Автор: Нурк Э.Р. Тельгмаа А.Э.
Теги: учебные пособия и учебники по математике математика учебник математики 5 класс
ISBN: 5-09-003837-6
Год: 1992
Текст
Э.РНУРК А.ЭТЕЛЬГМАА
МАТЕМАТИКА
УЧЕБНИК
ДЛЯ КЛАССА
СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Утверждено Государственным
комитетом СССР по народному
образованию
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1992
ББК 22.1Я72
Н90
Учебник получил премию на Всесоюзном конкурсе учебника
по математике для средней общеобразовательной школы.
Н90
Нури Э. Р.. Тельгмаа А. а.
Математика: Учеб, дли 5 кл. сред, шк.— 3-е изд. М.: Просвеще-
ние, 1992 - 304 с.: ил. - ISBN 5-09-003837-6.
Первое иэдаиме вышло в 1988 г. под иимиием .Мвгематнк». Учебник идя -I класса
средней школы». *
Н 4308080400—МО инф, письмо — 92. М 53
103(03) - 92
ISBN 5-09-003837-8
ББК 22.1*72
© Издательство «Просвещение», 1988
Учебник — ученику
В начинающемся учебном году ты продолжишь изучать мате-
матику. Я твой новый учебник и хочу быть тебе хорошим
помощником. Верю, мы станем добрыми друзьями, поэтому
разреши обращаться к тебе на ТЫ. Друзья должны хорошо
понимать друг друга, поэтому давай познакомимся поближе.
Несколько слов о себе.
Весь материал на моих страницах разделен на главы. Их
всего шесть, и они пронумерованы 1. 2, 3, 4. 5, 6. Каждая глава
разделена на параграфы, которые пронумерованы двумя
числами с точкой между ними, например: 3.2. Первое число
указывает номер главы, второе — номер параграфа этой главы.
Запись 3.2 обозначает второй параграф третьей главы. Таким
же образом обозначены и рисунки. Например, рисунок 4.18
обозначает рисунок 18 из четвертой главы
В конце каждого параграфа имеются задачи двух разделов:
А и Б. Задачи в разделе А простые, и ты должен уметь решать
их, иначе у тебя будут затруднения при дальнейшем изучении
материала. Задачи в разделе Б немного сложнее, но этого не
стоит бояться. Постарайся по мере сил их тоже решать. Тогда
ты станешь сильнее в математике и сможешь в дальнейшем
учиться более успешно.
А может быть, изучая математику, ты почувствуешь к ней
интерес и захочешь решать задачи еще сложнее? Есть и такие!
Они обозначены звездочкой, а в конце учебника такие задачи
находятся в разделе «Для любителей математики». Если тебя
интересуют исторические сведения, то с ними можно позна-
комиться. Они помещены в конце некоторых параграфан.
Вопросы и задачи в разделе «Для повторения* помогут тебе
вспомнить и повторить основной, ранее изученный материал.
В конце глав ты найдешь вопросы и задачи под заглавием
«Для самопроверки». По этому разделу ты сможешь судить,
усвоил ли ты обязательный материал данной главы. Если
сумеешь решить все эти задачи и ответить на все вопросы,
значит, ты учился старательно. В этом случае можешь спокой
но. не боясь трудностей, приступить к изучению новой темы.
На последних страницах приводятся ответы к наиболее
трудным задачам из раздела «Для самопроверки». Имеется
также «Предметный указатель». Например, нужно вспомнить,
что означает слово «транспортир». В «Предметном указа-
теле» за этим словом стоит номер страницы, где объясняется
значение этого слова.
В учебнике ты встретишь различные задачи, содержащие
понятие стоимости (например, цена тетради, книги, ткани
и др.). В связи с этим у тебя могут возникнуть вопросы. За-
ранее отвечаем, что приведенные в задачах цены следует
рассматривать как условные и относиться к ним исключитель-
но как к математическим величинам.
Математику нужно изучать последовательно и с большим
вниманием. Не выучив материала даже одного урока, ты уже
можешь не понять последующей темы.
Запомни простую истину: математику надо изучать «с ка-
рандашом в руке», при необходимости делай для себя пометки
в отдельной тетради. На моих страницах ничего не пиши. Ведь
после тебя мною будут пользоваться и другие ученики.
Твой учебник.
Натуральные числа.
* Сложение и вычитание
натуральных чисел
1.1. Чтение и запись натуральных чисел
Числа I, 2, 3.. употребляемые при счете предметов, на-
зываются натуральными числами. Они записываются с по-
мощью десяти цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Названия разрядов, начиная с низшего, справа палево: еди-
ницы. десятки, сотни, тысячи. .... Если в числе отсутствует
какой-либо разряд, то в записи числа на его месте стоит циф-
ра 0. Например, в числе 307 898 содержится 8 единиц, 9 десят-
ков, 8 сотен, 7 тысяч, 0 десятков тысяч и 3 сотни тысяч. Это
число можно записать в виде суммы разрядных слагаемых:
307 898 = 300 000 4- 7000 4- 800 + 90 4- 8.
Числа 1, 10, 100, 1000, ... называются разрядными единица-
ми. 1 — единица разряда единиц, 10 — единица разряда десят-
ков, 100 — единица разряда сотен и т. д. Заметим, что 10 =
= 1-10, 100=10-10, 1000=100-10 и т. д. Из этого следует,
что каждые 10 единиц любого разряда образуют новую еди-
ницу более высокого разряда. Основанный на этом способ за-
писи натуральных чисел называется десятичной системой.
Значение каждой цифры зависит от места (позиции), которое
цифра занимает в записи числа. Например, в числе 777 циф-
ра 7 на первом месте справа показывает число единиц, на
втором — число десятков, на третьем — число сотен.
Таким образом, цифра 7 в числе 777 занимает три различ-
ные позиции. Поэтому говорят, что при записи числа в десятич-
ной системе используется поместный (позиционный) принцип.
В записи числа разряды, начиная справа, группируются в
классы, по три разряда в каждом. Первые три разряда (едини-
цы, десятки, сотни) образуют класс единиц, следующие три
разряда (тысячи, десятки тысяч, сотни тысяч) образуют класс
тысяч.
Ты уже изучил натуральные числа до миллиона. Однако
часто встречаются числа, большие миллиона. Например, коли-
чество жителей СССР выражается числом, которое больше
миллиона. Познакомимся с такими числами.
Единицей разряда миллионов является 1000000 (читаем:
одни миллион). Десять таких единиц образуют новую разряд-
ную единицу десять миллионов. Если записать это цифрами,
то получим 10 000 000. Десять десятков миллионов образуют
новую разрядную единицу — сто миллионов, а цифрами -
100 000 000. Разряды миллионов, десятков миллионов и сотен
миллионов образуют третий класс числа - класс миллионов.
Например, число 513 000 392 читаем: пятьсот тринадцать
миллионов триста девяносто два. Запишем это число в виде
суммы разрядных слагаемых:
513 000 392 = 500 000 000+10 000 000 + 3 000 000 + 300 +
+ 90 + 2.
Если взять десять сотен миллионов, то получим новую раз-
рядную единицу — один миллиард: запись цифрами:
1 000 000 000. Десять таких единиц - десять миллиардов, де-
сять десятков миллиардов дают следующую единицу — сто
миллиардов. Миллиарды, десятки миллиардов и сотни мил-
лиардов — это разряды, образующие четвертый класс — класс
миллиардов.
Например, число 783 502 197 048 читаем: семьсот восемь-
десят три миллиарда пятьсот два миллиона сто девяносто семь
тысяч сорок восемь.
Поместим наше число в «Таблицу разрядов»:
783 502 197 048 = 700 000 000 000 + 80 000 000 000 +
+ 3 000 000 000 4- 500 000 000 4- 2 000 000 4-100 000 4- 90 000 +
4-7000 4-40 4-8.
Представление о миллиарде может дать такой пример:
население земного шара приближенно равно 5 миллиардам
человек. Это число так велико, что. если бы мы захотели сосчи-
тать от 1 до 5 миллиардов н стали бы произносить при счете
каждое число в течение 1 секунды, нам потребовалось бы па
это около 160 лет.
Следующие за миллиардом классы — это триллионы, квад-
риллионы, квинтиллионы... Названия этих классов употребля-
ются редко. Запоминать их не обязательно.
Исторические сведения
Натуральные числа - одно из старейших математических
понятий. Оно возникло на заре развития человеческого об-
щества тысячи лет тому назад, когда людям потребовалось
пересчитывать предметы (скот, рыбу и т. д.). Конечно, считали
предметы не так. как мы это делаем сейчас. Сначала их со-
поставляли с известными предметами, частями тела, напри-
мер с пальцами на руке или глазами на лице. Но понадобилось
много времени, чтобы появились числа «пять» и «два». Затем
появились и особые знаки для обозначения чисел — пред-
шественники современных цифр. Известные нам цифры 0, 1.
2, ... родились в Индии примерно 1500 лет назад. В Европу
их завезли арабы, поэтому их называют арабскими цифра-
ми. Старейшей системой счисления, основанной на позицион-
ном принципе, считается шестидесятеричная система. Она
возникла в Древнем Вавилоне примерно 4000 лет назад. Ею
мы пользуемся частично и сегодня, например: I ч = 60 мин,
I мин = 60 с.
В некоторых случаях (для записи чисел) пользуются рим-
скими цифрами:
I V X L С D М
I 5 10 50 100 500 1000.
Некоторые натуральные числа записываются при помощи
повторения римских цифр. Например, 111 = 3, XX = 20. Кроме
того, используют принципы сложения и вычитания. Если мень-
шая по значению цифра стоит после большей, то их значения
складываются. Например, Vl=6. т. е. 5-+-I. МС — 1100, т. е.
1000 4-100. Если меньшая цифра стоит перед большей, то из
большего значении вычитается меньшее. Например, IV =4, т. е.
5-1, СМ-900. г. с. КИН)-100, MCMI.XXXVHI - 1988, т. е.
1000 4-900-)-50 + 30 4-8.
I. В тексте найди ответ на вопрос: какие разряды образуют
класс единиц, класс тысяч, класс миллионов и класс мил-
лиардов?
2. Прочти следующие числа:
308, 5003. 424 671, 89901. 70200.
62050000, 47350406, 5730600201.
3. Запиши следующие числа цифрами:
I) 18 миллионов 654 тысячи 302;
2) 124 миллиона 520 тысяч 78;
3) 29 миллиардов;
4) 9 миллиардов 760 тысяч 34;
5) шестьсот четыре миллиона восемнадцать тысяч шесть-
десят;
6) четыреста восемьдесят пять тысяч девять;
7) двадцать миллионов семьсот тридцать два;
8) три миллиарда триста три;
9) пять миллиардов пять тысяч пять.
4. Запиши в виде суммы разрядных слагаемых: 35, 179, 3407,
9635 421.
5. Запиши числа от 1999989 до 2000004 и прочти их.
6. Прочти таблицу численности населения некоторых союзных
республик в разные годы (данные округлены):
1970 г. 1979 г 1987 г.
РСФСР 130079000 137551 000 145320000
УССР 47 126 000 49755 000 51 211 000
БССР 9002000 9560000 10082000
эсер 1 356000 1 466000 1557000
7. Прочти:
1) длина экватора Земли 40075696 м;
2) от Солнца до Земли 149 597900 км;
3) один календарный год равен 31557600 с.
8. Попроси кого-нибудь продиктовать тебе данные числа и
запиши их в тетрадь:
а) 43008, 5672 931, 400270000, 150840;
б) 37000206, 9 807 100, 6006, 20200202;
в) 4 776508,32 276000000, 180004.
Б.
9. С помощью цифр 0 и 5 составь семизначное, восьмизначное
и девятизначное числа. Прочти их.
10. Число записано в виде суммы разрядных слагаемых. Укажи,
сколько единиц каждого разряда содержит это число, и
запиши его:
а) 6000000 + 20000 + 5000 4-400 + 7,
б) 8000000 + 700000 + 4000 + 900.
II*. Все натуральные числа от I до 100 записаны в один ряд.
Сколько раз повторяется в этом ряду цифра 0. цифра I?
1.2. Сравнение натуральных чисел
Относительно двух различных натуральных чисел всегда
можно сказать, какое из них больше, а какое меньше. Это значит,
что натуральные числа можно сравнивать.
Результат сравнения записывается в виде неравенства с
помощью знаков < (меньше) и > (больше). Например,
2<5 (читаем: два меньше пяти) или 5>2 (читаем: пять боль-
ше двух).
При сравнении многозначных натуральных чисел нужно
руководствоваться следующими правилами:
I. Если два натуральных числа имеют различное число
знаков (цифр), то больше число, в котором знаков больше.
Например.
3421 >803; 5703<21 844.
2. Если два натуральных числа имеют одинаковое число
знаков, то большим является число, в котором больше единиц
в наивысшем разряде. Если же число единиц в этом разряде
одинаково, то сравниваются разряды на одну ступень ниже
и г. д.
Примеры.
I. 42567>37298. так как число 42567 содержит 4 десятка
тысяч, а число 37 298 содержит 3 десятка тысяч.
2. 372 569<373478. так как в этих числах поровну сотен
тысяч (по 3) и десятков тысяч (по 7). но в числе 373 478 больше
тысяч (3). чем в числе 372569 (2).
Наименьшее натуральное число — единица (I).
Наибольшего натурального числа не существует: для лю-
бого данного натурального числа можно назвать натуральное
число, которое больше данного. Поэтому говорят, что ряд
натуральных чисел I. 2, 3. ... неограничен.
Число 0 меньше любого натурального числа. Любое нату-
ральное число больше числа 0.
12. Найди в тексте правила сравнения натуральных чисел и
объясни, почему 39875>9875. 3259<4148.
13. Назови все натуральные числа, которые:
1) больше 995 и меньше 1013;
2) больше 1 100998 и меньше I 101007.
14. Какое из чисел больше? Запиши ответ с помощью знака >:
1) 7908 или 7899; 2) 13472 или 13462;
3) 267500 или 265700; 4) 7564361 или 10325100.
Запиши все эти числа в
15. Какое из чисел меньше?
порядке убывания.
Запиши ответ с помощью знака<:
1) 543 708 или 543 807;
2) I 437 800 или 543980;
3) 275300825 или 285300825;
4) 7304 или 7295.
Запиши все эти числа в порядке возрастания.
16. Поставь знак < или > вместо звездочки. Прочти эти нера-
венства:
I) 399*299
8001*8010
1705*17005
2112*2103
2) 32 706*32 715
4 890989*4 871 989
201 010*200010
378501*387 501
17. Что больше: 2 км или 290 м? 5200 м или 5 км? 6 м 42 см или
640 см? 3 км 870 м или 3880 м? (Ответ запиши с помощью
знака >.)
18. Что меньше: 6000 г или 7 кг? 3 кг или 3100 г? 2 кг 430 г или
2340 г? 999 г или 1 кг 100 г? (Ответ запиши с помощью зна-
ка <)
19. Наблюдатели оценили, что в стае не меньше 30 и не больше
40 птиц. Сколько птиц могло быть в стае?
20. Петя встал утром в 7 ч. Коля на 13 мин раньше него, Сережа
па 4 мин позже Коли, а Саша встал на 10 мин позже Сережи.
Расположи имена мальчиков по порядку таким образом,
чтобы на первом месте было имя того из них. который встал
раньше всех.
21. Вычисли значения выражений и вместо многоточия поставь
знак =. < или >:
1) 566 + 784-1009 ... 5273 — 2387;
2) 57-36-31-64 ... 10-68;
3) 2268:42 + 7140:34 ... 20000:100;
4) (400— 185)-22 ... 5600-(473+ 298).
22. Запиши и прочти:
I) наименьшее шестизначное число;
2) наибольшее восьмизначное число;
3) наибольшее девятизначное число.
23. Какое наименьшее пятизначное число можно записать с но
мощью цифр 0 и 8?
24. Используя все цифры, причем каждую только один раз.
запиши:
I) наибольшее десятизначное число;
2) наименьшее десятизначное число.
25*. Одно трехзначное число записано цифрами 1.3 и 5. другое
8. 7 и 2. Расположи в каждом числе цифры таким образом,
чтобы произведение этих чисел было: I) наибольшим;
2) наименьшим.
26*. В числе 3 728 106 зачеркни 3 цифры так. чтобы оставшиеся
цифры (в той же последовательности) образовывали:
1) возможно большее четырехзначное число;
2) возможно меньшее четырехзначное число.
1.3. Округление натуральных чисел
Предположим, например, что в день переписи населения
число жителей города равнялось 57328 человек Но число
людей в городе постоянно изменяется (приезд, отъезд, рож-
дение. смерть). Значит, полученное число уже вскоре станет
неверным. В нем определенно изменятся цифры разрядов
единиц и десятков, а возможно, и сотен. Поэтому можно ска-
зать, "то в городе живет приблизительно 57 000 человек.
Мы заменили нулями цифры единиц, десятков и сотен. В
таких случаях говорят, что мы округлили число до тысяч. Если
число округляется до десятков, то нулем заменяется цифра
единиц. Если число округляется до сотен, то нулями заме-
няются цифры единиц и десятков, и т д.
При округлении числа до указанного разряда мы заинте-
ресованы в том, чтобы округленное число было к первона-
чальному числу как можно ближе. Для этого нужно пользо-
ваться следующим правилом: при округлении числа до какого-
нибудь разряда нее следующие за ним цифры заменяют нуля-
ми; если первая следующая за зтим разрядом цифра 5, 6, 7, 8
или 9. то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на еди-
ницу; если первая следующая за зтим разрядом цифра О, I, 2,
3, 4, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют.
Пример I. Округлим число 7628 до сотен. Для этого
цифры десятков и единиц заменим нулями. Цифру в разряде
сотен оставим без изменения, так как следующая за ней циф-
ра 2. Получим 7600
Пример 2. Округлим число 48751 до тысяч. Для этого
цифры сотен, десятков и единиц заменим нулями. Цифру в
разряде тысяч увеличим на I, так как следующая за ней
цифра 7. Получим 49000.
Данное число и число, полученное при его округлении,
приближенно равны. Это записывается с помощью знака
приближенного равенства ж. Например, 9675«s:9700 (читаем:
9675 приближенно равно 9700).
Округление часто применяется для приближенной проверки
вычисления. Рассмотрим, например, произведение 682-51. До
точного вычисления сделаем прикидку, округлив множители
до наивысшего разряда. Получим: 682-51 « 700-50=35000.
14
Значит, точное произведение должно быть близко к 35000.
Действительно. 682-51 =34 782.
27. Найди в тексте правило округления натуральных чисел.
Прочти его и продумай примеры. Объясни, как округлить
число до десятков, до тысяч, до миллионов.
28. Округли:
I) до десятков: 562. 878, 1945. 12674, 5300896.
2) до сотен: 321. 572, 3751, 59993. 472 045.
3) до тысяч: 1201, 7640. 8593, 23 495, 497 003;
4) до десятков тысяч: 287 329. 650 473, 324 596, 970641;
5) до миллионов: 6058364, 3935270. 18590268, 270181 723,
9624 793.
29. Прочти приближенные равенства и объясни, до какого раз-
ряда округлены числа:
1) 3825» 3830
3825 s: 3800
3825» 4000
2) 5 980627» 5981 000
5 980 627 » 5 980 600
5 980 627 «6 000 000
30. Округли число до его наивысшего разряда:
562, 3471. 12005, 70275, 807 561, 980479.
31. В 1986 году в СССР получило среднее образование 4 153000
человек. Округли это число: 1) до десятков тысяч; 2) до
сотен тысяч.
32. Самая высокая вершина в СССР — пик Коммунизма. Его
высота 7495 м. Округли это число: 1) до десятков; 2) до
сотен; 3) до тысяч.
33. Самая высокая вершина в мире — пик Эверест. Его высота
8848 м. Округли это число: 1) до десятков; 2) до сотен;
3) до тысяч.
1Б
Б
34. Вычисли, а затем округли результаты первого столбца до
десятков, второго до сотен, третьего до тысяч:
1) 564:3 2) 4732 + 2216 3) 256483 + 328494
7840:40 61-311 386754^210438
527+1935 8-386 3910 + 68-12
35. Юля трижды ездила с родителями в путешествие на автома-
шине. В первый раз они проехали 1920 км, во второй 653 км
и в третий 880 км. Сколько всего километров они проехали?
Сначала сделай прикидку результата, округляя все данные
до наивысшего разряда, потом вычисли точно.
36. Запиши в километрах, предварительно округлив до тысяч:
7430 м, 6840 м, 9900 м, 42650 м, 18128 м.
37. Запиши в килограммах, предварительно округлив до тысяч:
1627 г, 3060 г, 25480 г, 49800 г.
38. В каждом вычисленном произведении недостает цифры наи-
высшего разряда, остальные цифры верны. Прикинь ре-
зультат и определи недостающую цифру:
1) 672-16 = *0752; 3) 48-93 = *464;
2) 67-282 = *8894; 4) 272-112 = *0464.
1. 4. Числовые и буквенные выражения
Пример 1. В пионерском слете приняли участие 15 от-
рядов из союзных республик, по 30 пионеров в каждом от-
ряде, и 40 пионеров с Кубы. Сколько пионеров участвовало в
слете?
Решение. В 15 отрядах из союзных республик было
30-15 пионеров. Следовательно, всего в слете участвовало
30-15 + 40 пионеров, т. е. 490 пионеров.
Запись 30-15 + 40 представляет собой числовое выражение.
Числовое выражение показывает, какие действия и в каком по-
рядке (соблюдая правила порядка действий) надо выполнить
над числами, входящими в него. Выполнив эти действия, мы
получим значение выражения. В данном примере значением
выражения 30-15 + 40 является число 490.
Пример 2. В пионерском слете приняли участие 15 от-
рядов из союзных республик, по 30 пионеров в каждом отряде,
и а пионеров с Кубы. Сколько пионеров участвовало в слете?
Решение. Как и в предыдущем примере, получаем: в
слете участвовало 30-15 + а пионеров.
Запись 30'15 + а представляет собой буквенное выраже-
ние. Значение буквенного выражения зависит от значения
буквы, входящей в выражение. Если в полученном выражении
а = 50, то значением выражения будет:
30-15 + 50 = 500.
Если а = 35, то получим:
30-15 + 35 = 485.
39. Запиши в тетрадь два числовых и два буквенных выражения.
Найди значение каждого числового выражения.
40. Вычисли значение выражения а4-3086, если а равно 784;
2574.
41. Вычисли значение выражения 128 — It. если k равно 97; 59.
42. Вычисли значение выражения 209-fe, если b равно 9; 25; 67.
43. Вычисли значение выражения с: 12. если с равно 228; 5796.
44. У Вали было и книг. К дню рождения ей подарили еще 5 книг
Сколько книг стало у Вали?
45. В магазине было т футбольных мячей. За день продали 27 мя
чей. Сколько мячей осталось в магазине?
46. В бригаде х человек. За смену каждый член бригады изго
товнл 20 деталей. Сколько деталей изготовила бригада за
смену?
47. Имевшиеся п кг силоса разделили поровну между 60 коро-
вами. Сколько силоса получила каждая корова?
48. В одной коробке 18 карандашей, а в другой на х карандашей
меньше. Сколько карандашей во второй коробке?
49. Заполни таблицу:
а 97 16 783 1984 | 98
Ь 56 2007 751 I 73
<,+»
а—Ь
50. Заполни таблицу:
I 90 322 И 120
5’ ~ ] 14 ; 10
Б.
51. На склад привезли 58 больших и 78 ^аленьких ящиков с то-
варом. В каждом маленьком ящике было 24 кг. а в каждом
большом в 3 раза больше. Составь выражение для вычисле-
ния массы всего привезенного товара. Вычисли значение
этого выражения.
52. Вычисли значение выражения 34 + ft: 15, если b равно 390;
6120.
53. В 4 Л классе 25 учеников, а в 4 Б 30 учеников. Каждый уче-
ник из 4 А должен собрать за лето п г лекарственных трав,
а из 4 Б класса т г. Сколько граммов лекарственных трав
должны собрать ученики 4 А и 4 Б классов вместе? Составь
выражение и вычисли его значение, если т равно 800 и
п равно 900.
54. Самолет летел со скоростью 800 км/ч. Какое расстояние
пролетел самолет за t ч? Составь выражение и вычисли его
значение, если / равно 2; 3.
55. Заполни таблицу.
Для повторения
А.
56. Вычисли (устно):
8 + 9 2) 9 + 7 3) 6+5 4) 6 + 8
13 + 7 15 + 6 18 + 4 19 + 3
16+8 8+12 6+14 5+15
15+19 13+18 19+12 14 + 17
18+17 19+11 11 + 16 18+14
57. Вычисли (устно):
) 54 + 23 2) 42 + 56
0+11 74+15
17 + 31 55 + 25
3) 22+19 4) 42 + 28
68 + 9 39 + 47
25 + 29 16 + 77
58. Определи, какая запись правильная, и вычисли результат:
1) ,1743 2) ,1743 3) ,1743
~*~36 + 36 + 36
59. Вычисли:
1) 8624 + 76 2) 6040 + 265+17
7 + 208 + 53 572 + 89
486+18 + 9 48 + 543 + 24
60. Вычисли (устно):
1) 15-8 2) 13-9 3) 16-7 4) 14-6
13-5 11-6 14-9 12-7
30—3 ; 20-7 40—6 50-4
60 — 17 70-12 30-15 40-13
61. Вычисли (устно):
I) 58-26 2) 74-70 3) 36-7 4) 74-9
75 — 4 52-0 25—8 40—16
96—81 63-42 45-45 90 — 55
62. Определи, какая запись правильная, и вычисли результат:
1) _5837 2) _5837 3) 5837
45 45 ____45
63. Вычисли:
1) 777 — 96 2) 7005 — 23 3) 870—56
8956-39 1736-69 4005-301
109-29 11)11-70 633-574
20
64. Вычисли (устно):
1) 5-11 2) 10-25 3) 20-50 4) 1-200
3-23 100-0 40-20 3-120
4-12 10-50 60-30 9-500
5-12 10-30 50-60 7-300
65. Вычисли (устно):
1) 7-8 2) 6-9 3) 8-7 4) 9-7
12-4 13-3 15-2 11-5
14-5 15-6 18-5 15-4
13-6 16-2 14-3 14-4
66. Какое из вычислений выполнено верно?
288 288 288
32 32 32
320 608 3488
67. Вычисли:
1) 9-728 2) 39-76 3) 506-32 4) 270-791
5-407 54-28 68-207 580-430
698-6 65-42 33-905 108-370
68. Вычисли (устно):
1) 28:4 2) 54:6 3) 72:8 4) 63:7
64:8 32:4 48:6 36:4
56:4 78:6 96:8 84:7
69. Вычисли (устно):
1) 400:10 2) 680:2 3) 76:4 4) 64:4
5800:100 400:10 39:39 58:2
280:10 , 720:8 48:2 0:4
360:10 480:6 63:3 75:5
21
70. Какой пример выполнен верно?
1) 23138 123.
23____Пб*
138
138
0
71. Вычисли:
1) 378:6
414:9
204:6
72. Вычисли:
1) 16720:8
7995:65
14 904:23
2) 23138 123 3)
23____П06
138
138
0
2) 1230:6 3)
1220:4
3042:6
2 ) 93100:38
21420:51
4752:44
23138 I 23
23___ IIOOG
138
138
О
3248:8 4) 984:12
4563:9 1242:23
5656:7 3240:45
3) 18036:9
34 085:85
27 300:70
73. Поезд шел с постоянной скоростью 50 км/ч. Сколько кило
метров прошел поезд за 4 ч? за 5 ч? за 3 ч?
74. Мама купила 6 м ткани и уплатила 72 р. Сколько стоит 1 м
ткани?
75. В коробке 95 синих и красных карандашей, причем синих
48 карандашей. Каких карандашей больше и на сколько?
76. За один день Маша прочитала 17 страниц книги, а за другой
в 2 раза больше. Сколько страниц Маша прочитала за 2 дня?
77. Площадь одного участка 225 м’. а другого на 35 м2 меньше.
Какова площадь двух участков вместе?
78. Вырази в метрах: 3 км, 2 км 300 м, I км 50 м. 5 км 205 м.
79. Вырази в километрах и метрах: 6400 м, 12340 м, 2060 м.
7000 м.
80. Вырази в сантиметрах: 3 м. 8 м 70 см, 5 дм, 60 мм.
81. Вырази в миллиметрах: 2 см. 5 см 8 мм, 4 дм, I дм 3 см.
82. Вырази в килограммах: 4000 г. 16000 г.
83. Вырази в граммах: 53 кг, 2 кг 300 г. 8 кг 500 г.
84. Вырази в минутах: 2 ч. 300 с.
22
85. Вычисли (устно):
1) 72:9+18-7 2) 54:6 + 7-9
66-42:6-5 60-3-8 + 5-9
(74 +7):(30-21) (Зб + 6)-(21 - 19)
14+2-(43 —5) 64+641(32-24)
86. На складе лесопилки находится 18 штабелей бревен по
64 бревна в каждом и 9 штабелей по 42 бревна в каждом.
Сколько всего бревен на складе?
87. В колхозном саду ребята собрали яблоки и упаковали их в
ящики, по 25 кг в каждый. Хватило ли 40 ящиков для упа-
ковки 875 кг яблок?
88. Отцу 38 лет. а сыну 14. Во сколько раз отец был старше
сына 6 лет назад? ,
89. От города А в город В нужно ехать поездом 1 сут и 4 ч, а
самолетом можно долететь за 2 ч. Во сколько раз меньше
времени затратит путешественник, если полетит самолетом?
90. У Сережи I р. 45 к. Он решил купить 3 блокнота по 48 к
Хватит ли денег на покупку?
23
91. В секции легкой атлетики спортшколы было 168 учеников,
в секции борьбы было в 8 раз меньше; в волейбольной
секции на 18 учеников больше, чем в секции борьбы. Поставь
сам вопросы и ответь на них.
92. Валя получила от подруги книгу на три' дня. В первый
день она прочитала 28 страниц, во второй день прочитала
в 3 раза больше, чем в первый. В третий день она прочитала
на 25 страниц меньше, чем во второй. Успела ли Валя про-
читать книгу вовремя, если в книге 194 страницы?
93. Автомашина проехала 159 км со скоростью 53 км/ч и 128 км
со скоростью 64 км/ч. Сколько часов машина была в пути?
94. Четыре ящика с товаром одинаковой массы и один мешок
с товаром массой 25 кг весят вместе 145 кг. На сколько
килограммов больше весит ящик с товаром, чем мешок?
95. Из куска ткани можно сшить 17 детских плащей, расходуя
на каждый 2 м ткани. Можно ли из этого куска сшить 8 пла-
щей для-взрослых, если расходовать по 4 м ткани на каждый?
96*. Взяли некоторое число, разделили его на 5. Из результата
вычли 35 и получили наименьшее трехзначное число. Какое
взяли число?
97*. Запиши арабскими цифрами: Vll, IX. XIX, XXVII, XX. ХС.
ММС.
98*. Запиши римскими цифрами 3, 12, 28, 39, 69. 101, 700, 1800.
99*. Слева от знака равенства поставь между цифрами знаки
сложения так, чтобы получилось верное равенство:
1) 1 2 3 4 5 = 33; 2) 5 6 7 8 9=143.
П р и м е р. 1 2 3 4 5 = 69. Р е ш е н и е. 1 4-234-45=69.
1.5. Сложение натуральных чисел.
Законы сложения
В школе два четвертых класса: в 4 А 32 ученика и в 4 Б
29 учеников. Чтобы узнать, сколько всего учеников в двух
классах, можно эти классы объединить и пересчитать всех
24
учеников. Но можно сделать проще — сложить числа 32 и 29:
32 4-29 = 61. Вместо чисел 32 и 29 могут быть и другие числа.
Поэтому можно рассуждать, используя буквы, так: если в одном
классе а учеников, а в другом классе b учеников, то число
учеников в обоих классах будет а + b. Обозначив это число
буквой с, получаем равенство a-j-b = c. Ты уже знаешь, что
числа а и b называются слагаемыми. Число с, а также и выра-
жение а4* Л называют суммой чисел а и Ь.
Общее число учеников двух классов не зависит от того,
будем ли мы к 32 прибавлять 29 или к 29 прибавлять 32:
32 4-29 = 294-32 В этом проявляется переместительный
закон сложения: от перестановки слагаемых сумма не ме-
няется. В буквенном виде этот закон записывается так:
а4-й=/»4-а
Пусть в школе три четвертых класса: в 4 А 32 ученика, в
4 Б 29 учеников и в 4 В 26 учеников. Нам нужно найти,
сколько учеников в трех четвертых классах вместе. Можно
найти вначале, сколько учеников в двух классах, и к резуль-
тату прибавить число учеников еще одного класса. Общий
результат не зависит от того, какие два числа мы будем скла-
дывать вначале: (324-29)4-26 = 32 4-(294-26). В этом прояв-
ляется другой закон сложения - сочетательный закон: чтобы
к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому
числу прибавить сумму второго и третьего чисел. В буквенном
виде это можно записать так:
I (а4-/,)4-г = о4-(Л4-г)
Из этих законов следует, что сложение нескольких чисел
можно выполнить в любой последовательности. Слагаемые
группируются обычно так, чтобы вычисления были как можно
проще.
2S
Пример. 22+174-41+8 + 9=(22 + 8) + (41 +9)+17 =
= 30 + 50+17 = 97.
Сумма двух натуральных чисел всегда больше каждого из
слагаемых. Но это не так. если хотя бы одно из слагаемых
равно нулю. В этом случае сумма равна другому слагаемому.
Следовательно, если а любое натуральное число или нуль, то
а+ 0 = о и 0 + а = а.
100. Найди в тексте формулировку переместительного закона
сложения.
101. Используя при необходимости переместительный закон,
вычисли (устно):
I) 5 + 46 2) 15 + 2005
8 + 212 2120 + 30
564 + 16 24+306
3) 9 + 821 4) 32+1668
4006 + 8 54+2306
6 + 789 6330 + 70
102. Найди в тексте формулировку сочетательного закона сло-
жения, продумай приведенный к нему пример.
103. Используя при необходимости законы сложения, вычисли
(устно):
I) 35 + 18 + 25 2 ) 6 + 52 + 28 3) 520 + 340 + 80
47 + 24 + 13 64+17 + 6 1500 + 700 + 500
26 + 44+19 31+26 + 9 3700 + 300+1580
24+16 + 27 9+19 + 41 490 + 510+10
104. Вычисли наиболее простым способом:
1) 358+1645 + 2042
3) 7081 + 13600 + 919
5) 519 + 291 + 181
2) 2987+1950+13 + 50 + 7000
4) 6840 + 2970 + 300 + 30+160
6) 54Ю + Ю20+80 + 900 + 2390
105. Чему равно:
0 + 27; 27 + 0; 0 + 3756; 3756+0; 0 + 0; 0 + о; а + 0?
106. Толя ходил с дедушкой и бабушкой по грибы. Придя домой,
они сосчитали, сколько грибов собрал каждый. Оказалось,
что дедушка собрал 57, бабушка 69, а Толя 43 гриба.
Составь выражение для нахождения числа всех собранных
грибов. Вычисли значение этого выражения.
107. Маляры получили на складе 87 кг белой. 124 кг коричневой
и 46 кг зеленой краски. Составь выражение для вычисления
всего количества выданной со склада краски. Вычисли зна-
чение этого выражения.
108. Три пионерских отряда собирали в колхозном саду груши.
Первый отряд собрал 525 кг, второй 639 кг и третий х кг.
Составь выражение для нахождения массы всех собранных
детьми груш и вычисли его значение, если х равно 475; 721.
109. При сборе макулатуры один класс принес 56 кг, другой
59 кг. а третий на 5 кг больше, чем второй. Сколько маку-
латуры собрали три класса вместе?
ПО. Расстояние в 37 км короче длины заданного маршрута
на 24 км. Найди длину маршрута.
27
111. Вычисли значение выражения а + 6 + с, если: 1) а = 219,
6 = 523, с=131; 2) а=4525, 6 = 1984, с =2346.
112. Участники экскурсий сначала проехали на автобусе 49 км,
затем 4 ч плыли на пароходе со скоростью v км/ч.
Составь выражение для вычисления пути, который проделали
экскурсанты. Вычисли путь, если и равно 24; 31.
ИЗ. Вычисли наиболее простым способом:
1) 101 + 102+1034-107+108+109;
2) 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30+31 +32 + 33.
114. Найди сумму пяти чисел, одно из которых равно 48, а каж-
дое из остальных больше его на 14.
115*. В одном пакете 65 семян. После того как из него взяли
27 семян, в нем осталось на 5 семян меньше, чем во втором
пакете. Сколько всего семян стало в двух пакетах?
1.6. Письменное сложение
Ты уже умеешь письменно складывать натуральные числа
в пределах миллиона. Сложение больших чисел выполняется
таким же образом. При этом используются законы сложения.
Пример 1. Найдем сумму 267 + 521.
Представим данные числа в виде суммы разрядных сла-
гаемых и применим сочетательный и переместительный законы
сложения. Получим:
267 + 521 =(200 + 60 + 7)+(500 + 20+ 1)=
= (200+ 500)+(60 + 20) +(7 + 1) = 700 + 80 + 8 = 788.
Подчеркнутая часть записи и объясняет сложение нату-
ральных чисел «столбиком»:
267 = 200 + 60 + 7 или короче: 267
+ 521 = 500 + 20+1 + 521
700 + 80 + 8 = 788 ‘ 788
28
Пример 2. 362 = 300+ 60 + 2
'473 = 400 + 70 + 3
700 + 130 + 5 = 800 + 30 + 5 = 835
Запишем короче: '
362
473
835
Итак, натуральные числа складываются по разрядам. При
этом нужно учитывать, что каждые 10 единиц любого разряда
дают одну единицу более высокого (следующего за ним)
разряда. При записи «столбиком» следи внимательно за тем,
чтобы одноименные разряды были точно подписаны друг под
другом.
Пример 3. Найдем сумму чисел 119. 87 и 2305:
2305 Расскажи, как выполнены эти вычисления.
+ 119
87
2511
Для проверки результата можно сложить числа в иной
последовательности. Например, если слагаемые записаны
«столбиком», то вначале сложи их сверху вниз, а для про-
верки сложи снизу вверх.
116. Расскажи, как выполнено сложение чисел 362 и 473
примере 2 (см. текст).
117. Вычисли (устно):
1) 43 + 52 2) 364 + 26 3) 4000 + 7000 4) 1200 + 5800
64 + 9 997 + 8 12 000 + 800 3500 + 4200
52 + 25 237+13 3000 + 5000 7200 + 900
29
5) 20000+184
50000 + 26
200+18000
6) 12 000+4500
2000 + 80
40000 + 6000
7) 24 000 + 8000
39000+1000
52600 + 400
118. Вычисли:
I) 115419 + 78925
387043 + 985601
692 786 + 309871
2) 3029647 + 7 895 328
289I0O75+4 638959
13058609 + 8027 647
119. Вычисли:
1) 479655 + 783+1209368;
2) 65+14 328 + 3092;
3) 31752 + 8403268 + 720294;
4) 50 786 + 89 + 470615 + 2095.
120. Вначале сделай прикидку результата, округляя слагаемые
до наивысшего разряда, затем вычисли:
1) 574 + 436 2) 15421759 + 32604 700
4027 + 8281 380 723 + 745680
121. Выполни действия и вместо многоточия запиши знак ра-
венства или неравенства:
I) 4 718386 + 5247614 ... 8 951478+1024 522;
2) 595 + 40268 + 9654 ... 43284+7233.
122. Найди значение выражения л + 34 675, если х равно 405;
6893; 98 606; 134 054.
123. Найди сумму данных чисел:
1) 491. 6987, 39169, 4 720368;
2) 56. 994, 10743, 272008.
124. По данным переписи населения, в 1979 году в СССР про-
живало 262 млн. 400 тыс. человек. К I июля 1986 года
численность населения в СССР увеличилась по сравнению
с 1979 годом на 17 млн. 700 тыс. человек. Сколько жителей
было в СССР на 1 июля 1986 года? (Данные округлены.)
30
125. В первой половине 1986 года сельское хозяйство СССР
получило 195 тыс. тракторов, 59 тыс. зерноуборочных ком-
байнов, 21 тыс. силосных комбайнов и 4 тыс. картофельных
комбайнов. Сколько всего машин получило сельское хо-
зяйство?
126. Число 3786496 на 604 589 меньше числа х. Найди х.
127. Первое слагаемое 18307, а второе на 3009 больше первого.
Найди их сумму.
128. Месячная заработная плата мамы 165 р., что на 78 р. меньше
папиной заработной платы. Сколько денег они получают
вместе за месяц?
129. Три отряда собирали в колхозном саду яблоки. Первый
отряд собрал 149 кг, второй на 17 кг больше первого, а
третий на 9 кг больше, чем второй. Сколько яблок собрали
три отряда вместе?
130. Саша, Сережа и Петя принесли свои марки на выстав-
ку. Саша принес 157 марок, Сережа на 86 марок больше,
чем Саша, а Петя на 48 марок больше, чем Сережа и
Саша вместе. Сколько всего марок принесли мальчики на
выставку?
31
131. Одна сторона участка земли четырехугольной формы 735 м.
Она на 68 м короче другой. Сумма длин оставшихся двух
сторон 1237 м. Вычисли длину границы участка земли.
Вырази ответ в километрах и метрах.
132. «Ах-ах, от Земли до Луны всего 384 400 км!»— воскликнул
Заяц. Он погрузил на космический корабль 15800 кг снаря-
жения и начал полет на Луну. «Ну. погоди!» — сказал Волк.
Он погрузил на космический корабль на 6480 кг снаряжения
меньше, чем Заяц, и полетел вдогонку. Зайца он догнал на
расстоянии 105600 км от Земли.
На какие из следующих вопросов можно ответить по
условию задачи:
1) Сколько килограммов весит Заяц?
2) Сколько килограммов снаряжения погрузил Волк на
космический корабль?
3) Каков возраст Волка?
4) На каком расстоянии от Луны Волк догнал Зайца?
5) Сколько километров от Луны до Земли?
Задай другие разумные вопросы, на которые ты сможешь
ответить, прочитав условие задачи.
32
133. Вычисли значение выражения а-|-94 7094-6, если:
1) а = 5947628,/» = 689718; 2) 0 = 926 706,6=4754.
134. Кирпичный завод изготовил в 1984 году 34 млн. 600 тыс.
кирпичей. Это на 1 млн. 600 тыс. кирпичей меньше, чем в
1985 году. В 1986 году кирпичей было изготовлено на
3 млн. 800 тыс. больше, чем в 1985 году. Сколько кирпичей
произведено за три года?
135. В начале года в колхозах района работало 12087 человек,
а в совхозах на 3416 человек больше. На других предпри-
ятиях района работало на 25768 человек больше, чем в
колхозах и совхозах вместе. Поставь разумные вопросы
и ответь на них.
136. Найди сумму наибольшего семизначного, наименьшего трех-
значного и наименьшего натурального числа.
137*. Вместо звездочек поставь цифры такие, чтобы равенство было
верным: 5*4-»84 = ***0.
138*. Слева от знака равенства поставь между цифрами знаки
сложения так, чтобы получилось верное равенство:
4 4 4 4 4 4 4 4 = 500.
1.7. Вычитание натуральных чисел
В равенстве х 4-5 = 11 известны сумма двух чисел (число II)
и одно слагаемое (число 5). Легко догадаться, что другое
слагаемое равно 6. Действительно, 64-5=11. Действие, при
помощи которого по сумме и одному из двух слагаемых на-
ходится другое слагаемое, называется вычитанием. Запишем:
х= 11 —5. Очевидно, х=6.
В общем виде, если х-|-6 = а, то х=а —6, где а — умень-
шаемое, 6 — вычитаемое. Число х, а также выражение а — Ь
называется разностью. Обратно, если х = а —6, то х-|-6 = а.
2 л., ям «>• н>|» 33
Вообще, вычесть из числа а число b — значит найти третье
число х такое, что х+Ь=а.
Сложение и вычитание — взаимно обратные действия.
Поэтому вычитание всегда можно проверить сложением:
сумма разности и вычитаемого должна равняться уменьшаемо-
му. Например, 10 — 7=3 и 3 + 7=10. Обратно, сложение
можно проверить вычитанием: при вычитании одного сла-
гаемого из суммы двух слагаемых должно получиться другое
слагаемое. Например, 6 + 7 = 13 и 13 — 7 = 6 (или 13 — 6 = 7).
Ты уже знаешь, что для любого числа а верно равенство
а + 0=а. Отсюда следует, что
а—0 = а и о —о=0.
Важное значение имеют правило вычитания суммы из числа
и правило вычитания числа из суммы.
Пример 1. В классе 29 человек, из них 5 мальчиков и
7 девочек учатся на «4» и «5». Сколько человек в классе имеют
оценки ниже «4»?
Ответ можно найти различными способами:
I) 29—(5 + 7) = 29—12= 17;
2) (29-5)—7 = 24-7=17;
3) (29 —7)—5 = 22 —5= 17.
Чтобы вычесть сумму из числа, можно из него вычесть
одно слагаемое и затем из результата вычесть другое слагаемое.
В буквенном виде:
а — (Ь+с) = (а — Ь)—с.
Или:
а — (Ь + с) = (а—с) — Ь.
Скобки в выражении (а — Ь)—с не имеют значения, их
можно отбросить. Например, (12 —7)—3= 12 — 7 — 3 = 5—3 = 2.
Пример 2. На столе две тарелки с яблоками. На одной
тарелке 10 яблок, на другой 14 яблок. Мама дала из них
Нине 5 яблок. Сколько яблок осталось на тарелках?
Ответ можно найти различными способами:
1) (10+14) —5 = 24—5= 19;
2) (10+ 14)-5=(10 —5)+ 14=5+ 14= 19;
3) (10+14)—5=(14 —5)+10 = 9+10= 19.
Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного
слагаемого и к результату прибавить другое слагаемое.
В буквенном виде:
(а + Ь)— с—(а — с) + Ь (если а>с или а = с);
(« + &)— с=(Ь —с) + а (если Ь>с или Ь = с).
Этими правилами удобно пользоваться при устных вы-
числениях.
Пример 3.
100 —67= 100—(60 + 7)= 100 —60 —7 = 40—7=33.
Пример 4.
68 —40=(60 + 8)-40 = (60-40)+8 = 20 + 8 = 28.
139. Объясни, что означает вычесть:
I) из числа 25 число 15;
2) из числа 4567 число 3499;
3) из числа а число Ь.
140. Как называются числа при вычитании? Приведи пример.
141. Как можно проверить, правильно ли выполнено вычитание?
Приведи пример.
142. Как проверить, правильно ли выполнено сложение? Приведи
пример.
143. Прочитай в тексте правило вычитания суммы из числа. При-
думай пример на это правило. Какое выражение легче
вычислить:
267—(30+167) или (267— 167) —30?
35
144. Прочитай в тексте правило вычитания числа из суммы.
Придумай пример на это правило. Какое выражение легче
вычислить:
(400 4-186)—200 или (400-200)+186?
145. Проверь сложением, какие из следующих равенств верные,
а какие нет:
I) 527341-39672 = 487669;
2) 6 400 561 - 598 341 = 5 802 220;
3) 71 689 564 - 69 324 786 = 2 364 718;
4) 60000-2480 = 57520.
146. Чему равно 58-58; 4703-4703; 0 — 0; 69-0; 18000 — 0;
я —я; я—0?
147. Вычисли (устно) наиболее простым способом:
1) 68-(29 + 38)
45-(25+17)
83—(11+43)
4) 90-67
70-34
60-39
2) 432-(50+ 32)
764-(264+ 40)
587-(60 + 387)
5) 56-36-7
88-25-38
43-23-7
3) 994-(194+ 250)
301-(20 + 201)
584-(70+ 284)
6) 264-14-50
758-40-8
358-40-28
148. Вычисли (устно) наиболее простым способом.
I) (200 + 67)-100
(340+ 89)-40
(127+ 19)— 19
2) (382+ 8)-80 3)
(696+129)-96
(247+385)-247
492-90
567 — 50
475-70
149. Вычисли (устно) другое слагаемое, если:
1) сумма двух слагаемых 30000 и одно слагаемое 10000;
2) сумма двух слагаемых 50000 и одно слагаемое 20000;
3) сумма двух слагаемых 35000 и одно слагаемое 400;
4) сумма двух слагаемых 56000 и одно слагаемое 50000;
5) сумма двух слагаемых 15000 и одно слагаемое 15000.
150. Вычисли (устно):
I) 1200-1100-40 2) 32+13-5 3) 56 + 8+12-26
2800-995-1800 76 + 8-26 75-31-9+15
151. Сумма трех слагаемых равна 69000. Одно слагаемое
2400, второе слагаемое 10000. Вычисли третье слагаемое.
152. Уменьшаемое 25000, вычитаемое 17080. Найди разность.
153. Расстояние между станциями 235 км. С этих станций на-
встречу друг другу вышли две электрички. Одна из них до
встречи прошла 128 км. Какое расстояние до встречи прошла
другая электричка?
154. В соревнованиях по прыжкам в длину, высоту и с шестом
принимали участие 42 спортсмена. В высоту прыгало 13,
в длину 22 спортсмена, а остальные прыгали с шестом.
Составь выражение для подсчета числа спортсменов, пры-
гавших с шестом. Найди значение этого выражения.
155. Шофер получил утром для работы 115 л бензина. Из этого
количества он израсходовал 47 л до обеда и 55 л после обеда.
Сколько литров бензина осталось? Составь выражение и
найди его значение.
37
156. Вычисли значение выражения 356-«-(2264-р), если р равно
70; 46.
157. Вычисли значение выражения (277 + k)— 117. если k равно
138; 217.
Б.
158. Вычисли значение выражения a —(ft+ 29). если: 1) а =139.
ft = 50; 2) а = 280, ft=5l.
159. Токарь изготовил за три дня а деталей. В первый день он
изготовил 78, а во второй день т деталей. Сколько деталей
он изготовил в третий день? Составь выражение и вычисли,
если:
1) а = 248, т=80; 2) а = 260, т = 92.
160. Проверь справедливость равенства a—(b—с)=(а — ft)+c.
если а = 42, ft = 23 и с =16.
161. Вычисли, применяя равенство из упражнения 160:
I) 148—(48 —29) 2) 5634-(1234-72)
563—(163 —37) 891-(291-145)
162. Проверь справедливость равенства a+(ft —с)=(а—c)+ft,
если а =63. ft = 49 и с = 23.
163. Вычисли, применяя равенство из упражнения 162:
1) 78+(39-28) 2) 391+(220-191)
94+(78-54) 1677+(834-577)
1.8. Письменное вычитание
Ты уже научился письменно вычитать натуральные числа
в пределах одного миллиона. Как сложение, так и вычитание
выполняются поразрядно.
Пример I. Найдем разность 369 — 247.
Представим данные числа в виде суммы разрядных сла-
38
гаемых и применим правила, изученные в предыдущем па-
раграфе. Получим:
369 -247= (300 + 60 + 9) - (200 + 40 + 7) =
= (300 —200)(60—40)+(9 — 7) =100 4-20 4-2= 122
Запишем по-другому: 369 = 300 + 60 + 9
247 = 200 + 40 + 7
100 + 20 + 2=122.
или «столбиком»: 369
247
122
Пример 2.
672=600 + 70 + 2 = 500+170 + 2
~ 281 =200 + 80+ I =200+ 80+1
300+ 90+1=391
Запишем короче: _672
281
391
Точка над цифрой показывает, что единица отмеченного
разряда раздроблена на 10 единиц низшего разряда.
Вычитание чисел, больших миллиона, происходит по этой
же схеме.
ПримерЗ. Пример 4.
_ 35 468 723 _ 205 342 106
2351221 12251215
33 117502 193090891
Расскажи, как эти вычисления выполнены.
Проверь вычитание, сложив разность и вычитаемое.
39
164. Разбери пример 2 из текста и расскажи,
вычитание числа 281 из числа 672.
165. Вычисли (устно):
1) 91-9 2) 430-27
75-18 625-115
56 — 56 564-260
166. Вычисли:
1) 37658-15247
5346274-1 323000
60000-27697
3) 956407-3267
5473284-693276
73694-23576
200000-85407
3) 1500-800 4) 2000-8
1200 — 40 4300 — 5
6000-1300 4030-3
2) 438647-27 345
244 570-17 283
990000-638 272
4) 74 000-8999-472
50000-32 796-495
8 607 430 - 790 672 - 5 288 799
17 131 -8935-93
167. Сначала сделай прикидку результата, округляя уменьшаемое
и вычитаемое до наивысшего разряда, затем вычисли:
I) 892-436
7194-2987
61 450-38670
2) 700230-267 000
4 875000 — 3007 300
95 400-41 306
168. Вычисли значение выражения 43 687 — 0, если о равно 97;
899; 5648; 43687.
169. Вычисли значение выражения Ь — 8076, если b равно 80076;
100000; 756806; 2451000.
170. Из одного города в другой можно проехать по двум шоссе.
Длина одного шоссе х км, а другого на у км меньше длины
первого. Составь выражение для вычисления длины второго
шоссе. Вычисли, если:
I) х=130 и у = 54;
2) х=226 и у=39.
40
171. От Бреста до Владивостока (через Москву) по железной
дороге 10333 км. Расстояние от Москвы до Владивостока
9234 км. Чему равно расстояние от Москвы до Бреста?
172. На заводе 8647 рабочих, из них 5864 мужчины. Сколько
женщин работает на заводе?
173. Два водителя проехали за месяц 18764 км. Первый водитель
проехал 8935 км. На сколько километров первый водитель
проехал меньше второго?
174. Колхоз собрал с двух полей 1580 т зерна — пшеницы и ржи.
Пшеницы собрано 867 т. Чего собрали больше — пшеницы
или ржи - и на сколько?
175. Колхоз собрал с одного поля 572 т картофеля, а с другого
на 86 т меньше. Сколько тонн картофеля собрал колхоз с
обоих полей?
176. К началу 1980/81 учебного года в общеобразовательных
школах РСФСР было 1 млн. 135 тыс. учителей, а к началу
1985/86 учебного года их стало I млн. 218 тыс. На сколько
увеличилось число учителей за этот период?
177. Участники авторалли в первый день проехали 472 км. Это на
158 км больше, чем во второй день. Сколько километров
проехали спортсмены за два дня?
472 км
178. Крупнейшие пещеры на Украине носят названия Оптимисти-
ческая, Озерная и Золушка. Длина всех ходов первой пещеры
144 км. второй на 40 км меньше, чем первой, а третьей на
44 км меньше, чем второй. Вычисли длину всех ходов Озерной
и Золушки.
179. В 1979 году (по проведенной тогда переписи населения)
в городах Советского Союза проживало 163 млн. 586 тыс.
человек, а в сельской местности на 64 млн. 736 тыс. человек
меньше, чем в городах. Вычисли число жителей Советского
Союза в 1979 году.
180. I) Вспомни, что такое прямоугольник. 2) Вычисли пе-
риметр'. т. е. сумму всех сторон прямоугольника, если его
длина равна 12 см, а ширина 8 см.
181. Длина поля прямоугольной формы равна 1734 м. что на
386 м больше ширины. Вычисли ширину и периметр поля.
182. Вычисли значение выражения а — 360285 — Ь, если:
I) а = 700400, 2) а= 12000000.
Л = 82905; <>=11639715.
183. Общий объем продукции сельского хозяйства в СССР за
1986 год составил в рублях: 219 млрд. 200 млн., в том числе
объем продукции в РСФСР — 102 млрд. 600 млн., в
ЭССР — 1 млрд. 900 млн. Объем продукции в УССР был
па 54 млрд. 600 млн. рублей меньше, чем в РСФСР.
Какой объем продукции приходится на оставшиеся 12 рес-
публик?
184. На складе было 4700 банок с краской. До обеда увезли
в магазины 1256 банок, а после обеда еще 2381 банку.
Поставь разумные вопросы и ответь на них.
1 От греческого слова perimetreo- измеряю вокруг.
42
185. Составь и реши задачу на вычитание.
186. Составь выражение и вычисли его значение;
1) из суммы чисел 18628 и 14 539 вычти разность этих же
чисел;
2) из числа 34 687 вычти разность чисел 49305 и 19876;
3) из разности чисел 6117 845 и 5961047 вычти число
36483;
4) уменьши разность чисел 14320 и 8964 на 2645;
5) увеличь сумму чисел 945 и 637 на разность этих же
чисел;
6) увеличь разность чисел 5678 и 4789 на 9111;
7) уменьши сумму чисел 8756 и 12 798 на 20554.
187*. Найди недостающие числа в цепи вычисления:
3150 + |7°° . а . -500 . ь +-3574 е
188*. Уменьшаемое а в 2 раза больше вычитаемого Ь. Чему равна
разность?
189*. Вместо звездочек поставь цифры:
_6*5*
*8*4
2856
190*. Слева от знака равенства поставь между цифрами знаки
вычитания так, чтобы получилось верное равенство:
1) 3 4 5 6 7=16 2) 9 8 7 6 5=17
3) 5 6 7 8 9 = 550 4) 7 6 5 4 3 = 28
191*. (Задач а-ш утка.) Чтобы узнать массу слона, верблюда
и жирафа, осел поставил их всех на весы. Их общая масса
оказалась 6160 кг. Когда на весах остались верблюд и жи-
раф, весы показали 1151 кг. Наконец на весах остался один
жираф, и масса его была 475 кг. Каковы массы слона и
верблюда?
43
1.9. Уравнение
Ты уже встречался с равенствами, содержащими неиз-
вестное число.
Пример I. Рассмотрим равенство *+3 = 10.
Каким числом нужно заменить х, чтобы левая и правая
части равенства были равны? По смыслу вычитания мы уже
знаем, что х=10 —3, т. е. х = 7.
Равенство, содержащее неизвестное, называется уравне-
нием. Такое значение неизвестного, при котором уравнение
превращается в верное равенство, называется корнем урав-
нения. Иногда уравнение может иметь несколько корней.
С такими уравнениями ты познакомишься в дальнейшем.
Решить уравнение — значит найти все его корни. Итак,
мы решили уравнение х-+-3 = 10 и получили его корень —
число 7.
Для того, чтобы проверить, правильно ли решено уравнение,
вместо неизвестного подставим в него найденный корень и
выполним нужные вычисления. Если получим верное равенство,
то уравнение решено правильно. В данном примере проверка
очень проста: 7 + 3=10.
Пример 2. Решим уравнение х—14=18, в котором
неизвестным является уменьшаемое. По смыслу вычитания
получим: х=|8+14, или х=32.
Вообще, чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к
разности прибавить вычитаемое. В буквенном виде:
если х—а = Ь, то х=а + Ь.
Пример 3. Решим уравнение 16 —х = 7, в котором не-
известным является вычитаемое.
Опять же по смыслу вычитания находим: х=16 —7, или
.г = 9.
Вообще, чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из
уменьшаемого вычесть разность. В буквенном виде:
если а — х = Ь, то х=а —Ь.
44
192. Прочти внимательно текст параграфа и ответь на вопросы:
1) Что называется корнем уравнения?
2) Как найти неизвестное уменьшаемое?
3) Как найти неизвестное вычитаемое?
4) Как проверяется правильность решения уравнения?
193. Реши уравнение; сделай проверку:
1) х + 47 = 96 2) х—367=425 3) х-5672 = 21
(/4-38=129 г—987 = 25 675 —/ = 235
467 4-а = 596 1000 —х = 387 у — 2 = 15679
4984-6=945 875 —(/ = 321 1987 —а=975
Б.
194. Реши уравнение:
1) (»/ — 476)—368= 1594
93 — (х+56) = 8
(246 4-ш)—72 = 643
195. Проверь, не решая уравнения,
является корнем уравнения:
1) 3894-(х-47) = 819;
2) (х4- 45)-24 =50
(985-а)-167 = 426
273-(х-54) =136
, какое из чисел 56, 301, 477
(х4-631)-567=666-х.
Для повторения
196. Вычисли (устно):
1) 4-202 5-301 6-707 2) 100-700 20-35 90-300 3) 2-506 8-305 4-304 4) 200-15 30-42 65-10
5) 540:9 6) 205:5 7) 357:7 8) 1000:5
286:2 408:8 426:6 800:80
840:4 714:7 318:3 1400:7
45
197. Вычисли:
1) 47-28 2) 73-106. 3) 2176:32 4) 14112:28
15-64 87-299 28278:9 4356:66
198. Вычисли:
1) 507-10-49000:100 2) 6428-3200:(1000-984)
199. Вырази в граммах: 3 кг, 17 кг, 5 кг 200 г, 8 кг 45 г.
200. Вырази в килограммах: 2000 г, 7000 г, 11000 г, 20000 г.
201. Вырази в рублях: 300 к., 500 к., 1000 к., 4200 к.
202. Вырази в копейках: 4 р„ 9 р., 3 р. 20 к., 5 р. 3 к.
203. 5 кг муки стоят 2 р. 5 к. Сколько стоят 3 кг той же муки?
204. Поезд в течение двух дней был в пути 36 ч. В первый день
он прошел 900 км, во второй день 720 км. На сколько дольше
поезд был в пути в первый день, чем во второй, если предпо-
ложить, что все время он шел с одинаковой скоростью?
205. Вычисли значение выражения За—327, если а равно 125.
206. Вычисли:
1) 678+ (324—187)
594-(478-89)
709+ (867+ 945)
2) 5392-(2327-199)+325
(25 724 - 18 639) - (3264 + 792)
(103212 + 22364)—(72364 + 416)
207. К началу учебного года построили в районе три новые школы.
В первой школе стало учиться 624, во второй 993 и в третьей
585 учащихся. Сколько учащихся стало учиться в трех
новых школах вместе?
208. (Устно.) Туристы должны были проехать 1500 км за пять
дней. За первые три дня они проехали 1000 км. Сколько
километров осталось им проехать за два оставшихся дня?
209. В 1958 году на советском судне «Витязь» учеными была
измерена самая глубокая морская впадина — 11 022 м (Ма-
рианская впадина). Самое глубокое озеро в мире — Байкал
(1620 м). На сколько метров Марианская впадина глубже
Байкала?
46
210. Ученики 5 А класса посадили 581 дерево, а ученики 5 Б
класса посадили на 195 деревьев меньше. Сколько деревьев
посадили оба класса вместе?
1.10. Задачи на сложение
и вычитание натуральных чисел
А.
211. Вычисли (устно):
1) 8+124-154-15 2)
34 + 17+16 + 3
49 + 8 + 51 + 12
212. Вычисли:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
36 + 27-16 3) 75 + 90-75
78-15-28 56-36 + 80
64 + 16-35 21+86 + 79
75000-54 207 + 9207
8672 + 91526 + 765
27456-9687-536
345008 + 3695-295403
33 030-(24 608 + 6792)
90 000—(81 932 — 7969)+3865
66 666-(52 895-8351)
(14 398 + 8645) - (6701-896)
5864 - 4295 - (832 - 743) - 1480
213. Вычисли и вместо точек поставь нужный знак (равенства
или неравенства):
1) 372504—96495 ... 214812 + 61278
2) 1864 292-907684 ... I 000000-42813
3) 2 796431-2 782364 ... 72 586 - (48 695 + 6306)
214. Найди значение выражения а — Ь, если:
1) а = 47 698, 6 = 3096;
2) а= 17648000, 6 = 17598000.
47
215. Сумма трех слагаемых 69 785. Одно слагаемое 24867, второе
слагаемое 15984. Найди третье слагаемое.
216. Разность двух чисел 472. Большее число 2000. Найди мень-
шее число.
217. Разность двух чисел 23646. Меньшее число 8954. Найди
большее число.
218. В библиотеке 22347 книг, из них 19453 книги на русском
языке и 1236 книг на других языках Советского Союза.
Остальные книги на иностранных языках. Сколько книг на
иностранных языках в библиотеке?
219. На день переписи населения в 1979 году в Белорусской ССР
проживало 7 млн. 568 тыс. белорусов, 1 млн. 134 тыс. рус-
ских, 403 тыс. поляков и 427 тыс. представителей других
национальностей. Сколько жителей было в Белорусской ССР
на день переписи?
220. В школьном математическом кружке занимается 18 учени-
ков. В танцевальном кружке на 12 учеников больше, чем
в математическом, а в спортивном на 5 учеников меньше,
чем в танцевальном. Сколько учеников в спортивном кружке?
221. Стоимость продукции, выработанной за месяц первым цехом
завода, составила 123505 р., вторым цехом на 34 634 р.
меньше, чем первым, а третьим на 4381 р. больше,
чем стоимость продукции, выработанной вторым цехом.
Чему равна стоимость продукции, выработанной тремя
цехами?
222. В Советском Союзе на первую половину 1986 года было
выпущено 659 тыс. легковых автомобилей и 578 тыс. мото-
циклов и мотороллеров. На сколько больше было выпу-
щено автомобилей, чем мотоциклов и мотороллеров?
223. В таксопарке а такси. Утром в 6.00 выехало на работу т
такси и в 8.00 еще 124 такси. Остальные такси остались на
ремонте. Составь выражение для вычисления числа такси,
оставшихся на ремонте. Вычисли, если: 1) а = 294 и т =140;
2) а = 530 и т = 376.
48
224. Маршрут для бега по пересеченной местности состоял из
трех участков. Длина первого участка 327 м, второго 463 м,
а третий участок длиннее второго на 125 м. Какой длины был
маршрут?
225. Реши уравнение:
1) *4-467 = 1500
510 —а = 147
у —869 = 329
2) 19645 —* = 8945
605 436 4* и = 1000000
а-86 100 = 24 500
226. Вычисли:
I) 1000-(9 4-83)-(44-17)-(26 4-5);
2) (1854-2154-345) —(354-184-45);
3) (94 4-134 4-174)—(34 4-74);
4) 57 473 689 - 17 584 673 - (23 564 982 4- 3 869 725);
5) 96 4 72 000 500 - (82 596 4 20 600 - 12 972 569 417).
227. Реши уравнение:
1) (1987 4-х)4-649 =9009;
2) (4934-.V)4-1236 = 52471;
3) (г-6299)-293 = 4328.
228. Вычисли значение выражения с-а-^-Ь, если:
I) а = 47 369, 2) а = 327 400,
6 = 234 502, 6 = 869700.
с = 250 600; с = 2 529 100.
229. Во время летних каникул Женя, Федя и Зина собирали ле-
карственные травы. Женя собрал 1030 г, Федя на 180 г
больше. Зина на 640 г меньше, чем Женя и Федя вместе.
Сколько граммов лекарственных трав собрали ребята вместе?
230. Мама принесла из инкубатора 56 птенцов, среди которых
были цыплята, гусята и индюшата. Цыплят и гусят вместе
49
было 45, причем гусят было на 4 меньше, чем индюшат.
Сколько было цыплят, индюшат и гусят в отдельности?
231*. В Москве на Олимпийских играх советские спортсмены
получили 195 медалей, из них золотых и серебряных вместе
было 149, а золотых и бронзовых вместе 126. Сколько зо-
лотых, серебряных и бронзовых медалей получили советские
спортсмены?
232. В соревнованиях по ориентированию на местности первый
пионер пробежал 1064 м, второй на 288 м меньше, третий
на 106 м меньше, чем второй, а четвертый на 46 м больше,
чем второй и третий вместе. Поставь разумные вопросы
и ответь на них.
233. Составь и реши задачу на сложение и вычитание.
234*. Ученики шли строем по два. Один из них насчитал впереди
себя 9 пар, а сзади 5 пар. Сколько учеников было в строю?
235*. Слева от знака равенства поставь между цифрами знаки
+ и — так, чтобы получилось верное равенство:
98765432 1=315
1.11. Отрезок
Отметь в тетради две точки Л и В. Приложи к ним линейку
и соедини (по линейке) эти точки (рис. 1.1). Ты получил
отрезок АВ (рис. 1.2). Точки А и В называются его концами.
Рис. 1.2
Рис. 1.3 Рис. 1.4
Отрезок обозначается двумя заглавными латинскими буквами
(указываются его концы). На рисунке 1.2 изображен отрезок
АВ или ВА.
Для измерения длины отрезка (или, короче, для измерения
отрезка) его сравнивают с выбранной единицей длины. Ты
знаешь такие единицы длины: 1 мм, I см, 1 дм, I м, 1 км. Изме-
рения производят с помощью линейки с делениями (рис. 1.3)
или рулетки (рис. 1.4). Длина отрезка обозначается так же,
как и сам отрезок. Например, если длина отрезка MN равна
5 см, то записываем: MN = 5 см. Два отрезка называются
равными, если при наложении их концы совпадут. Если длины
двух отрезков равны, то отрезки равны. На рисунке 1.5 изобра-
жены равные отрезки АВ и MN. Пишут: AB=MN. На ри-
сунке 1.6 отрезок CD длиннее отрезка EF. Пишут: CD>EF
(или EF<CD). Для сравнения и откладывания отрезков можно
пользоваться циркулем (рис. 1.7). Изображенный на рисун-
ке 1.7 отрезок АВ является суммой отрезков АС и ВС: АВ =
= АС-^- ВС. Длина суммы отрезков равна сумме длин слага-
емых отрезков. Например, если ЛС=5 см и ВС=3 см, то АВ =
= 5 см + 3 см = 8 см.
Отрезок короче любой другой линии, которая соединяет его
концы (рис. 1.8).
А Зсм В
М Зсм N
AB = MN Рис. 1.5
С 4 см D
Е Зсм F
CD>EF Рис. 1.6
Самостоятельная работа 1
Тема. Построение отрезка заданной длины.
Научись строить отрезок заданной длины. Например, по-
строй отрезок длиной 6 см. Для этого:
I) отметь в тетради какую-нибудь точку и обозначь ее,
скажем, буквой Л4;
2) приложи линейку так, чтобы ее нуль совпал с точкой М-,
3) отметь точку, которая совпадет с делением 6 см на
линейке; обозначь эту точку, например, буквой N;
4) построй отрезок MN, он и будет искомым; длина от-
резка MN равна 6 см. Запиши: MN = 6 см.
Построй, используя приведенное руководство, отрезки
Лй = 5 см и ДЕ = 65 мм.
Л.
236. Проверь по учебнику, помнишь ли ты, как: I) начертить и
обозначить отрезок-, 2) измерить длину отрезка.
52
237. Найди среди предметов, окружающих тебя, те, которые дают
представление о точке, об отрезке.
238. Отметь в тетради три точки и обозначь их.
239. Начерти отрезок KL и отметь на нем точку А. Сколько от-
резков теперь на чертеже? Измерь все эти отрезки.
240. Измерь отрезки АВ. CD и FG (рис. 1.9) и сравни их длины.
А ВС
D F G
Рис. 1.9
241. Назови все отрезки, изображенные на рисунке 1.10.
К
О
М N
Рис. 1.10
242. На рисунке 1.11 Дб = 57 см и ЙС=19 см. Вычисли длину
отрезка АС.
243. На рисунке 1.12 \S= 135 м, ST в 4 раза длиннее отрезка NS.
Вычисли длину отрезка NT.
244. На рисунке 1.13 Л1Р = 5 км и MN = 2 км. Вычисли длину
отрезка NP.
Р
। Рис. 1.13
53
Рис. 1.14
Рис. 1.15
245. Каждое звено ломаной (рис. 1.14) 54 см. Вычисли ее длину.
246. Начерти ломаную ABCDE. Сделай нужные измерения и
вычисли ее длину. Начерти отрезок АЕ и сравни его длину
с длиной ломаной.
247. Начерти отрезок ДВ = 6 см 8 мм. Отметь на этом отрезке
точку С такую, что АС = 4 см 3 мм. Чему равна длина от-
резка СВ?
248. На рисунке 1.15 изображен <и1агак>щий> циркуль. Подумай,
для чего и как его можно применять.
Рис. 1.17
КМ N
Рис. 1.19
249. Как можно построить отрезок заданной длины при помощи
линейки, конец которой с началом шкалы отломан?
250. На рисунке 1.16 SW = 5 км. МТ = 8 км и NT = 6 км. Вычисли
длины отрезков SM. MN и ST.
251. На рисунке 1.17 ДВ = 9 дм, ДС = 25 дм и CD = 13 дм. Вы-
числи длины отрезков НС и AD.
252. На местности измерили расстояние между «точками», распо-
ложенными на одном отрезке (рис. 1.18), и получили, что
KL= 14500 м и КМ = 3250 м. Отрезок NL оказался длиннее
КМ на 760 м. Вычисли расстояния MN, LN и KN
253. Земельный участок треугольной формы нужно огородить
проволочной изгородью, состоящей из двух рядов: верхнего
и нижнего. Сколько потребуется проволоки, если стороны
треугольника 375 м, 584 м и 428 м?
254. В точках А. В, С и D расположены деревни, расстояния
между которыми (рис. 1.19) следующие: 4В = 8600 м,
ЯС = 5700 м. Известно, что DC в два раза короче, чем АВ.
Какое расстояние надо пройти от деревни А до деревни D
через деревни В и С?
1.12. Луч. Прямая. Плоскость
Отрезок можно продолжить с помощью линейки в обе сто-
роны. На рисунке (чертеже) такое продолжение ограничено,
а мысленно мы можем отрезок продолжить неограниченно.
Если мы продолжим отрезок АВ за его конец В неограниченно
(рис. 1.20), то получим геометрическую фигуру, называемую
лучом АВ. Точка А начало луча АВ. Конца у луча нет. При
обозначении луча на первом месте всегда пишут букву, кото-
рая обозначает начало луча. Если продолжим отрезок АВ
за его конец А, то получим луч ВА. началом которого является
точка В (рис. 1.21). Если мы продолжим отрезок АВ в оба
конца неограниченно (рис. 1.22), то получим фигуру, которую
называют прямой. Прямая не имеет концов.
Через любые две точки можно провести прямую и притом
только одну.
Прямая, как и отрезок, обозначается двумя заглавными
латинскими буквами, обозначающими какие-либо две точки,
лежащие на этой прямой. На рисунке 1.23 изображена прямая
КМ. или МК
Любая точка О прямой делит прямую на два луча, которые
имеют общее начало О. Так, на рисунке 1.24 изображены лучи
ОА и ОВ.
Рис. 1.24
Точки, лучи, отрезки и многие другие геометрические
фигуры располагаются на плоскости. Представление о плос-
кости дает нам. например, поверхность стола, оконного стекла,
спокойного водоема. Когда же мы чертим фигуры, то частью
плоскости нам служит, например, лист тетради или школь-
ная доска. Плоскость не имеет <краев», она является неогра-
ниченной геометрической фигурой.
255. Проверь, помнишь ли ты:
I) как от изображения отрезка можно перейти к изображе-
нию луча и прямой-,
2) как обозначаются отрезок, луч, прямая;
3) сколько прямых проходит через две точки.
256. Назови лучи, изображенные на рисунке 1.25.
257. Начерти два различных луча MN и МР.
258. Начерти луч с началом в точке О и отметь на нем какую-либо
точку М. Отложи на луче отрезок ОЫ=3 см и измерь от-
резок MN.
259. Начерти луч ОА и отложи на нем от точки О один за другим
пять отрезков, по 1 см каждый.
260. Через произвольную точку А проведи две прямые и обозначь
их. Можно ли через эту точку провести другие прямые?
Рис. 1.25
57
N
О
Рис. 1.27
Рис. 1.26
261. Назови все отрезки, лучи и прямые на рисунке 1.26.
262. Отметь в тетради точки А. В и С, лежащие на одной прямой.
263. Отметь в тетради точки М, N и Р, не лежащие на одной
прямой. Проведи все прямые, каждая из которых проходит
через две точки. Сколько таких прямых?
264. Начерти прямую, отметь на ней три точки и обозначь нх.
Измерь длины полученных отрезков.
265. Назови несколько предметов, которые дают представление
о плоскости.
266. Начерти отрезки ДВ = 32 мм. ВС = 45 мм и CD = 2 см так,
чтобы точки А. В и С, а также В, С и О не лежали на одной
прямой. Найди длину полученной ломаной.
267. На сколько частей делит плоскость прямая, лежащая на этой
плоскости?
268. Начерти два луча с началом в одной и той же точке О.
На сколько частей делят плоскость эти лучи?
269. Начерти две прямые, проходящие через одну и ту же точку
О. На сколько частей делят плоскость эти прямые?
270. Отметь в тетради три точки, не лежащие на одной прямой.
Построй все прямые, проходящие через пары этих точек.
На сколько частей делят плоскость построенные прямые?
58
271. На рисунке 1.27 квадрат пересечен двумя прямыми. Сколько
отрезков, лучей, треугольников и четырехугольников на
этом рисунке?
1.13. Числовой луч
Начертим луч ОХ и запишем против его начала О число О
(рис. I.28). Выберем какой-либо отрезок, длину которого при-
мем за единицу. Такой отрезок называют единичным отрезком.
Отложим от начала луча отрезок ОА, равный единичному
отрезку (рис. 1.29). Против точки А запишем число 1. Гово-
рят, что точка А соответствует числу 1, или число 1 изображено
точкой А. Чтобы изобразить на луче число 2, надо отложить
от начала луча один за другим два единичных отрезка. От-
ложив от начала луча один за другим три единичных отрезка,
получим на луче точку, которая изображает число 3, и т. д.
Таким образом, любому натуральному числу (а также числу 0)
соответствует одна определенная точка луча ОХ. Мы полу-
чили числовой луч. Точка, соответствующая началу число-
вого луча, называется точкой отсчета. Если точка М на луче
изображает какое-либо натуральное число, например число
10, то длина отрезка ОМ равна 10 единицам.
Числовой луч позволяет сравнивать натуральные числа.
Если числовой луч направлен слева направо, то из двух нату-
Рис. 1.29
59
Рис. 1.30
ральных чисел большему соответствует точка, лежащая пра-
вее, меньшему — левее.
Пример 1. 3<5 и точка А лежит левее точки В
(рис. 1.30).
Пример 2. На рисунке 1.31 точками отмечены натураль-
ные числа х, при которых неравенство х<6 будет верным.
272. Проверь, помнишь ли ты:
1) как начертить числовой луч;
2) что такое единичный отрезок;
3) что такое точка отсчета числового луча.
273. Каким числам соответствуют точки А, В, С и D на числовом
луче (рис. 1.32)?
274. Какие числа изображены точками А, В. С. D. Е и F на число-
вом луче (рис. 1.33)?
С А________D В
0 1 2 3 4 5 Рис. 1.32
С A D F ЕВ
0 100 200 300 400 500 600
Рис. I.33
60
N R L M S К
0 20 40 60 80 100 120
Рис. 1.34
M К
0 100 200 300 400 500 600
Рис. I.35
275. Каким числам соответствуют точки К, L, М, N, О, Р. R, S
на числовом луче (рис. 1.34)?
276. Начерти числовой луч, за единичный отрезок прими отрезок
длиной 1 см. Отметь на луче точки, которые соответствуют
числам 0, 2, 4, 6 и 7.
277. Начерти числовой луч с началом в точке О. За единичный
отрезок прими отрезок длиной 1 см и отметь точки А, В, С
и D, если ОА = 2 см, ОВ = 3 см, ОС = 5 см и BD = 3 см.
Каким числам соответствуют точки А, В, С. D?
278. На каком расстоянии от начала отсчета находятся точки
К, L, М и N (рис. 1.35)?
279. Какая из двух точек на числовом луче расположена левее:
соответствующая числу 93 или числу 107?
280. Точка D числового луча соответствует числу 15. Назови
шесть чисел, которым соответствуют точки, расположенные
на числовом луче: 1) правее точки D; 2) левее точки D.
281. Назови все натуральные числа, которым соответствуют точки
числового луча, расположенные левее точки S (рис. 1.36).
Назови 5 чисел, соответствующие точкам правее точки Р.
282. Отметь на числовом луче все натуральные числа, мень-
шие 9.
О 1
Рис. 1.36
о а 4 b
о а в b
Рис. 1.37
11 с Рис. 1.38
283. Отметь на числовом луче все натуральные числа, меньшие 10
и большие 4.
284. Сравни числа а и b с числом 6 (рис. 1.37). Результат запиши
с помощью знака неравенства.
285. Сравни числа а. Ь и с с числами 4 и 11 (рис. 1.38). Результат
запиши с помощью знака неравенства.
1.14. Шкала
На линейке, которой мы пользуемся для измерения отрез-
ков (рис. 1.39), нанесена часть числового луча. Она образует
измерительную шкалу. Шкала разделена штриха-
ми на равные части, называемые делениями.
Длине каждого деления соответствует опреде-
ленная единица измерения. На этой линейке
длина наименьшего деления соответствует 1 мм.
Шкалы могут быть различной формы, и они
имеются на разных измерительных приборах.
На рисунке 1.40 показана шкала термометра,
на которой каждому наименьшему делению соот-
ветствует I градус.
01 2 3 4 5 6 7 \
’С
Рис. 1.40
Рис. 1.3»
62
286. Приведи примеры приборов, которые имеют шкалы.
287. Какой промежуток времени соответствует наименьшему де-
лению на циферблате часов (рис. 1.41)?
288. Какую температуру показывает термометр (см. рис. 1.40)?
Какую температуру будет показывать термометр, если она
повысится на 5 градусов? понизится на 5 градусов?
289. На рисунке 1.42 изображена шкала спидометра «Жигулей>.
Какова скорость машины в каждый из моментов, в которые
стрелка спидометра указывает на точки Д, В, С, D, Е, F?
290. На рисунке 1.43 изображена шкала спидометра <Волги».
Начерти такую же шкалу в тетради. Укажи скорость, соот-
ветствующую каждому штриху.
291. Начерти в тетради отрезок длиной 8 см. Над одним кон-
цом отрезка напиши число 0, а над другим 16. Раздели от-
резок на 4 равные части. Укажи числа, соответствующие
каждому штриху, и расставь на полученной шкале числа
2, 6, 10, 14.
вз
1.15. Диаграмма
Человек лучше понимает и запоминает те Сведения, кото-
рые могут быть представлены наглядно. Для наглядного
представления разных числовых данных используют диа-
граммы.
Пример I. Юра весил 25 кг, Саша — 36 кг, Таня—
28 кг, Витя 47 кг и Нина 41 кг. Представим эти данные
на линейной диаграмме: массу каждого ученика изобразим
с помощью отрезка. Возьмем для изображения I кг отрезок
длиной I мм. Длина отрезка, который изображает массу Юры,
будет равна 25 мм, Саши 36 мм. Тани 28 мм, Вити
47 мм, Нины 4I мм. Полученные отрезки образуют линей-
ную диаграмму (рис. 1.44).
Вместо отрезков можно нарисовать прямоугольники, у ко-
торых одинаковые основания, а высоты соответствуют дан-
ным числам. Получим столбчатую диаграмму.
Пример 2. Изобразим столбчатой диаграммой число
машин одного автопарка за пятилетку 1981 —1985 гг.
Год I98I I982 I 983 1984 I985
Число автомашин 500 580 630 650 700
64
Выберем для изображения десяти машин отрезок длиной
I мм. Тогда высоты прямоугольников будут равны 50 мм.
58 мм, 63 мм, 65 мм и 70 мм. Основание каждого прямоуголь-
ника пусть будет равно 1 см (рис. 1.45, на рисунке размеры
уменьшены).
292. I) Пользуясь линейной диаграммой (рис. 1.46), назови
среднюю продолжительность жизни некоторых животных.
2) Пользуясь столбчатой диаграммой (рис. 1.47), назови
средний удой молока от одной коровы за год.
293. У Светы 26 книг, у Веры 42 книги, у Сережи 36 книг. По
этим данным построй столбчатую диаграмму, взяв за изобра-
жение одной книги прямоугольник высотой I мм.
294. Даны высоты плотин: Нурекская 310 м. Ингурская
301 м, Саяно-Шушенская — 234 м, Токтогульскаи 215 м,
Красноярская — 128 м. Братская 125 м
1) Округли данные до десятков.
2) Прими для изображения 10 м высоты отрезок в I мм.
3) Начерти линейную диаграмму.
295. Даны высоты телебашен: в Москве 536 м. Алма-Аге
372 м. Лешин раде 315 м. Таллине - 31 I м
65
1) Округли данные до десяткоь.
2) Для изображения 10 м высоты телебашни прими прямо-
угольник, высота которого I мм. Начерти столбчатую
диаграмму.
Б.
296. Начерти линейную диаграмму по следующим данным:
длина Нила — 6671 км, Дуная — 2850 км, Волги — 3530 км,
Дона — 1870 км.
297. Вова за три дня путешествия прошел 67 км. В первый день
он шел 6 ч со скоростью 4 км/ч, во второй день 5 ч со
скоростью 5 км/ч. Остальной путь Вова прошел за третий
день. Изобрази с помощью линейной диаграммы путь, прой-
денный Вовой за каждый день.
Исторические сведения
Геометрия слово греческое. Оно происходит от слов
«гео» земля и «метрео» измеряю и. таким образом, озна-
чает «землемерие». Геометрия как наука зародилась еще в
Древнем Египте. Тогда это было учение о практическом изме-
рении земельных участков. Развитие земледелия, строитель-
ства, ремесел и торговли требовало умения измерять площади
и вместимости сосудов, имеющих форму различных геомет-
рических фигур, а также знания свойств этих фигур. Даль-
нейшее развитие геометрия получила в трудах ученых Древ-
ней Греции. Знания, накопленные в течение столетий, были
систематизированы. Геометрия сформировалась как наука о
свойствах различных геометрических фигур. Результатом яви-
лась работа Евклида «Начала», составленная примерно 2300
лет тому назад. Эта работа сохранилась до настоящего вре-
мени. В «Началах» Евклида заложены основы той геометрии,
которая изучается и в наши дни в школе.
Для повторения
298. I) Найди по предметному указателю номера страниц,
где даются сведения о натуральных числах, пе-
реместительном законе сложения, луче.
2) Найди эти страницы в учебнике, прочти соответствующие
абзацы текста.
299. Вычисли (устно):
I) 664-15 2) 864-17 3) 74-4-4
58-32 51-21 84-3-6
274-38 40-11 64-5-3
300. Вычисли:
1) 4 360 028 - 549 309 4- 12 680 700
2000 - 5400:27
2 ) 41780 - 6436 - 9630:9
5061-2071:19-1238-4
954:94-2404 — 52-34
3) (60680-39980): 1004-184
6240-8.(1900-26-47)
(5000:40 4-80-260): 25
301. Реши уравнение:
I) 87561-|-х= 120346
а —35 = 472 —804-116
2) 9040 —х= 1206
172 —х=36—19 —6
302. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу
выехали два велосипедиста. Один ехал со скоростью 14 км/ч.
а другой 18 км/ч. Через 2 ч они встретились. Найди расстоя-
ние между пунктами А и В.
67
303. Расстояние между поселками Антоновка и Ивановка 24 км.
Из поселка Антоновка в поселок Ивановка отправился
пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 2 ч по тому же маршруту
отправился второй пешеход и достиг поселка Ивановка
одновременно с первым. Вычисли скорость второго пеше-
хода.
304. Велосипедисты, попрощавшись, начали движение по шоссе
одновременно в противоположных направлениях. Один ехал
68
со скоростью 14 км/ч, а другой 16 км/ч. На
каком расстоянии друг от друга находились
велосипедисты после 2 ч езды?
305. Сколько отрезков и треугольников изображено Рис. 1.48
на рисунке 1.48?
306. В четырех товарных вагонах было 42000 кг товара. На од-
ной из станций загрузили в первый вагон еще 620 кг, а из
второго вагона перегрузили в третий 964 кг. Из четвертого
вагона выгрузили 1348 кг товара. Сколько килограммов
товара стало в четырех вагонах?
307. Сумма трех чисел 24 000. Первое число — наибольшее че-
тырехзначное, второе число — разность между наименьшим
пятизначным и наибольшим трехзначным числами. Найди
третье число.
308. На двух полках было всего 70 книг. На одну полку добави-
ли х книг, а с другой сняли у книг. Составь выражение для
определения числа книг, которое стало на обеих полках. Вы
числи, если: I) х = 8 и //=15; 2) х=23 и // = 7.
Для самопроверки
309. Назови наименьшее натуральное число. А имеется ли наи-
большее?
310. Прочти числа: 506709; 32000040; 70002; 6240000000;
9008643; 123704 560.
311. Запиши цифрами следующие числа: четыреста пять миллио-
нов триста, пятьсот тысяч шестьдесят, семьсот шесть, три-
надцать тысяч восемь, восемь миллиардов.
312. Расположи числа в порядке возрастания:
86007, 8607, 860 700, 8670, 806700, 8600000.
313. Вычисли (устно):
1) 72 + 23 2) 56 + 34 3) 75-16 4) 45 + 12 + 35
48 + 56 45 + 8 . 46-14 77—00+17)
69
314. Вычисли:
1) 89645+1294-816305
19640521-8825341
60000-1735
2) 45 267-(3849+97)
640027-594 014 + 5487
20 220 - (25 860 - 16 076)
315. Округли:
1) до десятков: 865, 72, 23697;
2) до тысяч: 5808, 42563, 123156;
3) до сотен тысяч: 8641 786, 360270, 5952 173.
316. Три колхоза вывозили с железнодорожной станции мине-
ральные удобрения. Первый увез 23 т 800 кг, второй на
7 т 500 кг больше, чем первый, а третий столько, сколько
первый и второй вместе. Сколько удобрений вывезли три
колхоза вместе?
317. Выручка трех отделов магазина за день составила 34 139 р.
Выручка первого отдела была 12364 р., второго на 1824 р.
меньше. Какова выручка третьего отдела?
318. Производство молока за год одной колхозной фермой было
699232 кг, второй х кг. Составь выражение и вычисли, на
сколько килограммов производство молока первой фермой
было больше, если х равно 680868; 567 405.
319. В коробке 3 кг лимонов и апельсинов. Лимоны вынули и
взвесили отдельно. Их масса оказалась равной 1 кг 760 г.
Каких цитрусовых больше и на сколько?
320. Сколько прямых можно провести через одну точку? через
две точки?
321. Начерти:
1) отрезок CD = 4 см 8 мм, 2) луч АП; 3) прямую MN.
322. Начерти числовой луч и отметь на нем точки Л, Я и С. кото-
рые соответствуют числам 2, 5 и 7.
323. Запиши числа, соответствующие точкам Л и В числового
луча (рис 1.49).
70
324. На рисунке 1.50 АС = 56 см, .4/3 = 18 см. Найди длину от-
резка ВС.
325. На рисунке 1.51 KL = 24 дм, /.44 = 17 дм. Найди длину от-
резка КМ.
2.
Умножение и деление
натуральных чисел
2.1. Умножение натуральных чисел.
Переместительный закон умножения
Начнем с примера.
Все пионеры четвертых классов разбиты на 5 отрядов, по
21 пионеру и каждом. Сколько всего пионеров в четвертых
классах?
Ответ можно получить путем сложении:
214-21 4-21 4-21+21 = ЮГ>.
Сумму равных слагаемых можно записать иначе в виде
произведения: 21 +2! +21 +21 4 21 =21 -5 Значит. 21-5 =
-105. Вообще, если «•& = <•, то числа и н /> называются мио-
жителями. Число с, а также выражение а-Ь называется
произведением.
Произведение натуральных чисел а-b означает сумму,
которая состоит из b слагаемых, каждое из которых равно а:
а-b — а 4- о 4- о 4-. 4 «
ft слагаемых
Последнее равенство возможно, если Ь>'2 или ft = 2, так
как сумма не может содержать менее двух слагаемых.
Если множитель ft равен единице, то считают, что произве
деиие а-b равно первому множителю а, т. е.
а-1 -а.
В ящик уложены банки в 4 ряда, по 5 банок в каждом ряду
(рис. 2.1). Число банок мы можем сосчитать двумя способа-
ми: будем считать по 4 снизу вверх или по 5 слева направо
В первом случае получим произведение 4-5, во втором 5-4.
Эти произведения выражают одно н то же число банок, но от
личаются порядком расположения множителей. Значит, 5-4 =
= 4-5. Проведенное рассуждение можно повторить для лю-
бых натуральных чисел. Получим, например: 6-3 = 3-6,
10-8 = 8-10, 32-2 = 2-32 и т. д.
73
Здесь проявляется переместительный закон умножения: от
перестановки множителей произведение не меняется. В буквен-
ном виде он записывается так:
Если в произведении хотя бы один множитель равен нулю,
то и само произведение равно нулю:
а-0 = 0, 0а = 0.
Если в произведении оба множителя отличны от нуля, то
по смыслу произведения оно не может равняться нулю. Сле-
довательно. если произведение равно нулю, то хотя бы один
из множителей равен нулю. Поэтому если, например, 5-(« — 2)=
= 0, то непременно а —2 = 0, т. е. а = 2.
В дальнейшем мы часто будем встречаться с произведени-
ями, в которых один множитель обозначен буквой. Например:
а-7, ft -10. В таких произведениях числовой множитель принято
записывать на первом месте. Знак умножения тогда можно не
писать. Например: о-7 = 7-л = 7а, ft-10= 10-ft = 10ft и т. д.
Знак умножения можно не писать и в том случае, когда один
множитель стоит перед скобкой или оба множителя выражены
буквами. Например: 2-(a + ft) = 2(a4-ft): т-л = тл и т. д.
326. Прочти текст и ответь на вопросы:
1) Что значит натуральное число а умножить на натураль-
ное число ft (ft>I)?
2) Как называются выражение a-ft? числа a, ft в этом выра-
жении?
3) Чему равно произведение любого натурального числа
на 0, на I?
4) При каком условии произведение равно нулю?
74
Рис. 2.2
327. В саду посажено 7 рядов яблонь, по 18 яблонь в каждом.
Найди число посаженных в саду яблонь двумя способами:
I) с помощью сложения; 2) с помощью умножения.
328. Прямоугольник разделен на равные квадраты (рис. 2.2).
Сколько квадратов в каждом горизонтальном ряду? Сколь-
ко таких рядов? Найди число квадратов, содержащихся
в прямоугольнике:
I) с помощью сложения;
2) с помощью умножения.
329. Представь в виде произведения и вычисли (устно):
I) 2 + 24-24-2 + 2 2) 5+5+5+5+5+5+5
4 + 4 + 4
6+6+6+6
12+ 12
8+8+8+8+8
330. Запиши в виде произведения:
I) 27 + 27 + 27 + 27
35 + 35 + 35 + 35 + 35
451+451 +451
2) а + а + а + а + п + а
л+л+л+л+я+л+n+i
о+о+о+о+о
331. Представь в виде суммы:
I) 4-3; 2) 3-4; 3) 6-2; 4) 2-6; 5) а-3.
332. Вычисли (устно):
I) 0-76 2) 15(12-12) 3) (0+D-8
89-1
10-0
32(24-23)
(15-14).28
(15 + 37)-0
(24 - 23HI7- 16)
333. Назови два числа, произведение которых равно:
1) 0; 2) I; 3) 2; 4) 6; 5) 35; 6) 100.
334. Найди (устно) значение выражения:
I) а-5 при а. равном 2; 5; 1; 0; 8;
2) 3ft при ft. равном I; 7; 0; 10; 3.
335. Прочти текст и сформулируй переместительный закон умно-
жения. запиши его в буквенном виде.
336. Как легче вычислить: 121-4 или 4-121?
337. Вычисли (устно):
2) 8-600 3) 5-103 4) 470-100
350-2 204-3 1000-250
1500-2 901-4 10-9600
338. Как записывается произведение, содержащее буквенные
множители (прочти в тексте)? Запиши выражение, при-
меняя принятые правила:
1) 7-с; 2) а-15; 3) х-у; 4) 4-(х+|/).
339. Вычисли (устно) значение выражения:
1) 8а при а, равном 3; 4; 10;
2) .и/ при х=5 и у=2; х=10 и у=4.
340. Заполни таблицу:
8 15 37 100 2000 | 3004
2а
10а
341. В одной упаковке х тетрадей. Сколько тетрадей в 7 таких же
упаковках? Составь выражение и вычисли, если х равно
17; 75.
76
342. Мотоциклист проезжает 75 км в час. Сколько километров
он проезжает за а ч? Составь выражение и вычисли его,
если а равно 2; 3; 5.
Б.
343. Любое ли натуральное число можно представить в виде
произведения двух множителей, каждый из которых больше
единицы?
Обоснуй ответ с помощью примеров.
344. Реши уравнение.
I) Зх=0; 2) х.27=0; 3) 3(х-1)=0; 4) 9(х-10)=0.
345*. Реши уравнение:
1) л(х-5)=0; 2) (х—1)(х—2)=0; 3) 3(х-3)(х-5)=0.
346*. Слева от знака равенства поставь между цифрами знаки
умножения так, чтобы получилось верное равенство:
1) 2 3 4 5 = 340; 2) 3 4 5 6=1904.
2.2. Сочетательный закон умножения
Обратимся еще раз к рисунку 2.1, на котором изображен
ящик с банками краски. Допустим, что каждая банка содер-
жит по 2 кг краски. Общее количество краски в ящике можно
найти двумя способами.
Первый способ.
Известно, что число банок в ящике 5-4, а в каждой банке
по 2 кг краски. Следовательно, общее количество краски в
ящике будет 2-(5»4) кг.
Второй способ.
В одном ряду 5 банок, а в каждой банке по 2 кг краски.
значит, общее количество краски в одном ряду будет 2-5 кг.
Но таких рядов 4, значит, всего краски будет (2-5)-4 кг.
Итак, (2-5).4=2-(5-4).
Такое рассуждение можно провести для любых других
натуральных чисел. Получим, например,
(3-2)-4=3-(2-4), (6-7)-2 = 6-(7-2) и т. д.
В этих равенствах проявляется сочетательный закон умно-
жения: чтобы произведение двух чисел умножить на третье
число, можно первое число умножить на произведение вто-
рого и третьего чисел. В буквенном виде запишем:
(а-Ь)-с=а-(Ь-с)
Из переместительного и сочетательного законов умножения
следует, что при умножении нескольких чисел мы можем мно-
жители группировать по своему усмотрению. Это позволяет
упрощать вычисления.
Пример 1. 7-2-9-5=(2-5)-(7-9)= 10-63=630.
Переместительным и сочетательным законами умножения
пользуются и при упрощении буквенных выражений.
Пример 2. 5-а-3 = 5- 3- а=15-а=15а.
Примерз. 2-а-4-6 = 2-4-а-Ь = 8-а-Л = 8а/>.
347. Прочти текст и сформулируй сочетательный закон умноже-
ния. Запиши его в буквенном виде. Что легче вычислить:
5-(4-9) или (5-4)-9?
348. Вычисли (устно):
1) 8-5.7 2) 5-9-6 3) 23-10-2 4) 5-7-Э-2
3-6-5 4-7-5 50-10-2 4-6-9-25
5-20-6 3-11-2 15-20-4 10-2-9-5
78
349. Пионеры, участвующие в параде, построены в 50 колонн.
В каждой колонне 20 рядов, по 12 пионеров в каждом.
Сколько пионеров участвует в параде?
350. В магазин привезли х ящиков с лимонадом. В каждом ящи-
ке было 5 рядов, по 6 бутылок в каждом. Сколько всего
бутылок лимонада привезли в магазин? Составь выражение
и вычисли, если х равно 25; 50; 80.
351. В городском сквере 9 цветочных клумб. На каждую клумбу
высадили 8 рядов цветов, по а цветков в каждом. Составь
выражение для вычисления общего числа цветов в сквере.
Вычисли, если а равно 25; 50; 35.
352. (Устно.) Упрости выражение:
1) 5-6а 2) 8а-9 3) 5*-7 4) 20a-25-ft
7-8а 200-8* 6а-10 Зх-23-lO-t/
3-4х 7ft-21 8ft-100 6-105ft-f
353. Упрости выражение:
1) 11-27m 2) 48т-25л 3) 18а-15
15-13л 2a-17ft 91х-42у
16-37Л 65с-12d 75m. 12
12-43а 3lx-52i/ 17а-29ft
354. Упрости выражение 25-m-4 и найди его значение, если т
равно 10; 18.
355. Заполни таблицу:
79
356. Вычисли (устно):
1) 6-97-(45-45)
8-4-125-25
357. Упрости выражение:
1) 20а-25-6
3x.23.IO-y
2) (90-89)-20-50-17
5-9-I6.0.7.2
2) 6-105.&-С
966-43с
358. На складе готовой продукции упаковали в коробки мужские
рубашки, по 20 штук в каждую. Коробки расположили ря-
дами. Оказалось т рядов, по л коробок в каждом ряду. Со-
ставь выражение для определения числа всех рубашек на
складе. Вычисли, если: 1) гл =25, л =60; 2) т = 40. л = 45.
359. Для строительства участка автомагистрали потребовалось
а бригад, по b человек в каждой. Бригады работали по 8 ч в
день. Составь выражение для нахождения общего числа от-
работанных за день часов. Вычисли, если:
I) о=5. 6 = 20;
2) а = 3, 6=35.
360*. Сколькими нулями оканчивается произведение всех натураль-
ных чисел от 1 до 25?
2.3. Распределительным закон умножения
Рассмотрим теперь умножение суммы двух натуральных
чисел на третье натуральное число. Найдем, например, зна-
чение выражения (24-5)-3. По смыслу умножения (с. 72) по-
лучим:
(2+5)-3=(24-5)4-(24-5)4-(2+5).
Далее по законам сложения находим:
(2+5)+(2+5)+(2+5)=(2+2+2)+(5+5+5).
80
И опять же по смыслу умножения запишем:
(2 + 2 + 2)+(5 + 5 + 5)=2-34-5-3.
Следовательно, (24-5)*3=2-34-5-3.
Такое рассуждение можно провести для любых натураль-
ных чисел а, Ь и с:
(a + b)-c = (a + b) + (a + b) + ...+(a + b) =
с слагаемых
= (а + а + -.+а)+(b + b + ... + b)=а-с+Ь-с
с слагаемых г слагаемых
Итак,
,=а.
Этим равенством выражается распределительный закон
умножения относительно сложения: чтобы умножить сумму
на число, можно умножить на это число каждое слагаемое
и сложить полученные произведения.
Этот закон справедлив для любого числа слагаемых:
(a+b+c)-k=a-k + b-k + c-k.
(a-b-b + c + d)-k = a-k + b-k + c-k+d-k
и т. д.
Закон распространяется и на вычитание:
(а — Ь)-с=а-с — b-с (а>Ь или а = Ь).
Распределительный закон умножения применяется для
упрощения вычислений, чаще всего при устном счете.
Пример 1. 92-8=(90 + 2)-8 = 90-8 + 2-8 = 720+ 16 = 736.
Пример 2. 49-7=(50—1)-7=50-7 —1-7 = 350 - 7 = 343.
Применяя распределительный закон умножения относи-
тельно сложения или вычитания к выражениям (а-\-Ь)-с и
(а — Ь)-с, мы получаем выражение, не содержащее скобок; го-
81
ворят. что мы раскрыли скобки. Здесь, конечно, не существенно,
где записан множитель с перед скобками или после скобок.
Пример 3. Раскроем скобки в выражении 3(x-f-7), по-
лучим:
3(х4-7)=3-х4-3-7 = 3x4-21.
Пример 4. Раскрывая скобки в выражении 3(2а —5),
получим:
3(2а —5)=3-2а—3-5=6а — 15.
361. Прочти параграф 2.3 еще раз и:
1) повтори формулировку распределительного закона ум-
ножения относительно сложения; запиши его в буквенном
виде;
2) продумай примеры I и 2.
362. Какой способ вычисления проще:
I) (1004-40)-9= 140-9 или 2) 6-(20'-1)=6-19 или
(1004-40).9= 100-94-40-9? 6(20— 1)=6-20 — 6-1 ?
363. Вычисли (устно):
1) 5(6 4-8) 2) 5(40 4-100) 3) 6(20-1)
4(1004-20) 8(504-5) 9(100 - 2)
6(80 4-2) 3(204-9) 7(30—1)
364. Вычисли, используя распределительный закон:
1) 47-5 2) 8-36 3) 7-76 4) 6-92
121-4 6-137 251-7 18-101
89-8 7-39 9-59 15-29
365. Чтобы сварить варенье, мама купила сахар по 84 к. за кило-
грамм Вначале она купила 5 кг, а потом еще 3 кг. Сколько
стоил весь сахар? Вычисли двумя способами.
82
366. Туристы были в пути 3 ч утром и 4 ч вечером, причем ско-
рость их была постоянной — 5 км/ч. Составь выражение
для вычисления пройденного туристами пути за день и
вычисли его значение.
367. В зоопарке в одной клетке было 6 обезьян, в другой 8 и в
третьей у обезьян. В обед на сладкое каждая обезьяна
получила по 3 банана. Сколько бананов получили обезьяны?
Составь выражение и вычисли его значение, если у равно
5; 7; 10.
368. Разбери примеры 3 и 4 из текста,
369. Раскрой скобки (устно):
I) 2(х-+-3) 2) 5(6 —а) 3) 12(а + 4)
(5 + а)-4 (х-3)-7 (8-у).6
3(а+!) (у-2)-5 3(12 —х)
370. Раскрой скобки:
1) 4(5—Зх) 2) 2(u + ft + 2) 3) 2(2a+b-2)
(3 —2х)-3 3(4 + а + х) (Зх-2-2|/)*3
(Зу-5).5 (34-х + 6).7 9(2Ь+4с-5)
6ОБЕЗЬЯН
ПО3 БАНАНА
д ОБЕЗЬЯН
ПО 3БАНАНА
У ОБЕЗЬЯН
ПО 3 БАНАНА
83
371. Два пионерских звена пололи грядки. В одном звене было
х пионеров, а в другом у пионеров. Каждый пионер про-
полол по 5 грядок. Составь выражение для определения
числа грядок, прополотых всеми пионерами. Вычисли его
значение, если: 1) х = 8, у = 9; 2) х=10, t/ = 7.
372. Ученики V, VI и VII классов собирали яблоки. В V классе
было т учеников, в VI классе п учеников и в VII классе р уче-
ников. Каждый ученик собрал по 8 ящиков яблок. Составь
выражение для нахождения числа ящиков яблок, собранных
детьми. Вычисли, если т=28, п =32 и /? = 25.
373; Не выполняя действий, установи, какое из выражений больше:
1) 9(856 + 342) или 9-856 + 8-342;
2) (1538-643)-4 или 1538-5-643-4.
374*.В левой части равенства поставь знаки умножения и сло-
жения так, чтобы получилось верное равенство:
1) 6 7 8 9 1 0=165;
2) 2 3 4 5 6=466.
375*.Вместо звездочек поставь недостающие цифры:
♦6 **8
*7* 3**
2.4. Вынесение множителя за скобки
Поменяем местами правую и левую части равенства
(а + Ь)с=лс+Лс. Получим: ac + bc=(a + b)c. В этих случаях
говорят, что множитель вынесен за скобки.
Пример 1. 71-8 + 9-8=(71 + 9)-8=80-8=640.
Таким же образом можно применять равенство, которое
84
получится, если в равенстве (а — Ь)с = ас — Ьс поменять места
ми левую и правую части.
П р и м е р 2. 37-9—7-9=(37 —7)-9 = ЗО-9=270.
ПримерЗ. 7а4-8а=(74-8)а = 15а.
Пример 4. 2x4- 10х + * = (2+ 10+ 1)х = 13х.
Пример 5. 2a-f-5a4-7=(24-5)a-|-7=7а4-7.
П р и м е р 6. 12а —5а=(12 —5)а = 7а.
376. Какой способ вычисления проще:
1) 24-6-1-16-6= 1444-96 = 240 или
24-64- 16-6 = (24 4-161-6 = 40-6 = 240?
2) 19-17-9-17 = 323-153=170 или
19-17-9-17 =(19-9)-17 = 10-17= 170?
377. Вычисли наиболее удобным способом;
1) 18-144-12-14 2) 17-24-7-24
9-364-1-36 4-129-3-129
5-304-25-30 314-6—14-6
3) 9-184-72-9
56-22-56-12
88-15—15-38
378. Вычисли (у с т и о):
1) 2-74-3-7
4-184-4-2
5-24—5-14
379. Упрости выражение:
2) 6-204-4-20
12-42-2-12
69-994-69-1
9-21-9-11
5-24 4-5-16
1) 8а4-3а
12г»—4/,
5х—х
2) .v4-21.v 3) 24у4-!8</
27у —23у 53x4-х
52а 4-14а ЮОу — 22у
4) 2а4-За4-4
7х-х—6
84-5с 4-2с
380. Упрости выражение 5х4-3х и вычисли его значение, если
х равно 4; 10; 25.
381. Упрости выражение 18а —7а и вычисли его значение, если а
равно 0; 9; 200.
382. Упрости выражение:
1) 45а-8а 4-За
74*4-39*4-16*
99* 4-76*-29*
2) 136*-4-815* 4-72* 4-18
600// — 3201/ — 80// — 4
1530а - 800а — 80л 4- 36
383. Вычисли наиболее удобным способом:
1) 53-484-36-484-II -48; 2) 27-15-27-134-19-27;
3) 16-32-20-164-38-16; 4) 11 184- 18-23-34-18.
384. Вычисли наиболее удобным способом:
I) 76-43-54-434-22-17; 2) 59-864-21-86-80-36.
385. Упрости и вычисли значение выражения:
1) За 4- 18а 4- 7а — 20, если а равно 7; 15; 40;
2) 19* —4* —5*4-8, если * равно 16; 38; 90;
31 20с — 1 Ос4-с4-2, если с равно 15; 27, 19.
386. Папа купил 12, дедушка 8 и мама 5 лотерейных билетов.
Каждый билет стоит а к. Составь выражение для вычисления
суммы денег, уплаченных за лотерейные билеты. Вычисли,
если а равно 30; 50.
Для повторения
387. Вычисли (устно):
1) 32—15 2) 81-6 3) 2-3007 4) 48:3
160-70 9-16 5-1004 340:17
30204-80 63-3 3-2005 3609:3
388. Вычисли:
1) 323-5 2) 532-8 3) 193-6
471-9 677-7 386-6
389. Вычисли:
1) (126494-8351) — (154034-694)
2) 8 000 000 - (7 874 309 4-100 896)
3) 700 037 4-(8 342 111-8 342 048)
390. В трех четвертых классах 95 учеников. В 4 А и 4 Б вмес-
те 61 ученик, а в 4 Б классе на 4 ученика меньше, чем в 4 В
классе. По условию этой задачи поставь вопросы и ответь
на них.
391. Вырази в миллиметрах: 7 см, 23 см, 36 дм, 5 дм, 1 м. 6 м.
392. Вырази в сантиметрах: 9 дм, 24 дм, 7 м. 105 м, 400 мм. 800 мм.
393. На рисунке 2.3 измерь нужные отрезки и вычисли периметр
фигуры.
394. (Устно.) Вырази в виде произведения:
1) b + b + b 2) Г4.Г4.Г4-Г4-Г4-Г
с4-с s4-s4-i‘4-s
х 4-х 4-х 4-л-4-* у+у+у+у+у+у+у-
395. Запиши в виде суммы- 3<г. 5п; 10 /г.
396. Раскрой скобки:
1) 9(5-а) 2) (j/4-9)-7 3) 6(а-Н-5)
(х4-6)-3 12(3—я) 8(54-/п-п)
4(с —10) 5(а4-8) (x-i/4-6)-10
2.5. Умножение натурального числа
на разрядную единицу
Мы знаем, что каждые 10 единиц любого разряда равны
единице более высокого разряда: 1-10=10, 10-10=100,
100-10=1000 и т. д. Рассмотрим теперь умножение двух лю-
бых разрядных единиц. Например:
100- 100=100-(10-10) = (Ю0-10)-10= 1000-10= 10000;
1000-100= 1000.(10-10)=( 1000-10)-10= 10000-10= 100000.
87
Мы видим, что произведение двух разрядных единиц —
это разрядная единица. В ней столько нулей, сколько их в обоих
множителях вместе.
Рассмотрим теперь умножение любого натурального числа
на разрядную единицу, например 432-10000. Применяя законы
умножения, получим:
432 • 10 000 = (400 + 30 + 2) • 10 000 =
=(4-100 + 3-10 + 2)-10000 =
= 4-100-10000 + 3-10-10000 + 2-10000=
= 4-1 000000+3-100000 + 2-10000=
’ = 4 000 000 + 300 000 + 20 000 = 4 320 000.
Таким же образом можем получить, например, 27-1000 =
= 27 000, 409 -100 = 40 900, 3208 • 1000 = 3 208 000.
Вообще, чтобы умножить натуральное число на разрядную
единицу 10, 100, 1000, .... надо приписать справа к этому числу
столько нулей, сколько их в разрядной единице, на которую
умножаем.
Самостоятельная работа 2
Тем а. Умножение чисел, оканчивающихся нулями.
I. Внимательно следи за каждым шагом следующего вы-
числения:
8( )00 • 700 = (8 1000) - (7 • 100) = (8 • 7)- (1000 -100)=
= 56-100000 = 5600000.
Подумай, какие законы умножения были здесь применены.
2. Проведи следующие вычисления до конца:
300-500 = (3-100)-(5-100) = (3-5)-(100-100) = ...;
190-600=(19-10)-(6-100)=...;
80-2000 = ....
88
Подумай, как можно сформулировать правило умноже-
ния натуральных чисел, оканчивающихся нулями.
3. Если ты все хорошо продумал, то придешь к правилу:
при умножении натуральных чисел, оканчивающихся нулями,
надо:
I) выполнить умножение, не обращия внимания на нули в
конце чисел;
2) к полученному произведению приписать справа столько
нулей, сколько их во всех множителях вместе.
Перепиши это правило в тетрадь и пользуйся им при вы-
числениях.
397. Вычисли (устно):
I) 5-100
36-10
1000-12
2)
I 000000-7
24-10000
3-10000 000
3) 945-100
1000-58
472'10000
398. Вычисли (устно):
1) 7-20 2) 80-40
70-50
200-30
3)- 700-200
5000-40
900-600
8-300
40-9
399. Объясни каждый шаг в следующем вычислении:
67 100 000 = (6 • 10 + 7) • 100 000 = (6 • 10 )• 100 000 + 7 100 000
= 6 000 000 + 700 000 =’6 700 000.
400. Объясни каждый шаг в следующем вычислении:
30-40-200 = (3-10).(4-10)-(2-100)=(3-4-2)-(10-10-100) =
= 24-10000 = 240000.
89
401. Вычисли (устно):
I) 50-600-10
800-20-200
60-400-100
2) 9000-20-100
300-70-20
500-40-600
2.6. Письменное умножение
Ты уже умеешь письменно умножать натуральные числа в
пределах одного миллиона. Вспомним, как это делается.
Пример 1. Умножим числа 275 и 1459. Разложим число
275 на разрядные слагаемые и применим распределительный
закон умножения:
1459 - 275 = 1459 • (200 + 70 + 5)=
= 1459-200+1459-70-Ц459-5.
Умножение и сложение в подчеркнутой части строки вы-
полняются по следующей схеме:
1459
Х 275
1459-5 = 7295-*- 7295
1459 - 70 =102130-*-! 02130
1459 • 200 = 291800-*- 291800
401225—401225
Подчеркнутые нули при сложении не влияют на результат,
поэтому при записи <в столбик> они опускаются. По такой же
схеме умножаются любые многозначные числа.
Пример 2.
76456
Х 478
611648
535192
305824
36545968
Расскажи, как выполнено это вычисление.
Чтобы избежать ошибок при умножении, желательно
сделать прикидку, округляя множители. В примере 2 можно
сделать такую прикидку:
76 456 • 478 » 80 000 • 500 = 40 000 000
Этот результат говорит о том, что точный ответ близок
к 40 миллионам. Так оно и есть.
При письменном умножении нужно записывать множители
так, чтобы избежать лишних вычислений.
ПримерЗ. Найдем произведение чисел 3004 и 258.
Удобно записать вычисления так:
258
А 3004
1032
774
775032
но не так:
258
.3004
1032
000
000
774
775032
и не так:
у3004
А 258
24032
15020
6008
775032
402. Вычисли:
1) 4-9673 2) 20760-6 3) 6-50046 4) 16001-800
240436-8 3205 700-4 8004-9 600-9087
6340-26 476-34 593-806 3006-407
27-39400 450-270 1014-258 640-108
91
403. Вычисли:
1) 123-435 2) 3020-400 3) 924-375 4) 4000-756
452-2061 560-4800 7006-43 3180-60
206-8530 670-5000 3817-50 1706-40
503-306040 1002-4015 50006-14 158-28134
404. Сделай прикидку, округляя множители до наивысшего
разряда. Затем вычисли точно:
1) 87-52 2) 22-91
49-76 35-43
65-44 78-29
405. Вычисли:
1) 481-164-2004
72-306-20494
3964-45-98
14 000 - 206 • 37
54204-67-380
406. Вычисли:
1) 56(3794-61)
(1354-654)-77
(3159 —846 —2312)-5
26(394-50614-809)
90(12368-9675)
3) 102-384 4) 685-234
314-250 974-196
497-671 534-453
2) 89-45-109-23
508-78 4-43-850
30-727-90-39
14001-25-357-19-209
702-254-318 - 240-35
2) (672 4-408) (5286-4832)
(1200 - 936) (279 4-31)
30 000-370-804-8270
573 • 467 4- 495 • 492 4- 750 600
49523-(670-254-3648)
407. Вычисли значение выражения:
1) 12x4-19. если х равно 13; 12; 27;
2) 38а—14, если а равно 17; 42; 119.
408. Вычисли значение выражения 107 х, если х равно 435; 280;
301.
409. Вычисли значение выражения 4300 —8а, если а равно 94;
150; 496.
92
410. Сколько минут в сутках? Сколько секунд в сутках?
411. Сколько ударов в сутки делает сердце взрослого человека,
если оно делает примерно 70 ударов в минуту?
412. В магазин привезли вначале 57 радиоприемников стоимостью
78 р. каждый, затем еще 35 радиоприемников стоимостью
99 р. каждый. Сколько денег выручит магазин от продажи
всех радиоприемников?
413. Совхоз отправил на завод 40 машин с яблоками. В каждой
было 120 ящиков по 25 кг яблок. Сколько тонн яблок отпра-
вили на завод?
414. Крейсер «Аврора» развивал скорость до 37 км/ч. Какое
наибольшее расстояние могла проплыть «Аврора» за сутки?
415. С городской площади одновременно отправились в одном
направлении два велосипедиста, один со скоростью 12 км/ч,
другой со скоростью 17 км/ч. Какое расстояние было между
ними через 4 ч?
416. От станнин одновременно в противоположных направле-
ниях отошли два поезда. Скорость одного поезда 55 км/ч.
скорость другого 45 км/ч. Какое расстояние будет между
поездами через 6 ч?
93
417. От двух пристаней одновременно навстречу друг другу
отошли два катера и встретились через 2 ч. Скорость одного
из них 22 км/ч, скорость другого 27 км/ч. Найди расстояние
между пристанями.
418. На колхозной пасеке п ульев. Планировалось с каждого
улья получить за лето 25 кг меда. Сколько килограммов
меда планировал получить колхоз? Составь выражение и
вычисли, если: I) л=164; 2) л =500.
419. Ширина участка земли прямоугольной формы 60 м, дли-
на в 2 раза больше. На этом участке посадили новый
сорт картофеля. Предварительные опыты показали, что этот
сорт дает урожай 4 кг картофеля с одного квадратного
метра. Каким может быть весь урожай картофеля с этого
участка?
420. Начерти прямую и отметь на ней точки А и В. Начерти
прямоугольник, одна сторона которого — отрезок АВ, а дру-
гая сторона в 3 раза длиннее стороны АВ,
421. Сделай необходимые измерения и вычисли наиболее прос-
тым способом периметр многоугольника (рис. 2.4).
Рис. 2.4
Б.
422. Сделай прикидку, округляя множители до наивысшего
разряда, затем вычисли точно:
I) 724-39
5890-620
47-1098
423. Вычисли:
2) 748-2156
5304-3720
9901-409
3) 12542-217
84-8530
97-24 300
I) (2000 - 74 -21) (200 • 608 121 530)
2) 68-3074-642 4-47.690-304
3) 1001-784-22(906-799)
4) 56 • 640 - (11 258 -27-34)4-374 498
424. Для школьного кабинета математики закупили р микро-
калькуляторов по 75 р. каждый и персональную ЭВМ ценой
I/ руб. Сколько рублей выплатила школа? Составь выра-
жение и вычисли, если р = 30, «/ = 2100.
425. На концерте было 894 зрителя. 396 из них купили билеты
стоимостью I р. 50 к., остальные купили билеты по 2 р.
Сколько денег выручено от продажи билетов?
426. Три сестры Алла, Рита н Лена собирают открытки. У Аллы
их 158, у Риты в 4 раза больше, чем у Аллы, а у Лены на
35 открыток меньше, чем у Риты. Поставь разумные вопросы
и ответь на них.
95
427. Мотоциклист должен прибыть в город М через 4 ч после
выезда из пункта, находящегося от М на расстоянии 320 км.
Успеет ли он вовремя прибыть в город М. если в первый час
он проедет 75 км. а все оставшееся время будет ехать со
скоростью 70 км/ч?
428. (Задача-шутка.) В царстве мышей было 276 мышей-
мам и столько же мышей-пап. Мышей-деток было в 5 раз
больше количества мам и пап, вместе взятых. Однажды они
решили, что все мыши будут носить сапожки. Сколько са-
пожек нужно изготовить?
Из цифр I. 2. 4, 5, 6 и 9 составь два таких трехзначных
числа, чтобы одно было больше другого в 5 раз.
429*.
430*.
Замени буквы цифрами:
X™
а 8.
Сколько решений имеет задача?
2.7. Деление натуральных чисел
Рассмотрим уравнение 8х = 24, в котором дано произведе-
ние двух чисел и один из множителей. Другой множитель
неизвестен. Очевидно, что х=3, так как 8-3 = 24. Действие, при
помощи которого по произведению и одному из множителей
находится другой множитель, называется делением. Записы-
вается: л-= 24:8.
В общем случае, если 6х = а, то х = о:(>. Число а называется
делимым, Л —делителем; полученное число х, а также выра
жение а:Ь называется частным. Обратно, если х — а:Ь, то
Ьх = а.
Вообще, разделить число а на число b — значит, найти
такое число х, что Ьх=а.
Умножение и деление взаимно обратные действия.
Поэтому деление всегда можно проверить умножением:
произведение делителя на частное должно равняться дели-
9b
мому. Например, 10:5=2 и 5-2=10. Обратно, умножение
можно проверить делением: частное от деления произведения
на один множитель должно равняться другому множителю
Например,
3-4 = 12 и 12:4 = 3 (или 12:3 = 4).
Запомни: на нуль делить нельзя. Например, частного
5:0 не существует, так как при умножении любого числа на
0 получаем 0, а не 5. Запись 0:0 также не представляет собой
определенного частного, потому что теперь за частное может
быть принято какое угодно число, например 0; 5; 10, так как
0-0 = 0, 5-0=0, 10-0=0.
Покажи на примерах (по смыслу деления), что для любого
натурального числа а будут верными равенства:
0:а=0, а:а=1, а:1=а.
431. Прочти текст и ответь на вопросы:
1) Что значит разделить число а на число Ь?
2) Что означает 20 разделить на 5?
3) Как называются: выражение а:Ь, числа а. Ь?
4) На какое число делить нельзя?
432. Вычисли (устно) или объясни, почему деление невоз-
можно:
1) 6:6 2) 999:0 3 ) 3000:3000 4 ) 80:1
0:0 0:100 0:700 560:560
0:1 12000:1 850:0 1:0
433. Проверь умножением, правильно ли выполнено деление:
1) 34216:329=104
111 100:1010=101
87 550:425 = 206
2) 26196:37 = 708
33 855:111=305
23300:33 = 7100
434. Вычисли:
1) 1928:8
12645:9
10542:6
2) 4.300:25
1424:16
5202:18
3) 6696:31
12896:62
16037:79
4) 5747:7
3952:52
101101:101
435. Вычисли:
1) 1:1+0:374-375:1 2) 510:17+ 24-.38-80:4
812:58 + 923:71-27 32-45 + 513:27-12-13
429:13-308:14 + 75 41(131+271-1950:78
436. (Устно.) Килограмм муки стоит 26 к. Сколько килограм-
мов муки можно купить на 1 р. 30 к.?
437. (У ст но.) Велосипедист за 3 ч проехал 36 км. Вычисли его
скорость.
438. (Устно.) Скорость распространения звука 330 м/с. Через
какой промежуток времени мы услышим взрыв, если место
взрыва удалено от нас на расстояние 3 км 300 м?
439. Реактивный самолет пролетел 5100 км с постоянной
скоростью 850 км/ч. Какой продолжительности был
полет?
440. I) Составь выражение в каждом случае и вычисли его
значение: число у разделено на 16 (при у, равном 64; 80);
число 328 разделено на х (при х, равном 8; 41).
2) Бригада получила премию 1248 р.; деньги разделили
поровну между а членами бригады. Сколько денег получил
каждый? Составь выражение и вычисли его значение, если
а равно 24; 16.
3) Имелось а т картофеля; его загрузили в машины, по
5 т в каждую. Сколько потребовалось машин? Составь
выражение и вычисли, если а равно 135; 190.
441. Реши уравнение (устно):
1) Зх=18 2) 4х = 84 3) 23х=322
4х = 60 Зх = 78 47х = 611
5х=75 2х=96 12х=144
98
Б.
442. Может ли частное равняться делимому? Ответ обоснуй.
443. Запиши с помощью числового выражения и вычисли его:
1) разность чисел 780 и 280 разделить на 5;
2) сумму чисел 180 и 120 разделить на разность этих же
чисел.
•44. 3900 кг сахара вывезли со склада на двух машинах. На
одну машину погрузили 30, на другую 35 мешков. Сколько
килограммов сахара погрузили на каждую машину, если
количество сахара во всех мешках было одинаковым?
445. У Вани имелись монеты на сумму I р. 30 к. Среди них
было пять двухкопеечных, две десятикопеечные и три двад-
цатикопеечные монеты. Остальные монеты были пятико-
пеечные. Сколько пятикопеечных монет было у Вани?
4'16. Реши уравнение:
I) 11х-|-Вх= 1862 2) х-|-2л-5 = 10
16х-9х=840 8у—3i/4-l(i = 71
•47. Реши уравнение:
II 7(л'4-6) = 49 2) 3(2х—9)=27 3) 2(2х4-Зх)=20
15(х-10)=255 9(5>'4-8) = 207 7(3х-х)=42
27(19—х)=324 19(39-2х)=703 12(х4-9х)= 1200
448*. Слева от знака равенства поставь между цифрами знаки
деления так. чтобы получилось верное равенство:
1) 1 2 3 4=1; 2) 6 5 4 3 = 218.
Самостоятельная работа 3
Тема. Деление натуральных чисел, оканчивающихся ну-
лями, на разрядную единицу 10, 100, 1000, ....
Рассмотрим случай, когда число нулей разрядной единицы
не превышает числа нулей в конце делимого.
с 99
I. Вспомни правило умножения натуральных чисел на раз-
рядную единицу (самостоятельная работа 2. с. 88). Вычисли:
1) 32-100; 2) 170-1000; 3) 391-10000; 4) 1275-10.
2. Учитывая, что умножение и деление — взаимно обратные
действия, подумай, почему следующие равенства верны:
1) 600:10=60; 2) 32 000:100 = 320;
3) 4710000:10000 = 471; 4) 47000000:1000000 = 47.
3. Подумай, как можно было бы сформулировать правило в
рассматриваемых случаях. Выполни деление и проверь
умножением:
1) 500:10; 2) 6800:100; 3) 1070000:1000.
4. Если ты выполнил работу и все хорошо продумал, то должен
прийти к следующему правилу: при делении натуральных
чисел, оканчивающихся нулями, на разрядную единицу
10, 100, 1000, ... (когда число нулей разрядной единицы не
превышает числа нулей в конце делимого) нужно в конце
делимого отбросить столько нулей, сколько их в делителе.
5. Перепиши правило, которое ты только что получил, в тет-
радь и пользуйся им при вычислениях:
1) 800:10 2) 900000:10000 3) 70000000:100000
5000:100 7000000:1000 60050000:100
40000:1000 431200:100 1400000:10000
4) 4500:10 + 600:100 5) 320:10-48
70000:100 + 82-10 80000:1000:16
90-100—12000:1000 500000:10000-60
2.8. Основное свойство частного
Рассмотрим, например, деление 12:4=3. По смыслу деле-
ния 12 = 3-4. Если равные числа умножить на одно и то же
натуральное число, то получим равные числа. Поэтому можно
100
обе части этого равенства умножить, например, на 5; полу-
чим: 12-5=(3-4)-5. Откуда 12-5 = 3-(4-5). По смыслу деле-
ния (12-5):(4-5)=3. Значит.
12:4=(12-5):(4-5), т. е. 12:4 = 60:20.
Мы видим, что частное 12:4 не изменится, если делимое и
делитель умножить на 5. Обратно, частное 60:20 не изме-
нится, если делимое и делитель разделить на 5. Таким рас-
суждением можем получить, например, 12:6=6:3, 45:9 =
= 15:3, 8:2 = 24:6.
В этих примерах проявляется основное свойство частного:
если делимое и делитель умножить или разделить на одно и
то же натуральное число, то частное не изменится. Следо-
вательно, если делимое и делитель оканчиваются нулями, то
в них можно отбросить по одинаковому числу нулей. Например.
3000:200 = 30:2; 450 000:5000 = 450:5.
Объясни, почему это так.
А.
449. Прочти текст. Сформулируй основное свойство частного.
Приведи пример.
450. Объясни, почему верны следующие равенства:
1) 28:14=4:2 2) 10:2=50:10
32:8=16:4 48:8=12:2 18:6=3:1 451. Раздели делимое и единицу; вычисли: 1) 5400:20- 2) 13000:500 42000:120 6:3=54:27 12:4 = 72:24 15:5=30:10 делитель на подходящую разрядную 16800:800 3) 3 600000:90000 100 000:5000 260 000:1300 207000:90 120000:4000
101
452. Вычисли наиболее простым способом:
1) (27 • 8): (8 • 3); 2) (39-7-15-4):(7-15);
3) (66-17-2):(34-3).
453. При каком значении а верно равенство? Ответ обоснуй:
1) 24:6 = 8:а; 2) 900:а= 180:4;
3) а:25=25:5; 4) 86:43—а:1.
454*. Упрости выражение:
1) 36х:6х; 2) 100с:50с; 3) |0х:х; 4) а:а.
Для повторения
455. Пользуясь текстом учебника и предметным указателем,
повтори:
1) что такое корень уравнения;
2) переместительный закон умножения-,
3) что называется вычитанием.
456. Вычисли (устно):
1) 620-30 2) 428:2 3) 70-500 4) 7000:100
1354-45 615:3 1000-40 80-6000
14984-5 4-209 72000:100 30-230
457. Вычисли:
1) 156 390-(100 400 4-36 590);
2) 2037-52 4-9864;
3) 7764-18(300-2864-1404);
4) 27-605-74954-985.
458. (Устно.) Мама раздала пятерым детям 185 орехов по-
ровну. Сколько орехов получил каждый ребенок?
102
AD ВС
Рис. 2.5 - . — . (Y)
459. (Устно.) В хоре 90 ребят, это в три раза больше, чем в
оркестре. Сколько ребят в оркестре?
460. (Устно.) За костюм уплатили 135 р. а за рубашку 9 р.
Во сколько раз костюм дороже рубашки?
461. (Устно.) Путь в 350 км машина проехала за 5 ч. Какова
скорость машины?
462. На лесосеке было 16 штабелей бревен, по 55 штук и каждом,
и 12 штабелей, по 42 штуки в каждом. В течение недели
вывезли 59 возов, по 20 бревен в каждом. Поставь разумные
вопросы и ответь на них.
463. Рабочему была установлена норма выработки 4 детали в час
при расценке 35 к. за одну деталь. Вычисли сменную (за 8 ч)
и месячную (22 смены) норму выработки, а также зара-
боток при выполнении этих норм за смену и за месяц.
464. Вырази в килограммах: 5 т, 12 т. 4 т 600 кг, 6 т 70 кг, 1 т 5 кг.
7000 г, 14 000 г. 25000 г.
465. Вырази в метрах: 2000 см, 400 см, 60 дм, 830 дм. 7 км,
12 км 32 м, 4 км 560 м.
466. На рисунке 2.5 отрезки АВ и CD равны. Найди еще пары
равных отрезков.
2.9. Деление с остатком
Если частное а:Ь от деления двух натуральных чисел яв-
ляется натуральным числом, то говорят, что число а делится
на число Ь. Например, 8 делится на 4. частным будет 2. Но
число 9 не делится на 4. так как нет натурального числа, кото-
рое при умножении на 4 дало бы 9.
103
17-3 5+2
Если, например, нужно 17 орехов разделить поровну между
тремя детьми, то каждому ребенку достанется по 5 орехов, а
2 ореха в остатке (рис. 2.6). Число 17 на 5 не делится. Можно
записать, что 17 = 3-54-2. Число 17 здесь - делимое, 3 -
делитель, 5 — неполное частное и 2 остаток. Остаток всегда
меньше делителя.
Вообще, если а — делимое, Ь — делитель и a = bc-\-r, где
г<Ь, то с — неполное частное и г — остаток от деления а на b
Примеры. 1) 19 = 5-34-4, т. е. 19:5 = 3 (остаток 4);
2) 27 = 4-64-3. т. е. 27:4=6 (остаток 3).
467. Назови по 3 таких значения а, чтобы:
I) а делилось на 5; 2) 18 делилось на а.
468. Относительно какой пары чисел можно сказать, что первое
число делится на второе: 9 и 3, 12 и 5, 15 и 3, 20 и 6, 0 и 8,
25 и 4?
469. Найди неполное частное и остаток:
1) 12:5 2) 98:9 3) 782:26 4) 1732:41
36:7 565:6 312:19 4183:53
104
470. В мешке было 50 кг сахара. Его расфасовали в пакеты, по
3 кг каждый. Сколько килограммов сахара осталось в мешке
после расфасовки?
471. Проволоку длиной 265 см разрезали на одинаковые куски
длиной по 25 см каждый. Сколько получилось кусков и
какой длины остался кусок проволоки?
472. 14 апельсинов, не разрезая их. разделили поровну на четы-
рех детей. Оставшиеся апельсины поделили поровну мама с
папой. Сколько апельсинов получил каждый ребенок,
сколько мама и сколько — папа?
473. У Риты было 60 к. На эти деньги она купила 4 одинаковых
блокнота, и у нее осталось еще 8 к. Сколько стоит один блок-
нот?
474. Вымытые тарелки уложили в 12 стопок, по 20 тарелок в
каждой, и остались еще не уложенными х тарелок. Составь
выражение для вычисления числа вымытых тарелок. Вы-
числи, если х равно 9; 7.
Б.
475. Объясни, как можно выразить делимое через делитель,
неполное частное и остаток.
476. Найди делимое, если делитель равен 5, неполное частное 4
и остаток 3.
477. Найди делимое, если делитель равен 9. неполное частное 8
и остаток 7.
478. Вырази делимое через неполное частное, делитель и оста-
ток в виде равенства a = bc + r;
I) 79:5; 2) 85:21; 3) 406:16; 4) 810:25.
479. Какие остатки могут появиться при делении числа на 4?
на 9? на 24?
480. Может ли при делении какого-либо числа на 7 получиться
остаток 0? 2? 6? 7? 12? (Объясни почему.)
105
481. Машина проехала I ч по пути из одного города в другой со
скоростью 65 км/ч, после чего до города ей осталось проехать
еще 25 км. Составь выражение для определения расстояния
между городами и вычисли его. если /=2, / = 3.
482*. Сегодня понедельник. 9 ч вечера. Какой день недели будет,
если пройдут 3 сут, 7 сут, 10 сут, 57 сут, 129 сут, 8 сут 2 ч,
37 сут 5 ч?
2.10. Письменное деление
Ты уже умеешь unci.менно делить натуральные числа,
меньшие миллиона, на одно- и двузначное натуральное число.
Вспомни, как это делается.
Пример I.
_ II396 I 28 Расскажи, как выполнено деление: как
112 1407 получены 4 сотни в частном? Как получи-
_ !Уб лось число II2 под делимым, а 0 десятков
—1Ш1 в частном?
0
Деление больших чисел выполняется по уже изученной
схеме. Выполним, например, деление семизначного числа на
трехзначное число.
Пример 2.
1603882 | 782 Расскажи, как это деление выполнено.
1564 Г^Г
3988
3910
782
782
0
Примечание. Знаки «минус» можно не писать.
Чтобы избежать ошибок, нужно заранее прикинуть, сколь-
ко
ко знаков (цифр) будет содержать частное. Для этого в де-
лимом мысленно (или с помощью штриха, запятой, постав-
ленных над числом) отделим слева направо разряды, при де-
лении которых в частном получим цифру наивысшего разряда.
Каждый оставшийся разряд делимого даст в частном еще по
одной цифре. Например, при делении 3767'5:3425 в частном
будет две цифры, а при делении 2 32'4 523:33 в частном будет
пять цифр.
При делении многозначных чисел может получиться оста-
ток (отличный от нуля).
Пример 3.
4756 | 38
38 125 (остаток 6)
95
76
196
190
Расскажи, как это деление вы-
полнено!
483. Определи предварительно число цифр в частном. Вычисли
частное и проверь результат:
1) 1472:4 2) 2456:8 3) 58345:7 4) 16500:66
6055:7 4230:6 43320:6 73511:73
5148:9 8028:4 45368:8 71400:17
3702:6 1104:4 77014:7 49320:15
484. Вычисли:
1) 11648:56 2) 7872:123 3) 30100:430
20301:67 71400:204 2610:30
265959:87 123624:303 32400:600
548224:64 17 150:175 24120:40
107
4) 684000:1800 5) 8748:324
19200:320 8487:207
1099500:150 43722:347
6) 639816:503
14 175:675
149968:728
485. Вычисли значение выражения 7452:а, если а равно 1; 4;
9; 36; 7452.
486. Вычисли значение выражения х: 18. если х равно 0; 18; 450;
1152; 16362; 2700.
487. Поезд состоит из 32 вагонов грузоподъемностью по 30 т
каждый. Сколько понадобится таких поездов, чтобы пере-
везти 4800 т груза?
488. В цехе завода два автоматических станка, которые изготав-
ливают одинаковые детали. Первый станок изготовил 680
деталей за 4 ч. другой 585 деталей за 3 ч. Какой станок
имеет большую производительность?
489. Рабочий изготовил за 5 дней 175 деталей. За сколько дней
при той же производительности будет выполнен месячный
план рабочего — 630 деталей?
490. В первый день соревнований по легкой атлетике на стадионе
было 41616 зрителей. Во второй день зрителей было в 6 раз
меньше, чем в первый. Сколько зрителей было на стадионе
в первый и второй день вместе?
108
491. Туристы прошли s км со скоростью 4 км/ч. Составь выра-
жение для отыскания времени нахождения туристов в пути
и вычисли, если s равно 12; 28; 36.
492. Отрезок MN = 92 мм. Начерти отрезок АВ, который в 2 раза
короче данного.
493. (Устно.) Прямоугольник, одна сторона которого равна
4 см, имеет площадь 24 см2. Вычисли другую сторону пря-
моугольника.
494. Длина одной стороны земельного участка прямоугольной
формы 125 м и площадь его 105000 м2. Вычнслн периметр
этого участка.
495. Реши уравнение:
I) 89х = 2492; 2) 67х= 13668: 3) 132* = 9900.
496. Вычисли:
1) 1176000:2100
1 789405:2143
6 527400:12900
2) 18291000:273
810216 000:30008
4 537267 200:4800
497. Вычисли значение выражения a-f-99 000 000:/», если а =
= 15917 и /> = 450000.
498. Округли делимое и делитель до наивысшего разряда дели-
теля и вычисли приближенное частное:
1) 136348:3851 2) 478905:18360
86504:510 7349711:2506
499. На склад магазина привезли 1200 кг муки и расфасовали в
пакеты, по п кг в каждом. Кроме того, на складе было еще
р таких же пакетов муки. Составь выражение для нахожде-
ния числа пакетов муки на складе. Вычисли его значение,
если п =2 и р = 284.
109
500. Расстояние между городами .4 и В равно 288 км. Из города 4
в город В выехал автомобиль со скоростью 72 км/ч. Одно-
временно с автомобилем из города В в город Д выехал вело-
сипедист. который встретился с автомобилем через 3 ч после
выезда. За какое время пройдет расстояние между городами
автомобиль? за какое велосипедист?
501. Площадь двух земельных участков прямоугольной формы
10080 м'. У этих участков одна общая сторона длиной
56 м. Другая сторона одного из этих участков 75 м. Поставь
разумные вопросы и ответь на них.
502. Составь задачу на деление и реши ее.
503. Реши уравнение:
1) 3(х —8) = 69
(2у 4-5).4 = 100
56(3x4-81 = 4984
12(2х — 4) = 336
2) 5(в+2)+9-54
2(3х—I)—3=1
!7(5х — 31-1734
6(3x4-6)=2322
504. Составь выражение:
I) число х разделили па 6, из результата вычли 3;
2) число а увеличили на 9, результат разделили на 8;
3) число х увеличили в 10 раз, результат уменьшили на у;
4) произведения чисел а и h увеличили на 5.
505. На прямой отмечено 5 точек так, что между любыми со-
седними точками расстояние одинаковое. Вычисли это
расстояние, если крайние точки удалены одна от другой
на 80 см.
506*. Чтобы разрезать металлическую балку длиной 1 м на две
части, нужно уплатить за работу 5 к. Сколько будет стоить
работа, если балку нужно разрезать на 10 частей?
507*. При делении трехзначного числа, у которого цифры десятков
и сотен одинаковые, а цифра единиц равна 5, на однозначное
число получается в остатке 8. Найди трехзиачное число, де-
литель и неполное частное.
ио
Самостоятельная работа 4
Тема. Нахождение неизвестного делимого и неизвестного де-
лителя.
I.
I. Напиши равенство 10:5 = 2. Вспомни, что означает раз-
делить одно натуральное число на другое (смысл деления).
Каким действием можно выразить делимое 10 через делитель 5
и частное 2? Запиши: 10 = ....
2. Реши уравнение (по смыслу деления):
1) х:2 = 4, 2) х:6-Б; 3) х:4 = 7; 4) х:12=13.
При правильном решении ты должен получить:
I) х=8; 2) х=30; 3) х=28; 4) х = 156.
Если допустил ошибку, проверь свою работу еше раз.
Подумай, как сформулировать правило нахождения неиз-
вестного делимого.
3. Если ты был внимателен и все хорошо продумал, то
пришел к правилу: чтобы найти делимое, нужно делитель
умножить на частное.
II.
4. Напиши равенство 8:4=2. Как можно выразить дели-
тель 4 через частное 2 и делимое 8? Напиши 4 = ....
5. Реши уравнение:
1) 12:х=6; 2) 15:х=3; 3) 30:х=3; 4) 96:х=8.
При правильном решении ты должен получить:
1) х = 2; 2) х=5; 3) х=10; 4) х=12.
Если допустил ошибку, проверь свою работу еше раз.
По какому правилу можно найти неизвестный делитель?
Ill
6. Вот это правило: чтобы найти делитель, нужно делимое
разделить на частное.
7. Запиши правила нахождения неизвестного делимого и
неизвестного делите"а и тетоадь и пользуйся ими при решении
задач.
508. Реши уравнение:
х:4=20 2^ у-Л=35 3\ а-.2\=23
<?:20 = 5 х:9 = 42 5:19 = 42
а:12=4 г: 12= 100 р:42 = 99
4) 72:х=9 5) 312U-52 6) 999://=9
200:/=5 141:г = 3 384:х=12
39:у-3 IOOO:s = 2O 690:х=15
Б.
509. Реши уравнение:
I) (х —2):5 = 7
х:3—2=8
(ж+1):4 + 1-7
2) 10:(х —1)=5
15:(х + 2)-1=2
10—16:х = 6
510. Найди неизвестное число х:
I) число х увеличили на 17. результат разделили на 4.
получили 20;
2) число 72 разделили на число х, уменьшенное на 3, полу-
чили 8;
3) число х умножили на 5, к результату прибавили 3, полу-
чили 38;
4) в ящике было х яиц. Взяли 8 яиц, а остальные яйца
разложили в коробки, по 10 штук в каждую. Получили
65 коробок с яйцами.
2.11. Задачи на все действия
с натуральными числами
При вычислении значений выражений не забудь о порядке
выполнения действий
Сложение и вычитание действия первой ступени, а умно-
жение и деление действия второй ступени. Ты уже знаешь,
что порядок выполнения действий определен следующими
правилами:
I. Если выражение содержит действия одной ступени и
нет скобок, то действия выполняются в той последователь-
ности, в которой они записаны: слева направо.
2. Если выражение содержит действия первой и второй
ступеней и нет скобок, то сначала выполняются действия
второй ступени.
3. Если в выражении есть скобки, то сначала выполняются
действия в скобках (при соблюдении правил I и 2).
Там, где это целесообразно, используй законы действий.
Например, при вычислении значения выражения 27-54-3-5
нецелесообразно применять правило 2, а нужно поступить так:
27-5 + 3-5-(27+3).5 = 30.5» I50.
Л.
511. Вычисли (устно):
I) 434-9 2) 3400-600 3) 20-32 4) 162:2
724-18 850-60 40-400 300:5
76004-800 10000—10 80-80 750:25
5) 434-17 — 35 6) 5-80-6-60 7) 400:204-5-16
3000 4-200 4-1400 150:104-350:10 31-1004-200
74-284-140 99:114-192 80:54-35:7
63 - 604-97 99:94-89 15-5-100:4
512. Вычисли:
I) 409685 4-39737 + 589
394-45697 - 9668
24 008 - 8094-3651
2) 60080-524664-894
60000-19084-756
54 384 4-38914-780
3) 9630:9-894
305-86-93 100:38
49-64 4-5280:80
12000-76-90
4) 2938:(4978-4865)
(105 4-49-65): 10
76 000 — 62(28 000: 56 4- 609)
(90 050-219- 380 -f-190): 90
513. Вычисли значение выражения:
1) 3648 4-20 678: и, если а равно 98; 422;
2) 420х —29 640. если х равно 72; 105;
3) 11986 —1»:7. если b равно 42042; 63000.
514. Реши уравнение:
1) о4-61=701 2) 584 — о=60 3) а-45 = 300
25о = 675 801:а = 89 о: 12 = 33
13 —х=8 15х=225 «4-45=100
/л:7 = 9 у—19 = 51 36:х = 9
515. На товарную станцию поступило 6 вагонов с грузом вмес-
тимостью 45 т каждый и 24 вагона вместимостью 35 т груза
каждый. Сколько потребуется автомашин, чтобы вывезти
этот груз, если одна машина может взять 5 т груза?
516. На Олимпийских играх в Москве в 1980 году в соревнова-
ниях по легкой атлетике участвовало 305 женщин, а мужчин
на 478 больше. Сколько всего спортсменов участвовало в
соревнованиях по легкой атлетике?
517. На птицефабрике было 549000 кур, а гусей в 45 раз меньше.
Сколько всего кур и гусей было на птицефабрике?
518. Петя взял из библиотеки на каникулы 3 книги и прочитал
их. В одной книге было 245 страниц, в другой в 7 раз меньше,
чем в первой, а в третьей на 48 страниц больше, чем во
второй. Сколько страниц было в трех книгах?
519. В полдень на городской стоянке было 63 «Москвича». Ав-
тобусов было на 45 меньше, чем «Москвичей», а «Жигулей»
в 8 раз больше, чем автобусов. Поставь разумные вопросы
н ответь на них.
520. Старший брат отработал в совхозе в летние каникулы
30 дней, младший 22 дня. За всю работу они получили 208 р.
Сколько денег получил за работу каждый из братьев, если
оплата одного рабочего дня была у них одинаковой?
521. Из двух городов, расстояние между которыми 378 км, одно-
временно навстречу друг другу вышли легковая и грузовая
автомашины. Скорость легковой машины 70 км/ч, а грузовой
56 км/ч. Через сколько часов машины встретятся?
522. С площади поселка в одном направлении выехали автомобиль
и автобус. Скорость автобуса 45 км/ч, а автомобиля
72 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч?
523. Одни рабочий изготавливает 15 деталей в час, а другой
на 3 детали меньше. Сколько всего деталей они изготовят за
8 ч, работая вместе?
524. Один автомат в минуту закрывает 60 банок, а другой на 5 ба-
нок больше. За сколько минут оба автомата при их одно-
временном включении закроют 2500 банок?
115
525. В таблице приведены данные по производству в РСФСР
легковых автомобилей в среднем за сутки:
1940 I960 1970 1980 1985
,6 378 705 3187 3191
Вычисли:
I) во сколько раз увеличилось производство автомобилей за
сутки в 1970 г, по сравнению с 1940 г.;
2) на сколько больше автомобилей произведено за сутки
в 1985 г. по сравнению с 1980 г.
526. На одной ферме колхоза было а коров. Средний надой от
каждой коровы в день достигал 18 кг молока. Сколько ки-
лограммов молока можно получить за 30 дней, если а = 320?
527. Упрости выражение:
1) 12y + 5</ + .v 2) 52х—17х 3) 93а + 25а + 7
70d —25d-l5d 7с4-105с 16р-|-47у-6
4с + с+16с 83р —2бр 80х—45x4-4
528. Упрости выражение и вычисли его значение:
I) Зх4-х4-2х при х=Г, 2; 3;
2) 2а —u4-5u при а = 0; 8; 10.
529. Раскрой скобки:
1) 5(3 —х) 2) 9(а4-1) 3) (11-2а).4
6(4 4-Зс) (4- 2х)-10 7(х4-Ю)
(8 —5р)-5 (64-Зх)-8 2(а — 20)
Б.
530. Вычисли:
1) (564:47 4-2592:72)-250-200;
2) (9095:85 4-33) (7344:36-144);
не
3) (21 ООО —308-29):4 +i4 147:47;
4) 78-607-19 + 904(2081-1978);
5) 52(16-17 + 45)—12(167 —67)+467-14;
6) 9222:174 + 25(675 - 249) - 2301:177;
7) 11 461: (979-822)-(3843+ 759): 177;
8) 11043:27-398 + 302-99 + 92.
531. Раскрой скобки:
I) 8(9a — 6Ь+ 12)
(20m + 91c- 100)-100
(8л —9p—13)-17
2) 10(30x — 86y + 100)
71(15a + 4a + 8)
(23a-14c-15)-30
532. Как только мастерская выполнила заявку на изготовление
400 стульев общей стоимостью 4800 р., она получила новую
заявку на изготовление таких же стульев обшей стоимостью
7680 р. Сколько стульев нужно изготовить по новой заявке?
533. В три магазина привезли 3840 кг масла. После того как пер-
вый магазин продал 568 кг, второй 624 кг и третий 401 кг,
масла осталось во всех магазинах поровну. Сколько кило-
граммов масла получил каждый магазин?
534. Из двух городов, расстояние между которыми 232 км, одно-
временно навстречу друг другу выехали два велосипедиста.
Через 8 ч они встретились. Вычисли скорость второго вело-
сипедиста, если первый ехал со скоростью 15 км/ч.
535. Из двух городов, расстояние между которыми 427 км, одно-
временно навстречу друг другу вышли два поезда. Один
шел со скоростью 52 км/ч, а другой 63 км/ч. На каком рас-
стоянии друг от друга были поезда через 2 ч после выхода?
через 3 ч?
536. Восьмиклассники Андрюша и Алеша работали летом в кол-
хозной теплице. Андрюша работал по 4 ч в день и отработал
18 дней, а Алеша работал по 5 ч в день и отработал 24 дня.
За работу они получили вместе 192 р. Поставь разумные
вопросы и ответь на них.
117
537. Ломаная состоит из п звеньев длиной по 36 мм каждое и
из т звеньев длиной 28 мм каждое. Составь выражение для
определения длины ломаной и вычисли ее, если л=3 и т = 4.
538. В таблице приведено количество тракторов и зерноубо-
рочных комбайнов в хозяйствах РСФСР (на начало года):
1941 1961 1971 1981 1986
Тракторы 342000 573000 1 013000 1 324 000 1437 000
Комбайны 130000 305000 381 000 448 000 523000
Поставь разумные вопросы и ответь на них.
539. Составь и реши задачу на все четыре действия с натураль-
ными числами.
540. (Задача-шутка.) На пастбище паслись телята, гуляли
гусята. Общее число ног телят было 392, а общее число лап
гусят на 94 меньше числа ног телят. Сколько телят и сколько
гусят было на пастбище?
541*. На какое число надо умножить 333667, чтобы получить
в произведении число, записанное только цифрами 8?
118
542*. В левой части поставь знаки действий так, чтобы получи-
лось верное равенство:
123456 7=2
Для повторения
543. Пользуясь предметным указателем, ответь на вопросы:
1) что называется делением?
2) как читается распределительный закон умножения?
3) как формулируется основное свойство частного?
544. Вычисли (устно):
1) 70:10 + 93
6-15 + 20 — 100
4-50 — 3-40
800:80 + 65:5
75:25-1000:500
2) 90-4-15
38:2 + 7
900:10+110
20-80 + 3-400
600:20-18
3) 75:5:3
200:5:2
460:10:23
6-300:30
800:40-7
545. Вычисли:
I) 54-68:18 + 5016:24: 2) 4900:14(62-205-12360)
546. (У с т н о.) Самолет пролетел 4600 км со скоростью 920 км/ч.
Какова продолжительность полета?
547. (Устно.) Мотоциклист за 2 ч проехал 134 км. Какова
его скорость?
548. Площадь земельного участка прямоугольной формы 7500 м2,
одна сторона его 60 м. Найди вторую сторону этого участка.
549. Тане поручили следить за расходом электроэнергии и во-
время выключать электроприборы. Оказалось, что за день
можно сэкономить 12 к. За сколько дней получится экономия
21 р. 72 к.?
550. Бригаде в 15 человек за месяц было выплачено 3650 р. Бри-
гадир получил 272 р., его заместитель на 14 р. меньше, а все
остальные рабочие получили поровну. Поставь разумные
вопросы и ответь на них.
551. I) Вспомни, что такое квадрат. 2) Начерти какой-нибудь
квадрат, измерь его сторону и вычисли периметр.
552. Начерти ломаную, состоящую из четырех звеньев. Измерь их
длину и вычисли длину ломаной.
553*. Сережа был с папой в тире. Они договорились, что Сережа
делает 5 выстрелов и за каждое попадание получает два
премиальных выстрела. Сережа стрелял 11 раз. Сколько у
него было попаданий?
554*. Слева от знака равенства поставь скобки так. чтобы полу-
чилось верное равенство:
1) 4-12+18:64-3 = 50; 2) 4-12+18:6+3 = 23.
Для самопроверки
555. Вычисли (устно):
1) 5-81 2) 14-2+14-8
40-120 6-35-6-15
50-70-2 5-60 + 2-50
9-4-25 8-100-5-30
3) 7800:10 4) 936:3
3600:4 5000:100
42000:1000 720:90
240:80 + 9 6006:6
556. Вычисли:
1) 6009-520
980-3600
2) 17286:43
71920:124
3) 10336:34
384000:4800
557. Вычисли:
1) 75-46-84+4536:9;
2) 63(16200:600+15).
558. (Устно.) В ящике упаковано 25 одинаковых ваз общей
стоимостью 100 р. Сколько стоят три такие вазы?
559. Чтобы дойти от дома до школы, Зое нужно пройти 280 м,
Алеше в 12 раз больше, а дом Лиды находится на 470 м
ближе к школе, чем дом Алеши. На каком расстоянии от
школы живут Алеша и Лида?
120
560. Из поселка одновременно в одном направлении выехал ве
лосипедист и вышел пешеход. Скорость велосипедиста была
16 км/ч, а пешехода в 4 раза меньше. На каком расстоянии
друг от друга они были через 3 ч?
561. В магазине купили т м ткани, по 4 р. за метр, и одну пару
туфель за 13 р. Сколько заплатили за покупку? Составь вы-
ражение и вычисли его значение, если т равно 5; 4.
562. Раскрой скобки:
1) 4(3х—7); 2) (ба-8)-2; 3) 11(9 + 2с).
563. ’Упрости выражение:
1) 15</-4у; 2) 7х+12х-8х; 3) 9а —а + 7.
564. Реши уравнение и проверь решение:
1) 435 + х = 823 2) 5436-</=1258 3) л:37=14
2х —46 = 32 1521 :<п=9 48х = 1104
565. Вычисли значение выражения:
1) 13 + 37а, если а равно 23; 59;
2) 1224:х—34, если х равно 17; 36.
Угол. Треугольник.
Прямоугольник
3. 1. Угол
Проведем два луча (ОД и ОН), выходящих из одной точки
(рис. 3.1). Получим геометрическую фигуру, которая называет-
ся углом. Лучи ОЛ и ОН называются сторонами угла, точка О -
вершиной угла. Угол обозначается знаком «Z» и тремя
заглавными буквами: Z АОВ или Z. ВОА (читается: угол ДОб
или угол ВОА). При этом буква, обозначающая вершину угла,
пишется в середине. Угол можно обозначать и одной буквой
названием его вершины, например Z. О.
Два угла называются равными, если их можно наложить
один на другой так, чтобы они совпали. На рисунке 3.2 углы АОВ
и CMD равны, так как при наложении они совпадут. Запишем:
Z.AOB=Z.CMD.
А.
566. Прочитав текст, ответь на вопросы:
I) как получить угол?
122
2) что называется сторонами угла и вершиной угла?
3) как обозначается угол?
4) какие два угла называются равными?
567. Назови все углы, изображенные на рисунке 3.3. Назови
стороны и вершины углов Запиши их двумя способами, на-
пример Z. В. АВС.
568. Начерти два угла, обозначь их вершины и стороны. Запиши
их двумя способами.
569. Начерти угол CED и раздели его лучом EF на две части.
Запиши полученные углы.
570. Начерти на бумаге угол АОВ. вырежь бумажную модель
этого угла. Затем вырежь из бумаги посредством наложения
еше один угол CDE, такой, что Z. AOB = Z. CDE.
571. Начерти углы КОМ и АОМ.
572. Начерти угол Т и раздели его лучами ТК и TL на части.
Запиши все полученные углы.
573. Начерти два угла так. чтобы вершина одного из них находи-
лась на стороне другого.
574. Назови все углы, изображенные на рисунке 3.4. Запиши их.
123
3.2. Виды углов
На рисунке 3.5 изображен угол ДЛ1Д, стороны которого
образуют прямую. Такой угол называется развернутым. Раз-
вернутый угол можно разделить на два равных угла. Для этого
возьмем лист бумаги с прямым краем, который дает представ-
ление о развернутом угле. Сложим лист так, чтобы стороны
развернутого угла совпали. Отметим вершину угла — точку М
(рис. 3.6). Каждый из полученных таким образом углов назы-
вается прямым углом. Ясно, что прямой угол в два раза меньше
развернутого. Развернутый угол можно разделить пополам с
помощью чертежного угольника (рис. 3.7).
Угол ДОС на рисунке 3.8 меньше прямого угла. Такой угол
называется острым. Угол MON на рисунке 3.9 больше прямого
угла, но меньше развернутого. Такой угол называется тупым.
Рис. 3.5 Рис. З.В
124
575. Прочитав текст, объясни, какой угол называется разверну-
тым, прямым, острым, тупым.
576. Назови виды углов, изображенных на рисунке 3.3.
577. Начерти: 1) тупой угол ODE, 2) развернутый угол KLM-,
3) прямой угол PRS; 4) острый угол PGH.
578. Назови все углы на рисунках 3.10, 3.11, 3.12. Определи вид
каждого угла.
579. Начерти прямой угол ЛОЯ и раздели его лучом ОС на два
угла. Какие углы получились при этом?
580. Начерти развернутый угол KLM и луч LP так, чтобы угол
KLP был острым. Какого вида угол PLM?
581. Какие углы образуют на циферблате часов минутная и часо-
вая стрелки в 6 ч, в 13 ч. в 15 ч, в 16 ч 30 мин, в 8 ч 15 мин?
582. За какое время повернутся на прямой угол: а) часовая;
б) минутная; в) секундная стрелки часов?
583. Отметь точку О. Начерти прямой, острый и тупой углы с вер-
шиной в точке О. Обозначь эти углы.
584. Начерти луч АВ. Начерти прямой, острый и тупой углы со
стороной АВ. Обозначь эти углы.
585. Найди на рисунке 3.13: 1) развернутые; 2) прямые; 3) острые;
4) тупые углы.
125
Для повторения
586. Вычисли (устно):
1) 5434-135
4564-34
5) 624:3
436:4
2) 5300 4-2700
8704-330
6) 1800:60
45000:500
3) 6-71
80-50
7) 4005:5
1018:2
4) 6-405
40-300
8) 5050:50
3900:130
587. Вычисли:
1) 37-11-2035:5
2) 122914-407-302
3) 10002 —(3021 -04-214652:2061:521
588. Сначала туристы ехали 3 ч на автомашине, а затем 45 км
плыли на пароходе. Всего они проделали путь в 240 км.
Какова была скорость машины?
589. В городе насчитывалось 52 480 жителей. За месяц приехало
976, а уехало 1348 человек, родилось 332 ребенка, а
умерло 127 человек. Поставь разумные вопросы и ответь
на них.
590*. В кассе имеются рублевые, трехрублевые и пятирублевые
купюры на сумму 180 р. Число рублевых и пятирублевых
купюр одинаково, а трехрублевых столько, сколько рублевых
и пятирублевых вместе. Сколько в кассе рублевых, трех-
рублевых и пятирублевых купюр?
591. Вырази в минутах: 3 ч, 5 ч, 1 ч 35 мин, 2 ч 6 мин.
592. Вырази в часах и минутах: 240 мин, 200 мин, 324 мин, 361 мин.
593. Вырази в секундах: 2 мин, 4 мин, 7 мин, 1 мин 18 с, 3 мин 32 с.
3.3. Угловой градус
Разделим прямой угол на 90 равных частей (рис. 3.14) Ве-
личину одной такой части принимают за единицу измерения
углов, называемую градусом1. Обозначают: 1°. Из сказанного
1 От латинского слова gradiis — шаг, ступень.
126
Рис. 3.14
следует: величина прямого угла равна 90°. Величина разверну-
того угла равна 180° (рис. 3.15). Можно сказать по-другому:
градусная мера прямого угла равна 90°. а развернутого 180°.
Величину угла обозначают так же, как и сам угол. Например,
на рисунке 3.16 градусная мера угла АОВ равна 20°. Записы-
вается так: Z. 40/3 = 20°.
На рисунке 3.17 угол АОВ равен сумме углов АОС и ВОС:
Z. AOB = Z. AOC + Z. ВОС. Градусная мера суммы углов рав-
на сумме градусных мер слагаемых. Например, если Z. АОС=
=40° и Z. ВОС = 63°. то Z. ЛОВ=40°4-63° = 103°.
594. Прочти текст и запомни:
1) что такое градус; 2) чему равна величина прямого
угла, развернутого угла.
595. Как называются углы, которые меньше 90°? больше 90°
(но меньше 180°)?
127
596. Какое из следующих утверждений верно, а какое ошибочно:
1) угол в 45° острый; 2) угол в 170° острый;
3) угол в 89° тупой: 4) угол в 55° прямой;
5) угол в 100° тупой; 6) угол в 1° острый?
597. Какие из следующих углов острые, тупые, прямые и развер-
нутые: А =90’. Z. fi = 125°, Z С = 56°, Z. 0 = 90°. Z. Е =
= 107°. Z. 0 = 91°. Z.Af = 180°. Z. N = 89°, ZP=!78°?
598. Какие углы, изображенные на рисунке 3.3, больше 90°,
равны 90°, меньше 90°?
599. Часы показывают 15 ч. Какое время будут показывать часы,
если минутная стрелка повернется на 90'1, на 180°?
600. Часы показывают 6 ч. Какое время будут показывать часы,
если часовая стрелка повернется на 90°, на 180°?
601. Вычисли (устно):
I) 39" 4-125° 2) 36°-24° 3) 80° 4-89°
602. Чему равны углы АОВ на рисунках 3.18, 3.19, 3.20.
128
603. Какие углы на рисунке 3.21: I) больше 90°; 2) меньше 90'.
3) равны 90°?
604. (Устно.) Найди величину угла DOE на рисунках 3.22,
3.23, 3.24.
605. Найди величину угла ВОС на рисунке 3.25, если Z. /ЮВ-f-
+ Z ООЕ=68°.
606. Лучи ОМ и ON делят прямой угол АОВ на равные углы.
Найди градусную меру каждого из полученных углов.
607. Развернутый угол разделен лучами на 4 равных угла. Нанди
градусную меру каждого из полученных углов.
129
3.4. Измерения углов
Для измерения углов в градусах служит прибор, который
называется транспортиром (рис. 3.26). Шкала его имеет 180
делений. Каждое деление шкалы равно Г.
Чтобы измерить угол, наложим на него транспортир, как
показано на рисунках 3.27, 3.28: вершина угла должна совмес-
титься с центром транспортира, а одна сторона угла — пройти
через начало отсчета на шкале. Штрих на шкале, через который
проходит другая сторона угла, покажет градусную меру этого
угла: Z ЛОВ=40° (рис. 3.27), Z. МОК = 122° (рис. 3.28).
608. С помощью транспортира измерь углы, изображенные на
рисунке 3.29, и запиши результаты измерений в тетрадь.
609. Начерти в тетради два острых и два тупых угла. Измерь
их с помощью транспортира.
610. Определи на глаз величины углов, изображенных на рисун-
ке 3.30, запиши их в тетрадь. Затем измерь углы транспорти-
ром и сравни результаты.
130
611. Измерь транспортиром углы АОВ, ВОС и АОС (рис. 3.31).
Вычисли сумму углов АОВ и ВОС. Сделай вывод.
612. Измерь углы KOL, LOM и КОМ (рис. 3.32). Вычисли раз-
ность Z. КОМ — Z. KOL. Сделай вывод.
613. Измерь все острые и.тупые углы, изображенные на рисун-
ке 3.33. Сделай вывод.
614. Начерти развернутый угол KOL и луч ОМ. Измерь угол КОМ
и вычисли угол MOL.
131
615. Измерь угол АОС (рис. 3.34) и вычисли углы ВОС и COD.
616. Измерь угол LOM (рис. 3.35) и вычисли все остальные углы.
617*. Измерь углы АОВ, ВОС, COD, DOA (рис. 3.36) и вычисли
их сумму. Сравни результат с величиной прямого и развер-
нутого углов.
Для повторения
618. Вычисли (устно):
1) (420+180): 10
420+180:10
4(160-90)
2) 350-120 + 70
675 + 225-150
360 + 540-720
3) 20-80 + 3-400
600:20—18
75:5 + 485
619. Вычисли значение выражения
если а равно 160; 165; 170.
620. Реши уравнение:
9616 + 349044:2006 —56а.
I) 17 364+ х=200 000 2)
х-8659 = 732
621. Водитель автобуса проезжает
505//= 12 120
х:134 = 81
। • о17ннг.оягнос|н ать
ежедневно одно и то же
рас-
стояние. За 7 дней он проехал 1960 км. Сколько километров
он проедет за 25 дней?
Рис. 3.34 Рис. 3.35 Рис. 3.36
132
622. Из одного и того же пункта одновременно в противополож-
ных направлениях вышли два автомобиля. Скорость одного
из них 65 км/ч, а другого на 6 км/ч больше. Какое расстояние
будет между автомобилями через 2 ч?
623. Каким числом нужно заменить х, чтобы получилось верное
равенство:
1) 9 дм = х см; 2) 40000 см=х м;
32 км=х м; 58000 мм = х дм;
7 дм=х мм? 120000 м=х км?
3) 4 дм 3 см=х мм;
5 м 8 дм=х см;
13 см 5 мм=х мм?
Самостоятельная работа 5
Тема. Построение угла заданной величины.
Научись самостоятельно строить угол данной величины.
Например, чтобы, построить угол в 40°, поступи следующим
образом:
1. Отметь произвольную точку и обозначь ее буквой А.
2. Начерти луч с началом в точке А и на нем отметь произ-
вольную точку В. Таким образом получишь луч АВ.
3. Наложи транспортир так, чтобы центр его совпал с точ-
кой А, а луч АВ прошел через начало отсчета на шкале.
4. На этой же шкале транспортира найди штрих, который
соответствует 40“. Отметь на чертеже точку С против штриха
с отметкой 40°.
5. Проведи луч АС. Построенный угол ВАС и есть искомый.
Запиши: Z. ВЛС=40°.
624. Начерти угол, равный 50°, 75°, 90°, 124°, 156°. Определи вид
каждого угла.
133
625. Начерти угол в 130°. Затем начертиугол, который:
1) на 55° меньше данного угла;
2) в 2 раза меньше данного угла.
626. Начерти угол АОВ, равный 30°. Затем начерти угол, который:
1) на 40° больше угла ЛОЙ; 2) в 3 раза больше угла АОВ.
627. Начерти угол КОМ. равный 135°. Затем начерти луч OL
так, чтобы Z. KOL был равен 45° (два способа). Вычисли
Z. MOL.
628. Начерти прямую CD и отметь на ней точку О. Затем начерти
угол СОА. равный 110°, и угол DOB, равный 40°. Вычисли
Z. AOD и Z. АОВ (два способа).
3.5. Треугольник
Отметим три точки Л, В и С, не лежащие на одной прямой,
и соединим их отрезками. Мы получим уже знакомую геомет-
рическую фигуру треугольник (рис. 3.37). Треугольник
обозначается знаком д и указанием его вершин: д АВС (чи-
таем: треугольник АВС).
Точки Л, В и С - вершины треугольника, отрезки АВ, ВС и
АС — стороны треугольника. Сумму длин всех сторон треуголь-
ника называют периметром треугольника. Углы АВС, АС В и
ВАС углы треугольника.
Ты знаешь, что самый короткий путь от одной точки до
другой это путь по прямой. Отсюда вы
с текает свойство сторон треугольника: сумма
/\ любых двух сторон треугольника больше
/ \ третьей стороны.
/ \ Можно убедиться в обратном: если сум-
21----------А ма любых двух отрезков из трех больше
в третьего, то эти три отрезка могут быть
Рис. 3.37 сторонами треугольника.
134
В Рис. 3.38
629. I) Вспомни, как вычисляется периметр треугольника;
2) найди в тексте свойство сторон треугольника; запомни его.
630. Начерти треугольник BCD. Измерь углы треугольника.
Вычисли сумму этих углов.
631. Измерь стороны и углы треугольников на рисунке 3.38.
Вычисли их периметры и суммы углов.
632. Земельный участок треугольной формы имеет периметр
1750 м. Одна из его сторон равна 560 м, другая 780 м. Вы-
числи третью сторону.
633. Одна сторона треугольника 54 см, другая 68 см, а третья
короче второй на 23 см. Вычисли периметр треуголь-
ника.
634. Одна сторона треугольника 36 дм, другая а дм, а третья b дм.
Составь выражение для нахождения периметра треугольника
и вычисли его, если а = 42 и 6 = 51.
635. Могут ли быть следующие отрезки сторонами треугольника
(объясни почему): 1) 4 дм. 4 дм, 4 дм; 2) 3 м, 9 м, 12 м;
3) 5 см, 8 см, 12 см; 4) 6 см, 14 см, 23 см?
636. Периметр треугольника 18 см, одна сторона а см, а другая
5 см. Составь выражение для определения третьей стороны
треугольника. Вычис/и ее длину, если а равно 5, 6, 7, 8.
Может ли а быть равным 3, равным 9? (Объясни почему.)
135
637. Периметр треугольника 20 см, одна сторона а см, а другая
6 см. Составь выражение для определения третьей стороны
треугольника. Вычисли ее длину, если: I) а=5, b = 8;
2) а = 6, 6=9. Могут ли а и b иметь значения: а = 2 и 6=9;
а=12 и 6 = 5? (Объясни почему.)
638*. Сумма длин первой и второй сторон треугольника 50 см,
сумма длин второй и третьей сторон 52 см, а сумма длин
первой и третьей сторон 58 см. Найди периметр треугольника.
639*. Одна сторона треугольника в 2 раза длиннее другой, а
третья сторона равна 15 см. Периметр треугольника равен
42 см. Вычисли неизвестные стороны треугольника.
640*. Начерти треугольник. Пересеки его двумя прямыми так, что-
бы на рисунке оказалось:
1) 5 треугольников;
2) 8 треугольников.
641*. Сколько треугольников изображено на рисунке 3.39, 3.40?
3.6. Формула
В математике многие правила записываются с помощью
букв. В таком случае говорят, что правило выражено формулой.
С помощью формул мы уже выражали законы сложения и
умножения. Рассмотрим такой пример. Пусть известно, что
автомобиль был в пути 3 ч и ехал со скоростью 60 км/ч. Тогда
он проехал расстояние 60-3, т. е. 180 км. Вообще, пройденный
путь равен произведению скорости на время движения (при
условии, что за равные промежутки времени автомобиль
проезжает равные отрезки пути, т. е. скорость постоянная).
136
Чаще всего длина пути обозначается буквой s, скорость —
буквой v, время буквой I. Получим формулу1 пути:
s = vt
Примечание. Наименования единиц измерения в фор-
муле не пишут, но в ответе забывать о наименовании нельзя.
Пример 1. Мотоциклист ехал 4 ч со скоростью 75 км/ч.
Какой путь он проехал за это время?
Решение. Здесь 1=4 ч и и = 75 км/ч. Значит, s = 75-4;
s = 300.
Ответ. Мотоциклист проехал 300 км.
Пример 2. Бегун пробежал за 25 с расстояние 200 м. С
какой скоростью бежал спортсмен?
Решение. Так как ( = 25 с и s = 200 м, то, используя
формулу пути, запишем уравнение: 200 = о-25. Решая уравне-
ние, находим: v = 200:25; v=8.
Ответ. Спортсмен бежал со скоростью 8 м/с.
Выведем еще одну формулу.
Чтобы послать телеграмму, нужно уплатить за услугу 20 к.
и за каждое слово в тексте по 5 к. Значит, если обозначить
число слов в телеграмме буквой л, а ее стоимость буквой М,
то М = 20 + 5л.
Пример 3. Папа уплатил за телеграмму 65 к. Сколько
слов в этой телеграмме?
Решение. Подставим в формулу вместо М число 65.
Получим уравнение: 65 = 20 +5л. Решим это уравнение:
5л=65 -20; 5л=45;
л = 9.
Ответ. В телеграмме 9 слов.
' s. и, I — первые буквы латинских слов spatiutn (промежуток),
velocitas (скорость), tempus (время).
137
3 3
!. Объясни, что обозначает каждая буква в формуле пути.
Вычисли по формуле пути:
I) расстояние, которое пролетит самолет за 3 ч, если его
скорость 900 км/ч;
2) расстояние, которое пройдет пешеход за 24 мин, если его
скорость 70 м/мин.
644. Заполни таблицу:
I в I 3150 км 672 км 600 м 45 км
с 8 км/ч 56 км/ч I 13 м/с 5 м/с ]
/6ч 7 ч [ 40 с 12 «ин [
645. В 1950 г. стратостат совершил перелег 1.з Москвы в Казах-
стан за 84 ч. Это самый длинный и дли^е..ьный перелет в то
время. Скорость его полета была примерно равна 38 км/ч.
Какое расстояние пролетел стратостат? Ответ округли до
сотен.
646. Земля движется вокруг Солнца со скоро.”ии 30 км/с. Какой
путь мы проделываем вместе с Землей за 1 ч? за 1 мин?
138
647. Вычисли значение у по формуле у=4х, если х равно 0; 1;
35; 7080.
648. Вычисли значение s по формуле s=300 — 15/, если / равно 0;
8; 14; 20.
649. Нина купила х булок, по 12 к. за штуку, и на 96 к. конфет.
Составь формулу для вычисления стоимости всей покупки и
вычисли эту стоимость, если х равно 5; 8; 10.
650. Заполни таблицу по формуле стоимости телеграммы:
М I [ [ 75 [ 85 I 120 j
651. Утром в библиотеке было 45300 книг. В течение дня было
сдано т книг, а выдано п книг. Составь формулу для опре-
деления количества р книг в библиотеке на момент закрытия..
Вычисли значение р, если т = 1286 и л = 2035.
652. Напиши формулы для вычисления периметров треугольни-
ков на рисунках 3.41 и 3.42.
Рис. 3.42
139
653. В соревнованиях по кроссу стайер пробежал 10 км со ско-
ростью 5 м/с. Сколько времени ему потребовалось? Ответ
вырази в минутах и секундах.
654. Чтобы найти стоимость купленного товара, нужно знать
количество купленных единиц товара (например, кг, м) и
стоимость одной единицы товара (т. е. знать цену товара).
Обозначь эти величины буквами и запиши формулу для
вычисления стоимости купленного товара. Приведи приме-
ры задач, решаемых по найденной формуле.
655*. Вырази множитель х из формулы
!/=2х+1
и вычисли его значение, если у равно 5; 7; 15.
3.7. Прямоугольник. Квадрат
На рисунке 3.43 изображен четырехугольник, у которого
все углы прямые. Такой четырехугольник, как ты знаешь,
называется прямоугольником.
Противолежащие стороны прямоугольника равны, т. е.
AB = DC и AD = BC. Стороны прямоугольника, которые не
являются противолежащими, мы называем длиной и шириной.
Сумма длин всех сторон прямоугольника его периметр.
Выведем формулу периметра прямоугольника. Обозначим
длину и ширину этого прямоугольника буква-ми а и b (рис. 3.44),
а периметр буквой Р. Тогда получим:
P=(a + b)+(a + b)=a + a + b+b = 2a + 2b=2(a + b).
Значит,
| Р-Ца + Ь) |
Пример. Периметр прямоугольника 26 см, а одна сто-
рона его равна 5 см. Найдем другую сторону.
Решение. Здесь Р = 26 см; допустим, что а = 5 см.
140
Рис. 3.43
Рис. 3.44
Рис. 3.45
Подставив значение а в формулу, получим уравнение.
26 = 2(5 + 6). Решим его:
2(5 + 6)=26; 5 + 6 = 26:2; 5 + 6 = 13; 6 = 13-5; 6 = 8.
Ответ. Искомая сторона прямоугольника равна 8 см.
Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется
квадратом. Если обозначить длину стороны квадрата буквой а
(рис. 3.45), то его периметр будет:
Р = а + а + а + а = 4а.
Получили формулу периметра квадрата;
А.
656. 1) Используя текст и рисунки, установи, что общего у
любого прямоугольника и квадрата и в чем их отличие.
2) Можно ли назвать любой прямоугольник квадратом, а
квадрат прямоугольником? (Почему? Объясни.)
3) Приведи примеры предметов из окружающей тебя обста-
новки, имеющих форму прямоугольника, в частности форму
квадрата.
4) Можно ли периметр квадрата вычислить по формуле
периметра прямоугольника, а периметр любого прямоуголь-
ника по формуле периметра квадрата? (Почему? Объясни.)
657. Измерь на рисунке 3.44 стороны прямоугольника и вы
числи по формуле его периметр.
658. Измерь на рисунке 3.45 сторону квадрата и вычисли по
формуле его периметр.
65». Для осушения прямоугольного участка земли выкопали
по его периметру канаву. Какова длина канавы, если сто-
роны участка равны 1250 м и 750 м?
660. Заполни таблицу (а и b — стороны прямоугольника, а Р
его периметр):
661. Сделай необходимые измерения и вычисли периметры фигур
изображенных на рисунках 3.46, 3.47, 3.48.
662. Периметр квадрата 68 см. Чему равна его сторона?
Ь.
663. Стороны прямоугольника 15 см и 9 см. Вычисли сторону
квадрата, периметр которого равен периметру данного
прямоугольника.
Рис. 3.47
Рис. 3.48
142
a
Рис. 3.49
У
У
Рис. 3.50
Рис. 3.51
a
664. Периметры двух прямоугольников равны. Можно ли утверж
дать, что стороны одного прямоугольника равны сторонам
другого? Приведи пример.
665. Периметр прямоугольника 120 см. а одна из его сторон
равна а см. Составь формулу для вычисления другой сто-
роны. Вычисли ее, если: 1) а = 35; 2) о = 40; 3) а = 52.
Может ли сторона а быть равной 59 см, Зсм, 70 см? (Почему?)
666. Составь формулы для вычисления периметров фигур, изобра
женных на рисунках 3.49, 3.50, 3.51.
667*. Периметр прямоугольника 144 см, а одна сторона его в
3 раза больше другой. Вычисли стороны прямоугольника
668*. Участок прямоугольной формы обнесен забором. Через
каждые 2 м забора врыт столб. Сколько всего столбов в
заборе, если длина одной стороны участка 80 м. а длина
другой на 40 м больше?
Для повторения
669. Пользуясь, если нужно, предметным указателем, повтори:
1) свойство сторон треугольника:
2) сочетательный закон умножения;
3) виды углов.
670. Вычисли (устно):
1) 2-450 - 300 2) 9-204-4-30
400:84-120 7-200-800:2
60-150:30 505:54-99:1
3) (1500 4-700): 20
(630 — 90):6
8(200-175)
143
671. Вычисли:
1) 409-32 + 240-80; 2) 10500-32(900—19-36).
672. Ежегодный план улова рыбы в рыболовецком колхозе на
первые три года пятилетки был равен 29500 т. Для сохра-
нения запасов рыбы план улова на два последних года пя-
тилетки был уменьшен на 1800 т в год. Каков план улова
рыбы на пятилетку?
673. В лыжных соревнованиях участвовало 1836 мужчин, жен-
шин на 586 меньше, а детей в 6 раз меньше, чем мужчин.
Каждый мужчина должен был пройти 28 км, каждая жен-
щина 16 км и ребенок 8 км. Поставь разумные вопросы и
ответь на них.
674. (У с т н о.) Раскрой скобки:
1) 5(о-4Ь) 2) 3( 12х — 5у + 8) 3) 4(25а—12)
(4х + 5«/)-7 (9т+8л-10)-6 10(80-54х)
675. Реши уравнение:
I) Зх+7-37 2) 2(5 —х)=4 3) 2(3* + 5х-х) = 28
676*. У мальчика 30 советских монет. Можно ли утверждать,
что среди них найдется 7, 4, 3 монеты одного и того же
достоинства?
677*. Если Сережа поедет в школу автобусом, а обратно пойдет
пешком, то он затратит на весь путь 1 ч 30 мин. Если же в
оба конца он поедет автобусом, то затратит всего 30 мин.
Сколько времени потратит Сережа на дорогу, если он пой-
дет пешком и в школу, и обратно?
3.8. Площадь. Площадь прямоугольника
Чтобы определить, сколько потребуется минеральных удоб-
рений для обработки поля, сколько потребуется краски и
обоев для ремонта квартиры, нужно знать площади поля,
144
потолка и стен. Для решения этих и многих других практи-
ческих задач необходимо уметь измерять площади. Единицей
площади служит площадь единичного квадрата, т. е. квадрата,
длина стороны которого равна одной единице длины. Например,
если длина стороны квадрата 1 м, то его площадь равна 1 квад-
ратному метру (1 м2); если длина стороны 1 см, то его площадь
равна 1 квадратному сантиметру (1 см2) (рис. 3.52) и т. д.
Для нахождения площади какой-либо фигуры ее сравнивают
с единичным квадратом. Например, фигура на рисунке 3.53 со-
стоит из 8 квадратов со стороной 1 см, следовательно, ее пло-
щадь 8 см2.
Мы уже знаем, что для вычисления площади прямоуголь-
ника нужно умножить длину на ширину.
Если обозначим стороны прямоугольника а и Ь, а его пло-
щадь S1, то получим такую формулу площади прямоугольника
(рис. 3.54):
| S = ab J
При вычислении площади прямоугольника нужно длины его
сторон выразить в одних и тех же единицах.
1 S — от латинского слова superficies (поверхность*.
145
678. 1) Используя текст и рисунки, объясни, что значит найти
площадь фигуры.
2) Проверь, помнишь ли ты, как вычислить площадь прямо-
угольника, какие единицы служат для измерения площади.
679. Площадь одного квадратика (рис. 3.55) равна I см'Л Какова
площадь каждой фигуры, изображенной на рисунке?
680. Вычисли площадь прямоугольника, если:
I) а = 5 м и 6=3 м; 2) а=6 дм и 6 = 50 см;
3) а —42 см и 6=18 см; 4) а = 38 см и 6 = 2 дм.
681. Заполни таблицу (а и Ь — стороны прямоугольника и S —
площадь):
а 16 см 130 м 43 м
Ь 14 см 80 м 24 лм
S 432 дм’ 2322 м’
146
Рис. 3.56
Рис. 3.57
Рис. 3.58
682. На футбольном поле прямоугольной формы со сторонами
110 м и 75 м скоснлн траву. С какой площади скошена
трава?
683. В двухкомнатной квартире ширина каждой комнаты 4 м, а
их длина 7 м и 5 м. Сколько квадратных метров коврового
покрытия потребуется, чтобы полностью застлать полы в
комнатах?
684. Сделай необходимые измерения и вычисли площадь фигуры
на рисунке 3.56.
Ь.
685. Минимальные размеры хоккейной площадки могут быть
56 м и 26 м. а максимальные 61 м и 30 м. На сколько квадрат-
ных метров отличаются их площади?
686. Прямоугольные плиты для застилки дорожки имеют раз-
меры 180 см и 50 см. Сколько потребуется плит, чтобы засте-
лить дорожку длиной 450 м и шириной 180 см? Сделай схе-
матический рисунок.
687. Два земельных участка прямоугольной формы имеют
площадь 1728 м2. Стороны одного участка 24 м и 16 м,
длина второго участка 42 м. Вычисли ширину второго
участка.
688*. Составь формулы для вычисления площадей фигур на ри-
сунках 3.57, 3.58.
147
3.9. Площадь квадрата. Квадрат числа
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны
равны, следовательно, чтобы найти площадь квадрата, нужно
сторону умножить саму на себя. Если сторона квадрата а, а
площадь S, то S=a-a (рис. 3.59). Произведение двух равных
множителей а-а записывают по-другому: а-а = а1 (читается:
и в квадрате). Например. 3-3=32, 5-5=52, 10-10=10® и т. д.
Обратно: квадрат числа можно записать в виде произведения
двух множителей, каждый из которых равен этому числу.
Например, 72=7-7=49, 8г = 8-8 = 64. 152= 15-15 = 225 и т. д.
Можно сказать, что площадь квадрата равна квадрату его
стороны. В виде формулы это записывается так:
5=“’
Пример 1. Вычислим площадь квадрата, если его сто-
рона 3 см 6 мм.
Решение. Выразим сторону квадрата в миллиметрах. По-
лучим 36 мм. Теперь найдем его площадь в квадратных мил-
лиметрах:
§ = 362 = 36-36 = 1296.
Ответ. Площадь квадрата 1296 мм2.
Пример 2. Вычислим 2-32.
В этом примере ты видишь новое действие: вычисление
Рис. 3.5»
не
квадрата числа. Запомни: вычисление квадрата числа — дей-
ствие высшей ступени по сравнению с действиями умножения
и деления.
Поэтому если в выражении нет скобок, то вначале вычисля-
ется квадрат числа, а затем выполняются действия умножения
и деления:
2-32 = 2-9 = 18 (но не так: 2-32 = 62 = 36).
689. Прочти текст и скажи:
1) что означает вычислить квадрат числа;
2) в каком порядке выполняются действия, если в них содер-
жится квадрат числа.
690. Можно ли вычислить площадь любого прямоугольника по
формуле площади квадрата, а площадь квадрата по фор-
муле площади прямоугольника? (Почему? Объясни.)
691. Запиши в виде квадрата числа:
I) 2-2 2) 12-12 3) 251-251 4) хх 5) k-k
6-6 20-20 72-72 с-с у-у.
692. Вычисли (устно):
З2, 72, 82, 1002, 52, 10». I2, 42, 10002.
693. Вычисли:
21*. 25*. 922. 105», 24*. 642. 732, 42I2. 3202, 14002.
694. Вычисли квадраты всех натуральных чисел от 1 до 20. Ре-
зультаты запиши в виде таблицы.
695. Вычисли:
1) 132 + 564 2) 802 — 562 3) 82-95 — 712 4) I6-82
8200 - 702 332 + 482 2202-f-50-81 122:6
149
Рис. 3.60
696. Вычисли площадь квадрата по формуле, если:
1)а = 27см; 2)о = 58дм; 3)а=120м; 4)а = 3дм2см.
697. Измерь сторону квадрата (рис. 3.60), вычисли его площадь.
698. Начерти квадрат, измерь его сторону и вычисли площадь.
699. Сторона металлического листа квадратной формы 13 дм. Из
этого листа нужно вырезать квадратные пластинки пло-
щадью 1 дм2. Сколько можно вырезать таких пластинок?
700. Сделай необходимые измерения и вычисли площадь фигуры
на рисунке 3.61.
Б.
701. Вычисли:
I) 17,+86,-56.|27; 2) 322г-(240*+186-220).
702. Составь формулы для вычисления площадей заштрихован-
ных фигур на рчгуиках 3.62 и 3.63. Вычисли их площадь, если
а = 42 см. b -54 см с=18 см и </ = 21 см.
150
703. В одной колонне п рядов и в каждом ряду по п пионеров,
в другой колонне а рядов и в каждом ряду по а пионеров.
Составь формулу для определения числа пионеров в двух
колоннах. Выполни вычисления по формуле, если:
1) л=5, а = 7;
2) л=12, а = 8.
704*. Вместо звездочек поставь цифры такие, чтобы получилось
верное равенство:
•52=4»**.
705*. Сторона квадрата 8 см. Как разделить этот квадрат на
равные квадраты площадью 4 см2? Сколько таких квадра-
тов?
3.10. Новые единицы площади
Ты знаешь следующие единицы площади: 1 мм2, 1 см2,
1 дм2 и 1 м2. Для измерения площадей в сельском хозяйстве
чаще всего применяется единица площади 1 гектар (1 га). Один
гектар — это площадь квадрата со стороной 100 м. Его пло-
щадь в квадратных метрах будет: I002 м2= 10000 м2.
1 га = 10000 м2 |
За единицу измерения площадей садов и огородов принимают
1 ар1 (1 а); 1а=100 м2. Поэтому ар называют по-другому —
соткой. Слово «гектар» состоит из двух слов «гекто»2 и «ар».
Таким образом, I га=100 а.
Для измерения больших площадей, например территорий
государств, материков, используется квадратный километр.
Один квадратный километр (1 км2) —это площадь квадрата со
' От латинского слова area — площадь.
5 От греческого слова hekaton — сто.
151
стороной 1 км, или 1000 м. Площадь такого квадрата в квад-
ратных метрах будет:
I000I) 2 м2 = 1000 000 м2.
| I км2» 1 000000 м2 |
Территория Советского Союза составляет 22402200 км2.
По площади Советский Союз — самое большое государство
в мире.
706. Проследи цепочку единиц площади:
1 мм2-*! см’-И дм2-»! м2—-la—-1 га—1 км2.
I) Во сколько раз каждая последующая единица больше
предыдущей?
2) Во сколько раз 1 дм2 больше I мм2? 1 м2 больше I см2?
1 м2 больше I мм2?
3) Во сколько раз I см'2 меньше I м2? 1 мм2 меньше 1 дм2?
1 мм2 меньше 1 м2?
707. Какое число нужно поставить вместо х, чтобы получилось
верное равенство? Используй предыдущую задачу:
I) 8 дм2»х см2
5 м2=х дм2
18 см2 = х мм2
5 а = х м2
2) 25 га»х м2
20 га=х м2
3 км2 = х м2
3) 2 м2 = х см2
9 дм2=х мм2
24 см2=х мм2
1 км2 = х га
708. Длина участка земли прямоугольной формы 600 м, а шири-
на на 150 м меньше длины. Вычисли площадь участка. От-
вет вырази в гектарах.
709. Парк прямоугольной формы площадью 21 га имеет ширину
250 м. Вычисли периметр парка.
152
710. В таблице представлены площади территорий некоторых
союзных республик:
Литовская ССР 65200 км2
Латвийская ССР—63 700 км'
Эстонская ССР 45 100 км’
Азербайджанская ССР - 86600 км2
Грузинская ССР -69 700 км'
Армянская ССР 29800 км2
Используя приведенные данные, поставь разумные вопросы
и ответь на них.
711. Участок земли прямоугольной формы засеян пшеницей.
Ширина участка 400 м, а длина в 3 раза больше ширины.
Со всего участка собрали 240 т пшеницы. Сколько центне-
ров пшеницы собрали в среднем с I га?
Для повторения
712. Используя, если нужно, предметный указатель, вспомни:
I) чему равна величина прямого угла,
2) какова формула периметра прямоугольника;
3) для чего применяется транспортир.
713. Вычисли (устно):
1) 5000:500 + 600:20
90-20 - 600
2400:12-6-15
10000:100 — 400:4
2) 780-250-380
1200 - 500 + 300
4300 + 2900 + 700 - 900
180+ 1500 - 80
714. Вычисли:
1) 15*-64 - 8400
19’-12?+112
2) 1405 + 75г:9
2032 — 19-794
3) 82 + 422 - 28’
652:5—845
715. 15 учеников пропололи 270 борозд брюквы, причем все ра-
ботали одинаково и получили за прополку одной борозды
2 р. Сколько денег получил каждый ученик?
153
М Рис. 3.64
716. Велосипедист проезжает 48 м за 8 с. Какое расстояние он
может проехать с той же скоростью за 1 мин?
717. Размеры поля прямоугольной формы 800 м и 1 км. На каж-
дый гектар поля нужно внести 105 кг минеральных удобрений.
Сколько минеральных удобрений понадобится для всего поля?
718. Измерь стороны и углы треугольника на рисунке 3.64. Вы-
числи периметр и сумму углов этого треугольника.
719*. В треугольнике АВС АВ + ВС = 9 дм, АС + СВ=\3 дм и
АВ + ВС + АС= 17 дм. Вычисли стороны треугольника.
720*. В витрине магазина висят 10 платков трех различных ри-
сунков. Какое наименьшее число платков нужно взять всле-
пую, чтобы среди них оказалось хотя бы два (три) одина-
ковых по рисунку платка?
Для самопроверки
721. Какой угол называется острым? тупым?
722. Сколько градусов содержит развернутый угол? прямой
угол?
723. Какой четырехугольник называется прямоугольником? квад-
ратом?
724. Как находится квадрат числа?
725. Приведи формулы для вычисления площади и периметра
прямоугольника, квадрата.
726. Вычисли (устно):
1) 15°+ 47°
158°-23°
130°+ 35°
91°—50°
2) 1002
9’
О’
60’
3) 400:8-27
70 + 5-1000
9000:100 + 402:2
6-501 -6
164
727. Замени букву х таким числом, чтобы получилось верное
равенство:
I) 90 дм2=х см2 2) 30000 мм2 = х дм2
6 км2=х м2 240000 м4 = х га
14 га=х м2 500000 см2=х м2
728. Вычисли:
1) 3825:15’4-183,
2) (134 791+472): 1000-89.
729. Начерти острый угол РОМ и тупой угол CDE. Измерь эти
углы.
730. Начерти углы, равные 57° и 138°.
731. Начерти треугольник KLM, измерь его стороны и углы.
Вычисли периметр треугольника и сумму его углов.
732. Одна сторона треугольника 57 см, вторая с см и третья на
32 см длинее второй. Составь формулу для вычисления пери-
метра треугольника и вычисли его, если с = 78. Может ли с
иметь значение 10? (Почему?)
733. Сделай необходимые измерения и вычисли периметр и пло-
щадь фигуры, изображенной на рисунке 3.65.
734. Длина земельного участка прямоугольной формы 1400 м, а
ширина в 2 раза меньше. Вычисли площадь участка в гек-
тарах.
735. Летом спортсмен бежал дистанцию 5 км со скоростью
4 м/с, а зимой ту же дистанцию на коньках преодолел со
скоростью 10 м/с. На сколько меньше понадобилось вре-
мени для прохождения этой дистанции на коньках, чем
при беге?
Рис. 3.65
Д Дробные числа. Сложение
и вычитание десятичных дробей
4.1. Обыкновенные дроби
Сколько пионеров в твоем классе? Сколько среди них дево-
чек и сколько мальчиков? На эти вопросы ты можешь ответить,
используя натуральные числа.
А теперь спросим, какова ширина твоего класса. Чтобы от-
ветить на этот вопрос, нужно измерить ширину класса. Для
этого возьмем линейку длиной I м и будем откладывать ее вдоль
стены класса. Возможно, она отложится точно 5 раз. Тогда на
вопрос, поставленный выше, можно ответить так: ширина клас-
са 5 м. Но может случиться, что линейка отложится 5 раз и
останется еще часть, на которую линейка полностью не по-
мещается. В этом случае ширину класса в метрах нельзя вы-
разить натуральным числом.
Чтобы измерять различные величины (например, длину, пло-
щадь. время, угол и т. д.), нужно, кроме натуральных чисел,
ввести новые числа, которые называются дробными числами
С этими числами ты теперь и познакомишься.
± 1
ММ» ИИИи..,
156
Разделим единицу на две равные части (рис. 4.1). Каждая из
полученных частей будет одной второй или половиной этой
единицы. Одна вторая или половина записывается так: у.
Число у дробное.
На рисунке 4.2. яблоко разделено на три равные части.
Каждая часть равна одной трети (у) яблока. Две
части будут равны двум третям (у) яблока. Числа у и у тоже
дробные.
Если единицу разделить на 4 равные части, то каждая часть
будет равна одной четвертой (4-)1 три таких части три чет
вертых, или три четверти (-г-). Одна четвертая называется
четвертью.
Дробное число записывается двумя натуральными числами,
разделенными чертой, в виде у. Такие записи называются
обыкновенными дробями. Число а, записанное над чертой, на-
зывается числителем дроби; число Ь, записанное под чертой,
называется знаменателем дроби. Знаменатель дроби показы
вает, на сколько равных частей разделена единица. Числитель
дроби показывает, сколько таких частей взято.
Пример 1. Обыкновенная дробь у показывает, что целое
разделено на 5 равных частей и взято 4 таких части (рис. 4.3).
157
Пример 2. Если отрезок длиной в I м разделен на 100 рав-
ных частей, то длина каждой части равна I см. Поэтому
I cM=-pL- м (одна сотая метра), 2 см=-^ м (две сотых
метра) и т. д.
Пример 3. Если прямой угол разделен на 90 равных
частей, то каждая часть имеет величину 1°. Следовательно,
Г —это прямого угла, 10° — это прямого угла и т. д.
Пример 4. Сколько градусов составляют -i прямого угла?
Прямой угол разделим на 5 равных частей. Величина
прямого угла равна 90°:5 = 18°, а тогда прямого угла —
это 18° •3 = 54“.
Дробные числа, как и натуральные, можно изображать
точками числового луча. Например, для изображения дроби
(рис. 4.4) разделим единичный отрезок на 5 равных частей.
Затем отложим от начала луча последовательно 3 такие части.
Получим точку М, которая изображает число у, а длина от-
резка ОМ равна единицы.
158
736. Найди в тексте ответы на вопросы:
1) Что показывает знаменатель дроби?
2) Что показывает числитель дроби?
737. Молоко из кувшина разлили трем детям поровну в стаканы.
Какую часть молока получил каждый ребенок? Как это
записать?
738. Единица разделена на 7, 15, 20, 50, 100, 1000 равных частей.
Как назвать одну часть в каждом из этих случаев?
739. Ремонтируемый участок пути разделен на четыре равные
части. Три части должна ремонтировать большая бригада,
а одну часть меньшая бригада. Какую часть участка дороги
нужно отремонтировать каждой бригаде?
740. Какая часть каждой фигуры на рисунке 4.5 заштрихована?
Какая часть не заштрихована?
741. Прочти дроби, назови числитель и знаменатель каждой из
них и объясни, что они обозначают:
2 S 6 3 12 61 99 31 2795
5 f 7Г II Т7 loo W |ооо ю (хю
159
742. Запиши дроби с помощью цифр в виде у:
1) одна шестая; 2) семь восьмых; 3) пять шестнадцатых;
4) двадцать три пятидесятых; 5) шестьдесят семисотых;
6) пятьсот девять тысячных.
743. Буханка хлеба разделена на 10 равных частей. Как называ-
ются 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7. 8, 9 таких частей? Запиши в тетради
полученные дроби.
744. Какую часть метра составляет 1 дм? Вырази в метрах 1 дм,
2 дм, 3 дм. 4 дм, 5 дм, 6 дм, 8 дм.
745. Целое разделено на 100 равных частей. Как называются 1, 2,
8. 15, 30, 47, 89, 99 таких частей? Запиши в тетради эти
дроби.
746. Какую часть метра составляет 1 см? Вырази в метрах 1 см,
5 см. 8 см, 10 см, 52 см, 95 см.
747. Целое разделено на 60 равных частей. Как называются 1, 2,
3, 10, 45 таких частей?
748. Какую часть часа составляет 1 мин? Вырази в часах 1 мин,
2 мин, 3 мин, 15 мин, 20 мин.
749. Какую часть минуты составляет 1 с? Вырази в минутах 1 с,
5 с. 8 с, 10 с, 25 с, 30 с.
750. Какую часть года составляет 1 месяц? 2 месяца? 5 месяцев?
8 месяцев? 12 месяцев?
751. Начерти с помощью транспортира угол, равный у прямого
угла.
752. Сколько градусов составляет у прямого угла?, у прямого
угла? 1 развернутого угла? у развернутого угла?
753. Сколько сантиметров в у м? у м? у м?
754. Сколько копеек в у р.? у р.? у р.? у р.?
755. В порту 44 судна. Три четверти из них составляют рыболовец-
кие суда. Сколько рыболовецких судов в порту?
160
О 1 О 1
ACEBFD С А Е D F В
Рис. 4.6
756. В классе 30 учеников, у из них пионеры. Сколько пионеров
в классе?
757. Каким дробям соответствуют точки А, В, С, D, Е и F на
числовом луче (рис. 4.6)?
758. Начерти отрезок ДВ=Ю см. Отметь на этом отрезке точки
С, D и Е такие, что АС=^АВ, AD=^AB, ВЕ=±АВ.
759. Начерти числовой луч, в котором единичный отрезок равен
6 см. Отметь точки, соответствующие дробям у, А.
Б.
760. Начерти прямоугольник, стороны которого 6 см и 2 см. Разде-
ли прямоугольник на 12 равных частей. Заштрихуй 5 частей
красным карандашом, а 3 части синим. Запиши с помощью
дробей, какая часть прямоугольника заштрихована; какая
часть прямоугольника не заштрихована; какая заштрихована
синим цветом; какая часть красным.
761. Начерти квадрат со стороной 4 см. Раздели его на 16 равных
частей. Заштрихуй 7 частей синим карандашом и 6 частей
красным. Запиши с помощью дробей, какая часть квадрата
заштрихована; какая часть заштрихована синим каран-
дашом, какая красным; какая не заштрихована.
762. ',На рисунке 4.7 изображена стоклеточная доска для ша-
шек. Какую часть доски составляют белые клетки? 3 ряда
клеток? Составь сам еще несколько задач по рисунку и
реши их.
6 Ли, эти :< и161
764. Турист в первый день прошел А всего пути. Какую часть
пути ему осталось пройти?
765. Ученик начертил прямоугольник и заштриховал синим каран-
дашом у этого прямоугольника, потом заштриховал красным
карандашом у незаштрихованной части. Какая часть прямо-
угольника заштрихована красным карандашом?
Самостоятельная работа 6
Тема Сравнение обыкновенных дробей с равными знамена-
телями.
1. Какой дроби (рис. 4.8) соответствует самая длинная по-
лоска, какой самая короткая? Расположи эти дроби в порядке
возрастания. Получилось ли так: А. А, у. А ?
162
2. Представь себе, что торт разделен на 8 равных частей.
Какая часть торта будет больше: А или А; А или А; А или
3. Расположи дроби А. А. А, А, А, А, А в порядке
возрастания.
4. Подумай, какая из двух дробей с равными знаменателями
больше, а какая меньше и почему?
5. Прими за единицу длины 10 см и начерти числовой луч. на-
правленный слева направо. Изобрази на луче дроби А,
А , А , А. Какая из этих дробей самая большая? самая малень-
кая? Какая из них на числовом луче находится правее всех дру
гих? левее всех других?
6. Если ты выполнил всю работу и хорошо ее продумал, то
должен прийти к выводу:
I) из двух дробей с равными знаменателями та дробь боль-
ше, числитель которой больше, и та дробь меньше, числитель
которой меньше;
2) если числовой луч направлен слева направо, то большей
дроби соответствует точка, лежащая правее, меныией — точка,
лежащая левее.
больше:
is’ я "ли Я
меньше:
19 i
или — ?
766. Какая из дробей
767. Какая из дробей
й "Л|
768. Расположи дроби в порядке возрастания:
3 9 4 I 5 II 7
12' 12' 12’ 12’ 12' 12’ 12
769. Начерти числовой луч, приняв за единичный отрезок осно-
вание полоски в 11 клеточек. Отметь точки, соответствующие
дробям
3 I 5 7 10
II ' 11 ’ 1Г 11 ’ 1Г
Расположи эти дроби в порядке убывания.
770. Какая из двух дробей расположена на числовом луче правее:
I „л„ |? ± „ли 4? Л „лЦг
771. Какая из двух дробей расположена на числовом луче левее:
-1- или 4-? 4- или 4-? 4- или 4-?
3 3 5 5 0 о
Б.
772. При каких значениях а дробь будет меньше дроби
Запиши все эти дроби.
773. При каких значениях а дробь будет больше дроби
но меньше дроби Запиши все эти дроби.
164
4.2. Правильные и неправильные дроби
Числитель обыкновенной дроби может быть меньше знамена-
теля, может быть равен ему или быть больше знаменателя. Если
числитель дроби меньше знаменателя, дробь называется пра-
вильной. Например, у , -L, А— правильные дроби.
Правильная дробь всегда меньше 1. Например,
< 1 (рис. 4.9). Вообще, если а и Ь — натуральные числа
Если числитель дроби равен ее знаменателю или больше
его, то дробь называется неправильной. Например, А, у,
А, А— неправильные дроби.
Если числитель и знаменатель неправильной дроби равны
между собой, то такая дробь равна 1. Например, А= А = ]
(рис. 4.10). Таким же образом можем записать, что
Рис 4.9
± 2. 3.
3
3
Рис. 4.10
4 Т 4
|>1
Рис. 4.11
12 = 1, II = I, -122. = 1 и т. д. Вообще, если а — любое натураль-
ное число, то — =1.
а
Если числитель неправильной дроби больше знаменателя, то
зта дробь больше /. Например, -т->1 (рис. 4.11). Вообще,
если а и Ь — натуральные числа и а>Ь, то -2 > 1.
Рассматриваются и дроби вида -2-, где b — натуральное
число. Эти дроби считаются равными нулю. Например,
-2-= 0, у = 0. -2- = 0 и т.д.
774. Найди в тексте ответы на вопросы:
1) Какая дробь называется правильной, какая неправильной?
2) В каких случаях дробь меньше I, равна 1, больше 1?
- I 5 7 3 25 16 9 15 107
775. Какие из дробей т. у. т. у. ж, п. w
правильные, какие неправильные?
775. Выпиши из дробей 4. Д. и- 35
торые: 1) меньше 1; 2) равны 1; 3) больше 1.
777. Напиши со знаменателем 7:
1) 3 правильные дроби;
2) 3 неправильные дроби;
3) дробь, которая равна 1.
66
778. Напиши с числителем 9: I) 3 правильные дроби; 2) 3 непра-
вильные дроби; 3) дробь, которая равна I.
779. Поставь вместо звездочек знак равенства или неравенства:
780. Каким дробям соответствуют точки А. В, C.D и Е на числовом
луче (рис. 4.12)?
781. Начерти числовой луч, приняв за единичный отрезок 4 см. От-
меть точки, соответс!вующне дробям -g-,
Б.
782. Начерти числовой луч. выбрав подходящий единичный от-
резок, и отметь точки, соответствующие дробям
1 9 II 7 ю 13
9’9’9'9'9'9'
783. Два одинаковых яблока разрезали а 4 равные части каждое.
Какую часть яблока получит ребенок, если ему дадут:
1) 3 части; 2) 7 частей; 3) 8 частей?
784. Запиши дробь i, если х равно 7; 15; 23; 24; 40. Какие из
полученных дробей правильные, какие неправильные?
785. Запиши дробь —, если у равно 6; 9; 10; 12; 14; 35. Какие из по-
лученных дробей правильные, какие неправильные?
788. При каких значениях b дробь у неправильная? Укажи
такие четыре значения Ь, при которых дробь правильная.
787. Из чисел 3. 7, 8, 15 составь:
I) все возможные правильные дроби.
2) все возможные неправильные дроби.
788. Запиши все дроби у. если 6=6 и у < 1.
4.3. Целая часть неправильной дроби
На числовом луче (рис. 4.13) изображена неправильная
дробь у. Эта дробь содержит 2 целые единицы да еще у еди-
ницы. Это записывается так: 2у (читается: две целых три пя-
тых) . Число 2-|- - это сумма 2 + у, которая написана без знака
сложения. Значит, у = 2+у = . Говорят, что из дроби у
выделены целая и дробная части
А как их выделить, не обращаясь к числовому лучу? Раз-
делим 13 на 5. Получим неполное частное 2 — это целая часть —
и остаток 3 —это числитель дробной части. Таким же образом
получим, например:
у —Зу. так как 10:3 = 3, остаток 1 (10 = 3-3+1);
уд-21, так как 27:10 = 2. остаток 7 (27 = 10-2 + 7);
ух=|у, так как 12:7=1. остаток 5 (12 = 7-1+5).
Такие числа, как 2у, Зу. 2-1. иногда называют смешан-
ными числами.
? 1 1 1 1 1 11 * ь-?.а .1 , j Рмс. 4,|з
1Ы»
Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, нужно
разделить числитель неправильной дроби на знаменатель. По-
лученное неполное частное будет целой частью, остаток —
числителем и прежний знаменатель — знаменателем дробной
части.
Из сказанного следует: если числитель неправильной дроби
делится на знаменатель, то эта дробь представляет собой нату-
ральное число — частное от деления числителя на знаменатель.
Например, у = 5, -5- = 2. = 3 и т. д. Обратно, любое нату-
ральное число может быть записано дробью с любым натураль-
ным знаменателем. Частное от деления числителя на знамена-
тель такой дроби равно данному натуральному числу. Напри-
мер,
2=-=— =— . з-б « '2
3 4 • z 2 3 4 • Т Т т " •
Л.
789. Найди в тексте ответы ня вопросы:
1) Как из неправильной дроби выделить целую и дробную
части?
2) В каком случае неправильную дробь можно записать в
виде натурального числа (приведи примеры)?
3) Как натуральное число можно записать дробью (приведи
примеры)?
790. Запиши короче:
I) 3 + |: 2| 9+1; 3) I0 + 4-: 4) 7 + ^. 5) I+|
791. Прочти числа: 9-1, 5-J-. 21. 4±. 121. 53-11.
Назови целую и дробную части этих чисел.
169
° 1 2
A C G В E D F Рис. 4.14
792. Каким числам соответствуют точки А, В, С, D, Е, F и G на
числовом луче (рис. 4.14)?
793. Замени дробь натуральным числом:
8 >5 42 44 160 72 105 2400 96
2 1 5 1 6 ’ 4 • 10 ' 8 ’ 35 ’ 12 ’ 24 ’
794. Замени числа 1, 4. 7, 9, 15 и 22 дробями со знаменателем:
1)2; 2) 5; 3) 6; 4) 10.
795. Выдели целую и дробную части:
4 9 16 35 68 123 149 236 514 812
Т’ 2 ' 7 ’ 6 1 10* 12 1 9 1 13 ' “35"1 60 ’
796. Нужно разделить 13 груш между четырьмя детьми поровну.
Как это сделать? Сколько груш получит каждый ребенок?
Б.
797. Запиши значение дроби при заданном значении буквы. Вы-
дели целую и дробную части в тех случаях, где это возможно:
1) yg, если а равно 4; 10; 15; 39; 134;
2) у, если b равно 5; 17; 42; 90; 168.
798. Сравни: 2 у и 2; 5у и 6; 1-L и 2-|-; 4-|- и 4у.
799. Выдели целую и дробную части и расположи все числа в по-
рядке убывания:
340 54 4800 931 ИМИ) 1856
21 ’ 19’ 800 ’ 123 ’ 125 ' 78 ’
170
800. Выдели целую и дробную части:
7 12 5 8 9 9
4’ 4’ 2 ’ 8 ' 2 ’ 4
Начерти числовой луч и отметь на нем точки, соответствую-
щие этим числам.
801. Назови какие-нибудь 4 числа, которые:
1) больше 2, но меньше 3;
2) больше 7, но меньше 8;
3) больше 14, но меньше 15.
Для повторения
802. Вычисли (устно):
1) 35 + 24 + 25 2) 78- 13+25-40 3) 714:7
154-36-54 500 + 220-160-60 816:8
96 + 72—86 4-200 + 3-50 324:3
803. Вычисли:
1) 13 600 - 54-92 + 2964 ; 2) 3609 + 77 056:256-252.
804. Упрости выражение:
1) 24х + 6х—12х 2) 6х + 7х+19х+11х + 7
48у— 12у—бу Зл + 5л —5л + 3л —6л
7р-р + 6р + 3 18с—Зс+14с —20с
805. Ученики 4 класса собрали 590 кг макулатуры за месяц.
По 23 кг принесли 14 учеников, по 17 кг другие 14 учеников.
Остальное принес Дима. Сколько килограммов макулатуры
принес Дима?
800. За 5 м шелковой ткани заплатили 31 р. 50 к., а за 3 м шерстя-
ной 48 р. 60 к. На сколько метр шерстяной ткани дороже
метра шелковой?
171
807. На отрезке АВ отмечена точка С. Вычисли:
1) АВ, если ЛС=3 см и ВС=5 см;
2) СВ, если АВ= 10 см и АС = 2 см;
3) АС, если ВС=1 см и АВ = 13 см.
808*. На дворе играли 7 девочек и 2 мальчика. Все девочки были
одного возраста, и мальчики тоже одного возраста, а в об-
щей сумме им было 80 лет. Если бы детей разделили на две
группы, чтобы в одной группе были 5 девочек, а в другой
все остальные дети, то общая сумма возрастов детей в каж-
дой группе была бы одинаковой. Какого возраста были маль-
чики и какого девочки?
4.4. Сложение и вычитание дробей
с равными знаменателями
На рисунке 4.15 изображено сложение отрезков ОА и АВ:
ОА + АВ = ОВ. Длина отрезка ОА — у- единицы, длина отрезка
АВ —-у- и длина отрезка 0/3—у той же единицы. Число у -
это сумма чисел у- и у.
172
Обратно, ОВ- ЛВ = ОА и ОВ — О А = АВ. Поэтому
5 2 _ 3 5 3 2
Т"Т*Т "
Таким же образом получим:
(рис. 4.16);
(рис. 4.17).
Ты. конечно, уже заметил, что правила сложения и вычита-
ния дробей с равными знаменателями можно сформулировать
следующим образом:
1. При сложении дробей с равными знаменателями нужно
сложить их числители и оставить тот же знаменатель. В буквен-
ном виде:
— 4- -L—°+с
b т Ь b '
173
2. При вычитании дробей с равными знаменателями нужно
из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого и
оставить тот же знаменатель. В буквенном виде:
у — у = <а>с а = с).
При сложении дробей складываются их числители, а это -
натуральные числа. Поэтому здесь остаются в силе перемести-
тельный и сочетательный законы сложения. Ты уже изучил их
при сложении натуральных чисел. Сформулируй эти законы!
Примеры.
1 ) 3 + 4 т- 3+4 - 7 н 4 4- 3 - <+3 - 7
" Тб + Тб”“Тб-Тб и Тб + Тб “Тб“ Тб’
91 2 4- 3 4- 4 — 2 + 3 4. 4 5 4- 4 = 9 и
21 п+п+тт-----|Г+П п+Г| П "
2 > 3 । 4 _ 2 , 3 + 4 2,79
П+П + ГТ”ТТ+—ГГ“”п + п”ТТ-
Примечание. Если сумма дробей неправильная дробь,
то обычно из этой дроби выделяется целая и дробная части.
Например, у 4--|- = у = 1 у.
А.
809. Прочти текст и разбери приведенные в нем примеры. Сфор-
мулируй правила сложения и вычитания дробей с равными
знаменателями.
810. Вычисли:
174
5)
6)
8)
62 38
100 100
38 19
50 50
1L—Z.
8 8
17_16
32 32
806 205
1000 1000
64 60
125 125
314 _ 299
500 500
811. В связи с постройкой новых жилых домов улицу протяжен-
ностью -j- км удлинили на у км. Какой длины стала улица?
812. Мама принесла орехи. Митя получил у и Галя у части
всех орехов. Какую часть орехов получили Митя и Галя
вместе?
813. Мама испекла пирог. После обеда осталось у пирога, во
время ужина съели у пирога. Какая часть пирога осталась
после ужина?
814. Саша и Алеша чистили от снега дорожку у дома. Саша вы-
чистил р- дорожки, а Алеша на -L часть меньше. Какую
часть дорожки вычистил Алеша?
175
815. В зернохранилище засыпали пшеницу и ячмень: его было
заполнено пшеницей, а ячменем. На какую часть храни-
лища пшеницы было больше, чем ячменя?
816. Вычисли значение выражения c+yg. если с равно
_9_.11
12' 12 ‘
817. Реши уравнение:
п 3 v 7 «и 17 „ 5 . „ 9 5
111в+х-И' 21 та-,_П' 31 ’Тй'
818. Вычисли значение
выражения ссли равно
820. Вычисли значение выражения c — a-f-b, если:
п „ 18 . 24 22. 37 . _15и/,_43
" "-»• 6“Я " с=»’ 21 0“й'6*=«?"с=м
821. Реши уравнение: '
2> (£+')-£-£
822. Каким числом нужно заменить букву а, чтобы равенство было
верным:
"»+»-»• 2’п-Н->- 3»й-5?т0?
176
823. В парке 200 деревьев. Из них составляют дубы и березы.
Остальные деревья хвойные. Сколько лиственных н сколько
хвойных деревьев в парке?
4.$. О метрической системе
измерения величин
Ты уже знаешь единицы измерения некоторых величин.
Например:
единицы длины: I км. I м. 1 дм, 1 см. I мм:
единицы площади: I км2, 1 м2, 1 дм2, 1 см2, 1 мм2, 1 га, 1 ар;
единицы массы: I кг, ,1 г.
Единицами массы служат еще 1 центнер (1 ц) и I тонна (1т).
| 1 ц=100 кг |' I т 1000 кг
Центнеры применяются часто в сельском хозяйстве при изме-
рении массы зерна. Например: «Колхоз собрал с каждого гекта-
ра по 32 ц ячменя». Тонны применяются при измерении масс
большей величины. Например: «Масса поезда 3500 т».
Все эти единицы измерения величин это единицы метри-
ческой системы1 мер. Единицы метрической системы обладают
свойством: каждая единица данной величины (например, дли-
ны) либо больше, либо меньше любой другой единицы этой
величины или в 10, или в 100, или в 1000, ... раз.
Единицы времени не принадлежат к метрической системе.
Объясни почему!
Исторические сведения
Метрическая система измерения величин родилась во Фран-
ции. В конце XVIII века здесь утвердили метр как законную
единицу длины. В других же европейских странах метрической 1
1 От греческого слова «метров» — мера.
177
системой стали пользоваться только в конце прошлого столетия.
В России пользовались старинными русскими единицами из-
мерения (например, 1 верста» 1 км 67 м; I сажень»2 м 13 см
и др.). Введение метрической системы единиц в России началось
в 1889 году. В этот период наряду с новыми единицами в обиходе
оставались еще и старинные единицы. Обязательной в нашей
стране метрическая система стала лишь после Великой Октябрь-
ской социалистической революции, с 1918 года.
Переход на метрическую систему —это большое и значи-
тельное достижение. Использование единой системы измерения
заметно облегчает общение разных народов, наприйер упро-
щает расчеты в международной торговле. Однако в некоторых
странах по традиции еще и сегодня используются единицы, ко-
торые не принадлежат к метрической системе. Например, в
Англин в качестве единицы длины применяется ярд (I ярд»
»91 см). Он был введен в 1101 году королем Генрихом 1 и рав-
нялся «расстоянию от кончика носа до конца среднего пальца
вытянутой руки короля».
824. 1) Назови известные тебе единицы длины, массы и площади.
2) Повтори соотношения между единицами длины.
3) Повтори соотношения между единицами площади.
825. Как называются десятая часть метра, сотая часть метра,
тысячная часть метра, тысячная часть километра?
826. Какую часть метра составляют 3 дм, 5 дм. 76 дм. 2 см. 18 см,
105 см. 7 мм. 26 мм, 245 мм. 1230 мм?
827. Как называются сотая часть квадратного метра, сотая часть
квадратного дециметра, сотая часть квадратного сантиметра?
828. Какую часть квадратного метра составляют 3 дм2, 15 дм2,
320 дм2, 9 см2. 86 см2, 600 см2, 7250 см2?
829. Рассмотри следующую цепочку единиц массы:
| г---► I кг--> 1 ц------ 1 т
178
1) Во сколько раз каждая следующая единица массы больше
предыдущей?
2) Во сколько раз I ц больше I г? I т больше I ц? 1 т боль-
ше 1 г?
3) Во сколько раз каждая единица массы меньше после-
дующей (более крупной, ближайшей к ней)?
830. Как называются тысячная часть килограмма; тысячная часть
тонны; сотая часть центнера; десятая часть тонны?
831. Какую часть килограмма составляют 5 г, 37 г. 178 г, 4500 г?
832. Длина прямоугольного участка земли 600 м и ширина 400 м.
Сколько центнеров зерна можно собрать с этого участка,
если с 1 га собирают по 32 ц?
833. С прямоугольного участка земли шириной 200 м и длиной
300 м собрали 180 ц ржи. Сколько ржи получили с I га?
834. Какую часть рубля составляют I к.. 5 к., 10 к.. 85 к.?
835. Какую часть часа составляют 1 мин, 5 мин, 17 мин. 48 мин?
836. Алла ушла *в школу в 8 ч 35 мин и вернулась домой в 14 ч
15 мин. Сколько времени Аллы не было дома?
837. Поезд выхолит из одного города в другой в 7 ч 50 мин и
в тот же день в 11 ч 45 мин прибывает в другой город. Сколько
времени находится поезд в пути?
Б.
838. На двух опытных участках прямоугольной формы посеяли
пшеницу. Размеры одного участка 200 м и 350 м. а друго-
го 600 м и 400 м. С первого участка собрали 56 т. а с дру-
гого 156 т пшеницы. Сравни урожаи на этих участках. На
сколько центнеров урожай с одного участка больше, чем с
другого?
839. Грузоподъемность сверхмощной грузовой машины 280 т.
Сколько рейсов потребуется этой машине, чтобы загрузить ка-
менным углем железнодорожный состав, в котором 28 ваго-
нов, если вместимость одного вагона 50 т?
179
840. Самолет вылетает из города Д в 23 ч 35 мин, этой же ночью
делает промежуточную посадку с 1 ч 5 мин до 1 ч 25 мин и при-
летает в город В в 2 ч 55 мин. Сколько времени находился
самолет в воздухе?
841. 13 февраля 1922 года был создан первый пионерский отряд.
Сколько времени прошло с тех пор до сегодняшнего дня?
4.6. Десятичные дроби
Наряду с обыкновенными дробями для записи дробных чисел
употребляются десятичные дроби.
Пример 1. Выразим 3 м 572 мм в метрах. Так
как 1 мм=^55 м’ то 572 м **• следователь”0*
3 м 572 »«-Зд м.
С другой стороны,
3 м 572 мм = 3 мД-500 мм + 70 ммД- 2 мм =
=3 м+5 дм-|-7 смД-2 мм =3 мД-А мД--^- м Д- м.
Последнюю сумму принято записывать одним числом
с помощью запятой: 3,572 м (читается: 3 целых 572 тысячных
метра). Итак, 3-^^ м =3,572 м. Слева от запятой в числе
3,572 стоит натуральное число 3, которое показывает число
целых метров. Справа от запятой первая цифра 5 показывает
число десятых долей (дм), вторая цифра 7 — число сотых долей
(см) и третья цифра 2 —число тысячных долей (мм) метра.
Мы видим, что число 3,572 написано по тому же принципу, как и
натуральное число в десятичной системе: каждая последующая
единица слева направо в 10 раз меньше по сравнению с преды-
дущей. Поэтому запись 3,572 называют десятичной дробью, что
означает: десятичная запись дробного числа.
180
Десятичная дробь состоит из двух частей: слева от запя-
той — цифры целой части десятичной дроби, а справа — цифры
ее дробной части. Их называют десятичными знаками.
Число 3,572 содержит три десятичных знака: 5. 7 и 2.
Пример 2. Выразим 27 см в метрах и запишем десятичной
дробью.
Так как 1 см = -^- и. то 27 см = -^ м. Здесь число целых
метров равно нулю. Поэтому запись десятичной дроби выглядит
так: 0,27 м (читается: 0 целых 27 сотых метра).
Значит.-^ м = 0,27 м.
Пример 3. Выразим 10 кг 87 г в килограммах и запишем
десятичной дробью.
Знаем, что I г = кг, следовательно, 87 г = кг
и 10 кг 87 г=10]^б кг в дробной части полученного числа
нет десятых долей килограмма (сотен граммов). Поэтому на
первом месте после запятой запишем цифру 0.
Получим: кг= 10,087 кг (читается: 10 целых 87 ты-
сячных килограмма).
Подведем итог. Если знаменатель дробной части числа —
разрядная единица 10. 100, 1000, ... (например. 2-^д), то
при записи числа десятичной дробью поступают так:
1) записывают целую часть числа (она может быть и рав-
ной 0) и ставят запятую (2,);
2) справа от запятой записывают числитель дробной части
данного числа. Но — внимание! — он должен содержать столько
знаков, сколько нулей в знаменателе. Если в числителе меньше
знаков, чем нулей в знаменателе, то после запятой, перед
цифрами числителя, надо приписать недостающее число нулей
(2,037).
181
На первом месте после запятой стоит разряд десятых, на
втором — разряд сотых, на третьем — разряд тысячных и т. д.
Разрядная единица десятых —это -LssO.l;
разрядная единица сотых —это = 0,01;
разрядная единица тысячных —это -1- = 0,001 и т. д.
842. Прочти текст и ответь на вопросы:
I) Какие обыкновенные дроби заменяют десятичными?
2) Как называются разряды десятичной дроби (вправо от
запятой)?
843. Запиши десятичной дробью:
2_3_ 45 с, 4 9 с 185 д 49 6 д. 7
10’ 100 • 100’ 10’ 1000’ 1000’ 100’ 1000’
12 , 2763 506 н 17 5
1000’ 10000’ 10000' ° 10000 ’ 10000'
844. Вырази в метрах и запиши десятичной дробью:
I) 5 м 2 дм 3 см 9 мм 2) 0 м 2 дм 4 см 9 мм
1 м 2 дм 0 см 1 мм 0 м 0 дм 6 см 2 мм
3 м 0 дм 0 см 2 мм 0 м 0 дм 0 см I мм
!3 м I дм 4 см 5 мм 2 м 0 дм 0 см 4 мм
845. Прочти десятичные дроби и назови все разряды слева на-
право:
1) 32,7; 6,27; 2,05; 0,247; 1,111;
2) 10,003; 0,029; 0,009; 31,031; 500,1;
3 ) 3901,01; 600,56; 400,008; 5,027; 0,209.
848. Запиши десятичной дробью:
1) 23 целых 5 десятых; 2) 4 целых 7 десятых 3 сотых;
3) 100 целых 4 сотых 9 тысячных; 4) 3 десятых;
5) 8 десятых 5 сотых; 6) 5 тысячных.
847. Вырази в метрах н запиши десятичной дробью: 12 дм. 34 см,
506 см, 76 мм, 1 дм 2 см, 6 см 3 мм, 5 дм 7 мм.
848. Вырази в дециметрах и запиши десятичной дробью: 67 см.
315 см 37 мм, 5841 мм, 5 см 6 мм. 49 см 6 мм, I дм 2 см.
849. Вырази в километрах и запиши десятичной дробью: 3 км 376 м,
675 м. 17 м, 5 м, 5002 м, 6 км 37 м, 1 км 8 м.
850. Вырази в рублях: 30 к., 4 к.. 1 р. 31 к., 180 к., 409 к., 1037 к.
851. Вырази в килограммах: 7 г, 48 г, 508 г, 2407 г, 2 кг 162 г,
5 кг 78 г, I кг 8 г.
852. Измерь длину и ширину своей тетради с точностью до I мм,
ответ запиши в сантиметрах.
853. Запиши свой рост в метрах.
Б.
854. Выдели целую и дробную части и запиши десятичной дробью:
327 . 538 . 1506. 1232. 2035 . 907 . 45300
10 ’ 100 ’ 10 1 1000' 1000* 100’ 10000’
855. Какое равенство верное, какое неверное? (Почему?)
I) 1 мм-0.1 м 2) 127 дм = 1,27 м
2дм=0,2м 3 м 2 см = 3,02 м
2 мм =0,2 дм 3 км 7 м —3,7 км
327 см = 3,27 м 4 км 500 м = 4,5 км
14 см = 1.4 дм 285 мм = 2,85 дм
66 м = 0,66 км 424 см = 4,24 м
856. Из одной тонны пшеницы можно получить 780 кг пшеничной
муки, 25 кг манной крупы, 195 кг кормовых отходов. Вырази
указанное количество продукции:
I) в центнерах; 2) в тоннах.
183
857. Объясни почему (знак =/= означает: не равно):
1) 1 ч 40 мин#= 1,4 ч;
2) 13 мин 20 с ф 13,2 мин.
Для повторения
858. Вычисли (устно):
I) 2-450 2) 8-207 3) 5000:50-80:40
3-260 7-709 100-30-4-250
5-410 4-504 4-150-700:10
859. Вычисли:
I) 452; 2) 1022; 3) 3122.
860. Вычисли значение выражения:
75-380-М36 000— 1888), если х равно 48; 105.
861. Один цех выпускает ежедневно 264 изделия, а другой на
48 изделий меньше. Сколько всего изделий выпускают оба
цеха за 6 дней?
862. Сторона сада квадратной формы равна 80 м; у часть его пло-
щади занята ягодными кустами, на оставшейся части посаже-
ны овощи и картофель. Сколько гектаров занято овощами и
картофелем?
863. Измерь стороны и углы четырехугольника ABCD (рис. 4.18).
Сделай выводы.
864*. В коробке 10 красных, 8 синих, 8 зеленых и 4 желтых каран-
даша. Сколько карандашей как минимум нужно взять из ко-
робки, чтобы среди них обязательно были:
I) 4 карандаша одного цвета;
2) по одному карандашу всех цветов;
3) 6 зеленых карандашей?
4.7. Изображение десятичной дроби
на числовом луче
На рисунке 4.19 изображен числовой луч. Посмотрим, как
изобразить на этом луче десятичную дробь, например 2,3. Для
этсго на луче нужно найти точку, расстояние от которой до на-
чала луча 2,3 единицы. В числе 2.3 две целых единицы и еще
три десятых доли единицы. Следовательно, вначале отмстим на
луче точку, которая соответствует числу 2. Затем разделим еди-
ницу на 10 равных частей и отсчитаем 3 такие части вправо от
числа 2. Так мы получим на числовом луче точку Д, которая со-
ответствует числу 2.3. Таким же образом построим точку В. ко-
торая является изображением числа 4,7.
Чтобы изобразить на числовом луче, например, число 1,12,
нужно единицу разделить на 10 равных частей и полученную од-
ну десятую часть в свою очередь разделить еше на 10 равных
частей. Так мы получим сотые. Теперь найдем на числовом луче
точку, которая соответствует одной целой единице, отсчитаем
одну десятую часть справа от числа I, получим 1.1. а затем
Рис. 4.19
•пжтттпугптртптрттг|пп|ттттттптрттгпут]ттттпптрптптт|]гттттттгтрптттптрттт]тгпупт
012J3466789 10
I гл Ьг_
185
Рис. 4.21
отсчитаем еще две сотые части, получим 1,12. Теперь отметим
точку А. которая изображает число 1.12 (рис. 4.20).
На этом же рисунке отмечены точки В и С. изображающие
соответственно числа 0,27 и 1,02.
865. Что такое числовой луч? (Ответ на вопрос найди в тексте,
пользуясь предметным указателем.)
866. Как изображаются десятичные дроби на числовом луче?
(Прочти в тексте.)
867. Каким десятичным дробям соответствуют точки С. D, Я и F на
рисунке 4.19?
868. Какие десятичные дроби изображены точками D. Е. F. G, Н и
М на рисунке 4.20?
186
869. Каким числам соответствует каждое деление на рисун-
ке 4.21?
870. Начерти числовой луч. За единицу возьми отрезок длиной
1 см. Отметь на луче точки, которые соответствуют числам
0.7; 1.3; 2.0; 2.5; 4.6; 4.1.
871. Начерти в тетради отрезки данной длины:
1)48 = 3,5 см; 2) О£ = 4.2 см; 3) 4D=I.O2 дм.
872. Какова температура больного, если термометр показывает
a; b; с\ d\ е\ f; g (рис. 4.22)?
873. На рисунке 4.23 изображена шкала весов. Сколько граммов
весит предмет, если стрелка остановилась напротив деления,
обозначенного буквой?
187
A FE DC
0 0,1 0.2 0,3 0,4 0,S
Рис. 4.24
874. Начерти числовой луч. Отметь на нем точки, которые соответ-
ствуют числам 0,02; 0,13; 0,19; 0,24; 0,3; 0,35.
875. Точке А на числовом луче соответствует число 5,14. Какие
натуральные числа расположены слева от точки Д?
876. Назови показания измерительного прибора, если стрелка его
шкалы остановится на делениях Д. В, С, D, Е или F
(рис. 4.24).
4.8. Сравнение десятичных дробей
Каким знаком (>, < или = ) следует заменить вопро-
сительный знак между десятичными дробями на рисунке?
Для ответа на этот вопрос нужно научиться сравнивать
десятичные дроби.
Сначала сравним десятичные дроби, которые отличаются
только числом нулей на конце дробной части, например 2,3 и
2,300. Предположим, что они выражают некоторую длину в
метрах. В этом случае 2.3 м = 2-^ м = 2 м 3 дм; 2,300 м =
= 2]^ м = 2м 300 мм = 2 м 3 дм, так как 300 мм = 3 дм. Та-
ким образом получается, что 2,3 = 2,300. Рассуждая так, мож-
но показать, что 32.45=32.450; 1,010=1,01000; 0,5=0.500
и т. д. Вообще, если к десятичной дроби справа приписать
один или несколько нулей, то значение дроби не изменится.
Обратно, если десятичная дробь оканчивается нулями, то
эти нули можно отбросить; значение дроби от этого не изме-
нится.
Из сказанного следует, что любое натуральное число можно
записать десятичной дробью, десятичные знаки которой — нули.
Например, 5=5,00; 5 = 5,000; 10=10,000; 99=99,0 и т. д.
Вернемся к сравнению двух любых десятичных дробей.
Сначала необходимо сравнить их целые части как натуральные
числа (или нуль): из двух десятичных дробей больше та. у ко-
торой больше целая часть. Например, 13,78 > 12,952, так как
13> 12.
Если же целые части сравниваемых дробей равны между со-
бой, то сравнивают их десятые доли: из двух десятичных дробей
с одной и той же целой частью больше та, у которой число деся-
тых долей больше. Например, 13,51 > 13,48, так как при равен-
стве целых частей в первой дроби 5 десятых, а во второй 4 деся-
тых (рис. 4.25).
Если у двух десятичных дробей равны целые части и деся-
тые, то сравнивают сотые и т. д. Если две десятичные дроби
имеют равные целые части, равные десятые, равные сотые, рав-
ные тысячные и т. д. до конца, то эти дроби равны между собой.
13,-
13,51
13,6
Рис. 4.25
189
Равным десятичным дробям на числовом луче соответствует од-
на и та же точка.
А теперь попробуй ответить на вопрос, который был постав-
лен в самом начале этого параграфа: каким знаком (>, < или
= ) следует заменить вопросительный знак на рисунке?
877. 1) Запиши в тетради две десятичные дроби.
2) Прочти текст и определи, какая из десятичных дробей,
написанных тобою, больше.
878. Какая точка на рисунке 4.20 соответствует большему числу:
А или Е? F или fi? (1 или D? С или D?
879. Какой знак (> или <) нужно поставить вместо звездочек,
чтобы предложение было верным:
I) 3.8 *2,8 2) 6,20*9,2 3) 5.407*5,472
0,50*0,6 0,76*0,9 0,3100*0,311
880. Как можно записать числа короче:
0,60; 3.400; 5,020; 14,50000; 100,1010; 5,0100?
881. Расположи десятичные дроби в порядке возрастания:
1) 0,202; 2,202; 0,0202; 202; 0,222; 2,02;
2) 7,25 7,05; 5,05; 4.001; 4,01; 4.1; 5,005.
882. Расположи десятичные дроби в порядке убывания:
I) 0,5005; 5,05; 0,0505; 505; 0,505; 5,505;
2) 10,001; 1,111, 1,11; 1,212; 1,202; 1,221; 10,101.
883. Назови четыре десятичные дроби, которые на числовом луче
расположены между числами 5 и 6,2.
884. Назови все натуральные числа, которые на числовом луче
расположены между числами:
1) 0,7 и 5,03; 2) 7,92 и 15,3; 3) 96,154 и 100,89.
190
885. Найди все натуральные числа х, удовлетворяющие нера-
венству:
I) 1,2<х<3,1; 2) 0.7<х<6,8; 3) 38.5<х<41.01.
886. Запиши три десятичные дроби, расположенные на числовом
луче между дробями: 1) 5,1 и 5,2; 2) 0,7 и 0.8.
887. Замени звездочку такой цифрой, чтобы неравенство было
верным. Перечисли все возможности:
I) 3.0* >3.07
5.2* >5.2
2) 4.72 < 4.*3
1,567 >1,5*7
3) 7,*6>7,76
3.8*5 <3,841
888*. Вычеркни в числе 30,001070 три нуля так. чтобы получилось
возможно большее число.
889*. Напиши шесть десятичных дробей, у которых целая часть
равна 67. а дробная часть каждого числа составлена из четы-
рех различных цифр: 1,2, 3, 4. Расположи эти дроби в порядке
возрастания.
890*. Напиши все десятичные дроби, у которых целая часть равна 5,
а дробная содержит 3 десятичных знака, записанных циф-
рами 6 и 7. Расположи эти дроби в порядке убывания.
4.9. Округление десятичных дробей
4,738
Рис. 4.26
Ты уже изучал округление натуральных чисел (§ 1.3). На
практике часто бывает необходимо округлить десятичные дроби.
Рассмотрим, например, дробь 4,738 и округлим ее до сотых.
Отбросим в этой дроби цифру 8, стоя-
щую после разряда сотых. Получим 4,73.
Увеличим последнюю цифру числа 4,73 на
единицу. Получим 4,74. Данное число 4,738
заключено между числами 4,73 и 4,74
(рис. 4.26). Так как число 4,738 ближе к числу 4,74, чем к
числу 4,73 (см. рис. 4.26), то результатом округления данного
числа до сотых считают число 4,74. Записывают: 4,738»4,74.
Если число 4,738 округлить до десятых, то в результате по-
лучим 4,7. Это записывают так: 4,738» 4,7.
Вообще, при округлении десятичной дроби до разряда еди-
ниц, десятых, сотых и т. д. поступают следующим образом:
I) отбрасывают все цифры, стоящие за этим разрядом спра-
ва;
2) последнюю из оставшихся цифр не меняют, если первая
из отбрасываемых цифр О, I, 2, 3 или 4; последнюю из оставших-
ся цифр увеличивают на I, если первая из отбрасываемых цифр
5, 6, 7, 8 или 9.
Пример 1.
1) 31,9617» 31,97-округлили до сотых;
2) 15,678|2» 15,678 округлили до тысячных;
3) 0,6153» 0,7— округлили до десятых;
4) 12, |32« 12— округлили до единиц.
Если при округлении десятичной дроби последней из остав-
шихся цифрой в дробной части окажется 0, то отбрасывать
его нельзя (как мы это делали с точными числами). В этом
случае число 0 в конце дробной части показывает, до какого раз-
ряда округлено число.
Пример 2.
1) 31.9167«32,0— округлили до десятых;
2) 3,0127» 3,0 —округлили до десятых;
3) 0,7916«0,80 — округлили до сотых;
4) 13,52013« 13,520 - округлили до тысячных.
Если десятичная дробь округляется до разряда выше единиц,
то дробная часть отбрасывается, а целая часть округляется по
правилу округления натуральных чисел. Например, выполнив
округление числа 964,58 до десятков, получим: 964,58»960.
192
A.
891. I) Повтори правила округления натуральных чисел (см.
$ 1.3).
2) Повтори правила округления десятичных дробей.
892. Прочти приближенные равенства и укажи, до какого разря-
да округлены числа:
I) 14.357® 14,36 2) 9,5601 ® 9,560
14,357® 14 9,5601® 9,6
14,357® 14,4 9,5601® 10
893. Округли:
1) до единиц — 11.67; 27,5; 4,19; 200,451; 0.21; 0,789; 1.1,9.7;
2) до десятых -2,07; 3.58; 9,12; 10,09; 0,15; 13,22; 2.88; 0,94;
12,02; 5,971; 0,592; 7,0396;
3) до сотых-0,678; 0,5073; 1,423; 13,537; 89,012; 3,086;
7,0921; 0,3039; 4,597; 0,9974.
894. Из старинных русских единиц длины мы знаем версту и
сажень: 1 верста равна 1,0668 км и 1 сажень равна 2,1336 м
Округли эти числа до тысячных; сотых; десятых; единиц.
895. Округли до единиц и вычисли (устно):
1) 2,14-3,8 2) 9,6-2,1 3) 18,94-9,9 4) 12,1-3,7
4,54-8. 9 5,9 —4.5 0.24-1.2 16,5-1,1
7.24-3, 3 6.7-0.8 0.4 4-0.8 0.3-0.1
Б.
896. Длина реки Сырдарья (от истока Нарына) 3,019 тыс. км.
длина Колымы— 2,129 тыс. км, Нижней Тунгуски -
2,989 тыс. км. Округли эти числа до сотых; десятых; единиц.
897. Звездочка обозначает первую из отброшенных цифр при
округлении. Запиши вместо звездочек одну из цифр, чтобы
округление было выполнено правильно:
I) 3,57*® 3,57 2) 4.02*® 4,03 3) 11.0*® 11,0
4) 1.3л® 14 5) 100,01 ♦» 100.02 6) 6,70*®6,70
103
898. Вырази в километрах высоты: пик Коммунизма — 7495 м, ник
Победы —7439 м, Эльбрус —5602 м, Говерла — 2061 м. На-
рода-1894 м. Округли полученные числа до: 1) десятых;
2) единиц.
Для повторения
899. Вычисли (устно):
I) 25 000:25 2) 1400-120 3) 3-710 4) 9988+12
4-605 8009 + 211 6300:9 2772-762
8064:8 5208 — 308 6-110 574 + 126
900. Вычисли:
1) 385 + 817; 2) 1980 + 330; 3) 276+13 925.
901. Вычисли:
I) 3456:32:9-55; 2) 400(109-82-5938): 1000.
902. Вычисли (устно):
1) 2 кг + 300 г 2) 9 кг-4200 г 3) 7 н+ 150 кг
3 т + 700 кг 1 кг-60 г 3 т-200 кг
5 т —2400 кг 1 ц —30 кг 8 кг —80 г
903. Каким числом нужно заменить букву х, чтобы получилось
верное равенство:
I) 3 т=х кг 2) 2 т 400 кг=х кг 3) 3000 кг=х ц
5 ц=х кг 5 кг 750 г=х г 350 000 кг = х т
6 т=х ц 9 ц 9 кг=х кг 900 ц=х т
904. С одного поля собрали 12 т 800 кг картофеля, с другого
на 3 т 400 кг больше. Когда с каждого поля часть карто-
феля увезли, на первом поле осталось 5 т 600 кг. а на вто-
ром 8 т 300 кг. С какого поля увезли картофеля больше и на
сколько?
194
905. Чтобы закончить строительство в срок, 80 человек должны
были работать 36 дней. В действительности первые 20 дней
работало 58 человек, следующие 6 дней 90 человек. Сколько
человек должно работать в оставшиеся дни, чтобы закон-
чить строительство своевременно? (Сделаем прел положение,
что темп работы у всех был одинаковым.)
4.10. Сложение десятичных дробей
Ты уже знаешь, что десятичные дроби записываются по тому
же принципу, что и натуральные числа. Поэтому и сложение де
сятичных дробей выполняется по схеме сложения натуоальных
чисел.
При сложении десятичные дроби записываются «столби-
ком» — одна под другой так, чтобы одноименные разряды стоя-
ли друг под другом (при этом и запятые окажутся в пдчом
столбце). Складывают десятичные дроби так же. хак и на
туральные числа, не обращая внимания на запятые В сумме
ставят запятую под запятыми в слагаемых.
5,47 . 52,75 * 2>к,6 + №,632 . 5,4 i . 32,75 + 32,6 R3,632 И f ПРАВИЛЬН^Л " ПРАВИЛЬНО Д КУ?
Пример 1.
2,65 Объяснение.
.3,24 Пять сотых плюс 4 сотых равно 9 сотым —
5,89 пишем 9.
6 десятых плюс 2 десятых равно 8 десятым —
пишем 8.
Дробную часть мы сложили, значит, в сумме ставим запятую
перед цифрой 8 и начинаем складывать целую часть: 2 единицы
плюс 3 единицы равно 5 единицам — пишем 5.
Получили ответ 5,89. В этом примере ни в одном разряде
сумма не превысила числа 9. Теперь рассмотрим более слож-
ный пример.
Пример 2.
Ill Объяснение.
25,971 I тысячная плюс 7 тысячных равно 8 тысяч-
9,457 ным — пишем 8.
35,428 7 сотых плюс 5 сотых равно 12 сотым, или 1 де-
сятой и 2 сотым. Записываем 2 сотых, а 1 десятую
запоминаем или надписываем над десятыми.
I десятая плюс 9 десятых плюс 4 десятых равно 14 десятым,
или I единице и 4 десятым. Пишем 4 десятых, а 1 единицу запо-
минаем или надписываем над единицами. Сложение дробной
части закончено, поставим перед десятыми (перед цифрой 4)
запятую.
Считаем дальше: 1 единица плюс 5 единиц плюс 9 единиц
равно 15 единицам, или I десятку и 5 единицам. Записываем
5 единиц, а 1 десяток запоминаем или надписываем над десят-
ками.
I десяток плюс 2 десятка равно 3 десяткам — пишем 3.
Ответ. 35.428.
Если слагаемые имеют разное число десятичных знаков, то
к слагаемому с меньшим числом десятичных знаков можно при-
писать необходимое число нулей.
196
Пример 3. 0.567+14,8 = 0,5674-14.800
0,567 Объясни, как это вычисление выполнено!
+14,800
15,367
Замечание. Если сложение десятичных дробей ты уже
усвоил, то недостающие нули лучше <приписывать» только
мысленно, а не письменно.
При сложении десятичных дробей сохраняются перемести-
тельный и сочетательный законы сложения:
a + ft = t» + a
(a + ft)+c = o + (i> + c)
Сформулируй эти законы!
А.
906. Вычисли (устно):
I) 3 + 0,3 2) 0.2 + 0.3 3) 0,01+0,01 4) 0,23 + 0.71
5 + 0,75 0,4+0.5 0,07+0,02 0,56 + 0,42
0.81 + 1 0,2 + 0.6 0,03 + 0,04 0,37 + 0.21
907. Вычисли (устно):
I) 0.007 + 0,02 2) 0,12 + 0,4
0.005 + 0.04 0,5 + 0.41
0,003 + 0,02 0,76 + 0,2
3) 0,1+0,01 4) 0,2+0,401
0,01+0,001 0,31+0,6
0,02 + 0,004 0,48 + 0,007
908. Прибавь (устно):
1) по 0,1 к числам, начиная с 1,2 до 2,1;
2) по 0,2 к числам, начиная с 3.3 до 4,5.
197
909. Объясни, какие законы сложения использованы в следующих
примерах:
I) 17 + 4.97 = 17+(4 + 0,97)=(17+4)+0,97 = 21+0,97 =
=21.97;
2) 5,16 + 7,02=(5+0,16)+(7+0,02)=(5 + 7)+(0,16 +
+ 0,02)= 12+0,18 = 12,18.
910. Вычисли (устно):
1) 5,2 + 2,4 2) 5,8 + 2,2 3) 3,5 + 7 4) 8+14,6
3,7 + 6,1 4,9+6,1 8 + 2,97 5,9 + 7
4,3 + 7,5 3,5+4,5 15+2,08 21+4,6
911. Как удобнее сложить:
3,2 + 7,45+ 0?8=(3,2+ 7,45)+0,8 или
3.2 + 7,45 + 0,8 = (3.2 + 0,8)+7,45?
912. Вычисли (устно) наиболее удобным способом:
1) 5 + 3,8+1.2
15,4 + 4+0,6
1,25 + 4,5 + 3,75
913. Вычисли:
I) 2,46 + 5,23
4,78 + 23,11
56,8+8,7
2) 0,8 + 0,7+0,2
4,5 + 2,5 + 2,18
4,8+1,9 + 3,1
2) 25,02+132,5
37,49+0,15
138,756+1,32
3) 4,3+5,6+ 2,7
8,37 + 4,9+5.1
2,85 + 4,3 + 0.15
J Я
3) 78,93+26
0,56 + 0,821
615 + 31,27
4) 0,03 + 1,17+5 5)
100,01+0,052+1,05
64 + 3,084+15,62
2,346 + 0,597 + 72,07
23.5893 + 345,6731 +0.0026
1,9 + 39,1+234,3 + 0,8
6) 78,086 + 1206,15 + 475 + 0,804
0,9 + 0,99 + 9,999 + 9999 + 99,9
17 608,1 +19,307 + 0,003 + 54,89
198
914. Вычисли значение выражения 12.37 4-а. если а равно 1,09.
2,07; 11,43; 0,13; 6,739. Округли ответ до десятых
915. Увеличь число 2495,989 на 58,49.
916, Из рулона ткани в первый день продали 12,52 м, во второй
день еще 26,7 м, а в третий день 19 м. Остались непродан-
ными 2,48 м. Сколько метров ткани было в рулоне?
917. Из семейного бюджета за месяц нужно было выплатить за
квартиру 15,52 р., за воду и канализацию 0,63 р., за электри-
чество 6.48 р., за гараж 8,9 р. Вычисли общую сумму этих
расходов семейного бюджета.
918. 4 октября 1957 года в Советском Союзе был запущен первый
искусственный спутник Земли массой 83,6 кг. Вычисли массу
второго спутника Земли вместе с аппаратурой и собакой
Лайкой (который стартовал в СССР 3 ноября 1957 года),
если его масса была на 424,7 кг больше массы первого
спутника.
919. Ученики 4 А класса собрали 213,7 кг металлолома, а 4 Б
на 5,8 кг больше. Сколько килограммов металлолома собра-
ли оба класса? Ответ округли до единиц.
920. Начерти произвольный треугольник, измерь его стороны и вы-
числи периметр.
921. Измерь в сантиметрах стороны четырехугольника, изобра-
женного на рисунке 4.27, и вычисли его периметр.
922. Какова площадь приусадебного участка, если постройками
занято 0,01 га, садом—0,08 га и двором— оставшиеся
0,03 га?
Б.
923. Вычисли, ответ округли до сотых:
1) 1.78654 + 0,0809 + 5.2004 7+0,00809:
2) 76.501 +0.433099 + 6.234-0,02001.
924. Две бригады укладывают асфальт на шоссе, двигаясь друг
другу навстречу. Когда первая бригада уложила 7,08 км
асфальта, а вторая на 1,34 км больше, то до их встречи
осталось 0,7 км. Какова длина асфальтируемого участка
пути?
925. Составь и реши задачу на сложение десятичных дробей.
926. Найди недостающие числа в цепи вычислений:
1>26 4-5,49 , х + 10,098 у +19,4 г .
927*. Поставь вместо звездочек цифры:
*,8*4
14,72*
*0,*84
2) 59.27
+ **,45
78,* 3
182,1*
200
Для повторения
928. Повтори материал учебника и ответь на вопросы (пользуйся
предметным указателем):
1) Что показывает знаменатель и что — числитель дроби?
2) Какая дробь называется неправильной?
3) Из каких частей состоит десятичная дробь?
4) Чему равняется площадь квадрата?
929. Вычисли (устно):
1) 240-206 2) 72-34-12 3) 43-254-37
560-9 1684-42-58 512-360-112
784-83 694-94-200 674-59-27
930. Вычисли:
1) 78 056 — 4 098
567 987-93 647
) k 43 000-S6S
931. Реши уравнение:
1) *4-74 321 = 150 000
864 4-0=3211
«/4-9 164 = 17 306
2) 1748 352-1267 329
57 601-18 328-864
725 400-76-98 643
2) 360 —х=49
5 124—х=214
96 000 — Ь = 95 840
932. Каким числом нужно заменить букву х, чтобы равенство бы-
ло верным?
1) 19 дм2=х см2
56 см2 = х м2
40 000 см2 = х м2
2) 62 га = х м1 2
5900 дм2 = х м2
200 000 м2 = х га
933. Одна сторона картонного листа прямоугольной формы 90 см.
а другая в 3 раза короче. От этого картона отрезали квад-
рат наибольшей площади. Какова площадь оставшегося кус-
ка картона?
201
4.11. Вычитание десятичных дробей
Вычитание десятичных дробей выполняется по схеме вычи-
тания натуральных чисел. Вычитаемое записывают под умень-
шаемым так. чтобы запятая оказалась под запятой. Затем про-
изводя г вычитание, не обращая внимания на запятую. В раз-
ности ставят запятую под запятыми в уменьшаемом и вычн-
таемсм
Пример I.
_З.У7 Объяснение.
_2.г>2 7 сотых минус 2 сотых равно 5 сотым — пишем 5.
1.45 9 десятых минус 5 десятых равно 4 десятым —пи-
шем 4. Дробную часть вычли, поэтому перед де-
сятыми (перед цифрой 4) ставим запятую. Далее вычитаем
целую часы 3 единицы минус 2 единицы равно I единице —
пишем 1.
О вет. 1,45. Для проверки можем сложить разность с вы-
читаемым. Что тогда должны получить?
Пример 2.
_ 19,327 Объяснение.
6,418 Из 7 тысячных нельзя вычесть 8 тысячных.
12.909 поэтому берем из 2 сотых уменьшаемого одну со-
тую, раздробляем ее в тысячные (чтобы запомнить
это. над сотыми ставим точку). Так получается 17 тысячных.
Вычитаем из 17 тысячных 8 тысячных, получаем 9 тысячных —
пишем 9, I сотая минус 1 сотая равно 0 сотых — пишем 0.
Из 3 десятых нельзя вычесть 4 десятых, поэтому из 9 берем
I единицу, дробим ее в десятые. Получим 13 десятых, из которых
вычитаем 4 десятых. Получаем 9 десятых пишем 9. Перед
полученной цифрой 9 ставим запятую.
8 единиц минус 6 единиц равно 2 единицам — пишем 2.
1 десяток минус 0 десятков равно 1 десятку — пишем 1.
Ответ. 12,909.
202
Если уменьшаемое и вычитаемое имеют разное число знаков
после запятой, то можно приписать необходимое число нулей.
Пример 3. 32.5-3.673 = 32.500-3.673.
32,500 Объясни, как это вычитание выполнено!
~ 3,673
28.827
Пример 4. 56-55,48 = 56,00-55,48
56,00 Объясни это вычисление!
55,48
0.52
Замечание. Если ты усвоил вычитание десятичных дробей,
то «приписывай» недостающие нули мысленно.
А.
934. Вычисли (устно):
1) 3,75-2 2) 0.8-0.6 3)0.09-0.03 4) 1 -0,3
4,65-3 0.9-0,5 0,17-0,02 5 — 0,8
12,695-10 6,5-0.4 0.86-0,42 3-0,6
935. Вычисли (устно):
I) 5.6-1.5 2) 15,8-3,4 3) 3,25-2,1 4) 6.25-5.14
2,8-1.7 25,6-2,5 7,89-2,7 4,67-2.17
4,9-2,5 7,9-5,9 9,36-4.3 6,49-3,38
936. Вычисли:
1) 7,21-3.964 2 ) 400-16,82 3)'70.1 -38,04
256,3-85,27 3541-832,8 555-55.55
3,9—0,075 753 — 0,84 2960.506-3.49
0.907-0,0864 1000-890.7 0,67-0,0999
15,1-15,098 231-30,49 3,2005-2,399
203
937. Проверь сложением, какие и
I) 52.007-19.089 = 32.918
27,35-2.07=25.29
38-3,6276=1.724
следующих равенств верны:
2) 0,6071—0.0982=0.6089
2391,067-2390,167 = 0.9
0.7856-0.0967=0,7889
938. Вычисли:
I) 137.85-24-4,986;
2) 17 643.2-17 596,9-10.673;
3) 99,09-9,909-0.009;
4) 725-710.91-5.85-6.3.
939. Найди разность 19,67 —а, если а равно 2,053; 3,99; 4,74.
Округли ответ до десятых.
940. Вычисли значение выражения т — 3,067, если т равно 4,63;
3,162; 5; 7,9; 16,956. Округли ответ до сотых.
941. Уменьши число 137,4 на 19,59.
942. На сколько 2,057 больше, чем 1,9?
943. На сколько 31,2 меньше, чем 42,75?
944. Реши уравнение:
I) х+2,3=4,7 2) х—0.2=0.12 3) 1 — х = 0,999
х 4-4,6=5,8 28 —х= 13,4 187.3—х= 146.38
6,9 4-х = 8,2 0.0156 4-х = 0.02 х - 0,5971 = 1.0089
945. Яблоки вместе с ящиком весят 32,7 кг. Сколько килограммов
весят яблоки, если ящик весит 1,8 кг?
946. От металлической трубы длиной 8.84 м отрезали сначала ку-
сок длиной 1,96 м. затем еще кусок длиной 2,17 м. Какова
длина оставшегося куска трубы?
947. Наибольшая глубина Черного моря достигает 2,21 км, а
наибольшая глубина Балтийского моря на 1,74 км меньше.
Какова наибольшая глубина Балтийского моря?
948. Одна бригада рыбаков выловила 5,26 т рыбы, а другая
на 1,37 т меньше. Сколько тонн рыбы выловили обе
бригады?
204
А--------------------------5
с_________________о
Рис. 4.28 ' 1
949. Средний урожай зерновых в колхозе составил 38,4 ц с га,
что было на 7,9 ц больше, чем в соседнем колхозе. Какой
средний урожай зерновых с гектара получил соседний
колхоз?
950. На сколько сантиметров отрезок АН длиннее отрезка CD
(рис. 4.28)?
951. Одна сторона треугольника 47,6 см, другая на 5,9 см короче
первой, а третья на 3,7 см короче второй. Вычисли периметр
треугольника.
Б.
952. Прикинь результат, округлив данные до единиц. Затем вы-
числи точный ответ:
I) 17,8009-5,49-0,307 —2,0109;
2) 400 -3,479 - 386,0004 - 7.4 - 0,072.
953. Вычисли значение выражения х— у — 4.8, если:
I) №9.87 7 = 0,394:
2) х = 30. у = 14,38.
954. Площадь озера Байкал 31,5 тыс. км2. Ладожского на
13,4 тыс. км2 меньше площади Байкала, а площадь Онеж-
ского озера на 8,38 тыс. км2 меньше, чем площадь Ладожского
озера. Вычисли площадь Онежского озера.
955. Реши уравнение:
1) 0,9009 - 0,0909 - 0.009+№ 1;
2) х+ 1279.5643 -768.6004 = 511.0039.
205
956. Марафон и 10 000 м—самые длинные дистанции бега на
Олимпийских играх. Какая из этих дистанций длиннее и на
сколько5 Недостающие в задаче данные найди сам в спра-
вочной литературе.
957. Составь и реши задачу на вычитание десятичных дробей.
958. Найди К1сла х, у, г, т в цепи вычислений:
ой пн --14.154 -0.82 -7.34 -0.014 т
28.0b---------► х------► у-------► г т
959. Шимпагзе Беппо, стоя на земле, может рукой достать банан,
который висит не выше 1,84 м. Для того чтобы достать банан,
который висит на высоте 4,64 м, Беппо взял двухметровую
палку, но до банана не дотянулся. На сколько нужно удлинить
эту палку?
4.12. Задачи на сложение и вычитание
десятичных дробей
А.
960. Вычисли (устно):
I) 7,4 4-3,2 2) 18.64-4.2 3) 15.34-20.2
5.94-0.3 3.34-15 3.154-10.43
2,65+0.25 7,25 + 2,1 5,02 + 4.8
9.5— 4.3 7,19-7.08 17-1.3
7.5-0,6 0.863-0,563 59.1-27
30,2-20.2 7.25-3,05 17,5-0.7
1,37 + 3,7 4-0,9 1-0,12
961. Вычисли:
I) 3.45 + 2.07-4,89 2) 473.8-29.64 + 548.84
39,797 + 99,09 - 100,01 4000 - 887,5 - 1832.32 + 39,47
567 + 48,9 - 493.01 15.892 + 0.0706 + 287
11.6-6,7+9.65 368,5—47.73 + 5.972
206
962. Округли все данные до десятых и дай приближенный ответ-
1) 37.895 + 471.3 + 5.05 2 ) 0.98 + 0.0721-0,345
3) 1864.2 - 3.86 - 876,453 4 ) 96 327.56 - 92 694.704 + 3.11
963. Вычисли:
495,6-(11.9 + 275)
(5,3 + 2,7)-(1.4 + 2.6)
I) 16.52-(4,9+10.95)
4.2-(0.98+1,75)
'2) (37.5 - 8.609)-(3,27 + 0,078)
57+(20,78 - 5.069)- (5.6 + 2,37)
76,309 + 407,251 - (156,003-39,6)
34.008-(27,3-5.48)+8,312
964. Из суммы чисел 14,65 и 8,07 вычти разность этих же чисел.
965. Прибавь к сумме чисел 237,69 и 191,456 разность этих же
чисел.
966. Из числа 19,67 вычти сумму чисел 3,91 и 8.
967. Реши уравнение:
I) 48,36 + х=78,5 2) v-7,36 = 3,04 3) 9-(/=1.5
// + 0,896-1,07 а-0,07-1.5 0.74 -х=0.25
968. Увеличь число с на 3,27. Вычисли, если с равно 4,95; 1,092;
0,03.
969. Из числа 19,67 вычти сумму чисел а и 3,7. Вычисли, если
а равно 0,31; 1,6; 12,493.
970. К числу 18,5 прибавь разность чисел х и 4,6. Вычисли, если
х равно 5; 16,7; 156,07.
971. Из числа b вычти разность чисел 1.9 и 0,87. Вычисли, если
b равно 1,03; 2,1; 3.
972. К началу 1986 года в Узбекской ССР проживало 18,487 млн.,
в Киргизской ССР —4.051 млн., в Таджикской ССР-
4,648 млн. и в Туркменской ССР —3,270 млн. человек.
На сколько меньше (больше) человек проживало в
Узбекской ССР, чем в других названных республиках
вместе?
207
973. Два ящика вместе с яблоками весили 44,8 кг. В одном
ящике было 20 кг яблок. Сколько килограммов яблок было
в другом ящике, если оба ящика вместе весили 4,6 кг?
974. В один бурт было заложено 12,7 т картофеля, а в другой
8.9 т. На семена было отобрано 7,1 т, на корм скоту 3.9 т,
а остальной картофель продали на рынке. Сколько тонн кар-
тофеля продали?
975. Во время двухдневного автомобильного пробега в первый день
проехали 238,4 км, а во второй на 52,6 км меньше, чем в
первый. Какой длины был пробег?
/976. Скорость движения лодки в стоячей воде 3.2 км/ч, а скорость
течение реки 1,8 км/ч. Вычисли скорость лодки по течению и
против течения.
1977. Скорость движения катера по течению реки 18,7 км/ч, а ско-
рость течения реки 2,7 км/ч. Вычисли скорость катера в
стоячей воде.
‘978. Скорость движения катера против течения реки 19,5 км/ч,
а скорость течения реки 1,6 км/ч. Вычисли скорость катера
в стоячей воде и скорость его по течению реки.
208
Рис. 4.29 Q
©
979. Какова длина третьей стороны треугольника, если одна сто-
рона 18,7 см, вторая 13,6 см и периметр 42,9 см?
980. Сделай необходимые измерения на рисунке 4.29 и вычисли
периметры фигур.
Б.
981. Вычисли:
И) 44 928:64 - 218 - 55,094-2,715:
-2) 308-52-(15 274-44,32);
3 ) 89.1-32,5634-35-24-16,92;
4) 50 800:404-958.37-43-50;
5) 71-(3030:15-181,15)4-5,85.
982. Юра купил в магазине сахара на 1 р. 26 к., сыра на 97 к.,
конфет на 36 к. и 2 кг муки по 41 к. за килограмм. Кассиру
он дал 5 р. Какую сдачу получил Юра?
983 На дно реки забили бетонные столбы высотой 9,6 м так, что
3,4 м было в земле, а 1,8 м - над водой. Какова глубина реки
в этом месте?
984. Соревнование велосипедистов проходило на трассе, состояв-
шей из трех участков. Длина первого участка 37,84 км, второ-
го на 3,8 км меньше первого, а третий участок на 9,88 км длин-
нее второго. Вычисли длину трассы.
985. Найди недостающие числа в цепи вычислений:
100 87.6 ~12,9. » 67.1
209
986. В трех ящиках 148,9 кг гвоздей. В первом и во втором ящиках
вместе 98,6 кг, во втором и третьем вместе 96,9 кг. Сколько
килограммов гвоздей в каждом ящике?
Для повторения
987. Вычисли (устно):
1) 10-27 2) 1000-327 3) 4500-10
372-10 56-10000 708-1000
100-17 100-450 10 000-50
988. Вычисли:
1) 32-67 2) 137-256 3) 700-38 4) 560-320
49-48 191-695 509-421 57-3000
27-152 84-390 850-74 29-4007
989. Вычисли:
1) (1792—1632)-21:30; 2) 20 435:674-21-45.
990. Реши уравнение:
1) х:32=41 2) 32х=64 3) 42:х = 2
4) х:456=11 5) 121х=1331 6) 1862:х=49
210
991. За два дня велосипедист проехал с постоянной скоростью
228 км. В первый день он был в пути 7 ч, во второй 5 ч. На
сколько километров меньше проехал велосипедист во второй
день, чем в первый?
992. Большой и маленький Вася живут в одном доме и учатся в од-
ной школе. Маленький Вася идет до школы 30 мин, а большой
20 мин. Поэтому маленький Вася выходит из дома на 5 мин
раньше большого. Через сколько минут после своего выхода
из дома большой Вася догонит маленького?
Для самопроверки
993. Объясни, что означают числитель и знаменатель обыкновен-
ной дроби.
994. Объясни, что означают дроби:
1 . 2 . I . 7 . I . 45 . 123
Т’ Т’ ТО’ ТО’ "ТОО"’ ТОО’’ Т000 ’
995. Какая дробь называется правильной, какая неправильной?
996. Что больше: I) !| или §; 2) Н или А; 3) Л или 1:
4) или 1? (Почему? Объясни.)
997. Вычисли:
97 . 36
100 100 '
1)
’ 36 36 •
2) 3)
998. Выдели целую и дробную части числа:
п 57. о» 264 31 218
15' 34 ' 100 ‘
999. Перечисли известные тебе единицы длины, массы, времени,
площади, а также денежные единицы и единицы измерения
углов. Какие из’ них принадлежат метрической системе?
1000. Вырази в сантиметрах: 4 мм, 6 мм, 5 дм, 9 дм 2 см, 6 м,
2 м 8 дм.
211
1001. Вырази в метрах: 3 см, 8 см, 2 дм, 4 дм, 3 м 8 дм, 6 м 2 см.
5 км, 14 км.
1002. Вырази в квадратных сантиметрах: 4 дм2, 18 дм2, 6 дм2 40 см2,
3 м2, 8 м2.
10Q3. Вырази в килограммах: 35000 г, 200000 г, 12 ц, 300 ц, 5 т
1004. Расположи десятичные дроби в порядке возрастания:
5,6; 7,6; 0,7; 0,02; 5,06.
1005. Расположи десятичные дроби в порядке убывания:
1,2; 0,7008; 0.708; 1,094; 1,084.
1006. Вычисли (устно):
7.5+ 3.2 2) 0,712-0,302 3) 12-0,4
28,4-5,1 4,6+ 2.8 5-0,05
0,35 + 0.25 5.3+ 8.7 15 + 4,82
0.8-0.2+0.3 3.2+ 0.5-2.7 1.2-0,1-0.9
1007. Вычисли:
1) 37,488+159,912
637 - 49.56
0,53 - 0,245
2) 3.076+17+105,93
1279.005-389.427-24,6
0,0907 + 72+ 14,645
1008. Вычисли:
I) 3270,089 + 2110,1
327,49 + 279.15
6948.0021 -3456,99
2) 4958.0795-292.29
34.999 + 278.991
621.1-427.895
Сумму проверь вычитанием, а разность сложением.
1009. Вычисли:
И) 241,1—(16,7-2,41)+11,9;
*2 ) (1956 —421.28)—(678.4 —29);
3) (34 • 48 - 927,57)-(16 200; 40 + 28,4);
4) 15 060:30-47.38 + 24-39-624,52.
212
1010. Округли до сотых:
1) 4,7856; 2) 2,603; 3) 0,9372.
1011. Реши уравнение:
I) 32,74-х = 47.6; 2) х-27,5 = 38.1; 3) 137-х = 42,56.
1012. Металлическую балку длиной 6,85 м разрезали на две части.
Длина одной части была 2,96 м. На сколько метров Вторая
часть оказалась длиннее первой?
1013. Одна сторона треугольной площадки 98,4 м, а вторая короче
ее на 18,9 м. Вычисли третью сторону площадки, если ее
периметр 342 м.
1014. Общая масса трех кочанов капусты, представленных на вы-
ставке. 25,67 кг. Один из кочанов весил 6,87 кг, другой на
1,55 кг больше. Сколько весил третий кочан капусты?
1015. Скорость моторной лодки в стоячей воде 15,7 км/ч, скорость
течения реки 2,1 км/ч. Вычисли скорость лодки по течению
* и против течения реки.
5 Умножение и деление
десятичных дробей
5.1. Умножение десятичных дробей
Мы уже решали различные задачи, в которых приходилось
выполнять умножение натуральных чисел. Например, находили
площадь прямоугольника, зная длины его сторон; длину пути,
когда были известны скорость и время, и др. В этих задачах
встречались только натуральные числа. Длй того, чтобы такие
задачи можно было решить и в случае, если среди данных име-
ются десятичные дроби, необходимо сформулировать подхо-
дящее правило умножения десятичных дробей.
Пример I. Стороны прямоугольника 3,2 см и 4,8 см. Вы-
числим его площадь.
Решение. Решим эту задачу, используя правило умно-
жения натуральных чисел. Для этого выразим данные в
миллиметрах: 3,2 см =32 мм и 4,8 см = 48 мм. Длины сторон
прямоугольника выражены теперь натуральными числами,
поэтому его площадь найдем, перемножив эти числа:
32-48=1536 (мм2).
Выразим полученную площадь в квадратных сантиметрах.
Так как . . „
1 см2 = 100 мм', то 1 мм —-Joo см
и, следовательно,
1536 mm"=JSS CU"”I5W ™!=IS.36 см".
Ответ. Площадь прямоугольника 15,36 см2.
214
Этот же результат можно получить проще, если выполнить
умножение десятичных дробей по следующему правилу:
I) не обращая внимания на запятые, выполнить умножение
натуральных чисел;
2) в полученном результате отделить справа запятой столь-
ко десятичных знаков, сколько их содержится в обоих мно-
жителях вместе.
Умножим по этому правилу 3,2 на 4,8 (см. пример I).
Получим:
3,2 Объяснение. Выполнив умножение, не об-
а4,8 ращая внимания на запятую, получим 1536. В обоих
256 множителях вместе после запятой 2 десятичных
128 знака. Поэтому в результате нужно отделить запя-
15 36 т°й спРава тоже 2 знака. Получим: 15,36. Как ви-
дим, ответ тот же, что и раньше.
Замечание. При умножении нет необходимости подпи-
сывать «запятую под запятой>.
Пример 2.
12,13 1213-9=10 917, и во множителях вместе 3 де-
0,9 сятичных знака, поэтому в произведении отделе-
10,917 но 3 знака.
Может случиться, что в полученном произведении натураль-
ных чисел будет меньше цифр, чем их нужно отделить запятой.
Тогда слева нужно приписать необходимое число нулей.
Пример 3.
0,056 Объяснение. Произведение чисел 56 и 105 рав-
1-05 но 5880. В множителях 0,056 и 1,05 вместе 5 деся-
280 тичных знаков. Чтобы отделить столько знаков,
56 нужно к произведению чисел 56 и 105 слева при-
11 Q5880 писать еще нуль: 0,05880.
Ответ: 0,0588.
215
Пример 4.
0,27 27-32 = 864, и в дробных множителях вместе 6
А0,0032 десятичных знаков. В произведении отделяем 6
54 знаков.
81
0,000864
По этому же правилу умножаем и десятичную дробь на
натуральное число, так как натуральное число можно рас-
сматривать как десятичную дробь, все десятичные знаки
которой - нули.
Пример 5.
у0,72 72-37 = 2664, и в множителях вместе два де-
37 сятнчных знака. В произведении отделяем справа
504 2 знака.
216
26,64
Можно убедиться, что при умножении десятичных дробей
остаются в силе все ранее изученные законы умножения.
Переместительный закон: a-b = b-a.
Сочетательный закон: (а-б)-с = а-(Л-с).
Распределительный закон: (а-}-Ь)-с = а-с 4-b-с.
Сформулируй эти законы, убедись в их справедливости:
1,2-0,5 = 0.6 и 0.5-1.2=0.6;
(J .2-0.5)-1,5 = 0.6-1,5 = 0.9 и 1,2(0,5-1.5) = 1,2-0,75 = 0,9;
0,2(3,24-1,4) = 0.2-4.6 = 0,92 и
0.2 • 3.2 4- 0.2 -1,4 = 0,64 4- 0,28=0.92.
Л
1016. Прочти текст и расскажи, как умножаются десятичные дроби.
1017. Подсчитай, сколько десятичных знаков будет в каждом произ-
ведении, и вычисли эти произведения:
1) 5.38-0,7; 2) 0.034-6.17; 3) 4,302-5,6.
216
1018. Вычисли (устно):
1) 6-0.6 5-0,8 2) 7-0.02 5-0,06 3) 9-0,004 2-0.003 4) 3-3.2 5-1,1
5) 0.4-0.3 6) 0.5-0,08 7) 4-0,25 8) 6-0,5
0.6-0.7 0.3-0,06 8-0,15 8-2,5
1019. Вычисли:
1) 3-12,7 2) 9-0,563 3) 123-11,27 4) 0,101-113
3-32.9 29-9,11 37-1,102 42-0,0051
4-2,75 14-3.42 33.5-54 7-0,0895
1020. Вычисли:
1) 4,35-23,6 2) 0.691-0.8 3) 0,017-8800 4) 320-0,15
180-32,9 3,4-0,028 1,51 -8,3 4.07-0,99
7-0,275 20,6-4,05 40,6-0.35 0,506-421
15,2-8,6 400,8-0,36 12,08-0,09 0,017-800
1021. С помощью предметного указателя найди в учебнике правила
порядка действий и повтори их.
1022. Вычисли:
1) 17,3-0,9—0,8015
56,16 4-400,75 -0.48
86.2-15,24-4.2
3) (72-39.18)-0,07
55(0.84 4-2.76)
9,4(0,97-0.02). 0.3
2) 20,25-3.18-0.17-52
0.082-4300 4-24.5-0.6
16.3-0.85-12.4 4-24.64
4) (0,484-0.36)-4.05-1,002
(5.004 4-0.806X9-3.2)
(8,8-0,45 —2,16)-0,12
1023. Повтори, что такое квадрат числа. Вычисли:
1.7е; 0.42; 5,24*; 0,23’; 80.52.
1024. Вычисли и результат округли:
I) до десятых:
3.6- 0,78; 5,1-23,9; 2,01-1,01; 6,05-0.77;
217
2) до сотых:
32.7 -0,76; 12,6-92,93; 0,0756-1304; 0,87-0,095;
3) до единиц:
42,7-25; 0,76-21,5; 13.4-0,098; 0,02-0,376.
1025. Заполни таблицу:
а 0.07 0.9 1.2 12,76 60 142,02
8а
3.25а
1026. Найди по формуле у —3,5а — Ь значение I/. если:
I) а-0.82 и 6-2.87;
2) я-0.184 и 0=0,204.
1027. Вычисли (устно):
I) 2-3.9.0.5 2) 7.3-54-2.7-5
4-7,8-0.25 4.2-1.54-4.2-0.5
0,21 • 8 • 0.5 0,4 • 58,6 4- 58.6 • 0.6
1028. Вычисли:
1) (0.08-0.174-6.1009)-21.5-130,889;
2) 30.6-4.7(5.5-4.08-0.19);
3) 0,24(3000-2974,5)4-0,078-240.
1029. Дана формула х = 3.26 4-2с. Вычисли х. если:
I) 6 = 4,5 и с=0,8;
2) 6-0.1 и с-0,5.
1030. Найди недостающие числа в цепи вычислений:
218
1031. Стрелка показывает приближенное произведение, в котором
не поставлена запятая. Дай приближенную оценку множите-
лям и определи, где поставить запятую в произведении:
1) 3.7-5,61 —208 2) 0.52-16,7 — 87
11,1-1,49-165 10,5-0,88 - 924
0,67-120-804 0,95-0,84 — 8
1032*. Вычисли по возможности наиболее простым способом:
I) 5,94 • 0,07 4- 0,33 • 5,94 4- 0.4 • 0,06;
2) 6,85-3.2-6,85-1.74-1,5-4,15.
Самостоятельная работа 7
Тема. Умножение десятичных дробей на разрядную еди-
ницу.
I
I. Умножь следующие числа по правилу умножения деся-
тичных дробей:
1) 3,275-10, 2) 3,275-100; 3) 3,275-10 000;
4) 0,076-10; 5) 0,076-100; 6) 0,076-1000.
Для каждого примера ответь на следующие вопросы:
1) Как отличается положение запятой в полученном произ-
ведении от положения запятой в первом множителе?
2) Сколько нулей во втором множителе?
Подумай, как можно сформулировать правило умножения
десятичной дроби на разрядную единицу 10, 100, 1000.......
2. Если ты рассуждал правильно, то должен был сформули-
ровать следующее правило:
чтобы умножить десятичную дробь на разрядную едини-
цу 10; 100; 1000; надо в этой дроби перенести запятую
вправо на столько знаков, сколько нулей в записи разрядной
единицы.
219
3. Вычисли следующие произведения по правилу умножения
десятичных дробей:
237,2-0.1; 237.2-0,001; 237,2-0,0001;
200-0.1; 200-0,0001; 0,23-0,1.
Проследи за ходом рассуждении в п. I и подумай, как можно
сформулировать правило умножения десятичной дроби на раз-
рядную единицу 0,1; 0,01; 0,001; ... .
4. Если ты все правильно понял, то сформулировал такое
правило:
чтобы умножить десятичную дробь на разрядную едини-
цу 0,1; 0,01; 0,001; ... , надо в этой дроби перенести запятую
влево на столько знаков, сколько нулей в разрядной единице
(считая и нуль целых).
5. Запиши эти правила в тетрадь, пользуйся ими при вы-
числениях.
1033. Вычисли (устно):
1) 6.3-10 2) 5,389-100 3) 0,037-1000
72,35-10 0,0057-100 1,24-1000
37-10 71,4-100 72,1-1000
1034. Вычисли (устно):
I) 12-0.1 2) 56.1-0.01 3) 37.8-0.001 4) 2,2-0.1
0,05-0,1 1.256-0,01 5,8-0,001 4-0,001
2.6- 0.1 0.04-0,01 47-O.OOI 280-0,0001
1035. Вырази в метрах:
3,247 км. 0,425 км, 0,037 км, 1,6 км, 10,09 км.
1036. Вырази в миллиметрах:
3,2 см; 0,6 см; 1.3 дм; 0,03 дм; 5,21 м; 0,07 дм.
1037. Вырази в граммах:
0.2 кг; 0,03 кг; 0,027 кг; 5,075 кг.
1038. Вырази в копенках:
1,24 р.; 0,08 р.; 0.6 р.; 7,05 р.; 2,3 р.
220
Для повторения
1039. Вычисли (устно):
1) 56:4 2) 1045:5
48:16 416:4
996:3 3006:6
3) 49 + 61 4) 402
500-11 200-33
335 + 235 902
1040. Вычисли:
1) 14 480:40
5610:3
6560:32
2) 2604:124 3) 44 000:400
10 800:24 10 500:250
18 000:15 16 700:334
1041. Сколько градусов в прямого угла? в прямого угла?
в прямого угла?
1042. Начерти треугольник PRS и измерь один из его острых углов.
1043. Начерти угол в 76°.
1044. Сколько ящиков в каждом штабеле (рис. 5.1)?
Рис. 5.1
221
1045. Рабочие литейного цеха должны были к определенному срок)
изготовить 96 деталей. В первый день они изготовили у всех
деталей. Сколько деталей изготовили рабочие в первый день?
1046. После того как дети покрасили в кабинете математики 3 книж-
ные полки, выяснилось, что они покрасили -у часть имеющих-
ся в кабинете полок. Сколько всего полок в кабинете матема-
тики?
1047 Молочный бидон, наполненный молоком, весит 35 кг. Напо-
ловину заполненный тот же бидон весит 18,5 кг. Сколько весит
пустой молочный бидон?
5.2. Задачи на умножение
десятичных дробей
А.
1048. 1 м сукна стоит 18,25 р. Сколько стоят 3 м. 4 м, 0,8 м. 0,2 м
такого сукна?
,1049. I кг конфет стоит 2,2 р. Сколько стоят 2 кг, 1,5 кг, 0,45 кг,
0,75 кг. 800 г, 350 г таких конфет?
• 1050. Одна пара ботинок стоит 12,6 р. До снижения цены пара таких
ботинок стоила в 1,2 раза дороже. На сколько дороже были
эти ботинки до снижения цены?
.1051. В магазине купили ткани двуА видов: по цене 12,6 р. за метр
купили 2,75 м. а по иене 6,8 р. за метр купили 5,6 м. Сколько
сдачи получили с 80 р.?
1052. Сколько минут содержит 1 ч, 2 ч. 2,5 ч, 0,8 ч, 0,75 ч, 0,1 ч?
. 1053. Скорость автомобиля 72 км/ч. Какое расстояние пройдет ав-
томобиль за 2 ч, за 1,2 ч, за 0,8 ч?
. 1054. Чтобы накормить птенцов насекомыми, ласточка должна ле-
тать 18 ч в сутки. Сколько километров пролетит она за это
время, если скорость полета ласточки 55,2 км/ч?
222
.1055. Скорость катера в стоячей воде 15,3 км/ч, а скорость течения
реки 1,5 км/ч. Сколько километров пройдет катер за 2 ч против
течения и за 3 ч по течению реки?
•1056. Вычисли площадь прямоугольника по его длине а и ширине Ь,
если: 1) а=5,7 м и 6 = 4,2 м; 2) а = 4,35 м и 6 = 1,7 м;
3) а = 0,37 м и 6 = 28 см; 4) а = 78 см и 6 = 5,5 дм.
• 1057. Вычисли площадь и периметр прямоугольника, если одна сто-
рона его 7,85 м, а другая в 4 раза длиннее.
1058. Урожаи зерновых в колхозе с 1 га составил 30,5 ц. Сколько
центнеров зерновых собрали с 2,2 га, 4.7 га, 20,1 га, 0,64 га,
если урожай с каждого гектара был тем же?
• 1059. Длина ячменного поля прямоугольной формы 625 м, а ширина
на 177 м меньше. С этого поля собрали урожай 42,7 ц с каж-
дого гектара. Сколько центнеров ячменя собрали со всего
поля?
•1060. Площадь заповедника Аскания-Нова (Украинская ССР)
равна ПО км2, а площадь заповедника Беловежская Пу-
ща (Белорусская ССР) в 7,95 раз больше. Вычисли пло-
щадь заповедника Беловежская Пуща. Ответ округли до
единиц.
223
1061. На развитие науки в СССР за период с 1971 года ио 1975 год
было израсходовано за год в среднем 15,4 млрд, рублей. В пе-
риод же с 1981 года по 1985 год расход на развитие науки
увеличился в 1,7 раза. Сколько миллиардов рублей израсхо-
довали на развитие науки в течение последнего периода в
среднем за год? Ответ округли до десятых миллиарда.
.1062. Увеличь число 1,85 в п раз, если л равно 4,6; 15,6; 800.
.1063. Вычисли:
1) 12,01-(0,237 + 45,6)
(237,1-229.9)-11,1
32-(0.054 + 12,146)
2) 15,3-3.42-0.85 + 8.207
7,76 + 0,34-95-39,1
240-0.36-6000-0,012
• 1064. Вычисли произведение л-32, если л равно 0,01; 0,1; 0,2; 0,3;
0.9; 0,99; 1; 1,2; 3,2; 7,8; 10. Как изменится произведение,
если один множитель не меняется, а другой увеличивается?
уменьшается? При каких значениях /1 произведение меньше
(больше) постоянного множителя? равно постоянному мно-
жителю?
1065*. Известно, что а< I и Л<|. Какое из утверждений спра-
ведливо:
I) ab>\; 2) ab = \; 3) ab< I?
1066*. Известно, что и>| и 5>1. Какое из утверждений спра-
ведливо:
I) «5>1; 2) «5 = 1; 3) «5<1?
1067*. Пусть а>\ и 5<1. Верно ли, что «5<1? Верно ли, что
ab~> 1?
. 1068. Скорость катера в стоячей воде 24,6 км/ч, скорость течения
реки 2.2 км/ч. Катер отошел от пристани и пошел по течению
реки. Через 1,5 ч он повернул обратно, прошел против течения
1,5 ч и остановился. Па каком расстоянии от пристани он
остановился?
Рис. 5.2
1069. Пол имеет форму прямоугольника с размерами 4,2 и 5,1 м.
Для покраски I м2 пола требуется 0,2 кг краски; 1 кг краски
стоит 1,65 р. Поставь разумные вопросы и ответь на них.
1070. Вычисли периметры всех прямоугольников на рисунке 5.2,
если Я В = 8,3 см, ВС = 3,6 см и 4F = 4,9 см.
1071. Вычисли периметр фигуры на рисунке 5.3, если KL = КО =
= LM = 5,9 см и М\ = О\ = 6.2 см.
1072. Сторона листа картона квадратной формы равна 7.2 дм. От
каждого угла данного листа отрезали квадратики со сторо-
ной 1,2 дм. Чему равен периметр оставшегося куска карто-
на? Подумай, как проще решить эту задачу.
1073. Составь и реши задачу на умножение десятичных дробей.
1074*. С поля прямоугольной формы, размеры которого 0,06 км и
0.5 км, убрали капусту. Урожай капусты с 1 га составил
40 т. Известно, что I кг капусты содержит в среднем 0,7 кг
воды. Сколько воды содержится во всей собранной капусте?
1075. Упрости выражение и найди его числовое значение:
1) 7,За + 1,8а, если а равно 10; 5;
2) 19,5x-f-l,6x, если х равно 6; 10.
,1076. Вычисли:
1) 101,1- (0,37 4- 1,53) - (134.6 - 92,7) • 0,031;
2) 300,2-10.1-(42,9-39,8)-8.9;
3) (62,8 - 11.9)• 100.2 + 6,75 • 0,24 - 11.1 • (34,7 4- 9,3).
1077. Найди недостающие числа в цепочке вычислений:
4-2,5 . • 0,04 t +с„, ,
100------► а------ b-----► 31,3
8 пи э и к,г. 225
5.3. Деление десятичной дроби
на натуральное число
Пример I. Мама купила 3 кг яблок и заплатила 3,6 р.
Сколько стоит I кг яблок?
Для решения задачи нужно разделить число 3,6 на 3, т. е.
найти частное от деления десятичной дроби на натуральное
число: 3,6:3. Это значит нужно найти такое число х. что
За-= 3.6 Очевидно, х=1.2. так как 3-1,2 = 3.6. Значит. 3,6:3 =
= 1,2. Килограмм яблок стоит 1,2 р.
Как найти частное от деления десятичной дроби на нату-
ральное число в более сложных случаях? Письменное деление
выполняется аналогично делению натуральных чисел.
Рассмотрим примеры.
23.45 | 5_____О б т. я с и е и и е.
~ 20 | 4.69 Делим 23 целых на 5, получаем в част
3 4 ном 4 целых. Записываем эту цифру и ста
3 0 ним запятую, так как деление целых закон-
45 чено.
Остаток 3 единицы дробим в десятые и при-
бавляем («сносим») к ним 4 десятых из дели-
мого, получаем 34 десятых.
Делим 34 на 5, получаем в частном 6 десятых и в остатке
4 десятых.
Остаток дробим в сотые и прибавляем («сносим») к нему
5 сотых из делимого, получаем 45 сотых.
Делим 45 на 5, в частном получаем 9 сотых и в остатке 0
Деление закончено.
Ответ. 4.69.
Проверка: 5-4,69 =23.45.
226
Пример 3.
_ 105,624 18__
8 113,203
25
___24
16
16
_02
0
_24
24
О
Внимание! В частном получили 0 сотых,
гак как при делении десятых в остатке
был 0, а число сотых (2) в делимом меньше
делителя (8).
Расскажи, как шаг за шагом выполнено
это деление, и проверь результат умноже-
нием.
Если целая часть делимого меньше дели-
теля, то в частном получим 0 целых.
Пример 4.
_25,56 I 71__
0 I 0,36
25 5
21 3
_4 26
4 26
Пример 5.
_0,806 I 31
0__ I 0,026
_0 8
0
80
62
_186
186
0
Объясни, как шаг за шагом в этих примерах выполнено
деление. Почему в частном примера 4 получили 0 целых?
Л почему в частном примера 5 получили 0 целых и 0 десятых?
Результаты деления проверь умножением.
Если вычисление не заканчивается делением дробной части
делимого и получается остаток, то нужно приписать к нему необ-
ходимое число нулей.
«• 227
Пример 6.
36,12 [8_____
32 |4.5I5
12
8
40
"40
12 | 16
___0 | 0,75
120
112
80
80
0
Внимание! После деления 12 сотых на 8
получаем в частном 1 сотую и в остатке —
4 сотых. Последние дробим в тысячные:
для этого нужно приписать 0, так как в дели-
мом тысячных нет. Получаем 40 тысячных.
Делим 40 тысячных на 8 и получаем в частном
5 тысячных. В остатке будет 0, деление
закончено. Проверь вычисления умножением.
Пример 8.
_436 | 32
32___| 13,625
_116
96
_200
192
_ 80
64
_160
160
0
Объясни, как выполнено деление в примерах 7 и 8. (Обрати
внимание на то, что делимые в этих примерах — натуральные
числа.) Проверь вычисления умножением.
Так, деление десятичной дроби на натуральное число выпол-
няется по схеме деления натуральных чисел. Вычисление про-
должают (если это возможно) до тех пор, пока в остатке не по-
лучится нуль. Приступая к делению дробной части делимого,
ставим запятую в частном.
228
1078. Рассмотри в предыдущем тексте примеры на деление десятич-
ной дроби на натуральное число, прочти объяснения.
1079. Найди (устно) целую часть частного:
1) 32,96:8 2) 0,873:3 3) 100,26:9 4) 60,745:5
4,71:4 2,64:8 49,5:10 15,32:16
1080. Вычисли (устно):
1) 24:3 2) 0,48:4 3) 8,46:2 4) 4,08:4
24,6:3 0,3:3 15,6:3 3,09:3
6,8:2 0,08:2 20,5:5 8,008:4
1081. Вычисли:
1) 201,6:12 2) 43:16 3) 1,75:7 4) 168:400
57,144:12 7:32 13,2:24 7320:500
31,5:28 12,24:12 11,9:4 86,4:24
1082. Вычисли:
1) 25,26:60 2) 468:3600 3) 5,13:9 4) 0,738:30
935:220 14,985:45 4,032:16 882:36
18,91:62 3563:700 19,65:24 94:400
780:300 1,28:32 10,8:120 1,44:60
16,2:81 0,45:18 27:25 26,01:85
1
1083. Реши уравнение:
1) 5х=2,45 2) 8х=0,07208 3) 8х-2х=10,2
23х=22,747 Зх = 0,0087 1084. Вычисли: 1) 103,6:28-2,07 14,18 + 8,32:16 1-0,224:8 34х=246,5 5х+15х=165 12х=1,32 Зх + х=6 2) 0,88-0,45 + 26.64:111 0,96:12-0,32-0.05 0,16-240-360:75
229
1085. Уменьши число 29.4 в 2 раза, в 5 раз. в 15 раз, в 40 раз,
в 300 раз.
1086. Вычисли по формуле ;/ = х:3 значение у, если х равно 0,81;
1.02; 3,12; 14.001.’
1087. Автомобиль проехал 298 км с постоянной скоростью за 4 ч.
Сколько километров проезжал автомобиль за I ч?
1088. Расстояние от поселка до станции 45,5 км. За какое время
мотоциклист доедет до станции, если будет ехать со ско-
ростью 65 км/ч?
1089. Периметр треугольника, все стороны которого одинаковой
длины, равен 18,6 см. Чему равна его сторона?
1090. Длина ломаной, состоящей из шести равных звеньев, 25,8 см.
Какова длина одного звена?
1091. Найди массу 15 одинаковых деталей, если известно, что
26 таких деталей имеют массу 88,4 кг.
1092. В треугольнике, периметр которого 16 см, одна сторона 4,6 см,
а две другие равны между собой. Вычисли длины равных
сторон треугольника.
1093. Купили стол и 6 стульев, уплатив за все 87.8 р. Сколько стоил
один стул, если стол стоил 38 р.?
1094. Площадь прямоугольника 64,8 см’, а одна сторона его 12 см.
Вычисли периметр прямоугольника.
1095. Вычисли:
1) 4.96:10 + 35,8:100-0.0042;
2) 72,492:12 + 78.156:36-|- 129,03:15;
3) (0.04+ 3,59)(7,35+ 2,65): 300.
1096. Реши уравнение:
1) 19х —0,18 = 19.0!
2,27 —2х = 0,09
5,08+12х = 29.74
2) 3.2х + 5,6+ 5.8х= 17,21
Зх+ 1,2х + 6,7х = 109
6.7х+ 1,9х+3.3х=38,08
230
1097. В 1937 году советскими летчиками Чкаловым. Байдуковым и
Беляковым был совершен первый перелет из Москвы в
Ванкувер (США) через Северный полюс. За 63 ч они проле-
тели 9130 км. Какова была скорость полета? Ответ округли до
единиц.
1098. Общая площадь Молдавской ССР составляет 33 700 кма. На
1 января 1986 года здесь проживало 4 147 000 человек.
Сколько человек проживало в среднем на одном квадратном
километре? Ответ округли до единиц.
1099. Из 35 м ткани сшили 6 костюмов для мужчин и 5 костюмов
для мальчиков. При этом 1,55 м ткани остались неиспользо-
ванными. Сколько метров ткани требуется на один детский
костюм и один взрослый, если на костюмы для мужчин
израсходовали 19,2 м ткани?
1100. Мотоциклист проехал до места назначения 330 км. В первые
3 ч он ехал со скоростью 60 км/ч, остальной путь он проехал
за 2 ч. Во сколько раз скорость на втором этапе пути была
больше, чем на первом?
1101. Длина прямоугольника 8,5 дм, а ширина б дм. Во сколько раз
уменьшится площадь прямоугольника, если его ширину
уменьшить на 2 дм?
Самостоятельная работа 8
Тема. Деление десятичных дробей на разрядную единицу
10, 100, 1000...
1. Как умножить десятичную дробь на разрядную единицу
10, 100, 1000, ...? (Если не помнишь, найди в учебнике само
стоятельную работу 7 и повтори правило.)
2. По смыслу деления 36,7:10 = 3,67, так как 3,67 • 10 = 36,7.
Проверь с помощью умножения следующие равенства.
Сравни в каждом случае положение запятой в делимом и
частном. Сопоставь это с числом нулей в делителе.
1) 27,4:10=2,74; 2) 3,47:100=0,0347;
231
3) 126,1:1000 = 0,1261;
4 ) 0,45:100 = 0,0045.
5) 235:10 000=0,0235; ' !
3. Подумай. как можно сформулировать правило деления
десятичной дроби на разрядную единицу 10, 100, 1000.......
4. Если ты выполнил работу и все хорошо продумал, то дол-
жен был прийти к выводу:
чтобы разделить десятичную дробь на разрядную единицу 10,
100, 1000, надо в десятичной дроби перенести запятую влево
на столько знаков, сколько нулей содержит разрядная единица.
Я
А.
1102. Вычисли (устно), ответ запиши:
I) 62,3:10 2) 327,6:100 3) 0,0728:100 4) 68,6:10
45,67:10 12,1:100 19:10 000 375:100
68:10 324:1000 4,09:100 820:1000
1103. (Устно.) Реши уравнение:
1) 10х = 29,6 2) Юж-1.07 3) 10х=0,42
100х = 4956 1000х = 495,1 1000х = 3,49
10х = 5 100х = 29 1000х = 4
1104. Вырази в метрах: 3 дм, 52,7 дм, 35 см, 9,6 см, 253 мм, 6 мм.
1105. Вырази в килограммах: 200 г, 40 г. 8 г, 1 кг 300 г, 7 кг 20 г.
Б.
1106. Реши уравнение:
I) 10x4-1,5-(2,3-1.7)= 13.45;
2) 100х — 0,87-(19,3 4-3,7)=0;
3) (13,94-259,1)-0,85—10х= 100,1;
4) 3(567,1 -10,01). 10.01 4- 1000х = 51 670.
232
S. 4. Среднее арифметическое
Прочти внимательно текст, затем, пользуясь указаниями
задачи 1107, повтори основное содержание.
Ты часто слышишь слово «средний». Например, в газете
можешь прочитать о средней зарплате трудящихся, о среднем
урожае с 1 га, о среднем удое молока на одну корову и т. п.
Выясним его смысл.
Пример I. Сельскохозяйственный техникум вырастил на
трех опытных участках (по 1 га каждый) пшеницу разных
сортов. С.одного поля собрали 36,5 ц, с другого 42.1 цис
третьего 32,1 ц пшеницы. Сколько центнеров зерна собрано
в среднем с 1 га?
Решение. Вычислим сначала, сколько центнеров зерна
было собрано с трех участков вместе. Получим: 36,54-42,14-
4-32.1 = 110,7 (ц). Средний урожай с 1 га показывает, сколько
центнеров зерна собрано с каждого гектара, если считать, что
весь урожай распределен между тремя участками поровну.
Для этого нужно общее количество урожая разделить на 3;
получим: 110,7:3 = 36,9 (ц). Значит, средний урожай с I га
равен 36,9 ц.
В рассмотренном примере мы разделили сумму чисел
36,54-42,14-32,1 на число слагаемых. Число, полученное
при делении суммы чисел на число слагаемых, называется
средним арифметическим этих чисел.
Пример 2. Ежедневная зарплата рабочего в течение пяти
дней была 7,5 р., 8,2 р., 8,8 р.. 7,4 р. и 9,1 р. Вычислим среднюю
зарплату рабочего за один день.
Так же, как и в примере I, получим:
(7.54-8.24-8.84-7,44-9.1 ):5 = 41:5 = 8,2 (р ).
Итак, средняя зарплата рабочего равна 8,2 р. в день.
Пример 3. Найдем среднее арифметическое чисел 18,9;
27,6; 15,2 и 30,6. Получим:
(18,9 4- 27,6 4-15.2 4- 30,6): 4 = 92,3:4 = 23,075.
233
1107. I) Прочти в тексте второй абзац и приведи примеры, в ко-
торых встречается слово «средний».
2) Прочти задачу (пример I) и продумай ее решение. Рас-
скажи, как вычисляется средний урожай с I га.
3) Прочти следующий абзац текста. Закончи самостоятельно
предложение; «Средним арифметическим данных чисел на-
зывается...»
4) Продумай пример 2 и расскажи, как вычисляется средняя
зарплата рабочего.
5) Разберись в примере 3. Найди среднее арифметическое
чисел 3,7; 2,4; 5.6.
Ответ. 3,9. Если допустил ошибку, выполни вычисления
еше раз.
НОВ. Вычисли (устно) среднее арифметическое данных чисел;
I) 6 и 8
20 и 40
13 и 17
3) I. 2. 4 и 5
3. 4. 5 н 8
10, 20, 30 и 40
2) 8. 10 и 12
100. 100 и 400
15. 15 и 15
4) 0,8 и 1.2
1.5 и 2.3
0,2 и 0.6
1109. Кондитерская фабрика выпустила в 1984 году 4372 т. в
1985 году 4491 т и в 1986 году 4592 т печенья. Каково среднее
годовое производство печенья за эти годы?
1110. Взвешиванием установили массы пяти овец: 28,5 кг, 32,6 кг,
35,1 кг. 30,3 кг и 27 кг. Вычисли среднюю массу овец.
1111. Ежедневная зарплата рабочего в течение пяти дней была
6,6 р„ 7,25 р.. 6,9 р., 7,1 р. и 6,45 р. Какова средняя зарплата
рабочего за день?
1112. За первый час лыжник прошел 10,8 км. за второй 9,<^км и
за третий 9.^ км. Сколько километров в среднем проходил
лыжник за час? Округли ответ до десятых.
234
1113. На соревнованиях по баскетболу Игорь принес своей ко-
манде 12 очков. Андрюша 15 очков, Кирилл 21 очко и Саша
8 очков. Коля же не попадал в корзину. Сколько очков в
среднем принес каждый баскетболист своей команде?
1114. В 4 А классе 30 учеников, в 4 Б 35 учеников. Ученики
4 Л класса собрали 276 кг макулатуры, а 4 Б 311,5 кг.
В каком из классов в среднем на каждого ученика при
ходится больше макулатуры?
1115. Токарь обточил три одинаковые детали. Первую деталь он
обточил за I мин, вторую за 56 с и третью за 1 мин 1 с. Какое
время в среднем он затратил на обработку одной детали?
1116. Вычисли средний рост мальчиков и средний рост девочек
своего класса. Ответ вырази в метрах и округли до сотых.
1117. Отметь на числовом луче числа 2 и 2,6; укажи на луче среднее
арифметическое этих чисел.
1118*. Средний возраст восьми человек, находившихся в комнате,
был 12 лет. Когда из комнаты вышел один человек, то средний
возраст оставшихся стал 11 лет. Сколько лет было человеку,
вышедшему из комнаты?
235
1119*. Средний возраст молодежной бригады 23 года, причем
возраст бригадира 37 лет. Средний возраст бригады без учета
возраста бригадира 22 года. Сколько человек в молодежной
бригаде?
Для повторения
1120. Вычисли (устно):
1) 2,8+ 3,6 2) 0,37-0,28 3) 2-0,54 4) 8,04:4
5.4-1,3 0,76 + 0,24 10-1,07 0,72:8
8.6 — 7,1 0,088 + 0,012 6-0,01 0,15:3
1121. Вычисли:
1) (760- 17-34) :91; 2) 2,15-38-7,94+0.54:3.
1122. В течение дня убрали зерно с 216 га, причем -i- поля было за-
сеяно ячменем. Сколько гектаров было засеяно ячменем?
1123. В кинозале 300 человек. Из них —дети. Сколько детей
в кинозале?
1124. Из корзинки на блюдо выложили 12 яблок, что составило
всех яблок в корзинке. Сколько яблок было первоначально в
корзинке?
1125. Вычисли площади прямоугольников, изображенных на рисун-
ке 5.4, если ДС = 22,5 дм, ДА = 14,5 дм и ДГ = 8 дм.
1126. Из картона прямоугольной формы вырезан квадрат (рис. 5.5).
Вычисли площадь оставшегося куска картона, если длины
сторон прямоугольника равны 32,4 см и 12,5 см, а сторона
квадрата 4 см.
Рис. 5.5
236
1127. На рисунке 5.6 штабеля ящиков с товаром. Сколько ящиков
в каждом штабеле?
1128. В цистерне было 38,6 т бензина. В нее долили 12,7 т, а затем
из нее наполнили 46 бочек по 0,6 т. На сколько меньше оста-
лось бензина в цистерне, чем отлито в бочки?
5.5. Деление на десятичную дробь
Пример I. Бабушка купила 1,7 кг помидоров и заплатила
4,25 р. Сколько стоил I кг помидоров?
Для решения задачи необходимо найти частное 4,25:1,7.
Как выполнить это деление?
При изучении деления натуральных чисел мы познакомились
с основным свойством частного (§ 2.9): делимое и делитель
можно умножить на одно и то же натуральное число. Будем
считать, что это свойство выполняется и при делении десятичных
дробей. В данном примере мы умножим делимое и делитель на
такое число, чтобы делитель стал натуральным числом. Таким
множителем будет 10, так как 1,7-10=17. Итак, деление на
237
десятичную дробь можно свести к делению на натуральное
число.
4,25:1.7 = 42.5:17.
Получим: 42.5:17 = 2,5.
Значит, и 4.25:1,7 = 2.5.
Проверка: 1,7-2.5 = 4.25.
Итак, I кг помидорон стоил 2,5 р. (или 2 р. 50 к.).
Рассуждая таким же образом, будем, например, вместо
частного 6.552:0,52 вычислять частное 655,2:52=12.6; вместо
частного 3,2:0,016 вычислять 3200:16 = 200; вместо частного
684:3,6 вычислять 6840:36 = 190.
Проверь эти результаты умножением.
Обрати внимание на то, что во всех случаях делимое и дели-
тель умножены на такую разрядную единицу, чтобы делитель
стал натуральным числом.
Вообще, чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно
1) умножить делимое и делитель на такую разрядную еди-
ницу, чтобы делитель стал натуральным числом-.
2) выполнить деление на полученное натуральное число.
Можно сказать и по-другому:
нужно отбросить в делителе запятую, а в делимом перенести
запятую вправо на столько знаков, сколько их было в дробной
части делителя. Затем выполнить деление по правилу деления на
натуральное число.
При письменном делении вначале находим новое делимое и
делитель, а затем делим по уже изученной схеме.
Пример 2. 0.396:1.65 = 39,6:165.
39,6 I 165
"33 0 I 0.24
6 60
660
0
238
1129. Найди в тексте и повтори формулировку:
I) основного свойства частного-,
2) правила деления на десятичную дробь.
ИЗО. Замени делимое и делитель так, чтобы делитель был нату-
ральпым числом. а частное не изменилось. Вычисли:
1) 3,472:0,4 2) 0,0481: 1,25 3) 56,7:0,18
4,311:0,03 0,00264 : 0,005 560:0,7
Ь, 1:2,5 0,483:0.00012 9:0,0004
1131. Вычисли (устно):
1) 2:0,2 2) 3.2:0.8 3) 7:0,07 4) 28:0,14
4:0,4 2.4:1,2 2,5:0,05 4,2:0,21
5:0.1 5.6:0.8 0,8:0,02 0,36:0,12
1132. Вычисли:
1) 1.75:1.4 2) 2,59:3,7 3) 7,38:4,5 4) 20,54:6,5
3,76:0,4 0,44:0.88 1:1,25 22,5:12,5
3,5:0,04 138:0,15 0,872:2,18 0,039:0,15
91:0,14 2,496:0,24 322:0,4 2496:1,2
1133. Найди приближенное частное, округлив ответ до десятых:
I) 2.8:1,7 2) 0,32:1,7
4,9:3,52 0,52:3,92
1,7:0,82 0,017:2,4
137:29,4
256:3.55
0.012:9,5
4) 2,5926:7,4
0,273:3,64
0,2595:7,5
1134. Вычисли:
1) 0,308:0,14 + 1.08
7.224:0.301 — 18,6
120-72:0.6
19,56:(3,2 + 4,95)
2)-(3,2+4,75): 1,5
' 1,512:(Н,62 —8.2)
0.28 + 4,368:0,12 - 9,8
(0,42-85- 14.22)-0.6
1135. Уменьши число 102,5 в k раз, если k равно 2; 2,5; 5; 10; 10,25;
1,025.
239
1136. Во сколько раз а больше 6 (или 6 меньше а):
I) а= 108,3, 6=9,5; 2) а=4,2, 6 = 1,2; 3) а = 0,37,
6 = 0,1; 4) а=7,5, 6 = 0,25?
1137. Реши уравнение:
1) 1,7*= 11,05
0,22*= 1,408
7.3* = 0,803
2) 2,9* = 2,32
10,4*=6,864
10,3*=0,7004
3) 8,3* 4-2,7*=0,7194
10*-2,5*=0,267
2.54*+*=0,02301
1138. Человек прошел расстояние 100 м. Сколько шагов он сделал,
если длина его шага равна 0,8 м?
1139. Велосипедист на соревнованиях проехал 161,5 км за 3,8 ч.
Вычисли скорость велосипедиста.
1140. Турист за 2,5 ч прошел 12 км. Какое расстояние пройдет он
за 3.6 ч, если скорость останется прежней?
1141. 2.5 кг муки стоят 65 к. Сколько стоят 4 кг этой муки?
1142. Площадь Каспийского моря 368 тыс. км2, а Аральского моря
51,1 тыс. км2. Во сколько раз площадь Аральского моря мень-
ше площади Каспийского моря? Ответ округли до десятых.
1143. Голубой кит —самое большое морское животное. Он весит
до 160 т. На суше самое большое животное слон. Его масса
примерно в 32 раза меньше массы кита. Сколько весит слон?
1144. В 1987 году в Советском Союзе было засеяно просом 983 тыс.
га, а гречихой 427 тыс. га. Во сколько раз площадь посевов
проса больше площади посевов гречихи? Ответ округли до
десятых.
1145. Длина одной стороны прямоугольника 6. его площадь S.
Вычисли длину другой стороны прямоугольника, если:
1) 6 = 2,4 дм 2) 6 = 2,5 м 3) 6 = 4 мм
5 = 15,6дм2 S=17 м2 5 = 26.4 см2
1146. Катер в стоячей воде развивает скорость 24,5 км/ч. Ско-
рость течения реки 1,1 км/ч. За какое время катер пройдет
70,2 км против течения реки?
240
1147. Моторная лодка прошла 30,4 км по течению реки за 2 ч.
Найди скорость моторной лодки в стоячей воде, если ско-
рость течения реки 1,2 км/ч.
1148. С посевного поля площадью 3,2 га собрали 81,6 ц зерна.
Какой урожай зерна собрали в среднем с каждого гектара?
1149. Сторона одного квадрата 77,4 см, а сторона другого квадрата
в 1,8 раза меньше. Вычисли площадь и периметр другого
квадрата.
Б.
1150. Вычисли значение выражения 10,7:х, если х равно 0,01;
0.1; 1; 2,5; 7,8; 10,7; 29,1; 203; 1000. При необходимости
ответ округли до сотых. Как изменяется частное, если делимое
не изменяется, а делитель увеличивается? уменьшается?
Когда частное больше делителя? меньше делителя? равно
делителю?
1151*.Известно, что а>Ь, Ь=£0. Какие из утверждений верны,
а какие неверны:
1) а:Ь = 1; 2) а:5>1; 3) а:6<1; 4) 5:а>1;
5) 5:а<1?
1152*. Какое утверждение верно, а какое неверно, если о^=0,
и b < 1:
1) a:fc<a; 2) a:fe>a? 3)a:/>=l?
1153*. Какое утверждение верно, а какое неверно, если а:Ь>\:
1) o<ft; 2) a — b; 3) а>Ь?
1154. Вычисли:
I) 0,15:0,01 +(64-9,728:3,2)-2.5- 1.4;
2) 0,16 • 6,25 + (20,8 - 6,372:0.6) 0,9 - 8,38;
3) (3.6 • 0,05 + 24:200): 1,2 + 1,25 • 0.2;
4) | .44:3,6 + 0.8 + 3.6:1.44 • (0.1 — 0,02).
241
1155. Автомобиль проехал 78 км за 1,2 ч, затем 135 км за 1.8 ч. На
каком участке пути скорость автомобиля была больше?
1156. Автомобиль проехал 84 км за 1,2 ч. Велогонщик затратил на
такой же путь на 0,8 ч больше. На сколько скорость велогон-
щика меньше скорости автомобиля?
1157. Составь и реши задачу на деление десятичных дробей.
1158. С одного участка земли собрали 1877,5 ц пшеницы, а с дру-
гого в 2,5 раза меньше. Урожай пшеницы с 1 га на обоих полях
был 35 ц. Поставь разумные вопросы и реши задачу.
1159*. 860,4 кг апельсинов уложили в ящики двух размеров. В одни
ящики укладывали по 24,5 кг апельсинов в каждый, а в другие
по 35,4 кг. В результате оказалось, что в больших ящиках
на 272,4 кг апельсинов больше, чем в маленьких, Сколько
больших и сколько маленьких ящиков заполнили апельси-
нами?
Самостоятельная работа 9
Тема. Деление десятичных дробей на разрядную единицу
0.1; 0,01; 0,001; ... .
I. Как умножается десятичная дробь на разрядную единицу
0,1; 0,01; 0,001; ...? (Если не помнишь, найди в учебнике само-
стоятельную работу 7 и повтори правило.)
2. По смыслу деления 2.15:0,1=21,5, так как 21,5-0,1 =
= 2,15. Проверь с помощью умножения следующие равенства.
Сравни место запятой в делимом и ответе. Сопоставь это с
числом нулей в делителе:
1) 1,45:0,1-14,5; 2) 0,347:0,01=34,7;
3) 1,4768:0.001 = 1476,8; 4) 48:0.01=4800;
5) 0,026:0.001=26.
3. Вычисли:
I) 23,1:0,1; 2) 0,067:0,01; 3) 1,0023:0,001;
4) 789:0,1; 5) 10:0,001; 6) 0,00001:0,001.
242
4. Подумай, как можно сформулировать' правило деления
десятичной дроби на разрядную единицу 0,1; 0,01; 0,001; ... .
5. Если ты выполнил работу и все хорошо продумал, то
пришел к следующему выводу:
чтобы разделить десятичную дробь на разрядную единицу
0,1; 0,01; 0,001; ..., нужно в этой дроби перенести запятую
вправо на столько знаков, сколько нулей содержит разрядная
единица (считая нуль целых).
Запиши это правило в тетрадь. Пользуйся им при вычисле-
ниях.
1160. Вычисли (устно):
I) 19,2:0,1 2) 3.9:0.01 3) 0,025:0,001 4) 0.0017:0.001
0.2:0.1 0,19:0,01 7.08:0.001 0.088:0.1
4,71:0,1 370:0.01 0,16:0,001 567:0,0001
1161. Реши уравнение:
1) 0,1х —5,8
0,01 // = 0,73
0,17 = 0,008
2)0.001// = 32
0.017=45.2
0,0001 х = 0.057
3) 5.94 :х=0,01
0.93: у=0.1
24:7 - 0,001
5.6. Проценты
Мы знаем, что одна вторая иначе называется половиной,
одна четвертая — четвертью, три четвертых - тремя четвертями.
Особое название имеет и одна сотая: одна сотая называется
процентом'. Процент записывается с помощью знака %. Следо-
вательно, можем записать:
От латинского procentum — «на сотню».
243
Таким же образом, например, получаем:
2% - 0.02; 7% —i. -0.07; 40% - 3L _ 0,40;
100%--^ = !. 129%=^_| » >|,29ит.д.
Некоторые из таких равенств полезно запомнить (рис. 5.7):
10% =1=0.1 25% =1=0.25
50% =1 = 0,5 75% =1 = 0.75
100% = 1
244
Пример 1. В школе 800 учащихся, 15% из них за четверть
получили по математике пятерки. Сколько учеников получили
пятерки?
Решение. Найдем вначале один процент, или одну сотую,
от числа учащихся. Это будет: 800:100 = 8. Чтобы найти 15%,
нужно выполнить умножение: 8-15=120.
Ответ. Пятерки получили 120 учеников.
Пример 2. Молоко содержит 4% жира. Сколько килограм-
мов жира содержится в 850 кг молока?
Решение. Один процент, или одна сотая, от количества мо-
лока равен 850:100 = 8.5. Чтобы найти 4%. нужно полученный
результат умножить на 4. Получим: 8,5-4 = 34.
Ответ. 850 кг молока содержат 34 кг жира.
А.
1162. Повтори по тексту, что такое один процент; повтори рекомен-
дуемые для запоминания равенства.
1163. Вырази обыкновенной и десятичной дробями:
8%. 19%. 23%, 54%, 70%. 97%. 125%, 234%.
1164. (Устно.) Лучшим ученикам подарили 100 книг, причем
каждый получил по 5 книг. Сколько процентов составляют
книги, полученные каждым учеником?
1165. (Устно.) На пастбище было 100 животных: 39 телят. 52 овцы,
а остальные козы. Сколько процентов от общего количества
животных составляют овцы, телята и козы?
1166. Сколько процентов площади большого квадрата, изображен-
ного на рисунке 5.8:
I) заштриховано:
2) обозначено крестиками;
3) обозначено кружочками;
4) обозначено черточками?
245
1167. Сколько процентов от 1 м составляет I см, 9 см, 0,15 м, 0,48 м.
I м, 1.34 м?
1168. Рассмотри примеры 1 и 2 в тексте.
1169. Найди:
I) 5% от чисел: 200; 700; 390; 4200; 75; 2.5; 16,2;
2) 12% от чисел: 300; 900; 8900; 47; 5.6; 0.5;
3) 86% от чисел: 800; 4000; 570; 91; 14,5; 0.8.
1170. Найди:
1) 10% от: 1 м, 30 р„ 7,8 кг,
2) 25% от: 8 м. 3,2 р.. 28 кг;
3) 50% от: 1.2 м, 68 р.. 0,98 кг;
4) 75% от: 16 м, 4 р.. 0,36 кг.
1171. В классе по списку 30 учеников. Из них 10% отсутствует.
Сколько учеников отсутствует?
1172. Клубника содержит в среднем 6% сахара. Сколько килограм-
мов сахара в 12 кг клубники?
1173. Огурцы содержат в среднем 95% воды. Сколько килограммов
воды в 20 кг огурцов?
246
1174. Лучшая корова в колхозе за год дала 12 500 кг молока
жирностью 4%. Сколько килограммов жира содержится
в этом количестве молока?
1175. Длина прямоугольника 45 см, а ширина составляет 60% дли
ны. Вычисли площадь прямоугольника.
1176. Предполагалось, что стоимость микрокалькулятора будет
60 р. Благодаря механизации производственных процессов
стоимость микрокалькулятора удалось снизить и она соста-
вила 70% от планируемой. Сколько стал стоить микро-
калькулятор? На сколько рублей снизилась цена микро-
калькулятора?
1177. Общая площадь территории СССР составляет 22 402 200 км’.
25% этой территории занимает европейская часть, а осталь-
ную — азиатская. Сколько квадратных километров террито-
рии СССР находится в Европе, а сколько в Азии?
1178. Месячная зарплата рабочего 200 р., но он получил еще и
премию, которая составила 25% от месячной зарплаты.
Сколько всего денег получил рабочий за месяц?
1179. В магазин завезли 800 кг яблок, причем 50% из них первого
сорта и 30% второго, а остальные — третьего сорта. Сколько
килограммов яблок первого, второго и третьего сортов завезли
в магазин?
И 80. Из 2000 человек взрослого населения поселка 25% работает в
прилежащих колхозах, а 40% оставшейся части — на пред-
приятиях поселка. Сколько человек работает в колхозах?
Поставь еще разумные вопросы и ответь на них.
1181. Длина прямоугольного участка земли 650 м, а ширина состав-
ляет 80% длины. С каждого гектара этого поля убрали по
42 ц пшеницы. Поставь разумные вопросы и ответь на них.
247
5.7. Задачи на все действия
с десятичными дробями
и натуральными числами
1182. Вычисли (устно):
I) 1.2+ 3.5
0.07 + 0.13
1000-0.14
52-0,1
0,63:0.1
1183. Вычисли:
2) 5.9+1.4
I -0.6
0,29-100
0,001 -72
0.4-0.6
3) 0,42+1,08
2,18-1,08
60:0.2
8-1,5
592:100
I) 9,19 + 24,92
0.807 + 5.103
4,97 + 0,032
1184?'Вычисли:
2) 7,91 -0,328 3) 36-0,043 4) 15.3:17
81,5-15,06 6.07 • 900 522:400
34-3,12 72,4-2,25 19,76:15.2
1) 15-(3.7+1.23)
(6,43+ 4.97)-39
(2.027-0.341:10
2) (1.265 + 5.735X1-0.785)
28,6+11(6.595 + 3.405)
4.92-(0.025+ 0.001): 0.01
1185. Вычисли:
I) 5.64+9.036:1.8-0,86
19,02-0.85-4.24 + 4.584
7,2-4,06 + 3.15:0,6.
2) 3,078: (5.1 - 1,05)+ 0.24
0.972: (1.8+ 0.6)+9,595
2.8 + 21.28:(21.2-13.6)
1186. Вычисли значение выражения 2,5а + 0,85, если:
I) о = 0,12; 2) а-3.4.
1187. Вычисли значение выражения 45.2 — а:Ь, если:
I) а=0.339. 5=0,12;
3) а=0.93, 5=0,03;
2) а = 32,16, 5 = 0,8;
4) а=19,8, 5 = 90.
248
1188. Составь выражение:
1) из числа b вычесть сумму чисел 3,87 и 5,5;
2) из произведения чисел 0,87 и с вычесть число а;
3) к частному от деления числа 59,2 на число х прибавить
число у;
4) из числа а вычесть частное от деления числа b на 0,6.
1189. На сколько сумма чисел 4,796 и 0,81 больше числа 2,8?
1190. На сколько разность чисел 18,4 и 5,96 больше числа 0,16?
1191. Увеличь сумму чисел 0,813 и 1,027 в 3.5 раза.
1192. Частное от деления числа 0,1015 на 0,125 уменьши на 0,202
1193. Автобус ехал со средней скоростью 55 км/ч в течение I ч
Составь выражение для нахождения пути, пройденного авто
бусом, и вычисли его, если / равно 0-5; 0.8; 1,2; 3; 4,2
1194. За 3,4 ч поезд прошел 212,5 км. Сколько километров про-
шел поезд за 6 ч при такой же скорости?
1195. Скорость парохода в стоячей воде 23,7 км/ч, а скорость
течения реки 2.8 км/ч. Сколько километров прошел пароход
по течению реки за 2,4 ч?
1196. Автомобиль проехал 270 км. Первые 96 км он проехал за
1,5 ч, а остальную часть пути ехал со скоростью 72,5 км/ч.
Вычисли время прохождения всего пути.
1197. Купили 1,5 кг рыбы, уплатив по 1,2 р. за 1 кг. и картофеля
в 6 раз больше, чем рыбы, уплатив по 0,2 р. за 1 кг.
Сколько получили сдачи с 6 р.?
1198. На экскурсии было 32 ученика. За проезд они уплатили
184 р. и за посещение музея 36,8 р. Сколько всего уплатил
каждый ученик за проезд и посещение музея?
1199. В 1970 году в ЧССР было произведено 24 500 грузовых
автомобилей, в 1980 году 45 700 и в 1983 году 43 200. Вы
числи приближенно, округлив ответ до десятых:
I) во сколько раз увеличилось производство автомобилей
в 1980 году по сравнению с 1970 годом; в 1983 году по срав
нению с 1970 годом;
249
2) во сколько раз уменьшилось производство автомобилей в
1983 году по сравнению с 1980 годом.
1200. При уборке урожая обнаружили, что один комбайнер с каж-
дого гектара собирает на 12 кг зерна меньше, чем другой.
Комбайн первого отремонтировали, и комбайнер убрал еще
565 га. Сколько тонн зерна было сохранено?
1201. Колхоз по плану должен был собрать с 460 га по 35 ц зер-
на с каждого гектара. Собрали 1955 т зерна. На сколько
центнеров урожай с каждого гектара был выше запланиро-
ванного?
1202. Один рабочий в час делает 15 деталей, а другой 18 деталей.
Сколько деталей будет сделано двумя рабочими за 8 ч?
1203. Рост волейболистов, игравших на волейбольной площадке,
был 1,87 м. 2,01 м, 1,95 м, 1,99 м. 1,82 м и 2,03 м. Вычисли
средний рост волейболистов. Ответ округли до сотых.
1204. Вычисли:
1) 1% от 125
2% от 80
50% от 0.4
2) 15% от 42
32% от 8,5
25% от 95
3) 117% от 8
153% от 19
141% от 2
1205. Из 840 учащихся школы 60% принимало участие в кроссе.
Сколько школьников из этой школы участвовало в кроссе?
1206. Белый медведь весит около 700 кг, а масса бурого медведя
составляет примерно 43% от массы белого. Вычисли массу
бурого медведя. Ответ округли до сотен.
1207. Одна сторона прямоугольника 34,8 м, а другая в 4,5 раза
длиннее. Вычисли площадь и периметр прямоугольника.
1208. В треугольнике две стороны содержат по 5,2 см, а третья
в 1,3 раза меньше каждой из них. Вычисли периметр тре-
угольника.
1209. Кусок провода длиной 132,3 м разрезали на четыре части.
Длина первой части 19,7 м, вторая часть в 2 раза длиннее пер-
вой, а третья часть на 5,32 м короче второй. Поставь разумные
вопросы и реши задачу.
250
1210. Ломаная, длина которой 47,8 см, состоит из
трех звеньев. Длина первого звена 15,6 см,
и оно на 4,7 см длиннее последнего звена.
Какой длины среднее звено?
1211. Сколько кирпичей в штабеле (рис. 5.9)?
Рис. 5.9
Б.
1212. Вычисли:
1) 3,45-(11,2 + 75,6) —0,93-1,26;
2) 4,25:0,25—0,06-82+ 0,4;
3) (0,237 + 45,6)-12,01 - 11,1 -(237,1 -229,9);
4) (1.184:3.2 + 0,832:0,4): 0.5 + 1,5.
1213. «Метеор» прошел сначала 1.5 ч по озеру со скоростью
59 км/ч, а затем по реке против течения 0,8 ч. Скорость
течения реки 1.6 км/ч. Вычисли длину маршрута «Метеора».
1214. Из одного поселка в другой выехали одновременно два
велосипедиста со скоростями 15 км/ч и 24 км/ч. Через 2,5 ч
один велосипедист прибыл в другой поселок. Сколько кило-
метров нужно еще проехать другому велосипедисту, чтобы
прибыть в другой поселок?
1215. Посеяли ячмень на участке 6 га без удобрений и на участке
7,5 га при хорошо удобренной почве. С неудобренного участка
получили 100,8 ц, а с удобренного 405 ц ячменя. Как сказалось
наличие удобрений в почве на урожайности ячменя?
1216. Каждый ученик 4 класса отработал летом по 23 дня. За день
все ученики вместе зарабатывали в среднем 63,7 р. Все по-
лученные деньги разделили поровну между 26 учениками.
Сколько денег получил каждый ученик?
1217. При покупке 5,6 кг груш Нина с 7 р. получила сдачу 28 к. Лена
же за 7,2 кг яблок уплатила на 96 к. меньше, чем Нина за
все груши. Поставь разумные вопросы н реши задачу.
251
1218. Остров Комсомолец, площадь которого 9600 км2, и остров
Пионер, площадь которого составляет примерно 17% пло-
щади острова Комсомолец, принадлежат архипелагу Север-
ная Земля. Вычисли площадь острова Пионер. Ответ округли
до сотен.
1219. Сумма двух сторон треугольника равна 85 см, а длина
третьей стороны составляет 80% от этой суммы. Вычисли
периметр.
1220. На складе 128,9 т овощей. Моркови и свеклы вместе 92,5 т.
а свеклы и брюквы вместе тоже 92,5 т. Сколько тонн каждого
вида овощей хранится на складе?
1221*. В трех ящиках вместе 58,48 кг товара. В первом ящике това-
ра в 2.4 раза больше, чем во втором, а в третьем столько
товара, сколько его в первом и втором ящиках вместе. Сколь-
ко килограммов товара в каждом ящике?
1222*. Начерти на бумаге в клетку прямоугольник со сторонами
I см и 1,5 см. Дополни его до такой фигуры, чтобы площадь
прямоугольника составляла 30% площади полученной фи-
гуры.
5.8. Как упростить вычислительную
работу
Каждый из нас ежедневно должен в различных житейских
делах уметь выполнять простейшие вычисления. Например,
необходимо отремонтировать квартиру, значит, нужно подсчи-
тать количество требуемого материала, подсчитать стоимость
всех покупок в магазине и т. д. Это мелкие расчеты. Но бывают
и сложные расчеты — при строительстве мостов, туннелей,
зданий, при подготовке космических полетов и др. Они требуют
много времени.
Человек всегда старался облегчить себе вычислительную
работу, изыскивая различные вспомогагельные средства. Пер-
252
воначальнымн предметами для счета служили ему пальцы рук и
ног, камешки, палочки, узелки на шнуре и т. д. Впоследствии
изобрели счеты. В свое время наиболее совершенным вычисли-
тельным прибором были русские счеты. Ими пользуются еще и в
наши дни. Их первоначальный вариант был создан в России в
XVI веке.
В настоящее время существуют сверхмощные электронно
вычислительные машины, производящие сотни тысяч и миллио-
ны действий в секунду. Но наряду с такими машинами имеются
микроэлектронные вычислительные машины — микрокалькуля-
торы. Различные модели этого прибора, простые и весьма слож
ные, продаются в магазинах в большом количестве. Нели
будет возможность, то купи себе такой прибор, по вначале по-
советуйся со своим учителем математики.
Давай познакомимся поближе с этим помощником счета
Независимо от типа каждый калькулятор на верхней части
корпуса имеет экран и клавиатуру. На экране имеется разряд-
ная сетка, на которой высвечиваются вводимые в микрокаль-
кулятор числовые данные и результаты вычислений. Нам необ-
ходимы следующие клавиши (рис. 5.10):
— и
шшшп
ш и и и
□3 и ш □
риС, s m Ш I - ] I= I LJ
клавиши ввода [оЦТ]Г21 — [э] — для введения числовых
данных; клавиши действий (операций): |-j-|—сложение, EJ-
вычитание, [х] — умножение, Р7] деление; клавиша запятой: [~|
или клавиша знака равенства или ответа: [=]; клавиша
сброса: [с~1-
В схемах, приведенных ниже, для простоты записи мы не
будем обводить рамками цифры.
После включения микрокалькулятора на экране высвечи-
вается <0». Чтобы ввести числа, нужно последовательно на-
жимать на соответствующие клавиши ввода.
Например, чтобы ввести число 3087, нужно последова-
тельно нажать клавиши с цифрами 3 0 8 7. Правильность
ввода чисел проверяем по экрану.
Для ввода десятичной дроби нужно использовать клавишу
с запятой. Например, чтобы ввести число 13,07, нажимаем на
клавиши 1 3 □ 07.
Чтобы сложить (умножить) два числа с помощью простей-
ших микрокалькуляторов, нужно:
1) ввести одно слагаемое (множитель);
2) нажать на клавишу сложения (умножения);
3) ввести другое слагаемое (множитель);
4) нажать на клавишу ответа.
Пример 1. Сложение чисел 3,07 4-98,153 на микрокаль-
куляторе пойдет по следующей схеме:
3Q0 9 8 □ 1 5 3 Н
На экране появится ответ 101,223.
При вычитании (делении) чисел нужно:
I) ввести уменьшаемое (делимое);
2) нажать на клавишу вычитания {деления);
3) ввести вычитаемое (делитель);
4) нажать на клавишу ответа.
254
Пример 2. Нахождение частного от • деления чисел
15.2:32 пойдет по следующей схеме:
I 5[Т)2ЩЗ 2(3
На экране появится ответ 0,475.
Часто возникает необходимость округлить ответ, полученный
на микрокалькуляторе.
Пример 3. При делении 52,7:0,78 получим на экране ответ
67,564102. При необходимости его можно округлить, например,
до единиц 68; до десятых 67,6; до сотых —67,56 и т. д.
Если в выражении несколько действий одной ступени (сло-
жение вычитание или умножение —деление), то вычисление
выполняется в том порядке, в котором написаны числа.
Пример 4. 32 + 45-28.7+12.5=60.8.
Схема: 3 204 502 80 7[±] I 20 SQ
Пример 5. 82:53-0.97 « 1,50.
Схема: 8 205 3009 70
При вычислении значений более сложных выражений нужно
соблюдать порядок действий. При вычислении на простейших
микрокалькуляторах результат промежуточных действий нужно
записывать.
Пример 6. 56-12,75-19-21,4 = 307,4.
Здесь вначале определим произведение 19-21,4=406,6 и
запишем его. Затем вычислим 56-12,75 = 714 и оставим его на
экране. Из него вычтем результат предыдущего действия.
Получим ответ 307,4.
1223. Проверь равенства с помощью микрокалькулятора:
1) 756+1561=2317 2) 87-129=11223
12 451-9 327 = 3124 19 995:93 = 215
3,85 + 12.46 = 16.31 32,45 • 63,24 = 2052,138
567,2-42.97 = 524,23 783,2:445 = 1,76
255
1224. Проверь равенства с помощью микрокалькулятора:
I) 32.49+15-16 = 272,49
45,6-12,1 +0.98-817= 1352,42
419-21 -27-56 = 7287
2) 2072:37-42.9=13.1
32+15.6:0.3 = 84
13-14+30.1:6® 187,02
5.9. Прямоугольный параллелепипед
Посмотри на спичечный коробок Он дает представление о
геометрической фигуре, которая называется прямоугольным
параллелепипедом (рис. 5.11). Поверхность прямоугольного па-
раллелепипеда состоит из шести прямоугольников, которые
называются его гранями П ротиволежащие грани прямоуголь-
ного параллелепипеда равны. На рисунке 5.11 противолежа-
щими являются грани ABCD и EFGH, BC.GF и ADHE,
ABFE и DCGH. Из каждой вершины прямоугольного паралле-
лепипеда выходят три ребра. Длины этих ребер это длина, шири-
на и высота прямоугольного параллелепипеда, или его изме-
рения (обозначены буквами а. Ь и с на рисунке 5.11).
Прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны,
называется кубом (рис. 5.12). Все грани куба равные квад
раты.
1225. На модели прямоугольного параллелепипеда покажи грани,
ребра, вершины, противолежащие грани, равные грани и рав-
ные ребра.
1226. Сколько вершин, ребер и граней у прямоугольного паралле-
лепипеда?
1227. Найди среди окружающей тебя обстановки модели прямо-
угольного параллелепипеда.
1228. Вычисли общую длину всех ребер прямоугольного параллеле-
пипеда, если его измерения:
I) 10 см, 7 см. 5 см; 2) 3,2 дм, 5,6 дм, 4,3 дм; 3) 2,34 м,
0,75 м, 1,32 м.
1229. Прямоугольный параллелепипед, склеенный из бумаги, разре-
зали вдоль его ребер. Грани его изображены на рисунке 5.13:
I) вычисли площадь каждой грани;
2) сколько квадратных сантиметров бумаги потребовалось
для изготовления прямоугольного параллелепипеда (не счи-
тая перекрытий для склеивания)?
Риг. 5.13
257
2 см
Рис. 5.14
1230. Вычисли общую длину ребер куба, если длина одного ребра:
I) 8 см; 2) 5,4 дм; 3) 1,25 м.
1231. На рисунке 5.14 изображены грани куба. Нанди площадь
одной грани. Сколько квадратных сантиметров бумаги потре-
буется для изготовления куба (не считая перекрытий для
склеивания)?
1232. Сделай из дерева сам или с чьей-нибудь помощью прямо-
угольный параллелепипед:
1) сделай нужные измерения и вычисли общую длину ребер;
2) обклей все грани бумагой, причем равные грани — бума-
гой одного цвета;
3) вычисли, сколько квадратных сантиметров бумаги тебе
потребовалось.
1233. Сделай из дерева сам или с чьей-нибудь помощью куб:
1) выполни нужное измерение и вычисли общую длину всех
ребер куба;
2) обклей все грани бумагой одного цвета.
Сколько квадратных сантиметров бумаги потребовалось?
258
1234. Общая длина всех ребер куба 48 см. Какова длина одного
ребра?
1235. Общая длина всех ребер прямоугольного параллелепипеда
52,4 м, причем длины двух ребер 4,5 и 6.4 м. Вычисли длину
третьего ребра.
1236. Общая длина всех ребер прямоугольного параллелепипеда
64 см, длина всех ребер куба составляет 60% от этой ве-
личины. Вычисли длину ребра куба.
1237. Площади трех граней прямоугольного параллелепипеда
70 см2, 28 см2 и 40 см2. Вычисли площадь его поверхности
(т. е. сумму площадей всех его граней).
1238. Измерения прямоугольного параллелепипеда 2,5 дм, 3,2 дм и
6 дм. Вычисли площадь его поверхности.
1239. Измерь ребра какой-нибудь коробки, которая имеет форму
прямоугольного параллелепипеда. Вычисли площадь ее по-
верхности.
1240. Площадь одной грани куба 16 см2. Вычисли площадь его
поверхности.
1241. Ребро куба 9 см. Вычисли площадь его поверхности.
1242*. На рисунке 5.15 в прямоугольном параллелепипеде некото-
рые вершины соединены отрезками AG. ВН, EG и BG. Какие
Рис. 5.15
259
пары этих отрезков имеют общую точку? С какими ребрами
прямоугольного параллелепипеда у отрезка BII общая точка?
1243*. Измерения прямоугольного параллелепипеда, сделанного из
дерева. 8.2 см. 12,4 см и 8,2 см. Как можно одним распилом
вырезать из данного параллелепипеда куб? Какова будет дли-
на ребра полученного куба? Какие измерения будут у остав-
шегося прямоугольного параллелепипеда (не считая отходов
распиловки)?
5.10. Объем прямоугольного
параллелепипеда
Шкаф полностью вмещается в комнату, коробка полностью
вмещается в шкаф. Говорят, что объем комнаты больше объема
шкафа, а объем шкафа больше объема коробки.
На рисунке 5.16 изображены два прямоугольных параллеле-
Рис. 5.16
260
пипеда, которые заполнены равными кубиками. Посчитай,
сколько кубиков в одном и сколько кубиков в другом паралле-
лепипеде. Если ты посчитал правильно, то получил: в каждом
по 36 кубиков. Эти параллелепипеды имеют равные объемы,
или. говорят, что их вместимость одинакова.
Объем можно измерить и выразить числом, если задана
единица объема. За единицу измерения объема принимается
объем единичного куба, т. е. объем куба, длина ребра которого
равна I единице длины. Единицами объема являются, напри-
мер: 1 кубический сантиметр (1 см3) — объем куба, длина
ребра которого равна I см (рис. 5.17); 1 кубический дециметр
(1 дм3)—объем куба, длина ребра которого равна 1 дм;
1 кубический метр (I м3) — объем куба, длина ребра которого
равна 1 м.
Если измерения прямоугольного параллелепипеда выра-
жены натуральными числами, то его объем показывает, сколь-
ко единичных кубов нужно, чтобы заполнить его.
Выведем правило вычисления объема прямоугольного па-
раллелепипеда. Допустим, что его измерения 5 см, 3 см и 4 см
(рис. 5.18). Будем его заполнять кубиками с ребром в 1 см.
261
Если длина и ширина одной грани- будем называть ее осно-
ванием прямоугольного параллелепипеда — 5 см и 3 см, то на
ней уложится 5-3, т. е. 15 кубиков. Чтобы заполнить весь
параллелепипед, нужно уложить 4 таких слоя, так как высота
параллелепипеда равна 4 см. Следовательно, число всех ку-
биков будет: 15-4=60. Объем одного кубика 1 см3, и, значит,
объем прямоугольного параллелепипеда 1 см3-60=60 см3.
Итак, мы нашли объем прямоугольного параллелепипеда как
произведение трех его измерений: 5-3-4 (см3).
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведе-
нию трех его измерений (длины, ширины, высоты).
Если обозначим объем буквой V1, а измерения буквами
а, b и с, то получим формулу
| V = а/>с~j
Эта формула справедлива и тогда, когда измерения паралле-
лепипеда выражаются дробными числами. При вычислении по
этой формуле нужно следить, чтобы все измерения были выра-
жены одной и той же единицей длины.
Пример. Измерения прямоугольного параллелепипеда
8 дм, 2,5 дм и 6 см. Вычислим его объем.
Решение. Выразим все измерения в дециметрах. Так как
6 см = 0,6 дм, то получим:
V = 8-2.5-0,6= 12 (дм3).
Ответ. Объем прямоугольного параллелепипеда 12 дм3.
Произведение длины и ширины (а-5) представляет собой
площадь основания.
Следовательно, можно сказать, что объем прямоугольного
параллелепипеда равен произведению площади основания на
1 V — первая буква английского слова volume объем.
262
высоту. Если обозначить площадь основания
буквой S. а высоту буквой Н' (рис. 5.19).
то получим формулу
V = SH
Рис. 5.19
1244. Повтори по тексту:
1) объем какого куба равен 1 см3. 1 дм3, 1 м3;
2) как вычисляется объем прямоугольного параллелепипеда.
1245. Фигуры на рисунке 5.20 составлены из кубов, объем ко-
торых I м3. Найди объем каждой фигуры.
1246. Вычисли (устно) объем прямоугольного параллелепипеда,
если его измерения а, Ь. с равны:
I) а = 2 см 2) о = 8 дм 3) а=0,5 м
5 = 5 см 5 = 4 дм 5 = 2 м
с = 4 см с = 2 дм С=1 м
4) а = 2,5 дм
5=4 дм
с=3 дм
Н — первая буква английского слова height высота.
283
1247. Вычисли объем прямоугольного параллелепипеда, если его
измерения а. b н с равны:
I) а = 3 см 2) а = 5 дм 3) а = 2 м 4) а=13 дм
6 = 9 см b = 2,4 дм 6=1.2 м 6 = 4 м
с=4 см с=3.2 дм с = 80 см с=2,6 м
1248. Вычисли объем прямоугольного параллелепипеда, если его
измерения:
I) 5,2 м, 4 м, 3,5 м:
2) 0.8 дм. I дм, 4.8 дм;
3) 24 см, 0,6 м, 1 м.
1249. Вычисли объем своего класса.
1250. Чтобы сделать силосную яму, в земле выкопали углубление в
форме прямоугольного параллелепипеда длиной 10 м, ши-
риной 4 м и глубиной 2 м. Сколько кубических метров земли
пришлось вынуть?
1251. Длина деревянного бруса 4 м, ширина 2 дм и толщина I дм.
Чему равна его масса, если масса I дм3 дерева равна
0,65 кг?
1252. Воздух объемом 1 м3 имеет массу 1,29 кг. Какова масса воз-
духа в классной комнате, если ее длина 8.2 м, ширина 5,5 м
и высота 3 м? Ответ округли до единиц.
1253. Вычисли (устно) объем V прямоугольного параллелепипеда,
если площадь его основания S и высота // таковы:
I) S = I5cm2 2) 5 = 3,6 дм2 3) 5=12 м2 4) S = 30 дм2
// = 4 см // = 2 дм // = 0,4 м //=12 см
1254. На сельскохозяйственных работах использовали новый гру-
зовой автомобиль. Длина его кузова 4,4 м, ширина 2,3 м и вы-
сота 0,68 м. После увеличения высоты бортов объем кузова
стал в 2 раза больше. Вычисли объем кузова до и после над-
стройки. Ответ округли до единиц.
264
1255. Складское помещение имеет форму прямоугольного паралле
лепипеда. Его длина 24 м, ширина 13 м и объем 1248 м‘.
Чему равна его высота?
125В. Вычисли площадь .S' основания прямоугольного параллеле-
пипеда, если объем его V и высота Н равны:
1) К = 729 м3 2) V-11,7 дм3 3) И=965,6 м3
// = 5.4 м // = 7.8 дм // = 71 дм
1257. Водохранилище имеет форму прямоугольного параллелепи-
педа. Его длина 38 м, ширина 15 м, а вместимость 1710 м3.
Какова глубина водохранилища?
1258. Один кубический сантиметр железа весит 7.8 г. Чему равен
объем куска железа, если он весит 663 г?
1259. Длина класса 7 м, ширина 5 м и высота 3 м. В нем учатся
20 учеников. Сколько квадратных метров площади и сколько
кубических метров воздуха приходится на одного ученика
в этом классе?
1260. Сенохранилище имеет форму прямоугольного параллелепи-
педа с измерениями 16,5 м, 5,2 м и 4 м. Сколько тонн сена
может поместиться в хранилище, если I м3 сена имеет массу
54 кг?
265
Рис. 5.21
Рис. 5.22
1261. В литейной мастерской изготовили деталь, состоящую из
двух прямоугольных параллелепипедов (рис. 5.21). Сколько
кубических дециметров металла необходимо для того, чтобы
отлить л таких деталей, если п равно 25. 30, 47?
Все измерения на рисунке даны в дециметрах.
1262. Вычисли объем детали на рисунке 5.22.
Сколько тонн весит деталь, если она сделана из железа?
(1 дм3 железа весит 7,8 кг). Все измерения на рисунке
даны в метрах.
1263*. У Глеба имеется деревянный прямоугольный параллелепипед
с измерениями 8 см, 12 см и 16 см. Он распиливает его на
кубики с ребром I см и ставит их один на другой. Сможет ли
Глеб достроить вышку из этих кубиков, если даже заберется
на трехметровую лестницу?
1264*. Кусок мыла в форме прямоугольного параллелепипеда имеет
измерения 8 см, 4 см и 2 см. Ежедневно расходовали мыла
одинаковое количество. За 7 дней все измерения куска мыла
уменьшились в 2 раза. На сколько дней хватит еще этого
куска, если и дальше его будут расходовать в том же коли-
честве?
266
Для повторения
1265. Вычисли (устно):
1) 1.3-0,7 2) 0,3-0,8 3) 7,1:0,001 4) 4-0,15
3.6—1.9 0,7-0,09 0,83:10 6:0,3
2.24+1,06 6.03:3 4,3-0.01 8-0.05
0.38 + 0.8 90:0,9 0,98-1000 1,7:17
1266. Вычисли:
1) 2,4* + 5.6-0.4 2) 0.2-().5а +0,45)
0,755:2.5 -0,2* (0,84 - 0.82): 0,04
432 —43-42 (5041 — 402-318): 180
1267. Каким числом нужно заменить букву х, чтобы равенство
было верным:
I) 5,36 м2=х см2 2) 0,56 м2 = х дм5 3) 7300 см2 = х м2
3,7 см2 = х мм2 23 дм2 = х м2 49 мм2 = х см2
7,9 дм2 = х см2 0,06 га = х м2 7,2 км2 = х м2
1268. Сделай необходимые измерения и вычисли периметр и пло-
щадь фигуры на рисунке 5.23.
1269. Площадь земельного участка 78 га; 75% ее вспахано. Сколько
гектаров осталось вспахать?
1270. Сколько килограммов мяса для приготовления пищи исполь-
зовала школьная столовая за 2 дня, если в первый день
было израсходовано 102,4 кг, а во второй на 48,6 кг больше?
1271. Площади двух полей кукурузы 48 га и 75 га. а урожаи соот-
ветственно 271,2 т и 361,5 т зерна. Сравни урожаи с I га
(в центнерах) на этих полях.
Рис. 5.23
287
5.11. Объем куба. Куб числа
Любой куб является прямоугольным параллелепипедом.
Поэтому объем куба вычисляется по уже изученной формуле.
Например, если ребро куба 5 см, то его объем V=5-5-5 =
= 125 (см3).
Вообще, если обозначить длину ребра куба буквой а, то
объем его будет: V=a-a-a. Произведение трех равных множи-
телей записывают по-другому: а-а-а = о’ (читается: а в кубе).
Например. 2-2-2 = 23, 3-3-3-3Я. 10-10-10= 10'.
Обратно:
4:' = 4-4-4+ 64. 5я = 5-5-5= 125, 0,23 = 0,2-0.2-0,2 = 0,008.
Теперь можем сказать, что объем куба равен кубу его ребра
(рис. 5.24):
I
Если в каком-нибудь выражении среди других действий есть
возведение числа в куб, то необходимо учесть, что вычисление
куба числа — действие более высокой ступени по сравнению с
действиями умножения и деления (так же как и вычисление
квадрата числа, см. § 3.9). Значит, вначале нужно вычислить
куб числа, а затем выполнить умножение или деление.
П р и м е р. 3 • 2 * - 64:4' = 3 - 8 - 64:64 = 24 - ! = 23.
Pitc. 5.24
268
1272. Прочти текст и проверь, помнишь ли ты:
I) как вычисляется куб числа;
2) как вычисляется объем куба.
1273. Запиши в виде куба:
1) 6-6-6 2) 2.3-2.3-2.3 3)
9-9-9 0.9-0.9-0.9
11-11-11 7.2-7,2-7,2
1274. Вычисли:
23; З3; 4 я; 10я; 0.1я; 0,2я.
172-172-172 4) ni-ni-m
0.1-0.1-0.1 х-х-х
25-25-25 у-у-у
1275. Вычисли кубы всех натуральных чисел от I до 20. Результаты
запиши в виде таблицы.
1276. Определи по составленной тобой таблице (в предыдущей за-
даче) объем куба, если его ребро равно 4 см; 7 см; 12 дм;
16 мм; 1 дм; 19 дм.
1277. Вычисли:
22я. 36я. 102'. 5.2я, 0.8я. 0,42я.
1278. Вычисли объем куба, если его ребро 2,5 см, 8.6 м, 0,9 дм.
1279. Бак имеет форму куба с ребром 1,2 м. Сколько кубических
метров воды вмещает бак?
1280. Масса 1 см’ меди 8,9 г. Какова масса медного куба, если дли-
на его ребра 5 см?
1281. На рисунке 5.25 изображены фигуры, составленные из одина-
ковых кубиков. Вычисли их объем, если ребро куба 2 см.
1282. Вычисли;
I) (12я:900 +0,8я)-5я; 2) 8.2’+0.2322:0.43 - 0.2я.
269
1283. Экскаватор выкопал яму, имеющую форму куба. Ребро этого
куба равно 4 м. Сколько автомашин потребуется, чтобы вы-
везти всю землю, если одна машина вмешает 2,5 м3 земли?
1284. Из алюминия изготовили деталь в форме прямоугольного
параллелепипеда с измерениями 6 см, 8 см и 15 см, а из же-
леза — куб с ребром 7 см. Масса 1 см3 алюминия 2.7 г, а
1 см3 железа 7,8 г. Сравни массы этих деталей.
1285. На рисунке 5.26 изображена деталь. Она получилась, когда
из куба вырезали прямоугольный параллелепипед. Ребро
куба 12 см, а два измерения прямоугольного параллелепи-
педа 5 см и 8 см. Вычисли объем детали.
1286*. Товарный контейнер имеет форму куба, ребро которого 2 м.
В этот контейнер нужно загрузить максимальное количество
товарных ящиков, имеющих форму прямоугольного паралле-
лепипеда с измерениями 0,4 м, 0,5 м и 0,2 м. Сколько ящиков
можно загрузить в контейнер? Объясни, как их разместить.
Рис. 5.26
270
5.12. Соотношения между единицами объема
Ты уже знаешь такие единицы объема: I см3, i дм3, I м3
Выясним, как эти единицы связаны между собой. Возьмем,
например, единицу 1 дм3. Это объем куба, ребро которого
1 дм, или 10 см. Объем этого куба в кубических сантиметрах
будет: 103= 10-10-10= 1000. Значит,
|1 дм3=1000 см^
Таким же образом:
1 м3 = 1000 дм3:
Так как 1 м = 100 см, то 1 м3 = 1003 см3 = 100-100-100 см3, или
| 1 м3=1 000 000см3|
Для измерения объема жидкостей используют литр (I л).
271
Литр вмещает I дм3 жидкости:
1 л = I дм3'
При измерении очень больших объемов, например, морей и
океанов используют единицу 1 кубический километр (1 км3).
Это объем куба, ребро которого равно 1 км. Так как
1 км = 1000 м, то 1 км3=10003 м3, т. е.
1 км3 = 1 000 000 000 м3
Метеорологи подсчитали, что в виде осадков ежегодно вы-
падает на Землю около 500 000 км3 воды.
Для измерения маленьких объемов применяют единицу
1 кубический миллиметр (I мм3).
Л.
1287. Повтори соотношения между единицами длины и единицами
площади.
1288. Рассмотри цепочку следующих единиц объема:
1 мм3 —► 1 см3 1 дм3 -*• 1 м3 -► 1 км3
I) Во сколько раз каждая единица объема, начиная со
второй, больше предыдущей?
2) Во сколько раз 1 дм3 больше 1 мм3? 1 м3 больше 1 см3?
3) Во сколько раз каждая единица объема в «цепочке» мень-
ше последующей?
1289. Сколько сантиметров в 5,2 дм, 0,9 дм, 0,06 дм, 1,28 дм, 34,5 дм.
18 мм. 5.6 мм. 156 мм?
1290. Сколько квадратных сантиметров в 43 дм2, 6,4 дм2. 0,8 дм2,
123 дм2, 0,026 дм2, 780 мм2. 60 мм2, 4,9 мм2?
1291. Сколько кубических сантиметров в 3 дм3. 12 дм3, 365 дм3,
0,7 дм3, 0.021 дм3?
272
1292. Сколько дециметров в 79 мм. 3,24 м. 0,4 м, 0,08 м, 0,027 м,
53 см, 4,8 см, 12 мм, 6 мм?
1293. Сколько квадратных дециметров в 12 м2. 0.5 м2. 0,041 м2,
1,07 м2. 200 см2, 38 см2, 5 см2. 2400 мм2, 800 мм2?
1294. Сколько кубических дециметров в 4 м3, 246 м3, 15,2 м3,
0,42 м3. 0,072 м3. 25 000 см3, 8400 см3, 30 см3?
1295. Сколько кубических сантиметров в 14 м3, 1,6 м3, 0,7 м3,
0,017 м3?
1296. Что такое кубический миллиметр? Сколько кубических милли-
метров в 1 см3, 32 см3, 1,7 см3. 0,3 см3, 0,056 см3?
1297. Сколько литров в 1 м3?
1298. Сколько литров в 5 дм3, 11,2 дм3, 0,8 дм3, 2000 см3, 400 см3,
3 м3. 0.4 м3, 0,07 м3?
1299. Сколько метров в 8 км, 5,84 км, 0,325 км, 0,063 км, 0,007 км?
1300. Сколько квадратных метров в. 12 км2, 3,1 км2, 0,805 км2,
0,0007 км2?
1301. Сколько кубических метров в 2 км3, 5,8 км3, 0,07 км3,
0,000004 км3?
1302. Каким числом нужно заменить букву х, чтобы равенство
было верным:
1) 8000 см3=х дм3 2) 2000 дм3 = х м3
40 000 см3=х дм3 70 000 дм3 = х дм3
500 см3=х дм3 230 дм3=х м3
3) 18 м3 = х дм3 4) 0,5 дм3=х мм3
0,6 дм3 = х л 7 м3 = х л
2.5 см3=х мм3 0,016 м3=х см3
1303. Какими единицами объема целесообразно измерять объем
комнаты, спичечного коробка, складского помещения, плава-
тельного бассейна, молочного кувшина?
1304. Бак для воды в саду имеет форму прямоугольного параллеле-
пипеда с измерениями 1,2 м. I ми 0,8 м. Сколько литров
воды вмещает бак?
Юз» м> i> и>» 273
1305. У Гриши есть аквариум, длина которого 50 см, ширина 36 см
и высота 48 см. Сколько литров воды в него налито, если
поверхность воды находится на расстоянии 4 см от верхнего
края аквариума?
Б.
1306. Приготовили два ящика для хранения промышленных отхо-
дов. Один в форме прямоугольного параллелепипеда с изме-
рениями 2,6 м. 1,4 м и 0,8 м, а другой в форме куба с ребром
13 дм. В какой из ящиков поместится больше отходов?
1307. За I мин взрослый человек делает в среднем 16 вдохов
(выдохов), и каждый раз через его легкие проходит примерно
0,5 л воздуха. Сколько воздуха проходит через легкие челове-
ка за 1 мин? за 1 ч? за 1 сут.? Сколько килограммов весит
воздух, проходящий через легкие человека за сутки, если 1 л
воздуха весит 1.3 г? Ответ округли до единиц.
1308*. У юго-западного подножия Большого Кавказского хребта вы-
падает осадков в среднем 3060 мм в год. В то же время в при-
балтийских союзных республиках выпадает осадков в среднем
а=50см
6=36см Vя?
с = 48 см
274
600 мм в год. Сколько кубических метров осадков выпадает
на I м2 в обоих случаях? Сравни результаты.
1309*. Объем воды в озерах земного шара равен примерно
230 000 км3. Представь, что мы заполнили этой водой водо-
напорную башню, имеющую форму прямоугольного паралле-
лепипеда. Длина и ширина его основания 0,5 км и I км. Какую
высоту должна иметь водонапорная башня? Сравни ее вы-
соту с расстоянием от Земли до Луны. Недостающие данные
найди самостоятельно.
Для самопроверки
1310. Расскажи, как умножить десятичную дробь:
1) на разрядную единицу 10, 100, 1000, ...;
2) на разрядную единицу 0,1, 0,01, 0,001, ...;
3) на десятичную дробь.
1311. Расскажи, как разделить десятичную дробь:
1) на разрядную единицу 10, 100, 1000,
2) на разрядную единицу 0,1, 0,01, 0,001, ...;
3) на десятичную дробь.
1312. Вычисли (устно):
I) 100-0,815 2) 0,3-20 3) 365:100 4) 0,7:0,007
0,1-43 1000-5,2 6:0,3 1,68:4
4-1,6 0.07-0.8 0,84:0,1 4.8:0,6
1313. Вычисли:
1) 0,52-19 2) 6,8-0,081 3) 18,4:46 4) 27,75:11.1
800-4,007 4,32-87,5 4,81:200 40,8:0,17
1314. Вычисли:
1) 445,2:21-16,18 2) 12,2-152-0,003
36,1-77,04:2,4 9.34-17,8-0,04
10» 27S
1315. Вычисли:
1) 5,8-0,27-3.64-5.172;
2) (15.5:0,25 - 0.08 • 200): 2,3 — 1,3;
3) 12 - 5,3: (19,6:0,35 — 0,06-50);
4) (0,64-0,25-0,125)-3,24-4,5:100.
1316. Реши уравнение:
1) 2x4-4.78 = 9,6 2) 55,61-0.8х=4.09 3)0,84:х=7
Зх—0,37=1,604 х-0.6 = 4.5 х: 15.2= 1,05
1317. Вычисли значение выражения 4,14:i/ — 0.35х, если:
1)х=2,4 и у=1,8; 2) х= 1.6 и у=0.2.
1318. Папа купил костюм и уплатил за него п пятирублевых и
6 десятирублевых денежных знаков. Составь выражение и
вычисли стоимость костюма, если п равно 12; 18.
1319. С участка земли прямоугольной формы, длина которого
360 м, а ширина в 1,5 раза меньше, собрали 216 т картофеля.
Каков средний урожай с I га?
1320. Одна сторона треугольника 26,5 см, вторая в 1,2 раза длиннее
первой, а третья на 2,6 см короче второй. Вычисли периметр
треугольника.
1321. Каждый рабочий бригады из 12 человек получил одинаковые
зарплату и премию. Общая сумма зарплаты оказалась
1458 р., а общая сумма премии 280,8 р. Сколько денег получил
каждый член бригады?
1322. Мотоциклист за 1,8 ч проехал 130,5 км. Какое расстояние он
проехал за 2,2 ч, если скорость его не изменилась?
1323. Купили 0,6 кг сыра по цене 2,8 р. за 1 кг. Сколько получили
сдачи с 3 р.?
1324. Что называется средним арифметическим данных чисел?
1325. Спортсмен в каждый из трех дней тренировок пробежал
соответственно 6,42 км, 8,64 км и 10,38 км. Сколько километ-
ров в среднем за день пробегал спортсмен?
276
1326. Что такое 1%?
1327. Вычисли:
I) 15% от 64,2; 2) 36% от 470; 3) 120% от 3.8.
1328. На школьной Доске почета 40 учеников, из них 60% пионеры.
Сколько пионеров на Доске почета?
1329. Сколько ребер, вершин, граней у прямоугольного параллеле-
пипеда? у куба?
1330. Какую форму имеют грани куба?
1331. Как вычислить объем куба и прямоугольного параллелепи-
педа?
1332. Измерения прямоугольного параллелепипеда 4,8 дм, 5,2 дм
и 3,6 дм. Вычисли общую длину всех его ребер.
1333. Ребро куба 0,82 м. Вычисли общую длину всех его ребер.
1334. Сколько кубических дециметров в 8 м3, 300 см3. 23 л, 0,4 м3,
0,64 м3?
1335. Сколько кубических метров в 39 000 дм3, 420 л, 52 400 см3,
720 дм3. I 340 000 см3?
1336. Вычисли объем прямоугольного параллелепипеда, если его
измерения 5 м. 2.8 ми 1,6 м.
1337. Вычисли объем куба, если его ребро 2,2 дм.
1338. Хранилище автомобильного масла имеет форму прямоуголь-
ного параллелепипеда, измерения которого 2,5 м, 1,6 м и
0,8 м. Сколько литров масла вмещает хранилище?
1339. 1 дм3 железа весит 7,8 кг. Сколько будет весить двухметро-
вый железный брус, если его сечение — квадрат со стороной
5 см?
6. Повторение курса 5 класса
6.1. Натуральные числа
При решении задач на повторение может оказаться, что не-
которые понятия уже забыты. В таком случае найди в учебнике
по оглавлению или предметному указателю эти разделы и повто-
ри. Ты даже можешь устроить с соседом по парте соревнование,
кто быстрее найдет нужный материал для повторения.
А.
1340. Прочти числа. Из каких разрядов они состоят:
23 001, 50 300 407, 805 430, 7430, 600 000, 2 020 006?
1341. Запиши цифрами следующие числа:
I) восемь тысяч тридцать четыре;
2) три миллиона семьсот тысяч двести;
3) девять тысяч двести сорок!
4) два миллиарда шестьдесят миллионов;
5) один миллиард пять тысяч четыре.
1342. Округли:
I) до десятков: 2436, 854, 17 345, 698;
2) до сотен: 725, 1857, 43 974, 5403;
3) до десятков тысяч: 628 321, 1 745 706, 53 628.
278
1343. Какие законы сложения и умножения упрощают устный
счет? Покажи на примерах применение этих законов.
1344. Вычисли (устно):
I) 12004-900 2) 1708 - 502 3) 32-1000 4) 1500:30
66994-600 5400-1300 50-31 2000:100
3204-180 1600-900 9-104 405:5
5) 684-354-12 6) 5-39-20 7) 6-94-4-9
764-244-37 4-12-25 10-234-10-17
87-48-7 40-5-7 4-56-4-6
1345. Вычисли (устно):
1) 2000:40 4-150-200
7-40-1804-39
47-63:34-24
2) (35004-200 - 700)-4
(574-20 — 7):7
(420-2004-80): 30
1346. Вычисли:
1)4-31285 2)540-320 3)5124:12 4)8056:212
260-900 942-23 1856:8 36036:143
802-438 5050-66 17 000:5 273000:1300
1347. Вычисли:
1) 358 074 4-64 9384-43
15 947-9834-26 473
1111 111 4-99-10 200
2) 35-3804-78 430:23
1387-387:94-5-126
91 000-2006-454-1407:7
1348. Вычисли:
1) (6424-1836): 413
8(8976:224-92)
(6000-7-820): 13
2) 40 784 4-846-(13 8434-787)
1560: (52-36-20-91)
68834- (706-350 — 4 7 000) :300
1349. Вычисли значение выражения, если х равно 3; 12; 48:
1) 105х—315; 2) 672:х4-1009.
279 '
1350. Вычисли значения s по формуле $=920/, если t равно
1,3; 5.
1351. Площадь поля 74 га, причем вспахано х га. Составь выра-
жение для вычисления площади невспаханной части поля.
Вычисли ее. если х равно 29; 48; 74.
1352. Имелось х тетрадей, их разделили поровну между 25 детьми.
Сколько тетрадей получил каждый ребенок? Составь выра-
жение и вычисли его значение, если х равно 50; 150; 200.
1353. Рыбоводческий колхоз продал за год х т форели, а карпа на
35 т больше, чем форели. Составь выражение для вычисления
массы проданной рыбы. Вычисли ее, если х равно 60; 83; 127.
1354. Упрости выражение и вычисли его значение, если х равно 18;
27; 14: 1) 9x4-12*; 2) 46х-16х; 3) 147х-47х4-8.
1355. Раскрой скобки:
1) 2(3 —л) 2) (8 + *)-5 3) 8(а + 7) 4) 5(Зх-7у-9)
7(104-*) (</-9).24 16(7 4-11) 6(1—2а-Ь8а).
1356. Реши уравнение:
1) 32*-512 2) «/:23 = 78 3) «-85=1476
5004-z = 780 3148 — 1 = 969 7035:х=67.
1357. (Устно.) Высота Эльбруса — 5624 м, а Казбека -5033 м.
На сколько метров Казбек ниже Эльбруса?
1358. (Устно.) Домашний голубь делает в среднем 5 взмахов
крыльями в секунду. Сколько взмахов сделает голубь за
I мин?
1359. Колхоз обязался сдать государству 875 т картофеля. Сначала
было сдано 684 т. а затем еще 317 т. На сколько тонн колхоз
перевыполнил обязательство?
1360. В швейной мастерской сшили из 424 м ткани платья, а из
159 м ткани рубашки. На каждое платье пошло 4 м, на каж
дую рубашку 3 м ткани. Чего сшито меньше — платьев или
рубашек — и на сколько?
280
1361. Вадик ходит со скоростью 80 м/мин. Он выходит из дома в
8 ч 35 мин и приходит в школу в 8 ч 50 мин. На каком расстоя-
нии от школы живет Вадик?
1362. Один рабочий изготовил за час 35 деталей, а другой за
такое же время на 4 детали меньше. Сколько деталей изго-
товили они за 5 ч, работая вместе?
1363. Молодняк скота дает прирост в массе в среднем за сутки
850 г. Какой прирост общей массы даст стадо молодняка,
состоящее из 43 голов, за 25 дней?
1364. Начерти отрезок ДВ = 47 мм.
1365. Начерти отрезок и отметь на нем точки А, В и С. Измерь длины
всех полученных отрезков.
1366. Начерти прямоугольник со сторонами 52 мм и 34 мм. Вычисли
его площадь и периметр.
1367. Начерти квадрат со стороной 6 см. Вычисли его площадь
и периметр.
1368. Какие углы называются острыми? тупыми?
1369. Начерти:
I) острый угол KLM', 2) тупой угол F. Измерь их транспор-
тиром.
1370. Начерти с помощью транспортира углы в 35°, 62°, 114°, 150°.
1371. Начерти произвольный треугольник, измерь транспортиром
его углы.
1372. Начерти произвольный четырехугольник, измерь транспорти-
ром его углы.
1373. Вычисли величину угла АВС (рис. 6.1).
281
1374. Сколько вершин, ребер и граней у прямоугольного паралле-
лепипеда?
1375. Комната имеет измерения 3 м, 4 м и 5 м. Вычисли объем
комнаты.
1376. Ребро куба 8 дм. Вычисли объем куба.
1377. Вычисли:
I) 207-32:72—(21 140:7-43-70):5;
2) (701 • 83 - 205 • 99 - 37 888): (4800:120 + 260);
3) 54 944 - (48 072 — 24 - 83) 4- 4 • 3006;
4) 503’ —815;
5) (174-ЯбЛ
в, <144- 7) 2’4-7.12; 8) (97-81)".
1378. Вычисли по формуле х=(42а4-5):67 значение х, если
а —67 и 5 = 7035.
1379. Реши уравнение:
1) 3x4-7x4-352 = 4962 2) 21х-5х-84 = 940
17(2х—1)4-82 = 473 (3/4-41)-28 - 248 = 3000
1380. Найди недостающие числа в цепи вычислений:
n - ь 4-150 . -5 :250 _ с
1) а - —» о-----► с---► а-------► 6;
2) 2400 :х . 30 +!|. 180 * 900^^-0.
1381. В школьном саду на 11 грядках посадили 426 цветов, причем
на 6 грядках посадили по 36 цветов, а остальные рассадили
поровну на 5 грядках. Поставь вопросы и ответь на них.
1382 В двух хранилищах было 94 ц свеклы. Когда из каждого
хранилища взяли одинаковое количество свеклы, в одном из
них осталось 23 ц, а в другом 37 ц. В каком хранилище было
первоначально больше свеклы и на сколько?
282
1383. Из одного города в другой выехали одновременно автобус
со скоростью 53 км/ч и легковой автомобиль со скоростью
70 км/ч. Через 3 ч автомобиль прибыл в другой город.
Сколько километров осталось еще проехать автобусу?
1384. Школа закупила новые столы, по 23 р. каждый, на сум-
му 5750 р. В восьми классных комнатах разместили по 17
столов, остальные распределили поровну в шести клас-
сных комнатах. Поставь содержательные вопросы и ответь
на них.
1385. Детский парк открывается в 10 ч утра. Дети одного двора
пришли в парк через 20 мин после его открытия, 15 мин они
потратили па приобретение билетов. 2 ч 10 мин участвовали в
различных играх и 45 мин потом добирались домой. В котором
часу дети вернулись домой?
1386. Ширина прямоугольника п см, а длина его в 2 раза больше
ширины. Составь выражение для вычисления периметра
прямоугольника. Вычисли периметр, если п равно 12; 45; 97.
1387. На складе было tn т зерна. В течение дня со склада было
вывезено п машин зерна вместимостью по 3 т каждая.
Сколько тонн зерна осталось на складе, если т=26 н
л = 5?
1388. Чтобы добраться из деревни до шоссе, машине пришлось
12 км ехать по проселочной дороге. А чтобы затем по шоссе
доехать до города, нужно было ехать еще / ч со скоростью
н км/ч. Каково расстояние от деревни до города, если 1 = 2 и
о=61?
1389. Одни цех завода в течение недели изготовил продукции на
16 528 р., а другой на сумму в 2 раза большую, чем первый.
На какую сумму изготовили продукции оба цеха вместе
за неделю?
1390. Найди все натуральные значения х, при которых выпол-
няется неравенство:
I) х<10; 2) х<24.
283
1391. Прямой угол разделен на 2 части так, что:
1) одна часть на 60° больше другой;
2) одна часть на 6° меньше другой;
3) одна часть в 4 раза больше другой.
Найди градусную меру каждой из полученных частей во
всех указанных случаях.
1392. Сторона квадрата равна меньшей стороне прямоугольника,
площадь которого 432 дм2 и большая сторона 36 дм. Во
сколько раз периметр прямоугольника больше периметра
квадрата?
6.2. Дробные числа
1393. Объясни на примерах, что показывают числитель и знаме-
натель обыкновенной дроби.
1394. Прочти дроби и объясни, что они означают:
7 2 5 39 437
9 ’ 10 ’ 24 1 100 1 1000 ’
1395. Напиши 3 правильные и 3 неправильные дроби.
1396. Выдели целую и дробную части дроби:
13 60 123 87 563
5 ’ 12 * 100 ’ 10 ’ 24 '
1397. Вычисли:
15 6
21 56 39
' 100 юо
100 100
J6 ,24
ЗО^ЗО
9 216
1000 “Г 1000
1398. Что больше: Ц или Ц? 1-1 или 2? -1 или -1? или
284
Рис. 6.2
В J р С|
0 1 2 3 4 5 6
1399. Прочти числа и назови все разряды:
4,08; 0,217; 43,2016.
1400. Какие числа соответствуют точкам А, В, С. D, Е и F
(рис. 6.2)?
1401. Начерти числовой луч, изобрази на нем числа
0; 1,5; 3.5; 4±; 5; 1.
1402. Расположи числа в порядке возрастания:
1) 4,39; 15,6; 4; 4,4;
2) 120,01; 120,1; 15 608; 100.
1403. Округли:
1) до единиц: 7,398; 0,391; 49,586;
2) до десятых: 0,383; 5.6541; 72,64;
3) до сотых: 6,3751; 0,0223; 100,401.
1404. Вычисли (устно):
1) 90,14-9,9 2) 8.6 —4,4 3) 0.3-0.7 4) 3,6:0,09
8,2 4-1.3 9,68 — 5,28 20-0,42 5,5:5
6.124-3.45 0,47 — 0,42 0.05-0.4 1780:100
5) 0.8 4-254-1.24-5 154-3.8-7-0,8 4.3 4-3.8 4-2.2 4-0,7 1405. Вычисли: 1) 7,8-5,304 319.274-6.743 900—131,7 6) 0.3-1004-4-0,1 1,5:0,3-70:100 10-0.08 4-0.01-0.3 2) 39764-28.54 4-4.06 700 - 640,8 - 6,37 0.37184-0.00424-0.604
1406. Вычисли:
1) 47-0,82 2) 6070-0.125
0,013-54 0,4002-8,4
20,9-2,6 78.25-0,18
1407. Вычисли:
0 1.476:0.3-0,2
76-15,75:0.9
60:1204-0,9-0,14
2.24974-2.515:50-1.25
1.4:0.254-0.075-4200
3) 104:16 4) 8.03:1.1
247,2:24 420:0.14
0.412:0,4 1,6032:0,16
2) (16-0,124-2.88):0,24
(18 —2,7)(3,29 —2,35)
(732-32:0.08)-0,6
4.7- 1,3(8 -6.2)
(270-0.34-450): 30
1408. Вычисли значение выражения:
I) 2а —0,32; 2) 0.484-0.7а; 3) 54.24-а:3. если а равно
0.174; 3,15; 59,4.
1409. Вычисли значение выражения 0.8* —0,06://. если:
I) *-5.4. 2) х-12,5, 3) *-30. 4) *-1000,
«/—0.2; «/ — 0.12; у-0,0032; у-0,0001.
1410. Реши уравнение:
1) 208:*-260 2) 3.2//-33,28 3) *4-54 - 88.8
7.87 —*—6.07 /:340—101 *-0,7-1,43
0.864-0-Ю.5 *-0,017-0.0626 2.U-0.I47
0,01 * = 0,731 9,6 —* — 5,92 0,385: у = 0.35
1411. Купили b кг печенья по а р. за I кг. Обозначь стоимость
печенья через * и составь формулу для вычисления *. Вы-
числи стоимость печенья, если:
1) в-1.2 и 6=1,4; 2) а —2.4 и 6-0,75.
1412. По формуле пути s = vl вычисли s, если:
1) а = 32,4 км/ч .и /=3 ч;
2) у = 80,4 км/ч и /=4 ч.
286
1413. Поезд выходит из одного города в 8 ч 15 мин и приходит
в другой в тот же день в 20 ч 15 мин. Сколько километров
в среднем проходит поезд за 1 ч, если расстояние между
городами 810 км?
1414. Велосипедист проехал трассу длиной 103,5 км со скоростью
34,5 км/ч. Сколько времени ехал велосипедист?
1415. Скорость лодки в стоячей воде 13,4 км/ч, а скорость те
чеиия реки 1,7 км/ч. Какое расстояние пройдет лодка за
3 ч против течения?
1416. Каким числом следует заменить букву х. чтобы получилось
верное равенство:
1)0,58 км =хм 2)
34 см — х дм
63 м — х км
4) 26 700 м’-х га
8500 дм7—х м7
465 000 м’ = х км7
6) 7200 см*»* л
0,04 м’-х см’
91 200 дм’ = х м’
8) 42 т-х и
8 ц-ж т
0,48 г — х кг
35 мм=х см
6.4 дм—X см
0,3 дм — х км
3) 4,6 дм7 —х см7
7.4 га = х м7
964 см7 = х дм’
5) 0.8 м’—х дм'
4.7 л —х дм’
1800 мм' —х см’
7) 9,54 кг = х г
32,6 ц«=х кг
52 000 кг—х т
9) 0.19 р.=х к.
58 к. —х р.
170 р. = х к.
1417. В 1975 г. в районе было 575 врачей, а в 1985 г. уже
925 врачей. Во сколько раз увеличилось число врачей в
районе за эти годы? Ответ округли до десятых.
1418. В зависимости от времени года площадь озера Балхаш
уменьшается с 22 тыс. км7 до 17,5 тыс. км7. Во сколько раз
уменьшается площадь озера Балхаш? Ответ округли до де-
сятых.
1419. Гриша живет от школы на расстоянии 0.84 км, а Юля на
1,36 км дальше, чем Гриша. Какое расстояние пройдут от
дома до школы и обратно Гриша и Юля в течение 6 дней?
287
1420. В грузовую машину можно уложить 35 ящиков с товаром,
каждый вместимостью 48,2 кг, и 80 ящиков вместимостью
12,6 кг каждый. Вычисли массу товара, нагруженного в ма-
шину (в тоннах).
1421. Папа Димы весит 86,5 кг. Дедушка Димы весит на 18,7 кг
меньше, чем папа. Дима весит в 2,4 раза меньше, чем де-
душка. Сколько весит Дима?
1422. Купили 1,4 кг сыра по 2,9 р. за килограмм н 0,8 кг рыбы
по 1,8 р. за килограмм. Сколько получили сдачи с 10 р.?
1423. Один автомобиль перевозит за час 15,6 т груза, а другой
12,4 т. Сколько тонн груза перевезут оба автомобиля за
8 ч, работая вместе?
1424. Что такое 1%? Вырази в процентах:
тяг: °08- °-72- I.*1.0.565.
1425. Запиши обыкновенной и десятичной дробью:
17%; 2%; 69%; 134%; 53%.
1426. Вычисли:
I) 10% от 50
25% от 120
30% от 390
2) 40% от 130 р.
85% от 140 р.
64% от 320 м
3) 20% от 16 т
96% от 250 т
4,5% от 60 км
1427. На каждые 100 км пробега расход дизельного топлива у авто-
буса планировался в количестве 33 кг. После регулировки
двигателя расход топлива составил 90% планируемого. Вы-
числи расход топлива на каждые 100 км после регулировки
двигателя автобуса.
1428. Поясни на примере, как найти среднее арифметическое
нескольких чисел.
1429. Тоня за лето 4 раза участвовала в соревнованиях по прыжкам
в длину. Ее результаты были 3,96 м. 4,02 м, 3,74 м и 4,15 м.
Вычисли средний результат прыжка. Ответ округли до сотых.
288
2--------2------------------------* Рис. 6.3
РвсМ А--------------------?-----?
1430. На рисунке 6.3 СЕ — 16,4 см и DE = 12,6 см. Вычисли длину
отрезка CD. Во сколько раз отрезок DE длиннее отрезка CD?
Ответ округли до десятых.
1431. На рисунке 6.4 АВ — 9.6 дм и ВС*=2,1 дм. Вычисли длину
отрезка АС. На сколько отрезок ВС короче отрезка АВ?
1432. Длина прямоугольника 39,2 м. а ширина на 12,9 м короче
длины. Вычисли площадь и периметр прямоугольника.
1433. I) Сколько прямоугольников изображено на рисунке 6.5?
2) Сделай необходимые измерения и вычисли площадь и пе-
риметр каждого прямоугольника на этом рисунке.
1434. Длина парка прямоугольной формы 520 м, а ширина 410 м.
Вычисли периметр парка в километрах, а площадь в гектарах.
1435. Ящик в форме прямоугольного параллелепипеда имеет из-
мерения 0,6 м. 1,2 м и 1.5 м. Вычисли объем ящика. Ответ
округли до десятых.
1436. Ребро бака кубической формы 14 дм. Сколько литров воды
вмещает бак? Ответ округли до десятых.
1437. Вычисли общий объем всех ящиков, имеющих форму куба
(рис. 6.6), если ребро каждого куба равно 0,5 м.
289
1438. В 1973 году в городе было 69 троллейбусов, в 1984 году 151,
а в 1988 году 184 троллейбуса. Па основании этих данных
начерти столбчатую диаграмму.
1439. Утки могут летать на высоте до 800 м. аист до 900 м. ласточки
до 2000 м It орлы до 3000 м. Начерти по этим данным ли-
нейную диаграмму.
Б.
1440. Вычисли:
1) (87,05-2,7 — 55,68:32) -0.8:0,02;
2) 522.348:87 + 2.7 • (0,84 -0.128:0.16);
3) 6400-0.0145- (1272.6:0.42-3000) +67.2;
4) (0.7:1,4-0.02) :0,012 + 1,6- (0.548-0.023).
1441. Найди все натуральные числа, которые находятся на число-
вой оси между числами:
I) 998 и 1002; 2) 100,2 и 105,1; 3) 499 и 500,7;
600,8 и 601,8; 405,7 и 405,9; 0,001 и 1,01.
1442. Найди по формуле х=8а — 2(3а-- 15.6) значение х, если а
равно 5,2; 6; 9,5; 15,6.
1443. Реши уравнение:
1) 7.2(5.4х-3.2) + 7.024-11.2; 2) 3.1 (/+2)+4.2/-57,3.
1444. Когда самолет пролетел 1200 км со скоростью 800 км/ч.
ему осталось лететь еще 425 км. Последний участок пути
он летел со скоростью 850 км/ч. Сколько времени продол-
жался полет?
1445. Поезд вышел из города А в 7 ч 10 мин и через 3 ч 15 мин
прибыл в город В. находящийся на расстоянии 200 км от
города А. Автобус вышел из города А на 10 мин позже
поезда и прибыл в город В на 5 мин раньше поезда. Поставь
вопросы и ответь на них.
290
1446. В некоторых государствах за единицу длины принимается
I миля; I миля «1,6 км. Превышает ли автомобиль разре-
шенную у нас скорость 90 км/ч. если спидометр показывает
40, 50, 55, 60 миль в час?
1447. Лодка прошла путь против течения за 1.5 ч со средней ско-
ростью 16.8 км/ч. Скорость течения была 1.1 км/ч. Сколько
времени потребуется на тот же путь по течению? Ответ
округли до десятых.
1448. Автомобиль прошел расстояние 202,5 км за 3 ч. Поезд за
тратил на тот же путь на I ч больше На сколько скорость
автомобиля больше скорости поезда?
1449. Купили 4 кг яблок по 0,8 р. за I кг и 3 кг апельсинов, за
которые заплатили на 2,8 р. больше, чем за яблоки. Сколько
стоил I кг апельсинов?
1450. Из пруда выловили 20 карпов. Пять карпов весили по
0,85 кг. четыре по 0.3G кг. три по 0.94 кг и остальные
по 0,62 кг. Вычисли среднюю массу карпов. Ответ округли
до сотых.
1451. С одного поля площадью 3 га собрали урожай ячменя
94,5 ц, а с другого поля площадью 9 га собрали 310,5 ц, Вы-
числи средний урожай ячменя с I га. Ответ округли до деся-
тых центнера
1452. Контролеры обнаружили, что из 5000 микрокалькуляторов,
собранных на автоматической линии, 97% работает безот-
казно. Поставь вопросы и ответь на них.
1453. Требуется обнести проволочной сеткой высотой 1,2 м сад
четырехугольной формы, стороны которого 27 м, 33 м. 22 м и
19 м. Сколько потребуется квадратных метров сетки?
1454. На рисунке 6.7 /1D==56.4 см и АВ }-CD==38.7 см. Вычисли
длину отрезка ВС. Во сколько раз длина отрезка ВС меньше
оставшейся части отрезка AD? Ответ округли до .десятых
ABC D
Рис. Н.7 ‘---1-------- —»
201
Рис. 6.8
1455. Земельный участок состоит из двух частей: одна часть имеет
форму квадрата, а другая — прямоугольника (рис. 6.8).
Сторона квадрата 20 м. а большая сторона прямоуголь-
ника составляет 65% периметра квадрата. Сравни площади
участков.
1456. Почему длина ломаной больше, чем расстояние между кон-
цами ломаной? Найди объяснение в § 1.11.
1457. Сторона квадратного жестяного листа равна 1,5 м. Лист
разрезали на куски прямоугольной формы с измерениями
1 м и 0.2 м. Выясни с помощью чертежа, как получить
наибольшее количество прямоугольников.
1458. Выполни необходимые измерения и вычисли площадь и пери-
метр фигуры на рисунке 6.9.
1459. Измерения прямоугольного параллелепипеда, сделанного из
ясеня. 8 см, 6 см и 4 см. Ребро куба, сделанного из бальзового
дерева, 12 см. Масса 1 см3 ясеня 0,75 г. а 1 см3 бальзового
дерева 0,25 г. Сравни объемы и массы прямоугольного
параллелепипеда и куба.
292
пипед (рис. 6.10). Два измерения параллелепипеда — 8 см
и 10 см. Вычисли объем оставшейся части куба.
1461. Предположим, что в твоей квартире необходим ремонт: на-
до покрасить все полы и во всех комнатах наклеить
обои. Определи стоимость краски, обоев и- всего ремонта.
Постарайся все необходимые данные получить само-
стоятельно.
1462. Твой класс собирается по окончании учебного года организо-
вать экскурсию. Деньги на проезд по железной дороге ре-
шили заработать самостоятельно—на прополке. Сколько
дней нужно отработать каждому ученику? Получи самостоя-
тельно необходимые данные для решения задачи.
6.3. Для любителей математики
1463. Расположи в таблице на рисунке 6.11 числа 3, 6, 9.27 так,
чтобы сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце была
одна и та же.
1464. В кругах расположи числа от 11 до 16 так, чтобы сумма чисел
на всех сторонах треугольника была одинаковой (рис. 6.12).
1465. В двузначном числе количество десятков в 4 раза меньше
количества единиц, а сумма цифр этого числа равна наимень-
шему двузначному числу. Что это за число?
1466. Используя знаки действий, а при необходимости и скобки,
запиши числа 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 и 10 четырьмя двойками.
293
1467. Сколько существует трехзначных чисел, запись которых со-
держит хотя бы один нуль?
1468. Найди числа, квадраты которых имеют вид **6 и 0**. если
известно, что недостающие цифры этих квадратов составляют
равные двузначные числа.
1469. Запиши число 1000, используя знаки действий и шесть раз
цифру 3.
1470. Оъясни, почему можно утверждать, что при умножении до-
пущена ошибка:
Х
♦•»3
1471. Замени звездочки цифрами, если известно, что сумма цифр
первого слагаемого II, а второго 10:
5** + »2» + »5*= 1000.
1472. Зоина бабушка развела гусей и кроликов, у которых вместе
25 голов и 54 лапки. Сколько гусей и сколько кроликов у
бабушки?
294
1473. Как отмерить 4 л воды с помощью трехлитрового и пяти-
литрового сосудов?
1474. У мальчика столько братьев, сколько сестер, а у его сестры
братьен в три раза больше, чем сестер. Сколько мальчиков
и сколько девочек в семье?
1475. Сейчас Мите 11 лет, а Мише 3 года. В каком возрасте будут
дети, когда Митя будет в 2 раза старше Миши?
1478. Мама в 2 раза старше своей дочери, а возраст бабушки
равен сумме возрастов мамы и дочери. Общая сумма возрас-
тов дочери, мамы и бабушки равна 120 годам. Сколько лет
бабушке, маме и дочери?
1477. У Сережи спросили, сколько ему лет. Сережи ответил, что
если сложить половину его возраста, затем четверть его
возраста плюс еще 3 гола, то получится его возраст. Сколько
лет Сереже?
1478. Яблоко и груша вместе стоят 17 к. Пять яблок и две груши
стоят 55 к. Сколько стоит одно яблоко и сколько одна груша?
1479. Улитка ползет по столбу, высота которого 10 м. За день
она проползает 4 м вверх, а ночью соскальзывает на 3 м вниз.
За сколько дней доползет улитка до конца столба?
295
1480. Стоимость книги равна 62 к. плюс половина стоимости книги
Сколько стоит эта книга?
1481. В одной копилке собраны только 20-копеечные, в другой
только 10-копеечные и в третьей только 5-копеечные монеты,
причем в каждой копилке одинаковое количество монет.
Сколько рублей в каждой копилке, если во всех трех вместе
14 р.?
1482. Дети организовали выставку своих животных. Из числа пред-
ставленных на выставку животных 18% были свинки, 40%
собаки, а еще 21 кошка. Сколько животных было на вы-
ставке?
1483. 67 мальчиков и 41 девочка сидели в спортзале на трех рядах,
причем в каждом ряду сидело одинаковое количество детей.
В 1-м ряду мальчиков было в 5 раз больше, чем девочек.
Во 2-м ряду мальчиков было на 14 больше, чем девочек.
Сколько мальчиков и сколько девочек было в каждом ряду?
1484. Коля сосчитал, что подаренные конфеты можно разделить
поровну на пятерых друзей. Если же делить конфеты на двоих
или четверых друзей, то всякий раз будет оставаться одна
лишняя конфета. Сколько конфет было у Коли, если известно,
что их было меньше 50?
1485. Галя, Света и Ваня живут в одном доме. Каждый из них за-
нимается музыкой: пением, игрой на пианино или на скрипке
Известно, что:
I) Света живет на том же этаже, что и певец;
2) пианист и Ваня ходят в разные классы;
3) Галя и певец родились в один день.
Чем занимается каждый из них?
1486. Олег. Игорь и Оля учатся в одном классе. Среди них есть
лучший математик, лучший спринтер и лучший художник
класса. Известно, что:
1) лучший художник не нарисовал своего портрета, но нари-
совал портрет Игоря;
296
2) Оля никогда не уступала мальчикам в спринте.
Кто в классе лучший математик, лучший спринтер и лучший
художник?
1487. В кругу сидят Иванов, Петров, Марков и Карпов. Их имена:
Андрей, Сергей, Тимофей и Алексей. Известно, что:
1) Иванов не Алексей и не Андрей;
2) Сергей сидит между Марковым и Тимофеем;
3) Карпов не Сергей и не Алексей;
4) Петров сидит между Карповым и Андреем.
Как зовут Иванова, Петрова, Маркова и Карпова?
1488. Продолжи каждый из рядов:
1) 6. 8, 16, 18, 36, ... ; 2) 15. 24. 35. 48. 63, ... ;
3) 9. 11. 31, 33, 53, ... ; 4) 2. 3, 6. 7. 10. 11, 14.
1489. Отрезок АВ разделен некоторой точкой на две части. Расстоя-
ние между серединами этих частей 5,6 дм. Какой длины от-
резок Afl?
1490. На плоскости 10 точек, но никакие три из них не лежат на
одной прямой. Через каждые две точки проведена прямая.
Сколько таких прямых можно провести?
1491. Сколько различных путей идет из точки А в точку В на ри-
сунке 6.13? Ни в одну точку по одному и тому же пути нельзя
прийти более одного раза.
1492. Прямоугольный параллелепипед с измерениями 6 дм. 12 дм и
15 дм разрезали на кубики с ребром, равным 5 см. Какую
длину имела бы цепочка из кубиков, если бы их выстроили
в один ряд?
1493. Ребро куба 6 см. Грани куба выкрасили в красный цвет, а
потом куб разрезали на равные кубики с длиной ребра в
1 см. Сколько маленьких кубиков имеют:
I) одну красную грань;
2) 2 красные грани;
3) 3 красные грани;
4) ни одной красной грани?
1494. Сколько квадратов изображено на рисунке 6.14?
1495. Сколько треугольников и сколько четырехугольников изо-
бражено на рисунке 6.15?
Рис. 6.15
Рис. 6.14
ОТВЕТЫ
Глава I
311. 405 000 300. 500 060. 706. 13 008. 8 000 000 000 312. 8607. 8570, 86 007.
806 700. 860 700. 8 600 000 314. I) 906 079, 10 815 180. 58 265; 2) 41321.
51 500. 10 436. 315. 11 870. 70. 23 700; 2 ) 6000. 43 000. 123 000; 3) 8 600 000.
400 000. 6 000 000. 316. НО т 200 кг. 317. И 235 р. 318. На 18 364 кг. на
131 827 кг. 319. Лимонов больше на 520 г. 324. 38 см. 325. 41 дм
Глава 2
556. I) 3 124 680. 3 528 000; 2) 402. 580: 3) 304. 80. 557. 1) 3870; 2) 2646.
558. 12 р. 559. 3360 м. 2890 м 560. 36 км. 561. 4 /и+ 13; 33 р„ 29 р.
562. П 12*-28; 2) I2/J-I6; 3) 99 + 22с. 563. I) Нм; 2) II». 3) 8и + 7.
564. I) 388. 39; 2) 4178, 169; 3 ) 518, 23. 565. I) 864’; 2196. 2) 38.0
Глава 3
728. 1| 200; 2) 48. 732. Р = 89 + 2с. 245 см; < не может равняться 10 по
свойству сторон треугольника. 734. 98 га. 735. 12 мин 30 с.
Глава 4
997. I) !?. 2) I. 3) I-—;-. 998. I) 3{|; 2) 7^; 3) 2-^. 1000. 0.4 ; 0.6;
50. 92. 600; 280 1001. 0,03, 0,08; 0.2; 0.4. 3.8; 6.02; 5000; 14 000. 1002. 400.
1800. 640. 30 000. 80 000. 1003. 35. 200. 1200, 30 000, 5000 1004. 0.02.
0.7. 5.06; 5.6. 7.6. 1005. 1.2. 1.094; 1,084; 0,708; 0,7008. 1007. I) 197.4; 587.44.
0.285; 2) 126,006 , 864.978; 86.7357 1008. I) 5380,189; 606,64 ; 3 491,0121;
2) 4 665,7895; 313.99; 193.205. 1009. I) 238.71; 2) 885,32; 3) 271.03. 4 ) 766,1
ЮН. I) 14,9; 2 ) 65.6: 3 ) 94.44 1 012. 0,93 м. 1013. 164,1 м 1014. 10.38 кг
1015. 17,8 км/ч; 13.6 км/ч.
Глава 5
1313. I) 9.88; 3205,6; 2» 0,5508; 378; 3) 0.4; 0,02405; 4) 2.5; 240. 1314. I) 5.02;
4; 2) 11.744. 10.012. 1315. I) 10; 2) 18.7. 3) 11,9; 4) 2,365. 1316. 1) 2.41.
0.658, 2 ) 64,4. 7.5; 3» 0.12. 15.96. 1317. I) 1.46; 2) 20.14. 1318. 120 р. 150 р
1319. 250 ц. 1320. 87.5 см. 1321. 144,9 р. 1322. 159.5 км. 1323. 1,32 р
1325. 8,48 км. 1327. I) 9.63; 2) 169.2; 3) 4.56. 1328. 24 1332. 54.4 дм
1333. 9.84 м 1334. 8000; 0.3; 23; 400; 640. 1335. 39; 0,42. 0.0524; 0.72; 1.34
1336. 22.4 м' 1337. 10.648 дм1. 1338. 3200 л. 1339. 39 кг.
299
Предметный указатель
Ар 151
Арабские цифры 8
Буквенное выражение 17
Верста 178
Вершина угла 122
Виды углов 124
Вычитаемое 33
Вычитание 33, 172, 202
Гектар 151
Градусная мера 127
Деление 96
Делимое 96
Делитель 96
Десятичная дробь 180
Десятичная система 5
Десятичные знаки 181
Диаграмма 64
Дробная часть дроби 168. 181
Дробное число 156
Единицы длины 51
Единицы объема 261, 271
Единицы площади 145, 151
Единичный квадрат 145
Единичный куб 261
Единичный отрезок 59
Занони е-<"кения 24
Загоны умножения 74. 78
Знаменатель дроби 157
Квадрет 14;
Квадрат числа 148
Класс единиц 6
Класс миллиардов 6
Класс миллионов 6
Класс тысяч 6
Корень уравнения 44
Куб 256
Куб числа 268
Линейная диаграмма 64
Луч 56
Метрическая система 177
Микрокалькулятор 253
Миллиард 6
Миллион 6
Множитель 72
Натуральное число 5
Неполное частное 104
Неправильная дробь 165
Объем 260
Объем куба 268
Объем прямоугольного параллеле-
пипеда 260
Обыкновенная дробь 157
Округление 13, 191
Основание прямоугольного парал-
лелепипеда 262
Остаток 104
Острый угол 124
Отрезок 50
Переместительный закон сложе-
ния 25
Переместительный закон умноже-
ния 74
Периметр прямоугольника 140
Периметр треугольника 134
Плоскость 56
Площадь 144
Площадь квадрата 148
Площадь прямоугольника 145
Позиционный принцип 5
Поместный принцип 5
Порядок действий 113, 149
Правильная дробь 165
Произведение 73
Процент 243
Прямая 56
Прямой угол 124
Прямоугольник 140
Прямоугольный параллелепипед 256
Равные углы 122
Развернутый угол 124
Разность 33
Разрядная единица 5
Разрядное слагаемое 5
Распределительный закон умноже-
ния 80
Раскрытие скобок 82
Римские цифры 8
Сажень 178
300
Свойство сторон треугольника 134
Слагаемое 25
Сложение 24, 172, 195
Смешанное число 168
Сочетательный закон сложения 25
Сочетательный закон умножения 77
Сравнение чисел 10, 162, 188
Среднее арифметическое 233
Столбчатая диаграмма 64
Сторона угла 122
Сумма 25
Точка отсчета 59
Транспортир 130
Треугольник 134
Тупой угол 124
Угловой градус 126
Угол 122
Уменьшаемое 33
Умножение 72. 214
Уравнение 44
Формула 136
Целая часть дроби 168, 181
Центр 177
Цифра 5
Частное 96
Числитель дроби 157
Числовое выражение 16
Числовой луч 59
Шкала 67
Ярд 178
Оглавление
Учебник — ученику........................................
I. Натуральные числа. Сложение и вычитание натуральны» чисел
1.1. Чтение и запись натуральных чисел.........................
1.2. Сравнение натуральных чисел..............................
1.3. Округление натуральных чисел.............................
1.4. Числовое и буквенное выражения...........................
1.5. Сложение натуральных чисел. Законы сложения..............
1.6. Письменное сложение......................................
1.7. Вычитание натуральных чисел..............................
1.8. Письменное вычитание.....................................
1.9. Уравнение................................................
1.10. Задачи на сложение и вычитание натуральных чисел ....
1.11. Отрезок............................. . ..............
Самостоятельная работа I «Построение отрезка заданной
длины» ..................................................
I .12. Луч. Прямая. Плоскость .................................
1.13. Числовой луч.................. .........................
1.14. Шкала ..................................................
1.15. Диаграмма...............................................
Для самопроверки
2. Умножение и деление натуральных чисел
2.1. Умножение натуральных чисел. Переместительный закон. . . .
2.2. Сочетательный закон умножения............................
2.3. Распределительный закон умножения ... ..............
2.4. Вынесение множителя за скобки............................
2.5. Умножение натуральною числа на разрядную единицу ....
Самостоятельная работа 2 «Умножение чисел, оканчивающихся
нулями» .................................................
2.6. Письменное умножение.....................................
2.7. Деление натуральных чисел................................
Самостоятельная работа 3 «Деление натуральных чисел, окан-
чивающихся нулями, на разрядную единицу 10, 100, 1000, ...»
2.8. Основное свойство частного................................
2.9. Деление с остатком.......................................
2.10. Письменное деление......................................
Самостоятельная работа 4 «Нахождение неизвестного делимого
и неизвестного делителя».................................
2.11. Задачи на все действия с натуральными числами...........
888S 888 SSS43 £8881
3. Угол. Треугольник. Прямоугольник
3.1. Угол....................................................
3.2. Виды углов......................................
3.3. Угловой градус..........................................
3.4. Измерение углов.........................................
Самостоятельная работа 5 «Построение угла данной величины»
3 5 Треугольник ..............................................
3.6. Формула .......................................
3.7. Прямоугольник Квадрат...................................
3.8. Площадь Площадь прямоугольника..........................
3.9. Площадь квадрата. Квадрат числа.........................
3.10. Новые единицы площади..................................
4. Дробные числа. Сложеине и вычитание десятичных дробей
4 I. Обыкновенные дроби.....................................
Самостоятельная работа 6 «Сравнение обыкновенных дробей
с равными знаменателями».................................
4.2. Правильные и неправильные дроби.........................
4.3. Целая часть непранильной дроби......................
4.4 Сложение и вычитание дробей с равными знаменателями . .
4.5. О метрической системе измерения величин.................
Исторические сведения ....... ..............
4.6. Десятичные дроби........................................
4.7. Изображение десятичных дробей на числовом луче..........
4.8, Сравнение десятичных дробей.............................
4.9. Округление десятичных дробей............................
4.10. Сложение десятичных дробей.............................
4.11. Вычитание десятичных дробей............................
4.12. Задачи на сложение и вычитание десятичных дробей ....
5. Умиожсиие и делен не десятичных дробей
5.1. Умножение десятичных дробей.............................
Самостоятельная работа 7 «Умножение десятичных дробей
на разрядную единицу» ........... ...............
5.2 Задачи на умножение десятичных дробей...................
5.3. Деление десятичной дроби на натуральное число...........
Самостоятельная работа 8 «Деление десятичных дробей на раз-
рядную единицу 10, 100, 1000, ...».......................
5.4. Среднее арифмегическое..................................
5.5. Деление на десятичную дробь.............................
Самостоятельная работа 9 «Деление десятичных дробей на
разрядную единицу 0,1; 0,01; 0,001; ...»............. . .
5.6. Процент.................................................
5.7. Задачи на все действия с десятичными дробями и натураль-
ными числами .................................................. 248
5 8 Как упростить вычислительную работу ... 252
5.9. Прямоугольный параллелепипед.............................256
5.10. Объем прямоугольного параллелепипеда . 260
303
5.11. Объем куба. Куб числа............
5.12. Соотношения между единицами объема
Для самопроверки........................
в. Повторение курса 5 класса
6.1. Натуральные числа.................
6.2. Дробные числа.....................
6.3. Для'любителей математики..........
Предметный указатель...............
271
275
278
284
293
300
Учебное издание
Нурк Энн Рихардович
Тельгмаа Аксель Эдуардович
ИБ № 13871
Vu- ёэ
п аш
I и.
^эт.