального отображения <р: К\ —> /Сг соответствующее отображение
в когомологиях ц*тз:Н*B?К2) —> Н*B?К{) совпадает с индуцированным
гомоморфизмом Tor-алгебр <р* C.10). В частности, отображе-
отображение ср индуцирует гомоморфизм биградуированных когомологии
В случае, когда К является комплексом Коэна—Маколея, мы имеем
следующую редуцированную версию изоморфизма из теоремы 8.6.
Предложение 8.12. Пусть Кп~1 является комплексом Коэна—Ма-
Коэна—Маколея, и пусть t — регулярная последовательность длины п в к[/С].
Тогда мы имеем следующий изоморфизм алгебр:
Н*BГК; к)^Тогк1„, Vmm(k[K]/(t), к).
Доказательство. Это вытекает из теоремы 8.6 и леммы 3.25. ?
Заметим, что алгебра k[K]/(t) имеет конечную размерность над к (в от-
отличие от к[/С]). В некоторых ситуациях это позволяет вычислять когомоло-
когомологии комплекса 2fK более эффективно. Мы вернемся к этому в разделе 8.3.

8.2. Биградуированные числа Бетти комплекса 2?к 193
8.2. Биградуированные числа Бетти комплекса
Рассмотрим биградуированные числа Бетти
K) = dimH-q2P{2k, k), <7, р = 0, ..., m, (8.7)
где к — поле нулевой характеристики. В силу теоремы 8.6 выполняется
равенство
) = dim Tor-^vJk[Kh k) = p-^(k[^])f (8.8)
см. C.8). Для обычных чисел Бетти комплекса ^ имеет место соотноше-
соотношение
Ьк(ЗГк)= Y, ь-я*р&к), k = 0,...,m + n. (8.9)
-q+2p=k
Следующее утверждение описывает некоторые простейшие свойства
биградуированных чисел Бетти (8.7).
Лемма 8.13. Пусть Кп~1 —симплициальный комплекс с т — /0 вер-
вершинами и /i ребрами; тогда dim 2fK = m + п и справедливы соотно-
соотношения
а) Ьм(ЗГк) = bQ{2fK) = 1 и Ьо,2Р(&к) = 0 при р > 0;
б) b_q 2р — 0 при р > т или q > р\
д) Ъ-щ2р(%к) = 0 при q ^ р > 0 шш р -q>n\
е) Ьт+Я(&к) = ^_(/п_я),2ш(^<).
Доказательство. В вычислениях мы будем использовать дифферен-
дифференциальную алгебру R*(K), когомологии которой совпадают с Н*B?к). Как
модуль, /?*(#) имеет базис из мономов ишиа с a G /С and а П со = 0. Так как
bidegy, = @, 2), bidegwy = (—1, 2), биградуированная компонента R~4'2p(K)
порождена мономами и^а с \о\ = p-q и |со| = ^. В частности, R~q2p(K) = 0
при р > т или q > р, откуда вытекает утверждение б). Для доказатель-
доказательства а) заметим, что R00(K) порождается единицей, а любой элемент
vc e R°'2p(K) с р > 0 является кограницей, откуда Н°-2рB?к) = 0 при р > 0.
Теперь докажем утверждение д). Пусть uuvg e R~q'2p(K), тогда а € /С,
а любой симплекс из /С имеет не больше п вершин. Поэтому R~g2p(K) = 0
при р — q > п. В силу б), мы имеем Ь^д<2р(^к) = 0 при G > р, так что необ-
необходимо лишь установить, что Ь-_д<2<,(%к) = 0 при q > 0. Модуль R~g2g(K)
порождается мономами ww с |со| = q. Так как d(ui) = у,-, непосредственная
проверка показывает, что в R~g'2q(K) нет ненулевых коциклов при q > 0,
т.е.//-**Eх) = 0.
Утверждение в) вытекает из д) и (8.9).

194
Плавав. Когомологии /(-степеней
Из д) также следует, что НгB?к) — Н~1АB?К). Базис в R~1A(K) состо-
состоит из мономов UjVi, i Ф j. Мы имеем d{UjVi) = vtVj и d(utuj) — u,Vi - щьг
Таким образом, щщ является коциклом тогда и только тогда, когда {/, /}
не является 1-симплексом в /С; в этом случае два коцикла ир{ и UiVj
представляют один класс когомологии. Отсюда вытекает утверждение г).
Оставшееся утверждение е) следует из того факта, что моном исиш е
е R*(K) имеет максимальную полную степень т + п тогда и только тогда,
когда |о| = п и |<т| = т — п. D
Лемма 8.13 показывает, что ненулевые биградуированные числа Бетти
Ьг2Р{2?к), гф§, могут появляться только в полосе, ограниченной прямыми
р = т, г = -1, р + г= \ и р + г = п, см. рис. 8.1, а.
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
2
,
4
2
0
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
2
¦
4
2
0
-т -(т-п) 1 0 —т -(т-п) 1 О
а) Произвольный Кп~1 б) \К\ 2iSn~l
Рис. 8.1. Возможные месторасположения ненулевых биградуированных чисел Бетти
(обозначены символом *)
Биоднородная компонента C_fli2p(^7c) имеет базис из клеточных цепей
а, со) с a G К, \а\ = р — q и |со| = q. Отсюда получаем
(8.10)
где (/о, /ь ..., fn-i) — /-вектор комплекса Кп~1 и /_! = 1. Клеточный гра
ничный оператор д не изменяет второй градуировки, т. е.
д: С-
Следовательно, цепной комплекс Стл(&к) представляется в виде
т
р=0

8.2. Биградуированные числа Бетти комплекса 2?к 195
Рассмотрим эйлерову характеристику комплекса [С*2р(&к), д]:
(8.11)
т т
q=0 q=0
Определим порождающий многочлен х(&к', О
т
р=0
Далее мы вычисляем этот многочлен в терминах Л-вектора комплекса К.
Теорема 8.14. Для любого симплициального комплекса Кп~х с т
вершинами имеет место соотношение
0 = 0- t2)m-n(ho + hxt2 + ... + hnt2n) = A - t2)mF{k[K]\ t), (8.12)
где (h0, hu ..., hn) есть h-вектор комплекса К.
Доказательство. Из (8.11) и (8.10) вытекает, что
Тогда
р=0 р=0 /=0
,.,/«A - /*)-' = A - /2Г Е /ы(/ - 1Г- (8.14)
Положим Л@ = Ло + /ii / + ... + hntn. Тогда из A.7) получаем
i=0
Подставляя в последнем тождестве /~2 вместо t, мы окончательно можем
переписать (8.14) как
к\ 0 = Г22 2
=
(/-2-1)" A-<2)"'
что эквивалентно первому из тождеств (8.12). Второе тождество вытекает
из леммы 3.8. ?
Формула из предыдущей теоремы позволяет выражать числа граней
симплициального комплекса в терминах биградуированных чисел Бетти
соответствующего комплекса 2?к.

196 Глава 8. Когомологии К -степеней
Следствие 8.15. Если К Ф Д7" (т. е. т > п), то эйлерова характе-
характеристика комплекса 2?к равна нулю.
Доказательство. Имеют место соотношения
т т
р,д=О />=0
и утверждение вытекает из (8.12). ?
Замечание. Другое доказательство последнего утверждения можно по-
получить заметив, что диагональная подгруппа S1 С Тт свободно действует
на 2fK. Таким образом, 2fK является пространством главного S1 -расслое-
-расслоения, что влечет х(&к) = 0.
Тор &0 = р~' A, ..., 1) = Тт является клеточным подкомплексом в 2fK,
см. лемму 7.19. Клеточный коцепной подкомплекс С*B?0) С С*B?к) =
= R*(K) имеет базис из коцепей <^@, со)* и при изоморфизме из тео-
теоремы 8.4 переходит во внешнюю алгебру А[и\, ..., ит] cR*{K). Отсюда
следует, что имеет место аддитивный изоморфизм
(8.15)
Введем относительные биградуированные числа Бетти
2 , d], q,p = 0,...,m, (8.16)
определим р-ю относительную эйлерову характеристику Хр\-*к, -z0) как
т т
<7=0 q=0
(8.17)
и введем соответствующий порождающий многочлен:
т
p=0
Теорема 8.16. Для любого симплициального комплекса Кп~1 с т
вершинами имеет место соотношение:
Доказательство. Так как С*B?0) = А[ии ¦-, ит] и bidegw, = (— 1, 2),
мы имеем
dimC-'?(^,) = dimC-
Из (8.15), (8.11) и (8.17) получаем
к) - (- 1)р dim С-

8.3. Биградуированные числа Бетти для симплициальных сфер 197
Следовательно,
; 0 -
т
в силу (8.12). ?
8.3. Биградуированные числа Бетти для
симплициальных сфер
Если К является симплициальной сферой, то 2fK — многообразие,
см. лемму 7.13. Это налагает дополнительные условия на когомологий
комплекса 2?к и приводит к некоторым интересным интерпретациям ком-
комбинаторных результатов и проблем из глав 2 и 3.
Теорема 8.17. Пусть /С" — некоторая симплициальная сфе-
сфера и &к — соответствующее многообразие, dim &к = т + п. Тогда
образующая группы Нт+пB?к) представляется любым мономом
vauu e R*(K) бистепени (-(т - п), 2т) таким, что о есть (п — \)-сим-
плекс в К и а П со = 0.
Доказательство. Мы имеем Hm+n{2fK) = H~(m~n)'2mBfK) в силу лем-
леммы 8.13 е). Модуль #-(я-л).2и1до порождается мономами исиш такими, что
се К, \а\ =п, со = [т] \ о. Каждый такой моном является коциклом. Пусть
а, а' —два (п — 1)-симплекса в К, имеющие общую (п — 2)-грань. Рассмот-
Рассмотрим соответствующие коциклы иаиш и vo>u^ (где со = [т] \ о, со' = [т] \ о'):
VoU» = vh ... vinuh ... uim_n, vju* = vix ... vin_t vhuinuh ... uim_n.
Так как /С" является триангуляцией сферы, любая (п — 2)-грань в К
лежит ровно в двух (п — 1)-гранях. Поэтому в алгебре R*(K) имеет место
тождество
dK • • • Vin-^nUhUi2-- ' Uim-n) = Vh • • • ЗД, • • • Uim-n ~ Vh • • • Vin-PhU^h" ' Uim-n-
Следовательно, [иаиш] = [v^u^] (как классы когомологий). Кроме того,
любые два (п - 1)-симплекса в К могут быть соединены такой цепью
симплексов, что любые два последовательных симплекса имеют общую
(п - 2)-грань. Итак, все мономы иаиш G R~{m~n)-2rn(K) с точностью до зна-
знака представляют один класс когомологий, который является образующей
группы Нт+п(&к). П
Замечание. В доказательстве предыдущей теоремы мы использова-
использовали два комбинаторных свойства комплекса Кп~х. Во-первых, что любая

198 Глава 8. Когомологии/(-степеней
(п — 2)-грань лежит ровно в двух (п — 1)-гранях, и во-вторых, что любые
два (п — 1)-симплекса могут быть соединены такой цепью симплексов, что
любые два последовательных симплекса имеют общую (п — 2)-грань. Чи-
Чистые симплициальные комплексы, удовлетворяющие этим двум условиям,
называются псевдомногообразиями (см., например, [149]). В частности,
любое триангулированное многообразие К является псевдомногообразием.
Кроме того, для того, чтобы группа Нт+пB?к) была ненулевой, необхо-
необходимо, чтобы К было ориентируемым. Итак, если /С"—ориентируемое
псевдомногообразие, то мы имеем Ьт+п(&к) = ?_(Ш-я),2/п(^) = 1, и обра-
образующая в HmJt'n{2fK) может быть выбрана, как описано в теореме 8.17.
Следствие 8.18. Двойственность Пуанкаре для многообразия 2?к,
соответствующего симплициальной сфере Кп~\ сохраняет бигра-
дуированную структуру в (ко)гомологиях и поэтому
в частности,
' (8.19)
Следствие 8.19. Пусть Кп~х —симплициальная сфера и 2ГК —со-
—соответствующее многообразие, dim 2?к — т + п. Тогда
а) b-q2pBi()—Q nPu о^т-п, с единственным исключением
б) 6_<?12Р(^)=0 при p—q^n, с единственным исключением
Ь-(т-п),2т = 1 •
Отсюда следует, что если Кп~х —симплициальная сфера, то ненулевые
биградуированные числа Бетти ЬГ2Р{2?к) с г^О и г Фт- п могут появ-
появляться только в полосе, ограниченной прямыми г = — (т — п — 1), г = — 1,
р + г=1 и р Л-r — п— 1, см. рис 8.1, б. Сравните это с рис. 8.1, а, соот-
соответствующим случаю общего комплекса К.
Пример 8.20. Пусть К = дАт~]. Тогда k[K] = k[vu ...yvm]/(vx...vm).
Легко видеть, что когомологии //[к[/С] <8> А[и{,..., ит], d] аддитивно поро-
порождаются классами 1 и [v\V2...vm-\Um]. Мы имеем 6eg(viV2...vm_\Um) =
= 2m — 1 и теорема 8.17 выражает тот факт, что моном V\ v2... vm_ t um пред-
представляет образующую в старших когомологиях многообразия 2fK ?S2m~l.
Пример 8.21. Пусть К — граница m-угольника Р2 с т ^ 4. Мы име-
имеем k[K\ — k[vu ..., vm\/Jp, где идеал JP порождается мономами vtvh
i — j фО, 1 mod т. Комплекс 2?к — 2?Р является многообразием раз-
размерности m + 2. Числа Бетти этого многообразия можно вычислить,
рассматривая спектральную последовательность Лере—Серра главно-
главного Г/"-расслоения 2?Р —> М4 для любого квазиторического многооб-
многообразия Af4 над Р2 (эта спектральная последовательность вырождается

8.3. Биградуированные числа Бетти для симплициальных сфер 199
в члене ?3; детали см. в [7]). Мы имеем
1 при k — О, т + 2;
О при k= 1, 2, т, т+ 1;
(8.20)
=
при 3 < к < т— 1.
Например, при т — 5 группа НЪB?Р) имеет 5 образующих, представленных
коциклами ад+2Е к[К\ <8>A[ut,..., w5], / = 1,.... 5, а группа НА{2?Р) име-
имеет 5 образующих, представленных коциклами y,w/+2u/+3, у = 1, ..., 5. Как
вытекает из теоремы 8.17, произведение коциклов у,И;+2 и VjUj+2Uj+z пред-
представляет ненулевой класс когомологий в Н7(&Р) тогда и только тогда, когда
все индексы *, * + 2, /', /' + 2, /' + 3 различны. Таким образом, для каждого
из 5 классов когомологий [у,«,+2] имеется единственный класс когомо-
когомологий [VjUj+2Uj+s] такой, что произведение [у,ы,+2] * [у/и/+2«;+з] не равно
нулю. Это наблюдение обобщается в следующем утверждении, описыва-
описывающем мультипликативную структуру в когомологиях многообразия 2?Р2,
соответствующего т-угольнику Р2.
Предложение 8.22 (кольцо когомологий 2?Рг). Пусть Р2 — некото-
некоторый т-угольник, т ^ 4. Тогда
а) единственными ненулевыми группами биградуированных ко-
когомологий многообразия &Рг являются Ноо(=№), н~р'2{р+1)(= Нр+2)
при р=\, ...,т-Ъи н-т+2>2т(= Нт+2у,
б) группа Я"р<2(р+1) свободна и порождается классами когомоло-
когомологий [и,иш] с |со| = р, i ? со и i ± 1 ^ со. Эти классы когомологий удовле-
удовлетворяют соотношениям, происходящим из dua> — 0 при |со'| = р + 1.
Соответствующие числа Бетти задаются формулами (8.20);
в) группа н~т+2-2т = Z порождается классом [viV2U3... ит]\
г) произведение классов когомологий [vilubil]efi~PiMpi+l) и [v^u^] E
ЕЯ"Р2-2(Р2+1) равно ±[vxv2uz...um], если {{/,}, {/2}, coi, co2} есть разбиение
множества [т] на непересекающиеся подмножества, и равно нулю
иначе.
Таким образом, единственными нетривиальными произведения-
произведениями в кольце Н*B?Р2) являются те, которые дают элемент в стар-
старших когомологиях.
Доказательство. Утверждение а) вытекает из следствия 8.19, утвер-
утверждение б) очевидно, а в) вытекает из теоремы 8.17. Для доказательства г)
заметим, что произведение двух классов п\ Е Н~Р['2{Р[+1) и а2 Е #~Р2-2(Р2+|)
имеет бистепень (—р, 2q) с q — р — 2 и поэтому может быть ненулевым,
только если оно лежит в ц-т+2-2т^ ввиду следствия 8.19. ?

200 Глава 8. Когомологии К -степеней
Из (8.11) и (8.19) вытекает, что для любой симплициальной сферы Кп~1
имеет место соотношение
Отсюда и из (8.12) мы получаем
(\-t2)n { ' (\-t2)
)m
(\-t-2)m -У
^hQt2n + hXt2(n
A -
Следовательно, Л/ = ЛЯ_,. Таким образом, соотношения Дена—Соммервил-
ля вытекают из биградуированной двойственности Пуанкаре (8.19).
Тождество (8.12) позволяет также интерпретировать различные нера-
неравенства для /-векторов симплициальных сфер или триангулированных
многообразий в терминах топологических инвариантов (биградуированных
чисел Бетти) соответствующих многообразий (или комплексов)
Пример 8.23. Используя разложение
m-n
\т~п _
) -
i=0
мы получаем из ТВГ для симплициальных сфер (см. следствие 3.39) и тож-
тождества (8.12), что для любой симплициальной сферы /С" имеет место
неравенство:
Пример 8.24. Используя лемму 8.13, мы вычисляем
(заметим, что bA{2fK) = 6_2,6(^) и Ьъ(&к) = b-lfi(&K) + 6_3l8(^)). Теперь
из (8.12) мы получаем
Отсюда вытекает, что неравенство ht < h2 (п ^ 4) из ОГНГ A.16) для сим-
симплициальных сфер эквивалентно неравенству

8.4. Произведения Масси в когомологиях 2?к 201
(Заметим, что это неравенство не имеет место при я = 2, см., например,
пример 8.21, и превращается в равенство при /2 = 3.) Следующее неравен-
неравенство /z2 ^ /*3 (п ^ 6) из A.16) эквивалентно следующему:
{Ш ~3 + Х) ~ {т " п " 1)^-1-4(^) + U№) - &-..б№) 3* 0. (8.22)
Мы видим, что неравенства из ОГНГ можно интерпретировать как «то-
«топологические» неравенства для (биградуированных) чисел Бетти некото-
некоторого многообразия. Это предоставляет возможность изпользовть тополо-
топологические методы (такие как эквивариантная топология или теория Морса)
для доказательства неравенств типа (8.21) или (8.22). Преимущество та-
такого топологического подхода к проблемам типа ^-гипотезы или ОГНГ
заключается в его независимости от того, происходит ли симплициальная
сфера К из многогранника или нет. На данный момент все известные дока-
доказательства необходимости условий ^-теоремы для симплициальных мно-
многогранников (включая оригинальное доказательство Стенли, приведенное
в разделе 6.1, доказательство Макмюллена [128] и недавнее доказатель-
доказательство Тиморина [27]) следуют одной и той же схеме. А именно, числа /*,,
/= 1, ..., п, интерпретируются как размерности градуированных компо-
компонент А1 некоторой алгебры Л, удовлетворяющей сильной теореме Лефше-
ца. Это означает, что существует элемент <о G А' такой, что умножение на со
определяет мономорфизм Л' —> Л'4 при / < - . Отсюда выводится, что
hi ^ hi+\ при / < Ur . Однако вопрос о существовании такого элемента со
остается открытым для симплициальных сфер /(, не являющихся много-
многогранными сферами. Это стимулирует поиски принципиально новой техники
для доказательства ^-гипотезы для симплициальных сфер.
8.4. Произведения Масси в когомологиях 2f^
Описание умножения в когомологиях комплекса 2?к, приведенное в
теореме 8.7, легло в основу геометрического подхода к построению нетри-
нетривиальных произведений Масси в когомологиях комплекса i2^, развитого
Баскаковым в [5]. Изложению этого подхода и посвящен данный раздел.
Необходимые сведения о произведениях Масси можно найти в приложе-
приложении Г. Там, в частности, объясняется, что наличие нетривиальных произ-
произведений Масси препятствует формальности многообразия 2?к и алгебры
R*{K) (см. конструкцию 8.2).
Пусть Ki — некоторая триангуляция сферы 5 с т« вершинами,
i = 1, 2, 3. Положим п\—П\ + п2 + щ, т\—т\ + т2 + т$ и
/С := /Ci * /Са * /Сз.

202 Глава 8. Когомологий К -степеней
Тогда К есть триангуляция сферы 5я, а 2?к —многообразие размерности
т + п. Выберем максимальные симплексы о\ е К\, а2, а2' 6 /B, <*2 П а2' = 0
и a3 G /(з. Теперь положим
где ?„(К) обозначает звездное подразбиение комплекса К относительно
симплекса а, см. определение 2.48. Тогда К есть триангуляция сферы Sn~]
сш + 2 вершинами. Теперь выберем образующие
р« е//я'-|(^к|) = ^я'Eя'), / = 1, 2, 3,
где К[пц\ обозначает полный подкомплекс в К, натянутый на подмножество
вершин [m-i]. Положим
а, = Y(p,) е Hn>-mm>(&R) С Нт
где у — изоморфизм из теоремы 8.7. Тогда мы имеем
р,р2 б//л'+'12-1(^к|и[.2|) = //Я1+Л2-1EЛ1+Л2-1 \pt) = O.
Поэтому aia2 = у(Р|рг) = 0 и аналогично a2a3 = 0. Следовательно, опреде-
определено соответствующее тройное произведение Масси.
Теорема 8.25. Тройное произведение Масси
в когомологиях (т + п + 2)~мерного многообразия ^ нетривиально.
Доказательство. Рассмотрим вложение трехмерной сферы S3 с ^,
соответствующее паре вершин, добавлямых к К = К\ * К2 * Кз в процес-
процессе двух звездных подразбиений. Так как эти две вершины не соединены
ребром в К, вложение сферы задает нетривиальный класс 3-мерных го-
гомологии многообразия ^. По построению, его двойственный по Пуанкаре
класс когомологий содержится в произведении Масси (ai, a2, аз). С другой
стороны, данное произведение Масси определено с точностью до элемен-
элементов из
Элементы из мультиградуированных компонент группы Hm2+mz+n2+n3-i
отличных от компоненты, определяемой полным подкомплексом R
не влияют на нетривиальность произведения Масси. В то же время, муль-
тиградуированная компонента, соответствующая полному подкомплексу
К[т2\и[т3\ является нулевой, так как этот подкомплекс стягиваем. Ана-
Аналогично рассматривается группа ЯШ|+'Л2+Л|+Я2~1(^). Окончательно мы
получаем, что указанное произведение Масси содержит единственный

8.4. Произведения Масси в когомологиях 2?к
203
ненулевой элемент в своей мультиградуированной компоненте и поэтому
нетривиально. D
Следствие 8.26. Для каждой триангуляции К сферы Sn~\ полу-
полученной описанным выше способом, 2?ц является 2-связным нефор-
неформальным многообразием.
В следующем примере мы проиллюстрируем описанные выше кон-
конструкции в терминах алгебры R*(K), изоморфной клеточным коцепям
комплекса 2?ц.
Пример 8.27. Рассмотрим простой многогранник Р3, изображенный
на рис. 8.2.
Рис. 8.2
Этот многогранник получается из куба «срезанием» двух несмежных
ребер и имеет 8 гиперграней. Соответствующий симплициальный ком-
комплекс Кр получается из границы октаэдра применением двух звездных
подразбиений несмежных ребер (мы уже обсуждали связь операций «сре-
«срезания» граней и звездных подразбиений в параграфе 6.7.5, см. замечание
после теоремы 6.89). Кольцо граней имеет вид
где пары образующих (i/b v2), (у3, у4) и (t/5, v&) соответствуют парам проти-
противоположных граней куба, a wu w2 — образующие, соответствующие двум
новым граням, см. рис. 8.2, и
, w2v4).

204 Глава8. Когомологии /(-степеней
В алгебре R*(Kp) мы также имеем образующие «(, ..., и&, /,, /2 полной
степени 1, для которых йщ — vt и dtt = wt. Рассмотрим коциклы
и соответствующие классы когомологии а, р, у е H~lA[R*(K)]. Уравнения
ab = de, bc = df (8.23)
имеют решение е = 0, / = v5UzU4uq, так что определено тройное произве-
произведение Масси (а, C, у) € Я~4<12[/?*(/()], см. пример Г.3.2. Из теоремы 8.25
вытекает, что это произведение Масси нетривиально, однако это можно
увидеть и непосредственно. Действительно, мы имеем коцикл
af + ec
который представляет нетривиальный класс когомологии [u\VsU2UzU4Uq] €
€ (а, р, у). С другой стороны, решение е первого из уравнений (8.23)
определено с точностью до коциклов, лежащих в мультиградуированной
компоненте элемента V\U2UzU4. Непосредственная проверка показывает,
что единственным коциклом, содержащимся в этой мультиградуированной
компоненте, является кограница d(u\U2UzU4). Аналогично, решение / вто-
второго из уравнений (8.23) определено с точностью до коциклов, лежащих
в мультиградуированной компоненте элемента и^и4и5и^ а единственным
коциклом, содержащимся в этой мультиградуированной компоненте, яв-
является кограница d{uzu4u^u^). Поэтому произведение Масси (а, р, у)
содержит единственный элемент в своей мультиградуированной компо-
компоненте, и таким образом оно нетривиально. Следовательно, алгебра R*(Kp)
и мнообразие 2?Р не являются формальными.
Проблема 8.28. Описать класс симплициальных комплексов К (или
простых многогранников Р), для которых пространство 2?к (соответствен-
(соответственно, многообразие 2?Р) формально.
В силу предыдущих результатов этот вопрос сводится к изучению фор-
формальности алгебры Л[мь ..., ит] ® Z[/C] (или R*(K)).
8.5. Факторпространства многообразия ^> по свободным
действиям тора
Здесь мы возвращаемся к случаю многогранной сферы К (т. е. К — Кр
для некоторого простого многогранника Р) и изучаем факторпространства
2?р/Н по свободно действующим подгруппам И сТт.
Для каждого комбинаторного простого многогранника Р обозначим че-
через s =s(P) максимальную размерность подгрупп И = Ts, которые дей-
действуют на $?р свободно. Число s(P), очевидно, является комбинаторным
инвариантом многогранника Р.

8.5. Факторпространства многообразия 2?Р 205
Проблема 8.29 (В.М.Бухштабер). Найти эффективный способ вычис-
вычисления числа s(P) в комбинаторных терминах.
Предложение 8.30. Если многогранник Рп имеет т гиперграней,
то s(Pn) ^т-п.
Доказательство. Стационарные подгруппы орбит действия тора Тт
на i§7>, соответствующие вершинам многогранника, имеют размерность п.
Каждая подгруппа размерности, большей т — п, в торе Тт нетривиаль-
нетривиально пересекается с любой /2-мерной стационарной подгруппой и поэтому
не может действовать на 3?Р свободно. D
Предложение 8.31. Диагональная подгруппа
Sd := {(e2ni<f e2ni<f) е Г1}, <p e
действует на &р свободно. Поэтому s(P)^ 1.
Доказательство. Так как стационарная подгруппа любой точки из
является координатной подгруппой (см. определение 7.1), она пересекается
с Sd лишь по единице. ?
Другая нижняя оценка для числа s(P) была предложена в работе [20].
Пусть & = {F\, ..., Fm) — множество гиперграней многогранника Р. Мы
обобщим понятие правильной раскраски из раздела 7.6 следующим об-
образом. Сюръективное отображение р:^" —> [6] (где [k] ={1, ..., k}) на-
называется правильной раскраской многогранника Рек цветов, если
p(Fi)^p(Fj) для любой пары гиперграней F,, Fn имеющих общую грань
коразмерности два. Хроматическим числом у(Я) многогранника Р назы-
называется минимальное число k, для которого существует правильная Л-цвет-
ная раскраска. Тогда у(Я") )« и равенство достигается тогда и только
тогда, когда каждая двумерная грань в Рп имеет четное число ребер (в си-
силу результата, упомянутого в разделе 7.6). Заметим также, что у(Я3) ^ 4
по теореме четырех красок.
Пример 8.32. Пусть Р — некоторый двойственно 2-смежностный про-
простой многогранник с т гипергранями. Тогда у(Я) = т.
Предложение 8.33 (см. [20]). Имеет место следующее неравен-
неравенство:
s(P) >m-Т(Я).
Доказательство. Отображение р: & —»[k] задает эпиморфизм торов
р: Тт -*Tk. Легко видеть, что если р является правильной раскраской, то
группа Кегр = jm~k действует на 2?Р свободно. ?
Дальнейшие результаты о связи классической задачи раскраски мно-
многогранников и проблемы 8.29 можно найти в [110].

206 Глава8. Когомологии/(-степеней
Пусть теперь Н сТт — некоторая торическая подгруппа размерности
г ^ m — п. Выбрав базис, мы можем записать ее в виде
// _//g2«(s,|<p,+...+s,r9r) ^ ^2n/(sm,<p,+...+smr<pr)\ ? jm\ (8.24)
где <р,- G R, i = 1,..., г. Целочисленная (т х г)-матрица S = (s,7) задает мо-
мономорфизм Zr —> Z, образ которого является прямым слагаемым в Z. Для
каждого подмножества {ib ..., ?*„} С [т] обозначим через S;uцп подматри-
подматрицу размера (т — п)хг матрицы S, получаемую удалением строк /ь ..., in.
Любая вершина v ЕР есть пересечение п гиперграней, см. F.10). Имеет
место следующий простой критерий свободности действия Н на 2?Р.
Лемма 8.34. Подгруппа (8.24) действует на 2?Р свободно тогда
и только тогда, когда для любой вершины v = Ftl П...ПFin много-
многогранника Р" подматрица Sttt-ja размера (т — п) х г определяет мо-
мономорфизм Zr «-»• Zm~n на прямое слагаемое.
Доказательство. Как вытекает из определения 7.1, орбиты Гт-дей-
ствия на 2?Р, соответствующие вершинам многогранника Ял, имеют мак-
максимальные стационарные подгруппы (ранга п). Стационарная подгруппа,
соответствующая вершине v = Fh Г)... П Fin представляет собой координат-
координатную подгруппу Т" ,я С Тт. Подгруппа (8.24) действует на 2?Р свободно то-
тогда и только тогда, когда она пересекает каждую стационарную подгруппу
лишь в единице. Это эквивалентно тому, что отображение Н х Т? in —> Tm
является мономорфизмом для любой вершины v ==¦ Fif Г).. .C\Fln. Это отоб-
отображение задается целочисленной (m x (п 4- г))-матрицей, получаемой до-
добавлением п столбцов вида @, ..., 0, 1, 0,..., 0)' (где 1 стоит на месте /,,
/ = 1, ..., п) к матрице S. Такое отображение мономорфно тогда и только
тогда, когда эта расширенная матрица определяет прямое слагаемое в Z.
Это, в свою очередь, имеет место тогда и только тогда, когда матрица Sj, -я
определяет прямое слагаемое. D
В частности, для подгрупп ранга m — п мы имеем следующее утвер-
утверждение.
Следствие 8.35. Подгруппа (8.24) ранга r = m — n действует на 2?Р
свободно тогда и только тогда, когда для любой вершины v = Fiin...
... C\Fin многогранника Рп имеет место соотношение detS;, jn = ±1.
Предложение 8.36. Простой многогранник Рп допускает харак-
характеристическое отображение тогда и только тогда, когда s(Pn) =
— т — п.
Доказательство. Предложение 7.5 показывает, что если Рп допускает
характеристическое отображение ?, то (т — я)-мерная подгруппа Н(?) дей-
действует на 2?Р свободно, откуда s(Pn) — т — п. Пусть теперь s(Pn) = m- n,
т.е. существует подгруппа (8.24) ранга г = т — п, свободно действующая
на 2?Р. Соответствующая (т х (т- л))-матрица S определяет мономор-

8.5. Факторпространства многообразия ^> 207
физм Ът~п —> Zm на прямое слагаемое. Следовательно, существует цело-
целочисленная (п х т)-матрица Л такая, что последовательность
0 _> Ът~п Д- Z -^ Z" -»0
является точной. Так как S удовлетворяет условию из следствия 8.35, мат-
матрица Л удовлетворяет соотношениям F.5) и, таким образом, определяет
характеристическое отображение для Рп. D
Пусть теперь М2п — квазиторическое многообразие над Рп с характери-
характеристическим отображением ?. Запишем подгруппу И(?) в виде (8.24) и введем
следующие линейные формы в Z[y,, ..., vm\:
Wi = suv\ + ... + smivm, i = 1, ..., m - n. (8.25)
Лемма 8.37. Имеет место изоморфизм алгебр:
Структура Z[wu ..., хют.п]-модуля в Н*(М2п) = Z[u,,..., vm]/SP
задается при помощи формул (8.25).
Доказательство. В силу теоремы 8.12
- Torz|t,,
Факторкольцо Z[ub ..., v^/^t отождествляется с Z[a>i, ..., шш_я]. D
Предложение 8.38. Спектральная последовательность Серра
главного Тт~п-расслоения $?Р -* М2п вырождается в члене ?3- Кроме
того, имеет место следующий изоморфизм алгебр:
й НЩи ит.п] ® (Z[P]//?)f rf],
где bidegu, = @, 2), bideg«, = (-1, 2), ?/(«,) = wh dfa) = 0.
Доказательство. Так как Н*(Тт-п) = А[ии ..., ит_п] и Н*(М2п) =
мы имеем
В силу леммы 3.19,
й Тогч. .т_
Сопоставляя два предыдущих тождества с леммой 8.37, мы получаем
Ег = Я*(^>), что завершает доказательство. ?
Теперь мы опишем кольцо когомологий (с рациональными коэффи-
коэффициентами) факторпространства 2?Р/Н для любой свободно действующей
подгруппы И. Вначале запишем И в виде (8.24) и выберем целочисленную

208 Глава8. Когомологии /(-степеней
((т — г) х т)-матрицу Т = (/,-,-) ранга (пг — г), удовлетворяющую соотно-
соотношению Т • S = 0. Это делается таким же образом, как и в доказательстве
предложения 8.36. (В частности, если г = m - п, то Т представляет собой
характеристическую матрицу квазиторического многообразия &Р/Н.)
Теорема 8.39. Имеет место следующий изоморфизм алгебр:
где структура Q[/,f..., 1т-г\-модуля в Q[P] = Q[t/b ..., vm]/SP зада-
задается при помощи отображения
k[tu ..., tm_r]-+k[vu ..., vm], ti\-*tixvx +... + timvm.
Доказательство. Вложение Tr = H ^>Tm определяет отображение
классифицирующих пространств h\BTr —> ВТт. Рассмотрим коммутатив-
коммутативный квадрат
Е ^ВТР ,
p
ВТ
m
где левая вертикальная стрелка обозначает расслоение, индуцированное
отображением h. Пространство Е гомотопически эквивалентно Зр/Н, по-
поэтому спектральная последовательность Эйленберга—Мура этого квадра-
квадрата сходится к когомологиям пространства &р/Н'. Ее член Е2 имеет вид
Е2 = Того,,, vm)(®[P], Qh, • • ¦, wr]),
где структура Q[vu . • •, Уш]-модуля в Q[wu ..., wr] задается матрицей S,
т.е. при помощи отображения vt н+ snw\ 4-... + sirwr. Таким же образом,
как и в доказательстве теоремы 8.1 (используя формальность входящих
в диаграмму пространств) доказывается, что спектральная последователь-
последовательность вырождается в члене Е2 и имеет место изоморфизм алгебр
Н*(ЗГР/Н) = Toiq,,, „m,(Q[P], Q[wu ..., wr]).
Соотношения (8.25) позволяют интерпретировать элементы wu ..., wr как
регулярную последовательность в кольце Q[v\, ..., vm]. Теперь таким же
образом, как и в следствии 3.25, показывается, что имеет место изомор-
изоморфизм
wf]) * TorQ[/l ,m_,
Утверждение теоремы вытекает из последних двух тождеств. ?

o.b. Двойственность 11уанкаре и соотношения Дена—Соммервилля 21)У
Замечание. Теорема 8.39 сводится к теореме 8.1 при г = 0. В случае
г — т — п кольцо ЩР\ является свободным Q[/b ..., /я]-модулем и теоре-
теорема 8.39 сводится к теореме 6.24. Каждое из этих утверждений имеет место
и с целыми коэффициентами, однако приведенное выше доказательство
теоремы 8.39 проходит лишь над Q.
Следствие 8.40. Мы имеем
<* ИЩи um.r\ ® Q[Pl
dut = //, у, + ... + timvm, dVi = 0.
Пример 8.41. Пусть И = Sd —диагональная подгруппа. Тогда матри-
матрица S представляет собой столбец из т единиц. По теореме 8.39,
H*BTP/Sd) - Тогда, ,„_,,№/>], Q), (8.26)
где структура Q[/b ..., /m_i ]-модуля в ЩР] =Q[t/b ..., vm]/I определяется
отображением
/,- н-и/,- ~vm, i- I, ..., т- 1.
Главное S1 -расслоение &Р-> 2?P/Sd классифицируется некоторым отоб-
отображением с: 2p/Sd -* ВР ^ СЯ°°. Так как Н*(СР°°\ Q) = Q[w], определен
элемент c*(w) e H2BrP/Sd; Q).
Лемма 8.42. Многогранник Р является двойственно q-смежност-
ным тогда и только тогда, когда (c*(w))q Ф 0.
Доказательство. Отображение с* переводит кольцо H*(BT]\Q) =
= Q[w] в подалгебру
Эта подалгебра изоморфна факторкольцу Q[P]/(v\ = ... = vm). Теперь
утверждение вытекает из того факта, что многогранник Р является двой-
двойственно <7~смежностным тогда и только тогда, когда идеал </Р не содержит
мономов степени, меньшей q + 1. П
8.6. Двойственность Пуанкаре и соотношения
Дена—Соммервилля
В данном разделе мы изучаем комплексы 2?к, соответствующие три-
триангулированным многообразиям К. В этом случае 2?к, вообще говоря,
не является многообразием, однако множество его особых точек легко
описывается. Действительно, кубический комплекс сс{К) (см. конструк-
конструкцию 5.11) гомеоморфен | cone(/Q|, и вершиной конуса является точка
/? = A, ..., 1)е сс(К) С 1т. Пусть Ue(p) с сс(К) — малая окрестность точ-
точки р в сс(К). Замыкание окрестности Ue(p) также гомеоморфно | cone(/Q|.
14 - 9957

210
Глава8. Когомологии /(-степеней
Из определения 7.3 комплекса 2?к вытекает, что UM(&0) :=p~l(Ue(p)) С
есть малая инвариантная окрестность тора 2?0 =р~1(р) = Т™ в 2?к. Все
особые точки 2?к содержатся в этом торе. Для малых z замыкание окрест-
окрестности Ut{3f0) гомеоморфно | cone(/Q| х Тт. Удаляя UtCf0) из 2?к, мы
получаем многообразие с границей, которое мы обозначим WK. Итак, мы
имеем
Wk = &k\ Ut(#0h dWK s \K\ х Г".
Заметим, что так как Ut{2?0) есть Г^-инвариантное подмножество, на WK
также имеется действие тора Тт.
Предложение 8.43. Многообразие (с границей) WK эквивариантно
гомотопически эквивалентно комплексу %, см. G.3). Кроме того,
имеет место гомеоморфизм WK/dWK = 3fK/3f0.
Доказательство. Для доказательства первого утверждения построим
гомотопическую эквивалентность сс(/С) \ Ut(p) —> cub(K), как показано
на рис. 8.3. Это отображение накрывается эквивариантной гомотопи-
гомотопической эквивалентностью WK = 2?к \ ие{^0) —> УУК. Второе утверждение
очевидно вытекает из определения WK. ?
cub(/<)
cc(K)\Ut(p)
Рис. 8.3. Гомотопическая эквивалентность сс(АГ) \ Ut(p) —>сиЬ(ЛГ)
Как показывает лемма 7.16, комплекс WK С (D2)m имеет клеточную
структуру с 5 различными типами клеток D/, /«, 0/, 7}, 1«, / = 1, ..., т
(см. рис. 7.1, а, с. 168). Гомологии комплекса WK (а значит, и многообра-
многообразия WK) можно вычислить при помощи соответствующего клеточного цеп-
цепного комплекса, который мы обозначим [Cm(WK), д]. Несмотря на то, что
WK имеет больше типов клеток, чем &к E вместо 3), комплекс клеточных
цепей [Ст(%), д] также имеет каноническую биградуированную структуру.
А именно, имеет место следующее утверждение.

8.6. Двойственность Пуанкаре и соотношения Дена—Соммервилля 211
Лемма 8.44. Положим
bidegA = @, 2), bidegf,- = (-1, 2), bideg/, = A, 0),
bidegO,- = bideg 1,- = @, 0), i = 1, ..., т. ^ ' )
Тем самым клеточный цепной комплекс [Ст(УРк), д] превращается
в биградуированный модуль, и граничный оператор д прибавляет
(—1, 0) к бистепени. Исходная градуировка в С„{^к) размерностями
клеток соответствует полной степени (т.е. размерность клетки
есть сумма ее двух градуировок).
Доказательство. Необходимо лишь проверить, что д прибавляет
(-1, 0) к бистепени. Это вытекает из (8.27) и соотношений
, = 1,-0,, дГ,=д1,=дО,=О. ?
В отличие от биградуированной структуры в клеточных коцепях C
элементы из C+^(WK) могут иметь положительную первую градуировку (так
как клетка /, имеет положительную первую градуировку). При этом опе-
оператор д не меняет второй градуировки (как и в случае 2?к), что позволяет
представить биградуированный комплекс Ст,т(Жк) в виде суммы подком-
подкомплексов C»i2/,(>^c), р = 0, ..., т.
Аналогично тому, как мы это делали для комплекса 2fK и для пары
, введем
= dim//,<>„ [С.Л^Д д], -m^q^m,0^p^ m\ (8.28)
т т
q=—m q=—m
m
(заметим, что q здесь может быть как положительным, так и отрица-
отрицательным).
Следующее утверждение вычисляет порождающий многочлен х(%'> 0
и продолжает серию теорем 8.14 и 8.16.
Теорема 8.45. Для любого симплициального комплекса Кп~1 с т
вершинами имеет место соотношение
; t) = A - *2Г-(Ло + Л,/2 + •.. + hnt2n) + (х(/0 - 1)A - /2Г =
2 + htt2 + ... + hnt2n) + (-ly-'Ml -
где х(К) = f0 - f\ + ... + (-1)" fn-\ = 1 + (-1)""^ — эйлерова харак-
характеристика комплекса К.

212 Глава 8. Когомологии/(-степеней
Доказательство. Из определения #* G.3) следует, что вектор 3%
Е {D, /, О, 7\ \}т (см. раздел 7.3) представляет некоторую клетку из
тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
а) множество &D Ut%/ U^o является симплексом в /С;
Пусть Cijipq{WK) обозначает число клеток ^ с WK с \&D\ — i, ffi\ — /,
o| = Л \&т\ = p,\&i\ = q,i + j + l + p + q = m. Тогда
p
где (/о, • • •, fn-\) — /-вектор комплекса К (мы полагаем /_| = 1 и fk = О
при к < -1 или k > п - 1). В силу (8.27),
= (/ - р,
Теперь вычислим Хг(>^с), используя (8.29) и (8.30):
Р
'./.'./>
Подставляя s = / + / + / в предыдущей формуле, получаем
Так как
О, s < г - /?,
мы имеем
s>r—p
Вторая сумма в последней формуле есть в точности хЛ&к), см. (8.13). Для
того, чтобы вычислить первую сумму, заметим, что

8.6. Двойственность Пуанкаре и соотношения Дена—Соммервилля 213
(Это получается при вычислении коэффициента при аг в обеих частях тож-
тождества A + a)s(l + a)m~s = A + a)m.) Следовательно,
так как — XX~~l)s/s-i = хС0 ~ !• Наконец, используя (8.12), мы находим
5
г=0 г=0
= (х(Ю - 0A - *2Г + 0 - *2)т"""(Ло + М2 + • •. + л,**), п
Предположим, что К является ориентируемым симплициальным мно-
многообразием. Тогда WK также ориентируемо. Таким образом, имеют место
изоморфизмы относительной двойственности Пуанкаре:
Hk(WK)^Hm+n-k(WK, dWK), * = 0f ..., m. (8.31)
Теорема 8.46 (соотношения Дена—Соммервилля для многообразий).
Следующие соотношения имеют место для h-вектора (ho,hi, ...,hn)
произвольного триангулированного многообразия Кп~1:
где х^") = 1 + (— I)" —эйлерова характеристика (п — \)-сферы.
Доказательство. Допустим, что К ориентируемо. В силу предложе-
предложения 8.43, Hk{WK) = Hk(WK) и Hm+n-k(WK, &WK) = Нт+п-кBГк, ЗГа). Более
того, можно показать таким же образом, как и в следствии 8.18, что изо-
изоморфизмы (8.31) сохраняют биградуированную структуру в (ко)гомологиях
комплекса WK и пары B?к, 2?0). Тогда имеем
<. ЯГ.). (8.32)
Х; 0 = (-2(
Используя (8.18), находим
Подставляя формулу для х(>^; 0 из теоремы 8.45 и предыдущее выраже-
выражение в (8.32), мы получаем
- t2)m~n(ho + htt2 + ... + hnt2n) + (х(К) - 1)A - /2)m =
- t2)m-n(h0t2n + h^-2 + ... + hH) + (-1)"-'A ~

214 Глава 8. Когомологии/(-степеней
Разделив это соотношение на A — B)т~п и вычисляя коэффициент при t2i
в обеих его частях, мы получаем
что и требовалось.
Пусть теперь К неориентируемо. Тогда существует ориентируемое три-
триангулированное многообразие L и двулистное накрытие L —»К. При этом,
очевидно, fi(L) = 2/,(/(), / = О, 1, ..., п — 1. Из A.7) следует, что
J>(L)*-' - (/ - 1)" = 2 (?>(*)'"-' - (t -
(=0 ^ /=0
Отсюда
-(-!)'("). '=0. !,...,«.
Так как L ориентируемо, мы имеем
Следовательно,
Так как х(^) = 2х(А), мы получаем
что и требовалось. ?
Если \К\ — Sn~x или п — 1 нечетно, то следствие 8.46 дает соотношения
hn-i = hi в классическом виде Дена—Соммервилля.
Следствие 8.47. Пусть Кп~1 —триангулированное многообразие
с h-вектором (h0, ..., hn). Тогда
Л„-,-Л| = (-1)'(Ля-1)("), / = 0,1 п.
Доказательство. Так как х(^я~') = 1 + (—1)я~'/гя и
+ (-1)"-', мы имеем
(коэффициент (— 1)я~' может быть опущен, так как для нечетных /г— 1
левая часть обращается в нуль). ?

8.7. Минимальные триангуляции многообразий 215
Следствие 8.48. Для любого (п — 1 )-мерного триангулированного
многообразия числа hn^i — h{, i = 0, 1,..., п, являются гомотопически-
гомотопическими инвариантами. В частности, они не зависят от триангуляции.
В случае PL-многообразий топологическая инвариантность чисел
hn~i —hi была впервые отмечена Пахнером в [142, G.11)].
При помощи рассуждения, аналогичного использованному в доказа-
доказательстве теоремы 4.13, можно обобщить полученные выше аналоги со-
соотношений Дена—Соммервилля на симплициально клеточные разбиения
многообразий (см. определение в главе 4).
Предложение 8.49. Пусть У — симплициально клеточное разби-
разбиение (п — \)-мерного многообразия М. Тогда h-вектор h{5?) = (h0, ...
... , hn) удовлетворяет соотношениям из следствия 8.47.
Доказательство. Пусть У — барицентрическое подразбиение ком-
комплекса У и D — матрица (оператор) из леммы 2.18 такая, что h(S*') =
= Dh{5?). Пусть далее А обозначает аффинное подпространство размер-
размерности k = ^ в Ел+| (с координатами hOi ..., hn), задаваемое соотноше-
соотношениями из следствия 8.47 и соотношением х(^) — 1 + (~\)n~]hn. Так как
У является симплициальным разбиением (см. предложение 4.3), нам, как
и в доказательстве теоремы 4.13, остается лишь проверить инвариант-
инвариантность А относительно D. Для этого достаточно указать набор из S + 1
аффинно независимых /г-векторов «настоящих» симплициальных разбие-
разбиений многообразия М (они автоматически лежат в пространстве А, как и их
образы под действием оператора D). Это можно сделать следующим об-
образом. Рассмотрим /г-векторы S + 1 триангуляции (п— 1)-сферы вида
д(Д* х А""*)*, которые образуют базис в подпространстве W, выделяе-
выделяемом соотношениями ht =hn-i (см. предложение 1.23). Затем рассмотрим
связные суммы /С# (А* х А"""*)*, где К — некоторая фиксированная три-
триангуляция многообразия М. Тогда соответствующие /г-векторы образуют
базис в А (это легко следует из соотношений из примера 1.20). ?
8.7. Минимальные триангуляции многообразий
В случае, когда речь идет о триангуляциях многообразий, можно го-
говорить о триангуляциях, обладающих теми или иными экстремальными
свойствами. Например, триангуляцию данного многообразия будем назы-
называть минимальной, если она имеет минимальное возможное число вершин.
В этом разделе мы покажем, как комбинаторные конструкции из предыду-
предыдущих разделов приводят к содержательным результатам уже в классическом
вопросе о триангуляциях замкнутых двумерных многообразий. Как извест-
известно, два таких многообразия гомеоморфны тогда и только тогда, когда они

216
Глава 8. Когомологии К -степеней
имеют равные эйлеровы характеристики и либо оба ориентируемы, ли-
либо неориентируемы. Общим видом ориентируемой замкнутой поверхности
является поверхность рода g (или сфера с g ручками, имеющая эйлеро-
эйлерову характеристику х = 2 — 2g); общим видом неориентируемой замкнутой
поверхности — сфера с k вклеенными листами Мёбиуса (имеющая эйле-
эйлерову характеристику х = 2 — k). Уже в этом классическом случае аналоги
соотношений Дена—Соммервилля приводят к нетривиальным результатам
о минимальных триангуляциях.
Начнем с рассмотрения триангуляции 2-тора Т2. Мы имеем п = 3,
Х(Т2) = 0. Из х(А:я) = 1 + (-\)n-lhn мы получаем Л3 = -1. Следствие 8.47
дает
0 = -2,
-h]= 6.
Например, триангуляция на рис. 8.4, а имеет /0 = 9 вершин, f\ = 27
ребер и /2= 18 треугольников. (Заметим, что это есть каноническая три-
триангуляция произведения дА2 х дА2, описанная в конструкции 2.11.) Со-
Соответствующий /г-вектор есть A, 6, 12, —1).
С другой стороны, существует триангуляция тора Т2 лишь с 7 вершина-
вершинами, см. рис. 8.4, б. Заметим, что эта триангуляция является смежностной,
т. е. ее 1 -остов является полным графом на 7 вершинах. Отсюда уже легко
вывести, что триангуляции тора Т2 с меньшим числом вершин не суще-
существует (см. ниже).
/
/
/
/
/
*
у
/.
/
\
*
а) /=(9, 27, 18),
h = A,6, 12,-1)
б)/=G, 21, 14),
h = A,4, 10,-1)
Рис. 8.4. «Симметричная» и «минимальная» триангуляции тора Т2.
Пусть теперь К2 — произвольное 2-мерное триангулированное мно
гообразие с m вершинами и эйлеровой характеристикой х = хСО- ^Р
помощи теоремы 8.46 мы можем выразить /-вектор комплекса К2 через
и гп:
ПК2) = (т, 3(ш - х), 2(ш - х)).

8.7. Минимальные триангуляции многообразий 217
Так как -число ребер в триангуляции не превышает числа пар вершин, мы
получаем неравенство
6(m-xKm(m-1), (8.33)
откуда можно вывести нижнюю границу для числа вершин в триангуля-
триангуляции К2. Например, для тора Т2 мы имеем х = 0> и (8.33) дает т^7.
Заметим, что минимальная (по числу вершин)
триангуляция двумерного многообразия является
смежностной тогда и только тогда, когда (8.33) пре-
превращается в равенство. Как мы уже видели, это
имеет место для тора Т2 (х = 0, m = 7). Другими при-
примерами являются сфера S2 (х = 2, m — 4) и проек-
проективная плоскость ШР2 (х = 1, m = 6). Смежностная
триангуляция для ШР2 показана на рис. 8.5.
Тем не менее, для большинства значений х не су-
существует такого т, которое обращает (8.33) в ра- Рис 8 5 Смежностная
венство. Анализ этого равенства приводит к следу- триангуляция W2, име-
имеющему результату. ющая /= F, 15, 10)
Предложение 8.50. Пусть двумерная поверх-
поверхность М2 допускает смежностную триангуляцию с т вершинами.
Тогда эта триангуляция является минимальной и выполнены следу-
следующие условия:
а) если М2 — ориентируемая поверхность рода g, то
(м - 3)(м - 4)
* 12
и, следовательно, m = s mod 12, где s — 0, 3, 4, 7.
б) если М2 — неориентируемая поверхность — сфера с k вклеен-
вклеенными листами Мёбиуса, то
(m-3)(m-4)
Я~ 6
и, следовательно, k = s mod 6, где s = 0, 1, 3, 4.
Например, минимальные триангуляции ориентируемых поверхностей
рода от 1 до 5 не являются смежностными. Поверхность рода 6 допускает
смежностные триангуляции (которые автоматически минимальны и имеют
параметры х = — Ю и т= 12). Такие триангуляции играют важную роль
в задаче о полиэдральной вложимости ориентируемых триангулированных
поверхностей в R3 («полиэдральное вложение» здесь означает вложение
с плоскими двумерными гранями). Как было показано в работе [40], всего
имеется 59 различных смежностных триангуляции поверхности рода 6

218 Глава 8. Когомологии К -степеней
с 12 вершинами. Затем в работе [58] было показано, что одна из этих
триангуляции не допускает вложения в R3 с плоскими треугольниками.
Кроме того, там же было показано, что даже после удаления из триан-
триангуляции одной двумерной грани свойство полиэдральной невложимости
сохраняется. Вместо этой удаленной двумерной грани можно приклеить
любое число ручек, что приводит к существованию триангулированных
поверхностей любого рода не меньше 6, которые не допускают вложения
в R3 с плоскими треугольниками.
Многие интересные результаты о триангуляциях многообразий с ма-
малым числом вершин были получены в работе [120] с использованием ком-
компьютерной программы BISTELLAR (которую мы уже упоминали в разде-
разделе 2.3). В ряде случаев, когда алгебротопологическими методами удается
получить оценку снизу на число вершин любой триангуляции данного мно-
многообразия, это приводит к решению задачи о минимальных триангуляциях.
В [120] приводится обширный список многообразий размерности 3, 4, 5,
для которых уже построены минимальные триангуляции, и обсуждается
ряд нерешенных задач в этом направлении. В качестве примеров отметим
построение минимальных триангуляции следующих многообразий:
ЕЯ3 с 11 вершинами,
S2 х 51 с 10 вершинами,
СЯ2 с 9 вершинами,
52 х 52 с 11 вершинами,
ЕЯ4 с 16 вершинами.

Глава 9
Топология конфигураций
подпространств
9.1. Конфигурации общего вида и их дополнения
Определение 9.1. Конфигурацией называется конечное множество
я/ = {L\, ..., Lr} аффинных подпространств в некотором аффинном про-
пространстве (мы будем рассматривать как вещественные, так и комплексные
конфигурации). Конфигурация л/ называется центральной, если она со-
состоит из линейных подпространств (т.е. все входящие в нее аффинные
подпространства содержат 0). Для каждой конфигурации л/ = {L\, ..., Lr)
в Ст определим ее носитель \sf\ как подмножество
(=1
и ее дополнение и(я/) как
т
и аналогично для конфигураций вМ
Пусть ?/ = {L\, ..., Lr) — некоторая конфигурация. Всевозможные пе-
пересечения
и = L,-, П ... П Lik
образуют частично упорядоченное множество (j?f, <) по отношению к вло-
вложению. Частично упорядоченное множество -Sf считается наделенным
единственным максимальным элементом Т, соответствующим объемлю-
объемлющему пространству конфигурации. Функция ранга d на множестве -Sf
определяется как d(v) = dimu. Комплекс ord(-Sf) (см. пример 2.19) называ-
называется порядковым комплексом конфигурации л/. Определим интервалы
:= {х € -Sf: v < х < w), Sf>v := {х е S?: х > v).

220 Глава 9. Топология конфигураций подпространств
Конфигурации аффинных подпространств и их дополнения играют клю-
ключевую роль во многих конструкциях комбинаторики, алгебраической и сим-
плектической геометрии и т.д.; они также возникают как конфигураци-
конфигурационные пространства для различных классических механических систем.
При изучении конфигураций весьма важно иметь достаточно детальное
описание топологии дополнений U{sf) (включая число связных компо-
компонент, гомотопический тип, группы гомологии, кольца когомологий и т.д.).
Множество замечательных результатов в этом направлении было получе-
получено в течение последних трех десятилетий, однако общая картина далека
от завершения. Теория конфигураций восходит к работе Арнольда [2],
в которой классифицирующее пространство для группы крашеных кос бы-
было описано как дополнение конфигурации диагональных гиперплоскостей
fa = Zj), I ^ / < / ^ /2, в С. Это дополнение можно также рассматривать
как конфигурационное пространство наборов из п упорядоченных точек
в С. Кольцо когомологий дополнения этой конфигурации было также вы-
вычислено в [2]. Этот результат было обобщен Брискорном [64] и мотиви-
мотивировал дальнейшее развитие теории конфигураций комплексных гипер-
гиперплоскостей (т.е. конфигураций комплексных аффинных подпространств
коразмерности один). Одним из основных результатов здесь является сле-
следующая теорема.
Теорема 9.2 (см. [2], [64]). Пусть д/ = {Ь\, ..., Lr) — конфигура-
конфигурация комплексных гиперплоскостей в С", причем гиперплоскость Lj
задается как множество нулей линейной функции /7, / = 1,..., г. То-
Тогда алгебра целочисленных когомологий дополнения U{srf) изоморф-
изоморфна алгебре, порожденной замкнутыми дифференциальными \-фор-
1 dl,
мами jr-:,-
2ты lj
Все соотношения между формами со, = 7г--г~, j = U •••, г, были яв-
Zki lj
но описаны Орликом и Соломоном [139]. Мы приведем их результат
в центральном случае, т. е. когда все гиперплоскости являются линейными
подпространствами. Тогда для каждого минимального набора {L/(,..., Ljp)
гиперплоскостей из л/ с вырожденным пересечением (т. е. такого, что
codim Lil П ... П Ljp — р — 1) имеется одно соотношение
il Л ... Л &jk Л ... Л о/р = 0,
где форма ajk пропущена.
Пример 9.3. Пусть л/ — конфигурация диагональных гиперплоскостей
j = zk), I ^ / < k < п, в С. Тогда мы имеем формы ajk = ^

9.1. Конфигурации общего вида и их дополнения 221
удовлетворяющие соотношениям
<!>,-/ Л 0)/Л + 0>у* Л G)W + G)W Л Щ = О,
которые известны как соотношения Арнольда.
Конфигурации комплексных гиперплоскостей являются наиболее раз-
разработанной областью в общей теории конфигураций. Этой теме уже по-
посвящено несколько обзоров и монографий; мы лишь упомянем [140], [12]
и [35], где можно найти дальнейшие ссылки. Взаимосвязи между конфигу-
конфигурациями вещественных гиперплоскостей, многогранниками и ориентиро-
ориентированными матроидами обсуждаются в [169, Lecture 7]. Упомянем также
интересный класс конфигураций, известных как 2-конфигурации в R2".
Они представляют собой конфигурации вещественных подпространств ко-
коразмерности два, в которых все пересечения имеют четную размерность.
Любая конфигурация комплексных гиперплоскостей является 2-конфигу-
рацией, но не наоборот (см. [168]).
Для общих конфигураций подпространств имеется знаменитая теорема
Горески—Макферсона, выражающая группы когомологий Hl{U{^)) (с це-
целыми коэффицентами, но без кольцевой структуры) как суммы групп го-
гомологии подкомплексов в некотором симплициальном комплексе.
Теорема 9.4 (Горески и Макферсон [95, Часть III]). Имеют место
следующие формулы для групп (ко)гомологий дополнения U{s4) кон-
конфигурации аффинных подпространств stf в
":
„_,<„)_,_,(ord(JS?>t,),
где принято соглашение //_i@, 0) = H~l@, 0) = Z.
Исходное доказательство этой теоремы использовало технику стра-
стратифицированной теории Морса, развитую в [95].
Замечание. Ввиду того, что комплекс ord(j?f>t;) представляет собой ко-
конус над ord(j?Jt>,7)), мы можем переписать формулы из теоремы 9.4 как
ф /r-'(o)-'-2<ord(J&jo.7))). (9.1)
и аналогично для групп когомологий.
Замечание. Группы (ко)гомологий дополнения комплексной конфигу-
конфигурации в С можно вычислить, рассматривая ее как вещественную конфи-
конфигурацию в R2".
Обширный обзор теории конфигураций подпространств можно найти
в [55]. В монографии [12] получены многие важные результаты о гомо-

222 Глава 9. Топология конфигураций подпространств
топическом типе и гомологиях дополнений конфигураций и аналогичных
объектов. Метод описания гомотопического типа дополнения конфигура-
конфигурации, использующий диаграммы над категориями, соответствующими ча-
частично упорядоченным множествам, был предложен в [170]. На основе
этого метода там было получено новое, элементарное, доказательство те-
теоремы 9.4 Горески—Макферсона. Подход, использованный в [170], был
затем развит в [165] путем использования техники гомотопических копре-
копределов.
Мультипликативная структура в когомологиях дополнений конфигу-
конфигураций изучена значительно меньше. Вообще говоря, кольцо целочислен-
целочисленных когомологий дополнения U(srf) не определяется его частично упоря-
упорядоченным множеством пересечений JSf (даже в случае 2-конфигураций,
как показано в [168]). Один из подходов к вычислению алгебры кого-
когомологий дополнения U(&/), основанный на использовании результатов де
Кончини и Прочези в [82], был предложен Юзвинским в [167]. Недавно
в работах [84] и [86] было независимо получено комбинаторное описание
произведения любых двух классов когомологий дополнения U{sf) ком-
комплексной конфигурации подпространств, высказанное Юзвинским в каче-
качестве гипотезы. Это описание использует частично упорядоченное множе-
множество JSf(^), функцию ранга и дополнительную информацию об ориента-
циях.
9.2. Конфигурации координатных подпространств и кого-
мологии комплекса
Конфигурация подпространств srf = {Lx, ..., Lr) называется коорди-
координатной если каждое L,, i — 1,..., г, является координатным подпростран-
подпространством. В этом разделе мы применяем результаты главы 8 к вычислению
алгебр когомологий дополнений к конфигурациям комплексных координат-
координатных подпространств. Случай вещественных координатных конфигураций
также обсуждается в конце раздела.
Любое координатное подпространство С можно задать в виде
U = {Bь ...,*«)€ Cm: z,, = ... = zik = 0}, (9.2)
где со = {/|, ..., /*} — некоторое подмножество в [т]. Очевидно, что
dimLtt =m- |ю|.
Конструкция 9.5. Для каждого симплициального комплекса К на мно-
множестве [т] введем комплексную координатную конфигурацию <?W(K) как
= {Ltt: со { К).

9.2. Конфигурации координатных подпространств 223
Обозначим дополнение к ^^/(К) через U{K), т. е.
U(К) = Ст \ U U. (9.3)
Заметим, что если К' С К — подкомплекс, то U(K') С U{K).
Предложение 9.6. Сопоставление К ¦-> U(K) определяет сохраня-
сохраняющее порядок взаимно однозначное соответствие между симпли-
циальными комплексами на множестве [т] и дополнениями конфи-
конфигураций координатных подпространств в Ст (или в Шт).
Доказательство. Пусть ^srf — конфигурация координатных подпро-
подпространств в С1. Определим
Кф*) := {со С [т]: Ltt g |tf*f |}. (9.4)
Легко видеть, что K&sf) является симплициальным комплексом. По по-
построению, K$f€sf) зависит лишь от \*ifsi/\ (или от U&s4)) и U(K^€s^)) —
= U(*&??), откуда и вытекает утверждение. ?
Если координатная конфигурация *€*& содержит некоторую гиперплос-
гиперплоскость, скажем {zt — 0}, то ее дополнение U&stf) раскладывается в про-
произведение U&s/q) х С*, где ^л^о — координатная конфигурация в гипер-
гиперплоскости {zi = 0} и С* = С \ {0}. Таким образом, для любой координатной
конфигурации ^sf ее дополнение О^л/) представляется в виде
x (),
где 'tfsf' — конфигурация координатных подпространств в С1""*, которая
не содержит гиперплоскостей. С другой стороны, (9.4) показывает, что *€$?
содержит гиперплоскость {z, = 0} тогда и только тогда, когда {/} не явля-
является вершиной комплекса K&srf). Отсюда вытекает, что U(K) является
дополнением координатной конфигурации, не содержащей гиперплоско-
гиперплоскостей, тогда и только тогда, когда множество вершин комплекса К есть
все [т]. Принимая во внимание эти замечания, мы ограничимся рассмот-
рассмотрением координатных конфигураций без гиперплоскостей и симплициаль-
ных комплексов на множестве вершин [т].
Замечание. В обозначения конструкции 7.14 мы имеем U(K) = (C, C*)K.
Пример 9.7. 1. Если К = Дт"\ то U(K) = С.
2. Если К = дАт~\ то ЩК) = Ст \ {0}.
3. Если К представляет собой несвязное объединение т вершин,
то U(K) получается удалением из С1 всех координатных подпространств
коразмерности два, т. е. вида {z, = zf = 0}, 1 < / < / < т.
Действие алгебраического тора (С*)т на Ст индуцирует действие
на U(K). В частности, на U(K) определено стандартное действие то-
тора Тт. Пространство орбит U(K)/Tm можно отождествить с пересечением

224 Глава 9. Топология конфигураций подпространств
Ur(K) :— U{K) DR+, где R+ рассматривается как подмножество С1. Рас-
Рассмотрим теперь кубический комплекс сс(/() и комплекс 2?к (см. конструк-
конструкцию 5.11 и G.3)).
Предложение 9.8. Имеется деформационная ретракция UR(K) —>
—> сс(К) и накрывающая ее Тт-эквивариантная деформационная ре-
трация U{К) —> З^к-
Доказательство. Мы имеем
где /?> = {у G R: у > 0} (см. пример 7.15 и последнее замечание). Теперь
утверждение вытекает из существования коммутативной диаграммы /(-сте-
/(-степеней
(Я2, S1) ^ (С, С*)* ^ (D2, S1)*
I
', 1)*
в которой вертикальные стрелки являются проекциями на пространства
орбит для Тт-действий, две левые горизонтальные стрелки являются вло-
вложениями, а две правые — требуемыми деформационными ретракциями. ?
В случае, когда К — Кр есть многогранная симплициальная сфера, со-
соответствующая простому многограннику Рп, деформационная ретракция
U(Kp) -* 3?p из предложения 9.8 может быть реализована как проекция
на пространство орбит для свободного действия стягиваемой группы. Вве-
Введем обозначение U(P) \— U(Kp). Положим
Щ = {(Уи • • •. Ут) € ИГ: *А! > 0, / = 1, ..., т) с RJ.
Тогда R> является группой по умножению, которая действует покоорди-
покоординатным умножением на Rm, Cm и U(P). Имеет место изоморфизм
exp:Rm-+R?, {уи ..., ут) м.
между аддитивной и мультипликативной группой.
Рассмотрим (m x (т- п))-матрицу W, построенную в конструкции 1.5
по каждому простому многограннику A.1).
Предложение 9.9. Для любой вершины v = Fif П... П Fin многогран-
многогранника Р максимальный минор Wj,..jrt матрицы W, получаемый удале-
удалением п строк /,, ..., /„, невырожден: det W\xjn ф 0.
Доказательство. Если det №},...;„ = 0, то векторы /,,, ..., /,„ в A.1) яв-
являются линейно зависимыми, что невозможно. ?
Матрица W определяет подгруппу

9.2. Конфигурации координатных подпространств 225
где набор параметров (ть ..., тт_„) пробегает пространство Rm~\ Очевид-
Очевидно, я^к;-я.
Теорема 9.10 (см. [66, Th. 2.3] и [69, §3]). Подгруппа R действу-
действует на U(P) С Ст свободно. Композиция &Р«-+ U(P) —> U(P)/R вложе-
вложения ie {лемма 7.6) и проекции на пространство орбит является эк-
вивариантным диффеоморфизмом (по отношению к соответству-
соответствующим Тт-действиям).
Пусть теперь Рп с Жп — простой целочисленный многогранник и МР —
соответствующее проективное торическое многообразие, см. конструк-
конструкцию 6.8. Матрица L размера пх т, образованная примитивными нормаль-
нормальными векторами /,, / = 1, ..., т, направленными внутрь многогранника Р,
определяет эпиморфизм (С*)т —> (С*)". Обозначим через С ядро этого
эпиморфизма. Как показано в [77] (см. также [44], [51]), торическое
многообразие МР можно отождествить с пространством орбит (или гео-
геометрическим факторпространством) U(P)/C.
Можно проверить, что в случае, когда многообразие МР неособо, груп-
группа С действует на U(P) свободно и представляет собой комплексификацию
группы R из (9.5). В частности, С = (С*)т~п. В этом случае мы имеем ком-
коммутативную диаграмму
ЩР)
\
у i
jm—
n
(9.6)
Mo Mi
Замечание. Можно показать [77, Th. 2.1], что любое полное ториче-
торическое многообразие МЕ, определяемое веером Ecfcm одномерными ко-
конусами, отождествляется с универсальным категорным фактор-про-
фактор-пространством U^s^^/C, где (/(^л^е)—дополнение некоторой коорди-
координатной конфигурации, определяемой веером Е, а группа С определяет-
определяется как и выше. Категорное факторпространство является геометрическим
факторпространством тогда и только тогда, когда веер ? является сим-
плициальным. В этом случае и^л/^) = t/(/(E).
С другой стороны, если проективное торическое многообразие МР
неособо, то МР является симплектическим многообразием размерности
2/г, и действие тора Тп на нем гамильтоново (см., например, [44] или [77,
§4]). В этом случае диаграмма (9.6) описывает МР как результат так
называемой симплектической редукции. А именно, пусть Н = Тт~п —
максимальная компактная подгруппа в С и jjuC —>Rm~" —отображение
моментов для гамильтонова действия тора И на С" (см., например, [41]).
Тогда для любого регулярного значения а € Rm~n отображения у. имеет

226 Глава 9. Топология конфигураций подпространств
место диффеоморфизм
(подробности см. в [44]). В этом случае ^~!(а) есть в точности наше
многообразие 2?Р. Таким образом, мы получаем еще одну интерпретацию
многообразия %Р как многообразия уровня отображения моментов (в слу-
случае, когда многогранник Р допускает целочисленную реализацию, дающую
неособое торическое многообразие).
Пример 9.11. Пусть Р = Д\ Тогда m=/i+ I, U(P) = Cn+l \{0}, а /?^К>,
С ^С* и И = Sl —диагональные подгруппы в R^1, (О)л+1 и Tm+l соот-
соответственно. Итак,
? S2n+l = (Сл+1 \ {0})/Е>, МР = (Сл+1 \ {0})/С* = СРп.
Отображение моментов у.: Ст —> R переводит (zu..., zm) € Cm в ¦= (\z\ |2 +...
... +|гт|2), и для а фО мы имеем \Г1(а) ^52л+1 ё 2?к.
Теперь мы можем сформулировать основной результат для когомологий
дополнений конфигураций координатных подпространств.
Теорема 9.12. Имеет место следующий изоморфизм градуирован-
градуированных алгебр:
H*(U(K)) а Тог2(„, Vm](Z[K], Z) = //[А[и„ ..., ит\ ® Z[/C], d].
Доказательство. Это вытекает из предложения 9.8 и теоремы 8.6. ?
Предыдущая теорема предоставляет весьма эффективный способ вы-
вычисления алгебры когомологий дополнения конфигурации координатных
подпространств. Комплекс Кошуля уже использовался в работах [82]
и [167] для построения рациональных моделей для алгебры когомологий
дополнений конфигураций. Однако, в случае координатных конфигура-
конфигураций установленная выше взаимосвязь с когомологиями кольца Стенли—
Райснера позволяет существенно упростить вычисления.
Пример 9.13. Пусть К — несвязное объединение т точек. Тогда
U(K) получается удалением из Ст всех координатных подпространств
коразмерности два, т. е. вида {z, = z-t = 0}, 1 </</'< т. Кольцо граней
есть Z[/C] = k[i>,, ..., vm]/yK> где идеал Ук порожден мономами i/,-i/y,
1ф }. Непосредственная проверка показывает, что пространство коцик-
коциклов в Ъ\К\ <8> А[п\, ..., ит] имеет базис из мономов v^u^u^ ...uik с k ^ 2
и ip ф iq при р ф q. Так как deg(u,, щ2щг... uik) = k + 1, пространство
(k + 1)-мерных коциклов имеет размерность mt J. Пространство
(k + 1)-мерных кограниц имеет размерность ( J и порождается когра-

9.2. Конфигурации координатных подпространств 227
ницами вида d(uix ...uik). Следовательно,
dim H\U(K)) = 1, Hl(U(K)) = Н\ЩК)) = О,
а умножение в когомологиях тривиально.
В частности, при т = 3 мы имеем шесть трехмерных классов когомоло-
гий [ViUj], i^j,c тремя соотношениями [vtUf] = [v/Ui] и три четырехмерных
класса когомологий [viU2Uz], [v2U\Uz], lvzU\U2], с одним соотношением
[V\U2UZ] - [v2UiU3] + [vzUiU2] = 0.
Следовательно, dim H3(U(K)) = 3, dim Я4(U(K)) = 2, а умножение триви-
тривиально. Можно показать, что U(K) в этом случае имеет гомотопический тип
букета сфер:
Пример 9.14. Пусть К — граница m-угольника с т > 3. Тогда
ЩК) = С \ U {*, = г, = 0}.
i — /9*0*1 mod m
Из теоремы 9.12 вытекает, что кольцо когомологий H*(U(K)) изоморфно
кольцу, описанному в примере 8.21. Заметим, что умножение здесь нетри-
нетривиально.
Как показано в [94], в случае конфигураций вещественных координат-
координатных подпространств имеет место лишь аддитивный аналог нашей теоре-
теоремы 9.12. А именно, рассмотрим теперь кольцо многочленов k[jci, ..., хт],
где к—поле и degjc,- = 1, / = 1,..., m, и соответственно сменим градуировку
в кольце к[/С]. Тогда числа Бетти вещественной координатной конфигура-
конфигурации ?/r(K) можно вычислить при помощи следующего результата.
Теорема 9.15 (см. [94, Th. 3.1]). Имеет место изоморфизм:
, к).
Как было отмечено в [94], мультипликативный изоморфизм, анало-
аналогичный теореме 9.12, для вещественных конфигураций не имеет места,
т.е. алгебры H*(UR(K)) и Тогк(Х| *т|(к[/(], к), вообще говоря, не изоморф-
изоморфны. В [94] также содержится формулировка (без доказательства) первого
мультипликативного изоморфизма из нашей теоремы 9.12 для комплексных
координатных конфигураций (см. [94, Th. 3.6]).
До сих пор мы использовали описание координатных подпространств
при помощи уравнений, как в (9.2). С другой стороны, координатное под-
подпространство можно задавать в виде линейной оболочки (е,,,..., ei/t) под-
подмножества стандартного базиса {е{,..., ет}. Это приводит к двойственному

228 Глава 9. Топология конфигураций подпространств
подходу к описанию конфигураций координатных подпространств, который
соответствует переходу от симплициального комплекса К к двойственному
комплексу К, см. пример 2.30. А именно, мы имеем
см. конструкцию 9.5. Далее можно заметить, что в случае координат-
координатных конфигураций частично упорядоченное множество пересечений (JSf, <)
представляет собой множество симплексов комплекса К с добавленным
максимальным элементом. Следовательно, ord(J?{v<T)) есть барицентриче-
барицентрическое подразбиение комплекса link# v, где v рассматривается как симплекс
в К. Тогда мы можем переписать формулу Горески—Макферсона (9.1) для
комплексных координатных конфигураций как
Ui(U(Kf) = фЯ2т-2|о|-''-2(нпк* а) (9.7)
(заметим, что d(o) = 2|o|, так как мы работаем с комплексными конфигу-
конфигурациями).
Предыдущее наблюдение было использовано в [85] для описания про-
произведения двух классов когомологий дополнения координатной конфигу-
конфигурации (вещественной или комплексной) в терминах комбинаторики линков
симплексов из К (см. [85, Th. 1.1]).
С другой стороны, изоморфизм алгебр из теоремы 9.12 позволяет
объединить два на первый взгляд не связанных между собой результа-
результата, а именно, теорему Горески—Макферсона о когомологиях дополнений
конфигураций и теорему Хохстера из коммутативной алгебры.
Предложение 9.16. После отождествления когомологий H*(U(K))
с Tor-алгеброй Тог^, um)(Z[/(], Z), устанавливаемого теоремой 9.12,
теорема Хохстера 3.17 становится эквивалентной теореме Горе-
Горески—Макферсона 9.4 в случае координатных конфигураций подпро-
подпространств.
Доказательство. Из теоремы 3.17 иы получаем следующую формулу:
Непустые симплексы т Е К не вносят вклада в сумму из предыдущей фор-
формулы, так как соответствующие полные подкомплексы /С, стягиваемы. Так
как tf_i@) = Z, пустой симплекс лишь добавляет слагаемое Z в H0(U(K)).
Поэтому мы можем переписать последнюю формулу как

9.3. Конфигурации диагональных подпространств 229
Используя двойственность Александера (предложение 2.34), мы находим
где т = [т] \ х — симплекс в К. Теперь осталось заметить, что (9.8) экви-
эквивалентно (9.7). ?
9.3. Конфигурации диагональных подпространств и кого-
мологии пространства
Другим важным классом конфигураций подпространств являются диа-
диагональные конфигурации. Классическим примером диагональной конфигу-
конфигурации является набор всех диагональных гиперплоскостей {г, = zj) в Ст,
уже рассмотренный нами в примере 9.3. Другой класс примеров диаго-
диагональных конфигураций, так называемые k-равные конфигурации был
рассмотрен в [55], в то время как когомологии общих конфигураций диа-
диагональных подпространств изучались в [144]. В этом разделе мы устанав-
устанавливаем некоторые взаимосвязи между когомологиями диагональных кон-
конфигураций и когомологиями пространств петель UDJ(K) и п&к.
Определение 9.17. Для каждого подмножества со = {/,, ..., ik) С [т]
определим диагональное подпространство Z)w в Rm как
До = Цуи -..,Ут)ект:#,=... = yik).
Аналогично определяются диагональные подпространства в С". Конфигу-
Конфигурация подпространств sf = {L\, ..., Lr} называется диагональной, если
все Li, i — 1, ..., г, являются диагональными подпространствами.
Конструкция 9.18. Для любого симплициального комплекса К на мно-
множестве вершин [т] введем диагональную конфигурацию
Обозначим дополнение конфигурации @я/(К) через М(К).
Следующее утверждение доказывается аналогично тому, как это дела-
делалось для координатных конфигураций, см. предложение 9.6.
Предложение 9.19. Сопоставление К »-»¦ М(К) определяет сохра-
сохраняющее операцию включения взаимно однозначное соответствие
между множеством симплициальных комплексов на множестве вер-
вершин [т] и множеством дополнений диагональных конфигураций
Замечание. В отличие от предложения 9.6 в предыдущем утверждении
рассматриваются лишь комплексы К, множество вершин которых совпа-
совпадает с [т]. Комплексам, имеющим «призрачные вершины», не соответ-
соответствуют никакие диагональные конфигурации.

230 Глава 9. Топология конфигураций подпространств
Далее мы предполагаем, что к — поле. Мультиградуированная (или
Мт-градуированная) структура в кольце к[и,, ..., vm] (см.. конструк-
конструкцию 3.22) определяет Nm-градуировку в кольце граней к [/С]. Моном
v\l...vl? приобретает мультистепень B/,, ..., 2/т). Рассмотрим модули
Тогк[К](к, к); их можно вычислять, например, при помощи минимальной
свободной резольвенты поля к, рассматриваемого как к[/С]-модуль. Ми-
Минимальная резольвента также несет естественную Nm-градуировку, так что
Tork[K](k, k) естественным образом приобретает N ф Nm-градуировку, ср.
с конструкцией 3.22.
Теорема 9.20 (см. [144, Th. 1.3]). Для групп когомологий допол-
дополнения М(К) вещественной конфигурации диагональных подпро-
подпространств имеет место изоморфизм:
1г;^-1J 2(k,k). ,
Замечание. Вместо симплициальных комплексов К на множестве вер-
вершин [т] в [144] рассматривались мономиальные идеалы Jс k[v\,..., vm],
имеющие базис из мономов без квадратов. Эквивалентность этих двух под-
подходов вытекает из предложения 3.3.
Теорема 9.21. Имеет место изоморфизм алгебр
Доказательство. Рассмотрим расслоение P—>DJ(K) со слоем
CIDJ(K), где Р — пространство путей для DJ(K), и соответствующую
спектральную последовательность Эйленберга—Мура. В силу леммы Д.2
мы имеем
TorA.mK))(A*(P), Q) ?* H*(UDJ(K)',
Так как пространство Р стягиваемо, имеется коцепная эквивалентность
A*(P)~Q. В силу леммы 7.35 мы получаем квазиизоморфизм Q[K] —>
—> А * (DJ (К)). Следовательно,
TorA.mK))(A*(P), Q) ^ TorQ(/A(Q, Q).
Из последних двух тождеств и вытекает требуемое утверждение. Заметим
также, что рассматриваемая спектральная последовательность Эйленбер-
Эйленберга—Мура вырождается в члене ?2. ?
Предложение 9.22. Имеет место изоморфизм алгебр
Доказательство. Имеется расслоение Bj2?K-+BTmzo слоем
Путем построения сечения проверяется, что соответствующее расслое-
расслоение петель ПВГ^ —> Тт со слоем П^ является тривиальным (заметим,

9.3. Конфигурации диагональных подпространств 231
что UBT41 ~ Тт). Для завершения доказательства остается заметить, что
BT2k*DJ(K) (см. раздел 7.5) и Н*(Тт)<*А[ии ..., ит]. П
Предложение 9.8 и теорема 9.12 позволяют использовать теорию
К -степеней для вычисления кольца когомологии дополнения координат-
координатной конфигурации. Аналогично, теоремы 9.20, 9.21 и предложение 9.22
позволяют связать когомологии дополнений конфигураций диагональных
подпространств и когомологии пространства петель над комплексом 2?к.
Однако в этом случае ситуация значительно сложнее, чем в случае конфи-
конфигураций координатных подпространств. В частности, мы не имеем аналога
мультипликативного изоморфизма из теоремы 9.12. Поэтому данный за-
заключительный раздел мы рассматриваем лишь как первый шаг в изучении
дополнений диагональных конфигураций при помощи теории /(-степеней.

Приложение А
Действия групп
и эквивариантные когомологии
Здесь мы приводим ряд основных определений и конструкций, связан-
связанных с понятием эквивариантных когомологии, включая эквивариантные
характеристические классы. Подробное изложение этого материала мож-
можно найти, например, в монографиях [61] и [100]. Необходимые понятия
из теории характеристических классов см., например, в [132].
Пусть X — хаусдорфово топологическое пространство на котором дей-
действует слева топологическая группа G. Это означает, что задано непре-
непрерывное отображение
GxX-+X, (g,x)^gx
такое, что g{hx) = (gh)x для любых g, heG, х Е X, и ех = х, где е —
единица группы G. Пространство X называется (левым) G-простран-
G-пространством. Аналогично определяется правое действие и правое G -простран-
-пространство. В случае, когда G — абелева группа, понятия левого и правого дей-
действия совпадают.
Действие называется эффективным, если множество
{g € О: gx = х для любого х)
состоит из одного элемента eeG. Непрерывное отображение f:X—*Y
некоторых G -пространств X, Y называется эквивариантным, если оно
коммутирует с действием группы, т.е. f(gx) = g(f(x)) для всех gЕ G и х еХ.
Отображение / называется слабо эквивариантным (или, более точно,
ty-эквивариантным), если существует автоморфизм ф: G —> G группы G
такой, что f(gx) = ty(g)(f{x)) для всех g Е G и х Е X.
Пусть х Е X —некоторая точка. Множество Gx — {g E G: gx — х) эле-
элементов группы G, оставляющих на месте точку х, является замкнутой под-
подгруппой в G. Эта подгруппа Gx называется стационарной подгруппой

Приложение А. Действия групп "и эквивариантные когомологии 233
(или стабилизатором) точки х. Действие группы G называется свобод-
свободным, если для любой точки хеХ подгруппа Gx тривиальна. Подпростран-
Подпространство
Gx = {gxeX: geG}cx
называется орбитой точки х (относительно действия группы G). Множе-
Множество всех орбит, наделенное стандартной фактортопологией, называется
пространством орбит и обозначается X/G. Если G —компактная груп-
группа, то пространство X/G хаусдорфово, а проекция к:Х -+X/G является
замкнутым и собственным отображением (т. е. прообраз любого компакт-
компактного множества компактен). Точка х ? X называется неподвижной, если
Gx = х, т.е. Gx = G. Множество неподвижных точек G-пространства X мы
будем обозначать Х°.
Главным G-расслоением называется расслоение р:Х —>В со слоем G,
на котором структурная группа G действует правыми сдвигами (т. е. эле-
элемент g e G переводит точку g' слоя в точку g'g). Обычное действие груп-
группы G на себе левыми сдвигами коммутирует с правыми сдвигами. Отсюда
легко выводится, что для любого главного G-расслоения р:Х —> В суще-
существует каноническое свободное левое G -действие на X, накрывающее три-
тривиальное действие на В. Отображение р:Х -+В индуцирует гомеоморфизм
X/G = В и потому может рассматриваться как проекция на пространство
орбит, ассоциированное с данным G-действием. Если группа G компактна,
то (для достаточно хороших G -пространств X) верно и обратное, а имен-
именно, если G свободно действует на X, то X есть тотальное пространство
некоторого главного G-расслоения (см. [61, гл. II]). Таким образом, для
компактных групп G понятия главного G-расслоения и свободного G-дей-
ствия канонически эквивалентны.
Пусть теперь G — компактная группа Ли. Тогда существует главное
G-расслоение EG —»BG, тотальное пространство EG которого стягиваемо.
Это расслоение обладает следующим свойством универсальности. Пусть
Е —» В—другое главное G -расслоение. Тогда существует единственное
с точностью до гомотопии отображение /: В —»BG такое, что расслое-
расслоение Е —> В индуцируется из расслоения EG —> BG при помощи отобра-
отображения /. В соответствии с этим пространство EG называется универ-
универсальным G-пространством, а пространство BG —классифицирующим
пространством для свободных G-действий.
Определение АЛ. Пусть X — некоторое G-пространство. Группа G
свободно действует на произведении EG x X следующим образом:
g{e, x) = (eg~\ gx), geG,eeEG,xeX.
Пространство орбит этого действия обозначается EG xGX (мы будем так-
также использовать обозначение BGX) и называется конструкцией Бореля

234 Приложение А. Действия групп и эквивариантные когомологии
(или гомотопическим пространством орбит). Эквивариантные ко-
когомологии пространства X (с коэффициентами в кольце к) определяют-
определяются как
H*(X\k):=H*(EG xGX;k).
Таким образом, HG(pt; k) = H*(BG\ к) и проекция BGX —> BG задает
в HG(X; к) структуру модуля над //?(pt; k).
В эквивариантных когомологиях имеет место точная последователь-
последовательность пары G-пространств Y сХ благодаря наличию эквивариантного го-
гомеоморфизма
EG х X/EG xY^EGx {X/Y)/EG x pt.
Имеются две эквивариантные проекции
EGxX^EG (е,х)*-+е и EGxX-+X (e,x)*-+x
Первая из этих проекций индуцирует расслоение EG xG X —> BG со сло-
слоем X и структурной группой G. Вторая проекция индуцирует отображе-
отображение EG xGX—уХ/G. С другой стороны, имеется главное G-расслоение
EG х X —> EG xG X. Вложение множества неподвижных точек Х° С X за-
задает вложение
BG х Xе — BGX.
Таким образом, имеется вложение XG —>BGX, композиция которого с про-
проекцией BGX -+X/G совпадает с вложением Х° -»X/G.
Роль конструкции Бореля заключается в том, что G -пространство X
заменяется на гомотопически эквивалентное свободное G-пространство
EG х X и затем берется пространство орбит. Это объясняет термин «го-
«гомотопическое пространство орбит». Отображение EG xG X -+X/G инду-
индуцирует гомоморфизм H*(X/G) —> HG{X), который является изоморфизмом
в случае свободного G-действия. В общем случае эквивариантные когомо-
когомологии дают намного больше информации для изучения и вычисления алге-
алгебраических инвариантов действия, чем обычные когомологии пространства
орбит.
Расслоение п:Е—>Х со слоем F называется G-расслоением, ес-
если тс является эквивариантным отображением G-пространств. Приме-
Применение конструкции Бореля к G-расслоению к:Е —>Х дает расслоение
BGE —> BGX с тем же слоем F. В случае G-векторных расслоений это
немедленно приводит к построению эквивариантных характеристиче-
характеристических классов. Например, эквивариантные классы Штифеля—Уитни
векторного G-расслоения к:Е —>Х лежат в HG{X\ Z/2) и обозначаются
wf(E). Если Е—>Х является ориентированным G-векторным расслое-
расслоением, то определен эквивариантный класс Эйлера eG(E) eHG(X\ Z).

Приложение А. Действия групп и*эквивариантные когомологии 235
Если Е—>Х является комплексным расслоением и G -действие сохраня-
сохраняет послойную комплексную структуру, то определены эквивариантные
классы Чженя с?(Е) е Н%(Х; Z).
Пусть теперь Х = М — гладкое ориентированное G-многообразие
размерности л, где G — по-прежнему компактная группа Ли. Пусть
также N с М — некоторое G-инвариантное (например, неподвижное)
ориентированное подмногообразие коразмерности k. При помощи неко-
некоторого G-эквивариантного диффеоморфизма мы можем отождествить
нормальное G -расслоение \{N С М) с G -инвариантной трубчатой окрест-
окрестностью U подмногообразия^ ъМ, а пространство Тома Tv расслоения v—
с факторпространством U/dU. Имея вложение i:N С М и проекцию
к: О -*N, получаем отображение Понтрягина—Тома р:М —> 7v, стя-
стягивающее дополнение М \ U в точку. В эквивариантных когомологиях
имеется класс Тома xN € Hq(Tw), однозначно определяемый свойством
(а.р'Ы, [Af]) = (Га, W)
для любого а€Нд~к(М). Здесь [М] еН°(М) обозначает фундаменталь-
фундаментальный класс многообразия М в эквивариантных гомологиях. Отображение,
определяемое композицией
//с-*(А0 ^ НГ"М "^ ^G-v) А Щ(М)
называется гомоморфизмом Гизина (или прямым образом) в эквивари-
эквивариантных когомологиях и обозначается /„. Элемент /"(/„(I)) E Hq{N) совпа-
совпадает с эквивариантным классом Эйлера нормального расслоения v.

Приложение Б
Характеристические классы
и кобордизмы
Гладкое многообразие М называется стабильно комплексным (в дру-
другой терминологии квазикомплексным или слабо почти комплексным),
если для некоторого k вещественное векторное расслоение х(М) Ф Rk до-
допускает комплексную структуру. Здесь т(М) — касательное расслоение
к Atf, a R* обозначает тривиальное вещественное fc-мерное расслоение
над М. Стабильно комплексной структурой на М называется класс
эквивалентности пар (М, ?), где \ — комплексное расслоение, вещественно
изоморфное т(М) фЕ* для некоторого k. Две структуры (М\, ?i) и (М2, ?г)
считаются эквивалентными, если для некоторых k\ и k2 имеет место изо-
изоморфизм комплексных расслоений
Если само многообразие М является комплексным, то оно обладает кано-
канонической стабильно комплексной структурой (М, т(Л1)) (однако допускает
и другие стабильно комплексные структуры). Например, СР1 = S2 имеет
стабильно комплексные структуры (СЯ1, k-z(CP1)) для любого целого k, в
том числе и тривиальную структуру.
Пусть Ml и Щ —два гладких многообразия. Кобордизмом между ни-
ними называется гладкое многообразие Wn+l с границей, которая представ-
представляет собой несвязное объединение М\ и Af2, т.е. dW = Mt + М2. Кроме
того, если на многообразиях введена некоторая структура (например, ори-
ориентация или стабильно комплексная структура), то определяется понятие
кобордизма с дополнительной структурой. При этом требуется, чтобы мно-
многообразие W также обладало этой структурой и имело место соотношение
dW = М\ +М2, где соответствующая структура на dW индуцируется из W\
а М2 обозначает многообразие с противоположной структурой. Соответ-
Соответственно, возникают понятия ориентированных и комплексных кобор-

Приложение Б. Характеристические классы и кобордизмы 237
дизмов. Отношение кобордантности (возможно, с дополнительной струк-
структурой) разбивает многообразия на классы эквивалентности, называемые
классами кобордизма. Стандартным источником по теории кобордизмов
является монография Стонга [161]. В данной книге мы, в основном, имеем
дело с комплексными кобордизмами.
Операции несвязного объединения и произведения превращают мно-
множество классов кобордизма [М, \] стабильно комплексных многообразий
в градуированное (по размерности) кольцо, называемое кольцом ком-
комплексных кобордизмов пи (или кольцом Милнора—Новикова). Кольцо
комплексных кобордизмов изоморфно кольцу многочленов от бесконечно-
бесконечного числа образующих, по одной в каждой четной размерности:
uu^Zlalta2t ...], dega,=2/,
(доказательство можно найти в [21] и [161]). Кольцо пи служит коль-
кольцом коэффициентов для обобщенной теории (ко)гомологий, известной как
комплексные (ко)бордизмы.
Активное изучение стабильно комплексных многообразий и их кобор-
кобордизмов началось в конце 1950-х годов. Этой теме была посвящена суще-
существенная часть доклада Ф.Хирцебруха на Международном Конгрессе ма-
математиков 1958 года, см. [30]. В этом докладе приводится результат Мил-
Милнора о том, что каждый класс комплексных кобордизмов содержит неосо-
неособое алгебраическое многообразие (возможно, несвязное). Доказательство
этого результата существенно использует гиперповерхности Милнора,
см. пример 6.43. Следующий вопрос остается открытым и по сей день.
Проблема Б.1 (Хирцебрух). Описать множество классов комплекс-
комплексных кобордизмов, содержащих связные неособые алгебраические много-
многообразия.
Также остается открытым вопрос о том, какие классы кобордизмов
содержат связные почти комплексные многообразия.
Пример Б.2. Группа 2-мерных комплексных кобордизмов Г^ изоморф-
изоморфна Z и порождается классом римановой сферы [СЯ1]. Каждый класс ко-
кобордизмов k[CPl] e п% содержит неособое алгебраическое многообразие,
а именно, несвязное объединение k экземпляров СЯ1 при k > 0 и риманову
поверхность рода A — k) при k ^ 0. Тем не менее, связные алгебраические
многообразия содержатся лишь в классах кобордизма /jICP1] с k ^ 1.
Важнейшими инвариантами классов кобордизма многообразий явля-
являются роды Хирцебруха.
Определение Б.З. Родом Хирцебруха [104], [105], ассоциированным
со степенным рядом

238 Приложение Б. Характеристические классы и кобордизмы
называется кольцевой гомоморфизм yQ:Uu —>Q, который строится следу-
следующим образом. Рассмотрим класс кобордизмов [М2п, ?] € Г$„, где рассло-
расслоение \ стабильно изоморфно касательному расслоению т(АР). Запишем
формально полный класс Чженя расслоения \ как произведение линейных
множителей:
(т.е. ?,•(?) есть /-я элементарная симметрическая функция от формальных
переменных xit ..., хп). Тогда положим
где [М2п] обозначает фундаментальный класс в гомологиях. Правая часть
имеет следующий смысл: необходимо взять однородную часть степени п
п
ряда П Q(xi)* выразить полученный симметрический многочлен через
элементарные, затем заменить элементарные симметрические функции на
С\{%), ..., с„(?) и подсчитать значение полученного класса когомологий
на фундаментальном классе [М2п].
Как показано Хирцебрухом, каждый кольцевой гомоморфизм y:Qu —>Q
возникает как род (p<?, соответствующий некоторому ряду Q. Имеется так-
также понятие родов Хирцебруха в ориентированных кобордизмах, которые
соответствуют кольцевым гомоморфизмам (р: uso —* Q из кольца ориенти-
ориентированных кобордизмов Uso. При этом ряд Q(x) должен зависеть лишь
от четных степеней х, а вместо классов Чженя необходимо соответствую-
соответствующим образом использовать классы Понтрягина.
Определение Б.4. Важным примером рода Хирцебруха является
Ху-род, соответствующий ряду
где у € К. — некоторый параметр. При у = — \ мы получаем просто старшее
число Чженя сп[М2п, ?]. Значения у = 0 и у = 1 дают соответственно род
Тодда ЩМ) и L-род L(M) многообразия М2п.
Для данного ориентированного 4^-мерного многообразия M4k его сиг-
сигнатура s\gn(M4k) определяется как сигнатура формы пересечений
/(а, р) := (а • C, (М<% а, C G H2k(M4k)
на пространстве H2k(M4k). (Напомним, что сигнатурой симметричной би-
билинейной формы на линейном пространстве, или квадратичной формы,

Приложение Б. Характеристические классы и кобордизмы 239
называется разность между числом положительных и отрицательных квад-
квадратов в ее канонической форме.) Формально положив sign(M4*+2) = 0, мы
будем считать, что сигнатура определена на всех ориентированных мно-
многообразиях четной размерности. Можно доказать, что сигнатура является
инвариантом класса ориентированных кобордизмов и мультипликативна,
т. е. определяет гомоморфизм ср: uso —* Z, или род. Классическая теоре-
теорема Хирцебруха [104], положившая начало теории родов, утверждает, что
сигнатура совпадает с L-родом. Далее мы не будем различать эти два ин-
инварианта.
Если М2п является комплексным многообразием, то значение Ху(М2п)
можно вычислить в терминах эйлеровых характеристик комплексов Доль-
бо на М2п, см. [104]. Именно это послужило мотивацией Хирцебруху для
введения понятия х^

Приложение В
Дифференциальные
градуированные алгебры
Здесь собраны необходимые сведения о встречающихся в книге поня-
понятиях из теории дифференциальных градуированных алгебр, включая мини-
минимальные модели, формальность, а также некоторые приложения в рацио-
рациональной теории гомотопий.
Пусть Л — дифференциальная градуированная алгебра над по-
полем к. Здесь мы будем рассматривать лишь неотрицательно градуирован-
градуированные алгебры. Это означает, что Л есть к-векторное пространство, пред-
представленное в виде прямой суммы подпространств Л', называемых подпро-
подпространствами однородных элементов степени / ^ 0:
1', dega = / для а е Л',
с заданными операциями ассоциативного умножения
Д1 v AI k Ai+i i i Ъ- П
/i Л- /Л —* /1 , I, у ^> V/,
и дифференцирования
</:Л'->Лж, *>0,
со следующими свойствами:
1) d(ab) = da-b + (-l)'a • db для а е Л';
2) d2 = 0.
Если, кроме того, имеет место свойство
3) ab = (-\)''Ьа для а е Л', b e Л' (градуированная коммутативность),
то дифференциальная градуированная алгебра Л называется коммута-
коммутативной.
Гомоморфизмом дифференциальных градуированных алгебр (Л, dA) и
(Б, rfe) называется k-линейное отображение f:A —у В, которое сохраняет

Приложение В. Дифференциальные градуированные алгебры 241
градуировку, т. е. f(Al) С В' при / ^ 0, и удовлетворяет следующим условиям:
f(ab) = f(a)f(b), a, be A,
dBf(a) = f(dAa), aeA.
Когомологии дифференциальной градуированной алгебры А определяют-
определяются стандартным образом:
Я'[Л, d] = Ker(d: А1 -»Ai+l)/lm(d: Л' -»Л').
Элемент а е А называется замкнутым элементом или коциклом, ес-
если da = 0. Каждому такому элементу сопоставляется класс когомологии
[а] € Н[А, d]. Если [а] =0, то а называется точным элементом или ко-
кограницей. Непосредственная проверка показывает, что если a, b e A —
коциклы, то ab также является коциклом и соотношение [a] [b] := [ab] за-
задает в Н[А, d] структуру градуированной алгебры.
Дифференциальная градуированная алгебра А называется (гомологи-
(гомологически) связной, если Н°[А, d] — k и (гомологически) односвязной если,
кроме того, Hl[A, d] = 0. (Заметим, что это понятие связности отличает-
отличается от понятия связности для градуированных алгебр без дифференциала,
см. введение к главе 3.) Мы также будем предполагать алгебру А ауг-
ментированной, т. е. считать заданным гомоморфизм дифференциальных
градуированных алгебр е: А —> к, где к состоит из элементов нулевой сте-
степени и имеет нулевой дифференциал.
Гомоморфизм /: (A, dA) —> (В, dB) переводит коциклы в коциклы и ко-
кограницы в кограницы. Поэтому он индуцирует гомоморфизм алгебр
fH:H[A,dA]^H[B,dB]
по формуле /w[а] := [/(а)]. Отображение / называется квазиизоморфиз-
мом, если /w является изоморфизмом. Отношение эквивалентности на
множестве дифференциальных градуированных алгебра, порожденное ква-
квазиизоморфизмами, называется слабой эквивалентностью. Однако так
как квазиизоморфизмы, как правило, не обратимы, наличие слабой экви-
эквивалентности между алгебрами А а В означает лишь наличие «длинной»
цепочки квазиизоморфизмов вида
А <- А | -> А2 <- Л3 ->... <- Ak -> В.
Понятие минимальной модели коммутативной дифференциальной граду-
градуированной алгебры позволяет описывать слабые эквивалентности значи-
значительно более эффективно, сводя «длинные» цепочки квазиизоморфизмов к
«коротким» цепочкам вида А <— М —> В. Ниже мы сформулируем соответ-
соответствующие определения и результаты, отсылая читателя за более подроб-
подробным изложением, например, к работе [118]. Далее мы предполагаем, что
к есть поле нулевой характеристики (например, k = Q).

242 Приложение В. Дифференциальные градуированные алгебры
Определение В.1. Коммутативная дифференциальная градуированная
алгебра М называется минимальной, если
1) М° = к, d(M°) = 0 и умножение на элементы из М° совпадает с умно-
умножением на элементы из к;
2) как коммутативная градуированная алгебра М свободно порождает-
порождается однородными элементами дгь ..., xk, ..., т. е.
М = A[xk: cleg** нечетна] <S> k[xk: cleg** четна],
для каждого i > 0 имеется лишь конечное число образующих степени /, и
cleg** ^ deg*/ при k ^ /;
3) дифференциал d разложим, т. е. dxk является многочленом от об-
образующих Х[, ... f xk-\ при k^\.
Очевидно, что минимальная алгебра М односвязна тогда и только тогда,
когда М{ — 0. В этом случае deg** ^ 2 для всех k и условие разложимости
дифференциала эквивалентно следующему:
d(M)cM+ -
где М+ - М+ есть линейное подпространство, порожденное разложимыми
элементами. Однако для неодносвязных алгебр это условие не гарантирует
минимальности; например, алгебра Л[*, у], degx = degy — 1, с дифферен-
дифференциалом dx = 0, dy = xy не является минимальной.
Определение В.2. Алгебра М называется минимальной моделью для
коммутативной дифференциальной градуированной алгебры А, если
1) М является минимальной алгеброй;
2) имеется квазиизоморфизм h\M—+A.
Следующее утверждение, описывающее важнейшие свойства мини-
минимальных моделей было доказано Сулливаном для односвязных алгебр и
Гальперином в общем случае.
Теорема В.З (см. [118, теорема II.6]). 1: Для любой связной ком-
коммутативной дифференциальной градуированной алгебры А, удо-
удовлетворяющей условию dim//'[Л] < оо для всех /, существует един-
единственная (с точностью до изоморфизма) минимальная модель М(А).
2. Любой гомоморфизм алгебр f:A-+B поднимается до гомомор-
гомоморфизма f:M(A) —> М(В) их минимальных моделей, замыкающего ком-
коммутативную диаграмму
М(А) —^ М(В)

Приложение В. Дифференциальные градуированные алгебры 243
3. Если f — квазиизоморфизм, то f является изоморфизмом ал-
алгебр.
Отсюда вытекает, что любая слабая эквивалентность алгебр пред-
представляется в виде «короткой» последовательности квазиизоморфизмов
А <— М —> В, где М — минимальная модель для А (или для В).
Когомологии Н[А] дифференциальной градуированной алгебры А мож-
можно рассматривать как дифференциальную градуированную алгебру с нуле-
нулевым дифференциалом.
Определение В.4. Минимальная алгебра {М, d) называется формаль-
формальной, если существует квазиизоморфизм
Коммутативная дифференциальная градуированная алгебра А называется
формальной, если ее минимальная модель М(А) формальна.
Таким образом, если алгебра А формальна, то ее минимальную модель
можно восстановить из алгебры когомологии Н\А].
Замечание. Свойство формальности алгебры (A, d) эквивалентно на-
наличию слабой эквивалентности между {A, d) и (//[Л], 0). Таким образом
можно определить понятие формальности и для некоммутативных диффе-
дифференциальных градуированных алгебр. Однако формальность не гаранти-
гарантирует наличия квазиизоморфизма (//[Л], 0) —> (A, d).
Пример В.5. Рассмотрим алгебру М с тремя образующими аи а2, аз
степени 1 и дифференциалом
Эта алгебра является минимальной, но не является формальной. Действи-
Действительно, в размерности 1 когомологии Н[М] порождены классами а, и а2,
соответствующими коциклам а, иа2) причем а|<х2 = 0. Если бы существо-
существовал квазиизоморфизм f:M—> #[М],то мы бы имели f(a3) = k]oil + ?2а2 для
некоторых коэффициентов &,, k2 E к. Отсюда /(а^з) = 0» что невозможно,
так как элемент а\а3 представляет нетривиальный класс когомологии.
Простейшим способом установить формальность алгебры А являет-
является построение мультипликативного отображения «выбора представителя»
Н[А] —> А (таким образом, например, устанавливается формальность ал-
алгебр дифференциальных форм кэлеровых многообразий). Однако, как от-
отмечено выше, такой гомоморфизм может не существовать даже для фор-
формальных алгебр.
Одним из важнейших применений минимальных моделей является по-
построение теории рациональных гомотопий. Изложение основ этой теории
можно найти, например, в [59] и [118].

244 Приложение В. Дифференциальные градуированные алгебры
С каждым топологическим пространством X можно связать диффе-
дифференциальную градуированную алгебру С*(Х; к) сингулярных к-коцепей,
когомологии которой суть когомологии Н*(Х; к) пространства X. Одна-
Однако, как уже отмечалось, классическое умножение коцепей некоммутативно.
В связи с этим возникает проблема построения теории коммутативных
k-коцепей, суть которой заключается в сопоставлении каждому простран-
пространству коммутативной дифференциальной градуированной алгебры, удовле-
удовлетворяющей всем основным свойствам функтора сингулярных коцепей (на-
(например, функториальности, наличию точных последовательностей и т.д.,
детали см. в [118, Гл. III]). Эта проблема не имеет решения при k = Z, од-
однако для поля нулевой характеристики (например, k = Q или к = Е) теория
коммутативных коцепей существует для достаточно широкого класса про-
пространств. Если X — гладкое многообразие, то алгебра дифференциальных
форм де Рама п*(Х) является решением проблемы коммутативных коце-
коцепей (для k = R). Понятие дифференциальных форм можно распространить
на значительно более общий класс топологических пространств X (на-
(например, на произвольные полиэдры или на пространства, получаемые как
геометрические реализации симплициальных множеств). Соответствующая
коммутативная дифференциальная градуированная алгебра Л*(Х) известна
как алгебра кусочно полиномиальных дифференциальных форм Сул-
ливана—де Рама и является решением проблемы коммутативных коцепей
для k = Q. Для нее имеется функториальная коцепная эквивалентность
А*(Х) —> С*(Х, Q) — «отображение Стокса» (см. например, [59, §2]), ко-
которая, однако, не является гомоморфизмом алгебр. Тем не менее, эта эк-
эквивалентность приводит к мультипликативному изоморфизму когомологии:
Мы будем обозначать минимальную модель алгебры А*(Х) через Мх и
называть ее минимальной моделью пространства X. Следующая тео-
теорема описывает важность понятия минимальной модели для теории раци-
рациональных гомотопий.
Теорема В.6 (Сулливан). Пусть X — односвязное пространство.
Тогда имеется естественный изоморфизм
Нотг(кД, Q) * Mlx/{Mt • Mt).
Таким образом, имеется взаимно однозначное соответствие между
образующими рациональной гомотопической группы щХ ®z Q простран-
пространства X и образующими размерности i минимальной модели Мх. Позднее
были также доказаны аналоги этой теоремы для более общих пространств,
см. [59]. Если фундаментальная группа щХ абелева, то теорема име-
имеет место в приведенной выше формулировке. Кроме того, эта теорема

Приложение В. Дифференциальные градуированные алгебры 245
допускает обобщение и на более широкий класс нильпотентных про-
пространств X, для которых фундаментальная группа п\{Х) нильпотентна
и нильпотентно действует на старших гомотопических группах. Однако в
этом случае соответствующая формулировка усложняется в размерности 1
из-за некоммутативности группы щХ.
Определение В.7. Односвязное (или нильпотентное) пространство X
называется формальным, если его алгебра Сулливана—де Рама А*(Х)
формальна.
В случае гладкого многообразия X формальность эквивалентна фор-
формальности алгебры форм де Рама п*{Х).
Пример В.8. 1. Пусть X = S2n+l,O 1. Тогда Мх=А[х], degx = 2n +
+ 1, dx = 0. Квазиизоморфизм Мх —> ft* (X) можно построить, отобразив х
в форму объема на S2n+l.
2. Пусть X = S2n, О 1. Тогда Мх = А[у] ®Щх], dzgx = 2л, dzgy =
= 4п - 1, dx = 0, dy = х2. Квазиизоморфизм Мх —> П*(Х) переводит х в
форму объема на S2n и у в нуль.
3. Пусть X = СР\ п^\. Тогда Мх = А[у] ®Щх], degx = 2, degy =
= 2п + 1, dx = 0, dy = jce+1. Квазиизоморфизм М* —> ft* (А) переводит * в
форму ^дд\г\2 € П2(СРп) и у в нуль.
4. Пусть X = СЯ°°. Тогда Мх = Q[x] = H*{X\ Q), degx = 2,dx = 0.
В каждом из предыдущих примеров пространство X формально. Для
полноты изложения приведем теперь известный пример неформального
многообразия.
Пример В.9. Пусть G есть группа всех матриц вида
x,y,ze
и Г = Gz — подгруппа всех матриц с х, у, z e Ъ. Рассмотрим многообра-
многообразие X = G/Г, которое является классифицирующим пространством ВТ для
нильпотентной группы Г = Л1(А). Минимальная модель Мх порождается
левоинвариантными 1-формами
6>i = dx, б>2 = dy, <iK = xdy — dz.
Эта алгебра изоморфна алгебре из примера В.5. Таким образом, многооб-
многообразие X не является формальным.

Приложение Г
Произведения Масси
Наличие нетривиальных высших произведений Масси в когомологиях
дифференциальной градуированной алгебры является одним из основных
препятствий к ее формальности. Большое количество неформальных про-
пространств и многообразий, обладающих различными специальными свой-
свойствами, было построено в [3] на основе конструкций нетривиальных про-
произведений Масси. В нашем подходе к произведениям Масси мы опирались
на построения из этой работы.
Рассмотрим автоморфизм порядка два (инволюцию) алгебры Л, опре-
определяемую как
а ¦-»• а = (— \)ка при а е Ак.
Тогда мы имеем d(ab) = (da)b + a(db) для любых а, Ь € Л. Пусть Т?(А)
обозначает алгебру верхнетреугольных (k x &)-матриц над А с нулями на
диагонали. Таким образом, для С = (сц) ? Т?(А) мы имеем Сц = 0 при / ^ у.
Положим dC = (dctj) и С = (ci;). Введем также матрицы Еы = (еи) е Т%(А)
(k < /), где еи = 0 при (/, j) ф (k, I) и ем = 1.
Лемма ГЛ. Пусть матрица С — (си)е ТЦ+1(А) с cu+l eAki удовле-
удовлетворяет уравнению
Тогда
а) dcu+l = 0;
б) с G Ат, где т = k{ + ... + К - п + 2;
в) dc = 0.
Доказательство. В доказательстве нуждается лишь последнее утвер-
утверждение. Мы имеем
(dc)Eln+l = -d(CC) = -dCC - CdC = dCC - CdC =
+ CC)C - C(cEhn+[ +CC) = cEu+[C + CCC - СсЕы+[ - CCC = 0,
так как E{jl+X С = C?u+i =0. ?

Приложение Г. Произведения Масси
247
Определение Г.2. Пусть <хь ..., апеН[А] — некоторые коциклы, пред-
представленные элементами аь ..., апбЛ,т.е. а^ = [а,], / = 1,..., п. Предполо-
Предположим, что существует матрица С G Гл°+,(А) такая, что си+\ —aiy i= 1,...,«,
и С удовлетворяет уравнению (Г.1) для некоторого с. Тогда говорят, что
п-местное произведение Масси (или просто п-произведение Масси)
(а|,...,а„) определено. В этом случае (аь...,а„) состоит из классов
когомологий [с] G Я[Л] для всевозможных матриц С, удовлетворяющих
уравнению (Г.1) с начальными данными си+[ =at. Произведение Масси
называется тривиальным, если О е (аь ..., а„).
Пример Г.З. 1. Пусть п = 2. Тогда мы имеем
Уравнение (Г. 1) принимает следующий вид:
Таким образом, в этом случае уравнение (Г.1) всегда имеет решение, и мы
имеем с = йс\ъ — а{п2 и (аьа2) = —aja2. Итак, двойное произведение Масси
совпадает с точностью до знака с обычным когомологическим умножением.
2. Пусть п = 3. Тогда мы имеем
СС =
@ а\
0 0 U2 С24
0 0 0 а3
0 0 0J
@ а{
0 0 U2 C24
0 0 0 а3
0 0 0 0)
@ 0
0 0 0
0 0 0
а2а3
0
0
Уравнение (Г.1) принимает следующий вид:
/0
0
0
\о
0
0
0
0
0
0
0
0
1\
0
0
/0 0
0 0
0 0
\0 0
0
0
0
dcu\
0^24
О
0
'О О
о о
о о
0
0
о
а2аз
0
0
/
В этом случае существование матрицы С, удовлетворяющей уравне-
уравнению (Г.1), эквивалентно существованию элементов с!3, ?24 €Д ДЛЯ которых
= йсхъ и а2аъ = dc24- Это, в свою очередь, эквивалентно условию
= OI2OI3 = 0.
Получаем с =
и
ь а2, а3) = [с] = [-а,с24 -

248 Приложение Г. Произведения Масси
Заметим, что если dega, = k{, то deg(ab a2, a3) = k\ + k2 + ?3 - 1. Так как
элементы с!3 и c24 определены лишь с точностью до замкнутых элемен-
элементов из Л*|+*2~' и Л*2+*3~' соответственно, тройное произведение Масси
(аь а2, а3) определено с точностью до элементов из подгруппы
Произведения Масси можно также определять в когомологиях не-
коммутивных дифференциальных градуированных алгебр. Например,
классические произведения Масси в Н*{Х,Ъ) определяются по алгебре
сингулярных коцепей C*(Xf Z) с умножением Колмогорова—Александера,
которое, как известно, некоммутативно. Приведенное выше определение
произведений Масси отличается от классического знаком. Например,
в классическом подходе в качестве двуместного произведения Масси
берется в точности произведение классов когомологий. Доказательство
эквивалентности изложенного выше подхода к определению произведений
Масси и классического можно найти в [3, §2.4].
Следующее утверждение (см., например, [3, теорема 4]) является важ-
важнейшим инструментом доказательства неформальности алгебр.
Теорема Г.4. Предположим, что дифференциальная градуирован-
градуированная алгебра А формальна. Тогда при п^З все п-местные произведе-
произведения Масси в Н[А] тривиальны.
Доказательство. Мы приведем доказательство лишь для коммутатив-
коммутативных дифференциальных алгебр и тройного произведения Масси, так как
только этот случай используется в книге. Рассмотрев квазиизоморфизм
из минимальной модели в алгебру А, мы можем считать, что алгебра А
минимальна. Предположим, что А формальна, тогда в силу минималь-
минимальности имеется квазиизоморфизм f\A-*H[A\. Рассмотрим три элемента
<*1т <*2, а3 € Н[А], для которых определено произведение Масси (at, a2, a3).
Выберем соответствующих представителей аи а2, а3 € A, f(at) = а, и за-
затем выберем элементы cJ3, с24 G А, для которых а{а2 — йс\Ъ и a2a3 = dc24-
Положим Yi3 '-= [(См) и Y24 •= f{C2*)- Теперь выберем коциклы е[3, е24 еА,
представляющие элементы у,3, у24 ? Н[А] соответственно, т.е.
Тогда элементы с\ъ := ct3 — e»3 и с'24 := с24 — е24 по-прежнему удовлетворя-
удовлетворяют соотношениям аха2 — йс\ъ и а2аъ = dc24. Кроме того, /(с|3) = /(с24) = 0.
Отсюда
f(-aic'24-c'[3a3) = 0,
а значит произведение Масси (аь а2, а3) содержит нуль. П

Приложение Д
Спектральная
последовательность
Эйленберга—Мура
В работе 1966 г. [89] Эйленбергом и Муром была построена спектраль-
спектральная последовательность, которая получила большую известность в алге-
алгебраической топологии. Эту спектральную последовательность можно рас-
рассматривать как развитие подхода Адамса к вычислению (ко)гомологий
пространств петель [36]. В 1960—70-х годах различные приложения по-
последовательности Эйленберга—Мура привели ко многим важным резуль-
результатам о когомологиях пространств петель и однородных пространств дей-
действий групп Ли. В главах 6 и 8 мы обсуждаем новые приложения этой
спектральной последовательности в задачах, возникающих на стыке то-
топологии и комбинаторики. В этом небольшом разделе мы приводим необ-
необходимые факты о спектральной последовательности Эйленберга—Мура,
следуя, в основном, работе Л.Смита [150].
Здесь мы считаем, что основное кольцо коэффициентов к является по-
полем, хотя в ряде случаев утверждения имеют место и над кольцом целых
чисел. Следующее утверждение служит алгебраической основой для по-
построения спектральной последовательности Эйленберга—Мура.
Теорема Д.1 (Эйленберг—Мур[150, Th. 1.2]). Пусть А— дифферен-
дифференциальная градуированная к-алгебра, а М, N — дифференциальные
градуированные А-модули. Тогда существует спектральная после-
последовательность {Er, dr}, сходящаяся к TorA(M, N), член Е2 которой
имеет вид
где //[•] обозначает алгебру (модуль) когомологий.
Замечание. Построение функтора Тог для дифференциальных градуи-
градуированных объектов требует некоторых дополнительных рассмотрений (см.,
например, [150] или [121, гл. XII]).

250 Приложение Д. Последовательность Эйленберга—Мура
Спектральная последовательность из теоремы Д.1 располагается
во втором квадранте и дифференциал dr прибавляет (г, 1 — г) к бистепени.
Член ?то этой спектральной последовательности выражается в терминах
убывающей фильтрации {F~p Тог^М, /V)} в Tor^Af, N) по формуле
oo
Топологические приложения теоремы Д.1 возникают в случае, когда
А, М, N являются алгебрами сингулярных коцепей некоторых топологиче-
топологических пространств. Важнейший пример описывается коммутативным квад-
квадратом
? *- ?о
(Д.1)
V
D >• Do,
где ?0 —* Во — расслоение Серра со слоем F над односвязной базой Во,
а ? —> В — расслоение, индуцированное непрерывным отображением
В—*Во. Обозначим через С*(Х) алгебру сингулярных k-коцепей то-
топологического пространства X. Очевидно, С*(?о) и С*(В) являются
С*(Б0)-модулями. При этих предположениях имеет место следующее
утверждение.
Лемма Д.2 (см. [150, Prop. 3.4]). Модуль Тогс.(Во)(С*(?0), С*(В))
естественным образом наделяется структурой алгебры, и имеет
место канонический изоморфизм алгебр
Тогс*(Во)(С*(?0), С*(В)) —>//*(?; к).
Применяя теорему Д.1 в случае А = С*(В0), М = С*(Е0), N = C*(B)
и принимая во внимание лемму Д.2, мы получаем следующее утверждение.
Теорема Д.З (Эйленберг—Мур). Существует спектральная после-
последовательность {Er, dr) коммутативных алгебр такая, что
а) ?,=>#*(?; к);
б) Ер' = Тог~1>(йо:к)(//*(?0; к), Н*(В; к)).
Спектральная последовательность из теоремы Д.З называется спек-
спектральной последовательностью Эйленберга—Мура. Случай, когда
пространство В является точкой, особенно важен для приложений, поэто-
поэтому мы формулируем соответствующее утверждение отдельно.
Следствие Д.4. Пусть ?0 —> Во —расслоение над односвязной ба-
базой Во со слоем F. Тогда существует спектральная последователь-
последовательность {Er, dr) коммутативных алгебр такая, что

Приложение Д. Последовательнбсть Эйленберга—Мура 251
а) ?г^//'(/=¦; к);
о(?о;к), к).
Спектральная последовательность из следствия Д.4 называется спек-
спектральной последовательностью Эйленберга—Мура расслоения Ео —>
—> Во. В случае, когда ?0 — стягиваемое пространство, мы получаем спек-
спектральную последовательность для вычисления когомологий пространства
петель пВ0.
Как было указано в приложении В, в теории рациональных гомотопий
вместо алгебры сингулярных коцепей С*{Х\ Q) пространства (или симпли-
циального множества) X рассматривается коммутативная алгебра Сулли-
вана—де Рама А*{Х). В [59, §3] доказано, что приведенные выше резуль-
результаты о спектральной последовательности Эйленберга—Мура также при-
применимы, если вместо сингулярных коцепей С* рассматривать функтор А*.
Этот результат не является следствием алгебраических свойств функтора
Тог в категории дифференциальных градуированных алгебр, так как отоб-
отображение Стокса А*(Х) —? С*(Х, Q) не является мультипликативным.

Литература
[1] Л. Л. Аврамов, Е. С. Голод. Об алгебре гомологии ком-
комплекса Козюля локального кольца Горенштейна // Матем. заметки.
1971. Т. 9, вып. 1.С. 53—58.
[2] В. И. Арнольд. Кольцо когомологий группы крашенных кос //
Матем. заметки. 1969. Т.5. С.227—231.
[3] И. К. Б а бен ко, И. А. Тайманов. Произведения Масси в
симплектических многообразиях // Матем. сб. 2000. Т. 191, №8.
С. 3—44.
[4] И. В. Баскаков. Когомологий/(-степеней пространств и ком-
комбинаторика симплициальных разбиений // Успехи матем. наук. 2002.
Т. 57, вып. 5. С. 147—148.
[5] И. В. Баскаков. Тройные произведения Масси в когомологиях
момент-угол комплексов // Успехи матем. наук. 2003. Т. 58, вып. 5.
[6] В. М. Бухштабер, Т. Е. П а н о в. Алгебраическая топология
многообразий, определяемых простыми многогранниками // Успехи
матем. наук. 1998. Т. 53, вып.З. С. 195—196.
[7] В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов. Действия тора и комбина-
комбинаторика многогранников // Труды МИ РАН им. В. А.Стеклова. 1999.
Т.225. С.96—131.
[8] В. М. Бухштабер, Т. Е. П а н о в. Действия тора, эквивари-
антные момент-угол комплексы и конфигурации координатных под-
подпространств II Записки научных семинаров С.-Петербургского от-
отделения МИ РАН им. В.А.Стеклова. 2000. Т.266. С. 29—50.
[9] В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов. Момент-угол комплексы
и комбинаторика симплициальных многообразий // Успехи матем.
наук. 2000. Т.55, вып.З. С. 171 — 172.
[10] В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов. Действия торов, комбина-
комбинаторная топология и гомологическая алгебра // Успехи матем. наук.
2000. Т. 55, вып. 5. С. 3—106.

Литература ' 253
[11] В. М. Бух штаб ер, Н. Рэй. Торические многообразия и ком-
комплексные кобордизмы II Успехи матем. наук. 1998. Т. 53, вып. 2.
С. 139—140.
[12] В. А. Васильев. Топология дополнений к дискриминантам. М.:
Фазис, 1997.
[13] Э. Б. Винберг. Дискретные линейные группы, порожденные
отражениями // Известия АН СССР, сер. матем. 1971. Т. 35.
С. 1072—1112.
[14] В. И. Данилов. Геометрия торических многообразий//Успехи
матем. наук. 1978. Т. 33, вып. 2. С. 85—134.
[15] Н. Э. Добринская. Задача классификации квазиторических
многообразий над заданным простым полиэдром // Функц. анализ
и прил. 2001. Т.35, вып.2. С.3—11.
[16] Н. П. Долбилин, М. А. Штанько, М. И. Штогрин.
Кубические подкомплексы в правильных решетках // Докл. АН
СССР. 1986. Т.291, вып.2. С.277—279.
[17] Н. П. Долбилин, М. А. Штанько, М. И. Штогрин.
Кубические многообразия в решетках// Изв. РАН, сер. матем. 1994.
Т. 58, вып. 2. С. 93—107.
[18] В. А. Емеличев, М. М. Ковалев, М. К. Кравцов.
Многогранники, графы, оптимизация. М.: Наука, 1981.
[19] И. В. Изместьев. Многообразия, определяемые простыми
многогранниками, как конфигурационные пространства шарнирных
механизмов // Успехи матем. наук. 2000. Т. 55, вып. 1. С. 185—186.
[20] И. В. Изместьев. 3-мерные многообразия, определяемые рас-
раскраской граней простого многогранника // Матем. заметки. 2001.
Т. 69, вып. 3. С. 375—382.
[21] С. П. Новиков. Гомотопические свойства комплексов Тома //
Матем. сб. 1962. Т. 57, №4. С. 407—442.
[22] С. П. Новиков. Топология. Москва—Ижевск: РХД, 2002.
[23] Т. Е. Панов. Комбинаторные формулы для %у-рода полиориен-
полиориентированного квазиторического многообразия // Успехи матем. наук.
1999. Т. 54, вып. 5. С. 169—170.
[24] Т. Е. Панов. Роды Хирцебруха многообразий с действием тора
// Известия РАН, сер. матем. 2001. Т. 65, вып.З. С. 123—138.

254 Литература
[25] Л. С. П о н т р я г и н. Основы комбинаторной топологии. 3-е изд.
М.: Наука, 1986.
[26] А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев.
Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981.
[27] В. А. Ти м о р и н. Аналог соотношений Ходжа—Римана для про-
простых выпуклых многогранников // Успехи матем. наук. 1999. Т. 54,
вып. 2. С. 113—162.
[28] В. А. Ти м о р и н. О многогранниках, простых в ребрах // Функц.
анализ и прил. 2001. Т. 35, вып.З. С. 36—37.
[29] А. Т. Фоменко, Д. Б. Фукс. Курс гомотопической тополо-
топологии. М.: Наука, 1989.
[30] Ф. Хирцебрух. Комплексные многообразия // В сб. «Между-
«Международный математический конгресс в Эдинбурге 1958 г. (обзорные
доклады)». М.: Физматлит. 1962. с. 138—158.
[31] А. Г. Хованский. Гиперплоские сечения многогранников, тори-
ческие многообразия и дискретные группы в пространстве Лобачев-
Лобачевского /I Функц. анализ и прил. 1986. Т. 20, вып. 1. С. 50—61.
[32] М. А. Ш т а н ь к о. Аппроксимация вложений компактов в кораз-
коразмерности, большей двух // Матем. сб. 1973. Т. 90, вып. 4. С. 625—
636.
[33] М. А. Ш т а н ь к о. Аппроксимация вложений многообразий в ко-
коразмерности единица // Матем. сб. 1974. Т.94, вып.З. С.483—494.
[34] М. А. Штанько, М. И. Штогрин. О вложении кубических
многообразий и комплексов в кубическую решетку // Успехи матем.
наук. 1992. Т. 47, вып. 1. С. 219—220.
[35] С. Юзвинский. Алгебры Орлика—Соломона в алгебре и топо-
топологии II Успехи матем. наук. 2001. Т.56, вып.З. С.87—166.
[36] J. F. Adams. On the cobar construction // Proc. Nat. Acad. Sci.
USA. 1956. V.42. P. 409—412.
[37] J. F. Adams. On the non-existence of elements of Hopf invariant
one, Ann. of Math. B). 1960. V.72, P. 20—104.
[38] R. Ad in. A new cubical /г-vector // Discrete Math. 1996. V. 157,
№1—3. P. 3—14.

Литература ' 255
[39] S..Akbulut J. D. McCarthy. Casson's invariant for oriented
homology 3-spheres. Princeton, N.J.: Princeton Univ. Press, 1990.
(Math. Notes; V. 36).
[40] A. Altshuler, J. Bokowski, P. Schuchert. Neighborly
2-manifolds with 12 vertices // J. Comb. Theory, Sen A, 1996. V. 75,
№1. P. 148—162.
[41] M. F. Atiyah. Convexity and commuting Hamiltonians // Bull.
London Math. Soc. 1982. V. 14, № 1. P. 1 — 15.
[42] M. F. Atiyah, R. Bott. A Lefschetz fixed point formula for
elliptic complexes I // Ann. of Math. B). 1967. V.86. P. 374—407.
[43] M. F. Atiyah, F. Hirzebruch. Spin-manifolds and group
actions // Essays in Topology and Related Topics (Memoires dedies
a Georges de Rham). New York: Springer-Verlag, 1970. P. 18—28.
[44] M. A u d i n. The topology of torus actions on symplectic manifolds.
Basel: Birkhauser, 1991. (Progress in mathematics; V.93).
[45] E. Babson, L. Billera, C. Chan. Neighborly cubical spheres
and a cubical lower bound conjecture // Israel J. Math. 1997. V. 102.
P. 297—315.
[46] A. Bahri, M. Bendersky. The КО -theory of tone manifolds
// Trans. Amer. Math. Soc. 2000. V.352, №3. P. 1191 —1202; arXiv:
math.AT/9904087.
[47] D. Barnette. Diagrams and Schlegel diagrams // Combinatorial
Structures and their Applications (Proc. Calgary Internat. Conf.,
Calgary, Alta.). New York: Gordon and Breach, 1970. P. 1—4.
[48] D. Barnette. The minimum number of vertices of a simple polytope
// Israel J. Math. 1971. V. 10. P. 121 — 125.
[49] D. Barnette. The triangulations of the 3-sphere with up to 8
vertices // J. Combinatorial Theory. Sen A. 1973. V. 14. P. 37—52.
[50] D. Barnette. A proof of the lower bound conjecture for convex
polytopes // Pacific J. Math. 1973. V.46. P. 349—354.
[51] V. V. Batyrev. Quantum Cohomology Rings of Toric Manifolds
II Journees de Geometrie Algebrique d'Orsay (Juillet 1992). Paris:
Societe Mathematique de France, 1993. P. 9—34 (Asterisque; V.218);
arXiv: alg-geom/9310004.

256 Литература
[52] М. Bayer, L. Billera. Generalized Dehn—Sommerville
relations for polytopes, spheres and Eulerian partially ordered sets //
Invent. Math. 1985. V.79, № 1. P. 143—157.
[53] L. Billera, C. Lee. Sufficiency of McMullen's conditions for
/-vectors of simplicial polytopes // Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.).
1980. V. 2, №1. P. 181 —185.
[54] L. Billera, C. Lee. A proof of the sufficiency of McMullen's
conditions for /-vectors of simplicial polytopes // J. Combin. Theory,
Sen A, 1981. V.31, №3. P.237—255.
[55] А. В j 6 rn e r. Subspace arrangements // First European Congress of
Mathematics, Vol. I (Paris, 1992). Basel: Birkhauser, 1994. P. 321 —
370. (Progr. Math.; V. 119).
[56] A. Bjorner, F. Lutz. Simplicial manifolds, bistellar flips and 16-
vertex triangulation of the Poincare homology 3-sphere // Experiment.
Math. 2000. V. 9, № 2. P. 275—289.
[57] A. Bjorner, G. M. Ziegler. Combinatorial stratification of
complex arrangements //J. Amer. Math. Soc. 1992. V.5, № 1. P. 105—
149.
[58] J. Bokowski, A. Guedes de Oliveira. On the generation
of oriented matroids // Discrete Comput. Geom. 2000. V.24, №2—3,
P. 197—208.
[59] A. K. Bousfield, V. K. Gugenheim. On PL de Rham theory
and rational homotopy type // Memoirs of the Amer. Math. Soc. 1976.
V. 8, № 179. Providence, R. I.: Amer. Math. Soc. [Русский перевод:
А. К. Боусфилд, В. К. Гугенхейм, О PL-теории де Ра-
Рама и рациональном гомотопическом типе // Гомотопическая теория
дифференциальных форм. М.: Мир, 1981. (Математика: новое в за-
зарубежной науке; Т. 25.)].
[60] А. К. Bousfield, D. M. Kan. Homotopy limits, completions
and localizations. Berlin: Springer-Verlag, 1972. (Lecture Notes in
Math.; V. 304).
[61] G. E. В red on. Introduction to compact transformation groups.
New York: Academic Press, 1972. [Русский перевод: Г. Бредон,
Введение в теорию компактных групп преобразований. М.: Наука,
1980.]

Литература 257
[62] P. Bressler, V. Lunts. Intersection cohomology on nonrational
polytopes // Compositio Math. 2003. V. 135, №3. P. 245—278; arXiv:
math.AG/0002006.
[63] E. Brieskorn. Sur les groupes de tresses (d'apres V.I.Arnol'd) //
Seminaire Bourbaki, 24eme annee A971/1972), Exp. №401. Berlin:
Springer-Verlag, 1973. P.21—44 (Lecture Notes in Math.; V.317).
[64] A. Br0ndsted. An introduction to convex polytopes. New York:
Springer-Verlag, 1983. (Graduate Texts in Mathematics; V.90). [Рус-
[Русский перевод: А. Бренстед, Введение в теорию выпуклых мно-
многогранников. М.: Мир, 1988.]
[65] W. Bruns, J. Herzog. Cohen—Macaulay rings, revised edition.
Cambridge: Cambridge University Press, 1993. (Cambridge Studies in
Advanced Mathematics; V.39).
[66] V. M. Buchstaber, Т. Е. Pa no v. Torus actions determined by
simple polytopes // Geometry and topology: Aarhus A998). Providence,
R. I.: Amer. Math. Soc, 2000. P. 33—46. (Contemp. Math.; V.258).
[67] V. M. Buchstaber, Т. Е. Panov. Torus actions and their
applications in topology and combinatorics. Providence, R. I.: American
Mathematical Society, 2002. (University Lecture Series; V.24).
[68] V. M. Buchstaber, N. Ray. Flag manifolds and the
Landweber—Novikov algebra // Geom. Topol. 1998. V.2. P. 79—101;
arXiv: math.AT/9806168.
[69] V. M. Buchstaber, N. Ray. Tangential structures on toric
manifolds, and connected sums of polytopes // Internat. Math. Res.
Notices. 2001. №4. P. 193—219; arXiv: math.AT/0010025.
[70] J. W. Cannon. Shrinking cell-like decompositions of manifolds.
Codimension three // Ann. of Math. B). 1979. V. 110, № 1. P. 83—
112.
[71] H. Cartan, S. Eilenberg. Homological Algebra. Princeton,
N.J.: Princeton Univ. Press, 1956. [Русский перевод: А. Картан,
С. Эйленберг, Гомологическая алгебра. М.: Изд-во иностран-
иностранной литературы, I960.]
[72] R. Charney, M. Davis. The Euler characteristic of a
nonpositively curved, piecewise Euclidean manifold // Pacific J. Math.
1995. V. 171, №1. P. 117—137.

258 Литература
[73] В. Chen, M. Ya n. Singularity from Eulerian viewpoint // Труды
МИ РАН им. В.А.Стеклова. 1998. Т. 221. С. 305—319.
[74] I. M. С h i s w e 11. The Euler characteristic of graph products and of
Coxeter groups // Discrete groups and geometry (Birmingham, 1991).
Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1992. P. 36—46. ( London Math.
Soc. Lecture Note Sen; V. 173).
[75] Y. Civan. Some examples in toric geometry, preprint B003), arXiv:
math.AT/0306029.
[76] P. E. Conner, E. E. Floyd. Differentiable periodic maps.
Publishers, New York: Academic Press Inc., 1964. (Ergebnisse der
Mathematik und ihrer Grenzgebiete, N. F; B. 33) [Русский перевод:
П. К о н н е р, Э. Ф л о й д, Гладкие периодические отображения.
М.: Мир, 1969.]
[77] D. A. Cox. Recent developments in toric geometry // Algebraic
geometry Santa Cruz 1995. Providence, R. I.: Amer. Math. Soc,
1997. P. 389—436 (Proc. Symp. Pure Math.; V. 62); arXiv: alg-
geom/9606016.
[78] M. Davis. Groups generated by reflections and aspherical manifolds
not covered by Euclidean space // Ann. of Math. B). 1983. V. 117,
№ 2. P. 293—324.
[79] M. Davis, T. Januszkiewicz. Convex polytopes, Coxeter
orbifolds and torus actions // Duke Math. J. 1991. V.62, №2. P.417—
451.
[80] M. Davis, T. Januszkiewicz. Right-angled Artin groups are
commensurable with right-angled Coxeter groups // J. Pure Appl.
Algebra 2000. V. 153, №3. P. 229—235. ,
[81] M. Davis, В. О k u n. Vanishing theorems and conjectures for the
^-homology of right-angled Coxeter groups // Geom. Topol. 2001.
V.5. P. 7—74; arXiv: math.GR/0102104.
[82] C. De Concini, C. Procesi. Wonderful models of subspace
arrangements // Selecta Math., N. S. 1995. V. 1, №3, 459—494.
[83] M. Deh n. Die Eulersche Formel im Zusammenhangmit dem Inhalt
in der nicht-Euklidischen Geometrie // Math. Ann. 1905. V. 61.
P. 561—568.
[84] P. Deligne, M. Goresky, R. MacPherson. L'algebre
de cohomologie du complement, dans un espace affine, d'une famille

Литература 259
finie de sous-espaces affines // Michigan Math. J. 2000. V.48. P. 121—
136.
[85] M. De Longueville. The ring structure on the cohomology of
coordinate subspace arrangements // Math. Z. 2000. V. 233, № 3.
P. 553—577.
[86] M. De Longueville, С A. S с h u 11 z. The cohomology rings
of complements of subspace arrangements // Math. Ann. 2001. V.319,
№ 4. P. 625—646.
[87] R. D. Edwards. The double suspension of a certain homology 3-
sphere is S5 // Notices AMS. 1975. V.22. A-334.
[88] R. D. Edwards. The topology of manifolds and cell-like maps
// Proceedings of the International Congress of Mathematicians
(Helsinki, 1978). Acad. Sci. Fennica, Helsinki. 1980. Pill —127.
[89] S. Eilenberg, J. C. Moore, omology and fibrations. I.
Coalgebras, cotensor product and its derived functors // Comment.
Math. Helv. 1966. V.40. P. 199—236.
[90] G. E w a 1 d. Combinatorial convexity and algebraic geometry. New
York: Springer-Verlag, 1996. (Graduate Texts in Math.; V. 168).
[91] S. Fischli, D. Yavin. Which 4-manifolds are toric varieties? //
Math. Z. 1994. V.215, №2. P. 179—185.
[92] M. H. Freedman, F. Quinn. Topology of 4-manifolds.
Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1990. (Princeton Mathematical
Series; V. 39).
[93] W. Fulton. Introduction to toric varieties. Princeton, NJ: Princeton
Univ. Press, 1993 (Ann. of Math. Studies; V. 131).
[94] V. Gasharov, I. Peeva, V. Welker. Coordinate subspace
arrangements and monomial ideals // Computational commutative
algebra and combinatorics (Osaka, 1999). Tokyo: Math. Soc. Japan,
2002. P. 65—74. (Adv. Stud. Pure Math.; V.33).
[95] M. Goresky, R. MacPherson. Stratified Morse Theory.
Berlin: Springer-Verlag, 1988. (Ergebnisse der Mathematik und ihrer
Grenzgebiete C) [Results in Mathematics and Related Areas C)]).
[Русский перевод: М. Горески, Р. Макферсон, Стратифи-
Стратифицированная теория Морса. М.: Мир, 1991.]

260 Литература
[96] J. Gretenkort, P. Klei nsc h midt, B. Sturmfels. On the
existence of certain smooth toric varieties // Discrete Cornput. Geom.
1990. V. 5, №3. P. 255—262.
[97] M. Gromov. Hyperbolic groups // Essays in Group Theory. New
York: Springer-Verlag, 1987. P. 75—263. (Math. Sci. Res. Inst. Publ.;
V.8). [Русский перевод: М. Громов, Гиперболические группы.
Москва—Ижевск: РХД, 2002.]
[98] В. Grunbaum. Convex polytopes. New York: Interscience
Publishers John Wiley&Sons, Inc., 1967. (Pure and Applied
Mathematics; textbfl6).
[99] B. Grunbaum, V. P. S reed ha ran. An enumeration of
simplicial 4-polytopes with 8 vertices // J. Combinatorial Theory. 1967.
V. 2. P. 437—465.
[100] V. W. Guillemin, S. Stern berg. Supersymmetry and
equivariant de Rham theory. Berlin: Springer-Verlag, 1999.
(Mathematics Past and Present).
[101] A. Hattori. Almost complex toric manifolds and positive line
bundles // Homotopy and Geometry (Warsaw, 1997). Warsaw: Polish
Acad. Sci, 1998. P. 95—114. (Banach Center Publ.; V.45).
[102] A. Hattori, M. Masuda. Theory of multi-fans // Osaka J.
Math. 2003. V.40, № 1. P. 1—68; arXiv: math.SG/0106229.
[103] A. Hattori, M. Masuda. Elliptic genera, torus manifolds and
multi-fans, preprint B001), arXiv: math.SG/0107014.
[104] F. Hirzebruch. Topological methods in algebraic geometry. New
York: Springer-Verlag, 1966. (Die Grundlehren der Mathematischen
Wissenschaften, B. 131). [Русский перевод: Ф. Хирцебрух, То-
Топологические методы в алгебраической геометрии, М.: Мир, 1973.]
[105] F. Hirzebruch, T. Berger, R. Jung. Manifolds
and Modular Forms, Second Edition. A Publication from the
Max-Planck-Institut fur Mathematik, Bonn, 1994.
[106] M. Hochster. Cohen—Macaulay rings, combinatorics, and
simplicial complexes // Ring theory, II (Proc. Second Conf.,
Univ. Oklahoma, Norman, Okla., 1975). New York: Dekker, 1977.
P. 171—223. (Lecture Notes in Pure Appl. Math. V.26.)
[107] W Y. Hsiang. Cohomology theory of topological transformation
groups. New York: Springer-Verlag, 1975. [Русский перевод: У. И.

Литература 261
С-ян, Когомологическая теория топологических групп преобразо-
преобразований. М.: Мир, 1979.]
[108] P. Hudson. Piecewise linear topology. New York—Amsterdam:
W.A.Benjamin, Inc., 1969. (University of Chicago Lecture Notes).
[109] K. Janich. On the classification of O(rc)-manifolds // Math. Ann.
1968. V.I76. P.53—76.
[110] M. Jos wig. Projectivities in simplicial complexes and colorings of
simple polytopes // Math. Z. 2002. V.240, №2, p. 243—259; arXiv:
math.CO/0102186.
[Ill] G. Kalai. Rigidity and the lower bound Theorem. I // Inv. Math.
1987. V.88, №1. P. 125—151.
[112] К. К a ru. Hard Lefschetz theorem for nonrational polytopes, preprint
B001), arXiv: math.AG/0112087.
[113] R. С Kirby, L. C. Siebenmann. Foundational Essays on
Topological Manifolds, Smoothings, and Triangulations. Princeton
N.J.: Princeton Univ. Press, 1977.
[114] V. Klee. A combinatorial analogue of Poincare's duality theorem //
Canad. J. Math. 1964. V. 16. P. 517—531.
[115] V. Klee, P. Kleinschmidt. Convex polytopes and related
complexes // Handbook of Combinatorics. Vol. 1, 2. Amsterdam:
Elsevier, 1995. P. 875—917.
[116] P. Kleinschmidt. A classification of tone varieties with few
generators // Aequationes Math. 1988. V35, №2—3. P. 254—266.
[117] P. S. Landweber. Homological properties of comodules over
MU.(MU) and BP.(BP) // Amer. J. Math. 1976. V.98, №3. P. 591 —
610.
[118] D. Lehmann. Theorie homotopique des formes differentiates
(d'apres D.Sullivan). Paris: Societe Mathematique de France, 1977.
(Asterisque T.45). [Русский перевод: Д. Л е м а н н, Гомотопическая
теория дифференциальных форм // Гомотопическая теория диффе-
дифференциальных форм. М.: Мир, 1981. (Математика: новое в зарубеж-
зарубежной науке; Т. 25)].
[119] N. С. Leung, V. Reiner. The signature of a tone variety //
Duke Math. J. 2002. V. 111, №2. P. 253—286.

262 Литература
[120] F. H. Lutz. Triangulated Manifolds with Few Vertices (with
additional contributions by A. Bjorner, E. Kohler, W. Kuhnel,
A.Wassmer), in preparation.
[121] S. Mac lane. Homology. Springer-Verlag, Berlin, 1963. [Русский
перевод: С. Маклейн, Гомология. М.: Мир, 1966.]
[122] P. Mani. Spheres with few vertices // J. Combinatorial Theory.
Ser. A. 1972. V. 13. P. 346—352.
[123] M. Masuda. Unitary toric manifolds, multi-fans and equivariant
index // Tohoku Math. J. B). 1999. V.51, №2. P237—265.
[124] M. Masuda. Л-vectors of Gorenstein* simplicial posets, preprint
B003), arXiv: math.CO/0305203.
[125] M. Masuda, T. Panov. On the cohomology of torus manifolds,
preprint B003), arXiv: math.AT/0306100.
[ 126] P. M с M u 11 e n. The maximum numbers of faces of a convex polytope
// Mathematika. 1970. V. 17. P. 179—184.
[ 127] P. M с M u 11 e n. The numbers of faces of simplicial polytopes // Israel
J. Math. 1971. V. 9. P. 559—570.
[128] P. McMullen. On simple polytopes//Invent. Math. 1993. V.I 13,
№2. P. 419—444.
[129] P. McMullen. Weights on polytopes // Discrete Comput. Geom.
1996. V 15, №4. P. 363—388.
[130] P. McMullen, G. Shephard. Convex Polytopes and the Upper
Bound Conjecture. London: Cambridge University Press, 1971.
[131] P. McMullen, D. W. Walkup. A generalized lower bound
conjecture for simplicial polytopes // Mathematika. 1971. V 18 264—
273.
[132] J. W. Milnor, J. D. Stasheff. Characteristic classes.
Princeton, N.J.: Princeton Univ. Press, 1974. [Русский перевод:
Дж. Милнор, Дж. С т а ш е ф ф. Характеристические классы,
с приложением работы Дж. Манкрса Элементарная дифференци-
дифференциальная топология. М.: Мир, 1979.]
[133] Е. Е. М о i s e. Geometric Topology in Dimensions 2 and 3, Graduate
Texts in Math. V.47. New York: Springer-Verlag, 1977.
[134] R. Morel 1 i. The birational geometry of toric varieties // J. Algebr.
Geom. 1996. V.5, №4. P. 751—782.

Литература 263
[135] Л. Nabutovsky. Geometry of the space of triangulations of a
compact manifold // Comm. Math. Phys. 1996. V. 181, №2. P.303—
330.
[136] D. N о t b о h m, N. Ray. On Davis Januszkiewicz homotopy types
I; Formality and Rationalisation, preprint math.AT/0311167, 2003.
[137] Т. О da. Convex bodies and algebraic geometry. An introduction to
the theory of toric varieties. Springer-Verlag, New York, 1988.
[138] P. О r 1 i к, F. Raymond. Actions of the torus on 4-manifolds //
Trans. Amer. Math. Soc. 1970. V. 152, P. 531—559.
[139] P. Orlik, L. Solomon. Combinatorics and topology of
complements of hyperplanes // Invent. Math. 1980. V.56, №2. P. 167—
189.
[140] P. Orlik, H. Terao. Arrangements of hyperplanes. Berlin:
Springer-Verlag, 1992. (Grundlehren der Mathematischen Wissen-
schaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], B.300).
[141] U. Pachner. Konstruktionsmethoden und das kombinatorische
Homoomorphieproblem fur Triangulationen kompakter semilinearer
Mannigfaltigkeiten // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1987. V.57.
P. 69—86.
[142] U. Pachner. P. L. homeomorphic manifolds are equivalent by
elementary shellings // European J. Combin. 1991. V. 12, №2. P. 129—
145.
[143] T. Panov, N. Ray, R. Vogt. Colimits, Stanley-Reisner
algebras, and loop spaces // Algebraic Topology: Categorical
Decomposition Techniques, Progress in Math. V. 215. Birkhauser,
Basel, 2004. P. 261—291; arXiv: math.AT/0202081.
[144] I. Peeva, V. Reiner, V. Wei ker. Cohomology of real diagonal
subspace arrangements via resolutions // Compositio Math. 1999.
V. 117, №1. P. 99—115.
[145] A. A. R a n i с к i. On the Hauptvermutung // The Hauptvermutung
Book. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1996. P. 3—31. (/C-Monogr.
Math. V.I).
[146] G. Reisner. Cohen—Macaulay quotients of polynomial rings //
Advances in Math. 1976. V21, № 1. P.30—49.

264 Литература
[147] С. P. Rourke, В. J. Sanderson. Introduction to
Piecewise-linear topology. Berlin: Springer-Verlag, 1982. (Springer
Study Edition). [Русский перевод: К. Рур к, Б. Сандерсон.
Введение в кусочно линейную топологию. М.: Мир, 1974.]
[148] R. Scott. Quatemionic toric varieties //Duke Math. J. 1995. V. 78,
№2. P. 373—397.
[149] H. Seifert, W. Th re Hal I. Lehrbuch der Topologie. Teubner,
Leipzig—Berlin, 1934. [Русский перевод: Г. 3 ей ферт, В.
Трельфалль. Топология. 2-е изд. Москва—Ижевск: РХД,
2001.]
[150] L. Smith. Homological algebra and the Eilenberg—Moore spectral
sequence // Trans. Amer. Math. Soc. 1967. V. 129. P. 58—93.
[151] D. M. Y. Sommerville. The relations connecting the angle-
sums and volume of a polytope in space of n dimensions // Proc. Roy.
Soc. London Ser. A 1927. V. 115, 103—119.
[152] R. Stanley. The Upper bound conjecture and Cohen—Macaulary
rings // Studies in Applied Math. 1975. V.54, №2. P. 135—142.
[153] R. Stanley. Hilbert functions of graded algebras // Advances in
Math. 1978. V.28, № 1. P. 57—83.
[154] R. Stanley. The number of faces of simplicial convex polytope //
Advances in Math. 1980. V.35, №3. P. 236—238.
[155] R. Stanley. Enumerative combinatorics, V.I. Wadsworth and
Brooks/Cole, Monterey, California, 1986. [Русский перевод: Р.
Стенли, Перечислительная комбинаторика. М.: Мир. 1990.]
[156] R. Stanley. Generalized //-vectors, intersection cohomology of
toric varieties, and related results // Commutative algebra and
combinatorics (Kyoto, 1985). North-Holland, Amsterdam, 1987.
P. 187—213. (Adv. Stud. Pure Math.; V. 11.)
[157] R. Stanley, /-vectors and Л-vectors of simplicial posets // J. Pure
Appl. Math. 1991. V.71. P.319—331.
[158] R. Stanley. A monotonicity property of /i-vectors and /i*-vectors
// European J. Combin. 1993. V. 14, №3. P.251—258.
[159] R. Stanley. Combinatorics and Commutative Algebra. Boston,
MA: Birkhauser Boston Inc., 1996. (Progress in Mathematics V.41).

Литература 265
[160] R. . Stanley. Positivity problems and conjectures in algebraic
combinatorics // Mathematics: Frontiers and Perspectives, Providence
RI: Amer. Math. Soc, 2000. P. 295—319.
[161] R. Stong. Notes on Cobordism Theory. Princeton, N.J.: Princeton
Univ. Press, 1968. [Русский перевод: Р. Стонг, Заметки по теории
кобордизмов. М.: Мир, 1973.]
[162] Т. Тау, N. White, W. Whiteley. Skeletal rigidity of simplicial
complexes, I, II // European J. Combin. 1995. V. 16, №4, 381—403;
№ 5. P. 503—523.
[163] E. Thomas. Complex structures on real vector bundles // Amer. J.
Math. 1967. V.89. P. 887—908.
[164] R. M. Vogt. Homotopy limits and colimits// Math. Z. 1973. V.134,
11—52.
[165] V. Welker, G. Ziegler, R. 2ivaljevic. Homotopy colimits
comparison lemmas for combinatorial applications // J.Reine Angew.
Math. 1999. V.509. P. 117—149.
[166] J. Wlodarczyk. Decomposition of birational toric maps in blow-
blowups and blow-downs // Trans. Amer. Math. Soc. 1997. V. 349, № 1.
P. 373—411.
[167] S. Yuzvinsky. Small rational model of subspace complement //
Trans. Am. Math. Soc. 2002. V.354, №5. P. 1921 —1945; arXiv:
math.CO/9806143.
[168] G. Ziegler. On the difference between real and complex
arrangements // Math. Z. 1993. V.212, №> 1. P. 1 — 11.
[169] G. Ziegler. Lectures on Polytopes. New York: Springer-Verlag,
1995. (Graduate Texts in Math. V. 152).
[170] G. Ziegler, R. 2ivaljevic. Homotopy types of subspace
arrangements via diagrams of spaces // Math. Ann. 1993. V.295, №3.
P. 527—548.
[171] G. Ziegler. Face numbers of 4-polytopes and 3-spheres //
Proceedings of the International Congress of Mathematicians, V. Ill
(Beijing, 2002). Beijing: Higher Ed. Press, 2002. P. 625—634; arXiv:
math.MG/0208073.

Предметный указатель
Алгебра с законом выпрямления
(algebra with straightening law),
87
Александера (Alexander) двойствен-
двойственность, 45
симплициальная, 46
Арифметический род, 142
Арнольда соотношения, 220
Артина (Artin) группа, 179
Аффинная эквивалентность, 15
Ацикличное пространство, 146, 151
Бизвездная эквивалентность (bistel-
lar equivalence), 57
Бизвездные преобразования, опера-
операции, 52, 57, 111, 171
Барицентр, 40
Барицентрическое подразбиение, 40,
87
Биградуированные дифференциаль-
дифференциальные алгебры, 68
модули, 66
— числа Бетти (Betti), 71
Бореля (Borel) конструкция, 233
Букет (bouquet, wedge) пространств,
174
толстый (fat), 174
Булева (Boolean) алгебра, 85
Веер (fan), 108
— многогранный (polytopal), 126
— неособый, 108
— нормальный, 113
— полный (complete), 108
— симплициальный, 108
Вектор ребра, 137
Вершина, 15,36,85, 97
— призрачная (ghost), 166
Выпуклый полиэдр, 14
Геометрическая реализация
кубического комплекса, 97
Геометрическая реализация симпли-
циального комплекса, 37
Гильберта (Hilbert) ряд, 63
— теорема о сизигиях, 76
Гипергрань (facet), 15, 119, 150
Гизина (Gysin) гомоморфизм, 235,
149, 156
Главное расслоение, 233
Глубина, 75
Гомотопический копредел, 179, 222
Горенштейновы (Gorenstein), горен-
штейновы* кольца (алгебры), 81
— комплексы, 81, 97, 142
— симплициальные частично упоря-
упорядоченное множества, 93
Горески—Масферсона (Goresky—
MacPherson) теорема, 221, 228
Градуировка внешняя, 66
— внутренняя, 66
— полная, 66
Гранеацикличное (face-acyclic) про-
пространство орбит, 151
Граница (многогранника), 15
Грань выпуклого многогранного ко-
конуса, 108
— кубического комплекса, 96
— многогранника, 15
— многообразия с углами, 119
— полиэдра, 36
— пространства орбит, 150
— собственная, 15
Граф-произведение, 179
Действие, 232
— локально стандартное, 118
— свободное, 233
— стандартное, 118
— эффективное, 232
Дена (Dehn) перестройка, 181
Дена—Соммервилля (Dehn—Som-
merville) соотношения, 24, 83,
200

Предметный указатель
267
Дена—Соммервилля (Dehn—Som-
merville) соотношения для три-
триангулированных многообразий,
213
Дивизор, 112
— обильный, 115
Дифференциальная градуированная
алгебра, 240
аугментированная (aug-
(augmented), 241
коммутативная, 240
односвязная (simply con-
connected), 241
: связная, 241
Дольбо (Dolbeault) комплекс, 239
Дополнение (конфигурации), 219
Дэвиса—Янушкиевича (Davis—Ja-
nuszkiewicz) пространство, 174
Жесткость остовная (skeletal rigid-
rigidity), 52
Звезда, 43
Звездное (stellar) подразбиение, 56,
202
Зеркальная (mirroring) конструкция,
180
Знак (вершины), 136
Идеал мономиальный, 62
— Стенли—Райснера, 61
Изинга (Ising) модель, 98
Индекс (вершины), 139
Касательное расслоение, 236
Квадратичная алгебра, 61
Квазиизморфизм 241, 66
Квазиторическое (quasitoric) много-
многообразие, 120
индуцированное из линейной
модели (pullback from the linear
model), 128
не являющееся торическим,
128
Классифицирующее пространство,
233
Клеточный комплекс (cell complex,
CW-complex), 86
симплициальный, 86
Кобордизмы, 236
— комплексные, 236
— ориентированные, 236
Когомологии пересечений (intersec-
(intersection cohomology), 116, 117
Кограница (coboundary), 241
Кокстера (Coxeter) группа 179
Кольцо граней (face ring) простого
многогранника, 34
симплициального комплекса,
61
симплициального частично
упорядоченного множества, 88
Комбинаторная окрестность, 44
Комбинаторная эквивалентность, 15,
38,48
Конус, 39
— выпуклый многогранный, 108
двойственный, 109
неособый, 108
рациональный, 108
симплициальный, 108
строго выпуклый, 108
Конфигурация подпространств
(arrangement), 219
— гиперплоскостей, 220
— диагональная, 229
— координатная, 222
— 6-равная (&-equal), 229
— центральная, 219
Копредел, 109, 179
Коцепной комплекс (модулей), 65
Коцикл (cocycle), 241
Коэна—Маколея (Cohen—Macau-
lay) комплекс, 79, 97, 192
— кольцо (алгебра), 77
— симплициальное частично упоря-
упорядоченное множество, 91
Кручение (torsion) в модуле, 65, 149
Куб, 16
— стандартный, 16, 97

268
Предметный указатель
Куб топологический, 97
Кубический комплекс (кубическое
разбиение), 96, 103
абстрактный, 96
невложимый в решетку, 98
многогранников, 98
простого многогранника, 101
топологический, 97
Кусочно-линейные (piecewise linear,
PL) гомеоморфизмы, 38
— многообразия, 53
с границей, 59
— отображения, 38
— сферы, 48
Лефшеца теорема, трудная часть
(Hard Lefschetz theorem), 115,
201
Линк, 43
Локализации теорема, 139
Луч, 108
Малое накрытие (small cover), 181
индуцированное из линейной
модели (pullback from the linear
mode!), 128
Масси (Massey) произведение, 247
тривиальное, 247
Матроид ориентированный (oriented
matroid), 221
Мёбиуса (Mobius) лента, 47, 98
Милнора (Milnor) гиперповерхность,
237, 133
Милнора фильтрация, 182
Минимальная алгебра, 242
— модель, 242
— резольвента, 67
— система образующих (базис), 67
Многогранник (polytope) выпуклый,
14
— геометрический, 15
— гомологический, 146, 151
— двойственно А-смежностный, 20
— комбинаторный, 15
— нерациональный, 114, 118
Многогранник общего положения, 17
— пирамидальной надстройки
(stacked), 32, 58
— полярный (двойственный), 18
— простой, 17
— рациональный, 114
— симплициальный, 17
— усечения, 33
— целочисленный (lattice), 113
— циклический, 21
— 6-смежностный (^-neighbourly),
20
Многогранника алгебра (polytope
algebra), 30
Многогранников комплекс (polytopal
complex), 48
Многообразие кусочно-линейное
(комбинаторное), 53
— стабильно комплексное, 236
— с углами, 85, 118, 146
гранеацикличное (face-
acyclic), 147
регулярное (nice), 85, 152
— триангулированное (симплици-
альное), 53
Многочлен объема, 30
Модуль проективный, 65
— свободный, 65
Моментов кривая, 21
Моментов отображение, 120, 225
Момент-угол (moment-angle) ком-
комплекс 165
— многообразие 164
Морса (Morse) теория, 24, 123, 201
стратифицированная, 221
Мультивеер (multi-fan), 147
Надстройка (suspension), 39
Недостающая (missing) грань, 43,
178
Нерв (покрытия), 151
Несущая гиперплоскость (supporting
hyperplane), 15
Нётер (Nother) лемма о нормализа-
нормализации, 77

Предметный указатель
269
Нильпотентное пространство, 245
Носитель (конфигурации), 219
Ограниченных флагов (bounded flag)
многообразие, 132
Орбиобразие (orbifold), 111, 181
Орбита, 233
Перестройка (surgery), 57
— эквивариантная, 172
Подкомплекс полный (full), 44, 190
— симплициальный, 36
Полиориентация (omniorientation),
130, 148
Полиэдр, 36
Полярное множество, 17
Понтрягина—Тома отображение,
235
Порядковый комплекс (order
complex), 42
— конфигурации, 219
Почти комплексная структура, 127
Предгрань (preface), 150
Прообраз линейной модели, 181
Пространство орбит, 233
Псевдомногообразие (pseudomani-
fold), 198
Пуанкаре (Poincare) алгебра, 82, 117
— двойственность, 82
— ряд, 63
Раздутие (blow-up), 57, 111
Размерность алгебры гомологиче-
гомологическая, 65
Крулля (Krull), 76
— кубического комплекса, 97
— многогранника, 14
— симплициального комплекса, 36
Ранга функция, 219
Раскраска, 181,205
Ребро, 15
Регулярная последовательность, 74
— максимальная, 75
Резольвента Кошуля (Koszul), 68
— минимальная, 67
Резольвента проективная, 65
— свободная, 65
Связная сумма простых многогран-
многогранников, 18
симплициальных комлексов,
40, 171
Серра (Serre) проблема, 68
Сигнатура, 238
— Т -многообразия, 141
Сизигии (syzygy), 65, 76
Симплекс, 16
— абстрактный, 36
— геометрический, 36
— правильный, 16
— стандартный, 16
Симплектическая редукция, 225
Симплициально клеточный ком-
комплекс, 85
Симплициальные изоморфизмы, 38
— комплексы, 36
абстрактные, 36
геометрические, 36
двойственные, 45
чистые (риге), 36
частично упорядоченные мно-
множества, 85
— многообразия, 53
— отображения, 38
невырожденные, 38
— сферы, 48
— разбиения, 38
куба, 100
Система параметров линейная, 77
однородная, 77
Слабая эквивалентность, 66
Смежностный (neighbourly) много-
многогранник, 20
— симплициальный комплекс, 176
Соединение (join), 39, 171
Спектральная последовательность
Лере—Серра (Leray—Serre),
134, 179, 191
Эйленберга—Мура (Eilen-
berg—Moore), 184, 208, 230

270
Предметный указатель
Стабилизатор (stabiliser), 233
Стабильно комплексная структура,
236, 129
Стационарная подгруппа (isotropy
subgroup), 233
Стенли—Райснера кольцо (Stan-
(Stanley—Reisner ring)
простого многогранника, 34
симплициального комлплекса,
61
Сулливана—де Рама (Sullivan—de
Rham) алгебра, 244, 184, 251
Сфера Барнетта (Barnette), 51, 126
— Брюкнера (Bruckner), 51
— гомологическая, 48, 82
обобщенная, 82
— кусочно-линейная, 48
— многогранная. 51
— не являющаяся кусочно-линей-
кусочно-линейной, 51, 54
— не являющаяся многогранной, 51
— Пуанкаре, 54
— симплициальная (триангулиро-
(триангулированная), 48
Теорема о верхней границе (ТВГ) для
многогранников, 31
для триангулированных
сфер, 80
Теорема о нижней границе (ТНГ), 29
обобщенная (ОГНГ), 34,
52, 117,200
Тодда (Todd) род, 238
— Т -многообразия, 142
Тома (Thorn) класс, 235
Топологический моноид, 170
Тор, 107
— алгебраический, 107
Тора действие гамильтоново (Hamil-
tonian), 225
локально стандартное, 118
стандартное, 118
Торическое многообразие (toric vari-
variety), 57, 107
аффинное, 109
Торическое многообразие (tone va-
variety), проективное, 113, 115
Top-многообразие (torus manifold),
147, 148
— унитарное, 139
Флагизация, 43
Флаговый комплекс, 43
Флип, 111
Формальные алгебры, 243
— пространства, 245, 176, 184
Характеристическая пара, 121
направленная, 131
Характеристическое отображение,
121
направленное, 130
Характеристическое подмногообра-
подмногообразие, 121, 148
Хирцебруха род (Hirzebruch genus),
237
— поверхность. 145
Хопфа (Hopf) гипотеза, 142
Хохстера (Hochster) теорема, 72,
191,228
Хроматическое число, 205
Цепное разложение, 90, 155
Цепь, 15
Частично упорядоченное множество
(partially ordered set, poset), 15
симплициальное, 85
' двойственное (к много-
многообразию с углами), 153
эйлерово (Eulerian), 83
Черни—Дэвиса (Charney—Davis) ги-
гипотеза, 142
Четырех красок теорема, 181, 205
Чжоу (Chow) кольцо, 113
Шарнирный механизм (hinge mecha-
mechanism, linkage), 180
Шлегеля (Schlegel) диаграмма. 47,
48
Штейница (Steinitz) теорема, 49

Предметный указатель
Эйлеров (Eulerian) комплекс, 83
Эйлерова характеристика, 66, 139
Эквивариантные когомологии, 233
— отображения, 118, 232
слабые, 119, 232
— характеристические классы, 234
Элементарные расщепления (ele-
(elementary shellings), 59
Ядро (симплициального комплекса),
44
2-конфигурация B-arrangement),
221
Х^-род, 238
— Г-многообразия, 139
/-вектор кубического комплекса, 97
— многогранника, 23
— многообразия с углами, 155
— симплициального комплекса, 38
— симплициального частично упо-
упорядоченного множества, 91
271
G-пространство, 232
— универсальное, 233
G-расслоение, 234
g-вектор многогранника, 23
— симплициального комплекса, 38
^-гипотеза, 52, 97
g-теорема, 27, 83, 116,201
Л-вектор кубического комплекса, 97
— пересечений, 117
— многогранника, 23
— многообразия с углами, 155
— симплициального комплекса, 38
— симплициального частично упо-
упорядоченного множества, 91
Hauptvermutung der Topologie, 53
/(-степень, 167
L-род, 238
М-вектор, 29
Г-многообразие, 118
— эквивариантно формальное, 147
Тог-алгебра, 73