А. Б. Сосинский
Введение в топологию
Лекционный курс
Москва Издательство МЦНМО 2020


УДК 515.14 ББК 22.152 С66
Сосинский А. Б.
С66 Введение в топологию: Лекционный курс. — М.: МЦНМО: НМУ, 2020.-224 с.
ISBN 978-5-4439-1463-3
Книга основана на курсе топологии, который читался студентам первого и второго курса НМУ, а также американским студентам в рамках программы Math in Moscow. Первая часть —общее введение в топологию, с акцентом на маломерные геометрические объекты (графы, поверхности, кривые на плоскости, узлы) и их инварианты (эйлерова характеристика, степень отображения окружности, степень точки относительно кривой, фундаментальная группа). Вторая часть представляет собой введение в алгебраическую топологию, включающее гомотопические группы, клеточные, симплициальные и сингулярные гомологии, вместе с такой классикой, как двойственность Пуанкаре, теория препятствий, теоремы Гуревича, Хопфа—Уитни, Лефшеца, пространства Эйленберга—Маклейна, векторные расслоения.
Для студентов и преподавателей вузов.
ББК 22.152
Учебное издание для вузов
Алексей Брониславович Сосинский Введение в топологию: Лекционный курс
Издательство Московского центра непрерывного математического образования 119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-08-04
Подписано в печать 30.12.2019 г. Формат 60x901/i6. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Печ. л. 14. Тираж 1000. 3аказ10635.
Отпечатано в ООО «Типография „Миттель Пресс“».
г. Москва, ул. Руставели, д. 14, стр. 6.
Тел./факс +7 (495) 619-08-30, 647-01-89.
E-mail: mittelpress@mail.ru
©
ISBN 978-5-4439-1463-3
© Сосинский А. Б., 2020. © МЦНМО, 2020.


Предисловие
Эта книга —запись обязательного курса топологии, который читался (и сейчас читается) в Независимом московском университете российским студентам первого и второго курса, а также американским студентам, участникам программы Math in Moscow. Курс этот постепенно создавался В. В. Прасоловым и А. Б. Сосинским с самого основания НМУ, они же читали его поочередно в нулевые и десятые годы нынешнего века.
Текст настоящей книги основан на двух брошюрах (на английском языке) В. В. Прасолова и А. Б. Сосинского1 и представляет собой сильно отредактированный и исправленный перевод их амальгамы.
Наибольшее влияние на содержание и манеру изложения вышеупомянутых брошюр оказала книга Д. Б. Фукса и А. Т. Фоменко «Гомотопическая топология»; автор этих строк был активным слушателем курса топологии Дмитрия Фукса в период написания им первой версии той замечательной книги, а Виктор Прасолов — ученик Анатолия Фоменко.
С содержанием курса проще всего ознакомиться, взглянув на оглавление. Принципы отбора материала и манера его изложения определяются моим пониманием роли топологии в формировании профессионального математика.
С моей точки зрения, топология — не только одна из важнейших частей математики и интересный сам по себе предмет исследования, но ещё и существенная часть фундамента всей математики, богатейший источник методов и результатов, используемых во всех математических науках. Понятно, что лишь небольшая часть слуша¬
1V. V. Prasolov, А. В. Sossinsky. Topology-I: Lecture Notes. Independent University of Moscow, 2009; A. B. Sossinsky. Topology-II: Lecture Notes. Independent University of Moscow, 2015.


4
Предисловие
телей курса станут математиками-исследователями, специализирующимися именно по топологии, поэтому в курсе акцент делается на те части топологии, которые имеют приложения к другим областям математики. Мы имеем дело в большей степени с конкретными геометрическими объектами и не стремимся к максимальной общности и абстракции.
Настоящая книга состоит из двух частей, каждая из которых отвечает одному семестру лекций (чаще всего это были второй семестр первого курса и первый —второго).
Первая часть книги (лекции 1—12) называется «Элементарная топология»; её можно охарактеризовать как введение в топологию с акцентом на конкретные объекты малой размерности (графы, поверхности, полиэдры и CW-комплексы, кривые на плоскости, косы, трёхмерные узлы, накрытия) и их простейшие инварианты (эйлерова характеристика, степень отображения окружности в себя, степень точки относительно кривой, число вращения, фундаментальная группа). Мы позволили себе посвятить одну из лекций (лекцию 7) теме, формально относящейся скорее к анализу, чем к топологии (а именно, векторным полям на плоскости и на поверхностях); в этой лекции доказывается теорема Пуанкаре о совпадении индекса векторного поля на поверхности с её эйлеровой характеристикой. Из других «внешних» приложений топологии отметим два разных доказательства так называемой «основной теоремы алгебры» (лекции 8 и 9).
Вторая часть (лекции 13—24) называется «Введение в алгебраическую топологию»; она посвящена клеточным, симплициальным и сингулярным теориям (ко) гомологий и гомотопическим группам (включая такую классику, как теорема Гуревича, двойственность Пуанкаре, теоремы Лефшеца и Хопфа—Уитни, пространства Эйленбер- га—Маклейна, препятствия к продолжению отображений), теории расслоений (включая векторные и G-расслоения, классифицирующие пространства, конструкцию Милнора). Изложение этих классических разделов алгебраической топологии происходит на современном языке теории категорий, но сама эта теория здесь не развивается и не используется.
В последней «лекции» (которая в таком виде никогда не читалась!) рассказывается в обзорном стиле о различных классических темах алгебраической топологии, которые я не всегда успевал освещать в курсе (функторы Ext и Тог, формула универсальных коэффициентов и формула Кюннета, двойственность Александера, (ко) гомологии


Предисловие
5
Чеха). Кроме того, в этой «лекции» дается некоторое представление о двух весьма существенных темах —о спектральных последовательностях и о характеристических классах, до которых мне в лекционном курсе никогда не удавалось добраться. Это сделано для того, чтобы студенты, заканчивающие вводный курс топологии, знали, что им ещё предстоит узнать, если они дальше будут её изучать (как «чистую» науку или как прикладную).
* * *
Автор прежде всего благодарен Виктору Прасолову, вместе с которым создавался этот курс; слушателям курса, которые указывали на неточности и выражали справедливое недовольство качеством изложения отдельных мест; Михаилу Панову, создавшему наиболее изысканные рисунки, и Виктору Шувалову, автору остальных, в которых ему пришлось исправлять неточности оригиналов; Григорию Мерзону, который несколько раз творчески вёл упражнения по этому курсу и способствовал улучшению формулировок задач, а также прочитал весь текст и устранил ряд неточностей; Борису Френкину —за тщательный перевод; и наконец снова Виктору Шувалову—за окончательное форматирование и редактирование текста.


Часть I Элементарная топология


Лекция 1
Топология подмножеств пространства Rn
Материал этой лекции в основном должен быть вам знаком из продвинутых курсов анализа, но мы подробно напомним его, чтобы обеспечить свободное владение его основными понятиями (открытое множество, непрерывное отображение) и умение работать с ними.
§ 1.1. Непрерывные отображения
Топология — это математика непрерывности.
Пусть R — множество всех вещественных чисел. Функция /: М —»R называется непрерывной в точке х0 е R, если для любого е > 0 существует такое 5 > 0, что неравенство
1/(*о)-/001 <е
выполнено при всех тех х еМ, для которых \х0 — х| < 5. Функция / называется непрерывной, если она непрерывна во всех точках xgR.
Таково определение непрерывности в (простейшем) случае анализа функций одной переменной.
Пусть Шп обозначает п-мерное вещественное пространство, а Ог(р) обозначает открытый шар радиуса г > Ос центром р е Мп, т. е. множество
Or(p) := {q е Rn: d(p, q) < г},
где d — расстояние в пространстве Мп. Функция /: Мп —> R называется непрерывной в точке р0 е Мп, если для любого е > 0 существует такое 5 > 0, что /(р) G ОД/(р0)) для всех р е О5(р0). Функция / называется непрерывной, если она непрерывна во всех точках реRn.
Таково определение непрерывности в (менее элементарном) случае анализа функций нескольких переменных.


8
Лекция 1. Топология подмножеств пространства Шп
Множество G с Мп называется открытым в Шп, если для каждой точки g е G существует такое 5 > О, что 05(g) с G. Пусть X с Rn. Подмножество U с X называется открытым в X, если для любой точки и е U существует такое 5 > 0, что 05(и)П1с[/. Равносильное определение: подмножество U с! открыто в X, если U = V ПХ, где У —открытое множество в Мп. Ясно, что открыто любое объединение открытых множеств и любое конечное пересечение открытых множеств. Пусть X и Y — подмножества в Шп. Отображение /: X—>У называется непрерывным, если полный прообраз любого открытого множества открыт, т. е.
V открыто в Y => /-1(У) открыто в X.
Таково определение непрерывности как одного из исходных понятий топологии.
Сравним эти три определения непрерывности. Ясно, что топологическое определение не только самое короткое, но и самое простое по существу. Кроме того, оно приводит к самым простым доказательствам. Вот пример.
Теорема 1.1. Композиция непрерывных отображений также непрерывна. Более подробно: если X,Y,Z — подмножества в Rn, a f: X —> У и g: Y —> Z — непрерывные отображения, то их композиция, т. е. отображение h — gof:X-^Z, h(x)>->g(f(x)\ непрерывна.
Доказательство. Пусть множество W с Z открыто. Тогда множество V :=/_1(Wr) с Y открыто (поскольку отображение / непрерывно). Следовательно, множество U :=g-1(V) сХ открыто (поскольку отображение g непрерывно). При этом и = к~г (W). □
Сравним это доказательство с доказательством той же теоремы в анализе. Вышеприведённое доказательство намного проще.
Понятие открытого множества, через которое определяется непрерывность, является основным в топологии. Другие важнейшие топологические понятия (окрестность, замкнутое множество, замыкание, внутренность, граница, компактность, линейная связность и т.д.) определяются в терминах открытых множеств.
§ 1.2. Замыкание, граница, внутренность
Окрестность точки х в подмножестве X пространства Мп —это любое открытое множество (в X), содержащее х.


§ 1.3. Топологическая эквивалентность
9
Пусть A cl; точка хеА называется внутренней точкой множества А, если у неё есть окрестность U в X, содержащаяся в А. Множество всех внутренних точек множества А называется внутренностью множества А в X и обозначается Int(A). Точка аеА называется изолированной точкой множества А в X, если у неё есть такая окрестность U в X, что U ПА = а.
Точка х € X называется граничной точкой множества А в X, если любая окрестность U эх в X содержит точки из Л и точки не из А, т. е. U ПА ф0 и U П {X — А) Ф 0; граница (совокупность граничных точек) множества А обозначается Bd(A) или дА. Объединение множества А и его границы называется замыканием множества А в X и обозначается Clos(A, X) (или Clos(A), или А, если X ясно из контекста).
Теорема 1.2. Пусть А с Rn.
(а) Множество А замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои граничные точки.
(б) Внутренность множества А является наибольшим (по включению)I открытым множеством, содержащимся в А.
(в) Замыкание множества А является наименьшим (по включению) замкнутым множеством, содержащим А.
(г) Граница множества А —это теоретико-множественная разность между его замыканием и его внутренностью:
Bd(A) = Clos(A) — Int(A).
Доказательства этих утверждений непосредственно вытекают из определений, и вы, наверное, помните их из курса анализа.
§ 1.3. Топологическая эквивалентность
Тополог — это человек, для которого нет разницы между кофейной чашкой и пончиком.
Цель этого параграфа — научить вас представлять предметы (геометрические фигуры) так, как их видят топологи, т. е. считая фигуры эквивалентными, если каждую из них можно биективно и непрерывно деформировать в другую. В курсах анализа вас этому не учили, и может потребоваться некоторое время, прежде чем вы это освоите.
Пусть X и Y — «геометрические фигуры», т. е. произвольные подмножества в Мп. Они называются топологически эквивалентными


10
Лекция 1. Топология подмножеств пространства Мп
или гомеоморфными, если существует гомеоморфизм между ними, т. е. такое непрерывное биективное отображение h: X —► У, что обратное отображение /г-1 непрерывно.
Для тополога гомеоморфные фигуры —это одна и та же фигура: окружность — то же самое, что граница квадрата или треугольника, шестиугольника, эллипса; дуга окружности — то же самое, что отрезок; диск — то же, что квадрат или треугольник (включая его внутренность); граница куба —то же, что сфера или граница цилиндра или тетраэдра.
Если некоторое свойство сохраняется при любом гомеоморфизме, то оно называется топологическим. Примеры топологических свойств: компактность, линейная связность (они будут определены в этой лекции, но позже). Примеры свойств, не являющихся топологическими: длина, площадь, объём, ограниченность. Может показаться удивительным, что ограниченность не является топологическим свойством; в качестве иллюстрации докажем, что
открытый интервал (0,1) гомеоморфен вещественной прямой М !
Это доказывается явным построением гомеоморфизма h: (0,1) —> М как композиции двух гомеоморфизмов pus, показанных на рис. 1.1.
Ихо Е h(x)
В качестве другой иллюстрации рассмотрим рис. 1.2; интуитивно ясно, что тор не гомеоморфен сфере (хотя мы сейчас ещё не можем это доказать!). Однако обычный тор гомеоморфен заузленному тору, показанному на рисунке справа, хотя они выглядят «топологически очень различными»; это пример фигур, которые гомеоморфны, но по-разному вложены в R3. Позже, а именно в лекции о теории узлов, мы вернёмся к этому различию.


§ 1.4. Линейная связность
11
Рис. 1.2. Сфера и два тора
В завершение лекции рассмотрим два важнейших топологических свойства геометрических фигур, которые будут постоянно использоваться в этом курсе.
§ 1.4. Линейная связность
Множество X<zRn называется линейно связным, если любые две его точки можно соединить путём, т. е. если для любых х,у еХ существует такое непрерывное отображение (/?: [0,1]—>Х, что (р(0)=х и (/?(1)=у.
Теорема 1.3. Образ линейно связного множества при непрерывном отображении линейно связен. Более подробно: если отображение /: X—непрерывно, а X линейно связно, то /(X) линейно связно.
Доказательство. Пусть у1; у2е/Ш; Хг :=/-1(yi) и Х2 :=/_1(у2);
и х2 — произвольные точки из Хг и Х2 соответственно. Тогда существует такое непрерывное отображение (/?: [0,1] —>Х, что (/?(0) =хг и </>(1) = х2 (поскольку X линейно связно). Рассмотрим отображение гр: [0,1] —»/(Х), заданное формулой гр :=f о<р. Тогда гр непрерывно (по теореме 1.1), гр(0)=уг и я/^(1) = у2* Значит, /(X) линейно связно. □
Таким образом, мы показали, что линейная связность является топологическим свойством.
§1.5. Компактность
Семейство {Ua} открытых подмножеств множества Хс1п называется открытым покрытием множества X, если это семейство покрывает X, т. е. если |J Ua D X. Подпокрытием покрытия {Ua} называется
а
такое его подсемейство {Ua }, что |JUa ЭХ, т.е. это подсемейство
/з
также покрывает X. Множество X называется компактом, если каждое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие.


12
Лекция 1. Топология подмножеств пространства Шп
Отметим важность слова «каждое» в последнем определении: множество некомпактно, если хотя бы одно из его открытых покрытий не содержит его конечное подпокрытие. В качестве иллюстрации покажем, что
открытый интервал (0,1) некомпактен.
Действительно, это вытекает из того факта, что любое конечное подсемейство покрытия {Ul9 U2,...}, показанного на рис. 1.3, заведомо не покрывает (0,1).
и3 иг
0 1/8 1/4 1/2 1
и2 '
Рис. 1.3. Открытый интервал (0,1) некомпактен
Теорема 1.4. Образ компакта при непрерывном отображении компактен. Иными словами, если отображение f:X^>Y непрерывно, а множество ХсМп компактно, то /(X) компактно.
Доказательство. Пусть {Уа} — открытое покрытие множества /(X). Тогда каждое множество Ua :=/-1(Уа) открыто в X (по определению непрерывности) и, таким образом, {Ua} — открытое покрытие множества X. Но X компактно, поэтому {Ua} имеет конечное подпокрытие, скажем {Uai,..., UaN}. Тогда, очевидно, {/(£/а1),...,/(I/ajv)} является конечным подпокрытием в {Va}. □
Таким образом, мы показали, что компактность — топологическое свойство.
Факт. Множество X<zRn компактно тогда и только тогда, когда X замкнуто и ограниченно.
Мы не приводим доказательство этого факта, поскольку на самом деле он не является топологическим: слово «ограниченно» лишено смысла для тополога; обычно это доказательство приводится в курсах анализа.
§1.6. Задачи
1.1. 	Используя определение непрерывности в терминах е-5, дайте подробное доказательство того, что композиция двух непрерывных функций непрерывна.


§ 1.6. Задачи
13
1.2. Пусть отображение F: R2 —>R таково, что функции /ijJCo(y) := :=FOq, у) и /2 уо (х) :=FО, у0) непрерывны при любом х0, у0 G Обязательно ли функция F (х, у) непрерывна?
1.3. Докажите утверждения (а)—(г) теоремы 1.2.
1.4. Города АиВ соединены двумя дорогами. Два путешественника могут пройти по этим дорогам из Л в Б таким образом, что расстояние между ними в любой момент не превосходит 1 км. Может ли один путешественник пройти из Л в В, а другой из Б в Л (по этим дорогам) таким образом, чтобы расстояние между ними в любой момент было больше чем 1 км?
1.5. Пусть ЛсЕп и х € Шп. Расстояние от точки х до подмножества А равно d(x,A) = mf{\\x — a\\: ае А}.
(а) Докажите, что функция /(*) =d(x,A) непрерывна при любом ЛсГ.
(б) Докажите, что если множество А замкнуто, то функция /(х) = = d (х, А) положительна при любом х & А.
1.6. Пусть X — подмножество в R2, заданное уравнением ху = О (т. е. X — объединение двух прямых). Приведите примеры окрестностей в X: (а) точки (0,0); (б) точки (0,1).
1.7. Опишите множество всех точек х в R2, для которых d(x, А) = = 1,2,3, где множество А задано следующим условием:
(а) 	х2 + у2 = 0; (б) х2 + у2 = 2;
(в) * х2 + 2у2 = 2; (г) А — квадрат площади 2.
1.8. Пусть А и В — подмножества в множестве X, которое определено в задаче 1.6. Предположим, что А и В гомеоморфны, причём А открыто в X. Обязательно ли В также открыто в X?
1.9. Постройте гомеоморфизм между границей куба I3 и сферой §2.
1.10. Постройте гомеоморфизм между плоскостью R2 и открытым кругом B2:={i;gR2: |i>|<1}.
1.11. Постройте гомеоморфизм между плоскостью R2 и сферой §2 с одной выколотой точкой.


Лекция 2
Абстрактные топологические пространства
Теперь мы перейдём от изучения топологических свойств конкретных геометрических фигур (подмножеств в Мп) к аксиоматическому построению теории абстрактных топологических пространств. В этом подходе замечательна простота аксиом (использующих понятие открытого множества, которое теперь является неопределяемым исходным понятием), но это не препятствует обобщению глубоких теорем о подмножествах в Шп (доказанных в предыдущей лекции) на случай произвольных топологических пространств, причём доказательства сохраняются практически дословно.
§ 2.1. Топологические пространства
По определению (абстрактное) топологическое пространство (Х,Т = {Ua})— это множество X элементов произвольной природы xsX (называемых точками) и семейство T = {Ua} (называемое топологией пространства X) его подмножеств, называемых открытыми, причём:
(1) X и 0 открыты;
(2) если U и V открыты, то U П V открыто;
(3) если {V^g} — любая совокупность открытых множеств, то множество (J Vjg ОТКРЫТО.
Р
Любое множество X с Шп является топологическим пространством, если семейство его открытых подмножеств определяется так, как указано в § 1.1. (Доказывается непосредственно.) Все определения из § 1.2—1.4 сохраняются для любого топологического пространства (а не только для подмножеств из R"), поскольку в них используются лишь понятие открытого множества и вышеперечисленные свойства
(1)—(3). Все теоремы (и их доказательства) из предыдущей лекции


§ 2.2. Метрические пространства
15
также сохраняются. Здесь читателю следует вернуться к этим доказательствам и проверить, что действительно используются лишь свойства открытых множеств, упомянутые в аксиомах.
Чтобы задать топологическое пространство, не требуется указывать все открытые множества: топологию можно задать более «экономно». Пусть (Х,Т) — топологическое пространство. Будем говорить, что подсемейство Т0сТ = {[/а}) является базой топологии (X, Т), если любое открытое множество U е Т является объединением некоторой совокупности {Vjg} открытых множеств из Т0: U = \JVjg.
Р
Ясно, что любая база топологии однозначно её определяет (как именно?). Например, множество всех открытых шаров в Мп является базой стандартной топологии евклидова пространства.
Примеры. (1) Любое множество D становится топологическим пространством, если наделить его дискретной топологией, в которой любое множество точек считается открытым. Ясно, что топология дискретна тогда и только тогда, когда любая точка является открытым множеством.
(2) Любое множество X, в котором лишь два подмножества открыты (пустое множество и само X), является топологическим пространством с тривиальной топологией.
(3) Любое метрическое пространство М с расстоянием d (см. определение в следующем параграфе) является топологическим пространством с метрической топологией, базу которой составляют все открытые шары
Or(m) := {m7: dim!, m) < г}
из М.
(4) Пространство С [0,1] непрерывных вещественнозначных функций на отрезке [0,1]сЕ обладает стандартной топологией с базой из открытых шаров
ОД/) := {g: sup(|g(x) -/(х)|) < г}.
Много менее тривиальных примеров будет приведено в конце этой лекции, а также в последующих лекциях.
§ 2.2. Метрические пространства
Метрическое пространство — это множество М, наделённое метрикой (или расстоянием), т. е. функцией d:MxM^ R со следующи¬


16
Лекция 2. Абстрактные топологические пространства
ми свойствами:
(1) d(x, у) ^ О для всех х, у еМ (неотрицательность);
(2) d (х, у) = 0 тогда и только тогда, когда х—у (невырожденность);
(3) d (х, у) =d (у, х) для всех лс, у е М (симметричность);
(4) d (х, z) ^ d (х, у) + d (у, %) для всех х, у, z е М (неравенство треугольника).
Самый популярный пример метрического пространства — евклидово пространство Мп (и его подмножества) со стандартной метрикой:
d(p,q) := (х{-у,)2, где р = (хъ ...,хп), q = (уъ ...,уп).
Другие, менее известные примеры можно найти в книге [2].
Как отмечено выше, любое метрическое пространство (М, d) становится топологическим пространством в метрической топологии. Обратное неверно: не всякое топологическое пространство (X, Т) обладает метрикой (т. е. допускает введение расстояния, для которого метрическая топология совпадает с Т). Вплоть до середины XX века одной из главных проблем топологии было отыскание необходимых и достаточных условий, при которых топологическое пространство (X, Т) метризуемо, т. е. X обладает метрикой, для которой метрическая топология совпадает с Т. Однако мы не будем здесь обсуждать эту тему.
§ 2.3. Индуцированная топология
Пусть А — подмножество топологического пространства X. Естественным образом А приобретает топологическую структуру: топология на А индуцирована с пространства X, если открытыми множествами в А объявлены все пересечения с А открытых множеств в X. Легко проверить, что А с индуцированной топологией действительно является топологическим пространством (т. е. удовлетворяет аксиомам (1)—(3) из §2.1). Например, топология подпространств X в Rn, рассмотренная в § 1.1, — это топология, индуцированная с Мп.
Важно отметить, что множества, открытые в индуцированной топологии на А, не обязательно будут открытыми в X (и в большинстве случаев не будут).
Рассматривая подмножество топологического пространства, всегда будем считать его топологическим пространством с индуцирован¬


§ 2.4. Связность
17
ной топологией, не отмечая этого явно. Однако при упоминании открытых множеств всегда должно быть понятно, какое топологическое пространство имеется в виду. Так, открытый интервал (0,1) открыт на вещественной прямой, но не на плоскости.
§2.4. Связность
В предыдущей лекции мы определили понятие линейной связности в Мп; это определение дословно переносится на произвольное топологическое пространство. Интуитивно линейная связность топологического пространства означает, что можно непрерывно перемещаться в нём между любыми двумя точками. Но есть и другое определение связности, основанное на представлении, что множество связно, если оно «состоит из одного куска». Строгая формализация этого представления состоит в следующем.
Топологическое пространство X называется связным, если оно не является объединением двух открытых, замкнутых, непустых и непе- ресекающихся множеств, т. е. из того, что Х = AUB, где Ли В открыты, замкнуты и непусты, следует, что А П В Ф 0.
Как соотносятся понятия связности и линейной связности?
Теорема 2.1. Любое линейно связное топологическое пространство связно. С другой стороны, существуют связные, но не линейно связные топологические пространства.
Доказательство. Пусть пространство X линейно связно. Предположим, что оно не связно, т. е. является дизъюнктным объединением открытых и замкнутых непустых множеств Л и В. Пусть аеА, be В. Тогда существует такое непрерывное отображение /: [0,1] —>Х, что /(0) — а и /(1) = Ъ. Положим А0 :=/-1(А) и В0 :=/_1(В). Эти множества не пересекаются, открыты (как полные прообразы открытых множеств) и покрывают отрезок [0,1] (поскольку/([0,1]) сХ=ЛиВ). Мы знаем, что 1 еВ0. Пусть £ —наименьшая верхняя грань множества А0. Если £ gA0, то А0 не может быть открыто, поэтому £ принадлежит В0; но тогда В0 не может быть открытым. Противоречие.
О втором утверждении см. задачу 2.12. □
Связность, как и линейная связность, не только топологическое свойство: она сохраняется при любых непрерывных отображениях (не только при гомеоморфизмах).
Теорема 2.2. Непрерывный образ связного множества связен, т. е. если отображение /: X—>Y непрерывно и X связно, то /(X) связно.


18
Лекция 2. Абстрактные топологические пространства
Доказательство. Предположим противное: пусть X связно, но f(X) не связно. Тогда /(X) можно представить в виде Ли В, где Ли В замкнуты и открыты, непусты и не пересекаются. Положим А'^/-1^) и В' = /-1 (Б). Тогда X = A' U В7, Л' П В' = 0, множества Л' и В7 открыты (как полные прообразы открытых множеств) и замкнуты (как дополнения к открытым множествам). Но это означает, что X не связно, — противоречие. □
Связная компонента несвязного множества — это, грубо говоря, один из нескольких его «кусков». Формальное определение таково: связная компонента не обязательно связного пространства X — это любое связное подмножество пространства X, не содержащееся в большем связном подмножестве этого пространства. Легко доказать, что любая связная компонента пространства X замкнута в X.
§2.5. Отделимость
Важные свойства топологических пространств связаны с различными аксиомами отделимости, которые характеризуют возможности «отделить» точки и/или множества (т. е. поместить их в непересека- ющиеся окрестности). Дадим определение лишь одного такого свойства, самого естественного и известного: топологическое пространство называется хаусдорфовым, если любые две различные точки обладают непересекающимися окрестностями. Ясно, что евклидово пространство и любые его подмножества хаусдорфовы, как и любые метрические пространства (почему?). Печальный факт, что существуют нехаусдорфовы топологические пространства, рассматривается в задаче 2.8.
§ 2.6. Дальнейшие примеры топологических пространств
В этом параграфе мы рассмотрим тринадцать классических математических объектов (не обязательно известных читателю), относящихся к совершенно разным областям математики. Все они являются топологическими пространствами. Возможно, вас удивит, что некоторые объекты из разных разделов математики и физики, на первый взгляд не имеющие ничего общего, оказываются топологически эквивалентными (гомеоморфными). См., например, задачу 2.13.


§ 2.6. Дальнейшие примеры топологических пространств
19
Начнём с примеров из алгебры.
(1) Группа GL(п) всех невырожденных (гг х гг)-матриц.
(2) Группа О(п) всех ортогональных преобразований пространства Шп.
(3) Множество всех многочленов степени п со старшим коэффициентом 1.
Следующие несколько примеров относятся к геометрии.
(4) Вещественное проективное пространство ШРп размерности п.
(5) Грассманиан G(fc, гг), т. е. множество к-мерных плоскостей, содержащих начало координат, в п-мерном аффинном пространстве.
(6) Плоскость Лобачевского.
Следующий пример относится к комплексному анализу.
(7) Риманова сфера С и вообще римановы поверхности.
А вот примеры из классической механики.
(8) Конфигурационное пространство1 твёрдого тела, вращающегося вокруг фиксированной точки в трёхмерном пространстве.
(9) Конфигурационное пространство прямолинейного стержня, вращающегося в трёхмерном пространстве вокруг (а) одного из его концов, (б) его середины.
(10) Конфигурационное пространство плоского шарнирного механизма, т. е. множество положений системы прямолинейных стержней на плоскости, соединённых шарнирами, причём положения некоторых шарниров фиксированы.
Вот два примера из алгебраической геометрии.
(11) Множество решений р = (х1?..., х9) еМ9 следующей системы из 6 уравнений:
х\ + х2 + *3 = 1, хгх4 + х2х5 + х3х6 = 0, xl + x* + xl = \, хгх7 + х2хв + х3х9 = 0,
Xj+Xg+X% = 1, х4х7 + х5х8 + х6х9 = 0.
(12) Любое аффинное многообразие с топологией Зарисского является топологическим пространством.
1 Конфигурационное пространство механической системы — множество всех её положений, наделённое естественной топологией.


20
Лекция 2. Абстрактные топологические пространства
В заключение — пример из теории динамических систем (дифференциальных уравнений).
(13) 	Фазовое пространство бильярдов на диске1.
§ 2.7. Задачи
2.1. Докажите, что любое отображение в одноточечное пространство непрерывно.
2.2. Для произвольных подмножеств А, В с Rn определим расстояние между А и В, положив
d(A, В) := inf{11а — Ъ\\: а е A, b е В}.
(а) Верно ли, что d(A, С) ^ d(A, В) +d(B, С)?
(б) Пусть А с Rn — замкнутое подмножество, С с Rn — компактное подмножество. Докажите, что существует такая точка с0 е С, что d(A, С) = d(A, с0). Докажите, далее, что если множество А к тому же компактно, то существует такая точка а0 е А, что d(A, С) =d(a0, с0).
2.3. Докажите, что любое замкнутое подмножество компактного пространства компактно.
2.4. Докажите, что топология пространства Rn имеет счётную базу (т.е. базу, состоящую из счётного семейства открытых множеств).
2.5. Введите «естественную» топологию на каждом из следующих множеств:
(а) множество Mat(m, п) всех матриц размера пхт;
(б) вещественное проективное пространство ШРп размерности п;
(в) грассманиан G(/c, п), т. е. множество всех fc-мерных плоскостей, содержащих начало координат п-мерного аффинного пространства;
(г) множество решений р = (хг, х2, х3, х4) е R4 следующей системы двух уравнений: х* + х^+ х* + х* = 1, хгх2х3х4 = —1;
(д) множество всех многочленов степени п со старшим коэффициентом 1.
2.6. (а) Связно ли топологическое пространство GL(п)?
(б) Докажите, что топологическое пространство SO(3) связно.
(в) Докажите, что топологическое пространство GL(3) состоит из двух связных компонент.
1 Фазовое пространство динамической системы — множество всех её состояний, т.е. пар (положение, вектор скорости), наделённое естественной топологией.


§ 2.7. Задачи
21
2.7. (а) Докажите, что функция d(x, у) = max{|xt - уг|, i = 1,..., гг}, где х = (х1;хп) и у = (уъ у„), задаёт метрику в Шп.
П
(б) Докажите, что функция d(x,y) = задаёт метрику
в 1Г. 1=1
(в) Опишите г-окрестность точки (0, 0,..., 0) в метриках из п. (а) и (б).
2.8. Докажите, что любое метрическое пространство хаусдорфово, и постройте пример нехаусдорфова пространства.
2.9. Пусть X — хаусдорфово пространство. Докажите, что для любых двух различных точек х, у еX существует окрестность U эх, замыкание которой не содержит точку у.
2.10. Пусть С —компактное подпространство хаусдорфова пространства X, и пусть х € X \ С. Докажите, что точка х и множество С имеют непересекающиеся окрестности.
2.11. Докажите, что любые два непересекающихся компакта в ха- усдорфовом пространстве имеют непересекающиеся окрестности.
2.12. Приведите пример связного, но не линейно связного топологического пространства.
2.13. Докажите, что RP3 гомеоморфно пространству SO(3) и конфигурационному пространству твёрдого тела, вращающегося вокруг фиксированной точки в трёхмерном пространстве.
2.14. Рассмотрим конфигурационное пространство шарнирного механизма из четырёх стержней, соединённых между собой по кругу. Дайте его топологическое описание как плоской кривой, если:
(а) 	длины стержей равны 2,1, 2,1, причём один стержень длины 1 зафиксирован; (б) все стержни — равной длины и один из них зафиксирован. (Подсказка: ответ к п. (а) не является окружностью.)
2.15. Дайте топологическое описание конфигурационного пространства шарнирного механизма из пяти стержней, соединённых по кругу, если: (а) длины стержней равны 9,4, 2,1,3, причём самый длинный стержень зафиксирован; (б)* все стержни — равной длины, причём один стержень зафиксирован. СПодсказка: в обоих случаях ответами являются поверхности.)


Лекция 3 Топологические конструкции
В этой лекции мы изучим основные конструкции, применяемые в топологии. Они позволяют построить новое топологическое пространство исходя из одного или нескольких топологических пространств. Начав с простейших пространств, можно строить всё более сложные, в том числе те, которые являются главными объектами изучения в топологии.
§ 3.1. Дизъюнктное объединение
Дизъюнктное объединение двух топологических пространств X и У в случае, когда множества X и У не пересекаются, — это их объединение со следующей топологией: множество W открыто в пространстве X U У, если множества W ПХ и W П У открыты соответственно в X и Y. Если же множества X и Y пересекаются, определение несколько усложняется. Сначала мы искусственно делаем эти множества непе- ресекающимися, заменив Y на множество из тех же элементов, но помеченных, скажем, звёздочкой: У* := {(у, *): у е У}, а затем действуем, как выше, объявив открытыми такие множества W в ХиУ*, что Wf)X и WDY* открыты в X и У* соответственно. В обоих случаях получаем топологическое пространство, которое будем обозначать XUY.
Такой выбор топологии обеспечивает непрерывность естественных вложений
Х<->ХиУ (х-*х) и У-^ХиУ (у —> у).
Легко видеть, что подмножества X и Y (мы не выписываем явно звёздочки в У*, если они есть, но подразумеваем их наличие) открыты и замкнуты в X U У, так что множество XU У несвязно (при условии, что X и У непусты).


§ 3.2. Декартово произведение
23
§ 3.2. Декартово произведение
Грубо говоря, декартово произведение двух пространств получается, если в каждую точку одного пространства поместить копию другого пространства.
Точнее, пусть X и У — топологические пространства; рассмотрим множество пар X х Y = {(х, у): хе X, у е У} и введём на X х Y топологию со следующей базой: множество W сХ х Y принадлежит базе, если оно имеет вид W = U xV, где U — открытое множество в X, а V открыто в Y. Легко проверить, что при этом мы действительно получим топологическое пространство, которое называется декартовым произведением пространств X и У.
Такой выбор топологии обеспечивает непрерывность естественных проектирований
X х У —> X ((х, у) 1—» х) и ХхУ^У (О, у) — у).
Классические примеры: (i) декартово произведение двух отрезков—квадрат; (ii) декартово произведение двух окружностей —тор; (iii) декартово произведение двух вещественных прямых R —плоскость R2.
Теорема 3.1. Декартово произведение п-мерного диска и т-мерно- го диска — (п + т)-мерный диск. Декартово произведение пространств Жп и Rm — пространство Rn+m.
Доказывается непосредственно.
§ 3.3. Факторпространства
Грубо говоря, факторпространство получается из данного пространства путём отождествления всех точек в некоторых его подмножествах («разбиения» пространства на эти множества).
Точнее, пусть X — топологическое пространство, ~ — отношение эквивалентности на множестве X; рассмотрим классы этой эквивалентности как точки фактормножества Х/~ и введём на нём топологию, объявив открытыми все такие подмножества U сХ/% что [/* := {х е £: £ е [/} открыто в X. Полученное топологическое пространство называется факторпространством пространства Хпо~и обозначается Х/~.
Такой выбор топологии обеспечивает непрерывность естественного проектирования
X Х/~ (х где £ э х).


24
Лекция 3. Топологические конструкции
Пусть X и Y — топологические пространства, А и В —замкнутые подпространства в X и Y соответственно, /: А —► В — непрерывное отображение. (Нередко рассматривается частный случай, когда / — гомеоморфизм.) В дизъюнктном объединении множеств X и Y отождествим все точки каждого множества из семейства
Ть:= {ЬиГЧЮ-.ЪеВ}.
Соответствующее отношение эквивалентности обозначим фактор- пространство (XU У)/~ обозначим XUfY и будем говорить, что это пространство получается склеиванием пространства Y с X по /.
Например, пусть h: dD\ —> dD2 — гомеоморфизм (здесь Dp Щ — два экземпляра диска, д обозначает границу). Тогда D2 Uh В2 гомео- морфно сфере §2.
Если А — подмножество топологического пространства X, то Х/А будет обозначать факторпространство по следующему отношению эквивалентности: тогда и только тогда, когда х, у е А. Например,
Вп/дВпъ8п.
§ 3.4. Конус, надстройка и джойн
(1) Грубо говоря, конус над топологическим пространством получается, когда фиксированную точку соединяют прямолинейными отрезками со всеми точками пространства. Точнее, пусть X — топологическое пространство; рассмотрим декартово произведение X х [0,1] (которое называется цилиндром над X) и введём на нём отношение эквивалентности (х, 1) ~ (у, 1) для любых х, у еХ; теперь определим конус над X как факторпространство цилиндра по этому отношению эквивалентности:
С(Х) := (X х [0,1])/~.
Заметим, что все точки (x, t) при t = 1 склеиваются в одну точку, которая называется вершиной конуса. По определению конус над пустым множеством состоит из одной точки. Конус над точкой —это отрезок, а конус над окружностью гомеоморфен диску (хотя естественнее считать его граничной поверхностью обычного кругового конуса).
(2) Если снова говорить неформально, то надстройка над топологическим пространством получается, если две точки соединить прямолинейными отрезками со всеми точками данного пространства.


§ 3.4. Конус, надстройка и джойн
25
Надстройку можно также наглядно представить как двойной конус («по обе стороны») над данным пространством.
Точнее, пусть X — топологическое пространство; рассмотрим декартово произведение X х [—1,1] и следующее отношение эквивалентности на нём:
(х, 1) * (у, 1) и (х, -1) « (у, -1)
для любых х, у е X; теперь определим надстройку над X как фактор- пространство цилиндра X х [—1,1] по отношению
£(Х) := (Хх [-1,1])/*.
По определению надстройка над пустым множеством — двухточечное множество §°. Надстройка над двухточечным множеством гомео- морфна окружности, а над окружностью—двумерной сфере.
Понятие надстройки исключительно важно в топологии, особенно в алгебраической топологии (где оно неожиданно оказывается гораздо важнее, чем понятие конуса).
(3) 	Говоря неформально, джойн двух пространств получается, если каждую пару точек этих двух пространств соединить отрезком.
Точнее, пусть X и Y — топологические пространства; рассмотрим декартово произведение X х [-1,1] х У и отождествим (по отношению эквивалентности, которое обозначим =) все пары точек вида (хъ 1, у) = (х2,1, у), а также все пары вида (х, -1, у2) = (х, -1, у2). Полученное топологическое пространство
Х*У := (Хх [-1,1] хУ)/е
называется джойном пространств X и У.
Теорема 3.2. Конус над п-мерной сферой— (гг 4-1 )-мерный диск, а конус над п-мерным диском— (гг 4- 1)-мерный диск. Надстройка над п-мерной сферой — (гг 4-1)-мерная сфера, а надстройка над п-мерным диском—(п + 1)-мерный диск. Джойн п-мерного и т-мерного дисков— (гг 4- т 4-1 )-мерный диск. Джойн п-мерной и т-мерной сфер — (гг 4- т 4-1)-мерная сфера.
Для доказательства соответствующая конструкция выполняется в евклидовом пространстве нужной размерности; в каждом случае нужный гомеоморфизм несложно построить, хотя при больших значениях пит трудно его представить наглядно (см. упражнение 3.10). Простейший (и единственный действительно наглядный) нетриви¬


26
Лекция 3. Топологические конструкции
Рис. 3.1. Конус и надстройка. Джойн двух отрезков
альный пример—джойн двух отрезков (это тетраэдр — иначе говоря, трёхмерный симплекс); см. рис. 3.1.
§ 3.5. Симплициальные пространства
Симплекс размерности 0, или, кратко говоря, 0-симплекс, — это точка, 1-симплекс —это отрезок, 2-симплекс — треугольник, 3-симплекс — тетраэдр и т.д. Более общее и точное определение: п-мерный симплекс ап (или кратко п-симплекс) — это топологическое пространство стп, наделённое гомеоморфизмом
h: сгп -> Дп = [е0, еъ ...,еп],
где Дп — выпуклая оболочка множества, состоящего из п 4-1 точек, а именно из начала координат 0 = е0 и концов ег, ...,еп единичных базисных векторов евклидова пространства Rn. Разумеется, п-симплекс гомеоморфен п-диску Вп, но обладает более богатой структурой благодаря гомеоморфизму h. А именно, для любого i, 0 ^ i ^ гг, симплекс имеет множество i-граней, или граней размерности i, каждая из которых — полный прообраз при отображении h выпуклой оболочки (в Rn) каких-либо i + 1 точек из множества {е0, еъ ..., еп}. При этом 0-грани n-симплекса называются вершинами, и мы часто будем писать
сгп = [0,1,..., п],
где i (i = 0,1,..., п) для простоты обозначает вершину h_1(el).
Таким образом, 3-симплекс имеет четыре 2-грани (треугольника), шесть 1-граней (рёбер) и четыре 0-грани (вершины). Условимся рассматривать пустое множество как (—1)-мерный симплекс. Отметим,


§ 3.5. Симплициальные пространства
27
что 3-симплекс (как и его грани) наследует аффинную структуру пространства Ш3 посредством гомеоморфизма h: а3 —»Д3 с М3.
Определим теперь симплициалъное пространство (в другой терминологии — симплициалъный комплекс) X как топологическое пространство X = [J <Jna, где опа — симплексы, причём:
п,а
(1) грань любого симплекса hna: опа —> Ап — это симплекс hk^: сг^ —> —> Ак с аффинной структурой, унаследованной от сг£;
(2) любой симплекс сг™, m > -1, может быть гранью лишь конечного количества симплексов высших размерностей;
(3) пересечение двух симплексов является симплексом и служит их общей гранью.
(4) подмножество в X замкнуто тогда и только тогда, когда его пересечение с каждым симплексом замкнуто в этом симплексе.
В этом курсе мы в основном рассматриваем симплициальные пространства с конечным множеством симплексов, поэтому часто опускаем прилагательное «конечное», говоря о конечных симплициаль- ных пространствах. Под размерностью симплициального пространства X мы понимаем размерность симплексов наибольшей размерности в X и часто указываем её в виде верхнего индекса и используем обозначение Хп для п-мерного симплициального пространства, а X00 — если размерности симплексов в X не ограничены.
Можно определить симплициальное пространство более геометрически, представив его как подмножество некоторого евклидова пространства, а симплексы — как подмножества этого пространства, ограниченные прямыми, плоскостями и т. д. На рис. 3.2 показаны два таких примера симплициальных пространств, представленных как
Рис. 3.2. Два симплициальных пространства как подмножества в М3


28
Лекция 3. Топологические конструкции
подмножества в R3: это 2-сфера и забавное двумерное симплициаль- ное пространство.
Как утверждает следующая теорема, любое конечное симплици- альное пространство X можно представить как подмножество некоторого евклидова пространства RN описанным выше образом — в этом случае говорят, что X линейно вложено в RN.
Теорема 3.3. Любое конечное п-мерное симплициальное пространство Хп можно линейно вложить в R2n+1.
Мы не будем использовать эту теорему и поэтому опустим её доказательство. Читатель может спросить, откуда возникает размерность 2п +1; есть примеры одномерных симплициальных пространств (например, так называемое пространство К33, см. ниже лекцию 4), которые нельзя вложить в R2.
§3.6. CW-пространства
Грубо говоря, CW-пространство получается последовательным приклеиванием /с-дисков (к = 0,1, 2,...) по границе к (к — 1)-мерной части уже построенного пространства, причём отображения границ дисков непрерывны (эти отображения и их образы называются /с-клет- ками).
Формальное определение CW-пространства (или, что то же самое, CW-комплекса) таково. Пусть X — хаусдорфово топологическое пространство, причём
Х= 1М
i=0
где Х° — дискретное пространство, а пространство Xl+l получается присоединением дизъюнктного объединения (i + 1)-мерных замкнутых дисков □ В^4"1 к X1 посредством непрерывного отображения
аеА
У —> X1, где Sla = дВ^4-1. Будем называть образ множества В^+1
аеА
при естественном отображении в Xl+1X замкнутой клеткой, а его внутренность — открытой клеткой. Отметим, что если i = — 1, то В0 состоит из одной точки, а его образ (который называется вершиной) является одновременно замкнутой и открытой клеткой. Пространство X называется CW-пространством (или CW-комплексом), если выполнены следующие два условия:
(С) любая замкнутая клетка пересекает конечное количество открытых клеток;


§ 3.7. Задачи
29
(W) множество С с X замкнуто тогда и только тогда, когда его пересечение с любой замкнутой клеткой замкнуто.
«С» —это сокращение от «Closure Finite» («конечное замыкание»), «W» — сокращение от «Weak Topology» («слабая топология»). Если количество клеток конечно, то условия (С) и (W) выполняются автоматически.
Отметим, что любое симплициальное пространство можно рассматривать как CW-пространство (каким образом?). Симплициальные пространства легче представить себе наглядно, чем CW-прост- ранства, поскольку симплексы проще, чем клетки, однако структура CW-пространств экономнее. Например, 77-мерная сфера обладает структурой CW-пространства всего лишь с двумя клетками, тогда как простейшая структура симплициального пространства на этой сфере содержит сотни симплексов размерностей 0,1,2,..., 77.
§3.7. Задачи
3.1. Докажите, что W /дВп ^ Sn.
3.2. Докажите, что пространство §1х§1 гомеоморфно пространству, полученному следующим отождествлением точек сторон квадрата 0 ^ х ^ 1, 0 ^ у ^ 1: (х, 0) ~ (х, 1) и (0, у) ~ (1, у). (Это пространство называется тором.)
3.3*. Пусть I = [0,1]. Докажите, что пространство S1 х I не гомеоморфно ленте Мёбиуса.
3.4. Докажите, что следующие пространства (с естественной топологией) гомеоморфны:
(а) множество прямых в Мп+1, проходящих через начало координат;
(б) множество гиперплоскостей в Mn+1, проходящих через начало координат;
(в) сфера §п, на которой отождествлена каждая пара диаметрально противоположных точек;
(г) диск Вп, в котором отождествлены диаметрально противоположные точки граничной сферы Sn_1 = ЭВП.
3.5. Докажите, что следующие пространства гомеоморфны:
(а) 	множество комплексных прямых в Cn+1, проходящих через начало координат;


30
Лекция 3. Топологические конструкции
(б) сфера §2п+1 с Сп+1, на которой отождествлены точки вида Ах при всех А е С, |А| = 1 (для каждой фиксированной точки х€§2n+1);
(в) диск В2п с Сп, на граничной сфере которого §2n_1 = ЭВ2п отождествлены точки вида Ах при всех А е С, |А| = 1 для каждой фиксированной точки xeS2n_1.
3.6. Докажите, что C(Bn) ^ Вп+1 и Е(ВП) ^Вп+1. (Здесь и ниже ^ означает гомеоморфность.)
3.7. Докажите, что RP1 ^S1 и CP1 ъ§2.
3.8. Докажите, что С(§п) ^Вп+1 и Е(§п) ^§п+1.
3.9. Верно ли (для произвольных CW-пространств), что
(а) Х*У**У*Х;
(б) (X*y)*Z**X*(y*Z);
(в) С(Х*У)^С(Х)*У;
(г) Е(Х*У)^Е(Х)*У?
3.10. Докажите, что §п * §m ** Sn+m+1.
3.11. Докажите, что §n+m_1 \ §n_1 ^ Rn х §m_1. (Предполагается естественное расположение сферы §п-1 в §n+m_1.)
3.12. Докажите, что (а) сфера §2; (б) тор Т2; (в) вещественное проективное пространство RPn; (г) комплексное проективное пространство СРп являются CW-пространствами, и постройте их CW-структуру с наименьшим возможным количеством клеток (не требуется доказывать, что количество клеток в вашей конструкции действительно минимально).
3.13. Найдите пример клеточного пространства, которое удовлетворяет W-аксиоме, но не удовлетворяет С-аксиоме. Найдите обратный пример.


Лекция 4 Графы
Эта лекция вспомогательная, её надо рассматривать как дополнительный материал и источник задач и упражнений. Здесь мы изучим класс очень простых топологических пространств, которые называются графами. Грубо говоря, граф G — это множество точек, называемых вершинами, вместе с соединяющими некоторые вершины дугами, которые называются рёбрами. Можно определить графы как чисто комбинаторные объекты или как топологические пространства. Простота этих объектов объясняется тем, что как комбинаторные объекты они конечны, а как топологические пространства имеют наименьшую нетривиальную размерность (единица). Тем не менее графы обладают многими удивительными, красивыми и далеко не очевидными свойствами. Нужно также отметить, что теория графов играет весьма существенную роль в современных исследованиях в различных прикладных областях математики, в теоретической и прикладной информатике, в теоретических моделях интернета.
§ 4.1. Основные определения
Определение графа таково. (Комбинаторный) граф G —это пара G = (V, £), где V —конечное множество объектов, называемых вершинами, а элементами конечного множества £ являются некоторые пары вершин, называемые рёбрами; если е = {и, и'} — ребро, то мы говорим, что е соединяет v и и' или что и и и/ — концы ребра е; ребро е = {и, и'} называется петлёй в случае и — и1', если в совокупности рёбер £ есть повторения (т. е. некоторые две вершины v и vf соединены более чем одним ребром), то мы говорим, что в графе G есть кратные рёбра. В основном мы будем изучать графы без петель и кратных рёбер и употреблять термин «граф» в соответствующем смысле;


32
Лекция 4. Графы
случаи, когда допускаются петли или кратные рёбра, будут указаны явно.
Два комбинаторных графа называются изоморфными, если существуют биекция между множествами их вершин и биекция между совокупностями их рёбер, сохраняющие инцидентность (т. е. концы рёбер соответствуют концам рёбер).
Теперь дадим другое определение графа, не комбинаторное, но топологическое. (Топологический) граф G — это топологическое пространство G, в котором отмечено конечное множество V точек, называемых вершинами, и которое является объединением конечного количества дуг, называемых рёбрами, причём каждая дуга —либо незамкнутая ломаная, соединяющая две вершины, либо замкнутая ломаная (называемая петлёй), которая содержит ровно одну вершину; предполагается, что дуги (включая петли) могут попарно пересекаться только по вершинам1. Графы, рассматриваемые в этой лекции, являются подмножествами в R2 или R3 с топологией, индуцированной с R2 или R3. Если не указано противное, они предполагаются не имеющими петель или кратных рёбер.
Топологический граф называется реализацией комбинаторного графа, если существуют биекция между множествами их вершин и биекция между множествами их рёбер, сохраняющие инцидентность (т. е. концы рёбер соответствуют концам рёбер); в этой ситуации мы говорим также, что комбинаторный граф ассоциирован топологическому. Очевидно, что два топологических графа, ассоциированные изоморфным комбинаторным графам, гомеоморфны. Обратное утверждение неверно (почему?).
Степень (или валентность) вершины v графа G —это количество рёбер с концом и (если есть петли, содержащие v, то каждая петля увеличивает степень на 2). Путь, соединяющий две вершины и и и', — это последовательность рёбер вида {и = и0, иг}, ... ..., {vk_1} ик = i/}, где vt Ф vi+1 при всех i; если и = и\к^2,и каждое ребро пути проходится лишь один раз, то путь называется циклом. Граф G связен, если любые две его вершины можно соединить путём. Граф называется деревом, если он связен и не содержит циклов; вершины дерева, имеющие степень 1, называются листьями.
предположение, что дуги являются ломаными, чисто техническое; оно не ограничивает (с точностью до топологической эквивалентности) класс рассматриваемых графов, но позволяет доказать некоторые утверждения о вложении графов, что было бы очень трудно без этого предположения.


§ 4.2. Планарные и непланарные графы
33
(а)
(б)
(в)
Рис. 4.1. Примеры графов
На рис. 4.1 показаны примеры: (а) графа с петлями и кратными рёбрами; (б) дерева; (в) графа без петель или кратных рёбер, но с циклами.
Три графа, представленные на рис. 4.1, являются подмножествами плоскости R2. Однако существуют графы, которые нельзя поместить на плоскость. Мы рассмотрим их в следующем параграфе.
§ 4.2. Планарные и непланарные графы
Топологический граф называется планарным, если он лежит в плоскости R2 (и, таким образом, его рёбра не имеют общих точек). Комбинаторный граф G называется планарным, если его нельзя реализовать планарным топологическим графом.
Пусть Кп — полный граф на п вершинах, т. е. граф с п вершинами, каждая пара которых соединена ребром. Далее, пусть Кп т — граф с п + т вершинами, разделёнными на два подмножества (п вершин в одном и т вершин в другом), причём рёбра соединяют каждую пару вершин из разных подмножеств. На рис. 4.2 представлены три примера только что определённых графов.
Рис. 4.2. Графы К4, К3 3 и К5


34
Лекция 4. Графы
Три графа на рис. 4.2 изображены лежащими в пространстве R3. Планарны ли они? Читатель легко начертит граф, изоморфный К4 и вложенный в плоскость, — таким образом, К4 планарен. Попытки вложить в плоскость графы К5 и К3>3 не приводят к успеху (в лучшем случае удаётся начертить, скажем, граф К3 3 на плоскости таким образом, что пересекается только одна пара рёбер).
Теорема 4.1. Графы К5 и К3 3 не планарны.
Какое-либо простое доказательство этого красивого факта неизвестно. В последующих параграфах мы докажем эту теорему двумя различными способами. Как часто бывает в математике, чтобы доказать невозможность чего-либо (в данном случае — вложения К5 или К3 3 в R2), требуется инвариант. В последующих лекциях мы увидим, что используемый в данном случае инвариант (эйлерова характеристика) имеет много других важных применений.
§ 4.3. Эйлерова характеристика графов и планарных графов
Пусть G —граф (топологический или комбинаторный). Обозначим через VG и Eg количество его вершин и рёбер соответственно; если из контекста ясно, какой граф имеется в виду, индекс G писать не будем.
Определим эйлерову характеристику графа G, положив 7{G):=Vg-Eg .
Теорема 4.2. Если два связных графа гомеоморфны как топологические пространства, то их эйлерова характеристика одинакова.
Два таких графа могут отличаться только количеством вершин степени 2, но это не влияет на их эйлерову характеристику (почему?).
Пусть G с R2 — связный планарный граф. Тогда связные компоненты его дополнения R2 \ G, в том числе неограниченная компонента, называются гранями планарного графа G. Пусть VG, EG, FG — множества вершин, рёбер и граней графа G соответственно (мы не пишем индекс G, если он ясен из контекста). Определим эйлерову характеристику планарного графа1 G с R2, положив
/(G) ~Vg-Eg-\-Fg .
1 Подчеркнём, что эйлерова характеристика планарного графа — это не «эйлерова характеристика графа, являющегося планарным», а отдельное понятие.


§ 4.4. Задачи
35
Теорема 4.3. Эйлерова характеристика любого связного планарного графа G равна 2:
G с Ж2 => 1(G) = 2 .
Доказательство составляет содержание задачи 4.12 (и опирается на следующую теорему).
Теорема 4.4 (теорема Жордана для ломаных). Пусть С —замкнутая несамопересекающаяся ломаная (из конечного числа отрезков) в М2. Тогда Ш2 \ С состоит из двух связных компонент и границей каждой компоненты является С.
§4.4. Задачи
4.1. Можно ли провести прямые дороги между 53 городами так, чтобы каждый город был соединён ровно с тремя другими?
4.2. Пусть валентности всех вершин связного графа G чётны. Тогда существует путь, проходящий по каждому ребру из G ровно один раз.
4.3. Докажите, что в любом связном планарном графе (без петель и кратных рёбер) есть вершина валентности не выше 5.
4.4. Докажите, что можно раскрасить вершины произвольного планарного графа (без петель) пятью красками так, чтобы два конца каждого ребра имели разный цвет.
4.5. Докажите, что графы К3 3 и К5 не планарны.
4.6. (а) Пусть G — планарный граф, каждая грань которого ограничена чётным количеством рёбер. Докажите, что можно раскрасить его вершины в два цвета таким образом, чтобы два конца любого ребра были разного цвета.
(б) 	Пусть у — замкнутая ломаная с трансверсальными самопересечениями. Докажите, что у делит плоскость на области, которые можно покрасить в два цвета таким образом, чтобы любые области с общим ребром были разного цвета.
4.7. Пусть а, Ь, с, d — точки замкнутой несамопересекающейся ломаной С (на плоскости), расположенные в этом порядке на ломаной. Предположим, что точки а и с соединены ломаной Ll} точки bud соединены ломаной L2 и обе ломаные принадлежат одной и той же связной компоненте после удаления ломаной С. Докажите, что Ll и 12 имеют общую точку.


36
Лекция 4. Графы
4.8. Пусть G — планарный граф, состоящий из ломаных и имеющий s связных компонент, причём никакая из них не является изолированной точкой. Пусть G имеет v вершин и е рёбер. Используя теорему Жордана для ломаных, докажите по индукции, что для любого вложения графа G в плоскость количество граней / определяется соотношением / = l+ s — i; + e.
4.9. (а) Пусть G — планарный граф без изолированных вершин, v{ — количество его вершин степени i, — количество граней с i рёбрами. Докажите, что
Е(4-0ц + £М-Д/> = 4(1 + 5) £ 8,
i ;
где s — количество связных компонент графа G.
(б) Докажите, что если все грани — четырёхугольники, то
3vi -|- 2u2 v3 ^ S.
(в) Докажите, что если граница любой грани — цикл не менее чем из п рёбер, то e^n^v — 2)/(п — 2).
4.10. Используя формулу Эйлера для планарных графов, получите формулу Эйлера для выпуклых многогранников. (Эта формула выражает соотношение между количествами вершин, рёбер и граней.)
4.11. Используя задачу 4.9 (в), дайте другое доказательство непла- нарности графов К5 и К3 3.
4.12. Докажите теорему 4.3.


Лекция 5 Примеры поверхностей
В этой лекции мы изучим несколько важных примеров поверхностей (замкнутых, а также поверхностей с дырками), реализованных различными способами. Мы докажем, что различные указанные реализации одной и той же поверхности в действительности гомеоморф- ны, и выясним их симплициальную и клеточную структуру.
§5.1. Диск О2
Стандартный двумерный диск (или 2-диск) определяется как
р2 :={(xj)el2:x2 + y2 ^ 1}.
Другие реализации 2-диска (гомеоморфные В2): сфера с одной дыр- кой (SH), квадрат (Sq), поверхность конуса (LC), прямоугольник, треугольник, шестиугольник и т.д. (см. рис. 5.1).
D2 SH Sq LC
Рис. 5.1. Различные реализации диска
Краем диска D2 называется ограничивающая его окружность; другие ипостаси края можно увидеть на рис. 5.1.


38
Лекция 5. Примеры поверхностей
Простейшая структура клеточного пространства на 2-диске состоит из одной 0-клетки, одной 1-клетки и одной 2-клетки, но, разумеется, возможны и другие клеточные структуры.
Легко доказать, что различные реализации диска, перечисленные выше,, гомеоморфны. Например, гомеоморфизм из В2 на квадрат Sq получается при центральном проектировании концентрических окружностей, заполняющих В2, на границы соответствующих концентрических описанных квадратов. Точнее, определим h: В2—>Sq следующим образом: пусть дана точка Ре В2; обозначим через СР проходящую через Р окружность с центром в центре О диска, а через DP — границу описанного вокруг неё квадрата со сторонами, параллельными сторонам Sq; тогда h(P) определяется как пересечение луча [ОР) с Dp. Легко видеть, что h является гомеоморфизмом, так что диск В2 и квадрат Sq действительно гомеоморфны.
Описание других гомеоморфизмов из В2 (на сферу с одной круглой дыркой (SH), поверхность конуса (LC), эллипс, прямоугольник) составляет содержание задачи 5.1.
§ 5.2. Сфера S2
Стандартная двумерная сфера (или 2-сфера) определяется как §2 := {(х,у, z) е М3: х2 + y2 + z2 = 1}.
Другие реализации 2-сферы (гомеоморфные S2): поверхность куба или тетраэдра; диск, граница которого склеена в одну точку В2/ЭВ2; надстройка над окружностью X^S1); джойн окружности и 0-сферы (т. е. пары точек) S1 *S°; граница любого замкнутого выпуклого тела; конфигурационное пространство трёхмерного маятника (отрезка в R3 с фиксированным концом) и т. д.
Рис. 5.2. Различные реализации сферы


§ 5.3. Лента Мёбиуса Mb
39
Простейшая клеточная структура на 2-сфере состоит из одной 0-клетки и одной 2-клетки.
Гомеоморфизмы между различными реализациями сферы §2, перечисленные выше, строятся легко (главный инструмент здесь — центральное проектирование; см. задачу 5.1).
§ 5.3. Лента Мёбиуса Mb
Лента Мёбиуса (или лист Мёбиуса) Mb можно представлять себе как длинную прямоугольную полосу бумаги, короткие стороны которой отождествлены («склеены») после скручивания на пол-оборота (см. рис. 5.3). В результате длинные стороны прямоугольника склеиваются в топологическую окружность, называемую краем листа Мёбиуса. Ленту Мёбиуса можно формально определить как квадрат Sq/~, у которого отождествлены две противоположные стороны посредством центральной симметрии Лента Мёбиуса красиво вкладывается в трёхмерное пространство в виде трилистного узла, затянутого мыльной плёнкой; ту же поверхность в пространстве можно получить, закрутив длинную полосу бумаги на три полуоборота с последующим отождествлением коротких сторон. Ещё более сложное вложение ленты Мёбиуса в R3 получается, если закрутить длинную полосу бумаги на большое нечётное число полуоборотов и затем отождествить короткие стороны.
Каждый знает, что лента Мёбиуса —«односторонняя» (её нельзя раскрасить по сторонам в два цвета) и «неориентируемая» поверх-
МЬ МЬ-н>М3 Sq/~
Рис. 5.3. Различные реализации ленты Мёбиуса


40
Лекция 5. Примеры поверхностей
ность. (Строгое определение «неориентируемой поверхности» будет дано ниже.) Если вы никогда этого не делали, попробуйте угадать, что случится с лентой Мёбиуса, если разрезать её вдоль средней линии. Проверьте свою догадку с помощью ножниц и бумаги.
§5.4. ТорТ2
Топологически (двумерный) тор Т2 определяется как декартово произведение двух окружностей. Геометрически его можно реализовать как множество точек (х, у, z) е R3, удовлетворяющих уравнению
(x2 + y2 + z2 + R2-br2)2 — 4К2(х2 + у2) = 0.
Другие реализации тора: квадрат с отождествлёнными противоположными сторонами Sq/~ (отождествления показаны стрелками на рис. 5.4); поверхность, вложенная (различными способами) в пространство Т2 ^М3; «сфера с одной ручкой» М2; кольцо на плоскости с отождествлёнными граничными окружностями (одинаково ориентированными); конфигурационное пространство двойного маятника с плечами L>1; плоскость R2 по модулю периодической эквивалентности (х, у) ~ (х +1, у +1) ит. д.
T2cl3 Sq/ ~ Т2^М3 М2
Рис. 5.4. Различные реализации тора
§ 5.5. Проективная плоскость RР2
Проективная плоскость RP2 —это множество прямых I в пространстве R3, проходящих через начало координат, с естественной топологией (её база состоит из всех открытых конусов, оси которых—элементы ieRP2). Понятие прямой на проективной плоскости определяется естественным образом: «прямая» —это (евклидова) плокость Р, проходящая через начало координат, а её «точки» —все


§ 5.6. Бутылка Клейна К1
41
RPZ Dz/~ (S2 \ В2) Uft Mb
Рис. 5.5. Различные реализации проективной плоскости
Mb U f ED2
(евклидовы) прямые I, проходящие через начало координат и лежащие в Р.
Каждую «точку» I е RP2 можно задать её однородными координатами, т. е. тремя координатами в пространстве R3 любой её евклидовой точки (кроме (0, 0, 0)); координаты рассматриваются с точностью до общего множителя Я, так что (х : у : z) и (Ях : Ху : Xz), где ХфО, обозначают одну и ту же точку в RP2.
Другие реализации проективной плоскости (рис. 5.5): диск В2, у которого отождествлены диаметрально противоположные точки границы В2/~; сфера §2, у которой отождествлены все антиподальные точки §2/Ant; сфера с дыркой, к которой по краю приклеена лента Мёбиуса (§2 \ В2) Uh Mb; лента Мёбиуса, к которой приклеен диск вдоль края MbUf В2; квадрат, у которого отождествлены центральносимметричные точки края; конфигурационное пространство прямолинейного стержня, вращающегося в R3 вокруг зафиксированной средней точки. Доказательство гомеоморфности всех этих реализаций приятно и несложно (см. задачу 5.2).
Простейшая структура клеточного пространства на RP2 состоит из одной клетки каждой из размерностей 0, 1, 2 и хорошо видна в модели, полученной из диска. Отметим, что граница 2-клетки обёрнута вокруг 1-клетки дважды.
§ 5.6. Бутылка Клейна К1
Бутылка Клейна может быть описана как квадрат, противоположные стороны которого отождествлены, как показано стрелками на рис. 5.6. Бутылку Клейна нельзя вложить в R3 (см. задачу 5.12), поэтому её правдоподобное изображение невозможно. Бутылка Клей-


42
Лекция 5. Примеры поверхностей
Sq/~
К1
Mb Uh Mb
Рис. 5.6. Различные реализации бутылки Клейна
на К1 обычно изображается, как показано на рис. 5.6, но такой чертёж неправилен: на чертеже «поверхность» самопересекается (по маленькой окружности), так что она не гомеоморфна бутылке Клейна.
Вот некоторые другие реализации бутылки Клейна: две ленты Мёбиуса с отождествлёнными граничными окружностями Mb Uh Mb; две проективные плоскости с дырками, границы которых отождествлены, и т. д.
§ 5.7. Диск с двумя дырками («штаны»)
Эта поверхность получается из диска В2 удалением двух малых открытых дисков; топологи называют её штаны и обозначают Р. Она играет важную техническую роль в топологии малых размерностей, особенно в теме следующей лекции.
Из двух экземпляров штанов можно построить тор (сферу с одной ручкой): склеим вместе границы четырёх «штанин», а затем замкнём оба «пояса», приклеив к ним диски. Аналогично строится сфера с 2, 3,4,... ручками.
Различные реализации диска с двумя дырками показаны на рис. 5.7.
Рис. 5.7. Различные реализации диска с двумя дырками


§ 5.8. Триангулируемые поверхности
43
§ 5.8. Триангулируемые поверхности
Поверхности (с дырками или без), описанные выше, легко триангулируются, т.е. наделяются структурой (двумерного) симплици- ального пространства. Отметим, что в триангуляции поверхности без дырок любая вершина является концом как минимум трёх 1-симплексов, а любой 1-симплекс является общим ребром ровно двух 2-сим- плексов. Простые примеры триангуляций показаны на рис. 5.8. На триангулированных поверхностях дырки обычно показаны как внутренности 2-симплексов, так что границы дырок —треугольники, состоящие из трёх 1-симплексов. Любой 1-симплекс, не лежащий на границе, служит общей стороной двух треугольников (2-симплексов).
ife
CW;i
Рис. 5.8. Триангуляции диска, сферы, ленты Мёбиуса, тора и проективной плоскости (слева направо)
§ 5.9. Ориентируемые поверхности
Триангулируемая поверхность называется ориентируемой, если все её 2-симплексы можно «согласованно ориентировать». Мы не объясняем, что это значит, поскольку для топологических поверхностей ориентируемость можно определить проще: поверхность М называется ориентируемой, если она не содержит ленту Мёбиуса, и неориентируемой в противном случае.
Легко доказать, что лента Мёбиуса, проективная плоскость и бутылка Клейна неориентируемы. Ясно также, что диск, сфера, тор, штаны ориентируемы. (Мы вернёмся к этому вопросу в следующей лекции.)
§ 5.10. Эйлерова характеристика
Пусть М — триангулируемая поверхность, например из числа описанных в § 5.8. Тогда её эйлерова характеристика, обозначаемая % (М),


44
Лекция 5. Примеры поверхностей
определяется как
*(М) :=V-E + F ,
где У —количество вершин (О-симплексов), Е — количество рёбер (1-симплексов), a F — количество граней (2-симплексов) в триангуляции поверхности М.
В следующей лекции будет показано, что эйлерова характеристика не зависит от выбора триангуляции, т. е. х Ш) является топологическим инвариантом:
Теорема 5.1. Эйлерова характеристика диска, сферы, тора, штанов, ленты Мёбиуса, проективной плоскости и бутылки Клейна равна соответственно 1, 2,0, -1, 0,1, 0.
Поскольку мы знаем, что ^ (М) не зависит от выбора триангуляции, при доказательстве теоремы достаточно вычислить эйлерову характеристику (используя её определение) для поверхностей с триангуляцией, описанной в § 5.8.
Пусть даны две поверхности Мг и М2. Их связная сумма М2#М2 получается путём удаления маленького открытого диска из каждой поверхности и склеивания поверхностей посредством гомеоморфизма между граничными окружностями этих дисков (см. рис. 5.9). В случае, когда М1 и М2 триангулированы, будет удобнее удалить из каждой поверхности внутренность некоторого 2-симплекса и склеить поверхности посредством кусочно линейного гомеоморфизма между границами этих симплексов.
М ъМ'
=> x(M) = xW%
§ 5.11. Связная сумма
т2\в2 т2\в2
т2#т2
Рис. 5.9. Связная сумма двух торов


§ 5.12. Задачи
45
Чтобы связная сумма была корректно определена, нужно доказать, что она не зависит от положения открытых дисков, которые мы удалили, и от выбора гомеоморфизма склейки. Это можно сделать техническим рассуждением (используя теорему Жордана); см. задачу 5.7 (б).
Зная эйлеровы характеристики двух данных поверхностей Мг и М2, легко вычислить эйлерову характеристику их связной суммы Мг#М2: две грани (2-симплекса) исчезли, три ребра (1-симплекса) отождествлены с тремя другими рёбрами, три вершины (0-симплекса) отождествлены с тремя другими вершинами, так что эйлерова характеристика связной суммы на 2 меньше, чем сумма эйлеровых характеристик слагаемых. Мы доказали следующую теорему.
Теорема 5.2. Справедливо равенство
*(М!#М2) = *(Afi)+*(M2)-2.
§5.12. Задачи
5.1. Покажите, что поверхности, показанные на рис. 5.1, гомеоморфны, как и поверхности на рис. 5.2 и 5.3.
5.2. Докажите, что проективная плоскость — это (а) лента Мёбиуса с приклеенным диском; (б) сфера §2, у которой отождествлены противоположные точки; (в) диск D2, у которого отождествлены диаметрально противоположные точки границы.
5.3. Докажите, что бутылка Клейна — это (а) удвоенная лента Мёбиуса; (б) сфера с двумя дырками, к которым приклеены две ленты Мёбиуса; (в) связная сумма двух проективных плоскостей.
5.4. (а) Рассмотрим топологическое пространство, состоящее из всех прямых на плоскости, с естественной топологией. Докажите, что это пространство гомеоморфно ленте Мёбиуса за вычетом её края.
(б) 	Рассмотрим топологическое пространство всех ориентированных прямых на плоскости с естественной топологией. Докажите, что это пространство гомеоморфно цилиндру за вычетом его краёв.
5.5. Покажите, что проколотую велокамеру можно вывернуть наизнанку. (Точнее, это возможно, если она сделана из достаточно эластичной резины.)
5.6. Докажите следующие теоремы.
(а) 	Теорема Шёнфлиса о многоугольниках. Замкнутая ломаная без самопересечений на плоскости ограничивает область, замыкание которой гомеоморфно диску D2.


46
Лекция 5. Примеры поверхностей
(б) 	Теорема о многоугольном кольце. Две замкнутые ломаные на плоскости, одна из которых расположена внутри другой, ограничивают область, замыкание которой гомеоморфно кольцу S1 х [0,1].
5.7. (а) Докажите, что две поверхности с дырками, полученные из одной и той же триангулированной связной поверхности удалением различных 2-симплексов, гомеоморфны. (б) Покажите, что связная сумма поверхностей корректно определена.
5.8. Докажите, что Т2#RP2 « RP2#RP2#RP2, явно построив гомеоморфизм между этими поверхностями.
5.9. (а) Докажите, что К1#К1 гомеоморфно бутылке Клейна с одной ручкой, (б) Докажите, что RP2#Kl гомеоморфно проективной плоскости с одной ручкой.
5.10. Докажите, что если поверхность Мг неориентируема, то для любой поверхности М2 поверхность МХ#М2 неориентируема.
5.11. Сколько различных поверхностей можно получить (путём отождествления сторон) из (а) квадрата; (б) шестиугольника; (в) восьмиугольника?
5.12. Докажите, что бутылку Клейна нельзя вложить в R3.
5.13. Докажите, что никакую неориентируемую поверхность нельзя вложить в R3.
5.14. Существуют ли неориентируемые поверхности с краем1, которые нельзя вложить в R3?
1 См. ниже § 6.1.


Лекция 6 Классификация поверхностей
В этой лекции мы приведём топологическую классификацию поверхностей. Для этого мы применим комбинаторное рассуждение в духе теории Морса и воспользуемся эйлеровой характеристикой.
§ 6.1. Основные определения
В нашем курсе под поверхностью понимается связное компактное топологическое пространство М, в котором каждая точка л: е М обладает открытой окрестностью U э х, замыкание которой — 2-диск. Под поверхностью с дырками (или поверхностью с краем) мы понимаем связное компактное топологическое пространство М, в котором каждая точка xgM обладает открытой окрестностью U эх, замыкание которой-либо 2-диск, либо открытый полудиск
С = {(х,у) е R2: у ^ 0,х2 + у2 < 1}.
(Синонимом «поверхности» служит «двумерное компактное связное многообразие», но мы используем более короткий термин.) В предыдущей лекции мы рассмотрели несколько примеров поверхностей, в том числе поверхностей с краем.
Из определений легко следует, что множество всех точек поверхности с краем, имеющих окрестность в виде полудиска, составляет конечное семейство окружностей в топологическом смысле. Каждую такую окружность мы назовём границей дырки. Например, лента Мёбиуса имеет одну дырку, штаны — три дырки.
§ 6.2. Триангулирование поверхностей
В предыдущей лекции мы привели примеры триангулированных поверхностей (см. рис. 5.8). На самом деле можно доказать, что любая поверхность (и любая поверхность с краем) триангулируется, но


48
Лекция 6. Классификация поверхностей
известные доказательства трудны, довольно неуклюжи и основаны на теореме Жордана для кривых (существующие доказательства которой также трудны). Поэтому мы примем этот факт без доказательства.
Факт 6.1. Любую поверхность, а также любую поверхность с дырками можно триангулировать.
Чтобы сформулировать следующий факт о триангулированных поверхностях, требуются некоторые определения. Напомним, что (непрерывное) отображение /: М —> N триангулированных поверхностей называется симплициальным, если на каждом симплексе из М оно является линейным отображением на симплекс из N (не обязательно той же размерности). Биективное симплициальное отображение f:M-*N называется изоморфизмом, и тогда М и N считаются изоморфными.
Пусть М — триангулированная поверхность, сг2 — её грань, w — внутренняя точка этой грани. Тогда новая триангуляция поверхности М, совпадающая со старой всюду кроме симплекса сг2, где она такая, как показано на рис. 6.1 (а), называется разбиением М по симплексу а2. На рис. 6.1 (в) показано барицентрическое разбиение 2-сим- плекса; барицентрическое разбиение поверхности М получается при барицентрическом разбиении всех её 2-симплексов. Пусть теперь сг1—ребро (1-симплекс) М, тогда новая триангуляция М, совпадающая со старой всюду кроме двух 2-симплексов, примыкающих ка1, где она такая, как показано на рис. 6.1 (б), называется разбиением М по симплексу сг1. Если триангуляция М получена из данной триангуляции итерацией разбиений одномерных и двумерных симплексов, то эта новая триангуляция называется разбиением поверхности М.
(а) (б) (в)
Рис. 6.1. Разбиения грани, ребра и барицентрические
Отображение /: М —> N называется PL-отображением, если существуют такие разбиения М', N' поверхностей М, N, что / является симплициальным отображением поверхности М7 в N'. Биективное PL-отображение f:M^>N называется PL-эквивалентностью, и в этом


§ 6.2. Триангулирование поверхностей
49
случае поверхности М и N называются PL-эквивалентными. Приведём без доказательства следующее утверждение, известное как основная гипотеза (Hauptvermutung — нем.) о поверхностях.
Факт 6.2. Две поверхности гомеоморфны тогда и только тогда, когда они PL-эквивалентны. Гомеоморфные триангулируемые поверхности имеют изоморфные триангуляции.
Пусть х, у — вершины на М. Тогда звезда вершины х, обозначаемая St(x), —это объединение всех симплексов, вершиной которых является х, а симплициалъное окружение (англ. link) вершины у, обозначаемое Lk(y), —объединение всех 1-симплексов, противолежащих вершине у в 2-симплексах, составляющих St (у). Легко показать, что топологически St(x) является 2-диском, a Lk(y) — окружностью (см. рис. 6.2).
Рис. 6.2. Звезда и симплициальное окружение точки на поверхности
В предыдущей лекции ориентируемые поверхности были определены как поверхности, не содержащие ленту Мёбиуса. Теперь дадим другое (эквивалентное) определение ориентируемости для случая триангулированных поверхностей. Симплекс а2 = [0,1, 2] называется ориентированным, если фиксирован циклический порядок его вершин. Смежные ориентированные симплексы согласованно ориентированы, если их ориентации задают противоположные направления на их общем ребре. Таким образом, два симплекса а2 = [0,1, 2] и а2 = [0,1, 3] согласованно ориентированы, если на них выбран циклический порядок (0,1, 2) и (1, 0, 3) соответственно. Триангулируемая поверхность называется ориентируемой, если все её 2-симплексы можно согласованно ориентировать.
Нетрудно доказать, что поверхность ориентируема тогда и только тогда, когда она не содержит лист Мёбиуса.


50
Лекция 6. Классификация поверхностей
§ 6.3. Классификация ориентируемых поверхностей
Основной результат этого параграфа — следующая теорема. Теорема 6.3 (классификация ориентируемых поверхностей). Любая ориентируемая поверхность гомеоморфна одной из поверхностей из следующего списка:
§2, S1 х S1 (mop), (S1 х §1)#(§1 х S1) (сфера с 2 ручками), ...,
(S1 х S1)#^1 х S1)#...#^1 х S1) 0сфера с к ручками), ...
Любые две (различные) поверхности в списке не гомеоморфны.
Рис. 6.3. Ориентируемые поверхности
Доказательство. Ввиду факта 6.1 можно считать поверхность М триангулированной и взять её двойное барицентрическое разбиение М". В этой триангуляции звезда какой-либо вершины из М" называется её чашечкой (по-английски сир — чашка), объединение всех граней из М", пересекающих какое-либо ребро из М, но не содержащихся в чашечках, называется полоской (strip), а любая связная компонента объединения оставшихся граней из М" называется заплатой (patch).
Рассмотрим объединение всех рёбер из М; оно является графом (который мы обозначим G). Пусть G0 — максимальное дерево в G. Обозначим через М0 объединение всех чашечек и полосок, окружающих G0. Ясно, что М0 гомеоморфно 2-диску (почему?). Последовательно присоединяя к М0 все полоски и заплаты из М — М0, получаем возрастающую последовательность
М0 с М2 с М2 с ... с Мр = М, которая покрывает М.


§ 6.3. Классификация ориентируемых поверхностей
51
Рис. 6.4. Чашечки, полоски и заплаты
Посмотрим, что происходит при переходе от М0 к Мг.
Если уже не осталось неиспользованных полосок1, то имеется заплата (топологически—диск), приклеенная вдоль границы к граничной окружности Е0 области М0; получается 2-сфера, и теорема доказана.
Пусть есть неиспользованные полоски. Хотя бы одна из них, скажем S, одним концом присоединена к £0 (поскольку М связно), но и другой её конец также присоединён к £0 (иначе она была бы частью М0). Обозначим через К0 замкнутый воротник окружности Е0 в М0 (т. е. объединение всех симплексов, хотя бы одна вершина которых лежит на Е0). Воротник К0 гомеоморфен кольцу (а не листу Мёбиуса), поскольку М ориентируемо. Присоединить S к М0 — то же самое, что приклеить второй экземпляр К0 U S к М0 вдоль Но К U S гомеоморфно диску с двумя дырками (который мы назвали «штанами»), поскольку S нужно присоединить ориентируемым образом в силу ориентируемости М (по этой причине невозможно закручивание полоски, показанное на рис. 6.5 (а). Таким образом, получается
1 На самом деле этот случай невозможен, но доказать это сложнее, чем показать, что теорема верна и в этом случае.


52
Лекция 6. Классификация поверхностей
Рис. 6.5. Приклеивание штанов по штанинам
из М0 присоединением штанов К U S вдоль пояса (это Х^) и имеет две граничные окружности (рис. 6.5 (б)).
Теперь посмотрим, что происходит при переходе от Мг к М2.
Если не осталось неиспользованных полосок, то имеются две заплаты, которые нужно приклеить к двум граничным окружностям области Мъ и мы снова получим 2-сферу.
Пусть есть неиспользованные полоски. Выберем одну, скажем S, которая присоединена концом к одной из граничных окружностей области Мъ скажем к Возможны два случая:
(i) 	второй конец заплаты присоединён к Е2,
(и) 	второй конец заплаты присоединён к
Рассмотрим первый случай. Пусть Кг и К2 — воротники окружностей и Е2 соответственно; каждый из них гомеоморфен кольцу (поскольку поверхность М ориентируема). Присоединить S к Мг — то же самое, что приклеить к Мг второй экземпляр Кг U К2 U S к М1 вдоль двух окружностей £' и Т/2 (поскольку экземпляр Кг U К2 можно гомеоморфно вложить в воротники Кг и К2). Но ясно, что КгиК2и8 гомеоморфно диску с двумя дырками. Таким образом, в рассматриваемом случае М2 получается из М1 приклеиванием штанов вдоль штанин, что понижает количество граничных окружностей на единицу.
Второй случай вполне аналогичен добавлению полоски к М0 (см. выше) и приводит к приклеиванию штанов к Мг вдоль пояса, что повышает количество граничных окружностей на единицу.


§ 6.3. Классификация ориентируемых поверхностей
53
Что происходит, если на i-м шаге присоединяется полоска? Как мы видели выше, возможны два случая: количество граничных окружностей области М(_г либо возрастает, либо уменьшается на единицу. В первом случае к присоединяются «перевёрнутые штаны», а во втором — штаны в обычном положении.
Рис. 6.6. Приклеивание штанов вдоль пояса
Что происходит, когда все полоски уже присоединены и присоединяются заплаты? Добавление каждой заплаты «замкнёт» некоторые штаны либо по штанинам, либо по поясу. В итоге получаем поверхность. Докажем, что это сфера с т ручками, т ^ 0.
Проведём индукцию по количеству к приклеенных штанов. База индукции (fc = 0) доказана выше. Пусть приклеивание к — 1 штанов по поясу или штанинам и заклеивание дырок (приклеивание дисков к свободным границам) всегда приводит к сфере с некоторым количеством (^ 0) ручек. Докажем, что это будет верно и для к штанов. Рассмотрим два случая.
Случай 1. Последние штаны присоединены по поясу (и затем заклеены штанины). Удалив штаны (вместе с двумя заплатами) из поверхности М и заклеив пояс W, мы получим поверхность Мъ построенную из fc — 1 штанов. По предположению индукции Мг является сферой сш^О ручками. Но М получается из Мг удалением заплаты из W, приклеиванием штанов по поясу и заклеиванием дырок. Тогда М, очевидно, является сферой с тем же количеством ручек (mj).
Случай 2. Последние штаны присоединены по штанинам (и затем заклеен пояс). Удалив штаны (вместе с заплатой) из поверхности М и заклеив штанины W, мы получим поверхность М2, построенную из fc — 1 штанов. По предположению индукции Мг является сферой ст2^0 ручками. Но М получается из М2 удалением двух заплат W,


54
Лекция 6. Классификация поверхностей
приклеиванием штанов по штанинам и заклеиванием дырки. Тогда М, очевидно, является сферой с т1 +1 ручками.
Доказан первый пункт теоремы, согласно которому любая ориентируемая поверхность гомеоморфна хотя бы одной из перечисленных в списке.
Чтобы доказать второй пункт, т. е. утверждение, что любая ориентируемая поверхность гомеоморфна только одной из перечисленных в списке, достаточно показать следующее:
(1) гомеоморфные поверхности имеют одинаковую эйлерову характеристику;
(2) все поверхности в списке имеют разную эйлерову характеристику (а именно 2, 0, —2, —4,... соответственно).
Первое утверждение вытекает из факта 6.2. В самом деле, если две поверхности гомеоморфны, то у них есть изоморфные разбиения. Нетрудно проверить, что эйлерова характеристика не меняется при переходе к разбиению. Достаточно убедиться, что эйлерова характеристика не меняется при разбиении грани, ребра и барицентрическом. Но это проверяется непосредственно, и утверждение (1) доказано.
Второе утверждение несложно вывести из формулы для эйлеровой характеристики связной суммы (теорема 5.2).
Теорема доказана. □
заплата по
штаны (приклеенные по штанинам)
Рис. 6.7. Построение ориентируемой поверхности


§ 6.4. Классификация неориентируемых поверхностей
55
Род g ориентируемой поверхности можно определить как количество её ручек. Оно выражается через эйлерову характеристику следующим образом:
g(M) = |(2-*(M)).
Фактически это уже было установлено выше при вычислении эйлеровой характеристики ориентируемой поверхности.
§ 6.4. Классификация неориентируемых поверхностей и поверхностей с дырками
Теорема 6.4. Любая неориентируемая поверхность содержится в следующем списке:
МР2, МР2#МР2, ..., МР2#МР2#...#МР2, ...
Любые две поверхности в этом списке не гомеоморфны.
Опустим доказательство (близкое к доказательству теоремы 6.3, но более сложное).
Неотрицательное целое число g=l-^(AO называется родом неори- ентируемой поверхности N. Таким образом, род бутылки Клейна равен 1, т. е. количеству её «ручек» в естественном смысле. Это верно и для других неориентируемых поверхностей (см. задачу 6.10).
Формулировку классификационной теоремы для поверхностей с дырками предоставляем читателю.
§6.5. Задачи
6.1. Докажите, что % (тТ2) = 2 - 2т и % (пМР2) — 2-п. (Здесь пМ обозначает связную сумму п экземпляров поверхности М.)
6.2. Докажите, что ориентируемая поверхность не может быть го- меоморфна неориентируемой.
6.3. (а) Докажите, что в любом графе есть максимальное дерево,
(б) 	Докажите, что симплициальная окрестность дерева на поверхности гомеоморфна диску.
6.4. Найдите эйлерову характеристику бутылки Клейна.
6.5. Рассмотрим факторпространство (S1 х§1)/((х,у)-(у,х)). Оно является поверхностью. Какой именно?
6.6. Покажите, что окружность можно заклеить лентой Мёбиуса, т. е. ленту Мёбиуса можно гомеоморфно деформировать в трёхмер¬


56
Лекция 6. Классификация поверхностей
ном пространстве так, что её граница станет окружностью в некоторой плоскости.
6.7. Докажите, что граница тела Mb х [0,1] — бутылка Клейна.
6.8. Докажите, что на сфере с g ручками наибольшее число непе- ресекающихся замкнутых кривых, не делящих её на части, равно g.
6.9. Можно ли вложить К33: (а) в сферу; (б) в тор; (в) в бутылку Клейна; (г) в лист Мёбиуса?
6.10. Докажите, что Т2#ШР2 и 3RP2 гомеоморфны (примените теорему классификации и вычислите эйлерову характеристику) и, более общим образом, что mT2#RP2 «(2m +1 )МР2.


Лекция 7 Гомотопия
Понятия гомотопии и гомотопической эквивалентности чрезвычайно важны в топологии. Гомотопическая эквивалентность топологических пространств — более слабое отношение эквивалентности, чем гомеоморфность; теория гомотопий изучает топологические пространства с точностью до этого отношения (а отображения — с точностью до гомотопии). Эта теория составляет важнейшую часть алгебраической топологии, но мы рассмотрим лишь некоторые её начальные понятия. Одно из этих понятий — эйлерова характеристика, которая также является гомотопическим инвариантом.
Два отображения /, g: X —»Y называются гомотопными (обозначение: / ^ g), если их можно связать гомотопией, т. е. таким отображением F: X х [0,1] —> У, что F(x, 0) =/(х) и F(x, 1) = g(x) (здесь = означает «для всех хеХ»). Если заменить обозначение F(x, t) на Ft(x), то можно переформулировать предыдущее определение, сказав, что существует семейство отображений {Ft(-)}> параметризованных переменной te [0,1] и непрерывно меняющихся от f = F0 до g = F1.
Легко доказать, что
/~/ для любого f:X—>Y (рефлексивность);
/~g => /для всех f,g:X—>Y (симметричность);
=> / ~ h для всех /, g, h: X —► У (транзитивность).
Например, при доказательстве транзитивности мы получим гомо- топию, связывающую / и h, положив
где Flt F2 — гомотопии, связывающие / и g} g и h соответственно.
§ 7.1. Гомотопные отображения
Fx(x,2t) npH0^t^l/2, F2(x, 2t — 1) при1/2^С^1,


58
Лекция 7. Гомотопия
Таким образом, гомотопия отображений является отношением эквивалентности, так что множество Мар(Х, У) всех (непрерывных) отображений пространства X в пространство Y распадается на классы эквивалентности, называемые гомотопическими классами; множество таких класов эквивалентности обозначается [X, Y].
§ 7.2. Гомотопическая эквивалентность пространств
Два пространства X и Y называются гомотопически эквивалент- нъши, если существуют два отображения /: X-+Y, g:Y —»X (называемые гомотопическими эквивалентностями), для которых
/ о g ~ idy и go/~idx.
Ясно, что гомеоморфные пространства гомотопически эквивалентны (гомотопическая эквивалентность обеспечивается любым гомеоморфизмом и обратным к нему отображением). Обратное утверждение неверно: например, точка гомотопически эквивалентна 2-диску, но эти два пространства не гомеоморфны.
Таким образом, гомотопическая эквивалентность — более слабое отношение эквивалентности, чем гомеоморфность, так что гомотопическая классификация грубее (и потому легче — получается меньше классов), чем топологическая. Своим значением в топологии она обязана тому факту, что большинство топологических инвариантов являются гомотопическими инвариантами (например, так называемая фундаментальная группа, группы гомологий и связанные с ними инварианты, такие как эйлерова характеристика).
§ 7.3. Степень отображений окружности в себя
В этом параграфе мы рассмотрим (непрерывные) отображения /: S1 —» S1 окружности в себя. Примерами служат отображения wk: S1 —>S1 вида ещ —»elk{р9 где окружность S1 реализована как множество всех комплексных чисел, по модулю равных единице:
S1 = {z G С: |s| = 1}.
Нас интересует гомотопическая классификация таких отображений, причём мы будем считать, что они оставляют на месте точку leg1.
Теорема 7.1. Степень отображения deg (определение см. ниже) задаёт естественную биекцию между гомотопическими классами отоб-


§ 7.3. Степень отображений окружности в себя ражений окружности в себя и целыми числами:
59
deg: [S1, S1] .
Доказательство. Рассмотрим отображение
exp: R —* S1, ei<p е S1.
Отображение ехр не является биекцией; например, оно переводит все точки вида 2кп в 1 eg1 (см. рис. 7.1 (а)). Однако ехр является локальным гомеоморфизмом, т. е. у любой точки есть такая окрестность U (например, любой содержащий её открытый интервал, длина которого меньше 2л), что ограничение ехр 1^ отображения ехр на U является гомеоморфизмом.
Любое отображение S1 —» S1 можно рассматривать как отображение /: [0, 2п] —> S1, где /(0) = /(2тг) = 1 е S1. Для любого такого отображения существует единственное отображение /: [0,2п\ —>М, называемое его поднятием, для которого ехро/ = / и /(0) = 0. Действительно, разобьём [0,2я] на отрезки [0, аг], [аг,а2],[ат,2п], достаточно малые, чтобы образ каждого из них не покрывал S1; поскольку ехр является гомеоморфизмом на каждом из этих отрезков, можно продолжить отображение, переводящее точку 0 е [0,2п\ в точку Ое К, на весь отрезок [0, 2тг] (см. рис. 7.1 (а)). Определим теперь степень deg([/]) любого отображения окружности [/] э/: S^S1 по
формуле
0
(а)
(б)
Рис. 7.1. Поднятия экспоненциального отображения


60
Лекция 7. Гомотопия
Чтобы доказать теорему, нужно показать следующее:
(0) /(27г) не зависит от выбора точек аъ ..., ат на отрезке [0,2л:];
(1) соответствие deg: [S1, S1] —корректно определено, т.е. если / и /' гомотопны, то deg([/]) = deg( [/']);
(2) соответствие deg инъективно, т. е. если / и /' не гомотопны, то deg([/]) T^degCt/7]);
(3) соответствие deg сюръективно, т. е. для каждого к € Z существует такое отображение /, что deg[/] =к.
Здесь нам потребуется следующая лемма.
Лемма 7.1. Если /: [0, 2п] —>Ruk = то f и wk гомотопны,
где wk — поднятие отображения wk. В этом случае / и wk гомотопны.
Доказательство. Посмотрим на рис. 7.1 (б). Прямая линия —это график отображения wk, кривая — возможный график отображения /. Стрелки показывают, как построить гомотопию F, связывающую / с й)к. Тогда отображение expoF будет гомотопией, связывающей / с wk. □
Из леммы непосредственно следуют утверждения (0) и (2). Утверждение (1) (о корректности определения) теперь вытекает из утверждения (0) и того факта, что соответствие / —> непрерывно,
т. е. малые изменения отображения / приводят к малым изменениям его степени: поскольку степень — целое число, достаточно малые изменения отображения / вообще не меняют его степень! Наконец, утверждение (3) (сюръективность) очевидно: для любого к е Z можно в качестве соответствующего / взять wk.
Теорема доказана. □
Геометрический смысл степени отображения /: S1 —»S1 в том, что она показывает, «сколько раз окружность-прообраз оборачивается вокруг окружности-образа». Таким образом, постоянное отображение S1 —»1 е S1 имеет степень 0 (прообраз обёрнут вокруг образа нуль раз), тождественное отображение имеет степень 1 (прообраз обёрнут вокруг образа ровно один раз), отображение w_17 имеет степень -17 (прообраз обёрнут вокруг образа семнадцать раз в обратном направлении—по часовой стрелке).
Следствие 7.1. Тождественное отображение окружности не гомотопно постоянному отображению S1 —> 1 е S1.
Замечание. Понятие степени отображения можно обобщить с отображений окружности в себя на отображения сферы §п в себя при


§ 7.4. Теорема о неподвижной точке
61
любом п и даже на случай произвольных п-мерных ориентированных многообразий. Хотя определение не слишком сложно, бывает трудно доказать в общем случае (т.е. для произвольного п), что степень корректно определена и зависит только от гомотопического типа отображения. Строгое доказательство использует теорию гомологий, речь о которой пойдет во второй части курса.
§ 7.4. Теорема о неподвижной точке
Из теоремы, доказанной в предыдущем параграфе, вытекает много важных следствий, и некоторые из них ещё будут рассмотрены далее в нашем курсе. Здесь мы приведём лишь один пример, а именно теорему Брауэра о неподвижной точке (для п = 2). Другие, более общие теоремы о неподвижной точке служат основой важнейших теорем существования в теории дифференциальных уравнений и их применений в технике и особенно в экономике (так называемое равновесие Нэша), но для их доказательства требуется теория гомологий.
Теорема 7.2 (теорема Брауэра о неподвижной точке для 2-диска). Любое непрерывное отображение (замкнутого) диска имеет неподвижную точку, т. е. если f: В2 —> В2 непрерывно, то существует такая точка х е В2, что f(x) — х.
Для доказательства нам потребуются определение и лемма. Непрерывное отображение г: X —>А, где А — подпространство топологического пространства X, называется ретракцией, если его ограничение на А — тождественное отображение. Если существует ретракция г: X —» А, то подпространство А называется ретрактом пространства X.
Лемма 7.2. Не существует ретракции 2-диска на его граничную окружность.
Доказательство леммы. Предположим, что существует ретракция г: В2 —> дВ2 двумерного диска В2 на его граничную окружность S1 = ЭВ2. Рассмотрим семейство Ft(x) отображений Ft: S1 —> S1 вида Ft(eIV?) = r(telif>). Отображение F0 — это постоянное отображение S1 —>r(0), a (гомотопное отображению F0) — тождественное отображение окружности. Это противоречит следствию 7.1. □
Доказательство теоремы. Покажем, что теорема о неподвижной точке вытекает из леммы. Предположим, что теорема неверна. Для любого х G В2 имеем f(x) Ф х, поэтому корректно определена точка пересечения г(х) луча [/(х), х) с граничной окружностью


62
Лекция 7. Гомотопия
Рис. 7.2. Ретракция, которой нет
(см. рис. 7.2). Очевидно, отображение х—>г(х) является (непрерывной) ретракцией диска D2 на его граничную окружность. Но это противоречит лемме. Теорема доказана. □
§7.5. Задачи
7.1. Докажите, что если непрерывны все ограничения отображения /: X —> Y на замкнутые подмножества Хъ .. ,Хк, где X = Хг и... и Хк} то / непрерывно.
7.2. (а) Докажите, что если отображение /: X —»S1 не сюръективно, то / гомотопно постоянному отображению.
(б) Докажите, что если отображение /: X —> §п не сюръективно, то / гомотопно постоянному отображению.
7.3. Докажите, что 2-сфера, у которой отождествлены две точки, и объединение 2-сферы с одним из её диаметров гомотопически эквивалентны.
7.4. Докажите, что пространства S1 и S1 U [0,1]/~, где ~ означает отождествление некоторой точки на S1 с точкой Ое [0,1], гомотопически эквивалентны.
Ниже X V Y обозначает букет двух линейно связных пространств X и У, т. е. топологическое пространство, полученное отождествлением некоторой точки из X с некоторой точкой из 7.
7.5. Докажите, что сфера с g ручками и одной выколотой точкой гомотопически эквивалентна пространству, состоящему из п окружностей, проходящих через общую точку. Найдите п.
7.6. Докажите, что пространства S1 V S2 и М3 \ S1 гомотопически эквивалентны.


§ 7.5. Задачи
63
7.7. Пусть X обозначает пространство R3, из которого удалены к окружностей (окружности не заузлены и не зацеплены — считайте, что они лежат в непересекающихся шарах). Докажите, что X гомотопически эквивалентно букету к экземпляров пространства S1 V§2.
7.8. Пусть L — объединение двух окружностей в пространстве R3, зацепленных простейшим образом. Докажите, что R3 \ L гомотопически эквивалентно букету S2 V Т2.
7.9. Докажите, что следующие утверждения равносильны:
(1) любое непрерывное отображение /: В)п —> Ю)п имеет неподвижную точку;
(2) не существует ретракции г: Ю)п —> дПУ1;
(3) для любого векторного поля и на ПУ1, удовлетворяющего условию и (х) = х при всех х € ЭДУ1, существует точка х е Рп, для которой v (х) = 0 (при п — 2 это утверждение называется по-русски «теорема о причёсывании ежа», а по-английски — «hedgehog theorem» или «hairy ball theorem»).
7.10. Докажите, что А является ретрактом пространства X тогда и только тогда, когда любое непрерывное отображение f\A-*Y можно продолжить на X.
7.11. Докажите, что если любое непрерывное отображение /: X—>Х имеет неподвижную точку и А является ретрактом пространства X, то любое непрерывное отображение g: А —> А имеет неподвижную точку.
7.12. Пусть §°° с R00 — бесконечномерная сфера, состоящая из всех таких точек (хъ х2,...), €R, что ^xf = l и лишь конечное количе¬
ство чисел X* отлично от нуля. Пусть она наделена естественной топологией1. Докажите, что пространство §°° стягиваемо (т. е. гомотопически эквивалентно точке). (Указание: докажите, что тождественное отображение гомотопно отображению (х1? х2, ...)»-> (0, хъ х2,...).)
1 Подмножество F с S00 замкнуто, если F ГiRn замкнуто при всех п.


Лекция 8 Векторные поля
Понятие векторного поля пришло из механики и физики. Примеры: поле скоростей частиц движущейся жидкости в гидродинамике, поле сил тяготения в ньютоновой механике, поле электромагнитной индукции в электродинамике. Во всех этих случаях в каждой точке некоторой пространственной области задан вектор и этот вектор изменяется непрерывным образом при движении от точки к точке. В этой лекции мы рассмотрим более простую модель: векторные поля на плоскости или на поверхности (а не в пространстве).
В математике гладкое векторное поле является основным понятием в теории дифференциальных уравнений (относящейся к анализу), а не топологическим понятием. Однако в этой лекции мы рассмотрим более общее (топологическое!) понятие, а именно непрерывное векторное поле. Мы покажем, как можно использовать понятие степени отображения окружности в контексте векторных полей и благодаря этому эффективно применять его к дифференциальным уравнениям.
§ 8.1. Траектории и особые точки
Векторное поле V на плоскости Ш2 задано, если каждой точке плоскости сопоставлен вектор. В координатах х, у на R2 это можно выразить в виде
X = а(х, у), Y = /3(х,у),
где а:М2—>Ми/3:М2—>R — вещественнозначные функции на плоскости, (х, у) — координаты точки р, а (X, У) — координаты вектора У(р). Если функции а и /3 непрерывны, то векторное поле V называется непрерывным, а если функции а и /3 гладкие (непрерывно диф¬


§ 8.2. Типичные особые точки плоских векторных полей
65
ференцируемые) *, то V называется гладким. В дальнейшем мы будем рассматривать только непрерывные векторные поля и потому опускать прилагательное «непрерывное».
Особая точка р векторного поля V — это точка, где V обращается в нуль: V(р) = 0; если V — поле скоростей, то такую точку часто называют точкой покоя.
Траектория векторного поля V через точку ре!2-это кривая у: М—>М2, проходящая через р и касательная во всех своих точках к векторному полю (более точно: вектор V(q) равен производной dy{t)/dt в каждой точке q е С). Изображение векторного поля будет гораздо нагляднее, если вместо многочисленных векторов на плоскости начертить его траектории. Одна из классических теорем о дифференциальных уравнениях гласит, что у гладкого векторного поля всегда существуют траектории. Эта теорема не потребуется далее в курсе и нужна нам лишь как обоснование наших иллюстраций, так что мы не станем приводить ни её точную формулировку, ни её доказательство.
§ 8.2. Типичные особые точки плоских векторных полей
Рассмотрим теперь некоторые типы особых точек плоских векторных полей. Чтобы дать их определения, мы не станем писать явные формулы для векторов данного поля, а вместо этого опишем картину его траекторий вблизи особой точки и дадим примеры таких сингулярностей в физике (см. рис. 8.1).
Узел — особая точка, которая принадлежит всем близлежащим траекториям; если все траектории направлены к узлу, он называется устойчивым, а если все траектории направлены от него — неустойчивым. В качестве примера можно взять гравитационное поле водяных капель, падающих с поверхности z = х2 + у2 около точки (0, 0, 0) (устойчивый узел) или на поверхность z = — х2 — у2 около той же точки (неустойчивый узел).
Седло — особая точка, принадлежащая двум трансверсальным траекториям, называемым сепаратрисами, одна из которых входит в эту точку, другая выходит из неё, причём остальные траектории ведут себя как семейство гипербол, асимптотами которых являются сепа-
1 Отметим, что термин «гладкий» нередко употребляется также в значении «бесконечно дифференцируемый».


66
Лекция 8. Векторные поля
фокус узел седло центр
Рис. 8.1. Особые точки векторных полей
ратрисы. В качестве примера можно взять гравитационное поле водяных капель, падающих с поверхности z — x2 — у2 около точки (0,0, 0); здесь сепаратрисами являются биссектрисы координатных углов Оху.
Центр — особая точка, вблизи которой траектории ведут себя как семейство концентрических окружностей; центр называется положительным, если траектории направлены против часовой стрелки, и отрицательным, если они направлены по часовой стрелке. В качестве примера можно взять поле скоростей при вращении плоскости вокруг начала координат с постоянной угловой скоростью.
Фокус — особая точка, которая напоминает узел с тем отличием, что траектории ведут себя не как прямые, проходящие через данную точку, а как семейство логарифмических спиралей, сходящихся к ней (устойчивый фокус) или расходящихся от неё (неустойчивый фокус).
Особая точка называется типичной, если она принадлежит одному из следующих трёх типов, описанных выше: узел, седло, фокус. Заметим, что центр не является типичной точкой. Векторное поле называется типичным, если оно имеет конечное число особых точек и все они типичные.
Замечание 8.1. Неформально поясним, почему здесь используется термин «типичный». В действительности типичные поля — это «наиболее общие» поля в том смысле, что, во-первых, они появляются «чаще всего» (т. е. для любого векторного поля существует сколь угодно близкое к нему типичное), а во-вторых, они «устойчивы» (любое векторное поле, достаточно близкое к типичному, также типично и имеет столько же особых точек). Эти утверждения не потребуются в нашем курсе, так что мы не будем их уточнять и доказывать.


§ 8.3. Индекс плоских векторных полей
67
Замечание 8.2. Можно доказать, что седло и центр не эквивалентны топологически друг другу и не эквивалентны узлу и фокусу; однако фокус и узел топологически эквивалентны. Как топологи мы не должны их различать; но мы будем это делать, следуя традициям теории динамических систем (где используется отношение эквивалентности, более сильное, чем гомеоморфность). Мы не используем (и потому не определяем) это отношение.
§ 8.3. Индекс плоских векторных полей
Предположим, что на плоскости задано (непрерывное, но не обязательно типичное) векторное поле V. Пусть у (В1) —замкнутая кривая на плоскости (т. е. вложение окружности S1 в R2), не проходящая через особые точки поля V; положим С :=y(Sl). Каждому вектору V(c), се С, поставим в соответствие единичный вектор того же направления, исходящий из начала координат О е R2; мы получим отображение g: С —> § j (где §\ с R2 — единичная окружность с центром О), которое называется гауссовым отображением, соответствующим векторному полю V и кривой у. Определим теперь индекс векторного поля V вдоль кривой у как степень отображения окружности (goyOiS1-^1:
ind (у, V) := deg(goy) .
Интуитивно индекс означает количество оборотов векторного поля в положительном направлении (против часовой стрелки) при одном обходе кривой.
Замечание 8.3. Простой способ вычислить ind(y) таков: зафиксируем луч с началом О, не содержащий особых точек, и подсчитаем, сколько раз конец вектора V (с) пересекает луч в положительном направлении (число р) и сколько раз в отрицательном (число q); тогда ind (y)=p-q.
Теорема 8.1. Пусть простая замкнутая кривая С = у (S1), у: S1 <->
R2, не проходит через особые точки непрерывного векторного поля V и ограничивает область, также не содержащую его особых точек. Тогда
ind (у, V) = 0.
Чтобы доказать эту теорему, нам потребуется усиление теоремы Жордана о кривой, известное как теорема Шёнфлиса; сформулируем её без доказательства.


68
Лекция 8. Векторные поля
Теорема (Шёнфлис). Пусть С:=у(S1) — замкнутая кривая на плоскости. Тогда на R2 существует гомеоморфизм h, который переводит область D, ограниченную кривой С, в единичный диск с центром в начале координат О.
Доказательство теоремы 8.1. Пусть h: D —»В2 — гомеоморфизм области D на единичный диск с центром О, существующий по теореме Шёнфлиса. Рассмотрим семейство всех окружностей S* радиуса г ^ 1 с центром О. Очевидно,
ind(r,V) = ind(h“1(Sj),V).) (*)
Вектор V(h_1(0)) ненулевой, поэтому при достаточно малых г0 все векторы V(s), 5Gh-1(S1o), мало отличаются по направлению от
У(/г_1(0)), так что ind(h_1(S1o), V) =0. Но тогда по непрерывности
ind(h“1(S1), V) = 0 при всех г ^ 1.
Теперь теорема вытекает из соотношения (*). □
Пусть теперь V — гладкое векторное поле на плоскости, ар — его особая точка. Пусть С —окружность с центром в точке р, причём на ней и внутри неё нет других особых точек. Тогда индекс поля V в особой точке р определяется как ind(p, V) := ind(C, V). Такое определение корректно, т. е. не зависит от радиуса окружности С (при условии, что на ней и внутри неё нет других особых точек); это вытекает из следующей теоремы.
Теорема 8.2. Предположим, что простая замкнутая кривая у не проходит через особые точки векторного поля V и ограничивает область, содержащую ровно одну особую точку а0 поля V. Тогда
ind(y, V) = ind(a0, V).
Доказательство аналогично доказательству теоремы 8.1 и оставляется в качестве упражнения.
§ 8.4. Векторные поля на поверхности
В оставшейся части лекции мы рассмотрим векторные поля на ориентируемых поверхностях. Здесь мы увидим, что существует глубокая связь между глобальными топологическими свойствами поверхности и структурой векторных полей на ней, а именно (локальными!) характеристиками особых точек полей.
Простой пример векторного поля на поверхности — поле скоростей точек 2-сферы, вращающейся с постоянной скоростью вокруг


§ 8.5. Две леммы
69
оси N-S. Чтобы математически определить это понятие в общем случае, предположим, что наша (компактная, замкнутая, ориентируемая) поверхность М гладко вложена в М3. Это означает, что можно покрыть М конечным количеством открытых областей {Uk}, каждая из которых является графиком гладкой однозначной функции zk = Fk(xk> Ук) в ортонормированной системе координат (Оь хк, ук, zk) (которые называются локальными координатами), причём обе частные производные функции Fk не обращаются одновременно в нуль.
Таким образом, локально ситуация здесь такая же, как в §8.1— 8.3: можно определить гладкие векторные поля, траектории, особые точки векторного поля, типичные векторные поля, индекс векторного поля в особой точке и т.д. Однако для произвольной кривой у: S1 —>М нельзя корректно определить индекс Ind(V,y), поскольку гауссово отображение использует параллельный перенос векторов к общему началу, а такой перенос нельзя корректно определить на всей поверхности. Тем не менее теоремы 8.1 и 8.2 сохраняют силу при условии, что они понимаются локально, т. е. относятся к некоторому открытому диску Uk с М.
Замечание 8.4. Более подходящий контекст для этой лекции составляла бы теория гладких поверхностей (двумерных дифференцируемых многообразий), где векторное поле состоит из векторов, лежащих в так называемых «касательных плоскостях» к поверхности. Поскольку это понятие не обязательно знакомо слушателям нашего курса, нам здесь приходится придерживаться элементарного подхода, при котором не используются абстрактно определённые касательные плоскости.
Индекс типичного векторного поля V на замкнутой компактной ориентируемой поверхности М определяется как сумма его индексов по всем особым точкам этого поля (обозначение: Ind(M, У)).
Как и в случае плоскости, типичное векторное поле на поверхности М определяется как векторное поле с конечным числом особых точек на М, типичное на всех Uk.
§8.5. Две леммы
Следующие две леммы потребуются в доказательстве главного результата этой лекции — теоремы Пуанкаре.
Лемма 8.1. Пусть р — неособая точка векторного поля V с конечным количеством особых точек на поверхности М; D — диск с цен¬


70
Лекция 8. Векторные поля
тром р; V0 — произвольный ненулевой вектор. Тогда существует другое векторное поле W с теми же особыми точками, совпадающее с V вне D и такое, что W(p) = V0.
Доказательство. По непрерывности существует диск D0, концентричный с D и такой, что все векторы V(q), q^D0, отличаются по направлению от У(р) меньше чем на 1°. Пусть г— радиус диска D0, а — угол между V (р) и V0, a S] — окружность радиуса s^rc центром в точке р. Тогда искомое векторное поле W получается из V поворотом всех векторов V (m), т е S], на угол а (г — s)/г и заменой V (р) на У0. □
Лемма 8.2. Для любого векторного поля V на поверхности М с конечным числом особых точек существует триангуляция поверхности М, в которой каждый открытый 2-симплекс содержит не более одной особой точки и каждая особая точка лежит в некотором открытом 2-симплексе.
Доказательство. Поскольку количество особых точек конечно, малым шевелением вершин триангуляции можно добиться, чтобы ни одна особая точка не была вершиной триангуляции или точкой её ребра. Повторяя барицентрические разбиения достаточное количество раз, можно добиться, чтобы в каждом замкнутом 2-симплексе было не более одной вершины триангуляции. Теперь снова пошевелим вершины триангуляции, чтобы особые точки не были вершинами или точками рёбер. После этого каждая особая точка будет лежать внутри 2-симплекса, не содержащего других точек триангуляции (и некоторые симплексы могут быть «пустыми»). □
§ 8.6. Теорема Пуанкаре об индексе
Анри Пуанкаре доказал следующую замечательную теорему, которая устанавливает глубокую связь между характером особых точек векторного поля и топологией (выраженной в эйлеровой характеристике) поверхности, на которой оно определено.
Теорема 8.3. Индекс любого гладкого типичного векторного поля на (замкнутой компактной связной триангулированной) ориентируемой поверхности равен её эйлеровой характеристике.
Доказательство. Доказательство состоит из двух частей. В первой части мы построим векторное поле специального вида, индекс которого заведомо равен эйлеровой характеристике поверхности. Во второй части мы докажем, что все типичные векторные поля на данной поверхности имеют тот же индекс.


§ 8.6. Теорема Пуанкаре об индексе
71
Часть 1. Зафиксируем триангуляцию поверхности М. Построим непрерывное векторное поле специального вида на триангулированной поверхности с особыми точками во всех вершинах, в серединах рёбер и в центрах тяжести всех граней, причём так, чтобы индекс этого поля оказался равен эйлеровой характеристике поверхности М. Это векторное поле показано на рис. 8.2.
В середине каждого ребра поместим седловую точку, у которой исходящие сепаратрисы идут вдоль ребра, а входящие сепаратрисы исходят из центров тяжести двух треугольных граней, смежных с этим ребром. В каждой вершине поместим устойчивый узел, причём каждое смежное с ней ребро будет частью траектории, входящей в узел. В центре тяжести каждой грани поместим неустойчивый узел, причём исходящие из него траектории будут включать три сепаратрисы, соединяющие его с седловыми точками в серединах рёбер этой грани (см. рис. 8.2). Наконец, нетрудно видеть, что векторные поля, уже построенные в окрестностях точек трёх типов (вершины, середины рёбер, центры тяжести граней), непрерывно продолжаются на всю поверхность.
Ясно, что индекс векторного поля, построенного выше, равен эйлеровой характеристике % — V — Е + F данной поверхности. Действительно, узлы в вершинах и центры тяжести граней имеют индекс +1, так что вклад узлов в индекс равен V + F, а седловые точки имеют индекс —1 и вносят вклад —Е, что в сумме даёт /.
Рис. 8.2. Особые точки специального векторного поля


72
Лекция 8. Векторные поля
Часть 2. Пусть Уг и V2 — типичные векторные поля на данной поверхности; мы хотим доказать, что их индекс одинаков. Прежде всего, в силу леммы 8.2 можно считать, что все особые точки полей Vx и V2 лежат внутри 2-симплексов (треугольников) триангуляции, не более чем по одному в каждом. Далее, применив лемму 8.1 к каждой вершине, можно считать, что векторы Vi (а) и V2(a) имеют одинаковое направление в каждой вершине а.
Теперь зафиксируем ориентацию поверхности М. Тогда каждое ребро аЪ получает противоположные ориентации аЪ и Ъа от двух смежных с ним граней. Пусть переменная точка х движется от а к Ь, а затем назад к а. Рассмотрим вращение вектора, исходящего из а и равного Vx(x), при движении точки х от а к Ь, а затем вращение вектора, исходящего из а и равного V2{x), при движении точки х от Ъ к а. Пусть dab обозначает суммарное количество оборотов вектора (dab — корректно определённое целое число, поскольку оба векторных поля совпадают в вершине а). Аналогично определим dba. Ясно, что dab = —dba- Просуммировав по множеству Е всех рёбер, получим, что
S Wab + ^ba)=0- W
(ab)eE
Теперь посмотрим на эту сумму в терминах множества F граней. Пусть (abc) € F, где циклический порядок а, Ь, с согласован с выбранной ориентацией поверхности. Рассмотрим сумму dab + dbc + dca; она не изменится, если мы сначала выполнение вращение всех векторов Vi, а затем —всех векторов V2 (поскольку векторные поля совпадают во всех трёх вершинах); следовательно,
dab + dbc + dca = Ind((abc), Уг) + Ind((bac), V2) =
= Ind {{abc), Vi) - Ind((abc), V2), (**)
где (abc) обозначает (положительно ориентированную) замкнутую кривую, которая ограничивает грань (abc). Представив сумму (*) как сумму по граням с использованием соотношения (**) и теорем 8.1 и 8.2, получаем
О = Yi (IndC(abc), Vi) - Ind((abc), V2)) =
(abc)eF
= Y, Ind ((abc), Vi) - X Ind ((abc), V2) =
Сabc)eF (abc)GF
= Ind (M, V^) - Ind(M, V2).
Теорема доказана. □


§ 8.7. Приложения
73
§8.7. Приложения
Здесь мы сформулируем лишь одно непосредственное приложение теоремы Пуанкаре.
Следствие 8.1 («теорема о причёсывании ежа» («hedgehog theorem» или «hairy ball theorem»). Любое гладкое векторное поле на сфере имеет хотя бы одну особую точку, а если оно типичное, то хотя бы две.
§8.8. Задачи
8.1. На комплексной плоскости рассмотрите следующее векторное поле: v(z) =zn/\z\n~1 при 2^0, v(0) — 0. Найдите индекс особой точки этого поля (для произвольного целого п).
8.2. Докажите, что индекс кривой у: S1 —»М2, не содержащей особых точек данного векторного поля, равен сумме индексов особых точек, которые она окружает.
8.3. Пусть даны два плоских векторных поля i/ишна замкнутой несамопересекающейся кривой у, причём в любой точке X векторы и(Х) и ш(Х) не направлены противоположно друг другу. Докажите, что индексы кривой относительно этих векторных полей равны.
8.4*. Докажите, что любой многочлен
P(z) = zn + a1zn~1 +... + an
с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.
8.5. Будем говорить, что векторное поле и на плоскости чётно, если и (х) = v (—х), и нечётно, если v(x) = —v (—х). Докажите, что индекс точки О чётен для чётного поля и нечётен для нечётного.
8.6. Замкнутая кривая с конечным количеством самопересечений делит плоскость на несколько частей. Выбирая в каждой части точку О, можно определить для этой части количество оборотов вектора ОХ при движении точки X вдоль всей кривой. Докажите, что если две части имеют общую границу, то соответствующие количества оборотов отличаются на 1.
8.7*. На граничных окружностях кольца рассмотрим векторное поле без особых точек, векторы которого касательны к окружностям, а векторы в соответственных точках двух окружностей имеют противоположные направления. Продолжите это векторное поле до векторного поля без особых точек на всём кольце.


74
Лекция 8. Векторные поля
8.8. Пусть / — гладкая функция на плоскости. Докажите, что индекс изолированной особой точки векторного поля и = grad/
(а) может принимать значения 1, 0, —1, —2,..., —гг,... (ггеN);
(б)* не может принимать никаких других целых значений.
8.9. Постройте на торе векторное поле без особых точек.
8.10. Постройте на бутылке Клейна векторное поле без особых точек.
8.11. Постройте на §2 векторное поле с одной не типичной особой точкой.
8.12. Постройте на RР2 векторное поле с одной особой точкой.
8.13. Существует ли на RР2 векторное поле (а) без особых точек; (б) с двумя особыми точками, причём обе типичные; (в) с тремя особыми точками, причём все они типичные; (г) с 17 особыми точками, причём все они типичные?
8.14. Постройте на сфере с двумя ручками векторное поле с одной особой точкой.
8.15. Пусть каждой точке X сферы §2 с М3 поставлен в соответствие ненулевой вектор i/(X) в пространстве. Вектор зависит непрерывно от точки сферы, но не обязательно касателен к сфере. Докажите, что хотя бы один из векторов и (X) перпендикулярен к касательной плоскости сферы в точке X.
8.16. Пусть /: §2 —> §2 — непрерывное отображение. Докажите, что существует точка х е §2, для которой /(х) = ±х.


Лекция 9 Кривые на плоскости
В этой лекции мы рассмотрим кривые и точки, лежащие на плоскости R2, и введём два важных инарианта: индекс Уитни (или вращение) кривой ш(у) и степень точки относительно кривой deg(p, у). Индекс Уитни позволит классифицировать кривые, погружённые в плоскость, с точностью до регулярной гомотопии, а степень точки относительно кривой поможет доказать так называемую «основную теорему алгебры».
§ 9.1. Регулярные кривые и регулярная гомотопия
Замкнутая кривая /: В1 —> R2 называется регулярной, если в каждой её точке имеется ненулевой касательный вектор, непрерывно зависящий от точки; это означает, что для каждого s е S1 существует такая окрестность U с S1, s € [/, что ограничение /1^ задаёт в некоторой системе координат на R2 график непрерывно дифференцируемой функции, причём этот график имеет ненулевой касательный вектор в точке /(s). Отметим, что регулярная кривая может иметь самопересечения и даже «перекрытия», т. е. её образ /(В1) может содержать участки, являющиеся образами непересекающихся дут: /(10 = /00,
unv = 0.
Регулярная гомотопия кривой /: S1 —> R2 — это такая её гомотопия (т. е. отображение F: S1 х [0,1] —>R2, удовлетворяющее условию
F(s,0)=/(s)
при всех s € S1), которая при каждом t е [0,1] задаёт регулярную кривую (т. е. кривая F(s, t0) регулярна при каждом фиксированном t0 G [0,1]). Отметим, что «исчезновение маленькой петли», которое иногда происходит при гомотопии (см. рис. 9.1), невозможно при регулярной гомотопии (почему?).


76
Лекция 9. Кривые на плоскости
Рис. 9.1. Исчезновение маленькой петли
§ 9.2. Иммерсированные кривые и регулярная гомотопия
Иммерсированная кривая —это регулярная кривая, типичная в том смысле, что её особые точки нельзя устранить малым шевелением. Точное определение таково. Регулярная кривая
/: S1 -> R2
называется иммерсированной (или погружённой), если / не является биекцией лишь в конечном числе точек d;, причём эти точки транс- версалъные двойные, т. е. их прообразами являются пары точек, причём два касательных вектора в каждой точке dj линейно независимы.
Мы хотим классифицировать иммерсированные кривые в плоскость с точностью до регулярной гомотопии. Это можно сделать с помощью инварианта, который вводится в следующем параграфе.
§9.3. Индекс Уитни
Индекс Уитни (который также называется вращением) w(f) регулярной кривой /: S1 —> R2 (не обязательно иммерсированной) — это степень гауссова отображения Ydf: S1 -^S1, заданного касательным вектором к кривой; это означает, что ydf получается параллельным переносом подвижного касательного вектора d/(</?) в начало координат и его нормировкой, причём меняется от 0 до 2тт.
Есть простой практический способ вычисления ш(/) для иммерсированной кривой /: рассмотрим все горизонтальные касательные векторы к /; пусть их конечное число, тогда разность между числом «левых» векторов и числом «правых» равна ш(/).
Очевидно, индекс Уитни ш(/) инвариантен при регулярной гомотопии (поскольку он непрерывен и целочислен).


§ 9.4. Классификация иммерсированных кривых
77
§ 9.4. Классификация иммерсированных кривых
В нашей классификации не будет учитываться ориентация, т. е. мы не будем различать кривые / и / о sym, где sym — симметрия окружности S1 относительно диаметра. Эта классификация содержится в следующей теореме.
Теорема 9.1 (X. Уитни, 1928). Любая регулярная иммерсированная кривая регулярно гомотопна (с точностью до ориентации) ровно одной из следующих кривых: «восьмёрка», окружность, окружность с малой петлей внутри, окружность с двумя малыми петлями внутри,..., окружность с п малыми петлями внутри и т. д.
Рис. 9.2. Классификация погружений
Доказательство. Как обычно в теоремах классификации, доказательство состоит из двух частей — геометрической и алгебраической. В геометрической части мы строим регулярную гомотопию, которая переводит произвольную иммерсированную кривую в одну из кривых, перечисленных в теореме; эта конструкция вкратце намечена ниже. Во второй части мы покажем, что кривые из списка попарно негомотопны; для этого вычисляется их индекс Уитни; во всех случаях он оказывается различным (см. задачу 9.10).
Пусть у — некоторая иммерсированная (ориентированная) кривая, а Р — её двойная точка; обозначим через уР часть этой кривой, начинающуюся и кончающуюся в точке Р. Кривая уР называется простой, если она не самопересекается; в этом случае она представляет собой петлю, но эта петля может пересекаться с другими частями кривой у. По теореме Шёнфлиса (см. §8.3) простая петля уР ограничивает на плоскости топологический диск D. Отметйм, что на самом деле существует два типа простых петель: первый, который называется внешним, — это простая петля, для которой существует такая окрестность U точки Р, что yCiU не пересекает IntD; второй, называемый внутренним, — это простая петля, для которой существует такая окрестность V точки Р, что у П V содержится в D.


78
Лекция 9. Кривые на плоскости
Прежде всего докажем, что любая погружённая кривая без самопересечений является простой петлей (задача 9.1).
Затем покажем, что существует гомотопия, после которой все простые петли не пересекают другие части кривой у (задача 9.2).
Наконец (задача 9.5), докажем теорему индукцией по количеству двойных точек, используя гомотопии, показанные на рис. 9.3 (задачи 9.3 и 9.4); отметим, что доказательство проще, когда новая (добавленная на шаге индукции) простая петля внешняя, а не внутренняя; в последнем случае требуется использовать несколько больше гомо- топий с рис. 9.3, а также операцию скольжения малых петель вдоль кривой у. □
Рис. 9.3. Две полезные гомотопии
Теорема 9.2 (теорема Уитни—Граустейна для сферы). Любая кривая, иммерсированная в сферу, регулярно гомотопна окружности или восьмёрке.
Доказательство составляет содержание задачи 9.6.
Отметим, что здесь мы классифицируем не «с точностью до ориентации», как в предыдущей теореме, но классификация «с точностью до ориентации» будет такой же (почему?).
§ 9.5. Степень точки относительно кривой
Рассмотрим кривую /: S1 —> R2 (не обязательно регулярную) и точку р еМ2 в её дополнении, р ^/(S1). Пусть ip — угловой параметр на S1, a Vy— вектор, соединяющий точки р и /((/?). Когда </? меняется от 0 до 2п, единичный вектор V^/|V^| движется вдоль единичной окружности S0 с центром р, задавая отображение окружности у$ \ Sq —► Sq. Степень точки р относительно кривой / определяется как степень отображения окружности у, т. е. deg(p, /) := deg(^).
Легко доказать, что deg(p,/) не изменяется, когда р пробегает связную компоненту дополнения R 2\f(S1) (задача 9.7). Если точка р


§ 9.6. «Основная теорема алгебры»
79
«далека» от /(S1) (т. е. принадлежит связной компоненте R2 \/(S1) с некомпактным замыканием), то deg(p, /) = О (задача 9.8).
Замечание 9.1. Существует удобный метод вычисления степени любой точки р в случае иммерсированной кривой /: соединим р с удалённой точкой а посредством (незамкнутой) кривой а, не проходящей через точки самопересечения, и будем двигаться от акр вдоль этой кривой, прибавляя к степени единицу при пересечении /(S1) в положительном направлении (т. е. когда касательный вектор смотрит вправо) и вычитая единицу при пересечении /(S1) в отрицательном направлении (ср. с задачей 8.6). К моменту прихода в р всегда (независимо от выбора а) получится deg(p,/): этот факт составляет содержание задачи 9.9.
§ 9.6. «Основная теорема алгебры»
Так называемая основная теорема алгебры гласит, что любой многочлен
p(z) = anzn+an_1zn~l + ... + a1z + a0, апФ 0, гг > О,
имеет хотя бы один (возможно, комплексный) корень; здесь коэффициенты а{ могут быть вещественными или комплексными. Мы докажем эту теорему в предположении, что ап = 1 и а0фО; это не ограничивает общность (почему?).
Рассмотрим кривую /п: S1 —>R2, заданную формулой ещ —> где Д0 — (большое) положительное число, которое будет определено позже. Далее, рассмотрим семейство кривых fp R: S1 —> R2, заданное формулой
elV-+p(Re^), где R ^ R0.
Можно считать, что начало координат О не принадлежит /^яДВ1) (иначе теорема доказана).
Лемма 9.1. Если R0 достаточно велико, то
deg(0, /р,я0) = deg (О, /п) = п.
Прежде чем доказывать лемму, покажем, что из неё следует теорема.
Согласно лемме deg(0, /Р)я0) = п. Будем непрерывно уменьшать R от R0 до 0. Если для некоторого значения R кривая проходит
через начало координат, теорема доказана. Поэтому можно считать, что deg(0, fp R) меняется непрерывно при R —> 0; но, так как степень —


80
Лекция 9. Кривые на плоскости
целое число, она остаётся постоянной и равной п. Однако при достаточно малом R кривая /^(S1) лежит в малой окрестности точки а0; а для такого R мы имеем deg(0, fpR) = 0. Получили противоречие, поскольку п ^ 1.
Осталось доказать лемму. Равенство deg(0, /„) = п очевидно. Чтобы доказать второе равенство, достаточно показать, что для любого ip разность А между векторами Vp(ip) и Vn(ip), соединяющими начало координат О с точками fp(R0elLp) и fn(R0elip) соответственно, мала по абсолютной величине (по сравнению с R* = \Vp (ip) |), если R0 достаточно велико. В самом деле, в силу определения степени она не меняется, когда подвижный вектор заменяется другим подвижным вектором, направление которого всё время отличается от направления первого меньше чем на я/2.
Ясно, что |Д| = |ап_12п-1 +... +a1z + a0\. Чтобы оценить это число, положим z — R^e^ (считая, что R0 > 1) и
Л := та*{ап_ъап_2, —,а0}.
Имеем
|CLn-iZn 1 + ... +a12-l-aol ^ |^(^о 2“Ь••• +1)1 ^ A-ti-Rq 1.
Если теперь положить R0 := К • А, где К — большое положительное число, то
|Д| ^ пА(КА)п~1 = riKn~lAn.
Сравним эту величину с R*; последняя равна = КпАп, поэтому при достаточно большом К отношение \A\/Rq будет сколь угодно мало. Это доказывает лемму и завершает доказательство теоремы. □
§9.7. Задачи
9.1. Докажите, что любая иммерсированная кривая без самопересечений имеет хотя бы одну простую петлю.
9.2. Докажите, что для любой простой петли со иммерсированной кривой у существует регулярная гомотопия, которая меняет лишь со и заменяет со на новую простую петлю со следующими свойствами. Если со — внешняя петля, то новая петля не пересекает другие части кривой у. Если же со — внутренняя петля с началом и концом в точке Р, то новая петля пересекает другие части кривой у ровно в двух точках, близких к точке Р.


§ 9.7. Задачи
81
9.3. Докажите, что погружённая кривая, показанная на рис. 9.3 слева, регулярно гомотопна окружности (эта гомотопия известна как трюк Уитни).
9.4. Докажите, что погружённая кривая, показанная на рис. 9.3 справа, регулярно гомотопна окружности.
9.5. Используя результаты задач 9.1—9.4, докажите теорему Уитни—Г раустейна.
9.6. Докажите теорему Уитни—Граустейна для сферы.
9.7. Докажите, что deg(p, /) не меняется, когда р пробегает связную компоненту множества М2 \/(§1).
9.8. Докажите, что если точка р «далека» от /(S1) (т. е. принадлежит связной компоненте множества М2 \/(§1) с некомпактным замыканием), то deg(p, /) = 0.
9.9. Докажите, что алгоритм, описанный в замечании 9.1, находит целое число d, независимое от выбора кривой а и равное искомой степени: deg(p, f) = d.
9.10. Вычислите индекс Уитни для кривых, показанных на рис. 9.2.


Лекция 10 Фундаментальная группа
Фундаментальная группа —один из важнейших инвариантов в теории гомотопий. Она имеет также многочисленные применения за пределами топологии, особенно в комплексном анализе, алгебре, теоретической механике и математической физике. В нашем курсе это будет первый пример функтора, который каждому линейно связному топологическому пространству с отмеченной точкой ставит в соответствие группу, а каждому непрерывному отображению таких пространств, сохраняющему отмеченную точку, — гомоморфизм групп. Тем самым вопросы о топологических пространствах сводятся к вопросам о группах, которые часто допускают эффективное решение.
Пусть М — топологическое пространство с отмеченной точкой р е еМ. Кривую с: [0,1] —»М, где с(0) = с(1) =р, будем называть петлёй с началом р. Две петли с0, сг с началом р называются гомотопными при фиксированном начале или связанно гомотопными, если существует гомотопия F: [0,1] х [0,1] —> У, связывающая с0 и сг и такая, что F(0, t) =F(1, t)=p при всех te [0,1].
Так как для петель мы здесь всегда будем иметь дело с гомотопи- ями при фиксированном начале, слова «при фиксированном начале» или «связанно» мы будем опускать. Если сг и с2—две петли с началом р, то петля с1 • с2 вида
§ 10.1. Основные определения
cx(2t) при 1/2, c2(2t — 1) при t ^ 1/2
называется произведением петель с0 и сг.


§ 10.1. Основные определения
83
Утверждение 10.1. Классы гомотопных петель образуют группу относительно операции, индуцированной произведением петель.
Доказательство. Вначале заметим, что данная операция корректно определена на классах гомотопии. Действительно, пусть между петлями с1,с2ис1, с2 соответственно имеются гомотопии с фиксированным началом ht: [0,1] х [0,1] —> М, i = 1, 2. Тогда отображение h вида
задаёт гомотопию между сг • с2 и q • с2.
Ясно, что единицей служит гомотопический класс постоянного отображения c0(t) = р: Поэтому обратным к с будет гомотопический класс c7(t) := с(1 — t). Остаётся проверить закон ассоциативности, т. е. убедиться, что (сх • с2) • с3 и сх • (с2 • с3) гомотопны относительно р, и показать, что с • с' гомотопно с0. В обоих случаях гомотопия осуществляется изменением параметризации прообраза, т.е. квадрата
Чтобы доказать ассоциативность, рассмотрим следующее непрерывное отображение квадрата в себя («репараметризацию»):
■s) + t/(l+ s),s) при 1/2 ^ t ^ 1.
Тогда отображение сх • (с2 • с3) о R: [0,1] х [0,1] —>М задаёт гомотопию с фиксированным началом между петлями сг • (с2 • с3) и (сх • с2) • с3.
h(t,s) :=
Ti! (2t, s) при t ^ 1/2,
h2(2t - 1,5) при t ^ 1/2
[0,1] x[0,1].
при 0 ^ t ^ 1/4,
при 1/4 ^ t ^ 1/2,
5
t
(Cl •C2)*c3^c1 -(c2-C3).
Рис. 10.1. Ассоциативность умножения


84
Лекция 10. Фундаментальная группа
Аналогично гомотопию между с • с! и с0 можно задать как с • с! о где репараметризация I: [0,1] х [0,1] —»[0,1] х [0,1] имеет вид
Г(t,s), если 0 ^ t ^ (1 -s)/2 или (l+s)/2 ^ t ^ 1,
\((1 -s)/2,s), если (1 -s)/2 ^ t ^ (l+s)/2.
Отметим, что, хотя репараметризация / разрывна на клине t=(l±s)/2, отображение (с • с') о I непрерывно в силу определения с!. □
Группа, описанная в предложении 10.1, называется фундаментальной группой пространства М с отмеченной точкой р и обозначается
7ii(M,p).
Естественно спросить, насколько п^М, р) зависит от выбора точки р е М. Ответ содержится в следующем предложении.
Утверждение 10.2. Если р и q — точки линейно связного пространства М, то группы п1Ш,р) и л1(М, q) изоморфны.
Доказательство. Пусть р: [0,1] —>М — путь, соединяющий точку р с точкой q. Естественно определить путь р о S, где S(t) = 1 — t, положив р-1; путь р-1 соединяет точку q с точкой р. Естественно также распространить операцию «•» на пути с различными началами и концами при условии, что конец первого пути совпадает с началом второго. Приняв эти соглашения, каждому пути с: [0,1] —> М, где с(0) = с(1) = р, поставим в соответствие путь с'р-1 • с • р, где с'{0) — с'{ 1) =q. Чтобы завершить доказательство, нужно показать, что это соответствие переводит пути, гомотопные относительно р, в пути, гомотопные относительно q, что оно согласовано с групповой операцией и биективно с точностью до гомотопии. Это устанавливается с помощью подходящих достаточно естественных параметризаций, как при доказательстве предложения 10.1. □
Рис. 10.2. Изоморфизм, связанный с изменением отмеченной точки


§ 10.2. Функториальность
85
Замечание 10.1. Отметим, что изоморфизм в предложении 10.2 не канонический: из построения следует, что выбор разных связывающих путей р приведёт к изоморфизмам между тг^М, р) и ях(М, q), отличающимся на внутренний автоморфизм каждой из групп.
Если пространство М линейно связно, то фундаментальные группы для всех его точек изоморфны и можно говорить просто о фундаментальной группе пространства М. При этом в её обозначении часто опускают отмеченную точку и пишут просто я2(М).
Свободные гомотопические классы петель (т. е. классы без фиксированной отмеченной точки) в точности соответствуют классам петель без учёта изменения отмеченной точки, так что имеется естественная биекция между классами свободно гомотопных замкнутых кривых и классами сопряжённости в фундаментальной группе.
Линейно связное пространство с тривиальной фундаментальной группой называется односвязным.
Замечание 10.2. Пусть /0 и — гомотопные отображения X в У, a Ft — гомотопия между ними (т. е. F0 = /0 и Fx— /г). Тогда /0# и /1# совпадают, так как Ft#‘- л1(Х) —> пг (У) не зависит от t. Отсюда стандартным рассуждением получаем, что гомотопически эквивалентные пространства имеют изоморфные фундаментальные группы.
§10.2. Функториальность
Пусть теперь X и У линейно связны, /: X —> У — непрерывное отображение и /(р) =q. Пусть [с] — элемент из пг(Х, р), т. е. класс гомотопии некоторой петли с: [0,1] —>Х. Обозначим через /#(с) петлю в (У, q) вида /#(t) :=/(c(t)) для всех te [0,1].
Утверждение 10.3. Соответствие с—>/#(с) корректно определено на классах петель и задаёт гомоморфизм фундаментальных групп Собозначаемый по-прежнему /#):
/#:тг1(Х,р)->тг1(У, q)
Смы говорим, что он индуцирован отображением /). Этот гомоморфизм обладает следующими свойствами (которые называются функ- ториальными):
• (/ ° g) # = /# ° £# (ковариантность);
• (idx)# = (тождественные отображения индуцируют тождественные гомоморфизмы).


86
Лекция 10. Фундаментальная группа
Если конструкция инварианта (в данном случае фундаментальной группы) функториальна, то для приложений это очень удобно, как видно из следующего примера.
Пример 10.1. Дадим другое доказательство теоремы Брауэра о неподвижной точке для диска, использующее изоморфизмы п1 (S1)—Z и я2(02) =0 (которые будут установлены ниже) и функториальность отображения пг (•).
Докажем от противного, что не существует ретракции диска D2 на его границу S^dD2. Пусть г: D2—►S1 — такая ретракция, a i: S1—>D2 — вложение; выберем отмеченную точку х0 е S1 с D2. Отметим, что при таком выборе будет выполняться равенство i(x0) = г(х0) = х0. Рассмотрим последовательность индуцированных отображений:
я:1(§1,х0) 7Г1(Р2,х0) я1(§1,х0).
В силу отмеченных выше изоморфизмов эта последовательность —не что иное, как
*# r#
Z ^ 0 Л Z,
где композиция даёт тождественное отображение Z —> Z. Действительно, в силу функториальности имеем
(roi)# = id# = idz.
Но такая последовательность Z —>0 —> Z заведомо невозможна.
Фундаментальная группа обладает хорошими свойствами в отношении декартова произведения, как показывает следующее предложение.
Утверждение 10.4. Если X и Y —линейно связные пространства,
то
пг(Х х Y) = пг(Х) х n1(Y).
Доказательство. Рассмотрим изоморфизм прямого произведения групп п1(Х) х 7С1(У) на группу п1 (X х У). Пусть х0,у0 — отмеченные точки в пространствах X и Y соответственно. В качестве отмеченной точки в пространстве X х Y возьмём (х0, у0). Паре петель а и /3 в пространствах X и Y поставим в соответствие петлю а х /3 вида ax^(t) := (a(t),Pit)). Непосредственно проверяется, что это соответствие задаёт корректно определённый изоморфизм соответствующих фундаментальных групп. Докажем, например, сюръек- тивность. Пусть у —петля в пространстве X х Y с отмеченной точкой (х0, уо)* Тогда ей соответствует пара петель a(t) := (ргх о y)(t) и


§ 10.3. Теорема Зейферта—ван Кампена
87
/3 (t) := (pry о г) (t), где ргх и pry — проекции на множители прямого произведения X х Y. □
Напомним, что топологическое пространство называется стягиваемым, если существует гомотопия, переводящая его в точку.
Следствие 10.1. Если С стягиваемо, то п1(Х хС) = ях(Х).
Доказательство предоставляется в качестве упражнения.
§ 10.3. Теорема Зейферта—ван Кампена
В этом параграфе мы сформулируем без доказательства классическую теорему, которая связывает фундаментальную группу объединения двух пространств с фундаментальными группами этих пространств и их пересечения. Оказывается, этот результат даёт эффективный метод вычисления фундаментальной группы «сложного» пространства путём собирания её из более «простых» кусков.
Чтобы сформулировать один из вариантов теоремы, потребуется чисто алгебраическое понятие из теории групп.
Пусть Gt, i = 1,2, — группы, : К —> Gh i = 1,2, — мономорфизмы. Тогда амальгамированное свободное произведение групп Gx и G2 относительно и </?2, обозначаемое Ga *к G2, — это факторгруппа свободного произведения Gx * G2 по нормальной подгруппе, порождённой всеми элементами вида (/?1(fc)((/p2(/c))“1, /ееК.
Теорема (ван Кампен). Пусть линейно связное пространство X является объединением двух открытых линейно связных подмножеств Ли В с линейно связным пересечением, содержащим отмеченную точку х0 G X. Пусть гомоморфизмы вложения
уА: л1(АГ)В, х0) -* пг(А,х 0), ipB: тг^ЛпВдо) -► я1(Б,х0)
мономорфны. Тогда п1(Х,х0) является амальгамированным произведением:
щ&.Хо) = я1(А,х0)*„1(апвЛ)^1(В,*о) •
§10.4. Задачи
10.1. Докажите, что если С стягиваемо, то 7Г1(С) =0.
10.2. Докажите, что для любого линейно связного топологического пространства X выполнено равенство 7i1(Cone(X)) = 0.
10.3. Докажите, что фундаментальная группа букета п окружностей изоморфна свободной группе с п образующими.


88
Лекция 10. Фундаментальная группа
10.4. Докажите, что фундаментальная группа п^пТ2) порождена элементами а1,Ь1, ...,ап,Ьп, подчинёнными единственному соотношению
ГК а.Ь^Г^Г1) = 1.
1 = 1
10.5. Докажите, что группа л1 (nRP2) порождена элементами аъ ...
ап, подчинёнными единственному соотношению а2...а2 = 1.
10.6. (а) Докажите, что если G = л^пТ2), то G/Gf = l?n. (Здесь G/ обозначает коммутант, т. е. подгруппу, порождённую всеми элементами вида аЬа-1Ь-1, где а, Ъ е G.)
(б) 	Докажите, что если G = п1 (nRP2), то G/G' = Zn_10Z2.
10.7. Докажите, что (§п) = 0 при О 2.
10.8. Докажите, что я^ССР") = 0.
10.9. Докажите, что фундаментальная группа поверхности пТ2, из которой удалены k ^ 1 дисков, — это свободная группа ранга 2п+к — 1.
10.10. Докажите, что фундаментальная группа поверхности nRP2, из которой удалены к ^ 1 дисков, — это свободная группа с п + к — 1 образующими.
10.11. Пусть X—лента Мёбиуса. Докажите, что её граница А не является её ретрактом.
10.12. Докажите, что любое конечное и связное CW-пространство гомотопически эквивалентно CW-пространству с единственной вершиной е°.
10.13. Докажите, что если С стягиваемо, то п^Х х С) ^^(Х).


Лекция 11 Накрытия
Накрытие — это отображение пространств (в частности, многообразий), которое локально является гомеоморфизмом, но глобально может быть весьма сложным. Простейший нетривиальный пример — экспоненциальное отображение R —>§*, рассмотренное в лекции 7.
§ 11.1. Определение и примеры
В этой лекции мы рассматриваем лишь линейно связные пространства с отмеченной точкой и лишь непрерывные (не обязательно клеточные) отображения, сохраняющие отмеченную точку. Пусть £, В—линейно связные топологические пространства, D — дискретное топологическое пространство, а р: Е-*В — непрерывное отображение, причём для любой точки Ъ е В существуют окрестность U с В, иэЬ, и гомеоморфизм р-1(10—>1/xD, для которых prxohv=p, где
рг2 — проекция произведения U х D на первый множитель. Тогда четвёрка (р, Е, Б, D) называется накрытием с проекцией р, тотальным пространством Е, базой В и слоем D. Отметим, что проектирование р: Е —>В является локальным гомеоморфизмом, т. е. для любого е еЕ существует такая окрестность Ve, что р\у является гомоморфизмом.
Если п = |Г>| конечно, то (р, Е, В, D) называется п-кратным накрытием. Если D счётно, то р: Е-+В называется счётнократным накрытием.
Примеры 11.1. (1) Отображение ш3: S1 —» S1, е1Ч> -» el3(^, является трёхкратным накрытием окружности окружностью;
(2) экспоненциальное отображение ехр: R —> S1 является счётнократным накрытием окружности вещественной осью;
(3) отображение и: R2 —>Т2, (х,у) —> (2тг{х}, 2тг{у}), где {•} обозначает дробную часть вещественного числа, является счётнократным накрытием тора плоскостью;


90
Лекция 11. Накрытия
(4) 	отображение т: §2—>RP2, полученное отождествлением анти- подальных точек сферы, является двукратным накрытием проективной плоскости.
Как любой важный класс математических объектов, накрытия составляют категорию. В этой категории морфизм между двумя накрывающими пространствами pt: Et —> Bh i = 1,2, — это пара (непрерывных, сохраняющих отмеченную точку) отображений (р: В1-+В2 и Ф: Ег -*Е2, для которых следующая диаграмма коммутативна:
Композиции морфизмов и тождественные морфизмы определяются естественным образом. Тогда, очевидно, изоморфизм накрывающих пространств — это такой морфизм, для которого Фи у являются гомеоморфизмами. Изоморфные накрывающие пространства считаются тождественными друг другу.
Зафиксировав базу В, можно рассматривать категорию накрытий с базой В, полагая Вг —В2 = В и у>= idB.
Если Е односвязно, то накрытие р: Е—>£ называетея универсальным.
Если f:X—>B непрерывно, а /: X —> Е удовлетворяет условию f = pof}rof называется поднятием отображения / в Е. На рис. 11.1 показано поднятие замкнутой кривой.
Гомеоморфизм накрывающего пространства Е и базы В называется монодромией, если он является поднятием тождественного отображения в пространстве В.
§ 11.2. Поднятие путей и накрывающая гомотопия
В этом параграфе мы докажем два важных технических утверждения, которые позволяют для данного накрытия р: Е —> В поднимать «наверх» (т. е. в Е) непрерывные процессы, происходящие «внизу» (т. е. в В). Идея, лежащая в основе, уже использовалась нами в определении степени отображения окружности с помощью экспоненциального отображения (см. лекцию 7). Теперь мы будем обобщать эту идею со случая экспоненциального отображения на произвольные накрывающие пространства.


§ 11.2. Поднятие путей и накрывающая гомотопия
91
Рис. 11.1. Поднятие замкнутой кривой
Лемма 11.1 (о поднятии путей). Любой путь в базе В накрытия р: Е —> В можно поднять в тотальное пространство, и поднятие единственно, если задана его начальная точка в накрытии. Точнее, если р: Е —> В — накрытие, а: [0,1 ]—* В — произвольный путь ux0G е р-1(а(0)), то существует единственный путь а: [0,1] —> X, для которого р о а = а и а(0) = х0.
Доказательство. По определению накрывающего пространства для каждой точки Ъ е а ([0,1]) существует окрестность Ub, полный прообраз которой относительно р распадается на непересекающиеся окрестности, каждая из которых под действием р гомеоморфно проектируется на всё Ub. Множество всех таких Ub покрывает а([0,1]) и, поскольку а ([0,1]) компактно, содержит некоторое конечное подпокрытие и0, иъ..., ик.
Без потери общности можно считать, что U0 содержит Ъ0:=а(0). Обозначим через U0 компоненту множества р-1(£/0), содержащую х0. Тогда можно поднять в U0 часть пути а, содержащуюся в U0 (единственным образом!), посредством гомеоморфизма, обратного к проекции U0 на U0.
Предположим теперь, снова без потери общности, что иг пересекается cU0n содержит точки множества а[0,1], не лежащие в U0. Пусть точка bx е а([0,1]) лежит и в 1/0, и в Ul3 а Ьг обозначает её образ при отображении р-1|[/0- Пусть 1^ — компонента полного прообраза мно¬


92
Лекция 11. Накрытия
жества Ul9 содержащая Ьг. Продолжим теперь поднятие пути а на его часть, содержащуюся в иъ посредством гомеоморфизма, обратного к проекции иг на иг. Отметим, что полученное поднятие единственно возможное. Для случая, когда путь замкнут (т. е. является петлёй), наша конструкция показана на рис. 11.1.
Продолжая действовать таким образом, мы за конечное количество шагов поднимем весь путь а ([0,1]) в X, и это будет единственный путь, удовлетворящий условиям леммы. □
Замечание 11.1. Отметим, что поднятие замкнутого пути не обязательно замкнуто, как мы уже видели при рассмотрении степени отображений окружности.
Отметим также, что, хотя все пути (т. е. отображения отрезка А = = [0,1]) можно поднять, это возможно не для всех отображений произвольного пространства А (см. задачу 11.20).
Теперь обобщим лемму о поднятии путей на гомотопии, имея в виду, что путь в действительности является гомотопией, а именно го- мотопией одноточечного пространства. Это тривиальное наблюдение служит не только отправной точкой в формулировке теоремы о накрывающей гомотопии, но и ключевым соображением при её доказательстве.
Теорема 11.1 (о накрывающей гомотопии). Любую гомотопию в базе накрытия можно поднять до гомотопии в тотальном пространстве, и эта гомотопия единственна, если её начальное отображение в тотальном пространстве задано как поднятие начального отображения исходной гомотопии. Точнее, если р: Е-+В — накрытие, a F: А х [0,1] —> В—любая гомотопия, начальное отображение которой /о(-) :=F(-, 0) допускает поднятие /0, то существует единственная гомотопия F: Ах [0,1 ]—>£, для которой pop — F и F(*, 0) =/0(-)* Доказательство. Покажем, что теорема вытекает из леммы о поднятии путей (лемма 11.1). Зафиксируем некоторую точку ае А. Положим аа(0 :=F(a, t), и пусть ха обозначает точку /0(а). Тогда аа является путём и по лемме о поднятии путей существует его единственное поднятие аа, для которого aa(0) = ха. Рассмотрим теперь гомотопию вида
F(a, t) aa(t) для всех а е A, t е [0,1].
Мы утверждаем, что гомотопия F удовлетворяет всем условиям теоремы, т. е. она непрерывна и единственна. Проверка этого утверждения предоставляется читателю. □


§11.3. Роль фундаментальной группы
93
Замечание 11.2. Теорема о накрывающей гомотопии неверна, если Е —>В — произвольная сюръекция (а не накрытие). Контрпример см. в задаче 11.7.
§ 11.3. Роль фундаментальной группы
Проекция накрытия р: Е—>В индуцирует гомоморфизм
P#: Щ(Е) пг(В).
Мы увидим, что если пространства Е и В «локально хороши», то гомоморфизм р# полностью определяет (с точностью до изоморфизма) накрытие р для данного В. (Смысл слов «локально хороши» будет объяснён ниже.)
Точнее, в этом параграфе мы покажем, что р# является мономорфизмом, а в случае «локально хороших» пространств для данной подгруппы G в яг(В) можно эффективно построить единственное пространство Е и единственное (с точностью до изоморфизма) накрывающее отображение р: Е —> В, для которого G является образом множества п1(Е) при действии р#. Более того, мы докажем, что имеется биекция между классами сопряжённости подгрупп в п1(В) и классами изоморфных накрытий. Тем самым будет получена классификация всех накрытий с данной базой В в терминах ях(В).
Теорема 11.2. Гомоморфизм р#: 7гг(Е) —> п1(В), индуцированный любым (не обязательно «локально хорошим») накрытием р: Е —> В, является мономорфизмом.
Доказательство. Теорема непосредственно вытекает из теоремы о накрывающей гомотопии, доказанной в предыдущем параграфе. В самом деле, достаточно доказать, что ненулевой элемент [а] из п1 (Е) не отображается в нуль под действием р#. Предположим, что р# ([а]) = 0. Это означает, что петля р о а, где а е [а], гомотопна точке В. По теореме о поднятии гомотопии можно поднять эту гомотопию на Е, а это означает, что [а] =0. □
Теперь опишем основную конструкцию этой лекции: по пространству и подгруппе его фундаментальной группы построим соответствующее накрытие. Эта конструкция работает при условии,, что пространство предполагается «локально хорошим» в смысле, который уточняется ниже.
Теорема 11.3. Для любой «локально хорошей» базы В и любой подгруппы Gc^(B,f)o) существует единственное накрывающее пространство р: XG —> В, для которого р#(я1(Хс)) —G.


94
Лекция 11. Накрытия
Доказательство. Эта теорема доказывается другим приёмом. Рассмотрим множество Р(В, Ь0) всех путей в пространстве В, исходящих из Ь0. Два пути а(: [0,1] —»В, i = 1, 2, отождествляются (обозначение: ai ~ а2)> если они имеют общий конец, а петля Я вида
_ | ai(2t) при 0 ^ t ^ 1/2,
\a2(2 — 2t) при 1/2 ^ t ^ 1
задаёт элемент в п^В), принадлежащий G. (Петлю Я можно описать так: вначале она идёт вдоль (с двойной скоростью), а затем вдоль а2 от его конца обратно к Ь0, также с двойной скоростью.)
Обозначим через XG :=Р(В, Ь0)/~ результат факторизации пространства Р(В, Ь0) по только что введённому отношению эквивалентности. Наделим XG «естественной» топологией (формальное определение дано ниже) и зададим отображение р: XG—> В условием, что каждый класс эквивалентности путей в Р(В, Ь0) переходит в конец одного из них (определение корректно, поскольку эквивалентные пути имеют один и тот же конец).
Утверждается, что р: XG —> В — искомое накрывающее пространство. Остаётся сделать следующее:
(0) задать топологию на XG;
(1) доказать, что р непрерывно;
(2) доказать, что р является накрытием;
(3) доказать, что р^Сп^Х^) совпадает с G;
(4) доказать, что р единственно.
Мы проделаем это после того, как определим, что такое «локально хорошее пространство».
Замечание 11.3. Чтобы понять главную идею описанной выше конструкции, читателю стоит применить её в случае G = 0 (построение универсального накрытия).
Замечание 11.4. Описанная конструкция отнюдь не эффективна и не даёт возможности описать полученное накрывающее пространство. Однако в относительно простых случаях бывает легко догадаться о виде пространства X исходя из того, что его фундаментальной группой является G, а р является локальным гомеоморфизмом.
Топологическое пространство X называется локально линейно связным, если для любой точки хеХ и любой её окрестности U существует меньшая окрестность V с U точки х, которая линейно связна. Топологическое пространство X называете я локально односвязным, если


§ 11.3. Роль фундаментальной группы
95
для любой точки х е X и любой её окрестности U существует меньшая окрестность V с U точки х, которая односвязна.
Примеры 11.2. (1) Пусть X с М2 — объединение отрезков
{(х,у): у = 1/2", 0 х ^ 1}, п = О,1,2,3,...,
и двух единичных отрезков [0,1] координатных осей (см. рис. 11.2 (а)). Тогда X линейно связно, но не локально линейно связно (во всех точках промежутка (0,1] оси ОХ).
(2) 	Пусть ХсШ2 — объединение окружностей
{(х,у):х2 + {у-1/п)2-1/п2}, п = 1,2,3,...;
все они касаются оси ОХ и касаются друг друга в точке (0, 0) (см. рис. 11.2 (б)). Тогда X линейно связно, но не локально односвязно (в точке (0, 0)).
Завершим теперь доказательство теоремы 11.3, считая В локально линейно связным и локально односвязным.
(0) 	Определение топологии на Х = Р(В, Ь0)/~- Чтобы задать топологию, выберем базу открытых множеств весьма специального вида, очень удобную для наших дальнейших рассмотрений. Пусть U — открытое множество в пространстве В, а х е X — точка, для которой p(x)GU. Далее, пусть а —некоторый путь, содержащийся в х, с началом xQ и концом хг. Обозначим через ([/, х) множество классов эквивалентности (по отношению ~) таких продолжений пути а, что окрестность U полностью содержит их части, лежащие за точкой хг. Ясно, что (I/, х) не зависит от выбора а€х.
Рис. 11.2. Не локально связное пространство и локально связное, но не локально односвязное пространство


96
Лекция 11. Накрытия
Мы утверждаем, что в действительности (U, х) не зависит от выбора точки х в следующем смысле: если х2 £ (£/, хг), то
Чтобы доказать это, рассмотрим точки Ьг :=р(хг) и Ъ2 := р(х2). Соединим точки Ь2 и Ь2 содержащимся в [/ путём, который мы обозначим /3.
Пусть ааг обозначает продолжение пути а за счёт добавления участка аъ содержащегося в U. Рассмотрим путь а/З/З-1^. Он заведомо гомотопен ааг. С другой стороны, можно рассматривать его как продолжение (за точку х2) пути а/3 путём Р~га_г. Следовательно, соответствие ааг •-» а/З/З-1^ задаёт биекцию между (С/, хг) и (£/, х2), что доказывает наше утверждение.
Теперь можно задать топологию на X, взяв в качестве её базы семейство всех множеств вида (U,x). Чтобы доказать, что мы получим топологию, нужно проверить, что непустое пересечение двух элементов базы содержит элемент базы. Пусть точка х принадлежит пересечению множеств (1^, ха) и ([/2, х2). Положим V ~ U1 П U2 и рассмотрим множество (V, х); оно содержится в пересечении множеств (Уъ ха) и (£/2, х2) (в действительности совпадает с ним) и содержит х, так что {(£/, х)} — действительно база топологии на X.
(1) Отображение р непрерывно. Пусть хеХ, a U — линейно связная и односвязная окрестность точки р (х) (она существует в силу условия, наложенного на В). Полный прообраз окрестности U при отображении р состоит из открытых множеств, принадлежащих базе топологии на X (см. п. (0)), и потому открыт. Это означает непрерывность отображения в (произвольной) точке х€Х.
(2) Отображение р является локальным гомеоморфизмом. Пусть х € X, а р\и: (£/, х) —> U — ограничение отображения р на некоторую базисную окрестность ((У, х) точки х, так что U — открытое линейно связное и односвязное множество в пространстве В. Из его линейной связности следует сюръективность, а из односвязности — взаимная однозначность отображения р\и.
(3) Подгруппа р#(я1(Х)) совпадает с G. Пусть а —петля в пространстве В с отмеченной точкой Ь0, а а —поднятие этой петли с началом х0 (путь а не обязательно замкнут). Подгруппа р#(тг1(Х)) состоит из классов гомотопии петель а, поднятия которых а —замкнутые пути. По построению путь а замкнут тогда и только тогда, когда класс эквивалентности петли а соответствует точке х0, т. е. когда класс гомотопии петли а принадлежит G.


§ 11.4. Регулярные накрытия
97
(4) 	Отображение р, удовлетворяющее условиям теоремы, единственно. Чтобы это доказать, нам потребуется следующая лемма.
Лемма 11.2. Пусть X—локально связное и локально односвязное пространство, f: X -+Y — непрерывное отображение, q: Y —»Y — накрытие и
МщШ) cq#(^(?)).
Тогда существует единственное поднятие /: X —> Y.
Докажем сначала, что единственность следует из леммы. Пусть даны два накрытия р,: X, В, i = 1, 2, удовлетворяющие условию теоремы 11.3. Тогда из леммы сразу вытекает, что Хг и Х2 гомеоморфны. Действительно, рассматривая в лемме Хг в роли X и Х2 в роли Y, мы получим поднятие рг: Хг -+Х2; поменяв ролями Хг и Х2, получим поднятие р2: Х2-+Х1; эти два поднятия обратны друг другу, поэтому любое из них задает искомый гомеоморфизм.
Докажем теперь лемму 11.2. Пусть у — любой путь в X, соединяющий отмеченную точку x0gX с любой точкой хбХ. Отображение / переводит у в путь fy. Рассмотрим поднятие у пути fy с началом в точке у0. Если требуемое отображение / существует, то f(x)=y, где у — конец пути у. Стало быть, отображение / единственно (если оно существует). Остаётся только доказать, что у не зависит от выбора у. Другими словами, нам нужно доказать, что если уг и у2 — пути между х0 и х, а со — петля, составленная из уг и у2, то поднятие пути fco с началом в точке у0 является замкнутым путём в У, т. е. гомотопический класс петли fco принадлежит q#(n(Y, у0))> что эквивалентно включению /#(яг(Х)) с д#(ях(7)). Но это включение выполнено по условию леммы. □
§ 11.4. Регулярные накрытия
Накрытие р: Е —> В называется регулярным, если подгруппа р^тг^Е)) с тг1(В) нормальна.
Теорема 11.4. Если р: Е -* В — регулярное накрытие, то факторгруппа я(В)/р#(тг1(Е)) изоморфна группе монодромии слоя D =
=р-1(ь0).
Набросок доказательства. Имеется естественная биекция между правыми смежными классами по подгруппе р#(яа(Е)) с я2(В) и точками слоя D. Так как эта подгруппа нормальна, смежные классы образуют группу, которая «тасует» точки слоя D, так что факторгруппа тг(В)/р#(я1 (£)) является его группой монодромии. □


98
Лекция 11. Накрытия
§11.5. Задачи
11.1. Предположим, что одна поверхность накрыта другой поверхностью. Как связаны их эйлеровы характеристики, если накрытие п-кратное?
11.2. Докажите, что сферу с g1 ручками можно покрыть сферой с g2 ручками (gl3 g2 ^ 2) тогда и только тогда, когда g2 - 1 делится на Si-1*
11.3. Постройте нерегулярное накрытие «восьмёрки» S1 VS1.
11.4. Постройте два гомотопически неэквивалентных регулярных накрытия «восьмёрки».
11.5. Докажите, что при любом п ^ 2 «восьмёрку» S1 V S1 можно накрыть пространством S1 V... VS1 (гг окружностей).
11.6. Докажите, что если поверхность, являющаяся базой накрытия р: N2 -> М2, ориентируема, то и накрывающая поверхность N2 ориентируема.
11.7. Пусть X — объединение граничной поверхности конуса и луча, исходящего из его вершины v, а р: X —> В — естественная проекция на прямую В = R. Покажите, что р: X —> В не обладает свойством накрывающей гомотопии.
11.8. Пусть тотальное пространство накрытия р: N2 -* М2 — ориентируемая поверхность N2. Верно ли, что поверхность-база М2 также ориентируема?
11.9. Может ли RР2 накрыть сферу?
11.10. Может ли тор Т2 трёхкратно накрыть Т2?
11.11. Можно ли накрыть RP2 плоскостью?
11.12. Постройте универсальное накрытие ленты Мёбиуса.
11.13. Постройте универсальное накрытие тора Т3.
11.14. Постройте универсальное накрытие «восьмёрки» S1 VS1.
11.15. Постройте универсальное накрытие пространства S1 VS2.
11.16. Постройте универсальное накрытие сферы с g ^ 2 ручками.
11.17. Пусть связный граф G имеет е рёбер и и вершин. Найдите его фундаментальную группу.
11.18. Докажите, что любая подгруппа свободной группы свободна.


§ 11.5. Задачи
99
11.19. Докажите, что свободная группа ранга 2 содержит в качестве подгруппы свободную группу ранга п для всех п (включая счётный ранг).
11.20. Приведите пример накрытия р: Е —> В, пространства А и отображения /: А —> В, которое нельзя поднять на Е.
11.21. Докажите, что универсальное накрытие со: U —> В любого (линейно связного) пространства В является накрытием любого другого накрытия пространства В, т. е. для любого накрытия р: Е —> В существует накрытие q: U —>Е.


Лекция 12 Узлы, зацепления и косы
Теория узлов, которая изучает узлы, зацепления и их инварианты, имеет долгую историю, начавшуюся в конце XVIII века (Вандер- монд). Значительный вклад в теорию узлов внесли Гаусс, Пуанкаре, Рейдемейстер, Александер, Конвей, Фокс. Её расцвет относится к концу XX века. В теории узлов работали четыре филдсовских лауреата — Джонс, Виттен, Дринфельд, Концевич; другие ведущие исследователи в этой области — Кауфман, Решетихин, Тураев, Виро, Васильев, Хова- нов. Эта теория и сегодня активно развивается.
§ 12.1. Основные определения
Узел — это замкнутая ориентированная несамопересекающаяся ломаная в пространстве М3, зацепление — множество непересекающих- ся и несамопересекающихся ориентированных ломаных в М3. Два узла или зацепления называются изотопными, если существует конечная последовательность Д-сдвигов (см. рис. 12.1), которые их связывают.
Отметим, что в определении Д-сдвига узел (или зацепление) может пересекать треугольник ABC, который определяет сдвиг, лишь
Рис. 12.1. Д-сдвиги


§ 12.1. Основные определения
101
по его сторонам, как показано на рисунке. В определении Д-сдвигов допускается случай вырожденного треугольника ABC; в этом случае сдвиг сводится к добавлению или удалению вершины.
Пример последовательности Д-сдвигов, меняющих вид узла, показан на рис. 12.2. Рисунок иллюстрирует ту идею, что два узла изотопны, если их моделям, сделанным из верёвок, можно придать одинаковый вид подходящим перемещением верёвок.
Рис. 12.2. Последовательность Д-сдвигов
Ясно, что изотопия является отношением эквивалентности. Слово «узел» часто употребляется в смысле «класс изотопии узлов», и мы часто говорим, что две замкнутые ломаные образуют «один и тот же узел» или «образуют узлы одного типа», если они изотопны. (И аналогично для зацеплений.)
Узел называется тривиальным, если он изотопен правильному многоугольнику. Примеры известных узлов и зацеплений показаны на рис. 12.3. На этом и других рисунках узлы представлены в виде диаграмм узлов, т. е. проекций узла на плоскость в общем положении с информацией о проходе-переходе в каждой двойной точке (т. е. показано, какая из двух ветвей проходит сверху).
Существует несколько равносильных определений узла, зацепления и изотопии (например, гладкие узлы или PL-узлы). Определение, приведённое выше, самое элементарное. Другое элементарное определение состоит в том, чтобы «узел поместить в коробку», т. е. узел определяется как ломаная внутри куба, соединяющая центры противоположных граней куба, а изотопия —как последовательность Д-сдвигов, выполняемых внутри куба и не сдвигающих концы ломаной. Легко показать, что имеется естественная биекция между классами изотопии узлов в коробках и типами узлов, определёнными выше.


102
Лекция 12. Узлы, зацепления и косы
о
о
(г)
GD
(е)
Рис. 12.3. (а) Тривиальный узел; (б) правый трилистник; (в) восьмёрка; (г) зацепление Хопфа; (д) зацепление Уайтхеда; (е) кольца Борромео
§ 12.2. Арифметика узлов
Композиция (в другой терминологии связная сумма) двух узлов (в коробках) Кг,К2 определяется как узел Кг#К2, который получается прикладыванием одной коробки к другой, как показано на рис. 12.4. Относительно операции композиции узлы образуют полугруппу, которая обозначается /С.
Рис. 12.4. Композиция двух узлов
Узел К называется простым, если его нельзя представить как композицию двух нетривиальных узлов, т. е. из того, что К — Кг#К2, следует, что либо Кг, либо К2 — тривиальный узел.
Теорема 12.1. Полугруппа JC коммутативна, в ней нет обратных элементов (т. е. если Кг#К2=0, где О — тривиальный узел, то Кг и К2 тривиальны), а каждый нетривиальный узел допускает единственное (с точностью до порядка множителей) разложение на простые узлы.


§12.3. Косы
103
Мы опустим (довольно трудное) доказательство этой красивой теоремы, но покажем (на рис. 12.5) изотопию, которая демонстрирует коммутативность.
•- па
1
(а)
(б)
(в)
ПТ) „
ПГ) э
ПГ) (X)
(г)
\У
00
\J <У
(е)
Рис. 12.5. Коммутативность связной суммы узлов
§12.3. Косы
Косы, как и узлы и зацепления, — это одномерные объекты, вложенные в трёхмерное пространство. Но у них есть преимущество: они обладают групповой структурой (тогда как узлы образуют лишь полугруппу, а у зацеплений нет естественной алгебраической структуры).
Коса на п нитях, или, кратко говоря п-коса, — это объединение п попарно непересекающихся ломаных без самопересечений, лежащих между горизонтальными плоскостями z = a и z = b, a<b, в трёхмерном пространстве и соединяющих точки (1, 0, Ь), (2, 0, Ь),..., (п, 0, Ь) с точками (1, 0, а), (2, 0, а),..., (п, 0, а) (не обязательно в таком порядке), причём каждая следующая вершина каждой нити находится ниже предыдущей (имеет меньшую координату z). Примеры кос показаны на рис. 12.6. Две п-косы называются изотопными, если одну можно перевести в другую конечной последовательностью Д-сдви- гов, на каждом из которых получается коса (новым рёбрам не разрешено «подниматься»). Будем обозначать термином «коса» и конкретное подмножество трёхмерного пространства, и класс изотопии таких подмножеств. Нити косы можно наглядно представлять себе как тонкие верёвки, свисающие с одной горизонтальной плоскости


104
Лекция 12. Узлы, зацепления и косы
на другую (эти верёвки можно смещать по горизонтали, не меняя изотопический тип косы).
Определим произведение двух кос как результат их соединения «впритык», т. е. путём отождествления нижней плоскости первой косы с верхней плоскостью второй. Эта операция корректно определена и в общем случае некоммутативна. Относительно этой операции п-ко- сы образуют группу, которая обозначается Вп: единицей является коса, все нити которой вертикальны, обратный элемент к косе — её зеркальное отражение относительно нижней плоскости (см. рис. 12.7). Очевидно, Вх =0, В2 = Ъ. Читатель легко найдёт в группе В3 два некоммутирующих элемента.
Рис. 12.7. Произведение косы на обратную к ней


§12.3. Косы
105
(а) (б)
Рис. 12.8. Замыкание косы
(а)
Рис. 12.9. Узел 4г как замыкание косы
Узлы и зацепления связаны с косами операцией замыкания (её определение ясно из рис. 12.8). Следующая теорема принадлежит Дж. У. Александеру.
Теорема 12.2. Для любого зацепления (в частности, узла) существует коса, замыкание которой ему изотопно.
Теорема доказывается простым геометрическим рассуждением, которое продемонстрировано на рис. 12.9 для случая восьмёрки.
У группы кос Вп, заданной геометрически, есть и алгебраическое описание в виде группы, заданной образующими и соотношениями:
Вп := {*>!,..., bn_j: bfc = bfc при \i-j\ ^ 2, bfo+fc = bi+ib,bi+1}.
Первое соотношение известно как дальняя коммутативность, а второе называется соотношением Артина. Это соотношение иногда считают «фундаментальным законом природы». Оно известно (хотя в


106
Лекция 12. Узлы, зацепления и косы
других обозначениях) в классической механике как уравнение Янга- Бакстера, в квантовой механике как квантовое уравнение Янга—Бакстера, в теории чисел как соотношение Гекке, в алгебре как соотношение Темперли—Либа, в топологии как третье движение Рейдемейсте- ра. Вскоре после того, как Артин ввёл это соотношение, его применил Дирак при открытии первой античастицы — позитрона.
Теорема 12.3 (Э. Артин, 1923). Геометрическая группа кос Вп изоморфна группе Вп, описанной выше.
Мы не будем доказывать здесь эту теорему, но покажем на рис. 12.10 (а) геометрические косы, которые соответствуют образующим Ъъ ...,bn_i группы Вп. На том же рисунке показано соответствие
1 2 3 4 5
ХУ~
• ••
1 2 3 • п-1 п
-х
(а) (б)
Рис. 12.10. Образующие группы кос
между косами и элементами группы Вп. На рис. 12.11 показано, что определяющие соотношения группы Вп выполняются для геометрических кос.
Артин доказал, что проблема тождества слов в группе Вп алгоритмически разрешима (т. е. существует алгоритм, который для любых двух слов в алфавите Ьг,..., Ъп_ъ Ь~г,..., определяет, совпадают
соответствующие косы или нет). Геометрически это означает (в силу теоремы Артина, сформулированной выше), что существует алгоритм, который по диаграммам двух кос определяет, изотопны они или нет. В свою очередь это означает, что существует алгоритм классификации кос. (В интернете доступны программы, которые позволяют распознавать косы на вашем компьютере.)


§ 12.4. Комбинаторика кос: движения Рейдемейстера 107
i i+1 j 7+1 i i+1 j j+1
i i+1 i+2 i i+1 i+2
Рис. 12.11. Определяющие соотношения группы кос
§ 12.4. Комбинаторика кос: движения Рейдемейстера
Задача классификации узлов — очень трудная проблема трёхмерной топологии (подробную формулировку см. ниже в §12.6), однако Рейдемейстер свёл её к двумерной комбинаторной задаче. Эта редукция производится посредством некоторых модификаций диаграмм узлов, которые называются движениями Рейдемейстера; они показаны на рис. 12.12. Первое движение состоит в удалении или
■50
(1)
(2)
Рис. 12.12. Движения Рейдемейстера


108
Лекция 12. Узлы, зацепления и косы
добавлении небольшой петли; второе движение Г22“это удаление или добавление точки скрещивания, а третье движение — переход
ветви узла через точку скрещивания.
Теорема 12.4. Если диаграммы двух узлов (зацеплении) задают изотопные узлы Сзацепления), то одну из них можно перевести в другую конечной последовательностью движений Рейдемейстера.
Опустим доказательство, которое сводится к использованию соображений общего положения.
Теорема Рейдемейстера не привела к простому решению проле- мы классификации узлов, но оказалась чрезвычайно полезной для построения различных инвариантов.
§ 12.5. Многочлен Александера—Конвея
Многочлен Александера—Конвея является одним из инвариантов ориентированных узлов и зацеплений; его можно задать с помощью аксиом Конвея. А именно, каждой ориентированной диаграмме L узла или зацепления ставится в соответствие многочлен VL(x) таким образом, что выполнены следующие аксиомы.
I. [Инвариантность.] Многочлен VL(x) — изотопический инвариант.
II. [Нормировка.] Для тривиального узла О выполнено равенство VQ (х) = 1.
III. [Скейн-сотношение (соотношение типа Конвея).] Выполнено следующее равенство:
v(0)-v(;g;)=*v(0p)
для любых трёх диаграмм зацеплений, различающихся лишь внутри пунктирных окружностей, где они выглядят так, как показано на рисунке.
Не будем доказывать, что многочлен Александера—Конвея существует и корректно определяется этими аксиомами, а лишь приведём пример его вычисления:
*v(Q'(D) = v(GxD) - v(GXD) =
= v(0)-v(0) = i-i = o.


§ 12.6. О классификации узлов
109
§ 12.6. О классификации узлов
Под решением проблемы классификации узлов понимается алгоритм, который распознаёт, задают две диаграммы один и тот же узел или нет. Существование такого алгоритма было доказано С. В. Матвеевым несколько лет назад, но этот алгоритм слишком сложен для реализации на компьютере. Однако простые узлы с небольшим 16)
количеством точек скрещивания получили полную классификацию (с помощью более мощных инвариантов, чем многочлен Александера- Конвея), и представлены в таблицах узлов. Небольшая таблица простых узлов приведена на рис. 12.13.
7 з 74 75 76 77
Рис. 12.13. Таблица простых узлов с не более чем 7 пересечениями
Частным случаем проблемы классификации узлов является проблема развязывания узла: найти алгоритм, который распознаёт, изотопна ли данная диаграмма тривиальному узлу. Такой алгоритм построен Иваном Дынниковым; известно, что он даёт правильный ответ для диаграмм узлов с не более чем 500 перекрестьями, но не доказано, что при более чем 500 перекрестьях он останавливается и даёт правильный ответ.
Эти темы — предмет дальнейших исследований.


110 Лекция 12. Узлы, зацепления и косы
§12.7. Задачи
12.1. Найдите на рисунке тривиальные узлы, трилистники и восьмёрки.
(1) (2) (3) (4)
(5) (6) (7) (8)
12.2. Вычислите многочлены Конвея для правого зацепления Хопфа, показанного на рис. 12.3 (г), и для левого зацепления Хопфа, которое получается из правого при изменении ориентации одной из окружностей.
12.3. Вычислите многочлены Конвея для правого трилистника, показанного на рис. 12.3 (б), и для левого трилистника (зеркального отражения правого).
12.4. Вычислите многочлены Конвея для восьмёрки (4Х в таблице узлов).
12.5. Покажите, что восьмёрка (рис. 12.3 (в)) изотопна своему зеркальному отражению, построив последовательность движений Рейде- мейстера, которая переводит её диаграмму в диаграмму отражения.


Часть II
Введение в алгебраическую топологию


Лекция 13 Гомологические функторы
В этой лекции нам предстоит узнать, что такое теории гомологий (главные действующие лица этого курса) и как они работают в топологии. Здесь мы считаем их свойства заданными (без реального построения какой-либо из этих теорий) и применяем их для получения простых доказательств некоторых глубоких топологических фактов, тем самым мотивируя изучение теории гомологий.
§ 13.1. Категории и функторы
По определению категория С — это пара, состоящая из класса Obj(C) объектов и, для каждой упорядоченной пары объектов (X, У), множества hom(X, У) морфизмов с началом X и концом У; если / е
G hom(X, У), мы пишем X Y; для каждой упорядоченной тройки
/ 8
объектов, соединённой двумя морфизмами X —> Y —* Z, задан морфизм, который называется композицией морфизмов / и g и обозначается go f (пишут также просто gf); объекты и морфизмы удовлетворяют следующим двум аксиомам.
/ g h
Ассоциативность. Если X —> Y —* Z —> W, то
ho(gof) = (hog)о/: X —> W.
. u . idy
Единица. Для каждого объекта Y существует такой морфизм Y —>Y, называемый единицей или единичным морфизмом объекта У, что
/ g
f оidy = / для любого X —»У HidyOg=:g для любого У —»X.
/ &
Если морфизмы X —► У и У —> X удовлетворяют равенствам fg = idy и gf = idx, то мы говорим, что / и g обратны друг к другу, они являются изоморфизмами, а объекты X и У изоморфны.


§ 13.1. Категории и функторы
113
Объектами в наиболее характерных примерах категорий являются множества с какой-либо дополнительной структурой, а морфизмами — отображения, сохраняющие эту структуру. В таких ситуациях мы используем обычное обозначение отображений /: X —> Y; заметим, однако, что при таком обозначении подразумевается, что / определено для всех х G X, т. е. X — не только начало морфизма, но и область определения отображения /.
В этом курсе мы будем использовать следующие примеры категорий:
• Тор — топологические пространства и их непрерывные отображения;
• «Sim — симплициальные пространства и их симплициальные отображения;
• CW — клеточные пространства (также называемые CW-комплек- сами) и клеточные отображения;
• Q — группы и их гомоморфизмы;
• AQ — абелевы группы и их гомоморфизмы;
• QAQ — градуированные абелевы группы и их гомоморфизмы, сохраняющие градуировку;
• A^od —модули над коммутативными кольцами и их гомоморфизмы;
• Vect — векторные пространства и линейные отображения;
• ^ld —поля и их гомоморфизмы;
• «Set — множества и их отображения;
• Pir — множества с частичным порядком причём множество hom(X, У) состоит из пары (X, У), если X ^ У, а в противном случае пусто.
Ковариантный функтор Ф из категории С в категорию V сопоставляет каждому объекту X из С объект Ф(Х) из Т>} а каждому морфизму
/ Ф(Я
X —> Y из hom(C) — морфизм Ф(Х) > ФОО из hom(D) так, что сохра¬
няются единичные морфизмы и композиция, т. е.
(i) <t>(idx) = id*(x),
(ii) Ф(&0 = Ф(&)Ф(/).
Свойства (i) и (ii) вместе часто называются функториалъностъю. Отметим, что вместо одного символа Ф, обозначающего здесь и соответствие объектов, и соответствие морфизмов, употребляются и два разных символа для этих двух видов соответствия.


114
Лекция 13. Гомологические функторы
Контравариантный функтор Ф из категории С в категорию V определяется аналогично, но с тем отличием, что «стрелки переводе/)
рачиваются», т. е. Ф(7) > 'КХ) и 4?(jgf) = Ф(/)Ф(£).
Вот некоторые примеры функторов.
• Забывающий функтор из категории Тор в категорию Set, который каждому топологическому пространству сопоставляет множество его точек (тем самым «забывая» его топологическую структуру), а каждому непрерывному отображению — это же отображение само по себе («забывая» о его непрерывности).
• Контравариантный функтор из категории компактных хаусдор- фовых пространств и их непрерывных отображений в категорию банаховых пространств и их непрерывных гомоморфизмов, который каждому такому пространству X сопоставляет (банахово) пространство непрерывных вещественнозначных функций на X.
• Ковариантный функтор Н0 из Тор в AG, для которого Н0(Х) — свободная абелева группа, порождённая множеством всех компонент связности пространства X, и каждому непрерывному отображению f:X—>Y сопоставляется такой гомоморфизм
Я0(/): Н0(Х) —> H0(Y),
что если С — компонента связности пространства X, а С — компонента пространства Y, содержащая /(С), то Н0(/)(С) = С'.
Главные действующие лица этого курса —теории гомологий; они являются ковариантными функторами из некоторых топологических категорий в некоторые алгебраические. Одну из таких теорий мы рассмотрим в следующем параграфе.
§ 13.2. Теория гомологий как функтор
Гомологии (точнее, сингулярные гомологии) — это ковариантный функтор из категории Тор топологических пространств в категорию QAQ градуированных абелевых групп и их гомоморфизмов, сохраняющих градуировку. Это означает, что каждому топологическому пространству X и каждому натуральному числу п е N сопоставляется абелева группа (обозначение: НП(Х)), а каждому непрерывному отображению f:X-*Y сопоставляется некоторый гомоморфизм
/*:Н„(Х)->НП(У).
Функтор сингулярных гомологий будет построен (и будут установлены его основные свойства) в лекции 19. На данном этапе нам тре¬


§ 13.3. Диаграммный поиск и некоторые основные проблемы топологии 115
буется, кроме функториальности:
(id*)* = idHn(x) и (fog), = fogt, лишь одно его свойство, а именно наличие изоморфизмов
Н„(§п) = Z, Нп (Dm) = 0 для любых п ^ 1, т ^ 1, где §п и Оп — соответственно n-мерная сфера и п-мерный диск.
§ 13.3. Диаграммный поиск и некоторые основные проблемы топологии
Один из главных инструментов теории категорий (чрезвычайно полезный и в других областях математики) — понятие коммутативной диаграммы. Например, коммутативный квадрат — это диаграмма вида
f
в которой /3 о / = g о а. Более общим образом, коммутативная диаграмма— это конфигурация объектов (например, групп) и стрелок (морфизмов), в которой любые два пути вдоль стрелок, которые начинаются в одном и том же месте и заканчиваются в одном и том же месте (возможно, отличном от начала), дают одну и ту же композицию морфизмов. Доказательство коммутативности некоторой диаграммы и на её основе — некоторых свойств морфизмов, входящих в диаграмму, представляет собой математический спорт, который называется диаграммным поиском.
Простейшая коммутативная диаграмма — это коммутативный треугольник; он помогает наглядно представить некоторые основные проблемы топологии, а именно проблему продолжения (и её частный случай — проблему ретракции) и проблему поднятия (и её частный случай — проблему сечения). Проблема продолжения состоит в следующем: пусть дано (непрерывное) отображение /: А—>£ подмножества АаХ пространства X; нужно продолжить / на всё пространство X, т. е. найти такое отображение F: X —> В (если оно существует), что F(x) = /(х) для любого х е А. Соответствующую треугольную


116
Лекция 13. Гомологические функторы
диаграмму можно записать в виде
\
\
\
А
/
В,
где i обозначает включение i(x) =х для всех х е А, а штриховая диагональная стрелка — искомое отображение. Проблема ретракции — частный случай проблемы продолжения, когда А — В и f = id.
Проблема поднятия состоит в следующем: пусть даны отображения /: А —> В и р: X —> В; нужно найти поднятие отображения /, т. е. такое отображение F: А —> X, что р о F = /. Соответствующая треугольная диаграмма имеет вид
где снова штриховая диагональная стрелка обозначает искомое отображение. Проблема сечения — частный случай проблемы поднятия, когда / — idB: А = В —> В, р: Х-*В — расслоение (это понятие обсуждается в следующей лекции).
Теория гомологий часто даёт лёгкое отрицательное решение основных топологических проблем, сводя их к очень простым алгебраическим вопросам, в том числе тогда, когда прямое топологическое (геометрическое) решение безнадёжно трудно. Одним из таких примеров мы закончим эту лекцию.
/ — тождественное отображение, i — вложение i: дНУ1*1 Ю)п+1. Таким образом, требуется найти ретракцию г диска размерности п + 1 на его граничную п-сферу.
/
А
В
f
§ 13.4. Проблема ретракции и теорема Брауэра о неподвижной точке
Рассмотрим проблему ретракции в случае, когда
X = Dn+1, А = §n = dDn+1,


§ 13.5. Задачи
117
Лемма. Ретракция (п +1 )-диска на его граничную тг-сферу не существует ни при каком п Е N.
Доказательство. Предположим, что ретракция г: Dn+1 —> ЭОп+1 существует. Рассмотрим отображения §п ^-»Ю)П+1 -^>§п. Гомоморфизмы соответствующей группы n-мерных гомологий имеют вид
Hn(S") «X НП(Ш>П+1) Д Нп(§").
По определению ретракции г о i = id§n; в силу функториальности
(г° О* — ° И (idgn)* = idHr|(sn);
но, так как Нп(§п) = Ъ и Hn(Dn+1) = 0, мы получаем гомоморфизмы
i* г*
групп Z —> 0 —> Z, композиция которых — тождественное отображение, что, разумеется, невозможно. □
Важным приложением этой леммы является следующая знаменитая теорема.
Теорема (Брауэр). Любое непрерывное отображение f диска Dn+1 в себя имеет неподвижную точку, т. е. такую точку р, для которой
/ср)=р-
Доказательство. Предположим, что неподвижной точки нет. Пусть г(*) — точка пересечения луча [/(*), х) с граничной сферой диска. Очевидно, отображение г является ретракцией диска на его граничную сферу, что противоречит лемме. □
§13.5. Задачи
13.1. Докажите, что любой функтор Г: С —> £> сопоставляет изоморфным объектам изоморфные объекты.
13.2. Для произвольной категории определите понятие правого обратного и левого обратного для морфизма f:X—>Y и покажите, что если они существуют, то они совпадают и / является изоморфизмом. Докажите, что любой изоморфизм имеет единственный обратный.
13.3. Пусть АиВ — изоморфные объекты в категории Т. Докажите, что существует функтор ExchA в из Т в себя, отображающий А в В, В в Л, а любой другой объект в себя.
13.4. Объект А категории Т называется инициальным (соответственно терминальным), если для любого объекта В существует ровно


118
Лекция 13. Гомологические функторы
один морфизм А—>В (соответственно В—>А). Докажите, что инициальный объект не обязательно существует и может быть неединственным, но любые два инициальных объекта изоморфны.
13.5. Найдите инициальные и терминальные объекты в следующих категориях:
(а) категория подгрупп данной группы (морфизмами являются гомоморфизмы);
(б) категория множеств (морфизмами являются отображения);
(в) категория накрытий с данной базой (морфизмами являются отображения /: Ег —>Е2, для которых р2° f — Рi)•
При решении последующих задач можно считать известными следующие группы гомологий:
• Н0 GD)0) = Z, (BJ = 0 при i > 0;
• Я0(§п) =Hn(S>n)= Z, Н((Бп)= 0 при всех других i;
• Ht (СРп) = Z при i = 0,2,4,..., 2п, в остальных случаях Ht (СРП) = 0;
• Н0 (Т2) = Н2 (Т2) = Z, Нг (Т2) = Z 0 Z, Ht (Т2) = 0 при i > 2;
• H0(RPn) = Z, Hn(RPn) — Ъ при нечётных п, Ht(RPn) = Z/2Z при нечётных i, где i < п, H0(RPn) = 0 во всех остальных случаях.
Можно также считать известным, что группы гомологий — гомотопический инвариант, т. е. X = Y => (X) = Нп (7).
13.6. (а) Существует ли ретракция тора на его меридиональную окружность?
(б) Существует ли ретракция сферы §5 на §4, где §4 является «экватором» сферы §5?
(в) Существует ли ретракция проективного пространства RP5 на RP4, где RP4 RP5 — естественное вложение
(хх : ... : х5) (*! : ... : х5 : 0)?
(г) Существует ли ретракция полнотория S1 х В2 на его границу?
13.7. Пусть даны непрерывное отображение р: RP2 —> S1 х В17 и гомеоморфизм h: S1 х В17 —>S1 х В17. Можно ли поднять гомеоморфизм h до отображения Н: S1 х В17 —> RP2, т. е. построить такое отображение Я, что poH = h?
13.8. (а) Докажите, что евклидовы пространства разных размерностей не гомеоморфны. (б) Докажите, что Вп и Вт не гомеоморфны при пфт.


Лекция 14 CW-комплексы
Грубо говоря, CW-комплекс — это топологическое пространство, состоящее из дисков различных размерностей, склеенных между собой так, что граница каждого диска приклеена к дискам меньших размерностей. В некотором смысле категория CW-комплексов и их морфизмов (которые называются клеточными отображениями) — самая широкая топологическая категория, которая не содержит патологически нескладных топологических пространств и допускает наглядное геометрическое истолкование. В этой лекции мы докажем так называемую теорему о клеточной аппроксимации (которая позволяет заменять произвольные непрерывные отображения клеточными) и начнём изучать расслоения — одно из важнейших понятий геометрической топологии.
§ 14.1. CW-комплексы и их морфизмы
Пусть X — топологическое пространство, X' — его подмножество, а: Вк —»X — непрерывное отображение, которое является гомеоморфизмом на внутренности диска int Вк=шк\ дВк, X' П cr(intDn) = 0, и сг(дЮ)п сХ'). Тогда мы говорим, что а —характеристическое отображение k-клетки пространства X, приклеенной к подмножеству X'. Положим
ек := aCintD*), ёк := ст(В*)
и назовём эти множества открытыми и замкнутыми к-клетками соответственно; ограничение сг |aDjk часто называют приклеивающим отображением к-клетки ёк. Напомним, что CW-пространство X (которое также называют клеточным пространством или CW-комплек- сом — см. лекцию 3 в первой части) представляется в виде объединения X = {JX^k\ где Х(/с) (называемое k-мерным остовом простран- к


120
Лекция 14. CW-комплексы
ства X) является объединением пространства Х(/с-1) и некоторого количества к-клеток, присоединённых к X(fc-1).
Полезно представлять его построение следующим образом: вначале возьмём конечное количество точек (0-клеток); затем добавим конечное (возможно, пустое) множество 1-клеток (отрезков), присоединим их концы к множеству 0-клеток Х(0), тем самым создав 1-остов Х(1); добавим конечное (возможно, пустое) множество 2-кле- ток (2-дисков), присоединив их граничные окружности к Х(1), и т.д.; наконец, присоединим (конечное непустое) множество п-клеток наивысшей размерности тг к Х(п-1).
Вот некоторые простые примеры.
• Сфера §п, п ^ 1, имеет структуру CW-пространства с двумя клетками.
• Диск Вп, п ^ 1, имеет структуру CW-пространства с тремя клетками.
• Тор Т2 :=§* х S1 имеет структуру CW-пространства с четырьмя клетками.
• Сфера с g ^ 1 ручками Mg имеет структуру CW-пространства с 2g + 2 клетками.
Непрерывное отображение CW-пространств /: X —> У называется клеточным отображением, если /(X(fc)) с У(/с) для всех к е N. Класс всех CW-пространств с клеточными отображениями в качестве морфизмов образует одну из важнейших категорий современной топологии, которая называется категорией CW-пространств.
§ 14.2. Клеточные отображения
Теорема о клеточной аппроксимации — очень полезный инструмент в теории гомологий. Она утверждает, что любое непрерывное отображение CW-пространств /: X —> У гомотопно клеточному отображению. Мы докажем более общее утверждение — так называемый относительный вариант этой теоремы.
Теорема. Пусть X и Y — два CW-пространства, и пусть А с X — некоторое CW-подпространство (возможно, А = 0), причём существует непрерывное отображение /: X —> Y, ограничение которого на А является клеточным отображением. Тогда существует гомотопное ему клеточное отображение g: X —► У и на подпространстве А гомотопия тождественна.


§ 14.2. Клеточные отображения
121
Доказательство. Проведём индукцию по размерности п клеток сг”, продолжая отображение g с границы каждой клетки на её внутренность. Для этого рассмотрим каждую клетку е^, т > п, содержащую какую-либо часть образа множества сг”, и «сдуем» эту часть на границу клетки.
Замечание. Образ клетки ёк пространства X может содержать клетку большей размерности ёт, как показывает пример знаменитой кривой Пеано.
Таким образом, чтобы доказать эту теорему, достаточно для любого непрерывного отображения /: В” —> У и характеристического отображения m-клетки а: Bm —> У, где т > п и /(ЭВ”) с У \ int сг(Вт), построить отображение g: В” —►У со следующими свойствами:
(i) если /О) Winter(Bm), то g(x) = /(*);
(ii) отображения g и / гомотопны, причём гомотопия тождественна вне intcr(Bm);
(in) g(B”) сУ \intcr(Bm).
На самом деле достаточно доказать, что существует отображение g: В” —»У, удовлетворяющее условиям (i) и (и), образ которого не содержит хотя бы одну точку у Е int % (Bm). Действительно, в этом случае нетрудно «сдуть» образ отображения g на границу, используя точку у (см. рис. 14.1); для этого рассмотрим композицию g1 построенно-
Рис. 14.1. «Сдувание» образа отображения g
го выше отображения g = g0 со «сдуванием» из точки у внутренности диска В”1 на его границу. Эта композиция гомотопна отображению g0, как можно видеть из формулы
&(х) = (l-t)go(*) + tgi(*))-
Этим завершается доказательство, так как gY теперь удовлетворяет условию (iii) (как и условиям (i) и (ii)).


122
Лекция 14. CW-комплексы
Чтобы построить g, рассмотрим систему концентрических дисков
В™ ~{хеШт: |М|
где Ю)т = В™. При любом е £ (0,1) диск В™ гомеоморфен j(B™) с Y, так что можно отождествить В™ и /(В™) с Y. Отображение / равномерно непрерывно на компакте /-1(0^4), поэтому найдётся такое 5 > 0, что
х,у & /_1(ГОз/4) с Ш>" и ||х-у||<5 => ||/(х) —/(у)|| < 1/4.
Рассмотрим триангуляцию диска Вт, в которой диаметры всех симплексов меньше 5. Если образ одного из этих симплексов при отображении / пересекает сферу “ ^В™/2, то он полностью содержится в В^4 \В^4. Симплексы триангуляции распадаются на три класса соответственно тому, что их образы
(а) не пересекаются
(б) полностью содержатся в
(в) пересекаются со сферой но не содержатся в ней.
Построим отображение g и гомотопию для каждого симплекса отдельно. В случае (а) положим g(v)=f(v) для всех вершин симплекса и продолжим отображение по линейности. В случае (б) ничего не меняем.
Ситуация более сложна, если образ симплекса частично содержится в (случай (в)). Тогда g уже определено на некоторых гранях (для которых выполнено (а) или (б)) и нужно продолжить g на весь симплекс. Для любой вершины v положим g{v) =f(v). Если отображение ещё не определено на некоторой одномерной грани, продолжим его с концов по линейности. Если отображение ещё не определено на некоторой двумерной грани Д2, поступим следующим образом: покроем Д2 отрезками [т, х], соединяющими т с точками х на его границе (в которых g уже определено), затем положим g(m) = /(m) и продолжим g на [т, х] по линейности. Затем выполним то же построение для трёхмерных граней и т.д., в итоге определив g на всём диске Вп.
Можно нагляднее представить себе этот процесс, посмотрев на рис. 14.2, где показан лишь «сектор» диска Вш.
Пусть Ак — произвольный симплекс триангуляции диска В". По построению его образ g(Ak) содержится в выпуклой оболочке множества /(Д^). В случае (в) эта выпуклая оболочка не пересекает В™4. Действительно, если у0 е (Ак) то /(Дк) лежит в диске ради-


§ 14.3. Расслоения
123
Рис. 14.2. Образ грани Ак в диске Dm
уса 1/4 с центром у0, а этот диск не пересекает В™4. Значит, образ g(Ак) также не пересекает В™4.
Гомотопия ft между / и g строится следущим образом. При g(x) = = /(х) положим /t(x) =f(x) для всех t. При g(x) ^/(х) обе точки /(х) и /(у) принадлежат Вт; положим
/t(x) = (l-t)/(x) + tg(x)).
Пересечение диска В™ 4 с образом отображения g содержится в конечном количестве аффинных плоскостей размерности п<т, так что диск В™/4 должен содержать точку у, не принадлежащую этому образу, что и требовалось. □
§14.3. Расслоения
Локально тривиальное расслоение (или просто расслоение) — это четвёрка (F, В, F, р), где Е, В и F — топологические пространства, а р: £ —> В — сюръективное (непрерывное) отображение со следующими свойствами:
• у каждой точки хе£ есть такая окрестность U, что р-1(10 го- меоморфно U х F;
• гомеоморфизм U х F —► р—1 (L/) согласован с р, т. е. коммутативна треугольная диаграмма
1/xF
в которой рг2 обозначает проекцию на первый множитель.


124
Лекция 14. CW-комплексы
Отображение р называется проекцией расслоения, В — базой расслоения, F — слоем, а Е — тотальным пространством расслоения.
Вот некоторые примеры расслоений.
• Проекция декартова произведения на первый множитель — расслоение, которое называется тривиальным; второй множитель играет роль слоя.
• Любое накрытие является расслоением (с дискретным слоем).
• Касательное расслоение n-мерного гладкого многообразия является расслоением; его слой — п-мерное линейное пространство.
• Открытая (т.е. не содержащая точек граничной окружности) лента Мёбиуса является тотальным пространством расслоения с базой S1 и слоем R.
• Естественное отображение многообразия Штифеля V(fc, п) на грассманово многообразие G(fc, п) является расслоением; его слой — группа Ли GL(fc).
Отметим, что у всех нетривиальных расслоений базы имеют в некотором смысле нетривиальную топологию. Это не случайно: любое (локально тривиальное) расслоение (глобально) тривиально, если его база «топологически тривиальна», т.е. является, например, диском.
Теорема (Фельдбау). Любое расслоение р: Е —> над кубом тривиально, т. е. является декартовым произведением куба на слой F.
Доказательство. Прежде всего разделим куб Ik = lk~l х [0,1] на два полукуба = х [0,1/2] и lk = Ifc_1 х [1/2,1] и в предположении, что расслоения над полукубами рг: Ег —> 1к и р2: Е2-+12 тривиальны, докажем это для расслоения над всем кубом 1к.
Точка из Е1 имеет координаты (х, /), х € Ik, / еF. Обозначим соответствующие координаты в Е2 через [х, /]. Если х принадлежит обоим полукубам, то каждая точка е ер-1 (х) с Е1ПЕ2 имеет координаты (х,/2) в Ег и [х,/2] в Е2 (причём fx не обязательно равно /2). Этим определяется отображение fx: F —>F, fi —>f2. Отобразим полукубы на их пересечение посредством естественной проекции
п: (хъ ...,xfc) (хь ...,хк_ъ 1/2) и зададим отображение (/?: Е2 —> lk х F формулой
¥>[х, Я :=(х,/я0с)(/)).
Ясно, что у — гомеоморфизм, который вместе с тождественным гомеоморфизмом Ег —►1к х F составляет гомеоморфизм Е Ik х F; это


§ 14.4. Теорема о накрывающей гомотопии
125
показывает, что расслоение над всем кубом тривиально, как и утверждалось.
Снова разделим куб пополам; теперь можно считать, что над одним из кубов расслоение нетривиально (иначе теорема следует из доказанного выше). Выбрав такое нетривиальное «полурасслоение» р(1), разделим его базу на два равных куба и повторим рассуждение, выбрав нетривиальное «четверть-расслоение» р(2), и т.д. После некоторого количества итераций база очередного расслоения рт окажется настолько мала, что будет лежать внутри открытого множества, над которым данное расслоение тривиально (здесь мы пользуемся условием локальной тривиальности из определения расслоения), что невозможно, так как р(А° предполагается нетривиальным. Это противоречие доказывает теорему. □
Разумеется, расслоения образуют категорию, если определить морфизмы расслоений естественным образом. Именно, пусть £=(£,£,F,p) и £' = (£', В', F', рО — два расслоения; тогда [л = (/, F) является морфизмом и [л = (/, F) ehom(<^, £'), если квадрат
коммутативен. Опустим определения изоморфизма расслоений и под- расслоения, предоставив их читателю.
Пусть даны расслоение р: Е —> В и отображение /: X —>В. Тогда расслоение р^: над X, которое определяется формулой
называется расслоением, индуцированным отображением /: X —> В (по-английски — pullback).
§ 14.4. Теорема о накрывающей гомотопии
Грубо говоря, теорема о накрывающей гомотопии утверждает, что гомотопия любого отображения в базу расслоения может быть поднята на всё пространство расслоения, если дано поднятие данного отображения. Мы докажем более общее утверждение, так называемый относительный вариант теоремы о накрывающей гомотопии. Здесь (и на протяжении всей лекции) I обозначает отрезок [0,1],
Е—-—> Е'
р
В
/
Ef := {(е,х)еЕхХ: р(е) = /(*)} и рДе,х) = р(х),


126
Лекция 14. CW-комплексы
а параметр t пробегает I. Гомотопию Н: X х I —> У мы также будем обозначать : X —»У, имея в виду, что Ht(x) :=H(x,t).
Теорема. Пусть даны расслоение р: Е —> В, CW-пространство X, его CW-подпространство X' <z X и следующие отображения:
• гомотопия Ht: X —> В и поднятие Н0: X —> Е её начального отображения Н0;
• гомотопия Н[: X' —> Е, которая накрывает ограничение Н[ гомотопии Ht на Х\
Тогда существует гомотопия Ht: Х-+Е, которая накрывает гомотопию Ht и совпадает с H't на X
Доказательство. Нам потребуется следующая лемма (полезная и в других ситуациях).
Лемма (Борсук). Пусть даны CW-пространство X, его CW-nod- пространство Х/ и отображение /: X —► У. Тогда любая гомотопия F': Х{ х I—>У отображения f :=/\Х' продолжается до гомотопии отображения /.
Доказательство. Построим продолжение гомотопии индукцией по размерности п клеток CW-пространства. Пусть п=0; если х0еХ/(0), то отображение {х0} х 1—> У уже определено, а если х0 <^Х/(0), то мы отображаем {х0} х I в /(х0).
Пусть теперь гомотопия продолжена на остов Хп, где п ^ 0. Тогда для каждой (п + 1)-клетки имеется отображение, определённое на §п х I и на Dn+1 х {0}, которое нужно продолжить на Dn+1 х [0,1]. Для этого вложим цилиндр Dn+1 х I в Мп+2, выберем точку Р на оси цилиндра над его верхним основанием Dn+1 х {1} и рассмотрим проекцию цилиндра х ip (х) из Р на объединение его боковой поверхности §п х I и его нижнего основания Вп_и х {0}. Отобразим теперь точку х в образ проекции (/? (х) при отображении, уже определённом по предположению индукции. Тем самым выполнен индуктивный переход. □
Вернёмся к доказательству теоремы. Рассмотрим три случая.
Случай 1. Предположим, что расслоение тривиально, т. е. Е — В х F и р(Ь, /) = Ь. Тогда любое отображение в Е распадается на два отображения (в В и в F). В частности, можно записать
Щах') = (#;(*'), ф,(*0),
где Фг(х7) е F — координата точки Н'(х') в F. Но можно рассматривать как гомотопию в F, заданную на подмножестве Х;сХ, и по лемме Борсука она продолжается до гомотопии всего множества X.


§ 14.4. Теорема о накрывающей гомотопии
127
Положив теперь
Ht(x) = (Я,(х), Ф,(х)),
получаем нужную накрывающую гомотопию Яг
Случай 2. Пусть теперь р: Е —»В — произвольное расслоение, но
X = D" И X' = дШ>п = Sn_1.
По условию имеются гомотопия Ht: Вп —> В, поднятие Я0: Оп —<► Е и гомотопия Я': Sn_1 —>Е, которая накрывает ограничение Я' гомотопии Ht на Sn_1.
Гомотопию Ht можно рассматривать как отображение Я: Вп+1 —> В (положив Dn+1 =РП х [0,1]). Возьмём расслоение Я*(р) над Dn+1, индуцированное отображением Я,
Р!: — О" х I = Dn+1,
т.е. положим = {(d,е)eBn+1 х£: p(e)=H(d)} и p2(d,е) =р(е). Согласно теореме Фельдбау расслоение Я*(р) тривиально.
Рассмотрим теперь тождественное отображение Dn+1 —> Dn+1 как гомотопию Jt: Bn —> Dn+1, зададим J0: Dn —> Ег формулой
J0(d) = ((d,0 ),H0(d)), введём обозначение J' = Jt|§n-i и зададим J': §n_1 —формулой
j;'(5) = ((s, 0)Д'(5)).
Ясно, что мы получили случай 1, где
X D", X' Sn_1, Ht Jt, Я' J', Я0 Н' J^.
Используя результат для случая 1, получаем гомотопию Jt: Ю)п —>Ei.
Завершим доказательство для случая 2, определив Яг: Вп —>£ формулой Яt(d) := (/?(Jt(d)), где (р: Е1—*Е имеет вид (d, е) е. Нужные свойства гомотопии Яг непосредственно следуют из её построения. Описанная конструкция представлена в следующей диаграмме:


128
Лекция 14. СW-комплексы
Случай 3. Пусть теперь расслоение р: Е —> В и пара (X, X') произвольны. Доказательство без труда проводится индукцией по размерности п клеток, составляющих Хп сХ; для каждой п-клетки нужное отображение определяется с помощью результатов для случая 2. □
§14.5. Задачи
14.1. Пусть С — объединение всех окружностей на ху-плоскости с центром (1/п, 0) и радиусом 1/п. Докажите, что С не гомеоморфно CW-пространству.
14.2. а) Найдите пример пространства, удовлетворяющего условию W, но не С.
б) Найдите пример пространства, удовлетворяющего условию С, но не W.
в) Обязательно ли замыкание клетки является подпространством?
14.3. Найдите минимальную структуру CW-комплекса на СРП, МРП,
14.4. Дайте определение S00, RР00, СР00 и введите на них CW-струк- туру.
14.5. Докажите, что пространство §°° стягиваемо.
14.6. Приведите пример нетриангулируемого двумерного CW-kom- плекса.
14.7. Докажите, что п{Х «живёт» в Х(2) (в 2-остове множества X), т. е. что п1(Х) = п1 (Х(2)).
14.8. Докажите, что CW-комплекс связен тогда и только тогда, когда связен его 1-остов х(1).
14.9. Докажите, что CW-комплекс связен тогда и только тогда, когда он линейно связен.
14.10. Докажите, что пкБп = 0 для всех к < п.
14.11. Покажите, что декартово произведение, конус, надстройка и джойн CW-комплексов имеют естественную структуру CW-комп- лексов.
14.12*. Докажите, что любой конечный п-мерный CW-комплекс Хп можно вложить в Rn, где N = 2п +1.


Лекция 15 Гомотопические группы
Как и теория гомологий, теория гомотопических групп — это функтор из некоторой категории топологических пространств и их непрерывных отображений в категорию градуированных групп и их гомоморфизмов. Гомотопические группы строятся проще, чем группы гомологий; они обладают многими свойствами групп гомологий, так что их можно использовать для решения топологических проблем в духе лекции 13. К сожалению, их гораздо труднее вычислять, чем группы гомологий, и это ограничивает их применение. Так, вычисление гомотопических групп сфер до сих пор является открытой проблемой (несмотря на более чем пятидесятилетние усилия лучших алгебраистов мира). Тем не менее одну из них, а именно 7Г3(§2), мы вычислим, что даст нам случай открыть (переоткрыть?) замечательное расслоение Хопфа.
§ 15.1. Теория гомотопических групп как функтор
Дадим теперь определение гомотопических групп пп (X, х0) произвольного топологического пространства X с отмеченной точкой х0 е X для всех 0 2. В случае п = 1 группа пг (X, х0) — это фундаментальная группа, которую мы считаем известной.
Пусть (X, х0) — топологическое пространство с отмеченной точкой, а (1п, дГ) — пара, состоящая из п-куба и его (топологической) граничной сферы. Группа яп(Х, х0), п ^ 2, определяется как множество сфероидов, т.е. классов гомотопий, сохраняющих отмеченную точку, между отображениями a: (In, dln) —> (X,х0); таким образом, а —это непрерывные отображения, для которых a(dln) =х0, а гомотопии Ht таковы, что Ht(d 1п) =х0 при всех teL (Термин «сфероид» объясняется тем, что (1п / д!п) = Е>п, см. рис. 15.1.)


130
Лекция 15. Гомотопические группы
Рис. 15.1. Сфероиды
Рис. 15.2. Произведение двух сфероидов
Рис. 15.3. Коммутативность операции умножения
Далее, определим произведение двух сфероидов, как показано на рис. 15.2, где заштрихованная часть куба 1п отображается в отмеченную точку х0 € X.
Утверждение. Множество пп(Х,х0), п^2, с определённой выше операцией умножения является абелевой группой.
Доказательство. Легко видеть, что единицей в пп(Х,х0) служит постоянный сфероид §п —>х0. В качестве обратного элемента к произвольному сфероиду а: (Г1, д!п) —> (X, х0) мы возьмём отображение а'{х, 5) :=а{х, —s); тогда композиция а и а7 гомотопна постоянному отображению (см. задачу 15.3 (б)).
При п ^ 2 операция умножения коммутативна. Чтобы убедиться в этом, достаточно взглянуть на рис. 15.3.
Наконец, ассоциативность проверяется непосредственно. □


§ 15.1. Теория гомотопических групп как функтор
131
Разумеется, гомотопические группы образуют функтор, и теперь мы определим для заданного отображения /: (X, х0) —> (У, у0) топологических пространств с отмеченной точкой и произвольного гг ^ 2 соответствующий индуцированный гомоморфизм
/*: тгп(Х,х0) пп(У,у0).
Сделаем это естественным образом, т. е. положив /*:={/ о а} для любого сфероида {а} е яп(Х, х0), где фигурные скобки обозначают классы гомотопий, сохраняющих отмеченную точку. Корректность определения /* (т. е. его независимость от выбора а е {а}) проверяется непосредственно.
Справедливость следующей теоремы также проверяется непосредственно.
Теорема. Гомотопические группы гомотопически инвариантны, т. е.
X са Y => пп (X, х0) = тсп (У, у0) для всех п > 0.
Как отмечено выше, гомотопические группы легко определить, но трудно вычислять. Вот некоторые примеры и свойства этих групп:
• пп (точка) = 0 при всех О 0;
• пк (§п) = 0 при всех к < п (это легко следует из теоремы о клеточной аппроксимации);
• тгп(§п) = Z при всех п ^ 1 (это следует из теоремы Гуревича, которая будет доказана в лекции 18, и из равенства Нп(Бп) = Z);
• яп(Х х У) = кп(X) 0 кп(У) (очевидно).
Одно из важных свойств гомотопических групп — наличие естественного действия фундаментальной группы тг1(Х, х0) на тгп(Х, х0), п ^ 2. Из-за наличия этого действия не верно, как можно было бы
Рис. 15.4. Действие п1(Х) на пп(Х)


132
Лекция 15. Гомотопические группы
наивно предположить, что группа 7Г2(§1 V §2) изоморфна Ъ. В самом деле, преобразуем сфероид id: §2 —>§2 следующим образом. Вначале отобразим §2 на §2 VI, стянув параллели, находящиеся севернее полярного круга, в точки отрезка I, а затем обернём несколько раз «хвост» I вокруг S1. Полученный таким образом элемент из n2(Sl VS2) отличается от сфероида id (см. рис. 15.4). На самом деле
7i2(sl vs2)=ze...eze...
§ 15.2. Точная гомотопическая последовательность расслоений
Последовательность групп и гомоморфизмов
называется точной в члене G^, если Im((^) = Ker((/?I_1), и просто точной, если она точна во всех членах. Нетрудно доказать, что в любой точной последовательности вида
О -» G2 Gj -» О
гомоморфизм обязательно является изоморфизмом.
Пусть теперь р: Е-+В — расслоение со слоем F, а е0 и Ь0 — отмеченные точки, причём р(е0) = Ь0 и p~1(b0)=F3e0. Обозначим через i вложение (F, е0) (.Е, е0). У нас уже есть два гомоморфизма из нашей
последовательности (а именно р* и i*); построим теперь третий:
д*: тгп(В, Ь0) -> яп_!(/, е0)
следующим образом. Пусть а: (Sn, s0) —> (Б, Ь0) — сфероид из яп(В, Ь0). Представим себе, что сфера §п лежит в Mn+1, и разрежем её на (п — 1)-сферы с общим северным полюсом s0, вращая n-мерную гиперплоскость, проходящую через s0, вокруг касательной к в этой точке. Тогда можно рассматривать отображение а как гомотопию at: Sn_1 —>В, соединяющую два экземпляра а0, ах постоянного отображения Sn—^ —>b0 GВ (см. рис. 15.5).
Воспользуемся теоремой о накрывающей гомотопии и построим накрытие <pt: Sn_1 -*В. Определим д*, положив д*(а) :=$>х.
Теорема. Последовательность гомоморфизмов
... -► яп(£,е0) 7Гп(Е,е0) яп(В,Ь0) ^ TTn-i(F^0) -> ...,
определённая выше, точна.


§ 15.3. Точная гомотопическая последовательность пары
133
Рис. 15.5. Определение гомоморфизма д*
Доказательство. Чтобы показать, что наша последовательность точна, нужно доказать шесть включений вида Im(.) с Кег(.) и Кег(.) с с Im(.). Они следуют из определений и теоремы о накрывающей гомотопии; докажем лишь одно включение (а именно Кег(д*) с Im(p*)), а остальные оставляем читателю.
Можно представить произвольный сфероид а0: (§n, s0) —> (В, Ь0) как гомотопию at: §п-1 В. Пользуясь теоремой о накрывающей гомотопии, рассмотрим накрывающую гомотопию at: Sn_1 —>Е. Если а0 выбрано в Кег(д*), то аг: §n_1 —>F гомотопно постоянному отображению. Пусть /35 — гомотопия в F, соединяющая аг с постоянным отображением. Рассмотрим гомотопию
Исходному сфероиду соответствует такой сфероид g: Sn 1 —> F, что отображение g :=р о g гомотопно а0. Поэтому а0 G Imр^, что и требо-
Определим теперь для всех п ^ 2 гомотопические группы пп (X, А, а0) пары топологических пространств с отмеченной точкой а0 € А с X. Для этого определим относительный сфероид как гомотопический класс отображений, сохраняющих отмеченную точку,
т. е. таких непрерывных отображений, что a(s0) =х0, причём гомотопии Ht таковы, что Ht (ЭЮ)П) с А и Ht(s0) = *о ПРИ всех tel. Часто
a2t при t е [0,1/2], fe-i при t е [1/2,1].
валось.
□
§ 15.3. Точная гомотопическая последовательность пары
a: (D",<®n,s0) -* (Х,Л,х0),


134
Лекция 15. Гомотопические группы
бывает удобнее представлять сфероиды в виде (классов) отображений (1П, dln, s0) —> (X, А, а0) (эта интерпретация даёт тот же результат, поскольку пара Р/д1п гомеоморфна (Вп, ЭВП)).
Определение произведения двух относительных сфероидов, а также доказательство того, что множество пп(Х, А, а0) при любом п ^ 2 является группой, причём при п^З абелевой, мы оставим читателю в качестве упражнения.
Разумеется, гомотопическую группу пар тгп(-, •) можно рассматривать при п ^ 3 как функтор из категории пар топологических пространств в категорию абелевых групп; определение основного понятия, а именно индуцированного гомоморфизма
/*: 7ГП(Х, Л, а0) -> яп(У, Б, Ь0),
который соответствует отображению пар /: (X, Л) —> (У, Б), предоставляется в качестве упражнения.
Паре пространств с отмеченной точкой (X, А, а0) соответствует отображение вложения i: (А, а0) <—> (X, а0), которое определяет индуцированный гомоморфизм i*. Поскольку можно рассматривать любой абсолютный сфероид (Вп, s0) —> (X, а0) как относительный сфероид (Bn, Sn_1, s0) —> (X, Л, а0) (который переводит §п_1 в а0), имеется также гомоморфизм р*: яп(Х, а0) тгп(Х, Л, а0). Наконец, определим
д*: пп(Х, А, а0) -> тгп(А, а0),
сопоставив относительному сфероиду (Bn, S”-1, s0) —> (X, Л, а0) его ограничение на §”-1.
Теорема. Последовательность гомоморфизмов
... -> 7Tn(A,a0) 7in(X,a0) яп(Х, А,а0) тт^А,^) ->
определённая выше, точна.
Доказательство. Снова нужно проверить шесть вложений, но мы проверим лишь одно, а именно Imp* с Кегд*. Пусть а: Пп —>Х — сфероид, ограничение которого на In_1 гомотопно постоянному отображению а0 (в классе отображений F1”1 —> А). Пусть gt: Г1-1 —>А — гомотопия между ограничением отображения а на F-1 и постоянным отображением. Рассмотрим гомотопию ft: ЭГ1—>Х, которая совпадает с gt на 1п_1 и переводит dln \1п~г в а0. По лемме Борсука эта гомотопия продолжается до гомотопии отображения а. В результате мы получаем гомотопию в классе относительных сфероидов, которая соединяет а с относительным сфероидом, переводящим д!п в а0. □


§15.4. Расслоение Хопфа и тг3(§2)
135
§15.4. Расслоение Хопфа и я3(§2)
Расслоение Хопфа, одна из красивейших конструкций в топологии и вообще в математике, — это расслоение h: S3 —> §2, построенное следующим образом: представим сферу §3 в виде
§3 = {(21?2?2) € С2: kiP + l^l2 = 1}
и определим действие окружности S1 = {ш е С: |ш| = 1} по правилу (z1? z2) —► (wzi,wz2')i легко доказать, что пространство орбит сферы §3 при этом действии является двумерной сферой.
Это определение очень просто, но не наглядно. Более наглядное определение основано на том факте, что 3-сфера получается при склеивании двух полноторий. Но лучший способ зрительно представить расслоение Хопфа — посмотреть замечательный видеофильм, созданный Этьеном Жисом (Etienne Ghys) и его сотрудниками (см. «Dimensions» на его веб-странице).
С помощью расслоения Хопфа можно получить следующую замечательную формулу для я3(§2), которая в своё время стала маленькой математической сенсацией:
я3(§2) = Z .
Чтобы доказать это соотношение, выпишем часть гомотопичекой последовательности для расслоения Хопфа:
... -» я:2(§3) я2(§2) TTjtS1) яа(§3) -» ...
Поскольку тг2(§3) = nl (S3) = 0 (см. предыдущий параграф), получаем изоморфизм я2(§2) = а так как фундаментальная группа
окружности есть Z, имеем тг2(§2) = Z. (Это частный случай факта, отмеченного, но не доказанного в предыдущем параграфе.)
Теперь выпишем другую часть той же гомотопической последовательности для расслоения Хопфа:
... -» TTaCS1) 7Г3(§3) л3(§2) -7Т2(S1) -* ...
Поскольку два крайних члена нулевые, получаем я:3(§3) = tt3(S2), и наше утверждение следует из изоморфизма (отмеченного в предыдущем параграфе для произвольного п, не только для 3) тг3(§3) = Z. □


136
Лекция 15. Гомотопические группы
§ 15.5. Гомотопические группы сфер: некоторые сведения
Вычисление групп лк($п) для к > п было одной из главных тем в математике 1950-х и 1960-х годов, в основном в силу чистой любознательности. В итоге оказалось, что замечательные работы Л. С. Понт- рягина, Ж.-П. Серра и Дж. Адамса имеют другие, гораздо более полезные приложения. Хотя ещё остаются открытые вопросы, вычисление гомотопических групп сфер больше не в моде. Здесь мы перечислим несколько результатов, которые выбраны более-менее случайно и на первый взгляд могут казаться странными:
• 7ГП(§П) = Z, n ^ 1;
• Trn+1(S")=Z2,0 3;
• 7in+2(§n) = Z2, 04;
• тгп+3(§п) = Z24, п ^ 5;
• яп+4(§п)=0, 0 6;
• пп+7(Бп) = Z240, 0 9;
• 7Tn+9(Sn)=Z20Z20Z2, Oil;
• rcn+11(S")=Z504,O13.
Главным орудием при доказательстве этих результатов служат так называемые спектральные последовательности, в частности те, которые и открыли Ж.-П. Серр и Дж. Адамс. Спектральные последовательности — весьма изощрённое и эффективное средство для вычисления гомотопических групп, но они находятся за рамками этого курса.
§15.6. Задачи
15.1. Докажите, что пкХ «живёт» в Х^к+1\ точнее, вложение
ik: Х(к) <-+Х
индуцирует изоморфизм (ik)*: пкХ^к+1^ —> пкХ при к < тг и эпиморфизм при к — п (Где п — размерность пространства X).
15.2. Докажите, что пп (S1 V §п) = Z 0 Z 0 ... 0 Z 0...
15.3. (а) Докажите, что произведение сфероидов корректно определено. (б) Докажите существование и единственность обратного элемента в пп(Х).
15.4. Докажите, что индуцированный гомоморфизм /*: ппХ —> nnY корректно определён.


§ 15.6. Задачи
137
15.5. Докажите, что гомотопическая последовательность расслоений точна во всех членах (см. §15.2).
15.6. Докажите, что гомотопическая последовательность пар точна во всех членах (см. §15.3).
15.7. Докажите, что СР2 = В4 Up Р1, где р: §3 —»СР1, является расслоением Хопфа, причём §3 = ЭВ4.
15.8. Существует ли ретракция г: СР2 —> СР1, где СР1 вложено в СР2 естественным образом?
15.9. Докажите, что если А является ретрактом пространства X, то
(а) гомоморфизм i*: яп(Л) пп(Х) инъективен;
(б) гомоморфизм р*: я„(Х) —> тсп(Х, Л) сюръективен;
(в) гомоморфизм д*: яп(Х, Л) —> тт^^А) нулевой;
(г) яп(Х) = пп{Х, Л) 0 тгп(А).
15.10. Докажите, что если существует такая гомотопия ft: Х-+Х, что /о = id и (X) с Л, то
(а) гомоморфизм i*: тгп(А) —* 7ТП(Х) сюръективен;
(б) гомоморфизм р*: пп{Х) —> тгп(Х, Л) нулевой;
(в) гомоморфизм д*: 7ГП(Х, Л) —»яп_!(Л) инъективен;
(г) пп (Л) = яп+1 (X, Л) 0 пп (X).
15.11. Докажите, что операция умножения гомотопических групп и относительных гомотопических групп ассоциативна.
15.12. Докажите, что операция умножения относительных гомотопических групп коммутативна при гг ^ 3, но не обязательно коммутативна при п = 2.


Лекция 16 Клеточные гомологии
Теория клеточных гомологий — это функтор из категории CW-комплексов в категорию градуированных абелевых групп. Её преимущество (перед другими теориями гомологий) в том, что сильно упрощается вычисление групп гомологий для основных топологических пространств, например многообразий. В этой лекции мы будем обходиться без строгих доказательств основных свойств этого функтора, что позволит нам перейти к таким вычислениям максимально быстро. Теория клеточных гомологий основана на понятии степени отображения сферы в себя /: §п -> §п, с которого мы начнём.
§ 16.1. Степень отображения n-сферы в себя
Проще всего определить степень отображения /: §п —> §п, положив deg(/) :=/*(l)eZ, где /*: пп(§п) -> тсп(§п) = Z — гомоморфизм, индуцированный отображением /. Но это сделать нельзя, поскольку мы не доказали, что тгп(§п) = Z, — это обычно доказывается с использованием теории гомологий (а именно теоремы Гуревича, которая появится в лекции 18); эту теорию мы только начинаем строить, и такой подход привёл бы к логическому порочному кругу. Поэтому нам нужно определить deg(/) геометрически; дадим это определение для довольно ограниченного класса отображений /.
Назовём непрерывное отображение с/?: аккуратным, ес¬
ли для некоторой точки реБ1^ множество \ ^_1(р) является совокупностью (возможно, пустой) непересекающихся открытых шаров В”,..., ££, каждый из которых под действием у диффеоморфно отображается на §” \ {р}-
Пусть теперь на обеих сферах зафиксирована ориентация. Тогда ограничения <р\Вп,..., ip\Bn называются положительными или отрицательными в зависимости от того, сохраняют они ориентацию или


§ 16.2. Коэффициент инцидентности двух клеток
139
нет (т. е. положителен или отрицателен их якобиан в выбранной системе координат). Определим теперь степень deg((/?) отображения ip как разность между количеством положительных ограничений (среди перечисленных выше) и количеством отрицательных. На интуитивном уровне deg((/?) показывает, сколько раз одна сфера обёртывается вокруг другой.
§ 16.2. Коэффициент инцидентности двух клеток
Пусть X = (J Хи) — некоторое CW-пространство; а: В"-1 —> X —
i
некоторая (гг — 1)-клетка, а % =/J|any.: дЮ)п —>Х(гг-1) — приклеивающее отображение п-клетки /3: Рп —> Х(п). Обозначим через р: Х(п-1) —> §п-1 отображение, полученное сжатием в одну точку (п — 2)-остова Х(п-2) и всех (п — 1) клеток из Х(п_1), кроме а. Определим отображение % \ dDn —» §п_1, положив х Р ° X* По определению коэффициент инцидентности клетки /3 с клеткой а равен целому числу
[/? : а] := deg(£) = deg(po х) .
(Здесь ориентации сфер дВп и Sn_1 индуцированы соответствующими клетками.) Коэффициент инцидентности корректно определён, если все отображения вида х являются аккуратными для всех пар клеток а и /3. Тогда мы говорим, что CW-пространство X является аккуратным. Будем считать, что в оставшейся части лекции все CW-простран- ства являются аккуратными.
Пример. Пусть X обозначает структуру CW-пространства на проективной плоскости RР2, состоящую из трёх клеток размерностей 0,1, 2. При этом 2-клетка /3 : D2 —»X приклеивается к Х(1) — S1 посредством отображения х : = S1 S1, е1{р —> e2l{f. Тогда коэффициент
инцидентности [/3 : а] равен 2: он показывает, сколько раз граница клетки 13 обёрнута вокруг а.
Замечание 16.1. Ключевое свойство аккуратных CW-пространств состоит в том, что в них коэффициент инцидентности двух клеток корректно определён через понятие степени отображения сфер. Проверить эту корректность можно многими способами, и другие авторы применяют для этого понятия, отличные от того, что я называю «аккуратность».
Замечание 16.2. Общая конструкция, описанная выше, становится неприменимой в размерности k = 1, так что следует рассмотреть


140
Лекция 16. Клеточные гомологии
этот случай отдельно. Роль 1-диска D1 играет отрезок [0,1], который мы всегда будем считать ориентированным от 0 к 1. Каждая 1-клетка сг определяется отображением, присоединяющим её границу {0} U {1} к 0-остову (множеству вершин) нашего CW-простран- ства. Если при этом точка {0} отображается в некоторую точку р из 0-остова, то соответствующий коффициент инцидентности положим равным —1, а если {1} отображается в некоторую точку q, то коэффициент инцидентности положим равным +1; в случае р = q коэффициент инцидентности положим равным нулю.
§ 16.3. Определение клеточных гомологий
п
Пусть X = У Х(1) — конечное аккуратное CW-пространство. Для
t=0
каждого целого к, О^к^п, определим группу клеточных k-цепей X как множество всех формальных линейных комбинаций fc-клеток
ук: Вк-+Хк:
ад>:={ £ zsTks:zsez\
^ все к-клетки '
(zs — целые коэффициенты), наделённых естественной операцией сложения:
2 <rk+ 2 <г‘= 2 tf+Or1-
все k-клетки все к-клетки все /с-клетки
Относительно этой операции Ск (X) является абелевой группой (на самом деле даже свободным Z-модулем). Введём клеточный оператор границы, определив его на каждой клетке по формуле
dfcfr) := Е [г : Рт№т ,
все (к — 1)-клетки
а затем продолжив его на всю труппу СП(Х) по линейности. Это определение корректно, если мы знаем, что корректно определены коэффициенты инцидентности; последнее выполнено, если CW-пространство X аккуратное, но мы это и предположили.
Цепь с е Cfc(X), для которой дк(с) = 0, называются циклом; цепь с £ Ск(Х), для которой существует цепь с'е ск+1 (X), для которой dfc+i(cO = с, называется границей (и мы говорим, что цепь с гомологична нулю). Если разность двух циклов гомологична нулю, то мы


§ 16.3. Определение клеточных гомологий
141
говорим, что они гомологичны. Разумеется, гомологичность является отношением эквивалентности.
Мы утверждаем, что граничный оператор удовлетворяет лемме Пуанкаре, т. е. выполнено равенство
дк о дк+1 = 0 для всех fc ^ 0 .
Опустим доказательство этого утверждения.
Из леммы Пуанкаре вытекает, что 1тдк+1 с Kerdfc с Ск(Х), и это позволяет определить п-ю группу (клеточных) гомологий (аккуратного) конечного CW-пространства X как факторгруппу
Hk(X) := Kerdfc/Imdfc+1 для всех fc ^ 0 .
Таким образом, элементы группы гомологий НПСХ) — это классы гомологичных циклов.
Клеточные гомологии конечных аккуратных CW-пространств будут образовывать функтор, когда для каждого клеточного отображения /: X —> Y и каждого неотрицательного целого п мы определим гомоморфизм из Нп(Х) в Hn(Y). Это возможно, но конструкция в общем случае весьма трудна. Опишем её для частного случая, когда отображение f:X-*Y не только клеточное, но и всегда переводит клетки в клетки. Тогда каждой п-клетке j: Вп —» Х(п) соответствует клетка / о х и по линейности каждой n-цепи в пространстве X соответствует п-цепь в пространстве Y (разумеется, если клетка-образ f о % имеет размерность меньше п, то она не появляется в цепи-образе). Запишем это в виде /*п: СП(Х) —> СП(У). Нетрудно доказать, что
=f*(n-l)odn>
так что циклы соответствуют циклам, а гомологичные циклы — гомологичным циклам, т. е. описанное соответствие корректно определено на гомологических классах; оно согласовано с операцией суммирования. Полученный гомоморфизм Нп(Х) —>Hn(Y) обозначается через
/*: Нп(Х) —> Hn(Y),
и мы говорим, что он индуцирован отображением /.
Пусть теперь дана пара (конечных аккуратных) CW-пространств (Х} А); тогда относительная цепь с е Сп(Х, А) — это цепь из Сп(Х), коэффициенты которой при клетках из А равны нулю. Как и выше,


142
Лекция 16. Клеточные гомологии
определим оператор границы (по-прежнему обозначая его дп)
дп:Сп(Х,А)^Сп_г(Х,А),
удовлетворяющий лемме Пуанкаре. Это позволяет определить (как выше) группу относительных гомологий Нп (X, А) и гомоморфизм
£*:НП(Х,А)-НП(У,В),
индуцированный клеточным отображением пар g: (X, А) —> (У, В). Отметим, что имеется естественное отождествление НП(Х, 0) =Нп(Х).
Замечание 16.3. Здесь мы определили клеточные гомологии для конечных CW-пространств, поскольку в данный момент нас интересует вычисление групп гомологий лишь для компактных многообразий, которые всегда имеют структуру конечного CW-пространства. На самом деле теория в общем случае точно такая же и нужно лишь в определении п-цепи оговорить, что количество ненулевых коэффициентов в каждой цепи конечно.
§ 16.4. Некоторые свойства клеточных гомологий
(1) Функториальность. Теория клеточных гомологий являются функтором, т. е.
* (/ ° &)* — /* ° £* Для всех клеточных отображений /: X —»У и g:y-Z;
• (idx)* = idHn(x) для любого CW-пространства X и всех п € N.
(2) Гомологии точки. Если X состоит из одной точки, то H0(X)=Z и НП(Х) = 0 при всех п ^ 1.
(3) Гомотопическая инвариантность. Группы гомологий гомотопически инвариантны (и потому топологически инвариантны). В частности, ЯП(Х) не зависят от выбора CW-структуры на CW-прост- ранстве X. Опустим доказательство этого важного факта.
(4) Нулевая группа гомологий связных пространств. Линейная связность CW-пространства X эквивалентна равенству H0(X) = Z.
(5) Точная последовательность для пар. Для любой пары CW-пространств (X, А) имеются вложения
i: А <-* X
и j: X = (X, 0) «-> (X, А), которые индуцируют гомоморфизмы i* и Далее, нетрудно определить гомоморфизм д*: ЯП(Х, А) -^ЯП_1(А) (см. задачу 16.10). Эти три гомоморфизма позволяют построить по¬


§ 16.5. Вычисления и приложения
143
следовательность, аналогичную последовательности гомоморфизмов гомотопических групп, которая рассматривалась в предыдущей лекции. Соответственно получаем следующий результат.
Определённая выше последовательность гомоморфизмов для пар CW-пространств
... - Н„(А) Н„(Х) Д Нп(Х,А) Ь. НП_!(Л) - ...
точна.
Строгие доказательства свойств (1)—(5) можно найти в книгах [5] и [8]. Я надеюсь, что на уровне геометрической интуиции всем понятно, что гомологическая последовательность для пар точна.
§ 16.5. Вычисления и приложения
Перечислим здесь группы гомологий для некоторых наиболее популярных многообразий. Соответствующие доказательства можно получить с помощью простейших CW-структур на многообразиях (см. лекцию 14) и определения групп Яп(*).
• Н0 (точка) = Z, Нп (точка) = 0 при п ^ 1;
• Н0(ВП) = Z, НкЦВп) = 0 при к & 1;
• Я0(§п) =Нп(§п) = Z, Hfc(§n) = 0 при всех к ф {О, гг};
• Я0(Т2) = Н2(Т2) = Z, Hi (Т2) = Z 0 Z, HfcOT2) - 0 при всех fc ^ 3;
• Нк(СРп) = Z при fc G {0, 2,..., 2гг}, Нк(СРп) = 0 при всех нечётных fc и при fc > 2гг;
• Hfc(RPn) = Z при fc = 0 и к = гг, если п чётно, Hfc(RPn) = Z2 при нечётных fc, fc < гг, и Hfc(RPn) = 0 при всех остальных fc.
В отличие от гомотопических групп, группы гомологий «плохо себя ведут» относительно декартова произведения пространств; однако (тоже в отличие от гомотопических групп) они «хорошо себя ведут» относительно взятия букета, а именно:
• Нп (X V У) = Нп (X) 0 Нп (У) при гг > 0.
§16.6. Задачи
16.1. Вычислите НДМ2), где М2 — сфера с g ручками.
16.2. Вычислите H*(iV2), где N2 — это RP2 с g ручками.
16.3. Вычислите Н*(СРП).
16.4. Вычислите H*(RPn).


144 Лекция 16. Клеточные гомологии
16.5. Вычислите Н*(Г), где Г — следующий граф.
16.6. Пусть р и q — взаимно простые натуральные числа. Рассмотрим действие группы Ър с образующим сг на единичной сфере §3 с С2, заданное формулой <j(z,w) = (exp(2ni/p)z,exp(2niq/p)w). Фактор- пространство сферы §3 по этому действию является трёхмерным многообразием. Оно называется линзовым пространством и обозначается L(p, q). Вычислите H*(L(p, q)).
16.7. Вычислите Н*(£>), где V — «шутовской колпак», т. е. треугольник с отождествлением сторон в соответствии со стрелками.
16.8. Существует ли ретракция шутовского колпака (см. предыду- щю задачу) на окружность NM?
16.9. Выразите Нп (Л V В) в терминах НпА и НпВ, п = 0,1,...
16.10. Постройте гомоморфизм д*: ЯП(Х, А) ^Яп_г(Л) и покажите, что гомологическая последовательность для пар точна.
16.11. Вычислите H*(S), где S — сфера §2 с добавлением отрезка [NS], соединяющего северный и южный полюсы.


Лекция 17 Симплициальные гомологии
Теория симплициальных гомологий — старшая по возрасту среди гомологических теорий. Это функтор, определённый лишь на категории симплициальных пространств (гораздо более узкой, чем категория топологических пространств или даже категория CW-npo- странств); определение этого функтора очень просто и имеет достаточно ясное геометрическое истолкование. Однако он не столь удобен для вычислений, как функтор клеточных гомологий (см. лекцию 16 и задачи к ней), а доказательства его основных свойств много труднее, чем доказательства тех же свойств сингулярных гомологий (мы будем их изучать в лекции 19).
Построение функтора симплициальных гомологий (как и других гомологических функторов) выполняется в два основных шага: сначала от симплициальных пространств и отображений (это геометрические сущности, см. ниже § 17.3) мы переходим к цепным комплексам и их гомоморфизмам (объектам чисто алгебраическим), а затем чисто алгебраическая конструкция позволяет перейти от цепных комплексов к градуированным абелевым группам (группам гомологий). Этот второй шаг можно использовать без всяких изменений и при построении других теорий гомологий, например сингулярных гомологий, клеточных гомологий и т. д.
§ 17.1. Цепные комплексы и их морфизмы
Цепной комплекс (раньше его также называли градуированной ди- ференциалъной группой) — это последовательность абелевых групп и гомоморфизмов


146
Лекция 17. Симплициальные гомологии
удовлетворяющая при всех п = 1,2,... соотношению Эп+1 о дп = О, или, что то же самое, соотношению Imdn+1 с Кегд„. Элементы из Сп называются п-цепями, а гомоморфизмы дп — граничными операторами или дифференциалами (индекс п иногда не пишут). Элементы из Кегд называются циклами, элементы из Im д — границами, а про два цикла из одного смежного класса по модулю 1шЭ говорят, что они гомологичны или принадлежат одному и тому же гомологическому классу. (Эта терминология может показаться странной в абстрактном алгебраическом контексте; она происходит из геометрического аспекта теории гомологий, где такая терминология вполне естественна; см. лекцию 16.)
Цепные комплексы образуют категорию, морфизмы которой /: С—> —>С' — это коммутативные диаграммы вида
-> Сп
di
-С'.
Тот факт, что действительно получена категория (т. е. выполнены две аксимомы функториальности из определения категорий, см. лекцию 13), немедленно следует из определений.
§ 17.2. Гомологии цепных комплексов
Пусть С = (Сп, дп) — цепной комплекс. Его п-я группа гомологий — это следующая факторгруппа:
НП(С) :=(КегЭп)/(1шЭп + 1)
По морфизму цепных комплексов /: С —> С7 можно построить гомоморфизм соответствующих групп гомологий
/*: НП(С) -> НП(С7) для всех п ^ О
следующим образом. Рассмотрим диаграмму
-•n+1
С1
Ьл+1
fn+1
fn
К
/п-1
. г' - > г'
Uп Ьп-Р


§ 17.3. Симплициальные пространства
147
выберем некоторый элемент сеКег(дп), и пусть h — его гомологический класс. Положим с' :=/„(с), и пусть Ы обозначает гомологический класс, содержащий с'. Теперь можно определить индуцированный гомоморфизм /*: НП(С) —>Нп(С') как отображение h —> Ы. Из последней диаграммы без труда видим, что /* (здесь и далее мы не пишем индекс п) — корректно определённый гомоморфизм.
Из определений непосредственно вытекает, что описанное выше соответствие групп гомологий Я* (С) и индуцированных гомоморфизмов /* с цепными комплексами С и их морфизмами / является функтором, т. е.
(/ ° g)* = /* ° g* и (idc)* = idH (С).
§ 17.3. Симплициальные пространства
Напомним некоторые определения из §3.5. Симплекс размерности п (или кратко п-симплекс) Ап — это выпуклая оболочка п + 1 точек (которые называются его вершинами) вМп, а именно начала координат и концов базисных векторов; Ап наделяется индуцированной топологией. Таким образом, 0-симплекс — это точка, 1-сим- плекс —это отрезок 1= [0,1], 2-симплекс — это треугольник, 3-симплекс—это тетраэдр и т.д. Для удобства будем считать пустое множество (—1)-мерным симплексом. Отметим, что мы рассматриваем п-симплекс как топологическое пространство (гомеоморфное диску Dn), но с дополнительной структурой — совокупностью его fc-граней, fc = 0,..., п — 1. Они определяются следущим образом: 0-грани — это вершины симплекса Дп, а каждая к-гранъ, 1 ^ fc ^ п, — это выпуклая оболочка каких-либо fc +1 вершин. Отметим, что каждая fc-грань обладает структурой fc-симплекса.
Грубо говоря, симплициальное пространство — это топологическое пространство, склеенное из симплексов по определённым правилам. Это очень частный случай CW-пространства: правила склеивания в случае симплексов гораздо строже, чем в случае клеток.
Согласно определению любое симплициальное пространство X наделено комбинаторной структурой, т. е. имеет фиксированное разложение на симплексы. Иногда полезно изменить эту структуру, подразделив симплексы из X на более мелкие. На рис. 17.1 показано несколько способов подразделения 2-симплекса Д. Последний из них называется барицентрическим подразделением; чтобы его получить, нужно разделить каждую сторону (1-грань) 2-симплекса Д посере-


148 Лекция 17. Симплициальные гомологии
дине на два 1-симплекса, а затем взять конусы с вершиной в центре тяжести g симплекса А над шестью полученными 1-симплексами, построив тем самым 6 новых 2-симплексов.
Рис. 17.1. Подразделения 2-симплекса
Барицентрическое подразделение п-симплекса Ап определяется аналогично: возьмём барицентрические подразделения всех граней и построим над ними конусы с вершиной в центре тяжести g симплекса Дп. Барицентрическим подразделением симплициального пространства X мы называем результат X' одновременного барицентрического подразделения всех симплексов из X. Повторяя эту процедуру, можно получить симплициальное пространство Х(п), состоящее из тех же точек, что X, но со сколь угодно малыми симплексами.
Симплициальные пространства имеют также топологическую структуру и могут рассматриваться как топологические пространства. Связь между этими двумя подходами выражена в следующей важной теореме.
Теорема (симплициальная аппроксимация). Любое непрерывное отображение /: X—>Y симплициальных пространств гомотопно сим- плициалъному отображению s: Х(п) —> У(п) между п-ми барицентрическими подразделениями пространств X и У для некоторого п. Отображение s можно выбрать сколь угодно близким к /.
Доказательство этой теоремы несколько проще, чем доказательство теоремы о клеточной аппроксимации, но использует иные средства. В этом курсе оно опущено.
§ 17.4. Цепной комплекс симплициального пространства
Определим теперь цепной комплекс СДХ) произвольного симплициального пространства X. Главную роль в этом цепном комплексе


§ 17.4. Цепной комплекс симплициального пространства
149
будут играть ориентированные симплексы, т. е. симплексы с фиксированной ориентацией. Чтобы её задать, выпишем последовательность вершин симплекса в некотором порядке: и0, и1}..., vn; всего существует п\ способов их упорядочить, и два из них мы назовём эквивалентными, если один получается из другого с помощью чётного количества транспозиций. Ясно, что для фиксированного симплекса имеется два класса эквивалентности упорядочений его вершин; каждый из этих классов будем называть ориентацией симплекса. Ориентированный п-мерный симплекс, заданный упорядочением и0, иъ ...,vn его вершин, т. е. класс эквивалентности, содержащий это упорядочение, будет обозначаться ап = [v0, иъ ..., ип]. На геометрическом языке ориентация 1-симплекса определяется стрелкой, идущей из одной его вершины в другую; ориентация 2-симплекса — направление вращения плоскости, в которой он лежит. Что касается нульмерных симплексов (т. е. точек), давайте условимся, что их ориентация определяется простым приписыванием им знака плюс или минус. Условимся также обозначать через — [и0, иъ..., ип] симплекс с теми же вершинами, но противоположной ориентацией по отношению к симплексу [и0, иъ ..., vn].
Замечание 17.1. Физики различают положительную и отрицательную ориентацию. Например, на плоскости они считают положительным вращение против часовой стрелки. В трёхмерном пространстве они говорят о правом винте (что означает положительную ориентацию 3-симплекса), в теории электромагнетизма есть «правило левой руки» и т. д. Все эти предпочтения не имеют никакого математического смысла, поэтому мы не будем их использовать при выборе ориентации.
По определению п-мерная цепь с — это линейная комбинация с целыми коэффициентами (лишь конечное число которых ненулевые) всех ориентированных п-симплексов из X:
с = е Спш
i
(мы отождествляем —5 и 5 с изменённой ориентацией). Множество СП(Х) всех п-цепей называется п-й группой цепей и имеет очевидную структуру абелевой группы, порождённой всеми (упорядоченными) п-симплексами (на самом деле это свободный Z-модуль); прямая сумма ф СП(Х) групп п-цепей также является абелевой группой и обо-
О
значается С*(Х).


150
Лекция 17. Симплициальные гомологии
Чтобы получить цепной комплекс из групп СП(Х), нужно определить граничные операторы, или дифференциалы,
дп: Сп{Х) -> СП_!(Х).
Если ап = [и0, иг,..., vn] — (ориентированный) п-симплекс, то пусть
[у0,vj,У„] := [v0,Vj_x, uj+i,vn]
обозначает его (п — 1)-грань, полученную отбрасыванием j-й вершины. Теперь определим граничный оператор, положив
<V = := EMnO") :=
М>1 J 1 i^l ;=0
Корректность этого определения составляет содержение задачи 17.6.
Лемма (Пуанкаре). Для любого п ^ 2 справедливо равенство
дп-1°дп = 0 •
Доказательство. В силу линейности оператора дп достаточно доказать лемму для случая, когда цепь с содержит лишь один ненулевой коэффициент z и этот коэффициент равен 1, т. е. с = а, где а — некоторый п-симплекс из X. Но в этом случае лемма очевидна, так как (по определению граничных операторов) (п — 2)-цепь (dn_x о дп)(сг) состоит из 2п слагаемых, которые появляются парами вида
[wb,...,y/,...,vfcv,...,i/n]
с противоположными знаками, так что общая сумма равна нулю. □
Замечание 17.2. На самом деле для определения симплициальных гомологий можно использовать три разных типа симплексов. Во-первых, ориентированные симплексы (как сделано выше). Во-вторых, симплексы, упорядоченные по номерам вершин: занумеруем все вершины симплициального пространства, а затем каждому геометрическому симплексу сопоставим однозначно определённый упорядоченный симплекс, вершины которого идут по возрастанию номеров. Наконец, все возможные упорядоченные симплексы (тогда каждый геометрический п-симплекс задаёт п! различных упорядоченых симплексов, которые являются образующими группы п-цепей). В результате получаем три разных цепных комплекса, но, оказывается, соответствующие теории гомологий совпадают (см. задачу 17.11 и § 22.3 в лекции 22 (о двойственности Пуанкаре)).


§ 17.5. Относительные гомологии симплициальных пространств
151
Теперь определим морфизм цепных комплексов, который соответствует симплициальному отображению /: X —> Y; это делается естественным образом. А именно, пусть даны цепь с€ Cfc(X) и симплекс сгк, входящий в неё с ненулевым коэффициентом. Рассмотрим его образ т1 :=f(crk) и включим его с тем же коэффициентом в качестве слагаемого в цепь /* (с), если I=к, положив / [и0,... ,vn ]: = [/ О0),..., / (vn) ]; если жel<k, не добавим ничего (можно сказать, что добавим в цепь /*(с) нулевое слагаемое); сделаем это для всех симплексов, появляющихся в цепи с с ненулевыми коэффициентами, а затем объединим (сложим) коэффициенты при одинаковых симплексах с 7. Получим образ цепи с, который мы обозначим /^(с) €Cfc(7).
Нетрудно проверить, что
dYn°f*„ =/.(п-1)°3£,
так что морфизмы цепных комплексов соответствуют симплициальным отображениям, а вышеописанные конструкции определяют функтор из категории симплициальных пространств <Sim в категорию цепных комплексов СС.
Когда это сделано, можно определить группы симплициальных гомологий и их индуцированные гомоморфизмы
НДХ) = 0 Н„(Х), /*: Н„(Х) - Н„(У)
п^О
как группы гомологий и индуцированные гомоморфизмы (см. § 17.2) цепных комплексов, построенных выше.
§ 17.5. Относительные гомологии симплициальных пространств
Пара (X, Л) симплициальных пространств — не что иное, как сим- плициальное пространство X с подмножеством А, состоящим из некоторых симплексов пространства X и наследующим структуру симплициального пространства от X (это значит, что выполнены три условия из определения таких пространств, см. § 17.3). Симплициальные отображения пар пространств определяются естественным образом.
Пусть даны симплициальная пара (X, А) и неотрицательное целое число п. Определим группу относительных цепей Сп(Х,А) как подгруппу в СП(Х), все цепи которой имеют нулевые коэффициенты при п-симплексах из А. Определим граничные операторы
an:Cn(X,A)->Cn_a(X,A),


152
Лекция 17. Симплициальные гомологии
полагая дпс = 0 для цепи с е Сп(Х, А), если обычная граница цепи с лежит в Cn_a(A). Далее определяются группы относительных гомологий и гомоморфизмы, индуцированные симплициальными отображениями:
Я*(X, А) = 0 Нп (X, А), и: Hn(X, А) - Н„(Г, В).
п^О
На этом этапе мы опустим подробности и отметим без доказательства, что мы сейчас определили функтор из категории пар симплициальных пространств в категорию градуированных групп.
§ 17.6. Гомологии с произвольными коэффициентами
В определении групп цепей СП(Х) и Сп(Х, А) мы использовали в качестве коэффициентов в этих группах целые числа. В действительности вместо Z можно взять любую другую абелеву группу G (например, аддитивную группу любого поля или группу вычетов по некоторому модулю т) и продолжать построение точно так же. В результате получаются группы Нп(Х; G) и Нп(Х, A; G), которые называются группами гомологий по модулю G (или группами гомологий с коэффициентами из G), с аналогичными индуцированными гомоморфизмами и граничными операторами. Теория будет такой же, как для групп целочисленных гомологий Hn(X; Z) =Нп(Х), но в некоторых приложениях группы гомологий Нп(Х; R) или Нп(Х; Z2) более удобны и эффективны, чем Нп(Х; Z).
§ 17.7. Нулевая группа гомологий и аугментация
Определение гомологий в этой лекции, так же как и предыдущее, выглядит неясным при п = 0, поскольку для этого случая не был определён граничный оператор дп. Если мы будем считать, что он отображает всё в нуль: д0: С0(Х) —> О, то в определении соответствующей нулевой группы гомологий нужно положить Н0(Х) := С0(Х)/ Imd0.
В силу такого определения очевидно, что симплициальное пространство X связно тогда и только тогда, когда Я0(Х) = Z.
Чтобы упростить некоторые формулировки, будет удобно несколько изменить самый конец цепного комплекса, который отвечает данному симплициальному пространству, а именно заменить последние два члена


§ 17.8. Задачи
153
следующей трёхчленной последовательностью (называемой аугментацией):
Тогда можно определить нульмерную группу приведённых гомологий (которая обозначается Н0) стандартным образом, положив
Н0(Х) := Kerd^Imdo-
В этом случае симплициалъное пространство X связно тогда и только тогда, когда Н0(Х) = 0. Легко также видеть, что всегда
где d3(z) = 2z и d2(z) = 0. Вычислите его гомологии.
17.2. Вычислите гомологии точки и отрезка [0,1], рассматриваемого как симплициальное пространство с одним 1-симплексом.
17.3. Вычислите гомологии подразделённого отрезка (см. рисунок), используя лишь определение групп гомологий, а затем проверьте ответ, используя их свойства (например, гомотопическую инвариантность).
17.4. Вычислите гомологии границы треугольника и границы квадрата (используя определение групп симплициальных гомологий). Сравните ответы.
17.5. Вычислите гомологии границы тетраэдра и границы куба (грани куба триангулированы своими диагоналями). Сравните ответы.
17.6. Докажите, что индуцированный гомоморфизм в теории симплициальных гомологий корректно определён, т. е. не зависит от представителя ориентации.
... СгШ ^ С0(Х) ^ С_г(Х) = Z —> 0,
где гомоморфизм д0 определяется формулой
H0(X)=H0(X)®Z.
§17.8. Задачи
17.1. 	Рассмотрим цепной комплекс


154
Лекция 17. Симплициальные гомологии
17.7. Проведите подробное доказательство леммы Пуанкаре (проверьте, что два симплекса [v0,..., иУ,..., vfv,..., ип] появляются с противоположными знаками).
17.8. Докажите, что симплициальное пространство X связно тогда и только тогда, когда Н0Х = Z.
17.9. Вычислите группы гомологий Я* (Mb, Z) ленты Мёбиуса непосредственно из определения симплициальных гомологий.
17.10. Вычислите гомологии проективной плоскости RР2 по модулю 2 (т. е. с коэффициентами из Z2).
17.11. Постройте теорию гомологий для упорядоченных симплексов (в которой каждый геометрический п-симплекс соответствует п! упорядоченным симплексам). Докажите, что она эквивалентна теории, основанной на ориентированных симплексах, а также упорядоченной теории, в которой все вершины симплициального пространства заранее упорядочены (так что каждому геометрическому симплексу соответствует лишь один упорядоченный симплекс).


Лекция 18
Свойства симплициальных гомологий
Цель этой лекции — установить важнейшие свойства групп симплициальных гомологий. Однако мы начнём с предварительных сведений из алгебры, в основном связанных с цепными комплексами (короткие точные последовательности цепных комплексов и соответствующие длинные гомологические последовательности, некоторые вспомогательные утверждения, например 5-лемма Стинрода, цепная гомотопия и т. п.). Мы рассмотрим также понятие ациклического носителя — полезный геометрический инструмент, доставляющий важную информацию в алгебраической топологии, например при построении цепных гомотопий.
После того как это сделано, удаётся получить целый ряд важных результатов без больших дополнительных усилий. Это гомотопическая инариантность (а следовательно, и топологическая инвариантность) групп гомологий, точная гомологическая последовательность для пар, теорема Гуревича (которая устанавливает фундаментальное соотношение между группами гомологий и гомотопическими группами), последовательность Майера—Вьеториса (которая часто позволяет вычислить гомологии пространства по гомологиям его частей).
§ 18.1. Четыре алгебраические леммы
В предыдущей лекции мы уже упоминали, что последовательность групп и гомоморфизмов
называется точной в члене Gt, если
Im ht — Ker hi+1;
вся последовательность называется точной, если она точна во всех членах.


156
Лекция 18. Свойства симплициальных гомологий
Точные последовательности групп обладают следующими свойствами, которые непосредственно вытекают из их определения:
(i) если последовательность 0 —> А —> В —>точна, то гомоморфизм А-+В является мономорфизмом;
(ii) если последовательность ... —> А —> В —> 0 точна, то гомоморфизм А—*В является эпиморфизмом;
(iii) если последовательность 0 —> А —* В —> 0 точна, то гомоморфизм А—>В является изоморфизмом.
Пятичленная точная последовательность
О —> А —» В —> С —>0,
которая начинается и кончается в нуле, называется короткой точной последовательностью.
Лемма (о короткой точной последовательности). Пусть h: G-+H — произвольный гомоморфизм групп. Тогда последовательность
0 -> Kerh -U G Imft ->• 0,
где i — гомоморфизм вложения, является короткой точной последовательностью.
Доказательство этой леммы очевидно.
Лемма (о расщеплении). Пусть дана короткая точная последовательность
<р -ф
0—»А—>В—»С—>0.
Пусть она расщепляется, т. е. пусть она изоморфна последовательности вида
О->А-^А0С-^С —0,
где i — естественное вложение, ар — проекция на второй множитель. Тогда гомоморфизм ip имеет левый обратный (т. е. существует такой гомоморфизм Ф: В —> А, что уоФ = idB), а гомоморфизм гр имеет правый обратный (т. е. существует такой гомоморфизм Ф: С —> В, что Ч/ o\p = [dB).
Доказательство этой леммы предоставляется в качестве (лёгкого) упражнения.
С помощью следующей алгебраической леммы в теориях гомото- пий и гомологий доказывается, что различные пространства имеют изоморфные гомотопические группы или изоморфные группы гомологий.


§ 18.2. Построение длинных гомологических последовательностей
157
Лемма (5-лемма Стинрода). Пусть в коммутативной диаграмме f ъ S ~ h
А'
Г
->С'
D
-> D'
>Е'
строки точны, а вертикальные стрелки p,q,s,t —изоморфизмы. Тогда средняя вертикальная стрелка г также является изоморфизмом.
Доказательство этой леммы — приятное упражнение на тему абстрактных групп и диаграммного поиска. На самом деле утверждение этой леммы верно при более слабых условиях.
Лемма ((3 х 3)-лемма). Пусть в следующей коммутативной диаграмме:
ООО
В
Г
-> в'
с'
-> D'
ООО
точны первая и вторая (соответственно вторая и третья) строки и все столбцы; тогда точна и третья 0соответственно первая) строка.
Доказательство — ещё один типичный простой пример диаграммного поиска.
§ 18.2. Построение длинных гомологических последовательностей
В предыдущих лекциях мы уже строили длинные точные гомотопические последовательности для отдельных случаев. Следующая лемма является мощным алгебраическим инструментом построения


158
Лекция 18. Свойства симплициальных гомологий
длинных гомологических последовательностей различных типов более «научным» способом.
Лемма (от короткой к длинной). Короткая точная последовательность цепных комплексов
о -»с с' с" -»о,
т. е. такая коммутативная диаграмма
С,
С;
■ Q-i
с7
Ч-i
Л-i
с;
i-i
о,
что Imfcj — Kerj^ для всех i и все строки в ней точны, индуцирует следующую длинную точную гомологическую последовательность:
... - Hi (С) ЩСО - Н£(С") - Нг_!(С) ->... - н0 (С").
Доказательство. Построим гомоморфизм Я, (С77) —>Hi_1(C). Выберем некоторое с"еКегд". Из точности горизонтальных последовательностей следует, что с" = j (с7) для некоторого с7 и существует элемент с,_! в Ci_l5 который является прообразом для д^(ср. Элемент с является циклом в комплексе С; возьмём соответствующий класс в группе Hj.^C) в качестве образа гомологического класса цикла с77. Тем самым мы построили отображение из Ht (C77) в Н^^С). Нетрудно проверить, что это корректно определённый гомоморфизм. Другие гомоморфизмы длинной последовательности строятся аналогичным диаграммным поиском, а её точность проверяется непосредственно. □
§ 18.3. Цепная гомотопия
Два морфизма {fk} и {gk} между цепными комплексами {С^} и {С£7} связаны цепной гомотопией, если существует такое семейство гомоморфизмов Dk: —> С£7+1, что
dk+l°Dk~^^k-l°dk = Sk~fkl семейство {Dk} тогда называется цепной гомотопией между / и g.


§ 18.4. Ациклические носители
159
Замечание. На первый взгляд это определение может показаться довольно странным. Чтобы понять его смысл, читателю надо рассмотреть ситуацию, когда цепные комплексы являются симплициаль- ными, и попытаться геометрически интерпретировать гомоморфизмы Dk.
Лемма (о цепной гомотопии). Если морфизмы {fk} и {gk} между цепными комплексами {С£} и {С£'} связаны цепной гомотопией, то ин- дуированные ими в гомологиях морфизмы {(Л)*} и {(g^)*} совпадают.
Доказательство. Пусть zk eC'k является циклом, т.е. d'^ZjJ = 0. Тогда
8k(zk) ~ fk(zk) = dfc+iC^Jfc(zfc)) +^fc-l(dfc(Zfc)) = dfc+jCDkzk), а это означает, что gk(zk') и fk(zk) гомологичны. □
§ 18.4. Ациклические носители
От чисто алгебраического контекста цепных комплексов вернёмся к симплициальным пространствам. Симплициальное пространство X называется ациклическим, если Я0(Х) = Z, а во всех размерностях п > 0 его группы гомологий нулевые. Носитель цепи с е Сп(Х) — это любое симплициальное подпространство в X, содержащее все симплексы, которые появляются в данной цепи с ненулевыми коэффициентами.
Чтобы сформулировать следующую лемму, нам потребуется техническое понятие, относящееся к нульмерным цепям: говорят, что отображение цепей /0 сохраняет аугментацию, если из равенства
/о(5>А°)=1йд?
V i J j
вытекает, что а{ = ][]Ь, • (Мотивировка понятия аугментации обсуж-
i J
далась в предыдущей лекции.)
Лемма (об ациклическом носителе). Пусть даны симплициальные пространства X uY и сохраняющие аугментацию цепные отображения
<pk,xl>k:CkiX)^Ck(y).
Пусть также дано соответствие А между симплексами А с X и сим- плициальными подпространствами А(А) с Y, удовлетворяющее следующим условиям:
(i) 	если А' с А, то А(А') с А(А);


160
Лекция 18. Свойства симплициальных гомологий
(ii) А(Д) ациклично;
(iii) множество А(Ак) является носителем цепей Ак) и \pk(Ak). Тогда отображения ук и грк связаны цепной гомотопией, так что
= ■
Доказательство. Построим цепную гомотопию
D,:Q(X)-Ck+1(7)
индукцией по к. Начнём со случая к = 0. Пусть Д° —вершина в X. Симплициальное пространство А(Д°) является носителем обеих цепей (р0(А°) и гр0(А°). Поскольку отображения ц?0 и гр0 сохраняют аугментацию, выполнено равенство
С^-^оХаА0) = ЕЬ*Д9, гДе Y*bi = а-
Подпространство А(Д°) ациклично, поэтому цепь btA® должна быть границей некоторой 1-цепи (которую мы обозначим 1)0(аД0)), лежащей в А(Д°), т. е.
(у0-'ф0)(аА°) = а^0(аД°).
Может, однако, не выполняться соотношение
D0(aA0) + D0(bA0) = D0((a + b)A°).
Но оно будет выполнено, если переопределить D0, положив
D0(aA°) =aD0(l-A°).
(В дальнейшем цепи вида 1 • Д будут обозначаться просто через Д.)
Чтобы провести индукционный переход, предположим, что построены нужные гомоморфизмы D0, Dly ..., Dk_ly а А(Д[) является носителем цепи Dt(Al). Требуется построить гомоморфизм
Dfc:Cfc(X)-*Cfc+1(y),
удовлетворяющий единственному условию, что для любого /с-мерно- го симплекса Д с X выполнено равенство
Э*+А(Д) = Сь где ck = <pk(A)-xl>k(.A)-Dk_1dk(£).
Но все симплексы из дк(А) содержатся в Д, и потому А(Д) является носителем цепи д^(Д), а значит, и цепи D^d^A). Таким образом, А(Д) является носителем цепи ск и по предположению индукции
ск — (!Фк ~ Vk-Dk-ldk)^) —
= (.'Фк -<-Рк~ Wk-ih ~ Ук-\\-ок-2дк^дкЖ&).


§ 18.5. Гомотопическая инвариантность гомологий
161
Носитель Л(Д) ацикличен, и потому цикл ск является границей некоторой цепи (которую мы обозначим Dfc(A)) с носителем А(Д), удовлетворяющей равенству dk+1Dk(A)=ck, что и требовалось. □
§ 18.5. Гомотопическая инвариантность гомологий
Разумеется, симплициальное пространство является топологическим пространством, и потому можно говорить о его гомотопической эквивалентности другому пространству. Мы не будем доказывать, что теория симплициальных гомологий гомотопически инвариантна (в этом общем топологическом смысле). Ближе к духу категорного подхода к математике—дать более комбинаторное определение гомотопии и гомотопической эквивалентности для симплициальных пространств, а затем доказать, что гомологии гомотопически инвариантны в комбинаторном смысле (говорят также: «в кусочно линейном смысле»). Такова цель этого параграфа.
Непрерывное отображение f:X—>Y симплициальных пространств называется кусочно линейным (piecewise linear), сокращённо PL-отображением, если оно симплициально для некоторого подразделения симплициальных структур в X и в Y. Два PL-отображения /, g: X —> У называются PL-гомотопными, если существует такое PL-отображение F: X х [0,1 ]->У, что
F(x,0) =/(*), F(x,0)=g(x)
при всех хеХ; здесь декартово произведение X х [0,1] наделено естественной PL-структурой (в частности, симплициальная структура X х {0} иХх{1} такая же, как на X, и для любого симплекса Д сХ множество Д х! является симплициальным подмножеством в Хх [0,1]).
Теорема. Если PL-отображения f,g: X -+Y симплициальных пространств PL-гомотопны, то они индуцируют один и тот же гомоморфизм в гомологиях.
Доказательство. Пусть F обозначает гомотопию между / и g. Рассмотрим вложения
i0:X*-+Xx{ 0}сХх1 и ц:Х^Хх{ 1}cXxL
Ясно, что f = Fi0 и g = Fils поэтому достаточно доказать, что i0* = iu. Пусть Ak — симплекс в пространстве X. Цепи i0(Ak) и i1(Afc) имеют общий носитель Ak х I, заведомо ациклический. По лемме об ациклическом носителе это означает, что существует цепная гомотопия, соединяющая i0* и iu, и по лемме о цепной гомотопии i0* = iu. □


162
Лекция 18. Свойства симплициальных гомологий
Симплициальные пространства X и Y называются PL-гомотопиче- скы эквивалентными, если существуют их симплициальные подразделения и симплициальные отображения (относительно этих подразделений) /: X —> У и g: Y-+X, для которых / о g и g о / соответственно PL-гомотопны тождественным отображениям пространств Y и X в себя. Учитывая функториальность симплициальных гомологий, из предыдущей теоремы немедленно получаем такое следствие.
Следствие 1. Группы симплициальных гомологий инвариантны относительно PL-гомотопической эквивалентности.
Симплициальные пространства X и Y считаются PL-гомеоморф- ными или PL-эквивалентными, если существуют их симплициальные подразделения и симплициальный (относительно этих подразделений) гомеоморфизм между X и Y. Из очевидного факта, что PL-эквивалентность влечёт гомотопическую эквивалентность, получаем такое следствие.
Следствие 2. Группы симплициальных гомологий инвариантны относительно PL-эквивалентности.
Замечание. На этом этапе с помощью теоремы о симплициальной аппроксимации и ещё некоторой технической работы (не требующей новых идей) можно доказать (более сильные) чисто топологические варианты предыдущей теоремы и её следствий. Мы опустим эти доказательства в основном из эстетических соображений; читатель может обратиться к книге В. В. Прасолова [5], гл. 1, § 2. (Предыдущее изложение местами весьма близко следовало этой книге, включая обозначения.)
§ 18.6. Точная гомологическая последовательность пары
Группы гомологий пары симплициальных пространств образуют точную последовательность, очень похожую на гомотопическую последовательность пары.
Теорема (гомологическая последовательность пары). Для каждой симплициальной пары (X, А) следующая последовательность точна:
... ^ Я„(Х) Д Нп(Х, А) ^ Яп_!(А) ЯП_!(Х) Л
Я„_а(Х, А) ^ ... -й Н0(Х) -U Н0(Х, А).
Доказательство. Пусть дана симплициальная пара (X, А). Рассмотрим цепные симплексы С (А), С(Х), С(Х, А). Имеются морфизм


§ 18.7. Последовательность Майера—Вьеториса
163
первого комплекса во второй (вложение), а также второго в третий (факторизация), которые дают последовательность цепных комплексов
О -> С (А) -> С(Х) -> С(Х, А) -> О, или, более подробно,
О > Сп(А) > Сп(Х) > Сп(Х, А) > О
э* а* э*
о > Сп_г№ > Сп_гт > C'_i(X, А) > 0.
Но это короткая точная последовательность цепных комплексов, из которой мы получаем нужную длинную последовательность по лемме «от короткой последовательности к длинной». □
§ 18.7. Последовательность Майера—Вьеториса
Рассматриваемая точная последовательность — известная как последовательность Майера—Вьеториса, хотя впервые она была открыта М. Ф. Бокштейном, — выражает соотношение между гомологическими группами двух пространств, их объединения и пересечения.
Теорема (Майер—Вьеторис). Пусть Хг и Х2 — симплициальные подпространства в симплициальном пространстве X, причём X = = Хг UX2; положим Y — Хх ПХ2. Тогда следующая последовательность точна:
... ^ Н„(У) Д. НП(Х) Ь....
Доказательство. Очевидно,
С(У) = С(Х1)ПС(Х2) и С(Х!)+С(Х2) =C(Xl)\JC(X2).
Имеются вложения ix: Y Хг и i2: Y Х2, а также : Хх X и
]2: Х2 X. Если с G С(У), то положим i(c) := (^(с), —i2(c)), а если


164
Лекция 18. Свойства симплициальных гомологий
сг еС(Xj) и с2 £С(Х2), то положим j(cly с2) = 7i(са) + j2(c2). В результате получаем следующую короткую последовательность цепных комплексов:
О -» С(Хг ПХ2) -U С(Х\) ФС(Х2) Л их2) -» 0.
Далее, легко видеть, что эта короткая последовательность точна. По лемме «от короткой последовательности к длинной» получаем длинную гомологическую последовательность, для которой как раз выполняется утверждение теоремы. □
§ 18.8. Теорема Гуревича
Теорема Гуревича выражает важное соотношение между группами п-мерных гомологий и гомотопий. Для п = 1 её в действительности первым открыл Пуанкаре, и она в этом случае означает, что Нг (X, Z) — не что иное, как факторгруппа по коммутанту фундаментальной группы я2(Х, р).
Напомним, что коммутант группы G определяется как её подгруппа [G, G], порождённая всеми элементами вида
{аЬа”1Ь_1 |а, Ъ е G)}.
Теорема (Пуанкаре). Первая группа гомологий Яг(Х, Z) связного симплициального пространства X изоморфна факторгруппе
пх(X, р)/[тгг(Х, р), п^Х, р)]
фундаментальной группы п-^^Х^р) пространства X по её коммутанту.
Доказательство. Каждой петле аеях(Х, р) поставим в соответствие элемент группы Нг (X) следующим образом. По теореме о симплициальной аппроксимации существует симплициальный путь а е а (в некоторой триангуляции пространства X). Обозначим через h(a) ориентированную цепь, в которую каждый ориентированный 1-сим- плекс из пути а входит с коэффициентом +1, а все остальные 1-симплексы—с коэффициентом 0. Ясно, что h(a) — цикл. Теперь поставим в соответствие элементу а е п1 (X, р) гомологический класс цикла h(а). Можно доказать, что построенное соответствие — изоморфизм между факторгруппой группы тг^Х) по коммутанту и группой Я2(Х). □
Этот изоморфизм называется изоморфизмом Гуревича. Он является частным случаем изоморфизма Гуревича в размерности п (n ^ 1).


§ 18.9. Задачи
165
Теорема (Гуревич). Пусть X — симплициалъное пространство, причём
тт0(Х) = пгт = ... = пп_гШ = 0, п ^ 2.
Тогда существует изоморфизм ft: кП(Х) —>НП(Х).
Доказательство. Чтобы построить ft, выберем произвольную точку х0 в пространстве X (линейно связном, поскольку тг0(Х) =0), и пусть a: (Sn,s0) —> (X,х0) — некоторый сфероид. В силу теоремы о симплициальной аппроксимации можно считать, что сфероид а сим- плициален и потому индуцирует гомоморфизм в симплициальной группе гомологий а*: Нп(Е>п) —>НП(Х). Но мы знаем, что Я„(§п) = Z, где 1 € Z соответствует тождественному отображению п-сферы. Теперь можно определить ft, положив ft (а) := а* (id).
Корректность этого определения очевидна, а доказательство взаимной однозначности и сюръективности отображения ft — задача умеренной трудности для читателя. Отображение ft и называется изоморфизмом Гуревича. □
§18.9. Задачи
18.1. Докажите лемму о расщеплении.
18.2. Докажите 5-лемму Стинрода.
18.3. Докажите сильную форму 5-леммы, потребовав коммутативность диаграммы лишь с точностью до знака, т. е. q о/ = ±f орит.д.
18.4. Докажите (3 х 3)-лемму.
18.5. Докажите лемму «от короткой к длинной».
18.6. Пусть /: (Х,А)—>(У,£) — симплициальное отображение, причём /|Х и f\A — гомотопические эквивалентности. Докажите, что
Нп (X, Л) = Нп (У, В).
18.7. Приведите пример двух симплициальных отображений, не имеющих ациклического носителя. Дайте геометрическое обоснование его отсутствия в вашем примере.
18.8. Вычислите гомологии п-сферы с помощью последовательности Майера—Вьеториса.
18.9. Вычислите гомологии 2-тора Т2, используя гомотопическую инвариантность гомологий и последовательность Майера—Вьеториса.


166
Лекция 18. Свойства симплициальных гомологий
18.10. Вычислите одномерную гомологическую группу букета двух окружностей, считая известным, что 7r2(S1 VS1) = (здесь * обозначает свободное произведение).
18.11. Приведите пример гомоморфизма Гуревича в размерности п ^ 2, не являющегося инъективным.
18.12. Приведите пример гомоморфизма Гуревича в размерности п ^ 2, не являющегося сюръективным.


Лекция 19 Сингулярные гомологии
В этой лекции мы займёмся теорией сингулярных гомологий. Это очень общая конструкция (она имеет дело с произвольными топологическими пространствами и непрерывными отображениями), а строится она столь же просто, как симплициальные гомологии. (По этой причине многие книги по теории гомологий начинаются с рассмотрения сингулярных гомологий.) Главный недостаток такого подхода в том, что в его рамках вначале практически невозможно рассматривать содержательные примеры вычислений, основанных на основных определениях; кроме того, этот подход скрывает геометрический смысл гомологий.
Мы узнаем, однако, что сингулярные гомологии удовлетворяют ряду условий (известных как аксиомы Стинрода—Эйленберга), которые в действительности однозначно определяют теорию гомологий. Из соответствующей теоремы единственности вытекает, что в теории сингулярных гомологий появляются те же группы гомологий и те же индуцированные гомоморфизмы, что и в других теориях гомологий, в частности симплициальных и клеточных, так что результаты вычислений можно заимствовать из предыдущих лекций и задач.
§ 19.1. Основные определения и конструкции
Пусть X — произвольное топологическое пространство, и пусть Ап = [0,1,..., п] — стандартный п-симплекс, т.е. выпуклая оболочка множества, состоящего из начала координат 0 и концов (обозначаемых через 1,..., п) базисных векторов в Мп. Обозначим грань симплекса Д, противоположную i-й вершине, через


168
Лекция 19. Сингулярные гомологии
Сингулярный п-симплекс § —это произвольное непрерывное отображение S: Дп —>Х. Множество всех сингулярных n-симплексов обозначается Еп. Пусть G — коммутативное кольцо с единицей. Под сингулярной п-цепъю мы понимаем любую конечную формальную линейную комбинацию сингулярных п-симплексов с коэффициентами из G:
Cn(X) = {c= £ g«Sa, |geeG}.
^ Sae£n '
Множество СП(Х) обладает естественной структурой G-модуля, где сумма цепей с = и с' = ^ g'aS>a определяется формулой
с Л-с' :=
а умножение на константу Я € G — формулой Яс = 2](Я£а)§а.
Теперь определим граничный оператор дп: СП(Х) ^Сп_х(Х) на каждом симплексе §, положив
3n(S)= £ (-l)fcS(fc),
k=О
где S(fc) :=§|д(£) обозначает ограничение симплекса § на к-ю грань симплекса Д (разумеется, это сингулярный (п — 1)-симплекс); затем продолжим дп на всю группу СП(Х) по линейности.
Проделав это для всех п ^ 0, получим последовательность абелевых групп (в действительности G-модулей) и гомоморфизмов
dn_i_i дп д»7_1 di
... Сп(X) -А СП_2(Х) ^ ... -А С0(Х),
которая называется комплексом сингулярных цепей пространства X и обозначается С = {(С„, Эп)}.
Лемма (Пуанкаре). Граничный оператор сингулярных цепей удовлетворяет условию
дп-1 ° — 0 при всех п ^ 2 ,
так: что комплекс сингулярных цепей яаляется цепным комплексом.
Доказательство. Из линейности следует, что достаточно доказать равенство ЭП_1(ЭП(§)) = 0 для любого симплекса §. Выполнены равенства
dn-iOn(S)) = a-l)kS(k)) = £(-l)4-i(S(fc>) = О,
4=0 ' fc,/


§ 19.1. Основные определения и конструкции
169
поскольку любой сингулярный (п — 2)-симплекс §(к,1) (полученный из <т ограничением на (гг — 2)-грань симплекса Дп, не содержащую вершины к и Z) появляется в последней сумме дважды с противоположными знаками. □
Из исходного топологического пространства X мы получили цепной комплекс {С{Х) — (Cn(X), дп)}, так что теперь можно определить п-ю группу сингулярных гомологий пространства X как п-ю группу гомологий этого цепного комплекса (см. лекцию 17, §17.2), т. е. положить (для каждого п ^ 0)
НП(Х; G) := НП(С(Х)) - (Kerdn)/(Imdn+1) .
Пусть теперь дано непрерывное отображение топологических пространств /: X —► 7. Мы хотим построить гомоморфизмы /* (индуцированные отображением /) соответствующих групп гомологий. Начнём с уровня цепей:
/*л: Сп(Х) —> Cn(7), f^c)=fJj]zkSk] :=£**(/ oS);
V к J к
отметим, что композиция / о разумеется, является сингулярным п-симплексом.
Лемма (о морфизме цепей). Отображения цепей, индуцированные отображением f, коммутируют с п-м граничным оператором в том смысле, что
ду,п° f*n — /*(п-1) ° дх,п-
Доказательство. Доказательство этой леммы — непосредственная проверка определений; мы его опустим. □
Предыдущая лемма означает, что мы построили функтор из категории топологических пространств и их непрерывных отображений в категорию цепных комплексов и их морфизмов (С<5г). Теперь можно определить не только группы сингулярных гомологий топологических пространств, но и гомоморфизмы, индуцированные непрерывными отображениями пространств, через гомологии цепных комплексов (лекция 17, §17.2). Функториальность полученного соответствия Тор~»С£?г означает, что
и (idx)n* = idH m.
Теперь рассмотрим пары топологических пространств (X, А) и их отображения. Под отображением (X, А) —>(7, В) таких пар мы пони¬


170
Лекция 19. Сингулярные гомологии
маем непрерывное отображение / из X в Y, для которого /(А) с В; в этом случае мы пишем /: (X, А) —> (У, В).
Любая пара {X, А) топологических пространств задаёт соответствующий относительный сингулярный цепной комплекс
C(X,A) = {(Cn(X)/Cn(A),dn)}
(здесь ради краткости мы обозначаем через дп граничный оператор на С(Х), корректно определённый на смежных классах по СП(А)). Гомологии этого цепного комплекса называются относительными группами сингулярных гомологий пары (X, А). Положим
00 00
Н*(Х,А; G) = 0 Hn(X,A;G) := 0 Н„(С(Х,А)).
п=0 п=0
Группу относительных гомологий НП(Х, 0; G), которую можно отождествить с Hn(X;G), иногда называют группой абсолютных гомологий пространства X.
Пусть дано отображение пар /: (X, А) —» (Y, В). Соответствующие индуцированные гомоморфизмы /*п относительных цепей и групп относительных гомологий (обозначаемые /*) определяются аналогично «абсолютным» индуцированным гомоморфизмам. Как и выше, получаем функтор из категории пар топологических пространств в категорию цепных комплексов и, следовательно, в категорию градуированных абелевых групп. Далее точно так же, как для симплициальных гомологий, строится точная гомологическая последовательность пары, включающая естественные гомоморфизмы д*: Н„(Х, А)ЯП_1(А), п = 1,2,...
§ 19.2. Основные свойства (аксиомы Стинрода—Эйленберга)
Приведём теперь основные свойства теории сингулярных гомологий. Окажется, эти свойства однозначно определяют функтор сингулярных гомологий и потому могут рассматриваться как аксиомы теории гомологий (они известны как аксиомы Стинрода—Эйленберга).
Но сначала подытожим сделанное в предыдущем параграфе. Каждому топологическиому пространству, каждой паре топологических пространств и их непрерывным отображениям мы сопоставили, для каждого неотрицательного целого п, абелевы группы (которые называются группами гомологий) и их гомоморфизмы, а каждой паре пространств (X, А) — гомоморфизм Э* из п-й группы гомологий пары


§ 19.2. Основные свойства (аксиомы Стинрода—Эйленберга)
171
(X, А) в (п — 1)-ю группу гомологий пространства А. В обозначениях, введённых выше, это соответствие записывается в виде
Х~Н„(Х), п = 0,1,2,
(Х,А)^ЯП(Х,А), п = 0,1,2,...,
(X, А) ~ Э*: НП(Х, А) -» Н„_1(А), n = 1, 2, /:Х^У ~/*:Нп(Х)-НП(У), п = 0,1,...,
/: (X, А) - (У,В) -> /*: НП(Х, А) - Н„(У,В), п = 0,1,...
Суммы полученных абелевых групп по п обозначаются Н*(Х) := 0 Н„(Х) и ЯДХ,А) := ® Н„(Х,А);
п=0 п=0
эти объекты называются градуированными группами гомологий пространства X и пары (X, А).
Теорема. Описанные выше соотношения задают (ковариантный) функтор (который называется функтором гомологий) из категории топологических пространств в категорию градуированных абелевых групп; ковариантность функтора означает
(/ ° g)* = f*°g* и (id*)* = idH](X) Vn.
Этот функтор обладает следующими свойствами.
(I) Размерность: H0(pt) = G, где pt состоит из одной точки, a G — абелева группа, и Hn(pt) = 0 при п> 0.
(II) Коммутирование: квадрат
НП(Х,А) ^НП(У, В)
а* э*
Н^СА) ■ >ЯП_1(В)
коммутативен.
(III) Гомотопическая инвариантность: если два отображения
/,g:(X,A)->(r,B)
гомотопны, то /* = g*, m. е. индуцированные гомоморфизмы совпадают во всех размерностях, и} следовательно, гомотопически эквивалентные пространства имеют одинаковые гомологии.


172
Лекция 19. Сингулярные гомологии
(IV) Точность: для любой пары пространств (X, А) последовательность
... Нп{Х) Нп(Х,А) b. Нп_1(А) \ Hn_!(X) Д
^ НП_!(Х, А) Н0(Х) ^ Я0(Х, А)
точна.
(V) Вырезание: пусть U о X —открытое подмножество, замыкание которого лежит во внутренности множества А, где А с X, тогда вложение (X \ U, А \ U) (X, А) индуцирует изоморфизм групп гомологий Нп (X \ С/, А \ L0 —* НП(Х, А) во всех размерностях п.
Доказательство. Свойство (I) очевидно.
Свойство (И) непосредственно выводится из определений. Докажем свойство (III) для частного случая А = В = 0 (общий случай вполне аналогичен). Пусть даны гомотопные отображения f,g:X-*Y. Построим цепную гомотопию
Dk = Cfc(X) - С*+1(У); отсюда по лемме о цепной гомотопии будет следовать, что /* =g*. Пусть Н: X х I —> Y — гомотопия между / и g. Чтобы построить Dk, рассмотрим сингулярный симплекс а: Ak —» X и декартово произведение Ак х I =: Т. Множество Т обладает канонической триангуляцией, состоящей из (к + 1)-симплексов с вершинами в Ак х {0} и Ак х {1}. Для к = 1ик = 2 эти симплексы показаны на рис. 19.1.
При произвольном к обозначим через 0,1, ...к вершины симплексов Ак, а через 00,10, ...к0 и О1,11, ...к1 —вершины симплексов Ак х {0} и Ак х {1} соответственно. Тогда типичный (к + 1)-симплекс из Т имеет вид [00, ...j0, j1, ...к1]; отметим, что номер j последней


§ 19.3. Теоремы единственности
173
вершины, лежащей вАкх {0}, совпадает с номером первой вершины, лежащей в Ак х {1}.
Рассмотрим теперь гомотопию S: Ак х I —> Y, S(x, t) :=H(f(x), t) и определим Dk на сингулярном симплексе сг, положив
Dk(a) := Z (—iys(5j+1),
j=0
где 5k+1 — линейное отображение стандартного симплекса
Ак+1 = [0,1,..., fc + 1], переводящее j и (j + 1) в т(;)0 и т (j)1 соответственно. Таким образом, правая часть формулы для Dfc(cr) обозначает цепь из Q+iOO. Построив Dk на произвольных сингулярных fc-симплексах из X, продолжим его по линейности на цепи из Q(X).
Тот факт, что действительно построена цепная гомотопия, т. е. что dfc+A Dk+i dk g* — , проверяется длинными, но несложными вычислениями.
Наконец, изоморфизм между соответствующими группами гомологий гомотопически эквивалентных пространств вытекает из только что доказанного с учётом функториальности нашей конструкции.
Чтобы доказать точность (IV), рассмотрим короткую последовательность цепных комплексов
0 — С(А) ^ С(Х) С{Х, А) -» 0,
где ^ — гомоморфизм вложения, а р* — гомоморфизм, полученный уничтожением (т.е. наделением нулевыми коэффициентами) всех сингулярных симплексов, полностью содержащихся в А. Ясно, что эта последовательность точна. По лемме «от короткой к длинной» получаем нужную длинную гомологическую последовательность.
Доказательство свойства (V) (вырезание) довольно технично (оно использует многократные барицентрические подразделения стандартных симплексов и конструкцию некоторой цепной гомотопии); см. книгу В. В. Прасолова [5], п. 14.1, с. 215—217. Здесь это доказательство опущено. □
§ 19.3. Теоремы единственности
Существует много теорий (ко) гомологий, основанных на совершенно различных подходах. Кроме клеточных, симплициальных и сингулярных существуют гомологии Вьеториса (для метрических про¬


174
Лекция 19. Сингулярные гомологии
странств), гомологии Чеха (для топологических пространств), гомологии Даукера (для произвольных отношений), когомологии де Рама (для гладких многообразий) и т.д. Чтобы получить ответ на естественный вопрос, приводят ли эти различные подходы к одним и тем же группам и гомоморфизмам, хотелось бы иметь аксиоматическую характеризацию гомологических функторов.
Такая характеризация была получена Н. Стинродом и С. Эйленбер- гом в 1960-е годы и состоит из пяти аксиом. Эти аксиомы совпадают с пятью свойствами теории сингулярных гомологий из теоремы, доказанной в предыдущем параграфе, и известны как аксиомы Стинрода—Эйленберга. С их помощью можно формулировать и доказывать различные теоремы единственности, например следующие.
• В категории CW-пространств функтор, удовлетворяющий аксиомам (I)—(V), единствен в том смысле, что он всегда приводит к тем же группам Н*(Х, А) и тем же индуцированным гомоморфизмам /*, что и функтор сингулярных гомологий.
• В категории симплициальных пространств и отображений функтор, удовлетворяющий аксиомам (I)—(V), единствен в том смысле, что он всегда приводит к тем же группам Н*(Х, А) и тем же индуцированным гомоморфизмам /*, что и функтор симплициальных гомологий.
Мы не будем доказывать эти теоремы единственности, но вкратце поясним идею доказательства второй из них для конечных симплициальных пространств (т. е. симплициальных пространств, состоящих из конечного количества симплексов). Согласно аксиоме размерности можно записать Яп(pt) = G. Поскольку п-симплекс можно стянуть в точку, из гомотопической инвариантности следует, что его гомологии такие же, как у точки. Используя индукцию и последовательность Майера—Вьеториса (которая появится в следующем параграфе), нетрудно найти гомологии n-сферы. Исходя из данного конечного симплициального пространства X мы склеиваем его симплексы разных размерностей один за другим и находим его гомологии по индукции, пользуясь последовательностью Майера—Вьеториса.
Подробное доказательство близкой по формулировке теоремы единственности можно найти в книге Н. Стинрода и С. Эйленберга [7], с. 134-139.
Замечание 19.1. Из вышеприведённой теоремы единственности непосредственно вытекает, что симплициальные гомологии гомотопически инвариантны в топологическом смысле, т. е. гомотопные друг другу непрерывные отображения индуцируют один и тот же го¬


§ 19.4. Последовательность Майера—Вьеториса
175
моморфизм гомологий. (Напомним, что в предыдущей лекции мы доказали для симплициальных гомологий более слабую форму гомотопической инвариантности; а именно, мы установили инвариантность лишь для PL-гомотопных отображений.) Теперь можно утверждать, в частности, что группы симплициальных гомологий не зависят от триангуляции данного симплициального пространства, и гомеоморфные симплициальные пространства имеют одинаковые гомологии.
Замечание 19.2. Первая из аксиом Стинрода—Эйленберга (которая утверждает, что п-мерные гомологии точки равны нулю при п > О, и выглядит довольно тривиальной) в действительности очень существенна: замена её различными другими утверждениями приводит к таким важным экстраординарным теориям гомологий, как К-теория и теория (ко)бордизмов (эти теории выходят за рамки нашего курса).
§ 19.4. Последовательность Майера—Вьеториса в сингулярных гомологиях
В теории сингулярных гомологий также имеется последовательность Майера—Вьеториса, но её определение требует большей тщательности (см. задачу 19.3) и использует техническое условие на подмножества Хг, Х2 с X, Хг U Х2 = X. Мы говорим, что такая пара удовлетворяет условию вырезания, если естественное цепное отображение группы цепей СДХ^ +С*(Х2) (состоящей из сумм цепей из Хг и Х2) в C*(X1UX2) индуцирует изоморфизм в гомологиях.
Теорема (Майер—Вьеторис). Пусть Х1 и Х2 —подмножества топологического пространства X, которые в совокупности покрывают X и удовлетворяют условию вырезания для пар. Тогда следующая последовательность точна:
... ^ HJX, ПХ2) ± Н„(Ха) 0Н„(Х2) д Я„(Х) ^ ...
Доказательство. Доказательство проводится аналогично симпли- циальному случаю (оно основано на лемме «от короткой к длинной») с той лишь разницей, что третий член короткой точной последовательности равен С* (Хг) + С* (Х2), а не С (Хг U Х2). □
§19.5. Задачи
19.1. Докажите лемму о морфизмах цепей.
19.2. Приведите контрпример к следующей формулировке свойства вырезания: пусть U с X — открытое подмножество, лежащее в А,


176
Лекция 19. Сингулярные гомологии
где А с X; тогда вложение (X\U,A\U)^> (X, А) индуцирует изоморфизм гомологических групп НП(Х \ U, А \ U) —> Нп(Х, А) во всех размерностях п.
19.3. Покажите, что последовательность Майера—Вьеториса в сингулярных гомологиях не существует, если потребовать лишь, чтобы выполнялось условие Y = Х1ПХ2.
19.4. Докажите, что группа Hk(Sn; Z) нулевая при к < п и изоморфна Z при к = тх; здесь Нк — группа приведённых сингулярных гомологий.
19.5. Докажите, что группа Нк(Шп, дЮ)п; Z) нулевая при кфпи изоморфна Z в противном случае.
19.6. Постройте (с обоснованием) изоморфизм надстроек
Н*(Е(Х))£ #*_!(*).
19.7. Докажите, что Hk(X, А) =Нк(Х и СА, СА), где СХ (соответственно СА) обозначает конус над X (соответственно над А).
19.8. Докажите, что Нк(X, А) =Нк(ХUСА) при к > 0, где СА обозначает конус над А.
19.9. Пусть X — связное CW-пространство, а А — его CW-подпространство. Докажите, что Hfc(X, A) = Hfc(X/A).
19.10*. Пусть А с Еп замкнуто и не совпадает с Rn; тогда Hk+i(Rn+i\A) ^ Нк(Шп\АУ,
здесь R" вложено в Мп+| естественным образом.
19.11*. Докажите следующую теорему (известную как двойственность Александера): если А и В — гомеоморфные конечные симплициальные комплексы в Rn, то Hk(Rn\A) = Hk(Rn\B).
19.12*. Докажите теорему Жордана—Брауэра: если А с Rn гомеоморфно (п — 1)-сфере, то Еп \ А состоит из двух связных компонент.
19.13. 	Покажите, что для гомотопических групп не выполнена аксиома вырезания.


Лекция 20 Применения гомологий
В этой лекции мы рассмотрим некоторые классические применения теорий гомологий, в основном к симплициальным пространствам, в частности к гладким многообразиям. Вначале мы дадим геометрическую интерпретацию групп гомологий в самой низкой (т. е. нулевой) и самой высокой (т. е. п, в случае п-мерных многообразий) размерности, соответственно в терминах (линейной) связности и ориентируемости. Мы научимся разлагать группы целочисленных гомологий конечных симплициальных пространств X в прямую сумму b е N экземпляров группы Z (здесь Ъ — так называемое число Бетти) и конечной абелевой группы (которая называется группой кручения пространства X). Затем мы введём эйлерову характеристику и узнаем, что на самом деле это важный гомологический параметр произвольных пространств, в том числе и не допускающих триангуляцию. Наконец, мы докажем теорему Лефшеца о неподвижной точке — одно из важнейших и самых сильных приложений теории гомологий.
В этой лекции нам будет удобно переходить от сингулярных гомологий к симплициальным и обратно в зависимости от контекста. По теореме единственности результаты остаются справедливыми в любой из этих теорий (а в действительности и в других теориях гомологий).
§20.1. Связность
Теория гомологий даёт простой критерий линейной. связности произвольного топологического пространства и позволяет найти количество его линейно связных компонент.
Теорема. Топологическое пространство X линейно связно тогда и только тогда, когда нулевая группа гомологий H0(X;Z) изоморфна группе Ъ.


178
Лекция 20. Применения гомологий
Доказательство. Чтобы доказать необходимость, отметим некоторую точку р в X. Тогда любую другую точку q можно соединить с р путём, который можно рассматривать как сингулярный симплекс Д1; в этом случае 1-цепь 1 • Д1 имеет границу q — р, так что все точки (рассматриваемые как 0-цепи) гомологичны точке р, и потому р порождает Н0 (X) = Z. Доказательство достаточности оставим читателю. □
Следствие. Количество линейно связных компонент произвольного топологического пространства X равно размерности линейного пространства Н0(Х; R).
Доказательство. Аналогично доказательству теоремы. □
§20.2. Ориентируемость
Пусть Мп — триангулируемое связное п-мерное многообразие, т. е. связное симплициальное пространство, у каждой точки которого есть окрестность, гомеоморфная пространству Шп. Мы считаем известным, что любое гладкое многообразие можно триангулировать, так же как любое топологическое многообразие размерности два или три (последний факт — на самом деле очень трудная теорема, доказанная Эдвином Моизом в 1940-х годах). Мы говорим, что Мп ориентировано, если задана согласованная ориентация его п-симплексов, т. е. все его п-симплексы ориентированы так, что на каждом (п — 1)-симплексе два смежных с ним п-симплекса индуцируют противоположные ориентации. Если такая ориентация существует, многообразие называется ориентируемым. Легко видеть, что если Мп связно и ориентируемо, то на нём можно выбрать ориентацию лишь двумя способами.
Простейший пример неориентируемого многообразия — проективная плоскость RР2, тогда как п-сфера §п, разумеется, ориентируема.
Теорема. Связное триангулируемое п-мерное многообразие Мп ориентируемо тогда и только тогда, когда его п-я группа гомологий ЯП(МП; Z) изоморфна группе Ъ.
Доказательство. Чтобы доказать утверждение «тогда», рассмотрим согласованную ориентацию всех п-симплексов в Мп и возьмём цепь сг е СП(МП; Z), в которой все они имеют коэффициент +1. Она заведомо является циклом, так же как любая цепь, полученная заменой плюс единиц фиксированным целым числом zeZ. Других циклов нет. Действительно, пусть в цепи не все коэффициенты одинаковы. Поскольку Мп связно, можно найти два смежных п-симплекса с разны¬


§ 20.3. Числа Бетти и подгруппа кручения
179
ми коэффициентами; но в этом случае граница цикла не равна нулю на их общей грани. Ясно, что цикл сг порождает группу Нп (Мп; Z) = Z.
Утверждение «только тогда» докажите самостоятельно. □
Пусть М — ориентируемое гладкое п-мерное многообразие. Выбор образующего в группе Нп (М) = Z задаёт одну из двух возможных ориентаций на М; этот образующий называется фундаментальным классом многообразия М. Если М и N ориентируемы, a /: М—— некоторое отображение, то образ фундаментального класса (реНп(М) при отображении /* имеет вид d • гр, где гр е Hn(N) — фундаментальный класс многообразия N, a d — целое число; это число называется степенью отображения / и обозначается deg(/). Можно доказать, что при M = N = Sn это определение согласуется с геометрическим определением степени для «аккуратных» отображений, которое было дано в лекции 16.
§ 20.3. Числа Бетти и подгруппа кручения
Далее нам потребуется классический алгебраический факт об абелевых группах, который мы здесь сформулируем без доказательства.
Алгебраический факт. Любую конечно порождённую абелеву группу G можно представить в виде
g= (ez(0)er,
где be N — неотрицательное целое число, которое называется рангом группы G, группы Zw — экземпляры группы Z, а Т — конечная абелева группа, которая называется кручением группы G.
Из этого алгебраического факта непосредственно вытекает следующая теорема.
Теорема. Пусть X — конечное симплициальное пространство. Тогда его к-мерная целочисленная группа гомологий может быть представлена в следующем виде:
Нк(Х; Z)= f0Z(O
где be N — неотрицательное целое число, так называемое k-е число Бетти пространства X, группы Z(q— экземпляры группы Ъ, а Т — конечная абелева группа, которая называется к-й группой кручения пространства X.


180
Лекция 20. Применения гомологий
Доказательство. Группа цепей Ск(Х;Z) конечно порождена (к-симплексами из X), и, следовательно, это верно для её подгрупп циклов и границ в размерности к. Поэтому группа Нк(Х; Z) конечно порождена (и абелева), так что наше утверждение вытекает из вышеприведённого алгебраического факта. □
§ 20.4. Эйлерова характеристика
Эйлерова характеристика конечного п-мерного симплициального пространства — это альтернированная сумма количеств а{ его симплексов в каждой размерности i, т. е.
ХОО а0 — ах + а2 — ... + (—1)пап.
Этот целочисленный инвариант старейший в топологии, на самом деле он был введён и вычислен Декартом (и лишь столетие спустя — Эйлером) для случая выпуклых многогранников. Видимо, Риман первым обобщил его на другие симплициальные пространства, в частности на двумерные многообразия (римановы поверхности). Читатель знает (лекция 6), что хШ) классифицирует ориентируемые 2-многообразия М.
Рассмотрим последовательность
0 -» zk(X; F) -U Ck(X; F) Д В^Х; F) -» 0,
где F —поле, а Ск, Zk, Вк_г — группы (на самом деле линейные пространства над F!) цепей, циклов и границ соответственно; поскольку эта последовательность точна, имеем
dimZfc + dimBfc_1 = dimQ.
С другой стороны, очевидно, что dimСк = ак. Следовательно,
Х(Х) = ^EX-l^dimC*. = XX—l)fcdimZt + XI(—l^dimB^j =
= XX-l)4dimZ* —dimB*.!) = £(-l)kdimHfc(X;F),
поскольку dimHk(X;F) = dimZk/Bk_1. Таким образом, мы выразили эйлерову характеристику пространства через размерности его групп гомологий:
*W = E(-l)fcdimHfc(X;F).
Случай целочисленных гомологий аналогичен и предоставляется в качестве упражнения.


§ 20.5. Теорема Лефшеца о неподвижной точке
181
Следствие. Эйлерова характеристика гомотопически (и, следовательно, топологически) инвариантна. В частности, она не зависит от триангуляции данного пространства.
Теперь можно определить эйлерову характеристику произвольного топологического пространства X с конечно порождёнными группами гомологий Н*(Х;М) над полем R, — например, для любого гладкого компактного п-многообразия, — как альтернированную сумму его чисел Бетти (см. выше выключную формулу), тем самым получая простой, но очень существенный целочисленный инвариант этого пространства.
§ 20.5. Теорема Лефшеца о неподвижной точке
Пусть X — конечное симплициальное пространство, а /: X —> X - симплициальное отображение. Тогда индуцированное отображение
Нк(Х;]
является линеиным оператором на конечномерном векторном пространстве над полем R и мы можем рассмотреть его след tr(/fc*). Определим теперь число Лефшеца А(/), положив
А(/) := Е (-D*tr(/**)
к^О
(1)
Число Лефшеца является обобщением эйлеровой характеристики. А именно, эйлерова характеристика равна числу Лефшеца тождественного отображения: A(idx) = ^(Х).
Такое определение числа Лефшеца использует индуцированный гомоморфизм /ь в гомологиях, но можно также рассмотреть гомоморфизм fk: Ск(Х; R) —»Ск(Х; R) на уровне цепей; fk является линейным оператором на пространстве Ск(Х;Ш), которое порождено как векторное пространство (конечным) семейством А1}..., ANk симплексов размерности квХ. Матрица ((Др) этого оператора в базисе {А(} имеет простой геометрический смысл (если / — симплициальное отображение): равно ±1, если А( отображается на Д; с сохранением
(изменением) ориентации, и /ц равно 0, если А{ не отображается на А у Далее, для симплициального отображения f:X—>X в определении (1) можно заменить /* на fk, но удивительным образом результат получится тот же, как показывает следущая лемма.


182
Лекция 20. Применения гомологий
Лемма (Хопф). Пусть X — конечное симплициальное простраство, a fk: Ck(X; R) —» Cfc(X; R) — отображение цепей; тогда
£(-!)* tr (/J = 2(-l)fctrC/fc). (2)
k^O k^ 0
Доказательство. Рассмотрим цепной комплекс {Cfc(X; R), dfc}; положим := Kerdfc и Bk :=Imdfc+1. Для подходящего подпространства Q. векторного пространства Ск можно записать Ск —Zk 0 Ск. Оператор fk отображает Zk в себя, и мы получаем линейный оператор fk: Q —> Сь для которого
tr/k = tr(/fclzt)+tr/k. (3)
Для подходящего подпространства Zk векторного пространства Zk можно записать Zk—Bk^Zk. Тогда, очевидно, Zk =Нк(Х; R), и fk индуцирует на Нк(Х; R) оператор, совпадающий с /*. Следовательно,
trC/jt k) = trCffc 1в*) +tr /* • (4)
Поскольку дк: Q. —> — граничный оператор цепного комплекса,
имеется изоморфизм Ск -*Вк_г и в действительности fk совпадает с fk~i» Соединив это утверждение с равенствами(З) и (4), получаем, что
tr Ш = ^Швк) + <*(/*) + tr(/fcl |Bt|).
Просуммировав эти равенства по fc с чередующимися знаками, получаем формулу (1), поскольку первая и третья суммы в правой части взаимно уничтожаются. □
Теорема (Лефшец). Непрерывное отображение /: X—>Х конечного симплициального пространства в себя с ненулевым числом Лефше- ца А(/) имеет неподвижную точку
Доказательство. Предположим, что отображение / не имеет неподвижных точек. По компактности имеется положительная нижняя грань расстояний между точками и их образами. Поэтому если выполнить барицентрическое подразделение пространства X достаточное количество раз (обозначив полученное симплициальное пространство через ХО и рассмотреть симплициальную аппроксимацию ц>\Х' -+Х* отображения /, то можно считать, что Д' П </? (Д') = 0 для любого симплекса Д'еХ'. Но тогда диагональ матрицы линейного оператора ipk: Ck(X; R) —> Q(X; R) состоит из нулей, так что tr= 0 при всех fc. Теперь теорема следует из леммы Хопфа. □
Следствие. Любое непрерывное отображение ациклического конечного симплициального пространства имеет неподвижную точку


§ 20.6. Векторные поля на сферах
183
Отметим, что теорема Брауэра о неподвижной точке — простой частный случай этого следствия.
§ 20.6. Векторные поля на сферах
В лекции 8 было доказано, что на двумерной сфере §2 нет непрерывных векторных полей без особых точек. Эта теорема обобщается следующим образом.
Теорема. На чётномерной сфере S2k, к ^ 1, нет непрерывных векторных полей.
Доказательство. Предположим, что существует такое поле и(х) на S2k. Рассмотрим стандартную сферу §2/с в M2fc+1 и зададим отображение /: S2k —> S2k, сопоставив каждой точке xeS2k точку пересечения сферы S2k и луча из начала координат, проходящего через конец вектора v(x) (см. рис. 20.1).
Рис. 20.1. Конструкция отображения /
Отображение / заведомо непрерывно, не имеет неподвижных точек, гомотопно тождественному, и потому deg(/) = 1. Однако по определению числа Лефшеца
А(/) = 1 + (—1)п deg(/)
для любого отображения /: §п —> §п; поэтому в нашем случае (п = 2к) получаем Л(/) = 2 ф 0. Но это противоречит теореме Лефшеца. □ На всех нечётномерных сферах неособые непрерывные векторные поля существуют.


184
Лекция 20. Применения гомологий
§20.7. Задачи
20.1. Докажите, что топологическое пространство с нульмерной группой гомологий, изоморфной группе Z, линейно связно.
20.2. Докажите, что связное триангулируемое п-мерное многообразие с п-й группой гомологий, изоморфной группе Z, ориентируемо.
20.3. Докажите, что ранг Z-модуля Нк(Х; Z) равен размерности векторного пространства Нк(Х; R).
20.4. Докажите, что степень отображений сферы, определённая в лекции 16 геометрически для «аккуратных» пространств, совпадает со степенью, определённой в терминах гомологий в настоящей лекции.
20.5. Вычислите эйлерову характеристику п-сферы.
20.6. Используя последовательность Майера—Вьеториса, докажите, что
ХОО ~ хО£\) + ХШ -х&гПХ2),
где Хг и Х2 — симплициальные подпространства в симплициальном пространстве X. Докажите также это равенство «подсчётом симплексов».
20.7. Вычислите ^(СРП).
20.8. Вычислите j(RPn).
20.9. Докажите, что % (X xY) = х СЮ • % (У) для любых конечных симплициальных комплексов X и Y.
20.10. После того как вы познакомитесь с двойственностью Пуанкаре, докажите, что х Ш) = 0 для любого нечётномерного компактного многообразия М без края.
20.11. Докажите, что эйлерова характеристика дополнения к узлу (или к зацеплению) в §3 равна нулю.
20.12. Докажите, что любое непрерывное отображение проективной плоскости RPn в себя имеет неподвижную точку, если п чётно.
20.13. Существуют ли непрерывные отображения проективной плоскости RPn в себя без неподвижных точек, если п нечётно?
20.14. Найдите непрерывное векторное поле на §3 без особых точек.
20.15. Постройте на §2fc+1 при к > 1 непрерывное векторное поле без особых точек.


Лекция 21 Когомологии
Группы когомологий двойственны группам гомологий в том же смысле, в котором ковекторы двойственны векторам: это линейные функционалы на гомологиях. На первый взгляд, нет смысла строить двойственную теорию, которая в некотором смысле эквивалентна исходной (в частности, в ней выполнены аксиомы, двойственные к ак- симомам Стинрода—Эйленберга). Оказывается, однако, что в теории когомологий имеется операция умножения (произведение Колмогорова—Александера) с гораздо лучшими свойствами, чем соответствующая операция (^-произведение Уитни) для гомологий. Сверх того, когомологии — естественный контекст для других операций (например, квадратов Стинрода) и для таких конструкций, как изоморфизм Пуанкаре. При этом они совпадают с чисто аналитическими когомологиями де Рама, которые определяются на гладких многообразиях в терминах дифференциальных форм.
§ 21.1. Определения и конструкции
Ради простоты мы построим теорию когомологий для случая конечных симплициальных комплексов, хотя в общем случае произвольных топологических пространств её построение аналогично и нуждается лишь в немногих модификациях. (Предостережение: некоторые модификации требуют аккуратности, например вопрос о дуа- лизации бесконечных сумм абелевых групп.) Далее вы увидите, что на практике дуализация теории гомологий формально вполне проста и состоит в поднятии индексов и обращении стрелок.
Пусть X — симплициальное пространство, G —абелева группа. Группа симплициальных цепей будет обозначаться Ск(Х) — Ск(Х\Ъ'). Гомоморфизм ск: Ск(Х)—>G называется к-мерной коцепью со значениями в G. Ясно, что коцепи составляют группу (со структурой, «уна¬


186
Лекция 21. Когомологии
следованной» от G); обозначение: Ск(Х; G). Это определение можно выразить короткой формулой Ск(Х; G) :=Hom(Cfc(X), G).
Пусть ск е Ск(Х; G) и ск е Ск(Х). Значение гомоморфизма ск на цепи ск обозначим через (cfc, cfc) и определим кограничный оператор следующим образом:
5: С*(Х; G) -» Ck+1(X; G), <Scfc, cfc+1) = (ск, дск+1).
(Здесь мы опустили индекс к в обозначении для 5 и д, поскольку он ясен из контекста.) Чтобы вычислить значение к-коцепи, достаточно (в силу линейности) знать её значение на fc-симплексе [v0,..., vk]. Это значение выражается формулой
fc+i
5с([и0,у*]) = £ (—1)'(cfc, [v0,Vi_!, vi+1, ...vk]);
i=0
несложное доказательство этой формулы предоставляется читателю.
Из леммы Пуанкаре д о д = 0 следует, что 5 о 5 = 0, так что можно определить группы когомологий
Hk(X; G) := Zk{X\ G)/Bk(X; G), Н°(Х; G) := Z°(X; G) ,
где Zk и Bk — ядро и образ соответствующих кограничных операторов в Ск соответственно; элементы из Zk называются коциклами, а элементы из Вк — кограницами.
Мы определили группы когомологий на уровне цепей и коцепей. Однако для случая полей (тогда группы гомологий являются конечномерными линейными пространствами) можно было бы определить их непосредственно как пространства, двойственные к пространствам гомологий. Этот факт выражен в следующих утверждениях; их простые доказательства мы опустим.
Теорема (двойственность). Если G — аддитивная группа поля, то Hk(X; G) — двойственное пространство для Нк(Х; G).
Следствие. Если G — аддитивная группа поля и пространство Нк(Х; G) конечномерно, то Hk(X; G) =Нк{Х\ G).
Это следствие порождает следующий вопрос: какая польза от групп когомологий, если они (с точностью до изоморфизма) совпадают с группами гомологий? Ответ на этот вопрос был дан в начале этой лекции —дело в операции умножения (см. §21.4).
Остальные этапы построения теории, а именно определение и/или построение таких объектов, как относительные коцепи, относитель¬


§ 21.2. Свойства (аксиомы Стинрода—Эйленберга для когомологий) 187
ные группы когомологий, аугментация, приведённые когомологии, индуцированные гомоморфизмы в теории когомологий пространств и пар пространств, а также построение гомоморфизма
5*: Hk(A; G) -» Нк+1(Х, A; G)
аналогичны (точнее, двойственны) соответствующим определениям и/или конструкциям в теории гомологий и предоставляются читателю в качестве упражнения.
§ 21.2. Свойства (аксиомы Стинрода—Эйленберга для когомологий)
Перечислим теперь для случая конечных симплициальных пространств основные свойства теории когомологий, построенной выше (их можно рассматривать как аксиомы Стинрода—Эйленберга для когомологий).
Но сначала подытожим сделанное в предыдущем параграфе. Каждому конечному симплициальному пространству, каждой паре таких пространств и их симплициальных отображений мы сопоставили, для каждого неотрицательного целого п, абелевы группы (называемые группами когомологий) и гомоморфизмы групп, а каждой паре пространств (X, А) — гомоморфизм 5* из п-й группы когомологий пространства А в (п + 1)-ю группу когомологий пары (X, А). Во введённых выше обозначениях это соответствие имеет вид
Х^Нп(Х), п = 0,1,2,...,
(X, А) Нп(Х, А), п = 0,1, 2,...,
(X, А) - 5*: Я"-1 (А) -^Нп(Х, А), п = 1,2,..., /:Х->7~/*:Яп(У)->НП(Х), п = 0,1,...,
/: (Х,А) -» (Y,B)~f*:Hn{Y,B)^Hn(X,A), п = 0,1,...
Суммы полученных абелевых групп по п обозначаются
00 00
Я*(Х) := 0 Я"(Х) и Я*(Х, А) := 0 Я"(Х, А);
п=0 п—0
эти объекты называются градуированными группами когомологий пространства X и пары (X, А).
Теорема. Описанные выше соответствия определяют контра- вариантный функтор (который называется функтором когомоло¬


188
Лекция 21. Когомологии
гий) из категории конечных симплициальных пространств в категорию градуированных абелевых групп. Контравариантностъ функтора означает, что
(fogT =g* of* и (idx)* = id№(x).
Это функтор обладает следующими свойствами.
(I) Размерность: H0(pt) = G> где pt—точка, a G — абелева группа, и Нп (pt) =-= 0 при п> 0.
(II) Коммутативность: для любого симплициального отображения /: (X, А) —> (У, В) квадрат
Я" (В) > Я" (А)
5* 5*
Я"+1(У, В) > ЯП+1(Х А)
коммутативен.
(III) Гомотопическая инвариантность: если отображения
fyg: (ХУА) —> (У,В)
гомотопны, то f* = g* (индуцированные гомоморфизмы совпадают во всех размерностях), так что гомотопически эквивалентные пространства имеют одинаковые когомологии.
(IV) Точность: для любой пары пространств (X, А) последовательность
...£-Нп(Х)£ Нп(Х,А) Я"-1 (А) £- Нп~\Х) £-
£■ Нп~1(Х, А) £- ... £- Я°(Х) £ Н°(Х, А)
точна.
(V) Вырезание: пусть U с X —открытое подмножество, замыкание которого лежит во внутренности подмножества A<zX, тогда вложение (X \ U, А \ U) *-■» (X, А) индуцирует изоморфизм групп когомологий
Нп(Х,А) —> Нп (X\U, A\U)
для любого п.
Доказательство. Доказательства всех пяти утверждений этой теоремы следуют по двойственности из соответствующих доказательств для гомологий (см. §19.2). Например, для доказательства утверждения (IV) (точность) нужно дуализировать короткую точную последо¬


§ 21.3. Теория упорядоченных гомологий
189
вательность цепей
О -» С(А) Д С(Х) Д С(Х, А) -» О, получив двойственную последовательность коцепей
О «- С (А) £- С(Х) £- С(Х, А) «- О,
которая тоже точна: это вытекает из леммы о расщеплении, применённой к последовательности цепей. (Длинная) точная последовательность для когомологий получается теперь применением леммы «от короткой к длинной». □
Замечание. Мы сформулировали аксиомы Стинрода—Эйленберга в контексте конечных симплициальных пространств; они верны также в топологическом контексте, и выполнены теоремы, аналогичные теоремам единственности в теории гомологий.
§ 21.3. Теория упорядоченных гомологий
В этом параграфе мы построим модификацию теории симплициальных (ко)гомологий следующим образом. Пусть X — конечное симплициальное пространство, а группа коэффициентов G является коммутативно-ассоциативным кольцом с единицей (например, кольцом Z). Напомним, что мы определили цепной комплекс {(Сп(Х),дп)}, используя ориентированные симплексы (которые образуют базис каждого G-модуля Сп). Рассмотрим теперь упорядоченные симплексы (i>0,..., vn), где порядок вершин vt зафиксирован, но и{ не обязателъ но попарно различны. Определим упорядоченный цепной комплекс {(Cn(X; G), Эп)}, взяв в качестве элементов Сп(Х) линейные комбинации (с коэффициентами из G) упорядоченных симплексов и воспользовавшись тем же граничным оператором д, что и в обычной теории (см. §17.4). В остальном теория упорядоченных (ко)гомологий строится аналогично обычной теории симплициальных (ко)гомологий. Отметим, однако, что цепной комплекс в упорядоченной теории «бесконечен влево» (поскольку повторение вершин заставляет рассматривать симплексы произвольно высокой «размерности»), но этот цепной комплекс не имеет нетривиальных гомологий в размерностях, превосходящих размерность пространства X. Более того, верна следующая теорема.
Теорема. Гомологии комплексов {(С*(Х; G), д*)} и {(С*(Х; G), д*)} канонически изоморфны.
Опустим несложное доказательство этой теоремы.


190
Лекция 21. Когомологии
§ 21.4. Умножение когомологий (^-произведение)
Как и выше, пусть X — конечное симплициальное пространство, а группа коэффициентов G является коммутативно-ассоциативным кольцом с единицей. Произведение Колмогорова—Александера (w-произведение) двух коцепей ср Е СР(Х; G), cq Е Cq(X; G) определяется как коцепь ср ^ cq Е Cp+q (X; G), заданная формулой
(cpwcq, (у0, ...,Vp+q)) = (ср, (Vq, ..., vp)) • (cq, (up,
Такое умножение заведомо билинейно и ассоциативно. Его единицей является коцепь, принимающая значение 1 (где 1 обозначает единицу кольца G) на всех вершинах пространства X. Это умножение можно перенести на классы когомологий благодаря следующей красивой (и легко проверяемой) лемме.
Лемма (правило Лейбница). Справедливо равенство
5(cpwcq) = (5cp)^cq + (-l)pcp^5(cq).
Доказательство этой леммы, а также проверка возможности корректно определить с её помощью ^-произведение на уровне когомологий составляют лёгкое упражнение. Нетрудно также доказать, что
f4avP) = f4d)vf*(P).
Теорема. Произведение Колмогорова—Александера наделяет градуированную группу Н*(Х; G) структурой градуированной G-алгебры; оно антикоммутативно в том смысле, что
а^р = (-1) pq(P^a).
§ 21.5. Когомологии де Рама
В этом параграфе мы напомним определение когомологий де Рама (обычно его приводят в продвинутых курсах дифференциальной геометрии или анализа на гладких многообразиях) и сформулируем без доказательства знаменитую теорему де Рама о том, что эти когомологии (которые определяются в чисто аналитических терминах) изоморфны (для компактных гладких многообразий) сингулярным (и симплициальным) когомологиям.
Пусть Мп — гладкое компактное п-мерное замкнутое (= без края) многообразие, а АкМп — (линейное над R) пространство дифференциальных форм на Мп. В локальных координатах дифференциальная


§ 21.5. Когомологии де Рама 191
форма сок € АкМп имеет вид
*>*= Е %,...,ikdxilA...Adxik.
Напомним, что для любых двух дифференциальных форм сог е АрМп и со2 € AqMn определено их внешнее произведение Л со2; оно антикоммутативно в том смысле, что
Cl>1 Л СО2 — ( —l)Pq(C02 Л COx),
и наделяет градуированное векторное пространство Л*Мп структурой градуированной R-алгебры. Любое гладкое отображение /: Мп —> —> Nm индуцирует линейное отображение
/*: AkNm —» АкМп.
Главным инструментом при построении когомологий де Рама служит дифференциал
d: АкМп -* Ак+1Мп.
Если дана fc-форма сок в локальных координатах, можно определить её дифференциал с помощью формулы
d(ipMdxitA...Adxik) := Yl -^—dxmAdxiiA...Adxik,
пользуясь линейностью. Легко проверить, что dod = 0. Мы называем fc-форму сок замкнутой, если dcok = 0, и точной, если существует (fc + 1)-форма Afc+1, для которой d А = со. Из равенства d о d = 0 следует, что любая точная форма замкнута. Факторпространство пространства замкнутых fc-форм по точным fc-формам по определению называется группой когомологий де Рама Н^Я(МП) размерности fc.
Операцию внешнего умножения можно перенести с уровня форм на уровень когомологий, поскольку и там выполнено правило Лейбница: для любой fc-формы со1 и любой /-формы со2 справедливо равенство
d(col А со2) = dco1 А со2 + (—1)ксог A dco2.
Каждая из групп H^R(Mn) является линейным пространством над R, их прямая сумма ЩК(Мп) с операцией внешнего умножения является градуированной R-алгеброй.
Теорема (де Рам). Для гладкого компактного замкнутого многообразия Мп его группа когомологий де Рама Щк(Мп) как градуированная алгебра изоморфна градуированной алгебре сингулярных (или симплициальных) когомологий Я*(МП; R).


192
Лекция 21. Когомологии
Я не знаю простого доказательства этой красивой теоремы (см. книгу В. В. Прасолова [5], с. 311—317).
§21.6. Задачи
21.1. Докажите подробно, что
fc + 1
5c([i/0, vk]) = Y (-1 У(ск, [v0,у,_1; ц+1, ...yfc]).
1=0
21.2. Покажите, что из леммы Пуанкаре дод^О следует, что бо<5=0.
21.3. Докажите лемму Пуанкаре д о д = 0 в теории упорядоченных симплициальных гомологий.
21.4. Докажите правило Лейбница
5(cp^cq) = (5cp)^cq + (-l)pcpw5(cq).
21.5. Докажите, что /*(а w/З) =/*(а) ^/*(/3).
п
21.6. Пусть X = (J Д-, где Д- — стягиваемые симплициальные под-
1=1
пространства в X. Докажите, что произведение аг w ... w ап равно нулю при любом выборе элементов a, GHfci(I), где к( > 0. С помощью этого факта докажите, что w-произведение в надстройке £Х любого конечного симплициального пространства X тривиально в том смысле, что произведение любых двух классов когомологий положительной размерности равно нулю.
21.7. Пусть симплициальное пространство А с X является ретрактом конечного симплициального пространства X, i: А^> X — вложение, а г: X —> А — ретракция. Докажите, что Н*(Х) =Imi* 0 Кегг* и Н*(Х) = Imr* 0 Кег Г. Покажите, что в кольце когомологий Н*(Х) подмножество Keri* является идеалом, а Im г* — подкольцом.
21.8. Пусть в алгебрах Н*(Х) и Н*(7) задано ^-произведение. Определите w-произведение в Я*(Х V У).
21.9. Докажите, что при тг>т стандартно вложенное подпространство ШРт с МРП не является ретрактом пространства RPn.


Лекция 22 Двойственность Пуанкаре
Двойственность Пуанкаре — это изоморфизм между группами гомологий и когомологий многообразия (подходящих размерностей). Это соотношение довольно удивительно, так как оно означает, что внутреннее строение произвольного замкнутого компактного многообразия в некотором смысле симметрично относительно средней размерности: грубо говоря, утверждается, что группы fc-мерных гомологий и (гг — fc)-мерных когомологий п-мерного многообразия изоморфны. Такая симметрия основана на исключительно простой геометрической конструкции (см. § 22.1) и использует понятие ^-произведения Уитни — операции, в некотором смысле двойственной ^-произведению Колмогорова—Александера, рассмотренному в предыдущей лекции.
§ 22.1. Двойственное клеточное разбиение
Каждому компактному замкнутому (без края) п-многообразию Мп с фиксированной триангуляцией можно канонически сопоставить (следуя Пуанкаре) разбиение на клетки (т. е. наделить Мп структурой CW-пространства). А именно, вначале рассмотрим барицентрическое подразбиение данной триангуляции; во избежание путаницы будем называть симплекс подразбиения подсимплексом, оставив термин «симплекс» лишь для симплексов первоначальной триангуляции. Далее, каждой вершине (т. е. 0-симплексу) сг° поставим в соответствие п-клетку сг", состоящую из всех п-подсимплексов с вершиной <т°. Более общим образом, с каждым fc-симплексом crk свяжем (п — fc)-клетку состоящую из всех (п — /с)-подсимплексов с вершиной в его центре тяжести. Для случая п — 2 см. рис. 22.1.
Отметим, что каждый симплекс сг пересекает двойственную ему клетку трансверсально: его центр тяжести является их единственной точкой пересечения.


194
Лекция 22. Двойственность Пуанкаре
Рис. 22.1. Двойственное разбиение на клетки при п — 2
Мы не только наделили Мп структурой CW-пространства (которое мы обозначим М*), но и задали биекцию между fc-симплексами сг данной триангуляции и двойственными (п — к)-клетками сг* из М*. Далее, пусть на Мп зафиксирована произвольная ориентация (т. е. в каждой его точке задан непрерывно зависящий от неё базис, который мы будем считать положительно ориентированным). Тогда каждый ориентированный симплекс сг естественным образом задаёт соответствующую ориентацию двойственной клетки: а именно, её базис (с началом в центре тяжести), объединённый с задающим ориентацию базисом в сг, должен иметь ту же ориентацию, что и положительный базис на Мп с началом в центре тяжести.
Это позволяет построить при любом к = 0,1, ...п гомоморфизм
5: Ск(М; Z) —> Cn_fc(M*; Z),
задав его на симплексах формулой 5(сгк) = а^~к и продолжив по линейности.
Гомоморфизм 5 определён для всех fc от 0 до п, так что можно наивно подумать, что 5 является морфизмом цепного комплекса С(М, Z) в С(М*, Z), что дало бы изоморфизм гомологических групп. Но это в корне неверно, так как граничные операторы в цепных комплексах С(М, Z) и С(М*> действуют в противоположных направлениях в смысле размерности, а именно
dim((do 5)(cfc)) = п — к — \фп — fc + 1 = dim((5od)(c*)).


§ 22.2. Двойственность между группами гомологий и когомологий
195
Учитывая, что кограничные операторы в коцепных комплексах тоже действуют «в противоположных направлениях», мы преодолеем эту трудность переходом от гомологий к когомологиям; это будет сделано в следующем параграфе.
§ 22.2. Двойственность между группами гомологий и когомологий
В оставшейся части этой лекции будем считать, что группа коэффициентов для гомологий и когомологий — одно и то же коммутатив- но-ассоциативное кольцо R с единицей (например, Z); в обозначениях кольцо R не указывается явно: например, вместо Ск(М*', Ю будем писать Ск(М*).
Построим гомоморфизм ipk из Ск(Мп) в Сп~кШ*), связав с каждым симплексом ак (рассматриваемым как fc-цепь с коэффициентом 1 eR при сгк) следующий линейный функционал на (п — /с)-клетках: он равен 1 на клетке cr"-fc, двойственной симплексу ак, и равен 0 на всех других (n — fc)-клетках. Ясно, что (рк является изоморфизмом между Q(Mn) и Сп~к(М*), и из определений ук, 5 и д немедленно следует, что при всех fc диаграммы
С*(М) '^Cn~k(MJ
дк 5п_к
Ск_гШ) Cn~k+1(MJ
коммутативны. Из последнего, в свою очередь, следует, что соответствующие группы гомологий и когомологий изоморфны. Таким образом, мы доказали следующую теорему.
Теорема (двойственность Пуанкаре). Пусть Мп — гладкое ориентированное компактное замкнутое многообразие, а R-коммута- тивно-ассоциативное кольцо с единицей. Тогда группы гомологий и когомологий взаимно дополнительных размерностей изоморфны: при всех к = 0,1,..., п выполнено соотношение
Нк(М;Ю — Нп~к(М; К) .
Теорема неверна, если многообразие М неориентируемо, но если заменить кольцо R на Ъ2 (целые числа по модулю 2), то изоморфизм


196
Лекция 22. Двойственность Пуанкаре
сохранится, а именно
Нк{М; Z2) = Нп~к{М\ Z2) для всех /с = 0,1,п.
Доказательство предоставляется в качестве упражнения.
Описанная выше конструкция двойственности Пуанкаре очень проста, но она определена в терминах цепей и коцепей, зависит от выбора триангуляции на М и не даёт эффективного способа для вычислений в терминах гомологий и когомологий. На самом деле изоморфизм Пуанкаре является каноническим и может быть вычислен по очень простой формуле. Однако для этого потребуется новое понятие (^-произведение), которое будет введено в следующем параграфе.
§22.3. гл-произведение
Изоморфизм двойственности уку. H*.(M;R) —> Hn-fc(M;R) между группами гомологий и когомологий позволяет определить операцию умножения гомологий гладких многообразий, которая называется ^-произведением: для этого достаточно посредством этого изоморфизма перенести с когомологий на гомологии произведение Колмогорова-Александера. Точнее, для гомологических классов аеНр (М) и ЪеНяШ) их гл-произведение a r\ b е -Hp+q ОЮ определяется по формуле
аглЪ:= ¥>p+q(¥>p(a)w<^q(b)).
Из этого определения и свойств произведения Колмогорова—Александера немедленно вытекает, что группа гомологий Н*(М) гладкого компактного замкнутого многообразия М, наделённая гл-произведением, является R-алгеброй с антикоммутативным умножением.
Это утверждение — не просто ненужная дуализация, как может показаться на первый взгляд. Оказывается, ^-произведение допускает простое и очень наглядное геометрическое представление, благодаря которому оно иногда вычисляется проще, чем произведение Колмогорова-Александера. Кроме того, как мы вскоре увидим, оно даёт простое описание двойственности Пуанкаре в терминах гомологий и когомологий.
Теперь вкратце опишем геометрическую интерпретацию ^-произведения. Пусть a Е Ср(М) и be Cq(M) — два цикла. Чтобы упростить изложение, будем считать, что а и Ъ — циклы с коэффицентом 1 при некоторых симплексах и коэффициентом 0 при остальных; пусть А — множество симплексов с коэффициентом 1 в цикле а, а В — соответствующее множество для Ь. Предположим, далее, что Ли В находятся


§ 22.3. ^-произведение
197
в общем положении, т. е. любые два (открытых) симплекса сгр е А и тя Е В либо не пересекаются вообще, либо пересекаются по открытой клетке размерности р + q — п. Тогда А П В является клеточным пространством. Ориентируем все его клетки следующим образом: сначала к базису, задающему ориентацию на ар П тя (он состоит из р + q — п векторов), добавим п — р векторов, чтобы задать ориентацию на стр, а затем добавим ещё п — q векторов, чтобы задать ориентацию на тч, причём полученные в итоге п векторов должны задавать выбранную ориентацию на Мп (см. рис. 22.2).
Рис. 22.2. Ориентация на пересечении двух симплексов
Можно показать, что (р + q — п)-клетки из АП В, взятые с коэффициентом 1, образуют цикл аг^Ъ е Ср+(?_П(МП); далее, если а и b определяют гомологические классы а и /3, то цикл аг^Ъ корректно определяет гомологический класс в Hp+q_n(Mn), который обозначается a Таким образом, мы построили билинейное отображение
Hp(Mn; R) х Hqmn; Ю - Hp+q_nmn; Я).
Умножение гомологий (^-произведение), рассмотренное выше, более наглядно, но и обладает меньшей общностью, чем другая его версия — гомологическо-когомологическое умножение (которое тоже называют ^-произведением). Эта операция, которая также обозначается определена для гомологий и когомологий линейно связного симплициального пространства X (не только для гладкого многообразия) с коэффициентами в коммутативно-ассоциативном кольце R с единицей. Мы будем рассматривать упорядоченные симплексы; чтобы зафиксировать порядок, занумеруем раз и навсегда все вершины


198
Лекция 22. Двойственность Пуанкаре
пространства X; вершины любого симплекса будут перечисляться в порядке возрастания их номеров. В таком контексте гл-произведение (когомологий-гомологий) является билинейным отображением
^: Нр (X; Ю х Hp+q (X; К) -> Hq (X; К) (1)
и определяется так. Пусть ср Е Ср(X; Я); как обычно, определим вначале ^-произведение на симплексах; а именно, положим
Срrs[v0, ...,vp+q] := (ср, [i>0, ...,VP])[VP, ...,vp+qi eC,(X;R).
Продолжив это отображение по линейности, мы определим в терминах цепей и коцепей билинейное отображение
Ср (X; R) х Cp+q (X; R) - Cq(X; R).
Чтобы определить отображение в терминах (ко) гомологий, нам потребуется следующий вариант правила Лейбница.
Лемма (правило Лейбница для ^-произведения (когомологий-гомологий)). Справедливо равенство
d(cp^cp+q) = (~l')q(5cp ГЛСР+Ч) + (ср глдср+ч).
Доказательство является упражнением умеренной трудности. Из этой леммы непосредственно вытекает определение билинейного отображения(1), т. е. ^-произведения в терминах (ко)гомологий. Отметим, что ^-произведение обладает следующими свойствами:
(1) если / — отображение симплициальных пространств, то
/*(/*а^Ь)=а^/ДЬ);
(2) (а4, Ър r\cp+q) = (ачг\Ър, cp+q);
(3) ар rs (bq гл cp+q+r) = (ар w bq) ^ cp+q+r;
здесь а, Ъ — когомологические классы, с — гомологический класс.
§ 22.4. Изоморфизм Пуанкаре
Выше мы определили двойственность Пуанкаре в терминах цепей и коцепей, и это определение не даёт эффективного способа вычислений в терминах (ко)гомологий. Однако можно описать изоморфизм Пуанкаре непосредственно в терминах (ко) гомологий посредством простой формулы, использующей ^-произведение.
Теорема (изоморфизм Пуанкаре). Соответствие
Нп~к(Мп; К) э ап~к -► ап~к г\ [Мп] е Нк(Мп; Я),


§ 22.5. Коэффициент зацепления Гаусса
199
где [Мп] — фундаментальный класс гладкого ориентируемого много- образия Мп, задаёт изоморфизм двойственности Пуанкаре
Hn~k(Mn; R) = НкШп; R).
Доказательство. Пусть К — некоторая триангуляция многообразия Мп, а К' — её барицентрическое подразделение. Будем рассматривать упорядоченные гомологии, занумеровав все вершины из К' следующим образом: сначала нумеруем вершины из К, затем центры тяжести 1-симплексов из К, затем центры тяжести 2-симплексов из К и т.д. В качестве цикла, представляющего фундаментальный класс многообразия Мп, возьмём цепь с коэффициентом 1 при всех п-сим- плексах (и0,..., ип) из К', где вершины перечислены в порядке возрастания.
Теперь каждый упорядоченный симплекс сг1 = (и0,..., ц) из К' содержится ровно в одном упорядоченном симплексе г1 из К, который определяется последней вершиной и( симплекса сг1. Соответствующую (п - 0-клетку (см. § 22.1) можно представить как объединение симплексов ±(ц,..., vn), где вершины перечислены в порядке возрастания их номеров.
В силу двойственности Пуанкаре (см. § 22.1) каждой fc-мерной цепи ск — 2 zi(Jf соответствует коцепь сп~к, для которой (сп~к, аы) =zt. Следовательно,
cn_*^][]±(v0, у„) = £(c"”fc> ±Оь •••, yn))(v0» •••. =
= (сп~к, аы)ак = Y,Zi<Tk = cfc, что и требовалось. □
§ 22.5. Коэффициент зацепления Гаусса
Коэффициент зацепления Гаусса —это целочисленный инвариант пар гладких кривых, вложенных в R3, который показывает «количество оборотов» одной кривой вокруг другой. Будучи вначале введён Гауссом как двойной интеграл в контексте электродинамики, он имеет простое истолкование в терминах гомологий, которое мы теперь и изложим.
Коэффициент зацепления Гаусса двух непересекающихся окружностей Сг и С2, вложенных в сферу §3, равен следующему числу 1к(Съ С2): будем считать (без потери общности), что С2 и С2 составлены из 1-симплексов (ориентированных вдоль окружностей), и рассмотрим


200
Лекция 22. Двойственность Пуанкаре
две цепи с2, с2 е Сг (§3; Z) с коэффициентом 1 при этих симплексах и коэффициентом 0 при остальных; ясно, что эти цепи, в частности с2, являются циклами; поскольку §2 имеет тривиальную одномерную группу гомологий, с2 является границей, т. е. существует такая 2-цепь d е С2(§2), что 3(d) =с2; положим
lk(Cj, С2) := [dr\Cl] е Я0(§3) = Z.
Корректность такого определения (независимость от выбора d) составляет содержание задачи 22.8.
В действительности 1к(Съ С2) является так называемым инвариантом В. А. Васильева конечного типа и элементарно вычисляется из диаграммы зацепления Сг и С2 с §3 путём подсчёта «знаков» точек перекрещивания двух кривых (как показано на рис. 22.3).
Рис. 22.3. Вычисление коэффициента зацепления Гаусса
§22.6. Задачи
22.1. Пусть ip: Cfc(M)Сп-/с(М5}:)— естественный гомоморфизм из группы симплициальных цепей гладкого замкнутого многообразия Мп в группу коцепей его двойственного разложения М* на клетки. Докажите следующее соотношение коммутирования:
5п-к0{Рк — 4>к-1°дк> где д и 5 — операторы границы и кограницы.
22.2. Докажите, что если НгМ3 = 0 для замкнутого трёхмерного многообразия М3, то М3 — трёхмерная гомологическая сфера, т. е. группы гомологий многообразия М3 таковы, как у §3.


§ 22.6. Задачи
201
22.3*. Приведите пример трёхмерной гомологической сферы, не гомеоморфной §3.
22.4. Пусть тор представлен как CW-пространство с четырьмя клетками; с1—коцепь, переводящая одну из 1-клеток в 1, а другие в 0; с2 — цепь с коэффициентом 1 при второй 1-клетке и 0 при первой. Вычислите с1 глсг.
22.5. Докажите правило Лейбница для ^-произведения.
22.6. Докажите следующие свойства ^-произведения:
(1) /*(/*№) а) = Ъ
^/*(я)5 где f: X —*Y — симплициальное отображение, аеН*Х и ЬеН*У;
(2) {aq, bp r\cp+q) = {aqr^bp, cp+q);
(3) ар rs (bq^cp+q+r) = (ариЬ?)пср+?+г
22.7. Приведите пример двух симплициальных комплексов с одинаковыми группами гомологий, но различным ^-умножением.
22.8. Докажите корректность следующего определения: коэффициент зацепления Гаусса двух вложенных в R3 ориентированных окружностей равен 1к(Сь С2) = ][] ei9 где е{ = ±1 таковы, как на рис. 22.3.
22.9. Докажите теорему Пуанкаре о двойственности для неориентированных многобразий.


Лекция 23 Теория препятствий
В лекции 13 мы рассмотрели проблему продолжения: пусть дано отображение /: А—► Y, где А — подмножество в X; требуется построить отображение F: X—>Y, совпадающее с / на А. Если X — симплициальное пространство (или CW-пространство), естественно решать эту проблему по индукции: сначала продолжить / на вершины триангуляции в X, затем на 1-симплексы, на 2-симплексы и т. д. Оказывается, каждый шаг индукции можно выполнить в том и только том случае, когда некоторый когомологический класс равен нулю. В некотором смысле этот когомологический класс «препятствует» нашей конструкции, и поэтому описанный выше индуктивный подход называется теорией препятствий.
Эта теория имеет многочисленные применения (не только для продолжения отображений), в частности для классификации гомотопических классов всевозможных семейств отображений с помощью соответствующих групп когомологий и для построения так называемых пространств Эйленберга—Маклейна. Последние, в свою очередь, играют ключевую роль в других теоремах о гомотопических классификациях.
§ 23.1. Препятствующий коцикл
Пусть X — симплициальное пространство, Л —его симплициальное подпространство, Хп обозначает п-мерный остов пространства X и дано отображение /: Хп —> Y, где Y — линейно связное топологическое пространство. Положим Хп ~Хп и А. Наша цель — продолжить отображение / на Хп+1. Будем считать, что п ^ 1, так как для линейно связного Y конструкция продолжения с Х° на X1 очевидна. Будем также считать, что Y является п-простым, т. е. тг1(7) действует три¬


§ 23.1. Препятствующий коцикл
203
виально на его гомотопическую группу размерности тг (это позволит суммировать элементы группы nn(Y, у) с различными у).
С отображением f:Xn-*Y свяжем коцепь
Cn+1(/)GCn+1№ 7ГП(У))
следующим образом. Как обычно, будет достаточно задать сп+1 на (п + 1)-симплексах. Поскольку каждый симплекс Дп+1 имеет ориентацию, она задаёт ориентацию на д(Дп+1), поэтому ограничение отображения / на д(Дп+1) можно рассматривать как сфероид в Y; гомотопический класс этого сфероида — это по определению элемент из nn(Y), который мы сопоставим отображению /. Таким образом,
cn+1(/)(An+1) := [/идп+>)] 6 я„(У).
Отметим, что если Д”'1 принадлежит А, то соответствующий сферо- ид заведомо тривиален, так что мы можем (и будем) рассматривать с"+1(Я как относительную коцепь, т. е. элемент из Сп+1(Х, А; тгп(7)).
Лемма (препятствующий коцикл). Коцепь сп+1(/) является относительным коциклом, т. е.
5(сп+1(/)) = 0.
Доказательство. Нужно доказать, что сп+1(/)(дДп+2) = 0 для любого (п +2)-симплекса Дп+2 в X. Заметим, что п-остов симплициального пространства д(Дп+2) ^ §п+1, очевидно, является (п — 1)-связ- ным пространством (т. е. все его гомотопические группы вплоть до (п — 1)-й тривиальны), поскольку на самом деле он гомотопически эквивалентен сфере §n+1 с несколькими выколотыми точками (центрами тяжести (п + 1)-граней симплекса Дп+2).
Пусть Э(Д"+2) = £Д"+1. Элемент сп+1(/)(Д"+1) группы пп(Х) соответствует отображению /: д(Дп+2)—Пусть Вп обозначает п-остов пространства д(Дп+2), а а{ — элемент из яп(Бп), соответствующий гомеоморфизму —> д(Д"+1), сохраняющему ориентацию. Очевидно,
гомоморфизм
/*: пп(Вп) —> тгп(Х)
переводит а{ в сп+1(/)(ЭД”+1).
Поскольку пространство Вп является (п — 1)-связным, гомоморфизм Гуревича h: лп(Вп) —>НП(£П) является изоморфизмом (по теореме Гуревича, см. §18.8). Поэтому можно рассмотреть последовательность гомоморфизмов
Н„(В") пп(Вп) ^ ЛП(ХУ,


204
Лекция 23. Теория препятствий
их композиция /* о h 1 переводит гомологический класс, заданный циклом ^d(A”+1) =:z, в сп+1(/)(дД”+1). Но
£д(д',+1) = ддлп+2 = о,
т. е. цикл z нулевой и потому его образ при гомоморфизме /* о ft-1 тоже нулевой, что и требовалось. □
§ 23.2. Препятствующий когомологический класс
Коцикл сп+1(/) задаёт когомологический класс, который мы обозначим Гп+1(/). Напомним, что Хп :=Хп U А.
Теорема (Эйленберг). Отображение f: Xn—>Y можно продолжить на X71*1, возможно, предварительно изменив его на множестве Хп\Хп~1, тогда и только тогда, когда Гп+1(/) =0.
Опустим подробности достаточно очевидного доказательства этой теоремы. Действительно, чтобы продолжить отображение /, нужно уметь продолжить его на каждый (п +1)-симплекс с его границы (на которой / уже определено). Грубо говоря, равенство Г = 0 означает, что образ границы каждого такого симплекса гомотопически тривиален в Y, поэтому можно продолжить отображение на (п 4- 2)-симплекс.
§ 23.3. Теорема Хопфа—Уитни
Гомотопическая классификация отображений одного топологического пространства в другое — одна из основных проблем топологии. Пусть [X, 7] — множество гомотопических классов отображений из X в 7. Следующая теорема даёт решение проблемы гомотопической классификации для широкого класса пространств в терминах когомологий исходного пространства X с коэффициентами в гомотопической группе терминального пространства.
Теорема (Хопф—Уитни). Для любого п-мерного симплициального пространства X и любого (п - 1)-связного пространства 7 имеется следующая биекция:
[X,Y] <^Нп(Х;яп(У)) .
В частном случае Y = Бп эта теорема классифицирует (с точностью до гомотопии) отображения симплициальных комплексов в п-сфе- ру: они биективно соответствуют элементам из НП(Х; Z), поскольку


§ 23.4. Пространства Эйленберга—Маклейна К(п, п)
205
тсп (§п) = Z. Другое следствие этой теоремы — следующая изящная геометрическая интерпретация п-й группы когомологий произвольного п-мерного симплициального пространства.
Следствие. Любой элемент группы когомологий Нп(Х, Z), где X — симплициальное пространство размерности п, реализуется отображениями в сферу, т.е. его можно представить в виде /*(5), где s — образующий группы Hn(Sn; Z), а отображение f:X-*Sn единственно с точностью до гомотопии.
§23.4. Пространства Эйленберга—Маклейна К(п, п)
В этих пространствах топология сосредоточена, в некотором гомотопическом смысле, в единственной размерности. Они обладают некоторыми красивыми свойствами и полезны в проблемах гомотопической классификации, а также при построении так называемых когомологических операций. По определению пространство Эйленберга—Маклейна К(п, п)— это топологическое пространство X, удовлетворяющее условию
( тс при к = п; пк(Х) = \ , ,
10 при кфп.
Примеры.
(1) Окружность S1 является К(Z, 1)-пространством.
(2) Любая поверхность М2, отличная от сферы и проективной плоскости, является К(тс1(М2), 1)-пространством.
(3) ШР00 является К(Z2,1)-пространством.
(4) СР°° является К(Z, 2)-пространством.
(5) Бесконечномерное линзовое пространство также является К (тс, 1)-пространством, где тс = Ът.
Существование многих других К(тс, п)-пространств устанавливается следующей теоремой.
Теорема (существование К(тс, п)-пространств). Для любой конечно представимой группы п и любого п существует К(п, п)-пространство.
Доказательство. Доказательство состоит в непосредственном построении искомого пространства, причём вначале строится пространство с нулевыми гомотопическими группами во всех размерностях вплоть до п — 1, затем оно наделяется нужной п-мерной гомотопической группой (изоморфной группе тг), и наконец обнуляются все


206
Лекция 23. Теория препятствий
высшие гомотопические группы по индукции путём их «угона в бесконечность».
Пусть (gi,..., gr: R1 = ... = Rs = 1) — некоторое задание группы п
образующими и соотношениями. Обозначим через Кп := \/ S" букет
г экземпляров (триангулированной) п-сферы. Возьмём s экземпляров (п + 1)-диска и приклеим их к букету сфер в соответствии с соотношениями R1}...,RS. Полученное симплициальное пространство обозначим Кп+1. Очевидно, что Hn(iCn+1) = п. По теореме Гуревича 71п(КП+1)^П.
Однако построение не закончено, поскольку Кп+1 может иметь нетривиальные гомотопические группы в размерностях выше п. Обнулим эти группы по индукции, приклеивая диски к их образующим. □
Теорема (единственность К(тг, п)-пространств). Два К(п,п)-про- странства с одинаковыми пип гомотопически эквивалентны.
Доказательство. Достаточно доказать, что любое К(п, п)-пространство гомотопически эквивалентно пространству, построенному нами в доказательстве теоремы существования. Это делается индукцией по размерности остовов данного пространства; ключевой пункт — применение теории препятствий, что не составляет труда, поскольку соответствующие препятствия обнуляются. □
Теорема (отображения в К(п, п)-пространства). Если Y -симпли- циалъное К(п,п)-пространство, а X—любое симплициальное пространствю, то существует биекция
[X,Y] ^нп№ я).
Доказательство. Обозначим через Fn Е Нп (X, к) фундаментальный класс пространства Y (т. е. класс, отвечающий обратному изоморфизму Гуревича ft-1: НП(Х) —> tt„(X), см. доказательство теоремы существования). Каждому отображению f:X—>Y поставим в соответствие когомологический класс f*(Fn) еНп(Х; тг); ясно, что это соответствие зависит только от гомотопического класса отображения /. Его биективность вытекает из теоремы Хопфа—Уитни. Подробности предоставляются читателю. □
Следствие. Отображения из одного пространства Эйленберга— Маклейна в другое (с тем же п, но, возможно, разными группами п) с точностью до гомотопии классифицируются гомоморфизмами их групп:
[К(п, п),К(п', п)] <—> Нош(я, п').


§ 23.5. Задачи
207
Доказательство. Из так называемой формулы универсальных коэффициентов, которая будет приведена в лекции 25, следует, что
НЧКЦп, п); п') ^ Нот(Нп(Ж(7Т, п); тг')),
23.1. 	В обозначениях из § 23.2 пусть f,g:Kn^>Y — два отображе-
— коцепь (которая называется различающей), заданная на некотором симплексе Дп следующим образом: возьмём два экземпляра Дп, склеим их вдоль границы и отобразим первый экземпляр в Y посредством /, а другой посредством g, задав тем самым элемент из nn(Y). Докажите, что
С помощью этого факта докажите теорему Эйленберга.
23.2. Докажите, что dn(/, g) + dn(g, h) + dn(h, /) = 0, где dn — различающая коцепь, которая была определена в задаче 23.1.
23.3. Докажите, что S1 является 1)-пространством.
23.4. Пусть М2 — замкнутая поверхность, отличная от §2 или МР2. Докажите, что М2 является Kin^M2), 1)-пространством.
23.5. Докажите, что RР°° является К(Z2,1)-пространством.
23.6. Докажите, что СР00 является К(Z, 2)-пространством.
23.7. Докажите, что 1“ является К(Zm, 1)-пространством, где бесконечномерное линзовое пространство L“ определено следующим образом: рассмотрим §°° как подпространство в С00, состоящее из всех точек (zj,z2,...), для которых ^]|z2| = 1; введём отношение эквивалентности
(zi,z2,...) ~ (ezuez2,...), где £, = exp(27ri/m); тогда L* :=§°°/~.
23.8. Докажите, что
и остается применить предыдущую теорему.
□
§23.5. Задачи
ния, совпадающие на Кп г. Пусть
d4f,g)eCn(Kn,A; тгп(У))
dn(f,g) = c4g)-c4f).
при нечетных п; при чётных п.


208
Лекция 23. Теория препятствий
23.9. Пусть М3 —замкнутое трёхмерное многообразие, причём группа яг(Мъ) бесконечна и я2(М3) = 0. Докажите, что М3 является К(я, 1)-пространством для некоторого я.
23.10. Пусть X — конечномерное симплициальное К (я, 1)-пространство. Докажите, что я не имеет элементов конечного порядка.


Лекция 24
Векторные расслоения и G-расслоения
В этой лекции мы изучаем и классифицируем векторные расслоения (ключевое понятие дифференциальной топологии; важнейшим примером служит касательное расслоение гладкого многообразия) и главные G-расслоения (играющие важную роль в геометрической топологии, iC-теории и теоретической физике). Векторные расслоения над паракомпактными пространствами1 можно классифицировать с помощью разбиения единицы, используя обобщение теоремы Фельд- бау и гауссово отображение в каноническое расслоение Грассмана; G-расслоения классифицируются с помощью красивой конструкции Милнора и понятия классифицирущего пространства топологичекой группы.
§ 24.1. Категория векторных расслоений
Векторное расслоение р:Е-+В — это (локально тривиальное) расслоение (см. §14.3), слой которого F является векторным пространством фиксированной размерности тг.2 Морфизм векторных расслоений ((/?, Ф): рг —>р2 —■ это пара отображений Ф: Е1 —> Е2 и : Вг —*► В2, где ip о pi — Ф ° ръ причём ограничение отображения Ф на слой, т. е.
ф1рГ1(Ь>: ► Рг 1(v>(b)),
является линейным отображением при любом ЬеВ1.
1 Топологическое пространство называется паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие {Ua}. Легко доказать, что всякое паракомпактное пространство X допускает разбиение единицы, т.е. существует такой набор функций fa: Ua-*R таких, J] faM — 1 Для
а,иаэх
любого хеХ.
2 Кроме того, требуется, чтобы «функции перехода», выражающие соотношения между тривиализациями расслоения над двумя пересекающимися открытыми подмножествами базы, индуировали линейные отображения на каждом слое.


210
Лекция 24. Векторные расслоения и G-расслоения
Если даны векторное расслоение р: Е —> В и подмножество X с В, то естественным образом определяется ограничение расслоения р на Въ обозначаемое р\х; более общим образом, если дано отображение /: X—>В, то индуцированное расслоение /*(р): Ej —>Х определяется следующим образом:
E1:={(b,e)eXxE:f(b)=p(e)} и /*(р)(Ь,е) := Ъ.
В этой ситуации существует канонический морфизм /*(р) —* р, заданный формулами у(Ъ) =/(Ь), Ф((Ь, е)) —е.
Морфизм векторных расслоений ц?: рг —> р2 называется изоморфизмом, если существует такой морфизм гр: р2 —> Pi, что Ф о Ф = idB] и Ф о Ф = idBz.
Лемма. Морфизм расслоений с одной и той же базой является изоморфизмом тогда и только тогда, когда его ограничение на любой слой является изоморфизмом линейных пространств.
Доказательство предоставляется в качестве упражнения.
Векторные расслоения обычно рассматриваются над паракомпакт- ной базой, поскольку для построения теории требуется разбиение единицы. Векторные расслоения над всеми паракомпактными пространствами образуют категорию, которая будет обозначаться Vect. Мы будем также рассматривать категории векторных расслоений над фиксированными паракомпактными базами; они обозначаются Vect(B), где В — (паракомпактная) база, и Vectk(B), если фиксирована размерность к расслоения.
Примеры.
(1) Тривиальные расслоения prx: М х В —> В, ргх (г, Ь) = Ь.
(2) Касательное расслоение т: ТМп —> Мп гладкого многообразия.
(3) Нормальное расслоение v: N(Mn) -»МП гладкого многообразия Мп, гладко вложенного в RN.
(4) Каноническое расслоение Грассмана у™: E™^>G™, где G™ — грас- сманово многообразие (т. е. множество всех к-мерных линейных подпространств L векторного пространства Мт, наделённое естественной топологией),
Е™ := {(L, г) G G™ х Шш: г Е L},
а у™ — естественная проекция (L, г) —>L. Имеются очевидные вложения G™ с G™+1, которые позволяют определить, переходя к индуктивному пределу, многообразие G£° (называемое бесконечномерным грас- сманианом) и расслоение yj*.


§ 24.2. Классификация векторных расслоений над данной базой
211
§ 24.2. Классификация векторных расслоений над данной базой
В этом параграфе мы изучаем категорию Vectк(В) к-векторных расслоений над фиксированной паракомпактной базой В. Главный результат состоит в следующем.
Теорема (классификация). Классы изоморфизма к-векторныхрасслоений р: Е—над паракомпактной базой В биективно соответствуют гомотопическим классам отображений базы в грассманиан Gk,
[B,G;]^Vectk(B) ,
причём каждому отображению /: B-*G^ соответствует индуцированное расслоение /*(y°°fc)*
Чтобы доказать теорему, требуется установить три факта.
(1) Соответствие корректно определено, т. е. любым двум гомотопным отображениям /, g: В —> G£° соответствуют изоморфные расслоения /*(rp=g*(rp.
(2) Соответствие инъективно, т. е. изоморфным расслоениям /*(у°°*) и g* (у°°к) соответствуют гомотопные отображения / и g, /, g: В —> G£°.
(3) Соответствие сюръективно, т. е. для любого расслоения р е е Vectк(В) найдётся такое отображение f:B—>Gk, что индуцированное расслоение /*(y00fc) изоморфно р.
Прокомментируем доказательства этих фактов.
Факт (1) — частный случай следующей более общей теоремы.
Теорема (гомотопическая инвариантность). Для любого векторного расслоения у: Е —> В с паракомпактной базой В гомотопные отображения f, g паракомпактного пространства Вг в В задают изоморфные индуцированные расслоения /*()0 — g*(y).
Из этой теоремы следует далеко идущее обобщение теоремы Фельд- бау (лекция 14, §14.3).
Следствие (тривиальность). Любое векторное расслоение над стягиваемым паракомпактным пространством тривиально.
Доказательство теоремы о гомотопической инвариантности основано на следующей лемме.
Лемма (умножение на [0,1]). Для любого векторного расслоения р с базой В х [0,1] существует такое покрытие базы В открытыми множествами {Ua}, что ограничение расслоения на любое из множеств Ua х [0,1] тривиально.


212
Лекция 24. Векторные расслоения и G-расслоения
Факт (2) доказывается с помощью одного из вариантов гауссова отображения, которое мы вначале определим в случае гладкого многообразия Мк, вложенного в Шы: это векторное расслоение 7^: ТМк —>G^, полученное параллельным переносом всех касательных плоскостей Тх(Мк), хеМк, в начало координат 0 (так что х переходит в 0).
В общем случае конструкция несколько сложнее и использует бесконечномерный грассманиан, а также понятие гауссова вложения векторного расслоения р: Е—>В: оно определяется как произвольное вложение g: Е—>М°°, которое является линейным мономорфизмом на слоях.
Доказательство факта (2) основано на следующих двух леммах.
Лемма (локальная тривиальность). Для любого векторного расслоения р: Е—>В с паракомпактной базой В существует такое счётное открытое покрытие Щ}, что ограничение расслоения р на каждое U{ тривиально.
Лемма (гауссово вложение). Для любого векторного расслоения р: Е —> В с паракомпактной базой В существует гауссово вложение g: Е —>М°°.
Факт (3) доказывается в общем случае сложным рассуждением, в основе которого — представление пространства R00 как прямой суммы Mev 0 Mod подпространств, порождённых базисными векторами с чётными и нечётными номерами.
В частном случае касательного расслоения т гладкого многообразия Мк доказательство проводится легко: вложим Мк в некоторое Шы, рассмотрим как состоящее из /с-мерных линейных подпространств
в Rn и применим гауссово отображение, сопоставляющее каждой точке х £ Мк линейное подпространство, полученное параллельным переносом касательной плоскости ТхМк в начало координат.
Доказательства этих фактов хорошо изложены в книге Д. Хьюзмол- лера «Расслоенные пространства» (М.: Наука, 1970).
§ 24.3. Категория G-расслоений
Топологическая группа — это топологическое пространство G, наделённое структурой группы, которая согласована с его топологией, т. е. отображения G х G —> G, (5, t) 5t, и G —> G, 5 s-1, непрерывны.
Мы говорим, что топологическая группа G действует справа на топологическом пространстве X, если дано непрерывное отображение X х G —> X, (х, g) •-> xg (точка xg называется образом точки х при дей¬


§ 24.4. Конструкция Милнора
213
ствии элемента g), причём
• x(gh) = (xg)h для всех х е X и всех g, /г е G;
• xl = х для всех здесь 1 обозначает единицу (нейтральный
элемент) группы G.
Действие топологической группы G на топологическом пространстве X слева определяется аналогично. Если группа G абелева, то левое действие является правым, и обратно (но обозначения остаются различными).
Примеры.
(1) (Естественное) действие слева групп GL(n) и О(п) на Мп.
(2) (Естественное) действие справа группы ортогональных матриц О (к) на многообразии Штифеля V£ ортонормированных fc-реперов в Г.
(3) Левое (= правое) действие ненулевых вещественных чисел на пространстве Мп умножением координат точек на эти числа.
Под G-расслоением р: Е^>В понимается проекция топологического пространства Е, наделённого действием топологической группы G справа, на пространство орбит B = E/G этого действия. Отметим, что для данного локально тривиального расслоения р не всегда существует такая группа G, что р является G-расслоением.
Морфизм G-расслоений определяется естественным образом. Класс всех G-расслоений образует категорию, обозначаемую BunG; зафиксировав базу В, получаем одну из её подкатегорий, обозначаемую tfunG(B).
Назовём G-расслоение р: Е —> В главным, если его слой F = р-1(Ь) является (с точностью до гомеоморфизма) группой G при каждом be В. Класс всех главных G-расслоений образует категорию, обозначаемую VBunG; зафиксировав базу В, получаем одну из её подкатегорий, обозначаемую VB\mG(B).
Примеры.
(1) Отождествление противоположных точек на п-мерной сфере является главным Z2-расслоением над RР2.
(2) Естественная проекция многообразия Штифеля Vfcn на грассма- ново многообразие GJJ является главным О (fc)-расслоением.
§ 24.4. Конструкция Милнора
Пусть G — произвольная топологическая группа; обозначим через EG{ji) ~G*G* ...*G (п множителей) n-кратный джойн группы G с


214
Лекция 24. Векторные расслоения и G-расслоения
собой. Ясно, что
G с Ес(2) с Ес(3) с ... с EG(n) с ... с Еа,
где Ес — индуктивный предел1 для Ес(п) при п —> оо.
Рассмотрим действие группы G на Ес правыми сдвигами. Соответствующее расслоение
* EG > — Eg/G
называете я универсальным G-расслоением, а его база называется классифицирующим пространством группы G. Аналогично определяется расслоение conG: Е£ —> BnG, которое называют (кратко) п-универсалъ- ным G-расслоением, а его база называется п-классифицирующим пространством группы G (не столь кратко — классифицирующим пространством до размерности п).
Примеры.
(1) Для группы S1 классифицирующим пространством является СР00, причём Е§ 1 = §°°, а к-классифицирующим пространством является СРк, причём = S2k+1.
(2) Для группы Ъ2 классифицирующим пространством является RP00, причём EZi = §°°, а fc-классифицирующим пространством является ШРк, причём Ек2
§ 24.5. Классификация главных G-расслоений
Классификация главных G-расслоений похожа на классификацию векторных расслоений, но более сложна. Роль канонического грас- сманова расслоения здесь исполняет универсальное G-расслоение Милнора coq : EG —>BG, а главная идея та же самая: брать расслоение /*(a>G), индуцированное из универсального расслоения отображением /: B-»BG.
Теорема (гомотопическая инвариантность). Если два отображения f,g: В-+BG одного и того же пространства В в классифицирующее пространство BG гомотопны, то соответствующие индуцированные расслоения /*(сос) и изоморфны.
1 Пусть / — направленное множество индексов, {Хь i £ /} — семейство топологических пространств и для любых i, j £ I, j ^ i, определено такое непрерывное отображение Щ: Х( —> Xj} что ha = idxhik = hjk о h^ для любых i, j, k, j ^k. Тогда индуктивный предел семейства {X,} определяется формулой limX; := (L|Xf)/~, где отношение эквивалентности ~ задаётся следующим пра-
i
вил ом: xt ~ Xj, х{ е Xh Xj £ Xj, если существует к £ /, для которого hik (xt) = hjk (х;).


§ 24.6. Расслоения, ассоциированные с главными G-расслоениями 215
Следствие (тривиальность). Любое главное расслоение над стягиваемым паракомпактным пространством тривиально.
Теорема (классификация главных расслоений). Для любого пара- компактного пространства В соответствие [В, BG] b/«-»/*(cog) задаёт биекцию
[B,BG]^VBunG(B)
между гомотопическими классами отображений из В в классифицирующее пространство BG и классами изоморфизма главных G-расслоений над В.
Мы не будем доказывать эту теорему в нашем курсе (см. упомянутую выше книгу Хьюзмоллера).
§ 24.6. Расслоения, ассоциированные с главными G-расслоениями
Пусть даны топологическая группа G, главное G-расслоение £: Е —> —> В и топологическое пространство F, на котором G действует слева. Тогда можно построить каноническим образом ассоциированное расслоение, обозначаемое £ [F]; E[F] —>В, «заменив слой G расслоения £ на F»; точнее, £[F] определяется следующим образом: рассмотрим действие группы G на пространстве Е х F справа, заданное формулой (е, f)g = (eg, g-1/), и положим
E[F]:=(ExF)/G, и ?[F] := f °рг1; где ргх обозначает проекцию ргп(е, f) = e.
Расслоения, ассоциированные с главными G-расслоениями, иногда называются расслоениями со слоем F и структурной группой G (или кратко {р,Р)-расслоениями). Морфизм двух расслоений £[F] и £'[F] определяется как пара отображений ф: В—>В', Ф: F[F] —>F'[F], образующая коммутативный квадрат с проекциями расслоения, при условии, что существует морфизм главных G-расслоений (Ф, </?): (F, В) —> (£', В7), для которого Ф(е, /) = Ф(е) и с/?(Ь) — ^(Ь).
Таким образом, если дано действие топологической группы G на топологическом пространстве F слева, то можно рассматривать категорию Sun(G F), а также, при фиксированной (паракомпактной) базе В, категорию Sun(G F)(B).
Очень богатая теория этих категорий остаётся за рамками нашего курса.


Лекция 25 Разное
В этой весьма пёстрой по содержанию «лекции» я собрал некоторые важные конструкции и теоремы (приведённые здесь без доказательств); они должны присутствовать в любом серьёзном введении в алгебраическую топологию, но, как правило, мне не удавалось о них подробно рассказывать в курсе. Кроме того, здесь читатель найдёт несколько слов о характеристических классах и спектральных последовательностях.
§ 25.1. Функторы Нот, Тог и Ext
Пусть А, В — абелевы группы. По определению группа Нош(Л, В) — это множество всех гомоморфизмов из Л в Б с естественной групповой структурой. Используя Нош, определим группы Тог(А, В) и Ext(A, В) следующим образом. Пусть
0-*R-^F А->0
— точная последовательность, представляющая собой свободное разложение группы А (это означает, что F — свободная группа на образующих группы A, a R — свободная группа, порождённая минимальным набором соотношений группы А). Эту последовательность можно тензорно умножить на В или взять от неё Нош(*, В); как результат получаем две точные последовательности
i<g> 1 р<8> 1
Я® В —> F <8>В -—> А<8>В О,
Hom(R, В) Hom(F, В) £ Нот(А, В) <- 0.
Положим теперь Тог (Л, В) := Ker(i <g> 1) и Ext(A, В) := Coker(i). Нетрудно проверить, что Тог и Ext корректно определены, т. е. не зависят от выбора свободного разложения.


§ 25.2. Формула универсальных коэффициентов
217
Примеры.
(1) Tor(Z, В) = 0, Ext(Z, В) = 0.
(2) Tor(Zm, Z) = 0, Ext(Zm, Z) = Zm.
(3) Tor(Zp, Zq) =Z(p)ф, Ext(Zp, Zq)=Z{pq), где (p, q) — наибольший общий делитель чисел р и q.
(4) Ext (Л, Г) = Г, если Л = 0 Г, где Т — конечная группа.
(5) Tor(G, В) = 0, Ext(A, G) = 0, если G — аддитивная группа одного из полей Q, R, С.
(6) Тог(А, В) = 0, если А — абелева группа и Ker(/in) = 0 для любого ne N, где гомоморфизм /1„ задаётся правилом /лп(а) = па.
§ 25.2. Формула универсальных коэффициентов
Формула универсальных коэффициентов позволяет описывать группы (ко) гомологий с любой группой коэффициентов G в терминах (ко)гомологий с целыми коэффициентами.
Теорема (универсальные коэффициенты). Для любой абелевой группы G и любого симплициального пространства X имеются следующие точные последовательности:
0 —► Hk(X)<8>G —> Нк(Х; G) -> Tor(Hfc_a(X), G) -> 0,
О <- Hom(Hfc(X), G) <- Нк(Х; G) <- НотСН^Ш, G) «- 0; эти последовательности расщепляются, и потому
Hk(X;G) = (HkWeOeTorCHfc.jCJO.G),
Нк(Х; G) = Hom(Hfc(X), G) eExtCH^jCX), G).
Следствие. Если G — аддитивная группа одного из полей Q, R, С, mo Hfc(X; G)=Hk(X)®G и Нк(Х; G) = Нот(Нк(Х), G).
§ 25.3. Формула Кюннета
Формула Кюннета выражает (целочисленные) гомологии декартова произведения двух симплициальных пространств в терминах гомологий сомножителей, а именно,
ВДГхУ)^ ф (Н,(Х)®Нт(У))® ф Тог(Яг(Х),НтШ) .
l+m=k l+m=k-1


218
Лекция 25. Разное
Если группа коэффициентов (G является аддитивной группой одного из полей Q, R, С, то соотношение упрощается:
Нк(X х У) = е (Н;(Х)®Нт(У)).
1+т=к
§ 25.4. Двойственность Александера
Двойственность Александера выражает приведённые (ко)гомологии дополнения к подмногообразию сферы §п в терминах (ко) гомологий всей сферы.
Теорема (двойственность Александера). Пусть М — подмногообразие [не обязательно гладкое) п-сферы Sn. Тогда для любого к выполнены соотношения
Нк(М) = Hn_k_1(Sn\M), Hfc(M) = Hn~fc_1(§n\M).
Следствие (теорема Жордана—Брауэра). Любая (п — 1)-сфера S'1'1, вложенная в Шп, разделяет Rn на две связные компоненты.
§ 25.5. Теорема Пуанкаре—Хопфа
Эта теорема обобщает теорему Пуанкаре о векторных полях на поверхностях, рассмотренную в лекции 8.
Теорема (Пуанкаре—Хопф). Индекс типичного векторного поля на замкнутом гладком ориентируемом многообразии равен эйлеровой характеристике многообразия.
§ 25.6. Гомологии Чеха
Гомологии Чеха, которые определяются для произвольного топологического пространства, были введены (раньше, чем сингулярные гомологии) П. С. Александровым (а не Чехом). Мы не будем описывать их подробно, а лишь наметим две главные идеи, на которых основано их определение.
Пусть дано произвольное покрытие со = {Ua} топологического пространства X. Определим нерв Nш данного покрытия как семейство симплексов, соответствующих этому покрытию следующим образом: О-симплексы (вершины) — это открытые множества из со; 1-симплексы — это пары (Uai ,Ua2), для которых Uai П Ua2 Ф 0; 2-симплексы — это тройки симплексов, имеющих хотя бы одну общую точку, и т. д.


§ 25.7. Характеристические классы
219
Рис. 25.1. Нерв покрытия
По определению группы цепей (скажем, с целыми коэффициентами) Cfc(JVw) — это множества всех линейных комбинаций /с-симплек- сов, а оператор границы определяется так же, как для симплициальных гомологий; отсюда группы гомологий Hfc(Nw) получаются обычным образом.
Интуитивно должно быть ясно, что если пространство X «достаточно хорошее», а покрытие со «достаточно удачное», то его нерв хорошо аппроксимирует топологию пространства X, так что Нк(Л/^) хорошо аппроксимирует его к-е гомологии.
Вторая главная идея П. С. Александрова, грубо говоря, исходит из следующего факта: если одно покрытие вписано в другое, то существует естественная проекция гомологий вписанного нерва в гомологии второго нерва. Группы гомологий пространства X определяются как проективные пределы этих групп1.
Можно доказать, что функтор когомологий Чеха удовлетворяет аксиомам Стинрода—Эйленберга и поэтому для достаточно хороших топологических пространств совпадает, например, с функтором сингулярных гомологий.
§ 25.7. Характеристические классы
F
Характеристический класс расслоения £: Е —>Х — инвариант этого расслоения, принимающий значения в кольце когомологий базы
1 Пусть I — направленное множество индексов, {X,, i е!} —семейство групп и для любых I, j е /, j^i, определён такой гомоморфизм кц : Xj —> Xh что hi{ = idx , hik = hjk о htj для любых i, j, к, i ^ j ^ к. Тогда проективный предел семейства {Xj} определяется как подмножество в состоящее из наборов {xt eXt}, для которых h{j (хj) = х,, как только j ^ i. 1


220
Лекция 25. Разное
H*(X;G) и отвечающий за свойства расслоения £, так или иначе связанные с его сечениями. Имеется много разных характеристических классов для различных типов расслоений. Наиболее известны классы Штифеля—Уитни (для векторных расслоений и для главных G-pac- слоений), классы Черна (для комплексных векторных расслоений), классы Понтрягина (в первую очередь для гладких расслоений), класс Эйлера (для самых разных расслоений).
У теории характеристических классов имеется много значительных приложений, в частности к теории струн, инвариантам Громова-Виттена, теории узлов, многообразиям Калаби—Яо, топологической квантовой теории поля, дифференциальной и алгебраической геометрии и топологии.
Поговорим сначала о классах Штифеля—Уитни векторных расслоений и приведём их простейшие свойства.
р
Для п-мерных векторных расслоений £ = (Е —>X) и всех £ = 0,1,... классы Штифеля—Уитни ш*(£) размерности i определяются аксиоматически как такие элементы группы когомологий Hl(X; Z/2) базы, для которых выполнены следующие условия.
(I) Нормировка: ш0(£) = 1, wt(£) = 0 при i > п, шг(1л) = 1 для «расслоения Мёбиуса» (нетривиального одномерного расслоения /х над окружностью S1).
(II) Естественность: ш*(/*(0) =/*(^(?))-
(III) Мультипликативность: если Е>1 и £2 — векторные расслоения над одной и той же базой X, то
h*(Si©?2) = SCu'iCSi^ub-iKa)),
i=0
где w обозначает умножение в когомологиях, а 0 — сумму Уитни векторных расслоений, т. е. векторное расслоение над X, слой которого над любой точкой х € X является прямой суммой векторных пространств 1W и 1W (читатель легко даст соответствующее формальное определение).
Из этих аксиом выводятся следующие свойства классов Штифеля— Уитни векторных расслоений.
(1) Классы Штифеля—Уитни инвариантны, т. е. изоморфные расслоения имеют одинаковые классы Штифеля—Уитни ии{ для каждого i.
(2) Для любого тривиального расслоения е выполнено равенство Wi(e) = 0 при i>0.


§ 25.7. Характеристические классы
221
(3) Два одномерных векторных расслоения, у которых первые классы Штифеля—Уитни совпадают, изоморфны.
(4) Для любого тривиального расслоения е и любого расслоения 4 выполнено равенство w^s 0 £) = для всех i.
(5) Если п-векторное расслоение £ обладает нигде не обращающимся в нуль сечением, то wn (£) = 0.
(6) Если п-векторное расслоение £ имеет к всюду линейно независимых сечений, то wn_fc+1 (£) = шп_^+2(?) — • • • — wn (?) — 0.
(7) Если М — гладкое многообразие, то М ориентируемо тогда и только тогда, когда (ГМ) — 0.
Имеется два классических доказательства существования классов, удовлетворяющих указанным аксиомам. Одно основано на теории препятствий для построения линейно независимых сечений (в духе теории, построенной в лекции 23), второе — на использовании бесконечномерного грассманиана (в духе лекции 24).
Скажем теперь несколько слов про классы Черна и Понтрягика.
Классы Черна ch i = 0,1,..., 2, представляют собой (в какой-то мере) комплексный аналог классов Штифеля—Уитни, но имеют ряд принципиальных отличий. Их можно тоже определить аксиоматически. Для любого п-мерного комплексного расслоения £: Е —»X класс с, (О является некоторым элементом группы когомологий H2l(X; Z) (обратите внимание на чётность размерности групп когомологий и на группу коэффициентов — здесь уже целые числа!). Другое принципиальное отличие состоит в том, что классы Черна для расслоений над римановыми многообразиями можно определить через форму кривизны. Классы Черна обладают аналогами свойств (1)—(7); для линейных (= комплексной размерности 1) комплексных расслоений Я класс с2(А) является полным инвариантом, т.е. имеется биекция между группой Н2(Х\Ъ) и множеством классов изоморфных линейных комплексных расслоений.
Классы Понтрягина рь i = 0,1,..., (вещественных) векторных расслоений проще всего определить через классы Черна комплексифика- ции £®С данного расслоения £ так: р1(<^):=(—1)1с2г(?®С), они принимают значения в группе H4l(X; Z) (обратите внимание на размерность и на группу коэффициентов). Для классов Понтрягина выполняется лишь небольшая часть свойств (1)—(7), зато в случае, когда база расслоения — гладкое многообразие, они дают много ценной информации. Среди их эффектных приложений выделяется вычисление (с участием изоморфизма Тома) групп бордизмов гладких многообразий.


222
Лекция 25. Разное
§ 25.8. Спектральные последовательности
Спектральная последовательность — это средство вычисления групп (ко)гомологий данного топологического или алгебраического объекта X путём последовательных приближений. Для построения спектральных последовательностей обычно предъявляют фильтрацию объекта X, т. е. возрастающую (не обязательно конечную) последовательность подобъектов:
х0 <->... ^-х.
Эта фильтрация приводит к некоторой фильтрации в (ко) гомологиях, члены которой в каком-то смысле сходятся к (ко) гомологиям X. (Таким образом, спектральная последовательность является (очень) далёким обобщением точной последовательности пары.)
В разных ситуациях в различных областях математики возникают свои «именные» спектральные последовательности: Адамса (в стабильной теории гомотопий), Арнольда (в теории особенностей), Картана—Лере (в эквивариантной топологии), Лере (в теории расслоений), Гротендика (в теории категорий), Серра (в топологии расслоенных пространств), Ходжа—де Рама (в комплексном анализе), Хохшильда—Серра (в гомологической алгебре).
Дать строгое определение спектральной последовательности, покрывающее все эти частные случаи, в коротком тексте невозможно. Мы ограничимся некоторыми намёками на общую схему вычисления.
В процессе вычисления гомологической спектральной последовательности после r-го шага для любых целых р и q имеем биградуиро- ванный объект (группу, модуль и т. п.) Erpq и гомоморфизм
dr • Ег -> Ег
Р Я * Р Q Р—г q+r—Р
называемый граничным оператором и удовлетворяющий условию dr о dr = 0. На (г + 1)-м шаге мы определяем Е1^1 как гомологии Erpq относительно дифференциала drpq) т. е. полагаем
EpV = Kerd;q/Imd;+rq_r+1,
и некоторым естественным образом определяем следующий дифференциал drpq. При благоприятных условиях набор {Erpq: р + q = n} сходится (в некотором смысле) к гомологиям НП(Х).
А серьёзное изложение теории спектральных последовательностей—это семестровый (если не годовой!) спецкурс.


Литература
(хорошие книги по топологии на русском языке)
[1] В. А. Васильев. Введение в топологию. М.: Фазис, 1997.
[2] О. Я. Виро и др. Элементарная топология. М.: МЦНМО, 2018.
[3] У. Масси, Дж. Столлингс. Алгебраическая топология. Введение. М.: Мир, 1977.
[4] В. В. Прасолов. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. М.: МЦНМО, 2014.
[5] В. В. Прасолов. Элементы теории гомологий. М.: МЦНМО, 2014.
[6] В. А. Рохлин, Д. Б. Фукс. Начальный курс топологии. М.: Наука, 1977.
[7] Н. Стинрод, С. Эйленберг. Основания алгебраической топологии. М.: Физматгиз, 1958.
[8] А. Т. Фоменко, Д. Б. Фукс. Гомотопическая топология. М.: Наука, 1989.
[9] А.Хатчер. Алгебраическая топология. М.: МЦНМО, 2011.


Оглавление
Предисловие 3
Часть I. Элементарная топология
Лекция 1. Топология подмножеств пространства Rn 7
Лекция 2. Абстрактные топологические пространства 14
Лекция 3. Топологические конструкции 22
Лекция 4. Графы 31
Лекция 5. Примеры поверхностей 37
Лекция 6. Классификация поверхностей 47
Лекция 7. Гомотопия 57
Лекция 8. Векторные поля 64
Лекция 9. Кривые на плоскости 75
Лекция 10. Фундаментальная группа 82
Лекция 11. Накрытия 89
Лекция 12. Узлы, зацепления и косы 100
Часть II. Введение в алгебраическую топологию
Лекция 13. Гомологические функторы 112
Лекция 14. CW-комплексы 119
Лекция 15. Гомотопические группы 129
Лекция 16. Клеточные гомологии 138
Лекция 17. Симплициальные гомологии 145
Лекция 18. Свойства симплициальных гомологий 155
Лекция 19. Сингулярные гомологии 167
Лекция 20. Применения гомологий 177
Лекция 21. Когомологии 185
Лекция 22. Двойственность Пуанкаре 193
Лекция 23. Теория препятствий 202
Лекция 24. Векторные расслоения и G-расслоения 209
Лекция 25. Разное 216
Литература 223