/
Автор: Гейн А.Г. Шеврин Л.Н. Коряков И.О. Волков М.В.
Теги: учебные пособия и учебники по математике математика учебник математики
ISBN: 5-09-001537-6
Год: 1989
Текст
Библиотека учителя математики
ДОБРО
ПОЖАЛОВАТЬ!
1м = 10дм =100 см =1000мм 0,1м- 1дм =10см в100мм 0,01м в0,1дм в 1см “10мм 0,001 м = 0,01 дм = 0,1 см “1мм
3,6,9,12, 15, 18, 21, 24,27, 30,...
5, 10,15,20, 25,30, 35, 40,45,50, ...
КЛАСС
C=D=n
ТАБЛИЦА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ (ДО1ООО)
2 41 97 157 227 283 367 439 509 599 661 751 829 919
3 43 101 163 229 293 373 443 521 601 673 757 839 929
5 47 103 167 233 307 379 1449 523 607 677 761 853 937
7 53 107 173 239 311 383 457 541 613 683 769 857 941
11 59 109 179 241 313 389 461 547 617 691 773 859 947
13 61 113 181 251 317 397 463 557 619 701 787 863 953
17 67 127 191 257 331 401 467 563 631 709 797 877 967
1» 71 131 193 263 337 409 479 569 641 719 809 881 971
23 73 137 197 269 347 419 ! 487 571 643 727 811 883 977
29 79 139 199 271 349 421 491 577 647 733 821 887 983
31 83 149 211 277 353 431 499 587 653 739 823 907 991
37 89 151 223 281 359 433 503 593 659 743 827 911 997
Библиотека учителя математики
МАТЕМАТИКА
УЧЕБНИК-СОБЕСЕДНИК ДЛЯ 5'6 КЛАССОВ
СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Допущено Г осу дарственным комитетом СССР по народному образованию
МОСКВА .ПРОСВЕЩЕНИЕ" 1989
ББК 22.1я72 М34
Авторы:
Л. Н. Шеврин, А. Г. Гейн, И. О. Коряков, М. В. Волков
Учебник получил премию
на Всесоюзном конкурсе учебников математики
для средней общеобразовательной школы
Математика: Учеб.-собеседник для 5—6 кл. сред. шк. / М34 Л. Н. Шеврин, А. Г. Гейн, И. О. Коряков, М. В. Волков.— М.: Просвещение, 1989.— 495 с.:-ил.— (Б-ка учителя математики)ISBN 5-09-001537-6
Учебник математики для 5—6 классов написан в соответствии с программой 11-летней общеобразовательной школы. Книгу отличают развернутые объяснительные тексты и разнообразные приемы развивающего обучения: диалог с читателем, сквозная рубрика «Учимся рассуждать при решении задач», использование специальных персонажей (Смекалкина, его младшего брата, клоуна) и др. Большое внимание уделяется задачам, отражающим жизненные ситуации, а также различным приемам, повышающим занимательность учебника (игровые элементы, загадки, ребусы и т. п.). Учебник хорошо приспособлен для организации самостоятельной работы учащихся.
. 4306010000—703
М 103(03)—89 ПОДПИСНОе
ББК 22.1 я72
ISBN 5-09-001537-6
© Шеврин Л. Н. и другие, 1989
Предисловие
Предлагаемый вниманию читателя учебник был представлен на конкурс школьных учебников математики, объявленный в 1986 г. Министерством просвещения СССР и Госкомиздатом СССР. По итогам конкурса ему присуждена третья премия. Конкурсная комиссия отметила большую работу авторского коллектива по созданию учебной книги нового типа и перспективность использования этой книги в качестве пособия для учащихся. С целью ознакомления широкой учительской общественности с учебником издательство «Просвещение» выпускает его в серии «Библиотека учителя математики». Нужно отметить, что оформление учебника, следуя в основном оригинальному замыслу, из-за условий данного издания несколько отличается от задуманного авторами (использован более мелкий шрифт, оставлены более узкие поля, не воспроизведен цвет в знаковой системе аппарата ориентировки и т. п.). Смысл цветных ориентирующих знаков объяснен во введении «Как работать с учебником». В конце книги помещена адресованная учителю пояснительная записка.
Авторы и издательство будут признательны за предложения, которые способствовали бы дальнейшему совершенствованию учебника.
Редакция математики
КАК РАБОТАТЬ С УЧЕБНИКОМ
Когда путешественник отправляется в путь, что полезно ему знать? Конечно, многое. Например, он должен хорошо знать дорожные указатели. Тогда он точно определит, где нужно свернуть, где можно остановиться, где получить помощь.
Работа с учебником — это все равно что долгое’ путешествие по стране Математике. Вот мы и хотим объяснить вам самое необходимое для того, чтобы сделать это путешествие легче и интереснее. Ведь и в учебнике есть всякие «дорожные указатели», и их смысл надо хорошо понимать. А еще надо ясно представлять, на какие части будет делиться наш долгий маршрут.
То, что мы здесь объясняем, разделено на 7 пунктов. Вовсе не обязательно прочитать их все сразу, можно и с перерывами.
1. На какие части делится учебник
Самые крупные части — главы. Главы делятся на параграфы, а параграфы — на еще более мелкие части, которые мы решили назвать уроками. Чтобы пройти один урок из учебника, вам понадобится иногда один школьный урок, но чаще всего — два или больше. Каждый урок в учебнике начинается с объяснительного текста. За ним идут вопросы и задания.
Узнать названия глав, параграфов и уроков легче всего по оглавлению. Вы часто будете пользоваться им, чтобы найти, например, на какой странице начинается нужный урок. Но мы советуем разглядывать оглавление и с другой целью — чтобы лучше ориентироваться в изучаемом материале. Так разглядывание карты местности помогает туристу лучше ориентироваться в походе.
2- Как в объяснительном тексте выделяются важные слова
Если мы хотим привлечь особое внимание к какому-то слову, то это слово печатается вразрядку. Если мы хотим выделить в тексте какое-то название, свойство или правило, то нужные слова печатаются жирным шрифтом.
САМЫЕ ВАЖНЫЕ НАЗВАНИЯ» СВОЙСТВА И ПРАВИЛА
ПЕЧАТАЮТСЯ ПРОПИСНЫМИ БУКВАМИ.
Что делать, если вы забыли объяснение какого-нибудь названия и хотите найти его в учебнике? Тогда надо заглянуть в предметный указатель. Найдите там интересующее вас название. Против него указан номер урока, в котором и содержится объяснение этого названия.
3. Как вы будете работать с объяснительным текстом
Объяснительный текст вы обычно будете читать дома. По ходу текста мы часто обращаемся к вам с вопросами или небольшими заданиями. Для чего? А для того, чтобы вы тут же проверили, как поняли рассказанное, лучше запомнили, потренировались. Чтобы такие обращения были заметнее, около каждого из них изображен вопросительный или восклицательный знак голубого цвета1. Попробуйте-ка уже здесь откликнуться на два таких обращения.
Скажите, зачем нужен предметный указатель?
Тому, кто не сможет ответить, совет: перечитайте конец п. 2.
Подсчитайте, не перелистывая весь учебник, число страниц в каждой главе.
Тот, кто не смог это сделать, найдет совет в конце п. 3.
Обычно в тексте после вопроса приведен ответ на него. Но не спешите сразу смотреть в дальнейший текст: кому же интересно подглядывать ответ до того, как сам подумаешь!
В объяснительном тексте вы нередко встретите нарисованный колокольчик, какой изображен чуть ниже. Он означает, что при чтении текста в этом месте можно остановиться и передохнуть, можно отвлечься. А вот до колокольчика надо стараться читать текст, не отвлекаясь. Если в объяснительном тексте несколько таких передышек, то первая из них обозначается одним колокольчиком, вторая — двумя и т. д.
1 По техническим причинам использовать цвет в знаковой системе аппарата ориентировки в настоящем издании оказалось невозможным. Голубые вопросительный и восклицательный знаки всюду заменены здесь контурными знаками, а упоминаемые ниже знаки красного цвета — залитыми.
А теперь обещанный совет: для подсчета числа страниц воспользуйтесь оглавлением. После подсчета можно сравнить главы по длине. Например, глава II длиннее главы III (проверьте!).
4. Поговорим о вопросах и заданиях к уроку
Каждый вопрос (задание) нумеруется двумя числами, разделенными точкой. Первое из них указывает номер урока, второе — номер вопроса (задания) в этом уроке. Например, 6-е задание в 1-м уроке имеет номер 1.6 (читают: один-шесть). А 1-й вопрос в 6-м уроке имеет номер 6.1 (читают: шесть-один). В начале группы вопросов стоит красный вопросительный знак, в начале группы заданий — красный восклицательный знак.
На вопросы вы будете отвечать устно. Некоторые задания выполняются тоже устно — те, у которых после номера напечатано (У) или (Загадка). Все другие задания выполняются письменно.
Около номеров некоторых заданий стоит звездочка. Это значит, что такое задание немного труднее. В любом классе есть ученики, которые любят решать и более трудные задачи. Мы будем рады, если вы тоже полюбите это.
Иногда на полях около номера задачи нарисован красный квадратик И. Это значит, что ответ такой задачи понадобится позднее для решения каких-то последующих задач.
Будет много заданий, где нужно заполнить какую-нибудь таблицу. Никогда не заполняйте ее в самом учебнике! Ведь после вас учебником будут пользоваться другие ученики. Перерисуйте таблицу к себе в тетрадь, вот тогда и заполняйте!
5. Кто такой Смекалкин
Смекалкин — это внимательный и очень пытливый ученик. Мы урок за уроком обсуждали с ним написанное в учебнике, объясняли, спрашивали. Так вот, он не только отвечал на наши вопросы, но и частенько задавал вопросы нам. А иногда и предлагал что-нибудь дельное. Мы решили, что вопросы и предложения Смекалкина будут интересны и другим ученикам, и включили их в текст учебника. В объяснительном тексте в этих местах на полях помещен рисунок, изображающий Смекалкина.
Хотя изредка Смекалкин попадает впросак, мы советуем вам брать с него пример: не стесняйтесь спрашивать учителя, если что-то будет непонятно; учитесь до-
гадываться, как Смекалкин, и вообще — проявляйте инициативу.
Смекал кин здесь обязательно бы спросил:
А что такое инициатива?
Ответить можно так: инициатива — это когда ученик не только не ленится, но и не успокаивается на достигнутом, всегда старается узнать как можно больше, выполнить задания как можно лучше. Инициатива в учении, да и в любом деле,— вещь важная!
6. Что объясняет Смекалкин своему младшему брату
В тексте учебника иногда говорится и о младшем брате Смекалки на. Он частенько не понимает что-нибудь или что-то путает, а Смекалкин тогда объясняет ему, как все обстоит на самом деле. Это очень полезно — кому-нибудь объяснять: тогда и сам поймешь лучше! Попробуйте-ка дома сыграть роль учителя математики. А в ученики себе берите кого захотите, можно даже родителей, или дедушку, или бабушку.
1. Кто такой клоун
В учебнике вы не раз встретитесь с клоуном. Кто такой клоун? «Вот так вопрос! — можете удивиться вы.— Каждый знает, что клоун — это тот, кто смешит публику в цирке». Так-то оно так, только клоун у нас особенный — математический. И предлагает он публике задачки с умыслом: то нарочно запутает, то нарочно перепутает что-нибудь. Будьте внимательны, решая задачки клоуна, и не попадайте впросак.
Путешествие по стране Математике начинается.
В добрый путь!
КЛАСС
Глава НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
I И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
В младших классах вы научились читать и записывать числа до миллиона, выполнять действия с ними, решать всякие задачи, в которых участвуют числа. Все это мы, конечно, повторим — какое же учение без повторения! Но знать про числа нужно значительно больше. В этом параграфе вы узнаете, что такое натуральный ряд, познакомитесь с числами больше миллиона, научитесь сравнивать любые числа.
Урок 1 Что такое натуральные числа
Как вы уже знаете, для счета предметов используются числа 1, 2, 3, 4, 5 и т. д. Такие числа одинаково годятся для подсчета яблок в вазе, грузовиков в гараже, учеников в классе. Они употребляются также для измерения величин. Давайте вспомним, какие величины вам уже известны. Это длина, площадь, масса, время, скорость. Для каждой из них используются свои единицы измерения. Мы говорим, например: 2 сантиметра, 15 квадратных метров, 3 килограмма, 45 минут, 60 километров в час. И здесь можно сказать, что делается подсчет — только не предметов, а единиц измерения.
Но числа появляются не только тогда, когда мы считаем предметы или единицы измерения. Подсчитывать приходится и многое другое: количество автобусных маршрутов в городе и рейсов самолетов между городами, уроков математики в учебном году и глав в книге...
Скажите, что еще можно считать с помощью чисел.
Вот как разнообразны случаи, в которых возникает потребность использовать числа для подсчета чего-нибудь! Для таких чисел давно придумано специальное название — натуральные числа.
Натуральные числа возникают и при решении различных задач. В 4-м классе вы решали немало задач, где надо было над числами выполнять действия: сложение, вычитание, умножение, деление. Вам придется постоянно складывать, вычитать, умножать и делить натуральные числа и в 5-м классе.
Вопросы и задания
* 1Л. Какие действия над натуральными числами вы
знаете?
V 1.2. (У) Придумайте какие-нибудь случаи, когда ис-
пользуются единицы измерения, указанные в примерах а) —г). Для каждой величины назовите еще по две единицы измерения:
а) единицы длины: метр, сантиметр;
б) единицы площади: квадратный метр, квадратный сантиметр;
в) единицы времени: минута, сутки;
г) единицы скорости: километр в час, метр в минуту.
1.3. (У) Прочитайте числа: а) 12; б) 33; в) 517; г) 630;
д) 2637; е) 5022; ж) 91305; з) 40001; и) 999 999;
к) 703 206; л) 1 000 000.
1.4. (У) В задании 1.3 в записи чисел из пунктов а) и б) используются по две цифры, т. е. эти числа двузначные. В первом числе цифры различные, а во втором — одинаковые. В записи чисел из пунктов в) и г) используют три цифры, эти числа трехзначные. Сколькизначные числа в пунктах д) —л)? Сколько различных цифр используется в записи каждого из них?
1.5. Запишите цифрами следующие числа: а) семь тысяч сто сорок три; б) тринадцать тысяч сорок два; в) сто две тысячи двенадцать; г) один миллион. Сколькизначное каждое из них?
1.6. Придумайте по два четырехзначных, пятизначных и шестизначных числа; запишите их на отдельном листочке словами (так же как в задании 1.5). По указанию учителя передайте листок соседу по парте и предложите ему записать ваши числа цифрами. Проверьте, правильно ли он выполнил задание. .
1.7. (У) Ответьте на вопросы: а) Какое число больше числа 17 на 6? б) На сколько 28 больше, чем 19? в) Какое число меньше числа 32 на 8? г) На сколько 45 меньше, чем 56? д) Какое число больше числа 6 в 9 раз? е) Во сколько раз число 56 больше, чем 7? ж) Какое число меньше числа 64 в 8 раз? з) Во сколько раз 8 меньше, чем 72?
1.8. Миша коллекционирует марки. До каникул в его коллекции было 376 марок. За лето он собрал еще 48 марок. Сколько теперь марок в его коллекции?
1.9. Коля и Петя летом ходили в туристические походы. Каж
дый вел счет, сколько километров он прошел. Когда они встретились 1 сентября, Коля сказал, что прошел 96 км. Петя ответил, что он прошел меньше. «На сколько?» — спросил Коля. «Подсчитай сам,— загадочно произнес Петя.— Я только скажу тебе, что число моих километров записывается теми же двумя цифрами». На сколько километров меньше прошел Петя?
1.10* Катя летом гостила две недели у бабушки. Ее подруга Оля ездила по путевке во Всесоюзный пионерский лагерь «Артек». Она пробыла там в три раза дольше, чем Катя у бабушки. Сколько дней провела Оля в «Артеке»?
1Л1. Мальчик решил сосчитать, сколько шагов он сделает, пройдя от одного угла дома до другого. Он сделал всего 70 шагов. Сколько шагов он сделал левой ногой? Сколько правой?
1.12. (У) Клоун, чтобы посмешить публику, рассказал одну историю о том, как он ходил на рыбалку. В этой истории он нарочно перепутал все единицы измерения. «Я встал пораньше, в 4 килограмма утра. Позавтракал плотно, выпил 1 километр молока. Потом отправился на озеро. Расстояние до него немалое, 5 градусов. Утром было прохладно, температура всего 10 часов тепла. Поэтому я шел быстро, со скоростью 6 литров. Пришел, закинул удочки. Не прошло, и 20 сан-тиметров> как я поймал первую рыбину. Большущую — длиной 50 минут и весом 3 километра в час. Отличная получилась уха!» Найдите все ошибки, допущенные клоуном в рассказе. Перескажите его историю, правильно расставив единицы измерения.
Урок 2
Числовые выражения и числовые равенства
Записывая решение задачи, вы соединяете числа знаками действий и знаком равенства.
Запись, в которой числа соединены знаками действий, называют числовым выражением.
Если выполнить действия, указанные в числовом выражении, то получится число, которое называют значением данного числового выражения. Например, значением числового выражения (37—17): 5 4-6 является число 10. (Проверьте!)
Запись, в которой знаком равенства соединены два числа, или два числовых выражения, или числовое выражение и число, называют числовым равенством. Примеры числовых равенств:
2 = 2;
5-5 = 25; 27==(11 — 8)-9; 54:6=1+8.
То, что в числовом равенстве написано слева от зна-
левая часть* правая часть
Рис. 1
ка « = », называют левой частью равенства; то, что написано справа, называют правой частью равенства (см. рис. 1).
Назовите отдельно левую часть и отдельно правую часть в каждом из написанных выше равенств.
Левая часть и правая часть числового равенства — это всегда числа или числовые выражения. Поэтому можно найти их значения. Полученные числа называют значением левой части равенства и значением правой части равенства. Числовое равенство утверждает, что оба эти значения равны.
Вопросы и задания
9 2.1. Что такое числовое выражение?
2.2. Как найти значение числового выражения?
2.3. Что такое числовое равенство?
2.4. Что называют левой частью равенства? Правой частью? Что утверждает числовое равенство?
Т2.5. Запишите в виде числового выражения: а) сум-му восьмисот двадцати четырех и ста семидесяти трех; б) разность трехсот пятнадцати и двухсот семи; в) произведение сорока шести и семидесяти пяти; г) частное четырех тысяч пятисот восьмидесяти четырех и шести.
Найдите значение каждого из этих выражений.
2.6. (У) Что больше: а) 74-9 или 3-5; б) 8*6 или 7*7; в) 20—11 или 72:9; г) 24:4 или 40:8?
2.7. (У) Найдите значение выражения:
а) 8*44-1; в) 6-74-2; д) 9*34-5; ж) 6*64-7;
б) 4*8-1; г) 7*6-2; е) 3*94-7; з) 9*9-8.
2.8. Прочитайте числовое выражение и вычислите его значение: а) 7774-888; б) 10 001—818; в) 42*43; г) 5535:45.
2.9. Вычислите значение числового выражения:
а) 32*64-56:7;
б) 202-805:5 + 389;
в) 789+1629:9*4;
г) 2183:37—2668:46;
д) (48+15)*17-71;
е) 29*(95 —32):7;
ж) 61 *73-(845 +608);
з) 4758 :(413-352)+222.
2.10* Запишите в виде числового выражения: а) сумму чисел 746 и 857, увеличенную в 7 раз; б) произведение чисел 328 и 81, уменьшенное на 1000; в) разность числа 25 637 и произведения чисел 117 и 93; г) частное от деления числа 87 024 на разность чисел 491 и 99. Найдите значения этих выражений.
| 2.11. В воскресенье Вася помогал родителям собирать яблоки на садовом участке. На следующий день он принес в класс 12 яблок, чтобы угостить приятелей. А его одноклассницы сестры-близнецы Валя и Вера принесли на 4 яблока больше. Яблоки сложили в кучу, и ребята стали угощаться. Когда все ученики класса (включая Васю, Валю и Веру) взяли по одному яблоку, яблок в куче не осталось. Сколько учеников в классе?
2.12. Вася спросил Валю и Веру, сколько яблонь у них на садовом участке. Они ответили, что пять. «А у нас яблонь больше — шесть,— сказал Вася. — Значит, и яблок мы собрали больше». Девочки возразили: «Это еще неизвестно! Нужно учесть, сколько яблок вы собрали с каждой яблони. Мы собрали по 50 кг. А вы?» «По 40»,— ответил Вася.
а) Прав ли был Вася, что он с родителями собрал больший урожай? С какого участка яблок собрали больше и на сколько?
б) Сколько яблок собрали с обоих участков вместе?
2.13. Клоун придумал для выступления четыре число-> вых равенства. Их левые и правые части он написал на от-дельных карточках. Идя к публике, он споткнулся и рассыпал все свои карточки. Вот карточки с левыми и правыми частями его равенств:
19 + 13
90—18
6-9 24-3 32:2 4-8 96:6 71 — 17
Перерисуйте их в тетрадь и соедините линиями те, которые были левыми и правыми частями одного и того же равенства.
Урок з Начинаем изучать
свойства натуральных чисел
На первом уроке мы вспомнили, как часто людям приходится использовать натуральные числа для подсчета чего-нибудь. Поэтому нужно познакомиться с натуральными числами поближе, т. е., как обычно говорят, надо изучать их свойства. Перечитайте-ка самое первое предложение урока 1. Если хорошенько задуматься над ним, то уже можно найти одно важное свойство натуральных чисел. Смотрите, мы начали перечислять числа: один, два, три, четыре, пять и так далее. Как пояснить здесь слова «и так далее»? Какое свойство скрывается за ними?
Чтобы дать ответ, продолжим перечислять. Какое чис
ло идет за числом пять? Шесть. А за ним? Семь. А после семи? Восемь. А за ним? Девять. А за ним? Десять. А после него? Одиннадцать. А за ним? Двенадцать. А за ним?
Смекалкин тут не выдержал:
Но ведь так можно продолжать без конца!
Вот-вот, мы и нашли одно важное свойство натуральных чисел: их можно перечислять без конца. Запомните:
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА МОЖНО ПЕРЕЧИСЛЯТЬ БЕЗ КОНЦА.
А какие другие свойства есть у натуральных чисел?
Смекалкин задал хороший вопрос. Натуральные числа имеют много свойств, и плохо было бы останавливаться, найдя лишь одно из них. В последующих уроках мы займемся отыскиванием других свойств.
Вопросы и задания
9 3.1. Какое свойство натуральных чисел вы уже знаете?
в 3.2. Можно ли указать среди натуральных чисел
самое последнее? А самое первое?
3.3. (У) Назовите пять идущих подряд натуральных
£ чисел, начиная с числа: а) 124; б) 167; в) 398; г) 999.
3.4. В нашей стране пятилетние планы развития народного хозяйства называют пятилетками. Первый год двенадцатой пятилетки — 1986-й. Назовите по порядку все остальные годы двенадцатой пятилетки. Запишите, с какого года начинается тринадцатая пятилетка. Когда она закончится? В какой пятилетке будет 1997 г.? А 2000-й?
3.5. (У) Назовите пять натуральных чисел, идущих подряд в обратном порядке, начиная с числа: а) 78; б) 33; в) 102; г) 1001.
3.6. (У) Найдите значение числового выражения:
а) 32:4 + 3; г) 42:6 — 5; ж) 36:6 + 9;
б) 32:8-3; д) 27:9 + 7; з) 81:9+11.
в) 42:7 + 5; е) 27:3 — 7;
3.7. Валя и Вера покупают открытки. Валя купила 5 открыток по цене 6 к. У Веры столько же денег, сколько у Вали, но ей понравились открытки за 10 к. Сколько таких открыток может купить Вера?
3.8. Теплоход вверх по течению реки шел со скоростью 30 км/ч и прошел расстояние от одной пристани до другой за 6 ч. Обратно вниз по течению он шел с большей скоростью — 36 км/ч. За сколько часов он проделал обратный путь?
3.9. Когда горит лампочка или работает электрический прибор (утюг, телевизор, паяльник и др.), расходуется электроэнергия. Ее тоже измеряют. Это еще одна величина, о которой вы должны знать. В быту используют единицу измерения, которую называют киловатт-час (сокращенно кВт*ч). Что это такое, вы узнаете на уроках физики в старших классах. А пока вполне достаточно будет знать, что обычно 1 кВт-ч стоит 4 к.
а) Электрический утюг за 1 ч работы расходует 1 кВт-ч электроэнергии. Им два дня гладили белье: 2 ч в первый день и 3 ч во второй. Сколько стоит электроэнергия, израсходованная на эту работу?
б) В подъезде пятиэтажного дома на каждом этаже ночью горит лампочка. За 10 ч одна такая лампочка расходует 1 кВт-ч электроэнергии. В сентябре свет в этом доме с вечера до утра горит как раз 10 ч. Сколько стоит электроэнергия, расходуемая одной лампочкой в течение сентября? А всеми лампочками подъезда?
3.10. Если какое-то число обозначено буквой а, еще какое-то число — буквой 6, то их сумму записывают а + 6, разность записывают а —6, произведение — а*Ь, частное — а:Ь. Например, если буква а обозначает число 8, а буква b обозначает число 2, то а+Ь — это 8 + 2, а — b — это 8 — 2, а-b — это 8-2, а:Ь — это 8:2. Проверьте, правильно ли заполнены клетки во втором столбце следующей таблицы. Заполните пустые клетки таблицы:
а 15 408 480 408 387 711 282
b 5 12 12 17 37 43 61
20 430
а — Ъ 10 235 122
а-Ь 75 31 487
а:Ь 3 3 8
Рис. 2
3.11. (У) Рассмотрите рисунок 2. Сколько здесь треугольников? Сколько четырехугольни-
ков?
3.12. (У) Выразите: а) 3 кг в граммах;
б) 12 км в метрах; в) 3 ч в минутах;
г) 9 м в сантиметрах;
д) 7 мин в секундах;
е) 8 м в миллиметрах.
3.13. (У) Клоун предложил кому-нибудь из публики поиграть с ним в такую игру. Он называет натуральное число. Игрок из публикй называет еще большее натуральное число. Затем клоун называет еще большее, игрок
из публики еще больше и т. д. Выигрывает тот» кто назовет число, больше которого никаких натуральных чисел нет.
Объясните, может ли вообще в этой игре кто-нибудь выиграть.
урок 4 |(ак натуральные числа
по порядку идут
В вопросе 3.2 мы спрашивали, какое натуральное число самое первое. Мы уверены» что каждый ответил правильно: I. За числом I идет 2. За числом 2 идет 3. В прошлом - уроке Смекалкин правильно заметил, что так можно продолжать без конца. А как — так? Надо четко выразить словами, т. е. как в математике говорят, надо сформулировать свойство натуральных чисел, которое показывает, как именно все они следуют друг за другом. Если немного подумать, то легко догадаться, как сформулировать это свойство. Очень просто:
ЗА КАЖДЫМ НАТУРАЛЬНЫМ ЧИСЛОМ ИДЕТ СЛЕДУЮЩЕЕ, КОТОРОЕ НА I БОЛЬШЕ.
Можно представить, что натуральные числа выстраиваются по порядку друг за другом в ряд. Для этого ряда давно придумано название — натуральный ряд.
НАТУРАЛЬНЫЙ РЯД —ЭТО РЯД ИЗ ВСЕХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, ВЫСТРОЕННЫХ
ПО ПОРЯДКУ.
Как же записать натуральный ряд?
Ведь, записывая число за числом, мы никогда не кончим эту работу!
Конечно, записать натуральный ряд весь невозможно. Значит, надо договориться, какая запись будет обозначать натуральный ряд. Договариваются выписывать из него несколько первых чисел, разделяя их запятыми, а затем ставить три точки — многоточие. Например, можно записать так:
I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Н, 12, 13, 14, 15, ... .
Но совсем необязательно выписывать именно пятнадцать первых чисел. Вполне можно обойтись и меньшим количеством, например пятью или шестью:
I, 2, 3. 4, 5, 6, ... .
А вот без многоточия не обойтись. Оно указывает на то важное свойство, что натуральные числа можно перечне-
лять без конца. Это свойство короче можно сформулировать так: натуральный ряд бесконечен»
Значит, мы обнаружили уже два свойства натурального ряда. Одно говорит, что натуральный ряд бесконечен. Другое указывает, на сколько следующее число больше предыдущего.
Теперь рассмотрите запись: 2, 3, 4, 5, 6, ... . с/ Обозначает ли она натуральный ряд?
Конечно, нет. Ведь в натуральном ряде должны содержаться все числа, а здесь нет числа 1. Значит, нужно не упускать из виду еще одно свойство:
НАТУРАЛЬНЫЙ РЯД НАЧИНАЕТСЯ С ЧИСЛА 1.
Этим свойством и начнем список свойств натурального ряда. Давайте повторим их:
1) он начинается с числа ‘1;
2) в нем каждое следующее число на 1 больше предыдущего;
3) он бесконечен.
Вопросы и задания
4.1. Что такое натуральный ряд? Какие три его свойст-j ва были сформулированы в уроке?
4.2. Как записать, что ряд чисел бесконечен?
4.3. Чего не хватает в записи 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, чтобы она обозначала натуральный ряд?
4.4. (У) Рассмотрите ряды чисел: а) I, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, ...;
б) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 8, 10, 11, ...;
в) 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, И, ...;
г) 1, 2, 3, 5, 4, 6, 7, 9, 10, И, ... .
Ни один из них не является натуральным рядом. Чтобы объяснить это, нужно для каждого ряда указать то место, в котором нарушается какое-то свойство натурального ряда. Укажите эти места. Какое свойство там нарушается?
4.5. а) (У) Если буква п обозначает какое-то натуральное число, то следующее за ним в натуральном ряде число на 1 больше п и, значит, равно п-\- 1. Говорят также, что п предшествует числу 1. У каждого ли натурального числа есть предшествующее ему в натуральном ряде?
б) Если п = 6, то п + 1 =7. А если п — 19, то п + I =20. Какое число обозначает «+1, если п обозначает число 8; 9; 90; 900; 9999; 99 099? Решение запишите в тетрадь в виде таблицы, заполнив пустые клетки:
л 6 8 9 90 900 9999 99 099
л + 1 7
4.6. а) (У) Если п больше 1, то у п обязательно есть предшествующее число. Оно на 1 меньше п и, значит, равно n —1. Чему равно натуральное число, следующее за л —1?
б) Какое число обозначает л—1, если л обозначает число 2; 30; 301; 3100; 30 000? Запишите решение в виде таблицы так же, как в задании 4.5.
4.7. В задаче 2.11 вы узнали, сколько учеников в Васином классе. Из них 15 девочек.
а) ‘Кого в классе больше: мальчиков или девочек — и на сколько?
б) Ученики Васиного класса сидят за партами по двое. А одна парта остается пустой. Сколько парт в Васином классе?
в) Парты в Васином классе стоят в три ряда, в каждом одно и то же число парт. Сколько парт в каждом ряду?
г) Ученики Васиного класса составляют план дежурств на сентябрь. Договорились дежурить по очереди, каждый день новая пара. Но ребята быстро выяснили, что некоторым парам придется дежурить в сентябре по второму разу. Сколько пар будет дежурить в сентябре дважды? (Совет: не забудьте учесть количество воскресений в сентябре.)
4.8. (У) Найдите значение числового выражения:
а) 21+4-7; в) 35 + 5-9; д) 47 + 6-9; ж) 16+12-4;
б) 29-36:6; г) 38-40:5; е) 43-72:8; з) 56 — 39:3.
4.9. (У) Вычислите:
а) 3000 + 30 + 3;
б) 7 + 70 + 700 + 7000 + 70 000;
в) 100 000 + 20 000 + 3000 + 400 + 50 + 6;
г)* 10000-1000+100-10+1.
4.10. На изготовление одного автомобиля расходуется 2000 кВт-ч электроэнергии. Завод каждые 5 мин выпускает автомобиль. Сколько электроэнергии расходует завод на изготовление автомобилей за 1 ч?
4.11. а) (У) На каких рисунках изображены треугольники, а на каких — четырехугольники (см. рис. 3)? Какие из этих фигур имеют прямые углы? У какого из нарисованных четырехугольников все углы прямые? Как называется такой четырехугольник?
S)
6)
Рис. 3
б) Нарисуйте в тетради на клетчатой бумаге с помощью только линейки отрезок, прямой угол, треугольник, прямоугольник.
4.12. Клоун услышал о том, что для передачи секретных сообщений иногда буквы шифруют, т. е. заменяют цифрами. Он решил тоже зашифровать буквы, чтобы рассказать публике «секретную» сказку. Первую букву А он зашифровал цифрой 1, вторую букву Б — цифрой 2 и т. д. Зашифровав девятую букву 3 цифрой 9, клоун запнулся. Ведь осталась только цифра О, а буквы с нулевым номером нет. «Ничего, обойдусь и этими буквами! — подумал клоун.— И из них немало слов получится».
Буквы А Б В д Е Е Ж 3
Их шифр 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Шифром клоуна слово БЕГ обозначается числом 264, а число 419 обозначает слово ГАЗ (проверьте!). Зашифруйте слова ВАЗА, ДЕВА, ЕЗДА.
Вот какую шифрованную сказку рассказал клоун:
Жили-были 565 и 2121. Во дворе у них жили 78 и 8121. Приходит однажды 2121 и взволнованно говорит: «2651! Я вижу только 681. Ты не знаешь, 456 8121?» 565 отвечает: «51, знаю. Она 3 3196».—’«Но там 86 была морская 9369511 456 она?» — «Я подарил 67 внучке 196».
Расшифруйте сказку клоуна.
Урок 5 Как записывают натуральные числа
Что общего между буквами и цифрами? И буквы, и цифры — это знаки, применяемые для записи. Буквами записывают слова, цифрами — числа. Так же как вы не путаете слова и буквы, никогда не путайте числа и цифры.
ЦИФРЫ —ЭТО ЗНАКИ, С ПОМОЩЬЮ КОТОРЫХ ЗАПИСЫВАЮТ ЧИСЛА.
Способ записи чисел цифрами очень удобен. Чтобы почувствовать это, давайте представим, что никаких цифр у нас нет и каждое число записывается таким количеством палочек, каково это число. Как это было бы неудобно! Тогда, например, число 35 выглядело бы так:
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII.
а какое число записано здесь:
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII.
сразу и не скажешь. На запись больших чисел уходила бы уйма времени! Например, для записи палочками числа 200 000 не хватило бы и суток. Даже если неутомимо писать по две палочки в секунду. А цифрами мы можем записать его за 5—6 секунд! И в 2 раза большее число 400 000 тоже запишем за 5—6 секунд. Да хоть в 10 раз большее!
Способ записи чисел называют нумерацией. По-другому его называют системой счисления. Наша нумерация удобна не только тем, что можно быстро записывать числа. Используя ее, легко выполнять действия над числами. узнавать всякие их свойства. Мы займемся этим позднее. А сначала познакомимся поближе со свойствами нашей нумерации.
Начнем с очень простого. Рассмотрим три числа: 358, 853, 385. В их записи участвуют одни и те же цифры, но сами числа, конечно, различны.
Чем же отличаются их записи?
4
Ответ каждому ясен: расположением цифр. Вот мы и обнаружили одно свойство нашей нумерации: в записи числа важно то, какую позицию занимает цифра, т. е. на каком месте она стоит. Нумерацию с таким свойством называют позиционной, так что наша нумерация позиционная.
Место, на котором стоит цифра в записи числа, по-другому называют разрядом числа. Следующая таблица напомнит разряды, которые вы знаете.
V а
Перерисуйте эту таблицу себе в тетрадь.
Цифры в разрядах показывают, сколько нужно взять единиц, десятков, сотен, тысяч и т. д., чтобы сложить данное число. Например, число 25 176 складывается из таких разрядных слагаемых: 2 десятка тысяч + 5 тысяч + + 1 сотня + 7 десятков 4- 6 единиц.
Ясно представлять себе разрядные слагаемые необходимо, чтобы легко сравнивать многозначные числа и выполнять над ними действия. Обо всем этом мы очень скоро расскажем. А пока давайте разберемся с одной особенной цифрой — цифрой 0.
Что означает цифра 0 в каком-нибудь разряде?
Ответить можно так: цифра 0 в разряде единиц означает отсутствие единиц среди разрядных слагаемых числа; цифра 0 в разряде десятков означает отсутствие десятков; цифра 0 в разряде сотен — отсутствие сотен и т. д.
В том разряде, где стоит 0, при чтении числа ничего не произносится. Сравните, например:
172 526 — сто семьдесят две тысячи пятьсот двадцать шесть;
102 026 —сто две тысячи двадцать шесть
Г/ - Л Впишите оба эти числа в таблицу.
У W
Итак, вы повторили, как записывают числа и что такое разряд числа. Запись числа читают, рассматривая разряды слева направо. А от младших к старшим разряды идут справа налево: 1-й разряд — единицы, 2-й — десятки, 3-й — сотни, 4-й — тысячи, 5-й — десятки тысяч, 6-й разряд — сотни тысяч.
А за 6-м разрядом ведь тоже какие-то разряды идут? Как они называются?
Смекалкин правильно понял, что на 6-м разряде счет не заканчивается. Раз натуральные числа можно перечислять без конца, то и разряды можно перечислять без конца. 7-й разряд называется разрядом миллионов. О нем и нескольких других следующих разрядах мы будем говорить в уроке 7.
Вопросы и задания
5.1. Что такое нумерация? Как иначе называют нуме-X рацию?
в 5.2. Какое свойство нашей нумерации мы отметили в
уроке? Как называют нумерацию с таким свойством?
5.3. Что такое разряд числа?
5.4. Когда при чтении натурального числа в каком-то его разряде ничего не произносится?
W 5.5. (У) Назовите по порядку разряды: а) четырех-
J значного числа; б) шестизначного.
5.6. (У) а) Перечислите все десять цифр, применяемых для записи чисел, б) Среди цифр есть одна, которая никогда не может быть первой в записи натурального числа. Что это за цифра?
5.7. Запишите цифрами и словами (как это сделано в тексте урока) разрядные слагаемые, из которых складывается число: а) 395; б) 4208; в) 50 716; г) 128 004. Выпишите каждое из этих чисел в таблицу разрядов, которая нарисована у вас в тетради.
5.8. То, как число складывается из разрядных слагаемых, можно записать и без слов, с помощью лишь математических знаков. Например, 25 176 = 20000 + 5000+ 100 + 704-6. Запишите так же число: а) 6315; б) 77 043; в) 827 002; г) 304 600.
5.9. (У) а) Младший брат Смекалкина загадал ему загадку: «Я задумал однозначное число. Следующее за ним число тоже однозначное. Какое число я задумал?» Смекалкин объяснил брату, что эту загадку отгадать нельзя. Потому что есть несколько чисел с тем свойством, что само число однозначное и следующее за ним число тоже однозначное. Назовите все числа с таким свойством. Сколько их?
б) Младший брат хорошенько подумал и придумал новую загадку: «Я задумал трехзначное число» для которого предыдущее число двузначное. Какое число я задумал?» Смекалкин сказал, что это настоящая загадка, и сразу отгадал ее. Какое число было задумано?
5.10. (Загадки.) а) Задумано трехзначное число, следующее
за ним в натуральном ряде число четырехзначное. Какое число задумано?
б) Задумано шестизначное число. Предшествующее ему в натуральном ряде число пятизначное. Какое число задумано?
5.11. (У) Выразите: а) 2000 г в килограммах; б) 43 000 м в километрах; в) 120 мин в часах; г) 5000 см в метрах; д) 360 с
в минутах; е) 50 000 мм в метрах.
5.12. Каждый видел у себя в квартире или доме электрический счетчик. Число на его панели показывает, сколько электроэнергии израсходовано. Если в комнате горит лампочка, то цифры в крайнем правом разряде медленно меняются от 0 до 9. Если, кроме того, включены какие-нибудь электроприборы, то смена цифр происходит намного быстрее. Показания счетчика обычно за-
писывают 1-го числа каждого месяца. Если 1 января счетчик? показывал 3847, а 1 февраля — 3923, то за январь израсходовано 3923—3847 = 76 (кВт-ч) электроэнергии.
а) Сколько надо уплатить за это количество электроэнергии?
б) Попросите у родителей разрешения посмотреть счета за * электроэнергию и заполните такую таблицу: *
Дата Показания счетчика Сколько электроэнергии израсходовано Сколько надо заплатить
1 января 1 февраля 1 марта За январь За февраль За январь За февраль
Продолжите такую таблицу до сентября.
в) Подсчитайте, сколько уплачено за 1-е полугодие.
г) Посмотрите показание счетчика сегодня. Подсчитайте, на какую сумму израсходовано электроэнергии с 1 июля до сегодняшнего дня.
д) (У) Обратите внимание на то, когда плата за месяц больше — зимой или летом. Как вы думаете почему?
5ЛЗ. Клоун, чтобы насмешить публику, стал записы-вать числа просто так, как слышит, не думая. Ему назы-jjJT* вают пятьсот пять, а он пишет: 5005. Вместо пятьсот пятьдесят он пишет: 50050. И вместо пять тысяч пятьдесят он пишет: 500050.
а) Запишите числа, которые называли клоуну, правильно, б) Прочитайте числа, которые написал клоун.
Урок 6 Почему нашу нумерацию называют десятичной
В задаче 5.12 мы рассказывали об электрическом счетчике. Когда счетчик работает, в его крайнем правом разряде цифры меняются от 0 до 9. Что же произойдет после появления цифры 9? Какая цифра следующая появится в том же разряде? Ведь цифры 10 нет. Все знают, что тогда в этом разряде возникнет цифра 0, зато цифра в соседнем разряде сменится на следующую. Когда уже в этом соседнем разряде накопится десять единиц, в нем появится 0, зато сменится цифра в следующем разряде и т. д.
По такому же принципу работают и счетчик оплаты проезда в такси, и счетчик километров в любом автомобиле, и вообще любой счетчик. Такая работа счетчика подсказывает нам одно важное правило, которое действует в нашей нумерации: десять единиц одного разряда составляют единицу следующего, старшего разряда. Другими словами это правило можно сформулировать так:
ЕДИНИЦА КАЖДОГО СЛЕДУЮЩЕГО РАЗРЯДА В 10 РАЗ БОЛЬШЕ ЕДИНИЦЫ ПРЕДЫДУЩЕГО РАЗРЯДА.
Поэтому нашу нумерацию называют десятичной.
Из урока 5 вы узнали, что наша нумерация позиционная. Так что мы обнаружили уже два ее свойства. Запомните:
НАША НУМЕРАЦИЯ ПОЗИЦИОННАЯ
И ДЕСЯТИЧНАЯ.
Замена мелких единиц более крупными происходит не только при записи чисел. Вспомним, например, о единицах времени:
60 секунд = 1 минута, 60 минут=1 час, 24 часа = 1 сутки, 7 суток = 1 неделя, 12 месяцев = 1 год, 100 лет = = 1 век.
Здесь никакого удобного правила высказать нельзя. Судите сами: замена происходит при числах 60, 60; 24, 7, 12, 100; Наша же нумерация отличается тем удобным правилом, которое сформулировано выше большими буквами.
Вопросы и задания
6.1. Как называется наша система счисления? Почему она называется позиционной? Почему она называется десятичной?
6.2. Выполните действия и число:
а) 312*10; д) 673-1000;
б) 72-100; е) 31 200:10;
в) 5-1000; ж) 302 000:100;
г) 820-100; з) 800 000:1000;
прочитайте получившееся
и) 7230-10:100;
к) 620 800:100-10;
л) 45 700:10-100;
м) 26-1000:100.
6.3. (У) Кроме граммов и килограммов, часто используются другие единицы массы — центнер и тонна.
1 центнер = 100 килограммов 1 тонна = 1000 килограммов
Сокращенно центнер обозначают ц, пишут, например: 1 ц, 5 ц, 33 ц и т. д. Тонну обозначают т, пишут; 1 т, 7 т, 100 т и т. д. а) Сколько килограммов в 2 ц; 7 ц; 40 ц?
бг) Сколько центнеров в 800 кг; 5300 кг; 7000 кг?
в) Сколько килограммов в 3 т; 27 т; 60 т?
г) Сколько тонн в 8000 кг; 43 000 кг; 80 000 кг?
д) Сколько центнеров в 1 т; Ют; 100 т?
е) Сколько тонн в 10 ц; 100 ц; 23 000 ц?
ж); Сколько, граммов в 1 кг; 1 ц; 1 т?
6.4. (У) Вычислите:
а) 720:8; в) 450:15; д) 1313:13; ж) 59059:59;
б) 360:3; г) 320:16; е) 4747:47; з) 600 600:60.
6;5. Проверьте, правильно ли заполнены клетки во втором столбце следующей таблицы. Заполните в ней пустые клетки.
а 126 2444 7917 17 476
b 42 52 36 91 84
с 6 13 12 17 14
а: b 3 477
bz с 7 13 4
а: с 21 150
а)
S)
Рис. 5
6.6. На рисунке 4, а три прямоугольника. На рисунке 4, б они заштрихованы каждый по отдельности, а) На рисунке 5, а шесть прямоугольников. Нарисуйте шесть рисунков, где каждый из них заштрихован по отдельности, б) Сколько прямоугольников на рисунке 5,6? Сделайте рисунки, как и в пункте а).
6.7. В годы первой пятилетки (1928—1933 гг.) в СССР был построен первый тракторный завод и выпущен первый трактор. А в 1940 г. в нашей стране было выпущено уже 31 600 тракторов. В 1960 г. их было выпущено 239 000, а в 1986 г.— 595 000. На сколько увеличился выпуск тракторов с 1940 по 1960 г.? А с 1960 по 1986 г.?
6.8. Для экономии электроэнергии при освещении подъездов придумали выключатель, который автоматически выключает свет через минуту после включения. Применение такого выключателя уменьшает расход электроэнергии в 10 раз.
В задаче 3.9 вы нашли, сколько электроэнергии расходуется ► в сентябре на освещение подъезда пятиэтажного дома.
а) Сколько электроэнергии будет сэкономлено, если в подъезде установить такой выключатель?
б) Используя 1 кВт*ч, можно выпечь 100 буханок хлеба. Сколько буханок хлеба можно выпечь на сэкономленной электроэнергии?
в) Используя 1 кВт*ч, можно изготовить 3 пары ботинок. Сколько пар ботинок можно сделать на сэкономленной электроэнергии?
урок 7 Разряды и классы в записи чисел
Позиционная десятичная нумерация позволяет записывать какие угодно большие числа. При этом для удобства разряды объединяют в группы по три разряда, начиная с разряда единиц. Каждая такая группа называется классом. Так что можно сказать, что вы уже знаете класс
единиц и класс тысяч. Название следующего класса — класс миллионов. Легко догадаться, какие три разряда он имеет: миллионы, десятки миллионов, сотни миллионов.
За классом миллионов идет класс миллиардов (или биллионов). Снова легко догадаться, какие три разряда он имеет.
Вы догадались? Назовите разряды класса миллиардов.
Познакомимся поближе с числом миллиард. Вот запись этого числа: 1 000 000 000. Выясним, во сколько раз 1 миллиард больше, чем 1 миллион. Иначе говоря, сколько миллионов в одном миллиарде. Давайте рассуждать. Напишем последовательно:
1 000 000 — 1 миллион
10 000 000 — 10 миллионов 100 000 000 — 100 миллионов 1 000 000 000 — 1000 миллионов
Вот мы и ответили: в одном миллиарде 1000 миллионов.
А сколько тысяч в одном миллиарде? 1 миллион тысяч.
о 0
Проверьте это дома. Напишите, как от 1 тысячи последовательным увеличением в 10 раз дойти до 1 миллиарда. Тогда ,...у
и ответ получится. . u
Как представить себе миллиард? Почти 32 года придется ждать, пока истечет миллиард секунд. Книга в 1 миллиард страниц была бы толщиной больше 40 км. А записать все числа от 1 до 1 000 000 000 (даже если круглые сутки неутомимо писать по одной цифре в секунду) никто не сможет: для этого потребуется больше 300 лет.
А после миллиардов какой класс идет?
Класс триллионов. Запишем в следующую таблицу все уже известные вам классы и разряды:
Класс триллионов Класс миллиардов Класс миллионов Класс тысяч Класс единиц
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
сотни триллионов , десятки триллионов единицы триллионов сотни миллиардов десятки миллиардов единицы миллиардов сотни миллионов десятки миллионов единицы миллионов сотни тысяч десятки тысяч единицы тысяч сотни десятки единицы
Чтобы было удобно читать и записывать многозначные числа, в их записи классы отделяют друг от друга небольшими промежутками. Например, вместо 49765011904837 пишут: 49 765 011 904 837; теперь легче прочитать это число: сорок девять триллионов семьсот шестьдесят пять миллиардов одиннадцать миллионов девятьсот четыре тысячи восемьсот тридцать семь.
А после триллионов тоже будет класс каких-нибудь «ллионов»?
Хотя смешного слова «ллионэ нет, Смекалкин правильно подметил: название каждого следующего класса образуется из этого «ллионк» присоединением нужной приставки. После триллионов идут квадриллионы, за ними квинтиллионы и т. д.
Очень большими числами людям в повседневной жизни приходится пользоваться редко. Однако они необходимы, когда говорят о размерах добычи полезных ископаемых в стране, о сборе урожая, о выпуске продукции фабриками н заводами. В нашей стране ежегодно добывается более 600 миллионов тонн нефти, собирается более 210 миллионов тонн зерна, вырабатывается более 1 триллиона 500 миллиардов киловатт-часов электроэнергии. Миллионы тонн металлолома собирают ежегодно школьники для металлургического производства. В квадриллионах рублей исчисляют общенародное богатство нашей Родины. Квинтиллионами километров измеряется расстояние от нашей Земли до ближайших звезд.
Вопросы и задания
7.1. Как называются первые пять классов натураль-ш- ных чисел?
7.2. Сколько сотен миллионов в миллиарде? Сколько десятков миллиардов в сотне миллиардов?
7.3. а) Сколько миллиметров в одном километре? в десяти километрах? в ста километрах?
б) Сколько граммов в одной тонне? в десяти тоннах? в ста тоннах?
V7.4. (У) а) Назовите по порядку все разряды семи-значного числа: 1-й — единицы, 2-й — десятки... (Продолжите сами.) б) Выполните то же задание для десятизначного числа, в) Выполните то же задание для двенадцатизначного числа.
7.5. (У) Число 103 274 095 240 читают так: сто три миллиарда двести семьдесят четыре миллиона девяносто пять тысяч двести сорок. Прочитайте число: а) 7 852 314; б) 53 600 702;
в) 205 037 821; г) 13 410 056; д) 605 000 222 703;
е) 357 918 624 589; ж) 2 357 918 624 589; з) 4 204 100 006 873.
7.6. Записи чисел нередко появляются без промежутков между классами, например, когда число печатает электронно-вычислительная машина (ЭВМ). Представьте, что ЭВМ, решая какую-то задачу, отпечатала такие числа: а) 1000001000001; б) 9000009000009; в) 999999999999999; г) 123456787654321; д) 2000300040005000. Отделите в этих записях друг от друга классы и прочитайте числа.
7.7. Запишите цифрами число: а) пятьдесят семь миллионов двести сорок шесть тысяч семьсот девяносто три; б) триста пят
надцать миллиардов сто двадцать пять тысяч пятьсот шесть; в) сорок семь триллионов двести семьдесят шесть миллиардов
сто три миллиона триста пятнадцать тысяч девятьсот тридцать два; г) шестьсот триллионов шестьдесят миллиардов шесть мил
лионов шестьдесят шесть тысяч шестьсот шестьдесят шесть.
7.8. Для записи больших чисел используют сокращения: тыс. (тысячи), млн. (миллионы), млрд, (миллиарды). Напишите, используя эти сокращения, число 85 107 034 000. Запишите только цифрами число: а) 312 млн. 27 тыс; б) 13 млрд. 605 млн. 314 тыс.; в) 27 млрд. 27 тыс.; г) 645 млрд. 98 млн.
7.9. Ежедневная продукция спичечной фабрики вывозится на трех грузовиках. В кузов грузовика вмещается 120 ящиков. В каждом упаковано по 2 тыс. коробков. В одном коробке 60 спичек. Сколько спичек ежедневно производит фабрика?
7.10. а) Сделайте свой обычный шаг и измерьте его длину. Какое расстояние вы бы прошли, сделав миллион шагов? Сколько дней пришлось бы вам идти, если проходить по 10 км в день?
б) Вечером младший брат сказал Смекалкину: «Я сегодня очень много ходил. Наверное, сделал миллион шагов!» Смекалкин засмеялся и ответил, что этого быть не может. Прав ли Смекалкин? Ответ объясните.
7.11. (У) Выполните деление:
а) 1 000 000 000 000:1000;
б) 1 000 000 000 000:1 000 000;
в) 1 000 000 000 000:1 000 000 000;
г) 1000 000 000 000:10.
(Урок 8) 28
7.12. (У) Что больше: a) 111 111 или 99 999; б) 4764 или 4794?
урок 8 Сравнение натуральных чисел
Что значит сравнить два числа? Это значит определить, какое из них больше. Сравнивать небольшие числа очень легко.
Скажите-ка, что больше: 8 или 2; 3 или 13;
22 или 19.
Мы уверены, что для каждой пары чисел вы ответили на заданный вопрос за секунду. Но удастся ли вам сравнить так же быстро многозначные числа? Скажите, например, какое из чисел больше:
88888888888888 или 888888888888888;
8501349728998106457 или 850134972869106457;
11110111111 или 7777707777;
31415926898305 или 314154268398305.
Мы думаем, что нескольких секунд на решение вам здесь не хватит. Потребуется много минут. Тем более что нужно не только ответить, но и суметь объяснить свой ответ. А на самом-то деле можно научиться сравнивать быстро и такие большие числа. Этому помогут знания, полученные к на предыдущих уроках.
Вспомните, что в записи каждого числа есть разряды, а само число равно сумме разрядных слагаемых. Представьте, что у двух чисел одноименные разряды «соревнуются», чье разрядное слагаемое больше: единицы с единицами, десятки с десятками и т. д. Ясно: то число больше, у которого «победит» старший разряд. Сравним, например, числа 3206 и 787. Первое число четырехзначное, старший разряд у него — тысячи. А второе число трехзначное, у него старший разряд только сотни. Ясно, что «победил» старший разряд первого числа. Оно и больше второго.
Я догадался: вообще каждое четырехзначное число больше любого трехзначного числа. Правильно?
Правильно. И так всегда: если в записи одного числа больше разрядов (иначе говоря, больше цифр), чем в записи другого, то это число больше. Вот мы и обнаружили первое правило сравнения чисел: из двух чисел с разным количеством цифр больше то, у которого цифр больше.
29 (Урок 8)
Скажите, какое число больше:
53 078 или 8635; 99 999 или 777 777;
19 191 919 или 6 060 606.
А как сравнивать числа, у которых в записи одинаковое количество цифр? Сравним, к примеру, числа 3206 и 4193. Старшие разряды у них — тысячи. Сколько тысяч у первого числа? Три. У второго? Четыре. Значит, «победил» старший разряд второго числа, оно и больше.
Скажите, какое число больше: 63 287 или
47 375; 89 898 989 или 98 989 898.
У чисел 4206 и 4193 в старшем разряде тысяч одна и та же цифра, т. е. тысяч одинаковое количество. Тогда смотрим на разряд сотен. У первого числа их больше; значит, само оно больше.
У чисел 4206 и 4293 цифры одинаковы и в разряде тысяч, и в разряде сотен. Значит, смотрим на разряд десятков.
Какое из этих чисел больше?
В числах 4206 и 4204 цифры одинаковы и у тысяч, и у сотен, и у десятков. Значит, смотрим на разряд единиц. Ясно, что 4206 больше, чем 4204.
Вот мы и обнаружили второе правило сравнения чисел: числа с одинаковым количеством цифр сравнивают поразрядно, начиная со старшего разряда.
Этим правилом особенно удобно пользоваться, если записывать сравниваемые числа так, чтобы одноименные разряды находились один под другим: единицы под единицами, десятки под десятками и т. д. Тогда сразу высмотришь тот первый по старшинству разряд, в котором два данных числа отличаются. Например:
26 560 287 658 373 245 623
,26 560 287 658 373, 443 723
Цифры в одноименных Сразу видно, что разрядах одинаковы второе число больше
Вернемся к тем многозначным числам, которые мы предложили сравнить на с. 28. Определите-ка теперь, какое из них больше. Сколько секунд понадобилось вам на этот раз, чтобы дать ответ?
Результат сравнения двух чисел записывают при помощи математических знаков > (больше) и< (мень-
ше). Например, 12>8, 15<25. Знаки > и < называются знаками неравенства. Иногда сравниваемые многозначные числа могут оказаться и равными; тогда, конечно, придется употребить знак =. Все вместе знаки >, < и = называют знаками сравнения.
Вопросы и задания
8.1. Что значит сравнить два числа? Какими матема- тическими знаками записывают результат сравнения?
8.2. Какие два правила сравнения чисел вы узнали на уроке?
8.3. Какое из двух чисел больше: шестизначное или пятизначное: семизначное или девятизначное?
Т8.4. Сравните числа и запишите результат сравнения с помощью знаков > или <: а) 1986 и 993;
б) 305 286 и 327 158;
в) 65 287 115 и 652 987 115;
г) 86 345 167 603 и 86 345 197 603.
8.5. Сравните значения выражений и запишите результат сравнения с помощью знаков > или <с:
а) 23-24 и 3456:6; в) 12-13 + 456 и 1000—18-19;
б) 18-23 + 44 и 17-29-36; г) (99-63).25 и (99 + 63).5.
8.6. (У) Мама поручила Игорю купить 3 бутылки молока по 30 к. и дала 1 р. В магазине было еще мороженое за 18 к. Хватит ли Игорю денег, чтобы купить и 3 бутылки молока, и мороженое?
8.7. В автомобиле «Москвич» на крепление фар требуется 14 винтов. Завод ежедневно выпускает 288 автомобилей. На складе имеется 120 500 винтов. Хватит ли их на месяц работы? Если ответ «хватит», то узнайте, сколько винтов останется, а если ответ «не хватит», то сколько винтов еще нужно изготовить.
8.8. В Васином классе 28 учеников. Они решили поехать за город в первое воскресенье сентября всем классом вместе с классным руководителем и пионервожатой. На автовокзале выяснилось, что на ближайший автобус продано уже 23 билета, а на следующий за ним продано 18 билетов. В каждом автобусе 36 мест. Может ли вся группа уехать этими двумя автобусами?
8.9. (У) Смекалкин приготовился выполнять задание на сравнение чисел и переписал в тетрадь несколько пар чисел, между которыми нужно поставить знак > или <. Вдруг он нечаянно уронил тетрадь на мокрый пол. Записи размазались, и некоторые цифры стало невозможно разобрать1. Вот что получилось:
1 В серии заданий с размазанными цифрами в учебнике по замыслу авторов размазанные цифры должны обозначаться знаком типа кляксы. В данном издании по техническим причинам для их обозначения применяется знак ф .
a) 210 О О и 230 О О;
б) О 0412 и О 090;
в) О 0 52 0 и 3678;
>1 (Урок 9)
г) 0 00 0 и 00 0 0 0;
д)* 9500 0 и 0 4 030 ;
е)* 13070 и 05040.
Разглядывая эти подпорченные записи, Смекалкин догадался, как дать обоснованный ответ, не зная размазанных цифр. Поставьте и вы нужные знаки > или-< между числами. Ответы объясните.
8.10. (У) Смекалкину понравилось, что он смог выполнить задание с размазанными цифрами. Ведь вместо задания получились загадки. Он решил сам придумать загадки с размазанными цифрами и предложить их младшему брату. В следующих записях некоторые цифры размазаны. Нужно отгадать, какие это цифры.
а) 1О587< 10632; в) 89243< 00765; д)* 70612>7ф6<>3;~
б) 5138>5ф72; г) 39828<30845; е)* 50683< 50601.
Младший брат отгадал цифру только в пункте а). Он догадался, что левое число будет больше правого, если подставить вместо кляксы любую цифру, кроме... Но мы не будем раскрывать отгадку. Постарайтесь сами разгадать цифры. ____________
8.11. (У) Сколько прямоугольников изображено на рисунке 6?
Каких прямоугольников больше: тех, кото- _________ . _
рые являются квадратами, или тех, которые квадратами не являются?
8.12. Клоун, чтобы посмешить публику, начал высказывать такие утверж
Рис. 6
дения:
а) 1000 мм больше, чем 5 м. Ведь 1000 больше, чем 5.
б) 1000 с больше, чем 1 ч. Ведь 1000 больше, чем 1. в) 1 млрд, г больше, чем 500 т. Ведь 1 млрд, больше, чем 500. г) 1 млн. см больше, чем 10 км. Ведь 1 млн. больше, чем 10. Публика смеялась: всем было ясно, что клоун не учитывает единицы измерения величин и потому делает ошибки. Но один раз оказалось несмешно, потому что получилось верное утверждение. Укажите верное утверждение и исправьте остальные.
Урок » Числовые неравенства
В уроке 3 мы рассказали о числовых равенствах. В математике, кроме равенств, часто приходится пользоваться и неравенствами. Запись, в которой знаком > или- < соединены два числа, или два числовых выражения, или числовое выражение и число, называют числовым неравенством. То, что в неравенстве написано слева
от знака неравенства, называют левой частью неравенства; то, что написано справа,— правой частью неравенства.
Назовите отдельно левую и отдельно правую части в каждом из следующих неравенств: 23<31; 123-654> 7846;
45 678 >12 345 + 23 456.
Левая и правая части числового неравенства — это всегда числа или числовые выражения. Поэтому можно найти их значения. Полученные числа называют значением левой части неравенства и значением правой части неравенства. Числовое неравенство со знаком > утверждает, что значение его левой части больше значения правой части. Со знаком- < оно утверждает, что...
и
° Вопросы
Закончите предложение.
и задания
9.1. Что такое числовое неравенство? Что называют 5 левой частью неравенства? правой частью?
9.2. Что утверждает всякое числовое неравенство? W 9.3. а) Младший брат Смекалкина писал числовые а равенства. «Ой! — воскликнул он.— Я перепутал в равенстве правую и левую части». Смекалкин сказал: «Не страшно. Все равно равенство будет верным». Согласны ли вы со Сме-калкиным? Напишите несколько числовых равенств, поменяйте в них местами левую и правую части и проверьте, остались ли равенства верными.
б) (У) В числовом неравенстве со знаком < младший брат перепутал левую и правую части. «Не страшно,— сказал он, вспомнив слова Смекалкина о равенстве.— Все равно неравенство будет верным». Смекалкин объяснил брату, что тот неправ. Если в таком неравенстве меняешь левую и правую части местами, то знак- < надо заменить. На какой знак его надо заменить?
в) На какой знак надо заменить в числовом неравенстве знак > , если нечаянно переставишь в нем левую часть и правую часть? Напишите два неравенства со знаками > и <, поменяйте местами левую и правую части и поставьте между ними правильный
знак.
9.4. Найдите значения числовых выражений, сравните их и запишите результаты сравнения, используя знаки >, <, = : а) 123-205 — 8960 и 32 280:24;
б) 76 007:17 и 8466:34 + 21-201;
в) 17-71+26-62 и 16-61+97-17;
г) (358 + 324)-116 и (637-386)-317.
9.5. Петя пробежал 40 м за 8 с, а Коля — 30 м за 5 с. Кто из них бегает быстрее (т. е. у кого скорость больше)?
9.6. Садовый участок у Васиных родителей имеет форму прямоугольника со сторонами 8 м и 15 м, а участок у родителей Вали и Веры — прямоугольника со сторонами Эми 13 м.
а) Родители поручили Васе вырыть вокруг участка канавку для стока дождевой воды. Какую длину будет иметь канавка?
б) Вокруг участка Вали и Веры тоже вырыта канавка. Вокруг какого из двух участков канавка длиннее?
в) Вася, Валя и Вера поливают свои садовые участки. На каждый квадратный метр требуется 1 лейка воды. На поливку какого участка требуется больше воды? На сколько леек больше?
9.7. В четырехугольнике на рисунке 7 измерь- в те отрезки АС и BD. Какой из них больше?
9.8. Что больше: а) 10 000 с или 3 ч; б) 1 сут- /
ки или 1339 мин; в) 2 недели или 330 ч; г) 1 год
или 52 недели? а D
9.9* . (У) Младший брат, глядя на то, как рис 7 ловко Смекалкин выполнил задание 8.9, сам за-
хотел придумать что-нибудь похожее. Вот что он придумал: «Поставьте нужные знаки > или < между числами:
а) 0526 и 3678; б) 4735 и 4053; в) 30507 и 30507».
Смекалкин сказал, что выполнить это задание нельзя, и объяс
нил почему: «В пункте а) можно представить, что вместо кляксы была цифра 2, тогда между числами нужно поставить знак < Но можно представить, что там цифра 4, а тогда надо поставить знак >. Поэтому никак нельзя определить, какой знак поставить между числами в пункте а)». Постарайтесь и вы объяснить, поче-
му нельзя выполнить задания в пунктах б) и в).
9.10. (У) Выполните действие:
а) 300-7; д) 5600:7;
б) 40-60; е) 81 000:90;
в) 50-800; ж) 24 000:800;
г) 200-700; з) 150 000:300.
9.11. Экономисты подсчитали, что струйка воды из неисправного крана — это 140 кг ежесуточно. Конечно, в таком случае надо срочно устранить неисправность. Но представьте, что кран исправен и просто плохо закрыт по небрежности. Из него каждую секунду капает всего
одна капля. Интересно узнать, много ли утечет воды в этом случае. Чтобы узнать это, дайте ответы на следующие вопросы:
а) Сколько капель вытечет из крана за час; за сутки?
2 Учебник-собеседник
б) Масса ста капель равна 7 г. Сколько граммов воды вытечет за час? Сколько граммов воды вытечет за сутки?
9.12. Клоун написал публике несколько равенств и не-равенств, а затем сказал: «Вообще-то я поставил здесь знаки = , > и < просто так, совсем не думая. Так что я не знаю, какие тут равенства и неравенства верные, а какие — неверные». Вот записи клоуна:
а) 56• 789 =567-89;
б) 246:6 — 24<357:7;
в) 343-797>637-427;
г) 12 345:15=45 678:46;
д) 100000—135-246< 1000+ 123-456;
е) 12-3 + 45-6 + 78-9> 1.23 + 4-56 + 7.89.
Вычислите значения написанных выражений, найдите ошибки клоуна, исправьте их и запишите равенства и неравенства верно.
урок io Цепочки равенств
и цепочки неравенств
Вычисляя значение числового выражения, выполняют одно действие за другим. Такие вычисления удобно записывать в виде цепочки равенств. Вот пример такой записи:
3.7+15:5 = 21 + 15:5 = 21+3 = 24.
и □
Здесь получилась цепочка из трех равенств. Переходя в ней от каждого выражения к последующему, мы выполняли по одному действию. Глядя на эту цепочку, легко высмотреть равенство 3.7+15:5 = 24. Оно получается, если соединить знаком « = » то выражение, с которого цепочка началась, и то число, которым она закончилась. Вот какое свойство мы обнаружили: в цепочке равенств крайние выражения или числа можно соединить знаком « = ».
Цепочки равенств могут быть составлены из двух, трех или большего количества равенств.
Вычислите цепочкой равенств значение числового выражения 48:(11 — 5)+ 2-7. Из скольких равенств получилась цепочка?
Кроме цепочек равенств, можно записывать и цепочки неравенств. Например, 32 > 27 > 16 > 8; 2 + 3<2 + 5< <4 + 5. В цепочках неравенств всегда употребляют один и тот же знак неравенства. Глядя на такую цепочку, легко высмотреть, что крайние выражения или числа можно соединить тем же знаком неравенства, который написан
в цепочке. Значит, вот какое полезное свойство неравенств мы обнаружили: в цепочке неравенств крайние выраже-ния или числа можно соединить тем же знаком неравен-W ства.
Цепочка неравенств 7<12<18<23<65 показывает, что в ряде чисел 7, 12/18, 23, 65 каждое следующее число больше предыдущего. Про всякий ряд с таким, свойством говорят, что числа в нем расположены в порядке возрастания. Бывают и бесконечные ряды с таким свойством. Вспомните-ка, например, натуральный ряд.
Теперь рассмотрите ряд чисел 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1. В нем каждое следующее число меньше предыдущего. Про всякий ряд с таким свойством говорят, что числа в нем расположены в порядке убывания.
Л бывают ли бесконечные ряды» в которых числа Жж расположены в порядке убывания?
Это очень хороший вопрос! А ответ на него такой. Если числа в ряде натуральные и расположены в порядке убывания, то бесконечным такой ряд быть не может. Чтобы понять это, давайте подсчитаем, сколько чисел стоит в натуральном ряде перед числом п. Всего лишь п —1 число. Значит, если убывающий ряд натуральных чисел начинается с числа л, то в нем чисел не более чем п.
Но, кроме натуральных, есть и другие числа. Вы познакомитесь с ними во второй главе. И вот из них-то можно составить бесконечные ряды, в которых числа идут в порядке убывания. Вы сами легко сможете приводить примеры таких рядов.
Вопросы и задания
10.1. Каким знаком можно соединить крайние выраже-у ния или числа в цепочке равенств?
10.2. а) В цепочке неравенств каждое последующее число меньше предыдущего. Какой знак надо поставить между первым и последним числами этой цепочки? б) В цепочке неравенств каждое последующее число больше предыдущего. Каким знаком нужно соединить первое и последнее число в такой цепочке?
10.3. Что значит записать числа в порядке убывания? в порядке возрастания?
В 10.4. Найдите значение числового выражения, записы-
® вая цепочку равенств:
а) 120:6 + 87; д) (28+ 14.):7 — (43 — 38);
б) 32-25 — 600:3; е) 45-(83-63)+1200:(91-67);
в) 18-(52 —47):6; ж) 123+132 + 213 + 231+321+312;
г) 13 + 27 + 32 + 28 + 11; з) 900:30-25:15.60:3.
10.5. Боря старше Вити, но моложе Ани, а Галя младше Вити. Кто старше: Галя или Аня? Запишите, как располагаются эти дети по старшинству.
10.6. а) Расположите в порядке возрастания следующие числа: 27, 13, 44, 37, 35, 63, 12.
б) Найдите значения следующих числовых выражений:
(37+ 14)-17; 13-27 + 356; 5711 —85-57; (34 631 - 18 347.):23.
Запишите эти значения в порядке возрастания. Составьте из данных числовых выражений цепочку неравенств со знаком-<.
10.7. а) Расположите в порядке убывания следующие числа 367, 265, 738, 800, 352.
б) Измерьте стороны четырехугольника на рисунке 7 и запишите их длины в порядке убывания. Какая сторона самая длинная? Какая самая короткая?
10.8. а) Работающие на заводе бригады Иванова, Петрова и Сидорова соревнуются между собой за увеличение выпуска продукции. В январе бригада Иванова изготовила 12 988 деталей, бригада Петрова — 13 107 деталей, а бригада Сидорова — 12 949 деталей. Кто стал победителем соревнования в январе?
б) В феврале все бригады изготовили деталей больше, чем в январе: бригада Иванова на-677 деталей, бригада Петрова на 543 детали, а бригада Сидорова на 699 деталей. Кто занял 1-е место в феврале?
в) В марте бригада Иванова изготовила на 662 детали больше, чем в феврале, бригада Петрова — на 594 детали больше, а бригада Сидорова — на 739 деталей больше. Кто стал победителем соревнования в марте?
г)* Какая бригада победила в соревновании по итогам 1-го квартала года (т. е. за три первых месяца)?
10.9. Смекалкин, узнав про цепочки неравенств, снова стал придумывать загадки с размазанными цифрами (см. 8.10). В следующих загадках Смекалкина нужно угадать размазанные цифры:
а) 2795 < 20 37 < 2846; г) 5263 < О О О О <5265;
б) 3427 < 340 5 < 3442; д) 837 < О О 4 < О 0 О < 846;
в) 6132< О 103< 6143; е)* 4486< 0 090 <440 1.
"но- Клоун догадался, что шифровать можно не только буквы цифрами, но и цифры буквами. Он решил воспользоваться своим шифром из задачи 4.12, только наоборот: цифру 1 шифровать буквой Л, цифру 2 — буквой Б и т. д. Зашифровав цифру 9 буквой 3, он запнулся. Ведь для записи чисел нужна еще цифра 0, а она не участвует в старом шифре. «Пусть цифра 0 шифруется следующей буквой — И, — решил клоун.— Ведь 0 часто перечисляют вслед за цифрой 9».
Цифры 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
Их шифр А Б В JT д Е Е Ж 3 И
Чтобы посмешить публику, клоун предложил ей зашифрованные вопросы и задания:
а) Сначала он сказал: «Я сейчас назову пятизначное число, а вы отгадайте, что это за число. Это число ВЕЗДЕ».
«Где же это число?»— спросил кто-то из публики. «Я ведь уже сказал. Вот оно — ВЕЗДЕ».
б) Потом он сказал: «Я сейчас напишу крупными буквами девятизначное число, а вы прочитайте его». И он написал: ГДЕ ДВА ЕЖА.
в) Потом он спросил: «Скажите, что больше: ЗИГ или ЗАГ. И на сколько больше?»
г) Потом он предложил решить две задачи.
Задача 1. Сколько получится, если ГАЗ умножить на ДВА?
Задача 2. В только что построенный зоопарк поступили животные. Сначала ЕЖ, а потом ЖАБА. Сколько всего животных поступило в зоопарк?
д) А в конце клоун предложил вычислить значение следующих выражений: (БЕГ4-ДА)-ДА; ВИ Д-(БЕДА —ЕДА); (ГДЕ + БАГАЖ)*. А; (ВАЗА-— БАЗА): БДИ.
Публика смеялась. Никто ведь не знал шифра, и было очень смешно искать число, которое ВЕЗДЕ, умножать ГАЗ на ДВА и находить ГДЕ^ БАГАЖ.
Расшифруйте все числа, ответьте на вопросы клоуна и выполните его задания.
Урок 11
Задания на повторение к § 1
Чтобы хорошо усваивать математику, надо постоянно повторять изученное. Давайте же вспомним и повторим, что вы узнали в этом параграфе. Самый легкий способ для этого — просто перечитать названия уроков. Удобнее всего это сделать по оглавлению. Там все названия расположены рядышком.
Но из названий уроков многого не вспомнишь. Чтобы повторить пройденное конкретней и подробней, нужно вернуться к текстам уроков. Мы советуем вам заново перечитать вопросы, которые идут сразу после объяснительного текста каждого урока. Ответьте на них. Если при этом возникнут затруднения, то перечитывайте объяснение в тексте урока.
Кроме ответов на вопросы, выполняйте задания, которые приведены ниже.
а) б) в)
11.1. (У) Найдите значение числового выражения: (23+17).7; г) (57 —46)-4; ж) (27+18):9;
(62 —42)-9; д) (23 + 31):6; з) (82 —46):6.
(6+ 5)-6; е) (78-36): 7;
11.2. Цепочкой равенств вычислите значение числового выра
жения:
а) 55:5+81:9;
б) 3-8—(47 —7-5);
в) (18 —7+25) + (43-28):3;
г) 27:(25— 16)+64:(49-33);
д) (37 + 23-48 + 54- 16)-2;
е) 4-12:3-2:8'5:10.
1L3. (У) Выразите: а) 1 м 20 см в сантиметрах; б) 3 кг 720 г в граммах; в) 630 мм в сантиметрах; г) 120 мин в часах; д) 1300 г в килограммах и граммах; е) 320 с в минутах и секундах; ж) 1248 мм в метрах, сантиметрах и миллиметрах.
| 11.4. Рассмотрите следующую таблицу:
Вид Добыча (производство) Прирост
1986 г. 1990 г.
Нефть (т) Уголь (т) Электроэнергия (кВт«ч) 615 млн. 751 млн. 1599 млрд. 635 млн. 795 млн. 1860 млрд.
Вычислите, на сколько возрастет производство угля, нефти и электроэнергии в 1990 г. по сравнению с 1986 г. (т. е. прирост) и заполните последний столбец таблицы. Прочитайте все числа в таблице.
11.5. Решая задачу 9.11, вы нашли, сколько воды вытекает за сутки из крана, даже если она только капает: 6048 г. Это больше 6 кг! Будем для удобства считать, что вытекает ровно 6 кг. Много это или мало?
а) Если в городе 200 000 квартир и в каждой будет протекать по одному такому крану, то сколько воды вытечет из них за сутки? Запишите полученный ответ в тоннах.
б) Пользуясь ответом к задаче а), определите, сколько воды вытекает за месяц, в котором 30 дней.
в) Вода необходима для полива сельскохозяйственных культур. Например, для полива капусты требуется ежемесячно 450 кг воды на 1 кв. м. Пользуясь ответом к задаче б), определите, капустное поле какой площади можно было бы поливать целый месяц этой бесполезно вытекшей водой.
11.6. а) «Вот какое сложное равенство я составил!»—воскликнул младший брат Смекалкина и показал Смекалкину свою запись:
123 + 2-74- 169= 1208:4 — 57— 143.
Проверьте, правильно ли составлено равенство.
б) Смекалкин посмотрел на запись и сказал, что может сразу написать много еще более сложных равенств:
123 + 2-74—169+ 18= 1208:4-57- 143+ 18;
123 + 2-74—169+ 1000= 1208:4-57— 143+ 1000;
123 + 2-74— 169 — 29= 1208:4-57- 143-29;
123 + 2-74- 169— 101 = 1208:4-57—143—101.
Проверьте эти равенства.
в) Младший брат удивился, как быстро Смекалкин сумел написать новые равенства. Смекалкин объяснил, что он знает правило: если к левой и правой частям равенства прибавить одно и то же
число, то снова получится равенство. Пользуясь этим правилом, он получил первые два равенства из б). Последние два равенства пункта б) тоже получены по какому-то правилу из равенства пункта а). Догадайтесь, какое это правило, сформулируйте его и запишите в тетрадь.
11.7. (У) Какие из записей обозначают натуральный ряд: а) 1, 2, 4, 5, 6, 7,...; г) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;
б) 1,2, 3, 5, 4, 6, 7,д) 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...;
в) 1,2, 3, 4, 5, 6, 7,...; е) 1,3, 4, 6, 5, 7, ...?
Ответ объясните. (Совет: скажите, какие именно свойства натурального ряда нарушаются в тех записях, которые не обозначают натуральный ряд.)
11.8. а) Первая цифра восьмизначного числа — 4. Младший брат начал читать это число: «Четыре...», а Смекалкин, не дослушав до конца, сразу понял, что брат читает неверно. Смекалкин был прав. Почему? Какое слово должно на самом деле прозвучать первым при чтении этого числа? Напишите какое-нибудь восьмизначное число, начинающееся цифрой 4. Прочитайте его.
б) А если 4 будет первой цифрой девятизначного числа, то какое слово прозвучит первым при его чтении? Напишите девятизначное число с первой цифрой 4 и прочитайте его.
в) А если число будет десятизначным? Напишите и прочитайте десятизначное число, все цифры которого — четверки.
11.9. (У) а) Какое число больше: восьмизначное или девятизначное? стозначное или девяностодевятизначное?
б) Одно число начинается цифрой 9, а другое — цифрой 8. Верно ли, что первое число больше второго? (Совет: подумайте, известно ли вам, сколько цифр в записи каждого из этих чисел.)
11.10. Мама дала Игорю 2 р. и поручила купить молока, кефира и сметаны, а) Игорь решил купить 3 бутылки молока по 30 к., 2 бутылки кефира по 28 к. и банку сметаны за 41 к. Хватит ли ему денег? Если хватит, то сколько сдачи он должен получить? б) Хватит ли денег, если Игорь решит купить на одну бутылку кефира больше? Если хватит, то получит ли он тогда сдачу?
11.11. а) Найдите значения следующих числовых выражений: 5372 4-72-27; 468 • 783 — 359-137; (83 046 — 37 864): 19 4- 4985; (78+ 53)-(634 —568). б) Расположите эти значения в порядке убывания, в) Составьте из данных числовых выражений цепочку неравенств со знаком <.
11.12. Буквой М зашифрована цифра 4, а буквой У—цифра 6. Тогда слово МУ обозначает число 46, а число 4646 шифруется словом МУМУ, Какое двузначное число зашифровано словом УМ? Известно, что числа, обозначенные словами УМ и УС, идут в натуральном ряде подряд: сначала УМ, за ним УС, Отгадайте, какая цифра зашифрована буквой С.
(Урок 12) 40
$ 2. ДЕЙСТВИЯ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
Зачем нужно изучать действия над числами? Ответить на этот вопрос очень просто: их приходится выполнять при решении задач. Значит, надо уметь определять, где какое действие нужно применить, как правильно да побыстрее его выполнить. В этом параграфе мы повторим кое-что уже известное вам и продолжим изучение действий над числами. Прежде чем начать новый урок, давайте вспомним и перечислим те действия, которые вам хорошо знакомы. Все, что нам нужно вспомнить, удобно изобразить таблицей:
Действие Запись буквами Компоненты действия Результат
а b с
Сложение Вычитание Умножение Деление а-]-Ь = с а—Ь — с а-Ь~с а\Ь = с !-е слагаемое Уменьшаемое 1-й множитель Делимое 2-е слагаемое Вычитаемое 2-й множитель Делитель Сумма Разность Произведение Частное
В ней буквами обозначены числа, которые участвуют в действии, и результат действия; для каждого действия мы напоминаем названия его компонентов и результата.
Не забывайте время от времени заглядывать в эту таблицу.
урок 12 Сложение
Задумывались ли вы над тем, почему удобно складывать многозначные числа «столбиком»? Чтобы объяснить причину удобства такого способа сложения, давайте внимательно посмотрим, что мы делаем, когда применяем его. Мы подписываем числа точно одно под другим: единицы под единицами, десятки под десятками и т. д. А потом складываем единицы с единицами, десятки с десятками и т. д. Значит, как мы складываем? Поразрядно. В этом-то и удобство! Ведь в каждом разряде приходится складывать лишь однозначные числа. А в результате узнаем сумму чисел многозначных. Вот как хороша позиционная нумерация!
А причем здесь позиционная нумерация?
Сейчас объясним. Возьмем два числа и найдем их сумму. Например; 31 528 и 17 241. Представим каждое из них в виде суммы разрядных слагаемых, подпишем эти слагаемые друг под другом и будем их складывать:
3 десятка тыс. 4-1 тыс. 4-5 сотен 4-2 десятка 4" 8
1 десяток тыс. 4~ 7 тыс. 4“ 2 сотни + 4 десятка 4“ 1
4 десятка тыс. 4-8 тыс.+ 7 сотен 4-6 десятков 4“ 9
Значит, 31 5284-17241=48 769.
Чем же мы воспользовались в этом вычислении? Разрядными слагаемыми. А они бывают только в позиционной нумерации!
Вы до сих пор складывали числа до миллиона. Но способ сложения «столбиком» годится для любых чисел. Ведь каждое натуральное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых.
А как быть, если в каком-то разряде сумма станет больше 9? Вы знаете, что тогда происходит перенос одной единицы в следующий разряд. Это правило, известное вам для чисел до миллиона, сохраняется и для больших чисел. Например:
871 504 083
518 636 148
1 390 140 231
Итак, можно сделать вывод: сложение натуральных чисел выполняют поразрядно, начиная с разряда единиц.
Знак сложения называется «плюс». Поэтому выражение 7-|-8 можно прочитать так: «семь плюс восемь». А можно, конечно, и по-старому: «Сумма чисел семь и восемь».
Вопросы и задания
12.1. Чем удобен способ сложения многозначных чисел «столбиком»? Как выполняется сложение при этом способе?
12.2. Как называется знак « + »? Как называются компоненты сложения и результат?
12.3. Как можно прочитать выражения: 3644 4-102; а+102; 38444-6; а + Ь?
12.4. (У) Выполните действия:
а) 37+11;
б) 142 + 33;
в) 753 + 246;
Д) 18 + 35;
е) 25 + 54;
ж) 11 + 12+13.
г) 9910 + 89;
12.5. (У) Прочитайте следующие числовые выражения, используя слово «плюс», и найдите значение каждого из них:
а) 37+17;
б) 142 + 39;
в) 735 + 248;
г) 9970 + 89;
д) 18+15 + 47;
е) 26 + 54 + 48;
ж) 11 + 12+13+14.
(Урок 12) 42
12.6. Заполните пустые клетки таблицы:
а 57 298 615 608 483 000 627 93 789 989 71 469 324
b 78 451 615 608 39 865 446 2 906 543 079 5 728 677
а+Ь
12.7. Выполните действия: а) 282 828 282 4-128 282 828; б) 123 456 789 + 937 222 111;
в) 615 608 + 895 516 + 387 657;
г) 579 246 + 753 162 + 371 849.
12.8. «Столбиком» можно одновременно складывать не только два числа, но и больше. Выполните сложение;
а)
73 857 б) +61 715;
38 214
37 826
68 730
+ 543 290;
7 476 300
+ 272 170;
9 659 100
8 376
55 718
673 545 •
8 775 367
12.9. Смекалкин придумал три примера с размазанными цифрами (историю о том, как первый раз возникли размазанные цифры, см. в 8.9):
а). 3789 б) , 07 фЗ в) ,0068
Q8Q7; +6О8О; 3 7 QQ .
6646 12 0 0 5 82 1 7
Восстановите размазанные цифры.
12.10. Сумма 21 +64 — число двузначное, а сумма 21 +84 — число трехзначное.
а) Придумайте два трехзначных числа, сумма которых трехзначна, и два трехзначных числа, сумма которых четырехзначна.
б) Придумайте два четырехзначных числа, сумма которых четырехзначна, и два четырехзначных числа, сумма которых пятизначна.
в)* Может ли сумма двух двузначных чисел быть числом четырехзначным? Ответ объясните.
12.11. Клоун решил подсчитать, сколько зрителей посеща-ло воскресные представления в августе. Он составил таблицу:
Дин Число зрителей, посетивших представление Всего зрителей
утреннее дневное вечернее
1-е воскресенье 813 793 927 2533
2-е воскресенье 779 856 908 2444
3-е воскресенье 782 756 943 2472
4-е воскресенье 867 885 898 2650
Проверьте, правильно ли он подсчитал сумму в каждой строке. Если вы нашли ошибки, то укажите, в каких строках.
Урок 1з Какие задачи решают сложением
Смекалкин обратился к младшему брату с вопросом: «Как решать следующую задачу? Было сколько-то, добавилось еще сколько-то; сколько стало?» Младший брат удивился: «Вот так задача! Чего было — не сказал; сколько было — не сказал; сколько добавилось — тоже не сказал. Разве можно решить такую задачу?» Смекалкин возразил: «Но я ведь и не прошу тебя решать ее. Я только спросил, как ее решать. А решать ее нужно одним действием — сложением. К тому, сколько было, надо прибавить столько, сколько добавилось. Сумма и даст ответ, сколько стало».
Смекалкин неплохо объяснил брату суть дела. Действительно, ведь совсем неважно, о каких предметах идет речь в этой задаче, сколько их было и сколько добавилось. В ней можно говорить про любые предметы и числа: а) было 376 марок в коллекции; б) было 30 926 книг в библиотеке; в) было 1500 р. на сберегательной книжке; г) было 243 машины в автохозяйстве... Мы сейчас как бы начали условия сразу четырех задач. Можно продолжить эти условия тоже сразу для всех четырех задач. Добавилось 48 марок, 1175 книг, 100 р., 128 машин...
Г7 Поставьте вопрос в каждой из этих четырех задач.
U Решите их. Придумайте сами условия одной-двух
таких же задач.
Придумывать такие задачи очень просто. Ведь они составлены совершенно одинаково. Как обычно говорят, они составлены по одной и той же схеме. Пересказать эту схему удобнее всего, используя буквы.
Схема 1. Было а ..., добавилось Ь .... Сколько стало? (Ответ: а-\-Ь . .. .)
Вместо букв здесь можно ставить любые числа, а вместо пропусков — подходящие слова — существительные. Разглядывайте эту схему и вспоминайте, какие задачи за ней скрываются.
Младший брат Смекалкина, услышав первый раз слово «схема», подумал, что это какое-то непонятное слово. А оказалось, что
все очень понятно: схема задачи — это когда сразу про много-много похожих задач сказано! Он даже как будто стишок придумал: «Было а, добавим Ь. Сколько станет? а плюс &».
Ну, а вам-то уже встречалось слово «схема». Например, на уроках и в учебнике по русскому языку. Там вы изучаете схемы предложений. Эти схемы показывают, как одинаково могут быть составлены разные предложения. А наши схемы задач показывают, как одинаково могут быть составлены разные задачи.
Вот еще одна схема задач на сложение. Мы выскажем ее, тоже используя буквы.
Схема 2. В одном а
.. . , в другом — b .. . . Сколько в них всего . . . ? (Ответ тот же:
а + b . . . .)
Вместо «в одном» можно здесь писать «в одной», «у одной» и т. п.
Какие задачи скрываются за
этой схемой? Вместо букв, ко-
нечно, нужно опять ставить какие-нибудь числа. А какие существительные ставить вместо пропусков? Здесь
можно придумать очень много вариантов. Для каждого нужно вместо пунктира из точек ставить одно и то же
существительное, а вместо пунктира из черточек — другое. Вот несколько примеров. Мы только начнем условия задач, а вы в каждом случае заканчивайте: в одном £л_а£с£ а ХУ.е.?.иЛ?.?; в одном а яблок; в
ОДНОЙ библиотеке д книг ; у ОДНОГО мальчика д марок ; у ОДНОЙ
девочки д кукол
А можно по-другому сказать про ту же схему? Например, так: один сделал а ... , другой — Ь . . . ; сколько . . . они сделали вместе?
Конечно, можно. Смекалкин правильно понял, что для этой схемы можно придумать много задач и с другими глаголами. Вот примеры: а) Одна бригада слесарей отремонтировала а станков * другая — Ь станков, СКОЛЬКО станков отремонтировали обе бригады вместе? б) Отец заработал за месяц а рублей , мать — Ь рублей. Сколько рублей родители заработали вместе? в) За один день туристы прошли а километров- за другой — Ь километров, СКОЛЬКО ^Я^.Р^етРр? они прошли за два дня? Видите, сколько разных глаго
и □
лов в этих задачах: «отремонтировали», «заработали», «прошли».
Придумайте сами одну-две задачи, имеющие схему 2. Какие глаголы вы в них употребили?
А вот еще одна схема задач на сложение.
Схема 3. У одного---------а
... , у другого — на b .. . больше. Сколько ... у другого? (Ответ опять тот же: а + Ь ... .)
И здесь вместо букв нужно ста-
вить какие-нибудь числа, а вместо пропусков — подходящие существительные (одни для пунктира из точек, другие для пунктира из черточек). Конечно, вместо «у другого на b больше» можно то же самое сказать так: «у первого на b меньше, чем у второго».
Что же мы видим? Мы разобрали три схемы задач. И все задачи, имеющие такие схемы, решаются совершенно одинаково — сложением. В каждой из них нужно найти сумму двух чисел.
При решении более сложных задач надо уметь выделять те пункты плана решения, где применяется сложение. Среди заданий к этому уроку есть задачи, в которых либо чередуются разные схемы, либо какая-то схема повторяется несколько раз.
Задания
Г 13.1. Перечитайте в объяснительном тексте примеры
а), б), в) задач, имеющих схему 2. В следующей таблице даны числа, которые в этих задачах могут быть подставлены вместо букв а и 6. Запишите условие каждой задачи и решите ее.
а) б) в)
а 8 280 17
b 9 130 16
13.2. В овощехранилище было 813 т картофеля. В понедельник добавилось еще 236 т, а во вторник привезли еще 247 т картофеля. Сколько картофеля стало в овощехранилище?
13.3. В одной цистерне было 38 т бензина, а в другой — 43 т. В первую цистерну добавили еще 13 т бензина. Сколько бензина стало в обеих цистернах вместе?
13.4. Сахарный песок хранился в двух банках. В одной было 500 г, в другой — 800 г. Мама поручила Игорю ссыпать весь песок в одну большую банку и добавить туда еще 1 кг, который она купила. Сколько сахарного песку будет в большой банке?
13.5. (У) На одной стороне аллеи было 17 деревьев. Когда ребята посадили на ту же сторону еще 4 дерева, оказалось, что на другой стороне на 2 дерева больше, чем стало на первой. Сколько деревьев на другой стороне?
13.6. (У) В одном цехе 37 станков, в другом — на 4 больше. Во второй цех добавили еще 3 станка. Сколько станков стало во втором цехе?
13.7. На одном складе было 135 627 деталей, на другом — 206 315, на третьем — 89 637. Сколько всего деталей?
13.8. Площадь Соединенных .Штатов Америки (США) 9363 тыс. кв. км, а площадь Канады 9976 тыс. кв. км. Площадь нашей страны на 3063 тыс. кв. км больше, чем площади США и Канады, вместе взятые. Какова площадь нашей страны?
13.9. На одной ферме 270 коров, а на другой — на 20 больше. Сколько коров на двух фермах вместе?
13.10. В 1975 г. в нашей стране было 131 400 библиотек. В 1980 г. их было на 600 больше, чем в 1975 г., а в 1986 г. стало на 2200 больше, чем в 1980 г. Сколько библиотек стало в 1986 г.?
13.11. (У) а) Сумму чисел 22 и 4 увеличили на 2. Какое число получилось?
б) У Вити было 22 к., у Гриши — на 4 к. больше, чем у Вити, а у Димы — на 2 к. больше, чем у Гриши. Сколько денег было у Димы?
в) Рыбак за первый час поймал 22 окунька, за второй час — еще 4, за третий — еще 2. Сколько окуньков он поймал за 3 ч?
г) Что общего у задач в пунктах а), б) ив)? Можно ли сказать, что все это одна и та же задача про натуральные числа? Какое числовое выражение получается из ее условия?
13.12. (У) Поезд Кишинев — Москва идет через Киев. От Кишинева до Киева он идет 12 ч. Это на 2 ч меньше, чем время, необходимое ему на путь от Киева до Москвы. Сколько часов идет поезд от Кишинева до Москвы?
13.13. а) Измерьте отрезки АВ и CD. изображенные на рисунке 8, и постройте отрезок, длина которого равна сумме длин этих отрезков, б) Постройте отрезок на 18 мм длиннее, чем отрезок АВ.
Рис. 8
Рис. 9
13.14. Измерьте каждый отрезок у ломаной и найдите ее длину в миллиметрах. Выразите длину в сантиметрах и миллиметрах. Выполните это задание: а) для ломаной KLM (см. рис. 9, а); б) для ломаной ABCDEF (см. рис. 9, б).
13.15. (У) 12-3;
12-8;
15-4;
Вычислите: г) 15-7; д) 17-3; е) 17-9;
ж) 23’4;
з) 37-5;
и) 42-6;
к) 51-8;
л) 66«6;
м) 83-7.
а) б)
в)
13.16. (У) а) Клоун пожаловался публике: «За последнюю неделю я сильно потолстел. Весил всего 79 часов и поправился на 3 рубля. Представляете, сколько метров я сейчас вешу!» Публика смеялась: ведь все
знают, что массу надо измерять единицами массы, а не часами, рублями и метрами. Замените названия единиц на правильные и узнайте, сколько весит клоун.
б) Клоун сказал: «Хорошо, я буду измерять массу единицами массы. Для слона было заготовлено 600 килограммов сена. Сегодня еще привезли 50 центнеров. Да я привез на тележке 2 тонны. Теперь у нас единиц корма заготовлено 600 + 50 + 2, т. е. всего 652». Публика смеялась. Всем было ясно, чУо клоун складывает неправильно: он выразил слагаемые в разных единицах. Исправьте ошибку клоуна, выберите подходящую единицу массы и подсчитайте, сколько сена заготовили слону.
урок 14 Вычитание
Вычитание — это действие, обратное сложению. Понять, почему здесь уместно употреблять слово «обратное», поможет следующая задача: «Маневровый тепловоз проехал по станционным путям в одном направлении 500 м до стрелки, а затем еще 300 м в том же направлении.
300м
Затем он проехал в обратном направлении 300 м.
На сколько метров он переместился в результате?»
Рассуждения здесь очень простые: тепловоз вернулся к стрелке и, значит, в результате переместился на 500 м. Запишем с помощью математических знаков то, как перемещался тепловоз:
(500 + 300) —300 = 500.
Вот и понятно, почему вычитание называют действием, обратным сложению: если из суммы вычесть одно слага* емое, то получится другое слагаемое. Если слагаемые обозначить буквами а и Ь, а их сумму — буквой с, то можно записать: с = а + 6 и а = с — Ь. Глядя на эти равенства, легко ответить на вопрос, что такое разность двух чисел.
РАЗНОСТЬ ДВУХ ЧИСЕЛ с И b — ЭТО ТАКОЕ ЧИСЛО а, ЧТО СУММА ЧИСЕЛ а И Ь РАВНА г.
а = с —6, если а + 6 = г.
Это свойство позволяет проверить, правильно ли выполнено вычитание. Для такой проверки нужно сложить разность и вычитаемое. Тогда должно получиться уменьшаемое.
Вы знаете, что правильность вычитания можно проверить и по-другому: из уменьшаемого вычесть разность. Тогда должно получиться вычитаемое.
Повторим компоненты вычитания и варианты его проверки:
Уменьшаемое — Вычитаемое = Разность .
Проверка:
2)
Разность
+ Вычитаемое
Уменьшаемое — Разность
Уменьшаемое
Вычитаемое
Способ вычитания чисел «столбиком», который вы применяли для чисел меньше миллиона, годится для любых натуральных чисел. Объяснить его можно точно так же, как и для сложения. Найдем, например, разность чисел 48 769 и 31 528. Представим каждое из них в виде суммы
разрядных слагаемых, подпишем эти слагаемые друг под другом и будем вычитать:
__4 десятка тыс.+ 8 тыс.+ 7 сотен+ 6 десятков 4-9
3 десятка тыс. 4-1 тыс. 4-5 сотен 4-2 десятка 4-8
1 десяток тыс. 4-7 тыс. 4-2 сотни 4-4 десятка 4-1
Сохраняется и правило «занимать единицу» у старшего разряда. Например:
33 092 805 446
1 298 334 519
31 794 470 927
Какой же вывод можно сделать? Такой же, как и для сложения: вычитание натуральных чисел выполняют поразрядно, начиная с разряда единиц.
Знак вычитания называется «минус».
П Прочтите числовые выражения, используя
“ слова «плюс» и «минус»:
16 — 9; 17+15 — 26; 46-12-18.
Найдите значения этих выражений.
Вопросы и задания
14.1. Почему вычитание называют действием, обрат- ным сложению?
14.2. Как называется знак « —»? Как называются компоненты вычитания и результат? Что такое разность двух чисел?
14.3. Как выполняется вычитание многозначных чисел?
14.4. Как проверить правильность выполненного вычитания сложением? А вычитанием?
»14.5. (У) Повторим на нескольких примерах, что такое разность двух чисел. Закончите утверждения а) — г) по следующему образцу. Образец: разность чисел 36 и 31 — это такое число 6, что 31 4" ^ = 36.
а) Разность чисел 51 и 26 — это такое число, что...,
б) Разность чисел 51 и m — это такое число с, что...,
в) Разность чисел и и 26 — это такое число d, что..., г) Разность чисел п и пг — это такое число а, что... .
14.6. (У) а) Глядя на равенство 53 6694-67 382=121 051, скажите, не вычисляя, чему равна разность 121 051—67 382.
б) Глядя на равенство 71 8374-163 304 = 235 141, скажите, не вычисляя, чему равна разность 235 141—71 837.
14.7. (У) Найдите значения числовых выражений, не подсчитывая предварительно суммы в каждом из них:
а) 3 + 5 — 5; в) 28 + 47 — 28;
б) 3 + 5-3; г) 28 + 47-47;
<(Урок. 14) И
д) 72 356 803 + 96 873 544 - 96 873 544;
е) 10 001000 0104-22 222 222 222—10 001 000 010.
14.8. Запишите разности чисел 10 000 и 901; п и 100; 200 и а;
п и а. Вычислите (устно) первую разность.
14.9. (У) Выполните действие:
а) 69 — 23; б) 287-64; в) 683-233; г) 1000—25.
14.10. (У) Выполните действие:
а) 62-23; б) 2237 - 64; в) 683-238; г) 1000-777.
14.11. Выполните действие:
а) 57 575 757-39 393 939; в) 603 270 846 - 374 642 277;
б) 987 654 321-123 456 789; г) 841 376 248 - 562 058 749.
Правильность выполненного вычитания проверьте в пунктах а) и б) сложением, а в пунктах в) и г) вычитанием.
14.12. Заполните пустые клетки таблицы:
а 63 179 946 276 5 437 654 73 815 1 356 783
b 34 795 86 237 1 857 239 653 226 2 375 867
а—Ь 47 658 547 355 775 146 4 835 214
14.13. Найдите значение числового выражения:
а) 2 370 812 4-(6 873 5214-7 235 643);
б) 52 613 021-37 753 6234-80 236 508;
в) 130 248 605-55 707 217-44 826 357;
г) 225 678007- (120 703 657+ 72 047 538) ;
д) 730 002 305 — (1 223 657 113 - 528 708 306).
14.14. Смекалкин придумал примеры с размазанными цифрами. Восстановите размазанные цифры.
а) _7058 б) _ОЗО2О в) 2810; 0 2 0 9;
4545 7 5 7 9
14.15 . (У) Вычислите: а) 14-3; г) 17-7;
б) 14-8; д) 19-6;
в) 17-4; е) 19-8;
00120 0 г) _000000
2Q 900; Q1Q5Q
7 102 8 60003
ж) 23'6; к) 57-3;
з) 38-3; л) 64-6;
и) 43-7; м) 72-6.
14.16. (У) Клоун объявил, что покажет математикой ческий фокус. «Задумайте каждый какое-нибудь число и не говорите его мне. Затем прибавьте к нему число 28. Теперь вычтите задуманное число. А я за две секунды объявлю сразу всем, какие числа у вас получились. У каждого получилось число 28».
Объясните, какое свойство вычитания применил здесь клоун.
Урок is Какие задачи решают вычитанием
Раз вычитание — это действие, обратное сложению, то можно догадаться, как получить схемы задач на вычитание. А именно, разбирая схемы задач на сложение, нужно в каждой из них находить одно слагаемое, вычитая из суммы другое слагаемое. Давайте займемся этим и посмотрим, что у нас получится.
Схема 1 из урока 13 дает две схемы задач на вычитание. Вот одна из них:
Схема 1а. Было с ..убавилось Ь ... . Сколько ... осталось? (Ответ: с — b ... .)
Как обычно, вместо пропусков
надо ставить подходящие существительные, а вместо букв — какие-нибудь числа. Например: а) Было 867 в школе,
убыло 12. б) Было 500 в гараже, отправлено в ремонт 15.
в) Было 36 конфах, съедено 11. Как вы
видите, вместо гла-
гола «убавилось» могут быть и другие глаголы.
и а
Поставьте вопроси к этим задачам и решите их.
А вот другая схема:
Схема 16. Было с ..., убавилось сколько-то ..., осталось а ... . Сколько убавилось? (Ответ: с —а ... .)
Приведем условие конкретной задачи, имеющей такую схему: «В коробке было 36 конфет, девочка сколько-то съела, осталось 29 крнфет».
Поставьте вопрос к задаче и решите ее.
Схема 2 из урока 13 дает такую схему задач на вычи-
тание:
Схема 2. В двух-------вме-
сте с ..., в одном из них а ... . Сколько ... в другом? (Ответ: с—а ... .)
Вот задачи, имеющие такую схему: а) В двух разместилось 65 в одном из
(Урок. 15) 52
них 36 ШЛОДУдаЛРЛ . Сколько W.W.HllWP.? в другом? б) За два месяца у июль и август, артист дал 40 коидздто», причем за июль 22. Сколько №№££?£? дал артист в августе?
и
Решите обе задачи.
Схема 3 из урока 1 дает снова
Схема За. В одном_______с
..., в другом — на Ь ... меньше.
Сколько ... в другом? (Ответ: с — Ь ... .)
Схема 36. В одном
с ..., в другом а ..., причем О а. На сколько ... во втором _____меньше, чем в первом? (От-
вет: на с —а ... .)
Вместо слова «меньше» в задачах этих схем могут быть похожие по смыслу слова: «ниже», «легче», «дешевле», «моложе» и т. п. Точно так же в задачах схемы 3
две схемы:
из урока 13 вместо слова «больше» могут быть слова: «выше», «тяжелее», «дороже», «старше» и т. п.
Среди заданий к уроку будут задачи, в которых разобранные в уроке схемы или чередуются, или какая-нибудь одна схема повторяется несколько раз, или добавляется какая-нибудь схема из урока 13.
Задания
15.1. Составьте таблицу, в которой все схемы задач на сложение и вычитание собраны вместе. В следующую таблицу одна схема уже вписана, остальные впишите сами:
Схемы задач на сложение Схемы задач на вычитание
1. Было а, добавилось Ь. 1а.
Сколько стало? 16.
2. 2.
3. За.
36.
15.2. Придумайте по одной задаче на каждую схему, разобранную в этом уроке.
15.3. а) (У) Смекалкин предложил младшему брату такую задачу на вычитание: «В городе 8 кинотеатров — это на 7 больше,
чем в соседнем селе. Сколько кинотеатров в соседнем селе?» Брат удивился: «Разве это задача на вычитание?! Ведь в ней сказано «больше»! Значит, она на сложение». Смекалкин объяснил брату, что тот не прав. Никогда нельзя только по одному слову «больше» делать вывод, что задача на сложение. Нужно внимательно читать условие, чтобы понять, какое число мы ищем — больше данного или меньше данного. Задача Смекалкина про кинотеатры имеет схему За этого урока. Перескажите условие этой Выдачи, используя слово «меньше», и дайте ответ.
б) Придумайте сами задачу на вычитание, в условии которой использовалось бы слово «больше». Запишите ее на листочке и предложите соседу по парте решить ее. Затем проверьте, правильно ли выполнено задание.
в) Придумайте задачу на сложение, используя в условии слово «меньше». Также предложите решить ее соседу по парте.
15.4. В овощехранилище было 813 т картофеля. В понедельник из овощехранилища в магазин увезли 27 т, во вторник — еще 29 т. Сколько тонн картофеля осталось в овощехранилище?
15.5. Валя и Вера купили 40 грецких орехов. Валя расколола 7 орехов, а сколько орехов расколола Вера, никто не считал. Девочки заспорили, кто из них расколол орехов больше. Пересчитали оставшиеся, их оказалось 26. Кто расколол орехов больше?
15.6. Валя и Вера читают по очереди одну книгу, в которой 98 страниц. Вера сначала прочитала 36 страниц, а Валя прочитала на 17 страниц больше, чем Вера. Сколько страниц осталось прочитать Вале? А сколько Вере?
15.7. Автопробег Москва — Владивосток планируется провести за две недели. Расстояние по автодорогам от Москвы до Владивостока — 9768 км. В первую неделю было пройдено 4516 км. Что больше и на сколько: пройденный или оставшийся путь?
15.8. 1 сентября день длится 14 ч, а 22 сентября — на 2 ч меньше. Какова продолжительность ночи 22 сентября?
15.9. Площадь Украинской ССР — 603 700 кв. км; площадь ФРГ — 248 200 кв. км, а площадь Италии — 300 900 кв. км. На сколько квадратных километров площадь Украинской ССР больше, чем площади ФРГ и Италии, вместе взятые? Найдите на карте, где расположены Украинская ССР, ФРГ и Италия.
15.10. Прочитайте задачу 13.3. а) Составьте обратную задачу, в которой требуется узнать, сколько бензина первоначально было
94т 94т 94т
Рис. 10
в первой цистерне (рис. 10, а). Решите ее. б) Составьте обратную задачу по рисунку 10, б. Решите ее. в) Составьте обратную задачу по рисунку 10, в. Решите ее.
15.11. а) 5-й А класс собрал 372 кг металлолома, 5-й Б — на 43 кг меньше. Сколько металлолома собрали оба класса вместе? б) Составьте обратную задачу, в которой требуется узнать, на сколько килограммов меньше собрал 5-й Б класс.
15.12. Измерьте отрезки, изображенные на рисунке 11. а) сколько миллиметров отрезок АВ короче отрезка CD? б) Постр^^И те отрезок, который на 18 мм короче отрезка АВ,
А В
D
Рис. 11
15.13. Отрезок АС составили из двух отрезков: АВ и ВС. Длина АС 63 см, длина ВС 28 см. Какова длина отрезка АВ?
15.14. У прямоугольника длина больше ширины на 38 дм.
Каков его периметр, если длина прямоугольника 72 дм?
15.15. (У) Вычислите:
а) 21+22 + 23; в) 69—43 + 37; д) 18+(42 —24);
б) 31+41—51; г) 85-27-43; е) 37 —(63-36).
15.16. Вычислите:
а) 2 001 007-307 246 + 9 008 183-696 949;
б) 39 023 608 —(10 102 036 —7 904 815) + (80 010 080 —8 001 008);
в) (12 384 000-1 543 314)—(45 278 367 —39 499 819-5 062 137).
15.17. (У) Вычислите:
а) 25-7; в) 47-6; д) 27-8; ж) 62-9; и) 93-7;
б) 33-8; г) 53-4; е) 83-5; з) 78-6; к) 48-9.
урок 16 Особенное число 0
Задача. В зале кинотеатра на сеансе было 500 зрителей. Когда сеанс закончился, из зала вышло 500 человек. Сколько человек осталось в зале?
Ответ каждому ясен: нисколько. А какое выражение нужно составить при решении этой задачи? Вот какое: 500 — 500. Конечно, нет натурального числа, равного разности 500 — 500. Но что, если присоединить к натуральным числам такое число, которое на вопрос «сколько?» отвечало бы «нисколько»?
Вы уже знаете такое число. Это нуль. (Говорят также и ноль). И цифра, которой записывается число нуль, вам давно известна — 0. Так что верно числовое равенство 500 — 500=0. И другие похожие равенства верны: 1 —
— 1=0; 2 — 2 = 0 и т. д. Вообще если буква а обозначает любое натуральное число, то
а — а = 0.
Сформулируем обнаруженное свойство: разность двух одинаковых чисел равна нулю.
Придумайте еще одну задачу, решение которой давалось бы выражением а—а.
Что получится» если к натуральному числу или к нулю прибавить нуль? Ответить очень просто. Ведь прибавить 0 — значит нисколько не прибавить. Поэтому 0 + 0= = 0, 1+0=1, 2 + 0=2 и т. д. Точно так же 0+1 = 1, 0+2 = 2 и т. д. Вообще если буква а обозначает любое натуральное число или 0, то верны равенства:
а + 0 = а, 0 + а = а.
А такие равенства могут появляться при решении задач?
Конечно. Вот пример: «В мебельный магазин в понедельник завезли 120 стульев, а во вторник стульев не завезли. Сколько стульев завезли в магазин за эти два дня?» Если обозначить число 120 буквой а, то решение дается равенством а + 0 = а.
Прочитайте это равенство два раза, произнося во второй раз вместо буквы а число 120. Придумайте задачу на равенство 0 + а = а.
Свойство, записанное равенствами а + 0 = а, 0 + а = а, можно сформулировать так: если одно слагаемое равно
V’W* нулю, то сумма равна другому слагаемому.
А что получится, если из натурального числа или нуля вычесть нуль? Рассуждение опять очень простое. Ведь вычесть 0 — значит нисколько не вычесть. Поэтому 0 — 0 = 0, 1—0=1, 2 — 0 = 2 и т. д. Вообще верно равенство
а — 0 = а.
Скажите, какие числа может обозначать буква а в этом равенстве. Придумайте задачу, решение которой давалось бы таким равенством.
Обнаруженное сейчас свойство можно сформулировать так: если вычитаемое равно нулю, то разность равна уменьшаемому.
В уроках 17 и 21 мы обсудим, как ведет себя 0 при умножении и делении. А сейчас поговорим о сравнении
нуля с натуральными числами.
Какое из чисел: 0 или 1 — меньше другого?
Ответ ясен: 0<1. Точно так же 0<2, 0<3, и вообще
i
выполняется такое свойство: число нуль меньше лю натурального числа. Другими словами то же свойс^Н!
можно сформулировать так: любое натуральное число
больше нуля.
Записать это свойство при помощи математических знаков можно так: если буква а обозначает какое угодно
натуральное число, то верны неравенства
0<а; а>(к
Много особенных свойств у числа 0. Мы в этом уроке объяснили только некоторые из них: как 0 складывается с натуральными числами, как из них вычитается, как сравнивается с ними.
Вопросы и задания
16.1. Какое число получится, если из натурального числа вычесть то же самое число?
16.2. Какое число получится, если к данному чисду прибавить 0; если из данного числа вычесть О?
16.3. Чему равна сумма 0 + 0; 0 + 0 + 0; 0 + 0 + 0 + 0 и вообще сумма нескольких нулей?
V 16.4. (У) Сформулируйте свойство, которое записы-
• вается равенствами а + 0 = а и 0 + а — а.
16.5. (У) Вычислите:
а) 13-6 + 0; в) 43-5-0; д) 420:6 + 0;
б) 0 + 27-4; г) 14-4 — 8-7; е) 4200:60—0.
16.6. (У) Найдите значение выражения:
а) (628 —628)+ 7283; г) (73 + 18 — 31)+(44—21 — 23);
б) 65 872+ (87 652 —87 652); д) (12-4 — 6-8)+ 13 273;
в) 41 653 —(58 267 —58 267); е) (63:3 — 7-3)+88 888.
16.7. Перечитайте задачу 15.8. На сколько часов день длиннее ночи 1 сентября? А 22 сентября?
16.8* а) Сколько прямоугольников изображено на рисунке 12? Сколько из них квадратов? На сколько квадратов здесь
Рис. 12
Рис. 13
меньше, чем прямоугольников, не являющихся квадратами? б) От-Вьте на те же вопросы для фигуры, изображенной на рисунке 13.
Й6.9. а) Младший брат спросил Смекалкина: «Всегда ли сумма двух чисел больше каждого из слагаемых?» Смекалкин объяснил, что если складываются натуральные числа, то всегда. Но выполняется свойство: если одно из слагаемых ..., то сумма равна другому слагаемому. Запишите это свойство, заполнив пропуск.
б) Перепишите следующее предложение, заполнив пропуск в конце: «Если сумма равна каждому слагаемому, то эти слагаемые равны ...».
16.10, Найдите значения следующих выражений и запишите полученные числа в порядке возрастания:
а) 684:(80 171—79 829); в) 234 567—132 675;
б) 21 653-367-59; г) 784-22 707:29.
16.11. Клоун раздал публике 8 карточек с числовыми А выражениями и объявил, что некоторые карточки призо-вые — те, где значение выражения равно нулю. Тому, кому досталась призовая карточка, он вручит столько апельсинов, каково первое число в выражении на карточке.
(I +255):8-345:23
2 • 186 —- (101 — 89)-31
(5 + 388):3-6157:47
6-672—(241 —157)-41
3 —(54-37 —499-4)
7 + (62-73- 11 • 103)
4-(73 + 59) —48-11
8 -(357 + 268) - 1999
Найдите все призовые карточки и определите, сколько всего апельсинов будет вручено.
Урок 17 Умножение
Почему возникло действие умножения? Потому что нужно было придумать более удобный способ для записи и вычисления суммы одинаковых слагаемых. Например, 27 + 27 + 27 + 27 = 27-4. Видите, сумма одинаковых слагаемых заменяется произведением одного слагаемого на количество слагаемых.
Произведение маленьких чисел легко находить в уме. Для больших чисел обычно применяют способ умножения «столбиком».
А в этом способе опять помогает позиционная нумерация? Как и при сложении?
Да. Правило умножения «столбиком» можно объяснить только с помощью позиционной нумерации. Умножим, к примеру, число 31 213 на 232. Запишем 232 в виде 20 + 30 + 2. Тогда ясно, что 31 213 нужно взять слагае 200 раз, потом еще 30 раз и, наконец, еще 2 раза. ЗначТГГ, 31 213-232 = 31 213-200 + 31 213-30 + 31 213-2. Как раз
эту сумму и ^31213 А 232
62426
+ 936390
6242600
7241416
записывают «столбиком»:
Нули в конце второй и последующих строк не пишут, но представляют мысленно. Чтобы напомнить здесь о них, мы изобразили их пунктиром. При обычной записи будьте внимательны и не занимайте другими цифрами места, которые принадлежат нулям.
Итак, сформулируем общее правило: натуральные числа умножаются поразрядно, начиная с разряда единиц.
При умножении, как и при сложении, иногда приходится одну или несколько единиц переносить в следующий разряд. Это происходит, например, при умножении чисел 723 и 4 (проверьте!).
В уроке 16 мы обещали обсудить, как ведет себя 0 при умножении. Что получится, если натуральное число или 0 умножить на 0? Давайте рассуждать. Умножить данное число на 0 — это значит взять его слагаемым нуль раз, т. е. не взять ни разу. Сколько же получится? Нисколько, т. е. 0.
А если 0 умножить на натуральное число? Тогда 0 надо взять слагаемым несколько раз. Чему будет равна сумма? Мы уже задавали этот вопрос (см. 16.3), ответ вы знаете: 0.
Итак, мы обнаружили такое свойство нуля: если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю.
Если буква а обозначает натуральное число или нуль, то это свойство нуля можно записать следующими равенствами:
а-0 = 0; 0-а = 0.
Что будет при умножении чисел «столбиком», если во втором множителе в каком-то разряде стоит 0? При умножении на этот 0 будет получаться 0. Значит, одна строка будет состоять из нулей. Она не влияет на результат
сложения «столбиком». Поэтому ее не пишут, а лишь мысленно представляют. Вот пример:
.80674
306
484044
80674
306
4- 00000
242022 '24686244
+ 484044
242022
24686244
Пропуская такую строку, ученики иногда ошибаются. Они пишут крайнюю правую цифру не под тем разрядом, забывая о строке из нулей. Не делайте таких ошибок!
Если множители оканчиваются нулями, то на эти нули не умножают. Их просто приписывают к результату умножения чисел без этих нулей:
6103
240Q 24412*•
12206 И 146472о6
41200 X ч* 1006ft
2472 ч»
412 |П 414472000
Вопросы и задания
17.1. Как выполняется умножение натуральных чисел j «столбиком»? В чем удобство этого способа?
17.2. Чему равно произведение любого числа на нуль? А нуля на любое число?
17.3. Какое свойство записано равенствами а-0 = 0и0-а=0? Что в них обозначает буква а?
17.4. Как называются компоненты умножения и результат?
Т17.5. (У) Вычислите:
ш а) 17-6; г) 62-8; ж) 44-4; к) 94-6;
б) 71-6; д) 35-7; з) 77-7; л) 38-9;
в) 26-8; е) 53-7; и) 49-6; м) 83-9.
17.6. (У) Вычислите:
а) 3-4-5; г) 3-5-7; ж) 5-7-8; к)13-3-2.
б) 5-6-5; д) 2-7-8; з) 11-7-3;
в) 4-6-8; е) 3-7-9; и) 11-8-4;
17.7. Заполните пустые клетки таблицы:
а 2906 74 125 803 706 208 3050 6004 378 000
b 67 333 6507 7028 3005 60 400 8200
а*Ь
(Урок 17) 60
17.8. Найдите значение выражения: а) 12 345 678-1234-9876;
б) (321 432 543 — 301 030 503)-7040;
в) 6789-4321+7698-3412;
г) (5238 -4981- 26 084 647) -1987.
17.9. (У) Найдите значение числового выражения, заменив, где это возможно, сложение умножением:
а) 17+17+17+17+17+17;
б) 4328 + 4328 + 4328 + 4328 + 4328 + 4328 + 4328 + 4328 +
+ 4328 + 4328;
в) 77 + 77 + 77 + 99;
г) 16+16+16+16+16 + 23 + 23 + 23+23.
17.10. (Загадки,) а) Задумано число. После того как его сложили с самим собой, получили 0. Какое число задумано? б) Задумано число. После того как его сложили с самим собой 100 раз, получилось оно само. Какое число задумано?
17.11. Смекалкин придумал пять примеров с размазанными цифрами. Восстановите размазанные цифры.
100 5
д)*
17.12. Число 6 можно получить, перемножая 1 и 6 или числа 2 и 3. Других пар натуральных чисел, произведение которых равно числу 6, нет. Напишите все пары натуральных чисел, произведение которых равно: а) 10; б) 12; в) 18; г) 25; д) 3; е) 7; ж) 1.
17.13. (У) Можно ли найти два натуральных числа, произведение которых равно нулю?
И 17.14. Измерьте у прямоугольника, изображенного на рисунке 14, длину и ширину. Найдите его площадь и периметр.
Рис. 14
61 (Урок 18)
урок is Какие задачи решают умножением
□
Название этого урока похоже на названия уроков 13 и 15. Посмотрите, о чем рассказывалось в тех уроках. О схемах задач на сложение и вычитание. Обнаружив это, вы должны догадаться, о чем пойдет речь в этом уроке,— о схемах часто встречающихся задач, где требуется применить умножение.
Схема I. Есть b----------, в каждом по а ....
Сколько ... в них всего? (Ответ: а*Ь . .. .)
Как получить из этой схемы конкретные задачи? Как обычно: нужно вместо букв а и Ь ставить какие-нибудь числа, а вместо пропусков — подходящие существительные (для пунктира из точек — одно и то же существительное, для пунктира из черточек — другое). Вместо слова «есть» могут быть и другие глаголы.
Вот примеры условий задач, имеющих схему 1: а) в кинотеатре 30 £я5?вt в каждом по 25 б) швейная фабрика должна сшить 15 тыс. нубашек нового фасона, на каждой будет по 7 ПУЛ?®?.1? ; в) в магазин привезли 200 ^и_к0_в_ с фруктовой водой, в каждом по 20 бутылок .
Поставьте вопросы в каждой задаче и дайте ответы.
Иногда в схеме 1 одно из чисел не указывается явно, но его сразу видно из условия. Вот пример: «Месячная зарплата рабочего 250 р. Сколько он получает за год?» Видите, та же схема! Вместо буквы а число 250.
А что здесь должно быть поставлено вместо буквы Ь? Каков ответ в этой задаче?
Во второй схеме будут участвовать таблицы. Как устроена таблица? В ней есть строки и столбцы (столбцы по-другому называются колонками). А на пересечении строк и столбцов получаются клетки. Например, следующая таблица имеет 3 строки и 4 столбца. Каждая строка относится к одному из учеников. А столбцы указывают по очереди имя, возраст, рост и массу.
Строки
1-я Вася 10 лет 144 см 36 кг
2-я Валя 10 лет 133 см 31 кг
3-я Вера 10 лет 132 см 32 кг
1-й 2-й 3-й 4-й
Столбцы
Схема 2. В таблице а строк и b столбцов. Сколь* ко в таблице клеток? (Ответ: а-b клеток.)
Как и раньше» буквы а и b здесь обозначают какие-то натуральные числа. А как объяснить здесь ответ а*&? Сделаем это на примере рассмотренной выше таблицы. В ней 4 столбца. В каждом столбце по 3 клетки. Мы видим, что возникла схема 1. Сколько же всего клеток в таблице? Произведение 3-4. И вообще если в таблице b столбцов и а строк, то в каждом столбце будет по а клеток (возникла схема 1) и, значит, всего клеток — произведение ....
П Закончите это утверждение. Сколько, например,
g клеток в таблице, имеющей 15 строк и 5 столбцов?
Вот и объяснение ответа а-b получилось!
Очень важный вариант схемы 2 — вычисление площади прямоугольника. Вычислять ее вы научились уже в 4-м классе. А почему мы назвали это вычисление вариантом схемы 2, объясним в $ 10. (Самые нетерпеливые могут, конечно, и сейчас туда заглянуть.)
Схема 3. У одного-------------а ..., у другого —
в b раз больше. Сколько ... у другого? (Ответ все тот же: а*Ь . ...)
Объясните ответ и придумайте одну-две задачи, имеющие такую схему.
В заданиях к этому уроку какая-то схема задач на умножение может чередоваться с другими, а также со схемами задач на сложение или вычитание.
Задания
В заданиях 18.1 — 18.4 мы напоминаем несколько особенно важных вариантов схемы 1. Каждый из них показывает зависимость между тремя связанными друг с другом величинами: 1-й вариант — зависимость между ценой, количеством и стоимостью; 2-й — между скоростью, временем и расстоянием; 3-й — между производительностью труда, временем и количеством изделий; 4-й — между урожайностью, площадью и общим урожаем. Напомним:
Цена — это стоимость одного изделия или единицы товара. Скорость — это расстояние, пройденное в единицу времени. Производительность труда — это количество изделий, или единиц продукции, произведенных за единицу времени.
Урожайность — это урожай, собранный с единицы площади.
В схеме мы использовали буквы а и Ь. Но, конечно, можно использовать и другие буквы. Например, скорость обычно обозначается буквой v, а время — буквой t.
Ш 18.L (У) Если а — цена изделия или единицы товара»
J b — количество изделий или единиц товара, то стоимость всех изделий или всего товара равна а*Ь. В задачах а) и б) вместо букв а и b будут числа.
а) Родители поручили Оле купить 3 л молока по цене 28 к. за 1 л. Сколько денег она должна заплатить?
б) Во время ремонта школы пришлось заменить 20 парт на новые. Цена одной парты — 42 р. Сколько рублей сэкономила бы школа при более бережном отношении учащихся к школьному имуществу?
18.2. (У) Если и — скорость движения, t — время движения, то пройденное расстояние равно v-t. В задачах а) и б) вместо букв v и t будут числа.
а) Мотоциклист едет со скоростью 80 км/ч. Какое расстояние он проедет за 3 ч?
б) Космический корабль «Восток», на котором совершил полет первый космонавт Ю. А. Гагарин, имел скорость 460 км/мин. Какое расстояние пролетал «Восток» за 10 мин; за 1 ч?
18.3. (У) Если k — производительность труда, t — время работы, то количество изделий, произведенных за это время, равно k-t. В задачах а) и б) вместо букв k и t будут числа.
а) Производительность труда токаря — 26 деталей за час. Сколько деталей выточит токарь за 8-часовой рабочий день?
б) Производительность ткацкого станка — 10 кв. м ткани в час. Сколько квадратных метров ткани выпускается на одном станке за 8-часовой рабочий день?
18.4. Если р — урожайность, S — площадь или количество растений, то общий урожай равен p*S. В задачах а) и б) вместо букв р и S будут числа.
а) Урожайность зерна в колхозе «Прогресс»— 340 т с 1 кв. км. Какой урожай соберет колхоз с поля площадью 27 кв. км?
б) Урожайность клубники составляет 5 кг с 1 кв. м. Какой урожай клубники будет собран с площади 375 кв. м?
В 18.5. В следующей таблице указано, сколько продукции получает наша страна за 1 рабочую минуту. Заполните столбцы этой таблицы, вычислив, сколько продукции производится за 1 ч и за 1 сут.
Вид продукции За 1 мин За 1 ч За 1 сут
Электроэнергия Минеральные удобрения Цемент Ткани Обувь Радиоприемники Телевизоры Холодильники 3042 тыс. кВт-ч 66 т 257 т 23 тыс. кв. м 1524 пары 17 штук 18 штук 11 штук
18.6. Смекалкин подарил младшему брату на день рождения коробку конфет. Конфеты были расположены в 4 ряда, по 9 конфет в каждом ряду. Младший брат угостил всех, кто был на дне рождения. Каждый взял по одной конфете (в том числе Смекалкин и младший брат). После этого в коробке осталось 28 конфет. Сколько гостей было на дне рождения?
18.7. Покупатель попросил отмерить ему 8 м полотна по цене 6 р. за метр. Для оплаты он подал 50 р. Сколько рублей сдачи должен получить покупатель?
18.8. 1 сентября 5100 тыс. ребят нашей страны пришли в 1-й класс. Каждый из них имел с собой по 2 тетради, а) Сколько тетрадей нужно было изготовить нашей промышленности только для первоклассников? б) Представьте, что все они выложены в дорожку так, что одна тетрадь приложена к другой по длине. Измерьте длину тетради и вычислите, какую длину имеет такая дорожка, в) Что больше: длина этой дорожки или расстояние от Ленинграда до Волгограда (оно равно 1722 км)?
18.9. На последней странице каждой книги указан ее тираж (т. е. число напечатанных экземпляров). Измерьте толщину учебника линейкой. Какой высоты получится стопка учебников, если сложить в нее весь тираж?
А В
• ♦
Рис. 15
18.10. Измерьте отрезок АВ, изображенный на рисунке 15, и начертите отрезок, который в 4 раза длиннее отрезка АВ.
18.11. а) Одна сторона прямоугольника 17 дм, а другая — на 5 дм меньше. Какова площадь прямоугольника?
б) Одна сторона прямоугольника 31 м, а другая — в 3 раза больше. Какова площадь прямоугольника?
18.12. (У) Вычислите:
а) 103-4; в) 305-6; д) 507-8; ж) 809-6; и) 604-2;
б) 204-5; г) 406-7; е) 708-4; з) 806-7; к) 402-9.
18.13. Клоун рассказал публике историю, состоящую из трех задач о том, как он выращивал на огороде картофель. В этой истории он опять нарочно перепутал все единицы измерения. А еще он объявил, что ответ у задачи а) нужно использовать в задаче б), а ответ у задачи б) — в задаче в).
Вот эти задачи: а) Длина огорода 35 р., ширина 10 кв. м. Сколько килограммов составляет его площадь? б) Урожайность картофеля была 2 к. за 1 кг. Сколько метров составил собранный урожай? в) Цена картофеля 12 кг с 1 кв. м. Сколько метров стоил бы этот картофель, если бы был куплен в магазине?
Правильно расставьте в задачах а) — в) названия единиц и решите задачи.
Урок
и □ и
Возведение в степень.
Квадрат и куб числа.
Вы знаете, что сумму равных слагаемых заменяют произведением, например: 5 + 54-5 + 5 = 5*4. Это короче и удобней. А нельзя ли придумать такой же способ записи, чтобы заменить произведение равных сомножителей? Как, например, произведение 5*5*5*5 записать короче?
Такой способ есть. Произведение 5*5*5*5 записывают короче: 54. Итак, 54 = 5*5*5*5. Запись 54 читают: «Пять в четвертой степени». Возвести 5 в четвертую степень — это значит взять его множителем 4 раза.
Число 54 (а это 625, проверьте!) называют четвертой степенью числа 5. Число 25 (а это 32, проверьте!) называют пятой степенью числа 2. В записи каждой степени участвуют два числа. Одно, которое возводится в степень, называют основанием степени. Другое, которое показывает, сколько раз берется множителем основание степени, называют показателем степени. Например, в записи 54 число 5 — основание степени, число 4 — показатель степени. В записи 25 число 2 — основание степени, число 5 — показатель степени.
Назовите основание и показатель степени в записях 23, З2, З3. Вычислите записанные здесь степени*
Если показатель степени равен 1, то что это значит? Давайте рассуждать. Это значит, что основание степени надо взять множителем один раз. Как это представить? Взяли основание, а второго множителя нет! Вот и договариваются в этом случае оставлять основание степени, как оно есть. Поэтому 2’=2, 3’=3, 4‘ == 4 и т. д. Вообще первая степень любого числа равна этому числу.
Вторая и третья степени числа имеют еще и особые названия. Вторую степень называют квадратом. Так что квадрат числа 2 равен 4, квадрат числа 3 равен 9. Запись 22 читают: «Два в квадрате».
А почему такое название — квадрат?
Ведь у нас никаких геометрических фигур здесь не появилось.
Фигура сейчас появится. И именно квадрат. Рассмотрим квадрат со стороной 2 см. Его площадь как раз равна 2*2 = 22 = 4 (кв. см). А еще можно представить квадратную таблицу, у которой число строк равно числу столбиков. Например, шахматную доску (см. рис. 16). У нее 8 строк (горизонталей) и 8 столбцов (вертикалей). Клетки этой та блицы-доски называют полями.
3 Учебник-собеседник
и 13
Сколько у нее полей?
Ответ ясен: 8*8=82=64. Видите: восемь в квадрате!
Вообще пусть буквой а обозначено какое-то число. Тогда число клеток в квадратной таблице, у которой а строк и а столбцов, равно квадрату числа а.
Вычислите 42. Нарисуй-
те таблицу, у которой Рис 16
4 строки и 4 столбца.
Третью степень числа называют кубом этого числа. Запись 23 читают: «Два в кубе». Наверное, вы догадались, почему здесь появилось слово «куб». Если рассмот
реть куб (рис. 17, а), ребро которого имеет длину 2 см, то видно, что он сложен из восьми кубиков с ребром 1 см. Но 8 как раз и равно 2-2-2 = 23.
и
□
На рисунке 17, б изображен куб с ребром 3 см. Из скольких кубиков с ребром 1 см он сложен?
Рис. 17
33=3-3*3=27 б)
Вопросы и задания
7 19.1. Что такое основание степени? показатель степе-
в ни?
19.2. Дано число. Чему равна его первая степень?
19.3. Что такое квадрат данного числа? куб данного числа?
19.4. Чему равна площадь квадрата со стороной а м?
19.5. Дан куб со стороной а см (а — натуральное число).
Из скольких кубиков с ребром 1 см он сложен?
W 19.6. (У) Прочитайте записи: а) 26; б) З4; в) 23;
J г) 52; д) 5 , е) 101; ж) I02; з) 103; и) 105; к) 109;
л) 123; м) 132; н) 202; о) 252.
19.7. а) (У) В каждой записи степеней из 19.6 назовите основание и показатель степени, б) Вычислите значения степеней из 19.6.
19.8. Запишите цифрами: а) седьмую степень числа двести сорок пять; б) семьсот в восьмой степени; в) квадрат числа три тысячи шестьсот двадцать семь; г) пятьсот тридцать четыре в кубе; д) двенадцать в одиннадцатой степени; е) одиннадцать в двенадцатой степени.
19.9. Сравните значения выражений:
а) 23 и З2; г) 103 и 302; ж) II2 и 10-12;
б) 24 и 42; д) 102 и 9-11; з) 92 и 7-11.
в) 25 и 52; е) 82 и 7-9;
19.10. Вычислите значение выражения:
а) 1002; в) 10I2; д) 1232; ж) 1503;
б) 1003; г) 1112; е) 1502; з) 98762.
19.11. (У) Найдите значение выражения:
a) I2, I3, I4, 1'°, 1 1987; б) О2, О3, О4, 0'°, О'987.
19.12. Используя возведение в степень, запишите короче: а) 7-7-7.7; б) 13.13-13 + 31-31-31; в) 47-47-81-81-81.
19.13. а) В квадратной комнате длина одной стены 3 м. Найдите площадь этой комнаты в квадратных метрах, а затем выразите ее в квадратных сантиметрах.
6) Поле имеет форму квадрата со стороной 3 км. Найдите площадь этого поля в квадратных километрах, а затем выразите ее в квадратных метрах.
в) Сторона поля шахматной доски имеет длину 3 см. Найдите площадь этого поля в квадратных сантиметрах. Чему равна площадь всей доски?
19.14. Число 100 равно квадрату числа 10. Это можно записать равенством: 100= Ю2. В заданиях а) — в) ответы также запишите равенствами.
а) Какой степенью числа 10 является число 1000; 10 000; 1 000 000; 100 000 000?
б) Какой степенью числа 2 является число 4; 8; 32; 128?
в) Какой степенью числа 5 является число 5; 25; 125; 625?
19.15. (Загадки.) а) Квадрат задуманного натурального числа равен 9. Какое число задумано?
б) Квадрат задуманного натурального числа равен 1. Какое число задумано?
19.16. (Загадка.) Есть ровно два числа, равных своему квадрату. Отгадайте, что это за числа.
19.17. Сколько раз надо взять слагаемым число 3, чтобы получить З2; З3: 3<?
19.18. а) Рассмотрите ряд чисел: 1» 4, 9, 16, 25, 36, .... Нетрудно догадаться, как идут в нем числа. А именно: это квадраты чисел натурального ряда. Продолжите запись, написав еще пять чисел этого ряда.
б) Рассмотрите ряд чисел 1, 8, 27, 64, 125, 216, ... . Как идут числа в этом ряде? Напишите два следующих числа этого ряда.
Урок 20 Почему действие, обратное умножению,
называют делением
Деление — это действие, обратное умножению. Оно ведет себя по отношению к нему так же, как вычитание — по отношению к сложению. Смотрите, как можно записать определения этих двух обратных действий одновременно. Действием, обратным называется нахожде-
умножению слагаемого ние неизвестного .......... по известным
множителя слагаемому и другому ....... .
J множителю
сумме произведению
Мы здесь «одним ударом» записали сразу два предложения. Если везде прочитывать слова над пунктирной линией, то получим определение вычитания. Если прочитать слова под линией, то получим определение деления.
Как вы думаете, почему действие, обратное умножению, называют делением?
Чтобы ответить на этот вопрос, давайте обсудим задачу о плитке шоколада. Такая плитка имеет форму прямоугольника, разделенного на клеточки (см. рис. 18, а).
Настоящая таблица! У нее и строки и столбцы есть.
Полезное наблюдение. Им мы и воспользуемся. Будем говорить про строки и столбцы в шоколадной плитке.
Задача 1. В плитке шоколада 5 строк и 8 столбцов. Сколько в ней долек?
Вы, конечно, сразу нашли ответ: 40 долек. Но сейчас интересней не ответ получить, а понять, какую схему имеет эта задача. Посмотрите-ка урок 18. Видите, наша задача имеет в точности схему 2, где вместо буквы а поставлено число 5, а вместо b — число 8.
А теперь пусть множитель а нам неизвестен, т. е. получается задача, обратная к задаче 1.
Задача 2. В плитке шоколада 40 долек и 8 столбцов. Сколько в ней строк?
Каждому видно: сколько строк, столько и долек в шоколадном столбце. Значит, вопрос задачи можно пересказать так: сколько долек в каждом столбце? Чтобы дать ответ, надо разделить плитку на 8 столбцов (см. рис. 18,6). Вот и понятно, почему обратное действие названо делением. Ответ в задаче дает выражение 40:8.
Вообще если в таблице с клеток и b столбцов, то в ней с:Ь строк. Итак,
ЧАСТНОЕ ПРИ ДЕЛЕНИИ ЧИСЛА с НА ЧИСЛО b — ЭТО ТАКОЕ ЧИСЛО а, ЧТО ПРОИЗВЕДЕНИЕ а НА Ь, РАВНО с.
a = c:bt если а-Ь = с
А теперь пусть в схеме 2 урока 19 неизвестен множитель Ь. Тогда получается задача, тоже обратная к задаче 1.
Задача 3. В плитке 40 долек и 5 строк. Сколько в ней столбцов?
Объясните, как появляется деление при решении задачи 3. Запишите решение и ответ.
Вообще если в таблице с клеток и а строк, то в ней с:а столбцов.
Вопросы и задания
4^ 20.1. Что такое действие, обратное умножению? Как
4г называется это действие?
" 20.2. Как называются компоненты деления и результат?
20.3. Как найти множитель, если известно произведение и другой множитель?
20.4. Как найти делимое, если известны делитель и частное? 20.5. (У) Повторим на нескольких примерах, что зна-
чит разделить одно число на другое. Закончите утверждения а) — г) по следующему образцу:
Образец: частное при делении числа 72 на число 8— это такое число а, что а *8 — 72.
а) Частное при делении числа 132 на число 6 — это такое число Ь9 что .... б) Частное при делении числа 132 на число т — это такое число с, что ... .в) Частное при делении числа п на число 6 — это такое число d, что .... г) Частное при делении числа п на число т — это такое число а, что ... .
20.6. (У) а) Глядя на равенство 133*276 = 36 708, скажите, не вычисляя, чему равно частное при делении 36 708 на 276. б) Глядя на равенство 218-473=103 114, скажите, не вычисляя, чему равно частное при делении 103 114 на 218.
20.7. (У) Найдите значение числового выражения, не выполняя умножение в скобках:
а) (2-5.):5; б) (2-5):2; в) (37-62):37; г) (37-62):62;
д) (2 375 826 701 -53 268 084 315):53 268 084 315;
е) (73 428 030 261-8 080 808 808): 73 428 030 261.
20.8. (У) Найдите значение числового выражения, не вычисляя квадрат числа:
а) 22:2; в) 19872: 1987;
б) 82:8; г) 3 820 063 5172:3 820 063 517.
20.9. Запишите частное при делении чисел 164 и 4; а и 4; 164 и и; а и п\ т и п. Найдите (устно) первое частное.
20.10. (У) Вычислите:
а) 45:3; б) 132:6; в) 4788:9; г) 67 835:5.
20.11. (У) Вычислите:
а) 4500:3; б) 13 200:60; в) 478 800:900; г) 678 350:5.
20.12. Мама поручила Игорю узнать, сколько граммов сахарного песку вмещает одна столовая ложка. Игорь взял 1 кг сахарного песку и стал пересыпать его ложкой в банку. Получилось 40 ложек. Сколько граммов вмещает одна ложка?
20.13. Чтобы упаковать шесть коробок конфет, потребовалось 3 м ленты. Сколько сантиметров ленты потребуется, чтобы упаковать седьмую коробку?
20.14. (У) Карусель совершает 20 оборотов за 3 мин. За сколько секунд она делает один оборот?
20.15. (У) Вычислите:
а) 301-9; в) 503-7; д) 705-4;
б) 402-8; г) 604-4; е) 706-9;
ж) 703-8;
з) 704-7;
и) 708-6;
к) 709-5.
20.16. (У) Клоун объявил, что покажет математиче-ский фокус. «Задумайте каждый какое-нибудь число и не говорите его мне. Затем умножьте его на 13. Теперь результат разделите на задуманное число. А я за две секунды объявлю сразу всем, какие числа у вас получились. У каждого получилось число 13».
Объясните, какое свойство деления применил здесь клоун.
71 (Урок 21)
урок 21 |(ак одно число разделить на другое
Вы умеете делить «столбиком» числа до миллиона. Вспомните: сначала подбирается в частном цифра самого старшего разряда, затем следующего по старшинству разряда и т. д. Это правило действует и для всех натуральных чисел. Вот примеры деления семизначных чисел
на четырехзначные:
2728296 3672
25704 743
15789
~~ 14688
11016
~11016
0
7032300 3417
6834 12058
19830
~17085
27450
~~ 27336
114
и
Объясните в этих примерах, как возникает каждая цифра частного.
В первом примере число 2 728 296 разделилось на 3672 и частное равно 743. Во втором случае осталось число 114. Его дальше делить на 3417 невозможно: ведь оно меньше, чем 3417. Число 114 называется остатком от деления числа 7 032 300 на число 3417. Если при делении одного натурального числа на другое получается остаток, значит, первое число не делится на второе. Итак, можно сделать вывод: из двух данных натуральных чисел не всегда одно делится на другое.
Назовите два числа, из которых одно делится на другое, и два числа, ни одно из которых не делится на другое.
Никогда не забывайте, что остаток всегда меньше делителя.
Я слышал, что на 0 делить нельзя. Как это объяснить?
Давайте рассуждать. Возьмем какое-нибудь число, например 5. Что значит разделить 5 на 0? Это значит найти такое число а, что а-0 = 5. Но мы знаем, что а-0 = 0 всегда. Так что подобрать нужное число невозможно. НИКАКОЕ НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО НЕВОЗМОЖНО РАЗДЕЛИТЬ НА 0.
А нуль возможно разделить на натуральное число?
Опять давайте рассуждать. Что значит разделить 0 на число 6? Это значит найти такое число а, что а-Ь — 0. Можно ли такое число а найти? Всем ясно, что можно — годится число 0. Ведь 0*& = 0. Итак, при делении нуля на натуральное число частное равно нулю.
Как проверить, правильно ли выполнено деление? Для такой проверки есть два способа. 1-й — нужно перемножить делитель и частное, получится делимое. 2-й — нужно разделить делимое на частное, получится делитель. Делимое"]:| Делитель |=| Частное
Проверка:
| делитель |»| частное
делимое ;
2) | делимое частное
делитель
Вопросы и задания
21.1. Всегда ли из двух данных натуральных чисел одно делится на другое?
21.2. Можно ли‘ натуральное число разделить на 0?
21.3. Можно ли 0 разделить на натуральное число?
21.4. Как проверить правильность выполненного деления ум-V ножением? А делением?
! 21.5. Выполните действие:
а) 12 690:141;
б) 214 652:206;
в) 3 039 720:584;
г) 1 311 254:409;
д) 1769 482:3497; е) 4 624 862:7249; ж) 3 097 500-4130; з) 3 710 000:3500;
и) 67 089:67 089;
к) 83 147:1;
л) 0:64 247;
м) 0:1.
21.6. Во сколько раз 111 111 111 больше чем 12 345 679?
21.7. Выполните действие:
а) 2 152 771:3071. Результат проверьте умножением;
б) 2 224 222:2222. Результат проверьте делением.
21.8. Заполните таблицу:
а 572 163 3 909 984 131 289 43 132 000 0
b 709 3856 613 263 000 5796 8713
а:Ь 321 5273 0
21.9. Выполните деление с остатком:
а) (У) 8 на 3; в) 6290 на 13; д) 3 159 849 на 864;
6) 137 на 5; г) 2235 на 14; е) 3 129 977 на 961.
Урок 22 Какие задачи решают делением
Смекалкин догадался, что схемы задач на деление можно получить из схем задач на умножение. Ведь деление — это действие, обратное умножению. Из каждой схемы урока 20 получаются по две схемы задач на деление. В первой из них даны произведение с и 1-й множитель а, неизвестен 2-й множитель. Во второй даны произведение с и 2-й множитель Ьу неизвестен 1-й множитель.
Схема 1а. Есть сколько-то________, в каждом по
а . . ., а всего в них с . . . . Сколько есть_? (Ответ:
с:а . . . .)
Схема 16. Есть b ______, всего в них с . . . . Сколько
... в каждом? (Ответ: схЬ ... .)
Как и раньше, вместо пунктира из точек нужно ставить одно существительное, вместо пунктира из черточек — другое, а вместо букв — какие-нибудь числа.
Следующие две схемы уже были разобраны в уроке 18. Повторим их.
Схема 2а. В таблице а строк и сколько-то столбцов, а всего в ней с клеток. Сколько в таблице столбцов? (Ответ: с\а столбцов.)
Схема 26. В таблице сколько-то строк и Ь столбцов, а всего в ней с клеток. Сколько в таблице строк? (Ответ: с:Ь строк.)
Осталось написать еще две схемы, которые получаются из схемы 3 урока 20.
Схема За. У одного а . . . , у другого — с ... ,
причем О а. Во сколько раз у второго больше, чем у первого? (Ответ: в с:а раз.)
Схема 36. У одного_________сколько-то . . ., у дру-
гого — с . . ., причем у второго в b раз больше. Сколько ... у первого? (Ответ: с: b ... .)
В заданиях к этому уроку будут задачи на все эти схемы.
В уроках 13, 15, 18 и 22 мы уже разобрали несколько схем задач на сложение, вычитание, умножение и деление. Нужно ли заучивать номера схем? Вовсе нет! Главное — ясно понимать все эти схемы и уметь обнаруживать их в разных конкретных задачах.
Вопросы и задания
22.1. Почему из каждой схемы задач на умножение получается по две схемы задач на деление?
22.2. (У) Ткацкой фабрикой выпущено 3000 м ткани общей стоимостью 36 000 р. Какова цена 1 м этой ткани?
22.3. (У) За 8 ч работы фрезеровщик изготовил 120 деталей. Какова производительность труда фрезеровщика?
22.4. Первый искусственный спутник Земли был запущен в СССР 4 октября 1957 г. Он весил 84 кг. Первый американский спутник был запущен 31 января 1958 г. Он весил 14 кг. Во сколько раз первый советский спутник тяжелее первого американского спутника?
22.5. Поезд прошел 2108 км за 34 ч. Какова его скорость?
22.6. (У) Молокозавод выпускает ежедневно 24 000 бутылок молока. В ящик входит 20 бутылок. Сколько ящиков ежедневно нужно заводу?
22.7. (У) Скорость самолета Ту-154 850 км/ч. За какое время он преодолеет расстояние 1700 км?
22.8. В 1939 г. высшее образование в нашей стране имели 1200 тыс. человек, а в 1986 г.— 20 400 тыс. человек. Во сколько раз увеличилось число людей с высшим образованием за указанные годы?
22.9. С поля площадью 230 кв. м собрали 2530 кг моркови. Какова урожайность моркови на этом поле?
22.10. (У) Периметр квадрата 24 м. Какова длина его стороны?
22.11. (У) За один час хлопкоуборочная машина обрабатывает поле площадью 3000 кв. м. За сколько часов она обработает поле площадью 36 000 кв. м?
22.12. В задаче 18.5 вы узнали, сколько электроэнергии вырабатывается в СССР за 1 ч. Чтобы выпустить 1 тепловоз, требуется 35 000 кВт-ч электроэнергии, а на 1 вагон — 25 000 кВт-ч. Сколько: а) тепловозов; б) вагонов можно выпустить, если использовать всю энергию, вырабатываемую за 1 ч?
22.13. Найдите значение числового выражения:
а) 675 019 + 88 892:284 — 98 603;
б) 308 803 — 75 152:176 + 79 008;
в) 230 441-(229 682-228 904:52);
г) 510 081—(90 334+16 536:212);
д) 1336:(128 + 7416:36);
е) 349 044:2006 + 7 403 670:765.
22.14. а) Прочитайте еще раз внимательно условия задач 22.2—22.12 и выясните, какую из схем имеет каждая задача. Запишите результаты своего исследования так: «Схему . .. имеют задачи.. ...» (вместо первого много-
точия поставьте номер схемы, а вместо последующих — номера задач).
22.15. Придумайте по одной задаче на каждую схему этого урока. Запишите их на листочке и предложите соседу по парте решить их. Проверьте, правильно ли он решил задачи.
уРок 23 Свойства числа 1
Какими свойствами знаменито число 1? Прежде всего тем, что с него начинается натуральный ряд. Но не только этим. Выполняя действия над числами, можно обнаружить другие его свойства, которые не имеет никакое число, кроме 1.
Сложение. Если к натуральному числу прибавить 1, то получится следующее натуральное число. Если же прибавлять какое-нибудь другое число, то следующее не получится. Значит, только 1 имеет такое свойство. Обдумывая его, можно сделать интересный вывод: применяя многократно действие сложения, из числа 1 можно получить любое натуральное число:
1 + 1=2, 1 + 1 + 1=3, 1 + 1 + 1 + 1=4 и т. д.
Вот какая всемогущая единица!
Вычитание. Если из натурального числа вычесть 1, то получится предыдущее число. Ясно, что опять только 1 имеет такое свойство.
Умножение. Вспомните какую-нибудь схему задач на умножение (см. урок 18). Например, схему 1. Представьте, что буква а обозначает в ней число 1. Как будет выглядеть тогда эта схема?
Есть 1_____ в каждом по а ... . Сколько . . . всего?
Что мы видим? Раз у нас есть не какое-то число, а именно 1, то слова «в каждом» неуместны; надо говорить просто «в нем» (или «в ней»). Вот конкретная задача с такой схемой: Прошла одна минута, в ней 60 секунд; сколько секунд прошло? Решение даже первокласснику понятно: 60*1=60. Ну, а в нашей общей схеме (первоклассник до нее еще не дорос!) можно записать: а-1 =а.
Рассмотрите еще раз схему 1 и представьте, что в ней теперь буква b обозначает число /. Подумайте, что тогда получится.
Вот конкретная задача для такого варианта. В городе 98 школ, в каждой по одному директору; сколько человек в городе работают директорами школ? Решение тут тоже не надо долго объяснять: 1-98 = 98. Ну, а в общей схеме получится равенство 1-^ = 6. Вместо буквы b можно использовать и любую другую букву. Например, букву а — ведь она тут не используется. Получим равенство 1 • а —а.
Какие же свойства мы обнаружили?
Если один множитель равен единице, то произведение равно другому множителю.
Деление. И при этом действии число 1 ведет себя по-особенному. Вот какие свойства легко обнаружить.
Частное при делении любого числа на единицу равно этому числу.
Частное при делении любого числа на само себя равно 1.
гт Объясните эти свойства. (Совет: придумайте
и подходящие задачи, используя какую-нибудь
D схему из урока 22.)
Если для этих свойств опять записать равенства с буквой, то они будут выглядеть так:
а: 1 =а; а:а= 1.
А чему равно частное от деления единицы на любое натуральное число?
Это очень хороший вопрос. Если а обозначает натуральное число, не равное 1, то, конечно, частное 1:а не может быть числом натуральным. Но что, если присоединить к натуральным числам какие-нибудь числа, чтобы можно было делить единицу на натуральное число? Мы начнем рассказывать о таких числах (их называют дробями) в главе II. Немало уроков в 5-м и 6-м классах вы будете заниматься изучением дробей.
Вопросы и задания
23.1. Чем замечательно число 1 в натуральном ряде?
23.2. Какое свойство числа 1 при сложении мы отметили? Какой интересный вывод получается из этого свойства?
23.3. Каким свойством обладает число 1 при вычитании?
23.4. Какое свойство числа 1 проявляется при умножении?
23.5. Что получится, если данное число разделить на 1; на само себя?
23.6. Найдите значение числового выражения:
i a) 1-J-1-1 — 1:1+(1 + 1 — (1 + 1);
б) 1:1 + 1 + 1-(1 + 1:1-1).! 4-1 _ 1 :(14- Ы-1).
23.7. (У) Найдите значение выражения:
а) 317.1+233:1; г) 7218:7218 + 999.1;
б) (657 -656). 49 — 36; д) 634:(1 000 — 999) + 66;
в) 4506-0 + 6473:1; е) 3208:3208-5628:5628.
23.8. Найдите значение выражения:
а) 638 275-1+572 357:1;
б) (83 756 —83 755).2 597 635 — 719 976;
в) 6709 • 3086 + 27 035:27 035;
г) 56 728:56 728-2 726 784:789.
23.9. Папа, мама и их сын Игорь отправились в воскресенье за покупками. Они купили 12 кг картошки и 7 кг других продуктов. Сумку с картошкой взялся нести папа. Сумку с остальными продуктами решила нести мама. Но папа предложил Игорю помочь маме. Игорь взял 3 пачки сахара, по 1 кг каждая, а остальное взял папа, решив полностью разгрузить маму. Сколько килограммов будет нести папа?
23.10. Перепишите в тетрадь 10 раз запись из десяти единиц:
1111111111
Если расставить между единицами знаки действий так: Ы + + 1 • 1 4- 1 • 1 + 1 • 1 + 1 • 1, то получится числовое выражение, значение которого равно пяти (проверьте!). Расставьте в каждой из ваших записей 9 знаков действий так, чтобы первое числовое выражение имело значение 1, второе — 2, третье — Зит. д., десятое — 10. (Во всех случаях, кроме последнего, это можно сделать несколькими способами.)
23.11* . а) Используя скобки и знаки действий, которые можно ставить между числами 1, составьте несколько числовых выражений из записи четырех единиц: 1111. Какое из ваших числовых выражений имеет самое большое значение? б) Выполните то же задание для записи шести единиц, в) Выполните то же задание для восьми единиц.
На уроке можно устроить «конкурс» таких выражений с самым большим значением.
23.12. (У) а) Клоун утверждал, что всегда произведение кВГ двух натуральных чисел больше каждого множителя. Пуб-лика смеялась: все знали, что иногда произведение может быть равно одному из множителей. Скажите, в каком случае это будет так. б) В каком случае произведение равно каждому множителю?
23.13. а) Смекалкин загадал младшему брату загадки. Он написал числовые равенства, в которых знаки действий + , —, », : обозначил одним и тем же знаком о. Показав равенства брату, он сказал, что легко отгадать, какой знак действия скрывается за кружочками в каждом месте. Брат отгадал все загадки. Рассмотрите внимательно равенства и отгадайте, где какой знак должен стоять вместо кружочка:
5391° 1 =2408 + 2982; I о(70J — 344)= 59+298; 908 622:234 = 3882° 1;
(642 753 864°642 753 864)°(468 357 246»468 357 246)=2.
б) (У) Младший брат в ответ загадал Смекалкину похожую загадку: «Какие знаки действий должны стоять вместо кружочков: 12°1 = 12; 308 249 555« 1 = = 308 249 555?»
Смекалкин подумал и сказал, что отгадать такую загадку невозможно, потому что вместо кружочка здесь может стоять и знак умножения, и знак деления. Можно ли отгадать, какой знак скрывается за кружочком в равенстве 1°1 = 1? Ответ объясните.
23.14*. а) Можно ли отгадать, знак какого действия скрывается за кружочком в равенстве 2°2 = 4? А в равенстве 3«3=0?
б) Можно ли отгадать, знаки каких действий скрываются за кружочками в равенстве 3<>3<?3 = 2? А в равенстве 3е3о3 = 3?
Во всех заданиях объясните ответ.
урок 24 Учимся рассуждать при решении задач. Когда скорости складываются,
а когда вычитаются
Изучая математику и применяя ее, надо уметь рассуждать. Ведь чтобы обнаружить какое-то свойство или правило, без рассуждений не обойтись. Постоянно нужны они и при решении задач.
Среди всяких задач, которые приходится решать, нередко бывают задачи на движение. В них движутся пешеходы, велосипедисты, мотоциклисты, автомашины, поезда, самолеты и т. п. Надо уметь легко решать такие задачи. Чтобы вы получше научились этому, мы разберем здесь основные варианты задач на движение.
Кто именно или что именно будет двигаться, нам неважно. Ведь план решения от этого не зависит! Поэтому договоримся, что у нас будут двигаться два путешественника — пешеход Антон и велосипедист Иван. Договоримся еще, что во всех вариантах задач про Антона и Ивана их скорости будут одни и те же: Антон ходит со скоростью 4 км/ч, а Иван ездит со скоростью 20 км/ч. Ради краткости мы не станем повторять эти скорости в условиях задач.
Вариант 1. Антон и Иван отправились одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 96 км (рис. 19).
а) На какое расстояние они сблизятся за 1 ч; за 2 ч? б) Через сколько часов они встретятся?
Давайте рассуждать. Антон за 1 ч пройдет 4 км. Иван за 1 ч проедет 20 км. Значит, они сблизятся на 4 + 20 = = 24 (км). За второй час они сблизятся еще на 24 км; значит, за 2 ч они сблизятся уже на 24 *2 = 48 (км). Ответы на вопросы из а) даны.
Количество километров, на которое за единицу времени (1 ч) сближались Антон и Иван, называют скоростью сближения. В этой задаче она равна 24 км/ч.
Перейдем к вопросу 6). Каждый час Антон и Иван сближаются на 24 км, а расстояние между ними 96 км. Значит, чтобы узнать, через сколько часов Антон и Иван встретятся, нужно разделить 96 на 24.
96км
4
Рис. 20
Каков же ответ на вопрос б)?
Вариант 2. После встречи Антон и Иван отправились одновременно в противоположные стороны друг от друга (рис. 20). На какое расстояние они удалятся друг от друга за 1 ч; за 2 ч?
Давайте рассуждать. Ясно, что расстояние между ними за каждый час будет увеличиваться на 4 + 20 = 24 (км). Количество километров, на которое за единицу времени удаляются друг от друга Антон и Иван называется скоростью удаления друг от друга. В этой задаче она равна 24 км/ч. Схема 1 задач на умножение из урока 18 подсказывает нам, как решить задачу 2. За 1 ч Антон и Иван удалятся друг от друга на 24*1=24 (км), за 2 ч — на 24-2 = 48 (км).
Разобрав варианты 1 и 2, мы можем сделать вывод:
ПРИ ДВИЖЕНИИ .Л»'™-4'
в стороны друг от друга СКОРОСТЬ С.б-Л‘-1-Ж.е”^- РАВНА СУММЕ СКОРОСТЕЙ, удаления
Мы здесь опять (как и в уроке 20) «одним ударом» записали два предложения. Вы, конечно, легко прочитаете каждое по отдельности. Для первого надо прочитывать верхние слова, для второго — нижние.
Вариант 3. Антон и Иван отправились одновременно из двух пунктов, расстояние между которыми 96 км, и движутся в одном направлении так, что Иван догоняет Антона (рис. 21). а) На какое расстояние они сблизятся за 1 ч; за 2 ч? б) Через сколько часов Иван догонит Антона?
Давайте рассуждать. Ясно, что расстояние между ними
4
96 км
И
96км
Рис. 22
каждый час будет уменьшаться на 20 — 4=16 (км). Значит, скорость их сближения равна 16 км/ч. За 1 ч Антон и Иван сблизятся на 16-1 = 16 (км), за 2 ч они сблизятся на 16-2 = 32 (км). Ответы на вопросы из а) даны.
Дайте сами ответ на вопрос б).
Вариант 4. Антон и .Иван отправились одновременно из двух пунктов и движутся в одном направлении так, что Иван удаляется от Антона (рис. 22). На какое расстояние они удалятся друг от друга за 1 ч; за 2 ч?
Давайте рассуждать. В этом случае расстояние между ними каждый час будет увеличиваться на 20—4 = = 16 (км). Значит, скорость удаления их друг от друга равна 16 км/ч. За 1 ч Антон и Иван удалятся друг от друга на 16-1 = 16 (км), за 2 ч — на 16-2 = 32 (км).
Разобрав варианты 3 и 4, мы можем сделать вывод:
ПРИ ДВИЖЕНИИ В ОДНОМ НАПРАВЛЕНИИ СКОРОСТЬ СБЛИЖЕНИЯ (ИЛИ УДАЛЕНИЯ) РАВНА РАЗНОСТИ СКОРОСТЕЙ.
Вопросы и задания
24.1. Что нс
24.1. Что называется скоростью сближения, скоростью
удаления?
24.2. Когда скорость сближения равна сумме скоростей путешественников? Когда она равна разности скоростей?
24.3. Когда скорость удаления равна сумме скоростей путешественников? Когда она равна разности скоростей?
24.4. Антон и Иван вышли одновременно из одного пункта. Чему равна скорость их удаления друг от друга, если они движутся: а) в одном направлении; б) в противоположных направлениях?
24.5. Два мотоциклиста выехали одновременно из двух пунктов, расстояние между которыми 450 км. Скорость одного из них 80 км/ч, скорость другого 70 км/ч. На ка-
ком расстоянии будут они друг от друга через 2 ч, если они движутся: а) навстречу друг другу; б) друг от друга; в) в одном направлении и при этом один удаляется от другого; г) в одном направлении и при этом один догоняет другого?
Для каждого случая а) — г) нарисуйте схему их движения.
24.6. По плану игры «Зарница» 5-й А класс занимает оборону около озера, а 5-й Б наступает из пункта, удаленного от озера на 2 км 300 м. Чтобы узнать намерения противника, командир 5-го А выслал разведчиков, которые двигаются со скоростью 65 м/мин. Через сколько минут разведка встретит противника, если 5-й Б наступает со скоростью 50 м/мин?
24.7. Игорь обнаружил, что отец, уходя на работу, забыл взять зонт, а бюро прогнозов обещало вечером дождь. Игорь взял зонт и побежал догонять отца. Через сколько минут он догонит отца, если тот идет со скоростью 65 м/мин, Игорь бежит со скоростью 80 м/мин и отец успел уйти от дома на 90 м?
24.8. Две овощеводческие бригады начали сбор огурцов на поле длиной 3 км. За 1 ч первая бригада успевает собрать огурцы по всей ширине поля и продвинуться вперед на 230 м, вторая бригада — на 270 м. Бригады движутся навстречу друг другу. Через сколько часов они встретятся, т. е. уберут все поле?
24.9. Два теплохода одновременно отошли от пристани и поплыли в одном направлении. Скорость одного теплохода на 5 км/ч больше, чем другого. Через 3 ч первый теплоход прибыл в конечный пункт. На каком расстоянии от него находился в это время другой теплоход?
24.10. От автовокзала по маршруту Ленинград — Петрозаводск отошел автобус. Одновременно с ним по тому же маршруту выехала автомашина. Автобус движется со скоростью 75 км/ч, а автомашина — со скоростью 90 км/ч. Когда автомашина прибыла в Петрозаводск, автобусу осталось проехать еще 60 км. а) Сколько часов ехала автомашина от Ленинграда до Петрозаводска? б) Каково расстояние между Ленинградом и Петрозаводском?
Урок 25
Задания на повторение к § 2
Мы заканчиваем § 2. Сейчас можно было бы повторить объяснительный текст из урока 11. Перечитайте этот текст!
25.1. Заполните пустые клетки таблицы:
а)
Уменьшаемое 6352 15 753 3 726 532 85 717 0
Вычитаемое 4728 427 839 85 237 0
Разность 7298 572 161 3 726 532 0 63 207 0 0
(Урок 25)
6)
Делимое 246 521 192 153 837 245 57 314
Делитель 307 1208 63 217 1 36 345
Частное 379 651 837 245 ' 1 85 741 1 0
25.2. а) В 1980 г. общая площадь жилья в городах нашей страны была 2202 млн. кв. м, а к 1985 г. она увеличилась на 359 млн. кв. м. Какова была площадь городского жилья в 1985 г.?
б) В 1980 г. общая площадь жилья в сельской местности была 1370 млн. кв. м, а к 1985 г. она увеличилась на 140 млн. кв. м. Какова была площадь жилья в сельской местности в 1985 г.?
в) Какова была общая площадь жилья в нашей стране в 1985 г.?
г) На сколько увеличилась общая площадь жилья в нашей стране за одиннадцатую пятилетку с 1980 по 1985 г.?
д) По плану двенадцатой пятилетки общая площадь жилья увеличится на 595 млн. кв. м. Какой будет площадь жилья в 1990 г.?
25.3. Одним килограммом краски можно покрасить 5 кв. м пола. Сколько краски потребуется, чтобы покрасить: а) 1 кв. м; б) 3 кв. м; в) 6 кв. м; г) 15 кв. м?
25.4. , Шерлоку Холмсу принесли счет, испорченный злоумышленником (см. рис. 23). Через 2 мин все числа, залитые чернилами, были найдены. А вы сможете так же быстро провести расследование?
Рис. 23
25.5. Если в квадрате каждую сторону разделить на 3 равные части, а затем точки деления на противоположных сторонах соединить, как показано на рисунке 24, то получится 9 квадратиков. Сколько квадратиков получится, если каждую сторону квадрата разделить на 10 частей; на 15 частей; на 1987 частей?
25.6. Нарисуйте на клетчатой бумаге прямоугольник со сторонами 3 и 5 клеток и квадрат со стороной 4 клетки. Представьте» что оба четырехугольника разрезали на клетки, а затем выложили эти клетки в ряд отдельно для прямоугольника и отдельно для квадрата. Какой ряд будет длиннее?
25.7. В задаче 18.5 вы нашли, сколько электроэнергии вырабатывается в нашей стране за 1 ч. Чтобы понимать, много это или мало, надо знать, какую работу может производить I кВт-ч электроэнергии. Израсходовав 1 кВт-ч, можно: а) выплавить 3 кг стали, или б) добыть 50 кг угля, или в) изготовить 10 м ткани, или г) изготовить 3 пары ботинок, или д) выпечь 100 буханок хлеба, или е) выдоить электродоильным аппаратом 45 коров, или ж) остричь электромашинкой 15 овец, или з) побрить электробритвой 400 мужчин.
Все, что человек производит, требует энергии. Пользуясь приведенными данными, подсчитайте, сколько за 1 ч можно выплавить стали, добыть угля и т. д., если всю электроэнергию нашей страны употребить на это. .
В СССР проживает 130 900 000 мужчин. Хватит | ли этой энергии, чтобы их всех побрить?
25.8. Решите задачу, составив числовое выражение: 1.
а) Телевизионная башня в Москве состоит из же- g
лезобетонной основы высотой 385 м и металлической П
части, которая короче железобетонной основы на £( 230 м. Какова высота всей башни?
б) Когда турист прошел 9 км, ему осталось до конца маршрута пройти в 3 раза меньше. Какова 385м( = 1 длина всего маршрута?
25.9. Придумайте задачу, решение которой записывается выражением: |
а) 78+ (76+13); в) 32 + 32-3; Д
б) 113+(113 —27); г) 27 + 27:3.
25.10. Витя и Гриша договорились встретиться ровно в 5 часов. Они одновременно выходят из дому и идут навстречу друг другу, пока не встретятся. Витя обычно идет со скоростью 40 м/мин, а Гриша — 45 м/мин. За сколько минут до 5 часов они должны выйти из дому, если расстояние между их домами 510 м?
25.11. а) Собака погналась за лисицей, когда расстояние между ними было 120 м. Через сколько минут собака догонит лисицу, если лисица пробегает в минуту 320 м, а собака — 350 м? б) Составьте обратную задачу, в которой, были бы известны скорости собаки и лисицы, время, за которое собака догонит лисицу, а требовалось бы найти расстояние между ними тогда, когда началась погоня.
25.12. В задаче 17.14 вы нашли периметр прямоугольника, изображенного на рисунке 14. Нарисуйте в тетради квадрат, имеющий такой же периметр.
25.13. Вы знаете пять действий над числами: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень. Для каждого из них составьте числовое выражение, применяя это действие к двум одинаковым числам 4. Какое из составленных выражений имеет самое большое значение, а какое — самое маленькое?
25.14. Смекалкин придумал несколько примеров с размазанными цифрами:
О
Восстановите размазанные цифры.
25.15*. Клоун предложил четыре ребуса:
а) ОХОХО б) _ ПОДАЙ в)
+ АХАХА ; ВОДЫ ;
АХАХАХ ПАША
БУЛОК
+ БЫЛО;
МНОГО
г) —ТОК КОТ . кто
В каждом ребусе расшифруйте, какую цифру обозначает каждая буква.
25.16. Младший брат обратился к Смекалкину: «Я понял, что натуральное число делить на 0 нельзя. А сам 0 на себя можно разделить?» Смекалкин предложил брату порассуждать: «Что значит 0 разделить на 0? Это значит найти такое число д, что а *0=0. Можно ли из этого равенства понять, чему именно равно а? Конечно, нельзя. Потому что для равенства а*0=0 годится любое а. Так что делить 0 на 0 не имеет смысла».
Продумайте объяснение Смекалкина и заполните пропуски над пунктирной линией и под ней в следующем утверждении:
натуральное число Делить ...................на нуль ......
нуль
§ 3. ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Когда люди говорят о математике, они обычно вспоми-нают не только числа и фигуры, но также формулы и уравнения. И в самом деле, в математике без формул и уравнений не обойтись! А в них обязательно участвуют выражения с буквами. За каждой буквой всегда скрываются числа — то какое-то одно, то много. В предыдущих уроках вы уже не раз встречались с выражениями, в которых были буквы; их называют буквенными (или по-
другому алгебраическими) выражениями. Нужно хорошо понимать, какие числа скрываются за буквами в каждом таком выражении. В этом параграфе мы расскажем, как возникают и используются при решении задач буквенные выражения, формулы и уравнения.
урок 26 |^ак возникают буквенные выражения при решении задач
Задача 1. Когда родился Игорь, его отцу было 24 года. Сколько лет было Игорю, когда отцу было: а) 25 лет; б) 26 лет; в) 27 лет; г) 28 лет; д) 29 лет и т. д.?
Ответ можно дать таблицей:
Возраст отца 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 • • •
Возраст Игоря 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 • • •
Но Игорь и отец собираются жить долго. Что же, обязательно писать длинную таблицу? Нельзя ли выразить ответ короче? Можно. И очень просто. Обозначим возраст отца буквой п. Тогда возраст Игоря будет п—-24. Вот и возникло буквенное выражение. Какое число скрывается в нем за буквой п? Число лет отца.
Задача 2. У кассы кинотеатра младший брат спросил Смекалкина: «Сколько всего денег заплатят за билеты зрители, которые придут на этот сеанс?» Смекалкин сразу же ответил: «10* а + 25 •Ь копеек». «Как это понять?» — удивился младший брат. Смекалкин начал объяс-
нять: «Детский билет на этот сеанс стоит 10 копеек, взрослый — 25 копеек. Если в зале будет а детей (мы ведь не знаем пока, сколько будет детей), то за их билеты будет уплачено 10*а копеек. . . ».
Закончите объяснение Смекалкина. Что обозначает буква Ь в выражении 10-а^25-Ь?
ф--------------&
СТОИМОСТЬ БИЛЕТОВ на один сеанс
Для детей 10коп.
для взрослых_____25коп.
При решении задач 1 и 2 возникают буквенные выражения п—24, 10-а + 25-6. В них встречаются буквы п, а, Ь, числа 24, 10, 25, знаки —, +,-•. Вообще
БУКВЕННЫМ ВЫРАЖЕНИЕМ НАЗЫВАЮТ
ЗАПИСЬ, В КОТОРОЙ ЧИСЛА И БУКВЫ СОЕДИНЕНЫ ЗНАКАМИ ДЕЙСТВИЙ.
(Урок 26) «6
Вот еще примеры буквенных выражений: п 4-1; л—1; a+b; 2-d —5; zn:24“8-c; (а + 30):7.
Придумайте сами два-три примера буквенных выражений.
Если в буквенное выражение вместо букв подставить числа, то получится числовое выражение. Значит, из одного буквенного выражения возникает много числовых выражений. Все они похожи. Чем именно? В них одни и те же действия надо выполнить в одном и том же порядке. Только числа вместо букв могут быть разные. При каждом наборе чисел можно вычислить значение полученного числового выражения. Его называют числовым значением буквенного выражения при данных значениях букв.
Например, в выражении п — 24, подставляя вместо п число 33, получаем числовое выражение 33—24. Его значение — число 9. Если вспомнить задачу 1, то можно сказать, что это возраст Игоря, когда отцу было 33 года.
Подсчитайте значение выражения п — 24 при значении п, равном 50. Что означает полученное число?
В выражении 10-а4-25*6, подставляя вместо а число 220, а вместо Ь число 80, получаем числовое выражение 10*2204-25-80. Если вспомнить задачу 2, то значение этого выражения указывает, сколько денег выручит кинотеатр за сеанс, на котором было 220 детей и 80 взрослых.
Найдите эту выручку и выразите ее в рублях.
Выше мы подставляли вместо п число 33, вместо а число 220, вместо b число 80. В таких случаях обычно пишут: лг = 33, а = 220, 6 = 80. И говорят: «При п, равном тридцати трем, выражение п — 24 принимает значение 9», «При а, равном двумстам двадцати, и &, равном восьмидесяти, выражение 10-а4-25 *Ь..л>.
Закончите последнее предложение. Рассмотрите выражение т: 2 4-8 -с\ вычислите его значение при т = 6, с~3.
Итак, вы увидели, что буквенные выражения возникают при решении задач, когда какие-то данные в их условиях могут меняться. В задаче 1 меняется возраст отца. В задаче 2 могли быть различными и число детей, и число взрослых, пришедших на киносеанс. Но буквенные выражения могут появляться и в других случаях. О них мы расскажем в последующих уроках.
Вопросы и задания
26.1. Что называется буквенным выражением?
£ 26.2. Как из буквенного выражения получаются число-
вые выражения? Что схожего во всех таких числовых выражениях?
Г 26.3. (У) Прочитайте буквенное выражение и найдите
его числовое значение при k = 42: а) 179 + &; б) 235— k; " в) fe —7; г) 4-k\ д) fe:6; е) 126:/?.
26.4. а) Даны числовые выражения: (3 + 7):2; (3 + 9): 2; (3+11): 2. Из какого буквенного выражения с одной буквой они получаются и при каких значениях этой буквы? б) Выполните то же задание для выражений 23*10 + 62; 23*113+62; 23*4 + 62.
26.5. Мебельная фабрика делает а комплектов мебели в год. В каждом комплекте 6 стульев. Сколько стульев для комплектов ежегодно делает фабрика? (Дайте ответ, составив выражение.)
2&6. Решив задачу 9.6, вы узнали, что для полива участка Вале и Вере нужно 117 леек воды. Сколько леек воды должна принести Вера, если Валя принесла 1 лейку; 2 лейки; 3 лейки; 4 лейки и т. д.? Решение задачи запишите двумя способами: а) составьте таблицу из двух строк, заполнив в ней 10 столбцов; б) составьте буквенное выражение. Что будет обозначать в нем буква? Найдите числовое значение выражения при следующих значениях буквы: 39; 56; 78.
26.7. а) Перечитайте условие задачи 2 из объяснительного текста и заполните таблицу:
1-й сеанс 2-й сеанс 3-й сеанс 4-й сеанс 5-й сеанс
а 327 272 486 423 341
b 153 184 313 357 217
Ю-а + 25-6
б) (У) Для каждого столбца объясните, что означают стоящие в нем числа. На каком сеансе выручка была наибольшей? Чему при этом равны а и 6?
26.8. В магазине ежедневно продают а стаканов по 6 к. и b чашек по 18 к. Объясните, что обозначают выражения 6-а; 18-&; 6*а+18*&; а + 6. Заполните таблицу:
Понедельник Вторник Среда Четверг Пятница Суббота
а 53 47 63 0 33 125
b 24 0 63 18 42 126
6-а-Н8^
В какой день недели выручка была наибольшей? А наименьшей?
-д- 26.9. (У) Клоун показал публике четыре буквен-
LjL ных выражения: а) х+1; б) 100—х; в) 2-х— 1; г) 4:х.
Он заявил, что ни одно из них не принимает значение 1 ни при каком значении буквы х.
Публика смеялась: всем было видно, что клоун ошибается. Найдите и вы для каждого из выражений а) — г) то значение х, при котором выражение принимает значение I.
Урок 27 Когда без обозначения чисел буквами не обойтись
Буквы необходимы для записи свойств и правил, которые выполняются для любых чисел. Таких свойств и правил вы знаете уже немало. Посмотрите, например, урок 23. Видите, сколько там утверждений записано равенствами,обведенными рамками! И в каждом из них присутствует буква а. Почему? Потому что она там обозначает любое натуральное число. Представьте-ка, что вам предложили записать эти свойства математическими знаками и запретили пользоваться буквами для обозначения чисел. Пришлось бы числовые равенства писать без конца! А с буквой нам удалось в каждом свойстве сказать про все числа сразу.
А вот еще пример. Вспомните правило, сформулированное в уроке 19: первая степень любого числа равна этому числу. Видите, опять говорится о любом числе. Как записать это правило математическими знаками? Нужно применить букву, например, а для обозначения любого числа. Тогда правило запишется так:
В том же уроке было сформулировано правило, по которому находят число клеток в квадратной таблице, имеющей а строк и а столбцов. Как записать математическими знаками квадрат числа а? Квадрат числа 2 записывают 22, квадрат числа 3 записывают 3* и т. д. Легко догадаться, что квадрат числа а надо записать а2. Куб числа а будем записывать а3.
2
—а3.
Такой же способ применяют и для записи других степеней.
Запишите, используя показатель степени, произве-дение а*а-а-а. Запишите в виде произведения а5.
Какой же главный вывод можно сделать? А вот какой. Без букв не обойтись при записи математическими знаками свойств и правил, выполняющихся для любых чисел*
В заданиях к этому уроку буквы обозначают натуральные числа или нуль. Для краткости мы не будем каждый раз об этом напоминать. Вместо слов «число, обозначенное буквой а», «сумма числа, обозначенного буквой п, и числа 3» и т. п. будем говорить короче и проще: «число а», «число rz + 3» и т. п.
Вопросы и задания
27.1. Какой главный вывод был сделан в тексте урока?
Г 27.2. Даны числа а и Ь. Запишите: а) их сумму;
б) их разность; в) их произведение; г) их частное. Найдите (устно) числовые значения этих выражений при а=120, 6 = 40.
27.3. а) Замените сумму произведением: а + а + а + л; % + % + + х + х + х + %;
б) Запишите произведение в виде степени: а-а-а-а;
27.4. а) Вспомните правило: если из суммы двух чисел вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое. Используя буквы и математические знаки, это правило можно записать двумя равенствами. Первое таково: (а 4-6) — а = Ь. Второе равенство напишите сами.
б) Вспомните похожее правило: если произведение двух чисел разделить на один из множителей, то получится другой множитель. Запишите это правило двумя равенствами, используя буквы и математические знаки.
27.5. а) (У) Не вычисляя квадратов чисел, найдите значения числовых выражений: 22:2; 142:14; 1232:123. б) Обдумайте ответы из задания а), сформулируйте правило и запишите его, используя букву для обозначения любого числа.
27.6. а) Сравните значения числовых выражений:
(245+189) 4-(245-189) и 2-245;
(703+ 518) +(703 — 518) и 2-703;
(657+ 324)+ (657-324) и 2-657.
б)* Какое свойство можно обнаружить, выполнив задание а)? Запишите это свойство, используя буквы и математические знаки.
27.7. Заполните таблицу, найдя числовые значения буквенных выражений при данных значениях буквы с.
с 1073 1517 1537 2173 1961 1189
(4857 4- с) 783
с-2056—1 857 019
2 331 629:с + 6823
27.8. а) Заполните таблицу:
п 3 4 7 10 11 13 15 16 20 25
5-я -f-7-n
12-/г
б)* Какое свойство можно обнаружить, разглядывая вторую и
третью строчки этой таблицы?
27.9. Для каждой пары значений а и ft, данных в таблице, составьте задачу по выражению + Решите составленные
а 8 80 800 147
Ь 2 20 200 228
вами задачи.
27.10. Ветер сорвал с прохожего шляпу и покатил ее по тротуару со скоростью 3 м/с. Прохожий побежал за ней. В тот момент расстояние до шляпы было 8 м. Скорость прохожего 5 м/с. Через сколько секунд он догонит шляпу?
Урок 28 в каком порядке выполняют действия
Вычисляя значение числового выражения, мы выполняем в определенном порядке действия над числами. Порядок выполнения действий — вещь важная! Если перепутать его, можешь получить неверный результат. Вы уже знаете, в каком порядке выполняют в числовом выражении действия сложения, вычитания, умножения и деления.
U Укажите, какое действие нужно выполнить первым,
какое — вторым и т. д. в выражениях ° 3-8— 15-2:3; 6-(2 + 3):2-4.
Теперь вы познакомились еще с одним действием — возведением в степень. Услышав об этом действии, младший брат Смекалкина предложил ему найти значение выражения 2*54. Смекалкин сказал: «Я не знаю, что делать раньше: умножать или возводить в степень? Если сначала
умножить 2 на 5, а затем результат возвести в четвертую степень, то получится 10 000. Если сначала возвести 5 в степень, а затем умножить 2 на полученное число, то получится 1250. Какой результат правильный?»
Чтобы точно знать, в каком порядке выполнять действия, договариваются возводить в степень раньше, чем выполнять все другие действия. Так что правильный ответ здесь 1250. А если бы надо было сначала умножить 2 на 5, то пришлось бы использовать скобки и записать (2-5)4. Итак, верны равенства
2-54= 1250, (2 • 5)4 = 10 000.
Нужно хорошо помнить правила, указывающие, в каком именно порядке выполняют действия. Чтобы сформулировать их, условимся сложение и вычитание называть действиями 1-й ступени» умножение и деление — действиями 2-й ступени, возведение в степень — действием 3-й ступени.
Правила, указывающие порядок действий, таковы:
В выражении без скобок сначала выполняют действия большей ступени. Если же в нем все действия одной ступени, то их выполняют в том порядке, в каком они записаны — слева направо. В следующих примерах цифрами в квадратиках указан порядок действий:
0 Ш □
ШЕ ЕЕ
ЭЕ 0
З2 • 42 • 172 ;
217—6-7 + 30:5-7 — 725Н-52.
Если нужно изменить порядок выполнения действия, то пользуются скобками.
6 выражении со скобками сначала выполняют все действия внутри скобок.
Вот примеры:
S Ш ЕЕ
Е
И
ш
37-58+ 121 :(5 + 6)2 - 9;
5 —(4 —(3 —(2—1))).
Вопросы и задания
28.1. Какие действия называют действиями 1-й ступени; 2-й ступени; 3-й ступени?
28.2. В каком порядке выполняются действия в выражении без скобок? в выражении со скобками?
28.3. (У) Укажите порядок действий и найдите значение выражения: а) 23 + З2; б) И2—10-12; в) 70 — -(24-3)2; г) (5 —4)20; д) 7-103 + 3-102 + 6• 10 + 2; е) 5* 106 + 3-104 + 8.102+ 1.
(Урок 29) 92
28.4. Найдите значение выражения:
а) 326-62 —497 142:71+828-33;
б) (32-22+ 12 204:113)-24:42;
в) (512-33 — 9915)-(16 250:50— 182);
г) (31 -7)2 + (17 + 25)2 + (42-23)2.
28.5. Найдите значение выражения 80 808 :/? — (&• 1134 + + 12 852):315 при А = 37; 42; 52. При каком из этих значений буквы k данное буквенное выражение принимает: а) наибольшее значение; б) наименьшее значение?
28.6. Составьте выражение и найдите его значение: а) сумму чисел 72 816 и 68 637 разделить на квадрат числа 13; б) разность квадратов чисел 731 и 602 разделить на сумму этих же чисел; в) куб разности чисел 356 и 289 увеличить на 8327; г) произведение чисел 182 и 156 разделить на квадрат их раз
ности.
28.7. Найдите значение выражения:
а) 100 000—10 000—1000—100—10—1;
б) 100 000-(10 000 — (1000—(100—(10 — 1))));
в) 100 000 — (100 000 — (100 000 — (100 000 — 1)));
г) 100 000 —(20 000+(3000-(400+ (50-6)))).
28.8. Клоун, услышав о буквенных выражениях, сос-тавил выражение %+ 1. Он утверждал, что *+1 меньше, чем 1000, потому что в записи %+1 используются три знака, а в записи 1000— четыре. Публика смеялась: всем было ясно, что сравнивать буквенное выражение и число нельзя. Ведь при разных значениях буквы х будут получаться различные значения выражения % +1. Среди них могут быть и числа, меньшие 1000, и числа, большие 1000. Например, при х = 5 получаем 5 + 1 < 1000, а при х = 5000 получаем 5000+1 > 1000. а) Укажите по три значения буквы х, при которых выражение х+1 примет значение, меньшее чем 1000; большее чем 1000. б) При каком значении х значение выражения %+1 будет равно 1000?
Урок 29 Что такое формула
Задача. Поезд идет со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние он пройдет за 1 ч; за 2 ч; за 5 ч; за t часов?
В этой задаче заданы четыре вопроса. Ответы на них дают четыре выражения: 70.1 (км); 70*2 (км); 70-5 (км); 70-/ (км). Но можно догадаться, что будет вполне достаточно иметь только последнее из них — буквенное выражение 70-t. Ведь при /=1, / = 2 и / = 5 получаются и первые три. Подставляя же вместо t всякие другие числа, мы сможем узнавать, сколько километров пройдет поезд
за любое данное число часов. Вот как удобно буквенное выражение!
Скажите, что в этой задаче означают числовые выражения 70-4; 70-6.
Буквенное выражение, указывающее, как зависит какая-то одна величина от какой-то другой величины, называется формулой. Формула 70- / указывает, как зависит от времени расстояние, пройденное поездом.
Формула может указывать зависимость какой-то величины и от нескольких других величин. Так что и букв в формуле может встречаться несколько. Представьте, что мы решаем точно такую же, как и в начале урока, задачу на движение. Только вместо поезда в условии говорится про что-нибудь другое. Например, про пешехода Антона или велосипедиста Ивана из урока 24. Напомним, что скорость движения Антона 4 км/ч, а Ивана 20 км/ч. Тогда в нашей задаче вместо числа 70 надо взять или 4 (если задача про Антона), или 20 (если задача про Ивана) .
Какое расстояние--1-^-за t часов? г проедет И ван
Составьте выражения, дающие ответы для Антона и Ивана.
Записав здесь имена выше и ниже пунктирной линии, мы «одним ударом» задали два вопроса: про Антона и про Ивана.
Но можно «одним ударом» решить и вообще все такие задачи. А именно обозначим буквой v скорость движущегося предмета или существа. Тогда расстояние, пройденное им за t часов, будет выражаться формулой v-t. Эта формула указывает, как интересующая нас величина (т. е. расстояние) зависит от двух других величин: от скорости v и от времени /.
Если расстояние обозначить буквой s, то получим равенство s = v-t. И про такое равенство тоже говорят, что это формула.
Зависимость между различными величинами часто стараются записывать формулами.
Запишите формулами зависимость: а) между ценой а, количеством изделий b и стоимостью с; б) ' между производительностью труда k, временем t и общим числом изделий п; в) между урожайностью р, площадью S и общим урожаем tn. (Совет: вспомните, что сказано об этих величинах в уроке 18.)
Итак, повторим:
(Урок 30) 94
ФОРМУЛА — ЭТО БУКВЕННОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ИЛИ РАВЕНСТВО, ПОКАЗЫВАЮЩЕЕ ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ВЕЛИЧИНАМИ.
Но формулы могут также говорить о свойствах действий над числами. Много таких формул вы найдете в § 4.
Вопросы и задания
29.1. Что такое формула?
* 29.2. Запишите формулой, как находится: а) скорость,
w если известны пройденный путь s и время /; б) время,
f которое нужно затратить, чтобы пройти заданный путь s с
заданной скоростью и; в) время, которое нужно затратить, чтобы изготовить п изделий, если производительность труда равна k.
29.3. Стоимость покраски 1 кв. м пола 21 к. Запишите формулой стоимость покраски пола в комнате длиной а (м) и шириной b (м). Найдите эту стоимость, если 5 м, а Ь = 3 м.
29.4. В задаче 18.5 приведены данные о выпуске в нашей стране продукции за одну минуту. Составьте формулы, указывающие, как зависит от времени t (мин) количество: а) электроэнергии; б) минеральных удобрений; в) цемента; г) ткани; д) обуви; е) радиоприемников; ж) телевизоров; з) холодильников; и) молока; к) колбасных изделий; л) консервов.
29.5. В Театре юного зрителя цена билета зависит от ряда, в который билет продается. На утренний спектакль установлены три цены: 30 к., 40 к. и 50 к. Запишите формулу с тремя буквами, указывающую зависимость выручки театра от того, сколько билетов было продано по цене 30 к., 40 к. и 50 к. Найдите эту выручку, если по 30 к. было продано 82 билета, по 40 к.— 204 билета, а по 50 к.— 118 билетов.
29.6. Для каждой пары значений а и Ь, данных в таблице, составьте задачу по выражению а-\-(а — Ь). Решите составленные вами задачи. а 14 140 1400 85
b 6 60 600 18
29.7. Перечитайте в объяснительном тексте урока 24 условие задачи в варианте 1. Какое расстояние будет между Антоном и Иваном через 3 ч; 5 ч; 6 ч; 8 ч?
Урок зо Что такое уравнение
Как выглядит математическая задача? В ней какие-то числа известны, а какое-то (пока неизвестное) число надо найти. Условие задачи обычно записывают словами. Но можно переписать его, используя только математические знаки. Тогда неизвестное число будет легко найти. Рас-
смотрим несколько простых задач и посмотрим, как это делается.
Задача 1. Покупая бублик, Вася подал 20 к. и получил сдачу 15 к. Сколько стоит бублик?
Обозначим неизвестное число копеек буквой х. Что такое сдача? Это такое число, которое дополняет х до 20. Тогда условие задачи говорит нам, что х+15 = 20. Вот мы и записали условие математическими знаками!
Давайте разберемся, какая запись получилась. Видите: это равенство. Его правая часть — число 20, левая часть— буквенное выражение х+15. Значит, наша запись — это равенство, содержащее букву х. Что обозначает в нем буква х? Неизвестное число. Найдешь х — и задача решена. Такое равенство с неизвестным числом называют уравнением. Итак,
УРАВНЕНИЕМ НАЗЫВАЮТ РАВЕНСТВО, СОДЕРЖАЩЕЕ БУКВУ, ЕСЛИ ТРЕБУЕТСЯ НАЙТИ НЕИЗВЕСТНОЕ ЧИСЛО, ОБОЗНАЧЕННОЕ
ЭТОЙ БУКВОЙ.
Для задачи 1 у нас получилось уравнение х+ 15 = 20. Буква х обозначает в нем неизвестное слагаемое. А неизвестное слагаемое находят вычитанием: х = 20—15 = = 5 (к.). Уравнение решено.
РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ — ЗНАЧИТ НАЙТИ НЕИЗВЕСТНОЕ ЧИСЛО.
Задача 2. За буханку хлеба стоимостью 20 к. покупатель подал монету в 50 к. Сколько копеек сдачи он получит?
Рассуждая так же, как при решении задачи 1, мы составим уравнение 20 + х = 50.
Решите это уравнение.
Задача 3. К неизвестному числу прибавили 71, получилось 100. Найдите неизвестное число.
Напишите уравнение для задачи 3 и решите его.
В задачах 1—3 неизвестным было одно из слагаемых. Точно так же, если в задаче неизвестным числом будет уменьшаемое, вычитаемое, множитель, делимое или делитель, можно найти их, составив и решив уравнение. Решим таким способом одну задачу на нахождение неизвестного множителя.
Задача 4. Произведение двух чисел равно 72, один множитель равен 8. Чему равен второй множитель?
(Урок 30) 96
Обозначим неизвестное число буквой х. Тогда условие задачи говорит нам, что 8-х = 72. Вот и уравнение готово!
А неизвестное число в уравнении обязательно мак обозначать буквой х?
Нет. Можно использовать любую букву. Обычно неизвестное число обозначают какой-нибудь из последних букв латинского алфавита: х, у или 2, особенно часто буквой х.
Вопросы и задания
ЗОЛ. Какое равенство называют уравнением? Что обозначает буква в уравнении? Что значит решить уравнение?
30.2. (У) Решите уравнение:
а) х + 72=119; в) 150 —х = 83;
б) х —63 = 78; г) х-77=154;
д) х:7 = 21;
е) 390:х=30.
30.3. Решите уравнение:
а) 1 375 682+х = 4 586 318;
б) х —7 843 415 = 2 470 387;
в) 8 063 704 —х = 5 217 366;
г) 352-х=1 653 344;
д) х: 6307 = 4268;
е) 2 499 786:х= 678;
ж) % —386 715 = 487-639;
з) 473-х=1 973 624 + 877 147;
и) х + 8409 = 6 331 977:753;
к) 123-456-х= 12 345;
л) х-(852 —528) = 319 788;
м) 199 243:649 + х = 888.
30.4. Из неизвестного числа вычли 678, получилось 876. Найдите неизвестное число.
30.5. а) (У) Решите уравнение для задачи 4 из объяснительного текста.
б) Придумайте задачу, где известны делитель и частное, а неизвестно делимое. Запишите ее на листочке. Предложите соседу по парте составить уравнение для этой задачи и решить его. Проверьте, правильно ли он составил и решил уравнение.
30.6. Клоун объявил, что он сейчас предложит каждому зрителю решить по уравнению. Из публики раздались удивленные возгласы: чЛвх «Сколько же времени вы будете их диктовать? Ведь нас здесь не-сколько сотен! Последнему придется ждать свои уравнения до утра!» Клоун ответил: «Ничего подобного. Я успею продиктовать все уравнения за одну минуту. Смотрите, я пишу равенство: х+а=1000. Пусть каждый подставит в это равенство вместо буквы а номер своего места. Вот и получится для него уравнение с буквой х. Решайте свои уравнения!» Так находчивый клоун «одним ударом» предложил каждому по уравнению.
Подставьте в равенство клоуна вместо буквы а число, выражающее ваш рост в сантиметрах, и решите полученное уравнение.
97 (Урок 31)
урок з1 Учимся рассуждать при решении задач.
Что значит рассуждать
Смекалкин предложил младшему брату такую задачу:
Задача. Бригада электриков устанавливает электрические счетчики в двух одинаковых многоквартирных домах. В первом доме, устанавливая по 30 счетчиков в час, бригада проработала 6 ч. Во втором доме она работала более производительно и устанавливала по 36 счетчиков в час. За сколько часов бригада выполнила работу во втором доме?
Младший брат начал решать задачу: «Пробуем так. Первым действием узнаем, сколько счетчиков в час устанавливала бригада в двух домах: 36-}-30 — 66 (счетчиков в час). Вторым действием...» Тут он запнулся, не зная, как продолжить.
Скажите, нужно ли для решения задачи то первое действие, которое предложил младший брат?
Смекалкин пожурил брата: «Эх ты! Твое первое действие совсем некстати. Поэтому ты не знаешь, что делать дальше. Тут не пробовать надо, а рассуждать!» Младший брат спросил: «А что это значит — рассуждать?»
Смекалкин не смог ответить на такой вопрос. Это и на самом деле непростой вопрос. Ответить на него можно так. Рассуждать — это как бы беседовать с самим собой: задавать вопросы и отвечать на них, обдумывать все, что дано в условии, и делать из этого выводы, из полученных выводов делать новые выводы и т. д. Давайте возьмем задачу Смекалкина и порассуждаем, как ее решать. Будем задавать себе вопросы и отвечать на них.
Чтобы яснее показать, как это делается, разделим страницу на две части. Слева будем записывать вопросы, справа — ответы. Следите внимательно за тем, как идут рассуждения. Начнем с вопроса задачи.
Что нужно узнать в задаче?
Что для этого нужно знать?
Чему равно число счетчиков, устанавливаемых за 1 ч?
Как же найти общее число счетчиков во втором доме?
4 Учебник-собеседник
За сколько часов бригада выполнит работу во втором доме. Общее число счетчиков во втором доме. Тогда, разделив его на число счетчиков, устанавливаемых за I ч, мы и узнаем требуемое время.
По условию оно равно 36.
Надо вспомнить, что оба дома одинаковые. Значит, и число счетчиков в них одно и то же.
А как найти число счетчиков в первом доме? Что дано в условии?
Бригада устанавливала по 30 счетчиков в час и работала 6 ч. Значит, надо умножить 30 на 6.
Теперь стало ясно, как составить план решения. Вот он: 1) найти число счетчиков в доме;
2) найти время, за которое бригада выполнит работу.
А решать будем по действиям или числовым выражением?
Большой разницы между этими способами нет. Ведь, указав действия, мы можем сразу записать числовое выражение, дающее ответ. В нашей задаче это (30-6.):36. А вычисляя значение составленного выражения, мы выполняем действия, предусмотренные планом решения.
Скажите, каков ответ в этой задаче.
В уроке 30 мы рассказали, как возникают уравнения при решении задач. Давайте решим задачу Смекалкина, составив уравнение. Как рассуждать в этом случае? Начать нужно с того, что обозначить неизвестное число буквой. Например, буквой х.
О равенстве каких величин можно сделать вывод из условия задачи? Чему равно число счетчиков в первом доме?
Какая формула выражает число счетчиков во втором доме? Как получить уравнение?
Так как дома одинаковые, то в них одинаковое число счетчиков. Оно равно 30*6. Ведь бригада устанавливала по 30 счетчиков в час и работала 6 ч.
36-х.
Приравнять числа счетчиков в обоих домах. Получаем уравнение 36-х = 30-6.
И всегда нужно так записывать рассуждения? Нет. Рассуждают обычно мысленно. Но мы советуем при решении задач к этому уроку записывать рассуждения, чтобы лучше научиться рассуждать.
Задания
V 31 Л. (У) Решите уравнение, составленное в объясни-
в тельном тексте урока.
31.2. (У) Решите уравнение: а) 2-х+1=7; б) 2-х —3=11; в) 17 —3-х = 8; г) 8 + 3-х = 20.
31.3. Следующие задачи а) —д) решите двумя способами: составляя числовое выражение и с помощью уравнения:
а) Токарю надо выточить 180 деталей за 8-часовой рабочий день. За первые 4 ч. он выточил 80 деталей. Сколько деталей в час должен вытачивать токарь за оставшиеся 4 ч?
б) От станции электрички до озера 15 км. Туристы прошли 6 км пешком, а затем сели на попутную машину. Скорость машины 900 м/мин. За сколько минут она доставит туристов к озеру?
в) Водитель автобуса за свой 8-часовой рабочий день успевает сделать Шесть рейсов. До конца работы у него остается еще 18 мин для профилактического осмотра машины. Сколько времени длится один рейс?
г) В магазин привезли 37 ящиков с молоком в пакетах. В каждом ящике 12 пакетов. Через час осталось 329 пакетов. Сколько молока было продано за час?
д) Оля считала воробьев, которые сидели на двух кустах. Едва она успела сосчитать, что на одном их было 9, как на него с другого куста перелетели 3 воробья. Оля заметила, что теперь воробьев на обоих кустах поровну. Сколько воробьев было первоначально на втором кусте?
31.4. Придумайте задачу, которая бы решалась уравнением: а) х + 20 = 40; б) х —5 = 50; в) 45-х = 50-9.
Запишите задачи на листочки и дайте соседу по парте, чтобы он их решил. Проверьте его решения.
31.5. а) Придумайте задачу, которая решалась бы уравнением х-20 — 127 = 333. Запишите ее в тетрадь и решите, составив числовое выражение, б) Придумайте задачу по числовому выражению (65 + 43): 12. Запишите ее в тетрадь и решите, составив уравнение.
Урок 32
Задания на повторение к § 3
Мы заканчиваем § 3. Сейчас можно было бы повторить объяснительный текст из урока 11. Перечитайте этот текст.
»32.1. (У) Найдите значение числового выражения: и а) З3; б) (5 —З)3; в) 1989’; г) 6-103 + 3-102 + 4-104-7.
32.2. Выполните действия:
а) (16-4)2:1444-(114-2)2:1694-(12-|- 13)2:625;
б) 9012 — 9999 — 8976-95:30;
в) (174- 12)3-|-(32- 15)3 + (51 -25)3.
32.3. Найдите числовое значение буквенного выражения (168 +£)?:£ — (£ + 246) при £ = 3; 7; 8.
32.4. (У) Сравните числовые значения выражений л+1 и т + 2 при данных значениях букв: а) л = 2, т = 2; б) л = 5, т = 3; в) п = 9, zn = 8.
32.5. За каждое слово в телеграмме отправитель платит 5 к. и еще берется 20 к. телеграфного сбора, а) Сколько надо заплатить за телеграмму из 10 слов; 15 слов; 22 слов? б) Запишите формулой стоимость телеграммы, содержащей п слов. Найдите значения получившегося выражения при и = 7; 24; 30.
32.6. Буквой п обозначено некоторое натуральное число. Если, например, п обозначает число 1327, то неравенство л >248 верное, а если п обозначает число 75, то неравенство л >248 неверное. Придумайте еще примеры чисел, которые может обозначать буква л так, чтобы неравенство и >248 было верным. Будет ли верным это неравенство, если л обозначает число 248?
Для неравенства: а) и> 1000; б) л <6287; в) 7 999 999<л; г) л <100 000 000 напишите два числа, которые может обозначать буква л так, чтобы неравенство было верным.
32.7. По образцу задания 32.6 придумайте три неравенства с буквой. Запишите их на листочке и предложите соседу по парте написать для каждого неравенства по два примера чисел, которые могла бы обозначать буква, чтобы неравенство было верным.
32.8. (У) Решите уравнение: а) *4" 8 = 96; б) х — 8 = 96;
32.9. Решите уравнение:
а) *4-165 376:323 = 704;
б) 193 543:643 —£/ = 287;
в) 341-2 = 880 014 — 694 851;
г) (И 15-874)-х = 97 123;
д) i/:283 657= 125 146 —309-405;
е) 663-851:2 = 897;
в) х-8 = 96;
г)
х:8=96.
ж) 383-* + 22 222=101 503;
з) 32673 + «/-37 = 110521;
и) 29-2 — 38 718 = 68 843;
к) 97 544 —х-271 = 10 553;
л) //:7034-1987 = 7891;
м) 9187 — 2:409 = 7819.
32.10. Решите задачу, составив уравнение: «На двух кустах сидело 16 воробьев. Когда с одного улетели 2 воробья, то на кустах их стало поровну. Сколько воробьев было вначале на каждом кусте?»
32.11. а) Двум экскаваторщикам поручили вырыть траншею для трубопровода длиной 3 км 900 м. Они одновременно начали копать ее с противоположных концов, двигаясь навстречу друг другу. Один успевает за час прорыть 72 м, а другой — 78 м. Сколько времени потребуется, чтобы выполнить всю работу?
б) Двум рабочим поручили изготовить 144 одинаковые детали. Первый рабочий за час изготовляет 17 деталей, а второй — 19 деталей. Сколько времени им нужно, чтобы выполнить всю работу?
в) Двум машинисткам поручили напечатать рукопись на 154 страницах. Одна машинистка за час печатает 6 страниц, другая — 5 страниц. Сколько времени им нужно, чтобы выполнить всю работу? Сколько страниц напечатает каждая машинистка?
32.12. а) Заполните пустые клетки таблицы:
б)* Какое свойство можно обнаружить, рассматривая заполненную таблицу? Запишите это свойство формулой.
а 12 213 68 704 873
а3: а2
32.13. (У) Какое натуральное число обозначено буквой а, если: а) а =9; б) а2 = 25; в) а2= 121?
32.14* . Число 64 является квадратом числа 8 и кубом числа 4 (проверьте!). Найдите еще какое-нибудь число, которое является
квадратом одного числа и кубом другого.
§ 4. СВОЙСТВА ДЕЙСТВИЙ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
В этой главе вы изучаете числа и действия над ними. Что значит изучать числа? Это значит обнаруживать их свойства. А что значит изучать действия над числами? То же самое — обнаруживать их свойства. Знание таких свойств помогает выполнять вычисления лучше и быстрее. С некоторыми свойствами действий вы познакомились еще в начальной школе. В этом параграфе мы напомним их и расскажем о новых полезных свойствах.
Урок зз Переместительное и сочетательное свойства сложения
Младший брат Смекалкина повторял свой стишок: «Было а, добавим Ь, сколько станет — а плюс Ь». Потом решил переставить в нем буквы: «Было Ь. добавим а, сколько станет — b плюс а». И вдруг догадался, что это ведь одно и то же: а-\-Ь и Ь-\-а. «Правда?» — спросил он Смекалкина.
Подумайте, правильно ли догадался младший брат?
Чтобы ответить на заданный вопрос, обсудим такую задачу. Тракторной бригаде нужно вспахать два поля: одно площадью 4 кв. км, другое — 5 кв. км. Если вспахивать сначала меньшее поле, а затем большее, то всего бригада вспашет 4 + 5 (кв. км). Если же очередность вспашки полей поменять, то вспаханная площадь будет равна 5 + 4 (кв. км). Но площадь, которую нужно вспахать, не зависит от того, в каком порядке пахать поля. Какой вывод можно сделать? Вот какой: верно равенство 4 + 5== = 5 + 4.
А теперь повторим задачу, только вместо чисел 4 и 5
возьмем любые числа а и Ь. Какой будет вывод? Та-кой же:
В рамке мы записали формулой вот какое свойство: КАКИЕ БЫ ЧИСЛА а И b МЫ НИ ВЗЯЛИ, ВСЕГДА a-\-b = b-]-a.
Часто это свойство формулируют так:
ОТ ПЕРЕМЕНЫ МЕСТ СЛАГАЕМЫХ
СУММА НЕ МЕНЯЕТСЯ.
Обнаруженное свойство сложения называют переместительным свойством» Оно настолько важно, что его называют даже законом — переместительный закон сложения. Мы только что этот закон сформулировали дважды.
Смекалкин испугался:
И оба утверждения надо запоминать?
Нет, вполне достаточно запомнить одно из них, любое. Но самое главное — надо хорошо понимать, о чем переместительный закон говорит. Если понимаешь хорошо, то и сформулируешь его правильно, и запомнишь легко.
Представьте двух братьев-пассажиров, у которых три чемодана массой 8 кг, 5 кг и 9 кг. Сначала первый брат взял чемоданы массой 8 кг и 5 кг, а второй — чемодан массой 9 кг. Общую массу их багажа указывает выражение (84-5)+ 9 (кг). Потом первый брат передал второму чемодан массой 5 кг. Какое числовое выражение теперь указывает общую массу багажа? Вот какое: 8 +(54“ 4-9) (кг). Но ведь общая масса багажа не изменилась. Значит, верно числовое равенство
(8 + 5)4-9 = 8 + (54-9).
Если бы массы чемоданов были другими, то мы сделали бы тот же вывод. А именно если чемоданы имеют массу а кг, b кг и с кг, то, рассуждая точно так же, как и только что, мы получим равенство
Размышляя над этим равенством, можно забыть о чемоданах с их массами, а помнить только о числах. Теперь легко догадаться, что выполняется такое свойство сложения:
КАКИЕ БЫ ЧИСЛА а, b И с МЫ НИ ВЗЯЛИ, ВСЕГДА (д + 6) + с = а + (b + с).
Это свойство иначе можно сформулировать так:
ОТ ИЗМЕНЕНИЯ РАССТАНОВКИ СКОБОК СУММА НЕ МЕНЯЕТСЯ.
Обнаруженное свойство сложения называют сочетательным свойством. Оно говорит нам, что слагаемые в сумме можно объединять (т. е. сочетать) по-разному. Это важное свойство тоже называют законом — сочетательный закон сложения.
Сочетательный закон часто может облегчить вычисление суммы нескольких слагаемых. Пусть, например, надо вычислить сумму 367 +146 + 254 +133. Легко догадаться, что в первую очередь здесь удобнее сложить 146 и 254. Запишем вычисления цепочкой равенств: 367+ 146 + + 254+133 = 367+ (146 + 254)+133 = 367 + 400+133 = = 767+ 133 = 900. Вот видите, как полезен сочетательный закон!
Но польза от сочетательного закона будет еще больше, если его применять вместе с переместительным законом. Ведь переместительный закон позволяет еще и переставлять слагаемые. Поэтому можно группировать их так, как будет удобнее. Вот пример:
37 + 2 + 113 + 98 = (37+ 133) + (2 + 98)= 150+ 100 = 250.
То, что переместительный и сочетательный законы верны, можно объяснить многими способами. Несколько таких способов мы предлагаем вам в заданиях 33.2—33.6. Придумайте и вы какие-нибудь свои способы объяснения того, что эти законы верны.
Вопросы и задания
33.1. Как называются свойства сложения, которые сформулированы в этом уроке? Сформулируйте каждое из них каким-нибудь из двух утверждений, приведенных в тексте урока.
33.2. (У) В одной банке а г крупы, в другой — на b г больше, чем в первой, в третьей Ь г крупы,
а в четвертой на а г больше, чем в третьей. Что можно сказать о количестве крупы во второй и четвертой банках?
33.3. (У) Рассмотрите рисунок 25 *и
Рис. 25
придумайте подходящую задачу, объясняющую, что а-]-Ь=;Ь-\-а.
33.4. (У) а) Вырежьте из бумаги две полоски одинаковой ширины. Одну пометьте буквой а, другую — буквой 6. Представьте, что буквы а и b обозначают длины этих полосок (сами длины измерять необязатель-
но!). Приложите полоски друг к другу сначала так, как показано на рисунке 26, а, а затем так, как показано на рисунке 26, б. Какой вывод мы опять можем сделать? Полоски какой длины
получатся в обоих случаях?
а)
Рис. 27
Рис. 26
б) Выполняя задание а), вы приготовили две полоски одинаковой ширины, помеченные буквами а и Ь. Вырежьте из бумаги еще одну полоску той же ширины и пометьте ее буквой с. Приложите полоски друг к другу, как показано на рисунке 27.
Запишите длину получившейся полоски двумя выражениями. Какой вывод можно сделать?
33.5. (У) Железная дорога, соединяющая Москву и Курск, проходит через Тулу и Орел (рис. 28). Расстояние между Москвой и Тулой 194 км, между Тулой и Орлом 189 км, между Орлом и Курском 154 км.
Рис. 28
а) Что означают выражения 194 4-189 (км) и 1894-194 (км)? Что означает равенство 194 + 189= 189 4-194? Какой вывод опять можно сделать?
б) Два пассажира проехали по железной дороге из Москвы в Курск. Один из них сделал остановку в Орле, а другой — в Туле. Что означают выражения (1944-189)4-154 и 194 4-(189 4-154)? Какой вывод опять можно сделать?
33.6. Заполните пустые клетки таблицы:
а 23 617 57 276 345 678
b 85 086 38 724 64 237
a-j-b 95 402 1 234 567
b + а 86 315 137 824
33.7. (У) Объясните, почему верно равенство:
а) 856 2044-(321 4854-750 832) = (856 204 4-321 485)4-750 832;
б) 473 0284-(540 3244-543 987) = (473 0284-543 987) + 540 324;
в) 47 003 4- (36 754 4- 35 965) = (35 965 + 47 003) + 36 754.
33.8. Вычислите цепочкой равенств, используя законы сложения:
а) 464-87+13; в) 11+93 + 429 + 317; д) 326 + 758 + 374;
б) 37+139 + 23; г) 23 + 248 + 227 + 32; е) 684 + 353 + 647.
33.9. (У) Выполните сложение наиболее простым способом:
а) 63 + (37 + 79); в) (144 + 279)+121;
б) 491+(726 + 209); г) (165 + 267)+135.
33.10. Выполнив в уме сложение, заполните Таблицу по образцу, данному в ее второй строке:
а b с Наиболее удобный порядок вычисления суммы а4~^+^ а + ^ + с
623 317 607 398 84 289 93 713 77 11 152 202 (623 4-77) + 84 784
33.11. Пользуясь законами сложения, замените сумму одинаковых чисел произведением. Образец:
х + га + х + m = (х + х) + (tfz + т)=2 • х + 2 • т.
а) а+а + а + ^ + 6 + & + &; д)
б) х + а + х + а + х + а + %; е)
в) а+а + а + с + с + т + т-\-т-\-т\ ж) г) а + & + с + # + c-|-a + f+ а + £; з)
x + (x + */ + z) + z;
(а + Ь) + (Ь + с) + (с + а);
% + (*+ 1) + (х + 2);
(13 + а) + а + (а + 31).
33.12. Решите уравнение: а) х + х + х = 255;
б) х + 163 + *== 751;
в) х+(х + 342) = 678;
г) (х+11) + (23 + х)=212;
Д) х + (х+1) + (х + 2) = 822; е) (53 + х) + х + (х+47)=400.
33.13. а) Решите, составив выражение, следующую задачу: «Самолет Ту-154 в первоначальном варианте имеет 158 пассажирских мест. В его усовершенствованном варианте на 22 места больше. Из Казани в Минск ежедневно летают два самолета Ту-154: один первоначального вида, другой усовершенствованный. Сколько пассажиров за день может улететь из Казани в Минск?»
б) Составьте обратную задачу, в которой нужно узнать, на сколько мест больше имеет усовершенствованный вариант самолета Ту-154. Решите эту задачу, составив уравнение.
33.14. а) Решите, составив выражение, следующую задачу:
«Коле на два дня дали книжку с интересной фантастической повестью. В первый день Коля прочитал 67 страниц. Чтобы отдать книгу вовремя, Коле во второй день нужно прочитать на 28 страниц больше. Сколько страниц в этой повести?»
б) Составьте обратную задачу, в которой нужно узнать, на сколько страниц больше должен прочитать Коля во второй день. Решите эту задачу, составив уравнение.
^7/ 33.15. (У) Клоун сказал публике: «У меня есть 6
карточек с числовыми выражениями. Я сейчас соединю
2^7 их знаками равенства и покажу вам одно свойство сложения». В этот момент погас свет, и клоун наугад разложил
карточки. Вот что получилось:
37 826 + 67 538 — 37 826 + 48 934
48 934 + 67 538 48 934 + 37 826
67 538 + 48 934 67 538 + 37 826
Публика смеялась. Все видели, что эти равенства неверны. Не вычисляя сумм, укажите те пары карточек, на которых записаны равные между собой суммы. Какое свойство хотел показать клоун?
Урок 34 Совместные свойства сложения и вычитания
Задача 1. Экскаватору нужно вырыть траншею длиной 147 м. За первый час он вырыл 36 м, а за второй — еще 42 м. Сколько метров траншеи ему осталось вырыть?
Решить эту задачу можно двумя способами.
l-й способ. За два часа экскаватор выроет 36 + 42 (м). Значит, ему останется вырыть 147 —(36 + 42) (м).
2-й способ. После первого часа осталось вырыть 147 — — 36 (м); после второго часа осталось (147 —36) —42 (м).
Но как ни решай задачу, вырыть экскаватору останется од-
Поэтому можно за-
но и то же число метров траншеи.
писать равенство
147 — (36 + 42) = (147 —36) — 42.
Представьте теперь, что вместо чисел 147, 36, 42 в условии задачи даны какие-нибудь числа а, b и с. Какую формулу мы получим, если повторим рассуждения? Вот какую:
а — (6 + с) = (а — Ь) — с.
Эта формула говорит нам о следующем свойстве: вычесть из числа сумму двух чисел — это то же самое, что вычесть из него одно слагаемое, а затем из результата другое.
еперь давайте разберемся, какая может получиться формула, когда из числа вычитают разность двух чисел. Для этого обсудим такую задачу:
Задача 2. Младший брат Смекалкина запланировал решить за каникулы 20 уравнений. Когда он решил 15 уравнений, Смекалкин проверил его решения и обнаружил, что 6 уравнений решены неверно. Сколько уравнений осталось решить младшему брату, чтобы выполнить свой план?
И эту задачу можно решить двумя способами.
1-й способ. Раз 6 уравнений решены с ошибками, то верно решение 15— 6 (уравнений). Значит, осталось решить еще 20 — (15 — 6) (уравнений).
2-й способ. Младший брат еще не брался за 20 — 15 (уравнений), да 6 уравнений ему надо решить заново. Значит, осталось решить (20—15) + 6 (уравнений).
Но как ни рассуждай, остается решить одно и то же число уравнений. Значит, 20—(15 —6) = (20—15)+6.
Такое равенство верно не только для чисел 20, 15 и 6, но и для любых чисел а, b и с. Вот и формула получилась:
а —(& —с)=(а —6) + с.
(Урок 34) 108
Эта формула говорит еще об одном свойстве: вычесть из
числа разность двух чисел — это то же самое, что вычесть из него уменьшаемое, а затем к результату прибавить вычитаемое.
Выше мы обнаружили два свойства действий и каждое записали формулой. Вы видите, что эти свойства и формулы говорят о вычитании и сложении вместе. Мы сейчас обнаружим еще одно такое совместное свойство. Для этого обсудим еще одну задачу.
Задача 3. В одной коробке 30 конфет, в другой — 20. Девочка съела из первой коробки 6 конфет. Сколько конфет осталось в двух коробках вместе?
И здесь можно решать задачу двумя способами.
1-й с п о с о б. В первой коробке осталось 30 — 6 (конфет). Значит, в двух коробках осталось (30-6)4-20 (конфет).
2-й способ. Сначала в обеих коробках было 30 + 20 (конфет). Значит, осталось (30 + 20) — 6 (конфет).
Но при любом способе решения останется одно и то же число конфет. Поэтому верно равенство (30 + 20) —6 = ==(30-6)+ 20.
Всем, конечно, ясно, что вместо чисел 30, 20, 6 могут быть любые числа а, b и с. Получается формула
(а + Ь) — с = (а — с) + Ь.
Свойство, записанное этой формулой, словами можно сказать так: вычесть число из суммы двух чисел — это то же самое, что вычесть его из одного слагаемого и к результату прибавить другое.
Это свойство можно записать и такой формулой:
(а+ 6) — с = а + (Ь — с).
Объясните, как она получается.
Вопросы и задания
I 34.1. Какие совместные свойства сложения и вычитания сформулированы в этом уроке?
34.2. (У) Со склада надо доставить 27 т груза. На первом грузовике увезли 7 т, на втором — 8 т. Что означают выражения (27 —7) —8 и 27 —(7 + 8)? Какой вывод можно сделать?
34.3. (У) Вычислите наиболее простым способом:
а) (2454-38)-145; в) 284-(844-37); д) 137 —(37—18);
б) (654-358)-158; г) 648 -(48 4- 85); е) 752-(52-37).
34.4. Используя совместные свойства сложения и вычитания, вычислите цепочкой равенств:
а) (2972+1569) —672; б) (3563+ 2878)-463; в) (2734 + 2687) —387; г) (5888 + 4356) —256; д) 1256+ (233-188);
е) 3445+ (655-278);
ж) 5783-(483+ 2878);
з) 8577-(377+ 5444);
и) 4657-(357-285);
к) 2823-(423—176);
л) (2357-168)-132; м) (4642 —275)—125.
34.5. На отрезке AD отмечены точки В и С так, как показано на рисунке 29. а) Длина AD равна 47 см, длина АВ —12 см, длина ВС — 23 см. Какова длина СО? б) Длина AD равна 2 м 6 см, длина АВ — 93 см, длина CD — 67 см. Какова длина ВС?
Рис. 29
34.6. В сеансе одновременной игры шахматист сыграл 20 партий. Из них 11 выиграл и 7 свел вничью. Проиграл ли он кому-нибудь? Если проиграл, то сколько партий?
34.7. Однажды Антон гостил у Ивана (о них мы рассказывали в уроке 24). Через 4 ч после ухода Антона Иван обнаружил, что тот забыл у него тетрадь. Иван решил догнать Антона на велосипеде. Скорость Антона 4 км/ч, скорость Ивана 20 км/ч. Сколько времени понадобится Ивану, чтобы догнать Антона?
34.8. В полдень от пристани отошел теплоход. Через 3 ч от той же пристани по тому же маршруту отправился катер. Скорость теплохода 30 км/ч, скорость катера 75 км/ч. Сколько времени понадобится катеру, чтобы догнать теплоход? На каком расстоянии от пристани они будут в этот момент?
34.9* . В уроке 33 мы обнаружили два важных закона для сложения: переместительный и сочетательный. Поразмышляйте: верны ли такие же законы для вычитания?
Урок 35 Переместительное и сочетательное свойства умножения
Вспомните шоколадку-таблицу из задачи 1 урока 20 (рис. 30, а). В ней 5 строк и 8 столбцов. Запишем выражением, сколько в ней долек: 5-8. А теперь ту же шоколадку повернем так, как показано на рисунке 30, б. Теперь в ней 8 строк и 5 столбцов. А выражение для числа долек таково: 8-5. Всем понятно, что число долек все время одно и то же. Так что 5-8 = 8-5.
И вообще если в таблице а строк и Ь столбцов, то, повернув ее «на бок», мы получим таблицу, в кото-
а)
Рис. 30
рой Ь строк и а столбцов. Число клеток в нечно, то же самое. Значит,
ней,
ко-
Итак, мы записали формулой такое свойство:
КАКИЕ БЫ ЧИСЛА а И b МЫ НИ ВЗЯЛИ, ВСЕГДА a-b = b-a.
Часто это свойство формулируют так:
ОТ ПЕРЕМЕНЫ МЕСТ МНОЖИТЕЛЕЙ ПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕ МЕНЯЕТСЯ.
Это свойство умножения называют переместительным свойством. Оно настолько важно, что его называют даже законом — переместительный закон умножения. Вспомните: похожий закон верен для сложения.
А сочетательным свойством умножение тоже обладает?
Чтобы ответить на вопрос Смекалкина, обсудим такую задачу:
Задача. Ежедневно на молокозавод 75 автомашин привозят молоко в бидонах. В каждой машине 24 бидона. В каждом бидоне 40 кг молока. Сколько килограммов молока привозят на завод ежедневно?
Решить эту задачу можно двумя способами.
1-й способ. Узнаем сначала, сколько килограммов молока привозит одна машина: 40*24 (кг). Раз машин 75, то все вместе они привозят (40-24)*75 (кг).
2-й способ. Узнаем сначала, сколько бидонов привозят ежедневно на молокозавод: 24*75 (бидонов). Раз в каждом бидоне 40 кг, то всего привозят 40*(24-75) (кг)
Всем ясно, что, как бы мы ни подсчитывали, число килограммов молока, которое ежедневно привозят на молокозавод, одно и то же. Так что верно равенство (40 *24) *75 = 40 *(24.75).
Конечно, в этом равенстве вместо чисел 40, 24, 75 могут быть любые числа, ведь может быть другая вместимость бидонов, другая грузоподъемность машин или дру-
111 (Урок 35)
гое число машин. Равенство все равно будет верным. Значит,
КАКИЕ БЫ ЧИСЛА а, Ь И с МЫ НИ ВЗЯЛИ, ВСЕГДА (а-6)-с = а-(д-с).
А вот как еще можно сформулировать это свойство: ОТ ИЗМЕНЕНИЯ РАССТАНОВКИ СКОБОК ПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕ МЕНЯЕТСЯ.
Обнаруженное свойство называется сочетательным свойством (или сочетательным законом) умножения. Формулой его записывают так:
(а*Ь)-с = а>(Ь-с).
Какое свойство сложения напоминает эта формула? Вспомните, что разрешает делать такое свойство сложения?
Сочетательное свойство умножения разрешает в произведении ставить скобки и объединять множители как удобнее. Для примера найдем значение выражения (737-25)-4. Пример кажется трудным для вычисления в уме: сначала надо умножить 737 на 25, а потом еще и на 4. Но, применив сочетательный закон, мы сразу очень упрощаем задачу. Смотрите: (737 • 25) . 4 = 737 - (25 • 4) = 737 - 100 = = 73 700. На вычисления хватит 5 секунд! Польза от сочетательного закона будет еще больше, если применять его вместе с переместительным законом.
Прежде чем начинать вычисления, нужно всегда подумать, как это сделать проще!
Вопросы и задания
35.1. Какие свойства умножения сформулированы в уроке? Сформулируйте их.
35.2. Для какого еще действия выполняются переместительный и сочетательный законы?
35.3. (У) В кинотеатре 30 рядов по 20 мест. Цена билета на дневной сеанс 25 к. Что обозначают выражения (25-20)-30 и 25-(20-30)? Какой вывод можно сделать?
35.4. (У) Объясните, почему верно равенство:
856 204-(321 485-750 832) = (856 204-321 485)-750 832;
473 028-(540 324-543 987) = (473 028-543 987)-540 324;
47 003 • (36 754 - 85 965) = (85 965 • 47 003) - 36 754.
35.5. Заполните пустые клетки таблицы:
а 243 473 517 843
Ъ 357 628 286 807
а-д 224 196 280 731
Ь-а 507 529 156 442
35.6. Пользуясь переместительным законом, перемножьте числа в наиболее удобном порядке:
а) 7-248; в) 27-4534; д) 621-5327;
б) 6-629; г) 32-6824; е) 317-4284.
35.7. (У) Пользуясь сочетательным законом, вычислите:
а) 3-5-8-3; г) 11-8-5-3; ж) 61-25-8-4;
б) 7-5-4-4; д) 33-125-8-3; з) 23-25-2-3;
в) 13-2-5-3; е) 77-25-4-2; и) 43-15-2-4.
35.8. Пользуясь переместительным и сочетательным законами, вычислите наиболее простым способом. Образец: 125 • 25 • 77 • 4 • 8 = = 77-(125-8)-(25-4) = 77• 1000-(25-4) = 77-1000-100 = 7 700 000.
а) 5-379-2; в) 6-333-5; д) 125-15-31-8-2;
б) 4-957-25; г) 8-427-25; е) 2-31-4-7-5-25.
35.9. Если в произведении нескольких чисел некоторые множители обозначены буквами, то, пользуясь переместительным и сочетательным законами, можно переставить их в конец. Образец: а-8-6-4-с-5 = 8-4-5-а-6-с= 160-а-6-с. Записывая цепочку равенств, упростите выражение по образцу:
a) x-3-r/-5-z-7; д) 6-Л-т-7-и-4;
б) а-2-6-7-с-3; е) З-а-6-12-Г-2;
в) 6-6-8-дп-п- 15; ж) 2-а-2-6-2-C-2-J;
г) X-4-8-//-Z-6; з) 11-a-x-5-f/-6-/?-3-z.
35.10. Если в произведении имеются одинаковые множители, то, пользуясь переместительным и сочетательным законами, их можно сгруппировать вместе и заменить степенью. Образец: 3-а-х-а-5-х-а=(3-5)-(а-а-а)-(х-х) = 15-а?-х2. Упростите выражение по этому образцу:
a) a-fe-c-a-c-a; в) 7-/п-3-п-ди-п; д) (а-6)-(&-с)-(с-а);
б) 3-x-x-t/-z-x-z; г) а-X'b-х-с-х; е) x-(x-*/-z)-z.
35.11. Собственная скорость теплохода (т. е. скорость в стоячей воде) 33 км/ч, скорость течения реки 3 км/ч. Расстояние от одной пристани до другой 180 км. За какое время теплоход без остановки пройдет от одной пристани до другой и вернется обратно?
113 (Урок 36)
урок 36 Совместные свойства умножения
и деления
Мы уже не раз повторяли, что вычитание — это действие, обратное сложению, а деление — действие, обратное умножению. Так что действия можно разбить на пары: сложение — вычитание, умножение — деление. Вспоминать об этих парах полезно при изучении свойств действий. Когда это может пригодиться? А вот когда: обнаружив какие-нибудь свойства пары сложение — вычитание, можно догадаться, что похожие свойства выполняются и для пары умножение — деление. Мы уже пользовались один раз такой догадкой, когда рассказывали о схемах задач на деление (см. урок 22).
А сейчас применим ту же догадку, чтобы обнаружить совместные свойства умножения и деления. Напомним формулами свойства, сформулированные в уроке 34 для сложения и вычитания:
(а — Ь) — с = а — (Ь + с); (а + b) — с = (а — с) + b;
а — (Ь — с) — (а — Ь)+с; (а + Ь) — с = а + (Ь — с).
Глядя на эти формулы, можно написать похожие формулы для умножения и деления. Надо только везде вместо знака «плюс» писать знак умножения, а вместо знака «минус» — знак деления. Вот какие формулы получаются:
(а:6):с = а:(&-с); (а-6):с = (а:с)-6;
а: (Ь: с)=(а: fr) • с; (а • b): с = а • (Ь: с).
Задания
36.1. (У) Поле длиной 240 м и шириной 40 м разделили на 3 равные части. Рассмотрите рисунок 31 и скажите, что означают выражения (240-40):3 и (240:3)-40. О каком свойстве умножения и деления можно сделать вывод?
36.2. Придумайте задачу, похожую на задачу 36.1, которая объясняла бы равенство
36.3. (У) Прямоугольную заготовку площадью 720 кв. см разделили на 5 одинаковых
Рис. 31
полосок, а затем каждую полоску разрезали поперек на 9 равных частей (см. рис. 32). Скажите, что означают выражения (720:5):9 и 720: (5-9). О каком свойстве можно сделать вывод?
36.4. Вычислите цепочкой равенств, применяя свойства умножения и деления:
а) (730:5): 2;
6) (640:5): 4;
в) (3700:25):4;
г) 2730: (273; 13);
д) 846: (423:47);
е) 672: (336:42);
ж) (31 -77):И;
з) (24-93): 12;
и) (56-65): 14.
36.5. а) Масса чугунной болванки 18 кг. Эти болванки расплавляют, а затем чугун разливают в формы, в которых изготовляют нужные детали. Сколько болванок нужно взять, чтобы полу
чить 54 детали массой по 13 кг каждая? б) Составьте обратную
задачу, в которой требуется найти, сколько деталей можно
изготовить из данного материала.
36.6. На соревнования приехало 120 спортсменов. Утром на завтрак каждый спортсмен выпивает стакан молока. Одного литрового пакета хватает ровно на 5 стаканов. Сколько ящиков с молочными пакетами надо иметь в столовой к завтраку, если в каждом ящике 12 пакетов?
36.7. Игорь собирается пойти навстречу отцу, который возвращается домой после работы. Расстояние от дома до работы 840 м. Игорь идет со скоростью 42 м/мин, а его отец — 63 м/мин.
а) Через сколько минут Игорь встретит отца, если он выйдет из дома одновременно с окончанием рабочей смены отца?
б) Через сколько минут после выхода из дома Игорь встретит отца, если выйдет за 5 мин до окончания смены?
в) За сколько минут надо выйти Игорю из дома, чтобы встретить отца сразу по окончании смены?
Урок 37 Распределительные свойства умножения
В уроке 34 мы обнаружили совместные свойства действий 1-й ступени (т. е. сложения и вычитания), в уроке 36 — совместные свойства действий 2-й ступени (т. е. умножения и деления). В этом уроке вы познакомитесь с совместными свойствами действий 1-й и 2-й ступени.
Задача. В таблице 5 строк и 7 столбцов. К ней приписали еще 4 столбца (см. рис. 33). Сколько клеток стало в таблице?
*
Рис. 33
115 (Урок 37)
Для решения этой задачи можно составить выражение 5-7 + 5-4. А можно составить другое выражение: 5-(7 + 4).
Объясните, каков план решения в каждом случае?
Ясно, что число клеток в получившейся таблице будет одним и тем же, как бы его ни подсчитывать. Так что можно записать равенство 5-(7-|-4) = 5*7 + 5-4. Если взять таблицу, в которой а строк и b столбцов и приписать к ней еще с столбцов, то получим равенство
а • (Ь + с) = а • b + а • с.
В этой формуле буквы а, b и с обозначают любые натуральные числа. Переставляя в ней множители, получаем формулу
При вычислениях бывают нужны обе формулы. Их можно сказать словами так:
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЧИСЛА И СУММЫ ЧИСЕЛ РАВНО СУММЕ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ДАННОГО ЧИСЛА И КАЖДОГО СЛАГАЕМОГО.
Обнаруженное свойство говорит, что числовой множитель как бы распределяется к слагаемым. Поэтому это свойство называют распределительным законом умножения относительно сложения.
Представьте теперь таблицу, в которой а строк и b столбцов. Вычеркнем из нее с столбцов. Сколько клеток будет в получившейся таблице? Ответ опять можно дать двумя выражениями:
а*Ь—й‘С и а-(Ь — с). Вывод: верна формула:
Переставляя в ней множители, получаем похожую формулу:
(Ь — с) • а = b - а —- с • а.
Эти две формулы тоже можно сказать словами:
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЧИСЛА И РАЗНОСТИ ДВУХ ЧИСЕЛ РАВНО РАЗНОСТИ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ДАННОГО ЧИСЛА НА УМЕНЬШАЕМОЕ И ВЫЧИТАЕМОЕ.
(Урок 37) 116
Обнаруженное свойство называют распределительным законом умножения относительно вычитания.
Вопросы и задания
37.1. Какое свойство называют распределительным за-5 коном умножения относительно сложения; вычитания? Г37.2. (У) Двое рабочих изготовляют одинаковые детали. Один рабочий делает за час 27 деталей, а другой — 32 детали. Продолжительность рабочей смены 8 ч. Что
означают выражения (27+ 32)-8 и 27-8 + 32-8? Какой вывод можно сделать?
37.3. (У) Опытный участок шириной 75 м разделен на две части (см. рис. 34). Длина одной части 200 м, а другой — 300 м. Что означают выражения (200 4-300)-75 и 200’754-300-75? Какой вывод можно сделать?
Рис. 34
37.4. (У) От опытного участка длиной 500 м и шириной 75 м отделили часть длиной 200 м. Что означают выражения (500 — — 200)-75 и 500-75 — 200-75? Сделайте вывод.
37.5. Заполните пропуски так, чтобы каждое равенство выражало какой-нибудь распределительный закон:
а) (254-78)-4 = ...;
б) 8-(54+125) = ...;
в) (1 И -36)-7 = ...;
г) 16-(93— 18) = ...;
д) ... = 47-84-53-8;
е) ... = 14-624-14-18;
ж) ... = 26-45-12-45;
з) ... = 37-45-37-28;
и) ...-7= 12-...4-27-...;
к) (15 + 71)-... = ...-12 + 71-...;
л) ....13 = 23-... —16-...;
м) (34-27)-... = ...-23-27-...;
н) 18-... = ...-75 + ...-93;
о) 63-... = .л-51-...-28.
37.6. (У) Вычислите наиболее простым способом: а) 138-48+138-52; в) 111-3028—11-3028;
б) 67-149+149-33; г) 150-97-57-150.
37.7. Вычислите, применив распределительный закон: а) 67-126 + 38-126; в) 1234-56—1111-56;
б) 157-69 + 69-73; г) 8888-43 — 43-8642.
37.8. Распределительный закон можно применять не только к двум, но и к трем, и к большему числу слагаемых. Например: (34+ 57 + 64)-47 = 34-47 + 57-47 + 64-47.
Вычислите, применив распределительный закон: а) 358-63 + 41 -63 + 21*63; в) 674-53-33-53-41-53;
б) 49-57 + 49-48 + 49-65; г) 68-549 — 68-77 — 68-72.
37.9. Запишите равенство, выражающее какой-нибудь распределительный закон:
а) (5*8).а = ...; л) (3 + fr)-5 = ...;
б) (9 —4)-х = ...; м) (13 —у)-3 = ...;
в) 6-(7 + 6)=...; Н) 7.(с + П)=...;
г) у.(8-3) = ...; о) 8-(25-7) = ...;
д) 5-т + 7 •«! = ...; п) (л + т). 13 = ...;
е) 8-Ь — 4 + = ...; р) (х —у)-21 =...;
ж) n*6 + n-8=...; с) 5.(а+Ь)=.„;
з) с-7 — с-2 = ...: т) 16 *(с —rf)=...;
и) (а + 8).4 = ...; у) 7-х+7-у = ...;
к) (х—7)-6 = ...; ф) 9-у— 9*г = ... .
37.10. Упростите выражение, применив распределительный за-
кон, и вычислите его значение:
а) 6-6 + 5-& при
б) 13-х —8-х при
в) а-8 + а-12 при
г) т-24 — т-14 при
д) 8-J/ + 8-Z при
е) 13-а— 13-ft при
6 = 2; 22; 222;
х = 4; 45; 456;
а = 7; 76; 765;
т=123; 234; 235;
у = 37 и z = 63;
а = 62 и 6 = 61.
37.11. Решите уравнение, упростив сначала левую часть
а) 5-х + 4-х = 720;
б) 6-// + 5-z/= 121;
в) 13-z +3-z — 2-z = 432;
г) 13-х —8-х= 115; д) 23-1/ —5-г/ = 252; е) 23-2 —8-2 = 405.
37.12. Найдите значение выражения:
а) 7-а + 7-6,
б) х-13 + ^-13,
в) 8-с —8-d, г) т-21—п-21,
если если если если
а+6 = 23; х + ^=11; с — d = 32;
т — п = 15.
Урок 38 Как свойства действий помогают
вычислять
Младший брат Смекалкина, выполняя домашнее задание, складывал числа 188 и 37 «столбиком». Смекалкин заглянул к нему в тетрадь и сразу объявил ответ. Младшему брату понравилось, как легко и быстро тот выполнил задание. Смекалкин объяснил, что он восполь
зовался сочетательным законом. «Но здесь ведь только два числа» а в сочетательном законе говорится про три числа. При чем тут сочетательный закон?» — удивился младший брат. Смекалкин сказал: «Вот при чем. Я заметил, что до «круглого» числа 200 числу 188 не хватает 12. А 37 легко представить как 12 + 25. Вот и получается: 188 + 37 = 188+ (12+ 25) = (188+ 12) +25 = 200 + 25 = = 225. Теперь видишь, в каком месте я воспользовался сочетательным законом?»
Г7 Укажите и вы, в каком равенстве Смекалкин
q воспользовался сочетательным законом
сложения. Тем же методом дополнения до «круглого» числа выполните сложение: 798 + 57; 376 + 48; 957 + 96.
И другие свойства действий помогают вычислять. Смотрите: 836 — 378 = 836 — (400 — 22) = 836 ~ 400 + 22 = = 436 + 22 = 458.
П Каким свойством мы воспользовались здесь?
g Примените метод дополнения вычитаемого
до «круглого» числа и вычислите: 625 — 486; 1043-666.
Для того чтобы легче было перемножать числа, можно пользоваться переместительным и сочетательным законами умножения:
35-16 = 35.(2-8) = (35-2:)-8 = 70-8 = 560;
15*65’4= 15-65*2• 2 = (15*2)*(65-2) = 30-130 = 3900.
Еще чаще при умножении применяют распределительный закон:
156-4 = (100 + 50 + 6)’4 = 400 +200 + 24 = 624;
98-17=(100 —2). 17= 1700-34= 1666.
Вычислите в уме:
247-3; 1357-5; 197-12; 999-37.
a Vfc
Не надо думать, что свойства действий используются только в устных вычислениях. На самом деле без них не обходится и вычисление «столбиком». Вспомним, например, как складывают многозначные числа — поразрядно. Чтобы объяснить, как возникает это правило, рассмотрим пример:
35 426 + 42 253 = (30 000 + 5000 + 400 + 20 + 6) + + (40 000 + 2000 + 200 + 50 + 3)=(30 000 + 40 000) +
+ (5000 + 2000) + (400 + 200) + (20 + 50)+(6 + 3) =
= 70 000 + 7000 + 600 + 70 + 9 = 77 679.
Видите, здесь применены и переместительный, и сочетательный законы сложения.
Задания
W 38.1. (У) Дополняя до «круглого» числа, вычислите: J а) 378 + 56; в) 686 + 77; д) 1395+147;
б) 227 + 298; г) 346 + 2988; е) 6328 + 2477.
38.2. (У) Дополняя вычитаемое до «круглого» числа, вычислите: а) 666-98; б) 777 — 88; в) 2341-279; г) 5632--2984.
38.3. (У) Представляя какой-нибудь множитель в виде произведения, примените переместительный и сочетательный законы и вычислите значение выражения: а) 65*4; б) 75-8;
в) 115-4-15.
38.4. (У) Объясните следующие приемы умножения:
а) Чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10 и разделить на 2. б) Чтобы умножить число на 25, нужно умножить его на 100 и разделить на 4. в) Пользуясь этими приемами, вычислите: 18-5; 45-5; 222-5; 2468-5; 3256-5; 36-25; 168-25; 142-25; 2468-25.
38.5. Пользуясь свойством а: (6-с) ==(«:&.): с, вычислите значение выражения.
Образец: 630:35 = 630:(7-5)==(630:7.):5 = 90:5= 18.
а) 270:45; б) 490:35; в) 360:45; г) 252:63.
38.6. (У) Объясните следующие приемы деления:
а) Чтобы разделить число на 5, нужно умножить его на 2 и разделить на 10.
б) Чтобы разделить число на 25, нужно умножить его на 4 и разделить на 100.
в) Пользуясь этими приемами, вычислите: 315:5; 235:5; 225:25; 425:25; 650:25; 740:5.
38.7. (У) Пользуясь распределительным законом, вычислите: а) 308-3; в) 154-6; д) 97-13; ж) 297-12;
б) 203-7; г) 524-4; е) 98-16; з) 198-17.
38.8. Упростите выражение:
а) 2-а + 3-а + 5-& —2-6; г) 7-а —6-а+13+17;
б) 10-с+ 17 + 3-С+ 14; д) а + 9-а+18- 14;
в) 16-а + 3-а + 7-а + 4-а; е) 13-а + & + а + 6-6.
38.9. Найдите значение выражения, сначала упростив его:
а) 6«а4-14*а + 45-}-75 при а=8; 13; 25;
б) 32 +17-6-7-64-8 при 6 = 0; 27; 113;
в) 26-С4-484-14-С—12 при с=5; 43; 217;
г) 57-х 4- 47 4- 28 4- 23-х при х=9; 72; 741.
(Урок 39) 120
38.10. Упростите левую часть уравнения и решите его:
а) З-х + 2-х—18 = 32;
б) 16-х—17 + 4-х = 83;
в) 15-х — 7-х— 14 = 42;
г) 23+ 14-х— 13-х = 72;
38.11 *. Упростите выражение:
д) 7-х+ 12 + 3-х+ 14= 106;
е) 5-х + х + 29- 13 = 88;
ж) х+37 + 4-х+24 = 96;
з) 2-х + х + З-х —52 = 74.
а) 5-(а + 2) + 3-(а + 3);
б) 2-(3-х + 7) + 4-(х-3);
в) 6-(2 + &) + 4-(&+ 1);
г) 7-(2-r/ + 3)+5-(6 + i/).
38.12 *. Чему равна сумма (а + &) + (& + с)+(с + а), если а + + & + с = 8?
38.13 . (У) Клоун начал подсчитывать «столбиком» сумму следующих чисел:
999 Он долго возился с записями, путался и начинал 999 снова, вспотел, но никак не мог сосчитать сумму. Публи-। ООО ка смеялась. Ведь всем было видно, что такую сумму ' легко подсчитать в уме, если догадаться, что каждое
999 слагаемое 999 надо дополнить до ... . Но не будем под-5 сказывать.
Объясните, каким способом быстрее всего подсчитать эту сумму. Таким же образом вычислите сумму:
а) 9999 + 9999 + 9999 + 5;
б) 998 + 998 + 998 + 9;
в) 999 + 998 + 997 + 6;
г) 99 999 + 99 999+12.
урок 39 |(ак с помощью уравнений отгадывать математические загадки и показывать математические фокусы
Загадка. Задуманы два числа. Одно на 26 больше другого, а их сумма равна 100. Какие числа задуманы?
Эту загадку легко отгадать, если использовать урав-
нение.
А разве тут можно использовать уравнение?
Ведь в уравнении одно неизвестное число, а здесь их два!
Неизвестных чисел здесь, конечно, два. Но легко догадаться, что, зная одно, мы сразу найдем другое, ведь оно на 26 больше. Так что можно представить, что нам неизвестно одно из чисел, например меньшее. Обозначим его буквой х. Тогда большее число будет равно х + 26. Запишем их сумму: х + (х + 26). А нам известно, что эта сумма равна 100. Вот и уравнение получилось: х + (х + 26)= 100.
Применяя сочетательный закон и заменяя затем сумму х + х произведением х-2, получаем цепочку равенств х +
+ (х + 26) = (х + х) + 26 = х-2 + 26= 100. Находим первое слагаемое: х*2=100— 26 = 74. Теперь находим неизвестный множитель.
Найдите, чему равно х. Какие числа были задуманы?
Фокус. Клоун предложил каждому из публики задумать число- Потом он сказал: «Прибавьте к задуманному числу 5. Теперь из результата вычтите 2. Теперь к результату прибавьте 7». Потом клоун спросил у желающих, какое число получилось. Услышав ответ, он немедленно объявлял каждому, какое число тот задумал.
Хотите научиться показывать такие фокусы? Делать это очень просто, если знаешь уравнения. Мы сейчас объясним. Слева мы записываем задания «фокусника», а справа — выражения, которые он мысленно при этом представляет.
Задумайте число.
Прибавьте к нему число 5.
Из результата вычтите 2.
К результату прибавьте 7. Скажите ваш результат.
Обозначаю его буквой х.
Получается число %4-5.
Получается число (х + 5) —2.
Получается ((х + 5) — 2)4-7.
Приравнивая составленное выражение ((* + 5) — 2)+ 7 к названному числу, получаю уравнение.
Если, например, получилось число 13, то уравнение выглядит так: ((* + 5)— 2)+7= 13. Чтобы быстрее решить его, упростим левую часть, воспользовавшись свойствами сложения и вычитания:
(х + 5)-2 = х + (5-2)=х + 3;
((х+5)-2) + 7 = (х + 3)+7 = х + (3 + 7) = х+ 10.
Объясните, какие свойства использовались.
Уравнение теперь получилось совсем простое: 10 =
= 13.
Какое число задумано?
Теперь вы и сами можете придумывать похожие математические фокусы.
Задания
V39J. Задуманы два числа, одно из которых на 38 мень-ше, чем другое. Их сумма равна 111. Какие числа были задуманы?
39.2. Задуманы два числа, сумма которых равна 315, а разность 57. Какие числа задуманы?
39.3. Задуманы три числа. Второе число на 17 больше, чем первое, а третье — на 25 больше, чем второе. Сумма всех трех чисел равна 236. Какие числа задуманы?
39.4. (У) Какое число было задумано, если в фокусе из объяснительного текста получился результат: а) 27; б) ИЗ; в) 10?
39.5. Клоун показал другой фокус: «Задумайте число. Прибавьте к нему 12, затем вычтите 7. К результату прибавьте 8. Скажите, сколько получилось». Какое число было задумано, если в ответе получилось: а) 16; б) 27; в) 13?
39.6. Вот еще один фокус клоуна: «Задумайте число. Удвойте его. Прибавьте к результату 7, а затем вычтите 4. Скажите получившееся число». Какое число было задумано, если в ответе получилось: а) 9; б) 77; в) 3?
39.7. И еще один фокус: «Задумайте число. Прибавьте к нему 11, затем вычтите 6. К результату прибавьте то число, которое задумали. Скажите, сколько получилось». Какое число было задумано, если в ответе получилось: а) 11; б) 87; в) 5?
39.8. Придумайте сами математический фокус, похожий на фокусы 39.5—39.7, и покажите его соседу по парте. Смогли ли вы угадать, какое число он задумал?
урок 40 Учимся рассуждать при решении задач.
Как уравнение помогает решить задачу
Младший брат Смекалкина прочитал на бутылке с вишневым сиропом, что его нужно разбавлять водой: на 1 часть сиропа рекомендуется 5 частей воды. Решив приготовить один стакан вишневого напитка, он, не подумав, отмерил в стакан 6 столовых ложек сиропа и долил воду. Но напиток оказался слишком сладким — пить его было просто невозможно. Вот какой конфуз получился!
Видя неудачу брата, Смекалкин сказал: «Прежде чем готовить, надо было все рассчитать. Ведь в стакан вмещается 18 ложек жидкости. Значит, ты долил только 12 ложек воды. Поэтому воды оказалось не в 5 раз больше, чем сиропа, а лишь в 2 раза». Затем Смекалкин что-то подсчитал в уме и сообщил, сколько ложек сиропа нужно было взять для решения задачи. «Как ты узнал?» — удивился младший брат. «Я составил уравнение и решил его»,— ответил Смекалкин. «А как ты его составил?» Смекалкой объяснил.
Давайте порассуждаем, как здесь составить уравнение. Начнем с того, что обозначим буквой х необходимое число ложек сиропа.
Сколько тогда должно быть ложек воды?
А всего сколько получится ложек напитка?
Сколько ложек жидкости вмещается в стакан?
Как получить уравнение?
В 5 раз больше, т. е. х-5 (ложек).
х ложек сиропа, да еще х-5 ложек воды, всего х + х-5 (ложек).
По условию 18 ложек.
Приравнять выражение х + + х-5 к 18.
Вот и уравнение получилось: x-J-x-5==l8.
Решите его. Ответьте, сколько ложек сиропа должен был налить в стакан младший брат.
Задания
40.1. Смекалкин решил приготовить яблочно-грушевый
J напиток. На 1 часть яблочного сока он берет 2 части грушевого сока. В стакан вмещается 18 ложек жидкости. Сколько ложек каждого сока нужно взять, чтобы приготовить один стакан напитка?
40.2. На опытном участке площадью 1500 кв. м юннаты хотят посадить морковь и капусту. Под капусту решено выделить в 3 раза больше площади, чем под морковь. Какая площадь выделена под морковь и какая под капусту?
40.3. В магазин привезли 20 т картофеля, который загрузили в два бункера. В один бункер входит в 4 раза больше картофеля, чем в другой. Сколько картофеля в каждом бункере?
40.4. Задуманы два числа, одно из которых в 6 раз больше другого. Какие числа задуманы, если их сумма равна 84?
40.5. Задуманы два числа, одно из которых в 5 раз больше другого. Какие числа задуманы, если их разность равна 56?
40.6. Задуманы два числа. Их сумма равна 48, а частное при делении одного на другое равно 3. Какие числа задуманы?
40.7. Задуманы два числа. Их разность равна 234, а частное при делении большего числа на меньшее равно 10. Какие числа задуманы?
40.8. а) Отрезок длиной 24 см нужно разделить на две части так, чтобы одна из них была в 2 раза больше другой. Какую длину имеют эти части?
б) Измерьте отрезок АВ на рисунке 35, а затем отметьте на нем точку С так, чтобы отрезок АС был в 3 раза длиннее отрезка СВ.
Рис. 35
40.9. Периметр прямоугольника равен 40 см, а его длина в 3 раза больше ширины. Найдите длину и ширину прямоугольника.
40.10. Одно число больше другого на 324, или в 7 раз. Найдите эти числа.
40.11. На пути от школы до дома, где живет Игорь, находится магазин. Расстояние от школы до магазина в 2 раза больше расстояния от магазина до дома. Путь от школы до дома Игорь обычно проходит за 9 мин. Представьте, что он вышел из школы, когда до начала перерыва в магазине осталось: а) 4 мин; б) 7 мин. Успеет ли Игорь зайти в магазин до перерыва, если будет идти со своей обычной скоростью?
Урок 41
Задания на повторение к § 4
Мы заканчиваем § 4. Сейчас можно было бы повторить объяснительный текст из урока 11. Перечитайте этот текст!
Г 41.1. (У) На грузовик с прицепом погрузили 3 кон-
и тейнера. На сам грузовик — контейнеры массой 3827 кг и
1264 кг, а в прицеп — контейнер массой 2473 кг. Затем контейнер массой 1264 кг перегрузили в прицеп. Что означают выражения (3827+1264)4-2473 и 3827+ (1264+ 2473)? Какой вывод можно сделать?
41.2. Упростите выражение и вычислите его значение: а) 5*% + л>7 при х = 40; 141; 6446;
б) с-42-31.с при с=15; 125; 5725;
в) в-а + Э-а+Ю-а при а = 23; 247; 756.
41.3. (У) Найдите значение выражения:
а) 5.а + 5-6, если а + & = 30;
б) 7*6 — 7-с, если 6 — с—11;
125 (Урок 41)
в) 4-%+y-4, если х-\-у— 15;
г) 11-х — г/-11, если х — у = 8.
41.4. Решите уравнение:
а) 3-х + х-5= 1216; в) х-17 4-5-х —42 = 200;
б) 7-г/ — £/-2 = 8315; г) г/-48 — 13• г/+ 71 = 701.
41.5. а) Найдите три числа, сумма которых равна 222, если второе число в 2 раза больше первого, а третье — в 3 раза больше первого.
б) Найдите три числа, сумма которых равна 777, если второе число в 2 раза больше первого, а третье — в 4 раза больше первого.
в) Найдите три числа, сумма которых равна 333, если второе число в 2 раза больше первого, а третье — в 3 раза больше второго.
г) Найдите три числа, сумма которых равна 111 111, если первое число в 2 раза меньше второго, а третье — в 2 раза больше второго.
41.6. а) Отрезок AD длиной 35 см нужно разделить на три части точками В и С так, чтобы отрезок ВС был в 2 раза длиннее отрезка АВ, а отрезок CD — в 4 раза длиннее, чем АВ. Какую длину имеет каждая из этих частей?
б) Измерьте отрезок AD на рисунке 36, а затем отметьте на нем точки В и С так, чтобы отрезок ВС был в 2 раза короче отрезка АВ и в 2 раза длиннее отрезка CD.
Рис. 36
41.7. Площадь Азербайджанской ССР 86 600 кв. км, Армянской ССР 29 800 кв. км, Грузинской ССР 69 700 кв. км. Какова общая площадь Советских Закавказских республик?
41.8. В 1986 г. в нашей стране железнодорожным транспортом перевезено 4078 млн. т грузов, морским транспортом — 249 млн. т, а автомобильным — 26 345 млн. т. Сколько всего перевезено тонн?
41.9. На отрезке AD отмечены точки В и С, как показано на рисунке 37.
Д
*
Рис. 37
а) Отрезок AD имеет длину 48 см, отрезок АС — длину 32 см, а отрезок ВС — длину 17 см. Какова длина отрезка BD?
б) Отрезок AD имеет длину 2 м 7 см, отрезок АС — длину 93 см, а отрезок BD — длину 1 м 38 см. Какова длина отрезка ВС?
(Урок 41) 116
в) Составьте задачу, обратную задаче из пункта а), в которой требуется найти длину отрезка AD. Решите ее, составив числовое выражение.
г) Составьте задачу, обратную задаче из пункта б), в которой требуется найти длину отрезка AD. Решите ее, составив числовое выражение.
41.10. У Миши в коллекции было 424 марки в двух альбомах. Один альбом Миша решил подарить Оле на день рождения. Оля обрадовалась: теперь у нее стало 284 марки. Миша и Оля сосчитали, сколько марок у них вместе: оказалось 527. Сколько марок Миша подарил Оле?
41.11. В комнате паркетный пол надо выложить прямоугольными плитками длиной 25 см и шириной 15 см. Сколько плиток нужно взять, если длина комнаты 5 м 10 см, а ширина 3 м 50 см?
41.12. Эскалатор в метро движется со скоростью 32 м/мин. Длина эскалатора 96 м.
а) За какое время пассажир, стоящий на эскалаторе, спустится к поезду?
б) Пассажир, чтобы быстрее спуститься, идет по эскалатору со скоростью 16 м/мин. За какое время спустится этот пассажир?
в) Помните старика Хоттабыча из известной книги? Когда он впервые попал в метро, то бросился бежать вверх по спускающемуся вниз эскалатору. Скорость, с которой бежит Хоттабыч, 48 м/мин. Через какое время он добежит до верха эскалатора?
41.13. а) Рассмотрите ряд чисел: 10, 20, Можно сказать, что это ряд десятков. Hai
(семь-восемь) следующих чисел этого ряда. Укажите три свойства ряда десятков, похожие на свойства натурального ряда; с какого числа он начинается; на сколько в нем каждое последующее число больше предыдущего; бесконечен ли он.
б) А вот ряд сотен: 100, 200, 300, 400, 500, ... . Напишите несколько его следующих чисел. Какие три свойства этого ряда, похожие на свойства натурального ряда, можно указать?
в) Так же можно составить и ряд тысяч. Напишите несколько первых чисел этого ряда. Укажите три его свойства, похожие на свойства натурального ряда.
41.14. (У) Рассмотрите ряд чисел: 1, 4, 7, 10, 13.Легко указать правило,
по которому идут в нем числа. Он начинается с числа 1, а из последующих чисел каждое на 3 больше предыдущего.
Л в ряде 2, 20, 200, 2000, ... числа идут по такому правилу: он начинается с числа 2, а каждое последующее число в 10 раз больше предыдущего. По-другому можно сказать, что запись каждого следующего числа получается приписыванием нуля справа.
Скажите, по какому правилу идут числа в следующих рядах:
а) 2. 5, 8, 11, 14, ...; в) 3, 33, 333, 3333. ...;
б) 1.5, 9, 13. 17, ...; г) 3» 30, 300, 3000, ...
30, 40, 50, ... . шште несколько
127 (Урок 42)
§ 5. ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Сложение и умножение отличаются от вычитания и деления вот каким примечательным свойством. Когда складываешь или умножаешь натуральные числа, можно не беспокоиться: результат всегда будет натуральным числом. А вот с вычитанием и делением дело обстоит иначе. Не всегда найдется натуральное число, равное разности или частному данных натуральных чисел.
Как узнать, когда разность будет натуральным числом? Ответ здесь прост: когда уменьшаемое больше вычитаемого. А это легко определить и не выполняя вычитания: ведь сравнивать натуральные числа вы умеете. С делением же все не так просто. В этом параграфе мы научим вас легко определять, делится или не делится данное натуральное число на числа 2, 3, 5, 9, Ю. Кроме того, обсудим, когда при решении задач может пригодиться деление с остатком.
Урок 42 на что похож натуральный ряд
Чтобы было интереснее изучать натуральный ряд, давайте представим, на что он похож. Можно представить, что натуральный ряд — это бесконечная прямая дорога, на которой расставлены метки. На больших дорогах, идущих от крупных городов, обычно стоят столбы, которые отмечают по порядку километры. Ну, а у нас вместо километровых столбов будут метки — натуральные числа. На обычной дороге расстояние между соседними столбами I км. У нас никаких километров, конечно, нет, но про удаленность натуральных чисел друг от друга говорить можно. Например, соседние числа удалены друг от друга на 1 (на одну единицу). Числа 1 и 3 удалены друг от друга на 2. Числа 17 и 19, 20 и 18, 20 и 22 также удалены друг от друга на 2.
Придумайте еще несколько примеров чисел, удаленных друг от друга на 2.
Числа 1 и 4, 30 и 33, 36 и 33 удалены друг от друга на 3.
Придумайте примеры чисел, удаленных друг от друга на 3.
Легко догадаться, как узнать, на сколько удалены друг от друга два данных числа: нужно из большего вычесть меньшее.
(Урок 42) 128
Давайте применим это правило для решения следующей задачи:
Задача. Оля живет на 6-м этаже, а Катя — в том же подъезде на 11-м этаже. На сколько этажей выше живет Катя?
Каждый сразу решит эту задачу. А ведь в ней как раз и говорится про удаленность чисел 6 и 11 в натуральном ряде. Эти числа удалены друг от друга на 5.
Я вот что придумал: натуральный ряд похож не только на бесконечную дорогу, но и на лестницу, идущую в небо без конца. Правда? А еще он похож на бесконечную линейку.
Да. Это удачные картины. Особенно бесконечная линейка: такая линейка пригодится нам позднее, в 6-м классе.
Вопросы и задания
4^ 42.1. Что значит, что два числа удалены друг от друга
f в натуральном ряде на 4; на 7; на данное число? Придумайте примеры чисел, удаленных друг от друга на 6, на 10, на 100.
42.2. Как узнать, на сколько удалены друг от друга в натуральном ряде два числа? На сколько удалены друг от друга в натуральном ряде числа 6 и 11; числа 117 и 203?
Т42.3. а) В натуральном ряде число 238 стоит между числами 139 и 339. От какого из них оно дальше?
б) Туристы вышли из леса на шоссе неподалеку от
километрового столба с отметкой 249 и решили пойти на ближайшую автобусную остановку. Руководитель группы посмотрел на план местности и сказал, что автобусные остановки расположены на 246-м и 251-м километрах. Куда пойдут туристы?
42.4. а) На сколько число 172 удалено в натуральном ряде от числа 123? Какое еще число удалено от числа 123 на столько же?
б) Какое число в натуральном ряде удалено от числа 48 на столько же, на сколько удалено от него число 33?
42.5. Один толстяк, весивший 110 кг, серьезно решил похудеть. Он стал соблюдать строгую диету и усиленно заниматься спортом. Через полгода он весил уже 99 кг. В следующие полгода он похудел на столько же килограммов, на сколько в предыдущие, а) Сколько стал весить толстяк через год? б) На сколько килограммов он похудел за год?
42.6. а) Рядом с автобусной остановкой у деревни Сосновки стоит километровый столб, на котором написано 115. Это означает, что от города до Сосновки 115 км. А на столбе у Ольховки написано 143. Какое расстояние от Сосновки до Ольховки? б) За Ольхов-кой идет село Кедровое. Автобусная остановка у Ольховки одина-
ково удалена и от Сосновки, и от Кедрового. Какой километровый столб стоит у остановки села Кедрового? в) Какое расстояние от Сосновки до Кедрового?
42.7. (У) а) В натуральном ряде число 7 одинаково удалено от чисел 2 и 12. Проверьте это. На сколько удалено число 7 от чисел 2 и 12? б)* Какое число одинаково удалено от чисел 7 и 13?
42.8. В натуральном ряде у каждого числа, кроме первого, имеются два соседних: число, ему предшествующее, и число, за ним следующее. Например, соседи числа 21 — это 20 и 22. Каковы в натуральном ряде соседи чисел: а) 136; б) 299; в) 3000; г) 52 011? Если п обозначает число, большее 1, то как должны быть обозначены числа, соседние с ним в натуральном ряде?
42.9. Заполните пустые клетки в таблице:
п — 1 12 89 998
п 13 24 110
п 4-1 14 256 2101
42.10. а) (У) Буквой п обозначено натуральное число, большее 4. Чему равны числа, удаленные от п на 2? А на 3?
б) Чему равны числа, удаленные от п на 2, если п обозначает число 8; 212; 1001; 159 999? Решение запишите в виде таблицы, похожей на таблицу из задачи 42.9.
в) Чему равны числа, удаленные от 1 000 000 на п, если п обозначает число 8; 212; 1001; 159 999?
42.11. Нарисуйте на клетчатой бумаге такой же отрезок, как на рисунке 38. Поставьте на этом отрезке: а) точку, расположенную ближе к концу А, чем к концу В; б) точку, расположенную ближе к концу В, чем к концу А; в) точку, одинаково удаленную от концов Л и В.
Рис. 38
5 Учсбник-собсседкик
Урок
43 Знакомимся с четными и нечетными числами
Представьте, что сказочный волшебник отправился «в поход» по натуральному ряду. Сделав первый шаг, он наступил левой ногой на число 1, вторым шагом наступил правой ногой на число 2. Затем левой — на число 3, правой — на 4 и т. д. Какой ряд чисел пройдет правая нога волшебника? Представить это нетрудно:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ... .
Это, конечно, не натуральный ряд, но легко указать, по какому правилу идут в нем числа: он начинается с числа 2, а из последующих чисел в нем каждое на 2 больше предыдущего. Многоточие, как обычно, означает, что он бесконечен.
Легко увидеть, что каждое число в этом ряде делится на 2.
Действительно, выберем какое-то число п, на которое волшебник наступил правой ногой. Чтобы дойти до л, ему пришлось сделать одинаковое число шагов левой и правой ногой. (Например, до числа 34 он сделал всего 34 шага: 17 левой ногой и 17 правой.) Всего он сделал п шагов. Это в 2 раза больше, чем число шагов только правой или левой ногой. Значит, п делится на 2.
НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО НАЗЫВАЕТСЯ ЧЕТНЫМ, ЕСЛИ ОНО ДЕЛИТСЯ НА 2.
Так что правой ногой волшебник пройдет ряд четных чисел.
А какой ряд пройдет его левая нога? Вот он:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... .
В этом ряде любое число не делится на 2.
НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО НАЗЫВАЕТСЯ НЕЧЕТНЫМ, ЕСЛИ ОНО НЕ ДЕЛИТСЯ НА 2.
Так что левая нога волшебника пройдет ряд нечетных чисел.
Укажите, по какому правилу идут в нем числа.
Чтобы определить, будет число четным или нечетным, надо выяснить, делится ли оно на 2.
Скажите, четным или нечетным является число: а) 218; б) 7017; в) 35 194. Интересно, за сколько секунд или минут удалось вам ответить на эти вопросы?
На самом деле на любой такой вопрос каждый ученик скоро сможет отвечать всего за одну секунду! Как этому научиться, мы расскажем в уроке 45.
Если между числами ряда нечетных чисел вставить числа ряда четных чисел так, как это показано ниже:
С । 3» । 5, । 7, । 9, II, । ...,
2, 4, 6, 8, 10, 12, ... ,
то получится как раз натуральный ряд. Представили? Так что мы обнаружили такое свойство:
В НАТУРАЛЬНОМ РЯДЕ ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ЧИСЛА ЧЕРЕДУЮТСЯ.
Об этом свойстве натурального ряда можно было также догадаться, если представить, как идет волшебник. Ведь при ходьбе шаги правой и левой ногой чередуются.
Вопросы и задания
4^ 43.1. Что такое четное число? Что такое нечетное
j число?
43.2. Как располагаются в натуральном ряде четные й нечетные числа?
43.3. Представьте, что сказочный волшебник вычеркнул из натурального ряда все четные числа:
1, ?, 3, 4, 5, 0, 7, 0, ... .
Какой ряд чисел остался? Какой ряд останется, если из натурального ряда вычеркнуть все нечетные числа?
43.4. На сколько удалены друг от друга соседние числа в ряде четных чисел? А в ряде нечетных чисел?
V43.5. Бесконечный ряд чисел начинается с числа 2, а из последующих чисел в нем каждое на 2 больше предыдущего. Напишите несколько первых чисел этого ряда. Какой это ряд чисел?
43.6. Даны числа: 42, 58, 73, 306, 117, 1017, 250, 99. Выпишите из них отдельно четные числа, отдельно нечетные.
43.7. а) Выпишите по порядку 10 чисел натурального ряда, начиная с числа 45. Подчеркните нечетные. Сколько среди написанных чисел четных и сколько нечетных?
б) Выберите сами какое-нибудь натуральное число и, начиная с него, снова выпишите 10 последовательных чисел. Сколько среди них четных чисел и сколько нечетных?
в) Вообще что можно сказать о количестве четных и нечетных чисел среди 10 идущих подряд натуральных чисел? Подумайте, как можно объяснить свой ответ.
43.8. Вычислите значение числового выражения и определите, является ли это значение четным или нечетным числом:
а) 23-(45б + 789)- 10 101; в) (2424+ 4242):(42+ 24);
б) 54321-(1234 + 56-789); г) (6798 + 7986): (976 - 888).
43.9. (У) а) Если буква п обозначает какое-то четное число, то каким будет число п+1 —четным или нечетным? А п + 2? А п + 3?
б) Ответьте на те же вопросы, если п — нечетное число.
43.10. Ученики 5-го А класса решили посадить деревья в честь Дня Конституции СССР и предложили 5-му Б классу тоже принять в этом участие. Школьники договорились, что каждый посадит по одному дереву. В 5-м А 28 учеников. В 5-м Б на 3 ученика больше. Сколько саженцев надо приготовить для посадки? Можно ли их посадить по двум сторонам аллеи так, чтобы с каждой стороны деревьев было поровну?
43.11. Ребята двух домов договорились играть в футбол. Из одного дома пришли 13 человек, из другого — на 4 меньше. Могут ли они разделиться на две команды так, чтобы в обеих командах было одинаковое число игроков? А если один из них захочет быть судьей, то удастся ли остальным игрокам разделиться поровну?
43.12. (У) Посмотрите на рисунок 39 и ответьте, не подсчитывая количество машин: в какой автоколонне количество машин четно, а в какой нечетно?
Рис. 39
43.13. Номера домов на улице обычно идут так. Если двигаться от меньших номеров к большим, то на левой стороне будут нечетные номера, на правой — четные. Витя, Гриша и Дима живут на одной улице: Витя в доме № 17, Гриша в доме № 54, Дима в доме № 103.
а) Витя отправился в гости к Грише. Придется ли ему перехо-
почта и тир?
дить на другую сторону улицы? А если Витя пойдет в гости к Диме? А если Дима.— к Грише?
б) В доме, соседнем с Витиным и имеющем больший номер, находится аптека. В доме, соседнем с Гришиным домом и имеющем больший номер,— почта. В доме, соседнем с Диминым домом и имеющем меньший номер,— тир. Какие номера имеют дома, в которых находятся аптека,
43.14. Две самые главные газеты в нашей стране называются «Правда» и «Известия». Они выходят ежедневно. У «Известий» есть приложение — газета «Неделя», выходящая раз в неделю. Ее выпуски содержат либо 16, либо 24 страницы. 1-й номер выходит на 24 страницах, 2-й — на 16, 3-й — снова на 24 и т. д. Столько страниц содержит 39-й номер «Недели»; 43-й; 46-й; 50-й? (Совет: не перебирать номер за номером, а использовать свойства четных и нечетных чисел.)
43.15. В школе работают два ночных сторожа: Андрей Иванович и Борис Иванович. Сторожа дежурят с вечера до утра, их дежурства чередуются. 1 сентября на дежурство заступил Андрей Иванович, 2 сентября — Борис Иванович и т. д.
а) Чья очередь будет заступать на дежурство 16 сентября; 30 сентября; 1 октября; 8 октября; 30 октября? (Совет: не перебирать дату за датой, а опять использовать свойства четных и нечетных чисел.)
б) Вообще по каким числам — четным или нечетным — в сентябре и октябре заступает на дежурство Андрей Иванович? А Борис Иванович?
43.16. В предыдущей задаче рассказывалось о школьных сторожах Андрее Ивановиче и Борисе Ивановиче. Определите теперь, кто из них заступит на дежурство 31 октября. Чья очередь будет заступать на дежурство 1 ноября, 7 ноября, 30 ноября, 3 декабря? Кому придется дежурить в ночь под Новый год?
Рис. 40
43.17. Найдите в сантиметрах периметр прямоугольников, изображенных на рисунке 40. Запишите ряд полученных чисел. По какому правилу они идут?
44 Что такое
кратное натурального числа
Говорят, что число а — кратное числа Ь (или, по-другому, кратно числу Ь), если а делится на Ь, Вот несколько кратных числа 6: само число 6, далее 12, 18, 24. А числа 13, 26, 39 кратны числу 13.
Назовите еще по два кратных каждого из чисел 6 и 13, Назовите по три числа, кратных числам 7, 11, 100,
Если а — кратное числа Ь, то можно найти частное а:Ь. Обозначим это частное буквой с. Тогда произведение чисел b и с равно а. Значит, всякое кратное числа b можно получить, умножая b на подходящее натуральное число. Например, те несколько кратных числа 6, которые мы записали выше,— это просто произведения 6-1, 6*2, 6*3, 6-4. Теперь ясно, как находить одно за другим кратные данного числа. Для этого нужно по порядку умножать его на числа натурального ряда.
Давайте найдем таким способом числа, кратные числу 3. Сначала запишем натуральный ряд:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... , а под ним разместим произведения чисел этого ряда на 3:
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ... .
Получился новый ряд — ряд кратных числа 3. Легко сообразить, по какому правилу идут в нем числа. Он начинается с числа 3, а каждое последующее число больше предыдущего на 3. Кроме того, раз натуральный ряд бесконечен, то и ряд кратных числа 3 бесконечен. Так же можно получить ряд кратных любого числа.
Запишите ряд кратных числа 5. С какого числа он начинается? На сколько каждое последующее число в этом ряде больше предыдущего?
Вообще если обозначить натуральное число буквой Ь, то ряд его кратных можно записать так:
6-1, 6*2, 6-3, 6-4, 6-5, &-6, 6-7, Л-8, &*9, ... .
Такой ряд начинается с числа Ь, каждое последующее число в нем больше предыдущего на Ь'9 кроме того, этот ряд бесконечен.
А эти три свойства очень похожи на свойства натурального ряда!
Это неудивительно. Ведь натуральный ряд — это тоже ряд кратных одного натурального числа, а именно числа 1. Вспомните-ка: всякое натуральное число делится на 1; другими словами, всякое натуральное число кратно числу 1. Поэтому ясно, что ряд кратных числа 1 —это попросту натуральный ряд.
Кроме натурального ряда, среди рядов кратных у нас есть еще один старый знакомый. Догадались, о каком ряде идет речь? Конечно же, это ряд четных чисел. Ведь четные числа — это числа, которые делятся на 2, а иначе говоря, числа, кратные числу 2.
Вопросы и задания
4* 44.1. Что такое кратное натурального числа?
Z 44.2. Как записать ряд кратных данного натурального числа Ь? Какими свойствами обладает этот ряд?
44.3. На сколько удалены друг от друга соседние числа в ряде кратных числа 3? А в ряде кратных числа 5?
44.4*. Является ли ряд нечетных чисел рядом кратных какого-нибудь натурального числа? Ответ объясните.
44.5. (У) Для каждого из следующих рядов определи-
те, является ли он рядом кратных, и если да, то какому числу:
а) 4, 8, 12, 16, 20, г) 13, 26, 39, 52, 65,
б) 1, 3, 5, 7, 9, д) 1, 2, 3, 4, 5, 6,
в) 2, 4, 7, 10, 14, е) 3, 6, 9, 15, 18, ... .
44.6. (У) Младший брат Смекалкина решил написать ряд чисел, кратных некоторому числу. Первым он написал число 2, а за ним 7. Смекалкин, не дожидаясь, когда будет написано следующее число, понял, что брат пишет неверно. Объясните, почему это так.
44.7. а) Найдите среди чисел 83, 95, 72, 64, 100, 75, 111, 108, 80 кратные числа 5 и запишите их в порядке возрастания, б) Найдите среди чисел 144, 153, 145, 150, 161, 139, 141, 165, 157 кратные числа 3 и запишите их в порядке убывания.
44.8. Найдите три натуральных числа, для которых кратным будет: а) число 91; б) число 289; в) число 361.
44.9. (У) В классе 28 учеников. На уроках физкультуры они обычно строятся в 2 шеренги. Можно ли построить их: а) в 3 одинаковые шеренги; б) в 4 одинаковые шеренги; в) в 5 одинаковых шеренг; г) в 7 одинаковых шеренг?
44.10. (У) Клоун утверждал, что нет такого числа, ко-hjriC торое было бы кратно числам 3 и 5 одновременно. Публика
смеялась: все видели, что клоун ошибается. Придумайте несколько таких чисел.
44.1 L* Придумайте число, которое: а) кратно числам 7 и 12; б) больше 100 и кратно числам 9 и 11; в) меньше 100 и кратно числам 9 и 12.
урок 45 Признаки делимости на 2, на 5 и на 10
Как узнать, четно число или нечетно? Надо проверить, делится ли оно на 2. Но на самом деле ответ можно дать, не выполняя деления. Стоит только взглянуть на последнюю цифру числа.
Чтобы разобраться в том, как получать ответ, запишем ряд четных чисел:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28.
Обратите внимание на последние цифры этих чисел. Давайте составим из них ряд:
2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8, ....
А теперь запишем ряд нечетных чисел:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, ... .
Снова обратите внимание на последние цифры. Из них получается такой ряд:
1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9, !, 3, 5, 7, ....
Какой вывод можно сделать? Вот какой: всякое четное число оканчивается одной из цифр 2, 4, 6, 8, 0; всякое нечетное число оканчивается одной из цифр 1, 3, 5, 7, 9.
Теперь легко догадаться, как определить, четно число или нечетно. Возьмем, к примеру, число 16 049 355. Его последняя цифра — 5. Может ли четное число оканчиваться цифрой 5? Учитывая только что сделанный вывод, каждый скажет: нет, не может! Значит, число 16 049 355 нечетное. А число 237 986 504 четно?
Г7 Примените сделанный вывод и ответьте на этот
g вопрос.
Можно сформулировать следующее правило:
ЕСЛИ НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО ОКАНЧИВАЕТСЯ
ОДНОЙ ИЗ ЦИФР ?••••’• то ОНО .
1, 3, 5, 7, 9 нечетно
Это правило называют признаком делимости на 2.
<1 А что такое признак?
Признаком называют правило, пользуясь которым можно легко и удобно обнаруживать свойство. Нас интересовало свойство, будет ли число четным, т. е. делится ли оно на 2. А сформулированное правило позволяет немедленно обнаруживать это. Вот почему его и называют признаком делимости на 2.
Найдем признак делимости на 5. Для этого запишем ряд кратных числа 5:
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, ....
Вы уже писали его в уроке 44. Видно, что он состоит из всех таких чисел, которые оканчиваются цифрой 5 или цифрой 0. Значит, можно сформулировать такой признак делимости на 5:
ЕСЛИ НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО ОКАНЧИВАЕТСЯ цифрой 0 или цифрой 5 любой цифрой, кроме 0 и о
ТО ОНО . НА 5.
не делится
С помощью признака делимости на 5 можно узнать, не выполняя деления, что, например, число 366 625 на 5 делится, а число 8 623 451 на 5 не делится.
Теперь будем искать признак делимости на 10. Легко догадаться, что и здесь надо записать ряд кратных числа 10.
Запишите этот ряд.
Посмотрите: вы уже встречались с ним, выполняя задание 41.13,
Обратите внимание на последнюю цифру у чисел этого ряда. Какой вывод можно сделать?
ЕСЛИ НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО ОКАНЧИВАЕТСЯ цифрой 0 любой цифрой, кроме О'
ТО ОНО ..^Л-И.Т5”.. НА 10. не делится
Вот признак делимости на 10 и найден! Применяя его, можно, например, сразу сказать, что число 108 360 на 10 делится, а число 1 234 567 на 10 не делится.
Вопросы и задания
45.1. Какими цифрами могут оканчиваться четные числа; нечетные числа?
(Урок 45) 138
45.2. Как, не выполняя деления, определить, четно данное число или нечетно?
45.3. Как, не выполняя деления, определить, делится ли данное число на 5; на 10?
W 45.4. (У) Определите, четно или нечетно число:
i а) 84371; б) 195 764; в) 617628; г) ill 111;
д) 123 456 789; е) 1000.
45.5. В следующих таблицах заполните пустые клетки и рядом с каждым четным числом поставьте букву «ч», а рядом с каждым нечетным — букву «н», как это сделано во вторых строчках таблиц:
Слагаемое Слагаемое Сумма
145 н 236 ч 381 н
1034 2598
4560 7113
5619 6548
1357 1579
Уменьшаемое Вычитаемое Разность
769 н 616 ч 153 н
3022 2984
9782 8999
10 351 9888
4861 3867
Множитель Множитель Произведение
91 н 11 н 1001 и
45 114
934 101
156 3002
317 —гт - 243 L - -- - -
Делимое Делитель Частное
1024 ч 64 ч 16 ч
10 800 144
9633 79
1353 123
10 404 102
Какие выводы можно сделать?
45.6. (У) Может ли нечетное число делиться на четное число? Ответ объясните.
45.7. Из 8 спичек можно выложить только два разных прямоугольника. а) Сколько разных прямоугольников можно выложить из 10 спичек? Нарисуйте их. б) Можно ли выложить прямоугольник из 9 спичек?
45.8. (У) Какие из чисел 1256, 10 860, 2725, 12 345, 10 000, 141 987, 62 448 делятся: а) на 2; б) на 5; в) на 10?
45.9. Игорь пошел в магазин за продуктами. Когдгз он стал платить за покупки, то увидел, что у него в кошельке только 5-копеечные и 10-копеечные монеты. Сможет ли Игорь уплатить ими без сдачи за: а) 6 кг картошки по 12 к. за 1 кг; б) 4 бутылки молока по 30 к. за бутылку; в) полкило сахара по 90 к. за 1 кг?
45.10. (У) Какой цифрой оканчивается четное число, которое делится на 5? Какому числу обязательно кратно такое число?
45.11. (У) а) Клоун предложил публике загадку: «Я за-думал число, которое делится на 10 и не делится на 2. Ка-кое число я задумал?» Публика смеялась: всем было ясно, что числа с таким свойством нет. Объясните почему, б) Клоун предложил другую загадку: «Я задумал число, которое делится на 10 и не делится на 5. Какое число я задумал?» Что вы можете сказать об этой загадке?
45.12. а) Напишите ряд кратных числа 100. Обратите внимание на две последние цифры чисел этого ряда. Сформулируйте признак делимости на 100.
б) Напишите ряд кратных числа 25. Обратите внимание на две последние цифры чисел этого ряда. Сформулируйте признак делимости на 25.
урок 46 Признаки делимости на 9 и на 3
Задумаемся, почему делимость числа на 2, на 5 и на 10 зависит только от его последней цифры. Оказывается, все дело здесь в нашей десятичной нумерации. Ведь если представить число в виде суммы разрядных слагаемых (например, 25 176 = 20 0004-5000-F 1004’704-6), то сразу видно, что и его десятки, и его сотни, и его тысячи и т. д. делятся и на 2, и на 5, и на 10. Если еще и единицы числа делятся, скажем, на 2, то и все число будет четным. Поэтому четность числа зависит только от его последней цифры. Точно так же можно объяснить и признаки делимости на 5 и на 10.
А можно ли по последней цифре числа узнать, делится ли оно на 9?
Конечно, нет! Например, число 63 делится на 9, а число 13 не делится. А кончаются оба эти числа на одну и ту же цифру.
Верное наблюдение. Оно показывает, что лишь по последней цифре не определить, делится ли число на 9. Приходится искать какие-то другие свойства чисел, кратных 9. Чтобы обнаружить эти свойства, рассмотрим такую задачу:
Задача. В районе 9 школ. Их директора договорились распределить поровну все поступающие в район школьные учебники. Удастся ли разделить поровну между этими школами 837 новых учебников математики?
Решить задачу нам снова поможет десятичная нумерация. Представим число 837 в виде суммы разрядных слагаемых: 837 = 800 4-30 4-7. Из каждой сотни учебников возьмем по 99 книг. Их разделить легко — отправить в каждую школу по 11 учебников. После этого от 8 сотен
учебников останется 8 книг. Теперь из каждого десятка учебников возьмем по 9 книг и отправим их по одной в каждую школу. От 3 десятков учебников останется 3 книги. Всего останутся нераспределенными 8 + 3 + 7 (книг). Если их можно разделить между школами поровну, то и все 837 учебников будут разделены поровну. Но 8 + 3 + 7=18, а число 18 кратно 9. Значит, все учебники можно поровну разделить между школами.
Обдумывая решение этой задачи, мы видим, что делимость числа на 9 зависит от суммы числа его единиц, числа его десятков, числа его сотен и т. д.
То есть от суммы цифр?
Складывают, конечно, числа, а не цифры. Но каждая цифра обозначает число разрядных единиц. Договариваются ради краткости называть сумму этих чисел суммой цифр данного числа.
Итак, сумма цифр числа 837 равна 18 и делится на 9. Поэтому и все число 837 можно разделить на 9. А вот если бы учебников в задаче было 3265, то, разделив 999 книг из каждой тысячи, 99 — из каждой сотни и 9 -из каждого десятка, мы бы увидели, что остается 3 + + 2 + 6+5=16 (книг). Число 16 на 9 не делится, значит, и 3265 разделить на 9 нельзя. Итак,
ЕСЛИ СУММА ЦИФР ЧИСЛА ..^ли.тс.я.. НА 9, не делится
ТО И САМО ЧИСЛО • НА 9.
не делится
Вот и получился признак делимости на 9. Пользуясь им, легко проверить, например, что число 16 352 604 де-—- лится на 9, так как сумма его цифр равна 27. А вот число
\] л. 224 103 на 9 не делится, так как на 9 не делится сумма его о цифр (проверьте!).
Делимость числа на 3, так же как и его делимость на 9, зависит от суммы цифр этого числа. Поэтому и признак делимости на 3 очень похож на найденный выше признак делимости на 9:
ЕСЛИ СУММА ЦИФР ЧИСЛА ••^л-и.т.ся. НА 3, не делится
ТО И САМО ЧИСЛО .^л-и-тся... НА 3.
не делится
Например числа 16 352 604 и 224 103 делятся на 3, так как на 3 делятся суммы их цифр 27 и 12. Число 963 241 на 3 не делится, потому что сумма его цифр не делится на 3 (проверьте/).
Вопросы и задания
46.1. Как, не выполняя деления, определить, делится * ли данное число на 9; на 3?
" 46.2. Делится ли на 9 число: а) 6237; б) 22 445;
в) 123 456; г) 999 999 999; д) 111 111 111 111?
46.3. Делится ли на 3 число: а) 1428; б) 6591; в) 222 333;
г) 108 902 703; д) 1 000 000 000?
V 46.4. а) Заполните пустые клетки таблицы словами
2 «да» или «нет» по образцу второго столбца:
Число 15 21G 3275 82 314 27 501 10 101 3333
Делится ли на 3 Да
Делится ли на 9 Нет
б)* (У) Посмотрите, встречаются ли в таблице числа, кратные 3, но не кратные 9; числа, кратные 9, но не кратные 3. Какие два вывода можно сделать?
46.5. Напишите на листочке шесть четырехзначных чисел, три из которых делятся на 3, а остальные не делятся на 3. Предложите соседу по парте определить, какие из них делятся на 3. Проверьте, правильно ли он выполнил задание.
46.6. Выпишите из натурального ряда:
а) все числа, кратные 3 и расположенные между числами 623 и 650; б) все числа, кратные 9 и расположенные между 1000 и 1030.
46.7. а) Из чисел 98; 69; 73; 105; 118; 1023; 251; 162 выпишите числа, кратные 3, и расположите их в порядке возрастания, б) Из чисел 6; 72; 180; 217; 921; 1008; 961; 351; 543; 999 выпишите числа, кратные 9, и расположите их в порядке убывания.
46.8. Три поросенка Ниф-Ниф, Наф-Наф и Нуф-Нуф собрали в лесу желуди и решили разделить их поровну.
а) (У) Ниф-Ниф собрал 100 желудей, Наф-Наф — 88, Нуф-Нуф — 127. Удастся ли поросятам разделить желуди поровну? б) Ответьте на тот же вопрос, если Ниф-Ниф собрал 137 желудей,
Наф-Наф — на 46 желудей меньше, а Нуф-Нуф — в 2 раза больше, чем Наф-Наф.
46.9. (Загадки.) а) Следующие числа делятся на 9, отгадайте в них размазанные цифры: 2350, 4702, 5065, 0711.
б) Младший брат Смекалкина отгадал загадки из пункта а) и захотел придумать похожие загадки. Вот что он придумал: «Восстановите размазанные цифры в следующих числах, делящихся на 3: 350, Ю2, 071». Смекалкин объяснил брату, что его загадки отгадать нельзя, потому что для каждого из этих чисел мож
но указать несколько цифр, с которыми оно будет делиться на 3. Для каждого числа укажите все возможные такие цифры.
46.10. (Загадки.) а) Трехзначное число с 1-й цифрой 1 делится на 9 и на 5, но не делится на 2. Угадайте его. б) Трехзначное число с 1-й цифрой 7 делится на 9, на 5 и на 2. Угадайте его. ^7 46.11*. Клоун придумал такой фокус: «Задумайте дву-
значное число, большее чем 12. Умножьте его на 9 и скажи-те мне 2-ю и 3-ю цифры произведения. А я угадаю 1-ю цифру». Объясните фокус клоуна. Попробуйте сами показать его кому-нибудь.
урок 47 Играем в математические игры
Смекалкин с младшим братом играли в такую игру: Игра 1. 1-й игрок называет число 1. 2-й игрок прибавляет единицу и говорит, сколько получилось. Затем 1-й игрок к названной сумме опять прибавляет 1 и говорит новую сумму и т. д. Выигрывает тот, кто назовет число 10.
Младший брат захотел сделать первый ход.
Как вы думаете, кто тогда выиграл?
Выиграл Смекалкин. И объяснил брату, что в этой игре всегда выигрывает 2-й игрок. Ведь четные и нечетные числа чередуются, поэтому 1-й игрок всегда называет нечетные числа, а 2-й — четные. Число 10 четное, значит, назовет его 2-й игрок.
Какой игрок выиграет в игре 1, если нужно назвать число 13; 30; 100; 1987?
Видите, зная свойства четных и нечетных чисел, можно сразу определить, кто выиграет в такой игре. В других играх могут пригодиться признаки делимости на какие-нибудь другие числа.
Вот игра, где используется признак делимости на 3.
Игра 2. 1-й игрок называет число 1 или число 2. 2-й игрок прибавляет к названному числу по своему желанию либо 1, либо 2 и говорит, сколько получилось. Затем 1-й игрок к названной сумме опять прибавляет либо 1, либо 2 по своему желанию и говорит новую сумму и т. д. Выигрывает тот, кто назовет число 30.
Поиграйте в эту игру с кем-нибудь. Побудьте по очереди 1-ми 2-м игроком. Кто у вас выигрывал?
Младший брат играл со Смекалкиным и первым, и вторым, но оба раза проиграл. «Плохо знаешь признак делимости на 3», — сказал Смекалкин. «При чем тут де-
лимость на 3?» — удивился младший брат Смекалкин объяснил, что и в этой игре 2-й игрок всегда может выиграть. Для этого он должен строго придерживаться следующего правила: если 1-й игрок прибавил 1, то прибавлять 2; если 1-й игрок прибавил 2, то прибавлять 1» Тогда легко проследить, что 2-й игрок будет называть вот какой ряд чисел:
3, 6, 9, 12, 15, ....
Что это за ряд чисел? Встретится ли в нем число 30?
Это ряд чисел, кратных 3. Конечно, число 30 в нем встретится. Значит, его назовет 2-й игрок, если будет применять сформулированное правило. Но если он ошибется, 1-й игрок сможет сам называть какое-нибудь из чисел этого ряда и выиграет, действуя далее по тому же правилу. Когда Смекалкин назвал первым ходом число 2, младший брат добавил 2 и получил 4. Смекалкин тут же назвал 6 и затем выиграл.
Как же узнать, встречается ли данное число в этом ряде? Вот тут-то и пригодится признак делимости на 3.
Определите, кто выигрывает в этой игре, если нужно назвать число 72; 111; 207
Задания
47.1. Изменим немного условия игры 1.
• а) Пусть 1-й игрок называет первым ходом не число 1,
а число 2. Кто тогда выиграет, если в игре требуется назвать число 10; 55; 100?
б) 1-му игроку первым ходом разрешается назвать любое двузначное число. Кто тогда выиграет, если в игре требуется назвать 111; 200? Как для этого нужно играть?
47.2. а) На крайней правой клетке полоски клетчатой бумаги стоит фишка (см. рис. 41). За один ход каждому из двух игроков разрешается передвинуть фишку на 1 клетку влево. Проигрывает тот, кому некуда будет ходить. Кто в этой игре выигрывает — 1-й игрок или 2-й, если полоска состоит из 10 клеток; из 25 клеток?
б) На крайних клетках полоски клетчатой бумаги стоят белая и черная фишки (см. рис. 42). 1-й игрок своим ходом передвигает белую фишку на 1 клетку вправо, а 2-й игрок — черную фишку на 1 клетку влево. Прыгать через фишку и ставить две фишки на одну клетку запрещено. Проигрывает тот, кому некуда будет ходить. Кто выигрывает в этой игре— 1-й игрок или 2-й, если полоска состоит из 10 клеток; из 25 клеток?
о •
Рис. 42
Рис. 41
47.3. В кучке 100 камней. За один ход игроку разрешается взять либо 1 камень, либо 3 камня. Из двух игроков выигрывает тот, кому удастся взять последний камень.
а) 1-й игрок первым ходом взял 3 камня. Кто выиграет?
б) 1-й игрок первым ходом взял 1 камень. Кто выиграет?
47.4. а) В игру 1 стали играть три человека. 1-й игрок называет число 1; 2-й игрок прибавляет 1 к числу, названному 1-м игроком; 3-й игрок прибавляет 1 к числу, названному 2-м игроком, наконец, снова 1-й игрок прибавляет 1 к числу, названному 3-м игроком, и т. д. Выигрывает тот, кто назовет число 30. Какой из трех игроков выигрывает в этой игре? (Совет: рассмотрите ряды чисел, которые в этой игре называют 1-й, 2-й и 3-й игроки.)
б) Из кучки камней три игрока по очереди берут по одному камню. Выигрывает тот, кто возьмет последний камень. Какой из трех игроков выигрывает в этой игре, если в кучке 30 камней; 135 камней, 12 345 камней?
в)* Что похожего в решении задач из пунктов а) и б)?
47.5. а) В кучке 120 камней. За один ход разрешается взять либо 1 камень, либо 2 камня. Игроки делают ходы по очереди. Выигрывает тот, кто возьмет последний камень. Какой из двух игроков выигрывает в этой игре? По какому правилу он должен играть?
б) Изменим условие игры из пункта а), разрешив каждому игроку брать по его желанию любое количество камней от 1 до 4 Какой из двух игроков выигрывает в такой игре? По какому правилу он должен играть?
в) Изменим условие игры из пункта а), разрешив каждому игроку брать по его желанию любое количество камней от 1 до 5. Какой из двух игроков выигрывает в такой игре? По какому правилу он должен играть?
Урок 48 Что значит разделить с остатком
Вы знаете, что не всегда одно натуральное число делится на другое. Но всегда можно выполнить деление с остатком. Что значит разделить с остатком? Чтобы ответить на этот вопрос, решим такую задачу:
Задача. Шофер городского автобуса приступил к работе в 7 ч, а обеденный перерыв у него начинается в 12 ч. Один рейс автобуса длится 48 мин. Сколько рейсов успеет сделать шофер до обеда и сколько минут у него останется для осмотра автобуса?
Давайте рассуждать. Всего шофер до обеда проработает 5 ч, т. е. 300 мин. Требуется узнать, сколько рейсов продолжительностью 48 мин будет сделано за это время. Ясно, что нужно разделить 300 на 48. Выполним деление.
Видно, что 300 делится на 48 с остатком: 300 48
в частном получается 6, а в остатке 12. ’”288 6
12
Значит, шофер успеет сделать до обеда 6 рейсов, а на осмотр автобуса останется 12 мин.
Если сложить время, потраченное на 6 рейсов, и время, потраченное на осмотр автобуса, то получится все рабочее время до обеда, т. е. 300 мин: 300 = 48-64-12. Вообще при делении с остатком верно свойство: делимое равно произведению делителя и частного, сложенному с остатком.
Вот примеры:
517 |13
39 39
127
117
10
786 Ц5
~75 52
_36
30
517=13-39 4-10
786=15-52 4-6
Вспомните еще, что остаток всегда меньше делителя.
Два свойства деления с остатком, которые мы сейчас сформулировали, позволяют дать ответ на вопрос, что значит разделить с остатком:
РАЗДЕЛИТЬ С ОСТАТКОМ ЧИСЛО а НА ЧИСЛО b — ЗНАЧИТ НАЙТИ ДВА ТАКИХ ЧИСЛА с И d (ЧАСТНОЕ И ОСТАТОК), ЧТО a = b>c + d И d<b.
Вопросы и задания
48.1. Что значит разделить с остатком одно число на другое?
48.2. Каким равенством связаны делимое, делитель, частное и остаток?
48.3. (У) Найдите делимое, если: а) частное равно 7, остаток равен 3, а делитель — 6; б) частное равно 11, остаток равен 1, а делитель — 9; в) частное равно 20, остаток равен 13, а делитель — 17.
48.4. Заполните пустые клетки таблицы:
Делимое Делитель Частное Остаток
1397 215
72 101 17
ЮЗ 215 1002
326 91 87
20 090 200 90
48.5. (У) а) Напомним, что в Васином классе 28 учеников. Они построились в шеренги. Получилось несколько шеренг из 6 человек и одна неполная шеренга. Сколько получилось полных шеренг и сколько человек в неполной шеренге?
б) Ученики Васиного класса снова построились в шеренги. На этот раз получилось 5 одинаковых полных шеренг и одна неполная. Сколько человек в каждой шеренге? А в неполной?
48.6. (У) а) Бутылка кефира стоит 28 к. У Игоря есть 1 р., и он хочет купить на эти деньги как можно больше кефира. Сколько бутылок кефира он купит и сколько копеек сдачи получит? б) Оля подала за 3 бутылки сливок 2 р. и получила 35 к. сдачи. Сколько стоит одна бутылка сливок? в) Вася купил 2 баночки сметаны по 41 к. и получил 18 к. сдачи. Сколько денег подал Вася продавцу?
48.7. В магазине к перерыву осталось 897 бутылок молока. Сколько в этот момент было полных корзин (по 12 бутылок в каждой) и сколько бутылок молока осталось в неполной корзине?
48.8. а) У Миши в коллекции 243 марки. Он хочет разместить их в кляссеры. В каждый входит 36 марок. Сколько потребуется кляссеров? Ока- ЦЗЙРвУЙЕД жется ли неполный кляссер и сколько в нем будет марок?
б) Правление колхоза решило организовать коллективное посещение городского театра. На спектакль поедут 243 человека. Для поездки нужны автобусы. В каждом автобусе 36 мест. Сколько потребуется автобусов? Окажется ли неполный автобус и сколько в нем будет человек?
в) Обратите внимание на то, как похожи задачи а) и б). Можно сказать, что они имеют одну и ту же схему и одни и те же числа в условии. Придумайте еще похожую задачу.
Урок 49 Учимся рассуждать при решении задач. Когда может пригодиться деление с остатком
Задача 1. Сколько воскресений может быть в году? Вот так задача! А где же у нее условие?
И никаких чисел тут что-то не видно.
Это только на первый взгляд не видно. Если же немного подумать, то и условие с числами появится, и станет ясно, что для решения придется применить деление с остатком.
Давайте рассуждать. Воскресенье бывает I раз в неделю. Значит, надо узнать, сколько в году недель. А как это узнать? Разделить число дней в году на 7. Вот уже
делитель появился. Сколько дней в году? 365 или 366 у (если год високосный). Вот появилось и делимое —
□ 365 или 366. Частное здесь равно 52 (проверьте!), а
остаток — I или 2 в зависимости от того, делим мы 365 или 366. Запишем это равенствами:
365 = 7-52+1,
366 = 7-52 + 2.
Каков же вывод? Полных недель в году 52, это 364 дня, плюс еще 1 или 2 дня. В первых 364 днях 52 воскресенья. Если 365-й или 366-й день — воскресенье, то всего воскресений в году будет 53. Если же это какой-то другой день недели, то их будет 52.
Задача 2. В семье четверо детей: Аня, Боря, Витя, Галя. Каждый день кто-то из них дежурит по дому: поливает цветы, вытирает пыль, выносит мусор и т. п. Дети дежурят по очереди в указанном
порядке. 1 марта дежурит Аня. а) По каким числам в марте будет дежурить Аня? б) Кто будет дежурить 8, 11, 12, 30 марта?
Давайте рассуждать. Для краткости вместо имен детей будем писать только их первые буквы. Тогда график дежурства можно записать такой таблицей:
Числа 1 2 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 • - .
Дежурные А Б В I А Б
и
Заполните в этой таблице пустые клетки во 2-й строке.
Разглядывая таблицу, легко высмотреть правило, по которому дежурят дети.
Для буквы Г числа составляют ряд 4, 8, ... . Это числа, кратные числу 4. Мы узнали числа, по которым дежурит Галя. Для буквы «А» числа составляют ряд 1, 5, 9, ... . Легко догадаться, что это как раз те числа, для которых при делении на 4 получается остаток 1.
Продолжите запись этого ряда и укажите числа, по которым будет дежурить Аня.
Для буквы «Б» числа составляют ряд 2, 6, 10, ... . Лег-ко догадаться, что это как раз те числа, для которых при делении на 4 получится остаток 2. По этим числам дежурит Боря. Осталось определить числа, по которым дежурит Витя.
и □
Напишите ряд чисел для буквы «В». Какой остаток получается при делении этих чисел на 4?
Теперь можно ответить на все вопросы задачи. Как, например, узнать, кто дежурит 30 марта? Для этого вовсе необязательно продолжать таблицу дежурств до числа 30. Есть более простой способ: разделить 30 на 4 и узнать остаток. Он равен 2. Значит, 30 марта дежурит...
и □
Заполните пропуск. Ответьте на остальные вопросы задачи.
р
Задача 3. Юра живет в квартире № 67 пятиэтажного дома. В каждом подъезде на каждом этаже 3 квартиры: в порядке возрастания номеров одна слева, одна посередине, одна справа.
а) В каком подъезде живет Юра?
б) На каком этаже он живет?
в) Где расположена его квартира — слева, справа, посередине?
Давайте рассуждать. Начнем с вопроса а). Сколько подъездов, начиная с l-ro, надо пройти, чтобы попасть в Юрин подъезд? Для этого нужно знать, сколько квартир в каждом подъезде. Такую задачку решит и первоклассник: в подъезде 15 квартир (проверьте!). Делим 67 на 15, получаем частное 4 и остаток 7. Вывод: надо пройти 4 подъезда. Теперь на вопрос а) ответ готов: Юра живет в 5-м подъезде.
Ответим на вопрос б). Остаток 7 показывает, какой по счету будет квартира № 67 в 5-.м подъезде. Сколько этажей надо пройти, чтобы попасть на Юрин этаж? Мы знаем, что на каждом этаже 3 квартиры. Делим 7 на 3, получаем частное 2 и остаток 1. Вывод: надо пройти 2 этажа, и, значит, Юра живет на 3-м этаже.
Осталось ответить на вопрос в). Остаток 1 показывает, что на лестничной площадке Юрина квартира первая по порядку. Значит, она расположена слева.
Видите, как полезно оказалось деление с остатком при решении самых разных задач!
Задания
V 49.1. а) Сколько в текущем году воскресений, чет-
вергов?
б) Какой день недели в текущем году встретится 53 раза?
49.2. а) 1 января 1995 г.— воскресенье. Сколько воскресений будет в 1995 г.? Сколько понедельников?
б) 1 января 2000 г.— суббота. Сколько воскресений будет в 2000 г.? Сколько понедельников? Сколько вторников?
в) Пользуясь данными из б), определите, каким днем недели будет 1 января 2001 г.? Сколько воскресений будет в 2001 г.?
49.3. Перечитайте условие задачи 2 из объяснительного текста. Кто из детей будет дежурить: а) 1 апреля; б) 12 апреля; в) 21 апреля; г) 30 апреля; д) 1 мая?
49.4. Перечитайте условие задачи 3 из объяснительного текста. а) (У) Какой номер имеет квартира, расположенная точно над Юриной квартирой; точно под Юриной квартирой? б) В каком подъезде, на каком этаже и с какой стороны расположена квартира № 25; квартира № 45; квартира № 65? в) Какой номер имеет квартира, расположенная в 3-м подъезде на 4-м этаже посередине; в 4-м подъезде на 3-м этаже справа?
49.5. 1 мая — понедельник. Каким днем недели будет 8 мая, 9 мая, 11 мая, 15 мая, 20 мая, 30 мая, 1 июня?
49.6. Во вторник у учителя математики день методической подготовки, и в этот день он уроки не ведет. В остальные рабочие дни недели у него обязательно есть уроки. 1 февраля — понедельник. Будут ли у учителя уроки 9 февраля, 15 февраля, 21 февраля, 23 февраля, 26 февраля, 1 марта?
49.7. а) В игру, объясненную в задаче 47.2 а), стали играть трое. Каждый игрок своим ходом сдвигает фишку на одну клетку влево. Какой из трех игроков выигрывает в этой игре, если в полоске 10 клеток; 30 клеток; 50 клеток; 100 клеток?
б) Перечитайте игру, объясненную в задаче 47.4 б). Какой из трех игроков выигрывает в этой игре, если в кучке первоначально 10 камней; 50 камней; 100 камней?
49.8* . Перечитайте игру 2 из урока 47. Какой из игроков выигрывает в такой игре, если требуется назвать число 20; 40; 60; 80; 100? Сформулируйте правило, по которому должен играть выигрывающий игрок.
49.9*. Перечитайте игры, объясненные в задаче 47.5, заменив 120 камней на 100 камней; на 1551 камень; на 2112 камней. Какой из игроков выигрывает?
Урок 50 Задания на повторение к § 5
Мы заканчиваем главу I. Вы должны были бы уже заметить, что объяснительные тексты уроков «Задания на повторение» к § 2—4 (т. е. уроков 25, 32, 41) были почти одинаковыми. В них мы просто предлагали вам перечитать объяснительный текст самого первого урока на повторение — урока И. Мы надеемся, что вы уже твердо знаете, как повторять пройденное в каждом параграфе. Поэтому не предлагаем сейчас перечитывать объяснительный текст урока 11. А в следующих уроках под названием «Задания на повторение» вообще не будет объяснительного текста. Приступайте сразу к выполнению помещенных в этих уроках заданий.
(Урок 50) 150
W 50.1. (У) Найдите значение числового выражения и
определите, четно оно или нечетно:
а) 6-3 + 24; в) 48:4+18; д) (25 + 27):4;
б) 27-28:4; г) 51:3 — 6; е) (101 —29):9.
50.2. (У) Посмотрите на рисунок 43. Не подсчитывая, ответьте, четное или нечетное количество птиц в улетающей на юг стае.
50.3. (У) а) Если буква п обозначает какое-то четное число, то каким будет число п—1 —четным или нечетным (мы, конечно, предполагаем здесь, что и>1)? А число п —2 (здесь предполагается, что л >2)? А число п — 3 (здесь предполагается, что л>3)? б) Ответьте на те же вопросы, если п обозначает нечетное число.
50.4. Для повышения урожайности на песчаных почвах применяют такое чередование посевов на поле: 1-й год — рожь и бобовое растение люпин, 2-й год — картофель, 3-й год — только люпин, 4-й год — только рожь. Затем все повторяется снова. Так что люпин сеют через год. В 1987 г. на поле был посеян только люпин, а) Будет ли в 1990 г. на этом поле сеяться люпин? А в 1992 г.? в 1997 г.?
Рис. 43
б) Вообще в какие годы с 1987 по 2000 на этом поле будут сеять люпин? Запишите их. в)* Из выписанных в пункте б) лет подчеркните те, в которых, кроме люпина, будут сеять еще и рожь.
50.5. Перечитайте условие задачи 43.13 и вспомните номера домов, в которых живут Витя, Гриша и Дима, и номер дома, где
расположен тир.
а) Дом, в котором находится школа, имеет номер 60. Кому из мальчиков приходится, идя в школу, переходить на другую сторону улицы? Кто из них живет ближе всего к школе?
б) Как-то, возвращаясь из школы, мальчики зашли пострелять в тир. Пришлось ли им перейти дорогу? Кто из них, направляясь в тир, приближался к своему дому, а кто удалялся?
50.6. Используя цифры 1 и 2, можно написать только два двузначных числа, в которых эти цифры встречаются по одному разу: 12 и 21. Оба эти числа делятся на 3 (проверьте!).
а) Используя цифры 1,2 и 3, можно написать шесть трехзначных чисел, в которых каждая цифра встречается по одному разу. Напишите их. Проверьте, что все эти числа делятся на 3. Подчеркните среди них четные числа. Какие из этих шести чисел делятся на 6?
б) Младший брат Смекалкина захотел написать все четырехзначные числа, в записи которых по одному разу используются цифры 1, 2, 3 и 4. Смекалкин сказал: «Таких чисел 24. Тебе потребуется немало времени, чтобы написать все эти числа. Лучше напиши только те из них, которые делятся на 3». Сколько чисел придется написать младшему брату?
50.7. (У) а) Какой цифрой оканчивается произведение I-2-3-4-5-6-7? б) Какой цифрой оканчивается произведение 1-3-5-7-9-11•13?
50.8. (У) На сколько удалены друг от друга соседние числа в ряде кратных: а) числа 8; б) числа 100; в) числа а?
50.9. Сколько различных прямоугольников можно выложить из 12 спичек? Можно ли выложить прямоугольник из 11 спичек?
50.10* . Сумма трех натуральных чисел четна. Может ли произведение этих чисел быть числом нечетным? (Совет: придумайте сначала несколько примеров троек натуральных чисел с четной суммой и найдите в каждом случае произведение, сделайте вывод и объясните его.)
50.11* . В некотором царстве, в некотором государстве на чудо-яблоне выросло 45 бананов и 20 ананасов. Каждый день садовник срывает два плода и на их месте тут же вырастает один новый. При этом если он срывает два одинаковых плода, то вырастает ананас, а если два разных — банан. Может ли последний плод, который останется на этом дереве, оказаться ананасом?
Большая перемена I
РИМСКИЕ ЦИФРЫ
Закончилась первая глава. Давайте устроим перед следующей главой большую перемену. Как бы немного отклонимся от основного маршрута нашего путешествия по стране Математике. Ведь в этой стране имеется немало интересного и полезного и помимо того, что вы должны изучать на уроках математики. Рассказы в больших переменах нашего учебника можно читать и обсуждать на занятиях математического кружка. А можно и просто читать их дома.
Начиная этот рассказ, мы хотим напомнить о позиционной десятичной нумерации, которой все постоянно пользуются. В ней десять цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Эти цифры называют арабскими, потому что о них европейские народы узнали от арабов. А придуманы они были (еще в шестом веке) в Индии.
Имеются и другие нумерации. Об одной из них мы здесь расскажем. Это римская нумерация. Ее придумали в Древнем Риме. И цифры в ней называются римскими. В римской нумерации семь цифр: I, V, X, L, С, D, М. Какие числа они обозначают, показывает следующая таблица:
Римская цифра I V X С D М
Число, которое она обозначает 1 5 10 50 100 500 1000
Римская нумерация не позиционная. На каком бы месте ни стояла цифра в записи числа, она везде обозначает одно и то же.
Число 2 римскими цифрами записывается II, число 3 записывается III. Число 4 когда-то записывали четырьмя палочками, но потом поняли, что это неудобно. Удобнее писать IV. Единицу слева как бы нужно вычесть из пяти. А если единица стоит справа, то ее нужно прибавить, так что VI обозначает число 6. Далее идет VII (прибавили к пяти две единицы) — число 7. Потом VIII (прибавили три единицы) — число 8. Прибавлять больше нельзя, четыре палочки не пишут. Так что для числа 9 запись будет IX. Видите: единица слева от десяти, значит, опять вычитаем. Если единица справа, то прибавляем: XI обозначает число И.
Давайте повторим: 1V = V—I, VI — V+I,
IX = X-I, XI = X + I.
Попробуйте теперь сами записать числа от 12 до 18 римскими цифрами.
Далее идет Х1Х = Х+1Х, т. е. 19, за ним XX, т. е. 20. Вот
первые двадцать чисел, записанных римскими цифрами:
I II III IV V VI VII VIII
1 2 3 4 5 6 7 8
IX X XI XII XIII XIV XV XVI XVII XVIII XIX XX
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Запишем римскими цифрами еще несколько чисел:
XXI=21, XXIX = 29, ХХХ=30, XL = 40, XLI—41. Видите: в записи XLI слева от цифры L стоит младшая цифра X, а справа — младшая цифра I. Тогда то, что слева, вычитаем, а то, что справа, прибавляем: 50—10+1=41.
В нашей стране и во многих других странах римскими цифрами нередко пользуются, чтобы выделить числа с каким-то особым значением. Обычно это бывает порядковый номер чего-то крупного, важного: веков, событий, глав книги и т. п. Мы пишем, например, XX век, XXII Олимпийские игры, II глава в книге.
Очень важными событиями в жизни нашей страны являются съезды Коммунистической партии Советского Союза. Их порядковые номера тоже принято записывать римскими цифрами. В 1986 г. состоялся XXVII съезд КПСС. Он определил перспективы ускоренного развития нашей страны на ближайшие пятилетки.
Иногда римские цифры можно встретить в обычной обстановке, например, па циферблатах часов.
Где приходилось встречать римские цифры вам?
А вот для сравнения чисел, для действий над числами римские цифры неудобны. Судите сами.
В записи IV две цифры, а в записи V одна, но IV меньше, чем V. В записях VI и IX по две цифры, и в VI первая цифра обозначает большее число, чем I, но VI меньше, чем IX.
А давайте-ка рассмотрим, удобно ли складывать или вычитать «столбиком» числа, записанные римскими цифрами. Вот два примера:
IX
VI
XV
XV
XI
IV
^>^0
Разве можно здесь говорить о поразрядных действиях? В первом примере ведь Нельзя представить, что сумма X и I дает цифру V, а сумма 1 и V дает X, это была бы просто чепуха! Точно так же и во втором примере не представишь, что разность X — X равна I.
Видите: никаких удобных правил! Поневоле оценишь преимущества удобной позиционной нумерации!
Наш рассказ подходит к концу. Чтобы вы лучше усвоили то, что здесь рассказано, мы поступим, как и в уроках учебника: зададим несколько вопросов и заданий. Номер каждого из них — это, как и в уроках, два числа, только теперь первое из них записано римской цифрой.
Вопросы и задания
1.1. Сколько цифр в римской нумерации? Напишите их.
1.2. Почему римская нумерация не является позиционной?
1.3. Не глядя в таблицу из текста урока, напишите римскими цифрами числа от 1 до 20.
1.4. а) (У) Прочитайте числа: XXII, XXIII, XXIX, XXX, XXVIII, ХС, XCV, XCIV, XCIX.
б) Запишите римскими цифрами следующие числа: 24, 25, 27, 31, 35, 49, 51, 55.
1.5. (У) а) Клоун предложил публике несколько числовых равенств с римскими цифрами, слеженными из палочек (см. рис. 44).
Рис. 44
Посмотрев внимательно на свои равенства, он вдруг обнаружил, что в каждом из них ровно одну палочку он положил не туда. Какую палочку и куда надо переложить в каждом равенстве, чтобы исправить ошибки клоуна?
б) Затем он сложил несколько неравенств (см. рис. 45) и снова ровно одну палочку положил не туда.
Какую палочку и куда надо переложить в каждом неравенстве, чтобы оно стало верным?
в) Смекалкин, отвечая на вопросы из пунктов а) и б), обнаружил, что в некоторых случаях палочку можно переложить разными способами. Найдите и вы хотя бы один такой случай.
vhbv^x xdv+v>xdx
VI+DV<X П+XVcXV
Рис. 45
Глава ДРОБНЫЕ ЧИСЛА
II ______________
§ 6. ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Вы знаете, что, кроме натуральных чисел, есть и другие числа — дроби. Дроби возникают, когда натуральное число делят на равные части: надвое, на три части, на десять частей и т. д. Но мало знать, что такое дробь. Нужно уметь сравнивать их, выполнять над дробями действия, решать всякие задачи с дробями. Этим вы и начнете заниматься в § 6.
Урок si Как единица на доли делится
Людям часто приходится делить целое на доли. Самая известная доля — это, конечно, половина. Слова с приставкой «пол» можно услышать, пожалуй, каждый день: полчаса, полкилограмма, полбулки.
Назовите еще несколько слов с этой приставкой.
Но есть и другие употребительные доли. Например, четверть, десятая, сотая. Когда образуются доли? Тогда, когда один предмет (буханка хлеба, лист бумаги) или единица измерения (час, килограмм) делятся на равные части. Доля — это каждая из равных частей единицы. Название доли зависит от того, на сколько равных частей разделили единицу. Разделили на две части — название доли «половина», на три — «треть», на четыре — «четверть».
А если разделить на пять частей, то что ли «пятерть», на шесть — «шестерть»?
Таких смешных слов в русском языке нет. А чтобы было удобно называть всякие доли, пользуются словами «пятая», «шестая», «седьмая» и т. д. Четверти по-другому называют четвертыми, трети — третьими, а половины — вторыми долями.
Для записи любой доли используют горизонтальную черточку. Ее называют дробной чертой. Над ней ставится единица, а под чертой пишется число равных частей, на которые единица делится. Например, вторая, двадцать первая, сто пятая доля записываются: . Чи-
тают: «одна вторая», «одна двадцать первая», «одна сто пятая». Если число равных частей, на которые поделена единица, обозначено буквой и, то эту букву и пишут под дробной чертой: Читают: «одна энная».
Зачем нужны доли? Ответить очень просто: при измерении величин часто бывает невозможно обойтись только целыми единицами. Представьте, например, что для измерения длины нам разрешили пользоваться только целыми метрами. Как тогда мы бы смогли измерить рост человека? Или спортивные результаты в прыжках? В таких случаях пользуются сантиметрами.
Скажите, какая это доля метра — сантиметр?
А в технике часто нужны более мелкие доли метра — тысячные. Они, как вы знаете, называются миллиметрами. И более крупные доли метра бывают полезны, например десятые.
Сколько сантиметров в — м? Как такая доля метра называется?
Запомните:
1 мм= 1000 м 1 см = йо м , 1 дм==То м
Вопросы и задания
51.1. Что такое доля?
ж 51.2. а) Как называется тысячная доля метра? Сколько 11 миллиметров в одном метре?
б) На доли делят единицы не только длины, но и других величин. Например, лекарства в аптеке отвешивают в тысячных долях грамма. Их называют миллиграммами. Один миллиграмм записывают: 1 мг. Сколько миллиграммов в 1 г?
Т51.3. Запишите цифрами: а) одна семнадцатая; б) одна триста третья; в) одна десятитысячная; г) одна в стотысячная; д) одна миллионная.
51.4. (У) Прочитайте: а) б) в) ; г) / ODD
1001 •
51.5. Придумайте три доли и запишите их на листочке словами. Предложите соседу по парте записать их цифрами. Проверьте, правильно ли он выполнил задание.
51.6. а) Квадрат на рисунке 46 поделен на одинаковые квадратики. Какую долю квадрата составляет один квадратик?
б) Рассмотрите рисунок 18, а в уроке 20. Какую долю плитки шоколада составляет одна долька?
51.7. (У) а) Сколько миллиметров в 1 см; в 1 дм; в 1 км? б) Сколько миллиграммов в 10 г; в 100 г; в 1 кг; в 1 т? в) Сколько граммов в То кг’ в Гбо кг? г) Сколько килограммов в ц; в
Рис. 46
51.8. Сколько сантиметров составляет: а) м; б) м;
в) м; г) м; д) м? Запишите ответ в виде равенства. О и о
Образец: м—50 см.
51.9. Сколько минут составляет: а) ч; б) ч; в) -С ч; z о 4
\ 1 ч 1 \ 1 \ 1
Г) _ ч; д) т ч; е) - ч; ж) - ч?
51.10. Пионеры 5-х и 6-х классов собрали 6 ц макулатуры. Треть всей макулатуры собрали ученики 6-го А, четверть — ученики 6-го Б, восьмую долю — ученики 6-го В. На долю 5-го А класса пришлось всей макулатуры, на долю 5-го Б класса —
и на долю 5-го В — . Сколько килограммов макулатуры
собрали ученики каждого класса?
51.11. На соревнованиях команда школы, составленная из учеников 5—11-х классов, должна преодолеть дистанцию в 1 км. Половину дистанции пройдет на лыжах ученик 11-го класса, четверть пробежит на коньках десятиклассница, восьмую долю проедет на
роликовой доске девятиклассник. Задача восьмиклассника — про-l _ 1
вести мяч на — пути, а ученицы 7-го класса — пропрыгать — пути
со скакалкой, Шестиклассник пробежит— дистанции в мешке, и на чи
I
долю пятиклассника останется проползти — всего расстояния. Сколько метров нужно преодолеть каждому ученику?
51.12. Клоун, чтобы посмешить публику, объявил ант-ракт на суток и сказал, что в буфете продается мо-роженое порциями по ц. Публика смеялась: ведь всем известно, что продолжительность антракта обычно измеряют в минутах, а массу порции мороженого — в граммах. Скажите, на сколько минут был объявлен антракт и сколько граммов в одной порции мороженого.
урок 52 Как из долей получаются дроби
Задача. Валя и Вера пригласили на свой день рождения семерых одноклассников. Как им поделить два одинаковых кекса поровну на девятерых? Сколько кекса получит каждый?
Как решить эту задачу? Можно поступить так: разрезать каждый кекс на 9 равных частей и раздать Вале, Вере и каждому гостю по две такие части. Тогда каждый получит две девятых кекса.
Видите, у нас возникло число «две девятых». Это не натуральное число, но и не доля единицы. Это сумма двух
одинаковых долей. Для чисел, которые являются или долями, или суммами долей, используют общее назва ние — дробные числа. Дробные числа называют и просто дробями.
ДРОБЬ — ЭТО ИЛИ ДОЛЯ, ИЛИ СУММА НЕСКОЛЬКИХ ОДИНАКОВЫХ ДОЛЕЙ.
Так что число «две девятых» — это дробь. Цифрами она записывается: —. Дробь — равна сумме двух одинако-9 У
2 1 1
вых девятых долей: — — ——Ь —. Вот еще несколько дро-
V*
- u 1 3 4
Запишите, суммой каких долей являются - з 4
ороои — и
Для записи дроби используют дробную черту и два натуральных числа. Под дробной чертой пишут знаменатель дроби. Он показывает, из каких долей складывается дробь. Над чертой пишется числитель дроби. Он показывает, суммой скольких долей является дробь. Например, у дроби — знаменатель равен 4, а числитель — 3, у дро-би — знаменатель равен 7, а числитель — 4. Читают эти дроби так: «три четвертых» (или «три четверти»), «четыре седьмых».
Запишите и прочитайте дробь с числителем 5 и знаменателем 11. Суммой каких долей является эта дробь? Сколько таких долей взято слагаемыми?
Вспомните, что сумму одинаковых натуральных чисел заменяют произведением одного слагаемого на число слагаемых. Точно так же можно поступать и с суммой одинаковых долей. Например, сумму заменяют
произведением —-3, вместо — + — + — + — пишут у-4 и т. д. Вообще если обозначить числитель дроби буквой т, а знаменатель — буквой л, то дробь равна про
изведению доли и натурального числа пг:
Вопросы и задания
52.1. Что такое дробь?
52.2. Что показывает знаменатель дроби; числитель дроби?
52.3. (У) Прочитайте записи и назовите числитель и знаменатель каждой дроби:
х 6 . 13. . 355 . v 1000 . к 12 345
а* 10’ °' 12’ ИЗ’ Г' 1000 ’ 67890 *
52.4. Запишите дроби цифрами и представьте каждую из них в виде суммы долей: а) две пятых; б) три восьмых; в) две сотых.
52.5. Запишите дроби цифрами и представьте каждую из них в виде произведения доли и натурального числа: а) семь пятых; б) восемь восьмых; в) сто две сотых.
52.6. Смекалкин предложил младшему брату записать цифрами две дроби: а) четыре тысяча вторых; б) четыре тысячи вторых. «Так это ведь одна и та же дробь!» — воскликнул брат. Смекалкин объяснил брату, что тот невнимателен. Перечитайте внимательно задания Смекалкина и запишите названные им дроби.
52.7. (У) Какая часть круга закрашена на рисунке 47, а, б, в?
Рис. 47
52.8. (У) Рассмотрите квадрат на рисунке 46. Какую часть квадрата составляют а) два квадратика; б) три квадратика; в) пять квадратиков; г) шесть квадратиков? В случаях б) и г) постарайтесь ответить двумя способами.
52.9. (У) Рассмотрите рисунок 18, а в уроке 20. Какую часть плитки шоколада составляют а) две дольки; б) три дольки; в) пять долек; г) восемь долек; д) десять долек; е) пятнадцать долек?
52.10* . В некоторых из случаев а) — е) задания 52.9 ответ можно дать несколькими способами. Укажите все такие случаи и для каждого из них запишите дроби, дающие ответ.
52.11. Запишите дробь, у которой: а) числитель равен 23, а знаменатель на 21 больше; б) знаменатель равен 42, а числитель на 18 меньше.
52.12. Запишите дробь, у которой: а) числитель равен значению выражения 5883:37 — 2852:46, а знаменатель — значению выражения 43-(95 — 32): 21; б) числитель равен значению выражения 207 480:456+ 1 572 480:3456, а знаменатель — значению выражения 3-(42 664 135-30 959 975): 2210.
з
52.13. Как узнать, сколько сантиметров составляют м? Да-вайте рассуждать. Вы знаете, что м —50 см. Формула, приве-3 1 3
денная в конце урока, показывает: —~ —-3. Поэтому м = = -i- м-3 = 50 см-3 = 150 см. Сколько сантиметров составляют:
а) ± м; б) | м; в) А м; г) || м; д) g м; е) g м; ж) ™ м? 4 4
52.14. Сколько граммов составляют: а) — кг; б) — кг; .4 ч 2 .10 . 50 .
в) - кг; г) - кг; д) - кг; е) — кг?
з
52.15. Вася подсчитал, что в учебные дни он спит -у суток, а по воскресеньям — суток. Сколько часов спит Вася в будни и в воскресенье? Когда он спит дольше?
w 52.16. Клоун, чтобы посмешить публику, сказал, что wfr? 9 2 т-г
пЕС рост у него км, а масса — т. Публика смеялась: всем 5000 25
было ясно, что клоун выбрал неподходящие единицы длины и массы. Скажите, каков рост клоуна в сантиметрах и какова его масса в килограммах.
урок 53 Дроби и деление натуральных чисел
Прочитайте еще раз задачу, с которой начался предыдущий урок. Похожие задачи, где нужно распределить с предметов поровну между b людьми, вам уже встречались — см. урок 22. Такие задачи решают делением и ответ записывают в виде частного с:Ь. Точно так же и в нашей задаче ответ можно дать в виде частного 2:9. Но в предыдущем уроке мы записали ответ в виде дроби —.
2
Значит, — и есть частное 2:9. Получаем равенство
9
2:9 = t.
Видите, среди дробей нашлось частное при делении натурального числа 2 на натуральное число 9. Вообще с помощью дробей можно записать частное при делении любых натуральных чисел: частное при делении одного натурального числа на другое равно дроби, числитель которой равен делимому, а знаменатель — делителю. Это же правило можно сформулировать и короче:
161 (Урок 53)
ДРОБЬ РАВНА ЧАСТНОМУ ПРИ ДЕЛЕНИИ ЧИСЛИТЕЛЯ НА ЗНАМЕНАТЕЛЬ.
Если обозначить числитель дроби буквой т, а знаменатель — буквой и, то наше правило запишется такой формулой:
Например, 4:7 =—, 5:6 = -^- и т. д.
Что же, делимое может быть меньше делителя?
А ведь мы привыкли с помощью деления узнавать, во сколько раз делимое больше делителя.
Конечно, если делимое меньше делителя, то спрашивать, во сколько раз оно больше делителя, было бы смешно. В таком случае спрашивают, какую часть делителя составляет делимое. Например, в Васином классе 28 учеников, из них 15 девочек. Можно спросить, какую часть класса составляют девочки? Чтобы ответить на этот вопрос, надо разделить 15 на 28. Получим 15: 28 = ^. От-15 вет: девочки составляют — класса.
ZO
Подсчитайте, какую часть вашего класса составляют девочки. А какую часть составляют мальчики?
Не надо думать, что дроби получаются при делении натуральных чисел только тогда, когда делимое меньше, чем делитель. Нет, в виде дроби записывается частное при делении любых натуральных чисел. Например, 6:5 = = А 9«2 = — 8*4 = —
5 ’ 2 ’ 4
Но ведь 8:4 = 2! Значит, натуральное
число 2 равно дроби — ?
Совершенно верно! Можно придумать много таких при-меров: 9:3 = 3, поэтому число 3 равно дроби —, 10:2 = 5, поэтому 5=-у- и т. д. Вообще каждое натуральное число а можно выразить в виде дроби, причем многими способами — с любым знаменателем. Если выбрать знаме-6 Учебник-собеседник
натель пу то числитель нужной дроби равен произведению а^п.
Самый простой способ — когда п равно 1. Например, з 5
3 = —, 5 =—. И вообще для любого натурального числа
а
а верно равенство —=а.
Вопросы и задания
ЛЬ 53.1. Какой дроби равно частное при делении одного j натурального числа на другое? Как записать дробь в виде частного?
53.2. Может ли натуральное число равняться дроби? Приведите пример.
V53.3. (У) Объясните равенства: а) 10=^; б) 14 = -^-; о 4
® \ 9 1 v 1024 л. х lo.tn 13 ч 7.ос 7
в) Т=1: г> -Тб-=64: д) 13:10=10; е) 7:2б = 26-
53.4. Заполните пустые клетки таблицы:
Делимое Делитель Частное Числитель Знаменатель Дробь
12 23 12:23 12 23 12 23
42 9
33:20
101 200
6 17
53.5. Периметр квадрата 7 см. Найдите длину его стороны.
53.6. Площадь прямоугольника 19 кв. см, а его длина 6 см. Найдите ширину прямоугольника.
53.7. Два пятых класса собрали 340 кг металлолома, 5-й А собрал 150 кг, остальное — 5-й Б. Какую часть металлолома собрал 5-й Б?
53.8. Самостоятельная работа продолжалась 15 мин. Какую часть урока заняла самостоятельная работа?
53.9. Содержание одного ребенка в детском саду ежегодно обходится в 474 р., причем часть расходов берет на себя госу
дарство. Какая это часть, если родителями ребенка уплачено за год 108 р.?
53.10. Запишите: а) число 6 в виде дроби со знаменателем 5; 6) число 8 в виде дроби со знаменателем 7; в) число 1 в виде дроби со знаменателем 10; г)* число 4 в виде дроби с числителем 32; д)* число 9 в виде дроби с числителем 999.
53.11. (У) а) Смекалкин загадал младшему брату загадку: «Дробь равна своему числителю. Чему равен ее знаменатель?» Отгадайте эту загадку.
б) Младший брат, отгадав загадку Смекалкина, придумал похожую загадку: «Дробь равна своему знаменателю. Чему равен ее числитель?» Смекалкин объяснил, что отгадок здесь видимо-невидимо: 4, 9, 16 и т. д. Ведь 4-=2, ^г=4. Какой
Л о 4
числитель имеет дробь, равная своему знаменателю, если этот знаменатель 5, 6, 7?
в)* Как зависит от п число т, если — — п? ' п
урок 54 Сравнение дробей.
Правильные и неправильные дроби
Дробные числа, как и натуральные, можно сравнивать. Сравним, например дроби — и — (см. рис. 48). Давайте рассуждать. У первой дроби числитель 3, а знаменатель 4. Значит, она равна сумме трех четвертых долей:
1 . I 1 I Л Л 5
= ——|-——Н—. А дробь — равна сумме пяти таких же
о 5 1 , 1 . 1 . 1 . 1 г
долей: — = — +-—F-r+-r + -r’ Слага-4 4 4 4 4 4
емые во второй сумме такие же, как и в первой, но их больше. Поэтому вторая сумма больше первой. Мы доказали, что 5 _3_
4 4 ‘
Такими же рассуждениями дока-4 8*
жите, что —<Z—.
Сформулируем теперь общее правило
Рис. 48
сравнения дробей с одинаковыми знаменателями:
ИЗ ДВУХ ДРОБЕЙ С ОДИНАКОВЫМИ
больше меньше
ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ
ТА, ЧИСЛИТЕЛЬ КОТОРОЙ
больше меньше*
Рис. 49
Можно сказать и так: чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить только их числители.
4 3 5
Возьмем дробь — и сравним ее с дробями — и При-
3 4
меяим наше правило: раз 3<4, то — , Раз 5>4, то
-у. А чему равна сама дробь Ответ дать легко, если вспомнить свойство дробей из прошлого урока: дробь равна частному 4:4, т. е. единице (см. рис. 49).
4 3 5
Итак, — = 1, —< 1, — > 1. Точно так же можно прове-4 4 4 г
рить, что, например, -у-= 1, < 1, 1. Вообще, срав-
нивать дробь с единицей помогают такие правила:
ЕСЛИ ЧИСЛИТЕЛЬ ДРОБИ РАВЕН ЗНАМЕНАТЕЛЮ, ТО ДРОБЬ РАВНА 1.
ЕСЛИ ЧИСЛИТЕЛЬ ДРОБИ 6°J1-b.UJЗНАМЕНАТЕЛЯ, меньше
ТО ДРОБЬ
больше меньше
Если гп> п,
Если
Чтобы эти правила стали еще яснее, представьте, что числитель и знаменатель дроби соревнуются, кто сильнее, и каждый тянет дробь в свою сторону. Числитель тянет дробь вверх. Если он больше знаменателя, то дробь больше чем I. А знаменатель упирается и тащит дробь вниз. Если перетянет он, то дробь меньше чем 1. Если же числитель уравновесит знаменатель, то дробь равна 1.
Дробь, меньшая чем 1, называется правильной. Например, дроби 4”’ П"’ П пРавильные- Дробь, большая единицы или равная ей, называется неправильной. п 4 5 7 8
Дроби —, —, —, — неправильные.
и
Придумайте еще несколько примеров правильных, и неправильных дробей. Для каждой дроби объясните, почему она правильная или неправильная.
Смекалкин спросил:
А как сравнивают дроби с разными знаменателями?
Это непростой вопрос. На него мы ответим пока обсудим, как сравнивать доли. Какая
позднее, в 6-м классе.
доля
больше:
или
1
2
— ? Представьте, что один раз яблоко делят
на две равные части.
а в другой раз — на три. Ясно, что в первый раз получится большая
доля, чем во второй. И вообще, чем на большее число равных частей
делят единицу, тем меньшие доли получают
ИЗ ДВУХ ДОЛЕЙ ТА, У КОТОРОЙ больше
ЗНАМЕНАТЕЛЬ
больше меньше
Вопросы и задания
54.1. Как узнать, какая из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше?
54.2. Как узнать, что дробь больше единицы; мень-ше единицы; равна единице? Как называются дроби, меньшие чем 1? А дроби, большие единицы или равные ей?
54.3. Может ли натуральное число равняться правильной дроби; неправильной дроби? Ответ объясните.
О 1Q 9 3
V 54.4. (У) Сравните дроби: а) и ~ ; б) — и — ;
. 7 13 . 8 И ,1 1
В) 6 И 6 ’ 8 И 11 ’ 100 И 1000’
54.5. (У) Какие из следующих дробей правильные, а какие
3 11 4 123 355 1000 1001 999
неправильные. —, 4 » и * 45е» юоо » юоо » юоо •
54.6. Расположите числа в порядке возрастания:
2 11 1 23 6 к 4 2 5 11 17 8
9 ’ 9 ’ 9 ’ 9 ’ 9 ’ '5’5’5’ 5’ 5*5’
8 16 93 . 42 7 . г\* 1 1 1 1 1
40 ’ 40 ’ 40 ’ 1’ 40 ’ 40 ’ ' 2 ’ 8 ' 6 ’ 4 ’ 5 ’
54.7. Расположите числа в порядке убывания:
4 8 41 13 2 .
13 ’ 13 ’ 13 ’ 13 ’ 13 ’
9 8 . 4 60 18 .
17 ’ 17 ’ 17 * 17 ’ 17 ’
4 — 8 42 А-В' 9’11’9’11’9’
1 4 1
5*3’3’
54.8. а) Запишите все правильные дроби со знаменателем 5;
7. б) Запишите все неправильные дроби с числителем 4; 6.
54.9. (Загадка.) Буквой п обозначено число. Известно, что существует ровно одна правильная дробь со знаменателем л. Какое число обозначено буревой п?
54.10. Аня подсчитала, какую часть декабря составили дни с различным типом погоды. Полу-чилось, что — месяца была солнечная погода,
----пасмурная погода со снегом и —-------пас-
31 О 1
мурная погода без снега. Дней с каким типом погоды было а) больше всего; б) меньше всего?
54.11. Мама поручила Игорю купить продукты. На хлеб Игорь
2 9 7 15
истратил — всех денег, на молоко — —, на овощи — —, а —
1 40 40 40 40
всех денег Игорь заплатил за яблоки, а) На какую покупку Игорь истратил больше всего денег; меньше всего? б) Остались ли у Игоря деньги после всех покупок?
54.12. (У) Клоун предложил кому-нибудь из публики поиграть с ним в такую игру. Он называет дробь. Игрок из публики называет мень-шую дробь. Затем клоун называет еще меньшую дробь, игрок из публики — еще меньшую и т. д. Выигрывает тот, кто назовет дробь, меньше которой уже дробей нет.
Объясните, можно ли выиграть в такой игре?
урок 55 как из дроби выделить целую часть
Задача. Молоко из пяти литровых бутылок нужно разлить поровну в две кастрюли. Как это сделать? Сколько литров молока будет в Каждой кастрюле?
Все ясно! Надо из каждой бутылки половину молока вылить в одну кастрюлю, а половину — в другую. В каждой кастрюле будет тогда — л
молока.
ддл
—J у J
лдддд
Так рассуждать можно. Но есть и другой способ решения. Выльем в кастрюлю две бутылки молока целиком и еще половину
бутылки. Останутся половина бутылки и еще две полных. Их выльем в другую кастрюлю. В каждой кастрюле будет ^2 + “-) л молока.
Каким бы способом мы ни решали задачу, количество молока в ответе должно быть одним и тем же. Значит,
167 (Урок, 55)
5 1
выполняется равенство —=2 + —. Оно показывает, что
5
в — л молока содержатся два целых литра и еще поло-
с
вина литра. Мы записали неправильную дробь — в виде суммы целой части (натурального числа 2) и дробной части । правильной дроби —) .
Вот еще похожий пример. Васин рост 154 см, т. е. 154
— м. Эту же величину часто записывают так: 1 м 54 см, 54 154
т. е. 1 м + Yqq м. Здесь неправильную дробь — представили в виде суммы целой части (натурального числа 1) и дробной части (правильной дроби
Вообще любую неправильную дробь можно представить в виде суммы целой и дробной частей. Целая часть неправильной дроби — это натуральное число, которое показывает, сколько целых единиц содержит дробь. Дробная часть неправильной дроби показывает, какую часть единицы нужно добавить к целой части, чтобы получить всю дробь. В примерах, которые мы привели, дробная часть была правильной дробью. Но, например, неправильная дробь ---равна частному 6:3, т. е. натуральному О
числу 2. Значит, чтобы получить всю дробь —, к ее це-о
лой части 2 ничего не нужно добавлять. Другими сло-вами, дробная часть дроби — равна 0.
О
Итак, любую неправильную дробь можно представить в виде суммы целой части и дробной части. Целая часть неправильной дроби — это натуральное число, а дробная часть — правильная дробь или число 0.
Найдем целую и дробную части дроби Чтобы найти целую часть, нужно узнать, сколько целых единиц содержится в одиннадцати пятых. Единица равна пяти пятым. Значит, целых единиц в — будет столько, сколько раз 5 содержится в 11. А чтобы узнать, сколько раз 5 содержится в 11, нужно разделить 11 на 5. При делении получатся частное 2 и остаток 1. Значит, целая часть л ю < .
дроби — равна 2, т. е. —. А остаток 1 показывает, что
к — нужно добавить еще —, чтобы получить исходные 0 0 о
Поэтому дробная часть дроби равна -i-.
э
Точно так же можно найти целую и дробную части любой неправильной дроби. Правило здесь такое:
Нужно поделить с остатком числитель на знаменатель. Частное будет целой частью, а остаток числителем дробной части. Знаменатель у дробной части остается таким же, как и у данной неправильной дроби. Если же при делении остатка нет, то дробная часть равна нулю.
Обычно сумму натурального числа и правильной дроби записывают без знака « + » как одно число: вместо 1*1 3 3
24- — пишут 2—, вместо 404-тттг пишут 40—— и т. д. о b 100 J 100
Читают: «три целых и две пятых», «сорок целых и три сотых». Число, записанное таким способом, называют смешанным числом. Смешанное число — это сумма натурального числа и правильной дроби, записанная без знака « + ».
Итак, неправильную дробь -У- можно записать в виде D
П п 1 смешанного числа: —=2—.
5 5
13
Запишите в виде смешанного числа дробь —.
О
Вопросы й задания
55.1. Как найти целую и дробную части неправильной дроби?
55.2. Каким числом является целая часть неправильной дроби; дробная часть неправильной дроби?
55.3. Что такое смешанное число?
55.4. Когда дробная часть неправильной дроби равна 0?
55.5. (У) Найдите целую и дробную части неправильной дроби:
100 ’
10
1000 . 22 . 40 . ч 19 ч 66 . , 123
1000 ’ 7 > Д) 13 ’ е) 2 ’ Ж) 11’3) I
55.6. (У) Прочитайте смешанные числа: а) 1 —; б) 3—;
4 7
»> 'O-iB-i г> 135Г;Д> 45Го' '> |ООГЙГ
55.7. Запишите цифрами смешанное число: а) пять целых и шесть седьмых; б) десять целых и тридцать сотых; в) двенадцать целых и сто пять тысячных; г) сто целых и двести трехсотых.
55.8. Запишите неправильную дробь в виде суммы целой и нпЛАг.Лй _ - х 99 355 ч 956 х 8653 . 1001
дробной частей: а) -; б) ; в) —; г) —; д) —.
55.9. Запишите неправильную дробь в виде смешанного числа: . 41 . Л. 93 . . 156 . 318 . ,999. . 1867 . 656 . 6523
Э) 14 ’ ) 39 ’ В) 51 ’ Г) 103 ’ 200 ’ 63 ’ Ж^ 481 ’ 3) 986’
55.10. Запишите частное сначала в виде дроби, а потом в виде
27 7
смешанного числа. Образец: 27:10 =——2 — .
а) 96:13;
б) 111:11;
в) 225:19;
г) 1327:49;
д) 4563:100;
е) 17 089:1000.
55.11. Когда вы слушаете проигрыватель, пластинка делает за 3 мин ровно 100 оборотов. Запишите в виде смешанного числа, сколько оборотов делает пластинка за 1 мин; сколько секунд длится каждый оборот.
55.12. В Васином классе 15 девочек. Чтобы сшить для них школьную форму, понадобилось 27 м ткани. Сосчитайте и запишите в виде смешанного числа, сколько ткани пошло на одно платье.
55.13. Скорость пешехода Антона 4 км/ч, а скорость велосипедиста Ивана 20 км/ч.
| а) Сколько метров в минуту проходит Антон, проезжает Иван?
б) На сколько метров за минуту сближаются Антон и Иван, если Иван догоняет Антона? А если они движутся навстречу?
55.14. На прямоугольнрм участке длиной 30 м и шириной 1® м школьная производственная бригада вырастила 25 ц моркови. Сколько килограммов моркови собрали с каждого квадратного метра?
Урок 56 Почему важно знать целую часть числа
Поезд-экспресс ЭР-200 преодолевает расстояние меж-
93
ду Ленинградом и Москвой за ч. Много это или мало?
Как рассчитать, успеет ли пассажир экспресса выспаться в пути? Ответить на этот вопрос будет легко, если за-писать время поездки иначе: 4 — ч. Итак, путь займет меньше чем 5 ч, поэтому выспаться в поезде, конечно, не удастся.
В этом примере, подсчитав, сколько целых часов со-93 держится в — ч, мы смогли лучше оценить, сколько вре-мени займет путь. Вообще величину неправильной дроби оценивать легче, если записывать дробь в виде смешанного числа. Тогда становится видно, сколько целых единиц эта дробь содержит. Например, неправильная дробь — равна смешанному числу 12 — . Сразу ясно, что это число больше, чем 12, но меньше 13. Можно записать цепочку неравенств 12<12-~-< 13. Вот еще похожая
цепочка: 21 <21 — <22. Вообще смешанное число боль-ше своей целой части, но меньше натурального числа, следующего за целой частью.
Обнаруженное нами свойство позволяет легко сравнивать смешанные числа с разными целыми частями. Сравним, например, числа 2— и 4—. Смешанное число О 4
4 4- больше своей целой части 4, а смешанное число 4
2
2 — меньше числа 3, следующего за его целой частью. О
Кроме того, 3<4. Получаем цепочку неравенств
2-|-<3<4<4-L.
Помните свойство цепочек неравенств из урока 10? Сформулируйте его.
Соединяя знаком- < начало и конец написанной цепочки, 2 1
получим неравенство 2—<4 — . А обдумывая, как мы о 4
его получили, приходим к такому выводу: из двух смешанных чисел с разными целыми частями больше то число, целая часть которого больше.
А когда целые части равны, наверное, нужно сравнивать дробные части?
Конечно. Сравним, например, числа 2 4-и 2-|~- Вто-о о
2 1
рое из них больше, так как —> —. И вообще, из двух о о
смешанных чисел с одинаковыми целыми частями больше то число, дробная часть которого больше.
Повторим «одним ударом» правила сравнения смешанных чисел:
ИЗ ДВУХ СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ С ................Р?.?.1?.^”..
одинаковыми
ЦЕЛЫМИ ЧАСТЯМИ БОЛЬШЕ ТО ЧИСЛО, • ^ая-дробная
ЧАСТЬ КОТОРОГО БОЛЬШЕ.
Вопросы и задания
56.1. Как сравнить смешанные числа с разными целыми частями; с одинаковыми целыми частями?
56.2. (У) Повторите сформулированное в уроке правило сравнения смешанных чисел, употребляя вместо слова «больше» слово «меньше».
56.3. (У) Между какими последовательными натуральными числами заключено смешанное число:
а) б|;«) и£; в) 26^-; г) 7 | ?
56.4. Между какими последовательными натуральными чис-
- х 69 ..117 . 423
лами заключена неправильная дробь: а) —; б) —; в) —; X* ж 1
V 1001 . 2487 . 5721 ~
г> -6Г : Д) Л56~ : е> Ю49- ?
56.5. (У) Сравните числа: а) 19-^- и 23-Ь; б) 7-S- и 2-Ь;
в) 5-Ь и 5-Ь; г) 14 и 14-Ь; д) 9-Ь и 10; о) 28 и 30-Ь
1LJ Ю О V О
56.6. Сравните неправильные дроби, записав их в виде сме-
.11 20 170 279 . 355 625
шанных чисел: а) — и —; 6) — и —; в) — и —;
Z d Id Zd lid did
1234 1!
567 И 6 ’
Д)*
22 — И
25
8
56.7. Сравните значения числовых выражений: а) (43+ 157):9 и 1897:(41 4-59);
б) (108-71):23 и 4671 :(3-5);
в) 672:103 и (15 689-11 036):(231+769);
г) (122+52): 132 и 91:7:13.
л х 43 19
56.8. Расположите числа в порядке возрастания: а) —, —
О <J
.5 г И ,, 96 120 „ 103 1Л 7 ч 1 24 7 4 .5
4 7 , 6, 2 , ) 12 , Ц , 9, 10 , 10 ]0 ; Б) 5 , 23 , 7 , 5 - 1 23 •
„ ,, .80 100
56.9. Расположите числа в порядке убывания: а) —, —,
108 я 7 200 41 98 .« 1 . . 7 42 10 . 1 8
12 ’ 6 9 ’ U; °' 14 ’ 3 ’ 6 ’ 16 3 ’ В' 9 ’ 40 ’ 10 ’ 40 ’ 9 '
56.10. Поезд-экспресс «Красная стрела» идет от Москвы до 34
Ленинграда 2— ч. Тот же путь поезд «Аврора» преодолевает за ч, поезд «Ленинград» — за ч, поезд «Юность» — за ч. Какой из этих поездов самый быстрый? Запишите названия поездов в порядке возрастания времени в пути.
56.11. Школьная бригада состоит из трех звеньев. 1-е звено с площади 80 кв. м собрало 6 ц моркови, 2-е со 120 кв. м — 11 ц моркови, а 3-е со 100 кв. м — 8 ц моркови. На участке какого из звеньев урожайность (в кг с кв. м) была наибольшей? Расположите звенья в порядке убывания урожайности их участков.
56.12. Спринтер пробегает 100 м за 10 с. Конькобежец может преодолеть 500 м за 38 с. Велосипедист проезжает 1 км за 1 мин 3 с. Пловец проплывает 100 м за 51 с. Кто из спортсменов развивает на дистанции наибольшую скорость (в м/с)? Расположите их в порядке возрастания скорости.
56.13. Какое наибольшее натуральное число может обозна-чать буква п в неравенстве: а) п<.-^-\ б) n<Z——\ в) т-->гг? г 53 46 117
Урок 57 Среднее арифметическое натуральных чисел
Однажды Вася захотел узнать расстояние от дома до школы. Он знал длину своего шага и решил сосчитать число шагов, которые делает по дороге в школу. Выйдя из дома, Вася начал считать шаги и у дверей школы остановился на числе 417. На обратном пути он насчитал 431 шаг. «Вроде бы ни дом, ни школа не двигались с места, а стали дальше друг от друга на целых 14 шагов! — удивился Вася.— Тут что-то не так. Наверное, я сбился при подсчете». На следующий день Вася снова сосчитал свои шаги по дороге в школу и на пути домой. И получил... еще два результата: 406 шагов и 426 шагов. Тут он вконец растерялся.
А как вы думаете, почему у Васи каждый раз получались разные результаты?
На самом деле ничего удивительного не произошло. Ведь длина шага не остается все время одинаковой. Когда идешь быстро, шаги поневоле делаются длиннее. Когда спешить некуда, шаги становятся короче. Поэтому на одном и том же пути в разных условиях можно насчитать разное число шагов.
Но как тогда узнать расстояние, которое хочет измерить Вася? Какое из его чисел нужно все-таки взять?
Поступим так: сложим все Васины результаты и поделим их на число слагаемых. Получим (417 + 431 + 406 + + 426):4 = 420 (шагов). Число 420 больше, чем 417 и 406, ио меньше, чем 431 и 426. Такое число шагов могло бы получиться, если бы Вася делал все время не широкие и не короткие, а обычные, средние шаги. Его называют средним арифметическим чисел 417, 431, 406, 426.
Вообще средним арифметическим нескольких чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.
Если при нескольких измерениях какой-то величины получается несколько результатов, то за значение величины обычно принимают их среднее арифметическое. И Васе можно посоветовать принять число шагов от дома до школы равным 420.
В нашем примере среднее арифметическое натуральных чисел снова оказалось натуральным числом. Но так бывает далеко не всегда. Подсчитаем-ка среднее арифметическое чисел 12, 15 и 13:
(12Н-15Ч-13):3 = 40:3 = + -W
Среднее арифметическое оказалось дробным числом. Не-правильную дробь — можно заменить смешанным чис-О
лом 13-^-. Видно, что это число больше, чем 12 и 13, но меньше, чем 15.
Со средним арифметическим приходится встречаться и во многих других случаях. Представьте, например, что председателю колхоза нужны сведения об удое на одну корову за день. Но в колхозе много коров, удои у всех разные. Неужели составлять длинную таблицу: от Зорьки надоили 12 л, от Ночки — Элит, д.? Как это было бы неудобно! Поступают иначе. Весь дневной надой, т. е. сумму удоев всех коров, делят на число коров. Что получится в частном?
Среднее арифметическое удоев всех коров!
Да. Или, говоря короче, средний удой. Например, если на ферме 160 коров и от них получено за день 1760 л молока, то средний удой составит 1760:160—11 (л). Бывает не только средний удой, но и средние значения других величин: массы (например, капли дождя), высоты (к примеру, дерева в лесу) и т. д. Говоря о значениях каких-то величин, люди часто имеют в виду именно средние значения этих величин.
Вопросы и задания
57.1. Что называется средним арифметическим не-£ скольких чисел?
я 57.2. (У) Найдите среднее арифметическое чисел:
f а) 8 и 10; б) 20 и 11; в) 6, 7 и 8; г) 19, 12 и 15;
о д) 5, 21, 11 и 23; е) 14, 33, 9 и 25; ж) 10, 11, 12, 13 и 14;
з) 19, 10, 7, 6 и 2.
57.3. (У) Какое из чисел больше: а) 12 или среднее арифметическое чисел И и 14; б) среднее арифметическое чисел 21 и 18 или число 20; в) среднее арифметическое чисел 7 и 8 или среднее арифметическое чисел 10, 9 и 6; г) среднее арифметическое чисел 19, 11 и 13 или среднее арифметическое чисел 12, 18 и 14?
57.4. Во время перемены измерьте два или три раза шагами длину школьного коридора. Найдите среднее арифметическое результатов ваших измерений.
57.5. (Загадки.) Найдите задуманное число, если: а) среднее арифметическое числа 11 и задуманного числа равно 10; б) среднее арифметическое чисел 12, 15 и задуманного числа равно 13; в) среднее арифметическое чисел 22, 16, 18 и задуманного числа равно 18.
57.6. Юра в течение недели запоминал, в какое время он выходит утром из дома и в какое время приходит в школу, а потом записывал это в тетрадь. Вот такая таблица получилась у Юры:
День недели Поне* дельник Вторник Среда Четверг Пятница Суббота
Вышел из дома 7 ч 58 мин 7 ч 59 мин 7 ч 47 мин 7 ч 56 мин 7 ч 57 мин 8 ч 1 мин
Пришел в школу 8 ч 14 мин 8 ч 15 мин 8 ч 6 МИИ 8 ч 14 мин 8 ч 15 мин 8 ч 18 мин
а) Сколько времени шел Юра в школу в каждый из дней недели? б) Сколько минут в среднем тратит Юра на дорогу? В) (У) в один из дней недели Юра дежурил. Как вы думаете»
в какой? г) Составьте сами похожую таблицу. С ее помощью подсчитайте, сколько времени в среднем уходит у вас ежедневно на дорогу от дома до школы. Это поможет вам лучше планировать время!
57.7. Чтобы узнать массу капли, сначала взвесили пустой стакан, а потом накапали в него 100 капель воды и взвесили снова. Оказалось, что масса пустого стакана 55 г, а масса стакана и капель 62 г. Найдите среднюю массу одной капли.
57.8. В колхозе «Луч» 165 коров. Их дневной надой вывезли на молокозавод в 44 бидонах, по 40 кг молока в каждом. В колхозе «Маяк» 170 коров, а дневной надой уместился в 48 таки,ч же бидонах. Найдите средний удой на одну корову в каждом из колхозов. В каком колхозе средний удой больше?
57.9. Вася подсчитал, что средний рост мальчиков в их 5-м А 1921 2103
классе — — см, а средний рост девочек —15~ см. Кто в среднем выше в Васином классе — мальчики или девочки? Подсчитайте средний рост мальчиков и девочек в своем классе. Кто выше?
57.10. Средняя температура лета — это среднее арифметическое средних температур трех летних месяцев: июня, июля и августа. Заполните пустые клетки в таблице:
Город Средняя температура месяца (°C) Средняя температура лета (°C)
Июнь Июль Август
Москва 16 18 16 СП ос| ьо
Мурманск 8 12 11
Владивосток 18 20 17
Баку 23 26 25
Киев 18 20 19
Якутск 15 19 15
Ашхабад 28 31 30
Расположите города, перечисленные в таблице, в порядке возрастания средней температуры лета.
57.11. По своему «Дневнику природы» найдите среднюю дневную температуру в вашей местности в сентябре.
57.12* . Среднее арифметическое двух чисел а и Ь можно записать буквенным выражением (а + &):2. Каким буквенным выражением можно записать среднее арифметическое трех чисел; четырех чисел?
58 Сложение и вычитание дробей
Дробные числа, как и натуральные, тоже можно складывать, вычитать, умножать и делить. В 6-м классе вы научитесь выполнять действия над любыми дробями. А пока поговорим о сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями.
2
Что получится, если сложить, например, дроби — и
3 2
— ? Давайте рассуждать. Дробь — равна сумме двух
к 3
седьмых долей, а дробь —----сумме трех таких же до-
лей. Ясно, что если к двум седьмым долям прибавить еще три такие доли, то получится пять
седьмых долей (рис. 50). Поэтому мож- >^ТГГгъ?\
2 I з 5 A DK \
но записать равенство ——/X. \ \
Такими же рассуждениями дока- /
4,6 I о
жите, что — + — = — • \у
Теперь легко догадаться, как сфор- Рис 50 мулировать общее правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями.
ЧТОБЫ НАЙТИ СУММУ ДРОБЕЙ
С ОДИНАКОВЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ, НУЖНО СЛОЖИТЬ ИХ ЧИСЛИТЕЛИ И ОСТАВИТЬ ТОТ ЖЕ ЗНАМЕНАТЕЛЬ.
Если обозначить числитель одной дроби буквой а, числитель другой — буквой Ь, а знаменатель обеих дробей буквой л, то это правило можно записать формулой
а , b a -J- b
--1---— —— п п п
Займемся теперь вычитанием дробей с одинаковыми знаменателями. Но сначала надо вспомнить, что такое разность.
Что такое разность чисел с и а?
Вы знаете, что разность чисел сна — это такое число Ь, что сумма чисел а и b равна с (см. урок 14).
Как же найти, например, разность дробей — и —? Очень
3 2 5 5 3 9
просто: раз мы знаем, что ——, то ~--------------
(Урок 58)
<г 4 . 6 10 10 6 4 о
Точно так же раз,то Видно,
что знаменатель у разности остается таким же, каким был у уменьшаемого и вычитаемого. А что происходит с числителем, легко догадаться: ведь 2 = 5 — 3, 4 = 10 — 6. Догадались? Тогда сформулируем правило:
ЧТОБЫ НАЙТИ РАЗНОСТЬ ДРОБЕЙ
С ОДИНАКОВЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ, НУЖНО ИЗ ЧИСЛИТЕЛЯ УМЕНЬШАЕМОГО ВЫЧЕСТЬ ЧИСЛИТЕЛЬ ВЫЧИТАЕМОГО И ОСТАВИТЬ ТОТ ЖЕ ЗНАМЕНАТЕЛЬ.
Если, как и выше, записать дроби с помощью букв, то правило можно выразить такой формулой:
а b а — Ь
п п п
Вопросы и задания
б)
12
41
100
6
58.L Как найти сумму двух дробей с одинаковыми знаменателями?
58.2. (У)
Как найти разность двух таких дробей? Найдите значение
8
12 7
37
10
100 ’
10 ,
23 *
63
101 ’
23
96
101
10 ’
Ю .
23 7
19 30
’ 42
141 100
100 100
23
12
42 *
60
100 ’
переместительный и
числового выражения: з.з.з ю ' ю ' ю ’
з
10
13
10
13 1
3 '
13 13
' 23
58.3. Вы знаете
сложения натуральных чисел. Эти законы верны и для дробных чисел. Они помогают группировать слагаемые так, как будет
сочетательный законы
ю , ю
3 ’
удобнее. Вот пример: -—*+ 1 О
13 , 30 -
30 * 13 1 30 \ 13 ' 13/ * \ 30 ‘ 30/
^-^-=2. Найдите значение выражения, используя законы L о ои сложения:
2
25 .
16 ’
7 Д_ 12 I 14
16 13 “Г 13
б) — + — ' 15 ’ 10
81
10 ’
9
9
8
58.4. Сравните значения числовых выражений:
7 . II 13 . 6
10 + 10 и 10 + 10 ’
19 10 46 33
— — **~~ ——“ и “ *—
36 36 36 36 '
57 13 21 , 22
66 66 66 ' 66 ’
41 । 6 40 19 .
15 * 15 И 7 7 ’
пХ 19 ,15 23 2
17 17 И 9 9 ’
v 56 43 37 5
е)----------и---------•
' 20 20 31 31 ’
1 27 . 19 5 31 . 50
Ж) 61 + 7 7 И 21 + 21 ’
. 67 34 15 . 3 . I
3) 18 18 И 8 10 + 8 '
7 5
58.5. Длина прямоугольника — дм, его ширина — дм. Най-дите периметр прямоугольника.
21
58.6. В 1-й день похода туристы прошли — маршрута. Во
2-й день — на часть пути больше, чем в 1-й. А в 3-й день —
з
на — части меньше, чем во 2-й. а) Какую часть всего пути прошли
туристы за три дня? б)* Какую часть маршрута им еще предстоит пройти?
58.7. Масса Юры составляет массы Васи, масса Пе-
ти — ~ массы Васи, масса Ко-1 о 12 * * * * * * * * * * * * * * * * *
12
ли — — массы Васи. Мальчики
хотят покачаться на качелях. Кто перетянет, если: а) на одну
сторону качелей сядут Юра и Вася, на другую — Петя и Коля;
б) на одну сторону сядут Юра и Коля, на другую — Петя и Вася;
в) на одну сторону сядут Юра и Петя, на другую — Вася и Коля?
58.8. Вася составил план, как разместить весной овощи на
пришкольном участке. Он предложил на участка посеять мор-
3 2 1 12
ковь, на 25-— редис, на ~ — свеклу, на —— укроп, а на — по-
садить картошку. Удастся ли осуществить этот план?
58.9. (У) Решите уравнение:
х . 7 16 .13 31.
а) 13 13 ’ Г) х 67 ~ 67’
9 2 ч 123 , 123
) 11 Н’ 456 ”1“Х~456 ’
1 32 । ___ 44, . 789 __ 789
В' 43‘“Х“43’ 1011 У~1011’
урок so Как найти неправильную дробь, зная ее целую и дробную части
В уроке 56 мы объяснили, почему бывает удобно записывать неправильную дробь в виде смешанного числа. Это помогает оценить величину дроби. А выполнять действия обычно легче с неправильными дробями. Поэтому нужно уметь выражать смешанное число неправильной дробью. Как это делать?
Вспомните, что смешанное число — это сумма целой 3 3
части и дробной части. Например, 2—=2 +—. Вы знаете, что натуральное число 2 можно записать в виде дроби со знаменателем 4. Запишем: 2=^=-А Значит, 2 + *^-— ==-|—|-А. Дроби А и А складываем по правилу из предыдущего урока: = наш,пи непРа"
вильную дробь, равную данному смешанному числу: 9А-1!_ 4 4 ’
Точно так же можно выразить неправильной дробью смешанное число. Вот какое получается правило:
Чтобы выразить неправильной дробью смешанное число, нужно записать целую часть в виде дроби с тем же знаменателем, что и знаменатель дробной части, а затем сложить ее с дробной частью.
Вычисления обычно записывают цепочкой равенств. Например:
г 6 е , 6 5-7.6 35 + 6 41
5-=5+-=—+-=—-=-г-
9
Выразите неправильной дробью 8—.
Вопросы и задания
59.1. Как выразить смешанное число неправильной дробью?
59.2. (У) Назовите неправильную дробь, равную сме-шанному числу: а) l-g; б) 3-^-; в) 5g; г) log; д) 7g.
59.3. Выразите неправильной дробью смешанное число: a) 9g; б) 23g; в) 96§; г) l07g|; д)123^.
(Урок 59) <80
59.4. Выразите смешанные числа неправильными дробями и выполните действия. (Совет: все вычисления можно запи-сать одной цепочкой равенств. Образец: 7——j-З—=(7 + — ) +
59.5. Решите уравнение:
а) х + 2-^- = 5^-; в) 7-^--у =
б) 10А+х=ц2_; Г) 2_|_ = б-1-.
59.6. Свойства сложения и вычитания позволяют иногда выполнять действия, не выражая смешанное число неправильной дробью. Например:
6-|-+ 2-у*=(б + 4-) + (2 + - (6 + 2)+(y + т) = 8 + 4- =
Выполните действия, не выражая смешанные числа неправильными дробями:
59.7. Вася за лето поправился на 1— кг, а за осень — еще на — кг. Сколько весит Вася, если его первоначальная масса 2
была 36— кг? На сколько граммов он поправился за лето и осень?
59.8, Клоун гастролировал в двух городах: в одном 8-|- недели, в другом на Зу- недели меньше. Сколько всего недель гастролировал клоун? Сколько дней он провел в каждом городе?
урок go Умножение и деление дроби на натуральное число
Задача 1. Оля заболела. Доктор назначил ей в те-чение недели принимать лекарство: по — таблетки 3 раза в день. Сколько всего лекарства придется принять Оле?
Эту задачу можно решить двумя способами.
з
1-й способ. Ясно, что за день Оля примет — таб-
з
летки. Поэтому за неделю ей придется принять -у-* 7 (таблеток) .
2-й способ. Каждый день Оля будет принимать лекарство 3 раза, так что за неделю она примет его 3*7, т. е.
21 раз. Значит, всего за неделю она примет -i-*21 (таб-
леток). По формуле из урока 52 произведение доли на
21
натуральное число 21 равно дроби —. Так что получаем
21 Л ответ: — таблетки.
4
Но как бы мы ни решали задачу, Оле придется принять одно и то же количество лекарства. Значит, верно равенство
з 7_2£
4 * ~ 4 ’
Приглядитесь к нему повнимательнее. В левой части запи-з
сано произведение дроби ~ и натурального числа 7. А 4 3
дробь в правой части получается из дроби —, если умножить на 7 только ее числитель 3. Другими словами, чтобы умножить на 7 всю дробь, мы умножили на 7 ее числитель. Обнаружили такое правило:
ЧТОБЫ УМНОЖИТЬ ДРОБЬ НА НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО, НУЖНО УМНОЖИТЬ НА ЭТО ЧИСЛО ЕЕ ЧИСЛИТЕЛЬ, НЕ МЕНЯЯ ЗНАМЕНАТЕЛЬ.
1Т 2 2-5 10 7 А 7-9 63
Например, Т-о = —= т, -^-9 =—=-.
Задача 2. Полбуханки хлеба разрезали на 10 равных кусков. Какую долю буханки составляет один кусок?
И эту задачу можно решить двумя способами.
1-й способ. Раз кусок получается при делении бу-
ханки на 10 равных частей, то его величина равна 1 чл
частному — .10.
2-й способ. Раз в половине буханки содержится 10 кусков, то в целой буханке будет 20 таких же кусков. Поэтому каждый кусок равен буханки.
Получаем равенство
В левой части записано частное при делении дроби -i- на натуральное число 10. А дробь в правой части получается из дроби если умножить на 10 ее знаменатель 2. Значит, чтобы разделить всю дробь на 10, мы умножили на 10 ее знаменатель. Обнаружили правило:
ЧТОБЫ РАЗДЕЛИТЬ ДРОБЬ НА НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО, НУЖНО УМНОЖИТЬ ЕЕ ЗНАМЕНАТЕЛЬ НА ЭТО ЧИСЛО, НЕ МЕНЯЯ ЧИСЛИТЕЛЬ.
и 2 - 2 2 7 ,п 7 7
Например, 9 .5— g 5 —45» 6 <9— 6.9 ~54-
Найденные правила умножения и деления дроби на натуральное число удобно записать в виде формул:
т т
п г п-р
Вопросы и задания
60.1 . Как умножить дробь на натуральное число?
60.2 . Как разделить дробь на натуральное число?
60.3 . (У) Вычислите: а) -|~9; 6) 11; в) -~100;
г) 4-(13 + 7); д) А.(42-12); е) А;7; ж) -|-:12; з) Д-:50.
60.4.
а)(~7):9;
б) (—41) :5G;
в) 87;
Найдите значение числового выражения:
г) (-|-:10,У 101; ж) 93;
д) 11:(65-38); з) j-) :54;
е) —(51+49); и) (у— Д) • 1000.
60.5. Сравните значения числовых выражений:
a) -L.39 + -L-31 и -L.(39 + 31);
б) -64+4-36 и 4-‘(64 + 36); О э □
в) Т'97“Т-47 и Т’(97-47);
г) 4-51- — 49 и 4-(51-49); О О о
д) 4- 14 + 4" 14 и (т+т)-14:
') " (+4)'29:
“> ТТ'35—гг35 7 * * * 11 (тг-1т)-35;
. 9 3 /9 3 \ ..
3) IO*4 IO*4 И \ Ю 10/’ '
Какие выводы можно сделать?
60.6. Вычислите наиболее простым способом:
а> и т47-г'47;
б> Йг67~Йг66: 4-26+4-53 + 4-21;
в) 4-23 + 4-23; е) ^7 + ^7-^7.
60.7. Выразите смешанное число неправильной дробью и выполните действия: а) 7-|-6; б) Н-|— 21; в) 9^-:5; г) 7-^-:67.
У О 10 тУ
7
60.8. а) Дан квадрат со стороной — см. Найдите его пери-о
9
метр, б) Периметр квадрата — дм. Найдите длину его стороны.
14
60.9. а) Длина прямоугольника — см, ширина 8 см. Найдите о
площадь прямоугольника, б) Длина прямоугольника 11 дм, а его 29
площадь — кв. дм. Найдите ширину прямоугольника.
7
60.10. а) Пионеры 5-х классов собрали — ц макулатуры, а
о
пионеры 6-х классов — в 2 раза больше. Сколько макулатуры собрали шестиклассники? б) Ученики 10-х классов собрали -у-т металлолома, а ученики 9-х классов — в 3 раза меньше. Сколько
металлолома собрали девятиклассники?
60.11. а) Тихий океан занимает всей поверхности Земли, а Атлантический океан — в 2 раза меньше Тихого. Какую часть поверхности Земли занимает Атлантический океан? б) Австралия и Океания занимают всей поверхности сущи, а Южная Америка — вдвое больше, чем Австралия и Океания. Какую часть суши занимает Южная Америка?
60.12. В шахматах за выигрыш присуждается 1 очко, за ничью -----очка, за проигрыш — 0 очков.
а) Шахматист сыграл 24 партии, из них 5 выиграл и 4 проиграл, а остальные свел вничью. Сколько очков он набрал?
б) В 5-м А классе состоялся шахматный турнир. Его результаты показывает следующая таблица. Заполните в ней пустые клетки.
Участник Выиграл Проиграл Свел вничью Набрал очков Место
Вася 3 партии 4 партии 3 партии
Валя 5 партий 3 партии 2 партии
Вера 4 партии 4 партии 2 партии
Юра 1 партию 5 партий 4 партии
Игорь 6 партий 1 партию 3 партии
Коля 3 партии 5 партий 2 партии
60.13. Так же как и для натуральных чисел, среднее арифметическое дробей — это частное от деления их суммы на число
1 2
слагаемых. Найдите среднее арифметическое дробей: а) — и —; □ о
5 2 8 . х 3 7 II 15 16 25 17 23
) 7 ’ 7 И 7 ’ ) 8 ’ 8 ’ 8 И 8 ’ 11’ 16’ 11 И 16'
Урок 61 Основное свойство дроби
Вы уже замечали, что две по-разному записанные дро-1 2
би могут быть равны между собой. Например, —= —
1 3
—=— и т. д. Как объяснить такое интересное явление? о У
I 2
А что тут объяснять? Ведь равенства и
Л-х 1 3 4
—= — совершенно понятны, если рассмотреть о У
рисунок 51!
Эти равенства, конечно, понятны. Но мы хотим обнаружить свойство, которое будет годиться для любых дробей.
ТЛ 1 10 23
Как, например, объяснить равенство --= . —
1UU 1UUU 4э
23 000 000
45 000 000
? Ведь рисунок с миллионами клеточек нари-
совать не удастся! Здесь без рассуждений не обойтись. А помогут нам рассуждать правила умножения и деления дроби на натуральное число.
Возьмем любую дробь . Умножив на натуральное число р, мы увеличим ее в р раз. Если затем получившееся т
произведение — -р разделить на р, т. е. уменьшить в р раз, то снова получится исходная дробь . Сказанное можно
записать таким равенством:
Обратим внимание на произведение в скобках и применим правило умножения дроби на натуральное число: =
m-р * т-р
А теперь разделим на р по правилу деления
дроби на натуральное число:
. Получается це-
почка равенств
(т \ т-р т-р
— р ) :р = ——:р=— n J п п-р
Соединим в ней знаком равенства крайние выражения:
т-р-п^т,р п 'V п-р
Сравним друг с другом равенства а) и б). Левые части у них одинаковы, значит, и правые части должны быть равны. Получается формула
т __т-р
п п-р '
Эта формула выражает такое свойство:
ЕСЛИ У ЛЮБОЙ ДРОБИ ЧИСЛИТЕЛЬ
И ЗНАМЕНАТЕЛЬ УМНОЖИТЬ НА ОДНО И ТО ЖЕ НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО, ТО ПОЛУЧИТСЯ РАВНАЯ ЕЙ ДРОБЬ.
Это важное свойство называют основным свойством дроби. Пользуясь им, легко обнаружить равные друг другу дроби. Теперь мы без труда объясним, например, почему —= 2а вое 9ЯР.. Умножим числитель и знаменатель дроби 45 45 000 000
— на 1 000 000. Смотрите:
23 _ 23-1 000 000 _ 23 000 000
45 45 • 1 000 000 45 000 ООО '
Объясните, почему
Основное свойство дроби позволяет заменить дробь равной ей дробью со знаменателем, кратным числу п. Это помогает сравнивать дроби с разными знаменателями, выполнять над такими дробями действия. Мы займемся всем этим в 6-м классе.
Вопросы и задания
•у 61.1. В чем заключается основное свойство дроби?
61.2. (У) Объясните, почему равны дроби: а) — и ;
9 900 к 11 99 к 4 80 . .8 64
6} 10 И 1000’ В) 3 и 27’ Г) 5 и 100’ Д) 9 И 72 ’
\ 70 7
е' 10 000 и юоо *
61.3. Найдите среди следующих дробей равные между собой: х 33 5 1 11 _ю. 16 1 3 24 _8_. ' 81 5
3 J 42 ’ 10 ’ 2 ’ 14 ’ 20 ’ °' 18 ’ 10 > 30 ’ 27 ’ 9 ’ 99 ’ 4 ’
99 20
121 ’ 16 •
61.4. Как найти дробь со знаменателем 12, равную дроби -у?
Заметим, что 12 = 3*4, поэтому если умножить числитель и зна-5 5*4
менатель дроби — на 4, то получится равная ей дробь —, т. е. О О * тг
20
—, со знаменателем 12. Найдите: а) дробь со знаменателем 36,
равную дроби б) дробь со знаменателем 196, равную дроби О тУ
в) дробь со знаменателем 91, равную дроби г)* дробь с числителем 72, равную дроби
61.5. (У) Клоун предложил публике задачу: что боль-К© ше — сто десятых или тысяча сотых? Публика смеялась: всем было ясно, что эти числа равны. Объясните почему. Как здесь можно воспользоваться основным свойством дроби? Как то же самое можно объяснить по-другому?
Урок 62
Задания на повторение к § 6
62. L (У) а) Сколько граммов составляет кг; -i- кг; ж
4"кг? о
3 2 3 3 3 5
б) Сколько минут составляют — ч; — ч; — ч; —ч; —ч; — ч?
Л О 4 D О 1Z
62.2. Из задачи 52.15 вы знаете, что в учебные дни Вася з с 1 1
спит — суток. Еще -т- суток он занят в школе, — суток делает до-О О 1
машние задания, столько же времени помогает по дому, суток
С 4
тратит на еду. Все оставшееся время Вася свободен. Сколько часов в сутки Вася свободен? Какую часть суток составляет его свободное время?
62.3. Сравните значения числовых выражений:
62.4. а) Известно, что дробь правильная. Запишите все чис-ла, которые может обозначать буква т. б) Известно, что дробь
(Урок 62) 188
— неправильная. Запишите все числа, которые может обозначать буква п.
62.5. (Загадки.) а) Буквой т обозначено число. Известно, что существует только одна неправильная дробь с числите* лем т. Какое число обозначено буквой т? б) Отгадайте, какое число обозначено буквой и, если известно, что существуют ровно две правильные дроби со знаменателем, равным п.
62.6. Решите уравнение:
а) х-7 = ^-; г) х:21=^-; ж) х:5 = 4-Ь; к) 3-х—у-=у-;
б) д) х-3 = 3-Ь; з) х:8 = 3-^; л) х:6+~=-?-;
в) х:9=-Ь е) х.9=11^-; и) 5-х—м) х:9+|—
62.7. Витя, Гриша и Дима зашли пострелять в тир. Витя стрелял 4 ра-за и выбил 7, 6, 3 и 8 очков, Гриша стрелял трижды и выбил 1, 5 и 9 очков, а Дима пятью выстрелами выбил 7, 4, 6, 3 и 5 очков. Ребята заспорили, кто из них самый меткий. Дима говорил, что он выбил самую большую сумму очков: 25. Гриша утверждал, что он сделал самый меткий выстрел: выбил 9 очков. В конце концов, друзья решили подсчитать, сколько очков каждый
выбил в среднем одним выстрелом.
Сравните средние результаты Вити, Гриши и Димы и определите, кто из них самый меткий.
62.8. Какое наименьшее натуральное число может обозначать буква л, чтобы следующее неравенство было верным: а) п> —;
I
365 ч 1676 . 10 111 „
б) В) П>-[ТГ; Г)
62.9. (Загадка.) Задумано натуральное число. Среднее арифметическое этого числа и числа, следующего за ним в натуральном ряде, равно 7-^-. Какое число задумано?
62.10. В задаче 55.13 вы узнали, сколько метров в минуту проходит Антон и проезжает Иван. Антон и Иван одновременно отправились из одного пункта в одном направлении, а) Сколько метров пройдет Антон за 7 мин; за 9 мин? б) Сколько метров проедет Иван за 6 мин; за 8 мин? в) Какое расстояние будет между Антоном и Иваном через 10 мин; через 15 мин?
62.11. Следующие числа представьте в виде суммы разрядных слагаемых, назовите самый старший разряд и самый младший ненулевой разряд: а) 90 668; б) 301 240; в) 501 900; г) 1 000 000.
§ 7. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Вы уже познакомились с дробями. В записи каждой дроби участвуют два натуральных числа. Поэтому выполнять действия над дробными числами немного труднее, чем над натуральными числами. Но есть дроби, действовать с которыми почти так же легко, как и с натуральными числами. Это дроби, знаменатель которых равен степени числа 10. Такие дроби называют десятичными. О том, как записывать десятичные дроби удобным способом и как выполнять над ними действия, мы и расскажем в этом параграфе.
Урок 63 Что такое десятичная дробь
Наша нумерация десятичная. Такое название произошло от правила: единица каждого разряда в 10 раз больше единицы предыдущего младшего разряда (см. урок 6).
А как применить это правим к разряду единиц? Ведь для него нет младшего разряда!
и □
Да, разряд единиц — самый младший в записи натуральных чисел. Но правило к нему применить удастся, если мы будем иметь дело и с дробными числами. Давайте-ка порассуждаем. Единица предшествующего младшего разряда должна быть в 10 раз меньше единицы каждого разряда. Что в 10 раз меньше чем 1? Дробь -^j-.
Вот люди и договорились правее разряда единиц помещать разряд десятых долей. А чтобы указать, где кончаются единицы и начинаются десятые доли, перед десятыми долями ставят запятую.
Например, запись 34,2 обозначает число 34-^-. Число 5-^- можно записать: 5,9.
Скажите, какое число обозначает запись 67,1; 88,8. Запишите, применяя запятую, числа 6-Ь, 101-Ь.
Разряды справа от запятой можно продолжать и дальше. Что будет обозначать единица второго такого разряда? Чтобы сохранялось правило, она должна быть в 10
раз меньше чем Значит, это -^-:10, т. е. —. Единица третьего разряда после запятой— это 10, т. е. . Итак,
1-й разряд после запятой — десятые доли, 2-й разряд после запятой — сотые доли, 3-й разряд после запятой — тысячные доли.
4^ Какие доли записываются единицами 4, 5 и 6-го раз-
ш рядов после запятой?
Дробь, записанную с помощью цифр и запятой, называют десятичной дробью, дробь, записанную с помощью дробной черты, называют обыкновенной дробью.
Как и натуральные числа, всякую десятичную дробь можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Например,
27.8056-20 + 7+-^+-^+-^
В следующей таблице мы изобразили несколько первых разрядов после запятой и записали в нее цифры, обозначающие разрядные слагаемые числа 27,8056.
Разряды целой части числа Разряды дробной части числа
инхоэ десятки единицы десятые сотые тысячные десятитысячные 1 стотысячные । миллионные десятимиллионные стомиллионные миллиардные
2 7 8 5 6
и» Перерисуйте эту таблицу в тетрадь.
° Какое число обозначает, например, запись 7,63? Чтобы
понять это, нужно представить 7,63 в виде суммы разряд-
-7 со -7 I 6 | 3 IJ 6 60
ных слагаемых: 7.63 = 7+-+-. Но —=—
урок 61), так что 7,63 = 7 + ^ + ^. Значит, 7,63 и
7 63
7—— это две записи одного и того же числа.
Мы только что записали десятичную дробь 7,63 в виде
(см.
63 обыкновенной дроби 7—. Вообще можно сформулиро
о
вать такое правило:
Чтобы десятичную дробь записать в виде обыкновенной дроби, нужно:
1) то, что стоит до запятой, записать целой частью числа;
2) то, что стоит после запятой, записать в числитель дробной части, а в знаменатель записать единицу и столько нулей, сколько цифр после запятой.
Десятичную дробь и читают так же, как обыкновенную. Например, 7,63 — семь целых шестьдесят три сотых; 0,107 — нуль целых сто семь тысячных; 3,005 — три целых пять тысячных.
В наше время хорошими помощниками человека являются вычислительные машины. Самая простая из них — микрокалькулятор (см. рис. 52). Если его включить, на индикаторе высветится 0. Нажимая клавиши с цифрами, можно на индикаторе набрать натуральное число. Если нажать клавишу С , то число исчезнет и снова появится 0.
Наберите число 123; 258; 6037;
93 456 732.
и п
Как же набрать дробное число? Обыкновенную дробь набрать на большинстве микрокалькуляторов невозможно: ведь у нее есть и числитель, и знаменатель, а на индикаторе помещается только одно число. Поэтому при расчетах на микрокалькуляторе используют десятичные дроби. Чтобы набрать десятичную дробь, нужно после набора цело:! части нажать клавишу с изображением точки. В вычислительных машинах всегда используется точка вместо запятой. Поэтому сейчас в научных и технических книгах для записи десятичных дробей нередко пользуются не запятой, а точкой.
Наберите число 65,17; 70,813, 0,438;
0,00102. Наберите какую-нибудь десятичную дробь, покажите индикатор соседу по парте, пусть он прочитает набранное вами число. Проверьте, правильно ли он прочитал.
Вопросы и задания
63.1. Какая дробь называется десятичной?
63.2. Какая дробь называется обыкновенной?
(Урок 63) 1М
63.3. Как десятичную дробь записать в виде обыкновенной?
63.4. Какой знак используется в микрокалькуляторе вместо запятой?
3 63.5. а) Запишите следующие числа в таблицу разря-
• дов: 16,28; 4,1; 13,013; 7,2056; 100,001; 202,02; 23,7648;
4,00008. Назовите самый старший и самый младший разряд у каждого из этих чисел, прочитайте числа.
б) (У) Назовите самый старший и самый младший разряды у каждого из следующих чисел: 65,18; 9,03; 4,0404; 7,01; 7,001; 7,0001; 6,0277. Прочитайте числа.
в) (У) Прочитайте числа: 3,1415; 31,415; 0,31415; 0,031415; 3,14150; 0,314150; 3,01415; 3,01040105.
63.6. Запишите числа в виде десятичных дробей: а) две целые семь десятых; 6) одна целая тридцать семь сотых; в) двадцать целых тридцать семь тысячных; г) нуль целых тридцать семь тысячных; д) семь целых триста семь тысячных; е) девяносто целых триста семьдесят тысячных; ж) нуль целых одна десятитысячная; з) одна целая семь миллионных.
63.7. Запишите десятичную дробь в виде суммы разрядных слагаемых: а) 63,712; б) 808,08; в) 80,888; г) 8,08080; д) 8,080800; е) 0,1; ж) 0,01; з) 0,0305; и) 0,000009.
63.8. (У) Вычислите и результат скажите десятичной дробью:
а) 70 + 7 +—+— ; г) 5 + —+ ; ж) —++ 1000 I
б) 80 +—; д) 40Ч-—; з) 10Q0 ;
в) 30 + 6 + ^-+-^, е) 2+-[оо-Ч 10000 i и) Лоо+ 1Ооо + 10000
63.9. Прочитайте десятичные дроби и запишите их в виде обыкновенных дробей: 1,7; 37,56; 0,3; 0,03; 0,003; 0,61; 0,061; 0,0061; 37,00403; 20,78; 0,02078; 100,001.
63.10. Запишите числа в виде десятичных дробей:
7 7 7
а' 10 ' 100 ’ 1000 ’ 10 000 *
17 239 8453
6} 10 ’ 100 ’ 1000 ’ 10 000 ’
\ 43 513 417 5123 7029
д) 10. 10 ’ 100 ’ 1000 ’ 1000 ’
9 41 103
100 ’ 1000 ’ 100 000 ’
г) 17-Ц-; Ю—; 5-^-;
10 ’ 100 ’ 100 ’ 1000 ’
7009
1000 ’
63.11. а) Перепишите в тетрадь соотношения между единицами массы, заполнив пропуски десятичными дробями по следующему образцу: 1 г — 0,001 кг.
1 кг = ... ц; 1 кг = ... т; 1 ц—... т;
мг =
мг—...
1 мг = ... ц.
б) Выразите в тоннах и запишите десятичной дробью: 2 кг, 25 кг, 257 кг, 2 т 573 кг, 25 ц 73 кг.
в) Выразите в центнерах и запишите десятичной дробью: 7 кг, 48 кг, 623 кг, 6 ц 23 кг, 17 ц 5 кг.
63.12. а) Перепишите в тетрадь соотношения между единицами длины, заполнив пропуски десятичными дробями по следующему образцу: 1 см —0,01 м.
1 мм = ... м; 1 дм = ... м; 1 мм = ... см;
1 см = ... км; 1 мм = ... мм; 1 м = ... км.
б) Выразите в метрах и запишите десятичной дробью: 3 см, 47 см, 572 см, 5 м 72 см, 57 дм, 57 дм 2 см, 3 м 9 см, 2 м 5 мм.
в) Выразите в километрах и запишите десятичной дробью: 8 м, 8 дм, 8 см, 8 мм, 5 м 3 см, 1 км 63 м 24 см.
63.13. Клоун придумал для выступления 4 равенства с обыкновенными и десятичными дробями. Левые и правые части этих равенств он написал на отдельных карточках: левая часть каждого равенства — десятичная дробь, правая — то же число, записанное обыкновенной дробью. Вот эти карточки:
0,24
24 1000
3,076
24
100
Выйдя к публике, он вдруг забыл, какие из этих дробей равны. Перерисуйте эти карточки в тетрадь, соединив знаком « = » дроби, обозначающие одно и то же число.
урок 64 Когда десятичные дроби равны
Рассмотрим три десятичные дроби: 3,702, 3,7020 и 3,70200. Чем они отличаются друг от друга? Только количеством нулей в конце записи. А какие числа они обозначают? Чтобы выяснить это, нужно, как вы знаете из прошлого урока, записать для каждой из дробей сумму 7 2
разрядных слагаемых. Запишем: 3,702 —ЗН-—-|-у^; 3.7020 = 3+-^+-^; 3,70200 = 3+-^+-А. Посмот-рите, во всех равенствах справа написана одна и та же сумма. Значит, все три дроби обозначают одно и то же число 3 10W)'. Иначе говорят, эти три дроби равны: 3,702= =3,7020=3,70200. Какие же свойства мы обнаружили? Вот какие:
ЕСЛИ К ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ ПРИПИСАТЬ СПРАВА НЕСКОЛЬКО НУЛЕЙ, ТО ПОЛУЧИТСЯ РАВНАЯ ЕЙ ДРОБЬ.
7 Учебник-собеседник
ЕСЛИ В ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ ПОСЛЕДНИЕ ЦИФРЫ ПОСЛЕ ЗАПЯТОЙ — НУЛИ, ТО ПОСЛЕ ИХ ВЫЧЕРКИВАНИЯ ПОЛУЧИТСЯ РАВНАЯ ЕЙ ДРОБЬ
Первое из этих свойств позволяет и любое натуральное число записать десятичной дробью. Для этого надо после разряда единиц поставить запятую и написать столь* ко нулей, сколько нужно. Например, 23 = 23,0 = 23,00 = = 23,000 и т д.
Вопросы и задания
64.1. К десятичной дроби приписаны справа несколько и нулей. Равна ли полученная дробь первоначальной?
64.2. У десятичной дроби вычеркнули несколько последних нулей после запятой. Равна ли полученная дробь первоначальной?
V64.3. (У) Объясните, почему верны равенства: 0,850 = = 0,85; 4,2 = 4,200; 3,600 = 3,60; 0,720 = 0,7200.
64.4. Даны дроби: 2,7; 0,850; 60,37. Для каждой из них среди следующих дробей выберите равные ей дроби: 2,700; 60,370; 6,037; 0,85; 2,70; 0,8500; 0,0850; 60,3700. Результат запишите равенствами по образцу: 2,7=2,700 = 2,70.
64.5. а) Даны дроби: 2,8; 13,54; 0,6; 28,315. Для каждой из них запишите равную ей десятичную дробь с тремя знаками после запятой, б) Даны дроби: 7,28; 13,6; 2,571, 0,62 По образцу задания а) уравняйте в них число знаков после запятой, в) Выполните то же задание для чисел 6,315; 8,4; 0,02; 20,3; 0,009; 14
64.6. Прочитайте десятичные дроби. Затем перенесите запятую на один разряд влево и прочитайте получившиеся числа.
а) 16,47; в) 103,1, д) 300,003; ж) 50,107,
б) 20,309; г) 68,002; е) 12,3456; з) 23,6984.
64.7. В дробях а) — з) из 64.6 перенесите запятую на один разряд вправо и прочитайте получившиеся числа.
64.8. Запишите натуральные числа в виде десятичных дробей, а затем перенесите запятую на один разряд влево. Прочитайте получившиеся числа. Образец: 17=17,0; 1,70=1,7.
а) 235; 62; 513; 78; б) 180; 600; 30; 270.
Скажите, во сколько раз уменьшилось каждое число из б) после перенесения запятой.
1см
Рис. 53
64.9. а) Перепишите в тетрадь соотношения между единицами площади, заполнив пропуски десятичными дробями по следующему образцу: 1 кв. мм = 0,01 кв. см (см. рис. 53).
1 кв. см = ... кв. м; 1 кв. мм = . .. кв. дм;
1 кв. см = ... кв. Дм, 1 кв. мм = . .. кв. м;
1 кв. дм = ... кв. м; 1 кв. м = ... кв. км.
б) Выразите в квадратных метрах и запишите в виде десятичных дробей: 7 кв. см; 73 кв. см; 734 кв. см; 8675 кв. см; 8 кв. м; 13 кв. см; 813 кв. дм.
в) Выразите в квадратных сантиметрах и запишите в виде десятичных дробей: 8 кв. мм; 84 кв. мм; 843 кв. мм; 40 кв. мм; 3 кв. см; 5 кв. мм.
64.10. Запишите в порядке возрастания все трехзначные числа, которые начинаются цифрой 4 и заканчиваются цифрой 7.
Урок 65 Сравнение десятичных дробей
В записи десятичных дробей, как и в записи натуральных чисел, важно то, какую позицию занимает цифра. Вспомните, как мы сравнивали натуральные числа (см. урок 8). Так вот, сравнивая десятичные дроби, снова можно представить, что одноименные разряды «соревнуются», чье разрядное слагаемое больше: единицы с единицами, десятые с десятыми, сотые с сотыми и т. д. Сравним, например, числа 37,634 и 37,628. Цифры в разрядах десятков, единиц и десятых долей у них одинаковые. Смотрим тогда на разряд сотых. У первого числа сотых долей больше, значит, и само оно больше: 37,654>37,628.
Сравните числа 5,38 и 5,29; 0,73 и 0,76; 23,514 и 24,279; 16,737 и 9,859.
Мы сравнивали числа с одинаковым количеством цифр после запятой. А как быть, если этих цифр разное количество? Как, например, сравнить числа 6,27 и 6,2499? Очень просто. Вы уже знаете, что к десятичной дроби всегда можно приписать справа столько нулей, сколько нужно. В данном случае припишем к дроби 6,27 два нуля: 6,27 = 6,2700. Мы получили десятичную дробь с таким же числом цифр после запятой, как и у дроби 6,2499. Какая дробь больше? Ясно, что 6,2700. Значит, 6,27> >6,2499. Конечно, эти нули писать необязательно. Обычно их представляют мысленно. Вот примеры:
638,470354276
638Д7035377628
0,07238567832
0.07238567832024
Цифры в одноименных разрядах одинаковы
Сразу видно, что второе число меньше
Цифры в одноименных разрядах одинаковы
t
Сразу видно, что второе число больше
Значит, при сравнении десятичных дробей пользуются тем же правилом, что и для натуральных чисел: десятичные дроби сравнивают поразрядно, начиная со старшего разряда.
Вопросы и задания
65.1. Что значит сравнить два числа? Какими Mares' магическими знаками записывается результат сравнения? V65.2. Как сравнивают десятичные дроби?
65.3. Сравните числа:
а) 6,31 и 17,28; д) 0,0302 и 0,0032; и) 0,5 и 0,49;
б) 6,837 и 6,829; е) 0,025 и 0,035; к) 0,4607 и 0,4617;
в) 43,24 и 43,172; ж) 5,025 и 5,03; л) 6,001 и 6,01;
г) 0,527 и 0,572; з) 16,2302 и 12,23; м) 1,82 и 18,2.
65.4. В таблице приведены данные о пассажирских самолетах в порядке введения их в эксплуатацию:
Марка самолета Год Скорость (км/мия) Число пассажиров Средняя дальность полета (тыс. км)
Ту-154 1970 15,83 158 6,6
Ил-62 1972 16,67 197 10,3
Ту-144 1975 41,67 121 6,5
Ил-86 1975 16,33 350 4,2
Як-42 1984 13,67 118 2,9
Запишите марки самолетов в порядке убывания: а) скоростей; б) числа пассажиров; в) средней дальности полета.
65.5. Цепочку из двух неравенств называют двойным неравенством. Вот примеры двойных неравенств: 6,3<6,47<7,2; 18,5>18>17,6.
Вставьте вместо многоточия какое-нибудь число так, чтобы было верно двойное неравенство:
а) 2,2<...<2,4; г) 2,4<„-<2,5;
б) 0,864>...>0,81; д) 0,19>...>0,18;
в) 23,465<...<24,465; е) 6,7>...>6,699.
65.6 . О числе b говорят, что оно стоит между числами а и с, если справедливо двойное неравенство a<fe<c. Какое натуральное число стоит между числами: а) 18 и 20; б) 7,3 и 8,5; в) 33 и 34,3; г) 99,9 и 101; д) 0,23 и 1,7?
65.7 . Сколько натуральных чисел стоит между числами: а) 3,7 и 6,6; б) 18,2 и 19,8; в) 43 и 45,42; г) 15 и 18?
65.8 . Между какими соседними натуральными числами стоит число: а)8,4; 6)16,376; в)99,5; г) 83,17; д) 100,001?
65.9 . Смекалкин придумал примеры на сравнение чисел с размазанными цифрами (о том, как они возникли, см. 8.9 и 8.10): а) 2,01 <2,02; г) 1,892< 1,00765;
б) 6,413>6,408; д) 4,5О8>4,593;
в) 0,39826<0,3О845; е)* 50,683 <50,6<> 1.
Восстановите размазанные цифры.
65.10 . Не восстанавливая размазанные цифры, поставьте нужные знаки < и > между числами в следующих парах: а) 4,300 и 4,700; г) 0,000 и 00,00;
б) 00,412 и 0,90; д)* 95,00 0 и 04,030.
в) 0,742 и 0,7410 0;
Ответ объясните.
65.11 . (У) Какой знак надо поставить между цифрами 3 и 4, чтобы получилось число, большее трех, но меньшее четырех?
65.12 . Выразите величины в одинаковых единицах измерения, а затем сравните их между собой: а) 6,7 и 6690 мм; б) 18,34 кг и 243,6 г; в) 7,3 дм и 8,6 см; г) 83,62 ц и 8,362 т; д) 74,38 см и 693,7 мм.
65.13 . Найдите значение числового выражения, выполнив действия в наиболее удобном порядке:
а) 7982+ (212 6184-71 717);
б) 865+(1097+1135);
в) (13 256 + 80 719) + 26 744;
г) (3057+11 147)+ 6943.
Объясните, какими свойствами сложения вы воспользовались.
65.14. Токарю нужно выточить деталь, имеющую две части (рис. 54).
Рис. 54
Длина одной из них 15,7 см, а другой 13,2 см. Найдите длину заготовки, выразив сначала длину каждой части в миллиметрах. Ответ запишите в сантиметрах
65.15. (У) Клоун утверждал
а) 3,7 меньше, чем 3,278 Ведь в первом числе цифр SWU меньше, чем во втором,
б) 25,63 равно 2,563. Ведь у них одни и те же цифры идут в одном и том же порядке.
Публика смеялась: всем было ясно, что клоун не учитывает положение запятой в записи десятичных дробей. Исправьте утверждения клоуна.
Урок 66 Сложение и вычитание
Задача. Деталь имеет две части (рис. 54). Длина одной из них 15,7 см, длина другой 13,2 см. Какую длину должна иметь заготовка?
Вы решали эту задачу (см. 65.14), выражая длины в миллиметрах. В ответе получилось 28,9 (см). Но длина заготовки равна сумме 15,7+13,2 (см) Значит, верно равенство 15,7+13,2=28,9
Легко заметить, что сложение здесь выполняется поразрядно: десятки складываются с десятками, единицы — с единицами, десятые доли — с десятыми Если бы были сотые доли, то их тоже складывали бы друг с другом. Например, 15,73+13,24=28,97 Тысячные доли складываются с тысячными и т. д
Найдите сумму 15,732 и 13,246.
И вообще, сложение десятичных дробей выполняется поразрядно, начиная с младшего разряда.
Как сложить десятичные дроби с разным числом знаков после запятой? Для этого к дроби с меньшим числом таких знаков приписывают нули. Например, 3,75+2,1463=3,7500+2,1463=5,8963. Эти нули обычно не пишут, а представляют мысленно.
Правило поразрядного сложения позволяет складывать десятичные дроби точно так же, как и натуральные числа,— «столбиком». Надо только внимательно писать числа, чтобы одноименные разряды оказались друг под другом. Тогда и запятые в записях дробей обязательно окажутся друг под другом. Например:
,46,4212 3,78 2,346 ,0,0714. 417
41,2627’ +14,172’ + 0,247 ' 0.052 ’ 3,56
87^6839 17,952 2^93 0,1234 420,56
Видите, и при сложении десятичных дробей может происходить перенос одной единицы в следующий разряд.
Вычитание - действие, обратное сложению. Поэтому поразрядный способ сложения десятичных дробей подсказывает нам, что вычитание можно тоже выполнить поразрядно, начиная с младших разрядов. Например:
__ 87,6839
41,2627
46,4212
Если в уменьшаемом и вычитаемом разное количество знаков после запятой, то их число надо уравнять, приписав нужное количество нулей. Например, чтобы вычислить 3,7 — —1,814, запишем:
3,700
1,814
1,886
Повторим теперь, как складываются и вычитаются десятичные дроби «столбиком»:
.. сложить две десятичные дроби
Чтобы ................................... «столби-
вычесть одну десятичную дробь из другой
ком», нужно:
1) подписать одну дробь под другой так, чтобы цифры одноименных разрядов были точно друг под другом (тогда запятая окажется под запятой);
сложить
2) дроби поразрядно;
вычесть
3) в полученном результате поставить запятую под запятыми обеих дробей.
Итак, сложение и вычитание выполняются над десятичными дробями точно так же, как и над натуральными числами. Поэтому свойства сложения и вычитания, сформулированные в уроках 33 и 34 для натуральных чисел, верны и для десятичных дробей.
Какие законы сложения вы знаете? Сформулируйте их.
Для сложения это переместительный и сочетательный законы. Часто они помогают легче находить сумму десятичных дробей. Например, (37,8 +1,836)+0,364 = 37,8 + + (1,836 + 0,364) = 37,8 + 2,2 = 40.
Вопросы и задания
66.1. Как складываются и вычитаются десятичные дроби?
66.2. Как называются компоненты сложения и резуль
тат? Как называются компоненты вычитания и результат? Что такое разность двух чисел? Как проверить правильность выполненного вычитания?
66.3. Какие совместные свойства сложения и вычитания чисел вы знаете?
66.4. (У) Глядя на равенство 20,64-3,7=24,3, ска жите, не вычисляя, чему равна разность 24,3 — 3,7.
66.5. (У) Выполните действие:
а) 3,7 + 1,1;
б) 1,42+0,33;
в) 1,42+3,3;
г) 7,53+2,46;
д) 0,98 + 0,02;
е) 3,7+ 1,7;
ж) 7,55 + 2,46;
з) 0,033 + 0,167;
и) 6,9 —2,3;
к) 2,87—0,64;
н) 10—0,25;
о) 6,2-2,3;
л) 68,3-23,3;
м) 0,84 — 0,52;
66.6. (У) Найдите сумму:
а) 7,8 + 0,1; г) 0,25 + 0,1;
б) 7,8+0,2; д) 0,25+0,01;
в) 7,8 + 0,7; е) 0,25 + 0,001;
п) 2,37 — 0,64;
р) 68,3—23,8;
с) 10—7,77;
т) 0,84-0,25.
ж) 0 + 0,57;
з) 23,629 + 0;
и) 3,456+1.
66.7. Вычислите:
а) _9,673. б) _476,02 . в) _412
0,545’ 0,8739 ' 0,753’
г) _ 46,00659
8,059 ’
66.8. Выполните действие:
а) 0,26 + 0,45; з) 6,28 — 5,32; п) 0,4092-0,3999;
б) 12,123 + 4,024; и) 45,103 — 6,294; р) 2,056—1,96;
в) 37,4 + 3,06778; к) 51,72 — 5,7; с) 0,03—0,0246;
г) 0,93+1,5079; л) 0,456 — 0,376; т) 1,726 — 0,9;
д) 4,507 + 0,193; м) 245,678 — 5,678; у) 25 — 2,647;
е) 8,003+12,707; н) 30 — 0,0058; ф) 83 — 82,876;
ж) 0,251+47,749; о) 1—0,998; х) 12 — 11,999.
Результаты пунктов и), п), р) проверьте сложением. Результаты пунктов к), л), н) проверьте вычитанием.
66.9. Запишите обыкновенную дробь в виде десятичной и выполните действия:
а) 0,45 + + в) 1.32-i; л) 1^-0,394;
6) 1;+5,493;
е) Ю.42-®-
®-°’053-
66.10. «Столбиком» чем два. Вычислите:
а) 5,27 + 4,2+0,628;
б) 0,047+14,07+6,3;
можно складывать и больше слагаемых,
в) 0,04 + 21,2637 + 8 + 0,7963;
г) 12,3 + 1,23+0,123+0,0123.
66.11. Найдите значение а) 7,21-1,5 + 3,72-0,06, б) 18 —(11,03-9,5) + 6,28,
выражения
в) 44,4-(37,45+ (50-46,54)), г) 8,3 + (14,6 —(12,91 -11,97)).
66-12. Вычислите значение выражения (а+1,37)+(а— 0,16) при а = 2,58; 4,63; 3,147; 0,16; 0,32.
66.13. Решите уравнение: а) х +7,564 = 8,24, г)
б) 6,83+х = 33,004, д)
в) х — 0,57=6; е)
3,579 —х = 0,888, 9,359 + 2-х =15,359, 3-х —0,284 = 5,716.
66.14. Используя свойства действий, вычислите наиболее удобным способом:
а) 0,27+(1,78+ 5,73);
б) 21,49 + 73,674 + 31,51, в) (1,777+ 9,878)+ 2,223; г) 37,45 —(26,45 + 8,888);
д) 6,73-(4,73-2,87);
е) 9,14 — 5,67 — 2,33;
ж) 13,88+8,46—2,46, з) 23,63 + 9,78-2,63
66.15. Смекалкин придумал примеры с размазанными цифрами. Перепишите их в тетрадь, восстановив размазанные цифры:
а)
,3,050 б) ФО,4О .
4,187 ’
0 0,5 в) 0,000,
1 8,5 4 8 ’
0,20 г)
2,08 0 .
1,447 ’
06,070 0,0 О
2 6,8 6 5 *
66.16. Скорость лодки на озере (в стоячей воде) 3,3 км/ч С какой скоростью будет плыть лодка по течению реки и с какой против течения, если скорость течения 2,8 км/ч?
66.17. В 1987 г. в школах нашей страны училось 44,8 млн. школьников, в ПТУ — 4,1 млн. учащихся. В том же году в техникумах обучалось на 0,4 млн. человек больше, чем в ПТУ, а в вузах — на 0,6 млн. больше, чем в техникумах. Сколько всего человек в нашей стране училось в 1987 г. в школах, ПТУ, техникумах, вузах?
66.18. На уроке физкультуры Вася, Валя и Вера бежали в одном забеге на 60 м. Вася пробежал дистанцию за 10,4 с. Валя прибежала второй, на 0,8 с позже Васи. А Вера прибежала на 0,3 с позже Вали. Через неделю была проведена эстафета в три этапа по 60 м. Вася, Валя и Вера оказались в одной команде. За сколько секунд они пробегут всю дистанцию эстафеты, если будут бежать с той же скоростью, что и неделю назад?
66.19. Са мые высокие вершины в СССР — пик Коммунизма, пик Победы и пик Ленина. Высота пика Коммунизма 7,495 км. Пик Победы на 0,056 км ниже пика Коммунизма, а пик Ленина ниже пика Коммунизма на 0,361 км. Какова высота пика Победы, пика Ленина? На сколько пик Победы выше пика Ленина?
66.20. Клоун придумал несколько примеров на сложение и вычитание десятичных дробей, а чтобы было смешно, стер в них запятые. Вот какие забавные равенства получились:
а) 32+18 = 5;
б) 3+108 = 408;
в) 42+17 = 212; д) 63 — 27 = 603;
г) 736-336=4; е) 57 — 4 = 17.
Перепишите их в тетрадь, поставив в нужных местах запятые
Урок 67 Умножение и деление на степень числа 10
Давайте вспомним, что происходит с разрядными слагаемыми у числа, которое умножают на 10. Возьмем, к примеру, число 548. Тогда 548-10 = (500 + 40+8)-10 = = 5000 + 400 + 80. Мы видим, что каждое разрядное слагаемое становится в 10 раз больше, значит, оно становится разрядным слагаемым следующего разряда: 5 сотен превратились в 5 тысяч, 4 десятка — в 4 сотни, 8 единиц — в 8 десятков.
То же самое происходит, если умножить на 10 десятичную дробь: каждое разрядное слагаемое увеличивается в 10 раз. Значит, оно становится разрядным слагаемым следующего, старшего разряда; десятые доли становятся единицами, сотые — десятыми, тысячные — сотыми и т. д. Где теперь после умножения на 10 должна встать запятая? Ясно, что она должна переместиться на один разряд вправо: 13,768-10= (1 десяток + 3 единицы + + 7 десятых-|-6 сотых+ 8 тысячных) * 10= 1 сотня+ 3 десятка+7 единиц+6 десятых+ 8 сотых = 137,68.
А как умножить 13,768 на 100? Вспомним, что 100 = = 102=10-10. Поэтому 13,768.100=(13,768-10)-10= = 137,68.10=1376,8. Видите, запятая переместилась на два разряда вправо.
Какое число получается, если умножить 13,768 на 1000? (Совет: вспомните, что 1000 = 103.)
[ Ю, Итак, умножая на) 10°» переносим запятую вправо.
I 1000,
II разряд.
2 разряда
3 разряда.
И вообще, умножая десятичную дробь на степень
числа 10, нужно перенести запятую вправо на столько знаков, каков показатель степени.
А если, например, требуется умножить число 13,768 на 10 000? Надо перенести запятую на 4 разряда, но знаков после запятой здесь только 3. Как быть?
Догадались, что нужно сделать с дробью, чтобы она была записана с нужным числом знаков после запятой?
Надо приписать недостающее количество нулей. Так что при умножении 13,768 на 10 000 напишем сначала 13,7680, а затем, перенося запятую, получим 137 680.
Деление — действие, обратное умножению. Поэтому сразу можно догадаться, что при делении на 10 запятую надо переносить на один разряд... .
Догадались, в какую сторону переносить? Закончите сами предложение.
Конечно же, надо переносить в обратном направлении, т. е. влево. Чтобы объяснить это правило, надо вспомнить, что при делении на 10 каждая разрядная единица становится в 10 раз меньше, значит, она превращается в единицу следующего младшего разряда: десятки — в единицы, единицы — в десятые доли, десятые — в сотые, сотые — в тысячные и т. д.
А как разделить десятичную дробь на 100? Нужно разделить ее сначала на 10, а потом еще раз на 10. Каждое деление на 10 перемещает запятую влево на 1 разряд. Значит, при делении на 100 запятая перемещается влево на 2 разряда.
На сколько разрядов перемещается влево запятая при делении на 1000; на 10 000?
Разделим теперь 13,768 на 1000. Запятую надо перенести влево на три разряда, а перед запятой стоят только две цифры. Как быть? Легко догадаться, что перед первой цифрой нужно написать нули. Получится 0,013768.
Сделаем общий вывод: при
умножении делении
десятичной дро-
л вправо
би на степень числа 10 нужно запятую перенести ............
влево
на столько разрядов, сколько нулей в записи этой степени.
Теперь пусть нам надо разделить на 100 натуральное число, например 1037. Где взять запятую, чтобы перенести ее влево? Для этого запишем 1037 десятичной дробью с нулевой дробной частью: 1037,0. После деления на 100 получим 10,370, но ведь 10,370=10,37. Этот пример подсказывает общее правило деления натурального числа на степень числа 10: чтобы разделить натуральное число на степень числа 10, надо отделить запятой справа столько цифр, сколько нулей в записи этой степени.
Правила деления и умножения на степень числа 10 помогают легко переходить от крупных единиц измерения к более мелким и обратно. Например,
7,583 м = (7,583-100) см = 758,3 см;
6537 г =(6537:1000) кг = 6,537 кг.
Вопросы и задания
степень числа
67.1. Как десятичную дробь на
10? А
67.2. На сколько разрядов и в какую сторону перемеща-
ется запятая при умножении на 10; на 1000; на 100 000? А при делении на те же числа?
67.3. При десятичной дроби на степень
числа
10 запятую перенесли на 3 разряда BMW? , На какое число
умножили дробь? разделили г
67.4. а) В десятичной дроби запятую перенесли на 4 разряда вправо. Во сколько раз увеличилась дробь? б) В десятичной дроби запятую перенесли на 5 разрядов влево. Во сколько раз дробь уменьшилась?
Г67.5. а) Умножьте 245,073 на 100; на 1000; на 100 000. б) Разделите 245,073 на те же числа.
и 67.6. а) Во сколько раз 76,345 больше, чем 0,76345?
б) Во сколько раз 76,345 меньше, чем 7634,5?
67.7. Найдите зна-
чение буквенного выражения а -100 + Ь: 10 при значениях букв, указанных в таблице:
а 3,657 0,246 0,0354 0 0,2
b 2358 737,4 86,8 0,3 0
67.8. Решите уравнение:
а) 10-% + 3,72 = 5,69;
б) 0,58+100-х= 10,12;
в) Jt: 10— 1.87 = 8,45;
г) 18,345 —х:100 = 8,73; д)* 6,37 •* +28,73 = 92,43; е)* 4,38+ 18,96 :х = 2,484.
67.9. Запишите: а) 7,3456 м в сантиметрах, миллиметрах; б) 6,043 т в центнерах, килограммах, граммах; в) 0,8 р. в копейках; г) 346 мм в сантиметрах, метрах, километрах; д) 73,6 кг в центнерах, тоннах; е) 749 к. в рублях.
67.10. а) Запишите числа только цифрами: 9,7 тыс.; 0,3 тыс.; 6,3 млн.; 0,098 млн.; 1,3 млрд.; 5,04 млрд, б) Запишите в тысячах 37 200; 8352; 3 452 780; 340. в) Запишите в миллионах 12 345 000; 4 003 200; 560 430.
67.11. Чтобы выработать 80 г меда, пчеле надо облететь 1 млн. цветков. Сколько граммов меда в среднем собирает пчела с одного цветка?
| 67.12. Длина прямоугольника 4,3 см, ширина 3,8 см. Запишите длину и ширину в миллиметрах, найдите площадь прямоугольника в квадратных миллиметрах, а затем запишите ее в квадратных сантиметрах.
67.13. а) Рассмотрите цепочку равенств и объясните в ней каждое равенство: 63,78*0,1 =63,78*^-=63,78:10 = 6,378.
б) Вычислите, записывая цепочки равенств, как ива):
80,57 *0,1; 165,6 * 0,01; 5647,3 • 0,001;
3,95 * 0,1; 37,43 • 0,01; 457,98 * 0,001.
в)* В каждом примере из б) сравните положение запятой в 1-м множителе и в результате. Какое правило можно сформулировать?
Урок 68 Умножение на десятичную дробь
Вспомните, что значит умножить данное число на натуральное число. Это значит взять данное число несколько раз слагаемым. Например, 3,67 • 4 = 3,67 + 3,67 + 3,67 + -|-Зэ67= 14,68. Сравним выполненные действия с умножением 367 на 4. Получим 367 • 4 = 367 + 367 4- 367 + 367 = = 1468. Ответы в этих двух примерах очень схожи и отличаются лишь положением запятой.
Чтобы объяснить схожесть ответов, надо вспомнить, что сложение десятичных дробей выполняют (как и сложение натуральных чисел) поразрядно. А запятая отделяет в сумме столько же десятичных знаков справа, сколько их в каждом из одинаковых слагаемых. Значит, при умножении на натуральное число действует правило: в произведении десятичной дроби на натуральное число за-- пятая отделяет столько же знаков справа, сколько их от-li^ деляет запятая в исходной дроби.
Десятичные дроби приходится умножать не только на натуральные числа, но и снова на десятичные дроби.
Вот задача, в которой требуется перемножить две десятичные дроби:
Задача. Длина прямоугольника 4,3 см, ширина 3,8 см. Найти площадь прямоугольника в квадратных сантиметрах.
Чтобы решить эту задачу, нужно 4,3 умножить на 3,8. Вы. решали эту задачу (см. 67.12), выражая длины сторон в миллиметрах. У вас получилось 16,34 кв. см. Значит, верно равенство 4,3*3,8=16,34.
К этому равенству можно прийти и другим путем, записав цепочку равенств:
4.3.3,8 = 4,3-(38:10) = (4,3-38): 10= 163,4:10= 16,34.
Объясним все равенства в этой цепочке:
[Т|— подставили 38:10 вместо 3,8 (это ведь одно и то же);
ПИ—использовали свойство умножения и деления (а*Л):с=п*(Ь:с);
[3]— умножили 4,3 на натуральное число 38 по уже известному правилу, отделив один знак запятой;
|4~|—перенесли запятую на один знак вправо, воспользовавшись правилом деления на 10.
Если бы требовалось умножить не на 3,8, а, например, на 6,87, то нужно было бы вместо 6,87 написать 687:100. И вообще, всегда умножение на десятичную дробь можно свести к умножению на целое число, а затем к переносу запятой на столько разрядов, сколько ею отделено во втором множителе.
Подведем итог. Следите внимательно! Десятичные дроби перемножают как натуральные числа и затем ставят в нужное место запятую: сначала отделяют ею справа столько же знаков, сколько их отделено в первом множителе, а потом еще переносят ее влево на столько знаков, сколько отделено запятой во втором множителе. Сколько же всего десятичных знаков будет отделено запятой? Ответ ясен: сумма числа знаков после запятой в первом множителе и числа знаков после запятой во втором множителе.
Сформулируем правило:
Чтобы перемножить две десятичные дроби, их надо перемножить как натуральные числа (т. е. не обращая внимания на запятую), а затем в полученном результате отделить запятой столько десятичных знаков, сколько их в обоих сомножителях вместе.
Примеры: v 0,245 4,9
х 0,03 *0,79
0,00735 . 441
'343
3.871
Для умножения десятичных дробей (так же как и для умножения натуральных чисел) выполняются переместительный, сочетательный и распределительный законы. Часто они помогают проще выполнять умножение. Например, (0,25 • 7,23) • 4 = (7,23 - 0,25) - 4 =
=7,23 • (0,25 • 4) = 7,23 • 1 = 7,23; 8,2 - 3,7 +1,3 • 8,2 = =8,2-(3,7 4- 1,3)=8,2-5=41.
Вопросы и задания
68.1. Как умножают десятичные дроби? Как называют-J ся компоненты умножения и результат?
* 68.2. Какие законы умножения вы знаете? Сформули-
руйте их.
68.3. Чему равно произведение данного числа на 0; на 1?
V 68.4. Замените сложение умножением, а затем вы-
2 числите:
а) 3,08 + 3,084-3,084-3,084-3,08;
б) 18,4 + 18,4+ 18,4—(13,8 + 13,8+13,8+13,8).
68.5. (У) Вычислите:
а) 0,3-8; д) 9-0,7; и) 0,4-0,6; н) 0,42; с) 1,3-1,1;
б) 1,4-2; е) 11-0,6; к) 0,12-0,4; о) 0,32; т) 0,13-1,1;
в) 1,7-3; ж) 5-0,14; л) 1,7-0,3; п) 0,112; у) 1,3-0,11;
г) 0,13-4; з) 60-0,5; м) 1,9-0,6; р) 0.13; ф) 0,13-0,11.
68.6. Выполните умножение:
а) 31,3-2,7; д) 8,6-3,07; и) 0,43-0,07; н) 3,242;
б) 0,91-5,8; е) 17,9-0,8; к) 2,3-0,008; о) 0.4762;
в) 120-7,49; ж) 1,45-1,6; л) 7,4-0,403; п) 4,833;
г) 12,6-7,5; з) 7-12,037; м) 8,2-3,007; р) 23,023.
j 68.7. Найдите значение числового выражения:
а) 8,42- 3,8 • (7,16- 4,615)+2,23;
?б) (0,567 + 0,753)2+70 -0,006;
в) 29,38 - 19,48 •( 10 - 9,35)+7,52;
+) 13—10-(0,038+ 0,162)—1,372;
Д) (0,87 + 0,76 - 0,63) -(15,2 - 7,8)2.
. 68.8. (У) Найдите значение выражения, выполнив вычисления
^Наиболее простым способом:
£а) (19,3-5)-20; д) 57,48-0,396+42,52-0,396;
И 2,5-1,47-4; е) 0,89-5,06 + 5,06-1,11;
В) 0,2-3,87-0,5; ж) 53,76-78,91-43,78-78,91;
>г) 0,25-7,53-0,4;
з) 8,39-4,32 — 4,32-6,39.
68.9. Заполните таблицу, вычислив значения буквенного выражения:
а 1,83 6,57 0,56 11,3 10,8 1 7,34
b 2,01 5,69 0,56 9,4 11,3 0,63 0
11,3-а—9,4-6
68.10. Решите уравнение:
а) х:3,57+12,32 = 21,23; в) х:5,04 — 27,13 = 3,62;
б) 37,42 —х:4,009= 18,73; г) 7,32 + %:2,86 = 60.
68.11. Те, кто смотрел мультфильм «38 попугаев», знают, что длина удава равна 38 попугаям. Длина попугая 0,24 м. Какова длина удава?
68.12. Запишите цену этого учебника математики. Нацдите на последней странице, каким тиражом он выпущен. Какова стоимость всего тиража?
Вам учебники предоставлены бесплатно. Берегите их!
68.13. При посеве моркови расходуется 0,35 г семян на 1 кв. м. Сколько семян надо приготовить для посева на поле длиной 260 м и шириной 145 м?
68.14. Кусок проволоки ювелир разделил на два куска, равных по массе. Из одного куска он сделал цепочку, состоящую из 80 одинаковых звеньев, а из другого — цепочку, состоящую из 100 одинаковых звеньев. Масса одного звена первой цепочки 0,12 г. Какова масса одного звена второй цепочки?
68.15. В 1960 г. общеобразовательную школу в нашей стране окончило 1,06 млн. человек, а в 1986 г. — в 2,86 раза больше. Сколько человек окончило школу в 1986 г.?
68.16. Перечитайте задачу 66.16. Какое расстояние проплывет лодка за 2 ч, за 3 ч, за 1,5 ч, если она плывет: а) по озеру; б) по реке против течения; в) по течению реки?
урок 69 Деление на натуральное число
Изучая сложение, вычитание и умножение десятичных дробей, вы убеждались, что эти действия выполняются так же, как и над натуральными числами. Надо только правильно определить, куда ставить запятую. И деление десятичной дроби на натуральное число выполняется по тому же правилу, что и деление натуральных чисел. Надо лишь научиться ставить запятую в частном. Проследим на примере, когда появляется запятая:
47,31 13___
3_ П577
17
15
_2 3
2 1
_ 21
21
0
Как обычно, начинают с подбора цифры старшего разряда в частном. Дважды мы нашли цифры (это 1 и 5), выполняя деление целой части дроби (т. е. 47). Жирным шрифтом выделен остаток от деления целой части. Он меньше делителя. Дальше деление нацело невозможно и поэтому появляются доли, сначала десятые, затем сотые.
Итак, чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо делить ее так же, как натуральное число, а запятую в частном поставить сразу, как только кончится деление целой части.
А если целая часть делимого сразу меньше делителя, где тогда ставить запятую? Что ли нуль целых писать?
Правильно. Вот примеры:
2,736 18
1 8 7)7152
_93
90
“36
. 36
_ 13,26
"12 0
_ I 26
1 20
60
60 о
15
0,884
Нуль, напечатанный пунктиром, потребовалось приписать для того, чтобы закончить деление.
Десятичные дроби могут появиться и при делении целых чисел. Например:
21
~ 18
30
“30
3 4
_3о пШ
28
20
20
0
Значит, можно записать: 21:6 = 3,5 и 3:4=0,75.
Какой обыкновенной дробью записывается частное 21:6, 3:4?
Каждый знает, что ^-=21:6, а -|-=3:4. Так что -^-=3,5 и -^-=0,75. Видите, мы обыкновенную дробь записали де-
(Урок 69) HQ
сятичной дробью. А как эту десятичную дробь вычислили?
Разделили числитель на знаменатель. Вот правило:
ЧТОБЫ ОБЫКНОВЕННУЮ ДРОБЬ ЗАПИСАТЬ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБЬЮ, НАДО ЧИСЛИТЕЛЬ РАЗДЕЛИТЬ НА ЗНАМЕНАТЕЛЬ.
Вопросы и задания
69.1. Как делят десятичную дробь на натуральное число?
69.2. Как записать обыкновенную дробь в виде десятичной?
69.3. (У) Выполните деление:
а) 2,6:2;
б) 15,9:3;
в) 20,8:4;
г) 18,9:9;
д) 3,6:4;
е) 5,4:9;
ж) 0,18:6;
з) 0,24:3;
69.4 . Найдите частное:
и) 5,68:8;
к) 1,05:5;
л) 4,26:6;
м) 0,032:4;
а) 93,15:23;
б) 159,84:72;
в) 484,38:69;
г) 686,93:730;
Результаты б) и е)
69.5 . Запишите
д) 101,854:127;
е) 1128,423:141;
ж) 12,025:185;
з) 17,604:326;
и) 6,06:6;
о) 60,6:6;
п) 11,11:11;
р) 111,1:11.
и) 1:2; н) 13:25;
к) 3:5; о) 48:75;
л) 3:4; п) 39:15;
м) 9:8; р) 117:78
проверьте умножением.
обыкновенные дроби в виде десятичных:
»> f; 6) в) А; г) 2.;
ч 36. V 63 „V 97
И) 75 ’ 175 ’ Л) 250 ’
69.6. Решите уравнение:
а) 7- х4-13,48=97,9;
б) 57,3-11 -х= 18,14;
в) 17,6:2,27 = 1,73;
г) 4,36 —5,28 :х= 1,36;
д) (х—8,59)- 6= 17,49;
е) (х +2,67): 7=0,86;
ж) (5-х—23,8)-8 = 37,6;
з) х-|-х-|-х-|-х=5,46.
69.7. Расстояние от Астрахани до Махачкалы по Каспийскому морю 410 км. Теплоход на подводных крыльях «Буревестник» способен пройти это расстояние за 4 ч. С какой скоростью должен для этого плыть теплоход?
69.8. На производство 7100 пар детских ботинок фабрика израсходовала 89 957 р. Какова стоимость одной пары?
69.9. Летчик-испытатель Комаров на самолете Е-266 установил мировой рекорд скорости 825 м/с.
а) Ветер, скорость которого достигает 30 м/с, называют ураганом. Во сколько раз быстрее урагана летел Комаров?
б) Скорость звука 330 м/с. Во сколько раз Комаров превысил скорость звука?
69.10. С опытного участка площадью 41 400 кв. м собрали 17 388 кг зерна. На другом опытном участке урожайность зерна была на 0,07 кг/кв. м больше. Какой урожай собрали со второго участка, если его площадь 40 200 кв. м? С какого поля собрали больший урожай и на сколько килограммов?
69.11. Прямоугольную пластинку длиной 41,3 мм требуется разрезать на два прямоугольника той же ширины, что и данная пластинка, так, чтобы длина одного из них была на 3,7 мм больше, чем длина другого (рис. 55). Какую длину имеет каждый прямоугольник? (Совет: составьте уравнение.)
69.12. Используя совместные свойства умножения и деления, вычислите цепочкой равенства:
Рис. 55
а) (7,7-6):7; в) (17:25):4;
б) (8,8-9): 11; г) (7,9:5):2.
Урок то Деление на десятичную дробь
Как разделить одну десятичную дробь на другую? Нельзя ли заменить такое деление делением на натуральное число? Ведь делить на натуральное число мы умеем! Оказывается, можно.
Найти нужное правило нам поможет решение примера. Разделим, например, 12,831 на 2,73. Представим 2,73 как 273:100 и запишем цепочку равенств: 12,831: 2,73 =12,831 :(273:100)=(12,831:273).100= = (12,831 • 100):273= 1283,1:273. Мы воспользовались здесь совместными свойствами умножения и деления, а также правилом умножения десятичной дроби на степень числа 10. Соединим в цепочке крайние выражения знаком равенства:
12,831:2,73=1283,1:273.
Видите, деление на дробь 2,73 заменено делением в 100 раз большего числа на натуральное число 273. Другими словами, мы и делимое, и делитель увеличили в 100 раз, т. е. в их записи запятые переместились вправо на одно и то же число знаков.
Сформулируем правило:
Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько знаков, сколько их после запятой в делителе, а затем выполнить деление получившихся чисел.
Рассмотрите внимательно, как это правило применяется в следующих примерах:
(Урок 70)
а) 12,831:2,73 = 4,7;
_1283,1 1273
1092 4,7
_191 1
191 1
0
212
б) 4,5:1,25 = 3,6;
450 1125
375 ГЗДГ
750
750 О
в) 10,24:0,16 = 64.
1024 116
96 Гб4~
64
64 О
При делении «столбиком» в примере б) в записи делимого появился нуль, а в примере в) в записи делителя нуль исчез. Объясните, почему так произошло.
Для умножения и деления десятичных дробей верны те же свойства, что и для этих действий над натуральными числами. Часто они помогают проще находить значения числовых выражений. Например, 7,38:0,75:4 = = 7,38: (0,75 - 4) = 7,38:3 = 2,46.
Вопросы и задания
70.1. Как разделить число на десятичную дробь?
5 70.2. Как называются компоненты деления и результат?
Что такое частное? Как проверить правильность выполненного деления?
70.3. Какие совместные свойства умножения и деления вы знаете? Сформулируйте их.
70.4. (У) а) Глядя на равенство 1,57-1,2 = 1,884, скажи-
; те, не вычисляя, чему равно частное 1,884:1,2.
б) Глядя на равенство 0,26-0,51=0,1326, скажите, не вычисляя, чему равно частное 0,1326:0,26.
70.5. Выполните деление:
а) 41,58:5,4; е) 130,248:6,48;
б) 49,44:4,8; ж) 6809,46:52,3;
в) 85,68:0,42; з) 55 284,3:54,9;
г) 86,1 +2,46; и) 54,0204:4,2;
д) 0,2091:4,1; к) 20,3812:4,06;
Результаты в), з), н) проверьте и), о) —делением.
70.6. Найдите частное:
а) 0,83:0,1; в) 3,456:0,01; д)
б) 0,057:0,1; г) 0,17:0,01; е)
л) 36:2,25; р) 2,7:0,36;
м) 24:0,625; с) 0,7:0,16;
н) 1:0,8; т) 3:0,015;
о) 1:12,5; у) 7,7:0,07;
п) 1:1,25; ф) 3,3:0,66.
умножением, а результаты г),
2,318:0,001; ж) 0,1:0,01;
0,53:0,001; з) 0,01:0,1.
70.7. Найдите значение числового выражения: а) 51,328:6,4 —6,66: (8,2—6,72);
б) (6,24:4,16 + 6,867:2,18):0,15;
в) 27,5967:(8—1,186)+18:0,6;
г) (35,8164 + 4,444): 8,02 + 105,21:3,5.
70.8. Найдите значение буквенного выражения
6,57:(с+ 0,2+ 7,56):(с-0,2) при с = 0,3; 0,44; 0,7; 1,4; 1,8.
70.9. Решите уравнение:
а) х-10,7 + 6,48 = 12,151; в) 51,912:х + 0,321 = 1,351;
б) 13,57 — 0,69-1,8193; г) 23,53 —7,35:х= 18,63.
70.10. Вычислите цепочкой равенств, используя свойства действий:
а) 36,8:0,5:4; г) 6,3:(0,7:5,6); ж) (1,7:0,25).(9:0,4);
б) (0,7-8,8): 1,1; д) (6,7:3,2).(3,2:6,7); з)* (6:0,75):(4:3,7).
в) (3,6:0,25):0,9; е) (15:0,16):(7,5:0,8);
70.11. Победительница Игр доброй воли 1986 г. Анжел Майерс проплыла 50 м за 25,6 с. С какой скоростью она плыла?
70.12. При посеве гречихи на 1 кв. м расходуется 12,5 г семян. Какую площадь можно засеять, имея 23 000 г семян?
70.13. На побелку потолка в комнате, длина которой 4,8 м, а ширина 3,6 м, израсходовали 1,89 кг мела. Сколько надо взять мела на побелку потолка в комнате, длина которой 5,2 м, а ширина 3,8 м?
70.14. а) Перечитайте задачу 68.14. Составьте обратную ей задачу, в которой требуется найти количество звеньев в первой цепочке.
б) Перечитайте задачу 69.7. Составьте обратную ей задачу, в которой требуется найти время, необходимое теплоходу, чтобы проплыть от Астрахани до Махачкалы.
Урок 71 Тренируемся в действиях над десятичными дробями
Для того чтобы хорошо выполнить действия над десятичными дробями, нужно постоянно тренироваться. В этом уроке дается много упражнений и задач для такой тренировки. Некоторые из них (по указанию учителя) вы будете выполнять с помощью микрокалькулятора.
На микрокалькуляторе (см. рис. 56) все действия выполняются по одним и тем же правилам. Сначала набирают первый компонент действия, затем нажимают клавишу с изображением
MU' до
ЭЛЕКТРОНИКА
Рис. 56
знака нужного действия, после этого набирают второй компонент действия и, наконец, нажимают на клавишу с изображением знака « = ». На индикаторе высвечивается результат действия. Клавиши сложения +
и вычитания
вы легко узнаете. Действие умноже-
ния обозначено клавишей X , действие деления — кла-
вишей
Вычислите 2,23 + 4,89; 7,35 — 0,763; 4,2-3,76;
18,7572:6,09.
Если вместо
нажать клавишу со знаком дейст-
вия, то на индикаторе высветится результат предыдущего действия и он станет первым компонентом нового действия. Например, чтобы вычислить 3,7-4,1—13,2,
нужно: 1)
брать 4,1;
набрать 3,7; 2) нажать клавишу X ; 3) на-
4) нажать клавишу — ; 5) набрать 13,2;
6) нажать клавишу
Вычислите 3,7 *4,1 —13,2 по указанному плану. Затем вычислите (5,8 + 6,3) *4,06.
Итак, вы познакомились с клавишей = и кла-
вишами действий + , — , X , 4- .
А какая клавиша обозначает возведение в степень?
На микрокалькуляторе, который мы рассматриваем (МК-62), такой клавиши нет. Поэтому, чтобы возвести число в степень, поступают так: набирают основание
степени, потом нажимают на клавишу X , а затем
нажимают показатель нужно: 1)
3) нажать
на клавишу степени. Например, набрать 7,3; 2)
на один раз меньше, чем чтобы вычислить (7,3)3, нажать клавишу X ;
клавишу = ; 4)
нажать клавишу
Вычислите 7,33; 3,7\
На более сложных микрокалькуляторах есть клавиша возведения в степень. Как пользоваться ею, написано в инструкции по эксплуатации.
А если случайно набрал число неправильно, то клавишу С нажимать и все сначала начинать?
Можно и так исправить ошибку, но тогда исчезнут оба компонента действия. Поэтому для исправления есть специальная клавиша СК . Она гасит только последнее набранное число. Вместо него можно набрать нужное число.
В следующих главах мы расскажем о других возможностях микрокалькулятора.
Вопросы и задания
71.1. Какие действия называют действиями 1-й ступе-5 ни, 2-й ступени, 3-й ступени?
71.2. В каком порядке выполняются действия в числовом выражении без скобок?
71.3. В каком порядке выполняются действия в числовом выражении со скобками?
71.4. Выполните действия:
I а) 86,4.(17,01:4,2):6,4;
б) 6,72 — (35,656 + 4,444):8,02;
в) (5,2:26+ 26:5,2).6,1+5,25:5;
г) 4,42 • 30,3 + 6,68: (0,6 + 3,852:3,6);
д) 10,12 —5,454 :(14,8 —7,3-2,02);
е) (4,6 -3,5+15,32): 31,42 + (7,26 — 5,78): 0,148;
ж) (101,96 - 6,8 - 7,2): 4,24 - 3,4 • (10 -6,35);
з) 3,26-0,62—4,97142:7,1 4-82,8-0,33.
71.5. Найдите значение буквенного выражения O'b:(c-[-d) при значениях букв, указанных в таблице:
а 7,7 24,7 14,3 1,33 9,1
b 2,21 11,9 3,23 18,7 20,9
с 3,62 16,56 5,49 3,78 7,15
d 3,53 38,69 5,56 6,67 7,15
71.6. При каком значении х значение буквенного выражения: а) х-6,73 4-13,473 равно 34,336;
б) х:3,07 — 5,67 равно 3,45?
71.7. Решите уравнение:
а) (х-15,43).0,2 = 3,73; в) 0,78-(х +0,2) = 3,9;
б) (0,1 — х): 0,106 = 0,67; г) 5,43 • (х- 1,36) = 5,8101.
71.8. Используя распределительные свойства умножения, упростите выражение, а затем найдите его значение:
а) 0,36.а + 0,84-а + 3,8-а при а= 1,7; 0,95; 3,08; 4,17;
б) 2,47-6— 1,35-6 + 0,88-b при 6=6,3; 0,54; 7,09; 3,28;
в) г«4,69 — с-2,73 — £«0,96 при £ = 3,5; 8,73; 9,47; 8,542;
г) 5,72.d+l,28.d — d при d = 2,4; 5,21; 0,43; 7,41;
д) 6,37-е —3,79.£ —2,58-е при е = 7,9; 16,83; 73,15; 19,86.
71.9. Решите уравнение:
a) 3,5-x + 4,08-x + 2-x = 4,79; д) 0,8.х + 0,95-х + 49,7 = 84,7;
б) 0,27-х + х —0,18-х = 7,63; е) 0,4-х+ 2,75+ 6,2-х = 5,555; в) 5,2-х —3,3-х —0,1 *х = 0,36; ж) х —0,2-х —3,57=6,43;
г) х —0,15«х —0,4«х= 1,35; з) 0,37-х +0,63-х —3,59 = 0.
71.10. а) Цена 1 кг сливочного масла 3 р. 60 к. Сколько стоят 2 кг; 2,5 кг; 0,5 кг; 1,3 кг; 0,3 кг; 400 г; 250 г; 1 кг 600 г; 2 кг 750 г? б) Обозначьте буквой а массу масла в килограммах. Запишите формулой стоимость а килограммов масла.
71.11. Сколько минут составляют 2 ч; 2,5 ч; 0,5 ч; 0,3 ч; 3,4 ч; а часов?
71.12. Скорость пешехода 0,9 м/с. а) Какое расстояние он пройдет за 1 мин? Какова его скорость в м/мин? б) Сколько метров тот же пешеход пройдет за 1 ч? Какова его скорость в м/ч? Сколько километров проходит пешеход за 1 ч? Какова его скорость в км/ч?
71.13. Скорость автомобиля а м/с. а) Какое расстояние проедет автомобиль за 1 мин? Какова скорость автомобиля в м/мин? б) Сколько метров тот же автомобиль проедет за 1 ч? Сколько километров он проедет за 1 ч? Какова скорость автомобиля в км/ч? в) Запишите в км/ч следующие скорости: 23 м/с, 17,7 м/с, 30,2 м/с, 0,8 м/с.
урок 72 Учимся рассуждать при решении задач.
Как находить ответ, когда спрашивается «хватит ли?»
В большинстве задач, которые вы уже решали, отвечать приходилось ’на вопрос «сколько?» Тогда ответом было число. Например, число литров, число метров, число штук и т. п. Но часто бывает нужно не только узнать количество чего-то, но и ответить на вопрос «хватит ли?». Вот очень простая задача. С похожей задачей может столкнуться каждый из вас, помогая дома по хозяйству.
Задача 1. Мама поручила Игорю купить 3 бутылки молока по 30 к. У Игоря на покупку 1 р. Хватит
ли ему этой суммы?
Давайте рассуждать.
Как узнать, хватит ли 1 р. на покупку?
Как узнать, сколько копеек требуется на покупку?
Нужно сравнить эту сумму (100 к.) с числом копеек, которое требуется для покупки.
Нужно цену одной бутылки умножить на число покупаемых бутылок: 30 «3.
Теперь легко составить план решения. Вот он:
1) Найти стоимость покупки.
2) Сравнить ее с суммой имеющихся денег.
Дайте ответ на поставленный к задаче вопрос.
Ответом «хватит» или «не хватит» задача не всегда заканчивается. Например, если к задаче 1 Игорю денег не хватит, то следовало бы определить, сколько еще денег надо взять; если хватит, то нужно понять, будет ли сдача, и не забыть ее получить. В общем, узнав, хватит или не хватит, надо принять решение, что делать дальше. Вот пример такой задачи:
Задача 2. На животноводческой ферме 270 коров. Каждая дает 12 кг молока в день. Молоко с фермы вывозят в бидонах, по 40 кг в каждом. Сегодня на ферме есть 65 пустых бидонов. Хватит ли их, чтобы вывезти весь сегодняшний надой молока?
Если ответ «хватит», то останутся ли пустые бидоны и сколько их останется? Если ответ «не хватит», то сколько бидонов надо привезти на ферму?
Давайте рассуждать. Видно, что задача распадается на две части. Ясно, что начинать надо с вопроса: хватит ли бидонов? Чтобы на него ответить, нужно узнать сколько их потребуется для вывоза ежедневного общего надоя на ферме.
Как узнать, сколько потребуется бидонов?
Как найти общий надой? Как узнать, хватит ли бидонов?
Надо общий надой разделить на 40.
Надо умножить 12 (кг) на 270. Надо сравнить значение выражения (12-270):40 с числом 65.
Чтобы продолжить решение задачи, для удобства обозначим значение выражения (12«270):40 буквой а. В этой части задачи придется выполнить только один из следующих пунктов:
1) Если а=65, то бидонов хватит и пустых не останется.
2) Если а <65, то бидонов хватит и останется 65 —а бидонов.
3) Если а >65, то бидонов не хватит и надо привезти а —65 бидонов.
V а
Вычислите значение а и решите задачу. Какой из пунктов: 1, 2 или 3 — пришлось вам выполнить?
Если в задаче 2 будут другие данные, то, возможно, при ее решении придется выполнить какой-то другой из пунктов 1, 2, 3. Другие варианты задачи 2 мы предлагаем в задании 72.1.
Задания
V72.1. Перечитайте задачу 2 из объяснительного текста. Изменим некоторые данные в ее условии: а) на ферме есть не 65 бидонов, а 85; б) на ферме 65 бидонов, а коров 200; в) на ферме 65 бидонов, коров 200, а удой каждой коровы 13 кг.
Какой из пунктов: 1, 2 или 3 — вам пришлось выполнить, решая задачу в варианте а); в варианте б); в варианте в)?
72.2. Для посева гречихи требуется 12,5 г семян на 1 кв. м. Хватит ли 100 т семян для посева на поле длиной 5 км и шщэиной 3 км? А 200 т? В каждом случае продолжите задачу по образцу вопросов пункта б) задачи 2 из объяснительного текста.
72.3. а) Юра захотел взять в школьной библиотеке на обычный срок 10 дней сразу три книги: в одной 124 страницы, в другой 188, в третьей 86. Библиотекарь выразил сомнение в том, что он успеет прочитать их за этот срок. Юра сказал ему, что успеет: каждый день он может выделять на чтение 2 ч, а скорость его чтения — 1 страница за 3 мин. Действительно ли Юра успеет прочитать все три книги за 10 дней?
б) Изменится ли ответ в задаче а), если в третьей книге не 86 страниц, а 136 страниц?
в) Изменится ли ответ в задаче а), если в третьей книге 135 страниц, но Юра может выделять на чтение 3 ч в день?
г) Изменится ли ответ в задаче а), если в третьей книге 135 страниц, Юра выделяет на чтение 3 ч в день, но его скорость — 1 страница за 4 мин?
72.4. Вася решил за 1 ч проехать на велосипеде по шоссе 18 км, а именно, 9 км туда и столько же обратно.
а) С какой средней скоростью должен ехать Вася?
б) Дорога туда идет под гору. Поэтому Вася ехал со скоростью, на 2 км/ч большей, чем вычисленная средняя скорость. Обратно он решил ехать со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем вычисленная средняя скорость. Вася предполагает, что он потратит на всю дорогу тот же 1 ч. Прав ли он?
Задания на повторение к § 7
73.1. Запишите обыкновенные дроби в виде десятичных, а затем выполните действия:
26 । _з_- в\ 207 । 65 . \ 16» । 105 .
52”*" 4 ’ В-1 75 I-52’ 92 84 ’
1 н 153 117 \ 207 219
85 65 ’ ' 68 52 ’ 69 73 '
73.2. Запишите обыкновенные дроби в виде десятичных, а затем сравните их:
а)
б)
57 _5_.
95 И 8 ’
2— И 2—•
2 85 И 2 16 ’
В)
306 234 .
68 И 52 ’
75 И
169
104
156 126 .
Д) 104 И 84 ’
е) — и —
9 138 65
а) б) в)
73.3. Решите уравнение:
0,8 • (х + 2) + 0,2 • х = 5,2; г) 0,3.у+1,3.(у + 2,4) = 6; д)
l,7.(z-l)+l,5-z=4,7; е)
0,6.(х+ 1,2)—'0,4-х=2,8; 3,6-f/4"0,4-(7 —1/)= 15,6;
5,4 • z+0,8 • (0,9+z)=0,72.
73.4. В 1940 г. в СССР было выпущено 3,5 тыс. холодильников, а в 1985 г. — 5859 тыс. Во сколько раз увеличился выпуск холодильников за указанные годы?
73.5. В 1919 г. колонии капиталистических стран занимали территорию 97,8 млн. кв. м и в них проживало 1235 млн. человек. В результате национально-освободительной борьбы многие страны обрели независимость, и в 1985 г. территория колоний стала 1 млн. кв. км, а население 13 млн. человек. Во сколько раз уменьшилась территория колоний и во сколько раз уменьшилось их население?
73.6. Расстояние между домами Оли и Кати 380 м. Девочки договорились выйти из дому одновременно и идти навстречу друг другу. Олина скорость 42,3 м/мин, Катина — 47,7 м/мин. а) Через сколько минут девочки встретятся? б) На каком расстоянии от Олиного дома произойдет встреча? А от Катиного?
73.7. Две бригады маляров должны покрасить 256 кв. м стен. Одна бригада за 1 ч красит 13,3 кв. м, а другая — на 1 кв. м меньше, а) За какое время обе бригады вместе выполнят эту работу? б) Сколько квадратных метров стен покрасит каждая бригада?
73.8. а) Придумайте числовое равенство с десятичными дробями. Предложите соседу по парте проверить его.
б) Вспомните правило, сформулированное в задании Н.бв). Прибавьте к обеим частям равенства, составленного вами в пунк
те а), одну и ту же десятичную дробь. Проверьте полученное равенство. Сформулируйте правило, которое теперь можно обнаружить.
в) Вычтите из обеих частей равенства, составленного в пункте а), одну и ту же десятичную дробь. Проверьте полученное равенство. Сформулируйте правило, которое теперь можно обнаружить.
73.9. От двух пристаней, расстояние между которыми 4 км, одновременно навстречу друг другу отправились две лодки. Скорость каждой из них в стоячей воде 3,2 км/ч. Скорость течения 2,7 км/ч. а) Через какое время лодки встретятся? б) На каком расстоянии от каждой из пристаней произойдет встреча?
73.10. Периметр квадрата 31,2 мм. Какова его площадь?
73.11* . Клоун предложил публике разгадать ребус:
а) СУМК.А б) СЛОВ,О
+ СУМК.А + СЛОВ,О
БАГАЖ ПЕСНЯ
*
Расшифруйте в каждом ребусе, какую цифру обозначает каждая буква.
§ 8. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ В ПРАКТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ
Вы уже научились выполнять действия над десятичными дробями: складывать их, вычитать, умножать и делить. Умеете вы и сравнивать десятичные дроби. Но этого недостаточно для их применения в практических вычислениях. Чтобы с пользой применять десятичные дроби, нужно хорошо понимать, как они появляются в практических задачах, уметь округлять их и вычислять проценты. Всему этому мы и будем учить вас в § 8.
урок 74 Приближенное значение числа
Задача. Цена 1 кг сметаны 1 р. 40 к. В банку вошло 420 г. Сколько нужно заплатить за эту сметану?
Давайте рассуждать. Так как 420 г = 0,420 кг, а 1 р. 40 к.= 140 к., то за 420 г. надо заплатить 140*0,42 = = 58,8 (к.).
Но заплатить 58,8 к. невозможно. Ведь не станешь разламывать копейку на части! Заплатить можно только целое число копеек. Каким же натуральным числом надо заменить дробь 58,8? Чтобы ответить на этот вопрос, запишем, между какими соседними натуральными числами она расположена: 58<58,8 <59. Числа 58 и 59 называют приближенными значениями дроби 58,8. Число 58 — приближенное значение с недостатком (ведь ему до числа 58,8 недостает 0,8). Число 59 — приближенное значение с избытком (оно на 0,2 превосходит 58,8).
и а
К какому из приближенных значений дробь 58,8 ближе — к 58 или к 59? Конечно, к числу 59. Ведь она отличается от 59 на 0,2, а от 58 на 0,8. Поэтому в нашей задаче 58,8 будет разумно заменить числом 59. Такую замену дроби ближайшим натуральным числом называют округлением до единицы. Значит, за сметану надо заплатить 59 к.
Если бы сметаны в банке было 410 г, то ее стоимость получилась бы 57,4 к. (проверьте!). Дробь 57,4 ближе к числу 57, чем к числу 58. Значит, округляя ее до единицы, мы получим 57.
Для записи действия округления используют знак приближенного равенства: «. Можно записать: 58,8 «59, 57,4 «57. Читают: «Число 58,8 приближенно равно числу 59», «Число 57,4 приближенно равно числу 57».
Если стоимость 420 г сметаны выражать не в копейках, а в рублях, то получится 0,588 р. Число 0,588 расположено между 0,58 и 0,59. Заменяя 0,588 числом 0,59, мы округляем 0,588 до сотых долей. Округляя до сотых дробь 0,574, получаем 0,57.
А до десятых тоже можно округлить?
Конечно. И до десятых, и до любых других разрядов.
Округлить число до данного десятичного разряда — значит заменить его ближайшим числом, в котором отсутствуют разряды, меньшие данного.
Например, округляя 0,588 до десятых, получаем 0,6.
Округлите 3,3674 до тысячных, до сотых, до десятых.
Дано число 2,3675. Как округлить его до тысячных? Оно попадает между числами 2,367 и 2,368 и одинаково от них удалено (на 0,0005). Значит, оба они — ближайшие к данному числу. Какое же из них взять для округления?
Люди договорились в таких случаях заменять число его приближенным значением с избытком. Так что 2,3675 «2,368.
Г7 Округлите 2,365 до сотых, 2,35 до десятых,
° 2,5 е^ини^
Давайте округлим число 5,4796 до тысячных. У нас получится 5,480.
А можно не писать последний нуль?
ШЙЬ Ведь 5,480 = 5,48!
Если не писать последний нуль, то, глядя на число 5,48, можно было бы подумать, что округление числа 5,4796 производилось до сотых, а не до тысячных. В
числе 5,480 нуль в конце записи сигнализирует, до какого именно разряда произведено округление.
Вопросы и задания
74.1. Что значит округлить число до данного разряда?
74.2. Как называется знак ««»?
74.3. Округлите числа в таблице до указанных разрядов:
Число До тысячных До сотых До десятых До единиц
24,6357
6,2745
0,8053
74.4. (У) Прочитайте записи и скажите, до какого разряда округлены числа:
а) 8,37826 «8,3783; 8,37826«8,38; 8,37826«8;
б) 0,564398 «0,6; 0,564398 « 0,564; 0,564398« 0,56440.
74.5. Цена 1 кг колбасы 2 р. 90 к. Сколько надо заплатить денег за: а) 300 г; б) 430 г; в) 680 г; г) 250 г; д) 375 г?
74.6. Побелка 1 кв. м потолка стоит 13 к. а) Сколько надо заплатить за побелку потолка в комнате длиной 6 м 20 см и шириной 3 м 40 см? б) Измерьте длину и ширину вашей классной комнаты в сантиметрах. Запишите эти величины в метрах и вычислите, сколько надо заплатить за побелку потолка в вашем классе.
Рис. 57
74.7. Приближенные значения часто возникают при измерениях. Вы, например, умеете измерять отрезки линейкой с точностью до миллиметров. Конечно, имеются инструменты, позволяющие измерять и более точно. Но мы пока будем пользоваться обычной линейкой. На рисунке 57 изображен треугольник АВС с прямым углом при вершине В и сторонами АВ длиной 16 мм и ВС длиной 25 мм. Измеряя отрезок ДС, мы видим, что точка С попадает между делениями 29 мм и 30 мм. Если обозначить длину стороны АС буквой х, то можно записать х«29 мм (с недостатком) и х«30 мм (с избытком).
а) Нарисуйте треугольник АВС с прямым углом при вершине В и сторонами АВ длиной 17 мм и ВС длиной 37 мм. Измерьте у этого треугольника сторону АС с недостатком и избытком.
б) Выполните то же задание для треугольника со сторонами АВ длиной 23 мм и ВС длиной 37 мм.
74.8. Округлите до десятых число а, если:
а) 2,76<а<2,78;
б) 3,85 < а <3,93;
в) 0,75<а<0,85;
г) 0,12<а<0,14;
д) 7,15<а<7,22;
е) 8,97 <а< 9,02;
ж) 6,37 <а< 6,42;
з) 4,22<а<4,25;
и) 9,95<а<9,96.
74.9. В задаче 65.4 приведены скорости самолетов, а) (У) До какого разряда округлены эти скорости? б) Найдите скорости самолетов в км/час и округлите их значения до единиц.
ag® 74.10. Клоун стал округлять число 5,4545: а) до еди-ниц; б) до десятых; в) до сотых; г) до тысячных. Он решил просто не писать цифры в «ненужных» разрядах и получил ответы: а) 5; б) 5,4; в) 5,45; г) 5,454. Некоторые из этих ответов верны, другие не верны. Укажите верные
ответы и исправьте неверные.
урок 75 Округлять приходится и натуральные числа
Клоун рассказал такую смешную историю:
— В краеведческом музее экскурсовод, показывая скелет мамонта, сказал: «Этому мамонту 1 миллион 9 лет 3 месяца и 8 дней». Экскурсанты удивились: «Откуда вы это знаете? Разве можно определить возраст мамонта с такой точностью? Ведь у мамонта нет свидетельства о рождении!» Экскурсовод ответил так: «Когда я поступил на работу, мне сказали, что этому мамонту 1 миллион лет. С того дня я работаю в музее 9 лет 3 месяца и 8 дней. Вот я и прибавил к 1 миллиону этот срок».
Публика смеялась. И мы тоже можем посмеяться над незадачливым экскурсоводом. Он, конечно, не учел, что возраст мамонта был сообщен ему округленным числом. Более точно определить возраст было нельзя.
Мы видим, что округлять иногда приходится и натуральные числа. В каких случаях? Во-первых, тогда, когда излишняя точность неоправдана. Надо ли, например, с точностью до миллиметра знать размер участка, чтобы огородить его забором? Конечно, нет! А вот стыковочный узел на космическом корабле изготовляют с точностью до долей миллиметра. Никто не считает собранный колхозом урожай в зернах или граммах, для этого применяют центнеры и тонны. А вот при взвешивании лекарств нельзя даже до граммов округлять, на аптекарских весах нужна точность до долей миллиграмма.
Во-вторых, зачастую и невозможно указать точное количество чего-нибудь в данный момент времени. Например, численность населения города или страны: почти каждую минуту кто-то рождается, кто-то, увы, умирает, кто-то уезжает, кто-то приезжает.
Что же значит округлить натуральное число? Это значит заменить его ближайшим к нему «круглым» числом, т. е. числом, оканчивающимся одним или несколькими нулями. Возьмем, к примеру, число 2738. Выделим те числа, составленные из «круглых» десятков, между которыми оно стоит: 2730 <2738 <2740. Какое из них ближе к числу 2738? Ясно, что 2740. Значит, 2738 округляется до числа 2740. Округлить число до десятков — это значит заменить его ближайшим числом, состоящим из десятков, т. е. имеющим 0 в разряде единиц.
Давайте округлим теперь то же число 2738 до сотен. Между какими «круглыми» сотнями находится это число? Между 2700 и 2800. Какое из них ближе к числу 2738? Ясно, что 2700. Вот мы и округлили 2738 до сотен. Округлить число до сотен — это значит заменить его ближайшим к нему числом, состоящим из сотен, т. е. имеющим нули в разрядах десятков и единиц.
/Я) Л что значит округлить число до тысяч?
& до десятков тысяч? до миллиона? Округлите
число 2738 до тысяч.
Как округлить до десятков 2735? Ведь от чисел 2730 и 2740 оно одинаково удалено. В этом случае действует та же договоренность, что и в случае десятичных дробей: если число одинаково удалено от «круглых» чисел, то берут большее из них. Значит, 2735^2740.
Конечно, не очень трудно узнать, к какому «круглому» числу данное нам число ближе. Но при этом все-таки приходится выписывать заранее два возможных результата округления. Нельзя ли найти другой, более быстрый и легкий способ округлять числа? Потерпите до следующего урока, где мы об этом расскажем.
Вопросы и задания
75.1. Что значит округлить число до сотен; до сотен тысяч?
75.2. Сколькими нулями оканчивается число, округленное до сотен; до десятков тысяч; до миллионов?
75.3. Округлите числа в таблице до указанных разрядов:
Число До тысяч До сотен тысяч До десятков миллионов
31 902 873
186 276 501
9 857 318
75.4. (У) Прочитайте записи и скажите, до какого разряда округлены числа: а) 486 573 « 486 570; 486 573« 487 000; 486 573 « 500 000; б) 2 175 309 « 2 000 000; 2 175 309 « 2 180 000; 2 175 309«2 175 300.
75.5. (У) Расстояние от Земли до Солнцам 149 600 000 км, до звезды Сириус « 81 900 000 000 000 км, до звезды Вега « 249 500 000 000 000 км. Прочтите эти записи. До каких разрядов округлены указанные расстояния?
75.6. В задаче 66.17 приведены данные о числе учащихся в нашей стране. Запишите эти данные цифрами и скажите, до какого разряда они округлены.
75.7. Рассмотрите таблицу.
Число До какого числа округляется
От 50 до 149 100
От 150 до 249 200
От 250 до 349 300
а) Продолжите таблицу, написав еще 7 строк, б) Представьте, что таблица продолжается. Запишите, как выглядят 12, 19, 20, 21 и 32-я строки.
75.8. Возьмите номер какой-нибудь газеты и выпишите из нее примеры употребления округленных чисел. Кто в вашем классе нашел больше всего таких примеров из одной газеты?
урок 76 Учимся округлять числа быстро
В уроке 75 мы обещали найти быстрый и легкий способ округления чисел. Чтобы его найти, рассмотрим таблицу:
Число 27,01 27,15 27,2 27,33 27,49 27,5 27,51 27,8 27,94
Сколько до ближайшего натурального числа 0,01 0,15 0,2 0,33 0,49 0,5 0,49 0,2 0,06
Число, округленное до единиц 27 27 27 27 27 28 28 28 28
Сравним 1-ю и 3-ю строки. Посмотрите: когда в разряде десятых стоит 0, 1, 2, 3 или 4, то при округлении до единиц цифры дробной части отбрасываются, а остальные цифры остаются без изменения. Если же стоит цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то в разряде единиц цифра меняется на следующую. А какая цифра стоит в разряде сотых, знать оказалось не нужно.
Если бы мы округляли до десятых, то нужно было бы учитывать только то, какая цифра стоит в разряде сотых. Если бы округляли до десятков, то нужно было бы учитывать цифру только в разряде единиц (и заменять ее нулем) и т. д. Всегда результат округления зависит от первой 8 Учебник-собеседник
слева цифры округляемых разрядов И правило округле-ния такое:
1) из всех цифр округляемых разрядов рассмотреть ту, которая стоит первой слева;
О, 1, 2, 3 или 4 все цифры левее ее не менять ............ , ТО......................
5, 6, 7, 8 или 9 прибавить единицу в соседнем
2) если это слева разряде ’
3) те цифры округляемых разрядов, которые стоят после запятой, отбросить, а те, которые стоят до запятой, заменить нулями.
Вопросы и задания
вЪ 76.1. Какую цифру нужно знать, чтобы выполнить J округление? Сформулируйте правило округления чисел. ¥76.2. (У) Прочитайте записи и скажите, до какого разряда округлены числа в каждом случае:
а) 2318,57 « 2318,6; 2318,57 « 2320; 2318,57 » 2000;
б) 763,248 « 800; 763,248,» 763; 763,248 » 763,25.
76.3. Округлите числа так, чтобы подчеркнутые цифры заменились нулями: а) 78,28; б) 234,16; в) 175,283. Скажите, до каких разрядов округлялось каждое число.
76.4. Округлите следующие числа до сотых, до единиц, до сотен, до десятков тысяч, сначала подчеркнув в каждом числе округляемые разряды:
а) 86 357,683; в) 273 448,316, д) 97 804,622;
б) 30 245,508; г) 296 237,415, е) 347,653.
76.5. Придумайте пример на округление десятичной дроби до какого-нибудь разряда. Запишите его на листочке и предложите выполнить соседу по парте. Потом проверьте, правильно ли он выполнил задание.
76.6. Сколько округленно метров содержится:
а) в 2318 см; б) в 3755 см; в) в 63 250 см?
76.7. Сколько округленно килограммов содержится:
а) в 36 727 г; б) в 715 243 г; в) в 276 500 г?
76.8. Округлите результат до сотых:
а) 3,783 + 2,654, б) 0,27-4,56; в) 9,252:3,6.
76.9. Округлите результат до единиц:
а) 23,84—17,47, б) 3,85-4,1, в) 38,85:3,7
76.10. Каждое из чисел 3673 и 4261 округлите до сотен Найдите сумму исходных чисел и сумму округленных чисел Верно ли, что одна из полученных сумм является округлением другой до сотен?
76.11. * Младший брат предложил Смекалкину «Давай будем округлять числа постепенно». «Как это постепенно?» — спросил Смекалкин «А вот как.
Берем число, округляем его сначала до десятков, результат округляем до сотен к т. д.>. Смекалкин задумался: всегда ли будет получаться то же число, что и при округлении сразу до нужного разряда? Как вы думаете? Ответ объясните. (Совет: рассмотрите несколько различных чисел.)
Урок
Как возникают десятичные дроби в практических вычислениях
Задача. По квартальному плану (т. е. за 3 месяца) бригада маляров должна покрасить 3900 кв. м. За первый месяц она покрасила 1560 кв. м. а) Во сколько раз площадь, которую бригада должна покрасить за квартал, больше площади, выкрашенной за первый месяц? б) Какую часть площади, запланированной на квартал, выкрасила бригада за первый месяц?
Чтобы ответить на вопрос а) нужно, как вы знаете, разделить 3900 на 1560. В ответе получится 2,5 (проверьте!) .
Чтобы дать ответ на вопрос б), нужно разделить 1560 на 3900. Получится 0,4 (проверьте!). Значит, 1560 кв. м составляют 0,4 от 3900 кв. м.
При решении задачи мы использовали такое правило:
ЧТОБЫ УЗНАТЬ, в°.£™л~ко .раз одно ЧИСЛО какую часть
другого, нужно составляет от
РАЗДЕЛИТЬ
большее меньшее
ЧИСЛО НА
меньшее
большее *
И в том и в другом случае могут возникать десятичные дроби (см. ответы к только что решенной задаче).
Сформулированное правило используется часто. Ведь людям часто бывает нужно узнать, какая часть работы выполнена, какая часть материалов израсходована, какая часть средств выделена на что-то. При этом числа иногда оказываются такими, что их деление приводит к десятичным дробям с большим количеством цифр.
Представьте, что в условии рассмотренной задачи бригада выкрасила не 1560 кв. м, а 1550 кв. м. Какие тогда возникнут дроби? Выполняя деление, получим 3900:1550=2,516129..., 1550:3900=0,397458.... Здесь многоточие заменяет цифры, которые получаются при делении, писать их пришлось бы слишком долго! В таких ситуациях частное обычно округляют до тех разрядов, какие нужны на практике. Давайте округлим записанные частные до тысячных:
3900:1550 « 2,516; 1550:3900 « 0,397.
Прежде чем получить округленный результат, мы записали в каждом частном цифры до миллионных долей. Но давайте задумаемся, нужно ли было вычислять так много цифр в этих частных. Правило округления подсказывает нам ответ: для округления до тысячных нужно было знать цифру в частном лишь в разряде десятитысячных долей. Значит, выполняя деление, можно было остановиться, получив четвертый знак после запятой.
И вообще, чтобы получить частное, округленное до данного разряда, нужно выполнить деление до следующего разряда и полученный результат округлить.
Вопросы и задания
77.1. Как узнать, во сколько раз одно число больше j или меньше другого?
77.2. Как узнать, какую часть одно число составляет от другого?
77.3. До какого разряда надо проводить деление, чтобы получить частное с точностью: а) до сотых; б) до десятых; в) до единиц, г) до сотен?
f77.4. Две бригады вспахали поле площадью 4,5 кв. км.
Первая бригада вспахала 1,8 кв. км. а) Какая бригада вы-и полнила большую работу и во сколько раз? б) Какую часть работы выполнила первая бригада? А вторая?
77.5. Из 48 кг свежих вишен получается 9,6 кг сушеных, а) Во сколько раз масса свежих вишен больше массы сушеных? б) Какую часть массы теряют свежие вишни при сушке?
77.6. В книге 80 страниц Оля прочитала 36 страниц. Какую часть книги прочитала Оля? Какую часть ей осталось прочитать?
77.7. Выполняя заказ, токарь в первый день выполнил 0,36 всей работы, а во второй день — 0,31 всей работы, а) Какую часть работы выполнил токарь за два дня? б) Какую часть работы ему осталось выполнить в третий день? в) В какой из этих трех дней он выполнил больше всего работы?
77.8. При помоле пшеницы 0,81 часть массы дает муку, 0,02 части массы дают манную крупу, а остальное составляют кормовые отходы. Какую часть массы составляют кормовые отходы?
77.9. (У) а) Младший брат Смекалкина прочитал книгу за три дня и сказал «В первый день я прочитал 0,36 книги, во второй день — 0,31 книги, в третий день — 0,32 книги» Смекалкин заявил, что брат где-то ошибся в своих вычислениях Смекалкин был прав. Объясните почему
б) Младший брат сказал «Ой, я действительно ошибся! В третий день я прочитал 0,34 книги» Смекалкин заявил, что брат опять ошибается Прав ли Смекалкин? Ответ объясните.
77.10. а) В задаче 9.5 вы узнали, с какой скоростью бегают Коля и Петя Используя данные задачи 66.18, вычислите с
точностью до сотых, с какой скоростью бегают Вася, Валя и Вера. Составьте список этих пяти школьников, расположив их имена в порядке убывания скоростей. Кто из них бегает быстрее всех? А кто медленнее всех?
б) Узнайте, за сколько секунд вы пробегаете 60 м. Вычислите скорость своего бега с точностью до сотых. Кто бегает быстрее: вы или Вася (см. пункт а); вы или Вера?
77.11. В таблице приведены данные (на 1 января 1986 г.) о площади и численности населения союзных республик СССР.
Республика Площадь Численность населения
Азербайджанская ССР 86,6 тыс. кв. км 6 718 тыс. чел.
Армянская ССР 29,8 тыс. кв. км 3 369 тыс. чел.
Белорусская ССР 207,6 тыс. кв. км 10 002 тыс. чел.
Грузинская ССР 69,7 тыс. кв. км 5 239 тыс. чел.
Казахская ССР 2 717,3 тыс. кв. км 16 036 тыс. чел.
Киргизская ССР 198,5 тыс. кв. км 4 055 тыс. чел.
Латвийская ССР 63,7 тыс. кв. км 2 621 тыс. чел.
Литовская ССР 65,2 тыс. кв. км 3 603 тыс. чел.
Молдавская ССР 33,7 тыс. кв. км 4 142 тыс. чел.
РСФСР 17 075,3 тыс. кв. км 144 027 тыс. чел.
Таджикская ССР 143,1 тыс. кв. км 4 643 тыс. чел.
Туркменская ССР 488,1 тыс. кв. км 3 271 тыс. чел.
Узбекская ССР 447,4 тыс. кв. км 18 479 тыс. чел.
Украинская ССР 603,7 тыс. кв. км 50 973 тыс. чел.
Эстонская ССР 45,1 тыс. кв. км 1 541 тыс. чел.
Плотностью населения называется число, показывающее, сколько человек в среднем проживает на 1 кв. км площади, а) Найдите с точностью до десятых долей плотность населения в каждой союзной республике, б) Какая республика имеет самую высокую плотность населения? самую низкую? в) Найдите плотность населения по всей территории СССР.
77.12. Бригады Иванова, Петрова и Сидорова выполнили работу, стоимость которой 7315 р. Бригада Иванова выполнила 0,28 всей работы, бригада Петрова — 0,35 всей работы, а бригада Сидорова — оставшиеся 0,37 всей работы. Каждая бригада должна получить такую же часть от 7315 р., какую она выполнила от общей работы. Сколько денег получит каждая бригада?
77.13. Три бригады производили малярные работы в многоквартирном доме. Первая бригада покрасила 2100 кв. м, вторая — 2400 кв.м, третья — 2300 кв.м, а) Какую часть работы выполнила каждая бригада? (Ответ округлите до тысячных.) б) Стоимость выполненных работ 1770 р. Сколько денег заработала каждая бригада? в)* Можно ли для получения ответа в пункте б) ответ в пункте а) округлять до десятых? Целесообразно ли было бы округлять этот ответ до десятитысячных?
77.14. а) (У) Рассмотрите цепочку равенств и объясните в ней каждое равенство: 725,3:100 = 725,3 •^=725,3 • 0,01.
б) В следующих примерах, как ива), деление на степень числа 10 замените умножением на десятичную дробь. 58,75:100-63,4:10; 35,34:1000; 6,3:100, 752:10, 0,027:1000
в) Рассматривая примеры из а) и б), можно сделать вывод: разделить число на 100 — это то же самое, что умножить его на 0,01 Сделайте похожие выводы при деление на 10, на 1000 Запишите эти выводы в тетрадь.
Урок 78
Что такое 1%
Сотая часть метра — сантиметр, сотая часть рубля — копейка, сотая часть центнера — килограмм. Люди давно заметили, что сотые доли величин удобны в практической деятельности Потому для них было придумано специальное название — процент (от латинского «про цен-тум» — на сто) Значит, 1 к.— это 1 процент от 1 р., а 1 см — это 1 процент от 1 м и т. д. Итак,
ОДИН ПРОЦЕНТ — ЭТО ОДНА СОТАЯ ДОЛЯ.
Математическими знаками один процент записывается так: 1%. Записи 2%, 5% читают: «Два процента», «Пять процентов».
Прочитайте предложения. «К 15 апреля вспахано 93% всех пахотных земель», «Производительность труда повысилась на 4%», «Цены снижены на 30%»
Определение одного процента можно записать равенством:
I %-0,01.
Каждый быстро сообразит, что 5% =0,05, 23% =0,23, 130% = 1,30 и т. д.
Запишите в виде десятичных дробей 7%, 10%, 50%, 100%.
Как найти 1% от числа? Раз 1%—это одна сотая часть, то надо число разделить на 100. В задаче 77.14 мы сделали вывод, что деление числа на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти 5%, то умножаем данное число на 0,05 и т. д. ) Чему равны 7% от 30, 23% от 60 50% от 120
100% от 713?
Вот какое правило получилось:
Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь.
Вопросы и задания
9 78.1. Что такое 1%?
в 78.2. Как найти данное число процентов от числа?
¥78.3. Запишите десятичными дробями следующие про-центы: 1%; 5%; 27%; 30%; 50%, 75%; 95%; 100%;
120%; 200%; 0,1%; 0,7%; 3,5%, 16,72%.
78.4. Запишите десятичные дроби с помощью процентов: 0,17; 0,06; 0.2; 1,38; 6,5; 0,183; 3,456.
78.5. В задаче 18.5 вы нашли, сколько продукции производится в нашей стране ежедневно. Вычислите, сколько дополнительной в день продукции каждого вида дает 1% прироста.
78.6. В 1986 г. в народном хозяйстве трудилось 130 млн. человек. Из них в промышленности 29,2%, в сельском хозяйстве 18,8%, в строительстве 8,9%, в транспорте и связи 9,6%, в торговле и общественном питании 7,7%, в здравоохранении 5,2%, в народном образовании 7,7%, в науке, культуре и искусстве 4,9%, в других отраслях 8%. Вычислите, сколько человек трудится в каждой отрасли народного хозяйства
78.7. В 1987 г. население СССР составляло 281,7 млн человек. Из них 66% проживало в городах.
а) Какой процент населения проживает в сельской местности? б) Сколько человек проживает в городах и сколько в сельской местности?
78.8. Бронза — это сплав 90% меди и 10% олова Сколько килограммов меди и сколько килограммов олова надо взять, чтобы получилось 83 кг бронзы?
78.9. Латунь — это сплав 60% меди и 40% цинка Сколько меди и сколько цинка надо взять, чтобы получить 42 кг латуни?
78.10. Для изготовления подшипников используется сплав меди и свинца, содержащий 32% свинца- Сколько свинца и сколько меди надо взять, чтобы получить 56 кг сплава?
78.11. Для паяльных работ используют сплавы металлов Чаще всего применяют сплавы двух видов. Один называют мягким припоем — он содержит 40% меди, 2% сурьмы и 58% свинца, другой называют твердым припоем — он содержит 45% серебра, 30% меди и 25% цинка.
Фабрика по плану должна ежедневно выпускать 7 т мягкого припоя и 9 т твердого. Сколько меди, свинца, сурьмы, серебра и цинка должна ежедневно получать фабрика, чтобы выполнить план?
78.12. При размоле пшеницы получается 81% муки, 2% манной крупы и 17% кормовых отходов Сколько муки, манной крупы и кормовых отходов получится из 2,5 т зерна?
78.13, На весенней сезонной распродаже цены снижены на 30%. Сколько будет стоить пальто на распродаже, если его обычная цена: а) 87 р.; б) 115 р.; в) 188 р.?
78.14. Масса Земли 5975 квинтиллионов тонн, а) Масса железа составляет 37,04% от всей массы Земли. Какова масса железа на нашей планете? б) Масса воды на планете составляет 9%. Какова масса воды на Земле?
Урок 79 Решаем задачи на проценты
Задача 1. Токарь вытачивал за 1 ч 40 деталей. Применив резец из сверхпрочной стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов повысилась производительность труда токаря?
Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько процентов составляют 10 деталей от 40. Для этого найдем сначала, какую часть составляет число 10 от числа 40.
Как вычислить эту часть?
Вы знаете, что нужно разделить 10 на 40. Получится 0,25. А теперь 0,25 запишем в процентах — 25%. Получаем ответ: производительность труда токаря повысилась на 25%.
Итак, чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов.
Задача 2. Тракторист вспахал 1,32 кв. км пашни. Это составило 60% всей площади, которую он должен вспахать. Какова вся площадь, которую ему нужно вспахать?
Давайте рассуждать. Вся площадь нам неизвестна. Обозначим ее буквой х. Мы знаем, что 60% от числа х составляют 1,32.
Как записать это утверждение равенством?
Правило, сформулированное в уроке 78, подсказывает нам, что сначала нужно заменить десятичной дробью, а затем записать уравнение х-0,60 =1,32. Решая его, получаем, что х= 1,32:0,6 = 2,2 (кв. км).
Что же мы сделали, чтобы найти х? Во-первых, заменили проценты десятичной дробью, а во-вторых, разделили данное нам число на получившуюся десятичную дробь.
Конечно, площадь и число процентов в этой задаче могли быть другими. Но путь решения остался бы тем же самым. Значит, можно сформулировать правило:
Если дано, сколько процентов от искомого числа составляет данное число, то, чтобы найти искомое число, нужно заменить проценты десятичной дробью и разделить на эту дробь данное число.
Вопросы и задания
4% 79.1. Как найти, сколько процентов одно число состав-
ж ляет от другого?
* 79.2. Как узнать число, если известно, сколько про-
центов от него составляет данное число?
79.3. Сколько процентов составляют:
! а) 28 от 40; г) 102 от 425; ж) 36,9 от 12,3,
б) 63 от 75; д) 4,71 от 31,4. 3) 43,7 от 43,7?
в) 144 от 384; е) 14,5 от 11,6;
79.4. Поверхность всей Земли 510,1 млн. кв. км. Суша занимает 149,2 млн. кв. км, остальная часть поверхности покрыта водой, а) Какова площадь поверхности, покрытой водой? б) Сколько процентов поверхности Земли покрыто водой? (Ответ округлите до десятых.)
79.5. Пользуясь данными задачи 41.8, вычислите, сколько процентов от массы всех грузов перевозится в СССР каждым видом транспорта: железнодорожным, морским, автомобильным. (Ответы округлите до десятых.)
79.6. а) Территория всех государств нашей планеты 135,8 млн. кв. км. Социалистические страны занимают территорию 35,6 млн. кв. км, а СССР имеет территорию 22,4 млн. кв. км. Сколько процентов территории занимают социалистические страны, СССР? Сколько процентов территории социалистических стран занимает СССР? (Ответы округлите до десятых )
б) В 1987 г. население Земли составило 5 млрд, человек. Население социалистических стран 1668 млн. человек, население СССР 281,7 млн. человек. Сколько процентов населения проживает в социалистических странах, в СССР? Сколько процентов населения социалистических стран проживает в СССР? (Ответы округлите до сотых )
в) Ученые подсчитали, что к 2000 г население Земли составит 6,1 млрд, человек. На сколько процентов возрастет население по сравнению с 1987 г.?
79.7. (У) а) На сколько процентов 32 меньше числа 40?
6) На сколько процентов 40 больше числа 32?
79.8. Используя полученный вами ответ в задаче 11.4, вычислите, на сколько процентов возрастет в СССР добыча нефти и угля, а также производство электроэнергии за двенадцатую пятилетку 1986—1990 гг (Ответ округлите до десятых.)
79.9. Для изготовления бронзы (ее состав см. в задаче 78.8) мастер взял 16,2 кг меди а) Сколько килограммов бронзы у
него получится? б) Сколько килограммов олова надо добавить для приготовления бронзы?
79.10. Для изготовления латуни (ее состав см. в задаче 78.9) в плавильную печь загрузили 123 кг меди, а) Сколько килограммов латуни получится? б) Сколько килограммов цинка надо загрузить в печь?
79.11. По содержанию углерода сталь бывает трех типов: ее называют низкоуглеродистой, если она содержит менее 0,3% углерода, среднеуглеродистой, если содержит от 0,3% до 0,65% углерода, и высокоуглеродистой, если содержит более 0,65% углерода. В лабораторию поступило 500 г стали. Какая это сталь, если в ней обнаружено: а) 3,2 г углерода; б) 1,3 г углерода; в) 1,6 г углерода; г) 4,8 г углерода; д) 7 г углерода?
79.12. Концентрацией раствора называют число, показывающее, какую часть массы раствора составляет растворенное вещество. Концентрацию обычно записывают в процентах. Например, если в 100 г раствора йода содержится 5 г йода, то концентрация равна 5%. а) Сколько граммов йода содержится в 300 г его 6%-ного раствора; 3%-ного; 12%-ного? б) Сколько граммов соли содержится в 2 кг ее 2%-ного раствора; 10%-ного; 35%-ного?
79.13. Для засолки огурцов используют раствор соли (рассол) следующих концентраций: 8% для крупных огурцов, 7% для средних и 6% для мелких. Сколько соли надо взять, чтобы приготовить для каждой концентрации: а) 10 кг рассола; б) 16 кг рассола; в) 50 кг рассола?
79.14. Какую концентрацию будет иметь рассол, если в 1 кг воды растворить: а) 250 г соли; б) 600 г соли; в) 1 кг соли?
79.15. а) Оля в стакан чая кладет обычно 2 чайные ложки сахара и считает такой чай сладким. Масса чая в стакане 200 г, масса сахара в одной ложке 10 г. Какова концентрация сахара в Олином чае? (Ответ округлите до 1%.)
б) Исследуйте, при какой концентрации сахара вы считаете чай сладким.
урок во Учимся рассуждать при решении задач. Иногда бывает нужно запастись терпением
В уроке 5 мы обсуждали, как неудобен способ записи больших чисел палочками. Помните? Мы утверждали, что для записи палочками числа 200 000 не хватило бы суток. Как проверить это? Неужели засечь время и писать до изнеможения все 200 000 палочек?
Конечно, нет. Мы сможем подсчитать, как долго нам придется писать палочки, если будем знать, сколько времени в среднем тратится на запись одной палочки.
Пусть на запись одной палочки в среднем уходит полсекунды. Тогда на 200 000 палочек нужно 0,5 X X200000= 100 000 (с). Больше это или меньше одних суток? Чтобы дать ответ, выразим получившееся число в минутах, часах, сутках. Вот тут-то и потребуется терпение. Ведь чтобы выразить данное число секунд в минутах, нужно разделить его на 60, полученное число разделить на 60, чтобы выразить время в часах, и, наконец, результат разделить на 24, чтобы узнать, сколько суток умещается в этих часах.
Проведите расчеты самостоятельно и убедитесь в том, что наше утверждение верно.
Задания
»80.1. Засеките время и напишите 20 палочек. Узнайте, сколько времени в среднем вы тратите на запись одной палочки. Вычислите, сколько времени вы потратите, чтобы написать: а) 200 000 палочек; б) I млн. палочек.
80.2. Волжский автозавод каждые 20 с выпускает машину «Жигули». Сколько машин выпускает автозавод за високосный год?
80.3. Сердце человека делает в среднем 75 ударов в минуту. Сколько ударов сделает сердце за 70 лет (продолжительность года возьмите в среднем 365,25 дней)?
80.4. Скорость, с которой Земля движется вокруг Солнца, равна 29,71 км/с. Продолжительность года 365 сут 5 ч 18 мин 46 с. Какова длина орбиты Земли вокруг Солнца?
80.5. В уроке 7 мы утверждали, что книга в 1 млрд, страниц была бы толщиной больше 40 км. Проверьте утверждение, учитывая, что толщина одного листа в книге 0,09 мм.
80.6. Что больше: 1 год или 1 млн. секунд; 1 век или 1 млрд, секунд?
80.7. Узнайте по часам, сколько времени вам понадобится для умножения двух десятизначных чисел, например 4 276 835 102 и 1 502 973 142 (не считая времени на их запись). Подсчитайте, сколько вам потребуется времени для выполнения 1 000 000 таких действий. Ответ выразите в сутках, часах, минутах и секундах. На выполнение 1 000 000 таких умножений ЭВМ тратит I с. Во сколько раз ЭВМ считает быстрее, чем вы?
Урок 81
Задания на повторение к § 8
»81.1. Цена 1 м ситца 3 р. 15 к. Сколько надо заплатить: а) за 2 м 40 см; б) за 3 м 35 см; в) за 63 см? (Совет: результаты вычислений разумно округлите.)
81.2. Цена 1 кг капусты 8 к. Сколько надо заплатить за кочан капусты весом: а) 3 кг 700 г; б) 1 кг 250 г; в) 4 кг 420 г? | 81.3. Решая задачу 78.76), вы узнали, сколько человек в нашей стране проживало в 1986 г. в городах и сколько в сельской местности. Тогда же городской жилищный фонд составил 2560 млн. кв. м, а сельский — 1510 млн. кв. м. Сколько квадратных метров жилой площади приходилось в среднем: а) на городского жителя; б) на сельского жителя? Ответ дайте с точностью до десятых.
81.4. Холодильник стоил 220 р. После модернизации его цена повысилась на 25%, а через год она была понижена на 20%. Дороже или дешевле 220 р. стал стоить холодильник через год?
81.5. а) Смекалкин предложил младшему брату увеличить число 8 на 30%, а затем результат уменьшить на 30%. «Тут и решать нечего! — воскликнул брат.— Ясно, что снова получится число 8». Согласны ли вы с таким ответом? Проделайте вычисления и проверьте, прав ли младший брат Смекалкина.
б) Число 20 уменьшили сначала на 10%, а затем результат увеличили на 10%. Что больше: получившееся число или число 20? Ответ проверьте вычислением.
81.6. а) После того как тракторист вспахал 70% поля, ему осталось вспахать 2,4 кв. км. Какова площадь поля? б) Составьте обратную задачу, в которой требуется найти, какую
площадь осталось вспахать трактористу.
81.7. В таблице приведены данные о пассажирских перевоз
ках в СССР различными видами транспорта за 1940 г., 1970 и 1985 г. (в млн. человек). Для каждого года вычислите, какой процент пассажиров перевозился каждым видом транспорта. Ответы округлите до сотых долей про-
Транспорт 1960 1970 1986
Железнодорожный 2231 3354 4345
Морской 26,7 38,5 50,8
Речной 119 145 135
Воздушный 16 71,4 116,1
цента.
81.8. Когда кто-то кладет денежный вклад в сберегательную кассу, его деньги могут быть временно использованы государством. За это вкладчику выплачиваются проценты. При обычном вкладе — 2% в год. Так что если вкладчик положил 100 р., то 2% составляют 2 р. и через год его вклад будет уже 102 р. Еще через год 2% от 102 р. будут 2р. 4 к., поэтому его вклад станет 104 р. 4 к. а) Каков будет этот вклад через 3 года? На сколько процентов увеличится вклад за 3 года? б) Вкладчик положил в сберкассу 300 р. и за 3 года не брал с вклада и не добавлял к нему денег. Каков будет этот вклад через 3 года? в) Вкладчик положил 500 р., а через год добавил еще 200. Каков будет размер вклада, когда пройдет еще один год? г) Вкладчик положил 600 р., а через год снял с вклада 300 р. Каков будет размер вклада, когда пройдет еще один год?
81.9. Руда, загружаемая в домну, содержит 60% железа. В домне из руды выплавляется чугун, который содержит 98% железа. Сколько тонн чугуна будет выплавлено из 245 т руды?
81.10. В совхозе два поля квадратной формы. Сторона одного из них 1,4 км, а другого — на 10% больше, а) Каков периметр каждого поля? На сколько процентов периметр второго поля больше периметра первого? б) Какова площадь каждого поля? На сколько процентов площадь второго поля больше площади первого?
Большая перемена II
БЕСЕДА О МАТЕМАТИЧЕСКИХ СЛОВАХ
Младший брат спросил Смекалкина: «Что такое дробь?» Смекалкин переспросил: «А в каком смысле? Ведь слово «дробь» многозначное». Младший брат удивился: «Я знаю многозначные числа, но разве бывают многозначные слова?»
А вы знаете, что такое многозначное слово?
Нужно вспомнить о лексических значениях слов. Об этом говорилось на уроках русского языка и написано в учебнике русского языка. Слово называется многозначным, если у него несколько значений. Если поразмышлять над словом «дробь», то нетрудно догадаться, что у него как раз несколько значений. Вот три словосочетания, в которых это слово используется с разными значениями: 1) охотничья дробь; 2) барабанная дробь; 3) десятичная дробь. Так что Смекалкин не зря переспрашивал младшего брата! В третьем словосочетании значение слова «дробь» относится к математике. Давайте договоримся называть математическим всякое слово, которое имеет значение, относящееся к математике.
При изучении математики, конечно, постоянно приходится пользоваться математическими словами.
Приведите несколько примеров математических слов.
Таких слов очень много. В любом учебнике математики они встречаются почти в каждой строке. И среди них немало многозначных. Несколько многозначных математических слов приведено в следующей таблице.
Слово Словосочетание, где используется значение слова, относящееся к математике Словосочетание, где исполь-. зуется какое-нибудь другое значение слова
Натуральный Натуральный ряд Натуральный сок
Разряд Разряд десятков Разряд молнии
Класс Класс миллионов
Прямая Прямая речь
Назовите подходящие словосочетания для пустых клеток таблицы.
Некоторые многозначные слова могут иметь два разных значения, из которых оба относятся к математике. Например, слово «нуль»; есть число нуль и есть цифра нуль.
и
Приведите примеры словосочетаний со словом «нуль*, использованным в каждом из этих двух смыслов.
Как вы знаете, значения слов указываются в толковом словаре. Так что, отыскав в нем какое-нибудь математическое слово, можно определить, будет ли оно многозначным. Но бывает интересным узнавать и происхождение слов. У некоторых математических слов оно сразу понятно. Например, «делимое» — ясно, что так назвали число, которое делят на другое число, т. е. это слово происходит от глагола «делить». Еще пример: «вычитаемое».
От какого глагола происходит это слово?
Еще пример, немного потруднее: «точка». Можно догадаться, что это слово произошло от глагола «ткнуть». А если не сможешь догадаться? Как тогда быть? Тогда можно обратиться к специальному словарю, в котором рассказывается о происхождении слов. Такой словарь называется этимологическим. Много слов вошло в русский язык из других языков, такие слова называют заимствованными. Знакомиться с ними можно по словарю иностранных слов.
Вот пример заимствованного математического слова: «цифра». Оно арабского происхождения. А возникло это слово так. Индийские математики, придумавшие (в VI в.) позиционную десятичную нумерацию, поняли (в IX в.), что нужен специальный знак для обозначения отсутствия какого-нибудь разряда в записи числа. Такой знак они назвали «сунья», что означает пустой. Арабы перевели это слово на свой язык, и получилось слово «сифр». Из арабского языка это слово перешло (в средние века) в европейские языки, превратившись в «цифру».
Итак, сначала слово «цифра» означало нуль. Начиная с XV в. этим словом стали называть все числовые знаки (а для нуля появилось слово «зеро», которое вошло в несколько европейских языков, например в английский и французский). В русский язык слово «цифра» вошло в XVIII в. Во французском языке слово «цифра» превратилось в слово «шифр». В таком виде оно тоже пришло в русский язык, но уже с другим значением: условная азбука для секретного письма. Родство слов «шифр» и «цифра» остается и в русском языке, ведь для шифров как раз удобно применять цифры! В нашем учебнике такое применение цифр есть: помните задачки клоуна в § 1, где кое-что шифровалось?
Немало заимствованных математических слов пришло из греческого и латинского языков. Ведь математика развивалась в Древней Греции и Древнем Риме задолго до создания русской письменности. Уже само слово «математика» греческого происхождения: оно образовано от слова «матема» — наука, учение. Греческое слово «аритмос» означает число; от него образовано слово «арифметика» (искусство счета). Арифметика — древнейшая часть математики. Другая ее древнейшая часть — геометрия; ее название получилось из двух греческих слов «гея» (земля) и «метрон» (м е-ра). Так что первоначальный смысл слова «геометрия» был землемерие. Слово «метр» также образовано от слова «метрон».
Мы советуем вам задумываться над происхождением математических слов. Иногда мы говорим об этом в учебнике, а, кроме того, вы можете обратиться к своему учителю или поискать интересующее вас слово в словаре. Много интересных рассказов о понятиях математики и математических словах есть, например, в «Энциклопе
дическом словаре юного математика». Мы особенно рекомендуем вам читать эту книгу.
Если хорошо помнить смысл некоторых приставок и корней, заимствованных из других языков, то легко будет понимать смысл многих математических слов. Например, употребительны следующие приставки, перечисленные в таблице (в скобках указано происхождение: гр.— из греческого языка, лат-.— из латинского, фр.— из французского) :
Приставка Ее значение Примеры
дека... (гр.) 10-кратно исходной единице дека литр =10 литров
гекто... (гр.) 100-кратно исходной единице гектолитр = 100 литров
кило... (гр.) 1000-кратно исходной единице километр = 1000 метров килограмм = 1000 граммов
деци... (лат.) 0,1 исходной единицы дециметр=0,1 метра
санти... (фр.) 0,01 исходной единицы сантиметр=0,01 метра
милли... (лат.) 0,001 исходной единицы миллиметр=0,001 метра миллиграмм = 0,001 грамма миллилитр = 0,001 литра
Эти приставки нередко используют в названиях единиц физических величин. Когда вы в старших классах узнаете, например, что такое вольт и ампер, автоматически будут понятны и слова «киловольт» и «миллиампер».
Скажите, что означает каждое из этих двух слов?
Приставка «гекто» (только без гласной «о») используется в слове «гектар», которое означает 100 аров. Это единица измерения площади, мы познакомим вас с ней в уроке 93. Приставка «дека» встречается, например, и в слове «декада», означающем 10 дней. Слово «миллион» начинается с «милли», но здесь это не приставка «одна тысячная», а корень «тысяча». Само же слово «миллион» появилось впервые в средневековой Италии для обозначения «большой тысячи», т. е. «тысячи тысяч». Как из «милли» произошла мера длины «миля», мы расскажем в следующей большой перемене.
Задания
T1I.1. Выпишите из предметного указателя в нашем учебнике многозначные слова (это задание не на один раз, а на много недель). Назовите (или запишите) для каждого из них те лексические значения, которые вам известны.
П.2*. Рассмотрите таблицу многозначных слов в объяснительном тексте большой перемены, а) Для каждого слова из таблицы приведите по три словосочетания с разными значениями этого слова, б) Продолжите таблицу другими многозначными математическими словами.
IL3. В словах «диагональ» и «диаметр» одна и та же приставка «диа» (гр.), обозначающая «через». Греческое слово «гониа» означает угол, «диагональ» означает прямую линию, проходящую «через углы». А буквальный перевод слова «диаметр» — «измерение через» окружность. Приведите еще несколько слов с приставкой «диа».
11.4. (У) В ‘задании 3.9 впервые в этом учебнике был упомянут киловатт-час — это единица измерения электроэнергии. Более мелкая единица называется ватт-часом. Во сколько раз 1 кВт-ч больше, чем 1 Вт-ч?
П.5. (У) В старших классах вы узнаете, что такое калория (единица количества тепла), что такое бел (единица громкости звука). Какое лексическое значение имеют слова «килокалория» и «децибел»?
Глава ИЗМЕРЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
III ______________________________________
§ 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ
Числа на практике часто возникают при измерении разных величин. В этом параграфе мы будем рассказывать о геометрических величинах. Они помогают изучать геометрические фигуры: линии, углы, многоугольники. Все эти фигуры плоские. Их можно представить начерченными на плоскости стола, на ровной площадке земли и, конечно, на листе бумаги.
Некоторые геометрические величины вам давно знакомы. Например, длина. Но и про длину вы узнаете здесь кое-что новое: научитесь измерять не только длину отрезка, но и длину окружности. А еще вы познакомитесь с одной новой величиной, которую применяют для измерения углов. Что это за величина? Потерпите до урока 89, где мы начнем о ней рассказывать.
урок 82 цем интересуются, когда изучают многоугольники
Если спросить, почему треугольник называется треугольником, то каждый ответит: потому, что у него три угла. Но давайте задумаемся, чем нам пришлось поинтересоваться, отвечая на такой вопрос. Углами треугольника. Точнее, их числом.
Про треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т. д. можно сказать, что все это многоугольники. Чем еще интересуются, изучая многоугольники? Пожалуй, прежде всего их вершинами. Каждому видно: у любого многоугольника вершин столько же, сколько углов. А еще интересуются сторонами. Если двигаться по сторонам многоугольника от вершины к вершине, то можно высмотреть еще и такое свойство: сторон у многоугольника столько же, сколько углов.
Значит, треугольник можно было бы назвать и «трехвершинником», и «трехсторонником»?
Да. Но люди давно договорились упоминать в названии только углы. Ведь по виду углов часто судят о форме многоугольника. Вспомните, например, прямоугольник. Почему он так называется? Потому, что у него все углы прямые. Значит, можно интересоваться не только числом углов, но и тем, какие углы у многоугольника.
Прямые углы встречаются часто. У книги, у открытки, у окна все углы прямые. Эти предметы имеют форму прямоугольника.
Укажите среди окружающих предметов еще несколько таких, которые имеют форму прямоугол ьн ика.
Рассмотрите два многоугольника на рисунке 58.
Б
А
D
Н Рис. 58
Чем они похожи (т. е. что у них общего) и чем отличаются?
Общее у них то, что оба они четырехугольники и у каждого все углы прямые, т. е. они прямоугольники. А отличаются они длинами сторон. У прямоугольника ABCD стороны имеют длину 2 см и 1,5 см, у прямоугольни-ка EFGH — 3 см и 1 см (проверьте!). Значит, нам пришлось поинтересоваться здесь не только числом сторон, ноидлиной каждой стороны.
Среди прямоугольников есть особенные — у которых все стороны имеют одну и ту же длину. Вы, конечно, помните, что их называют квадратами.
Давайте повторим:
ПРЯМОУГОЛЬНИК — ЭТО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК,
У КОТОРОГО ВСЕ УГЛЫ ПРЯМЫЕ. КВАДРАТ —ЭТО ПРЯМОУГОЛЬНИК, У КОТОРОГО ВСЕ СТОРОНЫ ИМЕЮТ ОДИНАКОВУЮ ДЛИНУ.
Итак, чем же интересуются, когда изучают многоугольники? Главным образом числом вершин (углов, сто
рон), видом углов, длинами сторон. Зная длину сторон, можно вычислить периметр многоугольника. Им тоже часто интересуются. Напомним, что периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. Вы уже много раз вычисляли периметр прямоугольников.
Мы и площадь прямоугольников тоже вычисляли. wHh Ею ведь тоже интересуются. А площадь других
фигур тоже можно вычислять?
Можно. Но это непростая задача. Мы обсудим ее в § 10.
Вопросы и задания
gfe 82.1. Сколько вершин у треугольника; шестиугольни-ж ка? Сколько сторон у четырехугольника; семиугольника?
82.2. Что такое прямоугольник? Что такое квадрат?
82.3. Всякий ли четырехугольник является прямоугольником?
Всякий ли прямоугольник является квадратом? Ответы объясните.
82.4. Что такое периметр многоугольника?
Г82.5. Отметьте в тетради четыре точки так же, как на рисунке 59. Перечислите треугольники, вершины которых будут среди этих точек: АВС. ABD. ... (продолжите список). Сколько всего таких треугольников?
82.6. Возьмите угольник и начертите в тетради четырехугольник, у которого: а) только один прямой угол; б) только два прямых
Рис. 59
угла.
82.7. Отара овец содержится в загоне (специально огороженном месте), имеющем форму квадрата со стороной 40 м. Когда отара увеличилась, было решено перестроить загон: при той же ширине 40 м он будет иметь длину 70 м. а) На сколько увеличится длина ограды? б) На сколько увеличится площадь загона? в)* Если длину ограды сделать такой же, как у запланированного нового загона, а форму оставить квадратной, то какую площадь будет иметь загон?
82.8. На рисунке 60 показан кусок ткани, свернутый в рулон, а) (У) Какую форму примет этот кусок, если рулон развернуть? б) Длина куска ткани в рулоне 50 м, ширина 140 см, а 1 кв. м ткани весит 350 г. Какова масса рулона? в) Длину ткани в рулоне уве
личили на 15%. Какова теперь масса рулона? На сколько процентов увеличилась масса рулона?
82.9. Измерьте стороны треугольника АВС на рисунке 61. а) Найдите периметр треугольника АВС. б) Длину стороны ВС обозначим буквой а, длину стороны АС — буквой Ь, а длину стороны АВ — буквой с. Заполните следующую таблицу:
Сумма длин двух сторон а-|-6 = а-±-с= Ь-\-с=
Длина третьей стороны с= ь= а=
82.10. (У) Из четырех одинаковых планок своего конструктора Юра сделал квадрат. Но гайки оказались не очень крепко закрученными, и квадрат перекосился (см. рис. 62). Что общего у этих двух четырехугольников и чем они отличаются?
Рис. 62
урок 83 Поговорим о сторонах прямоугольника. Формула для периметра
Рассмотрим прямоугольник ABCD на рисунке 63. Стороны АВ и CD противоположные, у них нет общих вершин. Стороны АВ и ВС имеют общую вершину В, такие стороны называют смежными. Давайте перечислим все пары смежных сторон нашего прямоугольника: АВ и ВС, ВС и CD. ... .
Закончите этот список. Перечислите две пары противоположных сторон прямоугольника ABCD.
в
Рис. 63
а
□
Стороны AD и ВС имеют одинаковую длину (проверьте!). Говорят также, что они равны. А математическими знаками это записывается так: AD=BC. Стороны АВ и CD также равны (проверьте!): AB = CD. Вообще в любом прямоугольнике противоположные стороны равны. Пользуясь этим свойством, можно найти удобную формулу, выражающую зависимость периметра прямоугольника от длин его сторон.
Найдем периметр прямоугольника ABCD. Длина стороны АВ (значит, и длина CD) равна 3 см, длина стороны AD (значит, и длина ВС) равна 5 см. Вычисляя
Рис. 64
Рис. 65
и
периметр, получаем цепочку равенств:
3 +54-3 + 5 = 3 + 3 + 5 +5 = 3-2 + 5-2 = = (3 + 5)*2 (см). Обратите внимание: мы воспользовались здесь несколькими свойствами действий над числами — переместительным и сочетательным законами сложения, распределительным законом умножения.
Периметр любого другого прямоугольника вычисляется точно так же. Обозначим буквами а и b длины смежных сторон прямоугольника (см. рис. 64), а буквой Р — его периметр. Тогда получаем цепочку равенств: Р = а + & + а + & = а + а + & + 6 = а*2 + + &.2=(а + &)-2 = 2-(а + 6).
Помните свойство цепочки равенств, которое мы обнаружили в уроке 10? Сформулируйте его.
Соединяем знаком равенства крайние выражения в нашей цепочке:
Р = 2-(а + &).
Вот и формула получилась! Простая и удобная. Она наглядно показывает, что для вычисления периметра прямоугольника незачем измерять длины всех сторон, а нужно знать длины только двух смежных.
Если прямоугольник является квадратом, то формула для его периметра еще проще. Ведь у квадрата все стороны равны, значит, достаточно знать длину только одной стороны. Обозначим эту длину буквой а (рис. 65). Тогда Р=а + а + а + а = а-4 = 4-а. Получили формулу
Пользуясь найденными формулами, вы сможете быстро и легко вычислять периметры любых прямоугольников.
Вопросы и задания
83.1. Какое свойство противоположных сторон прямоугольника было сформулировано в уроке?
83.2. Напишите формулы для периметра прямоугольника и периметра квадрата. Что обозначают буквы в этих формулах?
83.3. Закройте тетрадь, измерьте длины ее смежных сторон. Откройте тетрадь и вычислите ее периметр по формуле.
83.4. (У) Боксерский ринг — это площадка квадратной формы со стороной 6 м. Ринг огоро-жен тройным канатом. Сколько метров каната нужно для одного ринга?
83.5. (У) Периметр квадрата 84 м. Найдите его сторону.
83.6. а) Постройте прямоугольник со сторонами 5,4 и 2,2 см. Найдите, его площадь, б) Постройте квадрат, периметр которого равен периметру уже построенного прямоугольника. Найдите его площадь.
83.7. Сад нужно огородить сплошным забором из досок шириной 10 см. Сколько нужно заготовить досок, если сад имеет форму прямоугольника со смежными сторонами 80 и 120 м?
83.8. В спортивном зале размечают баскетбольную и волейбольную площадки, которые имеют форму прямоугольников. Смежные стороны баскетбольной площадки — 14 м и 26 м, волейбольной — 9 м и 18 м. Чтобы провести линию длиной 1 м, нужно 40 г краски. Сколько нужно краски, чтобы обвести линией обе площадки? Q
83.9. Измерьте стороны треугольника АВС /v на рисунке 66 и заполните такую же таблицу, / как в задании 82.9. /
83.10. Перерисуйте прямоугольник, изобра- < женный на рисунке 67, на листок клетчатой бу- А маги и разрежьте его на две одинаковые части Рис- 66 так, чтобы из них можно было сложить треуго- ————— — льник. Сколько разных треугольников вам уда- — ——— — лось сложить? -------------
Рис. 67
Урок 84 Что значит измерить. Сравнение отрезков
Людям постоянно приходится измерять разные величины: массу, температуру, площадь и многое-многое другое. Среди измеряемых величин самая простая — длина отрезка. Эту величину часто называют другими словами. Например, ширина дороги, высота башни, глубина колодца, толщина доски. Слова разные, но они всегда означают длину какого-нибудь отрезка.
Назовите еще несколько случаев, когда можно использовать слова «ширина», «высота», «глубина», «толщина».
Вспомним еще одно важное слово — «расстояние». Расстояние между двумя точками на плоскости — это длина отрезка, соединяющего эти две точки.
Для измерения длин применяют линейки (обычные и складные), рулетки, мерные ленты и другие приспособления.
11111 !l I I 111 I 1 )l I И 11 I ч 11 m | । । । » унт 1'| i t। । | I J м 11 । । । j । । гч jiHTT
Как измеряют длину отрезка линейкой? Очень просто: прикладывают линейку и смотрят, сколько делений линейки содержится между концами измеряемого отрезка. На рисунке 68 между концами А и В отрезка содержатся 23 миллиметровых деления линейки. Поэтому говорят, что длина от-
Рис. 68
резка АВ равна 23 мм, и пишут: |АВ|=23 мм. Если мы
хотим выразить длину в сантиметрах, то придется воспользоваться дробями, например десятичными. Для нашего отрезка получим |АВ 1=2,3 см.
Вы видите, что длина выражается числом с указанием единицы измерения. Конечно, единицы измерения используются разные. Если выразить длину отрезка АВ в километрах, то получится |АВ| =0,000023 км. Ясно, что это неудобно.
Какими единицами удобно измерять длину гвоздя? высоту дома? расстояние между городами?
Отрезок, длина которого равна выбранной единице измерения, называют единичным отрезком. Теперь мы можем сформулировать, что значит измерить длину. ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОТРЕЗКА — ЗНАЧИТ НАЙТИ ЧИСЛО, ПОКАЗЫВАЮЩЕЕ, СКОЛЬКО ЕДИНИЧНЫХ ОТРЕЗКОВ СОДЕРЖИТСЯ В ДАННОМ ОТРЕЗКЕ.
Вам приходилось уже сравнивать натуральные числа (см. урок 8) и дроби (см. уроки 54 и 65). Отрезки тоже
можно сравнивать. Что значит В
сравнить два отрезка? Это значит узнать, какой из них * длиннее. А как это узнать? Из- ^*'**х^ мерить их длины и сравнить два £ &
полученных числа. Например, из- « •
меряя отрезки АВ и CD на ри- Ряс> до
сунке 69, получаем 1451=26 мм, I CD 1=28 мм. Вы видите, что |CD|>|AB|. Значит, отрезок CD длиннее отрезка АВ, а отрезок АВ короче отрезка CD.
Может случиться так, что два отрезка имеют одну и ту же длину. Отрезки одинаковой длины называют равными.
Вопросы и задания
84.1. Что такое расстояние между двумя точками на ш плоскости?
" 84.2. Что значит измерить длину отрезка?
84.3. Что значит сравнить два отрезка?
84.4. Какие отрезки называют равными?
84.5. Измерьте отрезки на рисунке 70, а. Какой из них
* самый длинный; самый короткий? Запишите цепочку неравенств из длин этих отрезков.
84.6. а) Сравните отрезки KL и MN на рисунке 70, б на глаз. Затем измерьте их. Какой из них длиннее? б) Сравните отрезки АС и СЕ на рисунке 70, в на глаз. Затем измерьте их. Какой из них короче?
а)
84.7. На прямой отметьте точки Л, В, С и D так» чтобы выполнялись равенства |ЛВ|=2см 1 мм, |ВС| = 1 см 4 мм, |СО| = = 3 см 5 мм. Найдите суммы (|ЛВ| + |ВС|) + |СО| и |ЛВ|4-+ (|ВС| + |СО|). Длине какого отрезка равна каждая из этих сумм? О каком свойстве сложения говорит их равенство?
84.8. а) Начертите в тетради отрезок АВ длиной 2 см. б) Продолжите отрезок АВ до точки С так, чтобы точка В лежала на отрезке Л С и выполнялось равенство |ЛС|=4 см. в) Продолжите отрезок АС до точки D так, чтобы точка Л лежала на отрезке DC и выполнялось равенство I DC | =5 см. г) Продолжите отрезок DC до точки Е так, чтобы точка С лежала на отрезке DE и выполнялось равенство |DB|=6 см.
84.9. На рисунке 71 показан треугольник ЛВС. Выполните для него такое же задание, как 82.9.
84.10. Периметр прямоугольника равен 4 дм, а длина одной стороны — 1,5 дм. Найдите длину смежной с ней стороны.
84.11. Лист бумаги сложили вдвое, потом еще вдвое (на рисунке 72 пунктиром показаны линии сгиба). Измерив периметр дважды сложенного листа, получили 51 см. Какой периметр у развернутого листа бумаги?
84.12. Установите раствор циркуля 14 мм (так, как показано на рисунке 73). Начертите окружность, не меняя раствора циркуля, и отметьте на ней три точки Л, В и С. Не измеряя отрезки Л О, ВО и СО, скажите, какую длину они имеют. Проверьте свою догадку измерением.
Рис. 72
А Рис. 73
84.13* . Парк окружен прямоугольной оградой со смежными сторонами 760 и 530 м. Снаружи парка, на удалении 1 м от ограды, пролегает тропинка. Тренируясь, каждое утро спортсмен пробегает по тропинке вокруг парка два раза. Какое расстояние пробегает по утрам спортсмен?
84.14. Клоун рассказал публике, что он проехал на поезде по самому длинному беспересадочному маршру-ту — от Москвы до Владивостока. И что длина этого маршрута 9 297 000 000 мм. А за время пути он прочитал книгу толщиной 0,000026 км. Публика смеялась: всем было ясно, что клоун пользовался неподходящими единицами длины. Запишите длину маршрута в километрах, а толщину книги в миллиметрах.
Урок 85 Прямая линия и луч
Какая линия самая знаменитая? Пожалуй, каждый скажет, что прямая. Чертить прямые линии по линейке вам приходилось уже не раз. А как обозначить данную прямую линию? Можно отметить на ней две точки А и В (рис. 74) и сказать: «Прямая АВ» или «Прямая ВА» — это одно и то же. Почему для этого достаточно указать две точки? Потому что выполняется такое свойство: через две точки проходит только одна прямая. Это свойство и позволяет обозначать прямую, называя две ее точки.
Посмотрите еще раз на рисунок 74. Можно сказать, что прямая АВ получается из отрезка АВ, если его продолжить бесконечно в обе стороны. Чтобы лучше представить бесконечность прямой, вспомните-ка сказочного волшебника, который отправился «в поход» по натуральному ряду (см. урок 43). Что если он пойдет «в поход» по прямой линии? Тогда, в какую бы сторону волшебник ни пошел, он никогда не дойдет до конца. Потому что концов у прямой нет!
Если отрезок бесконечно продолжить только в одну сторону, то получится луч. Про луч на рисунке 75 можно сказать, что он начинается в точке А, проходит через точку В и дальше идет без конца. Точку А называют началом луча АВ. Обратите внимание: луч АВ и луч ВА — это два разных луча. Они начинаются в разных точках, да и направлены в противоположные стороны.
Рис. 74
Рис. 75
Рис. 76
Рис. 77
Если на прямой отметить точку Л, то получим два луча, которые начинаются в точке А и направлены в противоположные стороны (см. рис. 76). Их называют противоположными лучами.
Будьте внимательны, когда говорите об отрезке АВ, прямой АВ и т. д. Конечно, очень важно называть точки А и В. Но не менее важны и слова «отрезок», «прямая», «луч». Рисунок 77 поможет вам запомнить свойства этих фигур.
Вопросы и задания
9 85.1. Сколько прямых проходит через две точки?
85.2. Чем отличаются лучи АВ и ВА?
85.3. Какие два луча называются противоположными? W 85.4. Нарисуйте в тетради две точки и проведите через
них прямую линию. Отметьте три точки, лежащие на прямой, и три точки, не лежащие на ней.
85.5. (У) а) Сколько отрезков на рисунке 78? Назовите их. б) Как можно обозначить прямую на этом рисунке? в) Сколько лучей на рисунке 78? Назовите лучи с началом в точке В.
85.6. Являются ли прямыми линии АВ и CD на рисунке 79? Как вы это проверили?
85.7. Нарисуйте точку О и проведите из нее два непротивоположных луча. На каждом луче отметьте по точке на расстоянии 4 см от точки О. Найдите середину отрезка, соединяющего эти две точки. Обозначьте середину буквой К и проведите луч ОК.
85.8. Сравните на глаз горизонтальные отрезки на рисунке 80. Потом измерьте их. Какой из них длиннее?
85.9. Отрезок, соединяющий противоположные вершины четырехугольника, называют диагональю этого четырехугольника.
а) На рисунке 81 отрезок АС — диагональ четырехугольника
Рнс. 80
А
В
D
ABCD. Укажите еще одну диагональ. Измерьте диагональ АС и сторону AD. Какой отрезок короче?
б) Начертите прямоугольник со смежными сторонами 3 см и 4 см. Измерьте его диагонали и сравните их длины.
в)* Как вы думаете, что можно сказать про длины диагоналей любого прямоугольника? (Совет: начертите несколько разных прямоугольников и измерьте их диагонали.)
85.10. а) Нарисуйте в тетради точку М и проведите через нее две прямые линии, б) На каждой прямой отметьте точки на расстоянии 3 см от точки М. в) Точки, построенные в пункте б), соедините отрезками. Какой получился четырехугольник? (Совет: посмотрите, какие у него углы.)
85.11. Скорость света 299 792 км/с. От Солнца до Земли свет идет 8 мин 19 с. Найдите расстояние от Земли до Солнца. Округлите его до сотен тысяч километров.
Урок 86 ОкруЖНОСТЬ.
Формула для длины окружности
Еще одна знаменитая линия — это окружность. Ее легко начертить с помощью циркуля. Точка, в которую упирается ножка-иголка циркуля — это центр окружности (точка Р на рисунке 82). Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой на окружности, называют радиусом. На рисунке 82 радиусами являются отрезки РК, PL и РМ. Все
эти радиусы равны между собой, ведь их длина — это расстояние между ножками циркуля. Значит, вот какое свойство мы обнаружили: все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии от ее центра.
Найденное свойство удобно использовать, чтобы отвечать на вопрос: «Что такое окружность?»
ОКРУЖНОСТЬ —ЭТО ЗАМКНУТАЯ ЛИНИЯ, ВСЕ ТОЧКИ КОТОРОЙ НАХОДЯТСЯ
НА ОДИНАКОВОМ РАССТОЯНИИ
ОТ НЕКОТОРОЙ ТОЧКИ. ЭТА ТОЧКА НАЗЫВАЕТСЯ ЦЕНТРОМ ОКРУЖНОСТИ.
Обычно вместо слов «длина радиуса» говорят просто «радиус». Например, радиус окружности на рисунке 82 равен 1,5 см.
Хорда — это отрезок, концы которого лежат на окружности. Хорду, проходящую через центр, называют диаметром. На рисунке 82 отрезки АВ и KL — хорды, причем KL — диаметр. Концы диаметра делят окружность на две одинаковые половинки — полуокружности. Обычно вместо слов «длина диаметра» говорят просто «диаметр». Ясно, что диаметр равен двум радиусам.
Зная диаметр, можно найти длину окружности.
Но ведь окружность не отрезок! К ней и линейку приложить нельзя. Как же ее измерить?
В самом деле, линейкой окружность измерить нельзя. Но можно поступить иначе. Возьмем, к примеру, стакан. Его край — окружность. Если обвязать стакан ниткой, а потом разрезать эту нитку и измерить ее линейкой, то мы и получим длину ок
ружности. Попробуйте дома проделать это. Вы увидите,
что длина нитки будет приблизительно в три раза больше
диаметра стакана.
Обозначим длину окружности буквой С, а ее диаметр буквой D. Оказывается, какую бы окружность ни взять, частное от деления С на D всегда одно и
то же. Это частное обозначают греческой буквой л (читается «пи»). Приближенное значение числа л равно 3,14. Позже вы узнаете, как можно вычислить значение л более точно.
Из равенства С:О = л выводим, что C — n-D. Обозначим буквой /? радиус окружности. Тогда 0 = 2-/?, а
CD=n
С = л«(2-/?). Пользуясь сочетательным и переместительным законами умножения, получаем формулу для длины окружности:
Вопросы и задания
86.1. Какой отрезок называют радиусом окружности, 5 хордой, диаметром?
86.2. Какое свойство точек окружности обнаружено в уроке?
86.3. Что обозначают буквой л? Какое приближенное значение этого числа вы знаете?
V 86.4. Нарисуйте в тетради две точки А А в
и В. а) Из этих точек как из центров од- • •
ним и тем же раствором циркуля сделайте
засечки (см. рис. 83). Не меняя раствора циркуля, начертите окружность с центром в точ- х/
ке М. Лежат ли точки А и В на вашей окруж-
ности? б) Изменив раствор циркуля, начертите рис. 83 еще две окружности, проходящие через точки А
и В.
86.5. Нарисуйте две точки К и L на расстоянии 25 мм друг от друга, а) Начертите окружность радиусом 10 мм с центром в точке К. б) Начертите шесть окружностей с центрами в точке L и радиусами 10 мм, 15 мм, 20 мм, 30 мм, 35 мм, 40 мм. В скольких точках каждая из этих окружностей пересекается с первой окружностью?
86.6. Найдите длину окружности, если ее радиус равен: а) 1 м; б) 12 см; в) 1,5 км; г) 3,2 мм.
86.7. а) Радиус одной окружности равен 6 см, радиус другой — 2 см. Во сколько раз первая окружность длиннее второй? б) Радиус одной окружности равен 9 м, радиус другой — 3 м. Во сколько раз первая окружность длиннее второй? в)*Сравните ответы а) и б). Какой вывод можно сделать?
86.8. а) Длина земного экватора приближенно равна 40 000 км. Найдите диаметр земного экватора с точностью до сотен километров, б) Диаметр Луны 3476 км. Найдите длину лунного экватора с точностью до 1 км. в) Диаметр Солнца равен 1 392 000 км. Найдите длину солнечного экватора с точностью до тысяч километров.
86.9. Колеса автомашины имеют диаметр 75 см. Машина едет
по шоссе с такой скоростью, что каждую секунду колеса делают 8 оборотов. Найдите скорость машины в км/ч.
86.10. В задании 2.12 мы рассказывали, что в саду у Васи-
ных родителей растут 6 яблонь. Вася решил определить их диаметр на высоте 1 м от земли. Измерив окружность стволов на этой высоте» он заполнил верхнюю строку таблицы. В нижнюю
строку он записал диаметры, округлив их до сантиметров. Найдите и вы округленные значения
Длина окружности 13 15 16 21 ^2% 25
Ее диаметр
диаметров.
урок 87 Четыре вида углов
Какая получится фигура, если из одной точки провести два луча? Такую фигуру называют углом. Значит, угол — это два луча с общим началом. Лучи называют сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла. На рисунке 84 точка А — вершина, а лучи АВ и АС — стороны угла ВАС. Этот угол можно назвать и так: угол С АВ.
Рассмотрите углы на рисунке 85. Угол в середине прямой. Вы хорошо его знаете и умеете чертить с помощью угольника. Мы будем обозначать прямой угол, рисуя внутри него квадратик. Слева от прямого тупой угол, а справа острый.
А как узнать, какой нарисован угол — прямой, тупой или острый?
Нужно сравнить его с прямым углом. Например, приложив угольник. Как происходит сравнение? Надо совместить с вершиной данного угла вершину прямого угла. А одну сторону прямого угла наложить на одну из сторон данного угла. Допустим, мы наложили ее на сторону АВ. Тогда если сторона АС пойдет вне прямого угла (рис. 86, а), то угол ВАС тупой; если же внутри (рис. 86, б), то угол ВАС острый*
Про острый угол говорят, что он меньше прямого, а про тупой — что он больше прямого.
Но ведь слова «меньше» и «больше» мы используем для сравнения чисел! А здесь нет никаких чисел.
Рис. 86
Числа скоро появятся. А именно, рассказывая об измерении углов, мы познакомим вас с мерой для углов. Причем острого меньше
мера ...... угла всегда будет числом, которое .......
тупого . больше
меры прямого угла. Потерпите до уроков 89 и 90, где мы объясним, что это за мера и как она применяется для сравнения любых углов.
А теперь познакомимся еще с одним видом углов. Давайте рассмотрим противоположные лучи. Они выходят из общего начала. Значит, они тоже составляют угол. Его называют развернутым углом. На рисунке 87 внизу показан развернутый угол с началом в точке О.
Итак, теперь вы знаете четыре вида углов: прямой, острый, тупой и развернутый. В следующих уроках вы продолжите знакомство с ними.
Рис. 87
Вопросы и задания
4* 87.1. Что такое угол? Что называют вершиной угла,
у сторонами угла?
87.2. Какие четыре вида углов вы знаете?
V 87.3. Начертите на листочке по два разных угла каждо-
5 го вида. Предложите соседу по парте указать вид каждого угла. Проверьте, правильно ли он выполнил задание.
87.4. Определите на глаз вид углов ABE, СВЕ, BED, BEF, изображенных на рисунке 88. Проверьте ответы, пользуясь угольником.
D
Рис. 88
87.5. Нарисуйте в тетради точку О и проведите через нее две прямые. На каждой прямой отметьте две точки по разные стороны от точки О. Обозначьте их буквами. На вашем рисунке получилось несколько углов, а) Перечислите их, указывая вид каждого угла, б)* Сколько всего углов на рисунке?
87.6. (У) Возьмем развернутый угол АОВ и проведем из его вершины О еще один луч (см. рис. 89). Углы АОС и СОВ называют смежными. Закончите следующие предложения:
а) если один из смежных углов острый, то другой...;
б) если один из смежных углов тупой, то другой...;
в) если один из смежных углов прямой, то другой... .
Рис. 89
С
87.7. Рассмотрим угол между стрелками часов, когда минутная стрелка показывает на 12 (рис. 90). Этот угол будет тупым в 8 ч, прямым в 9 ч, острым в 10 ч. Начертите в тетради и запол-
ните таблицу. В верхней строке проставьте часы от 1 до 11, а в
Час 1 2 • • • 11
Угол
нижней — буквы О, П, Т или Р в зависимости от того, какой в этот час угол между стрелками — острый, прямой, тупой или развернутый.
Рис. 90
87.8. Начертите окружность какого-нибудь радиуса с центром О. Проведите диаметры АВ и CD так, чтобы угол ВОС был прямой, как на рисунке 91. Соедините хордами точки А, С, В н D. Какой получился четырехугольник ACBD? (Совет: измерьте длины сторон и установите вид углов четырехугольника ACBD.)
87.9* . Дома у Юры часы с боем. Они бьют каждый час.
Рис. 91
а) Когда Юра пришел из школы, угол между стрелками был тупой. Ровно через полчаса часы пробили. В этот момент угол между стрелками стал прямым. Когда Юра пришел из школы?
б) Когда Юра пришел с прогулки, часы били, а угол между стрелками был тупой. Ровно через полтора часа Юра снова взглянул на часы. Угол между стрелками был опять тупой. Какое время показывали часы?
Урок 88 «акне бывают треугольники
Смекалкин спросил младшего брата: «Бывают ли треугольники с двумя прямыми углами? с двумя тупыми? с прямым углом и тупым углом?»
Как бы вы ответили на эти вопросы?
Младший брат попробовал нарисовать треугольники, о которых его спросил Смекалкин (см. рис. 92). «Третья вершина не получается,— сказал он.— Таких треугольников не бывает».
Да, у треугольника два угла непременно острые. И только один угол может быть прямой или тупой, от него зависит название треугольника (см. табл.).
9 Учеб ник-собеседник
Какие у треугольника углы Название треугольника Как он выглядит
Все три угла острые Остроугольный
Один из углов прямой Прямоугольный
Один из углов тупой Тупоугольный
Из урока 82 вы знаете, что, кроме числа и вида углов, интересуются еще и длинами сторон. Если у треугольника две стороны равны, то его называют равнобедренным, а если равны все три стороны, то его называют равносторонним.
Проверьте, что на рисунке 93 все треугольники равнобедренные. Есть ли среди них равносторонние?
Рис. 93
Конечно, может быть и так, что все три стороны треугольника разной длины. Такой треугольник называют разносторонним.
Любыми ли могут быть длины сторон треугольника?
Посмотрите ответы в пунктах «б» заданий
82.9, 83.9, 84.9, 85. 9. Сравните длину каждой стороны треугольника с суммой длин двух других сторон. Какой можно сделать вывод?
Выполняется вот какое свойство:
В ТРЕУГОЛЬНИКЕ ДЛИНА КАЖДОЙ СТОРОНЫ МЕНЬШЕ СУММЫ ДЛИН ДВУХ ДРУГИХ СТОРОН.
Вопросы и задания
88.1. Сколько в треугольнике может быть прямых или < тупых углов? Сколько может быть острых углов?
* 88.2. Какой треугольник называют остроугольным,
прямоугольным, тупоугольным?
88.3. Какое свойство треугольника про длины сторон было сформулировано в уроке?
88.4. Как называют треугольник с двумя равными сторонами? с тремя равными сторонами?
»88.5. (У) а) Смекалкин объяснил младшему брату, что треугольник с вершинами А, В и С можно называть по-разному: треугольник АВС, треугольник АСВ... Продолжите это перечисление. Сколько всего названий у этого треугольника? б) «Все ясно,— заявил младший брат.— Три точки можно называть в любом порядке. Значит, угол KLM тот же, что и углы KML, MKL, MLK, LKM, LMK». Прав ли младший брат? Сколько различных углов он назвал на самом деле?
88.6. Если прямоугольник разрезать по диагонали, то получатся два прямоугольных треугольника (см. рис. 94). а) Начертите на листочке прямоугольник. Вырежьте его и разрежьте на два прямоугольных треугольника, б) Начертите остроугольный и тупоугольный треугольники. Покажите, проведя линию, как каждый из них разрезать на два прямоугольных треугольника.
88.7. На рисунке 95 показано, как называются стороны прямоугольного треугольника. Начертите в тетради прямой угол с вершиной С. Отметьте точки Л и В на сторонах угла так, чтобы прямоугольный треугольник АВС имел катеты 3 мерьте длину гипотенузы.
см и 4 см. Из-
Рис. 94
и
Гипотенуза
Рис. 95
9
отложите
88.8. Начертите луч АС
на нем отрезок длиной 2 см. Для этого установите раствор циркуля 2 см и сделайте циркулем засечку (см. рис. 96). Эта засечка отметит на луче такую точку В, что |ЛВ|—2 см. Точно так же отложите на луче ЛС отрезок длиной 3 см.
88.9. а) Начертите угол с вершиной в точке О. Установите раствор циркуля 25 мм и, не меняя его, сделайте засечки на сторонах угла, отложив отрезки АО
Рис. 07
Рис. 98
и ОВ длиной 25 мм (см. рис. 97). Соедините отрезком точки А и В, Какого вида получился треугольник АО В? б) Постройте три равнобедренных треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный, у которых равные стороны имеют длину 3 см.
88.10. а) Начертите окружность радиусом 2 см с центром в точке О и отметьте на окружности какую-нибудь точку А. Из точки А, не меняя раствора циркуля, сделайте засечку (см. рис. 98). На окружности получится новая точка В. Соедините отрезками точки А, В и О. Какого вида получился треугольник АВО? б) Постройте равносторонний треугольник, стороны которого имеют длину 3 см.
88.11. а) Начертите отрезок АВ длиной 35 мм. Начертите окружность радиусом 20 мм с центром в точке А и окружность радиусом 25 мм с центром в точке В. Эти окружности пересекутся в двух точках (см. рис. 99). Обозначьте точки буквами С и D. Какие получились длины сторон у треугольников АВС и ABD? б) Выполните такое же задание, взяв отрезок АВ длиной 20 мм, а радиусы окружностей 23 мм и 17 мм. в) Можно ли выполнить такое же задание, если длины отрезков будут 20 мм, 6 мм, 8 мм?
88.12. (У) Объясните, почему диаметр окружности является хордой наибольшей длины. (Совет: пользуясь свойством длин сторон треугольника, покажите, что длина любой другой хорды меньше двух радиусов, см. рис. 100.)
88.13. (У) Клоун объявил публике, » что он начертил треугольник со сторона-Л?*1 ми длиной 10 см, 1 см и 2 см. Публика смеялась. Объясните почему.
Рис. 100
Урок 89 Измерение углов
Для измерения углов применяют транспортир. Он состоит из полукольца, соединенного с линейкой. Полукруглый край транспортира — это половинка окружности, центр которой — точка О в середине верхнего края линейки (рис. 101). Полуокружность разделена черточками на 180 равных частей — градусных делений.
Как измерить угол транспортиром? Нужно приложить верхний край линейки к одной из сторон угла так, чтобы центр О совпал с вершиной угла (см. рис. 102). Затем нужно посмотреть, сколько градусных делений содержится между сторонами угла. Число таких делений называют градусной мерой угла или, по-другому, величиной угла. На рисунке 102, а градусная мера угла ВОС равна 80 градусам. А градусная мера угла НОМ на рисунке 102, б равна 143 градусам. Записывают это так:
Z ВОС = 80°; А НОМ = 143°.
Начертите с помощью угольника прямой угол и измерьте его транспортиром.
Рис. 101
Рис. 102
Вы, конечно, обнаружили, что градусная мера прямого угла равна 90°. А развернутого угла? Его меру легко найти: ведь между противоположными лучами содержатся все 180 градусных делений. Поэтому градусная мера развернутого угла равна 180°.
С помощью транспортира углы можно не только измерять, но
Рис. 103
и строить. Построим,
например, угол величиной 50°. Для этого нужно из одной точки (вершины) провести два луча (стороны). Одну из сторон начертим сразу. Пусть это будет луч ОД. Расположим транспортир так, как на рисунке 103, и поставим точку В у черточки с отметкой 50. Проведем луч ОВ. Тогда угол АОВ будет иметь градусную меру 50°.
Углы называют равными, если у них одна и та же величина. Градусные деления транспортира делят развернутый угол на 180 равных углов. И каждый из этих углов-долей имеет меру 1°. Значит, 1° — это величина угла, который является одной сто восьмидесятой долей развернутого угла. 1° — это основная единица измерения углов.
Вопросы и задания
89.1. Какова основная единица измерения углов? Что такое 1°? Что такое градусная мера угла?
89.2. Какие углы называют равными?
89.3. Какую градусную меру имеет прямой угол; развернутый
89.4. а) Измерьте углы на рисунке 104. б) Начертите угол и предложите соседу по парте измерить его.
89.5. Измерьте углы своего угольника. Чему равна сумма величин его углов?
89.6. Начертите квадрат и проведите одну диагональ. Измерьте углы получившихся прямоугольных треугольников.
89.7. Постройте с помощью транспортира угол, градусная мера которого равна: а) 20°; б) 150°; в) 36°; г) 95°; д) 88°.
Рис. 105
Pfcc. 106
89.8. а) Определите на глаз величину углов на рисунке 105. Проверьте себя, измерив углы транспортиром, б) Начертите в
тетради эти углы.
89.9. Измерьте три угла на рисунке 106. Проверьте равенство ААОВ + А ВОС — ЛАОС.
Z.ZOC 30° 45° 60° 90° 120° 135°
/.СОВ
89.10. а) Чему равна сумма мер смежных углов (см. задание 87.6.)? б) В следующей таблице углы А ОС и СОВ смежные. Перечертите таблицу в тетрадь и запол-
ните нижнюю строку.
89.11. У равнобедренного треугольника равные стороны называют боковыми, а третью сторону — основанием. На рисунке 107 отмечены углы при основании, а) Начертите какой-нибудь равнобедренный треугольник, у которого угол против основания имеет величину 100°. (Совет: загляните в задание 88.9.) И б) Измерьте у полученного треугольника углы при основании. Найдите сумму величин всех углов.
89.12. Прямой угол на рисунке 108 разделен на четыре равных угла, а) (У) Сколько градусов содержит каждый из этих углов? б) Начертите в тетради прямой угол и разделите его с помощью транспортира на три равных угла, в) Начертите развернутый угол и разделите на пять равных углов.
89.13. а) Начертите треугольник, у которого известны длины двух сторон и величина угла между этими сторонами. Именно пусть |4В|=5 см, 1/4671=3 см, Z.BAC — 40°. (Совет: сначала начертите угол с вершиной Л, а потом отложите на его сторонах нужные отрезки.)
Ц б) Найдите сумму мер углов этого треугольника.
ОсноВон ие
Рис. 107
89.14. а) Начертите треугольник, у которого известны длина одной стороны и градусные меры двух прилегающих к ней углов. Именно пусть |КЛ4|—6 см, ZMKL = 60°, Л/СИ£ = 30°. (Совет: сначала начертите сторону КМ, а потом постройте углы, как на рис. 109.) И б) Найдите сумму градусных мер углов этого треугольника.
89.15. Клоун объявил публике, что он начертил треугольник с углами, величина которых 90°, 100°, ... . Публика, даже не дождавшись объявления величины третьего угла, засмеялась. Объясните
почему.
Урок 90 Как градусы
помогают сравнивать углы
В уроке 87 мы обещали объяснить, как появляется мера для углов и как она применяется для сравнения углов. Первое обещание выполнено в предыдущем уроке. Сейчас выполним второе.
На рисунке НО изображены . .
сразу несколько углов с общей сто- \ \ /
роной ОЛ. Разглядывая этот рису- \\ / /
нок, можно сделать следующий //
вывод: мера острого угла меньше 90°, а мера тупого угла больше 90°. А
Поэтому И говорят, ЧТО острый угол Рис. 110
меньше прямого, а тупой больше прямого. Ясно также, что острый угол всегда меньше тупого.
Но сравнивать друг с другом можно и углы одного вида. Как сравнить два острых угла на рисунке 111, а? Или два тупых на рисунке 111,6?
Я догадался! Угол ВАС острее угла FDE. А угол MKN тупее угла SPR.
Можно и так сказать. Но в математике используют слова «меньше» и «больше». Эти слова годятся для сравнения любых углов.
Л меньше
Один угол ....... другого, если градусная мера перво-
больше
меньше о
го угла ........ градусной меры второго угла.
больше
Основной единицей измерения углов является 1°. Но измерять углы приходится и с большей точностью — в астрономии, географии, технике. В таких случаях градус слишком крупная единица (так же, например, как метр при измерении гвоздиков!). Тогда используются доли градуса — минуты и секунды.
Вот так да! Как будто мы время измеряем!
Мы сейчас говорим, конечно, не об измерении времени. Но это точно такие же доли градуса, какими являются минуты и секунды при делении часа. Минута — это шестидесятая доля градуса, а секунда — шестидесятая доля минуты: 1 минута=1' = -^.1°, I секунда= 1"=±. 1'=-^. Г.
Например, величину угла в 28 градусов 31 минуту 57 секунд можно записать как 28°31'57". А можно эту величину записать только в градусах, в виде десятичной дроби: 28,5325°.
Почему же при измерении углов используются не десятые доли, как при измерении длин, а шестидесятые? Дело в том, что градусы, минуты и секунды — очень древние единицы. Измерять ими углы вавилонские астрономы начали приблизительно 2500 лет назад. Для записи чисел они применяли позиционную шестидесятеричную нумерацию. Так возникли шестидесятые доли градуса. Позже и час стали делить на минуты и секунды.
Вопросы и задания
90.1. Что можно сказать про градусные меры острых и ж тупых углов?
90.2. Что значит один угол меньше другого; больше другого?
90.3. Что такое минута, секунда?
90.4. а) Сравните острые углы на рисунке 112, а, изме-
J рив их транспортиром. Результат запишите в виде цепочки неравенств, б) Выполните такое же задание для тупых углов на рисунке 112,6.
В 90.5. Начертите равносторонний треугольник и измерьте его углы. Чему равна сумма градусных мер всех его углов?
90.6. (У) Посмотрите еще раз свои ответы в заданиях 89.5, 89.136), 89.146), 90.5. Какой вывод о сумме величин углов треугольника можно сделать? Вот какой: сумма величин углов треугольника равна 180°. Используя это свойство, вычислите, чему равен третий угол треугольника, если два других равны: а) 30° и 45°; б) 60° и 80°; в) 120° и 40°.
90.7. а) Какую часть одного градуса составляют 30'; 18'; 42'? Запишите ответ десятичной дробью, б) Запишите в градусах десятичной дробью 14°30'; 8°45'; 34°15'; 67°18'.
90.8. а) В тексте урока сказано, что 28,5325° = 28°31'57". Как проверить это равенство? Для этого дробную часть надо выразить в минутах и секундах. Выразим 0,5325° в минутах: 60'-0,5325, т. е. 31,95'. Теперь дробную часть минут надо выразить в секундах. Закончите вычисления, б) Запишите в градусах, минутах и секундах 26,5°; 11,25°; 50,34°; 36,345°.
90.9. Клоун объявил, что он построил: а) тупой угол, мера которого 324 000"; 6) тупой угол с мерой 6600'; в) острый угол с мерой 5500'. На самом деле клоун в двух случаях неправильно назвал вид угла. Выясните, в каких именно.
урок 91 Окружность тоже делится на градусы
Вы, конечно, не раз видели компас (см. рис. ИЗ). В учебнике природоведения (на с. 10) рассказано, как он
устроен. Шкала компаса — это окружность, разделенная на 360 градусных делений. В том же учебнике рассказано об экваторе Земли и меридианах. Это тоже окружности, и они тоже разделены на градусы. Например, у экватора 180° восточной долготы и 180е западной долготы (см. рис. 114, на нем изображен глобус со стороны Северного полюса). И вообще любая окружность делится на 360 градусов.
Рис. из
Если циркуль, рисующий окружность, пройдет только часть пути, то он начертит дугу этой окружности (см. рис. 115, а). Всякую дугу окружности можно измерить градусами. Для этого строят угол с вершиной в центре окружности, стороны угла проводят через концы дуги. Градусной мерой (угловой величиной) дуги называют у градусную меру получившегося угла. Например, градус-□ ная мера дуги АВ на рис. 115, б равна 70° (проверьте!).
С помощью угла можно измерить только дугу, которая целиком помещается на некоторой полуокружности. На рисунке 115,6, кроме измеренной нами дуги, есть и другая дуга: она проходит вне угла АОВ. Как ее измерить? Вся окружность содержит 360°, значит, градусная мера второй дуги равна 360° — 70° = 290°.
Градусами можно измерять не только дуги окружностей, но и любые предметы. Посмотрите на рисунок 116, а. Из точки О отрезок АВ виден под углом 40°. Поэтому говорят, что с точки зрения наблюдателя О угловой размер отрезка АВ равен 40°. Конечно, угловые размеры зависят от расстояния (см. рис. 116, б). Солнечное затмение можно наблюдать на Земле потому, что угловые размеры Луны и Солнца приблизительно одинаковы.
Рис. 116
(Урок 91)
Вопросы и задания
91.1. На сколько градусов делится окружность?
91.2. Как строят угол, с помощью которого дугу окружности измеряют градусами?
91.3. Начертите окружность и разделите ее с помощью транспортира на 10 равных частей.
91.4. На рисунке 117 показаны основные и промежуточные стороны горизонта. Сравните этот рисунок с рисун-
ком 113, где изображен компас. Начертите и заполните таблицу, в которой для каждой стороны горизонта указан азимут.
С св • • 4 сз
0° 45° • • • 315°
91.5. В романе Ж. Верна «Пятнадцатилетний капитан» злодей Негоро положил под компас железный брусок. Стрелка компаса стала указывать не на север, а на северо-восток. Не зная об этом, рулевой Том считал, что ведет судно на восток. На сколько градусов судно отклонилось от заданного курса? В каком направлении оно шло на самом деле?
91.6. а) Начертите окружность радиусом 3 см. Пользуясь транспортиром, разделите ее на 6 равных частей и отметьте точки деления. Каждую пару соседних точек соедините отрезком. Измерьте углы и стороны полученного шестиугольника. Чему равна сумма величин его углов? Чему равен его периметр? б) Постройте пятиугольник, разделив окружность на 5 равных частей. Измерьте его углы и найдите сумму их величин.
91.7. На рисунке 118, а изображена дуга в 60°. а) Начертите в тетради окружность, частью которой является эта дуга. Из скольких таких дуг можно составить окружность? б) Выполните задание а) для дуги, изображенной на рисунке 118,6.
91.8. а) Рассмотрите «цветок» на рисунке 119, а. Этот «цветок» составлен из дуг окружностей. Построить его можно так.
Рис. 119
Начертите окружность и отметьте на ней точку. Не меняя раствора циркуля, проведите из этой точки как из центра новую окружность. Она пересечет старую окружность в двух точках. Теперь из этих точек как из центров снова проведите окружности (см. рис. 119,6). Продолжив построение, вы получите нужную фигуру. Закрасьте ее цветным карандашом.
б)* Догадайтесь, сколько градусов содержит каждая из дуг «цветка» (рис. 119, а). Проверьте свою догадку измерением.
91.9. Минутная стрелка часов за 1 ч делает полный оборот, т. е. поворачивается на 360°. а) На сколько градусов повернется минутная стрелка за 15 мин; за 5 мин; за 1 мин; за 40 мин? б) За какое время минутная стрелка повернется на 1°; на 60°? в) На какой угол повернется часовая стрелка за 1 ч; за 6 ч; за 30 мин; за 1 мин? г) За какое время часовая стрелка повернется на 1°; на 60°?
91.10* . Вы помните часы с боем у Юры дома (см. задание 87.9)? а) Однажды, услышав бой часов, Юра заметил, какой был угол между стрелками. Когда часы пробили в следующий раз, угол стал вдвое меньше. Какое время часы показывали в первый раз? б) Когда Юра сел выполнять домашнее задание, часы пробили. Через 1,5 ч Юра закончил делать уроки и взглянул на часы: угол между стрелками был 15°. Когда Юра закончил делать уроки?
91.11. Длина меридиана 40 000 км. а) Какова (с точностью до 1 м) длина его дуги, угловая мера которой равна 1°? б) Морская миля — это длина дуги меридиана, угловая мера которой равна 1'. Найдите длину морской мили с точностью до метров.
91.12. Экватор пересекает берега Африки в точках, восточная долгота которых приближенно равна 90° и 43°. Найдите ширину Африки вдоль экватора (длина экватора~40 000 км).
Задания на повторение к § 9
92.1. Периметр одного квадрата равен 10 см, периметр
J другого — 50 см. На сколько сантиметров сторона первого квадрата короче стороны другого квадрата?
92.2. Постройте прямоугольный треугольник с катетами 24 мм и 32 мм. Измерьте его гипотенузу. (Совет: загляните в задание 88.7.)
92.3. а) Постройте прямоугольный треугольник, у которого один катет равен 3 см, а угол между этим катетом и гипотенузой равен 60°. (Совет: загляните в задание 89.14.) б) Измерьте длину гипотенузы.
92.4. Начертите какой-нибудь прямоугольный треугольник. С помощью угольника достройте его до прямоугольника (см. рис. 120).
92.5. Постройте равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 3 см и основанием 4 см. Измерьте его углы.
92.6. Постройте треугольник, длины сторон которого равны 44 мм, 36 мм и 28 мм. (Совет: загляните в задание 88.11.)
92.7. Начертите окружность радиусом 15 мм и проведите ее диаметр MN. Тем же раствором циркуля сделайте засечки из точки N (см. рис. 121). Построенные точки К и L соедините отрезками друг с другом и с точкой М. Измерьте углы треугольника KLM и его стороны. Какой получился треугольник?
Рис. (20
92.8. Найдите величину угла, если она в 8 раз больше величины смежного к нему угла (см. задание 87.6).
92.9. Ракета стартовала с космодрома и полетела по прямой со скоростью 8,4 км/с. Ровно через сутки стартовала другая ракета и полетела тем же курсом со скоростью 18 км/с. а) Через сколько часов после старта первой ракеты ее догонит вторая? б)* Через сколько суток после старта первой ракеты вторая ракета окажется вдвое дальше от Земли, чем первая?
92.10. Глубину моря измеряют с помощью эхолота. Издаваемый им звук доходит до дна, отражается и возвращается к эхолоту. Эхолот измеряет полное время прохождения звука. Скорость
звука в воде 1500 м/с. а) Время, измеренное эхолотом, 1,8 с. Какая глубина моря в этом месте? б) Самое глубокое место на Земле — Марианская впадина в Тихом океане. Глубина впадины равна 11 022 м. Найдите с точностью до 0,1 с время, измеренное там эхолотом.
92.11. Два самолета, вылетев из точки Л, летят по окружности радиуса 100 км навстречу друг другу (рис. 122). Скорость одного самолета в 2 раза больше скорости другого. Над точкой Af они пролетят одновременно (на разной высоте), а) Найдите величину угла АОМ. б) Изменится ли величина угла, если радиус будет равен 500 км?
Рис. 122
Рис. 123
92.12. Периметр квадрата больше его стороны на 48 см. Най
дите площадь квадрата.
92.13* . Смекалкин загадал младшему брату загадку: «В треугольнике АВС длины сторон не известны, но зато известны такие суммы: |АВ|4-|ВС|=8 см, |ЛС| + |ВС| = 10 см, |ЛВЦ-+ 1ЛС| = 12 см. Каковы длины сторон?» Младший брат сказал,
что это трудная загадка. На самом деле она не очень трудная.
Постарайтесь отгадать ее. (Совет: будет легче, если сначала найти периметр треугольника АВС.)
92.14*. Как разрезать треугольник, изображенный на рисунке
123, на две части, чтобы из этих частей можно было сложить квадрат? Какую площадь будет иметь квадрат? (Совет: измерьте стороны треугольника и догадайтесь, какую длину будет иметь сторона нужного квадрата.)
92.15. Мышка хочет скорей добраться до сыра. К сыру ведут несколько одинаково коротких путей. Сколько именно?
§ 10. ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
В этом параграфе вы будете изучать еще две важные величины — площадь и объем. Площадь прямоугольника вы уже умеете измерять. А здесь мы расскажем, как
измерять площадь и некоторых других фигур. В конце параграфа вы познакомитесь с прямоугольным параллелепипедом и научитесь измерять его объем.
Урок 9з Какими единицами измеряют площадь* Формула для площади прямоугольника
Для измерения площади используют единичные квадраты. Единичным называют квадрат, длина стороны которого равна выбранной единице длины. Название площади единичного квадрата получится, если к названию выбранной единицы длины добавить прилагательное «квадратный». Например, 1 квадратный сантиметр — это площадь квадрата со стороной 1 см.
Скажите, что такое 1 квадратный метр, С/ 1 квадратный миллиметр, 1 квадратный
километр.
Обычно единицы площади записывают сокращенно. Например:
I квадратный метр = 1 кв. м = 1 м2;
1 квадратный километр =1 кв. км=1 км2.
Сформудируем теперь, что значит измерить площадь фигуры. Сначала нужно выбрать единичный квадрат. ИЗМЕРИТЬ ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ — ЗНАЧИТ НАЙТИ ЧИСЛО, ПОКАЗЫВАЮЩЕЕ, СКОЛЬКО ЕДИНИЧНЫХ КВАДРАТОВ СОДЕРЖИТСЯ В ДАННОЙ ФИГУРЕ.
Проще всего измерить площадь прямоугольника. Вам приходилось делать это много раз. А сейчас мы получим удобную формулу для площади прямоугольника. Рассмотрим прямоугольник, смежные стороны которого содержат а и b единиц длины. Видно, что такой прямоугольник разбивается на единичные квадраты-клетки. Получилась таблица, в которой а строк и b столбцов (см. рис. 124). Но
тогда можно применять схему 2 из урока 18: общее число единичных квадратов будет равно а*Ь. Обозначим буквой S площадь нашего прямоугольника и запишем найденную формулу:
Если прямоугольник является квадратом со стороной а, то а = Ь и формула для площади имеет вид:
V
Формула для площади квадрата позволяет легко выражать одни единицы площади через другие. Например, 1 м2=(100 см)2=10 000 см2, 1 км2 = (1000 м)2 = = 1 000 000 м2.
На практике часто применяют еще такие единицы площади: гектар и ар. Гектар — это площадь квадрата со стороной 100 м. Ар — это площадь квадрата со стороной 10 м. Названия этих единиц сокращенно записывают так: га, а. Верны равенства: 1 га = 10 000 м2, 1 а =100 м2 (проверьте!). Гектарами измеряют площадь сельскохозяйственных полей, лесных угодий. Ары в быту обычно называют «сотками», в них выражают площадь огорода, приусадебного участка. Легко вычислить, что 1 га =100 а (проверьте!). Слово «гектар» как раз и означает «100 аров».
Вопросы и задания
4^ 93.1. Какой квадрат называют единичным?
j 93.2. Что значит измерить площадь фигуры?
93.3. Что такое гектар, ар?
93.4. Сколько квадратных метров в 1 га; в 1 а? Сколько _ гектаров в 1 км2?
f 93.5. (У) Выразите: а) в квадратных метрах 2 а; 13,6 а;
20 а; 0,18 а; 4 га; 8,7 га; 100 га; 0,45 га; б) в квадратных
километрах 15 га; 200 га; 315 га; 16,9 га; в) в гектарах 5400 м2; 10 000 м2; 375 000 м2; 3 км2; 16,08 км2; г) в арах 800 м2; 1647 м2; 240 м2; 3 га; 82,4 га.
93.6. Морская миля имеет длину 1852 м (см. задание 91.11). Выразите квадратную милю в м2; в км2; в а; в га.
93.7. Измерьте площадь одной страницы этого учебника, а) Какова площадь всей бумаги, из которой изготовлен один экземпляр учебника? б) Посмотрите, каков тираж учебника, и вычислите, сколько квадратных километров бумаги израсходовано на изготовление всех экземпляров учебника, в) Для производства 1000 м2 бумаги требуется вырубить лес с га. С какой площа
ди потребовалось вырубить лес, чтобы выпустить весь тираж учебника?
93.8. Валя и Вера живут в прямоугольной комнате высотой 2,5 м. Длина стен равна 6 м и 4 м. Девочки будут оклеивать стены обоями от пола до потолка. В одной стене имеется дверь шириной 1 м и высотой 2 м, а в другой стене — квадратное окно со стороной 1,5 м. Какова площадь требуемых обоев?
93.9. (У) а) В некотором царстве, в некотором государстве была такая единица длины — бумбамс. Двор вокруг царского дворца имел форму прямоугольника со сторонами 50 и 80 бумбам-сов. Найдите площадь двора в квадратных бумбамсах. б) А сам дворец стоял в углу двора, занимая квадрат со стороной 20 бум-бамсов. Царь решил выложить весь двор снаружи коврами, имевшими форму прямоугольника со сторонами 2 и 3 бумбамса. Сколько потребовалось для этого ковров?
93.10. Из бумаги склеена круглая трубка диаметром 5 см и высотой 8 см (рис. 125). Если разрезать ее по пунктирной линии, то получится прямоугольник. Найдите его площадь.
93.11. Смежные стороны прямоугольника ABCD (на рис. 126) равны 15 мм и 24 мм. а) Какова площадь прямоугольника? 6) Какова площадь треугольников АВС и ACD?
93.12. Сторона квадрата KLMN на рисунке 127 равна 16 мм. Какова площадь треугольников PKL, PLM, PMN, PNK?
Рис. 125
Рис. 126
Рис. 127
93.13. а) Смекалкин дал младшему брату линейку в 18 см и предложил измерить площадь развернутой газеты «Пионерская правда». Брат удивился: «Как же измерять, если газета большая, а линейка маленькая?» Смекалкин посоветовал согнуть газету пополам в 4 раза. Получился прямоугольник со сторонами 15 см и 10,5 см. Какова площадь газеты в развернутом виде? б) Измерьте тем же способом площадь какой-нибудь газеты для взрослых.
93.14. (У) Какова сторона квадрата, если его площадь равна: а) 9 см2; б) 49 дм2; в)* 121 м2?
93Л5. Клоун рассказал публике, что в одном кол-хозе ему показали пшеничное поле площадью 2 400 000 000 см2 и подарили фотографию этого поля, имеющую площадь 0,000 000 36 га. Публика смеялась: всем было ясно, что клоун пользовался неподходящими единицами площади. Запишите площадь поля в гектарах, а площадь фотографии в квадратных сантиметрах.
урок 94 Поговорим о вычислении площадей фигур
Как измерить площадь треугольника? Ведь треугольник нельзя разбить на единичные квадраты. Прежде чем ответить на вопрос, обсудим, как находить площадь прямоугольного треугольника.
Рассмотрите прямоугольный треугольник ЛС£>, у которого |Л£)|=а, \DC\=b (рис. 128, а). Вам уже приходилось достраивать прямоугольный треугольник до прямоугольника (см. задание 92.4). Поступим и здесь так же. Получим прямоугольник ABCD (см. рис. 128, б), Из урока 93 вы знаете, как найти его площадь: она равна а-b. Диагональ АС делит прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника. Поэтому площадь треугольника ACD вдвое меньше площади прямоугольника ABCD, Значит, она равна ~. Давайте обозначим ее SACD. Тогда
|Л£>|. |DC| ACD----------о
(Урок 94) 176
Стороны AD и DC треугольника образуют прямой угол. Такие стороны в задании 88.7 были названы катетами. Поэтому можно сформулировать следующее правило:
ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
РАВНА ПОЛОВИНЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДЛИН ЕГО КАТЕТОВ.
А если треугольник не прямоугольный? Оказывается, для вычисления площади любого треугольника достаточно уметь вычислять площади прямоугольных треугольников. В самом деле, любой треугольник можно разбить (т. е. мысленно разрезать) на два прямоугольных. Например, треугольник АВС на рисунке 129 разбит на прямоугольные треугольники ABD и BCD. Значит, площадь SABC треугольника АВС равна сумме площадей SABD и $bcd треугольников ABD и BCD. А площади SABD и SBCD вы умеете находить.
В
Рис. 129
Рис. 130
Рис. 131
Теперь вы сможете вычислить площадь и многих других фигур. Как вычислить площадь фигуры ABCDE на рисунке 130? Ясно, что ее площадь равна сумме площадей треугольников АВЕ. ВСЕ и CDE. А вычислять площади треугольников вы уже научились.
Иногда, чтобы найти площадь, удобно не складывать другие площади, а вычитать. Чтобы узнать площадь заштрихованной фигуры на рисунке 131, можно достроить ее до прямоугольника. А потом из площади прямоугольника вычесть площадь треугольника и квадрата. Это и будет искомая площадь.
Вопросы и задания
94.1. Чему равна площадь прямоугольного треугольника?
94.2. Как найти площадь любого треугольника?
94.3. Убедитесь, что треугольники на рисунке 132 прямоугольные. Измерьте их катеты и найдите площади.
Рис. 132
Рис. 133
94.4. а) Проделайте нужные измерения и найдите площадь треугольника FGH, изображенного на рисунке 133. б) Треугольник АВС помещен в прямоугольник, как показано на рисунке 134. Смежные стороны прямоугольника имеют длину 2 см и 4 см. Какова площадь треугольника ЛВС? в) На рисунке 135 отрезок LN. имеет длину 18 мм, а сторона КМ — 30 мм. Найдите площадь треугольника KLM.
Рис. 134
Рис. 135
А
94.5. У яхты два паруса: грот и стаксель (рис. 136). Оба паруса имеют форму прямоугольного треугольника. У грота катеты имеют длину 3 м и 5 м, у стакселя катеты имеют длину 1,5 м и 4 м. Сколько квадратных метров парусины требуется для изготовления этих парусов?
94.6. Площадь заштрихованного прямоугольника на рисунке 137 равна 3 см2. Найдите площадь: а) треугольника ВСМ\ б) треугольника ЛВС; в) треугольника ABD\ г) треугольника ACD.
Рис. 136
Рис. 137
94.7. Рассмотрите следующую таблицу. В первых двух строках указываются длины катетов прямоугольного треугольника, пло-
щадь которого записывается в 3-й строке. Заполните эту таблицу.
1-й катет 3 дм 8,2 м 2,6 км 68 мм
2-й катет 4 дм 5 см 3,5 м 1 км 45 м
Площадь 12 см2 2516 мм2 1,53 га
94.8. В четырехугольнике ABCD на рисунке 138 выполняются равенства |ДВ| = |ЛО| = 14 мм, |ВС| = |СО| =25 мм. Найдите площадь этого четырехугольника. (Совет: проведите в нем одну из диагоналей.)
94.9. На рисунке 139 показан план школьного сада. Найдите площадь сада в арах.
Рис. 138
94.10. Площадь одной клеточки 0,25 см2, а) Внимательно рассмотрите фигуры на рисунке 140 и скажите, какую площадь имеет «голова Буратино», б) Найдите площадь каждой фигуры на рисунке 141. в) Найдите площадь буквы «Т» на рисунке 142.
—
г»А-£У — ц
Урок 95 Круг.
Формула для площади круга
Круг знаком вам так же хорошо, как и окружность. Ведь круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью (рис. 143, а). Центр окружности называют также центром круга; радиус, диаметр круга — те же самые, что и у ограничивающей его окружности. Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности, соединяющей их концы, называется сектором (см. рис. 143,6).
В этом уроке мы расскажем, как находить площадь круга. Для вычисления площади круг удобно разрезать на секторы, как торт иа дольки. Давайте возьмем круг радиуса R и разрежем его на несколько равных секторов, как на рисунке 144, а. Для наглядности половина секторов заштрихована. А теперь из этих секторов составим другую фигуру (рис. 144,6). Боковые стороны фигуры
В)
(Урок. 95) МО
можно сделать вертикальными (рис. 144, в). Для этого нужно разрезать пополам крайний (например, левый) сектор и приставить одну половинку с другой стороны. Площадь новой фигуры такая же, как у круга.
А сама фигура похожа на прямоугольник!
Верно. А если мы будем разрезать круг на еще более мелкие секторы, то новая фигура будет еще более походить на прямоугольник (см. рис. 145).
Рис. 145
Как же вычислить площадь такой фигуры? Так же как и площадь обычного прямоугольника — перемножить длины сторон. Найдем эти длины. Вертикальные стороны — это радиусы. Значит, их длины равны /?. А горизонтальные стороны? Верхняя, например, образована дугами заштрихованных секторов. Но длины этих дуг в сумме составляют половину длины окружности.
Обозначим длину окружности буквой С. Вы знаете, что С = 2-л-7?, где л«3,14 (см. урок 86). Значит, горизонтальные стороны нашего «прямоугольника» имеют длину -^-=л*/?. Теперь уже можно вычислить его площадь S. Она равна /?*л*/?, т. е. л-/?2. Но у круга площадь такая же. Вот мы и получили формулу для площади круга:
5 = л*/?2.
Вопросы и задания
95.1. Что такое круг?
95.2. Что такое сектор круга?
95.3. Чему равна площадь круга радиуса /??
95.4. Вычислите площадь круга, радиус которого равен: а) 3 см; б) 10 м; в) 1,4 км; г) 0,01 мм.
95.5. а) Начертите на листочке круг и определите на глаз его площадь. А теперь измерьте радиус и вычисли
те площадь круга. На сколько вы ошиблись? б) Передайте свой чертеж соседу по парте и предложите выполнить то же задание. Выясните, у кого из вас глазомер лучше.
95.6. Воспользовавшись ответом в задаче 86.10, найдите площадь поперечного сечения каждой яблони в саду у Васи.
И 95.7. «Цирк» и «циркуль» — это слова-родственники. Ведь оба слова происходят от латинского «циркус», что означает «круг». Цирковая арена имеет форму круга. Ее диаметр равен 13,5 м. Какова ее площадь?
95.8. Отец Вали и Веры предложил девочкам сделать две клумбы. Он дал им веревку длиной 6 м, чтобы с ее помощью наметить границу каждой клумбы. Валя решила сделать клумбу квадратной, а Вера — круглой, а) Чья клумба будем иметь большую площадь? Радиус круглой клумбы вычислите с точностью до сотых, б) Во сколько раз площадь одной клумбы будет боль-
ше площади другой? в) Ответьте на вопрос б) в том случае, когда длина веревки равна 8 м.
95.9. В прямоугольной пластине просверлено круглое отверстие. Все размеры в миллиметрах указаны на рисунке 146. а) Найдите с точностью до 0,1 мм площадь этой детали, б) 1 см2 этой пластины весит 2 г. Сколько граммов весит вся деталь?
95.10. (У) На рисунке 147 точки А и Е — середины сторон. ВС и CD — дуги окружностей с центрами А и Е. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Рис. 146
Рис. 147
95.11. а) Фигура на рисунке 148, а состоит из квадрата и четырех полукругов. Рассмотрите ее, выполните нужные измерения и найдите площадь фигуры, б) Найдите площадь заштрихованной фигуры на рисунке 148,6.
95.12. а) Цирковую арену разделили на 6 одинаковых секторов (рис. 149). Какова градусная мера дуги каждого сектора? 6) Площадь арены вы нашли, решив задачу 95.6. Какова площадь каждого из секторов? в) Арену разделили на 360 одинаковых секторов. Ответьте на такие же вопросы, как в а), б).
Рис. 148
б)
Рис. 149
Д
Рис. 150
95.13. Площадь круга на рисунке 150 равна 630 мм2, а) Круг разделен на 360 одинаковых секторов. Какова площадь каждого сектора? б)* Какова площадь секторов ОАВ и OCD?
95.14. В 1986 г. в нашей стране было 82,2 млн. рабочих, 12,4 млн. колхозников и 36,3 млн. служащих. Вычислите с точностью до тысячных, какую часть всех 130,9 млн. перечисленных трудящихся составляют рабочие, колхозники, служащие.
урок 9в Круговые диаграммы
На рисунке 151 изображена круговая диаграмма площади земной поверхности. Она показывает, какую часть
Рис. 151
этой поверхности занимают материки и острова, а какую — океаны и моря. Как построена эта диаграмма? Суша занимает 29% всей площади земной поверхности. Поэтому площадь суши изображена сектором, дуга которого содержит 29% от 360°. Остальная часть круга показывает площадь воды.
Круговые диаграммы используют
в тех случаях, когда хотят нагляд-
служащие
колхозники
-рабочие
Рис. 152
но показать, на какие части делится что-то целое. Рассмотрим еще один пример. Решив задачу 95.14, вы нашли, какие части составляли в 1986 г. рабочие, колхозники и служащие нашей страны. Именно: рабочие составляли 0,628, колхозники — 0,095, а служащие — 0,277 от их общей численности.
В круговой диаграмме, показывающей численность рабочих, колхозников и служащих, будет три сектора. Нужно подсчитать, сколько градусов должна содержать дуга каждого сектора. Находим: 360°-0,628 = 226,08° « «226°; 360°-0,095 = 34,20°^ 34°; 360°-0,277 = 99,72°« «100°. Теперь можно чертить круговую диаграмму (см. рис. 152).
Задания
g 96.1. Сколько градусов содержит дуга сектора, изобра-
жающего сушу на первой диаграмме в текстах урока?
96.2. Океаны Земли занимают приблизительно такие площади (в млн. км2): Тихий—180, Атлантический — 92, Индийский — 75, Северный Ледовитый — 13. Начертите круговую диаграмму, показывающую площади всех океанов.
96.3. Начертите круговую диаграмму, показывающую, какую часть суток занимает у вас время, потраченное на пребывание в школе, выполнение домашних заданий, прочие занятия, сон.
96.4. Материал 5-го класса в этом учебнике занимает три главы, а) Подсчитайте число уроков в каждой из трех глав. Начертите круговую диаграмму, показывающую распределение уроков 5-го класса по этим главам, б) Выполните такое же задание, взяв число страниц вместо числа уроков.
96.5. Для приготовления компота из свежих фруктов нужно взять 600 г фруктов, 1100 г воды и 360 г сахара. Начертите круговую диаграмму, изображающую этот рецепт.
96.6. В 1985 г. заводы нашей страны выпустили 8 849 000 радиоприемников, 9 371 000 телевизоров, 4 665 000 магнитофонов, а) Вычислите с точностью до сотых, какие части всех этих радиоизделий составляют радиоприемники, телевизоры, магнитофоны. б) Начертите круговую диаграмму выпуска радиоизделий.
96.7. Используя ответ, полученный вами в задании 81.7, начертите круговую диаграмму, показывающую, какая часть пассажиров перевозится в СССР каждым видом транспорта.
96.8. В 1985 г. сельскохозяйственные культуры в нашей стране занимали такие посевные площади (в млн. га): зерновые — 117,9; технические — 13,9; овощные — 8,7; кормовые — 69,8. а) Вычислите с точностью до сотых, какие части всей посевной площади занимали перечисленные культуры, б) Начертите круговую диаграмму посевных площадей.
96.9. В 1985 г. ткани, выпущенные в нашей стране, имели такую площадь (в миллиардах м2): хлопчатобумажные — 7,7; шерстяные — 0,7; льняные — 0,8; шелковые — 1,9; прочие ткани — 1,0. а) Вычислите с точностью до тысячных те части, на которые делится общая площадь тканей, б) Составьте круговую диаграмму площади тканей.
96.10. В одной роще подсчитали число деревьев, и оказалось, что их 14 760. На диаграмме (рис. 153) показано, какая часть деревьев хвойные, а какая — лиственные. Узнайте, сколько каких деревьев было в роще.
Рис. 153
Урок 97 Знакомимся с прямоугольным параллелепипедом
Оглянитесь вокруг себя и вы всюду обнаружите прямоугольные параллелепипеды. Такую форму имеют кирпич и книга, холодильник и книжный шкаф, комната и многоэтажный дом.
Рассмотрим какой-нибудь прямоугольный параллелепипед, например кирпич (рис. 154, а). Его поверхность состоит из 6 прямоугольников (все они хорошо видны на рисунке 154,6). Их называют гранями параллелепипеда. Стороны граней называют ребрами, а вершины граней — вершинами параллелепипеда.
Сколько у параллелепипеда ребер? Сколько вершин?
Две грани называют противоположными, если у них нет общего ребра. Видно, что среди шести граней будут три пары противоположных.
Укажите эти пары граней в комнате, где вы находитесь.
Для противоположных граней выполняется такое же свойство, как и для противоположных сторон прямоугольника. А именно: в прямоугольном параллелепипеде противоположные грани равны.
Среди ребер тоже есть равные. На рисунке 155 наглядно видно, какие ребра равны друг другу.
Рис. 155
Рис. 156
Видно, что измерять длины двенадцати ребер нужно не 12 раз, а самое большее 3 раза. Чтобы различать эти три измерения, обычно пользуются названиями: длина, ширина, высота (рис. 156). Конечно, иногда какие-то из этих трех чисел могут оказаться равными. Если же все они равны друг другу, то такой прямоугольный параллелепипед называют кубом. Что такое куб, представляют даже маленькие дети, но вам теперь надо не только представлять это, но и уметь дать определение куба.
КУБ — ЭТО ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД, У КОТОРОГО ВСЕ РЕБРА РАВНЫ.
Каждому ясно, что грани куба — это квадраты.
Вопросы и задания
4% 97.1. Как называются прямоугольники, составляющие
J поверхность прямоугольного параллелепипеда? Как называются их стороны?
97.2. Какие грани параллелепипеда называют противоположными? Какое их свойство сформулировано в уроке?
97.3. Какие названия обычно используют, измеряя длины ребер прямоугольного параллелепипеда?
Рис. 157
Рис. 158
Рис. 159
97.4. Что такое куб? Какие у куба грани?
V97.5. а) Для прямоугольного параллелепипеда (рис. 157) всегда выполняются равенства \AD\ — \EH\ = —... Продолжите эту цепочку и запишите две другие цепочки равенств для ребер, б) Запишите все пары противоположных граней. Что можно сказать о площадях противоположных граней?
97.6. Показанный на рисунке 158 параллелепипед построен из кубиков с ребром I см. а) Сколько таких кубиков в этом параллелепипеде? б) Найдите площадь поверхности, т. е. сумму площадей всех его граней.
И 97.7. Ящик для цветов сделан в форме прямоугольного параллелепипеда из досок толщиной 2 см. Наружные размеры (в см) ящика показаны на рисунке 159. Найдите внутренние размеры ящика.
97.8. Прямоугольный параллелепипед можно сложить из развертки. Она показана на рисунке 160. а) По развертке найдите длину, ширину, высоту параллелепипеда и площадь его развертки (т. е. площадь поверхности параллелепипеда), б) (Практическое задание.) Склейте из бумаги прямоугольный параллелепипед длиной 7 см, шириной 5 см и высотой 3 см. Найдите площадь его поверхности. (Совет: предусмотрите «язычки» для склейки, они показаны на рисунке 160, б.) в) Начертите в тетради развертку куба с ребром 2 см. Найдите площадь поверхности этого куба.
О)
97.9. а) Найдите площадь поверхности куба с ребром 3 см; 5 м; 2 км; 10 мм. б)* Догадайтесь, как записать формулой площадь поверхности куба с ребром а.
97.10. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, у которого: а) длина 7 см, ширина 6 см и высота 2 см; б) длина 50 м, ширина 40 м и высота 25 м.
97.11. Клоун объявил, что он изготовил прямоуголь-ный параллелепипед, у которого грани имеют площадь 1 м2, 2 м2, 3 м2, 4 м2, ... . Публика засмеялась, не дослушав этого перечисления. Всем было ясно, что такого параллелепипеда быть не может. Объясните почему.
урок 98 Какими единицами измеряют объем
Отвечая на вопрос «сколько вещества?», обычно измеряют его массу или объем. Масса — физическая величина» вы будете изучать ее на уроках физики. Объем — геометрическая величина, и мы начнем изучать ее здесь.
Вы уже знаете, что для измерения какой-либо величины нужно прежде всего выбрать единицу измерения. Чтобы определить единицу длины, указывают единичный отрезок. Определяя единицу площади, указывают единичный квадрат. Точно так же, чтобы определить единицу объема, нужно указать единичный куб. Единичным называют куб» длина ребра которого равна выбранной единице длины. Объем единичного куба и принимают за единицу объема, называя такую единицу кубической. Например, кубический метр — это объем куба, ребро которого имеет длину 1 м (см. рис. 161). На практике кубический метр часто называют кратко кубометром.
Скажите, что такое 1 кубический километр, 1 кубический миллиметр, 1 кубический дециметр.
Обычно единицы объема записывают сокращенно. Например:
I кубический метр=1 куб. м. = 1 м3;
1 кубический километр = 1 куб. км = 1 км3.
Всем хорошо известна и такая единица объема — 1 литр, обозначение — 1л. Это другое название кубического дециметра: 1 л=1 дм3.
На рисунке 162 показаны тела, составленные из кубиков с ребром 1 см. В каждом из них содержится по 6 таких кубиков. Значит, объемы этих тел равны б см3.
Сформулируем теперь, что значит измерить объем какого-то тела:
ИЗМЕРИТЬ ОБЪЕМ ТЕЛА — ЗНАЧИТ НАЙТИ
ЧИСЛО, ПОКАЗЫВАЮЩЕЕ, СКОЛЬКО ЕДИНИЧНЫХ КУБОВ СОДЕРЖИТСЯ В ДАННОМ ТЕЛЕ.
Измерять объемы тел обычно бывает трудно. Но объем прямоугольного параллелепипеда найти легко. В следующем уроке мы выразим его удобной формулой.
Вопросы и задания
98.1. Какой куб называют единичным?
98.2. Что такое кубический метр, кубический сантиметр? Что такое литр?
98.3. Что значит измерить объем тела?
¥98.4. (У) Ребро куба на рисунке 163 имеет длину 10 единиц. Куб разрезан на горизонтальные слои, а) Сколько в одном слое единичных кубиков? б) Сколько слоев в кубе? в) Сколько всего единичных кубиков в этом кубе?
98.5. Сколько кубических миллиметров в 1 см3, кубических сантиметров в 1 дм3, кубических дециметров в 1 м3? (Совет: воспользуйтесь ответом на вопрос в) из 98.4.)
98.6. Тела на рисунке 164 построены из кубиков с ребром 1 см. Подсчитайте объемы этих тел. У каких тел объемы
Рис. 163
одинаковы?
98.7. а) Производительность старого экскаватора 90 м3/ч. Он может вырыть нужный строителям котлован за 20 ч работы. Но если вместе с ним будет работать новый экскаватор, они выполнят работу за 8 ч. Какова производительность работы нового экскаватора?
б) Составьте обратную задачу, в которой требуется узнать, за сколько часов выполнят работу два экскаватора вместе.
98.8. Для строительства дома требуется 9000 м3 цемента. Завод производит 75 м3 цемента за 1 ч. За сколько часов будет произведено нужное количество цемента?
98.9. Бак автомашины «Жигули» вмещает 39 л бензина. Одного литра хватает на 14 км пути. Хватит ли одной заправки бака, чтобы доехать от Москвы: а) до Курска (500 км); б) до Белгорода (640 км)?
урок 99 Формула для объема
прямоугольного параллелепипеда
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, у которого длина а, ширина b и высота с (рис. 165). Видно, что
его можно разрезать на с одинаковых горизонтальных слоев. Вычислим объем одного такого слоя, т. е. подсчитаем число единичных кубов в нем. Но число единичных кубов в слое равно числу единичных квадратов, содержащихся в горизонтальной грани. Значит, оно равно площади этой грани, т. е. а-b. Итак, в одном слое содержится а-b единичных кубов, таких слоев с. Значит,
Рис. 165
наш параллелепипед содержит a-b-с единичных кубов. Это число и показывает объем параллелепипеда. Обозна-
чим объем буквой V и запишем полученную формулу:
V=a-b-c.
Если параллелепипед является кубом, то а = Ь = с и формула для объема имеет особенно простой вид:
V — a3
С помощью этой формулы легко выражать одни единицы объема через другие. Например, 1 км3 = = (1000 м)3 = 1 000 000 000 м3, 1 см3=Н0 мм)3 = = 1000 м3, 1 л=1 дм3=(10 см)3=1000 см. Тысячную 10 Учебник-собеседник
долю литра называют миллилитром, пишут: 1 мл. Последняя цепочка равенств показывает, что 1 мл=1 см3.
Вопросы и задания
99.1. Что такое миллилитр? Сколько миллилитров в f 1 л?
99.2. Сколько кубических метров в 1 км3? Сколько кубических сантиметров в 1 л?
99.3. Сколько литров в кубометре? Сколько кубических миллиметров в 1 м3? Сколько миллилитров в 1 м3?
>99.4. Выразите: а) в кубических метрах объемы: 2км3, 1 дм3, 35 дм3, 1 мм3, 100 см3, 28 л; б) в кубических 11 миллиметрах объемы: 2 м3, 24 см3, 3 дм3, I км3, 1 л; в) в литрах объемы: 6 м3, 350 см3, 1 мм3, 2 км3, 1 мл.
99.5. Измерьте спичечный коробок и найдите: а) площадь его поверхности (в мм2, в см2); б) его объем (в мм3, в см3).
99.6. Вспомните: в некотором царстве, в некотором государстве есть единица длины бумбамс (см. задание 93.9). а) (У) Укажите, что такое кубический бумбамс. б) Высота дворца 30 бум-бамсов. Каков объем дворца?
99.7. В первых трех строках таблицы указаны измерения прямоугольного параллелепипеда, а ез четвертой — его объем.
Длина 12 см 2,5 м 5 км 68 мм 1,5 м 1 км
Ширина 2,4 м 4,6 км 4,5 см 0,9 дм 1 см
Высота 5 см 1,3 м 0,3 м 4 см 13 см
Объем 480 см3 41,4 км3 12 л 1170 см3 10 м3
Заполните таблицу.
99.8. Железный брусок в форме прямоугольного параллелепипеда имеет длину 24 см, ширину 6 см и высоту 4 см. Найдите его массу в килограммах, если 1 см3 железа имеет массу 7,88 г.
99.9. Пачка чая (в бумажной упаковке) весом 100 г имеет длину 75 мм, а ширину и высоту 60 мм. Какой объем (в литрах) занимает 1 кг чая?
99.10. а) Площадь пола в комнате равна 21 м2, а высота комнаты 3 м. Сколько кубометров воздуха содержит комната? б) Объем комнаты равен 45 м3. Найдите площадь пола, если высота комнаты 2,5 м.
99.11. а) Из прямоугольного листа жести длиной 15 дм и шириной 10 дм решили сделать короб. Для этого вырезали уголки так, как показано на рисунке 166. Какой объем будет иметь короб, если сторона каждого вырезанного квадратика равна 3 дм? Ответ выразите в литрах.
Рис. 166
Рис. 167
б) Перечитайте условие задачи из пункта а).
Постарайтесь представить, большего или меньшего объема получится короб, если из того же листа жести вырезать квадратики со стороной 2 дм? Сделайте расчет и проверьте свое предположение.
99.12. Кирпич имеет длину 250 мм, ширину 120 мм и толщину 65 мм. Грузовик привез на стройку 3,9 м3 кирпичей. Найдите число кирпичей, доставленных на стройку.
99.13. На балконе в квартире Васи поставили четыре ящика для цветов. Выполнив задание 97.7, вы нашли внутренние размеры одного ящика, а) Вычислите, сколько литров земли вмещает один ящик, б) Вася должен наполнить ящики землей. За один раз он может принести два ведерка, по 4,5 л в каждом. Сколько раз Васе придется сходить за землей?
99.14. Крупнопанельные здания строят из бетонных панелей. На рисунке 167 показана панель шириной 3 м, высотой 2,7 м и толщиной 0,25 м. В панели прорезан оконный проем размером 1,4 м на 1,5 м. а) Найдите объем панели, б) Кубометр бетона весит 2,4 т. Сколько весит панель?
99.15. Экскаватор должен вырыть траншею длиной 54 м, шириной 2 м и глубиной 3 м. а) Какой объем грунта придется вынуть экскаватору? б) Сколько раз придется зачерпнуть ковшом грунт, если объем ковша 0,4 м3?
99.16. Ивану и Антону поручено выкопать канаву длиной 17,6 м, шириной 1 м и глубиной 0,5 м. Иван работает с производительностью 0,7 м3/ч, а Антон — 0,9 м3/ч. а) Сколько потребуется времени, чтобы завершить работу? б) Какую часть канавы (по длине) выкопает Иван, а какую Антон?
99.17. Больному прописали глазные капли, по 2 капли 3 раза в день в оба глаза. Во флаконе 10 мл лекарства. Объем капли мл. Хватит ли одного флакона на неделю? Ответ объясните. У
Задания на повторение к § 10
у 100.1. Картофельное поле прямоугольной формы имеет
• длину 1400 м. С поля собрали 672 т картофеля при урожайности 12 т с 1 га. Какую ширину имеет поле?
100.2. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты имеют длину: а) 5 см и 8 см; б) 24 м и 9 м; в) 1,5 км и 0,6 км; г) 44 мм и 32 мм.
100.3. Зал для электронно-вычислительной машины (ЭВМ) имеет прямоугольную форму длиной 24 м и шириной 16,5 м. В зале нужно настелить линолеум. Сколько нужно принести рулонов линолеума, если в одном рулоне 12 м линолеума шириной 1600 мм?
100.4. Диаметр иллюминатора (так называют круглое окно корабля или самолета) 40 см. Какую массу имеет стекло, закрывающее иллюминатор, если 1 см2 стекла имеет массу 1,5 г?
100.5. а) Выполните измерения и найдите площадь полукруга, изображенного на рисунке 168. б) Какая площадь у заштрихованной части полукруга?
100.6. Площадь одной клеточки равна 0,25 см2, а) Найдите площадь фи-
Рис. 169
37 13
100.7. В графине было — л воды, а в кувшине — на — л меньше. Валя хотела перелить воду из графина и из кувшина в трехлитровую банку, а Вера сказала, что тогда вода перельется через край. Права ли Вера?
100.8. Масса 1 л растительного масла 0,95 кг. Цистерна вмещает 120 м3 масла. Найдите массу (в т) масла в цистерне.
100.9. У Васи есть кубики с длиной ребра 3,5 см. а) Из всех кубиков можно построить сразу два больших кубика с ребрами 14 см и 7 см. Сколько всего кубиков у Васи? б) Все кубики заполняют доверху коробку длиной 21 см и шириной 14 см. Какова высота коробки?
100.10* . Аквариум длиной 50 см, шириной 25 см и высотой 40 см наполнили доверху снегом. Масса 1 л снега 150 г, масса 1 л воды 1 кг. а) Какой объем будет занимать вода, когда снег полностью растает? б) Какова будет высота воды в аквариуме?
100.11. Смекалкин спросил младшего брата: «Какой объем имеет один лист бумаги?» Брат удивился: «Разве у листа бумаги может быть объем?!» Смекалкин дал младшему брату 250 листов бумаги, сложенных в пачку, и- предложил использовать ее для вычисления объема листа. Длина пачки 288 мм, ширина 203 мм, высота 23 мм. Найдите объем одного листа.
100.12* . Из квадратного листа жести надо изготовить короб высотой 6 см и объемом 294 см3. Для этого из листа вырезают уголки так, как показано на рисунке 170. Каких размеров надо взять лист, чтобы выполнить задание?
100.13. Клоун объявил, что площадь цирковой арены 46 круглых метров. Публика смеялась: все знали, что таких единиц площади нет. Клоун объяснил: «Такую единицу я только что сам придумал,
круга, имеющего радиус 1 м». Выразите площадь, объяв-
Это площадь
ленную клоуном, в квадратных метрах и сравните с ответом в задании 95.6.
Большая перемена III
КАК ИЗМЕРЯЛИ В СТАРИНУ
Все знают, что такое метр. Но эта единица длины появилась на свет всего лишь два столетия назад. Метр был «рожден» Великой
французской революцией в 1791 г. Так назвали
1
40 000 000
долю дли-
ны меридиана. Вместе с метром родилась метрическая система мер. Она включает сам метр и другие единицы длины, которые получаются из метра умножением и делением на 10, 100, 1000 и т. д. Включает она также единицы площади и объема, которые определяются метрическими единицами длины. (В метрическую систему входит и масса 1 кг, но мы рассматриваем здесь лишь геометрические единицы.) В 1918 г., после Великой Октябрьской социалистической революции, метрическая система стала обязательной в нашей стране.
Но ведь людям издавна приходилось измерять расстояния между городами, определять площадь земельных участков, использовать точные размеры при строительстве зданий, мостов и т. п. Как измеряли раньше? Какими пользовались единицами? Об этом мы и поговорим
здесь.
Старые единицы длины уже не используют, но их названия нередко вспоминают в различных поговорках: «Мерит на свой а р ш и н» — о человеке, который других «по себе судит»; «Семи пядей во лбу» — так говорят сб умном человеке. А о человеке могучего телосложения могут сказать: «Косая сажень в плечах», о людях небольшого роста: «От горшка три вершка» или «Сам с ноготок, а борода с локоток». Слова, написанные выше в разрядку,— это названия древних единиц длины. Что это за единицы или, как их еще называют, меры длины?
В старину для определения единицы длины люди нередко использовали части своего тела, длину своих шагов и другие величины, которые всегда были под рукой. Например, локоть — это длина руки от локтевого сгиба до кончика среднего пальца. Такая единица длины применялась многими народами, но, конечно, под разными названиями: «аммату» в Вавилоне, «немех» в Египте, «пехий» в Греции, «кубитус» в Риме. Обычно локоть имел длину от 42 до 54 см. Были меры длины ладонь и палец, объяснять их не нужно. Пядь — это расстояние между растянутыми большим и указательным пальцами (рис. 171), длина пяди была от 17 до 22 см. Все эти меры «ручные». Были и «ножные» меры: русская «нога», греческий «нус», английский «фут»; их длины приблизительно равны 30 см. В Риме часто использовался «пасс» — двойной шаг. Тысяча двойных шагов — «милиа пассуум», это римская миля. От нее произошли и другие мили, по сей день
используемые в ряде стран.
Рис. 172
Рис. 171
Начиная с XI в. в строительных и землемерных работах на Руси использовали сажени. Их было две: прямая сажень — это расстояние между кончиками пальцев вытянутых в стороны рук (рис. 172, а), косая сажень — это расстояние между пальцами вытянутой вверх левой правой
...... руки и носком отставленной ...... ноги (рис. 172, б). Длина правой левой
прямой сажени 152,7 см, а косой — 216 см.
Это что же, у всех людей расстояние между пальцами было 152,7 см? Так ведь не бывает!
Конечно, так не бывает. Расстояние между пальцами рук использовали только в приближенных измерениях, в быту. А для более точных измерений применяли линейки, как и в наше время.
Времена менялись, исчезали одни меры, появлялись другие. Прямая сажень заменилась мерной саженью длиной 176,4 см; длина косой сажени стала равной 248 см. В XVI в. на смену локтю пришел аршин. Это тоже был локоть, но персидский, длиной 72 см. Тогда же на
Руси появился и вершок, равный — аршина.
16
В XVIII в. Россия стала больше торговать с Западной Европой. Нужны были меры, которые было бы легче сравнивать с западными мерами. Решили сохранить названия старых мер, но заново определить их длину. Для определения длины Петр I предложил воспользоваться английскими мерами. Английские меры не менялись уже несколько столетий, и ими часто пользовались в торговле. (Эти меры до сих пор применяют в Англии и США, хотя и эти страны в последнее время начали переход к метрической системе мер.)
Основные английские меры длины — ярд, фут и дюйм. Одна ста-
рая легенда говорит, что ярд был определен в 1101 г. как расстояние от носа английского короля Генриха I до кончика среднего пальца его вытянутой руки. По другой легенде, ярд — это длина меча Генриха I. Фут определяли как одну треть ярда. Но в одно из воскресений 1324 г. другой король Эдуард II повелел определить I фут как среднее арифметическое «длин ступней 16 человек». С тех пор 1 фут = = 30,48 см, а 1 ярд = 3 футам =91,44 см. «Дюйм»— голландское слово
и означает «большой палец», а точнее, первую фалангу большого пальца руки. Поначалу 1 дюйм определяли как длину трех ячменных зерен.
По затем установили, что 1 дюйм =
— фута, и, значит, 1 дюйм = 25,4 мм. 1 £
Именно эти английские меры и были положены в основу новых русских мер. По указу Петра I сажень, аршин, пядь, вершок определялись так, чтобы выполнялись равенства:
1 сажень = 3 аршинам =12 пядям = 48 вершкам = 7 футам = 84 дюймам.
Но, несмотря на царский указ, повсюду применялись самые разнообразные меры длины, площади, объема. Использовались десятки различных «футов», «миль», огромное количество мер объема. Только переход в 1918 г к метрической системе мер положил конец этой неразберихе.
С тех пор старинные меры на практике не применяются. Но их нередко можно встретить в рассказах и повестях, в книгах по истории. Когда вам такие меры встретятся, вспомните наш рассказ о том, как
измеряли в старину.
Задания
TI1I.1. а) Какой рост в миллиметрах у Дюймовочки в одноименной сказке Х.-К. Андерсена?
б) А. С. Пушкин говорит, что у царя Салтана родился сын «в
аршин». Найдите рост будущего князя Гвидона в дюймах; в сантиметрах.
III.2. Обычное пожелание морякам перед плаванием- «Семь футов воды под килем!» Сколько это будет в сантиметрах?
III.3. Кольцо баскетбольной корзины расположено на высоте 10 футов. Найдите эту высоту (в м, см и мм).
III.4. Длина футбольных ворот 7 м 32 см, а высота 2 м 44 см. Найдите размеры ворот в футах. (Совет: можно считать, что 1 фут=30,5 см.)
III.5. В хоккей на траве играют на прямоугольной площадке со сторонами 91,5 м и 54,9 м. Найдите длины сторон в ярдах, а площадь в квадратных ярдах. (Совет- округлите длину ярда до 0,1 см.)
III.6. Выразите в дюймах и сантиметрах 1 вершок, I пядь, 1 аршин, 1 сажень.
II 1.7. Верста это 500 саженей. Найдите длину версты в метрах.
II 1,8. Десятина — это площадь в 2400 кв. саженей Найдите площадь деся тины (в кв. м, в га).
111,9. Горшок имеет высоту 2 пяди. Найдите рост в сантиметрах того, кто «от горшка три вершка» (имеется в виду на 3 вершка выше).
III. 10. Бывают ли люди «семи пядей во лбу»? Ответ объясните.
III.11. В одной поговорке говорят: «Пять верст до небес, и все лесом»
Сколько метров до «небес»? (См. задание III.7.)
КЛАСС
Глава ДЕЙСТВИЯ НАД ДРОБНЫМИ ЧИСЛАМИ
IV -------------------------------------
§ 11. РАЗЛОЖЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ НА МНОЖИТЕЛИ
В самом начале учебника работу с ним мы сравнили с долгим путешествием по стране Математике. Закончились летние каникулы, и эту работу-путешествие нужно продолжать. В настоящем путешествии редко возвращаются в те места, которые уже прошли. При изучении же математики, напротив, возвращаться к пройденному приходится нередко: ведь оно служит опорой для новых знаний! Приступая к изучению математики в 6-м классе, надо помнить пройденное в 5-м, а если что-то забылось — повторить.
В этом параграфе продолжается изучение делимости натуральных чисел. Оно началось в § 5, поэтому прежде всего стоит хорошенько вспомнить то, о чем там было рассказано. Мы советуем вам перечитать объяснительные тексты уроков 44—46. Кроме того, в уроках из § 11 мы предложим повторно выполнить некоторые задания к урокам 5-го класса.
А что нового будет в этом параграфе?
Вы узнаете, какие натуральные числа называют простыми, как из простых чисел составляются другие натуральные числа и что скрывается за сокращениями НОД и нок.
Урок 101 Делители натурального числа
Натуральные числа, на которые натуральное число а делится без остатка, называются делителями числа а. Например, числа 2, 3 и 4 — делители числа 12, числа 1, 5, 10 и 20 — делители числа 20. А вот число 7 делителем числа 12 не будет: ведь 12 на 7 без остатка не поделишь.
□
Какие еще, кроме записанных выше, есть делители у числа 12; у числа 20? Будет ли 7 делителем числа 20?
Отыскивать делители натурального числа помогают признаки делимости. Например, сразу ясно, что 2 — делитель числа 7458. Ведь 7458 оканчивается цифрой 8, значит, по признаку делимости оно делится на 2.
Вопросы и задания
101.1. Какое число называется делителем данного на-j турального числа.
101.2. Признаки делимости на какие числа вы знаете? Сформулируйте их.
101.3. Будет ли: а) 2 делителем числа 5319; б) 3 делителем числа 7254; в) 5 делителем числа 16 286; г) 9 делителем числа 161 532; д) 10 делителем числа 87 550?
Т 101.4. (У) Назовите все делители числа: а) 10; б) 15;
в) 21; г) 25; д) 30; е) 18; ж)* 36; з)* 23.
101.5. Запишите все делители числа: а) 16; б) 50; в) 100; г)* 96; д)* 97.
101.6. (У) а) Смекалкин загадал младшему брату загадку: «Какое число является делителем любого натурального числа?» Отгадайте ее.
б) Младший брат Смекалкина, отгадав загадку, заявил, что у каждого натурального числа а есть самое меньшее два делителя. «Ведь а делится без остатка и на себя, и на 1»,— говорил он. «Так-то оно так, — сказал Смекалкин,— но разве обязательно а и 1 — это разные делители?» Поразмышляйте над словами Смекалкина и назовите натуральное число, у которого всего один делитель. Сколько таких чисел?
101.7. Выполните задание: а) 1.5; б) 2.6; в) 3.10; г) 4.10; д) 5.11; е) 6.4; ж) 7.5; з) 8.5; и) 9.12; к) 10.7; л) 11.1.
101.8* . (У) Клоун объявил, что знает два разных на-ЬЖд туральных числа, каждое из которых является делителем другого. Публика смеялась: всем было ясно, что таких чисел не бывает. Объясните почему. (Совет: подумайте, может ли делитель числа быть больше этого числа.)
Урок 102 Простые и составные
натуральные числа
У числа 7 только два делителя: само число 7 и число 1. Таким же свойством обладают числа 11, 19, 23: у каждого из них только два делителя (проверьте!). А вот у числа 10, кроме 10 и 1, есть еще два делителя: 5 и 2, т. е. всего делителей больше двух. Таким же свойством обладают и числа 12, 25, 28, 33: у каждого из них больше двух делителей (проверьте!).
СУрок 102) НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО НАЗЫВАЕТСЯ • • ,
составным
ЕСЛИ У НЕГО
только два делителя
больше двух делителей
Значит, числа 7, И, 19, 23 простые, а числа 12, 25, 28, 33, 10 составные.
А число 1 простое или составное?
Число I имеет только один делитель: само число 1. Поэтому число 1 нельзя считать ни простым, ни составным.
Самое маленькое простое число — 2. Это единственное четное простое число. Все остальные простые числа нечетны. В самом деле, если четное число п больше чем 2, то уже можно указать три разных делителя: 1, 2 и п\ поэтому у числа п больше двух делителей. Значит, все четные числа, большие чем 2, составные.
Вопросы и задания
4^ 102.1. Какое натуральное число называется простым?
Z А составным?
102.2. Какое натуральное число не является ни простым, ни составным? Ответ объясните.
102.3. Почему все простые числа, кроме числа 2, нечетные?
102.4. Могут ли быть простые числа среди: а) кратных числа 3; б) кратных числа 5; в) кратных числа 4? Ответ объясните.
Т 102.5. (У) Найдите простые и составные числа среди
следующих чисел: а) 8, 5, 1, 2, 9, И, 6, 12, 14; б) 21, 3, 4, 10, 13, 7, 15, 24; в) 17, 22, 18, 19, 20, 16, 23, 27, 25,
29, 26.
102.6. Число 64 составное: оно делится на 2. Так как 64:2 = 32, это число можно разложить в произведение чисел 2 и 32, т. е. записать равенство 64 = 2*32. Проверьте, что каждое из следующих чисел составное, и разложите его в произведение двух чисел, не равных 1: а) 75; б) 81; в) 123; г)* 169.
102.7. (Загадки.) а) Задумано простое число. Следующее за ним натуральное число тоже простое. Какое число задумано? б)* Задуманы два простых числа. Их сумма тоже простое число. Какие числа задуманы?
102.8. Выполните задание: а) 12.11; б) 13.11; в) 14.11; г) 15.11; д) 16.12; е) 17.11; ж) 18.11; з) 19.11; и) 20.11; к) 21.7; л) 22.3; м) 22.5; и) 22.9; о) 23.12; п) 24.6; р) 25.11.
102.9* (У) Клоун объявил, что нашел в натуральном Км! ряде такие три числа, идущие подряд, что каждое из них простое. Публика смеялась: все понимали, что так быть не может. Объясните почему. (Совет: воспользуйтесь тем, как идут в натуральном ряде четные и нечетные числа.)
Урок 103 Ряд простых чисел
и □
Как узнать про данное число, простое оно или составное?
Если число небольшое, то можно перебрать одно за другим все числа, которые могут быть его делителями. Например, возьмем число 13. Его делители могут встретиться лишь среди чисел от I до 13. Ясно, что 1 и 13 — делители числа 13; а перебирая одно за другим числа от 2 до 12, убеждаемся, что ни на одно из них 13 не делится. Так что у числа 13 только два делителя, и, значит, оно простое.
Если же число велико, то перебирать числа в поисках его делителей придется слишком долго. Чтобы не тратить время на эту однообразную работу, пользуются рядом простых чисел.
Ряд простых чисел — это ряд, в котором простые числа расположены в порядке возрастания. Начинается он с числа 2, затем идут числа 3, 5, 7, 11, 13, 17 и т. д. Ряд простых чисел бесконечен. Все числа этого ряда, которые меньше 1000, можно найти на форзаце учебника. Этих чисел 168, самое большое из них — число 997.
С помощью ряда простых чисел узнать, простое число или составное, очень легко. Надо только посмотреть, есть ли в нем это число. Например, число 149 в ряде простых чисел встречается (найдите его!), значит, оно простое. А вот числа 803 в ряде простых чисел нет — после простого числа 797 там идет сразу число 809. Значит, число 803 составное.
Это очень похоже на то, как проверяют по таблице, выиграл или нет лотерейный билет. Но как быть, если число больше тысячи и нужно узнать, простое оно или нет?
Для этого есть таблицы, в которых записаны все простые числа, меньшие чем 10 000 000. Их составили с помощью ЭВМ.
Вопросы и задания
JRh 103.1. Что такое ряд простых чисел? С какого числа ш он начинается? Какое еще свойство этого ряда сформулировано в уроке?
f 103.2. (У) С помощью таблицы простых чисел опреде-
лите, какие из следующих чисел простые, а какие состав-" ные: а) 871; б) 379; в) 697; г) 991; д) 649; е) 541.
103.3. Выпишите все простые числа, которые больше чем 500 и меньше чем 550.
103.4. Напишите все составные числа» которые больше чем 100 и меньше чем 114. Каждое из них разложите в произведение двух чисел, не равных 1.
103.5. Где простых чисел больше: между числами 100 и 200 или между числами 200 и 300?
103.6. Сколько составных чисел заключено: а) между числами 600 и 700; б) между числами 800 и 900?
103.7. Используя таблицу простых чисел, найдите: а) три идущих подряд составных числа; б) пять идущих подряд составных чисел.
103.8. Среди простых чисел до 10 000 000 самое большое — число 9 999 991. Проверьте, что все числа от 9 999 992 до 10 000 000 составные. (Совет: убедитесь, что каждое из этих чисел делится или на 2, или на 3, или на 5, или на 7.)
103.9. Выполните задание: а) 26.3; б) 27.4; в) 28.4; г) 29.3; д) 30.3; е) 31.3; ж) 32.4.
103.10. а)* (У) В ряде простых чисел любые два соседних числа, кроме чисел 2 и 3, удалены друг от друга на четное число. Объясните почему.
б) Простые числа, удаленные на 2, называются близнецами. Напишите все пары простых чисел-близнецов, меньших чем 1000. (Совет: воспользуйтесь таблицей простых чисел.)
Урок 104 Разлагаем натуральные числа на простые множители
Число НО составное, и его можно разложить в произведение чисел, не равных единице: 110=10-11. Но число 10 само составное, и его тоже можно разложить в произведение: 10 = 2-5. Получаем:
110 = 2-5-11.
Теперь в правой части равенства все множители — простые числа. Мы записали число 110 в виде произведения простых чисел, или, как говорят, разложили его на простые множители.
РАЗЛОЖИТЬ НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ — ЗНАЧИТ ПРЕДСТАВИТЬ ЕГО В ВИДЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ.
Какие натуральные числа можно разложить на простые множители? Чтобы дать ответ, нужно учесть, что каждое натуральное число либо простое, либо составное, либо равно 1. Единица, конечно, не разлагается на простые множители. Если взять простое число, то можно сказать, что оно само для себя будет единственным простым множите
(Урок 104)
110 |=| 2^*| 5 |*| 11
11 t>lQ,, Q.
Рис. 173
лем. Ну, а любое составное число можно разложить в произведение нескольких простых множителей. Поэтому составные числа и назвали составными: ведь они
составлены из простых множителей, как железнодорожный состав из вагонов (рис. 173).
Дано составное число п. Как разложить его на простые множители? Обычно поступают так. Сначала с помощью признаков делимости на 2, 3, 5 проверяют, делится ли п на одно из этих простых чисел. Если делится, то находят частное. Если оно простое число, то сразу получается нужное разложение, а если оно составное, то продолжают разлагать в произведение. Например:
Пример I. Число 65 составное, оно делится на 5. Частное 65:5=13 — простое число. Поэтому сразу получаем разложение числа 65 на простые множители: 65 = 5 - 13.
Пример 2. Число 510 составное, оно делится на 2. Частное 510:2 = 255 снова составное число, оно делится на 3. Следующее частное 255:3 = 85 также составное число, кратное 5. И только частное 85:5=17, наконец, будет простым числом. Получаем цепочку равенств
510 = 2-255 = 2-3-85 = 2-3 «5* 17.
Соединяя его начало и конец знаком « = », записываем разложение числа 510 на простые множители: 510 = = 2-3-5-17.
Вычисления, которые выполняют при разложении составного числа на простые множители, удобно записывать так. Справа от исходного числа пишут его простой делитель. Частное пишут ниже исходного числа, справа от него — простой делитель частного. Следующее частное пишут под предыдущим и т. д. В записи возникают два столбика чисел. Вычисления заканчивают, когда в левом столбике появляется число 1. Простые числа, записанные в правом столбике, и будут теми простыми множителями, на которые разлагается исходное число. Вот как выглядит запись вычислений из примеров 1 и 2:
65 5
13 13
1
65 = 5-13
510
255
85
17
1
2
3
5
17
510 = 2-3-5-17
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
72 = 2-2.2*3-3
Разложим на простые множители число 72. В получившемся разложении есть несколько одинаковых простых множителей: три раза встречается число 2 и два раза — число 3. В таком случае разложение можно записать короче, заменяя произведение одинаковых множителей степенью. Так как 2-2-2 = 23, 3-3 = 32, получаем 72 = 23-32.
Если число, которое нужно разложить на простые множители, не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5, подбирают его простой делитель среди простых чисел 7, 11, 13, 17, 19, ..., проверяя их одно за другим по порядку. А дальше находят частное и действуют так же, как и раньше.
Вопросы и задания
4^ 104.1. Что значит разложить натуральное число на
g простые множители?
fl 04.2. (У) Разложите на простые множители число: а) 10; б) 15; в) 8; г) 12; д) 16; е) 24; ж) 30; з) 33; и) 28; к) 49; л) 77.
104.3. Разложите на простые множители число: а) 100; б) 42; в) 105; г) 111; д) 225; е) 216; ж) 441; з) 1000; и) 3600; к)* 539; л)* 1001; м)* 847; н)* 689; о)* 961.
104.4. Определите, какие из следующих чисел являются простыми, а какие — составными. Составные числа разложите на простые множители: а) 313; б) 341; в) 343; г) 347; д) 349; е) 377; ж) 383; з) 391; и) 397; к) 401.
104.5. Найдите все простые делители числа: а) 300; б) 512; в) 729; г) 980; д) 625; е) 1024.
104.6. Смекалкин придумал несколько примеров с размазанными цифрами: а) 00-0 = 111; б) 0 * 00 — 259; в)* 00*0 = =406; г)* 00-00=609. Восстановите размазанные цифры.
104.7. Выполните задание: а) 33.13; б) 34.9; в) 35.3; г) 36.5; д) 37.9; е) 38.9; ж) 39.2; з) 40.2; и) 41.11.
104.8. Клоун написал несколько равенств и утверждал, fejg что это разложение чисел на простые множители:
120 = 2-3-4-5; 1539 = 92-19; 7497 = 3-72-51.
Публика смеялась: все видели, что клоун ошибается. Объясните, почему утверждения клоуна неверны, и напишите правильные разложения чисел 120, 1539 и 7497 на простые множители.
Урок 105 Наибольший общий делитель двух натуральных чисел
Задача. Пионеры 6-го класса решили к празднику Октября сделать подарки октябрятам из подшефного класса. Они собрали 87 воздушных шариков и 58 флажков и все их раздали малышам поровну. Сколько учеников в подшефном классе?
Давайте рассуждать. Раз пионеры смогли поровну разделить и флажки, и шарики между своими подшефными, то число учеников должно быть делителем и числа флажков, и числа шариков. Делители числа 87 — это числа 1, 3, 29, 87; делители числа 58 — это числа 1, 2, 29, 58. Видно, что есть только два общих делителя чисел 87 и 58 — число 1 и число 29. Но в классе не может учиться всего один ученик, значит, в подшефном классе 29 учеников.
Для решения задачи нам понадобился общий делитель двух данных чисел, т. е. число, на которое оба эти числа делятся. У чисел 87 и 58 оказалось два общих делителя: 1 и 29.
Найдем общие делители чисел 96 и 72. Сначала запишем делители каждого из них в порядке возрастания: так будет легче высмотреть, какие числа встретятся дважды.
Делители числа 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. Делители числа 96: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96. Числа, встретившиеся дважды, мы подчеркнули — это и есть общие делители. Выпишем их отдельно: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Наибольшим из них является число 24. Оно называется наибольшим общим делителем чисел 72 и 96. Вообще наибольший общий делитель двух натуральных чисел — это наибольшее число, на которое оба данных числа делятся.
Наибольший общий делитель натуральных чисел тип обозначается НОД (ди, м) — по первым буквам слов «Наибольший Общий Делитель». Например, НОД (87, 58) = = 29, НОД (72, 96) =24.
Найдите НОД (9, 12), НОД (15, 25), НОД (19, 16).
Зачем может пригодиться наибольший общий делитель? Чтобы ответить на этот вопрос, напишем все делители числа 24. Это числа 1,2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Посмотрите-ка, снова получились все общие делители чисел 72 и 96. Это не случайно. Дело в том, что выполняется такое свойство: каждый делитель числа НОД (ди, п) является
общим делителем чисел т и п и, наоборот, каждый их общий делитель является делителем числа НОД (т, и). Например, зная, что НОД (108, 196) =4, можно сразу сказать, что все общие делители чисел 108 и 196 — это делители числа 4, т. е. 1, 2 и 4. Находить же все остальные делители чисел 108 и 196, как мы делали раньше, не нужно.
Я понял. Но как найти сам наибольший делитель?
Тут поможет разложение на простые множители. Чтобы найти НОД(т, п\ числа тип разлагают на простые множители и подчеркивают общие множители двух разложений. Затем все подчеркнутые множители одного из чисел выписывают отдельно и перемножают. Получающееся произведение и будет наибольшим общим делителем данных чисел. Например, 72 = 2 _2_-2 * 3 -3, 96 = 2 » 2 * 2 X Х2 • 2- 3, значит, НОД (72, 96) = 2-2-2-3 = 24.
Вопросы и задания
105.1. Что такое общий делитель двух чисел?
* 105.2. Что такое наибольший делитель двух чисел?
Как он обозначается?
105.3. Как, зная наибольший общий делитель двух чисел, найти все их общие делители?
W 105.4. (У) Найдите наибольший общий делитель чисел:
£ а) 42 и 36; б) 54 и 63; в) 48 и 64; г) 100 и 65; д) 121 и 99.
105.5. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 144и 150; б) 192 и 210; в) 242 и 132; г) 729 и 216; д)* 1155 и 1001.
105.6. Найдите наибольший общий делитель числителя и зна-менателя дроби: a) f; б) в) г) f; д) е) >.
105.7. Найдите: а) НОД (8, 9); б) НОД (27, 28) ; в) НОД (19, 31); г) НОД (63, 64). Какой вывод можно сделать?
105.8. Найдите: а) НОД (7, И); б) НОД (13,23); в) НОД (19, 31) ; г) НОД (37, 53).
105.9* . Обратите внимание, что в задании 105.8 отыскивался наибольший общий делитель двух простых чисел. Выберите в таблице простых чисел еще два простых числа и найдите их наибольший общий делитель. Какой вывод можно сделать?
105.10 (У) Что можно сказать о числах тип, если НОД (т, и)—и? Придумайте примеры таких чисел.
105.11* . Валя и Вера покупают одинаковые почтовые наборы. Каждый набор состоит из открытки с конвертом. Валя уплатила за наборы 65 к., а Вера — на 26 к. больше. Сколько стоит один набор? Сколько наборов купила Валя? А Вера?
105.12. Длина комнаты 575 см, а ширина 375 см. Пол в комнате нужно выложить декоративными плитками в форме квадрата. Каков наибольший возможный размер стороны такого квадрата? Сколько плиток такого размера понадобится?
105.13. Выполните задание: а) 42.6; б) 43.11; в) 44.7; г) 45.8; д) 46.5; е) 47.3; ж) 48.8; з) 49.1; и) 50.8.
105.14. (У) Клоун сказал, что сейчас решит о-о-очень трудную задачу: найдет наименьший общий делитель чи-сел... Не успел он досказать условие, как публика за-смеялась: всем было ясно, что наименьший общий делитель у любой пары натуральных чисел один и тот же и искать его незачем. Что это за число?
урок 106 Наименьшее общее кратное
натуральных чисел
Задача. По плану парада физкультурники сначала должны маршировать строем по 12 человек в шеренге. Потом они должны перестроиться в колонну по 18 че
ловек в шеренге. Сколько физкультурников нужно при-
гласить для участия в параде?
Давайте рассуждать. Чтобы физкультурников можно было построить и в шеренги по 12 человек, и в шеренги по 18 человек, нужно, чтобы их число было кратно и 12, и 18. За
пишем ряды кратных этих чи-
сел и подчеркнем в них общие числа.
Ряд кратных числа 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, ... .
Ряд кратных числа 18: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, ... .
Видно, что для участия в параде можно пригласить или 36, или 72, или 108, или ... физкультурников.
о
Назовите еще два-три числа, которые могут быть ответами в этой задаче.
В решении задачи встретились общие кратные двух данных чисел, т. е. числа, кратные каждому из данных. Видно, что их можно перечислять без конца, но среди них есть наименьшее — число 36. Вообще наименьшее общее кратное двух данных натуральных чисел — это наименьшее число, кратное каждому из них.
Наименьшее кратное натуральных чисел пг и п обозначается НОК (^, и) — по первым буквам слов «Наименьшее Общее Кратное». Например, НОК (12, 18) =36.
Найдите НОК (9, 12), НОК (15, 25), НОК (11, 7).
С помощью наименьшего общего кратного легко найти все общие кратные данных чисел. В самом деле, запишем ряд кратных числа 36: 36, 72, 108, 144, ... . Посмотрите, этот ряд состоит как раз из тех чисел, которые мы подчеркнули при решении задачи выше, т. е. из общих кратных чисел 12 и 18. Вот какое свойство мы обнаружили: каждое кратное числа НОК (т, п) является общим кратным чисел тили, наоборот, каждое их общее кратное является кратным числа НОК (т, л). Например, зная, что НОК (40, 150) =600, можно сразу сказать, что общими кратными чисел 40 и 150 будут числа ряда 600, 1200, 1800, 2400....Записывать же ряды кратных
чисел 40 и 150, как мы делали выше для чисел 12 и 18, незачем.
Свойство наименьшего общего кратного похоже на свойство наибольшего общего делителя. Наверное, наименьшее общее кратное тоже можно найти с помощью разложения на простые множители?
Да, и сделать это можно так. Разложим данные числа на простые множители и подчеркнем общие множители двух разложений. Произведение всех неподчеркнутых мно-„первого
жителей...... числа называется дополнительным множи-
второго второго „
телем ...... числа. Если теперь любое из данных чисел
первого
умножить на его дополнительный множитель, то получится наименьшее общее кратное данных чисел. Например, 40= 2 -2• 2- 5 ; дополнительный множитель для 150 равен 2-2, т. е. 4; 150= 2 -3- 5 *5; дополнительный множитель для 40 равен 3*5, т. е. 15. Тогда НОК (40, 150) =40* 15 = = 600, или, по-другому, НОК (40, 150) = 150-4 = 600.
Вопросы и задания
4^ 106.1. Что такое общее кратное двух чисел?
< 106.2. Что такое наименьшее общее кратное двух
чисел? Как его обозначают?
Т 106.3. Как найти все общие кратные двух чисел, зная
их наименьшее общее кратное?
106.4. (У) Назовите три общих кратных чисел: а) 5 и 6; б) 10 и 15; в) 18 и 9.
106.5. (У) Найдите наименьшее общее кратное двух чисел: а) 14 и 21; б) 24 и 30; в) 18 и 27; г) 9 и 11.
106.6. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 63 и 72;
б) 100 и 48; в) 121 и 88; г) 156 и 91; д) 729 и 343.
106.7. Найдите наименьшее общее кратное знаменателей дро-.8 7 11 4 . 9 16 . з 7
беи. а) 9 и 6, ) [2 и (5; в) 2Q и 25; г) —- и ;
ч 19 17
д) 1АА И Тсс’• 144 156
106.8. Заполните пустые клетки следующей таблицы по образцу второго столбца:
т 35 49 74 100 144 132 1000
п 21 42 111 125 84 242 1000
НОД (тп, п) 7
НОК (т, л) 105
tn •п — ... 735
НОД (/77, л)-НОК (/77, Л) 735
Какой вывод можно сделать?
106.9. Что можно сказать о числах тип, если НОК (т, п) = гп> Придумайте примеры таких чисел.
106.10. Олины родители работают водителями трамваев: мама на 2-м маршруте, папа на 5-м. Один рейс 2-го маршрута длится 48 мин., а 5-го — 72 мин. У этих маршрутов есть общая конечная станция. Вскоре после начала работы папин и мамин вагоны подошли к ней одновременно. Через какое время они снова встретятся на этой станции?
106.11. Выполните задание: а) 51.11; б) 52.15; в) 53.8; г) 54.12; д) 55.11; е) 56.13; ж) 57.8; з) 58.8; и) 59.4; к) 60.7; л) 61.3; м) 62.7.
106.12. (У) Клоун объявил, что сейчас найдет наиболь-шее общее кратное чисел... Не успел он назвать числа, как публика засмеялась: все поняли, что клоун не сможет этого сделать. Объясните почему.
Урок 107
Задания на повторение к § 11
В начале урока 50 мы договорились не помещать больше объяснительных текстов к урокам «Задания на повторение». Мы имели при этом в виду, что вы хорошо помните, как повторять пройденное в каждом параграфе. После летних каникул это, наверное, немного забылось. Поэтому мы снова советуем вам перечитать объяснительные тексты уроков 11 и 50.
V 107.1. (У) Первый урок, относящийся к 6-му классу,
в имеет в учебнике номер 101, второй — номер 102 и т. д. а) Какой номер в учебнике имеет третий по порядку урок, относящийся к 6-му классу; двадцатый урок; сороковой урок? 6) Каким по порядку будет в 6-м классе 131-й урок; 160-й урок? в) Какое общее правило можно сформулировать?
107.2. (У) Вычислите:
а) НОД (14,21); в) НОК (7,35); д) НОД (27,45); ж) НОК (5.9); б) НОД (33,22); г) НОК(91,13); е) НОД(Ю0,40); з) НОК(6,8).
107.3. Найдите значение числового выражения и разложите получившееся число на простые множители:
а) (10004-1): 11; в) 1224-52; д) 29-31 + 196:142;
б) 1024:2:4:8:16 + 9; г) 142 + 52 + 22; е) 333-3 + 625:252.
107.4, Число 1000 можно получить, перемножая два числа, в записи которых нет нуля: 125 и 8. Можно ли получить 1 млн., перемножая два числа, в записи которых нет нуля? А 1 млрд.?
107.5. (У) В одной кучке спичек на 1 больше, чем в другой. Можно ли, используя все спички обеих кучек, выложить из них контур прямоугольника? Ответ объясните. (Совет: нужно догадаться, каким будет число всех спичек — четным или нечетным.)
107.6. (Сказка с заданиями.) а) 28 сентября число 28 решило пригласить в гости всех своих делителей, меньших чем оно само. Первой прибежала единица, за ней двойка, за ней... Напишите список всех гостей числа 28.
б) Когда все гости собрались, число 28 увидело, что их немного. Оно огорчилось и предложило, чтобы каждый из гостей привел еще и своих делителей. Сколько придет новых гостей?
в) Единица объяснила числу 28, что при таком условии новые гости к нему не придут: ведь если какое-то число Ь — делитель числа а, а число с — делитель числа Ь, то с будет делителем и числа а. Проверьте это при а = 30: найдите
все его делители и для каждого из них его делители.
г)* Чтобы утешить число 28, его гости соединились знаком « + ». И, о чудо, сумма оказалась равной самому числу 28! Единица сказала, что всякое число, которое равно сумме своих меньших делителей, называется совершенным. Так что 28 — совершенное число. Число 28 обрадовалось и спросило, какие есть еще совершенные числа. Всезнающая единица объяснила, что совершенные числа встречаются очень редко: среди чисел до миллиона только 4 совершенных. Число 28 — единственное двузначное совершенное число, есть только одно трехзначное совершенное число — 496 и только одно однозначное. Проверьте, что число 496 совершенное, и найдите однозначное совершенное число.
д) Наступило 29 сентября, и число 29 тоже решило пригласить в этот день в гости своих меньших делителей. Первой, как всегда, пришла единица. Кто еще пришел в гости? Что можно сказать про число 29? Какое оно?
е) Числам понравилось приглашать в гости своих делителей. Кто пришел в гости 30 сентября, вы знаете, если выполнили задание в). И в октябре продолжался тот же обычай. Только одно число не дождалось гостей. Что это за число? Сколько раз оно само побывало в гостях?
ж) У каких чисел был только один гость? Что это за гость?
107.7. Ученики Васиного класса решили приготовить своей учительнице по математике подарок ко Дню учителя: придумать математические задачи, решаемые в два действия. Договорились перебрать все возможные комбинации
действий. Чтобы не пропустить ни одной комбинации, стали составлять таблицу с двумя столбцами: в 1-м столбце указывать 1-е действие задачи, а во 2-м — 2-е действие. Здесь показано, как выглядит начало этой таблицы.
а) Допишите остальные строки таблицы. Сколько всего получается комбинаций действий?
б) В Васином классе 28 учеников. Они разобрались на пары, и каждая пара придумывала задачи со своей комбинацией действий. Хватило ли пар учеников на все комбинации действий?
в) Организуйте такое придумывание задач в своем классе. По указанию учителя обменяйтесь составленными задачами
l-е действие 2-е действие
Сложение Сложение Сложение Сложение Вычитание Сложение Вычитание Умножение Деление Сложение
• • • • «
и затем проверьте правильность их
решения.
107.8. Выполните задание: а) 63.10; б) 64.4; в) 65.5;
г) 66.7; д) 67.7; е) 68.7; ж) 69.6; з) 70.6; и) 71.13; к) 72.3; л) 73.3; м) 74.4; н) 75.3; о) 76.4; п) 77.5;
р) 78.6; с) 79.7; т) 80.3; у) 81.9.
107.9*. Клоун придумал три ребуса:
а)
ВАГОН + ВАГОН СОСТАВ
б) ОДИН
+ ОДИН МНОГО
СИНИЦА СИНИЦА ПТИЧКИ
В каждом из них расшифруйте, какая цифра скрывается за каждой буквой.
§ 12. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДРОБИ
В уроке 61 мы узнали основное свойство дроби: если у дроби числитель и знаменатель умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. Например, потому что числитель и знаменатель дроби
б з
— получаются из числителя и знаменателя дроби — умножением на одно и то же число 2.
Почему это свойство называют основным? Потому, что на нем основаны правила действий над дробями с разными знаменателями и правило сравнения таких дробей. Эти правила вы и будете изучать в § 12. Но сначала мы советуем вам перечитать урок 61, чтобы хорошенько вспомнить то, о чем там было рассказано.
Урок 108 цт0 значит сократить дробь
Вспомните формулу из урока 61, выражающую основное свойство дроби. Поменяем в ней местами левую и правую части равенства. Тогда получится такая формула:
m-p__ т
П’Р п '
Она утверждает равенство двух дробей. Если числитель т-р и знаменатель п-р первой дроби разделить на их общий делитель, то получится вторая дробь. Например, 3-2 3 801-37 801
—-—= —; . Мы видим, что основное свойство
5-2 5 62-37 62
дроби можно сформулировать и «с другого конца»: если у дроби числитель и знаменатель разделить на их общий делитель, то получится равная ей дробь.
Если этот общий делитель больше единицы, то числитель и знаменатель дроби, конечно, уменьшается. В таком случае говорят, что дробь сократили.
СОКРАТИТЬ ДРОБЬ — ЗНАЧИТ РАЗДЕЛИТЬ ЧИСЛИТЕЛЬ И ЗНАМЕНАТЕЛЬ НА ИХ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ, БОЛЬШИЙ ЕДИНИЦЫ.
п
При сокращении дробь заменяют равной дробью с меньшим числителем и меньшим знаменателем. Поэтому сокращение дробей облегчает вычисления.
zr 16-4 9-12 101
> Сократите дробь —
Не всякую дробь можно сократить. Например, дробь — сократить нельзя, ведь у числителя 4 и знаменателя 7 нет общих делителей, больших единицы. Дробь, которую нельзя сократить, называют несократимой.
Если дробь можно сократить, то ее обычно сокращают на наибольший общий делитель числителя и знаменателя. После такого сокращения общих делителей уже не остается, поэтому получается несократимая дробь. Давайте сократим так дробь -Ц-. Подсчитаем НОД (48,84):
48 = 2-2-2-2-3, 84 = 2-2-3-7; значит, НОД (48,84) =
48
= 2-2-3=12. Сокращая дробь — на 12, получаем несок-
4 ратимую дробь —.
Итак, всякая дробь равна какой-то несократимой дроби.
Вопросы и задания
108.1. Какое основное свойство дроби вы знаете? Сформулируйте его со словом «умножить»; со словом «разделить».
108.2. Что значит сократить дробь? Как называют дробь, которую нельзя сократить?
108.3. Всякая ли дробь равна какой-то несократимой дроби?
Г 108.4. Объясните, почему равны дроби: а) (У) — и
28
3 , 18 , 6 . .121 11 . . 2 3 .9
4 ’ 21 И 7 ’ В) 99 И 9 * Г) 4 И 6 ’ Д^ 27 И
28. ,45 24 . 200 20
84 ’ е) 30 И 16 ’ Ж) 200 И 20 '
108.5. Найдите несократимую дробь, равную дроби: а) (У) Лв
zv\ 12. . 72. . 212 . . 333 „ч 625 . . 6520. . 113.
5) (У) 18» в) 90 ♦ г) 4б2 , д) 4158 , е) 1000 , ж) 755 , з) нз,
242 . . 3030
121 ’ 101 *
108.6. Запишите десятичную дробь в виде обыкновенной дроби,
а полученную обыкновенную дробь сократите. Образец:
а) 0,4; в) 0,125; д) 1,5; ж) 2,56; и)* 17,3125;
б) 0,25; г) 0,0625; е) 6,4; з) 3,128; к)* 101,1024.
108.7. Придумайте дробь, которую можно сократить. Запишите ее на листочке и предложите соседу по парте найти несократимую дробь, равную исходной. Проверьте, правильно ли он выполнил задание. (Совет: придумывая дробь, воспользуйтесь основным свойством. Чтобы было интереснее, не придумывайте слишком легкое задание!)
108.8. Сравните дроби, предварительна сократив их: а) — и
<7
8 . й. 4 9
12’ 16 И 12’
9 20.
15 И 25’
Г)
14 24 . - . 625 729 .
18 И 27 ’ Д' 125 И 81 ’
. 343 980
е) 7 И 20 '
108.9. Выполните действия над дробями, кратив их: .18 2
27 6 '
12’ °) 16 12’
предварительно со-21 5 . . 6 .
28 20 ’ г' 18
I 4-5
108.10. Клоун сократил дробь на 5 и объявил, что она равна дроби Публика смеялась: всем было видно, что клоун сократил на слагаемое. А на слагаемое не
сокращают — это полная чепуха! Выполните сложение в числителе
и в знаменателе дроби
и сократите ее правильно.
урок 109 Приводим дроби к общему знаменателю.
Теперь можно сравнивать любые дроби
В 5-м классе вы научились сравнивать, складывать и вычитать дроби только с одинаковыми знаменателями. А как быть, если знаменатели различны? Нельзя ли тогда заменить дроби равными им дробями с одним и тем же знаменателем? Оказывается, можно! В таких случаях говорят, что дроби приведены к общему знаменателю.
ПРИВЕСТИ ДРОБИ К ОБЩЕМУ ЗНАМЕНАТЕЛЮ — ЗНАЧИ