Л. С. ПОНТРЯГИН
основы
КОМБИНАТОРНОЙ
топологии
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
-ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
J 986

ББК 22.15
П56
УДК 515.1
Понтрягин Л. С. Основы комбинаторной
топологии.— 3-е изд.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.
лит., 1986.-- 120 с.
Введение в теорию гомологий и гомологическую
теорию неподвижных точек. Хотя за время, прошед¬
шее с момента «выхода в свет 1-го ее издания
(1947 г.), в мировсш литературе появилось много
книг по этому вопросу, небольшая монография
Понтрягина продолжает занимать особое место
по ясности и прозрачности изложения, по четкости
и краткости доказательств.
Для математиков различных специальностей —
научных работников,.аспирантов и студентов.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию	 4
Введение 	 5
Обозначения	 8
Г л а в а I
Комплексы и их группы гомологий
§	1. Евклидово пространство	 Ц
§ 2. Симплекс. Комплекс. Полиэдр	 19
§	3. Приложение к теории размерности	 26
§	4. Группы гомологий	  35
§	5.	Разбиение на компоненты. Нульмерная группа	гомологий	.	39
§	6.	Числа Бетти. Формула Эйлера — Пуанкаре	 43
Глава II
Инвариантность групп гомологий
§	7. Симплициальные отображения и аппроксимации ....	51
§	8. Коническая конструкция	  58
§	9. Барицентрическое подразделение комплекса	 64
§ 10. Лемма о покрытии симплекса и ее приложения	 69
§ 11. Инвариантность групп гомологий при барицентрическом
подразделении 	 76
§	12.	Инвариантность групп гомологий	 79
Глава III
Непрерывные отображения и неподвижные точки
§	13.	Гомотопные отображения	 89
§	14.	Цилиндрическая конструкция	 93
§	15.	Гомологические инварианты непрерывных отображений	.	100
§	16.	Теорема существования неподвижных точек	107

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Первое издание этой книжки вышло в 1947 году. Пред¬
лагаемое второе издание печатается без изменений. Несмотря
на то, что за прошедший период времени вышло большое коли¬
чество литературы по комбинаторной топологии, эта книжка
не утрачивает своих прежних преимуществ: сжатости и тщатель¬
ности изложения, отличаясь благоприятным образом от более
современных, но зато более обширных и абстрактных книг.
Она содержит ряд основных понятий теории гомологий
и заканчивается изложением важнейшего результата комби¬
наторной топологии — тесуземы о числе неподвижных точек
отображения.
Книжка написана на основе полугодового курса ком¬
бинаторной топологии, который я несколько раз читал в
Московском государственном университете. Формально у
читателя предполагаются лишь незначительные знания из теории
функций действительного переменного, теории матриц и теории
коммутативных групп; в действительности же для понимания
книги требуется значительная математическая культура.
Существенным недостатком книги является полное отсутствие
в ней примеров, которые так нужны для уяснения геометри¬
ческого содержания комбинаторной топологии. В книге исполь¬
зуются некоторые весьма немногочисленные сведения относи¬
тельно метрических пространств, которые теперь обычно включа¬
ются в курс анализа. Сведения эти можно почерпнуть, например,
из книги Ж. Дьедонне «Основы современного анализа». Сведения
из теории коммутативных групп, употребляемые в настоящей
книге, можно найти в моей книге «Непрерывные группы».
Л. Понтрягин
Настоящее издание не отличается от предыдущего (1976 г.)

ВВЕДЕНИЕ
Основы комбинаторной топологии были заложены на
грани прошлого и нашего столетий- великим французским
математиком Пуанкаре, который черпал постановки математи¬
ческих задач из естествознания. В большей части его работ
важную роль играет геометрическая интерпретация аналити¬
ческих задач и геометрическая интуиция. Исходя из задач
анализа, Пуанкаре пришел к мысли о необходимости изучения
геометрических и в первую очередь топологических свойств
многомерных многообразий. Первоначально Пуанкаре считал,
что многообразие задается системой уравнений и неравенств
относительно координат многомерного евклидова пространства.
В таком многообразии он выделял подмногообразия меньшего
числа измерений также при помощи уравнений. Уже при такой
трактовке выявились те основные понятия, которые играют
теперь главную роль в комбинаторной топологии. Если
в «-мерном многообразии М имеется замкнутое подмногообра¬
зие Z меньшей размерности г, г<п, то возможны два случая:
1) в М существует ограниченное .(г-)-1)-мерное подмногообра¬
зие С, границей которого служит Z; 2) в М не существует под¬
многообразия С с границей Z. В первом случае говорят, Что Z
гомологично нулю в М, и. пишут: Z~0 в'М. Во втором случае
говорят, что Z негомологично нулю в М.
Пусть, например, М — область плоскости, заключенная
между двумя концентрическими окружностями. Если за Z при¬
нять теперь окружность, концентрическую с исходными и распо¬
ложенную в М, то очевидно, что Z не может служить границей
вМи, следовательно, не гомологично нулю в М. Если же принять
за Z окружность, которая ограничивает круг, целиком располо¬
женный в М, то Z~0 в М. Из приведенного примера ясно видна
связь понятия гомологий с анализом. Если в области М задана
аналитическая функция, то интеграл от нее по контуру Z равен
нулю в случае, когда Z~0 в М, и может быть не равен нулю
в противном случае. Здесь же видно, что контур Z целесообразно
рассматривать с заданным на нем направлением, так как от
направления зависит знак интеграла. Аналогичная связь с интег-

6
ВВЕДЕНИЕ
рированием имеет место и в многомерном случае (формула
Стокса); на место направления контура Z тогда становится
ориентация многообразия М.
Уже после первой работы Пуанкаре обнаружилось, что ана¬
литическая трактовка многообразий — задание их при помощи
уравнений — приводит к ряду затруднений и может служить
источником ошибок. Тогда Пуанкаре ввел новый прием изучения
многообразий,— он стал разбивать их на элементарные куски —
симплексы, правильно примыкающие друг к другу. Этот прием
в полной мере сохраняет свое значение до сих пор и является
основным в комбинаторной топологии. Благодаря ему понятие
гомологии было формализовано, а гомологические инварианты
многообразия, введенные Пуанкаре,— числа Бетти и коэффици¬
енты кручения — получили точный логический смысл. Пуанкаре,
введший числа Бетти и коэффициенты кручения многообразий,
не сумел, однако, доказать их топологическую инвариантность;
заслуга эта принадлежит американским математикам Алексан¬
деру и Веблену. Они же установили, что вся теория гомологий
применима не только к многообразиям, но и к геометрическим
объектам более общего типа, именно к полиэдрам.
После Пуанкаре теория гомологий развивалась очень интен¬
сивно. К ней присоединилась теория пересечений Лефшеца,
которая была известна Пуанкаре лишь в зачаточном виде.
Лефшецом и Хопфом были доказаны теоремы о неподвижных
точках отображений. Александером была открыта новая теорема
двойственности, которая вместе с теоремой двойственности Пуан¬
каре послужила базой для широкого развития топологических
теорем двойственности, в чем большое участие приняли советские
математики. Также при участии советских математиков была
построена теория верхних гомологий. Наконец, П. С. Алексан¬
дров нашел пути применения теории гомологий к теоретико¬
множественным объектам и тем установил синтез комбинаторной
и теоретико-множественной топологии.
В настоящее время теория гомологий продолжает разви¬
ваться, но главной задачей, как я считаю, является теперь
применение ее к решению геометрических проблем, в постановку
которых самое понятие гомологии не входит. Некоторые из них
решены полностью,— такова задача о нахождении суммы индек-
сов неподвижных точек при отображении полиэдра в себя.
Решение других находится в зачаточном состоянии,— такова
задача о классификации непрерывных отображений одного
полиэдра в другой.
В настоящее время широко понимаемая теория гомологий
является основным хорошо развитым аппаратом комбинаторной

ВВЕДЕНИЕ	7
топологии, и знание ее для занятий комбинаторной топологией
совершенно необходимо.
В предлагаемой книге дается изложение основ теории
1 омологий и некоторых ее приложений. В главе I определяются
понятия комплекса и его групп Бетти. В главе II доказывается
топологическая инвариантность групп Бетти. В главе III даются
приложения теории гомологий: строятся гомологические инва¬
рианты непрерывного отображения одного полиэдра в другой
и устанавливается некоторое достаточное условие существования
неподвижной точки при отображении полиэдра в себя.

ОБОЗНАЧЕНИЯ
В книге существенно используется понятие множества,
которое предполагается известным (см., например, X а у с-
д о р ф, Теория множеств). Здесь я привожу некоторые обозначе¬
ния, связанные с понятием множества и элементарными опера¬
циями над множествами.
A)	Запись аеМ означает, что элемент а принадлежит
множеству М. В случае, если множество М конечно или счетно,
мы иногда будем задавать его простым перечислением входящих
в него элементов. В символах это записывается так:
М = {а{	ал, ...}.
Написанное означает, что множество М составлено из элемен¬
тов а\	а,,,...
B)	Запись M = N означает, что множества М и /9 совпадают.
C)	Запись MczN или Nzz>M означает, что .каждый элемент
множества М входит в множество N, т. е. что множество М со¬
ставляет часть множества N. Здесь не исключена возможность
и совпадения обоих множеств.
D)	Через Mf) N обозначается пересечение множеств М и N,
т. е. множество, составленное из всех элементов, одновременно
принадлежащих множествам М и N.
' Е) Через M(j/V обозначается сумма множеств М и N, т. е.
множество, составленное из всех элементов, принадлежащих
по крайней мере одному из множеств М и N.
F)	Через M\N обозначается разность между множеством
М и множеством N, т. е. множество, составленное из всех
элементов, входящих в М, но не входящих в N. Таким образом,
операция вычитания возможна здесь всегда, независимо от того,
является ли множесто N частью множества М или нет. Если
MczN, то в результате вычитания получается пустое множество,
т. е. множество, не содержащее элементов.
G)	Пусть М и N — два множества. Допустим, что каждому
элементу х множества М поставлен в соответствие один
определенный элемент y = f{x) множества N. Тогда мы будем
говорить, что имеется отображение f множества, М в множест¬
во N. Элемент у называется образом элемента х при отображе¬

ОБОЗНАЧЕНИЯ
9
нии f, а элемент х — прообразом или одним из прообразов
элемента у. Говорят, что f есть отображение множества М на
множество N, если каждый элемент b множества N имеет хоть-
один прообраз а при отображении f, b = f(a). Если А есть под¬
множество множества М, т. е. АаМ, то через f(A) мы будем
обозначать множество всех таких элементов из N, которые
являются образами элементов, принадлежащих A; f(A) будем
называть образом множества А. Если BcTV, то через f~'(B) мы
будем обозначать множество всех таких элементов из М, которые
переходят в В при отображении f; множество f~'(B) будем
называть полным прообразом множества В при отображении f.
Отображение f множества М на множество N называется
взаимно однозначным, если каждый элемент множества N имеет
лишь один прообраз при отображении f. Если f есть взаимно
однозначное отображение, то уравнение y = f(x) можно однознач¬
но разрешить относительно х, т. е. определить однозначно х,
зная элемент у, и мы имеем x = f~'(y). Отображение назы¬
вается обратным по отношению к отображению f.
Н)	В книге предполагается известным понятие метрического
пространства (см. Хаусдорф, Теория множеств). Расстояние
между точками х и у метрического пространства обозначается
через р(х, у). Расстояние между подмножествами А и В метри¬
ческого пространства обозначается через р(А, В). Для понимания
книги всюду, кроме § 3, под метрическим пространством можно
понимать произвольное подмножество евклидова пространства
произвольной размерности, а под расстоянием между двумя
точками этого подмножества.•— их расстояние в смысле евкли¬
довой метрики.

ГЛАВА I
КОМПЛЕКСЫ И ИХ ГРУППЫ ГОМОЛОГИЙ
Комбинаторная топология изучает геометрические образо¬
вания, разбивая их на простейшие геометрические ;фигуры —
симплексы, правильно примыкающие друг к другу. Геометри¬
ческой образование, которое можно надлежащим образом
разбить на симплексы, называется полиэдром, а сама схема
разбиения — комплексом. Изучение полиэдра в первую очередь
заключается в отыскании его топологических инвариантов, исхо¬
дя из некоторого разбиения полиэдра на симплексы, или, иначе
говоря, из некоторого квмплекса, задающего полиэдр. Задача
построения полной системы топологических инвариантов поли¬
эдра до сих пор ни в какой мере не разрешена, построены
и изучаются лишь некоторые инварианты, и среди них первое
место по значению занимают группы гомологий, или, что то же
самое, группы Бетти. Группы гомологий коммутативны и допу¬
скают конечные системы образующих, а потому могут быть
заданы своими числовыми инвариантами; именно эти числовые
инварианты и были первоначально введены Пуанкаре как
топологические инварианты полиэдров. Позднее под влиянием
идей современной алгебры пришли к мысли, что целесообразнее
рассматривать как исходные сами группы, а не их числовые
инварианты. Применительно к полиэдрам групповой подход дал
.лишь некоторые преимущества в изложении, но при переходе
к геометрическим образованиям более общим, чем полиэдры,
•он позволил рассматривать групповые инварианты, уже не сво¬
дящиеся к числовым.
Основное содержание настоящей главы заключается в опре¬
делении комплекса и в построении его групп гомологий;
доказательство инвариантности дается в следующей главе.
Комплекс, первоначально возникший как схема разбиения
полиэдра, играет теперь в топологии более значительную
роль. В частности, он нашел важные приложения в теорети¬
ко-множественной топологии. Одно такое приложение дается
в § 3.

§ 1. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
§ 1. Евклидово пространство
Здесь приводятся некоторые свойства евклидова простран¬
ства, нужные для дальнейшего.
Линейное пространство. Определение 1. Линейным
или векторным пространством размерности п называется мно¬
жество Rn элементов, называемых точками или векторами,
удовлетворяющее, следующим условиям:
1.	Множество R" составляет коммутативную группу дю сло¬
жению.
2.	Множество R" является модулем над полем действитель¬
ных чисел, т. е. элементы из R" можно умножать на действитель¬
ные числа так, что выполнены условия: если лир — произволь¬
ные действительные числа, ахи у—произвольные векторы
из Rn, то
’Цх-\-у) = Хх-\-Ц), (Х-\-р)х = "кх-\-рх, Х(р,х) = (Ар)х,
1-х.= х, 0-х = 0.
3.	Максимальное число линейно независимых элементов из
Rn равно п.
Как обычно, система xi, ..., х* элементов из Rn называется
линейно независимой, если из соотношения
hlx\-(-... -f- h^Xk = 0,	(1)
где X1, ..., суть действительные числа, следует
Х‘ = ...=Я* = 0.	(2)
Базисом «-мерного линейного пространства Rn называется
максимальная система ех, ..., еп его линейно независимых
элементов. При помощи выбранного базиса в Rn можно ввести
координаты: если х — произвольный элемент из Rn, то в силу
максимальности системы в\,	..., еп имеется зависимость
}.xJr):'eiJr...-\-kne„ = 0, причем 'кфО, так как базис линейно
независим. Разрешая это соотношение относительно*, получаем
х=х|е) -f-... -\-х“е,„	(3)
где х1, ..., хп суть действительные числа, называемые координа¬
тами вектора * относительно базиса ех, ..., еп:
х = (х‘, ..., х"),	(4)
А)	Система точек х0, хх, ..., х* «-мерного линейного простран¬
ства Rn называется независимой, если система векторов
Х\— Х0, ..., Xj, Xq
(5)

12
ГЛ. I. КОМПЛЕКСЫ И ИХ ГРУППЫ ГОМОЛОГИЙ
линейно независима. Очевидно, что независимость возможна
лишь при k^n. Оказывается, система (5) линейно независима
тогда и только тогда, когда из соотношений
“Ь А!Х)-(- ... t^Xk = 0,	(б)1
Х° + Х| + ~. + ^ = 0	(7)
вытекает
Я° = Я.1 = ... = А* = 0.	(8)
Здесь к0, к\ ..., кк— действительные числа. Таким образом,
свойство системы х0, Х\, ..., Xk быть независимой не зависит от
порядка нумерации точек. Сверх того, ясно, что если система
точек независима, то всякая ее подсистема также независима.
Покажем, что если система векторов (5) линейно независима,
то из соотношений (6) и (7) вытекает (8). В силу (7) соотно¬
шение- (6) переписывается в форме —(X'-|-...-(-X*)xo + AlXi-|-
+	= или иначе к\х\ — х0)+-\-kk(Xk— х0) = 0; но так
как система (5) линейно независима, то из последнего вытекает
X1 = ... = кк = 0, а отсюда'*ввиду (7) следует и Х° = 0. Покажем
теперь, что если из соотношений (6) и (7) вытекает (8), то систе¬
ма (5) линейно независима. Пусть
к'(х\—Ха)-\~ ■■■-\-'кк(Хк — Хо) —0.	(9)
Полагая к° =—(X1 + ... + Х*), мы можем переписать соотношение
(9) в виде к°х0-\-к'хi + ...-j-X,*x* = 0, причем для наших чисел
к0, X1, ..., кк выполнено условие (7). Таким образом, в силу
предположения имеем к° = к' = ... = кк=0, т. е. из (9) вытекает
X1 ==... =	= 0, а это и означает линейную независимость
системы (5).
Геометрический смысл независимости точек х0, х\,-..., хц
заключается в том, что несущая их плоскость минимальной
размерности имеет размерность ровно k. Если точки х0, xt, ...,
зависимы, то несущая их плоскость минимальной размерности
имеет размерность, меньшую чем k. На этом, однако, мы оста¬
навливаться не будем.
Дадим теперь другой критерий независимости точек.
В)	Пусть х0, X], ..., х^ k^n,— система точек «-мерного
линейного пространства Rn, а еи ..., еп — базис этого простран¬
ства. Определим координаты наших точек, положив
Xi = x'ei-j-...-f-xlkn,	1 = 0, 1, ..., k.	(10)
Введем теперь формально числа х° положив
х?=1,	/ = 0, 1, ..., k.
(П)

§ 1. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
13
Матрицу ||х/||, г = 0, 1, k; / = О, 1, п, обозначим через
'N(xо, *ь Xk) = N(X). Число строк ее равно £+1, число
столбцов равно «+1; /г + l^n+l. Оказывается, что точки
je„, *1, ..., Xk независимы тогда и только тогда, когда матрица
N(X) имеет ранг
Допустим, что ранг матрицы N(X) меньше fe+1; это значит,
что между строками ее существует линейная зависимость,
т. е. имеются числа Я0, Я,1, ..., Я*, не все равные нулю, для ко¬
торых
Я°*{|-(-Я1л:1 + —+ ^М = 0,	/ = 0, 1, ..., «.	(12)
Умножая соотношение (10) на Я1, суммируя по i и учитывая
(12), получаем
k0Xo-{-klXi -f-... -|-Я*х* = 2 (к0хЬ-f-Я'х( -f-... -|-Я**()а( = 0.
/=|
При / = 0 соотношение (12) в силу (11,) дает Я°-|-Я|	... -|-= 0.
Таким образом, точки х0, *ь ..., ** зависимы (см. (6) — (8)).
Допустим, что точки *о, *1, •••, Xk зависимы; тогда для них
выполнены соотношения (6) и (7) при некоторых Я0, Я1, ..., Я*, не
обращающихся одновременно в нуль. Подставляя в (6) выра¬
жение для *,■ из формулы (10) и переписывая соотношение (7)
в виде Я°*о-|-Я1	+Я*** = 0 (см. (11)), мы получим (12),
а это значит, что ранг матриц N(X) меньше fe+1.
Вопрос о том, можно ли в «-мерном пространстве Ra найти
независимую систему точек «о, Uj, ..., при ksSLn, решается
тривиальным образом, именно: если в\, ..., еп есть базис Rn, то
достаточно положить
«о = 0,	«i=eu ..., ик = ек.	(13)
Здесь «о = 0 есть нуль группы Rn или, что то же, начало координат
линейного пространства Rn. Очевидно, что векторы и\—«о =
= С|,.... ик — и0 = ек линейно независимы и потому в силу А) точки
«о, «|, ..., ик независимы. Вопрос о существовании независимых
систем точек будет решен в предложении С) более полным
образом; при этом мы будем пользоваться понятием близости
точек в Ra в смысле близости их координат.
С)	Пусть *0, *1, хк — произвольная система точек «-мерно¬
го линейного пространства./?", причем k^.n. В произвольной
близости каждой точки *, можно выбрать тогда точку t/, так,
что система t/o, t/i, ..., ук уже независима.
Для доказательства С) воспользуемся критерием В). Пусть
«о, «1, ..., ик — заведомо независимая система точек (см. (13)),
a t, 0^/^1,— действительный параметр.

14
ГЛ. I. КОМПЛЕКСЫ И ИХ ГРУППЫ ГОМОЛОГИЙ
Рассмотрим точки
z{t) = tui-\-{\-t)xi, i = 0, 1, k.	(14)
Легко проверяется, что матрица N(Z(t)), соответствующая по¬
строенной системе точек (см. (14)), получается из матриц
N(X) и N(U) исходных систем точек по формуле
N(Z(t)) = tN(U) + (\-t)N(X).	(15)
Так как точки и0, и,,..., ик независимы, то в силу В) ранг матрицы
N(U) равен k-\-\, и потому существует некоторый детерми¬
нант, составленный из k-\- \ столбцов матрицы N(U), отличный
от нуля. Соответствующий детерминант матрицы N(Z(t)) обозна¬
чим через D(t), подчеркивая его зависимость от параметра t.
Так как N(Z{\))= N(U) (см. (15)) и D(1)=£0, то D(t) не равен
нулю тождественно по t. Ввиду того, что D(t) есть полином от t,
найдется произвольно малое положительное число s такое,
что D(s)=H=0, а это означает, что матрица N(Z(s)) имеет ранг
и поэтому точки y0 = z0(s), y]=zi(s), ..., yk = zk(s) образуют
независимую систему. Ввиду произвольной малости s точка t/,-
произвольно близка к х, (см. (14)).
Определение 2. Говорят, что система х0, Х\, ..., хт
точек «-мерного линейного пространства Rn находится в общем
положении, если каждая ее подсистема хро, xpi, ..., xpt из /г + 1
точек (k^n) независима (см. А)).
Очевидно, что если т^п, то общность положения озна¬
чает независимость. В случае, когда т ^ п, для общности поло¬
жения достаточно, чтобы каждая подсистема исходной системы,
содержащая ровно п -f-1 точек (k = n), была независимой.
Вопрос о существовании систем общего положения при
произвольном т будет решен положительно, но для формули¬
ровки решения удобно пользоваться метрикой, и потому мы
сначала определим понятие евклидова пространства.
Линейное евклидово пространство. Определение 3.
Линейное пространство Rn называется линейным евклидовым
или просто.евклидовым, если в нем определена операция скаляр¬
ного произведения, т. е. выполнено условие:
1.	Каждым двум векторам х и у из Rn поставлено в соответ¬
ствие действительное число ху, называемое их скалярным
произведением, которое удовлетворяет условиям линейности,
симметрии и позитивности, т. е.
(Ъг-f p,y)z = "Kxz-\- pyz, ху=ух, хх^О,
причем в последнем соотношении равенство имеет место лишь
в случае х = 0.

§ I. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО	15
Два вектора хну называются ортогональными, если их
скалярное произведение равно нулю, ху — 0.
Заметим, что во всяком 'линейном пространстве Rn можно
ввести скалярное произведение. Действительно, пусть е\, ■ еп —
базис линейного пространства /?"; определим тогда скалярное
произведение базисных векторов, положив = (б„ = 1, 6,,- = О
при i^=j). Если теперь х = х1е1 +...-f-xnen и y—y'ei-\-...-\-ynen —
два произвольных вектора из Rn, то, в силу аксиом скалярного
произведения, мы должны иметь
ху = *У + ...+*п<Л	(16>
Легко проверяется, что определенное последним соотношением
скалярное произведение удовлетворяет всем требованиям опре¬
деления 3.
D)	Говорят, что система векторов е\, ..., вк ортонормальна,
если е,е( = 6,;. Покажем, что в линейном евклидовом простран¬
стве R" всегда можно ввести ортонормальный базис. Очевидно,
что при ортонормальном базисе скалярное произведение
в координатной форме записывается по формуле (16).
При построении ортонормального базиса будем исходить
из произвольного базиса х{, ..., хп пространства Rn. Так как
это есть базис, то Х\ Ф0 и потому XiXi Ф0, н мы можем положить
в\ =(xixt)~,/2xi, так что е\в\ = \. Допустим теперь, что уже
построена ортонормальная система а-\, ..., вк, eiej = 6r,, k<n,
причем все элементы ее линейно выражаются через векторы
хх, ..., Хк. Ввиду этого вектор у — хк+\—(ХУ	отличен
от нуля. Выберем теперь числа X1, ..., Кк так, чтобы уе,= 0,
i=l, .... /г; для этого достаточно положить Я,‘ = д:*+|е,-. Так как.
уФ0, то, полагая ek+i=(yy)~>/2y, получаем е,е, = 6,/, i, / =
= 1, ..., /г+I. Таким образом строится ортонормальная система
ей ■■■, еп. Легко видеть, что она именно в силу своей ортонормаль¬
ности линейно независима. Действительно, если X1et-j-...-f-Xnen =
= 0, то умножая это соотношения скалярно на получаем к‘ = 0.
E)	В евклидовом пространстве Rn можно ввести метрику,
положив р(х, y)=xl(x-— у)(х — у), так что будут выполнены все
три аксиомы метрического пространства.
В силу аксиом скалярного произведения (см. условие I
определения 3) р(х, у)=0 тогда и только тогда, когда х=у.
Далее, в силу тех же аксиом, р(х, у) = р{у, х).
Остается доказать аксиому треугольника, т. е. что
л1{х — у){х—у) +^J{y — z)(y — z) >д/(* — z) (х — z).
Полагая х — у = и, у — z=v, мы приводим проследнее со¬
отношение к виду: ~\juu -\-^vv^-yj{u -f- v)(u -f- о).

16
ГЛ. I. КОМПЛЕКСЫ И ИХ ГРУППЫ.ГОМОЛОГИЙ
Ввиду неотрицательности обеих частей этого соотношения,
оно эквивалентно соотношению uu-\-2-\j(uu) (vv)-\-vv^ ии-{-
+ 2uv -(- vv. Последнее соотношение в свою очередь эквивалентно
■соотношению
(uu)(vv)^(uvf.	(17)
Соотношение (17) представляет собой так называемое нера¬
венство Шварца. Приведем здесь его доказательство.
Квадратичная форма (uu)X2-\-2(uv)'k-\-(vv) = (Xu-\-v)'2, будучи
■скалярным квадратом вектора Ku-^-v, не может принимать отри¬
цательных значений, и потому дискриминант ее (uu)(vv)— (uv)2
неотрицателен, а это и значит, что соотношение (17) всегда
выполнено.
Вернемся теперь к вопросу об общем положении точек
(см. определение 2).
Теорема. 1. Пусть {хо, х1г ..., *m} = S—система точек
общего положения в евклидовом пространстве Rn\ существует
тогда настолько малое положительное е, что если р(xi, (/,•)<е,
г = 0, 1, ..., т, то система точек у0, у\, ..., ут также находится
в общем положении.
Доказательство. Пусть {хра, xPl, ..., xpJ = S'—
произвольная подсистема системы S, причем ksSLn. Согласно
■определению система S' независима, и потому матрица
N(xpo, xpi, ..., xpt) (см. В)) имеет ранг, равный k-\-\. Ввиду этого
один из детерминантов, например D, составленный из k-\-\
■столбцов этой матрицы, отличен от нуля. Так как детерминант
D есть непрерывная функция координат точек системы S',
•существует Настолько малое положительное е', что при
р(хрР ур)<С&', / = 0, 1, ..., k, детерминант D, составленный для
точек уро, урр ..., ypt, также отличен от нуля, и потому матрица
N{yp0, ур:, ..., yPl) имеет ранг £ + 1, а это значит, что система ура,
у!Ь, ..., yfj независима. Таким образом, для каждой подсистемы
S' системы S находится надлежащее положительное е'.
Принимая за е минимальное из чисел е' по всем подсистемам
S' системы S, мы получаем нужное число.
Теорема 2. Пусть {х0, xi, ..., x,n} = S — произвольная систе¬
ма точек евклидова пространства Rn, а е — произвольно малое
положительное число; существует тогда система точек уо,
у|, ..., ут общего положения такая, что р(х(, yi)<e, i = 0, 1, ..., m.
Коротко говоря, любую конечную систему точек из Rn произволь¬
но малым смещением можно привести в общее положение.
Доказател ьство. Все подсистемы xpt, xpt, ..., xpt, ksSLn,
системы S перенумеруем, обозначив их через Si, ..., Sr. Система
•Si содержит не более п-\-1 точек, и потому произвольно малым

§ I. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО	17
сдвигом ее можно сделать независимой (см.. С)). Допустим
теперь, что путем произвольно малого сдвига всей системы S
мы уже достигли такого положения, при котором все подсистемы
Si,.... Ss, s <г, стали независимыми. Так как теперь систему Ss+i,
в силу С), также можно перевести в независимую путем
произвольно малого сдвига, то сдвиг этот можно выбрать столь
малым, что независимость систем Sb ..., Ss, достигнутая ранее,
не нарушится (см. теорему 1). Этим самым индукция прове¬
дена и теорема доказана.
Выпуклые тела. Здесь будут даны некоторые сведения
о выпуклых множествах, нужные для дальнейшего.
F)	Пусть а и b —две различные точки евклидова простран¬
ства R". Отрезком (а, b) = (b, а) с концами а и b называется
множество всех точек x<=Rn, представимых в форме: x = ha-f-
-\-pb, где "к и р суть действительные числа, удовлетворяющие
условиям
А —|— |л = 1,	к 0, р 0.
Вместо двух параметров К и р можно ввести один параметр
s = p, O^s^l, через который точка отрезка записывается
в форме
jc = (1 — s)a + s6 = a + s(6 — a) = a-)-su, u = b — a. (18)
Оказывается, что если отрезки (а, Ь) н (а, с) имеют общую точку,
отличную от а, то один из отрезков составляет часть другого
(в частности, отрезки могут совпадать, и в этом случае Ь = с).
Для доказательства этого утверждения запишем точки обоих
отрезков в форме (18):
x = a-\-su, O^s^l; y = a-\-tv,	0^/^1.
Пусть х0—уофа — общая точка наших отрезков:
Xo = CI-\-SqU — у0 — Й-Н toV,
«оэ^О, t0=£0,
отсюда
SqU — t0v.
Если so = /o, то u=v, b = c, и отрезки совпадают. Если s0^t0,
го для определенности примем, что s0<t0. Тогда v = -^~u, и
t о
точка у отрезка (а, с) представляется в форме y = a-\-t -^-и.
to

18
ГЛ. I. КОМПЛЕКСЫ Н ИХ ГРУППЫ ГОМОЛОГИЙ
Так как -г-< 1, то при	мы имеем у<=(а,Ь), и второй
Го
отрезок составляет правильную часть первого.
G)	Множество М точек евклидова пространства Rn называ¬
ется выпуклым, если из аеЛ1, Ь^М следует (а, Ь)аМ. Точка а
называется внутренней точкой множества М, если для1 нее су¬
ществует настолько малое положительное е, что из р (а, х)<е
следует геЖ Выпуклое множество W называется выпуклым
телом, если оно компактно и содержит внутренние точки. Мно¬
жество U. всех внутренних точек выпуклого тела W, очевидно»
составляет область в Rn, и потому V=W\U компактно. Мно¬
жество V называется границей выпуклого тела W. Оказывается»
что если ae.U, а & и с —две различные точки из V, то отрезки
(а, Ь) и (а, с) имеют лишь одну об-щую точку а. Далее, если ае[/
и с — произвольная точка из W, то существует такая точка
что отрезок (а, Ь) содержит с.
Для доказательства высказанных утверждений покажем,
что если ае U,b^W, то каждая точка с отрезка (а, Ь), отличная
от Ь, входит в U. Пусть c = Ka-\-pb, Х=£0. Так как ае U, то суще¬
ствует настолько малое положительное е, что при xx<s2 имеем
o-t-jEf. Таким образом, отрезок (а + х, Ь) целиком принадле¬
жит W; следовательно,
Л(ц -(- х)-|- \ib Ха -(- pb -(- Хх =: с Хх ^ W
при хх <е2.
Если теперь у — произвольный вектор из Rn такой, что
уу<Х2е2, то точку с + у можно записать в форме с-\-Хх, где
хх<е2. Но с + Ъг при этом условии принадлежит W\ таким
образом, c^U.
Пусть теперь aeU, а & и с — две различные точки из V.
Допустим, что отрезки (а, Ь) и (а, с) имеют общую точку, отлич¬
ную от а; тогда, согласно F), они либо совпадают и Ь=с, что
невозможно, либо один из них составляет правильную часть дру¬
гого. Допустив, что (а, с)а(а, b). Если так, то се(а, &), причем
c=£b. Но по доказанному выше с в этом случае принадлежит Г/,
а не V,— и мы пришли к противоречию.
Пусть теперь a^U и с — произвольная точка из W, отлич¬
ная от а. Найдем отрезок (а, Ь), содержащий с и такой, что
Положим с — a=v и рассмотрим множество всех точек у из Rn,
представимых в форме у ~a-\-tv, Г^О. При Г достаточно малых у,
очевидно., принадлежит U, так как а — внутренняя точка W.
С другой стороны, при Г достаточно больших у не может при¬
надлежать W ввиду его компактности. Из этого в силу компакт¬
ности W вытекает, что существует максимальное положитель¬

§ 2. СИМПЛЕКС. КОМПЛЕКС. ПОЛИЭДР	19
ное значение t = t0, для которого ye.W. Ясно, что a-\-t0v = b есть
граничная точка W, в противном случае to не было бы макси¬
мальным.
Так как c = a-\-ve.W, то t0^ 1. Полагая t0v = u, мы можем
записать совокупность всех точек отрезка (а, Ь) в форме
x = a-\-su, O^s^l. Точка с записывается в форме	и,
^0
1, и потому принадлежит отрезку (а, Ь).
to
Так как выпуклое тело содержит внутреннюю точку а, то
наряду с ней оно содержит и другие внутренние точки. Все эти
точки должны лежать на отрезках вида (а, Ь),	из чего сле¬
дует, что У не пусто. В случае с = а точка с лежит на любом отрез¬
ке вида (а, Ь), 6еУ.
Таким образом, утверждения, высказанные в G), доказаны.
§ 2. Симплекс. Комплекс. Полиэдр
Комбинаторная топология изучает геометрические фигуры,
разбивая их некоторым правильным образом на простейшие
фигуры — симплексы. Те геометрические фигуры, которые можно
надлежащим образом разбить на симплексы, называются поли¬
эдрами, а сама схема разбиения на симплексы называется
комплексом. Определению этих основных понятий и посвящен
настоящий параграф.
Симплекс. Определение 4. Пусть а0, ап,..., а, — система
независимых точек «-мерного евклидова пространства Rn, r^Ln
(см. § 1, А)). Множество Ат точек х пространства Rn, предста¬
вимых в виде
Х= X^Qq-f-X*Q\ -f-... -f-XrQrr	(1)
где X°, X1,...., Xr суть действительные числа, удовлетворяющие
условиям
Х°+Х|.+ ... + Хг=11	(2)
Х‘>0, i = 0,l		 г,	(3)
называется r-мерным симплексом. Мы будем писать А' =
= (а0, ап,..., аг). Исходные точки ао, ап,.... аг, очевидно, принадле¬
жат симплексу Аг; они называются вершинами.
Ниже будет показано, что если два симплекса Аг и Bs совпа¬
дают, Ar = Bs, то вершины их также совпадают между собой,
конечно, с точностью до порядка, и, в частности, r — s. Будет
показано также, что точка X однозначно определяет числа

20
ГЛ. I. КОМПЛЕКСЫ И ИХ ГРУППЫ гомология
Я0,	?/ при помощи соотношения (I), если только выполнены
условия (2) и (3) Такие числа Я0, )J называют барицентри¬
ческими координатами точки хе.Аг
Покажем прежде всего, что соотношения (I), (2) однозначно
определяют числа Я0,	Я'. Допустим, что
х = рсаэ	р'аг,	(4)
причем
р0 + ... + рг= I.	(5)
Вычитая соотношение (I) из соотношения (4), получаем
(р° - Я0)а0 + • ■ ■ + (У-ЯГИ = 0.
Вейлу (2) и (5) имеем (р° — Я°) +...+ (У — Яг) = 0, итаккакточки
ао, а,- независимы, то
р' —Я‘ = 0,	i = 0	 г.
Покажем теперь, что вершины а0, ..., аг однозначно опре¬
деляются множеством АХ Если и0 и Ut —две различные точки
пространства Rn, то х= '/2(^0 +«i) есть середина отрезка (м0, их).
Оказывается, что каждая точка х симплекса Аг, отличная от
вершины, является серединой некоторого отрезка, концы кото¬
рого принадлежат к Аг Напротив, вершина симплекса Аг не
может быть серединой отрезка с концами в Аг
Пусть х = Я°ао + ..- + Я'аг — произвольная точка симплекса
Аг, отличная от вершины; это значит, что по крайней мере две
ее барицентрические координаты отличны от нуля; допустим,
что Я'>0, Я'>0, /=4=/. Пусть е — настолько малое положительное
число, что е<Я‘, е<Я'. Положим м0 = х-|-е(а;— а,), их=х —
— в(а, —а,). Очевидно, что точки «о и их принадлежат Аг и что
*=4r(«o + Mi).
Допустим теперь, что а* = '/гСмо + м,), причем и0 и Mi—две
различные точки, принадлежащие Аг Мы имеем
ир = Храо-\-...-\-Крап	р = 0, 1.
Так как точки «о и иi различны, то найдутся такие два номера
i=£j, для которых ЯЬ>0иЯ|>0.В силу предположения мы имеем
at — -^-(Яо + Я1?) ао + --+ -^Ч^о+М) Я/-;
здесь 1/2 (Яо + Я{) >0,‘/г (Я^+Я1) >0, но это противоречит до-

§ 2. СИМПЛЕКС. КОМПЛЕКС. ПОЛИЭДР	21
казанной ранее однозначности координат точек в симплексе, ибо
CLti =0 • do “Ь •“	1 * ак -}-••• -}- 0 * аг.
В силу определения (4) нульмерный симплекс (аа) состоит
из одной точки а0. Одномерный симплекс (ао, аi) представляет
собой прямолинейный отрезок, соединяющий точки а0 и а\.
Двумерный симплекс (а о, аь аг) являйся треугольником
с вершинами а о, аь аг. Наконец, трехмерный симплекс (а о, аь
аг, а3) оказывается тетраэдром с вершинами ao, ai, а2, а3.
A)	Пусть Arcz#n есть r-мерный симплекс. Точка х^Аг,
все барицентрические координаты которой положительны, назы¬
вается внутренней точкой симплекса Аг, не внутренняя точка
симплекса Аг называется его граничной точкой. Множество С
всех внутренних точек симплекса называется r-мерным открытым
симплексом, а множество Fr~l всех граничных точек симплекса
Аг называется его границей. Без труда проверяется, что замы¬
кание Gr открытого симплекса Gr совпадает с исходным сим¬
плексом Аг, а так как Аг—ограниченное множество в Rn, то,
будучи замкнутым, оно компактно. Очевидно также, что Fr~l
замкнуто в Аг, а потому Gr = Ar\Fr~1 есть область в Аг. Если
Gr и Hs — два открытых совпадающих симплекса, Gr=Hs,
то Gr = Hs, а так как Gr и Hs суть обычные (замкнутые) сим¬
плексы, то вершины их совпадают и, в частности, r = s. Таким
образом, открытый симплекс однозначно определяет свои
вершины.
B)	Пусть Rr+l есть (г-|- 1)-мерное евклидово пространство,
а во, е\, е, — некоторая ортонормальная система точек (векто¬
ров) в нем (см. § 1). Рассмотрим r-мерный симплекс Ег=(ео,
в\, ..., er)c~Rr+]. Каждая точка г^.Ег записывается в форме
z = ‘k0e0-\-Xlei + ... + Xrer, причем выполнены условия (2) и (3).
Ввиду того, что е0, в\, .... е, составляют ортонормальную систе¬
му, евклидовы координаты точки z относительно этой системы
совпадают с ее барицентрическими координатами в Ег, и мы
можем написать z=(X°, X1, ..., kr)=k. Таким образом, расстоя¬
ние между двумя точками X и р из Ег выражается формулой
р(Х, р) = ~\J(k° — Р°)2 + (Х' — р')2 + ••• +(ХГ—не¬
полученную так метрику /--мерного симплекса будем называть
его естественной метрикой; она выражается через внутренние
(барицентрические) координаты. Очевидно, что соотношение (1),
ставящее в соответствие точке k^Er точку х^Аг, является
непрерывным и взаимно однозначным, а в силу компактности
симплекса Ег соответствие это и взаимно непрерывно. Таким
образом, каждые два /--мерных симплекса гомеоморфны между'

22
ГЛ. I. КОМПЛЕКСЫ И ИХ ГРУППЫ ГОМОЛОГИЙ
собой, причем гомеоморфизм их осуществляется таким отображе¬
нием, при котором соответствующие точки имеют одинаковые
барицентрические координаты.
C)	Пусть Аг=(а0, а\, .... ц.) есть г-мерный симплекс из Rn.
Рассмотрим некоторую часть ai(l, ..., а,-, Os^ss^r, вершин сим¬
плекса А'. Так как вершины а«, ..., а, независимы, то и
аы, ..., a,-s тоже независимы, поэтому в Rn существует симплекс
Cs = (alo, ..., ais). Симплекс Cs называется s-мерной гранью сим¬
плекса А'. Обозначим через j\, ..., jr-s те из чисел 0, 1, .... г,
которые отличны от (о, is- Полагая
)j‘ = .... = )j'- = 0	(6)
в соотношении (1), мы получим произвольную точку х из Cs.
Таким образом, CsczAr, и множество Cs выделяется в Аг системой
уравнений (6). Наоборот, каждая система вида (6) выделяет
некоторую грань. В силу определения (4) каждая вершина сим¬
плекса Аг является его нульмерной гранью. С другой стороны,
сам симплекс VT оказывается своей г-мерной гранью. Грани
размерности, меньшей чем г, называются истинными гранями
симплекса Аг.
D)	Говорят, что симплексы А и В евклидова пространства
R" расположены правильно, если они или вовсе не пересекаются,
или их пересечение А П В является гранью каждого из симплексов
А и В. Если С есть грань симплекса А, а D есть грань симплекса
В, причем А П В cz СП А т. е. A f] В = Cf| А то очевидно, что симп¬
лексы А и В тогда и только тогда расположены правильно, когда
их грани С и D расположены правильно.
E)	Две грани одного симплекса всегда расположены пра¬
вильно.
Действительно, если С и D суть две грани симплекса А, то
каждая из них выделяется системой уравнений вида (6) Две же
системы вида (6) вместе вновь образуют или систему вида (6)
Или противоречивую систему. Последнее происходит, если сово¬
купная система содержит все координаты V; тогда пересечение
СП О nytfo; в противном случае пересечение это есть общая грань
симплексов С й D.
Комплекс. Полиэдр. Перейдем теперь, к основному для нас
понятию комплекса.
Определение 5. Конечная совокупность К симплексов
некоторого евклидова пространства Rn называется геометри¬
ческим комплексом или просто комплексом, если выполнены
следующие условия:
1. Наряду с каждым симплексом А совокупности К в К
входит также и любая ^рань симплекса А.

§ 2. СИМПЛЕКС. КОМПЛЕКС- ПОЛИЭДР
23
2.	Каждые два симплекса совокупности К расположены
правильно (см. D)).
Нульмерные симплексы комплекса К называются его верши¬
нами.
Максимальная размерность симплексов из К называется
размерностью комплекса К
Хотя комплекс является основным понятием комбинаторной
топологии, однако подлинным объектом изучения оказывается
ие комплекс, а то топологическое пространство, которое им опре¬
деляется.
Определение 6. Пусть К—геометрический комплекс,
расположенный в некотором евклидовом пространстве Rn.
Множество всех точек, принадлежащих симплексам комплекса
К, называется полиэдром и обозначается |/С|.
Так как R" есть метрическое пространство, то и его подмно¬
жество | К! является метрическим пространством. Очевидно, что
пространство | /С I компактно, ибо оно является конечной
суммой компактных множеств — симплексов.
Если К и L суть два комплекса, a f — непрерывное отображе¬
ние полиэдра 1 ATI в полиэдр |Z,|, то иногда мы будем называть
f отображением комплекса К в комплекс L.
Простейшим г-мерным комплексом является совокупность
Тг всех граней симплекса А' Совокупность Sr_1 всех истинных
граней симплекса Аг также составляет комплекс.
Очевидно, что \ТГ\=АГ и	= Р-1, где Р-1— граница
симплекса Ат (см. А))
Ввиду условия 1 определения 5 вершины каждого симплекса
из К являются вершинами самого К. Таким образом, для зада¬
ния комплекса К в Я”'достаточно указать все его вершины,
а затем отметить те совокупности вершин, иа которые должно
натягивать симплексы, чтобы получить все симплексы из К.
Отвлекаясь от геометрического положения вершин в R", мы
приходим к понятию абстрактного комплекса.
Определение 7 Конечная совокупность $ элементов
*о, с„	, ^называется абстрактным комплексом с вершинами
С0, с,,..., снесли выполнены следующие,условия:
1.	Некоторые из подмножеств множества 5? отмечены и назы¬
ваются абстрактными симплексами комплекса
2.	К числу отмеченных принадлежат все подмножества
содержащие по одному элементу, так что каждая вершина $
является его симплексом.
3.	Если 2( есть некоторый симплекс из то каждая его часть,
называемая гранью симплекса 2(, также является симплексом
комплекса К.

24
ГЛ I. КОМПЛЕКСЫ И ИХ ГРУППЫ гомология
Если абстрактный симплекс $Е = (а0, <1,,.	, аг) имеет
вершину, то г называется его размерностью. Максимальная
из размерностей симплексов, входящих в комплекс S, называ¬
ется размерностью комплекса S.
Очевидно, что каждому геометрическому комплексу К
соответствует абстрактный комплекс S и притом вполне одно¬
значно. Мы будем говорить, что К дает геометрическую реализа¬
цию абстрактного комплекса S. Вопрос о том, допускает ли
каждый абстрактный комплекс геометрическую реализацию,
составляет предмет нижеследующих предложений.
Теоремы реализации. ’F) Пусть S'— абстрактный комплекс
с вершинами С0, Сь .. , С^и Ek = (eo, et, ..., е*) есть 6-мерный сим¬
плекс,	(см. В)) Каждому абстрактному симплексу
9tr=(c,-0, С*,,. . . ,ci(.)комплекса & поставим в соответствие грань
■Ar = (eia, eh, е;) симплекса £*. Очевидно, что полученная
так совокупность N симплексов составляет геометрический ком¬
плекс, ибо грани симплекса Ек расположены правильно (см. Е)).
Полученную так геометрическую реализацию N абстрактного
комплекса S будем называть его естественной реализацией,
а метрику полиэдра \N\, вытекающую из метрики Ек,— есте¬
ственной метрикой, соответствующей комплексу £. Итак, & реа¬
лизован в EkczRk+l Очевидно, что точка Х°е0 + Х'е{ + ...-\-Хкек =
= (Х°. X1, ,... Хк) = Х (см. В)) симплекса Ек тогда и только тогда
принадлежит полиэдру |,V|. когда из Х‘°Ф0. ’Х1'фО, ... Х‘'ФО
вытекает существование симплекса (с,-, cit, .... с,- ) в комп¬
лексе Я!
Пусть теперь К — произвольная реализация комплекса R
в евклидовом пространстве R'a. Вершину комплекса К, отвеча¬
ющую вершине С,-, обозначим с,-, / = 0, 1, .... 6, Каждой точке
Х = (Х° л1 ..., Хк) полиэдра | ЛС! поставим в соответствие точку
ф(>.)е£"\ положив ■ф(>.) = Л°со-|-Я|С1-|-~. + 6,гс,ь; оказывается,
что отображение ф есть гомеоморфное отображение полиэдра
|Л(| на полиэдр | К|. Таким образом, каждая реализация комплек¬
са S' гомеоморфна его естественной реализации N, и потому две
любые реализации абстрактного комплекса гомеоморфны между
собой.
Покажем, что ф дает гомеоморфизм | ЛС| и 1 /СI. Непрерыв¬
ность отображения ф очевидна, и нам достаточно доказать его
взаимную однозначность, так как непрерывность и взаимная
однозначность отображения ф влекут его гомеоморфность ввиду
компактности \N\. Покажем, что ф(|ЛЧ)=!/(1 Пусть А' — (е1а,
eit, ... eir)—симплекс из N и A r = (cio. ct], .. ct) — соответ¬
ствующий ему симплекс из К. Очевидно, что ф взаимно одно¬
значно отображает симплекс А! на симплекс А Г. Так как и®

§ 2. СИМПЛЕКС КОМПЛЕКС. ПОЛИЭДР	25
существования симплекса Ат в N вытекает существование сим¬
плекса А*г в К и наоборот, то ясно, что ф( | jV|) = i /Cl-
Пусть Х=(Ха, Я,1, Хк) и р, = (р,°, р,1, ..., р*) — две точки из N;
покажем, что из я|)(Я,) = ф(р) вытекает Х = р. Для этого обозначим
через Я,'0, Х“, ..., X1' совокупность всех отличных от нуля чисел Х\.
а через р'", р'1, ..., р/‘ — совокупность отличных от нуля чисел
р'. Положим Ar=(eia, е„, ..., eir), Bs=(ejn, ejt, .... е,). Точки X и и
являются соответственно внутренними точками симплексов Аг и
Bs, а это значит, что точки я|)(Х) и гр(р) являются соответственно
внутренними точками симплексов А Г и В s. Так как А т и В к
принадлежат одному комплексу К, то они расположены правиль¬
но и потому могут иметь общую внутреннюю точку я|)(Я,)=\р(р)
лишь в случае совпадения. Таким образом, A r = B s, а это значит,
что A' = BS. Ввиду же того, что на одном симплексе Аг отображе¬
ние ^ взаимно однозначно, получаем Х = р.
Данная в F) естественная реализация N абстрактного ком¬
плекса обладает тем свойством, что размерность пространства
/?*+|, содержащего N, зависит от числа /г+1 вершин ком¬
плекса
Более глубокий результат о возможности реализации
абстрактного комплекса дает следующая теорема.
Теорема 3. Абстрактный п-мерный комплекс $ всегда
можно реализовать в виде геометрического комплекса К, рас¬
положенного в евклидовом пространстве R2n+1 размерности
2л+1; при этом вершины комплекса К можно выбрать в R2n+'
произвольно, лишь бы они находились в общем положении
(см. § 1, определение 2).
Доказательство. Пусть С0, Ci, .... th — вершины ком¬
плекса Каждой вершине Cf поставим в соответствие точку
с1еЯ2',+ ! так, чтобы система с0, с\, ...? с* находилась в общем
положении в R2n+I (см. определение 2).
Если теперь §Е=(а0, с,,..., (Хг)—некоторый симплекс ком¬
плекса $, то на точки а0, а\, ..., а, пространства R2n+\ соответ¬
ствующие вершинам а0, Зь .... <ХГ, натянем геометрический сим¬
плекс АГ = (ао, аь ..., а,). Полученную так совокупность сим¬
плексов пространства R2a+I обозначим через К. Требуется
доказать, что К является геометрическим комплексом, т. е. для
К выполнены условия 1 и 2 определения 5. То, что выполнено'
условие 1 определения 5, непосредственно следует из условия 3
определения 7. Покажем, что условие 2 определения 5 также
выполнено.
Пусть Яг и S3® — два симплекса абстрактного комплекса St,
а Аг и Bs — соответствующие им геометрические симплексы
совокупности К■ Обозначим через do, d\, ..., dt совокупность всех

26
ГЛ. I. КОМПЛЕКСЫ И ИХ ГРУППЫ гомология
точек, являющихся вершинами по, крайней мере ОДНО10 из сим-
-плексов Аг и Bs. Так как размерность ^ равна п, то г<3г, s^n*
н потому	1. Таким образом, в R2,I+' существует симплекс
£)' = (d0, d 1, ..., dt), хотя он, конечно, может и не принадлежать
совокупности К. Симплексы Аг и Bs являются гранями симплекса
£)' и потому расположены правильно (см. Е)). Таким образом,
■условие 2 определения 5 выполнено для совокупности К, я /( явля¬
ется комплексом. Тот факт, что геометрическому комплексу К
соответствует абстрактный комплекс очевиден. Теорема
доказана.
Итак, нами установлено, что каждому абстрактному ком¬
плексу & соответствует геометрический комплекс К, а тем самым
и полиэдр !/С!, причем последний, с точностью до гомеоморфизма,
•однозначно определяется исходным абстрактным комплексом
Основной задачей комбинаторной топологии является изучение
■топологических свойств полиэдра. Комплекс играет здесь чисто
вспомогательную роль: он служит для задания полиэдра и
построения его инвариантов. Обычный путь построения инва¬
риантов заключается в том, что устанавливаются свойства
абстрактного комплекса, задающего полиэдр, а затем до¬
казывается, что они являются топологическими инвариантами
последнего.
§ 3. Приложение к теории размерности
Настоящий параграф представляет собой отступление в сто¬
рону теоретико-множественной топологии, и содержание его
будет использовано в дальнейшем, да и то в незначительной
•степени, лишь в § 10, который сам представляет собой отступле¬
ние от основной темы книги.
В теоретико-множественной топологии значительное место
занимает теория размерности, решающая вопрос о том, что
следует называть размерностью или числом измерений топо¬
логического пространства, и изучающая свойства топологических,
пространств в связи с их размерностью. Существует несколько
различных определений числа измерений топологического про¬
странства, однако для компактных метрических пространств
важнейшие из них всегда приводят к одному и тому же числу.
Здесь определение размерности будет дано лишь для ком¬
пактных метрических пространств, и сделано это будет при
помощи покрытий. Целью настоящего параграфа является
доказательство того, что всякое компактное метрическое про¬
странство размерности г может быть гомеоморфно отображено
на некоторое подмножество евклидова пространства размерности

§ 3 ПРИЛОЖЕНИЕ К ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ
27
2r+ 1 Результат этот является одним из основных в теории раз¬
мерности и прекрасно демонстрирует силу комбинаторных мето¬
дов в теоретико-множественной топологии. Доказательство его
опирается на понятие нерва, введенное П. С. Александровым,
и на теорему 4, также принадлежащую П. С. Александрову.
Доказательство чисто теоретико-множественного результата
опирается в данном случае на использование основных эле¬
ментарных понятий комбинаторной топологии, освободиться от
которых здесь, по-видимому, невозможно.
Понятия размерности и нерва. А) Пусть R — метрическое
пространство, А — некоторое множество его точек и б — поло¬
жительное число. Через Н(А, 6) будем обозначать множество
всех точек из R, расстояние от которых до А меньше 6. Через
Н(А, 6) будем обозначать множество всех точек из R, расстояние
от которых до А не превосходит 6. Ясно, что замыкание первого
множества содержится во втором и что первое множество
является открытым, в то время как второе — замкнутым. В слу¬
чае, если А состоит из одной точки а, диаметр обоих множеств
Н(а, 6) и Н(а, 6), очевидио, не превосходит 26.
В)	Пусть R — метрическое пространство, а 2={Со,
■Сь ..., Ck}—конечная система его подмножеств. Говорят, что
■система 2 составляет покрытие, пространства R, если каждая
точка из R принадлежит по крайней мере одному множеству
системы 2. Покрытие 2 пространства R называется е-покрытием,
■если диаметр каждого множества С,- системы 2 меньше положи¬
тельного числа е. Обычно рассматриваются системы 2, состо¬
ящие либо сплошь из открытых множеств (открытое покрытие),
либо сплошь из замкнутых множеств (замкнутое покрытие).
Говорят, что система 2 имеет кратность п, если существует в R
точка, одновременно принадлежащая п множествам системы 2,
но не существует точки из R, одновременно принадлежащей п -|- I
множествам системы 2. Покажем, что для компактного простран¬
ства R при произвольном положительном е всегда существует как
открытое е-покрытие, так и замкнутое е-покрытие,
В самом деле, если х — произвольная точка из R, то сумма
всех областей вида Щх, е/3) (см. А)) составляет R и ввиду ком¬
пактности можно выбрать конечное покрытие пространства R
областями Н(хо, е/3), Н(хi, е/3), ..., H(xk, е/3). Замкнутое покрытие
состоит из множеств Н(хо, е/3), Н(х\, е/3), .„, H{xk, е/3). Оба ука¬
занных покрытия, очевидно, являются е-покрытиями.
Определение 8. Говорят, что компактное метрическое
пространство R имеет конечную размерность г, если для каждого
положительного е существует замкнутое е-покрытие простран¬
ства R, кратность которого не превосходит числа г-|-1, но для

28
ГЛ. I. КОМПЛЕКСЫ И ИХ ГРУППЫ гомологии
достаточно малого положительного в не существует уже зам¬
кнутого е-покрытия пространства R, кратность которого не пре¬
восходит числа г. Если для пространства R не существует никако¬
го целого числа О, удовлетворяющего указанному условию,
то говорят, что размерность пространства R бесконечна. Легко
проверить, что размерность пространства R является его топо¬
логическим инвариантом.
Действительно, пусть R и R' — два компактных метрических
пространства, a f — гомеоморфное отображение R на R'. Так
как R компактно, то функция f равномерно непрерывна, и, сле¬
довательно, для каждого положительного числа в' существует
такое положительное число в, что если х и у — две точки из R,
удовлетворяющие условию р(х, t/)Се, то p(f(x), f(y))<Zt'. Если
теперь 2 = {Со, Ст, •••, Ск} — замкнутое в-покрытие простран¬
ства R, то множества f(Ct)=C!, i = 0, 1, ..., к, составляют замкну¬
тое е'-покрытие 2' пространства R'. Ввиду взаимной однознач¬
ности отображения f кратности покрытий 2 и 2' совпадают.
Из сказанного непосредственно следует, что размерность про¬
странства R' не превосходит размерности пространства R, а так
как пространства R и R' равноправны, то размерности их прост»
совпадают.
В § 10 будет показано, что г-мерный симплекс (см. опре¬
деление 4) имеет размерность, равную г в смысле определения 8.
Имеются и другие основания считать, что определение 8 вполне
целесообразно.
С)	Пусть # —компактное метрическое пространство,
2 = {Со, С	Ск	 — его замкнутое в-покрытие; существует тогда
настолько малое положительное число б (число Лебега покры¬
тия 2), что замкнутое покрытие 2«, составленное из множеств
Н (С„ б) = Д, i = 0, 1, ..., к (см. А)), является е-покрытием и
имеет ту же кратность, что и исходное покрытие 2. Из сказанного
вытекает, что открытое покрытие 2б, составленное из множеств
Я(С„ б)=С„ / = 0, 1, ..., k, является е-покрытием и имеет крат¬
ность, равную кратности исходного покрытия 2.
Пусть 2' = {СРа, Ст, ..., Ср}—такая система множеств,
что пересечение их пусто, т. е. не существует точки, принадлежа¬
щей всем множествам системы 2'. Покажем, что для достаточно
малого б' пересечение множеств системы 2V = {/>„, Fpl, ..., FPJ
также пусто. Допустим противоположное; тогда для каждого
натурального числа т при б'=1/т найдется точка а,п, при¬
надлежащая всем множествам системы 2^<. В силу компактности
R существует точка а, предельная для последовательности аь
0.2, ..., о„,... Из замкнутости множеств системы 2' вытекает, что а
принадлежит всем множествам системы 2'.

§ 3. ПРИЛОЖЕНИЕ к ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ
29
Таким образом, каждой подсистеме вида 2' системы 2 со¬
ответствует свое достаточно малое число б'. Так как подсистем
вида 2' в системе 2 имеется лишь конечное число, то, принимая
за б наименьшее-из чисел б', мы получаем число 6, удовлетворя¬
ющее тому условию, что кратность покрытия 2s равна кратности
покрытия 2.
Так как диаметр каждого из множеств С, меньше е, то можно,
сверх того, выбрать б настолько малым, чтобы и диаметр каждого
множества Ft был меньше е. Из С) следует, в частности,
D) Если размерность компактного метрического пространства
Я равна г, то для всякого положительного е существует откры¬
тое е-покрытие пространства R, кратность которого не превосхо¬
дит г+ 1.
Определение 9. Пусть 2={С0, С(, ..., С*] — некоторая
система множеств пространства R. Построим абстрактный
комплекс Л1, называемый нервом системы 2. Каждому множеству
С, поставим в соответствие букву С; и совокупность букв с0,
Си. . . ,tk примем за совокупность вершин комплекса Л. Будем
считать, что совокупность вершин с/0. См. •••> C/s, тогда и только тог¬
да определит симплекс комплекса Л, когда множества С1о, Cti, ...
..., С} имеют общую точку. Очевидно, что если кратность системы
2 равна г+1, то размерность ее нерва равна г.
Е) Пусть f — непрерывное отображение метрического про¬
странства R в метрическое пространство S. Отображение f
называется Е-отображением, если для каждой точки zi=f(R)
полный прообраз ее f~\z) в R имеет диаметр меньше е.
Теорема 4. Пусть R — компактное метрическое простран¬
ство, 2={Go, G1, ..., Gk} — его открытое Е-покрытие, &—нерв
этого покрытия, а К — геометрическая реализация абстрактного
комплекса в некотором евклидовом пространстве Rm. Таким
образом, каждому множеству G, системы 2 поставлена в соответ¬
ствие точка С; е/?”, являющаяся вершиной геометрического
нерва К покрытия 2. Существует тогда непрерывное Е-отобра-
жение f пространства R в полиэдр |/С1 такое, что если x<=Gp,
то f(x) принадлежит некоторому симплексу А* из К с вершиной ср.
Доказательство. Зададим числовую функцию ф,(х),
x^.R, / = 0, 1, ..., k, как расстояние от точки х до замкнутого мно¬
жества R\Gi. Функция ф((х), очевидно, непрерывна на R, поло¬
жительна тогда и только тогда, когда re G,, и обращается в нуль,
когда x^R\GP Так как каждая точка х принадлежит хотя бы
Одному множеству G, системы 2, то сумма ф(х) = фо(х) + ф1(х)
-• + ф*(х) положительна при всяком х. Положим Х\х) =
- -	; подобно (р,{х) функция Х'(х) непрерывна на R, положи¬

30
гл. I. комплексы и их группы гомологии
тельна тогда и только тогда, когда геС;, и обращается в нул*>,
когда x<^R\Gi. Сверх того,
Х,,(х)+Л'(.г) + ...+^(*)=1-	(1)
Пусть N — естественная реализация абстрактного комплекса
$ (см. § 2, F)). Каждой точке x^R поставим в соответ¬
ствие точку Х(х) евклидова пространства Rk+', положив
Х(х) = л^(х)ео-f-л1 (х)еj -f-... -f-Xk{x)€ft.	(2)
Из соотношения (1) и неотрицательности функций А/(х) вытекает,
что Х(х) принадлежит симплексу EkaRk+l. Покажем, что А,(х)
принадлежит полиэдру | JV1.
Пусть х — некоторая фиксированная точка из R. Через 2* =
= {G£o, G(1,..., G, } обозначим совокупность всех областей системы
2, которым точка х принадлежит. Так как области системы 2*
имеют непустое пересечение, то в комплексе $ существует сим¬
плекс 9( = (С;0, С(,, ..., Cir) и, следовательно, в комплексе N су¬
ществует симплекс A=(eia, eit, ..., et). С другой стороны, Х'"(х),
Х!,(х), ..., Х!,(х) есть совокупность всех чисел последовательности
А.°(лс), Х'(дс), ..., Хк(х), отличных от нуля, и потому (в силу (2))
X(x)=X‘°(x)elll + X,'(x)eil +... + Xh(x)eir,
а это значит, что X(x)^A^N. Если, далее, xeGp, то область
Gp входит в систему 2*, и потому ер есть вершина симплекса А.
Покажем, что отображение X пространства R в полиэдр \N\
есть е-отображение. Пусть г — произвольная точка из X(R),
X~‘(z) — ее полный прообраз в R и х — некоторая точка из Х~'(г).
Точка х принадлежит одной из областей системы 2, например,
Gp, и потому Хр(х)Ф0. Если теперь yeX~'(z), то имеем X(х)=Х(у),
и в силу (2) получаем Хр(у) — ХР(х)Ф 0. Таким образом, уеСр,
т. е. X~l(z)dGp. Так как диаметр множества Gp меньше е,
то и диаметр содержащегося в нем множества Х~'(г) тоже
меньше е.
Итак, в применении к естественной реализации N нерва &
утверждение теоремы доказано.
Перейдем теперь от комплекса N к комплексу К при помощи
отображения ф (см. § 2, F)) и положим f(x) = ф(А,(х)). Так как ф
есть гомеоморфное отображение комплекса N на комплекс К
и переводит каждый симплекс из N в соответствующий симплекс
из К, то утверждение теоремы справедливо и для отображения f
пространства R в комплекс К. Для полноты укажем еще формулу,
дающую переход от R и К:
!(х) = Х°(х)с0 + Х'(х)с, + ... + Хк(х)ъ.
(3)

§ 3. ПРИЛОЖЕНИЕ К ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ
3!
Таким образом, теорема доказана.
Если пространство R имеет размерность г, то в силу D) суще¬
ствует открытое s-покрытие 2 пространства R, кратность кото¬
рого не превосходит r + 1 при произвольно малом е. Таким обра¬
зом, существует непрерывное Е-отображение f пространства R в
r-мерный полиэдр |К|—нерв покрытия 2. Этот результат
устанавливает принципиально важную связь между общими
компактными метрическими пространствами и полиэдрами;
он принадлежит П. С. Александрову и имеет многочисленные
приложения в топологии.
Пространство отображений и теорема включения. F) Пусть
R — метрическое пространство. Последовательность а0, аь ...
его точек называется последовательностью Коши, если
для всякого положительного е существует настолько большое
натуральное число п, что при р>п, q>n имеем р(ар, а,)<е.
Легко проверяется, что последовательность Коши может иметь
лишь одну предельную точку, и если она ее имеет, то сходится
к ней. Пространство R называется полным, если каждая после¬
довательность Коши в нем сходится. Легко видеть, что ком¬
пактное пространство всегда полно, точно так же полно и евкли¬
дово пространство. Оказывается, что если Gq = R, Gi, ..., Gm, ...
есть последовательность областей полного метрического про¬
странства, всюду плотных в R, то пересечение всех этих областей
не пусто и даже всюду плотно в R.
Докажем последнее утверждение. Пусть До — произвольная
точка из Go = R и е0 — произвольно малое положительное число.
Покажем, что существует точка а, принадлежащая всем обла¬
стям Gm и такая, что р(ао, а)^е0.
Допустим, что построена уже конечная последовательность
точек а'о, а\,..., а„ пространства R и конечная последовательность
чисел Ео, EiCl, ..., е„< 1 /и, так что
Я(а,-, е,)с:Я(а,_1, е,_,) f| G„ г= 1, 2, ..., п (см. А)).	(4)
Продолжим эти две последовательности. Так как Gn+1 всюду
плотно в R, то существует точка а„+,еЯ(а„, e„)f|G„+i; так как
Н(а„, e„)nG„+i есть область, то существует настолько малое
число е„+|< -	■ что Я(а„+Ь en+i)aH(a„, 8„)f|G„ + i. Таким
образом, мы можем считать, что последовательности а0, аь ...
..., ат, ... и 8о, 8|, ..., £,„, ... бесконечны, и условия (4) для них
выполнены. Если p<q, то ад^Н(ар, гр) и, следовательно,
р(ар, а,)<8р<1/р; таким образом, а0, а,, ..., ат, ... есть после¬
довательность Коши и потому сходится к некоторой точке а.
К той же точке а сходится и последовательность ат, am+i,..., а она

32
ГЛ. I. КОМПЛЕКСЫ И ИХ ГРУППЫ ГОМОЛОГИЙ
принадлежит замкнутому множеству Н(ат, гт). Таким образом,
а^Н(ат, ет), и мы видим, что а принадлежит всем областям Gm.
Так как ое//(а0, е0), то р(а0, а)^ео.
Итак, утверждение наше доказано.
Определение 10. Пусть R—компактное метрическое
пространство, S — произвольное метрическое пространство
и Ф — множество всех непрерывных отображений простран¬
ства R в пространство S. Если / и g — два отображения из Ф,
то р(/(х), g(x)) есть непрерывная числовая функция, заданная
на компактном пространстве R, и потому достигает своего макси¬
мума; этот максимум мы обозначим через р(/, g) и примем за рас¬
стояние между элементами / и g во вновь определенном метри¬
ческом пространстве Ф. Ниже будет показано, что p(f, g) удо¬
влетворяет всем аксиомам метрического пространства. Оказы¬
вается, что если S полно (см. F)), то и Ф полно.
Докажем, что р(/, g) удовлетворяет аксиомам метрического
пространства. Очевидно, что р(/, g) = 0 тогда и только тогда, когда
f = g. Точно так же очевидно, что р(/, g)=p(g, /). Покажем, что
•если /, g и А — три отображения из Ф, то p(f, А)^р(/, g)-bp(g, А).
Пусть а — та точка из R, для которой р(f(x), А(х)) достигает
своего максимума; тогда имеем р(/, А) = р(/(а), А(а))^ р(/(а), g(a))-(-
+ p(g(a), А(а))<р(/, g) + p(g, А).
Докажем теперь, что если S полно, то Ф также полно. Пусть
/о, f 1,	fm, — последовательность Коши из Ф. Это значит, что
для произвольно малого положительного е существует натураль¬
ное число А такое, что если р>п, q>n, то р(fp, f?)<e. А это зна¬
чит, что для произвольной точки x^R мы имеем
Р(fp(x), fM)< е.	(5)
Таким образом, последовательность fo(x), f\(x), .... fm(x),...
точек из S есть последовательность Коши и потому сходится
к некоторой точке, которую мы обозначим через f(x). Переходя
в неравенстве (5) к пределу при q-+-оо, мы получаем
Р(fp(x), /(*))< е.	(6)
Покажем теперь, что отображение f пространства R в S непре¬
рывно в каждой точке x^R. Так как отображение fp непрерывно
в точке х, то существует настолько малое положительное б,
что из р(х, у)<8 вытекает р(fp(x), fp(y))<е. Так как соотношение
(6) имеет место и для точки у, то мы имеем
Р(/(*). /(уЖр(/(А /„(*)) +p(W*)> Ш) + р(Щ. /(у))<3е.
Таким образом, отображение / непрерывно, т. е. (еФ. Соотно-

$ 3. ПРИЛОЖЕНИЕ К ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ	33
шение (6) показывает, что p(f?, f)<Ie при р>п, а это значит,
что последовательность /0> fь •••, fm, ... сходится к f.
G) Пусть Ф — метрическое пространство всех непрерывных
отображений компактного метрического пространства R в
произвольное метрическое пространство S (см. определение 10).
Через ФЕ обозначим множество всех е-отображений из Ф (см. Е))
и покажем, что Ф„ есть область в Ф.
Пусть [еФс; существует тогда настолько малое положитель¬
ное число б, что для двух произвольных точек х и у пространства
R из р(f(x), f(yi)<б вытекает р(х, у)<е. Допустим противополож¬
ное. Это значит, что имеется стремящаяся к нулю после¬
довательность 6i, б2,..., бт,... положительных чисел такая, что для
каждого натурального т найдется пара точек хт, ут, удов¬
летворяющая условию р(f{xm), f{ym))<Sm, р(хт, Ут)^8. Так как
R компактно, то из последовательности х,, х2	 хт, ... можно
выбрать сходящуюся подпоследовательность. Для того чтобы
не менять обозначений, мы предположим, что последовательность
Х\, х2,..., хт,... сама сходится к точке х. Точно так же можно пред¬
положить, что последовательность yt, у2, ..., ут, ... сходится
к точке у. Мы имеем тогда p(f(x), f(y)) = 0, т. е. f(x) = f(y),
но р(х, £/)^е, а это противоречит предположению, что f есть
«-отображение:
Покажем теперь, что если p(f, g)<6/2, то g есть е.-отображе-
нне; это и будет означать, что Фе есть область.
Пусть g(x) = g(y) — z; тогда мы имеем
р(ы тхрт g(*))+P(g(y), ку))< 4 + т = 6>
и в силу доказанного ранее р(х, у)<е. Так как прообраз g~'(z)
точки z^g(R) в R компактен и каждые его две точки х и у
удалены друг от друга менее чем на е, то сам прообраз g~'(z)
имеет диаметр меньше е.
Таким образом, geФг, и утверждение G)доказано.
Т е о р е м а 5. Компактное метрическое пространство R раз¬
мерности г может быть гомеоморфно отображено на некоторое
подмножество евклидова пространства R2r+l размерности 2r+1.
Доказательство. Пусть Ф—пространство всех не¬
прерывных отображений пространства R в пространство R2r+l
(см. определение 10). Через Фг обозначим множество всех
е-отображений из Ф; в силу G) Фе есть область в Ф. Очевидно,
что Ф,, Ф1(/2. •••> Ф[/т, ... есть убывающая последовательность
областей из Ф. Пересечение всех областей Ф1/т обозначим
через Чг. Так как всякое отображение /ге'Е есть е-отображение
при произвольно малом е, то h является взаимно однозначным

ГЛ! I. КОМПЛЕКСЫ И ИХ ГРУППЫ ГОМОЛОГИЙ
34
отображением пространства .R на подмножество h(R) простран¬
ства /?2,+ 1-и, в силу компактности #,гомеоморфизмом: Таким
образом, нам достаточно доказать, что Ч* не пустота.для этого-
•в силу F) достаточно показать, что Фе всюду плотно вФ. Доказы¬
ваем это.
Пусть g — произвольное отображение из Ф, а е и т| ^ два:
произвольно малых положительных числа. Покажем, ,что суще¬
ствует е-отображение f пространства R в R2r+l такое, что
р(g, f)<,т}. Этим и будет показано, что Фе всюду .плотно в Ф.
Так как g-равномерно непрерывно, то существует настолько ма¬
лое положительное число -6 <1е, что из р(х, у) <; б вытекает-
p(g(x),<п/6- Пусть, теперь 2={G0, G1, .... G*}открытое
6-покрытие пространства R, кратность которого не превосходит
r+1 (см. D)). Покрытие 2 является одновременное в-покры-
тием. Так как диаметр каждого множества G,- меньше б, то
диаметр каждого множества g(Gi)=Fi меньше т)/6.. Через ct>
i=0, 1, ..., k, обозначим точку из Я2/+|, расстояние от которой
до Ft меньше т)/6, и предположим, сверх того, что,точки Со, Ci,с*•
находятся в общем положении (в силу теоремы 2 такой выбор»
Точек с, возможен). Точки со, .Ci,Ck примем за вершины гео¬
метрического нерва К (см. теорему 3) покрытия 2, считая, что-
вершина с, соответствует элементу покрытия Gt. Покажем, что
отображение f пространства R в нерв К, построенное в теореме 4,.
удовлетворяет нашим требованиям.
Так как .2 есть е-покрытие, то в силу теоремы 4 f есть
е-отображение. Остается показать, что p(g, f)<r).
Оценим прежде всего размеры симплексов комплекса К-
Для этого мы воспользуемся предложением D) § 9, доказа¬
тельство которого опирается лишь на определение симплекса.
Предложение это утверждает что диаметр .симплекса • ра¬
вен длине максимального его ребра. Таким образом, нам доста¬
точно оценить лишь размеры одномерных симплексов комп¬
лекса К- Пусть (ср, с,) — некоторый одномерный симплекс из К.
.Так как в К существует симплекс (ср, cq), то области Gp и Gq пере¬
секаются, а следовательно, .пересекаются и множества Fp и Fq..
Так как диаметр каждого из множеств Fp и Fq меньше и/6 и рас¬
стояние от точек ср и сч соответственно до множеств Fp и />
тоже меньше и/6, то р(ср, cq)<2/зИ- Таким образом, диаметр-
каждрго симплекса из К меньше 2/зИ-
Пусть теперь х — некоторая фиксированная точка хиз R.
Существует область Gp системы 2, содержащая х. Так как
.g{x)&FP и расстояние от вершины ср до множества Fp меньше
н/6, то p(g(x), ср) <и/3,С другой стороны, в силу теоремы 4 точка.
,f(x) принадлежит симплексу А комплекса К с вершиной ср, и ввиду

§ 4. ГРУППЫ ГОМОЛОГИЙ
35
сделанной выше оценки диаметра симплексов из К мы имеем)
р(ср, /(*))< 2/зП- Таким образом, p(g(x), f(x))<ri, а это зНачИт,-
что p(g, f)<T), ибо х — произвольная точка из R.
Итак, теорема 5 полностью доказана.
В дополнение к теореме 5 следует отметить, что для каждого^
натурального числа г существует r-мерное компактное метри¬
ческое пространство Рг, которое невозможно гомеоморфно»
бтобразить на подмножество евклидова пространства R2r раз¬
мерности 2г. Этот весьма нетривиальный результат принадлежит1.
Ван-Кампену. Пространство Рг определено у него следующий
образом. Пусть А2г+2— симплекс размерности.2г +2. Совокуп¬
ность всех граней симплекса А2г+2, размерность которых не
Превосходит г, составляет r-мерный комплекс Кг. Пространстве»)
Р' представляет собой полиэдр |Л7|. Для г — 1 комплекс К1 легкой
можно себе представить и нетрудно элементарными методами-'
доказать, что \К1\ невозможно гомеоморфно отобразить на под¬
множество плоскости. В случае r> 1 доказательство опирается:
на понятие индекса пересечения, в настоящей книге не рас¬
сматриваемое.
§ 4, Группы гомологий
Намеченный в конце § 2 общий путь построения инвариантов
полиэдра реализуется здесь применительно к основным инва¬
риантам — группам гомологий. Доказательство инвариантности
групп гомологий будет дано в главе II. Так как даваемое в насто¬
ящем параграфе определение групп гомологий и проводимое
в следующих параграфах настоящей главы их исследование
опирается на комплекс лишь как на комбинаторную схему, то нет
надобности делать различие между абстрактным комплексом
и его геометрической реализацией.
А)	Любую последовательность а, Ь, с, .... /, в которой можно
записатьсовокупность всех вершин некоторого симплекса, будем
называть порядком вершин этого симплекса. Будем говорить,
что симплекс (а0, аи ..., аг) получает ориентацию или стано¬
вится ориентированным, если каждому порядку его вершин
поставлен в соответствие знак + или — так, что порядкам, отля--
чающимся нечетной перестановкой, соответствуют противо¬
положные знаки. Записывать это будем в виде
Ar=e(a0, аи ..., а,),	(1)
где е означает тот знак, который приписан последовательности
а0, а\, ..., а„е= + 1. Таким образом, каждый симплекс допускает
две различные (противоположные) ориентации. Если Аг—■

ГЛ. I. КОМПЛЕКСЫ И ИХ ГРУППЫ ГОМОЛОГИЙ
36
ориентированный симплекс, то через —Аг будем обозначать
симплекс, противоположно ориентированный.
Нульмерный симплекс (а0) имеет лишь один порядок вершин,
тем не менее, согласно определению, он все же допускает две
противоположные ориентации: -)-(ао) и —(а0).
B)	Пусть (а,, аг, ..., аг)—некоторый r-мерньГй симплекс.
Любую (г—1)-мерную грань его можно получить вычеркиванием
из последовательности а0, аь ..., аг одной вершины а,-. Ориентации
Аг=е(аа, 0|, ..., аг) исходного симплекса поставим в соответствие
ориентацию
В[~1 = (— 1)‘е(ао, а,, .... а;_ь а, + 1, ..., аг)
его (г—1)-мерной грани. Легко проверяется, что установленное
между ориентациями Аг и В{~1 соответствие не зависит
от случайно выбранного порядка вершин а0, а(, ..., а,. Мы будем
писать АГ*±В[~‘. Очевидно, что —Аг+±—В[~'. Симплексы Аг
И В[~1 мы будем называть когерентно ориентированными.
C)	Пусть А[, А г, ..., Агаг — совокупность всех как-либо ориен¬
тированных r-мерных симплексов некоторого комплекса К.
Пусть, далее, G ■— произвольная коммутативная группа, взятая
В аддитивной записи. Линейную форму
X=:'glA\A-g2A2-\-...-\-gOL,Aa'	(2)
Относительно симплексов А\, Аг2, ..., _Ага, с коэффициентами
•gu g2, ga', принадлежащими G, будем называть г-мерной
цепью комплекса К по группе коэффициентов G. Если А{, А{, ...
..., А^ суть r-мерные симплексы из К, взятые с какими-либо
другими ориентациями так, что /}/=е,Л[, то будем считать, что
х — е 1 g | А |г -)- e2g2 А 2 +. • •	'gaА аг,.
Этим самым мы освобождаемся в определении цепи от случай¬
ности в выборе ориентации симплексов. Если
х= 2 -giAl и £/=2 hiA[
i= I	i=l
■—две r-мерные цепи из К по группе G, то положим
Х+У= il (gi + ht)Ai	(3)
< = 1
Таким рбразом, в множестве всех r-мерных цепей комплекса К
по группе G определена операция сложения, и множество это
превращено в коммутативную группу, которую мы будем обозна¬
чать через Lq (К) или просто через Lr, когда это не может привести
К недоразумениям.

§ 4. ГРУППЫ ГОМОЛОГИИ
37
При образовании цепей за группу G в большинстве случаен
принимают группу G0 целых чисел или же группу Gm вычетов
по модулю т. Для сокращения полагают Lra^ = Lrm, т = 0, 1,
2, ... Особенно употребительны группы G0 и G2. В случае G2
вместо ориентированных симплексов можно рассматривать
неориентированные, так как при geG2 мы имеем g——g,
и потому в цепи х нет надобности различать симплексы. Аг
и —Аг.
Определение 11. Пусть А' — некоторый ориентирован¬
ный r-мерный симплекс комплекса К. Аг можно рассматривать
как цепь из К по целочисленной группе коэффициентов. Обозна¬
чим через Во-1, Bi_1, ..., Brr~l совокупность всех когерентно
ориентированных с Ат (г—1)-мерных граней
(см. В)), и положим
симплекса Аг
А(Аг) = ААГ = Вга~1 + ВТ1 +... +ВГ
'■ (4)
В случае г=0 положим
>
о
II
О
(40
Очевидно, что
А(-Аг)= —А(Аг).
ААГ является (г— 1)-мерной цепью из К по целочисленной группе
коэффициентов и называется границей ориентированного
симплекса Аг. Границу А* произвольной r-мерной цепи х из К
по группе G (см. (2)) определим, положив
А(*) = А*= 2 gAAr-	(5)
i= I
Легко видеть, что
Д(—*)= — А(х) и А(х+у)=А(х)+А(у).	(6)
Оказывается, сверх того, что
ДД* = 0,	(7)
Докажем соотношение (7). Его достаточно доказать лишь для
случая х = Аг. Пусть А'= -)-(ао, ааГ). Через Ср~1 обозначим
ориентированный симплекс, получаемый из А’ выкидыванием
вершины ар, а через Ср^2— ориентированный симплекс, получа¬
емый из Аг выкидыванием двух вершин ар и ад, p<q. Таким
образом,
Сгр-' = +(ай, аи	ар-и ар+ь	аг),
Срд ==-}~(^о> а\,	Цр_[, Цр^_], ..., ад— 1, Пр-г 1, ..., а^).

38
ГЛ. I. КОМПЛЕКСЫ И ИХ ГРУППЫ ГОМОЛОГИЙ
При этих обозначениях имеем
АЛг= V (— 1 )'С,--1,
1=0
Acre's' (-.1)'СГ2+ s (-ly-'Cfr2.
/ = 0	/ = ' + 1
Итак,
ДДЛ' = 2 (- ГГ'С[Г2+ 2 (-l)'+'-|Cfr2 = 0.
/ <'	1 < /
Таким, образом, соотношение (7) доказано.
Операция А образования границы является важнейшей
в комбинаторной топологии; она приводит к следующим основ¬
ным понятиям так называемой теории гомологий.
Определение 12. r-мериая цепь х называется циклом,
если граница ее равна нулю, т. е. если Ах = 0. Множество всех
r-мерных циклов (по группе G) комплекса К обозначается
Перез ZrG{K) или просто Zr (ZrGm = Z'm). Очевидно, что Z' есть
подгруппа группы V (см. (6)). Для г = 0 имеем Z° = L°
(см. (4')).
Заметим, что каждая граница является циклом (см. (7)),.
Определение 13. r-мериый цикл г «-мерного комплекса
К называется гомологичным нулю, если ои является границей
(г+1)-мериой;цепи из К, г=0, 1, ..., «—1. Условимся «-мерный
цикл z считать гомологичным нулю лишь в случае,-если ои равен
нулю. В знаках гомологичиость нулю записывается так: z~0.
( Множество всех /-^мерных .циклов по группе G комплекса К,
гомологичных нулю, обозначается через Нга(К) или просто
Н' (Н'а = Нгт). Очевидно, что Нг есть подгруппа группы Z'.
(см. (7)). Два r-мериых цикла Z\ и z2 называются гомологичными
между собой, если разность их гомологична нулю (zi—Z2~0);
в этом случае пишут: Zi—z2.
Определение 14. Так как H'dZ' (см. определения 12,
1Д), то можно составить -факторгруппу Br = Zr/Hr. Группа
ВГ = В'а(К) называется r-мерной группой Бетти или г-мерной
группой гомологий комплекса К по группе коэффициентов
0 (В'0,= до¬
определение цикла и гомологичности нулю, конечно, зависну
рт положенной в основу всего построения группы G.
В силу, определений 13 и 14 элементы группы гомологий
представляют собой классы гомологичных между собой циклов.
Оказывается, что для нахождения групп гомологий комплекса
К по любой группе коэффициентов G достаточно зиать группы

f 5.'РАЗБИЕНИЕ НА, КОМПОНЕНТЫ
39
гомологий К лишь по целочисленной группе коэффициентов;
ввиду этого последние играют особо важную роль. Факта этого
;мы доказывать, однако, не будем.
В дальнейшем будет показано, что группы гомологий коМг
ллекса К' 'являются топологическими инвариантами соответ¬
ствующего полиэдра. Группы гомологий полиэдра являются
его Основными наиболее хорошо изученными топологическими
инвариантами".
D)	Пусть К есть «-мерный комплекс, и А —операция обраг
зования границы в нем; тогда Д есть гомоморфизм группы Lr
"В группу Lr~l (см. (6)), г= 1, 2, ..., «. В силу определений 12
и 13 ядром гомоморфизма А в группе U служит подгруппа Zr,
а образом группы U при гомоморфизме А является подгруппр
Hr~l a Lr~1'. Таким образом, группы Lr/Zr и Н'~1 изоморфны.
E)	Пусть x,y,z — элементы группы гомологий Вг некоторого
комплекса Af, а х, у, z — циклы из К, принадлежащие соответ:
ственно классам гомологий х, у, z. Тогда соотношения x-\-y = z
и x-\-y~z эквивалентны. Таким образом, любое соотношение
между элементами группы гомологий Вг можно записать в виде
соотношения между циклами, употребляя вместо знака равен¬
ства знак гбмологии; иначе говоря; изучая гомологические со¬
отношения между циклами, мы тем самым изучаем свойства
групп гомологий — важнейшего топологического инварианта;
в этом и заключается значение знака гомологии. Например,
вместо того чтобы говорить о линейной независимости элементов
группы гомологий, можно говорить о гомологической незави¬
симости между циклами.
§ 5. Разбиение на компоненты. Нульмерная группа
гомологий
Настоящий параграф посвящается выяснению геометриче¬
ского смысла нульмерной группы гомологий комплекса, для1
чего предварительно будет доказано одно общее предложение,
имеющее: и некоторый самостоятельный, интерес (см. теорему 6).'
A)	Подкомплексом комплекса К называется всякий ком¬
плекс L, все симплексы которого принадлежат К. Совокупность
всех симплексов комплекса К, размерность которых не превос¬
ходит г, называется r-мерным остовом Комплекса К и составляет
его подкомплекс.
B)	Комплекс К будем называть связным, если его'невозможно
разбить в сумму двух непустых подкомплексов L и М без
общих симплексов. Оказывается, что комплекс К связен тогда
и только тогда, когда для каждых его двух вершин а и е сущест¬

40
ГЛ. Г. КОМПЛЕКСЫ И ИХ ГРУППЫ ГОМОЛОГИЙ
вует последовательность вершин
й[=а, а2, aq = e,	(1)
причем любые две соседние вершины этой последовательности
служат вершинами одномерного симплекса из К.
Для доказательства высказанного предложения допустим:
сперва, что комплекс К не связен и потому распадается в сумму
двух непересекающихся подкомплексов L и М. Пусть а — вер¬
шина из L, а е — вершина из М. Допустим, что цепочка (1)
существует для этих вершин. Через а-, обозначим последнюю
ее вершину, принадлежащую L. Существующий по условию сим¬
плекс (а„ a, + i), очевидно, не может принадлежать ни L, ни М.
Таким образом, для несвязного комплекса условие существова¬
ния цепочки (1) не выполнено.
Допустим теперь, что комплекс К связен. Зафиксируем какую-
либо его вершину а и рассмотрим множество Е всех таких вершин:
е комплекса К, которые можно связать с а цепочкой вида (1).
Очевидно, что если симплекс А имеет хоть одну вершину,
принадлежащую Е, то и все вершины его принадлежат Е.
Таким образом, совокупность всех симплексов из К, имеющих:
вершины в £, составляет подкомплекс L. Множество всех сим¬
плексов из К, не принадлежащих L, очевидно, составляет под¬
комплекс М из К и потому пусто ввиду связности К■ Таким
образом, в Е входят все вершины комплекса К, и фиксированную
вершину а можно соединить цепочкой вида (1) с любой
вершиной е. Из этого непосредственно следует, что и две любые
вершины из К также можно соединить цепочкой.
С)	Компонентой некоторого комплекса К будем называть
такой связный его подкомплекс L, что К распадается в сумму
двух непересекающихся подкомплексов L и М. Пусть Ки ..., КР —
совокупность всех компонент комплекса К. Оказывается, что
компоненты эти попарно не пересекаются и в сумме составляют
весь комплекс К.
Допустим, что компоненты Ki и К, пересекаются. Так как Кс
есть компонента, то К распадается в сумму двух непересекаю¬
щихся подкомплексов /(, = /. и М. Пересечения /С/ с L и М обозна¬
чим соответственно через Kj и К". Легко видеть, что Kj и К" суть
непересекающиеся подкомплексы комплекса К;, в сумме состав¬
ляющие К-,. Ввиду связности Kj один из кусков К' и К'( должен
быть пустым. Но K'j=Kif\Ki и по предположению не пуст, сле¬
довательно, Kj^Kt. Точно так же можно доказать, что и Ki^Kj,.
т. е. мы получаем Ki=K,, и потому /=/.
Покажем теперь, что сумма всех компонент составляет ком¬
плекс К. Пусть А — произвольный симплекс из К; покажем,

s 5. РАЗБИЕНИЕ НА КОМПОНЕНТЫ
41.
что А принадлежит одной из компонент. Если К связен, то он
имеет только одну компоненту К=Ки и утверждение правильно.
В случае несвязного К его можно разбить в сумму двух непере-
секающихся подкомплексов L и М; один из них, например L,
содержит А. Если L связен, то L есть компонента К, и мы видим,
что симплекс А принадлежит одной из компонент. В случае не*
связности L мы продолжаем разбиение на части, пока не доходим
до компоненты, содержащей А.
Теорема 6. Пусть Ки .... КР— совокупность всех компо¬
нент некоторого комплекса К В основу построения всех групп
положим некоторую фиксированную группу коэффициентов G,
которую в дальнейшем явно указывать не будем. Пусть Вг —
группа гомологий комплекса К, а В[ — группа гомологий ком¬
плекса Кь Оказывается, что Вг изоморфна прямой сумме
д{+...+вг.
Доказательство. Пусть Lr — группа всех г-мерных
цепей комплекса К- Через Ц обозначим ее подгруппу, составлен¬
ную из всех цепей, в которые с коэффициентами, отличными от
нуля, входят лишь симплексы комплекса Кь Очевидно, что
L' = LI + ... + L;.	(2)
Группа Ц представляет собой группу всех r-мерных цепей
комплекса К,. Далее, положим Н[~' = АЦ, тогда
Ц~К	(3)
Покажем, что
Я'-‘=ЯГ‘ + ... + /Д-'.	(4)
Действительно, если Ах есть произвольный элемент из ЯЛ_|,
где те/,', то в силу (2) имеем х — Х]-\-...-\-хр,	и, следова¬
тельно,
Ах—Ах\-\-...-\-Ахр,	(5)
где Ах;еЯ,г_|.	Единственность разложения	(5)	следует	из	(2)
и (3).
Через Z\ обозначим ядро гомоморфизма А в группе Ц и пока¬
жем, что
Z' = ZI+... + ZJ.	(6)
Если 2eZr, то z = x\ + ...-(-хр, гдeijel' (см.	(2)). Отсюда полу¬
чаем Ах\ + ...-\-Axp = Az = 0, но в силу (3) и (4) это дает Axt = 0;
таким.образом, x,eZf. Единственность полученного разложения
z следует из (2).

42
ГЛ. I. КОМПЛЕКСЫ И ИХ'ГРУППЫ ГОМОЛОГИЙ
Из соотно'шений (,4) и (6) следует, что группа Zr/Нг изо¬
морфна прямой сумме: Zr\/H\-\- ...-\-Zrv/Hrp, Таким образом,
теорема 6 доказана.
D)	Пусть К — произвольный комплекс, а А°, ..., Л“ — сово¬
купность всех его положительно ориентированных нульмерных
симплексов Л"= + (а,). Пусть, далее,
x =	... +,gc<y4“
— произвольная, нульмерная цепь из К по группе-коэффициен-
тов G. Индекс 1(х) цепи х определим, положив
Ax)=J?i+ •■• + £<*•
Очевидно, что
J(x+y) = I(x) + f(y)-	(7)
Оказывается* что из х~0 следует /(х) = 0.
Пусть Л'=+(а, Ь)—произвольный ориентированный одно¬
мерный симплекс из К\ положим A°=-f-(a),' В°=+(£>). Тогда,
Д(^Лi) = gB° — g>4° и, следовательно, 7(Д(£Л'-)) = 0. Из этого
в силу (7). получаем 1{Ау)—0 при произвольном i/eZ1. Таким
образом, утверждение доказано,-
Заметим, что понятие Индекса невозможно ввести для цепи,
размерность которой больше нуля.. В самом деле, только для
нульмерного симплекса можно, говорить о положительной
ориентации, ибо только для него существует единственный поря¬
док вершин.
E)	Для связного комплекса К условия /(х) = 0 и х~0 экви¬
валентны. Сверх того, оказывается, что группа В°а (К) изоморфна
фруппе коэффициентов G.
, Пусть а и е — две произвольные вершины из /С; положим
Л°=4-(а), £°=+(е). В силу связности К существует цепочка
вида (1) такая, что в К' имеется симплекс (a,-, n,-+i),i = 1,..., q— 1.
Положим Л)=-)-(а„ a,+ i) и рассмотрим цепь
У — ёМ -\-gAiAr • •• +g7U-i
относительно группы G. Очевидно, что Ay=gE°— gv4°. Таким
образом, ££°.~£Л0. Из этого непосредственно следует, что про¬
извольная нульмерная цепь х по произвольной группе G гомо¬
логична цепи £Л°, где geG. Так как х и £Л° гомологичны,
то индексы их равны и, следовательно, I(x)=g. Таким образом*
получаем
х~/(х)Л°.
Последнее показывает, что если /(х) = 0, то х~0. Итак, экви¬
валентность соотношений /(х)=0 и х~0 доказана.

S 6 ЧИСЛА БЕТТИ ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА—ПУАНКАРЕ
43
В силу (7) оператор / .дает гомеоморфное отображение
группы L° = Z° в группу G. Так как при произвольном geG
имеется в Z“ цикл gA°, индекс которого равен g, то /(Z°)=G.
<И другой стороны, из эквивалентности соотношений 1(х) — 0
и х~0 следует, что ядро гомоморфизма I есть Н° Ввиду сказан¬
ного получаем изоморфизм групп Z°/H° и G. Этим доказа¬
тельство предложения Е) закончено.
Теорема 7. Нульмерная группа гомологий произвольного
комплекса К по группе коэффициентов G изоморфна прямой
сумме нескольких экземпляров группы G, причем число этих
экземпляров равно числу компонент комплекса К-
Эта теорема непосредственно следует из теоремы 6 и предло¬
жения Е).
§ 6. Числа Бетти. Формула Эйлера — Пуанкаре
Так как группа гомологий Вг комплекса К является топологи¬
ческим инвариантом полиэдра \К\, то любой числовой инва¬
риант Вг оказывается инвариантом полиэдра |/С|. Особенно
большой интерес представляет, конечно, нахождение полной
системы числовых инвариантов групп гомологий. Задача по¬
строения полной системы числовых инвариантов будет разре¬
шена.здесь для группы гомологий В о по целочисленной группе
коэффициентов, а также для группы гомологий Brm по простому
модулю пг. Для группы В о полная система инвариантов состоит
из ее ранга — числа Бетти и ее коэффициентов кручения. Длй
группы Вт имеется , лишь один инвариант — число Бетти по
модулю т. Далее в эхом параграфе будет установлена формула
Эйлера — Пуанкаре, дающая два выражения эйлеровой харак?
теристики.комплекса: одуо через числа Бетти, т. е. инвариантное,
и другое через числа симплексов разных размерностей — не
инвариантное.
Напомним прежде.всего некоторые основные факты из теории
коммутативных групп, взятых в аддитивной записи.
А)	Говорят, что коммутативная группа А допускает конечную
систему образующих х\, х2, ..., xs,	если каждый элемент
хе/1 может быть записан в виде
Х — Х\Х\ -\~ ••• VvATj,
где X], Xs суть целые числа. Известно, что каждая факторн
группа и подгруппа группы с конечным числом образующих;
также додускает конечную систему образующих. Группа А, допу¬
скающая систему из одной образующей Х[, называется цикли-;
ческой. 5,сли из соотношения Хх\ = 0, где X — целое, следует А, = 0,

44
■ ГЛ. I. КОМПЛЕКСЫ И ИХ ГРУППЫ ГОМОЛОГИЙ
то образующую Х\ и самую группу А называют свободными или
имеющими порядок нуль. Если существует натуральное число к
такое, что Лх,=0 и Я. есть наименьшее удовлетворяющее этому
условию число, то говорят, что образующая х, и сама группа А
имеют конечный порядок к.
B)	Всякая коммутативная группа А с конечным числом
образующих распадается в прямую сумму циклических:
групп:
А\, ..., Аг; В\, ..., Bq,
где Ai — свободная циклическая группа, а В, имеет конечный
порядок тI, причем т; + , делится на т,-. Числа г, п,т, составляют
полную систему числовых инвариантов группы А. Число г назы¬
вается рангом группы А, а числа тц ..., т, — ее коэффициентами:
кручения. Заметим, что если все элементы группы А имеют про¬
стой порядок ш, то ранг ее равен нулю, а все коэффициенты
•кручения ть ..., тq равны ш; число q коэффициентов кручения
в этом случае называется рангом группы А по модулю m и вместе
с m составляет полную систему ее инвариантов.
C)	Если группа коэффициентов G есть циклическая группа:
с образующей g, то группа Lr, очевидно, допускает конечную
систему образующих gA\, ..., gArar, где А\, ..., А* есть совокуп¬
ность всех как-либо ориентированных r-мерных симплексов ком-
плекса К. В силу А) подгруппы Zr и Нг группы U также допускают
конечные системы образующих, а вместе с ними и факторгруппа
Br = ZT/Hr.
Определение 15. Пусть В 5 есть г-мерная группа Бетти
комплекса К по целочисленной группе коэффициентов. Ранг
группы В о называется r-мерным числом Бетти комплекса К
и обозначается через ра=рг. Коэффициенты крученця Т|, ..., тг
группы В о называются r-мерными коэффициентами кручения
комплекса К и обозначаются через тги	тrqr.
D)	Если за группу коэффициентов принять группу Gm вычетов
по простому модулю ш, то все элементы группы L'm также имеют
порядок пг. Вместе с группой Цп все элементы ее подгрупп
Z'm и а также факторгруппы Brm = Zrm/Hrm тоже имеют поря¬
док ш.
Определение 16. Пусть Вгп есть г-мерная группа Бетти
комплекса К по простому модулю т. Ранг группы В'т по модулю т
называется r-мерным числом Бетти комплекса К по модулю пг
и обозначается через prm.
Теорема 8. Нульмерное число Бетти р[)т произвольного
комплекса К по модулю т, где т — нуль или простое число,
равно числу р компонент комплекса К. Сверх того, нульмерная

§ 6. ЧИСЛА БЕТТИ. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА—ПУАНКАРЕ	45
группа Бетти Во комплекса К по целочисленной группе коэф¬
фициентов не имеет коэффициентов кручения.
Доказательство. В силу теоремы 7 группа В°т разле¬
тается в прямую сумму групп С|, Ср, каждая из которых изо¬
морфна группе Gm вычетов по модулю т. Если т = О, то все
группы С, свободны, т. е. Во не имеет коэффициентов кручения
и ранг ее равен р. Если т — просто число, то все группы С,«
имеют порядок т и ранг группы Вт по модулю т равен р.
Таким образом, теорема 8 доказана.
Эйлерова характеристика. Формула Эйлера — Пуанкаре.
Теорема 9. Пусть К есть п-мерный комплекс, аг— число
r-мерных симплексов комплекса К, рг — r-мерное число Бетти
комплекса К, a prm — r-мерное число Бетти комплекса К по
простому модулю пг. Тогда имеют место равенства
х=х(«Ю= S (-i)r«r= 2 (—1 Ург= 2 (-.1)74.
r = 0	r —0	r = 0
Число x называется эйлеровой характеристикой комплекса К.
Для доказательства теоремы 9 введем по-новому понятие
ранга группы и докажем одно его свойство.
Е)	Пусть А0 — произвольная коммутативная группа. Систему
jci, ..., xs ее элементов будем называть линейно независимой,
«если из соотношения XiXi + ...-j-X,xs = 0, где X, — целые числа,
следует X1 = ... = Xs = 0. Если группа А0 допускает конечную мак¬
симальную систему линейно независимых элементов Хь ..., хр,
то скажем, что группа Ао имеет конечный ранг р и обозначим
«его через ро(«4о). Если в группе Ао существует система из произ¬
вольно большого числа линейно независимых элементов,
то положим ро(«40)= °°. Без труда доказывается, что ранг группы
является ее инвариантом, т. е. не зависит от выбора максималь¬
ной системы.
Покажем, что для группы А0 с конечным числом образующих
определения В) и Е) дают одно и то же число.
Образующую циклической группы А обозначим через х„
а образующую циклической группы — через у, (см. В)).
Покажем, что х\, ..., хг образуют максимальную лииейно незави¬
симую систему. Допустим, что
Х|Х| А • •• ”Ь ХгХг — 0.	(1)
Так как A0 = At +... + Л, + В, +... + В,, то из (1) следует
Я,х, = 0, а ввиду того, что х, есть свободная образующая, полу¬
чаем Х,- = 0. Пусть теперь x = XiXi+ ... + Xrxr + piyi + ... + p,y,—
^произвольный элемент группы А; умножая его на Х=т,, получаем

46
ГЛ. I. КОМПЛЕКСЫ И ИХ ГРУППЫ гомология
%х — AXiX,— ...-^А.А.гхл = 0, Т; е. система х, xt, ..., Х( линейно зави¬
сима.
F)	Пусть Ат — группа, все элементы которой имеют простой
порядок т, a Gm— группа вычетов по модулю т. ТоТда:можно
определить операцию умножения произвольного элемента Я^Ом
на произвольный элемент хеЛт., Действительно, пусть
Р — некоторое число из класса вычетов А., тогда произведение
Рх, очевидно, не зависит от выбора Р из А,,, а зависит ^ищь от
самого класса А,, и мы полагаем Хх = $х. Систему xi, ..., xs эле¬
ментов. группы Ат будем называть линейно независимой' по
модулю т, если из соотношения A.,xi + ...4-A.sxs = 0, где Gm,
следует А., = ... = A.s = 0. Если в Ат имеется максимальная линейно
независимая по модулю т система элементов xj,..., х,„ то скажем,
что ранг группы Ат по модулю т равен р и обозначим его через,
рт{Ат). Если в Ат существуют независимые по модулю т системы
из произвольно большого числа элементов, то положим р,„(.Ат)=
= оо. Без труда доказывается, что так определенный ранг явля¬
ется инвариантом группы, т. е. не зависит от выбора максималь¬
ной системы. Покажем, что для группы А с конечной системой
образующих определения В) и F) приводят к одному и тому же
понятию ранга по модулю т.
Образующую циклической группы В/ обозначим через у,-
(см. В)). Допустим, что
А-1 г/1	кдуя = 0.	(2)
Так как
А =В] -)-... -\-Bq,
то из (2) следует A.;i/, = 0. Так как порядок образующей у,-
равен т, то отсюда kj — 0 (A.,eGm). Пусть далее у = р.\У\-\- ...
+ У-чУч — произвольный элемент группы А; тогда соотношение
у — р\У\— ••• —Р-чУч — 0 показывает, что система у, у{, .... yq
линейно зависима по модулю т.
Лемма. Пусть m — нуль или произвольное простое' число,
а Ат — группа, обладающая тем свойством, что для всякого
хеЛт имеем тх = 0. Это значит, что при шФ 0 все элементы
группы Ат имеют порядок пг, а при т = 0 группа Ат произвольна.
Пусть, далее, Вт — некоторая подгруппа группы А„, и Ст —
= Ат/Вт. Оказывается, что
Рш(Л ,,Е) = рщ(В “F рш(С,„).	(3)
Доказательство. Для того чтобы не рассматривать
отдельно случаев шфО и пг = 0, будем называть обычную
линейную зависимость (см. Е)) линейной зависимостью по
модулю нуль.

§ 6. ЧИСЛА БЕТТИ. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА-ПУАНКАРБ
47
Пусть
Уи У*	(4>
—	некоторая линейно независимая по модулю, от система эле¬
ментов группы Вт, а
zu ..., zt	(5)
—	некоторая линейно независимая по модулю т система эле¬
ментов группы Ст. Через х,- обозначим произвольный элемент
из Ат, принадлежащей	классу смежности zh и покажем,
что система
х\,	xt, уи	У*	(6)
линейно независима в Ат по модулю т.
Допустим, что
А,|Х| -|- ... + 'KiXtA- \х\У\••• “К |risi/s-=:0> kj^Gm, (г; sGm.	(7)
Переходя к факторгруппе, отсюда получаем
A.i2Ti —|— — —|— Xtzt — О,
а в силу линейной независимости системы (5) из этого следует
А| = ... = Х, = 0. Таким образом, соотношение (7) превращается в
(41 </1 + • •■ + (As(/s = О,
а отсюда в силу линейной независимости системы (4). вытекает
pi =... = ш = 0. Итак, сис-тема (6) линейно независима.
Из доказанного уже вытекает, что если рт{Вт)=оо, или
•рт(Ст)~ ор, то pm(.4m)= оо. Таким образом, в этом случае утвер¬
ждение леммы уже доказано. Допустим теперь, что рДВт)
и рm(Cm) конечны и будем считать, что системы (4) и (5) макси¬
мальны, Докажем, в этом предположении, что система (6)
также максимальна.
Пусть' х—произвольный элемент из А„„ и z—соответ¬
ствующий элемент из Ст (aez). В силу максимальности системы
(5) имеем
vz + viZi + - + v<z, = 0,	(8)
причём v^O, veG, v(-eG. Из (8) следует
vx+vtxi-\-... + vtxt=y^Bm.	(9)
В силу максимальности системы (4) отсюда следует
(Ч/ + (ii(/i + ••• + M/s =0,
(10)

48	гл. Г. КОМПЛЕКСЫ И ИХ ГРУППЫ ГОМОЛОГИЯ
яричем р=^0, цеСя, p/<=Gm. Из (9) и (10) получаем
pvx + pviXi + ... + pv/x(-)-pii/i + ... + psi/s = 0.	(11)
Здесь р\'т^0, так как в случае т = 0 р и v суть целые числа,
отличные от нуля, а в случае т^Орит суть вычеты по-простому
модулю т, отличные от нуля,— их произведение также отлично
от нуля по модулю т. Таким образом, (11) дает линейную
зависимость системы х, Х\,..., xt, yt,..., ys, и максимальность систе¬
мы (6) доказана.
Мы имеем
Pm(Am)z=t~|“У> Pm(B„;)^S, P/h(Gs)=/.
Таким образом, лемма доказана.
Доказательство теоремы 9. Пусть т—нуль или простое
число, Gm — группа вычетов по модулю т, и g—образующая
группы Gm (G0 — группа целых чисел). Пусть, далее,
А\,	..., Агаг—совокупность всех как-либо ориентированных
r-мерных симплексов комплекса К. За Образующие группы Lrm
можно принять gA(, ..., gAra'. Легко устанавливается, что система
эта линейно независима по модулю т. Максимальность ее сле¬
дует из того, что она составляет систему образующих. Таким
образом,
рт(Щ = аг.	(12)
В силу леммы имеем
pm(Lrm) = pm(Zrm)-\-pm(Lrn/Zrn), г = 0, 1	 п. (13)
При г>0 группы UmIZrm и Я'т 1 изоморфны .(см. § 4, D)).
Таким образом, соотношение (13) в этом случае получает вид
Pm(L'm) = pm(Zrm) + pm(Hrn~'), r= 1, ..., п.	(14)
Для г = 0 имеем Z% = L%, и потому
pm(T?„) = Pm(Z«).	(15)
Введя условно рт(Яй') = 0, соотношения (14) и (15) можно
вместе записать так:
аг = рт(2у + рт(ЯГ,г'),	(16)
где r = 0, 1, ..., п. В силу леммы и определений 15, 16 имеем
Pm(Zm) = Р т(Нт) + р m(Zm/Н'т)= Р т(Нгт) + рт(ВГт) = р тЩт) + Р т,
г = 0, 1, ..., п. (17)

$ 6. ЧИСЛА БЕТТИ. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА—ПУАНКАРЕ
49
Так как по самому определению Н„={0), то соотношения (16)
и (17) вместе дают
®r = Pm_bPm(^m ')“bpmiflm), Г — 0, 1, П.
Умножая полученное соотношение на (— 1)с и суммируя по г,
получаем
2 ( l)rar= 2 (-1 )ут.
г=0	г=0
Таким образом, теорему 9 доказана.

Г Л А В А II
ИНВАРИАНТНОСТЬ ГРУПП гомологий
Настоящая глава посвящается доказательству тою факта,
что если полиэдры |/(1 и \L\ гомеоморфны, то порожда¬
ющие их комплексы К и L имеют изоморфные группы гомологий
любой размерности, так что создается возможность говорить
о группах гомологий самих полиэдров. Доказательство этого
факта не просто и требует создания сложного аппарата, кото¬
рый сам по себе представляет большой интерес и применяет¬
ся не только для доказательства инвариантности, но также
для изучения непрерывных отображений одного полиэдра
в другой.
Наиболее интересная часть развиваемого здесь аппарата
заключается в построении так называемых симплициальных
аппроксимаций. Если ср'есть непрерывное отображение полиэдра
Ш в полиэдр |L |, то отображение ср заменяется так называемым
симплициальным, которое уже вполне обозримо с комбинаторной
точки зрения и порождает алгебраические связи между ком¬
плексами /Си L. Оказывается, однако, что для возможности
симплициальной аппроксимации необходимо, чтобы симплексы
комплекса К были достаточно мелкими, и потому приходится
подвергать комплекс К подразделению. Комплекс К* называется
подразделением комплекса /С, если |/С*| = |/С| и если каждый
симплекс комплекса К* содержится в некотором симплексе
комплекса К. Таково общее понятие подразделения, но именно
ввиду его общности им неудобно пользоваться. Здесь будут
использованы специальные так называемые барицентрические
подразделения. Связь между комплексом К и его барицентри¬
ческим подразделением К' все же остается довольно громоздкой,
так что доказательство изоморфности групп гомологий комплек¬
сов К и К' сложно и составляет наиболее неприятную часть
доказательства инвариантности групп гомологий. Взаимо¬
действие метода симплициальных аппроксимаций и операции
барицентрического подразделения приводит нас к доказатель¬
ству инвариантности групп гомологий.

§ 7. СИМЛЛИЦИАЛЬНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ 51
§ 7. Симплициальные отображения
и аппроксимации
В настоящем параграфе определяется понятие симплициаль-
ного отображения комплекса К в комплекс L; выясняется поведе¬
ние цепей, циклов и гомологий при переходе от К к L при симпли-
циальном отображении и доказывается, что непрерывное
отображение ф полиэдра I/С| в полиэдр \L\ может быть аппрок¬
симировано симплициальным отображением, если только
выполнены некоторые ограничения в отношении исходного непре¬
рывного отображения ф.
Симплициальное отображение. А) Пусть Аг = (а.о, а\,..., аг) —•
симплекс из Rn, a Bs = {b0, b\,bs) — симплекс из Rn. Допустим,
что задано отображение f, ставящее в соответствие каждой
вершине а* некоторую вершину bj (отображение } не обязано,
быть взаимно однозначным). Поставим теперь в соответствие
каждой точке
х = У* ао У a i ■—[—... -\-'Xrctr *= Аг	(1)
точку f(x)<=Rn, положив
/(х) = Я°/(а0) + Xlf(a.]) -(-... -j- %rf[ar).	(2)
Полученное так отображение, очевидно, совпадает с исходным
на вершинах ар, оно является непрерывным отображением сим¬
плекса Аг в симплекс Bs и называется симплициальным отобра-'
жением Аг в Bs. Оказывается, что множество f(Ar) составляет
некоторую грань Dk симплекса Bs, причем симплекс Dk на¬
тянут на те вершины bj, которые могут.-быть представлены
в форме f(ai). Далее, если g есть симплициальное отображение
Bs в симплекс С' = (с0, с	Ci), то gf есть симплициальное ото-.
бражение Аг в С1. Ввиду того, что при отображении f некоторые-
различные вершины симплекса Аг могут переходить в одну
и ту же вершину симплекса Bs, в правой части равенства (2)‘
возможно приведение подобных членов относительно вершин
bj, и равенство (2) может быть переписано в виде
/'(x) = p06o+p1^i-l-... + ps6s.	(3)
Здесь каждое представляет собой сумму тех Я‘, для которых
f(a,) = bj. Так как для У выполнены условия (2) и (3) овределе-
"ния 4, то они выполнены и для р'; таким образом, f(x)^.Bs.
Из (3) также следует, что f(Ar) равно Dk. Непрерывность отобра¬
жения f на Аг следует из В) § 2. Симплициальность отобра;
жения gf следует нз того, что в силу формул (2) и (3) отобра¬

52;	ГЛ, II. ИНВАРИАНТНОСТЬ ГРУПП ГОМОЛОГИЙ
жение gf задается формулой
g(f(x))^°g(f(ao)) + :. + yg(f(ar)).
Поясним изложенное простым примером.
Пусть л = 3, s = 2; положим
f(ao) = f{a2) = b0, f(at) = f(a3) = b,.
Тогда мы имеем /(д:) = (Х° + Х2)60+(^1+^3)^ь р° = Я,° + Х2,
ц.| = Х,‘+Л.3. Здесь k — \ и D'=(b0, bt).
Определение 17. Пусть К и L — два комплекса,
a f — непрерывное отображение полиэдра 1 /СI в полиэдр |L|.
£сли для каждого симплекса Л из К отображение f является
симплициальным отображением симплекса А в некоторый сим¬
плекс В из L (см. А)), то f будем называть симплициальным
отображением комплекса К в комплекс L.
Очевидно, что последовательное проведение двух симпли-
циальных отображений вновь дает симплициальное отображение
(см. А)).
Из определения 17 следует:
1. Если а0, а\, ..., а, суть вершины некоторого симплекса ком¬
плекса К, то f(a0), /(di), ..., f(ar) являются вершинами некоторого
симплекса комплекса L.
Ниже будет показано (см. В)), что если отображение f,
заданное лишь в вершинах комплекса К, удовлетворяет усло¬
вию 1, то его можно распространить, и притом только одним
способом, в симплициальное отображение всего комплекса К
в комплекс L. Это приводит нас к следующему определению.
Определение 18. Отображение f, ставящее в соответ¬
ствие каждой вершине комплекса К некоторую вершину ком¬
плекса L так, что при этом выполнено условие 1, называется
симплициальным отображением вершин комплекса К в вершины
комплекса L или же симплициальным отображением абстракт¬
ного комплекса в абстрактный комплекс 2 (здесь ^ и А суть
абстрактные комплексы, соответствующие геометрическим ком¬
плексам К и L).
Если при отображении f хотя бы две различные вершины
симплекса А сливаются, то мы будем говорить, что симплекс А
вырождается при отображении f.
В)	Пусть К и L — два геометрических комплекса, а { — сим-
нлициальное отображение вершин комплекса К в вершины
комплекса L (определение 18). Тогда отображение { может
быть одним и только одним способом распространено на весь
полиэдр IAI так, что полученное отображение g является симпли-

§ 7. СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ
53
циальным отображением комплекса К в комплекс L (см. опре¬
деление 17).
Пусть а0, «I, ..., ак — вершины комплекса К, Й — абстрактный
комплекс, соответствующий К, и N — естественная реализация
комплекса Й в симплексе Ек = (е0, е,, ..., ек) (см. § 2, F)). Будем
считать, что а, и е, соответствуют одной и той же вершине
комплекса Й. Положим
х =	о,\ —]—... —1—	(4)
Соотношение это ставит в соответствие каждой точке
точку хе|А1, причем получаемое так отображение %->-х поли¬
эдра |Л71 на полиэдр |/(| взаимно однозначно и взаимно непре¬
рывно (см. § 2, F)). Положим
*(х) = ^(оо) + ^(а,) + ... + ^(аД	(5)
Соотношение это дает непрерывное отображение k->-g(x) поли¬
эдра |Л71 в полиэдр |L|. Таким образом, соотношения (4) и (5),
вместе взятые, дают непрерывное отображение g полиэдра IAI
в полиэдр \L\. Очевидно, что g(cti)—f(cti). Далее, если Ar^=(ah,
,nfi, ..., air) есть произвольный симплекс из К, то g дает симпли-
■циальное отображение Ат в некоторый симплекс BS^L. Таким
.образом, найдено симплициальаое отображение g комплекса К
в комплекс L, совпадающее с f на вершинах. Единственность g
очевидна, так как, совпадая с / на всех вершинах некоторого
симплекса Аг, отображение g по самому своему определению
(см. А)) может быть распространено на весь симплекс Аг лишь
одним вполне определенным способом (см. (2)).
Итак, утверждение В) доказано.
Теорема аппроксимации. Перейдем теперь к доказательству
возможности симплициальной аппроксимации непрерывных ото¬
бражений. Для этого введем вспомогательное понятие — звезду
комплекса.
С)	Совокупность всех внутренних точек произвольного сим^-
плекса (см. § 2, А)) комплекса К будем называть открытым
симплексом комплекса К■ Нетрудно видеть, что каждая точка
полиэдра IAI принадлежит одному и только одному открытому
симплексу комплекса К- Теоретико-множественную сумму всех
открытых симплексов комплекса К, имеющих среди своих вершин
вершину а комплекса К, будем называть звездой вершины а
в комплексе К и обозначать через S(a), S(a)cz |/СI. Оказывается,
что каждая звезда S(a) комплекса К является областью в поли¬
эдре | /С1. Докажем это.
Положим F= | AI\S(a) и покажем, что F— | А*1, где К* — не-*
Который подкомплекс комплекса /(. Этим:самым утверждение

54
ГЛ. II. ИНВАРИАНТНОСТЬ ГРУПП гомологий
наше будет доказано, так как каждый полиэдр компактен,
а потому и замкнут. В К* зачислим все симплексы из К, не име¬
ющие среди своих вершин вершины а, и покажем, что |/(*!=/•’.
По построению F есть теоретико-множественная сумма всех
открытых симплексов комплекса К, не имеющих среди своих
вершин вершины а; но если А есть открытый симплекс, не име¬
ющий среди своих вершин вершины а, то и все его грани также
не имеют вершины а, т. е. A cf. Таким образом, F есть теоретико¬
множественная сумма всех замкнутых симплексов из К, не име¬
ющих а среди своих вершин, и мы видим, что F=|/(*|.
Теорема 10. Пусть ср — непрерывное отображение ком¬
плекса К в комплекс L, обладающее тем свойством, что для вся¬
кой звезды S(a) комплекса К найдется хотя бы одна звезда S(b)
комплекса L, удовлетворяющая условию ср(S(a))czS(b). Поставим
теперь в соответствие каждой вершине а комплекса К такую
■вершину f(a) комплекса L, что ip(S(fl))cS(f(fl)). Оказывается,
что отображение f является симплициальным отображением
вершин комплекса К в вершины комплекса L, и потому его можно
распространить в симплициальное отображение f всего ком¬
плекса К в комплекс L. Мы будем говорить, что f является
симплициальной аппроксимацией отображения ср или что ср допу»
скает симплициальную аппроксимацию f. Оказывается, далее,
что если х^\К\, D^L, ip(x)eD, то /(.ijeD.
Доказательство. Пусть х — произвольная точка
из |/(| и А — тот открытый симплекс комплекса К, который
содержит х; через В обозначим тот открытый симплекс комплек¬
са L, который содержит, точку ср(х). Вершины симплекса А
обозначим через а о, a i, ..., аг и покажем, что /(а,) есть вершина
симплекса В.
Мы имеем .te/lсS(a,), и, следовательно,
так как, сверх того, ср(х)еВ, то открытый симплекс В принадле¬
жит звезде S(f(ai)), а это значит, что /(а,) есть одна из вершин
Симплекса В.
Так как х — произвольная точка из | /С|, то А — произвольный
открытый симплекс комплекса К, и нами доказано, таким обра¬
зом, что вершины одного симплекса из F при отображении f пере¬
ходят в вершины одного симплекса из L, т. е. отображение f
симплициально.
Так как / есть симплициальное отображение, то /(Л) = СсВ,
причем С есть грань симплекса В. Пусть теперь D — произволь¬
ный симплекс из L, содержащий точку ср(х), а Т — комплекс,
составленный из всех граней симплекса D, включая и D. Так как

§ 7. СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ
55
ф(х) может входить лишь в один открытый симплекс комплекса L
и этот симплекс есть В, то Be Г, и, следовательно, В есть грань
симплекса D, а потому ц С есть грань симплекса D; таким
образом,
f(x)^f(A)=C^D.
Итак, теорема 10 полностью доказана.
Отметим, что симплициальная аппроксимация f непрерывного
отображения ф определена в теореме 10 не однозначно, ибо для
звезды S(a) может найтись несколько звезд S(b), удовлетво¬
ряющих условию ф(S(a))cS(i). Всюду в дальнейшем построениях
мы будем выбирать одну из возможных аппроксимаций.
D)	Пусть К, L и М — комплексы, ф — непрерывное отобра¬
жение комплекса К в комплекс L, а ф — непрерывное отображе¬
ние комплекса L в комплекс М. Если f есть симплициальная
аппроксимация отображения ф, а g— симплициальная ап¬
проксимация отображения ф, то оказывается, что gf есть сим¬
плициальная аппроксимация отображения фф.
Пусть а—произвольная вершина, комплекса К; тогда мы
имеем ф(S(fl))cS(f(a)) и, следовательно,
#P(S(a)))<= ^(S(f(a))) с S(g(f(a))),
а это и значит, что gf есть симплициальная аппроксимация
отображения фф.
Алгебра симплициального отображения. Нижеследующее
одинаково применимо как к абстрактным, так и -.к геометри¬
ческим ко-мплексам, и мы не будем делать между ними различия.
E)	Пусть f — симплициальное отображение комплекса К
в комплекс L, и Ar = e(ao, сц, ..., аг)— некоторый ориентирован-,
ный симплекс из К. Если симплекс А' не вырождается при отобра¬
жении f, т. е. все его вершины переходят в различные вершины
комплекса L, f(af) = bi, то положим
/(Д')=е(&0, blt ..., br) = Br.	(6)
Если симплекс Аг вырождается при отображении f, то положим
f(Ar) = 0.	(7)
Пусть, далее, x = g\A\-\-... -\-gaAa,— произвольная г-мерная
Цепь комплекса К по группе коэффициентов G; тогда положим
fa)=gif№+... + gJ(A'a').	(8)
Этим самым каждой цепи х из К по группе G поставлена в
соответствие цепь f(x) той же размерности из L по той же груп¬
пе G. Таким' образом, симплициальному отображению f постав¬
лено в соответствие отображение / цепей.

56
ГЛ. II. ИНВАРИАНТНОСТЬ ГРУПП гомология
Очевидно, что
f(x+y) = f(x) + f(y).
(9)
Далее, оказывается, что выполнено следующее важное соотно¬
шение:
Соотношение (10) достаточно доказать лишь для случая,
когда х=Аг, т. е. для случая простейшей целочисленной цепи.
Допустим, что симплекс Аг не вырождается; тогда из (6)
следует Af(Ar) = 2 е( — 1)‘ (Ьо, .... Ь/-ь bi+i, ..., br). Далее, Л А' —
<=о
то и все его грани не вырождаются. Из последнего соотношения
получаем
Пусть теперь А' вырождается при отображении /, но так, что
размерность его снижается лишь на единицу, т. е. сливаются
лишь две различные его вершины. Так как порядок вершин сим¬
плекса несуществен, то мы можем считать, что сливаются а0 и ai,
т. е. f(a0) = f(at) = b, в то время как все вершины f(a,-) = &,■,
« = 2, ..., г, различны и не совпадают с b. jflo самому определе¬
нию (см. (7)) f(Ar) = 0 и, следовательно, Af(Ar) =0. Таким обра¬
зом, достаточно доказать, что /(ДЛГ)=0. Мы имеем ДЛГ =
Г
= 2 е(— 1)г («о, •••, а,-1, ai+1, ..., а,). Из стоящих в правой части
последнего равенства только два симплекса (аь а2, .... а,) и
(а0, а2, .., аг) не вырождаются при отображении f, все же
остальные вырождаются, так как одновременно содержат верши¬
ны а0 и а|. Таким образом,
Если теперь симплекс Аг вырождается и притом так, что раз¬
мерность его падает больше чем, на одну единицу, то все его
(г— 1)-мерные грани при отображении f также вырождаются.
В силу (7) мы имеем
Af(x) = f(Ax).
(10)
ЯЛЛГ)= 2 е(- 1/ (Ьо, ..., ь,-1, Ь1+и ..., Ьг).
\аАг) = &(Ь, Ь2, ..., Ьг) — е(Ь, Ь2, ..., 6Г) = 0.
ЯДЛг) = 0 и Д/(Лг) = 0.
Итак, соотношение 10 полностью доказано.

$ 7. СИМПЛИЦЙАЛЬНЫЕ О.ТОБРАЖЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ 57
F)	Пусть f — симплициальное отображение комплекса К
в комплекс L. Если z — цикл из К, то f(z) — ццкл из L. Если
Z,~z2, TO ?(z,)~f(z2). Иначе: ](Zr(K))<=Zr(L),- f{Hr(K)\<=Hr(L).
Действительно, из z\z = 0 в силу (10)' следует z\/(z) = /(z\z) = 0.
Если z\ —z2 = Ах, то из (9) и (10) следует
?(zi) — ?(Z2) = ?(Ах) = Af(x).
.Таким образом, предложение .F) доказано.
Изложенное приводит нас к следующему основному опре¬
делению.
Определение 19. Пусть { — симплициальное отображе¬
ние комплекса К в комплекс L, а В'(К) и B'(L) суть г-мерные
группы Бетти комплексов /Си L по некоторой группе коэффици¬
ентов. Если z* — некоторый элемент группы Br(K), az — произ¬
вольный цикл из класса гомологий z*, то положим
/(z*) = (?(z))*,	(11)
где (f(z))* означает тот класс гомологий из Br{L), к которому
принадлежит цикл J(z). Ниже будет показано, что соотношение
(11) однозначно определяет операцию f применительно к эле¬
ментам z* группы ВГ(К). Оказывается, далее, что определенное
так отображение f группы В'(К) в группу Br(L) есть гомоморфизм.
О нем мы будем говорить, что он соответствует исходному сим-
плициальному отображению f. Для доказательства однознач¬
ности операции f выберем из класса гомологий z* два цикла
Zi и z2. Мы имеем zi~z2, и, следовательно, /(zj)~/(z2) (см. F)),
Таким образом, (f(z,))* = (f(zt))*, и однозначность f доказана.
Для доказательства того, что f есть гомоморфизм, возьмем
два произвольных класса гомологий «*^и и* из ВГ(К) и положим
u*-\-v* = w*. Если теперь и и v — циклы соответственно из и*
и о*, то ®=u-|-iie®’.
Мы имеем
f (W*) = (f(w))* = (f(u + a))* = (f(u) +f(v))*.
Последний член этого равенства представляет собой класс гомо¬
логий, содержащий сумму )(«) + f(v); но, по определению сложе¬
ния в факторгруппе, класс, содержащий сумму, равен сумме
соответствующих классов, т. е.
(?(«)+?(&))*=(?(«))*+(kv))*=f («*)+f (v*)-
Таким образом, f (w*) = f (u*) + f (v*).
V
Итак, f есть гомоморфизм.
G)	Пусть К, L, M — три комплекса, f — симплициальное
отображение комплекса К в комплекс L, a g — симплициальное

58	гл. II. ИНВАРИАНТНОСТЬ ГРУПП гомологий
отображение комплекса L в комплекс М. Отображение h = gf
является симплициальным отображением комплекса К в ком¬
плекс М. Оказывается, что
h = gj
(12)
h=gf
(13)
Соотношение (12) достаточно доказать лишь для ориенти¬
рованного симплекса Аг комплекса К. Если отображение h не
вырождается на Аг, то отображение f не вырождается на А'
и одновременно g• не вырождается на f(Ar); тогда ясно, что
h(Ar) =?g(f(Ar)), и соотношение (12) в этом случае выполнено.
Если отображение h .вырождается на Аг, то должно быть выпол¬
нено по меньшей мере одно из условий: а) отображение f вы¬
рождается на Аг, Ь) отображение g вырождается на f(Ar). В этом
случае h(Ar\= 0, но если выполнено условие а), то f(/T) = 0,
и поэтому g([(Ar)) = 0, если же выполнено условие Ь), то g(f(Ar)) =
= 0.. Итак, соотношение (12) справедливо.
Докажем теперь соотношение (13) на основании соотношения
(12). Пусть г*еВ'(К) иг — произвольный цикл из г*. Мы имеем
h (2*) = (h{z))* = (g(f(z)))* = g((f(z))*) = g(f\z*)).
§ 8. Коническая конструкция
Для построения барицентрического подразделения комплекса
я воспользуюсь конической конструкцией, которая нередко
употребляется в комбинаторной топологии. Она найдет себе
применение также в главе III.
Конус. А) Пусть Rn — евклидово пространство, F — неко¬
торое множество его точек, их — точка из Rn Будем говорить,
что х находится в общем положении к F, если х не принадлежит ^
и если при любых двух различных точках х и у из F отрезки (х, х)
и (х, у) имеют лишь одну общую точку х (см. § 1, F)).
Если х находится в общем положении к F, то множество всех
точек, принадлежащих отрезкам вида (х, х), где xef, называ¬
ется конусом с вершиной х и основанием F; оно обозначается
через х(Е). Очевидно, что если х находится в общем положении
к В и GcF, то x(G)(")F=G.
Легко проверяется, что если множество F' гомеоморфно
Вих' находится в общем положении к F', то конусы х(Е) и n'^F')
гомеоморфны. Этим мы, впрочем, пользоваться не будем.
Простой пример возможности построения конуса дает
выпуклое тело (см. § 1. G)) Пусть W — выпуклое тело", ‘U —

§ 8. КОНИЧЕСКАЯ КОНСТРУКЦИЯ
59
множество его внутренних точек, V — его граница, а х—произ¬
вольная точка из U. Из предложения G) § 1 непосредственно
следует, что точка х находится в общем положении к V и что
W=k{V).	(1)
Нужный для дальнейшего пример возможности построения
конуса дает симплекс.
В)	Пусть Аг = (а0, аи ..., аг) есть /--мерный симплекс //-мерного
евклидова пространства Rn (см. определение 4). Множество
всех внутренних точек симплекса Аг обозначим через Gr, а гра¬
ницу симплекса Аг—через F'~' (см. § 1, А)). Оказывается,
что Аг является выпуклым множеством; далее, если xeG', то х
находится в общем положении к Fr~1 н Аг = х (Fr~l).
Пусть Х0По -|-	-|- ... hr@r, ь = [Л°По "I" ••• "I"
две различные точки из Аг. Пусть далее х ■— произвольная точка
отрезка (a, b), х = аа-\-$Ь, а+ (5=1, а^О, (5^0; тогда
х=v°a0+v1 а 1 + ... + vrar,
где
v‘ = aA/-l-Рр!, г = 0, 1, ..., г.	(2)
Непосредственно проверяется, что v° + v1	...-}-vr= 1, v‘^0,
< = 0, 1, ..., г. Таким образом, теЛ', и барицентрические коорди¬
наты точки ie(a, b) выражаются через барицентрические ко¬
ординаты точек а и b по формуле (2), а это значит, что свойство
точки х принадлежать отрезку (а, Ь) формулируется в терминах
барицентрической системы координат и потому является внутрен¬
ним свойством симплекса. Таким образом, соотношение
y.(Fr~')=Ar достаточно доказать для одного какого-либо
/•-мерного симплекса. Так как в r-мерном евклидовом простран¬
стве существует /"-мерный симплекс, то нам достаточно рассмо¬
треть случай п = г.
Покажем, что если ArczRr, то Ar=W является выпуклым
телом, причем Fr~l составляет границу V тела W, а Gr — мно¬
жество U его внутренних точек. В силу сделанного выше заме¬
чания (см. (1)), утверждение В) этим самым будет полностью
доказано.
Пусть еи ..., ег — некоторый базис пространства Rr. Положим
а,- — а\еi + ... + а(ег, / = 0, 1, ..., г; x=x‘ei -f-...-\-х'ег. Если теЛ'
И.1°, X1,	V — барицентрические координаты точки х, то мы
имеем
Xr = 1,
f- ... -\-Xral = x',	/—1, ...,
г.
(3)
(4)

60
ГЛ. П. ИНВАРИАНТНОСТЬ ГРУПП гомологии
Совокупная система соотношений (3) и (4) ставит в соответ¬
ствие каждой системе чисел (А.п, А,1,	X') —А, удовлетворяющих
соотношению (3), систему чисел (а1,	xr) = x = tf{X). Наоборот,
если в соотношениях (3), (4) систему чисел X рассматривать
как неизвестную, а систему х — как произвольно заданную, то мы
имеем систему уравнений с матрицей, равной транспонированной
матрице N(a0, сц, ..., аг) (см. § 1, В)). Так как точки а0, а,, аг
независимы, то последняя матрица имеет не обращающийся
в нуль детерминант (см.§ 1, В)). Поэтому система (3), (4) разре¬
шима относительно х, и мы можем положить А = ф_1(х). Если
reGr, то в силу самого определения (см. § 2, А)) все числа
системы ф~'(а) положительны. Так как соответствие ф_| непре¬
рывно, то существует настолько малое положительное е, что при
р(х, у)<г все числа системы ф— 1 (t/) положительны, и потому
г/eG'cH?. Отсюда следует, что G'czU. Пусть теперь
тогда одно из чисел системы ф_|(х) = А равно нулю. Для опре¬
деленности предположим, что А° = 0. Если теперь б — произволь¬
ное малое положительное число, то положим р° = —б, р1 = А' + 6,
р2 = X2, ..., рг = А/. Полученная так система чисел р удовлетво¬
ряет условию (3) , но точка у = ф(р) уже не принадлежит Ar= W.
Ввиду произвольноймалости б, р(х, у) произвольно мало, и потому
дгеЕ, т. е. Fr~'czV Из этого и из GrczU следует Fr~l = V
и Gr=U.
Таким образом, предложение В) доказано.
Следующий нужный для дальнейшего пример построения
конуса дает предложение:
С)	Пусть Аг=(а0, щ, .., а,)— симплекс евклидова простран¬
ства Rn. Оказывется, что точка ие/!“ тогда и только тогда нахо¬
дится в общем положении к множеству Аг, когда система
х, а0, а], ..., аг независима (см. § 1, А)) и, следовательно, суще¬
ствует симплекс Вг+1 = (х, а0, а\, ..., аг). В случае независимости
точек.х, ав, а,, ..., аг мы имеем ■к{Аг) = Вг+х
Докажем предложение С).
Допустим, что в Аг имеются две различные точки х\ и *2
такие, что отрезки (х, х{) и (х, xF) пересекаются в точке у, отлич¬
ной от х. Барицентрические координаты точки х/, /= 1, 2, обозна¬
чим через X], ..., А,/; мы имеем
у = а,х+ Р,А"а0 +... + Р,А.(а„	а;^1.	(5)
Вычитая соотношение (5) при / = 1 из того же соотношения при
/ = 2, получаем
(«2 — ai)x-f-(|l2A,2 — piAi)a0-f-... -f-(p2A.2— Pi А. I )ar = 0.	(6)

§ 8. КОНИЧЕСКАЯ КОНСТРУКЦИЯ
61
г
jVlbi имеем а2 — oti+ 2 (РгА-а — р|?ч) = 0, причем не все ко-
1 = 0
эффициенты соотношения (6) равны нулю. Действительно, если
допустить, что а2 —«1=0, то обращение в нуль остальных
коэффициентов означало бы совпадение точек х и х2. Таким
Образом, точки х, а0, ..., аг линейно зависимы.
Допустим теперь, что х находится в общем положении к А'\
■^огда по доказанному точки х, а0, ..., а, независимы. Покажем,
что множества х(ЛЛ) и Вг+' совпадают. Пусть х — произвольная
точка из Аг,с барицентрическими координатами А,0, ..., А/ Тогда
точка уе(х, х) записывается в форме
(/=ах-|-рХ°а0+... + р?/аг;
таким образом, y^Br+l. Пусть теперь
2 = рх—|- р°а0+... -f- рЛаЛ
— произвольная точка из Вг+|. Исключая очевидный случай
2 = х, мы можем считать, что р=£1. Положим
« = р, р=1-р,	(7)
тогда z записывается в форме
2 = ах -|- р А°а0 +... + рА! а,.
Таким образом, гех(/4'). Итак,МАг) = Вг+\
Допустим теперь, что точки х, ап	 а, зависимы:
vx +v°ao + ...-}-vrar = 0, v + vu + ...+vr = 0, v=^0.	(8)
Так как соотношение это не нарушается от умножения на
произвольное число, то можно считать его коэффициенты произ¬
вольно малыми. Пусть далее х\ — произвольная внутренняя
точка из Аг с барицентрическими координатами А,?, ..., Х\. По¬
ложим
*/ = «1 х —|-р!А.?а0Ч-•• “bPiMflr, ai=7fel.	(9)
Здесь все коэффициенты положительны, поэтому, прибавляя
К соотношению (9) соотношение (8), взятое с достаточно малыми
Коэффициентами, получаем
*/ —(«i + v)x-f-(PiA,® -f- vu)ao-f-... ~I- (pi	p/)аЛ,
Гдевсе коэффициенты также положительны. Положим, как в (7),.
a2 = a1+v,	р2=1—a2,

62.
гл. ii. инвариантность групп гомологии
Мы имеет тогда
У — <Х2'Л-*х_ р2^2ЯоЧ" ••• -f" р2^2Яг*
Точку с барицентрическими координатами к2, к2 обозначим
через х2 и покажем, что х\ Фх2. Допустим, что хх—х2—х;
тогда у — aix-f- piX = ajx-f- fi2x, а так как а\ фа2 = ах-{-\, то мы
получаем два различных представления точки у отрезка (х, х),
что невозможно, так как (х, х) есть одномерный симплекс,
а а и р — барицентрические координаты в нем.
Таким образом, предложение С) доказано.
D)	Пусть К — комплекс, расположенный в евклидовом
пространстве Rn, ах — точка из Яп, находящаяся в общем
положении к полиэдру |К|. Поскольку х находится в общем
положении к \К\, она находится в общем положения и .к любо¬
му симплексу А<=К\ таким образом, существует в Rn сим¬
плекс х(Л) (см. С)). Оказывается,’ что совокупность всех-сим¬
плексов вида х (Л), ЛеК, вместе с их гранями составляет
комплекс, который мы будем обозначать через х (К); кроме
того, |х (/QI =х (|/С|). Для получения комплекса х (К) ко всем
симплексам вида х(Л), ЛеК, очевидно, нужно присоединить все
симплексы самого комплекса К и вершину (х).
,• Для доказательства того, что все симплексы совокупности
х (К) расположены правильно, заметим прежде всего, что если
Р и Q суть два правильно расположенных симплекса, то, взяв
по одной грани из каждого, мы также получим два правильно
расположенных симплекса. Таким образом, нам достаточно
показать, что два симплекса вида х (Л) и х (В), ЛеК, Be К,
расположены правильно. Если Л и В не пересекаются, то пере¬
сечение х(Л) и х (В) содержит лишь точку х, т. е. их совместную
вершину. Пусть теперь Л f|B = С; тогда С есть совместная грань
симплексов Л и В и очевидно, что х(Л)Пх (В) = х (С).
При любом симплексе Л е К мы имеем Лс|К1 и потому
х (Л)сгх (1/С|), а это значит, что |х (К)I czx (| КI). Докажем обрат¬
ное включение. Пусть jiex(|KD; тогда существует точка
те |К| такая, что уе(х, х); но в К существует симплекс Л, со¬
держащий точку х, и потому уех(Л). Таким образом,
х (| К 0 сг 1 х (К) i.
Итак, утверждение D) доказано.
Алгебра конуса. Е) Пусть К — комплекс, расположенный'
в евклидовом пространстве Rn, и х — точка, находящаяся в
общем положении к полиэдру |К|. Если Аг = е(а0, аь ..., аг) —
ориентированный симплекс комплекса К, то через х (Лг) обозна¬
чим ориентированный, симплекс е(х, а0, ах, ..., аг) комплекса
х(К) (см. D)). Если xr = gxA\-{-~-JrgkArk — произвольная

§ 8. КОНИЧЕСКАЯ КОНСТРУКЦИЯ
63
/•-мерная цепь нз К, то положим
K(xr) = gix(Ari) + ... + gkn(Ark).	(10)
Таким образом, х (хг) есть (r-f 1)-мерная цепь из х(/() по той же
группе коэффициентов, что и хг. Оказывается, что
Ах (хг)=хг — х (Ax') при г>0 и Лх (х°) = х°—1(х°) (х),	(11)
где 1{х°) есть индекс цепи х° (см. § 5, D)).
Для хг = А[ соотношение (11) устанавливается непосред¬
ственно, а на произвольную цепь хг оно распространяется
путем умножения на коэффициенты g; и суммирования.
Используем приведенные здесь конструкции для доказатель¬
ства одного простого предложения.
Теорема 11. Пусть Аг — симплекс размерности г. Через
S'-1 обозначим комплекс, составленный, из всех истинных
граней симплекса Аг, а через ТГ обозначим комплекс, составлен¬
ный из всех граней симплекса Ат, включая и АГ. Оказывается,
что в комплексе V каждый цикл zs размерности s> 0 гомоло¬
гичен нулю. В Sr_1 каждый цикл zs размерности s, 0<s<r— l,
гомологичен нулю; каждый цикл zr~1 размерности г — 1 > 0 пред¬
ставим в форме zr~l = gA(Ar), где g — некоторый элемент из
положенной в основу группы коэффициентов, а Аг означает
ориентированный симплекс.
Доказательство. Без ограничения общности мы
можем считать, что симплекс Аг—(ап, аь ..., аГ) лежит в простран¬
стве Rn, причем существует точка х такая, что система х, а0, ..., аг
независима. Определим симплициальное отображение / ком¬
плекса х(Г') в Т, положив /(х)=а0, /(££,) = /=0, 1, ..., г. Пусть.
zs— произвольный цикл из Т размерности s>0. Положим v =
= x(zs); тогда Av = f‘ (см. (11)). Таким образом, zs~0 в х(Г').
В силу самого построения J(zs) =zs. Мы имеем zs=f (2s) =Af(v) =
= Аи, причем и есть цепь из Тг; следовательно zs~0 в Тг.
Пусть теперь zs—-произвольный цикл из Sr~l. Тогда zs=
= Аи, где и есть цепь из Тг. При s<r—1 цепь и принадлежит
Sr~\ так как все симплексы комплекса Тг размерности меньше г
принадлежат Sr~‘, и, следовательно, zs~0 в Sr_l. В случае
s = r— 1 существует в Тг лишь один симплекс А' размерности г,
и если обозначить через Аг какую-либо его ориентацию, то мы
ик!еем u=gAr\ таким образом, zr+t=gAA'
Итак, теорема 11 доказана.
К теореме 11 следует добавить, что нульмерные гомологии
в комплексах V и Sr~‘ выясняются на основе § 5. Следует только
заметить, что Тг всегда связен, a S'-1 связен, за исключе¬
нием случая г—1=0, когда Sr~l состоит из двух точек.

64
гл. и. ИНВАРИАНТНОСТЬ групп гомологий
§ 9. Барицентрическое подразделение комплекса
В настоящем параграфе на основе конструкции конуса
(см. § 8, А)) будет даиа конструкция барицентрического под¬
разделения К' комплекса К. Задача, преследуемая операцией
барицентрического подразделения, заключается в том, чтобы
полиэдр | /С|, заданный первоначально при помощи комплекса К,
представить при помощи комплекса К',	|/С'1 = 1К1, причем
симплексы комплекса К' мельче симплексов комплекса К. Важно
при этом, чтобы переход от комплекса К к комплексу К' был по
возможности прост и позволял установить связь между гомо¬
логиями в К а К'.
- Геометрический смысл операции барицентрического подраз¬
деления весьма прост. Центром симплекса Аг будем называть
его точку, все барицентрические координаты которой равны
между собой, т. е. равны
1
г+1
В случае, когда К имеет раз¬
мерность нуль, будем считать, что К' = К. Если К имеет размер¬
ность одни, то для перехода к К' разделим каждый одномерный
симплекс комплекса К пополам иа два одномерных симплекса,
при этом появится еще новая вершина — центр одномерного
симплекса. Если операция подразделения уже определена для
комплекса К размерности я, то для перехода к комплексу К' при
размерности, равной (я+1), следует барицентрически подразде¬
лить каждый (я + 1)-мериый симплекс Ал+| комплекса К, считая,
что все симплексы меньшей размерности подразделены. Предпо¬
ложим, что граница 5" симплекса Ап+> подразделена бари¬
центрически; тогда барицентрическое подразделение симплекса
An+i, по определению, есть конус х(5,п) с вершиной х в центре
симплекса Ал+1.
Геометрия барицентрического подразделения. Определе¬
ние 20. Поставим в соответствие каждому комплексу К, распо¬
ложенному в евклидовом пространстве Rm, комплекс К', также
расположенный в Rm и называемый барицентрическим подраз¬
делением исходного комплекса К. Для нульмерного комплекса К
определим К', положив К' = К- Допустим теперь, что барицентри¬
ческое подразделение определено для любого я-мерного ком
плекса, при этом так, что выполнены условия: а) |/('| = 1А1;
Ь) если L есть подкомплекс комплекса К, то L' есть подкомплекс
комплекса К'.
Определим теперь операцию барицентрического подразделе¬
ния для (я + 1)-мерного комплекса К. Для этого обозначим через
М я-мерный остов комплекса К (см. § 5, А)). Пусть А1+\
Аг+>, ..., А?+| — совокупность всех (я+1)-мерных симплексов

§ 9. БАРИЦЕНТРИЧЕСКОЕ ПОДРАЗДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСА	65
комплекса К. Через 5,- обозначим совокупность всех истинных
граней симплекса А?+1, S,-c=Atf; Через х,- обозначим центр сим¬
плекса A*+l, т. е. ту точку его, все барицентрические координаты
которой равны между собой. Так как комплекс 5, имеет размер¬
ность п, то определено барицентрическое подразделение 5/и в
силу В) §. 8 существует комплекс x,-(S,0. Определим теперь К'
как совокупность всех симплексов, принадлежащих комплексам
М' и х,(5,0, г=1, ..., k. Оказывается, что К' есть комплекс, и для
него вновь выполнены условия а) и Ь).
Так как совокупность симплексов К' определена как сово¬
купность симплексов, принадлежащих нескольким комплексам,
то очевидно, что для нее выполнено условие 1 определения 5.
Докажем, что для К' выполнено условие 2 определения 5. Пусть
Р и Q-—два симплекса из К'. Докажем, что они расположены
правильно. Для этого рассмотрим три возможных случая.
Случай 1. Симплексы Р и Q принадлежат комплексу М'
Так как, по предположению индукции, М' есть комплекс, то в этом
случае Р и Q расположены правильно.
Случай 2. PeAf', Qex/(Si). Так как все симплексы из
х,{5/) являются гранями симплексов вида х,(В), Ве5/, то доста¬
точно рассмотреть случай Q = x,{B). Так как Pc\М'\ = |Atf]
и ъ(В)<=А?+', то Pf|Qc= 1М| ПЛ-+1 = 15,1.Далее,х,{В)П 15,1 =В.
Таким образом, P[)Q(=P(}B. Далее Р и В суть два симплекса
из М' и потому расположены правильно, а из этого в силу D)
§ 2 следует, что Р и Q также расположены правильно.
Случай 3. Рех,(5;), Qex,(5|). Если / = /, то симплексы
Р и Q принадлежат одному комплексу x,-(S/), а потому располо¬
жены правильно. Пусть i-фу, тогда, так же как и в случае 2,
мы можем предположить, что Р = х,(Л), A<=S!; Q = x,(B), Ве5|.
Мы имеем
Рс=А?+\ <Э<=Л?+1, РПСс=Л',+ 1ПА"+1-
.•Так как i=£j, то А?+1 ПЛ',+1 <= I 5/1 П |5,-|, и потому Р П Q с
с: |5,| П 15/|. Следовательно, Рf| Q = Pf\ 15,1 f|QП 15,-|. Далее,
РП 15,-1 =х,<Л)П 15,-1 =А, Qfl 15/| =х,-(В)П 15,1 =В. Итак, Pf]Q =
=А П В, а так как А и В суть симплексы из М', то они располо¬
жены правильно, и потому Р и Q также расположены правильно
(см. § 2, D)).
Покажем теперь, что для (я-f- 1)-мерного комплекса К выпол¬
нены условия а) и Ь). Мы имеем
|/C] = |AfllMi + 1U--lM?+1,
\К'\ = \М’\ U ]xi(5()| U —U |х*(5*)|.

66
ГЛ. II. ИНВАРИАНТНОСТЬ ГРУПП ГОМОЛОГИЙ
По предположению индукции, |М] = |М.'|, а, в силу В) и D)
§ 8, А?+' = |х,(5,')|. Таким образом, |/С1 = |/С'1.
Пусть теперь L — произвольный подкомплекс комплекса К,
N — я-мерный остов комплекса L, а нумерация (я+1)-мерных
симплексов из К выбрана так, что A1+l, ..., А?+| составляют
совокупность всех (я +1)-мерных симплексов из L. По опре¬
делению, L' состоит из всех симплексов, входящих в комплексы
N' и x,{Sf), j= 1	I. По предположению индукции, N' есть под¬
комплекс комплекса М', ибо N есть подкомплекс комплекса М.
Далее,	и потому L' есть подкомплекс комплекса К'-
Таким образом, условия а) и Ь) выполнены для (я+^-мер¬
ного комплекса К.
А)	Пусть К — некоторый комплекс, расположенный в евкли¬
довом пространстве Rm, а
Ад, А 1, ..., Аг	(1)
— некоторая убывающая последовательность его симплексов,
т. е. такая, что каждый следующий симплекс ее является истин¬
ной гранью предыдущего. Через о, обозначим центр симплекса
At. Оказывается, что в К’ существует симплекс
(do, <Т1, .... Or).	(2)
С другой стороны, каждый симплекс Р из К' может быть задан
таким способом. Мы будем говорить, что последовательность (1)
задает симплекс (2).
Доказательство будем вести индуктивно по числу измерений
комплекса К, придерживаясь при этом обозначений определе¬
ния 20.
Если симплекс А0 имеет размерность, меньшую я+1, то все
симплексы последовательности (1) принадлежат комплексу М, и,
по предположению индукции, вМ'с/(' существует симплекс (2).
Если А0 имеет размерность я+1, то А0 = А?+>, (т0 = х(. В случае
r=0, (do) eXj(S/) (=/('. В случае гф 0 последовательность
А,, ..., А, принадлежит комплексу и, по предположению индук¬
ции, в SI существует симплекс А = ((л, ..., аг). Тогда в комплексе
x,(Si) имеется симплекс
Х,{Л) = ((Т0, (Т |, .... Or).
Пусть Р^К'- Если РеМ', то, во предположению индукции,
симплекс Р задается последовательностью (1). Если Pex,(S,),
то возможны различные случаи: a) PeS,' тогда РсщМ';
b) Р=(х/), и тогда симплекс Р задается последовательностью
из одного симплекса Ар*с) Р = х,(А), А с=5/, тогда, по предпо¬
ложению индукции, А задается некоторой последовательностью

§ 9. БАРИЦЕНТРИЧЕСКОЕ ПОДРАЗДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСА
67
д А г граней симплекса S,, а сам симплекс Р задается после¬
довательностью Af+1, А		 Лг.
Итак, утверждение А) доказано.
Приведенное в А) свойство барицентрического подразделе¬
ния можно было бы принять за его определение. Такое определе¬
ние было бы, пожалуй, проще, но, на мой взгляд, менее наглядно.
Доказательство того, что К' есть комплекс, и -|/С'I = I/СI. оста¬
лось бы примерно таким же громоздким, как и при принятом здесь
определении.
Введем теперь понятие многократного барицентрического
подразделения.
B)	Пусть К—произвольный комплекс. Положим Ki0)=K
и определим К{т) как барицентрическое подразделение комплекса
Комплекс Л5т) будем называть т-кратным барицентри¬
ческим подразделением комплекса К или просто подразделением
комплекса К. В тех случаях, когда кратность подразделения нас
не интересует, подразделение комплекса К будем обозначать
через К с греческим индексом наверху, например, через К1. Здесь
а не означает уже числа, так что подразделения Kf и K'i двух раз¬
ных комплексов могут быть и различной кратности.
Перейдем теперь к оценке размеров симплексов комплекса
по сравнению с размерами симплексов комплекса К.
C)	Диаметр симплекса А, расположенного в евклидовом
пространстве Rn, равен максимуму длин его одномерных граней.
Пусть А —(а0, ai, ..., аг), а х и у — две его точки, причем бари¬
центрические координаты точки х равны А0, А,1, ..., Аг. Расстояние
между точками тир евклидовом пространстве Rn выражается
формулой
Р(*. У? = (х-У)(х-У) = (х-У)2.
Давая вектору х приращение h, получаем
Р(x + h, у)2 = (х - у)2 + 2(* - y)h + h2.
Покажем, что если х не является вершиной симплекса А,
то существует в А такая точка x-\-h, для которой
p{x + h, у)>р(х, у).	(3)
Если х не является вершиной, то по крайней мере две бари¬
центрические координаты точки х отличны от нуля. Предположим
для простоты, что отличны от нуля А0 и Аь Пусть v — такое поло¬
жительное число, что v<A(l/2, v<A,/2. Положим h — ev(a0—
— щ), где е=±1. Очевидно, что x-\-h принадлежит при этом
симплексу А. Выберем теперь такое значение для е, чтобы
(х — y)h^0. Это возможно, так как при перемене знака к знак

68
ГЛ. II. ИНВАРИАНТНОСТЬ ГРУПП ГОМОЛОГИЙ
(.x — y)h меняется. При выбранном векторе h мы получаем нера¬
венство (3).
Таким образом, при х, отличном от вершины симплекса А,
функция р(х, у) не может достигать своего максимума. Она дости¬
гает его, когда хну попадают в концы максимального ребра
симплекса А:
Теорема 12,- Пусть К есть r-мерный комплекс, располо¬
женный в евклидовом пространстве R". Если диаметры всех его
симплексов не превосходят числа г\, то диаметры всех симплексов
комплекса К'(т-> (см. В)) не превосходят числа
m
Т1
и, следовательно, при m достаточно большом могут быть сделаны
произвольно малыми.
Доказательство. В силу предложения С), диаметры
всех симплексов комплекса К' не превосходят длин его одно¬
мерных симплексов. Пусть (о0. <ii)— произвольный одномерный
симплекс комплекса К’; здесь о0есть центр симплекса А0, а о, —
центр грани At симплекса А0 (см. А)).
Пусть А0 = (а0, а		 as), а А,=(а0, а,, ..., at). Положим
A=(at+1, ..., as) и обозначим через о центр симплекса А.
Непосредственно проверяется, что о0 = —Ф4- сп + —-jX- о (см.
S -j- 1	S -j- 1
§ 8, (2)). Таким образом, отрезок (at, о) делится точкой а0 в отно-
£ 	 ^
шении (s — t):(t +1), и, следовательно, р(о0, <ii) =—тг Р(д)' <1);
но p(oi, о) не превосходит диаметра симплекса А0, так как oi и а
£ 	 I
принадлежат А0. Таким образом, р(оо, (ii)^—XT1!' Так как
5 Т 1
и	—1, то диаметр любого одномерного сим¬
плекса из К' не превосходит числа
т), но ввиду С) и
диаметр любого симплекса произвольной размерности из К' не
превосходит того же числа
г
7+1
т
Из доказанного непосредственно вытекает и утверждение
теоремы для m-кратного барицентрического подразделения К<-т>
комплекса К- Таким образом, теорема 12 доказана.
Алгебра барицентрического подразделения. Наша задача
заключается теперь в том, чтобы при переходе от комплекса К
к его барицентрическому подразделению К' указать переход
от каждой цепи г из К к некоторой вполне определенной цепи
Т из К'-

§ 10. ЛЕММА О ПОКРЫТИИ СИМПЛЕКСА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
69
D)	Пусть К — комплекс произвольной размерности и К' —
его барицентрическое подразделение. Поставим теперь в соответ*
ствие каждой r-мерной цепи х из К по группе коэффициентов
G r-мерную цепь х' из К' по той же группе коэффициентов G,
называемую барицентрическим подразделением исходной цепи х.
Для нульмерной цепи х положим х' = х. Допустим теперь, что
для «-мерных цепей из К уже определена операция барицентри¬
ческого подразделения. Определим ее для простейшей («+1)-
мерной цепи х=А (А есть («+1)-мерный ориентированный
симплекс из К). Через S обозначим совокупность всех истинных
граней симплекса А, а через х— его центр. Тогда x(S')c=/('.
По предположению индукции барицентрическое подразделение
(ДА)’ границы ДА симплекса А уже определено; при этом (ДЛ)'
есть цепь из S'. Положим Л' = х((ДЛ)') (см. § 8, Е)). Если теперь
x = g\Ai + ■■ •-l-gvA*— произвольная («+1 (-мерная цепь из К,
то положим х' = giA'i-\---A-gkA'k. Оказывается, что для произ¬
вольной цепи х из К выполнено важное соотношение
А(х')=(Ах)'.	(4)
Если /бт) есть m-кратное барицентрическое подразделение ком¬
плекса К, то цепь определим индуктивно, положив хМ) = х,
^(m+1)=(x(m))'. Если обозначается через Ка (см. В)), то
будем обозначать через ха. Из соотношения (4) непосредственно
вытекает
Д(*“) = (Д*)“.	(5)
Соотношение (4) будем доказывать индуктивно. Для нуль¬
мерной цепи оно очевидно. Допустим, что оно справедливо для
любой «-мерной цепи, и докажем его для (« + 1)-мерного ориенти¬
рованного симплекса А. Мы имеем
ДЛ' = Дх((ДЛ)') = (ДЛ)'— х (Д(ДЛ)').	(6)
Так как ДЛ имеет размерность «, то, по предположению индукции,
получаем Д(ДЛ)'=(ДДЛ)'=0, и соотношение (6) переходите (4).
Е)	Если г — цикл из К, то za — цикл из К*. Если циклы гi
и г2 гомологичны в К, то циклы г“ и г! гомологичны в /С“. Утвер¬
ждение это непосредственно вытекает из соотношения (5).
§ 10. Лемма о покрытии симплекса и ее приложения
Настоящий параграф представляет собой отклонение
от основной темы настоящей книги — теории гомологий, но близ¬
ко к ней примыкает. Все дальнейшее изложение не опирается
на содержание этого параграфа.

70
ГЛ. II. ИНВАРИАНТНОСТЬ ГРУПП ГОМОЛОГИЙ
Здесь даются доказательства леммы Шпернера и два прило¬
жения этой леммы, именно, во-первых, доказательство того,
что г-мерный симплекс имеет размерность г в смысле определе¬
ния 8, и, во-вторых, доказательство того, что непрерывное отобра¬
жение симплекса в себя всегда имеет неподвижную точку,
т. е. точку, переходящую в себя при отображении.
Вопрос о том, является ли число измерений симплекса
топологическим инвариантом или нет, представлял собой одну
нз трудных проблем математики. Он был положительно решен
Брауэром и Лебегом в начале этого столетия. Лемма Шпернера.
является результатом длительного процесса усовершенствования
доказательства инвариантности числа измерений симплекса.
Лемма Шпернера. А) Пусть К — комплекс, Ка — его
подразделение (см. § 9, В)) на — произвольная вершина ком¬
плекса А'а. Через С(а) обозначим симплекс минимальной размер¬
ности из К, содержащий а. Поставим в соответствие вершине
одну из вершин f(a)^K симплекса С(а). Оказывается,
что отображение f вершин комплекса Ка в вершины комплекса К
является симплициальным (см. определение 18), и для всякой
цепи х из К имеет место равенство
J(X')=X.	(I)
Перейдем к доказательству утверждения А). Из определе¬
ния 20 барицентрического подразделения К' комплекса К
вытекает, что каждый симплекс комплекса К' расположен хотя
бы в одном симплексе комплекса К. Это, очевидно, справедливо
н для произвольного подразделения Ка комплекса К. Пусть
теперь В — произвольный симплекс из Ка- Через С(В) обозна¬
чим симплекс минимальной размерности из К, содержащий В.
Симплекс С(В), очевидно, определен однозначно, так как пере¬
сечение любых двух симплексов из К также есть симплекс из К,
если, конечно, пересечение это не пусто. Пусть Ь — произволь¬
ная вершина симплекса В. Тогда очевидно, что С(Ь) есть грань
симплекса С(В), быть может, совпадающая с С(В). Таким обра¬
зом, f(b) есть вершина симплекса С(£), и мы видим, что все
вершины симплекса В при отображении f переходят в вершины
симплекса С{В), т. е. условие симплициальности отображения f
выполнено.
Соотношение (1) будем доказывать индуктивно по числу
измерений цепи х. Для нульмерной цепи оно очевидно. Допу¬
стим, что оно верно для любой (г— 1)-мерной цепи из К, и дока¬
жем его для простейшей /--мерной цепи — ориентированного
/--мерного симплекса А. Очевидно, что каждый симплекс В,
входящий в цепь Аа с коэффициентом, отличным от нуля, содер-

5 10. ЛЕММА О ПОКРЫТИИ СИМПЛЕКСА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
71
яштся в симплексе А, и, следовательно, С(В) есть грань симплекса
А. Таким образом, f(B) есть грань симплекса А. Если теперь рас¬
сматривать В как ориентированней симплекс, то f(B) есть нуль
в случае вырождения и или —А, если отображение f на сим¬
плексе В не вырождается. Отсюда вытекает, что
1(Аа) = кА.	(2)
Покажем, что число к равно +1. Для этого возьмем границу
от обеих частей равенства (2); тогда' мы получим
Af(Aa) = f(AAa) = f((AA)a)=kAA.
А
Полагая ДА=х, получаем из последнего равенства f(xa) = kx,
а так как х есть цепь размерности г—1, то для нее соотношение
(1) верно, и мы видим, что к=1.
Переход от простейшей г-мерной цепи А к произвольной
r-мерной цепи х делается на основе того, что обе части равен¬
ства (1) линейны относительно цепи х.
Итак, предложение А) доказано.
Лемма. Пусть А=(а0, аь ..., а,) есть г-мерный' симплекс,
и 2 ={Ео, F1, ..., Fr} — замкнутое его покрытие (см. § 3, В)), при¬
чем любая грань C—(aio, а, , ..., а;<) целиком принадлежит сумме
множеств системы 2' = {.Fio, Fit, ..., E,J. Оказывается, что тогда
существует точка а, принадлежащая, одновременно всем мно¬
жествам системы 2, т. е. покрытие 2 имеет кратность, равную
г+ 1.
Доказательство. Допустим, что точки а, принадле¬
жащей всем множествам системы 2, нет. Тогда кратность
покрытия 2 не превосходит г, и существует настолько малое
число б, что система 26, составленная из множеств Я(Е,, б),
i = 0, 1, ..., г, также имеет кратность, не превосходящую г
(см. § 3, С)).
Пусть теперь Т—комплекс, составленный из всех граней
симплекса А, \Т\=А. Обозначим через Та настолько мелкое
йодразделение комплекса Т, что диаметр каждого симплекса из
Г* меньше б (см. теорему 12). Пусть, далее, Ь — произвольная
вершина комплекса Та и C(b) = (ah, ait, ..., at). По предположению
леммы, грань С(Ь) = С симплекса А входит в сумму множеств
соответствующей системы 2', и потому существует такое мно¬
жество Fj этой системы, которое содержит точку Ь. Положим
f{b)=a-h. Таким образом, каждой вершине	поставлеиа
в соответствие вершина f(b)^T по способу, указанному в А);
кроме того, из /(б)=а, вытекает, что b^F,. Покажем теперь, что
если B = (bo, b 1, ..., Ьг) — произвольный г-мерный симплекс Га,
то он вырождается при отображении f, т. е. не может отобра-

72
ГЛ. II. ИНВАРИАНТНОСТЬ ГРУПП ГОМОЛОГИЙ
зиться на весь симплекс А. Допустим противоположное; тогда
все вершины f(bn), f(b\), .... f(br) различны, а это значит, что
bo^Fjo, й| е Д		 br е Д„ причем все индексы /о, /ь /г раз¬
личны. Таким образом, мы приходим к допущению, что симплекс В
пересекается со всеми множествами системы 2. Но, пересекаясь
с множеством Д, симплекс В ввиду малости его диаметра содер¬
жится в множестве Я(Д, б). Таким образом, получается, что В
входит во все множества системы 2в, а это невозможно. Итак,
отображение f вырождается на каждом /--мерном симплексе В
комплекса Т\
Будем теперь рассматривать А как ориентированный сим¬
плекс; тогда Аа есть г-мерная целочисленная цепь из Та, и ввиду
того, что каждый ее симплекс В вырождается при отображении /,
мы имеет /(Д“) = 0; но это противоречит равенству (1).
Таким образом, лемма доказана.
B)	Для того чтобы покрытие 2 удовлетворяло условиям
леммы, достаточно, чтобы каждое множество Д не пересекалось
с гранью Д = (а0, ...; а,_i, a;+i, .... аг), противоположной верши¬
не а,.
В самом деле, если i не входит в систему чисел i0, i\, ..., is, то С
есть грань симплекса А, (см. лемму) и по предположению,
имеющемуся в В), грань эта не пересекается с Д. Таким образом,
С может пересекаться лишь с множествами системы 2', а так как
система 2 покрывает А и, следовательно, содержит в своей
сумме грань С, то сумма множеств системы 2' содержит С, и
предположение леммы выполнено.
Размерность полиэдра. Здесь будет показано, что если X есть
/•-мерный комплекс (см. определение 5), то размерность полиэдра
|Х| равна г (см. определение 8); таким образом, размерность
комплекса есть его топологический инвариант, ибо определение
8 топологически инвариантно. В частности,-этим решается
и вопрос об инвариантности числа измерений симплекса. Нетри¬
виальная часть решения заключается в доказательстве того, что
размерность г-мерного симплекса не меньше г; это делается при
помощи применения леммы Шпернера. Тривиальная часть реше¬
ния заключается в построении е-покрытия полиэдра |Х| крат¬
ности г+1.
C)	Пусть К—произвольный /--мерный комплекс, К' — его
барицентрическое подразделение и с — некоторая вершина ком¬
плекса К (она же, очевидно, является и вершиной комплекса К').
Совокупность всех симплексов комплекса Д' с вершиной с и всех
граней этих симплексов называется барицентрической звездой
комплекса Д с центром с и обозначается через В(с). Очевидно,
что если диаметр всех симплексов комплекса X' меньше е/2,

« 10 ЛЕММА О ПОКРЫТИИ СИМПЛЕКСА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
73
то диаметр полиэдра |В(с)| меньше е. Оказывается, что если
Со,. Ci	Ck есть совокупность всех вершин комплекса К, то поли¬
эдры |£(с,)|, i = 0, 1,	k, образуют замкнутое покрытие 2 поли¬
эдра !А1, причем кратность этого покрытия равна г+1.
Пусть В — произвольный симплекс комплекса К'\ тогда он
определяется убывающей последовательностью А0, А\, .., Ap_t
симплексов комплекса К (см. §9, А)) Если Ap_i есть нульмерный
симплекс, т е. Лр_|=(с,), то симплекс В принадлежит бари¬
центрической звезде В(с,). Если Ар- \ имеет положительную
размерность, то обозначим через с,- одну из вершин этого сим¬
плекса и положим АР = (С(); тогда последовательность
Ао, А\, .,, Ар— 1, Ар	(3)
определяет симплекс D комплекса В(сг), причем В есть грань
симплекса D. Таким образом, и в этом случае симплекс В
принадлежит барицентрической звезде В(с,). Мы видим, следо¬
вательно, что каждый симплекс из К' принадлежит хотя бы
одной барицентрической звезде, а это значит, что система 2
действительно составляет покрытие полиэдра IAI
Пусть сг — некоторая вершина комплекса В(с,) и А — тот
симплекс из К, центром которого а является (см. § 9, А)). Пока¬
жем, что с, есть вершина симплекса А. Так как а есть вершина
комплекса B(ct), то существует в В(с,) симплекс D, имеющий среди
своих вершин а и с,. Допустим, что симплекс D задается после¬
довательностью (3), тогда среди симплексов этой последователь¬
ности имеется симплекс А. Так как Ар = (с,) есть грань каждого
симплекса последовательности (3), то мы видим, что А имеет с,-
своей вершиной.
Допустим, что несколько множеств системы 2 имеют непустое
пересечение Р Так как все множества системы 2 суть полиэдры,
соответствующие подкомплексам комплекса К', то Р также есть
полиэдр, соответствующий некоторому подкомплексу комплекса
К' и, следовательно, содержит вершину а комплекса К' Пусть
А — тот симплекс из К, центром которого является о. Тогда
все содержащие вершину сг комплексы £(с,) имеют своими
центрами вершины симплекса А, и число их, таким образом,
не превосходит числа r+1, ибо размерность симплекса А не
больше г Таким образом, кратность покрытия 2 не превосхо¬
дит числа г1
Если А есть г-мерный симплекс комплекса К с вершинами
ц0, а,, ..., аг, то все комплексы £(щ), i = 0, 1, ..., г, имеют вершину
а — центр симплекса А, и, следовательно, кратность покрытия 2
не меньше r+ 1.
Итак, утверждение С) доказано.

74
ГЛ. И. ИНВАРИАНТНОСТЬ ГРУПП ГОМОЛОГИЙ
Теорема 13. Если К есть r-мерный комплекс, то размер¬
ность полиэдра |К1 в смысле определения 8 равна г.
Доказательство. Пусть е — произвольное положи¬
тельное число, и Ка — такое подразделение комплекса К, что
диаметры всех симплексов комплекса Ка не превосходят
е/2. Применяя к комплексу Ка предложение С), мы получаем
для полиэдра IKI замкнутое е-покрытие кратности г+1.
Таким образом, размерность полиэдра |/С| не превосходит
числа г.
Покажем, что размерность полиэдра |К1 не меньше г. Это до¬
статочно сделать для произвольного г-мерного симплекса А из К,
так как в силу определения 8 размерность подпространства
не может быть больше размерности пространства.
ПустьЛ = (а0, а,, ..., аг) и Л,= (а0, .... а,_ь a, + i, ..., а,)— грань
симплекса А, противоположная вершине а;. Очевидно, что нет
точки симплекса А, одновременно принадлежащей всем гра¬
ням А/. В самом деле, грань А,- определяется уравнением V = 0
(см. § 2, С)), а совокупность всех таких уравнений приводит
нас к невозможному для барицентрических координат соотно¬
шению Я° = Я| = ... = Яг = 0. Таким образом, существует настоль¬
ко малое положительное число е, что пересечение всех множеств
системы 2?, составленной из Я(Л„ с), i = 0, 1.	.., г, пусто
(см. § 3, С)) Покажем, что всякое замкнутое е-покрытие
2={С0, Сь .... Ck} симплекса А имеет кратность, не меньшую
чем г+ 1
Множество Cj системы 2 не может пересекаться одновременно
со всеми гранями А, так как если бы пересечение это существо¬
вало, то множество С, принадлежало бы одновременно всем
множествам системы 2?, что невозможно. Таким образом, каж¬
дому числу /, / = 0, .... k, можно поставить в соответствие целое
число £(/), 0^g(i)^r, так, что множество Cj не пересекается
с Ag(j). Обозначим теперь через F, сумму всех таких множеств
Cj системы 2, для которых g(j) = i. Каждое множество С, не пере¬
секается с гранью Л„ и система F0l Fь ..., F, удовлетворяет, следо¬
вательно, условиям предложения В)) В силу леммы существует
точка а, общая для всех множеств F0, F,, ..., F,. Так как aeF,,
а F; составлено как сумма некоторых множеств системы 2,
то существует такой номер /,, что а е С,; и g (/,) =/. Множества
C(n, Cjr .... все имеют различные номера, ибо каждому числу /
поставлено в соответствие лишь одно число g(j). Таким образом,
мы видим, что а одновременно принадлежит r+ 1 различным
элементам покрытия 2, и, следовательно, кратность этого покры¬
тия не меньше г+1.
Итак, теорема 13 доказана.

§ 10. ЛЕММА О ПОКРЫТИИ СИМПЛЕКСА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
75
Теорема Брауэра. Теорема о существовании неподвижной,
точки при непрерывном отображении симплекса в себя будет
яолучеиа здесь как весьма простое приложение леммы Шпериера.
Теорема 14. Пусть Л=(ао, аi,	аг) есть r-мерный сим¬
плекс и ф — непрерывное отображение его в себя. Существует
тогда точка	такая, что ф(а)=а; точка эта называется
неподвижной точкой отображения ip.
Доказательство. Барицентрические координаты точки
р^А обозначим через Н(р), i = 0, 1, ..., г. Барицентрические
координаты ее образа ц>(р) обозначим через i = 0, 1, ..., г.
Через Fi обозначим множество всех таких точек р симплекса А,
для которых
К(Р)>Ар)-	(4)
Покажем, что система 2 = {F0, Fi, ..., Fr) удовлетворяет усло¬
виям леммы. Замкнутость множеств системы 2 непосредственно
вытекает из непрерывности отображения <р
Пусть С = (а1о, а(1, .... ais)— произвольная грань симплекса А
(быть может, сам симплекс А). Пусть реС, и допустим, что р
ие принадлежит ни к одному из множеств системы 2' = {fio,
Fi[t ..., Fit}. Тогда для р имеем
Ь‘°(Р)<(ЛР).	КХр)<\1и{р), ..., \h(p)<pXp)
(см. (4)). Суммируя все эти неравенства, получаем
+ Х'(р) +... + У’(р) < р‘"(р)+р '(р) +... + v‘(p)
Но левая часть последнего неравенства равна единице, так как.
точка р принадлежит симплексу С, правая же не превосхо¬
дит единицы, и, следовательно, неравенство это невозможно.
Таким образом, в силу леммы существует в А точка а, при¬
надлежащая всем множествам системы 2; для этой точки мы
имеем, следовательно,
Я°(а)>р>). >.'(а)>р'(а), ..., Г(а) > рг(а).	(5)
Если бы в этой системе неравенств имелось хотя бы одно
истинное неравенство, например V(a)>p'(a), то, суммируя все
неравенства (5), мы получили бы
Я°(а) -)- Я.1 (а) -)-... + Яг(а) > цч(а) -)- р.1 (а)	pr(a),
что невозможно, так как и правая, и левая части здесь равны
единице. Таким образом, для точки а получаем
Я°(а)=р°(а), ^(a)=pV), ..., Г(а)=рг(а),
а это значит, что а — ц>(а). Итак, теорема 14 доказана.

76
гл И ИНВАРИАНТНОСТЬ ГРУПП ГОМОЛОГИЙ
§ 11. Иивариаитиость групп гомологий
при барицентрическом подразделении
В настоящем параграфе будет установлена связь между
гомологиями в комплексе К и в его подразделении Ка (см. § 9.
В)) В частности, будет доказано, что их группы гомологий
изоморфны.
Теорема 15. Пусть К — некоторый комплекс и Ка — его
подразделение (см. § 9, В)). Если g— некоторый r-мерный класс
гомологий комплекса K,az — произвольный цикл из g, то обозна¬
чим через $“ тот класс гомологий комплекса Ка, который содер¬
жит цикл z“. Тогда однозначное отображение Ь~*-Ьа (см. § 9, Е))
дает изоморфное отображение r-мерной группы ВГ(К) комплекса
К на r-мерную группу Вг{Ка) комплекса К"-
В дальнейшем мы иногда будем отождествлять классы гомо¬
логий В И g“, так что можно будет говорить о совпадении групп
В\К) и В\Ка\
Доказательству теоремы 15 предпошлем лемму.
Лемма Пусть К — произвольный комплекс, Ка — его
подразделение, ах — такая цепь из Ка, что граница ее Ах пред¬
ставима в форме Ax = za, где z— цикл из К. Существует тогда
такая цепь у из К, что Ay = z и х — уа есть цикл, гомологичный
нулю в Ка
Покажем прежде всего, что теорема 15 вытекает из леммы.
А) Если лемма верна для комплекса К, то для этого комплекса
верна и теорема 15.
Придерживаясь обозначений теоремы 15, положим 8“ = ф(3)>
тогда ф ставит в соответствие каждому элементу группы ВГ{К)
некоторый элемент группы В\Ка). Очевидно, что отображе¬
ние ф есть гомоморфизм группы ВГ(К) в группу Вг(Ка). Нам до¬
статочно показать, что гомоморфизм этот есть изоморфизм на
всю группу Вг(Ка).
Покажем сперва, что ф есть изоморфизм. Пусть g — произ¬
вольный элемент группы Br(K), z — некоторый цикл из gp za — его
подразделение и 8“— тот класс гомологий комплекса Ка, который
содержит z“. Допустим, что$“ =0; это значит, что Z“~0 в К*, т. е.
существует цепь х из Ка такая, что Ax=za. К цепи х можно,
следовательно, применить лемму, а это значит, что существует
цепь у m К такая, что Ay = z, т. е. z~0 в К, или g = 0. Таким
образом, из <p(g)=0 вытекает g=0. Отображение ф есть изо¬
морфизм.
Покажем теперь, что ф есть отображение на всю группу
Вг(Ка). Пусть ■£ — произвольный элемент группы Вг(Ка) и
х — некоторый элемент из класса гомологий 1C. Так как х есть

§ И. ИНВАРИАНТНОСТЬ ГРУПП ГОМОЛОГИЙ
77
цикл из Ка, то Дх = 0“, где 0 есть нулевой цикл из К, т. е. мы нахо¬
димся в условиях применимости леммы при z = 0. Таким образом,
существует цепь у из К такая, что Ду = 0, причем х —уа~ 0 в Ка.
Очевидно, что cp(i) )= X, где 1) — класс гомологий из К, содержа¬
щий у. Таким образом, отображение ср есть отображение на всю
группу В'(Ка).
Итак, предложение А) доказано.
Доказательство леммы. Лемму докажем лишь для
случаяА“ = К', т. е. для однократного барицентрического под¬
разделения. Переход к многократному барицентрическому
подразделению К(т) проводится при помощи очевидной индукции
по от. Доказательство будем вести индуктивно по числу изме¬
рений комплекса К■ Для нульмерного комплекса лемма очевидна;
будем считать, что она верна для каждого п-мерного комплекса;
тогда в силу А) теорема 15 также верна для каждого п-мерного
комплекса.
Пусть К — произвольный (п + 1)-мерный комплекс, Af— его
/г-мерный остов, и А"+1, .... А%+х —совокупность всех как-либо
ориентированных (п 1)-мерных симплексов комплекса А-
Через S, обозначим совокупность всех истинных граней сим¬
плекса Д"+|, а через х, — центр симплекса А"+>. Положим
Ti — y.i(S/). Ввиду того что комплекс S, имеет размерность п, по
предположению индукции, для него справедливы лемма и тео¬
рема 15. Таким образом, гомологические свойства комплекса S!
те же самые, что и у комплекса S,, гомологические же свойства
последнего разобраны в теореме 11. Изучим теперь гомологи¬
ческие свойства комплекса Г,, исходя из знания их для S! и со-,
отношения Ti = Xi(S!).
Рассмотрим некоторую г-мерную цепь х, из Г,, представимую
в виде х,(2,), где z, — цепь из S[, и обладающую тем свойством,
что ее граница Дх, принадлежит S'. Оказывается, что имеет место
следующее: а) если r^Ln, то в S/ существует цепь у, такая,
что х,—у, есть цикл, гомологичный нулю в Ti\ b) если г = п+1,
то Xi=g;(Af+1)', где gi — элемент из той группы коэффициентов,
которая положена в основу построения цепей.
Так как Дх; принадлежит S', то имеем: при г — 1 Дх, = Дх,(г;) =
= Zi — /(Zi) (х,) (см. § 8, (11)), отсюда /(г,)(х,) = 0, или /(z,) = 0, т. е. z,-
в этом случае есть нульмерный цикл из S' с индексом, рав¬
ным нулю; при r> 1 (§8, (11)) Дх, = Дx,(z,) = z, —х,(Дг,), от¬
куда х,.(Дг,)=0, или Дг,= 0, т. е. z; есть (г—1)-мерный цикл
из S'.
а) Если г^п, то размерность z, не превосходит п— 1. В силу
теоремы 15 цикл z, гомологичен нулю в S', ибо всякий цикл
размерности, меньшей п, гомологичен нулю в S, (см. теорему 11).

78
ГЛ. 11. ИНВАРИАНТНОСТЬ ГРУПП ГОМОЛОГИЙ
Таким образом, существует в S/ цепь у, такая, что Дy; = z,-.
Положим ц,= х,(у,). Мы имеем тогда
До, = у, — х,(Ду,) — у, — х„ т. е. х, — £/, •— 0 в Г,-.
b)	Пусть r = n-\-1. Тогда цикл z, имеет размерность п. Если
« = 0, то индекс цикла г,- равен нулю, и потому, как легко видеть,
цикл z, представим в форме 2, = ^,ДЛ/; а так как при « = 0 имеем
ДЛ'=(ДЛ/)', то утверждение доказано. Если «>0, то в силу
теоремы 15 существует в S; такой цикл и,-, что z; ~ и',\ но ввиду
того, что размерность цикла z, равна размерности комплекса
Si, гомология переходит в равенство, и мы имеем г, = ц/. В силу
теоремы 11 цикл и, из S, представим в форме gyA71f+1. Таким
образом, Zi = gi(S.Ai+')', т. е. х1- = я1х,((ДЛ"+ ')') = gi{Ai+')'. Таким
образом, предложения а) и Ь) доказаны.
Мы предполагали, что x,= x,(z,-), и потому размерность х,-
была не меньше единицы; покажем теперь, что
c)	Если х; есть нульмерная цепь из Г,, то существует в S;
нульмерная цепь у, такая, что х/ — у,- — 0 в 7).
Пусть а — произвольная вершина из S', тогда в 7) существует
симплекс +(х,-, а) с границей +(а) —(х,-), т. е. +(х,)~ +(а) в Г,.
Заменяя в х; симплекс +(х,) симплексом +(а), получаем искомую
цепь у,-.
Пусть теперь х — данная в условии леммы цепь из К'-
Так как Дx = z' имеет рвзмерность не выше п, то z есть цепь
из М, и потому z' есть цепь из АГ. Обозначим через хt сумму тех
членов линейной формы х, которые содержат симплексы с верши¬
ной х;; х, есть цепь из Т,. Покажем, что Дх; есть цепь из S'.
Действительно, цепьх — х, не содержит симплексов с вершиной х,,
и потому ее грвница Дх — Дх, тоже не содержит таких сим¬
плексов. Цепь Дх принадлежит комплексу М' и тоже, следова¬
тельно, не содержит симплексов с вершиной х„ Таким образом,
и разность Дх, = Дх — (Дх — Дх,) этих двух цепей не содержит
симплексов с вершиной х,. Будучи цепью из Г, и не содержа
симплексов с вершиной х,, цепь Дх, принадлежит S' и, следова¬
тельно, к ней применимы предложения а) и Ь).
Рассмотрим теперь два случая.
Случай 1. Размерность цепи х меньше «+1. В силу
а) и с) существует цепь у, из S/ такая, что х, — у, — 0 в 7).
Положим х=х —(xi—yi)—... — {xk — yk), тогда Дх=Дx = z' и
х — х~0 в К'- Очевидно, что цепь х уже не содержит симплекса,
вершина которого била бы х,, i= 1, 2, ..., k, и потому х входит
в М'. К цепи х применима, таким образом, лемма, т. е. существует
цепь у из М такая, что Дy = z и х —у'~0 в АГ. Следовательно,
и х —у'~0 в К'. Итак, первый случай разобран.

5 12. ИНВАРИАНТНОСТЬ ГРУПП ГОМОЛОГИЙ	79
С л у ч а й 2. Размерность цепи х равна п-\-1. В силу Ь) цепь
jr, представима в форме Xi = g,{A?+'y. Составим цепь
y = giA'l+'+...+gkAi+'.
Очевидно, что цепь х—у; уже не содержит симплекса, верши¬
на которого есть х,, t= 1, 2, ..., k. Так как цепь х — у’ является
(я+ 1)-мерной, то в силу этого она равна нулю, и, следовательно,
х=у’. Переходя к границе, получаем (г — Ду)' = 0, но очевидно,
что барицентрическое подразделение цепи может равняться нулю
лишь при условии, что сама цепь равна нулю, и потому Дy = z.
Итак, второй случай разобран.
Таким образом, лемма полностью доказана, а тем самым
в силу А) доказана и теорема 15.
§ 12. Инвариантность групп гомологий
Здесь на основе аппарата, изложенного в предыдущих
параграфах настоящей главы, будет дано, наконец, доказатель¬
ство теоремы инвариантности групп гомологий.
Теорема 16. Пусть К\ и К2 — комплексы такие, что поли¬
эдры lAil и |Аг1 гомеоморфны. Тогда группы гомологий BG(K\)
и Вга(К2) изоморфны при любой группе коэффициентов G.
Теорема эта является прямым следствием более полной
теоремы 18. Последняя устанавливает вполне определенный
изоморфизм между группами BG(K\) и В'а(К?ф когда задано
определенное гомеоморфное отображение ф полиэдра |Ail на
полиэдр IK2I. Прежде чем перейти к формулировке и доказаг
тельству теоремы 18, сделаем .несколько предварительных за¬
мечаний.
Предварительные замечания и лемма. А) Пусть К и L — два
комплекса, Ка и Lp — их подразделения, a f — симплициальное
отображение комплекса Ка в комплекс /А В силу определения 19
отображению f соответствует вполне определенный гомоморфизм
У группы BG(Ka) в группу Bra(L^). С другой стороны, в силу
теоремы 15 имеется вполне определенный изоморфизм между
группами BrG(Ka) и BrG{K), точно так же как между группами
*'<№) и Bra(L). Таким образом, мы можем считать, что f есть
гомоморфизм группы ВГС(К) в группу Bra(L). Точно гомоморфизм f
группы BrG(K) в группу B'a(L) описывается так: пусть ^ — произ¬
вольный элемент группы BrG(K), х — некоторый цикл из класса
и ха — его подразделение из Ка. Тогда /(*“) есть цикл из L?
(см. § 7, F)); в силу теоремы 15 существует цикл у из L такой,
что его подразделение ур гомологично f(xa),,в LB. Если 1) — тот
Класс гомологий, который содержит у, то /("£)= 1) .

80
ГЛ. II. ИНВАРИАНТНОСТЬ ГРУПП гомологий
В) Пусть К и L — два комплекса, а ф — непрерывное отоб¬
ражение полиэдра |К1 в полиэдр |L|. Тогда существует настоль¬
ко большое целое число 0, что отображение <р комплекса Л'(т)
в L уже удовлетворяет условию звезд (см. теорему 10).
Существует настолько малое положительное число е, что
каждое подмножество F полиэдра |L|, диаметр которого мень¬
ше е, целиком располагается в одной из звезд S(b) комплекса L.
Действительно, допустим противоположное, т. е. что для каждо¬
го натурального числа t существует множество Ft из \Ц диамет¬
ра, меньшего чем 1//, не входящее целиком ни в одну из звезд
комплекса L. Так как \L\-компактно и диаметры множеств Ft
стремятся к нулю, существует в \L\ точка с, любая окрестность
которой содержит бесчисленное количество множеств Ft. За окре¬
стность точки с можно принять ту звезду S(b) комплекса К, кото¬
рая .содержит с. Таким образом, среди множеств Ft существует
хотя бы одно, целиком содержащееся в S(b), и мы получаем
противоречие. Этим самым существование искомого е доказано.
Так как |А| компактно, то непрерывное отображение ф явля¬
ется равномерно непрерывным, и существует поэтому настолько
малое положительное число б, что при р(х, у)<б, где х и у — точ¬
ки из j/C|, имеем
Если т] — максимальный из диаметров симплексов комп¬
лекса К, то выберем настолько большое т, чтобы
меньше б (см. теорему 12). В силу (1) диам'етр ф(5(а))
меньше е, и потому ф(5(а)) содержится хотя бы в одной из звезд
S(b). Итак, отображение ф комплекса в комплекс L удовлет¬
воряет условию звезд, и предложение В) доказано.
С)	Пусть К' — барицентрическое подразделение произволь¬
ного комплекса К- Оказывается, что каждая звезда комплекса К'
содержится в некоторой звезде комплекса К.
Пусть а — произвольная вершина комплекса К', и А — тот
симплекс из К, центром которого а является. Если В = (оо,
<Т[, ..., аг) — произвольный симплекс звезды S(a) комплекса К',
то a—ot. Открытый симплекс В, очевидно, расположен в откры¬
том симплексе А0 (см. § 9, А)), и, так как А0 имеет своей гранью
симплекс At = A, то мы видим, что звезда S(a) содержится в сумме
S(A) всех открытых симплексов, имеющих А своей гранью.
Если а есть произвольная вершина симплекса А, то ясно,
что звезда S(a) комплекса К содержит S(A); таким образом,
S(a)czS(a), и предложение С) доказано.
р(ф(х), ф(у))<е.
(1)
тогда диаметр каждой звезды S(a) комплекса

§ 12. ИНВАРИАНТНОСТЬ ГРУПП ГОМОЛОГИЯ
81
Лемма. Пусть f — симплициальное отображение комплекса
К в комплекс L, и Ка — подразделение комплекса К (см. § 9, В)).
Если К'1 ф К, то отображение f уже не является симплициальным
отображением комплекса Ка в комплекс L, но оно удовлетворяет
условию звезд, и существует поэтому (см. теорему 10) симпли¬
циальное отображение fl комплекса К’ в комплекс L, аппрокси¬
мирующее f. Оказывается, что при произвольной цепи х из
К имеем
h*“)=/(*)■	(2)
В частном случае, когда L= К и f — тождественное отображение
комплекса К самого на себя, мы получаем fa(xrt)=x.
Доказательство. Покажем прежде всего, что отобра¬
жение f комплекса К в комплекс L удовлетворяет условию
звезд.
Пусть а — произвольная вершина комплекса К, f(a)=b,
и А —• произвольный открытый симплекс из К с вершиной а.
Легко видеть, что f(A) есть открытый симплекс из L с вершиной Ь
(см. § 7, А)), и потому f(S(a))czS(b). Из этого в силу С) следует,
что отображение f комплекса /(“в! также удовлетворяет усло¬
вию звезд.
Соотношение (2) будем доказывать индуктивно по числу
измерений цепи х. Для нульмерной цепи оно очевидно; допустим,
что соотношение это справедливо для любой (г—1)-мерной це¬
ни и докажем его для /--мерного ориентированного симплек¬
са А из К-
Пусть Т — совокупность всех граней симплекса А, тогда
/(17*1) == D, где D — некоторый симплекс из L. Все вершины
комплекса Т* при отображении f переходят в точки из D, а потому
каждый симплекс комплекса Г“ при отображении fa переходит
в D или его грань (см. теорему 10). Разберем теперь два случая:
a)	Если размерность D меньше г, то все r-мерные симплексы
комплекса Г“ при отображении fa вырождаются, и потому
|а(А“) = 0; но в этом случае и f(A) = 0.
b)	Если размерность D равна г, то )(А) есть ориентированный
некоторым образом симплекс D. С другой стороны, каждый
r-мерный симплекс комплекса Та при отображении fa или
вырождается, или отображается на D, поэтому
Г(А«) = ЩА),	(3)
где k —■ целое число. Покажем, что k=\. Для этого к соотноше¬
нию (3) применим операцию А. Мы имеем
Д/*(Л“) = ^“(ДЛа) = р((ДЛ)а)= Щ{А) = ЩАА).

82	ГЛ, II. ИНВАРИАНТНОСТЬ ГРУПП гомология
Если обозначить теперь А А через х, мы получаем из последнего
Нхл) = к}(х),
но так как, по предположению индукции, для (г— 1)-мерной цепи х
соотношение (2) верно, то k=\. Таким образом, дляллюбого
r-NiepHoro ориентированного симплекса А,- из К имеем /а(Л?) =
= f(Ai). Умножая последнее соотношение на коэффициент gi
и суммируя по г, получаем соотношение (2) для произвольной
r-мерной цепи. Итак, лемма доказана.
Отметим важное следствие доказанной леммы.
D)	Пусть f — симплициальное отображение комплекса К
в комплекс L, Ка — некоторое подразделение комплекса К,
nfa — симплициальное отображение комплекса Ка в комплекс L,
аппроксимирующее отображение f. Отображению соответ¬
ствует гомоморфизм fa группы В'(Ка) в группу Br(L), но в силу
А)	его можно понимать и как гомоморфизм группы В\К) в группу
Br(L). С другой стороны, отображению f также соответствует
гомоморфизм ? группы ВГ(К) в группу Br(L). Оказывается, что
Гомоморфизмы f к ¥а группы ВГ(К) в группу Br(L) совпадают
между собой. В частном случае, когда L = K и f есть тождест¬
венное отображение комплекса К на себя, мы получаем вывод,
что гомоморфизм fa есть тождественное отображение группы
ВГ(К) на себя.
Пусть х* — произвольный элемент группы В\К), ах■— цикл
из класса гомологий х*. Тогда fa(xa) есть цикл из L, и содержащий
его класслгомологий (fa(xa))*, согласно А), есть f a(x*). С другой
стороны, f(x) также есть цикл' из L, и со^ержан^ий его класс
гомологий (f{x))* есть f (х*). В силу леммы fa(xa) = f(x), и потому
¥а(х*)—¥(**)• Таким образом, утверждение D) доказано.
При помощи приведенной леммы очень просто доказать
инвариантность числа измерений полиэдра.
Теорема 17. Если lAil и l/GI—два гомеоморфных
полиэдра, то размерности комплексов Ki и /Сг одинаковы. Таким
образом, можно говорить о размерности полиэдра.
Доказательство. Пусть размерность п комплекса К.\
больше размерности комплекса Къ- Пусть, далее, ф — гомеоморф-
ное отображение комплекса Кг на комплекс К\, а Кг — настоль¬
ко мелкое подразделение комплекса Кг, что существует симпли¬
циальное отображение / комплекса Кг в комплекс Ки аппрокси¬
мирующее отображение ф. Пусть, далее, К\ — настолько мелкое
подразделение комплекса К\, что существует симплициальное
отображение g комплекса КТ в комплекс Кг, аппроксимирующее
отображение ф-1. Тогда симплициальное отображение fg ком¬
плекса КТ в Ki аппроксимирует тождественное отображе-

§ 12. ИНВАРИАНТНОСТЬ ГРУПП ГОМОЛОГИЙ
83
нне фф \ и, следовательно, в силу леммы для каждой цепи х
чз К1 мы имеем
?(£(*“)) = *■ .	(4)
С другой стороны, каждый «-мерный симплекс из К? вырожда¬
ется при отображении g, ибо в Кг симплексов размерности п нет.
Таким образом, для каждой «-мерной цепи х из К мы имеем
g(xri) = О, а потому f(g(xa))=0; но это противоречит соотно¬
шению (4), ибо существует в К\ «-мерная цепь х, отличная от
нуля.
Итак, теорема 17 доказана.
Основная теорема. Теорема 18. Пусть ф1 — гомеоморфное
отображение комплекса К\ на комплекс Кг, фГ1=ф2, и Kt,
Кг — такие подразделения заданных комплексов, что отображе¬
ние ф1 комплекса Кt в комплекс Кг удовлетворяет условию
звезд. Пусть ft — симплициальное отображение комплекса Kt
в комплекс Кг, аппроксимирующее отображение фь Тогда ока¬
зывается, что	v
a)	гомоморфизм ft группы ВГ{К\) в группу В'(Кг) не зависит
от случайно выбранных симплициальных подразделений Kt и
Kt и симплициальной аппроксимации ft, а потому может быть
обозначен через фь
Ф,(ВХК0)с:Вг№);
b)	гомоморфизм ф| есть изоморфное отображение группы
В'{К\) на группу В'{Кг)‘,
c)	если указанным здесь способом на основе отображения
<Рг построить изоморфизм ф2 группы В'{Кг) на группу ВГ(К\),
то изоморфизмы ф! и фг взаимно обратны.
Доказательство. Имея в виду доказательство
утверждения а), наряду с подразделениями Kt и Kt введем
в рассмотрение другие два подразделения Kt и /С1 заданных
комплексов такие, что отображение ф] комплекса Kt на комплекс
/С1 удовлетворяет условию звезд, и обозначим через ft симпли-
цнальное отображение комплекса Kt в комплекс АГ|, аппроксими¬
рующее отображение ф|.
Так как подразделения Kt и Kt суть многократные бари¬
центрические подразделения одного и того же комплекса К\,
то одно из подразделений мельче другого. Допустим, что Kt явля¬
ется подразделением Kt, и выберем настолько мелкое подразде¬
ление Ki, чтобы отображение фг комплекса Кг на комплекс Kt
удовлетворяло условию звезд. Тогда и отображение фг комплекса
Кг на комплекс Kt также удовлетворяет условию звезд.
Симплициальное отображение комплекса Кг в комплекс Kt,

84
гл. п. Инвариантность групп гомологий
аппроксимирующее отображение ф2, обозначим через f2(. а сим-
плициальное отображение комплекса Аг в комплекс /С?, аппрокси¬
мирующее отображение ф2, обозначим через Обозначим, далее,
через Кл такое подразделение комплекса Ki, что отображение ф1
комплекса Ад на Kl удовлетворяет условию звезд, и обозначим
через f] симплидиальное отображение комплекса Ai в комплекс
Кл, аппроксимирующее отображение ф1.
Полученную систему отображений можно схематически
Изобразить так:
Здесь стрелки указывают на наличие отображений, над стрел¬
ками стоят заданные гомеоморфные отображения, а под стрел¬
ками—-аппроксимирующие их симплициальные отображения.
Если в полученной схеме заменить значок а значком р, то
получим другую схему отображений, которую выписывать не
будем.
Симплициальным отображениям соответствуют гомоморфиз¬
мы групп гомологий. Гомоморфизмы эти схематически изобра¬
зим так:
п П п
В\Кг)+-Вг(К\)^В\К2)^В'(К1).
Здесь сверху выписаны группы гомологий подразделенных
комплексов, а снизу — исходных, так как и для них в силу заме¬
чания А) гомоморфизмы определены. Заменяя в полученной
схеме значок а значком р, мы получим другую схему, которую
выписывать не будем.
Симплидиальное отображение fff? комплекса в комплекс
Д'2 аппроксимирует тождественное отображение ф]ф2 (см. § 7,
D)), и потому гомоморфизм fjy2 группы Br(Ki) самой в себя
является тождественным (см. лемуму). Ядро гомоморфизма
УД2. содержит ядро гомоморфизма f2, и так как гомоморфизм
У(/2 является тождественным, то его ядро содержит лишь нуль,
поэтому мы получаем:
V
Ядро гомоморфизма /2 содержит лишь нуль. (5)
V V
Так как гомоморфизм f?fs> является тождественным отобра¬
жением группы В'(Кз) на себя, то мы имеем
В'( К2) = М$В'( Кг) <= ПВГ(К>)

§ 12. ИНВАРИАНТНОСТЬ ГРУПП ГОМОЛОГИЯ
85
jr, следовательно,
tfBr(Kd = Br(K2).	(6)
Симплициальное	отображение fff] комплекса	К]	в	комплекс
/С“ аппроксимирует тождественное отображение фгфь и так же,
как только что было сделано, мы получаем:
Ядро гомоморфизма f] содержит	лишь	нуль,	(7)
ПВг(К2) = Вг(К0.	(8)
•	V
Из (5) и (8) мы видим, что гомоморфизм f% является изоморф¬
ным отображением группы В\К•?) на группу ВГ(К\), а так как
отображение ffff является тождественным, то гомоморфизмы
ft и f? являются взаимно обратными изоморфизмами:
h=(k~l.	(9)
V	V
Точно так же заключаем, что гомоморфизмы ft и f\ являются
обратными изоморфизмами:
h=(k~l.	(ю)
V	V
Из (9) и (10) видим, что изоморфизмы ft и fj совпадают:
П=П-	(11)
Заменяя во всех проделанных рассуждениях значок а значком |3,
мы убеждаемся, что изоморфизмы ff и f'f совпадают:
H = fr	(12)
Соотношения	(11)	и	(12)	дают нам совпадение	гомоморфизмов
/? и ff, а это значит, что утверждение а) доказано. Изоморф-
ность	отображения	ff	также доказана	и,	следовательно,
утверждение Ь) верно.
Применяя уже доказанное предложение а) к отображению
Фг комплекса К.2 на комплекс Ki, мы можем обозначить гомомор¬
физм ff группы ВГ(К2) на группу ВГ(Я\) через фг, и тогда соотно¬
шение (9) показывает, что изоморфизмы фп и фг взаимно обрат--
ны, т. е. утверждение с) доказано.
Итак, теорема 18 полностью доказана.
Группы гомологий полиэдра. Расширим несколько понятие
полиэдра.
Определение 21. Метрическое пространство Р назы¬
вается полиэдром, если оно гомеоморфно полиэдру | /СI в прежнем
смысле слова (см. определение 6). Если а есть гомеоморфное
отображение комплекса К на пространство Р, то пару (сг; К) будем

86
ГЛ. II. ИНВАРИАНТНОСТЬ ГРУПП ГОМОЛОГИЙ
называть триангуляцией полиэдра Р, а r-мерную группу гомоло¬
гии комплекса К будем называть r-мерной группой гомологий
этой триангуляции и обозначать через Вг(а, К).
Теорема 16 дает возможность говорить о группах гомологий
полиэдра Р, ибо группы гомологий двух различных триангуляций
полиэдра Р изоморфны. На основании теоремы 16 группа гомоло¬
гии полиэдра Р определена, однако, только с точностью до изо¬
морфизма; элементы ее остаются не индивидуализированными.
Теорема 18 приводит нас к более содержательному опре¬
делению.
Определение 22. Пусть Р некоторый полиэдр,
а (сгь К\) и (сг2, КО) — две его триангуляции. Тогда crrlcri = <p есть
топологическое отображение комплекса К\ на комплекс /С2,
и потому в силу теоремы 18 определен изоморфизм ф группы
Br(oi, К,) на группу Вг(а2, КО- Элементы xi^Br(au КО и
Х2<^Вг(о2, КО будем считать эквивалентными, Х\~Х2, если
дс2 = <р(-хч). Рефлексивность здесь очевидна, симметрия следует
из теоремы 18, транзитивность будет доказана ниже. Совокуп¬
ность всех эквивалентных между собой элементов r-мерных групп
гомологий всех триангуляций полиэдра Р будем считать эле¬
ментом r-мерной группы гомологии ВГ(Р) полиэдра Р. Если
ЕеВг(Р), а и геВ' (от, К), то х будем называть представи¬
телем элемента | триангуляции (о, К). Если £ и и — два элемента
из ВГ(Р), а х и у — их представители в триангуляции (о, К),
то сумму i + n определим как тот элемент из В'(Р), кото¬
рый содержит х-\-у. Независимость от случайного выбора
триангуляции (от, К) следует из теоремы 18, ибо ср есть изо¬
морфизм.
Докажем теперь транзитивность введенного здесь понятия
эквивалентности. Пусть (a,-, >Ci), t=l, 2, 3,—три произвольные
триангуляции полиэдра Р\ crr'oj = ср, сгг'сгг^ф, а х, е В'фсг,-, К,) —
три таких элемента, что х\~х?., Х2~хз- Это значит,, что
х2=ф(х,),	х3=ф(х2),
т. е.
*3 = Ф(ф(*1)).
Покажем, что отображению crr’oi соответствует изоморфизм
фф, равный произведению изоморфизмов ф и <р. Пусть Къ —
произвольное подразделение комплекса Кл- Через КО обозначим
настолько мелкое подразделение комплекса К2, что существует
симплициальное отображение g комплекса КО в комплекс Къ,
аппроксимирующее отображение	Через Kt обозначим
настолько мелкое подразделение комплекса К\, что существует

5 12 ИНВАРИАНТНОСТЬ ГРУПП ГОМОЛОГИЯ
87
симплициальное отображение f комплекса Kf в комплекс Кг,
аппроксимирующее отображение сгг'оп. Тогда в силу теоремы 18
имеем равенства для изоморфизмов
Ф =	4=f,
т. е.
»k=gf.
Но симплициальное отображение gf аппроксимирует непрерыв¬
ное отображение ст;Г1О20':Г10ч = сгз~1сг1=фф (см. § 7, D)). Таким
образом, топологическому отображению сгг'ом соответствует
изоморфизм фср, и транзитивность доказана.

ГЛАВА III
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
И НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ
Если Р и Q суть две геометрические фигуры, например,
два полиэдра, то все непрерывные отображения Р в Q распада¬
ются на классы эквивалентных между собой. Эквивалентными
считаются такие два отображения, которые могут быть пере¬
ведены друг в друга путем непрерывной деформации (см. опре¬
деление 23). Классификация непрерывных отображений с этой
точки зрения представляет собой одну из основных задач
современной топологии. Задача эта находится еще в самой
начальной стадии разрешения. Теория гомологий дает возмож¬
ность построить некоторые инварианты классов непрерывных
отображений. Если ф есть непрерывное отображение полиэдра
IKI в пол^др |L|, то отображению ф соответствуют гомо¬
морфизмы ф групп гомологий комплекса К в группы гомологий
комплекса L (см. теорему 20). Гомоморфизмы эти оказываются
инвариантами не только самого отображения ф, но и того класса
отображений, к которому ф принадлежит. Так построенные инва¬
рианты естественно назвать гомологическими. Оказывается,
что лишь в очень частных случаях гомологические инварианты
составляют полную систему. Тём не менее инварианты эти
очень важны. Первые параграфы настоящей главы будут посвя¬
щены их построению.
В случае, когда полиэдры Р и Q совпадают, открывается
возможность говорить о неподвижных точках непрерывного
отображения ф полиэдра Р самого в себя. Точка х из Р называ¬
ется неподвижной точкой отображения ф, если у{х)—х.
К вопросу о существовании неподвижных точек отображения
сводятся многие теоремы существования анализа, поэтому
задача изучения неподвижных точек отображения занимает
в топологии важное место. Решение ее значительно продвинуто
и даже завершено в некотором определенном смысле. Каждой
изолированной неподвижной точке отображения приписывается
ее индекс: целое число — положительное, отрицательное или
нуль. Доказано, что сумма индексов всех неподвижных точек

§ 13. ГОМОТОПНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
89
данного отображения ф полиэдра Р в себя выражается через
гомологические инварианты отображения ф и потому не зависит
от самого отображения ф, а определяется лишь классом отобра¬
жения, содержащим ф. Таким образом, задачу о сумме индексов
неподвижных точек следует считать решенной, но это не есть
решение задачи в ее полном объеме. Может случиться, например,
что сумма индексов отображения равна нулю, и невозможно,
следовательно, на основе указанного результата заключить
что-либо о существовании неподвижных точек, между тем данное
отображение, равно как и все эквивалентные ему, может иметь
неподвижные точки. Точно так же на основе упомянутого резуль¬
тата невозможно судить о числе различных неподвижных точек
отображения. Может случиться, что суммарный индекс очень
велик, а отображение имеет лишь одну неподвижную точку
большого индекса. Тем не менее результат, дающий выражение
суммарного индекса через гомологические инварианты, весьма
важен и является одним из лучших в комбинаторной топологии.
Здесь, однако, он не приводится, а рассматривается лишь случай,
когда гомологический инвариант, выражающий суммарный
индекс, отличен от нуля,'и доказывается, что тогда отображение
имеет хотя бы одну неподвижную точку.
§ 13. Гомотопные отображения
В настоящем параграфе будет дано точное определение
гомотопности отображений, а также указан важный прием изуче¬
ния этого понятия, опирающийся на конструкцию топологи¬
ческого произведения и непрерывное отображение последнего.
Определение 23. Пусть Р и Q—два метрических
пространства. Допустим, что каждому действительному числу
t, 0<*<1, поставлено в соответствие непрерывное отображе¬
ние (ft пространства Р в пространство Q. Семейство отображе¬
ний (ft будем называть непрерывным, если функция фt(x), хеР,
является непрерывной функцией двух переменных: числа t
и точки х. Более полно это означает, что для каждой пары значе¬
ний х = хо, t — tо и положительного числа е существует положи¬
тельное число б, обладающее тем свойством, что из р(х, хо)<8,
U — to \ <8 следует
Р(ф/М. Ф/„(*о))<е.	(1)
Семейство ф/ будем называть также непрерывной деформацией
отображения ф0 в отображение фц Два непрерывных отображе¬
ния ф и ф пространства Р в пространство Q будем называть
гомотопными или эквивалентными: ф~ф, если существует непре¬

90 ГЛ. Ш. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ и НЕПОДВИЖНЫЕ точки
рывная деформация ф/, переводящая отображение ф в отображе¬
ние ф, т. е. если, существует непрерывное семейство ф/ отображе¬
ний Р В Q, ДЛЯ КОТОРОГО ф0=ф, ф]=ф.
Оказывается, что установленное так понятие эквивалентности
обладает свойствами рефлексивности, симметрии и транзитив¬
ности, а потому может быть положено в основу разбиения всех
непрерывных отображений Р в Q на классы эквивалентных
между собой.
Рефлексивность. Пусть ф — непрерывное отображение про¬
странства Р в пространство Q. Положим ф/ = ф. Очевидно, что ф/
есть непрерывное семейство отображений, причем фо=ф, ф1=ф.
Таким образом, ф—ф.
Симметрия. Пусть ф и ф — два непрерывных отображения
пространства Р в пространство Q, причем ф~ф; это значит, что
существует непрерывное семейство ф/ отображений Р в Q такое,
что фо = Ф, ф1=ф. Положим ф/ = ф1__/. Очевидно, что ф/ также
есть непрерывное семейство отображений Р в Q, причем ф0 = ф,
ф! = ф. Таким образом, ф~ф.
Транзитивность. Пусть ф, ф, со — три непрерывных отображе¬
ния рространства Р в пространство Q такие, что ф — ф и ф~со,
т. е. существуют непрерывные семейства ф, и ф/ такие, что
Фо = Ф, ф|=ф, фо = ф, ф| = со. При 0sg;<ss;i/2 положим ь), = ц.-21;
при 1/2^/^ 1 положим со/ = ф2/-1. Заданное двумя способами
отображение со1/2 определено ими одинаково, ибо при первом
способе &>1/2 = ф1=ф, а при втором способе со1/2=Фо = Ф- Из того,
что семейства ф/ и ф/ непрерывны, легко выводится, что и семей¬
ство со/непрерывно. Сверх того, мы имеем со0 = ф, Wi=co. Таким
образом, ф—со.
Простой пример непрерывной деформации дает следующая
элементарная конструкция:
А) Пусть ф и ф — два непрерывных отображения метри¬
ческого пространства Р в выпуклое множество С евклидова
пространства R"; С может быть, В частности, симплексом.
Положим
Ф<М=(1— 0ф(*)-НФ(х).
Из непрерывности отображений ф и ф легко следует непрерыв¬
ность семейства ф/. Так как С выпукло, то ф/ есть отображение
Р в С. Сверх того, ф0=ф, ф: =ф. Таким образом, два любых ото¬
бражения пространства Р в выпуклое множество С эквивалентны
между собой. Этим вопрос о классификации отображений любого
пространства в выпуклое множество решен полностью.
Важный пример эквивалентности отображений дает сле¬
дующая теорема.

§ 13. ГОМОТОПНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
91
Теорема 19. Пусть ф — непрерывное отображение ком¬
плекса К в комплекс L, удовлетворяющее условию звезд
(см. теорему 10), a f — симплициальное отображение комплекса
К в комплекс L, аппроксимирующее ф. Оказывается, что тогда
отображения f и ф полиэдра IК\ в полиэдр \L\ или, что то же,
комплекса К в комплекс L эквивалентны между собой.
Доказательство. Будем считать, что комплекс L распо¬
ложен в евклидовом пространстве R"; тогда ф и f суть два непре¬
рывных отображения полиэдра |/С[ в пространство Rn. Положим
ф/М=(1—+</(*)•
Очевидно, что ф, есть непрерывное семейство отображений
полиэдра |/С| в пространство R", причем фо=ф, ф1=/\ Остается
показать, что ф,(х) принадлежит |L|. Пусть D— такой симплекс
из L, что для заданной точки хе|/С| имеем ф(г)еД; тогда,
согласно теореме 10, точка f(x) также принадлежит D, и потому
точка ф t(x). являющаяся точкой отрезка (ф(х), f(x)), тоже
принадлежит D ввиду выпуклости D. Таким образом, теорема 19
доказана.
' Важное принципиальное значение теоремы 19 заключается
в том, что каждое непрерывное отображение комплекса К
в комплекс L эквивалентно симплициальному отображению
некоторого подразделения Ка комплекса К в комплекс L. Таким
образом, в каждом классе эквивалентных между собой непре¬
рывных отображений существуют симплициальные.
Функция ф/(х), играющая роль при изучении непрерывных
деформаций, являются функцией двух переменных, и потому
ее естественно записать в обычной для двух переменных форме:
ф/(х)=ф(х, t). С другой стороны, понятие прямого произведения
метрических пространств дает возможность рассматривать пару
переменных х, t как точку нового метрического пространства,
и тем самым открывается возможность заменить непрерывное
семейство отображений одним непрерывным отображением.
Такова роль понятия прямого произведения в интересующем нас
вопросе; его значение в топологии не исчерпывается, конечно,
этим простым приложением.
Определение 24. Пусть R и S — два метрических про¬
странства; их прямое произведение RXS определим так: точкой z
пространства RXS назовем любую пару х, у, z = (x, у), где reft
yeS. Расстояние p(z, z') между двумя точками z и z'=(x', у’)
пространства RXS определим, положив
p2(z, г') = р\х, х') + р\у, у');	(2)
легко проверяется, что RXS есть метрическое пространство

92 ГЛ. III. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И НЕПОДВИЖНЫЕ точки
(см. Обозначения, Н)); в частности, если R и S суть евклидовы
пространства размерностей г и s, то произведение RX.S явля¬
ется евклидовым пространством размерности r-f-s. Без труда
проверяется, что если ф есть гомеоморфное отображение про¬
странства R на пространство R*, а ф — гомеоморфное отображе¬
ние пространства S на пространство S*, то отображение, ставя¬
щее в соответствие паре (х, у) пару (ф(х), ф(у)), дает гомеоморфное
отображение пространства RX.S на пространство R*X.S*.
Это показывает, что понятие прямого произведения имеет топо¬
логически инвариантный смысл.
Применим теперь понятие прямого произведения к вопросу
о непрерывных деформациях.
В)	Пусть ф/ — непрерывное семейство отображений метри¬
ческого пространства Р в метрическое пространство Q. Через J
обозначим отрезок 0<Д<Д числовой прямой; /, естественно,
есть метрическое пространство. Положим Ф(г) = Ф(х, t) = %{х),
где z = (x, i). функция Ф ставит в соответствие каждой точке
zePXJ точку ®(z)eQ. Оказывается, что Ф есть непрерывное
отображение пространства РХ/ в пространство Q. Пусть,
далее, Ф — произвольное непрерывное отображение простран¬
ства PXJ в пространствр Q. Положим ф/(х)=Ф(.\:, t) = W(z),
где (х, t) = z; ф; есть семейство отображений пространства Р
в пространство Q. Оказывается, что семейство это непре¬
рывно.
Докажем непрерывность отображения Ф, исходя из непре¬
рывности семейства ф;. Пусть е — положительное число и б — то
положительное.число, которое существует в силу непрерывности
семейства <pt и которое обеспечивает неравенство (1). Допу¬
стим, что р((х, t), (х0, <0))<б, тогда
р(х, х0)<б,	\t—/0|<8	(3)
(см. (2)). Из (3) в силу (1) получаем
р(ф(х, t), Ф(х0, *о)) = Р(ф'(*)> Ф(о(Хо)).< 8-
Докажем непрерывность семейства ф/, исходя из непрерыв¬
ности отображения Ф. Так как Ф непрерывно, то при заданной
точке (х0, to) для положительного е существует такое положитель¬
ное число 6' = 6у/2, что из p((x, f), (х0, Р)))<б' следует
р(¥(х, t), Ф(х0, /о))<е.	(4)
Если теперь р(х, хр)<б, \t—to\ <6, то
р((х, t), (х0, /о))<б'

§ и: цилиндрическая конструкция
93
(см. (2)), и потому в силу (4) имеем
рОМ*). ^„(^o)) = p('If(^> t), ЩХ0, /о))<8.
Таким образом, предложение В) доказано.
§ 14. Цилиндрическая конструкция
В настоящем параграфе будет рассмотрено прямое произве¬
дение полиэдра |/С| на отрезок /. Будет показано, что |/С|Х/
есть полиэдр. Некоторое вполне определенное разбиение | /СI X/
■на симплексы мы обозначим через АХ/; таким образом, АХ/
представляет собой комплекс, однозначно определяемый ком¬
плексом А, причем 1 /С X /! = I ATI X/- Далее будут исследованы
некоторые гомологические свойства /СХ/. Роль прямого произве¬
дения пространства на отрезок / была уже указана в предыдущем
параграфе, полностью она выяснится в следующем.
Геометрия цилиндра. А) Пусть F— некоторое подмножество
евклидова пространства Rm. Будем считать, что Rn расположено
в евклидовом пространстве Ат + | и обозначим через е единич¬
ный вектор из /?т + |, ортогональный к Rm. Через / обозначим
множество всех чисел t, 0^/^ 1. Очевидно, что множество всех
точек вида z=x-\-te, где ге/, /е/, изометрично прямому
произведению АХ/- Множество это и будем обозначать теперь
через АХ/. Множество АХ/ естественно назвать цилиндром,
построенным на F. Нижним основанием цилиндра АХ/ будем
считать множество АХ0, а верхним — множество АХ 1; здесь
О и 1 суть элементы множества /. Оказывается, что если F есть
выпуклое множество из Rm, то АХ/— выпуклое множество
из Rm + l (см. § 1, G)). Далее, если F=W есть выпуклое тело
из R"1 с границей V, то WX.J есть выпуклое тело из Rm + I с грани¬
цей, равной УХ/U W'XOU WX 1. Таким образом, граница вы¬
пуклого тела WXJ состоит из боковой поверхности УХ/ и
двух оснований 1УХ0 и 1УХ1.
Допустим, что F выпукло, и покажем, что АХ/ также выпу¬
кло. Пусть
zp = xp + tpe, Xp^F, tp^J, р — 1, 2,
— две точки из АХ/; тогда точки z = azi + pz2, принадлежащая
отрезку (zi, z2), записывается в форме
z=ax, + px2 + (a/i + р/2)е,	(1)
где ос^О, Р^О, а + р=1. В силу выпуклости F точка ах^фхг
принадлежит F, а из Ае/, /2е/ непосредственно вытекает
at\ + р/2е/.

94 ГЛ. III. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ и НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ
Перейдем теперь к рассмотрению выпуклого тела F—W.
Из компактности W непосредственно вытекает компактность
WXF Обозначим, далее, через U множество всех внутренних
точек тела W. Покажем, что если хое U, 0<Но< 1, то z0=x0-{-toe
есть внутренняя точка выпуклого множества WXJ- Так как хо
есть внутренняя точка W, то сущестует настолько малое положи¬
тельное е, что из xeRn и р(х, Хо)<в следует xeW. В случае
надобности в можно так уменьшить, что из \t — <ol<6 следует
0<Ц< 1. Положим z=x-\-te. Если теперь p(z, z0)<6, то р(х, х0)<
<е и \t— /01<е; таким образом, zeW'X/, и следовательно, Z»
есть внутренняя точка WXF
Пусть теперь zo = xo-Mo£— точка из WXJ, принадлежащая
боковой поверхности VXJ цилиндра WXJ, т. е. такая, что х0е V.
Покажем, что z0 есть граничная точка WXJ. Так как х0 есть гра¬
ничная точка W, то существует точка xeRm, произвольно
близкая к Хо и не принадлежащая W. Тогда точка z=x-\-toe не
принадлежит WXJ и произвольно близка к z0. Таким образом,
Zo есть граничная точка WXJ- Пусть zo = xo+0e^—произволь¬
ная точка нижнего основания цилиндра WXJ', тогда в произволь¬
ной близости от нее существует точка z=x0—ее, уже не принад¬
лежащая WXJ, и потому z0 есть граничная точка WX.J. Точно
так же, если z0=Xo+e есть точка верхнего основания, то в произ¬
вольной близости от нее имеется точка х0 + (1 + е)е, уже не при¬
надлежащая WXJ, и потому zо есть граничная точка множества
WXJ.
Таким образом, предложение А) доказано.
В) Пусть F=Ar = (ao, а\, аг) — симплекс евклидова
пространства Rm, RmcRm + \ и е — единичный вектор, орто¬
гональный к Rm (см. А)). Цилиндр A'XJ=Pr+l будем называть
призмой. Совокупность всех истинных граней симплекса Аг
обозначим через S и боковую поверхность призмы Pr+l опре¬
делим как |S| X/. Полную границу призмы Pr+l определим как
|S|X/UArXOUArXl = Qr- Точки призмы Pr+l, не принадле¬
жащие ее границе Qr, будем называть внутренними ее точками.
Одной из внутренних точек является центр о -\—g- е призмы
Рг+| (здесь а — центр симплекса Аг). Оказывается, что если х
есть внутренняя точка призмы Рг+\ то х находится в общем
положении к Qr (см. § 8, А)), и x(Qr)=Pr+l.
Пусть х = А,°ао + . . + ^аг — произвольная точка симплекса
Аг; тогда точка z—x-\-te призмы Рг+| однозначно определяется
числами к0, ..., kr, t, которые мы будем называть внутренними
координатами точки z призмы Рг+1. Очевидно, что точка z явля¬
ется внутренней точкой призмы Pr+I тогда и только тогда,

§ 14. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ КОНСТРУКЦИЯ
95
когда все числа к‘ для нее положительны, a t удовлетворяет
неравенствам	Таким образом, свойство точки быть
внутренней или граничной формулируется в терминах ее внут¬
ренних координат.
Пусть хр = А,рао + ... + А.раг, р= 1, 2,— две. точки из А'. Тогда
соотношение (1) переписывается в форме
z = (a,X°i -)- рА,г)ао ~Ь ~Ь (осА,[	)a.r-\-(a.t1	(2)
или, иначе,
Я.°=аЯ.У + р^, ..., Г=аА.[ + рА.£, t = atl+$to-	(3)
Таким образом, свойство точки z принадлежать отрезку (z,, z2)
формулируется в терминах внутренних координат призмы.
Ввиду сказанного, утверждения, высказанные в В), доста¬
точно доказать для какого-либо одного r-мерного симплекса,
в частности можно предположить, что т = г, т. е. симплекс А'
лежит в г-мерном евклидовом пространстве Rr. В этом случае
А’ — выпуклое тело в R! (см. § 8, В)), а потому в силу А) pr+i
есть выпуклое тело в Rr+l, причем граница Qr призмы Pr+l явля¬
ется теперь границей выпуклого тела Рг+‘: Для выпуклого тела
Pr+l и его границы Qr утверждения, высказанные в В), уже были
доказаны (см. § 8, (1)).
Перейдем теперь к построению комплекса КХ/, т. е. к подраз¬
делению на симплексы пространства |К| X/. Множество |К1 X/
составлено из призм ArXJ = Pr+\ где Аг есть симплекс из К;
поэтому, для того чтобы разбить 1К1Х/ на симплексы, нужно
указать, как разбиваются на симплексы призмы Pr+l. При г = 0
призма Р‘ представляет собой отрезок, т. е. одномерный сим¬
плекс, и не нуждается в разбиении. Пусть теперь г>0; тогда S
есть (г— 1)-мерный комплекс, и мы можем считать, что комплекс
SXJ уже определен. Присоединим к комплексу SXJ два
симплекса АгХО и ArX 1, и полученный так комплекс обозначим
через С'. Тогда |CM = Q', и ввиду В) мы можем построить ком¬
плекс х(Сг), где х есть центр призмы Рг+Х. Совокупность сим¬
плексов комплекса х(С') и составляет разбиение призмы Pr+l на
симплексы. Такова в общих чертах конструкция комплекса КХ/;
перейдем к ее формальному описанию.
С)	Пусть К — комплекс, расположенный в евклидовом
пространстве RmcRm+l (см. А), В)). Комплексу К поставим
в соответствие вполне определенный комплекс КХ/, раположен-
ный в Rm + l и называемый цилиндром над комплексом К.
Если А произвольный симплекс комплекса К, то через КХО
обозначим совокупность всех симплексов вида ЛХО, а через
КХ 1 — совокупность всех симплексов вида А XI; КХ0 и КХ 1,

96 ГЛ. III. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ
очевидно, суть комплексы. В случае нульмерного комплекса К
комплекс KXJ определим как совокупность всех симплексов,
входящих в КХО и /(XI, и всех отрезков вида аХР где
а — вершина комплекса К.
Будем считать теперь, что для «-мерного комплекса К ком¬
плекс KXJ уже определен так, что при этом выполнены условия:
а) |/(ХЛ = 1 /СI X/; Ь) если L есть подкомплекс комплекса К,
то LXJ есть подкомплекс комплекса /СX■/; с) /(X0 и /(XI
суть подкомплексы комплекса /(X/- Определим теперь комплекс
/(X/ для («-}-1)-мерного комплекса К. Для этого обозначим
через М «-мерный остов комплекса К, а через А1+\ ..., Л£+| —
совокупность всех (n -f- 1)-мерных его симплексов. Множество
всех истинных граней симплекса А?+1 обозначим через S,-, а центр
призмы Pi=Af+t XJ — через х;. К комплексу S,X/ присоединим
симплексы ЛГ+!Х0 и Л?+1Х 1 и полученный так комплекс
обозначим через С,-. Через KXJ обозначим теперь совокупность
всех симплексов, принадлежащих комплексам MXJ и х,(С;),
г = 1, 2, ..., к. Оказывается, что /(X/ есть комплекс, причем усло¬
вия а), Ь) и с) для него выполнены.
Для того чтобы не' проводить отдельно совершенно одина¬
ковых рассуждений применительно к комплексам /(ХО и /(XI,
будем считать, что р есть число, равное 0 или 1.
Покажем прежде всего, что
при Р е МX/
■симплексы Р и• Л"+1Хр расположены правильно. (4)
Мы имеем Ра |Л4Х/| = |М| X/ и, следовательно,
P(](A? + lXp)c:(\M\XJ)[}(A? + lXp)<=
<=(1М| Хр)Л(Л" + 1 Хр) = 1Д1 Хр. (5)
Так как SiXp есть подкомплекс комплекса МХр, а последний
в силу с) является подкомплексом комплекса Л1Х/, то S,Xp
есть подкомплекс комплекса МХР Обозначим через а\Хр, •••
..., а,Хр совокупность всех вершин симплекса PeAfX/, при¬
надлежащих подкомплексу SiXp комплекса MXJ. Точки
ао, ■■■, а, суть вершины симплекса Л"+|; натянутую на них
грань его мы обозначим через D. DXp есть общая грань сим¬
плексов Р и Л? + | Хр, так что для доказательства (4) нам доста¬
точно показать, что
P{](A?+lXp)=DXp.	(6)
Если бы имело место равенство D = A"+> (это, впрочем, невоз¬
можно в силу (5)), то соотношение (6) было бы верно. Таким

§ 14. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ КОНСТРУКЦИЯ
97
образом, нужно рассмотреть случай, когда D есть истинная грань
симплекса Л" + | и принадлежит, следовательно, комплексу S,-.
В силу (5) для доказательства (6) нам достаточно показать, что
Pn(\S,\Xp) = Dxp-	(7)
Пусть Е — произвольный симплекс из S,; так как Р и ЕХр
суть симплексы одного комплекса МХЕ то пересечение Р и ЕХр
представляет собой симплекс, натянутый на общие вершины
Р и ЕХр, но общие вершины Р и S,Xp все принадлежат сим¬
плексу DXp, и потому EaD. Таким образом, (7) установлено,
а из него следует (6) и затем (4).
Из (4) прежде всего,вытекает; что С,- есть комплекс. В самом
деле, Ci получено'присоединением и комплексу S,XJ обоих сим¬
плексов Л" + |Хр, р = 0, 1. Симплексы Л?+'хО и Л?+1Х1 не
пересекаются и потому расположены правильно. Далее, если
PeSiXE то в силу Ь) РеМХЛ и потому, на основании (4),
симплексы Р и А? +1 Хр расположены правильно. Таким образом,
условие 2 определения 5 выполнено для С,. Условие 1 определе¬
ния 5 выполняется также, ибо все истинные грани симплекса
А? + 'Хр входят в SiXp, а последний в силу с) есть подкомплекс
комплекса SiXE Таким образом, употребленный нами комплекс
х,(С,) действительно существует (см. В) и § 8, D)).
Так как KXJ определено как совокупность симплексов,
принадлежащих к нескольким комплексам, то очевидно, что
для KXJ выполнено условие 1 определения 5. Покажем, что
и условие 2 определения 5 выполнено для КХЕ Пусть Р и Q -
два симплекса из КХЕ ^Рассмотрим три различных случая.
Случай 1. Если Р и Q оба принадлежат МХЕ то они
расположены правильно в силу того, что MXJ есть комплекс.
Случай 2. РеМХЕ Qex,(C,).’Так как -все симплексы
комплекса х,(С,) суть грани симплексов вида х,(В), В е С,, то мож¬
но считать, что Q —х,(В). Мы имеем Рс^\М\хЕ Q — 'y-i(B)cz
cz | х,-(С;)| =P;=/lf+1 ХЕ и потому Pf) Qd(|lW| Х-0П(Л;,+ 1 ХЕ =
= |S,| XJcz |С,|. Так как, сверх того, x,(B)f| ICI —В, то P{]Qcz
аР()В. Если В=А?+>Хр, то в силу (4) Р и В расположены
правильно, и потому Р и. Q также расположены правильно
(см. § 2, D)). Если В eSiXJ сМхЕ то Р и В расположены
правильно как симплексы одного комплекса MXJ, и потому
Р и Q также расположены правильно (см. § 2, D)).
Случай 3. Pen,(G), Qex^C,). При i = j симплексы Р и Q
принадлежат одному комплексу и потому расположены правиль¬
но. Будем считать, что !"=/=/', тогда, как и в случае 2, мы можем
считать, что Р=х,(А), ЛеС,, Q = x,(B), BeQ. Из i#/, далее,
легко следует, что Р{] Q а \ С,\ П I С;|, а так как х,(Л) П I Ci \ = А

98 ГЛ. III. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И НЕПОДВИЖНЫЕ точки
и х,-(В)П |С;1=В, тоРП<Зс:ЛПВ. Если А=А?+'Хр, B = Af + \X
Хр', то Л и В, очевидно, расположены правильно, так как либо
они вовсе не пересекаются при рФр', либо принадлежат одному
комплексу /СХрприр = р'. Если AeSiXJ, B = Af+' Хр, то дело
сводится, к (4). Если AeSiXJ, BeS;XJ, то симплексы Л, и В
оба принадлежат комплексу MXJ и потому расположены пра¬
вильно. Таким образом, Л и В всегда расположены правильно,
а отсюда вытекает и правильность расположения симплексов
Р и Q (см. § 2, D)).
Итак, установлено, что построенная нами совокупность KXJ
симплексов составляет комплекс.
Докажем а). Мы имеем |/(Х Л = |Л1Х Л U I xi(£i)l U
.-..и I>Cft(Cft)I. Далее, )/CI Х^= |М| XJUPiU--\JPk- В силу пред¬
положения индукции |Af X Л = |А(| Х-Е Сверх того, |С;| со¬
ставляет множество всех граничных точек призмы Р, (см. В)),
ибо, по предположению индукции, IS/ХЛ = 1Д! X/ составляет
боковую поверхность призмы Р(. Таким образом, |х,(С,)| =
= х,(|С,|) = Р,. Итак, мы видим, что |ЛХЛ = 1Л1Х/.
Докажем Ь). Пусть L — подкомплекс комплекса К, К —- его
я-мерный остов, и Л"+1,..., Л?+1 — совокупность всех (я-f- 1)-мер-
ных симплексов комплекса L, l^.k. Тогда, по предположению
индукции, NXJ есть подкомплекс комплекса MXJ- Далее, LX J
составлен из всех симплексов, принадлежащих комплексам
NX1 и x.j(Cj), j= 1, ..., /, а К составлен нз всех симплексов,
принадлежащих комплексам MX.J и х,(С,), 1 = 1, .... k. Таким
образом, мы видим, что LXJ есть подкомплекс комплекса
KXJ-
Докажем с). Комплекс КХр, очевидно, состоит из всех
симплексов комплекса МХр и симплексов Л" + 1Хр, /=1, ..., k.
По предположению индукции, МХр есть подкомплекс комплекса
Af XJc^KXJ,a симплекс Л" + |Хр входит в комплекс х,(С,-); таким
образом, КХр есть подкомплекс комплекса КХР
Очевидно, что комплекс KXJ имеет размерность на единицу
больше, чем комплекс К.
Алгебра цилиндра. После того как комплекс KXJ построен,
перед нами стоит задача поставить в соответствие каждой
/--мерной цепи х из К (r-f-1)-мерную цепь xXJ из KXJ по той
же группе коэффициентов, по которой была дана исходная
цепь х.
D)	Пусть К— некоторый комплекс, KXJ — цилиндр, постро¬
енный на нем (см. С)), и р—число, принимающее значение
О или 1. Поставим в соответствие ориентированному симплексу
Аг — г(а0	 аг) из К г-мерный ориентированный симплекс
Аг'Хр = г((а0, р), .... {а„ р)) из КХр. Если, далее, x = giA\-{-...

§ 14. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ конструкция
99
...-\-gkArk—произвольная r-мерная цепь из К, то положим
xXp = gi{A[Xp) + ---\-gk{ArkXp)-
При этом имеет место очевидное соотношение для границы
Д(хХр) = (Ах)Хр.	(8)
Перейдем теперь к построению цепи хХ/.
Е)	Пусть К—некоторый комплекс, KXJ — построенный
на нем цилиндр (см. С)) и x = giArt +... A~gkArk — произвольная
r-мерная цепь из К по группе коэффициентов G. Цепи х поставим
в соответствие (г -ф1 (-мерную цепь хХ/ из KXJ по группе G,
называемую цилиндром, построенным на х. Если для простейшей
целочисленной цепи -ориентированного симплекса А[—цепь
ЛГх/ уже определена, то положим
хХ ^	^ i(^ [ X >0--Ь	& X /).	(9)
Цепь AiXJ будем строить индуктивно по размерности г. Для
нульмерного ориентированного симплекса Л°=-(-(а) цепь A°XJ
определим следующим образом. В комплексе KXJ имеется отре¬
зок аХ/ с концами аХО и аХ 1; ориентируем его в направлении
от аХ0 к аХ 1 и примем за Л°Х/, т. е. положим Л°Х/= + (аХ0,
aXl). Для границы мы имеем
А(Л°Х/)= +(аХ 1)-(аХ0)=Л°Х 1 -Л°Х0.
Отсюда в силу (9) для любой нульмерной цепи х° будем иметь
Д(х° X /) = х° X 1 — х° X 0.	(10)
Допустим теперь, что для «-мерных цепей операция построения
цилиндра уже определена, при этом так, что имеет место соотно¬
шение
Д(хХ/)=хХ 1 — хХО — (Ах)Х/.	(11)
Заметим, что при « = 0 соотношение (11) переходите (10). Опре¬
делим теперь операцию построения цилиндра для (п ф- 1)-мерной
цепи. Для этого обозначим через Л? + |, ..., Л* + 1 совокупность
всех как-либо ориентированных (п-\-1)- мерных симплексов
комплекса К ив остальном будем придерживаться обозначений,
данных в С). Цепь АЛГ + 1 имеет размерность п и составлена
из симплексов комплекса S,-, поэтому определена цепь(ДЛ" + 1)Х/,
составленная из симплексов комплекса S,X/. Составим теперь
цепь «; = ЛГ + 1 X 1 — Л" + 1 Х0 — (ДЛ" + |)Х/, принадлежащую
комплексу Ci. В комплексе х,(С,) существует, таким образом,
цепь y.i(Ui) (см. § 8, Е)). Положим
Л? + 1Х/ = х,(«,)=х1(ЛГ + |Х1 -ЛГ+'ХО-ДДЛГ + ^Х/). (12)

100 ГЛ. III. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ
После того как цилиндр Л?+1Х/ построен, он по формуле (9)
строится и для любой (« + 1)-мерной цепи х. Оказывается при
этом, что соотношение (11) вновь выполнено.
Соотношение (11) достаточно доказать для простейшей
(п -\- 1)-мерной цепи х=Л?+1. Так как для «-мерной цепи Д/4? + 1
соотношение (11) имеет место в силу предположения индук¬
ции, то
Д((Д ЛГ+‘) X J)= (ДЛ ?+') X1 - (Д А ?+1') X о -■ (ДДЛI+') х J =
= (ДЛГ+')Х1-(ДЛ?+')Х0. (13)
Далее мы имеем в силу (8) и (13)
Дн; = (ДЛ?-+‘)Х 1 -(АЛ? + |)Х0-Д((ДЛ? + 1)Х/) = 0. (14)
Теперь граница цепи щ(ы,) = Л"+1 X/ вычисляется на основании
соотношения (11) § 8, именно, мы имеем
Д(Л 1 + 1 X /) = ДХ,(М;) = Ы; — Х;(ДИ;) = И; =
^f+'Xl-^f+'XO-^f+OX/.
Таким образом, соотношение (11) верно для х = Л"+|.
Соотношение (11) приводит нас к основному выводу:.
F)	Если г— цикл из К, то циклы гХ1 и гХО гомологичны
в KXJ-
В самом деле, в силу (11) при Дг = 0 имеем
A(zXJ) = zX 1 — гХО, т. е. гХ1~гХ0 в KXI.
§ 15. Гомологические инварианты ■
непрерывных отображений
В настоящем параграфе каждому непрерывному отображе¬
нию ш полиэдра Р в полиэдр Q будут поставлены в соответ¬
ствие гомоморфизмы групп гомологий полиэдра Р в группы гомо¬
логий полиэдра Q- при этом окажется, что двум эквивалентным
отображениям ш0 и ставятся в соответствие одинаковые
гомоморфизмы. Этот результат является центральным для всей
гомологической теории непрерывных отображений.
Гомоморфизмы для комплексов. Л е м м а 1. Пусть f0, f i —; два
эквивалентных между собой симплициальных отображения
комплекса К в комплекс L. Если z — произвольный цикл из К,
то оказывается, что (г) ~ / [ (г), т. е. гомоморфизмы /о и (груп¬
пы ВГ(К) в группу Br{L) одинаковы.
Доказательство. Пусть f, — то непрерывное семейство
отображений комплекса К в комплекс L, которое связывает

5 15. ГОМОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ ОТОБРАЖЕНИЙ
101
заданные отображения fо и f|. Как и в § 13, В), положим
f(x, t) = fi(x), те |/С1,	тогда f есть непрерывное отображение
комплекса KXJ в комплекс L. Отображение f не симплицнально
на всем комплексе KXI, но на его подкомплексах КХО и /СХ1
оно симплицнально ввиду симплициальности отображений fo
и fл поэтому для цепей из КХ0 и /СX 1 существует алгебраи¬
ческое отображение /; и в силу самого его определения мы имеем
равенства
fo(z)=?(zX0), №)=hx 1),	(О
где z — произвольный цикл из К.
Пусть (/СХ/)“— настолько мелкое подразделение комплекса
KXJ, что существует симплициальиое отображение g комплекса
(АХ-О* в комплекс L, аппроксимирующее отображение f. Так как
2X0-ZX1 в KXJ (см. § 14, F)), то (zX0)“~(zXl)“ в (KXJT
(см. § 9, Е)), а из последнего в силу § 7, F) заключаем:
g((zX0r)~£((z.Xl)“).	(2)
Симплициальиое отображение g аппроксимирует отображе¬
ние f комплекса (АХ/)“; т0 же верно и для любого подкомплекса
комплекса (KXJ)a■ Таким образом, симплициальиое отображе¬
ние g комплекса (/СХ0)“ аппроксимирует симплициальиое
же отображение f комплекса АХО, и в силу леммы § 12 мы
заключаем:
g((z X 0)a) = f(z X 0).	(3)
Точно так же устанавливаем:
g((zXir)=?(zXl).	(4)
Сравнивая соотношения (1), (2), (3), (4),.получаем
fo(z)~f,(z).
Таким образом, лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть К и L — два комплекса, А“ и К? — два
подразделения комплекса A, L? и. IJ — два подразделения ком¬
плекса L, — симплициальиое отображение комплекса А*
в комплекс La, ft — симплициальиое отображение комплекса Ар
в комплекс /А Оказывается, что если отображения fa и ft экви¬
валентны, то гомоморфизмы f а и f t группы ВГ(К) в группу Br(L)
(см. § .12, А)) совпадают.
Доказательство. Пусть Ат— то из подразделений
Ка и К?, которое мельче; таким образом, А7 является подразде¬
лением обоих подразделений Аа и AПусть, далее, D — то из
подразделений La и Lкоторое крупнее, таким образом, L* и L?
являются подразделениями подразделения U.

102 Г Л. in. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ
В сказанном значки аир равноправны; дальнейшее построе¬
ние мы будем вести для значка а, имея в виду, что его можно
полностью повторить и для значка р.
Пусть е — тождественное отображение комплекса /С1.самого
на себя, а — еимплициальное отображение комплекса К*
в комплекс /С“, аппроксимирующее отображение е. В силу
теоремы 19 существует непрерывное семейство et, связывающие
отображения е и еа. Пусть, далее, g — тождественное отображе¬
ние комплекса U самого на себя, ag° — еимплициальное отобра¬
жение комплекса La в комплекс LT, аппроксимирующее отображе¬
ние g. В силу теоремы 19 существует непрерывное семейство gt,
связывающее отображения g и ga. Имеющуюся систему
отображений можно схематически изобразить так;
здесь стрелки указывают на наличие отображений, сверху стоят
исходные отображения, а под ними — аппроксимирующие их
симплициальные. Отображение f“ можно считать аппроксими¬
рующим самое себя. Рассмотрим семейство непрерывных отобра¬
жений gtf*et комплекса К1 в комплекс Lv; нетрудно видеть,
что оно непрерывно, а так как gofaeo = fa, gifaei—g'xfae'1, то по¬
лучаем
Полученным еимплициальным отображениям соответствуют
гомоморфизмы групп гомологий, что схематически можно
записать так:
Здесь сверху выписаны группы гомологий подразделенных ком¬
плексов, для которых и определены гомоморфизмы, а снизу —
группы гомологий исходных комплексов, так как для этих групп
гомоморфизмы также определены (см. § 12, А)). Так как
отображение gn аппроксимирует тождественное, то в силу
§ 12, D) соответствующий ему гомоморфизм группы Br(L)
в группу Br(L) является тождественным. Точно так же отоб¬
ражению е" соответствует тождественный гомоморфизм А1
группы В'{К) на себя. Таким образом, для гомоморфизмов мы
имеем
(5)
B^L^B^L^B^hrBWl
t Г
В\ЬУ-ВГ{1)^ВГ(КУ- ВГ(К).
V	V V V
fa = gafaea.
(6)

§ 15. ГОМОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ ОТОБРАЖЕНИИ
103
Повторяя те же построения для значка р, получаем для
непрерывных отображений
f'
~ g^fV;
(7)
для гомоморфизмов
h
=gi^.
(8)
По предположению,	следовательно, в силу (5) и (7)
можно написать:
gTea~gW-	(9)
Так как gafaeа и g*5/^*5 суть два симплициальных отображения
комплекса К* в комплекс U, то в силу (9), леммы 1 настоящего
параграфа.и § 7, G) получаем для гомоморфизмов
V V V	V V V
gafaea =	i5.	(10)
Сравнивая соотношения (6), (8) и (10), мы получаем для
гомоморфизмов
v ч,
Таким образом, лемма 2 доказана.
Теорема 20. Пусть фо — непрерывное отображение ком¬
плекса К в комплекс L, La — произвольное подразделение
комплекса L, К* — такое подразделение комплекса К, что
существует симплициальное отображение /“ комплекса Ка
в комплекс /Д аппроксимирующее отображение ф0. Оказывается,
что гомоморфизм fa группы ВГ(К) в группу B'(L) не зависит от
случайного выбора подразделений Ка и L“, а также от аппрокси¬
мации f\ но определяетдя лишь исходным отображением Фо,
поэтому гомоморфизм f1 мы обозначим просто через фо,
Фо(Br(K))^B'(L). Более того, оказывается, что если ср0 и cpi — два
эквивалентных отображения комплекса К в комплекс L, то со¬
ответствующие им гомоморфизмы ср0 и cpi совпадают.
Доказательство. Пусть — произвольное подраз¬
деление комплекса L, Кр — такое подразделение комплекса К,
что существует симплициальное отображение комплекса К?
в комплекс 1Д аппроксимирующее ф|. В силу теоремы 19 имеем
f“~фо, -—■ ср 1, а так как по условию сро~ф|, то	Таким
образом, в силу леммы 2 настоящего параграфа' гомоморфизмы
fa и f5 совпадают, а так как оба они построены независимо один
от другого, то и гомоморфизмы фо. ф1, указанные в форму¬
лировке теоремы, не зависят от случайно выбранных подразделе¬
ний /С" и /Ср и аппроксимации f\
Итак, теорема 20 доказана.

104 ЕЛ. 111. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ
В силу теоремы 20 каждому непрерывному отображению <р
комплекса К в комплекс L соответствует гомоморфизм ф групп
гомологий; докажем следующее важное свойство построенного
гомоморфизма.
Теорема 21. Пусть К, L, М — три комплекса, ф — непре¬
рывное отображение комплекса К в комплекс L, а ф — непрерыв¬
ное отображение комплекса L в комплекс М. Оказывается,
что непрерывному отображению фф комплекса К в комплекс М
соответствует гомоморфизм фф, являющийся произведением
гомоморфизмов $ и ф (см. теорему 20).
Доказательство. Пусть Ма — произвольное подразде¬
ление комплекса М. Через La обозначим настолько мелкое
подразделение комплекса L, что непрерывное отображение ф
комплекса La в комплекс Ма допускает симплициальиую
аппроксимацию ga. Через; К1 обозначим настолько мелкое под¬
разделение комплекса К, что отображение ф комплекса Ка
в комплекс La допускает симплициальиую аппроксимацию fa.
Схематически имеющуюся систему отображений можно запи¬
сать так:
Здесь стрелки указывают на наличие отображений; над стрел¬
ками стоят исходные непрерывные отображения, а под стрел¬
ками — аппроксимирующие их симплициальные. В силу § 7, D)
симплициальное отображение gaf* аппроксимирует непрерывное
отображение фф. В силу теоремы 20 для гомоморфизмов имеют
место равенства: ф=?а,	а непрерывному отображению
Фф соответствует произведение гомоморфизмов gaf “ (см. § 7,
О)), что на основании указанных равенств ставит в соответствие
непрерывному отображению фф произведение гомоморфиз¬
мов фф.
Таким образом, теорема 21 доказана.
Гомоморфизмы групп гомологий полиэдров. Теорема 22.
Пусть и — непрерывное отображение полиэдра Р в полиэдр
Q, | — некоторый элемент группы ВГ(Р) (см. определение 22),
(от, К) и (т, L) — произвольные триангуляций полиэдров Р и Q и,
наконец, х — представитель элемента 5 в триангуляции (о, К),
tsB'((!, К) = В'(К). Отображение т7'(оо = Я, очевидно, является
непрерывным отображением комплекса К в комплекс L, и в силу
теоремы 20 определен гомоморфизм i группы В\К) в группу B'(L).
Положим у = %{х) и обозначим через т) тот элемент группы B'(Q),
который содержит у. Оказывается, что элемент т) не зависит от
случайного выбора элемента х из %, и потому можно определить

$ 15. ГОМОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ ОТОБРАЖЕНИЙ
105
гомоморфизм ш группы ВГ(Р), в группу Br(Q), положив г) = <и(£).
Оказывается, далее, что если ш0 и Ш| суть два эквивалентных
между собой непрерывных отображения полиэдра Р в полиэдр Q,
то гомоморфизмы ш0 и Ш| совпадают.
Доказательство. Пусть (огь К\) и (о2, Кг)— две
произвольные триангуляции полиэдра Р, а (ть L|) и (т2, Li) — две
произвольные триангуляции полиэдра Q. Рассмотрим непре¬
рывные отображения:
т 1—1 шсг | = Я1, тр[<йо2 = Х2, a^'(j|=(p,	*Ti = aJj.
Для этих непрерывных отображений имеет место очевидное
равенство
?ь2=ф?Ы(р_1.
В силу теоремы 21 то же равенство имеет место для соответ¬
ствующих гомоморфизмов:
>ь2 = Ф^1ф_1	(11)
Пусть £ — произвольный элемент группы ВГ(Р), а х\ и х2 — его
представители уиз групп B'(Ki) и В'(Кг) (см. определение 22)..
Положим yi=kt(xi), уг = Х2{х2) и покажем, что yt и у2 являются
представителями одного и того же элемента т] группы Br(Q)
в группах В'(ть L|) и Вг(т2, Li). Этим самым первая часть
теоремы 22 будет доказана.
Так как Xi и х2 являются представителями одного и того же
элемента £, то в силу определения 22 имеем х\ = ср~1(х2), отсюда
на основании (11) получаем Уг — $(У0’ что, в свою очередь,
на основании определения 22, означает принадлежность уt и у2
к одному и тому же элементу Br(Q).
Пусть теперь ш* — непрерывное семейство отображений
полиэдра Р в полиэдр Q. Нетрудно видеть, что т-|шщ = р,*
есть непрерывное семейство отображений комплекса К в ком¬
плекс L. Пусть ВГ(Р), их — представитель элемента | в группе
В'(сг, К)\ теорема 22 утверждает, что ш0(£)=(О|(£), но по построе¬
нию гомоморфизмов ш0 и (о, последнее равенство означает,
что p,0(x) = pi(x), это же последнее равенство вытекает из теоре¬
мы 20 в силу эквивалентности отображений р0 и р,.
Итак, теорема 22 доказана.
Теорема 23. Пусть Р, Q, R — три полиэдра, ср — непре¬
рывное отображение полиэдра Р в полиэдр Q, а ф — непрерывное
отображение полиэдра Q в полиэдр R. Оказывается, что непре¬
рывному отображению фср = д полиэдра Р в полиэдр R соответ¬
ствует гомоморфизм 0 = ф>ср, являющийся произведением гомо¬
морфизмов -ф и ср.

106 ГЛ. III. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ
Доказательство. Теорема 23 непосредственно вытека¬
ет из теорем 21 и 22. Пусть (р, К), (о, L) и (т, М) — произвольные
триангуляции полиэдров Р, Q и R. Гомоморфизм <р строится при
•помощи непрерывного отображения а-1<рр = Я комплекса К
в комплекс L; гомоморфизм $ строится при помощи непрерывного
отображения т_1фсг = р, комплекса L в комплекс М; гомоморфизм
•ft строится при помощи непрерывного отображения т_|ффр = л1
комплекса К'в комплекс М. Так как v = pA, то из теоремы 21
теорема 23 вытекает непосредственно.
Гомотопически эквивалентные полиэдры. Понятие гомотопи¬
ческой эквивалентности полиэдров (см. определение 25)
в последнее время начинает играть существенную роль в топо¬
логии. Ввиду того что оно близко примыкает к изложенному выше
материалу, я привожу его здесь, хотя в дальнейшем оно и не
будет использовано. Интересно отметить, что для гомотопически
эквивалентных полиэдров многие инварианты совпадают; здесь
это совпадение будет установлено лишь для групп гомологий.
А)	Пусть Р — полиэдр, а <р — непрерывное отображение
полиэдра Р в себя, эквивалентное тождественному; тогда гомо¬
морфизм ф группы ВГ(Р) в себя является тождественным.
В силу теоремы 22 достаточно доказать предложение А) для
случая, когда ф есть тождественное отображение полиэдра Р
в себя. Пусть (р, К) — произвольная триангуляция полиэдра Р,.
тогда отображение р_|фр = Я комплекса К в себя является
тождественным, и потому гомоморфизм X группы Вг(р, К) в себя
также является тождественным, а из этого в силу теоремы 22
предложение А) и вытекает.
Определение 25. Пусть Р и Q — два полиэдра,
ф — непрерывное отображение Р в Q, а ф — непрерывное отобра-’
жение Q в Р. Будем говорить, что отображения ф и ф гомото¬
пически взаимно обратны, если отображение фф полиэдра Р
в себя и отображение фф полиэдра Q в себя эквивалентны
тождественным. Полиэдры Р и Q будем называть гомотопически
эквивалентными, если существуют для них гомотопически
взаимно обратные ф и ф.
Теорема 24. Пусть Р и Q — два гомотопически эквивален¬
тных полиэдра, а ф и ф — гомотопически взаимно обратные-
отображения, осуществляющие эту эквивалентность (см. опре¬
деление 25). Оказывается, что гомоморфизм ф является изо¬
морфизмом группы ВГ(Р) на группу Br(Q), а гомоморфизм if)
является изоморфизмом группы Br(Q) на группу ВГ(Р), причем
изоморфизмы ф и if взаимно обратны.
Доказательство. Так как отображение фф = Х экви¬
валентно тождественному, то в силу А) гомоморфизм л группы

« 16. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
107
ВГ(Р) в себя является тождественным изоморфизмом. В силу
теоремы 24 имеем X = фф, и потому фф есть тождественное
отображение группы В'(Р) на себя. Из этого заключаем, что ядро
гомоморфизма-ф содержит лишь нуль, а ф есть гомоморфизм
группы Br(Q) на всю группу ВГ(Р).
Совершенно так же приходим к выводу, что ядро гомомор¬
физма ф содержит только нуль, а ф есть гомоморфизм группы
ВГ(Р) на всю группу Br(Q). Сопоставляя полученное, видим,
что фиф суть взаимно обратные изоморфизмы
Итак, теорема 24 доказана
§ 16. Теорема существования неподвижных точек
В настоящем параграфе будут даны достаточные условия
существования неподвижных точек отображения ш полиэдра
Р в себя Условия эти будут даны в терминах гомологических
инвариантов отображения ш (см. § 15). Приводимые здесь
достаточные условия не являются необходимыми. Необходимые
и достаточные условия не могут быть даны в терминах гомологи¬
ческих инвариантов отображения, как показывают довольно
сложные примеры, - которые я не могу привести в этой книге.
Кроме теоремы 27 будет дана еще теорема 25, которая явля¬
ется вспомогательной для теоремы 27 но имеет и другие, более
глубокие следствия.
След эндоморфизма группы. А) Пусть В — коммутативная
группа конечного ранга, взятая в аддитивной записи, х\, ..., хг —
ее максимальная линейно независимая система элементов.
ах — произвольный элемент из В Тогда существует линейная
зависимость
ax = a‘xi + ...-j-arxr.	(1)
где a — натуральное число, а а1	а' — целые числа Положим
а1 ——
а
и напишем формальное равенство, не имеющее группового
смысла:
x±alxi + ...-j-arxr.	(2)
здесь а1, ..., а' суть рациональные числа. Равенство (2) имеет
лишь тот смысл, что после умножения на подходящее число а оно
переходит в равенство (1), имеющее уже групповой смысл.
Очевидно, что если а является подходящим числом для перехода
от (2) к (1), то и всякое его кратное также подходит для этой
цели. Числа а1	сС конечно не определяют элемента х, но ока-

108 ГЛ. III. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ
зывается, что при заданной системе х,,хг элемент х однозначно
определяет числа а1, аг, Докажем это.
Допустим, что наряду с равенством (2) имеет место равенство
x=Pxt + ... + Pxr,	(3)
которое при умножении на натуральное число Ь приобретает
групповой смысл. Умножая соотношения (2) и (3) на число ab,
мы получим два равенства
abx=aba)x\ -\-...-\-abarxr, abx = ab$'xt + ...-\-ab%rxr,	(4)
уже имеющие групповой смысл. Ввиду линейной независимости
системы Х\, ..., хг из соотношений (4) получаем равенства для
чисел: аЬЪ = аЬЪ‘, t=l, .... г, откуда следует: Ъ = S'. Этим наше
утверждение доказано.
В)	Эндоморфизмом группы, как известно, называется гомо¬
морфизм ее в самое себя. Пусть В — коммутативная группа
конечного ранга, xi, ..., хг — максимальная система ее линейно
независимых элементов, и f — эндоморфизм группы В. В силу
А) мы можем написать соотношение
К*0= S &/•	(5)
/=1
След S(||af||) = 2 матрицы ||aj||, как оказывается, не зави-
/= I
сит от случайности выбора системы xt,.... хг и потому называется
следом эндоморфизма f группы В. Мы обозначим его через
S(f, В).
Г
Докажем, что S ч не зависит от выбора системы хи ...
/=1
.... х„ Пусть уи .... уг — другая система линейно независимых
элементов н
№= S %	(б)
— равенство, аналогичное (5). Пусть, далее,
Г
♦ V *1* i	_
У1= 2 Pl*h	(7)
/ —1
■I* г) *N!
XI = 2 фур
1=1
(8)

§ 16- ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
109
Очевидно, существует натуральное число а, после умножения
на которое равенства (5) — (8) переходят в равенства, имеющие
групповой смысл. Из (7) и (8) получаем
а2у< = 2 ф,ах, = 2 ap\atfiyk,
/= 1	;,*=i
т. е.
у,= 2 т*
i,k= 1
так как, кроме того, yi=yi, то
2
i = i
Из соотношений (8), (6) и (7) получаем
a:>f(x,) = a?f( Еад‘у) = а 2 ад1аЦу,)=
1 7 /=1
(9)
Г	*Ь	Г ** *Ь
= а 2 aqlabjyk = 2 aq{abpyk =
},k= i	i,* = i
2. аЦаЬ]а%х(
j,k,t=i
и, следовательно,
f(x,)= 2
I
Сравнивая последнее соотношение и (5), получаем
8Г= 2 Л-
/,*=1
Теперь имеем
(=i j,k,i = i	i,k,t= i	i = i
(см. (9)).
Таким образом, независимость следа S(f, В) от системы
Х|, ..., хг доказана.
С)	Пусть В — группа конечного ранга, С — ее .подгруппа;
и В* = В/С факторгруппа. Если подгруппа С инвариантна
относительно некоторого эндоморфизма f группы В, т. е. f(C)czC,
то эндоморфиз.м f, очевидно, определен и на С; более .того, эндо¬

J JQ ГЛ. III. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ
морфизм f можно естественным образом определить н на В*;
для этого достаточно поступить так: пусть х‘ей* их — элемент
класса смежности х*; положим
f(x*)=(f(xj)*,
здесь (f(x))* обозначает тот элемент из В*, который содержит
элемент Дх). Оказывается, что так определенное f(x*) не зависит
от случайного выбора тег* и f есть эндоморфизм группы В*.
Далее, имеет место следующее важное соотношение:
S(j, B)=S(f, B*)+S(f, С).	(10)
Пусть х и х'—два произвольных элемента из х*, тогда
х-т'еС, и мы имеем Дх) —Дх')=/(х—х')еС. Таким образом,
f(x) и Да-') принадлежат также одному классу смежности В по
подгруппе С.
Докажем теперь соотношение (10). Пусть у\, ..., yt — макси¬
мальная линейно независимая система из С, a xf, ..., а?— макси¬
мальная линейно независимая система из В*. Обозначим через хi
некоторый элемент класса смежности х?, тогда система а		 xs,
У\, ..., yt является максимальной линейно независимой системой
группы В, это было уже доказано раньше (см. § 6, лемма).
Мы имеем, следовательно (см. А)),
Так как ДС)сгС, то
Яг//) = 2 Цу,.	(12)
/=i
Умножая соотношение (11) на подходящее натуральное число а,
переходя далее к факторгруппе В* и виовь деля на а, получаем
f(x?) = S cfc%	(13)
а = I
Из соотношений (11) — (13) получаем
S Й+ S *cl
k=\	/=I
S(f,C)= V S(f,B*)= i *al
i=i	k=i
Таким образом, соотношение (10) доказано.
D)	Пусть В — группа конечного ранга, С — ее подгруппа,
составленная из всех элементов конечного порядка группы В,

§ 16. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
111
и В=В/С. Если f — произвольный эндоморфизм группы В, то,
очевидно, )(С)сгС и S(f, С) = 0, так как в С вообще нет незави¬
симых элементов. Таким образом, эндоморфизм f определен
для В, и мы имеем S(f, B) = S(f, В). Переход от группы В к группе
В будем называть приведением. Очевидно, что приведенная
группа В не имеет элементов конечного порядка, кроме нуля.
Слабые гомологии. Определение 26. Пусть К — некото¬
рый комплекс и Zo — группа его г-мерных циклов по целочислен¬
ной группе коэффициентов. Два цикла Z\ и г2 из Z'0 называются
слабо гомологичными между собой: Z\«z2, если существует
натуральное число а, для которого а(гi—z2)—0. Очевидно,
что совокупность Яо всех циклов, слабо гомологичных нулю,
образует подгруппу группы Zo, причем группа Но циклов, гомо¬
логичных нулю, содержится в Яо. Факторгруппа Br = Zr0/Bo
называется приведенной группой гомологий комплекса К-
Элементы ее суть классы слабо гомологичных между собой
циклов.
E)	Так как Hr0czBro (см. определение 26), то каждый класс
смежности z* группы Zo по подгруппе Яо содержится в некотором
классе смежности z группы Z& по подгруппе Я о. Соответствие
. z* —>- z, очевидно, дает гомоморфное отображение группы Во на.
группу Вг. Оказывается, что ядро этого гомоморфизма состоит'
из всех элементов группы В о, порядок которых конечен, так что
переход от группы Во к группе Вг есть приведение в смысле D),
и потому след любого эндоморфизма группы Во равен следу
соответствующего эндоморфизма группы В'. В этом заключается
роль приведенной группы гомологий.
Покажем, что ядро С гомоморфизма 2*-кг состоит из всех
элементов группы Во конечного порядка. Пусть z*eC' и 2 —
цикл из 2*. Так как гег*с2 = 0, то 0, и потому существует
натуральное число а такое, что az—0, и, следовательно, az* — 0,
т. е. z* имеет конечный порядок. Если, наоборот, z* имеет ко¬
нечный порядок, то az* — 0, и, следовательно, для любого
цикла 2Е2* имеем az~0, т. е. 2»0, и потому 2 = 0, т. е.
•у* е Сг.
F)	Так как группа Вг (см. определение 26) не имеет элементов
конечного порядка и допускает конечную систему образующих,
то в ней существует линейно независимый базис z\, ..., zp.
Выберем из каждого класса 2,- цикл 2,. Система циклов zi, ..., zp
составляет так называемый базис слабых гомологий размерности
г комплекса К и обладает тем свойством, что если z — произ¬
вольный г-мерный цикл нашего.комплекса, то
2«a'2i + ... + a%,

112 ГЛ. III. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ
где а', ар — целые числа, однозначно определенные циклом
z н базисом 2		 2р.
G)	Пусть К и L •— два комплекса, Ка и L? — их подразделе¬
ния, а / — симплициальное отображение комплекса Л(а в ком¬
плекс Lp. Очевидно, что из 2|«г2 в Ка следует /(2|)«/(22) в /А
Таким	образцу,	симплициальное	отображение	f	порождает
гомоморфизм f группы ЁГ(К) в группу Ё'{Е) (см. § 12, А)). Пусть
^еперь L^ — K; тогда эндоморфизм f группы Ёг и эндоморфизм
f группы Во имеют одинаковый след (см. D), Е)). След этот
может быть получен еще так: пусть zri, ..., zrp, есть г-мерный
базис слабых гомологий комплекса К, тогда
Я(2,Г)« £	'aH	(14)
/= I
и мы имеем соотношение
SQ , В6(A)) = S(S , В'{К)) = £ Ч	(15)
;=|
Для доказательства соотношения (15) обозначим через 2; тот
класс слабых гомологий комплекса К, который содержит цикл zf;
тогда в применении к группе ЁГ(К) соотношение (14) дает
/(*0 = 2 0/%	(16)
/=|
а так как z\, ..., %, составляют максимальную линейно незави¬
симую систему группы Ё\К), то из (16) следует (15).
Формула Эйлера — Пуанкаре — Хопфа. Нижеследующая
теорема	Хопфа	служит основой	для получения	различных
теорем о неподвижных точках; в то же время она является
прямым обобщением теоремы Эйлера — Пуанкаре относительно
эйлеровой характеристики.
Теорема 25. Пусть К — произвольный п-мерный ком¬
плекс, К'1 — его подразделение и f — симплициальное отображе¬
ние комплекса Ка в комплекс К. Через Ц обозначим группу всех
r-мерных цепей комплекса К"' по целочисленной группе
коэффициентов. Если xeL), то положим g(x) — (f (x)f, тогда g
есть эндоморфизм группы Ц; с другой стороны, симплициальному
отображению f соответствует эндоморфизм f группы ЁГ(К)
(см. F)).
Оказывается, что
£ (-1 )'S(g,.L6)= v (—1 )'S(/V,g'(K)) = /(/,*).	(17>
r=0	r=0

§ 16. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
113
Доказательство. Эндоморфизм g определен для
групп L'o при произвольном г, r = 0, 1, п. При произвольном
xeLo имеем
&g(.x) = g(Ax);
(18)
действительно,
Ag(x) = Д(/(*))“ = Шх)Т=(1(Ах)Т = g(Ax).
Подгруппу всех циклов группы L'o обозначим через Z'0, а подгруп¬
пу циклов, гомологичных нулю,— через Я6. Из (18) непосред¬
ственно следует:
g(Z'o)czZr0, g(H'o)czHro.	(19)
Соотношение (19) в силу В) дает нам
S(g, L'o) = S(g, Z'0)+S(g, L'0/Z'0) =
= S{g, Z'o/H'0) + S(g, H'0) + S(g, L'o/Zo). (20)
Выясним, какой смысл имеет эндоморфизм g для групп
Z&/#о = В'</Ка) и L'o/Z'o, имея в виду, что существует вполне опре¬
деленный изоморфизм групп Во(Ка) и В'о(К), а также групп L'o/Z'o
и ЯГ1.
Симплициальное отображение f ставит-' в соответствие каж¬
дому циклу zvиз К цикл f(za) из К и тем самым порождает
эндоморфизм f группы Во{К) (см. С)).
Если же теперь мы хотим перейти от группы ВЦК) к группе
Вго(Ка) на основе естественного изоморфизма (см. теорему >15),
то циклу za комплекса Ка следует поставить в соответствие цикл
(f(za))’t. Последнее соответствие совпадает, с g. Таким образом,
эндоморфизм f группы Во(К) переходит в эндоморфизм g группы
Z'o/H'o, если взять естественный изоморфизм между группами
Во(К) и Zo/Hro = B<(Ka). Следовательно, мы имеем
S(f, B'0(K)) = S(g, Z'o/H'o).	(21)
Пустьх* — произвольный элемент группы L'o/Z'o их — произ¬
вольная цепь из класса смежности х*. Очевидно, что все элементы
из х* имеют одинаковые границы, и потому мы можем положить
Ах* = Ах. Так определенное отображение А является изоморфиз¬
мом группы L'o/Z'o на группу Яо_|, ибо ядро гомоморфизма'Л
группы L'o На группу Н'0~1 есть Z'o. Эндоморфизм g определен как
для группы L'o/Z'o, так и для группы H'0~l czL'0~l (см. С) и (19)).
В силу (18) имеем
g(Ax*) = Ag(x*),

114 гл. III. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ
а это значит, что эндоморфизм g одинаков для групп ЯГ1
и L6/Z5, если только переход от одной к другой сделать на основе
изоморфизма А, данного здесь. Таким образом,
S(g, Lo/Z'0) = S(g, ЯГ1).	(22)
Соотношения (21) и (22) позволяют нам переписать формулу
(20) в виде
S(g, Lb) = S(f, Bb(K)) + S(g, Ho) + S(g, ЯГ ‘).	(23)
Здесь следует считать, что
S(g, Щ) = 0 и S(g, ЯгГ) = 0.
Умножая, равенство (23) на (— 1)г и суммируя по г, получаем
2 (-i)rs(g,u) = 2 (-iys(Y,Bb(K)).
г—0	г=0
Равенство
S(J, Вг(к))—S(f, ВЦЮ)
было отмечено уже раньше (см. G)).
Таким образом, теорема 25 доказана.
Число, введенное в теореме 25, можно иначе выразить так:
Н)	Пусть А\, ..., А^г — совокупность всех г-мерныхлориенти-
рованных симплексов комплекса Ка, r = 0, 1, ..., п. f(Af) есть
r-мерный ориентированный симплекс из К или 0, а (f(Arj))a пред¬
ставляется в виде
(?(Л))Г= 2 7lArk,	(24)
k= 1
где каждый коэффициент 7/есть целое число. Тогда имеет место
равенство
ЩК)= 2 (-1)г 2 7*= 2 (-17 2 га\. (25)
г —0	k=l	г = 0	/= I
Для доказательства соотношения (25) заметим, что А]
составляют максимальную линейно независимую систему труп-
а'
пы Lb, а потому S(g, Lb) = 2 7*- С другой стороны, имеют
место (15) и (17). Таким образом, предложение Н) доказано.
Выведем теперь из формулы (25) формулу Эйлера — Пуанкаре.
Будем считать, что Ка — К, а / есть тождественное отображе¬
ние К иа себя. Тогда вместо (24) имеем f(A-) = Arj, и потому

$ 16. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
115
в данном случае rff=bp т. е.
*= I
Точно так же вместо (14) имеем f(zf) = z\'и потому в данном случае
имеем
£ та\=рт,
и потому
£(-1)'аг= 2 (-1)у.
г =о	>=о
Теорема существования. Те орем а. 26. Пусть ф — непре¬
рывное отображение п-мерного комплекса К самого в себя.
В силу G) и теоремы 20 отображению ф соответствует эндо¬
морфизм ф группы В'(К).
Положим
/(ф, /0= 2(—l)'S(ip, В'(10);
r = О
оказывается, что если введенное так число /(ф, К) отлично от
нуля, то отображение ф полиэдра 1 /С1 в себя имеет неподвиж¬
ную точку.
Доказательство. Доказательство будем вести от
противного. Допустим, что неподвижных точек нет, и покажем,
что тогда число /(ф, К) равно нулю:
Так как отображение ф не имеет неподвижных точек, то в силу
компактности полиэдра | К1 существует настолько малое поло¬
жительное число е, что
р(х, ф(х))>е при xelKl.	(26)
Пусть К? — настолько мелкое подразделение комплекса К,
что диаметр каждого симплекса из К? меньше е/3. Для сохране¬
ния единства в обозначениях с предыдущим будем считать,
что К? —К.. Это означает лишь, что комплекс К был взят в доста¬
точно мелком подразделении. Пусть теперь Ка—настолько
мелкое подразделение комплекса К, что существует симпли-
циальное отображение f комплекса К* в комплекс К, аппрокси¬
мирующее отображение ф. Так как для каждой точки х из |/f|
существует симплекс D^K такой, что f(x)^D, q>(x)eD, то
Р(Я*). фМ)<|-

j jg ГЛ. III. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ
В силу- (26) это дает
p(x,f(x))>-^-e.	(27)
Пусть А/ — произвольный ориентированный симплекс ком¬
плекса Ка. Покажем, что симплексы f(Aj) и А] не пересекаются.
Если теЛ), f(x)^f(Aj) и если бы симплексы эти пересекались,
2
то мы имели бы р(х,/(x))<-g-е, ибо диаметры обоих симп¬
лексов меньше е/3.
Если в соотношении (24) хотя одно число rfj отлично от нуля,
jo это значит, что симплекс А] содержится в подразделении
/(Л))а, т. е. симплексы А] и f(A]) пересекаются, что невозможно.
Таким образом, все числа rfj равны нулю. Следовательно,
J(f, К) — 0. Для перехода к У(ср, К) следует отметить только,
что эндоморфизм <pvno самому своему построению совпадает
с эндоморфизмом ( . Таким образом, У(ф, К) = 0.
Итак, теорема 26 доказана.
Из теоремы 26 непосредственно вытекает соответствующая
теорема для полиэдра Р. Приведенную группу гомологий В'(Р)
полиэдра Р можно определить как приведение группы В'о(Р)
{см. D)) или при помощи триангуляций, как это сделано в опре¬
делении 22. Если со есть непрерывное отображение полиэдра Р
■в себя, то ему соответствует эндоморфизм й группы ВГ(Р). Эндо¬
морфизм со можно определить либо на основе замечания D), либо
так же, как это сделано в теореме 22.
Теорема 27. Пусть со — непрерывное отображение
п-мерного полиэдра Р в себя и ш — соответствующий этому
отображению эндоморфизм группы ВТ(Р) Оказывается, что если
число
}(ы,Р)= 2 (-l)'S(w, В'{Р))
г —0
отлично от нуля, то отображение со имеет неподвижную точку.
Доказательство. Пусть (сг, К) — произвольная триан¬
гуляция полиэдра Р; тогда ф = сг_1(осг есть непрерывное отобра¬
жение комплекса К в себя. Ясно, что /(со, Р) = ]{ф, К), и потому
/(ф, К)ф0, таким образом, отображение ф имеет неподвижную
точку х (см. теорему 26). Тогда сг(х)еР есть неподвижная точка
отображения со. Действительно, мы имеем
ш(сг(х)) = сг(ф(х))=сг(х).
Этим теорема 27 доказана.

§ 16. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
117
I)	Пусть ф— непрерывное отображение связного комплекса
К в себя; тогда S(f , Ё°(К))= 1.
Действительно, пусть f — симплициальное отображение
комплекса Ка в комплекс К, аппроксимирующее отображение ф.
Если а — некоторая вершина комплекса К, то +(а) есть цикл,
образующий нульмерный базис слабых гомологий в л/(. Тогда
/( + (а))= + (&), где Ь — также вершина из К, и потому /( + (а))«
«+(а)> таким образом, в силу G),
S(l В°(К)) = 1.
Теорема 28. Если А— симплекс любой размерности,
то /(со, А)— 1 при любом непрерывном отображении со симплекса
в себя, и потому отображение со имеет неподвижную точку
(см. теорему 14).
Доказательство. В силу I) имеем S(co, В°(А)) — 1, а так
как для г> 0 группа Ь\А) не имеет элементов, отличных от нуля,
то /(со, /4)=1.
Этим теорема 28 доказана.
J)	Пусть Ля + 1 —евклидово пространство размерности л+ 1
1)	с декартовыми координатами х’, х2, ..., хп+1. Множество
2я точек пространства Rn+i, удовлетворяющих уравнению
{х')2 + {х2)2 + - + {хп+')2= 1,
называется я-мерной сферой. Оказывается, что 2я гомеоморфно
границе У7” = |S"| симплекса размерности п-\-1. Таким образом,
2я есть полиэдр, л-мерная группа гомологий которого — свобод¬
ная циклическая группа. Образующую этой группы обозначим
через и. Если со есть непрерывное отображение полиэдра 2я
в себя, то мы имеем: й(ы) = £ы. Число k называется степенью
отображения со сферы 2я в себя и является инвариантом класса
отображений, содержащего со.
Для доказательства гомеоморфности 2я и Fn выберем вГ+|
симплекс An+i размерности л+ 1 такой, что центр его совпадает
с началом координат О в Ля+1, причем 2яс:Ля+1. Если ref"
(здесь Fn — граница симплекса An+l), то отрезок (0, х) пере¬
секает 2я в единственной точке у = <р(х). Легко видеть, что ф есть
гомеоморфное отображение множества Fn на множество 2я.
Таким образом, 2я и Fn гомеоморфны.
Теорема 29. Пусть со — непрерывное отображение
п-мерной сферы 2я в себя (см. J)) со степенью k. Тогда имеем:
/(со, 2Я)= 1 +( — 1)я£. Таким образом, отображение со всегда
имеет неподвижную точку, если только число 1 + (— 1)я& отлично
от нуля.

1 18 гл. Ill: НЕПРЕРЫВНЫЕ отображения и неподвижные точки
Теорема 29 непосредственно вытекает из теоремы 27 и из того,
что каждая группа гомологий комплекса S" размерности г,
О</•<«, тривиальна, между тем как группы гомологий размер¬
ностей 0 и л суть свободные циклические группы (см. теоре¬
му 11).
В качестве простого приложения теоремы 29 рассмотрим
отображение <а сферы 2я в себя, переводящее каждую точку
хе2я в диаметрально противоположную ей точку —х,
<а(дс)=—х. Отображение это, очевидно, не имеет неподвижных
точек, и потому число 1+(—1 fk равно нулю. Таким образом,
£ = (—1)я+1. Мы видим, что степень отображения сферы 2я
в себя, переводящего каждую точку в диаметрально противо¬
положную, равна (—1)я+|.

а а понтрягин
(Основа
КОМБИНДЮРНОЙ
топологии