/
Автор: Борисович Ю.Г. Близняков Н.М. Израилевич Я.А. Фоменко Т.Н.
Теги: топология геометрия математика
ISBN: 5-02-014118-6
Год: 1995
Текст
Ю. Г. БОРИСОВИЧ, Н. М. БЛИЗНЯКОВ,
Я. А. ИЗРАИЛЕВИЧ, Т. Н. ФОМЕНКО
Введение
в топологию
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ДОПОЛНЕННОЕ
Рекомендовано Государственным комитетом
Российской Федерации по высшему образованию
в качестве учебного пособия для студентов вузов,
обучающихся по специальности «Математика»
В
МОСКВА
НАУКА • ФИЗМАТЛИТ
1995
ББК 22.152
В24
УДК 515.12 (075.8)
Издание осуществлено при финансовой
поддержке Российского фонда фунда-
ментальных исследований согласно
проекту 95-01-00048
Рецензенты:
кафедра геометрии, топологии и методики преподавания мате-
матики Белорусского государственного университета имени
В. И. Ленина;
профессор А. С. Мищенко.
Введение в топологию /Ю. Г. Борисович, Н. М. Близняков,
Я. А. Израилевич, Т. Н. Фоменко: Учеб, пособие.—2-е изд.,
доп.—М.: Наука. Физматлит, 1995.—416 с.—ISBN 5-02-014118-6.
Содержит материал, составляющий основу топологических знаний. Излага-
ются понятия и теоремы общей и гомотопической топологий, дается классифика-
ция двумерных поверхностей, основные понятия гладких многообразий и их отоб-
ражений, рассматриваются элементы теории Морса и теории гомологий с прило-
жениями к неподвижным точкам.
В книге использованы иллюстрации академика РАН А. Т. Фоменко.
1-е издание —1980 г.
Для студентов вузов, обучающихся по специальности «Математика». Может
быть использована преподавателями.
Ил. 130. Библиогр. 87 назв.
Учебное издание
БОРИСОВИЧ Юрий Григорьевич, БЛИЗНЯКОВ Николай Михайлович,
ИЗРАИЛЕВИЧ Яков Аронович, ФОМЕНКО Татьяна Николаевна
Введение в топологию
Редакторы Д. Б. Фукс, Е. Ю. Ходан. Художественный редактор Т. Н. Кольченко.
Технический редактор Е. В. Морозова. Корректор О. Ф. Алексеева.
Оператор верстки А. В. Чудинов. График М. В. Ивановский.
ИБ № 32673
ЛР № 020297 от 27.11.91. Подписано к печати с оригинал-макета 27.06.95. Формат
60x90/16. Бумага кн.-журн. Усл. печ. л. 26. Усл. кр.-отт. 26,25. Уч.-изд. л. 26,8.
Тираж 5000 экз. Заказ № 2911 . С-030.
Издательская фирма «Физико-математическая литература» РАН
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано в Московской типографии № 2 РАН
121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6
1602060000 4)30 ю ,
Б 053(02)—95 БМ 0бъЯВЛ’
ISBN 5-02-014118-6
© Издательство «Высшая школа», 1980
© Ю. Г. Борисович, Н. М. Близняков,
Я. А. Израилевич, Т. Н. Фоменко, 1995
© А. Т. Фоменко, иллюстрации, 1995
© Наука. Физматлит, оформление, 1995
Оглавление
Предисловие............................................................. 7
Глава I. ПЕРВЫЕ ПОНЯТИЯ ТОПОЛОГИИ...................................... 11
§ 1. Что такое топология?............................................. 11
§ 2. Обобщение понятий пространства и функции ........................ 18
1. Метрическое пространство (18). 2. Сходящиеся последовательности и
непрерывные отображения (20).
§ 3. От метрического пространства к топологическому (наглядный материал) 23
1. Метод «склейки» (23). 2. О понятии топологического пространства (25).
3. Склейка двумерных поверхностей (27).
§ 4. Понятие римановой поверхности.................................... 35
§ 5. Немного об узлах................................................. 41
§ 6. О некоторых приложениях топологии в физике....................... 43
Обзор рекомендуемой литературы......................................... 58
Глава И. ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ............................................... 61
§ 1. Топологическое пространство и непрерывное отображение ........... 61
1. Определение топологического пространства (61). 2. Окрестности (64).
3. Непрерывное отображение. Гомеоморфизм (66). 4. Подпространство
топологического пространства (67)-
§ 2. Топология и непрерывные отображения метрических пространств.
Пространства R”, У-1, D” ......................................... 68
1. Топология в метрическом пространстве (68). 2. Пространство К" (70).
3. Диск Dm гомеоморфен (73).
§ 3. Факторпространство и фактортопология............................. 75
1. Определение фактортопологии (75). 2. Примеры факторпрост-
ранств (76). 3. Отображения факторпространств (78).
§ 4. Классификация поверхностей ...................................... 80
1. Поверхности и их триангуляция (80). 2. Развертка поверхности (82).
,3. Классификация разверток (84). 4. Эйлерова характеристика и тополо-
гическая классификация поверхностей (89).
§ 5. Пространства орбит; проективные и линзовые пространства ...... 91
1. Определение пространства орбит (91). 2. Проективные пространства
RP”, СР” (92). 3. Линзовые пространства (93).
§ 6. Операции над множествами в топологическом пространстве .......... 94
1. Замыкание множества (94). 2. Внутренность множества (96). 3. Грани-
ца множества (97).
3
§ 7. Операции над множествами в метрическом пространстве. Шар и сфера.
Полнота ..............................................................
1. Операции над множествами в метрическом пространстве (98). 2. Шар
и сфера в R” (99). 3. Шар и сфера в произвольном метрическом, про-
странстве (100). 4. Полнота метрических пространств (101).
§ 8. Свойства непрерывных отображений .................................
1. Эквивалентные определения непрерывного отображения (102). 2. Три
задачи о непрерывных отображениях (103).
§ 9. Произведение топологических пространств ..........................
1. Топология в прямом произведении пространств (104). 2. Непрерывные
отображения в произведение пространств (109).
§ 10. Связность топологических пространств.............................
1. Понятие связности топологического пространства (111). 2. Свойства
связных пространств (113). 3. Связные компоненты (116).
§ 11. Аксиомы счетности и отделимости..................................
1. Аксиомы счетности (117). 2. Свойства отделимости пространства (119).
3. Хаусдорфовы пространства с первой аксиомой счетности (122).
§ 12. Нормальные пространства и функциональная отделимость.............
1. Эквивалентное определение нормального пространства (123). 2. Функ-
циональная отделимость. Теоремы Урысона о продолжении числовых
функций (124).
§ 13. Компактные, локально компактные и паракомпактные пространства и
их отображения .......................................................
1. Понятие компактного пространства (128). 2. Отображения компактных
пространств (134). 3. Произведение компактных пространств (135).
4. Компактность в метрическом пространстве (137).
§ 14. Компактные расширения топологических пространств. Метризация . .
1. Компактные расширения (138). 2. Метризуемость топологических про-
странств (141). 3. Топология пространств подмножеств и многозначные
отображения (141).
Обзор рекомендуемой литературы.........................................
Глава III. ТЕОРИЯ ГОМОТОПИЙ........................................
§ 1. Пространство отображений. Гомотопия, ретракция, деформация . . . .
1. Пространство непрерывных отображений (145). 2. Гомотопия (147).
3. Продолжение отображений (149). 4. Ретракция (150). 5. Цилиндр
отображения (152).
§ 2. Категория, функтор и алгебраизация топологических задач ..........
1. Категория (153). 2. Функторы (155).
§ 3. Функторы гомотопических групп ....................................
1. Гомотопическая группа пространства (157). 2. Фундаментальная груп-
па (164).
§ 4. Вычисление фундаментальных и гомотопических групп некоторых
пространств ..........................................................
1. Линейчатые пути на поверхности и их комбинаторные гомото-
пии (169). 2. Комбинаторные аппроксимации путей и гомотопий (172).
3. Фундаментальная группа окружности (175). 4. Фундаментальная
группа поверхности (177). 5. Топологическая инвариантность эйлеровой
характеристики поверхности (180). 6. О вычислении высших гомотопиче-
ских групп (180). 7. Некоторые применения (183). 8. Степень отображе-
ния (184). 9. Некоторые результаты о гомотопических группах конкрет-
ных пространств (186).
Обзор рекомендуемой литературы.........................................
98
102
104
111
117
123
128
138
143
145
145
153
157
169
187
4
Глава IV. МНОГООБРАЗИЯ И РАССЛОЕНИЯ .................................
§ 1. Основные понятия дифференциального исчисления в п-мерном
пространстве ................................................ .......
1. Гладкие отображения (189). 2. Ранг отображения (191). 3. Теорема о
неявной функции (191). 4. «Криволинейные» системы координат (193).
5. Теорема о выпрямлении (193). 6. Лемма о представлении гладких
функций (197).
§ 2. Гладкие подмногообразия в евклидовом пространстве ..............
1. Понятие гладкого подмногообразия в RN (198). 2. Примеры подмного-
образий (200).
§ 3. Гладкие многообразия............................................
1. Понятие гладкого многообразия (203). 2. Проективные пространст-
ва (208). 3. Индуцированные структуры (210). 4. Многообразия мат-
риц (211). 5. Многообразия Грассмана (213). 6. Многообразия Штифе-
ля (214). 7. Произведение многообразий (215). 8. Группы Ли (215).
9. Риманова поверхность (216). 10. Конфигурационное пространст-
во (217). 11. Многообразия с краем (217). 12. Существование гладких
структур (220).
§ 4. Гладкие функции на многообразии и гладкое разбиение единицы . .
1. Понятие гладкой функции на многообразии (220). 2. Разбиение едини-
цы (221). 3. Алгебра Сг-функций на многообразии (226).
§ 5. Отображения многообразий........................................
1. Понятие гладкого отображения (227). 2. Классификация одномерных
многообразий (232). 3. Регулярные и нерегулярные точки гладкого отоб-
ражения (238). 4. Иммерсии, субмерсии, вложения, подмногообра-
зия (243). 5. Степень отображения по модулю 2 (252).
§ 6. Касательное расслоение и касательное отображение................
1. Идея касательного пространства (261). 2. Понятие касательного про-
странства к многообразию (262). 3. Касательное расслоение (267). 4. Ри-
манова метрика (270). 5. Касательное отображение (271). 6. Ориентация
многообразия (273).
§ 7. Касательный вектор как дифференциальный оператор. Дифференциал
функции и кокасательное расслоение...................................
1. Новое определение вектора (275). 2. Касательное расслоение (277).
3. Касательное отображение (281). 4. Дифференциал функции и каса-
тельное расслоение (282).
§ 8. Векторные поля на гладких многообразиях.........................
1. Касательный вектор к гладкому пути (285). 2. Динамическая группа
физической системы и ее инфинитезимальная образующая (286).
3. Гладкое векторное поле (287). 4. Алгебра "Ли векторных полей (289).
5. Ковекторные поля (290).
§ 9. Расслоения и накрытия ..........................................
1. Подготовительные примеры (291). 2. Определение расслоения (293).
3. Векторные расслоения (295). 4. Накрытия (297). 5. Разветвленные на-
крытия (315).
§ 10. Гладкая функция на многообразии и клеточная структура многообразия
(пример) ............................................................
1. Пример функции на торе (318). 2. Клеточный комплекс (318).
§ 11. Невырожденная критическая точка и ее индекс ...................
1. Невырожденные критические точки (322). 2. Лемма Морса (324).
3. Поле градиента (326).
§ 12. Критические точки и гомотопический тип многообразия ...........
1. Строение лебеговых множеств гладких функций (327). 2. Условия го-
мотопической эквивалентности лебеговых множеств (328). 3. Изменение
189
189
198
203
220
227
261
275
285
291
318
322
327
5
гомотопического типа при переходе через критическое значение (328).
4. Гомотопический тип многообразия (3'31). 5. Понятие точной последо-
вательности расслоения (дополнение к § 9) (332).
Обзор рекомендуемой литературы...................................... 332
Глава V. ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИЙ ............................................335
§ 1. Вступительные замечания..........................................335
§ 2. Гомологии цепных комплексов......................................338
§ 3. Группы гомологий симплициальных комплексов.......................341
1.- Симплициальные комплексы и полиэдры (341). 2. Гомологии симпли-
циальиых комплексов и полиэдров (343). 3. Вычисление гомологий кон-
кретных полиэдров (345). 4. Барицентрические подразделения. Симпли-
циальные отображения (353).
§ 4. Сингулярная теория гомологий ....................................355
1. Группы сингулярных гомологий (355). 2. Свойства,групп сингулярных
гомологий (359). 3. Гомологии и гомотопии (365).
§ 5. Аксиомы теории гомологий. Когомологии............................366
1. Аксиома гомотопии (366). 2. Аксиома точности (367). 3. Аксиома вы-
резания (367). 4. Аксиома размерности (367).
§ 6. Гомологии сфер. Степень отображения..............................369
1. Группы гомологий сферы (369). 2. Степень отображения (373). 3. Вра-
щение векторного поля (377).......................................
§ 7. Гомологии клеточного комплекса ..................................385
§ 8. Эйлерова харктеристика и число Лефшеца ..........................391
1. Число Лефшеца симплициального отображения (391). 2. Число Леф
шеца непрерывного отображения (395). 3. Эйлерова характеристика мно-
гообразия и особые точки векторного поля (398). 4. Число Лефшеца как
сумма индексов неподвижных точек (399).
Обзор рекомендуемой литературы........................................411
Комментарии к иллюстрациям............................................412
Список литературы.....................................................413
Предисловие
Роль топологии — дисциплины, введенной в учебные планы мате-
матических факультетов в середине 70-х годов, — в системе уни-
верситетского образования, на наш взгляд, весьма значительна. Без
привлечения топологических понятий вряд ли возможно построить
курсы математического анализа, дифференциальных уравнений,
дифференциальной геометрии, механики, функционального анали-
за, отвечающие современному состоянию этих математических дис-
циплин. Необходимо уже на младших курсах знакомить студентов
с топологическими методами исследования.
Опыт чтения топологии для младших курсов показал, что нужна
книга, доступная студентам с минимальной математической подго-
товкой (общие Сведения по теории множеств, курс общей алгебры,
начала линейной алгебры и математического анализа), вводящая
читателя в круг основных понятий современной топологии и содер-
жащая определенный запас топологических фактов и методов.
Данное пособие — один из возможных вариантов начального
курса топологии, на выборе которого, безусловно, отразились и лич-
ные вкусы авторов, и их опыт педагогической и исследовательской
работы. В нем излагаются разделы топологии, наиболее тесно свя-
занные с фундаментальными общематематическими курсами и при-
ложениями; учебный материал позволяет лектору выбирать различ-
ные варианты построения курса топологии и вести факультативные
занятия.
Отметим ряд методических особенностей нашего пособия. Изло-
жение общей топологии мы стремились вести активно, вводя конст-
руктивные элементы, например, связанные с понятием факторпро-
странства. По этой причине оно вводится гораздо ранее других об-
щетопологических понятий и дает возможность сразу изучать
важные примеры многообразий как топологические пространства
(двумерные поверхности, проективные пространства, пространства
орбит и др.), на которых позднее (гл. IV) появляются и гладкие
структуры. Теория двумерных поверхностей излагается не в одном
месте, а рассредоточивается по гл. I, II, III в соответствии с разви-
тием основных понятий топологии. В теории гомотопий вводится по-
нятие категории и функтора и объясняется идея алгебраизации то-
пологических задач. Функториальная точка зрения обеспечивает
единство изложений гомотопической и гомологической теорий и по-
7
зволяет естественно завершить описание различных теорий гомоло-
гий аксиоматикой Стинрода—Эйленберга, компенсируя в некоторой
степени отсутствие в пособии доказательства инвариантности симп-
лициальной теории гомологий. Далее, вычислительная техника в го-
мотопиях (гл. III) ограничивается вычислением фундаментальных
групп окружности и замкнутых поверхностей, однако равенство
лн(5")-^, п 2, (и ряд других) сообщается без доказательства и
служит для пропедевтического введения степени отображения сфер
и характеристики векторного поля (с выводом теоремы Брауэра и
основной теоремы алгебры); в гомологиях (гл. V) техника доведена
до уровня точных последовательностей, в частности, вычисляются
группы Hk(JSn, Z), Hk(RPn, Z), Hk(&Pn, Z) и доказываются теоре-
мы Брауэра, Лефшеца и Хопфа о неподвижных точках. Хотя все
подготовлено, чтобы развить технику дальше, мы сознательно оста-
навливаемся на этом уровне, имея в виду целевое назначение дан-
ного пособия.
Понятие гладкого многообразия, гладкой структуры, касательно-
го расслоения (гл. IV) разрабатывались как можно более детально,
обращалось внимание на связи с механикой, динамическими систе-
мами, теорией Морса. Нам представляется, что уже на раннем этапе
изучения теории гомологий необходимо знакомиться с рядом ее ва-
риантов (сингулярная, симплициальная, клеточная), так как даже
в простейших приложениях читатель может встретиться с любым из
них; в гл. V излагаются указанные выше варианты.
Мы получили много откликов на первое издание этой книги и
признательны их авторам за ряд полезных предложений и критиче-
ских замечаний. Многие из них учтены при подготовке второго из-
дания. Кроме того, нами введен новый материал и расширен преж-
ний (добавлен материал по теории гладких многообразий, теории
накрытий, теории неподвижных точек; вводная глава дополнена па-
раграфом о некоторых приложениях топологии в физике; расширено
изложение гомологий и когомологий, переработан и несколько со-
кращен раздел общей топологии).
Читателю — студенту I—II курсов — следует иметь в виду, что
в отдельных параграфах (§ 4 гл. I; § 5 гл. II; § 9 гл. IV) использу-
ются элементарные факты теории функций комплексного перемен-
ного; при первом чтении можно опустить эти места без ущерба для
понимания дальнейшего. Упражнения в тексте параграфа часто за-
меняют простое рассуждение и имеют целью активизировать работу
читателя. Петитом набран дополнительный к основному материал.
Мы фиксируем окончание доказательства теорем знаком ; в случае
необходимости отделить текст примера от последующего текста ис-
пользуется знак ♦. При ссылках на предыдущий материал в преде-
лах одной главы мы не указываем номер главы.
Отметим, что в основу книги положены лекции, прочитанные
Ю. Г. Борисовичем студентам математического факультета Воро-
нежского университета. Их текст, составленный Н. М. Близняковым
и Т. Н. Фоменко, был затем существенно и неоднократно перерабо-
8
тан с привлечением дополнительного материала лектором совместно
с Н. М. Близняковым (гл. IV), Я. А. Израилевичем (гл. IV, V),
Т. Н. Фоменко (гл. II, III, V). Рисунки к тексту выполнены
Т. Н. Фоменко, иллюстрации на обложке и перед главами выполне-
ны по просьбе авторов академиком РАН А. Т. Фоменко, которому
авторы выражают глубокую благодарность.
В заключение нам хотелось бы выразить искреннюю благодар-
ность академикам Д. В. Аносову, С. П. Новикову, А. Т. Фоменко, а
также профессорам С. В. Матвееву, А. С. Мищенко, М. М. Постни-
кову, Е. Г. Скляренко, Ю. П. Соловьёву, Д. Б. Фуксу, А. В. Чернав-
скому, способствовавшим улучшению книги. Авторы благодарят кол-
лектив сотрудников и аспирантов кафедры алгебры и топологических
методов анализа ВГУ за полезные обсуждения и замечания. Особую
признательность авторы выражают Г. Н. Борисович за техническую
помощь в подготовке рукописи и за постоянную поддержку и внима-
ние.
Авторы
ГЛАВА I
Первые понятия топологии
Цель данной главы — подготовить читателя к систематическому
изучению разделов топологии, излагаемых в следующих главах.
Здесь дается доступный широкому кругу читателей обзор проблем,
исследование которых привело к формированию топологии как ма-
тематической дисциплины, ее интенсивному развитию в настоящее
время, включая некоторые приложения в современной физике.
§ 1. Что такое топология?
Что касается меня, то все различные пути,
на которых я последовательно находился,
приводили меня к Analysis situs.
А. Пуанкаре
1. Топология как наука сформировалась, по общему мнению, в
трудах великого французского математика Анри Пуанкаре в конце
XIX в. Первые наблюдения топологического характера восходят к
Л. Эйлеру и К. Гауссу. Начало топологических исследований можно
отнести к работам Б. Римана (середина XIX в.). В его исследованиях
по теории функций были развиты новые методы, основывающиеся на
геометрических представлениях. Им была сделана попытка сформу-
лировать понятие многомерного многообразия и ввести высшие по-
рядки связности. Эти понятия были уточнены Э. Бетти (1871). Но
только А. Пуанкаре, исходя из потребностей теории функций и диф-
ференциальных уравнений, ввел целый ряд важнейших топологиче-
ских понятий, развил содержательную теорию и применил ее к ис-
следованиям в различных разделах математики и механики. Его идеи
и поставленные им проблемы до сих пор существенно влияют на раз-
витие топологии и ее приложений.
А. Пуанкаре так определял содержание Analysis situs * (как
тогда называли топологию): «Analysis situs есть наука, которая по-
зволяет нам узнавать качественные свойства геометрических фигур
* Analysis situs — геометрия положения (перевод с латинского), этот термин как
название дисциплины ввел Б. Риман; термин «топология» (от греч. xottog — место,
Xoyos — закон) ввел И. Б. Листинг (1847).
11
не только в обычном пространстве, но также и в пространстве бо-
лее трех измерений. Analysis situs в трех измерениях является для
нас познанием почти интуитивным; напротив, Analysis situs в бо-
лее чем трех измерениях представляет громадные трудности, и
чтобы начать пытаться их преодолевать, нужно быть очень убеж-
денным в крайней важности этой науки. Если эта важность не
всеми понята, то это потому, что об этом недостаточно размыш-
ляли» [61, т. III, с. 633].
Чтобы уяснить, что понимается под качественными свойствами
геометрических фигур, представим себе сферу в виде резиновой обо-
лочки и разрешим сжимать и растягивать ее любым способом без
разрывов и не «склеивающим» различные ее точки в одну. Такие
преобразования сферы называются гомеоморфизмами, а различные
фигуры, получающиеся при гомеоморфизмах, — гомеоморфными
между собой. Так вот, качественные свойства сферы — это свойст-
ва, общие всем гомеоморфным ей фигурам, или, как говорят, сохра-
няющиеся при гомеоморфизмах.
Очевидно, можно говорить о гомеоморфизмах и качественных
свойствах и других фигур. Качественные свойства принято также
называть топологическими. В данном примере очевидно такое то-
пологическое свойство сферы, как ее целостность (связность). Более
глубокие свойства обнаружатся при попытке установить гомеомор-
физм сферы, например, с кругом (или с шаром). Легко прийти к
убеждению, что такой гомеоморфизм невозможен. Однако чтобы до-
казать это, необходимо указать различные топологические свойства
для сферы и круга (шара). Такими свойствами являются «стягивае-
мость» круга (шара) в одну из своих точек посредством «плавного»
его изменения, сжатия по радиусам к центру и «нестягиваемость»
сферы по себе ни к одной из своих точек. Полезно обратить внима-
ние и на топологическое различие между волейбольной и велоси-
педной камерами. Эти интуитивные представления нуждаются в
строгом обосновании.
Упражнение 1°. Исходя из наглядных представлений убедитесь,
что: а) круговое кольцо не гомеоморфно кругу; б) число «дыр» в
геометрической фигуре является ее топологическим свойством.
Исследования Пуанкаре дали начало одному из направлений в
топологии — комбинаторной, или алгебраической, топологии. Ее
метод заключается в сопоставлении геометрическим фигурам по
некоторому, общему для всех фигур, правилу алгебраических объ-
ектов (групп, колец и т. п.) так, что определенным отношениям
между фигурами соответствуют алгебраические отношения между
объектами. Изучение свойств алгебраических объектов проливает
свет на свойства геометрических фигур. Алгебраические объекты,
построенные А. Пуанкаре, суть группы гомологий и фундаменталь-
ная группа.
Развитие метода алгебраической топологии неизбежно привело к
объединению с теоретико-множественными идеями (Г. Кантор —
конец XIX в.; Ф. Хаусдорф — первое десятилетие XX в.). Действи-
тельно, исследование качественных свойств множеств в пространст-
вах любого числа измерений в дальнейшем вылилось в понятие то-
12
пологического пространства — фундаментальное понятие, пронизы-
вающее всю математику. Оно связано не только с рассмотрением
геометрических фигур в конечномерных пространствах: развитие
теории функции действительного переменного и функционального
анализа привело к построению функциональных пространств, кото-
рые, как правило, бесконечномерны.
«Первые достаточно общие определения топологического про-
странства даны в работах М. Р. Фреше, Ф. Рисса и Ф. Хаусдорфа.
Окончательно определение топологического пространства было
сформулировано польским математиком К. Куратовским и
П. С. Александровым» [28].
Топологические пространства и их непрерывные отображения,
изучение их общих свойств составили содержание одного из разде-
лов топологии, известного под названием «общая топология».
Объединение алгебраического и теоретико-множественного на-
правлений в топологии осуществилось в работах Л. Э. Брауэра при
изучении понятия размерности пространства (1908—1912) и в даль-
нейшем получило существенное развитие в трудах Дж. У. Алексан-
дера, С. Лефшеца, П. С. Александрова, П. С. Урысона, X. Хопфа,
Л. А. Люстерника, Л. Г. Шнирельмана, М. Морса, А. Н. Тихонова,
Л. С. Понтрягина, А. Н. Колмогорова, Э. Чеха и др. Работы совет-
ских математиков составляют глубокий и обширный вклад в разви-
тие всей топологии в целом.
Дать точное описание достигнутых результатов (и даже постано-
вок задач) невозможно без знакомства с началами общей и алгебра-
ической топологии. Здесь мы дадим лишь определенное представле-
ние о некоторых задачах, стимулировавших топологические ис-
следования.
Если S1 — окружность на евклидовой плоскости R2, то множест-
во R2\S1 распадается на два взаимно дополнительных открытых
множества: внутренность А и внешность В по отношению к S1. Ок-
ружность S1 играет роль перегородки между А и В. Можно ли про-
вести непрерывный простой путь из произвольной точки a G А в
произвольную точку b G В так, чтобы он не пересекал перегородку
S!? {Простым непрерывным путем называют гомеоморфное
отображение отрезка [0, 1] числовой оси в плоскость.) Ответ отри-
цателен. Действительно, если р(х, у) — евклидово расстояние меж-
ду точками х, у плоскости R2 и y(t) — такой путь, 0 < / < 1,
у(0) = а, у(1) = Ь, то функция f(t) = p(y(Z), 0), где 0 — центр ок-
ружности, непрерывна и /(0) < г, f(V)>r, где г — радиус окруж-
ности S1. По свойству непрерывных функций /(/) принимает значе-
ние г в некоторой точке /0, следовательно, y(Z0) G S1.
Заменим теперь окружность S1 ее гомеоморфным образом Г (та-
кая кривая называется простой замкнутой). Возникает вопрос:
разбивается ли множество R2\F на непересекающиеся открытые
множества, границей каждого из которых является Г? Ответ утвер-
13
дительный (теорема Жордана), но доказательство уже использует
тонкие топологические понятия. При этом кривая Г так же, как и
51, обладает свойством перегородки, разделяющей два открытых
множества.
Задача еще более усложнится, если вместо простой замкнутой
кривой рассмотреть гомеоморфный образ «-мерной сферы, лежащий
в («+1)-мерном евклидовом пространстве. Обобщение теоремы
Жордана на этот случай было дано Л. Э. Брауэром в 1911—1913 гг.
Глубокое обобщение этого результата привело к созданию теорем
двойственности (Дж. У. Александер, Л. С. Понтрягин, П. С. Алек-
сандров и др.), долгое время определявших развитие алгебраической
топологии.
Другая важная задача — обобщение понятия размерности. Раз-
мерность евклидова пространства хорошо известна как алгебраи-
ческое понятие. Является ли оно топологическим свойством, т. е.
будут ли гомеоморфные евклидовы пространства иметь одинаковую
размерность? Положительный ответ был дан А. Лебегом (1911).
Что же касается геометрических фигур, Лежащих в евклидовых
пространствах, то следовало первоначально сформулировать для них
понятие размерности. Идея такого определения была высказана
еще А. Пуанкаре. Размерность пустого множества полагается рав-
ной —1, и далее по индукции: если мы уже знаем, что такое раз-
мерность до п — 1, то размерность п некоторого множества А
(dim А = п) означает, что его можно разбить на сколь угодно мел-
кие части множеством размерности п — 1 и нельзя этого сделать
множеством размерности п — 2. Эти идеи получили уточнение и
развитие в работах Л. Э. Брауэра, К. Менгера, П. С. Урысона,
П. С. Александрова и др.
Еще одно важное направление в топологии, тесно связанное с
приложениями, — теория неподвижных точек. Уже в алгебре и на-
чалах анализа мы встречаемся с вопросом существования решений
уравнений вида
/(*)=о, (1)
где /(х) — многочлен или более сложная функция. Уравнение (1)
эквивалентно уравнению
/(х) + х = х, (2)
или (обозначив Г(х) = /(х) + х) уравнению
F(x) = x. (3)
Решения уравнения (3) называются неподвижными точками
отображения F. Если уравнение (1) векторное, т. е. представляет
собой систему из п уравнений с п неизвестными, п > 1, то эквива-
лентное уравнение (3) тоже векторное и, следовательно, неподвиж-
ные точки лежат в многомерном евклидовом пространстве R".
Чрезвычайно важной задачей является отыскание достаточно об-
щих и эффективных признаков существования неподвижных точек.
14
Л. Э. Брауэром получен замечательный результат, находящий широ-
чайшие приложения в современных исследованиях. Он формулирует-
ся удивительно просто: всякое непрерывное отображение выпуклого
ограниченного замкнутого множества в себя имеет неподвижную точ-
ку. Выпуклое множество может рассматриваться как в трехмерном,
так и в многомерном евклидовом пространстве. Например, непрерыв-
ное отображение в себя замкнутого (т. е. рассматриваемого вместе с
границей) круга в плоскости или шара в пространстве обязательно
имеет неподвижную точку.
Упражнение 2°. Покажите, что аналог теоремы Брауэра для кру-
гового кольца неверен.
Теорема Брауэра получила дальнейшее развитие в работах
X. Хопфа, С. Лефшеца и др. Она получила обобщение и на слу-
чай отображений функциональных пространств (О. Д. Келлог,
Дж. Д. Биркгоф, Ю. П. Шаудер, Ж. Лере), что расширило область
ее приложений. Следует отметить, что еще А. Пуанкаре интересо-
вался теоремами существования неподвижных точек, сводя к ним
некоторые задачи небесной механики.
2. Подчеркнем, что задачи, описанные выше, далеко не состав-
ляют всей проблематики топологии. Приведем другие примеры. В
работах Б. Римана впервые было введено понятие п-мерного много-
образия как пространства, в котором точки обладают п числовыми
координатами, определенными, по крайней мере, на достаточно ма-
лых участках пространства. В современной математике различают
топологические и гладкие многообразия. Это связано с теми или
иными возможностями согласования систем координат, заданных на
отдельных участках многообразия. Участки многообразия могут пе-
ресекаться, и пересечения получают таким образом различные сис-
темы координат, при этом каждая система координат может быть
выражена через другую непрерывным или гладким (дифференци-
руемым) преобразованием. В первом случае многообразие называют
топологическим, во втором — гладким.
Являясь обобщением понятия поверхности в трехмерном евкли-
довом пространстве, понятие многообразия охватило целый ряд гео-
метрических объектов, возникавших в классической механике, диф-
ференциальных уравнениях, теории поверхностей. Пуанкаре придал
окончательную форму понятию многообразия и развил начала ана-
лиза на таких пространствах,
В дальнейшем эти концепции получили развитие в теории
гладких многообразий (Ж. де Рам, Л. С. Понтрягин, X. Уитни и
др.). Следуя методу алгебраической топологии, таким пространст-
вам сопоставили новые алгебраические объекты — «кольца кого-
мологий внешних дифференциальных форм». Сами гладкие много-
образия также удалось «организовать» в «кольцо внутренних гомо-
логий» (В. А. Рохлин, начало 50-х годов). Алгебраические объекты
иного типа — гомотопические группы лп, п> 1, топологического
пространства — были введены в 30-х годах В. Гуревичем; они
явились глубоким обобщением понятия фундаментальной группы
Hj А. Пуанкаре. Группы лп — «важнейшие инварианты, играющие
15
фундаментальную роль в построении топологии» [51, с. 25]. Про-
блема их вычисления геометрическими методами занимала важное
место в топологии (Л. С. Понтрягин, Г. ф. Фрейденталь, В. А. Рох-
лин, 30-е—начало 50-х годов). С конца 20-х годов разносторонне
исследуются группы гомологий Нп, п 5 0, топологических про-
странств (формально-алгебраическое определение которых предло-
жено Э. Нётер). Определяется «двойственная» по отношению к го-
мологиям теория «когомологий» (А. Н. Колмогоров, Дж. У. Алек-
сандер, середина 30-х годов). Накопление различных
алгебраических объектов в топологии привело к выделению и раз-
витию «гомологической алгебры». В 30—40-е годы нашего столетия
возникла из дифференциальной геометрии и развилась в самосто-
ятельное направление теория расслоенных пространств (расслое-
ний). Расслоенное пространство можно представить как непрерыв-
ную совокупность пространств — слоев, гомеоморфных друг другу
и «занумерованных» точками другого пространства — базы рассло-
ения. Простейший пример — совокупность нормалей или каса-
тельных плоскостей к двумерной поверхности в евклидовом про-
странстве (базе расслоения). Однако в общем случае и слои, и ба-
за расслоения могут быть устроены значительно сложнее.
Проблема классификации расслоений, построения их инвариантов
(«характеристических классов») была решена в работах Л. С. Пон-
трягина, X. Уитни, Э. Штифеля, Чжень Шень Шеня.
3. В послевоенный период произошла существенная перестройка
топологии. К началу 50-х годов был накоплен богатый запас резуль-
татов в области алгебраической топологии. Назрела задача выработ-
ки единого взгляда на все многообразие полученных фактов, созда-
ния новых общих методов. Такая перестройка топологии шла под
общим влиянием французской топологической школы (Ж. Лере,
Р. Том, А. Картан, Ж.-П. Серр и др.).
Развитие топологии с 50-х годов шло бурными темпами и в чрез-
вычайно большом числе направлений. В этом развитии активное
участие принимали советские математики. Перечислим некоторые
наиболее крупные направления, следуя обзору [51].
В этот период в центре внимания топологов по-прежнему на-
ходятся гладкие многообразия и расслоенные пространства и их
отображения. Развивается теория гомотопий, когомологических
операций, спектральной последовательности расслоений; интенсив-
но развивается теория характеристических классов и кобордизмов;
исследуются геометрическая и гомотопическая структуры гладких
многообразий; развиваются теория категорий и функторов, общие
вопросы теории гомологий; интенсивно развиваются A-теория и
тесно связанная с ней теория индекса эллиптических операторов;
развивается теория слоений, теория конечных и компактных групп
преобразований, вычисляются когомологии алгебр Ли векторных
полей; продолжает активно развиваться направление «общая топо-
логия».
Ряд важнейших достижений этого периода связан с именами та-
ких математиков, как Ж. Лере, Ж.-П. Серр, Р. Ботт, Ф. Хирцеб-
16
pyx, P. Том, Дж. Ф. Адамс, M. Атья, Дж. Милнор, С. П. Новиков,
М. М. Постников.
В частности, развитие топологии привело к решению ряда стояв-
ших перед топологами крупных проблем: создание Ж. Лере фунда-
ментального алгебраического метода вычисления гомологических
групп с помощью спектральной последовательности; полное реше-
ние М. М. Постниковым проблемы определения гомотопического ти-
па пространств; исследование числа «гладких структур» на данном
топологическом многообразии (т. е. способов превратить его в глад-
кое многообразие; отметим эффектный результат Дж. Милнора о
существовании на семимерной сфере S7 двадцати восьми гладких
структур); доказательство С. П. Новиковым «топологической инва-
риантности» классов Понтрягина. Исследована проблема триангуля-
ции гладких многообразий, т. е. возможности их разбиения на пра-
вильно примыкающие симплексы. Фигуры, составленные из симп-
лексов (так называемые полиэдры), рассматривал еще А. Пуанкаре
при построении теории гомологий. Напомним, что симплекс — это
выпуклая оболочка линейно независимых точек в евклидовом про-
странстве или ее гомеоморфный образ; указанные точки называются
вершинами симплекса, а уменьшенное на единицу их число — раз-
мерностью симплекса. Всякое подмножество вершин симплекса так-
же определяет симплекс — грань исходного симплекса; правильное
примыкание симплексов в полиэдре означает, что симплексы могут
пересекаться только по их обшей грани. Один из принципиальных
вопросов классической топологии: допускают ли два гомеоморфных
полиэдра размерности п «одинаковые», с комбинаторной точки зре-
ния, триангуляции? Эта так называемая «основная проблема комби-
наторной топологии» была решена для размерности п 3 Е. Е. Мой-
сом, а для старших размерностей она решается, вообще говоря, от-
рицательно (случай п = 4 удалось исследовать лишь в 80-е годы —
М. Фридман, С. Дональдсон); С. П. Новиков, Р. Керби, Л. Зибен-
ман исследовали возможное число неэквивалентных триангуляций
многообразия.
4. Назовем еще ряд крупных достижений в самой топологии и
ее приложениях: классификация многомерных (п>5) многообра-
зий (С. П. Новиков, Ч. Уолл, У. Браудер); вычисление числа и
классификация линейно независимых векторных полей на сферах
(Дж. Ф. Адамс); доказательство А. В. Чернавским локальной стя-
гиваемости группы непрерывных гомеоморфизмов топологического
замкнутого компактного многообразия Мп (или пространства Rn); до-
казательство усилиями ряда топологов — А. С. Мищенко, Ю. П. Со-
ловьёва, Г. Г. Каспарова — высказанной С. П. Новиковым «гипоте-
зы о высших сигнатурах» в случае произвольных многообразий и
дискретных подгрупп групп Ли; топологическое решение проблемы
вычисления индекса эллиптических операторов (М. Атья, И. Зин-
гер); общее решение А. Т. Фоменко проблемы существования мини-
мальных поверхностей в классе бордизмов и др. (мы привели далеко
не полный список полученных топологами к настоящему времени
важных результатов). Подробности развития топологии читатель
17
может найти в цитировавшейся выше «Истории отечественной ма-
тематики» [28], а также в фундаментальном обзоре [51]. Отметим
одну важную черту современного этапа развития топологии — ши-
рочайшее проникновение ее методов во многие разделы современ-
ной математики: вариационное исчисление в целом, геометрию в
целом, топологию групп Ли и однородных пространств, топологию
комплексных и алгебраических многообразий, качественную (топо-
логическую) теорию динамических систем и слоений, топологиче-
ские методы в гамильтоновой механике, топологию эллиптических
и гиперболических уравнений с частными производными; проникно-
вение методов топологии в классический анализ привело к возник-
новению новой математической теории — теории особенностей, ко-
торую В. И. Арнольд (один из создателей этой теории, как и
Р. Том) охарактеризовал как «грандиозное обобщение исследования
функций на максимум и минимум» [8]; с 60-х годов развивается
«глобальный анализ» — топология бесконечномерных многообразий
и их отображений, — смыкающийся с вариационным исчислением в
целом и с классическим нелинейным функциональным анализом
(точнее, с той его топологической частью, которая связана с тео-
рией критических значений Морса—Смейла и топологией фредголь-
мовых отображений).
К настоящему времени топология стала мощным инструментом
математического исследования, а ее язык приобрел универсальное
значение.
Замечательным фактом является возникновение в 70—80-е годы
XX века комплекса приложений топологии в современной физи-
ке — факт, значимый не только для физики, но и для самой то-
пологии. «В ряде случаев без топологических понятий оказалось
невозможным понять суть реальных физических явлений... Топо-
логия нашла себе ряд блестящих применений в самых разнообраз-
ных задачах для описания качественных, устойчивых свойств раз-
личных математических и физических объектов...» [51, с. 6—7].
Естественно отметить и обратное влияние физических проблем
на развитие топологии. Академик С. П. Новиков, энергично пропа-
гандирующий взаимосвязи топологии и физики и активно участ-
вующий в развитии этого направления, выступая на открытии
международной конференции по топологии и ее приложениям
(СССР, 1987 г.), подчеркнул, что наиболее важные идеи за по-
следние 10 лет пришли в топологию из внешнего мира, и выразил
уверенность, что в XXI веке топология станет необходимым инст-
рументом приложений к анализу, с которым должен быть знаком
каждый.
§ 2. Обобщение понятий пространства и функции
1. Метрическое пространство. Как уже говорилось, в тополо-
гии выработано существенно более широкое понятие пространства,
чем евклидово. Вначале мы сделаем первый шаг и рассмотрим по-
нятие метрического пространства (менее общее, чем понятие топо-
18
логического пространства). Это вызвано как большей простотой,
так и широким использованием этого понятия в современной ма-
тематике.
В евклидовом пространстве R3 для каждой пары его точек
х — (£р £2, £3), у = (т]р т]2, т]3) определено расстояние
3 \ 1/2
р(х, у) = 2 “ П/)2 •
?-* /
При изучении R3 существенно используются следующие свойст-
ва расстояния:
I. р(х, у) >0 для любых х, у.
II. р(х, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у.
П1. р(х, у) = р(у, х).
IV. р(х, у) р(х, z) + p(z, у) для любых х, у, z е R3 (неравен-
ство треугольника).
На R3 могут существовать и другие вещественные функции от
пары точек х, у , удовлетворяющие свойствам I—IV.
Упражнение Г. Пусть (|р £2, |3), (т]р т]2, г]3) — координаты то-
чек х, у £ R3. Покажите, что функция р(х, у) = max | £(. — | удов-
1«i «3
летворяет свойствам I—IV.
Такие функции могут существовать также и на множествах иной
природы.
Упражнение 2°. Пусть X — произвольное множество. Положим
р(х, у) = 0, если х и у — совпадающие элементы в X, и
р(х, у) = 1 в противном случае. Покажите, что такая функция р
удовлетворяет свойствам I—IV.
Функции р из упражнений 1° и 2° естественно назвать рассто-
яниями между элементами соответствующих множеств.
Чтобы ввести общее понятие расстояния, напомним определение
произведения двух множеств. Если X и У — два множества, то их
произведением X х У называют множество, состоящее из всех упо-
рядоченных пар (х, у), где хб X, у G У. В частности, определено
произведение X х X.
Определение 1. Множество X вместе с отображением р:
ХхХ—»R* (в числовую ось), сопоставляющим каждой паре
(х, у) G X х У вещественное число р(х, у) и удовлетворяющим
свойствам I—IV, называется метрическим пространством и обоз-
начается (X, р).
Отображение р называют расстоянием или метрикой прост-
ранства X. Элементы множества X называют обычно точками.
Всякое множество можно превратить в метрическое пространст-
во, наделив его метрикой, описанной в упражнении 2°. Такое мет-
рическое пространство называется дискретным. Однако такой спо-
соб «метризации» малосодержателен.
19
Пример I. Пусть X С R3 — подмножество евклидова прост-
ранства. Расстояние в R3 в то же время может служить расстоянием
в X. Метрика в X получается в этом случае сужением метрики в
R3. ♦
Если (X, р) — метрическое пространство и У С X — подмножест-
во, то (У, р) — также метрическое пространство, где р: У х У—> R1 —
сужение отображения р на подмножество У х У.
Говорят, что метрика в У индуцируется (является наследствен-
ной) метрикой из X, а У называют подпространством метрическо-
го пространства X.
Ряд примеров метрических пространств естественно возникает в
задачах анализа.
Пример 2. Рассмотрим множество всех непрерывных функций
на отрезке [0, 1]. Его обычно обозначают С(о 1}. Если x(Z), y(t) —
две непрерывные функции из С(о ц, то положим
р(х, у) =max |х(<) - у(/)|. (1)
/е[о, 1]
Упражнение 3°. Проверьте, что функция (1) является метри-
кой. ♦
Множество С(о ц с описанной выше метрикой называется прост-
ранством непрерывных функций', оно играет важную роль в анализе.
Упражнение 4°. Пусть А — произвольное множество,. X — мно-
жество ограниченных вещественных функций на А. Если /: A—»R1,
g: A—»R' — произвольные элементы X, то положим
р(/, g) = sup |/(0 - £(0|.
t£A
Покажите, что р — метрика в X.
Упражнение 5°. Пусть р — простое число. Если п > 0 — целое и
в разложении на простые множители содержит степень ра, то поло-
жим ир(п) — а. Распространим функцию vp с множества целых по-
ложительных чисел на множество (Q\0 рациональных чисел без ну-
ля формулой vp( ± r/s) = vp(r) — vp(s). Положим
р(х, У) — p~ve(x~y), х^ у,
р(х, х) = 0
для произвольных х, у из (Q. Покажите, что функция р(х, у) опреде-
лена корректно и является метрикой в (Q (р-адическое расстояние).
2. Сходящиеся последовательности и непрерывные отображе-
ния. В метрическом пространстве (X, р) естественно вводятся поня-
тия, обобщающие начальные понятия математического анализа.
Отображение п хп множества натуральных чисел в метричес-
кое пространство (X, р) называется последовательностью точек
этого пространства и обозначается {хя}. Говорят, что последователь-
20
ность {хга} сходится к точке а (имеет предел а), если для всякого
е>0 найдется натуральное число п0(е) такое, что р(хп, а) < е для
всех п 3= п0(е).
Этот факт часто записывают так:
р
хп~*а, или, проще, хп~*а.
Упражнение 6°. Пусть |хц = — последовательность
точек трехмерного евклидова пространства; пусть р — евклидова
р
материка. Докажите, что ха-*а тогда и только тогда, когда
(/ = 1, 2, 3) при м-»оо, где а= (£°, £°).
Рассматривая последовательность непрерывных функций хп(/),
О sS t sS 1, как последовательность в метрическом пространстве
С[о ]], можно говорить о сходимости этой последовательности к эле-
р
менту xQ = x0(Z): хи—*х0. Такая сходимость часто называется рав-
номерной на отрезке [0, 1].
Упражнение 1°. Покажите, что последовательность функций
х (f) = n2te~'lt на отрезке [0, 1] сходится к нулевой функции пото-
чечно (т. е. при каждом фиксированном t G [0, 1]), но не сходится
равномерно на отрезке [0, 1].
Определим понятие непрерывного отображения метрического
пространства (X, р}) в метрическое пространство (У, р2).
Определение 2. Пусть /: Х—»У — отображение множества X в
множество У. Если для всякой точки х0 G X и всякой последова-
р|
тельности хп-»х0 в X последовательность образов в У сходится к
р2
/(х0):/(хи) —»/(х0), то отображение f называется непрерывным
отображением метрического пространства (X. pj в метрическое
пространство (У, р2).
Очевидно, что это определение является обобщением понятия
непрерывной числовой функции; оно охватывает широкий класс
отображений геометрических фигур в евклидовых пространствах.
Если свойство непрерывности, выраженное определением 2, рас-
смотреть в фиксированной точке х0, то получим определение непре-
рывного отображения в точке х0.
Упражнение 8°. Пусть S1 — сфера в евклидовом пространстве
R3 с центром в начале координат. Положим /(х) = —х (централь-
ная симметрия). Докажите, что / непрерывно.
Упражнение 9°. Приведите пример непрерывного отображения
плоского квадрата в себя, имеющего неподвижные точки только на
границе.
21
Очевидно, эквивалентное определение непрерывного отображе-
ния метрических пространств можно дать и на языке г, 6:
отображение f: Х-*У непрерывно, если для любого х0 G X и
любого е> 0 найдется такое 6= 6(е, х0), что р2(/(х), /(*о)) ** Е>
как только рДх, х0) < 5.
Если в этом определении 6 не зависит от выбора точки х0, то
отображение / называется равномерно непрерывным.
Упражнение 10°. Пусть /: R‘-*R‘ — непрерывная функция. До-
кажите, что отображение F: С[о ц -*С[0 п, где F(x(f)) = /(x(Z)),
непрерывно.
Напомним, что отображение множеств /: X —* У называется
сюръективным, если каждый элемент из У является образом неко-
торого элемента из X; инъективным, если различные элементы из
X отображаются в различные элементы из У; биективным, если
отображение сюръективно и инъективно одновременно.
Теперь мы подошли к определению гомеоморфизма метрических
пространств.
Определение 3. Отображение /: X —* У метрических пространств
называется гомеоморфизмом, а пространства X, У — гомеоморф-
ными, если 1) / биективно, 2) / непрерывно, 3) обратное отобра-
жение f~l непрерывно.
Это определение уточняет то представление о гомеоморфных фи-
гурах, которое на интуитивном уровне обсуждалось в § 1. Таким об-
разом, получает твердую почву и понятие о топологических свойст-
вах фигур; топологическими свойствами метрических про-
странств называются такие свойства, которые сохраняются при
гомеоморфизмах. Гомеоморфные метрические пространства называ-
ют топологически эквивалентными.
Упражнение 11°. Докажите, что: 1) кольцо в R2 гомеоморфно
цилиндру в R3; 2) кольцо без края (внутренность кольца) гомео-
морфно R2 без точки, S2 без двух точек.
Упражнение 12°. Докажите, что отображение полуинтервала
[0, 1) на окружность в комплексной плоскости, задаваемое функцией
z = ei2nt, Q^t< 1, не является гомеоморфизмом (метрика в комп-
лексной плоскости задается формулой p(z1? z2) = | z1 — z2|).
Упражнение 13°. Докажите, что: 1) замкнутые шар и куб в R3
гомеоморфны; 2) сфера S2 с выколотой точкой N (пространство
S2\jV, где N — северный полюс сферы) гомеоморфна плоскости R2.
(Используйте стереографическую проекцию.)
Если отображение /: X —» У является гомеоморфизмом на свой
образ /(X), рассматриваемый как подпространство в У, то f назы-
вают вложением пространства X в У.
Если X С У, то имеется естественное вложение X в У: /(х) = х.
22
§ 3. От метрического пространства к топологическому
(наглядный материал)
1. Метод «склейки». Обсудим идею введения более общего поня-
тия пространства, чем метрическое, — понятия топологического про-
странства — и дадим первоначальное представление о таких про-
странствах. Сначала опишем прием построения новых пространств,
который сразу выводит нас за рамки метрических пространств.
Пусть (X, р) — некоторое метрическое пространство (можно для
наглядности представлять себе X как некоторое подмножество евк-
лидова пространства R3). Пусть X разбито на непересекающиеся
подмножества Аа:
X = U Аа; Аа П Ар = 0, если а
Если все точки из X, попадающие в какое-нибудь Аа, назвать эк-
вивалентными и затем «склеить» в одну точку * аа, то получится но-
вое множество У = U аа. Оно называется фактормножеством по
а
данной эквивалентности. Заметим, что У не является подмножеством
X, следовательно, к «пространству» У метрика р, вообще говоря, не
имеет никакого отношения.
Путем склейки можно получить ряд известных поверхностей в
евклидовом пространстве. Рассмотрим некоторые из них. Пусть
Рис. 2
Рис. 1
Рис. 3
X — прямоугольник (рис. 1). Если «склеить» те точки на сторонах
ab и cd, которые лежат на общей горизонтали, то получим фак-
тормножество, которое можно отождествить с цилиндром (рис. 2).
* Строго это означает, что каждое множество эквивалентных точек из X рас-
сматривается как один элемент нового множества.
23
Если «склеить» точки, диаметрально противоположные относитель-
но центра О прямоугольника, лежащие на сторонах ab и de, то по-
лучим «лист Мёбиуса» (рис. 3).
Можно изготовить модель листа Мёбиуса из листа бумаги, скле-
ив противоположные стороны соответствующим образом. Эта мо-
дель наглядно демонстрирует ряд свойств листа Мёбиуса.
Лист Мёбиуса имеет ряд замечательных свойств: у него один
край — замкнутая линия adbea, в противоположность цилиндру он
имеет одну сторону, так как его можно закрасить непрерывным дви-
жением кисти в один цвет, не переходя через край (эти свойства
легко наблюдать на бумажной модели). Лист Мёбиуса — неориен-
тируемая поверхность. Напомним, что поверхность ориентируема,
если любой достаточно малый кружок на поверхности с фиксиро-
ванным направлением обхода его границы при любом «плавном» пе-
ремещении по поверхности в случае возвращения в исходное поло-
жение сохранит первоначальное направление обхода границы
(предполагается, что кружок не пересекал край поверхности); в
противном случае поверхность неориентируема. Неориентируемость
листа Мёбиуса ясна из рис. 4.
Если на листе abed привести склейку сторон ab и cd по точкам,
лежащим на общей горизонтали, и одновременно склейку сторон
bd и ас по точкам, лежащим на общей вертикали, то получится по-
верхность, называемая тором (рис. 5).
Если же склеить стороны ab и cd равно как и bd и ас, по диамет-
рально противоположным точкам относительно центра (рис. 6), то
фактормножество не удается реализовать в виде, фигуры в трехмер-
ном евклидовом пространстве. Точнее, такая попытка склеить экви-
валентные точки привела бы к поверхности, которая должна прони-
зывать сама себя без самопересечений. Мы могли бы поместить эту
поверхность в R3, только разорвав ее на части подходящим образом,
24
но это нарушило бы молчаливо подразумеваемый принцип «непре-
рывности» склейки (точки, близкие к эквивалентным точкам, при
склейке переходят в близкие точки). Полученное фактормножество
называется проективной плоскостью, его обозначают RP2.
Заметим, что прямоугольник abdc гомеоморфен кругу с грани-
цей abdc, и проективную плоскость можно описать иначе как круг
(рис. 7), у которого склеены диаметрально противоположные точки
его границы, или, наконец, как полусферу, диаметрально противо-
положные точки края которой склеены в одну (рис. 8).
Рис. 7
Рис. 8
Таким образом, операция образования фактормножества в пер-
вых трех из рассмотренных случаев приводит снова к фигурам в ев-
клидовом пространстве R3, а в последнем случае дает новый объект,
не реализуемый a R3.
Упражнения. 1°. Проверьте, что цилиндр, тор, сфера — ориен-
тируемые поверхности, а проективная плоскость неориентируема.
2°. Подходящими склейками (факторизациями) получите окруж-
ность из отрезка, сферу из круга, окружность из R1, тор из R2.
2. О понятии топологического пространства. Поясним теперь,
как возникает идея топологического пространства. Выше уже отмеча-
лось, что всегда фактормножество естественным образом можно рас-
положить в метрическом пространстве и, следовательно, индуциро-
вать в нем метрику. Одна из функций метрики — характеризовать
степень близости двух точек; в определении непрерывного отображе-
ния метрика играет именно такую роль (сравните с § 2). Можно гео-
метризовать понятие близости, введя в рассмотрение шары
Or(x0) = {xEXtp(x,x0)<r}, г > О,
с центром в точке х0 радиуса г; тогда точка х е-близка к точке х0,
если х е D^(xq).
Легко проверить, что непрерывность отображения f: Х-*У двух
метрических пространств можно охарактеризовать следующим эк-
вивалентным способом так: пусть х0 G X — произвольная (фикси-
рованная) точка и у0 = / (х0) — элемент У; тогда для всякого шара
Z>t(y0) найдется такой шар />6(х0), что /(Z)6(x0)) С Z)E(y0).
25
Можно сказать, что свойство непрерывности отображения выра-
жается в сохранении близости точек. Понятие близости позволяет
точно сформулировать интуитивно данное нам понятие окрестности
точки: часть Q метрического пространства является окрестностью
своей точки х0, если каждая точка, достаточно близкая к х0, принад-
лежит Q. Таким образом, в метрических пространствах появляются
структуры окрестностей.
«Однако так определенные пространства обладают большим чис-
лом свойств, которые можно сформулировать независимо от лежа-
щего в их основе понятия расстояния. Например, каждое подмноже-
ство, содержащее окрестность точки х0, также есть окрестность точ-
ки х0; пересечение двух окрестностей точки является окрестностью
точки х0. Эти и некоторые другие свойства влекут массу следствий,
которые выводятся из них совершенно независимо от понятия «рас-
стояние», первоначально легшего в основу определения окрестно-
стей. Так получаются предложения, в которых совсем нет речи о ве-
личине, расстоянии и т. п.» [15, с. 12].
Если в множестве X не введено расстояние, то понятие близости
лишается точного смысла и данное выше определение окрестности
непригодно. Однако плодотворным оказывается обратный процесс:
для каждого элемента х0 G X задать в множестве X некоторую сис-
тему подмножеств {Q(x0)} так, чтобы выполнялись основные свой-
ства (аксиомы), объявить их системой окрестностей и назвать эле-
менты из окрестности Q(x0) Q-близкими к х0. Говорят в этом слу-
чае, что множество X наделено топологической структурой, или
топологией, и называют его топологическим пространством, а
элементы X называют точками.
«Как только топологические структуры определены, понятию не-
прерывности легко уже придать точный смысл. Интуитивно функ-
ция непрерывна в некоторой точке, если ее значение сколь угодно
мало изменяется, покуда аргумент остается достаточно близким к
рассматриваемой точке. Мы видим, что понятие непрерывности бу-
дем иметь точный смысл каждый раз, когда пространство аргумен-
тов и пространство значений функции будут топологическими про-
странствами» [15, с. 14].
Таким образом, заменяя шары в определении непрерывного отоб-
ражения окрестностями, получаем понятие непрерывного отображе-
ния, а затем и понятие гомеоморфизма топологических пространств.
Гомеоморфные топологические пространства называются топологи-
чески эквивалентными.
Пример. Пусть С — комплексная плоскость. Расширенная
плоскость комплексного переменного С = С U 00 является тополо-
гическим пространством: шаровые окрестности точек z G С и окре-
стности точки оо вида
£>r(oo) = {z 6 С: |z| > г} U °0,
26
а также подмножества, содержащие их, задают топологическую
структуру на С.
Упражнение 3’. Установите гомеоморфизм расширенной плоско-
сти комплексного переменного и сферы S2 так, чтобы северный по-
люс N был образом точки », а южный полюс — точки 0.
Указание. Используйте стереографическую проекцию SZ\W на экваториаль-
ную плоскость С
u = ~t _;у-, (х, у, z)eS2\N.
В метрическом пространстве топологическая структура фактор-
множества возникает естественным образом из топологической
структуры метрического пространства путем склеивания окрестно-
стей. Таким образом, фактормножество становится топологическим
просгранством (факторпространством).
3. Склейка двумерных поверхностей. Изучим подробнее фак-
торпространства, получающиеся при склейке плоских фигур. Рас-
смотрим многоугольник П в плоскости R2 и индуцируем в нем мет-
рику из R2. Очевидно, шаровые окрестности точки х G П состоят из
пересечений с П открытых кругов с центром в точке х. Таким об-
разом, достаточно малые шаровые окрестности точки х — открытые
круги, если х не лежит на границе многоугольника, и секторы от-
крытого круга (вместе с ограничивающими радиусами), если х ле-
жит на границе (рис. 9).
Пусть имеются два многоугольника, П и П'; отметим две их сто-
роны, а и а'. Можно склеить П и П' по этим сторонам, задав гомео-
морфизм а: а—» а' и объявив эквивалентными образ и прообраз. То-
Рис. 10
пология факторпространства (П U П')/7? по этой эквивалентности
состоит из открытых кругов для внутренних точек х G П, х' G П',
из склеившихся секторов для эквивалентных точек х G а, х G а' и
из множеств, содержащих названные окрестности. Рис. 10 иллюст-
рирует случай, котда отождествление выполняется соединением
многоугольников по равным сторонам а, а'.
Аналогичным образом можно склеивать две стороны одного мно-
гоугольника (см. примеры п. 1).
27
Упражнения. 4°. Опишите топологии цилиндра, тора, листа Мё-
биуса, проективной плоскости.
5°. Проверьте, что приведенные выше (п. 1) примеры фактор-
пространств гомеоморфны их реализациям в евклидовом простран-
стве R3. Проверьте, что разные модели (рис. 6, 7, 8) проективной
плоскости гомеоморфны.
Перейдем к склеиваниям поверхностей. Склеим в пятиугольни-
ке, изображенном на рис. 11, стороны, обозначенные одинаковыми
буквами. Стрелки указывают закон склеивания соответствующих
Рис. 1 1
Рис. 12
сторон (начало ориентированного отрезка склеивается с началом
другого, конец — с концом). Показатель —1 при буквенном обозна-
чении некоторых сторон напоминает о несовпадении для этих сто-
рон направления, задаваемого стрелками, с направлением, задавае-
мым обходом многоугольника по часовой стрелке. Удобное описание
схемы склейки можно получить, записывая последовательно обозна-
чения сторон в «слово», обходя многоугольник по часовой стрелке.
Например, если начинать со стороны а, то схема склейки будет
aba~lb~lc. Такая схема характеризует склейку, так как полностью
определяет в многоугольнике склеиваемые стороны и закон склеи-
вания. Нетрудно убедиться, что это факторпространство можно по-
лучить и другим топологически эквивалентным способом (рис. 12);
здесь факторпространство представляет тор с вырезом по кривой с
(рис. 13, где штриховыми линиями обозначены линии склейки
аа~1 и Z>5-1). Тор с дырой называется ручкой.
Рассмотрим склейку соседних сторон треугольника. Если ориента-
ции противоположны, т. е. схема склейки аа~1с (рис. 14), то факто-
рпространство топологически эквивалентно сфере с дырой (рис. 15).
Рассмотрим склейку соседних сторон с одинаковой ориентацией,
т. е. по схеме аас (рис. 16). Этот треугольник представим как ре-
зультат склейки двух прямоугольных треугольников по общей высо-
те d (рис. 17) с указанной ориентацией. Поменяем порядок склейки
этих треугольников: сначала отождествим гипотенузы а, а затем ка-
теты d (рис. 18). Получится лист Мёбиуса (ср. с рис. 3), причем по-
следнее факторпространство гомеоморфно исходному (рис. 16).
Теперь, вырезав в сфере S2 кружок, можно к сфере с дырой при-
клеить либо ручку, либо лист Мёбиуса по свободному краю с; по-
28
29
следний можно представлять как окружность 5* (граница вырезан-
ного кружка). В первом случае получаем тор (рис. 19) (убедитесь в
топологической эквивалентности фигур на рисунке). Во втором —
проективную плоскость RP2. Убедимся в этом.
Проективная плоскость (см. рис. 8) топологически эквивалент-
на факторпространству, изображенному на рис. 20. Действительно,
остается показать, что верхний «колпачок» (рис. 20) — лист Мё-
биуса с краем с. Представив его как плоское кольцо с отождеств-
лением диаметрально противоположных точек внутренней окруж-
ности, выполним топологические преобразования (рис. 21), приво-
дящие к листу Мёбиуса.
Дальнейшие построения можно развивать в двух направлениях:
1) вырезать в сфере р кружков и приклеить к ним р ручек;
2) вырезать q кружков и приклеить q листов Мёбиуса.
Таким образом можно получить два ряда поверхностей
м0, м{,..., мр,
(очевидно, Мо и No — это сфера S2).
Обсудим свойства этих поверхностей. Прежде всего легко убе-
диться, что они получены из конечного числа выпуклых много-
угольников склейкой их сторон и последующих топологических
преобразований. Такие пространства будем называть конечно-три-
ангулируемыми, а разбиение пространства на «криволинейные»
многоугольники — триангуляцией *. Поверхности Мр, Nq связаны
в том смысле, что состоят из единого «куска», не разбиваются на
две непересекающиеся группы многоугольников. Это следует из
того, что любые две вершины многоугольников триангуляцйи сое-
диняет непрерывный путь, состоящий из сторон. Рассматриваемые
* Определение триангуляции поверхности дано в гл. II.
30
поверхности не имеют края, так как любая граничная сторона
многоугольника склеена с другой (в точности с одной) стороной.
Отсюда следует, что каждая точка такой поверхности имеет окре-
стность, гомеоморфную открытому кругу; такие пространства на-
зываются двумерными многообразиями.
Конечно-триангулируемые связные двумерные многообразия на-
зываются замкнутыми поверхностями. Если бы мы клеили не все
пары сторон многоугольников, оставив некоторые стороны свобод-
ными, то получилась бы незамкнутая поверхность (или поверх-
ность с краем). Точка на крае имеет окрестность, гомеоморфную
полукругу. Пример — сфера S2 с несколькими дырами.
Отметим также, что поверхности Мр ориентируемы и их можно
поместить в R3 как двусторонние поверхности без самопересечений.
Напротив, поверхности Nq неориентируемые (называемые односто-
ронними по аналогии с листом Мёбиуса), не допускают вложения в
R3 без самопересечений (но в R4 допускают!).
В гл. II будет доказано, что всякая замкнутая поверхность гомео-
морфна какой-то поверхности типа Мр и N (числа р, q называются
родом поверхности). Поверхности Мр и N , q > 1, никогда не гомео-
морфны, так как ориентируемость поверхности — топологическое
свойство. Две различные поверхности типов Мр, Мр, (или Nq, Nq,)
также не могут быть гомеоморфны (см. следующий пункт). Таким об-
разом, список (1) дает полную топологическую классификацию зам-
кнутых поверхностей. Если к сфере приклеить р ручек и q > 1 листов
Мёбиуса (проделав р + q дыр), то полученная поверхность будет то-
пологически эквивалентной сфере, к которой приклеено 2р + q лис-
тов Мёбиуса.
Упражнения 6°. К сфере с двумя дырами приклейте цилиндр по
его краям. Докажите, что полученная поверхность гомеоморфна
сфере с приклеенной ручкой, т. е. тору.
7°. Покажите, что кольцо и лист Мёбиуса можно получить из кру-
га приклеиванием к его границе прямоугольника по двум сторонам.
8°. Докажите эквивалентность следующих определений RP2 дан-
ным выше: 1) в S2 отождествляются диаметрально противоположные
пары точек; 2) в листе Мёбиуса край сжимается в одну точку; 3) край
листа Мёбиуса заклеивается кругом по некоторому гомеоморфизму
граничных окружностей.
9°. Определите RP1, отождествляя диаметрально противополож-
ные точки окружности S1. Покажите, что: 1) RP1 гомеоморфно ок-
ружности S1; 2) RP1 С RP2; 3) существует окрестность RP1 в RP2,
гомеоморфная листу Мёбиуса.
10°. Докажите эквивалентность следующих определений поверх-
ности tV2 (бутылки Клейна): 1) прямоугольник (рис. 22), стороны
которого склеены по схеме 2) кольцо со склеенными окруж-
ностями края с обращением направления обхода (такую склейку
31
можно представить следующим образом: «перевернуть» внутреннюю
окружность вокруг какого-либо диаметра, после чего склеить точки
внутренней и внешней окружности, оказавшиеся на одном радиусе;
на рис. 22 х , у — склеиваемые точки); 3) два листа Мёбиуса, скле-
енные по краю; 4) кольцо, к каждой окружности края которого при-
клеен лист Мёбиуса.
Топологическое пространство, го-
меоморфное выпуклому многоуголь-
нику, будем называть топологиче-
ским многоугольником. Соответствен-
но образы вершин (сторн) назовем
вершинами (ребрами) топологическо-
го многоугольника. Без ограничения
общности можно считать, что триан-
гуляция поверхности состоит из топо-
логических многоугольников, примы-
кающих друг к другу ребрами (чтобы
этого добиться, нужно выпуклые мно-
гоугольники, отождествлением сторон
которых получается поверхность,
предварительно разбить на достаточ-
но мелкие многоугольники, например
треугольники). Ниже рассматриваются только такие триангуляции.
Для всякой триангулированной поверхности П определим число
%(П) = е — k + f , гдн е — число вершин, к — число ребер, / —
число многоугольников триангуляции, называемое характеристи-
кой Эйлера поверхности П. Она обладает замечательным свойст-
вом — не зависит от триангуляции, т. е. является топологическим
инвариантом поверхности.
Упражнение 11°. Убедитесь, что эйлерова характеристика сфе-
ры S2 равна 2, тора — 0, диска — 1, ручки — (—1), листа Мё-
биуса — 0.
Нетрудно доказать топологическую инвариантность характерис-
тики Эйлера %(S2) для сфе|)ы S2, если воспользоваться теоремой
Жордана *, которая утверждает: всякая простая замкнутая кривая,
т. е. кривая, гомеоморфная окружности, разбивает сферу или пло-
скость на две непересекающиеся области, границей которых она
является.
Итак, рассмотрим некоторую триангуляцию S2. К ней можно
последовательно прийти, фиксировав вершину (*) и вычерчивая
одно ребро за другим, первое ребро проводим из вершины (*) в
новую вершину, а затем следим, чтобы каждое последующее ребро
начиналось в вершине уже начерченных ребер. Будем подсчиты-
вать на каждом шаге число возникших вершин е, число ребер к
и число областей /, ограниченных замкнутой простой кривой из
ребер. В начальной ситуации положим е — 1, к = 0, f = 1 (верши-
Доказательство теоремы Жордана достаточно длинно, и мы его не приводим.
32
на (*) и дополнительная к ней область). Легко заметить, что чис-
ло е — к + f при добавлении нового ребра не меняется. Действи-
тельно, если ребро идет в новую вершину, то новых областей не
появится, а числа е и к увеличатся на 1. Если новое ребро сое-
динит две старые вершины, то оно замкнет некоторый путь из ре-
бер и появится новая область (по теореме Жордана), так что к и
/ увеличатся на 1, а е не изменится. Начертив последнее ребро,
мы восстановим триангуляцию полностью, и тогда е — к + / =
= %(S2); в начальной же ситуации е — к + / = 2. Следовательно,
X(S2) = 2.
Если Пр П2 — две поверхности с краями /2, гомеоморфными
S1, то они могут быть склеены краями по гомеоморфизму
а: /2—»/2. Пусть П, U П2 обозначает полученное факторпростран-
а
ство. Докажем формулу
Х(П, и п2) = Х(П2) + Х(П2). (2)
а
Триангулируем Dj и П2 так, чтобы на краях /р 12 получились го-
меоморфные триангуляции (из I вершин и такого же числа ребер —
триангуляция S1). После склейки числа вершин, ребер и много-
угольников будут равны + е2 — I, kt + к2 — I, + /2 соответст-
венно. Формула (2) следует из равенства
(е1 + е2 — /) — (Х2 + к2 — Г) + (Ц + /2) =
= {ei-kl+fi) + (e2-k2 + f2).
Формула (2) в некоторых случаях удобна для вычислений эйлеро-
вой характеристики.
Пусть pS2 — сфера с р дырами. Если вклеить обратно р дисков,
то получим S2. Формула (2) дает равенство х(^2) = х(р^2) + Р, от-
куда X(PS2) = 2 - р.
Поверхность Мр получается склеиванием pS2 с р ручками,
эйлерова характеристика каждой из которых равна (—1). Из’(2)
получаем х(^р) = 2 — 2р. Аналогично получаем x(Nq) — 2 — q,
так как эйлерова характеристика листа Мёбиуса равна нулю. Так
как x(^/P,) = Х(А^Рг) только при р{ = р2 и х(^_) = Х(^2) только
при — q2-, то вследствие топологической инвариантности эйлеро-
вой характеристики поверхности М , М при р. =Л р2 не могут
быть гомеоморфны, равно как и поверхности Nn •, N при q, q2.
Интересные приложения эйлерова характеристика имеет в тео-
рии выпуклых многогранников. Можно представлять поверхность
2 Ю. Г. Борисович и др.
33
выпуклого многогранника склеенной из конечного числа выпуклых
многоугольников (его граней) по тождественным отображениям
склеивающихся ребер. Сразу получаем формулу Эйлера для выпук-
лого многогранника:
а0 - «1 + а2 = 2,
где а0 — число вершин, cq — число ребер, а2 — число граней мно-
гогранника. Действительно, слева — эйлерова характеристика по-
верхности многогранника, очевидно, гомеоморфной S2.
Если в каждой вершине сходятся т граней и каждая грань —
выпуклый и-угольник, то говорят, что тип многогранника {п, т}.
Если «-угольники правильные, то многогранник называется пра-
вильным. Зная тип {п, т}, можно вычислить а0, а2, а2. Действи-
тельно, в каждой вершине сходятся т ребер, поэтому а6т = 2«р в
каждой грани — п ребер, отсюда а2п = 2at (каждое ребро соединяет
две вершины и входит в две грани). Таким образом,
“о _ а1 _ а2 _ ао~ а1 + а2 ______2______ 4тп
т~' ~ 2'1 “ п’1 “ пГ’ - 2"’ + п’1 “ ~ 2п + 2т-тп’
откуда вычисляются значения а0, а1; а2. Естественное условие по-
ложительности а0, eq, а2 приводит к неравенству между целыми по-
ложительными п, т:
2п + 2т — пт> 0, откуда (п — 2)(т — 2) < 4.
Легко видеть, что имеем всего пять решений:
{3,3}, {4,3}, {3,4}, {5,3}, {3,5}. (3)
В элементарной геометрии известно пять видов правильных много-
гранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр (рис. 23),
типы которых как раз совпадают с (3).
Таким образом, дана полная классификация многогранников ти-
па {«, т}.
34
§ 4. Понятие римановой поверхности
Один из путей, приводящих к основным топологическим поняти-
ям, связан с изучением алгебраических функций и их интегралов;
от был открыт Риманом еще в середине прошлого столетия.
Рассмотрим алгебраическое уравнение
aQ(z)wn + aY(z)wn~l + ... + an(z) = 0, a0(z) * О, (1)
с комплексными коэффициентами, являющимися полиномами от
комплексного переменного z; его корни будут функциями
w = w(z) от z, при некоторых условиях — аналитическими. Напри-
мер, если в точке z0 все корни уравнения (1) различны, то в окре-
стности точки z0 существуют п функций wz(z), i = 1, ..., н, анали-
тически зависящих от z.
Аналитическая функция w = w(z), удовлетворяющая уравнению
(1), называется алгебраической функцией. Уравнение (1) опреде-
ляет несколько ветвей wz(z) алгебраических функций, число кото-
рых, вообще говоря, меняется и которые переходят друг в друга при
изменении z. Поэтому говорят о многозначной алгебраической
функции w(z), определяемой уравнением (1), и о ее ветвях w;(z).
Риман выдвинул идею замены z-плоскости С такой поверхностью,
на которой функция w(z) будет однозначной, а ее ветви wz(z) бу-
дут значениями w(z) на отдельных участках поверхности (такие
поверхности называются римановыми поверхностями).
Построить такую поверхность нетрудно. Будем рассматривать
расширенную плоскость С = С U “ комплексного переменного (z-
сферу) и декартово произведение <С X <С, состоящие из упорядочен-
ных пар (z, w). Окрестности в СхС естественно определить как де-
картовы произведения окрестностей (и все содержащие их множест-
ва). Тогда алгебраическое уравнение (1) определяет в СхС
подмножество — график многозначной алгебраической функции
w(z) над комплексной плоскостью <С, состоящий из тех пар
(z, ut'JG'CxC, которые удовлетворяют уравнению (1). Это и есть
риманова поверхность П многозначной алгебраической функции
w(z): действительно, проекция П^-С, задаваемая по правилу
(z, w) —* w, (2)
определяет однозначную функцию на римановой поверхности, при-
нимающую значения всех ветвей многозначной функции. Интере-
сен вопрос о строении поверхности П и о распределении на ней вет-
вей функции w. Для изучения таких вопросов полезно расширять
график П, присоединяя к П некоторые «бесконечно удаленные» точ-
ки из <С X <С; полученное так расширение П множества П называют
полной римановой поверхностью.
2’ 35
Простейшая многозначная алгебраическая функция связана с
уравнением второй степени
w2 = aj(z)w + a2(z) = 0. (3)
Замена переменных v = 2и> 4- приводит это уравнение к более
простому виду v2 — p(z) — 0, где p(z) — многочлен. Поэтому вмес-
то уравнения (3) рассмотрим уравнение
w2 — p(z) = 0. К)
Пусть p(z) — z. Тогда для алгебраического уравнения w2 — z — 0
определена риманова поверхность — график в СхС. на котором
Рис 25
функция w однозначна. Присоеди-
нив К П( ТОчКу (оо, оо), ПОЛУЧИМ
«расширение» П; — полную римано-
ву поверхность.
Покажем, что П; гомеоморфна С
т. е. двумерной сфере S2. Действи-
тельно, отображение (2)
w — w(t), где t = (z, w) U Пр
с обратным отображением t =
= (w2, w) задает, как нетрудно про-
верить, гомеоморфизм fij на w-сфе-
ру S2. Дадим другую конструкцию
римановой поверхности, используе-
мую обычно в теории функций ком-
плексного переменного. Уравнение
(4) определяет двузначную алгеб-
раическую функцию w - y[z\ если
z = ге'^, то два значения ее, =
— у7~ е‘ч>/2, w2 = —уГг е‘^12, отли-
чаются знаком и переходят друг в
друга при движении точки z по зам-
кнутому пути, обходящему точку
z = 0. Чтобы предупредить переход
ветви дуj в ветвь ш2, проведем разрез
на z-сфере вдоль положительной ве-
щественной полуоси (рис. 24). Этот
разрез соединит точки 0 и оо. к раз-
резу примыкают.два края (берега):
(+) — верхний, (—) — нижний.
Рассмотрим объединение (непересе-
кающееся) двух листов (экземпля-
36
ров), I и II, разрезанной z-сферы. Объявим лист I носителем ветви
aip II — ветви (полагая = оо при z = оо на каждом листе I, II).
На двулистной поверхности I U II функция w однозначна. Чтобы
уловить эффект перехода ветви в ветвь w2, склеим (—) берег I ли-
ста с (+) берегом II листа и (+) берег I листа с (—) берегом II листа.
Получим факторпространство П'(, являющееся двулистной римановой
поверхностью функции w = Vz. Нетрудно усмотреть, что П' гомео-
морфно сфере 52; на рис. 25 показана склейка листов I и II после
предварительного топологического преобразования их в полусферу
путем раздвигания берегов, приводящая к сфере S2. Хотя П'( и не ле-
жит в R3 (листы I и II пронизывают друг друга, см. схему склейки,
рис. 26), однако наглядно демонстрируется взаимосвязь ветвей wt и
w2. Можно и непосредственно проверить, что отображение w.
П] ~* С, задаваемое многозначной функцией w = VT, также гомеомор-
физм на w-сферу 52. Итак, nt и П', гомеоморфны между собой и гомео-
морфны сфере 52.
Зададим проекцию Hj-^C формулой z(Z) = z и отождествим С с
S2; имеем диаграммы:
~ I2> = I2>(Z) ,
(щ-сфера)
~ t = (W2, W) 9
Hj (ш)-сфера)
Эти диаграммы коммутативны, т. е. суперпозиция двух отобра-
жений (в направлении стрелок) равна третьему отображению (за-
мыкающая стрелка). Горизонтальные отображения в диаграммах —
взаимно обратные гомеоморфизмы.
2г=и/2
Отображение 52 —» 52 называется двулистным (разветвлен-
ным) накрытием сферы 52 с точками ветвления z = 0 и z = ® (про-
верьте, что обход точки z = о» также приводит к изменению ветви).
Это накрытие поясняет идею подстановок, применяемых в анализе для рациона-
лизации подынтегральной функции в известных интегралах J A(z, Vz) afz, где
R(z, w) — рациональная функция двух переменных z, w. Пусть R задана на некото-
рой области в СхС; рассмотрим интеграл
( R(z, -/z) dz= f S(z, VF) dz, (5)
37
понимаемый как криволинейный интеграл по некоторому пути у в z-плоскости С, не
пересекающему разрез 0<» и соединяющему точки z0, z, где — одна из ветвей
многозначной алгебраической функции ai-v'z. Точка f“(z, Vz) лежит на римано-
вой поверхности П, и пробегает путь уСП,, когда z пробегает путь усС. Подынтег-
ральная функция в (5)_задана на кривой у: A(z, tey. С помощью гомео-
морфизма w-сферы и П,: t-(w2, <о) найдем путь - у на w-сфере S2, гомеоморфный
у. Связь между z-сферой и w-сферой дается отображением z = w2, что и позволяет
преобразовать интеграл (5):
“1
j Я(г, Vz") dz — j 2S(w2, w)w dw — j -R(w2, w)w dw,
V V “o
где w0 и w, — начало и конец пути у на w-плоскости С. Последний интеграл — ин-
теграл от рациональной функции.
Пусть теперь p(z) = a0z2 + atz + а2, где ,aQ, alt а2Е <С, а2 —
— 4а0а2 #= О, а0 0. Обозначив через и г2 корни многочлена
p(z), Г] г2, получим алгебраическую функцию
U) = Va0(z- r1)(z - г2). (6)
Очевидно, она также двузначна. Исследование, аналогичное прове-
денному выше, показывает, что одна ветвь переходит в другую как
при обходе точки гр так и при обходе точки г2, а обход обеих точек
(по замкнутому пути, окружающему точки и г2), как и точки «>,
не меняет значение ветви. Следовательно, риманова поверхность
П2' рассматриваемой функции получится из двух экземпляров z-сфе-
ры, разрезанных вдоль отрезка г{г2, причем берега листов I и II скле-
иваются так же, как и в первом примере. Заметим, что П2 содержит
две бесконечно удаленных точки, и °о2, лежащие на листах I и II
и не являющиеся точками ветвления. Очевидно, что пространство по-
прежнему топологически эквивалентно сфере. Снова имеем двулист-
ное накрытие сферы S2 с двумя точками ветвления, z = rp z = г2.
Рассмотрим график П2 многозначной алгебраической функции
w = u>(z) над комплексной плоскостью <С для алгебраического урав-
нения
w2-aQ-(z- rl)(z- г2) =0. (6')
Полезно заметить, что если выколоть из <С точки г1 и г2, то ос-
тавшаяся часть графика П2 над <С\{гр г2} (обозначим ее П2) гомео-
морфна части графика П[ над <С\{0} (обозначим ее fij. Этот го-
меоморфизм, как нетрудно проверить, задается отображением Ф:
(z, ш))|->(г>, т), где
и преобразует уравнение (6') к уравнению v2 — т = 0, риманову по-
верхность nj которого мы рассмотрели выше. Однако, если расши-
38
рение было получено естественно и просто, то расширение П2
осуществить более сложно, и мы его не рассматриваем. Однако вы-
ше построен его гомеоморфный образ П2.
Таким образом, имеем коммутативную диаграмму
Л ф Л V=v(t)
П2----------«-nj----------*-S2 (v-сфера)
(7)
(z-сфера) (т-сфера)
(где t = (т, и) и где не все отображения являются гомеоморфизмами).
Если дан интеграл
S(z, Va0(z — r,)(z — r2) ) dz = l R(.z, w(.z)) dz
по некоторому пути у, принадлежащему C\{r,, г2}, то горизонтальные отображения
диаграммы (7) позволяют преобразовать его в интеграл на v-сфере S2:
Л(и2, v)dv.
где R — рациональная функция. Это объясняет, почему формальная подстановка
Эйлера
приводит к рационализации подынтегрального выражения.
Мы придем к существенно новому результату, если рассмотрим
многочлен p(z) третьей степени. Итак, рассмотрим алгебраическую
функцию вида
u) = Va0(z - rf)(z - r2)(z - r3),
(8)
где Гр r2, r3 попарно различны. Функция, w имеет две ветви, но
«соединяются» они между собой более сложным образом. Обход од-
ной точки ri приводит к изменению ветви функции w, обход лю-
бых двух сохраняет ветвь, обход всех трех точек, как и обход точ-
ки оо, меняет ветвь. Чтобы «запретить» эти переходы, достаточно
сделать разрезы г1г2 и г3«о на z-сфере. Тогда каждая ветвь функ-
ции ил однозначна на таком листе с разрезами. Чтобы одна ветвь
переходила в другую нужным образом, склеим экземпляры I и II
соответственно по разрезам гхгг и г3оо, причем берега склеивают-
ся, как ранее. Полученное топологическое пространство П3, оче-
видно, является римановой поверхностью функции (8). Сущест-
венным отличием поверхности П3 от поверхности П2 является то,
39
что она топологически эквивалентна сфере с ручкой (рис. 27 —
здесь разрезы сначала расширяются в «дыры», от них вытягивают-
ся затем трубки, края которых и склеиваются нужным способом).
Естественное отображение П3^<С является двулистным накрытием
S2 с точками ветвления гр г2, г3, <».
Рис. 27
Для функции w = ^a0(z — г^(z — r2)(z — r3)(z — r4), где
ri> r2’ гз> r4 попарно различны, будем иметь риманову поверхность
П4, гомеоморфную П3. Это следует из того, что два разреза, rtr2 и
г3г4, разделяют однозначные ветви и точка г4 играет роль точки оо
предыдущего примера (последняя не является точкой ветвления).
Отметим, что интегрирование рациональных функций, заданных на поверх-
ностях П3, П4, приводит к теории эллиптических интегралов.
Несложно исследовать и случай алгебраической функции
w = Va0(z-r1) ... (z-rn), (9)
где rt попарно различны между собой. На z-сфере делаем п/2 раз-
резов Г)Г2, ..., rn_lrn, если п четно, и (п + 1)/2 разрезов
rlr2, ..., гп_2гп^1, гп<*>, если п нечетно. Взяв два экземпляра z-сфе-
ры с такими разрезами, склеиваем их по соответствующим разре-
зам. Построения, аналогичные изображенным на рис. 27, дадут сфе-
РУ с м ~ 1 = ~2~ или с ~~2-----= ~2~ ручками. Это и есть ри-
манова поверхность функции (9). Число ручек р (род поверхности)
связано с числом V точек ветвления римановой поверхности равен-
ством V = 2(р + 1).
40
Таким образом, многозначная алгебраическая функция, опреде-
ляемая уравнением (3), имеет риманову поверхность, топологиче-
ски эквивалентную сфере с ручками. Это утверждение справедливо
для любой многозначной алгебраической функции.
Упражнение 1°. Постройте риманову поверхность алгебраической
функции wn — z = 0, п > 1 целое, и убедитесь, что она н-листная
и топологически эквивалентна сфере.
Изучение неалгебраических аналитических функций w(z), удов-
летворяющих уравнению f(z, w) = 0 с неалгебраической аналити-
ческой функцией /, в z-плоскости также приводит к римановым по-
верхностям, на которых аналитические функции однозначны.
Упражнение 2°. Рассмотрите логарифмическую функцию, опреде-
ляемую уравнением ew — z = 0, и постройте ее риманову поверх-
ность.
§ 5. Немного об узлах
Понятие узла интуитивно представляется несложным. Простей-
шими примерами узлов являются «простой узел» (рис. 28) и «вось-
мерка» (рис. 29), которые нетрудно изобразить с помощью нити. Вся-
Рис. 30
Рис. 31
кие Попытки перевести «простой узел» в «восьмерку», не протаскивая
концы через петлю, окончатся неудачей. Таким образом, экспери-
мент показывает, что эти узлы различны. Возникает вопрос о мате-
матической классификации- узлов.
Мы можем запретить протаскивание концов через петлю, если
отождествим (склеим) концы веревки (рис. 30 и 31). Тогда естест-
венным будет следующее определение.
41
Определение 1. Узлом называется гомеоморфный образ окруж-
ности S1 в R3.
Примеры: а) тривиальный узел (рис. 32); б) «простой узел»,
или «клеверный лист», или «трилистник» (рис. 28, 30); в) «восьмер-
ка», или четырехкратный узел (рис. 29, 31).♦
Рис. 33
Заметим, что в силу определения все узлы гомеоморфны. Поэтому
для классификации узлов классифицируют вложения (гомеоморфиз-
мы), с помощью которых окружность может быть вложена в R3.
Определение 2. Узлы и К2 эквивалентны, если существует
гимеоморфизм R3 на себя, отображающий на К2.
Более точная классификация узлов основана на понятии изотопии
пространства R3. Непрерывное отображение Н: [0, 1] XR3—>R3 на-
зывается изотопией, если при каждом t G [0, 1 ] отображение Н го-
меоморфно отображает R3 на себя, причем при t = 0 —. это тождест-
венное отображение. Таким образом, изотопия — это семейство го-
меоморфизмов пространства R3, зависящих от параметра t и
непрерывно меняющихся с увеличением t, начиная с тождественного
при t — 0.
Определение 3. Узлы и К2 принадлежат одному изотопиче-
скому типу, если существует изотопия Н(Т, х) пространства R3,
t G [0, 1], х 6 R3, такая, что Н(1, К{) = К2.
Упражнение 1°. Покажите, что принадлежность к одному изото-
пическому типу является отношением эквивалентности.
Существуют примеры узлов, эквивалентных в смысле опреде-
ления 2, но принадлежащих к разным изотопическим типам. Так,
«трилистник» и зеркальный образ «трилистника», т. е. узел, симмет-
ричный «трилистнику» относительно некоторой плоскости в R3, не
принадлежат к одному изотопическому типу (доказательство этого
требует развития специальной техники), В то же время «восьмерка»
и ее зеркальный образ принадлежат к одному изотопическому типу.
Основные свойства удобно изучать на узлах, завязанных сравни-
тельно просто.
Определение 4. Полигональным узлом называется узел, являю-
щийся объединением конечного числа прямолинейных отрезков.
42
Определение 5. Узел, эквивалентный полигональному, называ-
ется ручным. Узел, не эквивалентный полигональному, называется
диким.
Примеры. Тривиальный узел, «трилистник», «восьмерка» —
ручные узлы. На рис. 33 приведен пример дикого узла. Число пе-
тель в этом узле возрастает неограниченно, в то время как их раз-
мер неограниченно уменьшается при приближении к точке р. Инте-
ресно, что если бы число петель было конечным, то узел был бы
эквивалентен тривиальному узлу.*
Вопрос о классификации узлов тесно связан со свойствами про-
странств, дополнительных к узлам. Например, если какой-то топо-
логический инвариант дополнений узлов Kt, Кг различен, то узел
не эквивалентен К2 (и не изотопен). Полезным топологическим
инвариантом является фундаментальная группа дополнения узла
(см. гл. III). Заметим также, что множество всех классов эквива-
лентности узлов (или изотопической эквивалентности) можно наде-
лить алгебраической структурой. Понятие об этой структуре можно
дать следующим образом: назовем композицией (умножением)
К{*К2 двух узлов, К{, К2, последовательное завязывание их одного
за другим; порядок завязывания узлов несуществен, точнее, узел
К{*К2 эквивалентен узлу К2*К{. Таким образом определяется ком-
позиция классов эквивалентности узлов, которая коммутативна и
ассоциативна. Класс эквивалентности тривиального узла играет
роль единицы. Однако попытка решить уравнение К*Х = 1 (развя-
зать К посредством завязывания узла X) не удается, кроме случая
К==1. Следовательно, классы эквивалентных узлов образуют не
группу, а только полугруппу.
§ 6. О некоторых приложениях топологии в физике
В физике конденсированных состояний изучаются различные
упорядоченные структуры в веществах, и топологические представ-
ления необходимо возникают при исследовании устойчивости тех
или иных дефектов, возникающих в этих структурах. Этими дефек-
тами являются: в кристаллах — дислокации (нарушения порядка
кристаллической структуры), в жидких кристаллах — дисклинации
(нарушения непрерывности в поле направлений молекул), вихри —
в сверхтекучих жидкостях Не3, Не4 и ферромагнетиках и другие ус-
тойчивые геометрические конфигурации. Топологическая основа не-
которых из этих явлений будет описана в этом параграфе.
1. Понятие векторного поля и его особой точки (или особой ли-
нии) первым появляется при математическом описании дефектов.
Векторным полем на области U С R3 трехмерного евклидова про-
странства называют обычно отображение F: U—*R3\0, сопостав-
ляющее каждой точке х G U вектор F(x) 6 R3, F(x) 0 (мы отож-
дествляем точки х с их радиус-векторами х); если от каждой точки
43
x G U отложить выходящий из нее вектор F(x), то возникающая
(рис. 34) геометрическая ситуация и называется векторным полем
на U. При этом желательно требовать непрерывную зависимость
Рис. 34
вектора F(x) от точки х (т. е. непрерыв-
ность отображения F: U—»R3\0). Однако
это требование не всегда удовлетворяет-
ся для всех точек из U — в отдельных
точках (называемых «особыми») или на
кривых у С U («особых линиях») поле
F может оказаться разрывным или даже
неопределенным; в частности, нулевое
значение F(x) = 0 также считается не-
определенным (не оцределено направле-
ние вектора). В подобных случаях гово-
рят о векторном поле с особенностями.
Например, если область U занята физическим веществом —
ферромагнетиком, — то в ее точках определен магнитный мо-
мент — вектор М (даже в отсутствие внешнего магнитного поля),
если температура ниже критической, характерной для данного ве-
щества. Возникающее векторное поле F(x) = М(х) на области U
может иметь особые точки и особые линии. Простейший тип особой
точки имеем в случае поля, направленного по радиус-векторам
х: М(х) = М(х) -х/|х|, где М(х) О — числовая непрерывная
функция на U, О G U; здесь в точке х = 0 поле не определено,
х = 0 — особая точка, называемая «еж».
Если вектор А/(х) во всякой точке, где он определен, параллелен
подпространству R2 С R3, то Л/(х) G R2 и в любой плоскости П^о,
проходящей через точку х° G U1 и параллельной R2, на сечении
Ух<> = U р| Пр задано векторное поле М: У х° —» R2, которое может
иметь в плоской области Ур особую точку х°; при параллельном пе-
реносе плоскости Пр (меняя х°) эти особые точки х° могут слиться
в особую линию I векторного поля М на U (рис. 35); особая линия
/ называется «вихрем» поля М, Вихри естественно появляются при
движениях сплошных сред — жидкостей и газов, когда частицы сре-
ды описывают круговые движения вокруг некоторой линии I. Обыч-
но под вихрем понимают именно это круговое движение среды, ли-
нию I называют при этом «осью» вихря. При математическом опи-
сании вихрей удобно «вихрь» отождествлять с «осью» вихря.
Роль векторного поля М здесь играет поле скоростей v(x) точек
среды х, I — особая линия векторного поля v(x).
Замечательным фактом является открытие и исследование вих-
ревых движений в сверхтекучем гелии Не4. Жидкость Не4 при тем-
пературах Т, близких к абсолютному нулю, ведет себя как смесь
44
двух компонент — «нормальной» (плотность рп, скорость vn) и
«сверхтекучей» (плотность ps, скорость vs), ps + рп = р — полная
плотность; имеем при Т = 0 рп = О, ps = р. Именно сверхтекучая
компонента Не4 образует вихри, устойчивые, несмотря на силы вяз-
кого трения. Вихри в жидкостях и газах не обладают такой устой-
чивостью.
Рис. 35
2. Чтобы уяснить топологические причины устойчивости и зако-
ны эволюции вихрей в ферромагнетике и сверхтекучем Не4, необ-
ходимо ввести простейшие топологические инварианты.
Фиксируем двумерную плоско-
сть П2 С R3 и путь у С П2, гомео-
морфный окружности и снабжен-
ный ориентацией (фиксированным
направлением обхода). Пусть зада-
но непрерывное отображение /:
у—»Sl С R2 в окружность единич-
ного радиуса с центром в начале ко-
ординат, также снабженную ориен-
тацией. Когда точка р 6 у пробегает путь рор от фиксированной точ-
ки р0 е у в направлении ориентации у, точка q = /(р) на S1 пробе-
гает путь на S1, идущий (в зависимости от положения точки р) либо
в направлении ориентации, либо против нее и отсчитываемый от точ-
ки q = f(pQ) (рис. 36). Когда точка р сделает один полный обход пути
у, точка q = f(p) в итоге сделает к+ полных витков вокруг S1 в на-
правлении ориентации S1 и к_ — в противоположном направлении.
45
Степенью отображения / ориентированной кривой у в S1 называется
разность к+ — к_, обозначаемая deg/. Эту степень можно опреде-
лить и как суммарное число полных поворотов радиус-вектора q, счи-
тая полный поворот в направлении ориентации за + 1 и в противо-
положном направлении — за —1.
Понятие степени очевидным образом распространяется и на не-
прерывные отображения /: у—»Г замкнутых ориентированных пу-
тей у, Г и R3, не обязательно лежащих в плоскости, но гомеоморф-
ных окружности.
3. Степень deg / является топологическим инвариантом (точнее
говоря, гомотопическим): она сохраняется, если непрерывно менять
(«гомотопировать») отображение /. Это означает, что если / вклю-
чается в семейство отображений Д: у—»Г, зависящее от числового
параметра А, 0 < А < 1, так, что f { — f и точка qf}(p) непрерыв-
но зависит от переменных (А, р) G [0, 1] х у, то для каждого отоб-
ражения семейства /2 степень deg /х постоянна для всех А из проме-
жутка (0, 1].
Таким образом, при непрерывном изменении отображения / (без
резких скачков, без разрывов) нельзя уменьшить суммарное число
положительных и отрицательных петель образа /(у), накрученных
на Г, т. е. число к+ — к_.
Другое важное свойство степени deg / состоит в следующем: если
у, Yp Y2 — ПУТИ> гомеоморфные окружности, с фиксированными
ориентациями и /: у—»ур g: Yj—*у2 — непрерывные отображе-
ния, степени которых deg /, deg g, то степень deg (g/) суперпози-
ции g/:y—*у2 равна произведению степеней /, g; deg (gf) ~
= (deg g) (deg/). Это свойство проверяется подсчетом суммарного
числа петель образа (g/)(y), накрученных на у2, через аналогичные
суммы для образов /(у), g(yj).
Сопоставим каждому отображению /: у—»Г класс [/] всех гомо-
топных ему отображений /': у—»Г. Нетрудно убедиться, используя
наглядные соображения, что отношение гомотопности отображений
является отношением эквивалентности. Следовательно, множество
всех непрерывных отображений из у в Г разбивается на множества
непересекающихся классов {[/]}, называемых гомотопическими
классами. Для всех отображений /' из класса [/] deg /' = deg /,
поэтому каждому классу можно сопоставить целое число:
[/]—»deg/. Нетривиальный факт — указанное соответствие явля-
ется биективным (см. § 3 гл. III). Поэтому целое п = deg / является
гомотопическим инвариантом класса отображений [/], и удобно
этот класс нумеровать индексом п: [/]п. Класс [/]0 состоит из всех
отображений, гомотопных постоянному отображению /0: у-*?, пу-
ти у в постоянную точку qt G Г.
4. Вернемся теперь к магнитному вихрю в ферромагнетике
(рис. 35) и к вихрю в сверхтекучем Не4.
46
В плоскости Пхо возьмем ориентированный замкнутый путь у, на
котором нет особых точек и внутри которого имеется единственная
особая точка х0; пусть он гомеоморфен окружности и один раз обегает
особую точку х0; пусть S1 С R2 — ориентированная окружность еди-
ничного радиуса с центром в 0. Векторное поле М, рассматриваемое
только в точках х G у, задает отображение /: у—*S1, где
7(х)=-^-, хе у. (1)
|М(х)|
Для отображения (Ц определена степень deg /, называема^ враще-
нием векторного поля М на у; будем обозначать последнее x(Af; у).
Будем теперь плоскость Пхо непрерывно перемещать параллель-
но самой себе в положение Пх1, а контур у через промежуточные
положения ys (в соответствующей плоскости Пх>) — в контур
у, С Пх1, 0<5<1, причем yJ=0 = у, yJ=1 = уР Предполагается,
что все контуры ys окружают особую линию Z, гомеоморфны исход-
ному a(s):y—*у5, ориентированы одинаково и что гомеоморфизм
a(s) сохраняет ориентацию (т, е. deg a(s) =4-1), непрерывно за-
висит от параметра s и a(0) = 1 : у —* у — тождественное отображен
ние у в себя. Векторное поле М(х), рассматриваемое на контуре
у , можно «перенести» гомеоморфизмом а(^): у—*ys на контур у по
формуле Fs(x~) = A/(a(s)(x)), х е у. Семейство Fs(x) на у, оче-
видно, непрерывно зависит от (х, s), следовательно, является гомо-
топией на у векторных полей F{(x) = Л/(а(1)(х)), F0(x) = Л/(х).
В силу свойств степени имеем
х(Л/, у) = х(771, у) = (deg а(1))х(М, yj = х(Л/, у,),
где последее вращение — вращение поля Л? на у( в плоскости Пх1.
Это общее вращение поля М в произвольной плоскости ПХ1 на-
зывается топологическим индексом x(Z) вихря I в ферромагнетике
(или топологическим зарядом вихря). Требуемые выше условия вы-
полняются, например, для ферромагнетика, имеющего «легкую пло-
скость намагничивания» R2 (физическая терминология). В этом
случае условие устойчивости вихря в ферромагнетике (при гомото-
пиях поля намагниченности М в плоскости R2) состоит в отличии
от нуля степени deg /, или, равносильно, вращения х(1Й, у).
Рассмотрим сверхтекучую компоненту Не4. При температурах,
близких к абсолютному нулю, возникающая в Не4 сверхтекучая
часть жидкости («сверхтекучий конденсат») описывается на языке
квантовой механики комплекснозначной волновой функцией
Ф(х), х G R3; имеем Ф(х) = |Ф(х) | е'ф(х), где |Ф| — модуль комп-
47
лексного числа, Ф — фаза волновой функции. При этом, если сверх-
текучий конденсат находится в равновесном состоянии (и^ = 0), то
| Ф | — постоянен (не зависит от х), Ф — неопределенная константа;
если сверхтекучий конденсат находится в неравновесном состоянии
(us =/= 0 тождественно), то |Ф| остается константой, а Ф = Ф(х) ста-
новится функцией точки х 6 R3, причем поле скорости сверхтекучей
компоненты находится по формуле vs(x) = grad Ф, где Й — посто-
янная Планка, т — масса атома Не4.
Пусть U — область в R3, занятая сверхтекучим конденсатом.
Для всякой точки х G U, в которой vs(x)9b0, определена фаза
Ф(х), которой соответствует луч в R2, выходящий из нуля под уг-
лом Ф(х), отсчитываемым против часовой стрелки от фиксирован-
ного направления. Для точки х G U, в которой vs(x) = 0, угол
Ф(х) не определен. Таким образом, на области U возникает вектор-
ное поле единичных векторов d(x), d: U-+S1, направленных по лу-
чам, соответствующим значениям фазы Ф(х), за исключением осо-
бых точек, в которых фаза Ф(х) не определена. Если выбрать замк-
нутый ориентированный путь у в U, на котором нет особых точек,
то для отображения d: у—»S* определена степень deg d (при фик-
сированной ориентации на S1).
Рассмотрим теперь вихрь в сверхтекучем Не4 с вихревой линией
Г, на I не определено значение фазы Ф и она состоит из особых то-
чек поля d(x). В качестве у выберем ориентированный замкнутый
путь, один раз охватывающий вихревую линию I. Как и для вихря
в ферромагнетике, степень deg d отображения d: y—*S‘ называется
топологическим индексом (или топологическим зарядом) вихря. Ус-
тойчивость вихря в сверхтекучем Не4 снова характеризуется отли-
чием от нуля топологического индекса вихря.
5. Устойчивость вихрей в ферромагнетике и сверхтекучем Не4 с
физической точки зрения означает, что они наблюдаемы в естест-
венных условиях, несмотря на внешние воздействия, от которых
полностью избавиться невозможно. С математической стороны эта
устойчивость обусловлена, как показывается ниже, условием отли-
чия от нуля топологического индекса вихря и связана, таким обра-
зом, с гомотопическими свойствами окружности S*.
Если магнитное поле М(х) или сверхтекучую скорость v (х)
(соответсвующую фазу Ф(х)) достаточно мало изменить равно-
мерно для всех х, то новые значения М1(х) = М(х)+АМ(л),
(«i)s(x) = vs(x) + ^vs(x) (фаза Ф,(х) = Ф(х) + ДФ(х)) при доста-
точно малых приращениях будут гомотопны прежним. Такие гомо-
48
топии, например, могут быть записаны в виде Л/^(х) =
= Л/(х) + А.ДЛ/(х), Ф^(х) = Ф(х) + ЛДФ(х), О <А.<1; эти го-
мотопии порождают гомотопии векторных полей /(х), d(x), т. е.
отображения /Д у—>S1, d-.: у—* S1 (/х определено формулой (1)),
зависящие от параметра А непрерывно и совпадающие с
/0 = /, d0 = d при А = 0 и с /р dt — отвечающими полями
(аДДх) — при А= 1.
Следовательно, deg /Д deg d, не меняются при изменении А:
deg /0 = deg /р deg dQ = deg dY. Таким образом, малые физические
возмущения не меняют степень на контуре у. Если топологический
индекс deg / или deg d вихря был отличен от нуля, то и после воз-
мущения deg /j * 0 или deg d{ * 0 на кривой у. А отсюда следует
центральное утверждение о том, что кривая у охватывает особую
линию измененного векторного поля Л/Дх) или (аДДх). Действи-
тельно, выбирая кривую у окружностью (лежащей в плоскости Пхо)
и предполагая, что ограничиваемый ею замкнутый круг D С П^о не
имеет-особой точки поля или (vj^ (следа пересечения особой
линии вихря с D~), получим продолжение отображения /Д D^S[
(dP D — S1) с окружности у на круг D. Зададим деформацию круга
D к своему центру а: ipx(x) = а + А(х — а), 0 < А < 1. Она порожда-
ет гомотопию fytdy): у—»S1 по формуле f^(x) = /(ipx(x)) (анало-
гично для d..). При А = 1 /Дх) = /Дх), при А = 0 /0(х) = f Да) —-
постоянное отображение; мы показали, таким образом, что отобра-
жение /р у—»S1 гомотопно постоянному, если оно продолжается на
D (и аналогично для df. у—»£*). Очевидно, что степень deg/0
(deg d0) постоянного отображения равна нулю, а из свойства сохра-
нения степени при гомотопии следует, что и deg Д = О (и аналогич-
но deg d( =0), что противоречит ранее установленному выводу об
отличии deg /, (deg dt) от нуля. Таким .образом, убеждаемся в на-
личии особой точки векторного поля Л/Дх) или dt(x) внутри круга
D; передвигая D вдоль линии вихря I, получим семейство особых
точек, которые сливаются в линию вихря поля Л/Дх) или поля
(^1)Дх).
Следовательно, малые физические возмущения магнитного поля
в ферромагнетике (в плоскости R2) или поля скорости сверхтекучей
компоненты Не4 не могут уничтожить вихрь ненулевого топологи-
ческого индекса — в этом и состоит высказанное выше утверждение
об устойчивости вихрей. Фактически установлено более сильное
утверждение о «топологической устойчивости»: вихрь сохраняется
49
при всякой гопотопии М^х), (vA)J(x), не обязательно малой, но та-
кой, чтобы были определены и непрерывны гомотопии /Л: у—»£*,
у—*5*.
Что касается вихрей топологического индекса 0, то они тополо-
гически неустойчивы (т. е. могут быть разрушены в процессе гомо-
топии).
6. Имеется чисто физическая причина появления окружности S1 в
анализе вихрей в п. 5. Согласно известному принципу физики, наб-
людаемые в экспериментах устойчивые состояния вещества соответ-
ствуют локальным минимумам энергии. Энергия вычисляется по за-
данному полю (векторному, тензорному и др.), описывающему состо-
яние вещества. Например, в случае ферромагнетика энергия
определяется векторным полем магнитного момента Л/(х), в случае
гелия Не4 — волновой функцией Ф(х). Так называемые «вырожден-
ные состояния» вещества характеризуются неединственностью поля,
на котором энергия принимает значение локального минимума. На-
пример, для ферромагнетика энергия может иметь минимальное зна-
—* i
чение, когда векторы Л/(х) ортогональны определенной кристалличе-
ской оси (т. е. лежат в некоторой двумерной плоскости R2), при этом
имеют постоянный модуль | Л/(х) | и могут иметь любое направление
(это как раз случай «легкой плоскости» намагничивания). Множество
всех таких векторов Л/(х) образует окружность S1 радиуса
|Л/(х) | = const и называется областью вырожденных (по параметру
намагниченности) состояний ферромагнетика. Если энергия ферро-
магнетика зависит только от модуля намагниченности |Л/| = const,
то область вырождения — двумерная сфера S2; этот случай соответ-
ствует аморфному (изотропному) веществу.
Случай сверхтекучего гелия Не4 отличен от случая ферромагне-
тика — он связан с квантовой механикой: для сверхтекучего конден-
сата в равновесии фаза Ф волновой функции Ф = |Ф| ехр(гФ) остает-
ся произвольной, модуль | Ф | постоянным, энергия не зависит от Ф,
следовательно, имеем вырождение по фазе Ф и область вырожденных
состояний — множество всевозможных значений функции Ф на ком-
плексной плоскости — является окружностью S1 радиуса | Ф |.
Топологические индексы вихрей, рассмотренные выше, опреде-
ляются отображениями /, d'. у—»S* замкнутых кривых в области
вырождения ферромагнетика (с легкой плоскостью намагничива-
ния) и сверхтекучего Не4. Таким образом, наличие топологически
устойчивых вихрей в этих веществах связано с топологическими
свойствами области вырождения, которой является для них окруж-
ность S1.
7. В физике, однако, встречаются области вырождения, отличные
от S1. Уже случай изотропного ферромагнетика демонстрирует дву-
50
мерную область вырождения — сферу S2. Нетрудно сделать вывод об
отсутствии топологически устойчивых вихрей в этой ситуации. Если
D — произвольный круг с границей у (окружностью), то любое
отображение /: у—*52 гомотопно постоянному отображению /0:
у—* с 6 S2. Такая гомотопия, например, осуществляется движением
точек кривой /(у) На 52 к фиксированной точке с по меридианам,
идущим из (—с) в с (для простоты можно считать, что (—с) не лежит
на образе /(у)). Следовательно, deg / = deg /0 = 0, и круг D не обя-
зательно пересекается с линией топологически устойчивого вихря.
Этот факт — следствие топологических свойств области вырожде-
ния — сферы S2.
Но в силу тех же свойств в изотропном ферромагнетике сущест-
вуют и наблюдаются более простые топологические особенности —
изолированные особые точки векторного поля М(х); пример особой
точки типа «еж» обсуждался в п. 1. Для построения топологического
индекса особой точки необходимо задать отображение f (см. (1),
п. 4) на сфере 52(х‘) достаточно малого радиуса е с центром в осо-
бой точке х’, действующее в единичную сферу 52, т. е. /:
52(х‘)—»52. Для такого отображения обобщается понятие степени
отображения, обозначаемой по-прежнему deg /. Конструкция степе-
ни значительно сложнее, чем для отображений окружности в ок-
ружность. Во-первых, сферы необходимо ориентировать, ориентиро-
вав их касательные плоскости так, чтобы ориентации в близких
точках были одинаковы. Во-вторых, необходимо определить алгеб-
раическое число слоев образа /(52), лежащих на сфере S2; при этом
слою приписывается число (+1), если его ориентация совпадает с
ориентацией S2, и число (—1) в противном случае. Придание точ-
ного смысла этим словам в случае непрерывных отображений — до-
вольно длинная работа (основания для этого содержатся в гл. III,
§ 4; гл. IV, § 5; гл. V, § 6); для случая дифференцируемых отобра-
жений определение deg / можно дать методами дифференциальной
геометрии (см., например, [53]). В этом параграфе мы будем поль-
зоваться не строгим, но наглядным описанием deg /, данным выше.
Свойства степени отображений окружностей (п. 3) верны и для сте-
пени отображений сфер. Таким образом, для ферромагнетика с маг-
нитным векторным полем Л/(х) и особой точкой х* определено це-
лое число deg /, называемое топологическим индексом особой (изо-
лированной) точки х* и обозначаемое х(х‘); это число не зависит
от радиуса е > 0 сферы 52(х‘), если е достаточно мало. Это число
х(х’) физики называют топологическим зарядом особой точки х*.
В случае особой точки типа «еж» (п. 1) имеем х(х*) = +1. То-
пологический индекс х(х’) играет ту же роль при исследовании осо-
бых точек, что и топологический индекс х(/) при исследовании вих-
51
рей. Особая точка топологически устойчива, если х(х‘) 0; такая
точка физически наблюдаема и сохраняется при гомотопиях магнит-
ного поля; напротив, если х(х‘) = 0, то особая точка х* может быть
устранена при подходящей гомотопии магнитного поля, т. е. явля-
ется топологически неустойчивой.
В начале 70-х годов нашего столетия были изучены области вы-
рождения сверхтекучих фаз гелия Не3. Этих фаз оказалось две, на-
зываемых А, В, из них наиболее сложная и интересная — фаза А.
Область вырождения фазы А характеризуется множеством четверок
(et, е2, е3, г) векторов из R3, где первые тройки (е(, е2, е3) — все-
возможные ортонормированные реперы с фиксированной ориен-
тацией, a v — произвольный единичный вектор (векторы
i = 1, 2, 3, v) имеют определенный физический смысл [16], который
мы не обсуждаем). Множество ориентированных реперов
(ер е2, е3) можно отождествить с группой SO(3) — группой ортого-
нальных матриц 3x3 или группой вращения твердого тела. Множе-
ство векторов v — единичная сфера S2. Следовательно, область вы-
рождения А-фазы — декартово произведение 52xSO(3)(ero раз-
мерность равна 5). При определенных физических условиях вектор
v фиксируется, и тогда область вырожденных состояний сводится к
группе SO(3). В этой ситуации не работает степень отображения и
необходимо привлекать более сложный аппарат гомотопической то-
пологии — понятие фундаментальной группы. Соответствующий
анализ показывает, что имеется два класса вихрей: один — тополо-
гически устойчивые вихри, другой — топологически неустойчивые.
Экспериментально удается наблюдать не только устойчивые, но и
неустойчивые вихри, помещая /1-фазу во вращающийся сосуд. На-
блюдаемые новые явления, такие, как вихрь с концом, вихревое те-
чение без особой линии, вихри на поверхности, допускают теорети-
ческое объяснение на основе топологических представлений.
8. Как выше было замечено, для исследования более сложных,
чем сфера 52 или окружность S1, областей вырождения необходимо
использовать более сложный аппарат теории гомотопий. Вначале за-
метим, что понятие гомотопии и гомотопических классов естествен-
но распространяется и на отображения /: Х-^» Y произвольных мно-
жеств, лежащих в евклидовых (и даже в метрических и топологи-
ческих пространствах); совокупность всех таких отображений снова
разбивается на гомотопические классы {[/]}, классы эквивалентно-
сти, совокупность которых обозначается через л(X, У). Однако опи-
сание этих классов становится более сложным и является одной из
важных задач гомотопической топологии.
Наиболее часто рассматриваются отображения /: S"-^Y н-мер-
ной единичной сферы в У, п 1, гомотопические классы которых
л[5", У] называются «-мерными гомотопическими классами.
52
Путь [/J — гомотопический класс из jef-S”, У]. Отображения клас-
са [/] называют н-мерными сфероидами (или «петлями» при п — 1).
Полезно зафиксировать точку xQ G Sn, точку ’’0 6 К и ограничить
класс сфероидов /: Sn—* У условием f(x0) = у0 — сфероиды в отме-
ченной точке у0. Их образы можно представлять себе как сильно де-
формированные сферы, прикрепленные к точке у0. Для гомотопии
/Л, 0 $ X $ 1, сфероида / также вводится условие /Л(х0) = у0,
О $ X 1; это означает, что хотя образ f\(Sn) и перемещается в У при
изменении X, однако он всегда прикреплен к неизменной точке у0.
Тогда соответствующие гомотопические классы сфероидов («петель»
при п = 1) в точке у0 обозначаются через лп(У, у0).
Важное свойство множества лп(У, у0) — в нем вводится понятие
произведения, и лп(У, у0) становится группой (коммутативной при
п > 1). Проще всего описать операцию произведения при п = 1. Пусть
S1 ориентирована. Если /: X1 -» У — петля из класса [/], то при дви-
жении точки х по S1, начиная от точки х0, в направлении ориентации
точка у = /(х) описывает путь в У с началом и концом в точке у0
(«петлю») в точке у0. Пусть
/, g — две петли в точке у0 из
классов [/], [g] 6 лДУ, у0); тогда
можно рассмотреть «сложную»
петлю в точке у0, составленную из
петли /, проходимой вначале, и
петли g, проходимой следом за
ней, причем эта двойная петля со-
ответствует одному полному обхо-
ду окружности S1 ТОЧКОЙ X
(рис. 37).
у = q (2а - 2л)
Рис. 37
Двойная петля и определяет класс из л((У, у0), равный по опре-
делению произведению [/] о [g] класса [/] на класс [g] (в указанном
порядке). Петля е\ X1 у0 G У (постоянное отображение) определяет
класс [е], являюшийся единицей в лДУ, у0): [е] о [/] = [/) о [е] =
= [/] для любого [/] G лДУ, у0). Любая петля из класса [е] гомо-
топна постоянному отображению е. Обратный элемент [/]“* опреде-
ляется петлей /, но проходимой в обратном направлении:
у = /(2л — а), 0 $ а $ 2л. Нетрудно проверить справедливость акси-
ом группы.
Умножение гомотопических классов в лп(У, у0) при п> 1 описы-
вается сложнее, и мы отсылаем читателя к гл. III, где подробно из-
ложены начальные сведения о группах л1 и лп, и>1. Группа
лДУ, у0) называется фундаментальной группой пространства У в
53
точке у0. Для линейно связанных пространств (в которых любые две
точки возможно соединить путем) группа л (У, у0) не зависит от
выбора точки у0 (т. е. лДУ, у0) и л((У, у() изоморфны для любых
точек у0, yj. Действительно, если петля / е лДУ, у(), то ее можно
«перенести» в л((У, у0), где ей соответствует петля /, составленная
из" трез частей, уоуР /, У1У0, проходимых в указанном порядке, где
уоу1 — путь, соединяющий точку у0 с у( и проходимый в направле-
нии от у0 к у), а у(у0 — обратный путь. Это правило и задает изо-
морфизм групп лДУ, У(), л((У, у0).
Указанный изоморфизм позволяет отождествлять группы
Л1(У, Уо)’ лЦУ, У1) Для линейно связанных пространств, и они обоз-
начаются символом n((y).
Приведем ряд примеров. Если У = 5', то лДб4) — коммутатив-
ная группа, изоморфная группе целых чисел Z по сложению; этот
факт записывают равенством лДЗ1) = Z. Аналогичное утверждение
имеем и для У = S", п > 1: — Z. Образующий элемент уп
группы лп(5'1),м^1, содержит тождественное отображение ls<
У1—* S'1; следовательно, произвольный элемент [/] е лп(5") имеет
вид [/] = куп. Целое к вляется по определению степенью отображе-
ния /: Sn—*'Sn, обозначаемой deg /. В частном случае /: S' —>5' чис-
ло к имеет следующее геометрическое истолкование: петля / гомо-
топна петле, получаемой повторением петли ls>: 51—»51 в положи-
тельном направлении к раз, если к > 0, ив отрицательном | Л| раз,
если к < 0, при к = 0 петля f гомотопна постоянной петле е.
Таким образом, в рассматриваемом случае [/] = (deg /)у( для /:
S1 — S1, и, более общо, [/] = (deg /)уп, если /: 5" -» Sn, п > 1; тем са-
мым устанавливается однозначная связь между гомотопическим
классом [/] и степенью deg f отображения f. В частности, при
У = S2 мы получаем определение deg f для случая отображений
/: S2 —* S2, необходимое при рассмотрении особых точек ферромагне-
тика. Если У Sn, то, вообще говоря, такой связи может не быть или
потребуется обобщение понятия степени deg /; это зависит от алгеб-
раического строения гомотопической группы лп(У). Так, например,
при классификации вихрей сверхтекучей фазы А гелия Не3 необхо-
димо рассматривать отображения — петли /: 51—*SO(3) — и иметь
их гомотопическую классификацию. Так как n1(SO(3)) = Z2, то, как
и выше, имеем выражение гомотопического класса [/] = ку,, где
у, — образующий класс в ^(80(3)), а к е Z2 — вычет по mod 2,
принимающий значения либо 0, либо 1. Определяя deg2 / — степень
54
no mod 2 — равенством deg2 / = k, приходим к обобщению целочис-
ленной степени. При этом основные свойства степени сохраняются
(проверьте в качестве упражнения!), и мы получаем два типа вихрей:
топологически устойчивых с топологическим индексом вихря 1 и то-
пологически неустойчивых с индексом 0.
9. Особые точки и особые линии (вихри) возникают и в другом
классе веществ — так называемых жидких кристаллах, интенсивно
изучающихся физиками в последние 20 лет. Под этим именем
известен ряд состояний вещества, в которых наблюдается опреде-
ленная «структура порядка», промежуточная между упорядоченно-
стью обычных жидкостей и упорядоченностью твердых кристалли-
ческих тел.
«Эта вспышка интереса была вызвана многими причинами. Во-
первых, жидкие кристаллы ускорили революцию в технике уст-
ройств визуального представления информации (дисплеев)... Во-
вторых, жидкокристаллическое состояние присуще многим биологи-
чески активным системам, в том числе и человеческому телу...
В-третьих, и это-важнее всего с нашей точки зрения, физика жид-
ких кристаллов оказалась необычайно сложной» [73, с. 21—22].
Наиболее просто такая структура выражена в «нематических»
жидких кристаллах (или кратко — «нематиках»), которые состо-
ят из удлиненных (стержнеобразных) молекул; молекулы немати-
ка имеют одну (продольную) ось симметрии. Для нематиков ха-
рактерен ориентационный порядок осей симметрии молекул, когда
оси близких молекул почти параллельны. Задавая в каждой точке
х нематика направление («директор»), определяемое осью молеку-
лы, проходящей через х, получим «поле направлений» директора.
Поле директора определяет состояние нематика подобно тому, как
поле намагниченности ферромагнетика определяет состояние по-
следнего. Для аналитического задания поля директора удобно каж-
дому направлению сопоставить единичный вектор d(x) в R3, па-
раллельный директору в точке х; на области U С R3, занятой не-
матиком, возникает векторное поле d(x}. Поле директора
определяется векторным полем d(x), но его следует отличать от
векторного поля d(x\ так как векторы -± d(x) задают одно и то
же направление. Концы вектора ±d(x) задают на единичной сфе-
ре пространства R3 пару центрально-симметричных точек, кото-
рую можно считать точкой d(x), проективного пространства RP2,
получаемого из двумерной сферы S2 склейкой (отождествлением)
диаметрально противоположных точек; напомним, что RP2 можно
получить и из полусферы, склеивая диаметрально противополож-
ные точки на экваторе (см. § 3). Таким образом, поле директора
полностью характеризуется отображением d: U-* RP2 области U в
проективное пространство RP2. Именно RP2 является областью
вырожденных состояний нематика, так как для направлений осей
55
молекул нет каких-либо физических ограничений (в отличие от
ряда других типов жидких кристаллов). _
Естественно требование непрерывности отображения d на всей
области U, однако это не всегда возможно и возникают (как и для
векторного поля) особые точки (и особые линии) в области U, в
I it I
Рис. 39
которых (и на которых) отображение не определено или терпит
разрыв. Особые линии наблюдаются оптически в виде тонких ни-
тей в нематике, откуда и происходит название «нематик» (от гре-
ческого — «нить»). На рис. 38, 39 приведены две картины по-
ля директора в нематике в случае плоского поля d(x) (т. е.
d(x) G R2); вихрь здесь представлен центральной точкой.
Топологическая классификация вихрей определяется по прежне-
му сценарию. Возьмем окружность S1, окружающую особую линию,
и рассмотрим на ней поле директора, определяемое отображением
d: Sl—»RP2. Гомотопический класс [d] G лДКР2). Структура груп-
пы Jtj (RP2) известна: 3tj(RP2) = Z2, где образующая аб Z2 — гомо-
топический класс, содержащий петлю а — экватор (полусферы) со
склеенными диаметрально противоположными точками, а1 = 0 —
класс постоянной петли (см. гл. III, § 4). Таким образом, определена
обобщенная степень deg2 d, принимающая одно из двух значений, О
или 1. Следовательно, имеется лишь два топологически различных
типа вихрей: один отвечает значению deg2 d = 0, другой — значению
deg2 d = 1; первый топологически неустойчив, второй топологически
устойчив. На рис. 38 представлен пример топологически устойчивого
56
вихря, петляв которого совпадает с петлей-экватором а; следова-
тельно, deg2 d — 1. Гомотопический класс а этой петли содержит и
другие петли в RP2, которые на полусфере выглядят как кривые, на-
чало и конец которых лежат на экваторе и являются концами диамет-
ра (см. рис. 40). Для этих петель направление 2(х) выходит из пло-
скости R2, и тем не менее они не гомотопны в RP2 постоянной петле.
Произведение двух таких петель уже попадает в 0 — класс постоян-
ной петли в RP2. В этот класс попадают все те петли, начало и конец
которых на полусфере совмещены. Например, вихрь на рис. 39 харак-
теризуется петлей из класса 0. Все указанные заключения можно ус-
мотреть геометрически, предполагая, что отмеченная точка
у0 G Y = RP2, в которой вычисляется группа л,(У, у0), задается кон-
цами диаметра на экваторе.
Следовательно, ввиду топологического отличия областей вырож-
дения состояний у изотропного ферромагнетика и у нематика (52 и
RP2 соответственно) получаем различные физические выводы: о не-
наблюдаемости вихрей в первом случае и наблюдаемости — во вто-
ром (вихрей с топологическим индексом deg2 d — 1). Эксперименты
согласуются с теорией. При этом физики называют топологически ус-
тойчивые вихри «вихрями силы 1/2», подчеркивая, что направление
rf(x) при прохождении петли меняется на угол 1/2(2л), т. е. на угол
л. Если же направление d(x) меняется на угол 2V- (2л), N целое, то
вихрь называется «силы /V»; в нашей классификации вихрь силы N
имеет топологический индекс deg2 d = 0 и топологически неустойчив
(пример такого вихря силы N — —1 изображен на рис. 39).
Эксперименты показывают сильную размытость линии вихря си-
лы N = ± 1, что интерпретируется как «вытекание вихря в третье из-
мерение»; последнее означает, что директор вблизи линии дисклина-
ции поворачивается и ориентируется вдоль этой линии, и таким об-
разом особая линия вихря перестает существовать. Топология
предсказывает несуществование дисклинаций целочисленной силы
N. Именно обнаружение эффекта вытекания вихря в третье измере-
ние, а также исследование дефектов в веществах с более сложными
областями вырождения (как Не3) привело в 1976 г. советских физи-
ков Г. Е. Воловика, В. П. Минеева, а также французов — Г. Тулуза,
М. Клемана — к необходимости топологического описания дефектов
с использованием гомотопической топологии. Оказывается, что муль-
типликативные свойства группы jt1 определяют способы, которыми
вихри могут комбинировать друг с другом: слияние вихрей (при этом
происходит сложение их топологических индексов) или распад вихря
на несколько вихрей с суммарным сохранением топологического ин-
декса (заряда) — важные законы для физики конденсированных со-
стояний вещества.
Для нематика, как и для ферромагненика, возможно появление
точечных дефектов, т. е. особых точек в поле направлений директора
57
d(x). Если x* — такая точка, то для определения ее топологического
индекса (заряда) необходимо окружить х* сферой S2(x*) (как в случае
ферромагнетика) достаточно малого радиуса е, не содержащей других
особых точек, и рассмотреть отображение d: S2(x*) —»RP2; его гомо-
топический класс [3] G л2(КР2, у0), где у0 = Э(х0), х0 — отмечен-
ная точка в 52(х*). Так как л2(ЙР2) = Z — свободная абелева группа
(с образующей у2, порожденной отображением склейки диаметрально
противоположных точек у2: 52—»RP2), то [J] = ку2, где k G Z и на-
зывается целочисленной степенью deg d. Эта степень не зависит от
е > 0 при е—*0 и называется топологическим индексом (или зарядом)
х(х‘) особой точки х* (аналогично и для ферромагнетика можно бо-
лее строго определить х(х‘) = к, где [/] = ку2, у2 — образующая сво-
бодной группы л2(№) = Z). Топологически устойчивые особые точки
имеют х(х‘) * 0, однако точечные дефекты с | х(х‘) | > 1 экспери-
ментально не наблюдаются (точечные дефекты естественно наблюда-
ются, когда нематик заключен в цилиндрический капилляр и на его
границе директор ортогонален стенке капилляра). Более общим обра-
зом ограничивающие вещество поверхности могут индуцировать но-
вые классы дефектов, так как они могут изменить топологию области
вырождения, равно как и другие классы нематиков, например, двуос-
ные, дефекты которых напоминают дефекты сверхтекучей Л-фазй4
Не3. Заметим, что область вырождения последней SO(3) гомеоморф-
на RP3, поэтому (см. § 4 гл. Ill) tt2(SO(3))o-Jt2(IRP3) = 4, откуда сле-
дует отсутствие в Не3 топологически устойчивых точечных особенно-
стей.
ОБЗОР РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
В первой главе затронут материал из многих разделов топологий, по которым бу-
дут сделаны литературные указания после соответствующих глав. Здесь мы укажем
источники для первого знакомства с предметом, а также книги, систематически из-
лагающие (на том или ином уровне) курс топологии.
Систематическое изложение основных понятий топологии для начинающих —
[14, 26, 69].
Элементарное изложение отдельных вопросов имеется в [17, 18, 32, 38].
Доказательство теоремы Жордана о замкнутой простой кривой — [1,6].
Начальные сведения о метрических пространствах и их отображениях можно
найти в [33, 40].
Наглядный материал, иллюстрирующий понятие топологического пространства
(§ 3), можно пополнить по книгам [14, 17, 18, 27, 32, 38]; в частности, в [14, 34]
излагается классификация двумерных поверхностей, в [14] дается представление о
расслоенных пространствах.
Начальные сведения о римановых поверхностях см. в [84], а применения к эл-
липтическим интегралам — [66].
Начальные сведения по теории узлов — [14, 34]; систематическое изложение
теории узлов — [36].
58
Систематическими начальными курсами по топологии являются книги [34, 64], по
топологии и дифференциальной геометрии - [49, 53], а также серия книг [58-60].
Глубокое изложение идей, методов и результатов современной топологии в их
развитии дано в фундаментальном труде [51]; первые две главы его и начало третьей
могут быть использованы при первоначальном синтетическом изучении топологии.
По истории развития топологии в СССР см. также [28].
Приложения топологии к исследованию критических функций на гладких мно-
гообразиях (теория Морса, теория Люстерника-Шнирельмана)'см. [44, 57, 74, 75].
О приложениях топологии к теории особенностей можио узнать из обзора [8],
написаниого для широкого круга читателей, а также из специальной монографии
[10, 11]; роль топологии в проблеме минимальных поверхностей подробно освещена
в монографиях [21, 75] (см. также [38]).
О приложениях топологии к физике конденсированных состояний вещества (не-
которые описаны в § 6) можно ознакомиться по обзорам [16, 20, 30, 73]. О тополо-
гии пространства в современных физических теориях элементарных частиц популяр-
но рассказывается в [29]. И, наконец, об обратном влиянии идей теоретической фи-
зики на современную топологию многообразий можно узнать из специальной
монографии [77]: во введении и первой главе ее описаны результаты С. Дональдсона
и М. Фридмана (1981-1982 гг.) о классификации четырехмерных многообразий, по-
лученные при изучении пространства решений уравнений Янга-Миллса в теоретиче-
ской физике. Из этих результатов вытекает, в частности, что классическое простран-
ство R4 допускает не стандартные гладкие структуры (так называемые«фальшивые»),
и даже в несчетном количестве (К. Таубе, 1987 г.). Укажем и на фундаментальную
монографию [86], посвященную топологическим методам в квантовой теории поля и
теории конденсированных сред.
ГЛАВА II
Общая топология
Как уже отмечалось выше, понятие метрического пространства не-
достаточно для развития ряда важных проблем математики. В
XX столетии в математике возникла и развилась более общая кон-
цепция пространства — понятие топологического пространства. К
настоящему времени это понятие стало универсальным в том смыс-
ле, что «структура» топологического пространства, являясь доста-
точно богатой и содержательной, обычно предшествует введению
других геометрических структур. Язык теории топологических про-
странств стал общепринятым во всех разделах математики, связан-
ных с понятием пространства. Эта глава посвящена изложению те-
ории топологических пространств и их непрерывных отображений.
§ 1. Топологическое пространство и непрерывное
отображение
1. Определение топологического пространства. Пусть X —
множество произвольной природы и т = {U} — совокупность его
подмножеств, обладающая следующими свойствами:
1) 0, X е т;
2) объединение любой совокупности множеств из т принадлежит т;
3) пересечение любого конечного числа множеств из т принадле-
жит т.
Такая совокупность подмножеств т называется топологией на
X. Множество X с заданной на нем топологией т называется топо-
логическим пространством и обозначается (X, т), подмножества
из совокупности т называются открытыми (в пространстве (X, т)).
Там, где это не вызовет недоразумений, мы часто вместо (X, т)
будем писать просто X.
Пример 1.Х — числовая прямая R1. Топологию на R1 можно за-
дать следующим набором подмножеств: пустое множество 0, всевоз-
можные интервалы и их объединения U = U (аа, Ьа) (проверьте!).
61
Пр и м е р 2. X = R2. Открытым множеством назовем всякое
множество в X = R2, которое вместе с каждой своей точкой содер-
жит достаточно малый открытый круг с центром в этой точке, а
также пустое множество. Легко проверить, что система всех откры-
тых множеств в X = R2 образует топологию.
Пр и м е р 3. X — произвольное множество. Совокупность
т0 = {0, X} задает топологию на X (проверьте!).
Пр и м е р 4. X — произвольное множество, = {всевозможные
подмножества из X}. Совокупность т — топология на X (проверьте!).
Топология т1 называется максимальной или дискретной, а топо-
логия т0 — минимальной или тривиальной. Таким образом, на од-
ном и том же множестве можно ввести различные топологии, на-
пример тривиальную и дискретную.
С понятием открытого множества в топологическом пространстве
(X, т) тесно связано двойственное понятие замкнутого множества:
так называют множество, дополнение которого открыто. Таким об-
разом, если U €= т, то X\U замкнуто, и обратно: если F замкнуто,
то X\F открыто.
Упражнение Г. Проверьте, что следующие множества замкнуты:
отрезок [а, />] в R1 с топологией примера 1; замкнутый круг в R2 с
топологией примера 2.
В силу двойственного характера операций в теории множеств со-
вокупность {Г} всех замкнутых множеств топологического про-
странства (X, т) удовлетворяет следующим свойствам:
1) X, 0 е {F};
2) пересечение любой совокупности множеств из {Г} принадле-
жит {Г};
3) объединение любого конечного числа множеств из {/’} при-
надлежит {F}.
Эти свойства полностью характеризуют замкнутые множества
топологического пространства (X, т), а следовательно, и тополо-
гию т (так как множества из т — это дополнения замкнутых мно-
жеств) и могут быть приняты в качестве аксиом топологического
пространства. Таким образом, топологию на X можно задать, ука-
зав совокупность {Г} подмножеств X, удовлетворяющую свойствам
1) — 3); в этом случае топологией на X будет совокупность
{X\F}.
Различные топологии на одном и том же множестве образуют
частично упорядоченное множество.
Определение 1. Говорят, что топология т на X слабее (грубее)
топологии т' на X (т<т'), если из того, что U G т, следует, что
U G т', т. е. если т С т'. Топология т' в этом случае сильнее (тонь-
ше) топологии т.
Заметим, что для всякой топологии т имеем т0 < т < тр Ясно, что
существуют и несравнимые топологии. Топологии т' и т" несравни-
62
мы в том случае, если каждая из них содержит лишь часть мно-
жеств, принадлежащих другой.
Рассмотрим вопрос о том, как можно построить топологию; сна-
чала дадим важное определение.
Определение 2. Совокупность В = {V} открытых множеств то-
пологического пространства (X, т) называется базой топологии т,
если для всякого открытого множества U G т и для всякой точки
х G U найдется такое множество V G В, что х е V и V С U.
Следовательно, всякое непустое открытое множество топологи-
ческого пространства (X, т) можно представить в виде объедине-
ния открытых множеств из базы топологии т (это свойство харак-
теризует базу и часто принимается за определение базы). В част-
ности, X равно объединению всех множеств базы (всякую систему
подмножеств из X, объединение которых равно X, называют по-
крытием X). Если {Va} — некоторое покрытие X, то возникает
вопрос: при каких условиях можно построить топологию на X так,
чтобы семейство {Е(1} было базой этой топологии?
Теорема 1 (критерий базы). Пусть X = U Va. Покрытие
B={Va\ является базой некоторой топологии на X тогда и
только тогда, когда для каждого Va, каждого из В и каждого
х 6 Va П Ер существует Vy & В такое, что х G Vy С Va П V$.
Доказательство. Если 5={Еа} — база топологии, то
Еа П Ер — открытое множество, и по определению базы для каждо-
го х е Еа п Ер существует Е^: х G Vy С Еа П Е₽.
Обратно: если В = {Еа} удовлетворяет условию теоремы, то множе-
ства U = U Еа (всевозможные объединения) и пустое множество 0 об-
разуют, как нетрудно проверить, топологию на X, для которой
В = {Еа} — база.
Заметим, что в доказательстве мы указали и способ построения
топологии, если задано семейство В, удовлетворяющее условию
теоремы.
Можно ли сконструировать топологию на множестве X по произ-
вольному его покрытию {Sa}? На этот вопрос отвечает следующая
теорема.
Теорема 2. Покрытие {Sa} естественно порождает топологию
на X, а именно совокупность множеств
V= П Sa
aex
где К —
произвольное конечное подмножество из {а}, — база топологии.
Доказательство. Проверим, что совокупность {Е} удовлет-
воряет критерию базы. В самом деле, для Еа П Ер положим
Е^ = Еа П Ер. Очевидно, Vy G {Е}, поэтому критерий базы выпол-
нен.
63
Таким образом, покрытие {Sa} множества X определяет на X то-
пологию, открытыми множествами которой являются всевозможные
объединения U П и пустое множество.
\“ек /
Определение 3. Семейство {Sa} по отношению к топологии, ко-
торую оно порождает, называется предбазой этой топологии.
Примеры. 5. Пусть X = R1. Множества вида Sa = {x:x<a},
a 6 R1, и 5^ = {х: х > р}, р 6 R1, образуют предбазу топологии чис-
ловой прямой R1, указанной в примере 1.
6. Пусть X = R” есть n-мерное векторное пространство. В качестве
базы топологии на R" можно взять систему множеств В = {Vab}, где
Vab = {х 6 R": a; < < bt, i = 1, ..., n}, — координата вектора
х = ^2> •••> U; а = (ai> •••’ ап>? b = (^i> •••’ Ю — произвольные
векторы в R”, причем a; < bt.
Такие множества Vab называются открытыми параллелепипе-
дами в R’1.
Упражнение 2°. Докажите, что описанная в примере 6 система
параллелепипедов образует базу топологии на R". Убедитесь, что в
случаях п = 1,2, топология, определяемая этой базой, совпадает с
топологиями на R1, R2, указанными в примерах 1, 2.
В дальнейшем, если не будет указано, какая именно топология
рассматривается на R”, мы будем считать, что R" снабжено тополо-
гией, база которой указана в примере 6.
В топологическом пространстве естественно выбирать базу топо-
логии с возможно меньшим количеством элементов. Например, в
R1 множества V = (/р /2), где /р t2 рациональны, образуют базу то-
пологии из счетного числа элементов.
Аналогично в R" можно выбрать базу топологии, состоящую из
счетного множества параллелепипедов с рациональными вершина-
ми, т. е. вида
УГ| = {х: г‘ < < г|, i = l,...,«},
где гр г2 — рациональные векторы в R".
2. Окрестности. Пусть (X, т) — топологическое пространство и
х €= X — произвольная точка.
Определение 4. Окрестностью точки х 6 X называется всякое
подмножество £2(х) С X, удовлетворяющее условиям: 1) х G Q(x);
2) существует U G т такое, что х е U С Q(x).
Можно рассматривать совокупность всех окрестностей данной
точки х. Эта совокупность обладает следующими свойствами:
64
i) объединение любой совокупности окрестностей точки х есть
окрестность точки х;
2) пересечение конечного числа окрестностей точки х — окрест-
ность точки х;
3) всякое множество, содержащее некоторую окрестность точки
х, является окрестностью точки х.
Теорема 3. Подмножество А (А 0) топологического про-
странства (X, т) открыто тогда и только тогда, когда оно со-
держит некоторую окрестность каждой своей точки.
Доказательство. Пусть А открыто, х G А. Тогда ясно, что
А — окрестность х, следовательно, А содержит окрестность любой
своей точки. Пусть для каждого х G А существует окрестность
точки х, целиком лежащая в А. По определению окрестности в
ней содержится некоторое открытое множество Ux, х Е Ux. Рас-
смотрим объединение U Ux всех таких множеств. Оно открыто и
хеА
совпадает с А. Действительно, так как всякая точка множества А
принадлежит U /7Х, то Л С (j Ux. С другой стороны, для каждого
xGA х£А
х имеем Ux С А, т. е. U Ux С А. Поэтому А = (J Ux, значит, А
х С А х G А
открыто, и
Окрестности используют для отделения точек друг от друга.
Определение 5. Топологическое пространство (X, т) называется
хаусдорфовым, если для любых двух его различных точек, х, у,
найдутся такие окрестности 67(х), U(y) этих точек, что
U(x) П t/(y) = 0.
Топологическое пространство (X, т) с тривиальной топологией
нс является хаусдорфовым, если оно содержит более одной точки
(проверьте!).
Свойства окрестностей точки, рассмотренные выше, можно поло-
жить в основу следующего определения топологического простран-
ства, объявляя их аксиомами.
Определение 6. Топологическое пространство — это множест-
во X, для каждой точки х которого указана непустая система под-
множеств {Qa(x)}> называемых окрестностями точки х, удовлет-
воряющих следующим свойствам: 1) х принадлежит каждой своей
окрестности Qa(x); 2) если множество U С X содержит некоторое
Qa(x), то U — также окрестность точки х; 3) для любых окрестно-
стей Qa (х), Qa (х) точки х их пересечение Qa (х) П йа (х) также
является окрестностью точки х; 4) для всякой окрестности £2и(х)
точки х найдется такая окрестность Qa (х) С Qa(x), которая явля-
ется окрестностью каждой своей точки.
Упражнение 3°. Покажите, что множества, являющиеся окрест-
ностью каждой своей точки, и 0 образуют топологию на X.
i Ю. Г. Борисович и др.
65
3. Непрерывное отображение. Гомеоморфизм. Обсудим теперь
определение непрерывного отображения топологических про-
странств.
Пусть (X, т), (У, о) — два топологических пространства с топо-
логиями т, о соответственно. Пусть /: X—*У — отображение мно-
жеств.
Определение 7. Говорят, что f — непрерывное отображение то-
пологических пространств, если полный прообраз /-1(У) любого от-
крытого множества V пространства (У, о) является открытым мно-
жеством пространства (X, т).
Упражнения. 4°. Сформулируйте определение непрерывного ото-
бражения в терминах базы топологии.
5°. Покажите, что числовая непрерывная функция у = /(х)
(—оо < х < + оо) задает непрерывное отображение /: R1—»R*.
6°. Докажите, что /: X—*У непрерывно тогда и только тогда,
когда прообраз f~l(F) замкнут в X для каждого замкнутого множе-
ства F в У.
Если /: Х-* У, g: Y—*Z — отображения топологических про-
странств, то естественно определяется суперпозиция gf: X-*Z по
правилу (gf)'. х g(f(x)).
Теорема 4. Если f, g непрерывны, то и gf непрерывно.
Доказательство легко следует из замечания
(gfrW^r^g-W),
где W С Z — произвольное множество.
Определение 8. Два топологических пространства, (X, т),
(У, о), называются гомеоморфными, если существует отображение
/: X —» У, удовлетворяющее условиям: 1) /: X —» У — биективное
отображение; 2) f непрерывно; 3) /-1 непрерывно.
Заметим, что это определение по форме в точности повторяет
определение гомеоморфизма метрических пространств, введенное в
§ 2 гл. I.
Определение 9. Отображение /: X—»У называется открытым
(замкнутым), если образ каждого открытого (замкнутого) множе-
ства в X открыт (замкнут) в У.
Упражнение Т. Докажите, что отображение /: X—»У — гомео-
морфизм тогда и только тогда, когда определено отображение /-1:
X —» У и отображения f и /-1 одновременно открыты и замкнуты.
Таким образом, гомеоморфизм преобразует открытые множества
в открытые, а замкнутые — в замкнутые.
Сопоставление каждому открытому множеству U пространства X
его образа f(U) при гомеоморфизме /: X—*У устанавливает биек-
тивное соответствие между топологиями пространства X и У. Поэто-
му любое свойство пространства X, формулируемое в терминах то-
пологии этого пространства, будет верным и для пространства У, го-
меоморфного X, и так же будет формулироваться в терминах
66
топологии У. Таким образом, гомеоморфные пространства X и У об-
ладают идентичными свойствами и с этой точки зрения являются
неразличимыми.
Свойства топологических пространств, сохраняющиеся при го-
меоморфизмах, называются топологическими свойствами *. В этой
связи отметим задачу, долгое время считавшуюся основной задачей
топологии (и не решенную полностью до сих пор), — дать эффек-
тивный способ различать негомеоморфные пространства.
Упражнения. 8°. Покажите, что гомеоморфизм задает соответст-
вие баз и предбаз гомеоморфных пространств.
9°. Покажите, что отношение гомеоморфизма есть отношение эк-
вивалентности.
10’. Покажите, что интервал (—1, +1) числовой оси гомеомор-
фен всей числовой оси, предъявите формулу гомеоморфизма.
11°. Покажите, что отрезок и интервал на числовой оси не го-
меоморфны.
Существует весьма полезное расширение понятия гомеоморфиз-
ма — локальный гомеоморфизм. Это такое непрерывное отображе-
ние /: X —» У, что для всякой пары точек х, у, у — f(x), найдутся
окрестности U(x), V(y) такие, что /: С(х)—*У(у) — гомеомор-
физм.
Упражнение 12°. Убедитесь, что отображение R*\{0} —*R*\{0},
задаваемое формулой у = х2, — локальный гомеоморфизм.
4. Подпространство топологического пространства. Как видно
из предыдущего, подмножества метрических и топологических про-
странств часто рассматриваются как самостоятельные объекты. При
этом подмножество У метрического пространства X естественно на-
следует метрику из X. Определим теперь понятие наследственной то-
пологии на подмножестве У, когда X — топологическое пространство.
Пусть (X, т) — топологическое пространство, У С X — подмно-
жество в X. Рассмотрим систему подмножеств множества У
Xy = {V: v = UD У, i/e т}.
Теорема 5. Система ту является топологией на У.
Доказательство предлагается провести читателю (оно очевидно).
Топология Ту называется индуцированной или наследственной
топологией из X. Пространство (У, ту) называется подпростран-
ством пространства (X, т).
Подмножества топологических пространств рассматривают, как
правило, с индуцированной топологией.
Если /: X —* Z — непрерывное отображение топологических про-
странств (X, т), (Z, о), а У — подпространство X, то можно рас-
сматривать и отображение /: У —» Z, которое называется сужением f
на У и обозначается / у.
* При изучении топологических свойств гомеоморфные пространства X, Y часто
не различают.
3*
67
Теорема 6. Отображение f у: Y-* Z непрерывно.
Доказательство. Пусть W 6 о, тогда (/ у)-1(1У) =
= /-1(Ю П у- Так как f~l(W) е т, то (/1У)-1(Ж) С ту.
Упражнения. 13°. Покажите, что открытое множество в подпро-
странстве Y топологического пространства X не обязательно открыто
в X. Разберите примеры для X = R1, R2, R3. Аналогичный вопрос
для замкнутых множеств в Y. Предварительно докажите, что всякое
замкнутое множество FY в Y имеет вид FY = F П Y, где F — зам-
кнутое множество в X.
14°. Пусть А, В С X — замкнутые множества топологического
пространства X и пусть X = A U В. Тогда отображение /: X -» У не-
прерывно тогда и только тогда, когда /|А: А—» У, /|в: В—» У непре-
рывны.
Введем еще одно полезное понятие. Отображение г. У—то-
пологических пространств У, X называется вложением У в X, если:
1) i непрерывно; 2) i: Y-^*i(Y) — гомеоморфизм, где г(У) С. X —
подпространство в X.
Вложения полезны, когда мы хотим «выделить» подпространство
У С X из объемлющего пространства X и рассматривать его отдельно.
Связь с X сохраняется посредством естественного отображения
У —» X, сопоставляющего элементу из У тот же самый элемент в X,
которое является вложением.
§ 2. Топология и непрерывные отображения метрических
пространств. Пространства Rn, Sn~l, Dn
1. Топология в метрическом пространстве. Пусть (X, р) — не-
которое метрическое пространство с метрикой р. На X естественным
образом можно построить топологию. Рассмотрим всевозможные мно-
жества Z)£(x) = {у: р(у, х) < е}, где х 6 X, е > 0. Множество Р£(х)
называется открытым шаром радиуса е с центром в точке х.
Совокупность {£>с(х)} всех открытых шаров образует покрытие
метрического пространства, для которого выполнен критерий базы
(теорема 1 § 1). Действительно, пусть Z)£ (х,) и £)f (х2) — два откры-
тых шара с непустым пересечением. Пусть у £ Dr (х£) П Dr (х2) и
б = шш{е1 - р(у, Xj), е2 - р(у, х2)} иг £ Пб(у); тогда
p(z, X,) « p(z, у) -I- p(y, X!) < 6 + p(y, xj « ep
p(z, x2) « p(z, у) -I- p(y, x2) < 6 + p(y, x2) «£ e2.
Следовательно, z £ Z)£ (xt) П Z>£ (x2), откуда D&(y) C Dr (xj П
П Dr (x2). Таким образом, условия теоремы 1 выполнены.
68
Определение 1. Топология т , определяемая базой всех откры-
тых шаров в метрическом пространстве (X, р), называется тополо-
гией, индуцированной метрикой р, или метрической топологией.
Таким образом, открытыми множествами топологии тр являются
всевозможные объединения открытых шаров метрического про-
странства (X, р) и пустое множество 0.
Теорема 1. Построенная топология тр хаусдорфова.
Доказательство. Пусть х * у, в этом случае р(х, у) =
— а>0 (по свойству метрики). Взяв е=а/3, рассмотрим D.(x),
/>е(у). Легко видеть, что Р£(х) П Dt(y) = 0. В самом деле, предпо-
ложив противное, для точки z G 2)£(х) П 2>£(у) имели бы
а = р(*, у) < р(х, г) + p(z, ?) < j f = -у,
что невозможно.
Можно дать другое, эквивалентное определение открытых мно-
жеств в метрическом пространстве.
Определение 2. Множество U 0' открыто, если для всякой
точки х G U найдется открытый шар Р6(х) с центром в х, целиком
содержащийся в U.
Заметим, что именно так мы определили в § 1 топологию на
R2, и, следовательно, она совпадает с топологией т , порожденной
евклидовой метрикой р плоскости R2. Проверка эквивалентности
двух определений открытых множеств предоставляется читателям.
Рассмотрим отображение /: X —» У метрического пространства
(X, р]) в метрическое пространство (У, р2). Теперь можно дать два
определения непрерывности отображения /: как отображения мет-
рических и как отображения топологических пространств. Эти два
определения эквивалентны, а именно верна следующая теорема.
Теорема 2. Отображение f: X—» У метрического пространства
(X, р.) в метрическое пространство (У, р2) непрерывно (в топо-
логиях, индуцированных метриками) тогда и только тогда, когда
для всякого х0 G X и всякой сходящейся к хп последовательности
{x,J в X последовательность {/(*„)} сходится в У к f(xQ).
Доказательство. Пусть /: X—»У — непрерывное отображе-
ние в топологиях X, У, индуцированных метриками, и пусть
р| р2
хп~»х0. Покажем, что тогда f(xn) —» f(x0). Последнее означает, что
для всякого е>0 найдется натуральное N = 7V(£, х0) такое, что
P2</(-vu)’ /(-\))) < е при п > N.
Рассмотрим в У открытый шар £>£(/(х0)); обозначим его Уе Его
прообраз /-1(УЕ) — открытое множество в X в силу непрерывности /,
причем х0 G /~*(Уе). Точка х0 принадлежит /-i (У.) вместе с некото-
рым шаром D6(x0) радиуса б. Существует такой номер N (N =
69
= JV(e, х0)), что хп принадлежит Z)6(x0) (и f~l(Vt)) при п > N. Но
тогда /(хп) G Иг_ (т. е. p2(f(xn), f(x0)) < е) при п> N. Следователь-
но, отображение / непрерывно как отображение метрических про-
странств.
Пусть для любой последовательности {хп}, сходящейся к некото-
Р2
рой точке х0 в пространстве X, выполнено условие /(хп) —»/(х0). По-
кажем, что в этом случае прообраз всякого открытого множества от-
крыт. Пусть V — открытое множество в Y, U = f~[(V). Покажем, что
U открыто в пространстве X. Воспользуемся определением 2 открыто-
го множества. Пусть х G /-1(У), тогда достаточно найти такое е > О,
что 2>е(х) С /-1(К). Предположим, что такого е не существует. Тогда
существуют такие последовательности {еп}, {х„}, что гп—>0,
хп G £>е (х), но хп £ Следовательно, хп-»х, откуда
Р2
/(хп)—»/(х). Заметив, что /(х) принадлежит V вместе с некоторым
открытым шаром, заключаем, что f(xn) G V и x^G /-1(К), начиная
с некоторого номера, в противоречие с предположением. Таким обра-
зом, отображение / непрерывно в топологиях пространств X, Y, ин-
дуцированных метрикой.
2. Пространство R". Рассмотрим важный пример метрического
пространства — евклидово пространство
№ = ...,и, —00 < ^ < + °0,
состоящее из всех упорядоченных наборов (называемых точками
или векторами) п вещественных чисел; числа называются коор-
динатами точки, вектора.
Метрика (евклидова метрика) вй" (n > 1) вводится аналогич-
но метрике в R3:
„ V/2
р(*>у)= EUi-n/)2 , О)
,=1 >
где х = (£р ..., £n), у = (rjp ..., т]и) —два произвольных вектора
в R".
Проверим, что это метрика. Свойства метрики (см. § 2 гл. I)
1), 2), 3), очевидно, выполнены. Проверим свойство 4). Требуется
доказать неравенство
/ п ) 1/2 ( п ) 1/2 ( п ) 1/2
2 - Л/)2 ?=1 ?=1 + 2 - л/)2 ?=1
70
для произвольных вещественных чисел z= 1, п. Дока-
зательство разбивается на две леммы.
Лемма 1 (неравенство Коши—Буняковского). Для любых веще-
ственных чисел ij;, г],, i = 1, п, справедливо неравенство
/ = 1
V=1 /
1/2/ к 1/2
и
2 П7
Доказательство. Для произвольного вещественного Л имеем
п п п п
У + Ал]г)2 0, откуда У + 2Л У ^т]; + Л2 У т)2 0. Рассмот-
/ = 1 / = 1 i = 1 i ~ 1
рим левую часть неравенства как полином от X. Он не может иметь
двух различных вещественных корней, следовательно, дискрими-
нант его неположителен, что и приводит к неравенству
/ \2
п п п
2 « 2 % 2 п?-
/ = 1 у ' = 1 '=1
Лемма 2 (неравенство Минковского). Для произвольных веще-
ственных чисел т];, z = 1, ..., п, справедливо неравенство
( п \112
£(^ + п;)2
?=1
Доказательство. Воспользуемся неравенством Коши—Буня-
ковского:
2 + Л/)2 = 2 <^? + 2М/ + П?)
i = 1 i = 1
п ( " V/2 ( п \ 1/2 г п / п ) 1/2 ( г \1/2'
2^ + 2 +
/=1 /=| > /=1 V=' /
Извлекая корень из обеих частей неравенства, получаем требуе-
мое неравенство.
Закончим проверку свойства 4) метрики. Пользуясь неравенст-
вом Минковского, получаем
Таким образом, р — метрика в R".
71
Нетрудно видеть, что метрическая топология тр на Rn, индуци-
рованная евклидовой метрикой р, совпадает с топологией на R", ба-
за которой указана в примере 6 § 1.
Пусть х0 = (£0, ..., 5») — центр шара Рг(х0), а х = (^, £„) —
его произвольная точка. Тогда координаты точки х удовлетворяют
неравенству
hI-^?i2+- + (2)
Шар Z>r(x0) в Rrt часто обозначают D?(x0) и называют откры-
тым п-диском. Замкнутым шаром (замкнутым п-диском) D''(x0)
называется множество точек х, координаты которых удовлетворяют
нестрогому неравенству
- !=?|2 + ... + - 1=°|2< г2; (3)
(п — 1)-мерная сфера 5"-1(х0) радиуса г с центром в точке х0 опре-
деляется равенством
Будем называть сферу S'r‘-1(х0) краем диска £>"(х0) или D''(x0).
Метрика в R" может быть задана и другими способами, напри-
мер,
р(х, у) = max (|£. - T)J}. (5)
i*= J,п
Упражнение 1°. Опишите шар в R" в метрике (5). Покажите,
что евклидова метрика и метрика (5) индуцируют одинаковую то-
пологию.
Рассмотрим комплексное n-мерное пространство С": С" =
= {z: z = (zp ..., zn), zk = xk + iyk> xk, yk G R1, k =
Метрика в нем вводится аналогично тому, как это было сделано в
вещественном случае:
p(z', z") = (|zJ'-zI"|2+... + l<- z,"l2)l/2,
где z' = (z/, ..., z,'), z" = (zf, ...,z,") — элементы (Cn. Топологию на
С", индуцируемую этой метрикой, можно задать также при помощи
метрики
p(z', z") = max lzk — zkl.
n
Сформулируем теперь условие непрерывности отображений евк-
лидовых пространств. Отображение /: R" -* R"1 сопоставляет каж-
72
дой точке (|р ^п) определенную точку (т]р так что
можно записать
Л1 ~ Л(Л1> •••’ £ц)>
................................ (6)
Пт = ЛЛ1> •••> U’
где /р i= 1, т, — числовая функция от п переменных. Такая
функция задает отображение R" —» R1 по правилу
(?)
Очевидно, что непрерывность отображения /( эквивалентна не-
прерывности числовой функции £(1), как она определяется
в анализе.
Отображение (7) назовем z-й компонентой отображения /.
Отображение f определяется заданием всех его компонент /р
z = 1, ..., т.
Теорема 3. Отображение f: R" —» Rm непрерывно тогда и
только тогда, когда непрерывна каждая его компонента
*R',
Доказательство следует из замечания о том, что
f(xk) —*/(х°), £-*оо, эквивалентно /Дх*) —>/;(х°), А-*со, для
z == 1, ..., т.
3. Диск Dm гомеоморфен Rm. Рассмотрим некоторые подмноже-
ства в R", п 2. Пусть Sn~l, D" — сфера и открытый zz-диск единич-
ного радиуса с центром в точке (0, ..., 0). Обозначим через 5"_* часть
сферы, где > 0 (северное полушарие). Докажем, что диск ТУ1-1 го-
меоморфен полусфере S1-*.
Можно считать, что пространство R"-1 совпадает с подпростран-
ством точек (£р ..., 54_j,0) пространства R”, если отождествлять
точки (£р ..., ^n_t) и (£р ..., £и_], 0). Тогда Dn~{ и 5"-1 лежат в
R" и задаются так:
D"-[ = {(^, ..., ^ + ••• + < 1. = 0}-
В случае R3 имеем следующую ситуацию: б2 — верхняя полови-
на сферы без экватора, D2 — внутренность единичного круга в R2
(рис. 41),
X = (£1, £з) е-Si, у=(^Д2,0) GD2.
73
Проекция (£р ^з) *—* (Л1> ^2’ 0) является гомеоморфизмом полу-
сферы S2 и диска Р2.
В R" поступим аналогично: проекция
/: Oh,..., У-1>°)
задает непрерывное биективное отображение S" 1 на Dn 1 (проверь-
те!). Рассмотрим обратное отображение. Легко убедиться, что оно
имеет вид
г1: (^, У-Р 0W!-.,.... Vp (1 - !;?-••• - ^-!)*/2) (8)
и непрерывно. Таким образом, построен гомеоморфизм диска Dn~l
и полусферы S"-1. Назовем замкнутой полусферой S"-1 множество
точек сферы 5" *, удовлетворяющих
неравенству > 0. Ясно, что
s«-* = S"-1 и S"-2. Сферу Sn~2 ес-
тественно назвать краем полусферы
S"~* (или S"-1)- Заметим, что Sn~2
есть одновременно край диска Dn~l
(или D"-*). Легко усмотреть, что го-
меоморфизм (8) определен и на
Sn~2 и /-1|s„_2 = 1s" 2. Таким обра-
зом, Рп-1 гомеоморфно S"-1.
Установим теперь важный гомеоморфизм.
Теорема 4. Диск Dm гомеоморфен пространству Rm, т > 1.
Доказательство. Положим т = п — 1 и воспользуемся пре-
дыдущей конструкцией. Пространство R"-1 С R", п 2, перене-
сем параллельно так, чтобы его начало координат попало в точку
(0, ..., 0, 1) G R" — северный полюс сферы S"-1. Точки новой
плоскости имеют вид (^, £2, ..., £n_p 1). Через каждую точку
х = (£р ..., £n) е S"-1 проведем полупрямую т]1 = = /£2, ...
..., t > 0. Она пересекает построенную плоскость в един-
ственной точке, соответствующей значению t(x) = 1/£п. Сопостав-
ляя точке х эту точку пересечения, получаем отображение Ф:
S"-1 —» R"-*, задаваемое правилом
(^, (Vy.1)-
Это отображение, как легко проверить, — гомеоморфизм. Су-
перпозиция гомеоморфизмов
Ф/-1: Р"-1—♦R'1-1, п > 2,
и есть искомый гомеоморфизм.
74
Упражнения. 2°. Сформулируйте критерий непрерывности ото-
бражения /: С"-*Ст комплексных пространств.
3°. Докажите, что С" гомеоморфно R2".
4°. Докажите, что шары в пространстве R", определенные с по-
мощью метрик (1), (5), гомеоморфны.
5°. Докажите непрерывность функций
Кг) = а? + ^)1/2. /(5р -Л) = (I? + ... + ^)1/2.
6°. Определим диски и сферу в пространстве С" условиями
(2) —(4) и обозначим их соответственно Dfa r, Dfc r, Докажи-
те, что они гомеоморфны соответственно jD2", Djn, 52"-1.
7°. Докажите, что в R" диски любых радиусов гомеоморфны; до-
кажите аналогичное утверждение для сфер.
§ 3. Факторпространство и фактортопология
1. Определение фактортопологии. Дадим строгое определение
топологии в факторпространстве — фактортопологии — и с новой
точки зрения проанализируем примеры § 3 гл. I.
Пусть в абстрактном множестве X между некоторыми элемен-
тами х, у е X определено отношение х ~ у. Это отношение назы-
вается эквивалентностью, если выполнены следующие свойства:
1) х ~ х для любого х е X (рефлексивность); 2) если х ~ у, то
у ~ х (симметричность); 3) если х ~ у и у ~ z, то х ~ z (транзи-
тивность).
Множество X распадается на непересекающиеся классы эквива-
лентных между собой элементов, или классы эквивалентности.
Множество {jDa} всех классов эквивалентности обозначим через
X/R, где R обозначает эквивалентность в X.
Определение. Множество X/R называется фактормножеством
множества X по отношению эквивалентности R.
Пусть (X, т) — топологическое пространство, пусть в множестве
X определено отношение эквивалентности R. Тогда на фактормно-
жестве X/R можно ввести естественную топологию следующим об-
разом: подмножество V С {-ОД, состоящее из элементов Da, назовем
открытым тогда и только тогда, когда объединение U множеств
Da как подмножеств X открыто в пространстве (X, т); к открытым
множествам, естественно, отнесем и пустое множество. Эта сово-
купность открытых подмножеств в Х/R является топологией и обоз-
начается тя.
Упражнение 1°. Проверьте, что тя является топологией на X/R.
Топология тя называется фактортопологией', обычно ее имеют
в виду, когда говорят о факторпространстве.
75
Мотивы определения топологии xR станут яснее, если рассмот-
реть отображение л: X-^*XiR, сопоставляющее всякому элементу
х G X содержащий его класс эквивалентности Dx; это отображение
называется проекцией пространства X на факторпространство X/R.
Легко видеть, что множество V С X/R открыто тогда и только тогда,
когда множество л_*(У) открыто в X. Таким образом, проекция л
непрерывна как отображение из (X,i) в (А7Я, тл). (Заметим, что
отсюда вытекает тот принцип непрерывности «склейки», о котором
упоминалось в § 3 гл. I.)
Могут существовать, конечно, и другие топологии на множестве
X/ R, в которых проекция л непрерывна. Следующая теорема ха-
рактеризует топологию xR.
Теорема 1. Топология xR — сильнейшая среди всех топологий
на Х/R, для которых отображение л непрерывно.
Доказательство. Если {W} — топология на X/R, в которой
отображение л непрерывно, то для всякого W G {W} множество
л-1 (Ж) открыто в X. Следовательно, W открыто в факторпростран-
стве X/R, т. е. W 6 xR. Это означает, что топология {W} слабее то-
пологии xR.
Упражнение 2°. Пусть X = [0, 1] С R*. Зададим эквивалентность
R
х ~ у <=> х — у рационально. Покажите, что факторпространство
XiR не хаусдорфово.
2. Примеры факторпространств. Рассмотрим примеры § 3 гл. I.
Если X — прямоугольник abed, а отношение эквивалентности R за-
дано так, что х ~~ х для каждого х 6 X и х ~ у тогда и только тогда,
когда х G ab, у 6 cd и х, у лежат на одной горизонтали в X, то
X/R — топологическое пространство, гомеоморфное цилиндру (см.
рис. 1,2).
Действительно, база топологии цилиндра образована двумерны-
ми «дисками» — пересечениями шаров в R3 с цилиндром (рис. 42).
Если разрезать цилиндр по линии ab и развернуть в прямоугольник,
то «диски» перейдут в базу топологии последнего, причем «диски»,
пересекающие линию ab, разрежутся на сегменты, дополняющие
друг друга до круга и лежащие на противоположных концах прямо-
угольника. Отсюда ясно, что необходимо склеить дополнительные
сегменты по линии разреза, чтобы получить базу топологии в X/R
(рис. 43). Теперь легко убедиться, что, сопоставляя эквивалентным
точкам прямоугольника ту точку цилиндра, в которую они «склеи-
лись», мы получаем гомеоморфизм рассматриваемого факторпрост-
ранства X/R с цилиндром.
Точно так же можно исследовать топологию листа Мёбиуса (см.
следующий пример «склейки» в § 3 гл. I). На рис. 44 изображены
некоторые открытые множества листа Мёбиуса. Здесь сегменты
«склеиваются» по центрально-симметричным точкам, лежащим на
сторонах ab, cd.
76
В третьем примере «склейки» соответствующее факторпростран-
ство гомеоморфно тору, элементы базы его топологии изображены
на рис. 45. Здесь соответствующие сегменты склеиваются не только
по вертикальным основаниям, лежащим на ab, cd, но и по горизон-
тальным, лежащим на ас, bd.
Рис. 43
Рис. 44
Рис. 45
Рис. 46
Наконец, в последнем примере получаем проективную плос- •
кость, элементы ее базы топологии изображены на рис. 46. Здесь
сегменты склеиваются по диаметрально противоположным точкам
своих оснований как на вертикальных, так и на горизонтальных
краях прямоугольника.
Приведем еще один полезный пример образования факторпрост-
ранства. Пусть X С У — подпространство топологического про-
странства X. Объявим все точки У эквивалентными между собой, а
точки х6Х\У — эквивалентными самим себе. Факторпространство
по этой эквивалентности обозначают Х/У, а проекцию л.: Х-*Х)У
называют склеиванием, множества У в точку. Например,
77
S1 = I/ {0, 1} — факторпространство отрезка / = [0, 1] по множест-
ву концевых точек.
3. Отображения факторпространств. Пусть X, X' — топологи-
ческие пространства и R, R' — эквивалентности в них. Рассмотрим
отображение /: X—*Х'. Будем говорить, что отображение f сохра-
R R
няет эквивалентность, если из х ~ у следует /(х) ~ f(y). Для
таких отображений естественно определяется отображений /:
X/R—*X'/R’ факторпространств следующим образом: пусть Da —
класс эквивалентности в X' и х е Da — любой элемент, — класс
эквивалентности в X', содержащий точку /(х); тогда = D^.
Упражнение 3°. Покажите, что отображение f определено кор-
ректно. Отображение f называют факторотображением.
Теорема 2. Если непрерывное отображение f: Х~*Х' сохраня-
ет эквивалентность, то соответствующее ему факторотобра-
жение f: X/R-*X'/R' непрерывно.
Доказательство. Обозначим через л, л' проекции прост-
ранств X, X' на соответствующие факторпространства. Диаграмма
X—!—*~х'
Л л
t ; t
X/R -L-^X'/R!
коммутативна, т. е. для каждого х G X имеем (/л)(х) = (л'/)(х).
Если множество V открыто в X'/R', то (л'/)-1 (У) открыто в X, так
как л'/ непрерывно. Но (/л)-1(У) = (л'/)-1(У), следовательно,
множество (/л)-1(У) открыто в X. Поскольку (/л)-1(У) =
= л-1(/-1(У)), то множество/-*(У) открыто в Х/R (по определению
топологии факторпространства), и, следовательно, / непрерывно.
Сформулируем признак гомеоморфности факторпространств.
Теорема 3. Если f: Х-*Х' — гомеоморфизм и отображения f,
f~l сохраняют эквивалентность, то факторотображение f:
X/R—*X'/R' является гомеоморфизмом.
Действительно, в этом случае отображение f~l определяет фак-
торотображение f~l = (/)-1 (проверьте!) и можно применить теоре-
му 2 как к /, так и к (/)“*.
К перечисленным в § 3 гл. I «моделям» проективной плоскости
RP2 добавим еще три. Первая получается из сферы X = S2, на ко-
торой склеиваются диаметрально противоположные точки (рис. 47).
Вторая состоит из элементов — прямых в R3, проходящих через
точку нуль (х ~ у <=> х, у лежат на одной такой прямой и
х Ф 0, у 0) (рис. 47).
78
Упражнение 4°. Опишите топологию полученных пространств
как топологию факторпространств S1/R и (R3\0)/R соответственно.
Третья модель RP2 состоит в следующем. Рассмотрим в R3 про-
извольную плоскость. Р, не проходящую через начало координат.
Зафиксируем на Р точку а — проекцию на Р начала координат в
R Согласно только что рассмотренной второй модели RP2 это про-
странство состоит из прямых в R3, проходящих через начало. Сопо-
ставим каждой такой прямой точку пересечения ее с плоскостью Р
(ерли она пересекает Р) или же прямую в Р, проходящую через
точку а, параллельную данной. Полученную прямую на плоскости
Р символически отождествим с бесконечно удаленной точкой, в ко-
торой пересекаются эти параллельные прямые.
Рис. 47
Рис. 48
Таким образом, мы получили взаимно однозначное соответствие
между RP2 (второй моделью) и плоскостью Р с присоединенными к
ней бесконечно удаленными точками, по одной на каждое направ-
ление (прямую, проходящую через начало) в Р. В полученном мно-
жестве плоскость Р рассматривается с обычной топологией; окрест-
ность бесконечно удаленной точки, соответствующей какому-ни-
будь направлению d на Р, определяется как часть плоскости Р
(заштрихованная на рис. 48), ограниченная произвольной гипербо-
лой с осью d. Множество всех бесконечно удаленных точек, присо-
единенных к плоскости Р, называют также абсолютом или беско-
нечно удаленной прямой.
Упражнение 5°. Докажите гомеоморфизм всех реализаций RP2.
Рассмотрим замкнутый диск Dn и его край Sn~l. Отождествим
все точки края. Полученное факторпространство обозначим
Dn/Sn~l.
79
Теорема 4. Пространство Dn/Sn~[ гомеоморфно сфере S'1.
Доказательство. В п. 3 § 2 было показано, что диск Dn Iro-
меоморфен замкнутой полусфере S". Этот гомеоморфизм тождест-
вен на общем краю (S'i-i) этих множеств, следовательно, в S" ин-
дуцируется отношение эквивалентности из D" и согласно последней
теореме Dn/Sn~l гомеоморфно
Покажем, что S”/Sn~l гомеоморфно 5". Имеется естественное
включение: S" —>5". Обозначим южный полюс (0, 0, ..., О, —1) сфе-
ры Sn через *. Тогда существует непрерывное сюръективное отобра-
жение <р: 5"—»S'1 такое, что (р(У"-1) = * и tp I — го-
I s+, _
меоморфизм. Его можно построить, например, так: если х G S” и
х N (N — северный полюс), то через точки О, N, х проводим дву-
мерную плоскость, пересекающую S" по окружности (меридиану);
сдвинем х по меридиану на дугу» вдвое большую, чем дуга xN, по-
лучим точку ф(х); положим ip(./V) — N. Определено факторотобра-
жение
ф: Sn+/Sn-l-^Sn/{*} = Sn,
которое, очевидно, является гомеоморфизмом.
Произведение двух гомеоморфизмов,
Пп/8п-1^8п+/8п-', Я"/5*-1-*5",
и будет искомым гомеоморфизмом.
§ 4. Классификация поверхностей
1. Поверхности и их триангуляция. Вернемся к изучению зам-
кнутых поверхностей. Данные выше определения топологического
пространства, факторпространства, гомеоморфизма топологических
пространств, рассмотренные примеры создают твердую базу для до-
казательства упомянутой в § 3 гл. I теоремы о том, что всякая зам-
кнутая поверхность топологически эквивалентна одной из поверх-
ностей вида Мр или Nq, т. е. сфере с приклеенными р ручками или
q листами Мёбиуса. Здесь будут уточнены соответствующие понятия
и дано доказательство вышеупомянутой теоремы.
Топологическое пространство X, каждая точка которого имеет
окрестность, гомеоморфную открытому кругу, назовем двумерным
многообразием. Удобно изучать такие пространства, разбивая их
на элементарные куски, топологически эквивалентные тре-
угольникам двумерной евклидовой плоскости. Уточним это пред-
ставление.
80
Определение 1. Топологическим треугольником в X будем на-
зывать пару (Г, ф), где Т — подпространство в X, а <р: А—»Т —
гомеоморфизм некоторого треугольника А С R2 на Т.
Если гомеоморфизм ф: Д-*Г зафиксирован (и когда это не мо-
жет привести к недоразумению), для сокращения речи мы будем
называть топологическим треугольником подпространство Т С X.
Образы вершин, сторон треугольника А (вместе с сужением гомео-
морфизма ф) называются соответственно вершинами, ребрами топо-
логического треугольника Т. Для единообразия удобно и стороны
треугольника А называть ребрами.
Определим ориентацию треугольника. Из вершин А можно обра-
зовать различные упорядоченные тройки точек. Считаем, что две
тройки эквивалентны, если одна получается из другой циклической
перестановкой. Ясно, что классов эквивалентности получается ровно
два. Треугольник \ ориентирован, если фиксирован один из этих
классов эквивалентности. Топологический треугольник (Т, ф) ори-
ентирован, если ориентирован треугольник Д. Очевидно, что ори-
ентация треугольника А равнозначна заданию определенного на-
правления обхода его вершин (по часовой или против часовой
стрелки). Это направление обхода с помощью гомеоморфизма ф
определяет направление обхода вершин топологического тре-
угольника — индуцированную гомеоморфизмом ф ориентацию.
Ориентация треугольника задает, очевидно, ориентации его ребер
(как упорядоченные пары вершин).
Заметим для дальнейшего, что совершенно аналогично опреде-
ляется ориентация и-угольника и его ребер при п > 3 (заданием на-
правления обхода вершин).
Определение 2. Триангуляцией двумерно-
го многообразия называется конечное множе-
ство К = {(Т t, ф.)}|=1 топологических тре-
угольников в X, удовлетворяющее свойствам:
к
1) X — U Т •; 2) пересечение любой пары тре-
угольников из К либо пусто, либо совпадает с
их общей вершиной или общим ребром.
Многообразие, для которого существует
триангуляция, называется триангулируемым.
Если любые две вершины треугольников из К можно соединить пу-
тем, составленным из ребер, то X назовем связным.
На рис. 49 изображен пример триангуляции сферы S2, состоящей
из восьми треугольников.
Определение 3. Замкнутой поверхностью будем называть связ-
ное триангулируемое двумерное многообразие.
Заметим, что рассматривавшиеся в § 3 гл. I примеры замкнутых
поверхностей, триангулируемых на топологические многоугольники,
являются примерами замкнутых поверхностей в смысле определе-
81
ния 3 (чтобы в этом убедиться, достаточно триангулировать много-
угольники).
Упражнение Г. Постройте триангуляции тора и проективной
плоскости. Убедитесь, что они являются замкнутыми поверх-
ностями.
Топологические свойства замкнутой поверхности определяются
строением ее триангуляции. Для изучения последней удобно рас-
смотреть ее схематическое представление на плоскости. При этом
можно считать, что плоские треугольники Д; — прообразы тре-
угольников с К — лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Опишем такое представление. Пусть (Tt, ф;), (Tjt q>p — тре-
угольники из К и Тt П Tj = а — их общее ребро; пусть at = фФ(а),
= фуЧя) — соответствующие ему ребра в, Aj. Определен
склеивающий гомеоморфизм
Таким образом, триангуляции К можно сопоставить систему
.А = ({Ajf_j, треугольников плоскости вместе с гомеомор-
к
физмами ф/7 для соответствующих пар ребер. Объявим в U Дг эк-
i = i
вивалентными точки, соответствующие друг другу при гомеомор-
физмах ф/у. Обозначим указанную эквивалентность через R.
( k /
Лемма. Факторпространство U Д( /R гомеоморфно поверх-
ности X.
Доказательство. Гомеоморфизмы ф;: Д.—»7V естественно
к
задают сюръективное отображение Ф: U Д; —*Х, причем прообраз
1 = 1
Ф *(х) для любого х G X есть в точности класс ^-эквивалентности.
Факторотображение Ф:
* /
U Д| /R—*Х является непрерывным отоб-
ражением по теореме 2 § 3. Очевидно, что оно биективно и обрат-
ное к нему отображение Ф-1 непрерывно.
2. Развертка поверхности. В дальнейшем нам понадобятся сис-
темы, аналогичные системе Д, схематически представляющей три-
ангуляцию К поверхности X, но такие, что вместе с треугольниками
з них могут входить и л-угольники (и > 3).
Определение 4. Разверткой называется система Q = ({QJ,
{ф;у}), где {Qj} — конечный набор непересекающихся плоских мно-
гоугольников, а {ф,,} — конечный набор склеивающих гомеомор-
82
физмов пар ребер многоугольников из набора {QJ, причем каждое
ребро склеивается только с одним ребром; допускается склейка ре-
бер одного многоугольника.
В частности, система А = ({AJ, {ф(у}) является разверткой; го-
ворят, что А — развертка поверхности X, связанная с триангуля-
цией К.
Заметим, что если положение многоугольника Qi на плоскости
меняется при помощи некоторого гомеоморфизма ар то естествен-
но определяются и новые гомеоморфизмы {а^а]-1} склейки его
ребер, которые мй в дальнейшем не будем отличать от гомеомор-
физмов {<Р;у}.
Для произвольной развертки Q рассмотрим факторпространство
Q объединения U Q, по эквивалентности R, определяемой гомео-
i
морфизмами Q= U Qjj /r- Будем называть Q факторпро-
странством развертки Q. Очевидно, факторпространство разверт-
ки — двумерное многообразие; оно допускает триангуляцию, по-
рождаемую достаточно мелкой триангуляцией многоугольников Qt.
Таким образом, если факторпространство Q связно, то оно является
замкнутой поверхностью (в дальнейшем рассматриваются только
такие Q). Будем называть Q в этом случае разверткой поверх-
ности Q.
Факторотображение индуцирует разбиение поверхности Q на об-
разы многоугольников, образы ребер (ребра разбиения), образы вер-
шин (вершины разбиения); разбиение, вообще говоря, не является
триангуляцией.
Рис. 50
На рис. 50 изображена развертка тора, представленная много-
угольником. Стрелка и обозначения его ребер указывают закон
склеивания тора.
В дальнейшем многоугольники развертки будем ориентировать,
фиксируя какие-то ориентации каждого из них. Ориентации много-
угольников задают соответствующие ориентации ребер. При склеи-
вающем гомеоморфизме двух ребер ребро получает
индуцированную (из ориентации ребра пг) гомеоморфизмом <р/у.
83
ориентацию, которая, вообще говоря, может отличаться от ориента-
ции ребра йу.
Развертка Q называется ориентируемой, если при одинаковой
ориентации всех ее многоугольников (например, обход вершин про-
тив часовой стрелки) гомеоморфизмы склейки ребер индуцируют в
ребре-образе ориентацию, противоположную заданной. В противном
случае (т. е. если хотя бы в одном ребре ориентация совпадает с ин-
дуцированной) развертку называют неориентируемой.
Поверхность X называется ориентируемой (неориентируемой ) в со-
ответствии с ориентируемостью (неориентируемостью) ее развертки.
3. Классификация разверток.
Определение 5. Две развертки, Q и Q', называются эквивален-
тными, если их факторпространства гомеоморфны.
Введем некоторые элементарные операции над разверткой, кото-
рые преобразуют ее в эквивалентную.
Подразделение. Пусть в развертке Q имеется п-угольник
Q (п > 3). Проведем в нем какую-нибудь диагональ d, которая раз-
бивает Q- на два многоугольника, Q- и Q'.. Раздвинем многоуголь-
ники Q. и Q" и построим из Q новую развертку Q, заменив много-
угольник Ql на два многоугольника, Q- и Q". При этом два новых
ребра, d' и d", — копии диагонали d — свяжем естественным гомео-
Рис. 51
морфизмом отождествления, а гомеоморфизмы старых ребер сохра-
ним. Развертка Q называется подразделением развертки Q; очевид-
но, что Q и Q эквивалентны.
Склеивание (укрупнение). Эта операция обратна пер-
вой. Два многоугольника, Q- и Q", развертки Q склеиваются в один
многоугольник Qt по одному из гомеоморфизмов их ребер d' и d"',
гомеоморфизмы остальных ребер Q- и Q. индуцируют гомеоморфиз-
мы ребер многоугольника Qt.
Свертывание. Пусть в многоугольнике Qt развертки Q склеи-
ваются два соседних ребра с противоположными ориентациями.
«Склеив» эти ребра, получим развертку Q, содержащую вместо Qt
84
многоугольник, число вершин которого на два меньше, чем у Qt; на-
бор гомеоморфизмов развертки Q на один меньше, чем у Q (рис. 51).
Подчеркнем, что описанные операции сохраняют класс эквива-
лентности развертки (убедитесь!).
Для удобства дальнейшего изложения мы будем описывать каж-
дую развертку набором специальных слов-символов по следующему
правилу. Пусть Q = ({Q.}, {<₽,;}) — некоторая развертка. Зафикси-
руем для каждого многоугольника развертки какую-нибудь ориента-
цию (для определенности будем считать, что для всех многоугольни-
ков развертки фиксировано направление обхода по часовой стрелке).
Обозначим ребра многоугольников развертки Q буквами так, чтобы
склеиваемые между собой ребра многоугольников были обозначены
одинаковыми буквами, а не склеиваемые — разными. Порядок склеи-
вания ребер, задаваемый гомеоморфизмами , будем указывать на
рисунках с помощью стрелок, задав стрелками направления склеи-
ваемых ребер так, чтобы начало одного ребра склеиваемой пары
склеивалось с началом другого, а конец — с концом (при этом на-
правление одного из ребер каждой склеиваемой пары можно задавать
произвольно, направление другого определяется однозначно соответ-
ствующим гомеоморфизмом склейки <pZ/.). Таким образом мы ориен-
тируем все ребра многоугольников развертки, которые склеиваются с
другими ребрами. При этом может оказаться, что ориентация неко-
торых ребер не совпадает с ориентацией, задаваемой фиксированным
обходом многоугольников. К буквенным обозначениям таких ребер
добавим показатель — 1. Так же, как в § 3 гл. I, запишем последова-
тельно обозначения ребер одного многоугольника Qz в слово со( Qz),
обходя последовательно ребра в заданном направлении. Слово
co(Qz) характеризует схему «приклеиваниям многоугольника Qi в
развертке Q, а набор слов для всех многоугольников развертки Q ха-
рактеризует развертку Q.
Выделяют два основных типа разверток.
Определение 6. Канонической разверткой I типа называется
развертка, состоящая из одного многоугольника, определяемого сло-
вом вида аа-1 или вида
а^а~'‘Ь;'а2Ь2а2гЬ2г ... атЬта~ткЬ^, т > 0.
Определение 7. Канонической разверткой П типа называется
развертка, состоящая из одного многоугольника со словом вида
a[afa2a2... а,пат, т > Q.
Сформулируем основной результат.
Теорема 1. Всякая развертка эквивалентна канонической раз-
вертке I или II типа в соответствии с ее ориентируемостью или
пеор иент ирувмост ь ю.
Доказательство. Сделаем вначале /два замечания. Во-пер-
вых, легко видеть, что с помощью укрупнений всегда можно пе-
рейти от развертки, соответствующей триангуляции К поверхности
X, к развертке, состоящей из одного многоугольника. Поэтому вез-
85
те ниже рассматриваются только такие развертки. Во-вторых, если
в слове развертки, отличном от аа~1, имеются все же сочетания
вида аа~\ то от них можно последовательно избавляться с по-
мощью операции свертывания по обшей вершине А ребер а и
а-1. Слово новой развертки получается из слова старой вычерки-
ванием сочетания аа~1.
В результате придем либо к слову из двух букв (аа~1 или аа),
либо к слову не менее, чем из четырех букв, в котором нет сочета-
ний вида аа~1 (напомним, что поверхность замкнута). И так как
слова аа, ааГ1 описывают каноническую развертку, то дальнейшему
анализу подлежит лишь последний случай.
Разобьем этот анализ на ряд шагов.
1) От полученной развертки Q' можно перейти к такой, у кото-
рой все вершины эквивалентны, т. е. склеиваются при факториза-
ции. В самом деле, предположим, что в Q есть неэквивалентные
вершины. Тогда в Q найдется ребро а, концы А, В которого не эк-
вивалентны. Пусть b — другое ребро, примыкающее к вершине В,
со второй вершиной С. Соединим А с С диагональю d. В этом слу-
чае ребро Ь', с которым обязано склеиваться ребро Ь, найдется вне
треугольника АВС. Иначе либо b = а, либо b — а"1, что противоре-
вершин А и В или отсутствию сочета-
ний вида аа~\ Применим теперь опе-
рацию подразделения по диагонали d,
а затем операцию укрупнения по ребру
b (склеим его с ребром />'). В получен-
ной развертке Р' множество вершин,
эквивалентных А, стало на одну боль-
ше, а множество вершин, эквивалент-
ных В, — на одну меньше (рис. 52).
Если при этом в слове развертки Р' по-
явились сочетания вида аа' *, то убе-
рем их с помощью операции свертыва-
ния. При этом следует отметить, что последняя перестройка не мо-
жет изменить разности между множеством вершин, эквивалентных
В, и множеством вершин, эквивалентных А (проверьте!).
Далее, если остались еще вершины, не эквивалентные А, то пов-
торяем весь описанный прием, пока не получим развертку с иско-
мым свойством.
Таким образом, в дальнейшем можно считать, что в рассматри-
ваемой развертке все вершины эквивалентны и в ес слове нет соче-
таний вида аа~*.
2) Покажем теперь, что две одинаковые буквы в слове развертки
можно всегда поставить рядом. В самом деле, пусть буквы а и а не
стоят рядом. Проведем тогда в многоугольнике диагональ d, соеди-
няющую начала ребер а и а. Сделаем подразделение по d и затем
укрупнение по а. В новом слове буквы а, как видно, уже не будет,
чило оы неэквивалентности
Рис. 52
86
но появится сочетание dd, чего мы и добивались (рис, 53). (Нетруд-
но проверить, что результаты первого шага сохраняются.)
Точно так же поступаем с другими одинаковыми буквами, не
стоящими рядом.
Отметим при этом, что, выполняя описанный прием, мы не раз-
деляем других сочетаний вида аа, поскольку отделяются лишь реб-
ра, соседние с ребром а, которые заведомо ему не эквивалентны.
3) Считая условия 1), 2) шагов выполненными, покажем, что ес-
ли буквы а и а~1 в слове не стоят рядом, то найдутся еще буквы Ь,
такие, что пары а, а-1 и b, Ь~1 разделяют друг друга (рис. 54).
Будем рассуждать от противного. Если такой пары b, Ь~1 нет, то
между а и а~1 содержатся только сочетания вида сс. Но такая си-
туация противоречит эквивалентности всех вершин развертки, так
как она возможна лишь при условии, что вершины А, В ребра а не
эквивалентны (рис. 55).
4) Таким образом, в слове развертки есть две пары: а, а-1 и Ь,
Ь~л, разделяющие друг друга. Покажем, что эту четверку можно за-
менить на сочетания вида хух-1у-1, сохраняя условия шагов 1), 2).
Соединим начала ребер а и а-1 диагональю х и проведем по ней под-
разделение и затем укрупнение по ребру b (рис. 56). В полученном
многоугольнике соединим концы ребер х и х-1 диагональю у и снова
проведем подразделение по у и затем укрупнение по а (рис. 57).
Получена развертка, в слове которой вместо букв a, b, а-1, Ь~1
появилось сочетание хух-1у-1. Если при этих операциях возникнут
сочетания вида сс~1, то они устраняются свертыванием, а сочетания
вида dd и cdc~ld~l не разрываются. Таким образом, сохраняются
условия, достигнутые на шагах I) и 2).
В результате применения конструкций шагов 1)—4) мы преобра-
зовали исходное слово к слову, состоящему из сочетаний вида
хух-1у-1 и аа. Если сочетаний вида аа в слове нет, то это канони-
ческая развертка I типа.
5) Если одновременно имеются сочетания вида хух-1у-1 и аа, то
слово приводится к каноническому виду II типа следующим обра-
зом. Соединяем диагональю d общую вершину ребер а и а с общей
вершиной ребер у и х-1, производим подразделение по d и укруп-
нение по а (рис. 58). Получившиеся две пары разделенных ребер
х и х, у и у превращаем в сочетания zz, ww применением операции
шага 2) (рис. 59, 60); после этих операций появляется разделенная
пара d~l, d~l, которую снова применением операции шага 2) пре-
вращаем в сочетание w (рис. 60). Получаем слово требуемого ка-
нонического вида.
Таким образом, пара сочетаний хух-1у-1, аа заменяется в слове
сочетанием трех пар вида аа. При этом не нарушаются другие со-
четания вида хух_|у-1 или аа. Процесс можно повторить до полного
исчезновения сочетаний вида хух-1у-1.
87
Рис. 53
Рис. 55
Рис. 54
Рис. 57
Рис. 56
Рис. 59
88
Упражнение 2°. Убедитесь, что две замкнутых поверхности, X
и X', развертки которых эквивалентны каноническим одного типа
и с одним и тем же числом т, гомеоморфны.
4. Эйлерова характеристика и топологическая классифика-
ция поверхностей. Обратимся к геометрической интерпретации
только что доказанной теоремы. В § 3 гл. I было показано, что со-
четания вида хух~1у~1 в слове канонической развертки поверхности
X соответствуют ручке, а сочетание вида аа — листу Мёбиуса, при-
клеенным к остальной части поверхности X по своему краю. Таким
образом, принадлежность канонической развертки поверхности к I
и II типам означает, что эта поверхность склеена из конечного чис-
ла ручек или из конечного числа листов Мёбиуса соответственно.
Такую склейку нетрудно представить как результат приклеивания
этих ручек или листов Мёбиуса к сфере S2.
Рис. 60
Итак, мы видим, что поверхность с канонической разверткой I ти-
па есть ориентируемая поверхность типа Мр, где р — число прикле-
енных к сфере ручек (род поверхности). Если же каноническая раз-
вертка поверхности принадлежит ко II типу, то это неориентируемая
поверхность типа N , q 1, где q — число приклеенных к сфере лис-
тов Мёбиуса (также род поверхности).
В процессе доказательства теоремы было также показано, что ес-
ли к сфере приклеено р ручек и q 1 листов Мёбиуса одновремен-
но, то полученная поверхность неориентируема и имеет тип N2p+q-
Теорема о классификации разверток позволяет сделать вывод о
том, .что любая замкнутая поверхность гомеоморфна некоторой по-
верхности типа Мр, Nq. Для уточнения этого результата рассмотрим
эйлерову характеристику нашей поверхности. Пусть в разбиении
поверхности X имеется а0 вершин, ctj ребер и а2 образов много-
угольников. Число х(-^) ~ ао — а! + а2 назовем эйлеровой харак-
теристикой поверхности. Очевидно, это определение обобщает дан-
ное ранее (см. § 3 гл. I ), так как теперь образ многоугольника,
89
например, не является обязательно топологическим многоугольни-
ком (возможно склеивание сторон одного многоугольника).
Если X имеет тип Мр и Р — его каноническая развертка со сло-
вом albla\lb^...apbpa~lb~p\ то, очевидно, а0 — 1, = 2р, а2 = 1 и
Х(Х) =2 — 2 р.
Если X имеет тип Nq и ахахагаг -.aqaq — слово его канониче-
ской развертки, то ct0 = 1, = q, а2 = 1 и х(А") = 2 — q.
Если Q — произвольная развертка поверхности X, то с помощью
элементарных операций она преобразуется в каноническую разверт-
ку. Легко заметить, что элементарные операции не меняют х(А"). В
самом деле, при подразделении числа Oj и а2 увеличиваются на 1, а
а0 не меняется; при укрупнении и а2 уменьшаются на 1 при неиз-
менном а0; при свертывании а0 и а, уменьшаются на 1. Следователь-
но, альтернированная сумма а0 — а1 + а2не меняется. Отсюда следу-
ет важный вывод: каноническая развертка Р не зависит от выбора эле-
ментарных преобразований развертки Q. Действительно, если бы Q
приводилась к двум каноническим разверткам Р, Р', например, 1 типа
a{b{a^b~\..apbpa~pib~pl и a1bla;1b;l...apbp арЧГр\
то эйлерова характеристика, вычисленная по разбиению Q, совпа-
дала бы с результатом вычисления ее по разбиениям Р, Р', и мы
имели бы равенство 2 —-2р = 2 — 2р{, откуда р= р{, т. е. совпаде-
ние слов для Р и Р'. Аналогичное рассуждение приводится в случае
разверток Р, Р' II типа.
Если же Р — развертка I типа, а Р’ — II типа, то равенство
2 — 2р — 2 — q возможно при q—2p. Поэтому вышеприведенное
рассуждение устанавливает лишь невозможность иметь для развер-
тки два канонических вида I и II типов с р и q ^=2р. Общее заклю-
чение о невозможности одновременного приведения развертки к
каноническим видам I и II типов следует из сохранения свойства
ориентируемости (или неориентируемости) развертки при элемен-
тарных преобразованиях (проверьте!).
В итоге нами доказана первая часть следующей центральной тео-
ремы о топологической классификации поверхностей.
Теорема 2. Всякая замкнутая поверхность топологически эк-
вивалентна поверхности типа Мр или N . Поверхности типов
Мр и N , q> l, топологически не эквивалентны, если р, q не рав-
ны нулю одновременно', поверхности М p(N q) при различных зна-
чениях p(q) также топологически не эквивалентны.
Вторая часть теоремы была объяснена в § 3 гл. I (п. 4) и выше.
Это объяснение можно было бы считать доказательством, если бы
были доказаны топологическая инвариантность эйлеровой характе-
ристики х<Х) Для произвольной замкнутой поверхности X (это до-
казано было только для случая X — S2) и негомеоморфность Мр и
90
Nq при q = 2p, p > 0. Эти факты будут установлены в § 4 гл. III на
основе понятия фундаментальной группы пространства.
Упражнения. 3°. Изобразите схему склеивания поверхности, ка-
ноническая развертка которой имеет слово
albla'[lb^la2b2a2lb2la3b3a3
4°. Нарисуйте схему склеивания поверхности, характеризующей-
ся словом а1а1а2а2а3а3. Укажите тип и род этой поверхности.
5°. Убедитесь, что следующие замкнутые поверхности имеют
указанный тип и род:
1) сфера — Мо = No;
2) тор (сфера с одной ручкой) — М{;
3) крендель (сфера с двумя ручками) — М2,
4) проективная плоскость — Л^;
5) бутылка Клейна — N2.
Нарисуйте схемы их разбиений.
6°. Одномерным многообразием М1 назовем топологическое про-
странство, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную
открытому интервалу числовой оси. Триангуляцией М1 назовем раз-
биение его на дуги — топологические образы отрезка [0, 1 ], примы-
кающие друг к другу по своим концам (вершинам); предполагаем,,
что М1 состоит из конечного числа дуг. Докажите, что триангулй
руемое многообразие М* гомеоморфно окружности № или несколь-
ким ее экземплярам.
§ 5. Пространства орбит; проективные
и линзовые пространства
1. Определение пространства орбит. Рассмотрим важные при-
меры факторпространств, возникающие при действии групп на то-
пологических пространствах.
Пусть Н(Х) — множество всех гомеоморфизмов топологического
пространства X на себя. Определено произведение, двух гомеомор -
физмов, й] и h2. (hlh2)(x) = й2(й1(х)), для каждого h. G Н(Х) име-
ется обратное отображение h~l G Я(Л'), причем hh~l = h~lh = lx>
Таким образом, Я(Х) — группа по умножению (вообще говоря, не
коммутативная) с единицей 1Х.
Определение 1. Будем говорить, что некоторая абстрактная
группа G действует (слева) на пространстве X, если задан гомо-
морфизм группы G в группу Н(Х).
Если G действует на X, то, следовательно, каждому g G G соот-
ветствует hg G Н(Х): g^hg; glg2'-*hg hgj g~ll^(hg)~l; 1G—И*.
91
Очевидно, что множество {^s}g(=G — подгруппа группы Н(Х).
Пусть х 6 X — произвольная точка; множество U h (х) назы-
g^G
вается ее орбитой и обозначается Ох.
Упражнение 1°. Покажите, что две орбиты, Ох, О , либо совпа-
дают, либо не пересекаются.
Последнее утверждение позволяет ввести в X эквивалентность
Л: х ~ у <=* Ох == Оу, т. е. когда х, у принадлежат одной орбите.
Определение 2. Факторпространство Х/R называется простран-
ством орбит группы G и обозначается X/G.
Описанная конструкция образования факторпространсгв играет
важную роль в современной топологии. Рассмотрим некоторые при-
меры.
2. Проективные пространства RP", (СР". Рассмотрим сферу
5" С R"+l. Пусть каждой точке х = {%р ..., £л+1) G 5" поставлена
в соответствие диаметрально противоположная точка Ах =
= (—1;,, ..., — £„+1) G Sn. Отображение A:Sn —является гомео-
морфизмом и называется центральной симметрией. Очевидны со-
отношения А — А~1, А2—1^. Следовательно, множество {.1,1 ,}
является группой (по умножению), состоящей из двух элементов;
она изоморфна группе (по сложению) Z2 вычетов по mod 2. Итак,
определено действие на S".
Определение 3. Пространство S"/Z2 называется вещественным
проективным пространством и обозначается RP".
Таким образом, RP" получено из Sn отождествлением диамет-
рально противоположных точек х, —х.
Рассмотрим множество G— R\0 (все действительные числа, кро-
ме нуля). Это группа по умножению. Зададим действие группы G
на пространстве X = R"+,\{0}:
Ах(х) = Хх, Л € G, х€Г+1\{0}.
Очевидно, Ох — множество всех точек прямой в R’1 + 1, проходящей
через 0 и х, кроме точки 0. Следовательно, (R"+ *\{0})/D — мно-
жество всех прямых в R"+1, проходящих через начало. Пространст-
во (R" + 1\{0})/G гомеоморфно RP". Гомеоморфизм устанавливается
соответствием: пара (х, —х) соответствует прямой, проходящей че-
рез точки х, —х.
Упражнения. 2°. Опишите топологию факторпространства
(R"+1\{0})/G и убедитесь в гомеоморфности пространства RP" и
(R" + 1\{0})/G.
92
3°. Склеим диаметрально противоположные точки края диска D".
Покажите, что полученное факторпространство гомеоморфно RP".
Рассмотрим теперь комплексное пространство C” + I. Пусть
G = С\{0} — группа комплексных чисел по умножению. Она дейст-
вует в С" + 1\{0} по правилу й^(х) = Хх, X € G, х €Е Сп + 1\{0}. Сле-
довательно, (С" + 1\{0})/(7 можно отождествить с множеством всех
комплексных прямых в С” + 1, проходящих через нуль.
Определение 4. Пространство (<Сп+ 1\{0})/G называется комп-
лексным проективным пространством и обозначается СР”.
Построим другую модель СР”. Рассмотрим в С" + 1 единичную
сферу S^~{x: ||2 + ... + |^,1+]|2= 1}. На ней действует группа
G — {е‘а, 0 =£ а < 2л} по правилу
е‘ах = (е'Чр ..., е% + 1).
Эту группу G можно отождествить с единичной окружностью S1 в
комплексной плоскости С. Тогда S1 действует на координату
€ С и орбита точки в С — окружность радиуса | ^ |, если
|^| =^0. Следовательно, орбита Ох = {е,ах} (0 а < 2л) каждой
точки х £ — большой круг на Sfc. Но можно отождествить с
S2n+l и Ох можно считать большим кругом на 52я+1; следовательно,
действие G = S1 определено на S2,1+1. Таким образом, имеем гомео-
морфизм S^/S1 —» S2n + l/Sl.
Установим теперь гомеоморфизм (C”+I\{0})/G—»Sfr/Sl. Этот го-
меоморфизм определим, сопоставив каждой комплексной прямой
(точке СР”) тот большой круг на (точку S^/S1), по которому
комплексная прямая пересекает Sfr. Суперпозиция
(С” + {0} )/G -* S^/S1 S2n + ‘/51
задает гомеоморфизм СР" и S2n + l/Sl.
3. Линзовые пространства. В конце п. 2 мы имели дело с груп-
пой 51 комплексных чисел, по модулю равных 1, действующей в
комплексной плоскости С.
Рассмотрим конечные подгруппы группы S1, которые, как изве-
стно, являются конечными циклическими группами и изоморфны
аддитивным группам вычетов по mod к.
Пусть
£ -I
2я£ —-
к £у,
93
где к,_} — некоторое целое число, Тогда определено
действие в С" + 1 и в 5^:
(^д2> ...Л,, ...Л1+1)~
/ t к\ к,->
| 2л/ “ 2л i — 2л/-----
|е ЧР <? ki,1,...,e к
Определение 5. Пространство S^/Z* при условии взаимной про-
стоты всякого Л- с к называется обобщенным линзовым простран-
ством и обозначается L(k, Ар кп~). При л = 1 пространство
L(k, Л[) называется линзовым пространством.
Упражнения. 4°. Покажите, что при условии взаимной простоты
всякого kL с к каждая орбита описанного выще действия группы
ZA. состоит из к точек.
5°. Покажите, что на обобщенном линзовом пространстве сле-
дующая формула определяет действие группы S1:
. , а , ct
..., ijn+1) = (е‘ЦР .... е' Ц,1 + 1).
6". Покажите, что L(k, klt ..., kn)/Sl ~ СР".
§ 6. Операции над множествами
в топологическом пространстве
В этом параграфе мы снова обратимся к изучению свойств топо-
логических пространств и рассмотрим операции замыкания, выделе-
ния внутренней части и границы множества и тесно связанное с
этими операциями понятие предельных и граничных точек. Все эти
понятия обобщают известные понятия математического анализа.
1. Замыкание множества. Пусть (X, т) — топологическое про-
странство. _
Определение 1. Замыканием А множества А С X называется пе-
ресечение всех замкнутых множеств, содержащих А.
Очевидны следующие утверждения.
1. Замыкание А — наименьшее замкнутое множество, содержа-
щее А.
2. Если А замкнуто, то А = А. Замкнутое множество можно оха-
рактеризовать через понятие предельных точек, определяемое ниже.
Определение 2. Точка х € X называется предельной для данно-
го множества А С X, если в каждой окрестности Q(x) точки х со-
держится хотя бы одна точка х' € А, отличная от х.
Упражнение Г. Убедитесь, что в этом определении можно огра-
ничиться только открытыми окрестностями точки х.
Пример. Рассмотрим в R1 множества А={п}, В={\/п},
п = \,2, ...; С = (0, 1), D = |0, 1].
94
Множество А не имеет предельных точек, множество В имеет од-
ну предельную точку 0, предельные точки множеств С s D запол-
няют весь отрезок [0, 1].
Понятие предельной точки в топологическом пространстве явля-
ется, как легко видеть, обобщением понятия предельной точки в
анализе. Докажем несколько полезных утверждений, связанных с
понятием предельных точек.
Теорема 1. Множество А С X замкнуто тогда и только тогда,
когда оно содержит все свои предельные точки.
Доказательство. Пусть А замкнуто, х — предельная точка
А и х А. Тогда х принадлежит открытому множеству Q(x) = Х\Л,
являющемуся окрестностью точки х. Но Q(x) Г1 А = 0, что противо-
речит тому, что х — предельная точка.
Пусть А содержит все свои предельные точки. Покажем, что оно
замкнуто, т. е. что его дополнение U — А"\Л открыто. Для этого до-
статочно показать, что для любой точки х G U найдется такая ок-
рестность Q(x) точки х, что Q(x) С U. В предположении противно-
го для некоторой точки х0 G U и всякой ее окрестности Q(x0) най-
дется точка х'G £2(х0) такая, что х £ U. Тогда х' G X\U = А,
следовательно, х0 — предельная точка для А, и, значит, х0 G А в
противоречие с предположением, что х0 G U = Х\Л.
Множество всех предельных точек множества А называют про
изводным множеством множества А и обозначают А'. Таким обра-
зом, возникает новая операция, сопоставляющая каждому множест-
ву А С X его производное множество А'.
Теорема 2. Для любого множества А С X множество A U А’
замкнуто.
Доказательство. Покажем, что множество Х\(Л U Л') от-
крыто. Пусть х — произвольная точка из Х\(Л U Л'). Тогда х не пре-
дельная точка для А, поэтому найдется такая ее окрестность Q(x),
что Q(x) А А = 0. Пусть х' G Q(x) — произвольная точка. Тогда
для любой окрестности У(х') точки х' такой, что V(x') С Q(x), име-
ем V(x') А А = 0, следовательно, х' не предельная точка для А и
Q(x) А А' = 0. Таким образом, Q(x) С Х\(Л U Л'); ввиду произ-
вольности х множество Х\(Л U Л') открыто, следовательно, Л U А'
замкнуто.
Упражнение 2°. 1) Проверьте, что (Л U В)' = A' U В'-, (Л А В)' С
С Л'* А В'; (А\В)' Э А'\В'.
2) Пусть X — {а, Ь} — пространство из двух элементов с триви-
альной топологией. Приведите пример множества Л С X, для кото-
рого не выполнено включение (Л')' С А'.
Докажем основное утверждение о структуре замыкания множе-
ства.
95
Теорема 3. А = A U А' для всякого множества А, А С X.
Доказательство. По теореме 2 множество Л U А' замкнуто.
Следовательно, по определению замыкания А С. A U А’. С другой
стороны, любое замкнутое множество, содержащее А, содержит,
очевидно, и все предельные точки А, а следовательно, содержит А1.
Отсюда следует, что A U А’ С А. Таким образом, А = A U А'. а
Упражнение 3°. Пусть А — множество рациональных точек на
вещественной прямой R1. Покажите, что А = R1.
Если топологическое пространство X имеет не более чем счетное
подмножество А, замыкание которого совпадает с X, то оно называ-
ется сепарабельным. Легко проверить, что сепарабельность — топо-
логическое свойство.
Упражнения. 4°. Покажите, что пространство Rn, диск D’1 и сфе-
ра 5п~* сепарабельны.
5°. Проверьте следующие свойства операций замыкания:
= ‘А\В С А\В; если А С В, то
АС В.
6°. Пусть У — подпространство топологического пространства X
и А — подмножество в У. Обозначим через А? замыкание множест-
ва Л в подпространстве У, через А — замыкание А в X. Покажите,
что AY — А Г} У.
Определение 3. Точка х €Е А называется изолированной точкой
множества А, если существует окрестность Q(x) точки х, не содер-
жащая точек множества А, отличных от х.
Точка х е А изолирована тогда и только тогда, когда х G Л\Л'.
Определение 4. Множество А называется дискретным, если
каждая его точка изолирована.
2. Внутренность множества. Рассмотрим еще два важных поня-
тия, связанных с понятием окрестности.
Определение 5. Точка х С А называется внутренней точкой
множества А, если найдется такая, ее окрестность Q(;c), что
Q(x) С А.
Множество всех внутренних точек множества А называется
внутренностью А и обозначается Int А.
Пример. Пусть А — [0, 11 — отрезок вещественной прямой R1,
тогда Int [0, 1] = (0, 1).
Операция Int двойственна операции замыкания, что видно из ее
свойств, формулируемых в следующей теореме.
Теорема 4. Для любого множества А С X имеем: I) Int .4 — от-
крытое множество', 2) Int А — наибольшее открытое множество,
содержащееся в 4; 3) (А открыто) <=> (Int А = А): 4) (% G
€Е Jnt_/i) ** (х С А и х не является предельной точкой для Х\Л);
5) Х\А — Х\ Int А.
96
Доказательство. Свойства 1) — 3) почти очевидны. Прове-
рим, например, свойство 1). Пусть х G Int А; тогда найдется такая
открытая окрестность U(x) точки х, что U(x) С А. Поэтому Int Л
есть окрестность каждой своей точки и, следовательно, открытое
множество.
Проверим свойство 4). Если х 6 Int А, то, очевидно, х 6 А и
х (Х\Л)'. Обратно: если х 6 А и х £ (Х\Л)', то найдется окрест-
ность Q(x) С А, следовательно, х 6 Int А.
Проверку свойства 5) предоставим читателям.
Часто приходится рассматривать множество Int (Х\Л), которое
называется внешней открытой частью множества А и обозначается
ext А. _
Упражнение 7°. Покажите, что А = X\ext А.
3. Граница множества. Следующие важные понятия — понятия
граничной точки и границы множества А, ассоциирующиеся с ин-
туитивным представлением о «перегородке», отделяющей область
евклидова пространства от внешней части.
Определение 6. Границей ЭЛ множества А назовем множество
X\(Int A U ext Л). Всякую точку границы назовем граничной точ-
кой множества А.
Таким образом, х 6 ЭЛ тогда и только тогда, когда каждая окре-
стность х содержит точку как из А, так и из Х\Л.
Пример. Пусть X = R1 и Л = (О, 1]. Тогда Int А— (0,1),
Х\Л =(-«>, 0] U (1, + о»), Int (Х\Л) = (-«, 0) U (1, +оо). Сле-
довательно, ЭЛ = {0, 1} — множество из двух точек: 0 и 1.
Таким образом, имеем граничную операцию д. Ее связь с опера-
циями замыкания и Int выясняет следующая теорема. _
Теорема 5. Для любого АСХ имеем: 1) ЭЛ = ЛП(Х\Л);
2) ЭЛ = Л\1Ш Л; 3) Л = ЛидЛ; 4) Int А = Л\дЛ; 5) (А замкну-
то) <=> (ЭЛ С Л); 6) (Л открыто) <=> ((ЭЛ) П Л = 0).
Доказательство. Докажем некоторые из этих утверждений,
оставив другие для упражнения. 1) Пусть х е дА; тогда в любой ок-
рестности U(x) точки х найдутся точки хр х2 такие, что
х, е А, х2е Х\Л. Отсюда хе Л и хе Х\Л, т. е. хе лп (Х\Л).
Обратно: если хСЛП(Х\Л), то хбЛ, хе(Х\Л). Так как
(Х\Л) = X\Int Л, Л = X\ext Л (см. п. 5 теоремы 4 и упр. 7°), то
х Int Л, х £ ext Л, откуда следует х е ЭЛ.
2) Согласно определению
ЭЛ = Х\(Int Л U ext Л) = (X\ext Л)\1Ш Л = Л\1Ш Л.
3) Так как Int Л С Л, то из 2) следует Л = Int Л U ЭЛ С
СЛи ЭЛ; так как ЭЛ С Л, то Л U ЭЛ С Л U Л — Л.
4 Ю. Г. Борисович и др.
97
5) Если А замкнуто, то ЭЛ С А = А. Обратно: если ЭЛ С Л, то в
силу 3) Л = Л U ЭЛ (см. п. 3), откуда Л = Л, т. е. Л замкнуто.
Упражнения. 8°. Пусть U открыто в X, А ~ 9U. Покажите, что
ЭЛ = Л. Докажите обратное утверждение.
9’. Пусть Y — подпространство топологического пространства X
и Л — подмножество в Y. Обозначим через дуЛ границу множества
Л в У, а через ЭЛ — границу А в X. Убедитесь, что не всегда
д^Л = (ЭЛ) П У. Приведите примеры.
§ 7. Операции над множествами в метрическом
пространстве. Шар и сфера. Полнота
1. Операции над множествами в метрическом пространстве.
Здесь мы специализируем для метрических пространств понятия,
изученные в предыдущем параграфе. Напомним, что база топологии
в метрическом пространстве (А", р) состоит из всевозможных шаров
Dr(x0), где г > 0 — радиус, а х0 — центр шара. Метрика р позво-
ляет говорить о сходящихся последовательностях в X (см. § 2 гл. I).
Выразим Л, Л', Int Л, ЭЛ в этих терминах:
а) условие х G Int А эквивалентно тому, что для некоторого
е > 0 шар ОДх) целиком содержится в Л; это следует из опреде-
ления метрической топологии тр;
б) условие х 6 Л' эквивалентно тому, что существует последова-
тельность {аД, сходящаяся к х, где ап 6 Л, ап х.
Действительно, если х 6 Л', то для всякого г, > 0 найдется эле-
мент а1 в Л такой, что а, €Е Dr (х), Ф х. Пусть 0 < г2< р(х, аД;
тогда снова найдется элемент а2 6 Dr (х), а2* и т- д- Таким об-
разом строятся последовательности {г(|} и {аД С Л такие, что
ап * •*> Р(а„> *) < т- е- ап^х-
Обратно, пусть существует последовательность а —»х, где
ait х, ап € Л. Тогда для всякой окрестности Q(x) точки х сущест-
вуют шар Dc(x) С Q(x) и такое W(e), что р(а„, х) < е для
и>ЛДе). Отсюда ап SQ(x) при и>АДе) и ап х, что завершает
доказательство.
Приведенное определение предельной точки в терминах сходя-
щихся к ней последовательностей постоянно используется в анализе
как определение предельной точки множества;
в) условие замкнутости множества Л (Л содержит все свои пре-
дельные точки) в метрическом пространстве эквивалентно тому, что
из существования последовательности {аД С Л, сходящейся к х,
следует условие х £ Л. Действительно, условие замкнутости Л эк-
вивалентно, например, условию А' С А (см. § 6), что эквивалентно
предыдущему утверждению;
98
г) условие х 6 дА эквивалентно тому, что для всякого г > 0 име-
ем Dr(x) П А Ф 0 и £>г(х) А (АЛЛ) Ф 0, т. е. любой шар с центром
в точке х «зачерпнет» точки из Л и из Х\Л. Это утверждение оче-
видно.
Дадим' эквивалентное определение, часто используемое в ана-
лизе:
д) условие х 6 дЛ эквивалентно тому, что существует последо-
вательность {a^i С Х\Л, сходящаяся к х, и существует последова-
тельность {пп} С Л, сходящаяся к х.
Действительно, пусть х G дА. Тогда для всякого г > 0 шар
£>г(х) «черпает» точки как из Л (точку аг), так и из Х\Л (точку
а^). Полагая r = rn, г(1—*0, получаем последовательности аг ЕЛ,
G Х\Л такие, что аг -*х, а^-*х. Обратно, если ап—>х,
{«,,} С Л и »х, {a/J С Х\Л, то любой шар £>г(х) содержит как
точку ап, так и точку при достаточно большом п = и(г); сле-
довательно, х G дА.
2. Шар и сфера в R". Изучим сферу S’1, открытый диск Оп + 1 и
замкнутый диск Dl, + l в R" + 1.
Теорема {. Верны следующие равенства: D” + l = (£>'l + 1) —
= (Dn + iy.
Доказательство. Если рассмотреть «луч» {t ^},
О < t < + оо, выходящий из центра диска (точки 0) и проходящий
через точку х0 6 D" + l, х0 0, то точки xtl — " ц 1 х0 этого луча
стремятся к х0 и лежат в £)'l + 1 (проверьте с помощью метрики
R'1 + 1), а точки уп = х0 также лежат в Dn+1 и стремятся к нулю.
Следовательно, (£>n + 1)' D Dn+I. С другой стороны, (£>n + 1) С Dn + 1
(здесь (£>rt + 1) — топологическое замыкание диска £>'1 + 1). Действи-
тельно, если хп~* у, хп G Dn + l, т. е. если у G (£>', + 1)', то
р(у, 0) < р(у, хп) + р(х„, 0) < р(у, х„) + 1,
откуда, учитывая, что р(у, хп)—*0 при п—»<», имеем р(у, 0)^1,
т. е. у G Dn + l.
Объединяя полученные включения с очевидным включением
(Z)'! + 1)' с (£>” + 1), получаем
Dn + l С (Dn+ly С (£>n + 1) С £>rt + 1,
откуда и следует утверждение теоремы.
Теорема 2. Сфера есть граница диска: Sn ~ Э(£Г + 1).
4»
99
Доказательство. Пусть х0 G Sn (Sn Ф 0!); тогда хп =
= х0 6 Dn + l и последовательность {хд} сходится к х0 при
и—» оо. Следовательно, Sn С. d(Dn+l). Обратно: пусть х0 6 d(£>"+1).
Тогда х0 Dn+l, так как Dn+l состоит из внутренних точек, и су-
ществует последовательность {xn} 6 Dn+l, сходящаяся к х0 (см.
п. 1, д). Следовательно, х0 6 (£>"+1)' = £>"+1, х0 6 Sn.
Упражнения. Г. Докажите, что Sn = d(Dn + ‘).
2°. Пусть (piR”—»R1 — непрерывная функция. Докажите, что
множество А = {х 6 R”: <р(х) < fa} открыто, а множества В =
= {xG R”: <р(х) $a}, С = {хе R”: <р(х) = а}..замкнуты для каждо-
го а 6 R1 (эти множества называются лебеговыми множествами
функции ф). _
3°. В условиях упражнения 2° покажите, что А С В. Приведите
пример, когда А = В, дА = С, а также пример, когда А Ф В и дА Ф С.
3. Шар и сфера в произвольном метрическом пространстве.
Рассмотрим- метрическое пространство (X, р). Определим замкну-
тый шар £>г(х0) и сферу \(х0) (радиуса г>0 с центром в точке
х0) равенствами
рг(хо) = е х- Р(х> хо) г1’
5г(хо) = U е х- Р(*> хо) = rh
Заметим, что Dr(x0), 5г(х0) — замкнутые множества в X. Действи-
тельно, если {х„} 6 £>г(х0) и хп—»у, то
Р(*о> У) Р(*о> хп) + Р(*П’ У) г + Р(*п> У)’
откуда следует, что р(х0, у) < г, т. е. у G_Dr(x0); 5г(х0) замкнуто
как дополнение в замкнутом множестве Dr(x0) до открытого мно-
жества £>г(х0).
Верны ли в метрическом пространстве теоремы п. 2? Следующий
пример опровергает эту гипотезу.
Пример 1 (контрпример). Пусть X — конечное множество. За-
дадим метрику р(х, х) = 0, р(х, у) = 1 при х Ф у. Тогда при г < 1
&г(хо) ~ ’ ^г(^о) = W ^г(*о) = ®
и ______ _
(Яг(х0)) = Л(Хо) * (рг(хо))' = 0>
но Sr(x0) = д£>г(х0) 0, При г = 1 £>)(х0) = {х0}, РДхр) = X,
5Дх0) = Х\{х0} и (£>j(x0)) С £>j(x0), причем (£>j(x0)) * Dj(x0),
5Дхо) * d£>i(x0) = 0. Наконец, при г > 1
Dr(xo) = Dr(Xo) = X, 5г(хо) = 0,
100
причем (£>r(x0)) = Dr(x0) * (Dr(x0))' = 0, Sr(x0) = dDr(x0) — 0.
Следующая теорема дает необходимое и достаточное условие то-
го, чтобы сфера в метрическом пространстве была границей шара.
Теорема 3. В метрическом пространстве равенство
Sr(x0) = dDr(x0) имеет место тогда и только тогда, когда
Л-(*о) = Dr(xo) • _______ _
Доказательство. Из равенства (Dr(x0)) = Dr(х0) следует,
что
S,(*o) = Dr{xQ)\Dr{x0) = (Dr(x0))\Dr(x0) = W>r(x0).
Обратно: если Sr(x0) = дОг(хй), то
(Л(^о)) = Dr(*o) U ^г(^о) = U 5г(*о) = Л(*о)-
Упражнение 4°. Пусть X = С[о — пространство непрерывных
функций со стандартной метрикой (см. § 2 гл. I). Дайте интерпре-
тацию Z>r(x0), Dr(x0), Sr(x0) и покажите, что Sr(x0) = dDr(x0).
4. Полнота метрических пространств. В анализе устанавлива-
ется критерий Коши сходимости числовой последовательности (в
пространстве R1): последовательность {х0} сходится к некоторой
точке х0 (хп—*х0) тогда и только тогда, когда она фундаменталь-
на, т. е. для каждого е>0 найдется целое число /У(г) такое, что
| х , — х I < £, как только п > N(e), т > 1.
Если хп-^*-х0 в (X, р), то, как и в случае R1, легко показать, что
{хп} — фундаментальная последовательность, т. е. для каждого
г > 0 найдется N(e) такое, что
Р(Хп+т’ хп) < е’ n^N{z), т>1. (1)
Однако обратное не всегда справедливо.
Определение 1. Метрическое пространство (X, р), в котором лю-
бая фундаментальная последовательность имеет предел, называется
полным пространством.
Примеры. 2. Пусть X = (Q С R1 — множество рациональных
чисел в R1. Это метрическое пространство не полно, так как суще-
ствуют последовательности рациональных чисел, сходящиеся к ир-
рациональному числу (т. е. фундаментальные, но не имеющие пре-
дела, в (Q).
3. Пространство X = R1 полно.
4. Пространство X = R" полно. Это следует из того, что фунда-
ментальность или сходимость для последовательности упорядочен-
ных наборов {(If, ..., If)} чисел эквивалентны фундаментальности
или сходимости п числовых последовательностей {|f}, ..., {|f}-
101
Упражнение 5°. Докажите, что пространство X — С" полно.
Пример 5. Пространство X = (С[о полно в метрике
Р1(х(0, ХО) = max |х(0 - Х01
о«г«1
и не полно в метрике
р2(х(0> ЯО) =
1
j (ХО - ХО)2 dt
о
(2)
Сформулированное утверждение доказывается в курсах анализа.
Примеры показывают, что свойство полноты не является тополо-
гическим, т. е., вообще говоря, не сохраняется при гомеоморфизмах
метрических пространств. Так, интервал (а, 7>) С R1 и R1 гомео-
морфны, но пространство (а, Ь) не полно, в отличие от R1.
Имеет место следующее утверждение, доказательство которого мы оставляем чи-
тателям в качестве упражнения.
Теорема 4. Пусть (X, р) — метрическое пространство и Х,сХ — подпрост-
ранство. Тогда, если Xt полно, то оно замкнуто в X; если X полно, а X, замкнуто
в X, то X' полно.
§ 8. Свойства непрерывных отображений
1. Эквивалентные определения непрерывного отображения.
Выразим свойство непрерывности отображения /: Х-* У топологиче-
ских пространств X и У через другие топологические понятия — ок-
рестности, замыкания множеств.
Теорема 1. Пусть f:X-*Y — отображение топологических
пространств. Следующие утверждения эквивалентны'. 1) f непре-
рывно; 2) для каждого А С X имеем f\A) С /(Л); 3) для каждого
В CY имеем f~\B) С
Доказательство. Докажем ряд импликаций. 1) => 2): из
определения непрерывности в терминах замкнутых множеств
(упр. 6’ § 1) заключаем, что множество /~*(/М)) замкнуто в X,
причем оно содержит А, следовательно, имеем А С /-1(/(Л)), от-
куда /(Л) С /(Л); _ ______
2) => 1): из 2), очевидно, имеем А С /-1(/(Л)) для всякого А.
Выбирая А = где F — произвольное замкнутое множество в
У, получаем f~l(,F) С = f~l(F), следовательно,
/“‘(Т7) замкнуто для всякого замкнутого F С У, т. е. / непрерывно;
1) => 3): непрерывность f влечет замкнутость Из вклю-
чения Снемедленно следует f~l(B) С (/-1(5)) =
= откуда получаем 3);
102
3) => 1): для замкнутого В из 3) вытекает цепочка включений
/-1(В) D /-1(В) D откуда следует, что /-1(В) замкнуто,
следовательно, отображение f непрерывно.
По аналогии с определением непрерывности отображения в мет-
рическом пространстве можно, введя понятие непрерывности отоб-
ражения в точке топологического пространства, определить непре-
рывное отображение топологических пространств как непрерывное в
каждой точке.
Определение. Отображение /: X—* У топологических про-
странств непрерывно в точке х0 6 X, если для всякой окрестности
Q(/(x0)) точки /(х0) существует окрестность Q(x0) точки х0 такая,
что /(Q(x0)) С Q(/(x0)).
Упражнение 1’. Следующее свойство отображения f: X—* У экви-
валентно непрерывности в точке: полный прообраз /-1(Q(/(x0)))
любой окрестности точки f (х0) является окрестностью точки х0.
Теорема 2. Отображение f: X—*Y непрерывно тогда и только
тогда, когда оно непрерывно в каждой точке х G X.
Доказательство. Пусть ft X—»У непрерывно, х0 С X —
произвольная точка и Q(/(x0)) — произвольная окрестность точки
/(х0). Тогда найдется открытое множество УСУ такое, что V С
С Q(/(x0)) и /(х0) G V. Положим U = /-1(У), U — открытое мно-
жество, х0 G U. Тогда f(U) С Q(/(x0)), что и доказывает непре-
рывность f в точке х0.
Обратно: пусть f непрерывно в каждой точке х 6 X. Пусть
V G У — произвольное открытое множество и пусть А = /-1(У). Так
как V — окрестность любой своей точки и / непрерывно в каждой
точке, то для всякого х G А есть окрестность Q(x) точки х такая, что
/(Q(x)) С V. Следовательно, Q(x) С А, что и доказывает открытость
А. Непрерывность f доказана.
Упражнение 2°. Пусть X = A (J В — объединение двух замкну-
тых множеств. Докажите, что отображение ft X —»У непрерывно
тогда и только тогда, когда отображения f | и /1 непрерывны.
Приведите контрпримеры к этому утверждению при невыполнении
условия замкнутости множеств А, В.
2. Три задачи о непрерывных отображениях. В топологии и ее
приложениях часто приходится решать задачи следующих типов.
1. Даны топологические пространства X, У и отображение
/: X -=-» У. Проверить, непрерывно ли /.
2. Даны топологическое пространство X, некоторое множество
У и отображение /: X—» У. Ввести топологию на У так, чтобы f ста-
ло непрерывным отображением.
3. Даны топологическое пространство У, множество X и отобра-
жение /: X—» У. Ввести на X топологию так, чтобы / стало непре-
рывным отображением.
103
Задачу 1 мы уже рассматривали ранее для некоторых про-
странств и отображений. Для решения ее всегда требуется дополни-
тельная информация о X, У и /.
Задачу 2 можно решить без дополнительных предположений.
Пусть {17} = т — топология на X. Введем на У топологию следую-
щим образом: назовем открытыми в У те и только те множества
УСУ, прообразы У-1 (У) = U которых открыты в X (включая и
случай пустого прообраза). Нетрудно проверить, что совокупность
таких множеств {У} образует топологию. В самом деле, пусть V,, —
некоторые множества из {У}; тогда имеем
1) 0Е {У}, так как f *(0) = 06 т, и У G {У}, так как
У~‘(У) =Х G т;
2) U Va 6 {У}, так как ud = U = U Ua G т,
где Ua = f l(Va) G т;
it
3) П Va G {У}, так как f~l П Уа = П /-1(Уа) = П Ua G т.
, . ' , . 1 ; = I ' , <
Построенную топологию на У будем называть топологией, инду-
цированной отображением f; это сильнейшая топология на У, в ко-
торой / непрерывно*.
Рассмотрим теперь вопрос о непрерывности отображения
g: X/R-+Y, где R — некоторая эквивалентность, X/R — факторпро-
странство.
Теорема 3. Пусть X, У — топологические пространства,
f: X—* У, g: X/R-+ У — некоторые отображения, л: X—* X/R —
проекция. Пусть диаграмма
X-----------*~X/R
коммутативна, т. е. f(x) = (#л)(х), х G X. Тогда g непрерывно в
том и только том случае, когда непрерывно f.
Доказательство. Пусть / непрерывно. Тогда, если УСУ от-
крыто, то У-1 (У) открыто в X. Множество л(/-1(У)) = U открыто в
Х/R, так как множество л-1(£7) = У-1 (У) открыто в X (в Х/R т-
крыты множества W, прообраз которых л-1(1У) открыт в X). По-
скольку / = gji, то
*(/~*(Ю) = л(л-^-*)(У) = g-'(y).
* Описанный способ введения топологии встречался ранее при введении фактор-
топологии (см. § 3).
104
Поэтому g~l(V) открыто и, следовательно, g непрерывно.
Пусть g непрерывно, т. е. g~l(V) открыто в Х/R для открытого в
У множества V. Тогда л-1(#-1(У)) открыто в X в силу непрерывно-
сти л. Но л-1(^_1(К)) = поэтому открыто и, следо-
вательно, / непрерывно.
Выясним, когда пространство У с описанной выше топологией го-
меоморфно факторпространству пространства X по следующему от-
ношению эквивалентности (индуцированному отображением /:
Х-* У):
Rf- ~ *2 <=> /(*1) =/О2)-
Класс эквивалентных точек в X — это полный прообраз /'‘(у)
какого-нибудь значения у G У. Пусть л: X -* X!Rf — проекция, а
/: X/Rj —* У — факторотображение, переводящее класс эквивалент-
ных точек [х] в /(х). Имеем равенство /(л(х)) = /(х), х G X, что
означает коммутативность диаграммы;
Теорема 4. Если топология на У индуцирована отображением
f'. Х-*У и f сюръективно, то f — гомеоморфизм пространств
X/Rf и У.
Доказательство. Очевидно, f биективно. Так как топология
на У индуцирована отображением /, то f непрерывно, поэтому со-
гласно теореме 3 / непрерывно. Остается доказать непрерывность
что равносильно открытости /. Покажем, что / открыто. Пусть
U — открытое множество в X/R^ и У = /(L/) — его образ в У. Мно-
жество л-1(б9 открыто в X, так как л непрерывно. Поскольку
/“‘(У) = (7лГ‘(Ю = тт.-1 (/' (V)) =
то /-|(У) открыто. Так как в У открыты множества W, прообраз
которых /“‘(И7) открыт в X, то V — открытое множество.
Упражнение 3°. Покажите, что если отображение f не сюръектив-
но, то факторпространство X/Rj гомеоморфно подпространству
/(X) С У, где топология на У индуцирована отображением /.
Рассматривая непрерывное отображение /: X -* У двух топологи-
ческих пространств, можно поставить вопрос о том, при каких ус-
ловиях топология на У индуцирована отображением /.
105
Теорема 5. Пусть f: X-*Y — сюръективное отображение то-
пологических пространств и пусть / непрерывно и открыто (или
замкнуто). Тогда топология на У является фактортопологией,
индуцированной [.
Доказательство. Рассмотрим случай открытого /. Пусть
{У} = с — топология на У, индуцированная отображением /, а
т = {t/} — первоначальная топология на У. Покажем, что они совпа-
дают. В самом деле, пусть У G ст, У 0. Тогда в силу сюръективно-
сти f~1 (У) *0и /‘(У) открыто в X (по построению о). В силу от-
крытости / множество /(f~[(V)) = У открыто вУ, т. е. У € т. Обрат-
но: пусть U G т; тогда из непрерывности / следует, что f~l(U)
открыто в X, поэтому U G о по определению топологии ст.
Случай замкнутого f аналогичен.
Остается рассмотреть задачу 3. Пусть /: X-+Y — отображение
множества X в топологическое пространство У. Пусть т = {У} — то-
пология на У. Положим ст = {/^'(У)}(/е,- Система ст удовлетворяет
аксиомам топологии (проверьте!). Очевидно, что / непрерывно как
отображение топологических пространств (X, о), (У, т). Ясно, что
ст — самая слабая из топологий, обладающих этим свойством.
Полезно обратить внимание на то, что если X — А — подмноже-
ство топологического пространства У, то для инъективного отобра-
жения вложения i: X —» У топология ст, определенная выше, совпа-
дает с топологией подпространства А с У (наследуемой из про-
странства У).
§ 9. Произведение топологических пространств
1. Топология в прямом произведении пространств. Операция
прямого произведения топологических пространств позволяет конст-
руировать новые топологические пространства.
Напомним, что прямым произведением XX У множеств X, У на-
зывается совокупность упорядоченных пар (х, у), где х е X, у 6 У.
Можно рассматривать прямые произведения любого числа сомножи-
телей. Элементом такого произведения Ха является множество
«ед
{ха}аеА, ха G Ха, или, другими словами, элементы ]Д Ха — это та-
ct ед
кие функции х: А—» U Ха, что х(а) G Ха. Если А= {1, 2, ..., п} —
аЕА
конечное множество, то произведение Х\, Х2, ..., Хп часто обозна-
чают Xj х Х2 х ... х Хп, а его элементы суть упорядоченные наборы
(х,, х9, ..., х„), где X; G X., i = 1, 2, ..., п.
Пусть X, У — топологические пространства. Введем топологию
на прямом произведении X х У. Зададим базу топологии системой
106
{Uах Ир}, где {t/J, {Ир} — базы топологий соответственно на X и
на Y.
Упражнение Г. Убедитесь, что покрытие {Ua х Ир} множества
X х Y удовлетворяет критерию базы (см. § 1).
Топология на X х У, определяемая базой {1/ахИр}, называется
топологией произведения.
Пример. Плоскость R2 есть прямое произведение прямых:
R2 = R1 х R1. Базой топологии R2 является система открытых прямо-
угольников вида Ua х Ир — двумерных параллелепипедов (рис. 61),
где Ua, Ир — интервалы.
Упражнения. 2°. Докажите, что двумерный тор Г2 гомеоморфен
произведению S'xS1.
3°. Докажите, что пространство S1 X R1 гомеоморфно круговому
цилиндру.
Рассмотрим проекции I ।
Pl:XxY—>X, (х, у) х;
Рг- X х У- У, (х, у) - у.
Теорема 1. Если X, У — топологиче- ?///////
ские пространства и Хх Y наделено то-
пологией произведения, то отображения------------———/
р., р7 непрерывны. Топология произведе-
1 А1
ния — слабейшая из всех топологий на
XxY, в которых pv р2 непрерывны.
Доказательство. Покажем непрерывность рГ Пусть Ua —
множество из базы топологии на X. Достаточно показать, что
P7‘(t/a) открыто. Так как пространство У представимо в виде объе-
динения U Ир всех множеств базы, то
PTl(Ua) = UaxY=Uax U V р= U (t/axHp),
и, следовательно, Pil(Ua) открыто в XxY. Аналогично проверяется
непрерывность р2.
Проверим второе утверждение теоремы. Для непрерывности не-
обходимо, чтобы множества P[l(Ua) — UaxY были открыты. Для не-
прерывности р2 необходима открытость множеств X х У^Рг'(У^-
Тогда для непрерывности р{ и р2 одновременно необходимо, чтобы
множества Ua х У, X х Ир, а следовательно, и множества
(Ua х У) П (X х Ир) = Ua х Ир были открыты.
Таким образом, любая топология на X х У, в которой и р2 не-
прерывны, должна содержать множества Ua х Ир (и порождаемую
107
ими топологию), следовательно, она сильнее топологии произведе-
ния на X х Y.
Рассмотрим прямое произведение PJ Ха с произвольным (воз-
можно, бесконечным) числом сомножителей. Пусть Ха, а G А, —
топологические пространства. Введем слабейшую из всех топологий
на pj Ха, в которых все проекции ра,: pj Ха—»А'а,, сопоставляющие
ссЕА «ЕЛ
функции х значение х(а'), непрерывны. Эта топология на Ха на-
зывается топологией произведения или тихоновской топологией
(предложена А. Н. Тихоновым).
Опишем эту топологию. Проще всего охарактеризовать предбазу
тихоновской топологии так: это всевозможные множества в произве-
дении pj Ха вида Ва = {х: х(а0) С Ua }, где а0 — произвольный эле-
а£А
мент из A, U„ — произвольный элемент базы топологии пространст-
ао
ва X . Легко видеть, что В„ = p~l(U ). Таким образом, при фикси-
рованном а0 множества {Ва } образуют слабейшую из всех топологий
на PJ Ха, в которых проекция ра непрерывна. Следовательно, объя-
вив систему {^а}а£л предбазой, мы получим слабейшую из всех то-
пологий на PJ Ха, в которых все проекции ра, непрерывны.
аЕ А
Отсюда следует, что базу тихоновской топологии на pj Ха обра-
аЕ А
зуют множества вида
и=Р~Чи ) п р-Чи ) п... n p;‘(t/a),
11 2 2 п п
где сц, ..., ап — произвольный конечный набор элементов из А, а
Ua — произвольный элемент базы топологии на Ха.
Упражнение 4°. Покажите, что
n <(t\) п... п р-\иа) = р[ иа,
«Е А
где Ua = Ха, если a^ai, ..., ап. Другими словами, открытое мно-
жество базы — это набор функций
{х: х(а;) е Ua, i= 1, 2, ..., п} =
= {*= *(И1) G Ua} П ... П {х: х(а ) е Ua}.
1 л
Отметим, что произведения рассматривают, как правило, с топо-
логией произведения.
108
Теорема 2. Для любого а0 G А проекция ра : pj Ха Ха есть
«ЕА
непрерывное и открытое отображение.
Доказательство. Утверждение о непрерывности ра не тре-
бует доказательства. Открытость образа произвольного открытого
множества из Ха при отображении рп следует из открытости об-
«ЕА
раза любого множества из базы топологии на pj Ха при отображе-
CtEA
НИИ р .
о
Упражнения. 5°. Убедитесь, что R" = R1 X ... X R*. Опишите ба-
п
зу и предбазу тихоновской топологии в Rn.
6°. Убедитесь, что n-мерный куб 1п в R" представим в виде
In = I х ... X I, где I = [0, 1 ].
п
7°. Рассмотрите n-мерный тор Тп = S1 X ... X S1 и опишите пред-
п
базу и базу его топологии.
2. Непрерывные отображения в произведение пространств.
Займемся изучением отображений /: X -» pj Ха из некоторого топо-
«еа
логического пространства X в произведение. Можно рассмотреть
компоненты /: Х-*Ха, fa = paf, отображения f. Каждому отобра-
жению f соответствует набор {fa = paf}aSA отображений — его
компонент. Обратно: всякий набор отображений {/а: X —»Ха,
a G А} единственным образом задает отображение /: Х-*р| Ха.
«еа
Таким образом, существует биекция между множеством отобра-
жений /: *Р] Ха и множеством наборов отображений {fa}aeA-
а£А
Теорема 3. Отображение f непрерывно тогда и только тогда,
когда отображение fa непрерывно для каждого a G А.
Доказательство. Пусть все fa непрерывны. Покажем, что
f непрерывно. Достаточно показать, что открыто в X для
всякого U из базы топологии произведения на Ха. Пусть
ctEA
U= р-\иа) П р-^иаг} п... п р-\иау,
109
тогда
= {х е X: /а(х) е Ха, а Ф а1( ап,
/а(х)6[/а, i= 1,2, =
n raw п/;1(^а)п... п/;*(^а) =
а 11 п п
а*а , а*
= хп у, п... п vn,
где У; — fal(Ua) — открытое множество в X вследствие непрерыв-
ности fa. Следовательно, открыто в X. Доказательство об-
ратного утверждения предоставляем читателям.
Рассмотрим теперь отображение /: Ха —» X, сопоставляющее
абА
каждому набору {х(а)}аеА соответствующий элемент из X.
Упражнение 8°. Убедитесь, что если А = {1, 2, ..., п} и Ха =
= X = R1 для всякого а 6 А, то отображение / — числовая функ-
ция от п аргументов.
В общем случае отображение f можно рассматривать как обобще-
ние числовой функции от п аргументов, считая, что оно зависит от
переменных х(а) G Ха. Если зафиксировать все значения х(а), кро-
ме х(а0), то получим функцию от одного аргумента, меняющегося в
Х„ . Уточним эти представления.
ао
Рассмотрим подпространство X' произведения ГТ X , состоящее
ао 1 1 «
aSA
из всех функций х, принимающих значение х(а) = уа, а Ф а0, где
уп G Ха — фиксированный элемент.
Упражнение 9°. Проверьте, что Х^ гомеоморфно Ха .
Пусть л : Х„ —»Х/ — естественный гомеоморфизм (зависящий
О а0 а0
от фиксированных уа, а Ф а0), а / | х, — сужение / на Х^ . Диаг-
“о
рамма
естественно замыкается до коммутативной произведением двух
отображений (штриховая стрелка), которое мы обозначим через
110
{у }
fa*. Оно и характеризует зависимость / от аргумента х(а0) G Ха^
при заданных значениях уа остальных аргументов х(а).
Упражнение 10°. Убедитесь, что если / непрерывно, то отобра-
жение №:Х„-*Х непрерывно для всех ап G А, у & Х„ при
ао ао и а а
а а0. Обратное утверждение неверно; приведите пример.
Рассмотрим еще один случай отображения произведений тополо-
гических пространств. Пусть /а: Ха—» Уа, а е А, — некоторая сово-
купность отображений топологических пространств. Естественно
определяется отображение /а: П если каждой функ-
aGA aGA aGA
ции х е Ха сопоставим функцию у 6 [] Га по правилу у( а) =
аЕА аЕА
= /а(х(а)). Это отображение называется произведением отображе-
ний f . В случае А = {1, 2, ..., п} произведение отображений
/р /2, ..., fп часто обозначается так:
Лх/2х... х/„: Х1хХ2х...хХп-^Г1хг2х...хГл.
Упражнения. 11°. Докажите, что /о непрерывно тогда и толь-
абА
ко тогда, когда fа непрерывно для каждого х G А.
12°. Графиком отображения f:X-*Y называется подмножество
Гу С X X Y вида Гу = {(х, у): х G X, у = /(х)}. Убедитесь, что:
1) Гу — образ отображения /: Х—*Х X Y, f(x) = (х, /(х));
2) (/ непрерывно) <=> (/ непрерывно);
3) (f непрерывно) <=> (Гу замкнуто).
13°. Пусть R — некоторое отношение эквивалентности на топо-
логическом пространстве X. Рассмотрим подмножество R произведе-
ния XXX, состоящее из всех пар (х, у) эквивалентных точек
х, у G X. Покажите, что: 1) если Х/R хаусдорфово, то множество
R замкнуто; 2) если проектирование л: X —» Х/R открыто и множе-
ство R замкнуто, то X/R — хаусдорфово пространство.
14°. Покажите, что произведение хаусдорфовых пространств яв-
ляется хаусдорфовым пространством.
15°. Покажите, что пространство X хаусдорфово тогда и только
тогда, когда диагональ Д = {(х, х)} замкнута в X х X.
§ 10. Связность топологических пространств
1. Понятие связности топологического пространства. Поня-
тие связности обобщает интуитивное представление о целостности,
неразделенности геометрической фигуры, а понятие несвязного про-
странства — отрицание целостности, разделенность. Эти понятия
допускают строгое определение в рамках теории топологических
пространств и подробно изучаются в настоящем параграфе.
111
Рассмотрим топологическое пространство X и его подмножества
А, В.
Определение 1. Множества А и В называются отделенными
друг от друга, если АГ\ В= А(~]В=0.
Например, если X = R1, А — (а,Ь), В=(Ь,с) — интервалы,
а< b < с, то А и В отделены, а если А= (а, Ь], В — (Ь, с), то Л и
В не отделены (Л П В = {А}).
Определение 2. Пространство X называется несвязным, если его
можно представить как объединение двух непустых отделенных друг
от друга множеств.
Пространство, не удовлетворяющее условию определения 2, на-
зывается связным. Таким образом, связное пространство невозмож-
но представить как объединение двух непустых .отделенных друг от
друга множеств.
Можно говорить о связности (несвязности) подмножества А то-
пологического пространства X, рассматривая А как топологическое
пространство с топологией, индуцированной из X.
Простейшими примерами связных пространств служат: 1) одно-
точечное пространство X = {*}; 2) произвольное множество X с три-
виальной топологией т0. Простейшим примером несвязного про-
странства служит двухточечное пространство X с дискретной топо-
логией ij (проверьте!).
Дадим еще одно часто употребляемое определение несвязного
пространства.
Определение 3. Топологическое пространство X называется не-
связным, если его можно представить как объединение двух непу-
стых непересекающихся открытых множеств.
Заметим, что два взаимно дополнительных открытых (замкну-
тых) множества одновременно замкнуты (соответственно открыты).
Докажем эквивалентность определений 2 и 3.
1) Пусть X несвязно в смысле определения 2. Тогда имеем разло-
жение X = A U В, где А Г) В = 0, А Г) В = 0, А, В непусты. Следо-
вательно, А С Х\В, В С Х\Л, т. е. А = А, В = В, что означает
замкнутость А и В. Но А = Х\В, В — Х\Л, поэтому А, В открыты и
X несвязно в смысле определения 3.
2) Обратно: пусть X несвязно в смысле определения 3. Тогда
X = A U В; А, В непусты, открыты, А Г) В — 0. Очевидно, что А и
В замкнуты. Отсюда АП 5=0, так как А = А; В А А = 0, так
как В = В.
Следующая теорема дает важный пример связного пространства.
Теорема 1. Отрезок [а, 5] числовой оси R1 связен.
Доказательство. Рассмотрим топологическое пространство
X = [а, 5] с топологией, индуцированной из R1. Предположим, что
X несвязно: X = U U V, U Г) V = 0, где U, V непусты и открыты.
112
Пусть для определенности а & U. Будем рассматривать полуин-
тервалы [а, х), где х£(а, J],
Когда х близко к а, то [а, х) С U, так как U открыто. Supremum та-
ких х, что [а, х) С U, обозначим через а, (а, G X); ясно, что а, Ь.
Если а, е U, то в силу открытости U близкие к а, точки (слева
и справа) тоже лежат в U, что противоречит определению а,. Сле-
довательно, а, £ U. Если a, G V, то в силу открытости V близкие к
а, точки тоже лежат в V. Поэтому [а, а, — е) П V * 0 для малых
е > 0, что противоречит определению а,. Следовательно, at V. Та-
ким образом, at £ U U V, получаем противоречие с предположени-
ем X =U U V.
Теперь можно установить связность более общих пространств.
Теорема 2. Всякое выпуклое множество Т С R" связно.
Доказательство. Пусть Т = U U V, U, V — непустые непе-
ресекающиеся открытые множества. Пусть [a, b]= X — отрезок,
соединяющий некоторые точки a G U и b G V. Тогда Uх = X Г) U,
Vx = X П V — непустые непересекающиеся открытые множества в
X и X = Ux U Vx, что противоречит связности отрезка X.
Следствие. Пространство R" и диски D"(x0) связны.
В качестве примера несвязного пространства рассмотрим множе-
ство рациональных чисел Q = {p/q} с топологией, индуцированной
из R1. Пусть а G R1 — произвольное иррациональное число. Тогда
множества
Ua = {х: х G Q, х < a}, Va = {х: х G Q, х > а}
непусты, открыты, не пересекаются и Q = Ua U Va, что означает
несвязность Q.
Упражнения. 1°. Докажите, что множество всех иррациональных
чисел несвязно.
2°. а) Покажите, что множество А топологического пространства
связно, если А связно; б) покажите, что в пространстве с дискрет-
ной топологией всякое множество, за исключением одноточечных
множеств, несвязно.
2. Свойства связных пространств. Заметим сначала, что связ-
ность (несвязность) — топологическое свойство пространства, т. е.
она сохраняется при гомеоморфизме. Действительно, это следует из
сохранения при гомеоморфизме свойства отделенности множеств.
более общим образом связность сохраняется при непрерывных
отображениях.
Теорема 3. Пусть f: X—*Y — непрерывное отображение топо-
логических пространств. Если X связно, то f(X~) связно в Y.
Доказательство. Допустим противное: /(Л") = U{ U где
Ui П Vi = 0; C/j, Vl открыты в /(Л"), Ul 0, V1 0. Открытость
113
ир Kj в /(X) означает, что существуют множества U, V, открытые
в Y и такие, что U А /(X) = Uv V А /(X) = Vr Очевидно, что
X = /-*(£/.) U /“‘(VJ, /-‘(l/j) A/-1(Vj) = 0 и Г1(1/1)^0,
* 0- Кроме того, множества /~1(£71), /“‘(Vj) открыты, так
как /_1(t7j) = /—*(£/), /“‘(Vj) — f~l(V) и / непрерывно. Таким обра-
зом, X несвязно, что противоречит предположению.
Упражнение 3°. а) Покажите, что график Гу непрерывного отоб-
ражения / связного пространства связен.
б) Выведите из а) теорему о том, что числовая непрерывная
функция./: [a, Z>]—»R1, принимающая на концах отрезка [a, Z>] зна-
чения разных знаков, имеет в интервале (a, Z>) нуль /(£) =0.
Утверждение б) упражнения 3 представляет собой классическую
теорему Больцано—Коши, доказываемую в курсах анализа. С этой
теоремой тесно связана более общая классическая теорема о проме-
жуточном значении: если числовая функция /(х) непрерывна на
отрезке [а,/>],/(а) ?*/(/>) и число С 'заключено между числами
/(а) и f(b), то существует такая точка с £ [a, Z>], что /(с) = С.
Эта теорема также вытекает из теоремы 3. Действительно,
утверждение теоремы о промежуточном значении эквивалентно
утверждению о непустом пересечении графика Гу числовой функ-
ции /(х) с прямой у = С в плоскости R2, что следует из связности
графика Гу и выбора числа С.
Можно было бы доказать теорему о промежуточном значении и не
обращаясь к графику отображения /, а опираясь на связность (в про-
странстве R1) образа / ([а, />]) и свойство связных множеств в R1 со-
держать вместе с любыми двумя точками все промежуточные точки
(докажите!).
Упражнение 4°. Докажите, что окружность S1 связна.
Указание. Рассмотрите отображение [0, 1]—»51, задаваемое
формулами х = cos 2л/, у = sin 2л/.
Следующая теорема интуитивно очевидна.
Теорема 4. Пространство X связно, если любые две его точки
«соединяются» некоторым связным подмножеством (лежат в не-
котором связном подмножестве).
Доказательство. Предположим противное. Представим X в
виде объединения X = U U V непустых непересекающихся открытых
множеств U, V. Пусть и0 Е U, v0 Е V — некоторые точки, a L С X —
связное множество, содержащее и0 и v0. Положим Uy = U A L,
= V A L. Множества Uy, V1 непусты и открыты в L, причем
L = UY и Гр Uy А У[ = 0, что противоречит связности L.
Упражнение 5°. Убедитесь, что: a) A U В связно, если
А, В С X — связные множества в X, и Л П Я* 0; б) A U В U С
связно, если А, В, С С X связны и Л А В* 0, В Г) С 0.
> 14
Из упражнения 5° следует, например, связность сферы Sn, и > 1.
Действительно, Sn состоит из двух замкнутых полусфер, 5", S", пе-
ресекающихся по экваториальной сфере S"-1, а каждая полусфера
связна как непрерывный образ диска (см. § 2).
Установим следующий более общий критерий связности.
Теорема 5. Пусть дано семейство связных в X множеств
{Ла}, любые два множества которого не отделены друг от друга.
Тогда множество С = U Аа связно в X.
Доказательство. Предположим противное: пусть С =
= Dy (J О2, Dy A D2 = 0, Dy, D2 непусты и замкнуты в С. В силу
связности множеств Аа каждое Аа содержится в Dy или D2, и так
как Dy, D2 непусты, то существуют множества Аа , Аа G {Ла} та-
кие, что А„ CD,, Л„ С D2. В силу замкнутости в С множеств
Dy, D2 замыкания в С множеств Аа , Аа содержатся в Dy, D2 соот-
ветственно, что эквивалентно включениям А А С С D., Л_ Г) С С
_____________ _ aj 1 а2
С £), (здесь А , А„ — замыкания множеств Ас, , Ап в X). Поэтому
Z а1 2 1 2
(XQ| А С) А Ааг = 0, Ла_ а (\ А С) = 0. Но (Ла_ А С) А Л^ =
= 4, А (С А Лар = Ла‘ А Ла / А^ А (Лаг А С) = (Ла1 А С) А
р Л = Л АЛ Следовательно, Л АЛ =0, Л АЛ = 0,
что противоречит неотделенности множеств Л„ , Л„ .
1 г
Условию теоремы 4 удовлетворяет, в частности, специальный
класс пространств, называемых линейно связными. Чтобы описать
их, введем понятие пути в X.
Определение 4. Путем, соединяющим две точки, а, Ь, тополо-
гического пространства X, называется непрерывное отображение
5: [0, 1]— X, 5(0) = a, S(\) = b.
Упражнение 6°. Убедитесь, что образ’5(/) отрезка I = [0, 1J яв-
ляется связным множеством, соединяющим точки а и Ь.
Определение 5. Топологическое пространство X называется ли-
нейно связным, если любые две точки в нем можно соединить путем.
Примером линейно связного пространства может служить замк-
нутая поверхность (см. § 4).
Из теоремы 4 следует, что линейно связное пространство обяза-
тельно связно. Обратное неверно, как показывает следующий при-
мер. Рассмотрим подмножество в R2
[(0,0), (1,0)1 и [(|,0), 1)1 и (0, 1),
Н=1 1\ ' \ /J
115
где [Р, Q] означает отрезок, соединяющий в R2 точки Р и Q; X
связно, но не линейно связно (точку (0, 1) нельзя соединить путем
ни с какой другой точкой из Л").
Упражнения. 7°. Проверьте, что выпуклые множества в R" и
сфера Sn, 1, линейно связны.
8°. Докажите, что если множество А С X связно, то всякое мно-
жество В такое, что А С В С А, также связно. Приведите примеры.
Наконец рассмотрим произведение связных пространств.
Теорема 6. Произведение XxY связных пространств связно.
Доказательство. Допустим противное. Пусть ХхУ-
= U U V, где U, V — непустые непересекающиеся открытые мно-
жества. Пусть (х0, у0) Е U. Множество xoxY гомеоморфно Y и,
следовательно, связно, поэтому, пересекаясь с V в точке (х0, у0),
оно целиком лежит в U. Множества X х у, у £ Y, связны, пересека-
ются с множеством х0 х Y, а следовательно, с U, поэтому целиком
лежат в U. Таким образом, U (X х у) = X х Y С U, следовательно,
у£У
V = 0. Противоречие доказывает теорему.
Упражнения. 9°. Докажите теорему 6 для произведения п связ-
ных пространств (п > 2).
10°. Докажите связность тихоновского произведения Ха = Y
aS А
связных пространств Ха.
Указание. Рассмотрите множество R точек произведения, соединимых с фик-
сированной точкой связными множествами, и убедитесь, что /?=У.
3. Связные компоненты. Если пространство несвязно, то естест-
венно попытаться разложить его на связные куски. Опишем это раз-
ложение. Пусть х £ X — точка топологического пространства X.
Рассмотрим наибольшее связное множество, содержащее точку
х: Lx = (J Ах, где все Ах являются связными множествами, содер-
жащими точку х. Множество Lx замкнуто, так как замыкание Lx
связного множества Lx связно (упражнение 2), и поэтому Lx С Lx,
т. е. Lx = Lx.
Определение 6. Множество Ьх называется связной компонен-
той точки х в топологическом пространстве X.
Пусть х, у £ X, х у. Рассмотрим множества Lx, Ly. В силу их
связности и максимальности имеем две возможности: 1) либо Lx =
= Ly; 2) либо Lx A Ly = 0. Во втором случае Lx отделено от Lx, так
как Lx П Ly = 0, Ly Г) Lx = 0. В очевидном равенстве X = U Lx,
где объединение берется по всем х £ X, выбросим повторяющиеся
компоненты.
Таким образом, доказана следующая теорема.
116
Теорема 7. Всякое топологическое пространство можно пред-
ставить в виде объединения своих связных компонент, замкнутых
и не пересекающихся.
Замечание. Вообще говоря, нельзя утверждать, что связные
компоненты в то же время и открыты (приведите примеры!).
Упражнения. 11°. Проверьте, что если пространство имеет ко-
нечное число связных компонент, то они открыты.
12°. Проверьте, что число связных компонент пространства X
(понимаемое в общем случае как мощность множества) является то-
пологической характеристикой пространства.
§ 11. Аксиомы счетности и отделимости
Встречающиеся в различных математических проблемах тополо-
гические пространства обладают дополнительными свойствами. Ряд
свойств выражается системой так называемых аксиом счетности и
отделимости.
1. Аксиомы счетности. В § 1 вводилось понятие базы тополо-
гии. При изучении топологических пространств выясняется, что
пространства, обладающие счетной базой топологии, т. е. базой, со-
стоящей не более чем из счетного числа множеств, имеют ряд по-
лезных свойств. В связи с этим вводится следующее определение.
Определение 1. Говорят, что топологическое пространство
(X, т) удовлетворяет второй аксиоме счетности, если его тополо-
гия т обладает счетной базой.
Пример 1. Пространство R" удовлетворяет второй аксиоме
счетности. ♦
Интересно сопоставить пространства, удовлетворяющие второй
аксиоме счетности, и сепарабельные пространства.
Теорема 1. Топологическое пространство, удовлетворяющее
второй аксиоме счетности, сепарабельно.
Доказательство. Пусть X — топологическое пространство и
В — {Уп} — счетная база его топологии. Выберем в каждом из мно-
жеств Vn е В по элементу ап е ГГ1 и рассмотрим множество
А = {а{, ..., ап, ...}. Покажем, что X — А. Так как А = A U А', то
достаточно показать, что любая точка множества Х\А является пре-
дельной точкой множества А. Пусть х — произвольная точка из
Х\А и t/(x) — некоторая ее окрестность. Тогда существует множе-
ство Vk е В такое, что х е Vk и Vk С U(x), поэтому ак е t/(x), при
этом ак х. Следовательно, х е А'.
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно — сепарабельное
пространство не обязательно удовлетворяет второй аксиоме счетно-
сти.
Пример 2. Рассмотрим несчетное множество X, топология ко-
торого состоит из дополнений до всевозможных конечных подмно-
жеств множества X, всего X и пустого множества. (Проверьте, что
такая система подмножеств действительно образует топологию!) В
117
этом пространстве всякое бесконечное подмножество плотно, так
как оно пересекается с каждым открытым множеством. Это означа-
ет сепарабельность X. С другой стороны, предположим, что X имеет
счетную базу.
Тогда, если х е X — фиксированная точка, то пересечение всех
открытых множеств, содержащих х, равно {х}. Следовательно, и
счетное пересечение элементов базы, содержащих х, равно {х}. Но
тогда дополнение Х\ {х} есть объединение не более чем счетного
множества конечных множеств, а значит, не более чем счетно. Это
противоречит несчетности X. ♦
Важно отметить, что для метрических пространств, утверж-
дение, обратное утверждению теоремы 1, оказывается верным, а
именно верна следующая теорема.
Теорема 2. Всякое сепарабельное метрическое пространство
(X, р) удовлетворяет второй аксиоме счетности.
Доказательство. Пусть А = {alt а2, ..., ап, ...} — не более
чем счетное всюду плотное множество в X. Возьмем в качестве базы
топологии пространства X совокупность открытых множеств
Легко убедиться, что это база.
В самом деле, в силу сепарабельности X для любого х е X и до-
статочно малого е > 0 найдется элемент ап е А такой, что
ап е £>е/3(х); кроме того, найдется такой номер к, что
х е Vnk С DJx) (достаточно взять к так, чтобы е/3 < 1/к 2е/3).
Так как любое открытое множество в X представимо в виде объеди-
нения шаров, то оно представимо и как объединение множеств
vn,k из В.
Для формулировки следующего утверждения нам потребуется
понятие покрытия, упоминавшееся в § 1, и понятие подпокрытия —
подсемейства покрытия, которое само является покрытием.
Теорема 3 (Линделёф). Если топологическое пространство X
удовлетворяет второй аксиоме счетности, то в произвольном его
открытом покрытии {17а} содержится не более чем счетное под-
покрытие.
Доказательство. Пусть В — счетная база топологии на X.
Так как всякий элемент покрытия {t/J есть объединение множеств
из В, то в В можно выделить подсемейство С, тоже покрывающее
X и такое, что каждый элемент из С содержится в некотором эле-
менте семейства {t/a}. Тогда, выбрав для каждого элемента из по-
крытия С какое-нибудь одно содержащее его множество из {t/a},
получим не более чем счетное подпокрытие покрытия {17а}.
Кроме базы топологии, введенной в § 1, существует важное по-
нятие базы системы окрестностей точки х топологического про-
странства X.
Определение 2. Семейство В(х) = {Т(х)} окрестностей точки х
называется базой системы окрестностей точки х, если в каждой
118
окрестности точки х содержится некоторая окрестность их этого се-
мейства.
Семейство всех открытых окрестностей точки, очевидно, являет-
ся базой системы окрестностей этой точки.
Пример 3. Пусть (X, р) — метрическое пространство. Тогда
В(х') = {Vk(x) = Dl/k(x)}k=l
— база системы окрестностей точки х. Действительно, в любую ок-
рестность точки х можно вписать некоторую шаровую окрестность.
Для любой шародой окрестности DJx) можно подобрать число к.
так, чтобы 1/k < е; тогда Vk(x) С Г>£(х).
Определение 3. Говорят, что топологическое пространство X
удовлетворяет первой аксиоме счетности, если система окрестно-
стей всякой его точки обладает счетной базой, т. е. базой, состоящей
не более чем из счетного числа окрестностей.
Пример 4. Метрическое пространство удовлетворяет первой
аксиоме счетности.
Пример 5. Пространство непрерывных функций С[01) удов-
летворяет первой аксиоме счетности. ♦
Удовлетворяет ли пространство С[0 второй аксиоме счетности?
Положительный ответ на этот вопрос следует из того, что С[о ц се-
парабельно, и из теоремы 2 настоящего параграфа.
Сепарабельность пространства С[о ц следует из теоремы Вейер-
штрасса о том, что всякую непрерывную функцию на отрезке [0, 1 ]
можно равномерно сколь угодно точно приблизить полиномом. Та-
ким образом, счетное всюду плотное множество А в С[о состоит
из множества всех полиномов с рациональными коэффици-
ентами.
Упражнение 1°. Убедитесь, что топологическое пространство,
удовлетворяющее второй аксиоме счетности, удовлетворяет и пер-
вой аксиоме счетности.
Обратное неверно, как показывает следующий пример.
Пример 6. Всякое несчетное пространство X с дискретной то-
пологией удовлетворяет первой аксиоме счетности. В самом деле, у
всякой точки х G X есть база системы окрестностей, состоящая из
одной окрестности V = {х}. Но такое пространство не удовлетворяет
второй аксиоме счетности, иначе покрытие пространства одноточеч-
ными множествами {х}, согласно теореме 3, содержало бы не более
чем счетное покрытие, что невозможно.
Таким образом, выполнение второй аксиомы счетности является
более сильным условием на топологическое пространство, чем вы-
полнение первой аксиомы счетности.
2. Свойства отделимости пространства. Важные топологиче-
ские свойства пространств характеризуются аксиомами отделимо-
сти. Эти аксиомы позволяют сужать класс изучаемых пространств
для рассмотрения их более глубоких свойств.
119
Для формулировки аксиом нам потребуется понятие открытой
окрестности множества.
Определение 4. Открытой окрестностью множества А в топо-
логическом пространстве X называется всякое открытое множество
U, содержащее А.
Приведем основные аксиомы отделимости TQ — Т4.
Аксиома То (аксиома Колмогорова). Из каждых двух различных
точек топологического пространства по крайней мере одна имеет ок-
рестность, не содержащую другую точку.
Аксиома Ту. Каждая точка всякой пары различных точек топо-
логического пространства имеет окрестность, не содержащую дру-
гую точку.
Аксиома Т2 (аксиома Хаусдорфа). Любые дв,е различные точки
х, у топологического пространства имеют окрестности U(x), U(y)
такие, что U(x) Г) U(y) = 0.
Аксиома 73. Для всякой точки х топологического пространства
и всякого замкнутого множества F, не содержащего х, существует
окрестность £/(х) точки х и открытая окрестность U(F) множества
F такие, что U(x) Г) U(F) = 0.
Аксиома Т4. Любые два замкнутых непересекающихся множест-
ва Fv F2 топологического пространства имеют открытые окрестно-
сти U(Fy), U(F2) такие, что U(Fy) Г) U(F2) = 0.
Подчеркнем, что среди аксиом То — Т2 каждая следующая явля-
ется более сильным условием на пространство, чем предыдущая.
Для аксиом Т2 — Т4 то же верно лишь при условии, что выполнена
аксиома Ту, поскольку Ту не следует из 73 или Т4.
Топологическое пространство X называют Т у-пространством
(i = 0, 1, 2, 3, 4), если оно удовлетворяет аксиоме Ту.
При одновременном выполнении аксиом Ту и Т3 топологическое
пространство X называют регулярным пространством.
Если выполнены одновременно аксиомы Ту и Т4, то топологиче-
ское пространство X называют нормальным пространством.
70-пространства называют также колмогоровскими, а 72-про-
странства — хаусдорфовыми (см. также § 1).
Примером топологического пространства, не являющегося 70-про-
странством, может служить пространство с тривиальной топологией.
Все другие рассмотренные нами топологические пространства явля-
ются 70-пространствами. Отметим, что топологические пространства,
не являющиеся 70-пространствами, не представляют интереса для ис-
следования. Приведем несколько примеров.
Пример 7. Пусть R1 — вещественная прямая с топологией, ба-
зу которой образуют лучи вида а< х< + °°. Несложно показать,
120
что пространство R1 с такой топологией удовлетворяет аксиоме То,
но не удовлетворяет аксиоме 7\.
Пример 8. Рассмотрим отрезок [0, 1 ] с топологией, в которой
открытыми считаются пустое множество и все множества, получаю-
щиеся из [0, 1] выбрасыванием не более чем счетного числа точек.
Полученное топологическое пространство удовлетворяет аксиоме
Тр но не удовлетворяет аксиоме Т2.
Пример 9. На отрезке [0,1] окрестностями произвольной точ-
ки, кроме нуля, назовем обычные окрестности, а окрестностями ну-
ля назовем всевозможные полуинтервалы [0, а) с выброшенными
точками 1/n, п = 1, 2, ... Легко видеть, что полученное топологиче-
ское пространство хаусдорфово, но не регулярно, так как не пересе-
кающиеся между собой замкнутое множество F={l/n:
п = 1, 2, ...} и точка нуль неотделимы в смысле аксиомы Т3.
Примеры регулярных, но не нормальных пространств мы не при-
водим — они нетривиальны; это связано с тем, что различие между
регулярными и нормальными пространствами достаточно тонко, как
показывает следующая теорема.
Теорема 4 (Тихонов). Всякое регулярное пространство, удов-
летворяющее второй аксиоме счетности, является нормальным.
Доказательство этой теоремы мы не приводим.
Топологические пространства, не удовлетворяющие аксиоме Т{,
плохо устроены с точки зрения классического анализа. Одноточечное
множество в них может быть не замкнуто, а конечное множество мо-
жет иметь предельные точки (приведите примеры!). В ^-простран-
ствах такие ситуации уже не имеют места.
Упражнение 2°. Покажите, что топологическое пространство тог-
да и только тогда является ^-пространством, когда любое его одно-
точечное множество замкнуто.
Теорема 5. В каждой окрестности любой предельной точки
множества А в Т^пространстве X содержится бесконечно много
точек из А.
Доказательство. Пусть х — предельная точка множества
Ли U(x) — некоторая ее окрестность. Предположим, что множест-
во U(x) П А конечно. Тогда множество В = (U(x) Г) Л)\{х} замк-
нуто как объединение конечного числа замкнутых одноточечных
множеств, и, следовательно, множество — U(x)\B открыто. Та-
ким образом, — окрестность точки х и U{ Г) А — {х}, что проти-
воречит тому, что х — предельная точка А.
Следствие. Всякое конечное подмножество Т\-пространства
не имеет предельных точек.
Отметим, что класс нормальных пространств достаточно широк,
он включает, например, все метрические пространства.
Теорема 6. Всякое метрическое пространство нормально.
121
Доказательство. Каждое метрическое пространство (X, р),
очевидно, удовлетворяет аксиоме Т2, а следовательно, и Т{ (в каче-
стве непересекающихся окрестностей различных точек х, у G X мож-
но взять шары Dr/2(x), Drj2(y), где г = р(х, у)). Покажем, что в мет-
рическом пространстве выполнена аксиома Т4. Пусть А, В — произ-
вольные замкнутые подмножества X. Для всякого подмножества
С С X обозначим р(х, С) = inf {р(х, у)} (р(х, С) называют расстоя-
уес
нием от точки х до множества С). Положим Ux =
— {х е X: р(х, А) < р(х, В)}, U2 = {х G X: р(х, Л) > р(х, В)}. Мно-
жества U{, U2, очевидно, содержат А, В соответственно и не пересе-
каются. Отображения /(х) = р(х, Л): X—*R', g(x) = р(х, В):
X—»R* непрерывны (покажите!), и, следовательно, непрерывно
отображение f — g: X—*R*. Поэтому множества U{, U2 открыты (как
прообразы открытых множеств ( — », 0), (0, + оо) при непрерывном
отображении f — g). Таким образом, Uv U2 — непересекающиеся от-
крытые окрестности множеств А, В.
Упражнения. 3°. Покажите, что подпространство /^-пространст-
ва (г = 0, 1, 2, 3) также является /'-пространством.
4°. Покажите, что в Т^пространстве для всякого подмножества
А выполнено включение (Л')' С А'.
5°. Проверьте, что замкнутая поверхность (см. § 4 гл. II) — ха-
усдорфово пространство.
3. Хаусдорфовы пространства с первой аксиомой счетности.
В таких пространствах естественно определяется понятие сходящей-
ся последовательности и ее предела, после чего определение опера-
ций над множествами и понятия непрерывного отображения копи-
руют определения для метрических пространств.
Для всякой точки х хаусдорфова топологического пространства
(X, т) со счетной базой обозначим {И/П(х)} счетную базу ее откры-
тых окрестностей.
Определение 5. Последовательность {хп} точек хп е X,
п= 1, 2, ..., называется сходящейся к точке х0 G X, если для вся-
кой окрестности Жр(х0) существует натуральное N=tV(x0, р) та-
кое, что при всех п> N имеем хп е Wp(x0).
Полезно заметить, что выбор N зависит и от р и от х0.
Упражнение 6°. Докажите, что в хаусдорфовом пространстве по-
следовательность может сходиться к единственной точке.
Если последовательность {хп} сходится к точке х0, то х0 называ-
ют пределом последовательности {хп} и пишут lim хп = х0 или
х„-»х0.
Упражнение 7°. Пусть /: X—»у — отображение хаусдорфовых
пространств с первой аксиомой счетности. Докажите, что условие
122
iim f(xn) — f(xQ) для любой последовательности {xn}, xn~+x0, эк-
вивалентно непрерывности отображения f в точке х0.
Используя понятие сходящейся последовательности, можно дать
определение предельной точки множества AC X, производного мно-
жества А', границы множества дА, замыкания А аналогично тому,
как это делается в метрическом пространстве (см. п. 1 § 7).
Упражнения. 8°. Убедитесь, что указанные выше определения
множеств А', дА, А в хаусдорфовом пространстве с первой аксиомой
счетности эквивалентны общим определениям § 6.
9°. Отображение f:X-+Y называется собственным, если прооб-
раз любого компактного множества из У компактен в X. Покажите,
что если f непрерывно, а X, У хаусдорфовы с первой аксиомой счет-
ности, то из собственности отображения f следует его замкнутость.
§12 . Нормальные пространства
и функциональная отделимость
1. Эквивалентное определение нормального пространства.
Часто бывает полезно формулируемое в следующей лемме свойство
нормальных пространств, которое можно принять за эквивалентное
определение нормального пространства.
Малая лемма Урысона. Т ^-пространство X нормально тогда
и только тогда, когда для любого замкнутого множества F С X и
любой его открытой окрестности U существует открытая окре-
стность V множества F такая, что V С U.
Доказательство. Пусть X нормально. Рассмотрим два замк-
нутых множества: F и F{ — X\U. Так как пространство нормально,
существуют непересекающиеся открытые окрестности V и VL мно-
жеств F и Fv Тогда V С X\V\ и, следовательно, V С X\V\. Но X\V,
замкнуто, поэтому ATWj = АЛУГ Таким образом, V С X\VtC U. Об-
ратно: пусть выполнено условие леммы и Ft, F2 — непересекающиеся
замкнутые множества. Рассмотрим множество Ul = X\F2. Тогда
jFj С Uy и условию существует открытая окрестность Vt множества
Ft такая, что С U{. Положив U2 — X\V{, получим открытое мно-
жество U2, F2 С U2, причем У1 П U2 = 0.
Следствие. В нормальном пространстве X два непересекающих
ся замкнутых множества, Fy, F2, имеют такие открытые окрест-
ности U{, U2, что U{ П U2 = 0.
Из нормального пространства, вообще говоря, не следует нор-
мальность его подпространств. Если же в нормальном пространств:
X всякое подпространство нормально, то X называют наследствен
но нормальным пространством.
Упражнение Г. Покажите, что метрическое пространство на
следственно нормально.
123
Условие наследственной нормальности дает следующая теорема.
Теорема 1 (Урысон). Пространство наследственно нормально тогда и только
тогда, когда два любых его отдельных множества имеют непересекающиеся от-
крытые окрестности.
Доказательство этой теоремы мы не приводим.
Образ нормального пространства при непрерывном отображении
не обязательно нормален. Простейшим примером может служить
тождественное отображение прямой R1 с обычной топологией в ту
же прямую, снабженную какой-либо нехаусдорфовой, например
тривиальной, топологией. Однако существуют достаточные призна-
ки того, чтобы образ нормального пространства был нормальным.
Например, верно следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть X — нормальное пространство, /: А" —» У —
непрерывное замкнутое сюръективное отображение. Тогда про-
странство У также нормально.
Доказательство. Пусть А С У — замкнутое подмножество.
Положим Л] = /-|(Л). Тогда множество А{ замкнуто в силу непре-
рывности /. Пусть U — открытая окрестность множества А в У.
Тогда множество = открыто (в силу непрерывности /) и
содержит Др Следовательно, Ut — открытая окрестность Л1; и со-
гласно малой лемме Урысона существует открытая окрестность V
множества Л1 такая, что V С U{.
Имеем включения А{ С V С V С U{. Замкнутое сюръективное
отображение открыто, следовательно, /(У) открыто, а /(У) замкну-
то, причем имеем включения
А = f(A{) С /(V) С /(У) С /(t/J = U,
из которых легко усматривается нормальность У.
2. Функциональная отделимость. Теорема Урысона о про-
должении числовых функций. Выше отделимость множества опре-
делялась на языке «окрестностей». Урысон ввел еще и другое поня-
тие отделимости — так называемую функциональную отделимость,
которая весьма удобна при изучении нормальных пространств.
Определение. Два множества, А, В, в топологическом простран-
стве X называются функционально отделимыми, если существует
непрерывная числовая функция у: X—*R] такая, что
. . [О, если х G А,
Ф(-^) 1 1 если v R
и О ф(х) 1 во всех точках X (рис. 62).
Родственная связь двух понятий отделимости хорошо проявляет-
ся в следующем простом факте.
Лемма. Если множества А и В в топологическом пространст-
ве функционально отделимы, то они имеют непересекающиеся
открытые окрестности.
Доказательство предоставляем провести читателям.
124
Таким образом, из функциональной отделимости любой пары
замкнутых непересекающихся множеств -пространства следует
его нормальность. Интересно, что верно и обратное утверждение.
R1
Рис. 62
Большая лемма Урысона. Для любых двух замкнутых непере-
секающихся множеств, А, В, нормального пространства X су-
ществует непрерывная функция »R* такая, что <р | = О,
Ф | I ы 0 « ф(х) 1 для всякого хЕХ.
Доказательство. Пусть А, В — произвольные замкнутые
множества в X, А П В = 0. Каждому рациональному числу вида
г = к/2п, где к = 0, 1, ..., 2", поставим в соответствие такое откры-
тое множество G(r), чтобы выполнялись следующие свойства:
1) А С G(0), X\B = G(1);
2) G(r) С G(r'), если г < г'.
Доказательство существования такой системы открытых мно-
жеств провеДем индукцией по показателю п. Пусть п = 0. В силу
нормальности X существуют непересекающиеся открытые окрестно-
сти U(A), U(B~) множества А и В. Положим G(0) = U(A~),
G(l) = Х\В. Предположим теперь, что такая система множеств
G(r) построена для показателя п— 1. Построим ее для показателя
п. Так как 2т/2" = т/2п~[, то достаточно построить G(r) для
г = к/2п при к нечетном.
Пусть к = 2т + 1, тогда имеем. (Л + 1)/2" = (т + 1)/2'1-1,
(к — 1)/2" = т/2п~1, и, следовательно, по предположению индукции
уже имеем включение G((k — 1)/2”) С G((k + 1)/2"). Очевидно, что
множества G((k — 1)/2”), X\G((k + 1)/2л) замкнуты и не пересека-
ются. В силу нормальности X существует открытая окрестность V
множества G((k — 1 )/2”), не пересекающаяся с некоторой открытой
окрестностью множества'X\G((к + 1)/2"). Положим V— G(k/2n);
ясно, что
G((k - 1)/2") С G(A/2"),
G(Jt/2«) С Г((х + 1)/2").
125
Индукция закончена.
Расширим область определения множеств G(r), положив
> — J0’ если г < °’
(X, если г>1.
Зададим теперь функцию ф следующим образом: ф(х) = О,
х G G(0) и ф(х) = sup {г: х G ,X\G(r)}. Покажем непрерывность ф.
С этой целью для каждого х0 е X и каждого N > 0 построим такую
окрестность Gy(x0) точки х0, что | ф(х0) — ф(х) | < 1/2",
G UN(x0). Пусть г0 (вида Л/2”) таково, что
т(*о) < го< f(*o) + 1/2л, + 1. (1)
Положим Un(xq) = G^r0)\G{r0 — 1/2"). Тогда х0 е UN(x0), так как
г0>ф(х0) и г0 — 1/2"+1 < <р(х0). Если х G Un(xq), то х G G(r0),
поэтому ф(х) $ г0. Кроме того,
х G X\G(r0 - 1/2") С X\G(r0 - 1/2"),
поэтому r0 — \/2N $ ф(х). Таким образом,
г0- 1/2"$ <р(х) $ г0. (2)
Сравнивая (1) и (2), получаем
1>₽(*о) “ f(*)l < 1/2", х£^(х0).
Последнее и означает непрерывность ф.
По построению ясно, что =0, ф| = 1 и 0$ ф(х) $ 1. По-
строенную функцию называют также функцией Урысона.
В качестве приложения рассмотрим задачу о продолжении огра-
ниченной функции с замкнутого подмножества нормального про-
странства на все пространство. Заметим вначале, что большая лем-
ма Урысона эквивалентна утверждению о существовании непрерыв-
ной функции фо6(х), удовлетворяющей условиям
Тй.6|А = л, = а $ ТаДх) $ Ь, х&Х,
где а, b (а < Ь) — произвольные вещественные числа. Действи-
тельно, если <р(х) — функция Урысона, то функция фаДх) =
= (Ь — а)ф(х) + а будет искомой.
Теорема 3 (Титце—Урысон). Для всякой ограниченной непре-
рывной функции <р: Л—»!?1, заданной на замкнутом подмножестве
А нормального пространства X, существует непрерывная функ-
ция Ф: X —» R1 такая, что ФI s <р и sup | Ф(х) | = sup | <р(х) |.
I А (X) (А)
126
Доказательство. Будем строить функцию Ф как предел не-
которой последовательности функций. Положим <р0 = f и
ао = sup | ф(х) |, Ао = {х: <р0(х) «= - а0/3},
во={*- ф0(х) > «о/З}.
Ясно, что множества Ао, Во замкнуты и не пересекаются. Согласие,
большой лемме Урысона существует непрерывная функция g0:
X—»R* такая, что |g0(x)| а()/3 и
—йд/З, если х G Ло,
Яд/3, если х G Во.
Зададим теперь на А функцию ф] равенством = ф0 — gQ- Тог
2
да функция непрерывна и а{ = sup | tpj $ а0. Аналогично, вво
(А)
дя обозначения
= {%: Ф1(х) «= — aJ3}, В{ = {х: ср1(лг) > aJ3}
и взяв функцию Урысона такую, что |^(х)| а{/3 и
{—а{/3, если хЕ Лр
Ц]/3, если х G Вр
2
на множестве А положим ер2 = Ф1 ~ Si и а2 ~ SUP I <₽21 з аг
(А)
Таким образом, строим последовательность функций ер0 = <р,
<Рр <р2, ..., фп, .... непрерывных на А, и функций g0, glt ..., gn, ...,
непрерывных на X, таких, что
Фп + 1 = %. - sn, I gn(x) I у, an + i | ап,
где ап = sup | <рп(х) |, п = 0, 1, 2, ... Отсюда получаем, что
(А)
00
В силу последнего неравенства ряд ^п(х) сходится абсолютно
п = 0
и равномерно на X к непрерывной функции. Обозначив его сумму
через Ф(х), получим оценку
1фМ1 (If T = flo-
127
Пусть х€ А, тогда частичная сумма Sn(x) = g0(x) + ... + gn(x)
по построению функций фп+1(х) равна ф0(х) — <рп(лг), а <рп(х)—»0.
Следовательно, Ф(х) = ф0(х) = ф(х) для каждого х€ А.
Теорема Титце—Урысона обобщается на случай отображения
пространства X в «-мерный куб, а именно:
Следствие. Всякое непрерывное отображение >р: А—*1п замкну-
того подмножества А нормального пространства X в п-мерный
куб 1п можно продолжить до непрерывного отображения
Ф: Х-+1п.
Упражнение. Докажите следствие.
Указание. Воспользуйтесь координатной системой в R* и примените теорему
Титце-Урысона к компонентам отображения <р.
§ 13. Компактные, локально компактные
и паракомпактные пространства и их отображения
1. Понятие компактного пространства. Перейдем к изучению
весьма важных классов топологических пространств, характеризую-
щихся свойствами их открытых покрытий. Эти свойства являются
абстрактным (и удобным) аналогом известного из анализа свойства
компактности числового отрезка или «-мерного куба (шара). Ком-
пактные пространства и их отображения возникают во многих раз-
делах математики.
Вначале обсудим некоторые понятия, связанные с покрытиями
топологических пространств. Пусть ст = {Л} — некоторая система
подмножеств А множества X. Объединение всех А из ст обозначим
ст и назовем телом системы ст.
Расширим понятие покрытия, упоминавшееся в § 1 после опре-
деления базы топологии.
Определение 1. Система ст называется покрытием подпрост-
ранства Y топологического пространства X, если ст Э Y.
В частности, ст — накрытие пространства X, если ст = X, что со-
гласуется с ранее использовавшимся понятием покрытия § 1.
Определение 2. Говорят, что покрытие ст вписано в покрытие
а' (ст > ст'), если каждый элемент ст содержится в некотором элементе
системы ст'.
Отношение вписанности вводит частичную упорядоченность в
множестве всех покрытий пространства.
Покрытия, состоящие из конечного или счетного числа элемен-
тов, называются соответственно конечными или счетными.
Определение 3. Покрытие ст топологического пространства X
называется локально конечным, если у каждой точки х G X суще-
ствует окрестность, которая пересекается лишь с конечным числом
элементов ст.
Особое значение имеют покрытия, состоящие из открытых мно-
жеств. Такие покрытия называются открытыми.
128
Со свойствами открытых покрытий связаны многие важные свой-
ства пространства. В связи с этим выделяют следующие классы про-
странства.
Определение 4. Топологическое пространство X называется:
At) компактным, Л2) паракомпактным, если во всякое его от-
крытое покрытие можно вписать открытое покрытие, являющееся
соответственно: а{~) конечным, а2) локально конечным.
Упражнение 1°. Убедитесь, что получим эквивалентное опреде-
ление At), если потребуем, чтобы из любого открытого покрытия
пространства можно было выделить покрытие типа Oj), и получим
неэквивалентное определение Л2), если потребуем, чтобы из любого
открытого покрытия пространства можно было выделить покрытие
типа а2).
Пример 1. Пусть Х = [a, Z»] С R1 — пространство с тополо-
гией, индуцированной из R1. Пространство X компактно, так как по
теореме Гейне—Бореля из любого покрытия X интервалами можно
выделить конечное подпокрытие.
Пример 2. Пусть X = R1; это пример некомпактного про-
странства. Так, из покрытия {( — п, м)}”=1 нельзя выделить ко-
нечное.
Аналогичные рассуждения показывают, что некомпактным явля-
ется пространство R”, а также всякое его неограниченное подмно-
жество. Отсюда, в частности, следует необходимость условия огра-
ниченности для компактного подмножества в R".
Пример 3. Пространство X — R1 паракомпактно. Действи-
тельно, пусть {t/a} — открытое покрытие R*. Имеем R1 =
+ 0°
= U [n, п + 1 ]. Каждый отрезок [n, п + 1] «немного» расширим в
п = — СО
интервал (п — е, n + 1 + е) и рассмотрим покрытие {£/а П
П (м — е, n+1 + e)} отрезка [п, п + 1]/ Из него можно выбрать
конечное покрытие V", ..., V^. Объединение таких покрытий (по
Л
всем м) дает локально конечное покрытие R1, вписанное в {Ua}. ♦
Если Y С X — подпространство топологического пространства X,
то, рассматривая покрытия пространства Y, открытые в наследст-
венной топологии из X, получаем из определения 4 понятия ком-
пактного и паракомпактного подпространства (часто говорят также
о компактном и паракомпактном множестве Y в пространстве X).
Равносильным образом можно было бы рассматривать покрытия
пространства Y, открытые в X. При этом полезно заметить, что зам-
кнутое множество Y СХ наследует свойство Ар 2=1,2, простран-
ства X. В самом деле, всякому открытому покрытию ст = {Va} про-
5 Ю. Г. Борисович и др.
129
странства Y, где Va = Y П Ua и Ua открыто в X, соответствует от-
крытое покрытие ст, — {Ua, U, = Х\У} пространства X. Выберем те-
перь вписанное покрытие ст> ст, (типа а() пространства X. От полу-
ченного покрытия ст легко перейти к покрытию сту подпространства
Y путем пересечения элементов ст с У и отбрасывания содержащих-
ся в [/,. Очевидно, что сту > ст.
Следующая теорема часто применяется в анализе.
Теорема 1. Всякое бесконечное множество Z С X компактного
пространства X имеет в X предельную точку.
Доказательство. Предположим противное, т. е. что Z' —
— 0. Тогда Z = Z, значит, Z замкнуто, а следовательно, и ком-
пактно. С другой стороны, каждая точка z е Z изолирована в X.
Это означает, что существует открытая окрестность Q(z) в X с
условием Q(z) П Z = z. Открытые в Z окрестности U(z)—
= Q(z) П Z образуют бесконечное покрытие пространства Z, из
которого нельзя выбрать конечное подпокрытие в противоречии с
компактностью Z.
Понятие компактности тесно связано с понятием замкнутости,
как показывает следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть X — компактное подпространство хаусдор-
фова пространства У. Тогда X замкнуто.
Доказательство. Пусть уб У\Х. Для любой точки х G X в
силу хаусдорфовости У найдутся такие открытые окрестности
Ux{y), Uy(x) точек у, х, что Ux(y) A Uy(x) = 0.
Система {Uy(x)}xgx образует покрытие X. В силу компактности
X имеется конечное подпокрытие {Uy(х;)}г Легко видеть, что мно-
k к
жества t/(X) = U Су(хг) и A Ux (у) = [/(у) открыты и не пересека-
/=1 £=1
ются. Таким образом, показано, что в хаусдорфовом пространстве
компактное множество X и точку, не лежащую в нем, можно разде-
лить непересекающимися окрестностями U(X) и [/(у). Отсюда следу-
ет, что дополнение У\Х открыто, поэтому X замкнуто.
Исследуем теперь связь понятий компактности и нормальности.
Теорема 3. Компактное хаусдорфово пространство X нор-
мально.
Доказательство. Установим сначала аксиому Т3 для X.
Пусть А С X — замкнутое подмножество, х е А"\Л. В силу хаусдор-
фовости X для всякого у е А существуют такие окрестности Ux(y),
Uy(x) точек х, у, что Ux(y) A Uy(x) = 0. Система {£/х(у)}у6д об-
разует покрытие А; поскольку А компактно, то можно выделить ко-
нечное покрытие о = {^х(у()}7=г Так как С/Х(у;) включено в зам-
130
кнутое множество X\Uy (х), то /7х(у;) С X\Uy (х) С _¥\{х}, следо-
вательно, U /7х(у;) с Х\{х}. Но U UХ(У[) замкнуто, поэтому
i=l i=1
Х\ U их(У,) — UA(x) — открытая окрестность точки х. Объедине-
/ = 1
ние U /7х(у;) = VX(A) — открытая окрестность множества А в X.
1 = 1
Очевидно, VX(A) П UA(x) = 0, что означает справедливость аксио-
мы Т3 для X. Так как аксиома следует из аксиомы Т2, то X ре-
гулярно.
Докажем теперь нормальность X. Пусть множества А, В замкнуты
вХиА(~}В=0. Тогда для всякой точки х 6 X в силу регулярности
X существует открытая окрестность U(x), для которой выполнено по
крайней мере одно из условий Z7(x) П А = 0, U(x) П В=0. Рас-
смотрим покрытие {{Дх)}х1=х пространства X такими окрестностями.
Выберем из него конечное покрытие {t/a}™=i- Для каждого U выпол-
нено по крайней мере одно из условий Ua П А = 0, Ua П В = 0.
i i
Пусть Р = U Ua — объединение тех множеств, для которых
П А = 0 и, аналогично, Q = U Ua, Ua П В = 0. Легко видеть,
что открытые множества Х\Р, X\Q содержат А, В соответственно и
не пересекаются. Нормальность пространства X доказана.
Часто бывает полезно другое определение компактного простран-
ства, использующее только язык замкнутых множеств. Сначала да-
дим определение.
Определение 5. Система {Afa} подмножеств пространства X на-
зывается центрированной, если всякая- ее конечная подсистема
имеет непустое пересечение.
Теорема 4. Топологическое пространство X компактно тогда
и только тогда, когда всякая центрированная система его замк-
нутых подмножеств имеет непустое пересечение.
Доказательство. Пусть а = {М} — произвольная центриро-
ванная система замкнутых подмножеств пространства и пусть X
компактно. Покажем, что П М Ф 0. Предположим противное, т. е.
мео
П М — 0. Тогда U (Х\М) = X, т. е. система {Х\М}меа — откры-
V/ Е о /Ибо
тое покрытие X. В силу компактности X существует конечное под-
5*
131
покрытие {X\Mk}l=l, поэтому Л (X\Mk) = X, и, следовательно,
4=1
п
U Мк = 0, что противоречит центрированности системы о.
4 = 1
Пусть для всякой центрированной системы ст = {М} замкнутых
подмножеств пересечение П М непусто. Пусть {Ua} — произволь-
меа
ное открытое покрытие X. Тогда система {Х\[/а} имеет пустое пе-
ресечение и в силу предположения не является центрированной.
Таким образом, для некоторых вр а2, ..., cts подсистема
{X\t/a}*=1 имеет пустое пересечение, откуда следует, что {t/a}f=1 —
конечное подпокрытие покрытия Следовательно, пространство
X компактно.
Рассмотрим теперь свойство паракомпактности. Интересен воп-
рос о том, как связано свойство паракомпактности с другими свой-
ствами топологических пространств. Рассмотрим так называемые
локально компактные множества.
Определение 6. Пространство X называется локально компакт-
ным, если у каждой точки х G X существует окрестность U(x), за-
мыкание которой компактно.
Примером локально компактного пространства может служить
пространство Rn; другой пример — двумерное многообразие (см.
§ 4 гл. II).
Теорема 5. Если топологическое пространство X хаусдорфово
и локально компактно, то оно регулярно.
Доказательство. Пусть a G X — произвольная точка и
F С X — замкнутое множество, не содержащее точку А. Тогда X\F
открыто и a G X\F. В силу локальной компактности^ пространства X
найдется такая открытая окрестность У (а), что У(п) компактно.
Пусть F{ = V(a) П F‘, Ft — замкнутое множество хаусдорфова про-
странства X, лежащее в компактном множестве 7(a), следовательно,
оно компактно в X. Точку а и компактное множество Fi можно раз-
делить непересекающимися окрестностями W(a), U(F{) (см. доказа-
тельство теоремы 2); пусть №\(а) = W(a) П У(а) — новая окрест-
ность, для которой имеем Wt(a) П U(F{) = 0, Wt(a) П (F\) = 0. В
частности, из очевидного включения И^п) С V получаем
W\(a) П (F\Fj) = 0, что вместе с предыдущим означает JTj(n) П
П F= 0. Замкнутая окрестность ^(п) компактна, так как V(a) —
компактное пространство и ТУДа) С Т(п). Следовательно, для каж-
дой точки х G F найдется открытая окрестность U(x), не пересекаю-
щаяся с W\(а) (см. доказательство теоремы 2, замечание о «разделе-
132
нии» компактного множества и точки в хаусдорфовом пространстве).
Положив U(F) = U (Z7(x)), будем иметь И-'Да) П U(F') = 0.
хег
Паракомпактное пространство примера 3 является частным слу-
чаем пространств, описываемых следующей теоремой.
Теорема 6. Пусть X — локально компактное пространство и
00
X = U Сп, где Сп — компактное множество. Тогда X параком-
/1 = 1
пактно.
Доказательство. Представим сначала X в виде счетного
объединения открытых, вложенных друг в друга множеств, замыка-
ния которых компактны. Будем строить эти множества по индук-
ции. Положим прежде всего Uo = 0. В качестве L\ возьмем окрест-
ность множества Ср замыкание которой компактно. Затем, если по-
строено множество Un, в качестве Un+l выберем окрестность
множества Un U Сп+1, замыкание которой компактно. Существова-
ние таких окрестностей обеспечивается локальной компактностью
пространства X.
Пусть теперь {Уа}аем — произвольное открытое покрытие X.
Обозначим через Dn компактное множество Un\Un_i. Открытое
множество Un+l\Un_l есть окрестность множества Dn. Тогда систе-
ма множеств
{Иа п (£/п+1\£/п_2)}аем =
образует открытое покрытие множества Dn. Выберем из него конеч-
ное подпокрытие {V/"}^"=1. Проделав описанную процедуру для всех
<х>
п, получим счетное покрытие (j = i всего пространства X,
п = 1
вписанное в покрытие {V^aeM.
Покажем, что это покрытие локально конечно. Пусть х — про-
извольная точка из X и п0 = min {п: х G Un}. Так как х £ Un _р то
существует ее окрестность О(х), лежащая в Un , такая, что
О(х) П Un _2 = 0. Значит, О(х) может пересекаться только с мно-
жествами где 1 т рк, п0 — 2 < £ < и0 + 1. Таких множеств
по построению конечное число.
Следствие. Если локально компактное пространство X имеет
счетную базу, то оно паракомпактно.
Действительно, если пространство локально компактно, то оно
имеет базу {Uc} открытых множеств такую, что Uc компактно. Вы-
133
бирая из счетной базы те множества, из которых состоят множества
Uc, мы получим счетную базу {Pf}7=i с тем свойством, что У*г ком-
пактно для каждого i. Тогда X = (J Kf и его паракомпактность сле-
дует из теоремы 6.
Замечание. В некоторых разделах математики (например,
функциональном анализе) систематически используется язык схо-
дящихся последовательностей при исследовании свойств компакт-
ных множеств. Этот язык вводится (см. п. 3 § 11) в случае хаусдор-
фовых пространств, удовлетворяющих первой аксиоме счетности.
Полезно сформулировать общее понятие компактности на языке
сходящихся последовательностей.
Упражнение 2°. Докажите, что если хаусдорфово пространство
X удовлетворяет второй аксиоме счетности, то условие компактно-
сти X эквивалентно условию: из каждой бесконечной последова-
тельности {хп} элементов X можно выбрать сходящуюся последова-
тельность.
2. Отображения компактных пространств. Изучим некоторые
важные свойства непрерывных отображений компактных про-
странств.
Теорема 7. Пусть X, У — топологические пространства, X
компактно, a f: Х-* У — непрерывное отображение. Тогда образ
f(X) — компактное пространство в У.
Доказательство. Рассмотрим произвольное открытое покры-
тие {Уа} пространства Z = f(X). Очевидно, что f‘.X-*Z также не-
прерывно, поэтому {/-1(Иа)} — открытое покрытие X. Выделим из
него конечное покрытие {/-1(Иа ))Г= р существующее в силу компак-
тности X. Тогда {(Уа)} "L j — конечное открытое покрытие Z.
Упражнение 3°. Покажите, что замкнутая поверхность (см. § 4
гл. II) есть компактное топологическое пространство.
Теорема 8. Пусть f;X-*y — непрерывное отображение, X
компактно, У хаусдорфово. Тогда / — замкнутое отображение.
Доказательство. Напомним, что всякое замкнутое подмно-
жество компактного пространства компактно. Пусть М С X — про-
извольное замкнутое (и, значит, компактное) подмножество в X. В
силу теоремы 7 множество f(M) компактно в У и, следовательно,
замкнуто согласно теореме 2.
Выведем отсюда важный признак гомеоморфизма.
Теорема 9. Пусть выполнены условия предыдущей теоремы и
отображение / биективно; тогда f — гомеоморфизм.
Доказательство. Рассмотрим обратное отображение /-1:
У -* X. Покажем его непрерывность. Пусть А С X — произвольное
замкнутое подмножество. Так как / — замкнутое отображение, то
134
f(A) = (/ *) *(Л) замкнуто в У, что и означает непрерывность
отображения /"‘.и
Многие примеры компактных пространств возникают при по-
строении факторпространств.
Пример 4. Пусть X — факторпространство некоторого ком-
пактного пространства У. Тогда X компактно. В самом деле: X есть
непрерывный образ (относительно проекции) компактного про-
странства.
Рассмотрим числовые непрерывные функции /: X —*• R1 на
компактном пространстве X. Для них верна следующая теорема
Вейерштрасса, играющая важную роль в анализе.
Теорема 10. Всякая непрерывная функция f'.X —‘•R1 на ком-
пактном пространстве X ограничена и достигает на X своей
верхней (нижней) грани.
Доказательство. В силу теоремы 7 множество f(X) компак-
тно. По теореме 2 всякое компактное подпространство в R1 замкну-
то. Как уже отмечалось, всякое компактное подпространство в R"
ограничено. Следовательно, f(X) ограничено и замкнуто. Ограни-
ченность f(X) и означает ограниченность функции /. Поскольку
замкнутое множество содержит все свои предельные точки, то
sup /(х) е и inf /(х) е /(X), что и завершает доказательство
теоремы.
3. Произведение компактных пространств. Здесь будет доказа-
на следующая фундаментальная теорема.
Теорема 11 (А. Н. Тихонов). Топологическое произведение
X = П любой системы {Ха}аем компактных пространств
аЕМ
компактно.
Доказательство. Используем критерий компактности, со-
стоящий в том, что всякая центрированная система замкнутых под-
множеств имеет непустое пересечение. Пусть {АЦ = ст0 — произ-
вольная центрированная система замкнутых подмножеств в X. Во
множестве всех таких систем рассмотрим отношение частичной упо-
рядоченности, заданное включением а" > а', если всякое множество
из ст' входит в ст". Пусть G — множество всех систем ст таких, что
ст > ст0. Ясно, что всякое вполне упорядоченное подмножество из G
имеет максимальный элемент (объединение). Тогда по лемме Цорна
в G имеется максимальная центрированная система ст, т. е. такая
система, что для всякой системы ст е G либо ст> ст, либо ст и ст не-
сравнимы.
Пусть ст = {А’*}. Легко показать, что всякое конечное пересече-
ние элементов ст принадлежит ст, а также, что всякое замкнутое
множество М, пересекающееся с любым А7, принадлежит ст. (Про-
135
верьте это свойство.) Ясно, что если будет показано, что ст имеет
непустое пересечение, т. е. П Л™ 0, то доказательство будет за-
NySa
кончено. Обозначим через ла: X —»Ха проекцию на сомножитель
Ха. Для каждого фиксированного а система {ла(Лп')}- = {N'1a} = ста
есть центрированная система (не обязательно замкнутых множеств)
в Ха, следовательно, система {AQJ также центрирована, и в силу
компактности Ха существует элемент ха G Х:_ такой, что для любой
его окрестности Ua — U^x^ пересечение Ua П Л™ * 0 для каждого
Рассмотрим теперь элемент х = {ха} G X. Каждая окрестность
его U = U{x) содержит замыкание некоторой элементарной окрест-
ности вида
П <(£\) П ... n p~lt(ua) = uav...,a,
которая, в свою очередь, есть пересечение конечного числа окрест-
ностей вида р"1 (Uа) = Va С X. Ясно, что Va пересекается со всеми
множествами № е ст, так как Ua П №а Ф 0 при всех у. Значит,
Va G ст и, следовательно,
U = П У е ст.
Отсюда получаем, что окрестность U = U(x) пересекается со всеми
ХП G ст. Из произвольности U заключаем, что х е П ХП (и, следо-
NySa
вательно, х е П Л™).
Приведем примеры, в которых использование теоремы Тихонова
позволяет быстро установить компактность пространства.
Пример 5. Куб 7" = [0, 1 ] X [0, 1 ] X ... X [0, 1 ] — компактное
п
пространство, так как является произведением отрезков.
Пример 6. Ограниченность и замкнутость множества в R” эк-
вивалентна компактности. В самом деле, такое множество в R”
можно заключить в замкнутый параллелепипед [а{, X
х [а2, Ьг\ х ... х [ап, Ьп], компактность которого устанавливается
так же, как в примере 5.
136
Этим доказана достаточность. Необходимость условия замкнуто-
сти была доказана в одной из теорем этого параграфа, а необходи-
мость условия ограниченности отмечена в примере 2.
Упражнения. 4°. Докажите, что сфера S" компактна.
5°. Убедитесь в компактности «-мерного тора Тп =
= S1X51X... х S1.
Пример 7. Проективное пространство RP” компактно как фак-
торпространство сферы Sn.
Пример 8. Линзовое пространство SnIZp компактно по той же
причине. ♦
4. Компактность в метрическом пространстве. Компактные
метрические пространства часто называют компактами, а компакт-
ные подпространства — компактными множествами метрического
пространства.
Свойство компактности в метрическом пространстве можно вы-
разить на языке сходящихся последовательностей.
Определение 7. Множество Y метрического пространства
(X, р) называется секвенциально компактным, если всякая после-
довательность его элементов содержит сходящуюся в X подпоследо-
вательность.
Теорема 12. Множество У метрического пространства X ком-
пактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и секвенциаль-
но компактно.
Доказательство. Пусть У секвенциально компактно и замк-
нуто. Тогда для каждого е > 0 существует такое конечное множество
точек Ае = {хА}, что шары £>с(хА) с центрами в xk радиуса е пока-
зывают У *. В самом деле, если это не так, то для некоторого е0
найдутся точки хр х2, ..., хп, ... в У такие, что р(хп, хп+р) > е0 для
всех п, р. Наличие такой последовательности противоречит секвен-
циальной компактности У. Таким образом, конечные е-сети сущест-
вуют для каждого е > 0.
Пусть теперь {17} — произвольное покрытие У. Предположим,
что из него нельзя выделить конечное подпокрытие. Тогда в любой
конечной Ej-сети А( найдется элемент xk такой, что замкнутое мно-
жество У П Dz (xfc) = Уj не покрывается никакой конечной подсис-
темой из {17}. Легко видеть, что множество замкнуто и секвен-
циально компактно и его диаметр не больше 2еР Применив анало-
гичное рассуждение к У{, построим множество Уг С Х{ с теми же
свойствами, диаметром не больше 2е2 < 2еР
* Множество называют конечной е-сетью X.
137
Таким образом, взяв последовательность еп —»0, построим систе-
му {Тп} замкнутых секвенциально компактных множеств Yn+i С
С Yn, диаметры которых стремятся к нулю.
00
Упражнение 6°. Покажите, что П ^0.
£ = 1
00
Из последнего факта вытекает, что существует точка х0 G П Yк.
к = \
Так как {17} — покрытие, то х0 G Ua для некоторого его элемента
Ua. В силу открытости Ua существует е > 0 такое, что £>Е(х0) С Ua.
Взяв п настолько большим, чтобы диаметр Yn был меньше е, получим
включения Yn С Dt(x0) С Ua — противоречие с тем, что Yn не по-
крывается конечным числом элементов {17}.
Замкнутость и секвенциальная компактность следуют из замкну-
тости компактного множества (см. теорему 2) и существования пре-
дельной точки у каждой бесконечной последовательности (см. тео-
рему 1).
Предлагаем самостоятельно доказать еще следующее полезное
утверждение.
Теорема 13 (о лебеговом числе). Пусть X компактно, {/7} —
произвольное открытое покрытие X. Тогда существует вещест-
венное число б > О такое, что любое множество в X с диамет-
ром, меньшим б, лежит целиком в некотором элементе покры-
тия {U}.
Упражнение 7°. Пусть метрическое пространство X компактно,
/: X —*• Y — непрерывное отображение в метрическое пространство
Y. Докажите, что для всякого покрытия U = {/7а} пространства Y
существует лебегово число б = 6(17) такое, что для всякого подмно-
жества А в X с диаметром, меньшим б, образ /(А) целиком содер-
жится в некотором элементе покрытия U.
В анализе одним из важных является вопрос о компактности
множеств в функциональных пространствах. Существует целый ряд
специальных критериев компактности в конкретных пространствах.
В частности, для широко используемого в анализе пространства
С[о jj такой критерий дает теорема Арцела [33].
§14. Компактные расширения
топологических пространств. Метризация
1. Компактные расширения. Свойство компактности оказыва-
ется весьма полезным и удобным во многих вопросах. В связи с
этим естественно поставить вопрос о конструкции, которая позволя-
ла бы по данному некомпактному пространству построить компакт-
138
ное пространство, содержащее данное, и исследовать взаимосвязи
топологий, свойства функций на этих пространствах и др.
Определение 1. Компактным расширением топологического
пространства X называется такое компактное пространство СХ, что
X С СХ и топология пространства X индуцирована топологией про-
странства СХ.
Классическим примером компактного расширения служит рас-
ширенная плоскость комплексного переменного C = CU {<»}, го-
меоморфная S2 (см. п. 2 § 3 гл. I); аналогичным образом (с
помощью стереографической проекции) получаем компактные
расширения CR1, CRn (и>1), гомеоморфные соответственно S1
и Sn.
На весьма широкое понятие компактного расширения топологи-
ческого пространства X часто накладывают дополнительные требо-
вания типа хаусдорфовости СХ, всюду плотности X в СХ, «мак-
симальности» или «минимальности» СХ и другие. Ниже мы
рассмотрим наиболее простой способ «одноточечной компактифика-
пии», впервые исследованный П. С. Александровым. Компактное
расширение строится присоединением к пространству X дополни-
тельного элемента (обозначаемого часто °°) так, что
СХ = X и !-.
Определение 2. Пространство СХ = X U с топологией ст = {U},
состоящей из всех открытых множеств U — W пространства X и всех
множеств вида 17= F Щ, где V — открытое множество в X, допол-
нительное к замкнутому компактному подмножеству пространства
X. называется одноточечным компактным расширением простран-
ства X.
Упражнение 1°. Проверьте, что система множеств ст = {/7} удов-
летворяет аксиомам топологии.
Следующее предложение оправдывает название компактного
расширения СХ = X U I
Теорема 1. Одноточечное компактное расширение СХ = X (J
является компактным пространством.
Доказательство. Пусть {/7а} — открытое покрытие про-
странства СХ, где Uа — Wa или Ua = Va U Wa, Уа — открытые
множества в X, Va~ Х\Ка, Ка — компактное и замкнутое множе-
ство в X. Пусть Ua — Va (J — некоторое множество покрытия,
О о
тогда F П X =0 и, следовательно, {£/ — открытое в СХ
покрытие Ка и {Ка}а*а — открытое в X покрытие Ка . В силу ком-
пактности К из покрытия {И}_ можно выделить конечное по-
ао а а а0
крытие [V , ..., V }, й; * ап, i = 1, ..., s, множества К . Тогда си-
СТ1 s 1 U ао
стема множеств {Ua , ..., Ua, Ua}, очевидно, образует открытое по-
139
крытие пространства СХ, что и доказывает компактность простран-
ства СХ.
Замечание. Если X компактно, то одноточечное компактное
расширение СХ = X (J имеет изолированную точку Действи-
тельно, полагая К = X, V = Х\К — 0, получаем открытую окрест-
ность точки U(X) — состоящую из одной точки. Верно и обрат-
ное утверждение: если точка <; в СХ изолированная, то X компактно
(докажите!).
Приведенные в начале пункта примеры компактных расширений
С, CR1, CR" являются примерами одноточечных компактных рас-
ширений.
Теорема 2. Одноточечное компактное расширение СХ являет-
ся хаусдорфовым пространством тогда и только тогда, когда X
хаусдорфово и локально компактно.
Доказательство. Пусть X хаусдорфово и локально компак-
тно. Если х, у €. СХ — различные точки из подпространства X, то
они отделимы друг от друга открытыми множествами
W^x), W2(y) в X, а следовательно, и в СХ. Если же х = 5, а
у е X, то, выбрав окрестность W(y) с компактным замыканием W
в X, построим множество 1/(%) == (СХ)\И,(у), которое является от-
крытой окрестностью в СХ точки так как £/(£) = (Х\ ИД у)) U
Очевидно, имеем l/(%) П W(y) — 0, что завершает доказательство
хаусдорфовости СХ.
Обратно: пусть СХ — хаусдорфово пространство; тогда для то-
чек х = у G X существуют в СХ открытые окрестности
£Д5), ИДу) такие, что Z7(^) П W(y) = 0. При этом Z7(^) =
= V (J где V = Х\К, К — компактное и замкнутое множество
в X, ИД у) — открытое множество в X. Из условия Z7(^) П
П W(y) = 0 следует W(y) СК, откуда имеем W(y) С К, где
ИД у) — замыкание W(y) в X. Так как замкнутое подмножество
компактного пространства компактно, то W(y) компактно в X, что
завершает доказательство локальной компактности X. Так как
свойство хаусдорфовости пространства наследуется подпространст-
вом, то подпространство X хаусдорфова пространства СХ хаусдор-
фово.
Нетрудно убедиться, что для некомпактного пространства X и
его хаусдорфова одноточечного компактного расширения СХ под-
пространство X всюду плотно в СХ (т. е. X = СХ, где X — замыка-
ние множества X в пространстве СХ).
Заметим в заключение, что для некомпактного X хаусдор-
фово одноточечное компактное расширение СХ = X (J является
наименьшим по упорядоченности > в классе хаусдорфовых ком-
140
пактных расширений, и в то же время для X существует максималь-
ное хаусдорфово компактное расширение (расширение Стоуна-
Чеха).
2. Метризуемость топологических пространств. Обсудим воп-
рос о введении метрики в топологическом пространстве, которая бы
индуцировала ту же самую топологию. Топологические пространст-
ва, в которых возможно ввести такую метрику, называются метри-
зуемыми. В частности, для метрического пространства может идти
речь о введении другой метрики, порождающей первоначальную то-
пологию, но более удобной, например, такой, В которой пространст-
во будет полным. Такие метрические пространства называют топо-
логически полными.
Примером топологически полного метрического пространства яв-
ляется интервал {a, b) С R1, в частности, X = (—1, 1). Кроме стан-
дартной метрики р(х, у) = |х — у|, в которой (X, р) не полно, вве-
дем топологически полную эквивалентную метрику
индуцированную гомеоморфизмом интервала и прямой (расстояние
между точками интервала в метрике р, вычисляется как расстояние
в обычной метрике между их образами на прямой). Легко прове-
рить, что р, — метрика, что (X, р) и (X, р,) гомеоморфны и что
(X, р,) — полное метрическое пространство. Примером топологиче-
ски неполного метрического пространства может служить множество
рациональных чисел с метрикой из R1.
Тихоновское произведение счетного числа метрических про-
странств (Хп, рп) метризуемо. Действительно, если х— (хр х2, ...),
00
У = (уР >2, •••) — элементы из Xt, то метрику можно задать фор-
; = 1
мулой
—/ А V 1 P)SXn’ Уп>
р( ’ у) 2 2" 1 + р„(х„, У „У
п = 1
Упражнение 2°. Убедитесь, что р — метрика и что индуцируе-
мая ею топология эквивалентна тихоновской топологии. В частно-
сти, тихоновский куб /” (счетное произведение отрезков /) — мет-
ризуемое топологическое пространство.
Приведем без доказательства следующие важные теоремы.
Теорема 3 (Урысон). Регулярное пространство со счетной ба-
зой метризуемо.
Теорема 4 (Стоун). Метризуемое топологическое пространст-
во паракомпактно.
141
3. Топология пространств подмножеств и многозначные
отображения. В современном анализе, теории оптимального
управления, теории игр и математической экономике интенсивно
изучаются и находят приложения многозначные отображения
(кратко: м-отображения) топологических пространств f'.X —»У,
отображения, значения /(х) которых — непустые подмножества
в У.
Если введем совокупность Р(У) всех непустых подмножеств из
У, то естественно возникает однозначное отображение /:
X—»Р(У), действующее по правилу /(х) =/(х) 6Р(У); верно и
обратное. При этом удобно рассматривать совокупность всех зам-
кнутых подмножеств С(У) или компактных Х(У) в качестве об-
ластей значений отображений f'.X—»С(У) или f'.X —»К(У). Что-
бы применить методы топологии для изучения отображений / (а
следовательно, и /), необходимо в С(У), Х(У) ввести топологию.
Это достигается различными способами.
1) Пространство х(У) — это С(У) с топологией, определяемой
базой {C(Z7)}, где U — любое открытое множество в У (U G ту).
2) Пространство Х(У) — это С(У) с топологией, определяемой
предбазой {С(У)\С(У\[7)}, где U G ту.
3) Пространство Ехр (У) — это С(У), предбаза топологии которо-
го состоит из объединения базы {C(Z7)} и предбазы {С(У)\С(У\С7)}.
Отметим, что топологии х, X, Ехр называются соответственно
полуконечной сверху, полуконечной снизу, экспоненциальной топо-
логией.
4) Пусть (У, р) — метрическое пространство, С0(У) — совокуп-
ность всех непустых ограниченных замкнутых подмножеств в У.
Так как С0(У) С С(У), то в С0(У) индуцируется каждая из то-
пологий х, X, Ехр. Однако важным фактом является возможность
ввести метрику в С0(У). Именно, определяется так называемая мет-
рика Хаусдорфа Л(Л, В), задающая в С(У) метрическую топологию:
Л(Л, В) = max {р,(Л, В), рДВ, Л)}, где р,(Л, В) = sup р(а, В),
а 6 А, — отклонение множества Л от В (здесь А, В G С0(У)).
Заметим, что если У — компактное метрическое пространство,
то топология, индуцированная в С0(У) = С(У) метрикой Хаусдор-
фа, эквивалентна экспоненциальной топологии на С(У), что в тер-
минах п. 2 означает метризуемость пространства Ехр (У).
Таким образом, можно рассматривать м-отображения как
отображения f:X—»С(У), f’.X—»С0(У) (мы далее не различаем /
и /) в топологические пространства С(У), С0(У) с той или иной то-
пологией.
Определение 3. м-отображение /: X —» У называется: 1) полу-
непрерывным сверху, 2) полунепрерывным снизу, 3) непрерывным,
если отображение /: X—*С(У) непрерывно соответственно в тополо-
гии: 1) х(У); 2) Х(У); 3) Ехр (У).
142
ОБЗОР РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Систематическими курсами по общей топологии являются [2, 5, 15, 31, 39, 64,
85].
Популярное изложение основных топологических понятий имеется в [14, 26, 69].
Очерк основных понятий и конструкций общей топологии дан в [13].
Задачники по материалу гл. II — [12, 48, 52].
Начальные сведения по метрическим пространствам — [33, 40].
Классификация замкнутых двумерных поверхностей — [27, 43].
Для изучения компактных пространств рекомендуем первоисточник [4].
Дальнейшие сведения о топологии м-отображений и некоторых приложениях
можно найти, например, в учебном пособии [87].
Глава III
Теория гомотопий
Один из основных методов топологии состоит в изучении геометри-
ческих свойств топологических пространств алгебраическими сред-
ствами. Для этой цели в топологии разработан ряд приемов, позво-
ляющих поставить в соответствие топологическому пространству ал-
гебраические объекты, например, группы, кольца и др. В основе
алгебраической топологии лежит как раз идея такого соответствия
(или функтора), сопоставляющего совокупности топологических
пространств совокупность некоторых алгебраических объектов, а не-
прерывным отображением пространств — соответствующие гомо-
морфизмы. Такой функториальный подход позволяет превратить то-
пологическую задачу в соответствующую ей алгебраическую. Разре-
шимость этой «производной» алгебраической задачи во многих
случаях позволяет судить о разрешимости исходной топологической
задачи.
Одно из первых понятий, возникших на этом пути, — понятие
фундаментальной группы топологического пространства; позднее
возникло более общее понятие гомотопических групп. Их изучению
и посвящена настоящая глава.
§ 1. Пространство отображений.
Гомотопия, ретракция, деформация
В этом параграфе изучается множество всех непрерывных отоб-
ражений одного топологического пространства в другое. В этом мно-
жестве можно ввести различные топологии и превратить его тем са-
мым в различные топологические пространства. Особенно важен
вопрос о связности этого пространства, что естественно приводит к
понятию гомотопных отображений. Рассмотрение специальных
классов отображений и их гомотопий приводит к понятиям дефор-
мации одного пространства в другое, ретракции и др. Все эти поня-
тия играют важную роль в гомотопической топологии.
1. Пространство непрерывных отображений. Рассмотрим мно-
жество С(Х, У) всех непрерывных отображений из топологического
пространства X в топологическое пространство У. Свойства этого
145
множества и многие свойства пространств X, Y взаимосвязаны. Про-
стой пример: если X одноточечно, то С(Х, У) Y, где знак оз-
начает биекцию.
В множестве С(Х, У), как и во всяком множестве, можно вво-
дить топологию различными способами. Возникает вопрос: как вве-
сти топологий в С(Х, У) наиболее естественным образом? В этом
вопросе помогает интуитивное представление о близости отображе-
ний; отображения /р /2 близки, если близки в У образы /Дх) и
/2(х) для всякой точки х G X. Если У — метрическое простран-
ство, то эти понятия реализуются в терминах метрики У. На этой
основе в множестве С(Х, У) вводятся различные топологии: топо-
логия поточечной сходимости, топология равномерной сходимости
и др.
Если (У, р) — метрическое пространство, а X компактно, то
множество С{Х, У) снабжается метрикой ц следующим образом:
И(/Р /2) = sup рСЛСх), /2(х)), /р /2 G С(Х, У).
хбХ
Определение 1. Топология в С(Х, У), определяемая метри-
кой ц, называется топологией равномерной сходимости.
Упражнения. 1°. Проверьте аксиомы метрики для ц.
2°. Рассмотрите сходящуюся последовательность /£—»/ в
С(Х, У) и дайте эквивалентное определение сходимости в терминах
топологии в У. В случае X = [0, 1 ] сравните эту сходимость с рав-
номерной сходимостью в С[0 ц.
Определение 2. Рассмотрим в С{Х, У) множества
Ц.^|=1={/6С(Х, У):/(х;) G С/р к},
где Хр х2, ..., xk G X, Ult ..., Uk — открытые множества в У. Топо-
логия т , порожденная такими множествами как предбазой, называ-
ется топологией поточечной сходимости в С(Х, У).
Упражнения. 3°. Проверьте, что множества вида {хг, С/г}|=1 и их
конечные пересечения удовлетворяют критерию базы.
4°. Рассмотрите сходящуюся последовательность {fn} к / в дан-
ной топологии и докажите, что ее сходимость эквивалентна сходи-
мости последовательностей /п(х)—»/(х) для каждой точки х G X.
5°. Даны множество {Ух}х6Х экземпляров пространства У, зану-
мерованных элементами х G X, и тихоновское произведение ]Д Ух.
хЕХ
Покажите, что множество С(Х, У) можно отождествить с подмно-
жеством из этого произведения и что топология произведения инду-
цирует на С(Х, У) топологию т2 поточечной сходимости.
Следующее определение дает другой вариант топологии в мно-
жестве С(Х, У).
146
Определение 3. Рассмотрим всевозможные множества отображе-
ний вида
[*, U]={fEC(X, Y):f(K)CU},
где К — компактное множество в X, a U — открытое множество в
У. Топология хс, порожденная такими множествами [К, U] как
предбазой, называется компактно открытой топологией в
С(Х, У).
Упражнения. 6°. Проверьте, что система множеств [К, L7] и их
конечных пересечений удовлетворяет критерию базы.
7° Покажите, что тр<хс, а в случае метрического пространства
Тс < V
8’. Докажите, что если У — метрическое пространство, а X ком-
пактно, то компактно открытая топология совпадает с топологией
равномерной сходимости.
9°. Если X — некомпактное пространство, а У — метрическое
пространство, то часто рассматривают последовательности отобра-
жений, сходящиеся равномерно на каждом компактном подмноже-
стве X. Покажите, что эта сходимость эквивалентна сходимости в
компактно открытой топологии.
10°. Докажите, что если (У, р) — полное метрическое простран-
ство, то пространство С(Х, У) есть полное метрическое пространст-
во в метрике ц.
11°. Покажите, что если X локально компактно, a Z — хаусдор-
фово, то пространства С(Х х Z, У) и C(Z, С(Х, У)) гомеоморфны в
компактно открытой топологии.
Пространство С(Х, У) обозначают часто Ух. Тогда утвержденйе
упражнения 11° можно записать в виде yxxz~ (yx)z (экспоненци-
альный закон).
В качестве примера рассмотрим пространство ш-периодических
непрерывных функций, заданных на числовой оси R1. В силу пе-
риодичности каждая такая функция / полностью определяется
своими значениями на отрезке [0, со], причем /(0) = /(со). Поэтому
фактически мы рассматриваем множество функций на отрезке
[0, со] со «склеенными» концами, или, - что то же, на окружности
S1. Это множество С(5*, R1), в котором можно ввести каждую из
топологий х , т , тс.
Аналогично можно рассмотреть пространство функций на торе
Тп: С(Тп, R1) = C(Sl X ... X S1, R1) ,
п
которое можно использовать как пространство периодических функ-
ций п переменных.
В теории гомотопий, как правило, рассматривают С(Х, У) с ком-
пактно открытой топологией.
2. Гомотопия. Во многих задачах оказывается возможным не раз-
личать отображения, одно из которых можно «плавно» изменить, про-
147
деформировать в другое. Непрерывную деформацию одного отоб-
ражения в другое естественно мыслить как путь в пространстве
С(Х, У), начинающийся и кончающийся в заданных точках и /2.
Брауэр уточнил понятие непрерывной деформации с помощью сле-
дующего понятия гомотопии.
Определение 4. Два непрерывных отображения, /0, fx е
е С(Х, У), называтюся гомотопными (/0 ~ Д), если существует
такое непрерывное отображение /: X х [0, 1] -* У, что /(х, 0) =
= /0(х), /(х, 1) = /Дх) для всех х G X.
Отображение / часто называют гомотопией, соединяющей отоб-
ражения /0 и
Таким образом, если /0 ~ то найдется такое семейство отоб-
ражений ft: X —» У, зависящее от числового параметра t G [0, 1 ] и
соединяющее отображения /0 и , что индуцированное этим семей-
ством по правилу (х, Z)—»/z(x) отображение X х [0, 1 ] —» У непре-
рывно. Очевидно и обратное.
Упражнение 12°. Покажите, что задание гомотопии /:
X х [0, 1]—»У эквивалентно заданию пути s в С(Х, У) (топология
т , X локально компактно).
Пример 1. Пусть X = У = R", /0(х) — х, ft(x) = 0 для всех
х е R". Определим F: R" х/—»Rn по формуле F(x, t) = (1 — Z)x,
t G I. Легко видеть, что F — гомотопия между /0 и /г
Пример 2. Пусть X — произвольное пространство, У — вы-
пуклое подмножество в R", /0, G. С(Х, У) — произвольные не-
прерывные отображения. Тогда отображение F: Xxl-» У, заданное
по формуле F(x, t) = tf^x) + (1 — Z)/0(x), является гомотопией
между /0 и /Р ♦
Заметим, что понятие гомотопии связано с задачей о продолже-
нии отображений. В самом деле, пусть /, g: X —» У — непрерывные
отображения. Зададим отображение <р: X х {0} U X х {1} —» У фор-
мулами ip(x, 0) = /(х); ip(x, 1) = g(x). Легко видеть, что / ~ g тог-
да и только тогда, когда существует продолжение <р на X х [0, 1].
Теорема L Гомотопия является отношением эквивалентно-
сти на множестве С(Х, У).
Доказательство. Рефлексивность (/ ~ /) устанавливается
при помощь гомотопии: F(x, Z) s /(х).
Симметричность: пусть /0 ~ с гомотопией F(x, Z). Тогда
£(х, t) = F(x, 1 — Z) определяет гомотопию от до /0, т. е. f { ~ /0.
Транзитивность: пусть /0 ~ /j ~ /2 с гомотопиями Ft(x, Z),
F2(x, Z) соответственно. Тогда отображение
Я(х, Z) =
Fj(x, 2z), 0=SZ=sl/2,
F2(x, 2Z-1), 1/2<Z<1,
148
непрерывно, так как его ограничение на каждое из замкнутых мно-
жеств Хх [0, 1/2], Хх [1/2, 1] непрерывно. Легко видеть, что
Н{х, /) — гомотопия между /0 и Д.
Классы эквивалентности гомотопных отображений называются
гомотопическими классами. Фактормножество С(А, Y)/R обознача-
ется через л.(Х, Y). Легко видеть, что л.(Х, Y) есть множество ком-
понент линейной связности пространства С(Х, У). Гомотопический
класс отображения / 6 С(Х, Y) обозначается через [/].
Определение 5. Отображение / 6 С(Х, У) называется гомотопи-
ческой эквивалентностью, если существует отображение
g е С(Х, У) такое, что gf ~ lx, fg ~ 1У.
Определение 6. Говорят, что пространство X гомотопически эк-
вивалентно пространству У или что X и У имеют одинаковый го-
мотопический тип, если в С(Х, У) существует гомотопическая эк-
вивалентность.
Понятие гомотопической эквивалентности является полезным
«огрублением» понятия гомеоморфизма двух пространств. Действи-
тельно, если /: А—* У — гомеоморфизм, то, положив g = f~l: у-* X,
будем иметь gf = lx, fg = 1У — получаем гомотопическую экви-
валентность X и У. В связи с этим отображение g в определении
гомотопической эквивалентности называют гомотопически обрат-
ным к f.
Пример самого простого (не пустого) топологического простран-
ства — одна точка. Возникает вопрос: какие пространства имеют го-
мотопический тип точки?
Определение 7. Пространство X называется стягиваемым, если
тождественное отображение 1х: X—» А гомотопно постоянному отоб-
ражению (отображению X в точку х0 S X). Гомотопия между ними
называется стягиванием пространства X (в точку х0).
Упражнение 13°. Докажите, что любые два отображения про-
странства X в стягиваемое пространство У гомотопны между собой.
Теорема 2. Пространство стягиваемо тогда и только тогда,
когда оно имеет тип одноточечного пространства.
Доказательство. Пусть X стягиваемо и Ф: Xх / -» А — стя-
гивание X к точке х0 G X. Обозначим через Q одноточечное про-
странство, состоящее из точки х0. Пусть <р: А—» У — отображение в
точку х0, /: Q-* X — вложение. Тогда = 1g, а Ф — гомотопия,
связывающая 1х и jq>. Таким образом, <р — гомотопическая экви-
валентность между А и Q. Обратное утверждение предоставляем до-
казать читателю.
Упражнения. 14°. Докажите, что всякое выпуклое подмножество
в R" (в частности, само R") стягиваемо.
15°. Докажите, что пространство А х У стягиваемо, если А и
У — стягиваемые пространства.
3. Продолжение отображений. Рассмотрим теперь задачу рас-
пространения (продолжения) отображений. Ее можно сформулиро-
149
вать так: можно ли данное отображение /: А—» У, определенное на
подпространстве А пространства X, распространить на все простран-
ство X, т. е. существует ли такое отображение Ф: X—» У, что его су-
жение <р| : А—»У совпадает с отображением /? Такое отображение
I А
Ф называют продолжением отображения /.
Решение этой задачи получено лишь в некоторых частных случа-
ях. Полной теории продолжения до сих пор не существует. Одним из
примеров частного решения этой задачи является теорема Титце—
Урысона для нормальных пространств, приведенная в § 12 гл. II.
Следующая теорема устанавливает связь между задачей продол-
жения и понятием гомотопии.
Теорема 3. Пусть <р: Sn^»Y — некоторое непрерывное отобра-
жение единичной сферы. Тогда следующие два условия эквивалент-
ны:
(i) отображение <р гомотопно постоянному отображению;
(ii) отображение <р можно продолжить ца весь шар Dn + 1 С
С R" + 1.
Доказательство, (i) =* (ii). Пусть f ~ с, где с — посто-
янное отображение Sn в точку р G У. Пусть F: Sn X / —» У — гомо-
топия между f и с. Зададим продолжение /' отображения f на шар
Dn+l следующим образом:
, ]р, 0 ||х|( 1/2;
f (Х) [F(x/||x||, 2 —2||х||), 1/2<||х||<1.
Легко видеть, что /' j = /; /' непрерывно, так как непрерывны его
сужения на каждое из замкнутых множеств
{х £ 5п+|: 0 S ||x|| S 1/2}, [х £ Dn + l; 1/2 S |[х|| 1}.
(ii) => (i). Пусть задано /' — продолжение f на весь шар
Dn + i. Пусть у0 G S'1. Зададим отображение Ф:5"х/^»У следую-
щим образом:
Ф(х, Z) = /'[(1 - Z)x + /у0].
Ясно, ЧТО Ф(х, 0) = /'(х) = f(x~), Ф(х, 1) = /'(Уо) ~ Р е поэто-
му Ф(х, Z) — нужная гомотопия.
Упражнения. 16°. Покажите, что всякое отображение / про-
странства X в стягиваемое пространство У гомотопно постоянному
отображению (ср. с упр. 13°).
17°. Воспользовавшись результатом предыдущего упражнения,
выясните из теоремы 3, что всякое отображение сферы Sn в стяги-
ваемое пространство продолжается на весь шар D" + I.
4. Ретракция. Частным случаем задачи о продолжении является
задача о ретракции, формулируемая следующим образом.
Определение 8. Пусть А — подпространство X, 1 д: А—* А — тож-
дественное отображение. Если существует отображение г: X—* А та-
150
кое, что г
| = 1А, то его называют ретракцией А" на Л, а пространст-
I А
во Л — ретрактом X.
Упражнения. 18°. Убедитесь, что всякая точка топологического
пространства X является ретрактом X.
19°. Убедитесь, что всякое линейное подпространство в Rrt явля-
ется ретрактом R'1.
20°. Если Z = X х У — тихоновское произведение пространств и
р 6 X, q G У — фиксированные точки, то А — X х q, В — рхУ — ре-
тракты пространства X х У, а отображения гх: (х, у) —» (х, q);
гх: (х, у)—*(д, у) — соответствующие ретракции.
21°. Покажите, что нульмерная сфера 8° = {—1, 1} не является
ретрактом одномерного диска D1 = [—1, 1].
Указание. Воспользуйтесь свойствами связных пространств.
Определение 9. Если существует отображение г: X—такое,
что г| ~ 1А, то А называется слабым ретрактом X, а г — слабой
ретракцией X на А.
Легко видеть, что ретракт всегда является слабым ретрактом.
Обратное же, вообще говоря, неверно, как показывает следующее
упражнение.
Упражнение 22°. Дан квадрат Z2 = [0, 1] х [0, 1 ] и его подмноже-
ство А — «гребенка», состоящая из вертикальных отрезков с осно-
ваниями в точках (1/п, 0), п — 1, 2, ...; (0, 0) и основания квадрата
(рис. 63). Покажите, что: 1) множество А не является ретрактом
квадрата I2; 2) А — слабый ретракт /2; 3) если в «гребенке» А ос-
тавить конечное число зубьев, то полученное множество А1 — ре-
тракт I2.
Определение 10. Деформацией пространства X в подпространст-
во А, А С. X, называется гомотопия D:XxI —*Х такая, что
£>(х. 0) = х, £>(х, 1) G А для всех х G X.
Определение 11. Если существует такая деформация X в А
D:XxI-+X, что D(x, Z) = х для х G A, t&I, то А называется
сильным деформационным ретрактом X, a D — сильной деформа-
ционной ретракцией.
Пример 3. Точка является сильным де-
формационным ретрактом всякого содержа-
щего ее выпуклого подмножества R”.
Другие примеры сильных деформацион-
ных ретрактов приведены в следующих
упражнениях.
Упражнения. 23°. Пусть пространство X
стягиваемо в точку х0 6 X. Покажите, что
х0 х У — сильный деформационный ретракт
произведения X х У. В частности, рассмотрите
и покажите, что его основание есть сильный деформационный ре-
тракт.
Рис. 63
двумерный цилиндр
151
24°. Убедитесь, что вершина тонуса в трехмерном пространст-
ве — сильный деформационный ретракт конуса.
25°. Покажите, что сильный деформационный ретракт А про-
странства X гомотопически эквивалентен X.
Указание. Вложение i:A—*X и ретракция £)(х, 1) простран-
ства X на А гомотопически обратны.
5. Цилиндр отображения. Рассмотрим сначала некоторые опе-
рации над топологическими пространствами.
Топологическая (несвязная, или дизъюнктивная) сумма zYLl Y
пространств X, У определяется как объединение непересекающих-
ся экземпляров в X и У.
Топология в ХЫУ определяется так: V открыто вХЫУ тогда и
только тогда, когда V Г) X и V Г) У открыты в X и У соответственно.
Если /: А —» У — непрерывное отображение, -где А С X, то можно
склеить X и У по отображению/. С этой целью в XL1Y введем отно-
шение эквивалентности R: х ~ у, если х & А, у е. У и /(х) = у;
xt ~ х2, если хр х2 е А и /(xj = /(х2).
Факторпространство пространства ХЫУ по эквивалентности R
обозначается X (J У и называется склейкой пространств X и У
J
по отображению /. Если, в частности, А есть точка х0 G X, а
отображение f'.X—»У переводит х0 в у0 = /(х0), то склейка
X (J У называется букетом пространств X, У и обозначается
/
Хх Y у У. Легко видеть, что это факторпространство несвязной
суммы XU У по отношению эквивалентности, склеивающему точки
х0 е X и у0 G У.
Упражнения. 26°. Покажите, что го-
мотопический тип букета Хх vy У сов-
падает с гомотопическим типом про-
странства У, если X стягиваемо к точке
х0 е X.
27°. Докажите, что отрезок I = [0, 1]
и букет /0 х р S1, где^Ро Е S1, О Е I, име-
ют разный гомотопический тип.
Определение 12. Пусть f'.X—»У —
непрерывное отображение. Тогда можно
считать, что задано отображение <р: X х {1} —*• У, <р(х, 1) = /(х),
гдеХх{1} — подпространство X X I. Цилиндром Zf отображе-
ния f: X У называется склейка (Хх/) U У пространств Хх I и У
ч>
по отображению <р.
Цилиндр отображения можно представить в виде, изображенном
на рис. 64.
152
Понятие цилиндра отображения важно ввиду того, что X, У
можно считать подпространством Z;. Таким образом, отображение
/ как бы заменяется вложением X в Zy. Отметим также, что У —
сильный деформационный ретракт Zy, а вложение У в Zy является
гомотопической эквивалентностью (проверьте!).
Определение 13. Цилиндр постоянного отображения с:А'—*р
называется конусом над пространством X и обозначается СХ.
Теорема 4. Отображение f: X—* У тогда и только тогда гомо-
топно постоянному, когда существует продолжение f: СХ —* У
отображения /.
Доказательство. Если f гомотопно постоянному отображе-
нию с0: X->(*), то
F.XxI—^Y, F(x, 0) = х, F(x, 1) = (*).
Таким образом, на верхнем основании цилиндра Хх I F постоян-
но, следовательно, оно индуцирует отображение F факторпростран-
ства (X х I)/R, где R означает склейку верхнего основания в точку.
Но пространство (XxF)/R гомеоморфно СХ (проверьте!).
Обратное утверждение предоставим доказать читателю.
Упражнения. 28°. Пусть отображение /: А—»У непрерывно,
А С X замкнуто в X; X, У — нормальные пространства. Докажите,
что X (J У нормально.
/
29°. Докажите, что /: А—» У тогда и только тогда можно продол-
жить на все Х(А С X), когда У — ретракт X (J У.
f
§ 2. Категория, функтор
и алгебраизация топологических задач
Категорное описание воплощает такой подход к математическо-
му объекту, при котором этот объект, например, группа или про-
странство, рассматривается не изолированно, а как член совокупно-
сти подобных себе объектов. Интуитивно категорию можно предста-
вить себе как совокупность множеств (возможно, с дополнительной
структурой) и отображений, согласованных с этой структурой. Со-
ответствия между элементами разных категорий, подчиненные спе-
циальным правилам, называют функторами.
1. Категория.
Определение 1. Говорят, что задана категория ойУ, если зада-
ны: 1) некоторая совокупность объектов; 2) для каждой упорядочен-
ной пары объектов X, У — множество МогвУ (А', У) морфизмов* из
X в У; 3) отображение, ставящее в соответствие всякой упорядочен-
ной тройке X, У, Z объектов и всякой паре морфизмов
* При этом подразумевают, что Могву (%, /)Г1Мог 4/ (%', У") - 0, когда Х*=Х'
или У^У’.
153
f G MoreZ(A, У), g G МогДУ, Z) их композицию gf G More/(A, Z),
так что возникает коммутативная диаграмма морфизмов данной ка-
тегории (если морфизмы обозначить стрелками)
При этом выполнены следующие две аксиомы.
А. Ассоциативность. Если
f G МогДА, У), gGMor,/y, Z), й G Mor^(Z, Ж),
то h(gf) = (hg)f в МогДА, W).
Б. Существование единицы. Для всякого объекта У в
МогДУ, У) существует такой морфизм 1У, что для любых
f G МогДА, У), g G МогДУ, Z)
1у/ = / U glY = g.
Отметим, что из приведенных аксиом следует единственность
элемента 1У; этот элемент называется тождественным морфизмом
объекта У. Если для двух морфизмов, f G МогоУ(А, У), g G
G МогДУ, А), верно равенство gf = 1х, то морфизм g называется
левым обратным к f, a f — правым обратным к g. Морфизм, яв-
ляющийся одновременно и правым, и левым обратным к /, называ-
ется двусторонне обратным к f.
Определение 2. Морфизм f G МогДА, У) называется эквива-
лентностью (/: А~ У), если существует двусторонне обратный к
f морфизм /-| G МогДУ, А).
Упражнение Г. Докажите, что если морфизм / G МогДА, У)
имеет левый обратный и правый обратный, то они совпадают.
Из упражнения вытекает, что если /: А « У, то /-1: У я» А.
Приведем несколько важных примеров категорий.
1. Совокупность множеств и их отображений.
2. Совокупность метрических пространств и их непрерывных
отображений.
3. Совокупность топологических пространств и их непрерывных
отображений.
4. Совокупность линейных пространств и их линейных отображе-
ний.
5. Совокупность групп и их гомоморфизмов.
6. Совокупность пар топологических пространств и их непрерыв-
ных отображений.
Поясним, что пара топологических пространств (А, А) — это
пространство А и его подпространство А. Отображение пар
154
f: (X, Л)—» (У, В) — это такое отображение /: X —» У, что f(A) С
а в. ♦
Упражнения. 2°. Покажите, что в категориях примеров 2, 3 и 6
гомеоморфизмы и только они являются эквивалентностями.
3°. Убедитесь, что в категории примера 1 эквивалентности — би-
ективные отображения множеств.
4°. Покажите, что в примерах 4, 5 эквивалентности — изомор-
физмы линейных пространств и групп соответственно.
2. Функторы. Нас будут интересовать естественные отображе-
ния одной категории в другую, т. е. отображения, сохраняющие
единицы и композиции морфизмов. Сформулируем это понятие бо-
лее точно.
Определение 3. Пусть &У и Ж — категории. Ковариантным
функтором Т из в 38 называется отображение, которое каждому
объекту X из ой/ сопоставляет объект Т(Х) из 38 и каждому мор-
физму /: Х{ —»Х2 в ой/ сопоставляет морфизм Т(/): Т(Х{) —*Т(Х2)
в 38, причем выполняются следующие соотношения:
О ^Ох) ~ ^Г(Х)’
2) T(g/) =T(g)T(/).
Свойства 1) и 2) функтора можно наглядно изобразить так: вся-
кая коммутативная диаграмма категории ой/ отображается функто-
ром в соответствующую коммутативную диаграмму категории Ж:
х2 П*2)
/\ т / \
\g---------------T(fV \ng)
-----57----
Пример 7. Ковариантным функтором является соответствие,
сопоставляющее топологическому пространству множество состав-
ляющих его точек, а непрерывному отображению пространств —
отображение множеств. Это функтор из категории примера 3 в ка-
тегорию примера 1, который называется пренебрегающим, так как
он «пренебрегает» структурой топологического пространства.
Аналогично, ковариантный функтор из категории метрических
пространств в категорию топологических пространств, относящий
метрическому пространству это же пространство, рассматриваемое
как топологическое пространство, с топологией, индуцированной
метрикой, «пренебрегает» метрикой.
.Определение 4. Кбнтрвариантным функтором Т из категории
ой/ в категорию 38 называется отображение, сопоставляющее каждо-
му объекту X из ой/ объект Г(Х) из 38 и каждому морфизму
/: Х{ Х2 — морфизм Т(/): Т(Х2)-*Т(Х,) из Могж(Т(Х2), T^XJ);
при этом выполнены следующие соотношения:
О П^х) — ^Г(Х)>
2) T(gf)~T(f)T(g).
155
Другими словами, контрвариантный функтор переводит комму-
тативную диаграмму категории ой/' в коммутативную диаграмму ка-
тегории 93, обращая стрелки:
Важным примером функторов, изучаемых в алгебраической то-
пологии, служат функторы групп гомологий и гомотопических
групп. Это функторы из категории топологических пространств в
категорию групп. В следующем параграфе мы подробно остановимся
на функторе гомотопических групп, а функтор групп гомологий из-
ложим в гл. V.
Рассмотрим на примере, как применяется функтор в категорию
групп для исследования некоторых топологических задач. В пре-
дыдущем параграфе формулировалась задача о продолжении отоб-
ражения. Мы сейчас сформулируем ее следующим образом: пусть
А С. X — подпространство топологического пространства X, i:
А-*Х — естественное отображение, сопоставляющее точке а €= А
ее же, но в пространстве X (/ — отображение вложения); пусть <р:
А —> У — некоторое отображение пространства А в пространство У.
Отображение ip: X —> У продолжает отображение <р тогда и только
тогда, когда коммутативна диаграмма
При помощи функтора Т (ковариантного, например) получаем
производную алгебраическую задачу: существует ли гомоморфизм
У (ip) такой, что коммутативна диаграмма
Ясно, что разрешимость исходной задачи влечет разрешимость
нашей алгебраической задачи. Таким образом, существование го-
меоморфизма У (ip) является необходимым условием существования
продолжения ip отображения <р. Например, если гомоморфизм У(/)
оказался нулевым, а У(<р) — ненулевым, то гомоморфизм У (ip) не
156
существует (иначе нарушалась бы коммутативность диаграммы). В
этом случае не существует продолжения <р отображения <р.
§ 3. Функторы гомотопических групп
В этом параграфе мы вернемся к изучению вопросов, касающих-
ся пространств отображений. Оказывается, что в некоторых случаях
множество л.(Х, Y) является группой, иногда абелевой, и с его по-
мощью можно строить различные алгебраические функторы на ка-
тегории топологических пространств и их непрерывных отображе-
ний. Построение и использование этих функторов составляет основу
гомотопической топологии.
1. Гомотопическая группа пространства. Отметим вначале, что
каждому топологическому пространству У и непрерывному отоб-
ражению /: Х) —* Х2 топологических пространств Xt, Х2 соответству-
ет естественное отображение
лг(/): л(Х2, У^лСХр У).
Точнее, если [<р] G л.(Х2, У), то в n(Xt, У) ему однозначно соответ-
ствует элемент [ф/]. Аналогично, всякому топологическому про-
странству X и непрерывному отображению g: Yt —> У2 соответствует
отображение
Jtx(g): л(Х, У1)-»л(Х, У2).
Упражнения. Г. Опишите конструкцию nx(g) и докажите кор-
ректность определений лг(/) и nx(g).
2°. Пользуясь приведенными замечаниями, покажите, что при
фиксированном У соответствие X—>л(Х, У) есть контрвариантный
функтор в категорию множеств, а соответствие У—>л(Х, У) (при
фиксированном X) есть ковариантный функтор.
Говорят, что соответствие (X, У)—»л(Х, У) определяет двухме-
стный функтор из категории топологических пространств в катего-
рию множеств, ковариантный по второму аргументу и контрвариан-
тный по первому аргументу.
Аналогичным образом можно рассмотреть двухместный функтор
л на категории пар топологических пространств, определяемый со-
ответствием (X, А; У, В)—» л(Х, А; У, В). Отметим, что гомотопия
F(x, t) между отображениями / и g: (X, А) —> (У, В) пар про-
странств понимается как отображение пар F: (X х I,
Ах /) —» (У, В) такое, что F(x, 0) = /(х), F(x, 1) = g(x).
Упражнение 3°. Опишите конструкцию отображения
л<х,А)(/): А; у2, в2),
естественно индуцированного непрерывным отображением пар
/: (У1( Bj) —» (У2, В2), и проверьте, что соответствие (У, В)—»
—» л(Х, А; У, В) есть ковариантный функтор.
157
Определение 1. Пара (X, х0) называется пространством с от-
меченной точкой х0 G X.
Зафиксируем теперь пару (/", д/"), где 1п — «-мерный куб,
п>1, а д1п — его граница, и поставим в соответствие паре
(X, х0) множество л(/", dln; X, х0).
Напомним, что элементы л(/п, dln; X, х0) — это классы гомо-
топных между собой отображений пар <р: (/", д/")-*(Х, х0), часто
называемых сфероидами', каждое из этих отображений переводит
1п в X, а д1п — в точку х0, причем это свойство должно сохраняться
при изменении отображения <р в процессе гомотопии. Множества
л(/", dln', X, х0) и л(5", р0; X, х0) совпадают (находятся в биектив-
ном соответствии). Здесь р0 — отмеченная точка сферы Sn. В самом
деле, ранее мы отмечали, что факторпространство 1п/д1п гомео-
морфно сфере S", причем при этом гомеоморфизме 0 внутренность
Int 1п куба 1п находится в биективном соответствии с множеством
5"\р0, а граница д1п переходит в точку р0 сферы Sn. В таких слу-
чаях говорят, что задан относительный гомеоморфизм
0: (/", р0).
Тогда всякому отображению /: (S", р0) —* (X, х0) соответствует ото-
бражение /0: (/", д/")-*(Х, х0), и обратно: отображению g:
(1п, д1п')-*(Х, х0) соответствует отображение g: (S'1, р0)-*(Х, х0),
которое на S"\p0 совпадает с g0-1, а точку р0 переводит в х0.
Упражнение 4°. Покажите, что описанное соответствие отобра-
жений обеспечивает биекцию между л(5п, р0; X, х0) и
л(/п, dln\ X, х0).
Таким образом, дана другая интерпретация множества
л(/", dln; X, х0), которая позволяет рассматривать случай п — 0.
Упражнение 5°. Покажите, что множество л(5°, р0; X, х0) есть
множество компонент линейной связности пространства X.
Итак, мы определили ковариантный функтор (X, х0) -*
-*л(/", dln', X, х0) из категории пространств с отмеченной точкой
в категорию множеств.
Структура множества л(/", dln', X, х0) представляет большой
интерес для гомотопической топологии. Вначале рассмотрим случай
п> 1.
Теорема 1. Множество л,(1п, дГ', X, х0), п> 1, является абе-
левой группой.
158
Доказательство. Пусть [<р] , [гр] G л(1п, dln; X, х0). Опре
делим сумму [<р] + [тр] следующим .образом: [<р] + [гр] = [<р + гр]
где отображение (р + гр определим так: пусть t — (tv t2, tn) e
G In, G I = [0, 1 ], z = 1, ..., n; тогда
( J- , UA - W2zi’ •••’ если 0 $ rt < 1/2,
(ф Ф)( ) j гр(2?, — 1, t2, I ), если 1/2 < Z. < 1.
Наглядно это определение можно пояснить следующей схемой,
где квадрат изображает грань (zp /2) куба 1п (рис. 65).
Рис. 65
Ф (Z, 0) Ф <6 т) Ф (f, 1)
Рис. 66
Нулевой элемент определим как класс постоянного отображени-.
0: (In, dln) —*(X, х0), для которого 0(/п) = х0. Покажем, что
[ф] + [0] — [<р] для всякого [гр], т. е. (р + 0 гомотопно <р. В самом
деле, нужную гомотопию определяет отображение
Ф: (/пх/, д!п х /)-*(%, х0),
где
Ф(г, т) =
Ф[ТТР •••> если t, <-j-,
т + 1___________ т
х0, если ~2— I, I € /.
Гомотопия Ф(/, т) схематически представлена на рис. 66.
Упражнения. 6°. Убедитесь, что и [0] + [ip] = [гр].
159
7°. Поясните, почему конструкция доказательства равенства
[<р] + [G] = [<р] не позволяет установить равенство [<р] + [тр] =
~ [q>], когда [-ф] * [0].
Для всякого [<р] противоположным элементом ( — [ф]) в
лп(Х, х0) служит класс [фХ]!, где тр /"—* 1п определяется по форму-
ле if](Z) = (1 — Zp'z2, ..., tny, таким образом, (фТ])(г) = ф(1 —
Проверим, что [ф] + [фт]! = 1®1- В самом деле, гомотопия между
отображениями ф + ф-q и 0 задается отображением
Ф(?, т) =
*0’
ф(2<1 т, Z2, ..., Zn),
ф( 2Zj + 2 т, Z2, ..., Zn),
О’
О 5= Zj 5= т/2,
т/2 « Zj « 1/2,
1/2 Zj 1 - т/2,
1 — Т/2 Эе Z, 1.
На рис. 67 эта гомотопия представлена в виде диаграммы.
Упражнение 8°. Убедитесь, что указанное отображение Ф(г, т)
является гомотопией отображений пар пространства (/", д1п),
(X, х0).
Ф (Г, 0) Ф (Z, т) Ф (f, 1)
Рис. 67
Ф (Z, 0)
0 11 1
4 2
Ф (Z, 1)
О 111
2 4
Рис. 68
Осталось проверить ассоциативность и коммутативность сложения
в лп(А', х0), и > 1. Докажем ассоциативность. Пусть [ф], [тр], [ц] G
е лп(Х, х0). Покажем, что ([ф] + [тр]) + [ц] = [ф] + ([-ф] + [ц]).
Легко проверить, что нужную гомотопию задает отображение
/ 4г1 \
ф(г, т) = W4Zj - г- 1, Z2, ..., Zn),
/4Z.-2-T \
И 2^ ’ z2’ • • • ’
4
160
С точки зрения диаграмм эта гомотопия объясняется совсем про-
сто (рис. 68).
Покажем теперь, что 1<р} + [тр] = [тр] + [ф]. Напомним, что
(ф + 40 (0 =
j <р(2/,, /2, • • • > >
|т|)(2?1 1, Ъ2, •••> tn),
если
если
0<Z, < 1/2,
1/2 « 1,
(Ч> + ф) (Г) =
[ ^2’ • • • ’ 41) >
|ip(2?i 1, t2, /„),
если 0 Sa 5а 1/2,
если 1/2 ss /j < 1.
Убедимся теперь, что отображения <р + тр и 1р + ф гомотопны одно-
му и тому же отображению. (Отсюда будет следовать, что они го-
мотопны между собой.) Рассмотрим гомотопию Ф,^, т):
х0, 0 « /2 « т/2
фС^р 2 —т ’ 4’ tn^’ т/2 /2 1
*,(4 0 = 2Г2
442^-1,2^, Г3...../„), t2< 1 - т/2
Хо, 1 — т/2 SS /2 ia 1
Легко' проверить, что Ф](/, 0) = + тр, а
хо, 0 ;2 «а 1/2
ф(21р 1t2 1, ?3, ..., /п), 1/2 < /2 < 1
Ф|(Г,1) = Ьр(2/1-1,2/2,Г3, ...,/„), 0<Г2< 1/21
х0, 1/2</2< 1
Рассмотрим еще одну гомотопию, Ф2(?, s):
Ф2(Г, s) =
/ 2t. \ ] с
ф(гй’ 2Г2- 1, t3, ..., rj,
1 + s 1
x0, 2 ~~ 4 ~~
Xo, 0 Ja Sa —2—
(2t, — 1+s \ 1— $
4> , 2^2, • • • ’ ^4^1
l/2ssr2ss 1,
Oss /2as 1/2.
Нетрудно проверить, что Ф2(/, 0) = Ф,(/, 1), а
[ф(Г,, 2г, - 1,/,,..., Г„), Oss? $ 1, l/2sS/2sal,
D - {X 2t2,t3, ..., tj, 0^1, 0^1/2.
Гомотопии Фр Ф2 изображены на рис. 69 в виде диаграмм.
Таким образом, имеем
ф + гр-ФДГ, 1)=Ф2(/,0) ~Ф2(/, 1). (1)
6 Ю. Г. Борисович и др.
Ф/r, 0) Ф^.т) ф^г, 1)
Рис. 69
Проведем аналогичную конструкцию для суммы ф -г ф. С этой
целью запишем гомотопии:
Ф,(/, т) =
Ф ^2/р гз’ •••’ 4} ’
Х0’
Х0>
/ 2г?-т \
*₽— 1, 2 —т ’ И’ • •• > j
0 su2 « 1 - т/2
1 — т/2 t2 1
О t2 -т т/2
т/2 Ф t2 Ф 1
!/2 t, « 1.
0 « t( « 1/2,
Легко видеть, что 0) = чр + ц>, а
Ф/С 1) =
1P(2/l, 2/2, t3, ..., tn), 0^/2$l/2l с । ,7
хо’ 0^ Г2 т/2]
1₽(2/1-I,2Z2-1,Z3, 1/2^i2^1(
Строим еще одну гомотопию:
Ф2(/, S) -
/it. — 1 Ч- s
Т пп ’ 2z2 ~ !’ П>
*0’
х0,
/ 2г, \
Ф П7> 2Н> гз> •••’ М
Таким образом, Ф2(С 0) == О, а О =:<1\(С )
162
На рис. 70 в виде диаграмм изображены гомотопии % (Г, т),
Ф2(7, т). Получаем, что
Ф + т ~ Ф,(М) = Ф2(г, 0) ~ Ф2(г, 1) = ф2(г, 1).
Из последней цепочки гомотопий и цепочки (1) получаем, что
(р + тр ~ Ф2(?, 1), Ф + 'р ~ Ф2(£, 1)> поэтому (р + тр~ тр + (р.
Замечание. Внимательный читатель заметил, что именно при
доказательстве коммутативности алгебраической операции в
лп(Х, х0) существенно использовалось условие п > 1.
Ф2(Л s)
0 | 1 0 0 1
Рис. 70
Группа л(/”, Э/”; X, х0), п> 1, называется п-мерной гомотопи-
ческой группой пространства X с отмеченной точкой х0 и обознача-
ется лп(Х, х0).
Теорема 2. Всякое непрерывное отображение f: (X, х0) —»
—»(У, у0) индуцирует гомоморфизм групп Ху (/): яп(Х, х0)->
Уо)-
Доказательство предоставляем провести читателю.
Указание. Покажите, что отображение гомотопических клас-
сов, указанное в упражнении 3°, является гомоморфизмом. Исполь-
зуйте определение суммы (<р + ф)(г) (см. рис. 65).
Гомоморфизм л(/лв/Л)(/) обозначается f п и называется гомомор-
физмом n-мерных гомотопических групп, индуцированным непре-
рывным отображением f.
Таким образом, функтор лп, п> 1, действует из категории про-
странств с отмеченной точкой и их непрерывных отображений в ка-
тегорию абелевых групп и их гомоморфизмов. Следовательно, если
/: (X, х0) —(У, у0), g: (У, y0) — (Z, z0)
— непрерывные отображения, то (gf)n = gnfn, где gn, (gf)n —
соответствующие гомоморфизмы n-мерных гомотопических групп.
6*
163
2. Фундаментальная группа. Самостоятельный интерес в реше-
нии многих задач имеет множество лДХ, х0), определяемое равен-
ством
лДХ, х0) = л(/, di; X, х0) = л(5*, р0; X, х0),
которое снабжается групповой структурой тем же способом, что и
яп, п> 1. По общему определению каждый элемент л{(Х, х0) есть
гомотопический класс [<р] некоторого отображения <р: (/, д/) —»
-*(Х, х0), где образ <р(/) — это петля в пространстве X, начинаю-
щаяся и кончающаяся в точке х0 (рис. 71).
Направление обхода петли задает параметр t G I. Произведение
<ртр двух петель, <р и гр, определяется как петля в X такая, что ког-
да t изменяется от 0 до 1/2, образ ('р’ЧОСО пробегает петлю <р, а
когда t меняется от 1/2 до 1, образ (<р Ч,)(О пробегает петлю тр
(рис. 72); точнее,
, (<р(2?), 0<?<1/2,
(ф-Ч>)(0 - 1^(2;- 1), 1/2<г<1.
Как видно, произведение петель определяется совершенно анало-
гично сумме сфероидов. В множестве лДА', х0) определяется произ-
ведение [<р]- [тр] = [<р-тр], которое, вообще говоря, не коммутативно
(но ассоциативно).
Предложение. Множество л1(Аг, х0) является группой отно-
сительно описанной операции произведения.
Доказательство. Заметим, что в доказательстве теоремы 1
условие п > 1 было использовано только при доказательстве комму-
тативности группы где в необходимых гомотопиях участвует вто-
рая координата сфероида. Поэтому все предыдущие пункты доказа-
тельства теоремы 1 переносятся на случай л.ДА', х0) (и значительно
упрощаются). Единичный и обратный элементы в лДХ, х0) опреде-
ляются аналогично 0 и ( — [q>]) в лп(Х, х0) при п > 1: е = [ip0], где
164
,р0(/) = x0 — постоянная петля; для каждого [ср] €Е иДХ, х0)
[ср]-1 — [ip-1 ], где <р~’(£) = <р(1 — О — петля, проходимая в обрат-
ном направлении. Таким образом, требуемое утверждение прямо сле-
дует из доказательства теоремы 1.
Определение 2. Группа лДХ, х0) называется фундаментальной
группой пространства X с отмеченной точкой х0.
Упражнение 9°. Докажите, что фундаментальная группа диска
£Р'(х0) с отмеченной точкой х0 тривиальна.
Выясним, как различаются группы лДХ, х0) и лДХ, xj одного
и того же пространства с различными отмеченными точками
х0 е X, Xj е X. Для этого нам понадобится несколько понятий.
Произведение со1-о>2 путей* со, и о>2 таких, что со2(0) = оэ,(1),
определим аналогично произведению петель:
[«,(2?), 0<?<1/2,
(ш1,ш2)(0 - |Ш2(2; _ !), l/2sus:l.
Очевидно, что си, • со2 — путь в пространстве X. Постоянным путем в
X называется путь Сх: 1-*Хтакой, что Сх (?) х0 для t G [0, 1 ]. Об-
ратным путем к пути со называется такой путь со-1: I—»Х, что
со-1(?) = со(1 — ?). Так как (ш'<о"|)-(0) = (ш-ш"1)(1), то путь
(со- со-1)(?) представляет собой петлю в точке со(0).
Упражнение 10°. Начертите путь (со-со-1)(?). Покажите, что
[со-со-1 ] = е в лДХ, х0), х0 = со(0).
Отметим, что произведение путей так же, как и произведение
петель, ассоциативно: (со • со-1) • со3 = coj • (со2 • со3).
Теорема 3. Всякий путь со: I—>Х, соединяющий точки х0 и хр
т. е. со(0) = х0, со(1) = хр индуцирует
изоморфизм групп ----
со”
S'": лДХ, х0) -» лДХ, xj,
зависящий лишь от гомотопического р 73
класса пути со.
Доказательство. Пусть
[ср] е лДХ, х0). Рассмотрим отображение ip: (/, dZ)-*-(X, xj, за-
данное формулой тр = со-1-ср-со. Наглядно путь тр(?) представляется
как петля на рис. 73. Рассмотрим класс [ip] 6 лДХ, xt).
Сопоставив таким образом каждому элементу €= лДХ, х0)
элемент [тр] е лДХ, хД, получим некоторое отображение 5":
* Напомним, что путь в пространстве X — это непрерывное отображение отрезка
со: 1-*Х.
165
Ttj(X, x0)—»л1(Х, xj. Действительно, если фх — гомотопия петли ф
в классе [ц>] 6 лДХ, х0), 0 =£ т =£ 1, то фх = со-1 • фх-со — гомотопия
петли хр в классе [ хр] 6 лДХ, х0), что и означает корректность опре-
деления. Оказывается, что 5" — гомоморфизм групп. Докажем это.
Пусть [ср], [ср2] е лДХ, х0) и пусть = [фД G лДХ, хД,
i= 1, 2. Произведение петель ф1'ф2 определяет класс [фД’[ф2] —
произведение (по определению). Используя ассоциативность произ-
ведения путей, а также результат упражнения 10°, получим
$?( [<Р11 • [ф21) =^[ф1-ф2] = [a>-1’Tf'P2,a)] = [а)-1-ф1-а)-а>_1ф2-а)] =
= [со~1-ф1-со][со-1-ф2-со] = (5“[фД) • (5“[ф2]); для единичного класса
ех = [ф0], ф0 — постоянная петля, имеем S’fe* — (со~* <р0-со] =
= [со-1-со] = ех — единичный класс в лДХ, хД. Итак, S" — гомо-
морфизм.
Аналогично, всякого элементу [хр] 6 лДХ, хД сопоставим эле-
мент [ф] е лДХ, х0), где ф = со ф-со-1. Получим некоторое отобра-
жение
5“ лДХ, хД —*лДХ, х0).
Упражнение 11°. Покажите, что — гомоморфизм групп и
что гомоморфизмы ' и 5“ взаимно обратны, т. е.
(£“)-• = (Sf).
Таким образом, Sf — изоморфизм. Из определения ясно, что он
не меняется при гомотопии пути со (при постоянных концах), и
Упражнение 12°. Докажите, что если /: X —»У — непрерывное
отображение, то для всякого пути со, соединяющего точки х0 и хр
коммутативна диаграмма
л,(Х, х0) —^-лДУ, /(х0))
Л
л,(А, х,) —*л,(У, /(хД)
где со =/со — путь, соединяющий точки /(х0) и/(хД.
Из теоремы 3 сразу следует, что если пространство X линейно
связно, то группы лДХ, х0) в различных точках х0 G X изоморфны
между собой и могут рассматриваться как одна абстрактная группа
лДХ). Эта группа л ДА) называется фундаментальной группой ли-
нейно связного пространства X.
Приведем еще один факт, вытекающий из теоремы 3.
166
Следствие. Всякий элемент [а] 6 л((Х, х0) определяет авто-
морфизм 5[а|группы х0), при котором [(З]1—Ча1'[Р1 [а]-
Доказательство. В силу теоремы 3 имеем изоморфизм
л^Х, х0) —* (X, х0), так как a — петля в точке х0. Кроме того,
изоморфизм зависит только от гомотопического класса пути а.
Важный класс пространств выделяет следующее определение.
Определение 3. Линейно связное пространство X называется
односвязным, если любые два пути, Wp 1-^Х и «)2: I—*Х, такие,
что а),(0) = ш2(0) = х0, <Oj(l) = со2(1) = хр принадлежат одному
гомотопическому классу в л(/, дГ, X, х0 U xj, т. е. гомотопны в
классе путей с началом в х0 и концом в хР
Следующая теорема характеризует односвязные пространства
через их фундаментальную группу.
Теорема 4. Линейно связное пространство X тогда и только
тогда односвязно, когда л^Х) =0.
Доказательство. Пусть линейно связное пространство X од-
носвязно. Рассмотрим произвольный класс [ip] 6 лДХ, х0) и единич-
ный класс е = [<р0]. Рассмотрим два пути, aij = (/, дГ) -» (X, х0),
о)2 = <р0: (/, а/)—» (X, х0), <р0(/) = х0, с совпадающими началом и
концом: <р(0) = <р(1) = <ро(О) = <р0(1) = х0. Условие односвязности
предполагает гомотопность и таких путей-петель сз1, «)2; следова-
тельно, петля <р гомотопна петле <р0, откуда следует [ <р] = е. Ввиду
произвольности [ф] заключаем, что л^Х, х0) =0, а следовательно,
и л^Х) = 0.
Обратно: пусть л^Х, х„) = 0 в точке х. 6 X, которую можно
считать произвольной в силу линейной связности X. Рассмотрим два
пути, ш,, а)2, в X с общими началом х0 и концом х(:
«^(0) = о)2(0) = х0, ojj(1) = со2(1) = хР Покажем, что как отобра-
жения о)р (/, Э/) -* (X, х0 U %!), «)2: (/, а/) -> (X, х0 U Xj) они го-
мотопны. Образуем петлю <р = со, • в точке х0. Так как путь
а>21 задается равенством «)21 ($) = «)2(1 — s), 0 « s s 1, то по опре-
делению произведения двух путей получим
_ Гajj (2Z), 0 s t s 1/2,
<р(0 = (0 = |о)2(2-20, 1/2 «z^l.
Полагая х, = х0, имеем по условию л^Х, х0) = 0. Следователь-
но, петля гомотопна постоянной петле <р() в точке х0: гомотопию
полезно представлять в виде
0 « t « 1/2,
Ф(2, т) =
Qj(2z, т),
Q2(2 — 2/, т), 1/2sU<1,
167
где Q{(2t, т), Q2(2 — 2/, т) — гомотопии путей o>j, о>2 в постоянный
путь в точке х0, a t — параметр гомотопии, и
Ф((, 1) = q>(Z), Ф(7, 0) = ф0. Фиксируем точки co^s), co2(s), где
0 < s < 1. Этим точкам на петле <р отвечают значения параметра
t = s/2 =£ 1/2 я t = 1 — s/2 г 1/2. Зададим путь ф(0 движения точки
oj|(s) в точку co2(s) следующим образом:
/Ф(л?/2, 1 — 2т), 0 т « 1/2,
'W) - |ф(1 - s/2, 2т — 1), 1/2 « т< 1.
Геометрически это означает, что точка ojj(s) движется по траекто-
рии, задаваемой гомотопией Ф((, т), в точку х0 и далее таким же
образом — в точку ai2(s). Так как выбор s произволен (из интерва-
ла 0 га s < 1), то предыдущая формула фактиче'ски задает гомото-
пию пути coj в а>2 (функция %(т) зависит и от s: i|>s(x) = ip(s, t))-
Очевидно, эта зависимость i|>(s, т) непрерывна по совокупности
(s, т), следовательно, <ор <о2 принадлежат одному гомотопическому
классу в
лД/, дГ, X, х0 U Xj).
Упражнения. 13°. Убедитесь, что евклидово пространство R" од-
носвязно, a S1 и тор S1 X S1 не являются односвязными.
14°. Постройте пример связного пространства с неизоморфными
группами лД-Х) х0) в различных точках х0.
Указание. Используйте пример связного, но не линейно связного пространства
из § 10 гл. II.
Исследуем теперь зависимость высших гомотопических групп от изменения ба-
зисной точки. Оказывается, что гомотопическая группа лп(Х, х0) меняется аналогич-
но фундаментальной группе л,(X, х0) при изменении отмеченной точки.
Теорема 5. Всякий путь ш: 1-*Х, соединяющий точки х0 и х,, определяет изо-
морфизм
sn- М*. Х|1 —л„(Х, х0),
зависящий от гомотопического класса [и] ек(I, а/; X, xQ U х,). Кроме того, для
всякого отображения f:X-»Y коммутативна диаграмма
*„<Х,х,) K„(Y,y,)
S“l
x0) — л„(У, y0)
fn
в которой — изоморфизм, определяемый путем ш = /ш между точками
y0 = f(.x0), yi^fix,).
Наметим лишь идею доказательства этой теоремы. Пусть [ip]eit„(X, х,). Анало-
гично тому, как это делалось в случае фундаментальной группы, элементу [р] ста-
вится в соответствие элемент [i|>] елл(Х, х0). Наглядно эту процедуру можно изобра-
зить как вытягивание из сфероида в точке х, «уса» в точку оо(Г) и его растяжеиие
вдоль пути со до точки х0 (рис. 74).
168
Таким образом получаем отображение S“: л„(Х, х,)-*кп(Х, х0), являющееся изо-
морфизмом с требуемыми свойствами. Подробности опускаем.
В качестве следствия из теоремы 5 по- ___
лучаем, что всякий элемент [ajeiqCX, л,) у^'''"'7
определяет автоморфизм группы хп(Х, х0). f-'
Таким образом, группа xt(X, х0) дей- В ч>,
ствует на группе х„(Х, х„) как группа авто- а.
морфизмов (точнее, как подгруппа группы Д
всех автоморфизмов). *
Естественно теперь следующее обобще-
ние односвязных пространств. Рис 74
Определение 4. Если для пространст-
ва X и любых точек х0, Х(е.Х, лежащих в одной компоненте линейной связности,
изоморфизм S“: яДХ, х1)-»я„(А', х0) не зависит от выбора пути ш, соединяющего
х0 с х,, то пространство X называется п-простым (или гомотопически простым в
размерности п).
Предлагаем доказать следующее утверждение.
Теорема б. Пространство X тогда и только тогда п-просто, когда для любой
точки х0ЕХ группа х.(Х, х0) тривиально действует на я„(Х, х0), т. е. не меняет
элементов кп(Х, х0).
Из теоремы 4 сразу следует, что односвязное пространство «-просто для всех п > 1.
§ 4. Вычисление фундаментальных
и гомотопических групп некоторых пространств
В этом параграфе будет вычислена фундаментальная группа ок-
ружности, а также произвольной замкнутой поверхности типа Мр
или N . Необходимая для этого комбинаторная техника основана на
результатах § 4 гл. II и изложена в начале параграфа (см. п. 1, 2).
Попутно устанавливается топологическая инвариантность эйлеро-
вой характеристики замкнутой поверхности (см. п. 5). Далее обсуж-
дается задача вычисления высших гомотопических групп и дается
приложение к задаче о неподвижных точках непрерывного отобра-
жения (теорема Брауэра, основная теорема алгебры).
1. Линейчатые пути на поверхности и их комбинаторные го-
мотопии. Рассмотрим замкнутую поверхность X, как и в § 4 гл. II
заданную своим разбиением. Это означает, что задана некоторая
развертка П и поверхность X гомео’морфна факторпространству
П/Я, где R — эквивалентность, определяемая склеивающими го-
меоморфизмами развертки.
Обозначим произведение факторотображения а:П—*П/Я и го-
меоморфизма (^П/Я^Х через х. Тогда отображение х:П—и
задает разбиение X на образы многоугольников, ребер и вершин
развертки (х-образы ребер называем ребрами, а х-образы вер-
шин — вершинами разбиения'). Ребро разбиения является х-обра-
зом двух ребер: а и а~1 или а и а, условимся обозначать его буквой
а; х-образ вершины А обозначаем той же буквой А; точки ребра,
отличные от вершин, будем называть внутренними точками ребра.
Нам потребуются следующие две элементарные операции над
разбиениями:
169
а) добавление новой вершины — внутренняя точка ребра объяв-
ляется новой вершиной разбиения;
б) добавление нового ребра — один из многоугольников развер-
тки разбивается на два своей диагональю, х-образ этой диагонали в
X объявляется новым ребром разбиения.
Рассмотрим ребро а в развертке П, и пусть у: I—*а — афинное
отображение (линейный путь), при котором точки 0 и 1 отобража-
ются в вершины ребра. Тогда отображение у = ху: 1-*Х определяет
путь на поверхности X, который назовем элементарным путем.
Очевидно, что образ элементарного пути либо совпадает с одной из
вершин ребра а разбиения поверхности, либо полностью покрывает
это ребро.
В первом случае элементарный путь постоянен и считается рав-
ным нулю (у = 0). Во втором случае начало линейного пути у либо
совпадает с началом ориентированного ребра а, либо совпадает с его
концом. В соответствии с этим будем обозначать элементарный путь
через а или через а-1 ( у = а или у = а-1 соответственно). По та-
кому же правилу будем обозначать у, если у;/-»а-1, считая
(я-1)-1 = а.
Таким образом, каждому ориентированному ребру а (а-1) раз-
вертки отвечает элементарный путь a(a~i) в разбиении.
Определение 1. Линейчатым путем в разбиении П поверхности
X называется конечное произведение элементарных путей. Замкну-
тый линейчатый путь называется линейчатой петлей.
Согласно определению 1 линейчатый путь X можно записать в
виде произведения элементарных путей X = X1X2...XS, где = af‘
либо Х; = 0. Опуская нули, сопоставим пути Л слово
«)(Х) = af‘...afl, указывающее порядок и направление обхода пу-
тем X ребер разбиения поверхности X.
Рассмотрим границу Г; какого-нибудь многоугольника раз-
вертки П. Сопоставив каждому ребру границы элементарный путь
как описано выше, мы поставим в соответствие всей границе линей-
чатый путь Х; в X, определяемый словом o)(Xf) = co(Q;). Слово
w(Qz) описывает в свою очередь схему приклеивания многоугольни-
ка Q(. (см. п. 2 § 4 гл. II).
Например, линейчатый путь X, соответствующий ориентирован-
ной границе прямоугольника Q, представляющего развертку тора
(см. рис. 50), определяется словом со(Х) = aba~lb~l.
Определение 2. Комбинаторной деформацией I (или II) тора
линейчатой петли X называется вычеркивание или добавление в
слово ш(Х) сочетания вида аа~' (или слова w(Q;)), определяющего
линейчатую петлю в X, соответствующую ориентированной границе
многоугольника Qt развертки П.
170
Определение 3. Линейчатые петли у и у’ в П называются ком-
бинаторно гомотопными в П, если одна получается из другой с по-
мощью конечного числа комбинаторных деформаций I или II типа.
Заметим, что всякий линейчатый путь в разбиении П поверх-
ности X можно рассматривать как линейчатый путь в некотором
разбиении Пр полученном из П применением конечного числа опе-
раций типа а) или б).
Лемма 1. Пусть разбиение П1 получено из разбиения П приме-
нением конечного числа операций вида а), б). Тогда для всякой ли-
нейчатой петли А в П, существует линейчатая петля А.' в П,
комбинаторно гомотопная в ITj петле к.
Доказательство. Очевидно, достаточно рассмотреть случай,
когда nt получено из П применением одной из операций а), б).
Пусть Oj получено из П подразделением ребра а на два новых реб-
ра, Ьи с (применена операция добавления новой вершины). Если
петля X содержит одно из сочетаний bb~l, сс~*, b~lb, с-1 с, то его
можно опустить, получив при этом петлю, гомотопную к. Опустив
все такие сочетания, мы получим петлю, либо вовсе не содержащую
b±l, c±l, либо содержащую их в виде Ьс ( = а} или с-1!»-1 ( = а-1);
в любом случае это будет искомый линейчатый
путь к' из П.
Пусть теперь П, получено из П добавлением jy
нового ребра d, которое разбивает некоторый / |
многоугольник из П, на части Е и F. Пусть гра- t 1
ничные пути Е и F есть ud~l и dv соответственно \ -7
(рис. 75). Если в линейчатую петлю к входит \ у
ребро d±l, то заменим его путем v±l (или и*1).
Полученная петля к' комбинаторно гомотопна к рис
и является линейчатой петлей П.
Лемма 2. Пусть nt получено из П одной из операций типа
а), б). Тогда всякая линейчатая петля к в П, комбинаторно го-
мотопная нулю в Пр комбинаторно гомотопна нулю и в П.
Доказательство. Согласно условию леммы в П( существует
последовательность линейчатых петель k = v0, vL, ..., vr = 0, где
v/+1 получена из vt посредством одной комбинаторной деформации.
При этом ..., vr не являются, вообще говоря, петлями в П. Для
каждой петли ир i = 1, ..., г, будем строить гомотопную ей линей-
чатую петлю о); в П так, что в последовательности петель
А, шр ..., сог = 0 каждая петля <о/+1 получается из одной или не-
сколькими комбинаторными деформациями.
Предположим, что П, получено из П подразделением ребра а на
ребра b и с (операция типа а)). Поставим тогда в соответствие каж-
дой петле петлю сор сопоставив ребру, отличному от b±J, с~1, то
171
же самое ребро, ребру b±l — ребро a±l, а ребру с*1 ничего не со-
поставим. Легко проверить, что тогда переход от со, к
<о/ + 1, i = 1, ..., г, осуществляется комбинаторной деформацией I
или II типа.
Если же П| получено из П операцией типа б), то ребру, отлич-
ному от разбивающего ребра d, соотнесем то же самое ребро, а
</(</“*) заменяем путем w(w~‘). Если теперь в v, вставляем или вы-
черкиваем сочетание с/с/-1, чтобы получить и/+1, то в со, следует со-
ответственно добавить или вычеркнуть сочетание ии~1. Деформаци-
ям же II типа в IIj будут соответствовать деформации I или II типа
в П.
2. Комбинаторные аппроксимации путей й гомотопий. Здесь
мы покажем, что любой непрерывный путь в триангуляции К гомо-
топен линейчатому, а также изучим взаимосвязь между комбина-
торными и непрерывными гомотопиями.
Везде ниже имеются в виду гомотопии путей и петель с непод-
вижными концами.
Лемма 3. Пусть задана некоторая триангуляция К поверх-
ности X. Пусть X: /—»К — непрерывный путь в К, причем
Х(0), Х(1) — вершины триангуляции. Тогда существует гомотоп-
ный ему линейчатый путь в К.
Доказательство. Разобьем отрезок /=[0,1] конечным
числом точек ~ {п = О на достаточно мелкие отрезки
так, чтобы для каждого интервала Zi+i), X = 1, ..., п — 1, на-
шлась такая вершина Ak G К, чтобы образ Х(^_Р ^+1) этого интер-
вала лежал целиком в звезде — объединении открытых тре-
угольников и ребер триангуляции К, примыкающих к некоторой
вершине Ак, и самой вершины Ак. Так как — открытое мно-
жество в X, а X — непрерывное отображение, то этого всегда можно
добиться (см. упр. 7° § 13 гл. II).
Поставим теперь в соответствие каждой точке tk G I вершину
Ak €= К. Заметим при этом, что для всякого к = 1, ..., п — 1
W) CS(4)AS(A+1),
где П S(Xi + 1), очевидно, содержит треугольник, примыкаю-
щий одновременно к вершинам Ак и Лл+1. Следовательно, если
=/= Л^+р то они соединены в К ребром, которое обозначим через
1к. Пусть Х^: [^, tk + i]—*lk — элементарный путь, являющийся про-
должением указанного соответствия вершин и точек tk, tk+i. В слу-
чае Ак = Ak + i считаем Х( нулевым. Произведение элементарных
путей Х( определяет линейчатый путь X1:1^*К, который называет-
ся линейчатой аппроксимацией пути X.
172
Пути X и X' гомотопны друг другу. В самом деле, в силу конст-
рукции пути X' для всякой точки t € I образы X(Z) и X'(Z) лежат в
одном и том же замкнутом топологическом треугольнике из К,
поэтому их можно соединить «отрезком» — гомеоморфным образом
отрезка в треугольнике развертки. Следовательно, естественно за-
дать линейную деформацию точки X(Z) в точку X'(Z), которая опре-
деляет требуемую гомотопию. Заметим при этом, что всякая точка
X(Z) в процессе этой гомотопии не выходит из того замкнутого тре-
угольника ребра или вершины, в которых она находится в началь-
ный момент гомотопии.
Необходимо различать, гомотопна ли линейчатая петля постоян-
ной в топологическом смысле или комбинаторно. Петлю, гомотоп-
ную или комбинаторно гомотопную постоянной, будем называть со-
ответственно стягиваемой или комбинаторно стягиваемой.
Лемма 4. Стягиваемая линейчатая петля X в триангуляции
К комбинаторно стягиваема в К.
Доказательство. Пусть линейчатая петля X задана отобра-
жением отрезка ip: Пусть F: It X 1г~*К — стягивание петли
в вершину х0 С К, т. е.
Ji = W, Fl = с0: /. —»х„ G К.
| z,x{o} I z,x(i} 0 1 0
Ясно, что J| , : /э—»хп и J|, , :
|{0}Х/2 |{1>Х/г z °
Так как F — стягивание с сохранением концов петли, то ребра
AC, CD и BD (рис, 76) отображаются в одну точку х0. Отметим
на АВ точки, образами которых являются вершины К, и проведем
через них вертикальные прямые. Затем, проводя дополнительные
вертикальные и горизонтальные прямые и диагонали (рис. 76), по-
лучим настолько мелкую триангуляцию S квадрата ABCD, что об-
раз звезды 8(У) триангуляции 2 при отображении F лежит в звез-
де -S( W) некоторой вершины триангуляции К (это вытекает из
упр. 7° § 13 гл. II).
Поставим в соответствие вершине V вершину W, аналогично по-
ступим со всеми вершинами триангуляции 2. Затем продолжим это
отображение на ребра триангуляции 2 точно так, как это делалось
в доказательстве леммы о линейчатой аппроксимации пути. Полу-
ченное отображение F: Sj —* К, где Sj — объединение ребер триан-
173
гуляции S, переводит подразделенную сторону АВ в некоторую ли-
нейчатую петлю Х^в К.
Покажем, что X комбинаторно деформируется в X. В самом деле,
при линейчатой аппроксимации пути никакая точка пути не поки-
дает треугольника, ребра или вершины, в которых она находилась.
Поэтому петля X состоит из тех же элементарных путей, что и X
(если не обращать внимания на нулевые пути, которые могут быть
опущены). Однако, вообще говоря, некоторые ребра могут пробег
гаться несколько раз в разных направлениях. Таким образом, от X
можно перейти к X комбинаторными деформациями I типа.
Заметим теперь, что в триангуляции S подразделенную сторону
АВ можно перевести в подразделенную ломаную ACDB комбинатор-
ными деформациями I или II типов, «выдавливая» последовательно
по одному треугольнику (рис. 77). Однако каждая такая комбина-
торная деформация, примененная к АВ, определяет в силу конст-
рукции отображения Fr некоторую комбинаторную деформацию I
или II типов петли X в К (проверьте это!).
Рис. 77
Таким образом, мы показали, что с помощью комбинаторных де-
формаций I или II типов линейчатую петлю X можно перевести в
петлю X, а затем — в F{-образ пути ACDB. Но этот образ есть точ-
ка х0. Поэтому X комбинаторно гомотопна постоянной.
Предлагаем читателям доказать еще два несложных утверж-
дения, которые мы будем использовать в дальнейшем.
Упражнения. 1°. Докажите, что линейчатый путь X разбиения
П, определяемый словом со(Х) = аа~1, гомотопен постоянному пути.
2°. Докажите, что линейчатый путь разбиения П, равный образу
границы какого-нибудь многоугольника развертки П, гомотопен в
X постоянному пути.
Из упражнений 1°, 2° следует, что всякая комбинаторная гомо-
топия определяет обычную непрерывную гомотопию между линей-
чатыми путями.
Замечание. В следующем пункте нам понадобится весьма ча-
стный случай развитой выше комбинаторной техники, а именно
разбиения окружности S*.
Зафиксируем на S1 конечное число точек А', В1, С', ... и зададим
гомеоморфизм ip границы выпуклого многоугольника АВС... в 5* так,
что Ч’(И) = А', <р(В) = В', ip(C) = С', ... Будем говорить, что гомео-
морфизм <р определяет разбиение 5* с ребрами А'В' =
= <p(AS), В'С = ip(BC), С'А' = <р(СЛ), ... и вершинами А', В',
174
С', ... Естественно определяются линейчатые пути и комбинаторные
деформации I типа. Легко видеть, что леммы 1—4 остаются в силе для
таких разбиений с тем изменением, что исчезают операции над раз-
биениями типа б) и комбинаторные деформации II типа.
3. Фундаментальная группа окружности. Теперь мы можем
вычислить группу
Теорема 1. Группа л/S1) абелева и изоморфна группе Z.
Для доказательства этой теоремы нам потребуется следующее
вспомогательное утверждение, которое будет в дальнейшем усилено
(см. теорему 4 § 4 этой главы).
Лемма 5. Фундаментальные группы гомеоморфных про-
странств изоморфны.
Доказательство. Пусть X, Y — топологические пространст-
ва с отмеченными точками х0 и у0 соответственно и
<р: (X, х0) —»(У, у0) — гомеоморфизм. Тогда определены гомеомор-
физмы фундаментальных групп
4ф): 3i,(X, х0)->л,(У, у0),
л(т *): яДУ, х0),
причем в силу функториальности имеем в
я(т~*)л(т) = л(т-‘т) = 1Л (Х^, /
л(ф)л((р 1) = Jt(qptp *) =
следовательно, л((р) = [л(ip-*)] А b . С
Доказательство теоремы 1. На Рис. 78
основании последней леммы достаточно вы-
числить фундаментальную группу плоского треугольника. Пусть
А — треугольник с вершинами А, В, С, ориентированными ребрами
а, Ь, с и отмеченной вершиной А (рис. 78).
Вычислим группу л,(А, Л). Пусть X — произвольная петля в А
с началом в точке А. Тогда в силу леммы 3 в гомотопическом классе
петли X существует линейчатая петля’ X'. (Ясно, что треугольник
А есть разбиение.) Поставим в соответствие каждому из ребер
а, Ь, с петли а, 5, с по следующему правилу: а = cab, b=b~lb,
с — сс *. Покажем, что классы петель а, Ъ, с, не обязательно раз-
личные, являются образующими в группе лДА, Л). В самом деле,
всякая линейчатая петля X' состоит из элементарных путей, соот-
ветствующих ребрам, т. е. X' = <р(п, Ь, с). Заменив в этом выраже-
нии каждое ребро на соответствующую ему петлю, получим новую
петлю X" — <р(а, 5, с). Легко видеть, что петли X' и X" комбинаторно
гомотопны. Действительно, указанная замена ребра петлей застав-
ляет нас сначала «дойти» до начала этого ребра от фиксированной
вершины Л и, «пройдя» затем это ребро, «вернуться» в Л кратчай-
175
шим путем (см. рис. 78). Поэтому при последовательной замене ре-
бер петлями мы, вернувшись в А из конца Р предыдущего ребра,
должны тотчас «отправиться» в начало следующего ребра, т. е. в ту
же точку Р. Тем самым при этой замене между каждыми двумя со-
седними ребрами петли вставляется путь вида А А-1, т. е. путь, ком-
бинаторно гомотопный нулю. Итак, в гомотопическом классе петли
X' всегда можно найти линейчатую петлю X, представляющую собой
конечное произведение, составленное из петель а, Ъ, с и обратных
им петель.
Заметим теперь, что петли 5, с гомотопны постоянным. Поэтому
петля а (точнее, определяемый ею гомотопический класс в
л^А, Л)) является единственной образующей в группе л^А, А).
Элемент а нетривиален. В самом деле, если бы петля а была стяги-
ваема, то по лемме 4 она была бы и комбинаторно стягиваема, т. е.
сводилась бы к нулю конечным числом комбинаторных деформаций
I типа, что, очевидно, невозможно. Следовательно, петля а не яв-
ляется комбинаторно стягиваемой, а значит, определяет нетриви-
альный элемент [а] €= nt(A, А). Аналогично, нетривиален любой
элемент [а1 ] G л^А, А), где I > 1.
Таким образом, л^Д, А) есть свободная циклическая группа, по-
рожденная элементом [а], т. е. абелева группа, изоморфная Z.
Упражнение 3°. Обобщая конструкцию доказательства теоре-
мы 1, докажите, что фундаментальная группа букета т окружно-
стей — свободная группа с т образующими.
Полезным орудием для вычисления фундаментальных групп более сложных про-
странств является следующая теорема.
Теорема 2 (Зейферт-ван Кампен). Пусть X — топологическое пространство,
являющееся объединением X = Xt (J X, открытых подмножеств Xt и Х2 таких,
что пространства X,, X, и X0 = Xt Q Хг линейно связны и непусты, и пусть
р£Х„. Рассмотрим коммутативную диаграмму, порожденную отображениями
вложения:
Тогда группа зт, (JC, р) является факторгруппой свободного произведения
яДр р)*л1(Х2, р) по нормальному делителю, порожденному множеством
{©^•©/Р: р)}. Другими словами, группа зг,(Х, р) — группа, образующи-
ми которой являются образы элементов ftjCX,., р), i = 1, 2, а все соотношения
между образующими являются следствиями соотношений, полученных как а> -об-
разы соотношений в каждой из групп л,^, р), i = 1, 2, и соотношений
с0|©,а = ш2©а, где а6л,(Х0, р).
Упражнения. 4°. Пользуясь теоремой Зейферта-ван Кампена, получите утверж-
дение упражнения 3°.
176
5". Вычислите фундаментальную группу пространства, состоящего из двух ок-
ружностей, соединенных отрезками (рис. 79).
4. Фундаментальная группа поверхности. Перейдем к вычис-
лению фундаментальной группы поверхности. На основании лем-
мы 5 можно считать, что замкнутая поверхность дана в разбиении,
определяемом канонической разверткой.
Теорема 3. Пусть X — замкнутая поверхность I или II типа,
определяемая словом ш вида apbpa~lb~l или
alaia2a2...aqaq соответственно, пусть х0 G X — фиксированная
точка поверхности (вершина триангуляции). Тогда л( (X, х0) есть
группа с образующими at, а2, ..., ар, bt, b2, ..., Ьр или at, а2, ..., aq
соответственно и одним соотношением со = е, где е — единичный
элемент.
Доказательство. Пусть Х{ — замкну-
тая поверхность, — ее каноническая раз- /х.
вертка, определяемая многоугольником Q и [ \
словом <o(Q). Пусть Х{ = xCQj), где Qi — I------1 J--------1
объединение всех ребер многоугольника Q. В \ 1
силу эквивалентности всех вершин Q в раз-
вертке их образы при отображении х совпа-
дают в X. Поэтому образ каждого ребра го-
меоморфен окружности, и есть букет ок- Рис 79
ружностей, склеенных в точке х0, равный
образу вершин многоугольника Q. При этом число окружностей в
букете равно 2р, если поверхность X имеет тип М , и ровно q, если
X — типа N . Из результата о фундаментальной группе букета ок-
ружностей (см. упражнение 3°) получаем, что лДХр х0) — свобод-
ная группа, порожденная образующими ар а2, ..., ар, bt, b2, ..., Ьр,
если X — типа Мр, или образующими ai, а2, ..., aq, если X — типа
N Обозначим эту группу через G.
Рассмотрим теперь отображение вложения i: Х{ X и индуциро-
ванный им гомоморфизм фундаментальных групп
лДХр х0) —* лДХ, х0).
Будем вычислять группу лДХ, х0) следующим образом. Вначале до-
кажем, что i, — эпиморфизм. Тогда по теореме об эпиморфизме по-
лучим
лДХ, х0) — лДАр х0)/ Ker i, = G/ Ker
Вычисление ядра Ker i, завершит доказательство теоремы.
Докажем, что i, — эпиморфизм. Пусть a G лДХ, х0) и К — ка-
кая-нибудь триангуляция поверхности X. Тогда по лемме 3 о линей-
чатой аппроксимации в гомотопическом классе а найдется линейча-
тая петля X (в разбиении К). Можно считать, что К получено из
177
канонического разбиения 5s поверхности X с помощью конечного
числа операций вида а) или б).
Следовательно, в силу лемм 1, 2 и упражнений 1°, 2° в том же
классе а 6 тсДХ, х0) существует линейчатая (т. е. составленная из
ребер Х^ петля X' в разбиении 9й. Тем самым определен некоторый
класс |За 6 3tj(Xp х0), для которого, очевидно, zt(Pa) = а. Эпиморф-
гость i, доказана.
Перейдем к вычислению ядра Кег /, эпиморфизма i,. Пусть
у G Ker i, и X — линейчатая петля разбиения из класса у. Тогда
X, очевидно, стягиваема в точку в X. В силу леммы 4 в ЭР существует
комбинаторное стягивание X в вершину х0. Иначе говоря, слово
j(X), определяющее петлю X, сводится к нулевому слову с помощью
конечного числа комбинаторных деформаций 1 или II типа. Тогда яс-
но, что слово ш(Х) может состоять только из сочетаний вида:
1) аа”1;
2) (более сложный вид) а>4Л2ш1Асо/А”|ш2Л1 и>'”ЛГ1а>3А21<о5, где
оэ4-со5 = ш, ш2'ш3 — ш; ht, h.2, h — слова данного разбиения;
I, т — целые показатели (положительные или отрицательные);
3) сочетаний, аналогичных 2), но с другими разбиениями слова
щ на составные части. Это следует из того, что кроме ш, в данной
развертке нет других ограничивающих слов.
Легко видеть, что комбинаторные деформации I типа (добавле-
ние или вычеркивание сочетания вида аа”1) не выводят петлю X из
ее гомотопического класса, так как петля аа"1 гомотопна нулю в
Хг Вследствие этого можно считать, что сочетаний вида 1) в ш(Х)
нет. Сочетания вида 2) упрощаются комбинаторными деформация-
ми I типа следующим образом:
ш4А2ш17гш//г”1ш2А1«)т7г”1а)зА2—*
Вставив сочетания получаем
—» ш4Л2ш]Лсо'А”1ш1”1ш1ш2а)3сз3"1/11(у"!/г.|”!со3/12'ш5 —»
Гак как по условию со|Ш2ю3 = со, то, обозначив щ/i = g, u>2[h — а,
получаем
—» co^j/i^jgw'g”1 а><1(о''|п”1/г2 1 со s — *
Вставим теперь сочетания Л2 1со4 |(!>4А), Ь21ш5ш^'/12, тогда имеем
—» w4A25’w/g”l/i2Iw4’lw4/z2w/i21w3<u;1/i2aco',l(i”i/i2'1co5 —►
Обозначив u>4h2g = f, a>~5lfi2a = (3, получаем
—► /wz/”1w4X2co/i2 ’co.JW'p”1 —»
178
И, наконец, вставив сочетание и обозначив о)5/г2 = у, окон-
чательно получим
—» /шУ-1<х>7<х>7~1р<х>,’1р~1.
Таким образом, мы показали, что всякая линейчатая петля,
представляющая элемент ядра Ker z,, приводится с помощью ком-
бинаторных деформаций I типа к петле, слово которой состоит толь-
ко из комбинаций вида auT'cT1, где т — любой целый показатель,
а а — произвольное слово, составленное из символов ребер развер-
тки или пустое.
Обратно, очевидно, что если линейчатая петля X имеет слово
ш(Х), состоящее только из сочетаний вида аа)'”сГ1, то она опреде-
ляет элемент из Ker z,.
Упражнение 6°. Докажите, что множество слов описанного вида
есть нормальный делитель N группы G, порожденный элементом
со = w(Q).
Таким образом, Ker i, = N и, следовательно, Jtj (X, х0) = G/N.
Последнее равенство эквивалентно тому, что на образующие группы
G накладывается единственное соотношение со = е.
Укажем несколько следствий из теоремы 3.
Следствие 1. Фундаментальная группа Jt^RP2, р) проективной
плоскости RP2 есть циклическая группа второго порядка.
Доказательство. Поверхность X=>RP2 имеет канониче-
скую развертку со словом а^, поэтому лДХ, х0) — циклическая
группа с одной образующей at и соотношением zz2 = е.
Используя более сильные средства, в § 9 гл. IV покажем, что
TtjCRP") =* Z2, п > 2, в частности zt^RP3) Z2.
Следствие 2. Фундаментальная группа тора zt^T2, х0) есть
свободная абелева группа с двумя образующими.
Доказательство. Тор Т2 имеет каноническую развертку со
словом aba~lb~l, поэтому получаем, что группа ztJT2, х0) порожде-
на образующими а, Ь. Соотношение aba~lb~l = е дает условие ее
коммутативности ab = Ьа.
Геометрически образующей а{ фундаментальной группы проек-
тивной плоскости соответствует ее абсолют (см. модели RP2 в § 4
гл. Н). Образующим zzp Ь\ фундаментальной группы тора Т2 соот-
ветствуют его параллель и меридиан — две основные нестягиваемые
петли на торе.
Упражнение 1°. Выясните геометрический смысл образующих
фундаментальной группы поверхностей Мр, Nq.
Фундаментальная группа дополнения узла играет важную роль в
задаче классификации узлов.
179
Упражнение 8°. Докажите, что тривиальный узел не эквивален-
тен «трилистнику» и «восьмерке».
Указание. Покажите, что фундаментальные группы дополне-
ний в R3 к этим узлам не изоморфны.
5. Топологическая инвариантность эйлеровой характеристи-
ки поверхности. Пусть X, X' — две гомеоморфные замкнутые по-
верхности с какими-то разбиениями П, П'; пусть х(П), %(П') — их
эйлеровы характеристики, вычисленные по разбиениям П, П' соот-
ветственно. Докажем, что %(П) = %(П').
Развертка П (П') эквивалентными преобразованиями приводится
к канонической одного из типов I или II (определяемого числом ру-
чек р (р') или листов Мёбиуса q (q1), приклеенных к сфере). Числа
2р (2р'), q (q') суть числа образующих фундаментальной группы
поверхности (связанных определяющим соотношением со = е). В си-
лу гомеоморфизма X и X' группы л^Х) и л((Х') изоморфны. Сле-
довательно, если канонический тип разверток П, П' соответствует I
типу, то 2р = 2р', откуда х(П) = %(П') ввиду равенств
Х(П) = 2 — 2р, %(П') = 2 — 2р'. Аналогично рассматривается слу-
чай канонических разверток II типа. Таким образом, две различных
поверхности типа Мр разного рода (равно как и типа Nq) не го-
меоморфны.
Две поверхности типов Мр и Nq, q> 1, также не гомеоморфны.
Это следует из неизоморфности фундаментальных групп ориенти-
руемой поверхности Мр рода р и неориентируемой поверхности
N q > 1, рода q. Действительно, Л((Мр) — группа с образующими
..., ар, ..., Ьр и соотношением а{Ь{а^{Ь~^...арЬра~рЬ~1 = е, в то
время как группа лДА ) — группа с образующими а{, ..., aq и соот-
ношением alala2a2...aqaq = е. Ясно, что эти группы не изоморфны,
если 2рФ q. Если же предположить, что 2р= q, то л^М ) не изо-
морфна ^i(A9) по следующей причине. В факторгруппе
(ЛГ9)/[311(ЛГ<7)> ^(AQ] группы л((А9) по ее коммутанту ^(AQ,
Л((АГ )] имеется класс смежности второго порядка, содержащий эле-
мент a^a2...aq. В факторгруппе л1(Мр)/[л1(Мр), л^М^)] элементов
второго порядка нет, поскольку элемент a{b{a\[ b\[ ...apbpa~pb~p сво-
бодной группы с образующими at, ..., ар, Ь{, ..., Ьр содержится в ком-
мутанте этой группы.
Заметим, что классификационная теорема 2 § 4 гл. II теперь
полностью доказана. Род поверхности и свойство ориентируемости
полностью определяют ее топологический тип.
б. О вычислении высших гомотопических групп. Вычисление
гомотопических групп пространств является важной, но трудной за-
дачей. Разработаны методы таких вычислений, однако даже приме-
нение этих методов в конкретных случаях сопряжено со значитель-
ными трудностями. Тем не менее для достаточно «хороших» про-
180
странств некоторые гомотопические группы вычислены и играют
важную роль во многих задачах.
Следующая теорема позволяет сводить вычисление гомотопиче-
ских групп пространства X к вычислению соответствующих групп
пространства У, гомотопически эквивалентного X.
Теорема 4. Если [•. X-*Y — гомотопическая эквивалентность,
то для всякой точки х € X гомоморфизм
fn- Лп(Х’ х)~^Лп(У, /(х)),
индуцированный f, является изоморфизмом.
Доказательство. Пусть отображение g гомотопически об-
ратно f и <р — представитель некоторого класса [<р] €Е я.п(Х, х0).
Тогда (g/)<p — представитель его образа (^/)н[ф]. Сфероид «при-
креплен» к точке х0, а сфероид (g/)<p — к точке (g/)(x0) — z0, при-
чем первый сфероид гомотопен второму в силу gf ~ 1х. Пусть при
этой гомотопии точка х0 перемещается в точку z0, описывая путь
oo(Z) (рис. 80).
Пусть со(/) индуцирует изоморфное отображение я,п(Х, z0) —»
-»лп(Х, х0) (см. теорему 5 § 3). Гомотопия сфероидов и (£/)ф
порождает гомотопию сфероидов gfq> и а из 5" *[ф]. Следовательно,
= lg/ф] = [ос] = [ф], что означает коммутативность ди-
аграммы
лп(Х, х0)------f---► л„(У, /(х0))
лш"‘
Л j/
лп(Х, gf(x0))
Аналогично можно показать (проделайте это самостоятельно),
что коммутативна диаграмма
Лп(У~. /(Хо))
л„(Х, £/(х0))-----=----*-лп(У, (/&ОО0))
181
где ш':1 —»У — путь от точки /(х0) до точки (/#/)(х0), равный
/со. Из коммутативности этих диаграмм и того факта, что 5“ ,
' — изоморфизмы, следует, что /и, g„ — изоморфизмы.
Упражнения. 9°. Докажите, что одноточечное пространство и ок-
ружность 5' имеют разные гомотопические типы.
10°. Докажите, что двумерный диск и двумерный цилиндр над
окружностью имеют разные гомотопические типы.
Задача вычисления групп 3tJt(Sn) стимулировала развитие мно-
гих разделов современной топологии, хотя полностью не решена и в
настоящее время. Здесь резко разделяются два случая: к < п и
к > п. Первый случай достаточно элементарен, хотя и требует раз-
вития специальной методики. Приведем без доказательства *
следующие результаты:
л1(5«) = л2(5«)=... = лп_1(5")=0 (п> 1),
(п?1).
Отсюда, в частности, вытекает, что сфера S" не стягиваема ни к
одной из своих точек.
Второй случай до конца не исследован, и трудности растут с ро-
стом пи к — п. Приведен некоторые простейшие результаты:
л3(52) Z, л4(Х3) Z2, ..., ли+1(5п) Z2 (п>3).
Это опровергает кажущееся естественным предположение о том, что
лд(5и) = 0 при к > п.
Таким образом, группы ли(5п) при п = 1,2, ... — это свободные
абелевы группы с одной образующей уи, причем уп — гомотопиче-
ский класс тождественного отображения 1 : Sn—*Sa. Можно пред-
ставить себе кратные классы I уп как гомотопические классы таких
отображений <р: Xй —»5й, которые I раз «наворачивают» сферу 5й на
себя. При этом если Z > 0, то говорят о сохранении ориентации сфе-
ры при отображении ср, а если I < 0, то говорят об изменении ори-
ентации (сравните с гомотопическими классами из лДХ1)).
Упражнение 1Г. Пусть S" — сфера с центром в нуле простран-
ства Rn+1. Покажите, что отображение X” в себя, заданное соответ-
ствием
(хр х2, ..., х„+1)-*(-Хр х2, ..., хп+1),
определяет гомотопический класс, равный (—уп).
* Группа л, (S1) вычислена в теореме 1.
182
Совсем просто доказать, что лп{Х, х0) =0, п 1, если простран-
ство X стягиваемо в точку (следует воспользоваться теоремой 4). В
частности, получаем для диска Dn и пространства Rn
лДЛи)=0, лДПи)=0, лДКи) = 0, к = 1,2,...
В § 9 гл. IV будет показано, что при к 3= 2
л;Д1КРи) лДЗ”) — ^2, к — п.
Для некоторых приложений (см. § 6 гл. I) необходимо знать
группы л, и л2 для группы ортогональных матриц с определителем
1 (обозначается SO(3)), рассматриваемой как подпространство в то-
пологическом пространстве R9 всех матриц 3x3. Ответ получается
сразу, если заметить, что SO(3) гомеоморфно RP3. Действительно,
каждая ортогональная матрица из SO(3) представляет вращение
стандартного базисного репера в R3. Из канонического вида такой
матрицы заключаем, что вращение характеризуется заданием неко-
торой оси /, проходящей через 0, и поворотом всего пространства на
угол а, | а| л, причем повороты на л и (—л) эквивалентны. Если
взять сферу S2 единичного радиуса, то ось I задается парой диамет-
рально противоположных точек (х, —х) на S2 — точек пересечения
I с S2, и угол а — точкой на диаметре [—х, + х] с координатой
х(а) = а/л. Таким образом, множество всех матриц из SO(3) биек-
тивно соответствует точкам единичного диска D3 с отождествленны-
ми диаметрально противоположными точками на границе, т. е. точ-
кам RP3. Нетрудно проверить, что указанное соответствие — гомео-
морфизм.
Таким образом, л,(8О(3)) л,^Р3) = Z2, л2(8О(3))
— л2^Р3) = 0, а также л3(8О(3)) — л3^Р3) -= Z.
7. Некоторые применения. Докажем: вначале важное свойство
сферы Sn.
Теорема 5. Сфера Sn {граница диска D'l+I) не является ре-
трактом Dn + l.
Доказательство. В § 2 было указано в терминах функтора
в категорию групп необходимое условие существования продолже-
ния отображения. Применим это замечание, взяв в качестве функ-
тора функтор ли. Мы уже знаем, что ли(5и) = Z, ли(£)и+1) = 0. Да-
лее, если бы сфера 5й была ретрактом 2>и+1, то имела бы место ком-
мутативная диаграмма (1), где I — вложение сферы в шар, аг —
искомая ретракция. Поскольку лп — ковариантный функтор, то ди-
аграмму (1) он переводил бы в коммутативную диаграмму (2), ко-
183
торая имеет вид (3). Последнее противоречит ее коммутативности.
Следовательно, предположение о существовании ретракции г невер-
но.
С помощью теоремы 5 доказывается следующая теорема, инте-
ресная и важная в приложениях.
Теорема о неподвижной точке (Брауэр). Всякое непрерывное
отображение g: Dn+l—^Da+l (п + \)-мерного замкнутого шара
(диска) в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку, т. е. су-
ществует точка х, G £>п+| такая, что g(xt) = х,.
Доказательство. В самом деле, если такой точки нет, т. е.
для всякой точки х С Dn + 1, g(x) х, то отрезок, соединяющий точ-
ку g(x) с точкой х, можно продолжить за точку х до пересечения
со сферой Sa в некоторой точке г(х). Тогда отображение
г: Dn+i -+Sn, х*—>г(х), является распространением на Dn + l тождест-
венного отображения сферы Sn. Но мы только что доказали, что та-
кого распространения не существует. Противоречие доказывает тео-
рему.
8. Степень отображения. Группа лп(5") = Z тесно связана с ча-
сто используемым в анализе понятием степени непрерывного отоб-
ражения /: »3И. Пусть уи — образующая группы ^(5“). Тогда
/*(уи) ~ аУю где а Иелое, а Д — гомоморфизм группы ли(5"), инду-
цируемый отображением Д Число а называется степенью отображе-
ния f и обозначается deg / (знак числа deg / не зависит от выбора
образующей).
Упражнения. 12°. Отображение единичной окружности S1 =
= {z: |z| = 1} комплексной плоскости задано формулой f(z) = zn.
Покажите, что deg f = п.
13°. Покажите, что если /: S1—*3! — локальный гомеоморфизм,
то число точек в полном прообразе /-1(х) любой точки по-
стоянно и равно |deg /1.
184
Естественно вводится понятие степени и для отображений
/: Xf—»Х£ из одного экземпляра сферы в другой. (Для этого нужно
зафиксировать базисные классы у* в дя(Х") и уя в тогда
/,(уй) = deg/-y*.) Так как уп — гомотопический класс [15«] тож-
дественного отображения, то для отображения /: Хп —*-Sa имеем
следовательно, deg /-уи — гомотопический класс отображения /, та-
ким образом, степень deg / есть «номер» гомотопического класса [/].
Если / = 1 — тождественное отображение, то deg f = 1, если
/~0 (гомотопно постоянному отображению), то deg / = 0, если
/: Sn—*Sa, g: Sa-+Sn — два отображения, то они гомотопны тогда и
только тогда, когда имеют равные степени: deg / = deg g. Приведем
также полезную формулу deg (fg) = (deg /)-(deg g), вытекающую
из соотношения [/g] = /, [g].
Понятие степени применяется при исследовании вопроса о про-
должении непрерывных отображений /: Sn—»Rn+1\{0} на шар
Dn+l, ограниченный сферой Xй. Так как пространство Rn\{0} гомо-
топически эквивалентно 5й, то их гомотопические группы изоморф-
ны и, следовательно, можно говорить о степени данного отображе-
ния, называемой обычно характеристикой (или вращением) вектор-
ного поля /; обозначим ее Xs.(/)>
Лемма 6. Условие х „(/) =0 необходимо и достаточно для су-
ществования продолжения /: Dn+l—»Rn+1\{0} отображения f.
Доказательство очевидно следует из замечания о том, что про-
должение / определяет гомотопию / ~ 0 по формуле
f(x, t) =f(tx), х С Sn, t & [0, 1]
(если Sa — сфера радиуса 1 с центром в 0), и обратно.
Упражнение 14°. Постройте продолжение /, когда / ~ 0. Из лем-
мы 6 вытекает очевидное следствие.
Следствие. Если Ц „(f) *0» то любое продолжение f:Dn+'-+
—»Rn+1 имеет нуль, т. е. существует точка х0 6 Dn+l, f(x0) = 0.
Это следствие часто используют для доказательства существова-
ния решения уравнения /(х)=0, где f:Dn+l—»Rn+1 — заданное
отображение.
Пример 1. Легко убедиться, _что в условиях теоремы Брауэра о
неподвижной точке отображение f(x) = —g(x) + х либо имеет нуль
на Xй, либо Х5«(/) = 1 (/: 5n—»Rn+1\{0} гомотопируется к тождест-
венному отображению f(x, t) = —tg (х) 4-х, xGS“, 0^ 1). Сле-
довательно, / имеет нуль в Dn+l.
185
Пример 2. Основная теорема алгебры: у комплексного полино-
ма /(z) = zm + avzm~l + ... + am_{z + am существует корень в ком-
плексной плоскости.
Обозначим 5р окружность на z-плоскости: {z: |z| = р}.
Лемма 7. При достаточно большом р имеем
7:S*-*R2\{0},
причем X_i(7) = "I-
Доказательство. Рассмотрим гомотопию
7(2, t}=zm + t(alzm~i + ...+am_lz + am), t G [0, 1].
Имеем оценку
|7(г, 01 >|zrp-z(ai-Ar + ...+am_1-^+am-^)],
>1*0. (
Очевидно, что найдется столь большое р > 0, что |7>, 01 >0 при
|z| = р, t G [0, 1]. Следовательно, f'. Slp —>R2\{0} гомотопно отобра-
жению g'. Sp—» R2\{0}, g(z) = zm. Согласно упражнению 12°
X i(#) = m> следовательно, и х ,(/) = w. Для завершения доказа-
5р хр
тельства теоремы теперь нужно воспользоваться следствием из
леммы 6.
9. Некоторые результаты о гомотопических группах конкрет-
ных пространств. Вначале дополним сведения о гомотопических
группах сфер (п. 6). Соотношения ли+2(5") — Z2 при п > 3,
лп+з(5") — 2^24 при п > 5, лп+4(5") = 0 при п > 6, лп+5(£“) = 0 при
п > 7 вместе с теоремой Фрейденталя об изоморфизме всех групп
Jin+jt(S’1) при п > к + 2 и с соотношениями п. 6 позволяют вычислить
большой массив групп ЛД5"), и в том числе изоморфных групп
’i|1+jt(Sn), п > к + 2, называемых стабильными гомотопическими
группами сфер.
Для приложений представляют интерес гомотопические группы
ряда классических матричных групп: группы вещественных п х п-
матриц SO (га) — специальная ортогональная (с детерминантом 1),
Sp(n) — симплектическая, и их комплексные аналоги U(ra),
SU(ra) — унитарная и специальная унитарная. Все указанные груп-
пы вложены в линейное пространство п х n-матриц (вещественное
или комплексное соответственно) и наследуют евклидову топологию
из этого пространства.
Приведем следующие данные:
Kj(SO(n)) Z2, п > 3; ir1(SU(«)) ir1(Sp(«)) = 0,
186
л1(8О(2)) Z; n((S0(3)) — Z2, л2 — О для всех рассматривае-
мых групп;
jt3(SO(n)) — Z, п — 3, п Ss 5.
. Jt3(SO(4))^Z Ф Z, 7t3(SU(n))^Z, п>2,
^3(Sp(n)) — Z, n>i;
jt4(SO(3)) ?i4(SU(2)) a= Z2, n4(SO(4)) Z2 ф Z2,
n4(SO(5)) Z2, jt4(SO(rt)) — 0, n Ss 6,
Jt4(SU(n)) — 0, лг > 3; n4(Sp(n)) — Z2,
J4(SO(3))^nJSU(2))^ K,(Sp(l))^^(53), k> 1,
л^(8О(4)) л, (53) ф лД53), k>V,
^1(U(1))^Z, kJU(1)) =0, Л>1;
^(U(n))^Z, Jit(U(n))^Kt(SU(«)), k>\.
Группы ut(SO(fl)), згДЩи)) не зависят от п при 1 $ £0-2 и
1 к In — 1 соответственно и называются стабильными гомотопи-
ческими группами и обозначаются tt^SO), nt(U); для них справед-
лива периодичность Ботта JtA+g(SO) — n/(SO), JtA+2(U) — 3tA(U)
позволяющая с помощью соотношений лфБО) Z2, x2(SO) = 0,
u3(SO)^Z, n4(SO) = 0, ji5(SO)=0, ji6(SO) = 0? k7(SO) — Z,
7tg(S0) — Z2, nj(U) — Z, n2(U) = 0 вычислить любую стабильную
гомотопическую группу для групп SO(n). U(h).
ОБЗОР РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Систематическое изложение теории гомотопий дано в книгах [58, 62, 63, 65, 78,
81].
Неформальное введение в теорию гомотопий и ее приложения имеется в [24].
Для начального изучения понятия фундаментальной группы можно рекомендо-
вать книги [34, 43].
При изучении понятий категории и функтора полезно обратиться к монографии
[41].
Теория степени отображения и характеристики векторного поля — см. обзор ли-
тературы к гл. IV, V.
С приложениями теории степени можно познакомиться по книге [35].
Задачники по теории гомотопий: [48, 52].
Глава IV
Многообразия и расслоения
В предыдущих главах рассматривались общие свойства тополо-
гических пространств и их отображений. В топологии и ее прило-
жениях появляются, однако, пространства с дополнительными
структурами, например, гладкие многообразия и расслоенные про-
странства, играющие важную роль во многих разделах современ-
ной математики.
В настоящей главе систематически изучаются гладкие многооб-
разия и естественно связанные с ними касательные расслоения, из-
лагаются элементы теории критических точек гладких функций на
многообразиях и элементы теории расслоенных пространств.
§ 1. Основные понятия дифференциального исчисления
в n-мерном пространстве
1. Гладкие отображения. Напомним, что R” — это пространст-
во упорядоченных наборов х = (хр ..., хп) из действительных чисел
(см. § 2 гл. II), называемых точками или векторами. Будем счи-
тать, что R" стандартно вложено в Rn+*, т. е. точку (хр ..., хп)
из R" будем отождествлять с точкой (хр ..., хп, 0, ..., 0) из Rn+*.
Числа хр ..., хп из набора (хр ..., х„) называются стандартными
координатами точки х = (хр ..., хи) в R".
Пусть U С Rn — открытое множество. Всякое отображение
/: t/-»Rm можно представить (см. § 2 гл. II) как упорядоченный
набор из т функций:
/(•ч...*„) = (Л(*Р •••> *„)> /2(х1’ •••> •••> •••> *«))•
Определение 1. Отображение f-.U—»R"! называется гладким
(или дифференцируемым) класса Сг, г>1, на U, если каждая
функция fk, к — 1, ..., т, имеет все непрерывные частные произ-
189
dsfk
водные -•5---j—, s. + ... + = s, на U до порядка s = г включи-
тельно.
Гладкие отображения f класса С называют также С-отображе-
ниями и пишут f G С.
Если все функции fk имеют непрерывные частные производные
любого порядка, то отображение f называется бесконечно гладким
(f G С”). Непрерывные отображения называют С°-отображения-
ми. Очевидно, что справедливы следующие включения:
С°Э С1 Э ... Э Сг Э ... Э С".
В том случае, когда все функции ft аналитические (функция называется анали-
тической, если ее ряд Тейлора сходится к ней в окрестности каждой точки), отобра-
жение / называется аналитическим (/£С“). Справедливо включение С“ЭС“.
Определение 2. Матрица
'ад а/,'
дх. дх„
1 п
dxt •" дхп.
первых производных отображения f, вычисленных в точке х0, назы-
вается матрицей Якоби отображения / в х0 и обозначается
(£)
Матрица Якоби определяет линейное отображение Rn —»Rm:
хо
df. df, df.
~ JT" Х1"*'ёх” х2 + ...+ tj-j- х ,
*0 2 *о п
которое называется производной отображения f в точке х0 и обоз-
начается DXJ. Производная является «линеаризацией» отображения
/: аффинное отображение /(х0) 4- (Dx°f)(x — х0) совпадает с /(х) с
точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем
||х — х0||. Точнее, Dx°f — единственное линейное отображение Rn в
Rm, для которого
f (х) — f (х0) — Г) (х — х0)
--------if—-if---------->0 при х-х0.
190
Следствием теоремы о производной сложной функции является
следующее утверждение («цепное правило»): при суперпозиции
отображений fug матрицы Якоби перемножаются, т. е.
Доказательство этого факта предоставляется в качестве упражне-
ния.
2. Ранг отображения. Пусть U С R" — открытое множество,
f: — отображение класса С, r> 1. Рангом отображения /
в точке х0 называется ранг его матрицы Якоби, вычисленной в точ
ке хп, и обозначается rank /. Он равен размерности подпространст
ва в Rm — образа R" при линейном отображении D f. Так как
Ло
ранг матрицы не может превысить число строк или столбцов, то
rank / min (п, т.). Точки, в которых rank f — min (п, т), на-
хо о
зываются регулярными (иногда также некритическими, неособы-
ми). Точки, в которых rankv / < min (н, т), называются нерегу-
лярными (также критическими, особыми).
Множество регулярных точек отображения / открыто в R” (в си-
лу непрерывности частных производных определитель, на котором
реализуется ранг матрицы Якоби, отличен от нуля в некоторой ок-
рестности регулярной точки). Множество регулярных точек может
быть и пустым. (Приведите примеры.)
3. Теорема о неявной функции. Приведем теорему о неявной
функции, доказываемую в курсе анализа. Точки пространства
R'l+m = R« х Rm представим в виде (х, у), где х — (хр ..., xn) G R",
у = (ур •••> Ли) е Пусть U С R", V С R'" — открытые множест-
ва и (х0, у0) €Е U х V с Rfl+,n.
Если 6'х V-> R"1 есть (^-отображение,
/df\ , Л
— *0, то существуют такая откры-
Теорема 1.
/(*о> Уо)=О и det
тая окрестность Ж(х0) С £7 точки х0 й такое отображение g:
1У(х0)—» F, что g(x0) ~ у0 и /(х, g(x)) =0 для любого х G Ж(х0),
причем такое отображение g единственно. Кроме того, g €Е С! и
—В~1А,
(1)
где матрицы В и А получаются из матриц (х, y)j и
(х, y)^j соответственно при замене аргумента у на g(x).
Замечание. Если г>1, то g G С. Это утверждение
вытекает из равенства (1).
191
Следствием теоремы о неявной функции является теорема об
обратном отображении.
Теорема 2. Пусть U С R" — открытое множество, ft
U—>Rn — отображение класса х0 G U — регулярная
тонка отображения f. Тогда существуют открытые окрестно-
сти У(х0), W(f(xoy) точек х0 и /(х0) такие, что f является го-
меоморфизмом v(x0)—» JF(/(x0)) и f~l 6 С.
Доказательство. Рассмотрим отображение Ft R” х U—»R",
задаваемое по правилу F(y, х) = у — /(х) (у G R", х G U). Обозна-
чим у0 = /(х0). Очевидно, F G Сг и F(y0, х0) = 0. Так как
(dF\
— * 0. По теореме, о неявной функции
существуют открытая окрестность ИДуо) С R" точки у0 и единст-
венное отображение gt W(y0~) —» U такие, что g(y0) — х0 и для любо-
го у G Ж(у0)
Ль $(?)) = У"/($(?)) = 0. (2)
Положим У(х0) = ^(ИДуо)). Так как И(х0) 1 (РИ(у0)), то
У(х0) открыто в силу непрерывности /. Таким образом,
gt ИДуо)-» У(х0) — отображение открытых множеств, и в силу (2)
получаем g = f~l. Кроме того, в силу замечания к теореме 1 имеем
/-1 е С.
Определение 3. Отображение ftU-*V открытого множества
U С R" на открытое множество V С R” называется Сг-диффеомор-
физмом, 1, если: 1) / — гомеоморфизм U на V; 2) / G Сг;
3) f~l G Сг.
Упражнение Г. Постройте С“-диффеоморфизм /: Z)"(x)-» R".
Теперь теорему об обратном отображении можно сформулиро-
вать в следующем виде. Если ft U-+W1 есть С-отображение,
г>1, открытого множества U С R" в R" и х0 — регулярная точ-
ка f, то существуют открытые окрестности У(х0), ИД/Гхд))
точек х0, /(х0) такие, что отображение ft V(x0) —* ИД/(х0)) яв-
ляется Сг-диффеоморфизмом.
Упражнения. 2°. Докажите, что диффеоморфизм не имеет нере-
гулярных точек.
Указание. Воспользуйтесь замечанием о матрице Якоби для суперпозиции
отображений /,
3°. Пусть ft Rn—»R£ — отображение класса С, г 1. Покажите,
что нерегулярные точки / характеризуются тем, что первые част-
ные производные / по всем переменным в этих точках равны нулю.
192
4. «Криволинейные» системы координат. Пусть U, V С R” —
открытые множества и f:U—*V — гомеоморфизм. Положение каж-
дой точки у G V можно задать с помощью стандартных координат
У1, ..., уп точки у, но это можно сделать и с помощью стандартных
координат точки х = /~!(у) 6 U.
Определение 4. Стандартные координаты точки /~!(у) 6 U на-
зывают «криволинейными» координатами точки у G V.
Иными словами, вместо координатных плоскостей у/ = bt,
i = 1, ..., п, в V рассматриваются образы координатных плоскостей
x. = at, i = 1, п, в U при гомеоморфизме /, пересечение кото-
рых определяет положение точки у. Термин «криволинейные» коор-
динаты просто отражает тот факт, что новые координатные «плоско-
сти» в V, вообще говоря, «искривлены» (рис. 81).
Рис. 81
Отметим, что в анализе криволинейные координаты вводятся
обычно не с помощью гомеоморфизма, а с помощью Сг-диффеомор-
физма, где порядок гладкости г зависит от рассматриваемой задачи.
Если на V задана функция g как функция стандартных координат
точки у, то ее можно рассматривать как функцию стандартных коор-
динат точки х, т. е. как функцию криволинейных координат точки
у. В анализе такая операция называется заменой переменных. Иначе
говоря, мы совершаем замену координат в пространстве прообразов
функции g. Это равносильно тому, что вместо функции g рассматри-
вается функция gf. Разумеется, можно рассматривать и отображения
и совершать аналогичные замены переменных. Замены делают также
и в пространстве образов отображений: если g: W—» V — отображение
множества W С Rm, то вместо стандартных координат точки g(z),
z G W, рассматриваются криволинейные' координаты точки g(z),
определяемые гомеоморфизмом /. Такая замена равносильна тому,
что вместо отображения g рассматривается отображение f~lg.
Заметим, что ранг гладкого отображения не меняется при глад-
кой замене переменных.
5. Теорема о выпрямлении. Стандартным вложением R" в
Rn+t называют отображение Rn-*Rn+<:, задаваемое соответствием
(х,, ..., х„) (х!; .... хп, 0, ..., 0).
Стандартной проекцией Rn + <: на R" называют отображение
R"+t—» R", задаваемое соответствием (хр ..., хп, хи+1, ..., хп+4)1—
->(х„ ..., х„).
7 Ю. Г. Борисович и др.
193
Теорема 3 (о выпрямлении отображения в окрестности регуляр-
ной точки). Пусть U С R" — открытое множество, f: —
С-отображение, г > 1, х0 — регулярная точка f. Тогда
А) Если п т, то существуют открытая окрестность
РК(/(х0)) точки открытое множество W\ С Rm и С-диф-
феоморфизм F: W(f(x0)')-*Wl такие, что Ff на некоторой от-
крытой окрестности У(х0) С R" является стандартным вложени-
ем Rn в Rm (рис. 82).
Б) Если т, то существуют открытая окрестность У(х0)
точки х0, открытое множество W С R" и С-диффеоморфизм
F: V(xQ')—*W такие, что fF~l на множестве W является стан-
дартной проекцией R” на R"1 (рис. 83).
Поясним смысл этой теоремы с точки зрения замены координат.
В случае А) диффеоморфизм F~l определяет криволинейные коор-
82
Рис. 83
194
динаты {£р ,,,, £m} в пространстве Rm, в которых отображение /
имеет вид
£1 = х1> •••’ = Хп’ £п + 1 = 0’ •••’ ~ О-
В случае Б) диффеоморфизм F ! определяет криволинейные ко-
ординаты {£р ..., £п} в пространстве R", в которых отображение /
имеет вид у{ = ут = Кт.
Идея доказательства теоремы состоит в том, что заданные отоб-
ражения мы будем достраивать до отображений пространств одина-
ковой размерности и, применяя теорему об обратном отображении,
получать необходимые замены координат.
Доказательство. А) Точки пространства Rm = R" х R"1-"
представим в виде (х, у), где х — (х{, ..., хп) е R", у=(ур ...
•Ут-J е Rm~". По условию rank* f = п, т. е. rank
Предположим сначала, что в матрице Якбби
= п.
отличен от нуля
определитель, составленный из первых п строк. Рассмотрим отобра-
жение Ft: U х Rm *Rm, задаваемое по правилу Fv(x, у) =
= /(х) + (0, у). Матрица Якоби отображения F{ в точке (х0, 0) име-
ет вид
дх1 х0’ ^х„
к ”4
дх1 Хо’'"'дхп
о
э/„+1
Of
dxt
\
°f„ + l
dxn
J m
dx r
0
1
/
По предположению определитель, стоящий в левом верхнем уг-
лу, отличен от нуля, поэтому rankfx oyF{ = т. По теореме об обрат-
ном * отображении существуют такие открытые окрестности
W(x0, 0) и Wl(f(x0)') точек (х0, 0) и /(х0) соответственно, что
: W(x0, 0) -» VPj(/(x0)) является Сг-диффео-
(K(x0. 0)
")—>ИЛ(х0, 0) яв-
отображение F{
морфизмом. Значит^1 и отображение F^1: ^(/(xq))
ляется Сг-диффеоморфизмом. Положим F = F,!. В силу непрерыв-
7*
195
ности отображения / существует открытая окрестность Р(х0) точки
х0 G Rn такая, что /(F(x0)) С И-'ДДхд)). Тогда корректно опреде-
лено отображение Ff: V(х0~)-* W(х0, 0). Отображение Ff является
стандартным вложением R" в R"1 на окрестности Р(х0). Действи-
тельно, так как отображение Ff1 биективно и Ft(x, 0) = /(х), то
(Г/)(х) = Г(/(х)) = /Т!(/(*)) = (х, 0).
В том случае, когда в матрице Якоби
ставленный из первых п строк, равен нулю, необходимо предвари-
тельно перенумеровать координаты в R"1 (иначе говоря, произвести
специальную замену координат в R"1 с помощью С“-диффеомор-
физма g:Rm-*Rm так, чтобы определитель, составленный из пер-
, был отличен от нуля). Для
определитель, со-
вых п строк матрицы Якоби
отображения g-1/ описанным выше способом построим (^“-диффео-
морфизм F, тогда Fg~l будет искомым Сг-диффеоморфизмом для
отображения /.
Б) Элементы пространства Rn = Rm х R'1-'" представим в виде
(х, у), где х = (хр ..., xm) G R"1, у = (ур ..., y„_m) G R"~m. Пусть
х0 = (х°, у0). По условию rank(xo у0)/ = т, т. е. rank L(-^y)-j | „ 0 =
— т. Предположим сначала, что в матрице Якоби Гт,"—<1 I цт-
У>) I (ХО1У«)
личен от нуля определитель, составленный из первых т столбцов.
Рассмотрим отображение F: t/-»Rm xRn~m, задаваемое по правилу
F(x, у) = (/(х, у), у). Матрица Якоби отображения F в точке
(х°, у0) имеет вид
'dft I I
W.y»)’ ЙХ J (х", у0)
э/У ’ ' £^1
Эх1 1(х°,у0)’ "" ЭхДх°,у°)
d/j I dfj I '
1(х°,у0)’
Sfm I dfm I
ЭУ1 1(.г°,У°)’ ”” ЗУ"-т I (х°, у°)
1 о
о
\
0 1
По предположению определитель, стоящий в левом верхнем уг-
лу, отличен от нуля, поэтому rank^o yo^F = п. По теореме об обрат-
196
ном отображении существуют такие открытые окрестности
V(x°, у°) и W(F(xa, у0)) точек (х°, ya)F(xa, у°) соответственно, что
отображение
Fl : V(x°, y°)—*W{f{xa, у°), у°)
1 Их0, у0)
является Сг-диффеоморфизмом. Отображение fF~l на окрестности
W(f(xa, у°), у°) является стандартной проекцией R" на Rm. Дейст-
вительно, пусть z е W(J(xa, у°), у0). Так как F~l биективно, то в
окрестности V(x°, у0) найдется единственная точка (^, р), для ко-
торой z — (/(£, р), р); тогда
[у/7 *](/(£, п)> п) =/[^ *(/(£, п), п)] = /(£> п)-
В том случае, когда в матрице Якоби
(иМ I«-.Л опреде‘
литель, составленный из первых т столбцов, равен нулю, предвари-
тельно необходимо перенумеровать координаты в R" (произвести
замену координат с помощью С“-диффеоморфизма g: Rn—»R") так,
чтобы определитель, составленный из первых т столбцов матрицы
Якоби
/ d(fg) \ I
у) ) I
был отличен от нуля. Для отображения fg
описанным выше способом построим Сг-диффеоморфизм F, тогда
Fg~l будет искомым Сг-диффеоморфизмом для отображения /.
6. Лемма о представлении гладких функций. Приведем еще
один результат, необходимый нам для дальнейшего.
Лемма 1. Пусть / есть Сг+'-функция (г > 0), заданная на вы-
пуклой окрестности ^(х0) точки х° в R". Тогда существуют С-
функции gt: У(х°) —»R1, такие, что /(х)=/(х°) +
п
+ 2 Si(.x)(xi ~ *•). причем g;(x°) = (х°).
/ = 1 1
Доказательство. Положим
1
£;(*) = $ (х° + t(x т- X0)) dt.
о
Применяя элементарные преобразования анализа, получаем
/(*) - fix0) == $
о
df(.x° + t(x — x°)}
dt
(Xi ~ ^X° + f(X ~ X°^
dt =
= Ё (xi - xi) $ й; (x° + f(x ~x0^dt = 2 <>i ~ xi) Si(x).
i=l 0 ‘ i=l
197
Упражнение 4°. Пусть / — функция класса Сг+2, г > 0, заданная
на выпуклой окрестности И(х°) точки х° в R". Покажите, что
/(х) = /(х°) + 2 (хг-х?)^(х°) + 2 Оц-*?)<л-*°)Л7о)>
i = l ‘ ij = l
где (х) — функции класса С на И(х°), причем Л;у(х°) =
§ 2. Гладкие подмногообразия в евклидовом пространстве
1. Понятие гладкого подмногообразия в R\ В курсах анализа
и аналитической геометрии рассматриваются гладкие поверхности в
трехмерном евклидовом пространстве, задаваемые уравнением
z = f(x, у), где / — гладкая функция двух переменных, опреде-
ленная в некоторой области D плоскости (х, у). Рассматриваются и
более сложные поверхности (например замкнутые), которые зада-
ются на отдельных своих частях (локально) одним из следующих
уравнений: z = р(х, у), у= (х, z), х= r(y, z). Простейшим приме-
ром такой поверхности является сфера S2. Другими объектами, изу-
чаемыми в анализе и аналитической геометрии, являются гладкие
кривые, задаваемые локально одной из систем уравнений:
(x = <p(z), (х = <р(у), (у=<р(х),
|у=тр(г); |z=ip(y); |z=ip(x).
Все эти объекты охватываются единым понятием гладкого подмно-
гообразия в евклидовом пространстве.
Рассмотрим некоторое подмножество М в Rw как топологическое
пространство с топологией, индуцированной из R\ Пусть х — точ-
ка М и П(х) — ее открытая окрестность (в Л/).
Определение 1. Если задан гомеоморфизм <р: R'1—»(/(х), n^N,
удовлетворяющий условиям:
1) ф е Cr, 1, как отображение из R" в Rw,
2) rankyip = п для любой точки у G R",
то пара (f/(x), ф) называется картой тонки х в М класса Сг или
Сг-картой в М.
Замечание. Из определения следует, что Сг-карта (П(х), <р)
точки х является Сг-картой любой точки у G £/(х). Это служит объ-
яснением тому, что пару (П(х), <р) называют также Сг-картой в М.
198
Таким образом, задание карты означает локальное задание мно-
жества М (задание окрестности t/(x)) в виде
*1 = Ф1(Ур •••, У„),
*2=Ч>2(У1> •••’ Уп)’
•••> У„),
где <р/5 г= 1, — функции класса Сг, определяющие гомео-
морфизм <р.
Окрестность L/(x) часто называют координатной окрестностью
ввиду того, что гомеоморфизм (1) определяет на множестве L/(x)
криволинейные координаты ур ..., уп, не связанные, вообще говоря,
со стандартными координатами объемлющего пространства RiV.
Отметим, что в литературе также рассматривают карты, гомео-
морфизмы ip которых действуют не из всего пространства R", а из
его некоторого открытого связного множества U; в этом случае пару
([/, <р) по-прежнему называют С-картой в М (подробнее о таких
картах см. § 3).
Определение 2. Отображение /: А —» R" некоторого подмножест-
ва Л С Rw в пространство R" называется С-отображением, 1,
на А (/ £ СГ(Л)), если для каждой точки х Е А существуют откры-
тая окрестность U(x) в пространстве R'v и Сг-отображение
R" такие, что f
= /•
из определения 1 принадлежит
. А П U(x)
Лемма 1. Гомеоморфизм ф !
классу С.
Доказательство. Пусть х £ U(x0~) С Rw, тогда ф- 1 (х) £ R".
Так как rank <р = п, то по теореме о выпрямлении отображения
(см. § 1) существуют открытая окрестность W(x) С Rw точки х, от-
крытое множество W{ С R'v и Сг-диффеоморфизм F: W(x) —* Wi та-
кие, что Fy> на некоторой окрестности И(ф !(х)) С R'! точки ф }(х)
является стандартным вложением R" в’ Rw. Пусть g: R'v—»R'i —
стандартная проекция, очевидно, g £ С. Рассмотрим отображение
gF: ИДх) —» R", тогда gF £ С и gF
= ф !.
W(x) П Ц(х0)
Определение 2 позволяет обобщить понятие диффеоморфизма
открытых множеств пространства R" (см. п. 3 § 1) следующим об-
разом: гомеоморфизм /: А—* В подмножеств А С R", В С Rm назы-
вается Сг-диффеоморфизмом, если f £ С (A), f~l Е Сг(5).
Из леммы 1 следует, что условия 1), 2) определения 1 Сг-карты
(tZ(x), <р) эквивалентны тому, что ф — Сг-диффеоморфизм.
Теперь дадим основное определение.
199
Определение 3. Множество М С RA называется п-мерным под-
многообразием в R" класса С или С'-подмногообразием, если каж-
дая его точка имеет некоторую Сг-карту.
Будем обозначать это подмногообразие через Мп и писать
Мп G Сг, указывая его принадлежность классу Сг. Другими слова-
ми, множество М в RAf есть «-мерное подмногообразие, если для
каждой его точки можно построить координатную систему; каждая
координатная система определена локально (и называется локаль-
ной системой координат), но все множество координатных систем
«охватывает» все подмногообразие.
Определение карты можно расширить на случай г = 0, убирая ус-
ловие 2) в определении 1. Естественно, что в этом случае о диффе-
ренцируемости гомеоморфизма (1) ничего сказать нельзя. В этом
случае говорят, что Мп — топологическое многообразие, и пишут
АГ G С°.
Отметим, что для каждой точки х подмногообразия Мп класса
С определено, вообще говоря, бесконечное число карт. Атласом
подмногообразия Мп называют такое множество карт {(Ua, фа)}
класса С, открытые множества {£7а} которых образуют покрытие
Мп. Атлас {(Ua, <Ра)} многообразия Мп задает множество коорди-
натных систем, «обслуживающих» все подмногообразие. Чтобы за-
дать подмногообразие,, достаточно задать какой-нибудь атлас.
Упражнения. 1°. Покажите, что если заданы две карты, (U, <р),
(V, ф), и (/-подмногообразия М" такие, что U Г) V --* 0, то отобра-
жение ф~!<р: П V) —* П V) открытых множеств про-
странства R" является С-диффеоморфизмом.
2°. Покажите, что если достаточное число экземпляров простран-
ства R" «склеить» с помощью гомеоморфизмов ф-1ф, определяемых
картами некоторого атласа, то получится топологическое простран-
ство, гомеоморфное Мп. (Сравните с разверткой двумерной поверх-
ности, см. § 4 гл. II.)
Таким образом, выбор атласа определяет «склейку» подмногооб-
разия Мп из «-мерных пространств с помощью системы карт.
2. Примеры подмногообразий. 1. Пара (R!, lRi), где 1R>:
R1—»R! — тождественное отображение, определяет одну С“-карту
для всех х G R1 и составляет атлас одномерного подмногообразия в
R1 класса С°°.
Упражнение 3°. Покажите, что пара (R!, <р), где <р: R1—»R!,
определяется формулой <р(х) = х3, не является Сг-картой (гЗ>1)
точки х — 0, но составляет атлас одномерного многообразия в R1
класса С°.
200
2. По аналогии с примером 1 пара (R1, 1 ), где 1 :
R'1—»R" — тождественное отображение, определяет одну С"-кар-
ту для всех х € R" и составляет атлас л-мерного подмногообразия
в R" класса С".
3. Зададим на сфере S2 С R3 атлас, состоящий из двух карт.
Воспользуемся стереографической проекцией (рис. 84). Тогда мно-
жества — S2\{N}, U2= S2\{S} образуют открытое покрытие сфе-
ры. Стереографические проекции из северного и южного полюсов
имеют соответственно вид
<₽1О) =
<Р2О) =
и являются гомеоморфизмами из U2 на R2.
Упражнение 4°. Проверьте, что отображения \ <р21 принадле-
жат классу С" и в каждой точке у G R2 ranky ф^1 = ranky — 2.
Таким образом, сфера S2 с атласом, состоящим из двух карт,
(Пр <р7*), (U2, ф^1), является двумерным подмногообразием в R3
класса С“.
4. С помощью стереографической проекции (см. пример 3) на
сфере Sn можно задать атлас, состоящий из двух карт,
(Пр ip;1), (П2, ф2‘), где
<₽i(O = к-*’ • ’
у1 Л«+1
Нь
п
1-х
Сфера Sn с таким атласом является л-мерным подмногообразием в
R',+1 класса С°°.
201
5. График отображения. Пусть задано отображение /:
/ G С. Рассмотрим график отображения Г(/) = {х,
/(х)} С R" х Rm (см. упр. 12° § 9 гл. II). Атлас на Г(/) зададим из
одной карты (Rn, <р), где <р: R"-*Rn+'n определяется формулой
<р(х) = (х, /(х)). Таким образом, Г(/) является «.-мерным подмно-
гообразием в R"+m класса С.
Упражнения. 5°. Покажите, что множество точек ^х, sin пло-
скости R2, х 6R1, х*0, является одномерным подмногообразием в
R2 класса С".
6°. Покажите, что любое множество в R", состоящее из изолиро-
ванных точек, является нульмерным подмногообразием в R".
6. Множество решений системы у рав н ений. Пусть
имеется система уравнений
/1(хр ..., х„) = 0,
.............................. (2)
/т(хР хп)=0,
где fi,..., fm: Rn—*R* — функции класса С, г 3=1. Пусть п 5= т.
Система функций задает Сг-отображение /: R" —► R"1.
Множество решений системы обозначим через М. Ясно, что
Теорема 1. Пусть множество М непусто. Если для всякой точки
(Э f\ I
— I равен т, то М является
(п — т)-мерным подмногообразием в R" класса С.
Доказательство. Пусть х0 — произвольная точка М. По ус-
ловию теоремы х0 — регулярная точка отображения /. Согласно
теореме о выпрямлении отображения (см. § 1) существуют откры-
тая окрестность У(х0) С R" точки х0, открытое множество
W С R"1 и Сг-диффеоморфизм А: Г(х0) —* И7 такие, что fF~l на
множестве W является стандартной проекцией R" на R"1. Без огра-
ничения общности можно считать, что W есть некоторый открытый
диск D"(y0), у0 = А(х0); тогда
(/А-1)’1 (0) П Р"(у0) = R"-"1 П D"(y0) = п;-"‘(у0).
(Здесь R"'m = {xGR'l:xi=...=xm = 0} — подпространство в
R".) Ясно, что открытый в Rn~m диск D"~m(y0) — образ множества
М П Г(х0) при диффеоморфизме F. Таким образом, открытая окре-
стность И(х0) П М точки х0 в М Сг-диффеоморфна открытому
диску Ор-"!(у0), а следовательно, и пространству Rn--'n. а
202
В качестве примера снова рассмотрим сферу Sn С Rfl+1, задав ее
уравнением xj + ... + х„+1—1 =0. Здесь rank в любой точке
сферы равен единице, следовательно, выполнены условия теоремы 1
(для любого г 1). Таким образом, мы еще раз доказали, что сфера
Sn является n-мерным подмногообразием в R',+1 класса С°°.
Рассмотрим случай, когда условия теоремы 1 не выполнены.
Пусть множество М с R3 задается уравнением xf — х^ — хз — 0
(рис. 85). На множестве Л/\0 можно задать структуру двумерного
С°°-подмногообразия (как и ранее). В точке же 0 все миноры мат-
рицы Якоби нулевые и ее ранг не максимальный. Множество М
представляет простой пример алгебраического многообразия, а точ-
ка 0 — особая точка этого многообразия.
§ 3. Гладкие многообразия
1. Понятие гладкого многообразия. Это понятие является од-
ним из центральных понятий гладкой топологии и современного
анализа. Способ введения координат на множестве можно обобщить,
не предполагая, что оно лежит в пространстве R'v. Развитие этой
идеи приводит к понятию гладкого многообразия.
Пусть М — топологическое пространство, U С М — открытое
множество и <р: R" —*U — гомеоморфизм. Тогда координатами точ-
ки х G U естественно считать стандартные координаты
{^(х), ..., Jj„(x)} точки <p'4(x) в пространстве R". Таким образом,
гомеоморфизм <р задает координаты на части U пространства М\ па-
ру (U, <р) называют картой в М. Для всякой точки х G U карту
(U, <р) будем называть также картой точки х.
Пусть (U, <р)(<р: Rn—*t/), (V, тр)(лр: R"—► V) — две карты в Ми
U О V Ф 0. Тогда каждой точке х G U П V отвечают две системы
координат: {^(х), ..., £„(х)} и {^(х), ..., iqn(x)} ~ координаты то-
чек <р-1(х) G <р-1(1/ П V) и ip-1 G ip-1(LZ П К), которые, вообще го-
воря, различны. Обе системы координат равноправны в том смысле,
что существует гомеоморфизм перехода
<*<р: Г)-*ф-1(^П Г),
203
связывающий обе системы координат и позволяющий первые коор-
динаты непрерывно выразить через вторые:
^1 = Х1(Пр •••> Ч»),
^ = Хп(П1, П„)
и наоборот, вторые непрерывно выразить через первые:
П1 = •••>
................................. (2)
Пп = хп(^Р •••> U-
В формулах (1) и (2) через Хр •••> Хп! хр •••> х« обозначены коор-
динатные функции отображений <р~ 1чр, "ф^'ф.
Для задач анализа бывает необходимо, чтобы зависимости (1) и
(2) были г раз, г = 0, 1, ..., оо, дифференцируемы. Это эквивалент-
но тому, что гомеоморфизм "ф^Ф является С -диффеоморфизмом.
(Для удобства мы называем гомеоморфизм С°-диффеоморфизмом.)
Определение 1. Карты (U, <р), (У, "ф) в М называются С-согла-
сованными, если выполнено одно из следующих условий:
1)ЕПУ=0, 2) U П V 0, и гомеоморфизм
П П У) является Сг-диффеоморфизмом.
Определение 2. Множество карт {(t7a, фа)} в М называется С-
атласом или атласом класса С, если любые две его карты С-со-
гласованы и U Ua = Л/.
Замечание. Все гомеоморфизмы <ра в определении Сг-атласа
действуют из одного и того же пространства R".
Таким образом, задавая некоторый атлас на М, мы тем самым
вводим координаты в окрестности каждой точки х 6 М, называемые
локальными координатами.
Пусть на М задан некоторый Сг-атлас {(Ua, <ра)} и, следователь-
но, в окрестности каждой точки введены локальные координаты. Во
многих задачах анализа из разных соображений бывает удобно вво-
дить новые локальные координаты (при помощи некоторой карты
(У, г|>)), которые должны быть «равноправны» старым координатам,
задаваемым картами Сг-атласа {(Па,фа)}. Таким образом, карта
(У, <р) должна быть Сг-согласована с каждой картой (Ua, <pa) задан-
ного С-агласа. Если это условие выполнено, то множество карт
{(Па, <ра)} П (У, -ф) является Сг-атласом. Так как Сг-атлас
{(Ha, <pa)} U (У, "ф) получен из Сг-атласа {(£/a, <pa)} присоедине-
нием «равноправной» карты, то естественно эти атласы считать эк-
вивалентными.
204
Определение 3. Два (/-атласа, {(Ua, <ра)}, {(У$, ф^)}, называ-
ются эквивалентными, если (/-согласованы любые две карты,
(Z7a, Фа)’ Фр)- Другими словами, два Сг-атласа эквивалентны,
если их объединение является Сг-атласом.
Упражнение Г.-Покажите, что введенное отношение во множе-
стве Сг-атласов является отношением эквивалентности.
Из упражнения 1° следует, что множество (/-атласов на М рас-
падается на непересекающиеся классы эквивалентных атласов.
Определение 4. Класс эквивалентности Сг-атласов на М назы-
вается С-структурой на М.
Каждый класс эквивалентности (/-атласов на М определяется
любым из своих представителей, т. е. заданную Сг-структуру можно
восстановить по любому ее (/-атласу. Это замечание лежит в осно-
ве того, что С-структуру на М задают указанием на нем одного
(/-атласа из данной (/-структуры.
Объединение всех Сг-атласов из данной (/-структуры также
является (/-атласом, который называется максимальным. Задание
Сг-структуры равносильно заданию максимального атласа. Иногда
(/-структурой называют максимальный атлас.
Топологическими структурами называют С°-структуры; гладки-
ми (или дифференциальными) структурами называют Сг-структуры
(г = 1, ..., 00).
Определение 5. Топологическое пространство М с заданной на
нем Сг-структурой называется С-многообразием (или многообрази-
ем класса С), а размерность пространства R", из которого действуют
гомеоморфизмы карт, называется размерностью (/-многообразия.
По аналогии с (/-структурами С°-многообразия называются то-
пологическими, (/-многообразия (г = 1, ..., оо) — гладкими. Иног-
да (для краткости) (/-многообразия мы будем называть просто мно-
гообразиями, (/-атласы — атласами.
Если в условии 2 определения 1 гомеоморфизмы ф-1<р, <р-1ф
являются аналитическими отображениями (ф-1<р, <р~*ф е С“), то
карты (U, <р), (V, ф) в М называются (^-согласованными. Ес-
тественным образом определяются Сш-атласы, С"-структуры и
Сш-многообразия. Аналитическими структурами и аналитически-
ми многообразиями называются (/“-структуры и (/“-многообразия
соответственно. Для того чтобы указать размерность многообразия,
мы будем писать Мп, а также dim М = п.
Замечание. Размерность (/-многообразия является его инвариантом, т е. ие
зависит от выбора атласа. Действительно, если бы М допускало атласы
{«У {(^.
205
и п^т, то нашлись бы множества Ua, Ир такие, что 1/о (Д V и отображение
было бы гомеоморфизмом. Это противоречит теореме Брауэра о том, что непустые
открытые множества 4/CR", KCRm могут быть гомеоморфными лишь в случае
п—т. (Эта теорема будет доказана независимо от материала этой главы в § 6 гл. V.)
Для Сг-многообразий, г>1, корректность определения размерности очевидна.
Отметим, что С°-структура на любом пространстве М единствен-
на (это следует из определения); но если г &= 0, то М может допу-
скать несколько различных Сг-структур. Действительно, атлас, со-
стоящий из одной карты (U, <р)), где U = R1, а <р: R1—*R1 — тож-
дественное отображение, задает на R1 структуру С°°-многообразия.
Атлас, состоящий из одной карты (R1, <р), где <р(х) = х3, также за-
дает на R1 структуру С°°-многообразия. Легко проверить, что рас-
смотренные атласы не эквивалентны и, следовательно, опреде-
ляемые ими С'л-структуры различны.
Более того, доказано, что если на М существует хотя бы одна
Сг-структура (г^1), то на М существует бесконечно много Сг-
структур.
Упражнения. 2°. Покажите, что атласы
{(R1, ф0)}, ..., {(R1, Ф*)}, где <рл(х) = x2VH, k = Q, 1, ...,
задают на R1 различные С°°-структуры.
3°. Покажите, что любое Сг-подмногообразие в R'v является С-
многообразием (см. упр. Г § 2).
Укажем на одно формальное обобщение понятия карты (U, <р),
когда гомеоморфизм <р действует из некоторого открытого связного
множества пространства R", вообще говоря, не совпадающего со
всем пространством. В этом случае можно определить все понятия,
введенные выше, повторяя дословно их определения. Однако это не
приводит к обобщению понятия (^-многообразия. Действительно, в
такой С-структуре можно выделить Сг-атлас {(£7и, фа)}, в котором
все гомеоморфизмы <ра действуют из открытых дисков Da простран-
ства R". Так как существует Сг-диффеоморфизм fa: ]R.n-+Da, то
Сг-атлас {(Ua, фа/а)} содержится в нашей Сг-структуре и состоит
из обычных карт.
В некоторых случаях более просто задать атлас, состоящий из
обобщенных карт. Этим обстоятельством мы будем пользоваться в
случае необходимости, не делая оговорок.
Пример 1. Всякое открытое множество V многообразия Мп
класса С само является многообразием класса С со структурой, за-
206
даваемой атласом I (l/a П V, <р I i Н, где {(Ua, <ра)} — неко-
торый атлас из Сг-структуры, заданной на М".
Пример 2. Зададим С”-атлас на S2 С R3, состоящий из шести
карт. Положим
Uk = {х= (хр х2, х3) 6 S2: хк > 0},
U к = {х 6 S2: хк < 0}, к = 1, 2, 3.
Определим гомеоморфизмы D2—*Uk, <$к: D2—*Uk:
<Р1+, <Р1 •• О2> хз)'~> ± V 1 - х| - х\, х2, х3
?2’ <₽2: (Х1> Хз) h-> xi, ± V 1 -X?-Xj, Х3
Фз", <р3: (хр х2) » Хр х2, ± V 1 — х2 — х2
где знак в правой части выбирается в соответствии со значком +
или — слева.
Аналогичным образом на сфере Sn можно задать С”-атлас, со-
стоящий из 2(п + 1) карт. ♦
Для возможности целого ряда построений при изучении тополо-
гических пространств необходимы свойства хаусдорфовости и счет-
ности базы топологии. Из определения многообразия эти свойства,
вообще говоря, не вытекают. Это иллюстрируется нижеследующими
примерами.
Пример 3. Нехаусдорфово многообразие М1 класса С”. Рас-
смотрим интервал (0, 3) и разобьем его на три множества: (0, 1],
(2, 3), (1, 2]. В их формальном (несвязном) объединении (рис. 86)
введем топологию следующим образом: ок-
рестности точек на множестве (0, 1) U Т7
U (1,2) U (2, 3) такие же, как в тополо-
гии, индуцированной вещественной прямой.
Окрестностями же точек х3 = 1, х2 = 2 слу-
2
жат соответственно множества (1 — е, 1] U
U (2, 2 + е), (2 — е, 2] U (2, 2 + е). Тогда
Рис. 86
точки хр х2 неотделимы.
Предоставляем в качестве задачи показать, что на полученном
пространстве можно естественным образом задать структуру одно-
мерного С”-многообразия и что это многообразие со счетной базой.
Пример 4. Многообразие М1 класса С”, не имеющее счетной
базы. Рассмотрим множество М = R1 X R1. Топологию в М опреде-
лим как топологию декартова произведения, где первый сомножи-
тель R1 с обычной топологией, а второй сомножитель R1 — с диск-
207
ретной. Нетрудно показать, что это хаусдорфово одномерное много-
образие класса С”, топология которого не обладает счетной базой.
Соединяя два последних примера, легко построить нехаусдорфо-
во многообразие без счетной базы (взяв их декартово произведе-
ние).
Отметим, что отсутствие счетности базы топологии многообразия
в примере 4 привело к «патологии»: плоскость является многообра-
зием размерности 1, а не 2.
Обычно многообразие Мп предполагают хаусдорфовым и удов-
летворяющим второй аксиоме счетности. Мы также будем это де-
лать без дополнительных оговорок. Тогда легко доказать, что мно-
гообразие Мп является локально компактным и даже паракомпакт-
ным пространством.
Действительно, локальная компактность вытекает из следующе-
го простого упражнения.
Упражнение 4°. Покажите, что если (17, <р) — карта в Мп,
х 6 U и О'1(<р”|(х)), Т)п(<р-1(х)) — открытый и замкнутый диски в
R" с центром в точке *(х) радиуса 1, то <р(О"(<р-,(х))) — откры-
тая в Мп окрестность точки х, замыкание которой (в Мп) ком-
пактно и равно <p(Z>',(<p“1(x))).
Паракомпактность многообразия Л/" следует из его локальной
компактности и счетности базы (согласно следствию теоремы 6 § 13
гл. II).
Отметим, что из условия счетности базы для многообразия не-
медленно следует, что всякое Сг-многообразие Мп, г 0, имеет
счетный атлас {Ua, <ра}, <ра: Rn-*t/a, т. е. атлас, состоящий не бо-
лее чем из счетного множества карт.
2. Проективные пространства. Определение и различные топо-
логически эквивалентные интерпретации проективных пространств
RP"-1, СР"-*, п 5= 2, даны в п. 2 § 5 гл. II (см. также п. 1 § 3
гл. I). На пространствах RP'*-1, СР"-1 можно ввести структуры
С”-многообразий. Проиллюстрируем идею введения локальных ко-
ординат в RP"-1. Рассмотрим RP"-1 как множество L — {/} всех
прямых пространства R", проходящих через начало координат.
Каждая прямая пересекает одну или несколько гиперплоскостей ви-
да Xj — 1. Зафиксируем одну из таких гиперплоскостей х; = 1 и вы-
делим из L совокупность Ut всех прямых, пересекающихся с гипер-
плоскостью х; = 1. Тогда положение прямой I 6 Ui определяется де-
картовыми координатами (£,, ..., ^;_1, 1, ..., ^n_j) ее точки
пересечения р с гиперплоскостью хг = 1. Координаты (^, ...,
!=., •••> ^,,-|) естественно принять за локальные координаты прямой
I (см. рис. 87). Таким образом, имеем гомеоморфизмы
ФД/) = (^,..., Кп-д- 1, п.
208
Локальные координаты |1( называют также проективными
координатами прямой I. Нетрудно выразить локальные координаты
прямой I через координаты произвольной точки х = (х1; х„)
прямой I:
^ = Х1/Хр ^ = Х/ + 1/Хр , ^-1 = Х„/Хр
Атлас из п карт (Ut, <р;), z = 1, ..., и, где = зр, *, задает структуру
С”-многообразия размерности п — 1 на RP"-1. Покажем С”-согласо-
ванность карт построенного атласа. Действительно, пусть
Ze Ut n UJ И iq^Xi/Xp Л;-! = 1\j = Xj + l/Xj, !]„-! =
= xn/Xj — локальные координаты прямой I в карте (U<рр. Пусть
для определенности i < j. Тогда очевидны следующие соотношения:
ПА = 11> Hz-i/nz =
’li+i/’l> = ^ •••’ Пу-А=А-2’
Vn, = l,-i> nA = lr n„-A = ln-i.
из которых видно, что локальные координаты ijj, ..., бесконеч-
но гладко зависят от координат т)(, ..., т)п_].
Упражнения. 5°. Убедитесь, что для проективного пространства
RP""1, рассматриваемого как совокупность пар диаметрально проти-
воположных точек сферы Л’"”1, локальные координаты можно также
задать описанным выше способом.
6°. Покажите, что комплексное проективное пространство
СР'1'"1 имеет С°°-атлас, превращающий его в С°°-многообразие ве-
щественной размерности 2п — 2.
Указание. Рассматривая СР"-1 как множество комплексных прямых в С, за-
дайте атлас формулами, аналогичными случаю КР"-1.
Более общо, можно рассмотреть некоторое многообразие Мп клас-
са Сг, на котором действует группа (см. § 5 гл. II). Будем предпо-
209
лагать, что орбита каждой точки при этом действии состоит из к раз-
личных элементов.
Упражнение 7°. Пусть h: *Н(Мп} — гомоморфизм группы
%к (к простое) в группу гомеоморфизмов Мп, задающий действие
У.к в Мп, и пусть g — образующий элемент группы %к. Покажите,
что условие hg(x) &= х для любого х G Мп эквивалентно предполо-
жению о том, что орбита каждой точки при этом действии состоит
из к различных элементов. В этом случае говорят, что группа
Zk действует без неподвижных точек.
Предположим далее, что карты вида (JigUa, hg<pa) (^-согласова-
ны с картами ((7^, <р^) Сг-атласа на Мп. Рассмотрим факторпрост-
рзнство МпГУ.к- Оно также является (/-многообразием размерности
п. Атлас задается следующим образом: пусть Ох — орбита точки
х, U(OX) — окрестность орбиты в Мп1г£к, состоящая из всех орбит
Оу, проходящих через точки у достаточно малой окрестности V(x)
точки х в Мп (У(х) не должна содержать пар точек у, Ag(y) и дол-
жна целиком лежать в какой-нибудь карте многообразия Мп'). Тог-
да локальные координаты в V(x) точки у G V(x) назовем локаль-
ными координатами орбиты Оу С (7(Оу). Можно убедиться, что это
Сг-атлас. Условие согласованности карт (hgUa, hg<f>a), ((7^, <р^) не
является обременительным (см. ниже теорему 2 § 5).
Упражнение 8°. Проверьте, что обобщенное линзовое простран-
ство L(k, к{, кп) является (’“-многообразием размерности
2п + 1.
3. Индуцированные структуры. Пусть Мп есть (/-многообразие
и /: Мп —» N — гомеоморфизм топологических пространств Мп и N.
На топологическом пространстве N естественным образом можно
ввести структуру (/-многообразия, называемую структурой, инду-
цированной f. Именно: если {((7а, <ра)} есть (/-атлас многообразия
Мп, то {(/(£7а), /<ра)} есть (/-атлас на N.
Упражнение 9°. Убедитесь, что {(/((7а), /<ра)} действительно
атлас, определяющий на N структуру (/-многообразия размерно-
сти п.
Описанный способ задания структуры оказывается весьма полез-
ным при задании структуры (/-многообразия на топологическом
пространстве N: мы можем задать структуру (/-многообразия на бо-
лее «простом» пространстве М, гомеоморфном N, а затем индуциро-
вать на N структуру (/-многообразия. Таким образом (’“-структуру
получают, например, различные модели RP',~1.
210
Пример 5. Нетрудно видеть, что всякое одномерное компакт-
ное С°-многообразие триангулируемо. Тогда всякое связное одно-
мерное компактное С°-многообразие гомеоморфно окружности S1
(см. упр. 6° § 4 гл. II ), следовательно, на нем естественным обра-
зом индуцируется С°°-структура.
Пример 6. Двумерная ориентируемая замкнутая поверхность,
как показано в § 4 гл. II, гомеоморфна поверхности типа Мр (сфера
с р ручками), которую можно реализовать в пространстве R3 как
С°°-подмногообразие (интуитивно это представляется очевидным).
Таким образом, ориентируемые замкнутые поверхности получают
структуру С“-многообразия.
Упражнения. 10°. Задайте структуру С°°-многообразия на грани-
це куба /" = {х = (хр ..., xn): | xt | < 1, i = 1, ..., /г}, индуцируя ее
со сферы Sn~l.
1Г. Покажите, что отображение
(Хр х2, x3)->(xf, х|, xj, Х1Х2, Х[Х3, х2х3)
является гомеоморфизмом проективной плоскости RP2 на подмно-
жество в R6. Индуцируя этим гомеоморфизмом структуру гладкого
многообразия RP2, мы тем самым реализуем RP2 как подмножество
в R6.
12°. Постройте реализацию RP3 в R10.
4. Многообразия матриц. Множество М(т, п) всех т х «-мат-
риц с элементами из R1 наделим топологией, индуцированной есте-
ственным отображением it Rf’in—»М(т, п):
'Х1 • Хп '
*1> •••> хп + 1 Х1п
х,пп
Тогда гомеоморфизм i индуцирует на М(т, п) структуру (^-мно-
гообразия размерности тп.
Обозначим через М(т, п; к) подпространство в М(т, п) мат-
риц фиксированного ранга к. Зададим на М(т, п; к) структуру
С“-многообразия размерности к(т + п — к). Заметим предвари-
тельно, что если Y G М(т, п) и rank У > к, то перестановкой
строк и столбцов матрицу У можно привести к виду
'Ay BY '
CY Dy
211
где Ay — невырожденная квадратная матрица порядка к. Иными
словами, существуют квадратные невырожденные матрицы
PY €Е М(т, т), QY €Е М(п, п) такие, что
Bv
(A
PyYQy =
C
D
Покажем, что rank Y = к
DY = СуАу1Ву. Действительно,
(Av
тогда и только тогда, когда
из равенства
(А
B.
B.
0
С-уА-у1
следует, что
rank Y = rank
B.
—CyAylBv + D.
Из последнего равенства видно, что rank Y = к тогда и только тог-
да, когда DY €Е CYAYlBY.
Пусть теперь Хо е М(т, п; к). Пусть X — произвольная матри-
ца из Af(m, п; к). Обозначим
(A
BB
VQx =
где Ах х° — квадратная матрица порядка к. Рассмотрим открытую
окрестность
V(X0) = {XG М(т, n): det Ахх Ф 0}
матрицы Хо в М(т, п). Тогда U(Xq) = V(Xq) П М(т, п; к) — от-
крытая окрестность Хо в М(т, п; к) и отображение
задаваемое следующим образом:
I т—к
C
A
0
D
C
\
7
0
D
— гомеоморфизм (i — естественное отображение). Следовательно,
(U(Xq), Фх*) — карта. Задавая таким образом карту для каждой
матрицы Хо €Е М(т, п; к), мы получаем С”-атлас на М(т, п; к).
212
Упражнение 13°. Покажите (^-согласованность карт построенно-
го атласа.
Отметим, что М(к, п) можно интерпретировать как множество
упорядоченных наборов к векторов в Rn, а М(к, п; к) — как мно-
жество упорядоченных наборов к линейно независимых векторов в
R'1; М(п, п) обозначается L(n, R), а М(п, п\ п) обозначается
GL(h, R) (группа обратимых матриц, называемая общей линейной
группой).
5. Многообразия Грассмана. Естественным обобщением проек-
тивного пространства RPn-1 является многообразие Грассмана
Gt(R"), состоящее из всех ^-мерных подпространств, к>1, про-
странства Rn (при к = 1 это проективное пространство). Множество
G/.(R") наделим топологией, индуцированной естественным отобра-
жением Л/(Л, н; к) —»GJt(Rn), сопоставляющим каждой матрице
••• ХкП/
подпространство в R”, натянутое на векторы
xz = (хп, ..., х/п), (=1,..., к.
Заметим, что Gfc(R") гомеоморфно пространству орбит про-
странства М(к, п\ к) по действию (слева) группы GL(&, R); эле-
мент С € GL(&, R) действует на элемент Y G М(к, п; к) по прави-
лу Y > CY (произведение матриц). Другими словами, пространст-
во Gi(Rn) гомеоморфно факторпространству М(к, п; k)/R со
R
следующим отношением эквивалентности: X ~ Y, если существует
квадратная невырожденная матрица С порядка к такая, что
X = CY. Чтобы задать на Gx,(Rn) структуру С”-многообразия, бу-
дем задавать С°°-структуру на М(к, п; k)/R и индуцировать С”-
структуру на GX,(R”) гомеоморфизмом /: М(к, п; k)/R—»Gjt(Rn).
Получаемое многообразие называется многообразием Грассмана.
Локальные координаты на М(к, п; k)/R можно задать по анало-
гии с проективным пространством RPm-1, если вместо Rm\0 рассмот-
реть М(к, п; к), вместо прямых I — {(%}, t G R^O, х G Rm\0 — под-
пространство L — {TJl}, Т G GL(&, R), X G M(k, n; к), a вместо ги-
перплоскости xt = 1 — множество Hj t матриц из М(к, п; к), для
которых подматрица, составленная из гр ..., ik столбцов, является
единичной. Подпространство {ГХ} пересекается с множеством
Н, I , если и только если подматрица X, , , составленная из
213
ip ik столбцов матрицы X, невырожденна (т. е. det Xt 0);
в случае невырожденности Xt t «точкой пересечения», как не-
трудно видеть, будет матрица Y = Х~^ tX. Для задания карт за-
фиксируем множество Hi t (т. е. фиксируем номера столбцов в
матрице X G М(к, п; к) и рассмотрим множество Ut t всех под-
пространств {ТХ}, пересечение которых с Я,- . непусто. Иными
словами, Ui t — это множество подпространств {ТХ}, для которых
у образующего элемента X подпространства {ТХ} подматрица
X/ I невырожденна. Элементы матрицы Y, . , образованной
'1...'* .......................................
столбцами ..., jn_k матрицы Y, отличными от л р ..., ik, естествен-
но принять за локальные координаты. Точнее, пара
(Ui t ’ Vi i )> r^e Ti i : Л/(Л, n; k)/R^ — гомеомор-
физм, задаваемый соответствием
Hl •" H(n-i)
X^Yj,
^*1 "• Ук(п-к)
•••’ J'l(n-it)’ У11' •••’ Ук(п-к))’
является картой в М(к, л; k)/R.
Упражнение 14°. Убедитесь, что отображения t являются
гомеоморфизмами.
Атлас {^1/} t , ф”1 ; j | из С* карт задает структуру (^-мно-
гообразия размерности к(п — к) на М(к, л; k)/R.
Упражнения. 15°. Покажите (^-согласованность карт построен-
ного атласа.
16°. Покажите, что многообразие Gt(Rn) гомеоморфно многооб-
разию Gn_(t(Rn).
6. Многообразие Штифеля. В многообразии Л/(л, к) рассмот-
рим подмножество ^(R") матриц, элементы которых удовлетворя-
ют системе к(к + 1 )/2 уравнений
п
2 xsixsj = 6ij’
5 = 1
(здесь d(y — символ Кронекера). Наделим ^(R") топологией, ин-
дуцированной из М(п, к). Рассмотрим естественное отображение
z: yt(Rn) -* Rn*:
•’ alit> a21’ •••’ a2it’ •••’ anl’ anit)-
214
Наделим множество z(PA(R")) топологией, индуцированной из
Rn*. Тогда i гомеоморфно отображает на свой образ
z(Kt(Rn)). Покажем, что на z(Kt(Rn)) можно задать структуру С°°-
многообразия. Ранг матрицы Якоби отображения /: Rni —»
п
—► компонентами которого являются функции У xsixsj —
— 1 i «S j =£ к, очевидно, равен к(к + 1 )/2 для всякой точки
х G z(PA(Rn)). Поэтому согласно теореме 1 § 2 z(Kt(Rn)) является
подмногообразием в Rnt класса С°° размерности кп— к(к + 1 )/2, а
следовательно, и С”-многообразием. Гомеоморфизм z-1 индуцирует
на V\(Rn) структуру С”-многообразия размерности кп — к(к + 1 )/2,
которое называют многообразием Штифеля. Многообразие Штифе-
ля можно интерпретировать геометрически как множество ортонор-
мированных ^-реперов пространства Rn, так как координаты векто-
ров однозначно определяют матрицу из P't(Rn).
Элементами многообразия Штифеля l/rl(R”) являются ортого-
нальные матрицы, его обозначают О(и, R). Подмножество в
O(n, R), состоящее из матриц с определителем +1, открыто в
O(n, R), следовательно, является С”-многообразием размерности
(и2— 1)/2, его обозначают SO(n, R).
7. Произведение многообразий. Если Мп, Nm — два (^-много-
образия, то на топологическом произведении Л/ х N естественным
образом можно задать структуру Сг-многообразия размерности
т + п. Предоставляем читателям сделать это в качестве упражне-
ния.
Примерами произведения многообразий могут служить цилиндр
R1 х S1 и Л-мерный тор Тк = S1 х ... х S1 (к сомножителей). Соглас-
но сказанному выше, они являются (^-многообразиями размерно-
стей 2 и к соответственно.
8. Группы Ли. Рассмотрим специальный класс гладких многооб-
разий, являющихся одновременно группами, — они называются
группами Ли по имени норвежского математика Софуса Ли.
Группа G, наделенная структурой гладкого многообразия так,
что .отображение GxG-»G, задаваемое правилом (g, h)-->g-А-1,
является гладким, называется группой Ли.
Очевидно, что для группы Ли гладкими являются и отображения
G —» G: g >g-1 и G х G: (/, g)'-^>f-g‘, действительно, первое является
суперпозицией гладких отображений g1—»(е, g) и (е, g)*—»
^->e-g-1 = g-1, а второе — отображений (g, h'y—>(g, h), (g,
—>g(h~l)~l ~ g-h. Далее, если Ge — связная компонента группы G,
215
содержащая единицу е, то gGe С Ge при всяком g G Ge (в силу
связности образа g'Ge и (g-Ge) Г) Ge 0); аналогично
g~l GeG.Ge. Таким образом, связная компонента G, содержащая
единицу, также является группой Ли.
Простейшие примеры групп Ли: пространство R" относительно
операции сложения векторов; С\0 — комплексные числа, кроме
О, — относительно умножения; единичная окружность S1, рассмат-
риваемая как подмножество в С\0, относительно умножения; мно-
гообразия GL(n, R), O(n, R), SO(n, R) относительно умножения
матриц.
Если Gj и G2 — две группы Ли, то G{ X G2 есть группа Ли отно-
сительно умножения (gj, Aj) • (g2, h2) = (g( g2 -h^ (с гладкой
структурой произведения многообразий G{, G2).
Отсюда сразу следует, что n-мерный тор Тп = S1 х ... х 5* —
группа Ли с покомпонентной операцией умножения.
Группой Ли является и группа аффинных преобразований про-
странства R": х Ах + v, где v, х е R”, А — невырожденная
nxn-матрица; ее многообразие Lm = GL(n, R) х Rn, m = n2 + n,
состоит из nap (A, v) с гладкой структурой произведения, а группо-
вая операция задается формулой (А{, • (А2, v2) = (А{А2,
A2v{ + и2); единичный элемент е —- (/, 0), где I — единичная мат-
рица, 0 — нулевой вектор.
Упражнение 17°. Докажите, что Lm — группа Ли.
9. Риманова поверхность. Рассмотрим пример, важный для теории функций
комплексного переменного. Пусть Мг — двумерное гладкое многообразие. Рассмот-
рим R2 как комплексную z-плоскость. Пусть {(t/a, f„)} — атлас на Мг такой, что
диффеоморфизмы перехода
П П
являются комплексными аналитическими функциями z в областях ^„'(^ U
Многообразие Мг с таким атласом называется (абстрактной) римановой поверх-
ностью. Комплексная аналитическая структура на ней определяется такой эквива-
лентностью атласов, при которой диффеоморфизмы перехода являются комплексны-
ми аналитическими функциями.
В частности, комплексная z-плоскость С является римановой поверхностью: ее
комплексная аналитическая структура задается атласом, состоящим из одной карты
(С, 1(£), где 1<с — тождественное отображение.
Сфера S2=={xER3: х( + х2 + х2 = 1} также является римановой поверхностью. За-
дадим на S2 аналитическую структуру t/l = S'\{A,}) U2 — S2\{S}; локальные координа-
ты точки Р(х„ х2, х3) в £/,, U2 имеют соответственно вид
х1 + /х2 X] — ix2
Z1 1 — х3 ’ 1 +х3
Координата z, возникает при стереографической проекции (см. рис. 84) сферы S2 на
экваториальную плоскость при проектировании из полюса N сферы, az, — при про-
216
ектировании из полюса S. Если P£Ut (") U2, то z^O, z.,^0 и, очевидно, z,z2=l;
отсюда диффеоморфизм перехода zt — llz2 является аналитической функцией. Рас-
ширенная z-плоскость (z-сфера) С наделяется комплексной аналитической структу-
рой с помощью гомеоморфизма на S2.
Двулистная риманова поверхность функции mi = Vz" (см. § 4 гл. I) является ком-
плексным аналитическим многообразием, и аналитическая структура на ней вводится
посредством гомеоморфизма с z-сферой.
Упражнение 18°. Опишите соответствующий атлас двулистной римановой по-
верхности функции w = >J~Z.
В теории функций комплексного переменного доказывается, что любая аналити-
ческая функция на z-плоскости имеет абстрактную риманову поверхность и что вся-
кую компактную абстрактную риманову поверхность можно реализовать как римано-
ву поверхность некоторой алгебраической функции.
10. Конфигурационное пространство. Рассмотренные примеры
гладких многообразий естественным образом возникают в различ-
ных задачах математики. Понятие многообразия столь же естест-
венно используется и в прикладных нау-
ках (механика, физика) для описания
множества положений (конфигурацион-
ного пространства) системы. Приведем
простейший пример.
Рассмотрим маятник с шарниром, ка-
чающийся в вертикальной плоскости. Точ-
ку подвеса маятника обозначим О, шар-
нир — через Ор конец маятника — через
О2. Каждое положение данной системы за-
дается направлением стержня ОО{ и на-
правлением стержня OjO2 или парой углов
Ф, ф (рис. 88), изменяющихся независимо
в интервалах 0 $ <р < 2л, 0 $ ф < 2л. Конфигурационное пространст-
во данной системы, таким образом, есть декартово произведение двух
окружностей S1 х S1 — двумерный тор Т1.
Упражнение 19°. Опишите конфигурационное пространство пло-
ского маятника, имеющего два шарнира.
Более сложные конфигурационные пространства возникают при
рассмотрении более сложных механических систем, состоящих из
большого числа материальных точек и при более сложных условиях
их перемещения. Эти условия обычно задаются в форме уравнений,
которым должны удовлетворять координаты всех материальных то-
чек (эти уравнения называются геометрическими связями). Геомет-
рические связи (при соответствующих условиях) и задают гладкое
многообразие в пространстве R , где п — число материальных то-
чек (см. пример 6 § 2). Упорядоченный набор координат в R3" ма-
териальных точек определяет положение механической системы в
конфигурационном пространстве.
11. Многообразия с краем. Введенное выше понятие многооб-
разия не охватывает, однако, ряд геометрических объектов, напри-
мер, n-мерный замкнутый диск, поверхности с границей и др. Дей-
217
ствительно, для точек на границе диска Dn невозможно указать ок-
рестность, гомеоморфную пространству R" (или его открытой час-
ти). Этот пробел заполняет понятие многообразия с краем.
Рассмотрим в R" подпространство Rn-1. Последнее разбивает
пространство R" на два полупространства:
R" = {хе R”: Хп > 0} и R" = {х е R": хп 0},
границей каждого из которых служит подпространство
R"-1 = {х е R": хп = 0}.
Полупространство R" может служить простейшим примером «-мер-
ного многообразия с краем R"-1. Если теперь «склеить» некоторое
число полупространства R", позаботившись о том, чтобы край
«склеивался» с краем, то мы получим объект, называемый п-мер-
ным многообразием с краем, где край — результат «склейки» эк-
земпляров подпространства R"-1; он сам является (« — 1)-мерным
многообразием.
Дадим точное описание многообразия с краем. Пусть М — топо-
логическое пространство. Расширим понятие карты в М, допустив
возможность действия гомеоморфизмов карт не только из простран-
ства R", но и из полупространства R", т. е. картой в М назовем
всякую пару (£7, <р), где U — открытое множество в М, а %> — го-
меоморфизм <p: R"—»£/ или <p:R^-*£/. Две такие карты,
{U, <р), (У, ф), в М называются ^-согласованными, если либо
U A V = 0, либо гомеоморфизм ф-1<р: П V) —* ф-1(£7 Г) V)
является Сг-диффеоморфизмом, понимая гладкость в смысле опре-
деления 2 § 2 в том случае, когда ф-1ф действует между множест-
вами, открытыми в R^., но не открытыми в R". Исходя из такого
обобщения понятия карты в М, можно ввести понятие Сг-атласа,
эквивалентных Сг-атласов, С-структуры на М и максимального ат-
ласа, дословно повторяя определения аналогичных понятий п. 1. То-
пологическое пространство М с заданной на нем Сг-структурой на-
зывается (^-многообразием с краем. Для многообразия с краем так
же, как в п. 1, вводится понятие размерности (для указания раз-
мерности также пишут М").
Точка х многообразия с краем Л/” называется краевой точкой,
если в Мп существует карта (U, %>), <р: R" —»£/, х G U, такая, что
^-'(x) G Rn-1.
Определение краевой точки не зависит от выбора карт. Действи-
тельно, если бы для некоторой карты точка х не являлась краевой, то
218
гомеоморфизм <р-1-ф: Г) У)-»<р-1(1/ Г) V) переводил бы внут-
реннюю точку полупространства в граничную. Невозможность по-
следнего для многообразий с краем класса С, г > 1, следует из теоре-
мы об обратном отображении (покажите!), а для С°-многообразий с
краем — из трудной классической теоремы Брауэра об инвариантно-
сти области, утверждающей, что подмножество R", гомеоморфное от-
крытому подмножеству этого пространства, открыто в Rn.
Упражнение 20°. Покажите независимость определения краевой
точки для С°-многообразий.
Мы не приводим доказательство теоремы Брауэра, отсылая инте-
ресующегося читателя к литературе.
Множество краевых точек многообразия с краем Мп называется
краем и обозначается дМп.
Таким образом, понятие Сг-многообразия, введенное в п. 1, яв-
ляется частным случаем С-многообразия с краем, когда край —
пустое множество.
Отметим, что край дМп Сг-многообразия с краем Мп, если не-
пуст, является (п — 1)-мерным (^-многообразием (без края), а
Мп\дМп является «-мерным ^-многообразием (без края). Действи-
тельно, если {(Ua, <ра)} — Сг-атлас на М", то, очевидно,
\(и П (M"\dA/n), <p| — Сг-атлас на Мп\дМп, а множест-
Ц а
во карт [(и„ п дМ*1, ф I Н, для которых U. Г) дМп 0, — С'-
Ц IR"-1/)
атлас на дМп.
Как и в случае многообразий (без края), для многообразий с
краем можно рассматривать карты, действующие не из всего про-
странства R" или полупространства R", а из их открытых связных
множеств, что часто облегчает задание атласа. Многообразия с кра
ем также обычно предполагают хаусдорфовыми и удовлетворяющи-
ми второй аксиоме счетности.
Пример 7. Структуру С°°-многообразия с краем на полупрост-
ранстве R" можно задать с помощью атласа, состоящего из одной
карты |R», 1R„).
Упражнения. 21°. Докажите, что множества в Rn, задаваемые
неравенствами xj + ... + х^ 1, xf + ... + х^ > 1, являются «-мер-
ными С"-многообразиями с краем.
22°. Покажите, что произведение Мп х Nm Сг-многообразия Мп
и (^-многообразия с краем Nm является (п + т)-мерным Сг-много-
образием с краем, причем д(Мп X Nm) = Мп X dN'n.
23°. Покажите, что если некоторое многообразие с краем ком-
пактно, то край этого многообразия также компактен.
219
24°. Покажите, что если /: Мп —»№ — гомеоморфизм многооб-
разий с краем, то f{dMn) = dNn.
Из многообразий с краем можно конструировать многообразия
без края. Приведем такую конструкцию.
Пусть Мп — некоторое С°-многообразие с краем. Удвоением
DM* многообразия Мп называется топологическое пространство,
получающееся из объединения (Л/71 хО) U (Л/п X 1) двух экземпля-
ров многообразия Af" отождествлением для всякого х G дМп точек
(х, 0) и (х, 1).
Упражнение 25°. Докажите, что DM" является С°-многообразием
(без края) размерности п.
12. Существование гладких структур. Сделаем несколько за-
мечаний о возможности введения гладких структур. Уитни доказал,
что если на пространстве М существует Сг-структура (г > 1), то на
нем существует и С"-структура (и даже Сш-структура); более того,
С"-атлас можно выбрать из максимального атласа данной Сг-струк-
туры. Исключительным является случай г = 0. Известно, что на
любом С°-многообразии размерности п < 4 можно ввести С'-струк-
туру (а следовательно, и С "-структуру), но для любого п > 4 суще-
ствуют С°-многообразия, которые не допускают введения С'-струк-
туры.
§ 4. Гладкие функции на многообразии
и гладкое разбиение единицы
Этот и следующий параграфы посвящены построению начал ана-
лиза на гладких многообразиях.
1. Понятие гладкой функции на многообразии. Функция,
определенная на многообразии АГ, может рассматриваться локаль-
но как функция от локальных координат точки х G Мп, т. е. как
функция стандартных координат точки (р“*(х) в R", задаваемых не-
которой картой (Ua, <ра), х G Ua. Таким образом мы попадаем в
круг понятий анализа, в частности, можем определить и исследо-
вать понятие гладкой функции.
Определение 1. Пусть ЛГ* — многообразие класса Сг, г>1.
Отображение f: Мп—*- R1 называется С-функцией (функцией класса
Сг) в окрестности точки х G Л/", если найдется карта (L/a, %>а),
(х G Ua) в Мп такая, что отображение /<ра: R" —»Й1 будет С-отоб-
ражением на R".
Упражнение Г. Покажите, что определение Сг-функции в окре-
стности точки не зависит от выбора карты.
220
Определение 2. Функция »R* называется С-функцией
на некотором множестве А С М”, если она является С'-функцией
в окрестности каждой точки х G А.
Часто приходится рассматривать функцию, заданную не на всем
многообразии Мп, а только на его подмножестве. Определения 1 и 2
естественным образом распространяются на случай функций
/: U —» R1, заданных на открытом подмножестве U С Мп, при выборе
карт (Ua, <ра) так, что Ua С U. Однако эти определения необходимо
расширить, если рассматривать функции /: Л—»й‘, определенные на
произвольном подмножестве А С Мп.
Определение 3. Функция /М—»R* (А с М'г) называется С-
функцией на А, если для любой точки у & А существуют открытая
окрестность U(y) С Мп точки у и Сг — функция <ру: t/(y)-*R' та-
кие, что <р = /
У I {/(у)ПА I 4/(у)ПА
Легко убедиться, что каждая из локальных координат
£;(х), i = 1, Сг-многообразия является Сг-функцией на своей
области определения.
В специальном случае двумерных многообразий — (абстрактной) римановой по-
верхности — важный класс образуют комплекснозначные функции.
Пусть Мг — (абстрактная) риманова поверхность и /: Л/2—>С — функция на ней
со значениями в поле <С комплексных чисел. Функция f называется регулярной ана-
литической или голоморфной в точке РаЕ.М\ если, будучи выраженной через ло-
кальные координаты z=4>(/’), О = Ф(/’о) в окрестности точки Ра, она будет регуляр-
ной аналитической функцией от z в некотором круге |z| < г, т. е.
/(Ф-1(г))=^ a„z",
л-0
где степенной ряд справа сходится в круге |z | < г.
Функция / называется аналитической в некотором открытом множестве
1/СМг, если она является регулярной аналитической функцией в каждой точке
роес/.
Функции иа z-сфере задают обычно в локальных координатах открытого множе-
ства Ut (см. п. 9 § 3), т. е. как функции w — w(z) на z-плоскости. Чтобы исследовать
функцию в окрестности точки », необходимо иметь ее выражение в локальных ко-
ординатах множества U2. Последнее достигается заменой z на 1/z; получаем функ-
цию u) = u)(l/z) = w.:(z), которую исследуем в окрестности нуля.
Упражнение 2°. Проверьте, что функция u>=l/z определена в окрестности точки
z = х z-сферы и что она голоморфна в этой точке. То же задание для функции
п
w — \ aklzk.
2. Разбиение единицы. Основным инструментом теории много-
образий при переходе от локальных утверждений к глобальным яв-
ляются разбиения единицы.
Пусть Мп есть (^-многообразие и {Ua} — его открытое покры-
тие.
22!
Определение 4. Если <р: АГ* —* R1 — функция, то ее носителем
supp <р называется замыкание множества {х: ф(х) * 0}.
Определение 5. Семейство Сг-функций {ф^: Мп~* [0, 1]} называ-
ется разбиением единицы класса С, подчиненным покрытию {ЧД,
если: 1) каждое из множеств supp <р^ компактно и содержится в не-
котором множестве t/a; 2) семейство {supp ф^} образует локально ко-
нечное покрытие М"; 3) У <₽р(х) = 1 для всякой точки х е Мп.
₽
Суммирование в условии 3) имеет смысл, так как в каждой
точке х лишь конечное число функций <р₽ отлично от нуля ввиду
условия 2).
Рис. 90
Теорема 1. Для любого открытого покрытия С-многообразия
Мп, r = 1, ..., оо, существует подчиненное ему С-разбиение едини-
цы.
Для доказательства этой фундаментальной теоремы нам потре-
буется несколько лемм.
Лемма 1. Для любого R1 существует С'"-функция hs:
R1 -♦ [0, 1] такая, что supp hs С [s, оо).
Доказательство. Легко проверить, что функция
, „ . e~llx~s, если х > s,
0, если х s,
является искомой (рис. 89).
222
Упражнение 3°. Постройте графики функций /i_s(x), й_Д—х),
WX) + W-*)-
Лемма 2. Для любого s > 0 существует С™-функция gs:
R” —* [0, 1 ] такая, чтс>
gs(x) =
1, если х 6 Dsj2(Q),
О, если х G Rn\Z)J(0).
Доказательство. Рассмотрим функцию 1]
(рис. 90), заданную равенством
~ ( ч _ А_/Х)А_,(-Х)_____
Л_/х)Л_/-х) +hsl2(x) + Aj/2(-x)‘
Функция #s(x) = gs( ||хII): Rn—♦ [0, 1], очевидно, будет искомой.
Заметим, что если х0 G R" — произвольная точка, то
fl, если xGBs/2(x0),
*о) Oj если х е Кп\ддХо).
Лемма 3. Пусть Мп есть С-многообразие (г=1, ...,“) и
U С Мп — открытое множество. Тогда для любой тонки х0 & U
существуют ее открытые окрестности Pi(x0), К2(х0) и ^-функ-
ция f: Af"—*[0, 1] такие, что:
О ^(*о)с ^(*о)с
2) Дх)=
1, если х €= УДхц),
0, если х G Mn\V2(x0).
Доказательство. Пусть {(t/a, <ра)} — некоторый Сг-атлас
Мп и пусть х0 G Ua п U. Так как множество Ua П U открыто, а
<ра — гомеоморфизм, то множество ф“Ч^а открыто в R", и,
следовательно, существует диск 2\(<р~Чхо)) С П U). Далее,
так как ipa — гомеоморфизм, то
'₽а(А/2('₽а* 1(Х0))) = Фа(TWТа4*0))) С Фа^СФа' (х0))) С U>
следовательно, множества Ki(x0) = фаСЛ^ФаЧхо)))» ^г(хо) =
= ФаСОДфаЧхо))) удовлетворяют условию 1. По лемме 2 сущест-
вует Сг-функция gsiXo(x) = gs(x — х0) такая, что
^,х0(Х) =
1, если х е T>s/2(<pa4x0))>
0, если х 6 КЛВД^Чхо)).
223
Тогда функция
если х 6 Т2(х0),
если х 6 M'l\V 2(х0),
очевидно, удовлетворяет условию 2.
Лемма 4. Пусть Мп — многообразие класса С, г — 1, со;
К С U С Мп, где множество К компактно, а множество U откры-
то. Тогда существует С-функция 1] такая, что
J1, если х & К,
Х ] 0, если х €= Mn\U.
Доказательство. По лемме 3 для каждой точки у G К суще-
ствуют открытые окрестности ТДу), У2(у) такие, что ТДу) С
С V2(y) CU, и существует Сг-функция /у(х): »[0, 1] такая,
что
fy(x) =
1,
О,
если х G Т((у)ч
если х G Mn\V2{y).
В силу компактности К в открытом покрытии {Т1(у)}уек множества
К содержится конечное подпокрытие VjfyJ, ..., УДу^). Положим
р ’
sO) = п t1 ~ Л,(х))’ тогда
1 = 1
fO, если х G К,
[1, если х 6 Mn\U,
f(x) = 1 -£(*) = L
если х 6 К,
если х G Mn\U.
Очевидно, что / G С.
Лемма 5. Во всякое открытое покрытие {t/J С-многообразия
Мп, г — 1, ..., со, можно вписать открытое локально конечное по-
крытие {t/p} такое, что каждое множество U'^ компактно и содер-
жится в некотором из множеств Ua.
Доказательство. Пусть {(У, <ру)} — некоторый Сг-атлас
многообразия Мп. Множества {Vy П Ua} образуют открытое покры-
тие, вписанное в {t/J. Так как <ру — гомеоморфизм, то множество
<p~*(Tv П Uа) открыто в R", и, следовательно, для любой точки
х G G Ua точки <р“*(х) содержится в множестве П Ua) с
224
некоторым диском £\(х)(ф7*(х)). Далее, так как — гомеомор-
физм, то
(1)
кроме того, так как множество Os^/2( ф~* (х)) компактно, а Мп ха-
усдорфово, то ф7(^5(Х)/2(ф7Чх))) компактно (см. § 13 гл. II). В си-
лу паракомпактности многообразия ЛГ* (см. § 3) в его открытое по-
крытие {<f>7(Z\(X)/2(ф”1 (х)))} можно вписать открытое локально ко-
нечное покрытие {t/p}. Тогда каждое U'^ содержится в некотором
(*)))• Поскольку
то из (1) получаем U? С 4>y(^s(x)(<py *(%))) С Уу П Va, следова-
тельно, t/p С Ua. Компактность U’^ следует из того, что явля-
ется замкнутым подмножеством компактного пространства
(Ч))) (см. § 13 гл. II).
Доказательство теоремы 1. Применяя дважды лемму 5,
в заданное покрытие {t/J впишем открытое локально конечное по-
крытие {£/р, а в {t/p — открытое локально конечное покрытие
{1/^"} так, что каждое 1/у" компактно и содержится в некотором t/p
а каждое 17$ компактно и содержится в некотором Ua. Для каждого
Uy зафиксируем одно из множеств системы {t/p, содержащее U^',
и переобозначим его U'y. Применим теперь к множеству К = Uy
лемму 4, найдем соответствующую функцию fy. Mn—* [0, 1] такую,
что
1,
если
если
Рассмотрим функцию
Ч\(*)
/у(х)
х G U’’,
х е мп\и'у.
х е М”
(суммирование в знаменателе идет по множеству индексов покры-
тия {£/./'} и имеет смысл, так как покрытие {£/у"} локально конечно
и, следовательно, в каждой точке х G Мп лишь конечное число
функций Д отлично от нуля). Так как supp = supp f , а множе-
ство supp f компактно (как замкнутое подмножество компактного
пространства U'), то множество supp также компактно. Нетрудно
видеть, что <ру G С, и получаем требуемое разбиение единицы.
8 Ю. Г. Борисович и др. 225
Определение 6. Функция ft A—»R* (.4СМЛ) называется С-
функцией на множестве А, если она является сужением на А некото-
рой Сг-функции, заданной на некотором открытом, содержащем А
подмножестве U многообразия Мп.
Упражнение 4°. Пользуясь теоремой о разбиении единицы, пока-
жите, что определение 3 гладкой функции, заданной на множестве
А С Мп, эквивалентно определению 6.
3. Алгебра Сг-функций на многообразии. Рассмотрим теперь
множество ^(Мп) всех Сг-функций на (^-многообразии Мп. Функ-
ции из ^(ЛГ*) естественным образом можно складывать и умножать
на вещественные числа: f,g& a G R1, то в каждой точке
х G Мп положим (/ + #)(х) = /(х) + #(х) и (а/)(х) = а/(х). Та-
ким образом, ^(ЛГ*) превращается в векторное пространство. Более
того, обычное умножение (/-£)x = /(x)'g(x), х£ JW", превращает
^(Мп) в алгебру над полем R.
Пусть х — некоторая точка многообразия Мп. Рассмотрим на ал-
гебре ^(М") следующее отношение эквивалентности: /( ~ /2> если
у точки х существует такая окрестность (7(х), что fv |им — f2\u(xy
Класс эквивалентности назовем Сг-ростком (функций) в точке х, а
совокупность всех Сг-ростков в точке х обозначим через ®Дх). Оче-
видно, @?(х) — также алгебра. Дадим другое определение ^(х).
Если рассмотреть факторалгебру ^(ЛГ’)/'^0(х), где ^0(х) —
идеал всех тех функций из кольца ^(ЛГ1), которые обращаются в
нуль в некоторой (зависящей от функции) окрестности точки х, то
элементы ее естественно отождествить с ростком функций в точке
х. Легко проверить, что ^(М")/^0(х) = ^(х). Множество ростков
0(х) можно было бы определить так же, как множество ^-функ-
ций, определенных в окрестностях точки х, профакторизованное по
тому же отношению эквивалентности, что и в определении ^(х).
На первый взгляд, получится новый объект, так как мы рассматри-
ваем функции, заданные не на всем многообразии Мп. Из следую-
щего упражнения вытекает, что это не так.
Упражнение 5°. Пусть / — функция класса С, заданная на не-
которой открытой окрестности (7(х) точки х многообразия ЛГ* клас-
са Сг.-Покажите, что существуют замкнутая окрестность У(х) точ-
ки х, У(х) С t/(x), и С'-функция /, заданная на всем многообразии
Мп такие, что 71 р(х) = f I р(х).
Указание. Воспользуйтесь леммой 4.
Таким образом, на гладком многообразии построены алгебраические структуры
гладких функций ®(Л/”) и ростков ®(х). Возникает интересный вопрос: нельзя ли
226
обратно, с помощью алгебр ®(Л/") и ®(х), восстановить структуру многообразия?
Ниже показывается, что это возможно.
Прежде всего зафиксируем в аксиоматической форме наиболее существенные
свойства алгебр функций на гладком многообразии. Рассмотрим топологическое про-
странство М и некоторые вещественные функции /, ..., f к, определенные на М.
Будем говорить, что / Сг-гладко зависит от функций ..., /4 (г > 1), если суще-
ствует (/-функция 1/(Гр ..., tk) вещественных переменных ..., tk, определенная на
R* и такая, что
/(х)-£/(/, (х), .... /4(х)), хеЛ/. (2)
Если равенство (2) справедливо лишь для точек некоторого множества VСМ, то
будем говорить, что функция / гладко зависит от функций ..., f k на множестве
V. Назовем С'-гладкостью на топологическом пространстве М непустое множест-
во ®(ЛУ) вещественных функций на М, удовлетворяющее условиям:
1) всякая функция, С'-гладко зависящая от функций из ®(Л/), принадлежит
2) всякая функция на М, совпадающая в некоторой окрестности каждой точки
хЕМ с некоторой функцией из ©(Л/), принадлежит ®(ЛУ).
Упражнение 6‘. Убедитесь, что для С'-многообразия Мп алгебра С'-функций
®(ЛУ") удовлетворяет условиям С'-гладкости.
Из условия 1) следует, что множество ©(Л/) является алгеброй с естественными
операциями сложения и умножения функций и умножения их на число. Естествен-
ным образом определяется понятие Сг-ростка fx функции /е®(ЛУ) в точке х, идеал
Й’оСх) и множества Сг-ростков @(х) = @(М)/@0(х).
Перейдем к построению (/-структуры на М. Пусть М — топологическое про-
странство с Сг-гладкостью ®(ЛУ). Пусть выполнены следующие условия: 1) для вся-
кой точки хЕМ найдутся ростки /1Л -, /£е®(х), окрестность У(х), представители
V(x)-»R', i = 1, ..., п, ростков fx такие, что отображение у *-^{/’(у), ...
... /п(у)}, уеУ(х), являете^гомеоморфизмом У(х) на пространство R"; 2) для вся-
кой точки уЕУ(х) ростки /},, .... функций /*, ..., /" принадлежат ®(у); 3) для
всякого ростка gye®(y) его представитель g зависит Сг-гладко от ..., f" в окрест-
ности точки у. Таким образом, задавая координатную систему в окрестности И(х)
посредством гомеоморфизма <ри=1|>^: R"—»И(х), получаем систему карт {(У(х), <ри)},
которая, как легко проверить с помощью свойств 2), 3), образует Сг-атлас на М.
Упражнение 7°. Покажите, что система карт {(Т'(дс), >ри)} образует атлас.
Итак, на М определяется дифференциальная структура (/-многообразия, инду-
цированная алгебрами ШЛ/), ®(х).
Упражнение 8“. Покажите, что если М" — (/-многообразие и {ЙЧх)}^^ — со-
ответствующие алгебры ростков С'-функции на М”, то определяемая ими дифферен-
циальная структура совпадает со структурой многообразия М".
Замечание. Условия 1), 3) приводят к тому, что рассматриваемая гладкость на
М состоит из непрерывных функций. Можно было бы рассмотреть (/-гладкость на
абстрактном множестве М и индуцировать на нем слабейшую топологию так, чтобы
все функции из гладкости оказались непрерывными.
§ 5. Отображения многообразий
1. Понятие гладкого отображения. Определим и изучим глад-
кие отображения гладких многообразий, представляющие естествен-
ное обобщение дифференцируемых функций в анализе. Пусть
Мп, Nm — два (^-многообразия, 1. Рассматривая Мп, Nm как
топологические пространства, можно говорить о непрерывных отоб-
ражениях /: Mn—*Nm. Структуры класса С, заданные на Мп, Nm,
8’
227
позволяют ввести более узкий класс отображений. Отображение
/: Mn—*Nm естественно задать в локальных координатах. Именно:
если х G Мп — произвольная точка, (I/, <р), (И, ф) — карты в мно-
гообразиях Мп, Nm соответственно такие, что х G U, f(x) 6 V, и
Ж(х) — открытая окрестность точки х такая, что И^(х) С {/,
/(Ж(х)) С V, то отображение
назовем координатным представлением отображения f в окрест-
ности точки х. Такое представление позволяет привлечь понятие
гладкого отображения R” в R"1, изучаемое в анализе (см. § 1).
Определение 1. Отображение /: Мп-^ Nm называется Сг-отобра-
жением (отображением класса С) в окрестности точки х G Мп,
если некоторое координатное представление отображения / в окрест-
ности точки х является (^-отображением.
Упражнение 1°. Покажите, что определение Сг-отображения в ок-
рестности точки не зависит от выбора координатного представления.
Естественно, что, определяя гладкое в окрестности точки отобра-
жение, можно рассматривать отображения, заданные не на всем
М", а в открытой окрестности точки.
Для случая подмногообразий в R'v определение 1 можно дать в
других терминах. Пусть Л/”, Nm — подмногообразия в R 1 и R 2 со-
ответственно.
Определение 2. Отображение /: AY" -»N'" называется (^-отоб-
ражением (отображением класса С) в окрестности точки
х 6 Мп, если существуют открытое множество U С R ', х €= U, и
Сг-отображение /: tZ—»R/Vz, совпадающее с / на U П Мп.
Упражнение 2°. Покажите, что для случая подмногообразий в
R'v определения 1 и 2 эквивалентны.
Указание. Воспользуйтесь свойством отображений карт быть диффеоморфиз-
мами (см. лемму 1 § 2).
От локальных определений перейдем к глобальным.
Определение 3. Отображение /: Мп-+ N,n многообразий называ-
ется С-отображением (отображением класса Сг), если оно есть
Сг-отображение в окрестности каждой точки х G Л/".
Очевидно, что понятие Сг-отображения является обобщением
понятия С'-функции.
Аналогично, понятие комплексной аналитической функции на римановой по-
верхности обобщается в понятие комплексного аналитического отображения римаио-
вых поверхностей (если потребовать аналитичность координатного представления).
Упражнения. 3°. Проверьте, что отображение w = V~z двулистной римановой по-
верхности на z-сферу аналитично.
228
4°. Проверьте, что отображения u> = l/z и и; = V ajzk, рассматриваемые как
отображения z-сферы на себя, аналитичны.
Замечание 1. Понятие гладкого отображения можно распро-
странить на случай отображений многообразий с краем. Если
/: Mn-*Nm — непрерывное отображение (/-многообразий с краем,
г > 1, то, как и в случае отображения многообразий (без края),
можно говорить о координатном представлении отображения / в ок-
рестности точки х & Мп. Отображение f называется С-отображени-
ем в окрестности точки х G Мп, если некоторое координатное пред-
ставление <p-1(PE(x)) —»отображения / в окрестности
точки х является С-отображением в смысле определения 2 § 2,
т. е. является С-отображением (в обычном смысле), если
1 (ИДх)) открыто в R", и продолжимо как С-отображение на не-
которую открытую в Rn окрестность точки х, если <p-1(JV(x)) от-
крыто в R", но не открыто в R". Отображение / называется (^-ото-
бражением, если оно является (/-отображением в окрестности каж-
дой точки х G Мп.
Определение 4. Отображение /: АГ* —»№ многообразий класса
С называется С-диффеоморфизмом, если: 1) / биективно; 2) /,
f~l являются (/-отображениями.
Упражнение 5°. Почему нельзя определить диффеоморфизм мно-
гообразий разной размерности?
Два (/-многообразия, Мп, Nn, называются (/-диффеоморфными,
если существует С-диффеоморфизм /: Mn—*Nn.
Упражнение 6°. Убедитесь, что диффеоморфность многообразий
является отношением эквивалентности.
Теорема 1. Если Мп — многообразие класса С и N" — много-
образие класса С со структурой, индуцированной гомеоморфиз-
мом f: Mn—*Nn, то Мп и Nn С-диффеоморфны.
Доказательство. Легко видеть, что нужным диффеоморфиз-
мом является /.
Таким образом, индуцируя с помощью гомеоморфизма
/: Мп —* N структуру (/-многообразия на топологическом простран-
стве W, мы превращаем / в (/-диффеоморфизм.
Теорема 2. Пусть f'. Мп -» Nn — С-диффеоморфизм Сг-много-
образий Мп, Nn. Тогда отображение f: Mn—*Nn как гомеоморфизм
топологических пространств индуцирует на Nn С-структуру,
совпадающую с первоначально заданной.
Доказательство. Пусть {((7а, <ра)} и {(Ер, ф^)} — (/-атла-
сы на Мп и V соответственно. Покажем, что любая карта атласа
229
{(/(£/«), /ФаЯ Сг-согласована с любой картой атласа {(Ур, трр)},
т. е. что отображение
^-*(/фа): (/фа)-*(/(^а) П П Г₽) (1)
является Сг-диффеоморфизмом для любых аир.
Действительно, так как / — Сг-диффеоморфизм, то его пред-
ставление в локальных координатах открытых множеств
Г*(Жа) п Гр) с иа> f(Ua} п Гр с Гр,
%7<₽a: А Гр)] - ярр-*(f(Ua) П Гр)
является Сг-диффеоморфизмом. Но
ф-Чу-Ч/С^) п Гр)] = (/фа)-*(/(^а) А Гр);
следовательно, отображение (1) является С-диффеоморфизмом,
что и доказывает утверждение.
С точки зрения общей топологии мы не различаем гомеоморф-
ные пространства. Естественно условиться не различать гомеоморф-
ные многообразия Мп и Nn, где многообразие N" наделено структу-
рой гладкого многообразия, индуцированной гомеоморфизмом
/: Mn-+Nn. Но тогда согласно теореме 1 Мп и N" диффеоморфны.
Обратно: если многообразия Мп, Nn диффеоморфны (/: Mn->Nn),
то они гомеоморфны, и согласно теореме 2 f как гомеоморфизм ин-
дуцирует на Nn структуру гладкого многообразия, совпадающую с
первоначальной. Таким образом, принятое соглашение эквивалент-
но тому, чтобы не различать диффеоморфные многообразия.
Упражнения. 7°. Покажите, что совокупность (^-многообразий
всех размерностей п > 1 образует категорию, морфизмами которой
служат Сг-отображения многообразий. Покажите, что эквивалент-
ности в этой категории — это Сг-диффеоморфизмы многообразий.
8°. Покажите, что все С°°-многообразия, задаваемые различными
С "-структурами на R1, указанными в упражнении 2° § 3, С“-диф-
феоморфны.
Последнее упражнение отражает общую ситуацию. Как уже от-
мечалось в § 3, если на многообразии Мп существует хотя бы одна
Сг-структура (г > 1), то на Мп существует бесконечно много С“-
структур, однако определяемые ими С“-многообразия на Мп боль-
шей частью диффеоморфны. Например, известно, что все С"-струк-
туры на R", и * 4, задают С"-диффеоморфные многообразия; все
С”-структуры на S", п = 1, 2, 3, 5, 6, 12, задают С"-диффеоморф-
ные многообразия. Известно также, что если размерность многооб-
разий меньше 4, то из гомеоморфности многообразий следует их
230
диффеоморфность, т. е. для многообразий размерности, меньшей 4,
дифференцируемая и топологическая классификации совпадают.
Возникает естественный вопрос: существуют ли гомеоморфные,
но не диффеоморфные многообразия? Этот вопрос был решен Дж.
Милнором в 1956 г. Он показал, что существует ровно 28 гладких
многообразий (сферы Милнора), гомеоморфных S1, но не диффео-
морфных друг другу *. Открытие Милнором существования гомео-
морфных, но не диффеоморфных многообразий положило начало
выделению дифференциальной топологии в самостоятельную об-
ласть математики **.
Важные примеры диффеоморфизмов возникают при действии
групп преобразований на многообразиях. Мы уже рассматривали
аффинную группу преобразований пространства R".
Группы Ли GL(/i, R), О(я R), SO(/i, R) также являются груп-
пами преобразований пространства R” (как говорят, действуют на
R”). Понятие действия абстрактной группы на топологическом про-
странстве обсуждалось в § 5 гл. II. Обобщим его на случай групп
Ли.
Определение 5. Пусть М — гладкое многообразие и G — группа
Ли. Действием (правым) G на М называется гладкое отображение
/:сопоставляющее паре (х, g) GMxG точку
у = /(х, g) е М (обозначаемую x-g), удовлетворяющее следующим
условиям: 1) для gp g2 е G, х G Л/имеем x(gj-g2) = (xgj)g2 для лю-
бых gj, g2, х; 2) для единицы е G G имеем х- е = х для любых х.
Если при фиксированном g обозначить гладкое отображение
у = f( •, g) через hg, то из аксиом 1), 2) действия G на М заключа-
ем А „ = h-h!, h-h-i — h= h-t-h.. Так как h = 1М, заключа-
ем, что hg обратимо и (/zg)-1 = hg-t — гладкое отображение; следо-
вательно, hg — диффеоморфизм М и действие группы G означает
задание гомеоморфизма G—*Diff(M) в группу диффеоморфизмов
многообразия М.
Имея правое действие, можно определить левое действие G на
М равенством gx = /(х, g-1); тогда (gx-g2)x = g2(g1-x), hg ,g =
Упражнение 9°. Покажите, что действие групп GL(n, R),
O(n, R), SO(n, R) на пространстве R”, задаваемое формулой
у = Ах, где А — матрица из соответствующей группы, а х, и — ко-
ординатные вектор-столбцы, является левым действием; аналогично
для группы аффинных преобразований у = Ах + v.
* Сферы Милнора можно задать как подмногообразия в R'0=C5={(zp z5)} сис-
темами двух уравнений z!* ’1 + z3 + z,2 + z| + zj = О, |z, |2 +...+ Izjj2-!, k=l, 2,.... 28.
** В 1987 г. К. Таубе показал, что существует несчетное множество гладких мно-
гообразий, гомеоморфных R4, но не диффеоморфных друг другу.
231
Рассматривая алгебраические гомоморфизмы группы GY в G2, по-
лезно учитывать и структуру гладких многообразий. Понятия, фор-
мулируемые ниже, являются развитием соответствующих понятий
гладких отображений.
Если <р: G, -* G2 — алгебраический гомоморфизм групп Gx и G2,
являющихся группами Ли, и если <р является гладким отображени-
ем многообразий G] и G2‘, то он называется гомоморфизмом групп
Ли. Гомоморфизм, являющийся диффеоморфизмом, называется изо-
морфизмом групп Ли.
Изоморфизмы группы Ли на себя называют ее автоморфизма-
ми. Если G2 = Aut (V) (множество невырожденных линейных пре-
образований векторного пространства V — его автоморфизмов), то
гомоморфизм (р: G—*G2 называется представлением группы Ли G.
Каждый элемент g группы Ли G порождает автоморфизмы G: ле-
вый сдвиг Lg. h->g h; правый сдвиг Rg: lv—*h‘ g; внутренний авто-
морфизм Lg-Rg->: h—>g-h-g~Y, обозначаемый ag.
Упражнение 10°. Проверьте соотношения: Lg.h = Lg-Lh, Lg-i =
= L~l, R ,=R,R, R-i = R~l, L-Rh = R,-L, a. = a ah,
g ’ g-n h g’ g g ’ g h h g’ gh g h’
V =
2. Классификация одномерных многообразий. Всякое много-
образие (произвольной размерности) состоит из не более чем счет-
ного множества своих связных ком-
понент (см. § 3). Поэтому доста-
точно классифицировать лишь связ-
ные многообразия.
Наиболее просто классифициру-
ются нульмерные и одномерные
многообразия. Связное нульмерное
многообразие, очевидно, есть точка.
Рассмотрим одномерные многообра-
зия.
Лемма 1. Если связное тополо-
гическое многообразие М1 имеет
атлас, состоящий из двух карт (U-t, <р;), цу R1 —* t/;, /=1,2, то
М' гомеоморфно R1 или S1.
Доказательство. Если UY С U2 или t/2 С , то М1, очевидно,
гомеоморфно R1. Рассмотрим теперь случай, когда ни одно из мно-
жеств l/p U2 не содержится в другом. Из связности М1 следует, что
П U2 0. Так как множества ^^(^i П С2), ^21(<Ul П U2) от-
крыты в R1, то они представляют собой объединение некоторых непе-
ресекающихся конечных или бесконечных интервалов (связных ком-
понент). Покажем сначала, что среди связных компонент этих мно-
жеств нет конечных интервалов. Предположим противное. Пусть,
ViW-a))
<р!<й
4>2(d)
^nni0 , ,
f’2(c)
Рис. 91
232
например, множество ф7'(Ux A U2) имеет связную компоненту
(а, Ь). Так ф21ф1 — гомеоморфизм, то интервал (с, d) = Ф2*Ф1((а>
b}} будет связной компонентой множества ф^ДН, A t/2). Отметим,
что при этом ни одна из точек ф^а), ф/Z») не может совпадать с точ-
ками ф2(с), ф2(с/) (рис. 91), так как эти пары точек принадлежат не-
пересекающимся множествам Ul\(Ul А t/2), U2\(Ul A U2). Посколь-
ку функция гомеоморфно отображает («, Z>) на (с, d), то она
монотонно возрастает иЛи убывает. Рассмотрим случай возрастания
Ф^Фр Пусть У(ф](а)), Й(ф2(с)) — произвольные окрестности в М1
точек ф/а), ф2(с). Тогда КДфДд)) = У(фДа)) А Ц, У2(ф2(с)) =
= Р(ф2(с)) A U2 — окрестности точек ф((й), ф2(с) в U{ и U2 соот-
ветственно, a Wx(a) = фГЧТДф^й))), ИД(с) = ф2'(К>(ф2(с))) —
окрестности точек а, с в R1. Для всех достаточно малых е > О имеем
(«, а + е) С ЖДй), (с, с + е) С W2(c), откуда
Ф1((«, а + е)) С фДИ'Дц)) = ТДфДа)), (2)
Ф2((с, с + е)) С Ф2(1У2(с)) = К>(ф2(с)).
В силу возрастания ф^ф! имеем ф2*ф1((й, « + е)) А (с, с+
+ е) 0 (рис. 92), откуда ф1((а, а + е)) А ф2(с, с + е)*0. Из
последнего неравенства и включении
(2) получаем У^фДа)) А V2(y>2(c)) *
& 0. Таким образом, пересечение лю-
бых окрестностей точек фДа), ф2(с)
непусто. Аналогичным образом доказы-
вается, что непусто пересечение любых
окрестностей точек фДй), ф2(Л), а в
случае убывания функции фг 1ф1 — то-
чек Ф1(а), ф2(Л), а также точек
Ф1(6), ф2(с). Так как отсутствие непе-
ресекающихся окрестностей у пары
различных точек противоречит хаус-
дорфовости многообразия Л/1, то тем
самым показано, что спели связе
компонент множеств
ф1-1(471 A t/2), ф21(t7i A U2) нет конечных интервалов. Кроме того,
множества ф]-1(С71 A t/2), фгЧ^Л A t/2) не совпадают со всей пря-
мой R1, так как ни одно из множеств Ux, U2 не содержится в дру-
гом. Поэтому логически возможны лишь следующие случаи:
1) каждое из множеств фД(171 A t/2), ф2*(^1 A U2) представля-
ет собой открытую полупрямую;
233
2) каждое из множеств ф1 *(t7, П t/2), ^2) состоит из
двух открытых непересекающихся полупрямых.
Рассмотрим первый случай. Не ограничивая общности можно
считать, что множество фД(Ц П t/2) имеет вид (—оо, а), а множе-
ство ф2* (^i П U2) — вид (Л, 4- оо)
I j (последнего можно добиться, рассмат-
/ . ривая, в случае необходимости, вместо
/ ( карты (t/., фДх)) карту (Ut, фД-х))).
Ф0‘(х0) * Так как функция ф2*ф(- гомеоморфно
1 | отображает (—<», а) на (Л, 4- оо), то
। । она монотонна. Заметим, что ф^^
-------------1 1---возрастает, иначе ' из рассуждений,
I---------------------I-аналогичных приведенным выше,
-------------i-----j следовало бы, что точки фД(а),
ф-Дхо) ।
Рис дз ФгЧ^) не имеют непересекающих-
ся окрестностей, что противоречит
хаусдорфовости Л/1. Пусть х0 — какая-
нибудь точка из Ul П U2. В силу возрастания ф21ч>у (Рис ^3)
имеем ф2‘фД(—°°, фГЧх0))) = (Л, ф2‘(х0)), Ф21фД(фГ*(х0), а)) =
(ф^Дхц), 4- °°) (рис. 94). Применяя гомеоморфизм ф2 к обеим час-
тям последних равенств, получаем фД(—°о, фД(х0))) = ф2(Л,
Фг‘))> «)) = ФгССФгЧхо), 4- оо)). Отсюда
Л/1 = Ф1([фГ‘(х0), 4- о®)) U ф2((-оо, ф2Чх0)]),
причем фД(ф, 1 (х0), 4- оо)) П ф2((—Ф2*(хо))) = 0- Поэтому ес-
Ф1'(Хп) г
........‘ . I И 111 i Ч 111111114 с
11П1ГП11II1111 /
ИП1ПТ111*11,111111
ф-Дхо)
Рис. 94
ли гр,; [0, 4-оо)-*[ф, !(х0), 4-оо),
гр2: (-00, 0]-»(-оо, фгДхо)] — некото-
рые гомеоморфизмы, то гомеоморфизмы
Ф1гр,: [0, 4- 00) ~* ф[([фГ*(х0), 4-оо)),
Фг'Фг1 (-°°, 0]-*Фг((-°о, ФгЧхо)]) за-
дают гомеоморфизм R1 и Л/1. Таким об-
разом, в случае 1) многообразие М1 го-
меоморфно R1.
Во втором случае фД(Ц П £/2) =
= «1) U (а2, 4- оо), ФгДС/, П
П t/2) = (—°0, by) U (Л2, 4- оо), где йу, а2, by, b2 С R, < а2,
by < b2- Не ограничивая общности, можно считать, что
234
<Р1((-оо, at)) = ф2((-°о, £>,)), Ф1((а2> + °0)) = T2((ft2> + °0)) (в
противном случае вместо одной из карт (U t, фг(х)), i = 1, 2, следу-
ет рассмотреть карту (t/;, ф;(—х))). Пусть Xj — какая-нибудь точ-
ка из (pj((—оо, flj)), а х2 — какая-нибудь точка из ф]((а2, + оо)).
Покажем, что
Ф1((-°°, ФГ*(Х1))) = Ф2((Ф21 (*i)- 6i))>
ФЛСФГЧ^). ai)) = Ф2((—°°> Фг1 (xi)))> (3)
Ф1((а2, ФГ1 (*2))) = ФгССФгЧ-^г)- + °°))>
Ф1 ((ФГ1 Ог)> + °0)) = Фг((6г> ФгЧ^г)))-
Проверим первое из равенств (остальные проверяются аналогич-
но). Так как функция 1Т>1 гомеоморфно отображает ( — », aj на
<Р)‘(ЦГИ/2)
<xi' о, а2 lPi1(x2)
^Чтипи)----------
ппттп^11111)----(1|ТТ|Н||иЦЦШ1
fjUj) Ь1 Ь2
<2‘(ЦП(/2)
Рис. 96
(—оо, 6]), то она монотонна, причем ф2*ф[ убывает, иначе точки
ф21(й]) не имели бы непересекающихся окрестностей, что
противоречит хаусдорфовости Л/1. В силу убывания ф2'ф, (рис. 95)
имеем ф21ф1((—ф]'1(х1))) = (Ф2*(х1)’^1) (Рис- 96). Применяя
гомеоморфизм ф2 к обеим частям последнего равенства, получаем
требуемое равенство. В силу равенства (3) имеем
Л/1 = Ф1([фГ1(х1), ч>Г'(х2)]) и ([фгЧх,), Ф2'(х2)]),
причем Ф1((фГ'(х1)> ФГ' (хг))) И ф2((фг1 (х1). Фг'Ог))) = 0-
Поэтому если ф,: 5+ [фГ'(х1), фГ*(х2)1> Ф2-‘ [фг‘(х1),
ф2*(х2)] — некоторые гомеоморфизмы, то гомеоморфизмы ф^:
5+-*Ф1([фГ’(х1), фГ1(хг)1)’ Фг'Фг1 3-->ф2(1ф21(х1), Фг'^г)]) за-
дают гомеоморфизм S1 и М1.
Теорема 3. Всякое одномерное связное топологическое много-
образие М1 гомеоморфно R1 или S1.
235
Доказательство. Пусть {{Ua, <pa)} (<pa: R1—» t/a) — какой-
нибудь не более чем счетный атлас многообразия Л/1. Заметим, что
если объединение V = U U • • • U Un каких-нибудь множеств из
{t/a} связно и система множеств S = {t/a}\{t/a , Ua} непуста, то
найдется множество U G S такое, что объединение V U Ua связ-
aJt+l k+i
но (иначе пересечение множества V с каждым из множеств системы
S было бы пусто в силу связности множеств Ua, а следовательно, было
бы пусто и пересечение множества V с объединением всех множеств
системы S, что противоречит связности М‘). Поэтому множества из
карт атласа можно перенумеровать в последовательность [7р t/2, ...
так, чтобы все объединения Vk = U\ U ••• U Uk, k = 1, 2, ..., были
связны. В силу леммы 1 многообразие V2 = U\ (J U2 гомеоморфно S1
или R1. Если V2 гомеоморфно S1, то У2=Л/*. Действительно, по-
скольку V2 гомеоморфно компактному пространству S1, то оно ком-
пактно, и, следовательно, замкнуто в хаусдорфовом пространстве
Л/1. С другой стороны, V2 открыто в М1. Так как непустым, открытым
и одновременно замкнутым множеством в связном пространстве мо-
жет быть лишь само пространство, то V2 = М1, что и доказывает тео-
рему, если V2 гомеоморфно S1. Если же V2 гомеоморфно R1, то, ана-
логичным образом, многообразие V3 = V2 U U3 гомеоморфно S1 или
R1. Если V3 гомеоморфно S1, то M1 гомеоморфно S1. Если же V3 го-
меоморфно R1, то рассмотрим У4= И3 U Ь'4и т. д. При рассмотрении
многообразий Ур V2, ... возможны следующие случаи:
1) некоторое Vk гомеоморфно S1;
2) все Vk, к — 1, 2, ..., гомеоморфны R1.
В первом случае М1 гомеоморфно S1. Покажем, что в случае 2)
М1 гомеоморфно R1. Если атлас {(Ua, <pa)} конечен, то это очевидно.
Пусть атлас состоит из бесконечного множества карт. Построим ин-
дуктивно последовательность конечных интервалов (ap b{) С
С (a2, ft2) С ... и последовательность гомеоморфизмов
(av bk) — vk> к= 1. 2> •••> таких> чт0 I = ФА- ПУСТЬ
I («А)
(л15 Z»j) — какой-нибудь конечный интервал и грР (ap ft,) —» V, —
какой-нибудь гомеоморфизм. Пусть интервалы (ар ..., (ак, Ьк) и
гомеоморфизмы т|)р (ар Л(.)—»Ур i= 1, ..., к, уже построены. По-
строим интервал (аА+р Ьк+1) и гомеоморфизм грА+1:
(ал + 1> bk+i)^*Vk+i-ПУСть fk + 1: (ак, bk) — Vk + 1 — какой-нибудь го-
меоморфизм. Так как Vk С Vk+1, то fk+i(Vk) — некоторый интервал
236
(ck, dk), содержащийся в (ак, Ьк). Пусть gk+l- R1—*R* — какой-ни-
будь гомеоморфизм, для которого 5*+i((q, rft)) = (ак, bk) (среди та-
ких гомеоморфизмов есть как возрастающие, так и убывающие). Так
как функция ''Рк‘/ь+1£к+11 —гомеоморфизм, то она монотонна;
не ограничивая общности, можно считать, что она возрастает (по-
следнего можно добиться выбором возрастающего или убывающего
гомеоморфизма #i+1). Положим (аЛ+1, bk+i) = ^*))- Зада-
дим отображение фА+1: (а*+1, bk+l)^*-Vк+1 равенством
%(х)>
-ф*+1(*) =
если х G (ак> Ьк)',
если х е (ak+l, Ьк+1)\(ак, Ьк).
Покажем, что % + 1 — гомеоморфизм. Действительно, отображение
Ф= 'Ф*11Л+1£*+1|, t , на множестве (ak+l, Ьк+1)\(ак, Ьк) тож-
IЧ+1Л+1)
дественно, а на (ак, Ьк) совпадает с гомеоморфизмом %v*+i#*+p
который возрастает (рис. 97), поэтому Ф — гомеоморфизм, а следо-
вательно, и гр*+1 =/*+1^*+1Ф 1 — го-
меоморфизм.
Построенная последовательность го-
меоморфизмов (ак, Ьк~) -* Vk, к =
= 1, 2, ..., задает гомеоморфизм интер-
со со
вала U (ак, Ьк} и Ml — U Vk, следо-
k=i *=i
вательно, Л/1 гомеоморфно R1.
Теорема 4. Всякое одномерное связ-
ное топологическое многообразие с
краем М1 (дМ1 0) гомеоморфно R*.
или D1.
Доказательство. Удвоение DM1 многообразия М1 будет од-
номерным связным топологическим многообразием (без края) и,
следовательно, гомеоморфно R1 или S1, а само М1 гомеоморфно
связному замкнутому собственному подмножеству R1 или S1, не
сводящемуся к точке. Так как всякое связное неодноточечное под-
множество R1 вместе с любыми двумя своими точками содержит
соединяющий их отрезок, то связные неодноточечные множества в
R1 имеют вид (а, Ь), [а, Ь), (а, й] или [a, Z>], где а< b (возможно,
а = —оо, ь= + оо). Поэтому связные замкнутые собственные под-
множества R1, не сводящиеся к точке, имеют вид (—оо, £>],
[а, + оо) или [а, Ь] и, следовательно, гомеоморфны R'+ или D1.
Аналогичным образом, связные замкнутые собственные подмноже-
237
ства S1, не сводящиеся к точке, гомеоморфны R*+ или D1. Таким об-
разом, М1 гомеоморфно R*+ или D1 (компактное М1 гомеоморфно
D1, а некомпактное — R^).
Топологическая классификация компактных двумерных много-
образий проведена нами в § 4 гл. II и § 4 гл. III. Классификация
многообразий размерности, большей 2, представляет собой очень
трудную задачу.
3. Регулярные и нерегулярные точки гладкого отображения.
Пусть /: Mn-*Nm есть {/-отображение {/-многообразий, r> 1.
Определение 6. Точка х G Л/” называется регулярной {некри-
тической, неособой) точкой отображения /, если для некоторого
координатного представления
отображения / в окрестности точки х точка <р-|(х) является регу-
лярной.
В противном случае точка х называется нерегулярной {критиче-
ской, особой).
Упражнение 11°. Покажите независимость определения от выбо-
ра координатного представления.
Определение 7. Точка у G Nm называется регулярным {некри-
тическим, неособым) значением отображения /, если ее полный
прообраз Г1 {у) состоит только из регулярных точек отображения
f или пуст.
В противном случае точка у называется нерегулярным {крити-
ческим, особым) значением.
Замечание 2. Понятие регулярной точки отображения /
можно распространить на случай, когда М”, Nm — многообразия с
краем. Для точек, не принадлежащих краю дМп, определение регу-
лярности остается прежним. Точку х края дМп будем называть ре-
гулярной точкой отображения /, если для некоторого координатно-
го представления <р-1(1У(х)) -♦ гр-1(Ю отображения / в ок-
рестности точки х выполнены условия:
1) существует открытая в R” окрестность W точки <р~*(х) и С-
отображение Ф: i^-*Rm, совпадающее с на множестве
W А <р-1( Ж(х)), для которого ф-1(х) — регулярная точка;
2) точка х является регулярной точкой сужения /I отображе-
I дМп
ния / на край дМп.
Определения нерегулярной точки, регулярного и нерегулярного
значения прежние.
Отметим, что при п =£ т условие 2) следует из условия 1), а при
п > т условие 1) следует из условия 2); при п> т множество нере-
гулярных значений отображения / совпадает с объединением мно-
жеств нерегулярных значений отображений /I , /1
\мп\дмп |ам"
238
Упражнение 12°. Покажите, что множество регулярных точек
отображения /: Л/'1—» Nm многообразий открыто в Мп.
Множество регулярных значений отображения многообразий, в
отличие от множества регулярных точек, может быть и не открыто
(приведите примеры!).
В топологии часто используется фундаментальная теорема ана-
лиза о мере множества нерегулярных значений гладкого отображе-
ния.
Напомним вначале, что множество А С R" имеет меру нуль
(обозначается mes А = 0), если для всякого е > 0 существует не бо-
лее чем счетное покрытие А замкнутыми параллелепипедами
Uv U2, ... такое, что У Vol Ut < е (здесь Vol Ut — обычный объем
I
параллелепипеда Ut в R").
Ясно, что не более чем счетное объединение множеств меры нуль
есть множество меры нуль и если А имеет меру нуль и В С А, то
В имеет меру нуль.
Теорема 5 (Сард) *. Пусть U — открытое множество в R"
и f: U —»Rm — С-отображение, г > max (п — т, 0) 4- 1. Тогда,
если п> т, то множество нерегулярных значений отображения
f имеет меру нуль', если п < т, то множество f(LT) всех значе-
ний отображения f имеет меру нуль **.
Мы докажем теорему 5 лишь для случая ж т, хотя в дальней-
шем будем ею пользоваться и при п > т. Доказательство в случае
п > т довольно сложно, читатель может найти его в литературе.
Докажем сначала теорему для случая п = т.
Пусть Q — некоторый замкнутый и-мерный куб в U со стороной
I. Покажем сначала, что множество нерегулярных значений отобра-
жения /: Q —» Rn имеет меру нуль. Согласно теореме о среднем для
любых двух точек у, z G Q имеем
/Д2)-/;(>) = S « = 1,2,...,п, (4)
y=i v 1 и'
где и1 — некоторая точка отрезка, соединяющего у и z. Так как
f G С1, то функции dfj/dXj, i, j = 1, ..., п, непрерывны на Q и, сле-
* Эту теорему в литературе чаще всего называют теоремой Сарда, хотя впервые
такое утверждение было установлено А. Брауном в 1935 г. В 1939 г. А. П. Морс дока-
зал теорему для случая функций /: R"-► R1, упоминая в статье более слабый резуль-
тат из неопубликованной работы М. Морса и А. Сарда. Теорема 5 была опубликована
А. Сардом в 1942 г. В 1953 г. результат был вновь открыт А. Я. Дубовицким и Р. То-
мом. Для случая отображений плоскости /: R2-»R2 теорема была установлена
К. Кноппом и Р. Шмидтом еще в 1926 г.
** Как показали Дж. Уитни и Д. Е. Меньшов, предположение гладкости ослабить
нельзя.
239
довательно, ограничены как непрерывные функции на компактном
множестве. Поэтому из равенств (4) можно получить неравенство
11/(у)“ /(*)!!< с||у- 2II, (5)
тде с — некоторая константа.
Рассмотрим теперь аффинное отображение
7\(z) = (^(z), ..., TW(2)): R^R",
И / Q f ,
= ‘ = 1’
(6)
n.
Из равенств (4), (6) получаем
H / Э f d f \ \
/,.(2)-TW(2) = ^Ui (Ъ“Ъ)’ г = 1’-’л-
/ = 1 \ ' 1 u JI У/
Так как функции df t/dXj, i, j = 1, ..., n, равномерно непрерывны на
Q (как непрерывные функции на компактном множестве), то суще-
ствует функция 1(e): R^-^Rij. такая, что 1(e)—>0 при е—»0 и
||/(2) - Ту(2) || 1( ||2 - у ||) • ( ||2 - у II). (7)
Если у — нерегулярная точка отображения /, то
rank (df/dx) | у < п, следовательно, образ Ty(R'’) пространства R”
при отображении Ту содержится в неко-
торой гиперплоскости Р С R”.
Если ||z — у || < е, то в силу (7) имеем
||/(г) — Т (z) || < el(e), и, следовательно,
/(г) лежит в слое Р между гиперплоско-
стями, параллельными Ру и лежащими на
расстоянии е!(е) от Ру (рис. 98); с другой
стороны, из неравенства (5) следует, что
/(г) содержится в диске Z)"£(/(y)) радиу-
са се с центром в точке /(у), а следова-
тельно, и во всяком замкнутом кубе с
ребром 2се и с центром в /(у), в частно-
сти, в кубе Q2c£, одна из граней которого
параллельна Р . Таким образом, если у — нерегулярная точка ото-
бражения /и ||г — у || < е, то /(г) принадлежит замкнутому паралле-
лепипеду Q2c£ П Р. Если е>0 достаточно мало, то е!(е) < се, и
Vol (2гСе П Р) = (2се)'*-12е1(е) = 2пс'*-1е'Ч(е).
Разобьем теперь куб Q на рп замкнутых кубов Q. г = 1, ..., рп,
с длиной ребра (Up), выбрав р = [zVn/e + 1 ] (здесь квадратные
240
скобки означают целую часть числа). Так как а < [а] + 1 для вся-
кого числа а, то I уГп!г + 1 < р + 1 и, следовательно, для длины
ребра куба Q, справедливо неравенство (//р) < ъ1уГп. Так как рас-
стояние между двумя точками куба в R" с ребром г не превосходит
Vnr, то расстояние между любыми точками каждого куба <2; мень-
ше е. Если некоторый куб Qt содержит нерегулярную точку у, то
для всякой точки z 6 Qi имеем ||z — у|| < е, поэтому точка /(z), как
показано выше, принадлежит некоторому замкнутому параллелепи-
педу объема 2'’с'’~1е"Х(е). Множество нерегулярных значений
отображения / содержится в объединении образов f(Qt) кубов Qt,
содержащих нерегулярные точки отображения /. Так как число ку-
бов, содержащих нерегулярные точки отображения /, не превосхо-
дит рп и образ каждого такого куба содержится в параллелепипеде
объема 2'’с'’~1е"Х(е), то сумма объемов параллелепипедов, содержа-
щих нерегулярные значения, не превосходит /У’2',с'’~1е'’Х(е) =
= (/ уГп + е)"2'1с'1' |Х(е). Последнее выражение стремится к нулю
при е—>0. Таким образом, множество нерегулярных значений ото-
бражения /: Q-^R" имеет меру нуль.
Покажем теперь, что множество нерегулярных значений отобра-
жения /: И —» Rn имеет меру нуль.
Представим множество U в виде объединения U = (J Qi не бо-
к
лее чем счетного множества некоторых n-мерных замкнутых кубов
Qi, к= 1, 2, ... Тогда множество нерегулярных значений отображе-
ния /: U—»R/1 есть объединение множеств нерегулярных значений
отображений /: Q'k~»R", к = 1, 2, ..., каждое из которых, как пока-
зано выше, имеет меру нуль. Следовательно, множество нерегуляр-
ных значений отображения /: U—»R" имеет меру нуль.
Докажем теперь теорему для случая.п < т.
Точки пространства R'n = RnxRm-n представим в виде (х, у),
где х = (Xj, ..., х„) 6 R", у= (ур ..., ym_J 6 R"1"'1. Рассмотрим
С1-отображение F: £/х »R"!, задаваемое по правилу
F(x, у) = f(x). Согласно доказанному случаю теоремы множество
нерегулярных значений отображения F: U х —»R™ имеет меру
нуль. Так как rank(xy) F = гапкх f < т, то множество нерегулярных
значений отображения F: Ux R'”~'1-^R'” совпадает с образом
F(U х R"I-n). Для завершения доказательства остается заметить,
что F(L7xRm-'1) = f(U).
Теорему 5 легко обобщить на случай отображений многообразий.
241
Определение 8. Говорят, что подмножество А многообразия
Мп имеет меру нуль (mes А = 0), если А можно представить в виде
объединения А = (J Ak не более чем счетного числа множеств
к
А2, ..., где каждое Ak, к= 1, 2, содержится в множестве Uk
некоторой карты (Uk, ip^.) из атласа многообразия Мп, и <р^(Ак)
имеет меру нуль в Rn.
Теорема 6. Пусть f: Мп—>N"1 есть С-отображение С-многооб-
разий, г > max (п — т, 0) + 1. Если п> т, то множество нерегу-
лярных значений отображения / имеет меру нуль', если п < т, то
множество f(Mn) всех значений отображения f имеет меру нуль.
Доказательство. Пусть {(Ua, <ра)}, {(V'p, 'Фр)} — некото-
рые атласы многообразий Мп, Nm соответственно их — некоторая
точка Мп. Пусть (Ua, <ра), (V^, — некоторые карты атласов
такие, что х 6 Ua, f(x) 6 и W(x) — открытая окрестность
точки х такая, что W(x~) С Ua, f(W(x)') С V^. Отображение
фр1/^ фрЧ^р) будет координатным представлением
отображения / в окрестности точки х (и любой точки у 6 W(x)).
Рассмотрим для каждой точки х 6 Мп такое координатное пред-
ставление отображения / в окрестности х. Система получаемых
при этом множеств {ИДх)} п образует открытое покрытие М1.
х&М
Так как рассматриваемые нами многообразия имеют счетную базу,
то по теореме Линделёфа (см. § 11 гл. II) покрытие {Ж(х)}
содержит не более чем счетное подпокрытие {ИДх^.)} Пусть
*=1,2, ..., (8)
— координатные представления отображения / в окрестностях то-
чек xk, к= 1, 2, ..., соответственно. Тогда множество С нерегуляр-
ных значений отображения / можно представить как объединение
С = (J Ck множеств Ck нерегулярных значений отображений (8), а
к
множество — как объединение /(AT") = U Bk множеств
к
В к = f(W(xk)) всех значений отображений (8). Если п > т, то в си-
лу теоремы 5 имеем mes Ck — 0, к = 1, 2, ..., поэтому mes С = 0;
если п < т, то в силу теоремы 5 имеем mes Bk = 0, к = 1, 2, ..., по-
этому mes f(Mn) = 0.
Следствие. Пусть f:Mn-^Nm — С-отображение С-многооб-
разий, г > max (п — т, 0) + 1. Тогда множество регулярных значе-
ний отображения f всюду плотно в Nm, а в случае компактности
Мп и открыто в Nm.
242
Доказательство. Предположим, что множество регулярных
значений отображения / не всюду плотно в Nm. Тогда существует
непустое открытое множество U С Nm, не содержащее регулярных
значений отображения /, т. е. U содержится в множестве С нерегу-
лярных значений отображения /. Из теоремы 6 следует mes С = О,
поэтому и mes U = 0 — противоречие с тем, что непустое открытое
множество имеет ненулевую меру.
Пусть теперь Мп компактно. Множество регулярных точек отоб-
ражения f открыто в Мп, поэтому множество А нерегулярных точек
Рис. 99
отображения / замкнуто и, следовательно, компактно в компактном,
пространстве Л/”. Тогда множество /(Л) нерегулярных значений
отображения / также компактно (как образ компактного простран-
ства при непрерывном отображении) и, следовательно, замкнуто в
хаусдорфовом пространстве Nm. Поэтому множество A"”\/(.4) регу-
лярных значений отображения / открыто.
4. Иммерсии, субмерсии, вложения, подмногообразия. Пусть
для Сг-отображения Сг-многообразий, г>1, каждая
точка х 6 Мп является регулярной. Такое отображение называется:
1) С-иммерсией, если п т; 2) С-субмерсией, если п>т.
Сг-иммерсия называется С-вложением, если / является гомео-
морфизмом Мп на подпространство f(Mn) топологического про-
странства Nm.
Пример 1. Отображение /:R2—»R*, задаваемое по правилу
/(х, у) = х, является С"-субмерсией.
Пример 2. Отображение /:R*—»R2, задаваемое по правилу
/(х) = (sin х, sin 2х) (рис. 99), является С“-иммерсией, но не яв-
ляется вложением, так как оно не инъективно. Отображение
/I также не будет вложением, хотя f и биективно на (0, 2л).
I (0, 2л)
В данном случае отображение /-1 не будет непрерывным. Заметим,
что отображение f I (рис. 100) есть С“-вложение.
I (0, я)
243
Пример 3. Отображение /: S1 —»S2, задаваемое по правилу
/(х, у) = (х, у, 0) (рис. 101), является С"-вложением.
Пример 4. Пусть /р /2: R1—»R' — функции класса С.
Отображение /= (/р/2): R1—»R2 (кривая класса С1") можно
рассматривать как Сг-отображение многообразий R1, R2 с естест-
венной С“-структурой. Выясним, при каких условиях отображение
/ является иммерсией. Условие иммерсии означает, что любая точ-
ка х £ R1 является регулярной точкой отображения
(LzrVLi = /: R*-^R2
\ Rz/ I R1 I
(здесь 1 2, 1 , — тождественные отображения R2, R1), т. е.
1К 1К
rank (rfP rf?) = 1- (9)
Таким образом, / является Сг-иммерсией, если производные
dfjdx, df^dx в нуль нигде одновременно не обращаются.
Кривая, удовлетворяющая условию (9), называется кривой без
особых точек. Те точки, в которых не выполнено условие (9), назы-
ваются особыми точками кривой. Например, для кривой /,(х) = х2,
/2(х) = х3 (рис. 102) точка 0 является особой.
Пример 5. Кривая, изображенная на рис. 103 (построенная с
помощью графика функции y = sin(l/x)), определяет С°°-иммер-
сию, но не вложение полупрямой в плоскость, хотя отображение и
биективно.
Другой пример подобного рода доставляет нам иммерсия
/:R'—»СхС, задаваемая формулой /(х) = (e2iuct1*, е2”’1'*2*'), где
а(/а2 иррационально. Легко проверить, что это биективное отобра-
жение (ранга 1), причем его образ лежит на торе S1 X S1 и представ-
ляет собой всюду плотную обмотку тора.
244
Заметим, что существенную роль в данных примерах играла не-
компактность прямой. Действительно, верна следующая теорема.
Теорема 7. Если многообразие Мп компактно и f: Mn—*Nm —
ниъективная иммерсия, то f является вложением.
Доказательство следует из того, что инъективное непре-
рывное отображение /: M-+N компактного пространства М в хаус-
дорфово пространство N является гомеоморфизмом на подпростран-
Е)
Рис. 103
ство f(M) (см. § 13 гл. II).
Отметим, что любая Сг-иммерсия /: Мп Nm является Сг-вло-
жением на векторной окрестности каждой точки х 6 Мп (это следу-
ет из теоремы о выпрямлении отображения, см. § 1).
Пример 6. Отображение /: R"-» R/v, N п, класса Сг, г>1,
задает иммерсию в R/v, если
rank (I = п
в любой точке у 6 R". Таким образом, f не имеет нерегулярных то-
чек и, по теореме о выпрямлении отображения, является локальным
гомеоморфизмом между R" и /(R"). Если, кроме того, / — гомео-
морфизм R" на /(R"), то f есть СУ-вложение.
Упражнение 13°. Убедитесь, что понятие карты ^-подмногооб-
разия в RiV (см. § 2) эквивалентно Сг-вложению R" в R7^.
Часто многообразия лежат в других объемлющих многообразиях.
Было бы слишком общо называть всякое такое многообразие под-'
многообразием объемлющего многообразия подобно тому, как в то-
пологическом пространстве не называют подпространством подмно-
жество, наделенное произвольной топологией. Необходимо нало-
жить разумные ограничения для существования простой связи
между структурами вложенного и объемлющего многообразий. При
этом полезным оказывается понятие вложения.
Определение 9. Подмногообразием С-многообразия Nm назы-
вают всякое подпространство М{ в N™, являющееся образом некото-
245
рого Сг-вложения /: Mn-+Nm с Сг-структурой, индуцированной го-
меоморфизмом /.
Структуры подмногообразия и многообразия оказываются свя-
занными простым образом: для некоторого атласа {(t/a, <ра)} много-
образия Nm пересечение Ua П М* является (если не пусто) образом
подпространства R" С Rm = R" х Rm " при гомеоморфизме <ра,
причем сужения
зия Mf.
R"’
Rn—»Ua Г) Ml задают атлас подмногообра-
Таким образом, локально подмногообразие в Nm задается в соот-
Рис. 104
ветствующих локальных координатах
• ••, многообразия Nm уравнениями
ln+i = 0. • - lm = o-
Упражнение 14°. Применяя теорему о
выпрямлении к координатному представ-
лению вложения /, постройте вышеопи-
санные атласы многообразий Nm и М".
Эту взаимосвязь структур многообра-
зия и подмногообразия можно положить в
основу понятия подмногообразия.
Определение 10. Подпространство
М{ С N'n называется п-мерным подмногообразием С-многообразия
N"1, п т, если в заданной структуре многообразия существует
набор карт {(t/a, <ра)}, фа: R" х R'n-n—»Ua такой, что
<Pa(R") — Uа П ^1’ когда П 0, И А/, С U иа. При ЭТОМ
а
отображения <ра
: Rn—» Ua П М{ задают С-атлас, определяющий
структуру n-мерного Сг-многообразия на М{ (рис. 104). Такую
структуру на многообразии Мх С Nm называют структурой, согласо-
ванной со структурой многообразия Nm, или просто структурой
подмногообразия.
Эквивалентность определений 9 и 10 очевидна.
Упражнения. 15°. Убедитесь, что {(Ua П М{, <pa | R„)}, (Ua И
П М{ 0) — Сг-атлас на
16°. Пусть Мп — Сг-подмногообразие в R7'7 = R" х R7V-n (см.
§ 2) и (t/(x), <р) — карта точки х 6 Мп. Покажите, что:
1) существует Сг-диффеоморфизм >р: R'v—»(/(х) пространства
R'v на некоторую открытую в R7^ окрестность 1/(х) точки х такой,
что
= ф;
К" г
(10)
246
2) множество карт
{(С(х), f)} . U (R\ Uv) (И)
xt М 1К
образует С-атлас на R/v (в смысле определения 2 § 3).
Из упражнения 16° следует, что R/v с атласом (11) является Сг-
многообразием, а Л/” в силу (10) — его подмногообпазием. (Это оп-
равдывает термин «Сг-подмногообразие в R/v», данный в § 2. Одна-
ко, если быть точнее, вместо него следовало бы употребить термин
«подмногообразие С'-многообразия RA/».)
Пример 7. Экватор сферы S2 (см. пример 3) является подмно-
гообразием.
Упражнение 17°. Покажите, что график отображения /(х) = |х|,
х G R1, не является подмногообразием R2.
Подмногообразия, являющиеся группами Ли, возникают как об-
разы гомоморфизмов групп Ли.
Пусть <р: »G2 — гомоморфизм групп Ли такой, что ф — им-
мерсия и инъекция. Тогда пара (G,, <р) называется подгруппой Ли
группы Ли G2. Если при этом образ <p(Gj) замкнут в G2, то говорят
о замкнутой подгруппе (Gt, ф) в G2.
В том случае, когда G( С G2 — абстрактная подгруппа группы
Ли G2 и является одновременно вложенным подмногообразием:
i
G{—*G2, то пара (G,, г) с индуцированной гладкой структурой на
G, является подгруппой Ли (вложенной в G2).
Упражнения. 18°. Покажите, что в условиях последнего предло-
жения G, является группой Ли (с индуцированной гладкой структу-
рой из G2).
19°. Покажите, что группы Ли О(н, R), SO(h, R) являются вло-
женными в GL(h, R) подгруппами Ли. Убедитесь, что всюду плотная
обмотка тора дает пример подгруппы Ли, не являющейся вложенной.
Часто многообразия возникают не как образы при некоторых
отображениях, а как прообразы. Следующая важная теорема бывает
полезна не только для построения новых многообразий, но и часто
облегчает доказательство того, что изучаемые пространства имеют
структуру многообразия.
Теорема 8. Пусть f:Mn-*Nm (п> т) есть С-отображение
С-многообразий (г ^ 1), — подмногообразие в Nm, состоящее
только из регулярных значений отображения f. Тогда
= /~'(JV*) либо пусто, либо является подмногообразием в Мп
размерности п — т + к.
Доказательство. Предположим, что 0. Пусть х0 —
произвольная точка М}. Так как — подмногообразие, то сущест-
247
вует карта (У, 4>) (/(х0) 6 У) из максимального атласа заданной на
Nm Сг-структуры такая, что пара (У П Nx, | R*) является картой ат-
ласа С-структуры на N[. Пусть (L7, <р) (х0 6 U) — карта атласа Сг-
структуры, заданной на Мп, такая, что f{U) С У. Тогда по условию
Ф-1(хо) — регулярная точка отображения Ф = <р-1 ( U) —* Rm
и по теореме о выпрямлении отображения существуют открытая ок-
рестность УСЙ" точки ф-1(хо)’ открытое множество W С R" и С-
диффеоморфизм F: V-* W такие, что отображение ФР"1 на множест-
ве W является стандартной проекцией R" на Rm. Заметим, что
<р(У) — открытая окрестность в М" точки х0 и пара (<р( У), ф^7-1) яв-
ляется картой максимального атласа Сг-структуры, заданной на Мп.
Так как Ф/1"1 — стандартная проекция, а множество
Ч>’7(т(У) ПМ,) С Rm
состоит из точек вида (хр ..., хк, 0, ..., 0), то множество
/’ф-'СфСУ) П М,) С R"
СОСТОИТ ИЗ точек вида (хр ..., Хк, 0, ..., 0, Хт + 1, ..., хп) 6 Rn~'n + *
Таким образом, карта (<р(У), фР-1) в Мп обладает свойством
(<pF~')(R«~'n+* n W) = <р(У) П
Такую карту можно построить для любой точки х0 6 Мх. Это и
доказывает, что Мх является подмногообразием в Мп размерности
п — т + к.
Пример 8. Из теоремы 8, в частности, вытекает, что прообраз
регулярного значения отображения /: ЛР —* Nm либо пуст, либо яв-
ляется подмногообразием в Л/” размерности п — т.
Следующий фундаментальный факт решает принципиальный
вопрос теории многообразий.
Теорема 9 (Уитни). Для всякого С'-многообразия Мп, г > 1, су-
ществует С'-вложение Мп в R2n+1.
Мы докажем теорему только в предположении, что Мп компакт-
но и г > 2, общий случай требует более тонкого анализа.
Вначале установим более слабое утверждение.
Теорема 10. Для всякого компактного Сг-многообразия
Мп, г > 1, существует Сг-вложение Мп в пространство R7* неко-
торой размерности N.
Доказательство. Пусть {(Ua, фа)}ае/ — некоторый Сг-ат-
лас многообразия Л/". Согласно лемме 3 § 4 для всякой точки
248
у G Ua существуют открытые окрестности Va i(y),Va 2(y) и Сг-
функция fa : Мп —»[О, 1 ] такие, что:
1) К. 16) С
2) Л.у(х) =
1, если х 6 Va t(y),
О, если хеМ"\Уа 2(у),
причем /ау(х) < 1, если х (£ Ду). Рассмотрим для каждой точки
у 6 Ua каждого множества Ua, а 6 I, открытые окрестности
У Ду), г(у) и С'-Функцию fayC указаннымй свойствами. Сис-
тема множеств {Va i(y)}as/, ysi/a образует открытое покрытие Мп. В
силу компактности Мп это покрытие содержит конечное подпокры-
тие •••’ Pat,l(Xl)}-
Рассмотрим отображение фг: Мт—»R", i = 1, kt
/а,у.(Х)’Фа!(Х)>
О,
^i(x) =
если х е Ua,
I
если x$Ua.
Очевидно, ф; 6 С", i— 1, ..., к. Отображения фр,..., фА, /а у, •••
...,/арУд задают Сг-отображение ф = (фр ..., фЛ,у? ..., fa»y)t
Mn—»R” X ... X R" X R1 X ... X R1 — Rt(n+1\ Покажем, что ф — им-
мерсия. Пусть z — некоторая точка Л/11, тогда z принадлежит неко-
торому множеству Va д(у() подпокрытия. Так как /а у (х) = 1 для
отображения ффа содер-
Z ’
жит единичную матрицу
(у;), то матрица Якоби дх
'Э((4,у/<’Ч'
, дх .
/1
О
О'»
размера п X п. Следовательно, rankz ффа.= лиф — иммерсия. По-
кажем теперь, что ф инъективно. Пусть z 6 М" и z' z. Если
z' 6 Va Ду), то <pa(z)^ tpa (z') (так как <pa — гомеоморфизм) и
/а.,у.(г) = y,(z') = !’ поэтому ф(г) ф(г'). Если Z Уа1(у^,
т0 /a,y(z) * /a,y (z )> и> следовательно, ф(г) ф^г'). Таким обра-
зом, ф: №—*Rt(n+1) — инъективная иммерсия. Так как Мп ком-
пактно, то по теореме 7 ф — вложение.
Докажем теперь теорему 9.
В силу теоремы 10 можно считать, что С'-многообразие Мп яв-
ляется Сг-подмногообразием некоторого пространства R\ Если
2п + 1, то утверждение доказано. Пусть N > 2ri + 1. Покажем,
249
что в этом случае существует проекция pre: R'V —»R'v~1 на подпро-
странство R'v-1 = {(хр х2, xN_v 0)} С R'v параллельно некото-
рому вектору е 6 R'v, которая будет вложением Мп в R'v-1. Будем
искать е среди векторов единичной сферы S'v-1. Докажем сначала,
что существуют проекции, инъективно отображающие Мп в R'v-1.
При проектировании Мп в R'v-1 параллельно вектору е инъектив-
ность нарушается тогда и только тогда, когда существуют
х, у 6 Мп, х у, такие, что вектор х — у параллелен е. Таким об-
разом, инъективность проекции pre: Мп~* R'v-1 будет обеспечена,
если будет выполнено условие
х,уеМ", х^у: (12)
Покажем, что векторы е, удовлетворяющие условию (12), суще-
ствуют. Рассмотрим подмножество К= (ЛР* X Л/'1)\Д произведения
Мп X Мп (здесь А = {(х, х): х G Мп} — диагональ). Так как Мп ха-
усдорфово, то К открыто в Мп X Мп, и, следовательно, является С-
многообразием размерности 2п. Рассмотрим Сг-отображение
/: K2n—^SN~i, f(x, у) = (х — у)/||х — у||.. Вектор е 6 SN~l в том
и только том случае удовлетворяет условию (12), если он не при-
надлежит образу f(K2n). Так как 2n<N — 1, то согласно теоре-
ме 6 множество /(J^2n) имеет меру нуль в SN~l, поэтому
SN~l\f(Kln) * 0.
Покажем теперь, что существуют проекции, осуществляющие
иммерсию Мп в R'v-1. Так как Мп компактно, то существуют С-
S
карты (1/р фД, ..., (Us, <ps) в Мп такие, что (J Ut = Мп. Пусть
< = 1
х — некоторая точка Мп и (Uk, ^k) — Сг-карта в Мп, х 6 Uк. Для
того чтобы проекция рг,: Mn-*RN~l была иммерсией в точке х, не-
обходимо и достаточно, чтобы подпространство (D <p.)(R") (об-
т* (*)
раз при линейном отображении D R"-»R'V) не теряло раз-
т* (*)
мерности при проекции рг,; это эквивалентно тому, что
е (D (Pa)(R"). Таким образом, проекция рге: Мп—*R'V 1 будет
иммерсией в каждой точке х G если выполнено условие
U (D Tjfc)(Rn). (13)
*‘(х)
Покажем, что векторы е, удовлетворяющие условию (13), суще-
ствуют. Рассмотрим подмножество L = R"x(R"\0) произведения
250
R" X Rrt. Так как L открыто в R" x R", то является (^-многообра-
зием размерности In. Рассмотрим отображение gk(y, z): L2n-*RN,
gk(y, z) = (Dy<f>k)(z). Так как для всякой точки у 6 R"
гапку = п, то кег £>уук = {0} и, следовательно, gk(y, z) Ф 0. По-
этому можно рассмотреть отображение
hk{y, z): L2n-^SN~l, hk(y, z) = gk(y, z)/\\gk(y, z)||.
Очевидно, hk 6 Cr~‘. Вектор e S S7*-1 тогда и только тогда удовлет-
воряет условию (13), когда он не принадлежит образу hk(L2n). Так
как 2п < N — 1, то согласно теореме 6 множество hk(L2n) имеет ме-
ру нуль в Так как U И, = Мп, то рге: Мп—»R7V~1 будет им-
/ = 1
5
мерсией в каждой точке X S Мп, если U /i;(L2n). Поскольку
<=1
объединение конечного числа множеств меры нуль есть множество
меры нуль, mes U Л;(С2п) = 0, и поэтому S2V-1\ U hi(L2n') = 0.
i = l s i = l
Далее, множество Н= (/(A’2'1)) U ( U /i;(E2")) имеет меру нуль
/=1
в SN~l, поэтому SN~1\H & 0. Для всякого вектора е Е SN~l\H про-
екция pre: Мп—»R7V-1 будет инъективной С^-иммерсией. Так как
Мп компактно, то по теореме 7 проекция рге будет Сг-вложением.
Мы показали, что если N> 2п + 1, то существует Сг-вложение
рг.: Мп —»RA-1. Если, далее, N — 1 > 2п + 1, то существует проек-
ция, осуществляющая Сг-вложение образа рге(Мп) в R7*-2. Процесс
вложения в пространство меньшей размерности можно продолжать до
тех пор, пока размерность пространства не станет равной 2п + 1. Су-
перпозиция проекций будет С-вложениём Мп в R2"+1.
Замечание 3. При некоторых ограничениях на многообразия
и их размерности теорема 9 может быть усилена. В частности, при
Сг-многообразие Мп, г^1, допускает Сг-вложение в R2"
(Уитни) и даже в R2"-1, если Мп некомпактно (Хирш) или
п Ф 2к.
Теорему 9 можно сформулировать иначе: всякое С-многообра-
зие Мп Сг-диффеоморфно подмногообразию пространства R2n+1.
Так как мы условились не различать диффеоморфных много-
образий, то из теоремы 9 видно, что абстрактное понятие мно-
гообразия не шире, чем понятие подмногообразия в евклидо-
251
вых пространствах, и можно было бы ограничиться только их
рассмотрением. Однако это не всегда целесообразно. Многие
задачи о многообразиях проще решаются без привлечения вло-
жения.
5. Степень отображения по модулю 2. Пусть /: Мп —»Nn —
некоторое Сг-отображение (^-многообразий, 1. Пусть, кроме то-
го, Мп компактно. Если у £ Nn — регулярное значение отображе-
ния /, то 1 (у) является подмногообразием в Мп нулевой размер-
ности или пусто. Подмногообразие /~*(у) компактно как замкнутое
подмножество компактного пространства Мп и, следовательно, со-
стоит из конечного числа точек «(/'(у)) (если /-1(у) = 0, то
п(/-1(у)) = 0). Покажем, что если Nn связно и г & 2, то класс вы-
четов mod 2 числа п(/-1(у)) не зависит от выбора регулярного зна-
чения у Е Nn отображения /. Этот класс вычетов называется сте-
пенью отображения / mod 2 и обозначается deg2 /.
Приведем вначале необходимые понятия.
Определение 11. Сг-отображения /, g: Мп —» Nm Сг-многообра-
зий, г & 0, называются С-гомотопными, если существует Сг-отоб-
ражение F(x, /): Мп X [0, 1 ] —» Nm такое, что У(х, 0) =/(х),
F(x, 1) = g(x) для всех х £ Мп.
Упражнения. 20°. Убедитесь, что произведение Мп X [0, 1], где
Мп — (^-многообразие, является (^-многообразием с краем, при-
чем его край состоит из двух экземпляров, Мп х 0 и Мп X 1, много-
образия Мп.
21°. Покажите, что Сг-гомотопия является отношением эквива-
лентности на множестве С(Мп, N”1) всех Сг-отображений (^-мно-
гообразий Мп, Nm.
Определение 12. Сг-диффеоморфизмы /, g: Мп —» Nn Сг-много-
образий, г & 0, называются С-изотопными, если существует ^-го-
мотопия F(x, /): Мп X [0, 1 ] —» Nn между fug такая, что при каж-
дом фиксированном / £ [0, 1] отображение F(x, /) является ^-диф-
феоморфизмом.
Докажем предварительно вспомогательные утверждения (лем-
мы 2—5).
Лемма 2. Пусть у, z — произвольные диаметрально противо-
положные точки окружности 5)/2(0) С R2 С R", п > 2. Тогда суще-
ствует С™-диффеоморфизм /г: R"—»R", (У'-изотопный тождест-
венному отображению I, такой, что h(y) = z и h(x) = х, если
х Е Rn\n"(0).
252
Доказательство. Согласно
функция gr: R"—»[0, 1] такая, что
лемме 2 § 4 существует С°°-
1, если хб£>"/2(0),
О, если х S R"\Z>"(0),
причем gr(x) постоянна на сферах S" ’(О). Нетрудно видеть, что
отображение h: Rn-»Rn,
cos (л#г(х)) —sin (jtgr(x))
sin (jtgr(x)) cos (regr(x))
будет требуемым С“-диффеоморфизмом,
F(x, t\. RnX [0, 1]—»Rn,
cos (ZJtgJx)) -sin (W,(x))
sin (tngr(x)) cos (mgr(x))
а С”-гомотопия
0
1 0
0 ' 1
изотопно соединяет I и h (отображение F(x, t) при каждом фикси-
рованном t е [0, 1] осуществляет поворот диска £>"/2(0) на угол л/
параллельно плоскости R2, а на сферах S£~’(0), r/2 С р $ г, осу-
ществляет поворот на угол /л#г(х)). в
Лемма 3. Пусть у, z — произвольные'точки R", п > 2. Тогда су-
ществует С“-диффеоморфизм A:Rn-»Rn, С™-изотопный тожде-
ственному, такой, что h(y) — z и h(x') = х вне некоторого диска
£>С(0).
Доказательство. Пусть Цу— гЦ = г. Преобразование А(х) =
— х — (у + z)/2 переводит точки у, z в диаметрально противополож-
ные точки сферы S"/2’(0). Пусть В: Rn-»Rn — какое-нибудь враще-
ние, переводящее вектор (у —z)/2 в подпространство R2. Тогда
ВА(у), BA(z) — диаметрально противоположные точки окружности
S*/2(0). Согласно лемме 2 существует С“-диффеоморфизм h:
253
R"—»R',J С“-изотопный тождественному, такой, что Л(ВЛ(у)) =
= BA(z) и Л(х) = х, если x6R’\B?(0). Тогда отображение
h = (ВЛ)-1 Л (БА): R"-> R" будет требуемым диффеоморфизмом, и
если Н(х, t): Rn X [0, 1 ] -» R” — С“-изотопия, соединяющая I и Л, то
Н = (BA')~lH(BA'): R" X [0, 1] -»Rn — С“-изотопия, соединяющая I
и Л.
Лемма 4. Пусть у, z — произвольные точки связного ^-мно-
гообразия Nn, п> 0, г>0. Тогда существует С-диффеоморфизм
d: Nn—>№, С-изотопный тождественному, такой, что d(y) = z.
Доказательство. Предположим сначала, что п > 2 и у, z
принадлежат множеству И какой-нибудь карты (U, <р) атласа мно-
гообразия JV". Согласно лемме 3 существует С°°-диффеоморфизм
Л: Rn—»R'*, С “-изотопный тождественному, такой, что Л(<р-1(у)) =
= <p-1(z) и й(х) = (х) вне некоторого диска 2)"(0). Тогда, как не-
трудно видеть, отображение <Z: Nn~*Nn,
_ <рЛ<р-1(х), если х е U,
х, если х G Nn\U,
будет требуемым Сг-диффеоморфизмом, и если Н(х, t):
R" X [0, 1 ] —»R" — С“-изотопия, соединяющая I и h, то F(x, t):
Nn X [0, 1]—N",
F{x, 0 =
<р \
х,
если х G U,
если х G Nn\U,
есть Сг-изотопия, соединяющая Ind.
Пусть теперь у, z не принадлежат множеству одной карты. Тогда
в силу связности Nn существует «цепочка» карт, соединяющих у, z,
т. е. существуют карты (1/^), i = 1, ..., к, в Nn такие, что у 6 Ut,
z G Uk и Ui A Ui+i Ф 0, i = 1, ..., к — 1. В каждом из множеств
Ut A Ui+l, i = 1, ..., к — 1, выберем произвольную точку иг Тогда
пары точек (ур ut), (ut, и2),..., (ик_2, ик_,), (uk_it z) будут при-
надлежать множествам UY,..., Uk соответственно и, следовательно,
существуют Сг-диффеоморфизмы di'.Nn—^Nn, i = к, Сг-изо-
топные тождественному, такие, что dj(y) = Uj, d2(Uj) = u2, ...
..., dk_l(uk_2) = uk_t, dk(uk_i) = z. Диффеоморфизм d =
= dkdk_v..dy Nn~*’Nn, очевидно, будет искомым.
Таким образом, в случае п > 2 лемма доказана. В справедливо-
сти утверждения леммы при п = 1 предлагаем читателю убедиться
самостоятельно.
254
Лемма 5. Пусть f:Mn+1-*Nn — некоторое С-отображение
компактного С-многообразия с краем Mn+l в С-многообразие
Nn, г 5* 1. Если у0 — регулярное значение отображения f, то
Му = f~l(y0) либо пусто, либо является одномерным компактным
С-многообразием с краем, причем дМЛ = Л/, П дМп+\
Доказательство. Утверждение леммы о компактности Му
следует из того, что Му замкнуто (как прообраз замкнутого множе-
ства при непрерывном отображении) в компактном пространстве
Mn+1. Докажем основное утверждение леммы. Так как
L = Мп+1\дМп+1 есть (и + 1)-мерное С-многообразие, то в силу
теоремы 8 для отображения /| л+1: Ln+l—* Nn множество
(/| „+1)-1(Уо) = П Ln+l либо пусто, либо является одномерным
подмногообразием в Ln+l. Поэтому если Му П дМп+1 = 0, то утвер-
ждение леммы доказано (в этом случае дМЛ = 0). Рассмотрим слу-
чай Му П дМп+1 Ф 0. Для точек множества Му П дЛ/п+1 построим
карты, (^-согласованные друг с другом и с картами подмногообра-
зия Му П Ln+1.
По условию у0 — регулярное значение отображения
/I dMn + 1—»№, кроме того, дЛ1'1+1 компактно. Поэтому, как
|ам"+|
показано в начале пункта, множество (/ л+1) '(у0),= Му
П дМп+1 конечно. Пусть х0 — произвольная точка Му П дМп+1 и
(U, <р), (V, ip) — карты в Mn+l и Nn такие, что х0 6 U, у0 6 V и
f(U) С V. Кроме того, выберем U так, чтобы х0 была единственной
точкой множества Му П дМп+1 в U (это возможно, так как множе-
ство Му П дМп+1 конечно). По условию z0=<p-1(x) — регуляр-
ная точка отображения Ф = R"+1 —»Rn, т. е. существует от-
крытая в Rn+1 окрестность точки z0 и Сг-отображение
Ф: ИЛ1—»Rn, совпадающее на множестве И/1 П R"+1 с Ф, такое, что
z0 — регулярная точка отображений Ф и Ф | По теореме о вы-
прямлении отображения (см. § 1) существуют открытая окрестность
W2 С Wy точки z0, открытое множество W С Rn+1 и Сг-диффеомор-
физм /; W2 —» W такие, что Ф/7-1 на множестве W является стан-
дартной проекцией Rn+1 на R". Пусть W = £>"+1(и0) — некоторый
открытый диск с центром в точке и0 = F(z0), содержащийся в W.
Обозначим Ж2 = F-1(iy), U = ^(Й^ R"+1). Будем рассматривать
теперь сужения отображений F, Ф, <р на множества
255
Ж2, W2, W2 A R™+1 соответственно, сохранив для них прежние
обозначения F, Ф, <р. Так как ФР-1 на множестве W является стан-
дартной проекцией Rn+1 на R", то прообраз точки ip-*(yQ) при ото-
бражении ФР1-1 — это интервал I, получаемый при пересечении ди-
ска W с прямой, проходящей через точку и0 и параллельной векто-
ру (0, ..., О, 1) е Rn+1. Точка и0 разбивает интервал I на два
полуинтервала, /р Z2, с общим концом и0.
Множество f\p-1(L7 А Mj, очевидно, содержится в I; покажем,
что оно совпадает с одним из полуинтервалов /р /2. Для этого до-
кажем эквивалентное утверждение, что множество А М{)
совпадает с одним из множеств £"*(/0, Л-1(/2), Поскольку
1 (U А С R"+1 A F-1(/), то достаточно показать, что множе-
ства F-1(/2) содержатся в разных полупространствах R"+I,
Ri+1. Покажем сначала, что каждое и'з множеств F-1^), F~l(I2)
содержится в одном из полупространств R"+1, R"+1. В силу выбора
окрестности U имеем U A Mj А дМп+1 = {х0}> следовательно,
Ф-1(тр-1(у0)) = z0 е R". Но Ф-1(’Ф-1(у0)) = F-1(u0), значит, пере-
сечение каждого из множеств F \lt\u0), F l(I2\u0) с пространст-
вом R" пусто. Поэтому, если бы множества Z7-1 (71\w0), F-1(/2\u0)
имели непустое пересечение с каждым из открытых полупрост-
ранств R"+1\Rn, R"+1/Rn, то были бы несвязны, в противоречии с
тем, что образы связных множеств /р /2 при непрерывном отобра-
жении F~l связны (см. § 10 гл. II).
Покажем теперь, что множества F~l(Il), F-1(/2) содержатся в
разных полупространствах R"+1, R"+1. Рассмотрим F~l(I) как глад-
кую кривую, задаваемую диффеоморфизмом F *: /-»R"+1; обозна-
чим ее z = z(Z), t = un+l, t0 = u0. Так как Ф *(ц> 1 (у0)) = F~l(f), то
Ф(г(0) = ф~1(Уо) ПРИ * I- Дифференцируя последее равенство,
получим (-О^Ф)
= 0
ру ker Dz ф. Поскольку
, т. е. вектор а =
(dz\
принадлежит яд-
и диффеоморфизм F 1 не имеет особых точек, то а =& 0. Очевидно,
а & R", так как в противном случае а е ker (^Ф) I п =
256
= ker D, (ФI - )
° I w2 П R"_
точка отображения Ф
, что противоречит тому, что z0 — регулярная
I - . Таким образом, касательный вектор а
I B'j.fiR"
к кривой z = z(z) в точке z0 направлен в одно из полупространств
R«+i, R«+1, поэтому кривая пересекает Rn в точке z0, переходя из
одного полупространства в другое. Следовательно, множество
F~*(/) = U F-1(/2) имеет непустое пересечение с каждым
из открытых полупространств R"+1\Rn, R"+1\Rn. Отсюда, учиты-
вая, что каждое из множеств £“*(/,), F~l(I2) содержится в одном
из полупространств R"+1, Rl+1, получаем, что множества
F~*(/2) содержатся в разных полупространствах R"+I, R'l+1.
Итак, множество F<f>~l(U П совпадает с /, или 12. Пусть,
например, Fq>~l(U П = /,. Тогда, если g: R*.-*/j — некоторый
Сг-диффеоморфизм, то if>F~lgt R^ —* U П — гомеоморфизм и
<pF-1g(0) = х0, следовательно, (U П Л/р — карта точки х0 в
Mv Построенные таким образом карты для разных точек множества
М{ П дМп+1 Сг-согласованы друг с другом и с картами подмного-
образия М\ П L, так как их гомеоморфизмы получены из гомеомор-
физмов карт Сг-атласа на Мп+{ суперпозицией с Сг-дифеоморфиз-
мами. Таким образом, Му — одномерное Сг-многообразие с краем и
<)М{ = М{Г\ дМп+1.
Докажем теперь независимость степени отображения по модулю
2 от выбора регулярного значения.
Лемма 6. Пусть f, g: Мп -»Nn- С2-гомотопные (^-отображе-
ния (^-многообразий, причем Мп компактно. Если у е N" — регу-
лярное значение для fug, то л(/-1(у)) = п(ё~1 (y))mod 2.
Доказательство. Пусть F: М’1 х [0, 1 ] —»?/" — С2-гомотопия,
соединяющая f и g. Предположим сначала, что у является регуляр-
ным значением и для F. Если f !(у) U g *(у) = 0> то утверждение
леммы очевидно, так как n(/-1(y)) = n(g-l(y)) = 0. Рассмотрим
случай непустого множества /-1(у) U g~l(y)- В силу леммы 5
множество M1 — F~l(y) является одномерным компактным много-
образием с краем, причем дМ{ — М{ П ((А/п х 0) U (М* х 1)) =
~ (/”*(?) х 0) U (^-1(У) X 1). Тогда компоненты связности Л/, ком-
пактны (как замкнутые множества компактного пространства) и,
следовательно, гомеоморфны 51 или D1 (см. п. 2). Таким образом,
9 Ю. Г. Борисович и др.
край каждой компоненты связности М1 состоит из четного числа то-
чек. Так как край = (/“ 1(у) х 0) U (g“*(y) х 1) представляет со-
бой объединение краев связных компонент и множества f~l(y),
g~l(y) конечны (см. начало пункта), то число м(/-1(у)) + n(g~l(y))
точек края dMi четно, поэтому л(/-1(у)) = n(g-1(y)) mod 2.
Предположим теперь, что у не является регулярным значением
отображения F. Покажем, что существует открытая окрестность точ-
ки у, для каждой точки у' которой справедливы равенства
»(/-,(у')) = n(f~\y}), n(g"‘(y')) = п(£-'(У))- Пусть, например,
/~*(у) ч= {хр ..., хк}. По теореме об обратном отображении сущест-
вуют открытые окрестности U(xt), и{(у), i: = 1, ..., к, точек
Хр ..., хЛ, у такие, что отображения ‘ =
= 1, .... к, являются С2-диффеоморфизмами. Не ограничивая
общности, можно считать, что окрестности (7(х1), ..., U(xk~) не пере-
к.
секаются. Множество JWn\ U Щх^ замкнуто в ЛГ1 и, значит, ком-
i—i
*
ЛГ\ и U(xt)
i — l
пактно, следовательно, его образ /
при непрерывном
отображении / компактен в Nn и поэтому замкнут в хаусдорфовом
к (к
пространстве Л^. Тогда U(y) = A Ut(y)\f Мп\ U U(xt~)
i—l i—l
— откры-
ть
тая окрестность точки у и /_|(у') С U U(xt) для всякой точки
i—l
у' 6 t/(y), следовательно, и(/-1(/») в ))• Аналогичным об-
разом, существует открытая окрестность У (у) точки у, для каждой
точки у' которой справедливо равенство n(g~l(y')) = n(g~l(y)). Ок-
рестность W(y) = U (у) А У (у), очевидно, будет требуемой. Отме-
тим, что все точки окрестности 1У(у) будут регулярными точками
отображений /, g Далее, множество нерегулярных значений отобра-
жения F совпадает с объединением множеств нерегулярных значений
отображений FI „ г , . „ , ,, FI , . Каждое из послед-
|(м"х(о, 1])\ам"х[о, и |а(млх[о, 11)
них множеств согласно теореме 6 имеет меру нуль. Поэтому в окре-
стности 1У(у) найдется регулярное значение у0 отображения F. Та-
ким образом, у0 — регулярное значение отображений /, g, F и, как
показано выше, и(/-1(у0)) s и(^“‘(у0)) mod 2. Но n(f~i(yQ)) =
= n(f~l(yy); n(g~l(y0Y) = п(^~1(у)), следовательно, и(/~‘(у)) s
s n(g~l(y)) mod 2.
258
Теорема 11. Пусть f: Мп —»Nn — (^-отображение ^-многооб-
разий, причем Мп копактно, a N* связно. Если у, z — регулярные
значения отображения f, то м(/-1(у)) = n(/-1(z)) mod 2.
Доказательство. В силу леммы 4 существует (^-диффео-
морфизм d: Nn—*Nn, С2-изотопный тождественному, такой, что
d(y) = z. Тогда z — регулярное значение С2-отображения df:
ЛТ* —»N” и df С2-гомотопно /. Согласно лемме 6 п(/ *(z)) =
= n((<7/)-l(z))mod 2. Но (df)~l(z) = f~ld~l(z) = /-1(у), поэтому
я(/-1(у)) = n(/-1(z)) m°d 2-
Таким образом, степень отображения по модулю 2 не зависит от
выбора регулярного значения.
Теорема 12. Пусть f, g: Mn-*Nn — С2-гомотопные (^-отобра-
жения С1-многообразий, причем Мп компактно, a Nn связно. Тогда
deg2 f = deg2 g.
Доказательство. Согласно теореме 6 множества нерегуляр-
ных значений отображений /, g имеют меру нуль, поэтому можно
выбрать регулярное значение у, общее для f и g. В силу леммы 6
п(/~1(уУ) = n(g~l(y)) mod 2, откуда deg2 f — deg2 g.
Пример 9. Если ЛР — компактное связное С2-многообразие и
/: Мп-+Мп — постоянное отображение, т. е. /(х) = х0 для всех
х е ЛР, то при п > 0 deg2 / = 0, а при п = 0 deg2 f = 1.
Пример 10. Если ЛР — компактное связное С2-многообразие,
п > 0 и Г. №-*№ — тождественное отображение, то deg2 I = 1.
Замечание 4. Из примеров 9, 10 и теоремы 12 следует, что
тождественное отображение компактного связного С2-многообразия
Мп не С2-гомотопно постоянному отображению при п > 0.
Замечание 5. Предыдущие построения степени отображения
по модулю 2 использовали компактность многообразия Мп, в част-
ности, для обеспечения компактности прообразов одноточечных
множеств при отображениях многообразий и при гомотопиях. В
приложениях бывает удобно освободиться от требования компактно-
сти Мп. С этой целью можно рассмотреть класс отображений, ап-
риори обладающий свойством компактности прообраза.
Определение 13. Отображение f: X —»У топологических про-
странств называется собственным (сокращенно с-отображением), ес-
ли прообраз компактен для всякого компактного множества
АСУ.
Нетрудно видеть, что в классе с-отображений многообразий и их
с-гомотопий лемма 6 и теоремы 11, 12 верны без условия компакт-
ности многообразия М". Таким образом, для собственных ^-отоб-
ражений (^-многообразия М" в связное (^-многообразие Nn, г > 2,
корректно определена степень по модулю 2.
259
9*
В качестве приложения степени отображения по модулю 2 дока-
жем классическую теорему Брауэра о неподвижной точке.
Лемма 7. Не существует С2-отображения f: Dn-*-Sn~l, остав-
ляющего неподвижной каждую точку сферы_5п~1 (т. е. сфера
Sn~l не является «гладким ретрактом» шара ГУ1).
Доказательство. Предположим противное, пусть
/: ГУ1 —»S”~l — С2-отображение и /(х) = х для всякой точки
х е Sn~l. Тогда отображение F: Sn~l [0, 1] —*Sn~l, задаваемое ра-
венством F(x, t) = f(tx), будет С2-гомотопией, соединяющей тож-
дественное отображение сферы с постоянный отображением сферы в
точку /(0) е Sn~l, что невозможно при п > 1 в силу замечания 4. В
случае п = 1 множество /(£>*) = S0 несвязно, что противоречит
связности образа при непрерывном отображении топологических
пространств.
Несуществование ретракции £>"—»£"'* приводит к принципу не-
подвижной точки (см. § 4 гл. Ш).
Лемма 8. Всякое С2-отображение f: Dn—»Da имеет неподвиж-
ную точку х, Е £>", f(x,) = х,.
Доказательство. Предположим, что некоторое ^-отображе-
ние /: £>" —» Dn не имеет неподвижных точек. Рассмотрим отображе-
ние G: Dn—»Dn, сопоставляющее каждой точке xED" точку пере-
сечения g(x] сферы Sn~l с полупрямой tx + (1 — z)/(x), t > 0. Отоб-
ражение g имеет следующий аналитический вид:
g(x) = х + и(71 — (х, х) -I- (х, и)2 — (х, и)),
п
где и = (х-/(х))/||х-/(х)||, (у,г) = £у^, ||у|| = (у, у),/2.
Очевидно, g е С2 и g(x) = х, если х е S”-1, что противоречит
лемме 7.
Лемму 8 легко распространить на непрерывные, отображения,
применяя стандартную процедуру аппроксимации непрерывных
отображений гладкими.
Теорема 13 (Брауэр). Всякое непрерывное отображение
f: Dn—*Dn имеет неподвижную точку.
До к азат ел ьство. Предположим противное, т. е. /(х) х для
всех х G £>". Тогда непрерывная функция ||/(х) — х|| достигает свое-
го минимума ц > 0 на компактном множестве ГУ1. Согласно аппрок-
симационной теореме Вейерштрасса для ц/2 существует полиноми-
альное отображение Р(: Rn —» R" такое, что ||Рх(х) — /(х) || < ц/2 при
х е ГУ1. Отображение Рр однако, может переводить точки из ГУ1 в
Rn\Z>n. «Подправим немного» Pj и рассмотрим вместо Р, аппрок-
260
симирующее отображение Р = Р1/( 1 + ц/2), которое отображает Dn в
Dn, и ||Р(х) — /(х) || < Р-/( 1 + н/2), если х G D". Действительно, не-
равенство ||Р(х) || < 1 при х 6 Dn следует из неравенства
||Р(х) || = ||РДх) - /(х) + /(х) ||/(1 + И/2)
(НЛ(х)-/(х) || + ||/(х) ||/(1+ И/2)
и неравенств ||/(х) || < 1, ЦРДх) —/(х) || < ц/2 при х 6 Dn. Нера-
венство ||Р(х) — /(х) || < рУ( 1 + Н/2) при х 6 Dn следует из нера-
венства
||Р(х) - /(х) || = ||Pj(x) - /(х) - |/(х) || /(1 + И/2) <
< (|1ЛМ-/М11+^11/(х)||)/(1 +и/2)
и неравенств ||/(х) || «S 1, ||Pj(x) — /(х) || < ц/2 при х £ Dn. Тогда
||Р(х) - XII = ||/(х) - х - /(х) + Р(х) II > ||/(х) - XII -
— ||Р(х) - /(х) II > р. - и/( 1 + И/2) = И2/(2 + И) > О
при х G Dn, и, значит, (/“-отображение Р на D'1 не имеет непод-
вижных точек, что противоречит лемме 8.
Укажем еще одно простое, но полезное приложение степени
отображения по модулю 2.
Теорема 14. Пусть f: Mn—*Nn есть Сг-отображение (^-много-
образий, причем Мп компактно, a Nn связно. Если deg2 / О, то
отображение f сюръективно, т. е. = Nn.
Доказательство. Предположим противное, пусть у G Nn и
у т. е. /“Чу) = 0- Тогда у—регулярное значение отобра-
жения / и n(f~\у)) = 0, поэтому deg2 f = 0, что противоречит усло-
вию теоремы.
§ 6. Касательное расслоение и касательное отображение
1. Идея касательного пространства. Для дальнейшего разви-
тия анализа гладких отображений необходимо построение аналога
дифференциала функции, широко используемого в математическом
анализе. Касательное отображение, определяемое и изучаемое в
этом параграфе, является таким обобщением. На этом пути прежде
всего.возникает необходимость обобщить и понятие касательной к
кривой (касательной плоскости к поверхности). Необходимость та-
кого обобщения вызвана приложениями понятия многообразия в ме-
ханике и физике. Как отмечалось в § 3, конфигурационное про-
странство механической системы обычно является гладким многооб-
разием. Каждая точка этого многообразия представляет собой
некоторое положение механической системы. Под действием.сил ме-
261
ханическая система меняет свое положение. Соответствующая ей
точка конфигурационного пространства перемещается, описывая не-
которую траекторию — путь на гладком многообразии. Важной ха-
рактеристикой этого движения является скорость, вообще говоря,
меняющаяся со временем. Состоянием механической системы в
каждый заданный момент времени называется пара (х, v), где х —
точка многообразия, соответствующая положению системы в рас-
сматриваемый момент времени, a v — скорость перемещения точки
х. Совокупность всех состояний механической системы называется
фазовым пространством.
Естественно, возникает вопрос о том, какое математическое по-
нятие можно сопоставить физическому понятию скорости и, более
того, как описать математически точно понятие фазового простран-
ства. Решение этого вопроса подсказывается простейшими физиче-
скими примерами. Так, в случае движения материальной точки по
кривой скорость интерпретируется в виде некоторого вектора, каса-
тельного к кривой и направленного в сторону движения. Если мате-
риальная точка движется по двумерной поверхности, то ее скорость
интерпретируется как некоторый вектор, касательный к данной по-
верхности и к самой траектории. Множество всех возможных скоро-
стей в данной точке кривой (поверхности) является, таким образом,
касательной прямой (касательной плоскостью). Точно так же в слу-
чае общего конфигурационного пространства множество всевозмож-
ных скоростей, допустимых в данном положении механической
системы, естественно интерпретировать как некоторое касательное
векторное пространство в соответствующей точке гладкого многооб-
разия.
2. Понятие касательного пространства к многообразию.
Прежде чем переходить к точному определению этого понятия, за-
метим, что теперь мы будем различать, рассматриваем ли мы п-
мерное евклидово пространство как метрическое пространство (с ев-
клидовой метрикой) или наделяем его дополнительной структурой
векторного пространства. В первом случае мы будем говорить об
элементах R" как о точках, во втором случае — как о векторах, на-
зывая R" векторным пространством (ранее мы не различали эти по-
нятия). Так, например, рассматривая производную Dx (f): Rn—*
—►R”1 отображения f: Rn—»Rm в точке x0 (см. § 1 гл. IV), следует
подчеркнуть, что она осуществляет линейное отображение вектор-
ных пространств. Пусть R" — подпространство R7V. Пару
(х, v) £ R7V х Rn, где х — точка, a v — вектор, назовем вектором
v в точке х (вектором, «отложенным» от точки х, вектором с
«началом» в точке х). Пусть х — фиксированная (произвольная)
точка в R^v. Пространством R", отложенным от точки х, будем
называть совокупность всех векторов v € R", отложенных от точки
х; оно обладает естественной структурой «-мерного векторного про-
странства, которое будем обозначать через R".
262
Рассмотрим теперь гладкое подмногообразие Мп в евклидовом
пространстве R* (см. § 2).
Определение 1. Пусть Мп есть С г-подмногообразие в R v
(г 1), хб Мп — произвольная точка. Пусть (U, <р) — некоторая
карта Мп, х 6 U. Касательным пространством ТхМп к многообра-
зию М* в точке х называется отложенное от точки х подпростран-
ство — образ векторного пространства Rn при отображении
Напомним, что линейное отображение задается матри-
цей Якоби I .Так как rank I = п, то касательное
I дх I -1/ . Эх I -1, х
\ / 1 Ч> (*) \ / 1 Ч> (*)
пространство имеет размерность п. Покажем независимость опреде-
ления ТхМп от выбора карты. Пусть (V, ф), х е V, — другая карта.
Коммутативная диаграмма (слева) порождает коммутативную диаг-
рамму линейных отображений (справа):
t/П V RN
----—_^-1(г/П У)
Так как ф~ 1<р: <p-1(t/ П V) —► -ф-1(LZ Г) У) — диффеоморфизм, то
Др-1(х)('Ф~1‘р): Rn—— изоморфизм, и, следовательно, обозначая
образ через Im, имеем Im -i(x)('ip-1<p) = R". Далее получаем
1т2>ф-1(х)‘Р = 1т^-(х)[Ч)(Ч)"1‘р)] =
= 1т {[</<>(х)Ч’Н^-(х)(Ч’"1«₽)П = 1т
что доказывает корректность определения 1.
Элементы пространства Т хМп называются касательными векто-
рами к Мп в точке х.
Для многообразия М2 в R3 касательное пространство ТХМ2 пред-
ставляет двумерную плоскость, проходящую через точку х, которая
совпадает с касательной плоскостью к поверхности М2, обычно рас-
сматриваемой в анализе.
Пример 1. Пусть U С R" — открытое множество, рассматри-
ваемое как подмногообразие в R". Тогда для всякой точки х е U
имеем TXU = R". ♦
Распространим понятие касательного пространства на случай
произвольных многообразий. В этом случае, вообще говоря, невоз-
263
можно говорить о производной Д^-^ф. Однако из определения 1
касательного пространства можно извлечь другой подход.
Пусть (U, <р) — некоторая карта подмногообразия Мп в йЛги
х е И — некоторая точка. Координатным представлением каса-
тельного вектора (х, Л) е ТХМ в карте (U, ф) назовем вектор
(х, £>хф-1(й)) из R". Возникает вопрос: как связаны координатные
представления касательного вектора й в различных картах? Пусть
(V, ф) — другая карта, х G V. Дифференцируя отображение
<р-1 = (1 ф) ф-1, нетрудно видеть, что координатные представле-
ния вектора (х, й) в картах (U, ф), (V,ф) связаны равенством
(х, £>хф-1(Л)) = (х, В<1(х)(ф"Чи,Л~1(Л))- С1)
Естественно отождествлять касательный вектор с множеством
всех его координатных представлений. Это замечание можно поло-
жить в основу нового определения касательного вектора, пригодного
для произвольного многообразия.
Пусть Л/" — многообразие класса С, 1. Зафиксируем произ-
вольную точку х 6 Мп и рассмотрим множество Т всех троек
(х, (U, ф), й), где (U, ф) — карта в точке х, а Л — вектор про-
странства R". В множестве Т определим отношение эквивалентно-
сти
(х, (И, ф)й)~<х, (V, ф), g) <=* Л = £><1(х)(ф-1ф)(^).
Упражнение Г. Проверьте, что это отношение является отноше-
нием эквивалентности.
Класс эквивалентности (х, (U, ф), Л) называют касательным
вектором в точке х, а тройку (х, (Z7, ф), Л) из класса эквивалент-
ности — представителем касательного вектора в карте (U, ф).
При этом вектор h будем называть векторной компонентой пред-
ставителя (х, (U, ф), й) и обозначать й^
Рассмотрим множество всех касательных векторов в точке х.
Обозначим его через ТхМп. Зафиксируем карту (U, ф), х е U, и
построим отображение
тх: TxAr-*Rn, (2)
сопоставляя каждому касательному вектору компоненту й его
представителя в карте (U, ф). Очевидно, что хх — биекция, а сле-
довательно, структура n-мерного векторного пространства R" есте-
ственно переносится на множество ТхМп. Более подробно, это оз-
начает, что в ТхМп вводятся алгебраические операции сложения и
* Равенство (1) показывает, как меняется векторная компонента при изменении
карты.
264
умножения на число через соответствующие действия над вектор-
ными компонентами представителей касательных векторов в выб-
ранной карте (U, (р). Если представители касательных векторов
заданы в разных картах, то предварительно их следует заменить
на эквивалентные представители в одной карте. Таким образом,
алгебраические операции в ТхМп определяются так:
1) {(х, (U, <р), Л)} + {(х, (V, лр), #)} =
= {(х, (I/, <р), h +
2) а{(х, (U, <р),Л)} = {(х, (t/, <р), ah)}.
Упражнение 2°. Докажите корректность определения алгебраиче-
ских операций и проверьте аксиомы векторного пространства.
Итак, с каждой точкой х многообразия Мп мы связали векторное
пространство, называемое касательным пространством к Мп в точ-
ке х и обозначаемое ТхМп.
Размерность касательного пространства в каждой точке равна п,
т. е. размерности многообразия Мп. Действительно, это вытекает из
того, что биекция (2) (при данном определении алгебраических
операций) является изоморфизмом векторных пространств.
Приведем еще одно удобное определение касательного простран-
ства. Пусть Мп — гладкое многообразие и х G Мп — произвольная
точка. Гладкой кривой % на многообразии Мп назовем гладкое
отображение
%: (а, Ь)^Мп,
где (а, Ь) — некоторый интервал числовой оси, рассматриваемый
как многообразие с естественной С“-структурой.
Рассмотрим множество гладких кривых
%: ( — а, а) -» Мп, х(0) = х.
Две такие кривые, Xi и х2, назовем эквивалентными в точке х, ес-
ли для некоторой карты (U, (р), содержащей точку х, кривые
Ф-*Х1» Ф—*Х2 в обладают свойством
Упражнения. 3°. Покажите, что определение эквивалентности
кривых Хр X? не зависит от выбора карты.
4°. Покажите, что эквивалентность кривых в точке является от-
ношением эквивалентности во множестве кривых на многообразии.
Определение 2. Касательным вектором к многообразию Мп в
точке х называется класс эквивалентности гладких кривых, прохо-
дящих через точку х.
265
Лемма 1. Множество классов эквивалентности гладких кривых
на многообразии Мп, проходящих через точку х, является п-мер-
ным векторным пространством.
Действительно, зафиксировав карту (U, <р), классу эквивалент-
ных кривых в точке х можно сопоставить n-мерный вектор
а =I . Обратно: каждый вектор а определяет прямую в
аг П=0
пространстве R", проходящую через точку <р-1(х) с «угловым коэф-
фициентом» а, а ее образ при отображении <р определит гладкую
кривую х в R", проходящую через точку х и такую, что
а = 4т(ч>~rx) I • Таким образом, имеем объективное соответствие
I t=o
между классами эквивалентности кривых в топке х и векторами
пространства R".
Определим алгебраические операции в множетве классов эквива-
лентных в точке х кривых так, чтобы эта биекция стала изоморфиз-
мом векторных пространств:
1) суммой (xj + (х2} двух классов называется класс (х3} такой,
что
^(ф-1Х1)| +я"(ф-1Х2)| =я-(ф_1хз)1 ;
I t=o It=o I t=o
2) произведением X{x) числа X на класс (х) называется класс
(Х^} такой, что
Упражнение 5°. Покажите корректность введенных операций и
проверьте аксиомы векторного пространства.
Построенное выше n-мерное векторное пространство классов эк-
вивалентных в точке х кривых на многообразии М11 называется ка-
сательным пространством к Мп в точке х, а его элементы назы-
ваются касательными векторами. Обозначается оно по-прежнему
ТхМп. Отметим, что для такого определения касательного простран-
ства изоморфизм тх: ТхМп —»R", соответствующий карте
(U, <р), х е U, задается формулой {%} I
/ d \ at /=0
Тройку (х, (U, <р), jt(<p-1x) I I естественно назвать предста-
1 I <=о/
вителем касательного вектора {%} в карте (U, <р), а вектор
^(<р-1%)| — векторной компонентой представителя.
17=0
Пример 2. Найдем касательные пространства для групп
GL(n, R), О(п, R), SO(n, R).
Многообразие Мп = GL(n, R) — открытое множество в вектор-
ном пространстве L(n, R) всех вещественных и хи-матриц. Про-
странство L(n, R) можно отождествлять с пространством R” . Со-
266
гласно примеру 1 имеем ТхМпг = R"\ таким образом, касательное
пространство к GL(n, R) в любой точке х е GL(n, R) совпадает с
L(n, R).
Многообразие 0(л, R) также лежит в L(n, R) и выделяется ус-
ловием x-xT = t, где хт — транспонированная, а е — единичная
матрицы. Вычислим касательное пространство к 0(п, R) в точке
х = е. Рассмотрим гладкий путь х = x(t), х(0) = е, удовлетворяю-
щий условию х(/)-х(/)г = е тождественно по t. Дифференцируя по
t, имеем x’(t)'x(t)T + x(tyx'(t)T = 0; полагая t = 0, получим
х'(0) + х'(0)г = 0. Таким образом, касательный вектор х'(0) — ко-
сосимметрическая п х n-матрица. С другой стороны, всякая косо-
симметрическая матрица с является касательным вектором в точке
t = 0 к кривой x(t) = etc (экспоненте от матрицы tc), лежащей в
О(л, R) и проходящей при /=0 через точку е. Следовательно,
ТеО(п, R) совпадает с пространством всех кососимметрических
п х n-матриц. Далее, SO(n, R) — открытое множество в O(n, R).
Следовательно, TeSO(n, R) = ТеО(л, R)*.
3. Касательное расслоение. Для каждой точки х гладкого мно-
гообразия М" определено касательное пространство Т хМп. Следую-
щая задача состоит в том, чтобы построить из всех вектров этого
семейства векторных пространств, зависящих от точки х, топологи-
ческое пространство и даже гладкое многообразие.
Рассмотрим дизъюнктное объединение ТМп = \УГ хМп всех каса-
тельных пространств к многообразию Мп. Определим проекцию
л: ТМп—>Мп, отображая каждый вектор из ТхМп в точку х. Тогда
л-1(х) = ТхМп-
будем называть этот прообраз слоем над точкой х.
Каждая карта (I/, (р) многообразия Мп определит карту
(л-1(^), т ) в ТМп,
тф: r1(l/)->R',xR'1, (3)
следующим образом: касательному вектору а = {(х, (U, ф), Л} в
слое над точкой х G U сопоставим пару (<р~*(х), тха), где тх опре-
делено ранее (см. п. 2), т. е.
\)>
(х, (U, (р), Л^) — представитель вектора а в карте (U, (р). Очевид-
но, т(р биективно, следовательно, в ji-1(t/) можно ввести слабейшую
топологию так, что станет непрерывным отображением и даже
гомеоморфизмом (см. § 8 гл. II). Так как множество всех карт
267
jr—r(t7) образует покрытие TM\ то, объявив совокупность всех от-
крытий множеств во всех картах л-1(17) базой топологии, мы тем
самым построим топологию в ТМп и превратим ТЛР в топологиче-
ское пространство.
Замечание. Согласно формальному определению следовало
бы назвать картами пространства ТМп пары (л-1(17), т'1). Из сооб-
ражений удобства мы обратили гомеоморфизмы (убедитесь, что это
изменение несущественно).
Таким обрзом, карта (3) позволяет ввести локальные координа-
ты в множестве 1(£7), задавая координаты пары ((р~*(х), Л^) в
R" xR“. Будем называть пару (tp-1(x), h^) координатным представ-
лением касательного вектора а в карте (U, (р), 'а вектор — век-
торной компонентой (в карте (U, (р)) касательного вектора.
Эта терминология оправдывается следующим утверждением.
Лемма 2. Если Мп — многообразие класса С, г > 1, то сово-
купность (Хл“1(17), т^)} всех карт пространства ТМп является
Сг~1-атласом.
Доказательство. Пусть (U, ip), (V, тр) — две карты многооб-
разия Мп, U n V 0. Пусть (лГ1(17), \)> \>) — соответ-
ствующие карты ТМп\ тогда (л-1(17) Г) л-1(У)) = л-1(17 Г) V) Ф 0.
Имеем коммутативную диаграмму
R" х R"------------:------* R” х R”
где отображение
v;1; K))^s(n-1(i/n И))
представляет собой гомеоморфизм открытых множеств в R" х Rn
(гомеоморфизм перехода от одних координат к другим). Нам доста-
точно показать, что т1{т^16Сг"1. Так как тфа = (ip-1(x), &t),
= (Ф-1(*), А2), й2 = ^*1(Х)('ф-1<р)Л1, то легко находим, что
Л) = ((4>-1<р)(у), £>у(ч>-1<р)Л), (4)
откуда следует т^т"1 е Сг-1.
Отметим, что преобразование перехода (4) имеет специальный
вид: координаты точки х преобразуются с помощью диффеоморфиз-
ма 1р1<Р, а векторная компонента h касательного вектора а — с по-
мощью линейного преобразования 49 ->^ж)(тр—1ф).
268
На топологическом пространстве ТМп построена структура глад-
кого многообразия размерности 2п. Ввиду специального вида преоб-
разований перехода (4) такое многообразие называется касатель-
ным расслоением многообразия Мп. Новый термин подчеркивает
строение многообразия ТМп, состоящего из слоев над каждой точ-
кой в Мп, являющихся касательными пространствами. Структура
гладкого многообразия, определяемая атласом карт вида (3), назы-
вается структурой касательного расслоения.
Пример 3. Построим структуру касательного расслоения Т№
для окружности 51 С R2. Рассматривая S1 как множество точек
eis (s Е R1), зададим на 51 С“-атлас из двух карт:
Ul=^eb:sE (о, |л)|, <Pj(s) = eis: (о, -|л) —► £7Р
С2 = е л, |, Тг(5) = e‘s- yj “* ^2-
Действительно, множество U{ П U2 состоит из двух связанных
компонент, Pj, V2 (рис. 105), и гомеоморфизм перехода на них име-
ет вид
«Pz'fiCs) = s: <₽2 ‘(^1),
= (*-2л): ФГ’СКг) —*Ф2‘(И2),
а следовательно, является С“-диффеоморфизмом. Карты атласа ка-
сательного расслоения тогда имеют вид
и1 = л—1(1/|), : л"1^)-* (о, | л) xR1,
U2=iC\U2), xR‘.
Замечание. Так как £>((р2 *Ti) = Ir1» то касательный вектор,
заданный представителем (х, (Ц, <pj), Л) в карте (l/р (р^, имеет в
карте (U2, <р2) вид (х, (U2, (р2), Л). Склеивая многообразие TS1 из
прямых произведений ^0, | л^ XR1, — л, X R1 по диффеомор-
физму т т"1 = ((р2‘(р,, 1 Ri), получаем, очевидно, прямое произведе-
Т2 т j
ние S1 х R1. Таким образом, касательное расслоение TS1 гомео-
морфно S1 х R1.
Упражнение 6°. Пусть V — открытое множество в Мп. Покажи-
те, что касательное расслоение к множеству V, рассматриваемому
как подмногообразие в Мп, совпадает с л-1 (И). Опишите TV,
VCR”.
269
Напомним, что в п. 1 мы говорили о фазовом пространстве сис-
темы. Состояние системы можно характеризовать теперь элементом
из ТМп — касательным вектором а над точкой х. При этом х ха-
рактеризует положение системы в конфигура-
л/2 ционном пространстве, а вектор а из ТхМп ха-
Орактеризует скорость системы.
4. Риманова метрика. С касательным рас-
0 слоением связано понятие римановой метрики
на многообразии, важное для геометрических
задач. Рассмотрим Сг-многообразие М*, г > 1,
и его касательное расслоение ТхМп. Пусть в
Зл/2
Рис 105 каждом слое ТхМп задана симметричная поло-
жительно определенная билинейная форма
Ах(и, v), зависящая, вообще говоря, от х. Бу-
дем предполагать, что эта зависимость класса С~' в том смысле,
что в локальных координатах карты (л-1 (U), тр) касательного рас-
слоения ТМп билинейная форма Ах(х~1и, т~'г) в фиксированном
базисе векторного пространства R" имеет матрицу А^(х), элементы
которой являются Сг-1-функциями на U.
Форма Ах(и, v) называется римановой метрикой класса С"1 на
многообразии Мп. Ее часто задают в локальных координатах каса-
тельного расслоения в виде билинейной формы
A j
где Мр ..., ип, V], ..., vn — координаты векторов и, v пространства
R". Риманова метрика позволяет измерять длины векторов и углы
между ними в касательных пространствах, например, если v е
е ТхМп, то длину ||v || х вектора v определяют равенством ||v ||* =
= Ах(у, v). Возникает вопрос о существовании римановой метрики
на гладких многообразиях.
Теорема 1. На всяком Сг-многообразии М11, г > 1, существует
риманова метрика класса Сг~1.
Доказательство. Рассмотрим некоторый атлас {(t/a, (pa)}
многообразия Мп. Пусть {Ур} — такое локально конечное открытое
покрытие Мп, что каждое лежит в некотором Ua (такое покры-
тие найдется в силу паракомпактности Л/п). Фиксируем для каждо-
го р некоторый такой номер a = a(P). Построим Сг-разбиение еди-
ницы {gp}, подчиненное покрытию {Ур}. Идея построения римано-
вой метрики состоит в том, чтобы построить на каждом Ур (как
270
подмногообразии М" с касательным расслоением л г(Ур)) свою ри-
манову метрику Л₽(и, v), а затем «склеить» из них с помощью раз-
биения единицы «глобальную» риманову метрику
Лх(и, v) = ё^х~)А^и, v).
₽
(5)
Упражнение 7°. Убедитесь, что если A₽(u, и) — риманова метри-
ка на Кр (для каждого 0), то формула (5) определяет риманову мет-
рику на Мп.
Остается построить риманову метрику на Ур. По построению
Кр С t7a(pj, поэтому ^-'(Ур) С л-1({/а(рР, следовательно, л-1(Ур)
принадлежит карте (n-1(J7a(p)), т^ ) касательного расслоения
TMN и имеем отображение
т₽ = W * х Rn- (6)
В локальных координатах (6) рассмотрим билинейную форму
В(и, v) = ulvl + ... + unvn с постоянной матрицей =
= (6,у) (б^ — символ Кронекера). Зададим теперь риманову мет-
рику на Ур равенством
Л₽(и, v) = B(x₽u, rgv), и, v е ТхМп, х е Кр,
где т₽ — сужение т₽ на слой ТхМп.
5. Касательное отображение. В анализе и его приложениях
при изучении гладких отображений поверхностей (кривых) часто
используют метод линеаризации, заключающийся в том, что в
окрестностях какой-нибудь точки и ее образа заменяют поверхность
(кривую) касательной плоскостью (прямой), а отображение —
его дифференциалом, т. е. линейным отображением. Этот ме-
тод допускает обобщение на случай отображений гладких многооб-
разий.
Пусть f:Mn-*Nm — гладкое отображение класса С, г>1,
гладких многообразий того же класса. Пусть х 6 Мп — произволь-
ная точка и (U, <р), (У, ф) — карты многообразий JM”, Nm соответ-
ственно такие, что х 6 U, f(x) G У; будем считать также, что
f(U) С V. Рассмотрим представление отображения f в данных кар-
тах
и его производную
(7)
271
Определение 3.' Пусть а е ТхМп — произвольный касательный
вектор в точке х и (х, (U, <р), Л) — его представитель в карте
(U, ф). Линейное отображение
Тх(/): ТХМ^Т/(Х)^,
при котором касательный вектор а с представителем (х, (U, <f>), Л)
переходит в касательный вектор b с представителем (/(х),
(V, тр), g) в карте (К, -ф), где g = В1р->(х)(-ф-1/ф)Л, называется ка-
сательным к f отображением в точке х G ЛР.
Таким образом, при касательном отображении точка х «перено-
сится» отображением /, а векторная компонента h касательного век-
тора (соответствующая выбранной карте) преобразуется линейным
отображением (7).
Упражнение 8°. Покажите, что касательное отображение Тx(f)
не зависти от выбора карт.
Следующие основные свойства касательного отображения мы
предоставляем проверить читателям в качестве простого упражне-
ния:
1) тождественному отображению Мп—*Мп соответствует
тождественное отображение
ТХ(М = 1гх: тхм^тхм-,
2) коммутативность диаграммы отображений
влечет коммутативность диаграммы касательных отображений
где у = /(х), z = g(y).
Совокупность всех касательных отображений {Tx(f)}xeM* опре-
деляет отображение касательных расслоений TMn—*'TNm, на-
зываемое касательным к f отображением многообразий.
272
Используя гладкие структуры на ТМп и TN'", можно записать
представление отображения Г(/) в соответствующих картах. Дейст-
вительно, пусть (V, Ч>) — карта точки /(х), а (£/, <р) — карта точки
х, причем f(U) С V. Рассмотрим карты (л-1(г/), тф), (л-1(У), т^)
касательных расслоений ТМп, TNm соответственно. Касательному
вектору а 6 л-1({/) в карте соответствует пара («р'Дх), Л); ана-
логично, вектору b = T(J)a в карте соответствует пара
(Ф-1/(х), •Оф-1(х)(Ч’-1/<р)Л). Имеем следующее преобразование пере-
хода:
Л) (9)
действующее из множества тф(л-1({/)) С R’xR" во множество
т (nT^F)) С R"1 xR™. Ясно, что отображение (9) принадлежит
классу гладкости Сг-1.
Таким образом, с каждым гладким отображением многообразий
класса С, г>1, можно связать гладкое класса Сг-1 отображение
(8) их касательных расслоений. Для касательных отображений ка-
сательных расслоений остаются справедливыми свойства 1), 2).
В терминах касательного отображения можно переформулиро-
вать определение регулярной точки гладкого отображения многооб-
разий (см. определение 6 § 5). Пусть /: Mn-+N,n — С -отображение
(г>1) Сг-многообразий.
Определение 4. Точка с G Мп называется регулярной точкой
отображения f, если
rank Гх(/) = min (п, т).
Упражнение 9°. Убедитесь в эквивалентности определения 4
определению 6 § 5.
Преимущетво определения 4 заключается в том, что оно дано в
инвариантной форме, т. е. в форме, не зависящей от выбора коор-
динатных систем.
6. Ориентация многообразия. Понятия касательного простран-
ства и касательного расслоения позволяют определить понятие ори-
ентируемости гладких многообразий, обобщая определение ориенти-
руемой поверхности весьма важное для анализа.
Напомним понятие ориентированного векторного пространства
R". Говорят, что два базиса, (ер ..., еп) и (gt, ..., gn), в R" имеют
одну и ту же ориентацию, если переход от одного базиса к другому
осуществляется линейным отображением с положительным опреде-
ли телем *.
* Ориентацию в пространстве R0 естественно определить как выбор знака у нуля:
+6 или -6.
273
Упражнение 10°. Покажите, что ориентация является отношени-
ем эквивалентности на множестве всех базисов в R” и что число
классов эквивалентности равно 2.
Пространство R" называется ориентированным, если в нем фик-
сирован один из классов эквивалентности базисов.
Рассмотрим Сг-подмногообразие Мп, г>1, в пространстве R7^.
Подмногообразие А/" называется ориентируемым, если можно вы-
брать такие ориентации в каждом касательном пространстве ТхМп
и такой атлас {(Ua,. <ра)} на Мп, что соответствующие диффеомор-
физмы <ра: Rn —*Ua сохраняют ориентацию, т. е. для всякой точки
х €Е Ua касательное отображение ТхМп—*R” переводит выб-
ранную ориентацию векторного пространства ТхМп в фиксирован-
ную ориентацию векторного пространства R".
В противном случае подмногообразие называется неориентируе-
мым.
Атлас, удовлетворяющий этому условию, назовем ориентирую-
щим атласом. Ясно, что диффеоморфизмы <ра: Rn —*Ua для ориен-
тирующую атласа согласованы между собой. Точный смысл этой со-
гласованности выражен в следующем упражнении.
Упражнение 11°. Покажите, что любые две карты,
({7^, <ра), (L/р, фр), из ориентирующего атласа положительно согла-
сованы, т. е. обладают тем свойством, что определитель отображе-
ния £>х(фр *<ра): Rn-*R" положителен для любой точки
х G <р“1([7а П t7p); обратно: если любые две карты атласа положи-
тельно согласованны, то атлас ориентирующий.
Свойство, выраженное в упражнении 11°, используется при
определении ориентируемого многообразия (не обязательно вложен-
ного в RA<).
В множестве ориентирующих атласов многообразия введем отно-
шение эквивалентности: два ориентирующих атласа эквивалентны,
если их объединение — ориентирующий атлас.
Выбор одного из классов эквивалентности называется ориента-
цией- многообразия.
Упражнение 12°. Убедитесь, что для любого многообразия число
классов эквивалентности ориентирующих атласов четно, а в случае
связного многообразия равно 0 или 2.
Простейшим примером ориентируемого многообразия может слу-
жить пространство R". В данном случае атлас, состоящий из одной
карты (R”, 1R»), ориентирующий.
Упражнение 13°. Покажите, что всякое многообразие, имеющее
атлас, состоящий из одной карты, ориентируемо.
274
Упражнение 13° подсказывает нам следующий пример: открытое
множество в R" и, следовательно, всякий открытый диск £>" ориен-
тируемы.
Прямое произведение ориентируемых многообразий также при-
мер ориентируемого многообразия. Предоставляем проверить это
читателям в качестве упражнения.
Упражнения. 14°. Постройте ориентирующий атлас на $п.
15°. Покажите, что многообразие СДЙ") ориентируемо при чет-
ном п, 0 < к< п.
Что касается неориентируемых многообразий, то таковыми яв-
ляются, например, лист Мёбиуса и проективное пространство
Rpn-i ПрИ четном п — 1 >0. Доказательство мы не приводим. Ес-
ли п — 1 нечетно, то RP"-1 ориентируемо, как следует из упраж-
нения 15°.
Замечание. Обратим внимание на то, что при п = 0, п = 1
всякое многообразие А/" ориентируемо.
Понятие ориентации позволяет усовершенствовать введенную в
§ 5 степень отображения по модулю 2. Рассматривая отображение
ориентированных многообразий, число точек в прообразе регуляр-
ного значения будем подсчитывать не по mod 2, а алгебраически,
считая каждую точку прообраза со знаком + или — в зависимости
от того, сохраняет касательное отображение в данной точке ориен-
тацию касательного пространства или нет. Так же, как в случае сте-
пени по модулю 2, можно доказать, что это число не зависит от вы-
бора регулярного значения; оно называется степенью (ориентиро-
ванной) отображения f и обозначается deg /. В случае гладких
отображений сфер так определенная степень отображения совпадает
со степенью отображения, введенной в § 4 гл. III.
§ 7. Касательный вектор как дифференциальный
оператор. Дифференциал функции
и кокасательное расслоение
1. Новое определение вектора. Продолжим изучение касатель-
ного вектора и дадим его определение посредством операции диффе-
ренцирования по вектору. Это позволит дать новую интерпретацию
касательного расслоения.
Рассмотрим евклидово пространство R и С°°-функцию /, опре-
деленную в окрестности точки х° G Rn. Рассмотрим векторное про-
странство й"о всех n-мерных векторов в точке х°. Если (х°, и) —
некоторый вектор из R”o, то производной от функции / по вектору
v в точке х° называется производная 4rf(x° + tv) I , где t > 0 —
числовой параметр (в анализе обычно рассматривают вектор и еди-
275
ничной длины и говорят о производной по направлению v). В коор-
динатной системе имеем формулу
^/(Х0 + /и1) = — — Vn =
1 t = U \ */0 \rt/°
= (grad f(x°), v), (1)
где хр х„, Up vn — координаты точки х и вектора v. Обозна-
чим производную (1) через /„(х°). При фиксированных векторе v и
точке х° получили соответствие /•—»/v(x°), определяющее некоторую
функцию (функционал) Zxo, определенную на гладких функциях в
окрестностях точки х°, со значениями в R1. Очевидно, что этот функ-
ционал определен на ростках fxo гладких функций в точке х°. Таким
образом, имеем отображение
Z>:0(x°) —R1. (2)
Из определения вытекают следующие свойства функционала (2):
1) Гх°(Гё) = f(x°)lvx<>(g) + g(x0)/”o(7) (формула дифференциро-
вания произведения);
2) dZx»(/) = О, если f = const (формула дифференцирования по-
стоянной);
3) Гхо{а} + Pg) = aZ”o(7) + p/>(g), a, р е R1 (линейность).
Рассмотрим множество {/}жо всех функционалов Z: ^(х°) —> R1,
удовлетворяющих свойствам 1), 2), 3). Очевидно, {Z}x<> — векторное
пространство и Z“o е {Z} хо. Если теперь вектор v «пробегает» про-
странство R"o, то возникает отображение
V^l=lvxo. (3)
Теорема 1. Отображение (3) явлется изоморфизмом вектор-
ных пространств R"o и {Z}x<>.
Доказательство. Линейность отображения (3) следует из
формулы (1). Отображение (3) — мономорфизм: если Гхо = Zxo, то
(grad /(х°), v) = (grad /(х°), w) для всякой функции /, гладкой в
окрестности х°; полагая /(х) = xz (координата точки х), получим
равенства vi = wt, i = 1, ..., п, т. е. v = w.
Докажем эпиморфность отображения (3). Имеем
п п
f(x) = /(х°) + 2 А(х°)(х/ - х°) + 2 Aij(x)(xi - x°i)(xj - Х°)> (4)
i=l ij=l
где яг
А(*°) = 1 = <5)
а Л/у(х) — функции класса С" (см. упражнение 4° § 1).
276
Пусть теперь l:^(x0)—»R1 — произвольный функционал из
{/}хо. Используя аксиомы 1), 2), 3), получаем из (4) равенства
п п
/(7) = 2 = 2 А.(х°)/(^)(
i = l i = l
где Z(x;) — значение I на ростке функции х; — координате точ-
ки х.
Используя (5), получим окончательно
'</) “ (ч) I,-+ - + (ч;) I , (6)
где Vl = Z(xj), .... vn = Z(x„).
В силу изоморфизма (3) можно отождествить векторное про-
странство R% с n-мерным векторным пространством {Z}xo всех
функционалов, удовлетворяющих аксиомам 1), 2), 3). С помощью
координатной системы в R" можно, используя равенство (6), сопо-
ставить каждому функционалу Zx<> дифференциальный оператор
, 1 о
2 = 1 X
действующий на гладкие функции по формуле
(п ,
v э /_________ V (df\
Ъ Vi дх о f 2, I Зх о Vi-
Г* < = ! \ )
Упражнение Г. Убедитесь, что множество всех дифференциаль-
ных операторов (7) образует векторное пространство, а указанное
соответствие задает изоморфизм с векторным пространством {Z}x°.
Таким образом, имеем еще один изоморфизм — векторного про-
странства R"» с векторным пространством дифференциальных опе-
раторов (7). При этом изоморфизме базисному вектору et —
= (0, ..., О, 1, 0, ..., 0) (1 на z-м месте) соответствует дифференци-
9 I
альныи оператор — .
I хо
2. Касательное расслоение. Данное в п. 1 истолкование про-
странства векторов в точке х° подсказывает соответствующее обоб-
щение этого понятия для гладких многообразий.
Пусть Мп — многообразие класса С” и х° — точка из Мп. Рас-
смотрим алгебру ^(х°) ростков гладких функций в точке х° (см. § 4)
и функционалы
Z/:@,(x°)-*R1. (8)
277
Упражнение 2°. Пусть (U, <р) — карта точки х° многообразия
Л/". Проверьте, что функционал /х», определяемый равенством
7е^(х°),
для всякого вектора v G Rn задает функционал (8), удовлетворяю-
щий аксиомам 1), 2), 3).
Определение 1. Множество всех функционалов (8), удовлетво-
ряющих свойствам 1), 2), 3), называется касательным простран-
ством Тх«Мп к многообразию А/" в точке х°.
Касательное пространство Тх<>Мп является векторным простран-
ством с естественными алгебраическими операциями. Отдельный
элемент 1х<> из ТхоМп называется касательным вектором к многооб-
разию Мп в точке х°. Соответствие /*-'(х°) ^^х° (см. УПР- 2) оказы-
вается изоморфизмом пространств R"-i^ и ТхоМп. Действительно,
линейность этого отображения очевидна, а обратное отображение
задается формулой
Zo-‘(x°)(«) = s G «Чф-1 (хо)),
где 0(х°) — алгебры ростков соответственно в точках
Ф-1(х°) G R", х° G Мп. Удобно считать в дальнейшем, что функ-
ционал /хо задан не только на ростках g G @(х°), но и на функциях
g, определенных в окрестности точки х° (полагая lx°(g) = Ч°(#))> и
написать l^Cg) вместо /x»(g).
Пусть Ф: Мп —> Nm — гладкое отображение многообразий и пусть
х° G М*, у0 = Ф(х°) G N”1. Отображение Ф индуцирует отображе-
ние Ф: 0(у°) —>^(х°) между алгебрами ростков по правилу
g G 0(у°), g f = #Ф- Это позволяет определить касательное
отображение Гхо(Ф): ТхоМп->TyoNm по правилу Тхг>{Ф')1хо = где
I о = I оф.
X
Действие отображений Ф, Ф показано на диаграммах
Упражнения. 3°. Проверьте, что /Х°Ф — касательный вектор в
точке у0 многообразия N"1 и что ТХ«(Ф) — линейное отображение.
278
Касательное отображение 7'х»(Ф) часто обозначают через (Ф,)х°
(или б?хоФ).
4’. Покажите, что [(1^")*]х0 — 1рамп‘ Если Ф:МП—*Nm, Ф:
]\,тРк — гладкие отображения многообразий, то [(ФФ),]хо =
= (Ч'.)ф(х»)(Ф.)х°-
5°. Докажите, что если Ф — диффеоморфизм, то (Ф»)х° — изо-
морфизм векторных пространств (и, следовательно, т = п).
Перейдем к построению касательного расслоения. Как и в § 6,
положим ТМп = {\ТхМп (дизъюнктное объединение). Задача состо-
ит в том, чтобы определить структуру касательного расслоения на
ТМп. Зададим проекцию л: ТМг‘-^Мп, сопоставляя элементу
lx G ТхМп точку х G Мп. Пусть ({/, <р) — какая-нибудь карта точ-
ки х. Построим карту касательного пространства, соответствующую
карте ({/, <р),
(9)
Пусть lx G ТхМп; тогда на алгебре ^(ф-1(х)) определяется каса-
тельный вектор по правилу
VW*) = S G
В силу изоморфизма пространства дифференциальных операторов и
касательного пространства (см. упр. Г) имеем
V,(x)==v1^7 + --- 0°)
I п
где дифференциальные операторы d/dxi действуют в точке
Ф-1(х) = (xt, ..., xn), a v = (vj, ..., vn) — однозначно опреде-
ляемый вектор. Отображение (9) задается соответствием, линейным
на каждом слое л-1(х):
/Х^(хр ..., х„; .... v„). (11)
Биективность этого отображения очевидна; как и в § 6, тополо-
гию в ТМп определим условием непрерывности отображений для
всех'карт некоторого атласа многообразия Мп.
Покажем, что отображения (9), (11) определяют структуру ка-
сательного расслоения. Если (V, тр) — другая карта точки х, то
аналогично определен касательный вектор
I -1, . = ьу. ——|-... 4- w —(12)
(х) 1 п &уп'
279
где w = Ц, wn) — вектор в точке гр *(х) = (у,, уп) и отоб-
ражение действует по правилу 1Х>—>(у1( у„; wt, wn). Вы-
числим т^т“*. Имеем
(Ji> •••> У„) = хп) =
= ((Ф-1ф)1 (хР .... х„), •.,(Ч’~1ф)п(*1, • ••, *„)) (13)
— отображение класса С". Выразим wt, vun через v15 vn.
Пусть g G. ^(гр-1(х)), тогда из (12) получаем равенство
А|>*'(х)(^) = wi + ” + wn ау/
но
V‘(x)(^) = U^~‘) = лс(#Ч’_| <₽<’) = V’wte'P-1 *₽)•
Теперь используем формулу (10)
(х)1#1 vl эх эх„
и сравним два выражения для lq-\x)(g)'-
п п .
/=1 ' /=1 1
В силу произвольности ростка # е ^(гр-1(х) ) можно положить
5(Ур • Уп) = У<> ТОГДа из (13) имеем
(^“’ф)(хР хп) = (гр-1ф)/(Х1, ...,хп),
а из предыдущего равенства находим
п З(г1>-1Ф)
wi = 2 v/~^~(xp •••> х«)> 1=1, •••.«• (I4)
/=1
Векторная компонента касательного вектора при преобразовании
координат (13) преобразуется линейным преобразованием (14) с
матрицей Якоби , т. е. преобразованием гр-1 <р). Пре-
образования (13) и (14) гладко зависят от точки <р-1(х) и опреде-
ляют, таким образом, преобразование каласса С". Специаль-
ный вид этого координатного преобразования означает, что атлас
{(л-1([7), тр)} на ТМп задает гладкую структуру касательного рас-
слоения.
Упражнение 6°. Рассмотрите евклидово пространство R" со
структурой, задаваемой атласом, состоящим из одной карты
(Rn, 1R»). Убедитесь, что TXR" изоморфно R".
280
Теперь можно считать, что TR" — множество всех пар (х, г),
где х £ R", a v£ R’ . Можно считать также, что
TR" = | (хр ..., х„; vj + и„
где х, ..., х„ — координаты х a vlt ..., vn — координаты v; отобра-
жение t1r„ определяет единственную карту соответствующего атла-
са касательного расслоения TR":
(хр ..., хп; + +v„^-)-»(xp ..., х„; vp ..., v„). (15)
Тем самым в TR" введена структура прямого произведения: гово-
рят, что TR" — тривиальное касательное расслоение.
Упражнение 7°. Покажите, что отображение (9) расщепляется в
произведение т — т. , действующее по правилу
' 1К
(ф-1)* / д д X X‘R"
Хр ...,х„; v,— + ... +v„^- ~ (Хр ..., хй, Vp ..., v„).
\ 1 п
Часто бывает удобно работать не с координатным представлени-
ем вектора 1Х, а с его образом (<р 1),/х; векторная компонента по-
д , , д
следнего есть Vl + ... + vn —.
При изменении карты (замене
координат) ее координаты vt, vn в базисе преобразуются
I ‘Ji = l
по формулам (14) к координатам и>1
•, wn в базисе J^-l
I ‘Ji=i
3. Касательное отображение. Пусть Ф: М'1 —* Nm — гладкое
отображение многообразий. Для каждого х G Мп имеем линейное
отображение (Ф.)х: TxMn—*TyNm, где у = Ф(х). Тем самым опре-
делено отображение Ф,: ТМп —*ТМт. Убедимся, что Ф, — гладкое
отображение касательных расслоений.
Пусть (U, <р) — карта точки х, (V, -ф) — карта точки у,
1Х е ТхМп и 1у = (Ф,)Х1Х. В силу (11) имеем
/Х^(хр..., x„;vp..., v„), (16)
S
•••> Ут’ Wl’ •••>
и нам необходимо найти преобразование
^(ф.)тф': (*!’ •••’ ХП’ Vl’ ’ Vn)^(yi’ •••’ Ут’ •••> (17)
281
Так как (гр ^«p^Xj, .... хп) = (ylt ..., ут), то остается найти зави-
симость между {vj и {kjJ. Если g е ^('Ф-1(у))> то справедливы ра-
венства
= = ((ФЭЛ)^"1) =
= /Ж(^_1Ф) = ^(^"‘ффф-1) =
Но учитывая, что первый и последний функционалы равны соответ-
ственно
т
<18)
Z WJ ду.
и
п -1
V а(гФ ‘Фф) (19)
Zj ! дх. ’
как и при выводе (14), приравнивая (18) и (19) и полагая gs у(,
получаем
" а(ф ’фф) -.«Qi
™i = 2vJ дх. > 1 = UU)
J-1 1
откуда и следует, что отображение (17) принадлежит классу С°°.
Формула (20) подтверждает ранее установленный факт, что вектор-
ная компонента касательного вектора преобразуется с помощью ли-
нейного преобразования Др-1(Л;)('Ф~1Ф<р).
4. Дифференциал функции и кокасательное расслоение. Рас-
смотрим действие вектора 1Х» е T^oAf* на функцию /, / е ^(х°).
Если фиксировать функцию /, то возникает линейный функционал
на пространстве ТхоМп: 1Х»—>/*<>(/). Этот функционал обозначается
символом (df)xo и называется дифференциалом функции / в точке
х°. По определению
(d/)X° = W)-
Таким образом, (df)/ принадлежит (Тх<>Мп)* — сопряженному
пространству к с естественной векторной структурой.
Пусть (U, <р) — карта в точке х° и {хДх)}“_! — локальные ко-
ординаты точки х е U. Ниже мы отождествляем касательные векто-
ры с соответствующими им дифференциальными операторами.
{э I 1п
jj-1 — базис в 7\oAf*, a (dxt)x<> — дифференциал
х J i=i
функции х/х), тогда
=д« (21)
\ 1 1 жо/ \ 1 / х°
282
(дц =0 при z* /, 6iy = 1). Следовательно, {(ofx;)xo}’?=1 — двойст-
{д г 1 п
I базис в (ТхоМп)*. Отсюда следует также, что
' х ) t = i
(Тх»Мпу состоит из всевозможных линейных комбинаций
{a^dx^ + ... + an(dxn)x°} с вещественными коэффициентами.
Для произвольной функции /, / е 0(х°), и вектора 1Х° =
= г>! | о + .. • + 1 о имеем разложение
= W = V, < (Х°) + ... + Vn (х°).
С помощью (21) получаем
(^)Л° = (^)х°
( * \
V 3 I
2 Vj dXj I о
V = 1 /
и, подставляя в предыдущее равенство, находим
В силу произвольности lxa S Тх°Мп имеем
(<*/)/ = W (*°) (^l)x» + -+1Г (*°) (^»)/-
1 п
Заменяя х° произвольной точкой х G U, можно последнюю формулу
записать более удобно:
= dxi + ••• + dx«>
здесь {Лс(}"=1 — базисные дифференциалы в точке х. Формула (22)
оправдывает название «дифференциал» для (df)x.
Выведем из (22) зависимость между дифференциалами коорди-
нат различных локальных координатных систем в точке х. Пусть
(V, т|>) — карта, задающая координаты {у((х)}"=1, х е V. Если
х G U П V, то координаты {х;(х)}"=1 и {у((х)}"=1 связаны преобра-
зованием 1р-1<р (см (13)). Из (22) имеем равенства
ду. ду
(dy^ = ^7 dxi+ - + dxi'
но
= aF«1'₽)< (*i> •••> *п)>
V •* j V •* j
283
следовательно,
, , ч Л *«4 , , (23)
у = 1 1
Таким образом, при переходе от одной системы локальных коор-
динат к другой дифференциалы координат, рассматриваемых как
функции точки на многообразии, преобразуются по формулам (23),
т. е. линейным преобразованием, задаваемым матрицей Якоби
( dxj л
Рассмотрим дизъюнктное объединение Т*М — U (ТхМп)\ По-
лем"
строим на Т*Мп структуру векторного расслоения. Определено есте-
ственное проектирование р: Т'Мп^>Ма. Пусть (U, <р) — карта на
Мп, {хДх)} — локальные координаты точки х G U . Определим на
Т*Мп карту
стф: p-1(t/)^RnxRn, (24)
задав отображение по правилу
2 at dxt ~ (хр ..., хп; Др ..., д„), (25)
t=i
п
где tZx/ — элемент из слоя р-1(х) = (ТхМп)*.
i = l
Покажем, что {(p-1(f7), стф} — атлас С°°-структуры, если
{(U, ф)} — атлас многообразия ЛГ*. Пусть (V, лр) — другая карта в
точке х, определяющая локальные координаты {у,(х)}"=р и
ст : p"1(y)-»RnxRn (26)
— другая карта на Т*Мп. Ясно, что p~l(U П V) —
п
= p~l(U) n p~l(V). Если х G U n V, то элементу д; dxt можно
Z — 1
сопоставить координаты в карте (26):
2 at dxt ~(ур ..., yn; Z>p ..., Ьп).
t=i
Из (25) и (27) заключаем о совпадении элементов в (ТхМп')":
^at{dxt)x = ^bi{dyi')x. (28)
i=l i=l
284
Из (28) нетрудно получить зависимость между {аД и {5J. Дей-
ствительно, подставляя в (28) выражение {dyi)x из (23), а затем
приравнивая коэффициенты при одинаковых дифференциалах dxt в
обеих частях равенства, получим равенство
I дх
где * означает транспонирование матрицы. Отсюда видно, что в ко-
ординатном представлении векторная компонента элемента слоя
р-1(х) меняется при изменении координат по иному закону, чем
векторная компонента касательного вектора, а именно: она преобра-
—, в то время как векторная
компонента касательного вектора преобразуется матрицей Якоби
. Величины, меняющиеся по такому закону при изменении
координатной системы, называются ковекторами. Элементы множе-
ства (ТхМп)* называются ковекторами в точке х.
Теперь ясно, что, построив карты (25) для всех карт некоторого
атласа на Мп, мы превратим множество всех ковекторов, т. е.
Т*Мп, в гладкое многообразие; это многообразие называется каса-
тельным расслоением.
§ 8. Векторные поля на гладких многообразиях
Излагаемые в этом параграфе понятия важны как для целого
ряда математических дисциплин (дифференциальные уравнения,
динамические системы, топология многообразий), так и для при-
ложений к механике и физике — здесь эти связи будут намечены
в самой элементарной форме. Как и в § 7, для простоты форму-
лировок мы рассматриваем все объекты класса С", называя их
гладкими.
1. Касательный вектор к гладкому пути. Пусть Мп — гладкое
многообразие. Напомним, что путь в М" — это непрерывное отоб-
ражение у: (а, Ь)->Мп интервала числовой прямой в топологиче-
ское пространство Мп. Так как (а, Ь) — гладкое подмногообразие в
R1, можно рассматривать гладкие отображения у, называя путь
гладким.
Пусть у — гладкий путь в Мп, у(7) — точка этого пути,
t G (а, Ь).
285
Определение 1. Касательным вектором г пути % в точке х(0
называется касательный вектор к многообразию Мп в точке
X(z)> определяемый равенством
/е^(х(0). (П
Упражнение Г. Проверьте, что правая часть в (1) задает каса-
тельный вектор к многообразию ЛР.
Касательный вектор к пути х(0 обозначают обычно как х(0-
Найдем координатное представление вектора х (0- Пусть (U, <р) —
карта точки х(0* Если gE ^(<р-1(х(О))> т0
*Х(0)| =s dt эГ •••> хп(0)>
i-1 ‘
где <р-1х(О = Cq(O> •••» -*„(0) — соответствующий путь в Rn. От-
сюда получаем координаты вектора хЧО в карте (t/, <р):
/ . dx.(t) dx(f)\
= dt ’ dt j*
Здесь x'(t) = (x'i(O> • ••, хЧ0) — векторная компонента касательно-
го вектора.
Если Ах(и, и) — риманова метрика на ЛР, то определяется дли-
на Hx'(0llx(t) касательного вектора к пути и длина участка пути
t <2:
t2 _______________ «2
= J Vxx(f)(x'(t)> X(O) dt = J ||x'(0 llxW dt. (3)
‘i h
В локальных координатах формула (3) имеет вид
Л /dx, dx. ,--------------
SJj == J V g/y(x(t)) -3/ dt = J Vgly(x(t)) dxtdxj,
‘i 4
где gtj(x) — соответствующая матрица билинейной формы.
2. Динамическая группа физической системы и ее инфините-
зимальная образующая. Понятия гладкого пути и касательного
вектора к нему находят естественное применение при математиче-
ском исследовании физических систем.
Будем говорить о множестве всех возможных состояний физиче-
ской системы в некотором процессе и предполагать, что оно является
гладким многообразием Мп, называемым фазовым пространством
системы. Тогда х е ЛР обозначает возможное состояние системы и
соответствие «точка х » состояние» биективно. Состояние системы
286
меняется в зависимости от времени в соответствии с физическим за-
коном, следовательно, точка х, соответствующая этому состоянию,
меняет свое положение в зависимости от времени t. Будем предпола-
гать процесс детерминированным, что означает однозначную опреде-
ленность состояния системы в будущем и прошедшем ее настоящим
состоянием. Такие процессы описываются динамической группой фи-
зической системы, определяемой следующим образом. Если
х G Мп — точка, отмечающая в настоящий момент (Z — 0) состояние
системы, то состоянию системы в момент t отвечает точка
X = x(i> х), х(^> х) е х(0, х) = х. Таким образом, точка х опи-
сывает путь х — х(^> х), ~00 < + °0, называемый фазовой траек-
торией (орбитой) точки х. Для каждого t G (—оо, 4- оо) опреде-
ляется преобразование Ut: Мп->Мп по правилу х <—> x(t, х). В силу
принципа причинности имеем
Uti+tz(x) = Ut (Ut(x)), tlt Z2S(-oo, +оо);
отсюда вытекает, что семейство преобразований {Ut} является груп-
пой с обратным элементом (Ut)~l = U_{ и с единицей Uo —
Эта группа называется динамической группой физической систе-
мы. Будем предполагать, что отображение R1 X Мп—* Мп:
(t, x)<—>Ut(x) является гладким; в этом случае группу диффеомор-
физмов {i/Д называют гладко зависящей от t. С физической точки
зрения знание динамической группы означает полное описание по-
ведения системы во времени. Такое описание не всегда возможно.
Физические законы обычно формулируются гораздо проще в «ин-
финитезимальной форме», что означает следующее: рассмотрим ор-
биту х(<) = х(*> х) и касательный к ней вектор х'(0) (в точке х). Для
каждой точки х е Мп положим й'(х) = х'(0)- Совокупность каса-
тельных векторов {A"(x)} называется векторным полем на многооб-
разии Мп; это поле называют также инфинитезимальной обра-
зующей динамической группы. Физический закон выражается обычно
путем описания инфинитезимальной образующей. Но тогда возника-
ет задача построения (описания) динамической группы.
Ниже мы изучим оолее тщательно пойятие векторного поля.
3. Гладкое векторное поле. Векторным полем на многообразии
Мп называется отображение
Х:Мп-^ТМп (4)
такое, что Х(х) е ТхМп для каждого х е Мп. Векторное поле назы-
вается гладким (класса С“), если отображение (4) является глад-
ким (класса С”). В локальных координатах векторное поле имеет
вид
|*1> ..., х„; Х{(х{, ..., хп) 4-... 4- Xn(xv ..., х„) . (5)
I 1 п /
287
Упражнение 2°. Покажите, что гладкость векторного поля экви-
валентна гладкости функций Х^х{, хп), i = 1, п.
Пусть Ut — группа диффеоморфизмов многообразия Мп, гладко
зависящая от t, и пусть i(t, х) = Ut(x) — орбита точки х.
Определение 2. Векторное поле Х(х) называется инфинитези-
мальной образующей группы Ut, если для каждой орбиты
xG) = Х(*> *) имеем
Х'(0)=Х(х). (6)
Упражнения'3°. Покажите, что равенство (6) эквивалентно ра-
венству
х'(О = *(х(О), Г е (-°°, + ~). (7)
Указание. Используйте равенство %(f) = L'l(x) и групповой закон.
4°. Покажите, что инфинитезимальная образующая Х(х) —
гладкое векторное поле.
Рассмотрим задачу отыскания группы Ut по заданному гладкому
векторному полю Х(х). Будем искать орбиту х(^) = x(z> *о) из Ус"
ловия (7). В локальных координатах имеем систему дифференци-
альных уравнений
^ = ^(x,(0,..., х„(0), i = l, ...,п, (8)
где (х1(Х), ..., xn(t)) — координатное задание пути х> а
Х{, ..., Хп — координаты векторной части касательного вектора
.Х(х) (см. (2) и (5)). Функции Xt(xt, хп) гладко зависят от
х1; ..., хп. Для отыскания орбиты (точнее, той же части, которая ле-
жит в карте), необходимо найти решение системы дифференциаль-
ных уравнений (8), удовлетворяющее условию х,(0) =
= х°, ..., хп(0) = х°, где (х°, ..., х°) — координаты точки х°. Ис-
пользуя теорию обыкновенных дифференциальных уравнений, мож-
но получить единственное решение х(0 = Х0> *) Для достаточно
малого интервала — е < t < + е и х из некоторой окрестности точки
х°, причем х(^, *) гладко зависит от t, х. Но чтобы построить груп-
пу Ut, необходимо продолжить решение х(А *•) на всю ось
—оо < t < + оо для любого х G Л/п. Это не всегда можно сделать
(пример : уравнение у' = у2 на R1). Однако если Мп компактно, то
искомое продолжение существует, что несложно проверяется мето-
дами теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Из этой
теории вытекает следующая теорема.
Теорема 1. Если Мп — компактное гладкое многообразие и
X — гладкое векторное поле, то оно является инфинитезималь-
ной образующей однопараметрической группы диффеоморфизмов,
гладко зависящей от параметра.
288
Отметим, что орбиты часто называют интегральными кривыми
векторного поля.
Пример 1. Пусть Мгп = TQn (случай, рассматриваемый в ме-
ханике, где Qn — конфигурационное пространство, которое будем
считать гладким многообразием). Пусть локальные координаты в
Qn~ (<7ц •••> <7n), в TQn-(qi, ..., ..., vn).
Векторное поле на TQn вида (векторная компонента)
L4^ = V^. + +vn^- + aM + +«„(9, V)^-
1 n 1 n
с гладкими функциями a^q, v), ..., an(q, v) называется специаль-
ным. Интегральные кривые этого поля описываются системой диф-
ференциальных уравнений
dvj
~di = •••>^)> i=l,
которая эквивалентна системе второго порядка
A ( d<h d<ln\ , z0\
— 4—1, (9)
Классическая механика оперирует уравнениями типа (9).
Упражнение 5°. Найдите где л: TQn^*Qn — проекция.
4. Алгебра Ли векторных полей. Пусть С"(М") — множество
всех гладких отображений /: Л/"—»R*. Гладкое векторное поле X иа
Мп определяет отображение С"(Л/П)-* С"(Л/") по правилу
/ ►—»Х(/), где Х(/)(х) =Х(х)(/) для всякой точки х из Мп. Если
п
(в локальных координатах) Х(х) = а-, (*)£;> то =
1 = 1 1
п
Й f
= ^«Дх)^-. Очевидно, это линейное отображение векторного
4 = 1 '
пространства С"(МП).
Если X, Y — два векторных поля, то определяется их произведе-
ние — коммутатор [X, У] — формулой
[X, У](/)=Х(У(/))-У(Х(/)).
Упражнение 6°. Убедитесь, что [X, У] — векторное поле, и вы-
числите его в локальных координатах.
Очевидно, что множество всех векторных полей на ЛГ* образует
векторное пространство (над полем R1) с естественными операция-
ми X + У и а-X. Коммутатор [X, У] линейно зависит от множите-
лей X, У. Таким образом, множество всех векторных полей на ЛГ*
является алгеброй.
10 Ю. Г. Борисович и др
289
Упражнение 1°. Покажите, что для любых векторных полей
X, У, Z на Мп справедливы равенства:
1) [X, У] = — [У, X] (антисимметричность);
2) ЦХ, У), Z) + [[Z, X], У] + [[У, Z], X] = 0 (тождество Яко-
би).
Таким образом, множество всех векторных полей на Мп являет-
ся алгеброй Ли.
Множество всех векторных полей на гладком многообразии яв-
ляется не только векторным пространством, но и обладает структу-
рой модуля над кольцом гладких функций на Мп. Действительно,
для f G С“(МП) определено произведение / X, являющееся вектор-
ным полем: (/-Х)(х) = /(х)-Х(х); ясно, что это гладкое поле, ли-
нейно зависящее и от /, и от X.
Изучение строения алгебр Ли векторных полей — одно из нап-
равлений современной топологии.
5. Ковекторные поля. Гладкое отображение А: Мп—*Т*Мп, при
котором Л(х) принадлежит Т*хМп — слою над точкой х, называется
гладким ковекшорным полем на Мп.
В локальных координатах поле А задается в виде
Л(х) = (хр ..., xn; al(x)dxl + ... + an(x)dxn),
где аДх) — гладкие функции от координат (х,, ..., хп) точки х.
Если f е С"(М"), то Л(х) = (df)x является ковекторным полем
на гладким, так как в локальных координатах ковекторная
часть {df)х имеет вид
— dxt + ... + — dxn,
df ж
и координаты -— этого ковектора — гладкие функции.
OX t
Пример 2. Пусть M2n = 7”Qn, где Q" — конфигурационное
пространство механической системы. Пусть {qv ..., qn, pv ...
..., рп) — локальные координаты на T*Qn, где (рр ..., рп) — коор-
динаты вектора в точке (qv ..., qn) G Q1. Если H:T'Qn^Rl—
гладкая функция, то
trr дН । । дН 1 । дН « । । дН j
dH=w;dQi + - + M~nd^+-d^dPi + - +^ndPn
— ковекторное поле на многообразии 7”Qn. Образуем векторное по-
ле на этом же многообразии:
£ _ _ эн д_________ ЭН д ЭН. д , , ЭН д
dPi dij, ” дрп dqn 99] dp, dqndpn'
290
Интегральные кривые (q^t), ..., ?n(Z); Pi(O> •••> Рп(0) поля
удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
=i
dt др*’ dt dqt' 1
В механике выбирают функцию Н, равную сумме кинетической и
потенциальной энергий, и систему (10) называют уравнениями дви-
жения в форме Гамильтона.
§ 9. Расслоения и накрытия
1. Подготовительные примеры. Во многих задачах естест-
венным образом возникают пространства, «склеенные» из пря-
мых произведений. Такое пространство представляет собой непре-
рывную совокупность пространств — слоев, гомеоморфных друг
другу и индексированных точками пространства — базы. Мы кос-
немся лишь самых первых понятий теории таких пространств; эта
теория сейчас продвинута очень далеко. Рассмотрим некоторые
примеры.
Пусть Мп — гладкое многообразие, ТМп — касательное расслое-
ние, л: ТМп —* Мп — проекция касательного расслоения на много-
образие. Ясно, что для всякой точки х G Мп слой л-1(х) гомеомор-
фен пространству R" и, более того, для координатной окрестности
U точки х имеем гомеоморфизм л-1(£7) U х R" (см. § 6). Иногда,
как, например, в случае A/fl = S1, имеет место гомеоморфизм
ТМп =* Мп X R”. Однако в общем случае это не так. (Например, для
Мп = S2.)
Касательное расслоение устроено «локально по х» как прямое
произведение 1/xR", что является, конечно, следствием его опреде-
ления. Наличие подобной структуры у сферы S3 является более не-
ожиданным и связано со свойствами комплексных чисел. Построим
пример отображения S3 в S2, для которого прообраз любой точки го-
меоморфен окружности. Рассмотрим S3 как сферу в С2, т. е.
S3 = {(zj, z2): |Zj|2 + |z2|2 = 1},
а сферу S2 — как расширенную комплексную плоскость (z-сферу).
Формула z2) = Zj/z2 определяет отображение л: S2—*S2. Для
X = tia имеем л(Хгь Xz2) = n(zt, z2), поэтому л-1(г) 51 для лю-
бого z е S2. Напомним, что z-сфера S2 имеет структуру С“-много-
образия с локальными координатами z на области = S2\°° и 1/z
на области U2 = S2\0 (см. § 2).
10*
291
Рассмотрим прямые произведения Ut х S1, U2 X S1. Оказывается,
что множества л-^^), л~1(и2) гомеоморфны соответственно
UlxSl, U2xS2. Покажем это. Определим отображение ф:6/1—»53
формулой
z 1
Vl + |z|2’ Vl + |z|2
очевидно, лф = 11 и множество л-1(г), z G L/p состоит из точек
вида Хф(г), где X = е‘а. Определим отображение ф: U{ х S1 —» S3 фор-
мулой
Z, X) = (^=£=, , Z е и» х е 5*.
^VTTn2 vT+kPj
ф(2) =
Ясно, что л l(Ul) = xS1) и диаграмма
где рГ( — проекция прямого произведения на первый сомножитель,
коммутативна. Аналогично определим отображение гр: U2 х Sl —» S3
формулой
Яр(1/г, X) = (—x,(!.z) , —Х 1 V l/zeL/2, хе№,
(Vl + |l/z|2 Vl + |l/z|2|
причем л l(U2) = ^(L^xS1). Ясно, что коммутативная диаграмма
Таким образом, отображение л локально (над координатными
окрестностями S2) устроено как проекция прямого произведения.
Однако сфера S3 не гомеоморфна прямому произведению S2 х S1
(фундаментальные группы этих пространств не изоморфны).
Описанное отображение называется расслоением Хопфа; оно за-
мечательно во многих отношениях. Так, например, расслоение Хоп-
фа определяет образующий элемент группы л3(52) Z. Отметим,
292
что для любых двух точек и, v е S2 окружности л *(и) и л 1 (и) за-
цеплены в S3 (рис. 106).
2. Определение расслоения. Рассмотренные в п. 1 примеры ес-
тественно приводят нас к следующему определению.
Определение 1. Локально тривиальным расслоением называет-
ся четверка (£, В, F, р), где Е, В, F — топологические пространст-
ва, р — сюръективное отображение Е на В, причем для каждого
х е В существет окрестность U точки х и гомеоморфизм
p~l(U) -»Ux F такие, что диаграмма
(1)
где рг — естественная проекция, коммутативна.
Из определения вытекает, что для всякой точки х из U прообраз.
р-1(х) гомеоморфен пространству F, он называет-
ся слоем над точкой х.
Пространства Е, В, F называются соответсвен-
но пространством, базой и слоем расслоения, а
отображение р — проекцией расслоения. Окрест-
ности U, участвующие в определении 1, называют-
ся координатными окрестностями, гомеоморфиз-
мы — координатными или распрямляющими
гомеоморфизмами.
Хотя в топологии рассматривают и более широ-
кий класс расслоений, чем локально тривиальные расслоения, всюду
ниже мы будем называть расслоениями только локально тривиальные
расслоения.
Расслоение называется тривиальным, если существует гомео-
морфизм <рв: E^BxF такой, что коммутативна диаграмма
Заметим, что касательное расслоение ТМп можно рассматривать
как пространство локально тривиального расслоения с базой AF1,
проекцией р = л — проекцией касательного пространства на много-
образие Мп, и слоем R". В качестве окрестностей U С Мп служат
координатные окрестности многообразия Мп.
293
Рассмотренное выше отображение расслоения Хопфа является
проекцией локально тривиального расслоения, пространством кото-
рого является S3, базой — S2, слоем — S1.
Приведем еще ряд примеров локально тривиальных расслоений.
Пример 1. Лист Мёбиуса М (факторпространство прямого
произведения [0;1]х[—1, 1] по отношению эквивалентности
(О, у)~(1, — у)) является пространством расслоения с базой 51
(«средняя» линия) и слоем [—1, 1].
Проекция рг: [0, 1]х[—1, 1]—»[0, 1], действующая по правилу
рг (х, у) = х, индуцирует факторотображение р: M—*Sl — проек-
цию этого расслоения.
Пример 2. Прямое произведение X х У топологических про-
странств X, Y образует пространство расслоения с естественной про-
екцией рг: X х У —* X, слоем У и базой X.
Пример 3. Сфера Sn является пространством расслоения с ба-
зой RP", слоем, состоящим из двух точек (дискретное множество),
и проекцией, сопоставляющей точке х е Sn ее класс эквивалентно-
сти {х, —х} G RP" (см. § 5 гл. II).
Сфера S2"+1 является пространством расслоения с базой СР",
слоем S1 и проекцией, сопоставляющей точке х G 52"+1 С С"+1 ее
класс эквивалентности в СР" (см. § 5 гл. II ).
Упражнения. 1°. Покажите, что касательное расслоение многооб-
разия Мп тривиально тогда и только тогда, когда существуют п (не-
прерывных) векторных полей на Мп, линейно независимых в каж-
дой точке х G Мп.
2°. Покажите, что локально тривиальное расслоение над отрез-
ком тривиально.
Отображение s: В—* Е, удовлетворяющее условию ps= 1в, назы-
вается сечением расслоения (Е, В, F, р).
Упражнения. 3° . Покажите, что существование сечения являет-
ся необходимым условием тривиальности расслоения.
4°. Существуют ли сечения расслоения Хопфа? (Воспользуйтесь
тем, что л2(53) = 0 и ps= 1хг.)
5°. Приведите пример нетривиального расслоения, у которого су-
ществует сечение.
Установим некоторое отношение между отображениями в про-
странство расслоения и в его базу.
Определение 2. Отображение Ф: X—>Е называется поднятием
отображения Ф: X -* В, если для всякой точки х G X выполняется
равенство рФ(х) = Ф(х). Говорят также, что отображение Ф накры-
вает отображение Ф.
294
Введенное отношение характеризуется коммутативностью сле-
дующей диаграммы:
Упражнение 6°. Покажите, что если у расслоения есть сечение,
то для всякого отображения в базу существует поднятие этого
отображения.
Приведем необходимое условие существования поднятия отобра-
жения в терминах функторов гомотопических групп (см. § 3 гл. III).
Теорема 1. Пусть (Е, В, F, р) — локально тривиальное рас-
слоение со слоем F, пространством Е и базой В, X — тополо-
гическое пространство. Для того чтобы у отображения
Ф: XВ существовало поднятие Ф, удовлетворяющее условию
ф(хо) = ео> где хо е Х' ео е Р(ео> = *о = ф(*о)> хо' ео’ ьо Фик-
сированы, необходимо, чтобы
ФДпДХ, х0)) С рДпДЕ, е0)) (3)
при всех /г > 1.
Доказательство. Если такое поднятие Ф существует, то
диаграмма (2) коммутативна. Применяя функторы гомотопических
групп, получаем коммутативные диаграммы (при всех п> 1)
*о)------фГ----^о)
из которых следуют требуемые включения.
Локально тривиальные расслоения обладают следующим важным
свойством.
Свойство накрывающей гомотопии. Пусть (Е, В,
F, р) — локально тривиальное расслоение, X — хаусдорфово пара-
компактное топологическое пространство, Ф: Ху. I—* В — гомотопия
и пусть f\X-*E — поднятие отображения Ф , т. е. pf = Ф)
4 I УС X О I УС X о
Тогда существует единственное поднятие Ф: X х I—>Е гомотопии Ф,
удовлетворяющее условию Ф | = /.
Это утверждение будет доказано для частного случая в п. 4.
3. Векторные расслоения. Пусть (£, В, F, р) — локально три-
виальное расслоение. Предположим, что U и V — координатные ок-
295
рестности точки х G В. Можно определить гомеоморфизм $(х)
пространства F формулой
^(x)h = ^l(x,h), xet/nv, her, g£(x) = lf.
Если W — третья окрестность точки х, то справедливы равенства
g&(x) =g^(x)g%(x).
Таким образом, для каждой точки х G U А V определен гомео-
морфизм $(х), т. е. задано отображение U A V-*H(F) множе-
ства U А V в группу H(F) гомеоморфизмов пространства F; отоб-
ражения $ называются координатными преобразованиями. Если
F локально компактно и топология в H(F) индуцирована вложени-
ем H(F) в пространство C(F, F) с компактно открытой топологией,
то координатные преобразования, как легко видеть, непрерывны
(см. упр. 11 § 1 гл. III).
Определение 3. Векторным расслоением называется локально
тривиальное расслоение (Е, В, F, р), слой F которого является ко-
нечномерным векторным пространством и координатные преобра-
зования $ которого являются непрерывными отображениями в
группу обратимых линейных преобразований пространства F (т. е.
при U и V фиксированных $(х) — непрерывно зависящее от
х G U А V семейство обратимых линейных операторов).
Упражнение 7°. Покажите, что касательное расслоение является
векторным расслоением.
Определение 4. Морфизмом локально тривиального расслоения
(Е, В, F, р) в локально тривиальное расслоение (Е', В', F', р') на-
зывается пара непрерывных отображений Н: Е-* Е', h: В-*- В' та-
ких, что hp = р'Н.
Последнее равенство означает, что диаграмма
н
Е —*~Е'
р |
В —В'
коммутативна (слой переходит в слой).
Это определение превращает совокупность локально тривиаль-
ных расслоений в категорию.
Определение 5. Пусть (Е, В, F, р), (Е', В', F', р') — вектор-
ные расслоения, слои которых F и F' — векторные пространства над
одним и тем же полем. Пусть (Я, й) — морфизм (Е, В, F, р) в
(Е', В', F', р'). Морфизм (Я, й) называется морфизмом векторных
расслоений, если для любой точки х G В суперпозиция
Н
F^p~\x) -(P')~W)) -* F'
296
является линейным отображением, где <рх (ф'Л(х)) — гомеоморфиз-
мы слоя р-1(х)((р')~’(Л(х)) и векторного пространства F (/”), воз-
никающие в коммутативной диаграмме определения 1.
Упражнения! 8°. Проверьте, что векторные расслоения и их мор-
физмы образуют категорию.
9°. Проверьте, что, сопоставляя многообразию касательное рас-
слоение, а гладкому отображению многообразий — касательное ото-
бражение расслоений, мы определяем ковариантный функтор из ка-
тегории гладких многообразий в категорию векторных расслоений
(над полем R).
4. Накрытия. Остановимся подробнее на одном специальном
классе локально тривиальных расслоений.
Рассмотрим окружность Sl = {z ЕЕ С: |z| = 1} и определим отоб-
ражение p:R‘—формулой p(t) = e2nit. Поскольку p(tt) = р((2)
тогда и только тогда, когда Z, — t2 = к, к G Z, то прообраз p-1(z)
всякой точки г 6 S1 гомеоморфен множеству целых чисел Z с дис-
кретной топологией. Для всякой точки z G S* отображение р гомео-
морфно отображает каждую связную компоненту множества
p~l(Sl\z) = &1\р~1(2) на бЛг. Многозначное отображение
p~l: Sl\z—»R1\p-1(z), p~l(u) = (1/2тп)1п и, имеет счетное число
однозначных ветвей, одну из которых обозначим через <р.
Определим гомеоморфизм ф: (5*\z) х Z—»R’\p~1(z) формулой
ф(«, Л) = <р(п) + к. Получаем коммутативную диаграмму
(5*\z) X Z
^p-'(Sl\z)
Систему множеств z£S< можно принять за систему координат-
ных окрестностей, так что четверка (R1, S1, Z, р) является локаль-
но тривиальным расслоением, слой которого Z дискретен. Такие
расслоения часто возникают в задачах анализа.
Определение б. Локально тривиальное расслоение (Е, В, F, р)
называется накрытием, если пространство Е и база В расслоения
линейно связны, а слой F — пространство с дискретной топологией.
.Часто вместо четверки (Е, В, F, р) там, где это не вызывает не-
доразумений, пишут р: Е-* В и называют накрытием отображение
р. Слой р-1(х) над каждой точкой накрытия гомеоморфен простран-
ству F с дискретной топологией, следовательно, сам является диск-
ретным пространством.
В определении накрытия (а также локально тривиального рас-
слоения с линейно связной базой) можно ослабить требования на го-
меоморфизм фу, предполагая, что фу — гомеоморфизм на U X Fv,
291
где Fy — пространство (с дискретной топологией для накрытия),
зависящее от координатной окрестности U. При таком определении,
очевидно, p~{(x)~Fy (биекция, соответственно гомеоморфизм) для
всякого х G U. Но оказывается, Fy~Fv (биекция, гомеоморфизм)
для любых координатных окрестностей U, V, и если положить
F — р-1(х,), где х, — фиксированная точка из В, то придем к опре-
делению 6 (или 1) (см. ниже замечание после доказательства лем-
мы 1).
Пример 4. Расслоение сферы S" над проективным пространст-
вом RPn является накрытием, слой которого состоит из двух точек.
Пример 5. Отображение ptS1 —>Sl (или р:С\0—»С\0), зада-
ваемое соответствием z •—» zn, является накрытием, слой которого
состоит из п точек.
Накрытие, слой которого состоит из п точек, называется и-лист-
ным накрытием.
Заметим, что для координатной окрестности U накрытия
(Е, В, F, р) прообраз p~l(U) гомеоморфен произведению Ux F, со-
стоящему из непересекающихся «листов» — открытых множеств
U х a, a G F, следовательно, сам состоит из непересекающихся «ли-
стов» — открытых множеств Wa = (Ux а), гомеоморфных U;
гомеоморфизмами служат ра: Wa—*U — сужения р на Wa, что сле-
дует из соотношения р = рг выражающего коммутативность ди-
аграммы 1.
Таким образом, проекция накрытия pt Е-*В является локаль-
ным гомеоморфизмом с дискретным, гомеоморфным слою F прооб-
разом р-1(х) над каждой точкой х е В.
Однако обратное неверно: не для всякого локального гомеомор-
физма pt Е-*В можно построить покрытие пространства В коорди-
натными окрестностями U (например, для отображения pt
(а, Ь) —>5* числового интервала на окружность, задаваемого форму-
лой p(f) = (cos t, sin /)).
Говорят, что точки из слоя р-1(х) лежат «над» точкой х, а листы
Wa «над» U; указанное выше свойство проекции накрытия pt
Е^*В позволяет «поднимать» подмножества А С U в лист Wa, рас-
сматривая прообразы р~1(А), а также «поднимать» отображения,
пути, гомотопии в X. В соответствии с определением 2 путь
ft I —» Е называется поднятием пути gt /—» В (накрывающим путь g),
если pf = g.
Лемма 1. Пусть pt Е—*В — накрытие. Тогда верны следующие
утверждения'. 1) всякий путь у в В, начинающийся в точке
b0 G В, имеет единственный начинающийся в произвольной фик-
сированной точке е0 G р-1(й0) накрывающий путь у в Е; 2) если
298
у = ^1^2 — произведение путей у2 в В, то накрывающий путь
у—У2'У2’ г&е У1’ Уг накрывают соответственно у(, у2, причем
71(1) = у2(0); 3) если у = yj-1 — путь, обратный ур то y=yj'1,
причем 7(0) = 7/1).
Доказательство. Пусть путь у задан отображением
7: /—*В, I = [0, 1], 7(0) = Ло. Каждая точка пути y(Z) принадлежит
некоторой координатной окрестности Ut, и найдется такая связная
окрестность (т. е. интервал) Qt точки t G I, что y(Qz) G Ut. Из от-
крытого покрытия {QJ отрезка I выделим конечное покрытие {Qs}f.
Пусть 6 — лебегово число покрытия {Qs }*. Разобьем отрезок I на от-
резки Д( = [Z;_p длины, меньшей 6, точками деления
Z., i = 0, N, tN = 1. Тогда у(Д;) лежит в некоторой координатной
окрестности Ut, i= 1, N. Следовательно, каждый участок у. пути
7, задаваемый отображением у;: Д; —* В, допускает поднятие у(- в лист
Wa, задаваемое отображением /; = р~1у,: Д;—»ИЛа, где ра: Wa
-»Ut — гомеоморфизм на координатную окрестность U у В качестве
Wa выберем лист, содержащий точку е0 G р-1(/>0), и поднимем уча-
сток пути у,, тогда У( начинается в точке е0. Если Wa уже выбран
и участок пути у _( поднят, то за Wa выберем лист, содержащий ко-
нечную точку /;_!(/,_,) участка пути у(._р лежащую над точкой
7(<;-i)- Тогда участок пути у(. имеет начало в точке Таким
образом поднимем все участки у., i — 1, ..., iV, пути у. Поскольку
отображения Д: Д;—>Е, i= 1, ..., jV, согласованы на общих концах
соседних промежутков Д;, их можно объединить в отображение
Д. 1->Е, f(t) = f ;(t) при t G Д;. Отображение f и определяет путь у,
накрывающий путь у. Единственность накрывающего пути следует из
того, что р — локальный гомеоморфизм. Этим доказано утвер-
ждение 1). Утверждения 2), 3) очевидны:
Замечание. Конструкция координатных окрестностей
i = 1, ..., jV, покрывающих путь у.1^»В, позволяет доказать
биективность слоев Fv над координатными окрестностями, где го-
меоморфизм ipy действует из p-1(t/) на U х Рц (см. определение 6
накрытия и последующее обсуждение). Это очевидно, если U С
С V * 0, так как для х G U П V имеем p~l(x)~Fv и p~l(x')~Fy.
Если U П V = 0, то, выбрав точки х G U, у G V, соединим их пу-
тем у: / —» В, используя линейную связность В. Для указанного по-
крытия {£Л} слои Fjj гомеоморфны (в дискретной топологии), отку-
да следует р~\х)~р~1(у) и Fv~Fy .
299
Опираясь на доказанную лемму, теперь нетрудно доказать для
случая накрытий теорему о накрывающей гомотопии, упомянутую
в п. 2.
Теорема 2 (свойство накрывающей гомотопии). Пусть
(Е, В, F, р) — накрытие, X — топологическое пространство,
f: Х-+ Е — отображение и Ф: Хх/-*В -— такая гомотопия, что
pf = ф| * q. Тогда существует единственное поднятие Ф гомото-
пии Ф, т. е. такая гомотопия Ф: X х I —» Е, где ФI = f и
ХХО
рф = ф.
Доказательство. Гомотопия Ф:Хх1 —>В для всякого
х G X задает путь gx: 1^*В, где gx(t) = Ф(х, О, t е I- Точка /(х)
лежит над точкой ^(0) = Ф(х, 0). Согласно лецме 1 путь gx един-
ственным образом поднимается в Е, gx: 1—*Е,с условием gx(0) =
= /(х). Положим Ф(х, 0 = gx(t). Таким образом, имеем отображе-
ние Ф: X х I —» Е. Оно накрывает отображение Ф, так как
рф(х, 0 = pgx(t) = gx(t) = Ф(х, t), (х, 0 G X х I.
При t — 0, очевидно, Ф(х, 0) = /(х), т. е. ФIАГХ0 = /•
Следующим упражнением завершается доказательство теоремы.
Упражнение 10°. Докажите, что отображение Ф:Хх[—*Е не-
прерывно.
Лемма о поднятии пути в накрывающее пространство и теорема
о накрывающей гомотопии позволяют изучить связь между фунда-
ментальными группами базы В и накрывающего пространства Е.
Вначале сформулируем прямые геометрические следствия указан-
ных предложений.
Лемма 2. Пусть р:Е-^>В — накрытие, е0 G Е, Ьо =
= р(е0) G В — отмеченные точки. Тогда верны утверждения:
1) если а — замкнутый путь в Е с началом в точке е0, гомо-
топный * постоянному, то ($= ра — замкнутый путь с началом
в точке Ьо и также гомотопен постоянному,
2) если а — путь в Е с началом в точке е0, накрывающий зам-
кнутый путь р, то гомотопия пути р поднимается в гомотопию
пути а с фиксированными концами;
3) если а — некоторый путь в Е с началом в точке е0, накры-
вающий замкнутый путь р, гомотопный постоянному пути, то
а тоже замкнут и гомотопен постоянному пути.
Доказательство. Утверждение 1) очевидно вследствие неп-
рерывности отображения р. Докажем утверждение 2). Пусть
р: I—*В, р(0) = Р(1) = Ьо — замкнутый путь в В, a ft: 1~*В,
0 =S t 1, /0 = р, — его гомотопия. Обозначим Ф(: I—* Е, 0 =£ Z 1,
* Как и в гл. III, здесь рассматриваются гомотопии путей с фиксированными
концами.
300
Фо = а — поднятие гомотопии ft: pxVt = ft, О «е t «е 1. Так как концы
пути ft неподвижны, т. е. /((0) = /t(l) — b0 при всех t, то концы
ФДО), ФД1) пути принадлежат p-1(Z>0) при всех t и непрерывно
зависят от t. В силу дискретности топологии слоя p-I(Z»0) концы пу-
ти ФДО), Фг(1) постоянны, т. е. гомотопия пути а проходит при за-
крепленных концах а(0) = е0, а(1). Наконец, докажем утвер-
ждение 3). Пусть f — гомотопия пути р, а — гомотопия пути
а, накрывающая ft. По условию f { — постоянное отображение и
/i(/) = bQ, откуда ФД2) С рн(/>0), т. е. Ф, — отображение в слой
над Ьо. Образ Ф,(2) отрезка 1 — связное множество, поэтому в силу
дискретности топологии слоя ФД2) = е0' £ р-1(й0), в частности,
Ф](0) = Ф((1) = е0'. По утверждению 2) гомотопия Ф( проходит
при неподвижных концах, т. е. Ф((1) = а(1), ФДО) = а(0),
О «S t == 1. Следовательно, а(1) = а(0) = е0', Ф((2) = е0‘, т. е. путь
а замкнут и гомотопен постоянному пути.
Изучим связь между фундаментальными группами пространства
накрытия и базы.
Проекция р: Е-+ В индуцирует гомоморфизм фундаментальных
групп я ДЕ} и 7^(2?) (см. § 3 гл. III). Действие этого гомоморфизма
описывается следующей теоремой.
Теорема 3. Гомоморфизм р,: тгДЕ) —* лДЛ) фундаментальных
групп, индуцированный проекцией накрытия, является мономор-
физмом.
Доказательство. Пусть х0 £ Е, b0 Е В — отмеченные точ-
ки, причем р(х0) = й0; пусть тг^Е, х0), тг, (2?, 60) — фундаменталь-
ные группы и р,: лДЕ, х0) —*7^(5, £>0) — гомоморфизм, индуциро-
ванный проекцией р:Е—*В. Рассмотрим прообраз рГ*(е) единицы
группы 7ij(2?, Ьо). Достаточно показать, что р~*(е) = е’, где е' —
единица группы лДЕ, х0). Если [а]* Е то а накрывает путь
Р = ра, гомотопный постоянному в В. Согласно утверждению 3 путь
а также гомотопен постоянному (в £), следовательно, [а| — е'.
Из теоремы 3 следует, таким образом, что группа тгДЕ) изо-
морфна подгруппе группы л,(Л) (именно подгруппе N— рДтгДЕ)).
Рассмотрим смежные классы (например, правые) группы тгДВ) по
подгруппе N. Имеет место важная теорема.
Теорема 4. Для всякого накрытия р: Е-* В слой р-|(й0) нахо-
дится в биективном соответствии с множеством смежных клас-
сов группы Л|(Л) по подгруппе N.
Доказательство. Гомотопическому классу [р] Е 71,(5, b0)
сопоставим точку х^ Е р-1(й0) по следующему правилу: поднимем
301
путь р в путь а в £ с началом в точке х0 (лемма о поднятии пути) и
положим Хр = а(1); согласно лемме 2 (утверждение 2)) конец пути
а не зависит от выбора представителя р Е [р]» следовательно, опре-
делено отображение л^В, b0) —»p-1(Z>0), [0]1—»Хр. Если (PJ, [Р2]
принадлежат одному смежному классу, то [PJ'lfU-1
Е рДлДЕ1, х0)); тогда петля pt • р21 с началом в Ьо гомотопна неко-
торой петле ра, где а — петля в Е с началом в х0. Обозначим а' под-
нятие петли Р| • р21 с началом в х0 и заметим, что петли а и а' гомо-
топны при фиксированных концах (утверждение 2) леммы 2), следо-
вательно, а' — замкнутая петля, накрывающая петлю Pi P2*- Но
a' = Pi-p2* по лемме 1 (утверждения 2), 3)). Замкнутость пути
Pt'P^1 означает, что начало пути р, совпадает с началом пути р2, а
конец пути Р| — с концом пути р2. Следовательно, Хр = х^ . Таким
образом, отображение [р]1—»Хр постоянно на каждом смежном классе.
При этом разным смежным классам соответствуют разные образы.
Действительно, в предположении противного найдутся [pj и [р2] из
разных смежных слассов, но Хр = Хр ; последнее означает, что концы
(и начала) поднятий рр р2 совпадают, следовательно, pt • р21 — пет-
ля в Е с началом в точке х0, p(Pi‘P2*) — РгРг* — петля (с началом
в точке Z>0), откуда следует, что гомотопический класс
[(VIVI = iPd’iPj"1 = РЛРсЗг1] этой петли принадлежит
рДлДЕ1, х0)), т. е. [Pj], [р2] из одного смежного класса вопреки
предположению. Наконец, остается показать, что любая точка
х Е р-1(й0) является образом Хр для некоторого [ р ]. Рассмотрим путь
а, идущий в Е из точки х0 в точку х (используя условие линейной
связности Е), и положим р = ра; р — замкнутый путь в В с началом
в точке Ьо, путь а является его поднятием, следовательно, Хр = х.
Следствие. Если пространство накрытия р: Е-* В односвязно,
т. е. л^Е) = 0, то слой F и фундаментальнаягруппа л^В) нахо-
дятся в биективном соответствии.
Доказательство. Фиксируем х0 Е Е, р(х0) = Ьо и рассмот-
рим л^Е, х0) = е, л^В, bQ). Имеем рДлДЕ, х0)) = е, следова-
тельно, множество смежных классов совпадает с множеством
л^В, Ьо). Таким образом, л^В, b0)~p~l(J>0)~F (эквивалентность —
биекция).
Определение 7. Накрытие (Е, В, F, р) называется универсаль-
ным, если пространство Е односвязно, т. е. л^Е) = 0. Пространство
Е в этом случае называется универсальным накрывающим про-
странством.
302
Знание универсальных накрытий для некоторых пространств по-
лезно для вычисления фундаментальной группы лДВ).
Пример 6. Накрытие р: R1 -*5‘, p(t) — e2n,t, F = Z. Мы уже
знаем (§ 3 гл. III), что Л!(К‘) = 0. Следовательно, 7t|(S‘) ~ Z
(сравните с § 4 гл. III).
Пример 7. Накрытие р: Sn —» RP" со слоем F~Z2, п > 2. Имеем
Л|(5") — 0, п > 2, откуда nI(RP")~Z2.
Однако полученные результаты неполны. Установив биекцию
группы ^j(B) с некоторой группой, мы не можем быть уверены в
том, что биекция сохраняет групповые операции, т. е. является го-
моморфизмом групп. Усилим теорему 4 и следствие в этом направ-
лении, предположив, что в накрывающем пространстве Е задано
действие некоторой группы G, согласованное со структурой накры-
тия.
Будем рассматривать группу G, действующую (слева) на про-
странстве Е, и будем для краткости отождествлять элемент g Е G с
соответствующим гомеоморфизмом hg: Е-*- Е (см. § 5 гл. II).
Определение 8. Говорят, что группа G действует разрывно
(или что G — разрывная группа преобразований), если орбита Оу
любой точки у Е Е является дискретным подпространством.
Определение 9. Группа преобразований G, действующая в Е
разрывно, называется вполне разрывной, если для всякой точки
у Е Е найдется такая окрестность U(y) точки у, называемая ниже
элементарной, что образы g(U), g Е G, попарно не пересекаются.
Определение 10. Говорят, что группа G действует в Е свободно
(или без неподвижных точек), если g(y) Ф у для всякого у Е Е, ка-
ков бы ни был элемент g £ G, g Ф е.
Очевидно, что вполне разрывная группа преобразований G дей-
ствует свободно. Если Е хаусдорфово, группа G конечна и действует
свободно, то G — вполне разрывная группа (проверьте!).
Пусть G — вполне разрывная группа преобразований простран-
ства Е. Рассмотрим пространство орбит E/G = В и естественную
проекцию р: Е-*В (см. § 5 гл. II).
Лемма 3. Пусть Е — линейно связное пространство, a G —
вполне разрывная группа преобразований в Е. Тогда р:
Е-* E/G = В является накрытием со слоем p~l(b), b Е В, равным
орбите Оу точки у, р(у) = Ь.
Доказательство. По определению пространства орбит про-
екция р — непрерывное отображение и р~1(Ь) = Оу, если
р(у) = Ь, причем Oy~G. Линейная связность пространства
р(Е) = В следует из линейной связности Е и непрерывности р.
Остается построить координатные окрестности в В. Пусть U(y) —
элементарная окрестность точки у Е Е, b = О — орбита точки у
и V(b) — открытая окрестность точки b Е В, состоящая из всех
303
орбит Ог, z Е Uy, проходящих через окрестность 1/(у). Для вполне
разрывной группы G и элементарной окрестности U(y) имеем
р-1(Р) = U g(G), причем g(U) открыты в £ и не пересекаются,
gee
Образ g(U) — это «лист» Wg над V накрытия р:Е-+В. Действи-
тельно, p~l(V) = U Wg, при этом Wg гомеоморфен V, так как су-
gSG
жение n = pl : W -*V — гомеоморфизм в силу биективности и
g | J|r g
открытости отображения р^. Окрестность V(b) является координат-
ной, так как определен гомеоморфизм <ру: р-1(У) -» V х G (G рас-
сматривается с дискретной топологией), задаваемый на открытых
непересекающихся множествах Wg отображениями pg. Wg —* V х g
для всякого g £ G.
Пример 8. Накрытие р: S2n+1 —*L(k, kit ..., кп) сферы над
обобщенным линзовым пространством, определяемое проекцией
комплексной сферы Sfc (гомеоморфной S2n+1) на факторпространст-
во орбит L(k, кр ..., кп) по действию группы Z^ (см. § 5 гл. II).
Слой этого накрытия совпадает с орбитой группы Zk, т. е. состоит
из к элементов. Так как Л|(52п+|) =0, то nt(L)~Zk.
Пример 9. Рассмотрим Е = R" как абелеву группу; она со-
держит подгруппу Z" всех векторов с целочисленными координа-
тами. Факторгруппа Rn/Zn, наделенная фактортопологией, называ-
ется n-мерным тором Тп. Факторотображение р: R" —» Тп является
накрытием со слоем Z". Так как u1(R'!)=0, то заключаем
nt(Tn)~Zn.
Для накрытий р: Е-* E/G = В верна
Лемма 4. В условиях леммы 3 подгруппа N — р,(л{(Е, е0))
фундаментальной группы л^В, bQ), где p(eQ) = bQ, является нор-
мальным делителем.
Доказательство. Пусть [0] Е N, [pj Е nt(B, b0). Прове-
рим, что [у] = [01ГЧ0Н01] Е М Поднимем путь у =
= Pf’-p-p, в путь у = Pf’ p-Pp где [0] е л^Е, е0), идет из точ-
ки е0 в точку et, р(е^ = b0, идет из точки в точку е0. Следо-
вательно, у — петля в точке eit и ру = у. Так как слой р-|(й0) яв-
ляется орбитой Ое группы G , то найдется элемент gt Е G такой,
что gt(,et) = е0. Гомеоморфизм gt отображает петлю у в петлю gty
в точке е0, так что G Л|(£, е0). Путь gty накрывает путь у,
304
так как отображение р постоянно на орбитах группы G, следова-
тельно, p(g{у) = y и [у] = P.(teiY]), т. e. [yI € N.
Накрытия, у которых подгруппа N = р,(л1(Е, e0)) является нор-
мальным делителем, называют регулярными.
Для регулярных накрытий множество смежных классов группы
л^В, Ьо) по подгруппе N является факторгруппой.
Прежде чем перейти к вычислению u^F/G), введем важное по-
нятие группы монодромии накрытия.
Пусть р: Е-*В — накрытие и Ьо Е В — фиксированная точка в
базе. Определим действие группы лДВ, />0) в слое p^l(bQ)~F. Пусть
[ р] Е лДВ, Ьо) и еа Е р-1(60) — произвольная точка слоя над Ьо, за-
нумерованная элементом a Е F. Пусть р — поднятие пути [Зв точку
еа; положим еа, = р( 1), где а' — элемент слоя, содержащий р( 1). Мы
уже знаем, что Р(1) не зависит от выбора пути р из класса [р], но
зависит от класса [р]. Таким образом, класс [р] определяет отобра-
жение Стр: p-1(Z>0) —*р-1(й0) по правилу еа^>еа, (или отображение
Стр: F —» F по правилу а >—»а').
Легко видеть, что отображение Стр биективно накрывает про-
странство р~*(й0).
Очевидны равенства: Стр р = Стр с-р , с-р = 1л.,если р Е е (единице
лДВ, />0)), стр-, = Ср1, следующие из леммы 1 о поднятии путей.
Эти равенства означают, что соответствие о: [р] •—» Стр является
представлением группы лДЛ, />0) «гомеоморфизмами», т. е. «пере-
становками» дискретного пространства /j-1(Z»0) (или F). Это пред-
ставление <т называется монодромией накрытия, а множество пере-
становок {Ор}, [р] Е лДЛ, />0) — группой монодромии накрытия.
Таким образом, монодромия а — это гомоморфизм * группы
Л| (В, bQ) в группу всех перестановок слоя.
Из теоремы 3 следует, что точка еа Е p~l(bQ~) является непод-
вижной для тех и только тех перестановок Стр, для которых [р] Е
Е рДлДЕ, еа)). Как говорят, р.(л,(еа)) — стационарная подгруп-
па точки еа в группе Jij(В, Ь(>), действующей на слое p~l(bQ). Более
того, о-р(еа) = Ор,(еа) в том и только том случае, когда [р'] принад-
лежит р^л^Е, еа))[р] — смежному классу, содержащему элемент
[р] (откуда немедленно следует и теорема 4). Для различных точек
еа, е«’ е Р"‘(й0) подгруппы pt^(E, £?а)), p.fn^E, еа,)) сопряжены
* Более строго было бы назвать монодромию «антигомоморфизмом»; если же
изменить порядок записи умножения в л, {В, Ьа) или в группе всех перестановок слоя,
то монодромия станет «настоящим» гомоморфизмом.
305
относительно того элемента [0] G ^(B, b0), для которого
= еа,; действительно, если р — соответствующий накрываю-
щий путь, то соответствие у •—> у' = р_|-у-р, где [у] € еа),
устанавливает изоморфизм между еа~) и л-{(Е, еа,), переводя-
щийся мономорфизмом р, в изоморфизм рДлДЕ, еа)) —»
- [Р1 ₽а))1Р] = ба,)).
Вычислим группу МОНОДРОМИИ {o-jj} для накрытия
р: Е^* E/G = В, порожденного вполне разрывной группой преобра-
зований G.
Лемма 5. Группа монодромии накрытия р: Е —» E/G = В, по-
рожденного вполне разрывной группой преобразований линейно
связного пространства Е, изоморфна G.
Доказательство. Пусть е0 G Е, Ьо = р(е0) — отмеченные
точки. Имеем р~1(Ь0) — Ое°, где О — орбита точки е0 группы G,
т. е. множество точек {g(e0)}, g G G. Пусть [p] G л, (В, й0) и Op —
соответствующее преобразование монодромии. Тогда найдется
gp е G такой, что Стр(^о) = gp(e0), откуда Op(g(^0)) = g(CTp(^o)) Для
Vg G G. Соответствие Op~**gp задает гомоморфизм группы монодро-
мии,* группу G. Действительно, если стр • стр — суперпозиция Ор и
ст₽2> то (°г₽2'огр1)^0:= %(«₽,*(>) = gpi(g'p/o) = (^,^2)е0> следователь-
но- V •%
Далее, перестановка Стр1 = Op-i соответствует gp1, а тождествен-
ная перестановка Стр = 1о ([р] = е) соответствует gp = ес — едини-
це группы G. Покажем, что гомоморфизм Ор •—> gp есть мономор-
физм группы монодромии в группу G. Действительно, если
gp = ес, то crp(g^0) == geceQ — geQ для всякого g G G и, следователь-
но, Стр — тождественное отображение слоя Ое .
Эпиморфность гомоморфизма Op’—’gp следует из линейной связ-
ности Е, позволяющей соединить некоторым путем а точку е0 с
точкой g,eQ, где g, GG произвольно, так что а является подняти-
ем петли р. = ра и стр е0 = а(1) = g,(e0), следовательно, Op'—'g..
Таким образом, установлен изоморфизм группы монодромии с
группой G.«
Теперь нетрудно доказать основную теорему.
Теорема 5. Для накрытия р: Е-+ E/G — В, порожденного впол-
не разрывной группой преобразований G линейно связного про-
странства Е, факторгруппа группы л, (В, Ьо) по нормальному де-
лителю р,(п1(Е, е0У), р(е0) — Ьо, изоморфна группе G.
Доказательство. Рассмотрим гомоморфизм s: л{(В, Z>0)—»G,
задаваемый композицией гомоморфизма группы л^В, Ьо) в группу
306
монодромии накрытия и изоморфизма группы монодромии в группу
G, т. е. гомоморфизм, задаваемый соответствием [р]1—»су—Про-
образ s-l(eG) состоит из тех классов [0], для которых = ес, т. е.
Стр — тождественное преобразование слоя р-1(й0). Следовательно,
5-1(ес) = ео))> и факторгомоморфизм s: лДВ, 60)/р,(л1(Е,
е0)) —» G — изоморфизм.»
Следствие. Если накрытие p'.E^E/G—li универсально, то
группа лДВ) изоморфна группе G.
Вернемся к примерам 6, 7, 8, 9.
Универсальное накрытие р: R1-*^1, p(l) — е2л‘*, порождено
вполне разрывной группой преобразований трансляций t >—»
'—>/+ n, n Е Z, оси R1. Следовательно, (изоморфизм).
Группа монодромии также Z и действует на слое F~Z трансляция-
ми т >—> т + п.
Универсальное накрытие р: Sn—*RPn, п > 2, порождено вполне
разрывной группой преобразований Z2 с образующей a: Sn—»Sn,
действующей по правилу а(х) = —х, следовательно, лДЙР") =* Z2,
п > 2. Группа монодромии есть Z2 и действует на слое
F = р~1(Ь0) = {х0, — х0}, х0 Е 5"; для образующей ст имеем ст(х0) =
= — х0, ст(—х0) = х0, т. е. ст переставляет точки слоя. Соответствую-
щий элементу ст образующий элемент группы n1(RPn, Z»o) образован
гомотопическим классом пути ру , где у — путь на 5", соединяющий
точки х0, — х0.
Универсальное накрытие р: S2n+1 —*L(k; kv ..., kn) порождено
вполне разрывным действием группы Zk с образующей а:
52и+| —»$2п+1 Следовательно, лДС)^^, группа монодромии так-
же Zk и действует на слое; ее образующая соответствует образую-
щей [у] Е nq(L), где у — проекция пути в S2"+1, соединяющего
точку х0 с точкой а(х0) (найдите а, а(х0), основываясь на п. 3 § 5
гл. II).
Универсальное накрытие р: Rn-*Tn порождено вполне разрыв-
ным действием группы Z" с образующими ар действующими по
правилу
(хр ..., xz_p xt, х/+р ..., х„)--(хр .... xz_p х,. + 1, xi+l, .... xn),
i= 1, ..., n.
Следовательно, лДТ") Z”, а образующие [yj, i = 1, ..., n,
группы л1(Тп) содержат петли у., полученные проекцией р из пу-
307
тей в Rn, соединяющих точку 0 с точками а;(0). Группа монодро-
мии действует йа слой ее образующие аа, i = 1, п, дей-
ствуют на целочисленные векторы из Z" по правилу
(Лр ка) *—» (Лр ij_p kt + 1, ki+l, ..., Лп).
Для изучения универсальных накрытий на базу накрытия необ-
ходимо наложить более сильные условия, чем линейная связность.
Введем следующие определения.
Определение 11. Топологическое пространство X называется ло-
кально линейно связным, если для каждой точки х G X существует
Рис. 108
база открытых линейно связных окрестностей. Если окрестности ба-
зы дополнительно обладают свойством односвязности, то простран-
ство называется локально односвязным.
Нетрудно привести Примеры локально линейно связных н ло-
кально односвязных пространств (например, евклидовы пространст-
ва Rn или многообразия). Локально односвязное пространство не
обязано быть односвязным — например окружность 5*. На рис. 107
изображено пространство («гребенка»), которое линейно связно, но
не обладает свойствами локальной линейной связности (а следова-
тельно, и локальной односвязности). Рис. 108, изображающий бес-
конечную последовательность окружностей радиусов 1/п,
п = 1, 2, ..., имеющих общую точку касания, иллюстрирует линей-
но связное и локально линейно связное, но не локально односвязное
пространство.
Однако для дальнейших построений достаточно предполагать вы-
полнение более слабого условия, чем локальная односвязность про-
странства. Это условие содержится в следующем определении.
Определение 12. Топологическое пространство X называется
полулокально односвязным, если для всякой точки х G X существу-
ет окрестность, в которой любые два пути с общими концами гомо-
топны по крайней мере во всем пространстве (или, эквивалентным
образом, в которой любая петля стягиваема по крайней мере во всем
пространстве).
308
Нетрудно видеть, что если пространство X локально линейно
связно и полулокально односвязно, то в каждой точке х £ X суще-
ствует база открытых линейно связных окрестностей, обладающих
тем свойством, что любые два пути с общими концами в окрестно-
сти из этой базы гомотопны во всем пространстве X.
Примером полулокально односвязного, но не локально односвяз-
ного пространства может служить конус над пространством, изобра-
женным на рис. 108.
Заметим еще, что связное и локально линейно связное простран-
ство является линейно связным.
Термин «универсальное накрытие» связан с тем, что односвязное
пространство, накрывающее В, является накрывающим пространст-
вом над любым другим пространством, накрывающим В. Более точ-
но, имеет место следующее утверждение.
Теорема 6. Пусть (Е, В, F, р ) — универсальное накрытие над
связным, локально линейно связным пространством В. Для любо-
го накрытия (Е, В, F, р) над В существует сюръективное отоб-
ражение f: Е-+ Е такое, что диаграмма
(4)
коммутативна. При этом отображение f является проекцией на-
крытия (Е, Е, F', /), слой F' которого — дискретное простран-
ство, находящееся в биективном соответствии с группой лДЕ).
Доказательство. Проведем его в несколько этапов.
1. Отображение / строится следующим образом. Пусть b0 Е В,
е0 Е p-l(Z>0) СЕ, е0 Е p~‘(Z>0) С Е. Построим отображение / как
поднятие отображения р: Е-* В, удовлетворяющее условию
/(ё0) = е0: Для произвольной точки х Е Е рассмотрим путь
у: 1-*Е с началом вей концом в х. Согласно лемме 1 существует
единственное поднятие £ : 1—* Е пути ру: 1 —* В, ^(0)6 = е0. Поло-
жим /(х) = !• (1). Поскольку пространство Е односвязно, отображе-
ние / определено корректно. Действительно, любые два пути, у, о>,
в Е из х в у гомотопны (с фиксированными концами), следователь-
но, гомотопны их проекции ру, ра> в В и поднятия последних
(с общим началом) в Е. Согласно лемме 2 £ и имеют об-
щий конец. Коммутативность диаграммы (4) очевидна.
Отображение / является непрерывным и, более того, локальным
гомеоморфизмом. Это легко увидеть для достаточно малых окрест-
ностей точек ё0 и е0, именно, листов Wa, W^, лежащих в Е, Е над
линейно связной координатной окрестностью V. Действительно, для
путей у, лежащих в окрестности Wa, получим = (Рр'ра)у, следо-
309
вательно, отображение /1 — Р$ YPa — локальный гомеоморфизм.
Чтобы убедиться в этом факте для любой пары точек
х & Е, у G Е, где /(%) = У, достаточно заметить, что х, у можно
принять за новые отмеченные точки ё0, е0, и отображение / при
этом не изменится (проверку этого предоставим читателю).
2. Покажем сюръективность /. Пусть у — произвольная точка из
Е, рассмотрим путь у: 7—* Е с началом в eQ и концом в у. Для пути
ру 7—» В существует единственное поднятие тц: 1—* Е с началом в
?0 и концом в некоторой точке х = ^(1). Тогда пути /т) и у имеют
общее начало и накрывают один и тот же путь ру в В. Поэтому
/т) (1) = у(1), т. е. /(%) = у, что и означает сюръективность /.
3. Покажем, что f:E^*E — проекция накрытия. Для произ-
вольной точки е G Е рассмотрим пересечение Q = t/ Г) У содержа-
щих точку р(е) координатных окрестностей U и V для накрытий
(Е, В, F, р) и (Е, В, F, р) соответственно. Окрестность Q является
координатной для обоих рассматриваемых накрытий; без ограниче-
ния общности ее можно считать линейно связной. Возникает комму-
тативна^ диаграмма
ри‘(£2)------L----► p-l(Q)
Q
В ней сужение отображения / на любой лист Wа из р ‘(Q) есть
гомеоморфизм
где Жр = f(Wa) — лист из p-1(Q).
Возьмем лист W$, содержащий некоторую точку е. Множество
тех листов Wa, из которых состоит прообраз / обозначим
F'p, Wa G Fp — это компоненты связности прообраза На-
делим множество F$ дискретной топологией. Определим отображе-
ние
формулой
%/(*) = (/(*)> с(*))>
р
где с(х) — содержащая точку /(х) компонента связности, играю-
щая роль «номера листа». Очевидно, — локальный гомеомор-
физм и биекция, а следовательно, — гомеоморфизм.
310
Тем самым для произвольной точки е е Е построены координат-
ная окрестность и координатный гомеоморфизм (коммута-
тивность соответствующей диаграммы очевидна). В силу замечания
об определении накрытия слой F& с точностью до биекции не зави-
сит от выбора точки е и координатной окрестности С Е.
4. Итак, f'.E-^E — накрытие. Поскольку оно универсально
(jij (£) = 0), его слой F’ находится в биективном соответствии с
группой лДВ).»
Следствие. Два любых универсальных накрытия, (Ev В,
F{, р{) и (Е2, В, F2, р2~), над связным, локально линейно связным
пространством В эквивалентны, т. е. существует гомеоморфизм
f: Е{ —» Е2 такой, что диагоамма
коммутативна.
Доказательство. Локальный гомеоморфизм, устанавливае-
мый теоремой 6, является биекцией в силу теоремы 4.в
Переходим к теореме существования универсального накрытия.
Теорема 7. Пусть X — связное, локально линейно связное,
полулокально односвязное пространство. Тогда существует уни-
версальное накрытие над X.
Доказательство. Заметим вначале, что если в базе накры-
тия гомотопируется с фиксированными концами некоторый путь, то
накрывающий путь также гомотопируется с фиксированными кон-
цами. Следовательно, точкам е односвязного накрывающего про-
странства биективно соответствуют гомотопические классы путей в
базе с началами в отмеченной точке х0 и с концами в проекциях
р(е) точек е. Это свойство позволяет «обратить конструкцию» и вос-
станавливать односвязное накрывающее пространство по гомотопи-
ческим классам путей базы.
Итак, пусть х0 — фиксированная точка в X. Рассмотрим некото-
рый гомотопический класс [ух] путей ух в X с началом в точке х0
и с концом в некоторой точке х G X. Множество Г(х) всех таких
классов при фиксированном х будет служить слоем над точкой х, а
объединение Е = U Г (х) всех слоев — пространством накрытия.
хбХ
Проекция р: Е—*Х определяется естественным образом: классу
[ух] проекция р сопоставляет точку х. Очевидно, что р-1(х) =
= Г(х).
311
В первую очередь построим топологию Е. Для каждой точ-
ки [ух] е Е зададим базу открытых окрестностей {□t/((yx])}
следующим образом. Пусть U — произвольная открытая линей-
но связная окрестность точки х. В качестве окрестности точки [ух]
возьмем QydYx]) — множество гомотопических классов {уу] Тех
путей уу из х0 в у G U, которые являются произведениями
уу = ух-ру некоторого пути из класса [ух] на путь из х в у,
лежащий в U; [уу] зависит лишь от [ух] и гомотопического клас-
са [ру] пути Окрестность ^([у*]) является «открытой», т. е.
окрестностью каждой своей точки: Qydyy]) = й1/([ух]), если
[yj е QyUvJ). Действительно, Уу = Уж'0у, У/^-УхЧР/Р;1). и
так как Р/Ру1 — петля в точке х, гомотопная постоянному пу-
ти, то ух~Уу'Ру1 (гомотопия с фиксированными концами). По-
скольку р~* = рх — путь в U из у в х, получаем Ух~Уу Рх- Если
теперь [yj е Й1/(|ух]), то У2 = У/0.~у/(Рх-02); если «е
ly2] е £2V([Уу]), то У2 = Уу*Р 2~УХ‘(Ру’Р =); отсюда делаем вывод о
совпадении окрестностей ^(/([у^.]), ^([Уу])• Проведенные рассуж-
дения иллюстрирует рис. 109.
Заметим, что в силу полулокальной односвязности пространства
X существует такая линейно связная открытая окрестность V точки
х, для которой гомотопический класс произведения уу — ух • ру не
зависит от выбора пути р из х в у. Ок-
X рестность V будет служить координат-
й у \ ной окрестностью конструируемого на-
/ ) крытия. Окрестности также образу-
7 ^*701 J ют базу окрестностей точки ух.
I У Теперь проверим непрерывность
Х^ отображения р. Для этого достаточно
убедиться, что p~*(Z7) открыто для вся-
Рис’ 109 кой линейно связной открытой окрест-
ности U точки х. Пусть [уу] G р~*((7).
Тогда [yj содержится в p~l(U) вместе с некоторой своей окрестно-
стью, именно, окрестностью Q^Qy^]), т. е. p~l(U) открыто.
Далее покажем, что р — локальный гомеоморфизм. Для этого
выберем «координатную окрестность» V точки х G X и окрестность
£2k(fyx]) некоторой фиксированной точки (yj слоя Г(х). Если
[Уу1 — произвольная точка из этой окрестности, то у = ух Ру, при-
чем всевозможные пути (из х в у в V) в силу полулокальной од-
носвязности попадают в единственный гомотопический класс [ру].
Следовательно, соответствие lyyJ*—»у, задающее отображение р:
Qy([ух]) -♦ V, биективно. Более того, отображение р| :
312
Qk([yx]) —* И — гомеоморфизм, так как оно непрерывно (как суже-
ние непрерывного отображения р: Е—*Х на открытое множество) и
открыто (так как р(£2и,([у ]) = W для любой «координатной окре-
стности» W С V точки у и [vy] е ^y((vxl)) (рис. ПО).
Таким образом, р — локальный гомеоморфизм между Е и X, при
этом для «координатной окрестности»
точки х G X имеем р~*(И) = U
авГ(х)
где при а=[ух] = Qk([yJ) и /«9о /о"р\\
р = n I : W„ ~* V — гомеоморфизмы; л I I
каждое Wa открыто в £ и линейно \ Jv J
связно. Более того, при at * а2 ------
W„ П W„ — 0. Действительно, в пред- Рис. 110
положении противного найдутся него-
мотопные пути ух, ух и путь уг, zG F, такие, что [у2] лежит в пере-
сечении окрестностей £2Д[ух]), ^([у*])- По предыдущему
уг ~ vl‘Pz> Vz ~ Vx'Pz (гомотопии с фиксированными концами). Так
как ~ р, в силу полу локальной односвязности X, то у2 ~ ух-рг,
у. ~ 7x’Pz> т- е- vl’Pz ~ Vx’Pz’ Умножив обе части последнего соот-
ношения на Р”1 и учитывая, что петля р, • Р?1 гомотопна постоянной,
получим ух ~ ух, в противоречии с исходным предположением.
Таким образом, р~1(У) распадается в объединение непересекаю-
щихся листов Wa, открытых, линейно связных в £ (и гомеоморф-
ных V), где а пробегает слой Г(х).
Теперь естественно определить координатный гомеоморфизм
Тг- Р-1(Ю Г(х), приняв за «координаты» точки [уу] G р~*(И)
«номер» листа W , которому она принадлежит, и точку у G V — про-
екцию точки Гу 1 при гомеоморфизме рп = : И7. —* V; таким об-
У I 1Га
разом, положим <рк([уу|) = (у, [ух]), если [уу | G Q^([yx|). Из вы-
шеизложенного очевидно, что определение отображения <рк коррект-
но. Остается показать, что <рк — гомеоморфизм открытого множества
р *(И) в Е и топологического произведения V х Г(х), где Г(х) рас-
сматривается с дискретной топологией.
Биективность <рк следует очевидным образом из вышеприведен-
ных построений. Непрерывность у>у следует из непрерывности двух
отображений, р:р-1(И)-»И, р( [ уу ]) = у, и qy: р-1(И)-»Г(х),
<7к([уу1) ~ участвующих в определении Непрерывность р
установлена ранее, а непрерывность qy следует из того, что qy ло-
313
кально постоянно (на каждом листе Wa = Qv([yx.J)). Непрерыв-
ность <f>yl является следствием дискретности топологии слоя Г (х) и
того, что ра: Wa-*V — гомеоморфизм. Действительно, базу откры-
тых окрестностей точки {уха} G КхГ(х) образуют множества
5(у)ха, где 5(у) С V — линейно связная открытая окрестность
точки у, и прообраз <p^'(5(y)xa) равен p~'(S(y)) — открытому
подмножеству в Wa.
Таким образом, — гомеоморфизм. Коммутативность диаграм-
мы, требуемой в определении координатного гомеоморфизма, оче-
видна.
Убедимся в линейной связности пространства Е. Для этого доста-
точно показать, что произвольную точку [7Х] из Е можно соединить
путем в Е с точкой [С ] — гомотопическим классом постоянного
хо
пути (в точке х0). Пусть ух'.1-*Х — представитель класса 17Х1 -
Определим путь 1—*Х при фиксированном л, 0^ 1, форму-
лой £s(z) = 7x(sZ). Сопоставляя числу s гомотопический класс
пути получаем отображение со: 1~>Е, удовлетворяющее услови-
ям со(О) = [Сх ], со(1) = [7Х]. Непрерывность отображения со легко
установливается на достаточно малых промежутках в [0, 1], образы
которых попадают в координатные окрестности С2к([7г]), где
z = yx(s). Следовательно, со — путь в Е с началом в [Сх ] и концом
в 17Х1, откуда следует линейная связность Е.
Итак, (Е, X, Г(х), р) — накрытие. Чтобы завершить доказа-
тельство теоремы, установим односвязность пространства Е. Рас-
смотрим петлю пространства Е в точке е0, где е0 — гомотопиче-
ский класс постоянного отображения Сх. Покажем, что петля
7 = /хр: /—* X (в точке х0) гомотопна постоянной. Заметим, что в
силу конструкции пространства Е для произвольного пути /—* X
с началом в х0 и его единственного накрывающего пути т]: I—* Е с
началом в е0 конец т](1) пути т] — это гомотопический класс пути
(в классе путей с фиксированными концами). Поскольку >р явля-
ется единственным путем с началом в е0, накрывающим путь 7, по-
лучаем ip(l) = [7] — [Сх ] = е0, т. е. пути 7 и Сх гомотопны с фик-
сированными концами, что и означает стягиваемость петли 7 = ру.
В силу того, что проекция р индуцирует мономорфизм фундамен-
тальных групп, петля <р также гомотопна постоянной.
Следовательно, лДЕ, ео)=0, что и завершает доказательство
теоремы.
Отметим, что условие (3) (л = 1)
/ДлДХ, Хо)) С р,(л1(£, е0)),
314
необходимое для поднятия отображения f-.X-*B, является доста-
точным для связного, локально линейно связного пространства X.
Конструкция поднятия в этом случае основана на поднятии путей
вида /а, где а — путь в А’ с началом в х0 и концом в произвольной
точке х. Корректность этой конструкции проверяется с помощью
свойства накрывающей гомотопии.
Связь между гомотопическими группами лн, п 2, пространства
и базы накрытия очень проста.
Теорема 8- Пусть р". Е-* В — накрытие. Тогда при п^2 гомо-
морфизм гомотопических групп
Р,ё ъп(Е)^лп(В),
индуцированный проекцией накрытия, является изоморфизмом.
Доказательство теоремы 8 мы разобьем на 3 несложных
утверждения, предложив их в качестве упражнений читателю.
Упражнения. 11°. Докажите, что если р-. Е-*В — накрытие,
X — односвязное, локально односвязное пространство (с отмечен-
ными точками eQ, Ьо, х0 соответственно, р(е0) = Ло), f-.X-^B —
отображение такое, что /(х0) = Ьо, то существует единственное
отображение F: X—» Е такое, что F(x^ = е0 и pF — f.
Указание. Для построения отображения F(x) рассмотрите
путь а в X, соединяющий х0 с х; затем постройте путь в Е, накры-
вающий путь fa в В, положите /Дх) = /а(1). Для доказательства
единственности F используйте односвязность X, для доказательства
непрерывности F — локальную односвязность X.
12°. Докажите, что если р: Е-* В — накрытие, то р);:
л(г(£) —»лп(5) при п>2 — эпиморфизм.
Указание. Покажите, что в силу результата упражнения 11°
всякий сфероид <p: (S'1, s0) —»(В, Z>0) можно накрыть сфероидом
Ф: (S'1, sq)^(E, е0).
13°. Докажите, что если р: Е—+В — накрытие, то р :
лп(£) -» лп(5) при п>2 — мономорфизм.
Указание. Покажите что в силу результата упражнения 11 °
всякую гомотопию ф: (5" X /, s0 X /) —» (5, Ло) сфероидов в В можно
накрыть гомотопией Ф: (5" X /, .sQ X /) —* (Е, е0) сфероидов в Е.
Из теоремы 8 и приведенного в § 4 гл. III результата
л1(5") = л2(£") = ... = лп_1(5") =0, лп(5") — Z (п 5 2) получаем
Следствие. Пусть п 2. Тогда jtt(RPn) = 0 при \<к<п и
nJRP”) Z.
Как уже было показано выше, лДЙР") — Z2 при п 5 2.
5. Разветвленные накрытия. В заключение этого параграфа остановимся на по-
нятии разветвленного накрытия. Примером разветвленного накрытия (как показывает
315
пример § 4 гл. I римановой поверхности функции ffl = Vz) может служить отобра-
жение z-сферы S2 в себя, задаваемое формулой /(z)=z2. Очевидно, четверка
(№\{0, оо), №\{0, оо}, Z2, /)
(где Z2 — двухточечное пространство с дискретной топологией) является накрытием.
Определение 13. Чектверка (Л/, М, Z„, р), где р: М-’М, называется разветв-
ленным накрытием, рели: 1) М и М — двумерные многообразия; Z„ — пространст-
во с дискретной топологией, состоящее из п точек; 2) для некоторого конечного мно-
жества ТС.М четверка (М\Т, М\р(Т), 7^, р) является n-листным накрытием; 3) для
всякой точки у£М и ее достаточно малой окрестности У (у), гомеоморфной диску,
компоненты связности множества р~'(У(у)) гомеоморфны диску.
Точки х&Т будем называть особыми точками разветвленного накрытия.
Упражнение 14°. Покажите, что риманова поверхность Р, определяемая алгеб-
раической функцией
«("-ЬаДх)»"-1 4-... +a„_|(z)tt> + a„(z)=0,
где a,(z), ( = 1, ..., и, — многочлены (см. § 4 гл. 1), является разветвленным накры-
тием (Р, S2, Z„, р). Укажите особые точки этого накрытия. При п = 2 сравните с ре-
зультатами § 4 гл. 1.
Рассмотрим гомеоморфную диску открытую окрестность V(р(х')). образа особой
точки х' такую, что для всех других особых точек х' из условия рСхОбИСрСх')) следует
р(х') = р(х'). Прообраз границы дИ(р(х')) этой окрестности распадается на несколько
замкнутых кривых — окружностей, ограничивающих связные компоненты множества
р”'(У(р(х1))), гомеоморфные открытым дискам. Пусть L/(x‘) — связная компонента
р-'(У(р(х'))), содержащая точку х‘. Степень отображения (см. § 4 гл. 111)
р| : а(/(х')-*аР(р(х'))
I W(x‘)
называется кратностью ветвления в точке х‘; мы будем обозначать ее Кратность
ветвления, очевидно, может быть определена и для точек, не являющихся особыми.
Если р ; £/(х') -♦ V(р(х">) — гомеоморфизм, то, очевидно, deg р = ± 1. В об-
I т/(х') Га(/(х‘)
щем случае имеется произвол в выборе образующих в Л;(д(/(х‘)) и л,(Э1/(р(х1))) и,
следовательно, в знаке kt. Однако в ряде случаев знак к, определяется естественным
образом. Так, для разветвленного накрытия (S2, S2, Z2, z2) кратности точек 0 и »
равны 2, а кратность любой другой точки равна 1. Для разветвленного накрытия
(S2, S2, Z2, z2) кратности точек 0 и оо равны -2, а кратность любой другой точки рав-
на -1.
Упражнение 15°. Подсчитайте кратность ветвления особых точек разветвленных
накрытий из упражнения 14°.
Установим следующую важную формулу:
Х(Л7) = п-Х(Л/)-^ (|Л,| — 1),
(5)
связывающую кратности ветвления особых точек с эйлеровыми характеристиками
пространства и базы. __
Будем считать пространства М и М компактными и триангулируемыми, т. е.
замкнутыми поверхностями. Для каждой особой точки х^Т выберем окрестность
У(р(х,)), как это было сделано выше. Рассмотрим теперь четверку
\ U VCx*), М \ (J У(р(х9), Z„, pj ,
где х' пробегает все множество Т. Очевидно это н-л истине накрытие (не разветвлен-
ное), пространство и базу которого можно считать триангулируемыми. Эти триангу-
ляции можно выбрать достаточно мелкими и согласованными, так что полные прооб-
316
разы вершины, ребра и треугольника из базы являются набором из п вершин, ребер
и треугольников соответственно. Поэтому выполняется равенство
ХрЙ \ U £/(*')) =n x^JW \ U V(p(x'))j . (6)
Пусть полный прообраз р~'(р(х‘У> состоит из т точек х\ х'\ ..., х’т. Тогда пол-
ный прообраз p~'(V(p(x'))) состоит из т дисков U(x‘). Поскольку граница dlf(x's)
отображается на дУ(р(х')) локально гомеоморфно со степенью kjt s —1, .... т, для
каждой точки уеЭУ(р(х')) множество р"‘(у) |~| dU(x') состоит в точности из |£ . |
точек. Следовательно, для каждой особой точки х' и точек хкеСр(х'У) имеем
£|<SI=H, (7)
s=l
а число т компонент связности множества р~‘ (1/ (р (х'))) удовлетворяет соотношению
п-^ <|Л,51 — 1)=—т. (8)
5 = 1
Заклеим пространство М \ (/(У) дисками (/(лЛ), лежащими над диском
У(р(х')). Обозначим полученное пространство через Л?'. Поскольку эйлерова харак-
теристика диска равна 1 и эйлерова характеристика его границы равна 0, получаем
Х(М')=хГ^\ U -
у i J 5=1
n w \ и ^))'| -xp \ U +"i=
5=1 I ii I iI
==Xp\ U +n-£ <|*,,| —П. (9)
I i J i=l
Последовательно приклеим новые диски, расположенные над остальными точками
р(.х‘)&М — проекциями особых точек х'еТ’СМ; тогда
Х(Й)-Х^Й\ J +l-n-^ <|*,| —1), (10)
где / — число различных образов р(х') особых точек х‘. Напомним, что
х(м\ U (/(%') j и Х(м\ (J y(p(x‘))j связаны равенством (6). Заметим теперь,
что
х(л/)=х^ \ U v<p(x'))j +/, (11)
поскольку М можно получить из М \ У(р(х')) приклеиванием / дисков. Таким
образом, из (6), (10) и (11) получаем
х(ло-п-х(м\ и v(p(x'))j(i*j — 1)=п-х(л/)—X (1*Л-1>-
Вспоминая выражение эйлеровой характеристики через род замкнутой поверх-
ности, из формулы (5) легко выразить сумму кратностей особых точек на М через
317
род М и род М. Например, в случае ориентируемых Л/ и Л/ рода р, р соответственно
имеем
У <|*,| — 1) =2(р+ п(1 — р) — 1).
Эта формула является комбинаторным аналогом известной в теории римановых
поверхностей формулы Римана-Гурвица.
Упражнение 16°. Сравните последнюю формулу, с формулой числа точек ветвле-
ния одной алгебраической функции, установленной в конце § 4 гл. I.
§10. Гладкая функция на многообразии
и клеточная структура многообразия (пример)
1. Пример функции на торе. Многообразие —это топологиче-
ское пространство, локально устроенное как евклидово пространст-
во. Однако в целом многообразие может быть устроено весьма слож-
но. Изучение свойств многообразий в целом
представляет значительные трудности. Как
‘ z различать недиффеоморфные, негомеоморф-
ные или гомотопически неэквивалентные
многообразия? Например, гомеоморфны ли
£ \ комплексное проективное пространство и
1. f у А сфера одной размерности? Наиболее грубой
к- I / J из перечисленных эквивалентностей являет-
V ся гомотопическая эквивалентность. Поэто-
МУ в первую очередь следует изучать гомо-
топический тип многообразия. Исключи-
тельно полезным орудием для исследования
гомотопического типа многообразия и реше-
ния многих других задач топологии многооб-
Рис- 111 разий является теория критических точек
гладких функций на многообразиях. Проил-
люстрируем этот метод на простейшем примере.
Рассмотрим двумерный тор М С R3, касающийся плоскости ху
(рис. 111). Рассмотрим функцию f на торе, значение которой в точ-
ке тора с координатами (х, у, z) равно z — высоте точки над пло-
скостью ху.
Упражнение Г. Убедитесь, что определенная таким образом
функция f является гладкой функцией на торе.
Обозначим точку касания тора и плоскости через р, а точки то-
ра, лежащие над ней на перпендикуляре к плоскости, — через q, г
и s в порядке возрастания высоты.
При изучении функций на многообразии будут использоваться
понятия лебегова множества (ф < с) — {х G X'. ф(х) < с} функции
ф: X-»R и множества уровня (ф = с) = {х G X: ф(х) = с} функ-
ции ф. Эти множества будут существенно использоваться при ана-
лизе функций на многообразии в § 12.
Очевидно, линия уровня (/ = с) функции f — z является пересе-
чением тора с плоскостью z = с. Множество точек тора, лежащих не
318
выше плоскости г = с, является множеством (/ ^ с); обозначим его
Мс. Множество Мс пусто при с < 0; при с — 0 Мс состоит из одной
точки — является нульмерным многообразием; при 0 < с < f(q)
Мс гомеоморфно плоскому замкнутому диску; при f(q) <с< f(r)
это множество гомеоморфно цилиндру; при /(г) < с < /(«) множе-
ство Мс есть тор со срезанной шапочкой (которая гомеоморфна от-
крытому плоскому диску); при c>/(s) Мс = М. Все эти случаи
изображены на рис. 112.
Упражнения. 2°. Опишите множества и М^г\
3°. Покажите, что при 0 < с </(s) и f(r) множество
Мс — двумерное многообразие с краем (/= с).
Геометрическая интуиция подсказывает, что множества, изобра-
женные на рис. 112, не только не гомеоморфны, но и гомотопически
не эквивалентны. Изменение гомотопического типа множества Мс
происходит, когда с проходит через значения функции / в выделен-
ных нами точках р, q, г, s. Изучим это изменение подробнее.
Очевидно, что множество Мс при 0 < с < f(q) гомотопически эк-
вивалентно нульмерному диску — точке (рис. 113), при с = f (q)
множество Мс гомотопически эквивалентно диску с приклеенной
дужкой (рис. 114). Далее, при f(q) < с < /(г) этот гомотопический
тип сохраняется (рис. 115). При с = /(г) множество Мс — цилиндр
со склеенными в одной точке краями, следовательно, Мс гомотопи-
чески эквивалентно цилиндру с приклеенной дужкой или диску с
двумя дужками (рис. 116). При f (г) < с < /(s) множество Мс—
тор со срезанной шапочкой; очевидно, что его гомотопический тип
тот же, что и в предыдущем случае (рис. 117). Наконец, при
с > /(s) множество Мс — весь тор, получающийся из предыдущего
типа приклеиванием срезанной шапочки, гомеоморфной плоскому
диску.
Таким образом, используя гладкую функцию /, мы «сконструи-
ровали» тор из дисков различной размерности путем последователь-
ной приклейки дисков и перехода к гомотопически эквивалентным
фигурам.
В дальнейшем будет показано, что любое гладкое многообразие
может быть получено таким образом.
2. Клеточный комплекс. Проанализируем операции приклейки
дисков в разобранном примере. Опишем точнее, что значит «при-
клеить диск».
Пусть X — хаусдорфово пространство и пусть Dn — замкнутый
диск радиуса 1 с центром в начале координат в пространстве R",
a Sn~l — его граница. Пусть g:Sn~l —*Х — непрерывное отобра-
жение. Результатом приклеивания к X диска D'1 по отображению
g является факторпространство XUgDn = (X U Dn)/R несвязного
319
с<0 0 < с </(<?) /(<?)< с</(r) /(r)<c</(s) O/(s)
Рис. 112
Рис. 113 Рис. 114
Рис. 115
Рис. 116
Рис. 117
320
(непересекающегося) объединения X и Dn по отношению эквива-
лентности R, при котором и ~ g(u), и G Sn~1.
Клеткой называют образ еп множества int D'1 в X U Dn относи-
g
тельно отображения факторизации.
Таким образом, диск приклеивается к X по границе с помощью
заданного непрерывного отображения g.
В случае п = 0 диск D° — точка, его граница — пустое множество;
результатом приклеивания D0 к X является несвязное объединение
X и D° — е° — пространство X с отдельно лежащей точкой. Другой
пример — приклеивание лиска Dn к диску D0 — дает сферу Sn.
Можно приклеивать диски последовательно один за другим, взяв
за начальное пространство клетку е°. При этом будем придержи-
ваться правила: приклеивать границу диска Dk к конечному множе-
ству клеток размерности не выше (£—1). Пространство, которое,
таким образом, можно представить как результат последовательного
приклеивания дисков (различных размерностей), называется кле-
точным комплексом.
Например, сфера S” является клеточным комплексом, состоящим
из двух клеток, е" и е°, где е" приклеена к по границе.
Приведем независимое от предыдущих рассмотрений и не ис-
пользующее последовательной приклейки клеток определение кле-
точного комплекса, эквивалентное данному выше.
Определение 1. Клеточным комплексом будем называть хаус-
дорфово пространство К, которое можно представить в виде объеди-
00 / \
нения (J I U е"\ попарно непересекающихся множеств е'1, назы-
п — 0 1 /Е/п I
ваемых клетками, причем для каждой клетки е" зафиксировано
отображение g”t Dn—>К замкнутого шара в пространство К, назы-
ваемое характеристическим отображением; ограничение g'} на
int Dn = Dn является гомеоморфизмом на-е'1. При этом должны быть
выполнены две аксиомы:
1) граница де’. = е’’\е'. каждой клетки е" содержится в объедине-
нии конечного числа клеток меньших размерностей;
2) топология К такова, что множество А С К замкнуто тогда и
только тогда, когда для каждой клетки е’. полный прообраз
(g’i)~l(A П е") С D” замкнут в D”.
Клеточный комплекс называется конечным, если он состоит из
конечного числа клеток.
Следует заметить, что пространство может быть разложено на
клетки различными способами. Схему разбиения клеточного комп-
лекса на клетки будем называть клеточным разбиением.
11 Ю. г. Борисович и др.
321
Упражнения. 4°. Покажите, что двумерный тор является клеточ-
ным комплексом.
5°. Покажите, что множества, гомотопически эквивалентные ле-
беговым множествам (/ sS с) в примере п. 1, изображенные на рис.
113—117 справа, являются клеточными комплексами, и сравните их
клеточные разбиения. Обратите внимание на изменение гомотопи-
ческого типа этих комплексов.
Рассмотрим замкнутое подпространство L клеточного комплекса
К. Если L — клеточный комплекс, все клетки которого являются
клетками комплекса К с теми же характеристическими отображе-
ниями, то L называется подкомплексом комплекса К.
Упражнения. 6°. Пусть К — клеточный комплекс, L — его под-
комплекс, X — топологическое пространство. Пусть отображения
F'.K-*X и /: Lx I—* X таковы, что /I = Е| . Покажите, что
~ I£Х0 I £
существует отображение F'.K'X.I-^X такое, что F — f и
Ll = F (теорема Борсука о продолжении гомотопии).
Iкхо „
Указание. Продолжите гомотопию на каждую О-мерную клет-
ку, затем на каждую 1-мерную и т. д.
7°. Пусть К — клеточный комплекс, L — его стягиваемый под-
комплекс. Покажите, что пространства К и KIL гомотопически эк-
вивалентны.
8°. Докажите, что всякий клеточный комплекс — нормальное
пространство.
Обратим внимание на то, что в разобранном примере п. 1 гомо-
топический тип множества Мс менялся при переходе через значе-
ния f^p), f(q), f(s)- Точки p, q, r, s отличаются от других то-
чек тора следующим: если в окрестности любой из этих точек, на-
пример, в точке р, выбрать локальную систему координат £, 1] на
торе, то обе частные производные, df/d^ и df/dт|, в точке р (или же
в q, г, s соответственно) обратятся в нуль. Такие точки называют
критическими точками функции /; значения функции в этих точ-
ках называют критическими значениями функции /.
Упражнение 9°. Используя в качестве локальных координат в ок-
рестностях точек р, q, г, s координаты плоскости х, у, покажите,
что df/dx — df/dy = 0 в любой из этих точек. Разложите в этих точ-
ках функцию в ряд по степеням х и у до членов второго порядка
включительно. Обратите внимание на то, что число минусов при
членах второй степени есть в точности размерность клетки, которую
нужно приклеить к Ма для перехода к Мь, когда между числами
а и b лежит критическое значение, соответствующее рассматривае-
мой критической точке.
§11. Невырожденная критическая точка и ее индекс
1. Невырожденные критические точки. Пусть Мп — многооб-
разие класса С” и /: М11—»R — функция класса С".
322
Точка р €= Мп называется критической точкой функции f, если
в локальных координатах х,, х имеет место равенство
Э//дХ\ = ... = df/dX" =0. Число f(p) называется критическим зна-
чением функции f. Все остальные точки многообразия М“ будем на-
зывать некритическими точками функции /. Все числа, не являю-
щиеся критическими значениями функции /, будем называть не-
критическими значениями этой функции.
Упражнение 1°. Сравните понятия критического и некритическо-
го значения функции с понятиями регулярного и нерегулярного зна-
чения гладкого отображения (см. § 5).
Критическая точка называется изолированной, если найдется та-
кая ее окрестность, в которой нет других критических точек. Кри-
тическая точка называется невырожденной, если матрица вторых
(^2 г \ I
; не вырождена. В противном
dxidxjу । р
случае критическая точка называется вырожденной.
Рассмотрим квадратичную форму (Ах, х), где х G R". Ее назы-
вают гессианом функции / в точке р. Матрица А симметричная;
квадратичная форма (Ах, х) может быть приведена к каноническо-
му виду
(Ах, х) = -у2 - у2 - ... - у2 + у2+1 + ... + y2h
подходящим выбором координат ур ..., yh, п; если матрица А не
вырождена, то h — п.
Число X называется индексом функции f в точке р, а число
(п — А) — степенью вырождения функции f в точке р.
Пример. Зададим функцию на R2 формулой f(x, у) =
= х3 — Зху2. Очевидно, частные производные
(х, у) = Зх2 - Зу2 и (х, у) = —бху
одновременно обращаются в нуль лишь в точке (0, 0), которая, та-
ким образом, является изолированной критической точкой. Все вто-
рые частные производные
йу> =6х’ (х-й <х' = “6х
равны нулю в точке (0, 0). Следовательно, матрица вторых частных
производных функции f в точке (0, 0) является нулевой, а гессиан
функции f в точке (0, 0) является квадратичной формой, тождест-
венно равной нулю. Значит, критическая точка (0, 0) является вы-
рожденной; степень вырождения / в точке (0, 0) равна двум, а ин-
декс f — нулю.
и*
323
Упражнения. 2°. Покажите корректность (независимость от вы-
бора системы локальных координат) определений критической точ-
ки, невырожденной критической точки, степени вырождения и ин-
декса функции в критической точке.
3°. Исследуйте критические точки следующих функций на R1
и R2:
а) /(х) = х2, б) /(х, у) = х3, в) /(х, у) = х2^;
исследуйте критические точки функции на торе (см. п. 1 § 10).
2. Лемма Морса. Замечательным фактом в теории критических
точек является то, что вблизи невырожденной критической точки
функция может быть представлена в виде квадратичной формы, и
поведение функции описывается ее индексом.
Теорема 1 (лемма Морса). Пусть f'. и пусть р — не-
вырожденная критическая точка функции f. Тогда в некоторой
окрестности U точки р существует такая локальная система
координат ур ..., уп, что у^р) = 0,1 = 1, ..., п, и в U справедли-
во тождество
=f(p) - yf- ... - у{ + у?+1 + ... + у2, (!)
где ур ..., уп — координаты точки и, а X — индекс функции f в
точке р.
Доказательство. Покажем, что если существует такая сис-
тема координат, в которой функция / имеет вид (1), то X — индекс
функции f в точке р. Действительно, если такая система координат
/ а2/ I
существует, то матрица частных производных т—г— имеет диа-
( y^jI I р
тональный вид. По диагонали стоят числа ± 2, и число отрицатель-
ных собственных значений, с одной стороны, равно числу X в пред-
ставлении (1), а с другой стороны, является по определению индек-
сом f в точке р.
Докажем теперь, что такое представление (1) для функции / су-
ществует. Пусть х,, ..., х — такая локальная система координат,
что точка р имеет координаты (0, ..., 0). В некоторой окрестности
U точки р можно применить лемму 1 -§ 1 к функции /(и) — f(p),
откуда получаем равенство
/(хр ..., х„) - /(0, ..., 0) = ^(х,, ..., х„),
причем
5/(0,...,0)=£-(0,...,0) = 0,
так как р — критическая точка /.
324
Применим снова лемму 1 § 1 к функциям gr Получим
«/(*!> х„) =2 xihij(xv •••> *„)>
7 = 1
и, следовательно,
/(хр х„) - /(0, 0) = х^ДДхр х„). (2)
л; = 1
Обозначим А.. = А. (h 4- h л тогда ht, = h:: и
1J 2. v * J J1' *• J J •
п
/(Хр х„)-/(0, 0) = 2 х^Д./хр хп).
1,7 = 1
Так как й;у(0, 0) = | (0, 0), то матрица (й/у(0, 0))
не вырождена. Таким образом, не ограничивая общности, можно счи-
тать в (2) матрицу (й^) симметрической.
Если бы функции й/у- были константами, то для доказательства
теоремы нам было бы достаточно привести квадратичную форму
/(Хр хп) к каноническому виду. В общем же случае рассужде-
ния приходится несколько изменить.
Для дальнейшего будет удобно дополнительно предполагать,
что (0, ..., 0) 0. Это предположение также не ограничивает
axf
общности, так как линейным изменением локальных координат
(изменением карты) всегда можно добиться этого. Действительно,
п
квадратичную форму У й(у(О, ..., 0)х/ху линейной невырожден-
1,7 = 1
ной заменой координат можно привести к виду, где элемент ее
матрицы ан^0. Сделав эту замену координат в формуле (2),
мы снова получим для / (в новых координатах х{, ..., х^) такое
же представление
II
/ОЛ —, О - /(о,..., 0) = у х;х;л;,(хр ..., х„),
1,7 = 1
но уже йр (0, ..., 0) 0.
Итак, считая, что йн(0, ..., 0) #= 0, можно записать (в некоторой
окрестности точки (0, ..., 0))
325
/(хр ...,х„)-/(0, ...,0) =
п п п
= S hiJXiXj = kHXl + 2 S hHXiXL + S hiJXiXj =
i,J = l i>l i,j>l
( п V
= sign ftll(0, 0) №1 + Z sign ft||(0. Д 0)v|Д„I x‘ -
n n
- |7ГТ S + 2 hijxixj =
i, J > I i, j > 1
= sign Лп(0, .... 0)у2{ + Ihtj - xiXj,
r ; >> i' '
где новая координата гладко зависит от хи ...» хп:
^=vimxp ...> *n)i ^+2 8ignft||(o,:..,o)Vi4l;(xl7T.xjr
Применяя теорему об обратном отображении (см, § 1), убедимся,
что преобразование (хр х2, ..., х„) >—»(ур х2, ..., хп) — диффеомор-
физм в окрестности точки (0, 0).
Заметим, далее, что матрица
('«-TSjJ-
невырождена в точке (0, ..., 0) и симметрична (проверьте!). Следо-
вательно, мы можем применить приведенное выше рассуждение к
функции
и так далее, как в классическом алгоритме Лагранжа приведения
квадратичной формы к каноническому виду. В результате приходим
к выражению вида (1) для функции /.
Упражнения. 4°. Докажите, что всякая невырожденная критиче-
ская точка является изолированной.
5°. Найдите представления (1), определяемые леммой Морса,
для функции высоты на торе (см. § 10) в критических точках.
6°. Докажите, что точки максимума и минимума гладкой функ-
ции на многообразии без края являются критическими. Вычислите
индексы в точках максимума и минимума, если известно, что эти
точки невырождены.
3. Поле градиента. Пусть Лх(и, г>) — риманова метрика на Мп.
Выберем для каждой точки х G Мп вектор ух е ТхМп так, чтобы
326
было выполнено следующее условие: для произвольного вектора
I G ТхМп справедливо равенство
= (3)
где (df')x(lx) — значение дифференциала функции f в точке х на
векторе 1Х.
Полученное поле ух называется полем градиента функции и
обозначают grad f(x).
Упражнения. Т. Покажите, что в локальных координатах поле
градиента имеет вид
grad /(х)
а/
л
где а'-'(х) — коэффициенты матрицы, обратной матрице («^(х))
формы Ах(и, и).
8°. Докажите, что для функции класса С” поле градиента —
гладкое векторное поле.
9°. Докажите, что grad /(х°) = 0 тогда и только тогда, когда
х° — критическая точка функции /.
§ 12. Критические точки
и гомотопический тип многообразия
В этом параграфе критические точки гладкой функции на многообразии будут
использоваться для изучения гомотопического типа многообразия. Основоположни-
ком этого подхода является М. Морс. Будет показано, что компактное многообразие
гомотопически эквивалентно клеточному комплек-
су. Детали доказательств (в ряде случаев достаточ-
но тонкие) будут опускаться.
1. Строение лебеговых множеств гладких
функций. Пусть М — компактное «-мерное С“-
многообразие, / — функция класса С” на М, все
критические точки которой невырожденны. Для
любого числа а множество (/ < а) является откры-
тым подмножеством в Л/, а следовательно, подмно-
гообразием в М. Предположим теперь, что а — не-
критическое значение / и /*‘(й)=0. Покажем,
что множество Л/“ = (/«ц) является многообразием
с краем (/ = «). Пусть иЕ/'Ча). По теореме о вы-
прямлении отображения (см. § 1) функцию / в не-
(х>ц)
(х«а)
которой окрестности точки и можно представить в локальных координатах как про-
екцию л пространства R" на прямую R1 (рис. 118). Прообразом точки а при этой
проекции является подпространство R'1-1, являющееся краем полупространства Rl. В
точках полупространства функция f принимает значения, не большие а. Это означа-
ет, что в М“ существует окрестность точки и, гомеоморфная полупространству.
Следовательно, Ма — (f «а) — «-мерное многообразие, край которого — (п — 1 )-
мерное многообразие (/ = ц).
327
2. Условия гомотопической эквивалентности лебеговых множеств. Пусть а
и b — некритические значения функции / и отрезок [а, Л] не содержит критических
значений. Будем сдвигать множества (/ = с) на множество (/ = а) по линиям, орто-
гональным многообразиям уровня (/ = с),а<с</> (рис. 119). Таким образом мы за-
даем деформацию <p*(f), аШЬ, многообразия Мь на многообразие Ма. Следователь-
но, М‘ является сильным деформационным ретрактом М\ откуда М‘ и Мь гомото-
пически эквивалентны.
Строгое доказательство существования отображения должно включать пост-
Рис. 119
роение линий, ортогональных многообразиям
уровня. Их можно определить как интегральные
кривые векторного поля Х(и), где вектор
Х(и)еТиЛ7 определяется из условия (Х(и),
h}—Q для всех heTu(f = с = /(и)), т. е. из усло-
вия ортогональности вектора Х(и) пространству,
касательному к многообразию уровня (/ = с).
Символ (,) обозначает циманову метрику, кото-
рая всегда существует на многообразии (см. § 6).
Чтобы подмногообразие уровня переходило в под-
многообразие уровня в любой момент t, опреде-
лим векторное поле Х(и) формулой
Х(и) — р(и) grad /(и),
где р(и) — гладкая функция на М, равная I/(grad /(u), grad /(и)) на МЬ\М“ и нулю
вне некоторой не содержащей критических точек окрестности Мь\Ма.
Деформация Мь на Ма может быть корректно определена и в том случае, если
а — критическое значение f.
3. Изменение гомотопического типа при переходе через критическое зна-
чение. Итак, гомотопический тип множества Мс не меняется, если число с, возрастая
(или убывая), не Переходит через критическое значение с0. Посмотрим теперь, что
происходит при таком переходе.
Следующее полезное утверждение предлагается доказать самостоятельно.
Упражнение Г. Докажите, что гладкая функция на компактном многообразии,
все критические точки которой невырожденны, имеет конечное число критических
точек и критических значений.
Рассмотрим критическое значение с0. Предположим, что ему соответствует един-
ственная критическая точка р, f(p)=c0. Выберем окрестность U точки р и локаль-
ные координаты, определяемые леммой Морса (см. § 11), где функция f представле-
на в этих координатах У,, .... У„ в виде
/(«)=c0-y?-...-yJ + yt, + ... + у*.
Выберем такое е, что множество [с0 —е, ;'оч-с] не содержит других критических зна-
чений и точка с локальными координатами (ур .... у„), y;;ss2e, принадлежит U.
Мы построим гладкую функцию /' на М, отличающуюся от f лишь в U, причем
множества (/«с0 + е) и (.F^c0 — е) окажутся гомотопически эквивалентными. Сделав
это, мы сравним множества (/«с0 —е) и (7?«с0 —е). Оказывается, это более удобно,
чем непосредственное сравнение множеств (/sc0 —е) и (/«с0 + е). Для построения
функции F потребуется гладкая функция р на R1, обладающая следующими свойст-
вами:
р(0) > е; р(х)=О при х > 2е; ~1<р'(х)«0 при -<»<х<<».
Вид графика функции р, удовлетворяющей этим свойствам, указан на рис. 120.
Упражнение 2°. Проведите пример функции р, обладающей указанными свойст-
вами.
328
Зададим гладкую функцию F формулами
F(v) —
/(v)
при V&U,
/(v/) — Н
при vei/.
Нетрудно убедиться в том, что критические точки функции
F совпадают с критическими точками функции f (хотя
/(₽)=#= Г(р)).
Критической точке р функции F соответствует критиче-
ское значение Г(р) =с0 —р.(0) < с0 —е. Поскольку в других
критических точках значения функции F совпадают со зна-
чениями функции f в этих точках, отрезок [с0 —е, с0 + е] не
содержит критических значений F. Поэтому множество
(F<ca — с) является сильным деформационным ретрактом
множества (Г< с0 + с). Но (F<c0 + с) = (/ <с0 + с). Следова-
тельно, (Р<с0 —с) является сильным деформационным ре-
трактом множества (/ <с0 + е). Итак, эти множества гомото-
пически эквивалентны.
Далее будем сравнивать гомотопические типы множеств (/«с0 —е) и (7?<с0 —е)
(вместо того, чтобы сравнивать гомотопические типы множеств (/<с0 —е) и
(/<с0 + е)). Обозначим через Н замыкание множества (Л«с0 —е)\(/<с0 —е). Рас-
смотрим клетку состоящую из точек ко-
ординаты у,, уп которых удовлетворяют усло-
виям
t = l г=Л+1
Клетка е‘ лежит внутри Н: она приклеена к мно-
жеству (/«с0 —с) по множеству тех точек и, для
а
которых У? = е. На рис. 121 изображена окре-
(=i
стность критической точки индекса 1 на двумер-
ном многообразии (например, точки q примера
из § 10); множество М ° =(.f « с0 — с) заштрихо-
вано, множество И заштриховано дважды, клетка
е‘ обозначена толстой линией.
Рис. 121
Зададим деформацию Г( множества (Р<с0— — е) = М° U Н на множество
М 0 J ? следующим образом: Г, — тождественное отображение на М 0 , а на ff
определено формулой
Г,(Ур У„) =
У,-tyM....1У„ при
У..-Ww-W. при е<
г = 1 «=А+1
где s, = t + (1 — О Л/ yf — el / у,г , 0 «t« 1. На рис. 122 эта деформация по-
U = 1 j г =
казана стрелками, 4 '
Упражнение 3°. Проверьте, что деформация Г, задана корректно.
329
Итак, множество (/<с0 —е) е" есть сильный деформационный ретракт мно-
жества (F<c0 —е), а следовательно, и множества (/<с0 + е) =М ° . Таким образом,
М имеет гомотопический тип множества М е\ т. е. множества Мс Е с опре-
деленным образом приклеенной клеткой * размерности, равной индексу критической
точки, соответствующей значению с0.
Мы рассмотрели случай, когда крити-
ческому значению функции отвечала един-
ственная критическая точка. Рассмотрим
общий случай.
Упражнение 4°. Постройте гладкую
функцию на двумерном многообразии, все
критические точки которой невырожден-
ны, такую, что одному критическому зна-
чению соответствует несколько критиче-
ских точек.
Пусть критическому значению с0 соот-
ветствуют к > 1 критических точек. Все
описанные выше конструкции можно про-
водить одновременно в окрестности каждой
критической точки. Множество Л/‘'о+с имеет
гомотопический тип множества М ° U
(J U U с’Хк< т- е- множества М °
с определенным образом приклеенными к нему клетками е\ причем размерность X,
равна индексу i-й критической точки, соответствующей с(|.
Пусть с' — наименьшее из критических значений, больших с0, и в е-окрестно-
стях с0 и с' нет других критических значений. Пусть значению с' соответствует к'
критических точек с индексами Х(...X' . Множество М ° (J е’' U ••• U гомо-
топически эквивалентно множеству М“ для с0«а<с'. В свою очередь, множество
Мс' гомотопически эквивалентно множеству Ма J?1 U ... U
Установим гомотопическую эквивалентность множеств Мс' и (М °
U ех' U ... U с*4) U С’Х' U ••• U Для этого продеформируем множество
(J е1' U U на множество
(мс°~‘ и ек’ и ... и и и ••• и А
используя построенную нами деформацию М‘ на М ° U <>>| U U
Упражнение 5°. Выясните, как будут приклеены клетки е\ ..., е*4 к множеству
м°1 U U U еЧ-
Подчеркнем, что приклеивание клетки на каждом этапе происходит не произ-
вольным, а строго определенным образом (с точностью до гомотопического класса
отображения сферы — границы клетки в соответствующее пространство). Поэтому
приклеивание клетки определяется элементом из гомотопической группы соответст-
вующего пространства; размерность этой группы равна уменьшенной на единицу раз-
мерности клетки.
* Здесь и ниже мы опускаем в записи отображения приклейки.
330
4. Гомотопический тип многообразия. Наметим построение клеточного комп-
лекса, гомотопически эквивалентного многообразию М, так, как это было сделано для
тора в § 10.
Пусть с\ — наименьшее из критических значений функции /. Очевидно, для
а < Ci множество (/<а) пусто. Поскольку С; — наименьшее критическое значение,
все критические точки, соответствующие С;, являются точками минимума; их ин-
дексы равны нулю. Множество состоит из конечного числа точек; его можно
считать результатом приклеивания к пустому множеству нескольких клеток размер-
ности 0.
Пусть с2 — следующее по величине критическое значение. При с, < с < с2 мно-
жество (/<с) получается «раздутием» точек из (/<с,); оно состоит из конечного
числа множеств, гомеоморфных /г-мерному диску, и гомотопически эквивалентно
множеству (/«с,). Множество (/<с2) гомотопически эквивалентно множеству
(/<с,1 с приклеенными к нему клетками различных (вообще говоря, любых от 0 до
и) размерностей, равных индексам критических точек, соответствующих с2; послед-
нее множество, очевидно, является клеточным комплексом.
Взяв следующие по величине критические значения с3, получим, что (/ < с3) го-
мотопически эквивалентно результату последовательного приклеивания к (/<Cj)
клеток, соответствующих критическим точкам, отвечающим критическому значению
с2, а затем клеток, соответствующих критическим точкам, отвечающим критическому
значению с3. Такое пространство можно сделать клеточным комплексом, подправив
отображения границ приклеиваемых клеток.
Упражнение 6°. Докажите, что каждое отображение сферы 5™ в клеточный ком-
плекс К гомотопно отображению сферы в подпространство К.т пространства К, сос-
тоящее из клеток размерности меньшей или равной т.
В общем случае множество Л/“ = (/<а) при <z>max /(ч) гомотопически эквива-
лентно пространству, являющемуся клеточным комплексом, полученному из пустого
множества последовательным приклеиванием клеток, соответствующих критическим
точкам с критическими значениями с,, в порядке возрастания — » < с,<а.
Отметим, что если с, — наибольшее критическое значение, то критические точ-
ки, Значение функции f в которых равно сг, являются точками максимума, и, сле-
довательно, их индексы равны размерности многообразия Л/.
Сформулируем окончательное утверждение.
Теорема 1. Каждая гладкая функция f на компактно..! многообразии М, име-
ющая лишь невырожденные критические точки, определяет гомотопическую экви-
валентность многообразия М с некоторым конечным клеточным комплексом,
клетки которого находятся во взаимно однозначном соответствии с критически-
ми точками функции f, причем размерность клетки равна индексу соответству-
ющей критической точки.
Остановимся теперь на существовании на компактном многообразии гладкой
функции, имеющей лишь невырожденные критические точки. Такую функцию мож-
но построить следующим образом. Рассмотрим вложение многообразия М в евклидо-
во пространство R' достаточно высокой размерности /. Определим функцию / фор-
мулой fi.p) = (.u — p, и — р), где (,) — скалярное произведение, и — фиксированный
вектор в R', a peltfcR'. Используя теорему Сарда (см. $ 5), можно показать, что
существует вектор ueR' такой, что функция f имеет лишь невырожденные критиче-
ские точки.
Этот результат позволяет сделать следующее важное утверждение.
Теорема 2. Всякое компактное гладкое многообразие имеет гомотопический
тип конечного клеточного комплекса.
Следует заметить, что теорема 1 не позволяет однозначно восстановить гомото-
пический тип многообразия по информации о критических точках функции. В об-
щем случае мы можем установить число клеток и их размерности, ио, вообще го-
воря, не способ приклейки этих клеток друг к другу. Таким образом, клеточный
комплекс в общем случае нельзя восстановить по информации о критических точ-
ках.
331
5. Понятие точной последовательности расслоения (дополнение к § 9). Изло-
женные в § 9 результаты о вычислении фундаментальной группы базы накрытия име-
ют глубокое обобщение на уровне локально тривиальных расслоений. Пусть
(Е, В, F, р) — локально тривиальное расслоение и <'о, Ьо — отмеченные точки в
F = р~' (Ьо), В соответственно. Отображения проекции р и вложения г. F-+E индуци-
Рп 'п
руют гомоморфизмы гомотопических групп: пл(Е, е0)—>лл(7?, 50), пл(Е, е0)—<?0),
п>1. Распространим эти отображения на случай п = 0, подразумевая под л.0(Е, е0),
л0(Е, е0), л0(В, 50) множества компонент линейной связности пространств F, Е, В.
Компоненту, содержащую отмеченную точку е0(60), назовем «нулевым» элементом 0.
Определим еще один гомоморфизм: д„: л„(В, t’o), п>1. Пусть
ip: (/", а/")-» (В, Ьо) — сфероид. По свойству накрывающей гомотопии существует для
Ф поднятие Ф: Г-*Е, так как 1п = 1п~'х1 и ip: 7’_|х/-»В — гомотопия отображения
ip0: /"-'xfO}-*В, которое накрывается отображением Фо:Х{0}—»«(,; при этом
рФ(ух{(}) =>р(ух{(}), ye/"-1, te/, и рФ(д/',_|х{(}) = <р(а/’’“'х{(})=/>0, откуда
Ф(а/")еВ. Итак, Ф: д/"—>/•’ является (п — 1)-мерным сфероидом, определяющим
класс аед,_|(Л ^о). Положим д„[>р]=а. Очевидна корректность этого определения
3„, п > 1; не сложно убедиться, что д„ — гомоморфизм. При п = 0 положим д0 = 0.
Гомотопической последовательностью локально тривиального расслоения
(Е, В, F, р) называется бесконечная слева последовательность
дп+1 *л-| г0 ео
... -» л„(Е, е0)-»л„(В, bJ->xa_}(F, е0) —... —л0(Л, 6о)-»О.
Она обладает важным свойством — в каждом члене последовательности образ «вхо-
дящего» гомоморфизма равен ядру «выходящего»: Im Эл+| =Кег in, 1т<л = Кегрл,
Im рл = Кегд„, и=0, 1, ... Это свойство называется «точностью» гомотопической по-
следовательности расслоения.
Пример 1. Рассмотрим накрытие р: R'-»S', р=егп" (см. пример 6 п. 4 § 9).
Слой накрытия — группа Z (с дискретной топологией). Очевидно, itj(Z) — Z, k> 1;
3tt(R’)=0, к>0.
Отсюда ... —»0—>0—»л4(3')—>0—►... —>0—>0—(S1)—►Z—>0—>0 — точная гомото-
пическая последовательность расслоения (R', S'Z, р). Следовательно, л, (S') =« Z,
3tt(S')=0, к>2.
П р и м е р 2. Расслоение Хопфа (S3, S2, S', л) (п. 1 § 9). Точная гомотопическая
последовательность имеет вид —>0—»Z—>л3(52)—>0—►0-»л2(52)—>Z—>0—»0, так как
n3(S') = л2(5') = л2(53) — Л|(53) = л,(52) = 0 (см. пример 1). Используя точность по-
следовательности, немедленно получаем л3(52) л2(52) Z.
Сводка гомотопических групп, приведенная в конце гл. III, получена подобным
образом с помощью точных гомотопических последовательностей для специальных
расслоений.
ОБЗОР РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Систематическими курсами по теории многообразий и расслоений являются [19,
24, 45, 47, 49, 50, 53, 56, 57, 60, 62, 67, 68, 71, 72, 80—83].
Наглядное изложение основных понятий теории многообразий и расслоений име-
ется в [14, 46].
Фундаментальный очерк развития идей современной топологии дан в [51].
Задачники по материалу гл. IV—[48, 52].
Сведения из анализа, используемые в гл. IV, имеются в [25, 37, 50].
Классификация одномерных и двумерных многообразий— [ 14, 27, 46, 62]. Клас-
сификация трехмерных и четырехмерных многообразий доступно изложена в [74,
75] (см. также [27]).
Теорема Сарда и теория степени гладких отображений—[19, 24, 46, 49, 53, 58,
60, 62, 67, 80].
332
Теоремы вложения многообразий—[45, 46, 49, 50, 56, 60, 62, 67, 80].
Теория групп Ли—[24, 55, 72, 74, 83].
Теория накрывающих пространств—[43, 66, 76].
Теория критических точек гладких функций на многообразиях —[44, 46, 57, 74,
75, 62].
Векторные поля на гладких многообразиях, динамические системы, гамильтонов
формализм—[7, 9, 24, 49, 53, 60, 67, 72, 74].
Глава V
Теория гомологий
В этой главе для всякого топологического пространства будут
определены группы гомологий. Идея построения групп гомологий,
как уже отмечалось, восходит к А. Пуанкаре. Полезная идея алгеб-
раизации топологических задач в историческом плане впервые была
реализована построением групп гомологий и фундаментальной
группы. Центральное положение теории гомологий сохраняется и до
настоящего времени. Во многих случаях топологические инвариан-
ты в конечном итоге выражают через группы гомологий и когомо-
логий. Это обстоятельство связано с лучшей вычислимостью групп
гомологий и когомологий, хотя их определение несколько сложнее,
чем определение, например, гомотопических групп.
§ 1. Вступительные замечания
Здесь мы проиллюстрируем ход рассуждений, приведший к появ-
лению понятия гомологий.
При изучении достаточно просто устроенных пространств геомет-
рическая интуиция часто помогает нам различать пространства, от-
личающиеся с топологической точки зрения, т. е. не гомеоморфные
одно другому. Как правило, нетрудно установить, гомеоморфны или
нет различные конкретные не слишком сложно устроенные подмно-
жества прямой, плоскости, трехмерного пространства (в индуциро-
ванных топологиях). Непосредственно из определения многообразия
следует, что многообразие X не может быть гомеоморфно простран-
ству У, не являющемуся С°-многообразием. Но при изучении много-
образий размерности большей, чем 1—2, геометрическая интуиция
оказывается недостаточно эффективной.
Чтобы различать негомеоморфные многообразия высокой раз-
мерности, можно опираться на следующее соображение. Пусть М",
— два n-мерных многообразия. Будем рассматривать в М",
компактные С°-подмногообразия.
335
Если в М" всякое 0-мерное подмногообразие (q < п) является
краем некоторого (0 + 1)-мерного подмногообразия в М", а в Л/g
имеется 0-мерное подмногообразие, не являющееся краем подмного-
Рис. 123
образия в Л/g, то многообразия М" и заведомо не гомеоморфны.
Так, любое 1-мерное подмногообразие (компактное) сферы S2 явля-
ется краем, в то время как в торе Т2 = S1 х S1 нетрудно указать ок-
ружности, не являющиеся краем никакого двумерного подмногооб-
разия в Т2 (рис. 123).
Если же подмногообразия, не являющиеся краями, имеются и в
Л/g, и в М^, то можно попытаться сравнить «количество» таких
многообразий в и М%. Рассмотрим множество {У^} всех 0-мер-
ных циклов, т. е. 0-мерных подмногообразий (без края) многообра-
зия М". Пусть W9+l — подмногообразие Л/" с краем, состоящим из
связных многообразий Уу, ..., У«, У? G {У«}. Будем говорить в этом
Рис. 124
случае, что цикл У? + ... + V4m гомологи-
чен нулю. Таким образом, в множестве
{У£} введено отношение эквивалентности:
два цикла эквивалентны (гомологичны),
если они различаются на гомологичный
нулю цикл; классы эквивалентности q-
мерных циклов назовем 0-мерными гомо-
логиями многообразия Мп.
Если найдется такое q, при котором q-
мерных гомологий многообразия М” боль-
ше, чем ^-мерных гомологий многообразия М%, то это означает, что
Л/g и М% не гомеоморфны.
В множестве {У£} введено понятие суммы двух непересекающих -
ся циклов, однако это не означает, что в нем введена структура
группы. Поэтому мы не можем пока считать, что гомологии образу-
ют группу. Наглядное определение гомологий, данное выше, одна-
ко, неудобно для вычислений. Более эффективно рассматривать
циклы (многообразия), составленные из некоторых элементарных
336
многообразий с краями. Покажем, как это можно сделать, на сле-
дующем примере.
Пусть П2 — поверхность тетраэдра (рис. 124); очевидно, П2 го-
меоморфна сфере S2. Будем рассматривать 0-мерные многообразия,
состоящие из вершин тетраэдра, 1-мерные многообразия, состоя-
щие из его ребер, и 2-мерные многообразия, состоящие из его гра-
ней, допуская наличие края у 1-мерных и 2-мерных многообразий;
операцию объединения двух многообразий естественно трактовать
как сумму. Для того чтобы использовать это замечание для алгеб-
раизации изучаемых объектов, рассмотрим группу формальных ли-
нейных комбинаций * с целочисленными коэффициентами вершин
(группа 0-мерных цепей), ребер (группа 1-мерных цепей) и гра-
ней (группа 2-мерных цепей). При этом для каждого ребра фик-
сируем порядок вершин (а‘, а-') и отождествим (—1)(<а', а') с
(а7, а1); для каждой грани фиксируем направление обхода вершин
(</', а\ ак), отождествим (— l)(<z‘, aj, ак) с (o', a1, ак).
Определим границу ребра (а', а7) как сумму а7 + (— 1)а‘, а гра-
ницу грани (a1, ai, ак) — как сумму ограничивающих эту грань ре-
бер (с тем направлением обхода, которое зафиксировано у грани),
т. е. (<z', aJ) + (а7, ак} + (ак, а‘~у, границу вершины положим рав-
ной нулю. Определенные таким образом операции взятия границы
продолжаются на группы цепей по линейности. Циклом назовем
цепь, граница которой равна нулю; цикл, таким образом, является
алгебраическим аналогом замкнутого многообразия (без края).
Поскольку нас интересуют гомологии — классы эквивалентных
циклов, отличающихся друг от друга на границу, будем рассматри-
вать смежные классы ^-мерных циклов по подгруппе границ
(q + 1)-мерных цепей (^ = 0, 1, 2). Эти смежные классы образуют
группу, называемую (/-мерной группой целочисленных гомологий
поверхности П2. Группы гомологий П2 нетрудно вычислить; они
изоморфны Z, 0 и Z для размерностей 0, 1 и 2 соответственно. Та-
кую конструкцию можно осуществить для более высоких размерно-
стей, используя разбиение на тетраэдры и их аналоги (симплексы).
Зная, каким образом данное пространство разбивается на симплек-
сы, можно вычислить его группы гомологий. На практике, однако,
редко пользуются для вычисления групп гомологий определением, а
применяют разнообразные технические приемы (точные последова-
тельности, спектральные последовательности и др.).
Группы гомологий являются топологическими инвариантами, т. е.
группы гомологий гомеоморфных пространств совпадают (изоморф-
ны). Другими примерами топологических инвариантов являются чис-
ло компонент связности (или линейной связности) пространства,
* Группой формальных линейных комбинаций элементов та из некоторого множе-
ства {та}аел с коэффициентами в абелевой группе G называют прямую сумму ®G„
а^А
групп Ga = {g-To}, geG, изоморфных G, где изоморфизм задается правилом g-ta^*g.
337
эйлерова характеристика, фундаментальная и гомотопическая груп-
пы (см. гл. III). Примечательно, что фундаментальная и гомотопиче-
ская группы тесно связаны с группами гомологий (см. § 4 этой гла-
вы) , а остальные упомянутые топологические инварианты могут быть
вычислены через группы гомологий (см. § 4 и 8 этой главы). Отметим
также, что группы гомологий на самом деле являются не только то-
пологическими, но и гомотопическими инвариантами в том смысле,
что группы гомологий гомотопически эквивалентных пространств
изоморфны. Заметим, что и другие названные выше инварианты яв-
ляются гомотопическими инвариантами.
В ряде случаев геометрическая интуиция помогает не только
различить негомеоморфные пространства, но и доказать их него-
меоморфность.
Упражнения. Г. Докажите (не используя группы гомологий) не-
гомеоморфность следующих пространств, изображаемых символами:
О, П, X, Р, Ы, 8.
2°. Является ли ориентируемость поверхности топологическим
инвариантом? Гомеоморфны ли S2 и RP2?
§ 2. Гомологии цепных комплексов
Начнем с изучения абстрактных алгебраических объектов.
Последовательность (бесконечная)
(1)
абелевых групп Ск и их гомоморфизмов дк, удовлетворяющих для
всякого условию дк-[дк = 0, называется цепным комплексом.
Его мы будем обозначать С,; группы Ск называются группами це-
пей, гомоморфизмы дк — дифференциалами или граничными гомо-
морфизмами.
Множество Кег дк = {с G Ск: дкс = 0} образует подгруппу в Ск,
называемую группой к-мерных циклов', ее элементы называются к-
мерными циклами. Множество Im д^+1 = {сб Ск: с = ЭЛ+1и} также
образует подгруппу в Ск, называемую группой к-мерных границ', ее
элементы называются к-мерными границами.
Гомоморфизмом <р. цепного комплекса С, в цепной комплекс
С,' называется последовательность гомоморфизмов (р^: Ск —» Ск та-
кая, что диаграмма
(2)
338
коммутативна, т. е. — дк<рк для любого к.
Введем одно из важнейших понятий алгебраической тополо-
гии — группы гомологий. Рассмотрим цепной комплекс С,. В силу
соотношения эЛЭЛ+1=О выполнено включение Im di+1 С Ker дк.
Факторгруппа группы циклов по группе границ Ker д*/1т д*+1 на-
зывается к-й группой гомологий комплекса С, и обозначается
Hk{Ct). Циклы ср с2 из одного класса смежности называются го-
мологичными, что обозначается с, ~ с2.
Пусть (р„: С,-* С' — гомоморфизм цепных комплексов. Из ком-
мутативности диаграммы (2) немедленно следует, что
<₽JKer с Кег дк и <pt(Im dt+1) С Im д'к+1.
Поэтому ф, индуцирует гомоморфизм групп гомологий:
^к.нк{с,)-^нк{с:у
Продолжим изучение цепных комплексов и их групп гомологий.
Пусть С, и С° — такие цепные комплексы, что группы С°к являются
подгруппами групп Ск и дифференциалы dQk комплекса С° получены
сужением дк на С®. В этом случае комплекс С? называется подкомп-
лексом комплекса С,. Определен гомоморфизм С°—»С, цепных
комплексов, где ik: Ck—*Ck есть мономорфизм вложения; z, назы-
вается мономорфизмом вложения цепных комплексов.
Рассмотрим последовательность факторгрупп Ск = Ск/С%. Гомо-
морфизмы дк индуцируют гомоморфизмы дк: Ск^-Ск_1.
Упражнение Г. Покажите, что группы Ск и гомоморфизмы 7)к
образуют цепной комплекс С,, а эпиморфизмы факторизации jk:
Ck—^Ck образуют гомоморфизм цепных комплексов С4-*С,
(эпиморфизм факторизации).
Последовательность
%
• • • ^к +1 ~* ^к ~* ^к-1 • • •
групп Ак и их гомоморфизмов -ф* называется точной, если для всех
к образ гомоморфизма трЛ+) совпадает с ядром гомоморфизма %,
т. е. Im ф*+1 = Ker
Упражнение 2°. Покажите, что последовательность
точна для всех к.
339
О последовательности цепных комплексов и их гомоморфизмов
(3)
где i. — вложение, j, — факторизация, говорят, что она точна.
Согласно общему определению можно построить группы гомоло-
гий факторкомплекса С,, т. е. группы Hk(Ct). Оказывается, что но-
вые группы связаны с группами Нк(С.) и Нк(С°) в некоторой точ-
ной последовательности.
Построим эту последовательность. Гомоморфизмы it и j, инду-
цируют гомоморфизмы
i.k: Hk(Cot)^Hk(C,), j.k. Нк^С.)^Нк(С,).
Получаем короткие последовательности:
я*(с.)----!^^.нк(с.)
(с.)—---' нк^с,)
Оказывается, существуют гомоморфизмы
объединяющие эти короткие последовательности в длинную точную
последовательность
*4+1 j-k
Нк+1(С.)^> Hk(C°t)^Hk(C,^ Нк(С,)—*...- Яо(С.)-О.(4)
Опишем построение гомоморфизмов Ьк. Рассмотрим последова-
тельность (3). Пусть а 6 Hk(Ct), к > 0, т. е. а — класс смежности
некоторого элемента а 6 Кег дк по подгруппе Im dk+i. В свою оче-
редь, а 6 Ск и его можно рассматривать как класс смежности неко-
торого элемента d 6 Ск по подгруппе С°. Из 0ла = 0 следует, что
dkd 6 а из дк_\дк = 0 — что dkd G Кег с\_г
Упражнение 3°. Покажите, что класс смежности [е>лс7]° элемента
dkd в не зависит от выбора элементов а и d из соответст-
вующих классов смежности.
Каждому элементу а из Нк(С,) мы сопоставили элемент
из Нк_{(С°), задав тем самым отображение, которое мы будем обоз-
начать
340
и называть связывающим гомоморфизмом.
Упражнение 4°. Покажите, что i>k действительно гомоморфизм.
Конструкцию^связывающего гомоморфизма можно дополнить,
положив д0: //0(С,)—*0.
Лемма 1. Последовательность (4) точна.
Доказательство сводится к прямой проверке соотношений
Im&A+1 = Keri,A, Im iik = Ker j,k, Im jtk = Ker Ьк
и предоставляется читателю.
Упражнение 5° (С. Ленг). Возьмите любую книгу по гомологической алгебре и
докажите все теоремы, не заглядывая в доказательства, данные в книге.
§ 3. Группы гомологий симплициальных комплексов
Применим алгебраическую технику, развитую в § 2, к построе-
нию групп гомологий геометрических объектов.
1. Симплициальные комплексы и полиэдры. Сначала дадим
необходимые определения.
Определение 1. Стандартным к-мерным симплексом ак, к 5 О,
называется выпуклое замыкание к + 1 точек в R* + 1 с координатами
(1, 0, 0, ..., О, 0), (0, 1, 0, ..., 0, 0), ..., (0, 0, ..., 0, 1), т. е. сово-
купность точек с координатами (/0, ..., tk~) таких, что Z(- 5 0 для всех
/ и 2 ?; = 1-
1=0
Определение 2. Симплексом размерности к или к-мерным сим-
плексом хк = (д°, а1, ..., ак) называется выпуклое замыкание
£ + 1 точек а°, ..., ак евклидова пространства R", к «£ п, находя-
щихся в общем положении (не лежащих в одной m-плоскости раз-
к
мерности, меньшей к"), т. е. совокупность точек вида х — где
1=0
к
для всех I,
1=0
Точки а' называются вершинами сиплекса (а°, ..., ак), а числа
tj — барицентрическими координатами точки х € (а0, ..., ак).
Естественно определяется понятие грани симплекса.
Определение 3. Гранью размерности s или s-мерной гранью к-
мерного симплекса хк, где 0 $ 5 *£ к, называется выпуклое замыка-
ние подмножества из .s + 1 вершин симплекса хк.
Грани размерности s < к симплекса хк размерности к будем на-
зывать собственными.
341
Очевидно, s-мерная грань симплекса является s-мерным симп-
лексом. В частности, симплексами являются грани стандартного
симплекса (и сам стандартный симплекс). Легко убедиться, что к-
мерный симплекс афинно гомеоморфен стандартному симплексу той
же размерности; внутренность (в несущей ^-плоскости) симплекса
хк можно рассматривать как частный случай ^-мерной клетки.
Таким образом, можно строить клеточные комплексы из симп-
лексов разной размерности. Наличие граней у симплекса позволяет
соединить симплексы более упорядоченным способом, чем клетки в
общем клеточном комплексе.
Определение 4. Симплициальным комплексом К называется мно-
жество {т*} симплексов в R", удовлетворяющее следующим услови-
ям: 1) вместе с каждым симплексом т* в К входит любая его грань;
2) два симплекса могут пересекаться лишь по их общей грани.
Симплициальный комплекс называется конечным, если он состо-
ит из конечного числа симплексов.
Рассмотрим теоретико-множественное объединение |Х| CR"
всех симплексов из К. Введем в множестве IК | топологию, силь-
нейшую из тех, в которых отображение вложения каждого симплек-
са в |Х| непрерывно. Другими словами, множество А С |х| замк-
нуто тогда и только тогда, когда А П хк замкнуто в т* для всякого
хк 6 К. Если симплициальный комплекс К конечен, то эта тополо-
гия совпадает с топологией, индуцированной метрикой R".
Определение 5. Пространство | Х| и, более общим образом, вся-
кое топологическое пространство X, гомеоморфное |Х|, называется
полиэдром.
Определение 6. Триангуляцией полиэдра X называют симплици-
альный комплекс К такой, что пространство | К | гомеоморфно X.
Примерами полиэдров являются замкнутые поверхности (см. § 4
гл. II). Их триангуляция задается разбиением поверхности на топо-
логические треугольники, их ребра и вершины.
Рассмотрим конечный симплициальный комплекс К. Фиксируем
в пространстве |Х| С R" метрику из R". Очевидно, существуют
различные триангуляции пространства |Х|. Пусть К' — некоторая
триангуляция | К |. Мелкостью триангуляции К' называют наи-
большую из длин входящих в К' одномерных симплексов.
Упражнения. 1°. Докажите, что полиэдр является: а) нормаль-
ным пространством; б) конечным клеточным комплексом.
2°. Докажите, что если К — конечный симплициальный комп-
лекс, то пространство |Х| является: а) компактным пространством;
б) конечным клеточным комплексом.
3°. Докажите, что симплициальный комплекс К конечен тогда и
только тогда, когда полиэдр |Х| компактен.
Всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, мы рассмат-
риваем конечные симплициальные комплексы и компактные поли-
342
эдры. Легко видеть, что компактный полиэдр является метризуемым
пространством.
Пусть X — полиэдр, К — симплициальный комплекс и ер:
— гомеоморфизм. Гомеоморфизм <р порождает разбиение
к
(триангуляцию) пространства X на множества = ф(т^), G К,
i
которые называют криволинейными симплексами; образы вершин
к
симплекса назовем вершинами криволинейного симплекса
i
Упражнения. 4°. Покажите, что симплициальными комплексами
являются: а) множество {т"} — совокупность симплекса т" и всех
его граней, | {тп} | = тп; б) множество {дт"} — совокупность собст-
венных граней симплекса тп, | {дт”} | совпадает с границей дх'1 мно-
жества т" в несущей и-плоскости. _
5°. Покажите, что замкнутый диск D'1 и сфера 5"-1 являются по-
лиэдрами, и задайте их разбиение на криволинейные симплексы.
Указание. Рассмотрите гомеоморфизм симплекса хп на Dn и
воспользуйтесь результатом предыдущего упражнения. Гомеомор-
физм можно задать так: рассмотрим симплекс т!! = (а0,
а1, ..., а") С R", где
а1 = (1, 0, 0, ..., О, 0), а2= (0, 1, 0, ..., 0, 0), ...,
а'1 = (0, 0, 0, ..., 0, 1),
а°= (-1, -1, -1, ..., -1, -1).
Пусть х G R" и хх^в. Положим Х(х) = sup | а | а-|щр G т''|. Тогда
для х G Dn определим отображение ф: D'l^xn так:
, . _ JO при х = 0,
— |х(х) • х при х 0.
Нетрудно убедиться в том, что ф — гомеоморфизм; требуемые раз-
биения на криволинейные симплексы задает обратный к нему.
2. Гомологии симплициальных комплексов и полиэдров. Со-
поставим теперь симплициальному комплексу К некоторый цепной
комплекс. Занумеруем вершины каждого симплекса rj G К числами
0, 1, ..., k в каком-либо порядке а'о, afi, ..., a't. Таких нумераций
будет (к + 1)! Две нумерации называют эквивалентными, если от
одной можно перейти к другой четным числом транспозиций номе-
ров. Множество всех нумераций распадается на два класса эквива-
лентности, один из которых обозначим At, другой А".
Определение 7. Симплекс т* с указанием одного из классов А+,
А~, т. е. одна из пар (хк, A+), (тк, А-), называется ориентирован-
ным симплексом, а соответствующий класс — его ориентацией.
343
Удобнее записывать ориентированный симплекс [т.1-, AtJ иначе,
а именно, задать какую-нибудь нумерацию а'о, а'*, а‘ь из класса
ориентации и обозначить так:
Л(+^ = £а'о, a'i, а'г, ..., a'tj ;
тогда
Лг^ = £a'i, а'о, а'г, ..., a'*j.
Определение 8. Группой к-мерных цепей Ск (К; G) симплици-
ального комплекса X с коэффициентами в абелевой группе G назы-
вается факторгруппа группы формальных линейных комбинаций
(конечных) вида g.- А^ , gt G G, А.. = А* или А;. = Аг, по
i
подгруппе элементов вида
g- Atj 4- g- (т*, A“j (Г)
и их линейных комбинаций.
Другими словами, мы отождествляем элементы g- (т*, Аг^,
—g- At^ в группе формальных линейных комбинаций ориенти-
рованных симплексов.
Дифференциал
a,: Ck(K-, G^C^K-, (?)
определим равенством
к
дк \g' [а'о, а1>, , «'*]) = 2 (“О7 g' 1а‘°’ •••,«'/ а'ж, a‘t] (2)
/=о
для каждого ориентированного симплекса и распространим на всю
группу Ск(К; G) по аддитивности. Для к = 0 положим д0:
С0(К; G)—>0.
Предложение 1. Для всех к 5 1 выполняется равенство
^-Л = 0.
Доказательство. Действительно, в сумму dk_ldk(g-[a‘o, ...
..., а'*]) входят одновременно слагаемые
(—1)р(—I)9-1#' [а'о, ..., a'p-i, a‘p+i, ..., а'ч-*, а‘ч+1, ..., a't]
и
(—1)р(—I)9#-[а'о, ..., a'p-i, а'р^, ..., а1ч->, а'ч+i, ..., а'*],
которые взаимно уничтожаются.
Итак, группы Ск(К; G) и дифференциалы дк образуют цепной
комплекс, обозначаемый С,(К; (7). В качестве G можно взять, на-
пример, группу Z целых чисел.
344
Определение 9. Группы гомологий цепного комплекса С,(К; G)
называются группами гомологий симплициального комплекса К с
коэффициентами в абелевой группе G и обозначаются Hk(K-, G).
Определение 10. Группами гомологий Hk(X~, G) полиэдра X с
коэффициентами в абелевой группе G называются группы гомоло-
гий триангуляции К полиэдра X с коэффициентами в G.
Корректность (независимость от выбора триангуляции) этого
определения доказывается технически сложно; мы отложим обсуж-
дение этих вопросов до § 5.
3. Вычисление гомологий конкретных полиэдров. Вычислим
группы гомологий Hk(xn; G) полиэдра т". Очевидно, для т° — про-
странства, состоящего из одной точки, имеем
С^({т0}; G) = Ker dk = Im dk = 0 при к > 0,
С0({т°}; G) = Ker ao^G.
Отсюда получаем группы гомологий
Hk (t°;G)=0 при к>0; Н()(х°; G) G. (3)
Перед вычислением Hk(xn; G) при п > 0 решим более общую задачу.
Рассмотрим симплициальный комплекс К, лежащий в гиперплоско-
сти Пт С Rm+1 и точку а G R'”+I\nm. Косинусом аК над комплексом
К с вершиной а будем называть совокупность симплексов, состоящую
из симплексов т* Е К, симплекса а и симплексов вида (а, т|), т. е.
таких симплексов (а, а'о, ..., а'*), что т* = (а'о, п'*) — некото-
рый симплекс из К.
Упражнение 6°. Покажите, что аК — симплициальный комп-
лекс.
Предложение 2. Пусть аК — косинус с вершиной а над симп-
лициальным комплексом К; тогда
Нк(аК; G) =0 при к > 0; HQ(aK; G) G. (4)
Доказательство. Рассмотрим произвольную 0-мерную цепь
g-а + Sfi‘ из С0(аК; G) = Кег д0; имеем
i
g a + 2 giai = fe + S + 2 (gi'at ~ gt'a^
l ( i J i
Ввиду равенства
2 (gi'ai ~ gt'o) =ai( £ a4)
345
произвольный цикл g-a + ^gj-a1 из Ker д0 гомологичен циклу
i
g'-a = #ij "a-> который при g' 0 не гомологичен нулю в
группе С0(аК; (7). Получаем изоморфизм Н0(аК\ G) — G.
Рассмотрим теперь произвольный ^-мерный цикл в Ck(aK, G)
= + еКег
/ /
где z G It> j G Ik-i, g[, hj G G и через [xf], [a, x|_| ] обозначены
ориентированные симплексы. Имеем
S S/ h*] ~ S (£f[x-l - ai+1(^-[a, х*])) = £ gj-[a-^-1].
i i i
Поэтому цикл zk гомологичен циклу
zk = n hj-la, ТГ'1 =S <gj + hj)-la, T*"1].
j j
В сумму dJ У hj-[a, x*-1] симплекс [x^_'] входит с коэффици-
\ j '
ентом hj (только один раз!). Поэтому У hj- [а, т*-1] — цикл тогда
j
и только тогда, когда hj — 0 для всех j.
Итак, мы установили, что в C,(aK; G) при к > 0 всякий цикл из
Ker dk гомологичен нулю в Ск(аК-, G). Следовательно, Нк(аК',
G) = О при к > 0.
Заметим, что комплекс {хп}, соответствующий симплексу
х" = (а0, ..., а"), является конусом а°{х"-1} с вершиной а° над ком-
плексом {хп-1}, соответствующим симплексу т"-1 = (а1, ..., а").
Поэтому из равенств (3) и (4) получаем группы гомологий и-мер-
ного симплекса:
Ик(хп-, G)^(° П₽И &
' 1G при к = 0
для всех п 0.
Перейдем к вычислению групп гомологий Нк(| {дтп} |; G) поли-
эдра | {ах"} |, триангуляция {ах"} которого состоит из всех собствен-
ных граней симплекса х". Рассмотрим случай п>1. Тогда при
к < п имеем С4({ахп}; G) = С4({х"}; G), и дифференциалы цепных
комплексов Ct({axn}; G) и С,({т*‘}; G) совпадают при к < п. Поэто-
му при к < п ~ 1
Hk({dx"}-,G)^Hk({x-};G). (6)
346
Очевидно, при к > п — 1
Нк{{дхп}-(?) =0. (7)
Поскольку Hn_v({xn}; G) =0, всякий цикл zn_l G Сп|({тп}; (7)
является границей дпЦг[тп]) цепи g-[r"] G С/(({ти}; G), а следова-
тельно, в комплексе С„({тп); G) имеем Ker дп_1 = Im — G. Диф-
ференциалы в комплексах С,({хп}; G) и Ct({dx'1}; G) совпадают на
группах цепей Сп_1({тп}; G) = Сп_1({ат'1}; (7). Значит, в
С,({дт"}; (?) группа Кег<9(1_| изоморфна группе G, в то время как
Im дп = дп(СГ1({дх'1}; G)) = 0; следовательно,
Hn_^{dxn}-G)^G. (8)
Итак, при п > 1 вычислены гомологии границы «-мерного симплек-
са:
г, ,, ,„ [0 при к 0, п — 1,
Нк( {дтп} ; G) =* I „ Z Л 1 W
’ 1G при к —0, п— 1.
Упражнение 7°. Докажите, что
’ ГЛ <10)
Остановимся на наглядной геометрической интерпретации групп
гомологий симплициального комплекса. Цикл из Ск(К; Z) является
набором Л-мерных симплексов из К, каждый из которых взят с не-
которой кратностью; этот набор замкнут в том смысле, что каждый
(к — 1)-мерный симплекс входит в границу Л-мерного цикла одина-
ковое число раз с противоположными ориентациями. Два ^-мерных
цикла эквивалентны (гомологичны), если их разность является гра-
ницей (£ +1)-мерной цепи, т. е. ограничивает некоторый набор
(к + 1)-мерных симплексов; группа Hk(\K\;Z) — группа классов
эквивалентности таких ^-мерных циклов. Грубо говоря,
Нк( | ; Z) состоит из тех замкнутых совокупностей ^-мерных сим-
плексов, которые нельзя «заклеить» совокупностями (к + ^-мер-
ных симплексов. Таким образом, интуитивно группа ; Z) со-
ответствует группе, порожденной (Л + 1)-мерными «дырками» в
пространстве |К |.
Определение И. Подкомплексом симплициального комплекса
называется подмножество L симплексов из К, являющееся симпли-
циальным комплексом.
Пусть L — подкомплекс симплициального комплекса К. Очевид-
но, С,(A; G) является подкомплексом цепного комплекса С,(К; G).
Поэтому определен факторкомплекс
L; G) = С.(К; G)/Ct(L\ G).
347
Обозначая группы гомологий этого цепного комплекса через
Нк(К, L; G), получим из точной последовательности цепных комп-
лексов
Л
0—C,(Z.; G)-*C,(K; G) — C,(K, L',G) — Q
длинную точную последовательность групп гомологий
\+i
Ц G)^Hk{L- G) —»
- Hk(K-, G) - Hk(К, L; G) - я4_, (L; G) -.. .
Она называется точной последовательностью пары (К, L), груп-
пы Нк(К, L; G) называются относительными группами гомологий
или группами гомологий пары (К, L).
Определение относительных групп гомологий полезно «расшиф-
ровать».
Поскольку цепь из Ck(K, L; G) есть смежный класс группы
Ск(К; G) по подгруппе ik(Ck(L; G)) Сk(L; G), в смежном классе
ук существует единственный представитель — цепь ук из Ск(К- G), в
которую с ненулевыми коэффициентами входят лишь те ориентиро-
ванные симплексы комплекса Ку которые не являются ориентирован-
ными симплексами подкомплекса L. Из определения граничного го-
моморфизма в факторкомплексе следует, что граничный гомомор-
физм дк: Ск(К, L; G) —» Ск_к(К, L; G) переводит цепь ук'ъ цепь
являющуюся смежным классом группы Ск_1(К; <7) по подгруппе
(7)) =* Ck_l(L; G) с представителем дкук G Ск_{(К, G).
Отбросим в цепи дкук все слагаемые gm[tm~I1 > для которых т*-1 —
симплекс из L. Полученная цепь Yt_p очевидно, принадлежит тому
же самому смежному классу yt_p что и цепь дк^к.
Ясно, что цепной комплекс С, {К, L; G) изоморфен следующему
цепному комплексу С,: цепи — это формальные линейные комби-
нации ориентированных симплексов (в смысле определения 8) из
K\L, граничный гомоморфизм сопоставляет £-мерной цепи уА цепь
размерности к — 1, получаемую вычислением на ук значения гра-
ничного гомоморфизма дк (в цепном комплексе С, (К; (7)) и отбра-
сыванием всех лишних слагаемых gm- [т*-1], для которых т*-1 при-
надлежит L. Поскольку изоморфизм цепных комплексов индуциру-
ет изоморфизм групп гомологий, то Нк(С,) — Нк(К, L~, G),
к = 0, 1, 2, ...
Таким образом, мы пришли к более наглядному определению
групп гомологий пары. Отметим, что цепи, циклы и границы комп-
лекса С. называются относительными (для пары {К, £)).
348
Теперь выясним геометрический смысл связывающего гомомор-
физма
Нк(К, Ц С).
Пусть hk G Нк(К, L; G) — класс гомологий относительного цикла
zk 6 Ск. Рассмотрим zk как цепь в С, (К; G) и вычислим в нем ее гра-
ницу дкгк. По определению относительного цикла в цепь dkzk после
приведения подобных войдут с ненулевыми коэффициентами лишь
ориентированные симплексы из L. Поэтому dkzk можно рассматри-
вать как цепь в С,(L; G). Без труда проверяется, что dkzk — цикл,
класс гомологий которого hk_} G Нк_у{Ц G) не зависит от выбора
представителя zk класса hk. Согласно общей конструкции связываю-
щего гомоморфизма (§ 2) t>khk = hk_i. Если относительный цикл
представлять себе как составленное из ^-мерных ориентированных
симплексов многообразие с краем, лежащим в L, то dkzk — именно
этот край с соответствующими ориентациями (к — 1)-мерных симп-
лексов.
Пример (рис. 125). Пусть симплициальный
комплекс состоит из симплексов
а°, а1,а2, а3,
(а0, а1), (о1, а2), (а2, а3), (а3, а0), (а1, а3),
(а0, а1, а3), (а1, а2, а3),
а его подкомплекс L состоит из тех же симплексов,
кроме
(а1, а3), (а0, а1, а3), (а1, а2, а3).
Рис. 125
Таким образом, — это прямоугольник (с «внутренностью»), а
|Е| — его граница. Очевидно, цепь у2 е С2(/Д Z),
72 = [а0, а1, а3] + [а1, а2, а3|,
является относительным циклом пары {К, L). Действительно, в ее
границу
д2У2 ~ 1а3> а°1 + [а°, а>1 + [а1, Я2! + [а2, а3]
входят с ненулевыми коэффициентами лишь ориентированные сим-
плексы из подкомплекса L. Цепь = [а1, а3] из Ct(K; Z) является
одновременно относительным циклом (проверьте!) и относительной
границей, так как может быть получена из
д2[а°, а1, а3] — [а1, а3] + [а3, а0] + [a°, а1]
отбрасыванием слагаемых [а3, а0] и [a0, a*j — ориентированных
симплексов из подкомплекса L. Нетрудно видеть, что относитель-
349
ный цикл у2 определяет образующую группы Н2(К, L\ Z). Связы-
вающий гомоморфизм d2: Н2(К, L\ Z) —Z) сопоставляет
этой образующей элемент (также образующий) группы Н^Ц Z),
состоящий из одного цикла д2у2-
Упражнения. 8°. Напишите точную последовательность пары
(К, L) для рассмотренного примера.
9°. Пусть L{ и L2 — подкомплексы симплициального комплекса
К. Докажите, что L} П Ь2 и L} U L2 — также подкомплексы комп-
лекса К, и установите точность последовательности
О^СДЛ, n L2, G} — C.(L}\ G) ф Ct(L2- G) — C,(L} П Л2; G)^0,
гДе h( S Si’ltfl) = Выведите отсюда
точную последовательность
U L2, G)^Hk(L{ П L2, G)-
— Я^; G) ф Я*(Л2; G) —ЯД^ U L2, G) —
-^.,(^6)-... (11)
называемую точной последовательностью Майера—Виеториса.
Точная последовательность (11) позволяет вычислять группы го-
мологий сложных симплициальных комплексов.
10°. Используя (5), (9), (10) и (11), вычислите группы гомоло-
гий комплекса, состоящего из симплексов размерности 0 и 1, изоб-
раженного на рис. 126.
\ / Указание. Рассмотрите комплекс как
\ / последовательное объединение подкомплек-
-1 у 71* сов.
А / 1Г. Покажите, что для ориентируемой
\ / поверхности М рода р имеем изоморфизм
Я2(Мр; Z) =* Z.
/\/\ Указание. Покажите, что любой 2-
У мерный цикл кратен циклу, равному сумме
Рис 126 всех криволинейных 2-симплексов триангу-
ляции Мр, взятых с согласованной ориента-
цией.
Отметим, что для любого линейно связного полиэдра X оказыва-
ется Я0(Х; G) ~ G. Действительно, если а — вершина триангуля-
ции К полиэдра X, то всякий цикл из С0(К; G) гомологичен циклу
вида g- а, не гомологичному нулю при g 0; для цикла вида
gta' такая гомологичность легко устанавливается с помощью по-
i
следовательностей одномерных симплексов, «ведущих» от точек а1 к
350
точке а. Более общим образом, для любого полиэдра X группа
HQ{X', G) изоморфна прямой сумме стольких экземпляров группы
G, сколько компонент связности имеет полиэдр (заметим, что для
полиэдров понятия связности и линейной связности эквивалентны,
т. е. связный полиэдр линейно связен).
Используя корректность определения групп гомологий полиэдра,
мы можем провести ряд интересных вычислений. Прежде всего за-
метим, что в силу определений 5, 6 группы гомологий гомеоморф-
ных полиэдров одинаковы (изоморфны).
Поэтому группы гомологий замкнутого «-мерного диска (и п-
мерного куба) совпадают с группами гомологий симплекса т", а
группы гомологий (« — 1)-мерной сферы (и границы «-мерного ку-
ба) совпадают с группами гомологий полиэдра | | — границы
симплекса (см. упр. 4°, 5° и формулы (5), (9), (10)).
С помощью точной последовательности (11) нетрудно вычис-
лить группы гомологий полиэдра С — S1 х [0; 1 | — цилиндра над
окружностью. Разрежем вдоль образующих отрезков /t и /2 ци-
линдр на два искривленных прямоугольника, и Р2, с общей
границей I { (J /2 и запишем точную последовательность (с коэф-
фициентами в Z)
0->С,(Л и /2; Z)->C.(Pi; Z) ф С.(Р2; Z)^C\(Pt U Р2; Z)-*0;
в группах гомологий получаем точную последовательность (Майе-
ра—Виеториса)
0^H2(/j U /2; Z)-»H2(Pt; Z) ф Я2(Р2; Z)—»
—»Н2(С; Z)->#,(/, U /2; Z)-»H1(P1; Z) ф
ф Я,(Р2; Z)->tf,(C; Z)->tf0(Z, U /2; Z)
^Я0(Р,; Z) ф Я0(Р2; 2)^Я0(С; Z)->0,
или
0^0 ф 0^-0 ф 0—»Я2(С; Z)^0 ф 0^0 ф 0->^(C; Z)^>
откуда следует, что Я2(С; Z) = 0 и //,(0; Z) Z.
Итак,
ЯДС; Z)
Теперь нетрудно вычислить группы гомологий тора Т2—5l xS1.
Разобьем тор на два искривленных цилиндра, С\ и С2, пересекаю-
щихся по основаниям 5} и 52. Получим точную последовательность
0^С.(5; U S|; Z)->C.(Cp Z) ф С.(С2; Z)^C.(7’2; Z)^0,
Z при i = 0, 1,
0 при z = 2.
351
в группах гомологий имеем точную последовательность
О—»Я2(5| U Si; X)—»Я2(Ср X) ф Я2(С2; X)-*
-*Я2(Г2; 2)-^Я1(5‘ U 5|; X)->^(Cp X) ф
ф Я!(С2; X)—»Я1(7’2; Х)^Я0(5| U S|; X)-*
^Я0(Ср X) ф Я0(С2; Х)^Я0(Г2; Х)^0;
поскольку тор Т2 линейно связен, то Н0(Т2-у X) X, а в силу
упражнения 1 Г Я2(Т’2; X) X, поэтому получаем точную последо-
вательность
О—*0—»0 ф Х-^Х ф Х^Я^Г2; X)
-^ХфХ^»ХфХ-*Х^»0,
откуда следует, что Я, (Г2; Z)^Z® Z. Итак,
Н^Т2; X) =*
0 при
X при
X ф X при
i> 2,
i = 0, 2,
z = 1.
Упражнения. ,12°. Покажите, что для ориентируемой поверх-
ности М рода р имеем
Я,(Л/р; X) ^Х ф ... ф X.
' 2р '
Указание. Рассмотрите М как результат приклеивания к
сфере 52 с 2р дырками р ручек («искривленных цилиндров») и при-
мените точную последовательность Майера—Виеториса.
13°. Покажите, что
Я,(ЙР2; X)
X,
Х2,
о,
Л = 0,
к= 1,
к> 1
и
AJRP2; Х2) |^2’
£ = 0,1, 2,
£>2.
Указание. Используйте симплициальное разбиение RP2.
14°. Покажите, что для неориентируемой поверхности Я рода д
Hk{Nq-^=^
X, £ = 0,
X ф ... ф X ф Х2, £= 1,
о,
к> 1.
352
15°. Покажите, что
4. Барицентрические подразделения. Симплициальные отоб-
ражения. Пусть хк = (а0, ак) — ^-мерный комплекс. Барицент-
ром симплекса ik называется точка с барицентрическими координа-
тами 1/(£ + 1), ..., 1/(к + 1). Обозначим эту точку £°. >•—.*; более
общим образом, обозначим через Ь‘о.‘р точку, барицентрические ко-
ординаты tt которой определены следующим образом:
1
р+Г
О
i=i0, .... ip,
в остальных случаях.
Для всевозможных наборов а'о, ..., а'р из р+ 1 вершин (0 р^ к)
соответствующие им точки 5'».являются барицентрами р-мерных
граней (а'о, ..., а'р) симплекса хк (0-мер-
ные грани — это вершины а1, а А-мерная
грань — сам симплекс ik). Рассмотрим
всевозможные симплексы вида
(5'с 'р, 5'°’ 'г • 'р-i, ..., 5'о’ 'i, Ь‘о),
0 р к.
Совокупность всех таких симплексов и их
граней образует симплициальный комп-
лекс, называемый барицентрическим под-
разделением симплекса хк (рис. 127). Рис 12у
Пусть к — симплициальный комплекс.
Барицентрические подразделения всех его симплексов образуют
симплициальный комплекс К', называемый барицентрическим под-
разделением комплекса К. Мы будем рассматривать также симпли-
циальные комплексы А?(2) = (К1)’, ... = (/С(г-|))'.
Операция барицентрического подразделения комплекса опреде-
ляет цепной гомоморфизм
2.: С. (К; G)^C.(K'; G).
12 Ю. Г. Борисович и др.
353
На вершинах а1 гомоморфизм Ео определяется формулой
^oCs-a1) = g-a‘, (12)
а на симплексах большей размерности он может быть определен ин-
дуктивно формальным соотношением
[аЧ ...Ч sp-idp(g- 1«Ч ^Ч)] , (13)
которое означает, что если выполняется равенство
-P-Idp(8' [ai°’ Sk-[<°, •••> <Г'],
/
то имеем
[аЧ - . а^]) =2^ - 4°, ?/-].
к
Затем Ер можно по линейности распространить на всю группу
Ср(К; G). Нетрудно проверить, что Е, — цепной гомоморфизм.
Наряду с Е,: С,(Х; G) -* С,(К1; G) естественно определены гомо-
морфизмы
Е<4 С,(К; G)^C,(KSr); G).
Пусть К и L — симплициальные комплексы. Отображение /:
K^L называется симплициальным, если образом каждого симплек-
са тк из К является некоторый симплекс из L и отображение /| к
линейно в барицентрических координатах:
/ роа'о + ... + tka‘^ — + ... + tkf(a1*).
Понятия барицентрического подразделения и симплициального
отображения имеют смысл и при рассмотрении полиэдров, состав-
ленных из криволинейных симплексов, поскольку барицентриче-
ские координаты могут быть перенесены на криволинейные симп-
лексы с помощью гомеоморфизма триангуляции.
Пусть /: | А"| -* |£| — симплициальное отображение. Определим
гомоморфизмы
7р: Ср(К; G)-+Cp(L; G)
следующим образом: для каждого симплекса ..., a‘pj G К поло-
жим
g- |/аЧ •••> , если (fa\ ..., fa1^ —
7 (#-Га'о а‘ 1) = симплекс размерности р;
р L ’ ’ -I 0, если (fa‘o, ..., fa1^ — симплекс раз-
мерности, меньшей чем р,
и распространим fp по линейности на Ср(К; G).
354
л Упражнения. 16°. Покажите, что совокупность гомоморфизмов
{f } является гомоморфизмом цепных Комплексов
Л: С,(К; G)—*C,(L', G)
и, следовательно, индуцирует гомоморфизмы
ftp:Hp{K- G)—*Ht(L', G).
17°. Покажите, что симплициальные отображения являются мор-
физмами категории, объектами которой являются сймплициальные
комплексы, а соответствие
К-^Нр(К; G),
f: K--+ftp: Нр(К; G)-*Hp(L; G)
является ковариантным функтором из описанной выше категории в
категорию абелевых групп.
18°. Покажите, что соответствие, сопоставляющее абелевой груп-
пе G группу гомологий Нр(К-, G) симплициального комплекса К с
коэффициентами в G, является ковариантным функтором из кате-
гории абелевых групп в эту же категорию.
§ 4. Сингулярная теория гомологий
1. Группы сингулярных гомологий. В этом параграфе будет по-
строен еще один функтор из категории гомотопических типов про-
странств в категорию абелевых групп — гомологический функтор.
Чтобы привлечь алгебраические конструкции § 2 для изучения то-
пологического пространства, необходимо разработать способы по-
строения цепных комплексов по заданному пространству X. В ал-
гебраической топологии имеется несколько таких приемов, предпо-
лагающих выполнение тех или иных свойств для пространства X;
изложим один из самых общих.
Сингулярным k-мерным симплексом топологического простран-
ства X называется непрерывное отображение fk: стандартно-
го симплекса ок в топологическое пространство X.
Пусть G — кольцо с единицей *, например кольцо целых чисел
Z. Формальная линейная комбинация g;./| сингулярных Л-мер-
i
ных симплексов пространства X с коэффициентами gi из G, лишь
конечное число которых отлично от нуля, называется к-мерной син-
гулярной цепью пространства X. Множество всех Л-мерных сингу-
* В качестве С можно было бы взять, как и в § 3, любую абелеву группу. Для
удобства изложения, однако, полезно иметь коэффициент 1 с тем, чтобы не писать его
вовсе (в § 3 мы не пользовались этим приемом).
12*
355
лярных цепей X с коэффициентами в G обозначается Csk{X’, G). Оно
является абелевой группой относительно сложения цепей как ли-
нейных комбинаций. Если G — Z, то группа Csk(X; Z) — свободная
абелева группа и ее образующими являются всевозможные сингу-
лярные ^-мерные симплексы.
Определим дифференциал
Q(X; G).
Для этого рассмотрим стандартные (Л — 1)- и ^-мерные симплексы
ст*-1 и ст*. Сопоставим точке
(t0, ti_l, tjt ..., 6 ок
точку
(t0, ..., 0, t(, .... Zt_j) e uk.
Это сопоставление определяет отображение Д*_|: ст*-1-» ст*, отоб-
ражающее ак~1 на г-ю (£ —1)-мерную грань симплекса ст*. Если
/* — ^-мерный сингулярный симплекс, то суперпозиция /*Д*-1,
очевидно, является (к — 1)-мерным сингулярным симплексом. Для
всякого симплекса /*, 1, положим
к
(=0
и определим гомоморфизм дк на всей группе Cj,(X; G) по линейно-
сти:
\ * / 1
Если к = 0, то естественно положить <)sof° = 0 и в согласии с пре-
дыдущим продолжить дц нулевым значением на Cq(X; G).
Упражнение Г. Проверьте, что дкдк+1 = 0.
Указание. Достаточно проверить это равенство на произволь-
ном симплексе fk+l.
Как видим, последовательность групп Ск(Х; G) и гомоморфизмов
дк образует цепной комплекс, который мы обозначим Cst(X; G). Он
называется сингулярным цепным комплексом пространства X.
Пусть <р: X —* У — непрерывное отображение. Для всякого Л-мер-
ного сингулярного симплекса /*: trk—»X пространства X суперпози-
ция <р/* является Л-мерным сингулярным симплексом пространства
У. Очевидно, <р индуцирует гомоморфизм <р*: Ск(Х', G) -» С^(У; G).
356
Упражнение 2°. Докажите, что система гомоморфизмов ук обра-
зует гомоморфизм цепных комплексов
<₽.: Q(X; С)->С?(У; G),
т. е. для к > 1 выполнены равенства дк<рк = ф^-^Д, где дк, дк —
дифференциалы комплексов С*(Х; G), СДУ; G).
Определение 1. Группы гомологий комплекса С,(Х, G) называ-
ются группами сингулярных гомологий пространства X с коэффи-
циентами в G; к-я группа гомологий обозначается Нк(Х', G), сово-
купность групп G)}ts0 обозначается ЯДХ; G).
Пример. Вычислим группы гомологий точки *. Очевидно, что
С£(*; G) — G, поскольку имеется лишь один сингулярный симплекс
fk: ак-** для всякого к. Значение дифференциала на нем при
к > 1 вычисляем по формуле
= 4 (-1у.Мд*-‘ = у г-1у-.М-‘ = J0 при нечетном k’
U М; 2Л О J при четном к.
1 = 0 1=0 1
Напомним, что дк = 0 при к = 0. Отсюда получаем, что если к
нечетно, то
1ш д'+1 = Q(*; G) = Ker д‘к G,
если же к четно и не равно нулю, то
Im ^1+1 = Ker dsk = 0.
Наконец, Im df = 0, Ker Sq =* 0; следовательно,
Я*(*; G) =* G; //)(*; G)^0, i > 0. ♦ C1)
Поскольку непрерывное отображение <p: X —» У индуцирует гомо-
морфизм ф,: СДХ; G)^»Cf(y; G) сингулярных цепных комплексов
пространств X и У, оно индуцирует гомоморфизмы групп сингуляр-
ных гомологий
^tk. Hsk(X; G)—*Hsk(Y; G).
Упражнения. 3°. Покажите, что если ф: X —» У, ф: У —» Z — не-
прерывные отображения, то (фф),* = ф,*ф,*. Покажите, что тожде-
ственному отображению X соответствует тождественное отображе-
ние групп гомологий, т. е. (1х)»*= ^н‘[х-,су Выведите отсюда, что
группы гомологий гомеоморфных пространств совпадают (теорема о
топологической инвариантности групп гомологий).
357
4°. Покажите, что постоянное отображение X —» У, т. е. отобра-
жение, переводящее X в точку у0 6 У, индуцирует тривиальный
(нулевой) гомоморфам в группах гомологий старших размерностей,
к> 0.
2. Свойства групп сингулярных гомологий. В п. 1 построен ко-
вариантный функтор, точнее, совокупность функторов И* —
= {Нк{-; G}ki0 из категории топологических пространств в катего-
рию абелевых групп. Изучим важнейшие свойства этого функтора.
Теорема 1. Пусть отображения у, яр: X—гомотопны. Тогда
индуцированные гомоморфизмы групп гомологий совпадают.
Докажем сначала следующее утверждение.
Лемма 1. Пусть В — выпуклое множество евклидова простран-
ства; тогда
Н[(В; G) Hs,(*; G). (2)
Доказательство. Пусть /*: <Ук —*В — сингулярный симп-
лекс. Определим сингулярный симплекс Dkfk: <yk + i-+B равенством
•••’ ^ + 1) =
= ^ + (1-/0)/*^-, при /0^1, (3)
w при t0 = 1,
где w — точка из В, a — барицентрические координаты точки из
ст*+1.
Продолжая Dk по линейности на всю группу Ck(B; G), получаем
гомоморфизм
Dk. Csk(B; G)^C^B; G).
Из равенства (3) следует, что гомоморфизмы Dk и дифферен-
циалы дк связаны соотношениями
^к + l^k = G) ~ &к-Л при к>0,
d’DJ0 = f°- h°,
где сингулярный симплекс h° отображает ст0 в точку w из В.
Пусть zk G Ker dsk, к > 0. Тогда в силу (4) имеем dk + ]Dkzk = zk,
откуда следует, что zk G lm д£ + 1. Таким образом, Нк{В; G) = 0 при
к > 0. Аналогично, 0-мерный цикл /° гомологичен циклу /г°, следо-
вательно, HSQ(B; G) — G.
Конструкция, использованная в доказательстве леммы 1, весьма
полезна. Дадим следующее определение.
358
Пусть С,, С,' — цепные комплексы, ф,, ip,: С, —» С,' — гомомор-
физмы. Цепной гомотопией, связывающей ф, с ф„, называется
система гомоморфизмов {Dk},
Dk- <~к ~* Ск + О
такая, что выполняется соотношение
dk + iDk + Dk-idk = Vk-4>k’ (5)
Гомоморфизмы этого соотношения показаны на следующей диаг-
рамме:
Гомоморфизмы ф, и ф, называются ценно гомотопными. Если
{Dk} — цепная гомотопия, связывающая ф, и ф., то для
zk €= Ker дк имеем
(% ~ = d’+lDkzk e Im O’+l.
Отсюда следует, что гомоморфизмы групп гомологий, индуцируе-
мые цепными гомоморфизмами ф, м ф,, совпадают.
Упражнение 5°. Пусть цепные гомоморфизмы ф,, ф,: С,—» С,' и
системы гомоморфизмов {£>}}, {£>*}, D'k: Ck~+ Ск + 1, i = 1, 2, таковы,
что dk + lD‘k + = фЛ — фг Покажите, что гомоморфизмы групп
гомологий, индуцируемые гомоморфизмами ф, и ф,, совпадают.
Покажем, что гомотопные отображения топологических про-
странств индуцируют цепно гомотопные гомоморфизмы цепных
комплексов. Для этого применим следующую конструкцию. Пусть
X — топологическое пространство, X X 1 — цилиндр над ним; отоб-
ражения ах, рх: Х^Хх!, определенные формулами
ах(х) = (х, 0), рх(х) = (х, 1),
естественно называть нижним и верхним основаниями цилиндра.
Очевидно, ах и (3х гомотопны.
Лемма 2. Для всякого пространства X существует цепная го-
мотопия {£>х}, связывающая ах с (3х, т. е.
Доказательство. Построим цепную гомотопию {D*'-
С^(Х; G) —* Gsk + i(X х /, G)} индукцией по к.
359
Для Л = 0 положим D* f° = f° х 1р где сингулярный симплекс
/° х 1 j определен формулой
и распространим на Cg(X; G) по линейности.
Для к > 0 предположим, что гомоморфизмы D* уже определены
при т < к для любого X и функториальны.
Рассмотрим цепь
е С|(ст* х /; G), ск = ₽°‘(1?) - af (1О*) - !<,*),
где 1а‘ рассматривается как сингулярный симплекс. По индуктивно-
му предположению
^4 = (pf- “ «f-i - W‘-i) ^(М) = = 0;
следовательно, ск G Кег дк С Ск(ак X /; G). Но ст*: х I — выпуклое
подмножество евклидова пространства; по лемме 1 Нк(ок х /;
G) = 0. Поэтому ск G Im дк+1, т. е. существует цепь uk+i G
е Csk+i(vk х G) такая, что dsk+luk+l = ск.
Положим D°k (la*) = uk+i. Пусть теперь /*: ст*-»Х — сингуляр-
ный симплекс пространства X. Определим цепь Dkfk равенством
D^fk = (fk х I,* = (fk X 1 ,)k + luk + „
где (fkx l/)(x, t) — (/*(x), t), x G ak, t & I. Так как fk и дк пере-
становочны, а £>f_| функториальны, получаем
^Sk.+l^kfk = dk+l(fk Х 1 l)k+iuk.+l ~
= (fk х 1 t)kdk+1uk+l = (fk х =
= (fk * (₽?‘ - af - (lo0 =
Продолжая Dk по линейности на C£(X; G), получаем требуемый
гомоморфизм Dk.
Подчеркнем, что конструкция {Dk} функториальна, т. е. для
всякого непрерывного отображения <p: X —* У коммутативна следую-
щая диаграмма:
Gsk(X-, G)—^C‘k+l(XxI-, G)
Ч>*
4 i
q(r; g)—>-q+l(xx/; g)
360
Доказательство теоремы 1. Пусть F: X х 7—» Y — гомо-
топия, соединяющая <р и ф. Определим цепную гомотопию
{Dkt Csk(X; G) —* C^+l(Y; G)}, связывающую ф„ с ф4 как суперпози-
ции {Dk = Fk+iD%} гомоморфизмов последовательности
о*
Q(X; G)^q+1(Xx/; О)^С* + 1(У; G).
Утверждение теоремы следует из того, что ценно гомотопные гомо-
морфизмы цепных комплексов индуцируют одинаковые гомомор-
физмы групп гомологий.
Следствие. Гомотопическая эквивалентность индуцирует изо-
морфизм групп гомологий.
Таким образом, гомотопически эквивалентные пространства, в
частности гомеоморфные, имеют одинаковые (изоморфные) группы
гомологий.
Упражнения. 6°. Покажите, что если X — стягиваемое простран-
ство, то HSO(X- G) G, Hsk(X; G) = 0 при к > 0.
7°. Покажите, что для гомологий несвязного объединения
X U Y имеет место изоморфизм
Hsk{X Hsk(X-, G) Ф Hsk(Y; G).
Покажите, что HSO(S°; G) G ф G, Hsk{S°\ G) = 0 при к > 0.
8°. Покажите, что если X и Y линейно связны (см. § 10 гл. П),
то HSQ(X-, G) — G — HSO(Y; G) и любое непрерывное отображение «р:
X —» Y индуцирует изоморфизм
Ф.о: Н^Х- G) H^Y-, G).
Отметим, что результат упражнения 6 нам дает группы гомоло-
гий открытого и замкнутого дисков £>", £>".
Пусть пространство X таково, что в нем каждая компонента
связности линейно связна (такими пространствами являются поли-
эдры, клеточные комплексы, многообразия, многообразия с краями
и др.). Тогда из упражнений 7° и 8° немедленно следует, что группа
Hq(X; G) изоморфна прямой сумме стольких экземпляров группы
G, сколько компонент (линейной) связности имеет пространство X.
Пусть XQ — пространство X, i: Хо~+Х — отображение вложе-
ния. Положив
С^Х, Хо: G) = Csk(X; G)/Csk(X0; G),
имеем в силу § 2 точную последовательность цепных комплексов
J.
0-*Cs,(Xo; G^ — C^X-, G)-+ С^Х, Хо\ G)-»0.
361
Группы гомологий комплекса CS,(X, XQ-, G) называются группами
сингулярных гомологий пары {X, Хо) и обозначаются
H'(X,Xa;G) = Уо; G)}^0.
Из леммы § 2 немедленно вытекает точность гомологической по-
следовательности
Хо; С)-Я^(Х0; G) -
Л* б*
^ЩХ; G)-*Hk(X, хо; G)^...^H°Q(X, XQ; G)-0. (7)
Точные гомологические последовательности являются основным ра-
бочим аппаратом теории гомологий.
Дадим следующее более наглядное описание групп гомологий па-
ры, вытекающее из введенных выше определений. Пусть в цепи
7 = ^£(’/* приведены подобные слагаемые, т. е. все сингулярные
/
симплексы попарно различны и все коэффициенты gt отличны от
0; носителем цепи у назовем подмножество пространства X, равное
объединению образов всех отображений /|, входящих в у с ненуле-
выми коэффициентами. Согласно определению факторкомплекса
(см. § 2) элемент zk ядра Кег дк граничного гомоморфизма дк:
Ск(Х, Хо; G) —» Ck_i(X, XQ; G) является смежным классом, состоя-
щим из всех таких цепей в Ск(Х, Хо; G), что: 1) два различных
представителя элемента zk отличаются (гк — смежный класс!) на
слагаемое из 1кСк(Х0; G) С Ск(Х; G), т. е. на цепь с носителем в
подпространстве Хо (ik — цепной гомоморфизм в размерности к,
индуцированный вложением г.Х0~*Х)', 2) носитель границы dskzk
любого представителя zk элемента zk содержится в XQ (zk — цикл
«по модулю Хо»). Аналогично, элемент Ьк образа гомоморфизма
dk+i является смежным классом, состоящим из всех таких цепей
Ьк в Csk(X; G), что: 1) два представителя различаются на цепь с но-
сителем в Хо; 2) каждый представитель Ьк смежного класса Ьк мож-
но записать в виде d^+1yi + 1 + у£, где уА+1 — некоторая цепь из
С^+1(Х; G), а у^ — некоторая (любая) цепь с носителем в Хо. Та-
ким образом, элементы групп гомологий — это относительные («по
модулю подпространства Хо») циклы zk, рассматриваемые с точно-
стью до относительных («по модулю Л"о») границ Ьк. На рис. 128
приведен пример двумерного относительного цикла.
Связывающий гомоморфизм &к сопоставляет элементу hk из груп-
пы гомологий пары Hsk(X, Хо; G) элемент hk_t из группы гомологий
362
Hsk(X0; G) подпространства XQ по следующему правилу, вытекаю-
щему из определения связывающего гомоморфизма для цепных
комплексов (см. конец § 2). Пусть относительный цикл
zk <= Csk(X, Хо; G) — представитель эле-
мента hk, а цикл zk е Ск(Х; G) — предста-
витель элемента zk, рассматриваемого как
смежный класс. Рассмотрим цепь
dskzk е C^_j(X; G). Ясно, что: 1) носитель
цепи dskzk содержится в Хо, и поэтому цепь
dkzk можно считать цепью из Q_!(X0; G);
2) поскольку = 0, то цепь dkzk яв-
ляется циклом в СЦХ0; G). Цикл dsuzk, во-
обще говоря, не является границей в Cf(X0; G), так как zk может не
принадлежать ikCk(X0;,G) — Ск(Х0; G) — носитель цепи zk может
не лежать в Хо. Класс гомологий hk_t цикла dkzk в Hsk_l(X0; G) и яв-
ляется образом dkhk класса гомологий hk. Очевидно, что произвол в
выборе представителей zk и zk приводит лишь к тому, что для двух
различных цепей, ик и vk, определяющих один и тот же класс hk, раз-
ность дкик -- dkvk является границей в СЦХ0; G), а не только в
СЦ.Х; G). Поэтому класс гомологий hk_t определен корректно.
Упражнения. 9°. Пусть * — точка из X. Покажите, что
Hsk(X; G) =* ffsk(X, *; G) при к > 1.
10°. Пусть вложение i: XQ~*Х является гомотопической эквива-
лентностью. Покажите, что Нк(Х, XQ-, G) = 0 для всех к.
Отметим, что для сингулярных гомологий утверждение о точности последователь-
ности Майера-Виеториса (см. § 3), вообще говоря, неверно (почему? Попытайтесь
построить контрпример.) Однако при дополнительных предположениях эта последо-
вательность точна. Например, если К, и Кг — подкомплексы сиплициального комп-
лекса К, то для сингулярных гомологий пространств |Х, | и |Х2| имеет место точная
последовательность Майера-Виеториса.
Для развития приложений сингулярных гомологий (см. § 6) нам
потребуется умение измельчать сингулярные симплексы. Точная
формулировка нужного результата дана ниже в упр. 12°. Устано-
вить этот результат можно с помощью барицентрического подразде-
ления сингулярных симплексов.
Рассмотрим барицентрическое подразделение стандартного симп-
лекса ак. Будем обозначать через (с'о, c'i, ..., с',) композицию ли-
нейного (в барицентрических координатах) отображения стандарт-
ного симплекса на симплекс (с'о, c'i, ..., с'«) из барицентрическо-
363
го подразделения ст*, переводящего j-ю вершину стандартного сим-
плекса в j-ю вершину с1/ из набора {с‘о, с'ц с'«}, и отображения
вложения симплекса (с'о, с1>, с'«) в симплекс ак.
Отметим, что тождественное отображение 1О* симплекса ак мож-
но рассматривать как элемент группы Ск(ак; G), граница которого
к
имеет вид d£la» = JT (—(см. п. 1).
/=о
Пусть теперь X — произвольное топологическое пространство.
Определим гомоморфизмы
Qk: Ск(Х; G)-*Q(X; G), £ = 0,,l,...,
индуктивно. Положим
G)- (За)
Предложим, что гомоморфизмы уже определены для произ-
вольного топологического пространства X, причем для сингулярного
комплекса 1а» пространства ак цепь Qk_ ( (dsk 1 можно представить
в виде
°*-1 (ЭРа‘) = 2 S}{c°j, С}.С*'1), (86)
i
где Су — вершины барицентрического подразделения (к — ^-мер-
ных граней симплекса ст*. Очевидно, это требование выполняется
при £ — 1=0. Положим теперь
Й*(1</) =2 ...к, с?, с), ..., с*"1), (8в)
J
Где Ь°'1.к — барицентр симплекса ст*, a gj и crj — те же, что и в
(86).
Определим гомоморфизм Q* на сингулярном симплексе /*:
ст* —» X для произвольного пространства X.
Пусть /*: С®(ст*; G)—»С^(А'; G) — гомоморфизм цепных комп-
лексов, индуцированный отображением /*: ст*-» X Положим
Й*(/*)=ЛЧ(1„‘)- (8г)
Продолжив Qk на Ск(Х; G) по линейности:
(ад
364
завершим определение Qv Ясно, что цепь (э£ + 11а*+^ допускает
представление, аналогичное (86). Индуктивное построение за-
кончено.
Гомоморфизмы функториальны и коммутируют с дифференциа-
лами dkQk = &кдк (проверьте!). Совокупность гомоморфизмов об-
разует гомоморфизм Q,: С*(Х; Н) G) комплекса С*(Х; G) в
себя.
Упражнения. 11°. Покажите, что гомоморфизм Q, и 1c>(X;g) цеп*
но гомотопны.
12°. Пусть А, В — замкнутые непересекающиеся подпространства
нормального хаусдорфова пространства X. Покажите, что для всякого
цикла zk е Csk(X; G) существует гомологичный ему цикл (&к)ггк та-
кой, что для каждого сингулярного симплекса fk, входящего в цикл
(Qk)rzk, его образ не пересекается одновременно с А и В.
3. Гомологии и гомотопии. Естественно попытаться установить связь между
группами сингулярных гомологий и гомотопическими группами пространства. Оказы-
вается, эта задача весьма сложна; известны лишь частные результаты. Так, одномер-
ная группа гомологий линейно связного пространства полностью определяется его фун-
даментальной группой.
Теорема 2. Пусть X — линейно связное пространство с отмеченной точкой
х0; тогда
Н\(Х-, Z) ^я,(Х, х0)/[я,(Х, х0), я,(Х, х0)|, (9)
где [тс,(А', х0), тс,<А, х0)] — коммутант* группы от, (А, х0).
Поясним схему доказательства формулы (9), останавливаясь лишь на геометри-
ческих идеях. Во-первых, заметим, что всякая
петля пространства X (с началом в точке х0) яв-
ляется сингулярным циклом (сингулярный симп-
лекс
[0; 1 ] — [0; 1]/0~1
является циклом). Отсюда возникает гомомор-
физм группы at,<А, х0) в HS}(X', Z), который мы
будем обозначать через 0.
Во-вторых, можно показать, что 0 — эпи-
морфизм. Действительно, каждый цикл в
Н[(Х; Z) определяет (неоднозначно) несколько
петель в пространстве X, возможно, начинаю-
щихся в различных точках. Эти различные петли
можно превратить в единую петлю, соединив их
начала с точкой х0 путем, проходимым в прямом
и обратном направлениях (рис. 129). Получающуюся сложную петлю в точке х0 го-
моморфизм 0 переводит в первоначальный сингулярный цикл. (Точнее, класс этой
петли переходит в класс первоначального цикла.)
В-третьих, коммутант группы я,(Х, х0) лежит в ядре 0. В самом деле, петля
аф а’1^'1 при действии гомоморфизма 0 переходит, грубо говоря, в цикл
* Напомним, что коммутантом [я, я] группы я называется подгруппа, порож-
денная коммутаторами — элементами вида g,-gj-g,"1-g2’‘, где g,,g2 Ея. Коммутант
группы является ее нормальным делителем.
365
a + fS + a-1 +fS-1; группа сингулярных циклов коммутативна, а циклы a + a'1 и
fS + fi’1 гомологичны нулю. Следовательно, петля аф чГ'-р"1 переходит в гомологич-
ный нулю цикл.
Можно показать, что коммутант составляет все ядро гомоморфизма 0 (фактиче-
ски при доказательстве эпиморфности 0 строится «обратный» гомоморфизм группы
•Н\ в Xj/Jx,, nJ).
Упражнение 13°. Восстановите доказательство теоремы 2 по намеченной схеме.
Приведем без доказательства следующее утверждение.
Теорема 3 (Гуревич). Пусть X — линейно связное топологическое простран-
ство такое, что nt(X)—O при k<q и nq(X)^=0, q > 1. Тогда Н[(Х; ИТ) =0 при
0<k < q и Н^Х; Z) — x?(A"), причем для любого отображения f: X-*Х коммута-
тивна следующая диаграмма:
Н,,(х; Z) —Z)
§ 5. Аксиомы теории гомологий. Когомологии
В двух предыдущих параграфах были рассмотрены две теории го-
мологий — симплициальная и сингулярная. Кроме них в алгебраи-
ческой топологии существует еще несколько теорий гомологий. Ис-
торически более ранней является симплициальная теория гомоло-
гий. В дальнейшем былц развиты различные подходы к построению
теории гомологий для общих топологических пространств (теория
гомологий Александрова—Чеха, теория сингулярных гомологий и
др.). Достаточно сложным оказался вопрос о том, в каких случаях
две различные теории эквивалентны.
В этой связи полезным является аксиоматический подход к тео-
рии гомологий, при котором основные свойства соответствия между
топологическими и алгебраическими понятиями аксиоматизируют-
ся, а все остальные свойства выводятся из принятых аксиом. Такая
система аксиом была развита Стинродом и Эйленбергом, и мы сей-
час сформулируем их аксиомы.
Теорией гомологий Н, со связывающим гомоморфизмом 6, назы-
вается совокупность ковариантных функторов {Hk}, к — 0, 1, 2, ...,
из категории пар топологических простанств (X, А), А С. X, в кате-
горию абелевыХ групп, и совокупность функториальных гомомор-
физмов {бл}, к = 1, 2, ...,
бл(Х, А): Ял(Х,А)-Я,_1(А,0).
При этом требуется выполнение следующих аксиом.
1. Аксиома гомотопии. Пусть отображения /, g: X—*Y гомо-
топны и F: X X I-*Y — соединяющая их гомотопия. Пусть А С X,
В С Y и Г(А X /) С В. Тогда
НАП = HAgY нах, а) - я.(У, в)
для произвольных X, У, А, В, f, g.
366
2. Аксиома точности. Для всякой пары (У, А) и вложений i:
(А, 0) —» (X, 0), j: (X, 0) —»(X, А) имеет место точная последова-
тельность
6Л+1(Х, A) Wt(i) HtU)
... Hk(A,0)-+ Hk(X,0)-+
\(Х, А)
^Hk(X, А) — 0)^...-+Но(Х, А)—>0. (1)
3. Аксиома вырезания. Пусть (X, А) — произвольная пара и
пусть U открыто в X и U С Int А. Тогда вложение пар /:
{X\U, A\U) (X, А) индуцирует изоморфизм
//.(/): H,{X\U, A\U) » Ht(X, А).
4. Аксиома размерности. Для пространства *, состоящего из од-
ной точки Нк(*, 0) = 0 при к > 0.
Упражнение 1°. Проверьте выполнение аксиом теории гомологий
для сингулярной теории гомологий.
Аксиомы теории гомологий полны в следующее смысле.
Теорема единственности. Пусть Н, и Н, — две теории гомо-
логий. Если существует изоморфизм h0: Но(*, 0) т Яо(*, 0)> то
на категории пар компактных полиэдров эти теории естественно
изоморфны, т. ел.
1) для любой пары компактных полиэдров {X, А) такой, что
триангуляция А — подмножество триангуляции X, и всех к > 0
определено единственное семейство изоморфизмов hk(X, А):
Нк(Х, А) Нк(Х, А), причем /г0(*, 0) — /г0;
2) для любого отображения f: (X, А)—» (У, А) пар компактных
полиэдров и всех к>0 справедливы соотношения Hk(f) = Hk(f),
обозначающие коммутативность диаграммы
nt(f)
Нк(Х, А)-----^Hk{Y, В)
hk(X,A) р Р hk(Y, В)
- н (/) -
Нк(Х, А) ----^Hk(Y, В)
3) диаграммы
&ккАХ,Л)
Нк + [(Х, А) >Нк(А, 0)
/г. + 1(Х,А) р |р^(Л,0) (3)
_ 5. „(X, А) _
Hk + i(X,A) ^Нк(А, 0)
возникающие при изоморфизме точных последовательностей вида
(1), коммутативны.
367
Мы не приводим доказательства теоремы единственности, по-
скольку оно выходит за пределы элементарного курса.
В частности, сингулярная и симплициальная теории совпадают
на категории пар компактных полиэдров. Таким образом, для ком-
пактного полиэдра l-K'l имеет место изоморфизм
H^\K\-,G)~H‘,(\K\-,G}.
Этот факт (доказательство здесь не приводится) мы будем приме-
нять в § 6, 8 при переходе от одной теории гомологий к другой.
Отметим, что независимость симплициальных гомологий ком-
пактного полиэдра от выбора триангуляции может быть установлена
как в рамках самой симплициальной теории, так и с использовани-
ем сингулярной теории гомологий. Последний способ состоит в по-
строении изоморфизма между группами гомологий произвольной
триангуляции полиэдра группами сингулярных гомологий этого по-
лиэдра. Детали этого рассуждения достаточно сложны, и мы их
здесь не приводим.
Упражнение 2°. Опираясь на теорему единственности, установи-
те справедливость точной последовательности Майера—Виеториса
для сингулярной теории гомологий:
n \k2\;G)-*
H^\K2\-,G)^H^\Ky\ U |^2|;G)—»
-*n |K2|; U |*2|; G)-*0, (4)
где Xp K2 — подкомплексы конечного симплициального комплек-
са К.
Отметим, что существуют теории гомологий, удовлетворяющие
аксиомам 1)—3), но не удовлетворяющие аксиоме размерности. Та-
кие теории гомологий называются экстраординарными, их исследо-
вание в значительной мере составляет предмет современной алгеб-
раической топологии.
В алгебраической топологии наряду с группами гомологий применяются так на-
зываемые группы когомологий. Главное отличие теории когомологий от теории гомо-
логий заключается в том, что теории когомологий — совокупность Н' коитрвариаит-
ных функторов Я‘, поэтому большинство стрелок в теории когомологий меняют свое
направление сравнительно с теорией гомологий.
Фундаментальным объектом когомологий является коцепиой комплекс С’ — по-
следовательность
/ </' <z‘+1
0 -» С° -» С1 — С‘~’ -» С‘ — C‘+I -» С‘+г -»...
абелевых групп С (групп коцепей)- и их гомоморфизмов dk (дифференциалов или
кограиичиых гомоморфизмов) такая, что </‘+|</‘ = 0. Группами когомологий коцепио-
го комплекса называются факторгруппы Я‘(С) =Кег Часто коцепные
комплексы получают из цепных с помощью следующего приема. Пусть С, — цепной
комплекс, G — абелева группа. Положим С‘ = Нош (Ct, G) — множество всех гомо-
морфизмов группы Ct в группу G. Для т/еНош (Ct; G) определим элемент
368
</‘тр‘геНот (Citl, G) равенством
(d‘4’‘)Y*ti = 4,‘(at+1, y*tl)
на произвольном элементе yt+leCt4Таким образом, по граничным гомоморфизмам
dk цепного комплекса Ct мы определим кограничные гомоморфизмы </* коренного
комплекса С. Очевидно,
(rf‘+lrf‘4>‘)Yjl+2= (</‘Ч>‘)(5огУ»+г) = Wt+A+2Ylt2) = Ф‘(О) =0,
так что С — действительно коцепной комплекс.
Применяя этот прием к С, = C.(/r;Z) — цепному комплексу симплнцнального
комплекса К с целочисленными коэффициентами, мы получаем коцепной комплекс
С (К; G), где Cl(K; G)=Hom (Ct(K; Z), G). Группы когомологий Нк(С'(.К', G)) назы-
ваются группами симплициальных когомологий симплициалыюго комплекса К (или
полиэдра |Х|) с коэффициентами в G. Здесь, однако, приходится преодолевать не-
которые трудности, связанные с бесконечным числом образующих групп сингулярных
цепей. Для теорий когомологий существует система аксиом и верна теорема единст-
венности, аналогичные аксиомам и теореме для теорий гомологий. Важным преиму-
ществом теорий когомологий перед теориями гомологий является го, что группы ко-
гомологий геометрических объектов образуют кольца с, вообще говоря, нетривиаль-
ным умножением. В ряде задач применяют одновременно гомологии и когомологии.
§ 6. Гомологии сфер. Степень отображения
1. Группы гомологий сферы. Приступим к вычислению сингу-
лярных групп гомологий сфер S'1. Знание этих групп позволит нам
ввести весьма полезные в приложениях понятия степени отображе-
ния, характеристики и индекса особой точки векторного поля.
Пусть X — клеточный комплекс, Y — конечный подкомплекс.
Покажем, что
Hsk(X, Y; G) =* Hk(X/Y; G) (1)
при к > 0, где X/Y — факторпространство X по Y.
Заметим сначала, что клеточный комплекс Х/Y гомотопически
эквивалентен комплексу X (J СУ, где СУ — конус * над У с верши-
i
ной *, г. У—»У — вложение. Действительно, комплекс XIY совпа-
дает с комплексом (X U СУ)/СУ. Поскольку СУ — стягиваемый
i
подкомплекс комплекса X U СУ, комплексы (XU СУ)/СУ и
i i
X (J СУ гомотопически эквивалентны (см. упр. 7° § 10 гл. IV). По-
Г
этому
Hsk(X/Y; G) Hsk(X U СУ; С)
* Напомним, что для топологического пространства У конус СУ определяется как
факторпространство (Ух/)(УхО).
369
и при к > О
Hk(X/Y; G) Hsk(X U CY, *; G)
(см. упр. 9° § 4).
Конус CY гомотопически эквивалентен точке * £ СУ, следова-
тельно,
Hsk(X U CY, *; G) Hsk(X U CY, CY; G).
i i ,
Рассмотрим отображение вложения пар /: (X, Y) —»
-♦(X U CY, CY); оно индуцирует
гомоморфизм Щ(Х, Y; G) —»
— HS,(X (J CY, CY; G).
I
Покажем, что I, — изоморфизм.
Разобьем конус CY на две части, ClY
и C2Y, как показано на рис. 130. Оче-
видно, что HS,(X U C2Y, C2Y; G)
=* Н°(Х, У; G).
Каждый цикл zk G Ск(Х U CY, CY; G) можно заменить на го-
мологичный ему цикл такой, что образ каждого сингуляр-
ного симплекса из (Qi)rzJt, пересекающийся с X, не будет пересе-
каться с С1 У, и наоборот, каждый сингулярный симплекс, пересе-
кающийся с ClY, не будет пересекаться с X (см. упр. 12° § 4).
Отбросив в цепи (Qi)rz(t все симплексы, пересекающиеся с ClY, мы
получим цикл z'k G Ск(Х U CY, CY; G), гомологичный исходному.
i
С другой стороны, z'k можно рассматривать как цикл в группе цепей
Ск(Х U С2У, С2У; G), следовательно, 1к — эпиморфизм.
Аналогично можно показать, что Iк — мономорфизм.
Дадим приложение формулы (1) к вычислению гомологий сферы
S". Нам будут нужны гомологии диска />". Так как Dn стягивается
к точке, то группы гомологий диска изоморфны группам гомологий
точки, а именно
Hs.(Dn;G)^\^ ПрИ
’ 10 при к>0
(см. упр. 6° § 4). Начнем вычисления с малых размерностей п. По-
скольку S° — несвязное объединение двух точек, то Hq(S°;
370
G) — G ф G, Hk(S°; G) = О при к > 0. Далее, в силу линейной связ-
ности S" при п > 0 имеем
ffs0(Sn; G)^G, п>0.
Теперь заметим, что сфера Sn гомеоморфна факторпространству
Dn/Sn~v. Поэтому в силу (1)
Hsk(Dr, Sn~1-, G) =* Hsk(Sn; G) при к > 0.
Воспользуемся этим обстоятельством.
Рассмотрим точную гомологическую последовательность пары
(Я1, Х°), заменив при к > 0 группы гомологий пары группами гомо-
логий окружности S1:
,..-*Я|(Х°; G)—» Нк(Ъ{; G) —*
— Я^^Х0; С)-»...-*Я[(Х°; G)-^(Z)1; G) -+
— ЯДХ‘; G)-*HSO(S°; G)-+HSO(D1-, G) — Hs0(D‘, S°; G). (2)
Заметив, что Hk(Dl;G)=0 при к 1 и Я|_1(Х°;С)=0 при
к > 1, получим из (2) короткую точную последовательность
О^ЯДХ1; G)—»0, к>\,
откуда вытекает, что Я^.(Х‘; G) =0 при к > I. Кроме того, гомомор-
физм Я^(Х°; G) —’Я^Я1; G) эпиморфен (проверьте по опреде-
лению). Поэтому наша точная последовательность (2) приводит к
короткой точной последовательности
Рг, +₽гг
0-*Я((Х'; G)^G © G G — 0,
откуда получаем изоморфизм Я[(Х'; G) — G.
Применим теперь индукцию. Предположим, что при ©©
5S п — 1 для сфер S4 установлены изоморфизмы
Hs (Si' GA ~ ~ 0, q,
к*0, q.
Рассмотрим точную гомологическую последовательность пары
(Я", X"-1), заменяя, как и раньше, гомологии пары на гомологии
сферы X":
...-^Hsk(Dn-, G)—*Hk(Sn; G)
G)-... (3)
371
При к > 1 имеем Hsk(Dn; G) — О, Я|_1(£>"; G) = О, поэтому рассмат-
риваемый участок точной последовательности (3) принимает вид
0-*Я’(5"; G) —» Я^_1(5',_|; G) —О,
откуда вытекает изоморфизм G) — G), к>1.
Итак, при п > 2 получаем
Я|(5"; G) = 0, ..., Hsn_t(Sn; G) = О,
Hsn(Sn; G) =^Hsn_l(Sn-1; G) G, Я*+1(5"; G) = О, ...
Чтобы вычислить Я((5"; G), положим в (3) к = 1:
НЦВ”; G)-*Hsl(Sn; G)—*Hs0(Sn~l; G)—* Hs0(Dn; G)—*...
__ f«0
Так как S'1-1, Dn линейно связны, имеем Hs0(Sn~l; G)
;-o __
Hs0(Dn; G) G (cm. ynp. 8° § 4), отсюда Ker itQ = 0, и в силу
точности (3) получим короткую точную последовательность
0 — G)—*0, т. е. H[(Sn; G) = 0, п > 2.
Индуктивное предположейие распространено для q = п. Поэтому
окончательно имеем
Hs0(Sn; G) G; H^S"; G) = 0, n^l;
Hsn(Sn; G)^G, n 3= 1; Я‘(50; G) G ® G; (4)
Я}(5°;С) = 0, /»1.
Итак, группы гомологий 5” вычислены.
Вычисляя гомологии S\ мы не использовали теорему единствен-
ности теории гомологий (см. § 5). Воспользоваться ею мы могли бы
следующим образом. Поскольку сфера Sn гомеоморфна границе
дтп+1 симплекса тп+1, то имеем изоморфизм
ЯД| {дтп+1} |; G) Я?(5"; G), (5)
откуда на основании результатов (см. (9) § 3) о Я,({дтп+1}; G) по-
лучаем тот же результат, что ив (4).
Заметим, что в § 4 гл. III теорема Брауэра о неподвижной точке
и теорема о невозможности ретракции п-диска на граничную сферу
опирались на функториальность гомотопических групп и на недока-
занный результат nn(Sn) — Z. Теперь, опираясь на установленный
372
факт изоморфизма Hsn(Sn; Z) ^Z и на гомологический функтор,
можно считать вполне строго установленными обе названные важ-
ные теоремы. Действительно, их доказательство использовало толь-
ко аксиомы функтора в категорию абелевых групп и знание группы
пространства Sn.
Упражнение Г. Выведите из теоремы 3 § 4, что
31^(5") = 0, к < п; я„(>5") Z.
Обсудим вопрос о топологической инвариантности понятия раз-
мерности евклидова пространства. Из курса алгебры известно, что
два евклидовых пространства одинаковой размерности изоморфны,
а следовательно, и гомеоморфны. Известно также, что пространства
R"1 и R” не изоморфны при т п. Возникает вопрос: не будут ли
они гомеоморфны? Следующая теорема дает отрицательный ответ
на этот вопрос и тем самым утверждает, что размерность евклидова
пространства является топологическим инвариантом.
Теорема 1. Если т^= п, то пространства Rm и R" не гомео-
морфны.
Доказательство. Рассмотрим одноточечные компактифика-
ции R'n = R"1 U V и R" = R" U V пространств R"1 и R" (см.
§ 14 гл. II). Базисами окрестностей точек I-'”, Ijn являются допол-
нения к замкнутым шарам с центрами в начале координат про-
странств Rm и R” соответственно. Легко видеть, что одноточечная
компактификация евклидова пространства гомеоморфна сфере той
же размерности.
Предположим, что существует гомеоморфизм Ф: R"1—»R". Его
можно продолжить до отображения Ф: R"'-»R'1, положив
Ф(£т) = Легко видеть, что отображение Ф — также гомеомор-
физм. Отсюда получаем, что сферы Sm и S" также гомеоморфны.
Тогда в силу топологической инвариантности групп гомологий
Hsk(Sm; Z) Hsk(Sn; Z) при всех к.
Однако мы знаем, что это не так при т Ф п. Следовательно,
предположение о существовании гомеоморфизма Ф: R"1—»R" при
т Ф п неверно.
2. Степень отображения. Перейдем к изучению гомоморфизмов
групп гомологий, индуцируемых отображениями n-мерных сфер. Из
линейной связности сфер следует, что если <р: S" -» 5^ — отображе-
ние одного экземпляра сферы в другой, то гомоморфизм <р.о:
G)—> Hs0(Sl; G) есть изоморфизм. Гомоморфизм
T.n:
373
вообще говоря, изоморфизмом не является. Если в качестве группы
коэффициентов G взять группу целых чисел 2 и зафиксировать
изоморфизмы Hsn(S1', 2) 2, z = 1, 2, то гомоморфизм ф,„ можно
рассматривать как эндоморфизм ф.и: 2—»2 группы 2. Такой гомо-
морфизм однозначно определяется значением на образующем
элементе 1 G 2, поскольку ф,п(/п) = /п-ф,п(1).
Определение 1. Число ф,п(1) называется степенью отображе-
ния <р и обозначается deg <р.
Отметим, что deg <р может, вообще говоря, принимать любые це-
лочисленные значения. Знак deg <р зависит от выбора образующих
элементов в группах 2), Н*(5£; 2), т. е. от способа установ-
ления изоморфизмов этих групп с группой 2. „Если у — образую-
щий элемент группы Hsn(Sn; 2), то (—у) — также ее образующий
элемент; таким образом, изоморфизм JJsn(Sn; 2) — 2 может быть
установлен двумя способами. Если <р — отображение 5" в себя, то
deg <р не зависит от выбора образующего элемента.
Отметим, что из теоремы 3 § 4 вытекает, что понятия deg <р сте-
пени отображения <р: Sn—»S", определяемые через гомотопические
группы (см. § 4 гл. III) и гомологические группы, тождественны.
Очевидно, что если <р, ф: Sn —»S" — гомотопные отображения, то
deg <р = deg ф. Справедливо и обратное утверждение (теорема Хоп-
фа), доказательство которого мы не приводим.
Упражнения. 2°. Докажите, что для ф, ф: 5"—*S" верна форму-
ла deg (фф) = deg ф-deg ф.
Указание. Воспользуйтесь функториальностью групп гомоло-
гий (см. п. 8 § 4 гл. V).
3°. Покажите, что степень постоянного отображения сферы S" в
себя равна нулю.
4°. Пусть отображение Ф: Rn+I -»R"+I таково, что Ф(х) Ф 0 при
||х||^Л; отображения Фр: Sn—»Sn определяются равенствами
•W’lilS- xES‘- r‘feR
Докажите, что deg Фг = deg Фя.
У ка зани е. Постройте гомотопию, соединяющую отображения
Фг и Фя.
Следующие два упражнения нетрудно выполнить, опираясь на
изоморфизм сингулярных и симплициальных гомологий.
Упражнения. 5°. Пусть A: Rn+1 —»R"+I — невырожденный ли-
нейный оператор. Определим отображение A: S" —* S" формулой
- ||Л(х)|Г xes"-
374
Пусть А — диагонализируемый оператор с собственными значения-
ми Л] = ... = Ат ~ — 1 и Ат + 1 = ... = А,1 + 1 = 1, где т S п + 1. До-
кажите, что для этого оператора deg А = (—1)'".
Указание. Оператор А можно представить как композицию
т операторов В, у каждого из которых одно собственное значение
А-,' равно — 1, а остальные п собственных значений равны 1. Со-
ответственно отображение А есть композиция отображений В. и
т
deg ~А = Р[ deg Bt. Степень каждого из Bt равна (—1). Чтобы за-
метить это, нужно построить триангуляцию К сферы Sn, инвари-
антную относительно отображения Z?.; эта триангуляция получае-
тся из объединения двух конусов над триангуляцией «экватора» —
сферы лежащей в собственном подпространстве, соответству-
ющем А = 1, а вершины конусов — «северный» и «южный» полю-
са — лежат в собственном подпространстве, соответствующем
А= — 1. Образующий элемент группы Нп(К-, Z) состоит из цикла
у, равного сумме всех n-мерных симплексов из К, взятых с согла-
сованной ориентацией. Отображение Bt переводит цикл у в цикл
(—у) (меняя ориентацию симплексов); поэтому deg = — 1.
6°. Докажите, что для произвольного невырожденного линейного
оператора A: Rn+1 —» Rn+1 справедливо равенство deg А = sign | А |.
Указание. Покажите, что А гомотопен в классе невырожден-
ных линейных операторов оператору А', матрица которого диаго-
нальна и диагональные элементы равны ± 1.
Рассмотрим непрерывное отображение Ф: U R'1+1, где U — об-
ласть в R'1 + 1. Обычно в задачах об исследовании решений уравне-
ния
Ф(х) = 0
(6)
отображение Ф называют векторным полем (точке х поставлен в со-
ответствие вектор Ф(х)), а решения уравнения (6) называют осо-
быми точками векторного поля Ф.
В некоторых задачах отображение Ф может не быть непрерыв-
ным на всей области U. Если оно имеет конечное число точек раз-
рыва (или точек, в которых значение не определено), то такие точ-
ки также называют особыми. Большая часть последующих резуль-
татов верна и для таких векторных полей.
Пусть х° — изолированная особая точка векторного поля Ф, т. е.
Ф(х°) — 0, и в некоторой окрестности точки х° нет других решений
уравнения (6). Тогда для достаточно малого R при 0 < г < R опре-
делена степень отображения Фг: Sn S", задаваемого равенством
фДх)=Д>ДЛ±^, (7)
г ||Ф(гх + х°)||
375
и эта степень не зависит от выбора г (сравните с упражнением 3°).
Определение 2. Степень degOr отображений Фг (при достаточ-
но малых г) называется индексом изолированной особой точки х°
векторного поля Ф; мы будем обозначать его ind (х°, Ф).
Пусть поле Ф не имеет особых точек на границе S"(x°) шара
D*+i(x°) радиуса г с центром в точке х° (теперь не предполагается,
что х° — особая точка, а г мало). Очевидно, и в этом случае фор-
мула (7) определяет отображение Фг: Sa—*Sn.
Определение 3. Степень deg Фг отображения Фг называют ха-
рактеристикой векторного поля Ф на границе шара £>',+1(х°). Мы
будем обозначать характеристику х(Ф, S''(x0)).
Наряду с Фермином «характеристика векторного поля» часто
употребляют термин «вращение векторного поля» по аналогии с
2-мерным случаем, где для <р: степень deg <р есть алгебра-
ическое число оборотов вектора <р(х), когда х пробегает (в поло-
жительном направлении) окружность S*.
Теорема 2. Пусть поле Ф не имеет особых точек в замкнутом
шаре D"+1(x°); тогда х(Ф, S"(x0)) =0._
Доказательство. Отображение Фг гомотопно постоянному
отображению Фо, отображающему S” в точку Ф(х0)/||Ф(х°) || 6 S",
степень которого равна нулю. Соответствующая гомотопия задается,
например, формулой
Ф(/, х) = Фагх + хп> о «г / «£ 1, хе S“.
|ГФ(?ГЛ + ЛII
Следствие. Если х(Ф, S'l(x0)) Ф 0, то поле Ф имеет по крайней
мере одну особую точку в шаре D"+1(x°).
Отметим, что характеристика х(Ф, S''(x0)) определена, даже ес-
ли поле Ф задано только на границе S'r‘(x°) шара £>',+1(х°) *.
Следующая теорема вытекает непосредственно из теоремы 2.
Теорема 3. Пусть поле Ф задано на сфере S"(x°) и не имеет
особых точек. Если х(Ф, S”(x0)) =/= 0, то Ф нельзя продолжить на
шар D'1+1(x°) без особых точек.
Справедлива и теорема, обратная тереме 3; она вытекает из упо-
мянутой теоремы Хопфа.
Упражнения. 1°. Пусть х° — особая точка гладкого векторного
поля Ф на U С R'1+1 и матрица Якоби отображения Ф в точке
* Поле Ф: 1 в этом случае, очевидно, не является векторным полем на
многообразии S;(x°) в смысле § 8 гл. IV.
376
х° невырожденна (такие точки называют невырожденными). Дока-
жите, что х° — изолированная особая точка поля Ф и что
ind (х°, Ф) = sign det .
Указание. Постройте гомотопию, соединяющую векторные
поля Фг и |^| на Sn.
\/ х°
8°. Пусть отображение Ф: С—определено формулой Ф(г) =
= z", где п > 0 — целое число. Рассматривая Ф как отображение
Ф: R2—»R2, вычислите индекс нулевой особой точки поля Ф. Сде-
лайте то же самое для отображения Ф(г) = (z)'1.
Рассмотрим векторное поле Х(х) на многообразии Мп. Пусть
х° Мп — изолированная особая точка поля Х(х), т. е. Х(х°) = 0 и
существует окрестность С(х°) С Мп точки х°, в которой Х(х)^0
при х х0. В локальных координатах поле Х(х) имеет вид
(х,, •••> х„; ..., х„)^- + ... +Хп(Хр ...,
Индекс ind (х°, X) особой точки х° векторного поля Х(х°) на мно-
гообразии можно определить как индекс особой точки (х°, ..., х°)
(здесь х° — координаты точки х°) векторного поля Ф =
= {Xj(xp ..., X”), ..., Xn(xp ..., хп)} в пространстве R".
Упражнения. 9°. Докажите, что индекс ind (х°, X) не зависит от
выбора локальных координат.
10°. Пусть / — гладкая функция на многообразии, х° — невы-
рожденная критическая точка индекса 1 функции / (см. § 11
гл. IV). Докажите, что ind (х°, grad /) = (—1)\
Указание. Воспользуйтесь результатами упражнений 7° § 12
гл. IV и 6° этого параграфа.
3. Вращение векторного поля. Понятие характеристики век-
торного поля обобщим на случай границы области произвольной
формы.
Пусть U С R", п 2, — ограниченная область, U — ее замыка-
ние, dU — граница. Рассмотрим непрерывное векторное поле Ф:
U—*R", не имеющее особых точек на границе; таким образом,
определено непрерывное отображение Ф: dU—»R'‘\0, однако допу-
скаются особые точки в U = int U.
Развивая понятия п. 2, определим глобальную характеристику
х(Ф, dU) (или «вращение») векторного поля Ф на границе dU. На
первом шаге конструкции перейдем к меньшей полиэдральной
(замкнутой) области Ра с U, «хорошо аппроксимирующей» замыка-
377
ние U: Ра D U\Sa(dU), где Sa(dU) — a-окрестность границы dU при
достаточно малом заданном a > 0 (т. е. объединение открытых шаров
радиуса а с центром в точках х 6 dU, когда х меняется на границе
dU). Чтобы построить такой полиэдр Р , достаточно совершить пра-
вильное разбиение пространства R" плоскостями, параллельными ко-
ординатным, на конгруэнтные кубы достаточно малого диаметра
d = VTTp, где р — сторона куба, и потребовать р < a/V7T; тогда Ра —
объединение всех кубов, пересекающихся с замыканием U\Sa(dU)
(которое предполагается непустым ввиду малости а). Триангулируя
каждый куб из Ра стандартным образом (т. е. в каждой грани 1к куба
1п производя коническую конструкцию из ее центра над границей
д!к последовательно при к = 1, 2, ..., л), получим триангуляцию К
полиэдра Ра. Ориентируем все л-мерные симплексы т" G К одинако-
во; это означает, что если [т"] — [а?, ..., а"] — ориентированный
-------------------------------------------------------------►
симплекс указанной ориентации, то реперы е*, ..., е", где ек = а®ак,
к= 1, 2, ..., л, для любого i задают ориентацию пространства R",
совпадающую с фиксированной. Образуем целочисленную цепь
хп = 1 ’ и назовем ее фундаментальной цепью Ра. Ее граница
I
dnxtl = S дп [т"] обладает следующим важным свойством — она со-
I
стоит из (л — 1)-мерных симплексов: дпхп — 1' U"~*L гДе симп-
!
лексы принадлежат теоретико-множественной границе дРа и
дРа = U t"~l, а ориентация индуцирована ориентацией един-
J
ственного симплекса [т?], в границу которого входит р"-1] (т. е.
дп[т"] = U"-1] + ...). Этот целочисленный цикл zn_t = дпхп назовем
фундаментальным циклом границы дРа.
Можно показать, что группа Hli_l(dPa’, Z) является свободной
абелевой группой, имеющей столько образующих, сколько компо-
нент связности имеет граница дРа; обозначим это число через L
(вообще говоря, L зависит от a: L = La). При этом
L ( м. '
у i = l.\ Р=' /
где симплексы t"~l из каждой внутренней суммы входят в одну и ту
же компоненту связности дРа; класс гомологий [z'^J каждой внут-
378
м:
ренней суммы у 1 [ln -1| = z'i_1 есть образующая группы
Z).
Второй шаг конструкции связан с рассмотрением векторного по-
ля Ф: Ра —* К" на полиэдре Ра. Так как на границе dU поле Ф не
имеет особых точек, то в силу непрерывности оно их не будет иметь
в окрестности Sa(dU) (точнее, на пересечении Sa(dU) П U) при до-
статочно малом а > 0. Зафиксируем такое а и построим полиэдр
Ра, как описано выше. Тогда на границе дРа поле Ф не имеет осо-
бых точек и определено отображение Ф: дРа—»R'l\0. Это отображе-
ние индуцирует гомоморфизм сингулярных групп гомологий Ф,п_1:
//*-1(3/^; Z) —» Я’_1(Кп\0; Z). Так как R"\0 ~ S"-1 (гомотопиче-
ская эквивалентность), то Hsn_1(R"\0; Z) и Hsn_l(Sn Z) изоморф-
ны и являются свободными абелевыми группами с одной образую-
щей. В силу теоремы единственности теории гомологий группы
Яп_|(дРа; Z) и Hsn_l(dPa’, Z) изоморфны; пусть — образ
при этом изоморфизме образующей [z'^.J из Hn_i{dPa\ Z), а
Yf,_j — образующая в Я’.ДБХО; Z). Тогда Ф„)_1[г('1_1]5 = mtу’_р
где m(. G Z. Рассмотрим класс гомологий [гп_1р G Hsn_^{dPa-, Z),
соответствующий классу | G Hn_l(dPa,t Z) цикла zn_l =
L
= = у z^_P Тогда Ф.„_1[гп_1]’= где т G Z. Целое
/ = 1
число т назовем характеристикой х(Ф, дРа) («вращением») вектор-
ного поля Ф на границе дРа. Заметим, что в силу теоремы единст-
L
венности теории гомологий [zn_Js — У [z'_[|s, и, следовательно
L 1 = 1
т = У тг
1 = 1
Очевидно, что знак х(Ф, дРа) зависит от выбора образующей в
группе Я^-^ЙХО; Z). Удобно фиксировать выбор образующих в
группах Я®_!(Е"\0; Z), Hsa_i(Sn~1-, Z) следующим образом. Зафик-
сируем симплекс т" с барицентром в точке 0 пространства R'!. Тогда
центральная проекция л осуществляет гомеоморфизм границы дхп и
S"-1; так как граница дхп триангулирована естественным образом,
то и S"-1 получает соответствующую триангуляцию, и л становится
симплициальным отображением полиэдров дх", S'1-1 и индуцирует
цепное отображение л, их цепных комплексов (над Z). Пусть [т"]
379
ориентирован в соответствии с ориентацией R". Тогда дп[т" ] =
= qn_t — фундаментальный цикл полиэдра дт", что следует из
формулы (9) § 3 для гомологий Н,({дх11}; Z). Его образ
ул_! = Hn_tqn_1 в С^-ДХ"-1; Z) является фундаментальным цик-
лом полиэдра Sn~l = dDn, а соответствующий класс гомологий
[ул_Д — образующей в Hn_l(Sn~l; Z), которую мы фиксируем.
Очевидно, [ул_,] = Изоморфизм между Н,- и /^-гомо-
логиями определяет образующую ул-1 в Я*_ДХ"-1; Z), причем
Yn-i = Образующая у£_, е Я'.ДйЛО; Z) опреде-
ляется фиксацией отображения г: Rn\0—»Х”~1 и гомотопически об-
ратного к нему <р: X”"1—»R"\0, где r(x) = x/[jx|| и <р(х) = х; г и
<р индуцируют изоморфизмы <р.л_, = гГд-р Я^_ДХ"-1; Z)-»
— Я*_t(R\0; Z) и = ^„.Ду*.,),
Фиксировав таким образом образующие в группах
Я^^ЛО; Z), Я*_ДХЛ-1; Z), будем иметь для определения харак-
теристики т равенство Ф,л_1[гл_1]^ = т-у*_р или, поскольку
^“‘-Ду’-,), равенство г.л_1Ф.л_Дгл_1Г =
= 'иу*_1. Так как г.АФ.А = (г-Ф).А, где (г-Ф)(х) = Ф(х)/||Ф(х)||,
г Ф = Ф: дРа —»Хп-1, то т интерпретируется как степень отображе-
ния Ф: дРа —»Х"-1 в соответствии с определением 3 § 6.
Третий шаг — доказательство независимости характеристики
х(Ф, дРа) от выбора полиэдра Ра — мы опускаем ввиду громоздко-
сти используемой нами элементарной конструкции (здесь пришлось
бы ссылаться на инвариантность симплициальных гомологий и на
теорему единственности).
Определение 4. Характеристикой (вращением) х(Ф, dU) век-
торного поля Ф на границе dU будем называть характеристику
х(Ф, дРа) на границе дРа какой-либо полиэдральной области Ра
указанного типа (см. первый шаг).
Теорема 4. Если Ф: U х [0; 1 ] —»R” — гомотопия векторно-
го поля, не имеющая на dU особых точек (т. е.
Ф: (dU) X [0; 1]—»R"\0), то характеристика х(Фр dU) векторно-
го поля Фг = Ф: (dU х t) —»R"\0 не меняется при изменении
ZG [0; 1], в частности, х(Ф0, dU) = х(Фр dU).
Доказательство. В силу непрерывности отображения
Ф(х, t) по переменным (х, t) найдется такое а0 > 0, что в а0-окре-
стности Ха (dU) поле Фг не имеет особых точек при любом
t G [0; 1]. Тогда Фг: dPa()->R"\0 для всякого t 6 [0; 1], где Ра° по-
380
строено по а0 на первом шаге, — непрерывная гомотопия; следова-
тельно, гомоморфизм (Ф,)’п_1 сингулярных гомологий постоянен по
I, что означает постоянство х(Фг дРа), а следовательно, и постоян-
ство х(Фр dll'), к
Теорема 5. Если непрерывное поле Ф: U-* R" не имеет на об-
ласти U особых точек, то х(Ф, dll') =0.
Доказательство. Пусть zn_t = дпхп — фундаментальный
цикл границы дРа. В условиях теоремы имеем коммутативную ди-
аграмму
1
ф! X
Rn\0
где i — вложение, Ф| и Ф| — сужения отображения Ф:
_ Nr. I Ра
£/~*Rn\0. Рассматривая гомоморфизмы Я^-гомологий, порожден-
ные отображениями диаграммы, а также изоморфизмы hn_l
Н,п_1- и Я?,,-групп (см. теорему единственности для теории гомо-
логий), получаем коммутативную диаграмму
Z)-------Z)
h'n-, к.,
z)-------—---------z)
Я„_1(й',\0; Z)
Так как /.„-JZn-J = 0 и Я^.^Р^ Z) ввиду гомологичности zn_{ ~
~0 в Cn_i(Pa; Z) цикла zn_x = дпхп, имеем h, = 0,
а из коммутативности квадрата получаем i, ]) =0; от-
сюда и из равенства = следует, что
г, n_-1[zn_Js = 0 в Я^Д/^; Z). Этот факт вместе с коммутативно-
стью треугольника дает следующие равенства:
(ф1 ) К-11= (ф|„ )
\ а/ *м*“1 '
= (ФЫ (г;„_1[гп_1Р)=О,
X 1 га/ м - I
381
что и означает равенство нулю вращения
х(Ф, дРа) = х(Ф, ЭГ7).
Следствие 1. Если для непрерывного векторного поля Ф:
U—*Rn без особых точек на границе dU характеристика
х(Ф, dll') отлична от нуля, то внутри области имеется точка
х* 6 U: Ф(х*) = 0.
Доказательство. Предположив противное, немедленно по-
лучим противоречие в силу теоремы.
Выше отмечалось, что в приложениях под особой точкой полезно
понимать не только нуль (Ф(х,) =0), но и, более широким обра-
зом, точки разрыва или неопределенности векторного поля (см., на-
пример, § 6 гл. I). Следующее утверждение явдяется незначитель-
ной модификацией предыдущего.
Следствие 2. Если на некоторой (.-окрестности S (dU), е > 0,
векторное поле Ф непрерывно, а на границе не имеет нулей и
х(Ф, dU~) * 0, то поле нельзя продолжить внутрь области U без
особой точки в расширенном смысле.
Действительно, допустив противное, проводим рассуждение, как
и выше. _
Замечание. Если U — полиэдр, состоящий из объединения
n-мерных симплексов (при связности U), то в последнем предло-
жении достаточно требовать непрерывность Ф только на границе
dU.
Пусть теперь х0 G U — изолированная особая точка (в расши-
ренном смысле) векторного поля Ф, т. е. существует диск Dr(x0), в
котором нет другой отличной от х0 особой точки. Имеем непрерыв-
ное отображение
Ф: (Dr(xo)\xo)-»R"\O.
Рассмотрим полиэдры Dr(x0), />j(x0) и их границы S"-1(*o)’
5"“'(х0) соответственно; определим для последних фундаменталь-
ные циклы у'_р перенеся барицентр фиксированного симп-
лекса т" в точку х0 и используя гомеоморфизмы — центральные
проекции л<г>, лД) из точки х0 границы дт'1 на сферы 5?-1(х0),
б"~'(х0). Для центральной проекции л: S"-1(x0)-♦S"_1(x0), кото-
рая, очевидно, симплициальна, имеем угп_1 = лп_1у1п_1, так как
л = лД>(лД))-1 и соответственно ли_, = л^ (xj/lj-1 для цепных
комплексов; отсюда следует равенство „-ilvi-J симпли-
циальных классов гомологий, а также соответствующих сингуляр-
ных [/„_,]* = л. „-Jyi-J5.
382
Отображение Ф: S" 1(xo)-*R"\0 индуцирует гомоморфизм Ф,:
Z)-»№„_1(R'!\0; Z); пусть Ф, = т-ysn_v
Число т назовем индексом ind (х0, Ф) особой точки х0 векторного
поля Ф.
Если воспользоваться зависимостью между классами гомологий
[уг_ р и Js, то получим равносильное равенство
ф. = тУп-г так как ф* п-1 = (фл).„-Р «учи-
тывая, что Фл: -♦ R'!\0 задается формулой (Фл)(х) =
= Ф(г(х — х0) + х0), х Е S"-1(x0), заключаем об эквивалентности
определения ind (xQ, Ф) ранее данному (определению 2, п. 2); индекс
ind (х0, Ф) не зависит от радиуса сферы S^~'(x0) (г можно брать как
угодно малым).
Теорема 6 (об алгебраическом числе^ особых точек). Пусть
векторное поле Ф на границе области U непрерывно и не име-
ет особых точек, а внутри области имеет конечное число осо-
бых точек {х.}*=1 в расширенном смысле. Тогда справедливо ра-
венство
к
х(Ф, д1Т) — 2 ind (х;., Ф), (9)
/ = 1
где сумма справа называется алгебраическим числом особых
точек.
_ Доказательство. Так как отображение Ф непрерывно на
{/\{хр ..., xk}, то можно построить полиэдр Р , указанный на пер-
вом шаг. Некоторые из точек хр ..., xk могут оказаться на (п — 1)-
мерных симплексах триангуляции полиэдра Ра', путем достаточно
малых сдвигов полиэдра, задаваемых параллельным переносом на
вектор, ортогональный плоскости, содержащей такую грань, можно
добиться того, что все особые точки окажутся внутри «-мерных сим-
плексов {t"}ki = t триангуляции.
Будем считать, что Ра уже обладает этим свойством, и что такие
симплексы t" не пересекаются один с другим и с дРа, т. е.
t" A t" = 0 при 1* / и С! А дРа = 0. Фундаментальную цепь хп no-
il
лиэдра Ра разобьем на две части: хп = х1п + х^, где xln = 1 • [/"], а
; = 1
хгп состоит из остальных симплексов {т"}: 1 ’ [т)?]; напомним,
что все «-мерные симплексы ориентированы одинаково (в соответст-
вии с ориентацией R"). Будем называть носителем некоторой цепи
383
cz = gzxzz комплекса C,(X; G), соответствующего симплициально-
i
му комплексу К, объединение всех симплексов входящих в цепь
cz с ненулевыми коэффициентами. Носители цепей х1п, х2 обозначим
соответственно Qp Q2. Для фундаментального цикла границы дРа
имеем равенство zn_t = z,n_l + z2n_t, где zln_t = дпх1п, z2_t = дпх2 —
фундаментальные циклы полиэдров dQt (Q, не связен, если к > 1) и
dQ2, так как носитель | дпх\ | содержится в Qt П Q2, то можно считать
z„_p z2_t циклами полиэдра dQ2, причем класс гомологий
[z2_tl = 0 в ^n_1fQ2; Z); так как дРа С dQ2, можно считать zn_z
циклом полиэдра dQ2.
Из равенства z2_v = zn_v - z'_z получаем lz^_J = [zn_J-
-«.J в Hn_^dQ2,T) и = [zn_j]s-[z‘_jH в Я;_,(де2;
Z), где верхний индекс s указывает на то, что рассматривается со-
ответствующий класс сингулярных гомологий. Рассмотрим коммута-
тивную диаграмму
2)---*-Я„«22; 2)
(Ю)
2)—^(Q2; Z)
где i. — гомоморфизмы, порожденные вложением z: dQ2—*Q2, а
h', h" — изоморфизмы гомологий Н, и Н*. Класс [z„_J из
ffn_t(dQ2; Z) принадлежит ядру Кег i. л_р так как [z^_1J = O в
Я„-1(22; ^)- Из коммутативности диаграммы, как в теореме 5, по-
лучаем z. n-dzn-ils = 0 в #«-i(Q2; Z); более того, полиэдры 3Q2,
Q2 теперь играют роль полиэдров дР^, Ра в доказательстве теоре-
мы 5; поэтому имеем еще равенство (Ф|. \ [z^_Js = O в
Р2г/.п-1
^®_j(R"\O; Z). С другой стороны, в Я^_1(йп\0; Z) имеем
что в итоге приводит к равенству
384
Принимая во внимание равенство [zj1_1]s = y перепишем
I
(11) в виде
(ФЫ = <12)
\ 13Й2/«п — 1 i ' 'sC2/*H-i
Так как dQ2 = дРа U ( U д/") и симплексы t" не пересекаются, то
i
группы Cs,, Щ сингулярных цепей и гомологий полиэдра dQ2 разла-
гаются в прямые суммы групп, соответствующих симплексам tf в
dQ2 и дРа, Отождествляя классы [zn_I]sr, [dn[Z"]]s в Hsn_t(dQ2; Z) с
классами [z^-J*, в Hsn-i(dPa; Z), Z) в соответ-
ствии с указанным разложением, перепишем последнее соотноше-
ние (12) в виде
(ф| ) [^ = 2 (фЫ
\ |ep«/»n-i j V 1«,Л.я-1
учитывая, что
где тj = ind (xjt Ф), получим /Ф| 'j [z„_1 |s = у сле-
\ 1вРо/«П-1 .
довательно, х(Ф, дРа) = У ind (ху, Ф), что и завершает доказатель-
i
ство теоремы.
Формула (9) является одной из важнейших в теории особых то-
чек векторных полей и неподвижных точек отображений.
§ 7. Гомологии клеточного комплекса
Перейдем к изучению гомологий пространств, имеющих гомото-
пический тип клеточного комплекса. Этот класс пространств инте-
ресен, во-первых, потому, что он достаточно широк (см. § 12
гл. IV), а во-вторых, потому, что гомологии клеточного комплекса
могут быть вычислены весьма простым и изящным способом.
Пусть Х_ — конечный клеточный комплекс. Построим цепной
комплекс C,(V; G) следующим образом. В качестве группы
Ск(Х; G) возьмем абелеву группу формальных линейных комбина-
ций У Si'xki-> тае Sj е 6 — произвольные элементы, т* — Л-мерные
клетки комплекса X; суммирование идет по всем А:-мерным клет-
кам. Следовательно, группа Ск(Х; G) изоморфна прямой сумме
стольких экземпляров группы G, сколько клеток размерности к в
клеточном разбиении X. Будем при этом считать, что каждый эк-
земпляр G соответствует одной из Л-мерных клеток.
13 Ю. Г. Борисович и др.
385
Определим дифференциал дк: Ск(Х; G)—G). Пусть
хк — Л-мерная клетка X; ее граница содержится в объединении кле-
ток размерности, не выше к — 1 ((к — 1)-мерном остове X, обозна-
чаемом Xt-1). По определению клеточного комплекса, клетка хк за-
дается отображением приклеивания /: Sk~l Хк~1. Рассмотрим ком-
позицию Sk~l —*Xk~l—*Xk~l/Xk~2, где последняя стрелка —
отображение факторизации. Пространство Хк~1/Хк~2 является кле-
точным комплексом; оно состоит из одной клетки размерности
нуль — точки *, в которую перешло пространство Хк~2 при фактори-
зации, и стольких клеток размерности (к — 1), приклеенных по гра-
ницам к точке *, сколько их было в остове Хк~', т. е. в X. Такое про-
странство называется букетом {к — 1)-мерный сфер. Выделим в
Хк~1 клетку Ту-1; в букете сфер Хк~1/Хк~2 ей соответствует некото-
рая сфера Sy-1. Рассмотрим композицию отображений
где последняя стрелка обозначает отображение факторизации по
подпространству пространства Xk~lfXk~2, состоящему из всех сфер,
кроме Sy-1. Степень отображения этой композиции называется ко-
эффициентом инцидентности клеток хк и Ту и обозначается
[т*, Ту-1]; коэффициент инцидентности показывает,. сколько раз
граница клетки хк «накручивается» на клетку т^-1 при приклеива-
нии клетки хк к остову Хк~1. Обозначим через множество кле-
ток размерности к — 1 в клеточном комплексе X. Для каждой клет-
ки хк определим дифференциал дк формулой
дАт* = [тЛ, Ту-1] • Ту-1
и распространим дк и Ск(Х; G) по линейности *.
При к = 1 коэффициент инцидентности [т1, т9] может быть ра-
вен 0, 1 и — 1. Если /((0; 1)) — 1-мерная клетка т1, то
0, если [/(0) U/(l)] П ту° = 0
Г1, Ту] = 1, если или /(0)=/(1) = т^ /(1) = т9 и /(0) т9,
-1, если /(0) = т9 и /(1)^т°.
Можно показать, что дк
* Как и в § 4, мы считаем, что G — кольцо с единицей.
386
Итак, построен цепной комплекс С.(Х; G). Оказывается, что его
гомологии совпадают с группами сингулярных гомологий комплекса
X. Доказательство этого факта использует лишь технику точных
последовательностей; мы не приводим его, поскольку оно чересчур
длинно.
Выгода метода вычисления гомологий с помощью комплекса
С,(X; G) очевидна: группы Ск(Х; Z) имеют конечное число обра-
зующих в отличие от групп Ск(Х; Z). Следовательно, подгруппы
Л-мерных циклов и границ тоже имеют конечное число образую-
щих, как и их факторгруппа Нк(Х; Z). Из теории абелевых групп
следует, что
Нк(Х~, Z) — (Z ф ... ф Z) ф Z * ф ... ф Z *,
•----,----• и Ч
р*
где Zp* — конечная циклическая группа порядка pf, причем р| де-
лится на pf_p Число рк называется ^-мерным числом Бетти, а чис-
ла — ^-мерными числами кручения пространства X.
Описанный способ, несмотря на некоторую сложность его обос-
нования, является весьма удобным с практической точки зрения и
позволяет просто вычислить гомологии целого ряда конкретных про-
странств.
Упражнение 1°. Представив сферу S" в виде клеточного комплек-
са S" = еп U е°, 1, подсчитайте гомологии S". Покажите, что
рк = 0, к 0, п; р0 = рп — 1 и что все р* = 0.
Вычислим группы гомологий комплексного проективного про-
странства СР". Для этого представим СР" в виде клеточного комп-
лекса. Точка из СР'1 задается большим кругом (е111^, е1 •••
..., <?'Ч„ + 1), о =£ а < 2л, из Sfc (т. е. е С, |^|2+...
... + | ^и + 11 2 = 1). Определим клетку т2*, где 0 $ к $ п, с помощью
характеристического отображения g2k: D2k—»СР", сопоставляющего
точке
е
£ес*: 2
~ Du
точку из СР", заданную большим кругом
(е'Чр eiaKk, e-Vl- |^|2-...- |^|2, 0, ..., 0).
При к = 0 это большой круг (точка в СР") (ela-1, 0, ..., 0).
Таким образом, пространство СР" представлено в виде клеточно-
го комплекса (проверьте!), имеющего по одной клетке в четных
13*
387
размерностях до In включительно, и не имеющего клеток в осталь-
ных размерностях. Поэтому
г Г(ГР«-г'» ~ JG ПРИ к-2т и к 2п,
' |0 при к — 2т + 1 или к > 2п.
Поскольку одна из групп С\_|(СР"; G), С^(СР"; G) тривиальна, в
комплексе С.(СР"; G), состоящем из групп СА.(СР"; G). граничный
гомоморфизм может быть только тривиальным. Получаем изомор-
физм Hsk(JCPn; G) СДСР"; G), т. е.
Я?(СР"; G) при к = 2i 2п’
k ' |0 в остальных случаях.
Гомологии комплексного проективного пространства СР" могут
быть вычислены и другим способом. Сначала мы зададим гладкую
функцию / на многообразии СР", все критические точки которой
невырождены, а затем с ее помощью установим структуру клеточ-
ного комплекса, гомотопически эквивалентного СР'1, и вычислим
его группы гомологий.
Будем рассматривать СР" как пространство орбит группы S1,
действующей на 52и+1. Определим функцию <р: C"+1 —»R, положив
п
<p(z0, ..., zn) = У Cj|zj2, где Cj — вещественные числа, причем
J=o
Cj < с>+1. Пусть
(z0, ...,2„)6Sb+1CC"+l, т.е. у|г.|2=1.
7=0
Легко видеть, что для любого комплексного числа А такого, что
| А| = 1, выполнено равенство <p(z0, ..., zn) = ^(Azq, ..., Azrt). Та-
ким образом, <р определяет функцию на СР". Обозначим ее /:
CP"-*R.
Построим на СР" следующую локальную систему координат.
Пусть Uj — множество классов эквивалентности точек (z0, ...
..., zn) G 52п+| таких, что Zj * 0. Положим | zj-| --- = xjk + iyjk.
Функции xyt(z0, ..., z„), yjk(z0, ..., zn), A = 0, ..., j - 1, j + 1, ..., n,
задают диффеоморфизм множества Uj на открытый единичный шар
в R2".
Упражнение 2°. Проверьте, что множества Uj и отображения, за-
даваемые функциями
Xjk, yjk, к = о, ..., j- 1, j+ 1, .... п, j = Q,l,...,n
образуют атлас гладкого многообразия СР".
388
Поскольку I Zk 12 = xjk 4- yjk И I zy I 2 = 1 - £ (xjk + y2t), TO В ЛО-
t*/
кальных координатах в Uj функцию f можно представить в виде
/(•••> х-к> Уп, •••) = cj + 2 <ск - + УрУ
к*!
Единственной критической точкой функции / в Uj является точка
Xjk = уjk = Q, k — Q, 1, ..., j — 1, j + 1, ..., n. Эта критическая точ-
ка невырождена, ее индекс равен удвоенному числу отрицательных
разностей ск — cJt т. е. удвоенному числу ск, меньших с,. Поэтому
индекс критической точки в Uo равен нулю, индекс критической
точки в равен двум и т. д. Вообще, индекс критической точки в
Uj равен 2/.
Итак, функция / имеет п критических точек, индексы которых
равны 2/, 0 < j п. Поэтому (см. § 12 гл. IV) пространство СР"
имеет гомотопический тип клеточного комплекса К, состоящего из
клеток четных размерностей 2), 0 =£ j п, по одной в каждой раз-
мерности. Для такого комплекса К имеем
G при к = 2j 2п,
О в остальных случаях.
Поскольку одна из групп Ск(К\ G), Ск_^К‘, G) тривиальна, в ком-
плексе С, (К; G), состоящем из групп Ск{К\ G), дифференциал мо-
жет быть только тривиальным. Получаем изоморфизм
G) СДК; G).
Учитывая, что группы гомологий гомотопически эквивалентных
пространств совпадают, имеем окончательный результат:
CJK; G)
Я£(СР"; G)
при к = 2/ =£ 2л,
в остальных случаях.
G
О
Рассмотрим теперь вещественное проективное пространство RP".
Его группы гомологий также можно вычислить, представив RP" в
виде клеточного комплекса.
Точка из RP" задается как пара {х, — х}, где х = (хп ...
п + 1
..., хп+)) е т. е. х2 = 1. Определим клетку тк, где 0 =£ к =£ п, с
1 = 1 _
помощью характеристического отображения gk: Dk—»RPn, сопостав-
ляющего точке (Ijj,
вида (х, —х), где
к
И R‘: 2^1
i = l
= Dk точку из RP"
-и 6
X = (^, ..., Vl-^2-...-^, О, ..., 0).
389
При к = 0 имеем х = (1, О, О).
Таким образом, пространство RP" представлено в виде клеточ-
ного комплекса, имеющего по одной клетке в каждой размерности
от 0 до п. Заметим, что в полученном клеточном комплексе его к-
мерный остов является пространством RP”, где 0 =£ к =£ п.
Вычислим сначала //f(RP"; Z2). В соответствующем цепном
комплексе
Ct(RPn; Z2) Z2, к = 0, 1, ..., п.
Для вычисления граничного гомоморфизма рассмотрим коэффициен-
ты инцидентности [т*, т*-1] — степени отображений <pt: S*-1—»
возникающих как композиции
Si-l-^Rpi-^Rpi-i/Rp*-2-»^-1,
где 2 к =£ п.
Каждое из этих отображений ц>к можно представить иным спосо-
бом в виде композиции у>к = Отображение у>к действует так:
сначала в сфере Sk~l стягивается экватор Sk~2 в точку, а затем в по-
лученном пространстве («букете») две сферы склеиваются таким об-
разом, что каждая точка склеивается с точкой, «в прошлом» (в исход-
ной сфере) центрально симметричной данной. Таким образом, ак
отображает Sk~l на букет двух {к — 1)-мерных сфер, причем обра-
зующая у группы Hsk_i(Sk~v-, Z) переходит на сумму + у2 образу-
ющих (к — 1)-мерной группы гомологий. Отображение fik склеивает
две сферы; в группах гомологий образующие и у2 переходят на
± у, поскольку на каждой из сфер букета fik — гомеоморфизм. Таким
образом, гомоморфизм (<р^),^_( может переводить образующую
у либо в 2• у = у + у, либо в Q-y = у — у. В любом случае
deg = 0(mod 2), т. е. [тА, т*-1] s 0(mod 2) при 2 =£ к г£ п. Таким
образом, граничный гомоморфизм Ч в С, (RP"; Z2) тривиален при
2 < к =5 п. При к = 1 нетрудно видеть, что [т1, т°] = 0. Следователь-
но, граничный гомоморфизм дк тривиален при всех к = 0, 1, ..., п.
Поэтому группы гомологий #£(RPn; Z2) изоморфны группам цепей
Ct(RPn; Z2), т. е.
[Z, при 0 =£ к =£ п,
#‘(RP";Z2)^ 2 р
*' 2 10 при к > п.
Перейдем к вычислению целочисленных групп гомологий
ЯДЙР'»; Z). Очевидно, Ct(RPn; Z) <=* Z при 0i£k^n, при к > п
имеем Ct(RPn; Z) = 0. Для вычисления дк снова рассмотрим отобра-
390
жения <рА = $k'ak- Можно показать (используя результат упражне-
ния 5° § 6), что гомоморфизм (РА).£_] при четном к—\ (т. е. не-
четном к) переводит образующую у, в у и у2 в (—у), а при нечетном
к — 1 (т. е. четном к) обе образующие, и у2, переходят в у. Поэто-
му (<рА), А-1у = 0-у при нечетном к и (фА), Л_ху = 2- у при четном к.
Соответственно, [тА, тА-1] =0 при нечетном к и [т*, тА-1] =2 при
четном к. Таким образом, граничный гомоморфизм дк тривиален при
нечетном к и заключается в умножении на 2 при четном к г? п.
Следовательно, /f0(RP"; Z) — Z, /^(RP"; Z) — Z2, //2(RP"; Z) 0,
#3(RPn; Z) Z2 и т. д. (при n > 3).
Получаем следующий результат:
при п = 2т
Hk(RPn; Z)
Z при к = 0,
Z2 при к = 2р + 1, 1 < к < п,
0 в остальных случаях;
при п = 2т + 1
//£(RPn; Z)
при к = 0, п,
при к = 2р + 1, 1 к п,
в остальных случаях.
Следующее упражнение выполните, опираясь на описание гомо-
топического типа многообразия (см. п. 4 § 12 гл. IV).
Упражнение 3°. Покажите, что если Мп — компактное гладкое
многообразие размерности п, то Нк(Мп; G) = 0 при к > п.
§ 8. Эйлерова характеристика и число Лефшеца
Весьма важным для приложений является вопрос о том, когда
непрерывное отображение /: X—*Х топологического пространства
X в себя имеет неподвижную точку, т. е. когда существует такая
точка х G X, что /(х) = х. Достаточные условия существования не-
подвижных точек могут быть даны в терминах групп гомологий и
их гомоморфизмов. Этим вопросам посвящен настоящий параграф.
Всюду ниже мы рассматриваем топологические пространства, яв-
ляющиеся компактными полиэдрами.
1. Число Лефшеца симплициального отображения. Группу
коэффициентов G в дальнейшем будем считать полем. Рассмотрим
симплициальное отображение /: | К | -» | К |, где К в соответствии с
договоренностью § 3 — конечный симплициальный комплекс. Инду-
цированный гомоморфизм группы симплициальных гомологий
f.p: Hp(K-G)^Hp(K-,G)
391
является эндоморфизмом векторного пространства Нр(К', G). Выбор
базиса в Нр(К-, G) позволяет сопоставить эндоморфизму матрицу,
след которой Sp(/.p) от выбора базиса не зависит.
Определение 1. Числом Лефшеца симплициального отображе-
ния f'. |Х| —» |Х| компактного полиэдра |Х| в себя называется ве-
личина
A/ = S(-1)PSP (Ад)-
р-0
(1)
В силу конечности симплициального комплекса К сумма (1)
является суммой конечного числа слагаемых (конечность К нужна
также и для того, чтобы Нр(К\ G) были конечномерными вектор-
ными пространствами и следы Sp(/,p) были корректно опреде-
лены). _
Обозначим через Sp(/p) след матрицы эндоморфизма
fp: Ср(К; G) -*Ср(К; G) векторного пространства Ср(К; G).
Теорема 1. Для симплициального отображения / справедлива
формула
00
A/ = S(-1)PSP(/p)- (2)
р-0
Теорема 1 утверждает, что альтернированная сумма следов эн-
доморфизма цепного комплекса равна альтернированной сумме сле-
дов индуцированного эндоморфизма групп гомологий.
Для доказательства теоремы 1 необходимы следующие две лем-
мы, являющиеся легкими упражнениями по курсу линейной алгеб-
ры.
Лемма 1. Пусть А: Е—*Е — эндоморфизм векторного про-
странства Е, Ео — векторное подпространство пространства
Е и АЕ0 С Ео. Тогда А определяет эндоморфизм А: Е/Ео~* E/EQ и
Sp(A)=Sp(Al )+Sp(A). (3)
I £о
Лемма 2. Пусть A: E-*F — изоморфизм векторных про-
странств', А: Е—*Е, В: F —* F — такие операторы, что диаграмма
Е-----*- F
А В
V д и
Е-----F
коммутативна, т. е. ВЛ = АЛ; тогда
SpG4)=Sp(B).
(4)
392
Доказательство теоремы 1. Поскольку С,(Х;(7)-*
—» Ct(K; G) — гомоморфизм цепных комплексов, то
Л><Кег дР) с Кег дР и /Р(1га аР+1)с Im аР+1-
Введем следующие обозначения: Кег др = Zp, Im dp+1 = Вр, Ср(К;
G)/Ker др = Тр, Zp/Bp = Нр. По лемме 1 имеем
sp(7,) = sp(7J )+sp(?JJ =
Х₽/ \ р ' / . . V
= Sp(/,|s)+SP?p|J+SP?p|r (3)
Но дифференциал др индуцирует канонический изоморфизм др:
Т -»Вр_1, причем коммутативна диаграмма
Т ----► В .
р Р"1
По лемме 2 получим
sp(4.)=Sp(M» ) <6)
' р' р~\'
Ввиду того, что С0(К; G) = Кег д0, имеем
Sp|7o| I =sp(7| )• (7)
\ 1°
Ясно, что гомоморфизм /: Нр-*Нр совпадает по определению с го-
моморфизмом ftp. Нр(К', G)-*Нр(Х; G): Таким образом, из ра-
венств (5), (6), (7) получаем
Sp (7, | т) = Sp (7,1 s) + sp</.,) + Sp (7,_, I ).
\ p / ' p ’ \ Dp_\ f
откуда
OO 00
2 (_i)Psp(7p) = S(-i)p[Sp(7p|B \ +sp(/.p) +
p-0 p=0 р
00
+ 8р(/р-!|в )1 = 2(-1)'’Sp(/.p);
P-‘ p = G
393
итак,
00 00
2 (-iKSp(7p) = S (-i)psp(/.p). (8)
p — 0 p = 0
Следствие. Число Лефшеца над полем коэффициентов ха-
рактеристики нуль, в частности, над полями (Q, R или С, — це-
лое число.
Действительно, рассмотрев в С р(К\ G) базис из ориентирован-
ных симплексов, получим, что Sp(/p) — целое число, а следова-
тельно, в силу (4) Лу — целое число.
Роль числа Лу раскрывает следующая
Теорема 2. Пусть f: |Х| -» |KJ — симплициальное отображе-
ние и Лу =/= 0. Тогда существует неподвижная точка отображения
f, т. е. такая точка х 6 |К|, что fix') = х.
Доказательство. В силу (2) из условия Ф 0 следует
00
У (—1)р Sp (/р) Ф 0, поэтому найдется р, для которого Sp(/p) Ф 0.
Р = °
В базисе, состоящем из ориентированных симплексов, матрица эн-
доморфизма / состоит из элементов, равных 0, + 1 и — 1. Посколь-
ку Sp(/p) Ф 0, то найдется тР G К, для которого fp[xf] = ±[тР].
Следовательно, /1 , — гомеоморфизм х? на себя, линейный в бари-
центрических координатах, откуда вытекает, что барицентр тР —
неподвижная точка отображения /.
Обсудим важное дополнение к теореме 2. Пусть /:
|/бг)| —* |Х| — симплициальное отображение; конечно же, оно яв-
ляется непрерывным отображением /: |К"| —* |Х|, но не обязательно
симплициальным. Введем следующую суперпозицию Е<г)/, (см. § 3)
цепных гомоморфизмов:
/. 5*?
Ct(K(r\ G)-*C,(K; G).
Цепной гомоморфизм индуцирует гомоморфизм групп гомоло-
гий (Е<Г\Л): Я,(Х<Г»; G)-*//.( A^ri; G). Положим по определению
со
Л/ = 2 (-n^Sp [(EW/.Xpl- W
р=0
Упражнение 1°. Докажите, что
ОО 00
х (-I)PSP ^fp) = 2 (-i)psp [(^r7.).p] (10>
p — 0 p = 0
394
и что если Лу * 0, то существуют такие симплексы хр 6 и
цР 6 К, что хр С цР и /(тр) = цр.
Указание. Рассмотрите цепной гомоморфизм Е(г)/4 и проведи-
те для него рассуждения теорем 1, 2.
Рассмотрим теперь-пример, когда /=1К: | К| | К| — тожде-
ственное отображение полиэдра |XJ. Обозначим через размер-
ность векторного пространства Нр(\К\; G) *, а через dp — число
р-мерных симплексов в симплициальном комплексе К. Очевидно,
что
Sp ((1J.P) = Sp ((ljp) + Sp (lc (K; C)) = dp.
Формула (8) приобретает вид
00 00
X (-1)4 = 2 ("W (Ц)
p — 0 p=0
Формула (11) устанавливает соотношение между геометрическими
и гомологическими характеристиками полиэдра.
Определение 2. Эйлеровой характеристикой компактного по-
лиэдра |Х| называется величина
def “ 00
Х(|*|)= 2(-1)Ч = 2(-!)4 <12)
р = 0 р—0
Ясно, что х( I К\) =А1|а<
Упражнение 2°. Покажите, что справедливо равенство —
= 1 + (-1)"-
2. Число Лефшеца непрерывного отображения. В предыдущих
рассуждениях мы рассматривали лишь симплициальные отображе-
ния. Оказывается, что конструкцию числа.Лефшеца и утверждение
теоремы 2 можно обобщить и для произвольных непрерывных
отображений. При этом мы будем опираться на теорему единствен-
ности теории гомологий (см. § 5). Воспользуемся методом аппрок-
симации непрерывного отображения полиэдра симплициальным
отображением.
Теорема 3 (о симплициальной аппроксимации). Пусть
Х = |Л| — компактный полиэдр, f: — непрерывное отоб-
ражение. Тогда для любого е>0 найдутся такая триангуляция
К полиэдра X, ее r-кратное барицентрическое подразделение
и такое симплициальное отображение ft: | КУд | —» | к|, что
* Если G — поле характеристики нуль, то Р;, совпадает с p-мерным числом Бетти
Рр пространства | К? | в смысле определения § 7.
395
для любой точки х G X выполняется неравенство p(f(x),
/СМ) < е.
Доказательство. Выберем на полиэдре X триангуляцию К
такую, что мелкость триангуляции К меньше е. Будем называть
звездой St а с вершиной a G К внутренность объединения всех сим-
плексов, вершиной которых является а. Очевидно, звезды всех вер-
шин К образуют покрытие А"; покрытие образуют также и прообра-
зы {/-1(St аР}}аР^к.
Поскольку X компоктно, по лемме о лебеговом числе (см. теоре-
му 13 § 13 гл. II) существует число v>0 такое, что всякое мно-
жество диаметра dev содержится в одном из множеств у-* (St ар).
Выберем такое г, чтобы мелкость была меньше v/2. Тогда отоб-
ражение / переводит всякую звезду St bq, Ь'1 6 К{г\ в некоторую
звезду St ар, ар 6 К. Определим симплициальное отображение / :
| | —* | К | равенствами
/е(М) = «р. (13)
Упражнение 3°. Проверьте, что формула (13) действительно
определяет симплициальное отображение.
Вычислим теперь р(/(х), /£(х)) для х G X. Если х — вершина
К(г\ то /(St х) С St ар, ар 6 К, и, в частности, /(х) 6 St ар, поэтому
р(/(х), ар) = р(/(х), /Е(х)) < е.
Если же х 6 Int (b°, ..., bq), где (Ь°, ..., b'1) G К^г\ то х G
ч
6 Q St bl. Имеем /(х) G П St а1, откуда следует, что /(х) лежит
i-0
в симплексе, определяемом вершинами а1 = f (Ь'). В силу того, что
/е — симплициальное отображение, /Е(х) попадает в этот же симп-
лекс из К. Таким образом, и в этом случае р(/(х), /Е(х)) < е.
Упражнения. 4°. Покажите, что отображение / гомотопно отоб-
ражению /.
5°. Покажите, что для компактного полиэдра X существует по-
ложительное число а = а(Л") такое, что нз неравенства
р(/(х), g(x)) < а, выполненного для всех х G X (f, g: Х—*Х —
непрерывные отображения), следует, что отображения / и g гомо-
топны.
В силу теоремы единственности теории гомологий имеет место
изоморфизм Н,(К; G) HS,(X; G) для компактного полиэдра
X = |К| и, следовательно, dimG ® Hsp(X, G) < оо. Поэтому можно
дать следующее определение.
396
Определение 3. Числом Лефшеца непрерывного отображении f:
Х—>Х компактного полиэдра X в себя называется величина
со
Л/ = Е W (14)
р~0
где Др. Н^Х- G)^H^X- G).
В силу теоремы единственности теории гомологий для симплици-
ального отображения /: |/бг)| -» |К"|, г > 1, справедливо равенство
СС 00
S(-1)P Sp(/*P) = 2(-1)'’ Spf^/J^]. (15)
/> = 0 р = 0
Таким образом, определения 1 и 3 согласованы между собой.
Очевидно, что для гомотопных непрерывных отображений /, g:
Х^>Х имеем Лу = А. Поэтому число Лефшеца его симплициаль-
ной аппроксимации /с: | Xй’ | -> | К\, где К — триангуляция X.
Можно было бы определить число Лефшеца непрерывного отобра-
жения как число Лефшеца его симплициальной аппроксимации, не
используя сингулярной теории гомологий.
Следующая теорема является весьма полезной для различных
приложений. В ее доказательстве мы используем теорему единст-
венности теории гомологий.
Теорема 4 (Лефшец). Пусть f-. Х—*Х — непрерывное отобра-
жение компактного полиэдра X = |С| в себя и А 0. Тогда суще-
ствует неподвижная точка отображения f, 1П. е. такая точка
х е X, что f (х) = х.
Доказательство. Предположим, что / не имеет неподвиж-
ных точек. Тогда найдется такое у > О, что p(/(,v), ,г) > у для всех
х 6 X.
Рассмотрим триангуляцию К мелкости у/3 полиэдра X— |А| и
симплициальную аппроксимацию / /3: отображения /. Для
произвольных точек х, у любого симплекса т'' 6 к{г} имеем неравен-
ства p(/W3(x), у) & р(/(х), х) - р(х, у) - p(/W3(x), /(х)) & у/3.
Это означает, что включение т'; С /7/3(т';) невозможно. С другой
стороны, в силу того, что Ау /3 = А;- * 0, найдется т‘' G К<г\ для ко-
торого такое включение имеет место (см. упр. 4°). Полученное
противоречие завершает доказательство теоремы.
Упражнения. 6°. Распространите определение 2 и теорему 4 для
компактного полиэдра X, гомеоморфного |£|.
7°. Проверьте, что в условиях теоремы Брауэра о неподвижной
точке (см. § 4 гл. Ill) Ay -I- 1.
Указание. Постройте гомотопию к постоянному отображению.
397
3. Эйлерова характеристика многообразия и особые точки
векторного поля. Остановимся теперь на применении полученных
результатов к теории многообразий.
Теорема 5. Пусть Мп — одновременно гладкое компактное
многообразие и полиэдр *. Пусть yJMn) 0. Тогда для всякого век-
торного поля X на Мп существует точка х° 6 Мп такая, что
Х(х°) =0.
Другими словами, на многообразии с ненулевой эйлеровой ха-
рактеристикой не существует векторного поля без нулей.
Доказательство. Как замечено в § 8 гл. IV, для векторного
поля X существует однопараметрическое семейство диффеоморфиз-
мов U(x, t) такое, что U(x, 0) s х и поле X является его инфини-
тезимальной образующей. При этом орбита U U(x, t) точки х на-
t
зывается интегральной кривой поля X в точке х. Легко видеть, что
семейство диффеоморфизмов U(x, t), 0 t t0, осуществляет гомо-
топию между диффеоморфизмами
def
и Ut-. Мп-+Мп, где l/t(x) = U(x,t0).
Следовательно, Aj „ = А^ , но Л( n — таким образом, для
М м
всякого t0 получаем = х(Л/") * 0- Поэтому (см. теорему 4)
'о
диффеоморфизм Ut имеет неподвижную точку (для каждого /0).
Предположим теперь, что поле X нигде на М" не обращается в
нуль. Тогда в силу компактности Мп найдутся положительные а и
Р такие, что для всякого х 6 М" в римановой метрике выполнено
неравенство а (Х(х), Х(х)) р. Отсюда следует, что каждая точка
х 6 Мп обязательно сдвигается диффеоморфизмом Ut вдоль интег-
ральной кривой точки х при достаточно малом t > 0; это можно про-
верить, рассмотрев интегральную кривую в карте точки х. Послед-
нее противоречит существованию неподвижной точки у диффеомор-
физма Ut.
Следствие. Если п четно, то на сфере S" не существует век-
торного поля без нулей.
Лемма 3. На компактном гладком многообразии существует гладкое вектор-
ное поле, сумма индексов особых точек которого равна эйлеровой характеристике
многообразия.
Доказательство. Пусть Мп — компактное гладкое многообразие, /:
Af”-»R — функция Морса (гладкая функция, все критические точки которой не-
вырожденны). Пространство Мп имеет гомотопический тип клеточного комплекса
К, число клеток размерности X которого равно числу ш(Х) критических точек х$
* Отметим, что все гладкие компактные многообразия являются полиэдрами.
398
индекса X функции f (см. § 11 гл. IV). Эйлерова характеристика х(/С) простран-
ства К равна
У (-1)х dim0C\(K; С) (-1)х dim^tX; G)
х=о х=о
(сравните с определением 2 и теоремой 1 этого параграфа). Таким образом,
Х(.МЛ) = Х(Ю=^ (-l)Jwi(X). (16)
А=0
С другой стороны, в силу упражнения 10° § 6 индекс особой точки X- поля градиента
равен (~1)\ Поэтому (-l )'m(X) есть сумма индексов особых точек поля градиента
1=0
функции /.
Лемма 4. Сумма индексов особых точек векторного поля с изолированными
особыми точками на компактном гладком многообразии не зависит от выбора
векторного поля.
Доказательство этой леммы дадим вкратце. Пусть Мп — связное многообра-
зие, вложенное в R", m > /г 4-1; выберем достаточно малую «трубчатую» окрестность
многообразия Мп в R™, т. е. такую окрестность которая является пространст-
вом локально тривиального расслоения с базой М" и слоем, гомеоморфным диску
Dmn. При этом отображение проекции расслоения г — гладкая ретракция, а много-
образие Мп — сильный деформационный ретракт пространства Интуитивно
трубчатую окрестность многообразия М” можно представить себе состоящей из дис-
ков £>”~"(х) над каждой точкой хЕМп, лежащих в (т — п)-мерных плоскостях, ор-
тогональных к касательным плоскостям многообразия Мп. Множество является
компактным полиэдром. Нетрудно показать, что //!га |(а(/(Л/"); Z) Z; образующая
этой группы есть цикл, ограничивающий Поэтому всякое отображение ip:
dV(M") -»Sm-1 определяет элемент deg tpeZ. Рассмотрим некоторое поле Ф:
I/(A/'’)-»R’", не обращающееся в нуль на dU(М"). Сопоставим полю Ф нормирован-
ное отображение
Ф: Фх = Фх/||Фх||.
Степень deg Ф отображения Ф равняется сумме индексов точек поля Ф. Пусть теперь
v — векторное поле на многообразии Мп. Определим поле w. d/(A/'*)-»R'" формулой
щ(х) = v(rx) + х — г(х). Сумма индексов особых точек поля w совпадает с суммой
индексов особых точек касательного поля v (с помощью теоремы Сарда общий случай
можно свести к изучению гладких полей с невырожденными особыми точками и при-
менить результат упражнения 7° § 6). Поле w на dU(Мп) гомотопно без особых точек
векторному полю z(x)*=x — г(х). Отсюда для нормированных отображений z по-
лучим deg ® = deg z, и, следовательно, deg а) не зависит от поля и.
Из лемм 3, 4 вытекает следующая теорема.
Теорема 6. Сумма индексов особых точек векторного поля с изолированными
особыми точками на гладком компактном многообразии равняется эйлеровой ха-
рактеристике многообразия.
def
Упражнение 8°. Пусть М" — гладкое компактное многообразие и —
def
= dimG Я’(Л7"; (7) и-О. Покажите, что любая функция Морса на многообразии М"
имеет не менее Pp(JVf") критических точек индекса р (неравенства Морса).
4. Число Лефшеца как сумма индексов неподвижных точек.
Замечательным фактом в алгебраической топологии является теоре-
ма Лефшеца—Хопфа, связывающая число Лефшеца непрерывного
отображения компактного полиэдра с характеристиками (индекса-
399
ми) неподвижных точек этого отображения. Дадим ряд основных
определений.
Определение 4. Симплициальный комплекс К называется раз-
мерно-однородным, если существует такое число п, что всякий сим-
плекс из К является гранью (возможно, несобственной) некоторого
«-мерного симплекса из К', полиэдр |А?| размерно-однородного сим-
плициального комплекса К называется размерно-однородным поли-
эдром, а число п называется размерностью полиэдра (7С|.
Упражнения. 9°. Покажите, что полиэдр, являющийся одновре-
менно и многообразием (с краем или без края), является размерно-
однородным полиэдром.
10°. Приведите пример размерно-однородного полиэдра, не яв-
ляющегося многообразием.
Пусть /: X—*Х — непрерывное отображение размерно-однород-
ного (размерности «) полиэдра х С RM в себя (« ^ М).
Определение 5. Точку х0 G X будем называть регулярной не-
подвижной точкой отображения f, если: 1) /(х0) = х0; 2) сущест-
вует окрестность Я(х0) точки х0, гомеоморфная «-мерному диску
D”, в которой нет других неподвижных (т. е. таких, что f(x) = х)
точек; 3) вышеупомянутый гомеоморфизм h: U(x0)—*Dn есть огра-
ничение на U(x0) отображения Н: RM-»R”, являющегося суперпо-
зицией двух отображений: проекции RM на некоторое «-мерное
подпространство и афинного отображения, сдвигающего проекцию
точки х0 в начало координат и растягивающего образ окрестности
U(x0) на Dn.
Если, например, х0 G т'1\дт” с X, то в качестве Н можно взять су-
перпозицию таких трех отображений: переноса несущей «-плоскости
симплекса т" в соответствующее «-мерное подпространство, сдвига
образа точки в начало координат и растяжения в достаточно большое
число раз так, чтобы Hx“JDn. Тогда Я(х0) можно выбрать как
Я-1 (О'1) П т”.
Упражнения 1Г. Пусть X — одновременно полиэдр (криволи-
нейный) и гладкое подмногообразие в RM (возможно, с краем), /:
X—— непрерывное отображение с конечным числом неподвиж-
ных точек, не принадлежащих краю многообразия X. Покажите,
что все неподвижные точки — регулярные изолированные.
Указание. Используйте проекцию на касательное прост-
ранство.
12°. Покажите, что если / имеет только регулярные изолирован-
ные неподвижные точки, а полиэдр X компактен, то число непод-
вижных точек конечно.
Очевидно, если X — полиэдр и многообразие с краем, то регу-
лярные изолированные точки отображения / не могут принадлежать
краю.
400
Пусть х0 — регулярная неподвижная изолированная точка отоб-
ражения /, h: U(x0)—»Dn — гомеоморфизм, указанный в опреде-
лении 5. Рассмотрим гомеоморфную Dn окрестность У(х0) точки
х0, настолько малую, что У(х0~) С С7(х0) и /(У(х0)) С £/(х0). В
этом случае можно рассмотреть векторное поле Ф(х) = 1R« — Л/Л-1,
заданное на Л(И(х0)).
Определение 6. Индексом ind (/, х0) регулярной изолированной
неподвижной точки х0 отображения / называется индекс
ind (О, Ф) изолированной особой точки О G R" векторного поля
Ф(х) = 1R„ - hfh~l.
Упражнение 13°. Покажите, что индекс ind (/, х0) не зависит от
выбора гомеоморфизма Л и окрестности У(х0).
Указание. Выберите достаточно малую окрестность Ж(х0) и
воспользуйтесь тем, что
- Л2/Л-1 = Л2Л^(1К» -
на A2(H^(x0)), когда — линейный оператор.
Теперь мы можем сформулировать основную теорему.
Теорема 7 (Лефшец—Хопф). Пусть f: X —— непрерывное
отображение компактного размерно-однородного полиэдра в себя с
регулярными изолированными неподвижными точками хр х2, ...
• ••, xN, причем f не имеет других неподвижных точек. Тогда вы-
полняется равенство
N
лу = 2 ind <17)
1=1
где Лу- — число Лефшеца отображения f, a ind (/, х() — индекс
неподвижной точки xt отображения [.
Доказательство этой теоремы потребует дополнительных
определений.
Определение 7. Открытым k-мерным симплексом с вершинами
а°, а1, ..., ак называется множество тех точек обычного (замкнуто-
го) симплекса (а0, а1, ..., ак), у которых все барицентричекие коор-
динаты строго положительны.
Другими словами, в размерности к = 0 открытый симплекс сов-
падает с замкнутым симплексом, а в размерности к > 0 — это внут-
ренность (относительно несущей Л-плоскости) замкнутого симплек-
са. Легко видеть, что замыкание открытого симплекса есть замкну-
тый симплекс той же размерности.
Определение 8. Полным симплициальным комплексом будем
называть совокупность открытых симплексов, замыкания которых
401
составляют симплициальный комплекс в смысле определения 4 § 3
гл. V.
Определение 9. Неполным симплициальным комплексом будем
называть произвольное подмножество (т. е. совокупность открытых
симплексов) некоторого полного симплициального комплекса, если
оно само не является полным симплициальным комплексом.
Таким образом, как в полном, так и неполном комплексах при-
мыкание симплексов должно быть правильным, но в неполном ком-
плексе, в отличие от полного, симплекс может входить в комплекс
без некоторых своих граней. Как для полных, так и для неполных
симплициальных комплексов вводится понятие подкомплекса (пол-
ного или неполного) аналогично определению 11 § 3 гл. V и понятие
полиэдра аналогично определению 5 § 3 гл. V. -
Заметим, что понятие подчиненности одного симплекса другому,
т. е. такой ситуации, когда один симплекс является гранью другого,
полностью переносится на открытые симплексы. Везде ниже термин
«симплекс» будет обозначать открытый симплекс, термин «комп-
лекс» — полный или неполный симплициальный комплекс (из от-
крытых симплексов); термин «грань симплекса» — открытый симп-
лекс, являющийся гранью (быть может, несобственной) данного от-
крытого симплекса; термин «звезда симплекса» — симплициальный
комплекс (обычно неполный), состоящий из всех тех симплексов,
гранью которых является данный симплекс. Термин «триангуляция»
будет обозначать комплекс (всегда полный), полиэдр которого сов-
падает с данным пространством (или гомеоморфен ему). Отметим,
что полиэдр полного комплекса открытых симплексов совпадает с
полиэдром комплекса, состоящего из их замыканий.
Определение 10. Пусть К — комплекс (полный или неполный).
Его комбинаторным замыканием называется полный симплициаль-
ный комплекс К, состоящий из всех симплексов из К и всех их гра-
ней. Очевидно, что комбинаторное замыкание комплекса — полный
комплекс; если К — полный комплекс, то К — К.
Определение 11. Пусть К — полный симплициальный комп-
лекс, L — комплекс, /: *|L| — симплициальное отображе-
ние, отображающее каждый симплекс из К в некоторый симплекс
из L. Будем в этом случае называть / симплициальным отображе-
нием симплициальных комплексов и обозначать /: /С—» L.
Определение 12. Пусть L — неполный комплекс, М — комп-
лекс, g: — симплициальное отображение. Будем называть
ограничение g = отображения ~g на L симплициальным
отображением неполного комплекса L в комплекс М.
Далее нам понадобится конструкция так называемого централь-
ного подразбиения комплекса относительно данного подразбиения
его подкомплекса.
Пусть Кп — размерно-однородный комплекс размерности п,
К1 — его Z-мерный остов, т. е. подкомплекс, состоящий из всех сим-
плексов из Кп размерности не выше /, I п. Пусть К1 — некоторое
подразбиение К1, т. е. комплекс, полиэдр которого совпадает с по-
лиэдром (А7! и каждый симплекс из К1 есть объединение несколь-
ких (возможно, одного) симплексов из К1.
Мы строим центральное подразбиение Кп индуктивно. Опишем
шаг индукции, т. е. построение подразбиения K,rl+i его (т + 1)-
мерного остова Кт+1, в предположении, что подразбиение Кт уже
построено.
Пусть симплекс xm+1 принадлежит /Ст+1, точка bQ — барицентр
симплекса xm+1. Тогда полиэдр | {дтт+1}| границы dxm+1 можно
представить как объединение некоторых симплексов из Кт и, воз-
можно, еще некоторых граней симплекса xm+1, не вошедших в Кт,
следовательно, и в Кт. Множество точек открытых интервалов,
соединяющих барицентр Ао симплекса xm+1 со всеми точками како-
го-нибудь (одного) из перечисленных граничных симплексов, есть
также симплекс размерности на единицу больше, чем размерность
этого граничного симплекса. Совокупность всех построенных таким
образом внутри х"1+1 симплексов вместе с барицентром Ьо представ-
ляет собой подразбиение симплекса х”'+1. Осуществив такие подраз-
биения всех симплексов размерности т + 1 и объединив их с имею-
щимся подразбиением Knl, получим новое подразбиение Knl+l осто-
ва Km+i, которое назовем центральным относительно Кт. Шаг
индукции закончен.
Теперь, отправляясь от К1, мы построим подразбиения Kl+l,
К1+2, ..., Кп, т. е. в итоге построим подразбиение К" всего комплек-
са Кп. Это подразбиение Кп будем называть также центральным от-
носительно исходного подразбиения К1 остова К1.
Заметим, что барицентрическое подразбиение полного комплекса
является центральным относительно его 0-мерного остова.
Определение 13. Пусть К — подразбиение комплекса К, <р:
К—* К — симплициальное отображение. Симплекс xr G К будем на-
зывать неподвижным относительно <р, если xr С <р(хг).
Поскольку мы рассматриваем открытые симплексы, из опреде-
ления 13 следует, что размерности симплексов в хг и <р(хг) совпа-
дают (равны).
Определение 14. Звездой St (хг) симплекса тг из комплекса К
называется совокупность всех симплексов в К, гранью которых яв-
ляется симплекс хг (включая и его самого).
Перейдем к доказательству теоремы. Оно распадается на не-
сколько этапов, некоторые из них мы изложим в виде лемм; в фор-
мулировках лемм предполагается выполнение условий теоремы.
Лемма 5 (о специальной симплициальной аппроксимации). Для
всякого е > О существуют конечные последовательности {Дт;}
403
подразбиений данной триангуляции К и {/(,„)} симплициальных
отображений (т = О, 1, 2, п), обладающих следующими свой-
ствами:
1) Х(т+1) — центральное подразбиение К(т):
2) К.^-* К — симплициальное отображение, имеющее не-
подвижные симплексы лишь в размерности не ниже т;
3) f (m+ljC*)) <' £/(tt "Ь О для всех х G X и
т — О, 1, п;
4) р(/(х), /(0)(х)) < е/(п + 1) для всех х е X;
5) звезды любых двух различных неподвижных относительно
f(m) hi-мерных симплексов в не пересекаются,
В частности, каждое отображение т = 0/1, ..., п, является
симплициальной e-аппроксимацией отображения /, и если fn имеет
неподвижные симплексы, то только в размерности п.
Доказательство леммы 5. По теореме о симплициальной
аппроксимации найдется r-кратное барицентрическое подразделе-
ние K(0) — K^ мелкости d < e/2(n+ 1) комплекса К и симплици-
альное отображение —>К такие, что для всех х 6 X
р(/(х), До/*)) < + О- Очевидно, при г > 1 для = К<г) вы-
полняется свойство 5. Таким образом, при г > 1 построено первое из
отображений, требуемых в лемме.
Теперь проведем индукцию по т. Считая, что подразбиение
и отображение К(т. -»К, обладающие вышеуказанными
свойствами, уже построены, построим подразбиение и отоб-
ражение f(m+ly Х(т+1)-*К. Будем подразбивать только симплексы,
входящие в звезды неподвижных относительно /(П|) симплексов раз-
мерности т. Пусть тт — такой неподвижный симплекс, St(xm) —
его звезда в К^т). Сделаем центральное подразбиение гт относи-
тельно его границы (неподразбитой). Затем выполняем центральное
подразбиение комплекса St (тт) относительно только что выполнен-
ного подразбиения тт (заметим, что т"1 есть m-мерный остов комп-
лекса St (тт)), и переходим к комбинаторному замыканию подраз-
битой звезды. Выполнив указанное подразбиение для всех звезд не-
подвижных симплексов и оставив без изменения остальные
симплексы из Х{т}, мы и получим искомое подразбиение А'(гп+1).
Теперь построим симплициальное отображение f(m+iy
Положим /(т+1) = /(,п) вне подразбитых звезд непод-
вижных симплексов. Построим новое симплициальное отображение
на каждой подразбитой звезде неподвижного относительно /(т) сим-
плекса. Барицентр неподвижного m-мерного симплекса т”' переве-
дем в произвольно выбранную вершину звезды $1(/()н)(т’")) образа
404
/(,n)(t'n), но не в вершину самого образа. И наоборот, барицентры
симплексов подразбиения звезды St(T'”), не являющихся неподвиж-
ными, переводим в произвольно выбранные вершины образа
/(„,)(х'”). Проделав описанную конструкцию для всех звезд (непере-
секающихся!) неподвижных пг-мерных симплексов, получаем иско-
мое симплициальное отображение —* К.
Упражнение 14°. Проверьте корректность конструкции симпли-
циального отображения
Теперь покажем, что отображение не имеет неподвижных
симплексов в размерностях ниже т + 1. Заметим прежде всего, что
всякий неподвижный относительно симплициального отображения
/(т): К(т)—*' К симплекс из К(т^ лежит в симплексе той же размерно-
сти (его образе) в К, а также в симплексе той же размерности любого
из предыдущих разбиений. Кроме того, из определения неподвижного
симплекса и конструкции центрального подразбиения вытекает, что
если вершина b есть барицентр симплекса тг размерности г исходного
подразбиения К или же одного из последующих подразбиений
К(о), ..., К(т_^ и эта же вершина b является вершиной неподвижного
симплекса г1 размерности I из К, то I > г. Действительно, в против-
ном случае симплекс xz должен быть подмножеством /-мерного симп-
лекса из К, поэтому барицентр b симплекса хг, г > /, из К или одного
из подразбиений К(0), ..., К(т_^ не может быть вершиной неподвиж-
ного симплекса xz. Нужный факт докажем от противного. Предполо-
жим, что в есть неподвижный относительно /(т + 1) симплекс
ts размерности s, s < т + 1. Из построения + следует, что т5 со-
держится в одном из комбинаторных замыканий подразбитых, как
описано выше, звезд типа St (xm), где xm — неподвижный симплекс
отображения /(т). Ведь вне этих звезд /(т+1) = а там /(т) не
имеет неподвижных симплексов. Далее, симплексы из комбинаторно-
го замыкания подразбитой St (xm), не лежащие в т"', либо являются
симплексами из и поэтому не являются неподвижными, либо
имеют в качестве одной из вершин барицентр симплекса размерно-
сти, большей чем т, и поэтому не могут быть неподвижными симп-
лексами размерности, меньшей или равной т. Таким образом, мы по-
лучим, что xs С хт, и, следовательно, 5 = т. Но это противоречит
конструкции /(„;+!), так как одна из вершин симплекса Xs непременно
барицентр подразбиваемого неподвижного симплекса т'п, а этот бари-
центр переводится отображением /(т+1) вне множества вершин симп-
лекса /(1)1)(тт), в котором содержится хт, а значит, и т5. Таким обра-
зом, мы пришли к противоречию с предположением s < т + 1 и тем
405
самым доказали, что у отображения /(т+1) нет неподвижных сим-
плексов в размерностях, меньших т + 1.
Покажем теперь, что звезды двух неподвижных (относительно
/(m+i)) симплексов Tj*+1 и Т2*+1 из не пересекаются. В самом
деле, если бы они пересекались, то это означало бы, что оба непод-
вижных симплекса есть (т + 1)-мерные грани одного и того же сим-
плекса т1 большей размерности s> m + 1 в K(m+iy Но -^(о) — г-крат-
ное (г > 0) барицентрическое подразделение комплекса К, а ^(то+1)
является результатом последовательных центральных подразбиений
исходя из К(0), поэтому в Симплексе т® может быть в каждой размер-
ности не более одной грани, являющейся неподвижным симплексом,
а именно той грани, которая лежит в грани изначального s-мерного
симплекса из К, измельчением которого получен симплекс тЛ Поэто-
му звезды двух неподвижных симплексов не пересекаются.
Осталось проверить выполнение неравенства
Р(/(ТО)(*)’ /(«+!)(*)) < 7ГГГ (18)
Действительно, /(т) и различаются лишь на звездах непод-
вижных относительно симплексов. Так как мелкость триангуля-
ции К(о) была зафиксирована: d < е/2(« + 1), диаметр любой звезды
в К{т. не превосходит е/(« + 1). Далее, поскольку образы точек не-
подвижного симплекса тт при отображениях и /(т+1) не выхо-
дят за пределы замыкания звезды образа /(т)(тт), то указанное не-
равенство (18) справедливо для любого х из звезды симплекса гте,
а следовательно, и для любого х е X = | А7|, что и требовалось.
Итак, исходя из подразбиения К^ту и симплициального отобра-
жения К мы построили следующее подразбиение
А'(т+1) и симплициальное отображение удовлет-
воряющее требованиям леммы. Шаг индукции закончен.
Тем самым мы получим конечную последовательность симпли-
циальных отображений Х^т> —»К, m = Q, 1, ..., п, имеющих не-
подвижные симплексы в размерностях не ниже т для следова-
тельно, последнее из этих отображений, имеет только «-мер-
ные неподвижные симплексы. Из неравенства (18) и выбора f^oy
получаем, что
/(и)(х)) «= р(/(х), /(0)(х)) + р(/(0))(х) Д(х)) + ...
...+р(/(„_1)(х),/(„)(х))<(« + 1)-^у,
т. е.
f(n}(x)) < е
для всех х G X — | К\. Лемма 5 доказана.
Построенная в лемме 5 специальная симплициальная аппро-
ксимация как будет показано, удобна для подсчета индексов
неподвижных точек.
Лемма 6. Пусть К^—^К — симплициальное отображение
и симплекс т" неподвижен относительно f(ny т. е. т" С
С = Тп G К, тп G К(пу Пусть на границе т'1 относительно
несущей п-плоскости нет неподвижных точек отображения
Тогда существует единственная в х" регулярная изолированная
неподвижная точка х‘ такая, что /(/))(х‘) — х* и
ind (/(п), х*) = ± 1 = sign (det (1R» - hf^/г^У), (19)
где h — отображение, описанное в определении 5, индекс h(x*) ука-
зывает точку, в окрестности которой рассматривается отобра-
жение. 1
Доказательство. Так как — афинное отображение, со-
храняющее размерность, то оно — гомеоморфизм и, следовательно,
композиция Тп —» т" С Тп есть отображение замкнутого симплек-
са в себя. Тогда по теореме Брауэра существует хотя бы одна непод-
вижная точка х* этого отображения. Эта же точка является и непод-
вижной точкой отображения /Покажем, что она единственна на
т". Действительно, предположим, что таких точек две: У[ Ф у2,
ур у2 6 т”. Тогда все точки прямой, проходящей через ур у2, т. е.
точки вида у = ty\ + (1 — t)y2, t 6 R, тоже будут неподвижными.
Но тогда есть неподвижные точки и на границе хп (при некоторых
t), что противоречит условию. Отсюда вытекает, что х* — регуляр-
ная изолированная неподвижная точка и что (lRn — hf(п^/г-1)A(JC-j —
невырожденное линейное отображение. Остается заметить, что в си-
лу результата упражнения 6° § 6 гл. V и определения индекса не-
подвижной точки имеем
ind (/(и), х‘) = ind (й(х‘), (1R- - hf(n}h~^h(x>) =
= sign (det (1R« - = ± 1.
Доказательство леммы 6 закончено.
Построенное в лемме 5 симплициальное отображение обла-
дает замечательным свойством: ни один из неподвижных симплек-
сов т? в подразбиении К.„. не имеет неподвижных точек на своей
границе дт". В самом деле, в противном случае существовал бы не-
подвижный симплекс размерности меньшей, чем п, что противоре-
чит построению /(и). Тогда в силу леммы 6 симплициальное отобра-
407
жение /(п) обладает еще более замечательным свойством: внутри
каждого ее неподвижного симплекса т?, i = 1, ..., N, размерности
п существует единственная (в этом симплексе) регулярная изолиро-
ванная неподвижная относительно точка х;, причем ее индекс
равен
ind (/{n), xf) = sign ( det(lR- - = ± 1,
V ’ z=l........N. (20)
Выясним теперь, как связаны эти индексы с числом Лефшеца
симплициального отображения /(п).
Лемма 7. Для числа Лефшеца A.J- специальной симплициаль-
ной аппроксимации f^, построенной в лемме 5, верна формула
N
A/w==Sind(/(n)>*i)> <21)
i = l
где xN — неподвижные точки отображения f(ny
Доказательство. С учетом определения числа Лефшеца и
равенства (15) равенство (21) превращается в равенство
п N
2 (-l)'Sp (Sp(/(n))p) = 2 ind (/(n), xf), (22)
p = 0 z=l
где (/(n))p: Cp(K(ny> K)~*CpCK) R) — гомоморфизм, индуцирован-
ный отображением /(п), а Ер: Ср(К; R)-» Cp(K(rl); R) — цепной го-
моморфизм, сопоставляющий ориентированному р-мерному симп-
лексу rp G К сумму согласованно ориентированных р-мерных симп-
лексов sp е К^, на которые подразбит симплекс тр (здесь мы вправе
рассматривать замкнутые симплексы). Согласование ориентаций
вводится аналогично тому, как это сделано для барицентрического
подразделения в п. 4 § 3 гл. V. Ясно, что Sp (Sp(/(n))p) = 0 при
р< п, поскольку при р < п нет неподвижных симплексов у отображе-
ния /(ч). Остается показать, что
(-1)" sp (sn(/(n))») = Sind (Л«)’ (23)
1 = 1
След цепного гомоморфизма равен сумме коэффициентов ajj при
всех «-мерных симплексах т" (элементах базиса) в матрице этого
цепного гомоморфизма, рассматриваемого как линейный оператор.
Выясним, что представляют собой эти коэффициенты. Из построения
гомоморфизмов Е, и (/(п))п видно, что коэффициент при т? отличен
от 0 лишь тогда, когда т" — неподвижный симплекс отображения
408
f(ny т. e. т" С Tn = В этом случае коэффициент при непод-
вижном симплексе т" может быть равен лишь ± 1, в зависимости от
того, согласуется или нет ориентация образа /(„)( t”) = Тп с ориента-
цией симплекса Тп в комплексе К. Перейдем от аффинного отобра-
жения несущей «-плоскости симплекса т" к линейному отображе-
нию Отождествляя «-плоскость с подпространством, а под-
пространство с R", мы можем записать в виде F: R" —»R",
F(y) = + у) — хг Тогда ясно, что искомый коэффициент при
т" равен sign det F, поскольку именно знак определителя отвечает за
сохранение ориентации базиса линейного пространства R", а значит,
и за сохранение ориентации симплекса. Осталось показать, что
sign det F = (—1)" ind (/(п), х,). (24)
Заметим, что sign det F есть индекс изолированной особой точки
х; векторного поля — хр заданного на замыкании т? симп-
лекса т". Построим гомотопию, соединяющую это векторное поле с
полем — х = (/(n) — 1r")(x) на ту без нулей на dr".
Сначала «растянем» векторное поле — 1R«, «оттянув» образы
/(„)(х) от границы симплекса т?. Это делает гомотопия
f (jt)_X
ф/*) = ~ ХИ + t-d-w(x)), (25)
где t — параметр гомотопии, 0 t 1, d — диаметр симплекса т'/,
щ(х) — непрерывная функция на ту такая, что щ(х;)=0 и
w(x) = 1 при х е дту. Заметим, что Ф0(х) = /(,;)(х) — х, Ф^х) —
векторное поле на т", у которого векторы на границе направлены
вовне ту, т. е. их концы лежат вне ту. Поэтому можно провести сле-
дующие две линейные гомотопии. Первая из них,
Gs(x) — Ф/х) + s(x — х;), 0 S s S 1,
связывает поле <70(х) =Ф^х) с полем
G((x) = Ф,(х) + х — х; =
- - «<-<) + ||,/..Х”м11'(/'" ~ lR-’W + х ~ х‘-
Вторая гомотопия,
И/х) = G, (х) - ,|х - х, +я7-^1гак(Л,„ - 1R.)(х)] , 0< 7 « 1.
связывает поле Я0(х) = G\(x) с полем /7)(х) = ftn)(x) — xt.
409
Таким образом, гомотопии Ф(, Gs, Ну, примененные последова-
тельно, связывают векторное поле /(п)(х) — х = (f^ny — 1r")(x) с
векторным полем /(п)(х) — хг
Упражнение 15°. Проверьте, что все эти гомотопии проходят без
нулей на границе dxf симплекса т".
Получаем следующую цепочку равенств:
sign det F = ind (xp /(и)(х) - х,) = ind (хр /(и) - 1к») =
= (—l)"-ind (хр 1к« -/(„)) = (—l)"-ind (/(и), хг),
дающую нам равенство (24). Первое из этих равенств объяснено вы-
ше, второе дают построенные гомотопии, третье вытекает из резуль-
татов упражнения, четвертое равенство следует из определения ин-
декса неподвижной точки. Суммируя равенство (2) по всем непод-
вижным точкам Хр получаем, что
Sp (S,»(/(„))„) = 2 (-1)" ind (7(n), (26)
откуда немедленно следуют равенства (23), (22), (21). Лемма 7 до-
казана.
Выясним теперь, насколько малым следует взять е > 0 при по-
строении аппроксимации /(п) отображения /, чтобы были равны не
только числа Лефшеца и Л, ,
7 'W
но и суммы индексов их непод-
вижных точек.
Если отображение / имеет только регулярные изолированные не-
подвижные точки ур ..., у^, то исходную триангуляцию К полиэдра
X можно выбрать с самого начала так, что каждая точка yz находится
внутри своего «-мерного симплекса т", /= 1, ..., Q. Подразбиение
выберем так, чтобы все точки у у находились также внутри «-мер-
ных симплексов sj С т", настолько малых, что f(s'j) С т". Этого мож-
но добиться малым «шевелением» достаточно мелкого барицентриче-
ского подразделения исходной триангуляции К. Положим теперь
а, = min р(х,/(х)), д = min р(х,/(х)).
xGdSn _ ®
хех\ U s"
Заметим, что 0< д<тш(ар ..., aQ). Теперь возьмем е< д и по-
строим, как в лемме 5, по г аппроксимацию /(и). Поскольку г < 6,
Q
отображение /(и) не имеет неподвижных точек вне U s". Далее, по-
/=1
скольку г<Ор характеристики векторных полей (1r» — Лу/Л/1),
(1К" — hjfсовпадают на границах ds" симплексов sf. Это сле-
410
дует из теоремы Руше, которую мы предлагаем вам доказать в ка-
честве упражнения.
Упражнение 16°. Докажите следующее утверждение, известное
как теорема Руше. Пусть векторные поля <р и гр, заданные на мно-
жестве В С R", таковы, что ||ф(х)|| > 0 и ||ф(х) — ф(х) || < ||ф(х)||
при всех х Е В. Тогда векторные поля <р и ф гомотопны без нулевых
векторов на В.
В силу выбора У? и построения получаем ind (/, у() =
= ind (/, х;) для j = 1, ..., Q и
ее
2 ind (/, у.) = 2 ind (/(п), хД. <27)
/=1 7-1
Как было указано выше (упражнение 5°), достаточно близкие отоб-
ражения гомотопны, поэтому при достаточно малом е все е-аппро-
ксимации гомотопны исходному отображению, так что Лу = Лу
при достаточно малом е > 0.
Утверждение теоремы полностью доказано для полиэдра |К|
симплициального комплекса. На случай «криволинейного» полиэдра
X, гомеоморфного |К|, доказательство переносится очевидным об-
разом. Теорема Лефшеца—Хопфа доказана.
В заключение осталось заметить, что для произвольного непре-
рывного отображения / компактного полиэдра X в себя, не обяза-
тельно имеющего только регулярные изолированные неподвижные
точки, также можно применять формулу (17), если под суммой ин-
дексов его неподвижных точек понимать сумму индексов регуляр-
ных изолированных неподвижных точек специальной симплициаль-
ной аппроксимации отображения /.
ОБЗОР РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Современные монографии, дающие систематическое изложение теории гомоло-
гий и ее приложений: [22, 23, 42, 59, 63, 65, 78, 79].
По отдельным вопросам полезней будет также следующая литература.
Возникновение и развитие теории гомологий — [61].
Гомологии цепных комплексов — [41].
Симплициальная теория гомологий — [54].
Сингулярная теория гомологий — [34, 71, 74].
Аксиоматический подход к теории гомологий — [70].
Теория гомологий Александрова—Чеха — [71].
Число Лефшеца, степень отображения, характеристика векторного поля и индекс
особой точки на основе симплициальной теории гомологий — [1, 54], см. также
[22].
Клеточная теория гомологий — [74].
Триангуляция гладких многообразий — [45].
Сумма индексов особых точек векторного поля на многообразии — [44, 46].
Задачник по теории гомологий — [48, 52].
Комментарии к иллюстрациям
В трехмерной топологии известен следующий способ задания многообразий. Ока-
зывается, любое компактное замкнутое трехмерное многообразие получается склей-
кой двух экземпляров трехмерных шаров с «ручками» по некоторому диффеоморфиз-
му границ этих трехмерных тел. На переднем форзаце изображен один из простей-
ших Случаев такой склейки, когда многообразия являются результатом склейки двух
полноторий (шаров с одной ручкой). Катящиеся диски на рисунке изображают такие
полнотория.
Современная топология находит широкое применение в механике и математиче-
ской физике. В частности, топологические методы широко используются в качествен-
ной теории движения твердого тела. На иллюстрации перед гл. I показан момент рас-
пада быстро вращающегося тяжелого несимметричного волчка. Топологические мето-
ды позволяют дать точное качественное описание таких эффектов.
На рисунке перед гл. II представлены множества различной топологической при-
роды- Бесконечное дискретное множество (фигурки людей), симплициальные объек-
ты (пирамиды, призмы и их склейки), гладкие многообразия. В специальных разде-
лах топологии характеристики таких пространств изучаются различными методами
(см. гл. Ill, IV, V). Общая топология изучает все эти объекты как топологические
пространства, рассматривая их наиболее общие свойства, такие, как отделимость,
компактность, связность.
В хитросплетении поверхностей на рисунке перед гл. III читатель может увидеть
такие важные топологические объекты, как двумерные поверхности и их гомотопии,
фундаментальные группы поверхностей, трансформации поверхностей уровня глад-
ких функций на многообразии (см. склейки и перестройки торов в местах разветвле-
ний «стволов деревьев» на рисунке).
Известно, что всякое гладкое многообразие локально может быть задано как сов-
местная поверхность уровня нескольких гладких функций. Например, всякая гладкая
поверхность в трехмерном евклидовом пространстве локально может быть задана в
виде графика подходящей гладкой функции. Это вы и видите на рисунке перед
гл. IV, который показывает также различные типы критических точек функции, за-
дающей поверхность (перевалы, долины, горные вершины).
На иллюстрации перед гл. V показаны разнообразные полиэдры и их симплици-
альные разбиения. В то же время здесь присутствует и клеточный комплекс, склеен-
ный из «мягких» объектов (клеток), в отличие от «жестких» угловатых симплексов,
из которых склеены симплициальные комплексы.
После прочтения настоящей книги читатель может смело приступать к изучению
более специальных разделов топологии, в частности, алгебраической геометрии. На
заднем форзаце показана поверхность уровня сложной алгебраической функции (см.
центр рисунка) с заданной на ней системой криволинейных координат. Координат-
ные квадраты измельчаются там, где кривизна поверхности растет. Разломы «льдин»,
показанные на рисунке, изображают сингулярности алгебраических функций.
Кроме математических объектов, как заметил читатель, на всех этих рисунках
явно или неявно присутствует человек, его творческая созидающая мысль, стремя-
щаяся к познанию великолепной гармонии окружающего мира, мира движущихся и
взаимодействующих, изменяющихся и переплетающихся пространственно-времен-
ных форм. Авторы вместе с художником надеются, что представленные на иллюстра-
циях художественные образы помогут читателю в прямом смысле заглянуть в мир
современной топологической науки, которая все больше проникает в самые различ-
ные области знания и все более емко и глубоко вписывается в человеческое миро-
воззрение.
Список литературы
1. Александров П. С. Комбинаторная топология.—М.—Л.: Гостехиздат, 1947.—
660 с.
2. Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию.—М.: На-
ука, 1977.—368 с.
3. Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности.—М.: На-
ука, 1973.—576 с.
4. Александров П, С., Урысон П. С. Мемуар о компактных топологических про-
странствах.—М.: Наука, 1971.—144 с.
5. Александрин Р. А., Мирзаханян Э. А. Общая топология.—М.: Высшая школа,
1979.—336 с.
6. Аминов Ю. А. Дифференциальная геометрия и топология кривых.—М.: Наука,
1987.—160 с.
7. Арнольд В. И. Математические методы классической механики.—М.: Наука,
1979.—432 с.
8. Арнольд В. И. Теория катастроф.—М.: Изд-во МГУ, 1983.—80 с.
9. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.—М.: Наука,
1984.—272 с.
10. Арнольд В. И„ Варченко А. Н„ Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференци-
руемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых
фронтов.—М.: Наука, 1982.—304 с.
11. Арнольд В. И., Варченко А, Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференци-
руемых отображений. Монодромия и асимптотики интегралов.—М.: Наука,
1984.—336 с.
12. Архангельский А. В., Пономарев В. И. Основы общей топологии в задачах и
упражнениях.—М.: Наука, 1974.—424 с.
13. Архангельский А. В., Федорчук В- В. Основные понятия и конструкции топо-
логии//Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.
Т. 17 (Итоги науки и техники).—М.: ВИНИТИ АН СССР, 1987.—С. 3—ИО-
14. Болтянский В. Г., Ефремович В, А. Наглядная топология.—М.г Наука, 1983.—
160 с.
15. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры.—М.: Наука, 1968.—272 с.
16. Воловик Г. Е., Минеев В, П. Физика и топология.—М.: Знание, 1980.—64 с.
17. Гарднер М. Математические досуги.—М.: Мир, 1972.—496 с.
18. Гильберт Д„ Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия.—М.: Наука, 1981.—344 с.
19. Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности.—М.:
Мир, 1977.—290 с.
20. Гросберг А. Ю., Хохлов А. Р. Полимеры и биополимеры: взгляд физиков-тео-
ретиков//Будущее науки. Вып. 18.—М.: Знание, 1985.—С. 122—132.
21. Дао Чонг Тхи, Фоменко А. Т. Минимальные поверхности и проблема Плато.—
М.: Наука, 1987.—312 с.
22. Дольд А, Лекции по алгебраической топологии. —М.:Мир, 1976.—464 с.
23. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Мето-
ды теории гомологий.—М.: Наука, 1984.—344 с.
413
24. Дубровин Б. А., Новиков С. Пм Фоменко А. Т. Современная геометрия. Мето-
ды и приложения.—М.: Наука, 1986.—760 с.
25. Дьедонне Ж» Основы современного анализа. —М.: Мир, 1964.—430 с.
26. Ефремович В. А. Основные топологические понятия//Энциклопедия элементар-
ной математики. Т. 5. Геометрия.—М.: Наука, 1966.—С. 476—556.
27. Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. —М.—Л.: ГОНТИ, 1938.—400 с.
28. История отечественной математики;—Киев.: Наук, думка, 1968.—Т. III, гл. 9.
29. Казаков Д. И. Микромир за пределами воображения//Будущее науки.
Вып. 20.—М.: Знание, 1987гС. 70—87.
30. Квантовые жидкости и кристаллы.—М.: Мир, 1979.—С. 9—42.
31. Келли Дж. Общая топология.—М.: Наука, 1981-—432 с.
32. Кокстер Г. С. М. Введение в геометрию.—М.: Наука, 1966.—648 с.
33. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального
анализа»-5-е изд.—М.: Наука, 1981.—544 с.
34. Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии.—М.:Мир, 1983.—
304 с.
35. Красносельский М. А„ Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного
анализа.—М.: Наука, 1975.—512 с.
36. Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов.—М.: Мир, 1967.—348 с.
37. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ: В 2 т.—М.: Высш, шк., 1981, т. I.—
687 с.; 1981, т. II,—584 с.
38. Курант Р., Робинс Г. Что такое математика?—М.: Просвещение, 1967.—558 с.
39. Куратовский К. Топология: В 2 т.—М.: Мир, 1966, т. I.—594 с.; 1969, т. II.—
624 с.
40. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа.—М.:
Высш, шк., 1982.—272 с.
41. Маклейн С. Гомология.—М.: Мир, 1966.—544 с.
42. Масси У. Теория гомологий и когомологий.—М.: Мир, 1981.—388 с.
43. Масси У., Столлингс Дж. Алгебраическая топология. Введение.—М.: Мир,
1977.-278 с.
44. Милнор Дж. Теория Морса.—М.: Мир, 1965.—184 с.
45. Милиор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы.—М.: Мир, 1979.—
372 с.
46. Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс.—М.:
Мир, 1972.-278 с.
47. Мищенко А. С. Векторные расслоения и их применения. —М.: Наука, 1984.—
208 с.
48. Мищенко А. С., Соловьев Ю. П., Фоменко А. Т. Сборник задач по дифферен-
циальной геометрии и топологии.—М.: Изд-во МГУ, 1981.—184 с.
49. Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и тополо-
гии.—М.: Изд-во МГУ, 1980-—440 с.
50. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях.—М.:
Мир, 1971.—232 с.
51. Новиков £. П, Топология//Современные проблемы математики. Фундаменталь-
ные направления. Т. 12 (Итоги науки и техники).—М.: ВИНИТИ АН СССР,
1986.—С. 5—252.
52. Новиков С. П., Мищенко А. С., Соловьёв Ю. П., Фоменко А. Т. Задачи по
геометрии. Дифференциальная геометрия и топология.—М.: Изд-во МГУ,
1978 —164 с.
53. Новиков С. П., Фоменко А. Т. Элементы дифференциальной геометрии и то-
пологий.—М.: Наука, 1978.—432 с.
54. Понтрягин Л. С. Основы комбинаторной топологии.—М.: Наука, 1976.—136 с.
55. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы.—М.: Наука, 1984.—520 с.
56. Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применение в теории гомотопий.—
М.: Наука, 1985.—174 с.
57- Постников М. М. Введение в теорию Морса.—М.: Наука, 1971.—568 с.
58. Постников М. М. Лекции по алгебраической топологии. Основы теории гомото-
пий.—М.: Наука, 1984.—416 с.
414
59. Постников М. М. Лекции по алгебраической топологии. Теория гомотопий кле-
точных пространств.—М.: Наука, 1985.—336 с.
60. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия.—
М.: Наука, 1987.—480 с.
61. Пуанкаре А. Избранные труды: В 3 т.—М.: Наука, 1972; т. II.—998 с.; 1974;
т. III.—772 с.
62. Рохлин В. В., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы.—
М.: Наука, 1977.—488 с.
63. Свитцер Р. М. Алгебраическая топология. Гомотопии и гомологии.—М.: Наука,
1985.—608 с.
64. Синюков Н. С., Матвеенко Т. И. Топология.—Киев: Вища школа, 1984.—
264 с.
65. Сненьер Э. Алгебраическая топология. —М.; Мир, 1971.—680 с.
66. Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей.—М.: ИЛ, 1960.—
344 с.
67. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии.—М.: Мир, 1970.—
412 с.
68. Стинрод Н. Топология косых произведений.—М.: ИЛ, 1953.—276 с.
69. Стинрод Н., Чинн У. Первые понятия топологии.—М.: Мир, 1967.—224 с.
70. Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии.—М.: ИЛ,
1958.—404 с.
71. Телеман К. Элементы топологии и дифференцируемые многообразия.—М.: Мир,
1967.—390 с.
72. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли.—.М.: Мир,
1987.—304 с.
73. Физика за рубежом ’83.—М.: Мир, 1983.—С. 21—44, 83—103.
74. Фоменко А. Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные
главы. —М.г Изд-во МГУ, 1983.—216 с.
75. Фоменко А. Т. Топологические вариационные задачи.—М.: Изд-во МГУ,
1984.—216 с.
76. Форстер О. Римановы поверхности.—М.: Мир, 1980.—248 с.
77. Фрид Д., Уленбек К. Инстантоны и четырехмерные многообразия.—М.: Мир,
1988.—271 с.
78. Фукс Д. Б., Фоменко А. Т., Гутенмахер В. Л. Гомотопическая топология.—
М.: Изд-во МГУ, 1969.—460 с.
79. Хилтон П., Уайли С. Теория гомологий. —М.: Мир, 1966.—452 с.
80. Хирш М. Дифференциальная топология.—М.: Мир, 1979.—280 с.
81. Ху Сы-цзян. Теория гомотопий.—М.: Мир, 1964.—468 с.
82. Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства.—М.: Мир, 1970.—444 с.
83. Чернавский А. В., Матвеев С. В. Основы топологии многообразий.—Краснодар:
Изд-во КГУ, 1974.—176 с.
84. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ.—М.: Наука, 1976.—320 с.
85. Энгелькинг Р. Общая топология.—М.: Мир, 1986.—752 с.
86. Шварц А. С. Квантовая теория поля и топология.—М.: Наука, 1989.—400 с.
87. Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д,, Обуховский В. В. Введение
в теорию многозначных отображений.—Воронеж: Изд-во Воронеж, ун-та,
1989.—104 с.