Текст
С. А. ПОНОМАРЕВ
АРЫСРМеТИКА
*
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО
ИЗУЧЕНИЯ КУРСА АРИФМЕТИКИ
ЗА СРЕДНЮЮ ШКОЛУ
И ДЛЯ УЧАЩИХСЯ ЗАОЧНЫХ
И ВЕЧЕРНИХ (СМЕННЫХ) ШКОЛ
Рекомендовано
учебно-методичесним советом
Министерства просвещения РСФСР
в качестве учебного пособия для
заочных и вечерних (сменных) средних шнол
51(0,75)
П 56
К УЧАЩИМСЯ
Мы живем в эпоху завоевания человеком космоса, в эпоху
атома и глубокого освоения ресурсов Земли. Человек создал кос-
мические корабли, посылая их не только вокруг Земли, но и на
другие планеты; человек сооружает грандиозные гидроэлектро-
станции и атомные электростанции, превращает пустыни в пло-
дородные земли и проникает в тончайшие особенности строения
вещества. Все эти достижения стали возможными благодаря при-
менению так называемых математических методов и расчетов. А
в основе математических расчетов лежит арифметика (арифмети-
ка — наука, изучающая числа и действия над ними), поэтому вам
необходимо сознательно и прочно усвоить все то, что говорится в
учебнике арифметики. Усвоить содержание учебника арифмети-
ки — значит понять его содержание, запомнить определения и
правила, научиться обосновывать эти правила, уметь решать при-
меры и задачи и применять полученные знания в жизни.
Как же надо работать с учебником?
Учебник математики пишется не для быстрого чтения, а для
систематического изучения. Поэтому читать учебник, особенно на
первых порах, будет и нелегко. Чтобы облегчить вашу работу с
учебником, в нем сделаны такие выделения:
а) Определения и правила, требующие твердого запоминания,
«слово в слово», выделены полужирным шрифтом.
б) Места материала, которые надо запомнить, но излагать
можно «своими словами», отмечены на полях с левой стороны зна-
ком «ф». Эти места надо прочитать несколько раз, до полного
их уяснения.
При чтении учебника надо:
1. Содержание параграфа читать так, чтобы каждая фраза
была понята. Если при первом чтении вы ее не поняли, прочтите
эту фразу повторно.
2. Читать содержание с карандашом в руке, выполняя в тет-
ради примеры, рассмотренные в книге.
3. Поняв прочитанное и ответив на вопросы для самоконтро-
ля, записать эти ответы в тетради.
4. Убедившись, что содержание параграфа усвоено, при-
ступить к решению упражнений.
5. Решив упражнения параграфа, выполнить контрольную
работу по содержанию параграфа.
6. Все записи вести тщательно и аккуратно (см. образцы за-
писей на стр. 92).
Учащиеся заочной школы обязаны сдать устные и письмен-
ные зачеты. Те учащиеся, которые не имеют возможности сдавать
устные зачеты, должны выполнять полностью приводимые в за-
даниях зачетные работы, а сдающие зачеты устно выполняют
упражнения зачетных работ, отмеченные звездочкой.
6—6
БЗ—№ 79—1967—№ 6
Ml
ЧАСТЬ
ПЕРВАЯ
ГЛАВА I
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
НУМЕРАЦИЯ
§ 1. ПОНЯТИЕ О МНОЖЕСТВЕ
В окружающей обстановке человек имеет дело с отдельными
предметами, живыми существами, а также с их группами, со-
единениями: береза и березовая роща, корова и стадо коров,
пчела и рой пчел, воробей и стая воробьев и т. п. Вместо раз-
личных слов, обозначающих соединения (роща, стадо, стая, та-
бун и т. д.), в математике принято употреблять слово множе-
ство. Даже в том случае, когда речь идет о двух (или об одном)
предметах, принято говорить «множество». В школе вы ви-
дите множество учеников, множество столов, множество окон,
множество дверей и т. д. Каждый предмет множества называ-
ется его элементом; например, на рисунке 1 изображено мно-
жество автомобилей, стоящих на стоянке. Каждый автомобиль
является элементом множества.
В практической деятельности нам приходится сопоставлять
элементы одного множества с элементами другого. Дежурный
по столовой сопоставляет число мест за столами с числом обе-
дающих; проводник вагона сопоставляет число пассажиров с
числом мест в вагоне и т. д. Пассажир, вошедший в автобус,
может обнаружить, что: 1) он занял последнее свободное
место, 2) все места заняты пассажирами и он не имеет
места, т. е. вынужден стоять, 3) имеется несколько свободных
мест. На языке математики эти три случая излагают-
ся так: 1) каждому элементу первого множества (множе-
ство мест автобуса) соответствует элемент второго множества
(множество пассажиров) и, наоборот, каждому элементу вто-
рого множества соответствует элемент первого, а во втором и
третьем случаях такого соответствия нет. В первом случае го-
ворят, что два, множества имеют одинаковую численность, или,
Рис. 1,
5
короче, множества равночисленны; а во втором и третьем слу-
чаях численность множества различна. Необходимость сопо-
ставления множества приводит к возникновению счета предме-
тов. Например, ученики V класса решили посетить музей и по-
ручили старосте класса приобрести билеты. Старосте класса
приходится сопоставлять два множества: множество учеников
своего класса и необходимое множество билетов для входа в
музей. Эти два множества должны быть равночисленны.
Вопросы для самопроверки
1. Какие слова можно заменить в следующих предложениях словом
«множество»: а) отряд пионеров; б) стая гусей; в) команда фут-
болистов; г) колонна автомобилей; д) эскадрилья самолетов.
2. Замените слово «множество» другим словом в следующих предло-
жениях: а) множество голубей; б) множество лошадей; в) множе-
ство плодовых деревьев; г) множество жителей в стране; д) мно-
жество цветов в руке; е) множество людей, обслуживающих
самолет.
3. Назовите множества, которые вы видите на рисунке 2. Найдите
численность каждого множества. Укажите среди них равночислен-
ные множества.
4. Сколько элементов имеет множество учеников вашего класса?
Сколько элементов имеет множество глаз у че-
ловека?
5. Приведите пример множества, состоящего из:
десяти элементов, пяти элементов, четырех эле-
ментов, двух элементов.
6. Какие из нижеприводимых множеств являются
равночисленными: множество ног у оленя, мно-
жество ног у птицы, множество колес у автомо-
биля «Москвич», множество колес у мопеда,
множество времен года?
Рис. 2.
§ 2. СЧЕТ. НАТУРАЛЬНЫЙ РЯД ЧИСЕЛ
Сущность счета численности какого-
нибудь множества (например, найти число
кустов смородины в школьном саду) за-
ключается в том, что, отделяя элементы
множества один за другим (в нашем слу-
чае — кусты), мы называем каждый раз
число элементов: один, два, три, четыре
и т. д. до названия последнего элемента.
Если мы будем находить численность мно-
жества букв слова «Москва», то, считая
буквы в этом слове справа налево, или
слева направо, или в каком угодно ином
порядке, мы будем получать число шесть.
Значит, результат счета не зависит от того
порядка, в каком мы считаем предметы
(элементы множества).
в
Для счета элементов введены числа 1, 2, 3, 4, 5, 6,7,8,9,10,
11, 12, 13,... и т. д. Эти числа называются натуральными, а за-
пись чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... — натуральным рядом чисел. На-
именьшее натуральное число — единица. Наибольшего нату-
рального числа не существует, так как, какое бы большое
число мы ни назвали, получим еще большее число, если при-
бавим к нему единицу; поэтому говорят, что натуральный ряд
чисел бесконечен.
Для обозначения отсутствия предметов вводится число нуль.
Кроме натуральных чисел и нуля, арифметика изучает и дру-
гие числа. С ними мы познакомимся дальше. Числа, получа-
емые при счете предметов, совершенно не зависят от того, ка-
кие именно предметы мы считали. Например, при счете станков
в цехе, стульев в столовой, коров в стаде получено число 135.
Это число показывает, что численности этих множеств равны.
Числа, при которых не указано наименование предметов счета,
называются отвлеченными числами. Натуральные числа полу-
чаются не только при счете предметов, они получаются и при
измерении величин. В этом случае при числе обязательно ука-
зывается название единицы измерения, так как в зависимости
от избранной единицы измерения мы можем получить различ-
ные натуральные числа при измерении одного и того же пред-
мета. Пусть, например, мы измерили расстояние между двумя
вехами (рис. 3), и оно оказалось равным 40 м. Если бы мы из-
меряли то же расстояние старой русской единицей длины, то
получили бы 56 аршин, а если бы измеряли мерой длины, при-
нятой в Америке, футом, то получили бы 131 фут. Значит,
40 л£ = 56 аршинам = 131 футу. Если же мы отбросим наимено-
вания, то получим отвлеченные числа, которые не будут рав-
ны между собой и потеряют смысл, как результат измерения
40 ¥= 56 ¥= 131. Знак « =# » читается «не равно». Числа, полу-
чаемые при измерении, называются именованными числами.
Особенностью этих чисел является то, что они могут быть выра-
жены числами других наименований в более крупных или более
мелких мерах. Так, например, длина предмета в 2 м может
быть выражена в других мерах, другими числами: 2 м=
= 200 см — 2000 мм.
Вопросы для самопроверки
1. Что называется натуральным рядом чисел?
2. Является ли нуль (0) натуральным числом?
Рис. 3.
7
3. Какое число называется отвлеченным числом?
4. Когда получается отвлеченное число?
5. Какое число называется именованным числом? Когда получает-
ся именованное число?
6. В чем особенность именованных чисел?
7. Может ли результат счета предметов быть выражен разными
числами?
§ 3. ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ. НУМЕРАЦИЯ ЧИСЕЛ
Чтобы применить на практике натуральные числа, чтобы
производить над ними действия, нужно уметь их называть и за-
писывать.
♦ Способ изображения натуральных чисел при помощи знаков
и словесное их выражение называется нумерацией чисел.
В основе счета предметов и нумерации лежит число десять.
Десять единиц составляют десяток, десять десятков составляют
сотню, десять сотен — тысячу и т. д. Поэтому наша система
счисления называется десятичной системой счисления.
♦ Хотя натуральных чисел бесконечное множество, но, оказы-
вается, для их названия требуется небольшое число основных
слов. Первые десять чисел натурального ряда носят названия:
один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, де-
сять. Названия следующих чисел до ста (кроме чисел 40 и 90)
составляются из корней этих десяти слов: одиннадцать — один
на десять, двенадцать — два на десять. Так же составлены наз-
вания чисел: тринадцать, четырнадцать,... , девятнадцать. Де-
сятки называются: два десятка — двадцать — дважды десять,
три десятка — тридцать — трижды десять. Также составлены
названия чисел: пятьдесят, шестьдесят, семьдесят, восемьдесят.
Особым образом составлены названия: сорок — четыре десятка
и девяносто — девять десятков. Десять десятков носят назва-
ние: сто или сотня. Название сотен образуется из корней слов
первых девяти натуральных чисел с корнем сто: двести (две
сотни), триста (три сотни), четыреста,..., девятьсот. Для
названия числа десять сотен введено слово «тысяча»; для наз-
вания числа тысяча тысяч — слово «миллион»; для числа ты-
сяча миллионов — «миллиард» ; для тысячи миллиардов —
«триллион». Для письменной записи чисел введены знаки, на-
зываемые цифрами. Для того чтобы записать любые натураль-
ные числа, достаточно иметь десять цифр. Это цифры: 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 называются зна-
чащими цифрами, а цифра 0 называется незначащей цифрой.
Примечание
Десятичная система счисления впервые встречается в одной из рукопи-
сей, написанной гениальным узбекским ученым Мухаммедом—сыном Мусы
из Хорезма (IX в.). В этой рукописи, написанной на арабском языке, было
отмечено, что в основу ее положена практика некоторых вычислений Ин-
дии. Поэтому, когда впервые в Европе (в XII в,) познакомились с десятич-
8
ной системой, то знаки-цифры стали называться индусскими или арабски-
ми. Наряду с десятичной системой счисления человек пользуется и други-
ми системами счисления; например, в последнее время значительное рас-
пространение в технике получила двоичная система счисления.
Необходимо различать понятие «цифры» от понятия «чис-
ла». Всего цифр десять, а различных чисел с помощью этих
десяти цифр мы можем написать сколько угодно. В разговор-
ном языке иногда употребляют слово «цифра», придавая ему
смысл числа; например, говорят «контрольные цифры», «циф-
ра плана» и т. д.
Первые девять чисел натурального ряда (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9) и нуль (0) записываются одной цифрой, а потому назы-
ваются однозначными числами. Числа, записываемые двумя
цифрами (от 10 до 99), называются двузначными; записыва-
емые тремя цифрами — трехзначными и т. д., а вообще все чис-
ла, кроме однозначных, называются многозначными числами.
Примеры: 24, 99 — двузначные числа, 100, 989 — трехзначные
числа, 40 596 — пятизначное число, а все перечисленные числа
можно назвать многозначными числами.
Вопросы для самопроверки
1. Что называется цифрой?
2. В чем различие между цифрой и числом?
3. Какие цифры называются значащими?
4. Сколько всего однозначных чисел? Двузначных чисел?
5. Сколько трехзначных чисел содержится в натуральном ряде чисел?
В десятичной системе счислёния каждая цифра имеет оп-
ределенное значение не только в соответствии с ее видом (на-
чертанием), но еще и в зависимости от того места, на котором
она стоит в записи числа. Например, в записи 1028 цифра 8
обозначает 8 единиц, цифра 2— число десятков, цифра 0— от-
сутствие сотен, а цифра 1— число тысяч. В записи 444 все циф-
ры одинаковы, но каждая из них имеет свое значение: одна
указывает число единиц, другая — число десятков и третья —
число сотен. Таким образом, каждая цифра, кроме своего зна-
чения, в зависимости от начертания получает еще и так назы-
ваемое поместное значение.
Для того чтобы удобнее было читать и записывать много-
значные числа, при записи их выделяют классы, отделяя по
три цифры справа налево, начиная с единиц. Каждый класс в
свою очередь разбивают на.разряды, по одной цифре в каждом
разряде. Рассмотрите таблицу /разрядов и классов и уясните
связь между разрядами и классами.
В таблице изображены три числа:
420 053 910 004, 60 097 200 432 500 и 940 500 720 000 003.
С помощью такой таблицы легко записать или прочитать
многозначное число, но надо это делать и без таблицы, для
чего необходимо помнить, в каком порядке идут классы и раз-
ряды.
9
Таблица разрядов и классов
Пятый класс — класс триллионов Четвертый класс — класс миллиардов Третий класс — класс милли- онов Второй класс- класс тысяч Первый класс — класс единиц
15-й разр. 14 й разр. 13-й разр. 12-й разр. 11-й разр. 10-й разр. 9-й разр. 8-й разр. 7-й разр. 6-й разр. 5-й разр. 4-й разр. 3-й разр. 2-й разр. 1-й разр.
; СОТНИ триллионов десятки триллионов единицы триллионов сотни миллиардов десятки миллиардов единицы миллиардов сотни миллионов десятки миллионов единицы миллионов х £ “3 О з У Н десятки тысяч единицы тысяч X X Е- О десятки единицы
9 6 4 0 0 4 0 5 2 9 0 0 7 0 0 2 7 5 0 2 3 0 0 9 4 0 1 3 0 0 2 0 0 5 0 0 0 0 4 0 3
Количество классов можно увеличить как угодно, но для
практических вычислений достаточно точно знать первые пять
классов.
Чтобы прочитать число, написанное рядом цифр, например
19403205708, мысленно отделяют в нем справа налево по три
цифры до тех пор, пока можно (на первых порах можно отме-
чать классы запятой, поставленной сверху): 19’403’205’708 и
читают так: 19 миллиардов 403 миллиона 205 тысяч 708. Обыч-
но в учебнике арифметики для V—VI классов многозначные
числа печатаются с оставлением промежутков между класса-
ми, не ставя сверху запятых или точек. Иногда в упражнениях
требуется узнать, сколько в числе единиц какого-либо разряда.
Тогда применяют следующее правило:
Чтобы узнать, сколько всех единиц требуемого разряда со-
держится в каком-либо числе, надо отбросить в нем все цифры,
стоящие вправо от этого разряда, и прочитать число, выражен-
ное оставшимися цифрами, прибавив название разряда. При-
меняя это правило, находим, что в числе 5429359 содержится:
5429359 единиц;
542935 десятков (отбросили 9 единиц);
54293 сотен (отбросили 59 единиц);
5429 тысяч (отбросили 359 единиц);
5 миллионов (отбросили 429359 единиц).
На десятичной системе счисления построен самый распро-
страненный счетный прибор — русские счеты. Рассматривая
рисунки счетов с отложенными на них числами, можно уви-
деть основное свойство десятичной системы счисления и ее
следствия: поместное значение цифр и значение нуля при за-
писи числа.
10
-------oooowoooo
-------ОЗООНСШ
-------ooouwcnx
-------ооооиооа
-------ооооиаюс
-------COOOMOOX
-------OCUOWOC&
-------aaw
-----OOOCWtUI
-------aam
-------coocmv.
-------oooowucw
Рис. 5.
Рис. 4. Рис. 6.
Рисунок 4 показывает изображение и устройст-
во русских счетов *.
Рисунок 5 дает иллюстрацию основного свой-
ства десятичной системы счисления — десять
единиц любого разряда составляют одну едини-
цу следующего высшего разряда. Рисунок 6 да-
ет иллюстрацию поместного значения цифры,
а именно значение цифры зависит от разряда, в
котором она стоит.
Рисунок 7 дает иллюстрацию значения нуля в
изображении числа, а именно нуль показывает
отсутствие единиц данного разряда.
соооиоооо
-OOOOWOOOC
SETT
--------оооомооа
--------ооооноио
-------oaxmoooo
--------соажш
э------соомооа
--------oooowooa
--------оооожш
оооо----нооос
--------ооосиоах
Рис. 7.
Вопросы для самопроверки
1. Перечислить название разрядов каждого класса.
2. Во сколько раз единица меньше десятка? Десяток меньше сотни?
Сотня меньше тысячи?
3. Какие разряды имеет пятизначное число? Восьмизначное?
4. Число содержит семь разрядов, а каждый из разрядов имеет циф-
ру 2. Назовите число.
5. Число содержит девять разрядов. Первый разряд содержит 4 еди-
ницы, а девятый разряд — 2 единицы. Назовите число.
• УПРАЖНЕНИЯ
1- а) Для каждого из следующих чисел: 52 720, 43 576 002,
16 305 400 005— указать число цифр, назвать высший разряд
и записать каждое число словами.
б) Какие разряды имеются в четырехзначном числе? В восьми-
значном числе? В одиннадцатизначном числе?
2- а) Сколько цифр имеют числа: 1) сто двадцать тысяч четыре-
ста семьдесят пять; 2) пять миллионов триста семьдесят пять
тысяч восемь; 3) триста пять миллиардов; 4) восемьдесят семь
триллионов?
б) Записать числа, стоящие в таблице разрядов и классов
(стр. 10).
1 Счеты изображены схематически.
11
э------оооиооос
хсоиоооо--------
000ОН------ооос
30--------оошм
МЮН0--------001
зоооиоооо-------
0000------МОООО
0000»------юоос
JCOW0--------юс
хсоноооо--------
ооооиоооо-------
жооиоооо--------
Рис. 8.
3. а) Записать и прочитать отложенное на счетах
число (рис. 8).
б) Нарисовать схему счетов и отложить на них
числа: 1) четыреста пять тысяч восемьдесят
шесть; 2) 3540; 3) пять миллионов семьсот во-
семь; 4) число, состоящее из четырехсот тысяч
единиц; 5) число, состоящее из пятнадцати со-
тен тысяч.
4. а) Сколько десятков в сотне? В тысяче? В мил-
лионе? В десяти тысячах? б) Во сколько раз
сотня меньше двух тысяч? Миллиона? Десяти
миллионов?
5. Запишите цифрами все числа, встречающиеся в
предложениях: а) За тысяча девятьсот тринадцатый год в на-
шей стране было произведено двадцать девять миллионов тонн
угля, девять миллионов тонн нефти, семьсот сорок тысяч тонн
хлопка-сырца, б) За тысяча девятьсот шестьдесят пятый год в
нашей стране было произведено: 578 миллионов тонн угля,
243 миллиона тонн нефти, 5660 тысяч тонн хлопка-сырца.
6. а) От какого четырехзначного числа надо отнять единицу, что-
бы получить трехзначное число? б) Написать наименьшие и
наибольшие числа: трехзначные, пятизначные, восьмизначные.
7. Прочитать написанные ниже числа, отложить их на счетах и
указать, какие разрядные единицы и каких классов в них от-
сутствуют: 500028; 46700509; 159000000.
8. Указать, сколько всего в каждом из данных чисел содержится
целых единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, миллио-
нов: 7456; 182045; 2500300; 142663215; 1456300205.
§ 4. МЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МЕР
В декабре 1918 г. за подписью В. И. Ленина был опублико-
ван декрет правительства о введении у нас международной
метрической системы мер вместо прежних русских мер. Пере-
ход от старых русских мер к метрическим мерам был вызван
двумя причинами:
1. Метрическая система мер принята почти всеми народами
нашей планеты. Сохранять отдельные меры для каждой стра-
ны неудобно, так как между странами мира существует посто-
янный товарооборот, а также осуществляется культурное об-
щение между народами.
2. Метрическая система мер очень проста для расчетов, так
как построена в соответствии с десятичной системой счисления.
Меры длины. Основная единица длины — метр. Наряду с метром
существуют единицы измерения, получаемые путем увеличе-
ния или уменьшения его длины в 10, 100 и 1000 раз. Для обра-
зования названий единиц, больших метра, употребляются при-
ставки греческого происхождения: дека — десять, гекто — сто
12
и кило — тысяча, а для образования названий единиц, меньших
метра, — латинского происхождения: санти — сотая часть,
милли — тысячная часть, деци — десятая часть. Таким обра-
зом, получается следующая таблица метрических мер длины:
Метр (1 м)
1кл1 = 1000 л1 1л« = 10 5л«
1 гкл = 100 м 1л1 = 100сл«
1 дкм = 10 м 1л = 1000 мм
Названия «гектометр» (100 м) и «декаметр» (10 м) в прак-
тике употребляются редко. В современной измерительной тех-
нике, имеющей дело с деталями, измерения которых исчисля-
ются тысячными долями миллиметра, пользуются мерой «мик-
рон» (один миллиметр равен тысячи микрон).
Примечание
В конце книги помещена таблица перехода от других систем мер к
метрической.
Меры площадей. За единицу измерения площади принимается
площадь квадрата, сторона которого равна какой-нибудь еди-
нице длины. Если сторона квадрата равна 1 м, то он называет-
ся квадратным метром, а если — 1 см, то квадратным санти-
метром. Приводим таблицу, которую надо запомнить:
1 кв. м = 10 000 кв. см 1 кв. км — 1 000 000 кв. м-.
1 кв. м = 1 ООО 000 кв. мм 1 кв. дкм = 100 кв. м
1 кв. см= 100 кв. мм 1 кв. гкм = 100 кв. дкм = 10 000 кв. м
Квадратный декаметр и квадратный гектометр в практике
заменены словами «ар» и «гектар»:
1 а = 100 кв. м и 1 га = 10 000 кв. м.
Примечания
1) В- метрической системе мер площадей каждая единица высшего на-
именования в 100 раз больше единицы предшествующего низшего наиме-
нования.
2) Не следует думать, что участок площадью 1 а или 1 га должен не-
пременно иметь форму квадрата.
Меры объема. За единицу измерения объема принимается объем
куба, длина ребра которого равна какой-нибудь единице дли-
ны. Если длина ребра куба равна метру, то такой куб называ-
ется кубическим метром; если ребро равно сантиметру, то куб
называется кубическим сантиметром. В метрической системе
мер объема каждая высшая кубическая единица в 1000 раз
больше предшествующей низшей единицы:
1 куб. 5кл = 1000 куб. м 1 куб. 5л =1000 куб. см
1 куб. м =1000 куб. дм 1 куб. сл = 1000 куб. мм
При измерении объемов жидкостей кубический дециметр
принято называть литром.
13
Меры веса. Всякий предмет притягивается к земле. Сила притя-
жения называется весом предмета. Основная единица измере-
ния веса — килограмм. Есть большие единицы меры веса, чем
килограмм, но есть и меньшие:
1 килограмм (кг) = 1000 граммам (г)
1 грамм (г) = 1000 миллиграммам (мг)
1 центнер (ц) = 100 килограммам
1 тонна (г) = 1000 килограммам
Раздробление и превращение метрических мер
♦ В практике часто приходится выражать крупные единицы
измерения в более мелких единицах и наоборот. Выражение
именованного числа в более мелких единицах измерения на-
зывается раздроблением именованного числа.
Примеры.
1. Длину столба 4 м 8 дм 5 см выразить в сантиметрах:
4 м 8 дм 5 см = 48 дм 5 см = 485 см.
2. Сколько кадратных сантиметров содержится
в 4 кв. м 8 кв. см?
4 кв. м 8 кв. cjit=10 000 кв. см • 4 + 8 кв. см=40 008 кв. см.
3. Вес 5 т 2 ц 13 кг выразить в килограммах:
5 т 2 ц 13 кг = 52 ц 13 кг = 5200 кг + 13 кг = 5213 кг.
Примечание
Условия приведенных упражнений можно заменить так: «Выразить
составное именованное число простым именованным числом».
♦ Выражение именованного числа в более крупных единицах
измерения называется превращением именованного числа.
Примеры.
1. Сколько метров, дециметров и сантиметров составляют
685 см?
685 см = 68 дм 5 см = 6 м 8 дм 5 см.
2. Выразить в гектарах, арах и квадратных метрах величи-
ну 426 575 кв. м.
426 575 кв. л« = 4265 а 75 кв. м = 42 га 65 а 75 кв. м.
14
Примечание
Условие данного упражнения можно заменить так: «Выразить про-
стое именованное число 426 575 кв. м составным именованным числом».
Вопросы для самопроверки
1. Когда в нашей стране была принята метрическая система мер?
2. Какая зависимость между единицами длины в метрической си-
стеме мер?
3. Какая зависимость между единицами площади в метрической си-
стеме мер? Между единицами объема?
4. Чем удобнее метрическая система мер по сравнению со старой
русской системой мер?
5. Что значит раздробить именованное число? Привести пример.
6. Что значит превратить именованное число? Привести пример.
• УПРАЖНЕНИЯ
9. 1) Заполнить таблицу:
1 №... дм = ... см —...мм
1 км = ...м = ...дм = ...см = ...мм
2 ) Во сколько раз 1 дм больше 1 мм? Во сколько раз 5 см
меньше 1 м?
10. 1) Раздробить в меры низшего наименования:
15 дм 8 см 3 мм — в миллиметры; 4 м 45 дм 36 см — в санти-
метры ; 2 км 7 м 4 см — в сантиметры.
2) Выразить составное именованное число в виде простого име-
нованного числа:
12 км 462 м; 15 м 14 см 2 мм; 1 км 176 м 15 см.
11. 1) Заполнить таблицу:
1 а = ... кв. м = ... кв. дм = ... кв. см
1 га = ... а = ... кв. м = ... кв. см
2) Во сколько раз 1 кв. км больше 1 га? Во сколько раз
2 кв. м меньше 1 а?
12. 1) Раздробить в меры низшего наименования:
5 а 3 кв. м — в квадратные метры; 4 га 2 а — в квадратные
метры; 1 а 25 кв. м 56 кв. см — в квадратные сантиметры.
2) Выразить составное именованное число в виде простого
именованного числа:
1 кв. км 5 га 20 а; 4 га 36 а 58 кв. м;
2 а 27 кв. м 4 кв. см.
13. 1) Заполнить таблицу:
1 ц = ... кг = ... г
1 т = ...ц = ...кг
15
2) Во сколько раз 1 г меньше 1т? На сколько килограммов 1 т
больше 1 ц?
14. 1) Раздробить в меры низшего наименования:
1 т 12 ц 15 кг — в килограммы; 8 ц 45 кг 10 г — в
граммы; 1 кг 2 г — в граммы.
2) Выразить составное именованное число в виде простого име-
нованного :
4 т 15 ц 46 кг; 49 а 16 кг 70 г; 1 ц 42 г.
15. 1) Заполнить таблицу:
1 куб. м=... куб. дм = ... куб. см
1 куб. дм = ... куб. см — ...куб. мм
2) Сколько литров в 3 куб. дм? Сколько литров в 1 куб. м?
16. 1) Превратить в меры высших наименований:
12 560 мм; 46 897 см; 67 509 м; 36 542 г; 946 548 кг.
2) Записать составным именованным числом:
2806см; 40 058 мм; 743 009л; 2 080070г; 100 459 кг.
17. 1) Превратить в меры высших наименований:
49 865 кв. м; 540 972 кв. см; 764 924 куб. дм;
1 348 400 куб. см; 64 249 л.
2) Записать составным именованным числом:
864 936 кв. м; 330 045 кв. см; 41549 куб. дм;
4007 л; 200 409 л.
§ 5. ОКРУГЛЕНИЕ ЧИСЕЛ
Директор велосипедного завода, выступая на собрании, ска-
зал, что «завод за истекший год дал стране около 2 млн. ве-
лосипедов, точнее, 1 928 656 велосипедов». Едва ли слушатели
запомнили число 1928 656, но фразу «около 2 млн.» запомнит
большинство.
♦ В различных практических случаях при выполнении раз-
личных вычислений человеку приходится округлять числа и
брать их приближенные значения. Округлять число можно как
с недостатком, так и с избытком, но так, чтобы округленное
число было ближе к точному числу. Например, если на заво-
16
де работает 27 675 рабочих, то, округляя число рабочих до ты-
сячи, лучше сказать, что на заводе работает 28 тысяч человек,
чем 27 тысяч человек, так как в первом случае взяли число с
избытком в 325 человек, а во втором случае — с недостатком в
675 человек.
При округлении чисел применяют следующее правило:
♦ При округлении чисел до заданного разряда надо заменить
нулями цифры всех разрядов, стоящих вправо от округляемо-
го. При этом, если первая (слева) отбрасываемая цифра — пять
или больше пяти, то цифру округляемого разряда надо увели-
чить на единицу, а если меньше пяти, то цифру округляемого
разряда нужно оставить без изменения. Например, округлим
число 53 456 354 сначала до десятков, затем до сотен, до ты-
сяч, до десятков тысяч и до сотен тысяч. Вместо числа
53 456 354 получим:
53 456 350 — округлили до десятков;
53 456 400 — » до сотен;
53 456 000— » до тысяч;
53 460 000 — » до десятков тысяч;
53 500 000 — » до сотен тысяч.
Запись округления производится так: 53 456 354 ~ 53 456 350.
Знак ~ читается «приближенно равно».
Вопросы для самопроверки
1. Когда при округлении приближенное число берется с недостат-
ком?
2. Когда при округлении приближенное число берется с избытком?
• УПРАЖНЕНИЯ
18. Округлить данные числа:
1) до десятков — 15 402; 40 927; 765 425;
2) до сотен — 42 492; 749 849; 1126 455;
3) до тысяч — 54 789; 496 542; 645 379;
4) до миллионов — 74 863 425; 55 498 705; 64 500 000.
19. Земля имеет следующие размеры: длина земной оси (диа-
метр Земли) — двенадцать миллионов семьсот тринадцать ты-
сяч семьсот двадцать шесть метров; длина меридиана — сорок
миллионов восемь тысяч пятьсот пятьдесят два метра, длина
экватора — сорок миллионов семьдесят пять тысяч семьсот
четыре метра. Записать размеры Земли составными именован-
ными числами, а затем округлить с точностью до миллиона
километров.
20. Население Советского Союза по переписи 1959 года состав-
ляло двести восемь миллионов восемьсот двадцать шесть ты-
17
сяч человек, из них городского населения — девяносто девять
миллионов семьсот восемьдесят две тысячи человек. Записать
с помощью цифр в тысячах, а затем округлить с точностью до
1 миллиона жителей.
§ 6. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
ЧИСЛОВОЙ ЛУЧ. ДИАГРАММЫ
Читая книги, слушая доклады, мы встречаемся с таблица-
ми чисел, на основании которых автор книги или докладчик
делает выводы. Эти таблицы трудно запомнить, трудно пред-
ставить связь между числовыми значениями. Чтобы нагляд-
нее представить числовые значения величин и тем самым лег-
че уяснить выводы, прибегают к графическому изображению
числовых значений с помощью построения отрезков или стол-
биков. Такое изображение называется диаграммой. Познако-
мимся с построением наглядных изображений чисел.
На рисунке 9 изображено несколько так называемых гео-
метрических фигур: точка, прямая линия, кривая, многоуголь-
Рис. 10.
А В
I-----------1
Рис. 11.
I—Н-+-Ч—ь
0 12 3 4
Рис. 12.
А Б В Г Д
НН' I I I
Рис. 13.
ник и круг. Точку обозначают одной заглав-
ной буквой, прямую — двумя буквами.
Часть прямой, ограниченная одной точкой
(на чертеже точка заменена черточкой),
называется лучом (рис. 10). Эта точка назы-
вается началом луча; часть прямой, ограни-
ченная двумя ее точками, называется отрез-
ком прямой или просто отрезком (рис. 11).
Если от начала луча отложить равные от-
резки (рис. 12) и поставить около начала лу-
ча нуль, а у концов отрезков последователь-
ные натуральные числа, то получим числовой
луч.
Значит, каждому натуральному числу со-
ответствует точка луча.
Иногда принимают за единицу опреде-
ленный отрезок, и, следовательно, каждому
натуральному числу соответствует опреде-
ленный отрезок.
Примеры. На рисунке 13 отрезок АБ =
= 1; отрезок АВ = 2', отрезок АГ = 3 и т. д.
Чтобы построить диаграмму числовых
значений какой-либо величины, выбирают
масштаб диаграммы, т. е. принимают за ус-
ловную единицу отрезок или прямоугольник
(можно клетку тетради) и откладывают чис-
ловые значения одной величины на горизон-
тальной прямой, а другой — на вертикальной
или строят вертикально соответствующие от-
резки или прямоугольники.
18
Рассмотрим решение упражнений.
Упражнение 1. Построить диаграм-
му дневной выработки трех соревнующих-
ся токарей. Известно, что первый изгото-
вил 8 деталей, второй — 10 таких же де-
талей, а третий — 12 деталей.
Выберем масштаб диаграммы. Если мы
строим диаграмму в разграфленной тетра-
ди в клетку, то примем 1 клетку за 1 де-
таль, или определенный прямоугольник за
1 деталь, и строим диаграмму.
Упражнение 2. Используя диаграм-
му (рис. 14) ответить на вопрос: сколько
килограммов железного лома собрали вме-
сте школьники 3, 4, 5 и 6 классов?
Рассматривая диаграмму, видим, что
учащиеся 3 класса собрали 80 кг, учащи-
еся 4 класса — 100 кг, 5 класса — 140 кг
и 6 класса — 120 кг. Всего собрано 440 кг.
Вопросы для самопроверки
1. Чем отличается отрезок от луча? Рис. 14.
2. Как построить числовой луч?
3. Из двух неравных чисел какое число изображается точкой, отстоя*
щей дальше от начала луча?
4. Какая точка на числовом луче соответствует нулю?
5. Для чего строят диаграммы?
• УПРАЖНЕНИЯ
21. По дороге движутся пешеход, всадник и велосипедист.
Пользуясь рисунком 15, определить, на каком расстоянии от
элеватора находится каждый из них.
22. Начертить числовой луч. Отметить на луче числа 0,1, 2,..., 9.
Где относительно начала расположилось число 2? .Число 9?
Которое из них расположилось левее?
5 2км 3 4 бКМ 6 7 8 9КМ 10
Рис. 15.
19
23. Построить диаграмму температуры воздуха:
1 6 час. | 12 час. 18 час.
10 апр. [ 4° | 8» 6»
24. Построить диаграмму сбора бумажной макулатуры IV —
V классов:
Класс | IV А IV Б | V А V Б
Сбор | 160 кг 200 кг 220 кг 240 кг
25. Используя диаграмму «Уборка зерновых бригадами колхоза»
(рис. 16), ответить на вопрос; сколько гектаров убрала каждая
из бригад?
26. Найти масштаб диаграммы, изображенной на рисунке 17,
т. е. узнать, сколько деталей изображается столбиком высотой
в 1 клеточку. Чему равна выработка каждого токаря?
§ 7. РИМСКАЯ НУМЕРАЦИЯ
Для записи чисел, кроме арабских цифр, используют в не-
которых случаях и так называемые римские цифры, римскую
нумерацию. В римской нумерации имеется всего семь цифр
(рис. 18).
Как же пишутся числа с помощью этих цифр?
В римской нумерации записанные рядом цифры обознача-
ют общую сумму единиц. Например: III — три (I да I да I),
VII — семь (V да I да I), XXXVI — тридцать шесть (X да X да
X да V да I), MDCLXII — тысяча шестьсот шестьдесят два (М
да D да С да L да X да I да I). Исключение из этого правила со-
Рис. 16.
Рис. 17.
20
ставляют такие числа, как: IV—4, IX—9,
ХС — 90, XL — 40, CD — 400, CM —
900. Если цифра, обозначающая мень-
шее число, стоит слева от цифры, обо-
значающей большее число, то меньшее
число надо отнять от большего. IV — 4
(V без I), IX — 9 (X без I), XL — 40 (L
без X), ХС — 90 (С без X). Среди рим-
ских цифр нет цифры, обозначающей
нуль. Число тысяч записывается теми
же обозначениями, но после тысяч ста-
вится снизу справа буква т. Так, чис-
ло 56 208 записывается: LVI т CCVIII.
Как видим, римская нумерация слож-
нее десятичной нумерации. Римскими
цифрами обычно обозначают века, ме-
сяцы, номера томов, глав в книге и пр.
(рис. 19). Римскими цифрами также
обозначаются числа порядковые, т. е.
числа, отвечающие на вопрос «кото-
рый?», например: XXIII съезд, XXвек.
В России до XVII в. в основном упот-
реблялась старославянская нумерация,
так же как и римская, не использую-
щая принцип поместного значения
цифр. В старославянской нумерации
применялись 27 знаков — букв славян-
ского алфавита, снабженных для отли-
чия особым знаком сверху (титло)
(рис. 20).
• УПРАЖНЕНИЯ
Рим
1-1 V-5
Х-10
L - 50
С - ЮО
о - 500
1000
Рис. 18.
27. Записать римскими цифрами первые
тридцать натуральных чисел.
28. Прочитать написанные римскими циф-
рами следующие числа:
VIII, XXI, CXVI, CIX, DCCC,
MDXXXIII, MDCXIV, DCmLIX.
29- 1) Записать римскими цифрами сле-
дующие числа:
3,9, 11,29,42,99, 359,860,5786.
2) Записать следующие даты, обозна-
чив римскими цифрами порядковые но-
мера месяцев: 15 февраля, 8 марта,
5 апреля, 1 мая, 1 сентября, 7 ноября,
5 декабря.
Рис. 19.
21
22.
8. ВОЗНИКНОВЕНИЕ И РАЗВИТИЕ
ПИСЬМЕННОЙ НУМЕРАЦИИ
Народы древних государств для борьбы со
стихией могучих рек и для ведения своего хо-
зяйства были вынуждены решать задачи по
дележу земли, борьбе с наводнениями, с пост-
ройкой различных сооружений. Эта трудовая
деятельность привела к необходимости записы-
вать численности различных множеств предме-
тов. В различные эпохи, у разных народов упот-
реблялись различные знаки для обозначения
чисел.
В древнем Египте были введены для изо-
бражения чисел особые знаки, которые называ-
лись иероглифами (рис. 21). Например, число 23
изображалось так: Г) Г) I I 1 .Ав древнем Ва-
вилоне это число изображалось другими знаками
(рис. 22). Эти записи чрезвычайно сложны,
и естественно, что люди постепенно от при-
митивных обозначений чисел шли к более
прогрессивным. Особая роль в развитии счисле-
ния и записи нумерации принадлежит ученым
Индии. Они впервые ввели девять знаков для
обозначения первых девяти натуральных чи-
сел; затем они ввели цифру нуль. Индусы вве-
ли десятичную систему счисления. Происхож-
дение десятичной системы счисления связано с
использованием десяти пальцев рук. В Европу
индусская десятичная система счисления стала
проникать в XIII в., но распространялась чрез-
вычайно медленно, и только в XV в. ею стали
пользоваться большинство народов Европы. На-
чертания цифр, которыми мы сейчас пользуем-
ся, установились в Европе в XVI в.
В России индусская нумерация впервые
появляется в XIII в., но она укрепилась прочно
лишь после напечатания книги Леонтия Филип-
повича Магницкого «Арифметика» (1703 г.).
глава II АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ
И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
В практической деятельности человеку часто приходится
по двум (или нескольким) данным числам находить новое
число.
Нахождение по двум данным числам нового числа называ-
ется арифметическим действием.
Как вы уже знаете, в арифметике изучаются четыре дейст-
вия над числами. Условились называть данные числа, над ко-
торыми выполняется то или другое действие, компонентами
действия, а полученное новое число — результатом действия.
§ 9. СЛОЖЕНИЕ. ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ
В практике часто приходится несколько множеств объеди-
нять в одно множество. Например, множества яблок, собран-
ных с нескольких яблонь, объединяются в одно множество,
урожай со всего сада, или множество учеников одного класса
объединяется с множествами учеников всех других классов
школы и получается численность множества учащихся всей
школы.
♦ Объединение двух или нескольких множеств называется
сложением.
Пример. В классе 22 девочки и 18 мальчиков. Сколько
всего учеников в классе?
Чтобы объединить первое множество со вторым, мы к чис-
ленности первого множества (22) прибавим численность второ-
го и получим 22 + 18 = 40. Получили новое множество, числен-
ность которого равно 40.
1) Числа (или численности множеств), которые надо сло-
жить, называются слагаемыми.
2) Число (численность множества), получающееся в резуль-
тате сложения, называется суммой.
Запись 22 + 18 также называется суммой.
♦ Если объединяются несколько множеств в одно, или, коро-
че, если складываются несколько чисел (численности мно-
жеств), то под этой суммой подразумевают число, которое по-
лучается путем постепенного сложения.
23
Пример. Завод выпустил в первый день недели 120 авто-
мобилей, во второй — 128 и в третий день — 129. Сколько авто-
мобилей выпустил завод за три дня?
Мы должны найти сумму 120 + 128 + 129. Сначала найдем
сумму 120 + 128 = 248, а затем сумму 248 + 129 = 377.
Если к какому-либо числу прибавить нуль, то сумма будет
равна этому числу.
Пример. В одной клетке находятся 6 птичек, а в другой
клетке нет птичек. Сколько всего птичек в обеих клетках?
6 + 0 = 6.
Законы сложения. Если мы объединяем несколько множеств,
т. е. находим сумму численности этих множеств, то чис-
ленность объединенного множества будет одна и та же, неза-
висимо от того, в каком порядке будем складывать числен-
ности объединяемых множеств.
Пример. В классе учатся 25 девочек и 15 мальчиков.
Сколько учащихся в классе?
Можно к 25 прибавить 15, но можно и к 15 прибавить 25.
Результат (сумма) сложения численностей этих множеств бу-
дет один и тот же — 40. Это свойство сложения называется пе-
реместительным законом сложения.
От перестановки слагаемых сумма не изменяется.
На числах он записывается так: 25 + 15 = 15 + 25. Чтобы
показать, что этот закон справедлив для каких угодно чисел,
его записывают с помощью букв так:
a + b = b+a, где а и Ъ — некоторые натуральные числа.
Рассмотрим иллюстрацию этого закона на числовой оси
(рис. 23):
а + Ь = Ь+а = с.
Найти сумму нескольких слагаемых мы можем различны-
ми способами. Например, сумма 7 + 12 + 24 не изменится, если
слагаемые 12 и 24 заменим их суммой: 7 + 12 +24 = 7 +(12 +
+ 24) — или если слагаемые 7 и 12 заменим суммой: 7 + 12 +
+ 24 = (7 + 12)+ 24. Это свойство называется сочетательным за-
коном сложения.
Чтобы сложить три слагаемых, можно вычислить сначала сум-
му двух первых слагаемых и к ней прибавить третье или найти
сумму двух последних слагаемых и к ней прибавить первое.
В общем виде (с помощью букв) этот закон записывается так:
а + 6 + е = (а + Ь) + с = а + (5 + с),
а где скобки указывают порядок
-----действий: сначала надо сделать сло-
"-----l' жение, указанное внутри скобок, а за-
______тем сложение, указанное вне скобок.
с Рассмотрите иллюстрацию сочета-
тельного закона на числовой оси (рис.
Рнс. 23. 24 и 25).
24
Примечание
Слагаемых можно взять не три, а больше-
Вопросы для самопроверки
1. Как называются компоненты сложения?
2. Всегда ли сумма двух чисел больше каждо-
го из них?
3. Когда сумма двух слагаемых равна нулю?
4. Приведите два примера на применение пере-
местительного закона при сложении четырех
чисел.
5. Приведите два примера на применение соче-
тательного закона при сложении пяти чисел.
Запишите пример с помощью букв а, Ь, с,
d, е.
6. Перечислите пары чисел, какие в сумме
дают 10.
7. Всегда ли выполнимо сложение?
а + (в + с)
Рис. 24.
(а + в) + с
а + в + с
Рис. 25.
а + в + с
• УПРАЖНЕНИЯ
30. Поясните, на основании каких законов сложения выполнено
решение примера:
15 + 23 + 45 + 67 = 15 + 45 + 23 + 67 = (15 + 45) + (23 + 67) =
= 60 + 90 = 150.
31. Применяя законы сложения, вычислите суммы:
52 + 96 + 48; 105 + 497 + 95; 409 + 199 + 201;
321 + 403 + 179.
§ 10. СЛОЖЕНИЕ ОДНОЗНАЧНЫХ И МНОГОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
1. Сложение однозначных чисел можно выполнять с помо-
щью счета, т. е. чтобы найти сумму двух однозначных чисел,
достаточно к одному из них причислять все единицы другого.
Пример. 6 + 5 = (6 + 1) + 1 + 1 + 1 + Г=11. Этот способ гро-
моздок. Легче находить сумму двух однозначных чисел по
следующей таблице:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2
2 3 4
3 4 5 6
4 5 6 7 8
5 6 7 8 9 10
6 7 8 9 10 И 12
7 8 9 10 11 12 13 14
8 9 10 11 12 13 14 15 16
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
В каждой клетке таблицы помещена сумма числа, записан-
ного на этой же строчке слева, и числа, находящегося сверху
в том же столбце, что и сумма. Например, чтобы найти сумму
чисел 7 и 4, надо найти пересечение седьмой строки с четвер-
тым столбцом. Пересечение — клетка с числом 11. Значит,
7 + 4 = 11.
Таблицу сложения однозначных чисел запоминают еще в
начальной школе. Ее надо знать так же, как и таблицу умно-
жения однозначных чисел.
2. Техника сложения многозначных чисел основана на при-
менении переместительного и сочетательного законов сложе-
ния и таблицы сложения однозначных чисел. Рассмотрите ре-
шение следующего примера:
5608 + 7383 = (5000 + 600 + 8) + (7000 + 300 + 80 + 3) =
= (5000 + 7000) + (600 + 300) + 80 + (8 + 3) =
= 12 000 + 900 + 80 + 11 = 12 991.
(Слагаемые разбиваем на суммы разрядных единиц.
Представляем слагаемые по разрядам и соединяем их в
группы, т. е. применяем переместительный и сочетательный за-
коны. Складываем по разрядам, применяя таблицу сложения
однозначных чисел. Записываем сумму разрядных единиц по
свойству поместного значения цифр.)
Приведенная подробная запись письменного сложения мно-
гозначных чисел сделана только с целью объяснения; на прак-
тике же применяется, как вы знаете, запись «столбиком». При-
ведем примеры:
,419 ,5608 , 495
+ 382 ‘7383 ф5730
801 12991 12607
18832
При сложении столбиком слагаемые числа пишут так, что-
бы цифры одних и тех же разрядов находились в одном верти-
кальном столбце. Затем под последним слагаемым проводят
горизонтальную черту и слева ставят знак сложения. Далее
производят сложение по разрядам справа налево, т. е. от млад-
ших разрядов к старшим. Если при сложении разрядных еди-
ниц получаются десятки, то обычно, чтобы их не забыть, ста-
вят над старшим разрядом точку; записывать переносимые де-
сятки справа не рекомендуется.
Сумму двух многозначных чисел можно находить и «сле-
ва направо», но это обычно делают при устном сложении.
3. Устное сложение. Результаты сложения однозначных чи-
сел надо твердо помнить. Результаты сложения любых дву-
значных чисел не обязательно помнить, но надо уметь быстро
и правильно находить их устно, без записи. Обычно сначала
26
складывают десятки и единицы в отдельности, а затем склады-
вают эти суммы.
Пример.
57+ 36 4-73 = (5 дес. + З дес.+ 7 дес.) + (7 ед.+’
+ 6 ед. + З ед.) = 15 дес.+ 16 ед. = 166.
Иногда удобно в зависимости от слагаемых производить
почти устно вычисления с многозначными числами, применяя
законы сложения.
Примеры.
1) 3575 +12 002 + 6425 = (3575 + 6425) +12 002 =
= 10 000 + 12 002 = 22 002, 2) 4529 + 711 + 501 + 1289 =
= (4529 + 501) +(711 + 1289) = 5030 + 2000 = 7030.
Поэтому, прежде чем производить сложение, внимательно
посмотрите на слагаемые и, если возможно, произведите уст-
ные вычисления, хотя бы частично.
4. Проверка сложения. При выполнении действий над чис-
лами малейшее невнимание приводит к ошибке. Поэтому сле-
дует принять за правило всегда проверять получаемый резуль-
тат. Результат устного сложения проверяют, выполняя сложе-
ние вторично, причем лучше иным способом, а результат пись-
менного сложения проверяют посредством перестановки слагае-
мых.
Примеры.
1) Вычислить: 56+ 45 = (50+ 40)+ (6 + 5) = 90+ 11 = 101.
Проверка. 56 + 45 = (56 + 44) + 1 = 100 + 1 = 101,
2) 4059 + 3762 + 594.
Выполнение. Проверка.
4059 594
+3762 +4059
594 3762
8415 8415
Вопросы для самопроверки
1. Какие пары чисел дают в сумме 5, 8, 10, 15?
2. Сколько случаев сложения однозначных чисел? Есть ли среди
них случаи, в которых имеются одинаковые компоненты?
3. Расскажите (с показом на примере) о сложении многозначных
чисел.
4. Над какими числами сложение выполняется обязательно устно?
5. Как производится проверка сложения? Показать на примере.
27
• УПРАЖНЕНИЯ
32. 1) Рассмотрите приведенное решение примера на сложение
двух многозначных чисел и укажите, когда был применен
переместительный и когда сочетательный законы сложения:
19 502 + 20 104 = 10 000 + 9000 + 500 + 2 + 20 000 +100 + 4 =
= 10 000 + 20 000 + 9000 + 500 +100 + 2 + 4 = (10 000 +
+ 20 000) + 9000 + (500 +100) + (2 + 4) = 30 000 + 9000 +
+ 600 + 6 = 39 606.
2) (Устно.) Найти сумму данных чисел, пользуясь перемес-
тительным и сочетательным законами:
1) 15 + 27 + 25 + 13; 3) 17 + 22 + 13 + 48 + 16;
2) 34 + 29 + 11 + 16; 4) 84 + 35 + 27 + 15 + 16.
33. (Устно.) Сложить:
1) 10, 15 и 25; 3) 1, 10, 100, 1000 и 10 000;
2) 14, 26 и 37; 4) 5, 50, 500, 5000 и 50 000.
34. Сложить и сделать проверку:
1) 4756, 8095 и 1029; 3) 92 409, 15 009 и 421435;
2) 13 206, 4976 и 1007; 4) 47 256 409, 14 000 572 и 3 425 628.
35. Увеличить 2350 на сумму чисел: 4009, 5072 и 1900 (про
верить).
36. Найти сумму наибольшего четырехзначного числа и наи-
меньшего пятизначного числа.
37. Не производя действий, назовите высший разряд суммы, а
затем сделайте проверку:
1) 405 + 320 + 389; 3) 67 250 + 15 020 + 20 460;
2) 3560 + 6200 + 350; 4) 320 475 + 86 500 + 4750.
38. 1) Найти сумму всех однозначных чисел.
2) Найти сумму всех натуральных чисел, которые больше
15 и меньше 25.
39. Произвести сложение наиболее удобным путем, используя
переместительный и сочетательный законы. Сделать проверку:
1) 7305 + 475 + 495 + 125; 3) 54 492 + 1699 + 5508 + 101;
2) 3520 + 1070 + 480 + 630; 4) 399 905 + 47 576 + 12 424 + 1005.
40. (Устно.) Сложить:
1) 1 + 0; 3) 547 + 0 + 352 + 1;
2) 0 + 0 + 0; 4) 0 + 1 + 1099 + 0 + 450.
41. 1) Сумму 25 + 32 + 44 + 8 записать различными способами,
пользуясь законами сложения.
2) Сумму a + b + c+d записать различными способами, поль-
зуясь законами сложения.
28
§ 11. ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ СЛОЖЕНИЕМ
Одна из главных целей изучения арифметики состоит в том,
чтобы учащиеся научились решать арифметические задачи.
♦ Арифметической задачей называется вопрос, для ответа на
который приходится по двум или нескольким числам находить
новое число. Число, которое отыскивается, называется иско-
мым, а известные в задаче числа называются данными. Зада-
ча называется основной (простой), если для ее решения нужно
выполнить только одно действие, и называется составной
(сложной), если нужно выполнить два или более арифметиче-
ских действий. При помощи сложения решаются основные за-
дачи двух видов:
1) Даны два (или несколько) числа. Найти их сумму.
2) Дано одно число. Найти другое число, которое на не-
сколько единиц больше первого.
Приведем конкретные задачи этих видов.
1-й вид. Автозавод за первую неделю выпустил 2020 лег-
ковых автомобилей, за вторую — 2038 и за третью — 2050.
Сколько легковых автомобилей завод выпустил за три недели?
2-й вид. Расстояние от Земли до Луны — 380000 км, а
расстояние от Земли до Солнца — на 149 620 000 км больше.
Найти расстояние от Земли до Солнца (рис. 26).
Решение. 380 000 + 149 620 000 = 150 000 000 (км).
42. На речном пароходе взрослых пассажиров было 220, 46 де-
тей и 17 человек команды. Сколько человек было на пароходе?
43. В первый квартал завод выпустил 2 456 240 изделий, а за
второй — на 1 009 460 штук больше. Сколько изделий завод
выпустил за второй квартал?
44. Новая башня Московского телецентра на 82 м
выше самого высокого небоскреба Нью-Йорка, ко-
торый выше здания Московского университета на
208 м. Определить высоту башни телецентра, если
высота здания университета — 243 м (рис. 27).
45. Расстояние по железной дороге от Иркутска до
Владивостока на 954 км меньше, чем от Москвы
до Иркутска; расстояние от Иркутска до Влади-
востока равно 4140 км. Сколько километров от
Москвы до Владивостока?
46. Определить площадь, занимаемую школой, если
здание и двор школы занимают 29 а 80 кв. м, при-
школьный участок — 3 га 68 а и спортивный го-
родок при школе — 14 а 40 кв. м.
47. Ученики вышли в поход в 6 час. 20 мин. и вер-
нулись через 12 час. 30 мин. В котором часу они
вернулись?
48. Реактивный самолет вылетел из Москвы в 4 час.
20 мин. и прилетел в Гавану (столица Республи-
ки Куба) через 10 час. 47 мин. В котором часу по
московскому времени самолет прилетел в Гавану?
Рис. 26.
29
7
£
еч
со
Рис. 27.
Нонтрольная работа по §9—11
1. Сумма двух однозначных чисел не мо-
жет быть больше 18. Обосновать.
2. Вычислить наиболее удобным спосо-
бом сумму 1459 + 56 + 490 + 1009 +
+ 43 510 + 2541 и обосновать свое ре-
шение.
3. Составить основные задачи, решаемые
сложением.
4. Теплоход вышел из Москвы 20 июня
в 20 час. и прибыл в Волгоград через
7 суток и 15 час. Когда теплоход при-
был в Волгоград (день и час)?
§ 12. ВЫЧИТАНИЕ
В практической деятельности че-
ловеку часто приходится из множест-
ва удалять его часть; например: из
собранного урожая яблок приходится
удалять его часть — порченые яб-
локи; из вытащенного сетью улова
рыбы выбрасывать в воду мелкую
рыбу; из урожая зерна выбрасывать
его отходы и т. д. В результате уда-
ления из множества элементов какой-
то его части получится новое множе-
ство, которое можно назвать ос-
татком. Значит, возникает задача: зная численность множест-
ва и численность удаленной его части, найти численность его
остатка. В этом случае говорят, что задача решается действи-
ем вычитания. Если требуется узнать, сколько в классе маль-
чиков, зная, что состав класса — 40 учеников, из них 25 дево-
чек, то для нахождения ответа надо из 40 вычесть 25, получим
остаток 15. Это решение записывается так: 40—25 = 15. Знак
«—» (минус) обозначает действие вычитания.
Можно к действию вычитания в рассмотренной задаче прий-
ти другим путем, если читать задачу так: «В классе 40 учени-
ков, из них 25 девочек. Сколько в классе мальчиков?» Можно
считать, что 40 есть сумма, одно из слагаемых — 25, а второе
слагаемое надо найти. Если обозначить второе слагаемое че-
рез букву х, то условие задачи можно записать так: 25 + х = 40.
А ранее мы записали, что неизвестное слагаемое (х) равно 40
без 25, т. е. х = 40—25. Значит, нахождение неизвестного сла-
гаемого привело нас к действию вычитания. Запись вычитания
в общем виде (с помощью букв) такова: х = а—Ь.
Вычитание есть арифметическое действие, посредством которого
по данной сумме и одному данному слагаемому находится другое
слагаемое.
30
Следовательно, вычитание — действие, обратное сложению.
Числа при вычитании носят особые названия. Число, из которо-
го вычитают, называется уменьшаемым. Число, которое вычи-
тают, называется вычитаемым. Новое число, получаемое в ре-
зультате вычитания, называется разностью или остатком.
В рассмотренном выше решении задачи х = 40—25 40—;
уменьшаемое, 25 — вычитаемое их — разность или остаток.
Запись 40—25 также называют разностью или остатком.
Мы знаем, что действие сложения двух чисел всегда выпол-
нимо, но, рассматривая вычитание, видим, что оно не всегда
выполнимо, а именно вычитание выполнимо (возможно) тогда,
когда вычитаемое не больше уменьшаемого.
Примеры.
560—430 = 130 — выполнимо (вычитаемое меньше
уменьшаемого);
560—560 = 0 — выполнимо (вычитаемое равно умень-
шаемому) ;
560—570 — невыполнимо (вычитаемое больше умень-
шаемого).
Эти три вида записи можно заменить с помощью букв одним:
(а—Ь) — выполнимо, если а > & (напоминаем, знак > читает-
ся «больше или равно»).
Надо запомнить: 1) если вычитаемое равно нулю, то раз-
ность равна уменьшаемому.
Пример. 35—0 = 35. Запись в общем виде: а—0 = а. В
частности: 0—0 = 0.
2) Если уменьшаемое и вычитаемое равны, то разность рав-
на нулю.
Пример. 40—40 = 0; в общем виде: а—а = 0.
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение действия вычитания.
2. Всегда ли выполнимо вычитание?
3. Почему вычитание называют действием, обратным сложению?
4. При каком условии разность равна 0?
5. При каком условии разность равна уменьшаемому?
§ 13. УСТНОЕ И ПИСЬМЕННОЕ ВЫЧИТАНИЕ. СВОЙСТВА
ВЫЧИТАНИЯ
Чтобы овладеть умением производить вычитание, необходи-
мо сначала научиться вычитать в уме однозначное число из
однозначного и двузначного чисел. Вычитание однозначного
числа производится на основании знания таблицы сложения
однозначных чисел (стр. 25). Например, чтобы найти 9—5, на-
до вспомнить, что 9 есть 5 + 4, и тогда получим: 9—5 = 4 или,
чтобы найти 17—9, надо вспомнить, что 9 + 8 = 17.
31
Письменное вычитание. Письменное вычитание многознач-
ных чисел, как и их сложение, производится поразрядно, т. е.
от единиц уменьшаемого отсчитываются единицы вычитаемо-
го, от десятков уменьшаемого — десятки вычитаемого и т. д.
Письменное вычитание удобнее начинать с простых единиц.
Так же как и при сложении, вычитание многозначных чи-
сел записывают «столбиком». Рассмотрим технику вычитания
на примерах:
1) 4765
~2374
2391
2) 3915
~~ 423
3492
3) 31943
~ 6124
25819
4) 26000
~19623
6377
При вычитании часто бывают случаи, когда число единиц в
данном разряде уменьшаемого меньше числа единиц того же
разряда вычитаемого. В этом случае занимают в уменьшаемом
одну единицу высшего разряда (для запоминания можно ста-
вить точку над этим разрядом) и выражают (дробят) ее в еди-
ницах низшего разряда.
Свойства вычитания. Первое свойство. Иногда от
числа приходится отнимать сумму двух (или нескольких) чи-
сел, например: 18—(7 + 6). Решение может быть выполнено од-
ним из двух способов:
1) Находят сумму (7+6 = 13) и вычитают ее из 18, т. е. 18 —>
—13 = 5.
2) Но можно вычитать и так. Из уменьшаемого вычесть по-
следовательно слагаемые, т. е. сначала из 18 вычесть 7, а из
полученной разности (11) вычесть 6. Записывается это так:
18—(7+ 6) = 18—7—6 = 11—6 = 5.
Вывод. Чтобы вычесть сумму двух чисел из числа, можно
вычесть из этого числа первое слагаемое, а из полученной раз-
ности второе слагаемое. Это свойство справедливо и для слу-
чая, если из числа вычитается сумма нескольких слагаемых.
Пример. 100—(51 +17 + 16 + 4) = 100—51—17—16—4.
В общем виде это свойство записывается так:
а—(5 + c + d + e)=a—Ъ—с—d—е.
Второе свойство. Если по условию задачи требуется
из суммы чисел вычесть число, то решение может быть выпол-
нено одним из двух способов. Рассмотрим на примере: (24 +
+ 38)—16. Сначала найти сумму (24 + 38), а затем вычесть из нее
16, т. е. 24 + 38 = 62 и 62—16 = 46. Но можно вычислить и так:
вычесть 16 из какого-либо слагаемого, оставляя другое без из-
менения :
(24 + 38)—16 = (24—16) + 38 = 24 + (38—16).
32
Вывод. Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть это
число из какого-нибудь одного слагаемого (предполагается, что
слагаемое больше вычитаемого).
В общем виде это свойство записывается так:
(а + Ь)—с = (а—c) + b = a + (b—с).
Третье свойство. Если из числа требуется вычесть раз-
ность двух чисел, то решение может быть выполнено одним из
двух способов. Рассмотрим решение примера: 70—(45—
-15).
1-й способ. 70—(45—15) = 70—30 = 40 (поясните реше-
ние).
2-й способ. 70—(45-15) = (70-45)+ 15 = 25+ 15 = 40.
Вывод. Чтобы вычесть разность из числа, можно вычесть из
него уменьшаемое (если это возможно) и к полученной разно-
сти прибавить вычитаемое. В общем виде это записывается так:
а—(Ь—с) = (а—Ь) + с, где а > Ь.
На этих трех свойствах основаны некоторые приемы уст-
ного вычитания:
1) 115—75 = 115—(15 + 60) = (115—15)—60 = 100—60 = 40
(поясните решение);
2) 208—56 = (200 + 8) - 56 = (200 - 56) + 8 = 144 + 8 = 152;
3) 169—57 = 169— (60—3) = (169—60) + 3 = 109 + 3 = 112.
Вопросы для самопроверки
1. Как производится вычитание однозначных чисел?
2. Как вычесть однозначное число из двузначного?
3. Почему, формулируя свойства действий, говорят «можно», а не
«нужно»?
О УПРАЖНЕНИЯ
49. Выполнить вычитание:
1) 45 000 из 86 420; 3) 39 507 из 120 492;
2) 27 600 из 35 956; 4) 124 576 из 124 685.
50. Выполнить действия:
1) 111000—11100; 3) 40 029 007—39 402 708;
2) 1 010 101—101 010; 4) 10 000 000—980 999.
51. Выполнить указанные действия:
1) 40 508 + 7909—25 909; 3) 127 000 + 0—49 005—0;
2) 75 000—42 999 + 17 028; 4) 694 297—539 057 + 100 901.
52. Выполнить вычитание двумя способами:
1) 4039—(2058 + 1902); 3) 5076—(3039—1024);
2) 15 906—(1567 + 4073 + 6028); 4) 44 292—(35 947—3202).
53. (Устно.) Вычислить:
1) 127—(56 + 27);
2) 496—(74 + 96);
3) (394 + 173)—194;
4) 12 043—(5999—957).
2 С. А. Пономарев
33
& 14. ПРОВЕРКА СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ.
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ НА СЧЕТАХ
Проверка сложения вычитанием. Мы знаем один способ про-
верки сложения (§ 10). Познакомимся с другим способом про-
верки сложения — вычитанием. Сложение можно проверить,
считая, что полученная сумма будет уменьшаемым, а одно из
слагаемых — вычитаемым. Если результат будет равен второ-
му слагаемому, то действие сложения выполнено правильно.
Пример. 75 + 23 = 98. Проверка. 98—75 = 23; 23 есть
второе слагаемое, значит, действие сложения выполнено пра-
вильно.
Проверка вычитания сложением. Вычитание можно прове-
рить, считая, что уменьшаемое является суммой, а вычитае-
мое и разность — слагаемыми. Поэтому для проверки вычита-
ния надо сложить вычитаемое с разностью, и, если полученный
результат будет равен уменьшаемому, значит, действие вычи-
тания выполнено правильно.
Пример. 12 656 П р о в е р к а. . 7 290
7 290 +5 366
5 366 12 656
Проверка вычитания вычитанием. Считая, что уменьшае-
мое является суммой, а вычитаемое и разность — слагаемыми,
и основываясь на законе «от перестановки слагаемых сумма не
меняется», для проверки можно из уменьшаемого вычесть раз-
ность. Если в результате получится вычитаемое, то пример ре-
шен правильно.
При мер. _48 457 Проверка. _48 457
31576 16 881
16 881 31576
Значит, правильность выполнения действий сложения и вычи-
тания может быть проверена двумя способами: сложением и
вычитанием.
Сложение на счетах. Сложение чисел очень удобно выполнять
на счетах. Рассмотрим на примерах.
1. Сложить 42 и 53. Откладываем на счетах первое слагае-
мое : на второй снизу проволоке — 4 косточки и на первой — 2.
Затем откладываем второе слагаемое: на второй к имеющим-
ся 4 косточкам прибавляем 5 косточек и на первой — еще
3 косточки. Читаем отложенное на счетах: 95, т. е. 42 + 53 = 95.
2. Сложить 4021, 162 и 513. Откладываем первое слагаемое
4021 (на четвертой снизу проволоке — 4 косточки, на второй —
34
2 и на первой — 1), затем второе слагаемое 162 (на третьей
проволоке — 1 косточку, на второй — 6 и на первой — 2) и, на-
конец, откладываем третье слагаемое (на третьей — 5, на вто-
рой — 1 и на первой — 3). Читаем полученное на счетах:
4696, т. е. 4021 + 162 + 513 = 4696.
3. Сложить 368 и 579. Откладываем первое слагаемое 368
(на третьей проволоке 3 косточки, на второй — 6, на пер-
вой — 8), затем на третьей проволоке откладываем 5 сотен вто-
рого слагаемого. Отложить 7 десятков на второй проволоке мы
не можем, так как на ней уже отложены 6 десятков, и к ним
мы прибавляем только 4 десятка из 7, тогда мы откладываем
на третьей проволоке еще одну косточку (т. е. одну соттйо), а
на второй оставляем только 3 косточки. Затем переходим к еди-
ницам. Так как на первой проволоке мы не можем отложить
еще 9 единиц (уже отложены 8 единиц), то мысленно отклады-
ваем 2 единицы, сбрасываем косточки с первой проволоки и,
заменяя полученный десяток одной косточкой на второй про-
волоке, откладываем на первой проволоке 7 единиц. Читаем
полученный результат: 947, т. е. 368 + 579=947.
Вычитание на счетах. 1. Вычесть 2413 из 3546. Откладываем умень-
шаемое 3546, а затем последовательно сбрасываем с четвертой,
третьей, второй и первой проволок 2, 4, 1 и 3 косточки. Читаем
полученный результат: 1133, т. е. 3546—2413 = 1133.
2. Вычесть 683 из 4563. Откладываем уменьшаемое 4563 п
начинаем сбрасывать вычитаемое. Так как мы не можем сбро-
сить с третьей проволоки 6 сотен (там отложены 5 сотен), то
сбрасываем 1 косточку (1 тысячу) с четвертой проволоки, а на
третьей проволоке прибавляем еще 4 косточки (10—6). Прис-
тупая к вычитанию десятков, мы также видим, что со второй
проволоки нельзя сбросить 8 косточек (там отложено 6 косто-
чек), поэтому сбрасываем 1 косточку с третьей проволоки, а
на второй проволоке прибавляем еще 2 косточки (10—8). Да-
лее сбрасываем 3 косточки с первой проволоки. Читаем: 3880,
т. е. 4563—683 = 3880.
♦ Следует помнить, что сложение и вычитание на счетах надо
выполнять начиная с высших разрядов (сверху вниз). Приме-
няя счеты, мы можем проверить правильность выполнения дей-
ствий сложения и вычитания.
Вопросы для самопроверки
1. Какими способами можно проверить правильность выполнения
сложения двух чисел? Вычитания?
2. Как можно проверить правильность вычисления на счетах?
3, При проверке действия сложения или вычитания получен резуль-
тат, отличный от ожидаемого вами. Что вы будете делать?
4. Чем способ сложения на счетах, когда начинают сложение с выс-
ших разрядов, удобнее способа, когда начинают еложение с низ-
ших разрядов?
2*
35
УПРАЖНЕНИЯ
54. Выполнить вычитание на счетах и проверить одним из спосо-
бов:
1) 47 562 из 49 031; 3) 3 247 506 из 4 057 011;
2) 756 004 из 1 043 254; 4) 5 009 999 из 12 011 334.
Я. Выполнить действия на счетах:
1) 40 704 + 15103 + 4072; 3) 74 595+12 345—4001;
2) 16 025 + 1725 + 39 205; 4) 85 476—1432—2706.
56. Произвести указанные действия:
1) 2694—1563—429; 3) 40 549—12 321 + 0—2905;
2) 4060 + 5077—2842; 4) 20 376—(6005 + 7047 + 5885).
Полученные результаты проверить на счетах.
57. Подсчитать сумму, подлежащую оплате по счету:
№ п/п Наименование Стоимость
руб | коп.
1 Масло сливочное 3 60
2 Мясо 1 50
3 Растительное масло 1 65
4 Рис 72
5 Яйца — 90
6 Чай — 46
Итого . . . .
58. Расчет доходов колхоза (в рублях) от продажи продуктов
государству:
№ п/п Наименование продукции Кварталы Всего за год
1-й 2-й З-й 4-й
1 Масло 5650 6270 8460 7580
2 Тюрог 1260 1456 1350
3 Яйца 1230 1350 2060 1800
4 Птица — — 1034 2050
5 Мясо говяжье 2043 2020 1760 2560
6 Мясо свиное 1720 1563 1947 2420
Итого . .
Подсчитать на счетах общий доход колхоза по каждому
кварталу и в целом за год по каждому виду продукции.
36
§ 15. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ ВЫЧИТАНИЕМ
Первый вид задач. По сумме и одному из слагаемых
найти другое слагаемое.
Задача. За два месяца бригада должна собрать 465 стан-
ков. За первый месяц она собрала 248 станков. Сколько стан-
ков должна собрать бригада за второй месяц?
В этой задаче число 465 есть сумма, число 248 — одно из
слагаемых. Нужно найти неизвестное слагаемое. Обозначим
его через х. Заменяя условие задачи, запишем: 248 + х=465;
мы знаем, что неизвестное слагаемое равно сумме без извест-
ного слагаемого, т. е. х = 465—248 = 217 (ст.).
Второй вид. Уменьшить число на несколько единиц.
Задача. За первый месяц бригада собрала 248 станков, а
за второй месяц должна собрать на 31 станок меньше. Сколь-
ко станков должна собрать бригада за второй месяц?
Решение. 248—31 = 217 (ст.).
Третий вид. Узнать, на сколько одно число больше или
меньше другого.
Задача. За первый месяц бригада должна собрать 248
станков, а за второй месяц — 217 станков. На сколько станков
бригада должна собрать меньше во второй месяц?
Решение. 248—217 = 31 (ст.).
Вопросы для самопроверки
1. Приведите примеры задач, решаемых вычитанием, для каждого
из рассмотренных видов.
2. Из данных примера 15 + 32 = 47 составьте основные задачи, ре-
шаемые вычитанием.
• УПРАЖНЕНИЯ
59. От Москвы до Харькова 783 км, а от Москвы до Севастопо-
ля через Харьков 1550 км. Сколько километров от Харькова до
Севастополя?
60. Длина окружности Земли по экватору — 40 009 532 м, а по ме-
ридиану — 40 008 548 м. На сколько длина окружности Земли
по экватору больше длины окружности Земли по меридиану?
61. В городе в начале месяца проживало 37 445 человек. За ме-
сяц прибыло 1546 человек, а убыло 360 человек. Сколько жи-
телей стало в городе к концу месяца?
62. В колхозной библиотеке имеется в наличии всего 15 600
книг. Читателям выдано 1628 книг и в передвижку для бригад
выделено 846 книг. Сколько книг осталось в библиотеке?
63. Рабочий-изобретатель получил премию 1000 рублей. Он ку-
пил мебель за 260 рублей и телевизор за 160 рублей. Сколько
денег из премии осталось у рабочего?
37
Рис. 28.
67. Когда в Москве 2
64. Чтобы залить каток, требуется 12 600
ведер воды. Заливку проводят четырьмя
кранами. Из первого крана вылито 2900
ведер, из второго — 3400 ведер, из треть-
его — 3500 ведер. Сколько ведер воды
вылито четвертым краном?
65. В магазин было завезено 35 000 тетра-
дей : в клетку — 11 830 тетрадей, в ко-
сую разлиновку — 4500, в одну линей-
ку — 12 270, а остальные тетради — в
две линейки. Сколько тетрадей было в
две линейки?
66. Когда в Москве 9 час. 17 мин., в Вол-
гограде по местному времени 10 час.
17 мин. Который час местного времени
в Волгограде, когда в Москве полдень?
часа 15 мин., во Владивостоке по местно-
му времени 10 час. 10 мин. 16 сек. Который час местного вре-
мени во Владивостоке, если в Москве 18 час. 30 мин? (Рис. 28.)
68. Найти неизвестное слагаемое (х):
1) х + 675 = 820; 3) 4560 + х = 4592;
2) х +1268 = 1300; 4) 25 429 + х = 25 600.
Проверить результат с помощью счетов.
69. Найти х:
1) х—1520 = 293; 3) 675—х = 320;
2) х—1394 = 2072; 4) 1792—х = 627.
Результат проверить с помощью счетов.
Указание. Приведем запись решения 1-го примера:
х—1520 = 293, х=1520+293, х = 1813.
70. Разность двух чисел 333, большее число равно 685. Найти
меньшее.
Указание. Сначала надо записать задачу в виде равенства,
исходя из ее условия. Условие задачи говорит о вычитании, поэтому
запишем:
685—х=333. Откуда х=685—333, х=352.
71. Разность двух чисел 3789, меньшее число равно 2906. Найти
большее число.
72. Уменьшаемое равно 2506, разность равна 1279. Найти вычи-
таемое.
73. Вычитаемое равно 763, разность равна 237. Найти уменьша-
емое.
Указание. Сначала записываем условие задачи в виде равен-
ства: 2506—х=1279, а затем находим х.
38
Контрольная работа по § 12—15
1. Выполнить действия: (2057—378)—(8965—7857) + (3756—2769).
Сделать проверку.
2. Из разности чисел 23 602 и 11 009 вычесть сумму чисел 829, 1832
и 1034.
3. Колхоз собрал зерновых 5632 г. Из них пшеницы — 2765 г, ржи —
1646 г, овса — 845 т, остальное — просо. Чему равен урожай проса?
4. Найти неизвестное число х: 1) х—76095 = 34235; 2) 6007 508—
— х=17 093.
5. Для взвешивания в лабораториях употребляются разновески с та-
ким набором гирек: 500 г, 200 г, 100 г, 50 г, 20 г, 10 г, 5 г, 2 г, 1 г.
Из такого набора гирек можно составить любое целое число граммов
от 1 г до 888 г. Проверьте хотя бы для весов: 27 г, 132 г, 259 г.
§ 16. УМНОЖЕНИЕ. ЗАКОНЫ УМНОЖЕНИЯ
В жизни часто приходится наблюдать объединение мно-
жеств одинаковой численности, например, при решении зада-
чи: «На станцию для совхоза прибыло 10 цистерн горючего,
по 16 г в каждой цистерне. Сколько горючего получил сов-
хоз?». Для решения задачи нужно найти сумму 10 одинако-
вых слагаемых. 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 =
= 160. Несложная задача (сложение одинаковых слагаемых)
требует сложной записи и громоздкого вычисления. А если
взять задачу: «Завод выпускает в день 363 автомобиля. Сколь-
ко автомобилей завод выпустит за месяц? Сколько за год?», то
вычисления будут еще более сложными. Поэтому, чтобы упро-
стить решение таких задач, введено особое действие — умноже-
ние. Для обозначения действия умножения введены знаки « X »
или «•». Чаще применяется знак «•». Запись решений при-
веденных выше задач будет: для первой задачи: 16-10 =
= 160 (г) — и для второй: 363-30 = 10 890 (автом.).
Умножить какое-либо число на натуральное число, отличное от
единицы, — значит взять первое число слагаемым столько раз,
сколько единиц содержится во втором числе.
Число, которое умножается, называется множимым. Число,
на которое умножают, называется множителем. Число, полу-
ченное при умножении, называется произведением. Множимое
и множитель называются сомножителями.
Если каждый сомножитель или только второй из них запи-
сан буквой, то знак умножения между ними обычно не пишут.
Примеры. Вместо а • Ь пишут ab; вместо 7 • аЪ пишут lab.
♦ Определение умножения на натуральное число непригодно
в том случае, когда множителем служит 1 («взять слагаемым
один раз (?)») или 0 (нуль не является натуральным числом).
Условились считать:
Если множитель равен 1, то произведение равно множимому:
8-1 = 8.
Если множитель равен 0, то произведение равно 0:
8-0 = 0.
39
В общем виде это определение записывается так:
а- 1 = а, а-0 = 0, где а = 0; 1; 2; 3;....
♦ Бывают случаи, когда сомножителей больше двух (например,
8 • 7 • 6 • 5). В этом случае произведением называют число,
которое получается в результате последовательного умножения
первого числа на второе (8 • 7 = 56), полученного произведения
на третье (56 • 6 = 336), вновь полученного произведения на чет-
вертое (336 • 5 = 1680) и т. д.
Законы умножения. Действие умножения, как и действие сло-
жения, обладает законами переместительным и сочетательным,
кроме того, еще распределительным законом. Покажем на
конкретных примерах справедливость этих законов умноже-
ния.
Рис. 29.
1. Переместительный, закон. Рассмотрим рисунок 29, где
схематично изображены ямы, отрытые для посадки дуба.
Сколько отрыто ям? Ответ можно найти двумя способами:
1-й способ. 6 ям в каждом из 4 рядов, т. е. 6-4 = 24.
2-й способ. 4 ямы в каждом из 6 столб-
цов, т. е. 4 • 6 = 24. Отсюда 6 • 4 = 4 • 6.
Произведение не изменяется от перемены
мест сомножителей.
В общем виде этот закон записывается
так:
а • b = b • а.
Знание этого закона позволяет значи-
тельно ускорить получение произведе-
ния, например вместо 2 • 53 (два брать
слагаемым 53 раза) легче найти 53 • 2
(т. е. 53 + 53).
♦ Переместительным законом обладает
произведение не только двух, но и лю-
бого числа сомножителей, например:
Рлс. 30.
2-13-5-6 = 2-5-6-13 =
= 10 • 6 • 13 = 60 • 13 = 780.
2. Сочетательный закон. Предполо-
жим, что в каждую из ям, изображен-
ных на рисунке 30, кладется по 3 желу-
дя. Сколько надо желудей на все эти
ямы? Ответ можно найти двумя спосо-
бами:
1-й способ. В каждую яму нижне-
го ряда кладут 3 желудя, всего в этот
ряд положат 3-6 = 18, но таких рядов
4, и, следовательно, потребуется желу-
дей (3-6)-4 = 72.
40
2-й способ. В каждую яму кладут 3 же-
лудя, а всего ям 6-4, и, следовательно,
всего нужно желудей 3-(6-4) = 72. Откуда
3-6-4= 3-(6-4).
Произведение не изменяется, если какую-ни-
будь группу рядом стоящих сомножителей
мы заменим их произведением.
В общем виде этот закон записывается
так:
abc = (ab) -с = а- (Ьс).
3. Распределительный закон. Решим
задачу: «Пять пионеров разделили между
собой пойманную рыбу так, что каждому
досталось по 6 окуней, по 10 штук плотвы
и по 12 пескарей. Сколько штук рыбы они
получили вместе?» (Рис. 31.)
Задачу можно решить двумя спосо-
бами:
1-й способ. Сначала узнаем, сколько
всего окуней они поймали (6 • 5), затем —
плотвы (10-5) и пескарей (12-5). Потом
найдем общее количество пойманной рыбы,
т. е. 6-5 + 10-5 + 12-5 = 140 (рыб).
2-й способ. Сначала узнаем, сколько
Рис 31 .
рыб получил каж-
дый (6 + 10 + 12), а затем сколько рыб поймали они вместе, т. е.
(6 + 10 + 12) • 5 = 140 рыб. Следовательно, (6 +10 +12) • 5 = 6 • 5 +
+ 10-5 + 12-5, т. е.
Чтобы умножить сумму на какое-нибудь число, можно умножить
на это число каждое слагаемое отдельно и сложить полученные
результаты.
В общем виде этот закон записывается так:
(а + Ь + с) • d = ad + bd + cd.
Вопросы для самопроверки
1. Что значит умножить число ка натуральное число?
2. Как называются компоненты действия умножения?
3. Чему равно произведение 5-0? 0 а? (6 + 7) • 0?
4. Какие законы были использованы в следующем решении:
4-202-25-5=4-25-202-5=(4.25).(202-5) =100 -1010=10 1000?
5. Сформулировать законы умножения и записать их в общем виде.
41
§ 17. УСТНОЕ И ПИСЬМЕННОЕ УМНОЖЕНИЕ. ПРОВЕРКА
Умножение однозначных чисел. Каждый учащийся должен
наизусть знать результаты умножения однозначных чисел, т. е.
знать таблицу умножения. Без знания таблицы умножения
нельзя научиться умножать многозначные числа. Таблица ум-
ножения дается в разных формах.
Приводим таблицу умножения, носящую имя греческого
ученого Пифагора, жившего свыше 2400 лет до нашей эры.
Чтобы по этой таблице найти произведение 6 и 8, надо взять
шестую строку и восьмой столбец.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 18 27 36 45 54 63 72 81
Там, где пересекаются шестая строка и восьмой столбик, нахо-
дим результат—48, т. е. 6-8 = 48. Можно поступить и так:
взять восьмую строку и шестой столбец. Их место пересечения
даст 48, т. е. 8-6 = 48. Повторяем, что таблицу умножения на-
до знать наизусть.
Умножение числа на число, изображенное единицей с од-
ним или несколькими нулями; 16-10 = 160, так как в 16 де-
сятках—160 единиц, 234-100 = 23 400, так как в 234 сот-
нях — 23 400 единиц и т. д.
Чтобы умножить число на число, изображаемое единицей с одним
или несколькими нулями, достаточно приписать справа к множи-
мому столько нулей, сколько их имеет множитель.
Примеры.
432 • 1000 = 432 000; 5030 • 10 000 = 50 300 000.
Умножение многозначного числа на однозначное. Умножение
многозначного числа на однозначное основывается на приме-
нении распределительного закона к числу, изображенному в
виде суммы разрядных единиц.
Пример.
732 • 6 = (700 + 302) • 6 = 4200 +180 +12 = 4392.
42
Такая запись громоздка, а потому записывают умножение
♦ столбиком» с упрощением вычислений в уме:
732
X 6
4392
Лучше действие умножения многозначного числа на однознач-
ное число записывать в строчку: 732-6 = 4392. Если надо ум-
ножить однозначное число на многозначное, то пользуются
переместительным законом.
Пример. 7 • 562 = 562 • 7.
Умножение многозначного числа на многозначное. При обос-
новании правила умножения многозначных чисел исполь-
зуется распределительный закон умножения. Рассмотрим ре-
шение примера:
415-217 = 415- (200 +10 + 7) = 83 000 + 4150 + 2905 = 90 055.
Такой прием записи очень громоздок. Умножение записывают
столбиком и производят следующие шаги (операции):
415
X 217
Умножили на 7 единиц, получили 2905 (единиц)
Умножили на 1 десяток, получили + 415 (десятков)
Умножили на 2 тысячи, получили 830 (сотен)
Сложили все промежуточные 90 055 (единиц)
произведения, получили
Обычно записывают так:
v415
Х 217
2905
+415
830
90055
Если множитель имеет один или несколько нулей между
другими цифрами, то запись несколько упрощается. Рассмот-
рим решение примера: ^42106
Умножили на 5 единиц, получили
Умножили на 2 тысячи, получили
Сложили оба произведения, получили
, 210530 (единиц)
‘84212 (тысяч)
84422530 (единиц)
Обычно записывается так:
v42106
2005
210530
84212
84422530
43
Проверка умножения. Чтобы быть уверенным в правильно-
сти выполнения умножения, надо производить проверку умно-
жения. Один из способов проверки умножения основан на пе-
реместительном законе: переставив сомножители и произведя
вычисления вновь, мы должны получить тот же результат.
Пример, v/215 Проверка. — 309
х309 х215
1935 1545
+ 645 +309
66435 618
66435
Существует другой способ проверки умножения. О нем бу-
дет сказано дальше.
Иногда при умножении полезно производить предварительно
«прикидку» приближенного значения произведения. Напри-
мер, не производя умножения 68 • 46, мы можем сказать, что
произведение будет состоять из четырех разрядов и может
быть не более 3500. Эту «прикидку» мы делаем на основании
округления сомножителей 68 -46 — 70-50, а 70-50 = 3500.
«Прикидка» также может служить некоторой проверкой ум-
ножения.
Умножение равных сомножителей. Иногда при решении
задач надо находить произведение нескольких одинаковых
(равных) чисел; в этом случае условились короче записывать
так: пишется сомножитель, а вверху справа от него пишется
число, указывающее, сколько раз повторяется сомножитель.
Примеры. 3 • 3 = З2; 5 • 5 • 5 = 53, произведения читают-
ся : З2—три во второй степени, 53 — пять в третьей степени.
Рассмотрим пример: вычислить 43.
Решение. 43 = 4- 4- 4 = 64.
Если в условии примера требуется произвести действия сло-
жения, вычитания и умножения, то условились сначала про-
изводить умножение, а затем сложение и вычитание в той по-
следовательности, как они записаны. Если, кроме различных
действий, в примере есть скобки, то сначала, до умножения,
производят действия в скобках. Посмотрите решение примера:
485—2 14 • (28—13) + 4 • (16—3) = 485—2 • 14 • 15+,
+ 4-13 = 485—420 + 52 = 65 + 52 = 117.
Вопросы для самопроверки
1. В каком случае произведение двух сомножителей равно 0?
2. В каком случае произведение равно множимому?
3. Произведение пяти чисел равно 0. Узнайте хотя бы один сомно-
житель.
4. Посмотрите таблицу Пифагора и скажите, сколько результатов
умножения однозначных чисел вы должны запомнить.
5. Сколько цифр может иметь произведение двух однозначных чисел?
Произведение двузначного числа на однозначное? Произведение
двух двузначных чисел?
44
• УПРАЖНЕНИЯ
74. 1) Заменить сложение умножением:
З+З+З+З+З; 6 + 64-6 + 6; 12 + 12 + 12;
а + а + а; х + х + х + х.
2) Заменить умножение сложением (результат не вычис-
лять) :
5 • 4; 7 • 6; 4 • 5 • 2; 2а; Зх.
75. Выполнить умножение:
1) 4565-8; 5) 0-435 689; 9) 140 056-1000;
2) 6026-7; 6) 142 906-1; 10) 375-30;
3) 4 506 315-5; 7) 5795-10; 11) 5672-90;
4) 7 492 405-0; 8) 12 409-100; 12) 1570-500.
76. Выполнить умножение и проверить правильность его:
1) 8927-95; 5) 3179-599; 9) 32 000-4800;
2) 48 365-42; 6) 1356-178; 10) 352-406;
3) 84 509-93; 7) 520-370; 11) 803-512;
4) 2827-476; 8) 8500-640; 12) 6070-3002.
77. До умножения определить, сколько нулей получится на конце
произведений после умножения:
1) 200-100;
2) 6000-110;
3) 8500-6380;
4) 3000-250;
5) 260-2200;
6) 500-71000;
7) 2500-420;
8) 620-5500;
9) 3400-550;
10) 4600-250;
11) 7500-180;
12) 950-650.
Перемножьте эти числа. От умножения некоторых из этих
чисел в произведении получилось больше нулей, чем их было
во множимом и множителе, вместе взятых. Почему так полу-
чилось?
78. Определите устно наивысший разряд произведения, а затем
выполните умножение:
1) 456-100;
2) 5072-102;
3) 46 895-1;
4) 85 697-0;
5) 1300-400;
6) 5120-600.
79. Произвести указанные действия:
1) (2103+ 278)-38;
2) 1935 + 1876-23;
3) 47 027-24 + 31352—2408-356;
4) 140 013-25-3571—119-309;
5) 512-(3159—846—2312) + 608;
6) 100 000 + 160-(140 000—9—7000).
45
80. Запишите данные произведения в виде степеней:
1) 2-2-2-2-2-2; 3) 3-3-3-5-5;
2) 13* 13-13; 4) а-а-а-а-а.
81. Запишите степени в виде произведений и вычислите:
24, 25, З2, З3, 52, 53, 54, 72, 92, 122, 22-3, 42-32.
§ 18. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ УМНОЖЕНИЕМ
Первый вид. Найти сумму одинаковых слагаемых.
Задача. Сколько тонн груза может перевезти поезд, со-
ставленный из 40 шестидесятитонных вагонов?
Решение. 60-40 = 2400 (т).
Второй вид. Увеличить число в несколько раз.
Задача. Пульс здорового человека делает примерно 75 уда-
ров в минуту. Сколько ударов сделает пульс в 1 час?
Решение. 75-60 = 4500 (ударов).
При решении задач на умножение приходится выполнять
действие с именованными числами. Если составное именованное
число умножается на отвлеченное число, то умножение может
быть выполнено одним из двух приемов.
♦ Первый прием. Составное именованное число раздроб-
ляют в единицы низшего наименования; полученное число
умножают на множитель и результат превращают в составное
именованное число.
Пример. 2 часа 32 мин. ХЗЗ.
Решение. 2 часа 32 мин.ХЗЗ = 152 мин. X 33 = 5016 мин. =
= 83 часа 36 мин.
♦ Второй прием. Умножают отдельно число каждого на-
именования, затем превращают единицы низшего наименова-
ния в единицы высшего наименования (если это возможно) и
складывают полученные частные произведений. Рассмотрим
тот же пример.
Решение. 2 часа 32 мин.ХЗЗ = 2 часаХЗЗ+ 32 мин.X33 =
= 66 час.+ 1056 мин. = 66 час.+ 17 час. 36 мин. = 83 часа 36 мин.
Сравнивая два приема, видим, что для данного примера бо-
лее выгоден первый прием.
♦ При нахождении площадей и объемов тел сомножители (дли-
на, ширина, высота) будут именованными числами. При умно-
жении в наименовании будут стоять квадратные (для пло-
щадей) меры и кубичные (для объемов). При решении задач
геометрического содержания надо обязательно заменять состав-
ное именованное число простым именованным.
Пример. Найти площадь прямоугольного участка, длина
которого —1 км 250 м, а ширина —620 м.
46
Решение. Площадь участка (прямоугольника) равна
произведению длины на ширину, т. е. 1 км 250 м • 620 м —
= 1250л« • 620 м = 775 ООО кв. м = 77 га 50 а.
• УПРАЖНЕНИЯ
82. Наблюдая грозу, увидели вспышку электрического разряда
(молния), а через 9 сек. услышали звук разряда (гром). На ка-
ком расстоянии от наблюдателей произошел разряд, если ско-
рость звука в воздухе равна 330 м в сек.?
83. Луч Солнца проходит от Солнца до Земли за 8 мин. 18 сек.,
причем за 1 се*Ч. свет проходит 300 000 км. Найти расстояние
от Земли до Солнца.
84. Скорость первого советского спутника составляла 8 км в сек.,
а время совершения одного оборота — 2 часа 32 мин. 48 сек.
Определить путь спутника за один оборот. (Рис. 32.)
85. На озере Баскунчак работали 6 комбайнов по добыче соли,
каждый из которых добывал 150 т соли в 1 час. Сколь-
ко тонн соли добывали за смену (7 час.) этими комбайнами?
86. Для охлаждения доменной печи через ее стенки ежеминутно
пропускается 24 куб. м воды. Сколько кубометров воды в сут-
ки проходит через стенки доменной печи?
87. Производительность завода в месяц—1800 автомобилей.
Сколько резины потребуется заводу на месяц работы, если на
один автомобиль идет 240 кг резины?
88. Один килограмм муки дает 250 г припека. Сколько хлеба бу-
дет испечено из 10 т муки?
89. Два поезда одновременно вышли из разных городов навстре-
чу ДРУГ другу. Средняя скорость на всем протяжении пути у
первого была 54 км, а у второго — 62 км. Через 8 час. поезда
встретились. Найти расстояние между городами.
90. Из Москвы до Владивостока одновременно вышел курьерский
поезд и вылетел реактивный самолет. Скорость поезда —70 км
в час, а скорость самолета —850 км в час. Какое расстояние
будет между поездом и самолетом через 4 часа?
91. Длина прямоугольного поля равна 2 км 400 м, а ширина —
1 км 200 м. Найти площадь этого поля (в гектарах).
92. Ветер, скорость которого 9 м в сек., называется свежим вет-
ром, а если скорость ветра свыше 29 м
в сек., то он называется ураганом.
Найти скорость свежего ветра и ско-
рость урагана в час.
93. По данным статистического управле-
ния, в нашей стране в среднем каж-
дые 20 мин. входит в строй пятиэтаж-
ный дом. Как наиболее выгодно (эко-
номно) подсчитать, сколько новых
домов строит наша страна в год?
Рис. 32.
47
Контрольная работа по § 16—18
1. Вычислить, используя законы умножения: 1) 2-7-6-5;
2) 5-5-8-4-9; 3) 395 -101.
2. Одна сова уничтожает за лето до 1000 полевых мышей, а одна по-
левая мышь уничтожает 1 кг зерна. Сколько зерна сохраняют 25 сов
за лето?
3. Вычислить: 607—235(17—17)+1 • 1+ 28.
4. Из 1 куб. м древесины можно получить 165 кг искусственного во-
локна, а из этого же волокна можно изготовить 1500 м ткани. Сколь-
ко можно получить ткани из 35 куб. м древесины?
5. Одно мандариновое дерево дает до 500 плодов. На 1 га плантации
растет примерно 470 деревьев. Сколько килограммов мандаринов
собрано с 1 га мандаринового сада, если принять, что один манда-
рин весит 90 г?
§ 19. ДЕЛЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДЕЛЕНИЯ
В практической деятельности человеку часто приходится де-
лить данное множество на новые множества одной и той же
численности.
Примеры. 1) «Улов в 120 кг надо разделить поровну меж-
ду четырьмя рыбаками»; 2) «Груз 200 т надо перевезти пяти-
тонными машинами» (рис. 33) и т. д. Для нахождения числа
пятитонных машин, потребных для перевозки 200 т, мы мо-
жем последовательно отнимать от 200 т по 5 т до тех пор, пока
в остатке не получится 0. Можно делать наоборот: взять 5 и
прибавлять по 5, пока не получится 200. Оба эти способа реше-
ния задачи громоздки. Такие задачи и сходные с ними реша-
Рис. 33.
ются действием деления. Во второй за-
даче число машин обозначим через х.
Тогда 5-х — весь груз, и он равен 200 т,
т. е. 5 • х = 200.
Надо найти неизвестный сомножи-
тель по данному произведению и извест-
ному сомножителю. Это действие запи-
сывается так:
х = 200 : 5.
Деление есть действие, с помощью которо-
го по произведению двух сомножителей и
одному из них находят другой сомножи-
тель.
Следовательно, деление — действие,
обратное умножению. Число, которое де-
лят, называется делимым; число, на
которое делят, называется делителем;
число, получаемое в результате де-
48
ления, называется частным. Запись, например, 150 : 25 так-
же называют частным. Необходимо запомнить особые случаи
деления.
Деление числа на нуль невозможно.
Действительно, если делимое, например, 18 надо разделить
на нуль, это значит, что нужно найти такое число х, которое
при умножении на 0 дало бы 18. Но такого числа нет, так как
всякое число, умноженное на нуль, дает нуль.
Запомните: делить на нуль нельзя.
Деление нуля на любое число, кроме нуля, возможно, и частное
будет равно нулю.
Пусть надо найти х = 0 : 12. Это значит, что х-12 = 0. Мы
знаем, что произведение равно нулю в том случае, если хотя
бы один из сомножителей равен нулю (стр. 39). Значит, х = 0.
Деление натуральных чисел не всегда бывает выполнимым.
Например, частное 13 : 5 не может быть натуральным числом.
Деление будет выполнено с остатком. При делении 13 на 5 в
частном получается 2 и в остатке 3. Записывается такое деле-
ние так:
13 : 5 = 2 (ост. 3).
Основные свойства деления:
Первое свойство. Нужно разделить на 4 сумму чисел
8 и 12, т. е. (8 + 12) : 4. Сначала выполняем сложение (8 + 12),
а затем деление (20 : 4), т. е. (8 + 12) : 4 = 20 : 4 = 5.
Попробуем решить этот пример следующим путем. Сначала
разделим каждое слагаемое (8:4 + 12:4), а затем сложим ре-
зультаты (2 + 3), т. е. (8 + 12) : 4 = 8 : 4 + 12 : 4 = 2 + 3 = 5. Резуль-
тат получился тот же (5).
Это свойство можно сформулировать так:
Чтобы разделить сумму на какое-либо число, можно разделить на
это число каждое слагаемое отдельно и полученные частные сло-
жить. (Предполагается, что все деления выполняются без остатка.)
В общем виде это свойство записывается так:
(а + Ь) : с = а : с+Ь : с.
Второе свойство. Допустим, что нужно разделить на 5
разность чисел 25 и 15, т. е. (25—15) : 5. Обычный порядок
решения примера со скобками: сначала выполняется действие
в скобках, т. е. (25—15), а затем выполняется деление (10 : 2),
т. е. (25—15) : 5 = 10 : 5 = 2. Попробуем решить этот пример
другим путем. Сначала разделим уменьшаемое и вычитаемое
на 5 (25 : 5 и 15 : 5) и из первого частного (5) вычтем второе
(3). Результат получится такой же (2). Можно записать так:
(25—15): 5 = 25:5—15:5 = 5—3 = 2.
49
Чтобы разделить разность на какое-нибудь число, можно разде-
лить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно, а потом
из первого частного вычесть второе.
В общем виде это свойство записывается так:
(а—Ь) : с = а : с—b : с.
Вопросы для самопроверки
1. Как называются числа при делении?
2. На какое число делить нельзя?
3. В каких случаях частное равно делимому?
4. Всегда ли выполнимо деление?
5. Сформулируйте основные свойства деления.
§ 20. УСТНОЕ И ПИСЬМЕННОЕ ДЕЛЕНИЕ. ПРОВЕРКА ДЕЛЕНИЯ
Рассмотрим случаи деления, встречающиеся в практике:
1. Когда делитель однозначный, а делимое однозначное
или двузначное, то частное находится по таблице умножения.
Примеры, а) Частное от деления 72 на 9 будет равно 8, так
как 9X8 = 72; б) частное от деления 34 на 6 будет равно 5, так
как 5'6 = 30, но 30 <34. Если взять в частном 6, то 6'6 = 36, но
36>34. Значит, частное надо взять 5, причем в остатке полу-
чится 4. Рассматривая делимое и делитель, можно определить,
будет ли частное однозначным числом. Для этого надо умно-
жить (в уме) делитель на 10 (т. е. приписать нуль к делителю)
и сравнить полученное произведение с делимым.
Примеры, а) 435 : 51 = ? Если 51 умножить на 10, то по-
лучим 510, но 510>435. Значит, частное — однозначное число,
б) 658 : 39 = ? Умножим 39 на 10, получим 390, но 658>390, и,
следовательно, частное не может быть однозначным числом.
2. Рассмотрим технику деления, когда частное будет одно-
значным числом.
Пример. 563 082:93 847. Сначала определим, будет ли
частное однозначным или многозначным. 93 847X10 = 938 470.
Так как 938 470>563 082, то частное — однозначное число. Как
найти его? Рекомендуется мысленно оставить в делителе толь-
ко одну цифру (9), а остальные цифры (4 цифры) отбросить и
столько же цифр (4 цифры) отбросить справа в делимом. Оста-
нется число 56; разделим его на 9. Допустим, что частное бу-
дет 6, но это частное нужно проверить. Выполним умножение
и получим 93 847X6 = 563 082. Полученное произведение в точ-
ности совпадает с делимым. Значит, 563 082 : 93 847 = 6. Если
бы оказалось, что взятое частное (6) при умножении на дели-
тель давало бы число большее, чем делимое, то тогда надо взять
частное на единицу меньше. Запомните, что мысленное отбра-
сывание цифр мы начинаем с делителя.
50
Иногда при определении цифры частного приходится пер-
вую слева цифру делителя увеличивать на 1. Это бывает в тех
случаях, когда вторая цифра делителя больше 5, например при
делении 2244 : 374. Здесь вторая цифра 7, значит, при отбра-
сывании двух цифр надо взять 4.
3. Рассмотрим технику деления, если частное — много-
значное число. Разделить 77 140 на 532. Выясняем, что частное
будет неоднозначным числом (77 140>5320).
Деление начинается с выделения в делимом стольких цифр,
начиная со старших разрядов, чтобы образуемое при этом наи-
меньшее число было не меньше делителя. В нашем случае —
771 (771 >532). Берем 771 сотню
и делим ее на 532. Получим в част-
ном 1 сотню. Умножаем 532 на 1,
подписываем под 771 и вычитаем;
остаток 239 сотен. Раздробляем по-
лученный остаток 239 сотен в де-
сятки и прибавляем к ним число
77140 |532
532 145
2394
2128
2660
2660
десятков, имеющихся в делимом о
(4). Получим 2394. (Для краткости
говорят, что к остатку 239 «сносят» 4 десятка.) Делим 2394 де-
сятка на 532 и находим в частном 4 десятка. Умножаем на 4 и
подписываем под 2394. Вычитая, получаем остаток 266 десят-
ков. «Сносим» к этому остатку 0 единиц и делим на 532. По-
лучим 5. Умножаем 532 на 5, подписываем под 2660 и вычи-
таем. Остаток 0. Значит, 77 140 : 532 = 145.
Рассмотрим записи деления многозначных
чисел и по-
вторим технику деления.
1) 1470042 | 7
I4 210006
7
7
0042
42
0
2) 34800001 15
30 232000
48
45
30
30
о
3) 130987|929
929 140
3808
3716__
92 7 (остаток)
Замечание. При записи деления
знак вычитания можно не ставить.
В частном необходимо ставить нуль всякий раз, когда при
делении не получается значащей цифры (см. в 1, 2 и 3 приме-
рах).
Проверка деления. Правильность выполнения деления
можно проверить двумя способами: умножением и делением.
51
Проверка умножением основывается на том, что делимое долж-
но равняться делителю, умноженному на частное (плюс оста-
ток, если он есть).
Примеры.
Деление. 64515123 Проверка. 2805
46 2805 23
185 8415
184 5610
Н! 64515
115
б
Деление. 389224|7300 Проверка. 7300
36500 ~53~~ 53
24224 219
21900 365
2324 386900
+ 2324
389224
Проверка делением. Так как делимое является произведе-
нием делителя на частное, то от деления делимого на частное
должен получиться делитель.
Деление. 83581 42 Проверка. 83581199
42 199 796 “42~
415 398
378 398
378 ПО-
378
0
Проверка умножения делением. Мы знаем, что пер-
вый способ проверки правильности умножения выполняется на
основании переместительного закона — умножением.
Второй способ — проверка делением — основан на положе-
нии, если произведение двух сомножителей разделить на один
из них, то должен получиться другой сомножитель.
Если 155-4 = 620, то 620 : 4 = 155 и 620 : 155 = 4.
Другие случаи деления чисел. Иногда в зависимости от
условия задачи приходится делить число на произведение
нескольких сомножителей, произведение на число и число
на частное.
1. Чтобы разделить число на произведение нескольких -со-
множителей, можно разделить это число на первый сомножи-
тель, полученное частное на второй сомножитель и т. д.
Пример. '
780:(5-4-3); 780:5 = 156; 156:4 = 39; 39:3=13.
52
♦ 2. Чтобы разделить произведение на какое-нибудь число,
можно разделить на это число один из сомножителей, оставив
другие без изменения.
Пример.
64X13X3:16; 64:16 = 4; 4-13-3 = 156.
♦ 3. Чтобы разделить число на частное, можно разделить это
число на делимое и полученное частное умножить на дели-
тель.
Пример.
720 : (360 : 12) = (720 : 360) • 12 = 2 • 12 = 24.
Вопросы для самопроверки
1. Рассказать, как производится деление на однозначные и двузнач-
ные числа?
2. При каком условии частное равно 1?
3. Какие способы проверки правильности выполнения умножения вы
знаете? Привести примеры.
4. Какие способы проверки правильности выполнения деления вы
знаете? Привести примеры.
5. Как производится деление числа на произведение трех сомножи-
телей? На произведение двух сомножителей?
• УПРАЖНЕНИЯ
94. (Устно.) Разделить:
1) 220 : 2; 7) 618 : 6;
2) 444 : 8; 8) 824 : 8;
3) 369 : 3; 9) 460 : 20;
4) 800 : 4; 10) 4400 : 40;
5) 4840 : 4; 11) 3900 : 30;
6) 606 : 3; 12) 2040 : 40.
95. Выполнить деление и проверить правильность его:
1) 56 056 : 7; 5) 60 872 : 8; 9) 450 711 : 9;
2) 810 018 : 9; 6) 353 360 : 7; Ю) 167 200 : 8;
3) 50 202 : 9; 7) 960 030 : 9; И) 280 656 : 8;
4) 400 650 : 5; 8) 305 040 : 6; 12) 3 050 400 : 6.
96. Выполнить деление и проверить правильность его:
1) 12 360 : 12; 7) 2 362 340 : 58;
2) 12 360 : 120; 8) 4 553 500 : 47;
3) 69 230 : 23; 9) 670 000 : 25;
4) 69 023 : 23; 10) 1964 800 : 64;
5) 2205 : 21; 11) 3 744 000 : 48;
6) 42 535 : 47; 12) 8 888 600 : 98.
53
97. Выполнить деление:
1) 69 880 : 220; 7) 566 286 : 834;
2) 62 930 : 310; 8) 248 363 : 809;
3) 1000 000 : 400; 9) 200 043 : 7409;
4) 1200 000 : 150; Ю) 841 161 : 3273;
5) 416 832 : 208; И) 32 760 375 : 4975;
6) 4 363 270 : 109; 12) 44 429160 : 14 790.
98. Выполнить деление с остатком:
1) 40 068 : 5; 7) 96 384 : 900;
2) 70010 : 9; 8) 313145 : 625;
3) 14 053 : 7; 9) 1446 109:123;
4) 2209 : 21; Ю) 5 095 347 : 102;
5) 100 024 : 25; И) 986 300 : 4600;
6) 137 925 : 37; 12) 1 000 000 : 999.
99. Выполнить указанные действия:
1) 240:8—30:2 + 561:17 + 66:11;
2) (240:8—30): 2 + (561:17 + 66): 11;
3) 395-52—603-25-960:24;
4) 1067 154:4807-189 + 707-390;
5) 4098-0 + 1 • (207 + 0:4567) + 728:1;
6) 5871:103+(247—82):5—1—365-0.
Указание. Если в примере имеется несколько действий, то принято
вначале производить действия в скобках, затем умножение и деление (в том
порядке, в каком они записаны), а потом сложение и вычитание (также в
порядке их расположения). Рассмотрите решение примера 99:
5871 : 103 + (247—82) : 5-1—365-0 = 5871 : 103 +
+ 165 : 5—1—365.0 = 57 + 33—1—0 = 90—1 = 89.
100. Найти частное двумя способами. Указать для каждого при-
мера наиболее выгодный прием:
1) 32 : (2-8);
2) 6250: (2 -25);
3) (14-19) : 7;
4) (24-15-36) : 12;
5) (425-75) : 25;
6) (360 • 215) : 18
7) 24 : (12 : 6);
8) 338 : (26 : 2).
101. Разделить:
1) 6 м 45 см : 5;
2) 6 м : 150;
3) 3 кг : 20;
4) 8 ц : 5;
5) 60 кг 160 г : 8;
6) 21 час 36 мин. : 12;
7) 19 час. 30 мин. : 15;
8) 48 руб. 15 коп. : 45.
Указание. Если число единиц высшего наименования составного
именованного числа не делится на делитель, то его обращают в единицы
низшего наименования; например: 4 кг не делится на 5, тогда 4 кг:5 =
= 4000 г : 5 = 800 г.
54
§ 21. ПРИБЛИЖЕННОЕ ЧАСТНОЕ
♦ Деление одного числа на другое, как и вычитание чисел, не
всегда выполнимо в натуральных числах. Так, например, нель-
зя разделить 27 на 5 так, чтобы в частном получилось нату-
ральное число, которое, будучи умножено на 5, дало бы в про-
изведении 27. В этом случае говорят, что деление выполняется
с остатком. В практической деятельности обычно не пользуют-
ся делением с остатком, а выражают результат деления (ча-
стное) приближенным числом. Как же находят приближенное
число?
При делении с остатком остатки могут быть различны по
отношению к делителю. Например, рассмотрим остатки, полу-
ченные в двух примерах:
7:5 = 1 (остаток 2) и 16 : 6 = 2 (остаток 4).
В первом случае остаток меньше половины делителя 5,
а во втором случае остаток 4 больше половины делителя. По-
этому условились брать приближенное частное иногда с недо-
статком, а иногда с избытком. В первом случае надо взять при-
ближенное частное с недостатком (остаток 2 меньше половины
5), а во втором случае — частное с избытком. Приближенное
частное записывается так:
7:5^1 и 16:6«3.
Запомните. При делении с остатком частное нужно
брать с недостатком, если отбрасываемый остаток меньше по-
ловины делителя, и частное следует увеличить на 1, т. е. брать
с избытком, если отбрасываемый остаток равен или больше по-
ловины делителя. Отбрасывая остаток как при округлении с
избытком, так и с недостатком, мы допускаем некоторую, как
принято говорить, погрешность. Если при округлении погреш-
ность меньше 1, то говорят, что частное найдено с точностью
до 1. Из § 5 «Округление чисел» мы знаем, что источниками
приближенных чисел являются измерения величин и счет, а
из рассмотренного видно, что приближенные числа могут по-
лучиться и в результате деления.
• УПРАЖНЕНИЯ
102. Найти приближенные частные:
1) 13:5; 7) 120:11;
2) 24:9; 8) 260:25;
3) 40:6; 9) 179:13;
4) 58:9; 10) 567:29;
5) 73:9; 11) 454:320;
6) 84 : 5; 12) 1274:360.
55
§ 22. ПРИЕМЫ УСТНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ ПРИ УМНОЖЕНИИ
И ДЕЛЕНИИ
♦ Законы и свойства действий умножения и деления позволя-
ют упрощать вычисления и во многих случаях производить
действия устно, т. е. писать сразу ответ. Приведем некоторые
приемы устных вычислений и их обоснования.
1. Умножение на 11, 101, 1001:
570-11 = 570- (10 + 1) = 5700+ 570 = 6270;
305 • 101 = 305 • (100 +1) = 30 500 + 305 = 30 805.
2. Умножение на 9, 99, 999:
58 • 9 = 58 • (10—1) = 580 —58 = 522;
63 • 99 = 63 • (100—1) = 6300—63 = 6237.
3. Умножение на 5:
г or 10 350 10.
35 • 5 = 35 • — = — =175 (5 заменяем на — ).
2 2 2 '
Этот прием особенно удобен, если множимое делится на 2.
Тогда
36-5= - • 10 = 180.
2
4. Умножение на 25:
.о or .о ЮО 4300 !0(\
43-25 = 43- — = -- =1075 (25 заменяем —).
4 4 4
Этот прием особенно удобен, если множимое делится на 4.
Например:
28-25= - • 100 = 700.
4
5. Умножение на 15:
48-15 = 48-(10+ у) = 480 + 48- у =480 + 240 = 720.
6. Округление делимого :
954 : 18 = (900 +54) : 18 = 50 + 3 = 53.
7. Последовательное деление:
480:32 = (480:8): 4 = 60:4 = 15.
При дальнейшем изучении курса арифметики надо стре-
миться применять указанные приемы устных вычислений.
Вопросы для самопроверки
1. На каком свойстве основан прием устного вычисления при умно-
жении на 5? При умножении на 25?
2. На каком свойстве основан прием устного вычисления при умно-
жении на 9? При умножении на 99? Привести пример.
56
3. На каком свойстве основан прием устного вычисления при умно-
жении на 11? При умножении на 101? Привести пример.
4. На каком свойстве основан прием устного умножения путем округ-
ления делимого? Прием последовательного деления?
• УПРАЖНЕНИЯ
103. Решите устно следующие примеры:
1) 45-11; 7) 27 • 9; 13) 46-5; 19) 36-25; 25) 816 : 16;
2) 56-11; 8) 56-9; 14) 82-5; 20) 44-25; 26) 918 : 18;
3) 305-11; 9) 48-9; 15) 31-5; 21) 120-25; 27) 688-16;
4) 32 • 101; 10) 120-9; 16) 42-50; 22) 24-15; 28) 630-18;
5) 61-101; 11) 32-99; 17) 54-50; 23) 32-15; 29) 944-16;
6) 16-1001;12) 47-99; 18)36-500; 24) 56-15; 30) 455 : 65.
§ 23. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ ДЕЛЕНИЕМ
Перечислим основные задачи, решаемые делением.
1-й вид задач. По произведению и одному из сомножи-
телей вычислить другой сомножитель.
Задача. Бригада из девяти рабочих сделала за смену 936
одинаковых деталей. Сколько деталей выработки приходится
на одного рабочего?
Решение. Обозначим через х выработку (число деталей)
одного рабочего. Тогда 9 рабочих дадут выработку (число дета-
лей) в 9 раз больше, т. е. х • 9, а в условии задачи сказано, что
это произведение (их общая выработка) равно 936 деталям. За-
пишем: х-9 = 936. По определению действия деления (§ 19)
имеем х = 936:9 = 104 (дет.).
2-й вид задач. Сколько раз большее число содержит в
себе меньшее? Или (что то же): во сколько раз одно число
больше или меньше другого?
Задача. Сколько недель содержится в 147 днях?
Решение. Обозначив число недель через х и зная, что в
неделе 7 дней, получим:
х = 147:7 = 21 (нед.).
3-й вид задач. Уменьшить данное число в несколько
раз.
Задача. Один мост имеет длину 468 м, а другой — в 4 ра-
за короче. Найти длину второго моста.
Решение. Обозначив длину меньшего моста через х и
зная, что его длина меньше 468 в 4 раза, получим:
х = 468:4 = 117 (м).
4-й вид задач. Разделить данное число на несколько
равных частей.
57
Задача. Разделить 84 листа бумаги на 12 равных частей
(или найти двенадцатую часть 84 листов).
Решение. 84 : 12 = 7 (лист.).
Вопросы для самопроверки
1. С помощью какого действия решаются упражнения:
а) найти число, меньшее числа 1500 на 150 единиц,
б) найти число, меньшее числа 1500 в 150 раз,
в) на сколько 1200 больше 600,
г) во сколько раз 1200 больше 600?
2. Используя справочные данные на странице 369, составьте основ-
ные задачи на деление.
• УПРАЖНЕНИЯ
104. (Устно.) У взрослого человека через сосуды почек за сутки
проходит около 100 л крови. Общее количество крови в орга-
низме человека около 5 л. Сколько раз за сутки вся кровь че-
ловека проходит через сосуды почек?
105. Скорость движения лифта в здании Московского универси-
тета равна 3 м в сек. За сколько времени лифт поднимет чело-
века на 26-й этаж, который находится на высоте, равной 90 м?
Какое числовое данное лишнее в условии задачи?
106. Найти скорость в 1 сек.: а) велосипедиста, если его ско-
рость в 1 час 15 км; б) мотоциклиста, если скорость его в 1 час
80 км; в) самолета, если его скорость в 1 час 720 км; г) косми-
ческой ракеты, если она за 1 час пролетает 33 400 км.
107. Учащиеся одной школы за 8 месяцев собрали 20 640 кг ме-
таллолома, а учащиеся другой школы за 9 месяцев собрали
29 070 кг. Ученики какой школы собирали больше металлоло-
ма в месяц и на сколько больше?
108. Маслозавод переработал 573 200 кг молока. Сливки соста-
вили пятую часть молока, а масло — четвертую часть сливок.
Масло расфасовали в пачки, по 5 пачек на килограмм. Сколь-
ко получилось пачек с маслом?
109. Колхоз на корм лошадей и коров за день израсходовал 45 ц
сена. Пятая часть пошла на корм лошадям, а остальное
сено — для коров, по 9 кг на каждую. Сколько было коров в
колхозе?
110. Колхоз получил за год на 100 га пашни 670 ц мяса и 500 ц
молока. Сколько килограммов мяса и сколько молока получе-
но на гектар пашни?
111. Для 100 коров на зиму заготовлено 140 т кукурузного сило-
са, 60 т тыквы и 800 г кормовой свеклы. Сколько тонн всех
этих кормов заготовлено на одну корову?
112. Два каменщика уложили 119 920 кирпичей. Один из них ра-
ботал 17 дней и в день укладывал по 2860 кирпичей. Осталь-
ные кирпичи уложил другой каменщик, который работал
58
23 дня. Который из каменщиков укладывал в день больше
кирпичей и на сколько?
113. Две бригады лесохозяйства сбивали и отправляли плоты за-
готовленных бревен. Всего было отправлено 297 990 бревен.
Одна бригада за 43 дня отправила третью часть всех бревен, а
вторая за 55 дней отправила остальные бревна. По скольку
бревен отправила каждая бригада в день?
114. На станке обрабатывали 100 деталей в 1 час. После усовер-
шенствования его стали обрабатывать 150 деталей в 1 час. На
сколько часов нужно затратить меньше, чем прежде, чтобы об-
работать 1200 деталей?
115. Птицеферма получала 85 яиц в год от одной курицы-несуш-
ки. Улучшив питание и породу кур, стали получать от 5 поро-
дистых кур столько яиц, сколько раньше давали 9 кур. От по-
родистых кур получили за год 1 539 180 яиц. Сколько было по-
родистых кур-несушек на птицеферме?
116. Вычислить с точностью до 1 км скорость тела, находящегося
в Москве, которое вместе с Землей вращается вокруг ее оси
(длина параллели для Москвы — 22 500 км), а также
скорость тела, находящегося на экваторе (длина экватора —
40 000 км). На сколько километров в 1 час скорость тела, нахо-
дящегося на экваторе, больше, чем скорость тела, находящего-
ся в Москве?
117. На Луну с Земли одновременно запущены две ракеты:
одна — со скоростью 12 км в сек., вторая — 13 км в сек. Через
сколько часов после запуска каждая из ракет достигнет по-
верхности Луны? На сколько часов раньше вторая ракета
коснется поверхности Луны, чем первая?
118. Определить среднюю величину износа оборудования завода
за год, если известно, что стоимость его равна 2 000 000 руб.;
предполагаемые затраты на ремонт — 300 000 руб., а срок
службы оборудования — 20 лет.
119. Определить среднюю величину износа станка за год по сле-
дующим данным: стоимость станка — 3000 руб., предполагае-
мые затраты на ремонт — 1800 руб., нормальный срок служ-
бы — 20 лет, предполагаемая остаточная стоимость станка че-
рез 20 лет службы — 400 руб.
§ 24. ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ДАННЫМИ ЧИСЛАМИ
И РЕЗУЛЬТАТАМИ ДЕЙСТВИИ НАД НИМИ
Из содержания предыдущих параграфов мы знаем следую-
щие зависимости между компонентами и результатами дейст-
вий (§ 12, 14, 20):
Неизвестное слагаемое равно сумме без известного слагае-
мого (§ 12).
Пример. х + 12 = 40; х = 40 —12; х = 28.
59
Неизвестное уменьшаемое равно вычитаемому, сложенно-
му с разностью (§ 14).
Пример.
х—56 = 12; х = 56 + 12; х = 68.
Неизвестное вычитаемое равно уменьшаемому без разности.
Пример.
67—х = 52; х = 67 —52; х = 15.
Неизвестный сомножитель равен произведению, деленному
на известный сомножитель.
Пример.
62-х = 310; х = 310:62; х = 5.
Установим зависимость между компонентами действия де-
ления и его результатом.
Нахождение неизвестного делимого. Решим задачу: «Каж-
дому из трех рыболовов при дележе улова досталось 4 кг ры-
бы. Сколько килограммов рыбы было поймано?
Решение. Обозначим неизвестный улов (делимое) через х,
запишем условие так: х : 3 = 4. Из определения деления (§20)
следует, что х можно считать произведением, а 3 и 4 — сомно-
жителями. Значит, х = 4 3; х=12 (кг).
Неизвестное делимое равно частному, умноженному на де-
литель.
Нахождение неизвестного делителя. Задача: «Улов в 15 кг
был поровну разделен между рыболовами, и каждому доста-
лось 5 кг. Сколько было рыболовов?»
Решение. Обозначив неизвестное число рыболовов через
х, запишем условие: 15:х = 5. На основании определения деле-
ния имеем 5х = 15, а зная, как найти неизвестный множитель
в этом равенстве, найдем х = 15:5, х = 3.
Неизвестный делитель равен делимому, деленному на
частное.
Приведем решения нескольких сложных упражнений на
нахождение неизвестного компонента действия:
1. Найти х: 4284—(х-378) = 1000.
Неизвестное входит в состав вычитаемого, а значит, и все вы-
читаемое (х—378) является неизвестным. На основании пра-
вила 3 имеем х—378 = 4284—1000 = 3284. Значит, х—378 =
= 3284. На основании правила 2 имеем х — 3284 + 378 = 3662,
х = 3662.
2. После выполнения примеров на доске были стерты неко-
торые цифры (рис. 34):
60
1) 5677
+7341
732
1518?
2) _?27?
1789
3177
3)
_.????
х 72
,12768
'623?
7780?
4)
????
~ 77?
1
Рис. 34.
Восстановите стертые цифры, обозначенные знаком вопроса.
Решение 1-го примера:
1) 7 + 1 + 2 = 10; цифра единиц суммы — 0.
2) 8 —(4 + 3 + 1) = 0; цифра десятков первого слагаемого—0.
3) 11 —(6 + 3) = 2; цифра сотен третьего слагаемого—2.
4) (15 —1) —5 = 9; цифра тысяч второго слагаемого—9.
На доске была запись: 5607 + 9341 + 232 = 15 180.
Решение 2-го примера:
1) 9 + 7 = 16; цифра единиц уменьшаемого —6,
2) 16 — 8 = 8; цифра десятков разности —8.
3) (2—1)—1 = 0; цифра сотен вычитаемого —0.
4) 3 + 1 = 4; цифра тысяч уменьшаемого—4.
На доске была запись: 4276 — 1089 = 3187.
Решение 3-го примера.
Сначала найдем цифры произведения и частных произведений,
а затем цифры сомножителей.
1) Цифра единиц произведения —8.
2) Последняя цифра второго частного произведения в сум-
ме с 6 даст 10 (сумма двух однозначных чисел всегда меньше
20). Значит, эта цифра есть 4.
3) Цифра сотен первого частного произведения —4, так как
8 —(3 + 1) = 4.
4) Теперь легко найти цифру тысяч произведения (2 + 2) и
цифру десятков тысяч (1 + 6).
5) Так как первое частное произведение есть 12 468, а оно
получено от умножения числа ???? на 2, то это множимое рав-
но 6234.
6) Чтобы найти цифру десятков множителя, надо второе
частное произведение разделить на множимое, т. е. 6234:6234.
Эта цифра 1. Итак, множимое—6234, множитель 12 и произ-
ведение — 74 808.
Решение 4-го примера.
Уменьшаемое — четырехзначное число, вычитаемое — трех-
значное число, а разность —1. Это возможно только в случае,
если четырехзначное число будет 1000, а трехзначное —999.
61
• УПРАЖНЕНИЯ
120. Записать в виде равенств с помощью букв (обозначая не-
известный компонент буквой х) все правила на зависимости
между компонентами и результатами действий. Запись вести
так: х—а = Ь; х — а + Ь.
121. Найти х:
1) х + 468 = 965;
2) 5670 + х = 11 035;
3) 1000-х = 999;
4) 460—х=256;
5) х —1289 = 499;
6) х —451 = 1001;
7) (х +485)-600 = 2000
8) 1000-(х-50) = 400.
122. После выполнения примеров на доске были стерты некото-
рые цифры (рис. 35). Восстановите стертые цифры, обозначен-
ные знаком вопроса.
1) , 1?54
~25?6
2)
?63?
36?8
+274?
3?20
3)
_51?8
2?1?
4)
4?23
12??
??143
?083
?205
Рис. 35.
123. Найти х:
1) 47х = 611;
2) х-15 = 555;
3) 27х = 999;
4) 5643:х = 99;
5) 5226 :х = 402;
6) х : 7005 = 30;
7) 9000—Зх = 1200;
8) (6х —72): 2 = 285.
124. После решения примеров на доске были стерты некоторые
цифры (рис. 36). Восстановите стертые цифры, обозначенные
знаком вопроса.
1) 1?8 2) 4?7 3) ???
а 2? Л 3? Л 2?
?40 1?08 Ц52Э
25? ?28? в?8
?2?? 1?5?? 5153
Рис. 36.
62
125. Во сколько раз: 1) двузначных чисел больше, чем одно-
значных?
2) трехзначных чисел больше, чем дву-
значных?
3) трехзначных чисел больше, чем одно-
значных?
В задачах № 126—128 обозначьте неизвестное число через
х и запишите условие задачи в виде равенства, а затем найди-
те х.
126. 1) К неизвестному числу прибавили 4065 и получили 6200.
Найти это неизвестное число.
2) К числу 5703 прибавили какое-то число и получили 12 002.
Какое число прибавили?
127. 1) От наибольшего трехзначного числа отняли число и по-
лучили наименьшее трехзначное число. Какое число отняли?
2) От неизвестного числа отняли наименьшее четырехзначное
число и получили наибольшее двузначное число.
Найти неизвестное число.
128. 1) Наибольшее двузначное число умножили на неизвестное
число и получили 396. Найти неизвестное число.
2) Неизвестное число разделили на наибольшее двузначное
число и получили 101. Найти неизвестное число.
Контрольная работа по § 19—24
1. В наши дни человек овладел новым видом энергии, которую на-
зывают атомной. Запасы этой энергии на Земле неисчерпаемы. Один
грамм урана (один из видов атомного топлива) дает столько тепла,
сколько дают 2500 г каменного угля. Сколько граммов урана пона-
добится, чтобы заменить 1 000 000 т угля?
2. На одно растение пшеницы нужно 25 кв. см почвы. Сколько
нужно зерен пшеницы для посева 1 га? Сколько нужно килограммов
пшеницы для посева 1 га, если 25 зерен весят около 1 г?
3. В Московском Дворце спорта ледяное поле имеет ширину 30 м,
длину 61 м, а наибольшая толщина ледяного елоя — 5 см. 4 мощ-
ных компрессора, работающих во дворце, за 8 час. намораживают
100 т льда. За сколько часов эти компрессоры наморозят ледяное по-
ле, если 1 куб. м льда весит 800 кг?
4. Найти х, если 2х — (67 + 34)= 121.
5. На какое число надо умножить 315, чтобы получить произведение,
равное сумме чисел 39 789 и 48 096?
§ 25. ИЗМЕНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ДЕЙСТВИЙ
В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ИЗМЕНЕНИЯ КОМПОНЕНТОВ
Изменение суммы.
1. Проследим изменение суммы двух слагаемых 30+ 45 = 75
при изменении одного из слагаемых. Будем увеличивать вто-
рое слагаемое, а первое слагаемое оставим без изменения и за-
пишем результаты в виде таблицы: ------>-
63
Первое слагаемое 30 30 30 30 30
Второе слагаемое 45 48 50 60 65
Сумма 75 78 80 90 95
Рассматривая столбцы этой таблицы слева направо, видим,
что увеличение одного из слагаемых (в нашем случае — второ-
го) на несколько единиц влечет за собой увеличение суммы
на столько же единиц (второе слагаемое увеличим на 3 едини-
цы, тогда и сумма увеличится на 3 единицы и т. д.). Легко ви-
деть, что если будем увеличивать первое слагаемое на несколь-
ко единиц, а второе слагаемое оставим без изменения, то и сум-
ма будет увеличиваться на столько же единиц.
Вывод. Если одно из слагаемых увеличить на несколько еди-
ниц, не изменяя другого, то сумма увеличится на столько же
единиц.
Обозначив слагаемые буквами а и Ь, сумму с, а число, на
которое увеличиваем одно из слагаемых, буквой т, запишем
полученный вывод с помощью букв: если а + Ь = с, то (a + zn) +
+ b = c + m или а + (Ь + т) = с + т.
2. Выясним, как изменяется сумма, если одно из слагаемых
уменьшить на несколько единиц. Рассматривая написанную
выше таблицу справа налево, видим, что второе слагаемое (65)
уменьшили на 5 единиц (стало 60), первое слагаемое оставили
неизменным (30), а сумма (95) также уменьшилась на 5 еди-
ниц (стало 90). Проследите изменение по другим столбцам.
Вывод. Если одно из слагаемых уменьшить на несколько
единиц, не изменяя другого, то сумма уменьшится на столько
же единиц. С помощью букв этот вывод записывается так: ес-
ли а + Ь = с, то (а—d) + b = c—d или a + (b—d) = c—d.
3. Из выведенных двух свойств легко получить такое свой-
ство суммы: если мы одно из слагаемых увеличим на несколь-
ко единиц, а второе слагаемое уменьшим на столько же еди-
ниц, то сумма останется неизменной. Приведем пример:
7 + 6 = 13.
+ сУмма не изменилась.
—о; -г (О-г oj — 1о.
На основании третьего свойства мы иногда можем упрощать
вычисления при сложении. Посмотрите внимательно решение
примеров:
а) 497+ 328 = (497 + 3)+ (328—3) = 500+ 325 = 825; б) 1025 +
+ 3021 = (1025—25) + (3021 + 25) = 1000 + 3046 = 4046.
64
4. Рассмотрим еще решение двух примеров изменения сум-
мы с одновременным изменением обоих слагаемых:
а) Как изменится сумма, если одно из слагаемых увеличить
на 15 единиц, а второе слагаемое уменьшить на 8 единиц?
Решение. От увеличения первого слагаемого на 15 единиц
сумма увеличится на 15 единиц, а от уменьшения второго на
8 единиц сумма уменьшится также на 8 единиц. В результате
сумма увеличится на (15—8) единиц, т. е. на 7 единиц.
б) Как изменится сумма, если одно из слагаемых умень-
шить на 20 единиц, а второе — увеличить на 5 единиц?
Решение. От уменьшения одного слагаемого на 20 единиц
сумма уменьшится на столько же, а от увеличения другого на
5 единиц она увеличится также на 5 единиц. В результате сум-
ма уменьшится на (20—5) единиц, т. е. на 15 единиц.
• УПРАЖНЕНИЯ (устно)
129. Как изменится сумма, если:
1) Одно слагаемое увеличить на 12 единиц?
2) Одно слагаемое уменьшить на 50 единиц?
3) Первое слагаемое увеличить на 15 единиц, а второе
уменьшить на 10 единиц?
4) Первое слагаемое увеличить на 25 единиц, а второе
уменьшить на 13 единиц?
130. 1) Первое слагаемое увеличили на 20 единиц. Как надо из-
менить второе слагаемое, чтобы сумма не изменилась?
2) Первое слагаемое увеличили на 15 единиц. Как надо из-
менить второе слагаемое, чтобы сумма увеличилась на 20 еди-
ниц?
3) Первое слагаемое уменьшили на 40 единиц. Как надо
изменить второе слагаемое, чтобы сумма увеличилась на 2 еди-
ницы?
4) Первое слагаемое увеличили вдвое. Как надо изменить
второе слагаемое, чтобы сумма осталась неизменной?
131. Как изменится сумма или какое-нибудь из слагаемых при
следующих условиях (знак «+» означает, что слагаемое или
сумму «увеличили на ... единиц», а знак «—» означает, что
«уменьшили на ... единиц»):
Первое слагаемое Второе слагаемое Сумма
+ 60 + 30 - 15 + 4 5 + 10 + 40 -20 - 5 — 12 ? ? ? + 10 + з не изменилась
3 с Л. Пономарев
65
132. Применяя метод округления слагаемого, вычислить:
1) 299 + 427; 7) 397 + 598 + 299;
2) 465 + 319; 8) 498 + 387 + 195;
3) 158 + 935; 9) 347 + 198 + 498;
4) 475 + 327; Ю) 296 + 324 + 108;
5) 189 + 815; И) 196 + 299 + 398 + 107;
6) 274 + 938; 12) 397 + 298 + 135 + 402.
Изменение разности
Выясним изменение разности двух чисел при изменении ее
компонентов (уменьшаемого и вычитаемого).
1. Возьмем разность чисел 65—37 = 28 и выясним ее изме-
нение при увеличении уменьшаемого, оставляя вычитаемое без
изменения. Запишем это изменение в таблицу:
Уменьшаемое 65 70 74 80 90
Вычитаемое 37 37 37 37 37
Разность 28 33 37 43 53
Рассматривая эту таблицу слева направо, видим, что если
уменьшаемое (65) увеличить на 5 единиц, то и разность увели-
чится на такое же число единиц (была 28, стала 33); если уве-
личить уменьшаемое на 9 единиц (было 65, стало 74), то и раз-
ность увеличится на 9 единиц (была 28, стала 37) и т. д.
Вывод. Если уменьшаемое увеличим на несколько единиц,
не изменяя вычитаемого, то разность увеличится на столько
же единиц. Это свойство в общем виде записывается так:
если а—Ь = с, то (а + т)—Ь = с + т.
2. Выясним изменение разности, если уменьшать умень-
шаемое, не изменяя вычитаемого. Рассмотрим предыдущую
таблицу (справа налево). Сначала была разность 90—37 = 53.
Уменьшаемое уменьшим на 10 единиц (стало 80), вычитаемое
не изменяли. Видим, что разность уменьшилась тоже на 10 еди-
ниц (была 53, стала 43). Уменьшаемое уменьшим на 16 еди-
ниц (стало 74), вычитаемое не изменяем. Разность также умень-
шится на 16 единиц (была 53, стала 37). Из этого делаем
вывод:
если уменьшаемое уменьшить на несколько единиц, то раз-
ность тоже уменьшится на столько же единиц. Это свойство в
общем виде записывается так:
если а—Ь = с, то (а—т)—Ъ — с—т.
вв
3. Выясним изменение разности 65—37 = 28 при изменении
вычитаемого, оставляя уменьшаемое без изменения. Будем
увеличивать вычитаемое. Запишем эти изменения в таблицу:
Уменьшаемое 65 65 65 65 65
Вычитаемое 37 40 47 50 57
Разность 28 25 18 15 8
Рассматривая эту таблицу слева направо, видим, что когда вы-
читаемое увеличивается на несколько единиц, то разность
уменьшается на столько же единиц. Например, при сравнении
чисел первого и третьего столбца видим, что вычитаемое уве-
личили на 10 единиц (было 37, стало 47), а от этого изменения
разность уменьшилась на столько же единиц (была 28, стала
18). Такую же зависимость мы обнаружим и при сравнении
других столбцов.
Вывод. Если вычитаемое увеличим на несколько единиц, не
изменяя уменьшаемого, то разность уменьшится на столько же
единиц. В общем виде запишем:
если а—Ь = с, то а—(Ь + т) = с—т.
4. Выясним изменение разности, если, не изменяя умень-
шаемого, уменьшить вычитаемое. Для этого рассмотрим таб-
лицу случая 3 справа налево.
Вначале была разность 65—57 = 8. Не изменяя уменьшае-
мого (65), уменьшим вычитаемое на 7 единиц (было 57, стало
50). Разность увеличилась на 7 единиц (была 8, стала 15). Зна-
чит, уменьшение вычитаемого влечет увеличение разности на
столько же единиц. Такую же зависимость мы обнаружим и
при сравнении других столбцов.
Вывод. Если вычитаемое уменьшить на несколько единиц,
не изменяя уменьшаемого, то разность увеличится на столько
же единиц. В общем виде запишем:
если а—Ь — с, то а—(5—тп) = с + т.
5. Рассмотрим изменение разности при одновременном уве-
личении (или уменьшении) компонентов действия на одно и то
же число единиц.
Возьмем разность 50—20 = 30 и построим таблицу, увеличи-
вая на одно и то же число единиц уменьшаемое и вычитаемое.
Уменьшаемое 50 60 75 90 120
Вычитаемое 20 30 45 60 90
Разность 30 30 30 30 30
Если сравнивать столбцы слева направо, то увидим, что уве-
личение компонентов вычитания не изменяет разности, она
остается неизменной (во всех столбцах 30).
3;
67
Если сравнивать столбцы справа налево, то увидим, что
уменьшение компонентов на одно и то же число не изменяет
разности.
Вывод. Если уменьшаемое и вычитаемое одновременно уве-
личить или уменьшить на одно и то же число единиц, то раз-
ность не изменится. В общем виде это свойство запишем так:
если а—Ь — с, то (а + т)—(Ь + т) = с или (а—т)—(Ь—т) — с.
6. Упрощенные приемы устного вычитания. Зная, как изме-
няется разность при изменении компонентов действия, мы мо-
жем в ряде случаев упростить вычисления. Покажем на при-
мерах :
Пример 1. 387—198 = (387—200) + 2 = 187 + 2 = 189. Здесь
мы увеличили вычитаемое на 2. Чтобы разность не измени-
лась, надо к ней прибавить 2, что мы и сделали.
Пример 2. 604—187 = (600—187) + 4 = 413 + 4 = 417. Здесь
мы уменьшили уменьшаемое на 4, а чтобы разность не изме-
нилась, увеличили ее на 4.
Пример 3. 234—176 = 258—200 = 58. Прибавилик умень-
шаемому и вычитаемому по 24, чтобы вычитаемое выразилось
круглым числом сотен. Разность, как мы знаем, остается неиз-
менной.
• УПРАЖНЕНИЯ (устно)
133. Как изменится разность, если:
1) Уменьшаемое увеличить на 17 единиц?
2) Вычитаемое уменьшить на 65 единиц?
3) Уменьшаемое увеличить на 20 единиц, а вычитаемое
увеличить на 10?
4) Уменьшаемое увеличить на 45, а вычитаемое уменьшить
на 15?
5) Уменьшаемое уменьшить на 100, а вычитаемое увели-
чить на 30?
6) Уменьшаемое и вычитаемое увеличить на 56?
134. 1) Уменьшаемое увеличили на 54. Как надо изменить вы-
читаемое, чтобы разность осталась неизменной?
2) Уменьшаемое увеличили на 75. Как надо изменить вы-
читаемое, чтобы разность увеличилась на 100?
3) Уменьшаемое уменьшили на 115. Как надо изменить вы-
читаемое, чтобы разность увеличилась на 200?
4) Уменьшаемое уменьшили на 72. Как надо изменить вы-
читаемое, чтобы разность уменьшилась на 20?
5) Вычитаемое увеличили на 145. Как надо изменить умень-
шаемое, чтобы разность увеличилась на 1?
6) Вычитаемое увеличили вдвое. Как надо изменить умень-
шаемое, чтобы разность осталась неизменной?
68
135. Как изменится разность, уменьшаемое и вычитаемое при
следующих условиях (см. об условных обозначениях № 131).
Уменьшаемое Вычитаемое Разность
— 50 + 20 ?
+ 40 + ю
+ 20 - 10 ?
ъ — 25 — 25
+ 40 ? + ю
- 10 ? — 5
+ 15 + 5 ?
136. Сделайте вычитание устно, применяя свойства разности
при изменении ее компонентов (см. разобранные упражнения
на стр. 64):
1) 36—19;
2) 115—59;
3) 91—37;
4) 112—26;
5) 523—92;
6) 377—293;
7) 482—208;
8) 289—194;
9) 541—498;
10) 1004—683;
11) 99 999—45 560;
12) 100 020—99 998.
Изменение произведения. 1. Выясним изменение произведе-
ния в случае увеличения одного из сомножителей в несколько
раз. Возьмем произведение 3 • 12 = 36 и, оставляя неизменным
второй сомножитель (12), будем увеличивать первый сомножи-
тель в несколько раз. Составим таблицу:
Первый сомножитель 3 9 15 60 180
Второй сомножитель 12 12 12 12 12
Произгедение 36 108 180 720 2160
Сравнивая второй столбец с первым, видим, что увеличение
первого сомножителя в 3 раза (был 3, стал 9) привело к увели-
чению произведения в это же число раз (было 36, стало 108).
Сравните остальные столбцы.
Вывод. Если один из сомножителей увеличить в несколько
раз, не изменяя другого, то и произведение увеличится во столь-
ко же раз.
Это свойство в общем виде записывается так:
если а • b = с, то (а • k) • Ъ = с • k.
2. Выясним изменение произведения при уменьшении од-
ного из сомножителей в несколько раз. Для этого рассматри-
ваем таблицу случая 1 справа налево. Возьмем произведение
180’12 = 2160. Уменьшим первый сомножитель в три раза. Ви-
89
дим (второй столбец справа), что и произведение уменьшится в
три раза (было 2160, стало 720). Сравните остальные столбцы
со столбцом справа.
Вывод. Если один из сомножителей уменьшить в несколько
раз, не изменяя другого, то и произведение уменьшится во
столько же раз.
В общем виде это свойство записывается так:
если ab = с, то (а : fe) • Ъ = с : k.
3. Рассмотрим случай изменения произведения, если один
из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой умень-
шить во столько же раз.
Возьмем произведение 8-12 = 96. Увеличим первый сомно-
житель (8) в 3 раза (будет 24) и одновременно уменьшим вто-
рой сомножитель в 3 раза (будет 4). Получим, что произведе-
ние 24 • 4 осталось то же (96).
Вывод. Если один сомножитель увеличить в несколько раз,
а другой сомножитель одновременно уменьшить во столько же
раз, то произведение не изменяется.
В общем виде это свойство записывается так:
если ab = с, то (а • k) • (b : k) = с.
• УПРАЖНЕНИЯ (устно)
137. Как изменится произведение, если:
1) Один из сомножителей увеличить в 7 раз?
2) Один из сомножителей увеличить в 5 раз, а другой в 2 раза?
3) Один из сомножителей увеличить в 6 раз, а другой умень-
шить в 6 раз?
4) Один из сомножителей увеличить в 10 раз, а другой
уменьшить в 5 раз?
138. 1) Один из сомножителей увеличили в 10 раз. Как надо
изменить другой сомножитель, чтобы произведение увеличи-
лось в 5 раз? ‘
2) Один из сомножителей уменьшили в 5 раз. Как надо из-
менить другой сомножитель, чтобы произведение увеличилось
в 2 раза?
3) Один из сомножителей увеличили в 18 раз. Как надо из-
менить другой сомножитель, чтобы произведение уменьшилось
в 3 раза?
4) Один из сомножителей увеличили в 15 раз. Как надо из-
менить другой сомножитель, чтобы произведение не измени-
лось?
139. Как изменится произведение или сомножители при следую-
щих условиях (знак «X » означает, что сомножитель или про-
изведение «увеличили в... раз», а знак «:» означает, что
«уменьшили в ... раз»):
70
Первый сомножитель Второй сомножитель Произведение
X 5 хз ?
X 6 : 2 ?
: 10 Х5 ?
: 3 : 2 ?
X 4 Х8
: 4 ? Х2
X 15 ? ; 3
X ю ? X 2
Изменение частного. 1. Рассмотрим, как изменится частное,
если делимое увеличить в несколько раз, не изменяя делителя.
Возьмем частное 36 : 9 = 4 и будем увеличивать делимое в 2, 3
и т. д. раза.
Составим таблицу:
Делимое 36 72 144 288
Делитель 9 9 9 9
Частное 4 8 16 32
Сравнивая числа второго столбца с числами первого столбца,
видим, что делимое (72) увеличили в 2 раза (было 36, стало
72); частное увеличилось во столько же раз (было 4, стало 8).
Вывод. Если делимое увеличить в несколько раз, не изме-
няя делителя, то частное увеличится во столько же раз.
В общем виде это свойство записывается так:
если а : b = с, то (а • k) : b = с • k.
2. Как будет изменяться частное, если делимое уменьшить
в несколько раз, не изменяя делителя?
Рассмотрим таблицу случая 1 справа налево. Исходное част-
ное 288 : 9 = 32, т. е. числа первого столбца. Сравним числа вто-
рого столбца, читая справа налево, с числами исходного част-
ного. Видим, что уменьшение делимого в два раза (было
288, стало 144) вызвало уменьшение частного тоже в два раза
(было 32, стало 16). Сравните числа других столбцов с числа-
ми исходного.
Вывод. Если делимое уменьшить в несколько раз, то част-
ное уменьшится во столько же раз.
3. Рассмотрим изменение частного при увеличении делите-
ля. Возьмем частное 720:2 = 360 и составим таблицу, считая
делимое неизменным:
Делимое 720 720 720 720
Делитель 2 4 8 16
Частное 360 180 90 45
71
Сравнивая числа второго столбца с числами первого столбца,
видим, что увеличение делителя в 2 раза (был 2, стал 4) вызва-
ло уменьшение частного во столько же раз (было 360, стало
180). Сравним числа других столбцов с числами исходного
частного.
Вывод. Если делитель увеличить в несколько раз, не изме-
няя делимого, то частное уменьшится во столько же раз.
В общем виде это свойство записывается так:
если а : Ь = с, то а : (Ь • k) = c : k.
4. Как будет изменяться частное, если, не изменяя делимо-
го, уменьшить делитель в несколько раз?
Возьмем в качестве исходного частного числа столбца спра-
ва 720:16 = 45 и будем сравнивать с числами других столбцов.
Видим, что, если уменьшить делитель в 2 раза (см. второй стол-
бец справа), это вызовет увеличение частного в 2 раза. Срав-
ним числа других столбцов с числами исходного столбца.
Вывод. Если делитель уменьшить в несколько раз, не изме-
няя делимого, то частное увеличится во столько же раз.
В общем виде это свойство записывается так:
если а : Ъ — с, то а : (5 : k) = c • k.
5. Рассмотрим изменение частного, если делимое и дели-
тель одновременно уменьшим или увеличим в несколько раз.
Возьмем частное 500 : 25 = 20. Увеличим компоненты действия
одновременно в 4 раза: (500-4) : (25-4), получим 2000 : 100 =
= 20. Если же компоненты 500 и 25 уменьшить в 5 раз, то по-
лучим (500 : 5) : (25 : 5) = 100 : 5 = 20.
Вывод. Если делимое и делитель одновременно увеличить
или уменьшить в одинаковое число раз, то частное не изме-
нится.
В общем виде запишем так:
а) если а : Ъ — с, то (а k) : (Ь • k) — c;
б) если а : Ь = с, то (а : k) : (b : k) — c.
Этим свойством частного надо пользоваться в практических
вычислениях, когда делимое и делитель оканчиваются нуля-
ми и деление выполняется нацело.
Примеры. 800 : 200 = 8 : 2 = 4 (отбрасывание двух нулей
справа равносильно уменьшению в 100 раз);
60 000 : 15 000 = 60 : 15 = 4.
Если же деление выполняется с остатком, то к полученному ос-
татку необходимо приписать отброшенные в делимом нули.
Пример. 72 500 : 1200 = 60 и в остатке будет 500, а не 5.
Почему?
72
УПРАЖНЕНИЯ (устно)
140. Как изменится частное, если:
1) Делимое увеличить в 7 раз?
2) Делимое увеличить в 5 раз, а делитель уменьшить в
2 раза?
3) Делимое уменьшить в 6 раз, а делитель уменьшить в 2 раза?
4) Делимое и делитель одновременно увеличить в 8 раз?
5) Делитель увеличить в 12 раз, а делимое уменьшить в 3 раза?
6) Делитель уменьшить в 8 раз, делимое увеличить в 4 раза?
141. 1) Делимое увеличили в 10 раз. Как надо изменить дели-
тель, чтобы частное увеличилось в 2 раза?
2) Делимое увеличили в 25 раз. Как надо изменить дели-
тель, чтобы частное уменьшилось в 3 раза?
3) Делимое увеличили в 9 раз. Как надо изменить дели-
тель, чтобы частное осталось неизменным?
4) Делитель увеличили в 5 раз. Как надо изменить дели-
мое, чтобы частное увеличилось в 3 раза?
5) Делитель уменьшили в 4 раза. Как надо изменить дели-
мое, чтобы частное стало вдвое больше?
6) Делитель увеличили в 2 раза. Как надо изменить дели-
мое, чтобы частное утроилось?
142. Как изменится частное или компоненты деления при сле-
дующих условиях (см. № 139):
Делимое Делитель Частное
х 6 X 3 ?
X 8 : 2 ?
: 2 X 4 7)
7) X 5 X 16
X 16 ? X 2
: 7 ? X 1
143. Рассмотреть, как изменены делимое и делитель в каждой
из следующих строчек по сравнению с первой, и написать част-
ное, не производя деления:
1) 3600 : 40 = 90;
2) 1800 : 20= ;
3) 900 : 20= ;
4) 450 : 10= ;
5) 3600 : 40 = 90;
6) 7200 : 40= ;
7) 14 400:80 = ;
8) 28 800:160= .
144. Малая шестерня имеет 8 зубцов, а большая — 64 зубца.
Вместо малой поставили другую — в 32 зубца. Как изменится
число оборотов малой шестерни за один большой оборот?
73
Рис. 37.
145. Большая шестерня имеет 32 зубца,
а малая —12. Малую шестерню за-
менили другой — в 24 зубца. Сколько
зубцов должна иметь шестерня, кото-
рой заменяют большую шестерню,
чтобы не изменилось число оборотов
малой шестерни за один оборот заме-
ненной большей? (Рис. 37.)
§ 26. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ
СОВМЕСТНЫХ ДЕЙСТВИЙ.
СКОБКИ
Если даны два числа, между кото-
рыми стоит знак одного из четырех
действий, то результат действия найти
легко. Труднее будет, если даны не-
сколько чисел, между которыми стоят
соответствующие знаки действий, на-
пример 45 + 24:6—30:5-3 + 4-6. Та-
кая запись называется числовым выра-
жением или формулой. Так как в этом примере несколько дей-
ствий, то, чтобы получить правильный результат, надо усло-
виться о порядке действий, т. е. в какой последовательности
выполнять действия.
Сложение и вычитание (действия взаимно обратные) назы-
ваются действиями первой ступени, а умножение и деление
(также взаимно обратные действия) — действиями второй сту-
пени. Условились:
Если в числовом выражении (формуле) имеются только действия
одной ступени, то они выполняются в той последовательности, в
которой они записаны, слева направо.
Примеры.
1) 60 + 220—56 + 21 = 280—56 + 21 = 224 + 21 = 245;
2) 600 : 2X3 : 5X7 = 300X3 : 5X7 = 900 : 5X7 = 180X7 = 1260.
Если в числовом выражении встречаются действия и первой и
второй ступени, то сначала выполняются действия второй ступе-
ни (умножение и деление), а затем действия первой ступени.
Пример. 24 + 36:9 + 5—72:8—3-4. Сначала выполняем
действия второй ступени в том порядке, как они записаны, т. е.
деление 36 : 9, деление 72 : 8 и умножение 3 • 4. Получаем 24 +
+ 4 + 5—9—12. Далее выполняем действия в том порядке, как
они записаны, т. е. сложение 24 + 4, сложение 28 + 5, вычита-
ние 33—9 и вычитание 24—12. Вычисление этого примера
можно записать так:
24 + 36 : 9 + 5—72 : 8—3-4 = 24 + 4 + 5—9—12 = 28 + 5—9 —
—12 = 33—9—12 = 24—12 = 12.
74
Когда вы усвоите порядок действий и научитесь устно про-
изводить вычисления, конечно, вы упростите эту запись.
Если нужно изменить последовательность выполнения
действий, то эти изменения указываются скобками. Действия,
заключенные в скобки, выполняются в первую очередь.
Примеры.
1) 3008 + 8003—(6003—3008) = 3008 + 8003—
—2995 = 11 011—2995 = 8016.
2) (18 + 63) : (7 + 2) + (90—81) : 9—5 = 81 : 9 + 9 : 9—5 = 9 + 1 —
—5 = 5.
♦ Кроме приведенных в примерах скобок, называемых круг-
лыми, если надо указать и другие отступления от принятого
порядка выполнения, вводятся прямые (или, иначе, квадрат-
ные) и фигурные скобки. В этом случае условились: сначала
выполнять действия над числами, стоящими в круглых скоб-
ках, затем в прямых, потом в фигурных и, наконец, остальные
действия производить в обычном порядке.
Примечание
Условились фразу: «Выполнить действие в скобках»—заменить
более короткой, но имеющей тот же смысл: «Раскрыть скобки».
Пример. {[(24 +216): 3—4] • 2 +8}: 4—25.
Раскрыв круглые скобки, получим ([240:3—4] >2+8): 4—25
» прямые » » {76-2+8): 4—25
» фигурные » » 160:4—25
Выполняем действия без скобок: 40—25 = 15.
Чтобы сделать запись менее громоздкой, иногда применяют
горизонтальную черту; горизонтальная черта служит одновре-
менно и знаком деления, и заменой скобок. Чтобы решать при-
мер с горизонтальной чертой, надо прежде найти результат,
записанный над чертой, затем под чертой, и делить первый
результат на второй, например:
(18 + 15):3-5
10 —(4 —2)-4 ‘
Сначала вычислим выражение, стоящее над чертой (18 +
+ 15) : 3—5 = 33 : 3—5 = 11—5 = 6;
затем — под чертой: 10—(4—2) • 4 = 10—2 • 4 = 10—8 = 2;
и, наконец, вычислим
Составляя формулы (числовые выражения), надо избегать
лишних скобок. Так, в формуле 70—(90 : 3) скобки не нужны,
так как и без них в формуле 70—90 : 3 порядок действия, в си-
лу первого правила, будет тот же.
75
УПРАЖНЕНИЯ
146. 1) (242 530+ 18 350): 60+ (44X450+ 180 XI 500): 20;
2) (24 X 2400 +1 501 000): 70—(52 X 550—107 X140): 20.
147. 1) (16 000 : 32—1640 : 82) : 15X7000—19 200 : 40;
2) (97 264 : 8 + 7 842) : 1000 • 7 + 947 • 100.
148. 1) {31440 + 1040:[150—2400:(67 + 53)Ь20}11+1001;
2) 960:12000: [10002 — (6085 + 2926) — 966]].
149.
(367 710:35-233 261:329)-355
|(16 531-343+763.1099) 5—65].71
41 811:1267+506 (3000—2847): 153
(1293 516:1827—153 283:907). 11 '
Контрольная работа по § 19 —26
1. Один из сомножителей увеличили в 2 раза, а другой уменьшили в
10 раз. Как изменилось произведение? Поясните свой ответ примером.
2. В трех классах в начале года было 106 учащихся. В течение года
из одного класса выбыло 5 человек, в другой прибыло 4 человека,
а в третий прибыло 2 человека. Сколько учеников было в этих клас-
сах в конце года?
3. Произведение двух чисел равно 242. Если один из сомножителей
увеличить на 2, то произведение будет равно 286. Найти оба сомно-
жителя.
Указание. Прежде всего надо выяснить, произведение каких чи-
сел представляет разность чисел 286 и 242.
4. Произвести указанные действия:
а) 25 • (28 • 105 + 7236 : 18)—(4247—1823) : 6 • 25;
б) 805 001+908 307—65 • (403—289)—205 • 78.
§ 27. НЕМНОГО ИСТОРИИ ОБ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЯХ
Из дошедших до нас памятников культуры следует вывод, что
арифметические действия человек ввел тогда, когда начал произ-
водить счет предметов. Конечно, современные способы действий че-
ловек изобрел не сразу.
Известно, что в древней Индии сложение и вычитание произво-
дили начиная со старших разрядов, т. е. слева направо. Современный
способ сложения и вычитания по разрядам справа налево был вве-
ден в практику в XIII в. Знак сложения « + » и знак вычитания «—»
были введены как форма записи действия в XV в.
Современный способ умножения начиная с младших разрядов
укрепился в арифметике с XVI в. До этого пользовались способом ум-
ножения, начиная со старших разрядов, способом решетки и др.
Знак умножения « • », как и знак «X», был введен в XVII в. Совре-
менный способ деления введен в практику в XVII в. Знак деле-
ния « : » введен в XVII в. Знак деления ♦-- » возник в сред-
ние века у арабов.
76
§ 28. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ВСЕ ДЕЙСТВИЯ
Одна из главных целей изучения арифметики состоит в том,
чтобы учащиеся научились решать арифметические задачи.
Задачи развивают мышление, сообразительность и умение по-
нимать скрытые в условии задачи зависимости и выбирать для
решения соответствующие арифметические действия.
Арифметической задачей называется вопрос, для ответа на
который приходится по двум или нескольким числам находить
новое число. Число, которое отыскивается, называется иско-
мым, а известные в задаче числа называются данными.
Если условие задачи состоит в прямом указании действий,
какие надо выполнить над данными числами, то такая задача
называется числовым примером, например (72 : 6—15’3) : 3.
Под задачей понимают такой вопрос, где условие не указы-
вает, какие действия следует выполнить над данными числами,
чтобы получить искомое число, например: «Имеется материал
на устройство 400 м изгороди. Какую площадь прямоугольной
формы можно огородить этой изгородью?»
В этой задаче не указаны действия и порядок действий.
Различают так называемые основные (простые) и составные
(сложные) задачи.
♦ Задача называется простой, если для ее решения достаточ-
но выполнить лишь одно из арифметических действий (сложе-
ние, вычитание, умножение, деление). Задача называется со-
ставной, если для ее решения нужно выполнить два или более
арифметических действий.
♦ Решение составной задачи заключается в том, что ее разла-
гают на ряд простых задач и указывают последовательность
решения простых задач (намечают план решения).
Поясним решение составной задачи.
Задача. Из котлована надо вывезти 12 000 т земли. На вы-
возке работают 5 семитонных и 4 пятитонных самосвала. Каж-
дая машина сделала 15 рейсов. Сколько земли осталось невы-
везенной?
Анализируем условие и намечаем план решения задачи. Оп
может быть таким:
1) Сколько земли было вывезено за один рейс 5 семитонными
самосвалами?
2) Сколько земли было вывезено за 15 рейсов 5 семитонными
самосвалами?
3) Сколько земли было вывезено за один рейс 4 пятитонными
самосвалами?
4) Сколько земли было вывезено за 15 рейсов 4 пятитонными
самосвалами?
5) Сколько земли было вывезено за 15 рейсов всеми самосва
лами?
6) Сколько земли осталось в котловане после 15 рейсов само-
свалов?
77
После анализа задачи и составления плана решения надо
записать решение задачи. Применяется несколько форм запи-
си решения задачи.
Числовое решение без пояснительного текста
1) 7-5 = 35 (т); 4) 20 • 15 = 300 (т);
2) 35 • 15 = 525 (т); 5) 525 + 300 = 825 (т);
3) 5-4 = 20 (г); 6) 1200-825 = 375 (т).
О т в е т. 375 г.
Запись решения с вопросами
1) Сколько земли было вывезено за один рейс 5 семитонны-
ми самосвалами?
7-5 = 35 (г).
2) Сколько земли было вывезено за 15 рейсов 5 семитонными
самосвалами?
35-15 = 525 (т).
3) Сколько земли было вывезено за один рейс 4 пятитонными
самосвалами?
5-4 = 20 (г).
4) Сколько земли было вывезено за 15 рейсов 4 пятитонными
самосвалами?
20-15 = 300 (г).
5) Сколько земли было вывезено за 15 рейсов всеми самосва-
лами?
525 + 300 = 825 (т).
6) Сколько земли осталось в котловане?
1200—825 = 375 (т).
Запись решения с последующим объяснением
1) 7-5 = 35 (т); 35 т —вес земли, вывезенной 5 семитонными
самосвалами за один рейс;
2) 35-15 = 525 (т); 525 т — вес земли, вывезенной 5 семитон-
ными самосвалами за 15 рейсов;
3) 5-4 = 20 (г); 20 т — вес земли, вывезенной 4 пятитонными
самосвалами за один рейс;
4) 20 г-15 = 300 т; 300 т — вес земли, вывезенной 4 пятитон-
ными самосвалами за 15 рейсов;
5) 525 т + 300 г = 825 г; 825 т — вес земли, вывезенной всеми
самосвалами за 15 рейсов;
6) 1200 т—825 г = 375г; 375т — вес земли, оставшейся в кот-
ловане.
78
Нелегко научиться решать задачи. Решение большинства
задач требует своего приема решения. Но довольно часто встре-
чаются однотипные задачи, т. е. задачи, в которых имеется оди-
наковая зависимость между данными и искомыми, конечно,
при различных их числовых данных и тематики. Приведем
примеры сходных задач, образующих один тип.
Задача 1. Стальной прут в 98 см надо разрезать на две
части так, чтобы одна часть на 23 см была больше другой. Най-
ти длину каждой части.
Задача 2. Разделить 28 руб. между двумя рабочими так,
чтобы один получил на 4 руб. больше. Сколько получит каж-
дый?
Задача 3. Разделить число 100 на три слагаемых так,
чтобы первое слагаемое было на 20, а второе — на 12 больше
третьего. Найти эти слагаемые.
Ограничимся этими тремя различными по тематике задача-
ми, имеющими одну и ту же зависимость. Таких типовых за-'
дач немало в арифметике, и решение их мы должны прочно
усвоить. Зная решение типовых задач, легче решать межтипо-
вые задачи. Рассмотрим решения некоторых типовых задач.
Необходимо после рассмотрения приема решения типовой за-
дачи решить задачи, приводимые в учебнике.
При решении задач рекомендуем пользоваться следующей
памяткой:
1) Внимательно прочтите условие задачи. Если оно трудно вос-
принимается, прочтите задачу еще раз. Условие задачи надо
хорошо осмыслить и выделить данные и вопрос задачи.
2) Запишите в тетради кратко условие задачи.
3) Определите тип задачи и наметьте план ее решения. Если
задача нетиповая, то проведите разбор ее аналитическим спо-
собом и наметьте план решения.
4) В ряде случаев весьма полезно иллюстрировать задачу ри-
сунком (чертежом).
5) Задачи, приведенные в задачниках и другой литературе,
всегда имеют решение, а потому надо обязательно добиваться
его.
6) При решении не торопиться: торопливость — причина оши-
бок. Лучше лишний раз проверить, верны ли сделанные рас-
суждения и вычисления.
7) Задачи, имеющиеся в школьных задачниках, посильны для
учащихся. Поэтому решать надо самостоятельно, надеясь толь-
ко на себя.
8) Если задача трудная, то не надо огорчаться и опускать ру-
ки, а стараться обязательно найти решение.
9) Постоянно контролировать свои рассуждения и вычисления.
10) Проверить решение. Сначала прикинуть, может ли по-
лученный ответ приблизительно соответствовать условию за-
дачи.
79
Вопросы для самопроверки
1. Что называется задачей?
2. Какая задача называется простой?
3. Какая задача называется составной (сложной)?
4. В чем заключается сущность решения всякой задачи?
5. Какие вы знаете формы записи решения задачи?
Решение задач на вычисление среднего арифметического
Рассмотрите решение следующих задач:
Задача. В течение 6 дней в одно и то же время измеряли
температуру воздуха и получили следующие данные: 16°, 18°,
18°, 21°, 23°, 24°. Определить среднюю температуру воздуха за
эти 6 дней.
Средним арифметическим нескольких чисел называется
частное от деления их суммы на число слагаемых. Решение
данной задачи будет таково:
(16° +18° +18°+ 21°+ 23°+ 24°) : 6 = 20°.
Рис. 38.
Приведем решение более сложной за-
дачи.
Задача. В колхозе на участке в
135 га получили урожай пшеницы по 18 ц
с 1 га, а на участке в 18 га урожай соста-
вил 25 ц с 1 га. Каков средний урожай с
этих двух участков?
Решение. Чтобы найти урожай с 1 га,
надо знать общий урожай с этих двух уча-
стков и общую площадь посева.
1) 18 ц • 135 + 25 ц • 180 = 2430 ц +
+ 4500 ц = 6930 ц — урожай, полученный
с двух участков;
2) 135 га+ 180 га = 315 га — площадь
двух участков;
3) 6930 ц : 315 = 22 ц — урожай с 1 га.
• УПРАЖНЕНИЯ
150. Температура воздуха утром была 12°, в
полдень 20° и вечером 16°. Определить
среднюю температуру дня (рис. 38).
151. Вычислить среднюю температуру зимы,
если средняя температура ноября 2° хо-
лода, декабря 12°, января 16°, февра-
ля 10° и марта 5° холода.
152. Для определения всхожести семян посе-
яли 4 сотни семян, отдельно одну от дру-
гой. Из первой сотни семян взошло 92, из
второй — 90, из третьей — 95 и из четвер-
той — 87. Определить среднюю всхожесть
семян.
80
153. Для установления нормы времени, необходимого рабочему
для изготовления одной детали, проведено наблюдение. Ока-
залось, что первая деталь была им изготовлена за 1 час.
15 мин., вторая — за 57 мин., третья — за 1 час. 23 мин. и чет-
вертая —за 1 час. 9 мин. Какая средняя норма времени долж-
на быть установлена на изготовление детали?
154. Лыжник 3 часа шел со скоростью 8 км в час и 2 часа — со
скоростью 9 км в час. Найти среднюю скорость лыжника.
155. С одной яблони сняли 180 кг яблок, а с другой —120 кг.
Сколько килограммов яблок сняли с третьей яблони, есЛй в
среднем с каждого из трех деревьев сняли по 150 кг?
156. Среднее арифметическое трех чисел 18. Одно из них 15, дру-
гое 9. Найти третье число.
Решение задач на нахождение чисел
по их сумме и разности
Замечание. При решении задач на нахождение чисел
по их сумме и разности, по сумме (или разности) и кратному
отношению, а также задач на движение рекомендуется при-
бегать к графической иллюстрации условий задачи. Графиче-
ская иллюстрация условий задачи способствует нахождению
пути решения задачи.
Задача. В четырехэтажном студенческом общежитии жи-
вет 950 человек, причем на каждом этаже, начиная со II, жи-
вет на 15 человек больше, чем на предыдущем. Сколько чело-
век живет на каждом этаже? (Рис. 39.)
Из рисунка 39 видно, что на III этаже живет на 30 человек
больше, чем на I, а на IV — на 45 человек больше, чем на I.
Отсюда Легко наметить план решения задачи.
Решение. 1) На сколько человек больше живет на III эта-
же, чем на I этаже?
15 + 15 = 30 (чел.).
81
2) На сколько человек больше живет на IV этаже, чем на I
этаже?
30 + 15 = 45 (чел.).
3) Сколько человек жило бы в общежитии, если на каждом
этаже жило бы столько, сколько на I этаже?
950—15 — 30—45 = 860 (чел.).
4) Сколько человек живет на I этаже?
860 : 4 = 215 (чел.).
5) Сколько человек живет на II этаже?
215 + 15 = 230 (чел.).
6) Сколько человек живет на III этаже? На IV этаже?
230 + 15 = 245 (чел.); 245 + 15 = 260 (чел.).
Проверка. 214 + 230 + 245 + 260 = 950 (чел.).
При записи решения этой задачи внимательно посмотрите
на запись наименований. Если не ставить наименования при
компонентах действий, то название при результате ставится
в скобках.
• УПРАЖНЕНИЯ
157. Собрано 560 кг семян дуба и клена, причем семян дуба со-
брано на 400 кг больше, чем семян клена. Сколько собрано се-
мян дуба?
158. С трех лугов собрано 197 т сена. С первого и второго лугов
собрали сена поровну, а с третьего луга собрали на 11 г боль-
ше, чем с каждого из первых двух. Сколько сена собрали с
каждого луга?
159. Три куска гранита весят вместе 156 кг. Вес первого куска на
18 кг тяжелее второго, а вес второго на 15 кг легче третьего.
Сколько весит каждый кусок гранита?
160. Общая протяженность газопроводов Ставрополь—Москва,
Дашава — Ленинград и Березово—Свердловск —3900 км. Най-
ти протяженность каждого газопровода, если первый длиннее
третьего на 100 км и второй длиннее первого также на 100 км.
161. В совхозе за три года было распахано 4850 га целинных зе-
мель. Во втором году было распахано на 225 га больше, чем в
первом, а в третьем году столько, сколько в первом и во втором
годах вместе. Сколько гектаров целинных земель было распаха-
но в каждом году?
82
162. В городе за три года было построено 103 280 кв. м жилой
площади. Во втором году было построено на 360 кв. м больше,
чем в первом, а в третий год столько, сколько было построено
за два первых года вместе. Сколько жилой площади было по-
строено в каждом году?
Решение задач на нахождение чисел по их сумме (разности) и
кратному отношению
Задача. На трех полках разложено 176 книг так, что на
второй полке лежит книг вдвое больше, чем на первой, а на
третьей вчетверо больше, чем на второй. Сколько книг лежит
на каждой полке? (Рис. 40.)
Из рисунка 40 видно, что 176 книг соответствуют 11 услов-
ным единицам, где единица — число книг на первой полке. От-
сюда легко наметить план решения.
Решение. Примем число книг на первой полке за услов-
ную единицу.
Тогда на второй полке лежит число книг, равное 2 приня-
тым единицам, а на третьей — 8 единицам.
1) Скольким принятым единицам соответствует 176 книг?
1 ед. + 2 ед. + 8 ед. = 11 ед.
2) Сколько книг соответствует принятой единице, или, конкрет-
нее, сколько книг лежит на первой полке?
176 кн. : 11 = 16 кн.
3) Сколько книг лежит на второй полке?
16 кн. -2 = 32 кн.
4) Сколько книг лежит на третьей полке?
16 кн. • 8 = 128 кн.
Проверка. 16 кн. + 32 кн.+ 128 кн. = 176 кн.
Задача. Спортсмен метнул копье в 5 раз, или на 48 м,
дальше, чем толкнул ядро. Сколько метров пролетело копье и
сколько — ядро?
1111----------h
Рис. 40.
83
длина полета ядра
длина полета копья
к. ................... н-
48 м
Рис. 41.
Из рисунка 41 видно, что 48 м соответствуют 4 единицам,
где длина полета ядра принята за условную единицу. Отсюда
решение:
1) 48 м : 4 = 12 м— длина полета ядра;
2) 12 лт + 48 лг = 60 м — длина полета копья.
Проверка. 60 м : 5 = 12 м.
• УПРАЖНЕНИЯ
163. Для уничтожения жуков-древоточцев готовят состав, состоя-
щий из 3 частей скипидара, 1 части нафталина и 1 части смо-
лы. Сколько нужно взять каждого вещества для приготовле-
ния 1200 кг такого состава?
164. Хибинские горы в 4 раза ниже Эльбруса, а Эльбрус на 597 м
выше Казбека. Найти высоту Хибинских гор, если высота Каз-
бека — 5063 м.
165. Рабочий вместе со своим учеником обработали за смену
315 деталей, причем рабочий обработал в 6 раз больше, чем его
ученик. Сколько деталей обработал за смену каждый из них?
166. На одну чашку весов поставлены гири весом по 3 кг; на
другую положены пакеты с продуктами весом 5 кг каждый.
Весы находятся в равновесии. Сколько поставлено гирь? Одно
ли решение имеет задача?
167. Коллектив земснаряда вынул за двое суток 29 856 куб. м
грунта. В первые сутки норма была перевыполнена в 3 раза, а
на вторые сутки за каждый час на 236 куб. м больше, чем за
каждый час в первые сутки. Сколько земли вынимал земсна-
ряд сверх плана в среднем за 1 час во вторые сутки?
168. На речном теплоходе было 240 пассажиров, в том числе муж-
чин втрое меньше, чем женщин, а детей столько, сколько муж-
чин и женщин вместе. Сколько на теплоходе отдельно было
мужчин, женщин и детей?
169. Для ванной комнаты требуется цементная штукатурка, в
которой песка содержится в 3 раза больше, чем цемента. Сколь-
ко было заготовлено песка и цемента отдельно, если песка за-
готовлено на 100 кг больше, чем цемента?
170. Новый станок по сравнению со старым увеличивает выра-
ботку в 4 раза. На этом станке рабочий за 1 час вырабатывает
84
Рис. 42.
на 9 деталей больше, чем на старом станке. Сколько деталей
выработает рабочий на новом станке за 7 час.?
171. На одном складе муки в 3 раза больше, чем на другом. Ес-
ли из первого взять 850 т, а из второго — 50 т, то на обоих скла-
дах муки останется поровну. Сколько тонн муки на каждом
складе? (Рис. 42.)
Решение задач на движение
Задачи на движение в основном бывают двух видов: задачи
на движение в одном направлении и задачи на движение в
противоположных направлениях. Рассмотрим решение этих
видов задач.
Задача на движение в противоположных направлениях. Из
двух городов, расстояние между которыми — 2700 км, одновре-
менно навстречу друг другу вылетели два самолета и встрети-
лись через 2 часа. Определить скорость второго самолета, если
скорость первого была 750 км в час.
Решение. 1) На какое расстояние приближались два са-
молета за 1 час?
2700 км : 2 = 1350 км.
2) Чему равна скорость второго самолета?
1350 км—750 клс = 600 км.
• УПРАЖНЕНИЯ
172. Расстояние между двумя пунктами по реке равняется 270 км.
Из этих пунктов навстречу друг другу одновременно вышли
теплоход «Луч» и теплоход «Метеор». Они встретились через
3 часа. Найти скорость теплохода «Луч», если скорость тепло-
хода «Метеор» была 70 км в час?
173. Из пункта А выехал велосипедист со скоростью 12 км в час.
Через 3 часа навстречу ему выехал второй велосипедист из
пункта Б и встретился с первым через 6 час. после своего выез-
да. Найти скорость движения второго велосипедиста, если рас-
стояние между пунктами равняется 192 км.
85
Б20 км
Рис. 43.
174. Расстояние между городами А и В равно 520 км. В 8 час.
из города А в город Б вышел автобус, идущий со средней ско-
ростью 56 км в час, а в 11 час. из города Б в город А вышел
грузовик, идущий со средней скоростью 32 км в час. На каком
расстоянии от города Айв котором часу машины встретятся?
(Рис. 43.)
175. Из двух портов, расстояние между которыми 600 км, вышли
одновременно навстречу друг другу два парохода; скорость
одного из них была на 10 км в час больше скорости другого. Че-
рез 3 часа между ними осталось расстояние, большее пройден-
ного ими на 180 км. Найти скорость каждого парохода.
Задачи на движение в одном направлении. В 7 час. утра
из Москвы вышел поезд. Он шел со скоростью 60 км в час.
В 13 час. следующего дня в том же направлении вылетел са-
молет и летел вдоль железной дороги со скоростью 780 км в
час. Через сколько часов после вылета он догонит поезд?
Решение. 1) 60 гслг-30 = 1800 км — путь, пройденный по-
ездом до вылета самолета;
2) 780 км—60 клт = 720 км — расстояние, на которое прибли-
жается к поезду самолет за 1 час;
3) 1800 км : 720 клг = 2 часа 30 мин.; через 2 часа 30 мин.
после вылета самолет нагоняет поезд.
Проверка. 60 клг-30 + 60 ot-2 + ЗО кл1 = 780 км-2+.
+ 390 км.
• УПРАЖНЕНИЯ
176. Из Москвы в Воронеж через Тулу в 8 час. вышел автобус,
а в 9 час. вышла легковая машина. На каком расстоянии от
Москвы догонит легковая машина автобус, если скорость авто-
буса — 60 км в час, а легковой машины — 80 км в час?
(Рис. 44.)
86
177. Из Горького в 14 час. вышел теплоход со скоростью 20 км в
час, а через 5 час. по тому же направлению вышел теплоход
«Метеор» со скоростью 70 км в час. На каком расстоянии от
Горького «Метеор» нагонит теплоход?
178. В полдень от пристани отошел пароход со скоростью 16 км в
час. Через 3 часа от той же пристани по тому же направлению
отошел теплоход, который через 12 час. после своего выхода
догнал пароход. Определить скорость парохода.
179. Расстояние между Москвой и Тулой—180 км. В 4 часа из
Москвы в Тулу выехала группа велосипедистов со средней ско-
ростью 12 км в час, делающая через каждые 4 часа привал на
2 часа. В 10 час. 30 мин. вслед за ними вышел автобус, делаю-
щий 60 км в час. Пробыв в Туле 3 часа, автобус выехал обрат-
но в Москву. В котором часу он встретит группу велосипеди-
стов?
Решение задач на время
Перевод календарного числа в арифметическое и обратно.
Задача. Сколько лет, месяцев, дней и часов прошло от нача-
ла нашего летосчисления до 19 час. 5 сентября 1966 г.?
Решение. 1) От начала нашего летосчисления до начала
1966 г. прошло 1965 лет.
2) От начала 1966 г. до 1 сентября 1966 г. прошло 8 месяцев.
3) От 1 сентября до 5 сентября прошло полных 4 дня.
4) От 0 час. 5 сентября до 19 час. 5 сентября прошло 19 час.
Всего от начала нашего летосчисления до 19 час. 5 сентября
1966 г. прошло 1965 лет 8 мес. 4 дня 19 час.
Задача. Какой год, месяц, число наступили, если от нача-
ла нашего летосчисления прошло 1954 года 270 дней?
Решение. 1) Полных лет прошло 1954; следовательно, на-
ступил 1955 г. (невисокосный). Найдем месяц:
2) 270 дней —31 день —28 дней —31 день —30 дней —
31 день —30 дней —31 день —31 день —27 дней. Следователь-
но, искомое календарное число есть 1955 г., 28 сентября.
• УПРАЖНЕНИЯ
180. Сколько лет, месяцев и дней прошло от начала нашего лето-
счисления до дня Великой Октябрьской социалистической ре-
волюции?
181. Какой год, месяц, число наступили, если от начала нашего
летосчисления прошло 1953 года 150 дней?
182. Учебный год в школах разбивается на 4 четверти. I чет-
верть — с 1/IX по 5/XI, II четверть — с 10/XI по 29/ХП, III чет-
верть — с 11/1 по 24/Ш и IV четверть —с 3/IV по 30/V. Опре-
делить продолжительность (в днях) каждой четверти.
Определение времени последующего события. Задача.
Конституция РСФСР была опубликована 19 июля 1918 г., а
87
Конституция СССР была принята через 18 лет 4 мес. 16 дней.
Когда была принята Конституция СССР?
Решение. От начала нашего летосчисления до 19 июля
1918 г. прошло 1917 лет 6 мес. 18 дней, а до принятия Консти-
туции СССР прошло 1917 лет 6 мес. 18 дней+ 18 лет 4 мес.
16 дней = 1936 лет 11 мес. 4 дня.
Следовательно, Конституция СССР была принята 5 дека-
бря 1936 г.
• УПРАЖНЕНИЯ
183. Полярники станции «Северный полюс-1» были высажены на
льдину 21 мая 1937 г. Какого числа были сняты со льдины
полярники, если станция работала 8 мес. 29 дней?
184. Великий русский математик Н. И. Лобачевский родился
20 ноября 1792 г. и жил 63 года 2 мес. 23 дня. Когда он умер?
Определение промежутка времени между двумя собы-
тиями. Задача. Совет Министров Союза ССР 28 декабря
1950 г. издал постановление «О строительстве Волго-Донского
судоходного канала», а 10 июля 1952 г. издал постановление
«Об открытии Волго-Донского судоходного канала». Сколько
времени прошло от первого постановления (о строительстве) до
второго (об открытии)?
Решение. 1) От начала нашего летосчисления до дня по-
становления Совета Министров Союза ССР о строительстве ка-
нала прошло 1949 лет 11 мес. 27 дней, а до дня постановления
об открытии канала —1951 год 6 мес. 9 дней.
2) Со дня постановления о строительстве канала до дня поста-
новления об открытии прошло 1951 год 6 мес. 9 дней —
1949 лет 11 мес. 27 дней =1 год 6 мес. 12 дней.
• УПРАЖНЕНИЯ
185. Поле засеяно 18 апреля, а убрано 1 августа. Сколько време-
ни прошло от сева до уборки урожая?
186. 21 декабря — самый короткий день. В этот день солнце всхо-
дит в 8 час. 57 мин., а заходит в 15 час. 57 мин. 21 июня —
самый длинный день: солнце всходит в 3 часа 45 мин., а захо-
дит в 21 час 19 мин. Определить разницу между самым корот-
ким и самым длинным днем.
Определение времени предыдущего события. Задача. Пер-
вая газета выпущена в России 2 января 1703 г., а первая книга
напечатана в Москве на 130 лет 8 мес. 5 дней раньше. Когда в
Москве напечатали первую книгу?
Решение.
__ 1703 года 0 мес. 1 день
130 лет 8 мес. 5 дней Занимаем один месяц (декабрь)
1562 года 3 мес. 27 дней и раздробляем его (31 день).
88
• УПРАЖНЕНИЯ
187. Ленинградский университет основан 8 декабря 1819 г., спу-
стя 64 года 27 дней после основания Московского университета.
Когда был основан Московский университет?
188. Строительство завода, рассчитанное на 2 года 6 мес., было за-
кончено 6 марта 1960 г. Какого числа была начата стройка,
если строительство выполнено на 8 мес. 12 дней раньше срока?
Решение задач геометрического характера
Задача 1. Два участка (прямоугольный, большая сторона
которого — 25 м, и квадратный, сторона которого — 10 м) име-
ют равные площади и обнесены изгородью. У какого участка
изгородь имеет большую длину? (Рис. 45.)
Рис. 45.
Решение. Длину изгороди квадратного участка легко най-
ти, так как дана его сторона, а чтобы найти изгородь прямо-
угольного участка, надо знать его стороны; большая сторона
участка —25 м, а меньшую можно определить, зная его пло-
щадь. Отсюда и решение:
1) 10•4 = 40; 40 м — периметр квадратного участка;
2) 10-10=100; 100 кв. м— площадь каждого участка;
3) 100:25 = 4; 4 м— ширина прямоугольного участка;
4) 25 + 4 + 25 + 4 = 58; 58 м— периметр прямоугольного участ-
ка.
Так как 58 >40, то изгородь прямоугольного участка больше
изгороди квадратного участка.
Задача 2. Определить вес дождевой воды, выпавшей на
поле площадью 10 га, если толщина слоя воды — 35 мм и
1 куб. м воды весит 1 т.
Решение. 1) 10 га —100000 кв. м = 100000000000кв. мм;
2) 35-100 000 000 000 = 3 500 000 000 000 (куб. мм) =
= 3500 (куб. м) — объем воды, выпавшей на поле.
3) 1 т-3500 = 3500 т — вес дождевой воды, выпавшей на
поле.
• УПРАЖНЕНИЯ
189. В комнате длиной 9 м и шириной 5 м нужно сделать паркет-
ный пол из прямоугольных дощечек длиной 3 дм и шириной
1 дм. Сколько дощечек пойдет на пол? (Рис. 46.)
89
Рис. 46.
Рис. 47.
Рис. 48.
190. Сколько нужно досок длиной 6 м
и шириной 3 дм для настила пола в
квадратной комнате, сторона кото-
рой — 12 л?
191. Из прямоугольного листа железа,
длина которого — 24 см, а ширина —
22 см, нужно нарезать прямоуголь-
ные пластинки размерами 8 слХб см.
Какое наибольшее число пластинок
можно получить при этом?
192. По обеим сторонам участка желез-
нодорожного пути длиной 12 км поса-
жены снегозащитные лесные полосы.
Чему равна общая площадь этих за-
щитных полос, если ширина каждой
полосы — 6 л?
193. Ширина захвата одной тракторной
косилки равна 2 л 10 см. Какой ве-
личины площадь уберут три трактор-
ные косилки за 6 час. работы, если
средняя скорость трактора равна 4 км
500 л в час? (Ответ дать с точностью
до 1 га.)
194. Объем сена, сложенного в стог (рис.
47), определяется следующим обра-
зом: а) измеряется длина окружно-
сти основания (с); б) измеряется дли-
на (L) перекидки ABD. Приближен-
ный объем стога вычисляется по фор-
Lc2
муле V = — . Вычислить объем сто-
га, если с = 20ли1 = 15 л.
195. Живой вес коровы определяется
следующим образом: 1) измеряется
длина спины коровы от холки
до хвоста (L см, рис. 48); 2) из-
меряется длина обхвата около лопа-
ток (п см).
Приближенный живой вес коровы
(в кг) вычисляется по формуле Р =
196. Сколько кирпичей потребуется для
постройки стены длиной 45 л, вы-
сотой 4 л и шириной 40 см, если раз-
меры кирпича — 25 слХ 15 слХ4 см
и промежутки между кирпичами
заливаются известью, которая за-
нимает десятую часть всего объема?
(Рис. 49.)
90
Решение задач с помощью уравнений
Кроме рассмотренных частных при-
емов решения задач, существует общий
прием — решение с помощью составле-
ния уравнений. Вам приходилось ре-
шать упражнения вида: а) 25 4-х = 1000;
б) х—8 = 20; в) 2x4-7 = 15 и др. (см. стр.
38), т. е. находить неизвестное число
(оно обозначено буквой х) из равенства.
Такое равенство называется уравнением.
Решить уравнение — значит найти неиз-
вестное число.
Чтобы решить задачу с помощью
уравнения, сначала надо составить его
из данных задачи, а затем решить. Не-
которые задачи легче решать этим при-
Рис. 49.
емом. Например:
Задача. За два часа катер прошел 25 км, причем за пер-
вый час он прошел на 5 км меньше, чем за второй. Сколько ки-
лометров прошел катер за первый час?
Решение. Обозначим неизвестное расстояние, пройден-
ное катером за первый час, х км, тогда за второй час он про-
шел (х4-5) км. Составим уравнение: х 4-х 4-5 = 25, т. е. путь,
пройденный за первый час, плюс путь, пройденный за второй
час, равен 25 (км). Решим уравнение х 4-х 4-5 = 25. Упростим
его вид 2х + 5 = 25. Неизвестное слагаемое (2х) равно сумме (25)
без известного слагаемого (5), т. е. 2х = 20.
Неизвестный множитель (х) равен произведению (20), делен-
ному на известный множитель. Значит, расстояние, пройденное
катером за первый час, равно 10 км.
Мы записали решение уравнения с обоснованием. Обычно
такое решение записывают так:
х + х + 5 = 25;
2х + 5 = 25;
2х = 25—5;
2х = 20;
х = 20 : 2;
х = 10.
Ответ: х=10 км.
Рассмотрим решение еще одной задачи, уже разобранной
на странице 83.
Задача. На трех полках разложено 176 книг так, что на
второй полке лежит книг вдвое больше, чем на первой, а на
третьей вчетверо больше, чем на второй. Сколько книг лежит
на каждой полке?
Решение. Обозначим число книг, лежащих на первой
полке, буквой х; тогда на второй полке их будет 2х, а на третьей
(2х) • 4, т. е. 8х. Составим уравнение. Если сложить число книг
на первой полке (х) с числом книг на второй полке (2х) и на
третьей полке (8х), то получаем 176 книг. Это запишется так:
91
х + 2х + 8х=176. Откуда 11х = 176; х=17б : 11; х = 16. На пер-
вой полке было 16 книг. На второй было 2 • 16, т. е. 32 книги, и
на третьей — 128 книг (8 • 16).
Сравнивая оба приема решения одной и той же задачи, ви-
дим, что второй прием (решение с помощью уравнения) про-
ще, чем первый.
Подробно с составлением и решением уравнений вы позна-
комитесь в VI классе.
Примерная запись зачетной работы
Как известно, учащийся заочной школы должен в течение года
выполнить несколько зачетных работ. Зачетные работы для лиц, не
имеющих возможности явиться в заочную школу, состоят из теорети-
ческих вопросов и задач, а для лиц, имеющих возможность лично
явиться в школу, только в решении задач (ответы на теоретические
вопросы заочник сдает устно). Приводится примерная запись решения
упражнений зачетной работы.
Зачетная работа №...
(367 710 : 35 — 2 335 242 : 329) • 375
1. Вычислить: ------------------------------------
(16 531 • 343 + 763 • 1099) : 718-65 -71
1) 367710 I 35
I4 * * 7 I 10506
177
_210
210
2) _2335242 | 329
2303 | 7098
322
3224
~ 2961
2632
—2632
3) _10506
7098
3408
4) ^3408
х 375
17040
+ 23856
10224
1278000
5) v 16531
х 343
49593
+ 66124
49593
5670133
6) у 763
1099
6867
+ 6867
763
838537
7) ,5670133
838537
6508670
8)
6508670
6462
4667
4308
_3590
3590
| 718
I 9065
9)
Ю)
И)
9065 — 65 = 9000;
71x9000=639 000;
1 278 000:639 000 = 2.
Ответ. 2.
92
2. Задача. 3900 кирпичей в одной печи можно обжечь за 6 дней,
а в другой — за 5 дней. За сколько дней можно обжечь 14 300 кир-
пичей в обеих печах?
Решение. 1) Сколько кирпичей можно обжечь в 1-й печи за 1 день?
3900 : 6=650 (кирп.).
2) Сколько кирпичей можно обжечь во 2-й печи за 1 день?
3900 : 5 = 780 (кирп.).
3) Сколько кирпичей можно обжечь в 1-й и 2-й печах вместе за день?
650+780=1430 (кирп.).
4) За сколько дней в обеих печах можно обжечь 14 300 кирпичей?
14 300 : 1430=10 (дней).
Проверка. 1) 1-я печь за 10 дней даст 650 кирп.-10=
= 6500 кирп.
2) 2-я печь за 10 дней даст 780 кирп. • 10=
= 7800 кирп.
3) 1-я и 2-я печи за 10 дней дадут 6500 кирп.+
+ 7800 кирп.=14 300 кирп.
Ответ. За 10 дней.
3. Задача. В одной средней школе в младших классах обучалось
210 учеников, а в старших — 350 учеников. В другой средней школе
в младших классах обучалось на 80 учеников больше, а в старших
на 50 учеников меньше, чем в первой. В какой школе было больше
учащихся и на сколько? (Решить двумя способами.)
Решение. 1-й способ. 1) Сколько учеников учится в первой
школе? -
210 + 350=560 (учен.).
2) Сколько учеников учится в младших классах второй школы?
210 + 80 = 290 (учен.).
3) Сколько учеников учится в старших классах второй школы?
350—50 = 300 (учен.).
4) Сколько учеников учится во второй школе?
290+300 = 590 (учен.).
5) На сколько учеников больше учится во второй школе, чем в пер-
вой?
590—560 = 30 (учен.).
Ответ. Во второй школе на 30 учеников больше, чем в первой.
2-й способ. С учетом изменения результата действий задача реша-
ется в один вопрос: 80—50=30 (учен.), так как если одно слагаемое
(число учеников в младших классах) увеличить на 80 единиц, а дру-
гое (число учеников в старших классах) уменьшить не 50 единиц, то
сумма увеличится на 30 единиц,
4. Задача. Подвал имеет длину 10 м, ширину 9 м и глубину 3 м.
Сколько тонн овощей можно заложить в подвал, если считать, что
каждые 9 куб. м овощей весят 15 г и подвал будет заполнен не до-
верху, а на 1 .и ниже его потолка?
Решение.
1) На какую глубину будет заполнен подвал овощами?
3—1 = 2 (ж).
93
2) Какой объем занимают овощи?
10 • 9 • 2 = 180 (куб. м).
3) Сколько тонн овощей можно заложить в подвал?
(180 : 9)-15 = 300 (г).
Ответ. 300 т овощей.
Зачетная работа № 1
Вариант /
1. Почему наша система счисления называется десятичной?
2. Сформулируйте правило округления чисел и поясните на при-
мерах.
3. Сформулируйте свойства сложения и вычитания и поясните их
примерами.
4. Запишите законы умножения при помощи букв.
5. Умножение 48 на 25 можно выполнить одним из следующих при-
емов:
а) 48 -25 = 48-20 + 48-5; в) 48-25 = 50-25—2-25;
б) 48 25 = (48 • 5) • 5; г) 48 • 25 = (48 : 4) • 100.
Напишите обоснование этих приемов.
6*. Выполните указанные действия:
(31 460 + 1040) : (150 - 2400 : 120)-20 : 125 + 100 : (151-47 470 : 470).
7*. На двух баржах привезли 12 000 арбузов. Когда с первой баржи
выгрузили 3560 арбузов, а со второй — 2500, то на первой барже ос-
талось в 3 раза меньше арбузов, чем на второй. Сколько арбузов при-
везли на каждой барже?
8*. За каждые 2 мин. экскаватор набирает ковшом и перемещает
14 куб. м земли. Землекоп с лошадью перемещает за день 3 куб. м
земли. Смогут ли 35 землекопов за 24 дня переместить то количест-
во земли, которое экскаватор перемещает за 8 час.?
9*. На овощной базе были картофель, капуста и морковь, всего
3600 кг. Картофеля было втрое больше, чем капусты, а моркови в
6 раз меньше, чем картофеля. Сколько на овощной базе было отдель-
но картофеля, капусты и моркови?
10*. Из города в 7 час. утра вышла грузовая машина со скоростью
32 км в час. В 9 час. 30 мин. утра из того же города по тому же на-
правлению вышел автобус, скорость которого в полтора раза больше
скорости грузовой машины. В котором часу и на каком расстоянии
от города автобус догнал грузовую машину?
11*. Длина площадки прямоугольной формы — 45 м 12 см и шири-
на — 18 м 40 см. Эту площадку окаймляет дорожка шириной 80 см.
Найти площадь дорожки.
12*. Определите и поставьте вместо знаков вопроса цифры в следую-
щих примерах:
1) 457? 2) ^497
??83 х 3?
10?6 1?08
?28?
?1?5?
Вариант II
1. Поясните правила записи числа римскими цифрами.
2. Сформулируйте законы умножения и поясните их на числовых
примерах.
94
18360 т
3. Запишите все законы действий при помощи букв.
4. Изложите принятый порядок действий в арифметике.
5. Умножение 36 на 15 можно выполнить одним из следующих
приемов:
а) 36-15 = 36-10 + 36-5;
"б) 36 • 15 = (36 • 5) • 3;
в) 36 -15 = (36 : 2)-30.
Дайте обоснование этих приемов.
6*. Выполните указанные действия:
31 440 + 1040 : [150-2400 : (67 + 53)]х20 : 40 1001.
7*. На трех баржах привезли 18 350 т зерна. На первой и второй было
вместе 12 590 т, а на второй и третьей вместе 11860 т. Сколько
тонн зерна привезли на каждой барже? (Рис. 50.)
8*. Две грузовые машины одновременно выехали навстречу друг дру-
гу из двух городов, расстояние между которыми — 756 км. Одна из
них проезжала за час на 9 км больше другой. Через 12 час. они встре-
тились. Сколько времени нужно каждой машине, чтобы проехать все
расстояние между этими городами?
9*. В доме живут три семьи. Первая семья для освещения квартиры
имеет 3 электрические лампы, вторая — 4 и третья — 5 ламп. Сколь-
ко должна заплатить каждая семья за электроэнергию, если лампы
были одинаковой мощности, а общий счет оплаты электроэнергии со-
ставил 4 руб. 80 коп.?
10*. В колхозе собрано пшеницы, ржи и ячменя 3150 г. Пшеницы со-
брано вчетверо больше, чем ржи, а ячменя вдвое меньше, чем пше-
ницы. Сколько собрано отдельно пшеницы, ржи и ячменя?
11*. Один огород имеет форму квадрата, сторона которого — 100 м.
Другой огород, площадь которого равна площади первого огорода,
имеет форму прямоугольника длиной 250 м. Каждый огород обнесен
забором. У какого огорода забор получился длиннее и на сколько?
12*. Определите и поставьте вместо знаков вопроса цифры в следую-
щих примерах:
1) ,374? 2) vl?8
4?20 х 2?
16?8 -?4о
??143 25?
?2??
глава III ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РАЗЪЯСНЕНИЯ
♦ Мы знаем, что из четырех арифметических действий два —
сложение и умножение — всегда выполнимы, а два других —
вычитание и деление — не всегда выполнимы в множестве на-
туральных чисел. Выполнимость вычитания легко обнаружить,
а именно если уменьшаемое больше или равно вычитаемому,
то вычитаемое выполнимо.
Значительно труднее определить, выполнимо ли деление в
том или другом случае. Нам же часто приходится определять
по одному виду, будет ли нацело делиться число на данное.
Для этого нужно изучить так называемые признаки делимости,
т. е. как, не выполняя самого действия деления, предсказать,
делится или не делится одно число на другое.
Если одно число делится без остатка на другое, то первое
называется кратным второго, а второе — делителем первого.
Значит, если взять число 12, то делителями этого числа бу-
дут числа 2, 3, 4, 6 и 12.
§ 29. ДЕЛИМОСТЬ СУММЫ ДВУХ ЧИСЕЛ.
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ
Делимость суммы. Рассмотрите следующую таблицу:
№ п/п Делимость слагаемых Примеры Делимость суммы
1. Каждое слагаемое делится на 3 9-4- 27 Сумма (36) также делится на 3
2. Каждое слагаемое делится на 7 14 4- 21 Сумма (35) также делится на 7
3. Одно из слагаемых не де- лится на 3 124-7 Сумма (19) также не делит- ся на 3
4. Оба слагаемых не делятся на 7 13 + 20 Сумма (33) также не делит- ся на 7
5. О'а слагаемых не делятся на 7 11 + 10 Сумма (21) делится на 7
96
Из рассмотрения таблицы делаем выводы:
1. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то их
сумма делится на это число (примеры 1, 2).
2. Если одно из слагаемых делится на некоторое число, а дру-
гое не делится на это число, то их сумма не делится на это же
число (пример 3).
3. Если оба слагаемых не делятся на данное число, то о дели-
мости суммы ничего определенного сказать нельзя. Сумма мо-
жет делиться (пример 5) и может не делиться на данное число
(пример 4). Эти свойства будут справедливы и для разности
двух чисел и для суммы нескольких чисел. В этом можно убе-
диться при рассмотрении следующей таблицы:
№ п/п Делимость сложения и вычитания Примеры Делимость суммы или разности
1. Каждое слагаемое делит- ся на 5 15_|_20 + 45 Сумма (80) также делит- ся на 5
2. Каждый из компонентов делится на 4 16-12 Разность (4) делится на 4
3. Один из компонентов не делится на 5 20 — 6 Разность (14) не делит- ся на 5
4. Каждый из компонентов не делится на 5 23-8 Разность (15) делится на 5
Вопросы для самопроверки
1. Назвать несколько чисел, кратных числа 5; числа 8; числа 19.
2. Назвать все делители чисел 6, 9, 11, 20, 100.
3. Справедливо ли утверждение: «Если сумма чисел делится на ка-
кое-нибудь число, то и каждое слагаемое делится на это число»?
Привести примеры.
4. Какие значения может принимать х в сумме 5+х, чтобы сумма
не делилась на 3?
5. Приведите три примера, когда каждое слагаемое не делится на
данное число, а сумма делится.
Признак делимости на 2. Числа, делящиеся на 2, называ-
ются четными, а числа, не делящиеся на 2,— нечетными. Циф-
ры 0, 2, 4, 6, 8 называются четными цифрами, а цифры 1, 3, 5,
7 и 9 — нечетными цифрами.
Какие числа делятся на 2? Всякое многозначное число
можно рассматривать как сумму десятков и единиц. На-
пример :
38 = 30 + 8;
425 = 420+5;
1226 = 1220+6.
Десяток делится на 2, значит, и сумма нескольких десятков
также делится на 2. Рассматривая числа, представленные в ви-
4 С. А. Пономарев
97
де суммы десятков и единиц, видим, что первое слагаемое (сум-
ма десятков) всегда делится на 2, значит, чтобы все число раз-
делилось на 2, необходимо, чтобы и второе слагаемое (цифра
единиц) разделилось на 2. Но второе слагаемое — цифра еди-
ниц — будет делиться тогда, когда оно будет четной цифрой
(О, 2, 4, 6, 8). Отсюда — признак делимости на 2.
На 2 делятся только те числа, которые оканчиваются четной
цифрой.
Примеры. Числа 64, 1252, 1470 делятся на 2, так как
оканчиваются четной цифрой (4, 2, 0), а числа 11, 215, 3007 не
делятся на 2, так как оканчиваются нечетной цифрой (1, 5, 7).
Признак делимости на 5. Десяток делится на 5, значит, вся-
кое число, состоящее из десятков (20, 30, ..., 180, ..., 2000), т. е.
оканчивающееся нулем, делится на 5. Но не только одни чис-
ла, оканчивающиеся нулем, делятся на 5. Мы знаем, что вся-
кое многозначное число можно представить как сумму десятков
и единиц, например: 45 — 40 + 5.
Первое слагаемое (сумма десятков) всегда делится на 5. Зна-
чит, делимость всего числа (суммы десятков и единиц) будет
зависеть от делимости числа единиц (второго слагаемого). Но
среди единиц есть единственное число, делящееся на 5, — это
само число 5. Отсюда — признак делимости на 5.
На 5 делятся только те числа, которые оканчиваются нулем или
цифрой 5.
Примеры. Числа 20, 35 делятся на 5, так как они оканчи-
ваются нулем или 5.
Признаки делимости на 3 и на 9. Признак делимости на 3 и
признак делимости на 9 обычно объединяют в одном выводе,
так как обоснование и сам вывод (правило) одинаковы для обо-
их делителей: 3 и 9. Выясним, какие числа делятся на 9. Преж-
де всего на 9 делятся все числа, которые записаны с помощью
только цифры 9. Эти числа: 9, 99, 999, 9999 и т. д. Если взять
разрядные единицы любого числа, т. е. 10, 100, 1000, 10 000 и
т. д., то каждая из них при делении на 9 даст один и тот же
остаток, так как 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1, 10000 =
= 9999 + 1 и т. д. Принимая во внимание эти первые сведения о
делении на 9, попробуем установить, не производя деления,
делится ли нацело число 6183 на 9.
Представим число 6183 в виде суммы разрядных единиц:
6183 = 6-1000 + 100 + 8-10 + 3. Так как 1000 = 999 + 1, то
6-1000 = 6-999 + 6; 100 = 99 + 1; 8-10 + 3 = 8-9 + 8 + 3.
Следовательно, 6183 = 6-999 + 6 + 99 + 1 + 8-9 + 8 + 3. Объе-
диним в отдельную сумму числа, кратные 9. Получим:
6183 = (6-999 + 99 + 8-9) + (6 +1 + 8 + 3).
Первое слагаемое (6 • 999 + 99 + 8 • 9) делится на 9, значит,
чтобы число 6183 делилось на 9, необходимо, чтобы второе
98
слагаемое (6 +1 + 8 + 3) делилось на 9. А это слагаемое есть
сумма чисел, выраженных цифрами данного числа, или, как
говорят, сумма цифр данного числа. В рассматриваемом случае
эта сумма цифр равна 18, а 18 делится на 9. Значит, число 6183
делится на 9. Поэтому признак делимости можно высказать
так:
на 9 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.
Всякое число, делящееся на 9, будет делиться и на 3 (но не
наоборот). Для обоснования признака делимости на 3 нужно
повторить те рассуждения, которые были приведены при выво-
де признака делимости на 9. Проделайте самостоятельно этот
вывод, например, для числа 1254. После обоснования получи-
те признак делимости на 3.
На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3.
Пример. Числа 126, 5004, 120807 будут делиться и на 3,
и на 9, так как сумма цифр (9, 9, 18) делится и на 3, и на 9, а
числа 102, 1254, 405075 будут делиться только на 3, так как
сумма цифр каждого из них (3, 12, 21) делится на 3, но не де-
лится на 9.
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте признаки делимости на 2, 3, 5, 9.
2. Когда и для чего применяются признаки делимости чисел?
3. Какие цифры называются четными?
4. Какие числа называются нечетными?
5. Какое четное число при делении на любое число, кроме нуля, да-
ет в частном нуль?
6. Существует ли наименьшее четное число и наибольшее четное чис-
ло? А нечетное?
• УПРАЖНЕНИЯ
197. 1) Найти делители следующих чисел: 60, 100, 125.
2) Установить, какие из данных чисел: 30, 40, 120, 144, 600—
кратны числам 2, 3, 12, 40.
198. 1) Написать все последовательные четные числа от 250 до
270; от 300 до 315.
2) Написать все последовательные нечетные числа от 160 до
180; от 205 до 215.
199. Не производя сложения, определить, делится ли сумма:
1) 12 + 24 на 4, на 6, на 12, на 24;
2) 18 + 24 + 27 на 2, на 3, на 4, на 9.
200. Делится ли на 3, на 4, на 6 каждая из следующих сумм: 48 и
12; 60 и 18; 30 и 25? Делится ли их разность на эти же числа?
201. Не производя деления, установить, какие из чисел: 326, 339,
405, 508, 6030, 28 054, 111110—делятся на 2, на 3, на 5, на 9.
Выпишите их.
202. Не производя деления, установить, какие из чисел: 420, 540,
80172, 450 270—делятся одновременно на 2 и на 5, на 3 и на
5, на 9 и на 5?
4*
99
203. Установите на примерах, что на 6 делятся только те числа,
которые одновременно делятся и на 2, и на 3.
204. Установите на примерах, что на 15 делятся только те чис-
ла, которые делятся и на 3, и на 5.
205. Не производя деления, найти и выписать остатки от деления
каждого из чисел: 53, 84, 104, 140, 652, 1435 — на 2, на 3, на 9.
206. В числе 20 47? вместо знака вопроса поставить цифру так,
чтобы полученное число делилось: на 2, на 3, на 5, на 9.
207. Составьте из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 трехзначные числа, деля-
щиеся одновременно на 2 и на 5, на 5 и на 3.
208. Не вычисляя произведений, установить, какие из них делят-
ся на 2, на 3, на 5, на 9.
8-55-11, 32-15-43, 175-16-45.
Контрольная работа по g 29
1. Не производя деления, выписать из чисел 230, 801, 945, 1020, 4004
числа, делящиеся: а) на 2, б) на 3, в) на 5, г) на 9.
2. Написать тремя одинаковыми цифрами все числа, кратные 3. Ка-
кие из этих чисел кратны 9?
3. Написать все числа, заключенные между 150 и 200, которые од-
новременно были бы кратны 3 и 5, т. е. были бы кратны 15.
4. Написать трехзначное число, которое делилось бы на 3, но не де-
лилось бы на 9. Можно ли написать число, которое делилось бы на 9,
но не делилось бы на 3? Почему?
5. Не производя действий с помощью признаков делимости, опреде-
лить, будут ли делиться на 2, 3, 5, 9 следующие суммы и произве-
дения :
а) 1200+3600; в) 64 • 45 • 17;
б) 9090 + 12 330; г) 60 • 25 36 + 36.50.
§ 30. РАЗЛОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ
Числа простые и составные. Возьмем несколько чисел и выясним
их делители:
3 делится на 1 и на 3;
6 делится на 1, на 2, на 3 и на 6;
10 делится на 1, на 2, на 5 и на 10;
25 делится на 1, на 5 и на 25.
Из рассмотрения делителей чисел видим, что числа могут
иметь различное число делителей и различные делители. Об-
щие, свойственные всем рассматриваемым числам,— делители
1 и само число.
Если взять число 0, то оно делится на любое натуральное
число и результат деления во всех случаях равен 0.
Наименьшее натуральное число 1 также обладает особенно-
стью: оно не делится ни на какое натуральное число, кроме 1.
Запомните:
а) всякое число, большее 1, которое делится только на 1 и
само на себя, называется простым;
100
б) число, которое делится не только на единицу и само на
себя, но еще и на другие числа, называется составным;
в) числа 0 и 1 не причисляются ни к простым , ни к состав-
ным числам.
Примеры. Простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 1?, 17 и т. д.
Составные числа: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15 и т. д.
Легко убедиться, что множество составных чисел бесконеч-
но. Допустим, что множество составных чисел конечно и са-
мое большое составное число —п. Умножив это число на 2, мы
получим новое составное число, вдвое большее, чем п. Так мы
бесконечно можем получать новые составные числа, и, следо-
вательно, составных чисел бесконечное множество.
♦ Гениальный математик древней Греции Евклид (III век до
н. э.) доказал, что множество простых чисел, так же как и мно-
жество составных, бесконечно.
Чтобы узнать, является ли данное число простым, нужно
установить, что оно имеет только два делителя (1 и само себя).
Для этого нужно последовательно делить данное число на про-
стые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д.— до тех пор, пока в частном
не получится число, меньшее делителя. Практически простые
числа находят при помощи таблицы простых чисел, помещен-
ной в конце книги. Рассматривая таблицу простых чисел, об-
наруживаем, что все простые числа нечетные, за исключением
единственного четного числа 2.
♦ Разложение составного числа на простые множители. Вся-
кое составное число можно представить в виде произведения
простых чисел. Например: 6 = 2-3, 8 = 2-2-2, 15 = 3-5. Такое
преобразование составного числа называется разложением чис-
ла на простые множители.
Разложить число на простые множители — значит представить
его в виде произведения простых чисел. Как же выполняется
разложение чисел на множители? Например, разложить число
240 на простые множители. Это значит, надо найти все его
простые делители. Для этого нужно делить 240 на наимень-
ший простой делитель данного числа, т. е. на 2, а затем на 3,
на 5 и т. д. Покажем на примере: 240 : 2 = 120. Полученное
частное 120 — составное число. С ним поступают так же:
120 : 2 = 60 и т. д. до тех пор, пока частное не будет простым
числом: 60 : 2 = 30, 30 : 2 = 15, 15 : 3 = 5. Частное 5 — простое
число.
По определению деления можем записать: 240 = 2-120 =
= 2-2-60 = 2-2-2-30=2-2-2-2-15= 2-2-2-2-3 - 5. Короче это
произведение можно записать с помощью показателя степени
так: 240 = 24 - 3 - 5.
♦ Значит, техника разложения числа на простые множители
такова: сначала находят, применяя признаки делимости, наи-
меньшее простое число, на которое делится данное число, а за-
тем делят число; полученное первое частное делят на это наи-
101
меньшее простое число, и, если оно не делится, то пробуют сле-
дующее простое число. Запись разложения можно производить
в строчку, например: 630 = 2 • 315 = 2 • 3 • 105 = 2- 3 • 3 • 35 = 2Х
X 3 • 3 • 5 • 7. В случае разложения больших чисел применяют
другую форму записи; она состоит в том, что пишут не толь-
ко делители, но и частное, а сами множители (делители) рас-
полагают в столбик. Приводим примеры записи:
420 2 420 = 2-2-3-5-7; 4914 2 4914 = 23-3-3-7-13.
210 2 2457 3
105 3 819 3
35 5 273 3
7 7 91 7
13 13
В некоторых случаях в целях упрощения вычислений мож-
но предварительно разложить число на какие-нибудь удобные
множители, которые легко обнаруживаются. Этот прием осо-
бенно удобен, если число оканчивается нулями. Приведем при-
меры :
2400=24-100=(2-2-2-3)-(10-10) = 2-2-2-3-2-5-2-5 = 25-3-52;
1000=10-10-10=(2-5)-(2-5)-(2-5) = 23-53;
16 800=168-100 = (8-21)-10-10=(2-2-2-3-7)-(2-5)-(2-5) =
= 25-3-52-7.
♦ Каждое число можно разложить на простые множители
единственным образом, разница в разложении может быть
только в порядке следования множителей. Например: 210 =
= 10 • 21 = 2 • 5 • 3 • 7, или 210 = 2 105 = 2 • 3-35 = 2-3-5-7. Но так
как разложение принято записывать в порядке возрастания
простых множителей, то разница в порядке следования исче-
зает.
Вопросы для самопроверки
1. Какие числа называются простыми? Составными?
2. Сколько делителей имеет число 10?
3. Как надо понимать фразу: «Число простых чисел бесконечно»?
4. Что значит разложить число на простые множители?
5. Что значит: «Каждое число можно разложить на простые множи-
тели единственным образом»? Показать на примере.
• УПРАЖНЕНИЯ
209. 1) Написать все простые числа от 1 до 100. Проверить по
таблице простых чисел (стр. 369).
2) Написать все составные числа первой сотни, состоящие из
произведения одного простого сомножителя, повторяющегося
несколько раз.
210. 1) Разложить на простые множители (делители) числа: 9,
16, 28, 96, 150, 196, 225, 7000, 15 600, 12 740, 39 600, 86 625.
102
2) Разложить на составные множители числа: 300, 360, 810,
4000, 4608, 10 360.
211. Найти частное кратчайшим путем:
1) (3-5-7) : 3;
2) 3-5-7-11 : (3-11);
3) (2-3-3-5-13-17) : (3-5-17);
4) 510 : (2-5-17).
§ 31. ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ НЕСКОЛЬКИХ ЧИСЕЛ. НАИМЕНЬШЕЕ
ОБЩЕЕ КРАТНОЕ НЕСКОЛЬКИХ ЧИСЕЛ
Общий делитель нескольких чисел. Несколько чисел могут
иметь общие делители. Например, числа 36 и 40 имеют общие
делители 1, 2, 4; числа 40 и 80 имеют общие делители 1, 2, 4,
5, 10, 20, 40; числа 180, 300 и 240 имеют общие делители 1,
2, 3, 4, 6, 8, 10, 15, 20, 24, 30, 40, 60.
Числа 16 и 27, 8 и 35, 14 и 15 имеют общий делитель 1. Та-
кие числа называются взаимно простыми.
♦ Два числа, которые имеют только один общий делитель, рав-
ный 1, называются взаимно простыми.
Общее кратное чисел. Мы знаем, что кратным данного чис-
ла называется число, которое делится на данное число. Напри-
мер, 60 есть кратное число 15. Но это же число 60 является
кратным и других чисел, а именно: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20,
30 и 60. В этом случае говорят, что 60 есть общее кратное чи-
сел 2, 3, 4, 5, 6 и т. д.
♦ Общим кратным данных чисел называется всякое число, ко-
торое делится на каждое из данных чисел.
Для каждого числа существует бесконечное множество
кратных. Например, для числа 6 кратными являются: 12, 18,
24, 30, 36 и т. д. Для двух или нескольких чисел тоже сущест-
вует бесконечное множество общих кратных. Например, для
чисел 6 и 15 кратными будут числа: 30, 60, 120, 150 и т. д. Са-
мым меньшим общим кратных чисел 6 и 15 является число 30.
♦ Наименьшим общим кратным нескольких чисел называется
самое меньшее число, которое делится на каждое из этих чи-
сел. Так как наименьшее общее кратное представляет особый
интерес (далее узнаем почему), то надо научиться его находить.
Нахождение наименьшего общего кратного нескольких чи-
сел. Наименьшее общее кратное двух или нескольких чисел
можно найти одним из следующих способов:
1-й способ — способ проб. Допустим, надо найти наимень-
шее общее кратное чисел 6, 12, 24. Это записывают так: НОК
(6, 12 и 24). Прежде всего выясняем, не будет ли самое боль-
шое из данных чисел наименьшим общим кратным. Действи-
тельно, 24 есть НОК (6, 12 и 24). Запись: НОК (6, 12 и 24) = 24.
103
Если наибольшее число из данных не является искомым
наименьшим общим кратным, то мысленно умножаем наиболь-
шее из данных чисел на 2, на 3, на 4 и т. д. до тех пор, пока
произведение не будет делиться на все данные числа. Покажем
на примере. Допустим, надо найти НОК (24 и 36). Умножив 36
на 2, получим 72, а 72 делится и на 24. Значит, НОК (24 и 36) =
= 72.
2-й способ — способ разложения. Допустим, надо найти
НОК (40, 35 и 100). Для этого разложим каждое из чисел на
простые множители: 40 = 2 • 2 • 2 • 5, 35 = 5 • 7 и 100 = 2*2-5'5.
Нам надо найти наименьшее из чисел, которое делится на чис-
ла 40, 35 и 100, а это возможно только в случае, если в состав
множителей искомого числа входят все простые множители
этих чисел (40, 35 и 100). Поэтому возьмем разложение какого-
нибудь данного числа (обычно берут разложение наибольшего
числа) и добавим те множители из разложения других чисел,
каких не достает в первом разложении. В нашем примере возь-
мем 100 = 2'2-5"5 и добавим к нему из разложения 40 одну
2 и из разложения 35—7, т. е. НОК (40, 35 и 100) =
= 2>2-5-5'2>7 = 1400. Следовательно, чтобы найти наимень-
шее общее кратное нескольких чисел, надо разложить эти чис-
ла на простые множители, затем взять разложение одного из
них, приписать к нему недостающие простые множители из
других чисел и перемножить их между собой.
Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их
произведению.
Пример. НОК (14, 15) = 14 • 15 = 210.
Вопросы для самопроверки
1. Какое число называется общим делителем нескольких данных
чисел?
2. Какое число называется общим кратным данных чисел?
3. Какие числа называются кратными данного числа?
4. Какое число называется наименьшим общим кратным данных
чисел?
5. Какие особые случаи можно выделить из нахождения наимень-
шего общего кратного двух или нескольких чисел?
• УПРАЖНЕНИЯ
212. Найти все простые и составные делители чисел: 24 и 36;
28 и 42; 100 и 150.
213. Найти все общие делители и указать, какой из них наи-
больший :
1) 24 и 36; 4) 56 и 84;
2) 28 и 42; 5) 96 и 84;
3)63 и 81} 6) 105 и 135.
104
214. 1) Написать несколько чисел, кратных 5; 22.
2) Написать несколько чисел, кратных 2 и 3; 5 и 6; 2, 3 и 5.
215. Найти наименьшие общие кратные чисел:
1)2, 3 и 5; 4) 50, 80 и 40; 7) 70, 770 и 210;
2) 8, 6 и 48; 5) 108, 216 и 135; 8) 360, 540 и 640.
3)35, 7 и 10; 6) 30, 75 и 46 ;
Рассмотрите решение следующих упражнений:
Задача 1. Малая шестерня велосипеда имеет 8 зубцов, а
большая — 18 зубцов. Какое наименьшее число оборотов долж-
на сделать педаль, чтобы малая шестерня и большая шестерня
вернулись в свое первоначальное положение?
Решение. Найдем наименьшее общее кратное чисел 18 и
8: 18 = 32• 2 и 8 = 23; НОК (18, 8) = 32-23 = 72. Искомое наимень-
шее число оборотов есть частное:
72 : 18 = 4.
Ответ. 4 оборота.
Задача 2. Батарейка стоит 15 коп. У покупателя имеется
10 монет по 20 коп., а у продавца нет сдачи. Сколько можно
купить батареек без сдачи?
Каково наименьшее и наибольшее число батареек, которые
можно купить без сдачи на эти деньги?
Решение. У покупателя имеется 200 коп. Найдем наи-
меньшее число, которое будет одновременно делиться на 15 и
на 20, т. е. НОК (15, 20):
15 = 3-5 и 20 = 22 - 5; НОК (15, 20) = 22 • 5 • 3 = 60.
Найдем общие кратные чисел 15 и 20, из которых каждое не
больше 200. Эти числа: 60, 120 и 180.
Следовательно, покупатель может купить без сдачи 4 бата-
рейки (60 : 15), 8 батареек (120 : 15) и 12 батареек (180:15).
Наименьшее — 4 батарейки и наибольшее — 12 батареек. >
• УПРАЖНЕНИЯ
216. Из двух сцепляющихся зубчатых колес одно имеет 28, а
другое —16 зубцов. До начала движения мелом отмечены два
соприкасающихся зубца этих колес. Через сколько оборотов
того и другого колеса будут повторяться совпадения этих ме-
ток? (Рис. 51.)
217. Переднее колесо машины — 225 см, а заднее — 325 см.
Как велико наименьшее расстояние, которое должна проехать
машина, чтобы и переднее и заднее колесо обернулось целое
число раз?
218. На некоторую остановку прибыли одновременно трамвай,
автобус и троллейбус. Через сколько времени эти машины сно-
ва встретятся на этой остановке, если трамвай совершает рейс
за 1 час 30 мин., автобус — за 2 часа и троллейбус — за 1 час?
105
219. Турист проехал на велосипеде
в первый день 98 км, во второй —
70 км и в третий — 84 км. Сколько
часов затратил турист на весь мар-
шрут, если скорость движения в
1 час была одинакова и наиболь-
шая из возможных?
220. Каким числом — четным или не-
четным — выражается:
1) Сумма четного и нечетного
чисел? Сумма двух четных чисел? Привести примеры и дать
объяснение.
2) Произведение четного и нечетного чисел? Произведение
двух нечетных чисел?
221. Четным или нечетным числом будет сумма:
1) Если из трех слагаемых два — четные числа, а одно — не-
четное? Почему?
2) Если из 5 слагаемых четыре — нечетные числа, а пятое —
четное число? Почему?
П. Л. Чебышев.
И. М. Виноградов.
§ 32. КРАТКИЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
О ТЕОРИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
ф Математики многих стран начиная с времен
древней Греции стремились разгадать тайну — най-
ти закон распределения простых чисел. В решении
этого вопроса многое сделали математики нашей
страны. Гениальный математик Пафнутий Львович
Чебышев (1821—1894) открыл закон, устанав-
ливающий границу числа простых чисел в ряду на-
туральных чисел от 1 до заданного числа. П. Л. Че-
бышев доказал теорему о том, что «между любым
натуральным числом, большим 1, и его удвоением
всегда находится хотя бы одно простое число».
Пр и м е р ы. Между числом 2 и его удвоением
2 • 2 находится простое число 3; между числом 10 и
числом 10-2 находятся четыре простых числа: 11,
13, 17 и 19.
Член Петербургской Академии наук X. Гольд-
бах высказал догадку, что «любое натуральное чис-
ло, большее пяти, представляет сумму трех простых
чисел». Так, например:
9 = 24-2-4-5; 10=24-34-5 и т. д.
Почти 200 лет это положение не могли доказать
крупнейшие ученые всего мира. Но в 1937 г. наш со-
ветский ученый, академик, Герой Социалистического
Труда Иван Матвеевич Виноградов (родился в
1891 г.) доказал это положение для всякого достаточ-
но большого нечетного числа.
106
Зачетная работа № 2
Вариант /
1. Запишите законы сложения трех чисел при помощи букв.
2. Умножение 28 на 15 можно выполнить одним из следующих при-
емов:
а) 28 15=28 10+28.5;
б) 28 15=(28-5)-3 и
в) 28 - 15 = (28 : 2) • 30.
Напишите обоснование этих приемов.
3. Какие числа называются простыми числами? Составными? Какое
число натурального ряда не причисляется ни к простым, ни к состав-
ным числам?
4. Из данных цифр: 5, 4, 6 — написать два различных трехзначных
четных числа и указать, на какие числа делится каждое из них.
5*. 15 июля от одной пристани отправились три парохода. Первый
совершает рейс за 6 суток, второй — за 9 суток и третий — за 4 суток.
Определить ближайшую дату, когда от пристани в один день отпра-
вятся в новый рейс первый и третий пароходы; все три парохода.
6*. Выполните указанные действия:
43 130 100—1100 • (1010—304)—9695- 708.
7*. Кусок хлопчатобумажной материи длиной 45 м весит 3 кг 500 г.
С 1 га получается 300 кг хлопка-волокна, а из каждых 100 кг волок-
на выходит 84 кг ткани. Сколько метров ткани получается из хлопка,
собранного с 1 га?
8*. На XVII Олимпийских играх, состоявшихся в 1960 г. в г. Ри-
ме, наибольшее количество медалей получили спортсмены СССР,
США и Германии, всего 217 медалей. Спортсмены СССР получили на
32 медали больше, чем спортсмены США, а спортсмены США на 31
медаль больше, чем спортсмены Германии. Сколько медалей получи-
ла команда СССР?
9*. От пристани отправились одновременно пароход и катер по одно-
му направлению: первый — со скоростью 24 км в час, второй — со
скоростью 15 км в час. Через 3 часа пути пароход сел на мель. Про-
стояв некоторое время на мели, пароход двинулся дальше и через
7 час. нагнал катер. Сколько времени простоял пароход на мели?
10*. Подсчитано, что для получения 60 т томатов с 1 га земли требу-
ется для полива их около 4000 куб. м воды. Скольким миллиметрам
атмосферных осадков соответствует указанное количество воды?
Вариант И
1. Запишите правило округления чисел и приведите несколько при-
меров.
2. Каким числом (четным или нечетным) будет сумма семи слагае-
мых : а) если четыре слагаемых — четные числа, а остальные — не-
четные ; б) если три слагаемых — четные числа, а остальные — не-
четные? Пояснить на примерах.
3. Что значит разложить число на простые множители?
4. Из цифр 1, 4, 5, 0, 6 составить два различных трехзначных числа,
которые одновременно делились бы и на 2, и на 3. На какие другие
числа будут делиться составленные вами трехзначные числа?
5*. Три автобуса отправляются с конечной станции по разным мар-
шрутам. Первый автобус совершает рейс за 1 час, второй — за 1 час
15 мин., третий — за 2 часа. В первый рейс они отправились в 5 час.
утра. Через какое наименьшее время они вновь встретятся на конеч-
ной станции?
107
6*. Выполните указанные действия:
(5500—314 127 : 627) • (200 000—199 698—270 122 : 1031).
7*. Станок-автомат обрабатывает в минуту 15 шурупов, а усовершен-
ствованный рабочий станок обрабатывает на 30 шурупов в минуту
больше. За сколько времени станок-автомат обработает то количест-
во шурупов, которое второй станок обработал за 2 часа 30 мин.?
8*. По переписи 1959 года население СССР составляло 208 800 000 че-
ловек, при этом сельского населения было на 8 800 000 больше, чем
городского. Сколько человек проживало в городах Советского Союза?
9*. Ученики собрали и сдали в утиль 32 г бумажной макулатуры.
Сколько новых тетрадей может быть изготовлено из этой макулату-
ры, если при переработке каждых 100 кг макулатуры получается
75 кг чистой бумаги, а каждые 10 тетрадей весят 320 г?
10*. Из Москвы в 6 час. утра вылетел в Красноярск самолет АН-10
со скоростью 600 км в час. Через 1 час вслед за ним вылетел само-
лет ТУ-104 со скоростью 800 км в час. В котором часу он нагонит
первый самолет и на каком расстоянии от Москвы?
ЧАСТЬ
ВТОРАЯ
ДРОБНЫЕ ЧИСЛА
глава IV ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ
§ 33. ПОНЯТИЕ ДРОБИ
Возникновение дробей. В своей трудовой деятельности нам
часто приходится пересчитывать предметы, например пар-
ты в нашем классе, яблони в саду, коров в стаде, самолеты в
небе и т. д. Считая предметы, мы уверены, что нам для счета
никаких других чисел, кроме натуральных, не потребуется.
Но если мы хотим измерить длину предмета с помощью опре-
деленной единицы измерения, то может оказаться, что эта
длина содержит целое число единиц да еще какую-то часть
единицы.
Для измерения этой части длины требуются какие-то дру-
гие числа, отличные от натуральных чисел. Такое же положе-
ние может возникнуть при измерении веса, при измерении вре-
мени, вообще при измерении величин.
Значит, для того чтобы измерение величин было всегда воз-
можно, необходимо ввести в употребление числа, отличные от
натуральных.
Необходимость введения чисел, отличных от натуральных,
возникает и при делении единицы на равные части. Например,
одно яблоко надо разделить поровну между тремя мальчиками.
Эта задача приводит к решению: 1:3. Результат этого деле-
ния — новое, не натуральное, а дробное число. Записывают его
1
так: — .
з
Если бы потребовалось поровну разделить 2 яблока между
тремя мальчиками, т. е. решить пример 2:3, то мы могли бы
сделать это так: каждое яблоко разрезать на 3 равные части;
тогда в двух яблоках будет 6 таких частей, и, следовательно,
каждый мальчик получит 2 такие части.
Определение дроби. Запись дроби. Если мы разделим 1
на натуральное число, то мы получим части единицы, иначе
называемые долями единицы.
Примечание
За единицу можно принять любую из величин; например: величину
круга, сутки, 1 м, длину пути и т. д.
109
Одна или несколько равных долей
единицы называется дробью или дроб-
ным числом.
Дробь записывают с помощью двух
натуральных чисел и горизонтальной
черты. Одно натуральное число пишут
над чертой, а другое — под чертой. На-
а 3
пример, дробь — читается «три седь-
мых» и означает, что единица разделена
на 7 равных долей (частей) и взяты 3
такие доли.
Число, стоящее над чертой, называ-
ется числителем дроби, а число, стоящее
под чертой, называется знаменателем
дроби.
3 — числитель дроби; рис 54.
7 — знаменатель дроби.
Знаменатель дроби показывает, на сколько равных долей
разделена единица, а числитель — сколько этих долей в данной
дроби. Числитель и знаменатель дроби называются членами
дроби.
На рисунке 54 изображены круги, каждый из которых раз-
1 1
делен на равные части и в каждом из них выделены: — ; —;
2. о
4 ’ 8 ’
Примеры. 1) Сутки содержат 24 часа, 1 час составляет
1 _ 5
— суток, 5 час. составляют — суток и т. д.
2) Вес пяти булочек равен 1 кг. Вес одной булочки состав-
1 - з
ляет — кг, трех булочек----кг и т. д.
5 5
Вопросы для самопроверки
1. Причины возникновения дробных чисел.
2. Что такое дробное число, или дробь?
3. Что показывает знаменатель дроби? Числитель дроби?
• УПРАЖНЕНИЯ
,,, ,, тт , 1 3 4 17 60
122. 1) Прочитать дроби: — и указать числитель
3 о 7 18 60
и знаменатель каждой дроби.
2) Прочитать дроби: i; — и назвать члены дроби.
223. 1) Запишите, какую долю прямоугольника составляет за-
штрихованная часть.
но
2) Сколько долей прямоугольника со-
ставляет незаштрихованная часть? За-
пишите. (Рис. 55.)
224. 1) Отрезок AF (рис. 56) разделен на 5
равных частей: АВ, ВС, CD, DE и EF.
Какую часть всей длины отрезка AF со-
ставляет каждый из отрезков: АВ, АС,
AF, AD и АЕ?
Запишите эти части.
2) Начертите отрезок прямой длиной
1 дм. Разделите его на 4 равные части,
обозначьте точки деления буквами и за-
А В С О Е F
1111 -ы
Рис. 56.
пишите отрезок, равный половине всего
отрезка; равный трем четвертям от-
резка.
225. (Устно.) 1) Какую долю часа составля-
ет: 1 минута? 1 секунда?
2) Какую долю метра составляет: 1 дециметр? 1 сантиметр?
1 миллиметр?
226. 1) Выразить в метрах: 1 мм; 11 см; 2 дм; 7 дм.
2) Выразить в тоннах: 1 кг; 15 кг; 253 кг; 1г; 120 г.
227. 1) Сколько минут содержат: часа? ~ часа? часа?
1 112
2) Сколько сантиметров содержат: — м2 — ж? — м2 -- м1
2 5 25 5
228. (Устно.) Турист прошел некоторый путь за 4 дня, прохо-
дя в день одно и то же расстояние. Какую часть всего расстоя-
ния он прошел за 1 день? За 2 дня? За 3 дня?
229. (Устно.) Рабочий-земплекоп, копая вручную, работает ежеднев-
но по 7 час. За 10 дней он сможет вырыть канаву такой же
длины, как канавокопатель (машина) за 2 часа. Какую часть
всей длины канавы сможет отрыть за 1 час рабочий? Канаво-
копатель?
230. (Устно.) Расстояние между двумя городами лошадь может
пройти за 20 суток, находясь в движении ежедневно по 10 час.,
а самолет пролетит это расстояние за 2 часа. На какую часть
всего расстояния переместится за 1 час лошадь? Самолет?
231. (Устно.) После осушения болота пахотные земли колхоза
увеличились на своей величины. Какую часть пахотных зе-
мель колхоза составляет теперь осушенный участок? (Рис. 57.)
Рис. 57.
111
Рис. 58.
232. (Устно.) Колхоз посадил фруктовый сад на ~ площади сво-
их пахотных земель. Какую часть оставшейся площади пахот-
ных земель колхоза составляет площадь фруктового сада?
233. 1) С помощью линейки измерьте длину и ширину тетради.
Результаты измерений запишите, выразив их в сантиметрах.
2) Измерьте длину и ширину переплета данной книги (учеб-
ника). Результаты запишите, выразив их в сантиметрах.
234. Толщина пяти витков проволоки равна 1 мм. Найти толщи-
ну проволоки (рис. 58).
Примечание
На рисунке показано, как, используя лупу (увеличительное стекло), на-
ходят толщину пяти витков проволоки.
235. Шесть мальчиков поймали 5 кг рыбы и разделили ее поров-
ну. Сколько рыбы досталось каждому мальчику?
236. Лес занимает площадь в 5 га. Он разбит на восемь равных
участков. Какую часть всей площади занимает каждый уча-
сток? Какую часть гектара занимает каждый участок?
§ 34. ПРАВИЛЬНЫЕ И НЕПРАВИЛЬНЫЕ ДРОБИ.
СМЕШАННОЕ ЧИСЛО
Виды
5
6
дробей. Допустим, что первый тракторист выполнил
своего плана,
- 6 7
второй — — своего и третий------. Эти дроби
6 6
шшт 1
показывают, что первый
полнил всего плана, так
рой уже выполнил план,
пока еще не вы-
5 'л
как — <1, вто-
6
6 ,
так как — =1, а
6
шшм
Рис. 59.
у
третий перевыполнил план, так как — >1,
что и видно на рисунке 59. Различают пра-
вильные и неправильные дроби.
Правильной дробью называется дробь,
у которой числитель меньше знаменателя.
112
_ - 3 10 1 75 ,
Дроби ----правильные дроби. Так как числи-
4 13 5 77
тель правильной дроби меньше знаменателя, то правильная
дробь является частью единицы, и, следовательно, она меньше
единицы.
Неправильной дробью называется дробь, у которой числи-
тель равен знаменателю или больше его.
тт - 6 6 11 104 55 „ тг
Дроби— ; — ; — ; — ; — — неправильные дроби. Легко ви-
5 6 8 91 55
деть, что неправильная дробь равна 1 или больше 1.
Иногда при измерении величин и при делении натуральных
чисел получаются натуральные числа и правильные дроби.
Например, измеряя длину комнаты метром, мы получили
6 —м или, разделив 15 на 4, получили 3 в частном и 3 в остат-
2 л
ке, или, иначе: 15:4 = 34—=3—.Мы видим, что числа 6—иЗ—
4 4 2 4
л п , 3 з ..
г?, _ ?
4 4 ...
являются соединением натуральных чисел и дроби.
.Смешанным числом называется сумма натурального
и дроби, записанная без знака сложения.
числа
• УПРАЖНЕНИЯ
237. 1) (Устно.) Какая дробь получится, если единицу разде-
лить на 5 равных частей и полученную долю взять 4 раза?
Как называется полученная дробь?
2) Какая дробь получится, если единицу разделить на 4 рав-
ные части и полученную долю взять 5 раз? Как называется
полученная дробь?
238. 1) Прочитайте и выпишите отдельно правильные дроби и не-
правильные дроби из следующего ряда чисел:
2_.jL._4.JL-60.72.39
3 ’ 3 ’ 9 ’ 3 ’ 60 ’ 69 ’ 39 '
2) Напишите по три примера правильных и неправильных дро-
бей.
т, 7 11 6 21 17 43 84 66 -
239. Какие из чисел: — ; —; —; — ; —; — ; —;----больше
9 8 5 22 19 75 41 71
1? Меньше 1?
240. 1) Напишите все неправильные дроби с числителем 6.
2) Напишите все правильные дроби со знаменателем 7.
241. 1) Из чисел 1, 3, 5, 6, 12 составить несколько правильных
дробей.
2) Из чисел 1, 5, 8, 15, 17 составить несколько неправильных
дробей.
242. 1) Написать наибольшую правильную дробь со знаменате-
лем 8; со знаменателем 20; со знаменателем 2.
2,) Написать наименьшую неправильную дробь со знаменателем
10; со знаменателем 18; со знаменателем 2.
из
243. Записать длину отрезка, в котором уложилось: две целых и
три четвертых метра; пятнадцать целых и семь восьмых мет-
ра, двадцать три целых и пять сотых метра.
Деление натуральных чисел. Представление натурального
числа в виде дроби. Введение дробей позволяет нам выполнять
деление натуральных чисел во всех случаях.
Например, требуется найти результат 53:8. Производя де-
ление, получим в частном бив остатке 5. Этот результат мы
можем записать:
6+ - = 6- .
8 8
Значит, всякое дробное число можно рассматривать как ча-
стное от деления числителя на знаменатель.
§
Дробь —есть частное от деления 5 на 11.
Если делимое (числитель) делится нацело на делитель (зна-
менатель), то получится натуральное число:
А =6; 8 = 2; — =5; — =25.
14 5 4
Читая равенства справа налево, получим, что
„ 6 _ 8 к 25 100
о= — ; 2 = — ; 5= — ; 25 = — ,
1 4 5 4
т. е. любое натуральное число мы можем представить в виде
обыкновенной дроби с любым знаменателем, кроме нуля.
В общем виде это свойство чисел можно записать с помощью
букв (формулы):
ап
а—
п
где а и п — натуральные числа.
♦ Чтобы представить натуральное число а в виде дроби с дан-
ным знаменателем (п), надо данный знаменатель п умножить на
натуральное число а и это произведение сделать числителем, а
знаменателем взять данный знаменатель.
Пр и м е р. Представить 7 дробью со знаменателем 8. Для
этого находим произведение 7 • 8 и принимаем это произведение
за числитель. Запись этого преобразования:
7-8 _ 56
~~ 8 ~ 8 '
Так как деление на нуль не имеет смысла, то нуль никогда
не может быть знаменателем дроби.
• УПРАЖНЕНИЯ
244. (Устно.) Сколько шестых долей в одной единице? В трех еди-
ницах? В десяти единицах?
114
245. Выразить единицу в девятых долях. Сколько девятых долей
в двух единицах? В шести единицах? В п единицах?
246. 1) Представить число 2 в виде дробей со знаменателями:
3, 5, 6.
2) Представить число 9 в виде дробей со знаменателями:
1, 2, 4, 7, 9.
Исключение целого числа из неправильной дроби и
представление смешанного числа в виде неправильной дроби
Мы знаем, что неправильная дробь больше единицы. Во
многих случаях из полученной неправильной дроби бывает не-
обходимо исключить целое число.
Так как дробь является частным от деления ее числителя
„ 15
на знаменатель, то для исключения целого числа из дроби —
4
надо 15 разделить на 4. Получим в частном 3 и в остатке 3.
Это записывают так:
£5 =з+^=з1.
4 4 4
Поясним на рисунке 60. 15 четвертей круга составляют 3
целых круга и еще 3 четверти круга.
Чтобы представить неправильную дробь в виде смешанного
числа, надо числитель разделить на знаменатель; частное от
этого деления дает число целых, а остаток — число долей дро-
би смешанного числа.
Это преобразование записывают так:
65 _п 2 . 101 _Ц 2 . 317 _1О 17
7 7 9 9 25 25
Если при делении числителя на знаме-
натель получится остаток, равный нулю,
то неправильная дробь представляет собой {_____\
натуральное число, например: Г I
I5 =5; 84 = 7.
9 12 / \
Если числитель и знаменатель имеют J
общий делитель, то перед исключением f
целого числа надо члены дроби разделить (_______
на этот делитель, например: Г [
36 6 =11
30 ~ 5 5
И 34
Иногда приходится заменять смешан-
ное число неправильной дробью. Рис. 60
115
4
7
г, „5
Пусть надо смешанное число 3— предста-
6
вить в виде неправильной дроби. Это значит,
надо узнать, сколько шестых долей содержит-
ся в трех целых единицах вместе с пятью
шестыми долями такой же единицы. В одной
единице содержится шесть шестых долей, а в
трех единицах их будет 6 • 3, т. е. 18 долей.
В трех единицах вместе с пятью шестыми
окажется 18 + 5, т. е. 23 доли.
5 23
Следовательно, 3 — = — . Обычно это преобразование записы-
6 6
Рис. 61.
вают так:
2
3
7
15 8
34+2 14
- 3 ’
127
8
3
8-15+7
8
Чтобы смешанное число представить в виде неправильной
дроби, надо знаменатель дроби умножить на целое число и к
полученному произведению прибавить числитель. Полученная
сумма будет числителем неправильной дроби, а знаменатель
берется прежний.
Вывод этого правила поясняется рисунком 61.
Вопросы для самопроверки
1. Как называют дробь меньшую, чем 1? Равную 1? Большую, чем 1?
2. Какое число называется смешанным числом?
3. Как натуральное число представить в виде дроби? Привести при-
меры.
4. Как неправильную дробь представить в виде смешанного числа?
• УПРАЖНЕНИЯ
247. Записать в виде смешанных чисел следующие частные:
13:3; 27:5; 57:8; 94:8; 116:12; 228:23.
248. Представить неправильные дроби в виде смешанных чисел:
3 2* 7 15 з: б’ 47 9’ 56 ю: 75 100 12’ 21 1 458 51 ’
249. Исключить целые числа из следующих дробей:
5 15 20 50 70 125 145 1201
• • • • > ’ « 11 - • . 1 .4.
3’ 7’ 6’ 12’ 14' 12 ’ 36 ’ 55 ‘
250. 1) На рисунке 62, иллюстрирующем исключение целого чис-
ла из неправильной дроби, покажите отрезки, представляющие
правильную дробь и смешанное число.
116
Постройте отрезки, иллюстрирующие
, 7
исключение целого числа из дроби — ,
4
2) На рисунке 63 показано представление
смешанного числа в виде неправильной
дроби. Найдите отрезки, представляющие
смешанное число, неправильную и пра-
вильную дроби. Постройте отрезки, иллю-
стрирующие представление смешанного
-1 2 й
числа 1 — в виде неправильной дроби.
3
251. Представить смешанные числа в виде
неправильных дробей:
1 2
23-;
2 5
3
7’
2
60—;
11
----Hl}
Рис. 62.
4-+-! 1|
Рис. 63.
252. Три мальчика поймали вместе 7 кг рыбы
и весь улов разделили поровну. Сколько
килограммов рыбы досталось каждому?
§ 35. ЧИСЛОВОЙ ЛУЧ. СРАВНЕНИЕ ДРОБЕЙ
Числовой луч. Для того чтобы лучше понять арифметические пре-
образования, полезно прибегать к иллюстрациям с помощью
отрезков и числового луча.
Мы знаем, что если на луче отложить вправо равные от-
резки и обозначить концы отрезков последовательно натураль-
ными числами, начиная с 1, то получим числовой луч
(рис. 64).
I----------1-----------1-----------1----------------э»*-
о ) 2 3
Рис. 64.
♦ Так как концы отрезков соответствуют натуральным числам
1; 2; 3; 4; можно предположить, что точки луча, соответ-
ствующие дробным числам, будут находиться между точками,
соответствующими натуральным числам.
Пример. Чтобы найти точку, соответствующую дробному
2
числу 2—, разделим отрезок, концы которого соответствуют
3
числам 2 и 3, на 3 равные части и возьмем точку, отстоящую
от 2 справа на расстоянии двух третьих единицы. Точка С и
2
будет точкой, соответствующей числу 2— . (Рис. 65.)
117
I------1------1—, I
о 1 2 2| 3
Рис. 65.
2 3
Рис. 66.
Рассуждая аналогично, мы можем построить точку, соот-
ветствующую любому заданному дробному числу.
♦ На числовом луче правильным дробям соответствуют точки,
находящиеся между отметками 0 и 1 (рис. 66), а неправильным
дробям соответствуют точка 1 и точки, расположенные вправо
от точки 1.
• УПРАЖНЕНИЯ
253. 1) Нарисуйте в тетрадях числовой луч и отметьте на нем
точки, соответствующие числам: 1; 2; 3; ; 12.
2) Отметьте на этом же числовом луче точки, соответствующие
13 113 1 1
числам: — 1-; з—, 5-; 10—, и-.
2 4 2 3 4 2 8
254. 1) Нарисуйте числовой луч и отметьте на нем точки, соответ-
1 з 4 т,
ствующие числам —; —; —. Какие точки на числовом луче от-
5 5 5
стоят дальше от начала луча? Какая из данных дробей наи-
большая?
2) На числовом луче отметьте точки, соответствующие числам:
2—; 3—. Какое из этих чисел больше? Как расположены эти
3 2
точки в отношении начала луча?
Сравнение дробей по величине. Сравним дроби с одинаковыми
знаменателями. Рассмотрим задачу: «Первая школьная брига-
7
да имеет опытный участок в — га, а вторая — участок в
9
— га. Какая бригада имеет больший участок?»
Легко видеть, что вторая бригада имеет участок больший,
9
чем первая, так как дробь — имеет 9 десятых долей, а дробь
7
— имеет 7 таких же долей.
Из двух дробей, имеющих одинаковые знаменатели, та больше,
у которой числитель больше.
118
Сравним дроби с одинаковыми числителями. Рассмотрим
3
задачу: «Колхоз засеял — всей своей пахотной площади зер-
5
g
новыми и — всей площади бобовыми культурами. Какими
8
культурами засеяна большая площадь? »
3 3
Нетрудно видеть, что дробь — больше дроби — , так как
5 8
число долей в этих дробях одинаковое (3), но доли, выражае-
мые первой дробью, крупнее, чем второй.
Из двух дробей, имеющих одинаковые числители, та больше, у
которой знаменатель меньше.
Вопросы для самопроверки
1. Расскажите о числовом луче.
2. Между какими точками находятся точки, соответствующие пра-
вильным дробям? Дробным числам, больших 2, но меньших 3?
3. Какая из двух дробей, имеющих равные знаменатели, больше?
4. Какая из двух дробей, имеющих равные числители, меньше?
• УПРАЖНЕНИЯ
255. (Устно.) Что больше и почему:
2 з „ 17 11 „ 11 13о
- кг или - кг? _ га или — га" — или —?
5 5 18 18 20 20
256. 1) Расположить дроби в порядке возрастания их величины:
6 £ 9 1 17 £
23’ 23’ 23’ 23’ 23’ 23'
2) Расположить дроби в порядке убывания их величины:
21 16 14 25 6 13 37’ 37’ 37’ 37’ 37’ 37’ 2 37’ 5 37'
257. (Устно.) Что больше и почему:
7 7 „ 3 3 — км или — км" - га или - га? 1- г ИЛИ 1— т ?
10 15 5 7 8 10
258. Расположить в порядке возрастающей величины дроби:
5 5 5 5 5
10’ 21’ 6’ 128’ 142’
259. Объяснить с помощью рисунка, почему: 1 )-->--? 2) — <—?
о 7 7 7
260. Реактивный самолет пролетает расстояние между двумя го-
родами за 5 час., а обычный — за 15 час. Какую часть расстоя-
ния между городами каждый из этих самолетов пролетит за
119
3 1
/''8'Л 2
I I I 'M--------1
5 1
I I I I I -H--4!—I
3 часа? Кто пролетит больше? Изобразите
решение на числовом луче.
261. Опытный рабочий может выполнить оп-
ределенную работу за 4 часа, а начинаю-
щий рабочий ту же работу выполнит за
6 час. Какую часть этой работы выполнит
каждый рабочий за 3 часа? Кто сделает
больше? Изобразите решение на числовом
луче.
3 6 2
262. Даны дроби: Изобразите каж-
Рис. 67.
дую из них графически, разделив единицу
на 12 равных частей (или 12 клеточек). Ка-
кая из этих дробей больше?
2) Какая дробь больше: - или — ? i или -?
’ н 4 8 2 3
263. 1) Сравните по величине с — дроби, изображенные на рисун-
ке 67. Запишите их в порядке убывающей величины.
14 5
2) Запишите дроби: —; —;--в порядке возрастающей вели-
чины.
Нейтральная работа по § 33—35
1. Составьте две задачи, при решении которых возникают дроби. (Од-
на задача на измерение величин и другая — на деление.)
2. Как короче записать суммы:
12 5
3 + г- 5 + 7 + о?
4 о о
3. Изобразите на числовом луче числа:
Какое из данных чисел наибольшее? Где относительно начала
луча и других чисел расположилось самое большое из данных чисел?
Самое малое?
4. Представьте число 5 в виде дробей со знаменателями 1, 2, 3, 6,
9, 15.
5. Представьте смешанное число в виде неправильной дроби:
5 3
2-; 8-;
9 4
15з~
Проверьте правильность выполнения задания.
6. Что больше и почему:
9
или — ?
11
— или
15
5 6
2 —или 2—?
7 7
9
10
18
120
§ 36. ИЗМЕНЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ДРОБИ
С ИЗМЕНЕНИЕМ ЕЕ ЧЛЕНОВ
Один отрезок равен — дм, а другой — — дм. Какой отрезок
больше? Так как в обеих дробях знаменатель один и тот же, а
числитель первой дроби (8) в 2 раза больше числителя второй
(4), то и первая дробь в 2 раза больше второй.
2
Возьмем какую-нибудь дробь, например—, и увеличим ее
числитель в несколько раз, например в 2 раза, оставив без из-
4
менения знаменатель. Сравнивая полученную дробь — с перво-
начальной —, видим, что она
содержит в 2 раза больше долей.
2
Следовательно, дробь — при увеличении ее числителя в 2 раза
также увеличилась в 2 раза. Это рассуждение применимо к
любой дроби и ко всякому увеличению ее числителя в несколь-
ко раз.
Если уменьшить числитель дроби | в 4 раза, получим дробь
—, меньшую, чем дробь —, в 4 раза, так как число долей в ней
9 9
будет в 4 раза меньше. Отсюда получаем правило:
Чтобы увеличить (уменьшить) дробь в несколько раз, до-
статочно увеличить (уменьшить) ее числитель во столько же
раз.
Если мы разделим какую-нибудь долю, например на 2, 3,
4, 5 и т. д. равных частей, то получим более мелкие доли той
же единицы. А именно при делении на 2 — четвертые доли, при
делении на 3 — шестые доли и т. д. Другими словами, если
_ 1
взять какую-нибудь дробь, например —, и увеличить ее знаме-
натель в 2, 3, 4 и т. д. раз, сохранив числитель без изменения,
то получим дроби, меньшие первоначальной в 2, 3, 4 и т. д.
раз. Это рассуждение применимо к любой дроби и ко всякому
увеличению ее знаменателя в несколько раз.
Если же, сохранив без изменения числитель дроби, умень-
шив знаменатель в несколько раз, то дробь увеличится во
столько же раз, так как мы доли делаем более крупными. На-
5
пример, уменьшение знаменателя дроби ~ в 2 раза дает дробь
5
—, содержащую вместо пяти двенадцатых долей столько же (5)
6
более крупных шестых долей, каждая из которых в 2 раза
больше, чем двенадцатая.
121
Чтобы уменьшить (увеличить) дробь в несколько раз, доста-
точно увеличить (уменьшить) ее знаменатель во столько же раз.
Числитель и знаменатель дроби не всегда делятся нацело на
натуральное число, а потому для изменения дроби в несколько
раз лучше пользоваться следующим правилом:
Чтобы увеличить дробь в несколько раз, достаточно уве-
личить во столько же раз ее числитель, а чтобы умень-
шить дробь в несколько раз, достаточно увеличить в
то же число раз ее знаменатель.
з
Примеры. Увеличить дробь — в 2 раза.
Увеличить дробь в 2 раза можно двумя способами: увели-
чив числитель в 2 раза или уменьшив знаменатель в 2 раза.
Второй способ в данном случае невыполним, а первый спо-
соб всегда выполним.
g
Рассуждая так же, видим, что уменьшить дробь — в 3 раза
мы можем, увеличив ее знаменатель в 3 раза.
Вопросы для самопроверки
1. Что будет с величиной дроби, если, оставляя неизменным ее зна-
менатель, числитель увеличим в 2 раза? В 5 раз? В 200 раз?
В п раз?
2. Что будет с величиной дроби, если, оставляя неизменным ее чис-
литель, знаменатель увеличить в 3 раза? В 10 раз? В п раз? 2
• УПРАЖНЕНИЯ
264. (Устно.) На рисунке 68 изображены три дроби:
2 ’ 181 । । f । । г 1. 3. 5. Как получить дробь
. 8*8’ 8 5 1 — из дроби — 8 8 получить дробь дроби — ? 8 ? Как 3 — из 8
V 3 / / б 8 Рис. 68. -1 Какая дробь больше?
265. 1) Увеличить в 2 раза каждую из данных дробей:
2 2 з _5 £ _1
4’ 3’ 5’ 11: 13: 15'
2) Написать числа, в 3 раза большие каждой из данных дро-
бей:
1 1 2 4 15 7
3’ 7’ 5’ 11’ 22’ 17'
122
266. (Устно.) Во сколько раз каждая из дро-
бей:
4 6 10 16 й 2 .
—; —; —;-------бОЛЬШв Дроби — ?
19 19 19 19 19
267. (Устно.) Три равных отрезка разделены:
один на 2, другой на 6, третий на 12 рав-
ных частей. Используя рисунок 69, ответь-
те на следующие вопросы:
и 1 - 1, 1
1) Во сколько раз - больше -? - больше — ?
2 6 2 12
1 - 1,
- больше —?
6 12
2) Какие доли крупнее:
Рис. 69,
268. Увеличить каждую дробь двумя способами:
1 о б . 2 1 п 2 _
— в 6 раз; — в 4 раза; — в 17 раз; 1- в 2 раза; 2 - в 7 раз.
269. Выполнить преобразование наиболее удобным способом:
раз;
5
6
270.
4
£
’ 13’
272.
6
16 . 28 - 3 „ 1 _
уменьшить — в 4 раза; — в 7 раз; 3- в 6 раз; 7- в 5
„ 2 о
в 2 раза; 1- в Зраза.
3
Во сколько раз надо увеличить: а) — , чтобы получить
20
4 4 1
б)£^> чтобы получить — ? в) 1—, чтобы получить 3?
271. Как изменится величина каждой из дробей:
15 „„
— , если числители заменить единицей?
23
(Устно.) Каждую из следующих дробей увеличить сначала в
раз, а затем полученный результат уменьшить в 7 раз:
2 35 14 21 42 84
12’ 42’ 18’ 36’ 72’ 96*
3
273. Один рабочий выполнил — всей работы, а другой — в 6 раз
4
меньше. Какую часть всей работы выполнил второй рабочий?
274. Самолет пролетает расстояние между двумя городами за 4
часа. Какую часть этого расстояния он пролетит за 1 час? За
часа? За -- часа?
123
275. Через одну трубу за 3 часа наполняется— бассейна, через
другую трубу за 5 час. наполняется — бассейна. Через какую
4
трубу за 1 час вливается воды больше?
276. (Устно.) 1) Числитель дроби увеличили вдвое. Как нужно из-
менить знаменатель, чтобы величина дроби осталась прежней?
2) Знаменатель дроби уменьшили в 3 раза. Как нужно изме-
нить числитель, чтобы величина дроби осталась прежней.
277. В следующих равенствах вместо х поставить такое число,
чтобы новая дробь была равна данной:
1) 2 _ х 2) £ _ А. 3) 5 _ 80
3 ~ 9 ’ 5 - 10’ х ~ 36’
4) 15 _ х_ 5) 84 _ 12 6) 125 _ 5
25 5 ’ 91 х ’ х 3"
§ 37. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДРОБИ. СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ
Мы рассмотрели изменение дроби при увеличении или
уменьшении ее членов порознь друг от друга. Как же изменит-
ся величина дроби, если одновременно увеличить или умень-
шить ее члены в одно и то же число раз? На рисунке 70 изо-
бражены дроби — и — .
з 6
2
ct--i---f—Но
4
AI I ! I I -1—|в
Рис. 70.
Отрезок AB, равный CD, разделен на 6 равных частей, а от-
резок CD — на 3 равные части. Отрезок AF, изображающий
4 2
дробь —, равен отрезку СК, который изображает дробь — .
6 з
Так как отрезки равны, то и числа, им соответствующие,
2 4 _
также равны, т. е. — = —. Следовательно, если мы уменьшим
з 6
числитель и знаменатель в одно и то же число раз, то полу-
чим дробь, равную первоначальной. К этому выводу можно
прийти и в результате такого рассуждения: если мы увеличим
2
числитель дроби —в 2 раза, то дробь увеличится в 2 раза, а
3
если мы увеличим знаменатель в 2 раза, то дробь уменьшится
в 2 раза. Получим, что дробь вначале увеличилась в 2 раза, а
затем уменьшилась в 2 раза, т. е. величина дроби осталась не-
изменной.
124
Величина дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель
умножить (или разделить) на одно и то же число, не равное нулю.
Эту особенность дроби называют основным свойством дроби.
Примеры.
1 _ Л. L _ I?. 45 _ 1
2 “ 16’ 5 “ 30’ 90 “ 2 ’
24 2 3 __6 _2_
36 “ 3 ’ 5 “ 10 = 15 = 20 = 25'
В общем виде (с помощью букв) это свойство дроби можно
записать так:
а ат
b Ьт
где а, Ъ и т — натуральные числа.
Это свойство находит применение при различных преобра-
зованиях дробей, и в первую очередь при упрощении внешнего
вида дробей.
Если числитель и знаменатель дроби делятся на одно и то
же число, то, разделив члены дроби на это число, мы получим
дробь с меньшим числителем и знаменателем. Например, дробь
18 - ~ 9 6 з „
— можно преобразовать в дроби: —, —, —. Из всех этих дро-
бей, имеющих одну и ту же величину, наиболее простой вид
, 3
имеет дробь —.
Преобразование дроби в равную ей дробь путем деления
числителя и знаменателя на одно и то же число называется
сокращением дроби.
Сокращать дробь можно лишь тогда, когда ее члены имеют
общий делитель, отличный от 1. (Деление на 1 не меняет вида
числа.)
Сокращение дроби проводят: 1) либо постепенно, записывая
полученные дроби, получающиеся при делении на простые
числа; 2) либо сразу, деля числитель и знаменатель на наи-
больший общий делитель членов дроби.
Пример. Сократить дробь
, „ _ 48 24 12 4
1-и способ. -
60 30 15 5
2-й способ. Подбираем наибольший общий делитель чле-
нов дроби. Он равен 12.
Разделим на 12 числитель и знаменатель дроби. Получим:
48 1
60 ~ 5’
125
Если члены дроби имеют общий делитель 1, т. е. они взаим-
но простые числа, то такая дробь называется несократимой.
тт 2 5 21
Например: —; —; — и т. д.
3 18 22
£
Всякая дробь является либо несократимой (например, —),
либо ее можно привести к несократимой (например, — = —).
Сокращение дроби считается законченным, если в результа-
те сокращения получилась несократимая дробь. Иногда быва-
ет нелегко решить вопрос о том, сократима ли данная дробь,
и если сократима, то на сколько. Так, например, сразу не вид-
195
но, что дробь— сократима. В этом случае, разложим один
из членов дроби на простые множители и получим 195 = 3 • 5 • 13.
Второй член дроби не делится на простые числа 3, 5, а делится
только на 13. Следовательно, дробь — можно сократить только
на 13:
195 _ 15
221 ~ 17'
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте основное свойство дроби.
2. Что значит сократить дробь? На каком свойстве дроби основано
сокращение?
3. Какая дробь называется несократимой?
4. Какими способами можно сократить дробь?
• УПРАЖНЕНИЯ
5
278. (Устно.) Числитель дроби — умножили на 3. Как надо изме-
6
нить знаменатель, чтобы величина дроби осталась прежней?
2
279. Заменить дробь — дробями, равными ей по величине, с чис-
з
лителями 6, 16, 18, 48.
1 3
280. Написать три дроби, каждая из которых равна: — ; — ;
2 4
5
8
2 5 7
281. Выразить каждую из дробей: — ; — ; — — в долях, в 3
3 о 12
раза меньших, чем у данной дроби.
282. Выразить в более крупных долях дроби:
!) 6 21 40 34 50
10 ’ 28 ’ 50 ’ 51 ’ 75'
2) 4 10 14 28 56
8 ’ 15 ’ 35 ’ 36 ’ 64'
126
283. Сократить дроби:
2 £ 1 Л
4 ’ 10 ’ 9 ’ 15 ’
28 150 500
40 ' 200 ’ 750’
284. Сократить дроби:
17'3-9 19 8 3 11
6-51-15’ 22.4-20-19’
49-77-56.100
33-70-42-280
8 20 24
16 ’ 24 36 ’
1513-6
6-9'5-2б’
285. 1) Какую часть часа составляют: 5 мин.;
10 мин.; 30 мин.; 25 мин.? Ответы выразить
несократимой дробью. (Рис. 71.)
2) Какую часть метра составляют: 10 см;
25 см', 48 см', 64 смЧ
ТЯЬ. 1) Какую часть составляет наибольшее
двузначное число от наибольшего четырех-
значного числа?
2) Какую часть составляет произведение чи-
сел 7 и 11 от наименьшего четырехзначного
нечетного числа?
287. Совхоз засеял рожью 5100 га земли, а
пшеницей 8500 га. Какую часть пашни, за-
сеянной пшеницей, составляет пашня, засеян-
ная рожью? Какую часть земли, засеянной
рожью и пшеницей, составляет пашня, засе-
янная рожью?
Рис. 71.
Рис. 72.
288. 1) Какая часть суток прошла, если теперь 8 час. утра? Если
теперь 14 час. 40 мин.? (Рис. 72.)
2) Какой части суток равен промежуток времени от 10 час. до
19 час. 36 мин.?
289. Два колхоза за постройку моста уплатили 18 600 руб.,
причем первый колхоз уплатил на 3100 руб. больше второго.
Какую часть взноса первого колхоза составляет взнос второго
колхоза?
§ 38. ПРИВЕДЕНИЕ ДРОБЕЙ К НАИМЕНЬШЕМУ ОБЩЕМУ
ЗНАМЕНАТЕЛЮ
♦ Для выполнения действий сложения и вычитания дробей, а
также и для сравнения дробей нам придется преобразовывать
дроби так, чтобы они имели общий и притом наименьший зна-
менатель.
127
Пусть нам надо узнать, какая из данных дробей - и боль-
15 12
ше. Для того чтобы сравнить дроби с разными знаменателями,
их надо преобразовать в дроби, имеющие один и тот же знаме-
натель. Обычно общий знаменатель берут наименьший из воз-
можных.
Нам известно, что дробь — можно представить в виде дро-
15
би с любым знаменателем, кратным 15, а именно:
7 7 2 7-3 7-4 7-5 ' -5
— =— = =----------=------= ...,адробь— можно представить
15 15-2 15-3 15-4 15-5 12
в виде дробей:
J> _ 5 2 5 3 5'4 5 5 _
12 ~ 12-2 ~ 12-3 ~ 12-4 ~ 12-5
Видим, что общий и притом наименьший знаменатель этих
дробей будет 15 • 4 = 12 • 5. Значит, обе эти дроби мы можем вы-
разить в шестидесятых долях:
7 7-4 28 5 5-5 25
— =---- = —И— =---- =—.
15 15-4 60 12 12-5 60
7 28 _ а 5 25
Отсюда видно, что дробь — = — больше дроби — = — , так
15 60 12 60
28^ 25
как — > — .
60 60
Наименьший общий знаменатель данных дробей есть наимень-
шее общее кратное знаменателей этих дробей.
То число, на которое умножают числитель и знаменатель
дроби при этом преобразовании, называется дополнительным
множителем. В рассмотренном примере дополнительный мно-
_ 7 _ 5 _
житель для дроби — был 4, а для — —5.
♦ Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменате-
лю, надо:
1) найти наименьшее общее кратное всех знаменателей;
2) найти для каждой дроби соответствующий дополнительный
множитель;
3) умножить оба члена дроби на дополнительный множитель.
Если наименьший общий знаменатель трудно подобрать в
уме, то тогда надо разложить знаменатели на простые множи-
тели.
Например, привести к наименьшему общему знаменателю
дроби:
5
54
7
и —.
30
128
Решение. Найдем НОК (54; 30).
54 = 2-3-3-3 и 30 = 2-3 -5.
НОК (54; 30) = 2 • 3 • 3 • 3 • 5 = 270.
§
Чтобы найти дополнительный множитель для дроби — , ис-
54
ключим из разложения общего знаменателя (2 • 3 • 3 • 3 • 5) раз-
ложение знаменателя этой дроби (2 • 3 • 3 • 3). Получим допол-
нительный множитель 5.
7
Дополнительный множитель для второй дроби — получим,
исключив из разложения общего знаменателя (2 • 3 • 3 • 3 • 5)
разложение знаменателя второй дроби (2-3-5), и получим до-
полнительный множитель 3-3 = 9.
Теперь умножаем оба члена первой дроби на дополнитель-
ный множитель 5, а оба члена второй дроби на дополнитель-
ныи множитель 9. Получим дроби — и —, равные по величине
данным дробям с равными знаменателями.
Полезно запомнить два особых случая при приведении к об-
щему знаменателю.
1-й случай. Знаменатели являются взаимно простыми
числами.
14 5
Пример. —, — и —. Так как числа 2, 15 и 11 не имеют
2 15 11
общих делителей, т. е. являются взаимно простыми числами,
то НОК (2; 15; 11) = 2-15-11 и дополнительным множителем
для каждой из дробей будет произведение знаменателей двух
других дробей:
1 _ 1-15-11 _ 165 j4 _ 4-2-11 _ 88__
2 “ 2-15-11 ~ 330’ 15 “ 15-2-11 - 330’
5 5-2-15 150
11 “ 11-2 15 ~ 330
2-й случай. Наибольший из знаменателей делится на каж-
дый из остальных, т. е. он является наименьшим общим крат-
ным всех знаменателей.
тт 11 13 8
Пример. —, — и —.
н 35 105 21
Знаменатель 105 является кратным 35 и 21. Тогда дополни-
тельным множителем для дроби — будет число 3, для —— чис-
35 105
1 8 Е
ло 1 и для--число 5.
21
Получим:
lij,^ 33 13 и 8-^ __ jg.
"35“ 105 ’ 105 105 21 105'
5 С. А. Пономарев
12Э
Вопросы для самопроверки
2
3
2
2
1. На каком свойстве дроби основано приве-
дение дробей к наименьшему общему зна-
менателю?
2. Чему равен наименьший общий знамена-
тель, если знаменатели данных дробей —
взаимно простые числа?
3. В каких случаях приходится приводить
дроби к наименьшему общему знаменателю?
Рис. 73.
• УПРАЖНЕНИЯ
290. 1) На рисунке 73 изображено несколько
дробей и среди них есть равные по величи-
не. Записать эти равные дроби.
2) Изобразите на рисунке равные дроби:
15 2 6
— И — ; — И- .
2 10 3 9
291. 1) Раздробить — в девятые; в двадцать седьмые; в пятьдесят
3
первые доли.
з
2) Раздробить — в восьмые; в шестнадцатые; в сороковые доли.
292. Выразить в одинаковых долях:
11 83 25 37
' 2 6 8 4 9 36 7 35
1 1 7 3 11 13 15 23
2) — и —; — и — ; — и — ; — и — .
15 5 16 8 14 140 16 192
293. Привести следующие дроби к наименьшему общему знаме-
нателю :
11 2 3
1) — и — ; — и —;
5 20 7 14
8
2 -
9
1 1_ 23 2.
15И 180’ 120И 30*
2)
5
1~>
36
7
и 5— ;
144
17
4 65’
3
3 —
10
1
и 5 — ;
130
17
72’
7 5
2—и 1 —
18 6
294. Привести следующие дроби к наименьшему общему знаме-
нателю, сделав сначала сокращение:
20 14 32 77 12 75 15 70 20
— , — и — ; —, — и — ; —, — и —- .
45 35 44 176 144 200 108 180 225
тл с < 12 75753
295. Какая дробь больше: — или — ? — или — ? — или — ?
25 15 8 12 15 9
130
296. Сравнить дроби: —, — и —, ука-
25 75 125
зать наибольшую.
297. Расположить дроби — , — , — в поряд-
16 13 8
ке возрастания их величины.
Контрольная работа по § 36—38
7
1. Как изменится величина дроби —, если
числитель заменить единицей? Поясните.
2. Знаменатель дроби увеличили в 5 раз. Рис. 74.
Как нужно изменить числитель, чтобы
дробь увеличилась в 2 раза?
3. Сцеплены две шестерни: одна из них имеет 24 зубца, а вторая — 8.
Вторая шестерня сделала два полных оборота. Какую часть полно-
го оборота сделала за,это время первая шестерня? (Рис. 74).
4. При каком условии наименьший общий знаменатель трех дробей
равен их произведению? Приведите пример.
, „ 7 11 11
5. Расположить дроби— , —- и — в порядке убывания их величин.
§ 39. СЛОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ. ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ ДРОБЕЙ
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Решим за-
дачу: «Ракета, посланная на Луну, за первые сутки пролете-
5 4
ла — всего расстояния от Земли до Луны и за вторые — — это-
го расстояния. Какую часть всего расстояния от Земли до Лу-
ны пролетела ракета за двое суток? »
Чтобы решить эту задачу, надо сложить дроби — и Доли
данных дробей одинаковы: в первой дроби содержится 5
десятых долей и во второй — 4 такие же доли.
Решение задачи можно записать так: 5 десятых долей +4
десятых доли =9 десятых долей. Обычно сложение дробей за-
писывают так:
5_ £ _ £
1(Г 10 ю’
Видим, что сложение дробей с одинаковыми знаменателя-
ми сводится к сложению одинаковых долей.
Аналогично будет решаться задача и в случае, если число
слагаемых будет больше 2; например, пусть требуется найти
сумму дробей:
2 + -3+-2=- = -. (Рис. 75.)
8 8 8 8 4 7
5*
131
1
8
3
8
2
8
6
8
3
4
Рис. 75.
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сло-
жить их числители и под этой суммой подписать их общий знаме-
натель.
В общем виде (с помощью букв) это правило записывается так:
а Ь а -]~Ь
+ = ,
п п п
где а, b и п — натуральные числа.
Примечания
1. Если при сложении дробей в результате получается сократи-
мая дробь, то ее надо сократить. Например:
А А _ А _ L
ю + ю ~ ю ~ 5 '
2. Если при сложении дробей получается неправильная дробь, то надо из
нее исключить целое число. Например:
5 7 12 4 1
— + — = — = — =1—.
9 9 9 3 3
3. Если складываются смешанные числа, то следует сначала сложить на-
туральные числа, а затем — дроби. Например:
3 15
2 - + 3— + 5- = 10
8 8 8
9
= 108
3 + 1 + 5
8
1
8
Сложение дробей с разными знаменателями. Часто прихо-
дится складывать дроби с разными знаменателями; например,
для решения задачи: «При распиловке бревна на доски — его
8
е. е. а 7
объема превращается в опилки, а при обработке досок еще —
40
объема бревна идет в стружку. Какую часть бревна составля-
1 7
ют отходы?» Требуется найти сумму дробей— и —. Мы знаем,
8 40
как приводить дроби к общему знаменателю, и, с другой сторо-
ны, знаем правило сложения дробей с одинаковыми знаменате-
лями. Отсюда план решения задачи: сначала приведем дроби
к общему знаменателю, а затем их сложим. Все вычисления
удобно выполнять с меньшими числами, поэтому будем приво-
132
дить дроби к наименьшему общему знаменателю. Запись реше-
ния этой задачи:
It 7L 5 + 7 12 3
8 + 40 “ 40 ~ 40 ~ 10'
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их надо предва-
рительно привести к общему наименьшему знаменателю, а затем
сложить по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменате-
лями.
Обычно так записывают сложение дробей:
1 3 5 4 + 6 + 5 15 7
2—+3 — + — = 5 = 5 - = 6 — .
2 4 8 8 8 8
Примечание
При действиях над дробями надо стремиться, там, где это возможно,
промежуточные вычисления (нахождение дополнительного множителя, по-
следующее умножение на него, сокращения дробей и др.) выполнять устно
(в уме) и дополнительные множители записывать только тогда, когда при-
ходится оперировать с большими числами.
Вопросы для самопроверки
1. Как складываются дроби с одинаковыми знаменателями? Приве-
дите пример.
2. Как складываются дроби с разными знаменателями? Приведите
пример.
3. Можно ли складывать смешанные числа, обращая их в непра-
вильные дроби? Если можно, то почему этого не делают?
• УПРАЖНЕНИЯ
7
298. (Устно.) — листа цветной бумаги ученик использовал на бук-
8
вы для плаката, а — листа ушла на обрезки. Сколько всего бу-
8
маги израсходовал ученик?
299. (Устно.) Сложить:
2
5 ’
2
9 ’
2
« 7 +
7
5) -+
3 1
2) — + — ;
’ 8 8
3 4
6) Т + Т;
о 5
5
3) 7 +
7) — +
30
2
6 ’
29
30’
1 5
4) Т + 7;
6 о
8) 4+т-
А
300. Тракторная бригада в первый день вспахала третью часть
всего поля, во второй день — половину его. Какая часть поля
была вспахана за два дня?
301. Ученическая бригада в первый день прополола — всей пло-
О
щади свеклы, а во второй — — ее. Какую часть всей площа-
ди, занятой под свеклу, обработала бригада?
133
ч 1 1
1) . + „ !
4 о
302.
2) 5
£
5 ’
1
6 ’
4) - +
8 7
3
5)
3 2
8^5’
6)
8)
_5
6
303.
2)
3)
113 2
304.
1)
1_.
12’
2)
5 13
12 + 6 + 4 ;
305.
1)
2 2.
20 + 5
7 1,3
2) — + — 4- — ;
10 4 5
306.
Сложить дроби,
можно:
предварительно
1)
35 25
70 + 75
2)
3)
15 17 39
120 + 68 + 78 ’
3 .
4) “ + - + —
7 5 2 4 5 9
2 ’ *' 4 ' 5 ' 9
££2
20 + 5 + 4
5 11 7
з) - + - + — .
8 10 25
сократив их, если это воз-
10 £ 21
20 + 7 + 28 ’
11 3 12
4) 3—4-5 — +1 — .
12 г 15 54
1 1
4 + 2 =
1 1
7) - 4- —;
6 3
2
2
2
5 ’
1 1 _
D Т 7 + v
1 1
„ + _
о 6
2
6 ’
£
3
£
3 ’
4 3
7 + 4 1
2
5
307. Сумму (5 — км 4-1— км 4-520 м) выразить в метрах.
8 5
308- Сумму (1 сутки 10 час. 20 мин. +2—часа) выразить в часах.
2
11 7
309. Найти число, которое больше 5— на 3— .
н 12 15
4
310. Для изготовления отливки израсходовали 56— кг меди и
21 —кг олова. Найти вес отливки. (Угар в расчет не принима-
2
ется.)
з
311. Из бочки вылили 46— л воды, после чего в бочке осталось
2
75 —л воды. Сколько литров воды было в бочке?
5
3
312. Здание в первый день передвинули на 8 — м, во второй
5
день — на 2 м больше, чем в первый день. На какое расстоя-
ние передвинули здание за 2 дня?
313. Из бочки с бензином в первую автомашину влили 25 у л,
з
во вторую — на 3 — л, больше. В бочке осталось бензина еще
4
столько, сколько отлили во вторую машину. Сколько литров
бензина было в бочке сначала?
134
314. Камень, брошенный в колодец, пролетает в первую секун-
9 4
ду 4 — м, а в каждую следующую секунду — на 9 — м больше,
10 5
чем в предыдущую. Какова глубина колодца, если брошенный
камень коснулся воды в колодце через 3 сек.?
315. Найти периметр прямоугольника, если его ширина равна
2 у
50 у м, а длина — на 99— м' больше ширины.
316. Два туриста вышли навстречу друг другу из двух пунк-
тов; первый может пройти расстояние между этими пунктами
за 8 час., а второй — за 6 час. На какую часть всего расстоя-
ния они приближаются друг к другу за 1 час?
Указание. Расстояние между пунктами надо принять за единицу.
317. Для печатания рукопись отдана четырем машинисткам:
первая машинистка могла бы одна перепечатать всю рукопись
за 12 час., вторая — за 15 час., третья — за 10 час. и четвер-
тая — за 9 час. Какую часть рукописи перепечатают они вмес-
те за 1 час?
318. 1) Как изменится сумма, если одно слагаемое увеличить
11 8 31„
на —, другое — на —, а третье — на — ?
15 21 35
2) Как изменится сумма, если одно слагаемое увеличить на
47 67 9
6 — , другое — на 3 —, а третье — на 5 — ?
50 г 200 40
Законы сложения дробей. Проверка сложения дробей. Сло-
жение натуральных чисел подчиняется двум законам: пере-
местительному и сочетательному. Этим же законам подчиняет-
ся и сложение дробей. Поясним справедливость этого утверж-
дения.
♦ Переместительный закон. Сумма дробей не изменится от пе-
ремены порядка слагаемых.
Действительно, ведь сложение дробей с любыми знаменате-
лями после приведения их к общему знаменателю сводится к
сложению их числителей, которые являются натуральными
числами, а сумма натуральных чисел подчиняется перемести-
тельному закону.
Поясним это на двух примерах:
5 4 5+4 4+5 4 5
1) —+—=—^-= —^—= — + —,
13 13 13 13 13 13
следовательно,
5 4 4 5
13 13 13 13
2 1 10 + 9 9 + 10 9 10 1 2
2) — + — =----=-=----= — + — .
9 5 45 45 45 45 5 9
135
следовательно,
А 1_ 1 А
9 + 5 ~ 5 + 9 ’
В общем виде переместительный закон сложения дробей за-
писывается так:
а с с а
—+ — =—+—•
b d d b
Сочетательный закон. Сумма дробей не изменится, если
какую-либо группу слагаемых заменить их суммой.
Этот закон можно запомнить и в такой формулировке: вмес-
то того, чтобы прибавлять каждое слагаемое последовательно,
можно прибавить сразу их сумму.
Этот закон, справедливый для натуральных чисел, будет
справедлив и для суммы дробей, так как выше, при обоснова-
нии справедливости переместительного закона, мы видели, что
сложение любых дробей сводится к сложению натуральных чи-
сел. Поясним на примере:
3 2 4 3 + 2 + 4 3 + (2 + 4) 3 /2 4 \
-+-+— = ' = =-+- + —,
11 11 11 11 11 11 \11 11/
следовательно,
— -и _ — - 3 (- 4 'l
11 + И + И ~ И + ' 11+ и/ ’
В общем виде этот закон записывают так:
а с I а . / с I \
~Г + ~Г + ~г — ~Г + ("Т + +" I •
b d k b \ d k j
Применяя переместительный и сочетательный законы, про-
изводят устные вычисления.
Пример.
3 2 5 7 1
4 9 ~ 11 9 4
На основании сочетательного и переместительного законов
выполним действия в такой последовательности:
/ 3 1\ / 2 7\ 5 5 5
(2I + 47) + h + ?) + 3ii==7 + 2 + 3iI-12n-
Переместительный и сочетательный законы используют так-
же и при проверке правильности выполнения сложения дробей.
Например, найдя сумму дробей
6 + 4 + 15 + 6 _ 31 _ 13
3 + 9 + 6 + 3 "" 18 ” 18 ~ 1 18
136
и желая проверить правильность решения, искомую сумму
мы можем найти в такой последовательности:
или так:
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте переместительный закон сложения дробей. При-
ведите пример.
2. Сформулируйте сочетательный закон сложения дробей. Приведи-
те пример.
3. Как проверить правильность выполнения сложения дробей?
4. Приведите пример на использование каждого закона сложения.
• УПРАЖНЕНИЯ
319. (Устно.) Сложить следующие дроби, применяя наиболее
удобные приемы вычислений, основанные на законах сложе-
ния:
320. Сложить следующие числа, применяя наиболее удобные
приемы вычислений:
3 7 5 2 7 1
' 4 912 912 4
11115
2) 1 — + 2— +3-+5- + 7 — .
' 2 3 4 6 12
321.
Проверить следующие равенства
2 17 5 7 2
1)1 +3— + 1- = 4-+2-;
9 18 6 9 9
17 4 7 3 11
2)3 — -12 — + 1- =4-+3—.
24 15 8 4 30
322. Выполнить сложение и сделать проверку, сложив те же
слагаемые в другом порядке:
2739 2,5 47
1) - + — 4- — + — ; 2) 4 - + 3 — -|- 2 - + 5 —.
' 3 12 10 20 9 12 9 12
323. Проверить справедливость следующих равенств и сформу-
лировать выраженные этими равенствами законы сложения:
4 114
~ - 4- ~ ;
9 9 9 9
137
8 7 7,1 /8 7\ /7 1\
2) 3— + — Ч--к-= 3—Ч- — )+ —+ 2--).
15 16 15 16 \ 15 15Р \16 16/
324. Вычислить двумя способами:
1) 3I+ + 2) (4-+
8 \8 4/ \ 9 36/ 9
325. Записать со скобками и вычислить:
1) к сумме чисел 1— и 4 — прибавить 3- ;
2 4 4
7 11 1
2) к сумме чисел 2— и 6— прибавить 8— .
' 180 360 18
326. Выполнить сложение в том порядке, как записаны слагае-
мые, а затем, сгруппировав слагаемые наиболее удобным спо-
собом, снова произвести сложение:
41 35 13 15,3
1)2- + 3-+5+2-7 + 3-; 2)12-2 + Г4+Ч+П+-7-
Контрольная работа по § 39
1. Сформулируйте основное свойство дробей и укажите, где мы при-
меняем это свойство.
2. Можно ли принимать за общий знаменатель при сложении не-
скольких дробей произведение всех их знаменателей? Если это воз-
можно, то при каких условиях пользуются этим приемом?
3. Сложить дроби, предварительно их сократив:
15 22
— + з —
24 33
32 7 2
1 48 + 1 24 + 3
4. Сложить следующие числа, применив наиболее удобные приемы
вычислений:
5 1
~+ 2-
26 4
3 29 10
~+ 4-Ч--
13 52 13
5. Через сколько времени может быть изготовлена деталь, если на ее
1
обработку должно быть затрачено: 2—часа на токарном станке,
1 1
3 g часа на фрезерном станке и 1— часа на строгальном станке?
§ 40. ВЫЧИТАНИЕ дробей, свойство вычитания дробей.
ПРОВЕРКА СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ ДРОБЕЙ
у
Вычитание дробей. Решим задачу: «От бруска длиной м
отпилили — м. Какой длины остался брусок?» (Рис. 76.)
2 7 1 v
Нам надо наити разность чисел — и — . Условие этой за-
~ - 1
дачи можно изменить так: «Сколько надо прибавить к —,
138
чтобы получить —, т. е. как, зная сумму
двух слагаемых и одно из слагае-
/1 \
мых (— I, наити другое слагаемое».
♦ Вычитание есть действие, обратное сложе-
нию, с помощью которого по данной сум-
ме и одному из слагаемых находится дру-
гое слагаемое.
Рассмотрим различные случаи вычита-
ния дробей:
♦ 1. Если уменьшаемая и вычитаемая дро-
би имеют одинаковые знаменатели, то их
разность показывает, сколько долей оста-
нется, если от долей уменьшаемого отнять
5 1
доли вычитаемого, например: — — —.
6 6
Знаменатели дробей одинаковы, т. е. дро-
би выражены в одинаковых долях. Если
от 5 шестых долей отнять 1 шестую долю,
то останется 4 шестых доли, или, сокра-
2
тив, получим — (рис. 77):
Рис. 76.
5 1 5—1 42
6 6 6 ~6~3‘
♦ 2. Если уменьшаемая и вычитаемая дроби имеют разные
2 1
знаменатели, например: -----, то, приведя эти дроби к од-
3 2
ному знаменателю, выполним вычитание, как это объяснено
раньше. Этот случай вычитания записывается так:
2— 1L 4 — 3 1
Т ~ 2 6 ~ б‘
Из рассмотренных двух случаев вычитания вытекает пра-
вило вычитания дробей:
139
Чтобы вычесть дробь из дроби, надо предварительно привести их
к общему знаменателю, затем из числителя уменьшаемой дроби
вычесть числитель вычитаемой и под полученной разностью под-
писать общий знаменатель.
3. Если уменьшаемое и вычитаемое — смешанные числа, то,
если можно, вычитают целое из целого, а дробь из дроби. На-
пример :
3 19 8 1
5— — 2 — = 5 — — 2— = 3—
8 3 24 24 24
Если же при вычитании смешанных чисел дробь вычитае-
мого больше дроби уменьшаемого, то одну единицу уменьшае-
мого вместе с его дробью заменяют неправильной дробью и пос-
ле этого поступают так, как описано раньше. Например:
5 1 5 8 21 8 21 —8
14 — — 8 — = 14---8— =13 — — 8— =5
16 2 16 16 16 16
13
= 5— .
16 16
Так же выполняется вычитание дроби или смешанного чис-
ла из натурального числа. Например:
5 9 5 .4
8 — ~ = 7---= 7 :
9 9 9 9
Вопросы для самопроверки
1. Всегда ли возможно вычитание дробных чисел? Привести примеры.
2. Как вычесть дроби с одинаковыми знаменателями?
3. Как вычесть смешанное число из смешанного?
4. Как вычесть дробь из натурального числа?
• УПРАЖНЕНИЯ
1
327. (Устно.) Вес товара брутто (вес с упаковкой) равен 10 — кг.
328.
329.
330.
331.
Вес тары (упаковки) — 2 кг. Найти вес товара
ковки).
1) - — -;
’ 4 4
1) 4-|-2;
Л
1 1
о о
_ 3
7 5
2) — — — ;
11 11
2
332.
3
1
7 ’
1 6
1) 3----1 - ; 2) 7 -
5 2 7
Сумма двух чисел 78 —,
15
нетто (без упа-
15 13
4) — — — .
17 17
5
4)1--.
2
в‘
1
11 2
' 15 15
7
2-) 10 — — 10; 3) 1 — — ;
' 12
3) — — — ; 4) ——
15 2 3
2 15
— 5- ; 3) 42 — — 40 - : 4
9 38 3
з
2) ’б -
41-з”.
75 150
7
одно из этих чисел 12 — . Найти
30
з ’
другое число.
140
333. Сколько надо прибавить к числу 49 — , чтобы получить
Зв
число 88 — ?
24
3 7
334. Найти число, которое на — меньше — <
335. Вес брутто — 32 кг, а вес тары — 2 — кг. Найти вес то-
3 6
вара нетто. (См. задачу 327.)
336. На пустой бочке осталась следующая надпись: «Брутто —
12 1
215 — кг, нетто — 184 — кг». В эту бочку налили 150 — кг
2 5 4
масла. Как надо изменить старую надпись на бочке?
337. В нашей стране наибольшее количество осадков за год,
о 3 _ 39
2 — м, выпадает в районе Батуми, а наименьшее, — м, — в
низовьях реки Амударьи. На сколько больше выпадает осад-
ков в районе Батуми, чем в низовьях реки Амударьи?
338. В бассейн проведены две трубы. Первая труба наполняет
бассейн за 4 часа, а через вторую трубу вся вода из наполнен-
ного бассейна выливается за 5 час. Какая часть бассейна на-
полнится в течение 1 часа, если открыть обе трубы одно-
временно?
Указание. Объем бассейна надо принять за единицу.
339. Рабочий выполнял норму за 7 час. Улучшив работу стан-
ка, он стал выполнять норму за 3 часа. На какую часть всей
нормы он стал выполнять за 1 час больше?
Свойства вычитания дробей. 1. Вычитание дробей возмож-
но, если уменьшаемая дробь больше или равна вычитаемой
3 2 2
дроби. Например: от - можно отнять с , но от ; нельзя от-
5 5 5
3
нять —.
5
Если уменьшаемая дробь равна вычитаемой, то вычитание
5 5 _
возможно и разность равна нулю:-------=0;
7 7
2 3 2 3
----- — нельзя выполнить, так как — <—.
5 5 5 5
♦ L Чтобы вычесть сумму дробей, достаточно вычесть каждое
слагаемое последовательно, и обратно: чтобы вычесть каждое
слагаемое последовательно, достаточно от уменьшаемого вы-
честь сумму этих слагаемых. Например:
3/1 3\ 3 „
6—2 + 3 - ' --- 6 — 2
8 \ 8 10 8
1 3 1 3
— 3 - = 4 ~ — 3 — = 4 — — 3 — =
20 20
10
10
19
20’
5
6
8
4
3
1
1
1
1 / 1 3\ 1
5- —3-—1- = 5-— 3 -Н-1- = 5 - — 4- = 1.
2 8 8 2 \ 8 8/ 2 2
141
3. Чтобы вычесть дробь из суммы, достаточно вычесть ее из
какого-нибудь одного слагаемого. Например:
/5 9\ 5/5 5\ 9
2-+4— —1— = 2——1—Н-4-
\ 11 13 11 \ 11 11/ 13
9
= 5— .
13
4. Чтобы вычесть разность дробей, можно вычесть уменьшае-
мое и прибавить вычитаемое. Например:
П_/5_
12~\12
1\ _ /11 £\ _1 _ _6 3
4/ - \12 ~ 12/ + 4 12 + 12
£ 3
12“ 4
На свойствах 2, 3, 4 основаны некоторые приемы устных
вычислений с дробями.
Проверка правильности выполнения действия сложения и
вычитания дробей. Проверка сложения дробей. В § 39 был рас-
смотрен один из способов проверки правильности выполнения
сложения дробей. Существует еще один способ проверки сложе-
ния дробей — путем вычитания одного слагаемого из суммы
дробей. Например, чтобы убедиться, что решение примера
„ 13 , „ 9 „ 5 й 5
о----Ь 2 — = b — выполнено верно, надо от о — отнять од-
24 16 48 48
13
но из слагаемых (например, 3^)- Получим:
5 13 5 26 27 9
6-----3 — = 6——3—= 2— =2 — .
48 24 48 48 48 16
Получили второе слагаемое. Значит, пример решен правильно.
Проверка вычитания. Проверка правильности вычитания
может быть выполнена одним из двух следующих способов:
1) сумма разности и вычитаемого должна давать уменьшае-
мое и 2) разность между уменьшаемым и разностью должна
быть равна вычитаемому.
Например, проверить правильность решения:
35 9 70 81 133
1———=1— —— - — .
72 16 144 144 144
, „ - 133 9 133 + 81 214 107 35
144 16 144 144 72 72
о „ - 35 133 70 133 214 133 81 9
2-и способ: 1 —— —-=1 — — — = — — —= — =— .
72 144 144 144 144 144 144 16
Зависимость между данными числами и результатом дей-
ствий над ними. Правила о зависимости между данными числа-
ми и результатами сложения и вычитания натуральных
чисел остаются справедливыми и для дробных чисел. Также
142
справедливы для дробных чисел и правила изменения суммы
и разности.
3 1
Примеры. 1) х+1 — =2—. Найти х. Чтобы найти одно
5 2
из слагаемых, надо от суммы отнять другое слагаемое, значит,
„1 3 5 6 15 69
х = 2-— 1 — = 2 — — 1— = 1— — 1— = —.
2 5 10 10 10 10 10
2) х—5 — =3. Неизвестное уменьшаемое равно разности, сло-
„ „ _ 1 1
женнои с вычитаемым, т. е. х=3 + 5 — = 8—.
2 2
2 2
3)6 — — х = 1 —. Неизвестное вычитаемое равно уменыпаемо-
3 5
му без разности:
2 2 10
х=б~—1-=б—
3 5
6 10 — 6 4
— 1 — = 5----- = 5 - .
15 15 15 15
3
4) Уменьшаемое увеличили на 1 —, а вычитаемое уменьшили
5
g
на —. Как изменилась разность дробей? Мы знаем, что если
8
уменьшаемое увеличить на какую-то величину, то и разность
увеличится на столько же, а если в это же время вычитаемое
уменьшить на какую-нибудь величину, то разность увеличится
на такую же величину. Следовательно, решением нашей зада-
чи будет:
3 3 24 15 39
1- + - = 1 — + — = 1 — .
5 8 40 40 40
Вопросы для самопроверки
1. Перечислите свойства вычитания и приведите пример на каждое
свойство.
2. Перечислите способы проверки правильности выполнения сложе-
ния.
3. Перечислите способы проверки правильности выполнения вычи-
тания.
4. Сформулируйте зависимость между компонентами действия сложе-
ния и результатом (суммой).
5. Сформулируйте зависимость между компонентами вычитания и ре-
зультатом (разностью).
• УПРАЖНЕНИЯ
340. Выполнить вычитание и сделать проверку сложением:
59 37
1) 10— — 8 — ;
’ 63 45
7 5
2) 30 — — 25— .
' 99 121
143
341.
342.
Выполнить вычитание и сделать проверку вычитанием:
53 9 23 11
1) 120--107 — ; 2) 90 — — 48 — .
’ 102 34 ’ 60 12
Правильно ли выполнено вычисление:
8 7 8 1 81 64 4-9 1
11 - — 2 - = 11- — 34-- = 8- 4--=8---= 9 — ?
9 8 9 8 9 8 72 72
Поясните решение.
343. Используя прием, указанный в предыдущем упражнении,
выполнить вычитание:
13 5 4 6
1 17-—6-; 2) 11- — 7-.
15 6 ' 21 7
344. Вычислить двумя способами:
/ 3 1\ 1 /19 9 \ 7
1) 15—+ 2 — — 6-; 2) 24—+ 15— —4—.
\ 4 2/ 4 \ 26 10/ Ю
345. Правильно ли выполнено вычисление:
Поясните решение.
346. Используя прием, указанный в предыдущем упражнении,
вычислить и пояснить решение:
5 / 4 5\ 1 / 2 2\
1)2—+ (3— — 1- ; 2)6-— 5-— 2- .
7 9 ' \ 9 б/ 7 3 \ 7 3/
347. Вычислить:
Г/ 1 6\ /19 , 5X1/ 4 5\
105 — 12 - + 28- — — + 34 — — 103 — — 72- .
2 7/ \21 ' 21/J \ 21 18/
348. Записать со скобками, а затем вычислить:
2 3 7 7
из разности чисел 4 — и 3 — вычесть разность чисел 8 — и 8 —.
5 4 15 60
349. Вычислить:
1 3
и 1 —
8
351. На сколько больше сумма чисел 2—
тех же чисел?
, чем разность
144
352.
353.
Найти неизвестное число:
2) 18 + У “ 20 ’
2) 41-' = 5
з 7
1) х + — = 5 — ;
’ 10 10
11 5
У — 90 ~ 18 ’
3)
£
18’
2)
3)
92
4)
32
получить
получить
получить
33 , 25
—I— X = .
56 42
123 121
144 7 360
Записать равенства, обозначив неизвестное через х. Найти х.
354. 1) Какое число надо прибавить к —, чтобы получить—?
5 15
22 1
Какое число надо прибавить к 35 — , чтобы получить 40 — ?
5
На какое число надо увеличить 88 — , чтобы
-?
6
5
На какое число надо уменьшить 51 — , чтобы
—?
12 '
2
355. 1) К какому числу надо прибавить 14 — , чтобы
3
4
26 -?
7
7 1
2) Из какого числа надо вычесть 35 чтобы получить 11—?
8 3
3) Какое число надо прибавить к 10 — , чтобы сумма была
2
равна разности чисел 27 — и 11 — ?
4 4
4) Найти уменьшаемое, если вычитаемое равно сумме чисел
12 — и 1 —, а разность равна 5 —.
356. Как изменится сумма двух чисел, если:
з
1) к одному слагаемому прибавить 5 — ;
g
2) к первому слагаемому прибавить 7 —
8
7
3) от первого слагаемого отнять 11 —, а
13
4) от первого слагаемого отнять 6 — , а
15
10-?
30
Q П.
, а ко второму —3 —;
Q 5 •
от второго — о —;
ко второму прибавить
357. Как изменится разность двух чисел, если:
1) уменьшаемое увеличить на 5 ;
О
2) вычитаемое уменьшить на 7 ;
145
3 ) к уменьшаемому прибавить 14 — , а к вычитаемому —
О
15 - ;
45
9
4 ) к уменьшаемому прибавить 3 — , а от вычитаемого отнять
_ 5
5 — ?
6 ‘
358. В первом ящике на 3 кг яблок больше, чем во втором.
1) Сколько килограммов яблок надо взять из второго ящйка,
з
чтобы в первом стало на 6 — кг больше, чем во втором?
2) Сколько килограммов яблок надо взять из первого ящика,
чтобы в первом стало меньше на 1 — кг, чем во втором?
4
3
359. Пароход по течению реки проходит 23— км в час. Ско-
8
рость течения реки — 2 — км в час. Сколько километров прой-
дет пароход за 1 час против течения реки?
360. Катер по течению проходит 17 — км в час, а против тече-
2
ния — 12 км. Найти скорость течения реки.
361. Составить задачи, для решения которых надо было бы вы-
полнить следующие действия:
1) (1- + 2) +
Контрольная работа по § 40
8'
45
примера более выгодным?
1. Вычислить:
2 —- — 1 — +[2 I _(1 1
15 12 1 L 90 \ 2
2. Вычислить двумя способами:
/4 3\ 3
21-4-6 - -4 -.
\ 16 8 / 8
Какой способ оказался для данного
На каком правиле основан этот прием?
3. Самолет, вылетевший из Москвы, достиг Северного полюса на тре-
4 5
тий день. В первый день он пролетел —, во второй — — всего пути.
15 1^
Какую часть пути он пролетел за третий день?
4. Рабочий выполнял задание за 7 час. Усовершенствовав станок, он
стал выполнять это задание за 5 час. На какую часть задания рабо-
чий стал выполнять за 1 час больше, чем выполнял прежде?
5. К 1946 г. общая длина Московского метрополитена (метро) состав-
3
ляла 40 — кл. Эти линии были сооружены в три очереди. Длина ли-
146
1
ний первой и второй очереди составляет 26 -^-км, а длина линий
А
7
второй и третьей очереди — 28 — км_
Определить длину линий каждой очереди Московского метропо-
литена.
§ 41. УМНОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ. ЗАКОНЫ УМНОЖЕНИЯ
♦ Умножение дроби на натуральное число. Мы знаем, что
умножить какое-нибудь натуральное число (множимое) на дру-
гое натуральное число (множитель) — значит найти сумму
одинаковых слагаемых, каждое из которых равно множимому,
а число слагаемых — множителю. Например, умножить 8 на
3— значит найти сумму: 8 + 8 + 8 = 24, или в общем виде:
а-п = а + а + а + а + ... + а.
п раз
Такой же смысл имеет и умножение дробного числа на на-
туральное число.
3
Например, умножить дробь — на 5 — значит найти сумму
4
3
5 слагаемых, каждое из которых равно — (рис. 78):
4
3 33333 15 3
-•5 = - + - + - + -+ - = — = 3—.
4 4 4 4 4 4 4 4
Это действие можно записать короче:
3 3-5 15 3
-•5 = — = — = з-.
4 4 4 4
Чтобы умножить дробь на натуральное число, достаточно умно-
жить ее числитель на натуральное число и полученное произве-
дение разделить на знаменатель.
В общем виде это правило записывается так:
а а-п
— -п ~ ,
Ь b
где а, Ь, п — натуральные числа.
.2 2 з. 2 3
4 4 4 4
I--- --1--1--1—1----1--1--1---1------•—I----1-------
|— । । ।—।—।—।—।—। i-i—।—iiit
I— I I---1—I—I-----1—I---1—I I I—I—I" I I
I------------1------------1--------------1--!-------
Рис. 78.
147
♦ Если знаменатель множимого имеет общий делитель (отлич-
ный от 1) с множителем, то необходимо до вычисления произ-
ведения числителя дроби на натуральное число сократить
дробь.
Например:
7 7-471
— •4 = — = - = 2-
12 12 3 3
Умножение смешанного числа на натуральное число.
Умножение смешанного числа на натуральное число можно
выполнить двумя способами: 1) отдельно умножить целое чис-
ло и отдельно — правильную дробь, а затем сложить резуль-
таты или 2) обратить смешанное число в неправильную дробь,
а затем умножить.
Пример.
1-й способ. 10— • 16 = 10* 16 —• 16 — 160 —6 = 166.
8 '8
2-й способ. 10-16 =??• 16= ^^-=83-2 = 166.
8 8 8
Умножать смешанное число на натуральное надо первым
способом, так как он более рационален (выгоден).
Примечание
Фразы: «Увеличим данное число во столько-то раз» или «Умножим
данное число на столько-то» —равнозначны.
Вопросы для самопроверки
1. При каком условии дробь, умноженная на натуральное число,
даст результат, равный множимому?
2. Как умножить правильную дробь на натуральное число?
3. Какие существуют способы умножения смешанного числа на на-
туральное число? Какой способ удобен и выгоден?
• УПРАЖНЕНИЯ
362. Увеличить:
9 11
1) - в 3 раза; 2) - в 12 раз; 3) в 4 раза.
363. (Устно.) 1) Удвоить числа:
2 4 5 7
5’ 5’ 9’ 8’
2
10’
2 5 7
3’ 6’ 9’
g
— кг. Сколько весят 10 таких
5
7
— м. Какое расстояние он
12 2
2) Утроить числа:
4 7 5
364. (Устно.) 1) Одна деталь весит
деталей?
2) Длина шага мальчика
пройдет, сделав 100 шагов?
148
365. (Устно.) Выполнить умножение:
4 5
1) -.5; 2) -.12;
5 6
7 5
5) —-3; 6) —9;
9 18
366.’ Найти произведения:
1 з
1) 1--2; 2) 2—•
7 3
!) -.16; 4) --2;
8 4
7 2
7) --8; 8)—-0.
12 1
; 3) 3--6; 4) 2--6; 5) 14- -10.
367. Найти произведения наиболее удобным способом:
15 4
1) 4-. 4; 2) 4-. 12; 3) 2-. 9;
6 1
4) 7-. 14; 5) 15- 6.
7 12
368. (Устно.) Сколько метров составляют
3 о
1- КМ?
8
7 о
2-- КМ?
125
369. (Устно.) 1) Сколько аров составляют:
1— га?
25
з— га?
50
3 о
— КМ?
50
- га?
— КМ?
25
-га?
5
5 о
КМ?
8
9 о
— га?
20
2
2) Сколько квадратных метров составляют:
-а? -а?
4 5
9 „ з „
— а? —а?
8 25
2- га?
8
370. Скорость морского корабля обычно измеряют при помощи
меры длины, называемой узлом. Один узел примерно равен
g
км. Сколько километров в 1 час проходит корабль, имею-
4
щий скорость в 20 узлов?
371. В Китае площади земельных участков измеряются мерой пло-
щади, называемой му. Один му равен — га. Сколько гектаров
16
земли имеет участок в 400 му?
372. Эскалатор метро движется со скоростью 1 —м/сек. Пас-
5
сажир спускался на эскалаторе 18 сек. Определить длину эс-
калатора.
Нахождение дроби числа. При решении задач часто прихо-
дится находить дробь (часть) числа. Рассмотрим решения двух
задач на нахождение дроби числа.
149
Первая задача. Площадь участка, обрабатываемого уче-
з
нической бригадой, —120 га. — площади всего участка занято
5
зерновыми культурами, а остальная площадь — огородными
культурами. Сколько гектаров земли занято зерновыми культу-
рами? (Рис. 79.)
Решение. Сначала найдем — долю площади всего уча-
5
3 - 1 юл 120
стка, а затем — — таких же долей. — от 120 га равна — га,
или 24 га, а —от 120 га равны —-3 = 24-3 = 72 (га).
5 5
§
Вторая задача. Бак емкостью (объемом) — куб. м на-
6
2
полнен водой на — своего объема. Сколько воды (в куб. м) на-
3
лито в бак? (Рис. 80.)
Решение. Сначала найдем третью долю объема бака, а
затем — две такие доли.
15 5 5
- от — куб. м равна — куб. м, или — куб. м;
3 6 6-3 18
25 5-2 5
— от — куб. м равны — куб. м, или — куб. м.
3 6 У 6-3 9
т. 2 5 5-2
Краткая запись решения: — от — равны =
3 6 6-3
Из решения этих задач следует правило:
Чтобы найти дробь числа, надо сначала найти одну долю этого
числа, указываемую знаменателем дроби, а затем — число этих
долей, указанное в числителе.
150
• УПРАЖНЕНИЯ
№ 373—375 решите устно.
373. 1 кг конфет стоит 2 руб. Сколько стоит — кг этих конфет?
2
- кг? - кг? - кг? 1- кг? 2- кг?
4 4 8 2 4
374. Длина реки Невы равна — длины канала имени Москвы,
64
протяженность которого 128 км. Найти длину Невы.
375. Найти:
1) — числа 12; 2) — числа 15; 3) £ числа 35; 4) i числа 320.
2 3 5 8
376. Найти:
1) - от 12; 2) - от 15; 3) - от 30; 4) - от 36.
4 3 5 6
377.
1) - от 120;
8
2) - от 360; 3) - от 247; 4) - от 15.
15 19 7
378. Найти:
1
— ОТ —;
2 2
1 7 . 12 3 5
2) - ОТ —; 3) - ОТ 4) - ОТ -.
3 15 2 3 4 6
379. Найти:
1113
1) - ОТ 1—; 2) - ОТ 2-;
' 2 2 ' 3 4
2 1
3) - ОТ 4-;
' 3 3
4)
2
— ОТ
3
1
2—.
4
380. Что больше:
3 5
1) - от 60 или — от 80?
4 8
3) - от 72 или ® от 60?
4 6
5 1
2) - от 49 или - от 70?
' 7 2
381. Скорость автомобиля «Волга» —140 км в час, а скорость ав-
томобиля «Москвич» — скорости «Волги». Найти скорость
автомобиля «Москвич».
382. В первый день зимних каникул на елке в Кремле было 5600
тт 3
учащихся. Число учащихся старших классов составляло у
общего числа. Сколько было на елке учащихся младших клас-
сов?
383. Космонавт-3 (А. Г. Николаев) совершил 64 витка (оборота)
з
вокруг Земли, а космонавт-4 (П. Р. Попович) — — числа вит-
4
ков космонавта-3. Сколько витков сделал космонавт-4?
151
4
384. Для организма детей необходимо в среднем 1 — л воды в сут-
5
ки. Шестая доля этой воды поступает в организм с питанием,
остальная часть — в виде питьевой воды. Сколько воды дети
потребляют с питанием и сколько — в виде питьевой воды?
385. Дым от одной папиросы содержит 5 мг яда никотина. Сколь-
ко яда примет человек за один день, выкурив 20 папирос, если
от каждой из них в его организм попадет i часть никотина?
5
386. 1) Составить задачи, для решения которых требуется умно-
жить:
3 2 1
а) 40 км на — ; б) 60 кг на —; в) 2 т нд — .
2) Используя данные справочной таблицы (стр. 369), составить
одну задачу на нахождение дроби числа.
Умножение числа на дробь. Мы знаем, что умножить ка-
кое-либо число (натуральное или дробное) на натуральное чис-
ло — значит взять множимое слагаемым столько раз, сколько
единиц в множителе. Но если множителем будет дробь, то это
определение нельзя применить для выполнения действия. Ведь
о 1 3 _
нельзя же взять множимое 2 — раза или — раза. Поэтому
условимся понимать под умножением числа на дробь следую-
щее: умножить какое угодно число (натуральное или дробное)
на дробь — значит найти эту дробь от данного числа.
2
12 на — —значит найти
3
2
3
Примеры. 1) Умножить
10 122 о
от 12, т. е. - = 8.
3
4
2) Найти произведение 1 — на
5
11 1 — 1 1 _ IT _ 1L1
б’4~4*4“16_ 16 ’
3 3
----значит найти — от
4---4
1- ,
5
т. е.
определения умножения на
Поясним целесообразность
дробь.
Решим задачи: 1) Один метр материи стоит 8 руб. Сколь-
ко стоят 3 м этой материи?
Эта задача решается одним действием — умножением 8
на 3:
8 руб. -3 = 24 руб.
2) Один метр материи стоит 8 руб. Сколько стоит — м этой
4
материи?
Эта задача решается тоже одним действием — делением 8
на 4:
8 руб. : 4 = 2 руб.
152
3) Один метр материи стоит 8 руб. Сколько стоят — м этой
4
материи?
Эта задача решается уже двумя действиями — сначала на-
1
ходят делением стоимость — м, а затем умножением — стои-
4
3
мость — м;
4
8 руб. : 4 = 2 руб.; 2 руб. -3 = 6 руб.
Рассмотренные три задачи имеют одно и то же содержание
и различаются только числами, но приведенные решения отли-
чаются действиями. Первая задача решается умножением, вто-
рая — делением, а третья — двумя действиями — делением и
умножением.
Во всех рассмотренных задачах находится одно и то же:
стоимость материи, а потому и действие при решении должно
быть одно. Поэтому и условились понимать под умножением
числа на дробь нахождение дроби этого числа.
Рассмотрим умножение целого числа на дробь и дроби на
3 3
дробь: 8- — . Согласно определению мы должны найти —
4 4
от 8. Мы знаем, что дробь от целого находится умножением, а
именно 8 - — = — = 2- 3 = 6.С помощью букв это правило
4 4
запишется так:
b а-Ь
а • — = —,
с с
где а, Ъ, с — натуральные числа.
Чтобы умножить натуральное число на дробь, надо натуральное
число умножить на числитель дроби и разделить полученное про-
изведение на знаменатель дроби.
Пусть множимое также будет дробью: . Согласно
« « /3\
определению умножение на дробь есть нахождение дроби 1—1
(5 \ 15
— I. Сначала мы найдем — от — , а для
5 , Л 5 3
этого делим — на 10 и получаем ; затем находим —
5 5 о 5- 3 тт
от — , для этого ---- умножаем на 3, получаем — . До
8 810 810
„ 3 3 „
умножения сокращаем дробь и получаем — = — . Следо-
8 * 2 1О
вательно,
5 3 5 3 3_3
8 ' 10 = 8-10 8 2 ~ 16
153
Чтобы умножить дробь на дробь, надо произведение числителей
разделить на произведение знаменателей.
В общем виде, т. е. с помощью букв, это правило записыва-
ется :
а с а-Ь
b d c-d'
♦ При умножении дробей сокращение следует делать до вы-
числения произведений числителей и знаменателей.
♦ При умножении смешанных чисел надо сначала смешанное
число обратить в неправильную дробь, а затем пользоваться
правилом умножения дроби на дробь.
Например:
1 5 9 11 911 311 33 1
4— • 1— =-------- =--- = — = 8-;
2 6 2 6 2-6 2-2 4 4
1 3 21 3 21-3 3-3 9 1
Ю-. - = — - = —- = — =.-= 4-.
2 7 2 7 2-7 2-1 2 2
Вопросы для самопроверки
1. Скажите правило умножения натурального числа на дробь.
2. Скажите правило умножения дроби на дробь. Объясните, как оно
получено.
3. На какую дробь умножили дробь, если в произведении получилось
число, меньшее множимого?
4. Как перемножить смешанные числа?
• УПРАЖНЕНИЯ
2 2 3 7
387. 1) 6--; 2) 17--; 3) 14--; 4) 15--.
’ 3 5 ' 7 ' 30
___ 1 2 1 1
388. 1) 16-1-; 2) 18-3-; 3) 24-5—; 4) 180-2-.
’ 8 9 12 2
389. (Устно.)
2 2
11. ?. 2 222^ 4 4 4
7’7’ б'б’ з‘з'з’ б'б’б' 14
7 15 16 17 12 9 6 11
390. 1) 2) - • —; 3) -• 4) -•
18’ 34’ 81 32 19 4’ ’ 7 36'
1 1 1 1 1 1 3 3
391. 1) 1- • 1-; 2) 2-; 3) 2- • 3—; 4) 4— • 1—.
2 5 3 4 5 11 4 19
4 3 3 2
5 ' 8 ’ 5"3’
3 5 8
4 ’ 6 ' 15’
392.
1)
14 55 3 8 1 13 1
3) 15 5б' 16 11’ 4) 33 ’ 353'388‘
393. Не выполняя умножения, определить, что больше:
1) 200 или 200-у; 2) з- или 3-.-; 3) 5- или 5-- -.
4 2 2 5 2 2 2
154
Рис. 81.
394. В каких случаях при умножении числа на дробь в произве-
дении получится число: 1) меньшее множимого, 2) равное мно-
жимому и 3) большее множимого? Составить по два примера,
поясняющие каждый случай.
395. (Устно.) Муравей весом г перетаскивает груз в 50
раз больше своего веса. Сколько граммов может перетащить
за один раз один муравей? (Рис. 81.)
396. Высота Ключевской сопки (на Камчатке)—4900 лг; высота
Эльбруса (на Кавказе) приблизительно в 1 у раза больше, чем
высота Ключевской сопки, а самый высокий пик на Памире в
19
1 — раза больше, чем высота Эльбруса. Найти высоту каж-
56
дой из этих гор.
397. Предельный возраст жизни березы и ольхи —150 лет, сосна
о 4 - о 2
живет в 3 — раза дольше березы, ель — в 2 — раза дольше,
чем сосна, а мамонтово дерево — в 5 раз дольше ели. Опре-
делить предельный возраст жизни сосны, ели и Мамонтова де-
рева.
398. Для кладки 1 куб. м кирпичного фундамента одному рабо-
4
чему требуется 5 — часа. Сколько времени требуется ему для
5
7 13
кладки — куб. м? 2— куб. м1 15— куб. м?
399. Подсчитано, что опоздание с уборкой хлебов на 5 дней после
наступления полной спелости зерна снижает на
1
го урожая, а при опоздании на 10 дней — на —
6
1
— часть все-
25
урожая.
Вычислить:
1) Сколько будет собрано зерна с 1 га при опоздании с убор-
кой на 5 дней, если в момент наступления полной спелости
3
урожай с 1 га составлял 18 — ц?
4
2) Сколько будет собрано зерна с 1 га при опоздании с убор-
кой на 10 дней, если в момент йаступления полной спелости
урожай с 1 га составлял 25— ц?
5
155
r> 1 2
400. Длина прямоугольного поля — 2 — км, а ширина равна —
2 5
его длины. Найти площадь поля (в гектарах).
401. Поле прямоугольной формы имеет длину 1200 м, а ширина
3 2
его равна — этой длины. — поля засеяно пшеницей. Сколько
5 3
гектаров земли засеяно пшеницей?
402. Комната формы прямоугольного параллелепипеда имеет
длину 5— м, ширину 4— м и высоту 4 м. Найти объем
2 2
комнаты.
403. Фабричный корпус формы прямоугольного параллелепипеда
имеет длину 60 м. Ширина корпуса составляет
2
— его длины,
а высота корпуса----ширины. Определить объем этого кор-
пуса.
Законы умножения дробей. Все законы умножения нату-
ральных чисел остаются верными и для умножения дробных
чисел. Проверим справедливость этих законов для дробных
чисел.
Переместительный закон. Произведение не изменяется от
„ „ 2 4 4 2
перемены мест сомножителей. Надо показать, что —.
3 5 5 3
2 4 2*4
Имеем -. - = — . Числитель (2-4) и знаменатель (3 • 5) по-
3 3 3*5
лученной дроби — произведения натуральных чисел, а для них
2-4 4-2 _
справедлив переместительный закон, т. е. — = — . Откуда
З-а 5-3
4-2 4 2
5-3 ~ 5 ’ 3’
Следовательно,
2 4 _4 2_
3'5 ~ 5 ’ 3 '
В общем виде закон записывают так:
ас с а
b' d~d'b'
Сочетательный закон, а) Чтобы умножить число на произ-
ведение, достаточно его умножить последовательно на все со-
множители этого произведения и, обратно, б) чтобы умножить
число последовательно на два и более множителей, достаточно
его умножить сразу на их произведение.
„ 2.4 6\ /2 4\6 „
Надо показать, что -• -• - = -• - • -• Имеем:
3 \5 7 1 \о 5/7
2 /4 6\ _ 2 /£6\
3 ' \5 ‘ 7/ 3 ’ \5-7/
2-4-6
3.5-7’
156
Числитель (2 • 4 • 6) и знаменатель (3 • 5 • 7) — произведения
натуральных чисел. На основании сочетательного закона нату-
ральных чисел имеем:
2-4-6 (2-4)-6
3-5-7 ~ (3-5)-7’
Откуда
2-4-6 _ (2-4) 6 /_2 £\ _6
3-5-7 ~ (3-5)-7~\3 ' б/ ' 7'
Проверьте самостоятельно, что
/_2 Л _ JL / *.
\3 5/"7~3 \5 7/'
В общем виде этот закон записывается так:
Распределительный закон. Чтобы умножить сумму (раз-
ность) чисел, достаточно умножить каждое слагаемое (умень-
шаемое и вычитаемое) и полученные произведения сложить
(вычесть).
Проверим этот закон. Для простоты рассмотрим сложение
дробей с одинаковыми знаменателями. Надо показать, что
На основании распределительного закона умножения нату-
ральных чисел (3+2)-4 = 3• 4 + 2*4. Значит,
(3 + 2)-4 3-4 + 2 4 34,2-4 3 £ 2 £
7-5 “ 7-5 ~7-5 + 7-5- 7 ‘ 5 + 7 ’ 5’
Проверка показывает справедливость распределительного
закона для умножения дробей.
Нетрудно показать, что этот закон верен для случая
/3 2\ 4
\"7 “ 7/ ’ 5'
В общем виде это записывается так:
/ а с \ m а w , с m
\Z> d/n bn d n
Применение законов умножения ускоряет и упрощает вы-
числения, особенно применение распределительного закона.
157
Примеры.
4 5/ 4 \ 5 545 1
’ 58 \ 5/8 858 2
11/ 1\ 1 1 1
' 45^4/5 4 4
,3 1 \ 4 34 14 5 1
3) 15-4-13- • - =15— --4- 13- — = 3 4-— = 5 —
\ 4 8/21 4 21 8 21 2 2
Вопросы для самопроверки
1. Перечислите законы умножения.
2. Поясните обоснование следующего приема умножения:
1 / 1\ 1
2— • 12= 24- - • 12 = 212 4-- • 12 = 24 4- 2=26.
6 \ 6/ 6 г
3. Поясните обоснование приема:
• УПРАЖНЕНИЯ
404. (Устно.) Рассмотрите решение примеров и скажите, на каком
законе умножения основываются эти приемы вычислений:
• 3 3
3) -3 - • 4 = 3 -44- — -4= 12 4-3 = 15 ;
4 4
111 1
2) 2 — -3 4- 2— -5 = 2 — -8 = 2-8 4- — • 8 = 16 4- 2 = 18;
'4 4 4 4
1 / 1\ 1
3) 5— • 1— -4 = 5 — -4-
7 4 V 12/ 4
11 11
= 21- — = 7- —
12 4
77 1
- = 19 —.
4
4
405. Используя рациональные приемы, вычислите:
12 1
1) 5 - -2; 10 — -5; 8 — -6;
4 5 6
1
2)
2 — - — 4-3 — •
2 3 2
3 1 3 1\
— • —4 — • — .
4 5 4 5/
2
£
3
406. (Устно.) Вычислить, применяя законы умножения:
3 15 5 17 36 4 117 31
—-3—•—; — •—•!—•—; —-6— • —•— ; 30— . —.
5 23 8 18 57 7 328 10 3
407. Увеличить 3— в 6 раз, выполнив умножение двумя спо-
2
собами: обратив 3-^ в неправильную дробь; использовав
распределительный закон умножения.
158
408. Выполнить умножение двумя способами:
2 3 1 1
1) 5 - • 18; 2) 15 - • 75 ; 3) 4 — • 103 ; 4) 2 — -6.
3 25 5 3
409. Выполнить умножение, взяв сомножители в том порядке, в
каком они записаны; затем выполнить умножение, переменив
порядок сомножителей. Сравнить полученные результаты:
12 11
1) 2 — • 3 — • 4; 2) 5— -5— -16;
*23 4 2
410. Выполнить умножение, взяв сомножители в том порядке, в
каком они записаны; затем, соединив сомножители в группы
наиболее удобным для умножения способом, снова выполнить
умножение. Какие законы умножения вы применяли?
325 14 1549
2; 1 - • — • — . — ;
5 7 6 15 3 16 3 10
2 1
3) 2 — • —
' 3 5
3
- • 10 ;
4
15 3 2
4) 16 — • — • — 1 —
’ 3 7 4 5
Сложение, вычитание и умножение дробей. При совместных
действиях над дробями порядок их выполнения таков же, как
с действиями над натуральными числами; а именно: если в
выражении встречаются действия и первой и второй ступеней,
то сначала выполняются действия второй ступени, а потом —
первой.
Пример.
123 1 311 3
• — — — = 4 — +1 — — =4 — + — = 4 —
274 2 4 2 4 4
1
4 — +3— •
2 2
Всякое отклонение от этого порядка обозначается с помо-
щью скобок.
Пример.
4 3 / 3 34\ 4 3 16 4 35 16
15 — — 4 - • 1 — — - =15 — — 4 — • — =15 — —- =
7 8 \ 7 35/ 7 8 35 7 8-35
4 4
=15- —2 = 13—.
7 7
• УПРАЖНЕНИЯ
411. Выполнить указанные действия:
1) 2-)-— • 1 — • 2)2 — . — —6- 3) 1Д -2+4-1 - + 1 - 1
’ Т15 16 ’ 11 8 5 12 18 9 4
1 1 3 9 о
4) 2 — - 4 —+ 5---— -6.
' 10 6 8 20
159
412. Стоимость товара с повышением производительности труда
1 1
снизилась сначала на —, а затем еще на — новой стоимости.
5 10
Сколько стоит после двух снижений товар, стоивший раньше
4000 руб.?
413. Выполнить указанные действия:
1)
/ 4
2) (3Г5+4
Г/ 2 7\ 3 7 45\ 691 4
3) 3 — +1 — -1 —— 2——1— .
' 5 10/ 17 \ 23 46/ 80 9
414. Проверить распределительный закон на примерах:
1)
умножить на сумму чисел 1 — и — ;
3 , 1 „ 4 1
2) - умножить на сумму чисел 1 —, 2— и — .
4 2 5 2
415. Проверить равенства:
1)
5;
/1 1\ I 1 1
2) 2 — — 1 — ] • 12 — + 1 — 1=2 —
' 2 4/ \ 2 ~ 4/ 2
416. Длина сада, имеющего форму прямоугольника, равна 87— м,
Л
а ширина — на 20 — м меньше длины. Какова длина забора,
5
окружающего этот сад?
417. Два участка земли, каждый из которых имеет форму прямо-
12 1
угольника, имеют размеры: 97 —лс X 56 — ле и 78 ле X 70—ле.
Какой участок имеет большую площадь и на сколько?
418. Посадили три полезащитных лесополосы. Каждая полоса
была длиной 1200 ле, а шириной 8—ле. Найти общую площадь
этих полезащитных полос.
419. Из двух пунктов выехали одновременно навстречу друг дру-
гу два велосипедиста. Первый велосипедист может проехать
расстояние между пунктами за 6 час., а второй — за 5 час. Ка-
кая часть пути будет отделять велосипедистов друг от друга че-
рез 2 часа после их выезда?
420. Из двух пунктов вышли одновременно навстречу друг дру-
гу скорый и почтовый поезда. Почтовый поезд проходит рас-
стояние между пунктами за 12 час., а скорый — за — времени
4
почтового. Какая часть расстояния будет между поездами че-
рез 3 часа после их выхода?
160
421. Автомобиль прошел за 4 часа 180 км. В первый час он про-
шел — всего пути, во второй —— того, что прошел в первый час,
в третий — вдвое меньше пройденного за первые 2 часа вместе,
а в четвертый — остальной путь. Сколько километров прошел
автомобиль за четвертый час?
422. В первой школе 840 учащихся, во второй — на у этого числа
§
больше, в третьей----числа учащихся второй школы, а в чет-
6
з „
вертои — — учащихся первых трех школ вместе. Сколько уча-
щихся во всех четырех школах?
423. Придумайте задачи, для решения которых надо сделать сле-
дующие вычисления:
1) 30 кг— 12— кг- —; 2) (10— км + 2- км)\
2 5 4 2 6
Контрольная работа по $ 4/
1. Поясните, почему при умножении на дробь иногда произведение
будет больше множимого, иногда меньше, а иногда равно множимо-
му. Приведите примеры.
2. Умножение целого числа на дробь, если дробь отличается от 1 на
одну долю, целесообразно выполнять так:
5 / 1\ 16
25 • — =25 1---= 25 —4 — = 20 - .
6 \ 6 / 6 6
Напишите обоснование этого способа.
3. Вычислить:
1 3 /7 Щ 1 1
4— • - + 5---3— - 2 — + — .
3 26 \ 12 36/ 2 2
3 7
4. От железной полосы длиной 6— м отрезали часть, равную — ее
4
длины. Определить вес отрезанной части, если погонный метр поло-
1
сы весит 30 — кг.
Зачетная работа № 3
Вариант /
1. Причины возникновения дробных чисел. Поясните конкретными
задачами.
2. Сформулируйте правила сложения и вычитания обыкновенных
дробей. Приведите примеры.
3. Какими свойствами обладает сумма дробных чисел?
4, Всегда ли возможно сложение обыкновенных дробей? вычитание
дробей?
161
6 С А. Пономарев
5. Как изменится сумма двух чисел, если первое слагаемое увели-
1
чим на 3~, а второе слагаемое уменьшим на 1 “?
6*. Выполнить указанные действия:
1 3
а) 45 ——2 —
' 2 8
5 2 / 5 3\
—5 - + 10 — — 5 —4-6 — 1;
8 3 \ 6 4/
б)
5 17
“ + — +
12 30
17\
20/
• 60 — 55 — • — — 31.
4 7
7*.
ца
На строгальном станке с поверхности детали за три прохода рез-
7
снималось три стружки: первая толщиной см, вторая толщи-
5 1
ной — см и третья — — см. Какой толщины был снят слой с де-
64 16
тали после трех проходов резца?
8*. В овощной магазин привезли 40 ящиков помидоров. В 25 ящиках
1 2
было по 10 — кг помидоров в каждом, а в остальных — по 12 — кг.
2 5
Сколько помидоров (в кг) привезли в магазин?
9*. Для получения хорошего урожая хлопка-сырца требуется внести
на площадь в 1 га следующие удобрения: азота — 150 кг, фосфо-
2 1
ра — — веса азота и калия — — веса фосфора,
о 2
Сколько тонн азота, фосфора и калия надо для удобрения 600 га
земли под посев хлопка?
10*. Для устройства открытой эстрады выбрали в парке площадку,
1 8
длина которой была 8 —м, а ширина составляла — длины.
4 9
Сколько кубических метров досок нужно для настила этой эстра-
1
ды, если толщина досок — — м1
Вариант И
1. Сформулируйте правила умножения дробных чисел. .Приведите
примеры.
2. Что значит «найти дробь данного числа»?
3. Всегда ли при выполнении умножения чисел, среди сомножителей
которых есть смешанные числа, надо обращать смешанное число в
неправильную дробь? Привести примеры.
4. Как изменится величина дроби, если числитель увеличить в 2 ра-
за, а знаменатель уменьшить в 6 раз?
5. Дайте обоснование следующего вычисления:
—1—') = fl2 6
И/ \ И
С*. Выполнить указанные действия:
2/5 13\ 13
56 - — 1 - 4-2 ~ + 27 - -
21 V 6 14/ 30
12
5 5
6 -- = 14 — 6 - =7
6 6
6’
7*. Через сколько времени будет изготовлена
1
работку предполагается затратить: 2 — часа
деталь, если на ее об-
на токарном станке,
162
1 1
3 часа на фрезерном станке и 1— часа на строгальном станке?
о 5
8 *. 540 г груза было перевезено машинами за три дня. В первый
я 7 7
день было перевезено всего груза, во второй день — — остат-
18 11
ка, а остальной груз — в третий день.
Сколько тонн груза перевезено в третий день?
9 *. В состоянии покоя человек вдыхает 5 л воздуха в 1 мин., при
2 1
медленной ходьбе — в 2 _ раза больше, в походе по равнине — в 1__
5 2
раза больше, чем при медленной ходьбе, при подъеме в гору — в
1 — раза больше, чем в походе, а при беге — в 2 раза больше, чем при
О
подъеме в гору. Сколько воздуха вдыхает человек в 1 мин. при беге?
10 *. Сколько квадратных метров стекла нужно для остекления окон
дома, в котором вы живете, считая, что отходы при разрезании
1
стекла составляют — часть?
§ 42. ДЕЛЕНИЕ ДРОБЕЙ
Деление дроби на натуральное число. Решим задачу: «Две
одинаковые детали весят — кг. Сколько весит одна деталь»?
Как найти вес одной детали? Для этого надо найти резуль-
тат деления:
:2. Так как деление есть
действие,
обратное
умножению, а при умножении дроби на натуральное число мы
умножали числитель на натуральное число, то выясним, не до-
статочно ли для деления указанной дроби на натуральное чис-
ло умножить ее знаменатель на 2. Получим (рис. 82):
5 5 5
— : 2= — = — .
6 6-2 12
Как проверить правильность решения? Для этого надо дробь —
умножить на 2. Имеем:
5 5-2 5
— • 2 = — = —.
12 12 6
Рис. 82.
6*
163
Получили делимое, следовательно, деление выполнено пра-
вильно.
Чтобы разделить дробь на натуральное число, достаточно умно-
жить на это число знаменатель, сохранив без изменения ее числи-
тель.
Пример,
з з з
— : 5 = — = — , в общем виде:
4 4-5 20
а а
— :п — — ,
Ь Ь-п
где а, Ъ и п — натуральные числа.
♦ Если числитель дроби имеет общий делитель (отличный
от 1) с данным делителем, то надо сначала сократить дробь:
1 :10 _8_ _ _1 = 1
9 9 10 9-5 45
Деление смешанного числа на натуральное число. Чтобы
разделить смешанное число на натуральное число, необходи-
мо предварительно обратить смешанное число в неправильную
дробь, а затем выполнять деление.
Пример.
171:5 = 88:5=^5=^=31.
2 2 2-5 2 2
♦ Если целая часть делимого делится нацело на делитель, то
действие нужно производить другим способом, а именно от-
дельно делить целую часть и отдельно — правильную дробь.
Пример.
25— : 5 = 25:5 + — : 5 = 5 + — = б1.
2 2 10 10
Делить в этом случае обычным способом будет более гро-
моздко :
Вопросы для самопроверки
1. На какое число нельзя делить дробь?
2. При делении дроби на натуральное число получили снова эту
дробь. Чему равнялся делитель?
3. Как разделить правильную дробь на натуральное число?
4. В каком случае при делении смешанного числа выгоднее делить
отдельно целую часть и отдельно правильную дробь?
164
• УПРАЖНЕНИЯ
424. Уменьшить:
1) 7 в 5 раз; 2) — в 2 раза; 3) — в 7раз;
6 4 7
4) | в 4 раза; 5)^ в 5 раз; 6) — в 88 раз.
9 17 45
426.
2
425. (Устно.) 1) Два одинаковых болта весят — кг. Сколько весит
5
один такой болт?
9
2) Разделить — м на три равные части.
(Устно.) Выполнить деление:
1) - : 5; 2) - : 2; 3) - : 4; 4) - : 7.
6 5 ' 11 25
427.
428.
429.
Выполнить деление:
1) 1 — : 2; 2) 1- : 3; 3) 3- : 3; 4)2-: 17.
2 2 3 6
Выполнить деление наиболее удобным способом:
1) 6- : 2; 2)3—: 3; 3) 12- : 4; 4) 10-: 5; 5) 14-:7;
' 7 11 ' 9 16 3
6) 18— : 9; 7) 28 - : 25; 8) 126- : 25.
5 5 4
23 одинаковые детали весят вместе 28— кг. Сколько весит
4
одна деталь?
430. За 3 часа велосипедист проехал 38 км. Сколько километ-
ров он проезжал в среднем за 1 час?
Нахождение числа по данной его дроби. Среди задач на
дробные числа встречаются задачи, когда по данной дроби чис-
ла надо найти само число. Эти задачи являются обратными по
отношению к задачам на нахождение дроби данного числа
(§ 41). Выведем правило решения задач на нахождение числа
по его дроби, рассмотрев решение следующих двух задач.
ТТ ТТ 3
Первая задача. Для настила —площади пола израсхо-
5
довали 9 досок. Сколько таких досок понадобится для всего
пола? (Рис. 83.)
Решение. Зная, что для настила — всей площади пола тре-
5
буется 9 досок, найдем, что для настила— всего пола требуется
5
165
3
5
Рис. 83.
3 доски, а следовательно, для всего пола
потребуется досок в 5 раз больше, т. е.
15 досок.
Рассматривая рисунок 83, вы видите,
1
что на — всего пола идет 3 доски, а следо-
5
вательно, на весь пол пойдет 15 досок.
Приведенное рассуждение можно заме-
3
нить следующей записью: — площади по-
5
ла составляют 9 досок;
9
» составляет — досок;
9-5 , _
» составляют —= 15 досок.
задача. Длина части Тур-
Решен
и е.
1
— »
5
5
— »
5
Вторая
ксиба, находящейся на территории Казах-
з
стана, равна 1125 км, что составляет —
всей его длины. Вычислить длину Турк-
сиба.
—всей длины Турксиба составляют 1125 км. Зна-
4
1 о 1125 «
чит, —его будет в 3 раза меньше, т. е. — км, а вся длина будет
4 3
в 4 раза больше:
1125-4 .
—-— = 1500 (км).
Рассматривая решения приведенных двух задач, выводим
правило:
Чтобы найти число по данной величине его дроби, достаточно раз-
делить эту величину на числитель дроби и результат умножить
на знаменатель дроби.
• УПРАЖНЕНИЯ
431. (Устно.) 1) — всего расстояния между двумя селами состав-
3
ляет 8 км. Каково расстояние между селами?
2) В бак налили 15 л воды, и при этом бак наполнился на —
5
своего объема. Каков объем бака?
432. (Устно.) Предельный возраст белки —6 лет, что составляет
3
— предельного возраста зайца. Каков предельный возраст
5
зайца?
166
433. Предельный возраст льва — 35 лет,
7
что составляет — предельного возрас-
7
та медведя и предельного возраста
слона. Каковы предельные возрасты сло-
на и медведя? (Рис. 84.)
434. (Устно.) Найти число.
2 3
1) —которого составляют 10; 2) — кото-
5 7
рого составляют 21.
435. Найти число:
1) — которого равны 288; 2) — кото-
13 23
рого равны 7.
436. Найти число:
1 2 9
1) — которого равна — ; 2) — которо-
2 5 16
1
го равны — .
437. Найти х, если:
1) И . х=36; 2) — •х = 225;
19 31
3)5-.х = 4.
438. Найти х, если:
Рис, 84.
1) - • х = 1 —; 2) -• х = 15—; 3)
9 18 27 3 ’
= 1 м
100 125'
2 3
439. 1) Найти число, — которого равны — от 160.
3 4
2 5
2) Найти число, — которого равны — от 240.
5 6
440. На выпечку хлеба израсходовано 224 кг муки,
должно получиться хлеба, если вес муки
хлеба?
441 13 Расстояния от Москвы до Ленинграда составляют 150 км.
Сколько километров от Москвы до Ленинграда?
442. Столб, врытый в землю на своей длины, возвышается над
землей на 5 — м. Определить длину столба.
2
Сколько
7
составляет —веса
10
167
443. Сахарный песок при переработке в рафинад теряет — своего
15
веса. Сколько надо взять сахарного песка, чтобы получить
104 кг рафинада?
444. Составить задачу, для решения которой требуется разделить:
1) 25 кг на —; 2) 24 руб. на —; 3) 200 км на —.
6 3 5
Деление дробей. Мы знаем, что в множестве натуральных
чисел деление есть действие, где по данному произведению двух
сомножителей и одному из них находят другой сомножитель
(§ 10). Условимся считать это определение справедливым и для
дробных чисел.
Мы уже познакомились с делением дроби на натуральное
число. Рассмотрим еще два случая деления дробей: деление
натурального числа на дробь и деление дроби на дробь.
Деление натурального числа на дробь. Пусть надо 7 разде-
2 , -
лить на —, т. е. требуется наити такое число, которое, будучи
3
2
умножено на—, даст в результате 7. Обозначим неизвестное
2
число буквой х и запишем решение задачи: 7:— = х, Отсюда по
3
2
определению деления дробей — • х = 7.
з
„ 2
Значит, — неизвестного числа х составляют 7;
3
1 7
— неизвестного числа х составляет —;
3 2
3 7 „ 7-3
— неизвестного числа х составляют —-3=—‘
3 2 2
- 2 7-3 21 1
Следовательно, 7: — = — = — =10 —.
3 2 2 2
Чтобы разделить натуральное число на дробь, надо это число
умножить на знаменатель данной дроби и полученное произведе-
ние взять числителем, а знаменателем сделать числитель данной
дроби.
В общем виде это правило записывается так:
Ь ас
где а, b и с — натуральные числа.
3 2
Деление дроби на дробь. Пусть надо — разделить на — , т. е.
5 3
требуется найти такое число, которое, будучи умножено на —,
168
3
даст в результате—. Обозначим неизвестное частное буквой х
5
3 2
и запишем задачу: — : — = х. Отсюда по определению деления
5 3
2 3
дробей • х — —.
2 3
— неизвестного числа х составляют —;
3 5
1 3
— неизвестного числа х составляет — ;
3 5-2
3
— неизвестного числа х составляют
3
„ 3 2 3 3 9
Следовательно, — : — = — = —.
5 3 52 10
3 3 3
— • з = —.
5-2 5-2
Чтобы разделить дробь на дробь, надо числитель первой дроби
умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой дроби —
на числитель второй и первое произведение взять числителем, а
второе — знаменателем.
В общем виде это правило записывается так:
а с ad
b d be’
где а, Ь, с nd — натуральные числа.
Если в делении участвуют смешанные числа, то предвари-
тельно их обращают в неправильные дроби и затем производят
деление по правилам деления дробей.
Примеры.
1)2:з1 = 2Л0 = ^3Л;
3 3 10 5
3 Е 1 31 11 31-2 31 „ 9
4 2 4 2 4 11 22 22
Напоминаем, что как при умножении, так и при делении дро-
бей сокращать дроби надо (если это возможно) до вычисления
произведений числителей и знаменателей.
Взаимно обратные числа. Две дроби, у которых числитель
первой дроби является знаменателем второй, а знаменатель
первой является числителем второй, называются взаимно об-
ратными.
_ 3 _ — 4 8 л 5
Например: —, а обратная ей дробь——; —, а обратная —
4 3 5 о
Так как мы можем считать, что натуральное число имеет зна-
менатель 1 , то и натуральное число имеет себе обратное число.
5 имеет обратное число 12, а обратное — .
Легко подметить свойство взаимно обратных чисел.
169
Произведение взаимно обратных чисел равно 1.
Примеры.
1)--
6 5
— = 1; 2) 1-. - = 1; 3) - • 5 = 1.
6-5 57 5
Замена деления умножением. Если взять выражение —
и поставить вопрос: откуда получен такой результат — от де-
ления на дробь или от умножения на дробь, то определенный
„ 4-5
ответ нельзя дать. Результат— может получиться от умноже-
6
.5 . 6 -
ния 4 на — и от деления 4 на —. В обоих случаях получается
6 5
один и тот же ответ. Поэтому мы можем сказать: деление од-
ного числа на другое можно заменить умножением делимого
на число, обратное делителю.
Приведем примеры, иллюстрирующие это правило:
5 5 5 7 3 7-4 28 1
— : 4 = — = —; — : — - — — — = 1 —;
6 6-4 24 8 4 8-3 24 6
£ ___L_A. L 4 7-4 28 2.
6 ' 4 ~ 6'4 — 24’ 8 ' 3 “ 8-3 ~ 24 6*
Чтобы разделить одно число на другое, достаточно делимое умно-
жить на число, обратное делителю.
Таким образом, это одно правило охватывает все случаи де-
ления дробей.
Вопросы для самопроверки
1. Скажите правила: а) деления натурального числа на дробь;
б) деления дроби на дробь.
2. Какие числа называются взаимно обратными? Их свойство.
3. Скажите правило деления дробей, охватывающее все случаи де-
ления дробей.
• УПРАЖНЕНИЯ
445. Какова скорость поезда в 1 час, если он проходит:
1) за 2 часа 100 км;
2) за часа 30 км;
g
3) за — часа 45 км;
4
2
4) за — часа 20 км?
5
170
Выполнить деление:
446. 1) 4: —; 2) 8 : —; 3) 16: 4) 25: -
3 5 7 11
447. 1) 1:1 — ; 2) 3:1-; 3) 12 :2~; 4) 1:3-
4 2 3 6
448. Найти числа, обратные данным:
5;7;1; —;
2 10
1 -3; 11; зА; 151.
5 15 2 5 3
449. Выполнить деление,
заменив его умножением:
1)1.1; 2) 11.18; 3) 56:-; 4)2-
4 2 ' 35 ' 15 57 38
450. Выполнить деление:
1)1;1; 2) --:1; 3)1;—; 4) - :
2 4 9 99 7 2 10 3 12
451. 1)11:21; 2) 1-:11; 3) 8^ :11;
2 2 3 9 5 20
4)12^ :31; 5) 20 —: 1()1; 6) 4 А :1 А.
5 10 7 7 23 23
452. Найти число:
4 2
1) — которого равны —; 2)
9 3
11
— которого
36
7
равны —.
453. Найти х, если:
*4
3. 6 18
—, 2) — • х = —;
10 7 23
3) 21. х
2
£
6'
454. Составить
делить:
«7
задачу, для решения
которой требовалось бы раз-
кг на 3;
г>\
2) — кг на
4
1 ох 5
— кг; 3) — га
2 6
з
на — га.
4
455. Выполнить деление:
15 : —
17
1 4
11 — —
3) —А-?-1.
1
4 —
4
2
умножить НЯ—,
4 4
4— : —
5 17
2
3 —
5
2)
то получится
456. 1) Если неизвестное число
10. Найти, неизвестное число.
3 1
2) На какое число надо умножить 9 —, чтобы получить 7—9
4 11 *
171
457. Не выполняя деления, определить, что больше:
1) 5 или 5 : — ? 2) 3 или 3 : — ?
4 7
2
458. За сколько времени можно пройти 14-^к.м, если идти со сред-
б
ней скоростью 4— км в час?
з
459. Рабочий за 2 часа выполнил —всей работы. Сколько време-
ни потребуется ему для выполнения всей работы?
4
460. Тракторист вспахал — площади отведенного ему участка за
5
1 час 36 мин. Через сколько времени он закончит пахоту остав-
шейся площади участка?
461. Велосипедист проезжает 1 км за 5 мин., а пешеход проходит
2 —км за полчаса. Во сколько раз скорость велосипедиста боль-
4
ше скорости пешехода? Какую часть скорости велосипедиста со-
ставляет скорость пешехода?
462. Первая труба наполняет бассейн за 2— часа, а вторая — за
2
3 часа. За сколько времени обе трубы наполнят бассейн, если
будут открыты одновременно?
з
463. Когда турист проехал — всего пути между двумя городами,
то до половины пути ему осталось проехать 15 км. Найти рас-
стояние между городами.
5
464. Когда с продовольственной базы перевезли в магазины —%
всего запаса крупы, то на базе осталось на 5 ц больше полови-
ны всего запаса крупы. Сколько крупы было на базе?
465. Земля при своем движении вокруг Солнца проходит пример-
но путь в 9 000 000 000 км за 1 год (365 — суток). Какое рас-
4
стояние проходит Земля за 1 сутки? За 10 суток? За 1 час?
466. Длина орбиты Луны вокруг Земли (линия, по которой дви-
жется Луна) примерно 2 400 000 км. Какое расстояние прохо-
дит Луна за 1 сутки, если полный оборот вокруг Земли она со-
вершает за 27 — суток? Какое расстояние пройдет Луна за 4 су-
ток? За 1 час?
,♦ Свойства деления дробей. 1. Из свойства деления натураль-
ных чисел мы знаем: чтобы разделить произведение на неко-
торое число, достаточно разделить один из сомножителей на
это число, а затем полученное частное умножить на остальные
сомножители.
172
Проверим справедливость этого свойства деления для дро-
бей. Надо показать, что
/£ AV £ _ 1 М
\ 3 ' 5 / ' 7 “ 3 Л 5 ' 7 )'
На основании правила деления дробей имеем:
/_2 Л _ _1\ 7
\ 3 ' 5 / 7 = \ 3 ' 5 / ' 6'
На основании сочетательного свойства умножения:
^з ’ 5/’ 6 ~ з Че ’ в/
и на основании правила деления дробей запишем:
2 /4 _7\_ 2 /_4 _6\
3 ’ \б ’ 6/~ 3 ' \5 ' 7/'
Этим свойством пользуются для ускорения вычислений.
Пример.
/48 13\ 24 _ /48 24\ 13 _ 13 _ 26 _ 11
\53 ‘ 15/ ' 53 “ \53 ' 53/ ' 15 “ ’ 15 ~ 15 =15 ’
* 2. Чтобы разделить сумму чисел на число, достаточно разде-
лить каждое из данных чисел на это число и полученные ча-
стные сложить.
Проверим справедливость этого свойства. Надо показать,
что
/4 2\ 7 _ 4 7 2 7
\ 5 + 3/ ‘ 8~ 5 8 + 3 ' 8*
На основании деления дробей имеем:
/4 2\ J7/4 8
\ 5 3/ ’ 8~\5+ 3/ 7*
На основании распределительного закона умножения запи-
шем:
(4 2^ 8_2 Ji - 2
и+ЗЛ7~5‘7+з’7’
И на основании правила деления дробей имеем:
4 8 2 8_j4 7 2 7
б’ 7 + 3 ’ 7 ~ 5 8 + 3 8'
Пример.
15—: 5 = /15+-Уб=3 + -= 3-i.
12 \ 12/ 12 12
173
Аналогично можно показать справедливость этого свойства
для деления разности.
3. Если делимое и делитель умножить или разделить на
одно и то же число, не равное нулю, то частное останется без
изменения.
Проверьте это свойство на примере:
3-:2= (з- :5] : /2:5
2 \ 2 ) \ .
Все правила о зависимости между данными и результата-
ми действий при умножении и делении натуральных чисел
(§ 24) остаются справедливыми и для дробных чисел.
• УПРАЖНЕНИЯ
467. Выполнить указанные действия:
4 1-5-2
I)-2 3
63
4
4—
2)-----—
11 - -5-
3 4
22 —
15:-
8
2- :3 —
3___2
12
5
3-
8
468. Найти х:
1)9 — . х=7-; 2)
4 11
:2-=9-; 3)
4 8 '
х:
-=3-; 4)
8 7
х - —=25.
5
х
2
3
6 я < 3 о
—, чтобы получить 1 — ?
2) На какое число надо умножить 2 — , чтобы получить 1?
469. 1) Какое число надо умножить на
2) На какое число надо умножить 2 — , нииы получить ±г
3
470. 1) От умножения — неизвестного числа на — получили 30.
2 4
Найти неизвестное число.
2 3
2) От деления — неизвестного числа на 1 — получили 25.
3 5
Найти неизвестное число.
471. (Устно.) Как изменится произведение двух чисел, если:
1) одно из них умножить на-; на
3
2) одно из них разделить на -; на
5
2 .
5 ’
5.
6 ’
3
на —;
7
1 2
на 1 - ?
з
472. (Устно.) Как изменится частное, если:
1) делимое умножить на 2 — ;
з
2) делимое разделить на 5 -- ;
2
174
3)
4)
473.
1)
2)
- 1 .
делитель умножить на 1— ;
2
2
делитель разделить на 10— ?
5
Как изменится произведение двух чисел, если:
2 1 1
множимое умножить на —, а множитель разделить на 1 —;
5 2
„ 1 1
множимое умножить на 2 - , а множитель разделить на -- ;
3) множимое разделить на — , а множитель умножить на — ;
8 б
4) множимое разделить на 3 — , а множитель — на — ?
2 2
474. Как изменится частное, если:
1)
2)
3)
4)
, 1
делимое и делитель умножить на 1 — ;
з
2 1
делимое умножить на "Г » а делитель — на ,
О о
. 1 „ 1
делимое разделить на 1 —, а делитель — на 2 —
2 2
3
делимое умножить на — , а делитель разделить
4
1) К какому числу надо прибавить 1 —, чтобы получить удво-
2
на - ?
2
475.
енное взятое число?
2) К какому числу надо прибавить 3 —
3
ное взятое число?
чтобы получить утроен-
Контрольная работа по $ 42
5
1. Найти частное от деления 125 — на 25, пользуясь свойством де-
ления суммы на число.
1 2
4 - • 12-
5 3
2. Вычислить: -----------.
5-
3
3. Скорость света в одну секунду — 300 000 км. Расстояние от Солн-
1
ца до Земли свет проходит за 8 мин. Чему равно расстояние от
О
Земли до Солнца?
4. Слесарь делает 32 детали за 5 час. За сколько времени, работая
с той же производительностью, он изготовит 48 деталей?
175
5. За 7 — месяцев мартеновская печь дала 625 плавок. Сколько еще
Л
плавок даст печь до конца года, если будет работать с той же произ-
водительностью?
Зачетная работа № 4
Вариант /
1. Что такое дробь? Какие вы знаете виды дробей?
2. Сформулируйте главное свойство дробей и укажите, где мы при-
меняем это свойство.
Проверьте сочетательный закон на умножении трех чисел:
2 5 8
3.
4. Всегда ли возможно вычитание дробных чисел?
5. Как изменится дробь, если числитель ее увеличить на число, рав-
ное знаменателю?
6 *, Выполните указанные действия:
36:4 —4-
О о
e^l-1
11 8
7 *. На основании зависимости между компонентами и результатами
действий найти:.
3
4
= 11.
8 *. Дым от 25 папирос содержит 125 мг яду никотина. Сколько яда
примет человек за один день, если он за это время выкурит 20 па-
1
пирос и от каждой из них в его организм попадает —- часть нико-
5
тина?
9 *. На весь маршрут загородный автобус затрачивает 2 часа 36 мин.,
делая при этом 14 остановок, в среднем по полторы минуты каждая.
Чему равна длина всего маршрута автобуса и какова средняя ско-
1
рость движения, если на прохождение 1 км он затрачивает 2 — мин.,
не считая времени на остановки?
10 *. Первая бригада заасфальтировала 2 км 100 м шоссе, вторая —
1 2
в 1 — раза больше первой, а третья — — того, что заасфальтиро-
5 3
вали обе первые бригады вместе. Длина заасфальтированного участ-
14
ка составляет всей длины шоссе. Какова длина всего шоссе?
Вариант И
1. Напишите правила умножения и деления дробей и приведите
примеры.
2. Поясните, почему при умножении на дробь иногда произведение
будет больше множимого, иногда меньше, а иногда равно множимо-
му. Приведите примеры.
3. На какое число умножили дробь, если в произведении получи-
ли 1? В произведении получили 0?
4. Умножение целого числа на дробь можно производить, предста-
вив множитель в виде суммы слагаемых следующим образом:
176
13 / 8 4 1 \ /1 1 1 \ 1 1
24-—=24- — + — + — =24- - + - = 12 4 6 + 1- = 19-
16 +6 16 16/ /2 4 16/1 Т 2 2’
Напишите обоснование этого приема,
g
5. Проверьте распределительный закон на умножении — на сумму
4
4 2
чисел — и 2—.
9 3
6 *. Выполните указанные действия:
7 53 1 9 7 / 4 1 7 17\ 1
21- : 5-4— • 3- —2- +3 - : - . 1-4
8 6 10 3 20 9 \ 5 3 20 18' 5
7*. На
действий найти:
/ 3 1\ 6
1-- х — 6- : -= 1.
\ 4 7/7
основании зависимости между компонентами и результатом
8 *. Маршрут автобуса имеет длину 16 км. На протяжении этого
3
маршрута автобус делает 36 остановок, по — мин. в среднем каж-
4
дая. Средняя скорость автобуса — 30 км в час. Сколько времени тре-
буется автобусу на совершение одного маршрута?
9 *. На обточку четырех деталей рабочий затратил в среднем по
4
1— часа на каждую деталь. На обточку первой детали он затра-
5
1 4
тил 2— часа, на обточку второй детали он затратил на — часа
меньше, на обточку третьей детали — 1 час 40 мин. Сколько време-
ни затратил рабочий на обточку четвертой детали?
10 *. При размоле пшеницы получается манной крупы
4
го количества, муки — —-
5
50
от все-
а остальную часть составляют отруби.
Сколько манной крупы, муки и отрубей можно получить из 3 кг
пшеницы?
§ 43. РЕШЕНИЕ ПРИМЕРОВ И ЗАДАЧ НА ВСЕ ДЕЙСТВИЯ
С ОБЫКНОВЕННЫМИ ДРОБЯМИ
При вычислении дробных выражений, кроме твердого зна-
ния правил действий над дробями, надо строго соблюдать пра-
вила о порядке действий. Правила о порядке действий над дро-
бями те же, что и правила о порядке действий над натураль-
ными числами.
Напомним главные из них:
♦ 1. Если в выражении имеются действия одной ступени, то
вычисления ведутся в порядке их записи.
Пример.
2 44 444 44
177
2. Если в выражении имеются действия первой и второй
ступеней, то сначала выполняются действия второй ступени, а
потом — первой ступени.
Пример.
2-1+3. 1-=4 —1- = 2-.
22 5224 44
3. Если в выражении имеются скобки, то сначала выполня-
ют действия в круглых скобках, затем — в квадратных, за-
тем — в фигурных и, наконец, без скобок.
Пример (ограничимся только квадратными скобками).
Г5-+8-• ('10--3-)] • -.
L 3 5 \ 6 4/J 17
Вычисляем последовательно:
1) 10- — 3- =10 --3- = 7 —;
6 4 12 12 12
2)8-?.7^=^5= 1^ = 129 = 59
5 12 5 -12 1-2 2 2
3) 5- + 59 —= 5 — + 59 — =64- =65-;
3 2 6 6 6 6
А 1
Ответ. 11 - .
2
При решении примеров на все действия с обыкновенными
дробями надо внимательно посмотреть на числа и знаки дейст-
вий между ними и наметить план решения.
При составлении плана надо:
а) Избрать наиболее целесообразный прием решения, напри-
мер, пусть надо вычислить:
8- +1- .1 - +2-.
5 2 4 5
Этот пример можно решить так~
1)11 -1-? _ 3 7 3-4 6
’ 2 " 4~2’4 = 2- 7~7’
2)8-Ц--Н-2-=10 21 + 3<)+14 =10 в-5 =11 “= 11 «.
5^7 5 35 35 35 7
Но целесообразнее решить так:
1) 1 1 .11 3 7 3 • 4 _6
’ 2 4 2 4 2-7~7’
178
2) 8- +2— =10 —= 11;
5 5 5
3)И+-?=11*.
б) He производить с дробями операций, которые усложняют
вычисления, например:
Этот пример можно решить так:
1) 12:31 =12: ^1 = Ш = — = з 1;
’ 5 5 18 3 3
2)3---=2^=^ =2-- 3)2-- = --= —
3 3 3 з’ 33 3 33-2
Целесообразнее решить этот пример так:
1) 12-3— =12: -
' 5 5
12-5_ 10.
18 ~ 3 ’
2)1°_1=Л; 3)8:2=^-3
3 3 3 3 3 3-2
Из рассмотрения приведенных решений надо сделать вывод,
что если в последующей операции надо выполнять действие де-
ления или умножения, то выгоднее не исключать целое число.
в) Выполнять действия устно, где представляется возмож-
ность, например:
14 —f 10—— 5—^ - 2=14 —5 -• 2= 14 — 10 1 = 3-.
\ 13 13/ 13 13 13
устно устно устно
• УПРАЖНЕНИЯ
Выполнить указанные действия:
476. 1) 2:1 4-1:2+ 1 — : 6 + 6 : 1 —;
5 5 2 2
2) 6-1-8 — 3-1- 5-1+21-4-1;
4 3 2 -» 5 12
3) 2 -1 - 48 — 3 - : 1 + 51 : 1 .
2 3 18 12 36
477. 1) (31 -2-1 + 5-1 +4-1) • 24;
у а о D О /
2)/б 1 + 18 1-7 IV 16 1;
' \ 8 2 24/ 3
179
2) (в - -3
\ 15
3
4
Ч- 4 - — 8
5
479.
480.
3)
1 А
13
з , 4 t ]
12—. 3—— 4—- 4-1
1)-----
4 11 8
11 - : 2-
3 7
fl —+ 2-+-3-') 3-
„Д 2^ 3 4/ 5
11
14-15 —:2 —
8 5
.. Г /15 11\ 21 . _ 6 .
[ \28 36/ 29 ' 7
2) Г f4 — — 1 —) 4 — 4-f
2)
28— : 13- + 6- : -
5 7 5 3
1 У : 2-1
16 4
16
21
3*
9
: 16 1;
2
-1^
6 /
18] . „ 3 .
25J ' 4 ’
1 А к А • з А __ /А3 _ 2?'|
40 ’ [ 7 5 \56 35/
14±_бУ + 12— —7 А
331
4oJ ‘
481. 1) —------/-2 — . 31;
юА-з- 34
3 12
1 — - 3 — 4-16 А _ 9 ; 2 А 12А_б1А;61
ЗбА:15+8А.7 2 А : А 24 . А
з з 8 4 9
12 — + 8^:21 7 А—157 1.-24
3 7 7 3 5
482. Найти х, если:
1)—. х 4-25 = 100; 2) 1.x —20 = 56;
8 9
3) А • х — 501 = 19 1; 4) 40 - А. х-- 3'1.
15 4 4 ’ 8 2
180
3 1
483. 1) Если к ^неизвестного числа прибавить 10 —, то получит-
ся 13 —. Найти неизвестное число.
2
7 1
2) Если от — неизвестного числа вычесть 10 > то получится
2
15 — . Найти неизвестное число.
5
g
484. 1) Если от — неизвестного числа вычесть 10 и полученную
4
разность умножить на 5, то получится 100. Найти число.
2
2) Если неизвестное число увеличить на— его, то получится 60.
Какое эТо число?
Задачи на нахождение дроби числа. Повторите из § 41 воп-
рос о нахождении дроби числа.
Задача. При обычном размоле пшеницы получается муки
4 „1
— всего количества, манной крупы — — , а остальную часть со-
ставляют отруби. Сколько муки, манной крупы и отрубей мож-
но получить из 3 т пшеницы?
Решение. Сначала найдем — всего количества пшеницы,
5
4
а затем — такие же 4 части, т. е. — от 3 т. Далее найдем коли-
5
чество манной крупы (-^ от 3 т) и затем — количество отрубей.
Это решение можно записать так:
1)3 - — =2 —(т ); из 3 т пшеницы будет получено 2— т крупы;
5 5 5
2)3 ^ = ^(г); из Зт пшеницы будет получено Дт крупы;
3)1— — + — ) = — ; — от всего количества пшеницы превраща-
\ 5 50/ 50 50
ется в отруби.
9 27 27
4) 3 • — = — (г); на 3 т пшеницы получено — т отрубей.
Ответ. 2 — т; — т — т
5 50 50
485. Урожай картофеля при квадратно-гнездовой посадке состав-
ляет в среднем 150 ц с 1 га, а при обычной посадке —— этого
5
количества. На сколько больше можно собрать картофеля с
площади в 15 га, если картофель сажать квадратно-гнездовым
способом?
181
486. В трех гаражах помещается 460 машин. Число машин, поме-
з
щающихся в первом гараже, составляет числа машин, поме-
4
ч 1
щающихся во втором, а в третьем гараже — в 1 раза больше
машин, чем в первом. Сколько машин помещается в каждом
гараже?
487. Пионеры собрали в течение трех дней 56 кг разных семян.
В первый день было собрано — всего количества, во второй —
в 1 ~ раза больше, а в третий день — все остальное. Сколько
килограммов семян собрали пионеры в третий день?
488. Четыре звена пионеров собрали 602 кг железного лома. Пер-
е 3 ,1
вое звено собрало — всего количества лома, второе — в 1— раза
больше, третье — — того, что собрали первые два звена вместе,
5
и четвертое — остальное. Сколько килограммов железа собрало
каждое пионерское звено?
Задачи на нахождение числа по его дроби. Повторите из
§ 42 вопрос о нахождении числа по данной его дроби.
о 2
Задача. Выход масла из сливок составляет — веса сливок,
4
а выход сливок из молока составляет — веса молока. Сколько
25
требуется молока, чтобы получить 1 ц масла?
Решение. Количество масла является частью (дробью) ко-
личества молока, а если мы будем знать, какую часть молока
составляет масло, то, зная количество масла, найдем количест-
во молока. Примем за единицу искомое количество молока.
1 4 4 4
А) 1- — = —; —количества молока составляют сливки;
25 25 25
2
9
8
225
8
225
225
8
ния 1 ц масла.
2)-
25
3) 1
8
; — количества молока составляет масло;
i 225
1 1
= 28—; 28— ц молока требуется для получе-
8 8
Ответ. 28 — и
8
• УПРАЖНЕНИЯ
2 1
489. Из резервуара с керосином отлили сначала ~» а потом — все-
О О
го керосина и после этого в резервуаре осталось 8 т керосина.
Сколько керосина было в резервуаре первоначально?
182
490. Велосипедисты участвовали в гонках три дня. В первый день
4 „2
велосипедисты проехали - всего пути, во второй---, а в тре-
15 5
тий день — оставшиеся 100 км. Какой путь проехали велоси-
педисты за три дня?
491. Ледокол три дня пробивался через ледяное поле. В первый
1 з
день он прошел — всего пути, во второй день---оставшегося
2 5
пути и в третий день — остальные 24 км. Найти длину пути,
пройденного ледоколом за три дня (рис. 85).
492. Комбайнер убрал урожай пшеницы с одного участка за три
5
дня. В первый день он убрал урожай с — всей площади участ-
18
7
ка, во второй день — с — оставшейся площади и в третий
день — с остальной площади в 30 —га. В среднем с каждого гек-
2
тара собрано 20 ц пшеницы. Сколько пшеницы было собрано
на всем участке?
Задачи на нахождение среднего арифметического. Повто-
рите из § 28 понятие о среднем арифметическом нескольких
чисел.
3 а д а ч а. За натирку полов в квартире, в которой жили три
семьи, было уплачено 4 руб. 16 коп. Первая семья занимала
площадь в Зб| кв. м, вторая —24-^- кв. м, а третья —43 кв. м.
Сколько уплатила каждая семья?
Решение. Зная, сколько стоит натирка 1 кв. м пола, легко
найти стоимость натирки пола жилой площади каждой семьи.
Запишем решение задачи.
1) Какова площадь пола всей квартиры, исключая места обще-
го пользования?
36 - + 24- +43 = 104 (кв. м).
2 2
2) Сколько стоит натирка 1 кв. м пола?
416:104 = 4 (коп.).
183
3) Сколько уплатила первая семья?
36 — >4 = 146 (коп.) = 1 руб. 46 коп.
2
4) Сколько уплатила вторая семья?
24-j -4 = 98 (коп.).
5) Сколько уплатила третья семья?
43 >4 = 172 (коп.) = 1 руб. 72 коп.
Проверка. 146 + 98 + 172 = 416 (коп.).
Ответ. 1 руб. 46 коп.; 98 коп.;
1 руб. 72 коп.
• УПРАЖНЕНИЯ
493. Первая в мире женщина-космонавт Валентина Терешкова
в июне 1963 г. на корабле «Восток-6» совершила 48 оборотов
вокруг Земли за 71 час. За сколько часов в среднем она совер-
шала один оборот вокруг Земли?
494. Найти среднее арифметическое:
1) 10 и 5 - ; 2) 6 1 и 8 - ;
2 3 5
3) 25 — и 42— ; 4) 15- , - и 6-.
5 6 5 4 2
495. 1) Среднее арифметическое двух чисел 6 — . Одно из чи-
6
сел 3 —. Найти другое число.
4
2) Среднее арифметическое двух чисел 14—. Одно из этих
4
чисел 15 — . Наити другое число.
6
496. Тракторист выполнил задание за три дня.
он вспахал 12 -i га, во второй день — 15-^
день —14 — га. Сколько в среднем гектаров
2
тракторист за день?
497. Отряд школьников, совершая трехдневный
ход, находился в пути в первый день 6 — часа, во второй день
О
л 2 _
7 час. и в третий день 4 — часа. Сколько часов в среднем еже-
з
дневно находились в пути школьники?
В первый день
га и в третий
земли вспахал
туристский по-
184
>5?
3 —
О 2
Рис. 86.
Задачи на нахождение чисел по их сумме и разности. За-
дача. Сумма двух чисел 15-^, а их разность 3-^. Найти эти
числа (рис. 86).
Решение. Изобразим условие задачи графически. Наме-
тим план решения. Длина отрезка АС соответствует сумме чи-
сел, длина отрезка ВС показывает, на сколько одно число боль-
ше другого, и отрезок АВ — удвоенное меньшее число. Отсюда
решение:
1) Чему была бы равна сумма двух чисел, если второе число
было бы равно первому, или, короче, чему равно удвоенное
меньшее число?
15 — _31 = 12—2 = 12-.
4 2 4 4
2) Чему равно меньшее число?
12 — : 2 = 6- .
4 8
3) Чему равно большее число?
6-+3-= 9 —.
8 2 8
Ответ. 6— и 9 — .
8 8
• УПРАЖНЕНИЯ
498 *. 1) Сумма двух чисел 7—. Одно число больше другого на
2
4
4 — . Найти эти числа.
5
8 1
2) Сумма двух чисел 84 — , а их разность 34 — . Найти эти
числа.
499. Моторная лодка шла по течению со скоростью 14 — км в
2
час, а против течения со скоростью 12 км в час. Найти ско-
рость течения реки и скорость лодки в стоячей воде.
1 Задачи № 498—504 и др. можно решать с помощью уравнений
(см. 91 стр.).
185
Рис. 87.
Указание. В условии задачи дается сумма искомых скорос-
тей (сумма двух чисел) и их разность (скорость против течения рав-
на разности искомых скоростей).
Задачи на нахождение чисел по их сумме (разности) и их
кратному отношению. Задача. Сумма двух чисел 15—, одно
2
из них в 3 раза больше другого. Найти эти числа (рис. 87).
Решение. Примем меньшее число за одну условную еди-
ницу. Тогда большее число состоит из трех таких же единиц.
Из рассмотрения графического условия задачи видим, что сум-
ма 15 — равна четырем условным единицам, где одна услов-
ная единица есть первое (меньшее) число.
1) Сколько условных единиц содержит число 15 — ?
1 + 3 = 4 (условн. един.).
2) Чему равна условная единица, или чему равно меньшее
число?
1 7
15 — :4 = 3 -.
2 8
3) Чему равно второе (большее) число?
3 - • 3 = 9— =11 - .
8 8 8
Ответ. 3 — и 11 — .
8 8
• УПРАЖНЕНИЯ
500. 1) Сумма двух чисел 19^- ; одно из них в два раза больше
5
другого. Найти эти числа.
3 1
2) Сумма двух чисел 6 — , а их частное 3 — . Найти эти числа.
4 2
501. 1) Сумма трех чисел 22 — . Второе число в 3 — раза, а тре-
А
тье в 2 — раза больше первого. Найти эти числа.
186
Рис. 88.
2) Бригада за три дня убрала урожай с 578 га. Во второй день
было убрано в 1 -- раза больше, чем в первый, а в третий — в
1 — раза больше, чем во второй. Сколько гектаров убирала
6
бригада в каждый из этих дней?
g
Задача. Разность двух чисел 3 —; одно из них в 4 раза
5
больше другого. Найти эти числа (рис. 88).
Примем меньшее число за одну условную
большее число составит четыре единицы.
g
Решение. Из рисунка 88 видно, что 3 —
5
условные единицы (отрезок СВ). Отсюда легко
ловную единицу (меньшее число), а затем и четыре
(большее число).
g
1) Сколько условных единиц составляют 3 --?
5
4—1 = 3 (условн. един.).
единицу. Тогда
составляют три
найти
одну ус-
единицы
2) Чему равна условная единица, или чему равно
число?
меньшее
3 - : 3 = 1 -.
5 5
3) Чему равно большее число?
, 1 . .4
1 — • 4 = 4 —.
5
4
5 ’
П 1 1 л 4
Ответ. 1— и 4 — .
5 5
• УПРАЖНЕНИЯ
502. 1) Разность двух чисел 7; частное от деления большего чис-
„ 2 „
ла на меньшее 5 —. Наити эти числа.
з
g
2) Разность двух чисел 29 — , а кратное отношение их равно
8
5
8 —. Найти эти числа.
6
187
503. В классе число отсутствующих учеников равно — числа
присутствующих. Сколько учеников в классе по списку, если
присутствует на 20 человек больше, чем отсутствует?
§
504. Отец старше сына на 24 года. Число лет сына равно — чис-
ла лет отца. Сколько лет отцу и сколько сыну?
Задачи на совместную работу. Задача. Три экскаватора
различной мощности могут отрыть котлован, работая отдель-
но: первый за 10 дней, второй за 12 дней и третий за 15 дней.
За сколько дней они отроют котлован, работая совместно?
Решение. Примем объем всей работы за единицу.
1) Какую часть всей работы выполнит каждый экскаватор за
один день?
1 : 10= i объема работы выполняет первый экскаватор
за один день;
1 : 12= объема работы выполняет второй экскаватор
за один день;
1 : 15= объема работы выполняет третий экскаватор
за один день.
2) Какую часть объема всей работы выполняют три экскава-
тора, работая совместно, за один день?
ill 6-I-3 + 4 1
— 4- — + — = - = —.
10 12 15 60 4
3) За сколько дней три экскаватора, работая совместно, отро-
ют котлован?
О т в е т. За 4 дня.
• УПРАЖНЕНИЯ
505. Для разравнивания дороги поставлены две грейдерные ма-
шины различной мощности. Первая машина может выполнить
всю работу за 12 дней, а вторая — за 6 дней. За сколько дней
выполнят всю работу обе машины, работая совместно.
506. Первая бригада может выполнить некоторую работу за
5
36 дней, а вторая — за — этого времени. За сколько дней обе
4
бригады, работая вместе, выполнят эту работу?
188
507. Бассейн наполняется первой трубой за 5 час., а через вторую
трубу он может быть опорожнен за 6 час. Через сколько часов
будет наполнен весь бассейн, если одновременно открыть обе
трубы?
/1 1 \
Указание. За 1 час бассейн заполняется --своей ем-
\5 6/
кости.
508. Два трактора вспахали поле за 6 час. Первый трактор, ра-
ботая один, мог бы вспахать это поле за 15 час. За сколько ча-
сов вспахал бы это поле второй трактор, работая один?
Аналогично решению задач на совместную работу решают-
ся и задачи на движение, если условием не дается расстояние
между пунктами.
Задача. Теплоход проходит расстояние между двумя мор-
скими портами за 10 час., а пароход это же расстояние — за
15 час. Оба корабля вышли одновременно из этих портов на-
встречу друг другу. Через сколько часов они встретятся?
Решение. Примем расстояние между портами за единицу.
1) Какую часть расстояния между портами пройдет за 1 час
каждый корабль?
1 : 10= — путь, пройденный теплоходом за 1 час;
1 : 15= 1 - ,
— — путь, пройденный пароходом за 1 час.
15
2) На какую часть расстояния приближаются корабли за 1 час?
1 1 3+2 5 1
— + — = —1— = — = —.
10 15 30 30 6
3) Через сколько часов встретятся корабли?
1 : у =6 (час.).
Ответ. Через 6 час.
• УПРАЖНЕНИЯ
509. Из двух городов одновременно выехали автобус и легко-
вая машина навстречу друг другу. Автобус проезжает весь
путь за 8 час., а легковая машина — за 5 час. Через сколько
часов после выезда они встретятся.
510. Расстояние между двумя городами автобус проходит за 4 i
2 .
2 тт
часа, а такси — за — этого времени. Через сколько времени
3
они встретятся, если отправятся из этих городов одновременно
навстречу друг другу?
511. Из двух станций выходят одновременно навстречу друг дру-
гу два поезда: первый поезд проходит расстояние между этими
189
станциями за 12 — часа, а второй — за 18— часа. Через
2 4
сколько часов после выхода поезда встретятся?
Задачи на движение в противоположных направлениях.
Задача. Средняя скорость экспресса Москва — Ленинград —
2
120 км в час, а скорость поезда на этой линии — — от скоро-
3
сти экспресса. Экспресс вышел из Москвы, а ему навстречу из
Ленинграда одновременно вышел скорый поезд. Через сколь-
ко часов и на каком расстоянии от Москвы произойдет встреча
этих поездов, если расстояние от Москвы до Ленинграда счи-
тать равным 650 км?
Решение. Чтобы узнать, сколько времени пройдет от мо-
мента выхода поездов до момента встречи, надо знать длину
пути (она известна) и расстояние, которое проезжают оба поез-
да за 1 час. Отсюда решение:
1) Чему равна средняя скорость скорого поезда?
120- у =80 (км).
2) На какое расстояние оба поезда приближаются друг к
другу?
120 + 80 = 200 (км.).
3) Через сколько часов после выхода произойдет встреча поез-
дов?
650 : 200 = —0 = - = 3 i (часа).
200 4 4 '
4) На каком расстоянии от Москвы произойдет встреча?
120 • 3 - = --° ' — = 390 (км).
4 4
Ответ. Через 3 — часа; на расстоянии 390 км.
• УПРАЖНЕНИЯ
512. Из двух пунктов, расстояние между которыми 63 км, вышли
одновременно навстречу друг другу два лыжника. Первый
лыжник прошел все это расстояние за 10 у часа. Скорость вто-
рого лыжника была в 1 — раза больше скорости первого. Че-
2
рез сколько часов после выхода встретились лыжники?
513. От колхоза до города 24 км. Из колхоза в город выехала гру-
зовая машина, которая проходит 1 км за 2- мин. Через 15 мин.
после выезда этой машины из города в колхоз выехал велоси-
190
педист со скоростью, вдвое меньшей, чем скорость грузовой ма-
шины. Через сколько времени после своего выезда велосипе-
дист встретит грузовую машину?
514. Из Ленинграда в Кронштадт в 12 час. дня вышел пароход и
прошел все расстояние между этими городами за 1у часа. По
дороге он встретил другой пароход, вышедший в 12 час. 18 мин.
из Кронштадта в Ленинград и шедший со скоростью, в 1 — ра-
4
за большей, чем первый. В котором часу произошла встреча
обоих пароходов?
Задачи на движение в одном и том же направлении. Зада-
ч а. Через 26 час. 20 мин. после выхода поезда Москва — Вла-
дивосток, средняя скорость которого 60 км в час, вылетел из
Москвы по тому же направлению самолет со скоростью, в 14 —
в
раза большей скорости поезда. Через сколько часов после свое-
го вылета самолет нагонит поезд? (Рис. 89.)
* в с
А О —' и. ................................ Utii^P' — _Р--
Рис. 89.
Решение. Пусть точка С (рис. 89) — место встречи само-
лета и поезда. Чтобы догнать поезд, самолет должен покрыть
расстояние (АВ+ВС), а поезд за это время пройдет расстояние
ВС. Расстояние АВ самолет покрывает за счет разницы в соб-
ственной скорости и скорости поезда, а именно за 1 час само-
лет пролетает на (60 • 14 у — 60) км больше, чем поезд. Зная
расстояние АВ и разницу в скоростях, мы найдем ответ на по-
ставленный вопрос.
1) Какое расстояние прошел поезд до момента вылета само-
лета ?
60 • 26— = 26 - 60 = 26 60 4 20 - 1580 (км).
3 3
2) На сколько скорость самолета в 1 час больше скорости по-
езда?
14 —•60—60 = 850—60 = 790 (км).
6
3) Через сколько часов после своего вылета самолет нагонит
поезд?
1580 : 790= — =2 (часа).
790
Ответ. Через 2 часа.
191
515. Пароход отправился по реке со скоростью 17 — км в час.
Через 2 часа от той же пристани вслед за ним отправился ка-
тер «Ракета» со скоростью 70 км в час. Через сколько времени
и на каком расстоянии от пристани катер нагонит пароход?
516. Скорый поезд проходит 187 — км за 3 часа, а товарный по-
2
езд — 288 км за 6 час. Через 7 — часа после выхода товарного
4
поезда по тому же направлению отправляется скорый. Через
сколько времени скорый поезд догонит товарный?
517. Два парохода вышли в одном направлении из одного и того
же порта — один в 7 час. 20 мин., а другой в 15 час. 10 мин.
того же дня. Какое расстояние будет между пароходами в
24 часа того же дня, если известно, что первый пароход прохо-
дит в среднем 18 i км в час, а второй — 20 км1
2
Общий отдел. Задачи 518—529 решить устно.
518. Три яблока надо разделить между четырьмя мальчиками.
Сколько получит каждый и как удобнее всего разрезать яб-
локи?
519. Разделить пять булок на шесть равных частей, не разрезая
ни одной булки на шесть равных частей. Чему будет равна од-
на часть?
520. 1) Сколько пятых долей в единице? Сколько сотых долей в
единице? Сколько п долей в единице?
2) Сколько восьмых долей в 3 единицах? Сколько двадцатых
долей в 8 единицах? Сколько п долей в 5 единицах? Сколь-
ко п долей в п единицах?
521. 1) Перечислите все дроби, составляющие множество пра-
вильных дробей со знаменателем 4. Сколько их?
2) Перечислите все дроби, составляющие множество правиль-
ных дробей со знаменателем 8. Сколько их?
522. 1) Показать на примерах (3—4 примера), что правильная
дробь увеличится, если к ее членам прибавить одно и то же на-
туральное число.
5
2) Как изменится величина дроби — , если к ее членам приба-
вить по 2? Если от ее членов отнять по 3?
523. 1) Показать на примерах, что неправильная дробь умень-
шится, если к ее членам прибавить одно и то же натуральное
число.
„ 11
2) Как изменится величина дроби — , если к ее членам при-
бавить по 3? Если от ее членов отнять по 5?
524. 1) Что значит сократить дробь? На каком свойстве дроби ос-
новано ее сокращение? Какая дробь не может быть сокращена?
Какими способами можно сократить дробь?
192
2) На каком свойстве дроби основано приведение дробей к наи-
меньшему общему знаменателю? Можно ли принимать за об-
щий знаменатель для нескольких дробей произведение всех
знаменателей? Если это возможно, то почему при сложении и
вычитании редко пользуются этим приемом? При каких усло-
виях пользуются этим приемом?
525. 1) Поясните, почему при умножении на дробь иногда произ-
ведение будет больше множимого, иногда меньше, а иногда
и равно множимому. Приведите примеры.
2) Поясните, почему можно деление дробей заменить умно-
жением на число, обратное делителю.
526. 1) Умножать натуральное число на дробь можно следую-
щим образом:
13 /8,4.1\О. /l.l.lN
4 16 16 16 16 / \ 2 4 16 )
= 124 6 41— = 19—.
2 2
Поясните обоснование этого приема.
2) Умножить : а) 32 на б) 81 на
24 27
527. Используя свойства действий над обыкновенными дробями,
вычислить:
1)2 — 4— 42—; 2) 3 - 4 - 4-4 4;
' 12 2 12 8 4 8
3)3 —-2 — 41-; 4)1—43—41 — 41 — .
' 25 5 25 57 19 57 19
528. 1) Может ли сумма двух дробей с числителями, равными 1,
быть неправильной дробью?
2) Правильной или неправильной дробью будет частное от де-
ления неправильной дроби на правильную?
529. Не выполняя сложения и вычитания, выяснить, между ка-
кими двумя последовательными натуральными числами за-
ключена:
1) сумма (y4 6j; 2) разность ^16 ---8^;
3) сумма ^4 j 4 2^; 4) разность ^60-^-— 40-^.
530. Сделать устно прикидку результата в примерах, а затем
письменно найти допущенную ошибку, если она была сделана:
I)- 4- 4- 4- ; 2) 4 — — 1-42-;
' 2 3 4 5 6 9 3
7 С. А. Пономарев
193
3)4 — + 3 — — 2 — ; 4) 15- —6-+3-.
’ 12 10 60 12 2 3
— в записях решений:
531. Не выполняя действий, поставить вместо звездочки один из
знаков: «>»,«<» или « — »
1) 4—.1—*5—; 2)
’ 2 2 ° 4
3) 4т
3 о £ .
16 ’ 2 ’
2^.3-*б1;
з
• 2-1 *
4
4
— *
45
2 1.
5
5- ;
8
4) 8 3 :
5
532. Найти х, если:
£
2
1) 11 X —
2
2-
2
= 2-1;
4
2) 3
3 3
-------X =
4 4
4) (2х —
1 — 4-1 =3.
4 2
3
1
533. Для сбора 1 кг меда пчеле надо принести 150 000 нош нек-
тара. Цветы, с которых пчела берет нектар, находятся в сред-
нем в 1-1 км от улья. Какой путь проделает пчела для сбора
1 кг меда? Во сколько раз этот путь больше земного экватора?
(Длину экватора примите равной 40 000 км.)
534. Колхоз наметил добиться на 100 га пашни производства мя-
са в первый год 75 ц, во второй год на 1 больше, чем в пер-
3
вый, и в третий год в 1 -1 раза больше, чем во второй год.
Сколько центнеров мяса должен произвести колхоз во второй
и третий годы?
535. Колхоз заготовил по 9 г силоса на каждую корову, что в
1-1- раза больше, чем было заготовлено в прошлом году. Коров
в колхозе стало 180 голов, что на 1 больше по сравнению с
прошлым годом. На сколько тонн силоса заготовил колхоз
больше для всех коров в этом году, чем в прошлом?
536. Расстояние по железной дороге от Харькова до Курска со-
27
ставляет — расстояния от Курска до Москвы. Известно, что
64
первое расстояние на 333 км меньше второго. Найти расстоя-
ние от Москвы до Харькова.
537. В доме живут три семьи. Первая семья для освещения квар-
тиры имеет 3 электрические лампочки, вторая —4 и третья —5
194
лампочек. Сколько должна заплатить каждая семья за электро-
энергию, если все лампы были одинаковы, а общий счет (на
весь дом) оплаты электроэнергии был 7— руб.?
538. Рабочий изготовил три детали: первую деталь: — за 1 —
часа, вторую — за 1^-часа и третью — за 1Лчаса. Сколько вре-
мени в среднем затрачивал рабочий на изготовление одной
детали?
539. Полеводческая бригада на площади в 300 га получила уро-
жай по 20 — ц озимой пшеницы с 1 га, с 80 га — по 24 ц с
1 га и с 20 га — по 28— ц с 1 га. Чему равен средний урожай
в бригаде с 1 га?
g
540. Автомобиль прошел в первый день — всего пути, во вто-
8
15 „
рой___ — того, что прошел в первый, а в третий день — осталь-
ные 200 км. Сколько бензина было израсходовано, если на
g
10 км пути автомобиль расходует 1 — кг бензина?
5
541. Город состоит из четырех районов. В первом районе живет
4 5
— всех жителей города, во втором — — числа жителей
13 6
4
первого района, в третьем — — числа жителей первых двух
районов, вместе взятых, а в четвертом районе живет 18 тыс.
человек. Сколько хлеба требуется всему населению города на
три дня, если в среднем один человек потребляет 500 г хлеба
в день?
2
542. Сумма трех чисел 35—. Первое число больше второго на
51
з
5
и больше третьего на 3 —. Найти эти числа.
g
543. Два мальчика собрали вместе 100 грибов. — числа гри-
8
„ 1
бов, собранных первым мальчиком, численно равны — числа
4
грибов, собранных вторым мальчиком. Сколько грибов собрал
каждый мальчик?
544. В учреждении работает 27 человек. Сколько работает муж-
2
чин и сколько — женщин, если — числа всех мужчин рав-
о
1 о
ны — числа всех женщин г
2
545. Два мотоциклиста выехали одновременно из двух городов
навстречу друг другу. Один мотоциклист может проехать все
т
195
расстояние между этими городами за 6 час., а другой — за
5 час. Через сколько часов после выезда встретятся мотоцик-
листы? (Ответ округлить с точностью до 1 часа.)
546. Две поливочные машины различной производительности мо-
гут полить поле за 10 час. совместной работы. Одна из этих ма-
шин может полить это поле за 30 час. За сколько часов польет
это поле другая машина? Составить обратную задачу.
547. Шлюз наполняется двумя насосами за 8 мин. Сколько вре-
мени потребуется для наполнения шлюза первым насосом, ес-
ли второй насос наполняет шлюз за 13 мин. 20 сек.? Составить
обратную задачу.
548. Расстояние между городами по реке —264 км. Это расстоя-
1О 1
ние пароход по течению прошел за 18 час., затратив — это-
„ -I 1
го времени на остановки. Скорость течения реки — 1— км
в час. За сколько времени прошел бы пароход без остановок
87 км в стоячей воде?
549. Катер по водохранилищу прошел расстояние в 52 км без ос-
тановок за 3 часа 15 мин. Далее, идя по реке против течения,
скорость течения 1— км в час, этот катер прошел 28— км
за 2 —
4
часа, сделав при этом три равные по времени останов-
ки. Сколько минут стоял катер на каждой остановке?
550. Поезд должен был пройти расстояние в 630 км за 14 час.
Пройдя
— этого расстояния, он был задержан на 1 час 10 мин.
С какой скоростью он должен продолжать путь, чтобы прийти
к месту назначения без опоздания?
551. Колхоз собрал урожай пшеницы и ржи. Пшеницей было за-
сеяно на 20 га больше, чем рожью. Общий сбор ржи составил
— всего сбора пшеницы при урожайности в 20 ц с 1 га как
6
для пшеницы, так и для ржи. — всего сбора пшеницы и ржи
колхоз продал государству, а остальной хлеб оставил для сво-
их нужд. Сколько рейсов потребовалось бы совершить двухтон-
ной машине для вывоза проданного государству хлеба?
g
552. В течение трех дней бригада рабочих выполнила — всей
работы по
день было
день — в
ремонту шоссе между двумя колхозами. В первый
отремонтировано 2 — км этого шоссе, во второй
li
2
раза больше, чем в первый, а в третий день —
того, что было отремонтировано в первые два дня вме-
сте. Найти длину шоссе между колхозами.
196
Немного о происхождении дробей
Необходимость введения в практику
дробных чисел возникла у человека в древ-
ние времена. Дележ убитого зверя, рыбы
и т. д. (рис. 90) между участниками охоты
привел древнего человека к вводу частей
единицы. Переход к оседлой жизни, к земле-
делию вызвал потребность измерять длину,
площадь, объем, время и другие величины.
Результат измерения не всегда можно выра-
зить натуральным числом, а потому необхо-
димо было ввести части целого, доли едини-
цы. Сначала люди пользовались так называе-
мыми конкретными дробями, т. е. частями
употребляемых мер. Например, в древнем
Вавилоне (часть современного Ирака) опери-
ровали с шестидесятеричными дробями, свя-
занными с употреблявшимися у них шести-
десятеричными мерами (час — шестьдесят
мин., градус — шестьдесят мин., минута —
шестьдесят сек. и т. д.). В древней Руси
«четверть», «осьмина» долгое время озна-
чали конкретные дроби, а именно мелкие
земельные меры более крупной меры «де-
сятина».
Очень медленным был переход от кон-
кретных к отвлеченным дробям. На первой
ступени развития отвлеченных дробей были
введены так называемые единичные дроби,
г. е. дроби, числитель у которых всегда еди-
ница.
Египтяне, достигшие в технике и искус-
стве высокого уровня развития, в арифмети-
ке не пошли далее единичных дробей. Если
расчеты приводили к появлению неединичной
дроби, то египтяне заменяли ее суммой еди-
ничных дробей. Примеры:
Рис. 91.
3 1,1.2 1,1.2 1,1,1
— = — "4* — , — = — “1“ —, — == — -I— "Ь — и т. д.
4 2 4 6 3 15 13 8 52 104
В папирусе Ахмеса имеются таблицы для представления дро-
бей в виде единичных дробей (рис. 91).
В развитии обыкновенных дробей большую роль сыграли уче-
ные древней Греции, ученые Индии и ученые среднеазиатских стран.
Старейшим арифметическим памятником Киевской Руси является
сочинение Кирика Новгородца (НЗв г.) «Наставление, как человеку
познать счисление лет», в котором он пользуется дробями —; —;
5 25
—J- и т. д. В древней Руси дроби называли «ломаными числами».
125
Систематическое изложение дробей в учебных книгах европей-
ских стран появляется только в XVI в.
7- С А Пономарев
197
Зачетная работа № 5
Вариант /
1. С помощью отрезков дайте иллюстрацию (рисунок) сравнения
трех дробей с одинаковыми знаменателями и напишите правило срав-
нения.
2. Поясните на примерах, что сумма дробных чисел подчиняется
переместительному и распределительному законам.
3. Сформулируйте общее правило деления для всех дробных чисел
вместо пяти отдельных правил деления дробей.
4. Выполните деление двумя способами и укажите наиболее рацио-
g
нальный из них: 32 — : 8.
9
5*. Выполните указанные действия:
2 2
24 : 2 - + — -
3 5
с 1 1 1
5 — • 8— — 1 —
2 11 8
2
18—
9
1 1 1
6 *. Длина поля — 1 — км, а ширина составляет — длины, у пло-
щади поля было засеяно картофелем и собран урожай картофеля в
9360 ц. Определить урожай картофеля с 1 га.
7. Город Коломна находится между Москвой и Рязанью. Расстоя-
ние между Коломной и Рязанью по железной дороге составляет
3
— расстояния между Коломной и Москвой, а от Москвы до Рязани
4
182 км. Найти длину участка железной дороги между Москвой и
Коломной.
8 *. Пароход прошел расстояние между двумя пунктами против те-
чения за 9 час. Сколько времени понадобится пароходу на обратный
2
путь, если расстояние между пунктами — 113— км, а скорость тече-
5
4
ния реки — 1 — км в час?
5
9 *. Двое рабочих вместе выполняют задание за 8 час. Первый рабо-
чий это задание выполнит, работая один, за 12 час. Во сколько раз
производительность первого рабочего больше производительности
второго?
10 *. Ширина захвата тракторного плуга — 110 см. Какую площадь
поля можно вспахать двумя плугами за 6 час., если скорость дви-
1
жения трактора — 4 — км в час?
Вариант И
1 . С помощью отрезков дайте иллюстрацию увеличения дроби при
увеличении ее числителя в несколько раз.
2 . Поясните на примерах, в каких случаях пользуются основным
свойством дроби.
3 . Поясните на примерах, что произведение дробных чисел подчи-
няется переместительному, сочетательному и распределительному
законам.
4 . Как наиболее рационально решить упражнение:
5Гб+2г5+31+24 + 4 +Гб+2§Т п°яснить-
5 *, Выполните указанные действия:
(в - - - + 3 3 — 2-} - +20
\ 5 4 28 35/8
f 2 — : 2 — V
\ 125 5)
198
6 *. Предложения рабочих и конструкторов тракторного завода по-
1
зволили уменьшить на “ г вес трактора с сохранением его мощности,
Сколько металла будет сэкономлено за год, если завод будет выпус-
кать ежесуточно 210 тракторов? (Считать в году 308 рабочих дней.)
1
7 *. Количество икринок у щуки в 2— раза меньше, чем у леща, а
4
количество икринок у карася составляет— икринок леща. Число ик-
5
ринок у судака
1
в 1 — раза
больше,
чем
у карася, и составляет
1
— часть икринок трески, которая имеет 7 500 000 икринок. Опреде-
лить количество икринок у названных рыб.
8 *.
чий
нят
9 *.
шли
Один рабочий может выполнить заказ за 48 мин., второй рабо-
этот же заказ выполняет за 1 час.
оба рабочих вместе за 12 мин.?
В 12 час. дня от пристани в одном
пароход со скоростью 18 км в час
Какую часть заказа выпол-
и том же направлении ото-
1
и плот со скоростью 2— км
в час. Через 6 час. пароход дошел до места назначения, постоял
под разгрузкой 2 часа и отправился обратно. В котором часу паро-
ход встретит плот? (Ответ с точн. до 1 ч.)
10 *. Сколько потребуется пшеницы, чтобы засеять прямоугольное
поле длиной 650 Л1 и шириной 420 м, если на 1 га ее высевается
1
глава V. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ
§ 44. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ
Понятие о десятичной дроби. В предыдущей главе мы изу-
чали преобразования дробей с разными знаменателями, запи-
сываемых с помощью черты и двух натуральных чисел. Та-
кие дроби принято называть обыкновенными.
♦ Из множества дробей выделим дроби со знаменателями 10,
100, 1000 и т. д., т. е. такие дроби, знаменатели которых —
числа, изображаемые единицей с последующим одним или не-
сколькими нулями. Такие дроби называются десятичными дро-
бями.
Приведем примеры десятичных дробей:
1 Z. 9 51 __1
10’ 10’ 100’ 1000’ юоооо и т-д-
Оказывается, десятичные дроби обладают некоторыми за-
мечательными свойствами, и в первую очередь свойством, по-
зволяющим записывать такую дробь без знаменателя.
Запись и чтение десятичных дробей. Из свойства натураль-
ных чисел мы знаем, что каждая цифра любого числа облада-
ет поместным свойством, т. е. она имеет особое значение в за-
висимости от того места, какое она занимает в числе. Напри-
мер, возьмем трехзначное число 555. Первая пятерка справа
обозначает единицы, вторая — десятки, третья — сотни.
Всякая цифра, стоящая слева, обозначает единицы, в де-
сять раз большие, чем те, которые обозначены предыдущей
цифрой, и, наоборот, всякая цифра, стоящая справа, обознача-
ет единицы, в десять раз меньшие предыдущих. Предположим,
что в нашем числе 555 мы справа после разряда единиц поставим
цифру 6. Какое мы получим число? Во-первых, нам придется
ввести особый знак, показывающий, что цифра 6 стоит справа
за цифрой единиц. Условились таким знаком брать запятую
(этот знак принят в учебниках всех стран, за исключением
Англии и США, где вместо запятой ставят точку). Во-вторых,
цифра 6 будет обозначать шесть десятых долей. Таким обра-
зом, новое число будет записано 555,6 и читается: пятьсот
пятьдесят пять целых и шесть десятых (доли).
Если к числу 555,6 приписать справа цифру 3, то получит-
ся число 555,63, и это число читается: пятьсот пятьдесят пять
целых и шестьдесят три сотых (доли).
Если к числу 555,63 приписать справа цифру 4, а затем
еще 2, то получится число 555,6342, которое читается: пять-
сот пятьдесят пять целых и шесть тысяч триста сорок две де-
сятитысячных (доли). В десятичной дроби различают ее целую
часть, т. е. то, что записано левее знака дробности (запятой), и
дробную ее часть, которая записывается правее его. Цифры,
стоящие после запятой (справа от нее), называются десятичны-
ми знаками.
Первый десятичный знак выражает десятые доли, второй
десятичный знак выражает сотые доли, третий десятичный
знак выражает тысячные доли, четвертый десятичный знак
выражает десятитысячные доли, пятый десятичный знак выра-
жает стотысячные доли и т. д.
На основании вышесказанного, можно сделать вывод. Обык-
новенную дробь, у которой знаменатель есть единица с одним
или несколькими нулями (т. е. десятичная дробь), можно запи-
сать без знаменателя.
Примеры. Записать и прочитать следующие дроби:
4 15 17 59
— ; — ; 3--- ; ----.
10 100 1000 10 000
4
— =0,4. Читают: нуль целых четыре десятых.
10
— =0,15. Читают: нуль целых пятнадцать сотых.
100
17
8 — =3,017. Читают: три целых семнадцать тысячных.
1000
—=0,0059. Читают: нуль целых пятьдесят девять де-
10 000
сятитысячных.
Из рассмотренных примеров видно, что:
1) Число цифр после запятой равно числу нулей в знамена-
теле обыкновенной дроби.
тт 59 5456
Например: ----Л = 0,0059; ---= 5,456.
10 000 1000
4 нуля четыре 3 нуля три цифры после
цифры после аапятой
вапятой
2) При чтении десятичной дроби сначала называют ее це-
лую часть с добавлением слова «целых», а затем число, стоя-
щее после запятой, с добавлением названия последнего разряда.
201
Покажем, как записываются некоторые часто встречающие-
ся обыкновенные дроби в виде десятичных дробей:
1=^=1 =0,5; 1=1-2= 1=0,2;
2 2-5 10 5 6-2 10
1^Г25=Й L=L15=O,75.
4 4-25 100 4 4-25
Запомнить
1 = о,5; 1 = 0,25; 1 = 0,2; 1 = 0,75.
2 4 5 4
Вопросы для самопроверки
1. Какая дробь называется десятичной дробью?
2. Что называется десятичным знаком?
3. Как читается десятичная дробь?
• УПРАЖНЕНИЯ
№ 553—555 — устно.
553. 1) Сколько десятых долей в единице?
2) Сколько сотых и сколько тысячных долей в одной деся-
той?
3) Сколько в одной сотой стотысячных долей?
554. 1) Во сколько раз одна десятая доля больше одной сотой?
2) Во сколько раз одна сотая меньше пяти десятых?
555. 1) Какую часть составляют: метр от километра? Грамм от
килограмма? Квадратный сантиметр от квадратного децимет-
ра? Кубический сантиметр от кубического дециметра? Литр от
гектолитра? Ар от гектара? Гектар от квадратного километра?
2) Сколько десятых долей в пятнадцати целых? Сколько со-
тых долей в трех целых? Сколько сотых долей в двух целых и
трех десятых? Сколько тысячных в пяти целых и восьми со-
тых?
556. Прочитайте и запишите числа, образуемые цифрами, напи-
санными в указанных разрядах следующей таблицы:
Целые числа Десятичные доли
ед. мил. d дес. тыс. , о чз а» н h 8 дес. ед. деся- тые сотые тысяч- ные десяти- тысяч- ные стоты- сячные милли- онные
1 6 1 2 3 5 — 1 3 2 3 5 5 6 3 4 2 7 — — 1
202
557. 1) Прочитайте следующие числа: 0,2; 5,7; 16,4; 0,27; 4,31;
18,001; 0,0004; 46,0732; 1238,0072; 35,0000063; 7,0101;
29,00601; 387,100056; 0,0000101; 5,00001004.
2) Начертите числовой луч и отложите на нем точки, соответ-
ствующие числам: 0; 0,2; 0,5; 0,8; 1; 1,3; 1,7; 2.
558. Написать следующие числа: три десятых; пять целых одна
сотая; четыре целых пятнадцать тысячных; одна целая четы-
реста двадцать одна стотысячная; сто пятьдесят целых три
миллионных.
559. Написать без знаменателей следующие дроби:
£ 21 11 7 101 1 . 23 15
10 ’ 100 ’ 1000 ’ 10 000 ’ 10 000 000 ’ 100 ’ 1000 ’
Другие свойства десятичных дробей. 1. Десятичную дробь
можно представить в виде обыкновенной дроби. Например:
7 472
0,7=-; 4,72= — и т. д.
ю юо
Вывод. Чтобы десятичную дробь выразить в виде обыкно-
венной дроби, нужно отбросить запятую и взять полученное
натуральное число числителем, а знаменателем взять знамена-
тель последнего десятичного знака.
2. Десятичную дробь можно выразить в более мелких долях
единицы. Например: 0,6 = 0,60 = 0,600 = 0,6000= и т. д., так
_ с 6 60 600 6000
как 0,6= — = — =------= ----- на основании главного свои-
10 100 1000 10 000
ства дробей.
Вывод. Чтобы выразить десятичную дробь в более мелких
долях, нужно приписать соответствующее число нулей после
последнего десятичного знака.
3. Если десятичная дробь имеет на конце один или несколько
нулей, то ее можно упростить, отбросив эти нули (или нуль).
Например: 0,500 = 0,5, так как = — =0,5.
к 1000 10
Вывод. Чтобы выразить десятичную дробь, имеющую на
конце один или несколько нулей, в более крупных десятичных
долях, нужно отбросить эти нули.
4. Десятичные дроби легко привести к общему знаменателю.
Например, если даны дроби 1,05; 31,186; 0,1503, то на осно-
вании свойства 2 мы запишем их в виде 1,0500; 31,1860;
0,1503, т. е. в каждой из трех дробей число десятичных знаков
стало одинаково (4).
Вывод. Чтобы привести данные десятичные дроби к общему
знаменателю, надо приписать к ним справа столько нулей, что-
бы во всех дробях число десятичных знаков оказалось оди-
наковым.
203
Сравнение десятичных дробей по величине. Десятичные дро-
би легко сравнивать по величине. Пусть требуется определить
большее из чисел 0,356 и 0,35589. Для этого приведем дроби к
общему знаменателю. Получим 0,35600 и 0,35589. Из двух дро-
бей с одинаковыми знаменателями та больше, у которой боль-
ше числитель, т. е. 0,35600>0,35589.
Можно сравнить десятичные дроби и другим способом.
Из двух десятичных дробей та больше, у которой число целых
больше: если целые числа равны, то та больше, у которой число
десятых больше; если равны числа целых и десятых, то та боль-
ше, у которой число сотых больше, и т. д.
Вопросы для самопроверки
1. Как выразить десятичную дробь в виде обыкновенной? Привести
примеры.
2. Как выразить десятичную дробь в более мелких долях? Привести
примеры.
3. В каком случае десятичную дробь можно упростить?
4. Как привести десятичные дроби к общему наименьшему знамена-
телю? Привести примеры.
• УПРАЖНЕНИЯ
560. Написать в виде обыкновенных дробей: 0,4; 0,25; 0, 375;
1,05; 3,28; 0, 0012; 2,0021; 125,0001; 3,20005; 17,0000127.
561. (Устно.) Сколько десятых долей в каждом из чисел: 2;
18; 328; 4,2; 13,02; 125,47; 3,0123; 0,574; 0,0798; 0,0035?
2) Сколько сотых долей в каждом из чисел: 3; 26; 2,7; 5,63;
14,01; 2,102; 4,5342; 0,335; 0,01721; 0,0065; 0,00031?
3) Сколько тысячных, десятитысячных, миллионных долей в
каждом из чисел: 4; 3,2; 4,563; 0,0534; 6,032976;
0,00005743?
562. Выразить в одинаковых долях единицы следующие числа:
1) 0,7; 1,23; 3; 4,7; 0,125; 3) 1,3; 2,09; 164,1; 0,0015;
2) 4,1; 0,729; 3,07; 6,0005; 4) 0,05; 3,001; 2,5; 4,0501.
563. Привести дроби к общему знаменателю:
1) 10,51 и 1,4; 2) 5,1 и 3,104; 3) 0,15 и 7,452;
4) 0,1 и 23,4056.
564. Сравнить дроби:
1) 0,4 и 0,6; 2) 1,5 и 1,52; 3) 0,5 и 0,49;
4) 14,3 и 14,27.
565. Поставить знак «>» или знак «“<» вместо звездочки в за-
1)И3*2 * 3,19; 2) 17,065 * 17,0648; 3) 0 * 0,0001;
4) 1,1*1,09999.
204
566. Между какими двумя последовательными натуральными
числами заключается каждая из десятичных дробей:
1) 0,7; 2) 2,9; 3) 17,8; 4) 259,1?
567. Какую из цифр следует поставить вместо звездочки, чтобы
неравенство оказалось верным:
1) 0,5*7>0,531; 2)3*7<3,59;
3) 17,19>17, *3; 4) 29,* >29,899.
568. Доказать, что при подстановке любой цифры вместо звездоч-
ки записи 5, *1>3,92 и 4,99>4, *876 окажутся верными, а
записи 7, * 2 >7,93 и 9,95<9, * 4— неверными.
Увеличение или уменьшение десятичной дроби в 10, в 100,
в 1000 и т. д. раз. При раздроблении или при превращении
именованных чисел, выраженных в метрических мерах, нам
приходится увеличивать или уменьшать числа в 10, 100, 1000
и т. д. раз. Научимся это делать. Пусть нам требуется увели-
чить десятичное число в 10 раз. Когда требовалось увеличить
натуральное число в 10 раз, то приписывали справа нуль; на-
пример, увеличивая числа 23 в 10 раз, мы получали 230. При-
писывание справа нуля увеличивало число 3 в 10 раз (3 была
цифрой единиц, а стала цифрой десятков), а число 2, которое
было числом десятков, стало числом сотен. Но, как мы знаем,
в десятичной дроби приписывание справа нуля не увеличивает
число.
Рассмотрим изменение десятичной дроби при переносе в ней
запятой. Перенесем в числе 4,256 запятую на один знак впра-
во; получим новое число 42,56. Сравним второе число с пер-
вым. В первом числе цифра 4 означала единицы, а во втором
числе — десятки. Значит, ее значение увеличилось в 10 раз.
Цифра 2 в первом числе означала десятые доли, а во вто-
ром — единицы; значит, она также увеличилась в 10 раз. Зна-
чения и других цифр увеличились в 10 раз.
Следовательно, от перенесения запятой вправо на один знак
десятичная дробь увеличивается в 10 раз.
Рассуждая аналогично, мы увидим, что от перенесения за-
пятой вправо на два знака десятичная дробь увеличивается в
100 раз, на три знака — в 1000 раз и т. д.
Чтобы увеличить десятичную дробь в 10 раз, нужно перенести
запятую в ней на один знак вправо; чтобы увеличить ее в
100 раз, нужно перенести запятую на два знака вправо; чтобы
увеличить в 1000 раз — на три знака вправо и т. д.
Например: 5,79-10 = 57,9; 0,4287-1000 = 428,7. Если при
увеличении десятичной дроби не хватает знаков у числа, то
тогда приписывают к нему справа нули.
Например: 3,5-100 = 350; 0,21-10 000 = 2100.
Нетрудно видеть, что от перенесения запятой влево на один
знак десятичная дробь уменьшится в 10 раз, на два знака — в
100 раз и т. д.
205
Чтобы уменьшить десятичную дробь в 10 раз, нужно перенести
запятую в ней на один знак влево; чтобы уменьшить в 100 раз —
на два знака влево, чтобы уменьшить в 1000 раз — на три зна-
ка влево и т. д.
Например: 72,5:10 = 7,25; 232,7:100 = 2,327.
Если при уменьшении десятичной дроби в ней не хватает
знаков у числа целых, то тогда приписывают к нему слева нули.
Например: 5,2 : 100 = 0,052; 2,59 : 1000 = 0,00259.
Вопросы для самопроверки
1. Как изменится величина десятичной дроби, если перенести запя-
тую вправо на два знака? Вправо на пять знаков? Влево на три
знака?
2. Как изменится величина десятичной дроби, если сначала перенес-
ти запятую вправо на три знака, а затем — влево на два знака?
Если сначала перенести запятую влево на один знак, а затем —
вправо на три знака?
• УПРАЖНЕНИЯ
569. Увеличить каждое из следующих чисел:
1) в 10 раз: 7,2; 13,15; 0,003; 15,009; 0,009; 0,0012;
1444,4; 100,23;
2) в 100 раз: 3; 3,07; 0,09; 3,1; 120,5; 0,004; 0,0009;
10,101.
570. Написать и прочитать числа, большие данных:
1) в 10 раз: 12; 3,25; 0,032; 120,02; 63,0031; 7,0101;
327,4;
2) в 100 раз: 1,32; 23,1; 0,23; 7,1123; 0,001234;
2,5074.
571. Вычислить:
1) 22,45 10; 2) 3,045-10; 3) 43,173-100;
4) 83,02 -100; 5) 1,0001-1000; 6) 0,00324-10 000.
572. 1) Сколько сантиметров в 5,6 дм; в 3,245 м; в 3,63 км?
2) Сколько граммов в 0,25 кг; в 1,1 кг; в 0,00033 т?
573. Выразить составным именованным числом:
1) 3,75 руб.; 2) 4,32 м; 3) 5,6 км;
4) 14,625 км; 5) 3,42845 км; 6) 1,4 кг.
574. Уменьшить каждое из следующих чисел:
1) в 10 раз: 3; 27; 1,2; 0,5; 0,31; 1,25;
2) в 100 раз: 250; 36; 4; 1,3; 7,21; 0,03;
3) в 1000 раз: 2000; 323; 41; 5; 0,6; 0,12.
206
575. Написать и прочитать числа, меньшие данных:
1) в 10 раз: 2; 3,4; 121,3; 168; 2023;
2) в 100 раз: 456; 37; 9; 0,3; 0,23;
3) в 1000 раз: 3; 428; 843; 21; 1,2; 0,1.
576. Вычислить:
1) 35,645 : 10;
3) 12,064 : 100;
5) 424,3 : 1000;
2) 0,0004 : 10;
4) 0,533 : 100;
6) 328,4 : 10 000,
577. Выразить в рублях: 295 коп.; 38 коп.; 2 коп.
578. Выразить:
1) в арах: 2425 кв. м; 394 кв. м; 30 кв. м; 7,2 га; 0,3 га;
2) в метрах: 125 см; 8 дм; 35 мм; 3,7 см; 0,2 см; 1,31 км.
579. Выразить:
1) 5 см 2 мм в сантиметрах; 1 см 3 мм в миллиметрах;
2) 15 га 28 а 39 кв. м в гектарах; 3а 24,3 кв. м в арах.
580. 1) Длина поля, имеющего форму прямоугольника,—250 м,
а ширина—75 м. Какова площадь поля в гектарах?
2) Ящик имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Дли-
на ящика —125 см, ширина —0,4 м, а высота —40 см. Каков
объем ящика в кубических метрах?
581. (Устно.) 1) Во сколько раз число 1,53 больше 0,153? 27,34
больше 0,2734? 0,201 больше 0,00201?
2) Во сколько раз число 0,25 меньше 25? 1,29 меньше 12,9?
582. (Устно.) 1) Во сколько раз надо увеличить число 1,75, что-
бы получить число 175?
2) Во сколько раз надо увеличить число 0,001, чтобы получить
число 100?
Округление целых чисел и десятичных дробей. В своей дея-
тельности человек часто округляет числа, т. е. заменяет их
более близкими к ним числами с меньшим числом знаков.
В различного рода сообщениях, помещенных в газетах, приво-
дятся округленные числа. Да и вы в своей жизни также часто
округляете, произнося фразы: «Я сегодня прошел примерно
5 км», «Мне осталось работы на два часа» и т. д.
♦ Если вы слышите, что населения в нашей стране 220 млн.
человек, что в Москве 6 млн. населения, что космонавт-5 Ва-
лерий Быковский пролетел 4650 тыс. км, то представляете, что
эти данные округлены.
Округление числа может быть выполнено с недостатком или
с избытком. Округление по недостатку заменяет данное число
другим числом, меньшим данного, а по избытку — большим
данного.
Например, округлим число 356,59 до разряда сотен, затем
до десятков, затем до единиц и до десятых долей. Вместо числа
356,59 получим при округлении:
до разряда сотен по недостатку 300, по избытку 400;
207
до разряда десятков по недостатку 350, по избытку 360;
до разряда единиц по недостатку 356, по избытку 357;
до разряда десятых долей по недостатку 356,5, по избытку
356,6.
♦ Если приходится округлять числа, полученные при решении
жизненной задачи, то округление по недостатку или по избыт-
ку вызывается условиями задачи.
Например, решая задачу о числе рабочих, необходимом для
выполнения определенной работы, получили 5,3 рабочих. Ко-
нечно, ответ может быть дан только в целых числах; и он дол-
жен быть взят по избытку, т. е. 6 рабочих.
Если при решении задачи допустимо округление как по не-
достатку, так и по избытку, то условились применять следую-
щее правило:
Если первая из отбрасываемых при округлении цифр меньше 5,
то последняя сохраняемая цифра остается без изменения; если
первая из отбрасываемых цифр 5 или больше 5, то последняя
сохраняемая цифра увеличивается на единицу.
Примеры. 1) Округлить до сотен 4265. Первая из отбра-
сываемых цифр—6. Следовательно, округленное число будет
4300. Принято это преобразование записывать так: 4265 «4300.
Знак «~» читается: «приближенно равно». Мы видим, что при
округлении целых чисел отбрасываемые цифры заменяют ну-
лями.
2) Округлить до десятых долей 35,649. Первая из отбрасы-
ваемых цифр — 4. Следовательно, цифра десятых долей остает-
ся без изменения: 35,649 — 35,6.
♦ При округлении десятичной дроби отбрасываемые десятич-
ные знаки не заменяются нулями.
• УПРАЖНЕНИЯ
583. 1) Округлить до сотен числа: 586; 349; 4501; 256,7;
1234,99.
2) Округлить до тысяч числа: 6429; 14 507; 9604,9;
11 499,98.
584. 1) Округлить до единиц числа: 7,45; 12,501; 0,628;
190,3984.
2) Округлить до десятых долей: 0,573; 2,743; 15,964; 105,999.
585. 1) Округлить число 150 453 608 с точностью до 100; до
1000; до 10 000.
2) Округлить дробь 384,6535 с точностью до 10; до 1; до 0,01.
586. В следующих равенствах указать, какие из них являются
точными и какие — округленными:
1) 1 сажень = 2,1 м;
2) 1 фунт = 0,4095 кг;
3) 1 кг = 1000 г;
4) ведро = 12,2 л;
5) 1 а = 100 кв. м.
208
587. Укажите, какие из данных величин являются точными и ка-
кие — округленными:
1) расстояние между Москвой и Ленинградом—650 «ле;
2) в школе 725 учащихся;
3) библиотека имеет 20 000 книг;
4) станок состоит из 123 деталей;
5) железнодорожный рельс имеет длину 10,4 ле.
Контрольная работа по § 44
1. Сколько десятичных знаков имеет каждая из дробей: 1,25; 0,356;
5,4509; 12,00071? Сколько нулей имеет знаменатель каждой дроби?
На каком месте от запятой стоят тысячные доли? Какие доли стоят
на седьмом месте справа от запятой?
2. Выразить в метрах сумму: 25 м 7 дм+ 4 м 9 дм 8 см+ 7 м 5 см.
3. В каждой из десятичных дробей: 45,3; 376,42; 1,05 — перенести
запятую влево через две цифры и прочитать получившийся результат.
Как изменились приведенные числа после переноса запятой?
4. Изобразить отрезками дроби: 0,7; 1,5; 2,7. Отрезки расположить
на числовом луче. Под концом отрезка написать число, выражающее
длину отрезка.
5. Написать три десятичных дроби, каждая из которых заключается
между дробями 0,4 и 0,5.
6. Округлить с точностью до 0,01 миллиона следующие числа: чис-
ленность населения в Румынии — 17 489 790 человек, в Венгрии —
9860 тыс. человек, в Люксембурге — 308 тыс. человек.
§ 45. СЛОЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ
Так как основы записи десятичных дробей те же, что и для
натуральных чисел, то сложение десятичных дробей выполня-
ется так же, как и сложение натуральных чисел.
Чтобы сложить два числа, например 45,392 и 5,473, надо
подписать эти числа друг под другом так, чтобы целая часть
стояла под целой, десятые доли — под десятыми, сотые — под
сотыми и т. д., а затем выполнить сложение, начав с более мел-
ких долей, т. е. справа налево.
। 45,392 При вычислении суммы рассуждают так: 2 тысяч-
5,473 ных да 3 тысячных дают 5 тысячных, запишем в
50,865 сумме 5 тысячных; 9 сотых да 7 сотых дают 16 со-
тых, но 16 сотых составляют 1 десятую и 6 сотых;
запишем 6 сотых под сотыми, а 1 десятую сложим с десятыми
долями; (3 + 4 + 1) десятые дают 8 десятых, запишем под деся-
тыми; запятую в сумме ставим под запятыми в слагаемых, а
затем складываем целые части.
Если слагаемые имеют разное число десятичных знаков, то
их можно предварительно привести к одному знаменателю, до-
бавив необходимое число нулей, а затем, подписав «столби-
209
ком», складывают. Обычно на практике так не делают. Напри-
мер, надо найти сумму:
35,4 + 5,3027 + 0,72 + 1,945.
Можно записывать так: 35,4000, но лучше: 35,4
5,3027 5,3027
+ 0,7200, +0,72
1,9450 1,945
43,3677 43,3677
При сложении десятичных дробей, если это необходимо,
применяют известные нам законы сложения: переместитель-
ный и сочетательный. Эти законы упрощают вычисления, осо-
бенно при устном счете. Например, надо вычислить:
13,5 + 0,49 + 5,5 + 1,51 + 4,2.
Пользуясь законом сложения, получим:
(13,5 + 5,5) + (0,49 +1,51) + 4,2 = 19 + 2 + 4,2 = 25,2.
Как и при сложении натуральных чисел, при сложении де-
сятичных дробей можно пользоваться счетами.
Вопросы для самопроверки
1. Как складываются две десятичные дроби?
2. Надо ли приводить к общему знаменателю десятичные дроби при
сложении?
3. Сформулируйте законы сложения десятичных дробей. Приведите
примеры.
@ УПРАЖНЕНИЯ
588. Найти следующие суммы:
1) 2,45
+ 0,312
4) 0,6335
0,246
Н 0,7054
2) 18,509 3) 31,405
+ 3,912 + 2,097
5) 3,785 6) 21,0072
.97,03 432,06
г 0,429 4- 0,987
5,31 1,5734
‘— 0,1
539. Выполнить сложение:
1) 6 + 5,04;
3) 7,14 + 0,98;
5) 4,32 + 0,768 + 2,001;
2) 3,05 + 4,73;
4) 0,18 + 4,50 + 3;
6) 0,1 + 0,91 + 0,991.
210
590. 1) 2 + 0,43 + 7,24 + 34,1;
2) 16,8 + 1,095 + 0,07 + 15,971;
3) 252 + 327,63 + 400,507 + 31,7094;
4) 0,5 + 0,005 + 0,0055 + 0,000055.
591. С помощью русских счетов вычислить:
1) 14,6 + 28,9; 2) 6,54 + 3,69;
3) 49,2 + 16,17; 4) 560,751 + 120,43.
592. При помощи счетов найти сумму и проверить результат,
переставив слагаемые:
1) 53,404 + 1,4342 + 0,05 + 5,5428;
2) 0,129 + 0,00497 + 1,009 + 0,85703.
593. Сложить:
1) 2,25 м, 13,4 м, 0,27 м и 4,79 М’,
2) 6,525 кг, 14,07 кг, 0,3 кг и 4,503 кг.
594. 1) Выразить в сантиметрах сумму:
5,83 м +3,72 м +25,6 см.
2) Выразить в километрах сумму:
15,5 км +525 м +33 см.
595. 1) Выразить в килограммах сумму:
1,2 т +4 кг +275 г.
2) Выразить в центнерах, а затем в тоннах сумму:
4,5 г+2,3 ц + 256 кг + 724 г.
596. 1) Выразить в квадратных метрах сумму:
15,4 га +3,2 а + 28 кв. м +425 кв. дм.
2) Выразить в арах сумму:
4,2 га+ 2,6 а+ 31 кв. м.
597. 1) Выразить в литрах сумму:
15 гл+2,3 гл + 3,1 л.
2) Выразить в гектолитрах сумму:
230 л +37 л +72,54 гл.
598. 1) Сложить число 21,456 с десятой и с сотой его частями.
2) Сложить число 5,1723 с десятой и с сотой его частями и по-
лученную сумму увеличить на 4,295.
599. 1) Сумма двух чисел равна сумме 0,593 и 1,507; одно из
чисел в 9 раз больше другого. Найти меньшее число.
2) Сумма двух чисел равна 1,5 + 0,39 + 0,31; одно из них в 99
раз больше другого. Найти меньшее число.
600. Вычислить наиболее простым путем:
1)12,8 + 6,6 + 2,2; 3) (3,18 + 5,67) + 4,82;
2) 41,5 + (20,7 + 18,5); 4) (16,4 + 13,2)+(10,6 + 4,8).
211
601. (Устно.) Ранее самолет пролетал путь от Москвы до Иркут-
ска за 12,2 часа, а от Москвы до Владивостока на 10,6 часа
больше. За сколько часов самолет пролетал путь от Москвы до
Владивостока?
2) Реактивный самолет ТУ-104 пролетает путь от Москвы до
Иркутска за 6,25 часа, а от Москвы до Владивостока на 5,1
часа больше. За сколько часов ТУ-104 пролетает путь от Моск-
вы до Владивостока?
602. (Устно.) Население РСФСР в 1913 г. составляло 108,4 млн.
человек, а к 1959 г. увеличилось на 9,1 млн. человек. Сколько
населения было в РСФСР в 1959 г.?
603. Узнать, какую общую площадь занимают острова Сахалин
и Северная Земля, если площадь Северной Земли—37,9 тыс. кв.
км, а площадь Сахалина на 38,9 тыс. кв. км больше.
604. Горьковское море занимает площадь 1,75 тыс. кв. км,
Цимлянское море занимает площадь 4,5 тыс. кв. км, а Куйбы-
шевское море на 1 тыс. кв. км больше, чем Цимлянское. Сколь-
ко квадратных километров занимают эти моря вместе?
Контрольная работа по § 45
1. Найти суммы письменно и на счетах:
14,5 0,503 4,58
+ 8,94 +7,09 +0,074
3,08 1,308 9,703
2. Выразить в центнерах, а затем в тоннах сумму:
2,3 г + 25,4 ц + 436 кг.
3. Вычислить устно наиболее простым путем:
а) 0,15 + 3,07 + 1,85;
б) 0,36 + 2,9 + 0,64 + 1,5 + 0;
в) 2,57 + 4 + 0,3 + 1,43 + 1,2.
4. Вычислить сумму 4,5079 + 0,07 и округлить результат с точностью
до 0,1.
5. Надо поставить изгородь вокруг сада, имеющего прямоугольную
форму. Ширина сада — 0,24 км, а длина его на 0,15 км больше ши-
рины. Какой длины нужно поставить изгородь?
§ 46. ВЫЧИТАНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ
Вычитание десятичных дробей выполняется так же, как и
вычитание натуральных чисел.
Чтобы от одной десятичной дроби отнять другую десятичную
дробь, надо вычитаемое подписать под уменьшаемым так, что-
бы одинаковые разряды и доли были подписаны друг под дру-
гом, а затем вычитать начиная с более мелких долей, т. е. спра-
ва налево. Например: 14,056—11,954 = 14,056
11,954
2,102
212
Выполняя вычитание, рассуждаем так: от 6 тысячных от-
нять 4 тысячных, будет 2 тысячных, подпишем их в результа-
те под тысячными долями; от 5 сотых отнять 5 сотых, получим
О сотых, подпишем 0 на месте сотых; от 0 десятых нельзя от-
нять 9 десятых. Возьмем одну единицу, разобьем в десятые до-
ли; всего в ней будет 10 десятых, и отнимем 9 десятых, полу-
чим 1 десятую, которую и подпишем в результате под десяты-
ми; в целой части осталось число 13. Отнимем от него 11.
Если уменьшаемое и вычитаемое имеют разное число деся-
тичных знаков, их можно уравнять приписыванием нулей спра-
ва, а затем производить вычитание, как выполнялось выше, но
лучше, как и при сложении, эти приписываемые нули только
подразумевать. Например: 1) 4,25—3,7043 и 2) 4 — 1,507.
Можно записать так: Но лучше:
1) 4,2500 2) 4,000 1) 4,25 2) _ 4
3,7043 ’1,507 3,7043 1,507
0,5457 2,493 0,5457 2,493
Проверка правильности выполнения сложения и вычитания
дробей, как и проверка этих действий с натуральными числа-
ми, может быть выполнена двумя способами: сложением и вы-
читанием.
Вопросы для самопроверки
1. Как вычесть десятичную дробь из десятичной?
2. Как вычесть десятичную дробь из натурального числа?
3. Расскажите о способах проверки правильности выполнения сло-
жения и вычитания десятичных дробей.
• УПРАЖНЕНИЯ
605. Вычислить:
1) 8,2—3,2; 2) 12,8—8,7;
3) 16,7—15,8; 4) 43,4—31,7;
5) 3,25—1,23; 6) 6,06—3,19.
Правильность полученных результатов проверить на счетах.
606. Вычислить:
1) 45,073—16,29; 2) 37,496—31,507;
3) 5—4,098; 4) 15—13,273;
5) 3,23—1,756; 6) 14,7—11,247.
607. Найти разность следующих пар чисел и проверить резуль-
тат сложением:
1) 4,28 и 3,73; 2) 56,3 и 51,325;
3)16 и 13,99; 4) 121,101 и 74,655.
608. Найти разность следующих пар чисел и проверить резуль-
тат вычитанием:
1) 1 и 0,534; 2) 14,2 и 3,14159;
3) 1,1 и 0,8997; 4) 16,07 и 13,9645.
213
609. Вычислить:
1) 5—4,2—0,3; 2) 18,6-7,3-4,5;
3) 12,7—4,07—3,528; 4) 19,2—16,403—0,57—1,2.
610. 1) 25,2—(16,7-13,9);
2) 3,15—(25,4—24,96);
3) (13,1—9,25)—(4,9—3,15);
4) (10-3,745)—(0,9—0,36).
Правильность полученных результатов проверить на счетах.
611. Вычислить двумя способами:
1) (6,25 + 3,402)—3,25; 2) (14,07 + 3,1)-2,1;
3) 182,46—(35,2 + 40,46); 4) 4,29—(1,28 + 3,01).
612. 1) Из 16,28 вычесть 14,527. Полученную разность увеличить
в 100 раз.
2) Из 14 вычесть 6,709. Полученную разность увеличить в 1000
раз.
613. Дать ответ:
1) в метрах: 454 м—98 слс; 5,6 км—2 км 250 м 4 дм;
2) в сантиметрах: 4,4 м —9,9 см; 1 м 15 дм 3 см —4,3 см;
3) в килограммах: 6,3 г—43,5 кг; 3 г 4 ц 6 кг—49,63 кг.
614. Аральское море занимает площадь 63, 8 тыс. кв. км, а озе-
ро Байкал—31,5 тыс. кв. км. На сколько площадь Аральского
моря больше площади Байкала?
615. Горьковское море занимает площадь 1,75 тыс. кв. км, а
Московское море на 1,423 тыс. кв. км меньше. Чему равна пло-
щадь, занимаемая этими морями вместе?
616. Вес первого искусственного спутника, запущенного в СССР
4 октября 1957 г., —83, 6 кг, а вес второго спутника, запущен-
ного 3 ноября 1957 г., —508,3 кг. На сколько килограммов вто-
рой спутник тяжелее первого?
617. На пустой бочке осталась следующая надпись: «Брутто —
250, 6 кг, нетто—212,8 кг.». В эту бочку налили 204,5 кг мас-
ла. Как надо изменить надписи на бочке?
618. Составьте и решите несколько задач при помощи вычита-
ния по следующим данным:
1) Площадь Москвы составляла:
до Великой Октябрьской социалистической
революции..................................17,7 тыс. га
в 1932 г...................................27,2 тыс. га
в 1946 г...................................33, 1 »
в 1963 г................................. 87,5 »
2) На школьных соревнованиях в беге на 100 м лучшие ре-
зультаты показали: Коля Евгенов — 14,2 сек., Володя Пет-
ров—13,9 сек. и Леша Дмитриенко—13,6 сек. при норме
14,6 сек.
214
Выполнить указанные действия:
619. 1) (27,428—16,507)-(2,946+ 3,063);
2) (1,2543 + 3,7457) + (14,04—11,906);
3) 23+ (19,57—12,4)+ 16,04.
620. 1) 5—3,2 + 0,09-0,0835;
2) 5—(3,2 + 0,09—0,0835);
3) 5-3,2+ (0,09—0,0835).
621. 1) (15,75—13,2)—(8,92—7,54) + 0,01;
2) (44,6—19,01)—(4,03 + 5,97) - (4,5 - 3,98);
3) (4,002 -1,03) + (7,032—0,005)—(13 - 4,999).
622. 1) 17,03—[13,321-(17,481-14,19)];
2) 17,03—13,321—(17,481-14,19);
3) 10,07 - [0,15 +1,763— (3,63—2,164)].
623. 1) (3,1—0,01) —[5,6— (0,999 + 0,001) —(7,3 —5,23)];
2) [(3—0,525) + (4—3,097)] - [(4,7 - 3,25) - (8,01 - 7,8)];
3) 16,27—(5,37 + 3,03)—[15,9 - (4,35 + 7,65)].
624. Вычислить наиболее простым путем:
1) (4,25 + 6,57)—(4,49—2,57)—(3,48 + 1,75);
2) 17,56 + (9,28—5,56)— (7,01 - 4,72);
3) (14,7 + 0,053)—(9,7—2,32)—(1,01—0,047).
625. Найти х, если:
1) * + 12,4 = 15,83; 2) 21,7 + * = 23,04;
3) *—16,53 = 14,47; 4) 28,4—*=27,93.
626. Решите устно:
1) Какое число надо прибавить к 6,75, чтобы получить 13?
2) К какому числу надо прибавить 15,39, чтобы получить
18,04?
3) Из какого числа надо вычесть 9,09, чтобы получить 8,1?
627. 1) Уменьшаемое 16,701, а разность 14,96. Найти вычи-
таемое.
2) Вычитаемое 21,07, а разность 13,96. Найти уменьшаемое.
3) Когда разность двух чисел равна уменьшаемому?
628. Как изменится сумма, если:
1) Первое слагаемое увеличить на 7,4? Уменьшить на 4,8?
2) Первое слагаемое увеличить на 2,1, а второе увеличить на
3,7?
3) Первое слагаемое увеличить на 5,6, а второе уменьшить на
4,4?
629. Как изменится разность, если:
1) Уменьшаемое увеличить на 5,2? Уменьшить на 3,2?
2) Вычитаемое увеличить на 10,6? Уменьшить на 7,03?
3) Уменьшаемое и вычитаемое увеличить на 6,54?
215
630. Найти длину трехпролетного железнодорожного моста,
если длина среднего пролета —86,8 м, а каждый крайний про-
лет меньше среднего на 12,2 м (рис. 92).
631. Найти длину четырехпролетного железнодорожного моста,
если каждый из средних пролетов имеет длину 72,4 м, а каж-
дый крайний пролет на 8,6 м короче среднего пролета.
632. В квартире три жилые комнаты. Первая комната имеет
площадь 12,8 кв. м, площадь второй комнаты на 11,8 кв. м
больше площади первой, а площадь третьей на 10,6 кв. м мень-
ше площади второй комнаты. Чему равна площадь третьей
комнаты?
Контрольная работало § 46
1. Найти разность и проверить результат:
а) 14,56—8,39; в) 6,234—4,5709;
б) 8,1—0,59; г) 4—3,0576.
2. Вычислить двумя способами:
а) (4,28 + 6,043)—1,28; б) 16,25—(8,15 + 4,52).
3. Из суммы чисел 2 и 0,546 вычесть их разность.
4. Вычислить: 1 + 17,4—(36,43—20,84). Проверить правильность по-
лученного результата на счетах.
5. Собственная скорость лодки — 6,5 км в час. Скорость течения ре-
ки — 2,5 км в час. Найти скорость лодки по течению и скорость лод-
ки против течения. Изобразить на числовом луче скорость лодки про-
тив течения, по течению и собственную ее скорость.
§ 47. УМНОЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ
Умножение. Свойства десятичных дробей (§ 44) позволяют
умножать десятичные дроби так же, как натуральные числа.
Рассмотрим умножение десятичных дробей на примерах.
1) 56X4,3. Если увеличить множитель в 10 раз, то оба со-
множителя будут натуральными числами и, следовательно, мы
можем найти произведение чисел 56 и 43. Но полученное про-
216
изведение будет больше произведения 56 и 4,3 в 10 раз; зна-
чит, чтобы получить это произведение, надо произведение на-
туральных чисел 56 и 43 уменьшить в 10 раз, т. е. отделить в
произведении запятой с правой стороны один десятичный знак:
56X4,3 = 240,8.
2) 5,12X4,8. Увеличим множимое 5,12 в 100 раз, а множи-
тель 4,8 в 10 раз и найдем произведение натуральных чисел
512 и 48:
512X48 = 24 576.
Полученное произведение 24 576 будет в 1000 раз больше
произведения чисел 5,12 и 4,8, так как мы при умножении
увеличили первый сомножитель в 100 раз, а второй в 10 раз, и,
следовательно, результат увеличился в 1000 раз. Значит, чтобы
найти произведение чисел 5,12 и 4,8, надо произведение нату-
ральных чисел 512 и 48 уменьшить в 1000 раз, т. е. отделить в
произведении запятой три десятичных знака:
5,12X4,8 = 24,576.
Записывают умножение десятичных дробей так:
1) 56 X 4,3 _1_ 168 '224 240,8 2) v5.12 х4,8 “4096 н 2048 24,576 3) 8,375 х2,56 50250 । 41875 16750 21,44000
Чтобы умножить десятичные дроби, следует, не обращая
внимания на запятые, перемножить их как натуральные числа
и в произведении отделить запятой с правой стороны столько
десятичных знаков, сколько их во множимом и во множителе
вместе.
Законы умножения и их применение. Из § 41 мы знаем,
что умножение дробных чисел обладает переместительным, со-
четательным и распределительным законами. Десятичные дро-
би — вид дробных чисел, следовательно, умножение десятич-
ных дробей обладает теми же законами, что и умножение на-
туральных чисел. В основном эти законы используются для уп-
рощения вычислений. Покажем на примерах.
1) 0,25 • 1,25 • 0,4 -0,8 • 5,6. Переставим сомножители (переме-
стительный закон), затем их сгруппируем (сочетательный за-
кон) и выполним вычисления (устно):
(0,25 • 0,4) • (1,25 • 0,8) • 5,6 = 0,100 • 1,000 • 5,6 = 0,56.
2) 7,125 • 80. На основании распределительного закона выпол-
ним умножение так:
(7 + 0,125) • 80 = 560 + 10,000 = 570.
Переместительный закон умножения используется и при
проверке правильности выполнения умножения.
8 С. А. Пономарев
217
Например, выполнив умножение, показанное ниже слева,
выполняют для проверки умножение, показанное справа:
58,4 3,95
х 3,95 х 58,4
2920 1580
+ 5256 + 3160
1752 1975
230,680 230,680
Если нет времени проверить умножение, то полезно сделать
проверку хотя бы путем «прикидки», т. е. получить грубо при-
ближенный ответ.
Например, проверяя результат 58,4'3,95 = 230,68, округля-
ют сомножители до целого. Получают, что 58 • 4 = 232, и дела-
ют вывод, что результат 230,68 практически верен.
Вопросы для самопроверки
1. Как умножаются десятичные дроби?
2. Сформулируйте законы умножения.
3. Как проверить правильность выполненного умножения?
• УПРАЖНЕНИЯ
Вычислить:
633. (Устно.) 1)13,75-10; 2)0,8-10; 3)0,163-10;
4) 18,7-100; 5) 0,0034-100; 6) 6,4823-1000.
634. (Устно.)
1)01-0,1; 2)0,1-0,01; 3)0,1-0,001;
4) 5-0,1; 5) 0,5-0,1; 6)0,05-0,1.
635.1) 1,3-2; 2)4,52-5; 3)0,71-3;
4) 0,02 • 7; 5) 4,92 • 20; 6) 0,154 • 70.
636.1)5-0,41; 2)17-1,01; 3)12-4,05;
4) 40-3,24; 5) 500-1,08; 6) 1-4,053;
7) 0-2,825; 8)18-0,011; 9) 47-2,002;
10) 220 • 5,04; 11) 340 • 7,053; 12) 99 • 3,401.
637. 1) 1,5-1,2; 2) 1,4-1,8; 3) 5,8-2,5;
4)12,9-3,4; 5)11,3-10,4; 6)3,2-0,25.
638. Вычислить наиболее удобным способом:
1) 0,25-0,3-4;
2) 0,8-0,11-0,125;
3) 1,25-3-0,8;
4) 50-0,13-0,2;
5) 4,5-1,5-0,4-2;
6) 8-4-0,125-0,25
7) 1,5-0,6-0,4;
8) 0,2 • 1,7 • 0,5 • 10.
639. Выполнить умножение и дать ответ:
218
1) в метрах: 0,7 км-13; 31,05 ж-15; 400,2 м-0,6.
2) в килограммах: 1,85 ц-12; 23,4 кг -25; 704,3 кг -0,7.
640. Размеры пылинок от 0,005 мм до 0,05 мм. Выразить размеры
пылинок в микронах.
641. (Устно.) Найти:
1) 0,2 от 10;
4) 0,8 от 50;
642. Найти:
1) 0,2 от 5,7;
4) 0,07 от 12,3;
643.
1)
3)
5)
2) 0,5 от 40;
5) 0,4 от 250;
2) 0,7 от 2,9;
5) 0,29 от 3,1;
3) 0,25 от 400;
6) 0,8 от 125.
3) 0,05 от 1,75
6) 0,53 от 4,4.
(Устно.) Найти наиболее простым путем:
0,5 от 36 руб. 50 коп.; 2) 0,25 от 24 т;
0,5 от 1400 га; 4) 0,25 от 120 руб. 40 коп.;
0,5 от 264 кг; 6) 0,25 от 448 км.
644.'Проверить и пояснить справедливость следующих равенств:
1) 3,25 • 0,61 = 32,5 • 0,061;
2) 8,4 • 1,5 • 0,9 = 0,84 • 150 • 0,09.
645. (Устно.) Что больше:
1) 4,5 или 4,5 • 0,99? 6,8 или 6,8 • 1,1?
2) 62,3 или 62,3 • 0,777? 15,45 или 15,45 • 1,001?
Сделайте вывод о результате умножения десятичной дроби
на число, меньшее 1, большее 1.
646. Найти произведение 4 ab, если
647. (Устно.) 1) Десятичную дробь умножили на какое-то число
и в произведении получили число, равное множимому. На ка-
кое число умножили десятичную дробь?
2) На какое число надо умножить десятичную дробь, что-
бы в произведении получить нуль?
648. Зная, что 1 фунт =0,475 кг, 1 пуд =16,38 кг, 1 верста =
= 1,07 км, 1 дюйм =2,54 см и 1 десятина =1,09 га, выразить:
1) в килограммах: 10 фунтов, 100 фунтов, 5 пудов;
2) в километрах: 10 верст, 50 верст, 120 верст;
3) в сантиметрах: 10 дюймов, 50 дюймов, 6 дюймов;
4) в гектарах: 100 десятин, 20 десятин, 4 десятины.
8*
219
Рис. 93.
Рис. 94.
649. Колхоз имел под огородами 20,8 га зем-
ли. Капустой было занято 0,15 этой земли.
Сколько гектаров земли было отведено под
капусту?
650. Тело, весящее на Земле 1 кг, на Луне
весит 0,16 кг. Сколько весит тело на Луне,
если на Земле оно весит 100 кг? Каков бу-
дет ваш вес на Луне? (Рис. 93.)
651. Мальчик, наблюдая грозу, увидел
вспышку электрического разряда (мол-
нию), а через 25 сек. услышал звук разря-
да (гром). На каком расстоянии от мальчи-
ка произошел разряд, если скорость звука
в воздухе равна 0,33 км!сек! (Рис. 94.) (От-
вет округлить до 0,1 км.)
652. При каждом вдохе взрослый человек
вводит в легкие 0,5 л воздуха. Сколько воз-
духа пропускает человек за сутки, если
считать, что он делает 18 вдохов в мину-
ту? Сколько весит воздух, который прохо-
дит за сутки через легкие • человека, если
1 л воздуха весит 1,23 г? (Ответ округлить
до 1 кг.)
653. Семья колхозника выработала за год
1023 трудодня. Сколько зерна, овощей и
денег получит семья, если колхоз выдавал
3,5 кг зерна, 4 кг овощей и 1,25 руб. на
1 трудодень?
654. Огород имеет форму квадрата, сторона
которого — 12,6 м. Найти периметр и пло-
щадь огорода.
655. Комната имеет размеры 8,4 X 5,2 X 3,6 м.
Найти ее объем. (Ответ округлить до
1 куб. м.)
656. Выполнить указанные действия:
1) 10,08-0,13+ 7,2-1,068;
2) 4,5-3,1+ 1,2-0,3-2,1;
3) 105-7,08—105-6,08;
4) (5,6—4,2)-1,25—2,4-0,5.
657. 1) 5,423 + 3,577-(5,423—3,577);
2) (9—0,4) • (6,1—4,6) +(4,1—2,85)- (3,2—3,12);
3) (2,743 +12,257) • 0,01 + 0,047 • (10 000—429,5).
658. 1) 34,8-0,5—(9,8 + 1,4)-0,2 + 0,6-(24,3—18,8);
2) 41,5 • 0,6—0,4 • (15,8—12,3) + (13,4 +15,4) • 0,5;
3) 100 • (5,423—4,908) + 0,1 • (19,4—17,4)—0,5 • (14,7—11,6).
220
659. Записать при помощи скобок и знаков арифметических дей-
ствий и произвести вычисления над числами 10,8; 3,4 и 5,2 в
следующих случаях:
1) сумму всех трех чисел умножить на разность между пер-
вым и вторым числами;
2) сумму первых двух чисел умножить на удвоенную разность
между первым и третьим числами.
660. Проверить распределительный закон умножения: 1) умно-
жив сумму чисел 4,21 и 2,29 на 0,25; 2) умножив разность чи-
сел 5,34 и 1,09 на 0,4.
661. 1) К какому числу надо прибавить 25,4, чтобы получить чис-
ло, в 2,5 раза большее, чем 15,1?
2) От какого числа надо отнять 3,2, чтобы получить число, в
4, 6 раза большее, чем 6,8?
662. На окучивании участка картофеля одновременно работали
тракторный окучник производительностью 1,3 га в час и два
конных окучника производительностью 0,25 га в час каждый.
Сколько гектаров картофеля они окучили вместе за 5 час. ра-
боты?
663. На окучивании участка картофеля работали тракторный
окучник производительностью 1,3 га в час и два конных окуч-
ника производительностью 0,25 га в час каждый. Тракторный
окучник работал 8 час., а конные окучники — по 5 час. каж-
дый. Сколько гектаров картофеля они окучили вместе?
664. Поле площадью 75 га было засеяно пшеницей, рожью и про-
сом. Пшеницей было засеяно 0,4 всего поля, рожью на 5,2 га
больше, чем пшеницей, а остальная площадь поля была засея-
на просом. Сколько гектаров земли было засеяно просом?
665. В полдень из порта А в порт Б вышел пассажирский паро-
ход, скорость которого —22,4 км в час. В 15 час. из того же
порта в порт Б вышел грузовой пароход, скорость которого —
16,5 км в час. На каком расстоянии друг от друга будут па-
роходы в 20 час.?
666. Из Москвы в Иркутск вышел скорый поезд со средней ско-
ростью 60 км в час, а через 12,5 часа по тому же направлению
вылетел самолет, скорость которого —760 км в час. На каком
расстоянии будут друг от друга самолет и поезд через 2,5 ча-
са после вылета самолета?
667. Из двух городов одновременно навстречу друг другу вышли
два поезда: один со скоростью 48,4 км в час, а другой со ско-
ростью 56,8 км в час. Встреча их произошла через 2,5 часа.
Найти расстояние между городами.
668. Надо огородить колхозный сад, ширина которого —109,4 м,
,а длина на 24,6 м больше ширины. Сколько потребуется коль-
ев для изгороди, если на каждый метр идет 5 кольев?
669. Через поле прямоугольной формы, ширина которого —70,5 м,
а длина в 6 раз больше ширины, проходит поперек его (по ши-
рине) грунтовая дорога шириной 6,5 м. Сколько земли исполь-
зуется под посев? (Ответ округлить до 1 а.)
221
Контрольная работа по § 47
1. Вычислить: 2,5 2,45 • 4 6,25 1,25 80.
2. Проверить справедливость равенства: 4,82 • 3,5 = 48,2 • 0,35.
Объяснить, почему получаются равные произведения двух сомножи-
телей, хотя сомножители и неравные.
3. Вычислить: 3,16 • 0,9 + 10,5-9,6+0,1 • 2,7.
4. Вес тела на Луне составляет 0,16 веса этого тела на Земле, на
Марсе — 0,38, на Юпитере в 2,64 раза больше веса тела на Земле.
Определить вес взрослого человека на Луне, Марсе и Юпитере, если
на Земле человек весит 72 кг.
5. Трактор при пахоте пятикорпусным плугом, захватывающим по-
лосу в 1,75 м шириной, развивает скорость 4,8 км в час. Какое поле
этот трактор может вспахать за 6 час. непрерывной работы? (Выра-
зить работу в гектарах.)
6. Квартира имеет три комнаты. Длина первой комнаты — 5,6 м и
ширина — 5 м; длина второй комнаты — 4,5 м и ширина — 5 м;
длина третьей комнаты — 4,8 м и ширина — 3,5 м. Определить квар-
тирную плату за месяц, если за 2 км. м платят 0,06 руб. (Ответ ок-
руглить с точностью до 0,1 руб.)
§ 48. ДЕЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ
Деление десятичных дробей, как и деление натуральных чи-
сел, иногда выполняется без остатка, а иногда — с остатком.
Рассмотрим деление десятичных дробей в такой последователь-
ности :
1. Деление десятичной дроби на натуральное число без остатка.
2. Деление десятичной дроби на десятичную дробь без остатка.
3. Приближенное частное.
Деление десятичной дроби на натуральное число без остатка.
Пусть надо вычислить частное 74,55 : 35. Запишем деление
десятичной дроби так, как записываем деление натуральных
чисел:
Делим 74 целых на 35; получим в частном 2 целых, за-
писываем эту цифру и ставим запятую, так как деление целых
окончено. Остаток 4 единицы раздробляем в десятые доли
(40 десятых) и прибавляем к ним 5 десятых долей; получим
45 десятых. Делим 45 на 35, получим в частном 1 десятую и в
остатке 10 десятых; записываем в частном 1 десятую, а оста-
ток 10 десятых; раздробляем в сотые доли (100 сотых) и при-
бавляем к ним 5 сотых, получим 105 сотых. Делим 105 сотых
на 35, получим в частном 3 сотых и в остатке 0. Деление за-
кончено.
_74,55 35
70__2,13
_45
35
_105
105
О
222
Из рассмотренного примера видно, что процесс деления де-
сятичной дроби на натуральное число аналогичен процессу де-
ления натуральных чисел.
Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо
производить деление так, как производится деление натуральных
чисел, обращая остатки в более мелкие десятичные доли.
Деление десятичной дроби на десятичную дробь без остатка.
Мы знаем, что если делимое и делитель увеличить в одинако-
вое число раз, то частное не изменится. Это свойство позволя-
ет свести случай деления на десятичную дробь к случаю деле-
ния на натуральное число, уже рассмотренному нами.
Пусть надо вычислить частное 3,825 : 0,85.
Рассматривая пример, видим, что если делитель и делимое
увеличить в 100 раз, то делитель будет натуральным числом,
т. е. мы преобразовали деление на десятичную дробь в деление
на натуральное число.
Действие записывают так:
3,825:0,85 =382,5:85 = 4,5
—340
425
425
0
Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо отбросить в
делителе запятую и, увеличив делимое во столько раз, во сколько
увеличили делитель, разделить его по правилу деления на нату-
ральное число.
Приведем два способа записи деления:
1-й способ.
382,53
36
22
12
105
96
93
“84
90
~ 84
60
60
0
2-й способ.
12 382,53 12
31,8775 22 31,8775
105 93 90
60
0
Запись второго способа более экономична, & потому
тельно записывать деление десятичных дробей вторым
жела-
спосо-
223
бом. Если деление можно выполнить устно, то действие запи-
сывают в строчку: 5,6 : 0,28 = 560 : 28 = 20.
Понятие о приближенном частном. Мы рассмотрели деле-
ние десятичных дробей при условии, что частное выражалось
точным (конечным) числом, т. е. деление выполнялось без ос-
татка. Но в практических задачах, для решения которых необ-
ходимо применить деление, искомое частное в большинстве
случаев не может быть выражено точным числом. Приведем
примеры.
Первый пример. Самолет ТУ-104 пролетает расстояние
между Москвой и Ленинградом за 45 мин. С какой скоростью
он пролетает это расстояние, если оно равно 650 км?
Решение.
1) Какую часть часа составляют 45 мин.?
.с 45 3
45 мин. = — часа = —часа =0,75 часа.
60 4
2) С какой скоростью летит ТУ-104?
650 : 0,75 = -65000- : 75 = 866,666- - •
50__
50__
50
Многоточие в этой записи указывает на то, что в частном
цифра 6 бесконечно повторяется.
Второй пример. Бригада ремонтников отремонтировала
за месяц 19 км шоссе вместо 7 км, предусмотренных планом.
Во сколько раз бригада перевыполнила план?
Решение. Для нахождения ответа мы должны 19 разде-
лить на 7.
19 7______________
5 12,7142857142...
1
3
2__
_____2_
_____6
4
5
Видим, что начиная с 7-го десятичного знака цифры част-
ного стали повторяться. Значит, деление будет бесконечным.
В таких случаях,- когда убеждаются, что деление бесконечно
(в первом примере цифры частного стали повторяться начиная
с цифры 6, во втором — с цифры 7), деление прекращают и
224
записывают результат, ограничиваясь несколькими первыми
цифрами частного.
В рассмотренных примерах вполне достаточно ограничить-
ся десятыми долями. Приближенный результат деления запи-
сывается так:
650 : 0,75 «866,6;
19 : 7 «2,7.
Результат деления выражают приближенным числом не
только в случае бесконечного деления. При решении практи-
ческих задач и в том случае, когда деление может быть выпол-
нено без остатка, т. е. выражено точным числом, часто поль-
зуются приближенным значением результата. Приведем при-
мер. Сельские труженики Ставропольского края в 1963 г. про-
дали государству 170 млн. пудов хлеба вместо 127 млн. пудов,
предусмотренных планом. Какую часть составляет план от
фактического выполнения?
Решение. Для нахождения ответа надо 127 разделить
на 170.
127,0 I 170
800 I 0,74705
1200
100
В данной задаче нас удовлетворяет число, ограниченное со-
тыми долями, т. е. 127 : 170«0,75.
Из рассмотренных трех примеров можно сделать вывод:
когда частное имеет большое число десятичных знаков или их
число бесконечно, частное обычно выражают приближенным
числом.
Нахождение приближенного частного с тем или иным коли-
чеством десятичных знаков зависит от практических соображе-
ний, от тех данных, которые содержатся в задаче. В рассмот-
ренных трех примерах брали приближенные частные с недо-
статком ; так, в первом примере мы отбросили значение
0,0666..., во втором —0,0142..., в третьем —0,00705... . Если бы
мы взяли в этих примерах значения 866,7; 2,8; 0,75, то эти
значения называли бы приближенными частными с избытком.
Обычно из двух приближенных значений частного берут то,
которое меньше отличается от точного частного. При этом поль-
зуются правилом округления (см. § 44).
При нахождении приближенного значения частного можно
пользоваться и другим правилом — правилом остатков: если
остаток больше половины делителя, то надо взять приближен-
ное значение с избытком. Приведем примеры.
1) Вычислить частное 2:3с точностью до 0,01.
2 3 2
s 0,67,
2 0,66... 3
2
225
так как остаток (2) больше половины делителя (3).
2) Вычислить частное 5:8с точностью до 0,1.
5 I 8 5 ЛС
---------- — ~ 0,6,
2 I 0,6 8
так как остаток (2) меньше половины делителя (8).
Свойства деления натуральных чисел остаются справедли-
выми и для десятичных дробей.
Вопросы для самопроверки
1. Как разделить десятичную дробь на натуральное число? Привести
пример.
2. Как разделить десятичную дробь на десятичную?
3. Как найти приближенное частное? Привести пример.
4. Как находят приближенное частное с помощью правила остатков?
Привести пример.
5. Как проверить правильность выполнения деления?
• УПРАЖНЕНИЯ
670. 1) 8,76 : 10; 4) 29 : 100; 7) 0,0153 : 150; 2) 38,4 : 100; 5) 7,001 : 10 000; 8) 0,01242 : 69; 3) 0,23 : 100; 6) 375 : 100 000; 9) 0,0162378 : 18.
671. 1) 3 : 0,6; 2) 40 : 0,05; 3) 200 : 0,8;
4) 512 : 0,016; 5) 1 : 0,8; 6) 1 : 0,002.
672. 1) 0,12 : 0,4; 2) 1,5 : 0,03; 3) 0,7 : 0,035;
4) 0,0121 : 0,11; 5) 10,01 : 9,1; 6) 2,002 : 9,1;
7) 1196,54 : 4,126.
673. (Устно.)
1) 3 : 0,1; 2) 18 : 0,1; 3) 250 : 0,1;
4) 7 : 0,01; 5) 158 : 0,01; 6) 4 : 0,001.
674. 1) 9:0,032; 2) 24,96 : 0,0012; 3) 0,2205 : 0,147;
4) 6,21 : 3; 5) 1,016 : 8; 6) 0,3534 : 0,57.
675. (Устно.)
1) 4,8 : 2; 2) 4,8 : 8; 3) 9,6 : 12;
4) 0,72 : 6; 5) 0,35 : 0,07; 6) 0,35 : 0,7.
676. 1) 1:4; 2) 30 : 4; 3) 5 : 8;
4) 65 : 8; 5) 45 : 6; 6) 123 : 6.
677. Найти приближенное частное:
1) 120 : 56 с точностью до 1;
2) 513 : 321 с точностью до 0,1;
226
3) 12,4 : 32 с точностью до 0,1;
4) 329 : 48 с точностью до 0,01;
5) 45,3 : 11,1 с точностью до 0,01;
6) 2:3с точностью до 0,001.
678. Какую часть составят:
1) 3 руб. от 10 руб.? 5 коп. от
2 руб.? 15 руб. от 700 руб.?
2) 5 км от 40 кмЧ 17 м от 2 кмЧ
13 м от 75 м1
3) 24 г от 1 кг? 8 кг от 200 кг?
3 ц от 2 т?
679. Какую часть составляет число:
1) 0,21 от 0,84?
3) 4,8 от 12?
5) 0,375 от 3,125?
680. Найти х, если:
Рис 95.
2) 0,8 от 4?
4) 0,425 от 0,5?
6) 2,84 от 4?
1) 0,3-х = 8,1; 2) 0,7-х = 17,5;
3) 0,5-х = 57,5; 4) 0,24-х = 0,132;
5) 0,01428 • х = 357; 6) 0,91-х = 100,1.
681. (Устно.) 1) Количество пищи, съедаемое
слоном за один день, составляет 0,1 его веса.
Найти вес слона, если в день он съедает в
среднем 280 кг пищи (рис. 95).
2) Самая маленькая птица на Земле — колиб-
ри, а самая большая — страус. Вес колибри—
1,8 г, что составляет 0,00002 веса страуса.
Найти вес страуса (рис. 96).
3) 0,13 длины Москвы-реки составляют
65 км. Определить длину Москвы-реки.
682. Площадь Азовского моря равна приблизи-
тельно 37 800 кв. км, что составляет 0,09 пло-
щади, занимаемой Балтийским морем. Опре-
делить площадь Балтийского моря.
683. Поезд прошел 169,4 км за 3,5 часа. Сколь-
ко километров он проходит за 1 час?
684. Рыба при вялении теряет 0,48 своего перво-
начального веса. Сколько было взято свежей
рыбы для получения 115,7 т вяленой?
685. Свекла при переработке в сахар теряет 0,85
своего веса. Сколько надо взять свеклы, что-
бы получить 360 кг сахару?
Рис 96.
686. Токарь за смену изготовил 80 деталей, что
составило 1, 6 данного ему задания. Сколько деталей он дол-
жен был сделать за день?
227
687. Модельщик за день изготовил 11 моделей, что составило
2,75 его задания. Сколько моделей он должен был сделать за
день?
688. Автомат для изготовления конфет за 1 мин. дает 420 штук.
За сколько времени автомат изготовит 10000 конфет? (Вычис-
лить с точностью до 0,1 мин.)
689. Второй искусственный спутник Земли в начале движения
совершал один полный оборот вокруг Земли за 103,75 мин., а
первый спутник в начале движения совершал один оборот за
96,17 мин. Во сколько раз первый спутник совершал полный
оборот быстрее, чем второй? (Вычислить с точностью до 0,1.)
690. Винт за четыре оборота продвинулся на глубину 9,6 мм.
За сколько оборотов он продвинется на глубину 21,6 ммЧ
691. Автомобиль за 1,5 часа прошел 75 км. За сколько времени он
пройдет 375 км, двигаясь с той же скоростью?
692. Мощность всех двигателей космического корабля «Восток-1»
составляла 20 млн. л. с. Какое количество двигателей автомо-
биля «Москвич» могли бы развить такую же мощность, если
мощность двигателя «Москвич» равна 15 л. с.?
693. Космическая ракета доставила вымпел СССР на Луну за
38,5 часа, пройдя расстояние 410 тыс. км. Какова была сред-
няя скорость ракеты? (Вычислить с точностью до 0,1 км/мин.)
Выполнить указанные действия:
,,40,2-8,1-4,8 7,8-1,001-0,625
694. 1) —--------2)--------------------.
0,048-0,81 18,2-0,26-0,125
695 2,56-0,44-2,25 . 2) 4,5-19,375-0,4
3,2-0,12-0,6 ’ J 3,125-1,2-1,5-6,2 ‘
696. Пользуясь правилом деления произведения, найти:
1) (6,4 • 5,8 • 0,7) : 64; 2) (2,41 • 7,1 • 5,5) : 0,11.
697. Пользуясь правилом умножения суммы и разности, найти:
1) (1,5+ 3,75)-0,4; 2) (4,72—3,6) • 0,25.
698. Пользуясь правилом деления суммы и разности, найти:
1) (0,75 + 1,5) : 0,15; 2) (1,69—0,39) : 1,3.
699. Найти х, если:
1)х:0,5 = 2,6; 2) х : 0,19 = 1,1; 3)16,9:х = 13;
4)8:х=1,25; 5) 0,6-х = 36,06; 6) 2,5-х = 0,375.
700. 1) Произведение двух чисел равно 0,695, множимое 1,39.
Найти множитель.
2) На какое число надо умножить 1,49, чтобы получить 0,596?
701. 1) Частное двух чисел равно 17,2, а делитель 0,35. Найти де-
лимое.
2) Какое число надо разделить на 5,6, чтобы получить 7,04?
702. 1) Частное двух чисел равно 0,1, а делимое 0,016. Найти де-
литель.
2) Какое число надо разделить на 1,73, чтобы получить нуль?
228
703. 1) На какое число надо разделить 0,73, чтобы получить 0,73?
2) 0,17 неизвестного числа составляют 1,02. Найти это число.
704. 1) Как изменится произведение трех чисел, если первое умно-
жить на 1,2, второе — на 0,25, а третье разделить на 0,4?
2) Как изменится произведение трех чисел, если первое разде-
лить на 1,5, второе умножить на 0,6 и третье разделить на 0,4?
705. Частное от деления двух чисел равно 1,2. Найти новое част-
ное, если:
1) делимое умножить на 0,5, а делитель оставить без измене-
ния;
2) делимое и делитель умножить на 0,4;
3) делимое умножить на 0,9, а делитель — на 3;
4) делимое разделить на 6, а делитель — на 0,2.
706. Вычислить, сколько продукции каждого вида приходится на
100 га земельных угодий колхоза, который имел 2500 га земли:
Вид продукции Получено продукции (и Ч) Приходится на 100 га (в ц)
Зерно Мясо Сено 3560 1680,5 1250
707. Земснаряд за 2,2 часа намывает в плотину 1100 куб. м грун-
та. Сколько грунта он намоет за 5,5 часа, если будет работать
с той же производительностью?
708. Длина комнаты —6 ,4 м, ширина — 6,5 м. Найти высоту ком-
наты, если объем равен 166,4 куб. м.
709. Рабочий захват (ширина собирающей части) конных гра-
бель — 2,13 м. Какую площадь обработает одна лошадь, за-
пряженная в грабли, за 6 час. работы, если средняя скорость
движения ее — 4 км в час? (Время на отдых не учитывается.
Ответ округлить с точностью до 0,1 га.)
710. Ширина захвата одной тракторной косилки равна 2,1 м. Ка-
кую площадь уберут три тракторные косилки за 6 час. работы,
если средняя скорость трактора — 4,5 км в час? (Вычислить с
точностью до 1 га.)
711. Ширина захвата тракторной дисковой бороны равна 3,4 м. С
какой скоростью должен двигаться трактор, чтобы за 1 час
обработать 1,7 га?
Контрольная работа по § 48
1. Найти частное х : 3,2, если х= 13,12; 25,76. Сделать проверку.
2. Найти приближенное частное с точностью до 0,1; 0,01, 0,001;
5,27 : 0,96.
3) Вычислить: (5,48 + 8,02) : (7,97 + 8,77) : 3,72 2,5.
4) При хранении в подвалах или ямах картофель теряет за 6 меся-
цев 0,15 своего веса. Сколько картофеля надо сложить в яму, чтобы
через 6 месяцев иметь его 51 ц?
5. Вес подсолнечного масла составляет 0,3 веса зерна, а вес зерна со-
ставляет 0,7 веса семян подсолнуха. С какой площади надо собрать
подсолнух при урожае 12,5 ц семян с 1 га, чтобы получить 2 г
масла?
229
6. Звезды весьма различны по своей яркости. Самые яркие звезды
назвали звездами 1-й величины, звезды, в 2,5 раза более слабые по
яркости,— звездами 2-й величины, звезды, в 2,5 раза более слабые,
чем звезды 2-й величины, — звездами 3-й величины и т. д. Какую
часть яркости звезды 1-й величины составляет яркость звезды 4-й
величины? 6-й величины?
Примечание.
Самые слабые по яркости звезды, видимые зорким глазом в безлун-
ную ночь, — звезды 6-й величины.
§ 49. ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ НА ВСЕ ДЕЙСТВИЯ
С ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ
♦ Порядок действий при решении примеров на десятичные
дроби тот же, что и при решении примеров с натуральными чис-
лами и обыкновенными дробями. Поэтому, прежде чем присту-
пить к решению примеров, надо повторить § 26 (стр. 74) и
§ 43 (стр. 177).
Выполнить указанные действия:
712. 1) 4,735 : 0,5 + 14,95 : 1,3 + 2,121 : 0,7;
2) 589,72 : 16—18,305 : 7 + 0,0567 : 4;
3) 3,006—0,3417 : 34—0,875 : 125.
713. 1) (0,1955 + 0,187) : 0,085;
2) 15,76267 : (100,6 + 42,697);
3) (86,9 + 667,6) : (37,1 + 13,2).
714. 1) (0,008+ 0,992)-(5-0,6—1,4);
2) (0,93 + 0,07) : (0,93—0,805);
3) (50 000—1397,3) : (20,4 + 33,603).
715. 1) 1,35 : 2,7 + 6,02—5,9 + 0,4 : 2,5-(4,2—1,075);
2) 4,3—3,5 + 1,44 : 3,6 + 3,6 : 1,44 • (0,1—0,02);
3) [(14,068+ 15,78): (1,875+ 0,175)]: [(0,325+ 0,195) • 4].
716. 1) 32,52—[(6 + 9,728 : 3,2)-2,5—1,6]-1,2—0,015 : 0,01;
2) 50,32—[(20 + 9,744 : 2,4) • 0,5—1,63] : 0,25 + 0,0752 : 0,04.
717. Найти частное от деления:
1) (605,125 : 12,5—36,8706 : 0,87—0,0012) на
(0,3181-4—59,29 : 77);
2) (90,09 : 91 + 3,774 : 0,34) на (232,31 : 17,87 + 186,85 : 5,05).
718. Выполнить действия:
57,24-3,55 + 430,728 . 127,17-4,35 + 14,067
2,7-1,88—1,336 18 + 2,1492:3,582
720 (4,561+ 5,439)—0,1 _ (4,45—2,2): 0,3
(7,01—5,01): 0,5 (0,823 + 0,177) • 30'
0,3 • (3,6—2,8) . (0,2—0,15): 0,001
0,25 • (0,94-1,06) (4,7—3,9)-10 J zo’yz-
230
722. Вычислить:
1) (4,32 кг: 1,35 + 1,3 ц:26—0,04 т-0,0225):(10,01 кг: 13—40 г);
2) (0,08 т-0,18 + 0,025 кг — 3,05 кг : 2) : (1,2 кг-2,7 + 1 кг бОгЛ
723. Найти х, если:
1) 2,6 • х = 40,54 +50,46;
2) 3,04-х + 8,176 = 10.
724. 1) (5000—1397,3) : (х +33,63) = 90;
2) 3,06—0,05-х + 66 : 0,33 + 0,14 = 203.
725. Номер обуви равен числу 1,5, умноженному на длину ступ-
ни в сантиметрах. Определите: а) номер своей обуви; б) чему
равна длина ступни человека, если он носит обувь номер 45?
726. 1) Неизвестное число умножили на разность чисел 1 и 0,57
и в произведении получили 3,44. Найти неизвестное число.
2) Сумму неизвестного числа и 0,9 умножили на разность
между 1 и 0,4 и в произведении получили 2,412. Найти неиз-
вестное число.
727. Длина Суэцкого канала — 165,8 км, длина Панамского ка-
нала меньше Суэцкого на 84,7 км, а длина Беломорско-Бал-
тийского канала на 145,9 км больше длины Панамского кана-
ла. Какова длина Беломорско-Балтийского канала?
728. Московское метро к 1959 г. было построено в 5 очередей.
Длина первой очереди метро — 11,6 км, второй — 14,9 км, дли-
на третьей на 1,1 км меньше длины второй очереди, длина
четвертой очереди на 9,6 км больше третьей
на пятой очереди на 11,5 км меньше чет-
вертой. Чему равна длина Московского
метро к началу 1959 г.?
729. По данным диаграммы о выплавке чугу-
на в РСФСР составить задачу, для решения
которой надо применить действия сложе-
ния, вычитания и деления (рис. 97).
730. Наибольшая глубина Атлантического
океана — 8,5 км, наибольшая глубина Ти-
хого океана на 2,3 км больше глубины Ат-
лантического океана, а наибольшая глуби-
на Северного Ледовитого океана в 2 раза
меньше наибольшей глубины Тихого океа-
на. Какова наибольшая глубина Северного
Ледовитого океана?
731. Автомобиль «Москвич» на 100 км пути
расходует 9 л бензина, автомобиль «Побе-
да» — на 4,5 л больше, чем расходует
«Москвич», а «Волга» — в 1,1 раза боль-
ше «Победы». Сколько бензина расходует
автомобиль «Волга» на 1 км пути? (Ответ
округлить с точностью до 0,01 л.)
очереди, а дли-
I9IJ 1928 1940 1945 1956 1959 1962
Рис 97.
231
732. Ученик на каникулы поехал к дедушке. По железной
дороге он ехал 8,5 часа, а от станции на лошадях — 1,5 часа.
Всего он проехал 440 км. С какой скоростью ученик ехал по
железной дороге, если на лошадях он ехал со скоростью 10 км
в час?
733. За лето один суслик уничтожает около 0,12 ц хлеба. Школь-
ники весной истребили на 37,5 га 1250 сусликов. Сколько хле-
ба сохранили школьники для колхоза? Сколько сбереженного
хлеба приходится на 1 га?
734. Колхоз подсчитал, что, уничтожив сусликов на площади в
15 га пашни, школьники сберегли 3,6 т зерна. Сколько сусли-
ков в среднем уничтожено на 1 га земли, если один суслик за
лето уничтожает 0,012 т зерна?
735. При размоле пшеницы на муку теряется 0,1 ее веса, а при
выпечке получается припек, равный 0,4 веса муки. Сколько пе-
ченого хлеба получится из 2,5 т пшеницы?
736. Колхоз собрал 560 т семян подсолнуха. Сколько подсолнеч-
ного масла изготовят из собранного зерна, если вес зерна со-
ставляет 0,7 веса семян подсолнуха, а вес полученного масла
составляет 0,25 веса зерна?
737. Выход сливок из молока составляет 0,16 веса молока, а вы-
ход масла из сливок составляет 0,25 веса сливок. Сколько тре-
буется молока (по весу) для получения 1 ц масла?
738. Сколько килограммов белых грибов надо собрать для полу-
чения 1 кг сушеных, если при подготовке к сушке остается
0,5 веса, а при сушке остается 0,1 веса обработанного гриба?
739. Колхоз засеял —
4
всей посевной площади зерновыми куль-
1
турами, — овощными, а остальную площадь кормовыми тра-
5
вами. Сколько посевной площади имел колхоз, если кормовы-
ми травами он засеял 60 га?
740. Сколько центнеров семян потребуется для засева поля, име-
ющего форму прямоугольника, длиной 875 м и шириной 640 м,
если на 1 га высевать 1,5 ц семян?
741. Сколько центнеров семян потребуется для засева поля, име-
ющего форму прямоугольника, если его периметр равен 1,6 км.
Ширина поля — 300 м. На засев 1 га требуется 1,5 ц семян.
742. Сколько пластинок квадратной формы со стороной 0,2 дм по-
местится на прямоугольнике размером 0,4 длгХЮ дм?
743. Читальный зал имеет размеры 9,6 лтХ5 лхХ4,5 м. На сколь-
ко мест рассчитан читальный зал, если на каждого человека
необходимо 3 куб. м воздуха?
744. Какую площадь луга скосит трактор с прицепом четырех ко-
силок за 8 час., если ширина захвата каждой косилки — 1,56 м
и скорость трактора — 4,5 км в час (время на остановки не учи-
тывается)? (Ответ округлить до 0,1 га.)
232
745. Найти выработку трехкорпусного тракторного плуга за
10 час. работы, если скорость трактора — 5 км в час, захват од-
ного корпуса — 35 см, а непроизводительная трата времени со-
ставила 0,1 всего затраченного времени. (Ответ округлить до
0,1 га.)
746. Запас муки был распределен между тремя пекарнями: пер-
вая получила 0,4 всего запаса, вторая — 0,4 остатка, а третья
пекарня получила муки на 1,6 г меньше, чем первая. Сколько
всего муки было распределено?
747. На втором курсе института 176 студентов, на третьем 0,875
этого числа, а на первом в полтора раза больше того, что было
на третьем курсе. Число студентов на первом, втором и треть-
ем курсах составляло 0,75 всего числа студентов этого институ-
та. Сколько студентов было в институте?
748. Найти среднее арифметическое:
1) двух чисел: 56, 8 и 53,4; 705,3 и 707,5;
2) трех чисел: 46,5; 37,8 и 36; 0,84; 0,69 и 0,81;
3) четырех чисел: 5,48; 1,36; 3,24 и 2,04.
749. 1) Утром температура была 13,6°, в полдень 25,5°, а вечером
15,2°. Вычислить среднюю температуру за этот день.
2) Какова средняя температура за неделю, если в течение не-
дели термометр показал: 21°; 20,3°; 22,2°; 23,5°; 24,1°; 22,1°;
20,8°.
750. Школьная бригада в первый день прополола 4,2 га свеклы,
во второй день — 3,9 га, а в третий — 4,5 га. Определить сред-
нюю выработку бригады за день?
751. Для установления нормы времени на изготовление новой де-
тали были поставлены три токаря. Первый изготовил деталь
за 3,2 мин., второй — за 3,8 мин., а третий — за 4,1 мин. Вы-
числить норму времени, которая была установлена на изготов-
ление детали.
752. Среднее арифметическое двух чисел 36,4. Одно из этих чисел
36,8. Найти другое.
753. Температуру воздуха измеряли три раза в день: утром, в
полдень и вечером. Найти температуру воздуха утром, если в
полдень было 28,4°, вечером 18,2° тепла, а средняя температура
дня 20,4°.
754. Автомобиль проехал за первые 2 часа 98,5 км, а за последу-
ющие 3 часа — 138 км. Сколько километров в среднем проез-
жал автомобиль в 1 час? (Вычислить с точностью до 0,1 км.)
755. Пробный улов и взвешивание карпов-годовичков показал,
что из десяти карпов четыре имели вес 0,6 кг, три — по 0,65 кг,
два — по 0,7 кг и один весил 0,85 кг. Каков в среднем вес кар-
па-годовичка?
756. Ширину участка поля измеряли с помощью циркуля, длина
шага которого равна 1,9 м. Трижды проведенное измерение ши-
рины участка дало результаты: 115, 119 и 117 шагов циркуля.
Найти наиболее удобным приемом среднее значение результа-
та измерений в метрах.
233
757. По переписи 1959 г., население СССР составляло 208,8 млн.
человек, причем сельского населения было на 9,2 млн. человек
больше, чем городского. Сколько было городского и сколько
было сельского населения в СССР в 1959 г.?
Указание. Прием решения объяснен на стр. 81.
758. Длина проволоки — 24,5 м. Эту проволоку разрезали на две
части так, что первая часть получилась на 6,8 м длиннее, чем
вторая. Какова длина каждой части?
759. 1) На трех складах 8656,2 т угля, на втором складе на
247,3 т угля больше, чем на первом, а на третьем на 50,8 т
больше, чем на втором. Сколько тонн угля на каждом складе?
2) Сумма трех чисел 446,73. Первое число меньше второго на
73,17 и больше третьего на 32, 22. Найти эти числа.
760. Катер по течению реки шел со скоростью 14,5 км в час, а про-
тив течения — со скоростью 9,5 км в час. Какова скорость кате-
ра в стоячей воде и какова скорость течения реки?
761. Пароход прошел за 4 часа по течению реки 85,6 км, а про-
тив течения за 3 часа 46,2 км. Какова скорость парохода в стоя-
чей воде и какова скорость течения реки?
762. Два парохода доставили 3500 т груза, причем один пароход
доставил в 1,5 раза груза больше, чем другой. Сколько груза
доставил каждый пароход?
Указание. Прием решения объяснен на стр. 83.
763. Из двух населенных пунктов, расстояние между которыми —
32,4 км, одновременно выехали навстречу друг другу мотоцик-
лист и велосипедист. Сколько километров проедет каждый из
них до встречи, если скорость мотоциклиста в 4 раза больше
скорости велосипедиста?
764. Найти два числа, сумма которых — 26, 35, а частное от деле-
ния одного числа на другое равно 7,5.
765. Завод отправил три вида груза общим весом 19,2 т. Вес гру-
за первого вида был втрое больше веса груза второго вида, а вес
груза третьего вида был вдвое меньше, чем вес груза первого и
второго видов вместе. Каков вес груза каждого вида?
766. Газопровод Газли — Свердловск на 1200 км длиннее газопро-
вода Саратов — Москва. Найти длину этих газопроводов, если
первый газопровод в 2,5 раза длиннее второго.
767. Длина реки Дона в 3,934 раза больше длины Москвы-реки.
Найти длину каждой реки, если длина реки Дона больше дли-
ны Москвы-реки на 1467 км.
Указание. Прием решения объяснен на стр. 83.
768. 1) Разность двух чисел 5,2, а частное от деления одного чис-
ла на другое 5. Найти эти числа.
2) Разность двух чисел 0,96, а их частное 1,2. Найти эти числа.
769. Одно число на 0,3 меньше другого и.составляет 0,75 его. Най-
ти эти числа.
•234
770. Одно число на 3,9 больше другого числа. Если меньшее чис-
ло увеличить в 2 раза, то оно составит 0,5 от большего. Найти
эти числа.
771. Колхоз засеял пшеницей и рожью 2600 га земли. Сколько
гектаров земли было засеяно пшеницей и сколько — рожью,
если 0,8 площади, засеянной пшеницей, равны 0,5 площади,
засеянной рожью?
772. Два парохода вышли навстречу друг другу из двух портов,
расстояние между которыми — 501,9 км. Через сколько време-
ни они встретятся, если скорость первого парохода — 25,5 км в
час, а скорость второго — 22,3 км в час?
Указание. Прием решения объяснен на стр. 85.
773. Из двух городов, расстояние между которыми — 462 км,
одновременно выехали два автомобиля и встретились через
3,5 часа. Найти скорость каждого автомобиля, если скорость
первого была на 12 км в час больше скорости второго.
774. Из двух населенных пунктов, расстояние между которыми —
63 км, одновременно выехали навстречу друг другу мотоцик-
лист и велосипедист и встретились через 1,2 часа. Найти ско-
рость мотоциклиста, если велосипедист ехал со скоростью, на
27,5 км в час меньше скорости мотоциклиста?
775. Из А в Б выехал велосипедист со средней скоростью 12,4 км
в час. Спустя 3 часа 15 мин. из Б навстречу ему выехал другой
велосипедист со средней скоростью 10,8 км в час. Через сколь-
ко часов и на каком расстоянии от А они встретятся, если 0,32
расстояния между А и Б равны 76 км?
77b. Из городов А и Б, расстояние между которыми — 164,7 км,
выехали навстречу друг другу грузовая машина из города А
и легковая из города Б. Скорость грузовой машины — 36 км, а
легковой в 1,25 раза больше. Легковая машина вышла на 1,2 ча-
са позже грузовой. Через сколько времени и на каком расстоя-
нии от города Б легковая машина встретит грузовую?
777. Два парохода вышли одновременно из одного порта и идут
в одном направлении. Первый пароход за каждые 1,5 часа про-
ходит 37,5 км, а второй за каждые 2 часа проходит 45 км. Че-
рез сколько времени первый пароход будет находиться от вто-
рого на расстоянии 10 км?
778. Из одного пункта сначала вышел пешеход, а через 1,5 часа
в том же направлении выехал велосипедист. На каком расстоя-
нии от пункта велосипедист догнал пешехода, если скорость
пешехода — 4,25 км в час, а велосипедиста — 17 км в час?
Указание. Прием решения объяснен на стр. 86.
779. Одна машинистка может перепечатать рукопись за 1,6 часа,
а другая — за 2,5 часа. За сколько времени обе машинистки
перепечатают эту рукопись, работая совместно? (Ответ округ-
лить до 0,1 часа.)
Указание. Прием решения объяснен на стр. 188.
235
780. Одна бригада может выполнить некоторый заказ за 8 дней,
другой на выполнение этого заказа требуется 0,5 времени пер-
вой, третья бригада может выполнить этот заказ за 5 дней. За
сколько дней будет выполнен весь заказ при совместной работе
трех бригад? (Ответ округлить до 0,1 дня.)
781. Первый рабочий может выполнить заказ за 4 часа, второй —
в 1,25 раза быстрее, а третий — за 5 час. За сколько часов бу-
дет выполнен заказ при совместной работе трех рабочих? (От-
вет дать с точностью до 0,1 часа.)
782. На уборке улицы работают две машины. Первая из них мо-
жет убрать всю улицу за 40 мин., второй для этого требуется
з
— времени первой. Обе машины начали работу одновремен-
4
но. После совместной работы в течение 0,25 часа вторая маши-
на прекратила работу. За сколько времени после этого первая
машина закончила уборку улицы? 4
783. В течение трех дней бригада рабочих отремонтировала —
5
шоссейной дороги между двумя пунктами. В первый день бы-
ло отремонтировано 2,4 км этого шоссе, во второй в 1,5 раза
2
больше, чем в первый, а в третий — того, что было отремонти-
ровано в первые два дня вместе. Найти длину шоссе между
пунктами. 3
784. Первый и второй участки вместе составляют — всего поля
4
площадью 92 га. Второй участок на 15 га больше первого участ-
ка. Найти площадь каждого участка.
785. Третий участок составляет — общей площади первого и вто-
4
рого участков. Площадь второго участка равна 24,5 га. Найти
площадь первого и третьего участков в отдельности, зная, что
первый участок на 10,2 га больше второго.
786. Комната имеет длину 8,5 м, ширину 5,6 м и высоту 2,75 м.
Площадь окон, дверей и печей составляет 0,1 общей площади
стен комнаты. Сколько кусков обоев понадобится для оклеива-
ния этой комнаты, если кусок обоев имеет длину 7 м и ширину
0,75 лг? (Ответ дать с точностью до 1 куска.)
787. Надо снаружи оштукатурить и побелить одноэтажный дом,
размеры которого: длина — 12 м, ширина — 8 м и высота —
4,5 м. В доме 7 окон, каждое размером 0,75 лтХ1,2 м, и 2 двери,
каждая размером 0,75 лХ2,5 м. Сколько будет стоить вся ра-
бота, если побелка и штукатурка 1 кв. м стоит 24 коп? (Ответ
дать с точностью до 1 руб.)
788. Длина ящика (С крышкой), имеющего форму прямоугольно-
го параллелепипеда, равна 62,4 см, ширина — 40,5 см, высо-
та — 30 см. Сколько квадратных метров досок пошло на изго-
товление ящика, если отходы досок составляют 0,2 поверхно-
сти, которая должна быть обшита досками? (Ответ дать с
точностью до 1 кв. м.)
236
789. Длина подвала, имеющего форму прямоугольного паралле-
лепипеда, равна 20,5 м, ширина — 0,6 его длины, а высота —
3,2 м. Подвал заполнили картофелем на 0,8 его объема. Сколь-
ко тонн картофеля поместилось в подвале, если 1 куб. м карто-
феля весит 1,5 г? (Ответ дать с точностью до 1 г.)
790. Ширина захвата тракторной овощной сеялки равна 2,8 м.
Какую площадь можно засеять этой сеялкой за 7 час. работы
при скорости движения, равной 3,5 км в час?
791. Ширина захвата самоходной косилки равна 10 м. За какое
время будет скошен прямоугольный участок луга, размеры ко-
торого— 1,31 клтХ0,2 км, при скорости движения машины
6,5 км в час? (Ответ дать с точностью до 1 часа.)
792. Для хранения продуктов сделали ледник. Дно ледника име-
ет форму квадрата со стороной 4,6 м, глубина ледника — 2,8 м.
Какую площадь льда на реке надо вырубить, чтобы набить лед-
ник, если толщина льда — 0,5 лг? Промежутки между куска-
ми льда составляют 0,1 объема наполненного ледника.
793. Сколько кирпичей потребуется для постройки стены 9,1 м
длиной; 4,45 м высотой и 0,52 м толщиной, если размеры кир-
пича: 26 см, 13 см и 6,5 см? Промежутки между кирпичами
заливаются известью, которые занимают 0,1 объема кирпича.
794. Домоуправлением составлена смета на текущий ремонт трех
домов:
Наименование статей Затрат 1-го дома 2-го дома 3-го дома Итого
1. Материалы 2. Заработная плата ра- бочих 3. Транспорт 3537 руб. 2495,6 » 386 » 5305 руб. 3743,8 » 579 » 15 916 руб. 11 229,4 » 1737 »
Итого: 4. Накладные расходы 6418,6 руб. 1027,2 » 9627,8 руб. 1540 » 28 882,4 руб. 4621 »
Всего: 7445,8 руб. 11167,8 руб. 33 503,4 руб.
Подсчитать общую сметную стоимость текущего ремонта 3-го
дома, а также и по статьям затрат.
795. Практическая работа по составлению сметы.
Составить смету на ремонт помещения вашего класса, если
требуется побелить стены и потолок, а также покрасить пол и
дверь. Данные для составления сметы (размеры класса, стои-
мость побелки 1 кв. м, стоимость покраски 1 кв. м) выяснить
у завхоза школы.
237
796. Для посадки в саду школа купила саженцы: 30 яблонь, по
0,65 руб. за штуку, 50 вишен, по 0,4 руб. за штуку, 40 кустов
крыжовника, по 0,2 руб., и 100 кустов малины, по 0,03 руб. за
куст. Напишите счет на эту покупку по образцу:
№ п/п Наименование саженцев Количество Цена Стоимость
руб. КОП. руб. коп.
Зачетная работа № 6
Вариант /
1. Как записывается и читается десятичная дробь?
2. Сформулируйте правило сложения десятичных дробей. Приведите
примеры.
3. Как найти часть данного числа, если эта часть выражена в виде
десятичной дроби?
4. На каком свойстве умножения основан следующий прием рацио-
нального вычисления:
5,6 • 7,8 + 5,6 • 2,2 = 5,6 • (7,8 + 2,2) = 5,6 • 10=56.
5. Покажите на примерах справедливость переместительного и соче-
тательного законов для сложения десятичных дробей.
6 *. Выполнить указанные действия:
2270 • 0,03 — 320,86 : 10,52 + 0,2
0,75 — 0,012 : 0,02
7 *. Автомобиль за первые 2 часа прошел 81,5 км, а за следующие
2,5 часа — 95 км. Найти среднюю скорость автомобиля.
8 *. В рабочем поселке три школы. Число учащихся первой школы
составляет 0,3 всех учащихся трех школ, во второй школе учащихся
в 1,5 раза больше, чем в первой, а в третьей на 420 меньше, чем во
второй. Сколько всего учащихся в этих школах и сколько в каждой?
9 *. Из 1 т картофеля получается в среднем 160 кг крахмалу. Сколь-
ко крахмала можно получить из картофеля, собранного с прямо-
угольного участка земли, длина и ширина которого вместе составля-
ют 1000 м, длина больше ширины на 200 м, если средний урожай
картофеля — 210 ц с 1 га?
10*. Землеройная машина вынула за 1 час. 3080 куб. м грунта, ос-
тавляя за собой траншею шириной 1,4 м и глубиной 2 м. Какое рас-
стояние прошла землеройная машина за 1 час?
Вариант И
1 . Какая дробь называется десятичной? Что называется десятичным
знаком? Как читается десятичная дробь?
2 . Как сравнить по величине две десятичные дроби?
3 . Сформулируйте правила умножения десятичных дробей. Приве-
дите примеры.
238
4 . Как найти частное от деления двух чисел с точностью до 0,4; до
0,001?
5 . Покажите справедливость распределительного закона для умно-
жения десятичных дробей.
6 *. Выполнить указанные действия:
0,695:1,39-|-1,4:1,5 — 0,11
0,027:0,18 — 0,05
7 ♦. Поезд был в пути 3 часа. За первый час он прошел 60,5 км, за
второй — 56 км и за третий — 58,75 км. Найти среднюю скорость
поезда.
8 *. Турист прошел все расстояние за три дня. В первый день он
прошел 0,375 всего маршрута, во второй день —0,4 остатка, после
чего ему осталось пройти на 6,5 км больше, чем он прошел во вто-
рой день. Сколько километров составляет весь маршрут?
9 *. На каждый квадратный метр шоссейной дороги требуется для
ремонта 0,05 куб. м щебня; вес 1 куб. м щебня — 1,75 т. Сколько
рейсов должны сделать 30 четырехтонных автомобилей для перевоз-
ки щебня, необходимого для ремонта шоссе длиной 12,2 км и шири-
ной 6,3 ж?
10 ♦. Отец выработал за год 320 трудодней, а сын — 0,8 всего этого
количества. Так как бригада, в которой они работали, перевыполни-
ла план, то каждому члену бригады начислено дополнительно еще
0,1 всего количества трудодней. Сколько трудодней заработали отец
и сын вместе?
§ 20. ЗАПИСЬ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ В ВИДЕ ОБЫКНОВЕННЫХ
И ОБРАЩЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ В ДЕСЯТИЧНЫЕ
(ТОЧНО И ПРИБЛИЖЕННО). ПОНЯТИЕ О ПЕРИОДИЧЕСКОЙ
ДРОБИ
Запись десятичных дробей в виде обыкновенных. Любую де-
сятичную дробь можно записать в виде обыкновенной дроби,
для этого достаточно записать ее числитель над чертой дроби,
знаменатель под чертой дроби и, если возможно, сократить по-
лученную обыкновенную дробь.
Примеры.
0,7 = -;
10
2,075 = 2
1000
0,11 = —; 2,47=2—; 0,8= - = -
100 100 10 5
= 2®.
40
• УПРАЖНЕНИЯ
797. Назвать числители и знаменатели следующих десятичных
дробей, записать их в виде обыкновенных дробей и, если воз-
можно, сократить:
1) 0,3; 0,4; 0,8; 0,14; 0,45; 0,125;
2) 0,7; 0,13; 0,5; 0,18; 0,64; 0,375,
239
798. Записать обыкновенными дробями следующие десятичные
дроби:
1) 1,5; 2,9; 4,45; 10,25; 105,08;
2) 2,8; 4,6; 5,93; 12,044; 15,375.
799. (Устно.) Выразить десятичные дроби в виде обыкновенных:
0,2; 0,4; 0,5; 0,6; 0,25; 0,75; 0,12; 0,16; 0,44; 0,125;
0,3; 1,15; 7,05; 12,025; 103,28; 210,0125.
800. Записать следующие десятичные дроби в виде неправильных
обыкновенных:
1) 3,5; 5,6; 7,25; 10,08; 42,95;
2) 1,2; 4,8; 5,04; 12,25.
801. Найти числа, обратные данным:
1) 0,7; 0,56; 1,2; 4,5; 8,25;
2) 0,3; 0,08; 2,5; 3,26; 12,06.
Обращение обыкновенных дробей в десятичные. Выясним,
какие обыкновенные дроби обращаются точно в десятичные
дроби. Прежде всего вспомним, что знаменателем десятичной
дроби является единица с одним или несколькими нулями. На
какие простые множители разлагаются знаменатели десятич-
ных дробей? Эти разложения:
10 =2-5
100 =2-2-5-5
1000 =2-2-2-5-5-5
10 000 = 2 • 2 • 2 • 2 • 5 • 5 • 5 • 5.
♦ Из этих разложений видно, что знаменатель всякой десятич-
ной дроби разлагается только на двойки и пятерки, причем в
разложении двоек и пятерок одинаковое количество.
♦ Значит, из обыкновенных несократимых дробей будут обра-
щаться точно в десятичные только те из дробей, знаменатели
которых не содержат никаких других простых сомножителей,
кроме 2 и 5.
П римеры. Возьмем какие-либо дроби, у которых знамена-
тель содержит только множители 2 или 5 или тот и другой.
2
1) Дробь — обратится в десятичную, так как достаточно ум-
5
ножить ее числитель и знаменатель на 2 — получаем дроби со
знаменателем 10, т. е. единицу с одним нулем:
1 = 111 = 1 = 0,4.
5 5 • 2 10
7
2) Дробь — обратится в десятичную, так как достаточно
8
умножить ее числитель и знаменатель на произведение
5 • 5 • 5 — и мы получим дробь со знаменателем 1000:
240
7_ = 7 = 7 • (5 • 5 • 5) = 875
8 2-2-2 2 • 2 • 2 (5 • 5 • 5) ~ 1000 ’
7 7
3) Дробь —, равная —---------, обратится в десятичную, так
40 2•2’2•5
как достаточно умножить ее числитель и знаменатель на про-
изведение 5-5 — и мы получим дробь со знаменателем 1000.
4) Дробь — , равная -------, не может обратиться в десятич-
15 3-5
ную дробь, так как один из сомножителей знаменателя (3 • 5)
есть простое число 3, и не существует такого натурального чис-
ла, которое, будучи умножено на 3, дало бы в произведении 10,
100, 1000 и т. д.
Примечание
Все рассуждения относились к несократимым дробям, так как неко-
торые сократимые дроби могут быть выражены десятичной дробью, хотя
их знаменатель и содержит другие простые множители, кроме 2 и 5.
6 2-3 п .
Пример. — = ~— = U,Поэтому, прежде чем делать вывод об
15 5-3
обращении обыкновенной дроби в десятичную, надо ее сократить, если это
возможно.
Из всего изложенного следует способ обращения обыкновен-
ной дроби в десятичную путем разложения знаменателя на
простые множители.
♦ Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, надо:
1) сократить обыкновенную дробь (если это возможно);
2) разложить знаменатель на простые множители;
3) если знаменатель не содержит других множителей, кроме 2
и 5, то надо умножить числитель и знаменатель на такое чис-
ло, чтобы он стал 10, 100, 1000 и т. д.;
4) полученную дробь записать в виде десятичной дроби.
Пример.
1 = 7 =.. 7 •2--= 21 = 0,14.
50 2-5-5 2 • 5 • 5 • 2 100
Существует второй способ обращения обыкновенной дроби
в десятичную. Этот способ основан на том, что обыкновенная
дробь рассматривается как частное от деления ее числителя
на знаменатель.
Примеры.
1)1=3:4 = 0,75; 2)1=5:8 = 0,625.
4 8
Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, достаточно
разделить числитель обыкновенной дроби на ее знаменатель.
241
Вопросы для самопроверки
1. Какие обыкновенные дроби обращаются в десятичные (точно)?
2. Как обратить обыкновенную дробь в десятичную способом раз-
ложения знаменателя на простые множители? Привести пример.
3. Как обратить обыкновенную дробь в десятичную другим приемом?
4. Как записать десятичную дробь обыкновенной? Привести пример.
• УПРАЖНЕНИЯ
802. Обратить обыкновенные дроби в десятичные посредством раз-
ложения знаменателя на простые множители:
1. 1. 1. з. 1. 5. 1. 7. 23. 6. 9.
— > —> ——, —, —» —— > — । > Q — ।
2 5 4 4 8 8 16 25 25 125 40
7 3-31
11~ ; 4—; 7—.
80 200 500
Обратить обыкновенные дроби в десятичные, посредством
деления числителя на знаменатель.
803. (Устно.) 4 ; 2 3 5 ’ 4’ 5 41б‘ £ 5’ Д _7 25’ 25 ’ 16 25’ £ 50’ 1 80’
1—; 1 12 5 х £ 40’
_Л. 5 7 804. —; — ; 8 16 27 17 11 8 £ 1 о 3 7
64’ 40 ’ 80’ 20’ 125’ 2 8 ’ 45’ о 16’ 2125’
805.
806.
£ 18 21 39 30 6 3 48’ 2 47’ 192 177 ’ 12 1500'
15’ 252 ’ 28 ’ 65’ 75’ 5 575
£ 25 47 363 312 7Н 2541 7359 23
5 ’ 16 ’ 32 ’ 250’ 125’ 1 625 ’ 5 2000 ’ 4 ’ Ч . 5000 ° 25000
807. Не вычисляя, указать, какие из следующих дробей обраща-
ются в конечные десятичные дроби, а какие — в бесконечные:
Л. Д Д Д 3_ £. 5 11 Ч_ £ 15 £
3 ’ 4 ’ 6 ’ 12 ’ 32 ’ 21 ’ 54 ’ 90’ 50 ’ 6 ’ 45 ’ 27’
Понятие о периодической дроби. Если обыкновенная дробь
не обращается в конечную десятичную дробь, то от деления чи-
слителя на знаменатель дроби получается бесконечная деся-
тичная дробь.
Примеры.
1) 4 = Д 3 =0,666... 2) 4 = Д 7 = 0,4285714285 ...
3 2 ‘ 2_
~2 £
2 4
5
3) 7 = 5 : 6 = 0,8333...
6
2
242
Мы видим, что во всех рассмотренных примерах получается
бесконечная дробь, причем в этой бесконечной дроби наблюда-
ется определенная закономерность в расположении цифр, а
именно одна или несколько цифр повторяются в одной и той
же последовательности; например: в первой дроби повторяет-
ся цифра 6, в третьей дроби — цифра 3, а во второй — совокуп-
ность цифр 4, 2, 8, 5, 7, 1.
Совокупность повторяющихся цифр дроби называется пе-
риодом дроби, а сама дробь — периодической дробью.
Периодической десятичной дробью называется бесконечная
десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр повто-
ряются в одной и той же последовательности.
Различают чистые периодические дроби и смешанные пе-
риодические дроби.
Периодическая дробь называется чистой, если ее период на-
чинается тотчас после запятой.
Пример.
0,333...; 0,243243... .
Периодическая дробь называется смешанной, если у нее
между запятой и первым периодом имеется одна или несколько
неповторяющихся цифр.
Пример.
0,833...; 0,214747....
Обычно периодическую дробь записывают с помощью круг-
лых скобок так:
0,333... = 0,(3); 0,243243... = 0,(243); 0,833... = 0,8(3),
т. е. период заключают в скобки. Оказывается, если обык-
новенная дробь не выражается конечной десятичной дробью,
то она выражается периодической дробью. В практических
расчетах периодические дроби не употребляются; их выража-
ют приближенными числами с той или иной степенью точнос-
ти, ограничиваемой условиями задачи. Как округлять числа
и как находить приближенное частное, мы уже знаем (см.
§ 21 и § 5).
Периодические дроби сравнивают по тому же правилу, что
и конечные десятичные дроби. Например: 2,(3)>2,(1); 3,0(73) >
>3,0(715).
Для сравнения обыкновенных дробей иногда удобнее их об-
ращать в десятичные. Например: сравнить дроби —, — и —:
-^0,7;- ^0,4 и -~0,6.
3 7 9
г, 2^53
Значит, — > — > —.
3 9 7
243
Вопросы для самопроверки
1. Какая обыкновенная дробь при обращении ее в десятичную дает
бесконечную десятичную дробь?
2. Какая дробь называется периодической дробью? Привести пример.
3. Какая периодическая дробь называется чистой периодической
дробью?
4. Как сравниваются две смешанные периодические дроби?
• УПРАЖНЕНИЯ
808. Округлить следующие числа:
1) до сотен: 1056 732,4; 35 745,3; 49 568,95; 1454 950,3;
2) до единиц: 56,75; 143,6; 17,453; 1,5; 2,5; 0,732; 0,465;
3) до десятых долей: 6,998; 12,309; 94,12; 15,769; 53,45;
4) до сотых долей: 0,05457; 2,13500; 10,46573; 1,535.
809. Выразить следующие обыкновенные дроби в десятичных
дробях:
а) с точностью до 0,01:
2 5 6 13 11 17 5 5
— ; — ; --; — • — 9— 9 — :
3 9 7 60 15 24 13’ 17
б) с точностью до 0,001:
5 7 13 19 13 7 11
14 23 28 43 6 ° 24 ’ 14
810. Среднее расстояние Луны от Земли—380 000 км. За сколько
часов долетит ракета до Луны, если средняя ее скорость на
первом участке пути длиной 100 000 км будет 670 км в мин.,
а на остальном пути —150 км в мин.? (С точностью до 1 часа.)
811. Наименьшее расстояние Марса от Земли —56 млн. км. Сколь-
ко времени потребуется ракете, выпущенной с Земли, чтобы
пролететь это расстояние, считая, что средняя скорость ракеты
350 км в мин.?
812. Длина участка железнодорожного пути —41,2 км. Часть это-
го участка длиной 12,4 км требует ремонта. Выразить дробью,
какая часть участка нуждается в ремонте, и обратить ее в де-
сятичную.
813. Бригада рабочих-экскаваторщиков решила уменьшить стои-
мость выемки каждого кубического метра грунта. Свое решение
она выполнила так: 1,3 коп. сэкономила благодаря повышению
производительности труда и 1,2 коп.— на экономии энергии.
Бригада добилась экономии 8560 руб. Сколько земли было вы-
нуто бригадой?
814. Прочитать следующие периодические дроби: 0,333 ...;
. 0,434343 ...; 5,727272 ...; 1,901901901 ...; 0,(7); 0,(301);
4,(21); 1,(415); 0,5222 ...; 0,21333 ...; 13,5232323 ...; 0,4(37);
6,31(3); 15,43(29).
244
815. Записать следующие периодические дроби: нуль целых четы-
ре в периоде; нуль целых двадцать пять в периоде; три целых
и семнадцать в периоде; нуль целых три десятых и одиннад-
цать в периоде; двенадцать целых два нуля до периода и трид-
цать семь в периоде.
816. Следующие обыкновенные дроби обратить в десятичные
дроби:
1)1- £ 2 ?- 2 1 2
3 ’ 11 ’ 9 ’ 7 ’ 2’ 6 ’ 12’ 14’ 15’
2 J5 £ 5 Л \ » 2 13 17
3) 3, 9 ’ 11 ’ 11’ 6 ’ 12 ’ 15’ 45 ‘
Нонтрольная работа по $ 50
1. Записать десятичные дроби обыкновенными: 0,48; 1,2; 1,25;
4,125; 35,16.
2. Обратить обыкновенные дроби в десятичные:
19 £ 7_ 41 13 17
25’ 8’ 20’ 80’ 200 ’ 2500 '
3. Выразить обыкновенны# дроби в десятичных дробях:
1 11 55 7
а) с точностью до 0,1: —; —; —; —;
3 31 32 9
9 43 13 -J01
б) с точностью до 0,01: —; —; —; —.
35 21 41 132
6 о1
4. Что больше: — или 0,84? 2,25 или 2— ?
7 3
5. Следующие обыкновенные дроби обратить в десятичные:
1 _L. 4 61
7’ 99’ 999’ 48
История открытия десятичных дробей
Развитие промышленности и торговли,
мореплавания, науки и техники вызвало по-
требность производства больших и громозд-
ких арифметических вычислений, а поэтому
усилия математиков тех времен были на-
правлены на открытие различных упрощен-
ных вычислений, что в конечном счете и
привело к открытию десятичных дробей. Бла-
годаря своим достоинствам десятичные дроби
завоевали себе ведущее место среди обыкно-
венных дробей.
В XIV—XV вв. в большом культурном
центре того времени г. Самарканде (ныне
Узбекская ССР) в знаменитой обсерватории
работал крупный ученый аль Каши. Это он
впервые изложил учение о десятичных дро-
бях в своей книге «Ключ к искусству счета»,
написанной им в 1427 г. Независимо от аль
Каши бельгийский ученый Симон Стевин на-
писал в 1585 г. книгу «О десятичном счете»
и тем самым заново открыл десятичные
дроби.
245
Запись десятичных дробей у С. Стевина была отличной от нашей. На
рисунке показано, как С. Стевии записывал десятичную дробь 35,912. Вме-
сто запятой он ставил нуль в кружке. В других кружках указывался де-
сятичный знак: 1 — десятые, 2 — сотые доли и т. д. Знак дробности — за-
пятая была предложена немецким астрономом И. Кеплером (1571—1630 гг.).
В Англии и США за знак дробности принята точка, что нельзя счи-
тать удачным, так как точка уже принята в качестве знака умножения.
В России учение о десятичных дробях впервые изложил в своей
♦Арифметике» Леонтий Магницкий (1703 г.).
§ 51. СОВМЕСТНЫЕ ДЕЙСТВИЯ С ОБЫКНОВЕННЫМИ
И ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ
Довольно часто в условиях задач встречаются одновременно
десятичные и обыкновенные дроби. В этом случае вычисления
производят одним из следующих путей:
♦ Первый путь — все дроби обращают в десятичные и
производят вычисления, применяя правила действий над деся-
тичными дробями.
♦ Второй путь — все дро’би обращают в обыкновенные и
производят вычисления, применяя правила действий над обык-
новенными дробями.
♦ Третий путь — вычисления производят без обращения
одних дробей в другие.
Выясним, чем определяется выбор того или иного пути вы-
числения.
♦ Прежде всего заметим, что так как действия над десятич-
ными дробями вести проще, легче, то при выборе пути надо, где
это возможно, предпочтение отдавать вычислениям с предва-
рительным обращением всех дробей в десятичные. Рассмотрим
выбор того или другого пути вычислений на примерах:
3-| :0,19 + 14 -2,8
О 4
1)х= 7 j .
1Го:О’25-31
Рассматривая данный пример, видим, что все обыкновен-
ные дроби обращаются в конечные десятичные дроби, значит,
выполнять вычисления надо в десятичных дробях:
3,8 : 0,19 + 1,5 • 2,8 _ 20 + 4,2 24,2
Х~ 1,35:0,25 — 3,2 “ 5,4 —3,2
Легко убедиться, что если бы мы вычисляли этот пример в
обыкновенных дробях, то такой путь был бы более громозд-
ким, чем первый.
19 1
2) х = 4 — + 5 — —3,875. Видим, что среди данных дробей есть
дробь —, которая не может быть обращена в конечную деся-
3
246
тичную дробь. Значит, вычисление примера надо производить,
предварительно обратив все дроби в обыкновенные:
19 1 7 114 + 40—105 49
*"'420 + 53 ~ 38 ~6 120 -6120‘
3)х=8,24-т+ 6,3-1— — 0,18:~ Хотя этот пример можно вы-
7 4*34
числить, обратив все дроби в обыкновенные, но проще вычисле-
ние произвести так, как показано:
* = (8,24-4) 3 + (б,3- 4).5-0,18-4 = 2,06 • 3 +
+ 2,1-5- 0,18-4 = 6,18 + 10,5 — 0,72 = 15,96.
Этот путь вычислений особенно удобен, если в пример вхо-
дят только действия умножения и деления. Например:
2
6,3 • 2— • 1,5
3
Х 3
2,5 • — • 0,9
4
Преобразуем и запишем пример так:
63-8-15-10-410 224 14
х=-----------------= — =14— •
* 10-3-10-25-3-9 15 15
Намечая план решения примера, надо: находить наиболее
короткий путь вычислений, уменьшить, где это возможно, чис-
ло операций и производить вычисления устно. Например:
I 2 \ 1
х = (0,5+ 7+0,25j : 7+2,5-0,4.
Сначала сложим десятичные дроби в скобках и устно умно-
жим 2,5 на 0,4. Получим:
/ 2 \ 1
Х = 0,75+ - :- + 1.
\ 0/0
О 1
Затем разделим сумму на — , получим:
3
[ 2 \
х = (0,75+ • 3 + 1 = 2,25 + 2+ 1 = 5,25.
Обобщая все сказанное о совместных действиях над дро-
бями, можно сделать следующие выводы:
1) Прежде чем приступить к выполнению действия, надо
внимательно рассмотреть пример и выбрать наиболее удобный
путь его решения.
247
2) Так как действия над десятичными дробями проще дей-
ствий над обыкновенными, то предпочтительнее при вычисле-
ниях обращать все дроби в десятичные.
3) В некоторых случаях, особенно при умножении и делении,
целесообразнее вести вычисления без обращения одних дробей
в другие.
4) При решении примеров нельзя механически, подряд, вы-
полнять указанные действия, а предварительно следует посмо-
треть, нельзя ли уменьшить число операций и выполнить не-
которые промежуточные вычисления устно.
5) Все вычисления производить не торопясь, проверяя пра-
вильность выполнения каждой промежуточной операции.
• УПРАЖНЕНИЯ
Выполнить действия:
817‘ 1) 6--3- •2,5-4-:0,65;
\ Ха OU/ О
Г/ 1 \ 11
2)[(9--3,68) 2-1 [1 .(2,1-2,09)];
S5 / 5 \
3)2,88.- + (1,0625—-16.
818. 1) (б,72: -f-+17-0,в) 1,21-67-
2)3,075: 1,5-у • (4 +3,2в\
4 \25 /
3 1 / 1 \
3)3-1- +(2,55+2,7 ):(о,1——).
2)2|-+0,039: (2,31:0,077)]-2,526;
/ 7 19\ 2 1
3) 2— +2- -3-64,5: 6+ 4у • 2,1+1,3 -4т-
\ 1Z 4Z/ ( О
32 / 15 13\ 2
820. 1) 1- : (4- -2-) + - • (4,254-1,134 =0,28)+1,114;
/ 1 \ 16 5 / 5 19\
2)4,58- 1,295+1,936 Зт -1т +3~ : 4~-3~ ;
\ О / ±У 01 \ 04 О1/
I 10\ / 2 2 \ 1
3)12,5+17,5-8,25- - • 11т-2- +3,5 -12,6= 2т-
\ 11/ \ О у / А
248
/ 7 25 7 \ 6 1
821. 1) 3--2- + - 6- +1,5. 20,15 2~ -10,09;
\ 1О <50 4о/ 11 Z
/ 17 1 \ 5 33
2)7 = 0,2625-3,6 : 68,Г 7,5-7“+1“ +4~ •
\ JU 0V/ О Об
7 I 4 \ 10
3)1,75—-• 0,85+- +7,511: 3,7^-
У \ оО / zy
в,, ! 13 5 X / - 14 X
822. 1)2457: 3,5+ 3,35-2“+ 7 225:12,5-3“ -2 ;
\ 10 о / \ 1У /
/ 1 15\ / 4 1\
2^28,14: 3,5- 2- • 0,24-- • 5,45+1“-6.“ :
\ & £&/ \ 4о 1о
. Г / 32 7\] 1 1
3)24,15 2,3-3,6 • 17,2- 0,125- 27.-1^ +2“ :
L \ ои/ j z z
О„ Г 1 / 61 1\1 /7 11 \
>«• 1) [б,8- ~ (5Й -4-)] • (Го 2~ +1,34);
2) [17? • 0,125- (2- -1-) | • (“ :4“ +2,64);
Г/ 13 9\ 1 1 31 53
3> К4’6257Г8 • 21) : 27 +2-2 :1’25 :67] : 1б8‘
824. Вычислить сумму чисел:
/ 2 15\
(0,875-0,7) бу-3“ и
Г/1 \ 5 ./3 1X7 3
[\4 — 0,1 2/ ’ 13 + 1 ’ \ 4 + 3 )] ‘ 8 ‘
825. Вычислить разность между числом 23,276 : 2,3 и числом
Г 1 1 / 32 7X7 /11 7 \
3’6’ К • Т - (3Г5 -2Fo)J • (21 4Г2+2>64)-
826. Из двух городов, расстояние между которыми —34 км, выш-
ли одновременно навстречу друг другу два туриста; один из
них проходит в 1 час на 1,5 км больше другого. Через 4— ча-
4
са туристы встретились. Сколько километров в 1 час проходил
каждый турист?
827. Из двух мест, расстояние между которыми—176 км, выеха-
ли одновременно навстречу друг другу велосипедист и мотоцик-
лист и встретились через 5— часа после выезда. Найти ско-
1 3 «
рость каждого, если скорость мотоциклиста в 1 — раза ооль-
4
ше скорости велосипедиста.
9 С. А. Пономарев 249
828. Расстояние между городами по реке — 160 км. Пароход про-
ходит это расстояние по течению за 6 час. 40 мин., а против
течения за 10 час. Найти скорость течения реки и собственную
скорость парохода.
829. Пароход идет по течению реки в 1 — раза скорее, чем
против течения. Скорость течения реки —2,9 км в час. Найти
скорость парохода в стоячей воде.
830. Со станции в 12 час. дня вышел товарный поезд со скоро-
стью 48 км в час. Через 50 мин. с той же станции и в том же
1 1
направлении вышел пассажирский поезд со скоростью, в 1—
раза большей скорости товарного. В котором часу пассажир-
ский поезд догонит товарный?
831. Пешеход проходит 4 км в час. Лыжник тратит на прохожде-
ние 1 км на 9 мин. меньше, чем пешеход. Во сколько раз ско-
рость лыжника больше скорости пешехода?
832. Турист прошел расстояние между двумя селениями за
9— часа. Если бы он проходил 3 км в час, то на этот же путь
3
он затратил бы на 1 час 52 мин. больше. С какой скоростью
шел турист?
833. Из деревни в город одновременно вышли два пешехода. Пер-
вый пришел в город на 40 мин. позже второго. Скорость пер-
з
вого —3,5 км в час, скорость второго — 3— км в час. Найти
расстояние между деревней и городом.
834. В бассейн проведены три трубы: первая может наполнить
бассейн за 6 час., вторая — за 4 часа, а через третью вся вода
из наполненного бассейна может вытечь за 12 час. За сколь-
ко времени наполнится 0,5 бассейна, если открыть все три тру-
бы одновременно?
835. Две колхозные бригады, работая вместе, могут выполнить
некоторую работу за 6 дней. Если же обе бригады будут
работать вместе только половину этого срока, после чего одна
из бригад прекратит работу, то второй бригаде для окончания
работы понадобится еще 5 дней. За сколько дней может вы-
полнить эту работу каждая бригада в отдельности?
836. Две машины могут выполнить асфальтирование улицы за
8 дней. Если обе машины выполнят половину всей работы, то
первая из них одна закончит асфальтирование улицы за 6 дней.
За сколько дней каждая машина в отдельности сможет заас-
фальтировать всю улицу?
3
837. Одна труба за 3 — часа наполнила половину бассейна.
После этого была открыта вторая труба и обе вместе наполни-
ли весь бассейн за 2 — часа. Какова вместимость бассейна,
4
если вторая труба вливает 20 куб. м в час?
250
838. Два косца, работая вместе, скосили некоторый участок поля
за 8 час. Если бы они работали вместр только 2 часа, а потом
один из них прекратил бы работу, то второй, работая один,
скосил бы оставшуюся часть за 18 час. За сколько часов каж-
дый косец в отдельности мог бы скосить весь участок?
839. Первый рабочий может выполнить некоторую работу за
8 дней, второй — за 12 дней. К выполнению работы оба рабо-
чих приступили одновременно и проработали вместе некоторое
число дней, после чего второй рабочий был переведен на дру-
гую работу. Оставшуюся часть работы закончил один пер-
вый рабочий за 3 дня. Сколько всего дней работал первый ра-
бочий?
840. ' В шахматном турнире участвуют 9 игроков, причем каждая
пара участников играет только одну партию. Число партий, сы-
гранных вничью, составляет 1,4 числа выигранных партий.
Сколько партий выиграно и сколько сыграно вничью?
4 4
841. Мальчик прочитал сначала — всей книги, потом еще —
15 9
остатка. После этого оказалось, что он прочитал на 25 страниц
больше, чем ему осталось читать. Сколько страниц в книге?
842. В колхозе отвели под картофель 40 га земли и некоторое ко-
личество под капусту. Если бы 0,25 земли, отведенной под кар-
тофель, засадить капустой, то количество земли под капустой
- 2
составляло бы — земли, оставшейся после этого под картофе-
3
лем. Сколько земли было первоначально отведено под капусту?
843. В классе число отсутствующих учеников составляет — чис-
ла присутствующих. Если из класса выйдут еще два ученика,
то будет отсутствовать 0,2 числа учеников, оставшихся в клас-
се. Сколько всего учеников в классе?
844. При выборе делегата на конференцию было выставлено три
кандидата. За первого голосовала— числа всех избирателей, за
8
второго на 132 человека больше, чем за первого. Сколько голо-
сов было подано за каждого кандидата, если 12 голосов было
подано за третьего кандидата?
845. В розыгрыше первенства футбольных школьных команд рай-
она участвовало 12 команд, причем каждая пара команд встре-
чалась в игре один раз (так называемая игра в один круг). Из
общего числа всех сыгранных матчей число сыгранных вничью
составляло 1,2 от числа выигранных. Сколько матчей было
сыграно вничью?
846. В мезонине требуется настелить пол размером 4,2X3 м из
досок толщиной 2 см. В полу должно быть сделано отверстие
размером 0,9X1,2 м для лестницы на первый этаж. Сколько
кубических метров досок потребуется, если на потери добавля-
ется 0,15 затрачиваемого материала?
9*
251
2
847. Отрыт колодец размером 10— Л1Х1,2 л«Х1,4 м. От по-
3
верхности воды до поверхности земли 6,2 м. Сколько ведер вме-
щает колодец, если ведро воды содержит 12,3 л?
Контрольное задание по § 51
Вычислить:
Г 1 /1
1. 2— — — + 0,5 + 0,25
4 \3
2.
4
28,5 7,3 + 8— : 2,5
5
3.
1 17
— — 2944—
125 25
1
зз—
3
£
3
3 \
5,652—5— : 80
25/
:2,05.
1
25— :
4
1 2
4 + 5
4. Представить число 4,6 в виде суммы двух обыкновенных дробей.
1
5. Один слесарь выполняет определенную работу за 6 —часа, а дру-
2
гой ту же работу выполняет за 5,2 часа. Во сколько часов будет вы-
полнена эта работа при совместном труде первого и второго сле-
сарей?
6. За какое время трактор с прицепом четырех косилок уберет
14,04 га луга, если ширина захвата каждой косилки — 1,56 м и ско-
1
рость трактора — 4 — км в час?
§ 52. ОТНОШЕНИЕ ВЕЛИЧИН И ЧИСЕЛ; ЧИСЛОВОЙ МАСШТАБ
И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
♦ Сравнение числовых значений величин и понятие об отно-
шении величин. Нам часто приходится сравнивать две величи-
ны, или, точнее, два числовых значения величин. Сравнить
числовые значения величин мы можем двумя способами. Пер-
вый способ — узнать, на сколько одно из этих значений боль-
ше другого; для этого надо от большего отнять меньшее значе-
ние. Второй способ — узнать, во сколько раз одно из этих зна-
чений больше другого, или какую часть большего значения со-
ставляет меньшее. Например: космонавт-1 — Юрий Гагарин —
пролетел в космосе 40 000 км, а космонавт-5 — Валерий Быков-
ский — 3 300 000 км. Пути, совершенные космонавтами 1 и 5,
мы можем сравнить двумя способами: 1) на сколько больше
второй путь первого (3 300 тыс. км — 40 тыс. км) или 2) во
сколько раз второй путь больше первого (3 300 тыс. км:
: 40 тыс. км).
252
Второй способ сравнения величин условимся называть на-
хождением отношения величин. Этот способ имеет большее зна-
чение в вычислительной практике, а потому ознакомимся с на-
хождением отношения величин и его свойствами.
Прежде всего заметим, что мы сравниваем величины по их
числовым значениям, которые выражаются именованными чис-
лами, а отношение двух именованных чисел может быть заме-
нено отношением отвлеченных чисел. Например: найти отно-
шение веса 5 т 6 ц 25 кг к весу 2 т 3 ц 2 кг. Выразим значения
величин в одних и тех же единицах и найдем их отношение.
„ 5625 кг 5625
Это отношение------- все равно, что отношение чисел -
2302 кг 2302
Так как мы можем заменить отношение числовых значений ве-
личин отношением отвлеченных чисел, то ознакомимся со свой-
ствами отношения, рассматривая отношение чисел.
Отношение чисел и их свойства. Частное от деления одного
числа на другое называется отношением этих чисел.
Например, отношение 6 к 1 будет:
25 1
Г=4~.
6 о
1
4
£ 25-2
2
1 1 25
6 4 :12 = 4
4-3
Первое число (делимое 6—) называется предыдущим членом
4
отношения; второе число (делитель 1— ) называется последую-
щим членом отношения, а результат деления (частное 4 —) на-
6
зывается отношением. В общем виде отношение записывается
а д
так: — = к.
ь
Так как отношение двух чисел иначе есть результат деле-
ния этих чисел, то оно обладает всеми свойствами деления, из-
ложенными в § 19. Приведем некоторые из них, употребляя
терминологию членов отношения:
1) Члены отношения могут быть любыми числами, только
последующий не может быть равен 0. Запись этого свойства в
общем виде: —, где b #= 0.
ь
2) Предыдущий член равен последующему, умноженному на
отношение. Запись в общем виде: х = Ъ k, где х — неизвестный
предыдущий член.
3) Последующий член равен предыдущему, деленному на от-
ношение. Запись в общем виде: х — — .
k
4) Отношение не изменится, если члены его умножить или
разделить на одно и то же число. Запись в общем виде:
а а п а : п
b b п b : п
253
Применяя это свойство (4), мы можем в ряде случаев уп-
ростить отношение, а именно заменить члены отношения мень-
шими числами или целыми вместо дробных.
50 2
Примеры. — = —(оба члена разделили на 25); отношение
75 3 *
1— :6 —можно заменить отношением 6:25. Поясним: 1— :бА =
2 4 2 4
3 . 25
= — • —. Умножим каждый член отношения на наименьшее
кратное знаменателей 2 и 4, т. е. на 4. Получим:
Переставляя члены данного отношения — один на место
другого, — получим новое отношение, которое называется об-
з
ратным для данного. Например, отношение — будет обратным
2 _ - Ь а
отношению —. В общем виде — есть обратное отношению — .
За о
Произведение обратных отношений равно 1.
Действительно, — • — = ^ = 1 или в общем виде:
3 2 3«2
а b а • Ь
Ь а Ь • а
Обычно отношение записывается с помощью знака деле-
ния. Например, отношение чисел 1 к 4 записывается 1:4 или
—, а не 0,25. Но если в задаче требуется определить результат
4
деления, то в этом случае отношение записывается одним чис-
лом.
Вопросы для самопроверки
1. Что называется отношением двух чисел?
2. Как называются члены отношения двух чисел?
3. Какими свойствами обладает отношение?
4. Почему последующий член отношения не может быть равен 0?
• УПРАЖНЕНИЯ
848. Найти отношение чисел:
о
1)10 и 5; 2)Зи-|; 3)0,5 и 0,125; 4) 1,2 и 1,44.
849. 1) Найти предыдущий член отношения, если последующий
_ 7 2
член равен 7 — , а отношение равно
254
2) Найти последующий член отношения, если предыдущий член
равен 4,5, а отношение равно 0,9.
850. Найти неизвестный член отношения:
1) 1,5 :х = 0,5; 2) 18,24:х = 22,8;
х: 6 9 4 > 4) х • 135 9 3
851. Сократить отношения:
1) 25:75; 2) 150:350; 3) 36:144;
4)45:18; 5) 66:165; 6) 188:408.
2 5 2 852. 1) Найти отношение — к следующим числам: 2; — ; 1 —. 5 6 3
2) Из шестеренок, имеющих 8, 10, 12, 20, 40 зубцов, подо-
брать такие пары, чтобы отношение чисел их зубцов было
равно:
±; 1; 1. А; J;2;3.
2 4 5 3 5
853. Митя из 20 бросаний в корзину баскетбольного мяча имел 8
попаданий, а Леша из 36 бросаний имел 12 попаданий. Чей ре-
зультат попаданий выше?
854. Две футбольные команды «Спартак» и «Стрела», участвуя в
розыгрыше первенства города по футболу, набрали одинаковое
число очков, но различные отношения забитых и пропущенных
мячей. Команда «Спартак» забила в ворота противника 49 мя-
чей и пропустила в свои ворота 16 мячей, а команда «Стрела»
забила 48 и пропустила 20 мячей. У какой команды больше
(лучше) отношение забитых и пропущенных мячей?
855. Чему равно:
1) отношение 5,6 кв. дм к 0,9 кв. см;
2) отношение 0,7 кв. см к 5,6 кв. дм?
856. Найти отношения:
1) 3,5 га: 14 га; 2) 60 кг:3,5 т;
3) 2 кг: 3,5 кг; 4) 4,5 см: 32 м.
857. Найти отношения:
1) 1 куб. м:1 куб. см;
2) 3 куб. мм:2 куб. дм;
3) 1 куб. мм:1 куб. см;
4) 5 куб. см:75 куб. дм.
858. Отцу 48 лет, а сыну 20 лет. Чему равно отношение между
годами отца и сына сейчас? 4 года назад? 12 лет назад? Как
изменяется отношение с годами?
859. (Устно). 1) Как изменится отношение, если предыдущий член:
а) увеличить в 2 раза; увеличить в 10 раз; б) уменьшить в 5
раз; уменьшить в 100 раз?
255
2) Как изменится отношение, если последующий член: а) уве-
личить в 3 раза; увеличить в 22 раза; б) уменьшить в 4 раза;
уменьшить в 1,5 раза?
860. 1) Отношение застекленной площади окон к площади пола в
классах должно быть не менее 1:5. Достаточно ли света в
классе, если в нем 3 окна, размер которых 2,5лХ1,6лс, а
размер площади пола класса 9,6 лгХ7,5 м?
2) Произведите необходимые измерения в своей комнате и
определите, достаточно ли света в вашей комнате?
861. Отношение веса тела на Луне к весу того же тела на Земле
равно 0,16. а) Найти вес человека на Луне, если на Земле его
вес —80 кг. б) Найти вес камня на Земле, если на Луне он ве-
сил 8,32 кг.
862. Отношение веса тела на Марсе к весу того же тела на Земле
равно 0,38. а) Найти вес человека на Марсе, если на Земле его
вес —86 кг. б) Найти вес куска камня на Земле, если на Мар-
*
се его вес — 15 — кг.
2
Числовой масштаб и его применение. Прежде чем строить
какой-либо объект (здания, машины, железную дорогу, завод
и т. д.), человек должен выполнить различные расчеты, а для
этого требуется воспроизвести условное изображение этого
объекта на бумаге.
♦ Изобразить какой-либо объект на бумаге в натуральную ве-
личину невозможно, например 12-этажный дом или какую-
либо машину; даже и небольшие предметы, если их размеры
больше размеров листа, нельзя изобразить на бумаге. Поэтому
предметы или объекты чертят в уменьшенном виде. Но всякий
чертеж должен содержать данные, дающие возможность уста-
навливать истинные размеры объекта или предмета, т. е. на
чертеже или плане должны быть помещены указания, во сколь-
ко раз отрезки, изображенные на чертеже, меньше соответст-
вующих отрезков в натуре.
♦ Мера этого уменьшения называется масштабом плана или
карты. Масштаб указывается двумя способами: либо на плане
или карте делают пометку, вроде следующей: «В 1 см —
500 м», либо пишут: «Масштаб 1:500 000». В первом случае
мы понимаем, что отрезок длиной 1 см на плане соответству-
ет отрезку длиной 500 м на местности. Такой масштаб назы-
вается линейным масштабом плана или карты.
♦ Во втором случае число, записанное после цифры 1 (последу-
ющий член отношения), показывает, во сколько раз каждый
отрезок на местности больше своего изображения на плане.
Отношение 1 : 500 000 называется числовым масштабом плана
или карты. Последующий член числового масштаба обычно
выражается круглым числом: 100, 200, 1000, 2500, 5000,
10 000 и т. д.
Понятие о числовом масштабе используют при построении
различных диаграмм и при составлении планов, карт и для ре-
256
шения задач по определению величины масштаба плана, а так-
же для определения расстояний между двумя пунктами земной
поверхности. Рассмотрим решение некоторых задач.
1) Определить числовой масштаб карты, если расстояние меж-
ду Москвой и Тулой, равное 180 км, изображено на карте от-
резком 36 мм.
Решение. Чтобы найти числовой масштаб карты, надо от-
резок на местности и отрезок на карте выразить в одинаковых
единицах и найти отношение:
______36________1
Х~ 180 000 000 ~ 5 000 000
2) Определить расстояние между Москвой и Ленинградом по
карте, вычерченной в масштабе 1^£ 000 000.
Решение. Взяв карту СССР с масштабом 1:5 000 000, из-
меряем по прямой расстояние между Москвой и Ленинградом.
Получим 130 мм. Так как длина отрезка на земной поверхно-
сти в 5 000 000 раз больше длины отрезка на карте, то расстоя-
ние между Москвой и Ленинградом будет:
130 ммХ5 000 000 = 650 000000 лог = 650 000 лс = 650клг.
• УПРАЖНЕНИЯ
863. 1) Определить числовой масштаб плана, если: а) 1 см на пла-
не соответствует 50 м на местности; б) 1 дм на плане соответст-
вует 2 км на местности; в) 3 см на плане соответствуют 3 км
на местности.
2) Определить числовой масштаб карты, если: а) 1 см на кар-
те соответствует 20 км на местности; б) 1 дм на карте соответ-
ствует 100 км на местности; в) 5 см на карте соответствуют
200 км на местности.
864. Расстояние на местности в 20 м изображено на плане отрез
ком в 2 см. Определить числовой масштаб плана.
257
865. Расстояние между Москвой и Ленинградом в 650 км изо-
бражено на карте отрезком 6,5 см. Найти числовой масштаб
карты.
866. Здание, длина которого 60 м, а ширина —25 м, изображено
на плане (рис. 99). Найти числовой масштаб плана.
867. На плане (рис. 99) изображен участок земли прямоугольной
формы, длина которого—1250 м, ширина—250 м. Найти чис-
ловой масштаб плана.
Указание. Надо определить размер (длину или ширину) изобра-
жения на плане (с помощью линейки) и найти отношение этого раз-
мера к соответствующему размеру на местности.
868. 1) Числовой масштаб пиана Какой длины будет отрезок
на плане, если расстояние на местности: 20 м? 50 м? 120 м?
2) Числовой масштаб карты 1000q000* Какой длины будет отре-
зок на карте, если расстояние на местности: 100 км? 800 км?
3000 км?
869. 1) Каким отрезком на топографической карте изобразится
Волго-Донской канал, имеющий длину 101 км, если масштаб
1 9
карты ---------1
* 100 000
2) Каким отрезком на топографической карте изобразится Бе-
ломорско-Балтийский канал, имеющий длину 227 км, если
, 1 э
масштаб карты ---------г
юо ооо
870. Числовой масштаб плана — . Чему равно расстояние на ме-
стности, если на плане оно составляет: 1 см? 4 см? 6— см?
2
871. Практическая работа на определение расстояний по карте.
Найти расстояние по прямой между Москвой и столицами
союзных республик. Результаты записать в таблицу.
Указание. Для нахождения этих расстояний надо иметь геогра-
фическую карту, измерительный циркуль и масштабную линейку.
872. 1) Длина дома на плане масштаба равна 25 см. Чему
равна длина дома на местности?
2) Расстояние по железной дороге от Москвы до Тулы на кар-
те масштаба --------- равно 2 см. Чему равно это расстояние
10 000 000 н
на местности?
873. Нормы высева яровой пшеницы — 0,24 г на 1 га. Сколько
пшеницы потребуется для засева прямоугольного участка, раз-
мер которого на плане 10q05~' Равен Ю слгХ8 см?
258
874. Нормы высева льна — 50 кг на 1 га.
Сколько льна потребуется для засева
прямоугольного участка, размер ко-
торого на плане 1 : 10 000 равен
6 слгХ8 cjh?
875. На рисунке 100 изображена часть
карты. Определить расстояние от Вол-
гограда до Куйбышева и от Куйбыше-
ва до Астрахани.
Контрольная работа по § 52
1. Найти неизвестный член отношения:
1 3
а) х:5,4 =—; б) —: х =2,1.
12 4
2. Вес тела на Юпитере — 121,2 кг, а
вес того же тела на Земле — 50 кг.
Найти вес человека на Юпитере, если
на Земле его вес — 75 кг. Решить двумя
способами.
Примечание
Юпитер — пятая по порядку от Солнца
и самая крупная по размерам планета
солнечной системы.
3. Найти числовой масштаб карты,
если расстояние на карте в 5 см соот-
ветствует отрезку на местности длиной
12,5 км.
4. На карте, масштаб которой 1 : 50 000,
пунктами равно 24 см. Как велико будет
масштаб которой 1 : 200 000?
Рис. 100.
расстояние между двумя
это расстояние на карте,
5. Сколько потребуется семян яровой пшеницы, чтобы засеять уча-
сток, изображенный на плане в масштабе 1 : 100 000?
Справка. Высев пшеницы на 1 га — 220 кг.
Зачетная работа № 7
Вариант /
1. Сформулируйте правила умножения и деления десятичных дро-
бей. Приведите примеры.
2. Напишите, что вы понимаете под фразами: «Приближенное част-
ное», «Приближенное частное с недостатком», «Приближенное част-
ное с избытком».
3. Какие обыкновенные дроби можно представить в виде конечных
десятичных дробей? Приведите примеры.
4. Вычислить наиболее рациональным путем произведение 8-4Х
ХО, 125 0,25 • 3 и объяснить, на основании каких свойств умножения
упрощено вычисление.
5 *. Выполнить указанные действия:
11 51 Г / 1 2 „
1,75 —1- • — + 4 — 1,2 • 3,25— 1 — + 6- : 20
17 56 | у 12 1 3
0,96+ : 1,4 + 0,8 j • (0,128 : 0,32 + 25 • 0,002)
6 *. Высчитать, сколько нужно запасти кормов для колхозной фер-
мы, насчитывающей 150 дойных коров, на 175 дней при ежедневном
259
отпуске на каждую корову: отрубей 0,4 кг, жмыха 0,3 кг и муки
0,5 кг.
7 . Сумма длин главнейших каналов мира — Беломорско-Балтийско-
го, канала имени Москвы, Суэцкого и Панамского — составляет
601,9 км. Панамский канал короче канала имени Москвы на 46,9 км,
Суэцкий длиннее канала имени Москвы на 37,8 км, а Беломорско-
Балтийский длиннее Суэцкого канала на 61,2 км. Какова длина каж-
дого канала?
8 *. За сколько часов трактор с прицепом из четырех косилок уберет
14,6 га луга, если ширина захвата каждой косилки — 1,56 м, ско-
рость трактора — 4,5 км в час, а непроизводительная затрата време-
ни составит 0,1 от всего времени? (Вычислить с точностью до
0,1 часа.)
9 *. Со станций А и Б, расстояние между которыми 26,6 км, вышли
навстречу друг другу (по параллельным путям) два поезда; до ме-
ста встречи поезд, вышедший из А, прошел на 1,4 км меньше, чем
другой поезд. Сколько километров в 1 час проходил каждый поезд,
если до встречи поезд из А шел 15 мин., а поезд из S' вышел на
1 мин. раньше, чем поезд из А?
вариант II
1. Поясните на примерах, что произведение десятичных дробей под-
чиняется переместительному, сочетательному и распределительному
законам.
2. Поясните на примерах преимущества выполнения действия над
дробными числами, если они даются в десятичных дробях, в сравне-
нии с действиями над теми же числами, взятыми в виде обыкновен-
ных дробей.
3. На каких свойствах умножения основаны следующие приемы уст-
ного умножения:
а) 3,7-8,24-3,7- 1,8 = 3,7 -(8,2 + 1,8) = 3,7 -10 = 37;
б) 0,4 • 3,29 • 2,5 = 3,29 • (0,4 • 2,5) = 3,29 1 = 3,29.
4. Какие обыкновенные дроби не обращаются в конечные десятич-
ные дроби?
5*. Выполните указанные действия:
1 Г/ 11 21 \ 2 11
4 - : 8,775 — 3 — 2— + 3— : 0,625 : 1- + 1— .
4 15 7 8 / 3 4j
6 *. Царь-колокол и царь-пушка, находящиеся в Кремле, весят вмес-
те 230,4 т. Царь-колокол весит на 153,6 г больше, чем царь-пушка.
Сколько весит царь-колокол и сколько — царь-пушка?
7*. Найдите производительность пятикорпусного плуга за 6 час. ра-
боты, если скорость трактора — 4,5 км в час, захват одного корпу-
са — 30 см, а непроизводительная трата времени составила 0,1 все-
го затраченного времени.
8 *. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 35,4 км, вышли
в одном и том же направлении две автомашины: легковая — из А со
скоростью 60 км в час и грузовая — из В со скоростью 33 км в час.
Грузовая машина вышла на 24 мин. раньше легковой. Через сколько
времени после своего выхода легковая машина догонит грузовую и
на каком расстоянии от пункта В?
9 *. На уборке улицы работают две машины. Одна из них может уб-
рать всю улицу за 40 мин., другой для выполнения той же работы
3
надо — этого времени. Уборку начали обе машины одновременно и
5
работали вместе четверть часа. Затем вторая машина прекратила
работу. Сколько потребуется времени первой машине, чтобы закон-
чить уборку улицы?
260
§ 53. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ
Понятие об окружности. Предме-
ты, которые окружают нас, ограниче-
ны поверхностями. Различают плос-
кие поверхности, или плоскости, и
кривые поверхности. Например, клас-
сная доска, классная стена, чертеж-
ная доска, лист тетради на столе име-
ют плоские поверхности.
Если взять циркуль и установить
неподвижно одну его ножку (с ост-
рым концом) в точке О, а другую
(с карандашом) вращать не меняя
раствора циркуля, то карандаш опи-
шет замкнутую кривую линию. Эта
кривая линия называется окруж-
ностью. Точка О называется цент-
ром окружности. Из построения
окружности следует, что все точки,
лежащие на окружности, находятся
на одинаковом расстоянии от центра.
Расстояние от центра до любой точки
окружности (О А) называется радиу-
сом. Отрезок прямой линии, соединя-
ющий две точки окружности и прохо-
дящий через центр (АВ), называется
диаметром окружности. Он равен
двум радиусам (рис. 101).
Отрезок прямой, соединяющий две
точки окружности, называется хор-
дой (DA). Часть окружности назы-
вается дугой.
Построить окружность можно и с
помощью циркуля, и с помощью по-
лоски плотной бумаги с отверстиями,
в одно из которых вставляется булав-
ка, а в другое — карандаш. На мест-
ности окружность строят при помощи
бечевки.
Часть плоскости, ограниченная ок-
ружностью, называется кругом (рис.
102.). Часть круга, ограниченная дву-
мя радиусами и дугой, называется
сектором.
Угол и его измерение. Два луча,
проведенные из одной и той же точ-
ки, образуют угол (рис. 103).
Рис. 103.
261
Рис. 104.
Эти лучи называются сто-
ронами угла, а точка, из ко-
торой они выходят, называет-
ся вершиной угла. Эти же лу-
чи образуют и другой угол.
Чтобы указать, о каком угле
идет речь, обычно внутри
угла проводят небольшую ду-
гу, как это сделано на ри-
сунке.
Угол называют и записы-
вают или с помощью одной буквы (В),
или с помощью трех букв (АВС) и перед
буквами ставят значок « Z » ; этот значок
заменяет слово «угол». Если угол запи-
сывают тремя буквами, то обязательно
буква, обозначающая вершину угла,
ставится посредине, например А АВС.
Углы могут быть различной величи-
ны. Например, углы, образуемые стрел-
прямой угол
острый угол
Рис. 105.
ками часов в различное время дня, не-
одинаковы.
Как же измерять углы? Что принять
за единицу измерения углов?
Если окружность разделить на 360
равных частей, то каждая часть окруж-
ности называется дуговым градусом. Ес-
ли концы дуги в 1 градус соединить с
центром, то получим угол, называемый
угловым градусом. Для более точных
измерений углов употребляются и более
мелкие единицы: минуты и секунды.
Один градус содержит 60 мин., а мину-
та— 60 сек. Сокращенно фразу: «Угол,
равный 35 градусам 25 минутам» — за-
писывают так: 35°25'.
Рис. 106.
262
На рисунке 104 показан школьный
прибор — транспортир для измерения и
построения углов. Транспортир состоит
из линейки и полуокружности с деле-
ниями.
♦ Величина измеряемого угла не зависит
от размеров транспортира, подобно тому
как показания времени на часах не за-
висят от размеров циферблата.
♦ Наиболее часто в контурах окружаю-
щих нас предметов встречается так на-
зываемый прямой угол. Он содержит
90°. Всякий угол, меньший прямого, на-
зывается острым, больший прямого (но
меньший двух прямых) — тупым (рис.
105).
Прямой угол можно построить на
бумаге и на классной доске при помо-
щи угольника. На рисунке изображены
три вида угольников. Первые два из них
употребляются чертежниками, а тре-
тий — в столярном и слесарном деле
(рис. 106). Прямой угол, конечно, можно
построить и при помощи транспортира.
Рис. 107.
Вопросы для самопроверки
1. Что такое окружность? Круг?
2. Назовите элементы окружности и ска-
жите их определения.
3. Что такое угол? Мера измерения угла?
4. Назовите виды углов.
5. Для чего служит транспортир?
• УПРАЖНЕНИЯ
876. (Устно.) 1) Длина окружности равна
360 см. Какова длина дуги этой окруж-
ности в 1°; 5°; 90°; 1'; 10'; 30'?
2) Длина окружности экватора Земли—
40 000 км. Какова длина дуги экватора
в 1°; 90°; 180°; 10°?
877. (Устно.) 1) Сколько минут содержит-
ся в 5°; 9°; 20°?
2) Сколько минут содержится в
1° 1° 1°
—; в 2—; в 3—?
2 2 4
878. (Устно.) 1) Какой угол составляют ми-
нутная и часовая стрелки в 13 час.; в
15 час.; в 21 час?
263
в
4—
D
4—
Рис. 111,
2) На сколько градусов повернет-
ся часовая стрелка за 2 часа; за 5 час.;
за 8 час.; за 30 мин.; за 1 мин.?
879. Практическая работа по измерению
углов.
Определить на глаз, а затем с по-
мощью транспортира величину каж-
дого из данных четырех углов (с точ-
ностью до 1 градуса) и результаты
внести в таблицу (рис. 107).
Измеряемый угол На глаз Транспорти- ром Расхождения
1. 2. 3. 4.
880. Построить на глаз прямой угол,
угол в 30°, угол в 45° и угол в 60°.
Проверьте транспортиром и найдите
расхождения.
881. 1) Начертите с помощью транспор-
тира угол в 30°, угол в 60°, угол в 45°,
угол в 58°, угол в 150°.
2) Начертите углы, имеющие столько
угловых градусов, сколько дуговых
1
градусов: в полуокружности; в — ок-
4
1 5
ружности; в — окружности; в — ок-
ружности.
882. Измерьте с помощью транспортира
углы фигуры и найдите суммы всех
углов каждой фигуры'(рис. 108).
883. Выполните действия:
1) 36°15' + 43°30/;
2) 53°29/ + 20°4Г;
3) 16о + 23°07, + 38°56/;
4) 36°15z—2Г1Г;
5) 48°—19°52z;
6) 51°12/—37°45z;
7) 17°12'-3;
8) 39°18'-4;
9) 13°53'-5;
10) 42°22' : 2;
11) 58°3Z : 3;
12) 49°24z : 4.
264
884. Полуокружность разделена на
две дуги, из которых одна на
100° больше другой. Найти вели-
чину каждой дуги.
885. Полуокружность разделена на
две дуги, из которых одна на
15° меньше другой. Найти вели-
чину каждой дуги.
886. Полуокружность разделена на
две дуги, из которых одна в 2 ра-
за больше другой. Найти вели-
чину каждой дуги.
887. Полуокружность разделена на
две дуги, из которых одна в
5 раз меньше другой. Найти ве-
личину каждой дуги.
Построение перпендикулярных
и параллельных прямых при по-
мощи чертежного угольника
и линейки. Если две прямые при
пересечении образуют прямые
углы, они называются взаимно
перпендикулярными прямыми
(рис. 109). Отрезок СО называют
перпендикуляром к прямой АВ.
Точка О — основание перпенди-
куляра. Условно перпендикуляр-
ность прямых принято записы-
вать так: СО LAB. Читают: «От-
резок СО перпендикулярен к АВ».
Для построения перпендику-
ляра к прямой используют чер-
тежный угольник и линейку.
Пусть нам надо провести пер-
пендикуляр через точку С к пря-
мой АВ. Для этого необходимо расположить линейку вдоль пря-
мой АВ (рис. 110), а к ней приложить чертежный угольник
так, чтобы его другая сторона, образующая прямой угол, про-
ходила через точку С. Затем вычерчивают по этой стороне от-
резок, который и будет искомым перпендикуляром.
Если две прямые лежат в одной плоскости и не пересекают-
ся, то они называются параллельными прямыми.
На рисунке 111, а изображены такие прямые. Условно па-
раллельность прямых записывают так: ABIICD.
Чтобы провести через точку А прямую, параллельную CD,
надо расположить одну из сторон чертежного угольника
вдоль CD (положение 1, рис. 111, а). Затем прикладываем ко
второй стороне линейку, оставляя ее неподвижной, берем тре-
угольник и перемещаем его, как показано на рисунке 111, в
265
(положение 2). Когда сторона треугольника будет проходить
через точку А, то движение треугольника прекращают и вы-
черчивают по этой стороне прямую.
Можно провести через данную точку А прямую, параллель-
ную С, другим способом. Этот способ легко понять из рисунка
112.
Построение линейных и прямоугольных диаграмм. Челове-
ку в своей практической деятельности часто приходится срав-
нивать различные количественные показатели из области на-
родного хозяйства. Обычно он выполняет это косвенным пу-
тем, предварительно проводя необходимые измерения.
Чтобы лучше уяснить результат сравнения предметов, при-
бегают к наглядному изображению значений величин, исполь-
зуя особые чертежи, называемые диаграммами. В зависимости
от вида рисунков диаграмма называется линейной, прямоуголь-
ной, фигурной и т. д.
Приведем примеры некоторых диаграмм и способы их по-
строения.
Задача. Построить диаграмму роста скоростей самолетов
по следующим данным. Наибольшие скорости самолетов были:
в 1925 г. — 300 км/ч, в 1935 г. — 700 км)ч, в 1945 г. —
1000 км/ч, в 1955г. — 1500 км!ч и в 1965 г.— свыше 2500 км/ч
(рис. 113).
Построение. Для того чтобы построить диаграмму, надо
выбрать условную единицу для изображения на чертеже.
Допустим, что наибольшую из приведенных скоростей мы
хотим изобразить отрезком 5 см. Значит, длина отрезка в 1 см
будет соответствовать 500 км. Следовательно, отрезки, изобра-
жающие скорости в другие годы, будут:
для 1925 г. — 300 500 £ 5 (см),
для 1935 г. — 700 500 ~ _ 7_ ~ 5 = 1 -| (см),
Для 1945 г. — 1000 500 = 2 (см),
Для 1955 г. — 1500 500 = 3 (см),
для 1965 г. — 2500 500 = 5 (см).
Строим диаграмму (можно располагать отрезки вертикаль-
но, а можно — горизонтально).
Построенная диаграмма называется линейной, так как для
ее построения мы пользовались прямыми линиями.
266
Диаграмму для сравнения скоростей самолетов мы могли
построить, используя прямеугольники. В этом случае диаграм-
ма называется прямоугольной.
При построении прямоугольных диаграмм, так же как и
при построении линейных, сначала надо принять наибольшее
значение величины за условную единицу, а затем выразить
другие значения через эту условную единицу.
Вопросы для самопроверки
1. Какие прямые называются взаимно перпендикулярными?
2. Какие прямые называются параллельными?
3. Как построить перпендикуляр к прямой?
4. Как провести прямую, параллельную данной прямой?
5. Что такое диаграмма?
888. Практическая работа по построению прямоугольной диа-
граммы. Иметь: циркуль, линейку и цветные карандаши.
Из 40 учеников V класса 22 (15) ученика — 11-летнего воз-
раста, 15 (10) — 12-летнего возраста и 3 (2) — 13-летние. По-
строить прямоугольную диаграмму и заштриховать. (В скобках
указано число девочек.)
889. Используя данные диаграммы «Размеры частей света», со-
ставить задачи на нахождение чисел: а) по сумме и разности,
б) по сумме двух чисел и их отношению (рис. 114).
890. Построить линейную диаграмму «Главнейшие реки нашей
страны».
Амур . . . 4510 км
Обь .... 4340 км
Лена . . . 4270 км
Енисей . . .3800 км
Волга . . .3700 км
Днепр . . . 2300 км
Кама . . . 2030 км
Ока .... 1500 км
267
1913 1926 1940 IMS 1956 1959 1962
Рис. 115.
891. Построить прямоугольную диаграмму
дневной добычи каменного угля на четы-
рех шахтах.
Шахта № 1 . . . 25 000 т
Шахта № 2 . . . 18 000 т
Шахта № 3 . . . 20 000 т
Шахта № 4 . . . 12 000 т
892. Используя диаграмму выплавки стали
в РСФСР ответьте на следующие вопро-
сы (рис. 115):
1) На сколько миллионов тонн возросла
выплавка стали в 1962 г. по сравнению
с 1945 г.?
2) Во сколько раз выплавка стали в
1962 г. была больше выплавки в 1913 г.?
(С точностью до 0,1.)
893. Используя диаграмму «Посевные площа-
ди РСФСР», ответьте на следующие во-
просы (рис. 116):
1) На сколько миллионов гектаров увели-
чилась посевная площадь в 1962 г. по
сравнению с 1945 г.?
2) Во сколько раз посевная площадь в 1962 г. была больше по-
севной площади в 1913 г.?
894. Построить линейную диаграмму роста городского населения
в СССР, если в 1913 г. городского населения было 28,1 млн. че-
ловек, в 1927 г. — 24,7 млн., в 1939 г. — 56,1 млн. и в 1959 г. —
99,8 млн. человек.
Решение задач на вычисление периметров и площадей парал-
лелограмма, треугольника, трапеции, поверхностей и объемов
прямого параллелепипеда, прямой треугольной призмы.
268
На рисунке 117 изображены различные
♦ фигуры, называемые многоугольника-
ми. Каждый многоугольник ограничен
отрезками прямых, которые называются
сторонами многоугольника. Сумма всех
сторон многоугольника называется пе-
риметром.
Стороны многоугольника образуют
углы. Многоугольник по количеству е
нем углов называется треугольником,
четырехугольником и т. д. Точки А, В,
С, D, Е, F — вершины многоугольника
(черт. 117).
Параллелограмм. Четырехугольники
бывают различными по виду. Два вида
четырехугольника мы уже знаем. Это
прямоугольник и квадрат.
Познакомимся еще с одним четырех-
♦ угольником — параллелограммом. На
рисунке 118 изображен параллелограмм
и показаны некоторые его элементы.
Параллелограммом называется четы-
рехугольник, у которого противополож-
ные стороны параллельны.
Не трудно убедиться, что в паралле-
лограмме противоположные стороны
равны. Проделайте такую работу. На-
чертите параллелограмм (рис. 119) и
проведите в нем высоты из точки D и из
точки С (на продолжение стороны АВ).
Вырежьте этот параллелограмм и, отре-
зав AADE, приложите его к стороне
ВС. Вы видите, что параллелограмм
превратился в прямоугольник и, следо-
вательно, его площадь равна площади
прямоугольника.
Основанием прямоугольника явля-
ется сумма отрезков АЕ и ЕВ, т. е. основание параллелограм-
ма; другой стороной прямоугольника является высота парал-
лелограмма. Значит,
площадь параллелограмма равна произведению основания на вы-
соту.
Рассмотрите решение следующей задачи. Периметр па-
раллелограмма равен 16 см. Одна из сторон этого параллело-
грамма равна 5 см, а высота параллелограмма, проведенная к
смежной стороне, равна 4 см. Найти площадь параллелограмма.
Решение. Чтобы найти площадь параллелограмма, надо
прежде найти длину той стороны, на которую опущен перпен-
269
дикуляр. Обозначим неизвестную сторону (основание паралле-
лограмма) через х. Согласно условию имеем 16 = 5 + 5 + х + х,
или 16 = 10 + 2х. Откуда 2х=16—10 (неизвестное слагаемое рав-
но сумме без известного слагаемого) и х = 3.
Следовательно, площадь (обычно величина площади обозна-
чается буквой S).
S = 3- 4 = 12 (кв. см).
Вопросы для самопроверки
1. Что называется параллелограммом?
2. Какие элементы имеет параллелограмм?
3. Как вычислить площадь параллелограмма?
• УПРАЖНЕНИЯ
895. Основание параллелограмма — 3,2 см, а его высота в 2 раза
меньше. Вычислить площадь параллелограмма.
896. Земельный участок имеет вид параллелограмма, у которого
стороны — 420 м и 350 м, а высота к большей стороне — 300 м.
Найти периметр (длина изгороди) и площадь земельного уча-
стка.
897. Одна сторона параллелограмма (основание) вдвое больше
другой стороны, а периметр параллелограмма равен 18 см. Най-
ти стороны параллелограмма и его площадь, если высота к
большей стороне равна 2 см.
898. Площадь параллелограмма — 74,4 кв. см, а высота паралле-
лограмма к большей стороне — 6 см. Чему равен периметр па-
раллелограмма, если меньшая сторона на 2,2 см меньше дру-
гой стороны параллелограмма?
♦ Треугольник. На рисунке 120 изображен треугольник и про-
ведена его высота. Высота треугольника — перпендикуляр,
опущенный из вершины треугольника на противоположную
сторону. В треугольнике можно провести три высоты.
Найдем площадь треугольника. Проведем в параллелограм-
ме (рис. 121) диагональ. Эта диагональ разбивает параллело-
грамм на два равных треугольника. Следовательно, площадь
треугольника составляет половину площади параллелограмма.
Так как площадь параллелограмма равна произведению дли-
ны основания на высоту, то
270
площадь треугольника равна половине произведения основания
на высоту:
s = Lab de.
2
Треугольник, у которого один из углов прямой, называется
прямоугольным треугольником. Его стороны, образующие пря-
мой угол, называются катетами. Так как катеты этого треуголь-
ника взаимно перпендикулярны, то
площадь прямоугольного треугольника равна половине произве-
дения его катетов.
Приведем образец решения задачи на нахождение площади
треугольника.
Задача. Основание треугольника — 15 см, а высота его
составляет третью часть длины основания. Найти площадь тре-
угольника.
Решение.
1) Найдем высоту треугольника: 15-
2) Найдем площадь треугольника:
= 37,5 (кв. см).
l_.cz ч
- -5 (см).
1 • 15 • 5 =—
2 2
Вопросы для самопроверки
1. Какие элементы имеет треугольник?
2. Как вычислить периметр треугольника?
3. Какой треугольник называется прямоугольным?
4. Как вычислить площадь треугольника?
• УПРАЖНЕНИЯ
899. 1) Одна из сторон треугольника — 3,4 см, вторая на 2,3 см
больше первой, а третья на 1,4 см меньше второй. Найти пери-
метр треугольника.
2) Основание треугольника — 8,4 см, а высота на 3,6 см мень-
ше. Найти площадь треугольника.
900. Какая площадь больше: прямоугольника со сторонами 5 см
и 4 см, квадрата со стороной 4,5 см или прямоугольного тре-
угольника, каждый катет которого равен 8 см?
901. Найти площади заштрихованных фигур (рис. 122).
271
основание
основание
Рис. 123.
AN В
Рис. 124.
Трапеция. На рисунке 123 изображена
трапеция и показаны некоторые ее элемен-
ты. Трапеция — четырехугольник, у кото-
рого две противоположные стороны парал-
лельны, а две другие не параллельны.
Найдем площадь трапеции. Начертим
трапецию ABCD (рис. 124) и разделим сто-
рону ВС на две равные части. Соединим се-
редину Е стороны СВ с точкой D и про-
должим DE до пересечения с продолже-
нием стороны АВ. Отрежем треугольник
DCE и наложим его на треугольник BEF.
Эти треугольники совпадут, и, следователь-
но, площадь трапеции будет равна пло-
щади треугольника ADF. Площадь
треугольника ADF равна ~AF -DN, где
DN — высота трапеции, a AF = AB+BF. Но BF = DC,
т. е. AF равна сумме верхнего и нижнего оснований. Значит,
площадь трапеции равна половине произведения суммы основа-
ний трапеции на высоту.
♦ Обычно это правило запоминают в такой формулировке:
площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований
на высоту.
Приведем образец решения задачи на нахождение площади
трапеции.
Задача. Найти площадь трапеции, если ее основания
24 см и 14 см, а высота 12 см.
_ 24 + 14 38
Решение. S= -------• 12 = — • 12,
2 2
S = 19 • 12 = 228 (кв. см).
Вопросы для самопроверки
20
1. Что называется трапецией?
2. Какие элементы имеет трапеция?
3. Как вычислить площадь трапеции?
• УПРАЖНЕНИЯ
902. Найти периметр трапеции, если каждая из
боковых сторон равна 2,4 см, а нижнее осно-
вание больше верхнего основания на 1,8 см
и равно 5 см.
903. Вычислить площадь трапеции, если ее
основания — 10,2 см и 8,6 см, а высота —
4,1 см.
272
904. Вычислить площадь трапеции, если большее основание рав-
но 18, 4 см, другое основание вдвое меньше, а высота — 3,4 см.
905. Найти площадь фигуры, форма и размеры которой даны на
рисунке 125.
Прямой параллелепипед. Вы умеете находить поверхность и
объем прямоугольного параллелепипеда. У прямого паралле-
лепипеда боковые грани — прямоугольники, а нижняя и верх-
няя грани (основания) — параллелограммы.
♦ Запомните. Полная поверхность прямого параллелепи-
педа равна сумме площадей всех его граней, а боковая его по-
верхность — сумме площадей боковых граней.
Объем прямого параллелепипеда равен площади основания,
умноженной на боковое ребро параллелепипеда.
Решим задачу. Найти объем и боковую поверхность пря-
мого параллелепипеда, если стороны его основания — 4 см и
3 см, боковое ребро — 3 см, а высота основания, проведенная к
большей стороне, равна 2 см.
Решение. Боковая поверхность параллелепипеда равна
сумме площадей четырех прямоугольников, попарно равных
друг другу. Следовательно, боковая поверхность равна (4-ЗН-
+ 3 • 3) • 2 = 42 (кв. см).
Для нахождения объема надо предварительно найти пло-
щадь основания. Она равна 4-2 = 8 (кв. см). Объем равен 8 • 3 =
= 24 (куб. см).
Вопросы для самопроверки
1. Всякий ли прямой параллелепипед будет прямоугольным?
2. Как вычислить боковую поверхность прямого параллелепипеда?
3. Как вычислить объем прямого параллелепипеда?
• УПРАЖНЕНИЯ
906. Вычислите поверхность и объем ком-
наты. Размеры комнаты найдите изме-
рением.
907. Основанием прямого параллелепипеда
является параллелограмм со сторонами
3,4 см и 5,2 см и высотой к большей сто-
роне 2 см. Найти боковую поверхность,
полную поверхность и объем этого парал-
лелепипеда, если его боковое ребро равно
4,2 см.
Прямая треугольная призма. Если пря-
мой параллелепипед разрезать по диагона-
ли основания, как показано на рисунке
126, то получим две прямые треугольные
призмы.
Рис. 126.
273
Значит, в прямой треугольной призме основание — тре-
угольник, а боковые грани — прямоугольники.
Запомните. Полная поверхность прямой треугольной
призмы равна сумме площадей двух треугольников и трех бо-
ковых граней (прямоугольников). Объем прямой треугольной
призмы равен площади основания (площади треугольни-
ка), умноженной на боковое ребро.
Рассмотрим задачу. Чердак имеет форму прямой тре-
угольной призмы. Длина чердака — 6,8 м, ширина — 4,5 м и
высота — 2,6 м. Вычислить объем чердака.
Решение. Мы знаем, что объем прямой треугольной приз-
мы равен произведению площади основания на боковое ребро.
Основание призмы — треугольник, площадь которого равна
—2 -’6 =4,5-1,3 = 5,85. Объем равен 5,85 • 6,8 = 39,780 ~
— 40 (куб. м).
Вопросы для самопроверки
1. Как из прямого параллелепипеда получить прямую треугольную
призму?
2. Как вычислить боковую поверхность прямой треугольной призмы?
3. Как вычислить объем прямой треугольной призмы?
• УПРАЖНЕНИЯ
908. Найти полную поверхность и объем прямой призмы, в осно-
вании которой прямоугольный треугольник с катетами 1,2 дм
и 0,5 дм. Высота призмы — 8 дм.
909. Высота чугунной заготовки, имеющей форму прямой тре-
угольной призмы, равна 24,5 см, а катеты основания — 6 см и
6 см. Сколько весят 100 чугунных заготовок, если 1 куб. дм чу-
гуна весит 7,8 кг? (Ответ округлить с точностью до 1 кг.)
910. Сколько тонн сена в стоге, форма и размеры которого указа-
ны на рисунке 127, если 1 куб. м сена весит 0,06 г?
Указание. Объем стога надо рассмотреть как сумму объемов прямо-
угольного параллелепипеда и прямой треугольной призмы.
911. Размеры металлического гаража обозначены на рисунке 128.
Определить, сколько квадратных метров листового железа по-
требовалось для постройки этого гаража, и вычислить его
объем.
Рис. 127.
Рис. 128.
274
Зачетная работа № 8
Вариант /
1. Что называется параллелограммом?
2. Напишите формулу для нахождения площади треугольника.
3. Как вычислить площадь боковой поверхности прямой треугольной
призмы?
4. Найти величину угла, образуемого стрелками часов в 3 часа дня.
5. Как построить линейную диаграмму? Привести пример.
6*. Выполнить указанные действия:
(2,1 — 0,965) : (1,2 0,045) 1 ; 0,25
0,00325:0,013 ~ 1,6 0,625 ’
7 *. В трех ящиках 54,8 ц картофеля. В первом на 1,9 ц меньше,
чем во втором, а во втором на 12,9 ц меньше, чем в третьем. Сколько
картофеля в каждом ящике?
8 *. На лесном складе уложены доски вплотную одна к другой в пя-
ти штабелях, каждый высотой 120 см и шириной 80 см. Длина всех
досок одинакова — 6 м. Сколько кубических метров досок имеется на
складе?
9 *. При строительстве небольших зданий для образования двускат-
ной крыши ставятся стропила, которые образуют треугольники. Вы-
сота этого треугольника должна быть в 3,4 раза меньше основания.
Вычислить площадь двух таких треугольников у одного дома,
если ширина дома — 8,5 м.
10*. Лист кровельного железа имеет размер 142 смХ71 см. Опре-
делить, сколько листов железа необходимо, чтобы покрыть крышу
размером 12 jmX16 м, если на скрепление листов железа расходуется
0,05 от общего количества железа. (Вычислить с точностью до
1 кв. м.)
Вариант //
1. Для чего нужны диаграммы? Как построить прямоугольную ди-
аграмму? Привести пример.
2. Как найти площадь параллелограмма?
3. Что такое трапеция? Назовите ее основные элементы.
4. Сколько граней в параллелепипеде? В прямой треугольной призме?
5. Найти величину угла, образуемого стрелками часов в 4 часа дня.
6*. Выполнить указанные действия:
2,445—0,0125-(19,25—1,134:0,28)-4-2— :(з — — 2—') •
17 \ 51 34/
7*. Длина огорода—67,5 м, ширина—56—м. Сколько надо ведер
4
воды объемом 12 л, чтобы оросить огород так же, как дождем, даю-
1
щим слой осадков высотой 5 — мм7 (Вычислить с точностью до 10
4
ведер.)
8 *. Длина комнаты — 8,4 м, ширина — 6,5 м, а высота — 4 м. В этой
комнате 3 окна, каждое высотой 1,64 м, шириной 1,2 м, и две двери,
каждая высотой 2,2 м и шириной 1 м. Сколько кусков обоев нужно
для оклейки этой комнаты, если ширина куска обоев — 50 см, а дли-
на — 15 лг?
9 *. Две бригады рабочих могут выполнить некоторую работу за
2,5 дня. Если же будет работать первая бригада и 0,6 состава вто-
1
рой, то эта работа может быть выполнена за 3—дня. За сколько вре-
О
мени каждая бригада в отдельности, работая в полном составе, мо-
жет выполнить эту работу?
275
§ 54. ПОВТОРЕНИЕ МАТЕРИАЛА, ПРОЙДЕННОГО
В V КЛАССЕ
Повторение ранее пройденного материала является необхо-
димым условием изучения арифметики.
Изучение всяких новых сведений в арифметике опирается
на ранее пройденный материал, а поэтому повторение органи-
чески связано с прохождением новых понятий.
Повторением вы занимаетесь и при решении любой задачи,
например, решая задачу на дроби, приходится пользоваться
правилами действий над натуральными числами, округлением
чисел и т. д. Но это систематическое повторение проводится по
отдельным вопросам. Поэтому при изучении арифметики при-
нято в конце года и в начале VI класса проводить более полное
и систематизированное повторение по темам пройденного курса
арифметики.
Предлагаемый материал для повторения является завер-
шающим курсом V класса и в то же время началом прохожде-
ния арифметики в VI классе.
♦ Повторять ранее изученный материал — это не значит чи-
тать и запоминать все ранее пройденное. При повторении надо
читать только тот материал, ответ на вопрос из которого вы-
зывает у вас неуверенность или просто содержание ответа на
вопрос вы забыли.
В этом случае, воспользовавшись оглавлением книги, найди-
те изложение этого вопроса и проверьте или составьте ответ.
Например, прочитав вопрос: «Какое натуральное число не яв-
ляется ни простым, ни составным числом?», вы затрудняетесь
с ответом. Тогда надо посмотреть содержание главы «Нату-
ральные числа», найти параграф о простых и составных числах
и составить ответ на вопрос. Так же вы должны поступать и
при малейшем сомнении в справедливости своего ответа, а иног-
да и при уверенности в своем ответе полезно проверить его
точность. Запомните, что правила, законы и определения надо
давать в точной и строгой формулировке (как в учебнике), а
объяснения справедливости правила или приема решения
надо излагать своими словами. Надо всякий закон, правило,
а также объяснения приемов решений или обоснования правил
рассматривать на примерах, или вами составленных, или взя-
тых из учебника. После вопросов по теории темы помещена
контрольная работа. Ее выполнение обязательно.
Повторение темы «Натуральные числа»
1. Приведите примеры множеств, численности которых имеют два
элемента? Три элемента? Пять элементов? Десять элементов? Бес-
конечное множество элементов?
2. Приведите примеры равночисленных множеств.
3. Что значит положение: «Ряд натуральных чисел бесконечен»?
4. Какие числа называются именованными числами? Когда они по-
лучаются?
276
5. Что такое десятичная система счисления?
6. Есть ли различие между цифрой и числом?
7. Как называются числа в зависимости от числа цифр для их за-
писи?
8. Какие числа записываются с помощью одного знака? Сколько
таких чисел?
9. Приведите примеры, когда надо округлять числа. Как называется
число, полученное при округлении?
10. Скажите правило округления чисел. Приведите примеры.
11. Что такое числовой луч и как его построить?
12. Как изображаются числа на числовом луче?
13. Сколько цифр в римской нумерации? Как пишутся числа с по-
мощью цифр римской нумерации?
14. Что называется арифметическим действием? Какое общее назва-
ние носят числа, над которыми производятся действия?
15. Какие действия над числами изучает арифметика и какие знаки
(кроме цифр) употребляются в арифметике?
16. Какие действия всегда выполнимы во множестве натуральных
чисел?
17. Всегда ли сумма двух чисел больше каждого компонента?
18. Сформулируйте законы сложения и приведите примеры примене-
ния этих законов. Запишите эти законы с помощью букв.
19. Какие способы проверки правильности выполнения сложения вы
знаете?
20. Используя данные приложения (стр. 369), составить основные
задачи на сложение.
21. Почему действие вычитания называется действием, обратным
действию сложения?
22. Какие способы проверки правильности выполнения вычитания
вы знаете?
23. Используя данные приложения (стр. 369), составить основные
задачи на вычитание.
24. При каком условии произведение двух чисел равно 0? Произ-
ведение двух чисел равно одному из сомножителей?
25. Сформулируйте законы умножения и приведите примеры их
применения. Запишите законы в общем виде (с помощью букв).
26. Используя данные приложения (стр. 369), составить основные
задачи на умножение.
27. Какие способы проверки умножения вы знаете?
28. Почему действие деления называется действием, обратным дей-
ствию умножения?
29. Какое число не может быть делителем?
30. Какими способами проверить правильность выполнения деле-
ния?
31. Составить основные задачи на деление.
32. Когда и как находится приближенное частное?
33. Как найти неизвестный компонент действия, зная другой ком-
понент и результат действия?
34. Как изменится сумма нескольких чисел при увеличении одного
из слагаемых на несколько единиц?
35. Как изменится разность, если уменьшаемое увеличить на не-
сколько единиц? Уменьшить на несколько единиц?
36. Как изменится произведение, если один из сомножителей уве-
личить в несколько раз?
37. Как изменится частное, если делимое и делитель одновременно
увеличить в несколько раз?
38. В каком порядке производятся арифметические действия?
39. Какие числа называются кратными по отношению к другим?
40. Сформулируйте свойства делимости суммы и разности двух
чисел.
41. Сформулируйте признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10.
277
42. Когда применяются признаки делимости?
43. Какие два делителя имеются обязательно у натурального числа?
44. Какое натуральное число не является ни простым, ни составным
числом?
45. Что значит разложить число на простые множители?
46. Как найти наименьшее общее кратное двух чисел?
Контрольная работа по теме «Натуральные числа»
1. Вычислить: 505 -22—10 100+1336 : (128 + 7416 : 36) + 126.
2. Как изменится сумма трех чисел, если одно слагаемое увеличить
на 235, другое уменьшить на 187, а третье уменьшить на 125?
3. Какое число делится на любое натуральное число и какие при
этом получаются частные?
4. Найти х: 86 + 12х=146.
5. Электроэнергия от Куйбышевской ГЭС в Москву поступает по
двум линиям — северной и южной, причем первый (северный)
путь на 75 км длиннее второго, а вместе обе линии имеют протя-
женность 1705 км. Определить длину каждой линии электропере-
дачи.
6. Самолет ТУ-114 пролетел расстояние Москва—Вашингтон и об-
ратно за 22 часа 15 мин. Полет в Вашингтон, в силу атмосферных
условий, продолжался на 1 час 15 мин. больше, чем из Вашинг-
тона в Москву. Расстояние между Москвой и Вашингтоном —
8420 км. С какой средней скоростью летел самолет туда и с ка-
кой — обратно?
Повторение темы «Обыкновенные дроби»
1. Приведите примеры, когда при вычислениях вводятся обыкновен-
ные дроби.
2. Назовите виды обыкновенных дробей.
3. Почему нуль не может быть знаменателем дроби?
4. Поясните примерами положение: «Всякое натуральное число
можно представить в виде дроби с любым знаменателем, кроме
нуля».
5. Как будут расположены на числовой оси точки, соответствующие
двум неравным дробям?
6. Что надо сделать с членами дроби для ее увеличения в несколько
раз? Для уменьшения дроби в несколько раз?
7. Что значит сократить дробь? На каком свойстве дроби основано
ее сокращение?
8. Расскажите о сокращении дроби. До какого момента должно про-
изводиться последовательное сокращение?
9. Как найти наименьший общий знаменатель нескольких дробей?
Какие при этом могут быть случаи? Покажите на примерах.
10. Какие случаи сложения и вычитания двух дробей можно раз-
личать?
11. Сформулируйте правила умножения дробей (умножение нату-
рального числа на дробь, дроби на натуральное число, дроби
на дробь).
12. В каком случае при умножении дробей получается в результа-
те число, меньшее множимого? Равное множимому?
13. Приведите примеры нахождения дроби числа. Нахождения чис-
ла по его дроби.
14. Сформулируйте правила деления дробей (дроби на натуральное
число, натурального числа на дробь, дроби на дробь).
15. Сформулируйте общее правило деления дробей. На каком свой-
стве основано общее правило деления дробей?
16. На какое число нельзя делить дробь?
278
17. Когда при делении смешанного числа на натуральное число вы-
годнее делить отдельно целую часть и отдельно правильную
дробь?
18. Сформулируйте законы действий над обыкновенными дробями.
Поясните примерами.
19. Используя данные приложения (стр. 369), составить по одной
простой задаче на каждое действие с обыкновенными дробями.
20. Как проверяется правильность выполнения каждого действия
над дробями?
Контрольная работа по теме «Обыкновенные дроби»
75 9 31 7 / 4 1 7 17\ 1
1. Вычислить: 21 — :5---2 — — -3-----1-3— : —•!—-к——— -|—‘
8 6 20 10 3 9 \ 5 3 20 18/ 5
/7 1 \ 3
2. Найти х, если — — — • х=12— •
\ 8 5 / 5
2 1
3. Из бочки отлили сначала потом — всей бывшей в ней воды и
5 3
тогда в бочке осталось 8 ведер. Сколько в ней было воды?
4. Первая бригада заасфальтировала 2 км 100 м шоссе, вторая в
1 2
1 — раза больше первой, а третья — того, что заасфальтировали
5 3
обе первые бригады вместе. Длина заасфальтированного участка
14
составляет — всей длины шоссе. Чему равна длина всего шоссе?
Повторение темы «Десятичные дроби»
1. Будет ли следующее определение точным: «Обыкновенная дробь,
у которой знаменатель есть 10, 100, 1000, ..., 1 000 000, называет-
ся десятичной»?
2. Как сравнивают по величине две десятичные дроби?
3. Поясните на примере, что приписывание нулей справа или слева
к десятичной дроби не изменяет ее величины.
4. Как изменится величина десятичной дроби, если запятую пере-
нести вправо на один десятичный знак? На три десятичных зна-
ка? Влево на два десятичных знака?
5. Как округляют десятичные дроби с точностью: а) до 0,1;
б) до 0,01; в) до 0,001? Приведите примеры.
6. Сформулируйте правила сложения и вычитания десятичных дро-
бей.
7. Сформулируйте правила умножения и деления десятичных дро
бей.
8. При умножении двух десятичных дробей получили произведение.
В полученном произведении не хватает цифр для отделения за-
пятой. Как поступить? Приведите пример.
9. Что вы понимаете под фразами: «Приближенное частное с недо-
статком», «Приближенное частное с избытком»?
10. Как записать десятичную дробь в виде обыкновенной?
11. Какие обыкновенные дроби обращаются в конечные десятичные?
12. Как обратить обыкновенную дробь в десятичную?
13. Как производят вычисление, если в задаче встречаются одно-
временно обыкновенные и десятичные дроби?
14. Что называется отношением чисел? Какими свойствами облада-
ет отношение?
15. Что такое числовой масштаб? Когда применяется числовой
масштаб?
279
Контрольная работа по теме «Десятичные дроби»
1. Вычислить:
/15 7 \
8,9:1,78-4,8- 1— + — — — : 0,25 :4,4 + 1,1.
17 68 51 /
2. Округлить следующие числа: а) с точностью до 1 : 256,6; 7,28;
3 2
0,6; 1 —; б) с точностью до 0,01 : 2,508; 34,004; 0,055; 2 —.
5 7
3. Вес тела на Луне составляет 0,16 веса этого тела на Земле, на
Марсе — 0,38 веса на Земле, а на Юпитере в 2,64 раза больше ве-
са тела на Земле. Определить вес взрослого человека на Луне,
Марсе и Юпитере, если на Земле он весит 75 кг.
4. Расстояние от центра Земли до точки полюса и до точки эква-
тора составляет вместе 12 735,1 км. Чему равно расстояние от
центра Земли до полюса, если известно, что полюс расположен к
центру Земли ближе экватора на 21,4 км?
5. На каждый гектар занимаемой площади земли колхоз получил
1 2
по 4 — ц зерна, 8— ц овощей, 6,05 ц картофеля и 309,2 л молока.
4 5
Сколько овощей, картофеля и молока получил в отдельности кол-
хоз, если зерна он собрал 1530 г?
Повторение темы «Решение задач с геометрическим содержанием»
1. Что называется отрезком? Лучом?
2. Какими единицами измеряется угол?
3. Какой угол называется острым? Прямым? Тупым?
4. Опишите прибор транспортир. Для чего он служит?
5. Как с помощью линейки и угольника построить перпендикуляр
к данной прямой?
6. Как с помощью линейки и угольника провести прямую, парал-
лельную данной прямой?
7. Какая фигура называется квадратом?
8. Какая фигура называется прямоугольником?
9. Какая фигура называется параллелограммом?
10. Какая фигура называется треугольником?
11. Что называется основанием и что — высотой квадрата? Прямо-
угольника? Параллелограмма? Треугольника?
12. Что называется периметром фигуры? Как его найти?
13. Какими единицами измеряется площадь фигуры?
14. Как найти площадь квадрата? Прямоугольника? Параллело-
грамма?
15. Как найти площадь треугольника? Трапеции?
16. Сколько граней имеет куб? Прямоугольный параллелепипед?
Прямой параллелепипед?
17. Сколько граней имеет прямая треугольная призма?
18. Какие фигуры образуют грани куба? Грани прямоугольного па-
раллелепипеда? Грани прямой треугольной призмы? Грани пря-
мого параллелепипеда?
19. Как найти всю поверхность куба (сумму площадей граней ку-
ба)? Поверхность прямоугольного параллелепипеда? Поверхность
прямой треугольной призмы?
20. Какими единицами измеряется объем тела?
21. Как найти объем куба? Объем прямоугольного параллелепипе-
да? Объем прямого параллелепипеда?
22. Как найти объем прямой треугольной призмы?
280
Контрольная работа по теме «Решение задач с геометрическим содержанием»
1. При помощи транспортира (или при помощи угольника) узнать,
который из углов на рисунке 129 острый, прямой, тупой. Запи-
сать пропущенные слова и буквы:
/.АВС — ...
Z ... — тупой
/ ... — ...
2. Построить угол в 58° (с помощью транспортира). На одной сторо-
не угла отложить отрезок, равный 3,8 см, а на другой — 4,2 см.
Соединить концы отрезков. Вычислить площадь полученного тре-
угольника.
Указание. Высоту треугольника узнать с помощью уголь-
ника или масштабной линейки.
3. Ширина захвата дисковой тракторной сеялки — 3,6 м. Сколько
гектаров засеет сеялка за 8 час. при скорости движения 4,5 км
в час? Затраты на заправку зерном, горючим составили 30 мин.
4. Требуется оклеить комнату, размер которой 5 лХЗ,5 лгХ2,8 м.
Сколько для этого потребуется кусков обоев, если каждый кусок
имеет длину 13 м, ширину 50 см, а окна и дверь комнаты зани-
мают 3,5 кв. м?
5. Собранный урожай картофеля можно хранить в траншеях. Сколь-
ко траншей размером 1 ЛХ1 ЛХ10 м нужно приготовить для
урожая картофеля с 6,75 га, если средний урожай его равен 154 ц
с 1 га, а 1 куб, м картофеля весит в среднем 675 кг?
Ю С. А. Пономарев
глава VI. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ.
РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ЗАДАЧ
А. Приближенные вычисления
§ 55, ПОНЯТИЕ О ТОЧНЫХ И ПРИБЛИЖЕННЫХ
ЗНАЧЕНИЯХ ВЕЛИЧИН
Изучая натуральные и дробные числа, решая практические
задачи и производя измерения величин (длины, ширины, веса,
объема, времени и т. д.), нам не раз приходилось встречаться с
приближенными числами. Познакомимся более подробно с эти-
ми числами и научимся производить действия над ними.
Прежде всего выясним, в каких случаях нам придется иметь
дело с приближенными числами.
♦ Приближенные числа — результат измерений величин. Че-
ловеку в своей деятельности часто приходится находить числен-
ные значения длины, веса, объема и других величин, получа-
емые в результате измерений. Результаты этих измерений всег-
да берутся с определенной степенью точности в зависимости от
условий. Все зависит от того, что измеряют, чем измеряют, кто
измеряет, для каких целей измеряют. Например, измеряя дли-
ну доски с помощью рулетки, мы можем дать точность до 1 см,
а измеряя деталь с помощью школьной масштабной линейки,
мы получим точность до 1 мм. Если нам надо измерять длину
с точностью до 0,1 мм, то придется воспользоваться штанген-
циркулем (рис. 130), а для измерения длины с точностью до
0,01 мм — винтовым микрометром (рис. 131).
Если нам надо взвесить груз, привезенный самосвалом, то
это взвешивание производится с точностью до 10 кг, взвеши-
вание продуктов на весах в магазинах производится с точно-
стью до 5 г (рис. 132), а лабораторные весы дают точность до
0,001 г.
Но приближенные числа при измерении появляются не
только от несовершенства нашего глаза и приборов измерения.
Измеряемая величина сама может изменять свое значение. На-
пример, длина стержня изменяется в зависимости от темпера-
туры; вес тела изменяется от влажности, пыли и т. д.
282
Рис. 132.
Для получения более точного результата при измерении по-
ступают так: производят несколько измерений одним и тем же
прибором и берут среднее арифметическое полученных резуль-
татов.
Например, при измерении длины классной доски с помо-
щью рулетки было произведено три измерения и получены сле-
дующие результаты: 1-е измерение показало 6,34 м; 2-е —
6,33 м и 3-е — 6,29 м. Находим среднее арифметическое этих
чисел: (6,34 + 6,33 + 6,29) : 3 = 18,96 м : 3 = 6,32 м. Полу-
ченное среднее арифметическое отличается от результатов от-
дельных измерений не более чем на 0,1, и, следовательно, мож-
но ручаться только за десятые доли, т. е. считать длину доски
равной 6,3 м.
В практике часто не имеет смысла находить более точ-
ные значения измеряемой величины, например, отвечая на во-
прос: «Который час?», мы отвечаем с точностью до минуты,
хотя часы могли бы указать время с точностью до секунд.
Запомните. Всякое измерение дает только приближен-
ное значение измеряемой величины.
♦ Приближенные числа—иногда результат счета. Если нам
нужно узнать, сколько учащихся присутствует на занятии, или
узнать, сколько денег есть сейчас у меня, то мы уверены, что
значения этих величин будут точными числами; действитель-
но, в этом легко убедиться, пересчитав учащихся или содержи-
мое своего кошелька. Если же потребуется узнать, сколько жи-
телей в вашем городе, то ввиду изменения числа жителей в про-
цессе подсчета (рождаемость, смертность, приезд, отъезд) нель-
зя сказать, что результат будет выражен точным числом. Ре-
зультат счета будет выражен приближенным числом, и если го-
ворят, что «в нашем городе на сегодняшний день проживает
256 тысяч человек», то мы понимаем, что это число прибли-
женное. Опыт показывает, что пересчитать элементы множест-
10*
283
ва большой численности очень трудно и в этом случае резуль-
тат счета будет почти всегда приближенным числом.
Приближенные числа — иногда результат вычислений.
Определяя величину скорости реактивного самолета, пролетев-
шего расстояние 1645 км за 2 часа 5 мин., мы получим в ре-
5 25 1645 12 329-12
зультате вычисления: 1645:2—=1645:—=------=-------=789,б(кл<).
60 12 25 5
Так как расстояние и время были приближенными числами, то
и результат будет приближенным числом; значит, скорость са-
молета будет 790 км в час.
Примечание. Так как нам придется часто округлять числа, то повтори-
те все известное вам об округлении чисел (см. на стр. 207).
Вопросы для самопроверки
1. В результате чего появляются приближенные числа?
2. Точное или приближенное число получится, если:
а) измерить какую-нибудь величину?
б) сосчитать какое-нибудь конечное множество?
в) произвести действия над точными числами?
г) произвести действия над приближенными числами?
3. Сформулируйте правило округления чисел и приведите три при-
мера ва применение этого правила.
• УПРАЖНЕНИЯ
912. В следующих равенствах указать, какие из них являются
точными и какие приближенными:
1 сажень = 2,1 м; 1 аршин = 71,12 см;1 фунт = 0,4095 кг;
1 кг = 1000 г; 1 а = 100 кв. м; 1 ведро= 12,30 л;
1 английский бушель = 36,37 л; 1 атмосфера = 1 кг.
913. Укажите, какие из данных значений величин являются точ-
ными, а какие — приближенными:
а) расстояние между Москвой и Тулой — 180 км;
б) в школе числится по спискам на данное число 326 уча-
щихся ;
в) колхоз имеет под посевами зерновых 1250 га земли;
г) библиотека имеет книжный фонд в 18 000 книг;
д) стакан вмещает 200 куб. см воды;
е) у шестиугольника 6 сторон и 6 внутренних углов;
ж) станок состоит из 96 деталей;
з) станок весит 2150 кг;
и) железнодорожный рельс имеет длину 10,4 м;
к) городской музей посетили за неделю 1650 человек.
ф Указание. Мы знаем, что числа, полученные в результате изме-
рений, всегда приближенные, в то время как числа, получаемые в
результате счета, могут быть иногда точными, а иногда приближен-
ными.
Ответы: а) приближенное; ж) точное; к) точное или при-
ближенное,
284
914. Трое учащихся решили пересчитать зрителей, присутствую-
щих на школьных соревнованиях. Первый насчитал 268 чело-
век, второй — 260 человек и третий — 273 человека. Сколько
же зрителей, надо считать, присутствовало на соревновании?
915. Учащиеся определяют, сколько горошин помещается в ста-
кане. При первом подсчете получили 720 горошин, при вто-
ром — 725 горошин, а при третьем —719. Сколько же горошин,
надо считать, помещается в стакане?
916. При четырехкратном измерении длины здания получили та-
кие результаты: 21,63 л; 22,12 л; 22,16 л и 21,46 л. Какой ре-
зультат надо принять за длину здания?
917. 1) Найдите длину вашей комнаты с наибольшей доступной
точностью.
2) Определите вес сахарного песка, помещающегося в гра-
неном стакане.
Как известно (см. стр. 208.), иногда при округлении резуль-
татов пользуются не основным правилом округления, а в за-
висимости от условия задачи округляют с недостатком или с
избытком. Например: «Человек имеет 5 руб., и в течение
6 дней он должен их тратить поровну. Сколько денег он может
тратить каждый день?»
Для этого надо 5 : 6. Результат будет выражаться бесконеч-
ной десятичной дробью 0,8333... Округляя это частное до сотых
долей, т. е. до копеек, получим с недостатком 83 коп., а с из-
бытком 84 коп. Если тратить ежедневно по 83 коп., то после
6 дней останется 2 коп., а если по 84 коп., то не хватит 4 коп.
Значит, нужно округлить по недостатку, т. е. ответ: 83 коп.
Решить следующие задачи, с избытком или с недостатком,
в зависимости от условия задачи:
918. Сколько надо рабочих для изготовления 108 одинаковых де-
талей за день, если один рабочий в день может изготовить
15 деталей?
919. Студент имеет 3,5 рубля на 3 дня, и он решил тратить их еже-
дневно поровну. Сколько он может истратить ежедневно?
920. Семеро учащихся взялись собрать 10 кг лекарственных трав.
Сколько должен собрать каждый учащийся?
921. Грузоподъемность крана «Пионер» —0,5 г. Этим краном на-
до поднять на некоторую высоту ящики весом 76 кг каждый.
Сколько таких ящиков может поднять кран за один раз?
§ 56. АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ПРИБЛИЖЕННОГО ЧИСЛА
При вычислениях с приближенными числами иногда тре-
буется определить неточность, взяв результат или погрешность
результата вычислений. Например, выражая — десятич-
О
ной дробью, пишут — =0,333... или — ~0,33. При записи
3 з
285
0,33 допускаем погрешность; вычислим эту
Для этого из
_ 100—99
~ 300
— вычтем 0,33, т. е. — —0,33 =
3 3
1 о к
— . Значит, приближенное
300
погрешность.
1 _ 33 =
3 100 ~
число 0,33
отличается от точного числа —
О
на
1
зЪо *
Эту разницу называют абсолютной погрешностью.
Абсолютной погрешностью приближенного числа называет-
ся разность, которая показывает, на сколько точное число
больше или меньше приближенного числа.
♦ Если точное значение числа неизвестно, тогда точно абсо-
лютную погрешность установить нельзя, и если приближенное
число получено в результате применения прибора, то ограни-
чиваются точностью прибора. Например, взвешивая на весах
соль, получили вес 500 г. Зная, что точность весов равна 5 г
(наименьшее деление — 5 г), считаем, что отклонение прибли-
женного числа 500 от точного веса не превышает 5 г. Обычно
это записывают так: 500 (±5) г. Знаки «±» означают, что от-
клонения в весе могут быть как в сторону увеличения, так и в
сторону уменьшения.
Зная, что при измерении школьной масштабной линейкой
абсолютная погрешность не превышает 1 мм, результаты
измерения записывают так: ( — 123 (±1) мм, или ( — 12,3
(±0,1) см.
Если измеряется сравнительно большое расстояние или боль-
шой вес и измерительный прибор (рулетка или весы) приходит-
ся применять несколько раз, то погрешность измерения увели-
чивается.
Верные и сомнительные цифры. В записи приближенных чи-
сел различают цифры верные и цифры сомнительные. Верные
цифры приближенного числа узнают по его абсолютной погреш-
ности, применяя следующее правило:
Все цифры приближенного числа называются верными, если аб-
солютная погрешность не превышает половины единицы послед-
него разряда. Если же абсолютная погрешность больше полови-
ны единицы какого-нибудь разряда, то цифра этого разряда на-
зывается сомнительной.
2
Например, если написать, что — —0,67, то цифры 6 и 7 бу-
3
2
дут верными, так как разность 0,67---<0,005, а если напи-
3
2
сать, что — —0,66, то цифра сотых будет сомнительной, так
3
как 0,66 >0,005.
286
.♦ Поэтому при записи приближенные чис-
ла округляют так, чтобы они не содержали
лишние цифры, в верности которых мы со-
мневаемся. Выдающийся математик, Герой
Социалистического Труда, академик А. Н.
Крылов предложил такое правило:
Приближенные числа надо записывать так,
чтобы в них все цифры были верными и толь-
ко иногда одна последняя цифра была сомни-
тельной.
Значит, запись приближенных чисел
4,56; 3,07 показывает, что цифра 6 в пер-
вом и цифра 7 во втором примере могут
быть сомнительными цифрами. Поэтому
если дан результат одного измерения 3,40 м,
К. Н. Крылов
а другого 3,4 м,
то нельзя говорить, что эти результаты равны. Они взяты с раз-
личной точностью: 3,40 м с точностью до 0,01 м, а 3, 4 м с точ-
ностью до 0,1 м.
Вопросы для самопроверки
1. Что называется абсолютной погрешностью приближенного числа?
2. Какая допускается абсолютная погрешность при измерении
школьной линейкой, рулеткой, при взвешивании на магазинных
весах. Что указывает на погрешность приборов измерения?
3. Какие цифры приближенного числа называются верными? Сом-
нительными?
4. Какая разница между двумя записями: «Температура 25°» и
«Температура 25,0°»?
• УПРАЖНЕНИЯ
922. Заполните таблицу округления числа 756,2547 с различной
степенью точности (см. решение в 1-й строке):
Требуемая точность округления Округление по недостатку Округление по избытку Округление с наимень- шей погрешностью (по общему правилу)
до 0,001 до 0,01 ДО 0,1 ДО 1 ДО 10 756,254 756,255 756, 255
923. Составьте таблицу округления числа 2074,535 по недостатку,
по избытку и по общему правилу (с наименьшей погрешно-
стью) с точностью до 0,01, до 0,1, до 1, до 10.
2 4
924. 1) Выразить десятичной дробью число 2 — приближенно с
3
точностью до 0,01. Вычислить абсолютную погрешность при-
ближенного значения.
287
ZU
Рис. 134.
4
2) Представить дробь — в виде десятичной дро-
13
би с точностью до 0,01 и вычислить абсолютную
погрешность полученного числа.
925. 1) Округлить до 1 следующие числа: 4,8;
18,5; 54,6; 132,246 — и вычислить абсолютную
погрешность каждого округления.
2) Округлить с точностью до трех десятичных
знаков (т. е. до 0,001) числа: 0,45484; 1,206389;
25,453499 — и вычислить абсолютную погреш-
ность каждого округления.
926. 1) Пусть стенные и ручные часы поставлены
верно и показывают: стенные — 11 час. 24 мин.,
а ручные — 11 час. 23 мин. 13 сек. Можно ли
считать верной цифру 4 на стенных часах?
Цифру 3 на ручных?
2) На наружном термометре (рис. 134)
столбик ртути находится между 12 и 13 деле-
ниями выше нуля. Ученик записал показания
термометра числом 12,5°.Назовите верные циф-
ры в этом числе. Как записать, что допущенная
погрешность не превышает 0,5°?
927. 1) Старая русская мера аршин приближенно
равна 71,12 см. Если принять 1 аршин ~ 71 см,
то чему равна абсолютная погрешность?
Примечание. Значение 71,12 см условно примите за
точное выражение аршина в метрических мерах.
2) Старая русская мера веса пуд прибли-
женно равна 16,38 кг. Если принять, что 1пуд~
— 16,4 кг, то чему равна абсолютная погреш-
ность?
Примечание. Значение 16,38 кг условно принять за точное число.
928. Укажите верные и сомнительные цифры и найдите абсолют-
ную погрешность в следующих приближенных равенствах:
1) - яе 0,83; - « 0,84; 2) - 0,48; 0,49.
' 6 6 7 7
Контрольная работа по §55 — 56
1. Укажите, какие из данных значений величин являются точными
и какие — приближенными: а) продолжительность жизни челове-
ка—150 лет; б) расстояние между Москвой и Ленинградом —
650 км; в) в кассе имеется 2506 руб. 42 коп.; г) ведро вмещает 12 л
воды; д) в школе 456 учащихся; е) в здании вокзала 560 пассажи-
ров.
2. Составьте задачи так, чтобы при округлении брать результат:
а) по избытку; б) по недостатку; в) по общему правилу.
288
3. Сколько наволочек можно сшить из куска полотна в 40 м, если
на каждую наволочку идет 1,8 7.'?
4. Найти длину поля, если измерение произвели 3 раза и получили
такие результаты: 386 м, 382 м и 388 м. Полученный результат ок-
руглить с точностью до 1 по избытку, по недостатку и по общему
правилу (с наименьшей погрешностью). Найдите абсолютную по-
грешность каждого измерения, приняв среднее арифметическое трех
измерений за точное расстояние.
4
5. Представьте дробь — в виде десятичной дроби с тремя десятич-
1о
ними знаками и укажите верные и сомнительные цифры в получен-
ном результате.
§ 57. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ
♦ Техника сложения и вычитания приближенных чисел та же,
что и для точных чисел, но в полученных результатах произ-
водят округление по особому правилу. Выведем это правило на
результатах рассмотрения нескольких примеров.
Сложение и вычитание приближенных чисел, записанных
по правилу академика Крылова, имеющих одинаковое число
десятичных знаков, выполняют по правилам сложения точных
чисел (результат не округляют).
Примеры:
, 23,6 . 45,503 36,74
45,8 + 6,491 ~ 21,96
69,4 °’005 14,78
51,999
♦ Если же слагаемые, являясь приближенными числами, бу-
дут иметь различное число десятичных знаков, то получен-
ный результат придется округлять. Пусть надо найти сумму
приближенных чисел 31,5 и 6,743. Складываем эти числа как
точные:
. 31,5
+ 6,743
38,243
Так как цифра сотых и цифра тысячных в первом слагаемом
неизвестны, то и цифры сотых и тысячных суммы (38,243) то-
же будут неизвестны. Результат надо сохранить, отбросив со-
тые и тысячные доли, т. е. взять 38,2.
Найдем разность двух приближенных чисел 4,365 и 2,7:
_ 4,365
2,7
1,665
Цифры сотых и тысячных вычитаемого неизвестны, значит,
за точность цифр сотых и тысячных разности поручиться нельзя,
т. е. их надо отбросить, округлив разность с точностью до 0,1.
289
Получим 1,7. Обычно Действия сложения и вычитания запи-
сывают так:
,31,5 _ 4,365 0,356
6,743 2,7 + 3,21
38,243 1,665 1’7
38,2 1,7 5’266
5,3
Из рассмотренных примеров можно сделать вывод:
При сложении и вычитании приближенных чисел в результате
следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в при-
ближенном числе с наименьшим числом десятичных знаков.
♦ Если все приближенные числа — целые, то пользуются этим
же правилом, выразив данные в единицах высших разрядов.
Пример. 4250 + 15 600 = 4,25 тыс. + 15,6 тыс. = 19,85 тыс.»
~ 19,9 тыс.»19 900.
Вопросы для самопроверки
1. Какие знаки называются десятичными?
2. Как складываются приближенные числа?
3. Как вычитаются приближенные' числа?
• УПРАЖНЕНИЯ
929. 1) Сложите два приближенных числа 4,8 м и 3,56 м. Укажи-
те верные цифры в полученной предварительной (до округле-
ния) сумме.
2) Из приближенного числа 14,5 вычтите приближенное
число 8,493. Укажите сомнительные числа в предварительной
(до округления) разности.
930. Найти сумму приближенных чисел:
1) 14,56 + 6,12 + 8,04; 4) 5,72 + 4,135 + 3,2 + 7,06;
2) 25,4 + 11,02 + 7,295; 5) 1200 + 426 + 3700;
3) 14 + 27,562 + 3,49; 6) 145,6 + 206 + 4200.
931. Найти разность приближенных чисел:
1) 4,59—2,71; 4) 14,26—6;
2) 15,86—2,3; 5) 5600—3220;
3) 3,7—2,657; 6) 430—12,7.
932. Вычислить результаты действий над приближенными чис-
лами:
1) 4,29—(10,5—9,24); 3) 4300—(6500—5990);
2) 56,4—(32,5—6,79); 4) 213,6—(47,25—20).
933. За последние годы введены в действие гидроэлектростанции:
Братская мощностью 3600 тыс. киловатт;
Красноярская » 4200 тыс. киловатт;
290
Кременчугская мощностью 625 тыс. киловатт;
Воткинская » 1000 тыс. киловатт.
Найти общую мощность этих станций.
934. Колхоз хранил картофель в бункерах: в первом — 370 т, во
втором — 500 г и в третьем — 475 т. Сколько картофеля в трех
бункерах?
935. Надо проложить трубопровод длиной 24,6 км. Проложили
10 км 620 м. Сколько километров осталось проложить?
936. Вес груза: брутто — 2, 46 т, а нетто — 2,38 т. Найти вес тары.
§ 58. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ
О значащих цифрах. При умножении и делении приближен-
ных чисел пользуются понятием значащих цифр. Познакомим-
ся с этим понятием.
♦ Значащими цифрами числа называются все его верные циф-
ры, кроме нулей, стоящих левее первой, отличной от нуля
цифры и нулей целого числа, стоящих справа, если эти нули
написаны вместо неизвестных цифр.
Примеры. Число 2,7 имеет две значащие цифры;
число 4,05 * три »
число 0,351 » » »
число 924,6 » четыре »
число 0,00013 » две » » >
число 14600 » три »
число 10,500 пять » » ;
Чтобы установить правило для умножения и деления при-
ближенных чисел, рассмотрим две задачи.
Первая задача. Вычислить вес ртути, если ее объем
равен 42 куб. см, а 1 куб. см ртути весит 13,6 г.
Искомым результатом будет произведение 13,6-42, где оба
сомножителя — приближенные числа и первый сомножитель
имеет три значащие цифры, а второй — две.
Произведение 13,6 на 42 равно 571,2, если бы эти числа бы-
ли точными числами.
Так как 42 куб. см — приближенное число, взятое с точно-
стью до 1, то оно могло быть: 42,1; 42,2; 42,3; 42,4 и 41,9;
41,8; 41,7; 41,6; 41,5. Пусть оно было 42,3. Посмотрим, чему
будет равно произведение 13,6- 42,3. Это произведение равно
575,28. Сравним оба произведения: 571,2 и 575,28. Эти произ-
ведения выражают одно и то же количество ртути, и, следова-
тельно, в окончательном результате мы должны сохранить
только те цифры слева, которые одинаковы. Эти цифры 5 и 7,
а потому они будут верными и только их надо оставить в про-
изведении. Результат получим равным 570 г. Нуль в данном
случае не является значащей цифрой.
291
Если бы мы взяли вторым множителем другие возможные
его значения, например 41,8 или 41,6, то произведения 13,6 • 41,8
и 13,6-41,6 имели бы в сравнении с произведениями 13,6-42 и
13,6 -42,3 те же верные цифры 5 и 7. Проверьте. Оказывается,
что при умножении приближенных чисел, из которых одно
имело три значащие цифры, а другое — две, в произведении
надо оставить только две значащие цифры, т. е. столько, сколь-
ко их имеет сомножитель с наименьшим числом значащих
цифр.
Если бы умножали два приближенных числа, из которых
одно имело бы пять значащих цифр, а второе — три значащие
цифры, то в произведении получили бы только три верные циф-
ры, т. е. сколько их имеет сомножитель с наименьшим числом
значащих цифр.
Вторая задача. Катер на воздушней подушке проходит
расстояние 1000 м за 49 сек. Вычислить скорость катера в 1 сек.
Так как время взято с точностью до 1, то возможно, что катер
прошел 1000 м (это тоже приближенное число) за: 48,5; 48,6;
48,7; 48,8; 48,9; 49,1; 49,2; 49,3 и 49,4 сек. Вычислим ско-
рость движения для времени 49 сек., 49,2 сек. и 48,7 сек. и
выясним общие верные цифры в этих частных:
1000 : 49 —20,41 (м в сек.);
1000 : 48,7 — 20,53 (м в сек.);
1000 : 49,2 — 20,33 (лг в сек.).
Эти частные выражают в метрах скорость одного и того же
катера за одно и то же время, а поэтому надо в частном сохра-
нить те цифры слева, которые одинаковы или, точнее, верны.
Одинаковыми цифрами являются 2 и 0, а поэтому следует счи-
тать, что скорость катера равна 20 л в сек., а значит, 1000 : 49 —
— 20 (л в сек.).
Замечаем, что в результате нам пришлось оставить две зна-
чащие цифры, т. е. столько, сколько их имел компонент деле-
ния (в данном случае делитель) с наименьшим количеством
значащих цифр. Следовательно, правило сохранения значащих
цифр одинаково для умножения и деления приближенных чи-
сел. Это правило надо запомнить:
При умножении и делении приближенных чисел в результате сле-
дует сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет компо-
нент действия с наименьшим числом значащих цифр.
♦ Если одно из чисел является точным числом, а другое —
приближенным, то в результате сохраняют столько значащих
цифр, сколько их содержит приближенное число. Например,
если в произведении 6,789-53 = 359,817 множитель (53) число
точное, а множимое (6,789) — число приближенное, то в отве-
те надо сохранить четыре значащие цифры, т. е. результат бу-
дет 359,8.
292
Вопросы для самопроверки
1. Какие цифры числа называются значащими? Привести примеры
чисел, имеющих одну, две, три, четыре и пять значащих цифр.
2. Как умножаются приближенные числа?
3. Сколько значащих цифр сохраняется в результате умножения или
деления?
4. Как умножается приближенное число на точное?
• УПРАЖНЕНИЯ
937. Сколько значащих цифр содержат числа: 24 000; 250 000;
1 000 000, если каждое из них дано с точностью: а) до 10; б) до
1000; в) до 1.
938. Вычислить произведение двух сомножителей, из которых
первый — точное число:
1) 220-1,2; 2) 46-0,102; 3) 39-1,071.
939. Вычислить произведение приближенных чисел:
1) 4,5-3,62; 2) 1,25-0,44; 3) 1,70-0,1001.
940. Лист кровельного железа весит 4,52 кг. Сколько весят 25 та-
ких листов?
941. Железнодорожный мост имеет 6 одинаковых пролетов. Дли-
на каждого пролета — 84,6 м. Найти длину железнодорожного
моста.
942. Вычислить площадь параллелограмма, если его высота —.
8,5 см, а основание в 2 раза больше высоты.
943. Найти площадь треугольника, если его основание — 34,6 см,
а высота — 1,2 см.
944. Вычислить частное от деления приближенных чисел:
1) 1,44 : 1,2;
2) 1001 : 9,1:
3) 5,6 : 1,25;
4) 12,7 : 12,0;
5) 0,592 : 1,001;
6) 44,6 : 2,5.
945. Сколько медных болванок можно погрузить на пятитонную
машину, если вес каждой болванки — 38 кг?
946. Вес угля, привезенного 25-вагонным железнодорожным со-
ставом, равен 1180 г. Сколько тонн угля вмещал в среднем один
вагон?
947. Сколько можно сшить детских костюмов из 64,2 м ткани, ес-
ли на один костюм расходуется 2,8 л?
948. Пассажир заметил, что 1 км пути поезд прошел за 62 сек.
Найти скорость поезда в 1 час.
949. Произвести указанные действия с приближенными числами:
1) 2,6-1,01 + 4,0-2,05—0,25-1,2;
2) (14,5 + 7,42)-1,1—3,6 : 12.
293
Контрольная работа по § 56—58
2 4
1. Вычислите точное значение суммы — и ~ и приближенное ее
значение с точностью до 0,001. Определите абсолютную погрешность
приближенного значения.
2. Моток электрического провода был разрезан на три части длиной
4, 24 м, 2,496 м и 0,92 м. Какой длины был провод?
3. Длина комнаты — 5,8 м и ширина — 4,3 м. Вычислить площадь
комнаты.
4. Медная болванка весит 32,4 кг. Найти ее объем, если 1 куб. дм
меди весит 8,9 кг.
5. Произвести указанные действия с приближенными числами:
(3,06:7,5 + 3,4 • 0,38) • 20—2,38.
Б. Решение геометрических задач
§ 59. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА И УГЛА НА РАВНЫЕ ЧАСТИ.
ПОСТРОЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА ПО ДАННЫМ
СТОРОНАМ И УГЛУ МЕЖДУ НИМИ
При решении задач, связанных с измерением, вы уже при-
обрели навыки измерения отрезков при помощи масштабной
линейки, измерения и построения углов при помощи транспор-
тира. Рекомендуем повторить этот материал (§ 53). Рассмотрим
вопросы деления отрезка и угла на равные части.
Деление отрезка. Допустим, что нам надо разделить отре-
зок АВ на восемь равных частей. Измерив масштабной линей-
кой отрезок, мы нашли, что он равен 5,2 см. Найдем длину од-
ной части. Она равна — —0,6275 (см), или 6,3 мм. Так как
8
на масштабной линейке нет делений, соответствующих десятым
долям миллиметра, то придется ограничиться значением 6 мм.
Откладываем эти значения на отрезке и тем самым выполня-
ем поставленную перед нами задачу.
♦ Итак, чтобы разделить данный отрезок, мы измеряем его с
точностью, обусловленной масштабной линейкой (т. е. до 1 мм),
затем делим полученное число на требуемое число равных час-
тей, округляем до 1 мм и, откладывая на отрезке, находим
точки деления. Конечно, ввиду наличия погрешности при вы-
числениях последний отрезок может значительно отличаться от
предыдущих отрезков.
♦ Существует другой, более точный способ деления отрезка
на несколько равных частей. Обоснование этого способа будет
вами уяснено в VII классе, а сейчас изложим только способ вы-
полнения. Вернемся к первой задаче: разделить данный отре-
зок АВ на восемь равных частей. Проведем какой-либо луч из
точки А и отложим на нем восемь произвольных, но равных
между собой отрезков (рис. 135). Конец восьмого отрезка (точ-
ку С) соединим с точкой В и через полученные точки деления
на прямой АС проведем прямые, параллельные ВС. Тогда от-
294
резок АВ разделится этими прямыми
на восемь отрезков, которые будут
равны между собой.
Деление угла. Допустим, что нам
надо разделить Z.ABC на три равные
части (рис. 136). Измерим Z АВС
транспортиром. Пусть измерение по-
казало, что ААВС = 38°. Найдем одну
38° , „2'
часть: — =12—.
3 3
Так как на транспортире нет деле-
ний на минуты и на глаз можно отме-
1°
тить только — , то округляем резуль-
2
тат с точностью до 1°. Затем строим
точки деления: проводим дугу угла
АВС и откладываем на ней с по-
мощью транспортира найденные зна-
чения частей.
Построение параллелограмма. Рас-
смотрим решение задачи на построе-
ние. «Построить параллелограмм, если
его стороны — 4,2 см и 6 см, а угол
между ними — 62°».Для выполнения
этой задачи необходимо иметь мас-
штабную линейку и транспортир.
Построение. Построение выпол-
няется по следующей схеме (рис. 137):
1. С помощью масштабной линей-
ки построим отрезок АВ, равный 6 с'Зн
(рис. а).
2. С помошью транспортира при
точке А строим угол, равный 62°
(ZBAC) (рис. б).
3. Отложим на второй стороне угла
отрезок АС —4,2 см (рис. в).
4. Через точку С проводим пря-
мую, параллельную АВ, а через точ-
ку В — прямую, параллельную АС.
Получим параллелограмм. Этот па-
раллелограмм искомый, так как он
содержит данные в задаче измерения
(рис. г).
Вопросы для самопроверки
1. При помощи каких инструментов вы-
полняется деление отрезка и угла на равные
части?
А В
С
Рис. 135.
295
2. Как делить отрезок на равные части? Рассказать о двух спосо-
бах.
3. Как делить угол на равные части?
4. Какие инструменты нужны для построения параллелограмма?
• УПРАЖНЕНИЯ
950. 1) Постройте произвольный отрезок и разделите его двумя
способами на пять равных между собой частей. Сравните
результаты, полученные от применения разных способов.
2) Постройте отрезок длиной 4,6 см и разделите его на семь
равных частей.
951. 1) Начертите произвольный острый угол и разделите его на
пять равных частей.
2) Начертите произвольный тупой угол и разделите его на три
равные части.
952. 1) Разделите прямой угол на четыре равные части. 2) Начер-
тите угол в 66° и разделите его на пять равных частей.
953. Постройте параллелограмм, если его стороны равны 8 см и
10 см, а угол между ними равен 50°. Вычислите периметр и
площадь этого параллелограмма.
Указание. Для нахождения площади параллелограмма определите
с помощью линейки его высоту.
954. Построить параллелограмм, если его стороны равны 4,6 см и
5,2 см, а угол между ними равен 110°. Вычислить периметр и
площадь этого параллелограмма.
955. Построить два параллелограмма, имеющих равные основа-
ния — 6,4 см, равные другие стороны — 5,8 см, но разные углы
между этими сторонами. У одного параллелограмма угол ра-
вен 64°, а у другого — 36°. Сравните площади этих параллело-
граммов.
956. Как с помощью построения параллелограмма построить тре-
угольник с основанием, равным 5 см, и высотой 2,6 см? По-
стройте этот треугольник.
§ 60. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДИ КРУГА,
ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЕМА ЦИЛИНДРА
♦ Вычисление длины окружности. Часть плоскости, находя-
щаяся внутри окружности, называется кругом. Запомните, что
окружность — линия, а круг — часть плоскости. Выведем пра-
вило для нахождения длины окружности.
Измерьте при помощи сантиметровой ленты длины окруж-
ностей дна ведра, стакана и других предметов, имеющих круг-
лую форму, а затем определите поперечник (диаметр) этих
предметов.
296
Заполните следующую таблицу:
Название предмета Длина окружности Длина диаметра Во сколько раз дли- на окружности боль- ше своего диаметра
Ведро Стакан Блюдце и т. д.
Сравнивая результаты — отношения длины окружности
к своему диаметру, вы получите примерно одну и ту же
величину, выраженную числом, приближенно равным 3,14, т. е.
получите, что длина окружности всегда больше своего диамет-
ра приблизительно в 3,14 раза. Это число обозначают грече-
ской буквой л (пи).
Длина окружности приближенно равна длине диаметра, ум-
ноженной на 3,14.
♦ При помощи букв это правило записывается так: С = лИ,
где буквой С обозначают длину окружности, D — диаметр ок-
ружности и л —3,14.
Приведем примеры решения задач на нахождение длины
окружности и диаметра.
Задача. Нужно огородить забором круглый пруд, диаметр
которого —75 м. Сколько столбов потребуется для этого, если
расстояние между ними делать в 0,9 м?
Решение. 1) Найдем длину окружности.
Мы знаем, что С (длина окружности) = лО; С = 3,14 -75 =
= 235,5 (м).
2) Найдем число столбов: 235,5 : 0,9 = 2355 : 9 — 262.
Задача. Окружность ствола дерева—1,255 м. Определить
его толщину (диаметр).
Решение. Мы знаем, что C = nD. Следовательно,
D = C : л или D= =0,3997 (лг)~40 (см).
Замечание. В целях сосредоточения вашего внимания к усвоению
геометрических понятий условимся считать данные геометрических задач
точными числами.
• УПРАЖНЕНИЯ
957. Вычислить длину окружности, если диаметр ее равен:
2 м; 1,2 м; 35 см; 42 мм; 3,4 см.
958. Вычислить длину окружности, если радиус ее равен:
2,5 м; 32 см; 0,8 лг; 55 мм; 4,6 см.
959. Чему равен диаметр окружности, длина которой равна:
314 м; 6,28 м; 3,14 см; 9,42 м; 18,84 см?
960. Чему равен радиус окружности, длина которой равна:
12,56 м; 31,4 см; 94,2 м; 3,14 см; 1,57 см?
297
961. 1) Диаметр махового колеса равен 2 м. Чему равна длина ок-
ружности этого колеса?
2) Диаметр точильного камня равен 25 см. Чему равна длина
окружности камня?
962. Земля совершает путь вокруг Солнца приблизительно по ок-
ружности, радиус которой равен 150 млн. км. Вычислить путь,
который совершает Земля вокруг Солнца за год. Какой путь
совершает Земля за сутки?
963. Даны две окружности; диаметр одной равен 8,5 дм, а радиус
другой равен 4,35 дм. Какая из этих окружностей больше?
964. Определить скорость резания, если диаметр обрабатываемой
поверхности детали равен 50 мм, а деталь делает 300 оборотов
в минуту.
Примечание.
Скоростью резания называется длина пути, которую проходит в 1 мин.
точка обрабатываемой детали.
965. Валик диаметром 100 мм обтачивается при 304 оборотах в
минуту. Найти скорость резания.
Вычисление площади круга. Чтобы найти площадь круга,
представим себе, что мы разрезали круг на две равные части
(разрез надо сделать по диаметру круга), а затем каждую часть
(полукруг) разрезали еще на восемь равных частей (секторов).
Сложим полученные части, как указано на рисунке 138. Если
бы мы разделили полукруг на 16, 32 и т. д. частей и сложили
полукруги, как указано, то получили бы фигуру, близкую к
прямоугольнику.
Примем полученную фигуру за прямоугольник. В этом пря-
моугольнике основание равно половине длины окружности, а
высота равна радиусу круга. Так как пло-
щадь полученного прямоугольника равна
//\ площади круга (прямоугольник получен из
круга), то для нахождения его площади по-
V/7лучим следующее правило:
Площадь круга равна произведению поло-
вины длины окружности на радиус круга.
ТПГ"А"?Г7Г7Г"А*7 Так как половина длины окружности рав-
IV V V V V V V на п то площадь круга
/wvww\
№№Ш
Рис. 138.
S = л • R • R = лй 2.
Замечание. Желательно, чтобы вы сами еще раз вы-
вели формулу площади круга, взяв обыкновенную бу-
магу и поступая с ней так, как указано выше.
Приведем образец решения задачи на на-
хождение площади круга.
Задача. Медная проволока разрывается
при нагрузке в 53 кг на каждый квадратный
миллиметр поперечного сечения. При какой
298
нагрузке разорвется медная проволока тол-
щиной в 3,5 мм?
Решение. 1) Найдем площадь поперечного
сечения.
Так как диаметр проволоки равен 3,5 мм, то
радиус будет равен 1,75 мм.
S (площадь круга) = л2?2 = 3,14 1,75 • 1,75 —
— 9,6 (кв. мм).
2) Найдем, при какой нагрузке произойдет
разрыв проволоки: 53 • 9,6 = 508,8 — 510 (кг).
• УПРАЖНЕНИЯ
966. Определить площадь круга, если радиус его
равен: 10 см; 4,5 см; см.
967. Определить площадь круга, если диаметр его
равен: 30 см; 12,1 см; 4 £ см.
968. Диаметр сечения дерева — 40 см. Вычислить
площадь поперечного сечения дерева.
969. Лошадь привязана к колу веревкой, длина
которой равна 10,5 м. Найти площадь участка,
2,2
Рис. 139.
на котором она может пастись.
970. По данным размерам на рисунке 139 определите площадь
заштрихованных частей каждой фигуры.
971. На металлическом диске диаметром 1300 мм просверлили
50 отверстий диаметром по 30 мм каждое. Какую часть всей
площади составляет площадь отверстий?
972. Короткоструйная дождевальная установка подает воду и
разбрызгивает ее по кругу диаметром 10 м. Какую площадь
орошает дождевальная установка?
973. Вычислить площадь круга, если длина окружности его равна
12,56 см.
974. Из листа квадратной формы со стороной 0,6 м надо выре-
зать круг наибольших размеров. Чему равна площадь этого
круга?
Вычисление площади поверхности цилиндра и его объема.
О таких предметах, как круглый карандаш, банка, прямая
труба и т. п., говорят, что они имеют форму цилиндра.
Иногда возникает вопрос о нахождении площади поверхно-
сти цилиндра. Цилиндр ограничен кривой поверхностью и дву-
мя одинаковыми кругами, называемыми основаниями цилинд-
ра. Если находят только площадь кривой поверхности, то на-
зывают это нахождением площади боковой поверхности ци-
линдра.
Выведем правило. Возьмите лист бумаги (можно из тетра-
ди), имеющий форму прямоугольника, и сверните его в фор-
ме цилиндра. Площадь листа бумаги мы можем найти, а эта
площадь и равна площади боковой поверхности цилиндра.
299
основание
высота
Представим себе, что поверхность тела,
имеющего форму цилиндра, разрезали и раз-
вернули, как показано на рисунке 140. Полу-
ченная развертка цилиндра состоит из пря-
моугольника (боковая поверхность цилиндра)
и двух одинаковых кругов.
Площадь прямоугольника равна произве-
дению основания на высоту. Основанием в
данном прямоугольнике является длина
окружности основания цилиндра, а высотой
прямоугольника — высота цилиндра.
Следовательно, площадь боковой поверх-
ности цилиндра равна произведению длины
окружности основания на высоту цилиндра.
Задача. Сколько квадратных метров
листового железа пойдет на изготовление
цилиндрической трубы, длина которой — 5 м,
а диаметр равен 1 .м?
Решение. 1) Найдем длину окружности
основания:
С = 3,14 • 1 = 3,14 (м).
2) Найдем площадь боковой поверхности ци-
линдрической трубы:
S6oK = 3,14-5 = 15,7 (кв. м).
Задача. Найти объем бака, имеющего цилиндрическую
форму, если площадь основания его равна 2 кв. м, а высота —
4 м.
Решение. Чтобы найти объем бака, представим, что мы
разделили его (рис. 141) на цилиндры с данным основанием и
высотой 1 м. Таких цилиндров будет четыре, а объем каждого
цилиндра будет равен 2-1 = 2 (куб. м). Следовательно, объем
бака равен 2 куб. м • 4 = 8 куб. м.
Правило нахождения объема цилиндра: объем цилиндра
равен произведению площади основания цилиндра на его вы-
соту.
Правило нахождения объема цилиндра можно пояснить та-
ким приемом. Разделим цилиндр на 8 равных частей (рис. 141)
и сложим их так, как показано на чертеже. Получим тело, ко-
торое своей формой имеет сходство с параллелепипедом. Если
бы мы разделили цилиндр на 16, 32, 64 и т. д. равных частей
и затем складывали бы их, как показано на чертеже, то полу-
чили бы тело, близкое к параллелепипеду. Примем получен-
ное тело за прямоугольный параллелепипед. Мы знаем, что
объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению
трех его измерений (длины, ширины и высоты). Длина парал-
лелепипеда равна половине длины окружности основания ци-
300
линдра, ширина равна высоте цилиндра, а
высота параллелепипеда равна радиусу
основания цилиндра. Если обозначить ра-
диус основания цилиндра через R, а высо-
ту цилиндра через Н, то объем полученно-
го параллелепипеда, а следовательно, и
объем цилиндра
V=nR-R-H = nR2H,
т. е. объем цилиндра равен произведению
площади основания цилиндра (лй2) на его
высоту (Н).
Приведем образец решения задачи на
нахождение объема цилиндра.
Задача. Найти объем цилиндра, если
радиус основания равен 0,5 м, а высота
цилиндра — 5 м.
Примечание. 0,5 и 5 — числа точные.
Решение. 1) Найдем площадь основа-
ния цилиндра:
С = 3,14-0,5 2 = 0,785 (кв. м).
2) Найдем объем цилиндра:
V = 0,785- 5 = 3,925 ~ 3,93 (куб. м).
• УПРАЖНЕНИЯ
975. Вычислить боковую поверхность и пол-
ную поверхность цилиндра, у которого:
а) 7? = 5 см и 77 = 20 см;
б) 0 = 5 см и 77=6,2 см.
976. Сколько листового железа (по площади)
потребуется для изготовления трубы дли-
ной 2,5 м, диаметр которой — 4 ом, если
на спайку ушло 5 кв. дм железа?
977. Цилиндрический, сверху открытый же-
лезный резервуар диаметром 3,6 м и вы-
сотой 5,6 м должен быть окрашен внутри.
Сколько квадратных метров площади при-
дется окрасить?
978. Сколько листов железа размером
142 см Х71 см нужно для изготовления
100 ведер с диаметром дна 30 см и высотой
40 см, если на изгибы и отходы нужно до-
бавить — часть всей площади?
Рис. 141.
801
979. Нужно покрасить 200
столбов. Высота каждого
столба — 5 м, а средний
диаметр — 22 см. Сколько
потребуется олифы на ок-
раску столбов, если на ок-
раску 1 кв. м идет 0,2 кг
олифы?
980. Вычислить объем цилин-
дра, у которого:
a) R = 2 см; 77=10 см;
б) 0 = 4,4 см; Н = 8 см.
981. Сколько воды вмещает
цилиндрический сосуд, высота которого — 0,5 м, а внутренний
диаметр — 0,2 м!
982. Вычислить объем бадьи, имеющей форму цилиндра, если
диаметр дна равен 3 дм, а высота — 0,5 м.
983. Определить вес нефти в цилиндрическом баке, диаметр ко-
торого — 11 м. Нефть налита до высоты 4 м. Вес 1 куб. м неф-
ти —0,76 т.
984. Определить вес керосина в бочке цилиндрической формы,
если ее высота—1,2 м, а диаметр основания—0,8 м. Вес
1 куб. м керосина — 0,78 т.
985. В цилиндрическом бидоне помещается воды 785 кг. Радиус
основания бидона —0,5 м. Найти высоту бидона. Вес 1 куб. дм
воды —1 кг.
986. В цилиндрический бидон, налитый водой до высоты 40 см,
добавили еще воды так, что высота стала 64 см. Сколько лит-
ров воды добавили, если диаметр основания сосуда — 0,5 м?
987. По размерам тел, данных на рисунке 142, определить вес
стальной детали, если 1 куб. дм стали весит 7,9 кг.
§ 61. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ОБЪЕМОВ ПРАВИЛЬНОЙ
ТРЕУГОЛЬНОЙ ПИРАМИДЫ, ПРАВИЛЬНОЙ
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНОЙ ПИРАМИДЫ, КОНУСА И УСЕЧЕННОГО
КОНУСА
Вычисление поверхности и объема правильной пирамиды.
На рисунке 143 изображены тела, называемые пирамидами.
Пирамида ограничена многоугольником, который называется
основанием пирамиды, и несколькими треугольниками (они
называются боковыми гранями пирамиды), имеющими общую
вершину и по одной общей стороне с многоугольником основа-
ния. Общая вершина треугольников называется вершиной пира-
миды. Пирамиды носят названия по своим основаниям. Так,
на рисунке 143, а изображена треугольная пирамида, на ри-
сунке 143, б — четырехугольная, а на рисунке 143, в — шести-
угольная пирамида. Отрезки SA, SB, SC, ... называются боко-
302
выми ребрами, а перпендикуляр SO,
опущенный из вершины на плоскость
ее основания, называется высотой пира-
миды.
Треугольная пирамида называется
правильной, если ее основание — равно-
сторонний треугольник, а высота пира-
миды проходит через точку пересечения
биссектрис треугольника, лежащего в.
основании (рис. 144, а).
Четырехугольная пирамида называ-
ется правильной, если ее основание —
квадрат, а высота пирамиды проходит
через точку пересечения диагоналей
квадрата (рис. 144, б).
В правильной пирамиде все боковые
ребра равны. Высота (рис. 144) любого
из треугольников SAB, SBC и т. д. на-
зывается апофемой правильной пира-
миды.
Сумма площадей треугольников,
ограничивающих пирамиду с боков, на-
зывается площадью боковой поверх-
ности пирамиды, а сумма площадей бо-
ковой поверхности и основания пирами-
ды называется площадью полной по-
верхности пирамиды.
Поверхность правильной треугольной
пирамиды состоит из четырех треуголь-
ников, причем три из них—боковые гра-
ни — имеют равные площади. Чтобы вы-
числить площадь всей поверхности пи-
рамиды, достаточно вычислить площадь
одной боковой грани (площадь треуголь-
ника), умножить это число на три, вычислить площадь основа-
ния и сложить два полученных числа.
Если обозначить площадь боковой грани через Srp, пло-
щадь основания — SOC1„ то площадь боковой поверхности бу-
дет равна S6oK = 3Srp, а площадь полной поверхности 5п0лИ =
= S осн +3Srp.
Рассмотрите решение следующей задачи на нахождение
площади поверхности пирамиды.
Задача. Найти площадь полной поверхности правильной
четырехугольной пирамиды, если сторона основания пирами-
ды — 10 см, а апофема пирамиды — 12 см (рис. 144, б).
Решение. Площадь полной поверхности правильной пира-
миды представляет сумму площадей четырех треугольников и
квадрата. Площадь одного треугольника равна полупроизве-
дению ВС на SK, т. е. ——— =60 (кв. см), площадь квадра-
2 ж
та — произведению основания на высоту, т. е. произведению
двух его сторон: 10'10 = 100 (кв. см). Следовательно, искомый
ответ будет:
60 кв. см- 4 + 100 кв. сл = 340 кв. см.
Объем пирамиды находится по формуле: V = , где Q —
3
площадь основания, Н — высота пирамиды.
Задача. Вычислить объем правильной четырехугольной
пирамиды, у которой сторона основания равна 6 см, а высо-
та — 5 см.
Решение. Чтобы найти объем пирамиды, надо предвари-
тельно найти площадь основания. В основании пирамиды ле-
жит квадрат со стороной 6 см. Его площадь равна 6 • 6 =
= 36 (кв. см). Объем пирамиды равен:
v = = 60 (СЛ13)>
• УПРАЖНЕНИЯ
988. По размерам правильных пирамид, данных на рисунке 145,
найти их боковую поверхность.
989. Вычислить боковую поверхность правильной треугольной пи-
рамиды, если ребро основания пирамиды — 6,4 см, а высота
боковой грани — 2,2 см.
990. Вычислить полную поверхность правильной четырехуголь-
ной пирамиды, если ребро основания — 12,6 см, а высота боко-
вой грани — 4,8 см.
991. Вычислить объем правильной четырехугольной пирамиды,
если в основании ее лежит квадрат со стороной 1,8 см и высо-
той 2 см.
992. Основанием большой пирамиды Хеопса в Египте служит
квадрат со стороной 230 м; высота пирамиды 145 м. Считая,
что 1 куб. дм камня весит 2,5 кг, вычислить вес камня, потра-
ченного на сооружение этой пирамиды.
993. Найти объем палатки по ее размерам, указанным на рисун-
ке 146.
994. Пусть объем палатки, изображенной на рисунке 146, будет
равен 28 куб. м, причем известно, что высота пирамиды равна
высоте параллелепипеда. Чему равен объем пирамиды и чему
равен объем параллелепипеда?
995. Чему равен объем бункера, имеющего формы и размеры,
данные на рисунке 147? (Размеры даны в см.)
Указание. Объем бункера надо рассматривать как разность объ-
емов двух правильных пирамид.
Вычисление поверхностей и объемов конуса и усеченного
конуса. Верхняя часть цистерны и куча песку, изображенные
на рисунке 148, имеют форму конуса.
Конус можно получить путем вращения прямоугольного
треугольника вокруг одного из катетов (рис. 149).
304
Рис. 146.
Рис. 147.
Отрезок SA называется образующей, отрезок SO — высотой
конуса, а радиус ОА — радиусом конуса. Кривая поверхность,
которая ограничивает конус с боков, называется боковой по-
верхностью конуса. В конусе все образующие равны между
собой.
Площадь боковой поверхности конуса находится по формуле
S бок = nRl, где л = 3,14, R— радиус основания и I — длина
образующей.
Пример. Найти площадь боковой поверхности конуса,
имеющего образующую 20 см и радиус основания 10 см.
Решение. Имеем S бОк = Подставим вместо букв их
значения:
S6oK — 3,14-10-20 = 628 (кв. см).
О н
Объем конуса находится по формуле V = — , где Q — пло-
щадь основания (площадь круга), а Н — высота конуса. Так
как площадь основания есть площадь круга, то эта формула
обычно записывается так:
У= 1 nR2H.
3
305
Рис, 150.
1,'6
4,8м
Рис. 152,
Усеченный конус. Предметы, изображен-
ные на рисунке 150 (абажур, ведро), имеют
форму усеченного конуса.
Усеченный конус ограничен двумя круга-
ми, называемыми основаниями, и кривой по-
верхностью, называемой боковой поверхно-
стью. Радиусы оснований (7? и г) называются
радиусами усеченного конуса, расстояние
между основаниями (OOi) — высотой усечен-
ного конуса, а отрезок АВ называется обра-
зующей усеченного конуса (рис. 151).
♦ Площадь боковой поверхности усечен-
ного конуса вычисляется по формуле
о6ок = л(л + r)Z, а его объем— V—-----------.
з
Приведем решение задачи на нахождение
площади боковой поверхности и объема усе-
ченного конуса.
Задача. Сколько квадратных децимет-
ров железа нужно на изготовление бадьи,
имеющей форму усеченного конуса, радиус
нижней окружности (дна) которой равен 2 дм,
радиус верхней окружности — 3 дм, а обра-
зующая — 4 дм, высота — 3,9 дм, если на
спайку уйдет 1,5 кв. дм железа? Сколько лит-
ров воды вмещает эта бадья ? (Вычислить с
точностью до 0,1.)
Решение. 1) Найдем боковую поверх-
ность бадьи по формуле S 6ок =n(7? + r)Z;
вбок =3,14-(3 + 2) • 4 = 62,8 (кв. дм). Чтобы
узнать, сколько железа пошло на изготовле-
ние бадьи, надо к площади боковой поверх-
ности прибавить площадь дна (площадь
круга) и число, показывающее расход железа
на спайку.
Округа = Т. е. SK„ = 3,14 • 9^е28,3 (кв. дм);
56ад=62,8 + 28,3 + 1,5 = 92,6 (кв. дм).
2) Найдем объем бадьи по формуле
у ___________я/7(/?2-|-г-+/?г)
— 3
V = 3.14-3.9.(9 + 4 + 6| = .
3
^77,6 (л).
Ответ. 92,6 кв. дм; 77,6 л.
996. Вычислить боковую и полную поверхности
конуса, если длина его образующей равна
7 см, а радиус основания — 2 см.
306
997. Вычислить боковую и полную поверхности конуса, если дли-
на его образующей — 6,8 см, а диаметр основания — 5 см.
998. Вычислить боковую поверхность усеченного конуса, если ра-
диусы его оснований равны 6 см и 2 см, а образующая — 4 см.
999. Вычислить боковую поверхность усеченного конуса, если
диаметры его оснований равны 13 см и 7 см, а образующая —
5 см.
1000. Сколько материала пойдет на изготовление 100 абажуров,
имеющих форму усеченного конуса, если диаметры его осно-
ваний — 18 см и 10 см, а образующая — 8 см.
1001. Сколько железа пойдет на изготовление 200 ведер, имеющих
форму усеченного конуса, радиус дна которого —2 дм, радиус
верхней окружности — 3 дм, образующая —4 дм, если на спай-
ку пойдет 2 кв. дм?
1002. Вычйслить объем конуса, если: 1) радиус основания равен
5 см, а высота конуса—4 см; 2) диаметр основания—11 см,
а высота конуса — 5,2 см.
1003. Сколько куб. метров песка насыпано в куче, имеющей фор-
му конуса, радиус основания которого — 4,2 м, а высота —
1,5 м?
1004. Сколько куб. метров земли содержит курган, имеющий фор-
му конуса, если диаметр основания равен 40 м, а высота кону-
са — 10 м?
1005. Вычислить объем усеченного конуса, если: 1) радиусы его
оснований —12 см и 6 см, а высота — 5 см; 2) диаметры его
оснований —2,4 дм и 1,6 дм, а высота —1,2 дм.
1006. По размерам скирды сена, данным на рисунке 152, вычис-
лить ее вес, если 1 куб. м сена весит 64 кг.
1007. Предмет имеет форму, изображенную на рисунке 153 (ци-
линдр и два равных конуса). Высота каждого конуса равна вы-
соте цилиндра. Диаметр цилиндра — 20 см, а высота — 10 см.
Найти объем всего тела.
1008. Вычислить объем силосной башни, имеющей форму и раз-
меры, указанные на рисунке 154.
1009. По размерам бидона, данным на рисунке 155, определить
его объем,
Рис. 153.
Рис. 154,
307
Зачетная работа № 1
Вариант I
1. Приведите примеры приближенных чисел, полученных в резуль-
тате счета.
2. Сформулируйте правило округления.
3. В чем различие между десятичными знаками и значащими циф-
рами приближенного числа?
4. Сформулируйте в виде одного правила правило сложения и вы-
читания приближенных чисел.
5. Укажите с пояснением, какие из данных значений величин яв-
ляются точными, а какие — приближенными.
а) Расстояние между Москвой и Ленинградом по железной до-
роге — 651 км.
б) В заочной школе в начале года учащихся было 656 человек.
6*. Сколько значащих цифр имеет каждое из следующих прибли-
женных чисел, данных с точностью до: 0,01; 4,05; 0,03, 2,40;
400,01; 3,00?
7*. Найти сумму приближенных чисел: 3,73; 2,105; 3,1 и 1,4057 —
двумя приемами: а) сначала складывая слагаемые, не округляя их;
б) предварительно округляя слагаемые с сохранением одной лиш-
ней цифры.
3
8*. Найти разность приближенных чисел: 31,4—18,563; 4 у—1,6.
9*. Найти сумму произведений приближенных чисел:
3,124 • 1,4 + 3,745 • 1,8 + 4,06 -2,4.
10 ♦. Башенные часы, установленные на высотном здании Московско-
го университета, — самые большие часы в мире. Диаметр цифербла-
та этих часов равен 8,74 м, длина минутной стрелки —4,13 м, а ча-
совой стрелки —3,70 м. Вычислить площадь циферблата часов и дли-
ны окружностей, описываемых концами минутной и часовой стрелок.
Вариант И
1 Что называется абсолютной погрешностью числа? Поясните на
примерах.
2. Какие цифры приближенного числа называются верными?
3. Сколько значащих цифр будет в произведении приближенного чис-
ла на точное?
4. Когда округляют промежуточные результаты и для чего?
5. Решить задачи с избытком или с недостатком в зависимости от
условия: а) 14 учащихся должны собрать 1 ц желудей. Сколько дол-
жен собрать каждый? Решение поясните, б) Для отопления дома на
три зимних месяца завезено 50 г угля. Сколько можно израсходовать
угля в месяц, считая ежемесячный расход угля одинаковым?
6*. Найти сумму приближенных чисел: 4,5; 7,292;0,5746 и 1,306—
двумя приемами: а) сначала складывая слагаемые, не округляя их;
б) предварительно округляя слагаемые с сохранением одной лишней
цифры.
3
7*. Найти разность приближенных чисел: 5,403—1,7; 1~—0,26.
8*. Произвести указанные действия над приближенными числами:
2,7:1,35 + 0,40:2,5 + 4,2.1,80.
9*. Деталь имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, реб-
ро основания которой равно 4,8 см, высота 12,5 см. Сколько весит
деталь, если 1куб. см сплава, из которого она сделана, весит 4,5 г?
10*. Из алюминия отлит цилиндр, радиус основания которого равен
5 см, а высота цилиндра равна 2 дм. Сколько из этого количества
алюминия можно отлить конусов с тем же основанием и той же вы-
сотой, что и у цилиндра?
глава vii. ПРОЦЕНТЫ
§ 62. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕНТА ЧИСЛА. НАХОЖДЕНИЕ
ПРОЦЕНТОВ ЧИСЛА
Определение процента числа. Решая практические задачи,
человек пользуется дробями с различными знаменателями.
Многие величины при выполнении операций над ними допус-
кают не любые, а естественные для них дробления.
Например, можно взять — рубля (иначе 3 копенки),
79 1 3 8
рубля, — рубля, но — рубля, у рубля, — рубля взять
неудобно, так как такое деление противоестественно. Все метри-
ческие меры также удобны только в десятичном дроблении, т. е.
удобно брать 0,01 мм, 0,023 г, но неудобно любое дробление,
3 5
например — г, — мм и т. д. Наиболее удобным дроблением
всевозможных величин является выражение числа в сотых до-
лях его. Сотые доли числа получили особое название — про-
центы числа. «В колхозном саду 85 процентов всех деревьев
составляют яблони», это означает, что из каждых 100 деревьев
сада яблонь — 85.
Процентом числа называется сотая доля этого числа.
В записях слово «процент» для сокращения заменяют зна-
ком «%». Вместо записи «26 процентов» пишут: «26%».
Значит, — = 1%; — — 2%; — =7%; — =54% и т. д.
100 100 100 100
Так как 1 = = 100%; 5 = ^- = 500% и т. д.
100 100
Также просто записать десятичную дробь в виде процентов:
0,06 = 6%; 0,19 = 19% ; 0,5 = 0,50 = 50%; 1,4 = 1,40=140% и т. д.
Не только любую десятичную дробь и натуральное число мож-
но запис-ать в виде процентов. Можно записать в виде процен-
тов и любую обыкновенную дробь. Для этого надо обыкновен-
ную дробь обратить в десятичную (точно или приближенно)
дробь, а затем записать в виде процентов. Примеры:
- 0,25 -25%; - = 0,6 = 60%; - = 0,666 ... 0,67 = 67%.
4 5 3
309
Таким образом, любое число можно записать в виде процен-
тов.
Не представляет трудности решение обратного вопроса —
выразить любое число процентов дробью или натуральным чис-
лом. Так как 1% =0,01, то, чтобы выразить число процентов в
виде дроби или натурального числа, надо вместо знака «%»
поставить множитель 0,01. Например: 5 % = 5 • 0,01 = 0,05;
27%=27 -0,01 = 0,27; 120% =120-0,01 = 1,2. Обычно результат
обращения пишут сразу, т. е. 5% =0,05; 120% =1,2.
Полезно запомнить следующую таблицу замены процентов
числами и обратно:
2% = - 50 10% = - 10
4%= — 25 20% = 5
5%=- 20 50% =- 2
• УПРАЖНЕНИЯ
1010. (Устно.) Объяснить на примерах смысл каждой фразы;
а) «Цены на товары снижены на 20% »; б) «Цельное молоко со-
держит 25% сливок»; в) «Коллектив завода выполнил месяч-
ный план на 140%».
1011. Выразить в процентах следующие числа:
I. 1. 9_._7. 13 21 43.
5 ’ 5 ’ 4 ’ 10 ’ 20 ’ 25 ’ 4 ’ 5
1012. Выразить в процентах с точностью до 0,1 % следующие
числа:
_2 3^ j4 3 11 32 £ 2£
3 ’ 7 ’ 9 ’ 8 ’ 40 ’ 75 ’ 3 ’ 15‘
1013. Выразить следующие проценты в виде десятичных дробей:
5% ; 20%;33%; 40%; 75%; 100%; 130%; 350%; 1020%;
0,1%; 0,35%; 5,6%; 37,2%.
1014. Выразить следующие проценты в виде обыкновенных несо-
кратимых дробей: 5%; 10%; 25% ; 8%; 60%; 40,4%; 55,5%;
80,8%; 120%; 240,8%.
1015. Выразить нижеследующие числа в процентах: а) — всех
лесов земного шара находится в нашей стране; б)
£
5
населе-
ния земного шара живет в деревянных домах; в) в человече-
310
з
5
ском теле содержится около
воды; г) руда, содержащая —
железа, считается богатой.
Нахождение процентов данного числа. Рассмотрим реше-
ние следующей задачи: «Сахарный тростник содержит 15%
сахару. Сколько сахара содержится в 120 т тростника?» Эту
задачу можно решить одним из следующих способов.
♦ 1-й способ. Так как 15% = 0,15, то сущность задачи заклю-
чается в том, что требуется найти 0,15 от 120 т. Мы знаем, что
дробь числа находится умножением числа на дробь, т. е.
120 г-0,15 = 18 т. Решение записывается так: 1) 15% =0,15;
2) 120-0,15 = 18 (г).
Чтобы найти несколько процентов числа, надо проценты вы-
разить дробью, а затем найти дробь данного числа.
2-й способ. Так как 120 т тростника соответствуют 100%,
то узнаем сначала 1%, а затем 15%. Для этого 120 делим на
100 и полученное частное умножаем на 18. Обычно это записы-
вают так:
120 • 15
100
=18 (г).
Вторым способом особенно удобно решать задачи на устное
нахождение нескольких процентов числа.
Пример. При перегонке нефти получается 30% керосина.
Сколько керосина можно получить из 250 т нефти?
Решение. 1% от 250 составляет 2,5, а 30% составляет
2,5 -30 = 75. Следовательно, из 250 т нефти получается 75 г ке-
росина.
Рассмотрим решение следующей задачи в общем виде:
«Найти р% от числа а». Обозначим искомое число через х. Что-
бы найти х, надо найти 1 % от а, а для этого число а надо раз-
делить на 100. Затем полученное частное надо умножить
на р. Решение записывается так: х= -—
г 100
Это выражение называется формулой для нахождения про-
центов числа.
Вопросы для самопроверки
1. Что называется процентом числа?
2. Поясните примерами фразу: «Любое число можно записать в виде
процентов».
3. Расскажите (на примере) о каждом из двух способов нахождения
нескольких процентов от данного .числа.
• УПРАЖНЕНИЯ
1016. (Устно.) Найти одну сотую часть каждого из следующих
чисел: 500; 1200; 3000; 150; 60; 58; 7; 2.
311
1017. (Устно.) Найти 2% от 50; 10% от 20;
25% от 120; 30% от 2000; 60% от 30;
15% от 5; 15% от 30.
1018. (Устно.) В Кремле стоят царь-пушка
и царь-колокол, отлитые русскими мас-
терами. Вес колокола — 200 т, а вес
пушки равен 20% веса колокола. Сколь-
ко весит царь-пушка? (Рис. 156, 157.)
1019. Найти:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Рис. 156.
8% от 360;
24% от 60 руб.;
10,5% от 460 кг;
8% от 9,6 л;
12,5% от 180 км;
0,75% от 240 м;
1,25% от 120,8 т;
8) 0,6% от 0,54 млн.;
9) 125% от 4,2 м;
10) 250% от 24,8 кг;
11) 605,5% от 120 т;
12) 2 j % от 18.
1020. 1) Найти 15% от 80 и 80% от 15.
Сравнив полученные результаты, видим,
что они равны. Объясните, почему ре-
зультаты равны.
2) Воспользоваться подмеченным свой-
ством для решения примеров:
а) Найти 60 % ; 40 % ; 24 % от 50.
б) Найти 40%; 56%; 16% от 25.
1021. Сколько получится сухой ромашки
из 40 кг свежей, если она при сушке
теряет 84% своего веса?
1022. Сколько получится муки при размоле 1 т 5 ц пшеницы, ес-
ли вес муки составляет 80% веса пшеницы?
1023. Пионеры собрали 50 кг семян дуба, акации, липы и клена.
Желуди составляли 33% всего сбора, семена акации — 25%,
липы — 15%, а остальные — семена клена. Сколько семян кле-
на было собрано пионерами?
1024. Школьникам было дано задание посадить 2400 кустов. Они
перевыполнили план на 25%. Сколько кустов посадили школь-
ники?
1025. Из молока можно получить около 10% творога. Сколько
творога можно получить из 50 ведер молока? (В ведре — 12,3 кг
молока.)
1026. Антоновские яблоки содержат 10,7% (по весу) сахару.
Сколько сахара содержится в 65 кг яблок (с точностью до
0,1 кг)?
312
Рис. 157.
1027. Мощность моторов автомобилей уменьшается на каждые
1000 м подъема на 12%. Сколько лошадиных сил будет в мощ-
ности автомобиля ГАЗ-51 на высоте 2,5 км, если на уровне мо-
ря мощность этой машины —70 л. с.?
1028. Только что добытый из шахты уголь содержит 2% воды, а
после двухдневного пребывания на воздухе он уже содержит
12% воды. На сколько увеличится вес 2560 т угля, добытого в
шахте?
1029. Для получения хорошего урожая хлопка-сырца требуется
внести на 1 га следующие удобрения: азота—150 кг, фос-
фора — 60 % веса азота и калия — 50 % веса фосфора. Сколько
тонн каждого вида удобрения требуется на 650 га земли?
1030. Одна доярка надоила за 1 год от 15 коров по 5020 кг моло-
ка средней жирности 3,75%, а другая от каждой из 15 коров —
по 4750 кг молока жирностью 4,2%. Чей удой молока дал
больше жирности?
1031. Рабочий за месяц должен обработать 1250 деталей. Он вы-
полнил норму на 108%. За каждую деталь, выпущенную в счет
нормы, он получает 7 коп., а за деталь, выпущенную сверх нор-
мы, расценка повышается на 20%. Определить заработок ра-
бочего за месяц.
1032. Рабочий, уходящий на пенсию по возрасту, непрерывно про-
работал 25 лет, имея среднемесячный заработок 140 руб. Опре-
делить его пенсию, если она исчисляется в количестве 50% за-
работка и еще 10% от пенсии за непрерывный стаж.
1033. При известковании почвы урожай зерновых культур увели-
чился на 30%. На сколько больше будет собрано зерна с поля
в 360 га, если до известкования с этого участка собирали по
15 цс га?
Контрольная работа по § 62
4 7 6
1. Дроби —; —; —; 0,723; 0,054; 1,2 выразить в процентах.
5 о 5
2. Записать в виде дробей следующие проценты: 2,5% ; 7,25% ; 0,6% ;
3 1
105,6%; 420,8%; 8- %; 124- %.
3. Рабочий на сдельной оплате изготовил 32 детали по 40 коп. за
деталь, 20 деталей изготовлено с оценкой «отлично», 8 деталей —
«хорошо», а остальные оценки — «удовлетворительно». За отлично
выполненные детали установлена премия в 15%, а за хорошо вы-
полненные— 8%. Сколько получил рабочий за выполненную ра-
боту?
§ 63. НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА ПО ЕГО ПРОЦЕНТАМ
Рассмотрим решение следующей задачи: «Сливочное моро-
женое содержит 14% сахару. Сколько получили мороженого,
если на его изготовление израсходовано 56 кг сахару?» Эту за-
дачу можно решить одним из следующих двух способов:
11 С. А. Пономарев 313
♦ 1-й способ. Так как 14°/о = О,14 и по условию 0,14 неизвест-
ного числа составляют 56 кг, то, следовательно, нам по дроби
числа надо найти все число. Целое по дроби находится делени-
ем части на дробь, т. е. 56 : 0,14 = 400 (кг). Решение записыва-
ем так:
1) 14% =0,14;
2) 56 : 0,14 = 400 (кг).
♦ 2-й способ. Нам известно, что 56 кг сахару составляют
14% мороженого, а все количество мороженого составляет
100%. Отсюда решение: сначала найдем, сколько мороженого
составляет 1%, а затем найдем все количество мороженого.
Для этого делим 56 кг на 14 (найдем 1%), а затем получен-
1ПП тт 56-100 .
ное частное умножаем на 100. Получим =4-100 =
= 400 (кг).
Вторым способом легко решаются задачи на устное нахож-
дение числа по его процентам.
Пример. Из пшеницы получается 80% муки. Сколько надо
взять пшеницы, чтобы получить 560 кг муки?
Решение. 80% составляют 560 кг, следовательно, 1% со-
ставляет 7 кг, а 100% (вся пшеница) составляют 700 кг.
Рассмотрите решение задачи в общем виде: «Найти число,
если р% его равны а». Искомое число (обозначим его буквой х)
соответствует 100%. Сначала найдем 1%, а затем—100%. Для
этого разделим а на р (найдем 1 %) и полученное частное ум-
fl •1°° .
ножим на 100. Запись решения: х= ~ формула для
нахождения числа по его процентам.
Вопросы для самопроверки
1. Почему говорят, что найти число по данным его процентам, —
это то же самое, что найти число по данной его части.
2. Какими способами можно найти число по данным его процен-
там?
• УПРАЖНЕНИЯ
1034. (Устно.) Найти число, одна сотая которого равна: 5; 12;
26; 4,5; 0,7; 0,04.
1035. (Устно.) 1) Найти число, если 3% его равны 12; 10% его
равны 15; 25% его равны 5; 17% его равны 34; 42% его равны
1 3
84; 50% его равны 2—; 25% его равны —.
1036. (Устно.) После снижения цен на материю на 15 % 1 м ма-
терии стали продавать на 75 коп. дешевле. Сколько стоил 1 м
этой материи до снижения?
1037. Найти числа, если:
1) 7% его равны 4,9; 7) 3,75% его равны 75 г;
2) 15% его равны 7,5; 8) 2,5 % его равны 6,25 м;
314
3)
4)
5)
180%' его равны 36;
20% его равны 10 i-;
2
40% его равны 12— ;
4
6) 4,5% его равны 13,5;
1038. Найти х, если:
1) 45% -х = 225;
2) 12% -х=30;
3) 20% х = 0,14;
9) 5,6% его равны 4,2;
10) 1,5% его равны 2,7;
11) его равны 450;
12) 4-1- % его равны 16— .
2J 5
4) 105% -х = 5,6;
5) 0,4% -х = 52;
6) 22,5% • х = 675.
1039. Фрукты при сушке теряют 82% своего веса. Сколько надо
взять свежих фруктов, чтобы получить 36 кг сушеных?
1040. Мясо теряет при варке 35% своего веса. Сколько нужно
взять сырого мяса, чтобы получить 520 г вареного?
1041. Рабочий получил путевку в санаторий со скидкой в 70%
и уплатил за нее 24 руб. Сколько стоила путевка?
1042. Завод за месяц выпустил 3360 машин, что составило 140%
его месячного плана. Сколько машин завод выпустил сверх
плана?
1043. Продукция, выпущенная заводом, оценивается в 16,4 млн.
руб. ,’ причем завод перевыполнил свой план на 2,5%. Опреде-
лить стоимость продукции по плану.
1044. Вес мыла на 55% больше веса сала, взятого на его приго-
товление. Сколько нужно взять сала для приготовления 310 кг
мыла?
1045. Колхозное звено собрало 3780 ц сена и таким образом вы-
полнило план на 126%, за что получило дополнительную оп-
лату в размере 33 — % сена, собранного сверх плана. Сколько
3
сена получило звено за перевыполнение плана?
1046. Завод снизил потери сахара при переработке свеклы с
0,26% до 0,06% веса переработанной свеклы и за счет этого
выпустил дополнительно 150 т сахару. Сколько тонн свеклы
переработал завод на сахар?
Контрольная работа по § 63
1. Найти число, если:а) 24% его равны 15,6; б) 105% его равны
1
1 кг 260 г; в) 1—% его равны 55.
4
2. Завод выполнил месячный план по выпуску легковых автомоби-
лей на 123% и выпустил 6888 машин. Сколько легковых автомоби-
лей завод должен был выпустить за месяц?
3. Рыболовецкий колхоз выполнил 145% годового плана и выловил
сверх задания 1350 ц рыбы. Сколько рыбы выловил колхоз?
4. За 14 рабочих дней шофер перевез 142,1 т зерна, перевыполнив
план на 75%. Сколько зерна перевозил шофер в среднем за день
сверх плана?
11*
315
§ 64. НАХОЖДЕНИЕ ПРОЦЕНТНОГО ОТНОШЕНИЯ ЧИСЕЛ
Рассмотрим решение следующей задачи: «На стрелковых
соревнованиях учащиеся первой школы из 90 выстрелов по-
разили мишень 82 раза, а учащиеся второй школы из 80 вы-
стрелов поразили 73 раза. Учащиеся какой школы победили
в соревновании? »
Мерой сравнения результатов соревнования двух школ мо-
жет быть отношение числа попаданий к числу сделанных вы-
стрелов учащимися каждой школы.
82
Показатель учащихся первой школы будет , второй —
73
— . Какой показатель будет больше? Чтобы сравнить дроби
с разными знаменателями, надо привести их к общему знаме-
нателю, и будет еще нагляднее результат сравнения, если мы
каждое отношение выразим в процентах, а для этого надо
каждую дробь выразить в виде десятичной дроби с одинаковой
степенью точности:
=0,911... — 91,1 % и — =0,912...— 91,2%. Ясно, что учащие-
ся второй школы победили в соревновании.
Отношение двух чисел, выраженное в процентах, называется
процентным отношением этих чисел.
Каждое отношение рассмотренной выше задачи мы могли
бы другим способом выразить в процентах. Например, выра-
82 ,,
зим — в процентах. Умножим и разделим это отношение на
100. Получим ------- . Выделим множитель — и заменим
J 90-100 100
82-100 82 100 1 82-100 , п,
его значком %, т. е. ------ = ------- • — = -------- -17о, или
90-100 90 100 90
Конечно, первый способ выражения отношения в процентах
проще, поэтому его и надо применять.
Если надо решить задачу в общем виде, например: «Найти
процентное отношение а к &», то для решения (согласно второ-
му способу нахождения процентного отношения) надо отноше-
ние — умножить и разделить на 100, выделить — и запи-
Ь 100
а а 100 а 100 1 а Ю0
сать это в процентах, т. е. --------------- — = --------%.
b Ь 100 ъ 100 Ь
Выражение --------- % представляет формулу для нахож-
ь
дения процентного отношения числа а к числу Ь.
310
Вопросы для самопроверки
1. Что называется отношением двух чисел?
2. Как найти процентное отношение двух чисел первым способом?
Вторым способом?
• УПРАЖНЕНИЯ
1047. Выразить в процентах дроби:
0,72; 0,56; 0,4; 0,579; —
2 5 410 3 7
Указание. 2 =0,75 = 75%; - = 0,666... «66,7%.
4 3
1048. Найти процентное отношение чисел:
2 к 5; 3 к 5; 3 к 12; 15 к 60; 1,2 к 4,8; 0,25 к 0,1; 2 к2; 2 к 0 9.
4 8 10
1049. Найти процентное отношение чисел с точностью до 0,1%:
4 к 7; 54 к 95; 206 к 117; 11,4 к 27; 565,1 к 780; 4,496 к 2,501.
1050. В VIA из 40 учеников учатся на «отлично» 8 человек, а
в VIБ из 37 учеников отличников 7 человек. В каком классе
выше процент отличников?
1051. За контрольную работу по арифметике из 40 учеников оцен-
ку «5» получили 8 учеников, оценку «4» —6 учеников, оцен-
ку «3»—20 учеников, а остальные — оценку «2». Выразить
результаты в процентах.
1052. Определить чистоту семян в процентах, если в 200 г зерна
сора оказалось 8 г.
1053. Из 450 кг руды получили 68,4 кг меди. Какой процент меди
в руде?
1054. Для получения бетона берут 1 т цементу, 2 т песку и 6 т
щебня. Найти процентное содержание составных частей бето-
на. (Вычислить с точностью до 1%.)
1055. Суша занимает 149 млн. кв. км поверхности Земли, а во-
да —361 млн. кв. км. Сколько процентов поверхности Земли за-
нимает суша?
1056. Мировые рыбные запасы составляют 18 млрд, т, а челове-
ком ежегодно отлавливается только 20 млн. г. Сколько процен-
тов рыбы используется ежегодно человеком?
1057. На электронно-счетной машине за год производятся рас-
четы, для выполнения которых коллективу из 10 000 вычис-
лителей потребовалось бы 20 лет. Найти в процентах произво-
дительность машины к производительности одного вычисли-
теля.
1058. В 200 г стирального порошка содержится 110 г жирных
кислот и углекислой соды, причем углекислой соды на 10 г
317
меньше, чем жирных кислот. Найти процентный состав соды и
жирных кислот.
1059. На заводе работает 4260 человек, из них мужчин работает
на 2100 больше, чем женщин. Выразить в процентах состав
мужчин и женщин.
1060. Раньше на обработку одной детали рабочий тратил 8 мин.,
а теперь —5 мин. На сколько процентов рабочий сократил вре-
мя на обработку одной детали и сколько деталей он будет вы-
пускать за 7-часовой рабочий день?
Нонтрольная работа по § 64
2
1. Выразить в процентах: 15 руб. к 25 руб.; 80 кг к 450 кг; у»
0.4 : 2.1.
2. Из 210 кг сосновых пней вырабатывают до 10,5 кг скипидара.
Сколько процентов составляет вес полученного скипидара от веса
пней?
3. Для определения всхожести посеяли 3 сотни семян отдельно одну
от другой. Из первой сотни взошло 92 семени, из второй — 96 и из
третьей — 94. Найти среднюю всхожесть в процентах.
4. Автомобиль «Москвич» летом на 100 км пути потребляет 8,0 л
• бензина, а зимой — 8,8 л. На сколько процентов расход бензина зи-
мой больше, чем летом? На сколько процентов расход бензина летом
меньше расхода зимой?
§ 65.ОТНОСИТЕЛЫЧАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ПРИБЛИЖЕННОГО ЧИСЛА.
СЕКТОРНЫЕ ДИАГРАММЫ
Относительная погрешность. Решим задачу: «В каком слу-
чае измерение произведено более точно: 1) измеряли длину
карандаша с точностью до 1 мм и получили 177 мм или 2) из-
меряли длину поля с точностью до 1 м и получили 885 м*.
Решение. Абсолютная погрешность первого измерения не
превышает 1 мм, а второго—1 м. Первая погрешность значи-
тельно меньше второй, но сделать вывод, что первое измерение
выполнено более точно, чем второе, нельзя, так как измеря-
емые длины были различны. Точность измерения станет ясной,
если мы сравним отношения абсолютных погрешностей при-
, 1 1
ближенных чисел к самим числам, т. е. сравним — и —.
177 885
тт а _ 5 1
Приведя к общему знаменателю эти дроби, получим — и —
885 885
Из этого видно, что более точно измерение проведено во вто-
ром случае.
♦ Отношение абсолютной погрешности приближенного числа
к приближенному числу называется относительной погрешно-
стью приближенного числа. Относительную погрешность часто
выражают в процентах. В разобранной выше задаче в первом
случае измерения относительная погрешность была равна
1:177 = 0,0056 — 0,6% и во втором —1 : 885 = 0,0016-0,2%.
.Чем меньше относительная погрешность приближенного чи-
сла, тем точнее выполнено измерение или вычисление.
• УПРАЖНЕНИЯ
В упражнениях № 1061—1068 относительную погрешность
надо выражать в процентах.
1061. Измерили длину комнаты с точностью до 0,01 м, и она ока-
залась равной 9,25 м. Найти относительную погрешность это-
го измерения.
1062. Измерили длину болта с точностью до 1 мм, и она оказалась
равной 1,72 см. Найти абсолютную и относительную погрешно-
сти этого измерения.
5
1063. 1) Запишите дробь —
в виде десятичной дроби с двумя зна-
чащими цифрами и найдите относительную погрешность при-
ближенного значения этой дроби.
2 5
2) Тот же вопрос для дробей: —; —
з 6
и 1-.
3
ЮбД.Определите длину и ширину вашей комнаты на глаз, а за-
тем измерьте их при помощи рулетки. Найдите относительную
погрешность измерений, сделанных на глаз.
Примечание.
Если у вас нет рулетки (точность ее измерения — 1 см), то произведите
измерение масштабной линейкой (точность ее измерения — 0,1 см).
1065. Определите вес небольшого предмета (например, книги),
взяв его в руки, а затем взвесьте на весах. Сколько граммов со-
ставляет абсолютная погрешность, допущенная вами? Найдите
относительную погрешность.
1066. Длину болта измеряли с точностью до 0,01 см, и она оказа-
лась равной 3,75 см, длину диаметра махового колеса — с точ-
ностью до 0,1 дм, и она оказалась равной 1,2 м. Какое из этих
измерений проведено более точно?
1067. Длина улицы измерена при помощи рулетки и оказалась
равной 456 м, а расстояние от Москвы до Тулы измерили с точ-
ностью до 1 км, и оно оказалось равным180 км. Какое измере-
ние проведено более точно?
1068. Трехкратное измерение одного и того же расстояния при
помощи метровой линейки дало результаты: 12,56 м, 13,7 м и
12,97 м. Найти относительные погрешности этих измерений.
Указание. За более точное измерение следует принять среднее
арифметическое этих трех результатов.
Секторные диаграммы. Кроме линейных и прямоугольных
диаграмм, с которыми мы познакомились ранее (см. § 53), стро-
ят и так называемые секторные диаграммы. Секторные диаг-
раммы обычно используют для наглядного изображения де-
ления некоторой величины на неравные части. Вся величина
319
^впгразл^ изображается кругом, а отдельные ее части
^30 20%. изображаются секторами.
• ♦ Общий способ построения секторной диа-
fl граммы заключается в следующем: нахо-
Э 100-я дят пР°Центное отношение каждой части
"Э целого, делят окружность на 100 равных
60 до 3 частей (процентов) и, откладывая последо-
w вательно значения частей целого, выра-
женного в процентах, полученные точки
соединяют с центром окружности. Постро-
Рис. 158. ение секторной диаграммы можно облег-
чить, если пользоваться процентным транс-
портиром (рис. 158), который нетрудно сделать самому.
Рассмотрим решение задачи: «Построить диаграмму распре-
деления пахотной земли колхоза по отдельным культурам.
Всего в колхозе 7200 га пахотной земли. Из этого количества
пшеницей засеяно 4200 га, кукурузой —1200 га, подсолнечни-
ком—800 га и остальное — прочими культурами».
1. Найдем процентное отношение, соответствующее площа-
ди, занимаемой отдельной культурой. (Целое — площадь всей
пахотной земли.)
— = 1 = 0,583 «58 % = 1=0,166 ... «17% ;
7200 12 7200 6
= 1=0,111 ... «11%.
7200 9
2. С помощью процентного транспортира построить секторы,
соответствующие 58%, 17% и 11% и (100—58—17—11)%.
• УПРАЖНЕНИЯ
1069. В возрасте 14—18 лет наиболее полезно четырехразовое пи-
тание. Завтрак должен содержать 25% дневного рациона пи-
тания, второй завтрак (полдник) —15%, обед —40% и ужин —
20%. Построить секторную диаграмму.
1070. Сток воды рек СССР распределяется так: 60% всех речных
вод стекает в Северный Ледовитый океан, 22 % — в Тихий оке-
ан, 8%—в Атлантический и 10% —в бессточный Арало-Кас-
пий. Построить секторную диаграмму.
1071. Распределение земель в царской России было такое: кресть-
янские хозяйства (середняки и бедняки) —135 млн. га, кулац-
кие хозяйства —80 млн. га, помещики и монастыри —.
152 млн. га. Построить секторную диаграмму.
1072. Продолжительность времени года в Московской области
следующая: весна—73 дня, лето—71 день, осень—70 дней и
зима —151 день. Построить секторную диаграмму.
1073. По данным диаграммы «Распределение суши на земном ша-
ре между частями света» (рис. 159) определить величину каж-
320
Рис. 159. Рис. 160. Рис. 161.
дой части света, если площадь суши всей земли равна
149 млн. кв. км (с точностью до 1 млн. кв. км). (См. задачу 889.)
1074. По данным диаграммы «Распределение воды на земном
шаре между четырьмя океанами» (рис. 160) подсчитать пло-
щадь каждого из океанов, если их общая площадь равна
360 млн. кв. км (с точностью до 1 млн. кв. км).
1075. По данным секторной диаграммы «Режим дня для учени-
ка V класса» заполнить таблицу (рис. 161).
Количество часов
Сон
Занятия в школе
Домашние занятия
Прием пищи и отдых
Труд, отдых, спорт
§ 66. РЕШЕНИЕ задач на все типы процентных вычислений
1076. Вес готового силоса на 12% меньше веса заложенной зеле-
ной массы. Сколько готового силоса получилось, если зеленой
массы было заложено 450 г?
Указание. Вес силоса составляет 88% веса зеленой массы. Почему?
1077. Два тракториста получили задание за определенное время
вспахать по 2,5 га. Первый тракторист за отведенное время
вспахал на 10% больше заданного, а второй — на 0,2 га боль-
ше первого. На сколько процентов перевыполнил задание вто-
рой тракторист?
Указание. Задание каждого тракториста (2,5 га) принимается
за 100%.
321
Рис. 162.
1078. Из двух соревнующихся между собой
бригад колхоза первая собрала по 24 ц пше-
ницы с 1 го, а вторая — на 7,5 % больше
первой.
Зная, что по плану предполагалось собрать
по 21,5 ц с 1 га, определить, на сколько про-
центов перевыполнила этот план вторая
бригада.
1079. За первую неделю завод выполнил 27,2%
месячного плана; за вторую неделю вырабо-
тал 96% того количества продукции, которое
он выработал за первую неделю, а за третью
неделю он выполнил 28,8% месячного плана.
Сколько процентов месячного плана завод
выполнил за три недели? (Ответ дать с точностью до 0,1 %.)
Указание. За вторую неделю завод выполнил 27,2%-0,96 месяч-
ного плана.
1080. 1) Сколько семян яровой пшеницы 100%-ной хозяйствен-
ной годности имеет колхоз, если на его складе из 1200 г пше-
ницы оказалось, что чистота семян—98%. а их всхо-
жесть —95 %?
Решение. Хозяйственной годностью семян называется
процент чистых и одновременно всхожих семян.
Узнаем хозяйственную годность пшеницы колхоза. Для это-
го надо величину части чистых семян умножить на величину
всхожести, предварительно проценты заменив десятичными
дробями, т. е. 0,98 • 0,95 = 0,921 — 92%.
Сколько семян 100%-ной хозяйственной годности имеется
на складе?
1200-0,93 = 1116 т.
2) Сколько семян пшеницы 100%-ной хозяйственной годности
надо для засева 650 га, если для засева 1 га требуется 0,2 т, а
имеющиеся в колхозе семена имеют чистоту в 96% и всхо-
жесть 92 % ?
1081. 1) Из деревянной заготовки, имеющей форму куба, измере-
ние (ребро) которого —180 лии, надо выточить цилиндр с воз-
можно наибольшими размерами. Высчитать, какой процент де-
рева пойдет в стружку (рис. 162).
Решение. Из куба можно выточить цилиндр с наиболь-
шими размерами при условии, что диаметр основания цилиндра
равен ребру куба и высота цилиндра равна высоте куба, т. е.
его ребру.
1. Чему равен объем куба?
VK = 180 • 180 • 180= 5 832 000 (куб. мм).
322
2. .Чему равен объем цилиндра?
Уц=3,14 • 902 * * • 180 = 4 578 000 ( куб. мм).
3. Чему равен выход в стружку?
5 832 000—4 578 000 = 1 254 000 (куб. мм).
4. Сколько процентов от взятого дерева идет на отходы?
1-2-5--0- . 100 = 0,215 • 100 22%.
5 832 000
2) Цилиндр диаметром 76 мм и высотой 1500 мм вытачивается
из деревянного прямоугольного бруса сечением 8 с.мХ8 см и
длиной 1500 мм. Высчитать, какой процент дерева идет в
стружку.
1082. 1) Один из передовиков производства выполнил пятилетний
план за 3 года 4 месяца. На сколько процентов он перевыпол-
нил план, намеченный на 3 года и 4 месяца?
Решение. Примем величину пятилетнего плана за единицу
и найдем, какую часть этого плана составляют 3 года и 4 меся-
ца. 5 лет равны 60 месяцам, а следовательно, за один месяц
рабочий должен был выполнять
1.
Да
1
— часть плана.
60
Какую часть плана рабочий должен был выполнять за 3 го-
и 4 месяца?
— • 40 =
60 з
На какую часть рабочий перевыполнил план, намеченный
2. Г
на 3 года и 4 месяца?
1— - =
3 3
3. На сколько процентов рабочий перевыполнил план?
2) Завод выполнил свой пятилетний план за 4 года 6 месяцев.
На сколько процентов он перевыполнил план, намеченный на
4 года 6 месяцев?
1083. 1) Сберкасса платит вкладчику 2% годовых. Сколько про-
центов денег выплатят вкладчику, который внес 2 января
200 руб., если он берет свой вклад: а) 2 января следующего
года; б) через полгода; в) через 3 месяца.
Решение. Если вкладчик возьмет вклад через год, т. е.
2 января следующего года, то процентные деньги составят
200X0,02 = 4 (руб.).
Если он возьмет не через год, а через какое-то другое время,
то тогда начисления выплачивают соответственно больше или
меньше, считая, какую часть от 360 дней (год в банках и сбер-
323
кассах считается 360 дней, месяц —30 дней) составляет время
нахождения вклада в сберкассе. Например, вклад через 4 ме-
200 0,02 120 4 1 „„ ,
сяца даст -------—-------= - = 1,33 ... як 1,33 (руб.);
оО0 о
_ 200 • 0,02 -90 , , .
вклад через 3 месяца дает ----—— ------= 1 (руб.).
2) Сколько процентных денег получит вкладчик, если он внес
1 февраля 150 руб. и 1 марта еще 100 руб., а взял полностью
вклад 1 июля того же года?
1084. Если вкладчик сдает в сберкассу сбережения на определен-
ный срок (так называемый срочный вклад), то сберкасса вы-
плачивает 3% годовых.
В какую сумму обратится срочный вклад на сумму 200 руб.
сроком на год, взятый из кассы: а) через 2 года; б) через
3 года?
Указание. Сначала надо узнать вклад с процентным начислени-
ем за год (206 руб.); затем вычислить, чему будет равен вклад в 206 руб.
за год (к началу третьего года), а затем вклад с начислением к концу 3
года.
1085. Сколько процентных денег даст срочный вклад на сумму
300 руб. сроком на год, если срочный вклад взят вкладчи-
ком через 3 года?
1086. Вкладчик 2 января внес в сберкассу 300 руб. по 2% го-
довых. Сто рублей он взял в кассе через полгода, а остальные
деньги с процентными деньгами —2 января следующего года.
Сколько денег он всего получил из сберкассы?
1087. Вкладчик 1 июня положил в сберкассу 250 руб., 1 июля —
еще 150 руб., а взял весь вклад с процентами 1 ноября того же
года. Сколько денег он получил из сберкассы?
Контрольная работа по § 65 и 66
2
1. Запишите дробь — в виде десятичной дроби с двумя значащими
цифрами и найдите относительную погрешность приближенного зна-
чения этой дроби.
2. Длину улицы измерили рулеткой, и она оказалась равной 525,6 м,
а расстояние от Москвы до Ленинграда было измерено с точностью
до 1 км, и оно оказалось равным 651 км. Какое измерение проведе-
но более точно?
3. Говядина средней упитанности содержит 72% воды, 21% белко-
вых веществ, 6% жиров и 1% минеральных веществ. Начертить сек-
торную диаграмму, показывающую распределение указанных ве-
ществ в говядине.
4. Турист прошел во второй день 118% того расстояния, которое он
прошел в первый день. Зная, что во второй день турист прошел 34,2%
всего маршрута, узнать, сколько процентов маршрута он прошел за
первые 2 дня (ответ дать с точностью до 0,1%).
324
Зачетная работа № 2
Вариант /
1. Какие два отношения называются обратными?
2. Что называется процентным отношением двух чисел?
3. Какими способами можно найти число по данным его процентам?
4. Запишите формулой нахождение процентного отношения.
5*. Советский твердый сплав «победит» содержит вольфрама с угле-
родом 85,5%, кобальта 10% и никеля 1,5%. Сколько содержится
каждого из этих веществ в 300 кг «победита»?
6*. Спустя 2 часа после выпечки хлеб теряет 0,6% первоначаль-
ного веса. Сколько весил только что выпеченный хлеб, если спустя
2 часа он весит 4,97 г?
7 *. Между районным и областным центрами 125 км. Из районного
центра в областной выходит в 7 час. 20 мин. автобус, а в 8 час.
50 мин. выходит другой автобус из областного центра в районный и
1
через 1— часа встречается с первым. Сколько километров в 1 час
4
проходит каждый автобус, если второй проходит в 1 час в среднем
на 10% больше первого?
8 *. Составьте таблицу распределения времени, отводимого вами на
выполнение заданий в течение месяца:
Учебные предметы Количество часов, за- траченных на занятия В процентах
Русский язык
Литература
Математика
и Т. Д;
9*. Производительность труда повысилась на 20%. На сколько про-
центов уменьшилось время, необходимое для изготовления некото-
рой детали?
10*. Маслозавод ежедневно получает в среднем по 330 ц молока,
80% которого он перерабатывает на масло. Сколько масла выработал
завод за 30 дней, если сливки составляют 16% веса молока, а из
5
1 кг сливок получается ~ кг масла?
Вариант И
1. Как находится процентное отношение двух чисел?
2. Какими свойствами обладает отношение?
3. Что называется относительной погрешностью?
4. Запишите формулой нахождение числа по данным его процентам.
5 *. По норме часовая выработка экскаватора составляет 185 кубо-
метров. Сколько кубометров грунта было вынуто экскаватором за
7-часовую смену, если норма была перевыполнена на 25%?
6*. Штамповщик за смену отштамповал 1431 деталь, перевыполнив
норму на 32,5%. Сколько деталей было отштамповано сверх нормы?
7 *. Металлическую прямоугольную пластинку шириной 3,6 дм раз-
резали на две части так, что площадь одной части составляет 45%
площади всей пластинки. Определить площадь каждой части пла-
325
стинки, если ее длина на 25% больше ширины. (Вычислить с точ-
ностью до 1 кв. дм.)
8 *. Составьте таблицу распределения вашего времени в течение од-
них суток.
Виды работ Количество часов В процентах
Производственная работа Работа над книгой Культурный отдых (чтение, кино, прогулки и т. д.) Завтрак, обед, ужин Сон
9*. Древесина только что срубленного дерева содержала 64% воды.
Через неделю количество воды стало уже 48% от веса дерева. На
сколько уменьшился при этом вес дерева, если только что срубленное
оно весило 7,5 ц1 (Вычислить с точностью до 0,1 ц.)
10 *. Время, необходимое для изготовления некоторой детали, умень-
шилось на 25%. На сколько процентов увеличилась производитель-
ность труда?
глава VIII. ПРОПОРЦИИ. ПРЯМАЯ
И ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬ-
НОСТЬ ВЕЛИЧИН
§ 67. ПРОПОРЦИЯ. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПРОПОРЦИИ
Люди в своем общении друг с другом часто произносят сло-
во «пропорция» или «пропорционально». Например, желая
подчеркнуть красоту здания, совершенство строения какого-
либо предмета, говорят, что его части пропорциональны; или,
говоря о справедливости оплаты труда в том или другом слу-
чае, употребляют слово «пропорционально» : «Он получил про-
порционально затраченному им труду» и т. д. Слова «пропор-
ция», «пропорционально» — слова, взятые из арифметики. Вы-
ясним их сущность.
В § 52 изложено понятие об отношении величин и чисел.
Изучая изменения связанных между собой величин и сравни-
вая отношения их числовых значений, определяют, какое из
них меньше, какое больше. Отношения могут оказаться и рав-
ными друг другу. Например, рассматривая зависимость между
расходом горючего и расстоянием, пройденным автомобилем,
получим, что для поездки на 500 км требуется 50 л бензина, а
на 20 км требуется 2 л.
Составим отношение: 500 клг:20 клг = 25 и 50 л: 2 л = 25.
Отношения равны, т.е. 500:20 = 50:2.
Такое равенство называется пропорцией.
Пропорцией называется равенство двух отношений.
Примеры пропорций:
б) 600:50 = 24:2;
а) 5:1 = 40:8; , £ . . £
в) 0,15:0,3 = 1:2; J 2 ' 4 7 ' 7 '
Пропорции можно записывать двояко: 5 : 1 = 40 : 8 или
б 40
1 ~ 8 '
В обоих случаях словами пропорция читается так:
«Пять так относится к одному, как сорок относится к восьми».
В общем виде пропорцию записывают так: а : b = c : d или
—=— и читают: «а так относится к Ъ, как с относится к d».
Ь а
Числа, составляющие пропорцию, называются членами про-
порции. Пропорция состоит из четырех членов. Первый и по-
следний члены (члены, стоящие по краям при записи в строч-
327
ку) называются крайними членами, а второй и третий (члены,
стоящие в середине) называются средними членами.
Например, в пропорции (а) числа 5 и 8— крайние члены,
а числа 1 и 40— средние члены; в пропорции, записанной в
общем виде, and — крайние члены, b и с — средние члены.
Основное свойство пропорции. Рассмотрим несколько про-
порций :
а) 10 : 5 = 40 : 20;
.33 11
в) — : — =
4 8 4 8
б) 0,25 : 0,5 = 0,07 : 0,14;
г) 0,4 : - = 4,2 : 7.
3
В каждой из этих пропорций вычислим произведение край-
них членов и произведение средних членов:
а) 10-20 = 200 и 5-40 = 200;
б) 0,25-0,14 = 0,035 и 0,5-0,07 = 0,035;
.313 313
в) — • — = — и — • — = —;
4 8 32 8 4 32
г) 0,4-7=2,8 и - -4,2 = 2,8.
3
Из рассмотрения полученных произведений видим, что про-
изведения для каждой из четырех пропорций равны. Отсюда
вывод:
Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее
средних членов.
— - „ ас
В общем виде основное свойство пропорции ——— запи-
о а
сывается так: ad = bc.
♦ Основным свойством пропорции можно воспользоваться для
составления пропорции и для проверки правильности ее со-
ставления. Например, из равенства двух произведений 20 • 5 =
= 4-25 можно составить пропорцию, приняв за крайние чле-
ны пропорции числа 20 и 5, а за средние—4 и 25. Получим:
20 : 4 = 25 : 5, или 20 : 25 = 4 : 5 и т. д.
Выполняя упражнение: «Можно ли составить пропорцию
из чисел 21, 9, 7 и 3», мы также воспользуемся основным свой-
ством пропорции и дадим ответ. Образуя произведения 21-3
и 9 • 7, видим, что они равны, и, следовательно, можно соста-
вить пропорцию 21 : 7 = 9 : 3.
Ответить на поставленный вопрос можно и другим способом,
находя равные отношения:
21:7 = 3и9:3 = 3, а отсюда 21 : 7 = 9 : 3.
Чтобы проверить правильность составления пропорции, на-
до найти произведение крайних членов и произведение средних
328
rf TT 3,5 0,7 ГП-
и убедиться в их равенстве. Например, пропорция — =
ставлена правильно, так как 3,5-0,04 = 0,14 и 0,2-0,7 = 0,14.
Записанное выражение в виде пропорции 1,8 : 8 = 0, 05 : — не
6
является пропорцией, так как 1,8- — =0,3, а 8-0,05 = 0,4, но
0,3#= 0,4.
Вопросы для самопроверки
1. Что называется отношением двух чисел?
2. Каким числом не может быть последующий член отношения?
3. Что называется пропорцией?
4. Сформулируйте основное свойство пропорции.
• УПРАЖНЕНИЯ
1088. Можно ли составить пропорции из следующих отношений:
1) 27 : 9 и 36 : 12; 4) 0,24 : 0,6 и 2 : 5;
2) 56 : 14 и 16 : 4; 5) 0,5 : 5 и 0,23 : 23;
3)10:2 я 15:5; 6) 1 1:11 и 11 :1 А,
3 3 2 5
1089. Из данных отношений выбрать те, из которых можно соста-
вить пропорции: 15:20; 20:5; 18:6; 24:32; 42:14;
42 : 7; 4 : 16; - : — ; 2,8 : 1,4.
2 4
1090. Написать по две пропорции, отношения которых равны: 3;
5; 7; 0,8;
2 4
Указание. Чтобы написать пропорцию, отношения которой рав-
ны, подбираем пары чисел, у которых одно число в 6 раз больше другого,
например 24 : 4 и 12 : 2, и записываем 24 : 4 = 12 : 2.
1091. Из следующих равных произведений составить пропорции:
1) 7-4 = 14-2; 3) 4,2-0,2 = 7-0,12;
2) 6-10 = 4-15; 4) 8.6==1.144.
з
1092. Из равенства 42-12 = 14-36 составьте все возможные про-
порции, приняв 12 за первый крайний член; приняв 36 за пер-
вый крайний член.
1093. Проверить, верны ли следующие записи:
1)75:15 = 0,5:0,1; 3) 35:7 = 20:5;
2) 28 : 20 = 7 : 5; 4) 4,2 : 3 = 2,6 : 2.
1094. Останется ли верна пропорция 40:8 = 75:15, если оба члена
первого отношения умножить на 3, а оба члена второго отноше-
ния разделить на 5? Объяснить ответ.
329
1095. Даны пропорции: 1) 12 : 4 = 15 : 5 и 2) 2,5 : 5 = 1 : 2.
Сделать в каждой пропорции все возможные перестановки
членов и проверить правильность сделанных перестановок.
(Поменять местами оба отношения; поменять местами край-
ние члены пропорции; средние члены пропорции; поменять
местами крайние и средние члены пропорции.)
§ 68. НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО ЧЛЕНА ПРОПОРЦИИ
Часто, имея дело с числами, составляющими пропорцию,
приходится, зная три из них, находить четвертое. Например,
найти х, если х : 10 = 36 : 9. Для нахождения х воспользуемся
основным свойством пропорции. Запишем х- 9 = 10 -36. Неиз-
вестным в произведении является один из сомножителей. От-
сюда следует:
х= 1<^-6 =10-4 = 40.
9
Проверим правильность решения. Поставим в данную про-
порцию х = 40. Получим 40 : 10 = 36 : 9. Пропорция верна.
Крайний член пропорции равен произведению ее средних членов,
деленному на другой крайний.
Предположим, неизвестен один из средних членов пропор-
ции. Например, найти х, если 15 : 6 = х : 2. На основании ос-
новного свойства пропорции имеем 6-х = 15-2. Откуда
15-2 е
х = ---= 5.
6
Проверим правильность ответа (решения): 15 : 6 = 5 : 2. Про-
порция верна.
Средний член пропорции равен произведению ее крайних членов,
деленному на другой средний.
Эти выводы по нахождению неизвестного члена пропорции
в общем виде записываются так:
i а Ь
1) если х : а — о : с, то х =----;
с
п\ t О * С
2) если а : х — b : с, то х --.
ь
♦ Нахождение неизвестного члена пропорции называется ина-
че решением пропорции.
Четыре числа, составляющие пропорцию, называются про-
порциональными числами, а поэтому нахождение неизвестно-
го члена можно назвать нахождением четвертого пропорцио-
нального к трем данным числам.
Вопросы для самопроверки
1. Как найти неизвестный член пропорции?
2. Какие числа называются пропорциональными?
3. Какие члены пропорции не могут быть равны О?
330
УПРАЖНЕНИЯ
1096. Найти неизвестный член пропорции:
1)2:14=6:*; 4) 18 : 0,5 = 9 : х;
2)12:х = 28:7; 5) 30,6 : х = 0,51 : 2;
3)х:19 = 3:57; 6)х:А=1;11.
2 8 7
1097. Решить следующие пропорции:
1)-=-; 4)2—:1 —=2:х;
7 75 3 2 4
2) 212 = — • 5) х : 2,25 = 9 - : 18;
8,4 4,5 21
3) - = 12 : 17; 6) 11,25 : х = 55 : 8 -2
7 9
1098. Найти х из следующих пропорций:
1) 8х : 35 = 56 : 49;
2) 9 : 5х = 72 : 40;
3) 23 : 18 = 46х : 81;
4) 17 : 3,5 = 0,68 : 7х;
5) 1-х ; 2 = 2 2 : 0,125
2 4 2
6) 2— : 0,7х = 1,75 : 4,9,
4
Указание. Для образца решения и записи найдем х из упражне-
ния 6.
Сначала найдем неизвестный член пропорции:
0>7x==J.9 2,25
1,75
Не вычисляя правой части, найдем х, а затем вычислим
выражение:
х _ 4,9 2,25 _ 49 • 225 _ 7 • 9 _ 9. _ g
— 1,75 • 0,7 ~ 175 • 7 ~ 7 • 1 = 1 ~
1099. Крайние члены пропорции 12 и 7; один из средних ра-
вен 21. Записать пропорцию, обозначив неизвестный член бук-
вой х, и решить ее.
1100. Средние члены пропорции 3,5 и 4, а один из крайних ра-
вен 2. Записать пропорцию и найти другой крайний член про-
порции.
1101. Найти к трем данным числам четвертые числа, им пропор-
циональные :
1) 8; 20; 2; 3) 10; 16; 3;
2) 7; 3; 12; 4) 7,5; 25,5; 6.
Указание. Так как четвертое пропорциональное будет зависеть от
порядка членов в пропорции, то решение будет единственным. Например,
решим третье упражнение. Сначала возьмем х крайним членом пропорции,
а за второй крайний член примем 10. Получим х : 16 = 3 : 10. Отсюда
331
16 3
к = = 4,8. Затем за второй
10-3
ло 16. Получим х : 10 = 3 : 16; х — —-
крайний член примем чис-
=Л = 11
8 8
И наконец, вторым крайним членом возьмем 3. Получим х : 10=16 : 3;
3 3
Если мы примем четвертое пропорциональное за средний член, а за
второй средний член примем последовательно числа 10,16 и 3, то получим
уже известные нам ответы. Значит, каждый пример на нахождение, четвер-
того пропорционального, если не указан порядок членов, будет иметь три
различных решения.
Контрольная работа по § 67—68
1. Составьте возможные пропорции из следующих чисел: 4, 6, 8,
12, 14, 28, 42.
2. В пропорции 24 : х = 8 : 2 сделать следующие перестановки и про-
верить, нарушилась ли пропорция: а) поменять местами оба от-
ношения; б) поменять местами крайние члены пропорции; в) по-
менять местами средние члены пропорции; г) поменять местами
крайние и средние члены.
3. В пропорции один крайний член и один средний разделили на 5,
а другие крайний и средний члены умножили на 2. Сохранилась ли
пропорция? Проверьте на примере.
3
4. Решить пропорцию: 0,75 : — =0,3 : х.
5. Найти х : 7,2 : 1 — =8,1 : 0,9х.
8
§ 69. ПОНЯТИЕ О ВЕЛИЧИНАХ. ПРЯМАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ
ДВУХ ВЕЛИЧИН
Понятие о величине. В своей деятельности человек постоян-
но встречается с различными величинами и изучает их.
При решении задач, изучая теорию, вы также встречаетесь
с различными величинами: длиной, площадью, объемом, ве-
сом, временем, стоимостью и т. д. Всякая величина может при-
нимать различные числовые значения. Например, вы едете в
поезде. Изредка взглядывая на часы, вы замечаете, что время
нахождения в пути изменяется, в то же время расстояние, ко-
торое прошел поезд, также изменяется, перед глазами мель-
кают километровые столбы, показывающие различные значе-
ния пути. Значит, величина может принимать сколько угодно
различных значений.
Человек, рассматривая изменение какой-либо величины,
часто обнаруживает ее связь с другими величинами. Например,
рассматривая величину пути, он обнаружит связь этого пути
со временем и со скоростью средств передвижения; рассматри-
вая площадь прямоугольника, человек обнаружит связь пло-
щади с длинами его сторон; рассматривая количество приоб-
ретенного товара, — с его стоимостью и т. д.
332
Одной из важнейших задач математики является изучение
зависимостей, которые существуют между величинами. В ариф-
метике рассматриваются некоторые самые простые виды зави-
симостей. С этими видами зависимостей мы и познакомимся.
Прямая пропорциональность двух величин. Рассмотрим за-
дачу, в условие которой входят две величины: расстояние и
время.
Задача 1. Океанский теплоход равномерно движется со
скоростью 30 км в час. Определить путь, пройденный тепло-
ходом за 2, 3, 4, ..., 10, ..., 20 час.
Составим таблицу изменения времени и пути, пройденного
теплоходом.
Время движения (в час.) 1 2 3 4 10 11 20
Пройденный путь (в км) 30 60 90 120 300 330 600
Сопоставляя числовые значения двух величин — времени и
пути, мы видим, что когда значения первой величины (време-
ни) увеличиваются в 2, 3, 4, ..., 10, ..., 20 раз, то и значения
второй величины (пути) также увеличиваются в 2,3,4,..., 10,...,
20 раз.
Иначе говоря, отношение двух любых значений одной вели-
чины (времени) равно отношению соответствующих значений
другой величины. Например, отношение 2-х часов к 1 часу рав-
но отношению 60 км к 30 км, т. е. 2 : 1 = 60: 30.
Рассмотрим второй пример зависимости: время, затрачен-
ное на выполнение работы, и заработную плату.
Задача 2. Служащий получает в день 4 руб. Сколько он
получит за 2, 3, 4, ..., 10, ..., 30 дней?
Составим таблицу изменения времени работы и заработной
платы.
Время работы (в дн.) 1 2 3 4 10 30
Заработная плата (в руб.) 4 8 12 16 40 120
Рассматривая эту таблицу, мы видим, что если значения
первой величины (времени работы) увеличиваются в 2, 3, 4, ...,
10, ..., 30 раз, то и значения второй величины (заработная пла-
та) тоже увеличиваются в 2, 3, 4, ..., 10, ..., 30 раз. Например,
отношение 4 дней к 2 дням будет равно отношению 16 руб. к
8 руб., т. е. 4 : 2 = 16 : 8.
Первая и вторая задачи, рассматривая разные вопросы по
тематике, имеют одинаковую математическую сущность. И в
первой, и во второй задаче мы наблюдали такую зависимость:
333
отношение двух любых значений одной величины равно отно-
шению двух соответствующих значений другой величины.
Если мы будем рассматривать зависимость величин, выра-
женную таблицами, справа налево, то придем к выводу, что
уменьшение одной величины в несколько раз вызывает умень-
шение значений другой величины во столько же раз.
Такая зависимость между двумя величинами, рассмотрен-
ная в первой и второй задачах, называется прямо пропорцио-
нальной зависимостью, а величины называются прямо пропор-
циональными.
Две величины называются прямо пропорциональными, ес-
ли отношение двух любых значений одной величины равно от-
ношению соответствующих им значений другой величины.
В окружающей нас жизни часто встречается прямо пропор-
циональная зависимость, например: объем предмета и его вес;
длина пути и расход горючего и т. д.
Формула прямо пропорциональной зависимости. Возьмем
любое значение второй строки таблицы первой задачи (прой-
денный путь) и разделим его на соответствующее число первой
60 ОЛ 90 „„ 120 300 „
строки, получим — =30; — =30; — =30; — =30. Видим,
что результаты отношений — одно и то же число. Значит, от-
ношение значения одной из прямо пропорциональных величин
к соответствующему значению другой величины есть число по-
стоянное (т. е. неизменяющееся). Это постоянное число назы-
вается коэффициентом пропорциональности. Если обозначить
произвольное значение одной величины (пройденный путь)
буквой у, соответствующее значение другой величины (время)
буквой х, а коэффициент пропорциональности буквой k, то за-
пись отношения будет: — = k или у = kx. Полученное равенство
х
называется формулой прямо пропорциональной зависимости.
Формула y = kx показывает, что при увеличении (уменьше-
нии) х в несколько раз значение у увеличивается (уменьшает-
ся) во столько же раз.
Наглядное изображение прямо пропорциональной зависимо-
сти. Покажем наглядно посредством рисунка зависимость меж-
ду стоимостью и длиной куска материи.
Задача. Сколько надо заплатить за материю, если цена од-
ного метра — 3 рубля?
Обозначим количество купленного материала буквой х, а
стоимость купленного материала буквой у. Зная, что между
стоимостью и количеством материала существует прямо про-
порциональная зависимость, мы эту зависимость можем запи-
сать формулой у = Зх.
Составим таблицу значений для х и у. Придавая величине х
последовательно значения 0, 1, 2, 3, 4, ..., получим соответству-
ющие значения у.
334
Построим числовой луч (рис. 163) и бу-
дем откладывать на нем точки, соответст-
вующие значениям величины х, т. е. О, 1,
2, 3, ... . Из этих точек проведем перпенди-
куляры к лучу и будем на них откладывать
отрезки, равные соответствующим значе-
ниям величины у. Если приложить ли-
нейку к концам отрезков, то окажется,
что все они лежат на одной прямой.
Такое изображение прямо пропорциональ-
ной зависимости называется графиком
этой зависимости.
Так как график прямо пропорциональной зависимости про-
ходит всегда через начало луча (т. е. через точку О) и являет-
ся прямой, то для его построения достаточно найти одно зна-
чение у, не считая точки начала луча.
Вопросы для самопроверки
1. Какая зависимость между двумя величинами называется прямо
пропорциональной?
2. Приведите примеры прямо пропорциональных величин.
УПРАЖНЕНИЯ
Рассмотрим решение двух задач.
Задача 1. На пошивку костюма идет 3 м материи. Сколь-
ко материи пойдет на пошив 2, 3, 4, 5, 8 и 10 таких же костю-
мов? Вычислите и результаты запишите в виде таблицы.
Количество костюмов 1 2
3 4 5 8 10
Количество материи в (м)
3 6
Ответьте на следующие вопросы:
а) Сколько величин рассматривается в задаче?
б) Какие из них изменяются и какие остаются постоянны-
ми?
в) Если одна величина увеличится в 2, 3 и т. д. раз, то как
изменится другая величина?
г) Какой вывод можно сделать, сравнивая отношение двух
любых числовых значений одной величины с отношением двух
соответствующих им числовых значений другой величины?
Можно сделать выводы, что: 1) во сколько раз увеличится
первая величина, во столько же раз увеличится и вторая и
2) отношение двух любых значений одной величины равно от-
ношению двух соответствующих значений другой величины.
335
Чтобы утверждать, что между двумя величинами существу-
ет прямо пропорциональная зависимость, надо убедиться не
только в том, что увеличение (уменьшение) одной величины
влечет за собой увеличение (уменьшение) и другой, но и в том,
что, во сколько раз увеличилась (уменьшилась) одна величина,
во столько же раз увеличилась (уменьшилась) и другая. Рас-
смотрение разобранной выше задачи о зависимости между чис-
лом костюмов и израсходованной материей показывает, что эти
величины находятся в прямо пропорциональной зависимости
между собой.
3 а д а ч а 2. За пересылку телеграммы взимается следующая
плата: 3 коп. за каждое слово и за подачу телеграммы 10 коп.
Сколько стоит телеграмма из 10, 15, 20 и 30 слов?
Составим таблицу, которая дает ответ на вопрос задачи.
Число слов 10 15 20 30
Стоимость (в коп.) 40 55 70 100
Рассматривая таблицу, можно сделать вывод, что увеличе-
ние одной величины в несколько раз влечет за собой увеличе-
ние другой величины, но не во столько же раз. Например:
20 70 30 100 40 55
10 * 40’ 15 + 55 ’ 10 * 15
Делаем вывод, что зависимость между стоимостью телеграм-
мы и числом слов в телеграмме не является прямо пропорцио-
нальной зависимостью.
1102. Ниже приведена таблица длины пути вертолета в зависи-
мости от времени нахождения в пути:
Время полета (в час.) (х) 1 2 3 4 5
Пройденный путь (в км) (У) 180 360 720 ...
1) Сколько в таблице изменяющихся величин?
2) Какой путь соответствует 3 час.? 5 час.?
3) Сколько времени требуется для покрытия пути в 720 км?
4) Найдите отношение 5 час.: 2 час. и сравните его с отноше-
нием соответствующих значений второй величины.
5) Найдите отношение соответствующих пар величин:
360 540
—; — и т. д.
2 3
6) Выразите формулой зависимость между временем полета и
длиной пути, проделанного вертолетом.
1103. Рассмотрите таблицу расхода бензина для автомобиля «За-
порожец», заполните пустые места в таблице и ответьте на сле-
дующие вопросы:,
336
Пройденное расстояние (в км) 0 10 20 30 60
Расход бензина (в л)
1) Сколько в таблице изменяющихся величин?
2) Найдите отношение двух значений расстояний и сравните
его с отношением соответствующих значений расхода бензина.
3) Можно ли утверждать, что между расстоянием, пройденным
автомобилем, и расходом бензина существует прямо пропор-
циональная зависимость?
4) Выразите формулой зависимость между расстоянием и рас-
ходом бензина.
1104. Какие из следующих зависимостей являются прямо про-
порциональными :
1) число оборотов педальной шестерни велосипеда в минуту и
скорость движения велосипеда;
2) число одинаковых автоматических станков и количество вы-
пускаемых им изделий за постоянный промежуток времени;
3) рост человека и его вес;
4) число оборотов колеса и его диаметр;
5) число рабочих и время выполнения определенной работы;
6) сторона квадрата и его площадь.
1105. Заполнить пустые клетки приведенных таблиц, если изве-
стно, что величины х и у находятся в прямо пропорциональной
зависимости.
Выразить зависимость формулой для каждой таблицы,
1106. Постройте график формулы:
1) у = 2х; 2) у = 2-х.
Л
§ 70. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПРЯМО ПРОПОРЦИОНАЛЬНУЮ
ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ДВУМЯ ВЕЛИЧИНАМИ
♦ Очень часто изменение одной величины зависит от измене-
ния целого ряда величин. Например, скорость резания метал-
ла зависит не только от числа оборотов шпинделя станка, но и
от качества металла, от толщины стружки, от угла заточки рез-
ца. Количество земли, вспаханной трактором за день, зависит
не только от скорости его движения, но и от размера плугов,
глубины вспашки, состава почвы и т. д.
337
Рассматривая в дальнейшем изменения величин, мы будем
считать, что в задаче участвуют только две величины, а осталь-
ные будут неизменными.
Задачи на прямо пропорциональные величины начинают
решать еще в начальных классах, но только без употребления
термина «прямо пропорциональные величины». Например, ре-
шим такую задачу: «За 9 час. автомат выпустил 540 деталей.
Сколько деталей выпустит он за 5 час.?» Обычный путь реше-
ния таков: найдем выработку автомата за 1 час, а затем най-
дем выработку за 5 час.; т. е. • 5 = 300 (деталей). Этот
путь решения называется способом приведения к единице.
Более экономичным способом решения задач на пропорцио-
нальные величины, точнее, на нахождение четвертого пропор-
ционального является способ составления пропорций.
Покажем применение этого способа к решению предыдущей
задачи. 1. Сделаем краткую запись условия задачи, обозначив
неизвестное буквой х и подписывая друг под другом значения
одной величины:
| 9 час. — 540 дет. |
ф 5 час. — х дет. |
2. Устанавливаем вид зависимости между величинами. В на-
шем случае зависимость прямо пропорциональная. Условно обо-
значаем прямо пропорциональную зависимость одинаково на-
правленными стрелками (изображено в записи).
3. Составляем пропорцию из данных и искомой величин. Обыч-
но составляют по такому принципу: «Большее одной величины
так относится к меньшему этой величины, как большее другой
величины относится к меньшему». Стрелки указывают после-
9 540
довательность членов в отношении — = —.
5 х
540’5
4. Найдем неизвестный член: х = —-— =300 (дет.).
Решим еще одну задачу, записывая решение ее двумя спосо-
бами.
Задача. Автомашина «Победа» расходует 5,4 л бензина
на 40 км пути. Сколько потребуется бензина для поездки на
расстояние в 180 км?
1. Решение способом составления пропорции:
|5.4л- 40>«| «„il^_2.7.9_24,3
| X Л — 180 КМ I X 180 40
Ответ. 24,3 л.
2. Решение способом приведения к единице:
5,4:40 = 0,135; 0,135 л бензина требуется на 1 км.
0,135 • 180 = 24,3; 24,3 л бензина требуется на 180 км.
Ответ. 24,3 л.
888
Вопросы для самопроверки
1. Как определить прямо пропорциональную зависимость между дву-
мя величинами?
2. В чем заключается сущность решения задачи способом приведе-
ния к единице?
3. В чем заключается сущность решения задачи способом составле-
ния пропорции?
• УПРАЖНЕНИЯ
При решении задач № 1107—1115 рекомендуем чередовать
способы решения, т. е. если задачу № 1107 решили способом
приведения к единице, то задачу № 1108 надо решить способом
составления пропорции. Для самопроверки иногда следует одну
и ту же задачу решить двумя способами.
1107. Из 560 кг подсолнечных семян получили 280 кг масла.
Сколько получат масла из 4 г таких же семян?
1108. Из 1 кг ржаной муки получается 1,2 кг хлеба. Сколько
муки расходует хлебозавод на выпечку 51 т хлеба?
1109. Бригада рабочих замостила улицу длиной 0,8 км за 2 дня.
За сколько дней бригада замостит улицу такой же ширины, но
длиной 1,4 км при той же производительности труда?
1110. Какой высоты перевал, если дорога на перевал длиной
4,5 км имеет подъем 1,2 м на каждые 15 м пути?
1111. Для борьбы с сосущими насекомыми и тлями применяют от-
вар или настой из расчета 400 г табачной пыли на 10 л воды.
Сколько надо взять табачной пыли для приготовления отвара,
если воды будет взято 10 ведер? (1 ведро —12,3 л.)
1112. Другим средством борьбы с сосущими насекомыми и тлями
является зеленое или хозяйственное мыло, из расчета 200 г
мыла на 10 л воды. Сколько надо мыла для приготовления из
10 ведер воды мыльного раствора.
1113. Из 0,6 т свежих яблок получается 1, 14 ц сушеных. Сколько
можно получить сушеных яблок из 2,4 т свежих?
1114. Сколько нефти потребуется для замены 280 куб. м дров,
если 1 кг дров равен по тепловому значению 0,3 кг нефти? Вес
1 куб. м дров — 0,7 т.
1115. Для варки клубничного варенья берут 8 стаканов сахару
на 11 стаканов ягод. Сколько было взято сахара для варенья,
если известно, что ягод было взято на 24 стакана больше, чем
сахара?
Контрольная работа по § 69 и 70
1. Используя данные приложения (стр. 369), составить две задачи на
нахождение четвертого пропорционального.
2. 50 кг картофеля содержат 36 кг воды. Сколько воды содержат
2,25 г?
3. Велосипедный мотор «Иртыш» позволяет развить скорость до
28 км в час. Расход бензина при этом составляет 1,8 л на 100 км
зад
пути. Сколько было израсходовано бензина, если велосипедист ехал
2,5 часа со скоростью 28 кл?
4. Велосипедист за 1 час. 12 мин. проехал
2
7
всего расстояния от
села до города. Через сколько времени после начала поездки велоси-
педист будет на середине пути, если он будет ехать с одной и той же
скоростью?
§ 71. ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ДВУХ ВЕЛИЧИН
Рассмотрим следующую задачу: «Восемь каменщиков мо-
гут вымостить улицу за 64 дня. За сколько дней выполнят ту
же работу 16, 32, 4, 6, 10, 12 каменщиков, если они работают
с одинаковой производительностью?»
Рассуждаем так: если число каменщиков станет 16, то ра-
боту они выполнят вдвое скорее, чем 8 каменщиков, т. е. им
потребуется 32 дня; если же их будет 24 человека, то эту ра-
боту они выполнят во столько раз скорее, во сколько 24 боль-
ше 8, т. е. им потребуется 64 дня: 3 = 21 дня; если их будет
4 человека, то они выполнят работу в 2 раза медленнее, так
как 8 больше 4 в 2 раза, т. е. для выполнения работы им потре-
буется 128 дней, и т. д.
Результаты рассуждений запишем в таблицу:
Число каменщиков 4 6 8 10 16 24 32
Потребное время (в днях) 128 1 85 — 3 64 1 51 - 5 32 1 21 — 3 16
Рассматривая таблицу слева направо, видим, что значения
первой величины (число каменщиков) возрастают, а значения
второй величины (время) убывают, причем отношение любых
двух значений первой величины равно обратному отношению
соответствующих значений другой величины, т. е. 8:4 = 2 и
128:64 = 2; 16:4 = 4 и 128:32 = 4, и т. д. Другими словами, мы
видим, что во сколько раз увеличивается (уменьшается) первая
величина, во столько же раз уменьшается (увеличивается) вто-
рая величина.
Такие величины (число каменщиков и потребное время для
выполнения определенной работы) называются обратно пропор-
циональными и зависимость между ними — обратно пропор-
циональной зависимостью.
Две величины называются обратно пропорциональными,
если отношение двух любых значений одной величины равно
обратному отношению соответствующих значений другой ве-
личины.
В жизни встречается немало примеров обратно пропорци-
ональной зависимости между двумя величинами. Например:
340
время, нужное для переезда из одного пункта в другой, и ско-
рость движения; количество материала, необходимое для по-
шивки платья, и ширина материала; количество товара, кото-
рый можно купить на данную сумму, и цена единицы этого
товара и т. д.
Формула обратно пропорциональной зависимости. Найдем
произведения чисел, стоящих в столбце рассмотренной табли-
цы. Получим:
4-128 = 512; 6-85-=512; 8-64 = 512; 10-51-=512;
3 5
16-32 = 512 и т. д.
Значит, произведение двух значений всегда неизменно, т. е. по-
стоянно.
Если обозначить первую величину (в нашем случае—число
каменщиков) буквой х, ей обратно пропорциональную величи-
ну (время) через у, а произведение соответствующих значений
этих величин буквой k, то получим такое равенство: х • у = k,
где k — постоянное число; это равенство можно записать так:
Равенство у = — называется формулой обратно пропорци-
X
овальной зависимости.
Наглядное изображение обратно пропорциональной зависи-
мости. Проследим изменения длины и ширины прямоугольни-
ка, если его площадь остается неиоменной. Обозначим длину
прямоугольника через х, ширину через у, а площадь примем
равной 12 кв. см. Мы знаем, как найти площадь прямоуголь-
12
ника. Она равна 12. Отсюда у = —. Придавая значения х рав-
X
ные 1, 2, 3, 4, ...,будем получать соответствующие значения у.
Запишем эти изменения в таблицу:
Длина прямоугольника X 1 2 3 4 5 6 8 10 12
Ширина прямоугольника У 12 6 4 3 2,4 2 1 1 — 2 1 1 — 5 1
Построим числовой луч и будем на нем откладывать значе-
ния х, т. е. 1, 2 ,3, 4, .... Из точек, соответствующих значениям
х, проведем перпендикуляры к числовому лучу и будем откла-
дывать на них отрезки, равные соответствующим значениям ве-
личины у. Концы этих отрезков соединим с помощью лекала
(рис. 164). Получается кривая линия, называемая гиперболой.
Эта кривая является графиком обратно пропорциональной за-
висимости между двумя величинами.
341
• УПРАЖНЕНИЯ
Рассматривая график, видим, что
при увеличении значений х значения
у уменьшаются; наоборот, при умень-
шении значений х значения у возра-
стают.
Вопросы для самопроверки
1. Какая зависимость между двумя
величинами называется обратно
пропорциональной?
2. Приведите примеры обратно про-
порциональных величин.
3. Какое равенство называется фор-
мулой обратно пропорциональной
зависимости?
Рассмотрите решение задачи: Расстояние между города-
ми — 600 км. Выяснить, за какое время оно может быть прой-
дено, если передвигаться пешком (скорость — 4 км в час), на
лошади (скорость — 10 км в час), на велосипеде (скорость —
12 км в час), на поезде (скорость —60 км в час) и т. д. Вычис-
лите и результаты запишите в виде таблицы:
Скорость (в км в час) X 4 10 12 60
Время у (в час.) 150 60
Путь (в км) 600 600 600 600
Ответьте на следующие вопросы:
1 Сколько величин рассматриваются в этой задаче?
2. Какие из них изменяются, а какие остаются постоянными?
3. Как изменяется одна величина в зависимости от изменения дру-
гой?
4. Какой вывод можно сделать, сравнивая отношения двух любых
числовых значений одной величины с отношением соответствую-
щих значений другой величины.
5. Какой вывод можно сделать о зависимости между этими вели-
чинами?
Рассматривая таблицу, видим: из трех величин (скорость,
время и путь) одна величина постоянная (путь), а две другие —
изменяющиеся. Если первая величина возрастает, то другая ве-
личина убывает, причем во сколько раз увеличится первая ве-
личина, во столько раз уменьшится вторая величина. Это вид-
но из сравнения соответствующих отношений, например: первая
342
величина увеличивается в 3 раза (12:4), а отношение соответ-
ствующих значений второй величины (50:150) уменьшается в
3 раза. Значит, между скоростью и временем при постоянном
пути есть обратно пропорциональная зависимость.
1116. Ниже приведена таблица изменения количества определен-
ного товара в зависимости от изменения цены 1 кг:
Количество товара (в кг) х 120 60 30 20 15 12 5
Цена товара у £ ¥ 1 2 3 4 5 12
Стоимость всего това- ра k 60 60 60 60 60 60 60
Ответьте на вопросы:
1. Сколько величин рассматривается в задаче?
2. Какие из них изменяются, а какие остаются постоянными?
3. Как изменяется одна величина в зависимости от другой?
4. Какой вывод можно сделать о зависимости между рассматривае-
мыми величинами?
5. Запишите зависимость в виде формулы.
1117. Ниже приведена таблица зависимости между временем, за-
траченным на изготовление одной детали (норма времени),
и количеством изготовленных за 1 час деталей (норма выра-
ботки).
Норма времени 2 3 4 5 6 8 10
Норма выработки 60 40 30 24 20 15 12
Ответьте на вопросы предыдущей задачи (1116).
1118. Ниже приведена таблица зависимости между вычитаемым
и разностью при постоянном уменьшаемом, например при 60:
Вычитаемое х 10 20 25 30 35 40
Разность у 50 40 35 30 25 20
Уменьшаемое 60 60 60 60 60 60 60
343
Ответьте на вопросы задачи 1116.
1119. Какие из следующих зависимостей являются обратно про-
порциональными :
1) количество рабочих и продолжительность выполнения опре-
деленной работы;
2) скорость автомобиля и время, необходимое для пробега оп-
ределенного расстояния;
3) величина порции и количество людей, между которыми рас-
пределяется данный запас продуктов;
4) площадь квадрата и его сторона;
5) величина дроби и ее знаменатель при постоянном числи-
теле;
6) вес тела и его объем;
7) диаметр окружности и ее длина;
8) количество телефонных столбов на данном участке и рас-
стояние между ними.
1120. Заполнить пустые клетки приведенных таблиц, если извест-
но, что величины х и у находятся в обратно пропорциональ-
ной зависимости:
Выразить зависимость формулой.
1121. 1) Между числом одинаковых машин, требующихся для
перевозки груза, и грузоподъемностью машины существует об-
ратно пропорциональная зависимость. Какая величина явля-
ется в данном случае коэффициентом пропорциональности и
каким произведением она выражается?
2) При какой постоянной величине существует обратно про-
порциональная зависимость между основанием и высотой тре-
угольника?
§ 72. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНУЮ
ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ДВУМЯ ВЕЛИЧИНАМИ
♦ Задачи на обратно пропорциональную зависимость, как и за-
дачи на прямо пропорциональную зависимость, могут быть ре-
шены одним из двух способов, описанных на странице 338.
Рассмотрим решение следующей задачи: «15 лесорубов вы-
рубили участок леса за 46 дней. За сколько дней могли бы вы-
рубить тот же участок 23 лесоруба при той же производитель-
ности труда?»
1. Решение способом приведения к единице.
344
1) Сколько потребуется дней для выполнения всей работы
одним лесорубом?
46 дн. • 15 = 690 дн.
2) За сколько дней выполнят ту же работу 23 лесоруба?
690 дн. :23 = 30 дн.
Ответ. За 30 дней.
2. Решение способом составления пропорций.
1) Кратко запишем содержание задачи, обозначая неизвестное
буквой х:
15 лесоруб. —46 дн.
23 лесоруб. — х дн.
2) Установим вид зависимости. Если рабочих станет больше,
то для выполнения определенной работы потребуется времени
(дней) меньше во столько раз, во сколько число рабочих стало
больше прежнего числа рабочих. Зависимость между величи-
нами обратно пропорциональная. Условно обозначим стрелка-
ми направление возрастания величин:
| 15 лесоруб. —46 дн. f
| 23 лесоруб. — х дн. |
3) Составим пропорцию по принципу: большее значение пер-
вой величины так относится к меньшему значению этой вели-
чины, как большее другой величины относится к меньшему,
или, можно короче (для себя), меньшее к большему одной ве-
личины, как меньшее к большему другой величины. Принцип
составления указывается стрелками:
15 х
23 ~ 46 ’
4) Найдем неизвестный член пропорции:
х = = 30.
23
Ответ. За 30 дней.
Обычная запись решения в тетради такова:
15 лесоруб.—46 дн. t __£. 46 • 15
23 лесоруб. — х дн. I 23 ~ 46 ’ — 23 ’
х = 30 (дн.).
При решении задач надо помнить, что значения одной и той
же величины должны быть выражены в одинаковых еди-
ницах.
Вопросы для самопроверки
1. Как определить обратно пропорциональную зависимость между
двумя величинами?
2. Расскажите о решении задач на пропорциональную зависимость
способом, приведения к единице и способом составления пропорции.
12 С. А. Пономарев
345
• УПРАЖНЕНИЯ
При решении задач 1122—1131 рекомендуем чередовать
способ решения так же, как и при решении задач на прямо
пропорциональную зависимость (стр. 339).
1122. Поезд проходит расстояние между двумя городами за
14 час. при средней скорости 60 км в час. Сколько времени по-
требуется поезду, чтобы пройти это расстояние, если скорость
его увеличится на 10 км?
1123. Теплоход проходит расстояние между двумя городами за
7 час. при средней скорости 20 км в час. Сколько времени по-
требуется теплоходу на подводных крыльях для преодоления
этого расстояния, если его скорость на 50 км больше скорости
теплохода?
1124. Для обивки пола требуется 39 м линолеума шириной 0,9 м,
но в магазине имеется линолеум на 0,25 м уже. Сколько мет-
ров узкого линолеума потребуется для обивки данного пола?
1125. На десяти грузовиках одинаковой грузоподъемности можно
перевезти груз за 5,5 дней. Сколько надо добавить таких же
грузовиков, чтобы перевезти груз за 5 дней?
1126. Для перевозки груза требовалось 14 грузовиков грузоподъ-
емностью 5 т каждый, но на базе имелись грузовики грузо-
подъемностью 7 т. Сколько надо послать семитонных грузови-
ков для перевозки этого груза?
1127. Зубчатая шестерня, имеющая 32 зуба, делает 60 оборотов в
минуту. Сколько зубьев должна иметь другая, сцепленная с ней
шестерня, чтобы она делала в минуту 96 оборотов?
1128. Диаметр ведущего шкива —375 мм. Шкив делает 480 обо-
ротов в минуту. Какое число оборотов ведомого шкива, если
диаметр его —600 мм?
1129. Два шкива связаны ременной передачей. Окружность од-
ного шкива равна 526 см, другого —225 см. Первый шкив де-
лает 60 оборотов в минуту. Сколько оборотов в минуту делает
второй шкив?
1130. Имеющийся запас горючего обеспечивает работу двигателя
в течение 240 час. при расходе 12,5 кг в час. На сколько вре-
мени хватит этого запаса горючего для работы другого двига-
теля, требующего 37,5 кг в час?
1131. Площадь основания цилиндра—48,3 кв. см, а высота
его —10 см. Как изменится площадь основания цилиндра, если
его объем останется без изменения, а высота увеличится на
8 см?
Контрольная работа по § 71 и 72
1. Используя данные приложения (стр. 369), составить две задачи на
обратно пропорциональную зависимость.
2. Пять каменщиков могут выполнить все каменные работы по дому
за 168 дней. Сколько надо поставить каменщиков, чтобы выполнить
эту работу за 42 дня?
346
3. На изготовление одной детали рабочие стали затрачивать 8 мин.
вместо 20 мин. Сколько деталей изготовит бригада за смену, если
раньше она выпускала 120 деталей? На сколько процентов повыси-
лась при этом производительность труда?
§ 73. ДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА ПРОПОРЦИОНАЛЬНО
ДАННЫМ ЧИСЛАМ
(Пропорциональное деление)
Человеку нередко приходится данное число делить на две
и более неравные части, отношения которых друг к другу за-
даны, другими словами, делить число пропорционально дан-
ным числам. При этом различают два вида: задачи на прямо
пропорциональное деление и задачи на обратно пропорцио-
нальное деление.
Решение задач на прямо пропорциональное деление
Рассмотрим решение задач на прямо пропорциональное де-
ление.
Задача 1. Стекольный завод выработал 780 т бутылочно-
го стекла. Это стекло изготовляется из песка, соды и извести,
которые берут в отношении 100:36:20. Сколько нужно взять
в отдельности каждого вещества?
Решение. Условие задачи говорит, что песок, сода и из-
весть берутся в отношении 100:36:20. Это значит, что на 100
весовых частей песку берут 36 частей соды и 20 частей из-
вести. Следовательно, в составе стекла имеется всего 156 оди-
наковых частей. Узнав, сколько тонн приходится на одну часть,
найдем дальше вес песка (100 весовых частей), вес соды (36 ча-
стей) и вес извести (20 частей). Решение запишем в таком
виде.
Примем за условную единицу одну часть и обозначим ее
буквой х; тогда песок будет содержать 100 х, сода —36 х и из-
весть —20 х.
Составим уравнение, зная, что сумма составных частей бу-
тылочного стекла равна 780 т, т. е. 100х + 36х + 20х = 780;
156х = 780; х = 780:156 = 5. Вес песка: 100х = 100 • 5 = 500 (г);
вес соды: 36х = 36-5 = 180 (г) и вес извести: 20х-5 = 100 (г).
Задача 2. Разделить 90 прямо пропорционально числам
3; 5 и 7.
Решение. Условие задачи означает, что первое число
должно относиться ко второму, как 3:5, а второе — к третьему,
как 5:7, а можно считать и так, что искомые числа нужно раз-
делить в отношении 3:5:7.
Обозначив одну часть, одинаковую для всех трех чисел,
через букву х, получим, что первое число равно Зх, второе —
5х и третье—7х. В сумме эти три числа дадут Зх + 5х + 7х = 90;
15х=90; х = 6.
12*
347
Значит, число 3х = 3-6 = 18; число 5 х=5 • 6 = 30 и число
7х = 7-6 = 42.
Из анализа решения этих задач следует правило:
Чтобы разделить число прямо пропорционально данным числам,
достаточно разделить его на сумму данных чисел и полученное
частное умножить на каждое из них.
♦ Если все данные числа или некоторые из них выражены дро-
бями, то их отношения предварительно заменяют отношением
натуральных чисел. Рассмотрите решение задачи, в которой
некоторое число придется разделить пропорционально дроб-
ным числам.
Задача 3. Число 135 разделить на три части пропорци-
онально числам — ; 3 и 5 — .
3 з
Решение. Требуется разделить число на три части в отно-
2 1
шении— :3:5—. Заменим отношение дробных чиселотношени-
3 3
2 3 16
ем натуральных чисел: — : — : — =
3 13
знаменатель 3 (другими словами,
2 9 хм
отношения в 3 раза), получим— = 2:9:16.Обозначивбук-
3 3 3
вой х одну часть, одинаковую для всех трех чисел, составим
уравнение:
2х + 9х + 16х=135; 27х = 135; х = 5.
1-е число: 2х = 10; 2-е число: 9х = 45 и 3-е число: 16х = 80.
2 9 16 л « « -
; у Отбрасывая общий
3 3 3
увеличиваем каждый член
Решение задач на обратно пропорциональное деление
Рассмотрите решение задачи: «Расстояние между Москвой
и Тулой, равное 180 км, такси проезжает за 2 часа, а грузовая
машина — за 3 часа. На каком расстоянии от Москвы произой-
дет встреча грузовой машины, вышедшей из Москвы в Тулу,
с такси, вышедшим одновременно из Тулы в Москву?»
Решение. Решать задачу путем деления расстояния
180 км пропорционально числам 2 и 3 нельзя, так как такси
за одно время с грузовиком пройдет большее расстояние, т. е.
нет прямо пропорциональной зависимости.
За 1 час такси проходит — расстояния между Москвой и Ту-
2
лой, а грузовая машина — расстояния. Значит, чтобы найти
место встречи, надо расстояние 180 км разделить пропорцио-
11-
нально числам — и — . Решать такую задачу мы умеем, а имен-
но : приведем дроби—члены отношения к общему знаменателю
и увеличим каждый член отношения в число раз, равное зна-
348
менателю: = 3:2. Обозначив одну часть через х,
2 3 6 6
составим уравнение:
Зх+2х = 180; 5х = 180; х = 36; Зх = 108 и 2х = 72.
Встреча автомобилей произошла на расстоянии 72 км от Мо-
сквы. Еще раз посмотрим на решение задачи. По условию нам
даны были числа 180, 2 и 3. Для решения задачи мы ввели
1 1 тт 1 - л 1 _
числа —и — . Число — есть число, обратное 2, а ----обратное
2 3 2 3
3. Такая замена чисел была сделана потому, что по ус-
ловию надо было число 180 разделить обратно пропорциональ-
но числам 2 и 3. Отсюда делаем вывод:
Чтобы разделить число на части, обратно пропорциональные дан-
ным числам, надо это число'разделить прямо пропорционально
числам, обратным данным.
Воспользуемся этим правилом для решения следующей за-
дачи: «Три колхоза издержали на ремонт моста 7400 руб.
Этот расход они распределили так, что каждый колхоз внес
сумму денег, обратно пропорциональную расстоянию его от
моста. Первый колхоз находится в 4 км от моста, второй — в
5 км и третий — в 6 км. Сколько рублей должен уплатить за
ремонт моста каждый колхоз?
Решение. Мы знаем, что разделить число на части, обрат-
но пропорциональные данным числам, — это значит разде-
лить его прямо пропорционально числам, обратным данным.
Числа, обратные данным числам 4, 5 и 6, есть —, — и —,
4 5 6
Значит, расход на ремонт моста надо разделить так:
1:11:111= - : 1 : - = = 15:12:10.
4 5 6? 60 60 60
Обозначив одну долю через х, составим уравнение:
15х + 12х + 10х = 7400; 37х = 7400; х=200 (руб.).
Взнос первого колхоза: 15х = 15 • 200 = 3000 (руб.); взнос вто-
рого колхоза: 12х=12 • 200 = 2400 (руб.); взнос третьего колхо-
за: 10х = 10 • 200 = 2000 (руб.).
Вопросы для самопроверки
1. Какие величины называются пропорциональными величинами?
2. Как разделить данное число прямо пропорционально данным чис-
лам?
3. Как разделить данное число обратно пропорционально данным
числам?
• УПРАЖНЕНИЯ
1132. (Устно.) В состав воды входят 16 частей кислорода и 2 части
водорода. Сколько по весу кислорода и водорода находится в
3,6 л воды?
349
1135. 1) Число 200 разделить пропорционально числам—,
1133. Пятна на цветных шерстяных и шелковых тканях можно
вывести смесью, состоящей из 20 частей глицерина, 1 части на-
шатырного спирта и 18 частей воды. Сколько надо взять каж-
дого из этих веществ, чтобы приготовить 390 г смеси?
1134. 1) Число 560 разделить пропорционально числам 3, 5 и 6.
. 2) Число 660 разделить в отношении 5:6:11.
2) Число 360 разделить на две части, которые относились бы
, „ 2 . 5
между собой как —. —.
з 6
1136. Для опрыскивания огородных культур применяют раствор,
для которого берут парижской зелени, извести и воды в отно-
шении 1:3: 196. Сколько нужно взять этих веществ, чтобы об-
работать 20 га огородной площади, если на 1 га надо 800 л
раствора?
1137. Питательность клеверного сена в 1,5 раза больше питатель-
ности обыкновенного (лугового) сена. Заготовили 400 т того и
другого сена вместе, так что количество клеверного сена по пи-
тательности было равно количеству обыкновенного сена. Сколь-
ко было заготовлено клеверного сена?
1138. Число 246 разделить на части, обратно пропорциональные
„ _ 1
числам 7; 5 и —.
2
1139. На обработку детали один рабочий затрачивает 4 мин., дру-
гой —5 мин., а третий —6 мин. Сколько деталей обработал
каждый из этих рабочих, если, работая одновременно, они об-
работали вместе 370 деталей?
1140. В гараже имеются грузовые автомобили грузоподъемностью
3 т, 5 т и 7 т. Для перевозки груза была отправлена 71 машина
с таким расчетом, чтобы трехтонные машины перевезли столь-
ко, сколько пятитонные и семитонные машины в отдельности.
Сколько было отправлено машин каждой грузоподъемности?
1141. Три числа относятся как 3:5:8; третье число равно 112.
Найти два первых числа.
1142. За перевозку трех грузов было уплачено 94,8 руб. Первый
груз весом 14 г был перевезен на 30 км, второй в 15 г — на
40 км и третий в 16 г — на 35 км. Сколько стоит перевозка
каждого груза?
Указание. Оплата каждого груза прямо пропорциональна его ве-
су и расстоянию.
При распределении расхода надо исходить из расчета стоимости пе-
ревозки 1 г на расстояние в 1 км (тонно-километр).
1143. Для приготовления фарфора употребляют глину, гипс и
песок в отношении 6,25:0,25:0,5. Сколько весит фарфоро-
вая чашка, если она содержит глины на 184 г больше, чем
песка?
350
Контрольная работа по § 73
1. Жильцам квартиры представлен счет за газ в сумме 2,2 руб. Эту
сумму нужно распределить между тремя семьями пропорционально
числу членов каждой семьи. Первая семья состоит из четырех чело-
век, вторая — из пяти человек и третья — из двух человек. Сколько
должна уплатить каждая семья?
1. Найти три числа, если известно, что они прямо пропорциональны
2 3
числам 1, — й — и что первые два числа в сумме дают наимень-
шее трехзначное число.
3. Чтобы вырыть ров длиной 2700 м, поставили два экскаватора раз-
личной мощности, идущих с противоположных концов рва. Работая
один, первый смог бы выполнить работу за 20 час., а второй — за
30 час. За сколько времени выполнят они вместе работу и на каком
расстоянии от концов рва встретятся?
§ 74. ЗАДАЧИ НА ПРОПОРЦИОНАЛЬНУЮ ЗАВИСИМОСТЬ
И ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ ДЕЛЕНИЕ
1144. Величина растяжения пружины при небольших нагрузках
пропорциональна подвешенному к пружине грузу. Нагрузка
в 4 кг дала растяжение в 25,2 мм. Ответьте на вопрось!:
1) Какое растяжение той же пружины дает нагрузка в
7 кг?
2) При какой нагрузке растяжение ее будет равно 10 мм?
1145. Заготовлены два сплошных железных прямоугольных бру-
са длиной 8 см и 11 см одинакового веса, но разной площади
сечения. Чему равна площадь сечения первого бруса, если вто-
рой брус имеет площадь сечения 556 кв. мм?
1146. Винт, сделав 20 оборотов, продвинулся вперед на 17 мм.
Сколько оборотов должен он сделать, чтобы продвинуться впе-
ред на 3,4 мм?
1147. На изготовление одной детали рабочий стал затрачивать
15 мин. вместо 21. Сколько деталей изготовил рабочий за 7 час.,
если он раньше выпускал 140 деталей?
1148. Рацион 12 коров в зимнее время был таков: 120 кг сена,
144 кг корнеплодов, 180 кг силоса и 18 кг концентратов. Оп-
ределить рацион 20 коров.
1149. Благодаря рациональному раскрою металлического листа
рабочему удалось выкроить 35 деталей вместо 20. Какой про-
цент экономии металла достигается при этом?
♦ Иногда приходится решать задачи на пропорциональные
величины, когда этих величин более двух. Такие задачи можно
решать двумя способами: способом приведения к единице и
способом пропорций. Так как способ пропорций более громоз-
док, чем способ приведения к единице, то задачи решают обыч-
но способом приведения к единице. Рассмотрим решение зада-
чи в той записи, которую необходимо делать заочнику.
351
Задача. Для 8 лошадей на 30 дней требуется 2800 кг се-
на. На сколько дней хватит 4800 кг сена для'10 лошадей, если
норма выдачи на 1 лошадь одна и та же?
Краткая запись условия:
8 лош.—2800 кг —30 дней.
10 лош.—4800 кг — х дней.
2800 кг сена?
(30 • 8) дней.
1 кг сена?
дней.
_ 30-8-4800
Следовательно, х =------------
2800-10
Запись решения способом приведения к единице.
1) Сколько дней можно прокормить 1 лошадь
1 лошадь 2800 кг сена можно прокормить
2) Сколько дней можно прокормить 1 лошадь
30-8
1 лошадь 1 кг сена можно прокормить
3) Сколько дней можно прокормить 1 лошадь 4800 кг сена?
1 .Qnn 30-8-4800
1 лошадь 4800 кг сена можно прокормить -- дней.
4) Сколько дней можно прокормить 10 лошадей 4800 кг сена?
in - иоаа 30-8-4800
10 лошадей 4800 кг сена можно прокормить дней.
288 л , 7 , „.
-у = 41 - (дней).
Ответ. ~42 дня.
Запомните, что при решении способом приведения к еди-
нице надо решение вести в форме вопросов в отношении ис-
комой величины (см. разобранную задачу).
1150. Производительность картофелеуборочного комбайна равна
3 га за 10 час. Сколько времени потребуется трем таким же
комбайнам для уборки 84 га картофельного поля?
1151. Пятью силосоуборочными комбайнами за 3 часа можно уб-
рать 31,2 га силосных культур. Сколько гектаров силосных
культур уберут 3 комбайна за 14,5 часа?
1152. Сколько оборотов сделает шестерня с 36 зубьями, если сце-
пляющаяся с ней шестерня имеет 18 зубьев и делает 60 обо-
ротов? 24 оборота?
1153. У велосипеда ведущая шестерня (скрепленная с педалями)
имеет 48 зубьев, а ведомая шестерня (скрепленная с задним
колесом велосипеда) имеет 16 зубьев. Сколько оборотов сдела-
ет заднее колесо велосипеда, если педали сделают в минуту
40 оборотов? 45 оборотов? 60 оборотов? Найти скорость вело-
сипеда для каждого случая, если диаметр колеса велосипеда
равен 70 см.
1154. 15 рабочих за 3,75 часа выполнили 0,6 всей работы. За ка-
кое время 9 рабочих закончат всю работу?
1155. Одна бригада рабочих может выполнить определенную ра-
боту за 4 дня, другая — за 5 дней и третья — за 6чдней. Сколь-
ко рабочих в каждой бригаде, если во всех трех бригадах 74
человека и производительность труда каждого из них одина-
кова?
352
1156. Три числа обратно пропорциональны числам 1, 2 и 3. Зная,
что первое число больше третьего на 5,6, найти эти числа.
1157. Площадь, отведенная колхозом под зерновые культуры, от-
носится к площади, отведенной под кормовые культуры, как
0,25 : Сколько гектаров отвел колхоз под зерновые и сколь-
ко — под кормовые культуры, если площадь зерновых была
на 805 га больше, чем кормовых?
Зачетная работа № 3
Вариант /
1. Сколько пропорций можно получить, переставляя члены данной
пропорции: а : Ь — с : d?
2. Какие величины называются прямо пропорциональными? При-
ведите примеры.
3. Какие из величин, входящих в следующие формулы, прямо про-
порциональные и какие — обратно пропорциональные:
а) s = vt; б) i= — ?
4. Как разделить число прямо пропорционально данным числам?
Приведите примеры.
5*. Составьте пропорцию из чисел: 5,1; 1,7; 0,9; 0,3.
6 *. Решите пропорцию:
7 *. 2600 т пластмассовых труб заменяют 18 200 г стальных труб.
Сколько надо пластмассовых труб, чтобы заменить 238 000 т сталь-
ных труб?
13 3
8*. Три числа относятся между собой как 2—:2~ :3—
5 4 8
Второе число больше первого на 52,8. Найти эти числа.
9 *. Для экспедиции в 30 человек на 40 дней было приготовлено
480 кг сухарей, 72 кг сахару и других продуктов. В экспедицию от-
правилось 36 человек на 45 дней. Сколько сухарей и сахара следует
приготовить для экспедиции, если прежнюю норму на каждого че-
ловека решили увеличить на 10%?
10*. В колхозе сняли с одного луга 78,75 г сена, с другого — 82,8 г,
с третьего — половину того количества сена, которое снято с первых
двух лугов. Часть сена поместили на сеновал, который мог вместить
80% собранного сена, причем в нем уже имелось 15,66 т сена. Ос-
тальное сено сложили в три стога, распределив его в отношении
1 1
1:1—:1 — . Сколько сена в каждом из трех стогов?
Вариант И
1. На каком свойстве основана замена отношения с дробными чле-
нами отношениём целых чисел?
2. Какие величины называются обратно пропорциональными? При-
ведите примеры.
3. Какие из величин, входящих в следующие формулы, прямо про-
Р
порциональны: а) С = лО; б) d= —?
353
4. Как разделить число обратно пропорционально данным числам?
2 3 1
5*. Составьте пропорцию из чисел: 16; 2—; —; 4—•.
3 4 2
6*. Решите пропорцию:
/5 7\ / 11 3\
(10,5 • 0,24—15,15 : 7,5 : х= 3- — 2- : 1- — .
' ’ \ 24 30/ \ 15 8 У
1
7 *. На десяти грузовиках можно перевезти груз за 5— дней. За
2
сколько дней при этой же производительности работы грузовиков
можно перевезти этот груз на 12 таких же машинах?
8*. За 18 дней бригада лесорубов в составе 15 человек заготовила
972 куб. м леса. Сколько леса заготовит бригада из 12 человек за
25 дней при такой же производительности?
9*. Число 74,74 разделить на три части обратно пропорционально
2 1
числам: —; 0,25 и 1—.
9 3
1 5
10*. Площади трех лесных участков относятся как 2— : 1,5 : 1—,
4 6
причем площадь третьего участка на 136 га меньше площади перво-
го участка. На первом, втором и третьем участках вырубили соот-
ветственно 15%, 10% и 5% площади, занимаемой лесом. На какой
площади был вырублен лес?
§ 75. ПОВТОРЕНИЕ МАТЕРИАЛА, ПРОЙДЕННОГО В VI КЛАССЕ
♦ В начале § 54 «Повторение материала, пройденного в V клас-
се» были даны указания и советы, как самому организовать и
проводить повторение пройденного материала. Прежде чем
приступить к повторению материала за курс VI класса, вни-
мательно прочитайте начало § 54 (до вопросов повторения о
натуральном числе).
Вопросы по теме I. «Приближенные вычисления»
1. Поясните фразу: «Результат всякого измерения—приближенное
число».
2. В каком случае результат счета предметов также выражают при-
ближенным числом? Приведите примеры.
3. Приведите примеры вычислений над точными числами, допускаю-
щие появление приближенных чисел.
4. Может ли результат действий над приближенными числами быть
выражен точным числом?
5. Каким числом является результат округления числа?
6. Приведите примеры необходимости округления с недостатком и с
избытком.
7. Сформулируйте правило округления. Приведите примеры.
8. Что называется абсолютной погрешностью?
9. Как найти абсолютную погрешность результата измерений?
10. Какая абсолютная погрешность допускается при измерении мас-
штабной линейкой? Рулеткой? Магазинными весами? Транспор-
тиром?
11. Какую абсолютную погрешность допускают показания электри-
ческого счетчика? Газового счетчика?
354
12. Какие цифры приближенного числа считаются верными? Сомни-
тельными? Приведите примеры.
13. Дайте определение десятичных знаков числа.
14. Дайте определение значащих цифр числа.
15. Сформулируйте правило сложения и вычитания приближенных
чисел. Приведите примеры.
16. Как применяется правило сложения и вычитания приближенных
чисел, если компоненты действия будут выражаться натуральны-
ми числами?
17. Одно из слагаемых приближенное число, а другое — точное
число. Как применить правило сложения приближенных чисел?
18. Сформулируйте правило умножения и деления приближенных
чисел.
19. Как применить правило умножения приближенных чисел, если
первый сомножитель — приближенное число, а второй — точное
число?
20. Как применить правило деления приближенных чисел, если де-
лимое — приближенное число, а делитель — точное число?
Контрольная работа по теме «Приближенные вычисления*
1. Укажите, какие из данных значений величин являются точными,
а какие — приближенными: а) расстояние от Земли до Луны
384 000 км-, б) длина окружности в 3,14 раза больше диаметра; в) в
нашей школе 426 учащихся; г) в нашем городе проживает 356 420 че-
ловек; д) стакан вмещает 200 г воды; е) вес тела на Луне составля-
ет 0,16 веса этого тела на Земле.
2.
3.
Округлить до десятых, сотых и тысячных долей число 10,057496.
2
Дробь —
обратить в десятичную дробь до 2 десятичных знаков
и найти относительную погрешность приближенного значения этой
дроби.
4. Вычислить с
точностью
до
/1 , 2 1
0,1: - 40,563+-+-
\ Z о I
0,251.
5. Впервые в мире мягкая посадка ракеты на Луну была осуществ-
лена Советским Союзом в 1966 г. Космический корабль «Луна-9»,
запущенный с Земли в 8 час. 31 января 1966 г., опустился на Луну
в 21 час 45 мин. 3 февраля и установил радиосвязь со станциями
Земли. Какие данные величины, приведенные в задаче, являются
точными, а какие — приближенными числами? С какой средней ско-
ростью летел корабль от Земли до Луны?
Вопросы по теме II. «Решение геометрических задач»
1. С помощью каких инструментов и как производится измерение
отрезков на плане или на карте? Какая абсолютная погрешность
допускается при этих измерениях?
2. Какими единицами измеряется угол?
3. Как измерить или построить угол при помощи транспортира и
масштабной линейки? Какая абсолютная погрешность измерения
или построения угла при помощи транспортира?
4. Какие прямые называются перпендикулярными прямыми? Как
их построить с помощью линейки и чертежного угольника?
5. Какие прямые называются параллельными? Как их построить?
6. Что такое параллелограмм? Что называется основанием паралле-
лограмма? Высотой параллелограмма?
7. Есть ли различие между понятиями «параллелограмм» и «прямо-
угольник»? «Прямоугольник» и «квадрат»?
353
8. Как построить параллелограмм по данным сторонам и углу меж-
ду ними?
9. Можно ли построить, и как, прямоугольник, зная его' длину и
ширину? Квадрат, зная его основание?
10. Сколько измерений надо произвести, чтобы найти периметр па-
раллелограмма? Периметр прямоугольника? Периметр квадрата?
11. Какими единицами измеряется площадь фигуры?
12. Какие данные надо иметь, чтобы найти площадь параллелограм-
ма? Прямоугольника? Квадрата? Треугольника?
13. Приведите примеры кривых поверхностей; плоских поверхностей.
14. Расскажите об окружности и ее элементах; о круге и его частях.
15. Как найти длину окружности? Площадь круга?
16. Что надо знать, чтобы найти поверхность цилиндра? Объем ци-
линдра? Напишите формулы нахождения поверхности и объема
цилиндра.
17. Что называется высотой треугольной пирамиды? Четырехуголь-
ной пирамиды?
18. Что надо знать, чтобы найти поверхность и объем правильной
треугольной пирамиды? Правильной четырехугольной пирамиды?
19. Какие элементы конуса надо измерить, чтобы найти его поверх-
ность? Его объем?
20. Какие элементы усеченного конуса надо измерить, чтобы найти
его боковую поверхность? Его объем?
Контрольная работа ро теме «.Решение геометричесних задач-»
1. Ширина захвата тракторного плуга —110 см. Какую площадь
вспашет один плуг за 6 час., если скорость передвижения тракто-
ра — 4,5 км в час?
2. Определить скорость движения автомобиля в 1 час, если колесо
его диаметром 0,8 м делает 340 оборотов в минуту?
3. Имеется чугунная труба, внешний диаметр которой равен 0,12 м,
а внутренний — 0,10 м. Определить вес этой трубы, если известно,
что длина ее равна 5 м, а 1 куб. см чугуна весит 7 г.
4. Вычислить объем правильной четырехугольной пирамиды, если
сторона основания — 2,5 см, а высота пирамиды — 1,2 см.
5. Сколько квадратных метров жести нужно на изготовление ведра,
имеющего форму усеченного конуса, радиусы верхнего и нижнего ос-
нований которого равны 2 дм и 3 дм, а образующая равна 4 дм, если
на спайки уйдет 1,5 кв. дм железа?
Вопросы по теме III. «Проценты»
1. Объясните смысл каждой фразы: а) «Отремонтировали 25% всех
тракторов станции»; б) «40% учащихся нашего класса выполни-
ли контрольную работу на «4» и «5»; в) «80% старых станков за-
менили новыми, автоматическими».
2. Какие виды процентных вычислений вы знаете? Приведите при-
меры.
3. Как найти несколько процентов данного числа? Запишите это
правило с помощью букв.
4. Объясните, почему 26% от 50 равны 50% от 26?
5. Как найти число по данным его процентам? Почему говорят, что
в этом случае мы находим все число по его части?
6. Что называется процентным отношением двух чисел? Напишите
формулу для нахождения процентного отношения числа а к чис-
лу Ь.
7. Какие виды диаграмм вы знаете?
8. Как сделать процентный транспортир? Как им пользоваться?
356
9. Почему абсолютная погрешность приближенного числа не дает
возможности судить о качестве произведенного измерения?
10. Что называется относительной погрешностью приближенного
числа?
Контрольная работа по теме «Проценты»
1. Сливочное мороженое содержит 10% молочного жира, 14% саха-
ру, а остальная часть — вода. Сколько воды содержится в 400 г мо-
роженого?
2. Пекарня получила заказ на выпечку 1400 кг ржаного хлеба и
700 кг пшеничного. Ржаная мука дает 40%, а пшеничная — 35%
припеку. Определить, какое количество ржаной и пшеничной муки
затратила пекарня на выполнение заказа.
3. За товар стоимостью 1200 руб. при двух последовательных сни-
жениях заплатили 756 руб. Первое снижение было на 30%. Сколько
процентов составило второе снижение цен?
4. Считают, что полный размах рук приблизительно равен росту че-
ловека. На сколько процентов отличается величина размаха ваших
рук от вашего роста?
Вопросы по теме IV. «Пропорции и пропорциональные величины»
1. Какими свойствами обладает отношение?
2. Какие два отношения называются обратными друг другу?
3. Какое число не может быть последующим членом отношения?
4. Что называется масштабом карты? Виды масштабов.
5. При каком условии из двух отношений можно составить пропор-
цию?
6. Какие числа называются пропорциональными? Могут ли быть
пропорциональными два числа.
7. Какие способы проверки справедливости составления пропорции?
8. Что называется решением пропорции?
9. На каком свойстве пропорции основано решение пропорции?
10. Как из пропорции с дробными членами получить пропорцию,
члены которой — натуральные числа? Какое свойство отношения
при этом используется?
11. Какие две величины называются прямо пропорциональными?
Обратно пропорциональными? Приведите примеры.
12. Свойство прямо пропорциональных величин. Обратно пропорцио-
нальных величин.
13. Что является графиком прямо пропорциональной зависимости?
Графиком обратно пропорциональной зависимости?
14. Как разделить число прямо пропорционально данным числам?
15. Как разделить число обратно пропорционально данным числам?
Контрольная работа
1. Составить все возможные пропорции из чисел: 4; 11; 16; 44.
2. Найти х, если 5 : 7 = 2,5 х : 21.
3. Из 48 кг хлопкового семени получено 10,8 кг масла. Сколько
надо взять семян для получения 14,4 кг масла?
4. Скорость катера относится к скорости течения реки, как 18 : 2,5.
Катер по течению шел 5 час. 10 мин. Сколько времени потребуется
ему, чтобы вернуться обратно?
5. 30% площади лесного участка занимают лиственные породы де-
ревьев. Остальная площадь занята сосновым и еловым лесом, причем
2
площади этих лесов относятся как 1,5 : — . Определить площадь
О
лесного участка, если сосновый лес занимает на 77 га больше, чем
еловый.
357
• УПРАЖНЕНИЯ
В упражнениях 1158—1167 все числа точные.
1158.
4 16 / 2 1
—+ — • 7— — 1
5 31 ( 15 2
1
5
з \
: 2- —8 .
5 /
1159.
1
— + .3— — 1—
3 6 9
2/1 3\ 11
: 1- • 3- — 2—1 - 1- :
5 ( 5 4 / 8
5 7
2— — 1—
8 16
1160.
11 — 10,2175
11 — 7,87
0,07 • 0,5 +2,746
1,52 + 3,89 — 6,7 • 0,5
6,5).
1161.
16 / 11 20\ 11
10,9 — 2— • (2,27 + 9,792 : 6,4) + 5- —4— : 3—.
19 к (14 21/63
1162.
19/37 1 \ 4
0,75 + 3— : 1— — 1— • 1 —
24 \ 60 9 / 45
40 : 6,4 — 5,625 • 0,4
1163.
22 61 5
Вычислить сумму чисел: (16—-0,5 — 1 — : 0,5) •
/ 1 23 \ 1
198,9: 9— + —: 2,3 и 13— 0,1.
\ 2 40 / 2
1164.
1165.
Решить уравнения (найти х):
1) х—(0,125-8 + 4,2 : 0,7) = 2,4;
2) 1-. - +4-0,25—х=1,26.
8 15
Решить уравнения:
11 4
1) 1—х — — = 1 — 2 • — ;
' 3 2 9
2 2 3
2) 4—• 1,5 — 0,8х + 1 — • — = 1,4.
5 3 5
1166.
Решить пропорцию:
6
9
+
/ 5
(10,5 • 0,24—15,15 : 7,5) : х-= 3- —2
' ( 24 ;
1167.
Найти х:
11
3 -х : 19—
8
16
= 3— : 9- .
9
4
5
Произвести указанные действия с приближенными числами:
1168. 13,6 + 4,93 + 0,0181 + 19,273.
1169. 2,7 : 1,35 + 6,08-3,4—2,635-1,6.
358
1170. Каким должно быть число х, чтобы можно было выполнить
указанное действие:
1) х + 5; 4) 2х—6;
2) 8—х; 5) х-5;
3) х—1,6; 6) 10 : х.
Решение примера 4. Разность двух чисел (2х—6) мож-
но найти, если уменьшаемое (2х) больше вычитаемого (6) или
равно ему. Решение записывается так: 2х>6. Отсюда х>3.
1171. Какие числовые значения могут принимать буквы в следу-
ющих записях, для того чтобы действия были выполнимы:
а + b
« Л ’
а
a-j-2
~г-;
Ь — 2
2) ---;
6
4)
с — d-
4
6)
а — 1
Г+1’
Решение примера 6. Деление (а—1) на (Ь + 1) возмож-
но, если делимое (а—1) равно или больше нуля, а делитель
(& + 1) больше нуля. Это решение записывается так: а—1>0
или а > 1; делитель (Ь + 1) всегда больше нуля.
1172. Следующие записи буквенных равенств выражают законы
и свойства арифметических действий.
Выписать и сформулировать отдельно законы сложения, от-
дельно законы умножения и отдельно свойства действий:
1) a + b = b + c’, 4) а • b • с = (а • Ь) • с = а • (Ь • с);
2) а -b = b-c; 5) (а + & + с) • d = ad+ bd + cd;
3) a + & + c = (a + b) + c = a + (b + c); 6) (a+b)—c = (a—c) + b.
1173. План начерчен в масштабе 200 м в 1 см. Чему равна пло-
щадь прямоугольного участка, если на плане его длина равна
4,2 см, а ширина — 2,5 см?
1174. Модель одного строения в форме куба имеет ребро длиной
6 см, а модель строения в форме прямоугольного параллелепи-
педа имеет измерения: 25 см, 12 см и 5 см. Масштаб моделей
1 : 200. Определить объемы моделей и объемы самих зданий.
1175. В обычных семенах подсолнуха содержится 24% масла.
Ученый С. В. Пустовойт улучшил сорта подсолнуха, маслянич-
ность семян которых составила 150% против обычных, а затем
он вывел новые сорта подсолнуха, масляничность которых со-
ставила 150% масляничности уже улучшенных сортов. Сколь-
ко масла можно получить из 15 ц подсолнуха обычных семян
и сколько — улучшенных сортов?
1176. 1) Чайник, наполненный водой, температура которой была
18°, закипел через 20,5 мин. Через сколько минут закипит при
тех же условиях этот чайник, если его наполнить водой, тем-
пература которой равна 4°?
359
Решение. Установим зависимость между температурой
воды и временем при одном и том же источнике тепла. Естест-
венно, что на нагревание более холодной воды потребуется во
столько раз больше времени, во сколько значение измерения
температуры этой воды больше значения измерения темпера-
туры более теплой воды, т. е. между этими величинами сущест-
вует прямо пропорциональная зависимость. Отсюда и решение:
Сначала установим, на сколько градусов в этих случаях на-
до нагревать воду в чайнике:
100°—18° = 82° и 100°—4°=96°,
Сделаем краткую запись:
I 82°—20,5 мин. I
ф 96°—х мин. I
Составим пропорцию: 82 : 96 = 20,5 : х. Отсюда
х=(96-20,5) : 82 = 24; х = 24 мин.
2) В 100 г воды при 20° можно растворить не больше 35,9 г со-
ли (насыщенный раствор). Сколько соли можно растворить в
250 г воды при той же температуре? Сколько воды с темпера-
турой 20° надо для растворения 1 кг соли?
Для придания необходимой твердости изделиям из золота и
серебра их сплавляют с другими металлами, обычно с медью.
♦ Для выражения качественности сплава вводят понятие про-
ба. Пробой изделия называется число граммов чистого золота
или серебра в одном килограмме сплава, например золотое
кольцо 583 пробы означает, что в одном килограмме сплава, из
которого сделано кольцо, содержится 583 г чистого золота.
1177. Сплавили два слитка серебра: 600 пробы весом 180 г и 875
пробы весом 216 г. Определить пробу сплава.
Решение. Если мы будем знать общий вес сплава и вес
чистого серебра, то с помощью составления отношения мы най-
дем пробу нового сплава:
180-0,6 = 108(г); 108 г—вес чистого серебра в первом слитке;
216-0,875 = 189 (г); 189 г — вес чистого серебра во втором
слитке;
108 + 189 = 297 (г); 297 г — вес чистого серебра в новом
сплаве;
180 + 216 = 996 (г); 996 г — вес нового сплава;
297 : 396 = 0,75; 750—проба нового сплава.
1178. 1) Сплавили 50 г золота 750 пробы и 250 г золота 900 про-
бы. Определить пробу нового сплава.
2) Сплавили 180 г серебра 600 пробы со слитком серебра неиз-
вестной пробы и получили 396 г серебра 750 пробы. Определить
пробу второго слитка.
Указание. Найдите вес второго слитка и вес чистого серебра в
этом слитке.
3) Сплавили 600 г серебра 900 пробы со слитком серебра неиз-
вестной пробы и получили 1430 г серебра 870 пробы. Опреде-
лить пробу второго слитка.
360
Крепость различных кислот, а также и спирта выражается
в сотых долях (или процентах), которые обозначают градуса-
ми. Соляная кислота 75% (или 75°) означает, что 75% всего ко-
личества смеси есть кислота, а остальное — вода.
1179. 1) Для технических целей смешали 10 л спирта крепостью
60° с 4 л крепостью 95°. Определить крепость смеси.
Решение. Для нахождения ответа надо знать общее коли-
чество смеси и сколько чистого спирта в смеси:
10-0,6= 6 (л); 6 л чистого спирта содержалось в 10 л;
4-0,95 = 3,8 (л); 3,8 л чистого спирта содержалось в 4 л;
6+ 3,8 = 9,8 (л); 9,8 л чистого спирта содержалось в смеси;
10+ 4 = 14’(л); 14 л — количество смеси;
(9,8:14) • 100% =70% ; 70% — крепость смеси.
2) К 3,5 кг 20% серной кислоты долили 9 кг воды. Какая
крепость смеси?
1180. Для консервирования применяют спирт крепостью 80°.
Сколько воды нужно прибавить к 2 л спирта крепостью 96°,
чтобы получить спирт указанной крепости?
1181. Три колхоза решили общими силами и средствами постро-
ить электростанцию и расходы распределить между собой про-
порционально
8 1
числам 7— ; 4,8 и 2—. Стоимость здания со-
15 2
42 -
ставляет — стоимости машин, а расходы на рабочую силу
составляют 25% стоимости здания и машин вместе; кроме то-
го, известно, что расходы на рабочую силу были на 7900 руб.
меньше, чем на здание. Сколько денег должен был внести каж-
дый колхоз на постройку электростанции?
1182. Первая бригада рыболовецкого колхоза за определенное
время поймала 37% всего улова трех бригад колхоза за это
время. А улов второй бригады так относится к улову третьей
бригады, как 1 ~ : 4 Сколько тонн рыбы составил улов трех
бригад, если первая бригада поймала на 91,2 т рыбы больше,
чем вторая?
1183. В первый квартал завод выполнил 26% годового плана по
выпуску готовой продукции, а затем благодаря улучшению ор-
ганизации труда увеличивал выпуск готовой продукции так,
что количество продукции, выпущенной во втором, третьем и
четвертом кварталах, оказалось пропорционально числам 6,5;
7,8 и 9,1. Определить, на сколько процентов перевыполнил за-
вод свой годовой план, если во втором квартале он дал продук-
-I 1
ции в 1— раза больше, чем в первом.
1184. Группа геологов расстояние, равное 30 км, прошла за
5 дней. В первый день было пройдено 15% всего пути, во вто-
рой день — 20% оставшегося пути, а расстояния, пройденные
экспедицией'в оставшиеся 3 дня, пропорциональны числам
361
— и —. Сколько километров было пройдено за каждый
день?
1185. Совхоз засеял зерновыми культурами три участка земли,
площади которых относились между собой как 0,6 : — : —,
6 15
причем площадь первого участка на 120 га больше площади
третьего. Пшеницей было засеяно 72% площади второго участ-
ка и 40 % площади третьего участка. Сколько гектаров земли
было засеяно пшеницей?
1186. В 6 час. утра из города А в город Б выехал автомобиль, а в
7 час. утра из города Б выехал в город А другой автомобиль.
Зная, что первый автомобиль проезжает расстояние между го-
родами А и Б за 7,5 час. и что скорость первого автомобиля от-
носится к скорости второго, как 8:5, определить время встре-
чи автомобилей.
1187. За какое время при совместной работе на трех станках мож-
но изготовить все заказанное количество изделий, если известно,
что за 3,5 час. на одном первом станке можно было изгото-
вить 35% всех изделий, за 9 час. на одном втором — 60% всех
изделий и что скорость работы на третьем станке относится к
скорости работы на втором станке, как 3 : 2.
Занимательные задачи
1188. (Задача Ньютона.) Трава на всем лугу растет
одинаково густо и быстро. Известно, что 70 ко-
ров поели бы ее за 24 дня, а 30 коров — за
60 дней. Сколько коров поели бы всю траву за
96 дней? (Предполагается, что коровы поедают
траву равномерно.)
Указание. Сначала надо найти запас
травы на лугу в «пайках» за 24 дня («пайком»
назовем количество травы, съедаемое одной ко-
ровой за день), а затем и за 60 дней. Разность
этих чисел выражает число «пайков» прироста
травы за 96 дней — общий запас и т. д.
1189. Инженер летом приезжает поездом в город
на вокзал в 8 час. утра. Точно в 8 час. к вокза-
лу подъезжает автомобиль и отвозит инженера
на завод. Однажды инженер приехал на вокзал
в 7 час. и пошел навстречу машине. Встретив
машину, он сел в нее и приехал на завод на
20 мин. раньше, чем обычно. Определить пока-
зание часов в момент встречи инженера с ма-
шиной.
1190. (Индийская задача.) Некто сказал своему
другу: «Дай мне сто рупий и я буду вдвое бо-
гаче тебя», — на что последний ответил: «Если
ты дашь мне только 10 рупий, я стану вшестеро
богаче тебя». Сколько рупий было у каждого?
1191. Два туриста одновременно вышли из А и Б.
Первый половину времени, затраченного им на
переход, шел по 5 км в час, а затем шел по 4 км
в час. Второй же первую половину пути шел по
4 км, а затем шел по 5 км в час. Кто из них
раньше пришел в Б?
1192. Двое одновременно отправились из А и Б.
Первый поехал на автомобиле, а второй — на
велосипеде со скоростью, в 5 раз меньшей, чем
скорость первого. На полпути с автомобилем
произошла авария, и оставшуюся часть пути
автомобилист прошел пешком со скоростью, в
2 раза меньшей, чем скорость велосипедиста.
Кто из них раньше прибыл в Б?
1193. (Задача из русской математической рукопи-
си XVII в.) Юноша некий пошел из Москвы к
Вологде и идет на всякий день 40 верст. А
другой пошел после его на следующий день, а
на всякий день идет по 45 верст. Во сколько
дней тот юноша постиг прежнего юношу, сочти.
1194. Человек купил коня за 156 руб., а потом раз-
думал и начал отдавать коня обратно, говоря,
что цена его слишком высока. Продавец тогда
363
предложил купить только гвозди в подковах
коня, а самого коня обещал подарить покупа-
телю. За гвозди же продавец назначил такую
1 1
цену: за первый гвоздь—— коп., за второй —коп.,
за третий — 1 коп. и т. д., увеличивая каждый
раз в 2 раза стоимость гвоздя. В каждой подко-
ве 6 гвоздей. Покупатель, не подумав, согласил-
ся. Какую сумму он уплатил?
1195. (Старинная задача). Торговец рассуждал так:
«Покупателей мало, а поэтому я подниму цену
на товар на 50%, а затем через некоторое время
объявлю о распродаже товара со скидкой 50 7э.
Я ничего не потеряю, а привлеку такой скидкой
покупателей». Верно ли рассуждение торговца?
1196. В техническом журнале приводилось три
примера усовершенствования по использованию
топлива в паровой машине, причем первое усовер-
шенствование сулило 40% экономии топлива, вто-
рое усовершенствование независимо от первого
дает 35% экономии и, наконец, третье независи-
мо от двух первых дает 25% экономии топлива.
Один из читателей пришел к выводу, что, при-
менив последовательно эти три усовершенство-
вания, он обеспечит работу машины без топлива,
так как сумма 40%+35%+25% =100% (эконо-
мии топлива). В чем ошибка читателя?
Остановимся на решении так называемых ло-
гических задач.
♦ Логические задачи отличаются от других
задач-загадок тем, что в них нет условий, кото-
рые вводят читателя в заблуждение, и для их
решения не нужно никаких специальных зна-
ний, а только умение правильно, логично рас-
суждать.
Для иллюстрации логических задач приве-
дем решение двух задач.
Задача 1.В классе 20 учеников. Можно
ли утверждать, что в этом классе найдутся хотя
бы два ученика, фамилии которых начинаются
с одной и той же буквы?А если в классе будет
40 учащихся?
Решение. Алфавит русского языка —
33 буквы.
1) Букв в алфавите, с которых может начи-
наться фамилия, больше, чем число учеников
(20). Значит, утверждать, что в классе обяза-
тельно найдутся два ученика, фамилии которых
начинаются с одной буквы, нельзя.
2) Так как в классе число учеников (40)
больше числа букв алфавита, то обязательно
найдутся ученики, фамилии которых начинают-
ся с одной буквы.
Задача 2. Все мальчики, живущие в од-
ном доме, увлекались или фотоделом, или радио-
делом, или музыкой. Семеро из них любили
фотодело, шестеро — радиодело, пятеро — му-
зыку; четверо любили и фотодело, и радиодело,
и музыку. А один охотно занимался и фотоде-
лом, и радиоделом, и музыкой. Сколько маль-
чиков жило в в этом доме?
364
Решение. Решение легко найти, располо-
жив данные в таблице, где Ф обозначает увле-
чение фотоделом, Р — радиоделом и М — му-
зыкой :
Условия 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
I ф Ф Ф Ф Ф ф ф
II р Р Р Р р р
III м м м м м
Горизонтали дают первые три условия, а
вертикали — остальные условия. Из таблицы
следует, что в доме жило 10 мальчиков.
1197. В школе 368 учащихся. Доказать, что среди
учащихся обязательно найдутся хотя бы два
ученика, родившихся в один день.
1198. Доказать, что на Земле найдется не менее
двух человек, имеющих одно и то же число во-
лос на голове.
Указание. Число волос на голове у чело-
века не превышает 200 тысяч.
1199. Встретились два друга детства.
— Давно, давно я не видел тебя. Что нового
у тебя?
— У меня уж дочь!
— Как ее зовут?
— Да так же, как и ее мать.
— И сколько лет твоей Галочке?
Как собеседник узнал, что дочь зовут Га-
лочкой.
1200. Два человека подошли к реке. У берега стоя-
ла лодка, в которой мог поместиться только
один, человек. Оба путника переправились на
этой лодке через реку и продолжали свой путь.
Как это они сделали?
1201. Как отмерить 4 л воды с помощью двух со-
судов вместимостью 3 л и 5 л?
1202. В шкафу лежат вперемежку 5 пар светлых
ботинок и 5 пар темных одинаковых размеров и
одинакового фасона. Какое наименьшее количе-
ство ботинок надо взять из шкафа наугад с уве-
ренностью, что среди них была бы хоть одна па-
ра одинакового цвета, на правую и левую ногу?
Решение. Возьмем 10 ботинок. Может
оказаться, что среди них 5 светлых на левую
(или на правую) и 5 темных, тоже на одну ка-
кую-то ногу. Следовательно, надо взять одиннад-
цатый ботинок, и он с одним из ранее взятых
даст или пару (на левую или правую ногу) свет-
лых ботинок, или пару темных.
1203. В ящике находятся яблоки двух сортов.
Какое наименьшее число яблок нужно взять
наугад из ящика, чтобы среди них оказалось
2 яблока-одного сорта?
1204. В ящике лежат 100 яблок четырех сортов,
каждого сорта поровну. Какое наименьшее число
яблок нужно взять, чтобы среди них оказалось
не менее 10 яблок одного сорта?
365
1205. Определить наименьшее число носильщиков, с которыми геолог сможет
совершить шестидневный переход через тайгу, если он сам и каждый из
носильщиков могут нести лишь четырехдневный запас 'Пищи для человека.
1206. Из трех одинаковых колец одно несколько легче остальных. Найти его
одним взвешиванием на чашечных весах.
1207. Из восьми одинаковых колец одно несколько легче остальных. Найти
его не более чем двумя взвешиваниями на чашечных весах.
1208. В темной прихожей стоят 8 пар галош. Сколько галош нужно взять,
чтобы быть уверенным в том, что среди взятых имеется хотя бы 2 парные
галоши?
1209. В ящике имеется 100 одинаковых шаров, отличающихся только цветом:
30 красных, 30 зеленых, 30 белых и 10 черных. Какое наименьшее число
шаров надо взять на ощупь, чтобы среди них было не менее 5 шаров оди-
накового цвета?
Зачетная работа № 4
Вариант /
1. Напишите формулировку правила сложения двух приближенных
чисел. Приведите пример.
2. Перечислите основные виды задач на проценты. Приведите при-
меры.
3. Что значит разделить число обратно пропорционально данным чис-
лам? Приведите пример.
4. Напишите формулы для нахождения: а) площади треугольника;
б) объема прямоугольного параллелепипеда.
5 *. Выполните действия:
66 +
17 41
5— — 1—
30 96
1—— 0,3 • (61 — 1976 : 32,5).
2
6 ♦. Решите пропорцию:
1 11 1
3-х : 19- = 3-
8 16 9
: 9 —
5
7*. На карте, числовой масштаб которой равен 1:5 000 000, рас-
стояние от Москвы до Киева имеет длину 17,2 см. Определить дей-
ствительное расстояние от Москвы до Киева.
8 *. Месячный расход угля на агрегат — 12 000 г. Цена 1 т угля —
13 руб. Сэкономлено 3°/о месячной нормы топлива, 40% от сэконом-
ленной суммы должно быть израсходовано на премирование рабо-
чих, а остальная сумма идет в фонд предприятия. Какой доход име-
ло предприятие за счет экономии топлива?
9 ♦. Лодка, идя по течению реки, прошла расстояние между двумя
пристанями за 6 час., а обратный путь она совершила за 8 час. За
сколько времени пройдет это расстояние плот, пущенный по тече-
нию реки?
Вариант //
1. Напишите формулировку правила умножения двух приближен-
ных чисел. Приведите пример.
2. Если найти 15% от 20 и 20% от 15, то окажется, что результаты
равны. Чем это объяснить?
3. При каком условии две величины считаются пропорциональными?
Приведите примеры пропорциональной зависимости между величи-
нами.
366
4. Что такое числовой масштаб карты? Линейный масштаб карты?
Как, зная один из масштабов карты, найти другой?
5*. Выполните действия:
/4 1\ 4,25:0,85 + 0,5
5----4— • 22,5 —------’-----’--!—’---- .
45 15/ (5,56— 4,06): 3
6*. На основании зависимости между компонентами и результатом
действий найти х из равенства:
/ 11 13\
1— + — 1,44 —50-х = 2,32.
\ 24 36/
7 *. Расстояние от Земли до близких звезд созвездия Центавра по-
езд, двигающийся со скоростью 100 км в час, прошел бы за
46 000 000 лет. Через сколько времени достигнет космический ко-
рабль одной из этих звезд, если его скорость будет равна 30 000 км
в час?
8 *. В связи с усовершенствованием станка его цена была повышена
на 25%. В дальнейшем процесс изготовления станка был хорошо
освоен, что позволило снизить его цену на 25%. Уменьшилась или
увеличилась стоимость станка по сравнению с его первоначальной
стоимостью?
9*. Шлакоцементный шиферный лист изготовляется из цемента, шла-
ка, песка и опилок, взятых (по весу) в отношении 1 : 0,75 : —
1
16 ’
причем шлака берется на 2,6 кг больше, чем песка. Сколько каждого
из этих материалов потребовалось для изготовления плит?
ПРИЛОЖЕНИЕ Mi 1
КАК НАХОДИТЬ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ!
I. Ясно и точно понять условие задачи
1. Выделить данные и искомые задачи. Что неизвестно? Что дано? В чем
состоит условие?
2. Достаточно ли данных для нахождения неизвестного? Или недостаточ-
но? Или чрезмерно? Или противоречиво?
3. Если надо и возможно, то для понимания задачи сделайте чертеж.
II. Составить план решения задачи
1. Расчленить задачу на части, если она содержит несколько вопросов.
2. Выяснить, не встречалась ли вам эта задача или ее часть раньше.
3. Может быть, встречалась несколько в другой форме?
Если вы вспомнили родственную задачу, то как воспользоваться ее
решением для решения нашей задачи?
4. Не следует ли ввести какой-нибудь вспомогательный элемент в нашу
задачу, чтобы можно было воспользоваться известным решением родствен-
ной задачи?
5. Нельзя ли придумать более простую, известную вам, но сходную задачу
с данной?
6. Нельзя ли решить часть задачи?
7. Все ли данные задачи вами использованы?
8. Нельзя ли улучшить намеченный план решения?
III. Выполнить намеченный план решения
1. Осуществляя намеченный план решения, контролируйте каждый шаг.
2. При решении выяснить, что уже сделано, что еще надо сделать.
ПРИЛОЖЕНИЕ № 2
ТАБЛИЦА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ, НЕ ПРЕВОСХОДЯЩИХ 1000
2 109 269 439 617 811
3 113 271 443 619 821
5 127 277 449 631 823
7 131 281 457 641 827
11 137 283 461 643 829
13 139 293 463 647 839
17 149 307 467 653 853
19 151 311 479 659 857
23 157 313 487 661 859
29 163 317 491 673 863
31 167 331 499 677 877
37 173 337 503 683 881
41 179 347 509 691 883
43 181 349 521 701 887
47 191 353 523 709 907
53 193 359 541 719 911
59 197 367 547 727 919
61 199 373 557 733 929
67 211 379 563 739 937
368
71 223 383 569 743 941
73 227 389 571 751 947
79 229 397 577 757 953
83 233 401 587 761 967
89 239 409 593 769 971
97 241 419 599 773 977
101 251 421 601 787 983
107 257 431 607 797 991
263 433 613 809 997
ПРИЛОЖЕНИЕ JO 3
НЕКОТОРЫЕ СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ ДЛЯ СОСТАВЛЕНИЯ ЗАДАЧ
Средние нормы высева некоторых культур на 1 га
1. Озимая пшеница 180—230 кг
2. Яровая пшеница 230—240 »
3. Озимая рожь 140—200 »
4. Яровая рожь . . 140—150 »
5. Кукуруза . . . 30— 50 »
6. Ячмень .... 230—240 »
7. Гречиха . . . 50—100 »
(первая при широкорядном)
8. Просо..........18— 25 кг
9. Горох .... 250—270 »
10. Картофель . . 20— 40 ц
(в зависимости от величины клуб-
ней)
11. Свекла сахарная 35—38 кг
12. Подсолнечник , . 10—16 »
Вес 1 куб. м некоторых сельскохозяйственных продуктов
1. Пшеница (зерно) . . . 790 кг
2. Рожь (зерно) . . . . 700 »
3. Мука (ржаная) . . , . 390 »
4. Овес . . 470 »
5. Картофель . . . . .650 »
Калорийность некоторых пищевых продуктов ("кал. в 100 г)
1. Арбузы...............20
2. Картофель.............60
3. Морковь...............30
4. Огурцы свежие ... 7
5. » соленые ... 5
6. Редис..............20
7. Крупа гречневая . . . 310
8. Кукурузные хлопья . . 350
9. Пшено...............303
10. Рис..................330
11. Говядина............110
12. Баранина............200
13. Свинина..............360
14. Мясо курицы .... 120
15. Мясо гуся . . . . . 310
16. Мясо утки............230
17. Жир свиной...........830
18. Масло сливочное . . .780
19. Масло топленое . . .870
20. Сметана..............250
21. Сыр............... .340
22. Масло подсолнечное . . 870
23. Мед пчелиный .... 320
24. Сахар................390
369
ПРИЛОЖЕНИЕ № 4
ОБРАЗЦЫ ЗАПИСЕЙ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ
А. Натуральные числа
Сложение
— + в. 3 9 3 3 4 7 5 ПВЫНИгаПВМПЕНВШИ
4 7
/ 2 4 й
2 $ 8 5 6
j 4 7 5 2 6 + 1 8 — 0 4
— 5 0 + 1 Л 0 — 8 4 0 9 3 7
У-! ; 2 6 9
Вычитание
- - 3 7( — Г О 0 / о 0 9- 2 — 5 4 — 7 г
/ 2 < 5 5 9 6 3 7
у 4 7 ГЗ 4 О 4 1 у 2 4 Q — 6 0 — 176 0
Умнс >ж ениё
X
7. 6 4 2 7 0 0 3 а 2 4 <2 3 0
3 3 2 Л 2 и 0 С 1 3 0 *3 5 О 0
ь г 7 1 2 3 4 и 2 / i <7 У
г 9 5 1 7 4 7 9 2 5 9 —
2\ 9 7} 2 1&1ЫВГОИ 7 3 7 77 7 / J / 7 F.
2 3 X 4 11 4 3 X 2 0 9 21. ) У 4 7 X / 0 0- = 3 4 У О 0
Деление
Л 3 3 5 3 У 7 У 6 2 5 г 3 7 2 / в .2 4
3 3 г 9 У 7 3 6 / 7 2 3 7 2 3 0 7
3 3 1 7 2 г ~8
0 1 6
6 4
/ 5 6 9
3 4 • 2.1 =1 ИЫЫ1 иыгагаып
7 у • 1t. 4 Д Й 'Л 1. L
Б. Дробные число
ОТВЕТЫ
Глава II.
Арифметические действия и решение задач
36. 1) 19 999. 38. 1) 45. 44. 533 м. 45. 9234 км. 46. 4 га 12 а
20 кв. м. 47. 18 час. 50 мин. 48. 15 час. 07 мин. 59. 767 км. 60. 984 м.
61. 38 631 чел. 62. 13 126 книг. 63. 580 руб. 64. 2800 вед. 65. 6400 шт. 66;
13 час. 67. 2 час. 25 мин. 16 сек. 79. 1) 90 478; 2) 45 083;
3) 302 752; 4) 13 967; 5) 608; 6) 2 227 856; 7) 95; 8) 9 095 012. 89. 928 км.
90. 3120 км. 91. 288 га. 92. а) 32 км-, б) 104 км. 93. 26 280. 95. 1) 8008;
2) 90 002; 3) 5578; 4) 7609; 5) 50 480; 6) 106 670; 7) 50 840;
8) 50 079; 9) 20 900; 10) 35 082; 11) 508 600. 96. 1) 1030; 2) 103; 3) ЗОЮ;
4) 3001; 5) 105; 6) 905; 7) 40 730; 8) 307; 9) 26 800; 10) 30 700;
11) 78 000; 12) 90 700. 97. 1) 304; 2) 203; 3) 250; 4) 800; 5) 2004; 6) 40 030;
7) 679; 8) 307; 9) 27; 10) 257; 11) 6585; 12) 3004. 99. 1) 54; 2) 9; 3) 5425;
4) 450; 5) 935; 6) 89. 102. 1) 3; 2) 3; 3) 7; 4) 6; 5) 8; 6) 28; 7) 11; 8)10;
9) 14; 10) 10; 11) 1; 12) 4. 107. II на 650 кг. 108. 143 300 пач. 109.
400 кор. 111. 10 т. 112. 2 й, на 240 кирп. 113. 2310 бр. и 3612 бр.
114. На 4 часа. 115. 1060 пор. кур. 116. На 729 км. 118. 11 500 руб. 119.
220 руб. 125. 1) В 9 раз; 2) в 10 раз; 3) в 90 раз. 127. 1) 899; 2) 1099. 128.
1) 4; 2) 9999. 144. В 4 раза. 145. 64 зубца. 146. 1) 17 947; 2) 21599. 147.
1) 223 520; 2) 94 840. 151. 9° холода. 152. 91. 153. 71. 154. 8 км 400 м. 155.
1) 150 ябл.; 2) 30. 157. 480 кг. 158. 62 л; 62 г и 73 г. 159. 59 кг-, 41 кг и
56 кг. 160. 1300 км-, 1200 км и 1400 км. 161. 1100 га-, 1325 га и 2425 га.
162. 25 640 кв. м; 26 000 кв. м и 51 640 кв. м. 163. 240 кг; 240 кг и 720 кг.
164. 1415 м. 165. 45 дет. и 270 дет. 166. Вешений множество. 168. 30 мужч.;
90 женщ. и 120 дет. 169. 50 кг; 150 кг. 170. 84 детали. 171. 1200' г и
400 г. 172. 20 км в час. 173. 14 км в час. 174. В 15 час. 175. 30 км и 40 км.
176. 240 км. 177. На 140 км. 178. 20 км. 179. В 18 час. 30 мин. 180.
1916 лет 10 мес. 6 дн. 181. 31 мая 1954 г. 183. 19 февраля 1938 г. 184.
12 февраля 1856 г. 185. 104 дня. 186. 10 час. 34 мин. 187. 11 ноября 1755 г.
188. 17 мая 1958 г. 189. 1500 шт. 190. 80 шт. 191. 11 шт. 192. 14 га 40 а.
193. 17 га. 194. 83 куб. м. 196. 43 200 Кирп. 216. Через 4 и 7 обор. 217. Че-
рез 13 и 9. 218. Через 6 час. 219. 8 час.
Глава IV.
Обыкновенные дроби
303. 1) 1—; 2)1—; 3)1—; 4) 1—. 304. 1)—; 2)1—; 3) 1^.
30 84 70 ' 180 12 3 5
5 11 1 1 19 7 61
305. 1) — ; 2) 1—; 3) 2— . 306. 1) 1—; 2) 1—; 3) — ; 4) 10— .
’ 12 ’ 20 200 2 28 8 ’ 180
307. 7945 м. 308. 36— часа. 309. 9— . 310. 78 — кг. 311. 122- л.
6 60 10 20
7 1 7 13
312. 19— л<. 313. 84 л. 314. 44— м. 315. 401 м. 316. — . 317. — .
J0 10 24 36
1 2
318. 1) Уве . на 2; 2) увел, на 15— . 320. 1) 18; 2) 19— . 322. 1) 2;
2 3
2 1 11 1 15
2) 15~. 324. 1) 4- ; 2) 7- . 325. 1) 9; 2) 16-. 326. 1) 16—; 2) 8- ;
3 4 36 8 2 6
3)15; 4)14. 331.1)2-; 2)2-; 3)2—; 4) — ; 5) -; 6)34-;
' 10 ' 63 ' 114 ’ 150 ' 6 ' 27
372
103
31
7> 3-; 8) 4- ; 9) 2—.
1) 31^; 2) 181-
-4
ll ,
’ 35
336.
340.
344.
349.
„347
’720 ’
7
- кг и
20
1) 2- ; 2) 5— .
’ ’ 1089
121
35— .
130
1
12— .
12
1) 12;
2)
3)
2)
4)
4)
1) з-
12
13
— ; з
180
65
4- ; 4)
84
3
4— кг-
4
И
42 ’
19
32-
33
2) 462;
39
2) - ;
' 55
414. 1)
4
419. —
15
3
3) 5-.
165’
2)
; 2)
3 31
332. 66—. 333. 38— . 334.
10 72
111
' “500
7
41— .
15
1
150—
4
341.
346.
350.
кг. 337. На 2 —
м.
1)
1)
1 5
• 1—. 335.29—кг.
8 6
1 4
338. — . 339. — .
20 21
1 1
11— ; 2) 3— •
30 3
3
348. 1) — .
10
2
5- ;
5
4—;
21
13
13-;
51
1
4— ; 2)
6
7
35—; 2)
12
13
2) if2; з)
5
1)
2)
5
3-
7
. 347.
2. 351.
343.
1)
55
67- .
63
3
На 2- .
4
352.
1)
2
Г
19
347
5 .
720
— . 353.
168
25
18- . 355. 1) 11- ; 2) 47-; 3)
36
3
359. 18— км-
8
4
1) 1-; 2) 3;
3
. 401. 57—
5
3
18—; 4
8 ’
4
3)8?;
2
1— ;
9
391.
3)
2)
420.
438.
441. 650 км.
354. 1)
4
15’
2)
21 ’
1
360. 2—
2
4
3) 6—;
5
га. 402.
99 куб.
24’
6;
км. 390.
4)
м-
1)
7
4) 19— .
8
35^
204’
358.
2)
1
11—.
5
37
4) 7-
40
3
3- .
5
£
12
1)
1
5- .
2
403.
392. 1)
17
162’
3
2
15’
410. 1)- ; 2)-;
'15 ’ 2
412. 2880 руб.
3
416. 309 - jh.
5
421
1
2—;
2
. 63 км.
2) 18;
3)
422.
19
3- .
35
1) 3 —кг;
4
3) 1—;
19
1
' 8’
1) 36- ;
3
5
1) 2—.
’ 6’
13
2— .
24
1 _ _
- ; 2) - ; 3) —;
3 25 ’ ?
25’
28 800 куб. м. 409.
1
3)4; 4)12-. 411.
4
3
413. 1) 25— ; 2)
417. На 26 кв.
3380 учащ.
439. 1) 180;
437.
1
11—;
4
м.
3)
418.
1) 38;
2)
36а;
465;
2) 500. 440.
320 кг.
1 2 3
442. 6— м. 443. 120 кг. 450. 1) 2; 2) 11; 3) 1— ; 4) 1- .
2 3 5
3 1 19
451. 1) -; 2) 1- ; 3) 8; 4) 4; 5) 2; 6) 3 - .
5 2 25
1 9
452. 1) 1 — ; 2) 3 — .
’ 2 11
1 21 1 1
453. 1) - ; 2) - ; 3) - . 455. 1) -; 2) 6; 3) 14. 456. 1) 25;
2 23 3 6
8 1 7 1
2) — . 458. За 3— часа. 463. 120 км. 464. 60 и. 467. 1) 3- ; 2) — •
11 5 9 14
2 2 8 15 1 13
3) 1—; 4) 14-. 468. 1) -; 2) 26-; 3) 3; 4) 7—. 469. 1) 1—;
’ 3 9 11 32 2 15
373
3 1 2 53 5
2) -. 470. 1) 80; 2) 60. 475. 1) 1 - ; 2) 1-. 476. 1) 7-; 2) 40—;
7 23 60 6
6 2 1 5 2 1
3) 81— • 477. 1) 270 — ; 2) 1; 3) 58—. 478. 1) —; 2) —; 3) 1-’
7 5 2 9 3 3
30 5 1 9 25
479.1) 6- ; 2) 16; 3) 4. 480. 1) —; 2) 5— ; 3) 2— . 481. 1) 12; 2) 2— ;
49 9 3 20 27
3) 24. 482. 1) 200; 2) 684; 3) 150; 4) 12. 483. 1) 10; 2) 37. 484. 1) 40;
2) 36. 485. На 900 ц. 486. 120 маш.; 160 маш.; 180 маш.
487. 26 кг. 488. 129 кг; 86 кг; 172 кг и 215 кг. ' 489. 30 т. 490. 300 км.
3 17 13
493. За 1 час. 494. 1) 7—; 2) 7- ; 3)34— ;
4 30 60
7 2 1
495. 1) 8—; 2) 12—. 496. 14 —га. 497. 6 час.
12 3 4
31 11 2
и ' 499. 1— км; 13— км. 500.1)6 —и
60 4 4 5
12 1
1)3 — ; 11—и 7—; 2) 136; 204 и 238.
о о 2
1
и 33— . 503. 32 учен. 504. 15 лет и 39 лет.
8
491.120 км. 492. 183 т.
11 16
4) 7-; 5) - ; 6)
20 45
33
16---.
560
7 3 1
498. 1) 1—; 6— ; 2) 25-
го 20 60
4 11
12— ; 2) 1- и 5-. 501.
5 2 4
11 3
502.1) 1— и 8— ; 2) 3—
2 2 4
505. За 4 дня.
510. Через 1
506.
За 20 дн. 507.3а 30 час. 508. За 10 час. 509.
1
рез — часа. 514. В 12
А
516. Через 24 часа. 532.
4
— часа. 511. Через 7— часа.
5 2
512.
Через 3 — часа.
Через 4 —часа. 513. Че-
5
час. 50 мин. 515. Через — часа;
1 1 1 3 9
!) 3—; 2) 4—; 3) - ; 4) 3-.
2
на 46 у км.
534. 100 ц;
1
2
150 ц. 535. На 810 т- 536. 576 км. 537. 1 руб. 80 коп.; 2 руб. 40 коп.
. 34
и 3 руб. 538. 1 час 19 мин. 539. 21— ц. 540. 108— кг. 541. 117 т.
5 5
17 11 1
542. 14— ; 9—; 11—. 543. 40 гр. и 60 гр. 544. 15 мужч. и 12 женщ.
18 18 9
545. Через 3 часа. 546. За 15 час. 547. 20 мин. 548. За 6 час. 549. 5 мин.
550. 60 км. 551. 140 рейсов. 552. 13 км.
Глава V.
Десятичные дроби
694. 1) 40 200; 2) 8,25. 695. 1) 11; 2) 1. 696. 1) 0,406; 2) 9,36.
697. 1) 2,1; 2) 0,28. 698. 1) 15; 2) 1. 707. 2750 куб. м. 708. 4 м. 709. 5,1 га.
710. 17 га. 711. 5 км. 712. 1) 24; 2) 34,256675; 3) 2,98895. 713. 1) 4,5;
2) 0,11; 3) 15. 714. 1) 1,6; 2) 8; 3) 900. 715. 1) 1,12; 2) 1,4; 3) 7. 716.
1) 5,82; 2) 10,6. 717. 1) 12; 2) 0,2402. 718. 6,4. 719. 200. 720. 0. 721. 0,25.
722. 1) 10; 2) 3. 723. 1) 35; 2) 0,6. 724. 1) 6,4; 2) 4. 726. 1) 8; 2) 3. 732.
50 км. 735. 3,15 т. 736, 98 т. 737. 25 Ц. 738. 20 кг. 739. 1200 га. 740. 84 ц.
741. 22,5 ц. 742. 100 пл. 743. На 72 чел. 744. 22,5 га. 745. 4,7 га. 746. 40 т.
747. 748 студ. 750. 4,2 га. 751. 3,7 мин. 752. 36. 753. 14,6°. 754. 47,3 км.
755. 0,66 кг. 756. 222,3 м. 757. 99,8 млн. чел.; 109 млн. чел. 758. 8,85 м;
15,65 м. 759. 2703,6 г; 2950,9 г и 3001,7 т. 760. 12 км; 2,5 км. 761.
18,4 км и 3 км. 762. 1400 г и 2100 г. 763. 6,48 км и 25,92 км. 765. 9,6 т;
374
3,2 г; 6,4 г. 766. 800 км и 2000 км. 767. 1967 км и 500 км. 768. 1,3 и 6,5.
769. 1,2 и 0,9. 770. 1,3 и 5,2. 771. 1000 га и 1600 га. 772. Через 10 5 часа.
773. 60 км и 72 км. 774. 40 км. 775. 8,5 часа; 145,7 км. 776.1,5 часа;
67,5 км. 777. Через 4 часа. 778. 8,5 км. 779. За 1,0 часа, 780. За 1,7 дня.
781. За 1,3 часа. 782. За 5 мин. 783. 12,5 км. 784. 27 га и 42 га. 785. 34,7 га
и 14,8 га. 786. 13 кусков. 787. 41 руб. 788. 1,3 кв. м. 789. 968 г. 790. 6,46 га.
791. За 4 iaca. 792. 103 кв. м. 793. 7686. 817. 1) 1 — ; 2) 220,8 ; 3) —.
9 15
818. 1) 3~; 2) 1,225; 3) 64,5. 819. 1) 1; 2) 0; 3) 18 — . 820. 1) 2,45; 2) 5,08;
49 103
3) 94,96. 821. 1) 7,5; 2) 27 —; 3) 1,7. 822. 1) 18 -- ; 2) 8; 3) 13,5.
60 150
7 7 19 13
823. 1) 2) 1,5; 3) 1 -. 824.—. 825. 4,72. 826. 3 - км и 4 — км.
9 27 40 4 4
827. 12 км и 21 км. 828. 4 км и 20 км. 829. 14,5 км. 830. В 17 час. 50 мин.
831. В 2,5 раза. 832. 3,6 км в час. 833. 35 км. 834. За 1,5 часа. 835. 10 дн.
и 15 дн. 836. 12 дн. и 24 дн. 837. 270 куб. м. 838. За 24 час. и 12 час.
839. 6 дн. 840. 15 и 21. 841. 135 стр. 842. 10 га. 843. 36 учен. 844. 24; 156
1 1
и 12. 845. 36 ничьих. 846. 0,5 куб. м. 847. 670 вед. 864. -. 865.--------.
1000 10000000
868. 12 км; 25 см; 60 см. 869. 101 см. 870. 5 м; 20 м; 32,5 м. 872. 1) 50 м;
2) 200 км. 873. 19,2 т. 874. 2,4 г. 884. 40° и 140°. 885. 82°30' и 97’30'.
886. 60° и 120°. 887. 30’ и 150’. 895. 5,12 кв. см. 896. 1540 м; 12,6 га.
897. 3 см; 6 см; 12 кв. см. 898. 12,4 см; 10,2 см; 45,2 см. 899. 13,4 см.
900. Треугольники. 902. 13 см. 903. 38,54 кв. см. 904. 46,92 кв. см. 907.
80,64 кв. см; 101,44 кв. см; 43,68 куб. см. 908. 25,2 кв. дм; 4,8 куб. дм.
909. 344 кг. 910. 21, 6 т. 911. 31,1 куб. м; 43,5 кв. м.
Глава VI.
Приближенные вычисления. Решения геометрических задач
Абсолютное большинство ответов к упражнениям и задачам главы VI
выражаются приближенными значениями чисел.
914. 267 чел. 915. 721 гор. 916. 21,84 м. 918. 8 раб. 919. 1 руб. 16 коп.
1 3
920. 1,43 кг. ' 921. 6 ящ. 924. 1) -; 2) --- . 925. 0,2; 0,5; 0,4; 0,246.
300 1300
926. 1) Цифры 4 и 3 сомнительные; 2) 1 и 2 (±0,5°). 928. 1) Цифра 4 сом-
нительная. 929. 1) 8 и 3; 2) 0 и 7. 930. 1) 28,72; 2) 43,7; 3) 45; 4) 20,1;
5) 5300; 6) 4600. 931. 1) 2,88; 2) 13,6; 3) 1,0; 4) 8; 5) 2400; 6) 417. 932.
1) 3,0; 2) 30,7; 3) 3800; 4) 186. 933. 9425 тыс. км. 935. 14 км.
936. 0,08 г. 938. 1) 260; 2) 4,69; 3) 41,76. 939. 1) 16; 2) 0,55; 3) 0,170.
940. 113 кг. 941. 508 м. 942. 140 см2. 943. 21 см2. 945. 1300 болв. 946. 47,20 г.
947. 23 кост. 948. 58 км. 949. 1) 3,1. 958. 15,7 м; 201 см; 5 м;
345 мм; 29 см. 959. 100 м; 2 м; 1 см; 3 м; 6 см. 960. 2 м; 5 см; 15 м;
0,5 см; 0,25 см. 961. 6,28 м. 962. 78,5 см. 964. 47,1 м. 967. 707 кв. см;
115 кв. см; 16 кв. см. 968. 1256 кв. см. 969. 346 кв. м. 971. 0,002. 972.
78,5 кв. см. 974. 0,28 кв. м. 976. 319 кв. дм. 978. 47 лист. 979. 138,2 кг.
980. а) 125,6 куб. см. 981. 15,7 л. 982. 35,3 л. 983. 281,8 т. 984. 0,5 г.
985. 1 м. 986. 47,1 л. 987. а) 157,8 кг. 308 кг. 988. 203,3. 989. 21,12 кв. см.
990. 249,48 кв. см. 991. 2,16 куб. см. 992. 6 392 083 г. 993. 10,7 куб. м. 994.
7 куб. м; 21 куб. м. 995. 1,5 куб. м. 996. 43,96 кв. см; 56,52 кв. см.
997. 53,38 кв. см; 73,01 кв. см. 998. 100,48 кв. см. 999. 157 кв. см. 1000.
3,5 кв. м. 1001. 150,7 кв. м. 1003. 27,7 куб. м. 1004. 4186,7 куб. м.
1005. 1) 1318,8 куб. см. 1007. 5,2 куб. дм. 1008. 36,1 куб. м.
375
Глава VII.
Проценты
1019. 1) 28,8; 2) 14,4 руб.; 3) 48,3 кг; 4) 0,768 л; 5) 22,5 км; 6) 1,8 м;
7) 1,51 г; 8) 3240; 9) 5,25 м\ 10) 62 кг; 11) 726 т; 12) 0,42. 1027. 49 л. с.
1030. Второй доярки. 1031. 95,5 руб. 1032. 77 руб. 1033. На 1620 ц. 1039.
200 кг. 1040. 800 г. 1041. 80 руб. 1042. 960 маш. 1043. 16 млн. руб. 1044.
200 кг. 1045. 260 ц. 1046. 75 000 т. 1050. В IV А. 1051. 20% ; 15% ; 50% ; 15%.
1052. 96%. 1053. 15,2%. 1054. 11%; 22%; 67%. 1057. 2 000 000%.
1058. 25%; 30%. 1059. «75%. 1060. 37,5%; «84 дет. 1061. «0,1%. 1062.
«6%. 1063. «0,4%. 1066. Первое измерение. 1067. Первое. 1068.
«4,1%; «4,5%; «0,9%. 1076. 396 т. 1077. На 18%. 1078. На 20%. 1079.
82,1%. 1080. 2) 114,4 т. 1081. 2) 22%. 1082. 2) На 11%. 1083. 2) 1 руб.
92 коп. 1084. а) 212 руб. 18 коп.; б) 218 руб. 55 коп. 1085. 327 руб. 82 коп.
1086. 305 руб. 1087. 403 руб. 8 коп.
Глава VIII.
Пропорции
48
1096.1) 42; 2)3; 3)1; 4)0,25; 5) 120; 6) -------. 1097. 1) 175; 2) 1,875;
16 13 I28 1
3) 4 — 1 4) 1; 5) 1 -; 6) 1 -. 1098. 1) 5; 2) 1; 3) 2-; 4) 0,02; 5) 10. 1099.
1 < 3 4 4
4. 1100. 7.1107. 2 т. 1108.42,5 т. 1109. За 3,5 дня. 1110. 360 м. 1111. 4,92 кг.
1112. 2,46 кг. 1113. 4,56 ц. 1114. 58,8 т. 1115. 88 кг. 1122. 12 час. 1123,
2 часа. 1124. 54 м. 1125. 1 груз. 1126. 10 груз. 1127. 20 зубц. 1128.
5
300 обор. 1129. 140 обор. ИЗО. На 80 час. 1131. 26 — кв. см. 1133. 200 г;
10 г; 180 г. 1134. 1) 120; 200; 240. 1135. 48; 72; 80. 1136. 80 л; 240 л»
15 680 л. 1137. 160 т и 240 т. 1138. 15; 21; 210. 1139. 150 дет.; 120 дет.;
100 дет. 1140. 35 маш.; 21 маш.; 15 маш. 1141. 42; 70. 1142. 25,2 руб.;
36 руб.; 33,6 руб. 1143. 224 г. 1144. 1) 44,1 мм. 1145. 764,5 кв. мм. 1146.
4 обор. 1147. 196 дет. 1148. 200 кг; 300 кг; 30 кг. 1149. » 43%. 1150. 93 часа.
3
1151. «90 га. 1152. «За 10 час. 1153. 30 обор.; 12 обор. 1154. 120 обор.;
135 обор.; 180 обор.; «264 м в мин.; «297 м-, «39 м. 1155. 30 раб.; 24 раб.;
20 раб. 1156. 8,4; 4,2; 2,8. 1157. 920 га; 115 га. 1158. 5,3. 1159. 1.
29 11 11
1160.3,2. 1161.—. 1162. 1 —. 1163. 25. 1164.1) 9,4.1165.1) —'
i 80 48 24
1166.—. 1167. 2. 1168. 27,8. 1169. 18. 1170. 1) Любым; 2) х <8; 3) х>1,6;
5) любым; 6) х^=0. 1171.1) Любое; 2) Ь > 2; 3) любое; 4) с > d; 5) b 0 и
а — любое. 1173. 4,2 га. 1174. 1728 куб. м; 12 000 куб. м; 216 куб. см;
1500 куб. см. 1175. 3,6 ц; 8,1 ц. 1176. 89,75 г. 1177. 875 пробы. 1178.
«880 проба. 1179. 5,6%. 1180. 400 г. 1181. 22 600 руб.; 14 400 руб. и
7500 руб. 1182. 480 г. 1183. На 43%. 1184. 4,5 км; 5,1 км; 4,8 км; 6 км;
3
9 км. 1185. 1464 га. 1186. В И час. утра. 1187. За 3 —часа. 1188. 20 коров.
4
1189. В 7 час. 50 мин. 1190. 40 рупий и 170 рупий. 1191. Первый. 1192. Вело-
сипедист. 1193. К концу 8 дня. 1194. Свыше 80 тыс. руб. 1199. Друг знал имя
матери ребенка. 1200. Путники были на противоположных берегах. 1203.
3 ябл. 1204. 37 ябл. 1205. Два носильщика. 1206. Поместив на каждую
чашу весов по кольцу, можем иметь два случая: 1) весы в равновесии,
тогда легкое кольцо вне весов; 2) весы не в равновесии, легкое кольцо
обнаружено. 1207. Разобьем кольца на кучки в 3; 3 и 2 кольца и, положив
на чаши по 3 кольца, можем иметь случаи: 1) весы в равновесии, тогда
легкое кольцо среди оставшихся двух, его легко обнаружить при втором
взвешивании; 2) весы не в равновесии. Берем кучку, в которой легкое
кольцо определяем по способу предыдущей задачи. 1208. Надо взять 9 га-
лош. 1209. 17 шаров.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Часть первая. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Глава I. НУМЕРАЦИЯ
§ 1. Понятие о множестве.................................5
§ 2. Счет. Натуральный ряд чисел........................6
§ 3. Десятичная система счисления. Нумерация чисел .... 8
§ 4. Метрическая система мер............................12
§ 5. Округление чисел...................................16
§ 6. Графическое изображение натуральных чисел. Числовой
луч. Диаграммы.....................................18
§ 7. Римская нумерация..................................20
§ 8. Возникновение и развитие письменной нумерации .... 22
Глава II. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
§ 9. Сложение. Законы сложения..........................23
§ 10. Сложение однозначных и многозначных чисел....25
§ 11. Задачи, решаемые сложением.........................29
§ 12. Вычитание..........................................30
§ 13. Устное и письменное вычитание. Свойства вычитания ... 31
§ 14. Проверка сложения и вычитания. Сложение и вычитание
на счетах...................................................34
§ 15. Основные задачи, решаемые вычитанием...................37
§ 16. Умножение. Законы умножения............................39
§ 17. Устное и письменное умножение. Проверка................42
§ 18. Основные задачи, решаемые умножением...................46
§ 19. Деление. Основные свойства деления.....................48
§ 20. Устное и письменное деление. Проверка деления..........50
§ 21. Приближенное частное...................................55
§ 22. Приемы устных вычислений при умножении и делении ... 56
§ 23. Основные задачи, решаемые делением.....................57
§ 24. Зависимости между данными числами и результатами
действий над ними...........................................59
§ 25. Изменение результатов действий в зависимости от измене-
ния компонентов.............................................63
§ 26. Порядок выполнения совместных действий. Скобки . ... 74
§ 27. Немного истории об арифметических действиях............76
§ 28. Решение задач на все действия..........................77
Зачетная работа № 1.........................................94
Глава III. ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ
§ 29. Делимость суммы двух чисел. Признаки делимости .... 96
§ 30. Разложение чисел на простые множители.................100
§ 31. Общий делитель нескольких чисел. Наименьшее общее
кратное нескольких чисел....................................ЮЗ
§ 32. Краткие исторические сведения о теории простых чисел . .106
Зачетная работа № 2........................................... 107
Часть вторая. ДРОБНЫЕ ЧИСЛА
Глава IV. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ
§ 33. Понятие дроби....................................109
§ 34. Правильные и неправильные дроби. Смешавиое число . . .112
§ 35. Числовой луч. Сравнение дробей......................117
§ 36. Изменение величины дроби с изменением ее членов . . .121
§ 37. Основное свойство дроби. Сокращение дробей..........124
§ 38. Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю . .127
§ 39. Сложение дробей. Законы сложения дробей.............131
§ 40. Вычитание дробей. Свойство вычитания дробей. Про-
верка сложения и вычитания дробей.........................138
§ 41. Умножение дробей. Законы умножения..................147
Зачетная работа № 3.......................................161
§ 42. Деление дробей .....................................163
Зачетная работа № 4.......................................176
§ 43. Решение примеров и задач на все действия с обыкновенными
дробями...................................................177
Зачетная работа № 5.......................................1S8
Глава V. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ
§ 44. Основные свойства десятичных дробей.................200
§ 45. Сложение десятичных дробей..........................209
§ 46. Вычитание десятичных дробей.........................212
§ 47. Умножение десятичных дробей.........................216
§ 48. Деление десятичных дробей...........................222
§ 49. Примеры и задачи на все действия с десятичными дро-
бями .....................................................230
Зачетная работа № 6.......................................238
§ 50. Запись десятичных дробей в виде обыкновенных и
обращение обыкновенных дробей в десятичные (точ-
но и приближенно). Понятие о периодической дроби . . . .239
§ 51. Совместные действия с обыкновенными и десятичными
дробями..................................................246
§ 52. Отношение величин и чисел; числовой масштаб и его
применение ..............................................252
Зачетная работа № 7.......................................259
§ 53. Решение задач с геометрическим содержанием..........261
Зачетная работа № 8.......................................275
§ 54. Повторение материала, пройденного в V классе........276
Глава VI. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ. РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ЗАДАЧ
А. Приближенные вычисления
§ 55. Понятие о точных и приближенных значениях величин . .282
§ 56. Абсолютная погрешность приближенного числа...........285
§ 57. Сложение и вычитание приближенных чисел..............289
§ 58. Умножение и деление приближенных чисел..............291
Б. Решение геометрических задач
§ 59. Деление отрезка и угла на равные части. Построение парал-
лелограмма по данным сторонам и углу между ними . . 294
§ 60. Вычисление длины окружности и площади круга, поверх-
ности и объема цилиндра...................................296
§ 61. Вычисление поверхностей и объемов правильной треуголь-
ной пирамиды, правильной четырехугольной пирамиды, ко-
нуса и усеченного конуса..................................302
Зачетная работа № 1.........................................308
Глава VII. ПРОЦЕНТЫ
§ 62. Определение процента числа. Нахождение процентов числа .309
§ 63. Нахождение числа по его процентам......................313
§ 64. Нахождение процентного отношения чисел.................316
§ 65. Относительная погрешность приближенного числа.
Секторные диаграммы...........................................318
§ 66. Решение задач на все типы процентных вычислений . . .321
Зачетная работа № 2 ........................................325
Глава VIII. ПРОПОРЦИИ. ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ
ВЕЛИЧИН
§ 67. Пропорция. Основное свойство пропорции.................327
§ 68. Нахождение неизвестного члена пропорции................330
§ 69. Понятие о величинах. Прямая пропорциональность ве-
личин .......................................................332
§ 70. Решение задач на прямо пропорциональную зависимость меж-
ду двумя величинами..........................................337
§ 71. Обратная пропорциональность двух величин..............340
§ 72. Решение задач на обратно пропорциональную зависи-
мость между двумя величинами 344
§ 73. Деление числа пропорционально данным числам...........347
§ 74. Задачи на пропорциональную зависимость и пропорцио-
нальное деление..............................................351
Зачетная работа № 3......................................353
§ 75. Повторение материала, пройденного в VI классе .... 354
Зачетная работа № 4......................................366
Приложения...............................................368
Ответы...................................................372
Семен Алексеевич Пономарев
АРИФМЕТИКА
V—VI классы заочной средней школы
Редактор Л. А. Сидорова
Художник Б. Л. Рытман
Художественный редактор М. Л. Фрам
Технический редактор М. И. Смирнова
Корректоры К. А. Иванова и
Н. И. Котельникова
Сдано в набор 27/1 1907 г. Под-
писано к печати 13/VI 1968 г.
60 X 90V16- Типографская № 2-
Печ. л. 23,5. Учетно»изд. л. 18,65.
Тираж 50 тыс. экз. (Тем. пл.
1968 г. Б. 3 № 79-1967-М 6)
•
Издательство «Просвещение»
Комитета по печати при Совете
Министров РСФСР. Москва,
3-й проезд Марьиной рощи, 4L
Саратовский полиграфический
комбинат Росглавполиграфпро-
ма Комитета по печати при
Совете Министров РСФСР. Сара-
тов. ул. Чернышевского, 59.
Заказ № 22.
Цена без переплета 47 коп.
Переплет бумажный 15 коп. .