Динамика многофазных сред. Ч.2 - Нигматулин Р.И.

Автор: Нигматулин Р.И.

Теги: гидромеханика механика жидкостей и газа механика динамика теплофизика издательство наука главная редакция физико математической литературы

Год: 1987

Похожие

Динамика многофазных сред. Ч.1

Динамика двухфазных парогазокапельных сред

Курс теоретической механики Т.2. Динамика

Физика взрыва Т.2

Текст

Р. И. НИГМАТУЛИН
ДИНАМИКА
МНОГОФАЗНЫХ
СРЕД
ЧАСТЬ II
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1987

ББК 22.25
Н60
УДК 532@75.8)
Рекомендовано Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
для использования в учебном процессе студентами
высших учебных заведений
Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. Ч. II.—М.: Наука.
Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.— 360 с.
В части II продолжено систематическое изложение механики и тепло-
теплофизики различных многофазных сред, в том числе пузырьковых жидкостей,
газо- и парожидкостных потоков смесей взаимонерастворимых жидкостей в
пористых телах. Описаны экспериментальные методы и их результаты, ма-
математические постановки задач и методы их решения. Даны теории звуко-
звуковых, ударных и кинематических волн, теория колебательных движений в
двухфазных средах, гидравлика и теплообмен газожидкостиых потоков, тео-
теория кризисов теплообмена, критических истечений, теория фильтрации мно-
многофазной жидкости.
Для студентов и аспирантов вузов, а также исследователей, работающих
в области энергетики, космической и атомной техники, химической техноло-
технологии, взрывного дела в нефтяной и газовой промышленности.
Табл. 6. Ил. 124. Библиогр. 235 назв.
Рецензенты:
доктор физико математических наук С. С. Григорян,
член-корреспондент АН СССР В. Е. Накоряков,
член-корреспондент АН СССР Р. II. Солоухин,
доктор физико-математических наук Г. А. Тирский
._ „„ „ , (c'i Издательство «Наука».
тт 1703040000—174 {У Главная редакция
Н г|ге>/-по\ от—87-87 физико-математической
0оЗ@2)-87 литературы, 1987

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ*)
а — радпус частицы, капли или пузырька (м);
Сг —скорость звука в i-й фазе (м/с);
С* = У~ро!р\ (м/с);
С(ш) и С{к) —фазовые скорости звука (м/с);
Сц, Cw — коэффициенты гидродинамического взаимодействия (трения)
между i-и и /-й составляющими потока и со стенкой трубы (см. G.3.22) и
G.3.3));
сг = сPi — теплоемкость при постоянном давлении (м2/(с2-К));
су, —теплоемкость при постоянном объеме (м2/(с2-К));
cg(k) — теплоемкость при постоянном давлении к-ш газовой компоненты
(§ 9 гл. 7);
Ct(>o — массовая концентрация fe-й компоненты в ?-й фазе (? = 1, 2, 3, 4,
/>, к.-) (гл. 8);
D — скорость ударной волны (м/с);
F%i, Fw — сила трения между i-й и /-й составляющими и сила трения
со стенкой трубы, отнесенные к единице длины (кг/с2);
g — ускорение внешних массовых сил, в частности, силы тяжести (м/с2);
Im — мнимая часть комплексного числа;
I — мнимая единица;
it—энтальпия (м2/с2);
/i, — интенсивность фазовых переходов или переноса массы из i-фазы
в /-ю, отнесенная к единице объема смеси или к единице длины канала
(кг/(м3-с) или кг/(м-с));
/шь)—интенсивность фазового перехода ?-»¦/ для к-й компоненты
(кг/(м3-с) или кг/(м-с));
Q
J jj—составляющая /,-,-, соответствующая переносу массы из i и в /-ю
фазу (кг/(м3-с) или кг/(м'С));
/ и ji, — интенсивность фазовых переходов, приходящаяся на одну дис-
дисперсную частицу, каплю, пузырек (кг/с);
к — проницаемость пористой среды (м2);
А* = к -г 1кц,^ — комплексное волновое число (м~');
к г (к)—массовая концентрация к-й компоненты в ?-й фазе (§ 9 гл. 7);
L — характерный линейный макроскопический размер, длина волны (м);
*) Более полный список обозначений и соответствующий комментарий
см. в ч. I.

4 СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
I, 1ц — теплота парообразования и фазового перехода ?->/ (мг/с2);
т — пористость;
т и ггц— поток массы смеси и it составляющей (г = 1,2,3) через
трубу (кг/с);
m° = pivi или piWi—поток массы iu фазы через единичное сечение
(кг/(м2-с);
т° — поток массы смеси, отнесенной к сечению трубы (кг/(м2-с));
п — число капель, частиц или пузырьков в единице объема смеси (м~3);
р — давление (кг/(м • с2));
<?i(Zj) — тепловой поток от i'-й фазы (г = 1, 2, 3) к межфазной поверх-
поверхности капель (/ = 2) или пленки (/ = 3), отнесенный к единице длины ка-
канала (кг-м/с3);
Qw(Qwj) —теплоотдача от стенки канала (W) к потоку (к /-й состав-
составляющей (/ = 1, 2, 3)), отнесенная к единице длины канала (кг-м/с3);
uw = Qwl{nD) —теплоотдача от стенки канала к потоку, отнесенная к
единице поверхности нагрева (кг/с3);
9ti <Zsi, in — тепловые потоки к i-й фазе, от Z-фазы к г-й фазе и от /-й
фазы к i-й фазе, приходящиеся на одпу дисперсную частицу, каплю, пузы-
пузырек (кг-м2/с3);
32 = 8,31-103 Дж/(кмоль-К)—универсальная газовая постоянная
(м2/(с2-К));
Ri и Инк)—газовые постоянные ?й фазы и (к)-й компоненты i-й фазы
(i=g, 1,2) (м2/(с2-К));
Re — действительная часть комплексного числа;
¦Si—сечение канала (гл. 7), приходящееся на i-ю (i = 1, 2, 3, с, /)
составляющую (м2);
Si = ma,i — насыщенность г-й жидкости в пористой среде (гл. 8);
Т — абсолютная температура (К);
v(vi) —скорость (j-й фазы) (м/с);
Vij — скорость массы, претерпевающей фазовый переход i~*-j (м/с);
Wj = CLjVj —приведенная скорость (м/с);
w, wta, wa — радиальные скорости соответственно среды i-й фазы на меж-
межфазной границе, самой межфазной границы вокруг сферической капли или
пузырька (м/с);
w12 = V! — v2 — скорость относительного макроскопического движения
фаз (м/с);
Xi—доля массового потока смеси (в трубе), приходящаяся па разные
составляющие или фазы: на газ (х\ = xg), капли (х2 = х&) и пленку
(яг3 = х,);
<Xi — объемная концентрация i й фазы;
Т> Т«' Т* — показатель адиабаты, показатель адиабаты газовой фазы и i-й
фазы;
8 — толщина пристенной пленки (м);
е = р„ = Pg/Рг — отношение плотности пара к плотности жидкости;
х — показатель политропы;
Xi — коэффициент теплопроводности (кг-м/(с3-К));
Hi—коэффициент динамической вязкости (кг/(м'С));

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ 5
v^"' — коэффициент кинематической вязкости (м2/с);
х^—коэффициент температуропроводности (м2/с);
v^ — коэффициент диффузии (м2/с);
р —плотность среды или смеси (кг/м3);
р, — приведенная плотность г'-й фазы (масса i-й фазы в единице объема
смеси) (кг/м3);
р2 = рг/pi(рг = Pefpi) —относительное массовое содержание второй (га-
(газовой) фазы;
р^ —¦ истинная плотность i-й фазы, равная массе i-й фазы в единице
объема i-й фазы (кг/м3);
р° = P2/Pj (ре = P'g/PiJ—отношение истинных плотностей фаз (относи-
(относительная плотность газовой фазы);
|i — интенсивность фазового перехода в ?-ю фазу, отнесенная к едини-
единице межфазной поверхности (кг/(м2-с));
2 — поверхностное натяжение (кг/с2);
т, Ti3, Tw — касательное напряжение, касательное напряжение между
ядром потока и пленкой, касательное напряжение на стенке трубы;
т — безразмерное время;
фA)) фB); срC', q/1', qr2^—коэффициенты, учитывающие в уравпении Рэ-
лея — Ламба неодиночность пузырьков (см. § 3 гл. 1);
%т — коэффициент присоединенной массы (%т = 1/2 — для шара);
юф = ш + гш** — комплексная частота (с~').
Безразмерные числа (критерии)
Ja = (ctAT/l) (p°/pg) — число Якоба;
Nu —2а/Ь(-Т) — число Нуссельта, где б(г) —толщина температурного по-
гранслоя (б<т> = 4яа2ЛАГ/5г);
ре = 2aujv(-T'> — число Пекле;
Pr = v^Vv^^ — число Прандтля;
Re = 2av/\^ — число Рейнольдса;
We = 2<zpi;2/2 — число Вебера.
Нижние индексы
а — параметры на стенке капли или пузырька;
Ъ (boundary) — параметры газокапелыюго ядра дисперснопленочного
потока;
d (dispersed) — параметры дисперсной фазы;
e(equlibrium) —равновесные параметры за волной;
/ (film) — параметры пленки в дисперсно-пленочном потоке;
g(gas) —параметры газа;
i — номер фазы (i = 1, 2, ..., N); в дисперсной и пленочной смеси i =
= 1 относится к несущей, i = 2 — к дисперсной фазе, i = 3 — к пленке; в

6 СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
насыщенной жидкостью или газом пористой среде (гл. 8) i = 0 относится
к твердой фазе. См также i = g, l, p, w;
j — то же, что и нижний индекс г;
(к) — номер компоненты;
/ (liquid) — параметры конденсированной (жидкой или твердой) фазы;
О — параметры начального или исходного состояния;
О — параметры твердой фазы в насыщенной пористой среде (гл. 8);
р (petroleum) — параметры углеводородной жидкости;
<S( Saturated) —параметры фазы в насыщенном состоянии;
W (Wall) — параметры на стоике трубы;
w (water) — параметры водяной жидкости;
2 —параметры на межфазной границе B-фазы).
* — значения параметров, соответствующие кризису теплоотдачи (§ 6—
8 гл. 7) и газодинамическому кризису (§ 10 гл. 7);
Верхние индексы
' — микропараметры;
~ — значение соответствующего параметра, отнесенное к его значению
в исходном состоянии (р = р/ро, Т, = Ti/Tto, p = р[ро, ...);
~ — отношение значений соответствующего параметра в газовой и жид-
кой фазах (iPg = pg/p;, v^J = v</'/V/>, e = pgcg/p,c,, ...);
* — безразмерные параметры, связанные с физическими свойствами фаз
(),*, Ц*, 2*, I*, В*, р*, ...).

ГЛАВА 6
ВОЛНОВАЯ ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
В данной главе исследуются некоторые нестационарные дви-
движения жидкостей с пузырьками газа или пара, в том числе те-
течения с ударными волнами сжатия, с волнами разрежения, те-
течения, возникающие под действием вибраций, истечения из
сосудов высокого давления.
§ 1. Схема ударной трубы для исследования волн
в пузырьковых жидкостях. Особенности ударных волн
Процессы распространения волн в жидкости с пузырьками
газа или пара экспериментально изучаются на вертикальных
ударных трудах, характерная схема которых представлена на
рис. 6.1.1. Ударная труба состоит из камеры высокого давления
КВД и рабочего участка, или камеры низкого давления КНД,
разделенных диафрагмой. В КВД накачивается газ и создается
высокое давление, а в КНД до уровня несколько ниже диаф-
диафрагмы наливается жидкость, через которую пропускаются пу-
пузырьки заданного радиуса, так что создается смесь, близкая к
монодисперсной. Радиусы пузырьков а в разных опытах варь-
варьировались в диапазоне 0,2—2 мм, а их объемное содержание а2,
определяемое по подъему столба жидкости,— в диапазоне 0,01 —
0,1. При разрыве диафрагмы в КНД за счет действия газа из
КВД создается ударная волна, распространяющаяся сверху вниз
по пузырьковой смеси. Длительность возмущения определяется
длиной КВД, а интенсивность — давлением в КВД. При этом
записывается эволюция давления в смеси малоинерционными
датчиками давления, установленными в стенке трубы КНД в
нескольких местах вдоль столба жидкости, а через окно в стен-
стенке трубы методом скоростной киносъемки фиксируется поведе-
поведение пузырьков.
Характерные осциллограммы давления смеси в ударных вол-
волнах схематично показаны на рис. 6.1.2 и обсуждаются ниже.

ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
Главпая особенность таких ударных волн в жидкостях с пу-
пузырьками газа или пара состоит в том, что при некоторых
1НТ
Рис. 6.1.1. Схема ударной трубы для иссле-
исследования пузырьковых жидкостей: 1 — ка-
камера высокого давления (КВД), 2 — каме-
камера низкого давления (КНД), 3 — диафраг-
диафрагма, 4 — датчики, 5 — фотоокна
Рис. 6.12. Характерные ос-
осциллограммы давления при
прохождении ударных волн
в пузырьковых жидкостях
условиях они имеют осцилляционную структуру, что связано
с пульсациями объемов пузырьков из-за инерции жидкости и уп-
упругости газа (G. Batchelor A967), L. Wijngaarden A972),
В. Е. Накоряков и др. A983), R. Nigmatulin A982)).
§ 2. Линейная теория распространения слабых возмущений
в жидкости с пузырьками газа
Рассмотрим аналогично § 1 и 2 гл. 4 характеристики диф-
дифференциальных уравнений и линейное приближение для описа-
описания распространения слабых возмущений в однородной (когда
внешние массовые силы несущественны, а в невозмущенном
состоянии все параметры смеси не зависят от координаты х)
монодисперсной смеси малосжимаемой жидкости с пузырьками
газа, используя односкоростную схему с политропическим газом
и эффективной вязкостью для учета всех возможных диссипа-
тивных эффектов.
Характеристики. Найдем характеристики и условия на них
для системы уравнений пузырьковой жидкости A.5.4) при вы-

§ 2 ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ 9
ше перечисленных упрощениях. Уравнения импульса среды, со-
сохранения массы и акустической сжимаемости несущей жидко-
жидкости, учитывая A.3.6), можно представить в виде
dv dv , dp r, о
F-2.1)
Остальные уравнения системы A.5.4) определяют изменение а2,
a, w и замыкают представленные уравнения. Если производные
от Pi выразить через р, то получим два дифференциальных
уравнения, учитывающих, в отличие от однофазных сред, сжи-
сжимаемость не только за счет сжимаемости несущей жидкости,
но и за счет объемной деформации пузырьков, описываемой ра-
радиальной скоростью Юш, причем эти два уравнения содержат
производные только от двух функций: v и р. Поэтому часть
характеристик полной системы уравнений может быть опреде-
определена на основе только уравнений F.2.1). Уравнения для опре-
определения характеристик имеют вид
dv . dv dp ^
dt ox dx
° dv . aiv dp ai dp ^a2Wia °
P1 ~дх ~*" ~~c^ ~dx ^~ ~с~г ~dt a P1'
1 l F-2-2)
,, dv . j dv -, x '
dt—--\-ax^r- = dv,
dt dx
Равенство нулю характеристического определителя из коэффи-
коэффициентов при частных производных от v и р дает выражения для
двух характеристических направлений, а равенство нулю опре-
определителя, в котором, в отличие от характеристического, один
из столбцов заменен столбцом из свободных членов, дает усло-
условия на характеристиках. В результате несложных выкладок по-
получим
dx , _ dp . _„ dv За u> / С
Таким образом, уравнения F.2.1) являются гиперболическими.
Остальные уравнения A.5.4) имеют в качестве характеристик
линии тока (dx/dt — v), вдоль которых в качестве условий на
характеристиках выступают уравнения, определяющие субстан-
субстанциональные производные a2, a, w)a.
Линейные уравнения для слабых возмущений. В системе ко-
координат, связанной с невозмущенной средой, параметры которой

10 ГЛ. fi. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
будут отмечаться индексом о внизу (уо = О), линеаризованные
уравнения массы, импульса и числа пузырьков имеют вид
dv dp Эр dv дп dv ,а о /Л
После несложных преобразований можно получить
-*!?•=¦% dn^^dp. F.2.5)
Исходя из определений для плотности смеси р = Pi A — <х2), объ-
объемной концентрации пузырьков а2 = V3Jta3n. и уравнения для
линейной сжимаемости жидкости (последнее уравнение F.2.1)),
имеем
dp — — pincfcc -f- ainC72dp,
2 10 F.2.6)
da2 = Ana20n0da 4- */3naldn = а20 {3da/a0 4- йр/Р0),
¦откуда легко получить
dp == ai0Cr2^ — ЗроОс^а^Ма. F.2.7)
Далее выпишем линеаризованное уравнение радиального дви-
движения с учетом конечности объемного содержания пузырьков
и фазовых переходов:
. , .. о dw.a 4u 22
, ° . . ° F.2.8)
да \ о / да \ о ^
: ~Qf\ PlO ~ y^ia ~dt) ^20 — ^21'
Слабые синусоидальные возмущения в жидкости с пузырь-
пузырьками нерастворимого газа. Рассмотрим сначала случай, когда
можно пренебречь фазовыми переходами, поверхностным натя-
натяжением, использовать условие политропии газа (р^/рго =(ао/^Kи)
и эффективную вязкость для учета диссипации:
^21 = 0, 2S/ao<Cpo, dp2 = — Зкрла0 da, и, = н.Эф. F.2.9)
Тогда из F.2.6) — F.2.9) можно получить два независимых ли-
линейных однородных уравнения относительно а и р:
С\ dt1 дхг % dil '
2 / о F.2.10)
• •¦ " 4^эф да Зх^п
-Г- -яГ + -7Г (а ~ ао) + (Р - Ро) = °-
dt* \ 0
Естественно, что при отсутствии пузырьков (а20 = 0) уравнение
для давления принимает вид линейного волнового уравнения

§ 2. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ И
акустики. Найдем решение полученной системы в виде синусои-
синусоидальных волн типа D.1.11), определяемых волновым числом к%
и комплексной частотой со*. Тогда из условия существования
ненулевых решений указанного типа (или непулевых амплитуд
Aip) и А{а}) получим характеристическое уравнение, связываю-
связывающее А* и о»;,.:
к а 1
С\
щ = соа /"х, Со = Са /х, соа = i/ ^° о 2, F.2.11)
Ограничимся только со-волнами (со>0, со#ч. = 0; см. D.1.19)),
соответствующими вынужденным колебаниям, инициируемым
внешним генератором. Нетрудно показать, что в этом случае
мнимая часть к\ отрицательна. Поэтому возможны только слу-
случаи /с ^ 0, &**<() или к^.0, к^^^О. А это значит, что ампли-
амплитуды со-волн в пузырьковой жидкости не растут в направлении
их фазовой скорости, причем для каждой частоты со имеются
два волновых числа ^ и к^\ которые в силу к(^ = — к^ дают
две симметричные со-волны, распространяющиеся в противопо-
противоположных направлениях.
В случае отсутствия диссипации (и.Эф = 0) получаются сле-
следующие значения линейного декремента затухания и фазовой
скорости, показанные схематично штриховыми линиями на
рис. 6.2.1:
0
г)
(со<;сог или со>сос), F.2.12)
а ш _ /со?,— ю2
= +-А— 1/ -f т, С(со) = оо (сог<со<сос)
с 1 V о/ — и>2г
Скорость С/ соответствует фазовой скорости С (со) при со -*¦ °°
и называется замороженной скоростью звука, а Се соответствует
С'(со) при со = 0 и называется равновесной скоростью звука,
причем Cf практически совпадает со скоростью звука Ci в чи-
чистой жидкости. Значения С, и Се не зависят от диссипации.

12
ГЛ. 6 ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
Если нет диссипации, то при приближении со к резонансной ча-
частоте ©г собственных колебаний пузырьков фазовая скорость
уменьшается до нуля, что соответствует вырожденной (L = 0)
стоячей (С = 0) со-волне. В диапазоне частот сог < и < сос, кото-
который иногда называют диапазоном «непрозрачности» из-за боль-
Рис. 6 21. Схема зависимости фазовой скорости С(и>) синусоидальных вы-
вынужденных колебаний (в виде ш волн) и линейного декремента их затуха-
затухания или роста по длине ?** (со) в жидкости с пузырьками газа Штриховые
линии соответствуют решению F 2.8) в отсутствие диссипации ((хЭф = 0),
сплошная линия — при наличии диссипации (цЭф > 0)
ших значений декремента затухания к^^, формально фазовая
скорость С и длина волны L равны бесконечности. Вне диапа-
диапазона непрозрачности кроме со = ас + 0 фазовые скорости конеч-
конечные и ненулевые, а линейный декремент к^^ = 0, что соответ-
соответствует бегущим волнам с постоянными вдоль оси х (и
во времени t) амплитудами. Таким образом, при отсутствии дис-
диссипации дисперсионные кривые имеют три участка: низкочастот-
низкочастотный (ю<сог), «полоса непрозрачности» (сог «? со < сос) и высо-
высокочастотный (со>сос).
В рассматриваемых со-волнах пузырьки совершают устано-
установившиеся вынужденные радиальные колебания с заданной ча-
частотой, поэтому эффективную вязкость смеси, естественно, надо

§ 2. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ 13
определять по формуле A.6.50). Следует иметь в виду, что в
маловязких жидкостях типа воды с размерами пузырьков а ^
^ 0,1 мм «вязкость» Ltcr) из-за тепловой диссипации много боль-
больше вязкости жидкости u.t. При этом цЭф = |х<т) + Hi зависит от
частоты (ц(Т) ~ о1'2) и сорта газа. В ряде работ тепловая дис-
диссипация при распространении волн в пузырьковых жидкостях
не принималась во внимание.
Учет характерной для указанных смесей диссипации суще-
существенно изменяет зависимости фазовой скорости звука С(ш) и
декремента затухания А*,,, (со) (см. рис. 6.2.1), кардинально уве-
увеличивая &##• Дисперсионные кривые становятся гладкими и не-
непрерывными на всех трех вышеуказанных частотных участках,
а указанный выше диапазон «непрозрачности», реализуемый за
счет сильного затухания колебаний, расширяется в сторону вы-
высоких частот. При этом нет вырождения из-за стремления длины
волны к бесконечности. Асимптотика для фазовой скорости и де-
декремента затухания в низкочастотном диапазоне со < сог, со^ при
d > Со имеет вид
Экспериментальные данные по С (со) и /с** (со) для воды с
пузырьками воздуха получены в работе F. Fox, S. Curley,
G. Larson, A955), а для кипящей воды с пузырьками пара в
работе Е. В. Стеколыцикова, А. С. Федорова A974). Эти дан-
данные имеют значительный разброс, который объясняется поли-
полидисперсностью смеси и нестабильностью концентраций газа.
Как показано В. Ш. Шагаповым A977), при конечном наборе
размеров пузырьков в полидисперсной смеси зависимости С (со)
и А^* (со) имеют сильно нерегулярный характер. В. К. Кедрин-
ский A968) показал, что для полидисперсной смеси с гладкой
функцией распределения пузырьков по их размерам, даже при
отсутствии диссипации, зависимость С(со) (но не к%% (со)) при-
приобретает такой же характер, как сплошная линия на рис. 6.2.1.
Двухволновое уравнение, уравнения Буссинеска и Клейна —
Гордона. При отсутствии диссипации (|яэф=0) рассматриваемые
линейные уравнения F.2.10) можно свести к одному уравне-
уравнению для давления. Действительно, выражая d2a/dtz из второго
уравнения и подставляя в первое, а затем выражая da через dp
и dp из F.2.7), получим
г~ — р i
__2_ (р —рп) =0.
Продифференцировав по t два раза и учитывая F.2.6), получим
двухволновое уравнение, реализующее обсуждавшиеся дисперси-

14 ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
онные соотношения (В. Е. Накоряков, И. Р. Шрейбер, 1983)
¦••¦<c5«-v«f-c»^J-0- F-2Л4)
В соответствии с этим уравнением низкочастотная часть сиг-
сигнала (со < ©г) распространяется с малыми скоростями, значения
которых близки к равновесной скорости звука Сс « Со, а высо-
высокочастотная (со > Шс)—с большими скоростями (в виде высо-
высокоскоростного предвестника, связанного с упругой сжимае-
сжимаемостью несущей жидкости), близкими к скорости звука в чистой
жидкости Ct. Для указанных низкочастотной и высокочастотной
частей спектра двухволновое уравнение F.2.14) упрощается.
Действительно, если е = со2/со2<С 1 и Со < Си то из F.2.12) имеем
(г2 2 \
РА, =(—J+ f^V + <5(e3) = /^2 + O(e2) P=-4=
н * coJ ^ coj ^ v ' wJ ^ v ; м 2
20;
откуда в пределах принятой точности можно принять
^ К + <5(е )• F.2.15)
со2
ь>;
Если учесть, что величинам /с* и со* соответствуют операто-
операторы —дг1дхг и —d2/dt2, то полученному дисперсионному соотно-
шепию соответствует так называемое линейное уравнение Бус-
синеска без диссипации, которое в более общем виде обсужда-
обсуждается в § 6,
^_СО2^ = РСО2^|. F.2.16)
dt дх дх
Это уравнение описывает эволюцию низкочастотной части сиг-
сигнала, когда сжимаемость несущей жидкости не проявляется.
Для высокочастотной ветви, когдасо2/сОг Э> 1, имеем из F.2.11)
Этому дисперсионному соотношению соответствует линейное те-
телеграфное уравнение, которое иногда называют уравнением
Клейна — Гордона
&-С/Й = -РС?(Р-Ро)- F-2.18)
fjt uZC
Это уравнение описывает волны, распространяющиеся со ско-
скоростью Cf, практически совпадающей со скоростью звука в чи-
чистой жидкости, и для описания волн в пузырьковых жидкостях
использовалось в работах Н. В. Малых, И. А. Огородникова
A977), В. Е. Накорякова и др. A983).

§ 2. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ 15
Слабые синусоидальные возмущения в жидкости с пузырь-
пузырьками пара. Наличие фазовых переходов и поверхностного натя-
натяжения может приводить к принципиально новым эффектам при
распространении волн. Анализ этих эффектов требует более де-
детального учета межфазного тепло- и массообмена по сравнению
с использованной выше в F.2.9) схемой политропического газа и
жидкости с эффективной вязкостью. Примем сферически-симмет-
сферически-симметричную схему пробного пузырька (см. § 6 гл. 1), которая описыва-
описывает межфазный тепломассообмен, влияющий на изменение радиуса
пузырьков а и давления в них р2 с учетом изменения распре-
распределения температур внутри и вокруг пробного пузырька.
Для дальнейшего описания жидкости с пузырьками пара
имеет смысл ввести линейный параметр aL, связанный с поверх-
поверхностным натяжением, тепловой эпергией_фаз и теплотой фазо-
фазового перехода, безразмерный параметр ~ZL и характерную ско-
скорость d, иногда называемую скоростью звука Ландау*):
L
W
Здесь Ct и I* — безразмерные теплоемкость жидкости и теплота
фазового перехода, уже использовавшиеся в гл. 2 и 4 с тем
лишь отличием, что здесь к жидкости относится индекс 1, а к
газу (пару) — индекс 2. Нижний индекс 0, относящийся к пара-
параметрам в невозмущенном состоянии, будет опускаться.
Имеют место следующие соотношения:
L
Видно, что параметр 2ь характеризует отношение двух малых
величин — безразмерного коэффициента поверхностного натяже-
натяжения 2^ к относительному массовому содержанию пара р2. При
этом Ez. > 2*. Хотя плотность пара р2 определяется давлением
в пузырьке р2 = р + 2Т,/а = Ps(T), зависящим при фиксирован-
фиксированных жидкости и ее давлении р от размера пузырьков а, но
обычно S* < 1, и влияние а на р2, Сь и аь слабое. Поэтому а?
и d,, как и с, и Z*, можно считать зависящими только от р.
Для воды при /> = 0,1 МПа имеем d, = 1,1 м/с, aL = 35 мкм
*) Как будет показано ниже, скорость CL совпадает с равновесной ско-
скоростью звука в парожидкостной среде, только если 2г. <С 1, что равносиль-
равносильно условию S* < /

16 ГЛ 6 ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
(ct = 7,25, Z* = 10,41), а при р = 1,0 МПа имеем Сь = 8,3 м/с,
aL = 0,47 мкм (ct = 8,67, Z* = 8,72).
Линеаризация уравнений A.6.3) — A.6.10) приводит к тем же
уравнениям B.7.9), которые были получены для одиночного
пузырька, но в которых вместо безразмерных функций
Э1(?1, л), ea(i2, л), Pi(tp), Pt{fp), A(t,)
следует иметь в виду
Q^t, х, л), %{t,x, г,), Pi(t,x), Pi{t,x), A{t,x),
которые определяют возмущения соответственно 7\, Гг, />i, />2,
а, а вместо граничного условия изотермичыости на бесконечности
(т| -*¦ оо; 0j = 0) следует использовать условие адиабатичности
на границе ячейки A.6.10) [ц = аг 3: 591/5т] = 0]. В итоге
подкорректированные уравнения B.7.9) вместе с F.2.4) образуют
замкнутую линейную систему уравнений с частными производ-
производными по трем независимым переменным: t, x, ц. Соответству-
Соответствующее дисперсионное уравнение аналогично F.2.11) с тем лишь
отличием, что в знаменателе в квадратных скобках первое сла-
слагаемое равно не единице, а является функцией со*. Эта функ-
функция учитывает неравновесность теплообмена и поверхностное
натяжение, которое, как будет показано ниже, несмотря на ма-
малость соответствующего параметра 2*, может играть существен-
существенную роль в акустике парожидкостных пузырьковых сред. Ука-
Указанное дисперсионное уравнение имеет вид
С\
П К) = {Пх Bl) -f р^с'1 [1 + (у2 - 1) П2 (z2)]}-
1 / 22
Здесь П (со.,.) — функция, отражающая влияние межфазного теп-
тепло- и массообмена, coSa аналогично соа (см. F.2.11)) определяет
собственную частоту колебаний изотермического (х = 1) паро-
парового пузырька в жидкости с бесконечной теплопроводностью

§ 2. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ 17
(Zi=0), чему, как будет показано ниже, соответствует (П = 1);
cuzh — параметр, аналогичный ©ц в F.2.11) (но для парового
пузырька), характеризующий влияние диссипации из-за вязко-
вязкости жидкости.
Для трансцендентных функций nik) и n2(z2) имеют место
следующие асимптотики:
UJ < 1: П, « 1; kl > 1: П4 « За^ад) « О,
lz2l « 1: П2 « 1; Iz2| » 1: IL « 3/z2 « 0. F.2.21)
При этом следует иметь в виду, что обычно |z2l < IzJ, а сла-
О/О
гаемые с П2 из-за малости Рг/Pi в выражении для П малы.
Последнее свидетельствует о малом влиянии теплопроводности в
паре (внутри пузырьков) па распространение слабых возму-
возмущений.
Для П (со.,.) можно выписать две предельные асимптотики,
соответствующие почти равновесному (малые частоты со*) и
почти «замороженному» (большие частоты со^.) тепло- и массо-
обмепу. Первая, «околоравповесная» асимптотика соответствует
настолько малым частотам, при которых температуры внутри
ячейки радиуса гь = R = а/а2 3 успевают выравниваться:
П К) = 1 + Ш'^Ч ((| со* | t^lL* < 1,
„2
л%) _ R _
=
15а
а2)
Здесь учтено, что р2 < 1 и ip2Z*Vc! < 1, и в результате теп-
тепловые процессы в паре (в пузырьках) несущественны. Для
жидкости с пузырьками пара, т. е. при температуре кипения,
имеют место следующие оценки:
4W > «Й > «g, C\ > С\. F.2.23)
Поэтому при указанных в F.2.22) малых частотах заведомо
несущественны радиальная инерция, вязкость и сжимаемость
жидкости, т. е.
(K1/co2QJ, | to* |/(BS|i < П, Cl^ClU. F.2.24)
Вторая промежуточная асимптотика соответствует хотя и ма-
малым частотам, когда выполняется F.2.24), но сравнимым с
\?ri/ > т. е. когда за период колебании температурные возму-
возмущения от пузырька в жидкости охватывают расстояния, сравни-
сравнимые с радиусов пузырьков или расстояниями между пузырьками,
2

18 ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
по порядку равными радиусу ячейки:
При еще больших частотах:
З'с, Р° ( зё. Р° ^
\h\^^4 обычно -f-^>l, F.2.26)
1 \ 1 Рг /
а при этом обычно UJ>1 и |z2| > 1, имеем согласно F.2.21)
П17 П2 - 0 и П = p2l*2/cu F.2.27)
что соответствует очень тонким (по сравнению с радиусом пу-
пузырьков) пограничным слоям в жидкости и в паре, когда меж-
межфазный тепло- и массообмен практически незаметны («заморо-
(«заморожены»). В этом случае имеем
(П - IL) С\ = С1а\ъ, у1 = Тя [1 + 22* A-1/(Зу2))] « у2. F.2.28)
При указанных высоких частотах дисперсионная зависимость
F.2.20) практически совпадает с рассмотренной выше зависи-
зависимостью F.2.11) для газожидкостной смеси. Таким образом, фа-
фазовые переходы оказывают качественное влияние на распростра-
распространение звука лишь при достаточно малых частотах (| со,,. | t[k ^l),
когда имеет место F.2.24), т. е. малы другие дисперсионные
эффекты, и дисперсионная зависимость к% (ы%) определяется
функцией П (со,,.) и параметром Si.1
kl a?
_^ = 1 _—. F.2.29)
«? сЦп(шJ] v ;
Рассмотрим сначала А;-волны (/с# = й;>0; см. §1 гл. 4), эво-
эволюция которых позволяет судить об устойчивости равновесного
состояния жидкости с пузырьками пара. Исследование F.2.20)*)
показывает, чго с точки зрения выявления неустойчивых состоя-
состояний можно ограничиться низкочастотным приближением F.2.29),
когда для Щ(о*) имеют место асимптотики F.2.22) или
F.2.25). В пользу такого положения свидетельствует тот факт,
что при более высоких частотах парожидкостная среда близка
по своим акустическим свойствам к газожидкостной, которая
устойчива. В результате для fe-воли имеем дисперсионное урав-
уравнение для со*
П (со*) - {а\С12к~2) и>1 - !i = 0 K = cu+tto^J. F.2.30)
*) Это исследование выполнено В. Ш Шагаповым.

§ 2. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ 19
Исследование показывает, что корни этого уравнения мнимые
(со.,. = г соц.ц-). При этом если
?ь<1, F.2.31)
то со,,.* (к) > 0, что свидетельствует об устойчивости рассматри-
рассматриваемого равновесного состояния. В противном случае, если
2Ь>1, F.2.32)
то (о** (/с) < О, и амплитуда возмущений со временем растет.
Таким образом, равновесные парожидкостные среды в условиях
Zl > 1, в отличие от «холодных» газожидкостных, могут быть
неустойчивыми из-за испарения или конденсации, приводящих
к росту или исчезновению пузырьков, причем склонность к не-
неустойчивости повышается с ростом 2Ь, т. е. с уменьшением кон-
концентрации и размера паровых пузырьков.
Анализ зависимости со*.,, (к) в соответствии с уравнением
F.2.30) показывает, что при изменении к от 0 до °° показатель
роста возмущений — о>#* растет от 0 и асимптотически стремит-
стремится к максимальному значению, которое обозначим через со о» и
которое определяет максимально возможную скорость роста воз-
возмущений в данном состоянии. Приведем значения сое» в двух
предельных по параметру EL случаях. При 2t « 1 для П (со*)
можно использовать F.2.22), а при 2L > 1— F.2.25), где мож-
можно пренебречь слагаемыми с П2. Тогда получим
- 1) @ < Si - 1< 1),
«осч / — -7) | 1 + — — 1/ 1 -f — BL>lj F.2.33)
I
1/
Для пароводяных сред при р = 0,1 МПа, а2 = 0,03 для а —
= 1 мм Bt = l,17) первая формула дает со^1 та 200 с. При том
же давлении, но при ос2 < Ю~3 для а=1 мм и 0,1 мм, так что
состояние смеси лежит глубоко в области неустойчивости BL ^
>1), вторая формула дает соответственно со,»1 = 50 и 0,024 с.
Видно, что для крупнодиспергированпых равновесных смесей
(а ^ 1 мм), даже если из-за малых объемных концентраций па-
паровых пузырьков смесь неустойчива, характерные времена роста
возмущений велики, и равновесие нарушается медленно.
Перейдем к анализу распространения вынужденных колеба-
колебаний в виде (о-волн (со* = со>0; см. § 1 гл. 4). На рис. 6.2.2 схе-
схематично показаны соответствующие F.2.20) зависимости С(со)
и /с** (со).
2*

20
ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
Для устойчивых парожидкостных сред (~ZL < 1) в околорав-
околоравновесном диапазоне частот в соответствии с F.2.29), F.2.22)
О
Рис. 6.2.2. Схема зависимости фазовой скорости С и коэффициента затуха-
затухания А** от частоты w генерируемых внешним источником вынужденных ко-
колебаний (<в-волп) в устойчивой (Sl < 1), равновесной в исходном состоя-
состоянии парожидкостной пузырьковой среде. Сплошные линии соответствуют
наиболее характерным средам в состояниях, далеких от критических. Штри-
Штриховые линии, определяемые величинами Се (см. F.2.34)) и coSr (см. F.2.36)),
соответствуют однотемпературной (гомотермической) бездиссипативпой
схеме с однородными и одинаковыми температурами фаз в ячейке (hi = О,
А,|->оо, Аг-»-00). Штрихпунктирные линии, определяемые величинами Со и
оH (см. F.2.37)), соответствуют бездиссипативной схеме без теплопроводно-
теплопроводности (hi = 0, Ям = А.2 = 0). Величины С; и шс, зависящие от сжимаемости
жидкости и характеризующие дисперсионные зависимости при высоких ча-
частотах, определяются формулами F.2.12)
имеем следующие выражения для фазовой скорости и коэффи-
коэффициента затухания:
С (со) = ± Се A + О (со24г12)), Се = Сьа.-1 j/l - ftf
2CL
1 _
(<otli

§ 2. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ 21
Видно, что равновесная скорость звука Се в парожидкостной пу-
пузырьковой (oci « 1) смеси равна скорости звука Ландау, только
если ее состояние леяшг глубоко_в области устойчивости Bл. < 1).
Для неустойчивых смесей Bь>1) соответствующие выраже-
выражения имеют вид
CH = ±2Cf;J\\ к„ (со) = т "*¦" , F.2.35)
т. е. при со -*¦ 0 фазовая скорость С («)->- Се-¦• оо. Иными словами,
для неустойчивых парожидкостных смесей равновесная скорость
звука равна бесконечности.
На рис. 6.2.2 приведены также зависимости С (со) и &„,„.((»),
соответствующие равновесному (Xt, Я2 -»- °°) и замороженному
(Я4 = Я2 = 0) по теплопроводности бездиссипативным (ц4 = 0)
приближениям или асимптотикам, представленным соответственно
штриховыми и штрихпунктирными линиями. При равновесной
теплопроводности для паровых пузырьков имеется собственная
частота (аналогичная сог в уравнении F.2.11) для газовых пу-
пузырьков), которую обозначим через и>хг:
F.2.36)
В этом приближении (A,i, Я2 -*¦ °°, \ii = 0) колебания парового
пузырька и дисперсия звука определяются радиальной инерцией
жидкости и результирующей упругостью поверхностного натяже-
натяжения B2) и пара (х'), зависящей, в частности, от функции
Тв(Рг) и массового содержания пара р2.
В приближении с замороженной теплопроводностью (Xi = Я2 =
= 0, jxj = 0) фазовая скорость звука при со = 0 («частично-равно-
(«частично-равновесная» скорость звука) и собственная частота колебаний пузырь-
пузырьков, которые обозначены соответственно через Со и со0, подсчиты-
еаются так же, как для газожидкостной смеси с адиабатическими
пузырьками (см. F.2.11)):
С„ = СаЦ2, со„ - сОеУчГ. F.2.37)
Как и для газожидкостной среды (см. F.2.12), где в качестве <вг
следует иметь в виду со0), рассчитываются замороженная скорость
звука Cf и частота сос, связанные со сжимаемостью _жидкости.
Следует иметь в виду, что область устойчивости BL<1) па-
парожидкостных пузырьковых сред выявляется благодаря учету
адиабатичности границ ячеек (см. обсуждение A.6.10)). Если
вместо адиабатичности принять изотермичность жидкости вдали
от пузырька согласно A.6.10а), то дисперсионный анализ приво-
приводит к неустойчивости возмущеппй в виде /t-волн при любых 2?,
а для со-волн при со -»- 0 всегда будет С (со)-*- °°.

22 ГЛ 6 ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
Следует также иметь в виду, что при малых околоравновес-
пых частотах, когда реализуется температурное равновесие фаз,
для справедливости примененного здесь линейного дисперсион-
дисперсионного анализа необходимо накладывать более жесткие ограничения
на амплитуды давления, нежели Ар/р0 -С 1. Действительно, изме-
изменение массы пузырька должно быть мало: Ат/т2 < 1, где т% =
= 4/3ла3р2. Теплота фазового перехода обеспечивается в основном
жидкостью, а при наличии температурного равновесия АУ{ =
= Д7\ = АТ2 = ATs(p)- Тогда, обозначая массу жидкости в
ячейке через гпи имеем
lAm = c1ATsm1, m1« m « D/3яа3/а2) р^.
Тогда условие малости изменения массы пузырька с учетом урав-
уравнения Клапейрона — Клаузиуса (ATS ~ Т0Ар/(р21)) и уравнения
состояния \р0 ~ ^г^оРго) приводит к условию
Это чрезвычайно сильное ограничение свидетельствует о том, что
для описания в парожидкостной пузырьковой смеси низкочастот-
низкочастотных возмущений («tfll <C l), имеющих интерес для практики, не-
необходимо привлекать нелинейную теорию (см. ниже § 10), учи-
учитывающую значительные изменения размеров пузырьков из-за
конденсации или испарения пара.
Упругий предвестник. Использование принятой здесь гомоба-
рической схемы с однородным давлением 1аза в пузырьке оп-
оправдано, когда период колебания 2п/со много больше времени
пробега звуковых волн в газе внутри пузырька (a/Cg). Исполь-
Использование уравнения Рэлея— Ламба, в котором радиальная инерция
жидкости создается всей присоединенной массой, характерной для
несжимаемой жидкости, оправдано, когда период колебаний 2л/а»
много больше времени пробега звуковых волн в жидкости на рас-
расстояния порядка радиуса ячейки R, приходящейся на один пу-
пузырек:
со < <й3 ~ Cgia, со < (О; — CtaJz\a. F.2.39)
Для пузырьковых смесей с параметрами ос2 ~ 10~2, а ~ 1 мм, ког-
когда скорости звука в фазах Cs «400 м/с, С, « 1500 м/с, имеем
сог ~ 105 с', со, — 106 с, а при р — 0,1 МПа, р°х~ 103 кг/м имеем
сог ~ 104 с, сос ~ 105 с. Таким образом, при указанных усло-
условиях практически вся высокочастотная ветвь дисперсионной кри-
кривой (<а > сос) не удовлетворяет требованию F.2.39). Поэтому
нельзя ожидать, что система принятых уравнений, в том числе
и полученные двухволновое и телеграфное уравнения, будет пра-
правильно описывать эволюцию высокочастотного и высокоскоро-

§ 2 ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ 23
стного упругого предвестника, распространяющегося со скоростью
звука в чистой жидкости. Обычно если речь идет о несуперко-
ротких импульсах, длина которых много больше размеров пузы-
пузырей и расстояний между ними, это несовершенство модели, свя-
связанное в основном с использованием уравнения Рэлея — Ламба,
не играет существенной роли, ибо доля энергии таких импульсов,
приходящаяся на высокочастотную часть (со > сос) спектра, ма-
мала, и поэтому амплитуда предвестника также пренебрежимо
мала. Кроме того, в принятой модели, в которой в соответствии
с несжимаемостью жидкости радиальное движение описывается
уравнением Рэлея — Ламба, амплитуда упругого предвестника не
затухает (при w ->¦ °° имеем С-^С, &#*—>). На самом деле эта
амплитуда еще и быстро затухает на расстояниях порядка рас-
расстояний между пузырьками 2Д из-за акустической разгрузки вы-
высокочастотных волн сжатия па пузырьках, причем в процессе
такой разгрузки размер пузырьков измениться практически но
успевает.
Оценим затухание упругого предвестника, описываемого в ви-
виде скачка, распространяющегося вдоль характеристики по невоз-
мущепной среде (см. F.2.3)):
dp, dv, 3aanw „
z = C,t, if + 9Ci4L = ^-9C). F.2.40)
Пусть на скачке претерпевают разрыв продольпая скорость v
и давление р в соответствии с законом сохранения импульса:
р«С^, = рг~р0 (р/ » р0, а,/ ~ а10, а2/ ~ а20, а, « а0). F.2.41)
Тогда, подставтяя это уравнение в условие на характеристике,
получим
dp. За а„„и>,
5 ^
Заметим, что в полученном уравнении для изменения давле-
давления на фронте предвестника не использовалось уравнение Рэ-
Рэлея — Ламба. В соответствии с замороженной схемой из-за ко-
конечной радиальной присоединенной массы жидкости при измене-
изменении скачком давления жидкости от р„ до р} радиальная скорость
w остается равной нулю (w, =0). Тогда согласно F.2.42) уп-
упругий предвестник не будет затухать.
Для нахождения wf с учетом сжимаемости жидкости исполь-
используем решение в акустическом приближении задачи о сферической
разгрузке жидкости с давления pt до давления /><>, которое име-
имеется внутри пузырька. Согласно этому решению в ячейке име-
имеется сферическая область г < Вс, охваченная возмущениями от
разгрузки, и распределение давления в ячейке имеет вид
Р' = Pt + {p»-Pt)a</r (ao<r<Rc = ao + Clt),
' / -^ г, \ (о.2.43)
Р =Pf (r>Ec). v ;

24 ГЛ В. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
Распределение радиальной скорости находится с помощью урав-
уравнения импульсов. В частности, для г = а имеем
t
где начальное значение wj0 определялось из соотношения для
мгновенной разгрузки, аналогичного F.2.41),
9\Сгш,о = Ро-р,. F.2.45)
В качестве характерного значения радиальной скорости Wj,
определяющего в уравнении F.2.42) затухание упругого пред-
предвестника, примем среднее значение, которое она принимает за
время прохождения предвестником расстояния, равного среднему
расстоянию между пузырьками L да 2R = 2ао/а2О3,
F.2.46)
Тогда в результате интегрирования F.2.42) имеем
F.2.47)
где xt — расстояние, на котором амплитуда переднего скачка
Д.Р/ = Pi ~ Р» уменьшается в е раз.
Уравнение F.2.47) для затухания упругого предвестника мож-
можно получить и из других соображений, принадлежащих В. III. ТТТа-
гапову. Среднее давление жидкости в ячейке
п
Р = 1 /—§ jr I Anr^p'dr | Д = —jr-да у ]. F.2.48)
а \ а2 I
При прохождении волпы-предвестника через пузырек за волной
будет область, охваченная разгрузкой на пузырьке. Поэтому
среднее давление на фронте p,{x + L) при подходе его к сосед-
соседнему пузырьку будет меньше, чем р/(х). Примем сферически-
симметричное распределение давления р' в ячейке, описываемое
уравнением F.2.43). Тогда, интегрируя это распределение со-
согласно F.2.48), пренебрегая «13 и а2 по сравнению с единицей
и полагая
+ Rd?, F.2.49)
получим уравнение F.2.47).

§ 2. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ
25
Экспериментальные данные по затуханию упругого предве-
предвестника в пузырьковых жидкостях имеются в работе В. К. Кед-
ринского A968, 1980) и В. В. Кузнецова, Б. Г. Покусаева A978).
На рис. 6.2.3 и 6.2.4 представлены некоторые данные последней
работы для смеси воды с пузырьками воздуха. Авторы отмечают,
Рис. 6.2.3. Осциллограммы давлепия, получен-
полученные (В. В. Кузнецов, Б. Г. Покусаев, 1978) на
ударной трубе и выявляющие упругий пред-
предвестник / на разных расстояниях х = 0, 1,
2, 3, 4 см (которым соответствуют цифровые
указатели) от входа треугольного ударного
импульса (Дро = 0,051 МПа) в смесь водогли-
церинового раствора (р1 = 1080 кг/м ) с пу-
пузырьками воздуха (ро = 0,1 МПа, Го = 293 К,
а0 = 1,5 мм, Яго да 0,006)
что скорость предвестника практически совпадает со скоростью
звука Ci « 1500 м/с в чистой жидкости. Из представленных гра-
графиков можно определить экспериментальное значение zf. Для
среды с а0 = 1,5 мм, а20 = 0,006 согласно эксперименту xf да 2 см,
а согласно F.2.47) xf да 3 см; для а0 = 1,5 мм, а20 = 0,002 соглас-
согласно эксперименту xs~l см, а согласно F.2.47) xt = 6,7 см. Как
Рис. 6.2.4. Изменение
возмущения давления на
упругом предвестнике
(точки 1 и 2) и в основ-
основном сигнале (точки 1') с
расстоянием х в тех же
условиях, что и рис. 6.2.2.
Точки 1 и 1' — для аго =
= 0,002, точки 2 — для
а20 = 0,006
О
\ А
\о о
\ о
.• о Ч
\* ° >?>
\ ° с
\.
о
о^ '—
ю
видно, имеется удовлетворительное согласование полученной тео-
теоретической оценки с экспериментом. Некоторое количественное
рассогласование отчасти может быть объяснено погрешностью в
измерении столь малых концентраций газа (а2 = B—6) ¦ 10~3) око-
около верхней свободной поверхности жидкости, ще проявляется
упругий предвестник. Что касается основной части волны, то ее
амплитуда мало меняется в области, где как-то проявляется уп-
упругий предвестник. Далее основное внимание будет уделено воз-

26 гл. 6 динамика пузырьковых жидкостей
мущениям, характерная длительность которых много больше
2л/@с- При этом высокочастотная ветвь дисперсионной кривой,
связанная со сжимаемостью несущей жидкости, не будет играть
заметной роли.
§ 3. Приближение эффективной вязкости
и политропического газа для описания стационарных
ударных волн в жидкости с пузырьками газа
Рассмотрим условия существования и структуру стационарной
волны, которая может установиться при одномерном стационар-
стационарном движении пузырьковой смеси в трубе (в этом случае волна
может быть неподвижной относительно трубы) или при воздей-
воздействии инициируемого камерой высокого давления «поршня»,
вдвигающегося с постоянной скоростью или с постоянным дав-
давлением в неподвижную однородную смесь, когда при длинных
КВД и КНД волна после переходного режима выйдет на стацио-
стационарный режим и будет распространяться с постоянной скоростью
DOl не меняя своей структуры. Тогда, как и в § 4 гл. 4, в си-
системе координат, связанной с волной, процесс стационарный,
невозмущенная среда входит в волну со скоростью va = —Da. Как
и ранее, направление оси х совпадает с направлением распростра-
распространения волны относительно невозмущенной среды (см. D.4.1)).
Ограничимся сначала случаем, когда отсутствуют фазовые пе-
переходы (т. е. масса пузырька не меняется), капиллярные эффек-
эффекты и внешние массовые силы:
j = 0 (р°а3 = const), 2=0, g1 = ga = O. F.3.1)
В последующие трех параграфах (§ 3—5) при этих условиях
исследуется структура стационарных ударных волн в рамках раз-
различных схематизации для описания пузырьковой жидкости.
Уравнения стационарного одномерного движения. Для даль-
дальнейшего интерес представляет анализ структуры стационарной
волны в упрощенной постановке, когда предполагается несжимае-
несжимаемость несущей жидкости, отсутствие дробления и объединения
пузырьков, относительного движения фаз и капиллярных эффек-
эффектов, малость объемного содержания пузырьков (так что поправ-
поправками фA) и фB) из-за стесненности можно пренебречь) и дина-
динамических слагаемых в тензоре напряжений и, самое главное,
политропичность газа в пузырьках. При этом для учета тепловой
диссипации при осцилляциях используется эффективная вязкость
в уравнении радиального движения (см. A.6.48), A.6.50),
A.6.51)). Указанные упрощения приводят к системе уравнений
A.5.16). Эти уравнения в системе координат, связанной со ста-
стационарной волной, в которой параметры не зависят от времени,

§ 3. ПРИБЛИЖЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОЙ ВЯЗКОСТИ 27
с учетом F.3.1) могут быть записаны в следующем виде:
¦^ (djv) = О, ^ (р^у) = 0, ^ {nv) = 0,
da
( ( F.з.2)
P20 V а 1 Рга \ а ) v ^
Р = Pi«i -г Р2«2 ж PiOti, а2 = */3ла3п.
Равновесные параметры перед волной (х -*-+<»), которые
должны задаваться, будут обозначаться индексом 0 внизу, а за
волной (х^-—°о), где также устанавливается равновесие,— ип-
дексом е. Поэтому граничные условия имеют вид
>: v = va = -D
°
«2 =-¦ «20. P° = P20, a = a0; F.3.3)
я->-оо: p = p2 = Pej We = 0.
Система уравнений F.2.2) имеет четыре первых ингеграла
axv = a10v0, а2р^ = a2op°2Ovo, nv == n0v0,
о 2 F.3.4)
PlPt,1(jV0V + Р — РАо^О + Ро-
Из этих интегралов по параметрам перед волной определяют-
определяются равновесные параметры, которые установятся за волной:
(Ре \1/lK Ре — Р
aleve=alovo, a2eve\— = a20v0, vo~ve~- . F.3.5)
\ро I Piaioyo
Введем отмеченные чертой вверху безразмерные переменные
— Р, — а - г — w — _ х
Pi — Z~^ а == ~X~i v — 7^' w 7^~i x —у
1 0 0 a О-
с - ^ F-3-6)
t' Р! К ai0a20
Тогда для безразмерного давления за волной ре имеем сле-
следующее уравнение, которое можно назвать ударной адиабатой
рассматриваемой среды в координатах
~Ре — 1 = Ж [1 — рГ1/х] (D0 = —~v0 = D0/Ca), F.3.7)
где Do — безразмерная скорость волны относительно невозмущен-
невозмущенной среды.
Минимальное значение скорости Do = Со, которому соответ-
соответствует стационарная волна сжатия {ре>1), определяет частично

28 ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
равновесную политропическую для газа скорость звука в смеси
^12-. F.3.8)
Для изотермического газа (и = 1) и для сильных волн (ре >
> 1, давление за волной практически не зависит от показателя
политропы) имеем
ре = v20 = Ъ\. F.3.9)
Для слабых волн (Аре = joe — 1 < 1) давление за волной можно
выразить через Do, разлагая правую часть F.3.7) в ряд Тейлора:
Тогда получим с точностью до О((АреJ)
Из уравнения сохранения масс жидкой и газовой фаз и ин-
интегралов F.3.4) получим
J П J П /Г* О I i\
ax i ax a 20 Y^ (D.o.ll)
v = v0 (a1Q + a20a3), p = 1 + v20 (l — a3).
При этом имеют место оценки
v - "^ = """Д ~ ai" = ^ (а2 - а20) < ^0, р<1 + 5^. F.3.12)
После элементарных преобразований, учитывая F.3.11), систе-
систему уравнений F.3.2) можно представить в виде, в котором гра-
градиенты параметров выражаются через w и рц = рг — р. Отличие
от нуля величин w и p2i и есть мера межфазной неравновесно-
неравновесности и неоднородности параметров вдоль оси х:
dw_ 1_(- _~)_^l_~ 3_~2 /,.* _ ?1эФ
dx av a2v 2a v
± = _^f ^ = _3^_2- F.3.13)
dx v dx аи
Исследование поведения решения перед и за ударной волной.
Равновесным состояниям перед (я-*-+<») и за (#-*¦—<») волной

§ 3. ПРИБЛИЖЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОЙ ВЯЗКОСТИ 29
соответствуют точки о и е, являющиеся особыми точками рас-
рассматриваемой системы дифференциальных уравнений в простран-
пространстве физических параметров Ш, р, р2. Исследуем поведение ре-
решения в окрестности этих точек, используя метод линеаризации.
Для описания той зоны фронта ударной волны, где отклоне-
отклонения переменных v, а, р, рг, w от их значений в исходном состоя-
состоянии о {v = г;о, а = р =*pz= I, w = 0) достаточны малы, в урав-
уравнениях F.3.13) переменные коэффициенты при рг — р и w мож-
можно считать постоянными, определяя их значениями переменных
в состоянии о. Тогда получим систему линейных уравнений
¦7r = — ~?-W + —p21 (р21 = р2 — р),
dx v va
dx \ "о / dx
Фундаментальные решения этой линейной системы имеют вид
w = A{w) expko(x —хь),
р~г = 1 + А[р) ехр к0 (х — хь), р2 = 1 -[- АBР) exp k0 {x — хь), F.3.15)
где к0 — в общем случае комплексное число. В качестве решения
физической задачи понимается действительная часть этих вы-
выражений. Так как перед волной при х ->~ +°° отклонения пара-
параметров от равновесного состояния должны стремиться к нулю:
p2i, w ->- 0, то действительная часть к„ должна быть отрица-
отрицательной:
Яе{ко)<0. F.3.16)
Если фундаментальные решения подставить в F.3.14), то по-
получим характеристическое уравнение для к0, дающее условие су-
существования нетривиальных решений типа F.3.15) с ненулевыми
значениями констант A(w\ Af\ A2v)
Kl - ^*Кй - 3x (DlC,2 - 1) = 0 (Ко = k0D0 - - kovo).
F.3.17)
При этом для самих констант получаются линейные соот-
соотношения
A(w) _ Voko АР) АР) _ аюК2о"о АР) /а о ло\
/i — — -^-Л2 , /1Х Л2 . (О.бЛО)
Условие F.3.16) приводит к условию А, > С„. Таким образом,
в рассматриваемой среде возможны только стационарные волны
сжатия (ре > Ра) и невозможны стационарные волны разреже^
ния. При этом в качестве /с0 можно использовать только один

30
ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
корень характеристического уравнения
Doko = 2jx* - ]/^*2 + 3x(B^0-2-l) (Do > Со > 1), F.3.19)
являющегося действительным числом, чему соответствует моно-
монотонный профиль или отсутствие осцилляции перед волной (см.
рис. 6.3.1, где штриховые линии /A)оA) и /B)о<2) соответствуют
0
Рис. 6.3.1. Характерные
структуры ударных волн
и асимптотика решений
уравнений перед и за
волной; 1 — ударная вол-
волна с осцилляционной
структурой, 2 — ударная
волна с монотонной
структурой
зависимостям F.3.15), определяющим асимптотики при ж->-+°°
для волны owew и волны оB)еB).
Для слабых волн (Аре = ре — 1 < 1), когда реализуется удар-
ударная адиабата в вяде F.3.10), корень к0 мотет быть выражен
через интенсивность волны:
F.3.20)
Аналогично исследуется асимптотика изменения параметров в
хвосте волны при приближении к конечному равновесному со-
состоянию, т. е. для зоны, где отклонения переменных v, а, р,
р2, w от их значений в конечном состоянии (г; =ve, a = ае,
р = pi — ре, w = Q) достаточно малы. Для этой зоны из F.3.13)
получим систему уравнений, линеаризованных относительно ко-
конечного состояния,
dw 4ц* — , 1 — /— — —\
dx
dP2_i
dx
F.3.21)

§ 3. ПРИБЛИЖЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОЙ ВЯЗКОСТИ 31
Фундаментальные решения этой линейной системы имеют вид
ргх=А{р)ехрке(х-хь), w = A{w)expke{x-xb)
(A™,A™,xb*= const). {Ь-6-11)
Так как за волной при х -*¦ — °° отклонения от состояния е дол-
должны стремиться к нулю (p2l, w^~0), то действительная часть
ке должна быть положительной:
Re {к,} > 0. F.3.23)
Аналогично F.3.17) для к,, получаем характеристическое урав-
уравнение
F.3.24)
В качестве ке могут быть использованы оба корня:
a~veke = - 2? + l/^ + 3 (рф^^ ~хЗе). F.3.25)
Для слабых ударных волн (Аре = ре — 1 < 1), когда ударная
адиабата имеет вид F.3.10), учитывая, что ае « 1, »c« г?0 =
= — Do ^ — Ух, получим аналогично F.3.20)
Д,&е = 2ц*[1 ± У1 - V, (х + 1) bpJpL*2]. F.3.26)
Если ке — комплексно-сопряженные числа, то хвост волны
может иметь осцилляциопную структуру. Если ке — действитель-
действительные числа, при этом они оба — положительные, то осцилляции
в волне невозможны. На рис. 6.3.1 штриховые линии gwew и
gB)e<2) соответствуют зависимостям F.3.22), являющимся асимп-
асимптотиками распределения параметров при х -*¦ — °° для двух волн,
а именно для волны оA)еA), имеющей осциллирующую струк-
структуру, и волны о<2)е<2), имеющей монотонную структуру.
Для реализации стационарной ударной волны с осциллиру-
осциллирующей структурой необходимо
В ряде случаев при достаточно крупных пузырьках влияние
диссипации на частоту осцилляции мало (ц.*2<Дре), тогда дли-
длина осцилляциоппых волн Le и частота осцилляции (ое пузырьков
определяются простыми формулами
К Im{*e} - ]Л/2(х + 1)д-' 2к L?~K 2
А- С*
F.3.28)

32 ГЛ. G ДИН -ШИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
При малых интенсивностях волн осцилляции в стационарных
волнах не реализуются, т. е. волна имеет монотонную структуру.
Определение эффективной вязкости пузырьковой среды в
ударной волне. Учитывая F.3.28), из формулы A.6.50) найдем
выражение для той части (|ДС ) эффективной вязкости |Аэф, ко-
которая связана с теплопроводностью при радиальных колебапиях
за ударной волной с частотой ше, через характеристики смеси
и интенсивность волны:
В случае монотонной структуры волны, когда реализуется
монотонное сжатие пузырьков, способ задания п.Эф или |х(Г) не-
неочевиден (см. также замечания в конце § 6 гл. 1).
Построение решения для структуры ударной волны. Пола-
Полагая (гЭф заданным, покажем процедуру отыскания решения си-
системы уравнений F.3.2) или F.3.13) с граничными условиями
F.3.3). Это решение проходит через две особые точки, соответ-
соответствующие исходному и конечному состояниям перед и за удар-
ударной волной, и описывает структуру этой волны.
Интегральные кривые системы уравнений (8.3.2) или F.3.13)
допускают смещение вдоль оси х. Поэтому фиксируем _при х = хь
(см. рис. 6.3.1, где х^=хъ для волны owe[i) и хь = хь для вол-
волны о<2)е<2)) некоторое значение безразмерного давления газа в
пузырьках рг > 1 или А? = р2 \хь) — 15 причем рг(хь) должно
быть достаточно близким к единице, чтобы в области х>хь вы-
выполнялось линейное решение F.3.15). Используя формулы
F.3.18) и конечные соотношения для г; и а в F.3.13), легко
определить значения остальных искомых функций при х = Хь-
Значения рг, ри v, w в точке х = хь дают граничные условия
при численном решении нелинейной задачи Коши для системы
уравнений F.3.13) в области х < хь. В результате решения оп-
определится структура всей ударной волны, в которой сре-
среда переходит из равновесного состояния о в равновесное
состояние е.
Влияние эффективной вязкости. С увеличением |яэф, как вид-
видно из F.3.18), величина ка уменьшается, т. е. уменьшается кру-
крутизна переднего фронта волны. При этом, как видно из F.3.24),
в случае отсутствия осцилляции, когда ке — действительное чис-
число, величина ке уменьшается, и задняя часть волны становится
также менее крутой. В случае же наличия осцилляции (когда
ке — комплексное число) с увеличением ц,^ действительная
часть ке становится больше, что свидетельствует о более интен-
интенсивном затухании осцилляции. Следует иметь в виду, что умень-
уменьшение ка или крутизны переднего фронта, в свою очередь, так-
также приводит к более слабым осцилляциям из-за уменьшения

§ 4. СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ 33
амплитуды первой осцилляции. Примеры, иллюстрирующие рас-
распределение параметров в стационарных волнах, даны ниже на
основе решения более общей системы уравнений, последователь-
последовательно учитывающей тепловые и динамические эффекты.
§ 4. Стационарные ударные волны в жидкости
с пузырьками газа. Двухтемпературная
и двухскоростная схема
Перейдем к более последовательному исследованию стацио-
стационарной ударной волны в пузырьковой жидкости, учитывая теп-
тепловую необратимость в газовой фазе, поступательное движение
пузырьков относительно жидкости, сжимаемость жидкости и ис-
используя двухтемпературную двухскоростную модель.
Уравнения стационарного одномерного движения. Основные
уравнения двухскоростной и двухтемпературной модели пузырь-
пузырьковой среды A.5.4) в системе координат, связанной с волной
(в которой параметры не зависят от времени), при отсутствии
фазовых переходов и внешних массовых сил (см. F.3.1), F.3.2))
имеют вид
dx ' dx ' 2 dx
= p> - рк 2S/a - ^ - (
F.4.1)
dP2 _ 3 (T, - 1) ЗУ^г^а
2^" 2^ A2Nu2(i0— i2) ,
Pl — Po = Cl (Pi - Pio). ^2 = Ps/fopl),
of» = — Pi - «2 t(P« — Pi — 2S/a) + p° (u;Ja + V. wj»)l,
гДе ^ц(^е1г) и Nu2 следует брать согласно формулам § 5, 6
гл. 1. В результате представленная нелинейная система уравне-
уравнений является замкнутой, и на ее основе, аналогично § 3, рас-
рассмотрим стационарную волну, в которой среда переходит из
начального равновесного состояния о в другое равновесное со-
состояние е. Указанные состояния о и е в общем случае могут
3 Р. и. Нигматулин, ч. II

34 ГЛ- 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
реализоваться асимптотически при х -*¦ ±°°. Соответствующие
граничные условия аналогично F.3.3) имеют вид
X -*¦ +оо; у10 = Vzo = V0 = -Do, Wia = О, Г20 = То,
p20 pi0 0,
Z^> ОО; Vie = Vte = Ve, Wia = 0, T2e^To, '
Pie = Pie + 2S/ae.
Из уравнения состояния жидкости с учетом уравнений со-
сохранения массы фаз и массы пузырька последовательно имеем
dp°2
В результате получим дифференциальное уравнение, которое
будет использовано в дальнейшем вместо акустического уравне-
уравнения сжимаемости несущей жидкости:
vl их ' axvz dx ' c% dx aa1v2 ' ' '
Система дифференциальных уравнений F.4.1) имеет три
первых интеграла
Pi^i = рю^ю = Till = Const, p2l>2 — Рго^го = /П2 = COnSt,
F.4.4)
mxvx + т2г;2 — ст1% = (тх + m2) vQ + р10 (стх* (о) = — р10).
Здесь первое уравнение — интеграл массы первой фазы, вто-
второе — интеграл массы второй фазы и третье — интеграл импуль-
импульса смеси. Все эти интегралы выполняются, как это видно из
A.3.69), и в случае наличия в структуре волны неподвижных
в рассматриваемой системе координат (связанной со стационар-
стационарной волной) скачков.
Далее будем использовать отмеченные чертой вверху безраз-
безразмерные переменные F.3.6), переменные
^=ад, р°=р:/р:„ F.4.5)
и фиксированные (что отмечено индексом 0 внизу) безразмер-
безразмерные (что отмечено чертой или звездочкой вверху) параметры,
характеризующие физические свойства фаз и выражаемые через
характерные скорости С*, Са, определенные в F.3.6):
Т^ 1 л # ^2 * "l х^* ^ /С / С\
Сгу n f n C.J а п° Г. ' #прл

§ 4 СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ 35
Далее для упрощения выкладок, учитывая замечания в свя-
связи с A.5.12), примем
-<г1*=Р1. F.4.7)
Из F.4.1) с учетом F.4.3) и F.4.7) получим следующую си-
систему шести обыкновенных дифференциальных уравнений отно-
относительно pi, р2, vu Vz, a, w, разрешенных относительно производ-
производных в безразмерных переменных:
&Р% - , -da — - dw ,
,— =q—bp, v2-7r=w, v2^r=bwr
dx dx dx
F.4.8)
«2 / Vvt ЗШ
\ С? 2 I
где правые части, связанные с межфазным взаимодействием, оп-
определяются следующими безразмерными величинами:
ч ) _^
^=а4^20 Рга )¦> °р — =
/a a
BПЗШ2
в которых нет смысла учитывать малые отличия плотности несу-
о о —о
щей жидкости Pi от ее начального значения Р10, т. е. отличие рх
от 1, так как в / и q входят эмпирические зависимости для &„
и Nu2. В полученные уравнения входят безразмерные величины,
которые определяются конечными соотношениями
Pi = 1 + a10a20 -%—, р2 = -=3-, a2 = -^=^, ax = 1 — a2.
^i a Р2
F.4.10)
Кроме того, следует иметь в виду интегралы системы уравне-
уравнений F.4.8), а именно интеграл массы несущей жидкости и инте-
3*

36 ГЛ 6 ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
грал импульса смеси (последний запишем с учетом импульса
газа): _
F.4.11)
Р..".. + >
Значения безразмерных переменных в начальном (о) и ко-
конечном (е) равновесных состояниях в соответствии с F.4.2)
равны
V10 = Р20 = V0i W0 — "> * 10 == ^20 == PlO = я0 = PlO == P20 = 1»
р20 = 1 + 2S*; F.4.12)
у1е = у2е = Уе, we = 0, Г1е = Г2е ж 1, р2е -.= р1е + 22*/ае.
Таким образом, искомое безразмерное решение, описывающее
плоские стационарные волны в жидкости с пузырьками, опреде-
определяется скоростью волны относительно невозмущенной среды
Do = —у о, начальным объемным содержанием пузырьков а2о
и параметрами f2, p20, Ct0, ^г> ^и ^о> характеризующими свой-
свойства фаз и размер пузырьков.
Равновесная ударная адиабата смеси и условия существова-
существования стационарных волн сжатия. Значения параметров за волной
в состоянии е определяются из конечных соотношений F.4.10) —
F.4.12) по заданным параметрам перед волной а2о, v0.
В случае малого влияния капиллярных эффектов B„ <С l),
что всегда реализуется при не очень мелких пузырях
(«0^0,1 мм) и не очень малых давлениях (pv^Ofil МПа), из
этих соотношений следует выражение для скорости волны Du =
= —v0 через ее интенсивность ре'
Минимальное значение скорости Do, при которой может реализо-
реализоваться стационарная волна сжатия (ре > 1), приводит к условию
Ъо> Се = [A + aJC210) A + ?20)]-1/2,
где Се соответствует равновесной скорости звука (см. F.2.12)
при % = 1, р2о < 1). Если
СТо]< 1, РеСТо « 1 f «20 > «СО = -А", Ре < J^V F.4-14)
V Pioci со/
то можно пренебречь сжимаемостью несущей жидкости (объем
газа а2 достаточен, чтобы все сжатие смеси в рассматриваемой

§ 4. СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ 37
волне реализовалось за счет сжатия газа), и тогда для пузырь-
пузырьковой смеси, учитывая малость массового содержания газа
(рго< 1). имеем
F.4.15)
Таким образом, волна уплотнения движется относительно не-
невозмущенной среды перед волной со скоростью большей, чем рав-
равновесная скорость звука Се, которая равна фазовой скорости рас-
распространения слабых гармонических возмущений С (а), имеющих
частоту со -»- 0 (см. F.2.12)). Полученное выражение для С„
в жидкости с пузырьками совпадает с формулой D.2.20) для газа
с каплями, если учесть, что эффективный показатель адиабаты
смеси жидкости с пузырьками ^ « 1. Это совпадение связано
с тем, что равновесные параметры за стационарной волной не за-
зависят от структуры смеси.
Из первых двух уравнений F.4.8) следует, что на плоскости
Vipi интегральная кривая удовлетворяет уравнению
Г = ^-Гилиа» (Л - 4> = "о &> - »i), F.4.16)
dv1 atl a20
т. е. является прямой линией, соединяющей начальную о и ко-
конечную е точки. Алгебраическое уравнение Д(у4, у2, ai) = 0 опре-
определяет точки, в которых градиенты параметров vu y2, pi вдоль
координаты х становятся равными бесконечности и меняют знак,
за исключением особой точки, где, кроме того, A,i = Д„а = Др1 ==
= 0. Решение уравнения А = 0 имеет вид
»i-Ci(l + 0(a,)), F.4.17)
что дает звуковую или характеристическую кривую, показанную
штриховой линией тп на рис. 6.4.1. Пересечение этой линии
с линией начальных состояний (pi = 1) определяет скорость Cf:
Cm или Ct = CiCa^Cl0,
которая выделяет два различных режима ударных волн.
Первый режим реализуется, когда
Do = \vo\<C,, F.4.18)
и интегральная линия в плоскости v,pi не пересекает звуковую
линию. Поэтому все производные по х от искомых функций
являются конечными. Как показывает исследование, аналогично
релаксирующей смеси газа с частицами (см. § 4 гл. 4) сущест-
существует единственное непрерывное решение системы F.4.8), соеди-
соединяющее начальное о и конечное е равновесные состояния [см. ое

38
ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
на рис. 6.4.1, с и б). Для второго режима, когда
F.4.19)
интегральная линия о е в плоскости Vipi должна пересечь зву-
звуковую линию в точке к'. Если точка к' не является особой (ког-
(когда А„1 = Дсг — Api = 0), то соответствующее непрерывное реше-
решение не имеет физического смысла, ибо в плоскости xpi ему соот-
соответствует так называемая «опрокинутая волна» (см. о к'е' на
Рис. 6.4.1. Интегральные кривые для структуры стационарной ударной вол-
волны жидкости с пузырьками газа при различных скоростях водны
рис. 6.4.1, б). Действительно, в точке к' производная dpJdx ме-
меняется от +оо до — оо^ и решение «опрокидывается» или стано-
становится неоднозначным, т. е. каждому х соответствуют два значе-
значения pi. Физически осуществимое решение (см. o'f'e' на
рис. 6.4.1, б) можно построить переходом через звуковую линию
с помощью скачка типа о']' (привлекая уравнения на этом скач-
скачке), после которого процесс описывается непрерывной инте-
интегральной кривой /V, соответствующей зоне релаксации.
Доказательство существования или отсутствия непрерывного
решения для структуры волны в случае Do > C{, когда инте-
интегральная кривая пересекает звуковую линию в особой точке,
в которой Д„1 = Дог = Др1 = А = 0, связано с исследованием си-
системы из шести независимых дифференциальных уравнений.
Этот вопрос здесь обсуждаться не будет, так как случай Do > Ct
при заметных объемных концентрациях пузырьков аг ^ Ю~2 мо-
может осуществиться только в чрезвычайно сильных ударных
волнах, когда необходим учет дробления пузырьков, фазовых пе-
переходов и других физико-химических процессов, т. е. необходимо

§ 4. СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ 39
усложнение модели процесса. Так, в воде с пузырьками воздуха
при ра = 0,1 МПа, осао = 0,02 режим Do > Cf реализуется при
ре > 370 МПа. В случае несжимаемой несущей жидкости
(Ct -*¦ «о) стационарной волны со скачком не существует, и мо-
может реализоваться только стационарная волна с непрерывной
структурой.
Таким образом, аналогично релаксирующему газу и смеси га-
газа с каплями или частицами полученная из условия существова-
существования стационарной волны уплотнения равновесная скорость зву-
звука Се совпадает с фазовой скоростью распространения слабых
гармонических возмущений С (со), имеющих частоту со ->- 0, а по-
полученная из условия существования стационарной ударной вол-
волны со скачком скорость звука Cf совпадает с фазовой скоростью
гармонических возмущений С (со), имеющих частоту со -*¦ °°,
т. е. соответствует замороженной скорости звука.
Исследуемые здесь стационарные решения со скачком или
без скачка есть предельные решения, к которым стремятся не-
нестационарные возмущения со скачком при сохранении стацио-
стационарных условий перед (о) и за (е) волной. Например, при дви-
движении поршня с постоянной скоростью Vo в покоящуюся среду
в начальный момент около поршня возникает скачок, причем его
начальная амплитуда и начальная скорость распространения
практически не зависят от присутствия пузырьков и определя-
определяются только свойствами жидкости. В частности, скорость распро-
распространения скачка будет практически равна скорости звука С\
в чистой жидкости. Далее начнут сказываться дифракция перед-
переднего скачка на пузырьках и его разгрузка из-за сжимаемости пу-
пузырьков. Интенсивность скачка, являющегося передним фронтом
возмущения, будет уменьшаться. При этом основное возмущение
должно отставать от скачка. При сохранении скорости поршня
Vo асимптотически при t -*¦ °° установится стационарная волно-
волновая конфигурация. Если V0 = \v0 — ve\ > VU), то передний ска-
скачок имеет предельную ненулевую амплитуду, что соответствует
стационарному режиму D0>Cf; если V0—\v0 — ve\ < VU), то
интенсивность скачка затухает до нуля, что соответствует ста-
стационарному режиму Се < Do < Cf. Аналогичные режимы будут
иметь место при мгновенном повышении давления с ро до р, и
сохранении его постоянным в каком-либо месте. И если ре<ри),
то предельная волна будет иметь непрерывную структуру.
Для пузырьковых смесей, которые обладают следующими
свойствами:
ас<а20<1 (ас = СГо2), Йо<1, 2*<1, F.4.20)
каждое из которых уже обсуждалось и которые привели к удар-
ударной адиабате в виде F.4.15), изменения давления и скорости
среды в стационарной волне максимальной интенсивности, но

40 ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
без скачка (De = Cf), равны
F.4.21)
Следует иметь в виду, что при выполнении условий F.4.20)
для не очень сильных ударных волн (ре < Cio) имеет место
оценка, аналогичная F.3.12), для верхней границы давления
внутри волны:
Р = Ре + 1 — (а/пе) ,
f fi 4 22^
< ^в + 1, ИЛИ р < jVaz <pe+p0.
Подчеркнем, что формула F.4.15), определяющая давление
за ударной волной через ее скорость, условие F.4.21) для реа-
реализации переднего скачка в ударной волне и оценка F.4.22) для
максимального давления в волне справедливы лишь для стацио-
стационарных волн. В тех случаях, когда на экспериментальном участ-
участке стационарная конфигурация волны не успевает установиться,
эти формулы могут не выполняться, даже если выполняются до-
допущения F.4.20), использованные при выводе указанных соот-
соотношений.
Далее будет рассматриваться весьма интересный для практи-
практики случай умеренных стационарных ударных волн без скачка,
когда скорость волны Д, = — v0 больше равновесной Се, но мень-
меньше замороженной Ct скорости звука A < Do < Ct).
Расчет непрерывной структуры ударной волны. Аналогично
исследованию более простой системы уравнений F.3.13) рас-
рассмотрим асимптотическое поведение решения системы F.4.8)
в окрестностях ее особых точек о и е, соответствующих равно-
равновесным состояниям перед (х -*¦ +«>) и за (х -*¦ —оо) ударной
волной. Для сокращения выкладок будем оба указанных равно-
равновесных состояния отмечать индексом Ъ внизу, полагая, что
Ь = о или Ь = е.
Фундаментальные решения соответствующих двух линейных
систем уравнений (около состояния о и состояния е) аналогично
F.3.15) и F.3.22) определяются характеристическими числами
кь (Ь = 0, е), которые должны удовлетворять условиям F.3.16)
и F.3.23). Если учесть_ F.4.20), т. е. пренебречь сжимаемостью
жидкости (i>o =Z>o<C Cf), капиллярными эффектами B*<Cl)
объемным и массовым содержанием газа (ос2о < 1, рго<1), ха-
характеристические уравнения для к0 и ке приводятся к виду
Kb + EfKl + E^Kl + Е^Къ + 40) = О,
(b = 0, е),
х)^7ь,
F.4.23)
- Я - (а2(,/а20) Ц) + 4 A % ^\Ъ\

§ 4. СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ 41
20
20
Здесь учтено, что эффективные значения чисел Нуссельта
Nu20 и Nu2e соответственно на фронте волны (в окрестности со-
состояния о) и в хвосте волны (в окрестности состояния е) могут
быть разными, а следовательно, могут быть разными и соответ-
соответствующие безразмерные коэффициенты теплообмена р2о и р2е.
Заметим, что вязкость жидкости сказывается через безразмерный
коэффициент щ, двухскоростные эффекты — через хщ, а тепло-
теплопроводность газа — через безразмерный коэффициент тепло-
теплообмена рг.
Для маловязких жидкостей с не очень мелкими пузырьками
(й0 ~ 1 мм) при не очень малых давлениях (р0 ^0,1 МПа) вы-
выполняются следующие оценки:
^Г<1, А*<1, р2<1. F.4.24)
Для более мелких пузырьков с газом, имеющим большую тепло-
теплопроводность, при малых давлениях возможны случаи р2 з* 1-
В очень вязких жидкостях типа чистого глицерина может быть
Рассмотрим сначала характеристический корень для началь-
начального состояния, т. е. Кь — Ко F = 0). Для предельного случая
Mi = 0* Рго = 0, обозначая значение Ко через К0@, 0), получим
#о(О, 0) + 3G2-^)Я20@, 0) = 0,
Причем в силу первого условия F.3.17) подходит только третий
корень.
Имея в виду случай малых ц* и р20, будем искать четыре ха-
характеристических корня в виде разложения по малым пара-
параметрам
К0 = К0@,0) + В&о
Дифференцируя характеристическое уравнение по р2о, получим

42 ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
уравнение
В (АК30
- О
в которое для определения В следует подставить выражения для
остальных коэффициентов при |32О — Iх i ~ 0» а именно
Kf = K(oq) @, 0) (? = 1,2,3,4),
Таким же образом, дифференцируя характеристическое урав-
уравнение по (Xi, можно найти М. В результате корни этого уравне-
уравнения могут быть представлены в виде
Л9 -Ло -—-^р20,
'2 О
>; - т.)
В силу условия F.3.17) на знак к0 должно быть Ко > 0. Отсюда
следует, что стационарные волны возможны только в случае
волн уплотнения \ре = В1~>Л), и в зависимости от интенсив-
интенсивности волны (D\ <С у2 или Dq >> 72) подходит или только пер-
первый корень, или только третий. Видно, что линейное разложение
по ^2о не проходит в случае волн с интенсивностью pe — D\mу2.
Для таких волн при (х4 = 0 характеристическое уравнение при-
приводится к следующему виду:
Один из корней последнего уравнения (назовем его вторым кор-
корнем К^) равен
к^ = У-Цъ-ЪК + о ($оа),
а остальные (К^ и К^) удовлетворяют уравнению
l + (Р20 + ГР^3) Ко + Т>$>93 + Гр2'3 = О (Р5/О3) (Г =
Можно показать, что корни Ко и К[^ отрицательны и, сле-
следовательно, не подходят.

§ 4. СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ 43
Таким образом, для построения решения на фронте ударной
волны подходят следующие значения параметра к„ при р20 < 1,
F.4.25)
-— Г
Аналогично находятся корни характеристического уравнения
для случая р20 > 1 (поведение пузырьков, близкое к изотерми-
изотермическому) и fJ-x <§; 1 в виде разложения по $Jo и р,х- При этом
также подходит только один корень:
— 1) 3 (у2 — 1) \ь*
\ + 25оР2О + ^7+ ' F-4.26)
Для любой волны сжатия существует один и только один ко-
корень А;о, соответствующий затуханию возмущений перед волной,
т. е. имеющий отрицательную действительную часть, причем этот
корень — действительный, что свидетельствует об отсутствии ко-
колебаний или осцилляции около исходного состояния о перед вол-
волной. При адиабатическом поведении газа (р20 = 0) подходящий
корень кй существует только при D\ =_Pe > 7г> а при наличии
теплообмена (р2о>О)—при всех Dl = pe^>l, соответствующих
волнам сжатия. Стационарные волны разрежения невозможны.
Зависимость указанного корня к0 от интенсивности волны
ре = D% и коэффициента теплообмена р2о проиллюстрирована на
рис. 6.4.2. С увеличением f52o и ре значение к0 увеличивается, что
приводит к увеличению крутизны фронта. При достаточно ма-
малых р20, когда поведение газа близко к адиабатическому, наибо-
наиболее интенсивный рост А:о и крутизны фронта с ростом ре проис-
происходит при ре ~ Ya. Учитывая, что склонность к осцилляционной
структуре тем сильнее, чем круче передний фронт волны, для

44
ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
качественных оценок величина f2 может рассматриваться как
приблизительная граница, разделяющая стационарные волны со
сравнительно пологим передним фронтом, за которым осцилля-
осцилляции практически не реализуются (ре < Тг), и стационарные
1,6
0,8 —
1,0 \/J[ 1,2 1,4 1,6 f,8 Ло
Рис. 6.4.2. Зависимость характеристического корня к0, определяющего по-
поведение среды перед волной, от скорости волны Dg = V~pe ш параметра теп-
теплообмена в пузырьке Рзо ' К0Т0Р0МУ соответствуют числовые указатели
(P2jP = 0; 0,1; 10; от). Показатель адиабаты газа Чг = 1,4
волны с более крутым передним фронтом, за которым осцилляции
будут более выраженными (р« > 4f2).
На фронте волны пузырьки вместе с жидкостью движутся
почти равномерно (х — хь « vat) и в соответствии с F.3.15) реа-
реализуется экспоненциальное сжатие пузырьков:
1
1
1
1
d
—

а — а0 = А(а) вхр h(x — хь) = Ala) exp(—et),
F.4.27)
В этом случае (см. обсуждение A.6.40)) реализуется тепло-
теплообмен с фиксированным числом Nu2, которое может быть опре-
определено по формулам A.6.43) и A.6.41). В случае достаточно
больших чисел Ре2, когда имеется тонкий (по сравнению с а0)
температурный погранслой в газе, используя первую формулу
A.6.43), получим выражение, определяющее теплообмен через
параметр к0, который характеризует интенсивность сжатия пу-
пузырька на фронте волны и крутизну этого фронта:
Nu20 = 2 ]/"VoA*, P20 = 3Y2 V"b*ak~v0. F.4.28)
Зависимость р2о от ка и характеристическое уравнение для к0 по-
позволяют однозначно определять к0, Nu20 и р*2о в зависимости от
интенсивности волны и свойств среды. Проиллюстрируем это на

§ 4. СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ 45
примере наиболее интересного случая, когда р20 < 1 (сжатие пу-
пузырьков близко к адиабатическому) и когда справедливы реше-
решения в виде F.4.27).
В случае слабых волн {ре < Чг— б, б » 0,05, но Nu20^>l,
Рго*^1)' подставляя F.4.28) в первую формулу F.4.25), по-
получим
F.4.29)
¦V\ — Ре
Подчеркнем, что эти формулы справедливы лишь при достаточно
большом Ре2>102, когда Nu20>-10, чтобы была приемлемой
формула F.4.28). При очень малых интенсивностях волн ре это
условие нарушается. Тогда в соответствии с A.6.43) вместо
F.4.28) для оценок следует принять Nu20«10.
Аналогично можно исследовать характеристическое уравне-
уравнение F.4.23) для числа ке (Ь = е), определяющего поведение сре-
среды в хвосте волны. Используя только что описанный метод ма-
малого параметра, можно получить выражение для корней этого
уравнения в предельном случае слабого (E2е < 1) теплообмена:
^ = J^L + дA\ к? = fo-1^" + д<2>,
в5>Ъ (V*-l)V% F.4.30)
tf = ± + +
«е^Р, 2(ТяР,-1)Кр. «!
(±, = /37, д<» д<« до = 0(&, и
и в предельном случае сильного теплообмена
Все четыре корня ке имеют положительную действительную
часть, т. е. удовлетворяют условию затухания возмущений за
волной (при х-*-—а»). Таким образом, решение около конечно-
конечного равновесного состояния е есть в общем случае суперпозиция
четырех фундаментальных решений, описывающих монотонное
экспоненциальное приближение к состоянию е (корни А;,1' и &j2))
и затухающие по экспоненте гармонические колебания (сопря-

46 ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
женные корни к{е3) и k[iy). На рис. 6.4.3 проиллюстрирована за-
зависимость действительных частей корней ке от величины р2«-
Следует обратить внимание на немонотонность зависимости от
р2в действительной части комплексных корней ке и kei , опре-
определяющих декремент затухания пульсаций.
Заметим, что при |32 = О рассматриваемые решения согласуют-
согласуются с решениями по схеме с эффективной вязкостью (см. F.3.19)
Рис. 6.4.3. Зависимость действи-
действительных частей корней к^', &^ ,
ке3' , определяющих интенсив-
интенсивность стремления параметров к
конечному состоянию за волной,
от величины fl^P, характеризу-
характеризующей теплообмен газа в пузырь-
ко. Числа на кривых соответству-
О д1т> ют номеру корня
и F.3.26)), если принять к = ^2. Такое же согласие имеется и
при р2 -*- °°, если в схеме с эффективной вязкостью положить
Ниже приведены результаты расчетов (Р. И. Нигматулин,
В. Ш. Шагапов, 1974) на основе рассмотренной двухтемпера-
турной схемы для двух стационарных ударных волн в растворе
1: 1 глицерина с водой, содержащем пузырьки воздуха (тепло-
физические параметры фаз см. в Приложении).
При этом коэффициент трения между фазами К№ задавался
согласно A.5.8), а коэффициент теплообмена задавался фикси-
фиксированным числом Нуссельта Nu2 = 30, что соответствовало оцен-
оценке A.6.18).
Рис. 6.4.4 дает пример ударной волны с пульсационной,
а рис. 6.4.5 — с монотонной структурой. Уменьшение интенсив-
интенсивности волны рв, размера пузырьков а0, объемного содержания
пузырьков а20, увеличение вязкости жидкости ць уменьшение
параметра теплообмена Nu20 или fJ20 на начальном участке волны
усиливают тенденцию к монотонной структуре.
Результаты настоящих расчетов сравнивались с опытными
данными L. Noordzij A971,1973), В. Е. Накорякова и др. A983),
которые получены на вертикальных ударных трубах (см. § 1)'.
В экспериментах определялось изменение давления pi(t) в фик-
фиксированном сечении трубы х0. Если волна стационарная, когда
все параметры, в том числе и давление в жидкости, являются
функциями только одной независимой переменной:
Pt=Pi(t), t = x — Dot,
экспериментальная осциллограмма pt(t) может быть легко пере-

§ 4. СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
47
считана в jd, (х) . В связи с этим рассмотрим подробнее расчетные
кривые Р\(х). Характер этих кривых показан на рис. 6.4.1, б ли-
линией ое. Для сравнения различных вариантов удобней характе-
характеризовать осцилляционную зависимость pi{x) тремя функциями:
рт {х) — осредненное давление в жидкости, AjOj (x) — амплитуда
1,0
0,6
иим/с
1
А/
п л
Г
Л1\(\1
Г7ГГГ
(\M\1\
У и и и
а
0,8
Zff
1
Рис. 6.4.4. Изменение температуры, газа, радиуса пузырьков, давлений и
скоростей фаз в стационарной ударной волне с осциллирующей структурой
(Do — 51 м/с, ре = 3,3) в смеси раствора 1:1 глицерина с водой с воз-
воздушными пузырьками (во = 1,5 мм, а20 = 0,042, р0 = 0,036 МПа)
пульсаций, Le (х) — период, или длина пульсационной волны.
При этом затухание осцилляции носит экспоненциальный харак-
характер Дрх a* A J ехр (— x/de), где de — характерная длина затуха-
затухания пульсаций. В случае монотонной структуры (Др4 = 0) Le и
de не имеют смысла и pi(x) = pm(x). Из F.4.30) я F.4.31) мож-
можно получить выражения для предельных значений Le = 2яЛт Ш
и de==l/Re{fe} за волной (при х -*—°°). В частности, для

48
ГЛ. 6 ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
случая р2е < 1 имеем
2яреае
X,. = —- 1 пе = ^
+ ^Н и.о.. F.4.32)
Значения входящих сюда параметров JZe, Hi определяются фор-
формулами F.4.23), причем й«йо =/р., ^««о- На рис. 6.4.6
и 6 4 7 для рассматриваемых волн представлены графики изме-
изменения величин L(x) и Api(«) при различных значениях пара-
параметров К* и Nu2, определяющих трение и теплообмен между
фазами. При этом для выявления
влияния двухскоростных эффек-
эффектов для величины К„ использова-
использовались два значения: формула
A.5.8) и Я„->-°°, что соответ-
соответствует односкоростной схеме с
совпадающими скоростями фаз
(Vi = V2).
Для выявления влияния тем-
температурных эффектов для пара-
параметра Nu2 использовались зна-
значения Nu2 = 0, 30, 300, 3000, оо.
При этом Nu2—>-оо соответствует
изотермическому поведению газа
1,1
— —
-у
/
Л 95
=1 Vt,M/C
\
57
ч,
-150 -120 -
-40 О х,см
адиабатическому режиму.
Рис. 6.4.5. Изменение температу- Влияние межфазного тепло-
ры газа, радиуса пузырьков, дав- ^ т.
лений и скоростей фаз в стацио- обмена. Результаты расчетов по-
нарной ударной волне с монотоп- казали существенное влияние
ной структурой (Do = 66 м/с, межфазного теплообмена и соот-
ре = 1,32) в растворе глицерина ветствующего параметра Nu2 ига)
зырГами111 LZWZWL^ P.) на структуру ударной волны.
= 0,025, ро = 0,09 МПа) Это видно из сравнения между
собой кривых, соответствующих
различным Nu2, на рис. 6.4.6 и 6.4.7. Для слабой волны
(см. рис. 6.4.5 и 6.4.7 для волны с ре = 1,3 < у2 = 1,4) при до-
достаточно больших значениях Nu2^3l03 получается осцилля-
ционная структура, а при меньших значениях Nu2^102 — моно-
монотонная структура, когда давления, скорости и температуры фаз
почти совпадают между собой. Это объясняется тем, что при
указанных малых ре<Ъ и Nu2 (или j320) получаются малые
значения fco, дающие медленное изменение параметров на на-
начальном участке волны (около состояния о, х -*- +°°), и давления
фаз Pi и pz успевают между собой выравниваться. Достаточно
при расчетах увеличить Nu20 до 103 и более только на начальном
участке волны, где а успевает уменьшиться всего на 3—5%, как
расчетная структура получается иульсационной.

§ 4. СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
49
Решение задачи теплопроводности пульсирующего пузырька
в жидкости и качественный анализ влияния циркуляционного
движения внутри пузырька показали, что именно значения
N и2 ~ 10 — 102 (р2 ~ К) — 1) характерны при р ~ 0,1 МПа
для пузырьков с а ~ 1 мм как в процессе их ускоряющегося
LfiM
2,5

-
—
N
-
Рис. 6.4.6. Изменение длины осцил-
ляционных волн i и их амплитуды
Д/>1 в стационарной ударной волне с
интенсивностью ре = 3,3 (остальные
параметры см. рис. 6.4.4) при раз-
различных значениях коэффициентов
межфазного трения К№ и теплообме-
теплообмена Nu2. Пунктирные кривые без ука-
указателей соответствуют расчету с уче-
учетом нестационарного сферически-
симметричного распределения тем-
температур внутри пузырька (см. § 5)
-75 -50 -25 О х,сИ
Рис. 6.4.7. Изменение длины осцил-
ляционных волн L и их амплитуды
Api в стационарной ударной волне с
интенсивностью ре = 1,32 (осталь-
(остальные параметры см. рис. 6.4.5) при
различных значениях коэффициен-
коэффициентов межфазного трения Яц (обозна-
(обозначения те же, что и на рис. 6.4.6) и
теплообмена Nu
сжатия на переднем фронте волны, так и при затухающих пуль-
пульсациях, когда теплообмен качественно описывается формулами
A.6.18) или A.6.16), а количественно — формулами A.6.45),
A.6.46). При этом поведение газа в пузырьках ближе к адиаба-
адиабатическому, чем к изотермическому.
4 Р. И. Нигмагулин, ч. II

50
ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
Таким образом, достаточно слабая стационарная волна
(Ре<-Тг)> например волна, представленная на рис. 6.4.5, не
должна иметь пульсаций. В нестационарном же режиме для вол-
волны такой интенсивности могут реализоваться пульсации пузырь-
пузырьков, постепенно затухающие при выходе волны на стационарный
режим (см. ниже § 7).
Анализ стационарных волн в пузырьковых смесях, приведен-
приведенный в статье L. Noordzij, L. Wijngaarden A974), выполненный
без учета тепловой диссипации, привел к выводу, что стационар-
стационарные волны с малой интенсивностью ре > 1 + 2а2о должны иметь
осцилляционную структуру. Волны с такой интенсивностью
(в частности, волна, расчетная стационарная структура которой
представлена на рис. 6.4.5), наблюдавшиеся в экспериментах
L. Noordzij A971, 1973), действительно были осцилляционными,
но таковыми они были лишь в силу нестационарности. Из-за не-
недостаточной длины ударной трубы наблюдать стационарные вол-
волны было невозможно. В этих опы-
опытах датчики давления были уста-
установлены на расстоянии 1—1,5 м
от поверхности жидкости, на ко-
которой возникала ударная волна.
В то же время толщины осцилля-
ционных зон релаксации рассмат-
рассматриваемых ударных волн также
примерно равны 1 —1,5 м. Поэто-
Поэтому на этих расстояниях волны
не подчиняются стационарному
анализу, так как они не успева-
успевают выходить на стационарный
режим, когда волна движется не
меняя своей структуры. Это же
замечание относится и к экспери-
экспериментальным данным других авто-
авторов для смесей с размерами пу-
пузырьков а0 ~ 1 мм. Их коррект-
корректный анализ может быть выполнен лишь с привлечением неста-
нестационарной теории, которая рассмотрена ниже в § 6, 7. Чем
больше интенсивность волны, тем более заметно проявляются
осцилляции. Этот факт проиллюстрирован на рис. 6.4.8, где по-
построены структуры волн различной интенсивности при фикси-
фиксированных исходных параметрах смеси, которые брались такими
же, как для рис. 6.4.5.
Следует отметить немонотонную зависимость структуры, в ча-
частности, таких ее параметров, как длина волны L и характерная
длина затухания пульсаций d, от параметра Nu2, определяющего
теплообмен в осцилляционной зоне волны. Это видно из
рис. 6.4.6 и 6.4.7 и, кроме того, следует из немонотонной зави-
^—-^
^
p~e~f>s
X
1,2
-до
SO
-50
О х,см
Рис. 6.4 8. Влияние интенсивности
ре на структуру стационарной
волны в воде с пузырьками воз-
воздуха (по = 1,4 мм, а20 = 0,025,
Ро = 0,09 МПа)

§ 4. СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ 51
симости декремента затухания пульсаций в линейном решении
(см. рис. 1.6.2). В двух предельных случаях адиабатического
(|Ч]и2 = 0) и изотермического (Nu2->oo) поведения газа в пу-
пузырьке, а также для любого политропического поведения газа
с фиксированным показателем политропы % диссипация кинети-
кинетической энергии происходит только из-за вязкости жидкости. При
конечных же Nu2 диссипация происходит и за счет необратимо-
необратимого межфазного теплообмена, когда кинетическая энергия жидко-
жидкости превращается в тепловую энергию газа, которая необратимо
рассеивается в жидкости. При некотором Nu2 эта диссипация
имеет максимум. В результате структура ударной волны и ее
характеристики (такие, как L и d) не лежат между соответству-
соответствующими значениями для адиабатического и изотермического ре-
режимов. Межфазный теплообмен и вариация соответствующего
параметра Nu2 сильно влияют на проявление осцилляции и их
амплитуду и сравнительно слабо влияют на длину осцилляцион-
ных волн L. В экспериментах L. Noordzij A971, 1973) последняя
величина измерялась, как отмечалось несколько выше, для неста-
нестационарных волн. В частности, для волн, расчетные стационарные
структуры которых представлены на рис. 6.4.4 и 6.4.5, измере-
измерения дали соответственно L = 2,6 см и L = 6,4 см, что неплохо
согласуется с результатами настоящих расчетов по стационарной
теории (см. рис. 6.4.6 и 6.4.7) и свидетельствует о малом изме-
изменении длины осцилляционных волн в процессе их стациони-
рования.
Влияние относительного движения фаз. Относительное про-
продольное движение (скольжение) фаз (двухскоростные эффекты)
имеет значение только тогда, когда не учитывается тепловая
диссипация, т. е. предполагается политропичность газа, напри-
например изотермичность или адиабатичность. Это видно из сравнения
штриховых (Кц-*¦<*>) и сплошных (Кц = К^ (Re12) по форму-
формуле A.5.8)) кривых на рис. 6.4.6 и 6.4.7, рассчитанных для слу-
случаев Nu2 = 0 и Nu2->-oo. При учете реальной тепловой нерав-
неравновесности A0 < Nu2<Cl03) роль двухскоростных эффектов
становится незаметной на фоне гораздо более сильной тепловой
диссипации, и вариация параметра К^ от 0 до °° практически не
влияет на структуру волны и, в частности, на амплитуду осцил-
осцилляции Api и длину осцилляционных волн L. Отметим, что в вол-
волне с осцилляционной структурой поступательное относительное
движение фаз в основном определяется инерционными эффекта-
эффектами, так как межфазные силы здесь за счет присоединенных масс
много больше сил из-за вязкости (fm > /w). Действие силы тре-
трения /ц приводит к выравниванию скоростей фаз и дополнитель-
дополнительной диссипации, малозаметной на фоне тепловой диссипации,
и сказывается постепенно после многих пульсаций. Поэтому ва-
вариация /„ за счет изменения Х„ практически не влияет на пове-
поведение волны.
4»

52 ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
Следует учитывать, что в соответствии с F.4.32) при увели-
увеличении интенсивности волны ре длина осцилляционных волн L
уменьшается и может стать по порядку равной или меньшей рас-
расстояний между пузырьками. Это может привести к нарушению
одного из главных допущений (допущения 2 во Введении), т. е.
для анализа более сильных волн может потребоваться совершен-
совершенствование модели с учетом несферичности пузырьков и, как
крайнего проявления этой несферичности,— их дробления.
Влияние продольного обтекания пузырька на теплообмен.
Обтекание пузырька жидкостью со скоростью wiZ — vt — v2, при-
приводящее к циркуляционному движению внутри пузырька, нару-
нарушает сферическую симметрию распределения температур в нем
и за счет циркуляции интенсифицирует межфазный теплообмен.
Этот эффект характеризуется числом Пекле Ре2" = 2awl2/v2 ,
которое для волны, представленной на рис. 6.4.4, не превышает
102, а для волны, представленной на рис. 6.4.5, не превышает 10.
Оценки, основанные на формулах, приведенных в § 3 гл. 2, сви-
свидетельствуют о том, что за счет обтекания параметр теплообмена
Nu2 повышается на величину порядка (Ре2 v • Такое повыше-
повышение Nu2 не может существенно повлиять на результаты рас-
расчета, ибо в рассмотренных выше вариантах характерные значе-
значения Nu2 равнялись примерно 30. О не очень сильном влиянии
поступательного движения пузырька относительно жидкости и
малом нарушении сферической симметрии распределения темпе-
температур в пузырьке свидетельствует также тот факт, что смещение
пузырька относительно жидкости за один период пульсаций, ко-
которое нетрудно определить по рассчитанным эпюрам у4 и v2
в волне (см. рис. 6.4.4), существенно меньше радиуса пузырька.
Кроме того, в не очень очищенных жидкостях всегда имеются
поверхностно-активные вещества, которые, собираясь на поверх-
поверхности пузырьков, затрудняют развитие циркуляции в них. Тем
не менее следует иметь в виду, что в более сильных волнах
межфазный теплообмен может быть более интенсивным, чем это
дает сферически-симметричная схема пузырька, за счет увели-
увеличения межфазной поверхности из-за несферичности пузырьков,
развития циркуляционного движения в них и дробления.
Влияние полидисперсности. Во всех обсуждавшихся экспери-
экспериментах радиус пузырьков определялся с точностью ±A0—20)%
и, кроме того, в смесях всегда имелся некоторый набор фракций.
В связи с этим представляет интерес выявить влияние полидис-
полидисперсности на распространение волн и их структуру. Соответству-
Соответствующее исследование выполнено В. Ш. Шагаловым A976) в рам-
рамках модели с конечным числом фракций A.8.6). В частности,
были рассчитаны структуры стационарных ударных волн с теми
же параметрами, что представлены на рис. 6.4.4 и 6.4.5, но в сме-
смесях с тремя фракциями пузырьков, когда газовая фаза в исход-
исходном равновесном состоянии разделялась на три одинаковые по

§ 5. НЕСТАЦИОНАРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУР 53
массе и объему фракции с заметно различающимися радиусами
пузырьков
ОСго = «зо = а4о = */3аво,
Л Л Г Л (ЬЛ.ОО)
а20 = 1 мм, а30 = 1,5 мм, а40 = 2 мм,
где ag0 — объемная концентрация всех пузырьков (газа). При
этом общее газосодержание ag0 и средне-массовый по всем фрак-
фракциям радиус пузырьков а„ сохранились теми же, что и в уже
описанных вариантах расчетов для монодисперсной смеси.
Расчеты выявили более причудливые осцилляции давления
газа в различных фракциях. При этом пузырьки «мелкой» фрак-
фракции (г = 2) «лучше следят» за давлением в жидкости, а крупной
(i = 4)—«раскачиваются» значительно сильнее, чем пузырьки
средней фракции (г = 3) или пузырьки в соответствующей моно-
монодисперсной смеси. Если же сравнить эпюры давления смеси или
жидкости {р ~ j>i) в волне (а именно р и измеряется в опытах),
то в плане сравнения с экспериментом полидиоперсность типа
F.4.33), когда размеры пузырьков разных фракций различаются
примерно в 2—3 раза, слабо влияет на эту эпюру. Это означает,
что волны в таких полидисперсных смесях можно описывать в
рамках модели монодисперсной среды.
§ 5. Учет нестационарного распределения температур
в пузырьках для анализа стационарных ударных волн
Для более последовательного учета эффектов нестационарно-
нестационарного теплообмена внутри деформирующегося газового пузырька в
ударной волне и проверки двухтемпературной модели рассмот-
рассмотрим модель теплообмена в пузырьковой смеси, использующую
сферически-симметричное распределение температуры Т2 и плот-
плотности р2 газа внутри пузырьков (см. § 6 гл. 1). Применительно
к стационарной волне Т2 и р2 зависят от продольной коорди-
координаты х, определяющей положение центра пузырька. Условие
стационарности соответствует тому, что в фиксированной точке
(х, г) все параметры, в том числе и микропараметры Т2 и р2',
от времени не зависят, но для каждого пузырька процесс являет-
является нестационарным.
Аналогично § 5 гл. 2 распределение Т2 и р2', внутри проб-
пробного пузырька будем описывать с помощью лагранжевой коорди-
координаты |, определяющей расстояние микрочастицы газа до центра
пузырька в невозмущенном равновесном состоянии о, когда тем-
Г Of
пература J2 и плотность р2 газа были однородными и равня-
равнялись соответственно Та и Ряо- Уравнения теплопроводности и со-
сохранения массы A.6.6) для сферически-симметричных процессов
внутри пробного пузырька приводятся к виду B.5.1) с той лишь

54 ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
разницей, что вместо
Ta{t,%), PS (*»?), r(t,l), p2(t), (d№h F.5.1)
следует иметь в виду соответственно
Т'г (*, \)% рГ (х, 1), г {х, I), р2 (х), v2 {д/дх). F.5.1а)
Здесь г (ж, %) определяет эйлерову радиальную координату,
или положение той микрочастицы газа (в пузырьке с центром,
имеющем координату х), которая в невозмущенном состоянии о
находилась на расстоянии | от центра пробного пузырька. В не-
невозмущенном состоянии о имеем г = |.
Далее вместе с безразмерными переменными F.3.6), F.4.5)
будем использовать дополнительные безразмерные переменные
2
°
Р20
Запишем полную систему уравнений в частных производных,
описывающую одномерное стационарное движение смеси жидко-
жидкости с газовыми пузырьками (фазовые переходы отсутствуют),
когда можно пренебречь двухскоростными эффектами (у4 = vz =
= v), сжимаемостью ж вязкостью жидкости (рх = const, ju^ = О),
поверхностным натяжением (S = 0) и массовым содержанием
газа по сравнению с массовым содержанием жидкости (p3<pi)«
В результате вместо систем уравнений F.3.2) или F.4.1) имеем
более сложную систему, в которой уравнения для г к Т2 явля-
являются уравнениями в частных производных
- da — — dw — — Зш2
v-r=- = w, av-T- = p2 — p1 —,
dx dx *
-dp2 - i (- о -,*-(дт'Л 7 3vv
v —^ = Я — bp \Q — oy2A2a —— I , 6p = —==-=¦
dx
;t-H(SF*) + :V-№ F-5.3)
1 + vl(i - a-

§ 5. НЕСТАЦИОНАРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУР 55
Граничные условия в центре и на стенке пузырьков имеют
вид
I = 0: dT'Jdl = 0, г = 0; \ = 1: Т'г = 1. F.5.4)
Последнее условие означает постоянство температуры на
межфазной границе газа с жидкостью (см. обсуждение A.6.15)).
Для задачи о структуре стационарной ударной волны имеем
условия равновесия перед и за волной F.4.12), к которым сле-
следует добавить
х-+оо: Т'г = 1, r = l; ~x-*-—oo:Ta=l, r = «,!• F.5.5)
Решение этой задачи в представленном безразмерном виде
определяется показателем адиабаты газа ^2, безразмерной тепло-
теплопроводностью ^2? начальным _объемным содержанием газа а20
и интенсивностью волны ре — D\ (см. F.4.15)).
Для исследования асимптотического поведения решения по-
полученной системы уравнений в окрестности начального состоя-
состояния о последняя линеаризуется относительно значений парамет-
параметров в точке о, а решение ищется в виде затухающей при х -*¦ °°
экспоненты типа F.3.15). При этом вместо функции одной пере-
переменной Tz(x) здесь ищется функция двух переменных Т2 (х, |).
Для этой функции и функции г(х, |) экспоненциальная асимп-
асимптотика имеет вид
% = 1 + 4Т) A) ехр ко(х-~хь), 7 = I + А(г) (I) ехр к0 (х - ~хь).
F.5.6)
После линеаризации получим алгебраические линейные уравне-
уравнения относительно Aw, A(v\ A{v\ 4P\ 4P)
ъ /1=1
а также линейное дифференциальное уравнение для 4° (I) с гра-
граничными условиями на стенке и в центре пробного пузырька
— \ъ j +
F-5-8)
=
0.

56 ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
Решение этого уравнения имеет вид
Входящая в уравнения F.5.7) производная равна
F.5.10)
В результате условие существования ненулевых решений ли-
линейной однородной системы алгебраических уравнений F.5.7)
для А^а , ..., А? сводится к трансцендентному характеристи-
характеристическому уравнению относительно Н = k0v0/K2 = К0/Х2
Ф(Я) sН + 32?зЯ + 3 (Ya - 1) [Я1/2cthH^ - 1] = 0. F.5.11)
Я2Я — Зре
Для решения типа F.5.8) подходят лишь корни Я с положи-
положительной действительной частью (Re (Ю > 0, Re{&0}<0). Вводя
комплексную плоскость Н = Re {Я} + ? Im {'Я), покажем сущест-
существование и единственность корня уравнения F.5.11) в правой по-
полуплоскости в случае волн сжатия (ре>1) и то, что этот ко-
корень является действительным, а следовательно, положительным
числом.
Функция ф (Н) — мероморфная, для которой согласно принци-
принципу аргумента (см. М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат, 1973) разни-
разница между числом нулей (корней) N и числом полюсов Р в обла-
области, ограниченной замкнутой кривой С, определяется прираще-
приращением ее аргумента при обходе области вдоль ее границы С про-
против часовой стрелки:
)= Ас/Bя).
В качестве С возьмем контур, состоящий из двух полуокружно-
полуокружностей и двух отрезков на мнимой оси и показанный на рис. 6.5.1, а.
Вычислим указанное приращение аргумента, которое равно
Дс =
На полуокружности NML при R ->- °°
)). F.5.12)
На полуокружности SQW при в -»¦ 0
?Zl ). F.5.13)
( ))
Ре
Можно также показать, что оператор ф и сопряжение, обозна-

§ 5. НЕСТАЦИОНАРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУР
57
чаемое звездочкой вверху, коммутативны, т. е.
(Я* - Re {Я> - t Im {Я}, <р* = Re V - i Im {<p}). F.5.14)
Отсюда ALB = Awn, и с учетом оценок, полученных выше, имеем
Ao = 2ALs (Д-*¦<», е->-0). F.5.15)
Вводя для отрезка LS параметр у: Я = и/2/2, можно показать,
что при у Ф 0 имеет место
r^L = _ 2 + y!h.y + ln/.>0. F.5.16)
Таким образом, L'S' =<p(L5) и W'N' = y{WN) лежат в правой
полуплоскости (см. рис. 6.5.1). При этом согласно F.5.13) и
Рис. 6.5.1. Схема контуров для определения приращения аргумента в урав-
уравнении F.5.11)
F.5.16) при ре > 1 точка S' = <p{S) лежит в верхней правой
(первой) четверти (см. рис. 6.5.1, б), а при ре < 1 точка S' ле-
лежит в нижней правой (четвертой) четверти (см. рис. 6.5.1, в).
Тогда в пределе R -*¦ °°, 8 -*¦ 0 имеем
ре > 1: AL8 = 0; ре< 1: ALs = —п.
В результате, учитывая, что ф (Я) в правой полуплоскости
(внутри контура С) имеет один полюс (Н = У ЗреА*)> т. е.Р = 1,
получим
Для волн разрежения (ре < 1) имеем N = 0, и искомый корень
отсутствует, что свидетельствует о невозможности стационарных

58
ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
волн разрежения. Для волн сжатия {ре > 1) имеем N — 1, и ис-
искомый корень существует и он единственный, причем этот ко-
корень является действительным, так как в силу F.5.12) если И —
корень, то сопряженное ему число Н* — также корень. В силу
его единственности Н = Н*, т. е. этот корень есть действитель-
действительное положительное число.
Для предельных политропических режимов поведения газа —
адиабатического (^2 = 0, х = у2) и изотермического (^* -*¦ °°г
к = l) — характеристическое уравнение F.5.11) переходит в
квадратное уравнение F.3.18) при ^ = 0.
На рис. 6.5.2 приведена полученная численно зависимость
характеристического корня Ко = kovo — "К^Н, определяющего
крутизну фронта волны, от Х2 и ре для f2 = 1,4.
Определив й0, аналогично описанному выше можно выйти из
особой точки — точки о, т. е. задать граничные условия в х = хь
3,0 Ло
Рис. 6.5.2. Зависимость корня характеристического уравнения F.5.13), опре-
определяющего крутизну фронта стационарной ударной волны, от безразмерного
коэффициента теплопроводности газа Х2 и скорости волны DQ = V ре в пу-
пузырьковой газожидкостной смеси с показателем адиабаты газа "f2 = 1,4. Чис-
Числа на кривых указывают значения Я2
и далее в области х < хь интегрировать систему уравнений чис-
численно. При численном решении внутренность пробного пузырька
§ = [0, 1] разбивается на т слоев (сферических) |lf %2, ..., %т,
а все функции, зависящие от |, определяются их значениями в
этих точках, например Т'г(х,\$), / = 1, 2, ..., тп. Далее произ-

§ 5. НЕСТАЦИОНАРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУР
59
водные по | представляются в виде конечных разностей. Тогда
уравнение с частными производными для Т'2 разбивается на m
обыкновенных дифференциальных по х уравнений, а уравнение
неразрывности для г — на систему тп алгебраических уравнений.
В результате получим задачу Коши для m + 3 обыкновенных
дифференциальных уравнений с граничными условиями при
х = хъ- Эта задача решается численно одним из методов инте-
интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений, например методом Рунге — Кутта. Число m сферических
слоев должно быть достаточным, чтобы его увеличение практи-
практически не влияло на результаты.
На рис. 6.4.6 пунктиром показаны изменения амплитуды
осцилляции и их длины вдоль структуры осцилляционной удар-
ударной волны вместе с уже обсуждавшимися кривыми, полученны-
полученными по двухтемпературной схеме. На рис. 6.5.3 приведена струк-
структура волны, расчет которой по двухтемпературной схеме приве-
приведен на рис. 6.4.5. На рис. 6.5.3 приведены также изменения
а
7,02 r-
7,0i\—j^
7
NU?
40
20
-750 ~72O ~^80 ^40
J),95
0,9

p7 *pz
Na2
s
I
1,2
r
11
90
150

^<
"^—
У
1,04
7,03
7,OZ
7,07
Ох.см О 0.2 0.4 0,6
Рис. 6.5.3. Изменение давления фаз, числа Nu2 и температуры внутри пу-
пузырьков в ударной волне в растворе глицерина с водой A:1) с пузырь-
пузырьками воздуха с теми же параметрами, что и на рис. 6.4.5 (а0 = 1 4 мм
а20 = 0,025, ?о = 0,09 МПа, ре = 1,32)
в волне эффективного числа Нуссельта и средне-массовой темпе-
температуры газа в пузырьках
Nu2 =
В случае ударной волны с осцилляционной структурой (см.
рис. 6.5.3) мгновенное число Нуссельта также колеблется, при-
принимая в некоторые промежутки времени из-за возникновения
«температурных ям» в пузырьке (см. § 5 гл. 2) даже отрица-

60 ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
тельные значения. Однако осредненные за период значения Nu2
хорошо описываются формулами, приведенными в § 6 гл. 1.
Изменение давления в волне, рассчитанное по более простой
двухтемпературной схеме, удовлетворительно согласуется с толь-
только что приведенными кривыми, рассчитанными по более точной
модели. В частности, согласуются амплитуда колебаний давле-
давления, частота, декремент их затухания и толщина волны.
Как уже указывалось, крутизна фронта на начальном участ-
участке в окрестности исходного состояния о существенно влияет на
структуру волны. Поэтому имеет смысл использовать характери-
характеристическое уравнение F.5.11) вместо F.4.23) для определения к0
и Nu20 в рамках двухтемпературной схемы. Хотя в остальной
части волны1Чи2 отличается от Nu20 (см. рис. 6.5.3), однако, как
показали расчеты, неучет этого обстоятельства не приводит к су-
существенным ошибкам, что позволяет существенно упростить
расчеты.
§ 6. Уравнения Буссинеска и Бюргерса — Кортевега —
де Вриза для исследования слабых нелинейных возмущений
в жидкости с пузырьками
Для пузырьковых жидкостей актуальной является теория не-
нестационарных (в отличие от § 3—5) волн, для понимания зако-
законов их эволюции по мере распространения. Нестационарность
этих волн может быть связана как с нестационарностью гранич-
граничных условий в месте их инициирования и возникновением волн
разрежения, так и со сравнительно большими расстояниями, на
которых волны даже при стационарных граничных условиях ме-
меняют свою структуру, стремясь к стационарной структуре, иссле-
исследованной в § 3—5.
В данном параграфе применительно к исследованию достаточ-
достаточно слабых одномерных волн в предварительно равновесной не-
невозмущенной смеси несжимаемой жидкости с «политропически-
«политропическими» пузырьками представлен некоторый теоретический метод
нелинейной волновой динамики, широко используемый для ана-
анализа как стационарных, так и нестационарных плоских одномер-
одномерных волн в различных средах (гравитационные волны на поверх-
поверхности воды, волны в вязком сжимаемом газе, волны в плазме,
находящейся в магнитном поле, электромагнитные волны в про-
проводящих средах и диэлектриках и др.). Этот метод основан на
сведении анализа процесса к решению уравнений Буссинеска
и Бюргерса — Кортевега — де Вриза (БКдВ), которые к настоя-
настоящему времени подробно исследованы.
Характерная величина относительного возмущения давления
будет определяться числом б, квадрат которого полагается
малым:
е~^-=А 82<1. F.6.1)

§ 6 СЛАБЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ 61
Для стационарных ударных волн в качестве е можно принять
е = ре — 1. Объемное содержание пузырьков будем считать так-
также малым, так что а2 ^ е.
Как и ранее, индексом 0 внизу будем обозначать параметры
(у0, ро, Ро, а0, По, а2о) в невозмущенном состоянии. Далее под х, t
подразумевается система координат, связанная с однородной не-
невозмущенной средой, поэтому у0 = 0, и возмущение скорости
Av = v.
Неголономное уравнение состояния пузырьковой жидкости.
Коэффициенты дисперсии и диссипации. В данном параграфе
будут использованы та же схематизация пузырьковой жидкости
(но только для нестационарных течений) и те же самые упроще-
упрощения, что и в § 3. Уравнения, соответствующие этой схематиза-
схематизации, имеют вид A.5.16). Помимо главных упрощений, связанных
с отсутствием относительного движения фаз, с несжимаемостью
жидкости и политропичностью газа, как и в § 3, будем пренеб-
пренебрегать капиллярными эффектами и эффектами внешних массо-
массовых сил (малые 2* и g; подробнее см. ниже F.7.18) и F.7.17)).
При этом учет фазовых переходов (пока они не приводят к ис-
исчезновению пузырьков), капиллярных эффектов и стесненности
пузырьков с помощью коэффициентов фA) и ф<2), не представляет
принципиальных затруднений, в том числе и для обсуждаемого
ниже метода.
Выразим величины, входящие в уравнение Рэлея — Ламбат
через плотность смеси и ее производные. Из уравнений, входя-
входящих в систему A.6.16), имеем
— = ^- (T-? = __j, F.6.2)
откуда нетрудно получить, если использовать уравнение поли-
тропии для газа,
Продифференцировав по t первую формулу F.6.2) и выразив
dn/dt через dp/dt, получим
Еще раз дифференцируя по t, выражая da/dt, n, dn/dt через р
и dp/dt с помощью F.6.2) и F.6.4), получим
d2a dw a d2 2a [d
Ы1' F-6-5>
d2a dw
Подставляя последние уравнения в уравнение Рэлея — Ламба

€2 ГЛ. й. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
A.6.47) с учетом формул A.6.50), A.6.51) для цэф, получим
р — р.
о
_P_Y - \ 1 4- др ^Р
Р / 3аР^ Л2
Рп / I 3a2P^n dt2 3a2p/>0 Л
F.6.6)
. - Р ) \ ^о
\2
Полученное уравнение для давления имеет вид
р = р(р, р, р) (р = dp/dt, р = dtyd**) F-6.7)
и может рассматриваться как неголономное уравнение состояния
среды, в которой давление зависит не только от плотности сре-
среды, но и от первой (из-за радиального движения и вязкости
жидкости) и второй (из-за радиальной инерции жидкости) произ-
производных плотности по времени. Последнее обстоятельство отме-
отмечалось в работе Б. С. Когарко A961). Зависимость р от р отра-
отражает локальную деформационную инерцию на сжатие и растя-
растяжение, характерную для пузырьковых сред. Благодаря такой
инерции элементарный объем среды может по инерции продол-
продолжать сжиматься (р > 0) некоторое время после снятия сжимаю-
сжимающего давления, или, точнее, сжатие может продолжаться,
хотя р < р2-
Если отказаться от упрощения из-за политропичности газа, то
вместо второго уравнения F.6.3) и уравнения типа F.6.7)
имеем
Т
Р = Р (Р, Р. Р,
о
и аналогично для Т2 необходимо привлекать дифференциальное
уравнение притока тепла, что дает дополнительную неголоном-
ность из-за повышения порядка уравнений. В этом случае него-
лономные уравнения состояния пузырьковой среды с учетом ло-
локальной деформационной инерции и неравновесного межфазного
теплообмена, как это следует из F.6.6) и A.6.29), могут быть
представлены в виде
тр = р - р2- kwp - кт (рJ,
F-6-8)
где коэффициенты то, kw, km, Nw, Nm и а/аа зависят от пере-
переменной плотности р и исходных параметров смеси (Pi, а20, а0,
ц1? К2, То, Nu2) и в случае а2 < 1 выражаются следующими

§ 6. СЛАБЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ 63
формулами:
„з
7,A) _ 4^ф 7,B) _ 2a0
к —ТУГ-, к — ¦о»
а2,
В случае политропического поведения газа дифференциальное
уравнение для р2 сводится к алгебраическому:
Из F.6.6) или F.6.8) видно, что для достаточно медленных про-
процессов (тр, k(i)p, кB) (рJ < р) получается квазистатичеокое при-
приближение в виде р = рг, которое вместе с приближением поли-
тропичности газа приводит к баротропному уравнению со-
состояния в виде р = р(р).
Из анализа экспериментов, уравнений и вышеприведенных
на их основе решений (§ 2—5) видно, что достаточно слабые
волны распространяются со скоростью, чуть большей равновес-
равновесной скорости звука Се, а значения измеренных длин осцилляци-
онных волн неплохо описываются формулами F.3.28) или
F.4.32), полученными для стационарных волн:
L ^
Поэтому в качестве характерной длины и характерного времени,
на которых меняются характеристики среды, можно принять
L*, и т4:
-h—V\
F.6.9}
где \рй — характерное возмущение давления.
Тогда, вводя безразмерные величины
g 1Q
Р* = (Р — Ро)/?о> Р* = (Р — Ро)ДазоРо) = («го—аг)/аго.
из A.5.16) получим уравнения массы, импульса и состояния

64 ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
пузырьковой смеси в безразмерном виде:
((МШ)
=JP# + 2^—^j|*. Kx^ +
1+а p
1 _ Рд>
Здесь введены безразмерные коэффициенты дисперсии Р* и дис-
диссипации ц,^:
Из F.6.9) и выражений для р* и /52<t в F.6.11) следует
pt~Pt~e. F.6.13)
Величины р#, р^., г;^. изменяются на расстояниях Аж ~ ^* (Д^* ~
/^ 1) и за время Дг ~ %% (А^. ~ 1). Поэтому справедливы следую-
следующие оценки для производных:
dp* dp* dp* dv* dv* /а с л/\
Тогда из уравнения импульса (второго уравнения F.6.11)) сле-
следует оценка для возмущения скорости
и^ ~ г. F.6.15)
Таким образом, в пузырьковой смеси с малой объемной концент-
концентрацией газа а2 при малых возмущениях давления р* ~ г безраз-
безразмерные возмущения плотности р* и скорости у# имеют тот же
порядок малости, равный е.
Далее для слагаемых, входящих в безразмерное уравнение
сохранения массы среды (первое уравнение F.6.11)), в соответ-
соответствии с F.6.14) имеем оценки
! | ! 0(а208*). F.6.16)
Величины, определяющие изменение плотности среды во време-
времени и входящие в уравнение состояния среды (третье уравнение
F.6.11)), по порядку равны
^*_8) ^?*~е. F.6.17)
л» ' dtl * '

§ 6. СЛАБЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ 65
Коэффициент дисперсии б*, входящий в уравнение состояния,
есть малая величина порядка е. Действительно, учитывая F.6.9),
имеем
h ~ <&/(L.aJ ~ 8. F.6.18)
Коэффициент диссипации \1% согласно F.6.12), A.6,50) и
A.6.51) при малых радиальных пульсациях пузырей с частотами,
близкими к собственным, определяется формулой
) 2 е1/а. F.6.1
Как показывают оценки, для практически всех интересных слу-
случаев, где сказывается радиальная инерция жидкости, можно по-
полагать
и*<е. F.6.20)
Представим зависимость р2* (р*) в виде двух членов ряда
Тейлора по степеням р^:
р2* = Со A + Ц1 Р*) Р* + О (е») (С* = х). F.6.21)
Уравнения акустики идеальной линейной малосжнмаемой сре-
среды. Простые волны. С точностью до членов порядка е уравнение
состояния смеси может быть представлено в виде линейной за-
зависимости р% = Сор#, система F.6.11) упрощается и сводится
к уравнениям акустики идеальной линейно сжимаемой среды
Ф* I ди* „ /1 /„2\ ^ Г) dv* I ~рЪ 5Р* Г) /р2\ ъ П
9** ^ ai s^
9*
F.6.22)
Эти уравнения после дифференцирования по t% и ж^ преобразу-
преобразуются в линейные волновые уравнения
^-C^ = O(e^0 (м# = (р*. у*, Р*)). F.6.23)
Общее решение этих уравнений, если отбросить величины О(е2),
имеет вид
Р* — ^р(^* — ^о**) + Qp (х* ^г Cot^.),
- - ч F.6.24)
у* = Pv (ж* - ?„**) + & (*• + С„О.
Для волн, распространяющихся только в одном направлении (на-
(например, вдоль положительного направления оси х) по невозму-
гценпой среде, следует принять Qo = Qv = 0. Тогда
p*=PP(S), i;* = P.(?), 1 = а:,-С0«*, F.6.25)
5 Р. и Нигматулин, ч. II

66 ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
что соответствует распространению волн с постоянной скоростью
без изменения формы, определяемой функциями Ро и Pv. Под-
Подставляя эти решения в F.6.22), получим связь между возмуще-
возмущениями плотности и скорости:
— Со -? + -^ = 0 пли Pv = СОРР + const.
Учитывая, что при \ > 0 имеем невозмущенное состояние (р* =
= Рр = 0, v% = Pv = 0), получим для линейного решения
v* = С0Р* = Р*/Со- F.6.26)
Волны, в которых реализуется однозначная связь между v
и р или v и р, называются простыми.
Таким образом, решение системы уравнений A.5.16) или
F.6.11), соответствующей пузырьковой смеси несжимаемой жид-
жидкости с политропическим газом, с точностью до членов порядка е
для волны, распространяющейся по невозмущенной среде вдоль
оси х, дает простую волну, движущуюся с постоянной скоростью,
= Pv (I) + 6„, р* = VxfC0 + бр, р# = Cov^ + Ьр,
6
Дифференцируя v^ вдоль характеристики \ = const, получим
уравнение для простой волны вдоль оси х, которое будет исполь-
использовано в дальнейшем:
Приближение Буссинеска для слабо нелинейных волн. Из
уравнений F.6.11) с учетом F.6.22) следуют выражения для
величин, определяющих изменение плотности
О (аЛ
/g q 29)
d2p* д 1диЛ д (ЗиЛ
Учитывая F.6.21) и другие оценки для величин, входящих
в систему уравнений F.6.11), запишем ее в квадратичном по е
приближении, т. е. оставляя слагаемые порядка е и е2 и отбра-
отбрасывая слагаемые порядка е3 и а2с?2, получим так называемое

§ 6. СЛАБЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ 67
приближение Буссинеска применительно к пузырьковой среде:
л* "• я-v V 20 / **** у pit ^^ г\т V * ' \ * 1 /
Р* - Clp* =
2~С^
Второе уравнение может быть переписано в виде
F.6.30а)
dv* l Г2 др* — 9T2R д Р* J- 9Г II д v*
Слагаемые в левых частях уравнений F.6.30) и F.6.30а)
имеют порядок е. Зависимость скорости звука С от р* или р*
учитывает нелинейную сжимаемость (физическую нелинейность),
которая дает вклад во втором уравнении порядка е2. При пред-
представлении С через р% здесь учтено последнее выражение F.6.22).
Слагаемые в правой части уравнения состояния (третье уравне-
уравнение F.6.30)) имеют порядок е2. Они учитывают нелинейность
сжимаемости пузырьков (первое слагаемое), радиальную инер-
инерцию жидкости около пузырьков (второе слагаемое) и диссипа-
диссипацию из-за вязкости и других эффектов (третье слагаемое).
Продифференцировав первое и второе уравнения F.6.30) со-
соответственно по t^ и х%, получим линейное уравнение
—— = —*? + ^(ё , сс9Г)е"Ч. (b.o.ol)
К д<
Продифференцируем два раза по i* уравнение состояния
F.6.30):
at" dt* ? df
г
Преобразуем это уравнение к уравнению относительно р*. Со-
Согласно F.6.22), F.6.23) и F.6.29), F.6.31) имеем
fef+p.%+»(••)] -|[(Й+чр. Щ+° и

68 ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
В результате получим обобщение на пузырьковые жидкости
известного в волновой динамике нелинейного уравнения Бусси-
неска (ср. с F.2.16))
* * L * -I *
F.6.32)
Рассмотрим стационарные решения этого уравнения типа бе-
бегущей _волны, полагая р% = р% (?), \ = х* — IV* (где отличие
Do от Со мало и имеет порядок е), когда перед волной (|->оо,
Рх = 0) и за волной (| -»- —°°) имеются однородные равновесные
состояния [dpjdb, = d2p#/^l2 = dPpJdt? = 0). Тогда после не-
несложных преобразований и двукратного интегрирования уравне-
уравнение Буссинеска принимает следующий вид:
Это уравнение при и.„ > 0 имеет решение типа стационарной
ударной волны сжатия, давление ре = 1 + р*е за которой опреде-
определяется формулой F.3.10) (что соответствует слабым волнам, ког-
когда ре — 1 < 1). Указанное решение рассмотрено ниже в связи с
исследованием уравнения БКдВ (см. F.6.71)).
Когда отсутствует диссипация (щ = 0), после интегрирования
имеем
= Р\ [(Dl - Cl) - Ц±Р J. F.6.34)
Это уравнение имеет решение типа уединенной стационарной
волны (солитона), рассмотренное ниже в связи с уравнением
Кортевега — де Вриза.
Нелинейные простые волны без дисперсии и диссипации. Сла-
Слагаемые в правой части F.6.30а). связанные с дисперсией (Р*) и
диссипацией (щ), имеют более высокий порядок малости по
сравнению со слагаемыми в левой части. Поэтому укажем снача-
сначала общее решение нелинейной системы для C^ = ,и*= 0,а именно
Таким образом, для пузырьковой жидкости с малым объемным
содержанием пузырьков нелинейность уравнений связана только
с переменностью скорости звука (физическая нелинейность из-за
нелинейной сжимаемости среды). Конвективная нелинейность

§ 6. СЛАБЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ 69
из-за малости возмущений скорости (и = a.2v* ~ агое) здесь не-
несущественна. Система уравнений F.6.35) имеет два семейства
характеристик:
4\ ^?* — г ** — _ —¦
1} dt*~b> dvm~ с'
Для случая распространения волн в одну сторону, например
вдоль положительного направления оси х, когда при х ->- °° имеем
невозмущенное состояние {v% = р% = р# = 0), все характеристики
второго семейства (идущие в плоскости xt в противоположном
направлении оси х) в плоскости p*v% проходят через точку
^* = Р* = 0 и поэтому сливаются в одну так называемую линию
Римана
и*
* J f
Здесь выражение для С через р# записано с учетом F.6.30а),
F.6.27). После элементарных выкладок в рамках принятой точ-
точности получаем решение Римана, дающее однозначную связь
Каждая характеристика первого семейства в плоскости pv вы-
вырождается в одну точку на характеристики второго семейства,
или линии Римана, т. е. на каждой из них сохраняются постоян-
постоянными р^., v#, С. На плоскости xt характеристики первого семей-
семейства — прямые линии.
Таким образом, решение системы F.6.30) для волны, распро-
распространяющейся вдоль оси х по невозмущепной, физически нели-
нелинейной, но недисперсионной и недиссипативной среде, реализует
однозначную связь р(^), определяемую уравнением F.6.36), т. е.
соответствует простой волне.
Квазипростые волны с дисперсией и диссипацией. Решение
системы уравнений F.6.30) будем искать в виде так называемой
квазипростой волны, распространяющейся в одном направлении
(l)
и являющейся суперпозицией простои волны р% и дополнитель-
B)
ного возмущения р* из-за дисперсии и диссипации:
р* = р«)Ы + рB)(«*. *•)• F-6-37)

70 гл- 6- ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
Здесь р^ (v%) — решение Римана для простой волны F.6.36):
,A) ^*
pl." = =Mi-
<9(е3), F.6.38)
следующее из дифференциального уравнения
^ = 1. F.6.39)
Учитывая, что эффекты дисперсии и диссипации определяют-
определяются слагаемыми порядка е2, логично предположить, что возмуще-
B)
ние р* , отличающее искомую волну от простои, имеет тот же
порядок малости:
рЮ = О (г2), р™ = О (в), F.6.40)
и главная часть возмущения определяется решением простой
волны.
Так как разбиение F.6.37) величины р# на два слагаемых и
выделение главной части р* возможно бесконечным множеством
способов, предположим, что возможно такое представление
F.6.37), когда дополнительное возмущение р^ {х, ?), имеющее
более высокий порядок малости, чем р(*\ распространяется без
изменения своего профиля со скоростью Со:
т- е- Р*2 удовлетворяет линейному уравнению
до^ дрB)
Таким образом, задачу нахождения р* (ж#, ?#) и v* (x%, t^),
удовлетворяющих системе уравнений F.6.30), выделяя главную
часть возмущения в виде простой волны, мы хотим свести к на-
нахождению и* (х%, ?*) и р(„2> (х#) t%), где р(^2) удовлетворяет усло-
условиям F.6.40) и F.6.41). Далее будет показано, что такое пред-
представление решения системы F.6.30) возможно.
Подставим F.6.37) с учетом F.6.39) в уравнения F.6.30).
Тогда, пренебрегая величинами ~е3, получим
F.6.42)
Складывая эти два уравнения и принимая во внимание условие
F.6.41), получим в рамках принятой точности уравнение для

§ 6. СЛАБЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ ^\
скорости
Sf + ^g - "Д %? + РЛ ^ = 0. F.6.43)
Вычитая второе уравнение F.6.42) из первого, получим уравне-
ние для р* через распределение скорости v% с помощью линей-
линейного дифференциального оператора
или, разрешая относительно производных с учетом F.6.41),
имеем
5р Р 1
* — о? г,; 1 * = 1_ ар г,; 1 /к R /^
Нетрудно видеть, что из-за малости ц% и р* оператор S7 по-
повышает порядок малости на единицу:
F.6.46)
Для того чтобы существовала функция Р, , удовлетворяющая
одновременно двум дифференциальным уравнениям F.6.45) (или,
что то же самое, уравнениям F.6.41) и F.6.44)), необходимо
и достаточно, чтобы выполнялось равенство
дУ2) зУ2)
1гЧг = 7^f-- F.6.47)
дх* аг* dt* дх* v ;
Согласно F.6.45) оно выполняется тогда и только тогда, когда
= 0. F.6.48)
Это условие действительно выполняется в пределах принятой точ-
точности в силу F.6.28) и F.6.46).
Интегрируя F.6.45) и учитывая отсутствие возмущения при
ж^-^схэ, получаем
9f = J_ L р; _ p dJl±\ F.6.49)
!* Со \' *дх* г* 5х2 у v >
что вместе с F.6.37) и F.6.38) определяет распределение воз-
возмущений плотности р через возмущения скорости v.
Из уравнения состояния F.6.30), подставляя в него F.6.37)
и учитывая, что Р»2) ~ е2, получим
A) _
-20^1* +О

72 ГЛ 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
Выражая р^ и р*2) через и* и учитывая выражения для С в
F.6.31), получим выражения, связывающие/?* и v* друг через
друга в квазипростой волне:
р* =
(б-б-5°)
После дифференцирования по х% и t* имеем
J о
Здесь учтено, что согласно F.6.27) и F.6.28)
2? Гу ^ ^^ ^7 Гр j-Ufy/g^j -^у —• (J F* -L. (J (g^J.
О * *
Подставляя полученные выражения в F.6.43), получим, что в
пределах принятой точности дифференциальное уравнение для р*
имеет тот вид, что и уравнение F.6.43) для v%:
Перейдем к новым переменным
i t r ~с t
Z=^±v. = Jfrt&L-.4 p = | + 4«?ZJb. F.6.52)
2 2K«2Opo/p° 2 Ух Ро
Здесь учтено, что для показателей политропы газа Kx^Vi
можно полагать
Va(K + l)/Vx«l. F.6.53)
В результате получим, что уравнения F.6.43) и F.6.51) при-
принимают вид уравнения Бюргерса — Кортевега — де Вриза (БКдВ),
описывающего распространение приведенного возмущения скоро-
скорости v и приведенного возмущения давления р в системе коорди-
координат 5, t^, движущейся вдоль оси х с равновесной, скоростью
звука С о относительно невозмущенной среды:
дп + и~Щ ~^*"^ + Р*-^з- = 0 (u=v,p). F.6.54)

§ 6. СЛАБЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ 73
Для решения полученных уравнений необходимо задать гра-
граничные условия при | = 0 и начальные данные, определяющие
начальное возмущение скорости или давления при ?* = 0. Рас-
Рассмотрим начальное возмущение давления в виде
^ = 0: Др = Дро.ф®, F.6.55)
где Аро = Аро/ро— амплитуда возмущения давления (Дро~е),
ф(?) характеризует форму исходного возмущения, которое пред-
предполагается не очень коротким. Последнее означает, что характер-
характерная длина исходного возмущения Lo, а соответственно и его
характерная длительность удовлетворяют условиям, следующим
из F.6.9),
Тогда в качестве линейного L* и временного т* масштабов, от-
относительно которых определяются независимые переменные % и
t%, а также коэффициенты р.,. и ц%, можно принять
Это сохраняет использованное свойство малости коэффициентов
И,* и р*. Таким образом, Lo (или т0), характеризующее началь-
начальное возмущение, войдет в определение ^# и р* и при фиксирован-
фиксированной форме возмущения ф(|), но при разных его амплитудах
Ар0 и длинах Lo его эволюция с учетом нелинейности, диссипа-
диссипации и дисперсии будет определяться тремя безразмерными пара-
параметрами: \i%, P*, Ар0. Оказывается, что эволюция формы импуль-
импульса определяется только двумя независимыми безразмерными па-
параметрами, образованными из этих трех. Чтобы показать это,
перейдем к другим безразмерным переменным
Т_;. _ Аро Са, f t _ х ~ Cof it т\
F-6.56)
Здесь P — возмущение давления, отнесенное к амплитуде исход-
исходного возмущения Ар0. Тогда из F.6.54) получим
дР . р дР Li!? 4- i dSp — О
дГ ^l dl Re dg -r J df U'
f = 0: P@, 1) = фA),
Ro __ Po _ з (x +1) l*p0 ap0 ^ n m F.6.57)

74 ГЛ. 0. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
Таким образом, при заданной исходной форме возмущения
<р(|) эволюция этой формы определяется двумя параметрами
Re иав уравнении БКдВ, характеризующими соответственно
диссипацию и дисперсию и определяемыми как физическими
свойствами и состоянием среды (х, и3ф, а20, ръ р0), так и харак-
характеристиками исходного импульса, в частности, его длиной (Lo)
и амплитудой (А^о).
В случае отсутствия дисперсии ((J.,. = 0 или о~2 = 0) уравне-
уравнение БКдВ сводится к уравнению Бюргерса
о
ди , ди д и n /a a cq\
-п-ц-^-щ—= 0, F.6.58)
а в случае отсутствия диссипации (ц% = 0 или Re = 0) урав-
уравнение БКдВ сводится к уравнению Кортевега — де Вриза (КдВ)
¦^ + «-^+Р*^г=О. F.6.59)
Уравнение БКдВ может быть записано в дивергентном виде
ди dS г, и ди о д и /г г ап\
откуда в случае ограниченности главного момента
оо
j и @, |) dl = М, \М\< оо, F.6.61)
следует «интеграл импульса», если учесть, что S(t^, —оо) —
= 5(^, + оо) = 0, т. е.
и (?*, I) (Щ, = М = const. F.6.62)
В связи с приложениями в различных разделах физики и ме-
механики (гравитационные волны на поверхности жидкости, элект-
электромагнитные волны в плазме, диэлектриках и др.) уравнения
Бюргерса и КдВ подробно изучены. Кратко рассмотрим свойства
решений этих уравнений (В. И. Карпман, 1973).
Свойства решений уравнения Бюргерса. Общее решение урав-
уравнения Бюргерса можно записать в квадратурах от начальных
условий. Асимптотика этого решения для волн сжатия (М > 0)
и волн разрежения (М<0) при ^-^-оо показана на рис. 6.6.1.
При этом начальные условия сказываются только через главный
момент М, а форма начального импульса при t = 0 оказывается
несущественной. При ц^-э-О асимптотических! профиль имеет вид
треугольника (кривые 2 на рис. 6.6.1) со скачком в передней
(для волн сжатия: М > 0) или задней (для волн разрежения:

§ 6. СЛАБЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
75
М < 0) части профиля. Величина скачка равна y2M/t^, а перед-
передний фронт движется по закону У(„, так что общая площадь
профиля в соответствии с F.6.62) не изменяется. Вязкость раз-
размазывает скачок так, что его толщина б изменяется пропорцио-
пропорционально Н-***/2 (кривые 1 на рис. 6.6.1).
Уравнение Бюргерса имеет стационарное решение, соответ-
соответствующее равномерному движению со скоростью иой (в системе
М>0
Рис. 6.6.1. Асимптотический вид решения уравнения Бюргерса при {-*•» и
конечных М для волнового сжатия (а) и разрежения (б). Кривые 1 соот-
соответствуют конечному |х*, а кривые 2 — асимптотике при Щ -*¦ 0
координат |т, движущейся со скоростью Са относительно невоз-
невозмущенной среды) волны сжатия (Л/-*¦+<») без изменения ее
формы по невозмущенной среде:
и = и {I — w0
exp
, w0 = -^- — const.
F.6.63)
Подчеркнем, что эта волна движется со скоростью /30 = С0 + '/2иг
относительно невозмущенной среды. Толщина переходной области
указанной волны б ~ \y^Lolue.
При этом нестационарное возмущение, удовлетворяющее при
t = 0 условиям
ц (!)-»¦ 0 при |
(!)->- ие>0 при % -»- —
(M->oo), F.6.64)
ПРИ ^* ~*" °° принимает вид, определяемый стационарным реше-
решением F.6.63).
Свойства решений уравнения КдВ. Уравнение КдВ имеет
аналитическое решение, соответствующее стационарной уеди-
уединенной волне (солитону), распространяющейся с постоянной

76 ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
скоростью без изменения своего профиля (рис. 6.6.2, а):
F.6.65)
Относительно невозмущенной среды солитон движется со ско-
скоростью Со + V3j50, т. е. тем быстрее, чем больше его амплитуда
Р
0,4Zp
2 ^
Рис. 6.6.2. Солитон (а) и волновой пакет (б), соответствующие уравнениям
КдВ
сжатия р0. Характерная толщина солитона L:
F.6.66)
Если в качестве Lt, входящего в выражение для параметра |3*,
взять толщину рассматриваемого солитона (L* = L) такую, что
иA)«0,42р0, то
о ^0 2 "о __ .
Р* "— 49 ' ° — ft
F.6.67)
Для каждой формы исходного импульса ф(|) существует кри-
критическое значение ас такое, что при а > ас (достаточно сильные
и длительные возмущения) исходное возмущение разбивается на
солитоны, каждый из которых по форме близок к F.6.65), при-
причем впереди движутся солитоны с большей амплитудой, ибо их
скорость относительно звуковой волны пропорциональна ампли-
амплитуде. Для исходных возмущений, форма которых близка к
Ф(|) = ехр(-Г), F.6.68)
имеем ос«У12. Число солитонов оценивается простой формулой
N« о712. F.6.69)

§ 6 СЛАБЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ 77
При а < ас (слабые и короткие импульсы) нелинейность урав-
уравнения КдВ сказывается слабо и решение имеет форму расплы-
расплывающегося во времени волнового пакета (рис. 6.6.2,6), прибли-
приближаясь при а ->- 0 к решению линеаризованного уравнения КдВ
(без нелинейного члена). Решение последнего уравнения может
быть записано в аналитическом виде.
При о ~ Ос решение имеет форму, состоящую как из солито-
нов, так и из волнового пакета.
Для исходного возмущения бесконечной длительности типа
F.6.64) уравнение КдВ не дает в пределе при *„.->- оо стацио-
стационарной волны, так как в этом уравнении отсутствует диссипатив-
ный механизм.
Для отрицательного возмущения (волны разрежения, Лр < 0)
решение имеет только форму волнового пакета (рис. 6.6.2, б),
расплывающегося во времени.
Свойства решений уравнения БКдВ. В случае o7Re<l дис-
сипативный член проявляется слабо, и перечисленные свойства
уравнения КдВ имеют место и для уравнения БКдВ. С ростом
же cr/Re диссипация качественно меняет решение, уменьшая
проявление осцилляции и солитонов, при этом солитоны по мере
их распространения затухают из-за диссипации.
Как и уравнение Бюргерса, уравнение БКдВ допускает ре-
решение и = и(Ъ, — uV#)> соответствующее стационарной волне
сжатия, распространяющейся в системе координат \t% с постоян-
постоянной скоростью без изменения формы и переводящей среду из
невозмущенного состояния (и = ц0 = 0) в другое состояние (в =
= ие > 0). В отличие от уравнения Бюргерса, эта волна может
иметь осциллирующую структуру. Подставляя и = и (% — «>„?.,.)
в уравнение F.6.54), получим обыкновенное дифференциальное
уравнение (ср. с F.6.33)) для структуры волны и(%) с соответ-
соответствующими граничными условиями
d и d и , , \ du r~.
F.6.70)
оо:и =
du d2u
Интегрируя это уравнение с учетом граничных условий, получим
2 2
d и du , и г, и
Pd и du , и г, ие X ~f~ 1 4 ,р « _.,
*1?~^*11 +^r~wou = 0, и,-0 = _ = _^= Д/>е. F.6.71)
Таким образом, рассматриваемая стационарная волна движется
относительно невозмущенной среды со скоростью Do = C0 + w0,
выражение которой через Аре совпадает с формулой F.3.10),

78 ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
полученной для слабых волн (Аре < 1) (ср. также с замечанием
по поводу F.6.33).
Рассмотрим поведение решения и(?) около состояния за вол-
волной (| ->- —оо, и-*- ие), когда и = ие + у, \у\ < ие. Для возмущения
у получим линейное уравнение
^А-^Ц + ^^О. F.6.72)
Характеристические корни, соответствующие этому уравнению:
Для того чтобы стационарная волна сжатия имела осцилляцион-
ную структуру, необходимо:
F-6.74)
что согласуется с аналогичным условием F.3.27), полученным
из полной системы уравнений, основанной на той же физической
схеме с эффективной вязкостью, что и рассматриваемое прибли-
приближение БКдВ.
Использовать уравнение БКдВ для исследования слабых волн
в жидкости с пузырьками газа было предложено в работах
В. Е. Накорякова, В. В. Соболева, И. Р. Шрейбера A972) и
L. Wijngaarden A972). В дальнейшем этот метод был обосновав
и развит как в теоретических, так и в экспериментальных рабо-
работах В. Е. Накорякова с сотрудниками.
Теория ударных волн в жидкости с пузырьками, основанная
на уравнении БКдВ, несмотря на ее ограниченность (слабые
волны, распространяющиеся только в одном направлении, отсут-
отсутствие отраженных волн, огрубление эффектов теплообмена), по-
позволила получить следующий очень важный и красивый резуль-
результат. Эволюция импульса заданной исходной формы в зависимости
от его амплитуды и длительности, в зависимости от исходного
давления и физических характеристик пузырьковой среды опре-
определяется только двумя безразмерными параметрами Re и а.
Указанная теория выделила различные типы возмущений: вол-
волновой пакет (рис. 6.6.2,5), солитон (рис. 6.6.2,а), размазываю-
размазывающиеся волны типа тепловых, треугольные волны с крутым фрон-
фронтом (рис. 6.6.1), реализация которых определяется параметрами
Re и а. В настоящее время благодаря накопленному материалу
каждому типу волн можно отнести ориентировочную область на
диаграмме Re, а. Такая диаграмма (V. Kuznetsov et al, 1978;
В. Е. Накоряков, Б. Г. Покусаев, И. Р. Шрейбер, 1983) приве-
приведена на рис. 6.6.3. Отмеченные типы волн выявляются и экспе-
экспериментально.

§ 7. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ
79
Пузырьковая среда может быть использована для моделирова-
моделирования волновых явлений в других средах (например, в плазме),
в которых эти явления описываются уравнением БКдВ.
Учитывая более последовательно, чем в схеме с эффективной
вязкостью, межфазный теплообмен (В. Е. Накоряков и др., 1983),
¦ р,
1.25
0,75
0.15
0
0,75
0,25
0
1,0'
0.5
0
.„Ml
~~*AM
i
t
-6 4
- l\)
1 1
-8 2
-
-
1
II
1
L_
14 ?
I
12 ?
П
ii
К
15 0 15 $
Pi
1,25
0.75
0,25
0
P,
0,75
0,25
0
P
1.0
0.5
0
J
1
1
i
-6 4
Li
-5
f
-
- — s
-w
I
( i ,
14 24 t-
5 15 $
И
II
5 $
0,5
Рис. 6 6.3. Карта решений уравнений БКдВ. Штриховыми линиями отмече-
отмечены профили начального импульса
для случая малого сжатия газа получили более сложное уравнение
для квазипростой волны, содержащее помимо членов, которые
имеются в уравнении БКдВ, интегральный или наследственный
член (интеграл Дюамеля типа B.6.15), но для теплообмена внут-
внутри пузырька), определяемый в момент t историей изменения
давления в пузырьке за все время процесса от 0 до t.
§ 7. Нестационарные волновые движения жидкости
с пузырьками газа
В данном параграфе изложен более общий по сравнению с
§ 6 подход к численному моделированию и исследованию одно-
одномерных нестационарных движений пузырьковых сред на основе
двухтемпературной односкоростной схемы с несжимаемой несу-
несущей жидкостью (см. § 5 гл. 1). Данным методом можно анали-

80 ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
зироватъ существенно более сильные (нежели в § 6) возмуще-
возмущения, когда Ар/ро > 1, более последовательно учитывая тепловые
эффекты. Изложенный ниже метод и ряд результатов впервые
опубликованы в статьях А. А. Губайдуллина, А. И. Ивандаева,
Р. И. Нигматулина A976, 1978), Р. И. Нигматулина A981).
Уравнения нестационарного движения пузырьковой жидкости
с несжимаемой несущей фазой. Наряду с уже обсуждавшимися
допущениями в начале § 5 гл. 1 примем, что фазовые переходы
отсутствуют, скорости макроскопического движения фаз совпада-
совпадают между собой, а истинная плотность несущей жидкости по-
постоянна:
) = 0, vx — v2 = v, pj = const. F.7.1)
Фазовые переходы отсутствуют в не очень сильных ударных
волнах в «холодных» жидкостях с пузырьками нерастворимого
газа (см. обсуждение A.6.1)).
Приемлемость допущения о совпадении скоростей фаз следует
из анализа*) стационарных ударных волн (см. § 4). Этот же
анализ показал приемлемость допущения о несжимаемости несу-
несущей жидкости, если выполняются условия F.4.17).
Принятые упрощения F.7.1) существенно упрощают задачу
теоретического исследования нестационарных течений пузырько-
пузырьковых смесей.
Задачу об одномерном нестационарном движении односкорост-
ной среды проще решать в лагранжевых координатах (г, t), где
г — расстояние материальной частицы от пачала отсчета в на-
начальный момент времени t = 0. Значения параметров при t = 0
будут снабжаться индексом 0 внизу. В частности, р0 = р (г, 0) =
= Ро (г) — плотность смеси при t = 0. Текущее положение частицы
среды характеризуется эйлеровой координатой х (г, t), причем
%L = X *L= F72)
dr p ' dt v '
В результате принятых упрощений система уравнений дви-
движения для монодисперсной смеси несжимаемой жидкости с пу-
*) Следует отметить, что относительное движение жидкости п пузырь-
пузырьков, помимо уже обсуждавшихся эффектов, может вызвать интенсификацию
теплообмена в пузырьке, нарушение сферичности пузырьков, и, как крайнее
проявление последнего эффекта, дробление пузырьков. Тем не менее суще-
существует значительная область режимных параметров волновых движений,
когда эти эффекты не проявляются. И в то же время имеется область ре-
жпмных параметров, когда эти эффекты могут стать определяющими. В ча-
частности, дробление исходных пузырьков на мелкие, происходящее, как пра-
правило, уже на переднем фронте достаточно сильной волны, приводит к тому,
что волна распространяется по среде с более мелкими (чем в исходном со-
состоянии) пузырьками, что во много раз сокращает толщину релаксацион-
релаксационной зоны волны. В результате для анализа может стать достаточной рав-
равновесная схема сдгеси, сводящаяся к модели идеальной сжимаемой жидкости
с заранее определяемым уравнением состояния (см. конец § 5 гл. 1).

§ 7. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ 81
зырьками газа A.5.4) при отсутствии фазовых переходов в рам-
рамках о#носкоростного двухтемпературного приближения в лаграя-
жевых переменных примет следующий вид:
— = tv, -3- (Рг^3) =0, a, = —§- = 1 5-, Pi = const,
^f ut r\ Г)
а,„ Р„—Р,- 22/a 4v(*)u; .. .... 3,«2
F.7.3)
Г, = Го = const, Г2 =
Обобщенное уравнение Рэлея — Ламба (пятое дифференциальное
уравнение) может быть тождественно преобразовано к виду, в ко-
котором вместо среднего давления pi будет стоять приведенное дав-
давление plif:
_
Pi
+ о,, F.7.4)
А* — «2 (?2 - Pi* 22/ + °2)
При заданных физических свойствах жидкости (плотности р17
вязкости v^°\ поверхностном натяжении S) и газа (показателе
адиабаты ^2, газовой постоянной R2, коэффициенте теплопровод-
теплопроводности Я2), при заданном параметре межфазного теплообмена
Nu2, а также при наличии начальных и граничных условий пред-
представленная система уравнений является замкнутой.
В связи с условием несжимаемости проведем некоторые тож-
тождественные преобразования. Первые два уравнения сохранения
массы фаз системы F.7.3) могут быть представлены в виде
а*! «!Р dv _ n da2 a2 dpi a2p dv
dt + Po dr -u' dt +-py аГ+1Г-а7-и'
откуда, складывая эти уравнения, получим
Ро
Р. И. Нигматулин, ч. II

82 ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
Учитывая уравнение сохранения массы пузырька (четвертое
уравнение F.7.3))
а6 -г- -f- 5a-a2w = и,
ot
получим, что продольная деформация смеси с несжимаемой не-
несущей фазой имеет место только за счет радиальной деформации
пузырьков
•^- = —-^-. F.7.5)
дг р a v '
При этом уравнения для изменения плотности смеси и объемной
концентрации пузырьков могут быть записаны в виде
ар _ j>^ dv_ __ о <V^ да2 _ aip дг __ За-р^
dt р. дг а ' dt р дг а '
Эти же уравнения непосредственно следуют из A.3.9), если
учесть связь между лагранжевыми и эйлеровыми переменными:
F.7.7)
1 dv _ 1 dv_
~~р~~дх ~ ~р^~дг' dt ~ ИГ
Продифференцируем уравнение импульса по г (учитывая g =
const, Po = Po(r)), а уравнение неразрывности F.7.5) — по t:
1 8Ч* , 1
дг dt p g/ ^ р2 dr dr '
F.7.8)
> За а2 dw a^ ap %w dax
dt dr ro { pa dt ^ pa dt p2a dt pa2 dt
В области непрерывного движения эти два выражения можно
приравнять друг к другу. Если при этом в последнем выражении
лместо производных по времени подставить их значения в соот-
соответствии с F.7.6) и уравнениями радиального движения, то по-
получим
32Pi# dPi* I ^Pn
4vW» . F.7.9)
Таким образом, как и в гидродинамике однофазной несжимае-
несжимаемой жидкости, условие несжимаемости несущей фазы привело к
дифференциальному уравнению второго порядка, содержащему

§ 7. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ 83-
производные только по пространственной координате. Это урав-
уравнение позволяет определять распределение давления в любой
момент времени при заданных распределениях в этот момент
времени остальных параметров: а2, #, м>, Pz- Все влияние на рас-
распределение давления неоднофазности смеси (наличие пузырьков)
сказывается через правую часть этого уравнения. В однофазной
(а2 = 0) однородной (ро = const) жидкости уравнение F.7.9) дает
всегда прямолинейный профиль давления
вЧ. _ А _
Для решения дифференциального уравнения F.7.9) относи-
относительно давления pis, необходимо задать граничные условия на
концах трубы г^. = @, L)f тогда распределение р в каждый
момент времени определяется из решения краевой задачи для
уравнения F.7.9), содержащего производные только по г. Можно
выделить граничные условия двух родов: граничное условие 1-го
рода, когда на границе задано давление
r = rt, Plt = plt (г,, *) = П (*), F.7.10)
и граничное условие 2-го рода, получающееся, когда на границе
задан закон движения, например скорость «поршня»:
т- = г*, v=v(r*,t) = V(t). F.7.11)
Тогда, если учесть уравнение импульса, это условие задает про-
производную давления по координате
г = гл
/ \ Г 9v (г*,
В частном случае, если на границе имеется неподвижная жесткая
стенка (V(t) = O), имеем
r^r*, ^ = po(gg. F.7.13)
Что касается начальных условий, то они должны задавать
распределения а2, a, w, р2 по координате г при t = 0.
Следует иметь в виду, что распределения давления Pi* и
скорости v в каждый момент времени, в том числе и при t = О,
не являются независимыми из-за несжимаемости несущей жид-
жидкости. Распределение р^ определяется из упоминавшейся крае-
краевой задачи через распределения сс2, a, w, p2 и граничные условия
на концах г% = (О, L), а распределение v — из уравнения
F.7.5) или уравнения импульса. Изменение во времени а2, а,
6*

84 ГЛ 6 ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
w, р2 определяется дифференциальными уравнениями (содержа-
(содержащими производные только по t), следующими из F.7.3), F.7.6).
Для анализа и решения рассматриваемой системы уравнений
перейдем к безразмерным переменным F.3.6), F.4.5) и парамет-
параметрам F.4.6), отмечаемым, как и ранее, черточкой вверху (pi*, p,
—о -\
р2, а), определяя их как отношение соответствующих парамет-
параметров к их характерным значениям (масштабам), отмеченным ин-
индексом 0 внизу. В качестве масштабов выберем некоторые фик-
/ О О Ч
сированные значения \Ры, Ри рго> о0), являющиеся характер-
^ о
ными для распределений Pj», p, р2, а, в начальный момент
времени t = 0. При этом для удобства выберем их так, чтобы
они удовлетворяли условиям равновесия
Р2о = Рю + 22/a0) p20 = P2O/{R2TO). F.7.14)
Как и ранее (см. F.4.5)), в качестве характерной скорости
продольного движения выберем равновесную скорость звука
Се = Са, а радиального движения около пузырей — скорость С*.
Линейный масштаб La примем таким же, как и в F.3.6). В свя-
связи с этим естественным представляется и выбор масштаба вре-
времени t0, а именно
~t--L ?-- (l - a° t -La-a-±
0 a \ У а10а20 а *,
В результате система уравнений может быть приведена к сле-
следующему виду:
X !A _ 4ф« + Зч,?> - 12а2) |" -
Зг р а ' Ж о
'2 12 ?^ /~ л п \ la 7 A R\
/4 A)\-вю - - 22* 4\»-lw (. B)\3ш2
A - ф^ ) о-г- = р2 - а* - -. 1— A — ф; ) -о-*
стг а а ^
| = 4 (Л. - ?2«3) - ЗТ2 ^
dt а а
a
В качестве граничных условий на границах выделенного объ-
объема смеси г = 0 и r = L будем рассматривать уже обсуждавшиеся

§ 7. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ 85
варианты F.7.10)- F.7.13):
г = 0: р„ = поG) или д1? = го(г) = р0 [g-^A;
- F.7.17)
Отметим, что теплофизические свойства фаз (поверхностное
натяжение, плотность и вязкость жидкости, теплопроводность,
теплоемкость и плотность газа) влияют на процесс через четыре
безразмерных параметра: 2*, {хх, Р2 (см. F.4.6)) и *{?.. Внешние
массовые силы входят в уравнение через параметр g.
Заметим, что в рамках модели с эффективной вязкостью ана-
аналогичная F.7.16) система уравнений имеет меньший порядок:
в ней вместо последнего дифференциального уравнения (уравне-
(уравнения притока тепла) будет уравнение политропы рг = а~3*. Кроме
того, в предпоследнем уравнении (уравнении радиального движе-
движения) вместо безразмерного коэффициента вязкости жидкости бу-
будет аналогичный коэффициент эффективной вязкости.
Полученная система состоит иа 6 дифференциальных урав-
уравнений, каждое из которых содержит лишь одну производную по
одной из координат (г или I). Первые два уравнения системы
служат для определения приведенного давления и скорости смеси
в произвольный момент времени по известным полям остальных
параметров; остальные уравнения описывают законы изменения
параметров лагранжевых частиц среды во времени.
Для численного интегрирования полученной системы уравнений
разобьем выделенный объем среды точками г = г,- (?==1, 2, ...
..., п) на и материальных частиц: значения всех искомых функ-
функций будем определять в точках г = г, (? = 1, 2, ..., п). Тогда
четыре последних дифференциальных уравнения в частных про-
производных по времени от переменных аг, a, w, рг перейдут в 4га
обыкновенных дифференциальных уравнения по времени, для
численного интегрирования которых удобно использовать моди-
модифицированный метод Эйлера — Коши. Для определения значений
давления рх* в точках г = г, в каждый фиксированный момент
времени необходимо решать линейную (для р-у*) краевую зада-
задачу для первого дифференциального (по г) уравнения второго
порядка с краевыми условиями F.7.17).
Для решения этой задачи целесообразно применять метод про-
прогонки. Отметим, что в рассмотренном случае одномерного течения
с плоскими волнами скорость среды входит только во второе
уравнение F.7.16), поэтому вычислять ее на каждом шаге ин-

86 ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
тегрирования по времени необязательно, причем в тех случаях,
когда нужно вычислять распределение v, лучше это делать на
каждом временном шаге интегрирования после вычисления рас-
распределения давления Pi*, исходя из уравнения импульса, кото-
которое в безразмерных переменных имеет вид
^ i_M»f*«. F.7.18)
dt po дг
Во всех рассмотренных ниже примерах параметр g —
= gao9i У a2Q/ Poi определяющий действие сил тяжести, является
малой величиной порядка 10~4. Малость g обусловливает малое
влияние силы тяжести на волновой процесс, который можно рас-
рассчитывать без учета силы тяжести, а затем к рассчитанным эпю-
эпюрам давления добавить гидростатическую составляющую давле-
давления Apst = Pogr из-за веса вышележащего столба жидкости.
Ниже представлены результаты численных расчетов и ана-
анализа нестационарных волновых процессов в воде или в растворе
глицерина в воде A:1), содержащем пузырьки газа (воздуха,
углекислого газа пли гелия).
Эволюция нестационарных ударных волн в стационарные.
Влияние свойств газа в пузырьках. При исследовании эволюции
ударных волн, распространяющихся вдоль бесконечной трубы при
фиксированном давлении ре при г = 0, когда имеется характерная
интенсивность волны ре = ре/р0, для определения коэффициентов
теплообмена газового пузырька в качестве первого приближения
использовалась оценка A.6.16):
где t^ — характерное время сжатия пузырьков в волне или пе-
период их радиальных колебаний. Для априорной оценки ?* ис-
использовались формулы F.4.30) — F.4.32), полученные из ана-
анализа стационарных волн, согласно которым
2зтаЛ 2ла„
О^ 0
C*/3(Y2pe-lp *^C, /3(pe-l)
F.7.20)
Для сравнения укажем, что период собственных свободных
колебаний одиночного пузырька равен tr = 2лао/(С^. у Зу2/- Хо-
Хотя в процессе эволюции к стационарной волновой конфигурации
период осцилляции и время сжатия пузырьков на фронте волны
меняются, а точнее, они меньше, чем в стационарной волне,
и лишь в пределе стремятся к соответствующим величинам, ха-

§ 7. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ
87
рактерным в стационарной волне, но если нет дробления, это
изменение t* сказывается не очень сильно.
В более общих ситуациях теплообмен газового пузырька за-
задавался в соответствии со схемой A.6.45), A.6.46).
Расчеты показали, что в пузырьковых смесях с малой вяз-
вязкостью жидкости (ц* <С l), например в воздухо-водяных смесях
с размером пузырьков порядка 1 мм (р0 « 0,1 МПа), структура
достаточно слабых волн (ре/ро < Та) эволюционирует от осцилля-
ционной к монотонной. Структура более сильных (ре/ро > Чг)
волн стремится в процессе эволюции к предельной осцилляци-
онной конфигурации. Характерным является рост числа осцил-
осцилляции в процессе эволюции волн. Эволюция волн в указанных
смесях обусловлена эффектами межфазного теплообмена и пере-
передачи кинетической энергии радиального движения в соседние
объемы смеси за счет возмущения давления (но не эффектами
вязкости при относительном движении фаз). В качестве примера
на рис. 6.7.1 приведены профили давления в различные моменты
Рис. 6.7.1. Эволюция ударной волны при стационарном воздействии (ре =
= Ре/ро — 1,32) на воздухо-водяную пузырьковую смесь (р0 = 0,09 МПа.
сс2о = 0,025, ао = 1,4 мм). Числовые указатели у кривых соответствуют
времени в мс
времени после повышения давления при г = 0 от р„ до ре и со-
сохранения его неизменным. Предельная стационарная конфигу-
конфигурация соответствующей волны в соответствующей смеси обсуж-
обсуждалась выше в § 4, 5 в связи с экспериментом L. Noordzij A971)
и приведена на рис. 6.4.5 и 6.5.4. Эта стационарная волна явля-
является монотонной, и она устанавливается на расстояниях около
четырех метров, а на меньших расстояниях, когда волна еще
нестационарная, она имеет осцилляции, что и было получено для
указанных условий в эксперименте L. Noordzij A971), обсуж-
обсуждавшемся в § 4. В этом эксперименте датчики давления распо-
располагались на расстояниях порядка 1 м от места инициирования
волны, и они регистрировали поэтому лишь нестационарные вол-
волновые профили.

ГЛ. в. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
Было исследовано влияние теплообмена, в частности, вариа-
вариации параметра Nu2, на процесс эволюции волны. На рис. 6.7.2
представлены расчетные профили давления, реализующиеся в
фиксированный момент после удара, но при различных значени-
значениях Nu2 (или $г). Видно, что в условиях почти адиабатического
Р
1.2.
Р5
1,1
1,05-
1,0
JO0
3000
Рис. 6.7.2. Влияние параметра
теплообмена Nu2 па профиль
давления в волне в момент вре-
времени t = 15 .Me, отсчитываемого
от начала стационарного воздей-
воздействия (ре = pJpq = 1,13) на воз-
духо-водяную пузырьковую смесь
(Ро = 0,1045 МПа, а20 = 0,017,
ад = 1,2 мм). Числа на кривых
соответствуют значению числа
N
1,0 1,Z5 1.0 1.Z5 1,0 1,25 1.0 км
(Nu2 = 3, p2 <C 1) и почти изотермического (Nu2 = 3000, p*2 >¦ 1)
поведения газа диссипативные эффекты проявляются гораздо
меньше, и осцилляции хорошо выражены. Максимум диссипации
здесь наблюдается приг4и3л*300 (или (J2~l). Так как реали-
реализующиеся значения Nu2 (или fi2) зависят от коэффициента тем-
(Т)
пературопроводности газа vv2 ', то отсюда следует, что эволюция
структуры волны и затухание коротких импульсов в пузырьковой
смеси должны зависеть от сорта газа в пузырьках, а точнее, от
его коэффициента температуропроводности v2 '. Показательно в
связи с этим сравнение трех газов (см. также обсуждение
рис. 1.6.2): углекислого газа (СО2), воздуха и гелия. При р =
= 0,1 МПа и Т — 293 К коэффициент температуропроводности
\4 для гелия практически на порядок больше, чем у воздуха,
и почти в 20 раз больше, чем у СО2 (см. Приложение).
Безразмерные коэффициенты теплообмена [$2 пузырьков из
различных газов, если учесть влияние у{ на Nu2 (см. F.7.20)),
относятся как у2 (V<~PY/2- Для рассматриваемых газов — гелия,
азота (воздуха) и углекислого газа — значения р2 относятся как
3,5 :1: 0,62.
В рассматриваемых режимах р2 достаточно малы, и увеличе-
увеличение р2 должно приводить к усилению дисснпативных эффектов.
Поэтому в смеси с гелиевыми пузырьками при прочих равных
условиях затухание осцилляции и образование монотонной вол-
волновой конфигурации должно идти быстрее, чем в смеси с пу-
пузырьками воздуха и СО2 (ср. с рис. 1.6.2). Результаты расчетов
и их сопоставление с экспериментальными данными подтвержда-

§ 7. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ 89
ют этот вывод. В качестве примера на рис. 6.7.3 представлены
в одинаковом масштабе расчетные и экспериментальные осцил-
осциллограммы давления в ударных волнах, распространяющихся в
смеси из раствора глицерина с водой с пузырьками гелия, воз-
воздуха и углекислого газа. Видно существенное влияние сорта газа
р,МПаи
0,11 -
р,МПа
0,12 -
0,10
р,МПа
t,MC
tMC
Рнс. 6.7.3. Расчетные и экспериментальные осциллограммы давления в удар-
ударных волнах фиксированной интенсивности (ре = 1,18), распространяющихся
в трубе, заполненной пузырьковой смесью с фиксированной жидкостью
(глицерин + вода: 1:1, ро = 0,118 МПа), фиксированным газосодержанием
(ct2o = 0,95 %) и размером пузырьков (о0 = 1,0—1,1 мм). Различался лишь
сорт газа в пузырьках: пузырьки углекислого газа, пузырьки азота (возду-
(воздуха), пузырьки гелия. Осциллограммы снимались на фиксированной глубине
х = 1,6 м. (Эксперимент Кузнецова В. В. и др., 1977)
на структуру ударной волны в пузырьковой смеси. В частности,
в смесях с пузырьками углекислого газа и воздуха ударные вол-
волны явно осцилляционные, а в смеси с пузырьками гелия — моно-
монотонные. Расчетные осциллограммы удовлетворительно согласу-
согласуются с экспериментальными.

90
ГЛ. 6 ДПН4МИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
Парадоксальность волновых свойств пузырьковых смесей с
инертным газом состоит в том, что изменение в широких преде-
пределах таких теплофпзических свойств жидкой фазы, занимающей
почти весь объем в смеси, как теплопроводность и вязкость
(например, за счет изменения содержания глицерина в растворе),
практически не влияет на распространение волн, их структуру
и затухание. Лишь при приближении к чистому глицерину вяз-
вязкость жидкости начинает играть заметную роль. В это же время
изменение свойств газа в пузырьке (показателя адиабаты, тем-
температуропроводности) , занимающем очень малый объем в смеси
(не говоря уже о его ничтожной массовой доле), существенно
влияет на волновые процессы и их затухание.
При численном моделировании с помощью системы уравнений
F.7.4) или F.7.17) процесс эволюции ударной волны при ста-
стационарном воздействии фактически определяется только тремя
безразмерными величинами: интенсивностью воздействия ре =
= ре/ро, показателем адиабаты газа у2 и коэффициентом тепло-
теплообмена р2, ибо в маловязких жидкостях с не очень мелкими пу-
пузырьками и при не очень малых давлениях другие три параметра
B*, (д-2, g) очень малы и не оказывают влияния.
С целью изучения влияния начального давления невозмущеи-
ной смеси р0 на процесс эволюции ударных волн рассматривались
0,5 1,0
15 г.м
Рис. 6.7.4. Распределения давления в трех ударных волнах с фиксированной
интенсивностью ре/ро = 1,3, но при различных начальных давлениях: ро,
формирующиеся через 6 мс после их инициирования постоянным давлени-
давлением ре в воде с воздушными пузырьками: сего = 2,5%, а0 = 1,5 мм; кри-
кривая 1 — для ро = 0,01 МПа; 2 — для р0 = 0,1 МПа; 3 — для р0 = 1,0 МПа
волны одной и той же относительной интенсивности ре в одина-
О
ковых смесях (в смесях с фиксированными а0) olw, Pi, А2, с2, ¦ ¦ ¦),
но при разных начальных давлениях р0, которые варьировались
в диапазоне 0,01—1,0 МПа (см. рис. 6.7.4). При этом пропорцио-
пропорционально р0 изменялась начальная плотность газа р2о и обратно
пропорционально — коэффициент температуропроводности газа
\?2Т). Анализ показал, что подобие зависимостей нарушалось
из-за влияния давления на ^2- Увеличение давления приводит не
только к увеличению частоты осцилляции пузырьков пропорцио-
пропорционально р\12 и к увеличению скорости волны D (что следует из

§ 7. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ 91
подобия р (г, I), когда скорость D пропорциональна р?/2), но и
к увеличению амплитуд осцилляции в волне. Последнее связано
с тем, что относительная интенсивность тепловой диссипации в
процессе теплообмена между фазами с увеличением давления
уменьшается в силу того, что характерный безразмерный пара-
параметр теплообмена $2 (см. F.7.19)) пропорционален P^3fi (зна-
(значения р2о. v20 , С*, t^ пропорциональны соответственно р0, р^1,
Ро12' лГ1/2)- При этом значение Nua пропорционально pl/li.
Эксперименты на ударных трубах (Б. Е. Гельфанд, Е. И. Ти-
Тимофеев, В. В. Степанов, 1978) при вариации исходного давления
р„ в КПД (см. F.1.1)) не выявили увеличения амплитуд н час-
частот осцилляции с повышением исходного давления от
р0 ~ 0,1 МПа до р0 & 1,2 МПа при фиксированной интенсивности
ре = 1,2 и размерах пузырьков = I — 2 мм. В частности, при
указанном повышении давления р0 частоты осцилляции не меня-
менялись и были равны примерно 3 кГц. В качестве одной из воз-
возможных причин авторы этих экспериментов отмечают неоднород-
неоднородность распределения всплывающих пузырьков по сечению трубы,
тенденцию к их концентрации около оси или стенки трубы. От-
Отметим, что концентрация вдуваемых пузырьков в выделенных
зонах сечения трубы, помимо нарушения однородности парамет-
параметров по сечению и одномерности процесса, может способствовать
объединению нескольких пузырьков в отдельные группы. Каж-
Каждая такая группа сблизившихся пузырьков может рассматривать-
рассматриваться как один «крупный» пузырек, разделенный пленками жидко-
жидкости, сохраняющими исходную межфазную поверхность для теп-
теплообмена. Такое «группирование» соответствует увеличению эф-
эффективного размера пузырьков а и увеличению эффективной
температуропроводности газа vBT),4to соответствует уменьшению
частоты и затуханию осцилляции давления в волне. Это одно из
возможных объяснений реализации более низких частот осцилля-
осцилляции, чем это следует из теории. Следует также иметь в виду, что
изменение исходного давления р0 влияет на возможность дроб-
дробления пузырьков. При повышении р0 и фиксированном ре повы-
повышается пропорционально р0 амплитуда перепада давления на
стенках пузырька, но уменьшается период действия этого пере-
перепада. Первое обстоятельство усиливает тенденцию к дроблению,
а второе — ослабляет.
Эволюция ударного импульса конечной длительности. На
рис. 6.7.5 показана рассчитанная эволюция ударного импульса ко-
конечной длительности, возникающего за счет возмущения давле-
давления при г — 0, развертка во времени («осциллограмма») которо-
то р (t, 0) имеет треугольную форму с длительностью 10 = 1 мс
и максимальным давлением /?тах = Зр0- Представлены результа-
результаты для нескольких вариантов холодных пузырьковых жидкостей
на основе воды с фиксированным объемным содержанием

92
ГЛ. 6 ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
(ос2о — 0,02) и размером (а0 = 1 мм) пузырьков при фиксирован-
фиксированном начальном давлении />0 = 0,1 МПа, но с разными газами:
гипотетические адиабатический (рис. а, Я* == О) и изотермический
/
f 1
1 1
A
1
/{
yc- •
Ы
/
/
V
2,0 /
Л
л
и
a
3,0
A
\
1
}
\
^ -
\
И
2.0
N2
f\L
p
3
/
1
л
nl
/
II
/
/
f

/
1
I
Y
\J
—
2..C
/
'
\
/' \U.O
a
\ У
T
О 0,1 0,2 О.Ъ /7,4 КМ
Рис. 6.7.5. Эволюция волнового импульса сжатия конечной длительности
(в воде с пузырьками гипотетического «нетеплопроводного» или адиабати-
адиабатического к(а, 72 = 1,4; Х2 =0), «сверхтеплопроводного» или изотермического
Т (9, 72 = 1; ^2 "*" °°) газов, а также с пузырьками углекислого газа СО2 (б),
воздуха или азота N2 (в), гелия Не (г)). Параметры смеси: р0 = 0,1 МПа,
Та = 293 К, осго = 0,02, ао = 1,0 мм. Исходное возмущение давления при
г_= 0 задано линией К на рис. 6.7.14, г и имеет максимальное давление
ртах = Pmax/ро = 3 и длительность Д^о = 1 мс. Цифровые указатели на кри-
кривых соответствуют времени t (мс) после начала возмущения. Штриховые
линия — огибающие максимальных давлений в фиксированные моменты
времени. Штрихпунктирные линии — изменение максимального давления по
глубине г
(рис. д, Х*2-+- оо) и реальные газы с конечной теплопровод-
теплопроводностью Я*: углекислый газ (рис. б, Я* = 1,15-10~3), воздух
(рис. б, Я* = 2,34-10), гелий (рис. г, Я* = 20,3-ИГ3). Сравнение
указанных вариантов еще раз иллюстрируют сильное влияние
неравновесного межфазного теплообмена, зависящего от темпера-

§ 7. НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ВОЛНЫ
туропроводности газа, на эволюцию ударного импульса. При этом
две предельные схемы, соответствующие адиабатическому
/Я*о = 0) и изотермическому (Я*о ->- оо) поведениям газа, не ох-
охватывают «снизу и сверху» характеристики эволюции волн в пу-
пузырьковых жидкостях с реальными газами.
Видно, что в смесях с такими газами (гипотетические адиа-
адиабатический (а), изотермический (д), С02 (б), воздух (в)) удар-
ударный импульс распадается на уединенные волны (солитоны), амп-
амплитуда которых в зоне, прилегающей к плоскости инициирова-
инициирования г = О, может даже превышать амплитуду исходного импуль-
импульса (эффект усиления волн). Для жидкости с пузырьками СОг
давление в переднем солитоне достигает заметно большего зна-
значения (р » 4), чем максимальное инициирующее давление при
г = О, равное рШЛк = 3. После указанного усиления происходит
затухание возмущения как распавшегося на солптоны, так и не-
распавшегося (см. рис. 6.7.5, г) для воды с пузырьками гелияг
причем затухание происходит только за счет диссипации (в дан-
данном случае практическое значение имеет только тепловая дис-
диссипация).
Отмеченный эффект усиления, связанный с увеличением амп-
амплитуды ударного импульса, является следствием свойства ло-
локальной деформационной инерции пузырьковой жидкости (см.
обсуждение F.6.7) и F.6.8)). Благодаря этому свойству эле-
элементарный объем пузырьковой жидкости может сжиматься или
расширяться по инерции. Эффект усиления сильно зависит от
0,3 г,м
Рис. 6.7.6. То же, что и на рис. 6.7.5, в (р0 = 0,1 МПа), но при другом на-
начальном давлении: р0 = 0,01 МПа (а) и 0,5 МПа (б)
длительности и амплитуды исходного сигнала, объемного содержа-
содержания и размера пузырьков и, что удивительно, от свойств газа
в пузырьках (см. также конец данного параграфа).
На рис. 6.7.6 на примере смеси воды с пузырьками воздуха
с теми же параметрами (сс2о = 0,02; аа = 1 мм) и таким же
исходным возмущением (iw = 3, t0 = 1 мс), что и в только что

ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
рассмотренных на рис. 6.7.5 вариантах, но с другими начальны-
начальными давлениями: в 5 раз больше (р0 = 0,5 МПа) и в 10 раз мень-
меньше (р0 = 0,01 МПа), проиллюстрировано влияние начального
давления на эволюцию и затухание возмущения конечной дли-
длительности. Отчетливо видно, что чем меньше давление, тем бы-
быстрее затухает ударный импульс. Это объясняется повышением
Рис. 6.7.7. То же, что и рис. 6.7.5, в (а0 = 1 мм), но при другом начальном
размере пузырьков: а0 = 0,1 мм (а); а0 = 0,5 мм (б)
роли тепловой диссипации (увеличением ^2) при понижении дав-
давления (см. также обсуждение рис. 6.7.4).
Аналогично тому, как проиллюстрировано влияние р0, на
рис. 6.7.7 на том же примере смеси воды с пузырьками воздуха
и при таком же исходном импульсе, которым соответствует
рис. 6.7.5, в, но с другими размерами пузырьков а0: в 10 раз мень-
меньшим (а0 = 0,1 мм) и в 2 раза меньшим (а0 — 0,5 мм), показано
влияние а0 на эволюцию ударного импульса. Видно, что умень-
уменьшение а0 повышает частоту осцилляции, уменьшает тенденцию к
осцилляциям и ускоряет затухание рассматриваемого ударного
импульса.
На рис. 6.7.8 показано сравнение расчетных и эксперимен-
экспериментальных результатов исследования затухания импульса конечной
длительности. Видно хорошее совпадение данных численного и
физического экспериментов, что свидетельствует о корректности

§ 7. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ
95
развитой в данной главе теории и полученных на ее основе ре-
результатов.
Встречное взаимодействие солитонов. На рис. 6.7.9 показаны
результаты численного эксперимента по анализу встречного
столкновения двух солитонов большой (рис. а, где АрA) « 4,3,
Д/П) да 2,5) и умеренной (рис. б, где АрA) « 0,6, Ар(П) « 0,4)
р,МПа
1 г.м 1,5 0 1 16 8 t,MC
О
Рис. 6.7.8. Расчетные (А. А. Губайдуллин) и экспериментальные (В. В. Куз-
Кузнецов и др., 1977) данные по затуханию треугольного импульса, исходная
осциллограмма которого при г = 0 показана линией К (интенсивность ис-
исходного импульса Дро = Аро/Ро = 0,48, длительность Д*о = 1,0 мс) в воде
с пузырьками углекислого газа (СОг), гелия (Не) и гипотетического адиаба-
адиабатического (А) газа. Параметры смесей: ро = 0,10 МПа, То = 293 К, аго =
= 0,01, а0 = 1,4 мм. На рис. а показано изменение максимального давле-
давления по глубине г; на рис. б показаны расчетные и экспериментальная ос-
осциллограммы давления p(t) для случая пузырьков СО2 на глубине
г = 0,6 м
интенсивностей. Для солитонов умеренной интенсивности
(рис. б) взаимодействие происходит как взаимодействие линей-
линейных волн, а именно: солитоны не обмениваются энергией, в мо-
момент их встречи (t = 1,2 мс) распределение давления соответ-
соответствует аддитивному их наложению, а после встречи солитоны,
пройдя друг сквозь друга, разбегаются, как будто не было
никакого взаимодействия, имея с учетом затухания из-за
диссипации первоначальные амплитуды. Такое взаимодействие
солитонов малой амплитуды в пузырьковых жидкостях, когда
наблюдается сохранение «индивидуальности» солитонов, описано
в экспериментальной работе В. В. Кузнецова и др. A978).
Для солитонов большой амплитуды линейность взаимодей-
взаимодействия хотя и нарушается, но только в момент их встречи. В рас-
рассмотренном примере на рис. 6.7.9, а в момент встречи солитонов
расчет дает более чем трехкратное усиление по сравнению с ад-
аддитивным сигналом (Артах ~ 22,8 вместо Apmaz = Арт + Ар{11) »
« 6,8). После встречи восстанавливается линейность взаимодей-

96
ГЛ G ДИНАМИКА. ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
ствия: солитоны, пройдя друг сквозь друга, разбегаются анало-
аналогично волнам умеренной интенсивности, как будто не было их
взаимодействия.
Отражение ударных волн от неподвижных поверхностей и
влияние на этот процесс дробления пузырьков. Рассмотрим сна-
сначала с помощью равновесных ударных адиабат, полученных в
1,+
1
Off
/
У1
О 0,04 0,08 0,12 0,16 г,м О 0,04 0,08 OfZ OJ6 Гум
a ff
Рис. 6.7.9. Взаимодействие солитонов большой и умеренной интенсивностей,
движущихся навстречу друг другу (/ — вправо, // — влево), в жидкости
(вода) с пузырьками углекислого газа (ро = 0,1 МПа, То = 293 К, аго =
= 0,02, а0 = 1,0 мм). Числа на кривых соответствуют времени t в мс
§ 3 и 4, параметры смеси, которые реализуются в результате от-
отражения ударной волны от жесткой стенки.
Пусть по неподвижной относительно стенки равновесной сме-
смеси навстречу этой стенке идет стационарная ударная волна, рав-
равновесные состояния за которой будем обозначать верхним ин-
индексом A). Эта ударная волна падает на стенку, отражается и
вдет в обратном направлении. Равновесное состояние, реализую-
реализующееся за отраженной ударной волной после ее выхода на ста-
стационарный режим, будем обозначать верхним индексом B).
Согласно уравнению сохранения импульса F.3.5) на ударной
волне изменение скорости между двумя равновесными состояния-

§ 7. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ 97
ми перед и за стационарной ударной волной определяется изме-
изменением давления
\Av\=Ap/pD, F.7.21)
где р — плотность среды перед волной, afl — скорость волны от-
относительно среды перед волной. Изменения скорости среды в
падающей и отраженной волнах равны, ибо перед падающей
волной среда покоилась (уо = О), за падающей волной она при-
приобретает скорость vw, а после полного отражения от стенки
среда снова покоится относительно стенки (уB) = 0). Тогда по-
получим условие отражения в виде
(D(l) = D* + i>A>). F.7.22)
Р<Л
Здесь учтено, что отраженная волна идет по среде в состоянии
A) и D(i) — скорость отраженной волны относительно среды в
состоянии A), индуцированном падающей волной; D* — скорость
отраженной волны относительно стенки.
Далее, если использовать упрощения из-за малости объемных
содержаний пузырьков и несжимаемости несущей жидкости
(ас<ос2<1), то в соответствии с ударными адиабатами имеем
^>=Pl°a2(Z)A))a,
Ро « Pi » РA)-
В результате несложных выкладок получим
F.7.24)
Подчеркнем, что в силу размазанности ударной волны давле-
давление рт установится по прошествии достаточного времени. Про-
Процесс отражения несильной ударной волны (стационарной к момен-
моменту отражения) от стенки показан на рис. 6.7.10, где приведены
результаты расчетов для двух смесей, различающихся только
размером пузырьков. Видно, что с уменьшением размера пу-
пузырьков длины релаксационных зон уменьшаются, а при аа =>
= 0,5 мм волны имеют практически монотонные структуры.
В опытах на ударных трубах давление рт не всегда может
быть зарегистрировано в силу специфики самого эксперимента.
Если длина релаксационной зоны падающей волны велика, то
волна разрежения из камеры высокого давления ударной трубы
может достичь противоположной стенки еще до момента уста-
установления равновесного давления. При этом максимальное заре-
зарегистрированное давление на стенке р% будет меньше, чем его
ожидаемое равновесное значение. Таким образом, регистрируе-
регистрируемое в опытах Psj. может зависеть от целого ряда факторов:
начального размера пузырьков, теплофизических свойств газовой
' Р. И Нигматулин, ч. II

98
ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
фазы, интенсивности волны, наличия или отсутствия эффектов
дробления пузырьков и т. д. При прочих равных условиях на
величину р^ может влиять и длина камеры высокого давления
ударной трубы. Отметим, что при достаточной интенсивности па-
1,5
а
If
ЛЛ/W^
ч
р
1,5
ill
IT
p,
Ш
f
Рис. 6.7.10.Отражение удар-
ударной волны в воздухо-водя-
ной пузырьковой смеси от
жесткой стенки. Падающая
волна в равновесной смеси
создавалась путем мгновен-
мгновенного повышения давления
от ро = 0,1 МПа до ре =
= 0,13 МПа на границе
г = 0. Стенка расположена
на расстоянии г = 1 м от
места инициирования. Па-
Параметры смеси: сего = 0,01,
а0 = 1.5 мм (кривые 1) шли
а0 = 0.5 мм (кривые 2);
а — «осциллограммы» дав-
давления на расстоянии 0,25 м
от стенки (г = 0,75 и); б —
осциллограммы давления
на стенке (г = 1 ы)
t,MC
дающей волны пузырьки дробятся, и протяженность релаксаци-
релаксационной зоны (размытость профиля) волны резко сокращается.
В этом случае равновесные максимальные давления за отражен-
отраженными волнами, как правило, успевают устанавливаться до при-
прихода волн разрежения. В случае отсутствия дробления пузырь-
пузырьков в волне ситуация резко меняется, так как размытость фрон-
фронта падающей волны сильно возрастает.
Примеры, иллюстрирующие отражение ударных импульсов
конечной длительности от жесткой стенки, обсуждаются ниже.
На рис. 6.7.11 показан процесс прохождения импульса ко-
конечной длительности через слой (толщиной Ь = 0,2 м и плот-
плотностью Pi) чистой (без пузырьков) жидкости, которую можно
рассматривать как несжимаемое тело, и волновые процессы в нем
можно не принимать во внимание. Тогда на границах г = г0 и
г = г0 + Ъ этого несжимаемого слоя граничные условия имеют вид
w(re, t)=*v{rt + b, t)=Vb{t),
fa)
дг )г=
IT- F-7.25)
Результаты расчета показывают заметное ослабление прошед-
прошедшей волны.

§ 7. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ
99
Прохождение ударного импульса через контактную границу
между пузырьковой и однофазной средами. Решением вышеука-
вышеуказанных уравнений пузырьковой жидкости по заданному закону
движения «поршня» в начале (г = 0) пузырькового слоя v @, t) =
=* V(t) определяется нестационарное волновое течение в пузырь-
пузырьковой жидкости и, в том чис-
числе, изменение давления на
«поршне» П@ = р@, t). И
обратно: по давлению H(t)
можно определить волновой
ироцеес и закон движения
«поршня», создающего это
давление. Представляет ин-
интерес рассмотреть прохожде-
прохождение волновых импульсов из
газовой или жидкой среды
о
/ г,м
в пузырьковую.
Рис. 6.7.11. Прохождение и отражение
импульса конечной длительности через
Пусть область г >0 за- слой толщиной 6 = 0,2 м @,5 <г:
„ =S^ 0,7 м) несжимаемой жидкости (во-
нята пузырьковой жид- ¦
костью, а область г < 0 —
однофазной средой — газом
или жидкостью. Рассмотрим
прохождение ударного вол-
волнового импульса сжатия че-
через контактную границу
; , ) д (
ды), находящейся в пузырьковой газо-
газожидкостной среде (вода с пузырьками
СО2, ро = 0,1 МПа, Го = 293 К, а20 =
= 0,01, а0 = 1,4 мм). Параметры исход-
исходного импульса при г = 0 — те же, что
и на рис. 6.7.8 (Др0 = 0,48, Мо = 1 мс;
см. линию К на рис. 6 7.8, б). Штрихо-
Штриховая линия — падающий импульс (до от-
г = 0 из однофазной среды Ранения); сплошная линия-отражен-
м ^ *\" ныи и прошедший сигнал. Числовые
в пузырьковую жидкость (см. указатели у кривых соответствуют вре-
рис. 6.7.12). В общем слу- мени t в мс
чае анализ такого процесса
связан с совместным решением уравнений движения в обе-
обеих средах с учетом граничного условия непрерывности нормаль-
нормального напряжения (давления) и скорости на контактной границе.
Если область г < 0 занята газом, то отраженная от более
«жесткой» в акустическом отношении пузырьковой жидкости
волна R будет ударной волной сжатия. Ее параметры, а вместе
с ними и изменение давления П (t) на контактной границе г = 0
достаточно точно можно определить независимо из решения за-
задачи об отражении волны So от жесткой стенки. Это связано с
тем, что акустическая жесткость рС пузырьковой среды из-за ее
большой плотности (р > pg) много больше акустической жестко-
жесткости газа psCg, и реализующаяся после прохождения волны ско-
скорость пузырьковой жидкости и контактной границы V(t) =
= у@, t) ~ Ар/(рС) мала по сравнению с массовой скоростью
газа vg ~ Ap/pgCg за падающей ударной волной 50. Поэтому от-
отраженная волна R в газе не «чувствует» податливость границы
пузырьковой жидкости. Имея изменение давления П(?) на кон-
контактной границе, можно отдельно решать уравнения пузырько-
7*

100
ГЛ. 6 ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
вой жидкости с граничным условием первого рода F.7.10), оп-
определяя эволюцию воины сжатия Sb и изменение скорости среды
на контактной границе V(t).
Если область г < 0 занята однофазной жидкостью (например,
той же жидкостью, что и в области
г > 0, но без пузырьков), то в резуль-
результате взаимодействия волны сжатия So
с контактной границей, разделяющей
«чистую» жидкость и более мягкую
в акустическом отношении пузырько-
пузырьковую жидкость, отраженная волна R
будет волной разрежения. Рассмотрим
задачу такого волнового взаимодей-
Рис 6.7.12. Диаграмма г, t, ствия, когда однофазная жидкость в
иллюстрирующая схему от- области г < 0 может рассматриваться
как линейная акустическая среда
с плотностью Pi и скоростью звука 6(.
R
ражения ударной волны So
(пришедшей из области
г < 0) от контактной гра-
границы г = 0, разделяющей Движение такой среды описывается
, ршед
ласть г > 0; R — отражен-
отраженная волна (волна сжатия
или разрежения)
две среды; аь — ударная линейными волновыми уравнениями
волна, прошедшая в об- для скорости „ и давления р (см. так-
также | 6). Общее решение этих уравне-
уравнений имеет вид суперпозиции двух про-
простых волн, распространяющихся со
скоростью d в положительном (волна Р) и отрицательном (вол-
(волна Q) направлениях оси г:
v(r,t)/C1 = P(r — C1t) + Q(r + C1t),
Р (г, O/(PiCi) = Р (г - Cxt) -Q(r+ Cxt). ^ '' *
Легче решается обратная задача: по заданным V(t) и П(^), оп-
определяющим изменение скорости и давления на контактной гра-
границе г = 0, которая разделяет пузырьковую (г > 0) и однофаз-
однофазную (г<0) жидкости (причем П(?) находится по V(t) (или
наоборот) из решения уравнений пузырьковой жидкости при
г > 0), восстановить импульс в однофазной жидкости, который
инициирует заданные возмущения V(t) и П(г). Действительно,
из условия непрерывности давления и скорости на контактной
границе г= 0 имеем
Решая эти уравнения, получим соответственно для падающей и
отраженной волн в «чистой» жидкости
F.7.28)
t<0).

§ 7. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ ЦI
Изложим решение прямой задачи: по заданному импульсу в
однофазной жидкости Р(г) при ?<0 (до его прихода на грани-
границу с пузырьковой жидкостью) найти возникающее движение в
пузырьковой жидкости (г>0) и отраженный сигнал Q(r + Cit).
Пусть при t = О пузырьковая жидкость покоится, а исходный
сигнал P{r — C(t) при г<0 подошел к контактной границе
г = 0. Зададимся малыми приращениями времени tw = At и ско-
скорости AFA) = F(?i), причем Д^ много меньше характерной дли-
длительности сигнала, a AV много меньше характерной массовой
скорости в исходном сигнале. Решая уравнения пузырьковой
жидкости, можно найти соответствующее давление U(t(i)), а за-
затем, используя F.7.28), найти P(tw) и Q(tw). Несовпадение
P(t{i)) и P(t{t)) говорит о необходимости уточнения AV<1> и т. д.
Практически корректировку можно делать на следующем шаге
tm — tw + At. При выборе AV следует иметь в виду, что мак-
максимальная акустическая жесткость области г > 0 будет, когда
эта область занята чистой жидкостью и V(t)= CJP(Cit), а мини-
минимальная — когда реализуется постоянное давление при г = О и
V() = 2ClP(Clt). Поэтому
< V(t) < 2СгР(С^) . F.7.29)
Если объемное содержание пузырьков достаточно, чтобы вы-
выполнялось условие Се <S С4 (или в соответствии с F.4.14)
«2 ^>ас/2, что есть достаточное условие несущественности сжи-
сжимаемости несущей жидкости в пузырьковой смеси), то решение
вышеуказанной прямой задачи об отражении упрощается. Дей-
Действительно, учитывая, что для возмущения давления в пузырь-
пузырьковой смеси можно использовать оценку П ~ pCeV, из F.7.28)
имеем
Р (- Clt) = ^ [l + <>(?)], Q(Clt) = 2-L[l - О (?)]. F.7.30)
Отсюда следует, что в рассматриваемом случае скорость кон-
контактной границы V(t) при отражении ударного импульса
P(r — Cit), приходящего из однофазной жидкости, можно опреде-
определять, используя схему отражения от свободной поверхности, на
которой возмущения давления равны нулю. По этой схеме мас-
массовая скорость после отражения становится в 2 раза больше мас-
массовой скорости за падающей волной,
V(t)*2ClP{-Cit). F.7.31)
Решая уравнения пузырьковой жидкости с граничным условием
второго рода F.7.11), можно найти течение в пузырьковой об-
области и давление на поршне П(?). При необходимости это реше-
решение можно уточнить во втором приближении, определив по U(t)

102 ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
отраженный импульс Q{Cit) и уточнив V(t):
Q @,1) =P(- CJ) - П (i)/(p°C*), ?
V{t) = C1[2P{-C1t)-n(t)/(9lc{)l
Следует иметь в виду, что если падающий импульс сжатия Sa
в однофазной жидкости достаточно сильный [&.р > р0) и имеет
конечную длительность, т. е. за волной сжатия следует волна
разгрузки, то после отражения от контактной границы с пузырь-
пузырьковой средой в отраженной волне разрежения R давление может
стать отрицательным, что при достаточной длительности импуль-
импульса может вызвать кавитацию.
Пузырьковые экраны для демпфирования и усиления удар-
ударных волн. Пузырьковые или пористые жидкости, как и всякая
пористая среда, могут использоваться для гашения или поглоще-
поглощения ударных импульсов. Радиальная инерция несущей жидко-
жидкости и тепловые процессы в пузырьках приводят к необычным
эффектам. Дело в том, что, как будет показано ниже, иногда пу-
пузырьковые или пористые экраны могут не ослаблять, а усиливать
импульсное воздействие на конструкцию.
На рис. 6.7.13 приведен пример расчета волнового процесса
в слое пузырьковой жидкости (вода + воздух) толщиной Ьь =
= 0,4 м, прилегающем к неподвижной жесткой стенке и отделя-
отделяющем ее от области, занятой однофазной жидкостью (водой) без
пузырьков. Исходное состояние системы — покой (v = 0, р=Ро).
Приведены три развертки изменения давления во времени в трех
точках: в однофазной жидкости (точке L на расстоянии 1,05 м
от контактной границы с пузырьковой жидкостью), на контакт-
контактной границе (точке К) и на жесткой стенке W при падении удар-
ударной волны бесконечной длительности со стороны «чистой» жид-
жидкости (состояние «чистой» жидкости за падающей волной по-
помечено цифрой I). Время t — Q соответствует приходу фронта
этой волны на контактную границу с пузырьковой жидкостью,
после чего в «чистую» жидкость идет волна разрежения, а в пу-
пузырьковый слой — волна сжатия. Состояние среды на контактной
границе после сжатия в падающей ударной волне и разгрузки
помечено цифрой П. Так как чистая жидкость слева неограниче-
на и распространяющихся вправо других волн, кроме падающей,
нет, то в ней при t > 0 возможны только простые волны, распро-
распространяющиеся влево (ф-волны):
* > 0: р (г, t) = Pl- plclQ (r + C,t),
0 . F.7.33)
v (r, t) = Vl + CXQ (r + Cxt) (Pl -Po C)
Таким образом, в однофазной жидкости, в том числе и на кон-
контактной границе, имеет место зависимость p(v)
Р (г, t) = po + 2 (pj - р0) - p\ClV (r, t), F.7.34)

§ 7. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ
103
которой соответствует наклонная прямая на графике pK{vK) на
ряс. 6.7.13. Образовавшаяся в пузырьковой жидкости ударная
волна сжатия, состояние среды за которой рп, Vn, достигает
стенки W. После отражения ударная волна возвращается к кон-
контактной границе К, от которой также отражается. После этого
I
Рис. 6.7.13. Расчетные «осциллограммы» на датчиках L, К и W при
прохождении бесконечно длинной (стационарной) ударной волны
интенсивностью pi = pi/po = 1,6 из однофазной жидкости (воды;
г < 0, ро = 0,5 МПа) в пузырьковый экран @ < г < 0,4 м, вода + воздух;
Ро = 0,5 МПа; То = 293 К; aSo = 0,02; со = 1,0 мм) и отражении от твердой
стенки [г = 0,4 м). Буквенные указатели Z, К, W соответствуют «датчикам»
в жидкости (г = —1,05 м), на контактной границе (г = 0) и на твердой
стенке (г = 0,4 м). Буквой W отмечена «осциллограмма», когда вместо пу-
пузырькового экрана имеется «чистая» (однофазная) вода. В координатах
Рк»к показана зависимость давления и скорости на контактной границе К
после прохождения ударной волны. Цифра / соответствует состоянию за
падающей волной, // — состоянию на контактной границе К после прохож-
прохождения волны в пузырьковый экран, /// — состоянию после прихода па кон-
контактную границу К отраженной волны от твердой стенки W. Показания
«датчика» L после прохождения волной контактной границы повторяют по-
показания «датчика» К с запаздыванием At = 1,05/1500 — 0,7 мс
отражения и затухания осцилляции давление и скорость на кон-
контактной границе равны ргц и vul. В результате многократных
отражений состояние на контактной границе и в пузырьковом
экране (в том числе и на стенке W) стремится к состоянию пол-
полного отражения, помеченного буквой е:
— /?o), ve = 0. F.7.35)
В рассмотренном варианте это состояние достигается ко време-
времени t — tb ~ 20 мс. Если бы пузырьков не было, то состояние пол-

104 гл. 6. динамика пузырьковых жидкостей
ного отражения е на стенке было бы достигнуто практически
мгновенно (см. линию W). Таким образом, если длительность
сжатия в падающей волне меньше tb (причем tb пропорциональ-
пропорционально Ьь), то полное отражение с давлением ре не успевает произой-
произойти, и пузырьковый экран смягчает удар на стенку.
Противоположный эффект может реализоваться, если пузырь-
пузырьковый или пористый экран «защищает» стенку от достаточно
длинных ударных волн из газа или из среды в акустическом от-
отношении более мягкой, чем пузырьковая жидкость.
На рис. 6.7.14 приведен результат численного эксперимента,
иллюстрирующий волновой процесс в слое пузырьковой жидко-
жидкости, или, другими словами, пузырьковом или пористом экране
@^г^0,4 м), прилегающем к неподвижной стенке W
(г = 0,4 м) и отделяющем ее от области, занятой газом (г<0).
Из газа на контактную границу К (г = 0) между газом и пу-
пузырьковой жидкостью падает ударный импульс. Момент дости-
достижения фронтом этого импульса границы К принят за t = 0. Рас-
Распределение давления по координате исходного импульса показа-
показано на рис. б за 0,1 мс до достижения импульсом границы К
(? = — 0,1 мс). В этот момент длина импульса Ls « 0,35 м. В ре-
результате взаимодействия этого импульса с контактной границей
К в газ отражается ударная волна, параметры и эволюция кото-
которой будут практически такими же, как при отражении рассмат-
рассматриваемого импульса от неподвижной стенки (см. обсуждение
после рис. 6.7,12). Одновременно в пузырьковый слой пройдет
ударный импульс сжатия. На рис. 6.7.14 представлен такой ва-
вариант, когда характеристики пузырьковой жидкости, развертка
давления р @, t) при г = 0 (показанная линией К на рис. г),
а следовательно, и прошедший в пузырьковый слой импульс точ-
точно такие же, что и на уже обсуждавшемся рис. 6.7.5, в. Соответ-
Соответствующий период до момента, когда импульс достигпет стенки
W, показан в виде эпюр давления на рис. б. После отражения
от неподвижной стенки W сигнал вернется на границу К; здесь
возникает волна разрежения, как на свободной поверхности, где
р — р0. Эта волна может вызвать снижение давления по сравне-
сравнению с начальным. Эпюра давления при t = 18,2 мс соответству-
соответствует максимальному снижению давления за все время процесса,
когда пузырьковый экран из-за упругости газа и инерции жид-
жидкости расширяется.
На рис. 6.7.14, г показаны изменения давления в трех точках:
в газе (G), на контактной границе (К) и на неподвижной стенке
(W). Максимальное давление на стенке W равно р=А, хотя
без пузырькового экрана (даже если стенку поместить в г = 0,
что укоротит конструкцию) изменение давления во времени бу-
будет определяться линией К с максимальным давлением р = 3.
Таким образом, в отличие от пузырькового экрана, защищающе-
защищающего стенку от ударных воздействий в жидкости, при рассмотрен-

§ 7. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ
105
ных размерах и параметрах смеси и исходного импульса пу-
пузырьковый экран между стенкой и газом не уменьшает, а уве-
увеличивает максимальное давление на стенке. Ясно, что удлинение
в
7,0 _
37
У
Ч
ч
1
«А ^
t.MC
Рис. 6.7.14. Эволюция (расчетная) волнового импульса, проходящего (б) в
момент t = 0 из воздуха (г < 0, ро = 0,1 МПа, Го = 293 К) в слой воды
с пузырьками воздуха или азота @ < г < 0,4 м, р0 — 0,1 МПа, Го = 293 К,
а0 = 1 мм, а2о = 0,02), а затем отражающегося (в) в момент t « 3,3 мс
от жесткой стенки (г = 0,4 м). Процесс показан в виде эпюр давления р(г)
(бив) в выделенные моменты времени t (мс), отмеченные цифровыми ука-
указателями, а также в виде «осциллограмм» давления p(t) (г) на трех «дат-
«датчиках» G, К и W (показанных на рис. а, а именно: в воздухе («датчик» G
при г = —0,2 м), на контактной границе (датчик» К при г = 0) и на же-
жесткой стенке («датчик» W при г = 0,4 м)
пузырькового экрана в конце концов за счет ослабления падаю-
падающего сигнала из-за тепловой диссипации и размывания из-за
дисперсии будет ослаблять воздействие на стенку. Помимо объ-

fj
5
3
Ato = 4
MC
\
V
\
V
\
\
\
ff
ti_i
/
S t,MC
0 Z
ff 9
17 t.MC
ff t,MC
Рис. 6.7.15. Расчетные «осциллограммы» давления на жесткой стенке (см.
«датчик» W на рис. 6.7.14, а при г = 0,4 м) в результате прохождения вол-
волновых импульсов различной длительности через примыкающий к стенке
«экран» толщиной L = 0,4 м из пузырьковой жидкости (вода + пузырьки
воздуха). Параметры экрана те же, что и на рис. 6.7.14. Линии К соответ-
соответствуют «осциллограммам» давления p(t) исходных импульсов на входе в
экран (г = 0). Рис. а, 6, в, г соответствуют различным длительностям сиг-
сигнала &.ta-*-°°; 4; 1; 0,5 мс (Ata = 1 мс (в) соответствует рис. 6.7.14, г)
СО,
\ш
2
p
z
J
J
у
V
\_
] W
J1J\/V\
h
к
не
/KJ
0
4 t.MC
Рис. 6.7.16. То же, что и рис. 6.7.15, в и 6.7.14, г, но для экранов из воды с
пузырьками разных газов: углекислого газа, воздуха или азота и гелия. Ос-
Остальные параметры и обозначения те же, что и на рис. 6.7.14. Эволюции
проходящих импульсов см. рис. 6.7.5.

§ 8. ВЛИЯНИЕ ДРОБЛЕНИЯ ПУЗЫРЬКОВ 107
емного содержания пузырьков, их размера, начального давления,
длины экрана, амплитуды исходного импульса, изменение дав-
давления на стенке и усиление или ослабление импульса сильно за-
зависят от длительности исходного импульса и сорта газа. Это про-
проиллюстрировано на рис. 6.7.15 и 6.7.16. Большая длительность
импульса и менее теплопроводный газ в пузырьках могут вызвать
во много раз большее увеличение давления (усиление), действу-
действующего на стенку, за счет пузырькового экрана при падении
ударного импульса из газа.
Отметим, что впервые «аномальные» всплески давления при
отражении от стенки ударного импульса в пузырьковой жидкости
были отмечены в теоретическом исследовании В. К. Кедринского
A968, 1980).
§ 8. Влияние несферичности, дробления
и размельчения пузырьков на распространение волн
в жидкости с пузырьками газа
Наблюдения с помощью скоростной киносъемки за поведе-
поведением пузырьков в ударных волнах (Б. Е. Гельфанд, С. А. Губин
и др., 1975; В. В. Кузнецов, В. Е. Накоряков и др., 1977) пока-
показывают, что пузырьки могут иметь форму, сильно отличающуюся
от сферической, и тем не менее, теория, основанная на уравнении
типа Рэлея — Ламба для радиального движения вокруг пузырь-
пузырьков, выведенного в предположении сохранения их сферической
формы, хорошо описывает эволюцию волн, если нет дробления.
Видимо, уравнение Рэлея — Ламба правильно описывает главное,
а именно: изменение объема пузырьков, несмотря на потерю ими
сферической формы.
Крайним проявлением потери сферической формы пузырьков
является их дробление. Реализация дробления кардинально вли-
влияет на структуру волны в пузырьковой среде. В частности, ин-
интенсивное дробление исходных пузырьков на мелкие, происходя-
происходящее в достаточно сильных волнах, как правило, уже при пер-
первом сжатии пузырьков на переднем фронте волны приводит к
тому, что в релаксационной зоне волны находятся мелкие пу-
пузырьки, имеющие много меньшие, чем у исходных пузырьков,
период пульсаций и время охлаждения. Это во много раз сокра-
сокращает толщину релаксационной зоны волны. В результате может
стать достаточной равновесная схема смеси, сводящаяся к мо-
модели идеальной баротропно сжимаемой жидкости с заранее опре-
определяемым (см. A.5.26)) уравнением состояния р(р).
Схема идеальной баротропной и вязко-упругой жидкостей для
описания волновых процессов. Уравнение состояния для смеси
несжимаемой жидкости (р° = const) и газа при пренебрежимо
малых капиллярных эффектах B2/я < />) и в равновесном при-

108 ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
ближении (рх = Р2 — р, Tt = Г2 = Т) имеет вид, следующий из
A.5.28):
^^ (gI/2 ^I/^. F.8.1)
р(р) ^^, e
В этой модели упругая волна описывается в виде скачка, расчет
которого производится с учетом известных законов сохранения
на скачке
F.8.2)
где D — скорость скачка, ve — скачок скорости, или скорость сре-
среды за скачком относительно среды перед скачком, р0, р0 и ре, ре —
плотность, давление перед и за скачком. В результате нетрудно
получить в явном виде равновесную ударную адиабату, соответ-
соответствующую F.4,15) и реализующуюся в случае достаточно мел-
мелких пузырьков:
Ре
F.8.3)
Некоторые решения на основе рассмотренной равновесной
схемы даны ниже в § 9. Модель идеальной сжимаемой жидкости
на основе F.8.1) для расчета взрывов в пузырьковых жидкостях
использовалась в работе (В. Parkin, F. Gilmore, H. Brode, 1961).
В случае очень мелких пузырьков и очень вязкой жидкости,
когда а У PPi/l^i <1 и зона релаксации волны может иметь ко-
конечную толщину, на которой будут выравниваться давления фаз,
смесь описывается системой уравнений вязко-упругой жидкости
A.5.21). Исследование нестационарных течений пузырьковых
смесей в рамках такой модели вязко-упругой жидкости имеется
в книге Г. М. Ляхова A982).
Влияние малой плотности газа на дробление пузырьков. Раз
дробление пузырьков может кардинально влиять на структуру
поведения волны, нужно выяснить условия дробления, какие па-
параметры фаз влияют на него и, в частности, влияют ли свойства
газа в пузырьках на критическую интенсивность ударной волны,
выше которой волна разрушает пузырьки.
Если рассмотреть процесс обтекания пузырька или капли
со скоростью wiZ, то анализ размерностей выявляет в качестве
критерия разрушения превышение числа Вебера некоторого кри-
критического значения
^^~l, F.8.4)
где р„. — плотность, и на первый взгляд представляется, что

§ 8. ВЛИЯНИЕ ДРОБЛКНИЯ ПУЗЫРЬКОВ 109
это — плотность обтекающей фазы, т. е. в случае капель — плот-
плотность газа, а в интересующем нас случае пузырьков — плотность
жидкости.
Коэффициент поверхностного натяжения 2 определяется ве-
веществом жидкой фазы (вещество газовой фазы очень слабо вли-
влияет на 2) и зависит от ее температуры Тъ на межфазной грани-
границе, которая, как уже отмечалось (см. § 6 гл. 1), в отличие от
температуры основной массы газа практически не меняется
(Тъ = Та). Нужны очень сильные ударные волны (ре/р0>-10),
чтобы при сжатии за счет повышения температуры газа в ядре
пузырька повысилась температура жидкости на стенке пузырька.
Далее, скорость обтекания пузырьков ы>12 = Vi — v2 в волне
также пе должна зависеть от вещества газовой фазы (см. урав-
уравнения импульса для vt и vz в A.5.4)), ибо инерция пузырька
фактически определяется присоединенной массой жидкости, ко-
которая во много раз превышает массу пузырька.
Таким образом, напрашивается вывод, что свойства газа не
должны влиять на условия дробления пузырьков. Результаты экс-
экспериментов (Б. Е. Гельфанд, С. А. Губин и др., 1977) дали про-
противоположный результат. При фиксированном исходном давле-
давлении р0 « 0,1 МПа и размере пузырьков а0 « 2 мм воздушные или
азотные пузырьки дробятся волной с интенсивностью ре/р0 > 3,
а при pjpo ~ 15 азотные пузырьки дробятся в «пыль», т. е. на
очень мелкие пузырьки (а < 0,1 мм). Гелиевые пузырьки не дро-
дробятся волной ре/ро = 8, а водородные — не дробятся волной
Ре/ро = 50. Таким образом, обнаружена качественно большая ус-
устойчивость гелиевых и водородных пузырьков к действию удар-
ударных волн по сравнению с воздушными или азотными.
Чтобы понять этот эффект, необходимо привлечь более тон-
тонкий, чем только что приведенный, анализ, например рассмотреть
поведение и устойчивость газовой сферы с плотностью ps в по-
потоке жидкости с плотностью Pj. Приближенный анализ этого
процесса дан в § 2 гл. 2. Полученные там формулы B.2.8) и их
обсуждение показывают, что если разрушение капли или пу-
пузырька описывается механизмом Кельвина — Гельмгольца (схе-
(схема б в B.2.8) и на рис. 2.2.2), то условие дробления задается ди-
динамическим напором в газовой фазе, т. е. определяется плот-
плотностью газа, в отличие от интуитивной предпосылки при обсуж-
обсуждении формулы F.8.4) и схемы а в B.2.8) и на рис. 2.2.2, в ко-
которой разрушение описывается механизмом Рэлея — Тейлора и
определяется плотностью жидкости.
Учитывая отмечавшийся экспериментальный факт большей
устойчивости в ударных волнах водородных и гелиевых пузырьков
по сравнению с более «плотными» воздушными, можно заклю-
заключить, что в ударных волнах определяющим механизмом разруше-
разрушения пузырьков является механизм Кельвина — Гелъмгольца по
схеме б в B.2.8).

110 ГЛ. 0. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
В ударных волнах относительная скорость фаз по порядку
величины составляет
F.8.5)
Подставляя эту оценку в формулу B.2.86), получим условие
дробления через параметры фаз и интенсивность ударной
волны
~^а2о"Т —п ) ^ (о.б.о)
Р; \ ^о /
Это условие подтверждается экспериментальным фактом боль-
большей «прочности» пузырьков более легкого газа (с меньшим pg)
при прочих равных параметрах. Для более точного описания раз-
разрушения пузырьков в ударных волнах, более точного учета вли-
влияния вязкости, начального давления*), интенсивности волны,
объемного содержания и начальной несферичности пузырьков
необходимы дальнейшие экспериментальные и теоретические ис-
исследования.
Отметим, что влияние малого параметра Pg/pi на каче-
качественную картину движения поверхности раздела газа и жид-
жидкости отмечалось исследователями (G. Birkhofi', 1960; Ю. Л. Яки-
Якимов, 1973).
Дробление пузырьков, сильно уменьшая их размер, умень-
уменьшает и толщину ударных волн или толщины переходных зон,
в которых происходит переход из исходного состояния в состоя-
состояние за волной. Уменьшение толщины волны соответствует умень-
уменьшению размывания или дисперсии волны, что может приводить
к более позднему затуханию впереди идущей волны из-за иду-
идущей сзади волны разгрузки. В среде с измельченными из-за дроб-
дробления пузырьками может быстрее реализоваться и отражение
волны от твердой стенки, приближаясь к отражению, соответ-
соответствующему идеальной сжимаемой жидкости.
Таким образом, стимулируя и предотвращая дробление пу-
пузырьков, например, за счет введения в жидкость поверхностно-
активных веществ (ПАВ), влияющих на коэффициент поверх-
поверхностного натяжения 2, за счет изменения сорта газа, интенсив-
интенсивности и длительности возмущения можно влиять на эволюцию,
затухание и отражение волн в пузырьковых жидкостях, в част-
частности, на максимальное давление, воздействующее на элементы
конструкции, контактирующие с пузырьковой средой.
*) О влиянии начального давления па дробление пузырьков в ударных
волнах см. обсуждение рис. 6.7.4.

§ 9. СФЕРИЧЕСКИЕ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ Щ
§ 9. Сферические и цилиндрические волны
в пузырьковых жидкостях
Для того чтобы помимо плоского одномерного (v = 1) тече-
течения пузырьковой жидкости в лагранжевых переменных г и t
описать течения с цилиндрической (v = 2) и сферической (v = 3)
симметриями, необходимо вместо F.7.2) и первых трех уравне-
уравнений F.7.3) использовать их обобщения, следующие из A.10.14)
или A.10.15):
dIl + р2 [_Р_ (JL.Y-1 *!. + (v~1L = о,
Остальные уравнения имеют тот же вид, что и в F.7.3). Нетруд-
Нетрудно показать, что сохраняют тот же вид уравнения F.7.6), а вме-
вместо F.7.5) имеет место
il = ?0. (Л Y \^?L _ (V~H F 9 2^
dr p \ x J I a x У \ ¦ • I
Продифференцируем это уравнение по t, а уравнение импуль-
импульсов по г и в результате получим обобщение уравнения F.7.9)
^TlT/J F.9.3)
Остальные уравнения для описания движения пузырьковой
жидкости имеют тот же вид, что и в § 7. Процедура расчета так-
также аналогична описанной в § 7, с той лишь разницей, что при
vt^I (v = 2 и 3) для решения необходимо вычислять эйлерову
координату частиц x(t, r), используя второе уравнение F.9.1).
Неравновесные эффекты. На рис. 6.9.1 приведены результаты
решения задач со сферическими (v = 3), цилиндрическими
(v = 2) и плоскими (v = l) волнами, инициируемыми расширя-

112
ГЛ 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
ющимся «поршнем», создающим постоянное давление при его
расширении по определяемому в процессе решения задачи зако-
закону xp(t). Затухание переднего фронта из-за растекания приводит
к меньшим осцилляциям и, в связи с этим, к меньшей роли теп-
тепловой диссипации и свойств газа. По мере распространения вол-
волны возмущение для каждой частицы среды становится все более
Р
Рис. 6 91. Сравнение распределений давления в разные моменты времени
после начала движения плоского (v = 1), цилиндрического (v = 2) и сфе-
сферического (v = 3) поршней (начальное положение поршня: t = О, го =
= 0,05 м), реализующих постоянное давление рр — 3 р0 и вдвигающихся в
пузырьковую жидкость (вода + воздух: ро = 0,1 МПа, То = 293 К, а0 =
= 1 мм, а20 = 0,02). Штриховые линии для v = 3 соответствуют автомо-
автомодельному решению (г0 = 0) для равновесной схемы («а = 0») газожидкост-
газожидкостной смеси, когда vp = const в соответствии с F.9.14) и F.9.15), а именно:
для рР = 3 имеет место vv = 0,172 (vp = 12,2 м/с). Числовые указатели на
кривых соответствуют времени t мс
плавным, разница давлений между фазами и роль радиальной
инерции жидкости уменьшаются. Для цилиндрического (v = 2)
и сферического (v = 3) режимов при сохранении постоянными
давления на поршне или скорости поршня неравновесные эффек-

§ 9. СФЕРИЧЕСКИЕ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ ЦЗ
ты, связанные с несовпадением давлений и температур фаз,
уменьшаются, так как распределение параметров выполажива-
ется и стремится к такому, которое следует из равновесной схе-
схемы газожидкостной среды (штриховые линии для v =3 на
рис. 6.9.1).
Автомодельная задача о поршне в равновесной газожидкост-
газожидкостной среде. Рассмотрим задачу о плоском, цилиндрическом или
сферическом поршне, равномерно расширяющемся по закону
Хр = vPt в газожидкостной смеси. При этом рассмотрим равновес-
равновесное приближение для описания поведения смеси как идеальной
баротропно сжимаемой жидкости, когда уравнение состояния
имеет вид A.5.28). Ограничимся пока случаями, когда сжимае-
сжимаемостью несущей фазы можно пренебречь (а2 >> ас, р^ = const),
тогда уравнения состояния A.5.28) упрощаются и принимают вид
F.8.1).
Уравнения массы и импульса сферически-симметричного дви-
движения в эйлеровых переменных х, t имеют вид
dt дх
' dt ' дх ' р дх v '
=Q ^ + v + ^
дх х ' dt ' дх ' р дх
Естественно предположить, что передний фронт возмущения бу-
будет распространяться со скоростью D в виде скачка уплотнения,
параметры за которым будем обозначать нижним индексом /.
Уравнения сохранения массы и импульса на скачке
p0D = Pf(D — Vf), pt — p0 = p0Dv, F.9.5)
вместе с уравнением состояния F.9.1) следующим образом оп-
определяют массовую скорость вещества vf и скорость скачка D
по невозмущенной среде через давление за скачком pf:
v = UZjo ,/Чо D = т/_Р1_. F.9.6)
Введем безразмерные переменные
^ Г ^V F.9.7)
Найдем автомодельное решение задачи для равномерно движуще-
движущегося поршня, когда все безразмерные переменные зависят только
от одной безразмерной переменной %, а именно:
»=-»(Я,), р = р(Ь), Р~=Р~(Я). F.9.8)'
Тогда F.9.4) сводятся к обыкновенным дифференциальным
8 Р. И. Нигматулин, ч. II

114 гл. 6. динамика пузырьковых жидкостей
уравнениям
p+(vA>• F.9.9)
v ' dX l p dx e «iol-р
с граничными условиями на поршне (Я = ЯР) и на скачке
(Я = Я/)
= vp = Kp (р = рР, p = pP),
— — F.9.10)
v=*vt, p=pf, p = pf,
причем в соответствии с F.9.6) координата скачка и массовая
скорость за скачком определяются через давление:
|7 F.9.11)
Для плоских волн (v = 1) за скачком реализуется однородное
течение, и vp — vt, pP = pj. Для цилиндрических и сферических
волн решение краевой задачи F.9.9), F.9.10) можно найти чис-
численно методом пристрелки, варьируя р/ ж решая задачу Коши
в области кР < К < Я/, причем величину pf нужно выбрать таким
образом, чтобы удовлетворить известному граничному условию на
поршне (Я=ЯР, v = ЯР), определяемому скоростью поршня vp,
что одновременно позволит определить давление на поршне рР и
реализуемые параметры скачка F.9.11).
Учитывая, что 1^ р^а^при малых объемных содержаниях
газа (<х2о < 1, но a2t> >ac), решение можно найти приближенно,
пренебрегая в дифференциальных уравнениях переменностью
плотности и полагая р « 1. Тогда уравнения F.9.9) упрощаются
и распределение скоростей и давлений между поршнем и скач-
скачком будет, как в несжимаемой жидкости. Ограничимся случаем
сферических волн (v = 3), тогда
После интегрирования, учитывая граничные условия на поршне,
нетрудно получить
v = ^Я, а20 (р - рр) = - 2vsp (Яр - Я) + V,wp № - ^•
F.9.13)
Здесь рР пока неизвестно. Учитывая F.9.11) и Vf=vlXJ2=vp/pf%
получим уравнение для определения pt

§ 9. СФЕРИЧЕСКИЕ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
115
Вычислив значения pt (например, графически) и Я/, из второго
уравнения F.9.13) получим уравнение для определения давле-
давления на поршне
«20
(/V -
2Р,
F.9.15)
Сжимаемость среды приводит к pf > 1, а в выражении для рР она
учитывается третьим и четвертым слагаемыми. Видно, что при
фиксированной скорости поршня vp сжимаемость среды приво-
приводит к уменьшению давления рР на поршне.
_ + UX- -^С-\
5 10 15 20 t,MC
0,3 0,75 1,25 х,м
Рис. 6.9.2. Изменение во времени давления рР на сферическом поршне (а),
расширяющемся с постоянной скоростью vp = 5,2 м/с, начиная с радиуса
го = 0,05 м (хр = г0 + vp(t — t0) при f > t0 = го/ур = 9,65 мс), закон рас-
распространения фронта (а) возмущения Xj(t) в смеси воды с пузырьками воз-
воздуха (р0 = 0,1 МПа, Го = 293 К, ам = 0,02, а0 = 1 мм) и распределения дав-
давления (б), в два момента времени t, мс, отмеченных цифровыми указателями.
Штриховые линии соответствуют автомодельному решению (г0 = 0, t0 = 0)
для равновесной схемы пузырьковой жидкости
Если в последнее уравнение вместо vP подставить его значе-
значение, следующее из F.9.14), то получим уравнение, которое мож-
можно использовать для определения Pf, а затем и vp и Я/, если за-
задано давление на поршне рР
рр = 2 -
^ 20
[р, (pf -
F.9.16)
Полученное решение несложно обобщить для учета сжимае-
сжимаемости несущей жидкости, когда уравнение состояния среды бе-
берется в виде A.5.28). Такое обобщение может иметь смысл, ког-
когда давления велики, но плотность среды меняется мало (Ар/р0 <
<а2о<1). Тогда следует построить уточненную ударную адиа-
адиабату в виде D(Pf), из которой следует уточненная зависимость
^t (Pt) вместо Kf = 1/pf, и давление pf следует определять из обоб-
обобщения уравнения F.9.14),
(PI ~ 1) h (Pt) = у|/«20. F.9.17)
8*

116 ГЛ 6 ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
после чего нетрудно найти vf из второй формулы F.9.11) и дав-
давление на поршне рР из уравнения F.9.13).
На рис. 6.9.2 приведены результаты решения для сферических
волн, создаваемых сферическим поршнем, который расширяется
в первоначально покоящуюся равновесную пузырьковую среду.
Поршень расширяется со скоростью vP = const с радиуса гр0 =
= хР0, начиная с момента времени U (при t < t0 — покой), при-
причем t0 выбирается таким образом, чтобы в законе движения порш-
поршня хР = Хр0 + vp(t — t0) время f = 0 соответствовало xv = 0. Вид-
Видно, что рассмотренное для равновесной схемы газожидкостной
смеси («а = 0») автомодельное решение, соответствующее хра =
= 0, t0 = 0 и хР = vPt, является при t > ta асимптотикой решения
задачи о поршне, начинающего движение с конечного радиуса
хр0 в пузырьковую жидкость, рассматриваемую с учетом нерав-
неравновесных эффектов.
§ 10. Ударные волны в жидкости с пузырьками пара
До сих пор в данной главе обсуждались ударные волны в
жидкости с пузырьками неконденсирующегося и нерастворимого
газа, когда отсутствуют фазовые переходы. Какие же эффекты
возникают, когда пузырьки заполнены паром несущей жидкости
и смесь в исходном состоянии находится в равновесии, т. е. при
температуре насыщения?
Некоторые экспериментальные факты. Слабые возмущения
/^ 1) по мере своего распространения сильно размазыва-
размазываются из-за очень большой дисперсии, когда скорость высокочас-
высокочастотных возмущений во много раз превышает скорость низкочас-
низкочастотных, ибо скорость низкочастотных возмущений в такой смеси
очень мала (см. § 2) и, в частности, много меньше, чем в смеси
с газовыми пузырьками. Последнее объясняется тем, что давле-
давление пара при достаточно медленном сжатии пузырька практиче-
практически не повышается благодаря конденсации «избыточной»
массы пара. Если начальное воздействие достаточно сильное
(Ар/ро^> 1), то, как показали эксперименты, характер эволюции
волн меняется.
На рис. 6.10.1 схематично представлена осциллограмма дав-
давления, показывающая сильный эффект аномального повышения
давления в ударных волнах в кипящих азоте и воде с паровыми
пузырьками (А. А. Борисов, Б. Е. Гельфанд, Р. И. Нигматулин
и др., 1977; 1982; В. Е. Накоряков, Б. Г. Покусаев и др., 1983).
Волны создавались в вертикальной ударной трубе диаметром
50 мм за счет разрыва диафрагмы, отделяющей исследуемую
двухфазную среду (с исходным давлением р0 « 0,1 МПа) от ка-
камеры высокого давления (см. § 1). Для получения кипящей па-
пароводяной смеси к нижней части ударной трубы крепился кипя-
кипятильник. Для регистрации ударных волн использовались пьезо-

§ 10. ВОЛНЫ В ЖИДКОСТИ С ПУЗЫРЬКАМИ ПАРА
117
(г)
датчики давления с собственной частотой около 30 кГц. Объем-
Объемная концентрация паровых пузырьков а2о в кипящем азоте вбли-
вблизи днища трубы была близка к 0,90 и смесь имела пенную струк-
структуру. В остальных случаях а20 = 0,05 — 0,2 и смесь имела пу-
пузырьковую структуру.
Возмущение исходного давления р0 состоит из фронта про-
проходящей волны с давлением рA), за которым возникают пульса-
пульсации давления с амплитудой АрA) и частотой около 3 кГц и, на-
наконец, за отраженной от ниж-
нижней стенки волной давление
возрастает до уровня рт. Ко-
Коэффициенты повышения давле- Р
ния при отражении рB)/рA) для
кипящих жидкостей достигают
значений 20—50 и во много
раз больше, чем в жидкости
с пузырьками малораствори-
малорастворимых газов, где pm/p(i> = 4 — 7. /
Отраженная волна затухает из-
за следующей за ней сильной
волны разрежения. ^
В каждой из трех рассмот-
рассмотренных газожидкостных пу-
пузырьковых смесей процесс в па-
падающей волне протекает свое-
образио. В пароводяной смеси
много меньше склонность к по-
появлению высокочастотных ос-
цилляционных пиков давления, нежели в остальных пу-
пузырьковых жидкостях ( азот, вода + Со2). Так, в кипящем
азоте в волне pw/p0 ** 3,7 (р(,=0,1 МПа) амплитуда ука-
указанных пиков АрA) = 0,1 —1,5 МПа, а в аналогичной волне
в пароводяной смеси такие пики практически отсутствуют. Это,
как будет показано в конце настоящего параграфа, объясняется
разной интенсивностью тепло- и массообменных процессов и про-
процессов дробления пузырьков. См. также S. Bankoff A978).
Анализ эффекта усиления волн в парожидкостных средах.
Опясанный здесь эффект усиления волн в однокомлонентных сме-
смесях жидкости с пузырьками пара связан с фазовыми переходами.
Это подтверждается тем, что аналогичный эффект наблюдался и в
воде с пузырьками углекислого газа СО2, который по сравнению
с другими газами хорошо растворяется в воде. Но вопрос о ме-
механизме описанного усиления волн является нетривиальным.
Предположение об усилении волн за счет интенсивного па-
парообразования не выдерживает критики, ибо из-за малой массы
пара адиабатическое сжатие смеси происходит практически при
постоянной температуре жидкости, и в смеси при повышении
Рис. 6.101. Схематическая осцилло-
осциллограмма давления при распростране-
распространении ударных волн в кипящих жид-
жидкостях с пузырьками пара или лег-
легкорастворимого газа

118 гл. 6. динамика пузырьковых жидкостей
давления должна происходить конденсация, а не испарение.
Аналогично обстоит дело и с предположением об аномальном
повышении давления в смеси за счет выделения теплоты кон-
конденсации, ибо в силу малого массового содержания пара, выде-
выделяющегося при полной конденсации, этой теплоты недостаточно
даже для заметного повышения температуры жидкости, а тем
более недостаточно для повышения давления.
По-видимому, механизм усиления волн в жидкостях с пу-
пузырьками пара или быстрорастворимого газа связан с быстрым
конденсационным схлопыванием пузырьков. Особенность такого
схлопывания имеет смысл рассмотреть на примере одного «проб-
«пробного» пузырька (см. § б гл. 1 и § 6 гл. 2). Выделим вокруг проб-
пробного пузырька сферическую ячейку фиксированного радиуса R,
который определим начальным объемным содержанием пара:
R3 = al/a20.Помимо закона схлопывания a(t) будем следить и за
изменением среднего давления жидкости (рУ± в ячейке
R
где распределение р' (г, t) определяется из интеграла Коши —
Лагранжа A.3.14) для несжимаемой жидкости в сферически-
симметричном движении по заданному давлению вдали от пу-
пузырька p<»{t) и по закону изменения его радиуса a(t), который,
в свою очередь, описывается уравнением Рэлея — Ламба. Если
в этом уравнении принять р2 = const, p«> = const, пренебречь
капиллярными и вязкими эффектами {рт = Рг), то получается
режим ускоренного инерционного схлопывания, или режим Рэ-
Рэлея B.6.52). Несложные выкладки показывают, что тогда при
а -*¦ 0 среднее давление жидкости в ячейке стремится к беско-
бесконечности:
<р>г « 0,5а^3(ао/а,у/3р„. F.10.2)
Скорость реального процесса конденсации и схлопывания
парового пузырька, а также рост среднего давления </>>i лимити-
лимитируются конечной теплопроводностью жидкости (см. обсуждение
B.6.56)), из-за чего последняя не может отводить все тепло, не-
необходимое для реализации условия рг = const, обеспечивающего
F.10.2), и поэтому на некоторой стадии сжатия давление пара
рг будет повышаться, тормозя схлопывание и ослабляя увеличе-
увеличение </>)i. Для исследования возможностей теплоотводящих свойств
жидкости (в частности, жидкого азота) для реализации суще-
существенного повышения среднего давления жидкости </>>t при
схлопывании парового пузырька были выполнены расчеты с ис-
использованием системы уравнений сферически-симметричного дви-
движения, нестационарной теплопроводности в сжимаемом паре и
несжимаемой жидкости и граничных условий на определяемой
в процессе решения межфазной границе a(t) (см. § 6 гл. 2).

§ 10 ВОЛНЫ В ЖИДКОСТИ С ПУЗЫРЬКАМИ ПАРА
119
На рис. 6.10.2 в качестве примера представлен результат та-
такого расчета для случая пузырька азота в жидком азоте, когда
давление р„ скачком возрастает при t = 0. Из графика видно, что
среднее давление <p)j достигает 1,3 МПа, что гораздо выше дав-
давления р«, = 0,5 МПа, которое инициирует процесс. Но в отличие
Рис. 610.2. Изменение
среднего давления в
ячейке <p>i во времени
для случая пузырька
азота в жидком азоте
при следующих началь-
начальных данных: по = 1 мм,
а20 = 0,05, р0 = 0,1 МПа,
То = Ts(p0) = 77 К, а
давление вдали от пу-
пузырька Ро скачком из-
изменяется от 0,1 МПа до
0,5 МПа. Штриховая ли-
линия соответствует инер-
инерционному режиму Рэ-
лея B 6.52)
<Р>,/РО
\
I
/
/
J
\
и и
1АЛ,
\J у у
0,4
0,5
t,MQ
от режима Рэлея, показанного штриховой линией с вертикаль-
вертикальной асимптотой и определяемого согласно B.6.55) временем
схлопывания tR, из-за конечной теплопроводности жидкости реа-
реализуется много пульсаций. Охлопывание и исчезновение пузырь-
пузырька может ускориться за счет дробления, благодаря которому кон-
конденсация ускоряется из-за увеличения межфазной поверхности.
Волна конденсации. В связи со сказанным постановка задач
для пузырьковых жидкостей, в которых пузырьки могут исчезать,
должна предусматривать выделение объемов или зон U(i) и UB},
где реализуются соответственно однофазная и двухфазная жид-
жидкости, и поверхностей или границ Fli2), которые разделяют эти
зоны и которые можно назвать скачками конденсации, причем
на поверхностях FA2) необходимо поставить граничные условия,
аналогичные условиям на поверхностях разрыва.
Рассмотрим указанные условия в системе координат, в кото-
которой поверхность, или волна, конденсации FA2) покоится. Двух-
Двухфазное состояние (с пузырьками) среды перед этой волной бу-
будем обозначать индексом F внизу, а состояние среды за волной
(в виде однофазной жидкости)—индексом е внизу. Тогда зако-
законы сохранения массы, импульса и энергии, если пренебречь мас-
массой, импульсом и энергией пузырьков но сравнению с теми же
параметрами для жидкости, примут следующий вид:
F.10.3)
k
lF
pFvF = p°leve

120 ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
Здесь kiF — кинетическая энергия мелкомасштабного радиально-
радиального движения, приходящаяся на единицу массы жидкости перед
скачком, pF — среднее давление среды перед скачком, ре — дав-
давление жидкости за скачком, причем
pF = aiFpiF + aZF(p2F — 22/a), pe — Pie. F.10.4)
Учитывая, что объемная концентрация пузырьков мала (a2F < 1),
далее будем полагать pF « piF, а для давления несущей жидкости
примем линейное уравнение состояния A.5.2). Тогда из уравне-
уравнения массы на скачке (первого уравнения F.10.3)) имеем
Pie = PlF A + «С \Ре — *)), VF — Ue = O,2FVF +-± -
F.10.5)
Ре'
«С = о „9 , Ре = —
Из уравнения импульса на скачке (второго уравнения
F.10.3)) получим выражение, связывающее интенсивность скач-
скачка ре с его скоростью DF = — vF относительно среды перед фрон-
фронтом:
Видно, что влияние сжимаемости несущей жидкости проявляет-
проявляется через последний сомножитель, и чтобы она была несуществен-
несущественной, т. е. все сжатие смеси происходило за счет пузырьков, не-
необходимо и достаточно
бс = ^(ре-1) = ^^«1. F.10.7)
a aPC
Это условие для a2F ~ Ю, p°F ~ Ю3 кг/м3, С4 ~ Ю3 м/с выпол-
выполняется, если pe — pF^ 1,0 МПа.
Из F.10.5) и F.10.6) легко получить выражение, связыва-
связывающее изменение скорости и давления в скачке конденсации:
А*. = v, - ve = т/^/А Л. (l + ^
Из уравнения энергии на скачке (третье уравнение F.10.3))
следует
F.10.9)
В тех случаях, когда мало влияние сжимаемости несущей

§ 10. ВОЛНЫ В ЖИДКОСТИ С ПУЗЫРЬКАМИ ПАРА
121
жидкости, т. е. справедливо F.10.7) или | р°е— р°у | <С p°f, урав-
уравнение энергии может быть переписано в виде
Ре — PF ,
j a2F Ре
ule — ulF — kF — —
бС.
F.10.10)
Отражение ударной волны конденсации от твердой стенки.
Равновесное уравнение состояния парожидкостной пузырьковой
смеси p{V), где V = 1/р, схематично по-
показано на рис. 6.10.3. В области исходно-
исходного (двухфазного) состояния диаграмма
p(V) очень пологая из-за сжимаемости
за счет конденсации пузырьков, а затем
из-за исчезновения пузырьков, когда
F=l/p1, сжимаемость среды равна сжи-
сжимаемости жидкости и диаграмма имеет
излом. Такая сильная нелинейность диа-
диаграммы приводит к очень сильному по-
повышению давления при отражении удар-
ударной волны от твердой стенки.
Так же, как и при выводе формулы рис. 610.3. Схема равно-
F.7.24), используем нижний индекс 0 весной ударной адиаба-
и верхние индексы A), B) для обозна- ты пузырьковой паро-
чения параметров соответственно перед
падающей, за падающей (перед отра-
отраженной) и за отраженной волнами. Тогда
условие отражения от неподвижной
стенки запишется в виде F.7.22). При этом, если интенсивность
падающей волны достаточна, чтобы вызвать полную конденса-
конденсацию пара, то Da определяется формулой F.10.6), где вместо ин-
индексов F и е следует подставить индексы 0 и A). Далее,
рA) = р°10, /Я«с15 F.10.И)
так как отраженная волна идет по однофазной малосжимаемой
жидкости, для которой до давлений порядка 102 — 103 МПа ди-
диаграмму p(V) можно считать линейной. С учетом сказанного
получим выражение для давления за отраженной волной
жидкостной смеси A),
газожидкостной смеси
B) и однофазной жид-
жидкости C)
1/ _2o!^o_i| F.10.12)
которое показывает степень усиления ударной волны в парожид-
парожидкостной смеси из-за отражения от твердой стенки, когда падаю-
падающая волна вызывает полную конденсацию пара, а сжимаемость
жидкости проявляется только в отраженной волне. Для сравне-
сравнения приведем соответствующую зависимость для газожидкостной
смеси несжимаемой жидкости и пузырьков газа постоянной

122 ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
массы, следующую из F.7.24):
J2' „(О
F.10.13)
и зависимость для малосжимаемой по линейному закону акустиче-
акустической среды, каковой является жидкость без пузырьков (а20 = 0):
-, т. е.
Р11)-Рц_Р™-рМ
На рис. 6.10.4 приведены диаграммы усиления отраженных от
50
100 рю/р
Рис. 6.10.4. Диаграмма усиления отраженной от твердой стенки волны в паро-
пароводяной (линии 1, 1', Г, Г') смеси (р0 = ОД МПа, Го = 373 К) и в смеси
воды с газовыми (линии 2, 2', 2", 2"') пузырьками постоянной массы (р0 =
= 0,1 МПа) в зависимости от интенсивности падающей волны и исходного
объемного содержания пара или газа c^o- Числовые указатели на кривых
0,01, 0,05, 0,2 соответствуют значениям а2о. Прямая 3 соответствует формуле
F.10.13), штриховые линии — формуле F.10.12), штрихпунктирпая соответ-
соответствует акустической среде, каковой является жидкость без пузырьков (а2о =
= 0), по формуле F.10.14). Отклонение при малых р^/ро (вид А) линии 1
от штриховой, соответствующей формуле F.10.12), связано с тем, что очень
слабые волны не вызывают полной конденсации пара, а отклонение при
больших р^'Чро линий Г, 1", 1'" от штриховых связано с влиянием сжимае-
сжимае( б
р
мости несущей жидкости в падающей волне (конечность величины бс). От-
Отклонение линий 2', 2", 2'" от прямой 3 при больших р{1)/Ро также связано
с влиянием сжимаемости несущей жидкости, которая не учитывалась при
выводе формулы F.10.13)
твердой стенки плоских ударных волн для пароводяной, газо-
газоводяной и линейной акустических сред вместе с зависимостями
F.10.12)-F.10.14).
Как показывает формула F.10.12)", в парожидкостной смеси
возможно отень значительное усиление ударной волны после

§ 10. ВОЛНЫ В ЖИДКОСТИ С ПУЗЫРЬКАМИ ПАРА 123
ее отражения. Например, для пароводяной смесн при р0 =
= 0,1 МПа (pi» Ю3 кг/м3, С\ « 1500 м/с) с объемным содержа-
содержанием <х2о = 0,1 имеем Cf = 50, и после отражения волн с давле-
давлениями /?A) = 0,2 и 0,5 МПа давления на стенки станут соответ-
соответственно равными рт = 5,2 и 10,5 МПа, причем давление возрас-
возрастает с увеличением объемного содержания пара.
Структура стационарных ударных волн в жидкости с паровы-
паровыми пузырьками. Как и для жидкости с газовыми пузырьками,
рассмотрим стационарные волны в жидкости с паровыми (кон-
депсирующимися при сжатии) пузырьками. Для этого нспользу-
ем уравнения § 5, 6 гл. 1 в односкоростном приближении (т. е.
пренебрегая поступательным движением пузырьков относительно
жидкости) и в приближении несжимаемости несущей фазы
(бс < 1). Пределы применимости последних упрощений уже об-
обсуждались для случая газовых пузырьков и в отмеченных преде-
пределах эти упрощения приемлемы и для паровых пузырьков. Так
как в случае паровых пузырьков роль межфазного тепло- и мас-
сообмена еще более возрастает, то аналогично § 5 соответствую-
соответствующие процессы будем описывать с учетом неоднородности микро-
микротемператур вокруг пузырьков в рамках сферически-симметрич-
сферически-симметричной схемы. Неоднородность температуры и плотности внутри па-
парового пузырька слабо влияет на его динамику (см. § 6 гл. 1 и
§ б гл. 2). Поэтому внутри пузырька как давление, так и тем-
температуру и плотность будем считать одпородными и удовлетво-
удовлетворяющими условию насыщения (Т2 = Т5{рг), Рз = PisiPz)), а не-
неоднородность температур будем учитывать лишь в несущей
фазе, привлекая уравнение радиальной теплопроводности в жид-
жидкости. Таким образом, все параметры, за исключением 2\, будут
зависеть только от продольной координаты х, а микротемперату-
микротемпература жидкости Ту = 7\ (х, г), где г—расстояние до центра пу-
пузырька. В результате система уравнений одномерного стацио-
стационарного течения жидкости с паровыми пузырьками, аналогичная
F.5.2), принимает следующий вид:
= 1, а2 = */3ла3?г);
F.10.15)
dx P dx 2 p
p° = const, p2 = R2plT2, T2 = Ts (p2), u2 = cV2T2 + ui0.

124 ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
Для замыкания представленной системы уравнений необходи-
необходимо определить межфазные потоки тепла в жидкую и паровую
фазы, а именно qsi и д^2.
Далее аналогично § 5 будем пренебрегать капиллярными эф-
эффектами, эффектами вязкости, массовым содержанием пара и
плотностью пара по сравнению с плотностью жидкости, т. е.
(см. F.4.6))
2*<1, A*<1, р2/р1<1, (?<р°. F.10.16)
Если, как оговорено выше, принять схему однородного пу-
пузырька, то его поведение (изменение д^и Чы, Pg и а вдоль оси х)
описывается уравнениями B.6.13), где следует подставить
dt = dxjv. Прежде чем выписать окончательную замкнутую сис-
систему уравнений с учетом отмеченных упрощений, перейдем к
безразмерным переменным F.3.6), понимая под w величину
zvla, F.4.5), а также к переменным (см. B.7.4))
"-its. *-& f"=-fe- ~-% <6Л0Л7)
Система уравнений F.10.15) имеет первые интегралы, кото-
которые с учетом упрощений в безразмерных переменных можно за-
записать в виде
nv = va (a2 = аг<Л3п),
V , Г _ < , 4 FЛ0Л8)
Аналогично переписываются и дифференциальные уравнения
F.10.15), B.6.13):
-da — , г Рго ~ —dw — — Зш
и-= = W + ?12 —«Itf, av-F = p2 — рг ^-,
dx p1 dx &
dx a
1 + G2-1)|1
?21

§ 10. ВОЛНЫ В ЖИДКОСТИ С ПУЗЫРЬКАМИ ПАРА 125
Остальные переменные, не входящие под знак производной,
определяются из конечных соотношений, следующих из первых
интегралов F.10.18) и уравнений состояния фаз,
_ . , F,), F1020)
v = v0(а10 + «20е )> p1 = l + v0(l — a).
При этом безразмерные параметры 10, с и Ях определяются фор-
формулами
7* _ I (Р) ~ _ Р20С2 _ У J,* _
Таким образом, теплофизические свойства фаз входят в получен-
полученные уравнения через четыре безразмерных параметра: у2, 10, с0,)
<s* тт ~ 1*
Ai. При принятых допущениях fz, с0, ^ю являются постоянными,
а 10 — медленно убывающей функцией давления рг, так что при
не очень больших перепадах давления 10 также можно считать
практически постоянной. Входящая в уравнение зависимость
Ts{pz) в соответствии с уравнением Клапейрона — Клаузиуса
удовлетворяет уравнению
^^!=JL_| Ts(l) = l. F.10.22)
Если lQ = const,что соответствует I = const (см. также A.3.78)),
то решение этого уравнения имеет вид
= y2f0). F.10.23)
In (р /р2)
Эта формула хорошо описывает фактическую зависимость Ts(pz)
для разных веществ на довольно значительных интервалах
давлений.
Структура стационарной ударной волны определяется гра-
граничными условиями перед и за волной. Начальное равновесное
состояние перед волной определяется параметрами с индексом 0:
v=u0, Pj, = ра = 1, _f[ = Та = 1, w = 0, a = 1, F.10.24)
а конечное состояние е за волной в виде жидкой фазы опреде-
определяется параметрами с индексом е, причем параметры в этом сос-
состоянии находятся из конечных соотношений F.10.18), F.10.20):
ie = a10v0, pe = i + v30, fie = l, ae = Q. F.10.25)
В отличие от смеси несжимаемой жидкости с газовыми пу-
пузырьками, где ае — рТ1 и связь интенсивности волны со ско-
скоростью va имеет вид F.4.18): ре = vl, для смеси несжимаемой

126 ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
жидкости с паровыми пузырьками, где ае = 0, эта связь имеет
вид ре = 1 + ^oi что свидетельствует о том, что при одной и той
же интенсивности волны ре волна в смеси с паровыми пузырька-
пузырьками распространяется медленнее, чем в смеси с газовыми пу-
пузырьками.
Отметим, что из последней формулы F.10.20) следует
P^Pe-ipe-^a'^Pe, F.10.26)
т. е. внутри стационарной волны в несжимаемой жидкости с
конденсирующимися паровыми пузырьками давление жидкости
pi не может превышать давление за волной ре. В несжимаемой
жидкости с газовыми пузырьками постоянной массы аналогич-
аналогичная оценка имеет вид F.4.25): pi < ре + 1, и повышение давле-
давления жидкости pt внутри стационарной ударной волны выше дав-
давления за волной ре не исключено, хотя расчеты показывают, что
такое повышение в стационарной волне, по-видимому, не может
быть существенным. Повышение давления выше давления за
волной более характерно в нестационарных волнах в области их
инициирования (см. § 7).
Для предельного случая бесконечно большой теплопроводно-
теплопроводности жидкости \к1о = оо) аналогично инерционному режиму Рэлея
B.6.52) (с ускоряющимся схлопыванием одиночного пузырька)
на стенке пузырька температура должна быть постоянной
(Ts(p2)= То). Отсюда постоянным должно быть и давление пара
Pi — Ра- Для этого случая система F.10.19) упрощается и сво-
сводится к следующим уравнениям:
- da — — dw . — Згу2
V7z™W' aV^ = i-pi~-' F.10.27)
pi = l + (pe— 1) A —a3), v =v0(a
В отличие от инерционного режима Рэлея B.6.52) схлопыва-
ния одиночного пузырька, где помимо условия рг = рй принима-
принимается и jr?i = jDoo = /Jo + А/?о = const, здесь учитывается перемен-
переменность давления жидкости pi из-за ее продольного торможения
при уменьшении радиуса пробного пузырька а, что приводит к
увеличению at (a4-»¦ 1) и уменьшению v (v /)
Из уравнений F.10.27) имеем
Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию w = 0 при
а = 1, имеет вид (ср. с B.6.52))
-s/\2
F.10.28)

§ 10. ВОЛНЫ В ЖИДКОСТИ С ПУЗЫРЬКАМИ ПАРА 127
а из первого уравнения F.10.19) получаем
о
Здесь постоянная интегрирования подобрана таким образом, что
а — 0 при х — 0. Полученное решение определяет х (а), что вме-
вместе с конечными выражениями для pi(d), v(a), w(a) определяет
в параметрической форме относительно а структуру фронта ста-
стационарной ударной волны*). Нетрудно вычислить, что при
а — 0,95 имеем характерную толщину волны х = 1,3 или
х = l,3a0Va2(i. Кинетические энергии радиального движения жид-
жидкости, приходящиеся на ее единицу массы (кх — 3/2ifjQa3/a1) и на
один пузырек {kjn = 2na3a71iyia). в стационарной ударной вол-
волне к моменту схлопывания (а2 ->¦ 0, чему соответствует индекс F
внизу) в соответствии с этим решением равны
j, _ 1 «20 Ре-Рр *1F* _ 2<{Ре-Р0) ,fi ,n от
10 Pi ^^ Pi
Эти значения кинетической энергии, помеченные знаком *, яв-
являются максимально возможными для заданной интенсивности
стационарной волны. Из-за конечной теплопроводности жидкости
давление пара в пузырьке при его схлопывании будет повышать-
повышаться, что, в свою очередь, будет приводить к меньшим значениям
реализуемой кинетической энергии радиального движения
жидкости.
Возвращаясь к более общему случаю, описываемому системой
уравнений F.10.19), аналогично § 3—5 исследуем асимптотику
поведения решения этой системы уравнений в окрестности на-
начального состояния перед волной. Решение линеаризованной
системы ищется в виде затухающей при х -*¦ °° экспоненты типа
F.3.16), причем для функции двух переменных Т1 (х, ц) это ре-
решение ищется в виде
Т[ = 1 -f- А[т) (-ц) exp kox, Re {к0} < 0, щ < 0. F.10.31)
Для постоянных Aia\ A[w\ Af , А2Р получим следующие алгеб-
алгебраические уравнения:
F.10.32)
-Ь* (—М -A{w)\
- 1) l*70 \ d4 /„ j'
*) Приведенное i10111011110 Лля случая Я,„ = оо получено В Ш. Ша-
тановым.

128 ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
а для функции Ал (г\) — дифференциальное уравнение с гра-
граничными условиями
) у
F.10.33)
т)-оо:4г> = 0.
Решение этой краевой задачи имеет вид
причем для удовлетворения граничпого условия при ц -*¦ °° не-
необходимо Rei?>0, а входящая в F.10.32) производная равна
Условие существования ненулевых решений системы линей-
линейных алгебраических уравнений F.10.39) относительно А{а), A(v>),
А?, A)f' приводит к алгебраическому характеристическому
уравнению шестого порядка относительно К
в
z {К) = 2 aft = О,
j=o
аъ~ C*V ^ю» а4 = ^^ю» «з = 0,
F.10.34)
Два условия на характеристический корень:
приводят к тому, что для решения типа F.10.31) подходят лишь
корни, лежащие в следующем секторе на комплексной плоскости:
-'Ля < arg К < 7*л. F.10.35)
Рассмотрим, как отображается многочленом шестой степени
z{K) (причем z = x + iy, K = Kw + iKm) линия ОСАВ, ограни-
ограничивающая указанный сектор при достаточно большом радиусе R
дуги CAB (см. рис. 6.10.5). Так как z(O) = ao<O, то точка
К = 0 отображается в точку О', лежащую на отрицательной по-
полуоси х. В силу а6 > 0 при достаточно большом R имеем z(A)>
> 0, т. е. точка А отображается в точку А', лежащую на поло-

§ 10. ВОЛНЫ В ЖИДКОСТИ С ПУЗЫРЬКАМИ ПАРА
129
жительной полуоси Ох. Образ луча ОВ — r+ ir @ sg r < R) име-
имеет вид
z(r + ir) = (а0 + а^ — 2a3r3 — 4a4r4 — 4a5r5) +
+ i(atr + 2a2r2 + 2a3r3 — Ааьгъ — Ы</').
В силу а0, а4 < 0, а3 = 0 и а4, а5 > 0 имеем Re {z(r + ir)} < 0,
а при достаточно больших R имеем Im {z(R + iR)} < 0, следова-
следовательно, отображение лу-
луча ОВ, схематично пока-
показанное на рис. 6.10.5 в
виде линии О'р'В', ле-
лежит целиком в левой по-
полуплоскости, а при доста-
достаточно больших R точка В',
являющаяся образом точ-
точки В, лежит в третьей чет-
четверти. Луч ОС, сопряжен-
сопряженный лучу ОВ, отображает-
отображается в линию О' q'C, сопря-
сопряженную линии О'р'В' в
Рис. 6.10.5. Схема, иллюстрирующая суще-
существование и единственность характеристи-
характеристического корня уравнения F.10.34)
силу действительности ко-
коэффициентов многочлена
z(K), или симметричную ей относительно оси Ох. Таким обра-
образом, образ луча ОС находится в левой полуплоскости. Дуга АпВ,
уравнение которой К = R ехр ?ср @ < ф < 1/кк), в силу того, что
z (К) — полином шестой степени и ав> 0, отображается на ли-
линию А'п'В'. При достаточно больших R все точки этой линии
удовлетворяют условию 0 < &rgz(AB)< У2я, т. е. линия А'п'В'
проходит последовательно только через первую, вторую и третью
четверти. Дуга АтС, сопряженная дуге АпВ, отображается на
линию А'т'С, симметричную линии А'п'В' относительно оси
Ох, т. е. образ дуги АтС проходит последовательно только через
четвертую, третью и вторую четверти. Таким образом, при до-
достаточно больших R образ границы сектора F.10.35), где ищут-
ищутся характеристические корни уравнения F.10.34), охватывает
точку z = 0 один и только один раз. Отсюда следует (см,
М. А. Лаврентьева, Б. В. Шабат, 1973), что искомый корень су-
существует и он единственный. Так как z (К) — полином с действи-
действительными коэффициентами и для любого его комплексного корня
сопряженное ему число будет также корнем, то единственный
корень К в секторе F.10.35) будет действительным и положи-
положительным, его можно находить численно.
В адиабатическом случае (А,* = 0) характеристическое уравне-
уравнение F.10.34) переходит *) в квадратное уравнение относитель-
*) Следует иметь в виду, что при малых Хх будет нарушаться условие
однородности и насыщенности пара внутри цузырьков, а их поведение бу-
будет приближаться к поведению газовых пузырьков постоянной массы.
" Р. И. Нигматулин, ч. II

130
ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
НО
F.10.36)
и в этом случае искомый корень существует лишь при ре >
> 1 + KiS. Для воды при р0 = ОД МПа, То = 373 К имеем
Xgs = 1,14. При наличии теплообмена (Х*>0) искомый корень
существует для волн сжатия, когда ре > 1, т. е. когда
Dl = v%Z> 0- Таким образом, рассматриваемая схема пузырько-
пузырьковой нарожидкосгной смеси дает равновесную скорость звука
Се = 0, что связано с пренебрежением массовой долей пара,
в результате чего любая волна сжатия бесконечно малой интен-
интенсивности согласно этой схеме приводит к полной конденса-
конденсации пара.
На рис. 6.10.6 приведена рассчитанная зависимость корня от
интенсивности волны ре для пароводяной пузырьковой смеси
-*о
1,0
О
uri^
/оо
¦ '—-
Рис. 6 10 6. Зависимость корпя ха-
характеристического уравнения
F.10.34), определяющего крутиз-
крутизну переднего фронта стационар-
стационарной волны в пароводяной пузырь-
пузырьковой смеси при ро = 0,1 МПа,
Го = 373 К, от интенсивности вол-
волны ре и размера пузырьков а0
(мм), которому соответствуют
числовые указатели на кривых
при различных значениях радиуса пузырька аа. Разные значе-
значения а0 соответствуют вариации ^10 = а,\!а0, где для указанных ус-
условий ах = vfYC* = 1,67- 10~в мм.
Расчет структуры стационарной ударной волны аналогичен
расчету, описанному в § 5. Отличие лишь в том, что температур-
температурная задача здесь решается вне пузырька, т. е. в жидкой фазе
(ц > 1; см. также § 6 гл. 1, § 4, 6 гл. 2). В качестве тестовых
вариантов при отладке вычислительной программы для проверки
правильности решения температурной задачи использовались ва-
варианты решения задачи о динамике одиночного парового пу-
пузырька при заданном давлении вдали от него.
Структура стационарных ударных волн с плавным переходом
среды в однофазное состояние. Рассмотрим сначала варианты,
когда не реализуются заметные значения klF(klF<^. klF*) и ос-
цилляционные пики давления в хвосте волны отсутствуют. Такие
режимы реализуются при малых и умеренных значениях
В (Ж 1, см. B.6.56)).
На рис. 6.10.7 показаны структуры стационарных ударных
волн разной интенсивности р<.= 1,4—3,0 в пароводяной пузырь-

S 1U. ВОЛНЫ В ЖИДКОСТИ С ПУЗЫРЬКАМИ ПАРА
131
новой смеси. Видно, что, в отличие от ударных волн в воде с пу-
пузырьками воздуха (см. рис. 6.4.8), когда стационарные волны с
интенсивностью ре 3s ^2 имели осцилляционную структуру, нали-
наличие фазовых переходов конденсации в пароводяной смеси усили-
усиливает тенденцию к монотонной структуре и расширяет диапазон
интенсивностей, при которых та-
такая структура реализуется. Этот
диапазон существенно зависит от
степени диспергированное™ па-
паровой фазы (радиуса пузырь-
пузырьков а0), но характерной интен-
интенсивностью, выше которой в вол-
волне при любых размерах пузырь-
пузырьков проявляется осцилляционная
структура, является 1 + %gs- По-
Последняя превосходит соответству-
соответствующую величину, равную f2, в слу-
случае газовых пузырьков (см. об-
обсуждение рис. 6.4.2). Существен-
Существенное отличие от ударных волн в
жидкости с пузырьками нераст-
нерастворимого газа состоит в том, что
толщина таких волн в жидкости
с паровыми пузырьками из-за
смыкания пузырьков и малой
скорости волны значительно
ов п. л л/гтт
меньше. Так, при р0 ~ 0,1 МПа
для смеси паровых пузырьков
01
р —
2,4 —i
2,0 -1
1,8 "
1,4 —
2
1
10
О х,см
Рис- 610-7- Структуры стационар-
стационарных ударных волн (изменение
давле1^яр жидкости Сплошные
линии) и радиуса пузырьков
( ))
р ) рду ур
радиусом а0 ~ 0,1 мм в воде тол- (штриховые линии)) в парово-
щина стационарной ударной вол- ^Hn°f пузырьковой смеси (р0 =
5 а п — U,l JVLllS, in — uio Jv, CCon ===
-10 см, в то время = 0,05, а0 = 1 мм) разной интен-
как для смеси газовых пузырь- сивности ре, которой соответству-
ков того же размера эта толщи- ют указатели
на равна примерно 1 м.
В случае слабых волн, имеющих монотонную структуру, дав-
давления фаз практически совпадают: р2 ~ ри а в случае осцилля-
ционных волн давление в паровой фазе колеблется синхронно,
но с заметно большей амплитудой.
Увеличение объемной концентрации пара при сохранении
остальных параметров смеси и при фиксированной интенсив-
интенсивности ударной волны приводит к уменьшению скорости волны,
что, в свою очередь, приводит к уменьшению длины осцилля-
Ционных волн и некоторому уменьшению толщины структу-
структуры волны.
На рис. 6.10.8 представлено распределение микротемперату-
микротемпературы жидкости Тх вокруг пузырьков на различных расстояниях х
вдоль структуры монотонной ударной волны, в которой смыка-
9*

132
ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
ются пузырьки. Видно размывание температурного пограничного
слоя в жидкости вокруг пузырьков из-за радиальной теплопро-
теплопроводности жидкости (если бы радиус пузырька был постоянным
или менялся очень медленно, то это приводило бы kNu1^-2) и
плюс к этому — конвективное утолщение указанного погранслоя
из-за радиального схождения его к центру пузырька. Последний
1,00
Рнс. 6.10.8. Распределение микротемператур в жидкости вокруг пузырьков
на различных расстояниях х, см (которым соответствуют числовые указате-
указатели) вдоль стационарной ударной волны с интенсивностью ре = 1,4. Осталь-
Остальные условия те же, что и для рис. 6.10.7
эффект дополнительно ослабляет интенсивности отвода тепла и
конденсации, отнесенные к единице поверхности пузырька и ха-
характеризуемые числом Нуссельта Nu1; уменьшая последнее (см.
обсуждение B.6.42)).
Ударные волны с волновым пакетом осцилляционных пиков
давления. Пусть при смыкании пузырька или при уменьшении
его размера во много раз в инерционном режиме (при В > 10) в
моменты времени, когда а2 ~ ас = (Сг )"~3 = iVPi^i реализуется
большая кинетическая энергия радиального движения к^ Тогда
даже после исчезновения пузырька жидкость будет продолжать
сжиматься за счет инерции, и указанная кинетическая энергия
может превратиться в энергию упругого сжатия (состояние Е
на рис. 6.10.9), а зависимость F.10.28) для pi (а) нарушится
из-за сжимаемости жидкости и, как будет видно ниже, нестацио-
нестационарности волны. Конечная теплопроводность жидкости, ее упру-
упругость и упругость остаточного пара могут привести к тому, что
после схлопывания из-за отражения волн сжатия от центра пу-
пузырька жидкость начнет расходиться, снова образуя пузырек,
который после расширения снова будет схлопываться, приводя
к очередному пику давления, превышающему давление за вол-
волной ре (рис. 6.10.10). Постепенно из-за диссипативных процес-
процессов, связанных с вязкостью жидкости, ее теплопроводностью и

§ 10. ВОЛНЫ В ЖИДКОСТИ С ПУЗЫРЬКАМИ ПАРА
133
нелинейной сжимаемостью, эти нелинейные осцилляции должны
затухать.
Характерное значение пиков давления рЕ из-за схлопывания
пузырьков при проявлении сжимаемости жидкости можно опре-
определить из условия перехода кинетической энергии радиального
движения kiF в энергию уп-
упругого сжатия жидкости и[р) в
момент минимального значения
радиуса пузырька аШп (в част-
частности, может быть ат1п = 0),
когда кинетическая энергия ра-
радиального движения становит-
становится практически равной нулю:
РЕ
Ре-р'
F.10.37)
Ре
Здесь при подсчете интеграла,
определяющего работу внутрен-
Рис. 6.10.9. Схема pV диаграм-
диаграммы для волн в парожидкост-
ной среде
Рис. 6.10.10. Структура нестационар-
нестационарной ударной волны в парожидкост-
ной смеси с осцилляционными пика-
пиками давления из-за схлопывания пу-
пузырьков
них сил сжатия, учитывалась малая сжимаемость жидкости
vPi — Pi о <С Pi о) и ее акустическое уравнение состояния. Разре-
Разрешая относительно рв, получим
Ре = Ре
+ *!
/с, р —. кл р —
IF
Ре Ре
F.10.38)

134 гл. 6. динамика пузырьковых жидкостей
Максимально возможные значения klF — klF определяются форму-
формулой F.10.31), соответствующей Xх-> оо. Тогда получим
(Ре)
Imax
У Ре re L 0
Например, если ре = 2р0 = 0,2 МПа, ага = 0,05, d = 1400 м/с,
р1 = 103 кг/м3, то Ре ** 3,3 МПа, что соответствует осцилляцион-
ным пикам давления в ударных волнах, наблюдаемых в экспе-
экспериментах А. А. Борисова, Б. Е. Гельфанда и др. A977).
Следует иметь в виду, что переход OFEe (см. рис. 6.10.9)
не может быть реализован в стационарной волне, так как в ста-
стационарной волне все состояния на р (V) -диаграмме должны ле-
лежать на прямой линии ое (линии Рэлея — Михельсона). Поэто-
Поэтому аномальные всплески давления рЕ могут быть только на не-
нестационарной стадии, и они должны затухнуть по мере установ-
установления волны, в которой кинетическая энергия мелкомасштабного
движения после нескольких осцилляции превращается в тепло.
Характерное повышение температуры жидкости за счет дисси-
диссипации к if равно
^^^ F.10.40)
и обычно очень мало.
Подробное теоретическое и количественное описание струк-
структуры такого осцилляционного пакета, или «хвоста» ударной вол-
волны, где среда переходит из неравновесного состояния, близкого
к F (kiF^. k*F, a<Cl), в однофазное равновесное состояние е
(ki = 0, а„ = 0), реализуя много осцилляции типа FEAE' с дис-
диссипацией кинетической энергии при сильном уменьшении и да-
даже исчезновении пузырьков с проявлением сжимаемости и вяз-
вязкости жидкости, дроблением пузырьков, является громоздкой и
сложной задачей. Амплитуда осцилляции оценивается формулой
F.10.38), и наиболее сложным является предсказание времени
существования осцилляции или толщины осцилляционного «хвос-
«хвоста». Этот вопрос может быть существенным, так как при схло-
пывании паровых пузырьков реализуется достаточно много
осцилляции, и «хвост» волны может иметь значительную протя-
протяженность.
На рис. 6.10.11 приведена рассчитанная структура ударной
волны с существенно более мелкими пузырьками, чем в вариан-
вариантах, представленных на рис. 6.10.7 и 6.10.8. В этом случае меж-
межфазная поверхность, на которой происходят фазовые переходы,
достаточно велика, и пузырьки довольно быстро выходят на ре-
режим схлопывания. В этом расчете использовался коэффициент
л = 0,6, определяющий восстановление кинетической энергии

g 10. ВОЛНЫ В ЖИДКОСТИ С ПУЗЫРЬКАМИ ПАРА
135
после отражения схлопывающего пузырька от центра и перехода
его на расширение.
На рис. 6.10.12 приведена рассчитанная эволюция нестацио-
нестационарной ударной волны в стационарную при постоянном возму-
возмущающем давлении в воде с пузырьками пара. При этом для
Рис. 6.10.11. Структура стационарной ударной волны (изменение давления
в жидкости ^i и в паре р2, изменение радиуса пузырьков а и кинетической
энергии радиального движения к\) с интенсивностью ре = 3,0 в пароводя-
пароводяной смеси (ро = 0,1 МПа, То = 373 К, сс2о = 0,05) с очень мелкими пузырь-
пузырьками (а0 = 0,01 мм). Коэффициент восстановления кинетической энергии
после смыкания пузырька ц = 0,6
описания механических параметров р, v, р, wu а, являющихся
функциями х и t, использовались обобщения уравнений § 7 на
случай фазовых переходов, а для описания радиального тепло-
и массообмена и распределения микротемператур Т1 (х, г, t)
использовались уравнения A.6.4) или обобщения уравнений
F.10.19) на случай нестационарного продольного течения, когда
v — v (x, t). Расчет выявляет заметное усиление возмущения на
начальной стадии процесса после инициирования волны.

136
ГЛ. 6 ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
Реализации описанного выше режима с аномальными всплес-
всплесками давления может способствовать дробление пузырьков, ког-
когда за счет сильного уменьшения радиуса пузырьков а и увели-
увеличения их числа п межфазная поверхность, а с ней и теплоотво-
дящая способность жидкости сильно увеличатся. Это приводит к
увеличению параметра В,
что свидетельствует об уско-
ускорении смыкания пузырьков
с конечными значениями
klF. Как показано в § 8, ка-
качественно условие дробления
пузырьков в ударных вол-
волнах определяется плотностью
газа р2, коэффициентом по-
поверхностного натяжения 2,
скоростью обтекания пузы-
пузырей u>i2, и это условие запи-
записывается через критерий
Вебера
х,см
Рис. 6 10 12. Эволюция ударной волны,
создаваемой постоянным при t > 0 воз-
возмущающим давлением ре = ре[ро = 5
в воде с пузырьками пара (ро =
= 0,1 МПа, сего = 0,05, а0 = 1,0 мм).
Числовые указатели у кривых соответ-
соответствуют времени t в мс
We
F.10.41)
Дробление происходит до
тех пор, пока размер пу-
пузырьков а не станет таким
малым, чтобы We уменьшилось до We*. При фиксированном
исходном давлении р0, интенсивности волны pjpa и газосодержа-
газосодержании сс2, определяющих для рассмотренных маловязких жидкостей
скорость Wn, склонность к дроблению увеличивается при увели-
увеличении параметра Pg/2. Применительно к условиям рис. 6.10.1
этот параметр для кипящего азота, воды с углекислым газом и
кипящей воды соответственно равен 500, 25 и 10 с2/м3. Таким
образом, из рассмотренных смесей пузырьки в пароводяной сме-
смеси являются паиболее «прочными», а в кипящем азоте — наиме-
наименее «прочными», поэтому в кипящем азоте происходит интен-
интенсивное дробление, ускоряющее схлопывание пузырьков в режи-
режиме, приближающемся к самоускоряющемуся, когда проявляются
«аномальные» осцилляционные пики давления.
§ 11. Нестационарное истечение и волны разрежения
во вскипающей жидкости
Пусть в канале длиной L с постоянным или медленно меня-
меняющимся сечением S(x) и закрытом с обоих концов основаниями
(днищами) находится однородная «недогретая» или насыщенная
вода с давлением р0 и с температурой То^ Тв(р). В момент

§ 11. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ИСТЕЧЕНИЯ И ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ 137
времени t = 0 днище на одном из концов трубы удаляется (ава-
(аварийная ситуация) и начинается истечение жидкости и образую-
щегося из-за ее вскипания пара в окружающую среду с давле-
давлением fee < Ро- Требуется описать возникающее течение.
Сформулированная физическая задача является одной из
ключевых при исследовании нестационарного истечения вскипа-
вскипающих жидкостей из сосудов высокого давления. Проблема теоре-
теоретического описания этого процесса актуальна с точки зрения
анализа аварийных ситуаций на атомных электростанциях, в ап-
аппаратах химической технологии, нефтепроводах и других уста-
установках современной техники, использующей жидкое или двух-
двухфазное вещество.
Особенности течения вскипающей жидкости в волне разреже-
разрежения с большим перепадом давления. При теоретическом описа-
описании истечения вскипающей жидкости следует иметь в виду два
обстоятельства.
1. Большие перепады давления 0,1—10 МПа, реализуемые в
этих процессах, требуют использования более подробных, а сле-
следовательно, и более сложных уравнений состояния фаз и усло-
условий фазовых переходов, чем уравнения состояния пара и жидко-
жидкости, использованные выше (например, в § 10 настоящей главы).
В частности, для анализа волновых процессов в однофазной не-
догретой или перегретой метастабильной жидкости, а также в
смеси при малых объемных содержаниях пара необходимо учи-
учитывать сжимаемость жидкой фазы.
2. Из-за больших скоростей истечения вследствие больших
перепадов давления возможны неравновесные эффекты и, в
частности, «запаздывание» вскипания. Вскипание определяет
расширение среды и темп опорожнения сосуда. Описание этих
эффектов связано с учетом структуры двухфазной смеси (обра-
(образование и рост пузырьков, переход пузырьковой структуры по-
потока в дисперсно-кольцевую или капельную и т. д.) и использо-
использования уравнений кинетики неравновесных процессов.
Истечение недогретой или насыщенной жидкости начинается
с течения однофазной жидкости, в которой из-за сильного паде-
падения давления ниже давления насыщения ps(T0) начинается об-
образование и рост пузырьков, и течение до некоторого временя
происходит в пузырьковом режиме. Поэтому для описания этой
стадии процесса будем использовать уравнения двухфазных пу-
пузырьковых сред, учитывая допущения, указанные в § 5 гл. 1,
кроме допущения о постоянстве температуры жидкости, ибо воз-
возможны случаи заметных массовых содержаний пара. При этом
будем ориентироваться на механизм гетерогенного зародышеоб-
разования (см. § 7 гл. 1), полагая, что в исходной однофазной
жидкости имеются равномерно распределенные микрочастицы с
а0 ~ 10~6 м и числовой концентрацией п0 ~ Ю11—1013 м~3, кото-
которые станут центрами зародышеобразования.

138 гл. 6 динамика пузырьковых жидкостей
Отметим также, что неровности стенок каналов, наличие на
них различных частиц также могут быть центрами парообразо-
парообразования, поэтому при достаточно малых диаметрах труб (порядка
1 см и меньше) может сыграть свою роль и поверхностное вски-
вскипание на стенках.
Парообразование на уже готовых зародышах ограничивает
возможные перегревы жидкости AT, которые обычно не превы-
превышают 10 К, при ее истечении. В этих условиях термофлуктуа-
ционное (гомогенное) зародышеобразование, интенсивность кото-
которого экспоненциально растет с ростом перегрева (см. § 7 гл. 1),
за время 10~2 — 10 с, характерное для истечения, не успевают
проявиться.
Отметим, что при начальных температурах истекающей жид-
жидкости, близких к критической температуре Гкр (Г0/Гкр ^ 0,9),
перегревы AT, при которых возможно достаточно интенсивное
гомогенное зародышеобразование, составляют около 10 К (см.
также § 7 гл. 1 и ниже обсуждение после F.11.38)).
Анализ процесса роста пузырька при резком сбросе давления
от р0 до р0 — Ар показывает (см. § 6 гл. 2), что выделяются две
стадии процесса: первая, или динамическая, во время которой в
течение времени t ~ ад (р JАр) 2 давление пара в пузырьке от-
отличается от давления в жидкости за счет радиальной инерции
жидкости; вторая, или термическая, стадия, когда давление в
паре отличается от давления в жидкости только за счет поверх-
поверхностного натяжения, а пузырек монотонно растет в перегретой
жидкости, причем скорость роста определяется способностью
жидкости подводить теплоту для испарения. Оценки показывают,
что время динамической стадии составляет менее 1 мкс и эту
стадию можно не учитывать. Кроме того, из-за высоких давле-
давлений, несмотря на малость размера пузырьков, можно пренебречь
капиллярным давлением BТ,/а0р0 <s 1). Характерное время вы-
выравнивания температуры внутри пузырька равно 4Т) ~ <^/v2> и,
если характерные радиальные скорости w роста пузырьков тако-
таковы, что t^w/a^l, то температуру и плотность внутри пузырь-
пузырька, как и в § 10, можно считать однородными, определяемыми
условиями насыщения (см. § 6 гл. 2). Как и при анализе удар-
ударных волн, будем пренебрегать поступательным движением пу-
пузырьков относительно жидкости. Резюмируя вышесказанное,
примем следующие упрощения:
Vl = v2 = v, р1 = р2 = р, Т2 = Ts (р), р° = pis (p). F.11.1)
Пусть также можно пренебречь теплообменом и трением на
стенках канала.
Уравнения сохранения массы, импульса и энергии, уравне-
уравнения состояния фаз и межфазного тепло- и массообмена. В квази-
одномериом приближении уравнения сохранения массы и им-

§ 11. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ИСТЕЧЕНИЯ И ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ 139
пульса смеси, числа пузырьков (см. A.5.11)), а также уравне-
уравнения притока тепла каждой из фаз (аналогично A.4.8)) вместе с
уравнением притока тепла на межфазной границе с учетом ука-
указанных упрощений и переменности поперечного сечения вдоль
продольной координаты имеют вид
at ¦¦- дХ и' % р0'
d(pvS) д jpv2S) ^ _ S2L
at дх а*' FЛ12)
° dii dp ... . .
Pi«i % ai Ж = nq^ — hi (he - h)>
-^ — «2 |f = ra?22 (i2 = hs {p) = i2 (P. y
Состояние рассматриваемой односкоростной двухтемператур-
ной среды, помимо ее скорости v, определяется независимыми
параметрами р, р, Т,, п. С использованием уравнений состояния
определяются также следующие величины:
Pi = Pi (P. Ti)> T2 = Ts (p), P2 = P2S (p),
а а (ъпд)
Ниже понадобятся уравнения сохранения масс фаз, имеющие вид
которые в сумме дают уравнение сохранения массы смеси.
Расчет волновых движений смеси методом конечных разно-
разностей требует вычисления свойств фаз в каждом узле разностной
сетки на каждом временном слое. В связи с этим используемые
уравнения состояния, помимо высокой точности вычисления са-
самих термодинамических функций F.11.2), должны давать высо-
высокую точность вычисления и их производных, через которые оп-
определяются скорости звука и скорости волн. В то же время они
должны быть достаточно простыми, чтобы сильно не увеличивать
объем вычислений. Для удовлетворения этих требований имеет
смысл использовать уравнения состояния, аппроксимирующие
свойства фаз на конечных интервалах измепения параметров.
Ниже проведены термодинамические аппроксимации примени-
применительно для волн в диапазоне р = 0,1 — 10 МПа.
Как уже указывалось, кривая фазового равновесия в виде
зависимости температуры насыщения от давления хорошо аппро-
аппроксимируется выражением A.3.78) (см. также F.10.23)), которое
для воды в указанном диапазоне р при Т" = 4640 К, р° =¦

140 гл. е. динамика пузырьковых жидкостей
= ехр 10,26 = 28570 МПа дает относительную погрешность, не
превышающую 1 %•
Теплота фазового перехода, энтальпия и удельный объем
жидкости в состоянии насыщения аппроксимируются полинома-
полиномами (А. И. Ивандаев, А. А. Губайдуллин, 1977), которые для
воды имеют вид
Цр) = 2199 - 170,7/> + 15,22/ - 0,707/,
ив{Т)=и(ра[Т), Г) =
= —1299 + 5,663Г - 0,446 • 10-2Г + 0,49 • 10-ьГ,
F.11.5)
= 0,1046-КГ11 + 0,789-10~4р— 0,776 -10~V + 0,389-10~V«
где ilB, I даны в кДж/кг, р в МПа, Ts в К, ViS в м3/кг. Через
эти аппроксимации выражаются энтальпия насыщения и удель-
удельный объем пара, учитывая уравнение Клапейрона — Клаузиуса,
4s(p) = hs(p) + 4p), Vo2S(p) = 4-^VolS + JrjfLd-^, F.11.6)
Эксперименты по определению удельного объема Ух = 1/pj недо-
гретой жидкости (В. П. Скрипов, 1972) в зависимости от давле-
ния и температуры показывают, что зависимость ^ от f ли-
линейна и непрерывна при переходе через состояние насыщения
V°i (Р, Т) = V°lS (Т) + р (Т) • (р ~ Ps (T))t F.11.7)
где р ={dVJdp)r — изотермический коэффициент объемного рас-
расширения. Известпо, что зависимости Vi(p, T) и ii(p, T) должны
удовлетворять условию интегрируемости дифференциала эн-
энтропии
Tdsi = di1 — V\dp, F.11.8)
откуда следует
а после интегрирования получим калорическое уравнение
г Г ldv°\ 1
h(P,T) = hs{T)+\\v°1-T(-^) \dp =
^ I \ I P I
Ps
F.11.10)

§ И. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ИСТЕЧЕНИЯ И ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ
141
При состояниях, не очень близких к критическим, в выражениях
для коэффициентов 1A) и /B) главными являются первые сла-
слагаемые
(&Л1Л1)
Значения CG\) можно получить из теплофизических данных
для недогретой и перегретой жидкости или используя экспери-
экспериментальные данные о скорости звука в жидкости на линии на-
насыщения psG\). Соответствующую связь можно получить, исхо-
исходя из принятых уравнений состояния
<*=-№(?)=-го $
дТ.
1 p
м Т1
. F.11.12)
На рис. 6.11.1 приведены зависимости от температуры скоро-
скорости звука Ct и изотермической сжимаемости fi для насыщенной
Рис. 611.1. Скорость звука
Ci (линия 1), изотермиче-
изотермическая скорость звука С\Т
(штриховая линия) и коэф-
коэффициент изотермической
сжимаемости C (линии 2 и
2') насыщенной воды в за-
заCf, м/с
1200
висимости от температуры i
или давления. Линия 1— дОО\
экспериментальные данные
В. В. Сычева A961). Ли-
Линия 2 — расчет $ по скоро-
скорости звука с использованием
формул F.11.12); линия 2'—
обработка эксперименталь-
экспериментальных данных В. П. Евстефе-
ева и др. A977) по зависи-
зависимости F° (p, T)
400
0{
37ff 4fO 450 490 S~30 570 TS,K
0,1 0,20,3 OMOJf,0 1.52,0 3,04,0 6.0 8,0 10 p ,Mf?a
воды (р — pB(Ti)). Для сравнения там же приведены расчетные
значения так называемой «изотермической» скорости звука CiT:
'1Т
F.11.13)
i/г
Интенсивность образования пара в объеме перегретой жидко-
жидкости определяется количеством зародышей, на которых возникают
пузырьки, и скоростью их роста. Анализ экспериментальных и
теоретических исследований по образованию и росту одиночных

142 гл. 6. динамика пузырьковых жидкостей
паровых пузырьков в объеме перегретой жидкости (см. ссылки
в § 6 гл. 1) показывает, что пузырек в своем развитии проходит
несколько стадий. При резком падении давления в жидкости,
как только размер зародышевого пузырька превышает критиче-
критический диаметр, наступает стадия медленного роста пузырька, оп-
определяемая поверхностным натяжением жидкости («капилляр-
(«капиллярная стадия»). После этого происходит быстрое увеличение скоро-
скорости роста пузырька. На этой стадии увеличению скорости роста
пузырька, определяемой скоростью жидкости wla на его стенке,
препятствует радиальная инерция жидкости, определяемая ее
о
плотностью Pi и преодолеваемая перепадом давлении рг—
— 22/а — Pi согласно уравнению Рэлея — Ламба. Радиальная
скорость в этой инерционной стадии роста пузырька возрастает
до тех пор, пока она не будет ограничиваться интенсивностью
парообразования, определяемого подводом тепла к стенкам пу-
пузырька из перегретой жидкости, и инерционная стадия сменяет-
сменяется тепловой стадией роста пузырька, определяемой практически
подводом тепла q^. Оценки длительности капиллярной и инер-
инерционной стадий, предшествующих тепловому режиму, показыва-
показывают, что для пузырька диаметром порядка 10~° м при р около
7,0 МПа она составляет tb « 10~6 — 10~5 с. При разгерметизации
сосудов пузырьки образуются за счет резкого падения давления
в волнах разрежения. Характерная скорость распространения
волн в однофазной жидкости равна 103 м/с, характерный мас-
масштаб длин каналов — около 1 м; тогда характерное время про-
процесса распространения волн равно 10~3 с, а характерное время
вскипания и роста объема пара, определяющего истечение, во
много раз больше и составляет t0 « 10~2 ¦— 10 с. Поэтому за
время первых двух стадий tb, предшествующих тепловой стадии
вскипания, не успевает образоваться достаточное количество па-
пара, влияющего на процесс истечения, в связи с чем можно пре-
пренебречь первыми двумя стадиями роста пузырьков и считать,
что тепловая стадия роста пузырьков начинается сразу, как
только размер зародышевого пузырька или частицы превышает
критический диаметр.
В § 6 гл. 1 уже отмечалось аналитическое решение Скривена
задачи об автомодельном росте парового пузырька в перегретой
жидкости в тепловом режиме при постоянных давлении р и пе-
перегреве AT. Характерное время выхода или «подстройки» рас-
распределения температур на автомодельное при постоянных р и
AT для пузырька радиуса а равно t^P ^oP/v^K Более точный
анализ показывает, что это время «подстройки» на самом деле в
10 раз меньше. Если характерное время t0 изменения давления
p(t), перегрева AT(t) и роста пузырька много больше
^i (^o^^i ~ a2/(l0vir)), то можно считать, что рост пузырька
происходит в термическом (см. B.6.48), где /?<»=/>) квазиавтомо-

§ 11 НКИГ АНИОН АРНЫЕ ИСТЕЧЕНИЯ И ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ 143
дельном режиме, т. е. скорость роста пузырька или интенсивность
подвода к нему тепла q^ в каждый момент времени t определя-
определяются формулами A.3.56), A.6.19), A.6.20) (или их обобщениями
B.6.42) и B.6.44)), которые следуют из автомодельного решения
и в которые входят теперь уже зависящие от времени, как от па-
параметра, давление p(t) и перегрев AT(t) = Ti(t) — Ts(p(t)).
Отметим, что при разгерметизации каналов и сосудов обычно
Ja^l, что соответствует тонкому температурному погранично-
пограничному слою вокруг пузырька и слабому влиянию на этот слой со-
соседних пузырьков. Поэтому учитывать влияние взаимодействия
пузырьков на межфазный тепло- и массообмен не требуется.
При Ja<Cl(Nu1?»2) соответствующая зависимость, учитываю-
учитывающая влияние взаимодействия пузырьков, получена в работе
Б. И. Нигматулина и др. A979).
Таким образом, предполагается следующая модель вскипания
воды. Как только давление в жидкости становится ниже давле-
давления насыщения (p<ps), сразу начинается ее вскипание на фик-
фиксированном числе п0 зародышевых частиц дримеси радиусом а0.
Дальнейший рост пузырьков происходит в соответствии с авто-
автомодельным решением задачи о тепловом росте одиночного пу-
пузырька в безграничном объеме жидкости.
Начальный радиус пузырьков а„ и их число в единице объе-
объема жидкости п0 определяются достигнутым перегревом (Т — Ts),
качеством исходной жидкости и должны задаваться априори.
Тепло (?Х2, идущее в пар, изменяет его состояние вдоль линии
насыщения и поэтому определяется однозначно изменением дав-
давления в соответствии с B.6.9).
Систему дифференциальных уравнепий F.11.2) можно при-
привести к квазидивергентпому виду
др , д (pv) 1 dS п__Р_
at "т~ дх ~ р s дх' п0 р0'
5 (pv) . д . . ,. .185
-ir + rJp + P^^-p^j^
Ж + д-?г = (р-РС')Ц + ^ F.11.14)
где входящие в правые части уравнений величины tyP, tj*T и Ct
определяются следующими формулами

144 ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
F1И5)
Отметим, что Сгз не есть скорость звука в паре. Можно пока-
показать, что Cf — характеристическая скорость полученной системы
уравнений и замороженная скорость звука рассматриваемой па-
рожидкостной среды, являющейся релаксирующей или неравно-
неравновесной средой. Неравновесность здесь имеется только за счет
неравновесного тепло- и массообмена между паром и жид-
жидкостью. Замороженная скорость звука — скорость распростране-
распространения малых возмущений с бесконечной частотой (ю-»-<»), когда
релаксационные процессы, в данном случае межфазный тепло- и
массообмен, не успевают произойти, и каждая фаза ведет себя
изоэнтропически:
-А---'И -в»М +ai№] геи
Рассмотрим несколько подробнее уравнение притока тепла
или уравнение для температуры жидкости (четвертое уравнение
F.11.14)). Использование упрощений F.11.11) приводит к то-
тому, что (д11/др)т — V1~ 0 и уравнение для 7\ примет вид
РЛ^=-п?12. F.11.17)
Таким образом, указанные упрощения соответствуют пренебре-
пренебрежению изменением энтальпии и температуры жидкой фазы при
ее сжатии или расширении. В рассматриваемом диапазоне дав-
давлений 0,1 < р < 10 МПа это условие выполняется с достаточной
степенью точности. В то же время использование обсуждаемых
упрощений F.11.11) в уравнении для давления (третье уравне-
уравнение F.11.14), в которое входит сжимаемость среды, определяе-
определяемая замороженной изоэнтропической скоростью звука Cf, может
приводить к заметной погрешности. Ибо тогда вместо Cf получа-
получается изотермическая скорость звука С1Т, которая в рассматри-
рассматриваемом диапазоне заметно отличается от Cf (см. рис. 6.11.1).
Рассмотрим поведение системы уравнений F.11.14) при от-
отсутствии или исчезновении паровой фазы (осг-^-О). В этом слу-
О
чае p->Pi, Cf-*-Ct, a->-0, q^-^O, и числовая концентрация пу-
пузырьков п, входящая в уравнение вместе с qis, перестает влиять
на распределение параметров, а система уравнений F.11.14)

§11. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ИСТЕЧЕНИЯ И ВОЛНЫ РАЗРЕШЕНИЯ 145
трансформируется в систему, описывающую движение сжимае-
сжимаемой двухпараметрической среды. Таким образом, система урав-
уравнений F.11.14) позволяет рассчитывать все стадии истечения
вскипающей жидкости единым методом, не прибегая к выделе-
выделению областей одно- и двухфазного течений.
Если в уравнениях F.11.14) использовать уравнения состоя-
состояния калорически совершенного газа (р = p1i?1T1, i1 = c^T-^, R,
сх = const), то они сводятся к обычным уравнениям газовой
динамики, что можно использовать при тестовых расчетах.
Начальные и граничные условия для задачи о разгерметиза-
разгерметизации сосуда. Для задачи, физическая формулировка которой дана
в начале параграфа, в случае однородной жидкости начальные
условия имеют вид
t = 0, 0<ж</,: у@, х) = 0, р@,х) = р0,
Тх (О, х) = Го, п (О, х) = п0, р @, х) = 9°г (р„, Го) F.11.18)
Граничные условия соответствуют тому, что на закрытом (х = 0)
конце трубы имеем условие непротекания, а на открытом
(х = L) задано условие равенства давления на срезе трубы дав-
давлению окружающей среды
. *-0:»(*,0)-0; F1119)
x = L: p(t, Ь) = р„ (роо<р0).
Термодинамически равновесное и политропическое приближе-
приближения. Рассмотрим сначала предельный случай, когда теплопровод-
теплопроводность жидкости настолько велика, что нет запаздывания вскипа-
вскипания, и жидкость не перегревается, т. е.
Ti = T2 = Ts{P) или U = iia{p), i2 = i2s{p), F.11.20)
что соответствует равновесной схеме насыщенной двухфазной
смеси.
Складывая уравнения притоков тепла фаз F.11.2), получим
уравнение притока тепла смеси, которое, если учесть уравнения
F.11.3) и то, что при равновесии i2 — ix = i2s — iis = l, приводит-
приводится к виду, отражающему изоэнтропичность процесса для мате-
материальной частицы:
P| = J »» 1=0- F-W-21)
Покажем, что для каждой частицы процесс ее расширения
является баротропным, т. е. все параметры зависят от давления,
в частности, р = р(р), и эти зависимости определяются функция-
функциями Ts(p), is(p). hs (p), для которых имеются таблицы или их
Р И Нигматулин, ч II

146 гл. 6. динамика пузырьковых жидкостей
аппроксимации типа F.11.5), F.11.6). Действительно,
dV = ridV°lS + r2dV2S + AV°sdr2
(ri-Pi/P (i = 1, 2, r^r, = 1), AV°s = r2S-Vls), F.11.22)
dp — pdi = p (ridiis + rzdi2S + ldr2),
откуда следует
^Л г^-г,^. F.11.23)
После интегрирования это уравнение позволяет получить гг{р),
а далее получим уравнение баротропии, не зависящее от струк-
структуры смеси (пузырьковая, капельная и т. д.) и размера пузырь-
пузырьков или капель,
причем скорость звука (равновесная) Се у рассматриваемой рав-
равновесной парожидкостной смеси равна
{А— V) af: — Bi
>s _ F.11.25)
di.
Для насыщенной однофазной жидкости (р2 = 0) это выражение
определяет скорость звука Cie жидкости со стороны двухфазной
области
СЪ (Р) = УУ 1{(^ - V1S) AVl - dlfl]. F.11.26)
Если в исходном состоянии жидкость является недогретой,
т. е. находится в однофазном состоянии {То< Та(ро) или
Ро > Ps{T0)), то скорость звука в ней есть скорость звука в чис-
чистой жидкости Ci (см. 6.11.15), которая в силу линейной зависи-
зависимости р от Vi практически не зависит от степени недогрева, и
так как изменение температуры жидкости на стадии однофазно-
однофазного течения ничтожно малы, то Ci может считаться фиксирован-
фиксированной и задаваться по начальной температуре То, т. е.
6i = С ю = 6i (Т о).
Таким образом, в равновесном приближении рассматриваемая
среда есть идеальная сжимаемая жидкость, движение которой
описывается уравнениями Эйлера с усложненным уравнением
состояния или сжимаемости. Для чисто одномерного движения

§11. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ИСТЕЧЕНИЯ И ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ
147
(S
i const) имеем
dp , d(pv) _
dt dx
dt
р^2 + р)
_ п
dp
_ гг _
(Се(р))\
dx
P>Ps(T),
P<PS-
F.11.27)
Следует иметь в виду, что зависимость p(V) имеет излом
при переходе однофазной жидкости в двухфазную (см. линию
Рис. 6.11.2. Процесс расширения
вскипающей парожидкостной сме-
смеси в координатах р V; OS — недо-
гретая жидкость, S — насыщен-
насыщенная жидкость, SE — равновесная
парожидкостная смесь, SF — ме-
тастабильная (перегретая) жид-
жидкость, SR — реальный неравно-
неравновесный процесс. Штриховые ли-
линии соответствуют изоэнтропам;
KSi и KSg — граничные кривые
соответственно насыщенной жид-
жидкости и насыщенного пара, точка
К соответствует критическому со-
состоянию
Пар
OSE на рис. 6.11.2) и скорость звука скачком изменяется от С,
до См. На рис. 6.11.3 в качестве примера показаны Се(р) и
p(V) (последняя схематично показана линией SE на рис. 6.11.2)
вдоль нескольких изоэнтроп в двухфазном равновесном состоя-
состоянии для воды, метана и пропана.
Наличие излома в диаграмме p{V) приводит к тому, что вол-
волна разрежения в недогретой жидкости распадается на две, и
процесс истечения недогретой жидкости из трубы при внезапной
разгерметизации протекает следующим образом. Сначала в жид-
жидкость со скоростью С, ~ 103 м/с идет первая, или «быстрая», вол-
волна разрежения (OS на рис. 6.11.4). В ней давление падает до
давления насыщения pSo = Рб{Т0), а жидкость за волной прихо-
приходит в движение со скоростью
vS0 ~ '
F.11.28)
Затем идет вторая, или «медленная», волна (S'C на рис. 6.11.4),
скорость переднего фронта которой равна равновесной скорости
звука С,е — Cle(pSo) в жидкости со стороны двухфазной области.
Качественное исследование движения равновесной парожидкост-
парожидкостной смеси в этой волне можно проводить в приближении поли-
политропической баротропии, аппроксимируя зависимость р(р) в виде
Ps0
10*
Pso = Ps (To), pSo = plS (To) = -o-
V V1S
F.11.29)

148
ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
с показателем политропы 0 < к < 1. Этой зависимости соответст-
соответствуют прямые линии на диаграмме рис. 6.11.3. Для парожидкост-
ной смеси к < 1, и это объясняется тем, что при одной и той же
Се~м/с
150 -
100 -
50
О
ч
W
Вода
Пропан
о о о о Метай
Лола тропаfa
4%
s^4* ч.
0,2^
7,0
0,25 0.5 0.75 р/р0 7
Рис. 6.11.3. Равновесная скорость звука Се и удельный объем V парожид-
костной смеси в зависимости от давления р в процессе равновесного вски-
вскипания из-за уменьшения давления, когда в исходном состоянии среда яв-
является насыщенной жидкостью при давлении ро = 0,2; 1,0; 2,5 и 7,0 МПа
(для воды) и ро = 2,5 МПа (для метана и пропана). Числовые указатели
у линий соответствуют значению начального давления ро, МПа. Штрихпунк-
тирные линии соответствуют политропическому закону p(V) с показателем
политропы к = 1,0 и 1,4. Все представленные линии являются расчетными
и основаны на формулах F.11.26), F.11.25) с использованием аппроксимаций
F.11.5), A.3 78)
степени разрежения p/pso для нее (из-за образования пара из
более плотной жидкости) характерно гораздо большее увеличе-
увеличение удельного объема, чем для газа (см. рис 6.11.3).
Для первой стадии истечения в исходном состоянии (t = 0)
однородной (р = р0) покоящейся (у = 0) жидкости (см.
Рис. 6.11 4. Схема двухфроптовой волны
разрежения в недогретой жидкости,
вскипающей при падении давления;
OSS'EC — равновесное вскипание (OSE
на рис. 6.11 2); OSFF' — отсутствие вски-
вскипания с переходом жидкости в метаста-
бильное состояние (OSF на рис. 6.11.2);
OSRC — волна разрежения при нали-
наличии неравновесного вскипания (OSR на
рис. 6.11.2). Скорость фронта волны раз-
разрежения (точки О) равна С10, а ско-
скорость относительно стенок канала фрон-
та волны равновесного вскипания (точ-
(точки S') равна С\е — Vso
F.11.18)) до момента отражения «быстрой» волны разрежения
от закрытого торца решение уравнений F.11.27), F.11.29) яв-
является автомодельным, когда независимые переменные х и t on-

g 11. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ИСТЕЧЕНИЯ И ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ 149
ределяют решение только через комбинацию x/t, и имеет вид
простой волны (см. § 6), для которой имеет место интеграл
Римана
2>0
где в приближении политропии
И-1
р = р^0 If-I1", Се = Си Ш ™ , С1е = л/Ц*. F.11.31)
Если v(pco)< Ce(p*>), то разрежение до давления р„, рас-
распространяющееся относительно трубы со скоростью у (/>«.) —
— Се (/>«)< 0, проходит в сторону x<L, т. е. внутрь трубы,
и на срезе устанавливается давление окружающей среды />«,.
В противном случае, если v(poa)'^ Се{р<*>), то разрежение до
давления р„, внутри трубы невозможно, так как соответствующее
возмущение сносится средой в сторону x>L (у (/>«,)— С{рх,)>
> 0) и на срезе трубы устанавливается критическое давление
рс, реализующее v(pc) = Се(рс). Дальнейшее разрежение от рс
до роо на рассматриваемой первой стадии процесса происходит
вне трубы. Из интеграла Римана получается следующее выра-
выражение для рс:
1Y. 2К
И-1
С С
F.11.32)
и «медленпая» волна разрежения является центрированной (см.
рис. 6.11.4). Ее передний фронт движется относительно трубы со
СКОРОСТЬЮ Cie — Vsa-
Если недогревы не очень велики, то второе слагаемое в квад-
квадратных скобках много меньше единицы. Тогда влияние недогре-
ва на величину рс можно учесть с помощью более простой
формулы
(М133)
Значение показателя политропы % зависит от начальной темпе-
температуры Та или от pso = Ps{T0). Для воды при pSo = 7,0 МПа
х « 0,5, а при ?S0 = 2,5 МПа к « 0,33.
Давление рс 3= р„ будет сохраняться постоянным на срезе
трубы до прихода отраженной от закрытого торца трубы волны
разрежения. Для расчета последующих после отражения волны
разрежения стадий истечения приходится использовать числен-

150 ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
ные методы, тем более, если использовать более точные аппрок-
аппроксимации уравнений состояния, основанные на F.11.5), F.11.6),
F.11.24), и учитывать неравновесные эффекты из-за запаздыва-
запаздывания вскипания.
Результаты численного исследования задачи об истечении
вскипающей жидкости из труб конечной длины в равновесном
приближении приведены в работах Н. Г. Рассохина, В. G. Кузе-
ванова, Г. В. Циклаури A974), А. И. Ивандаева, А. А. Губай-
дуллина A977, 1978), А. И. Ивандаева A978) и будут рассмот-
рассмотрены ниже при обсуждении экспериментальных и теоретических
результатов с учетом неравновесности межфазного тепло- и мас-
сообмена, характерной для пароводяной среды.
О методике численного интегрирования. Обсуждаемые ниже
теоретические результаты получены Б. И. Нигматулиным,
К. И. Сопленковым A980) численным интегрированием уравне-
уравнений F.11.14) с граничными и начальными условиями F.11.18),
F.11.19) с помощью явной двухшаговой разностной схемы Лак-
са — Вендроффа (см. R. Richtmyer, К. Morton A967)). Схема
имеет второй порядок точности. Необходимым условием ее ус-
устойчивости, как и для разностных схем уравнений газовой ди-
динамики в эйлеровых переменных, является условие Куранта на
шаг интегрирования по времени At
Так как в рассматриваемой системе уравнений есть источнико-
вые члены typ и фт, связанные с релаксационными или неравно-
неравновесными процессами тепло- и массообмена, то шаг интегрирова-
интегрирования по времени At при выбранной явной схеме должен быть
много меньше кинетического или релаксационного времени t$
A*<fy, или Д*<^%, где Ц = min fc-, Ы, F.11.35)
так, чтобы приращения искомых функций за счет кинетического
процесса на каждом шаге были малыми (tJ>pA? < р0, tyrAt < То).
Это условие при быстрых релаксационных процессах, т. е. когда
t$ < Atc, делает явный конечно-разностный метод вычислений
с учетом неравновесных процессов неэффективным. В таких слу-
случаях следует пользоваться или неявными схемами, или исполь-
использовать уравнения равновесного приближения. Кроме того, расчет
с быстрыми релаксационными процессами можно сделать более
эффективным, т. е. использовать не очень мелкие шаги инте-
интегрирования по времени At, если решение представлять не в виде
«кусочков» линейных зависимостей, как это обычно делается,
){t-Vm)), t<=[t^;tim) + At\, F.11.36)

§11 НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ИСТЕЧЕНИЯ И ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ 151
а в виде «кусочков» экспонент
р-ры =(dp/dt)(n%exp(t/ti), te[tM;t(m) + At], F.11.37)
где верхний индекс т соответствует m-му «слою» по времени.
В отмечавшейся работе Б. И. Нигматулина, К. И. Соплеыко-
ва A980), результаты которой будут обсуждаться, указывалось
на возникновение численных осцилляции, особенно, вблизи вы-
выходного сечения трубы. Для подавления их использовалась про-
процедура послойного сглаживания с применением «дифференциаль-
«дифференциального анализатора» А. И. Ивандаева A975).
Исследование истечения ири наличии термодинамической не-
неравновесности. Отметим, что адиабатическая, но термодинамиче-
термодинамически неравновесная двухфазная среда, описываемая уравнениями
F.11.2) — F.11.15), не является баротропной, и кривая процесса
в /)У-координатах зависит от реализующейся скорости фазового
перехода, определяемого межфазным теплообменом с жидкой
фазой, т. е. зависит от скорости процесса (см. на рис. 6.11.2
линию SR, расположенную между линией SE равновесного и
линией SF метастабильного процессов).
Истечение неравновесно вскипающей жидкости из трубы ко-
конечных размеров с начальными параметрами, соответствующими
«недогретому» или насыщенному, состоянию воды />sG\o)<; Ро,
удобно изучать, рассматривая два характерных периода: t ^ tt и
t > tf, где tf = L/Cj. В течение первого периода в канале рас-
распространяется волна разрежения (упругий предвестник) в чи-
чистой жидкости со скоростью d ~ 103 м/с, за которой создается
метастабильное состояние, начинается вскипание жидкости. Это
вскипание приводит к затуханию упругого предвестника до дав-
давления ps в соответствии с F.2.42). Второй период характеризу-
характеризуется истечением двухфазной смеси с неравновесным или квази-
квазиравновесным тепло- и массообменом во всей области течения.
Начальная стадия истечения. Исследованы особенности рас-
распространения волны разрежения в трубе (dS/dz = 0) длиной
L = 4 м с сильно недогретой до параметров насыщения водой:
Ро = 6,9 МПа, Г10 = 515К, F°o = Vr (р0, Т10). Полагалось, что
давление на срезе трубы мгновенно принимает значение давле-
давления окружающей среды.
На рис. 6.11.5 представлены профили давления в волне раз-
разрежения. При большом начальном числе пузырьков (пунктирные
линии соответствуют щ = 1012 м~3) решение близко к решению
Для равновесной модели (штриховые линии): имеются «быст-
«быстрая» волна разрежения, давление за которой лишь незначитель-
незначительно отличается от давления насыщения, и «медленная» волна,
перемещение которой за время tf по сравнению с длиной тру-
трубы L практически незаметно. Качественно отличие от равновес-
равновесного решения на этой стадии процесса заключается в том, что
к моменту t — tf согласно неравновесной модели вскипание

152
ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
жидкости происходит вдоль всей трубы, а согласно равновесной —г
лишь на расстоянии Cet/ от среза, где Се — равновесная скорость
звука в смеси.
В отличие от самой «быстрой» волны течение за ней суще-
существенно зависит от начальной концентрации п0 зародышевых
пузырьков: чем меньше п0, тем большее перерасширение или
перегрев жидкости достигается
(ср. штриховые, пунктирные и
сплошные линии на рис. 6.11.5).
Или, другими словами, чем мень-
меньше п0, тем ниже давление по
сравнению с давлением насыще-
насыщения (в рассматриваемом случае
Ps/po ** 0,5) после прохождения
быстрой' волны, или тем силь-
сильнее отклонение от термодинами-
термодинамического равновесия.
Отражение волны разрежения.
х,м Процесс отражения «быстрой»
волны разрежения во вскипаю-
Рис. 6.11.5. Эволюция распределе- щей жидкости от закрытого кон*
ния давления р и объемного паро- ца трубы (стенки), который за-
д°иДиТ<та пГГмгГв^ой висит от возможности жидкости
разгерметизации (?оо = 0,1 МПа) находиться в метастабильном со-
канала при t — 0 длиной ? = 4м стоянии (р < ps(T)) и интенсив-
(х = 0 — закрытый конец, х = ности вскипания в этом состоя-
состоянии, проиллюстрирован на рис.
ления: р0 — 6,9 МПа, Го = 515 К о.И.о в виде эпюр давления и
(Pso = 3,5 МПа (указано штри- объемного паросодержания около
ховой линией) С,о = 1200 м/с); 3aKpbITOro конца трубы (х = 0) в
tin -— U.O'IU М , flf> ¦— 1U МКА1 , #-, t~ г г\
(жирные сплошные линии); п„ = моменты времени * = 3,5; 4,0 и
= 1012 м~3, я0 = 1 мкм (пунктир- 5,0 мс. При достижении «быст-
ные линии). Огибающая основа- рой» волной разрежения закрьг-
ний «зубов» (максимум р после того К0Нца Трубы давление в этой
огибающей Г концов°ТЛИ«зубов» области быстро падает и стано-
(Pmin— тонкая сплошная линия), вится существенно меньше дав-
лрактически не зависит от ради- ления насыщения. В этом ано-
уса зародышей и определяется /
числом в етгиниттр об-ь- мально сильном (по сравнению
ема п0. Указатели у кривых со- с моментами до отражения вол-
ответствуют времени в мс ны) неравновесном состоянии
жидкости, когда перегрев дости-
достигает около 45 К и давление меньше давления насыщения на
2МПа, происходит интенсивное вскипание. Быстрый рост ее*
(а следовательно, и удельного объема смеси) вызывает уменьше-
уменьшение интенсивности отраженной волны и ее быстрое затухание
при движении вдоль трубы. Видно, что на расстоянии около 0,5 м
от стенки трубы отраженная волна практически незаметна.

§ 11. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ИСТЕЧЕНИЯ И ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ
153
Квазистатическая стадия процесса истечения. При разгерме-
разгерметизации канала с высокотемпературным теплоносителем, когда
интенсивность волн вскипания достаточно высока (pso/p*,^ 3),
согласно термодинамически равновесной модели поток в период
времени ts<.t<.te (te = ЫСи) заперт, т. е. на срезе трубы
р = рс (см. F.11.32)) и v = Си, а вдоль трубы распространяется
Р/Р„
0,3
0,1
3,4
Й
f
3.5 3,8
г1
0,4- 0,в хм
0,02
0,01
О
V
3,5
~—
0,3
0,4 0,8 х,м
о
.
.
--—,
^—.
-80—
— 70—
Lso
LTG
—40
~30—
-20
1
-^
"
.^—'
0,4 0,8 х,М
Рис. 6.11.6. Распределение давления р и объемного паросодержания й2 при
отражении (t ^ i/Cm) от закрытого конца или стенки (х = 0) волны раз-
разрежения из-за разгерметизации канала (условия те же, что и для рис. 6.11.5,
л0 = О,5-1О9 м~3). Числовые указатели у кривых соответствуют времени t
в мс
«медленная» волна разрежения, передний фронт которой дви-
движется со скоростью Cie — Vso- Интересно, что при t> te опорож-
опорожнение трубы носит квазистатический или практически гомобари-
ческий характер, когда давление практически однородно вдоль
трубы (градиент давления заметен в зоне около 1 м у выхода
трубы) и зависит только от времени, а роль волновых процес-
процессов становится несущественной уже после только что отмечен-
отмеченного затухания отраженной волны. На этой гомобарической
стадии истечения реализуется на два порядка больший масштаб
времени изменения давления и других параметров. Изменения
Давления в четырех точках трубы при t Э> 1е для того же режи-
режима, что и на рис. 6.11.5, представлены на рис. 6.11.7, а. Видно,
что давление в фиксированных точках, в том числе и на срезе
трубы, слегка уменьшающееся к открытому концу трубы, в те-
течение 50—100 мс поддерживается на почти постоянном уровне
(при этом давление на срезе намного больше р^,), а затем мо-
монотонно падает вплоть до полного опорожнения трубы. Одно-
Одновременно на рис. 6.11.7, б представлено поведение остальных
параметров на срезе трубы. Видно, что скорость смеси из-за
роста паросодержания непрерывно растет вслед за ростом Cf, но
не достигает последней. При почти полном опорожнении трубы
скорость истечения v начинает резко падать.

154
ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
Влияние начальных параметров зародышей вскипания. В ис-
используемой модели течения неравновесно вскипающей жидкости
к числу недостаточно известных эмпирических параметров отно-
относятся начальное число пузырьков щ и начальный зародышевый
их радиус а0. Изучение влияния этих параметров на процесс
истечения смеси пока-
показало следующее. На-
Начальный диаметр пу-
пузырька практически не
влияет на характер
течения уже при t >
> Ю-4—Ю-5 с. Это, во-
вообще говоря, следует из
принятой модели вски-
вскипания жидкости. Закон
0,75
0,50
0,25
2,fff 0,08
гл И
[*~3,77
4,0
о
100
zoo
t,MC
роста пузырька имеет
вид а&А УТТ~п, где
А л; const, ?# — время,
необходимое для роста
начального радиуса аа.
Рис. 6.11.7. Изменения давления во времени в
нескольких точках с координатами х = 0,08; для пу3ырьков с а»
2,61; 3,77 и 4,0 м (отмеченных числовыми ука- \Z -in-2 i()-3
зателями) для режима разгерметизации, пред- ""
ставленпого па рис. 6.11.6 t*. f& 10~8— 1
мм время
- 10~5с, и уже
при ?» Ю-5— Ю-4 с
влияние t% (а следовательно, и влияние а0) на рост пузырька
становится незаметным. В представленных здесь расчетах
принималось 2а0 = 1 мк, чему соответствуют начальные паро-
содержания а2о х 10"'°—10~5, никак не влияющие на свойства
жидкости в исходном состоянии. Напомним, что в принятой
модели парообразование начиналось практически при р <
Начальное число зародышевых пузырьков п0 заметно влияет
на течение смеси: уменьшение п0 приводит к усилению неравно-
неравновесности потока (см. рис. 6.11.5, где представлены результаты
расчета для п0 = 1012 и 0,5 ¦ 109 м~3).
Сопоставление результатов расчетов с экспериментальными
данными. Наиболее полные экспериментальные данные о проте-
протекании процесса нестационарного истечения представлены в ра-
работах: A. Edwards, Т. O'Brien, 1970; Н. Г. Рассохин и др., 1977.
Эксперименты, представленные в первой из перечисленных ра-
работ, проводились на трубе длиной 4,1 м и диаметром 7,3 см, за-
заполняемой водой, после чего в ней повышались давление и тем-
температура. Стеклянный диск (диафрагма), с помощью которого
герметизировался один из концов трубы, разрушался специаль-
специальным ударником. Время разрушения диска составляло менее
1 мкс. Остатки диска после разрушения удерживались в блоке
крепления и сокращали площадь выходного сечения на 10—15%.

§ U. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ИСТЕЧЕНИЯ И ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ 155
Температуру воды Г, К в начальном состоянии удавалось под-
поддерживать примерно одинаковой (±3%) вдоль всей трубы, бла-
благодаря секционным нагревателям, покрывавшим 70% внешней
поверхности трубы.
Давление в трубе измерялось в семи точках малоинерцион-
малоинерционными датчиками давления. В одном из сечений было размещено
устройство для измерения среднего по сечению объемного паро-
содержания методом ^-просвечивания. Точность показаний та-
такого устройства оказалась невелика, ибо результат измерения
существенно зависит от структуры потока. Реальный поток мо-
может иметь структуру, существенно отличную от «тарировочной»,
что и вызывает погрешности. Тем не менее такие измерения
дают ясную качественную информацию о характерных временах
парообразования.
Измерялись также осевые усилия, действующие на элементы
крепления трубы. Время срабатывания датчика усилий составля-
составляло 10~4 с, что позволяло фиксировать колебательные и волновые
процессы на начальной стадии истечения.
Опишем общую схему переходного процесса разгерметизации
в трубе. Разрушение стеклянного диска приводит к появлению
в трубе двух волн разгрузки (разрежения). Первая волна рас-
распространяется в стенках трубы (упругий предвестник в стенках
трубы) со скоростью около 400 м/с, вызывая уменьшение про-
продольных напряжений, слабое радиальное расширение трубы и
едва заметное падение давления на величину около 1%. Вторая
волна (упругий предвестник в жидкости) движется в жидкости
со скоростью Ci ~ 103 м/с, вызывая ее вскипание. Отраженная
волна разрежения, как и в расчетах (см. рис. 6.11.6), видна
лишь на осциллограмме, снятой в непосредственной близости от
закрытого конца трубы.
Как и из упоминавшихся расчетов, из экспериментальных ос-
осциллограмм следует, что при временах t > te истечение носит
почти гомобарический характер, вплоть до полного опорожнения
трубы. Давление начинает быстро падать, когда объемное паро-
содержание в трубе приближается к единице.
Качественный анализ экспериментальных работ позволяет
сделать важное заключение: степень неравновесности {Tt— Ts{p)
или p — ps(T0)), которая реализуется во вскипающем потоке за
быстрой волной разрежения (упругим предвестником), растет по
мере увеличения абсолютных значений начальной температуры
жидкости То. Изменение начальной степени недогрева жидкости
^о— Ts{p0) или Po — ps(To) за счет изменения давления р0 при
фиксированной температуре То при этом не оказывает суще-
существенного влияния на неравновесность. На рис. 6.11.8 схематич-
схематично показаны осциллограммы двух волн разрежения, полученных
(Н. Г. Рассохин и др., 1977) в точке вблизи выходной диафраг-
диафрагмы. Видно, что понижение начальной температуры То, хотя и

156
ГЛ 6 ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
р,МПа
3,0
2,0
pJ493K)
увеличивает амплитуду «быстрой» волны разгрузки, тем не ме-
менее приводит к уменьшению максимальной перавновесности те-
течения. Аналогичный результат получен и в экспериментальной
работе (A. Edwards, T. O'Brien,
1970), где при То = 559 К, ро =
= 10,5 МПа перегрев жидкости за
волной разрежения в средней части
трубы составил AT = То — Ts{p) «
« 20 К, а при То = 515 К, р0 = 7,0
МПа - AT & 13 К.
Чтобы понять этот эффект, отме-
отметим, что чем больше объем пара,
образовавшегося за «быстрой» вол-
волной разрежения, тем ближе (снизу)
давление pf за ней к давлению на-
насыщения Ps(To) и тем меньше пе-
перегрев воды Го — Ts (p,). Если счи-
считать, что числовая плотность пу-
пузырьков п примерно одинакова для
всех режимов течения (и опре-
определяется степенью очистки воды),
Лр=
Др =0,1МПа (Л Т=6,5 Ю
t.x
Рис. 611.8. Схема осцилло-
осциллограмм «быстрых» воли разре-
разрежения в недогретой воде, по-
полученных в экспериментах
Н. Г. Рассохина и др A977)
при фиксированном начальном то объемное паросодержание ос2 про-
давлении (р„ = 3,2 МПа), но порционально а\ для вскипающих
ПРИ истечении жидкостей характер-
характерны большие числа Якоба Ja (см.
A.6.20)), и поэтому при фиксированном перегреве AT анало-
аналогично A.6.18) можно записать
разных начальных температу-
pax (То = 493 К и 433 К)
а3 = 8&АТЧ3/\
1т =
vz
9°ei ' F.11.38)
= P°gs(T0), 1=ЦТ0).
На рис. 6.11.9 показана зависимость параметра t,(T), опреде-
определяющего скорость парообразования на пузырьках в перегретой
воде. Видно, что при То ~ 620 К » 0,95 Ткр (где Гкр«647К —
критическая температура) значение ? = 1,6 ¦ 10~5 м/К • с'/2 явля-
является минимальным. Поэтому наибольшие неравновесности при
прочих одинаковых условиях будут при температурах, близких
к 0,95Гкр, а именно при Т„~ @,85—0,97) Гкр, а при температу-
температурах воды То < 0,95^5 ~ 620 К реализующаяся неравновесность
будет тем больше, чем больше температура воды 7V В частно-
частности, для примера, проиллюстрированного на рис. 6.11.8, при од-
одном и том же перегреве AT объемное паросодержание а2 растет
пропорционально ?3, и при начальной температуре То = 493 К
оно (а2) растет в 34 раза быстрее, чем при температуре То ~
= 433 К. Такое различие в скорости парообразования за волной
разрежения приводит к тому, что при температурах, более близ-

Н НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ИСТЕЧЕНИЯ И ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ
157
1-3
1~4
10'
\
—
1 1—;
1
1
1
1
1
1
*647К
47 Ъ
57 Ъ
Т0,К
Рис. 6 11.9. Зависимость параметра Z, =
=(Я;ргсгI'2/(ра.г), определяющего рост
пузырька, от температуры То
ких к То * 620 К, значение объемного паросодержания, при ко-
котором происходит резкое выполаживание профиля давления за
волной, достигается при больших перегревах.
Таким образом, при описании истечения из каналов с разме-
размерами порядка 1 м с относительно низкими начальными парамет-
параметрами Го< 530 К, р «5 5,0 МПа,
когда степень неравновесно-
неравновесности в реальных потоках не-
невелика, можно использовать
равновесную модель. Но при
температурах, которым соот-
соответствуют давления насыще-
насыщения ps(T0)~^>7 МПа, приме-
применение равновесной схемы
может дать заметную по-
погрешность. В этом случае
необходимо использовать не-
неравновесную схему с запаз-
запаздыванием вскипания. Более
того, при температурах,
близких к критическим
(Г0«0,9-0,97Гкр), когда
парообразование на имеющихся зародышевых пузырьках проис-
происходит медленно и в волнах достигаются значительные перегре-
перегревы, можно ожидать (см. О. А. Исаев, П. А. Павлов, 1980), что
некоторый вклад может внести и гомогенное зародышеобразова-
ние, которое (см. § 7 гл. 1) облегчается при условиях, близких
к критическим.
Обсуждавшиеся эксперименты проводились в условиях, когда
10—15% выходного сечения оставалось перекрытым остатками
диафрагмы. Чтобы учесть это обстоятельство в рамках принятой
квазиодномерной схемы, сечения S(x) выходного участка трубы
х — AL < х < L (AL/L « 0,05) аппроксимировались линейной
функцией, так что S(x — AL)=Sa, a S(L) = @,85—0,9)So.
Немгновенность разрушения диафрагмы приводит к дополни-
дополнительному размыванию волны разрежения. Поэтому для более
точного совпадения расчетов с экспериментом граничные условия
на выходе из трубы задавались в виде
p(L) = роо + (Ро — р<»)ехр(—t/tb), F.11.39)
где tb —• характерное время разрушения и влияния диафрагмы.
Варьируя в расчетах tb, равное по порядку ОД мс, можно полу-
получить такое же, как в экспериментах, размывание «быстрой» вол-
волны разрежения.
На рис. 6.11.10 показаны расчетные (А. И. Ивандаев,
А. А. Губайдуллин, 1978; Б. И. Нигматулин, К. И. Сопленков,
1980) и экспериментальные (A. Edwards, T. O'Brien, 1970) ос-

158
ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
циллограммы изменения во времени давления и объемного па-
росодержания в фиксированной точке трубы для тех же условий,
что и на рис. 6.11.5.
Расчеты проводились при различных начальных температу-
температурах (Го = 515 К и 507 К), так как по условию эксперимента
температура жидкости в начальном состоянии различалась на
0,75
0,50'
0,25
п
а
/so

/ 2-
\
«2
0,75
0,50
0,25
О
S
1 2
/
0,1
0.2
t,c
Рис. 6.11.10. Экспериментальные (сплошные линии) и расчетные (штрихо-
(штриховые и штрихпунктирные линии) осциллограммы давления (а) и объемного
паросодержания (б) в фиксированном сечении (х = 1,39 м от закрытого
конца) при разгерметизации трубы длиной L = 4,1 м, заполненной водой
(Ро = 6,9 МПа). Штриховые линии соответствуют равновесной схеме (Го =
= 515 К); штрихпунктириые линии —расчет с учетом температурной не-
неравновесности: 1 — для То = 507 К, и0 = 10" м~3; 2 — для То = 515 К, п0 =
= 0,5 • 109 м
5—8 К по длине и радиусу трубы. Видно, что учет температур-
температурной неравновесности улучшает совпадение с экспериментом при
временах t<te~ 0,2 с. По порядку величины это время te может
быть оценено как время прихода в заданную точку отраженной
от закрытого конца «медленной» волны разрежения, движущей-
движущейся со скоростью, близкой к Cie (причем при рБ<> — 3,5 МПа сог-
согласно рис. 6.11.3 имеем С1е да 30 м/с):
F.11.40)

§ 11. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ИСТЕЧЕНИЯ И ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ
159
Понять несовпадение экспериментальных и теоретических ре-
результатов при временах t > te можно, обратившись к осцилло-
осциллограммам объемного паросодержания, представленным на
рис. 6.11.10, б. Видно, что при t > 0,2 с объемное паросодержа-
ние в трубе достигает значений 0,7—0,8, как и в эксперименте.
При таких значениях а2 наступает инверсия потока, его струк-
структура вместо пузырьковой или пенной становится капельной.
Далее течение сопровождается проскальзыванием фаз, сепара-
сепарацией жидкости на стенках трубы из-за действия сил тяжести,
усилением влияния трения о стенки трубы из-за увеличения
скорости потока и т. д.
Расчет, проведенный О. Е. Ивашневым и К. И. Сопленковым
для режимов, представленных на рис. 6.11.10, показали, что да-
даже слабое относительное движение фаз (wi2 < 1 м/с) еще до
я4р
о,б
0,2
1,5
|\
....l.V
ч
° ° =V'
, /7,5"
0 '*.
) 0 OOOOО
h>—,
-—-
/V
0,4
0
0.2
Л
ж:
•'о°
Ь'о'о о о iV 1
оооооо
„ооооо
вода
Пропан
о о о о Метан
о о ооъ
0Л
1,0
2,0
Рис. 6.11.11. Эволюция распределения давления р, расхода т° и массы вы-
вытекшей жидкости М через выходное сечение х = L из трубопровода дли-
длиной L с закрытым концом (х = 0) при нестационарном истечении в атмо-
атмосферу (р,о = 0,1 МПа) трех жидкостей: метана (То = 173 К, СХе — 53,3 м/с,
ро == 304 кг/м3), пропана (Го = 341 К, С1е = 39,5 м/с, р0 == 412 кг/м3), воды
(То = 496 К, С\е — 20,1 м/с, ро = 829 кг/м3), находящихся в начальный мо-
момент в однофазном (жидком) состоянии покоя и насыщения (Го = Ts{po))
при давлении ро = 2,5 МПа. Истечение и вскипание жидкостей происходит
после мгновенного и полного раскрытия сечения в момент t = 0. Приведе-
Приведены результаты численных расчетов в равновесном приближении (Ti =
= Т2 = Ts(p)). Числовые указатели соответствуют различным моментам
безразмерного времени t^tltif{t^
инверсии потока, когда а2 < 0,2, могут приводить к интенсивно-
интенсивному дроблению пузырьков, что сильно увеличивает межфазную
поверхность, ускоряет парообразование и замедляет падение дав-
давления при t > 0,1 с. Учет этого обстоятельства позволяет до-

160 ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
биться согласования расчетных и экспериментальных данных по
p(t, x) и a2(t, x) до времен, когда истекает основная масса
жидкости.
Интенсивность опорожнения трубы определяется удельным
расходом на выходе из трубы (х = L)
m(t) = p(t, L)-v(t, L) = mp0Cie. F.11.41)
При этом относительная масса жидкости, покинувшей трубу,
равна
- А С I- t tC \
М = —х") m{t)dt = ^m(i)di ( ~t = f- = —^ . F.11.42)
о о ч
Анализ расчетных данных показывает, что основная масса жид-
жидкости вытекает из трубы, когда рассматриваемая односкоростная
схема без учета трения достаточно точно описывает реальное
течение. Так, для варианта, представленного на рис. 6.11.5, 70%
жидкости вытекает за ? = 0,2 с, что соответствует 1=1,5. Более
того, при вычислении т и М слабо сказывается и неравновес-
неравновесность, ^поэтому для определения важнейшей для практики вели-
величины М(t) можно использовать равновесную схему.
На рис. 6.11.11 представлены результаты расчетов по равно-
равновесной схеме истечения сжиженных в исходном состоянии мета-
метана, пропана и воды, показывающих помимо эволюции распреде-
распределения давления и характерные темпы опорожнения трубы в виде
зависимостей тA) и М(I).
§ 12. Динамика газовых пузырьков
при вибрационном воздействии
Используя методику, изложенную в § 6 гл. 4, можно рассмот-
рассмотреть формы движения не только несжимаемых частиц, но и
сжимаемых газовых пузырьков малой объемной концентрации
в жидкостях при различных заданных периодических движениях.
В отличие от газовзвесей, где радиус частиц был постоянным,
радиус пузырьков меняется, что описывается уравнением Рэ-
лея — Ламба. Положим радиус пузырька a(t) = ao(l + цаг), где
ц — малый параметр, по порядку равный интенсивности возму-
возмущений е (см. D.6.7)). Тогда аналогично D.6.8) уравнения дви-
движения пузырьков с политропическим газом (показатель политро-
политропы х) постоянной массы в заданном неоднородном поле течения
несущей жидкости можно привести к виду
г = /w (г, г, а', а), а + (dty = /(а) (г, г, а', а'),
(О? =
3*

§ 12 ВИБР ЩИОННОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ 161
где <вг — собственная частота радиальных осцилляции пузырька
при наличии капиллярного давления.
Ниже обсуждаются результаты исследований (см. Р. Ф. Га-
ниев и др., 1978) для различных режимов колебательного
движения несущей жидкости с достаточно высокой частотой,
когда
^о~е (т0 = ЭцЛроС&о)), g = g/(Cloa) ~ е2, F.12.2)
хотя при этом С1A/а0со > 1.
Движение пузырьков в стоячей волне, В стоячей волне типа
D.6.17), D.6.19) в несущей жидкости эти уравнения анало-
аналогично D.6.23) после усреднения приводятся к виду, который
выявляет вибрационную силу:
F.12.3)
По сравнению с твердой частицей (см. D.6.24)) для пузырь-
пузырька за счет С10/ (аоа>) ^> 1 вибрационная сила может быть много
большей. Полученное усредненное уравнение допускает стацио-
стационарные решения
? = Г-72гея. F.12.4)
Часть этих решений, для которых выполняются условия
(-1)п(сог-(й)>0, F.12.5)
являются устойчивыми. При этом пузырьки дорезонансных раз-
размеров ((Ог>со) мигрируют в узлы скорости жидкости, а зарезо-
нансных размеров (сог < со) — в пучности, что согласуется
с экспериментальными данными (см. L. Bergman, 1954). В слу-
случае резонанса (© = сог) устойчивых стационарных решений не
существует.
Движение пузырьков в бегущей волне. Усреднонноз уравне-
уравнение движения пузырька в бегущей волне типа D.6.30), D.6.31)
имеет вид
% + [LX<j\ = [13F,
7- = еАГ"+ .,?' „-
Аналогично D.6.34) это уравнение выявляет стационарную ско-
скорость дрейфа пузырьков, если ю Ф шг. Полученная вибрационная
сила F направлена от источника колебаний и связана с вязкостью
11 Р. И. Нигматулин, ч. II

162 ГЛ. 6. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ
жидкости. Формула для вибрационной силы из-за радиационного
давления на пузырек в случае идеальной жидкости аналогична
D.6.35) и имеет вид (см. книгу В. А. Красильникова, В. В. Кры-
Крылова, 1984)
= 7^' ar=r-Y FЛ2-7>
с1
Движение газовых пузырьков в вибрирующем сосуде. Рас-
Рассмотрим движение пузырьков в жидкости, залитой в жесткий
вертикальный цилиндрический сосуд с жестким дном, когда
сосуд совершает в поле сил тяжести g вертикальные вибрации
с угловой частотой со и амплитудой смещения А. При этом жид-
жидкость имеет вверху свободную поверхность, а высота столба
жидкости равна L, причем А < L, со -С сог. Этот процесс описан
и исследован в работах S. Zwick A959), С. С. Григоряна и др.
A965), Р. Ф. Ганиева и др. A976).
В силу со ^с сог распределение давления и скорости несущей
жидкости может быть описано равновесной схемой пузырьковой
среды, характеризуемой начальными плотностью р0 и равновес-
равновесной скоростью звука Со и приводящей при малых возмущениях
плотности и давления к линейному волновому уравнению (§ 6)
с линейным граничным условием (А<//) на свободной поверх-
поверхности z = L:
2 2
д и п д и п , . V, до др ,
~д? ~~ ° д7 ("=(/>> Р> у))> Ро -JT = ~ lh + Ро?' F 12 8>
z = L: p=p00; z = 0: v = A • со • cos co?,
где координата z отсчитывается вверх от дна сосуда, р00 = const —
давление на свободной поверхности. Решение этой задачи в фор-
форме установившихся синусоидальных колебаний (стоячая волна,
v = \f(z)cos at) имеет вид
р = />s<(^) + poCoAoo» s^n ш^ ' sin(coz/C0) (pst = р„0 + pogx),
v = Д00со • cos at ¦ cos(co.r/c70) F.12.9}
(Aoo = A/cos(aL/Co), x = L — z).
Для несжимаемой жидкости (Со = °°) это решение упрощается
(sin(ax/Co) -»- axICss, cos(coa;/6'0)-^ 1) и принимает вид
Р = Раа + pogx ~Ь РоА ¦ со2 ¦ х ¦ sin со^, v = А • со cos coi. F.12.9а)
В поле скоростей и давлений F.12.9) или F.12.9а) аналогично
§ 6 гл. 4 можно исследовать поле скоростей пузырьков v2 в соот-
соответствии с уравнениями для продольного и радиального движений

§ 12. ВИБРАЦИОННОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ 163
(см. A.3.49)):
dt р, дг -rg + p» + ra>
, , , F.12.10)
22 / ^ 3 /ЧЯУ^ 4^ <*Я
Для случая a ~ 1 мм, со ~ 102 с радиальной инерцией жидко-
жидкости во втором уравнении (членами, определяемыми d^a/dt* и
(d2a/dt)z) можно пренебречь.
Положение равновесия можно находить или из стационарного
решения (см. § 6 гл. 4), или из условия пулевого смещения пу-
пузырька за период (Н. Bleich, 1956; С. С. Григорян и др., 1965):
2Л/СО
vtdt = O. F.12.11)
В работе Н. Bleich A956) показано, что в приближении
идеальной (щ = 0) несжимаемой (Со-^°°) жидкости (см.
F.12.9а)) стационарный неустойчивый уровень z^, отсчитывае-
отсчитываемый от дна сосуда, определяется формулой
L\f_«4V F.12.12)
В книге Р. Ф. Ганиева, В. Ф. Лапчинского A978) рассмот-
рассмотрен трехмерный случай для идеальной несжимаемой жидкости,
исследовано влияние вязкости, а в статье Ю. Л. Якимова A978)
исследовано влияние сжимаемости при определении стационар-
стационарного уровня z*.
Физический смысл этого неустойчивого стационарного уровня
z^, если г% > 0, состоит в том, что пузырьки, находящиеся ниже
его @-<z<z^),b усредненном движении опускаются на дно со-
сосуда, а находящиеся выше уровня z% (z~>z%)—всплывают на
поверхность. Усредненное движение легких пузырьков вниз, не-
несмотря на выталкивающее действие статической архимедовой си-
силы, происходит за счет нелинейного взаимодействия радиального
и продольного движений жидкости вокруг пузырьков, или, дру-
другими словами, за счет нелинейных инерционных и вязких сил,
характеризуемых величинами Fa и F^.
Условие существования области с опускным движением пу-
пузырьков выводится из требования z^ > 0, которое при о > 10 мм,
когда не сказывается поверхностное натяжение, и при со2 <С со?
11*

164 гл б динамика пузырьковых жидкостей
приводит к условию
4--Й2-<1. F.12.13)
со2Д р°со2ЛД
Меняя амплитуду Л, частоту со вибрации и ускорение силы тя-
тяжести g (последнее можно менять в условиях космического по-
полета), можно перемещать уровень захвата z^.. С ростом со, А и
уменьшением g уровень захвата перемещается вверх к свободной
поверхности.
Образование газожидкостной системы при вибрации. Следуя
работе С. С. Григоряна, Ю. Л. Якимова, Э. 3. Апштейна A965),
опишем процесс образования газожидкостной системы и ее эво-
эволюции при вертикальных колебаниях цилиндрического сосуда
с жидкостью *) с частотой 20—200 с1. При низких частотах
жидкость покоится относительно трубы. При более высоких ча-
частотах (около 50 Гц) начинается придонная кавитация. Ядра
кавитации в придонной зоне B0—30 см от дна) растут в фазе
разрежения и схлопывания в фазе повышения давления. Схло-
пывание пузырьков приводит к ударам. На свободной поверх-
поверхности жидкости возникают брызги и образующиеся при этом
пузырьки воздуха устремляются вниз. Как было показано выше,
это объясняется тем, что при достаточно интенсивных колеба-
колебаниях уровень захвата практически совпадает со свободной по-
поверхностью (z% л:- L), и пузырьки, которые попадают ниже
уровня захвата (z<z^), опускаются на дно сосуда. Скопление
пузырьков на дне сосуда приводит к перестройке дисперсной
структуры смеси, и на дне образуется пенная или газовая по-
подушка. В некоторых условиях может образоваться несколько
подушек, которые могут медленно перемещаться.
Наличие подушки создает качественно отличную от дисперс-
дисперсной смеси колебательную систему жидкость — газ, в которой роль
упругого элемента играет локализованный в подушке перемен-
переменного объема и массы газ, а инерционного — столб жидкости над
подушкой. При этом газовая подушка имеет две степени свобо-
свободы — поступательное перемощение и пульсационное движение
из-за изменения ее объема, характеризуемое собственной часто-
частотой пульсаций газовой подушки Q. Эта частота может быть оп-
определена из упрощенной одномерной схемы движения (С. С. Гри-
Григорян и др., 1965), согласно которой подушка является единым
пузырем с цилиндрической боковой поверхностью, совпадающей
с поверхностью трубы, и плоскими торцами. При колебаниях
изменяется лишь высота подушки у, а сечение ее остается рав-
равным сечению трубы. Будем считать, что в движении находится
лишь жидкость над подушкой с постоянной высотой Н, а жид-
*) Помимо последней статьи, этот процесс исследован в работах
S. Zwick A959), Э. 3. Апштейна и др. A969) и Р. Ф. Ганиева и др. A976).

§ 12. ВИБРАЦИОННОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ 165
кость под подушкой и труба покоятся. Последнее объясняется
тем, что амплитуда колебаний столба жидкости над подушкой
значительно больше амплитуды колебаний вибростенда. Пренеб-
Пренебрегая трением, принимая подтропическую схему изменения объе-
объема подушки, запишем уравнение движения жидкости над по-
подушкой и уравнение политропы для газа:
Р°Н d? = ~ Р°1§Н + р~-Рос 7" = vf) ' Ро = Ро°+ p°l8H'
F.12.14)
Здесь z/o и Ра — соответственно высота подушкл и давление в по-
подушке в состоянии равновесия, р00 — постоянное давление над
столбом жидкости. После линеаризации получим выражение для
собственной частоты колебаний:
Эффект виброперемешивания газа и жидкости. Следуя работе
Р. Ф. Ганиева и др. A976), изложим резонансную схему дви-
движения пузырьков в жидкости, усиления колебаний за счет газо-
газовой подушки и виброперемешивания жидкости в сосуде, совер-
совершающем вертикальные вибрации.
В процессе роста за счет опускающихся пузырьков газовая
подушка совершает вынужденные пульсации в дорезонансном ре-
режиме (со<?2). По мере увеличения объема подушки собствен-
собственная частота ее пульсаций Q уменьшается и приближается к
частоте внешних периодических воздействий со, что приводит к
резонанспому эффекту. При этом амплитуда пульсаций Л жидко-
жидкости над подушкой резко возрастает, а уровень захвата пузырь-
пузырьков поднимается вверх к свободной поверхности. При достаточно
большой интенсивности вибраций уровень захвата z^ можно сде-
сделать как угодно близким к свободной поверхности. Из-за кави-
тационного разрушения последней в жидкость будут попадать
пузырьки газа из атмосферы над собственной поверхностью, ко-
которые практически все устремятся вниз ко дну сосуда. Таким
образом, в резонансном режиме колебаний газовой подушки соз-
создаются условия для захвата большого количества газовых пу-
пузырьков, что в течение нескольких секунд приводит к насыще-
насыщению жидкости пузырьками, часть из которых присоединяется
к подушке. Объем подушки увеличивается, что еще более умень-
уменьшает ее собственную частоту Q и выводит подушку из резонан-
резонанса (Q<<a). Колебания жидкости уменьшаются, и равновесный
уровень захвата опускается вниз, возможно, вплоть до самой
подушки. При этом часть газа в виде пузырьков отрывается от
подушки и движется к свободной поверхности, возвращая систе-
систему в резонансный режим Q « со. Такие периодические переме-

1G6 гл 6 динамика пузырьковых жидкостей
щения уровня захвата пузырьков в вертикальном направлении
представляют механизм динамической стабилизации объема по-
подушки и количества газовых пузырьков в жидкости, или, други-
другими словами, представляют динамический режим автоподстройки.
Вследствие вибрационного (помимо усредненного) перемеще-
перемещения пузырьков, нестационарности уровня захвата из-за измене-
изменения вибрационных ускорений <в2Д в жидкости, сложной про-
пространственной формы газовой подушки и колебаний свободной
поверхности движение пузырьков может иметь характер, близ-
близкий к хаотическому, в результате чего происходит интенсивное
перемешивание жидкости, что можно использовать в технологии
(Р. Ф. Ганиев и др., 1978; 1980). Интенсификации перемешива-
перемешивания может способствовать также возникновение разнонаправлен-
разнонаправленных движений очень мелких или кавитационных пузырьков
(а < 10~2 мм, для которых проявляется влияние поверхностного
натяжения), отличающихся размерами, когда разл?ер пузырька
влияет на уровень захвата.
Следует иметь в виду, что воздействуя на газовую подушку,
например отводя или подводя извне газ, можно регулировать
процесс виброперемешивания. В частности, для осуществления
быстрого перемешивания нескольких жидких сред можно сразу
извне ввести снизу резонансный объем газа и миновать тем са-
самым процесс образования подушки за счет захвата пузырьков.
Таким образом, резонансный эффект виброперемешивания со-
состоит в том, что при вибрационном воздействии на двухфазную
газожидкостную пузырьковую смесь образующаяся газовая по-
подушка или система нескольких подушек является усилителем
(резонатором) колебаний для пузырьковой смеси, позволяющим
получать вибрационные ускорения, необходимые для кавитаци-
онного разрыва жидкости около свободной поверхности, захвата
и удерживания большого количества газовых пузырьков, которые
совершают интенсивное периодическое движение, способствую-
способствующее интенсивному перемешиванию жидкости.

ГЛАВА 7
ГИДРОДИНАМИКА И ТЕПЛОФИЗИКА СТАЦИОНАРНЫХ
ОДНОМЕРНЫХ ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫХ
ПОТОКОВ В КАНАЛАХ
При течениях в трубах или других каналах происходит
взаимодействие потока с внешним телом — со стенкой канала,
а именно силовое взаимодействие за счет трения и давления
о стенку и тепловое взаимодействие за счет теплообмена со
стенкой. Интенсивность этих процессов для двухфазных газо-
газожидкостных потоков зависит от реализующейся структуры по-
потока, в частности, от наличия жидкой или паровой пленки на
стенке канала, распределения фаз по сечению канала и внут-
внутренних процессов в потоке.
§ 1. Характерные особенности газожидкостных потоков
и основные методы их диагностики
Количество информации, которую необходимо получить
экспериментальными методами для построения замкнутой теории
газожидкостных турбулентных течений в каналах, во много раз
больше по сравнению с количеством такой же информации для
однофазных течений. В связи с этим укажем характерные осо-
особенности экспериментов по изучению стационарных газожид-
газожидкостных потоков в длинных трубах. Такие эксперименты
обычно проводятся на стендах с горизонтальным или вертикаль-
вертикальным экспериментальным участком, представляющим собой трубу
с внутренним диаметром D = 10—100 мм. Стенды бывают «хо-
«холодные» и «горячие». В «холодных» стендах опыты ведутся, как
правило, с воздухо-водяными потоками при нормальной темпе-
температуре (Г^ЗООК) и умеренных давлениях (р ~ 0,1 МПа).
В «горячих» стендах наиболее часто исследуются пароводяные
потоки при разных давлениях (р = 0,1 — 20 МПа) и при темпе-
температурах, близких к температурам насыщения.
Экспериментальный участок состоит из двух секций: секции
стабилизации потока длиной около 200D и измерительной
секции. Эти секции представляют один канал постоянного
диаметра. В секции стабилизации происходит формирование

168 ГЛ. 7. ГА30- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОНИ В КАНАЛАХ
стабилизированного (по температуре, по распределению фаз в се-
сечении трубы, по спектру размеров капель или пузырьков, по
толщине пленки на стенке трубы и т. д.) потока, попадающего
в измерительную секцию. Благодаря стабилизации при адиаба-
адиабатических условиях вдоль измерительной секции только что пе-
перечисленные характеристики структуры газожидкостного потока
практически не меняются. В нескольких сечениях вдоль этой
секции измеряются массовые расходы жидкости тг и газа
mg, давление р, температура Т, а также некоторые другие
характеристики потока, например объемное содержание фаз (а;
или ag), расход жидкости в пристенной пленке и ее толщина,
размеры капель или пузырьков, распределение скоростей фаз
в сечении, спектры пульсаций скорости и т. д. Принципы этих
измерении будут описаны ниже.
Важнейшими характеристиками стационарного двухфазного
потока в канале являются массовые и объемные доли фаз соот-
соответственно в массовом и объемном расходе смеси. Доли расхода
массы смеси, приходящиеся на газ (пар) и жидкость, называ-
называются соответственно массовым расходным газосодержанием (па-
росодержанием) xg и массовым расходным влагосодержанием xt:
xe — ms/m, xl = ml/m (rn = mg + mt, жв + ж, = 1). G.1.1)
При одномерном или гидравлическом описании двухфазного
потока в канале, помимо средних по всему сечению или участку
канала объемных концентраций фаз ag и <хг (в литературе вели-
величина ае часто обозначается буквой ф) и аналогичных скоростей
фаз ve и vt, используются приведенные скорости фаз Wg и Wu
расходное газосодержание [}, равное доле объемного расхода газа
в объемном расходе смеси, и удельные (отнесенные к площади
сечения трубы) массовые расходы смеси (т°) и фаз \mg, mi):
Wg = agvg, W^aM, $ = Wt/(Wt+Wl),
G.1.2)
m° = m/f/inD*), mg = m/V^O2), mx = игг/G?>2)
В стационарных адиабатических (при отсутствии отвода и
подвода тепла на экспериментальном участке) потоках массовые
расходы фаз вдоль экспериментального участка практически не
меняются, а тогда не меняются и соответствующие относитель-
относительные величины xg и xt. В холодных воздушно-водяных или ана-
аналогичных двухкомпонентных потоках это обеспечивается отсут-
отсутствием фазовых переходов между воздухом и водой, а в «горя-
«горячих» пароводяных потоках — отсутствием отвода или подвода
тепла и малым перепадом давлении Ар (а следовательно, и тем-
температур ДГ) в измерительной секции (Ар < р, ctAT < 1(р)).
О О
Если известны истинные плотности фаз Р;иря (а при ма-
малых перепадах давлений и температур они не меняются вдоль

§ 1. ОСОБЕННОСТИ И ДИАГНОСТИКА 169
измерительной секции), то удельные массовые и объемные рас-
расходы выражаются друг через друга:
mi = PiWi, mg = pgWg, p = [l -1- (pg/pz) (mi/nig)]*1. G.1.3)
Объемное газосодержание ag = ср отличается от объемного
расходного газосодержания р из-за относительного движения
(скольжения) фаз (vg?=Vi). Указанный параметр ср важен,
в частности, для оценки поглощения нейтронов двухфазным теп-
теплоносителем в ядерном реакторе, ибо объемы, занятые жидкостью
и паром, имеющими существенно разные плотности р* и pg,
по-разному поглощают нейтроны. Кроме того, значение ср необ-
необходимо для определения веса вертикального столба двухфазной
жидкости для анализа силового взаимодействия потока со стен-
стенками трубы (см. ниже § 3). К настоящему времени для гори-
горизонтальных и вертикальных нисходящих и восходящих потоков
при различных режимных параметрах (D, p, m, pg, рг) имеются
многочисленные данные о зависимости ф(C), полученные разны-
разными методами*), но в основном методом отсечек (для воздухо-
водяных потоков и других «холодных» потоков) и методом ^-про-
^-просвечивания.
Для восходящих пароводяных потоков в вертикальных круг-
круглых трубах влияние давления, а вместе с ним и изменения
теплофизических свойств фаз pg, Рь \ig, \it, Г, диаметра трубы D
и расхода смеси т на зависимость ц>($) описывается следующей
аппроксимацией, построенной по большему количеству экспери-
экспериментальных данных C. Л. Миропольский и др., 1965):
l_.l— P^g Vg _ л , iS<5 A ~ Р1Рк)
"ф" ~ + ~Т~ V ^7 ~ Fr5/18Rel/e
2 0° D
g = 9,8 м/с2, pK = 22,1 МПа,
p°w0 = @,3 4- 3) 103 кг/(м2-с), D = 5 - 35 мм).
Зависимость соотношения между ср и jj от числа Фруда Fre
свидетельствует о том, что в общем случае это соотношение
должно зависеть от ориентации потока по отношению к силе
тяжести.
Режимы (структуры) течения. Встречающиеся на практике
режимы течения газожидкостных смесей в каналах многообраз-
многообразны. Они определяются большим числом факторов, таких, как
объемная концентрация фаз, плотности, вязкости, поверхностное
*) Краткое описание этих методов дано чуть ниже в данном пара-
параграфе. См. также S. Banarjee, R. Lahey A981).

170 ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
натяжение и другие физические характеристики материалов фаз,
скорости фаз, наличие фазовых переходов и химических реак-
реакций, диаметр и положение канала в пространстве, способ подачи
фаз в канал и расстояние от входа в канал и т. д. Для иден-
идентификации режимов используются режимные диаграммы
(С. С. Кутателадзе, М. А. Стырикович, 1976; S. Tong, 1979). Су-
Существует несколько типов таких диаграмм. Все они плоские,
т. е. идентифицируют режим по двум безразмерным параметрам,
образованным некоторыми из перечисленных выше режимных
параметров.
При всем многообразии режимов и сложности выявления об-
областей их реализации можно выделить следующие основные, сме-
сменяющие друг друга по мере увеличения объемной концентрации
или расхода газа или пара: пузырьковый, снарядный, дисперсно-
пленочный, дисперсный.
Пузырьковый режим обычно существует при объемной кон-
концентрации газовой фазы <р = ag < 0,2—0,3. При больших объем-
объемных концентрациях происходит слияние пузырьков с образова-
образованием больших пузырей снарядообразной формы, занимающих
почти все поперечное сечение канала, и пузырьковый режим
переходит в снарядный.
Если скорость газовой фазы достаточно велика (vs > 5—
10 м/с в случае течения воздухо-водяной смеси при нормальных
условиях), снарядная структура потока становится неустойчивой.
Образуется переходный режим течения, который иногда выделя-
выделяется в самостоятельный режим и носит название вспененного
или полу кольце в о го режима течения. Этот режим характеризу-
характеризуется течением жидкой пленки на стенке канала и газожидкост-
газожидкостного ядра потока, имеющего пенообразную структуру. Обычно
снарядный или полукольцевой режимы существуют при 0,2—0,3<
< ag < 0,6—0,8.
При дальнейшем увеличении объемной концентрации газовой
фазы при ag>0,6—0,8 реализуется пленочный или кольцевой
режим течения, при котором жидкая фаза образует непрерыв-
непрерывную пленку, текущую вдоль стенки канала, а паровая фаза —
ядро потока. Из-за динамического взаимодействия газового ядра
потока и жидкой пленки на поверхности последней образуются
волны, с гребней которых могут срываться капли и уноситься
в ядро потока. В этом случае реализуется дисперсно-пленочный
режим, который в литературе называется дисперсно-кольцевым
режимом.
В обогреваемых каналах пленка может испариться, и дис-
дисперсно-кольцевой режим переходит в чисто дисперсный (капель-
(капельный) — течение смеси пара и капель. Этот режим является об-
обращенным по отношению к пузырьковому.
Аналогично для дисперсно-кольцевого режима существует так
называемый обращенный дисперсно-кольцевой режим, реализую-

§ 1. ОСОБЕННОСТИ И ДИАГНОСТИКА 171
щийся при высокоскоростном истечении вскипающей жидкости
через канал, когда вскипание происходит преимущественно на
стенке канала. Тогда в пристенной зоне образуется паровая
пленка, а в ядре потока течет жидкость с пузырьками.
При течении смеси в вертикальных каналах во всех режимах
нмеет место практически осесимметричное распределение кон-
концентраций и скоростей фаз по сечению. При течениях же в го-
горизонтальных и наклонных трубах из-за гравитации нарушается
осевая симметрия в распределении фаз по сечению. В верхней
части сечения трубы имеет место повышенное содержание газа
или пара, причем тем большее, чем меньше угол наклона трубы
к горизонту и чем меньше скорость смеси. Нарушение симмет-
симметрии фаз может стать незаметным при достаточно больших чис*
лах Фруда Fr = v\/(gD) ^ 102, где g = 9,81 м/с2 — ускорение
силы тяжести, D — диаметр канала.
Методы измерения параметров газожидкостных потоков.
В двухфазных потоках анализ локальной структуры существен-
существенно осложняется. Это связано как с необходимостью усложнения
методов измерения таких величин, как локальные скорости фаз
и касательные (вязкие) напряжения, которые измеряются и
в однофазных потоках, так и с необходимостью развития мето-
методов измерения таких величин, как объемное газосодержание,
толщины и расходы в пленках, их волновые характеристики, раз-
размеры капель и пузырьков, характерных только для двухфазных
течений.
Перечислим методы измерения объемных газосодержаний
Ф = ag. Метод отсечек состоит в быстром одновременном закры-
закрытии двух клапанов на некотором участке канала с последующим
измерением объемов фаз. Метод динамических весов основан на
измерении давления, создаваемого газожидкостным потоком при
попадании на диск, установленный нормально по потоку. Метод
f- и ^-просвечивания позволяет измерять плотность текущей
в канале газожидкостной смеси и по ней, зная плотность фаз,
определять газосодержание. Метод электропроводимости позво-
позволяет измерять в потоках с электропроводной жидкой фазой ло-
локальные газосодержания и толщину жидких пленок. Оптический
метод использует эффект полного внутреннего отражения при
прохождении межфазной границы и является перспективным,
особенно для неэлектропроводных жидкостей. Фотографический
метод основан на фотографировании через специальный объектив
с малой глубиной резкости. Метод микротермопар и термоане-
мометрический метод применительно к измерению локального
газосодержания основаны на разном теплосъеме при попадании
на чувствительный элемент газа и жидкости.
Перечислим методы измерения локальных скоростей фаз. Ме-
Метод динамического напора (типа трубок Пито) используется при
раздельном движении фаз и при достаточно высоких скоростях.

172 ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
Метод изокинетических проб основан на отборе проб со ско-
скоростью, равной скорости среды в заданной точке, и пригоден
только к дисперсным и пузырьковым режимам. Термоанемомет-
рический метод аналогичен измерению локальной скорости в од-
однофазных потоках.
Обратимся теперь к измерению касательных напряжений на
стенке канала и их пульсаций. В стабилизированных потоках
с неизменяющимися параметрами вдоль канала среднее касатель-
касательное напряжение на стенке может быть определено по перепаду
давления. Но для ускоряющихся вдоль канала потоков (напри-
(например, из-за вскипания), для нестабилизированыых потоков (напри-
(например, на малых расстояниях от входа в канал), в вертикальных
потоках для определения трения необходимо непосредствен-
непосредственное измерение касательных напряжений, тем более если интере-
интересуются пульсацией их локальных значений, например, для иден-
идентификации режима. Для этой цели группой авторов (S. Kutate-
ladze, A. Burdukov et al., 1969; В. Е. Накоряков, А. П. Бурдуков
и др. 1973) отработан электродиффузионный метод, ранее ис-
использовавшийся для исследования массообмена (В. Г. Попов,
Н, А. Покрывайло, 1966). Он основан на использовании окисли-
окислительно-восстановительной реакции в слабом растворе электролита
на катоде в диффузионном режиме, когда диффузионный погра-
пограничный слой «затоплен» внутри вязкого погранслоя, в связи
с чем в диффузионном погранслое реализуется линейный про-
профиль скоростей. Соответствующий градиент скорости, при из-
известной вязкости определяющий касательное напряжение на дат-
датчике, вычисляется согласно уравнению конвективной диффузии
(в которое входит линейный профиль скоростей) по измеренно-
измеренному току насыщения между анодом и катодом электрохимической
ячейки. На данном принципе разработаны датчики не только
касательного напряжения, но и локальной скорости (торцевой
цилиндрический датчик размером 30—50 мкм, для которого из-
известен коэффициент массообмена в зависимости от скорости его
обтекания) и локального объемного газосодержания (по времени
контакта чувствительного элемента датчика с газом и жид-
жидкостью).
Применение этого метода для парожидкостных потоков и ис-
исследования кипения ограничивается невысокими температурами,
ибо при температурах выше 80—90 °С подходящие для метода
электролиты разлагаются.
С помощью этого метода для пузырькового и снарядного ре-
режимов течения воздухо-водяных смесей при скоростях, меньших
5 м/с, исследованы распределения по сечению и вдоль канала
локальных скоростей фаз и объемных газосодержаний, а также
спектральных характеристик касательного напряжения да стенке
канала. Некоторые принципиальные результаты этого исследова-
исследования приведены ниже.

§ 1. ОСОБЕННОСТИ И ДИАГНОСТИКА
173
При оценке возможностей указанных выше методов следует
иметь в виду, что высокие давления (р ~ 5—10 МП а) и темпе-
температуры C00—500 °С), которые в основном и представляют ин-
интерес для энергетики, сильно осложняют реализацию любых
измерений. Соответствующая диагностика для дисперсно-пленоч-
дисперсно-пленочных потоков обсуждается в начало § 4.
Гидродинамические эффекты пузырькового и снарядного ре-
режимов. Следуя работам В. Е. Накорякова, А. П. Бурдукова и
др. A973), А. П. Бурдукова, Б. К. Козьменко и др. A975),
V. Nakoryakov, О. Kashinsky et al A981), рассмотрим особенно
стя пузырькового и снарядного режимов, обнаруженные с
Рис. 7.1.1. Экспериментальная зависимость (V. Nakoryakov et al, 1981) тре-
трения на стенке трубы (D = 86,4 мм) от приведенной скорости жидкости W\
и расходного газосодержания ?1 в пузырьковом н снарядном режимах вос-
восходящего воздухо водяного потока (р0 = 0,1 МПа, То = 297 К). Числовые
указатели на кривых соответствуют значениям Wi, м/с. Указатели А и В со-
соответствуют двум подрежимам пузырькового потока. Линия С соответству-
соответствует зависимости А. А. Арманда G.1.5) с показателем п = 1,53
помощью электродиффузионной диагностики вертикальных ста-
стационарных восходящих воздухо-водяных потоков в трубах с внут-
внутренними диаметрами D = 15—86 мм с небольшими скоростями
va — 0,1—5,0 м/с и расходными газосодержаниями ^ = 0—0,9.

174 ГЛ. 7 ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
Установлено (см. рис. 7.1.1), что в снарядном и пузырьковом
режимах течения при Wb > 1,2—1,5 м/с для расчета гидравличе-
гидравлического сопротивления Ар = nDxw можно пользоваться зависи-
зависимостью, предложенной А. А. Армандом A946), типа
^==,Т^' Ф = О,833Р (А = 0,5 -1,7; « = 1,4-2,2),
w )
G.1.5)
где Tw — напряжение трения на стенке трубы, определяемое по
формулам для однофазной жидкости с тем же объемным расхо-
расходом Wi.
В пузырьковом режиме при малых скоростях Wi < 1,2 м/с
потери на трение многократно превышают значения, получаемые
из G.1.5). При этом наблюдается сильная зависимость rw от рас-
расстояния от входа смеси в трубу и большой разброс эксперимен-
экспериментальных данных. С увеличением числа Рейнольдса жидкости
Re; = piWiD/nl область такого режима с аномально высоким
о
трением сдвигается в сторону меньших р, а значение %wfrw па-
падает. Граница между пузырьковым и снарядным режимами при
малых скоростях неопределенна, при этом наблюдаются два под-
подрежима А и В пузырькового потока, а их реализация зависит
от способа подачи газа, расстояния от входа в канал, причем
после довольно продолжительного времени возможны внезапные
переходы от одного режима к другому, различающимся в не-
несколько раз гидравлическим сопротивлением (см. рис. 7.1.1).
На рис. 7.1.2 приведены результаты измерений локальной
структуры турбулентного газожидкостного вертикального восхо-
восходящего потока. Видно, что в пузырьковом режиме (ji = 0,044 и
0,091), соответствующем аномально высокому трению, профиль
концентрации газа около стенки имеет ярко выраженный пик,
во много раз превышающий газосодержание в основном потоке,
а профиль скорости жидкости более «заполнен» и имеет больший
градиент скорости около стенки, чем в случае однофазного дви-
движения. При р" = 0,45, соответствующем снарядному режиму, про-
профили концентрации газа и скорости жидкости — параболические
с максимумами на оси канала, причем профиль скорости менее
«заполнен», чем в однофазном течении. В режиме перехода от
пузырькового режима к снарядному возможно появление двух
максимумов газосодержания: у стенки, где концентрируются мел-
мелкие пузырьки, и в центре трубы, где проходят газовые пузырьки
гораздо большего размера.
Исследование спектральных характеристик касательного на-
напряжения на стенке, например относительной дисперсии пульса-
пульсаций трения,

§ 1. ОСОБЕННОСТИ И ДИАГНОСТИКА
175
показало, что они существенно зависят от режима течения и что
их можно использовать для идентификации пузырькового, сна-
снарядного и кольцевого режимов. Это тем более важно, что ви-
визуальный метод определения режимов, даже когда возможно
О
\
\
ч
0,13
\
\
\
\
\
Ж/
ч4
ffjffb
\
\ !
\
\
\
\
\
O.Z
0,2 0,U 0,6
r/R
О
.—
^
\
\
0,044-
0,091
\\
O,Z 0,4 0,6 0,8
Гис. 7.1 2. Радиальное распределение (эксперимент) объемпой концентрации
газа н скорости жидкости в вертикальном восходящем воздухо-водялом по-
потоке в трубе с радиусом Л = 43 мм при Wi = 1,17 м/с (Rej=107 400). Чис-
Числовые указатели на сплошных кривых соответствуют расходному газосодер-
газосодержанию р. Штри\пунктирная линия соответствует однофазному потоку жид-
жидкости (|3 = 0), а штриховая — распределение скорости при ламинарном ре-
режиме
использовать прозрачные трубы (невысокие давления и темпе-
температуры), часто приводит к ошибкам. Впервые подход, основан-
основанный на анализе спектральных характеристик пульсаций давле-
давления, использован в работе (М. Habbard, A. Duckler, 1966).
Исследование восходящих пузырьковых течений (^ = 0,01—
0,2) в вертикальной трубе (D = 15 мм) с более мелкими пу-
пузырьками (а < 0,1—0,5 мм), создаваемых в потоке с помощью
специального генератора, при небольших числах Re;< 5000, при
которых для однофазной жидкости (|3 = 0) реализуется ламинар-
ламинарное течение, выявило вместо ламинарного «микротурбулентное»
течение. Это течение, помимо аномально высокого трения, во
много раз превышающего значения, даваемые формулой G.1.5),
сильных пиков газосодержания в пристенной зоне и существен-
существенно более «заполненного» профиля скорости жидкости, чем при
турбулентном течении однофазной жидкости, характеризуется
высокими значениями относительной дисперсии пульсаций тре-
трения dx, которые растут с уменьшением числа Re; и спектр ко-
которых— практически сплошной. Так, при Reг = 2000 добавление
малого количества газа 3 == 0,01 увеличивает касательное напря-
напряжение на порядок, а значения dx становятся равными 0,35—0,38,

176 ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
чго больше, чем при турбулентном течении однофазной жидко-
жидкости. Указанные эффекты зависят от размера пузырьков.
В турбулентных течениях при Re;>-5000 и малых газосодер-
газосодержаниях в виде мелких пузырьков профиль скорости жидкости,
трение на стенке, его относительная дисперсия (dx » 0,3) такие
же, как и для однофазного течения. При этом ярко выраженной
границы перехода от «микротурбулентного» к турбулентному
режиму нет.
Профили скорости газа в указанных режимах почти подобны
профилям для жидкости и отличаются на величину, близкую
к скорости всплытия пузырьков данного размера в покоящейся
жидкости.
Возможной причиной «микротурбулентного» течения являет-
является реализация поперечных пульсаций скорости жидкости из-за
искривления линий тока при обтекании пузырьков, что анало-
аналогично турбулентности приводит к поперечному переносу им-
импульса, т. е. повышению эффективной вязкости пристенного
слоя. Этот эффект усиливается повышенной концентрацией пу-
пузырьков в пристенном слое и поперечным хаотическим движе-
движением пузырьков. Естественно, что характерная «длина переноса»
в такой среде должна зависеть от размера пузырьков. При
больших числах Re г указанный эффект, видимо, становится не-
незаметным на фоне более интенсивных поперечных турбулентных
пульсаций, природа которых не связана с наличием пузырьков.
При развитом высокоскоростном турбулентном течении
(R©z > 105) пузырьковой жидкости в трубе гидравлическое со-
сопротивление, как и при течении однофазной жидкости, не зави-
зависит от вязкости, а определяется только шероховатостью внут-
внутренних стенок трубы. В этом случае можно использовать
(G. Wallis, 1969) обычные формулы для однофазной жидкости
(см. Л. Г. Лойцянский, 1973; V. Streeter, 1961), в которые в ка-
качестве плотности следует подставить плотность смеси, а в ка-
качестве скорости — средне-массовую (расходную) скорость смеси
W 1 2' „ G.1.7)
pv = plVl + p2v2 = m/S, Cw = [3,48 + 4 lg Д/ДГ ,
где А — некоторая средняя высота бугорков шероховатости. Для
стальных труб, используемых в энергетике, А « 50 мкм.
Гидродинамические эффекты дисперсно-пленочного течения.
Газожидкостный поток в дисперсно-кольцевом режиме характе-
характеризуется совместным движением двух фаз в виде трех составля-
составляющих смеси — газа (пара), жидкости в виде капель в ядре по-
потока и жидкости в виде пленки, каждая из которых может иметь
свою среднюю скорость и температуру. При этом между ядром
потока и пленкой, между жидкостью и паром может происхо-
происходить массообмен за счет испарения и конденсации, а также за

§ 1. ОСОБЕННОСТИ И ДИАГНОСТИКА 17?
счет уноса и осаждения капель. Осаждение капель происходит
за счет турбулентных пульсаций и поперечных сил в градиент-
градиентном поле скоростей газовой фазы вблизи поверхности пленки.
Поперечный поток пара при интенсивном испарении пленки
(«вдув» пара) может препятствовать такому осаждению. Унос
капель с пленки и «обеднение» последней происходит за счет
срыва обдувающим пленку газом, разбрызгивания при ударе
осаждающихся капель, а в интенсивно обогреваемом канале при
пузырьковом кипении в пленке возможен дополнительный унос
из нее жидкости с пузырьками пара. Поперечный «вдув» пара в
унос капель способствуют обеднению пленки, но полностью она
может исчезнуть практически только за счет испарения.
Наличие жидкой пленки на стенке канала существенно влияет
на гидравлическое сопротивление при течении газожидкостной
смеси в дисперсно-кольцевом режиме, ибо от толщины пленки
зависит структура ее волновой поверхности, или «шероховатость
пленки», а значит, и вязкое трение между ядром потока и плен-
пленкой. Может возникнуть кризис гидравлического сопротивления,
когда с ростом скорости газовой фазы из-за уменьшения «шеро-
«шероховатости пленки» гидравлическое сопротивление не растет,,
а падает (см. § 5).
Наличие жидкой пленки имеет решающее значение и для
теплообмена, в частности, для отвода тепла с греющей стенки
канала, за счет которого пленка испаряется. При интенсивном
испарении, когда из-за отдува паром капли из ядра потока не
успевают подпитывать пленку, она может исчезнуть (течение
станет дисперсным) или потерять свою сплошность. При этом
из-за отсутствия надлежащего контакта нагревающей стенки
с жидкой фазой может произойти ухудшение теплообмена и
перегрев стенки. Это явление называется кризисом теплоотдачи
из-за высыхания пристенной жидкой пленки или иногда — кри-
кризисом теплоотдачи второго рода (см. § 6). Существует еще кри-
кризис теплоотдачи при пузырьковом кипении (первого рода), ко-
который может произойти при больших тепловых нагрузках из-за
объединения паровых пузырьков, образующихся на греющей
стенке, в паровую пленку, что также нарушает контакт жидко-
жидкости с греющей стенкой и может привести к аварийному перегреву
последней (см. ниже § 8). Кризисы теплоотдачи являются фак-
фактором, который ограничивает мощности ядерных реакторов, паро-
парогенераторов, осложняет работу трубчатых печей в технологии.
Дисперсно-пленочный поток, а вместе с ним и пленочный,
вспененный, капельный, а отчасти обращенный дисперсно-коль-
дисперсно-кольцевой и пузырьковый потоки являются разновидностями течений
дисперсно-кольцевой структуры, которая при течении газожид-
газожидкостных смесей в каналах различной геометрии является одной
из наиболее распространенных в ядерно-энергетических установ-
установках, химико-технологических установках по переработке нефти
" Р. И Нигматулин, ч. II

178 ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
и других видов сырья, а также при сборе и транспортировке
продукции газоконденсатных и газонефтяных месторождении.
Достаточно сказать, что в парогенерирующих каналах, на вход
в которые подается насыщенная или недогретая вода, а на вы-
выходе имеется парожидкостная смесь с максимальным паросодер-
жанием, которое можно получить без кризиса теплоотдачи, дис-
дисперсно-кольцевой режим может занимать 90% длины канала и
лишь на остальные 10% приходятся однофазное, пузырьковое
и снарядное течения.
Параметры тонких турбулентных пристенных пленок, поддаю-
поддающиеся измерению. Описанные эффекты, в том числе эффекты
кризиса теплоотдачи и гидравлического сопротивления при ди-
дисперсно-кольцевом режиме течения определяются поведением
пристенной жидкой пленки. В связи с этим ее изучению должно
быть уделено большое внимание.
В дисперсно-пленочных потоках, типичных для парогенера-
парогенераторов и ядерных реакторов и целого ряда технологических уст-
устройств (? = 10—100 мм, /) ==0,1—10 МПа, vg = 5—100 м/с), ха-
характерные толщины жидких пленок б обычно составляют доли мил-
миллиметра, т. е. характерными являются тонкие пленки (8<D).
Измерить распределение скоростей и температур по сечению
таких пленок крайне затруднительно, и поэтому измерения прак-
практически отсутствуют. В настоящее время отработанными для
указанных условий, особенно для парожидкостных потоков вы-
высоких параметров (р = 1—10 МПа), можно считать лишь методи-
методики измерения расходов (т3) жидкости в тонких турбулентных
пленках, их быстро осциллирующих толщин 6' (?) и изменений
концентраций трассера (соли), специально подаваемого в плен-
пленку с относительно малым расходом ms (ms <C ms) для определения
интенсивности влагообмена между пристенной пленкой и ядром
потока (см. ниже § 4).
Расход жидкости в пленке пг3 измеряется методом ее отсоса
через кольцевые щели или пористые участки трубы в ее изме-
измерительной секции (см. ниже § 4). Этот расход определяет число
Рейнольдса пленки, являющееся одним из главных параметров,
характеризующих ее состояние:
Re^Re3 = т3/(л?^г), G.1.8)
Характер распределения скоростей и температур в пленке за-
зависит от режима течения. При Re3 < 300 ~ 400 реализуется ла-
ламинарный режим, а при Re3 > 400 — турбулентный, как правило,
с волнистой поверхностью (С. С. Кутателадзе, М. А. Стырико-
вич, 1976).
Толщина и характеристики волновой поверхности жидкой
пленки. Быстро осциллирующая во времени толщина пристен-
пристенной жидкой пленки дисперсно-пленочного потока в трубе из-

§ 1. ОСОБЕННОСТИ И ДИАГНОСТИКА 17*
меряется тремя методами: электроконтактным (П. Л. Кириллов
и др., 1975; Б. И. Нигматулин и др., 1978), резистивным (Т. То-
nrida et al, 1974) и резистивно-емкостным (Б. И. Нигматулин
и др., 1981).
Электроконтактный метод основан на определении моментов
контакта кончика щупа с электропроводящей жидкостью на
разных расстояниях у от стенки трубы, что позволяет оценивать
толщину пленки и амплитуду ее волновой поверхности. При ма-
малых толщинах пленки б ^ 0,1 мм из-за «затягивания» поверх-
поверхности пленки капиллярными и динамическими силами элект-
электроконтактный метод не пригоден и лучшие результаты дают
резистивный и резистивно-емкостный методы, основанные на
измерении электропроводимости пленки на участке длиной
Az ~ 4 мм (Az > б) между двумя контактами датчика, установ-
установленного «заподлицо» в стенке трубы. Изменение толщины пленки
приводит к изменению электропроводимости и емкости между
этими контактами. Соответствующая тарировка позволяет опре-
определять мгновенную толщину пленки б' над датчиком. С помощью-
резистивных датчиков получены волновые профили б' (t) тонких:
турбулентных пленок для «холодных» воздухо-водяных дисперс-
дисперсно-пленочных потоков (Т. Tomida et al, 1974). Учет изменения
не только проводимости, но и емкости из-за изменения толщины
пленки над резистивно-емкостным датчиком позволил повысить
точность, чувствительность измерений и получить волновые про-
профили б'(?) не только для холодных потоков, но и для «горячих»
пароводяных дисперсно-пленочных потоков (см. рис. 7.1.3) при
высоких давлениях (Б. И. Нигматулин и др., 1981).
При известной зависимости б'(?) можно определить средне-
среднегеометрическую по времени толщину пленки
\t
b'{t)dt. G.1.9)
Здесь следует использовать осреднение за достаточно предста-
представительный промежуток времени At, когда число волн на осцил-
осциллограмме за этот промежуток велико (например, более десяти,
и тогда для условий рис. 7.1.3, можно принять At » 0,2 с).
Можно определить также среднюю за At толщину пленки в
гребнях бог (cr—«crest»)и среднюю толщину пленки во впади-
впадинах б1Ь (th.— «throat»):
ANCT ДЛ'Ш
Щ ег (/), 6th = fif- 2 6th (/), G.1.10)
cr J=1 th j=1
гДе j — номер гребня и впадины, ANCV и AATth — число гребней
12*

180
ГЛ. 7. ГА30- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
и впадин за промежуток At. Величины 6СГ и 8щ представляют
соответственно средне-максимальные и средне-минимальные тол-
толщины пленки в ее волновом режиме:
6cr>S>8th. G.1.11)
Чем больше 5cr/§th превышает единицу, тем более волнистой
а, мм
0,6
Л4
0,2
0
А
\
\
А
Ч—/—-
Л2
Л/
^7
Л
/
Л.
Рис. 7.1.3. Осциллограмма изменения толщины пленки во времени S'(t) над
резистивно емкостным датчикодс в вертикальной трубе (D = 8 мм) с восхо-
восходящим пароводяным потоком (р = 6,9 МПа, т° = 1000 кг/(м2-с)) при раз-
разных расходных массовых паросодержаниях смеси xg и числах Рейнольдса
пленки Re3==Re^ (Б. И. Нигматулин, А. А. Виноградов и др., 1982)
является пленка. На рис. 7.1.4 показаны зависимости введенных
осредненных толщин турбулентных пленок для фиксированного
давления и массового расхода пароводяной смеси. Видно, что

§ 1. ОСОБЕННОСТИ И ДИАГНОСТИКА
181
to1
6Cr/6th достигает значений 5—6, что свидетельствует о сильно
развитом волновом характере пленки.
Одновременная запись сигналов с двух описанных датчиков,
расположенных на расстоя-
расстоянии Az друг от друга, позво-
позволяет определить временной
сдвиг фаз At' (см. рис.
7.1.3,6), а с ним и фазовую
скорость С — Az/At' движе-
движения гребней и впадин волн
(с длинами L > Az) на по-
поверхности пленки. Осредняя
эти скорости за указанный
выше представительный про-
промежуток времени At, можно
определить средние фазовые
скорости гребней Ссг и впа-
впадин Cth. На рис. 7.1.5 пока-
10
-1
зана зависимость этих ско-
скоростей от паросодержания
для тех же турбулентных
режимов с тонкими пленка-
пленками (8<^R), что и на рис.
ф
О
+4 Q4
"Ьч '
ч V
ч.
— ^~
\
X ^
\
1
\
V
ч
N
k, ^
ч
0,2
0,4-
0,8
0,8
Рис. 714. Влияние расходного паросо-
держанпя на среднюю толщину при-
н л а г> А стенной пленки в гребнях (бсг) и впади-
/ Л.о. швдно, что фазовые нах (gth)t на ее среднегеометрическую
скорости гребней и впадин толщину б и на толщину бдр, приведен-
даже в сильно турбулизо- ную по Блаузиусу (см. G.3.10)) в паро-
ванных и волнистых нлеп- ^ZvTTl"*^. 7±Г
ках (oor/oth ~ Ь) различают-
различаются не очень сильно. Поэто-
Поэтому имеет смысл ввести
среднюю скорость волн на
поверхности тонкой пленки
Г — */ (С Л- Г \ 11 \ \0\
Зная расход т3 ст сред-
среднюю толщину б, можно оп-
определить среднюю скорость
жидкости в пленке О 0,2 С.4 06 0,8 хд
G.1.13)
Рис. 7.1.5. Влияние расходного паросо-
держания на средние фазовые скорости
гребней (Ссг), впадин (Cth) и среднюю
скорость волн (Сгз) на поверхности при-
пристенной пленки в пароводяном дисперс-
дисперсно-кольцевом (xg > 0,08) потоке. Усло-
Условия те же, что и на рис. 7.1.3
Как видно из рис. 7.1.6. от-
отношение средней скорости
волн Схз на поверхности
пленки к средней скорости
жидкости v3 в ней в развитом турбулентном режиме (Re3>-103)
лри увеличении Re3 стремится к 1,1, т. е. близко к единице

182
ГЛ. 7. ГЛЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
(Сез ~ v3). Такой же результат получен в упоминавшихся выше
экспериментах с «холодными» воздухо-водяными потоками
7,25-
0,75-
0,5 -
О
Рис. 7.1.6. Отношение средней волновой
скорости С23 па поверхности пристен-
пристенной пленки к средней скорости жидко-
жидкости v3 в ней (экспериментальные дан-
данные тех же авторов, что и на
рис. 7.1.3—7.1.5) при разных числах
Рейнольдса пленки Reg в дисперсно-
кольцевых пароводяных потоках (т° =
= 1000 кг/(м5-с), D = 8 мм) при дав-
давлениях р = 6,9 МГГа (точки 1) и р =
= 10 МПа (точки 2)
(Т. Tomida et al., 1974). Таким образом, в турбулентных плен-
пленках при Re3>103 волны практически не движутся относитель-
относительно жидкости, а сама жидкость в турбулентной пристенной тон-
тонкой пленке в основном переносится в волнах.
§ 2. Осредненные уравнения гидромеханики
дисперсно-пленочного потока
Рассмотрим в рамках квазиодномерной схематизации неста-
нестационарное осесимметричное течение газожидкостной смеси в
дисперсно-кольцевом режиме в круглом канале радиусом R
или диаметром D площадью поперечного сечения S = яВ2 с ма-
малым расширением и малой кривизной. Так как расширение ка-
канала мало, то может существовать поток, в котором скорости
составляющих смеси в любой точке сечения практически парал-
параллельны. В этом случае составляющие скоростей, перпендикуляр-
перпендикулярные оси канала, а также поперечные составляющие ускорений:
будут малы по сравнению с составляющими, параллельными оси
канала. Поэтому можно не учитывать отличие скоростей от их
осевых составляющих. Будем также пренебрегать энергией пуль-
сационных движений, в том числе и при турбулентном режиме
течения, а также пренебрегать поперечным градиентом давления
и считать, что в любом сечении канала давление р однородно
по сечению, одинаково в фазах и является функцией только осе-
осевой координаты z. Ядро потока будем рассматривать как моно-
монодисперсную газовзвесь, состоящую из несущей газовой фазы и
жидкой фазы в виде капель, в рамках упрощений и уравнений,
описанных в § 4 гл, 1, а пленку — как отдельную фазу, состоя-
состоящую только из жидкости.
Здесь рассматриваются дисперсно-кольцевые потоки в круглой
трубе, хотя можно рассматривать каналы и с произвольными
многосвязными поперечными сечениями (кольцевые каналы, ка-
каналы с продольными пучками стержней и т. д.). В этом случае.

g 2. УРАВНЕНИЯ ДИСПЕРСНО-ПЛЕНОЧНОГО ПОТОКА 183
необходимо отдельно выделять пленки на каждой из смачивае-
смачиваемых твердых поверхностей.
Данный подход можно распространить также на другие ре-
режимы течения двухфазной смеси, в которых по сечению канала
можно выделить области с существенно различными характери-
характеристиками течения, например течение вскипающей жидкости в об-
обращенном дисперсно-кольцевом режиме (на стенке — паровая
пленка, а в ядре — жидкость с пузырьками), пузырьковое ки-
кипение недогретой жидкости и т. д.
Далее везде параметры, относящиеся к газу (пару), к кап-
каплям и жидкой пленке, будут снабжаться внизу соответственно
индексами 1, 2 и 3.
Осреднение параметров фаз по сечению канала. Примем, что
газокапельное ядро потока занимает цилиндрическую область
радиусом R—6, а пленка жидкости — кольцевую область
R — б < г < R, где б — средне-геометрическая толщина пленки
G.1.9).
Смесь газа и капель в ядре потока будем описывать как со-
совокупность двух континуумов (см. § 3, 4 гл. 1), заполняющих
объем ядра (core) потока и занимающих часть площади попе-
поперечного сечения канала, равную Sc = Sl = S2. В каждой точке осе-
симметричного ядра потока с координатами г, z, где 0 < г ^ R — 8,
можно ввести макроскопические скорости газа Vi(r) и капель
vz(г) (рис. 7.2.1), температуры газа Т{(г) и капель Тг(г) и их
удельные внутренние энергии щ(г) и щ(г), объемные концентра-
концентрации газа oci(r) и капель ос2(г), приведенные плотности газа pi(r)
и капель р2(г) и другие осредненные параметры. Пристенная
кольцевая жидкая пленка (film), в которой распределена только
конденсированная фаза, занимает часть площади поперечного
сечения канала, равную Si = S3. В каждой точке этой области
с координатами г, z, где R — б < г ^ R, можно определить макро-
макроскопическую осредненную скорость va(r), осредненную темпера-
температуру жидкости Т3(г), ее удельную внутреннюю энергию и3(г)
и другие параметры пленки. В силу слабой неоднородности по-
полей давления и температур по сечению канала можно прене-
пренебречь изменением плотности вещества фаз по сечению кана-
канала, т. е.
P°('-) = Pi (г = 1,2.3), Рг=Рз = Р°-
Таким образом,
<S0 + Sf = S (S1=S2 = SC, S3 = Sf),
Pc (r) = px (r) + p2 (r), Pi (r) = p° (r) • щ (r), I = 1, 2, 3, G.2.1)
ai(r) + a2(r)=l, a,(r)>0, as(r)sl,
Здесь pc (r) — плотность смеси в ядре потока.

184
ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
Для учета неравномерности распределения параметров со-
составляющих смеси по сечению канала каждый параметр будет
представляться в виде суммы среднего по сечению S{ значения
vf (r) различных полей скоростей в дис-
Рис. 7.2.1. Схема распределения
персно-кольцевом потоке, где-
vi = pi (*• г'> г') — поле микро-
микроскоростей (тонкая сплошная ли-
линия) газа (? = 1), жидкости в
каплях (i = 2) и пленке (i = 3);
Vi(r)—поля макроскоростей
(сплошные жирные линии), ког-
когда радиальный масштаб Дг обла-
области, по которой производится ос-
осреднение (в качестве таковой мо-
может быть использовано кольцевое
сечение г < г' < г + Дг или со-
соответствующий кольцевой ци-
лпндр), много больше размера ка-
капель, но много меньше диаметра
канала и толщины пленкп; V\ —
определенная по сечению газо-
газожидкостного ядра потока Si =
= iSj = Sc скорость газа; v^ — ос-
редненная по сечению ядра пото-
потока Sc скорость капель; v% = Vf —¦
осредненная по сечению пленки
5з = Sf скорость жидкости в при-
пристенной пленке. Значения vt (i —
= 1, 2, 3) указаны толстыми
штриховыми линиями. Штрихпунктирная линия соответствует «приведен-
«приведенному» потоку жидкости, в котором распределение скоростей ог (г) экс-
экстраполирует в ядре потока поле скоростей у (г) жидкости в пленке
этого параметра и переменной по сечению составляющей, отра-
отражающей неравномерность распределения данного параметра по
сечению Si, т. е.
Ь = <¦№ (г)> = у- J ipi (r) ds, J A^ (r) ds = 0 (i = 1, 2, 3).
1 ^ Si
G.2.2)
Будем предполагать, что осредненные по сечениям величины
i|5i являются регулярными функциями z, т. е. меняются плавно-
вдоль оси канала (см. A.2.15))
dz
G.2.3),
где Aifo — характерное изменение if; в рассматриваемом процессе^
L — длина канала.

§ 2. УРАВНЕНИЯ ДИСПЕРСНО-ПЛЕНОЧНОГО ПОТОКА 185
Среднее по сечению произведение параметров равно
¦j- J % (г) -Ф« (г) ds = — | [^ + Дг|ч (г)] [Ф1 + Афг (г)] ds =
1 г
(г). Дф4 (г)> = М^Фг, G.2.4)
(г) • ДФ1 (г)> = -f f Д^ (г) ¦ ДФ1
где /с; — корреляционный коэффициент, учитывающий нерав-
неравномерность распределения параметров i|);(r) и ф,(г) по сечениям
5, (г = 1,2,3). Таким образом, через i|)<, ф,- и т. д. без указания г
обозначены средние по сечениям 5С и Sf величины. В частности,
средние объемные концентрации, средние скорости и средние
внутренние энергии фаз равны
ai = J-)ai(r)ds, vi = j-\vi(r)ds, Ui=-~\Ui(r)ds. G.2.5)
* Si ' Si i Si
Тогда масса, количество капель, импульс (поток массы), внут-
внутренняя энергия i-й составляющей смеси, приходящаяся на еди-
единицу длины канала, и соответствующие потоки этих величин че-
через поперечное сечение St равны
\ P°«i {r) ds = Рг°аА = PiSu n (r) ds = nSc = —^
J J 4/з яа
Si Sc
Щ = J Pi«i (Г) • иг (г) ds =
s
f p°a{ (r)-Wj (r) ds = piajUi-S'iA;-0'"', G.2.6)
Si
J „ (r).i;, (r) ds = nv2S2 (l + <Дге(г)ге;!Ч(Г)>) = nv2SAav),
с V 2 /
J p°aj (r) y4 (r) Uj G-) ds = р°а
s
J
si
Здесь if1», 4au), fcfra), fc(m) -корреляционные коэффициенты,
учитывающие влияние неравномерности распределения объ-

183 ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
емной концентрации, скорости и внутренней энергии ?-й состав-
составляющей смеси по сечению S,. Отметим, что для пленки в силу
i \ л iX&vv) 7 (vv) i (avu) j <vu)
a3(r)= 1 следует, что /с3 = «з , «з = "з •
В дальнейшем будут использованы средние и средне-расход-
средне-расходные температуры фаз
Si
p(m) 1_
G-2-7>
Уравнения сохранения. С учетом G.2.6) получим следующие
дифференциальные уравнения сохранения масс, числа капель
в ядре потока, импульсов, притоков тепла составляющих смеси:
(РА) , ЧуЛ*?) _ , f ,,• „ _ „= „° _
^ I ^ — •'гх ¦'гз "Г >/32> Рг — ^2а2» гг —
d
^1 -gl = — •'31 + ^23 — ^зг, Рз = Рз — Pii
(nSc)
«2 = 4/3яа3?г, St = S2 = Sc, S3 = Sh v3 = vt,
= 4/ ла'зРг'Фз, -^зг = 4/3 ларг|)
dt
= — ^Sc-?- + F12 — /2Xy12 + /32^32 — ^23^23+P2^cg2, G.2.8)
J>(P3ysst) a (Рз^/,^)
аг "•" az
at
^>)

§ 2. УРАВНЕНИЯ ДИСПЕРСНО-ПЛЕНОЧНОГО ПОТОКА 187
Ш ' si Jil 2 ^23 2 +
+ ^Зг g </21Ы12 J 2Ъ""ЬЪ "Г ^32M32 — V2B2)»
dz Z
(!;23-^J T „
+
г „ г°„ I г°„ Л , Л
^•/31И13 — -/32^32 Г ^ 23М23 V3B3) + W-
Здесь JK (/, i = 1,2,3; / ^ f) — интенсивность перехода массы из
у-й в г-ю составляющую смеси в единицу времени на единице
длины канала. При этом /3i и /21 — интенсивность испарения
(или конденсации, если J2i, hi < 0) пара на поверхности соот-
ветственно пленки и капель; J32 и •'гз—соответственно интен-
интенсивности уноса капель с поверхности пленки и осаждения на
о о о о
нее, причем /23 = — /32 = Jгз — •/ зг! 'Фзг и Ч'гз — соответственно
число сорванных и число осевших капель за единицу времени на
единицу длины канала; а32 и а23 — соответственно средние радиу-
радиусы капель, сорванных с поверхности пленки и осевших на ее по-
поверхность; FJ3, Fw, Fl2 — отнесенные к единице длины канала
силы трения соответственно между газовой фазой и пленкой,
пленкой и стенкой канала и сила взаимодействия между газо-
газовой фазой и каплями; gz — интенсивность внешних массовых сил
в направлении оси канала; QHzz), <?з<23), <?1(?2), <?2B2), Qw — пото-
потоки тепла за единицу времени, отнесенные к единице длины ка-
канала соответственно от газовой фазы к поверхности раздела
между газом и пленкой (к Е3-фазе) от пленки к ее поверхности
(к Е3-фазе), от газовой фазы к поверхности раздела между га-
газовой фазой и каплями (к Е2-фазе), изнутри капель к 22-фазе,
от стенки к пленке; v42 = vZi и vi3=v3i — соответственно про-
продольные составляющие скорости веществ, претерпевающих фа-
фазовый переход на поверхности Е2-фазы и 23-фазы; vS2 и v2i —
продольные составляющие скоростей капель, с которыми они со-
соответственно уносятся с поверхности пленки и осаждаются на
Поверхность ее; аналогично ц32 и и23 — удельные внутренние энер-
энергии жидкости в каплях, соответственно унесенных с поверхно-
поверхности пленки и осевших на поверхность ее; остальные величины
типа и„ (а именно: ul2, u2u ui3, u31) — внутренние энергии ве-
вещества i-й фазы, претерпевающего фазовый переход.
При записи уравнений притока тепла пренебрегалось про-
продольной теплопроводностью в фазах, а жидкость полагалась не-
/ о о о \
сжимаемой ^р2 = Рз = 9i = const). Далее уравнения состояния
для внутренних энергий фаз и, будем принимать в приближении
постоянных теплоемкостей в виде линейных функций от их тем-
температур (см. A.3.73), A.3.72)).

188 ГЛ. 7. ГАЗО- И ПЛРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
Слагаемые типа V2/,i(y3, — игJ в уравнениях притока тепла
определяют диссипацию энергии из-за фазовых переходов
в условиях скоростной неравновесности фаз (см. § 1, 2 гл. 1).
В рассмотренных ниже процессах эти слагаемые несущественны.
Следует иметь в виду и уравнения сохранения энергии или
притока тепла на межфазных границах: на поверхности капель
(Za-фаза) и на поверхности пленки B3-фаза), где помимо ис-
испарения и конденсации происходят срыв и осаждение капель
(ср. с последним уравнением A.1.56))
— @1B2) — <?2Bi2) + ^21 (^21 ~ J12) = О,
- <?зBз) + /«(isi - iu) = 0, G.2.9)
г21 — U21 +
«si = 1 + P/P°i, ha = "is + Р/Рз-
Для замыкания полученной системы уравнений G.2.8) и
G.2.9) вместе с уравнениями состояния фаз необходимо при-
привлечь допущения для корреляционных коэффициентов кгаг>\
кгат\ к?и , k^vu , уравнения межфазного взаимодействия для
Jm Fn, Qlb, ап, v3l, un и определить внешнее воздействие стенки
трубы на поток через Fw, Qw.
Из уравнений сохранения массы и числа капель можно по-
получить уравнение, в явном виде определяющее изменение сред-
среднего размера капель:
i — ал) + трза 1аз2 — а )•
G.2.10)
Коэффициенты неравномерности н связь параметров на грани-
границах раздела фаз с осредненными параметрами. Анализ экспери-
экспериментальных данных по распределению концентраций и скоро-
скоростей составляющих смеси по сечению ядра потока (для воздухо-
водяных потоков при р ~ 0,1 МПа см. G. Hewitt, N. Hall-Taylor
A972); для пароводяных потоков при р ~ 7 МПа см. П. Л. Ки-
Кириллов и др. A973)) показывает, что при турбулентном движе-
движении газовой фазы в ядре распределения можно представить в
виде степенных функций
= (l - ¦?-]**, i = 1, 2,
G.2.11)
Индексом 23 внизу отмечены средние значения параметров на
поверхности жидкой пленки B3-фазы), а индексом ° вверху —
параметры на оси канала.

g 2 УРАВНЕНИЯ ДИСПЕРСНО-ПЛЕНОЧНОГО ПОТОКА 189
Аналогично можно предположить, что распределение темпе-
температур составляющих смеси по сечению ядра потока также под-
подчиняется степенному закону
)* Л G-2-12>
д
Далее будем использовать средние касательные напряжения
т(г) и соответствующую силу F{r) = 2яг ¦ т(г). В частности, на
границах пленки со стенкон канала (W) и ядром потока B3
или 13) можно ввести касательные напряжения, определяющие
уже введенные силы Fw и F13:
р _ 2я7?т F = 2я(R б)х G 2 13^
Как уже отмечалось в § 1, измерения профилей скоростей в
тонких (б — 10 мм), но турбулентных и волнистых пленках
практически отсутствуют. Поэтому будем схематизировать эти
профили в виде заранее определенного вида зависимостей v3(r)r
ставя их в соответствие осредненным величинам т3 = mh 8 и
v3 = vf, в связи с чем профиль скоростей v3(r) должен удовлет-
удовлетворять условиям нормировки, следующим из G.2.5) и G.2.6)-
для i = 3, когда а( = 1:
¦=- \ v3 (r) ds = v3, p°iV3(r)ds=m3.
Эти условия, если учесть, что кольцевая область S3 — тонкая
(б < R), принимают следующий вид:
л
б J
я-а
Следует иметь в виду, что расход жидкости в пленке т3 и ее-
средняя толщина являются измеряемыми величинами (см. § 1),
причем т3 определяет число Рейнольдса, введенное в G.1.8):
Выделим кольцевой слой жидкости в пленке между радиуса-
радиусами Rc = R — б и r<R. Тогда уравнение импульса для этого слоя
имеет вид
[p(gz -а)- ~\л(г* - Rf) + [т13-Дс- г-т (г)] 2л = О,
G.2.16)
где а — среднее ускорение частиц жидкости в рассматриваемом
кольцевом слое.
При анализе пленочных течений выделяются два предельных
случая:

-193 ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
1) течение с постоянным сдвиговым напряжением под дейст-
действием газового ядра
x(r) = TI3 = Tw = const; G.2.17а)
2) свободное стекание пленки под действием только сил тя-
тяжести, когда мало влияние газового ядра, сил инерции, а дав-
давление по потоку не меняется. Тогда, используя уравнение G.2.16)
для г = R, получим
rw = Рг/б (т18 = 0, а = 0, dp/dz = 0). G.2.176)
Рассмотрим сначала ламинарный режим тонких пленок
F7/? <1), который реализуется при Re3<300— 400. Для только
что указанных двух предельных случаев из уравнений вязкой
жидкости, когда т = щ(ди(г)/дг), можно получить соответствен-
соответственно следующие распределения, определяемые средней скоростью
v3 и средней толщиной пленки б, через относительное расстояние
-от стенки канала у = {R — г)/б
1) v3(r) = 2v3y, r(y) = Ti3 = xw = 2vsiil/6; G.2.18a)
2) ^з (г) = 3»з {у — lkyi);
у = 1: т = т13 = 0; 1 = 0: т = xw = р°/б = Зу3[хг/б. G.2.186)
Заметим, что при ламинарном течении с фиксированным сдви-
сдвигом G.2.18а) неравномерность распределения скорости жидко-
жидкости в пленке наибольшая, и при этом имеем vM = 2v3 и к™ =
= 1,33,
Если тепловые потоки вдоль канала много меньше попереч-
поперечных, то уравнение теплопроводности в ламинарной пленке с ус-
условиями, определяемыми тепловыми потоками на ее границах,
имеют вид
° ч ' OZ Qr*
r — /?¦ з v vv ^ т> С7 2 1Q^
"* 5г 2я(Л —6) A,'
где TV — температура жидкости на стенке канала. Отсюда легко
получить формулу для профиля температур в тонкой пленке
I У У'
Т3 (У) ~ Tw = a\ i-^- J J v3 (yr) dy"dy' - у
G.2.20)

§ 2 УРАВНЕНИЯ ДИСПЕРСНО-ПЛЕНОЧНОГО ПОТОКА 194
что для течения с фиксированным сдвигом G.2.18а) и. для сво-
свободного стенания G.2.186) соответственно дает
T3(y)-Tw = A\y3(l-Q)/3-y] (t1s = tv); G.2.21a)
T3(y)-Tw = A{(i/,f-l/2yl){l-Q)-y] (т„ = 0). G.2.21б>
Если использовать среднемассовую Тг и среднерасходную»
Т™ температуру жидкости в пленке (см. G.2.7)), то, напри-
например, для течения с фиксированным сдвигом G.2.18а) для двух
предельных значений теплового фактора й = 0 i 1 распределе-
распределение G.2.21а) дает следующие соотношения:
Q = 0, TX3-Tw=*/b(T3-Tw), TCm)-Tw = sV2i(T3-Tw);
G.2.22>
Q = l, TS3-1W = 2(T3 ()
Отличие числовых коэффициентов, входящих в эти соотношения,,
от единицы характеризует степень неоднородности температуры
в данном случае в ламинарной пленке.
Наибольшее значение для приложений имеет турбулентный
режим пленки, который реализуется при Re3 > 400 и при ко-
котором основное сопротивление трения и основное сопротивление
передаче тепла определяются ламинарным подслоем и буферной
областью, локализованными в очень узкой зоне толщиной S*.
у стенки. Малая толщина этой зоны (б.,. <С б) дает основание
предполагать, что отличия и особенности в турбулентных пуль-
пульсациях, которые реализуются вне указанной зоны в зависимости
от того, пропускается ли один и тот же расход жидкости ms
через фиксированную кольцевую область R — б «? г г? R совместно
с газокапельным ядром или совместно с однофазным потоком
той же жидкости (реализуя обычный однофазный поток, но
«приведенный» указанным образом по расходу), не сказываются
на характере течения в ламинарном подслое и буферной зоне
Л — б^^г^/?. В связи со сказанным будем предполагать
(А. А. Арманд, 1946; G. Wallis, 1969; G. Hewitt, N. Hall-Taylor,.
1972), что профили распределения скорости и температуры жид-
жидкости по сечению этой зоны аналогичны тем, которые имеют
место при течении однофазной жидкости во всем канале. Про-
Продолжение их на всю толщину пленки не приводит к существен-
существенным ошибкам, так как помимо уже сказанного в основном объе-
объеме турбулентной пленки вне вязкого подслоя и буферной зоны
перепады скоростей и температур невелики и слабо чувстви-
чувствительны к способу их аппроксимации.
Далее, как для ламинарного, так п турбулентного режимов
течения в пленке будем принимать степенную аппроксимацию-

492 ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
профиля скорости и температуры
(? = (Д-г)/6, 0<у<1).
Для этих распределений, учитывая 8/R < 1, можно связать
значения скорости и температуры на границе пленка — ядро
(Ез-фаза) с их среднемассовыми и среднерасходными значениями
в пленке:
2*3 л
G.2.24)
Аналогично для степенных распределений G.2.11), G.2.12)
в ядре потока имеем соотношения, связывающие параметры фаз
на границе с пленкой (vi(ss), Тцхз), «¦(")), на оси канала
рц
(i^, Г4, а,) с соответствующими средними значениями (и{, Tt, а,):
G.2.25)
Для распределений G.2.11), G.2.12), G.2.23), используя опре-
определения G.2.4), нетрудно вычислить корреляционные коэффи-
коэффициенты. В частности, для к^ имеем
*Г) = 1+ 4
3
+ 4
(i =
V4
1 + v
1,
Q2 i
6i +
2),
l

Г -
2n2
-V
Уз
G.2.26)
— \ я 3 J3~JW
Как показывают отмечавшиеся выше эксперименты с турбу-
турбулентными течениями газа в ядре и жидкости в пленке, показа-
показатели степени в принятых аппроксимациях G.2.11), G.2.12),
G.2.23) распределения параметров по сечению потока обычно
.меньше 1/5. Следует иметь в виду, что чем больше значение по-
показателя, тем более вытянутым или менее «заполненным» являет-
является профиль распределения и тем больше сказывается неравно-
неравномерность. Из формул для М^ видно, что для характерных при
турбулентных режимах значений показателей v,«6; =? 1/5
(г=1, 2, 3), даже когда параметры на оси капала, поверхности
пленки и стенке канала существенно отличаются друг от друга,
корреляционные коэффициенты к* близки к единице. Поэтому
для турбулентных потоков газа в ядре и жидкости в пленке
проблема определения коэффициентов неравномерности не

§ 2. УРАВНЕНИЯ ДИСПЕРСНО-ПЛЕНОЧНОГО ПОТОКА 193
является актуальной, так как можно принять
Мот) « k\avv) « kfu) « fc^u) « 1. G.2.27)
Отметим, что согласно указанным в конце § 1 измерениям
волновых скоростей С23 в турбулентной пленке для скорости
жидкости на ее поверхности можно принять yZ3 » CZ3 да l,li>3,
что близко к значению y23 = l,14i;3, полученному из G.2.11)
при v3 = 77.
Осаждающиеся на пленку с интенсивностью /23 капли име-
имеют продольную скорость и2з, близкую к средней скорости капель
в ядре потока (y23«i72). Это объясняется тем, что торможение
капель в пограничном слое с резким изменением продольной ско-
скорости газа вблизи пленки мало, так как этот слой слишком тонок,
чтобы осаждающиеся капли, которые обладают во много раз боль-
большей, чем газ, инерцией, успели в этом слое затормозиться.
Осаждающиеся капли выбивают из пленки вторичные капли
(брызги), возвращающиеся в ядро потока. Интенсивность такого
ударного (shock) брызгоуноса, которая будет обозначаться J*?l,
является составляющей интенсивности уноса капель /32 (см. ни-
ниже § 4). Оценки (Б. И. Нигматулин, В. Е. Николаев, С. И. Иван-
даев) показывают, что брызговые капли уходят из пленки, имея
скорость v 2, близкую к скорости падающих капель (v3i~v23mv2),
а остальные капли, уносимые с интенсивностью JS2 — Jz% в ядро
потока с поверхности пленки газом, как и испаряющийся или
конденсирующийся пар с интенсивностью /31, имеют продольную
скорость вещества на межфазной границе (i723). Таким образом,
примем
у и = vzi = v-2.3, v2i = ь>12 = v2,
Для определения пц наиболее естественными будут следующие
допущения (ср. с A.1.55)):
U2i = tt1GTz2), Ui2 = U2(Tz2), Ии = Ц3(Г13), U3i = Ui(TZ3),
uls = ut(T2), u32 = u3(TzS). {12.2%)
В качестве замыкающих соотношений для межфазного взаимо-
взаимодействия в ядре потока между газом и каплями (/21, F2i, Qiw>,
Quss)) можно использовать зависимости, обсуждаемые в § 4 гл. 1.
Поэтому далее в § 3 и 4 обсуждаются только силовое и тепловое
взаимодействия между стенкой канала и пленкой (Fw, Qw),
а также силовое, тепловое и массовое взаимодействия между
ядром потока и пленкой (F13, <?кгз), <?зB3), Ла» ^гз^ ^й)-
Уравнения притока тепла фаз в условиях термодинамическо-
термодинамического равновесия фаз и скоростного равновесия в ядре потока. В ши-
широком классе процессов можно пренебречь несовпадением тем-
13 р. и. Нигматулин, ч. II

194 ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
ператур фаз, а в «горячих» однокомпонентных потоках — откло-
отклонением этих температур от температуры насыщения, т. е.
принять
G.2.30)
Кроме того, часто можно считать, что скорости капель и газа в
ядре потока совпадают:
v1 = v2 = vc. G.2.31)
Тогда для такого «однотемпературного» и «односкоростного» яд-
ядра следует рассматривать суммарное по каплям и газу уравне-
уравнение импульса и суммарное уравнение притока тепла. Уравнения
импульса и пленки, если ограничиться стационарными режимами
и принять G.2.27) и G.2.28), имеют вид
± (pASc) = - Sc ? - F14 - Pcf -f PcScf,
4- (P° ^s) = - Sa ^ + F13 -f Pef - Fw + p3S3g>,
Pc = P°g^i + P°iv~2 («! -r cc2 = 1), G.2.32)
cf — I"'23 J 32/ V? W 31 ~Г •'32 — J 32/ V23 •
Уравнения сохранения масс составляющих имеют вид
dm, _ _ dmn _ . .о .о dmn ^ | (_
'32
G.2.33)
= Р^з^з)-
~ 1 _ 7" , Т 2— Т Л- f Т° я Т -L— Т° Т°
~z •> 21 т •'З!) ~5F ~ •'га^^зг J -гз> "^ •/31~г—^ 23 ^ 3
Уравнения притока тепла фаз (последние три уравнения
G.2.8)) и уравнения притока тепла G.2.9) на межфазных гра-
границах, если учесть малость диссипации кинетической энергии и
то, что м32 = и23 = щ = и3 — Uis (p), in — ii2 = hi ~ hs = igs — its —
— Цр), приводятся к следующему виду:
dz ^ P2 dz dz
Учитывая фазовое равновесие, т. е. ig~ igs(p), ^— ^s(p), из этих

§ 3. МЕЖФАЗНОЕ ТРЕНИЕ II ТЕПЛООБМЕН 195
уравнений определяем интенсивность фазовых переходов на
пленке и каплях через градиенты давления, когда Qn-^0:
fdlis__J_\dp_
'Р P°ls) dz G.2.35)
[dp рЦ^^улр Р°;гс"с*-
В тех случаях, когда скорости фаз много меньше равновесной
скорости звука в ядре и перепады давлений из-за трения и уско-
ускорения фаз на рассматриваемом участке малы (Ар^р), измене-
изменением энтальпий фаз можно пренебречь. Тогда можно принять
31/ = Qw, /21 ~ О, G.2.3b)
т. е. все подводимое тепло идет на испарение пленки (до тех
пор, пока она не высохнет), а капли не испаряются.
§ 3. Межфазное трение и теплообмен
в дисперсно-пленочном потоке
Исходя из сформулированного предположения или принципа
аналогии о том, что осредненное течение и процессы переноса
в пленке аналогичны этим процессам в пристенной области экви-
эквивалентного или «приведенного» однофазного установившегося
потока жидкости во всем канале, можно вывести соотношения
для коэффициентов сопротивления и теплообмена между пленкой
и стенкой канала в зависимости от средних параметров пленки.
Легко видеть, что это предположение справедливо для ламинар-
ламинарных пленок без волн. Для волновых и турбулентных пленок ре-
результат такого подхода, основанного на сформулированном прин-
принципе или гипотезе об аналогии, должен быть проверен сравне-
сравнением с экспериментом.
Взаимодействие между пленкой и стенкой канала. Пристен-
Пристенной жидкой пленке с расходом rn3 = 2nR6p3v3 средней толщи-
толщиной б и температурами на ее границах Tz3 и Тw будем ставить
в соответствие эквивалентный или «приведенный» однофазный
поток тон же жидкости, занимающий все сечения канала и реали-
реализующий в пристенном кольцевом слое толщиной б (R — б < г < R)
тот же расход т3 и тот же перепад температур от Tw до Т^3.
При этом будем предполагать, что распределение скоростей и
температур в эквивалентном потоке экстраполирует на все се-
сечение канала степенные распределения скоростей и температур
в пленке G.2.23), а именно
vi (г) = v° A - rjR)\ Т, (г) - Tw ={Т° - Тщ) A - rjRf\ G.3.1)
13*

196 ГЛ. 7. ГАЗО- И. ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛ VX
где v° и Т° — значения скорости и температуры эквивалентного
однофазного потока на оси канала, параметры которого будем
отмечать индексом I внизу. Из условий на расход и перепад
температур в пристенном слое толщиной б нетрудно получить
выражения, связывающие средние скорости vt и v3, перепады
температур 2im) — Tw и Г23 — Tw- Эти соотношения, если v3 = 93,
имеют вид
1 Г
= —5-- \ 2nr-vi (r) dr =
nR J
s(l + vs)-1, G.3.2)
(r) vx (г) «&¦ = TV + i±^3 (Г,з
' о
Силу трения между пленкой п стенкой канала представим в виде
F — 2 R = С fy^'3 G 3 3)
где Cw — коэффициент трения между пленкой и стенкой канала.
В ламинарной осесимметричной пленке касательное (сдвиго-
(сдвиговое) напряжение равно т (г) = ц, (dv3/dr). Тогда, используя закон
распределения скоростей G.2.18а), получим
Cw = 4/Re3, Re3 < 300 -~ 400. G.3.4)
Для турбулентной пленки в соответствии с принятой анало-
аналогией трения в пленке и в эквивалентном однофазном потоке ка-
касательное напряжение на поверхности гладкой трубы определя-
определяется формулой Блаузиуса (см. Л. Г. Лойцянский, 1973), кото-
которой соответствует степенной закон распределения скорости
G.2.23) с показателем v3 = 1/7:
iv\ rn 0,316
ъ
При этом из G.3.2) и G.3.3) имеем
14 I fi N"!/7 й v, и,
J R 2^R C = -Lcwll). G.3.6)
В результате получим «приведенный» закон Блаузиуса для тур-
турбулентной пленки
Cw = 0,0589/Re^'25, Re3 = m^nD^) >300^- 400. G.3.7)

§ 3. МЕЖФАЗНОЕ ТРЕНИЕ И ТЕПЛООБМЕН
197
Зависимости G.3.4) и G.3.7) удовлетворительно согласу-
согласуются со значениями Cw (рис. 7.3.1), полученными по результа-
результатам измерений перепада давления Ар на выделенном участке
канала длиной AL, расхода жидкости в пленке т3 и ее средне-
среднегеометрической толщины б, которая определялась осреднением
10'
10
-z
10
-з
4
к
1-1
о-4
Яг
0
о
1С"
10"
10
Рис. 7.3.1. Зависимость коэффициента трения между пленкой и стенкой кана-
канала Cw от числа Рейнольдса пленки Rey=Re3, полученная из обработки экс-
экспериментов: 1 — р=0,1 МПа, Z? = 31,8 мм, воздух —вода (P. Whaley et al,
1976); 2 — р = ОД МПа, D = 15,9 мм, воздух - вода (С. Shearer et al, 1965);
3 — р = 0,1 МПа, D = 31,8 мм, воздух — трихлорэтан (P. Whaley et al,
1973); 4 — р = 3—10 МПа, D = 8 мм, пар — вода (Б. И. Нигматулин и др.,
1982)
согласно G.1.9) локальных значений толщины пленки, изме-
измеренных методами электропроводимости (см. § 1) в вертикаль-
вертикальных восходящих гидродинамически стабилизированных газожид-
газожидкостных потоках (С. Shearer et al., 1965; P. Whalley, 1973) и
пароводяных потоках высокого давления (Б. И. Нигматулин и
др., 1982) в необогреваемых каналах. Анализ этих эксперимен-
экспериментов и вычисления Cw и Re3 для каждого режима производились,
исходя из следующих соображений. В стабилизированных ре-
режимах (/23 = — /32 = 0, /23 = /32)» если Ар/р < 1, то испарение
и конденсация, даже если они и имеют место, практически не
существенны на выделенном участке канала (/21~/31~0), и
параметры потока по длине канала практически постоянные. По-
Поэтому силами инерции из-за ускорения фаз, связанного с рас-

198 ГЛ 7 Г\30- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
ширением или уплотнением газовой фазы, можно пренебречь.
Тогда уравнение сохранения импульсов для смеси имеет сле-
следующий вид, разрешенный относительно силы трения о стенки
трубы:
^ A = g'pS (р = р?а, + p°gag).
G.3.8)
Вес G столба жидкости единичной длины, который прихо-
приходится учитывать для вертикальных потоков (gz = 9.81 м/с2),
определяется по газосодержанию ср = а«, которое измеряется
методами отсечек или "f-просвечивания (см. § 1). Обычно для
дисперсно-кольцевых режимов (ccg^0.8) величина G составляет
не более 15% от градиента давления dp/dz. Поэтому особой точ-
точности в определении G(as) не требуется и для ag можно исполь-
использовать эмпирические формулы типа G.1.4), полученные из кри-
критериальной обработки других экспериментов в аналогичных ус-
условиях. Заметим, что из-за наличия пленки a?<ai.
Вычислив F-w и имея измеренные т3 и 6, получим значения
Сп п Re3, представленные на рис. 7.3.1:
2F,,r
Приемлемость схемы «приведенного» потока по закону «од-
«одной седьмой» и закону Блаузиуса для расчета силы трения Fw
турбулентных пленок о стенку канала можно проиллюстрировать
и другим способом. Зная измеренные значения тг и Ар, можно,
как и выше, вычислить Fw и Re3. Далее, используя CV, рассчи-
рассчитанное по «приведенному» закону Блаузиуса G.3.7), можно
вычислить «приведенную» толщину пленки бДр (приведенную
к измеренному перепаду давления и закону Блаузиуса):
Значения бДр практически совпадают с измеренными среднп-
ми толщинами турбулентных пленок (см. рис. 7.1.4), несмотря
на сильно выраженные волновые осцилляции б', приводящие
к тому, что высота гребней в несколько раз превышает среднюю
толщину пленки.
Более подробное экспериментальное исследование зависимо-
зависимости Cw (Re3) в области Re., ~ 102, в которой происходит переход
от ламинарного к турбулентному режиму, выявляет отклонение
экспериментальных точек от зависимостей G.3.4) и G.3.7) и их
расслоение в зависимости от параметров ядра потока (М. Е. Дейч,
Г. А. Филиппов, 1981).

§ 3. МЕЖФАЗНОЕ ТРЕНИЕ И ТЕПЛООБМЕН 199
Интенсивность теплообмена между пленкой и стенкой канала
Qw будем относить к полному перепаду температур в пленке
Tw — Tz3, вводя коэффициент теплоотдачи или число Нуссельта:
Qw = KDqw, qw = hHuwTw~T*3. G.3.11)
В ламинарой пленке q(r) = ki(dT/dr), и коэффициент тепло-
теплоотдачи существенно зависит от гидродинамических условий и от
теплового фактора Q = Qb^^/Qw, определяющего ту долю под-
подводимого извне к пленке тепла, которая уходит из нее к ее гра-
границе с ядром потока. В частности, для течения с фиксирован-
фиксированным сдвигом G.2.18а), G.2.21а), когда xw ~ т13, и для свобод-
свободного стекания G.2.186), G.2.216), когда т13 ~ 0, легко получить
соответствующие формулы
Nuw = 3/B + Q), Huw = 8/E f 3Q). G.3.12)
При 0 = 1 обе формулы даютг>1Щу = 1, а при Й = 0 — соответ-
соответственно 1,5 и 1,6. Таким образом, различие в гидродинамических
условиях при ламинарном режиме слабо влияет на теплообмен
пленки со стенкой. При этом для теплового фактора 0 < Q < 1
имеется уравнение, следующее из уравнения притока тепла на
поверхности пленки G.2.9) при условии Tz3 — Ts(p),
Следует иметь в виду, что при испарении и конденсации Q -*¦ 1,
а при нагреве или охлаждении без фазовых переходов Q -*¦ 0.
При турбулентном течении в пленке основное тепловое со-
сопротивление пленки сосредоточено в тонком пристенном слое,
поэтому влияние условий на границе с ядром потока, характе-
характеризуемое параметром Q, на профиль температур в ней и па-
параметр теплообмена Nuw будет незначительным. Тогда так же,
как для трения G.3.5), теплообмен в турбулентной пленке можно
описать, используя аналогию теплообмена в приведенном одно-
однофазном потоке с помощью следующей известной полуэмпириче-
полуэмпирической формулы:
NuW(l) = 0,023 Re?'8 Pr?'4 (Pr, = ц,с«Д,)-
Для степенного распределения как скоростей, так и темпе-
температур в эквивалентном потоке с показателями л>3 = 63 = 1/7 имеет
место G.3.6) и
Т(т) гГ 5/6 Г1/7/т т \ м.. м
¦t i — Av^-jr-i-^- (Iz3 — Jw), Nun/ = N
G.3.15)

200
ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
В итоге легко получить
Nuw = 0,016 Re°3'8 РгГ (S/ЯГ0'0"-
G.3.16)
На рис. 7.3.2 представлено сравнение полученной зависимо-
зависимости (кривые 1 и 1') с экспериментальными данными разных ав-
авторов на основе измерений Qw, Tw, Tx3 и ms, полученными в
Рис. 7.3.2. Зависимость Ми^для теплоотдачи между стенкой канала и
пленкой от числа Рейнольдса пленки Re^, «приведенная» к Рг;= 1,75 (см.
обсуждение после G.3.16)). Представлены экспериментальные данные (око-
(около 500 точек) 24 авторов (подробнее см. Б. И. Нигматулин и др., 1981), по-
полученные в разное время A934—1978 гг.) в горизонтальных и вертикальных
нисходящих пленочных течениях разных жидкостей (вода, фреон, жидкий
кислород, азот, аргон, аммиак, дифенил при значениях Рг; =1,0 — 8,4, но
большая часть данных получена на воде при 100 °С, когда Рг; = 1,75) вдоль
плоской стенки, по внутренним и наружным поверхностям труб разных ди-
диаметров (D = 14—61 мм) и длин (L = 0,2—3,6 м) со спутным потоком газа
и без него, при испарении, конденсации, нагреве, охлаждении. Ли-
Линии 1 и Г соответствуют формуле G.3.16) при значениях б/Я = 10~3 и 10~''.
Линия 2 соответствует G.3.20); линии 3 и 3' соответствуют G.3.21) при
й = 1 и 0
пленочных течениях разных жидкостей вдоль плоской стенки,
по внутренним и наружным поверхностям труб разных диамет-
диаметров и длин, в горизонтальном и вертикальном опускном направ-
направлениях, со спутным потоком газа и без него, при испарении и
конденсации, нагреве и охлаждении. Эти данные были обрабо-

§ 3. МЕЖФАЗНОЕ ТРЕНИЕ И ТЕПЛООБМЕН 201
таны в системе критериев Nu^ и Re3 (см. Б. И. Нигматулин
и др., 1981). В тех случаях, когда Pri отличался от 1,75, для
того чтобы выделить экспериментальную зависимость Nuw толь-
только от Re3, экспериментальные значения Nujy «приводились» к
Pri = 1,75 путем домножения на A,75/РпH'5. Такая процедура
оправдана, так как все зависимости в случае турбулентных
течений довольно однозначно выявляют влияние Рг; в виде сом-
сомножителя Рп, где к = 0,4—0,5 (см. G.3.16) и ниже G.3.17)).
Из рис. 7.3.2 видно, что указанная обработка позволяет выявить
универсальный характер зависимости Niiw(Re2, Ргг) и отсутст-
отсутствие существенного влияния других независимых параметров в
столь разных перечисленных выше условиях. Видно, что фор-
формула G.3.16), которой соответствуют кривые 1 и i', правильно
описывает характер обсуждаемой экспериментальной зависимо-
зависимости в случае турбулентных пленок (Re3 > 300), но завышает
(в среднем в 1,5 раза) значения Nu?p. Это свидетельствует о том,
что в отличие от сопротивления трению тепловое сопротивление
турбулентной пленки несколько выше теплового сопротивления
такого же слоя жидкости в эквивалентном однофазном потоке.
Данное обстоятельство может быть учтено, если за основу вме-
вместо формулы G.3.14) для эквивалентного однофазного потока
использовать формулу, полученную из расчетов (Д. А. Лабун-
цов, 1957) теплообмена свободно стекающей пленки под дейст-
действием силы тяжести (gz = 9,81 м/с2), которая в наших обозначе-
обозначениях имеет вид
= 0,0325 Re
»'26
G.3.17)
Из условия равновесия G.2.176) свободно-стекающей пленки
с учетом G.3.7) имеем
1 v3 = -^Re3, G.3.18)
откуда легко получить
6/6(s) = 0,309 ReU'58. G.3.19)
Тогда из G.3.17) имеем формулу
Nuw = 0,010 Rea1'83 Pr?'5, G.3.20)
которая удовлетворительно описывает опытные данные по тепло-
теплообмену в турбулентных пленках (Re3>300).
Сращивая зависимости G.3.12) и G.3.20), получим формулу,
которая описывает теплообмен со стенкой канала как ламинарных,

202 ГЛ. 7. ГАЗО- II ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
так и турбулентных пленок,
Nuw= -у/"B-^)Ч@,010РеГ3РгГJ, G.3.21)
которая обобщает опытные данные в указанном выше диапазо-
диапазоне со средней относительной погрешностью ±19% (см. кргшые
3 и 3' на рис. 7.3.2).
Взаимодействие между газокапельным ядром и пристенной
жидкой пленкой. Трение между ядром и пленкой непосредствен-
непосредственно связано с режимами течения волновой поверхности пленки,
определяемыми скоростями фаз и ее толщиной. Можно выделить
три типа режимов поверхности пленки: волновой с крупномас-
крупномасштабными волнами, волновой с рябью и режим гладкой пленки.
Требуется еще тщательное экспериментальное исследование
этих режимов и границ перехода между ними.
В обогреваемом канале при пузырьковом кипении пленки про-
происходит набухание ее, изменение характеристик волновой поверх-
поверхности и соответственно изменение силы межфазного трения. По-
Поперечный поток испаряющегося или конденсирующегося на
поверхности пленки пара должен также влиять на силу трения.
Сила трения между газовым ядром и пленкой аналогично
G.3.3) представляется в виде
3= 2я.йст13, т13 = V,AsPg (vx — vZ3J, Cu = C13 (8/R, Re17 ?31),
G.3.22)
Где Ci3 — коэффициент трения между газовым ядром и пленкой,
7з1 — параметр проницаемости (С. С. Кутателадзе, А.И.Леонтьев,
1972), характеризующий влияние на трение поперечной скоро-
скорости Wi газа (пара) на поверхности пленки.
При турбулентном течении в ядре потока коэффициент трения
С13 должен главным образом зависеть от характера торможения
на волнах, так же, как это имеет место при развитом турбулент-
турбулентном течении однофазной жидкости в шероховатых трубах, ибо
ядро потока как бы движется в канале с жидкими стенками.
Предположение, что процессы, происходящие при обтекании га-
газовым потоком отдельных волн на поверхности пленки, анало-
аналогичны тем. которые происходят у бугорков шероховатой поверх-
поверхности, высказывалось в известной работе П. Л. Капицы A948).
«Шероховатость жидких стенок» сильно изменяется в широких
пределах в зависимости от режима течения пленки и ядра пото-
потока. К настоящему времени проведены систематические экспери-
экспериментальные исследования по определению влияния «шерохова-
«шероховатости» поверхности жидкой пленки на величину С13 (С. Shearer,

§ 3. МЕЖФЛЗНОЕ ТРЕНИЕ И ТЕПЛООБМЕН 203
R. Nedderman, 1965; G. Hewitt, N. Hall-Taylor, 1972; Б. И. Ниг-
матулин, 1982, 1983). Рассмотрим основные результаты этих ис-
исследований. Величина C1S определялась на основе измерений
полного перепада давления Ар на относительно коротком участке
(Az = 0,15—0,2 м) канала, расходов газовой (mg) и жидкой (то;)
фаз на входе в участок и расхода жидкости в пленке (т3) на
входе и выходе из этого участка в стабилизированных стационар-
стационарных газо- и парожидкостных «холодных» воздухо-водяных и
«горячих» пароводяных потоках. Эксперименты проводились как
в необогреваемом канале, так и в каналах с обогревом в усло-
условиях малых перепадов давления (Ap<ip) и термодинамического
равновесия (температуры фаз равны между собой и равны тем-
температуре насыщения Тв), когда можно считать, что скорости га-
газа и капель почти равны между собой (vt « vz « vc).
В указанных режимах справедливы уравнения G.2.36), из
которых следует, что в необогреваемых каналах (Qw = 0) фазо-
фазовые переходы отсутствуют:
mi ~ PgO^iViSc = const, m2 = pia2v1Sc, m3 = Piv3Sf. G.3.23)
Уравнения импульсов ядра и всей смеси в стабилизированном
потоке (/2з = J32 = J ) в соответствии с G.2.32) принимают вид
G.3.24)
В экспериментах с необогреваемыми каналами измеряются
dp/dz, ml, m3, mt. По этим величинам, учитывая, что тпг = лг( — гпг,
„у ° °
используя значения плотностеп фаз pg и Рг, можно определить
объемные концентрации жидкости и газа в ядре потока
m /о
«1 = ^ 5-, ora = l-ai G.3.25)
п вычислить вес Gc (полагая, что <SC ~ S) единичного столба яд-
ядра потока. Как и для G.3.8), используя аппроксимацию для ф,
можно вычислить вес G единичного столба всего потока, а затем
последовательно определить Fw (из второго уравнения G.3.24)),
Re3, Cw, v3 и, наконец, аналогично G.3.10)—толщину пленки
бдр, которая, как было показано, практически совпадает со сред-
средне-геометрической толщиной пленки б. После этого можно сде-
сделать уточнение из-за Sc = S — 2nRd. Далее вычисляются скорость
в ядре потока vx = m1/(pga15'c) и скорость vM x 1,14р3. Зная v{,
о о
v*3, Pgi Pi и другие физические свойства фаз, используя эмпи-

204
ГЛ. 7. ГАЗО- II ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
рические формулы для интенсивности массообмепа между плен-
пленкой и ядром потока (см. ниже § 4), можно вычислить /°, /3S2,
а затем из первого уравнения G.3.24) выделить Fi3 и С13 =
Заметим, что погрешности из-за использования эмпирических
формул для ф, /° и /3S2, определяющих слагаемые G и
Рис. 7.3 3. Зависимость коэффициента трепия C\z между газокапельным тур-
булентпым ядром (Ре1а^10°)и жидкой пленкой от относительной толщи-
толщины пленки б/Л, полученная из обработки экспериментов: 1 —¦ р = 5—10 МПа,
D = 8 мм, пар —вода (Н. В. Тарасова и др., 1965; G. Gaspari et al, 1964);
2, 3 — р = 3—9 МПа, D = 10 мм B) и 20 мм C), пар — вода (J. Wurtz,
1978); 4 — р = 1—10 МПа, Д = 13,3 мм, пар — вода (Б. И. Нигматулин и др.,
1978, 1983); 5 — р = 0,28 МПа; ZJ = 31,8 мм, воздух —вода (P. Whaley et al,
1975); 6 — р = 0,18—0,45 МПа, D = 31,5 мм, воздух — вода (С. В. Нетунаев,
1982). Нижняя сплошная линия, проходящая через точки 1—4, в —зависи-
—зависимость G.3.26)
(/ — /з2) (уд — Vx3), не велики, так как в турбулентных потоках
указанные слагаемые обычно не являются главными в Fw и ^з.
На рис. 7.3.3 показаны результаты описанной обработки экс-
экспериментов разных авторов для пароводяных и воздухо-водяных
потоков в виде зависимости С13 от относительной толщины плен-
пленки б/i? для развитых турбулентных потоков. Опытные точки
со средне-квадратичной погрешностью ±20% обобщаются фор-
формулой
Са = 0,005 + 0,84F/7?)м « 0,005 + 0,66/Д. G.3.26)

§ 4. КАПЕЛЬНЫЙ ВЛАГООБМЕН 205
Отметим, что «воздухо-водяные точки» 6 соответствуют коль-
кольцевому режиму (без капель, а следовательно, и без брызгоуноса),
и они хорошо согласуются с «пароводяными точками» и зависи-
зависимостью G.3.26). В то же время «воздухо-водяные точки» 5 со-
соответствуют дисперсно-кольцевому режиму с брызгоуносом, и они
существенно отклоняются от остальных точек. Это объясняется
тем, что в воздухо-водяных потоках при выбивании капель
с поверхности пленки осаждающимися каплями предположение
G.2.28) не выполняется, и VC2)<Cv2.
То, что Сп зависит только от Ь/R, подтверждает гипотезу об
аналогии трения турбулентного газокапельного ядра о пристен-
пристенную жидкую пленку с трением развитого турбулентного потока
однофазной жидкости (Re ^ 105) о шероховатую трубу, когда
коэффициент трения не зависит от числа Рейнольдса, а зависит
только от шероховатости трубы. При этом эффективная «шеро-
«шероховатость» пленки однозначно определяется ее средней тол-
толщиной.
Для описания обмена импульсом между ядром и пленкой
можно использовать и более простую схему, не выделяя отдель-
отдельно потерю давления на разгон срывающихся капель с поверхно-
поверхности пленки, а именно
ф13 = _ Sc -g- + Gc = С*13 p*A>i-1W 2nRc G.з.27)
(Фи = ^13 + (/" - /C2)) (Vc - W»), & = nRl, Re « Vafl)-
Здесь Ф{3 определяется по измерениям перепада давления и
оценкам веса ядра потока Gc (см. G.1.4)). Такая обработка
приводит к аппроксимации
С*3 = 0,005 + 0,6 F/J?) + 3,3-10* (б/i?M'5. G.3.28)
§ 4. Капельный влагообмен между ядром
и пристенной пленкой жидкости
в турбулентном дисперсно-пленочном потоке
В настоящее время основным методом получения количе-
количественной информации о капельном влагообмене является экспе-
экспериментальный. Кратко укажем результаты соответствующих
исследований, изложенные в работах Б. И. Нигматулина с со-
сотрудниками. Эксперименты проводились при стационарных вос-
восходящих течениях термодинамически равновесных пароводяных
и воздухо-водяных смесей в трубах с внутренними диаметрами
D = 8 и 13 мм (для пароводяных смесей) и D = 13 и 31,5 мм (для
воздухо-водяных смесей) в следующих диапазонах изменения
параметров: для пароводяных смесей р — 1—12 МПа, Т = 450—
600 К, у4 = 4—120 м/с, а2 = 0,005—0,1; для воздухо-водяных

206 ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
смесей ? = 0,18, 0,3 и 0,45 МПа, Т = 293 К, у, = 8—60 м/с, а2 ==
= @,9—5) ¦ 10~~3. Экспериментальные участки состояли из двух
секций: секции стабилизации потока длиной около 2OOZ3 и изме-
измерительной секции. На входе в измерительную секцию замеря-
замерялись расходы составляющих смеси mu rrii = то2 + m3, давление р
и температура смеси Т. Вдоль измерительной секции в несколь-
нескольких сечениях измерялись методом отсоса расходы жидкости в
пленке ш3 и перепад давления Ар на отдельных участках. По пе-
перепаду давления в измерительной секции можно определить
касательное напряжение т13 или xw. При подаче на вход в при-
пристенную пленку раствора соли (трассера) измерялась концентра-
концентрация соли в пробах жидкости, отсасываемых из пленки на раз-
различных расстояниях от входа.
Метод отсоса пленки. Определение интенсивности срыва и
осаждения капель на пленку основано на измерении расхода
жидкости в пленке при отсутствии испарения и конденсации,
когда уравнение расхода в пленке имеет вид
dms/dz = /23 — JS2. G-4.1)
В общем случае срыв и осаждение происходят одновременно,
а на участке после стабилизации уравновешивают друг друга
(/32 = «^23 — J )¦ Поэтому для того чтобы их определить, нужно
реализовать условия, когда один из этих процессов не происхо-
происходит. Например, для определения интенсивности осаждения /23
при заданных параметрах ядра потока на входе в измерительный
участок (при z = 0) отсасывают всю пленку так, что срываться
в начале измерительного участка нечему (можно считать /з2=0)>
и расход жидкости в пленке в начале измерительного участка
растет от нуля линейно по z за счет осаждения капель с интен-
интенсивностью /2з- И лишь ниже по потоку, где за счет исследуемого
осаждения капель образуется пленка достаточной толщины,
чтобы с нее могли срываться капли, начнет сказываться срыв,
и рост m3(z) замедлится (см. точки 1 и 2 на рис. 7.4.1).
О
Аналогично для определения интенсивности срыва /32 при
заданных параметрах пленки и газа всю жидкость на входе в
измерительный участок подают в виде пленки (через пористую
вставку) так, что в начале этого участка осаждаться нечему и
можно считать /2з = 0. И лишь ниже по потоку, где за счет
срыва образуется достаточное количество капель, чтобы их осаж-
осаждение стало существенным, падение замедлится (см. точки 3 и 4
на рис. 7.4.1). Фактически в этих двух крайних условиях /2з
и /32 определяются по наклону линейного участка зависимости
m3(z) при z = 0, построенной по результатам измерений.
Солевой (трассерный) метод. Следует проверить, насколько
отличается интенсивность осаждения на «сухую» стенку от

§ 4. КАПЕЛЬНЫЙ ВЛАГООБМЕН
207
осаждения на пленку и интенсивность уноса влаги с пленки
газовым потоком от уноса с такой же пленки, но газокапельным
потоком. Влияние пленки на осаждение может происходить из-за
изменения пограничного слоя газожидкостного ядра, что влияет
на поперечное движение ка-
капель, определяющее их осажде-
осаждение. Влияние капель в ядре
потока на унос влаги с пленки
может проявиться за счет раз-
разбрызгивания при ударе капель
о пленку. Указанная проверка
осуществлялась Б. И. Нигма-
тулиным, И. В. Долининым
и др. A978) с помощью соле-
солевого пли трассерного метода
измерения интенсивности вла-
гообмена в гидродинамически
стабилизированном дисперсно-
пленочном пароводяном потоке,
где /2з = /зг == / , и Г — из-
измеряемая интенсивность влаго-
fffO z/B
Рис. 7.4.1. Изменение относительного
расхода жидкости в пленке хз = т3/т
с расстоянием от входа в канал, где
вся жидкость подавалась или в ядро
потока (точки 1 ж 2), или в пленку
(точки 3 и 4) при фиксированном
давлении р = 6,9 МПа и диаметре
канала D = 13,3 мм с пароводяным
потоком (Б. И. Нигматулин и др.,
1978, 1981). Точки 1 и 3 при т° =
= 1000 кг/(м2-с), ж, = 0,27; точки 2
н 4 при т° = 1600 кг/(м2-с), х{ =
= 0,30; линии — расчет с использо-
использованием формул G.4.8), G.4.19),
G.4.23)
обмена. Данная методика при-
применялась ранее при измере-
измерениях интенсивности влагооб-
мена в воздушно-водяных по-
потоках при давлениях, близких
к атмосферному (Е. Quandt,
1965; L. Cousins, G. Hewitt,
1968; A. Jagota et al, 1973). Суть метода заключается в сле-
следующем. На входе в измерительный участок со стабилизиро-
стабилизированным потоком (/2з = ^32 = J ) в жидкую пленку подается
раствор соли с расходом т8 < т3. Далее в нескольких сечениях
вдоль по потоку измеряется концентрация соли в пленке, кото-
которая вверх по потоку уменьшается из-за влагообмена между
ядром и пленкой. Указанные концентрации измеряются в про-
пробах жидкости, отсасываемых из пленки в соответствующих
сечениях. Для определения связи между интенсивностью влаго-
влагообмена J" и изменением концентрации соли в пленке с3 по длине
канала рассмотрим уравнение сохранения соли в пленке и каплях
т2, т.
m3dc3/dz = J° (c23 — с32), m2dc2/dz = J° (c32 — с23)
, = const, mfj = f a} (r) p°V] (r) Cj (r) ds, j = 1, 2, 3Y
G.4.2)
где Cj — средне-расходная концентрация соли в /-и составляющей
смеси, причем Ci = 0. Считается, что осаждаются капли со сред-
средней концентрацией соли в них с23. Оценки показывают, что диф-

208 ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
фузия соли в турбулентной пленке настолько интенсивна, что
профиль концентрации соли в ней близок к однородному уже на
расстояниях порядка z ^ 106 ~ 10~2 м от сечения ввода соли в
пленку. Тогда можно считать, что с32 = с3. Диффузия соленых
капель по сечению ядра потока также достаточно интенсивна,
так что на расстояниях z > 10D (при D ~ 10 мм это расстояние
составляет по порядку 10 и) профиль концентрации соли в
ядре потока также можно считать однородным, и с23 = с2. Гра-
Граничные условия для уравнения G.4.2):
2 = О:с3 = Сзо, с2 = 0;
2 -> оо; с2 = с3 = С„. * '
Можно выписать интеграл рассматриваемой системы уравнений
тгсг + m3cs = тга3с3о = (т2 + т3) с„. G.4.4)
После интегрирования уравнений получим
В полулогарифмической системе координат полученному реше-
решению соответствует прямая линия с наклоном, определяемым дли-
длиной релаксации Lj, и пересекающая ось ординат (z = 0) в точке,
определяемой величиной Ао. Отсюда по измеренным концентра-
концентрациям соли cs(z) в пробах жидкости, взятых из пристенной плен-
пленки на различных расстояниях z от места ввода соли (в том
числе и на достаточно больших расстояниях z, где с3 = с„,, т. е.
с3 практически не меняется, так как удобнее измерять с„, не-
нежели с30), графически легко определяются L3 и Ао. Эти величины
вместе с измеренным расходом жидкости т2 + т3 позволяют
определить Г, mz, m3. Таким образом, солевой метод позволяет
одновременно определять интенсивность влагообмена /° и рас-
распределение жидкости между ядром (т2) и пленкой (т3) в ста-
стабилизированном потоке, практически не возмущая последний.
На рис. 7.4.2 показана зависимость In[c3(z)/co» — 1] от z для
различных режимов. Все экспериментальные точки с незначи-
незначительным разбросом группируются вокруг прямых линий, соот-
соответствующих уравнению G.4.4). При этом расход солевого
раствора nzs = @,02—0,04) т3 практически не влияет на положе-
положение экспериментальных точек. Отсюда следует, что при проведе-
проведении эксперимента удается обеспечить условия, принятые при
выводе уравнения G.4.2) и достаточно аккуратно выполнить
сами измерения.

§ 4. КАПЕЛЬНЫЙ ВЛАГООБМЕН
209
Следует иметь в виду, что в нестабилизированных течениях,
когда J23^= /321 только солевая методика (без измерения m3(z))
не позволяет выявить интенсивность массообмена между ядром
и пленкой, т. е. интенсивность осаждения Jгз и срыва J32. В та-
таких течениях изменение параметров
вдоль по потоку и во времени зависит
и от дисбаланса между /2з и J3i.
Сопоставление экспериментальных
данных по относительному расходу
жидкости в пленке х3 и интенсивности
влагообмена / = J32 = J%3, получен-
полученных солевым методом и методом отсоса
пленки через пористую вставку, пока-
показало, что при х3 > 0,25 значения х3,
полученные двумя различными мето-
методами, согласуются с точностью ±20%.
Имеется несколько больший разброс
данных при низких значениях х3 <
< 0,25, что, по-видимому, связано с
ухудшением точности измерений ма-
малых расходов жидкости в пленке обои-
обоими методами.
Интенсивность осаждения капель.
10
0,5S
п
-0,6
-1,0
-2,0
-30
о, и
Л
\ \
Л\
\\
\
V
N
• 7
Ю-J
\
\\
\
\\
0
500 1ООО z,mm
р участка
( = ™А мм) с восходя-
щим пароводяным потоком
(р = 2,94 МПа, т° = 1000
кг/(м2-с)) с разными рас-
0 2 C)
Рис. 7.4.2. Результаты изме-
рения концентрации соли
Теоретическое исследование осаждения и0 длине необогреваемого
капель на пленку и определение его измерительного
количественной характеристики — ин- ( А )
r ^ о
тенсивности осаждения /2з — затруд-
нено, так как, во-первых, сложно опи-
сание взаимодействия капель с турбу-
лентным потоком газовой фазы, во-вто-
рых, в практически важных случаях
неизвестна функция распределения капель по размерам в ядре,
в то время как размер капель является исходным параметром
при разработке теории процесса. Наиболее полный обзор дан-
данных по осаждению частиц на стенки трубы, когда нет пристен-
пристенной пленки и их теоретический анализ имеется в монографиях
(R. Boothroad, 1971; А. А. Шрайбер и др., 1980; Е. П. Медни-
Медников, 1981). Обзор экспериментальных исследований осаждения
капель на пленку приведен в статье D. McCoy, T. Han-
ratty A977).
Величину /2з удобно представить через безразмерную вели-
величину J23, равную отношению удельных потоков капель — попе-
поперечного J23/BnRc) = Picc2w2 (где w2 — средняя поперечная ско-
скорость осаждающихся капель) к продольному т2/\пЩ) = Picc2v2.
14 р. И. Нигматулин, ч. II

210 ГЛ 7 ГАЗО- И ПАР0ЖИДКОС1НЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
Тогда, учитывая, что 2RC ~ D имеем
Анализ движения капель под действием случайных турбу-
турбулентных пульсаций позволил выявить безразмерный параметр
(А. Е. Крошилин, В. Н. Кухаренко и др., 1985), определяющий
интенсивность осаждения:
Здесь tM — стоксово время релаксации скорости частицы
A.4.33), и*— динамическая скорость газа в турбулентных пуль-
пульсациях. В рассмотренных ниже режимах числа Рейнольдса
Re,,. = 2av%/vg , характеризующие движение капель в турбу-
турбулентных пульсациях, равны по порядку 10~*—101, поэтому в
этих режимах именно стоксово время ?ы характеризует скорост-
скоростную релаксацию в процессе турбулентного осаждения.
Анализ имеющихся экспериментальных данных по осажде-
осаждению в необогреваемых (соответствующие значения /гз будем
обозначать через J2з) воздухо-водяных и пароводяных потоках
показал, что эти данные описываются следующей линейной
зависимостью со средней относительной погрешностью ±50%
в диапазоне П = 2 • Ю-3—2 • Ю:
7°3 = 7°з = 0,3 A - 7,5а2) П. G.4.8)
При этом размер капель в ядре потока, входящий в параметр П,
рассчитывался по эмпирической формуле (P. Whalcy, 1978),
полученной по измерениям в вертикальных пароводяных пото-
потоках и определяющей радиус капель в зависимости от режимных
параметров (р, vit m°, xg, D):
G.4.9)
Аналогично динамическая скорость v% для обработки экспери-
экспериментов рассчитывалась по известной формуле для однофазных
потоков (см. Л. Г. Лойцянский, 1983), соответствующей форму-
формуле Блаузиуса G.3.5)
^/y1 = 0,2Rer0'125. G.4.10)
Множитель A—7,5а2) учитывает снижение интенсивности
турбулентных пульсаций в газе из-за присутствия капель и влия-
влияние неодиночности капель на процесс осаждения.
Зависимость G.4.8) не согласуется с экспериментальными
данными по осаждению твердых частиц. Эти данные показывают

§ 4. КАПЕЛЬНЫЙ ВЛАГООБМЕН 211
CQ
слабое влияние П на ¦/ гз- В частности, эксперименты В. Liu,
G. Agarwal A974) дают /2з^6-1СГ3 в диапазоне П = 10~3—
10~2. Не согласуется зависимость G.4.8) и с данными по осаж-
осаждению водяных капель, создаваемых впрыскиванием влаги через
форсунку. При этом способе создается гораздо более узкий
спектр размеров капель, чем в обычных дисперсно-пленочных
——00
потоках, а измеренные значения /2з (Е. Game, К. Mastanaiah,
1981) изменяются от 6 • 10~3 до 3 • 10~3 при увеличении П от
3 • Ю-3 до 7 • Ю-2.
Дальнейшее уточнение п обобщение (в том числе и для газа
с твердыми частицами) зависимости для /2з связано с уточне-
уточнением размера капель и более того — спектра размеров капель в
ядре потока и в полосе осаждающихся капель.
В обогреваемом канале за счет испарения пленки имеет место
поперечный поток пара, который может препятствовать осажде-
осаждению капель на поверхность пленки. Влияние этого поперечного
потока на процесс осаждения капель из газокапельного ядра по-
потока исследовалось (Б. И. Нпгматулин и др., 1982) на примере
воздухо-водяного потока в горизонтальном участке канала, в ко-
котором поперечный поток газа создавался вдувом воздуха через
пористую вставку из бронзы, заделанную заподлицо в нижнюю
стенку канала. Поток капель создавался форсункой, установлен-
установленной перед рабочим участком канала. Опыты проводились в диа-
диапазоне скоростей Vi = 20—50 м/с при давлении /7 = 0,1 МПа.
Скорость поперечного (вдуваемого) потока воздуха варьирова-
варьировалась в диапазоне w, = 0—0,83 м/с, что соответствовало wjvi =
= 0—0,042. Капли в пристенной зоне фотографировались сбоку
при специальном освещении. Методика фотографирования
(В. В. Гугучкин и др., 1978) позволяла определять количество
капель N в плоскости кадра, измерять их размеры, вектор ско-
скорости и оценивать распределение количества капель /=
= iV-I(AiVM^2) по углам [}2 отклонения их скоростей (траекто-
(траекторий) от продольного направления (рис. 7.4.3). При отсутствии
поперечного вдува средний угол $гт отклонения траекторий ка-
капель от продольного направления стенки равен нулю. При нали-
наличии поперечного вдува капли в среднем отклоняются от про-
продольного направления (ji2m>0), причем tg f$2m растет линейно с
ростом wjvi\ для условий рис. 7.4.3 имеет место tgp2ra « 3(u.\/vi).
Доля капель, отводимых от стенки, определяется количеством
капель, траектории которых составляют положительный угол f}2.
Уменьшенная из-за поперечного потока испаряющегося пара
интенсивность осаждения капель может быть представлена в виде
/°q — Д/Й? , A/2V = fc"'Pi>^4i/Pn если
О, если AJzl'> /23 (/31 = Qw/fy-
G.4.11)
14*

212
ГЛ. 7 ГАЗО- II ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
Здесь ?q) — коэффициент отдува, который оценивался (Б. И. Ниг-
матулин, 1973) по экспериментальным данным по тепловым по-
потокам, приводящим к полному прекращению осаждения частиц
в пароводяных потоках при режимах, указанных в начале пара-
параграфа. Эта качественная оценка дала k{q) ~ 2.
Интенсивность уноса капель с поверхности пленки. В дис-
дисперсно-кольцевом режиме течения газожидкостной смеси в пря-
прямолинейных каналах часть жидкости, как правило, срывается
0-
/
f-l
0,1б\-
ж х
0,08 \
,/ '
о
ч/я
\
\
У
1
0,022
1\
\
V
U
\
)
J
/"
/
/
•/
/
0,02 0,04 wf/vf
)
и и
о
-0,2
-о,/
О U/3 0,1
0,2
0,3
0,4
Рис 7 4 3. Распределение / капель по углам отклонения Рг их скоростей от
продольного направления (а) и средние значения ргт этих углов (б) при
поперечном вдуве газа в воздухо-водяном капельном потоке (р = 0,1 МПа;
Vi = 35 м/с). Числовые указатели 0 и 0,022 на кривых /(Рг) соответствуют
значениям w\lv\
с гребней крупномасштабных волн и уносится в ядро потока.
Этот процесс называется динамическим (волновым) уносом или
срывом, а его интенсивность будет обозначаться J32 (d — «dy-
«dynamic»). При наличии капель в ядре потока, как уже указыва-
указывалось в § 2, возможен также дополнительный унос из плепки ка-
капельной влаги, выбиваемой в виде вторичных капель (брызг)
от удара осаждающимися на пленку каплями из ядра потока.
Этот процесс называется ударным брызгоуносом, а его интенсив-
интенсивность будет обозначаться /^ (s—«shock»). В интенсивно обо-
обогреваемом канале, когда имеет место пузырьковое кипение плен-
пленки, возможен унос влаги из пленки в виде брызг, появляющихся
при выходе пузырьков пара на ее поверхность. Этот процесс на-
называется пузырьковым (брызго-) уносом, а его интенсивность

§ 4. КАПЕЛЬНЫЙ ВЛАГООБМЕН 213
будет обозначаться J^ {Ь — «bubble»). Ударный и пузырько-
пузырьковый брызгоуносы представляют побочные эффекты, которые про-
происходят при осаждении капель из ядра потока и пузырьковом
кипении пленки. Каждый из трех указанных процессов уноса
характеризуется условиями, при которых начинается данный
тип уноса, а также его интенсивностью. В общем случае интен-
интенсивность суммарного уноса капель с поверхности пленки равна
J32~J32 + J 32 + ->32- \( A.L6)
Процесс динамического уноса капель (/з?)] характеризуется
взаимодействием турбулентных пульсаций, сил поверхностного
натяжения, вязкости и сил инерции. Непосредственные наблюде-
наблюдения, фотографирование и голографирование поверхности пленки
в спутном потоке воздуха и водяной пленки при давлении, близ-
близком к атмосферному (G. Hewitt, N. Hall-Taylor, 1972; В. И. Бы-
Быков, М. Е. Лаврентьев, 1976), показали, что унос капель проис-
происходит только с гребней крупномасштабных волн, причем разру-
разрушение волн и каплеобразование происходят аналогично дробле-
дроблению струй жидкости в газе и существенно зависят от вязкости
жидкости. При относительно низких скоростях газа (до 25—
30 м/с) разрушение волны происходит в результате деформации
волны в целом (распада) с выбросом из гребня волны струек,
которые распадаются на отдельные капли. При больших ско-
скоростях газа масштаб возмущений на порядок меньше размеров
самой волны и ее разрушение носит характер распыления или
обдирки.
Теоретическому анализу, основанному на решении уравнений
вязкой жидкости, поддаются лишь вопросы образования волн в
ламинарных пленках, обдуваемых газом. Анализ же срыва ка-
капель, тем более с турбулентных пленок, основывается лишь на
качественных соображениях.
Условия начала динамического уноса капель с поверхности
пленки потоком газа. Условия дробления пленки или динамиче-
динамического срыва капель с пленки газом определяются механизмом,
приводящим к неустойчивости Кельвина — Гельмгольца. Этот
механизм характеризуется числом Вебера We13, равным отно-
отношению динамического воздействия к капиллярным силам. Мерой
динамического воздействия газожидкостного потока на волновую
поверхность пленки является касательное напряжение т13 (при
турбулентном течении т13 ~ pg(v1 — z;3J). Полагая, что анало-
аналогично дроблению капель (см. § 2 гл. 2) «опасными» для плепкп
являются волны с длинами меньше толщины пленок б и ампли-
амплитудами порядка б, можно получить, что мерой капиллярных сил
будет величина 2/6. Тогда условие начала динамического уноса
можно записать в виде
*. G.4.13)

214 ГЛ. 7. ГАЗО- II ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
Влияние сил вязкости в фазах, как и при дроблении капель,
характеризуется числами Лапласа
Lpg = -L, Lp, = -!^-, G.4.14)
причем увеличение вязкости (уменьшение Lp,; i = g, I) повы-
повышает устойчивость пленок, т. е. повышает значение We]3*. Кроме
того, при турбулентном течении пленки стабилизирующим фак-
фактором, затрудняющим унос жидкости, может стать турбулентная
вязкость |i@ ~ psVsy, где у— расстояние до стенки канала.
На поверхности пленки у = б имеем j.i(/) ~ \1г Re3.
Кроме капиллярных, динамических и сил вязкости, на жид-
жидкость действуют силы тяжести, которые оказывают заметное
влияние на условия начала динамического уноса капель из плен-
пленки. В частности, это проявляется в том, что значения We13H.,
полученные в экспериментах, разные для восходящих, нисходя-
нисходящих и горизонтальных потоков. Отношение этих сил к капилляр-
капиллярным определяется числом
i = gp?62/2. G.4.15)
Если учесть, что срыв должен зависеть от плотностей фаз
О О
vg и Р;> то зависимость критического числа Вебера, задающего
начало динамического срыва капель, от параметров процесса,
можно представить в виде
We13* = /(Lpp Lpg, Pg/рг, g, Re:!). G.4.16)
Экспериментальные исследования начала динамического уно-
уноса капель с поверхности пленки посвящены в основном опреде-
определению параметров потока (расхода жидкости в пленке и крити-
критической скорости газа), при которых начинается унос (Н. А. Мо-
жаров, 1959; А. Я. Шивайкин, 1961; В. А. Чернухин, 1965;
G. Wallis, 1969; G. Hewitt, N. Hall-Taylor, 1972; М. Ishii, M. Grol-
mes, 1975; С. С. Кутателадзе, М. А. Стырикович, 1976; А. А. Анд-
Андреевский, 1978). В большинстве из этих работ не проводилось
измерение перепада давления на трение, значение которого не-
необходимо для определения среднего касательного напряжения
на поверхности пленки тK. Поэтому в этих работах в критери-
критериальных соотношениях для определения начала уноса в качестве
определяющего параметра тC пе использовалось, в силу чего
соответствующие соотношения носят ограниченный, а иногда н
противоречивый характер.
Систематические экспериментальные исследования начала и
интенсивности динамического уноса совместно с измерением
перепада давления на трение при восходящем течении парово-
пароводяной и воздухо-водяной смесей выполнено в условиях, описание
которых дано в начале данного параграфа. Опытные данные

§ 4. КАПЕЛЬНЫЙ ВЛАГООБМЕН
215
по началу уноса обрабатывались в виде критериальных зави-
зависимостей G.4.16), где Tis определялось по G.3.22) —G.3.24)
на основании измерении перепада давления на трение и
р,МПа
J { - 1 - 0,28 « - 13- 0,1
'- а- 2- ff,49 ¦ - 14-0,1
У о- Ъ- 0,69
в - 5- 1,57
с- 6- 4,4
о- 7- 0,98
- 1,96
Д- 9- 1,9
А- 10-4,9
- 11 - 6,9
у~ 12. - 9,8
Рис. 7.4.4. Результаты обработки экспериментальных данных по началу ди-
динамического уноса: 1 — р = 0.28 МПа. D = 9,5 мм, воздух — вода, подъем-
нос движение (L. Cousins et al, 1965); 2—5—^=0,49—4,41 МПа, D =
= 25 мм, пар — вода, нисходящий поток (Н. А. Можаров, 1959); 7—12 —
р = 0,98—10 МПа, D = 13 мм, пар — вода, подъемное движение (Б. И. Ниг-
Нигматулин и др., 1982); 13 — р = 0,1 МПа, D — 26 мм, воздух — вода, горизон-
горизонтальный поток (А. А. Арманд, 1946); 14 — р = ОД МПа, D = 79 мм, воз-
воздух— вода, горизонтальный поток (А. И. Шевский, 1975); 15—17 — р =
= 0,1—0,45 МПа, D = 13 и 31,5 мм, воздух — вода, восходящий поток
(Б. И. Нигматулин и др., 1982)
веса Gc единичного столба ядра потока. Оказалось, что экспери-
экспериментальные данные описываются (Б. И. Нигматулин, В. Е. Ни-
Николаев) следующей зависимостью (рис. 7.4.4):
С о г rrBg)
| 0,0 (Л
We,,
j 4,4-ИГУie) Re
j
.4/3
13*
5,5-
,1/2 '
(Re3 < 290)
B90<Re3<3-103, gzv[<0)
B90<Re,<3-103, g*vl>0)
(Re3^3-103, fvl<0),
G.4.17)
Ф,1/ -#x )¦
К Pf2 /

216 ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
где первая аппроксимация соответствует ламинарным (Re3-<
<С 290) пленкам, вторая и четвертая — спутным (i^X)) тур-
турбулентным (Re3 > 290) пленкам в вертикальных (gz = ±g)
восходящих (gzVi < 0) потоках, третья — спутным турбулентным
пленкам в вертикальных нисходящих (gzvl > 0) потоках. Для
горизонтальных (gz = 0) турбулентных потоков We13H. принима-
принимает, по-видимому, промежуточные значения между второй и
третьей аппроксимациями. Четвертая аппроксимация дает асимп-
асимптотические значения We13sN для пленок с сильно развитой тур-
турбулентностью (при больших значениях Re3) и получена экстра-
экстраполяцией экспериментальных данных по интенсивности срыва
капель (см. ниже).
Представленные зависимости обобщают опытные данные мно-
многих авторов, полученные в разных условиях, с точностью ±20%
в спутных воздухо-водяных и пароводяных потоках в трубах при
р = 0,1—10 МПа, Z? = 10—80_мм, Re3 = 30 — 3000, соответству-
соответствующих We13!S = 0,014— 0,175; |Г<ад =@,5—3) • 10. Хотя в пред-
представленные уравнения, определяющие условия начала динамиче-
динамического уноса капель, не входит плотность газа, которая в экспе-
экспериментах варьировалась на два порядка (pg/pi = Ю~3 — 10)
за счет вариации давления, влияние плотности газа проявляется
через число Вебера We13, пропорциональное р1(рх—уезJ- Поэто-
Поэтому чем больше pg, тем при меньших скоростях у4 достигаются
условия начала уноса.
Интенсивность динамического уноса (срыва) капель. /^ удоб-
удобно представить через безразмерную величину /32 > равную отно-
отношению /32 к плотности орошения стенки канала т3/{лО):
Л? = J{3%D/ms. G.4.18)
Анализ экспериментальных данных по m3(z) для восходящих
пароводяных (D = 13,3 мм) и воздухо-водяных (D = 13,3 и
31 мм) потоков при отсутствии капель в ядре потока (см. на-
начало параграфа) позволил обобщить их с максимальной отно-
относительной погрешностью ±20% следующей формулой (Б. И. Ниг-
матулин, В. Е. Николаев):
HV = 0,55 (pVp°g)°^g) Res1'0 (We13 - We13*)M5, G.4.19)
гдр р7р° = 10 - 500, рШ) = @,5 - 3,0)-10, Re3 = 700-33000,
We13-We13* = 0-3.
Отметим, что если при фиксированных параметрах газа
(^i> P°g) растет Re3/6, т. е. растет v3, то J3d^ падает из-за роста
турбулентной вязкости в пленке. Увеличение плотности газовой
фазы Pg приводит к росту We13 пропорционально pg и к росту
/32 пропорционально примерно (PgH'5-

§ 4. КАПЕЛЬНЫЙ ВЛАГООБМЕН 217
Заметим, что в формулу G.4.19), определяющую динамиче-
динамический унос, входит параметр цBв), характеризующий влияние
силы тяжести. Поэтому эта формула применима только для
восходящих потоков. Влияние силы тяжести станет незаметным
лишь при
^ -^f-Fr»l. G.4.20)
Радиус срывающихся с пленки капель а32 можно оценивать
по формуле, аналогичной B.2.17) и следующей из данных ра-
работы М. Adelberg A968):
&3/2
~Щ[2 G.4.21)
Интенсивность ударного брызгоуноса. Влияние капель в ядре
потока на интенсивность уноса можно оценить из сопоставления
данных по интенсивности влагообмена /°, полученных солевым
методом, с зависимостью G.4.19), полученной по данным об уно-
уносе в потоках без капель в ядре. Оказалось, что интенсивность
уноса в чисто кольцевом пленочном режиме течения смеси (без
капель в ядре потока), описываемая формулой G.4.19), иногда
в 3—5 раз слабее, чем в гидродинамически стабилизированном
дисперсно-кольцевом потоке, где интенсивность уноса определя-
определялась солевым методом. В этих случаях, по-видимому, существен-
существенное значение имеет ударный брызгоунос, т. е. унос брызг от
осаждающихся на пленку капель. Интенсивность этого процесса
»(s)
J за можно определить из условия
/з°2 = 4? + /й G.4.22)
при обработке опытных данных по распределению жидкости
между ядром и пленкой в стабилизированном потоке в необогре-
ваемом канале, когда пузырьковый унос отсутствует U'^l = 0).
О О
В этом случае J32 = /2з> и эта величина определяется из фор-
формулы G.4.8), а ^32 определяется из формулы G.4.19), если
измерено т3.
На основании такой обработки опытных данных (Б. И. Ниг-
матулин и др., 1976), полученных при восходящем течении
пароводяной смеси в вертикальных трубах с D = 8—20 мм
в диапазоне давлений р = 1—10 МПа, было определено

218 1'Л 7. ГАЗО- II ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
(Б. И. Нигматулин, В. Е. Николаев, 1983), что
^ ) ' (fc(s) > 0), G.4.23)
где /c(s) — коэффициент разбрызгивания пленки.
Интенсивность пузырькового уноса. Влияние кипения пленки
на унос капель из пленки определялось (Б. И. Нигматулин
и др., 1983) по измерениям суммарного уноса влаги из пленки
при восходящем течении пароводяной смеси в короткой обогре-
обогреваемой вертикальной трубо (D = 13,3 мм. длин обогрева Llq) =
= 0,15 м) в следующем диапазоне режимных параметров: р =
= 5—10 МПа, т° = 1000—2000 кг/(м2-с), и1 = 5—30 м/с, qw =
= 1—4 МВт/м2. Суммарный унос определялся путем измерения
расхода жидкости в пленке на входе т30 и выходе т3с из обогре-
обогреваемого участка. Тогда пз уравнения расхода жидкости в пленке
на обогреваемом участке получим
^ G.4.24)
Отсюда вычисляется /32. Учтем, что JS2 — ^32 + ^32 ~г «^зз — ^23-
В соответствии с оценками по G.4.11) для указанных режимов
с большим qw осаждения капель из-за их отдува испаряющим-
испаряющимся паром нет (/2з = 0)- Тогда отсутствует и брызгоунос (/32 — 0,).
В итоге получим /32 — ^яг — J32 > гДе ^32 вычисляется по
G.4.19). Обработанные таким образом данные по интенсивности
пузырькового уноса обобщаются следующей формулой (Б. И. Ниг-
Нигматулин, В. Е. Николаев):
J<$ = klb>J3U G.4.25)
w, =
где к{Ь) — коэффициент пузырькового уноса. Величину J32 можно
оценить из данных по кризису теплоотдачи (см. G.6.16),
Рс. И. Нигматулин, 1977; С. И. Ивандаев. 1982).
§ 5. Гидродинамика стационарного дисперсно-пленочного
парожидкостного потока в необогреваемой трубе
Полученные в § 3, 4 зависимости для силового, теплового и
массового взаимодействия между составляющими смеси в дис-
дисперсно-пленочном потоке позволяют замкнуть систему уравнений
сохранения G.2.8) — G.2.9) п методом численного эксперимента
проанализировать влияние режимных параметров (давления р,

5 5 ГИДРОДИНАМИКА ДИСПЕРСНО-ПЛЕНОЧНОГО ПОТОКА 219
удельного расхода смеси т°, массового расходного паросодержа-
ния хи диаметра и длины трубы, интенсивности обогрева и его
распределения вдоль канала) на основные гидродинамические
характеристики такого потока (перепад давления Д/>, распреде-
распределение жидкости между ядром и пленкой х2, х3, толщину пленки б,
скольжение фаз vt/i>3 и т. д.).
В данном параграфе рассматриваются турбулентные стацио-
стационарные адиабатические (Qw = 0) течения газожидкостной смеси
в трубе в дисперсно-кольцевом режиме, когда можно считать,
что смесь термодинамически равновесна (температуры фаз равны
между собой, 1\ = Tz = Ts = T, и, если смесь однокомпонентная,
равны температуре насыщения Ts), а в ядро имеется скоростное
равновесие (vt = v2 = vc). Эти условия обеспечиваются, если время
пребывания газа и жидкости в канале во много раз больше ха-
характерных времен выравнивания температур между газом, плен-
кон и каплями и характерного времени выравнивания скоростей
газа и капель. Кроме того, ограничимся режимами, когда пере-
перепады давлений и температуры вдоль канала малы (Ар < р,
ДГ<Г), скорости газа и капель много меньше равновесной ско-
скорости звука в ядре канала. Тогда можно пренебречь изменением
плотности не только жидкости, но и газа:
О О
Pi = const, pg = const. G.5.1)
При указанных ограничениях всегда можно пренебречь фазовы-
фазовыми переходами (испарением и конденсацией), т. е. /2± = /31 = 0.
Тогда, обозначая параметры на входе в канал (z = 0) нижним
индексом 0, в качестве уравнений сохранения масс можно ис-
использовать
m1-=mg0, m2 + m3 = ml0, dms/dx = J°23 — ji^ — J^, G.5.2)
а в качестве уравнений импульсов — уравнения G.2.32). Эти
уравнения замыкаются уравнениями межфазного взаимодействия
для Fw, Гг,з, JIs, /зг\ Jazi приведенными в § 3, 4. В эти уравне-
уравнения из физических характеристик фаз входят только плотности,
вязкости (газа и жидкости) и поверхностное натяжение
Р*. Рг, V-g, V-h 2- G.5.3)
Для численного интегрирования представленной системы трех
обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. для задачи
Коши, необходимо на входе в канал (z = 0) задавать расходы
и скорости составляющих (тпш тп20, тп30, vl0, u30), а также дав-
давление р0, которое вместе с температурой То определяет плот-
плотность газа pg.
В экспериментах при известной геометрии канала (диаметра
и длины трубы) обычно фиксируются следующие режимные па-
параметры: удельный расход тп° и массовое расходное газосодер-

220 ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
жание Xi смеси, а также давление р0 на входе в канал. Тогда
расходы пара и жидкости на входе вычисляются по формулам
т°10 = т°х1, т°0 = т°20 + т°30 = то{1—х1). G.5.4)
Для того чтобы определить все параметры на входе в канал
(z = 0), необходимо задавать значения т30 = к3™ т 1о и Sso =
= k^S (kffl^.1, кзд <^1), через которые остальные параметры
выражаются в виде
т20 = A - к™) ml0, S10 = A - k3f) S,
v10 = Л° = v20 = О"Ч (a10 + а20 = 1), G.5.5)
Pa5 Ра5
30""
Отметим, что из условия у10 = v20 нетрудно определить а10 и а20.
Стабилизация стационарного дисперсно-пленочного потока.
Система уравнений G.5.2), G.2.32) для каждого режима, зада-
задаваемого значениями D, р, т", хи численно интегрировалась при
различных значениях коэффициентов к3™ я к30 , определяющих
на входе в канал разделение расхода жидкости т,0 и сечения
канала S между ядром и пленкой. Вариация &з™ и ^зо позволяет
исследовать их влияние на длину участка стабилизации, в конце
которого устанавливается такое состояние потока, когда скорости
и распределения составляющих смеси вдоль канала практиче-
практически не меняются. Расчет продолжался до того сечения канала,
в котором установилось такое стабилизированное течение.
На рис. 7.4.1 показано сопоставление расчетных и экспери-
экспериментальных данных по изменению расхода жидкости в пленке х3
вдоль канала, когда на входе в участок создавалось одно из двух
предельных начальных распределений жидкости в потоке: либо
вся жидкость в виде капель движется в ядре потока (kffi =
= 0, &зо — О), либо вся жидкость движется в пленке (к^ =
— 1, к30 ^1/- В случае, когда на входе в канал имеется пленка,
величину /сC0 сначала можно задавать достаточно произвольно,
например к3д = 0,1, ибо уже на расстояниях z/ZX 1 скорость
жидкости в пленке v3 и ее толщина б выходят на стабилизиро-
стабилизированные значения (соответствующие зависимостям для xw, xi3,
•^23i ^32), которые не зависят от kCf и к3™\ Из рис. 7.4.1 видно,
что расчетные и экспериментальные данные по x3(z) вполне
удовлетворительно согласуются между собой, причем стабилизиро-
о
ванный относительный расход жидкости в пленке х3 не зависит
от начального распределения жидкости, а определяется такими
интегральными характеристиками потока, как расходы жидкости

§ 5. ГИДРОДИНАМИКА ДИСПЕРСНО-ПЛЕНОЧНОГО ПОТОКА
221
и пара в смеси и давление в канале. Длина же участка стабили-
стабилизации существенно зависит от начального распределения. Так,
когда вся жидкость сосредоточена в пленке, длина участка ста-
стабилизации составляет 2—3 м (LID = 150—200) и соответственно
в 4—6 раз больше, чем в слу-
случае, когда вся жидкость на
входе в канал распределена в
ядре потока в виде капель.
На рис. 7.5.1 для условий
экспериментов, представленных
точками 1 и 3 на рис. ТАЛ,
приведен пример изменения
характеристик дисперсно-пле-
дисперсно-пленочного потока в зависимости
от расстояния от входа в канал
Ч,
м/с
7,5
5,0
2,5
0,75
0,50
0,25
О
—- - ,
г
-
—
—.
50 Ш 150 z/H
0,025
Рис. 7 5.1. Изменепие характеристик
восходящего пароводяного дисперс-
дисперсно-кольцевого потока (у1; из, б, а2)
вдоль по трубе (расчет) для условий,
которым соответствуют эксперимен-
экспериментальные точки 1 и 3 на рис. 7.41
(р = 6,9 МПа, т" = 1000 кг/(м2-с),
х\ = 0,27, D = 13,3 мм) Сплошные
линии — на входе (z = 0) вся жид-
жидкость в ядре (&з™' = О); штриховые
линии — на входе вся жидкость в
пленке (к™ = 1)
0.2 0,4^ 0,6 0,8 xf
Рис. 7.5.2. Зависимость относительно-
относительного расхода жидкости в пленке (я° =
= m3/mj от массового расходного
паросодержания х\ в пароводяном
восходящем стационарном и стаби-
стабилизированном дисперсно-кольцевом
потоке (р = 4,9 МПа, D = 13,1 мм).
Точки — эксперимент (Б. И. Нигма-
тулин и др, 1978), сплошные ли-
линии— расчет: 1— т°— 500 кг/(м2-с);
2 — 1000, 3 — 1500, 4 — 2000
и начального распределения жидкости в потоке. Видно, как это
отмечалось выше, что скорость жидкости в пленке на очень ко-
короткой длине выходит на свое стабилизированное значение.
Влияние режимных параметров на толщину и расход жид-
жидкости в пленке в стабилизированном стационарном потоке.
На рис. 7.5.2 показано сопоставление расчетных и эксперимен-
экспериментальных данных по относительным расходам жидкости в плен-

222
ГЛ 7 ГАЗО- II П4.Р0ЖИДК0СТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
Л
20 V
Л
ке х3, полученных в условиях стабилизированного потока, в за-
зависимости от xt при различных удельных массовых расходах
смеси т°. Видно, что расчетные и экспериментальные данные
о
по х3 хорошо согласуются между собой. Систематическое сопо-
сопоставление расчетных значений
о
х3 с экспериментальными дан-
данными (G. Hewitt, N. Hall-
Taylor, 1972; Б. И. Нигмату-
лин и др., 1976, 1983; J. Wurtz,
1978) в широком диапазоне
режимных параметров: D =
= 8—20 мм, р = 1,0—10 МПа,
т° = 500-3000 кг/(м2 • с), Xl =
= 0,1—0,9 показало, что рас-
расхождение не превышает 20%.
Гидравлическое сопротивле-
сопротивление и его кризис в дисперсно-
пленочном потоке. На рис. 7.5.3
приведены результаты расче-
расчетов и экспериментов по гид-
гидравлическому сопротивлению в
стационарных стабилизирован-
стабилизированных восходящих пароводяных
потоках в вертикальной трубе
фиксированного диаметра в за-
зависимости от расходного паро-
содержания хи давления р и
удельного расхода т°. По оси
0,50
0J5
Рис. 7.5.3. Зависимость относительно-
относительного перепада давления на трение П
от I, в восходящем пароводяном
стационарном стабилизированном по-
потоке в трубе (D = 8 мм). Точки —
эксперимент (Н. В. Тарасова, Л. И. Ле-
Леонтьев, 1965), сплошные линии —
расчет. Светлые точки 1 и 2 для р =
= 4,9 МПа, зачерненные точки 3 и 4
для р = 9,8 МПа, точки 1 и 3 для
т° = 1000 кг/(м2-с), 2 и 4 — для
т° = 2000 кг/(м2-с)
ординат отложена относитель-
относительная потеря давления на тре-
трение П, равная отношению по-
потери давления на трение в
двухфазном потоке (вычислен-
(вычисленной с учетом силы тяжести по измерению или расчету dp/dz
вдоль по стабилизированному потоку) к потере давления на тре-
трение при течении воды при том же массовом расходе т° и при
тех же температуре и давлении (см. G.3.24)):
П =
?
dz
f~~ dz
(dpldz)f
(dp/dzH '
Fi3 •Г~-
Т 57
г(')
'&) =-t
wi
0,316
Rein =
G.5.6)
°,v,J) \

§ 6 КРИЗИС ТЕПЛООТДАЧИ 223
Значение П при хг = 1 соответствует гидравлическому сопротив-
сопротивлению «чистого» газа с заданным расходом т° = pgvg0:
__ 0,316 R _ Pgt'gp
Reg'o25 ^s
Скоростная неравновесность дисперсно-пленочного потока
из-за относительного движения ядра и пленки приводит к зави-
зависимости гидравлического сопротивления П от удельного расхода
т°, а при не очень больших давлениях р и удельных расхо-
расходах т° наблюдается интересный эффект «кризиса» гидравличе-
гидравлического сопротивления. Этот эффект сводится к уменьшению гид-
гидравлического сопротивления при фиксированных р и т°, но при
увеличении доли расхода х,, приходящегося на газовую фазу.
Хотя при увеличении х^ растут скорости фаз и особенно ско-
скорость газа vu что само по себе способствует увеличению потери
давления на трение пропорционально 9g{vi — у2з)> тем не менее
при х1 > х% (р, т°) может наблюдаться уменьшение потерь дав-
давления на трение. Последнее объясняется утончением жидкой
пленки при увеличении скорости газа vu что приводит к умень-
уменьшению ее эффективной шероховатости, т. е. к уменьшению коэф-
коэффициента С13, определяющего Fi3 (см. G.3.26)).
Систематическое сопоставление расчетных и имеющихся экс-
экспериментальных данных (G. Gaspari et al, 1964; Н. В. Тарасова,
А. И. Леонтьев, 1965; П. Л. Кириллов и др., 1973, Б. И. Нигма-
тулин и др., 1978, 1983; J. Wurtz, 1978) по перепаду давления
на трение в пароводяных потоках и парожидкостных потоках
гелия в вертикальной трубе (Б. С. Петухов и др., 1980) показа-
показало удовлетворительное согласование с отклонениями, не превы-
превышающими 15%.
§ 6. Кризис теплоотдачи в дисперсно-пленочном
парожпдкостном потоке
При течении парожидкостнон смеси в обогреваемом канале
в определенных условиях возникает ухудшение, или кризис теп-
теплоотдачи, характеризующийся резким повышением температуры
поверхности нагрева и связанный с нарушением контакта жид-
жидкости с этой поверхностью, что уже отмечалось в § 1. Законо-
Закономерности возникновения кризиса теплоотдачи существенно
зависят от структуры парожидкостного потока и наличия
внешнего удельного (на единицу площади) теплового потока
При течении недогретой до кипения жидкости*) или паро-
жидкостной смеси в пузырьковом режиме течения кризис тепло-
*) Недогретой до кипения однофазной жидкости (Т < Ts{p)) формаль-
формально соответствует «отрицательное паросодержание» хе ss xx = (i — Us)ll < 0.

224
ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
отдачи возникает в результате перехода на поверхности нагрева
пузырькового кипения в пленочное кипение (кипение с паровой
пленкой) с образованием практически паровой пленки из-за
объединения пузырьков (кризис пузырькового кипения). Он
имеет место при относи-
относительно высоких тепловых
потоках.
При меньших уровнях
удельных тепловых потоков
постепенно за счет пузырь-
пузырькового кипения и испарения
с поверхности раздела фаз
происходит рост объемного
паросодержания, что в ко-
конечном счете вызывает пе-
переход пузырькового режима
течения в снарядный, а за-
затем в дисперсно-кольцевой
режим течения смеси. В ре-
результате пузырькового и ди-
динамического уноса влаги из
пленки, а также испарения
или кипения расход жидко-
жидкости в пленке и ее толщина
уменьшаются. Может воз-
возникнуть ситуация, когда
толщина уменьшится на-
настолько, что ее сплошность
и контакт жидкости с поверх-
поверхностью нагрева нарушат-
нарушатся и образуются сухие «пят-
«пятна». При образовании сухих
пятен на поверхности нагре-
нагрева происходит ухудшение
теплоотдачи, которое при
интенсивном нагреве вызы-
вызывает скачкообразное повы-
повышение температуры стенки
Рис. 7.6.1. Зависимость удельного тепло-
теплового потока д* от массового расходно-
расходного паросодержания ?11И в месте кризиса
теплоотдачи и удельного расхода т°
при кипении воды в круглой трубе диа-
диаметром D = 8 мм при давлении р =
= 7 МПа (а). Числовые указатели на
кривых соответствуют значению т° в
ет область дисперсно-пленочного режи-
режима; б — схематизация характерной за-
зависимости ?* (¦^1*)
рр
трубы (кризис теплоотда-
теплоотдачи из-за высыхания при-
пристенной жидкой пленки).
Анализ экспериментальных данных по кризису теплоотдачи.
Опытные данные по кризису теплоотдачи, полученные при фик-
фиксированных давлениях и удельных массовых расходах смеси,
обычно представляются в координатах%i*q*, где q% и x11t— соот-
соответственно удельный тепловой поток qw и массовое расходное па-
росодержание Xi в месте кризиса теплоотдачи. На рис. 7.6.1, а

§ 6. КРИЗИС ТЕПЛООТДАЧИ 225
в качестве примера показаны зависимости ^(^i*) для пароводя-
пароводяного потока при фиксированных давлении и диаметре трубы. Вид-
Видно, что на каждой из представленных кривых можно выделить
четыре области, которые схематично показаны на рис. 7.6.1, б.
Область / (до точки D) соответствует пузырьковому и ча-
частично снарядному режимам течения смеси, когда кризис тепло-
теплоотдачи наступает в результате перехода пузырькового кипения
в пленочное. Уменьшение Q* с ростом а^* в этой области объяс-
объясняется двумя факторами (Б. С. Петухов и др., 1974). В области
кипения недогретой жидкости, когда среднемассовая температура
жидкости Tt в потоке ниже температуры насыщения Ts {U<hs),
чем больше хи тем меньше недогрев и соответственно меньше
конденсация пара в пристенном слое, что способствует росту
объемной концентрации пара в этом слое, а соответственно пу-
пузырьковое кипение переходит в пленочное при более низком
тепловом потоке. В области кипения насыщенной жидкости
(Ti = Ts) с ростом х{ увеличивается скорость потока и градиент
скорости в пристенном слое. В результате уменьшаются диамет-
диаметры пузырьков, отрывающихся от греющей стенки, а их эвакуация
из пристенного слоя затрудняется, и кризис теплоотдачи на-
наступает при меньших значениях <?*.
Области // (DB), III (ВС) и IV (СЕ) соответствуют дисперс-
дисперсно-кольцевому и дисперсному режимам течения парожидкостной
смеси Xi 15* xt (-D) = хц. Здесь и далее под хщ будем понимать
паросодержание, при превышении которого в стабилизированном
парожидкостном потоке (при заданных р, та, D и направлении
потока относительно сил тяжести) реализуется дисперсно-коль-
дисперсно-кольцевой режим течения. В области // тепловые потоки достаточно
велики для поддержания интенсивного пузырькового кипения
в пленке, которое может приводить в пузырьковому уносу жид-
жидкости из пленки в ядро потока. С уменьшением qw вклад пу-
пузырькового уноса в интенсивность срыва капель с поверхности
заметно падает (см. § 4). Поэтому исчезновение пленки (кризис
теплоотдачи) с уменьшением qw будет иметь место при большем
значении ж4. При достижении некоторого значения qB дальней-
дальнейшее уменьшение удельного теплового потока до qc приводит
к весьма незначительному изменению величины ?1И.. Это связано
с тем, что при q < qB происходит перераспределение и взаимная
компенсация процессов пузырькового, динамического и ка-
капельного уносов и процессов осаждения на обогреваемой
длине канала таким образом, что величина хы начинает слабо
зависеть от удельного теплового потока. В частности, осаждение
капель из-за их отдува испаряющимся паром может практически
отсутствовать. Этому случаю соответствует область /// (или
вертикаль ВС) с абсциссой ж1Ф. При этом в области // (DB) за-
зависимости ?* (^i*) соответствует практически прямая линия, про-
проходящая через точку В (q% = qB, x13f = а^*) и наклон которой
15 р. и. Нигматулин, ч. II

226 ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
определяется безразмерным параметром
G.6.1)
'-i* 'в
При высоких давлениях (для воды при p^lQ МПа), когда теп-
лофизические свойства пара и жидкости сближаются, вертикаль-
вертикальный участок ВС вырождается pi становится малозаметным. Вы-
Вырождению вертикального участка способствует и увеличение
удельного расхода т° (см. зависимость q# (а^*) для р = 7 МПа
и т = 5000 кг/(м2 ¦ с) на рис. 7.6.1, а).
При дальнейшем снижении удельного теплового потока (об-
(область IV или СЕ) происходит ослабление отдува капель паром
и начинает играть заметную роль осаждение капель на пленку
или стенку, что повышает возможности контакта жидкой фазы
со стенкой и усиливает теплоотвод от нее. Поэтому с уменьше-
уменьшением qw происходит рост х-^*, т. е. чем меньше интенсивность на-
нагрева, тем до больших паросодержаний может быть нагрет паро-
жидкостный поток в бескризисном режиме. Область gTF < qc на-
называется областью закризисного теплообмена, она обсужда-
обсуждается в § 7.
Исследование влияния различных режимных и геометриче-
ских параметров на характер зависимости q% (xj*) и величины Xj*
отражено в ряде монографий и обзоров (L. Tong. 1972; А. А. Анд-
Андреевский и др., 1974; П. Л. Кириллов, 1983; Б. С. Петухов и др.,
1974; D. Butterworth, G. Hewitt, 1977; А. М. Кутепов и др., 1977;
J. Wurtz, 1978; G. Hewitt, 1978; С. С. Кутателадзе, 1978;
Б. И. Нигматулин, 1979; В. Н. Смолин и др., 1979; В. И. Толу-
бинский, 1980; Рекомендации..., 1980; М. А. Стырикович и др.г
1982; В. Е. Дорощук, 1983). В них ршеются эмпирические соот-
о
ношения для расчета a^i* и q* в основном при равномерном по»
длине тепловыделении.
В таблице 7.6.1 для пароводяных потоков в трубе фиксиро-
фиксированного диаметра (D = 8 мм) для разных давлений (р = 3—
14 МПа) и удельных расходов (т° = 750—5000 кг/(м2-с)) при-
приведены значения параметров Хщ, ^i*, <7в, Ь, определяющих обоб-
обобщенные экспериментальные зависимости д% (xlif) (см. Рекомен-
Рекомендации ..., 1980) для кризиса теплоотдачи в дисперсно-кольцевых
режимах, которым соответствуют участки // и /// (или DBC)
на рис. 7.6.1, б.
Пересчет этих параметров для других дрщметров труб осно-
основан на том, что согласно экспериментальным данным (Рекомен-
(Рекомендации..., 1980) при прочих фиксированных условиях (р, т", х,)
в области D = 4—20 мм имеет место
*ld(D) _/D\o_. q,(D) _(D\-o.b x°*(D) _/D\-o.2 ._ „ o,

§ 6. КРИЗИС ТЕПЛООТДАЧИ
227
Таблица 7.6.1
р, МПа
3,0
5,0
7,0
10
14
т", кг/(м2-с)
750
1000
1500
2000
3000
4000
5000
750
1000
1500
2000
3000
4000
5000
750
1000
1500
2000
3000
750
1000
1500
2000
3000
750
1000
1500
2000
xld
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,04
0,12
0,10
0,08
0,07
0,06
0,06
0,06
0,15
0,12
0,09
0,08
0,07
0,19
0,15
0,10
0,09
0,09
0,25
0,17
0,15
0,15
*ы (±0,04)
0.75
0,67
0,54
0,47
0,38
0,33
0,29
0,80
0,70
0,55
0,46
0,37
0,30
0,26
0,80
0,68
0,53
0,43
0,37
0,66
0,56
0,42
0,36
0,30
0,50
0,43
0,33
0,33
qB, МВт/м1
3,25
3,25
2,60
2,30
2,25
2,30
2,45
2,80
2,80
2,80
2,60
2,30
2,05
2,15
1,80
1,80
1,80
1,80
1,30
1,40
1,40
1,40
1,30
1,20
1,00
0,90
0,82
0,62
0,51
0,51
0,33
0,25
0,24
0,24
0,25
0,69
0,61
0,57
0,49
0,33
0,19
0,19
0,47
0,37
0,37
0,32
0,16
0,41
0,34
0,27
0,22
0,20
0,50
0,31
0,17
0,11
Тогда, учитывая, что согласно рис. 7.6.1 и формуле G.6.1) имеем
g»(Z?0, x1) = qB(D0)\l+ *" [^7 ** 1 (*i < *Г. (А>)). G-М
\-п.*Г X°.(D\-:
получим
>, x1)=qif(D0,xl) [¦?-) "'" = .
(D)
Учтем, что qB (D) = q% (D, x% (D)). Тогда поданным xld(D0),
aL*(D0), qs{D0
15*
b(D0), приведенным в табл. 7.6.1 для Д, =

228 ГЛ. 7. ГАЗО- II ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
нетрудно определить эти параметры для произвольных диамет-
диаметров труб D, а именно
G.6.4)
I
Параметры в табл. 7.G.I и соотношения G.6.4) аппроксими-
аппроксимируют экспериментальные данные для условий наступления кризи-
кризиса теплоотдачи в равномерно обогреваемых стабилизированных
О
стационарных дисперсно-кольцевых x1d^.x1^.xlif пароводяных
потоках (/? = 3—14 МПа, т = 500—5000 кг/(м2-с)) в трубах
(D = A— 20 мм).
Расчет условий возникновения кризиса теплоотдачи в круг-
круглой трубе на базе гидродинамической модели дисперсно-кольце-
дисперсно-кольцевого потока, с определением места исчезновения пристенной
пленки (>Пз* = 0)) впервые проводился в работе Б. И. Нигмату-
лина A973), где использовались приближенные зависимости для
интенсивности влагообменных процессов, в то время не под-
подтвержденные прямыми экспериментальными данными. Аналогич-
Аналогичный подход разрабатывается в работах P. Whalley A974),
С. И. Ивандаева A982).
Экспериментальное исследование кризиса теплоотдачи и рас-
расхода жидкости в пленке в дисперсно-пленочных пароводяных по-
потоках. Результаты измерений расхода жидкости в пленке т^
вблизи места возникновения кризиса теплоотдачи в дисперспон-
но-кольцевом режиме течения смеси (Е. Моеск, 1970; G. He-
Hewitt, N. Hall-Taylor, 1972; D. Butterworth, G. Hewitt, 1977;
С. П. Казновский и др., 1978; J. Wurtz, 1978; Б. И. Нигматулпп,
1979) показывают, что кризис ухудшения теплоотдачи возникает
в результате плавного приближения к нулю в месте возникнове-
возникновения кризиса расхода жидкости в пленке. Однако (С. П. Казнов-
Казновский и др., 1978) при высоких удельных тепловых потоках
(gir ~ i МВт/м"), относительно низких давлениях (р < 1,5 МПа)
и невысоких массовых расходных паросодержанпях {х^ < 0,4)
был обнаружен значительный остаточный расход жидкости в
пленке (тз* = 9 — 35 г/с) в месте кризиса (повышения темпера-
температуры стенки трубы), что соответствовало относительному расхо-
расходу жидкости в пленке х3* = 0,18—0,35, причем чем меньше па-
росодержанне в месте кризиса теплоотдачи xlif, тем больше
остаточный расход жидкости в пленке. Отметим, что все изме-
измерения С. П. Казновского и др. A978) относились к области //
(рис. 7.6.1). По-видимому, при столь высоких удельных тепло-

§ 6. КРИЗИС ТЕПЛООТДАЧИ 22?
вых потоках «сухие» пятна образуются в достаточно толстых
пленках между гребнями волн, поэтому остаточный расход столь
значительный, что фактически соответствует смыканию кризисов
первого и второго родов. Недавно появились опытные данные,
подтверждающие аналогичную ситуацию для qw > 4 МВт/м2 и
при высоких давлениях.
В работе Б. И. Нигматулина A979) приведены результаты
систематического экспериментального исследования расхода жид-
жидкости в пленке в равномерно обогреваемом восходящем парово-
пароводяном дисперсно-кольцевом потоке при приближении к кризису
теплоотдачи при qw = O,Q—2,0 МВт/м\ т° = 500—2000 кг/(м2 -с)
и при относительно высоких давлениях р = 1—10 МПа. Экспери-
Эксперименты проводились в вертикальной трубе (D = 13,3 мм, L =
= 4,0 м), состоящей из участков гидродинамической стабилиза-
стабилизации пароводяного потока длиной Ls « 2,6 м (LJD « 200) и обо-
обогреваемого участка, представляющего собой тонкостенную трубу
длиной 1,5 м. Нагрев осуществлялся за счет пропускания по тру-
трубе электрического тока. Перемещение нижнего токоподводящего
фланца позволяло изменять длину обогреваемого участка. В ос-
основной массе опытов длина обогрева Lq составляла 0,13 и 0,64 м.
На конце обогреваемого участка были приварены восемь термо-
термопар, по четыре термопары с шагом 10 мм вдоль двух противо-
противоположных образующих для определения места возникновения
кризиса теплоотдачи. После обогреваемого участка было уста-
установлено устройство отсоса пленки через пористую вставку дли-
длиной 45 мм для измерения расхода жидкости тъ в ней. Было
предусмотрено также измерение перепада давления на обогре-
обогреваемом участке. При каждом фиксированном режиме (р, т°, г10)
электрическая мощность, подводимая к участку, постепенно уве-
увеличивалась вплоть до наступления кризиса теплоотдачи, кото-
который фиксировался по резкому скачку температуры внешней по-
поверхности обогреваемого участка.
Кризис теплоотдачи при равномерном обогреве по длине ка-
канала всегда возникал на выходе из обогреваемого участка.
По измеренным значениям расхода жидкости в пленке и тепло-
тепловому и материальному балансу рассчитывались массовое расход-
расходное паросодержание на выходе из экспериментального участка xie
и расход жидкости в ядре потока т2е. Уравнения сохранения
масс для каждой составляющей смеси в дисперсно-кольцевом
стационарном потоке в обогреваемом канале можно привести
к виду (см. G.2.33), G.2.36))
... . G.6.5,

230
ГЛ. 7. ГАЗО- И НАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
Соотношение между /23 и J32 наиболее удобно анализировать
по изменению х3 в зависимости от Xi при фиксированных qw и
режимных параметрах смеси.
На рис. 7.6.2 показаны зависимости расхода жидкости в плен-
пленке т3 на конце обогреваемого участка от удельного теплового
потока qw. Видно, что расход жидкости в пленке уменьшается
т3 ,г/с
40
30
20,
Г4
ч
ч
\>-
•- /
°-z
°-з
N.
Ч,
V
ч
О, Щ 10, Щ '40, CJw,KBm
0,4 0,8 /,2 qz
Рис. 7.6 2. Изменение расхода
жидкости в пленке на конце обо-
обогреваемого участка длиной Lq =
= 0,64 м (D = 13,3 мм, р =
= 6,9 МПа, т° = 1000 кг/(м2-с))
с изменением подводимой мощно-
мощности обогрева Qw = 2nDqw и па-
росодержания ж]0 на входе: 1 —
для хю = 0,40, 2 — для жю = 0,49,
3 — для i,o = 0,62. Данные
Б. Ы. Нигматулина
с увеличением мощности обогрева, причем кризис теплоотдачи,
которому соответствуют точки К, возникает при расходе жид-
жидкости в пленке, близком к нулю. Штрихпунктирной линией
изображено ожидаемое уменьшение пг3 только из-за испарения
жидкости в пленке, т. е. если предположить, что влагообмен
между ядром и пленкой отсутствует или взаимно скомпенсиро-
скомпенсирован. Видно, что измеренный расход жидкости в пленке умень-
уменьшается быстрее, чем за счет только чистого испарения, причем
чем больше расход жидкости в пленке, тем больше отклонение
от линии чистого испарения.
На рис. 7.6.3 показана зависимость относительных расходов
жидкости в пленке х3 и ядре потока х2 от массового расходного
паросодержания смеси xf при различных тепловых потоках.
Измеренные расходы жидкости в пленке х3 в необогреваемом ка-
канале получены в условиях гидродинамически стабилизированного
потока. На этом же рисунке приведены экспериментальные дан-
данные (A. Bennet et al, 1969), полученные в вертикальной трубе
с внутренним диаметром D = 12,6 мм, длиной 3,66 м, когда на
вход в канал подавалась вода, не догретая до температуры на-
насыщения. Измерения расхода жидкости в пленке проводились
сразу же после обогреваемого участка. Здесь также кризис теп-
теплоотдачи возникал при расходах жидкости в пленке, близких
к нулю. Для всех режимов интенсивность процесса уноса влаги
с поверхности пленки превалирует над осаждением капель на
поверхность ее.
Испарение пара (т. е. его вдув из пленки) приводит к его
ускорению, что может привести к изменению интенсивностей
осаждения и уноса капель. В устойчивой стабилизированной

§ 6. КРИЗИС ТЕПЛООТДАЧИ
231
пленке относительный расход в ней не должен превышать зна-
значения х°3, соответствующего относительному расходу в пленке
в стабилизированном необогреваемом потоке (см.^ рис. 7.5.2 и
7,6.2) и зависящего от режимных параметров р, т°, хт D. Если
дх°3/дх1 > — 1, то увеличение хи помимо испарения, не приво-
приводит к дополнительному обеднению пленки из-за усиления срыва.
Рис. 7.6.3. Относительные расходы
жидкости в пленке (х3) и ядре
потока (х2) (р = 6,9 МПа, т° =
= 2000 кг/(м2-с), Д = 12,6—
13,3 мм) при различных значени-
значениях равномерно распределенного
по длине капала теплового пото-
потока qw, МВт/м2, равных 0 A), 0,5
B), 0,9 C), 1,1 D), 1,4 E). Точки
1, 4 — данные W. Bennet et al
A969), 2,3,5 — данные Б. И. Ниг-
матулина A979)
^3
0,2
о
- ^

N
у
45"
хз
¦ч
ч
• - ?
а-4
— 0,6
0,5
0,4
0,1 0,2 0,3 0,4 х.
Более того, если осаждению не препятствует отдув пара из плен-
пленки, то последняя при ее стабилизации частично будет подпиты-
ваться из ядра потока из-за усиления осаждения капель. При
малых паросодержаниях, когда
дхЦдхх<-\, G.6.6)
увеличение х, из-за испарения приводит к усилению уноса и
к дополнительному ее обеднению.
Если отсутствуют осаждение капель из-за их отдува испаря-
испаряющимся паром и пузырьковой унос:
/2°3 = 4s2)-4b2) = 0, G.6.7)
то паросодержание х10 в месте исчезновения пленки, если на
входе в обогреваемый участок xi0<xlc (рис. 7.6.4), может быть
найдено по зависимостям х3 (х^) в необогреваемом канале
(gw = 0) с помощью касательной прямой fcK к линии х3{х^},}
наклоненной к оси х^ под углом 45° (см. также рис. 7.5.2 и 7.6.2).
Если на входе в обогреваемый участок х10 > ?ic, то паросодер-
паросодержание при ж3 = 0 будет равно х1О + х3о, чему соответствует ли-
линия c'h' на рис. 7.6.4.
Степень влияния различных слагаемых в интенсивностях мас-
сообмена между ядром и пленкой различна при различных соче-
сочетаниях режимных параметров.

232
ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
При увеличении теплового потока qw увеличивается количе-
количество пузырьков в пленке, которые усиливают пузырьковый унос
•^зг\ и увеличивается поток испаряющегося пара с поверхности
жидкой пленки, который препятствует осаждению /23 капель.
Эти обстоятельства уменьшают с ро-
ростом qw ресурсы пленки, идущие
на испарение.
Что касается динамического уно-
уноса /32 , то он непосредственно не
зависит от qw, но влияние qw на
J гг может проявиться через другие
параметры, в частности, при малых
паросодержаниях, когда имеет место
G.6.6) п когда отсутствуют осаж-
осаждение и пузырьковый унос G.6.7).
В этом случае, если ускорение пара
из-за его испарения (вдува из плен-
Рис. 7.6.4. Схема определения ки), пропорциональное qw, не очень
г°^ при условии отсутствия велико, то срыв успевает стабили-
осаждения и пузырькового уно- зировать пленку, подстраивая ее
са G.6.3) по зависимостих°(Ж],) под Xi(z), так чтобы распределение
жидкости между пленкой и ядром
было таким же, как в стабилизи-
стабилизированном необогреваемом потоке.
Тогда количество сорванной (за счет J3d?) влаги на участке
между z0 и z, где выполняется G.6.6), не зависит от qw и опре-
определяется зависимостью х3(х1) и значениями x^z^) н xl{z):
= хг (z) - х2 (z0) = х°3 (z0) - х°3 (z) - [хх (z) - хх (z0)].
G.6.8)
При этом при сохранении условий G.6.7) и при переходе
вдоль по потоку к более высоким паросодержаниям, где
dxzldxx^> — 1, г. е. Xi>xic, срыв прекратится.
Если ускорение газа велико (из-за сравнительно большого
теплового потока qw), то интенсивность динамического срыва
C2) может стать недостаточной, чтобы успевать подстраивать х3
под быстро растущее Xi(z), т. е. будет
в стаоилизированном потоке
при заданных р, т°, D
Х3>х°3(х1).
G.6.9)
Это обстоятельство увеличивает с ростом qw ресурсы пленки,
идущие на испарение, и приводит к петлеобразной зависимости
9* (xi*)i показанной штриховой линией на рис. 7.6.1, б.

§ 6. КРИЗИС ТЕПЛООТДАЧИ 233
Элементарная теория кризиса теплоотдачи при неравномер-
неравномерном по длине удельном тепловом потоке. В активных зонах
ядерно-энергетических установок распределение тепловыделения
по длине технологического канала не является равномерным,
а близко к косинусоидальному с максимумом в середине канала.
Поэтому учет влияния неравномерности распределения тепловы-
тепловыделения на условия возникновения кризиса теплоотдачи имеет
важное практическое значение. Обзор экспериментальных иссле-
исследований по кризису теплоотдачи при неравномерном по длине
тепловыделении приводится в «Рекомендациях по расчету кри-
кризиса...» A980).
Систематическое экспериментальное исследование влияния
неравномерности тепловыделения по длине канала на условия
возникновения кризиса теплоотдачи проводилось Рс. И. Нигма-
тулиным A975, 1977). В экспериментах использовались два
участка (D — 8 мм, Lq = 1800 мм) с разной степенью неравно-
неравномерности тепловыделения по длине канала. Косинусоидальный
закон тепловыделения по длине канала создавался соответству-
соответствующим уменьшением толщины стенки к середине трубы, а следо-
следовательно, увеличением ее электрического сопротивления по дли-
длине трубы. Коэффициенты неравномерности е = gmax/gmln состав-
составляли е = 3 и е = 11.
Часть опытов на втором участке (е = 11) была проведена при
обогреваемых длинах 1500 и 1200 мм путем соответствующего
смещения вниз верхнего выходного токопроводящего фланца на
300 и 600 мм.
Опыты проводились при /7 = 2,9—16,7 МПа, т° = 750—
3000 кг/(м2-с) и Хм = (г0 — кв)/1> — 0,1, где i0 — энтальпия сре-
среды на входе в обогреваемый участок. Кризис теплообмена фик-
фиксировался при возникновении скачка температуры на экспери-
экспериментальном участке с помощью термопар, показания которых
записывались на шленфовый осциллограф. В первый момент
кризис теплоотдачи возникал в промежуточном сечении между
серединой и выходным сечением канала, ближе к выходному
сечению, а далее распространялся вверх по потоку. На рис. 7.6.5
показаны экспериментальные данные, обработанные в виде
1*(xi*)- Видно, что в области // (см. рис. 7.6.1) значения кри-
критических тепловых потоков <?# в месте кризиса, полученных при
коспнусоидальном тепловыделении по длине, значительно мень-
меньше, чем при равномерном по длине тепловыделении, причем сте<-
пень этого различия зависит от режимных параметров (р, т°, е).
С ростом давления р и удельного массового расхода смеси т°
это различие уменьшается. Увеличение степени неравномерно-
неравномерности е приводит к увеличению вышеуказанного различия. Следует
отметить, что при уменьшении х1Я, различия в д% также умень-
уменьшаются и становятся незначительными в области /, отмеченной
на рис. 7.6.1.

234
ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
В области /// (см. рис. 7.6.1 и 7.6.5) экспериментальные точ-
точки достаточно четко группируются около вертикальной прямой
с абсциссой ^!*(р, т°, D).
Из рис. 7.6.5 видно также, что с перемещением верхнего то-
коподводящего фланца на участке с 8 = 11 вверх по потоку
2,8
0,4
Л-
N,
+-
a (to,
ч
о®ои*
од г
к
д-(и
<
ио8
N
®
1
\
i
V
V
®
i
о
с
и
Чт
ооо)\
0-2
® - 5
+ -й
1
0,6
08 0,4
0,6 0,1 0,4
Рис. 7.6.5. Зависимость удельного теплового потока ?* от массового паросо-
держания х1# в д?есте кризиса при неравномерном (косинусоидалыюм) по
длине канала подводе тепла ?w(z) (Pc. И. Нигматулин, 1975, 1977) в восхо-
восходящем пароводяном потоке (р = 6,9 МПа, D = 8 мм) при разных удельных
расходах т", кг/(м2-с) (равных 1000 (о), 1500 (б), 2000 (в)), длинах обогрева
Lq, м (равных 1,8 A, 2), 1,5 C), 1,2 D)) и неравномерностях теплового по-
потока е (равных 3 (J) и 11 B, 3, 4)). Сплошные линии — аппроксимация
опытных данных по кризису для соответствующих условий (р, т", D) при
равномерном по длине канала подводе тепла qw (см. таблицу 7.6.1)
{Llq) —1500 и 1200 мм), т. е. с уменьшением длины, приходя-
приходящейся на ниспадающую часть косинусоиды, протяженность «вер-
«вертикального» участка (на диаграмме q* (¦%*)) увеличивается, при-
приближаясь к результатам опытов на равномерно обогревае-
обогреваемых трубах.
Как показали результаты экспериментов, неравномерность
тепловыделения по длине канала оказывает незначительное
влияние на кризис теплообмена в области кипения воды, не до-
гретой до температуры насыщения и малых паросодержаний,
т. е. в области пузырькового режима течения. Неравномерность
тепловыделения практически не влияет на величину жг*. В обла-
области же промежуточных паросодержаний (х^^Хц^х^, где xid —
паросодержание, при котором начинается дисперсно-кольцевой
режим течения (см. рис. 7.6.1)), влияние неравномерности ока-
оказывается значительным. Такое влияние неравномерности тепло-

§ 6. КРИЗИС ТЕПЛООТДАЧИ 235
выделения на кризис теплообмена в промежуточной области
паросодержаний, по-видимому, связано с тем, что в этой области
меняется механизм влагообмена между ядром потока и жидкой
пленкой.
Было замечено, что отклонение экспериментальных точек от
«вертикали» xlt = х^ (р, т°, D) начинается тогда, когда макси-
максимальный удельный тепловой поток на экспериментальном участ-
участке gmaic в середине по длине трубы превышает qB — макси-
максимальное значение удельного теплового потока, находящегося на
«вертикали», полученное в опытах с равномерно обогреваемыми
трубами (см. рис. 7.6.1). Все точки, расположенные левее верти-
вертикальной прямой, относятся к тому случаю, когда в опытах мак-
максимальный тепловой поток qmiX превышал qB.
Таким образом, можно предположить следующую схему кри-
кризиса теплоотдачи в дисперсно-кольцевом режиме течения. При
определенном сочетании режимных параметров кризис теплоот-
теплоотдачи, возникающий в результате разрушения пристенной жид-
жидкой пленки, не зависит от величины теплового потока. Этот факт
находит свое отражение в том, что все экспериментальные точки
для данных режимных параметров описываются вертикальной
прямой. Как только удельный тепловой поток q-w превышает qB,
происходит существенное увеличение интенсивности уноса влаги
с поверхности пленки, что приводит к уменьшению критического
паросодержания, так как та жидкость, которая должна была бы
испариться, уносится в ядро потока. Следовательно, в этой об-
области кризис возникает также вследствие исчезновения кольце-
кольцевой пленки, только помимо испарения и динамического уноса
жидкости с поверхности пленки происходит ее утонынение или
даже разрушение дополнительно за счет интенсификации пу-
пузырькового уноса.
Как видно из рис. 7.6.5, в области дисперсно-кольцевого ре-
режима течения кризис теплоотдачи в зависимости от эпюры теп-
тепловыделения по длине возникает при различных q%, но при близ-
О
ких к ?1Н, значениях паросодержания xt. Как уже указывалось,
с уменьшением расхода т° увеличиваются расхождения в кри-
критических тепловых потоках при равномерном и косинусоидаль-
ном тепловыделениях. Это естественно, так как с уменьшением
т" увеличивается толщина пленки, а следовательно, интенсив-
интенсивность пузырькового уноса, что приводит к увеличению расхож-
расхождений в <?и.
На основе отмеченных фактов предложена (Рс. И. Нигмату-
лин, 1977) методика расчета критического паросодержания хх*
и места возникновения кризиса z# в дисперсно-кольцевом режи-
режиме течения. Расчет ведется при следующих предположениях:
1) кризис теплообмена в дисперсно-кольцевом режиме тече-
течения возникает при разрушении жидкой пленки, т. е. когда рас-
расход жидкости в пленке равен нулю: х3* = 0;

236 ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
2) отсутствует осаждение капель из ядра потока на пленку,
а следовательно, отсутствует и брызгоунос из-за их отдува испа-
испаряющимся с пленки паром: /2з = ^и — 0;
3) пленка, помимо динамического срыва влаги, утончается
также за счет пузырькового уноса, интенсивность которого осо-
особенно сильно увеличивается с увеличением qw при qw > Цв',
4) при отсутствии указанного сильного увеличения пузырь-
пузырькового уноса (<7*г<<?в) кризис теплообмена возникает при дости-
достижении граничного паросодержания хгщ.
Из этих предположений следует, что критическое паросодер-
жапие уменьшается за счет усиления пузырькового уноса, ха-
характеризуемого величиной А/32, и его значение определяется
следующим выражением:
где нижний предел интегрирования zd является координатой се-
сечения, в котором начинается пленочное или дисперсно-пленочное
течение:
хх(ь) = х1Л(р, т°, D). G.6.11);
Зависимость A/32(?w) будем находить, опираясь на результаты
опытов по кризису теплообмена при равномерном тепловыде-
тепловыделении.
При равномерном тепловыделении зависимость хг% (qw) может
быть представлена в следующем виде (см. рис. 7.6.1; G.6.1) и
G.6.3)):
\х% — Ь l{qw/qB) - 1], если qw > qB; ._„.„.
ги= о - G,6,12)
[ху*, если д^<?в.
Так как
nDqwdz=mldxu G.6.13)
то выражение G.6.10) можно переписать в следующем виде:
xi* (Ь)
*г* = ^ - I J ^ **х (А/.? = ^)- G.6.14)
xid
При равномерном тепловыделении получим
l/qw- G.6.15)
Сравнивая формулы G.6.12) и G.6.15), найдем выражение,

§ 6. КРИЗИС ТЕПЛООТДАЧИ 237
определяющее Д/з2>
В (qw — ) 9w
^Ц, если gv=—
)' W Ч
Д/<*> = Л - b (qw -1)' Чв ' G.6.16)
{ 0, если qw ^ 1
Здесь величины b, qB, %i*, xld являются функциями режимных
параметров р, т° и D. Эти функции определяют из опытных дан-
данных по кризису при равномерном теплоподводе. С учетом
G.6.13) имеем
2* Z*
Подставляя сюда полученное выражение для Aj32» получим урав-
уравнение для координаты сечения z%, где возникает кризис
(т3 (z%) = 0):
{Z)dZ-^ = l. G.6.18)
Если на рассматриваемом участке, где имеется тепловыделение
(</w>0), решение данного уравнения не реализуется, то это го-
говорит об отсутствии кризиса при заданном qw(z). Подставляя
выражение G.6.16) в G.6.10), найдем критическое паросодер-
жание
" gw(qw~i)
Таким образом, зная распределение удельного теплового по-
потока по длине экспериментального участка qw(z), из G.6.18)
находим координату z% сечения, где реализуется кризис тепло-
теплоотдачи, после чего можно определить q% = q (z*), и из уравне-
уравнения G.6.19) xlit. = x1(z^).
Анализ экспериментальных данных показывает, что наиболь-
наибольшую сложность при исследовании кризиса теплоотдачи при ко-
синусоидальном теплоподводе представляет фиксация места воз-
возникновения кризиса. Неоднозначность в определении этого места
особенно сильно сказывается на результатах исследования при
больших градиентах распределения теплового потока по длине
канала. В этой связи при обработке экспериментальных данных
желательно использовать в качестве основного параметра такую

238 ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
режимную характеристику, которая не была бы связана с пара-
параметрами потока в зоне возникновения кризиса. Такой характе-
характеристикой может служить максимальный тепловой поток qm" в
середине трубы, пропорциональный при заданных законах тепло-
тепловыделения и коэффициенте неравномерности е подведенной теп-
тепловой мощности N. Тогда расчет сводится к определению <?*а'
или ./\Г$, при которых для данных условий на входе (р, т°, xi0)
и геометрии канала (D, Lq) возникает кризис теплоотдачи.
Расчетные значения N# но вышеописанной методике согла-
согласуются с точностью ±10% с экспериментальными в диапазоне
режимных параметров: р = 2,9—16,7 МПа, гтга = 750—¦
3000 кг/м2 • с.
Таким образом, опираясь на экспериментальные данные по
кризису теплоотдачи, полученные при равномерном тепловыде-
тепловыделении, можно рассчитать кризис теплообмена при неравномерном
распределении теплового потока по длине канала в области дис-
дисперсно-кольцевой структуры потока.
Кризис теплоотдачи из-за высыхания пристенной жидкой
пленки в нестационарных условиях. Рассмотрим стационарное
одномерное течение парожидкостной смеси в обогреваемой верти-
вертикальной трубе. Пусть в момент времени t = 0 происходит скачко-
скачкообразное увеличение тепловыделения в стенке трубы либо начи-
начинается плавное уменьшение расхода смеси на входе в трубу.
Необходимо определить условия и момент возникновения кризиса
теплоотдачи, связанного с высыханием жидкой пленки.
Краткий обзор имеющихся экспериментальных исследований
кризиса теплоотдачи в нестационарных условиях приводится в
статье Б. И. Нигматулина и др. A980). Эти исследования по
характеру внешнего возмущения можно разделить на три груп-
группы: изменение мощности тепловыделения, уменьшение расхода
теплоносителя, изменение давления на входе или на выходе из
капала. Очевидно, что в отличие от стационарных условий воз-
возможность экспериментального исследования кризиса теплоотдачи
к нестационарных условиях ограничена из-за большого количе-
количества способов внесения возмущения и произвольности развития
во времени внесенного возмущения. Поэтому большое значение
приобретает построение замкнутых гидродинамических моделей
и разработка соответствующих численных алгоритмов.
Прежде чем описывать более сложную неравновесную модель
процесса, основанную на уравнениях § 2—4, отметим наиболее
простую односкоростную квазистационарную модель без учета вре-
временных пли кинетических эффектов, которая часто используется
для расчетов нестационарного кризиса теплоотдачи (D. Мохоп,
P. Edwards, 1967; G. Gaspari et al, 1973; О. К. Смирнов н др.,
1973). В рамках этой модели предполагается, что в нестационар-
нестационарных условиях кризис теплоотдачи реализуется в том случае, когда
в некотором сечении канала расход теплоносителя, удельный

§ 6. КРИЗИС ТЕПЛООТДАЧИ 239
тепловой поток и массовое расходное паросодержание равны со-
соответствующим значениям, полученным при кризисе теплоотдачи
в стационарных условиях. Сопоставление результатов расчета
по данной методике с экспериментальными данными показывает,
что значения основного параметра процесса — интервала време-
времени от начала нестационарного процесса до момента возникно-
возникновения кризиса теплоотдачи — могут отличаться в два и более
раз. Наибольшее расхождение наблюдается при относительно
быстрых нестационарных процессах, когда характерное время
развития процесса ^ = 0,1—1 с. Дело в том, что в нестационар-
нестационарных процессах из-за конечных скоростей массообмена могут не
успевать устанавливаться такие же распределения жидкости
между ядром и пленкой, какие реализуются в стационарных
потоках.
Для анализа этих эффектов следует учесть неравновесные
эффекты массообмена. Рассмотрение проведем в рамках равно-
равновесной односкоростной и однотемпературной схемы ядра потока,
находящегося в термодинамическом (но не механическом) рав-
равновесии с пленкой. Тогда уравнения масс составляющих (пара,
пленки и капель) и импульсов ядра и пленки будут обобщения-
обобщениями уравнений G.5.2), G.2.32) на нестационарные течения. Эти
обобщения нетрудно получить, учитывая общий вид уравне-
уравнений G.2.8).
Распределения объемных концентраций составляющих смеси
переносятся по длине канала L ~ 1 м со скоростями у4 ~ 10 м/с
и v3, причем Vi > v3. Вносимые в поток возмущения скоростей
и давления распространяются со скоростью звука С > Се, где
Се — равновесная скорость звука в парокапелыгом ядре потока
{§ 1, 2 гл. 4). Если v! < Се, г*> L/vj, то распределение скоро-
скоростей и давлений имеет квазистационарный характер
G.6.20)
Предположение о квазистационарности распределения скорос-
скоростей составляющих смеси и давления означает, что изменепие
этих параметров во времени определяется нестационарностью
граничных условий для расходов и концентраций составляющих
смеси и нестационарностью внешней тепловой нагрузки. Отме-
Отметим, что данное предположение нельзя использовать при скачко-
скачкообразном изменении давления на входе (выходе) в канал с ха-
характерным временем изменения давления 10~3—10~2 с, когда
определяющими являются волновые эффекты. При более плавном
изменении давлений, расходов, тепловых потоков с характерными
временами 10 с и более принятое предположение правомочно.
С учетом G.6.20) систему уравнений § 2 для такого течения

240 ГЛ 7 ГАЗО- II ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
можно привести к следующему виду:
др. 5„ 50.5„ _ _ _ ди„
at
dP2Sc др^с о о &>е
—о *т* "с —а — *^ 32 — 21 — 23 — г2*^С ~п*~ »
о dSj о д*?^ о о о c^t?^
1 ^ dt \ l^f д„ ^^ ^1 "^ ^ ^ ^2 '
Fw + F13 - plS/g + (/2°з ~ 41) (vo - vf) -(/8°2- J(,4)(va-
A -I
4" - 4
Pg Pi
35 у
a
Здесь производные от pg, ug, ut по ^ берутся вдоль линии насы-
насыщения.
Для замыкания этой системы необходимо задать соотношения
для интенсивное! ей уноса J32 и осаждения капель J 2з с поверх-
поверхности пленки, силового взаимодействия между составляющими
смеси и стенкой канала Fi3, Fw и для внешнего теплового по-
потока Qw-
Анализ результатов экспериментальных исследований про-
процессов уноса капель с поверхности пленки и осаждения капель
на ее поверхности (§ 4) в пароводяных потоках показывает, что
характерное время установления стационарных значений /32 и
/2з составляет tj =C 10~2 с. В большинстве случаев характерное
время ijj. возникновения кризиса теплоотдачи, связанного с вы-
высыханием пристенной жидкой пленки, имеет порядок 0,1—1 с и
более, т. е. tj<^t%. Поэтому при исследовании таких процессов
можно принять гипотезу о квазистационарности интенсивности
взаимодействия между пленкой и ядром потока, т. е. использо-
использовать соотношения для уноса и осаждения капель, полученные
в стационарных условиях.

§ 6. КРИЗИС ТЕПЛООТДАЧИ 241
Аналогично силовое взаимодействие между ядром потока и
пленкой, пленкой и стенкой канала будет также описываться
соотношениями, полученными в стационарных условиях, так как
характерное время установления скоростей составляющих смеси
составляет около 10~3 с. Это подтверждается и результатами рас-
расчетов стационарных режимов. Для варианта, представленного на
рис. 7.5.1, скорость жидкости в пленке vf выходит на свое ста-
стабилизированное значение на длине Az/D ~ 1 при скорости vf ~
~ 3 м/с. Отсюда следует, что время установления At < Azlv, ~
~ Ю-3 с.
Отметим, что при изменении внешней тепловой нагрузки во
времени необходимо учитывать тепловую инерцию стенки ка-
канала. Обычно толщина стенки экспериментальных участков
h < D, тогда в стационарных условиях имеет место параболиче-
параболический профиль распределения температуры по сечению стенки.
При кипении жидкости на внутренней поверхности канала можно
считать, что температура этой поверхности равна температуре
насыщения жидкости Tw = Ts{p). Внешняя поверхность экспери-
экспериментальных участков, как правило, теплоизолирована, поэтому
потерями тепла в окружающую среду можно пренебречь. Из
уравнения притока тепла для стенки при ступенчатом изменении
тепловой нагрузки в предположении подобия профиля темпера-
температуры стационарному профилю можно получить
N(t) = NM - (NM ~ Nm)exp {-t/tN),
h2 n N Qw G.6.22)
где iV<0) n iV(e) — соответственно начальное и конечное значения
внешней тепловой нагрузки; Lq — длина обогреваемого участка;
(гг\
vw —коэффициент температуропроводности материала стенки.
Аналогично задавался закон уменьшения расхода жидкости
на входе в канал
m{t) = тм + {тт - тм)ехр{-t/tm). G.6.23)
Как правило, в экспериментах по кризису теплоотдачи в па-
рожидкостном дисперсно-кольцевом потоке на вход в канал по-
подается жидкость, не догретая до температуры насыщения. Тогда
на начальном участке канала сначала движется жидкость, не
догретая до температуры насыщения, а затем пароводяная смесь
в пузырьковом режиме, которая при объемной концентрации па-
пара ag = ф = 0,7—0,8 переходит в дисперсно-кольцевой режим.
Для сопоставления расчетных и экспериментальных данных по
кризису теплоотдачи необходимо проводить расчеты нестацио-
нестационарного течения среды на начальном участке.
16 Р. И. Нигматулин, ч. II

242 ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
Уравнение притока тепла для течения недогретой жидкости
имеет вид
Индексом I обозначены параметры жидкости, не догретой до
температуры насыщения. Из предположения о несжимаемости
жидкости следует, что v, = const. Решение уравнения G.6.24)
позволяет найти координату сечения канала, в которой Tt = Ts,
и течение недогретой жидкости переходит в пузырьковый режим.
Этот режим течения будет описываться в рамках модели рав-
равновесного потока. Так как давление и температура смеси на
начальном участке меняются слабо, можно считать, что плотность
пара постоянна (pg = const). Тогда из уравнений сохранения
массы н внутренней энергии для равновесного двухфазного по-
потока получим
^„^_^w^_m G-6'25)
dt ' * Sl{ P° Pi)'
Решение этой системы дает сечение канала, где объемная
концентрация пара в смеси ае = cpd (фс* — граничное значение,
при котором происходит переход пузырькового режима течения
смеси в дисперсно-кольцевой. При этом можно принимать
фй« 0,75.
Если не учитывать двухскоростное течение жидкости, т. е. ее
разделение между высокоскоростным ядром и «медленной» плен-
пленкой, то изменение паросодержания на всей длине трубы с двух-
двухфазным потоком (zj, < z =S L) определяется уравнением G.6.25).
Тогда можно рассмотреть упрощенную односкоростную схему для
определения момента кризиса теплоотдачи с помощью зависимо-
зависимости ?1Н. {iw) для стационарного течения (рис. 7.6.1), полагая, что
кризис реализуется, как только (в соответствии с зависимостями
G.6.25)) паросодержание xg = Pgag/(pgag + рг A — ag)) на вы-
выходе (z = L) станет равным х^ (qw)- Эта схема указывает неста-
нестационарность только из-за конечной скорости перестройки эпюры
паросодержашш при возмущении qw(z) или m@, t), но не учи-
учитывает эффект нестационарности из-за конечной скорости массо-
обмена между пленкой и ядром потока из-за срыва и осажде-
осаждения капель.
Для решения системы уравнений G.6.21), G.6.24), G.6.25)
необходимо задать начальные и граничные условия. Начальные
условия определяют распределение температуры жидкости на
участке течения жидкости, не догретой до температуры насы-
насыщения, объемную концентрацию пара на участке пузырькового

§ 6. КРИЗИС ТЕПЛООТДАЧИ 24?
режима течения и объемные доли жидкой пленки и капель на
участке дисперсно-кольцевого режима течения. Для рассмотрен-
рассмотренных ниже вариантов эти начальные распределения были стацио-
стационарными и поэтому определялись из решения соответствующей
стационарной задачи (см. § 5, 6).
Граничные условия, необходимые как для нестационарной,
так и стационарной задач, определяют скорость i>0, температуру-
То не догретой до температуры насыщения жидкости и давление
р0 на входе в канал. В рассмотренных ниже вариантах расчетов
и экспериментальных режимах изменение расхода теплоносителя
то@, t) и подведенной тепловой мощности Qw{t) происходило
при постоянном давлении на входе (ра = const), что обеспечи-
обеспечивалось условиями проведения экспериментов. Скорость жидкости
на входе в участок с пузырьковым режимом течения (z = zb)
равна ее скорости на входе в канал. Объемная концентрация па-
пара на входе в участок с пузырьковым режимом кипения счита-
считается равной нулю. Наконец, следует задать скорости парокапель-
ного ядра потока и жидкой пленки, давление, объемные концент-
концентрации капель и жидкой пленки в сечении, где пузырьковый ре-
режим течения смеси переходит в дисперсно-кольцевой. Из-за ма-
малости потерь давления на начальном участке можно принять, что
давление на входе в участок с дисперсно-кольцевым режимом
течения равно давлению на входе в канал. Граничные условия
на входе в участок с дисперсно-кольцевым режимом течения
(z = Zd, as = cpd « 0,75, v = vd) следуют из уравнений сохра-
сохранения массы пара и жидкости и импульса для всего потока, пола-
полагая потоки этих величин непрерывными:
P°g A — Щ) ScVc = p°g4>dSvd ([pgcpd + р° A — cpd)] vd = p°v0),
p°a2Scvc + p°Sfvf = p° A - qv) Svd (S/ + Sc = S), G.6.26)
p°g A — a2) Scvl + p°a2Scv2c + p°Sfvj = (p°g<pd -f p° A — ц>а)) Sv2d.
О О
Для определения a2, Sc, vt и vf по известным pg, pi, (pd, v0 в сече-
сечении z = zd задавалось разделение жидкости между ядром и плен-
пленкой отношением Sf/ (azSc)~ 0,95, т. е. предполагалось, что в се-
сечении, где начинается дисперсно-кольцевая структура потока,
почти весь объем жидкости приходится на пленку.
При проведении расчетов считалось, что кризис теплоотдачи
возникает при относительном расходе жидкости в пленке
х3* = 0,01.
Для проверки адекватности описанной выше модели проведе-
проведено сопоставление расчетных и экспериментальных данных по
кризису теплоотдачи в стационарных условиях. На рис. 7.6.6
показаны типичные распределения относительного расхода жид-
жидкости в пленке Xf — х% и массового расходного паросодержания
хе s= Xi по длине обогреваемых труб при различных начальных
16*

244
ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
недогревах и тепловых нагрузках в стационарных условиях. Рас-
Расчетные кривые соответствуют экспериментам, в которых кризис
теплоотдачи возникал в выходном сечении канала. Видно, что
расчетные координаты возникновения кризиса теплоотдачи отли-
отличаются от экспериментальных не более чем на 10%- Расчетные
значения х14., которые практически не зависят в рассмотренном
Рис. 7.6.6. Расчетные распределения xg и xf по длине (а) трубы (D = 9 мм,
L = 1,83 м) и зависимость xj(xg) (б) в стационарных условиях (р = 6,9 МПа,
т° = 2700 кг/(м2-с)), когда на вход (z = 0) подается педогретая на ЛГ до
температуры насыщения вода и вдоль канала осуществляют равномерный
по длине обогрев с интенсивностью qw, который в эксперименте (D. Мохоп
et al, 1967) вызывал кризис теплоотдачи па выходе (z = 1,83 м). Кривые
1—4 соответствуют разным ДГ, К и qw, МВт/м2: 1— (83,4; 2,45); 2— E5.6;
2,23); 3— B7,8; 2,01); 4 — @; 1,79). Вертикальные линии со стрелками от-
отмечают расчетные координаты 2„, а горизонтальная линия (^1Ч. « 0,4) —
расчетное паросодержание ijsb мосте кризиса (xf — 0). Штриховая линия 5
соответствует D = 10,8 мм, L = 3,66 м, р = 6,9 МПа,' те° = 2020 кг/(м2-с),
недогревам па входе AT = 0—56 К и критическим тепловым потокам qw =
= 0,97—1,32 МВт/м2, вызывающим кризис теплоотдачи па выходе (z =
= 3,66 м)
диапазоне от qw, хорошо согласуются с экспериментальными зна-
значениями, приведенными в Рекомендациях... A980) и обсуждав-
обсуждавшимися выше. В стационарных условиях относительный расход
жидкости в пленке xt в обогреваемом канале определяется дав-
давлением, удельным расходом теплоносителя, относительным расхо-
расходом пара xg и практически не зависит от теплового потока (по-
(последнее проиллюстрировано на рис. 7.6.6, б).
На рис. 7.6.7 приведены результаты расчета нестационарного
течения при скачкообразном изменении подводимой к трубе
мощности обогрева N при постоянных расходе и недогреве жид-
жидкости на входе. Эти условия обеспечивались в эксперименте.
Согласно расчетам увеличение тепловой нагрузки приводит к
усилению испарения пленки, к увеличению расхода и скорости

g 6. КРИЗИС ТЕПЛООТДАЧИ
245
пара. Последнее приводит и к ускорению жидкости. В итоге в
выходном и близких к нему сечениях трубы поток массы смеси
m{z, t) при постоянных m@, t) сильно возрастает. В дальней-
дальнейшем расход парожидкостной смеси во всех сечениях стабилизи-
стабилизируется и падает до значения расхода во входном сечении. Воз-
Возрастание скорости в пленке vf в начальные моменты времени
мкм
750
250
\ ^
\
_
1,0 1,2 1,4 16 z.m 0 0,1 0.2 О.Ъ
Рис. 7.6.7. Распределение толщины пленки S по длине (а) трубы (D = 9 мм,
L = 1,83 м, h = 2,4 мы) с пароводяным потоком в различные момепты вре-
времени (t = 0; ОД; 0,2; 0,36 с, отмечены цифровыми указателями) и измене-
изменение во времени (б) параметров потока (vc, vf, nif, m) в фиксированном се-
сечении z = 1,7 м (отмечено крестиком па оси z) после увеличения тепловой
нагрузки при t = 0 со стационарного значения Л'@> = 100,3 кВт (qw =
= 1,94 ЫВт/м2) до iV<e> = 142,5 кВт (qw = 2,69 МВт/м2) по закону G.6 22)
с tN = 0,29 с. На входе в трубу (з = 0) поддерживались постоянными не-
догрев жидкости до температуры насыщения (То — Ts(po) ——62,8 К) и
ее расход (m = ^UD2ma = 0,172 кт/с). Данный расчет дает кризис теплоот-
теплоотдачи (высыхание плопки на выходе: z = L = 1,83 м) при t = 0,36 мс (от-
(отмечено крестиком на оси t), эксперимент (D. Moxon et al, 1967) —при t =
= 0,44 с, а односкоростная схема — при t = 0,29 с. Начальные точки на кри-
кривых 6(z) соответствуют точкам перехода пузырькового режима течения в
дисперсно-пленочпый
приводит к некоторому росту расхода жидкости в ней. В даль-
дальнейшем скорость в пленке уменьшается из-за уменьшения ее
толщины и соответствующего уменьшения силы взаимодействия
с ядром.
На рис. 7.6.8 приведены результаты расчета течения при
плавном уменьшении расхода недогретой воды на входе в обо-
обогреваемый канал. С середины (по длине) канала, которая прихо-
приходится на начальную зону дисперсно-кольцевого течения, реали-
реализуется существенное уменьшение xf, а к концу канала скорость
уменьшения xt замедляется. Это объясняется тем, что в неста-

246
ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
ционарном режиме при уменьшении скорости жидкости начало
вскипания смещается ближе к входу, и в фиксированных сече-
сечениях паросодержание и скорость ядра vc увеличиваются, а расход
жидкости в пленке уменьшается с некоторой задержкой по срав-
сравнению с уменьшением расхода жидкости во входном сечении.
<r,
f
vc,vf,M/c
0,3
0,4^
0,1
\\
\\\
40
30
20
10
\
4
vc
i —¦
,t)
°r
m,r/c
200
150
100
50
1,0 2,0 3,0 3fiz,M,.. 0,1 0,2 0,3 t,c
0,75'
0,50
0,15
0
Рис. 7.6 8. Распределение расходной доли Xf, приходящейся на жидкость в
пленке, по длине (а) обогреваемой трубы (D = 10,8 мм, L = 3,66 м) с паро-
пароводяным потоком в различные моменты времени (t = 0; 0,2; 0,3; 0,4 с, отме-
отмечены цифровыми указателями) и изменение во времени (б) параметров
дисперсно-кольцевого потока (vc, Vf, б) в фиксированном сечении z = 3,4 м
(отмечено крестиком на оси z) после уменьшения (при t = 0) расхо-
расхода недогретой жидкости m@, t) на входе (z = 0) в канал по закону G 6.23)
с tm = 0,275 с (см. штриховую линию на рис. б) со стационарного значения
т@, 0) = 247 г/с (т° = 2700 кг/(м2-с)) до т@, оо) = 71 г/с (т° =
= 774 кг/(м2-с)). На входе в трубу (z = 0) поддерживалось постоянное дав-
давление (ро = 6,9 МПа) и недогрев жидкости до насыщения (ДГ = То —
— Ts(p) =—13,3 К). Интенсивность обогрева не менялась: N = 144,7 кВт
(qw = 1,17 МВт/м2). Данный расчет дает кризис теплоотдачи (высыхание
пленки па выходе: z = L = 3,66 м) при t = 0,4 с, эксперимент (D. Мохоп
et al, 1967) — при t = 0,41 с, а односкоростная схема — при t = 0,2 с
Задержка определяется разницей скоростей парокапельного ядра
vc и пленки vu где vf < vc. В результате на начальном участка
дисперсно-пленочного течения интенсифицируется срыв жидкости
с «медленной» пленки, и сорванная жидкость с «большой» ско-
скоростью vc переносится в ядре потока в выходную часть канала,
где из-за этого усиливается по сравнению с исходным стационар-
стационарным состоянием осаждение на пленку. Поэтому в начальные
моменты времени толщина пленки б и расход жидкости в ней mf
в выходной части канала несколько увеличиваются и лишь позд-
позднее начинают уменьшаться.
На рис. 7.6.9 показано расчетное смещение вверх по потоку
участков однофазного, пузырькового и дисперсно-пленочного те-
течений при уменьшении подачи недогретой жидкости в равно-
равномерно обогреваемый с постоянной интенсивностью канал.

§ 7. ЗАКРИЗИСНЫЙ ТЕПЛООБМЕН
247
Приведенные примеры расчета и результаты сопоставления
времен возникновения кризиса теплоотдачи показывают, что в
рамках данного рассмотрения это время определяется вполне
т,с -
0,75 -
0,50-
0,25-
1 i
I
1 i
1 i
\ i
b
1
t«=O,83c
S\
\(fa
\
S
N.
\
\
1=3,56-м
z,m
Рис. 7.6.9. Расчетные перемещения во времени границ вдоль трубы (D =
= 10,8 мм, L = 3,66 м) с пароводяным обогреваемым потоком, на которых
начинаются пузырьковый режим (Ь), дисперсно-кольцевой (da) и дисперс-
дисперсный (с — кризис теплоотдачи из-за высыхания пленки) режимы течения
после начала уменьшения при t = 0 расхода недогретой жидкости т@, ()
на входе (z = 0) в соответствии со штриховой линией (закон тот же, что
и на рис. 7.6.8). На входе в трубу поддерживалось постоянное давление
(Ро = 6,9 МПа) и педогрев воды (AT = T0 — Ts(po) = —12,8 К). Интепсив-
ыость равномерного по длине обогрева не менялась: N = 119,3 кВт (qw =
= 0,961 МВт/м2). Данный расчет дает кризис теплоотдачи (высыхание плеп-
ки) на выходе (z = L = 3,66 м) при t == 0,83 с, эксперимент (D. Moxon et
al, 1967) —при t = 0,89 с, а односкоростпая квазистационарная схема — при
t = 0,66 с
удовлетворительно. Р1зложенная схема является существенно бо-
более точной и физически обоснованной по сравнению с односко-
ростной квазистационарной схемой.
§ 7. Закризисный теплообмен при течении дисперсного
(капельного) потока в парогенерирующем канале
В обогреваемом канале пленка может испариться, и дисперсно-
кольцевой режим переходит в чисто дисперсный — течение смеси
пара и капель. При этом из-за отсутствия надлежащего контакта
интенсивно нагреваемой стенки с жидкой фазой может происхо-
происходить перегрев стенки, и ниже по потоку поверхность нагрева бу-
будет находиться в закризисной области ухудшенного теплообмена.
Теплообмен в этой области характеризуется существенно мень-
меньшими коэффициентами теплоотдачи, чем в докризисной, в связи
с чем здесь возможны значительные перегревы поверхностей
нагрева по сравнению с температурой насыщения. Ниже будет
рассмотрен случай такого теплообмена — теплообмен в закризис-
закризисной области в гладкой вертикальной трубе.
Значительный интерес исследование интенсивности теплооб-
теплообмена в закризисной области представляет при анализе аварий-

248 ГЛ. 7. ГАЗО- II ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
ных режимов работы ядерных энергетических установок и при
проектировании прямоточных парогенераторов, где область за-
кризисного теплообмена может занимать до 40% п более всей
площади парогенерирующей поверхности. Теплообмен в закри-
зиснон области определяет максимальную температуру стенки
трубы, которая сильно влияет на срок службы и надежность ра-
работы парогенерирующего канала.
Наиболее простой моделью для исследования теплообмена в
закрпзисной области является односкоростная, однотемпературная
(«гомогенная») модель, согласно которой двухфазная смесь рас-
рассматривается как некоторая однородная жидкость со своими ско-
скоростью и температурой, а опытные данные по теплообмену обра-
обрабатываются эмпирическими формулами (D. Groenveld, 1972;
М. А. Стыриковпч и др., 1982) типа
Nuw = A RebPr| (Re = m°D/[ih Prg = v(gv) / v(gT)), G.7.1)
где A, b, с — эмпирические параметры. В таких зависимостях
скольжение между фазами и отсутствие термического равнове-
равновесия учитывается параметрами А, Ь, с и истинным массовым паро-
содержанием смеси, влияющим на значение числа Re. При этом
часто используются две предельные схемы: первая основана на
предположении полного термодинамического равновесия смеси,
вторая основана на предположении заморожепности (отсутствия)
фазовых переходов после сечения, в котором наступает кризис
теплоотдачи.
Согласно первой схеме массовое расходное паросодержание
смеси по длине канала считается равным равновесному значению.
Это справедливо при высоких удельных массовых расходах сме-
смеси, когда имеет место интенсивный теплообмен между стенкой и
потоком, а также вблизи сечения, где наступает кризис теплоот-
теплоотдачи, когда паровая фаза еще не успела существенно перегреться.
Зависимости, полученные на основе гипотезы о полном термоди-
термодинамическом равновесии смеси, дают нижнюю границу температур
стенкн на участке закризиспого теплообмена.
Согласно второй схеме фазовый переход при течении паро-
капельной смеси в обогреваемом канале в зоне закризисного
теплообмена отсутствует и массовое паросодержание по длине
канала постоянно. Полагается, что все подводимое тепло идет на
перегрев пара относительно температуры насыщения. Зависи-
Зависимости, полученные на основе этой схемы, дают существенно за-
завышенные температуры стенки канала и могут быть использо-
использованы для оценки их верхней границы на участке закризисного
теплообмена.
На рис. 7.7.1 показан пример сравнения экспериментальных
данных по температуре стенки с зависимостями, рассчитанными
по указанным предельным схемам.

§ 7. ЗАКРИЗИСНЫЙ ТЕПЛООБМЕН
249
Неучет реальных особенностей передачи тепла от стенки к
пару и каплям п теплообмена между фазами ограничивает при-
применение зависимостей типа G.7.1). Поэтому для расчета тепло-
теплоотдачи на участке закризпсного теплообмена получили развитие
одномерные модели парокапельного потока (A. Bennet et al, 1967;
Рис. 7.7.1. Влияние температурной не-
равновесностп дисперсного потока на
температуру стенки трубы в закризис-
ной области теплообмена (М. И. Мари-
нов, 1977) пароводяного капельного по-
потока (р = 6.8 МПа, хг, = 0,585 (г* =
= 3.25 м), т° = 1000 кг/(м2-с), qw =
= 0,92 МВт/м2). Линия 1 — расчет по
схеме с замороженными фазовыми пе-
переходами, 2 — экспериментальные дан-
данные, 3 — расчет по схеме полного тер-
термодинамического равновесия
V/
W7S
87$
S75
47,7
у*"
(^
2
>—о-
3
г"
о
R. Forslund. W. Rohsenow, 1968; В. А. Воробьев, П. Л. Кирил-
Кириллов и др., 1972; В. К. Кошкин, Э. К. Калинин и др., 1973), в ко-
которых обычно используется двухступенчатый механизм передачи
тепла, а именно: от стенки к перегретой паровой фазе и от нее к
каплям жидкости. По этой модели при известных начальных ус-
условиях в месте кризиса (z = z*—начало зоны закризпсного теп-
теплообмена) можно определить температуру стенкп канала. Недо-
Недостатком данной модели является неучет непосредственного тепло-
теплового взаимодействия капель с обогреваемой поверхностью и, как
результат, неприменимость ее для расчета теплоотдачи на участ-
участке канала, на котором происходит смачивание поверхности на-
нагрева осаждающимися каплями.
Ниже рассматривается гидродинамическая модель дисперсного
парокапельного потока, в которой учитываются все основные
процессы взаимодействия между фазами и стенкой канала.
Система дифференциальных уравнений для стационарного
парокапельного потока в трубе. Уравнения капельного (диспер-
(дисперсного) потока вытекают из аналогичной системы для дисперсно-
кольцевого потока (§ 2), если в ней отбросить уравнения для
жидкой пленки, а в уравнениях для пара и капель опустить чле-
члены, учитывающие воздействие жидкой пленки. Дополнительно к
предположениям § 2 необходимо учитывать следующее: относи-
относительная скорость пара п капель мала, т. е. много меньше ско-
скорости пара (капель): \vi — v2\ < Vi, поэтому проскальзывание бу-
будет учитываться только при определении теплового потока <?i(s2> от
пара к поверхности капель 22, где малое скольжение может
быть существенным. Проскальзывание будет определяться без
учета силы инерции капель в движении относительно пара,
малой по сравнению с силой трения между паром и каплями.
Парокапельный поток может быть существенно термодинамически

250 ГЛ. 7 ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
неравновесным —• пар перегрет относительно температуры насы-
насыщения, а жидкость в каплях находится на линии насыщения.
Система уравнений сохранения для стационарного парокапельного
потока в трубе (S = const) имеет вид
dm°i J2i dm2 J2i ^° da J2ia
o dv dp *w
m\p
m° 2 = W2 2B2) ^ = Щ8 иди у2 = Ts ^
S
о о о о о
•* 2l'> Qwl T (/W2 • VlTi
где Qwu Qwz — внешние тепловые потоки соответственно от стен-
стенки к пару и от стенки к каплям.
Здесь в уравнении для внутренней энергии пара отброшено
слагаемое, соответствующее работе силы трения о стенку. Эта
работа пренебрежимо мала по сравнению с внешними по отно-
отношению к пару притоками тепла.
Силовое и тепловое взаимодействия между фазами и стенкой
канала. Сила трения между паром и стенкой в рассмотренных
ниже вариантах определяется по формуле Блаузиуса (ср. с
G.3.5)) для однофазного течения пара в гладких трубах без
учета влияния на эту силу капель:
Fw = nDxw, xw = 1l2CWlp°gVl,
CWl = 0,316/Re?'25, Rex = p°8vD/\ig.
Для расчета теплоотдачи между стенкой и парокапельным
потоком в закризисной области теплообмена определяющую роль
играют процессы теплового взаимодействия между фазами и фаз
с поверхностью нагрева.
Тепловой поток от стенки трубы к пару можно представить
в виде (ср. с G.3.14))
Qwi = nDqWl, qWl = Kg Nuwi {Tw— Тг),
NuWl = 0,023 RerPi-Г (Prg = vf/vgT) ^ цЛАв).
Тепловой поток между паром и поверхностью раздела пар —
капли можно представить в виде A.4.11). Оценим влияние ско-
скорости скольжения газа относительно капель wi2 на теплообмен

§ 7. ЗАКРИЗИСНЫЙ ТЕПЛООБМЕН 251
между паром п каплями в условиях, характерных для
парогенерирующего канала: wi2 = 1 м/с, 2а = 10 мк и р =
= 7,0 МПа (pg = 36 кг/м3, \x,g = 1,9 • 10~5 кг/(м • с)). Для этих
параметров Re12 ж 20, и согласно A.4.11) N1V22) = 6, т. е. в дан-
данном примере скольжение фаз увеличивает число Nu^^) в три
раза.
В итоге для <?1B2) получим
к{1) = 3a2lg (Т1 - Ts)la\ кB) = 0,6 Bap°g/\ig)°'bPrgA. G.7.5)
В условиях течения парокапельного потока в парогенерирующем
канале (характерные времена изменения параметров потока вдоль
канала t ^ 1 с) основной силой взаимодействия между паром и
каплей является сила трения. Все остальные силы малы по срав-
сравнению с ней. Тогда уравнение движения капли имеет вид
apv Cpw, G.7.6)
где для коэффициента трения Сц можно использовать соотноше-
соотношение A.4.9).
Выражение для ускорения потока dv/dz получается после раз-
разрешения системы G.7.2) относительно производных. Далее под-
подставляя dv/dz в G.7.6), из G.7.5) получаем уравнение для ско-
скорости скольжения wi2.
ap'v [к - ЬE)/сA) A + к™ | w121°'5)] = 3/8СдРЯ22 G.7.7)
{к = «
где bM (i = l, ..., 5) — комплексы, получаемые при разрешении
системы G.7.2) относительно производных.
Из решения трансцендентного уравнения G.7.7) получается
величина wi2, после подстановки ее в G.7.5) можно вычислить
величину теплового потока <?1(s2) от пара к каплям.
Теплообмен капель с поверхностью нагрева. Непосредственное
тепловое взаимодействие капель с поверхностью нагрева может
играть существенную роль в общем теплосъеме дисперсного паро-
парокапельного потока смеси со стенок канала. Соответствующий об-
обзор экспериментальных работ имеется в книге М. А. Стырикови-
ча и др. A982).
Р1сследование испарения отдельной капли на горячей поверх-
поверхности показало, что время полного испарения капли td сложным
образом зависит от температуры поверхности нагрева Tw
(рис. 7.7.2). Весь диапазон изменения Tw можно разбить на че-
четыре области. Область /, в которой температура поверхности
нагрева ниже температуры насыщения испаряемого вещества,
капля жидкости растекается по поверхности и медленно испаря-
испаряется. С ростом Tw время td уменьшается. При превышении Tw

252
ГЛ. 7. ГАЗО- II ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
Ш
температуры насыщения Ts в растекающейся жидкости пачина-
ется пузырьковое кипение (область //). С ростом 2V интенсив-
интенсивность пузырькового кипения возрастает, увеличивается тепловой
поток в каплю qW2, а следовательно, падает время полного испа-
испарения капли.
При дальнейшем росте 7V наступает переходное кипение
капли (область ///), частота и площадь контакта жидкости со
стенкой уменьшаются, величина
qW2 уменьшается, а соответст-
соответственно растет td. Границей между
областями II и III является тем-
температура Тс, этой температуре
соответствует tj = tmjn, а тепло-
тепловой поток qW2 от стенки в каплю
достигает максимального значе-
значения, т. е. здесь имеет место ана-
аналог кризиса пузырькового кипе-
кипения в большом объеме.
Далее с ростом 7V переходное
кипение капли переходит в пле-
пленочное (область IV), начинает-
Tw ся испарение капли в сферо-
сфероидальном состоянии, капля жид-
мость времени испарения капли кости от стенки отделена собст-
ti от температуры стенки Tw веииым паром. Границей между
областями /// и IV является
температура Tw = TL — температура Лейденфроста, этой темпе-
температуре соответствует td — tmaLX. В дальнейшем с ростом Tw время
полного испарения капли медленно уменьшается.
Экспериментальные исследования взаимодействия капель с
нагреваемой поверхностью показали, что температура Лейден-
Лейденфроста существенно зависит от критической температуры жид-
жидкости, тепловых свойств материала поверхности, от шерохова-
шероховатости и загрязненности поверхности, от скорости падения капель
на стенку и величины потока капель на горячую поверхность.
При наличии шероховатости на нагреваемой поверхности темпе-
температура Лейденфроста существенно выше, чем на гладкой по-
поверхности.
Для определения количества тепла qWz, передаваемого от по-
поверхности нагрева к одной капле за единицу времени, можно
воспользоваться схемой М. Сито A969), в которой предполага-
предполагается, что в течение времени контакта капли с поверхностью на-
нагрева tw тепло к капле передается через тонкий слой пара 8*,
который образуется за период времени t% существенно меньший,
чем tw{tq.<^tw). Тогда величина qW2 равна
Рис. 7 7.2. Схематичная зависи-
qW2 = ctiVna2Kg(Tw —
G.7.8)

§ 7. ЗАКРИЗИСНЫЙ ТЕПЛООБМЕН 253
где с — коэффициент пропорциональности. Здесь принято, что
площадь контакта по порядку величины равна площади ми-
делевого сечения капли. Толщина парового слоя 6.,. имеет
порядок высоты бугорка шероховатости металлической
стенки трубы, п для рассмотренных ниже случаев принималось
б^ = 50 мк.
В книге М. А. Стыриковича и др. A982) приведены резуль-
результаты измерений времени контакта tw при достаточно высокой
температуре поверхности нагрева (Тп > 450—500 К при р —
= ОД МПа). Анализ этих данных показывает, что tw по порядку
величины близко к периоду свободных колебания капли из-за
капиллярных сил:
tw & t? = я ]/р°а3/B2). G.7.9)
Количество капель N2i, попадающих из ядра потока в пристен-
пристенную область за единицу времени на единице длины канала,
равно
N2i = 4з/D/3-™3Р°)- G-7.10)
Тогда тепловой поток от стенки к каплям равен
VH'2 = QW2^23 = T-o-l • (/./.11),
4рга6„
Приближенный характер оценок величин xw, б*, а также нали-
наличие эффекта отдува капель от стенки паром, образующимся в
процессе испарения капель, учитывается введением в соответст-
соответствующие формулы коэффициента пропорциональности с.
Описанные закономерности взаимодействия фаз позволяют
численно решать систему уравнений G.7.2).
Граничные условия для решения задаются в сечении z = 0,
которое полагалось началом закризисной области из-за высыха-
высыхания пленки (8 = 0). При этом интенсивность осаждения /2з за-
задавалась по формуле G.4.8), а начальное значение радиуса ка-
капель а задавалось по эмпирической формуле G.4.9).
Выбор параметра модели с проводился (Б. И. Нигматулин,
В. Н. Кухаренко) из условия наилучшего совпадения расчетных
и экспериментальных распределений температуры внутренней,
поверхности обогреваемой трубы в закризисной области тепло-
теплообмена. Для этого были использованы экспериментальные дан-
данные C. Д. Миропольский, 1963; A. Bennet et al., 1967; В. И. Суб-
Субботин и др., 1973; М. И. Маринов, Л. П. Кабанов, 1977; S. Nija-
wan et al., 1980; G. Barzoni, R. Martini, 1982; P. Kirillov et al., 1982;
Г. В. Циклаури и др., 1982; О. В. Ремизов и др., 1983), получен-

254
ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
ные в восходящих пароводяных потоках в обогреваемых трубах
(D = 8-^12,7 мм, т°=35—5600 кг/(м2-с), qw = 0,035—
1,8 МВт/м2, р = 0,3—18,5 МПа, ;rg = 0,3—1,0). В результате была
иолучена формула
0,75 | Vg
0,4
Г \2
МУ ]
Т I
1 я /
(8* = 50 мк).
G.7.12)
Параметр с оказался существенно зависящим от Rex. Это, по-
видимому, связано с увеличением кинетической энергии турбу-
турбулентного движения капли, что может повысить ее теплоотводя-
гцую способность при попадании на горячую стенку. Множитель
¦с экспонентой учитывает уменьшение осаждения капель из-за их
-отдува собственным паром в градиентном поле температур около
перегретой стенки. Учет влияния Tw в такой форме предложен
в работе Е. Ganic, W. Rohsenow A976).
С использованием формулы G.7.12) было проведено система-
систематическое сопоставление расчетных и экспериментальных распре-
распределений температур стенки Tw вдоль канала. Примеры такого
1000
S00
600
а
ь-0,55
0-0,4$
и 0,41
/^1
Г
г
о°-2-1Г
J»—s-
0М6-.
0,4$
-1
о
г.м
Рпс 7.7 3. Изменение вдоль по потоку температуры стенки Tw обогревае-
.мой трубы (D = 12,7 мм) с удельным тепловым потоком qw, МВт/м2 (кото-
(которому соответствуют числовые указатели у кривых и экспериментальных
точек) при течении восходящего пароводяного капельного потока (р =
= 6,9 МПа) с удельным расходом тп° = 394 кг/(м2-с) (а) и 3850 кг/(м2-с)
(б). Расстояние z отсчитываотся от места кризиса теплоотдачи (z = z^=
= 0) из-за высыхания пристенной пленки, после чего реализуется дисперс-
дисперсный поток. Линии — расчет, точки — эксперимент (A. Bennet et al, 1967)
сопоставления показаны на рис. 7.7.3. Видно, что характер 7V(z)
зависит от удельного расхода смеси пг°. При малых пг° после
резкого скачка в месте кризиса теплоотдачи Tw продолжает
•быстро возрастать. При относительно больших ш° после резкого
роста из-за высыхания пленки температура стенки Tw вдоль по
потоку постепенно убывает.

§ 8. ПУЗЫРЬКОВОЕ КИПЕНИЕ И ЕГО КРИЗИС ?53
§ 8. Пузырьковое кипение и его кризис
на горизонтальной поверхности
в условиях свободной конвекции *)
Баланс тепла на границе W (рис. 7.8.1), через которую осу-
осуществляется подвод тепла qw к парожидкостной среде, может
быть представлен в виде
qw = ql + qg, G.8.1)
где qi — тепло, отводимое жидкостью, a. qg — паром. При наличии
достаточного контакта с жидкостью (отсутствие кризиса), так как
Kg < Xi, имеет место qg < qt.
Далее, при кипении часть по- Z-Z-Z-Z-Z-Z-Z~Z-Z-~<!'l7'-Z\~9'i Z-z.
тока тепла qt, которую обоз-
обозначим через qlg, идет на испа-
испарение, интенсивность кото-
которого, отнесенную к едини-
единице площади границы W,
обозначим через %g, а часть
qi отводится жидкостью Рис 7.8 1. Баланс тепла на поверхности
за счет теплопроводности и W, через которую осуществляется под-
конвекции, или перемешп- В°Д тепла к парожидкостной смеси
вания, интенсифицируемого
отрывающимися и поднимающимися паровыми пузырьками г
qi = qie + Qi, qie = %J- G.8.2>
На рис. 7.8.2 представлены зависимости от теплового потока
qw перепада температур AT = Tw — Tt (между температурой
греющей стенки Tw и температурой жидкости Ti на некотором
удалении от стенки W, где эта температура достаточно однород-
однородна), а также коэффициента теплоотдачи ^ при кипении насы-
насыщенной жидкости (Tt = Ts) на горизонтальной поверхности, обра-
щенпой вверх, в поле сил тяжести и в отсутствие вынужденного»
течения или обтекания греющей поверхности. Видно, что при до-
достаточно малых тепловых потоках (участок АВ), когда пузырько-
пузырьковое кипение очень .слабо выражено, тепловой поток qw пропор-
пропорционален АТп (ге>1), а зависимости qw(AT) и ${АТ) такие-
же, как для однофазной жидкости в условиях свободной кон-
конвекции. На участке ВС реализуется развитое пузырьковое кипе-
кипение, когда образование и отрыв пузырьков от греющей поверх-
поверхности интенсифицирует теплообмен за счет увеличения qi из-за
перемешивания жидкости отрывающимися пузырьками. Дальней-
Дальнейшее увеличение теплового потока приводит к повышению паро-
содержания ag пристенного слоя и при ag«0,8 пузырьковая
структура из-за слияния пузырьков фактически нарушается, а на
*) Этот параграф написап Рс. И. Нигматулиным.

56
ГЛ. 7. ГЛЗО И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
стенке образуется пенная или паровая пленка, что приводит к
режиму пленочного кипения. В этом режиме нарушается контакт
греющей поверхности W с жидкой фазой, что резко уменьшает
коэффициент теплоотдачи р, а при принудительном подводе теп-
теплового потока q-w, как это имеет место в тепловыделяющих эле-
элементах ядерных реакторов и при электрическом обогреве стеяки,
10'
¦т1 —
№
G
>А
Q
¦ L
10
10s a¦ вт/м20 0,
Тис. 7.8.2. Зависимость температурного капора АГ = Tw — Те и коэффици-
коэффициента теплоотдачи р1 = q-wl^T от теплового потока при кипении насыщенной
жидкости (воды при р = 0,1 МПа) на горизонтальной поверхности, обра-
обращенной вверх в условиях свободной конвекции. Участок АВ — теплообмен
при свободной конвекции практически однофазной жидкости; ВС — развитое
пузырьковое кипение; CD — переходное кипение; DE — устойчивое пленоч-
пленочное (с паровой пленкой) кипение (кризис); ВВ' — теплообмен от поверхно-
поверхности, обедненной центрами парообразования за счет подбора материала и об-
обработки поверхности нагрева. Штрихпунктирная линия соответствует бар-
ботажу воды газом с приведенной скоростью W — I/i
лроисходр1т резкое увеличение температуры греющей стенки Tw
(переход C-+G). Как уже указывалось в § 1, описанное явле-
явление называется кризисом пузырькового кипения, или кризисом
теплоотдачи первого рода. Участок DE соответствует кипению с
паровой, или, точнее, пенной пленкой на греющей поверхности,
когда такая пленка реализует большое термическое сопротивле-
сопротивление и малый коэффициент теплоотдачи.
Переход от развитого пузырькового кипения к пленочному
можно при некоторых условиях оттянуть в область больших
тепловых потоков (в сторону точки С). В этом случае говорят о
растянутом околокритическом режиме.
Интересно, что при уменьшении qw в режиме пленочного ки-
кипения на участке ED обратный переход в пузырьковый режим
кипения (D -*- Н) происходит с гистерезисом при тепловых по-
потоках, существенно меньших, чем qn- (С). Точка D определяет

§ 8. ПУЗЫРЬКОВОЕ КИПЕНИЕ И ЕГО КРИЗИС
257
критический тепловой поток qw{D). Обычно
qw{D)&0,2qw{C).
G.8.3)
Следует иметь в виду, что интенсивность теплоотдачи при разви-
развитом пузырьковом кипении сильно зависит от материала поверх-
поверхности нагрева, ее обработки и длительности работы. Так, на по-
поверхности нагрева, обедненной центрами парообразования за счет
подбора материала и его обработки, пленочное кипение может
возникнуть после перехода В' ->¦ G" непосредственно от режима
свободной однофазной конвекции
(которому соответствует линия
ABB'), минуя пузырьковый режим.
Анализ перегревов жидкости при
кипении дан в книге N. Afgan
A976).
Аналогия С. С. Кутателадзе для
пузырькового кипения и барботажа.
Гидродинамика пузырькового кипе-
кипения аналогична гидродинамике бар-
барботажа жидкости газом, вдуваемым
через полупроницаемую поверх-
поверхность (с пористостью ф0 = ag0) с
тем же объемным расходом, или
приведенной скоростью газа W =
= vgoq>0, что и при кипении,
шпштш
PJIC- 7-8-3. Схема эксперимента
gg gQ р п0 барботажу и кипению жид.
когда W = qig/\pgl). Исходя из ука- кости на горизонтальной по-
занного соображения, С. С. Кутате- верхности
ладзе предложил моделировать пу-
пузырьковое кипение барботажем, т. е. кипение исследовать в «хо-
«холодном» эксперименте. Эта идея была реализована для исследова-
исследования кипения и барботажа на горизонтальной поверхности, в ус-
условиях свободной конвекции, которым соответствует описанный
выше рис. 7.8.2 (см. С. С. Кутателадзе, М. А. Стырикович, 1976).
Экспериментальная методика исследования барботажа и ки-
кипения. На рис. 7.8.3 показана схема проведения эксперимента.
Высота столба жидкости h в эксперименте была около 5 см,
когда перепад давления по высоте слоя Ар был пренебрежимо
мал (Ар < р). Давление в системе р поддерживалось слоем газа
над жидкостью. Если диаметр D поверхности вдува или кипения
и высота столба жидкости достаточно велики (h, W>a, где а —
характерный радиус пузырьков), то влияние h и D на гидроди-
гидродинамику и теплообмен в пристенном слое при кипении и барбота-
же практически не проявляется. Отметим также, что D много
меньше диаметра сосуда.
Кризису пузырькового кипения в точке С на рис. 7.8.2 соот-
соответствует критический режим барботажа, когда при достаточна
большой приведенной скорости газа W>VF# разрушается пу-
17 Р. и. Нигматулин, ч. II

258 ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
зырьковая структура пристенного слоя и жидкость фактически
оттесняется от пористой поверхности, через которую производится
вдув газа. При этом, чтобы предотвратить струйный режим ввода
газа и чтобы размеры пузырьков были такими же, как при ки-
кипении, диаметры поровых каналов и расстояния между ними
должны быть достаточно малы. В частности, в эксперимен-
экспериментах С. С. Кутателадзе и И. Г. Маленкова A976) использо-
использовались пористые пластины с пористостью т = ср0»0,2 и
числом отверстий N ~ 2000 см~2, что соответствует диаметру от-
отверстий бо — 0,1 мм и расстояниям между ними Ья ~ 0,2 мм. В этих
условиях размеры образующихся пузырьков много больше диа-
диаметра отверстий So и расстояний между ними Ьо, т. е. каждый
отрывающийся пузырек подпитывается газом сразу из несколь-
нескольких пор. Дальнейшее увеличение числа отверстий N и уменыне-
. ние их диаметра б0 практически не влияет на размер образую-
образующихся пузырьков (а ~ 1 мм).
Критический режим (момент фактического оттеснения жид-
жидкости при барботаже) фиксируется тремя методами: 1) по изме-
изменению расхода газа W в зависимости от перепада давления
рР — р, где рР — давление газа перед входом его в пористую пла-
пластину; 2) по изменению диэлектрической постоянной пристен-
пристенного слоя, зависящий от его газосодержания ае; 3) по изменению
электропроводности, также зависящей от ag.
Наиболее удобным оказался последний метод. Сущность его
заключается в том, что если в пристенный слой поместить два
электрода (одним из них может быть пористая пластина), к ко-
которым подведено фиксированное электрическое напряжение, то
сила тока / в цепи будет уменьшаться с увеличением газосодер-
жапия, а при оттеснении жидкости (кризисе) 7 резко упадет.
Этот метод позволяет определять и само газосодержание пристен-
пристенного слоя, используя расчетную формулу
где /о — сила тока при задапном напряжении в чистой жидкости
(а, = 0).
При исследовании теплоотдачи пористая пластина нагрева-
нагревалась электрическим током, мощность которого измерялась. Эта
мощность, отнесенная к поверхности пластины, определяет поток
тепла qw. Кроме того, измерялась температура пористой пластины
Tw и пристенного газожидкостного слоя Т. В результате опре-
определялся коэффициент теплоотдачи $w = qw/AT, где AT =
= TW-T.
При определении приведенной скорости вдува при кипении
по формуле W = 4igl\9g4 необходимо из полного потока тепла
qw выделить ту часть qtg, которая идет на испарение пристен-
пристенного слоя. Для этого необходимо измерять массу пара, ис-

§ 8. ПУЗЫРЬКОВОЕ КИПЕНИЕ И ЕГО КРИЗИС 259
парившегося именно в пристенном слое, отделяя этот пар от
пара, образовавшегося на свободной поверхности жидкости.
Анализ экспериментальных данных по критической скорости
вдува, оттесняющего жидкость. В стационарном режиме закон
сохранения массы газа, если пренебречь переменностью плот-
плотности газа по высоте слоя и растеканием газа поперек слоя, свя-
связывает объемное содержание газа и его массовую скорость:
ccgi;e = cxgofg» = W = const (ag0 = cp0). G.8.4)
Нарушение пузырьковой структуры в пристенном слое происхо-
происходит при достаточно объемном содержании газа (ag0^0,8), кото-
которое возрастает, если скорость газа падает, например, как это
происходит в пристенном слое при выходе газа из порового ка-
канала в жидкость. Указанное торможение газа происходит за счет
сил давления, вязкости жидкости (определяемой коэффициентом
вязкости жидкости и.,) и поверхностного натяжения (определяе-
(определяемого коэффициентом поверхностного натяжения S) при образо-
образовании пузырьков. За счет торможения газа его объемное содер-
содержание увеличивается по сравнению с ф0, что облегчает разруше-
разрушение пузырьковой структуры в пристенном слое, приводящее к
резкому сокращению контакта жидкости с твердой стенкой. Вы-
Выше пристенного слоя пузырьки ускоряются и газосодержание по
высоте слоя уменьшается, и следовательно, выше пристенного
слоя может реализоваться пузырьковая структура.
Критическая скорость вдува газа W%, при которой наруша-
нарушается стационарная пузырьковая структура пристенного слоя,
помимо условий, определяющих образование и отрыв пузырьков,
зависит и от их отвода из этого пристенного слоя. Отвод пузырь-
пузырьков из слоя зависит от размера отрывающихся пузырьков, опре-
определяемого частотой их отрыва, что, в свою очередь, зависит от
поверхностного натяжения 2, плотности и вязкости жидкости
(рг и Ui), а также от ускорения силы тяжести g. Кроме того,
частота отрыва может зависеть от давления жидкости р, так как
отрыв пузырьков есть колебательный процесс, зависящий от сжи-
сжимаемости газа, которая определяется давлением (ср. с собствен-
собственной частотой радиальных колебаний пузырька по формуле Ми-
наерта A.6.22), где эта частота сог пропорциональна р11г).
Учитывая сказанное выше (в том числе и о влиянии геомет-
геометрических параметров экспериментальной установки), а также
возможность влияния плотности и вязкости газа или пара, ма-
малых по сравнению с плотностью и вязкостью жидкости (pg^CPz,
u,g<jx(), то критическая приведенная скорость вдува газа W.%
зависит от следующих параметров:
W* = / (p°g, Рь \ig, Мь S, p, g). G.8.5)
Нетрудно показать, что перечисленные параметры образуют пять
17*

260 ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
и только пять независимых безразмерных параметров, которые
могут быть, в частности, представлены в виде
G.8.6)
= | /5, «сад = -./?, у^ =
Здесь С'ад, б(ад, p{2g) определяют характерные скорости, линей-
пые размеры и перепады давления в капиллярно-гравитационпых
волнах; параметр [д. = Аг~ 2, где Аг — число Архимеда, ха-
характеризует влияние вязкости жидкости в капиллярно-гравита-
капиллярно-гравитационных волнах. Любые другие безразмерные комбинации из
параметров G.8.5) выражаются через безразмерные параметры
G.8.6). Таким образом, искомая зависимость G.8.5) может быть
представлена в следующем безразмерном виде:
(ЗД,р°, ?). G.8.7)
В цитированных выше работах С. С. Кутателадзе используется
изотермическая скорость звука в газе С/ и введены безразмер-
безразмерные параметры к^ и М:
G.8.8)
которые легко выразить через безразмерные параметры G.8.6),
а именно
Именно относительно этих безразмерных параметров обработаны
результаты экспериментов С. С. Кутателадзе и И. Г. Маленкова.
При этом, если вместо W$. и р использовать к% и М, зависи-
зависимость G.8.7) может быть переписана в виде
к, = }(Р,М,р**\р). G.8.10)
Критерий устойчивости к% введен С. С. Кутателадзе. Приведем
схему, поясняющую физический смысл этого критерия. Если
жидкость оттеснена газом, то на поверхности раздела фаз между
жидкостью и газом из-за действия механизма, приводящего к
тейлоровской неустойчивости (тяжелая фаза сверху, а легкая —
снизу), волны, длины Ъ которых удовлетворяют условию

§ 8. ПУЗЫРЬКОВОЕ КИПЕНИЕ И ЕГО КРИЗИС
261
(см. обсуждение B.2.6))
b ^ o{ g> = 4ito( ю, G.0.11)
дестабилизирует указанную поверхность раздела (/(&)> 0 и ам-
амплитуда волн растет во времени). Эти капиллярно-гравитацион-
капиллярно-гравитационные волны приводят к появлению струй или выступов жидкости
навстречу газу с характерным поперечным размером 6^'/2bUs'.
Эти струи стремятся проникнуть в газ и разрушить газовую или
паровую пленку. Если аэродинамическое воздействие газа FM,
обтекающего выступы, или струйки жидкости со скоростью vg ~
~ W уравновешивают силу тяжести FU) струи, то такой режим
с газовой пленкой, или подушкой, оттесняющей жидкость, будет
относительно устойчивым. Таким образом, это условие устойчи-
устойчивости имеет вид
G.8.12)
Reff =
^я
Если принять, что С» ~ 0,5, т. е. Сц не зависит от вязкости
фаз, что следует ожидать при Reg^103, то условие устойчивости
режима с газовой пленкой,
или подушкой, оттесняющей
жидкость от стенки, приве-
приведется к виду
о - 1
-- 2
а-3 |
0,05
i ;v - ч-
G.8.13)
Эксперименты в земных усло-
условиях (g = 9,81 м/с2) при
нормальной или несколько
пониженной температуре Т —
= 277—293 К с такими жид-
жидкостями, как вода (CBg) =
= 0,165 м/с), водоглицерино-
вые растворы разной вязкос-
вязкости и этанол, в которые бар-
ботировались разные газы
(водород, гелий, азот, аргон, ксенон и т. д., за счет чего изотерми-
изотермическая скорость звука в газовой фазе CgT) варьировалась в ди-
диапазоне 130—1050 м/с), показали, что при не малых
давлениях р = 0,1—20 МПа (Р^Ю3) значение &*, при
котором реализуется оттеснение жидкости, при фиксированных
газе и температуре практически не зависит от давления
(рис. 7.8.4), а с изменением сорта газа меняется как Мп (п =¦
18 р. и. Нигматулин. ч. II
2,0 3,0 1,0 р.МПа
Рис. 7.8.4. Влияние давления и сорта
газа на критерий устойчивости С. С. Ку-
тателадзе к* при барботаже воды при
температуре То = 280 К водородом A),
гелием B), азотом C), аргоном D)

262 ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
= 0,66 — 1,0), причем i? = 10—10~3 _и_ при прочих фиксирован-
фиксированных условиях М пропорционально У|дт, где цт — молекулярный
вес газа. В указанных условиях при фиксированной температуре
газа и жидкости с изменением Р значения |лиг) и |л, как и М, не
меняются, а малая относительная плотность газа р° изменяется
пропорционально Р. Таким образом, эксперимент показывает, что
в указанных условиях величина к% пропорциональна Мп (п =
= 0,66 — 1) или \im2 и практически не зависит от давления Р.
Тогда, учитывая, что в пузырьковых течениях вязкость газа, ма-
малая по сравнению с вязкостью жидкости (|л< 1), не проявляется,
получим, что зависимость G.8.10) имеет простой вид
?* = #*(Й(ад)^ (,Р^105-10в, р° = 10-3-10-1)- G.8.14)
Заметим, что здесь*) принято га = 1. На рис. 7.8.5 по имеющим-
имеющимся экспериментальным данным представлены значения
в зависимости от безразмерной вязкости жидкости u.(ze). Видна
хорошая корреляция между К% и |i(ze) для барботажа и кипе-
кипения разных жидкостей. Экспериментальные точки для кипения
щелочных металлов (натрий, калий, рубидий, цезий), соответст-
соответствующие малым значениям вязкости ц,(хв), обрабатывались по
полному тепловому потоку (т. е. принималось W = qw/{Pgl))t
ибо в этих экспериментах не изменялась доля тепла qig, идущая
на парообразование в пристенном слое. Из-за высокой теплопро-
теплопроводности щелочных металлов доля подводимого тепла, равная
Qi — Qw — <Jig и не идущая на парообразование в пристенном слое
может быть велика. Остальные экспериментальные точки по
барботажу и кипению с выделением qtl свидетельствуют, что при
|x(Sg) < 10~2 вязкость не влияет на значение К%, а при |лB:8) >
> 10~2 с ростом [i(xe) значение К% уменьшается, т. е. с ростом
вязкости \xi оттеснение жидкости происходит при меньших ско-
скоростях вдува. Соответствующая аппроксимация имеет вид
,_,_ C10, ^(ад<10-2,
*) В работе С. С. Кутателадзе, И. Г. Маленкова A976) экспериментальные
данные по kt (M) аппроксимируются зависимостью kt = A (fv 8^)м2/3(п =
=2/3). Эта зависимость и зависимость G.8.14) примерно одинаково описывают
поле экспериментальных точек, если принять во внимание имеющийся раз-
разброс этих точек. В этой же работе для малых субатмосферных давлений от-
отмечено влияние давления. Соответствующая зависимость G.8.10) имеет вид
/с»=5,8-Р1/зМ6/в) или W, = 5,8 Cp°P)-1/l2.

§ 8. ПУЗЫРЬКОВОЕ КИПЕНИЕ И ЕГО КРИЗИС
263
Зависимость G.8.14), если учесть G.8.9), может быть преобра-
преобразована к виду G.8.7)
или
=к
Ч- G-8Л6)
В итоге можно сделать следующий вывод: если безразмерный
параметр к% не зависит от р и пропорционален М (что практи-
практически и реализуется в экспериментах по барботажу и кипению),
10
Рис. 7.8.5. Влияние вязкости жидкости на параметр К*, определяющий кри-
кризис (оттеснение жидкости) при барботаже и кипении. Незачерненные точ-
точки 1—7 соответствуют барботажу при р = 0,1—4,1 МПа, Т = 280 К, из них
точки 1—5 соответствуют воде и водоглицериновым растворам разной вяз-
вязкости, барботируемым разными газами: 1 — водородом, 2 — гелием, 3 — азо-
азотом, 4 — аргоном, 5 — ксеноном; точки 6, 7 соответствуют этанолу, барботи-
руемому азотом (б) и аргоном G). Зачерненные точки 8—16 соответствуют
кипению разных жидкостей при разных давлениях р (МПа), из них точки
8—12 — для кипения воды (8 — при 0,02 МПа, 9 — при 0,1 МПа, 10 — при
4,5 МПа, 11 — при 5,4 МПа, 12 — при 18,6 МПа), точки 13, 14 — для кипения
этанола A3 при 0,1 МПа, 14 при 1,0 МПа); 15—для кипения бензола при
0,1 МПа, 16 — для кипения метанола при 0,1 МПа. Точки 1—16 — экспери-
экспериментальные данные С. С. Кутателадзе, И. Г. Маленкова A976) и И. Г. Ма-
Маленкова A978). Точки 17—20 соответствуют кипению натрия, калия, цезия,
рубидия, для которых скорость W рассчитывалась по полному тепловому
потоку (данные В. И. Субботина и др., 1968, 1969)
то критическая скорость вдува не зависит от свойств газа
(в частности, от его плотности и скорости звука в нем), обратно
пропорциональна pi/z, пропорциональна gI/2, 2i/2 и падает мед-
медленно С РОСТОМ ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ |Х;.
Вывод о парадоксальном влиянии акустических свойств газа
и малого числа (Маха) М на оттеснение жидкости газом есть
следствие только обработки экспериментов в виде G.8.10). Этот
вывод отражает не существо дела, а относится лишь к параметру
18*

264 ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
А'ц., так как в него включен множитель у pg, хотя плотность газа
pg практически не влияет или влияет очень слабо (как (pg) e,
если к% = A (^<2g)) M 3] на критическую скорость вдува W^ и
соответствующие безразмерные величины Wm и К%.
Чтобы понять качественно смысл формулы G.8.16), оценим
характерные значения размеров пузырьков, по порядку равных
длинам капиллярно-гравитационных волн S(Zg), скоростей этих
волн С(ад и соответствующих чисел Рейнольдса Re; = l/[xBg),
Reg, чисел Вебера We* и Weg на примере барботажа воды
азотом
б(ад ~ 3 • Ю-3 м, С™ ~ 0,2 м/с,
Re;~3.102, Re, ~ 3.10, G.8.17)
We, = р° (CBg)J 6Bg)/2 ~ 1, We, = р° (C(sg)J б(ад/2 ~ Ю"8.
Увеличение 2 приводит к увеличению размера пузырьков, что,
как и увеличение g, повышает скорость подъема пузырьков при
Re;^500, затрудняя разрушение пузырьковой структуры*).
То, что плотность газа почти не влияет на критическую ско-
скорость вдува, видимо, связано с тем, что силовое взаимодействие
газовых пузырьков и жидкости в рассматриваемых условиях,
характеризуемых параметрами G.8.17), из-за сравнительно не-
небольших чисел Рейнольдса Rei ^103 описывается не выражения-
выражениями G.8.12), а уравнениями, характерными для подъема пузырь-
пузырьков (Сц ~ 24/Rej), когда уравновешиваются силы Архимеда
F(g) и сила сопротивления Fiv\ которая определяется вязкостью
жидкости (см. § 2 гл. 2):
G.8.18)
Отсюда вместо к% получим критерий к*
Увеличение вязкости, замедляя подъем пузырьков, увеличивает
газосодержание пристенного слоя, облегчая его разрушение
(рис. 7.8.6). Влияние вязкости заметно ослабляется тем, что уве-
увеличение Hi приводит к увеличению размера отрывающихся пу-
пузырьков б ~ 2а, что отчасти компенсирует отмеченное уменьше-
уменьшение скорости подъема пузырьков.
*) При Re; > 500 увеличение размера б или объема б3 пузырька прак-
практически не приводит к увеличению скорости их подъема при сохранении
прочих условий (^, р°, (л;) (см. С. С. Кутателадзе, М. А. Стырикович, 1976).

§ 8. ПУЗЫРЬКОВОЕ КИПЕНИЕ И ЕГО КРИЗИС
265
Повышение давления, как показывает фоторегистрация про-
процесса, приводит к заметному уменьшению размера отрывающих-
отрывающихся пузырьков и, соответственно, к увеличению частоты их отры-
отрыва аналогично тому, как повышение давления приводит к повы-
повышению частоты ©г собственных объемных колебаний пузырьков
(см. A.6.22)).
Анализ экспериментальных данных по теплоотдаче. Интенси-
Интенсификация теплоотдачи при вдуве газа при пузырьковом барбота-
же и пузырьковом кипении происходит по двум причинам. Пер-
Первая — интенсификация конвективного теплообмена из-за переме-
перемешивания жидкости пузырьками в пристенном слое, т. е. за счет
6 810'
6 810"
Рис. 7.8.6. Зависимость газосодержания q> пристенного слоя от скорости W
вдува газа (азота) при барботаже воды A), 20 % раствора B) и 50 % ра-
раствора C) глицерина в воде (р = 0,1 МПа, Т = 280 К). Данные С. С. Кута-
теладзе, И. Г. Маленкова A976)
увеличения qi (см. рис. 7.8.1). Вторая — образование на поверх-
поверхностях пузырьков стоков тепла qie, идущих на испарение жид-
жидкости.
Эксперименты по барботажу, помимо определения критиче-
критической скорости вдува, позволяют выделить конвективную состав-
составляющую интенсификации теплообмена путем сведения к нулю
испарения за счет малых температурных напоров или тепловых
потоков (qw ~ 20 — 40 кВт/м2), низкой температуры жидкости
(для воды использовались температуры 5—8°С) и предвари-
предварительного насыщения вдуваемого газа паром барботируемой жид-
жидкости.
На рис. 7.8.7 показаны значения коэффициента теплоотдачи
j} = qw/(Tw — Т) между греющей стенкой с температурой Tw и
жидкостью с температурой Т при барботаже «холодной» воды
азотом и при кипении насыщенной воды. При барботаже наблю-
наблюдаются три области: первая — при малых скоростях барботажа
W, когда влияние W на [5 не проявляется; вторая — область раз-
развитого пузырькового барботажа, когда коэффициент р пропорци-

266
ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
онален Wn (п « 2/3); третья — область насыщения E по W, когда
интенсификация перемешивания жидкости и конвективного пере-
переноса за счет увеличения вдува газа компенсируется уменьше-
уменьшением содержания жидкости в пристенном слое. Протяженность
Z
s -
0
э о j
1
1
1
[
Г"
э ¦
о
э—1
о-
—
и
у
6
4
6 10

4 б 10
~2
4 В 10~f 2
W
Рис. 7.8.7. Зависимость коэффициента теплоотдачи Р, кВт/(м2-К) от скоро-
скорости вдува W при барботаже воды азотом (светлые кружочки) и кипении
воды (сплошная линия) при давлении р = 0,1 МПа. Данные С. С. Кутате-
ладзе, И. Г. Маленкова A976)
второй области по W увеличивается с увеличением температуры
жидкости, вдува сухого газа за счет испарения в пристенном
слое. Наиболее протяженной вторая область является при кипе-
кипении (см. сплошную линию на рис. 7.8.7), когда она прерывается
из-за кризиса при выполнении условия G.8.16).
Таким образом, во второй области, или в области развитого
пузырькового барботажа, для коэффициента теплоотдачи р, так
же, как и для К%, имеется аналогия барботажа и кипения.
При анализе теплоотдачи, помимо параметров G.8.5), следует
добавить коэффициенты теплопроводности и теплоемкости фаз
Xi, Xg, ci, cg. G.8.20)
Аналогично плотности и вязкости малые по сравнению с жид-
жидкостью теплопроводность и объемная теплоемкость газа (Аг<сЯ{,
9^g^-9icu не должны оказывать влияние на теплоотдачу, кото-
которую тогда можно задавать безразмерной зависимостью, часть па-
параметров в которой уже определена в G.8.6):
Nu =
>= W
G.8.21)
у g

§ 8. ПУЗЫРЬКОВОЕ КИПЕНИЕ И ЕГО КРИЗИС 267
Эксперимент показывает, что при повышении давления р коэф-
коэффициент теплоотдачи за счет конвекции (но не за счет испаре-
испарения) увеличивается путем смещения второй области (где коэф-
коэффициент р пропорционален И7273) в сторону меньших скоростей.
При этом точки, соответствующие разным давлениям, описыва-
описываются зависимостью типа $~$(pW), причем при развитом
пузырьковом режиме (вторая область) ?5 пропорционально
(pWJ/3. Увеличение § с ростом р связано не с повышением плот-
плотности газа (многократное изменение плотности газа за счет ва-
вариации сорта газа практически не влияет на f), а с повышением
частоты отрыва пузырьков, сопровождаемым уменьшением их
размера как при барботаже, так и при кипении.
Повышение вязкости жидкости уц понижает ту часть коэффи-
коэффициента теплоотдачи [J (но неравномерно в разных диапазонах
|x(Jg) и W), которая обязана конвекции, оставляя практически не-
неизменной ту часть р, которая обязана испарению. В результате
отмеченное уменьшение $ реализуется смещением второй обла-
области в сторону больших скоростей. При этом точки, соответствую-
соответствующие разным вязкостям, описываются единой зависимостью от
С. С. Кутателадзе и И. Г. Маленков A976) обобщили экспе-
экспериментальные данные в виде (рис. 7.8.8)
G.8.22)
( PW = PWCi — ад _
и<ад v ^
где при барботаже (вдуве) W определяется измеряемой приве-
приведенной скоростью вдува W в соответствии с G.8.21), а для кипе-
кипения рассчитывалось по полному тепловому потоку
= W" Wq = q-?. G.8.23)
У
Так как на парообразование идет только часть qw, равная qig <
< qw, то W < Wq.
Обработка в виде G.8.22) экспериментов по теплоотдаче по-
показала, что для кипения N^ = Л^кип)= A,5 ± 0,4) • 1СГ3, а для
барботажа (вдува)
КГ — ДГ(ВДУВ) _
Nf = 1,5-Ю при W^e) < 10~3,
/{W^S)) при 1(Г3 < W^xg) < 1(Г2 {А = 0,2-Ю-5),
i3) = 0,3 -Ю-3 при W^g) > 10~2.
G.8.24)

268
ГЛ. 7. ГА30- И ЛАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
Коэффициент теплоотдачи согласно этой зависимости может быть
представлен в виде
-МГ
G.8.25)
Отсюда видно влияние различных параметров на теплоотдачу
4 В 8№~
Рис. 7.8 8. Обобщенная зависимость коэффициента теплоотдачи Р от физи-
физических свойств жидкости и скорости вдува при барботаже (вода, водогли-
цериновые растворы) и кипении (вода, натрии, калий, цезий, этанол, бен-
бензол, жидкий азот и жидкий гелии, фреон) в виде зависимости параметра
Л'» =
'3
Nu от параметра W-\[{*g) — W-\nlZ. Давление р =
= 0,025 — 10 МПа
при пузырьковом барботаже и пузырьковом кипении на горизон-
горизонтальной поверхности при отсутствии вынужденного движения
(обтекания пластины).
«Холодные» эксперименты по теплоотдаче при барботаже с
точки зрения анализа кипения моделируют тепловой поток q'u
уносимый жидкостью:
q\ пропорционально
W пропорционально qig = qw — q'i.
С другой стороны, в соответствии с обработкой G.8.22), G.8.23)
qw пропорционально N(*an)W*^,
W пропорционально qw.
Тогда для оценки доли тепла q'i, уносимой жидкостью при кипе-
кипении, имеем алгебраическое уравнение
Для случая \?цШ) < 10, когда N = 1, получаем, что q\ » 0,6,

§ 9 ГИДРАВЛИКА И ТЕПЛООБМЕН В ТРУБЧАТЫХ ПЕЧАХ 269
qtgда 0,4. Для случая больших потоков пара (Wyi(j:g) > 10~2), ха-
характерного для кризиса, когда N « 0,2, из G.8.26) можно вычис-
вычислить q'i да 0,2, qig да 0,8.
С другой стороны, в «холодных» экспериментах по критиче-
критическому вдуву при барботаже моделируется тепловой поток qlg,
идущий на парообразование в пристенном слое. Согласно схеме
G.8.15) (см. рис. 7.8.5) при малых вязкостях (fiBi) < 10~2) и со-
состояниях, близких к критическим, этот тепловой поток определя-
определяется величиной К# ~ 310. Для щелочных металлов, для которых
К* вычислялось по полному тепловому потоку, К# « 900. Отсю-
Отсюда следует, что для щелочных металлов при околокризисных ре-
режимах qlgда 310/900 » 0,3. Это значение qlg сильно отличается от
значения <jig да 0,8, полученного выше из данных по теплообмену.
Для разрешения указанного несоответствия для qjqw в двух
типах «холодных» экспериментов необходимо провести экспери-
эксперименты по критическому вдуву при барботаже в условиях |J,(Zg) <
< 10~3, например при барботаже ртути воздухом или другими
газами, и окончательно удостовериться, что К% та 310 и не зави-
зависит от u.Bg). Тогда эксперименты по теплообмену при барботаже
ртути и других жидких металлов должны показать, что параметр
N^\ определяющий q'Jqw, растет с увеличением теплопровод-
теплопроводности жидкости, характеризуемой параметром K(Xs), ибо значение
jV\. = 0,3-10~3 получено из экспериментов по барботажу воды,
спиртов и т. д., у которых параметр Я(гя) практически один и тот
же, а именно I'2*' =@,3-0,5) Ю. А значение N(™n) =
= A,5 ± 0,4) 10~3 получено в экспериментах по кипению более
широкого класса веществ (в том числе и щелочных металлов),
охватывающих во много раз более широкий диапазон А.(ад =
= 0,3 • Ю-3 — 0,24. Для установления зависимости Л^3) (Х(ад)
необходимо провести «холодные» эксперименты по теплообмену
при барботаже, когда XBg) > 10~3, например при барботаже той
же ртути (А/ад «0,02).
§ 9. Гидравлика и теплообмен многокомпонентной
с химическими реакциями и фазовыми превращениями
газожидкостной смеси в трубчатых печах
В химической технологии, нефтепереработке и нефтехимии
широко используется совместное движение газа и жидкости в ка-
каналах. В частности, многие технологические процессы связаны
с необходимостью интенсивного нагрева больших масс многоком-
многокомпонентной жидкости, сопровождаемого фазовыми превращениями
и химическими реакциями. Для этого используются трубчатые
печи с внутренними диаметрами каналов около 0,1 м, через ко-

270 ГЛ. 7. ГАЗО- II ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
торые пропускают газожидкостные многокомпонентные потоки е
подводом тепла через стенки трубы за счет горения топлива вне
трубы. Уровень тепловых потоков в нефтепереработке достигает
50 КВт/м2. При этом при объемных концентрациях газа ag = ф >
> 0,8 и скоростях W 3= 10 м/с (Fr > 102) даже в горизонтальных
трубах реализуются практически осесимметричные дисперсно-
кольцевые режимы течения.
Цель данного параграфа — показать на примере так называе-
называемой «установки замедленного коксования» (УЗК) в производстве
нефтяного кокса*) C. И. Сюняев, 1981), как можно обобщить
уравнения и представления § 2—5 с целью учета многокомпо-
нентности фаз и химических реакций в них. Это обобщение было
выполнено в работе Р. И. Нигматулина, Р. Г. Шагиева и др.
A977). Следует иметь в виду, что в интенсивных процессах реа-
реализуются большие перепады давления, и прохождение химиче-
химических реакций зависит не только от интенсивности нагрева, но и
от чисто гидродинамических эффектов, определяющих, в частно-
частности, изменение давления, а с ним интенсивность испарения или
конденсации. Именно такие ситуации специфичны для ряда со-
современных интенсивных и энергоемких процессов, расчет и ана-
анализ которых требуют совместного решения полной системы урав-
уравнений масс, импульса, энергий фаз и кинетики межфазных и
внутрифазных процессов.
Каждая из составляющих смеси — газ, капли, пленка — явля-
являются гомогенными смесями нескольких компонент. Рассмотрим
случаи, когда химические реакции идут только в жидкой фазе
(каплях и пленке). Возможны также процессы массообмена
между составляющими: испарение газа из жидкости, срыв и
осаждение капель. Предполагается, что средние скорости газа и
капель, а также температуры всех трех составляющих потока —
газа, капель и пленки — совпадают (vi — v2, Г1 = 712 = 713), так
как в рассматриваемых ниже процессах характерные времена
*i2 и tiT) выравнивания соответственно скоростей газа и капель,
температур трех составляющих смеси много меньше характерно-
характерного времени tl0 = L/vl0 пребывания фиксированной массы любой
из фаз в канале, а с ними и характерные длины ^иг и ?(т)у4,
на которых выравниваются упомянутые параметры, много мень-
меньше длины канала L. Тогда уравнения сохранения масс газа, ка-
капель и пленки и уравнения импульсов ядра и пленки, уравнение
притока тепла всей смеси имеют вид G.2.8).
В рассматриваемых трубчатых печах для нагрева нефтяного
сырья газовая фаза состоит из легкой (Л) с молекулярным ве-
весом \im ~ 100, тяжелой (М) (пары масла с ц,т«400) и инертной
(В) (пары воды с ц„= 18) компонент. Последняя не участвует
в фазовых переходах и химических реакциях. Каждая из состав-
*) Обратил внимание автора на этот процесс А. С. Эйгенсон.

§ 9. ГИДРАВЛИКА И ТЕПЛООБМЕН В ТРУБЧАТЫХ ПЕЧАХ 271
ляющих жидкой фазы — пленка и капли — состоит из четырех
компонент: М — масла (^„,«400), С — смолы (цт«700), А —
асфальтены (|xm«900), К —карбоиды (цт«1000), которые пре-
претерпевают химические превращения по следующей схеме:
М 3f? G =*? А 5±К (жидкая фаза)
4 j | G.9.1)
(Л Л JI)-fB (газовая фаза).
Параметры, относящиеся к компонентам М, С, А, К в каплях
(/ = 2) и пленке (/ = 3), будут снабжаться соответственно ин-
индексами ;B), /C), /D), j{5), а параметры, относящиеся к инерт-
инертному газу В и компонентам Л, М в газовой фазе — индексами
1@), 1A), 1B), т. е. первая цифра — номер фазы, а вторая
(в скобках)—номер компоненты. Тогда уравнения масс компо-
компонент принимают вид
¦ d~- = U) dz = ^ 21A) + ^ 31A), dz ' = J 21B) -Г J 31B)r
r2l(ft)~
G.9.2)
dm3W т т° i f -l- Я< У IK
~ ¦-¦ - Js3(k) + bf Zj (л3(?А)'
(г,/= 1,2,3; A,? = 0,1, 2, 3,4, 5).
Здесь mi<ft) и А;3(Л) — соответственно поток и массовая концен-
концентрация к-й компоненты в /-й фазе; /]i(S) — интенсивность массо-
переноса к-й компоненты при фазовом переходе / ->¦ и При зада-
задании Jn(h) последним выражением G.9.2) полагалось, что состав
массы, претерпевающей переход / -*¦ i, совпадает с компонентным
составом ;-й составляющей. Далее, Kjihq) — скорость образования
q-й компоненты из к-й компоненты в жидкой фазе (/ = 2 —
в пленке, / = 3 — в каплях) из-за химической реакции.
Будем для простоты считать, что газовая фаза — смесь кало-
рически совершенных газов с газовыми постоянными Rgt_h), тепло-
емкостями при постоянном давлении с8(ь) (А; = 0,1,2) и с удель-
удельной теплотой парообразования 1,п и 1,2) компонент М и Л (&=¦
= 1,2):
2 2
р = Pi^iTi, Ri = 2 AKft)^(ft)» ч=2
(9>
= cgM (T — To) + ZA),
4B) = сла) (T - To) + ZB), i2 = i3 = c2(T~ Ta) + {p- Po)/p°2.

272 ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
Теплофизические данные для углеводородного сырья брались
из справочника (Методы..., 1974).
Выражения для Fi3, Fw, а также для интенсивного срыва JS2
и осаждения /2з брались в соответствии с § 3, 4. Местные сопро-
сопротивления из-за поворотов трубы учитывались введением попра-
поправочного коэффициента %w > 1 в силе Fw-
Вся образующаяся в жидкой фазе компонента Л полагалась
мгновенно испаряющейся (Аг2A) = Ат3{1) = 0). Интенсивность испа-
испарения тяжелой (второй) компоненты М определялась по равно-
равновесной схеме
Г), G.9.4)
где pSB) (T) и р1B) — давление насыщения и парциальное давление
компоненты М. Зависимость давления насыщения паров масла
(М) аппроксимировалась в виде (М. Л. Креймер, Р. И. Илемби-
това и др., 1974)
-f(T°sB)) У G.9.5)
= (Г-273)/Г,
О
где Тsw — температура насыщения (кипения) при нормальном
давлении р„ = 0,1 МПа.
Скорость химической реакции задавалась законом Аррениуса
G.9.6)
К;ш = K°km (j = 2, 3; (gk) = B3), C4), D5)),
о
где значения кинетических констант -Kj(qh) и Т(,&, для жидко-
фазных реакций брались согласно данным Института катализа
СО АН СССР, приведенным в статье Г. Г. Валявина и др. A975).
Использованные ниже теплофизические и кинетические пара-
параметры приведены в Приложении (таблица П.З).
Приведенные уравнения вместе с упомянутыми уравнениями
§ 3, 4 образуют замкнутую систему, для которой, если заданы
все параметры на входе, можно решать задачу Коши для обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений. На рис. 7.9.1, где х, =
= mjm, приведены результаты расчетов вместе с эксперимен-
экспериментальными данными, полученными на действующем реакционном
змеевике установки замедленного коксования (УЗК) с внутрен-
внутренним диаметром трубы D = 0,1 м, общей длиной L = 850 м и П-об-
разными поворотами через каждые 15 м. Рассмотрен режим с
расходом смеси ттг = 10 кг/с, газосодержанием на входе xi0 —
= rrii @)/m = 0,03, давлением на входе р0 = 2,5 МПа и распреде-
распределением теплоподвода Qw{z), показанным на рис. 7.9.1. Упоми-
Упоминавшийся коэффициент местного сопротивления из-за поворотов
в Fw для данной конструкции был принят равным %w — 1,54 из

§ 9. ГИДРАВЛИКА И ТЕПЛООБМЕН В ТРУБЧАТЫХ ПЕЧАХ
273
условия совпадения расчетной и экспериментальной зависимости
p(z) на одном режиме. Совпадение теоретических и эксперимен-
экспериментальных данных для остальных параметров — первое свидетель-
р МПа
2.0
1.0
>—
1
/
u
ь
10
ство адекватности модели. Анализ
показал удовлетворительное совпа-
совпадение теоретических и эксперимен-
экспериментальных данных и на других режи-
режимах (другие т, ж10, pa, Qw(z)). Та-
Таким образом, показана возможность
проведения адекватного численного
эксперимента на основе предложен-
предложенной модели для изучения процесса
в УЗК.
Из расчета следует наличие «кри-
«кризиса второго рода», характеризую-
характеризующегося уменьшением из-за испаре-
испарения до нуля в сечении z = z% рас-
расхода х3 и толщины жидкой пленки,
что должно приводить к ухудшению
теплоотдачи от стенки и повыше-
повышению ее температуры. Последнее п
является причиной наблюдающегося
пережога труб и постепенного закок-
совывания («склероза») проходно-
проходного сечения из-за попадания капель
на не защищенную пленкой раска-
раскаленную стенку трубы. Это подтвер-
подтверждается данными, показывающими,
что пережог и закоксовывание наи-
наиболее характерны на участке z> z^,
где согласно расчетам поток пол-
полностью дисперсный без пленки, при-
причем пленка исчезает, несмотря на
наличие в сечении z* большого ко-
количества жидкой фазы (х2>0,7;
см. рис. 7.9.1, где z* ~ 650 м поме-
помечено крестиком). Дело в том, что по-
подавляющая часть жидкости движет-
движется в виде капель в ядре и имеет
скорость, практически совпадающую
«о скоростью газа (у4 « р2 = 20—
50 м/с). Этот обнаруженный в рас-
расчетах факт подтверждается совпа-
совпадением времен пребывания жидкой
я газовой фаз в трубе.
В зависимости от вида исходного сырья с помощью численно-
численного эксперимента можно найти оптимальные значения конструк-
600 _.
ZOO 400 500 Z,M
Рис. 7 9.1. Расчетные и экспе-
экспериментальные данные по рас-
распределению параметров (дав-
(давления, температуры, скоростей
и расходов фаз) вдоль реакци-
реакционного змеевика установки за-
замедленного коксования (УЗК)
с внутренним диаметром тру-
трубы D = 0,1 м, общей длиной
L = 850 м и П-образными по-
поворотами через каждые 15 м.
Расход смеси т — 10 кг/с
(т° = 1273 кг/(м2-с)), газосо-
газосодержание на входе (z = 0) в
виде паров воды х^ 0> =
= тцО)/т = 0,03, давление на
в\оде р = 2,5 МПа. Распреде-
Распределение теплоподвода задано в
виде кривой Qw(z)

274 ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
ционных параметров D, L и управляющих параметров рй, т, xi0,
Qw(z).
Рассмотренный в данном параграфе метод расчета газожид-
газожидкостных течений многокомпонентных смесей с химическими ре-
реакциями и процессами массопереноса на примере течения в ре-
реакционном змеевике УЗК применим и к процессам термического
крекинга, первичной перегонки нефти, пиролиза нефтепродуктов
и т. д.
§ 10. Газодинамический кризис дисперсного
и дисперсно-пленочного парожидкостных потоков
При рассмотрении стационарного течения двухфазной смеси
из большого объема через каналы различной геометрии важной
характеристикой потока является критический (максимальный)
расход смеси. По определению течение смеси считается критиче-
критическим, если при фиксированных параметрах торможения и отно-
отношении расходов фаз на входе в канал невозможно добиться даль-
дальнейшего увеличения расхода смеси за счет понижения давления
на выходе из канала. Соответствующий этим условиям расход
называется критическим или максимальным. Знание характери-
характеристик критического истечения газожидкостных потоков и потоков
вскипающих жидкостей имеет большое значение для оценки по-
последствий аварийной разгерметизации объемов высокого давле-
давления, для оценки максимальных расходов через каналы и сопла,
в которых осуществляется разгон двухфазной жидкости.
Обзор экспериментальных данных по критическому расходу
газожидкостной смеси в различных условиях истечения (через
длинные и короткие трубы, сопла и отверстия, в пузырьковом,
капельном, дисперсно-кольцевом и других режимах течения)
имеется в работах G. Wallis A969), Г. В. Циклаури и др. A973),
В. А. Зысина A976), В. В. Фисенко A978), К. Ardron A978),
В. Г. Селиванова A976). Следует иметь в виду, что прове-
проведение экспериментов по высокоскоростному истечению через ка-
каналы больших диаметров (D = 0,1—1 м), которые представляют
интерес для анализа аварийных ситуаций, сопряжено с больши-
большими затратами. Поэтому весьма актуальным является построение
теоретических моделей, позволяющих описать процесс истечения
в широком диапазоне режимных параметров, в том числе и через
каналы больших диаметров.
Ниже рассмотрены основные положения теории критического
стационарного истечения двухфазной жидкости.
Ограничимся сначала случаем дисперсного газожидкостного
потока (пузырькового или капельного), описываемого уравнения-
уравнениями квазиодномерного течения в § 2, но при отсутствии пленки.
Параметры, относящиеся к несущей и дисперсной фазам, будут
снабжаться соответственно индексами 1 и 2 внизу. При этом

§ 10. ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЙ КРИЗИС ИСТЕЧЕНИЯ 275
примем квазиравновесность межфазной границы B-фазы), т. е.
Т* = Ts{p), а также Vu — Vz. В результате уравнения сохранения
масс, импульса и притока тепла для каждой из фаз в случае ста-
стационарного течения имеют вид (см. также A.4.8))
Pi = Pi«i, P2 = p2«2. «i + «2 = 1).
1SE+ F1 — FWl + J2i (V2 — Vj),
^ - F21 - FW2,
+ ^21 (y2 — ^1) ~ QlS — PwiVi + Qwi,
mi~^ = a2V2S -? ~ J2i (hs — h) — Fw2V2 — (?2s + Qw2,
QlZ + QzZ = hi (Us — Its) , P = Pi (QlZ = <?,B2), I = 1, 2) .
Эти уравнения следует дополнить термодинамическими уравне-
уравнениями состояния фаз
р° = Р° (Pj, Tj), i, = i; (Pj, Tj) (/ = 1, 2), G.10.2)
уравнениями для размера капель или пузырьков (например,
уравнением A.3.9) для размера несжимаемых, недробящихся ка-
капель или уравнением Рэлея — Ламба A.3.15) для размера пу-
пузырьков) и уравнениями, определяющими силовое взаимодей-
взаимодействие фаз FZi и межфазный теплообмен (Qu:, Qzx)- Тогда, если
задано внешнее воздействие на поток, т. е. заданы геометрия ка-
канала (S(z)), силовое (Fwi и FWz) и тепловое (Qwi и QWi) воз-
воздействия со стороны его стенок, получим замкнутую систему
уравнений двухскоростного двухтемпературного течения.
При заданных параметрах на входе (z — zb — 0), которые бу-
будут отмечаться индексом Ъ («begin») внизу:
z = 0: p = pb, v1 = vib, Vz = v2b, /Р7-ЛОЧ
гр т Т Т G.10.3)
1 1 — I ib, I г — I 2Ь, OCi — CCii,, п — пь,
распределение параметров вдоль канала длиной L @ < z < L)
находится путем решения задачи Коши G.10.1) — G.10.3).
Складывая оба уравнения масс фаз, получим интеграл массы
или расхода смеси
rrii + тпг = m = m0 ~ const. G.10.4)
Для адиабатических потоков, в которых отсутствует теплообмен

276 ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
со стенкой (Qwi — Qwz = 0), имеет место интеграл энергии смеси
mi ( h + -j ) + т2 ( к + -f j = "Vo = const, G.10.5)
где U — энтальпия торможения.
Постановка задачи о стационарном истечении двухфазной
жидкости из большой емкости через канал. Критический режим.
Пусть имеется большая емкость, из которой через канал (харак-
(характерные размеры сечения которого Si/2 много меньше характерно-
характерного размера емкости) истекает двухфазная жидкость. Внутри ем-
емкости реализуются параметры торможения, отмеченные индексом
0 внизу:
PlO; р20) ^10 = 1^20 = U, 1 ю = 1 20 = 1 0) Рп
o, То)).
Параметры торможения будем считать не меняющимися во вре-
времени, что обеспечивается большими размерами емкости по срав-
сравнению с S1/2 и что является необходимым условием стационарно-
стационарности истечения. При фиксированных параметрах торможения в
зависимости от давления (противодавления) в пространстве, ку-
куда истекает двухфазная жидкость, будут реализовываться разные
расходы т0. Ограничимся адиабатическими процессами истечения
Qwi = Qvn = 0. G.10.7)
Требуется определить максимально возможный расход т0. Соот-
Соответствующие этому расходу режим, давление на выходе из кана-
канала р (L) ^ р„ и сам максимальный расход называются критиче-
критическими. Критические давление на выходе и расход будут отме-
отмечаться как /?sj. и mt.
Если истекающая среда — идеальная сжимаемая жидкость,
для которой, помимо G.10.7), отсутствует трение о стенки ка-
канала (i*V = 0), то известно, что критический поток реализуется,
когда в горло канала (в минимальном сечении) или, в случае
канала постоянного сечения (S' = 0) — на всей длине канала,
скорость потока равна скорости звука (v = C). Межфазная не-
неравновесность и трение о стенку канала изменяют это канони-
каноническое положение.
Равновесная идеальная схема истечения. При равновесном
течении парожидкостной смеси, когда
vl = v2 = v, Tl = Tz = Ts(p), G.10.8)
в отсутствие взаимодействия со стенкой, когда помимо адиаба-
тичности G.10.7) отсутствуют силы трения на стенке,
Fwi=Fwt = 0, G.10.9)
уравнения G.10.1) сводятся к уравнениям изоэнтропического
(s = s0 = const) течения идеальной сжимаемой жидкости с заранее

§ 10. ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЙ КРИЗИС ИСТЕЧЕНИЯ 27?
определяемым баротропньга уравнением состояния
р=р(р, s0), so = s{po, х10). G.10.10>
Скорость потока определяется из интеграла Бернулли
v
¦^ = - | Ц-, или -f = h - i (P) G.10.11)
где ilS — энтальпия фаз (/ = 1, 2) в состоянии насыщения, х, —
массовое содержание фазы. Условие постоянства энтропии име-
имеет вид
ZiSis (р) + x2s2S (р) = s0 = const. G.10.12)
Указанное выше условие критического режима течения идеаль-
идеальной жидкости имеет вид
. G.10.13)
Из соотношения
1 _ *1 . **
р Pi P2s
с учетом G.10.12) и условия насыщения фаз (р3- =Pjs(p)) полу-
получим выражение для скорости звука через производные от Pj, st
вдоль линии насыщения
J
p) = - (p) = —JL_ L ^ + ,2 ^1, G.10.14)
В результате расчет критического режима равновесного истече-
истечения сводится к определению критического давления р%, для кото-
которого при заданном р0, То, xia выполняется G.10.13). Для таких
расчетов из-за трансцендентного характера зависимостей Pjs (p)r
Ьв{р), Sjs(p) применяют либо графоаналитический метод с ис-
использованием i — s диаграмм состояния вещества в двухфазной
области, либо метод последовательных приближений для алгеб-
алгебраического уравнения G.10.13).
Схематизация входного участка. Квазиодномерное течение,
описываемое уравнениями G.10.1), реализуется только в канале
О «S z < L. При этом параметры на входе в канал G.10.3) отли-
19 Р. И. Нигматулин, ч. II

278 ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
чаются от параметров торможения G.10.6), ибо при истечении
(то^О) имеем vi0 ¦ v20 ^ 0. В связи с этим необходимо задать
схему процесса на входном участке, позволяющую по парамет-
параметрам торможения G.10.6) и расходу пг0 определять параметры на
входе G.10.3). Укажем некоторые возможные расчетные схемы
входных участков. Если в емкости, из которой происходит исте-
истечение через рассматриваемый канал, находится однофазная (не-
догретая) жидкость (первая фаза):
Ро = Pio = Рю> Р2о = °. G.10.15)
то можно пренебречь изменением плотности и фазовыми перехо-
переходами на входном участке. Тогда можно использовать интеграл
Бернулли для несжимаемой жидкости:
Ть = Т0, рь = Р0, Раь = О, рь = р0 — 1/2pbvl, vb = m0/pbSb.
G.10.16)
Эту схему можно обобщить и на случай, когда в емкости имеется
двухфазная среда (рюрго^О), но мал перепад давления на вход-
входном участке (р0 — рь < р«). Тогда можно принять
Ть = То, pis = Рю, ргь = Рго (рь = Ро),
G.10.17)
Ръ = Ро — /aPbVb, vb = vlb=v2b=m0/(pbSb).
Для оценки максимального влияния фазовых переходов на вход-
входном участке можно использовать уравнения равновесного изоэн-
тропического течения двухфазной жидкости G.10.10) — G.10.12)
Ть = Ts (рь), vb = ma/((plb -f р2Ь) Sb),
plb = A — a2b) pis (Рь), Ргь = a2bpzs (p),
(Рь) + ^2bi2s (Рь) + 1/2vl = i0, G.10.18)
(poSo = PioSi(po, To) + PzoS2 (po, To),
позволяющие по заданным р0, Та, а20 вычислить рь, Ть, а2Ь, vb и
другие величины.
Если вход в канал гладкий, то можно экстраполировать кон-
контур канала в область zo<z<;O, занятую емкостью, по закону
типа 5 = Sb + Az2 + Bz, полагая, что соответствующая поверх-
поверхность «экстраполированного канала» является поверхностью тока.
При этом для задания граничных условий в точке z0 можно ис-
использовать одну из вышеприведенных схем, а в области z > z0
использовать принятые уравнения квазиодномерного течения.
Если вход в канал не сглажен, а имеет прямоугольную или
острую кромку, то линии (поверхности) тока в емкости (z<0),

§ 10. ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЙ КРИЗИС ИСТЕЧЕНИЯ
279
дающие заметный вклад в расход т0, не могут быть получены
экстраполяцией стенок канала (ибо линии тока во входном участ-
участке не параллельны стенкам канала, а струя имеет сужение
(рис. 7.10.1)). В этом случае начало интегрирования z = 0 квази-
квазиодномерных уравнений следует
сдвинуть в канал на расстояние
@,5—l,0)Z>, где D — диаметр ка-
канала на входе. Если в емкости —
однофазная (недогретая) жид-
жидкость, в сужающейся части фазо-
фазовые переходы не успевают про-
произойти. Тогда имеем следующие
уравнения для расчета входного
участка с острой кромкой:
'_// / / // //
°ооо°°.
G.10.19)
Рис. 7.10.1. Структура потока при
течении вскипающей жидкости в
трубе с острой входной кромкой
где г| — коэффициент сужения во входном участке. Для входа с
прямоугольной кромкой следует принимать т) « 0,61, что харак-
характерно для течения однофазной жидкости и близко к значению
0,595, полученному в экспериментах А. К. Тихоненко и др.
A978) для истечения вскипающей воды.
Условие реализации критического потока. Систему уравнений
G.10.1) можно разрешить относительно производных. В этом
выражении для градиента давления в случае парокапельной сме-
смеси с несжимаемой конденсированной фазой (рг = const) при ее
адиабатическом течении G.10.7) имеет вид
S'lS + I
С" _
dz
dS
dz
с2, = c\
G.10.20)
О о
* №1 W2 r L I _1_
Wl
где Ci — скорость звука в несущей фазе (паре) и ее выражение
через функции рг(р, Т) ж г4(р, Т) см. F.11.12); далее, (^—«за-
(^—«замороженная» или характеристическая скорость звука в смеси,
t — функция, которая определяется величинами /21, /*\2, Qis, Qm
(межфазным взаимодействием в потоке) и величинами FWi, FWz
(взаимодействием потока со стенками канала).
19*

280 ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
При критических или околокритических течениях поток раз-
разгоняется (dvi/dz> 0) и давление вдоль канала падает (dp/dz <
<0). Непрерывный переход через характеристическую скорость
звука Cf, когда v, = Cf, может быть только в сечении, где S'/S +
+ ? = 0. Для ускоряющегося течения идеального газа в отсут-
отсутствие теплообмена и трения со стенкой ? = 0, и переход через
скорость звука происходит, как уже упоминалось, в горле сопла
E' = 0, S = Smm). Межфазная неравновесность двухфазного по-
потока, трение о стенку приводят к тому, что % ?=¦ 0 и переход через
скорость звука происходит не в горле, место этого перехода зави-
зависит от ?.
В общем случае выяснить поведение функции t, затрудни-
затруднительно вследствие большого количества возможных значений вхо-
входящих в нее параметров. Однако анализ практически важных те-
течений позволяет указать знак ? на основе следующих простых
рассуждений.
В разгоняющихся потоках при vt < Cf в трубах (каналах, где
S' =0) давление падает (dp/dz <0). Тогда из первого уравнения
G.10.20) следует, что в этих режимах ? < 0. В суживающемся
канале (S' < 0) за счет сужения поток дополнительно разгоня-
разгоняется. Это в тех случаях, когда на входе в канал поток близок к
равновесному, усиливает (по сравнению с течением в трубе) меж-
межфазную неравновесность, что должно увеличивать абсолютные
значения ?. Данное обстоятельство свидетельствует о том, что
при у, < Cf и при разгонном режиме (dvjdz > 0, dp/dz < 0) в
суживающихся участках канала имеет место ? < 0. Так как зна-
значение ? непосредственно не зависит от S'/S и от соотношения
между Vi и Ci: то можно сделать вывод о том, что для разгонных
участков канала (т. е. там, где dvjdz > 0 и dp/dz < 0) характер-
характерным является ? < 0. Отсюда следует важный вывод: в разгонных
течениях (dvl/dz>0), когда в исходном состоянии жидкость на-
находится в состоянии, близком к равновесному, непрерывный пере-
переход через характеристическую скорость звука Cs (S'/S + t, = Q)
происходит в расширяющейся части канала E">0). Соответ-
Соответствующая точка, которую будем обозначать через t, а ее про-
продольную координату — через z^, является в плоскости zp особой
точкой типа седло (рис. 7.10.2), как и в случае идеального газа.
В отличие от идеального газа, когда z^ было заранее известно и
соответствовало минимальному сечению (горлу) канала, для не-
неравновесного течения нахождение z# и соответствующего расхода
Тоц. возможно только в процессе интегрирования системы диффе-
дифференциальных уравнений движения среды, позволяющего опреде-
определить координату критического сечения г# и последовательно
учесть влияние «предыстории» потока (на участке 0 < z < г„.) на
значение параметров в критическом сечении.
Возвращаясь к поставленной выше задаче нахождения для
заданных параметров торможения и заданного канала стационар-

§ 10. ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЙ КРИЗИС ИСТЕЧЕНИЯ
281
ного критического режима истечения с максимальным расходом
т*, отметим два возможных случая. Первый — если в процессе
интегрирования системы дифференциальных уравнений оказыва-
оказывается, что особая точка t нахо-
находится в пределах рассматрива- {&
емого канала (см. рис. 7.10.2, а),
т. е.
Y-^ + ? = 0, G.10.21)
vt = Cf, dp/dz = 0/0,
то искомому критическому ре-
режиму соответствует сепаратри-
сепаратриса 3, проходящая через точки 0
B = 0, р=р0) mt(z = z,?), ко-
которой соответствует расход т*.
При этом кривые, лежащие вы-
выше сепаратрисы (линии 1 и 2),
соответствуют режимам с рас-
расходами, меньшими т% (такие
режимы называются докрнти-
ческими), а кривые, лежащие
ниже сепаратрисы (линии 4 и
¦5, для которых т > т%), соот-
соответствуют физически нереали-
зующимся течениям типа «оп-
«опрокинутых» волн (см. § 4 гл. 4
и § 4 гл. 6) для данного кана-
канала с заданными параметрами
торможения.
Второй случай — если в пре-
пределах сопла S'/S + X, < 0, т. е.
особая точка в пределах кана-
канала @ < z < L) не реализуется
или особая точка t формально
находится вне рассматривае-
рассматриваемого канала (z% > L, см.
рис. 7.10.2, б), то искомому кри-
критическому режиму соответству-
соответствует линия 5', у которой характе-
характеристическая скорость достигается несущей фазой (vt=Cf) на
выходе из канала (z — L). При этом на выходе градиенты давле-
давления и скорости несущей фазы равны бесконечности (см. G.10.20)):
Рис. 7.10.2. Интегральные кривые в
плоскости zp, соответствующие ста-
стационарному истечению через сопло
Лаваля: а — когда особая точка t
(где скорость несущей фазы «i до-
достигает характеристической скорости
звука Cf) с координатой z = г* на-
находится в пределах сопла; б — когда
особая точка t — вне сопла (z,. > L)
i=Cf, ^ = -°°. G-10.22)

282 ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
Кривые, лежащие выше указанной линии 5' (в том числе и сепа-
сепаратриса 3'), соответствуют докритическим режимам с расходами
меньшими, чем расход для линии 5'. Кривые, лежащие ниже ли-
линии 5' («опрокинутые» волны), физически нереализуемы.
Выше было показано, что для разгонных течений, каковыми
являются критические течения, имеет место ? < 0. Поэтому для
труб (каналов с постоянным сечением: >S' = 0) и суживающихся
каналов E' < 0) критический режим и максимальный расход
определяются только вторым условием, а именно условием
G.10.22) достижения скорости несущей фазы характеристиче-
характеристической скорости Cf в выходном сечении (z = L). Значения давле-
давления р% и других параметров в критическом (выходном) сечении,
градиенты которых вдоль оси z в этом сечении равны бесконеч-
бесконечности, следует определять в фазовых плоскостях типа vtp экстра-
экстраполяцией p(Vi) в «сечение» vt = Cf.
Критическое стационарное истечение вскипающей жидкости
через трубы и сопла. Рассмотрим задачу о стационарном квази-
квазиодномерном истечении вскипающей жидкости, описываемом си-
системой уравнений сохранения G.10.1) — G.10.3), но в односко-
ростном приближении (vi = v2 = v, тогда вместо двух уравнений
импульса фаз следует использовать уравнение импульса смеси,
являющееся суммой этих двух уравнений), в приближении насы-
насыщенности пара (Т2 — Ts(pz)) и с уравнениями B.6.48) (где
Рсо=р), A.3.56), A.6.20), определяющими а и q-zi = —QiJn
(см. § 11 гл. 6) для термического роста пузырьков. Тогда вместо
уравнения G.10.20) имеем следующее дифференциальное урав-
уравнение для р:
d S'/S + t dJd
dz ~PV i_yyC2' dz ~ m dz
(die
9] щв
G.10.23)
--- ()
Vl P°g
где Cf — характеристическая для данной модели двухфазной сре-
среды скорость звука, «замороженная» по фазовым переходам и
теплообмену в жидкой фазе, но равновесная по скоростям фаз.
Силу трения Fw = nDxw газожидкостного потока о стенку кана-
канала будем задавать уравнением G.1.5) с коэффициентами А = 1,
п = 1,75. Входной участок будем описывать уравнениями
G.10.16), G.10.19). Схема течения показана на рис. 7.10.1. При

§ 10. ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЙ КРИЗИС ИСТЕЧЕНИЯ 283
истечении горячей воды при давлениях р > 0,5 МПа через трубу
с прямоугольной входной кромкой на начальном участке до се-
сечения 2 фазовые переходы отсутствуют. Это экспериментально
подтверждено в работе Л. К. Тихоненко и др. A978). Отмечен-
Отмеченный в указанной работе локальный минимум давления в сечении
2, где сечение жидкой струи является минимальным, свидетель-
свидетельствует о том, что здесь достигается максимальный перегрев жид-
жидкости и, следовательно, возникают наиболее благоприятные ус-
условия для появления в объеме жидкости паровой фазы. Рост
паровых пузырьков в объеме струи перегретой жидкости приво-
приводит к расширению струи и к ее «замыканию» на стенки канала
(сечение 3). Движение оторвавшейся струи на участке 2—3 при-
приближенно можно полагать изобарическим. С увеличением as вы-
выше значения, предельного для существования пузырьковой струк-
структуры потока, возможна ее перестройка из пузырьковой в паро-
капельную (участок 4—5).
Начальная стадия вскипания в оторвавшейся от стенки кана-
канала струе определяется гетерогенным зародышеобразованием в
объеме перегретой жидкости. Модель этого процесса рассмотрена
в § 7 гл. 1 и использована в § 11 гл. 6. Поскольку характерный
диаметр жизнеспособного зародыша паровой фазы зависит от
теплофизических параметров жидкости и ее перегрева, при раз-
различных перегревах идентичных образцов жидкости действующи-
действующими центрами парообразования оказываются различные количест-
количества включений. Спектр примесных частиц N(a) с некоторым при-
приближением можно восстановить, решая «обратные» задачи о ста-
стационарном истечении вскипающей воды (Б. И. Нигматулин,
К. И. Сопленков, В. Н. Блинков, 1982) с привлечением соответ-
соответствующих экспериментов.
Для построения зависимости п(а), дающей число примесных
частиц с радиусом, большим а, т. е. надкритических или жизне-
жизнеспособных при р < ps — 22/а, в единице объема жидкости целе-
целесообразно использовать экспериментальные данные по критиче-
критическому стационарному истечению насыщенной воды из коротких
(l<L/Z)<10, L<0,3 м) труб с прямоугольной входной кром-
кромкой. Нижняя граница значений LID лимитируется правомер-
правомерностью квазиодномерной модели течения, а верхняя — условием,
чтобы на большей части трубы перегретая жидкость не контак-
контактировала с поверхностью канала и вскипание на стенках заве-
заведомо пе играло заметной роли. Верхняя граница L определяется
тем, что в длинных трубках из-за большого времени пребывания
жидкости в канале кинетика, а точнее запаздывание вскипания,
проявляется слабо, и течение близко к равновесному.
При решении «обратных» задач все условия задавались из
эксперимента и подбиралось такое число п, при котором расчет-
расчетные распределения давления и критическая длина трубы совпа-
совпадали с экспериментальными. Критический режим течения счи-

284
ГЛ 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
тался реализованным при выполнении с заданной точностью ус-
условия G.10.22).
На рис. 7.10.3 представлен результат такой обработки экспе-
экспериментальных данных для станционной воды. Следует иметь в
виду, что для режимов истечения воды при более высоких давле-
давлениях (р > 16 МПа) в минимальном сечении жидкой струи (сече-
(сечение 2 на рис. 7.10.1)) реализуются перегревы, соответствующие
числам Гиббса Gi=20 — 30, когда происходит гомогенное (спон-
(спонтанное) зародышеобразование, на фоне которого роль примесных
частиц становится малозаметной. При этом критические расходы
оказываются близкими к расходам, определенным по равновесной
модели.
Доказательством адекватности описанной выше модели слу-
служит сопоставление расчетных результатов с экспериментальными
данными по максимальным удельным расходам пг# — mjS (L) п
распределениям давления вдоль канала при критическом исте-
истечении. Такое сопоставление выполнено для истечения насыщен-
насыщенной и недогретой воды в более широком диапазоне параметров
12
10
10'
710
n-1 -tnO
10° 2а.мкм
Рис. 7.10 3. Число примесных частиц (центров вскипания), диаметр которых
превышает 2а, в воде, прошедшей обработку, применяемую на тепловых
электростанциях. Приведенные точки получены в результате обработки экс-
экспериментальных данных (Д. А Хлесткий и др, 1977, Л. Р. Кеворков и др ,
1977, Л. К Тихоненко и др., 1979) по истечению вскипающей воды через
цилиндрические насадки диаметром D — 3,6—25 мм и удлинением LID —
= 4—-10 при давлениях торможения р0 = 1,0—14 МПа. Крайние левые точ-
точки Bа « 7-10 3 мкм) соответствуют давлению р0 = 14 МПа, когда при ис-
истечении минимальное значение числа Гиббса (см A 7.13)) было равно GI =&
ж 60. В связи с этим (см. A7.14)) гомогенное зародышеобразованпе было
незначительным
каналов, по сравнению с использованным, для получения зависи-
зависимости п(а), приведенной на рис. 7.10.3. Помимо эксперименталь-
экспериментальных данных для труб с прямоугольной входной кромкой C,6 <
< D < 38 мм, 4 < LID < 20, К р0 < 16 МПа), использовались
экспериментальные данные Н. Fauske A965) и данные Л. К. Ти-
Тихоненко и др. A980) по истечению через сопла Л аваля. Сопо-

§ 10. ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЙ КРИЗИС ИСТЕЧЕНИЯ 285
¦ставление теоретических и экспериментальных данных удельных
критических расходов в диапазоне т^ = (8 — 60)-103 кг/(м2-с) по-
показало, что их расхождение не превышало 10%-
В представленной модели учитываются два необратимых про-
процесса. Первый — межфазный тепло- и массообмен G\ > Тг =
= Т8 (р)), из-за неравновесности которого происходит перегрев
жидкости и запаздывание превращения ее в пар. Второй — тре-
трение о стенку (гидравлическое сопротивление), из-за чего проис-
происходит необратимое падение давления, связанное с диссипацией
кинетической энергии жидкости. Интенсивность первого процесса
определяется концентрацией и распределением п(а) зародыше-
зародышевых частиц, теплофизическими свойствами среды \Ki, с;, рг, pg, I),
входящими в уравнение B.6.48) для скорости роста пузырька,
перепадом давлений ро — р«, и коэффициентом сужения струи т),
влияющим на глубину захода состояния истекающей жидкости в
метастабильную область, т. е. на значение давления рь в мини-
минимальном сечении струи, которое определяет максимальный пере-
перегрев жидкости А77 = То — Ts(p) в рассматриваемом процессе. Ин-
Интенсивность второго процесса определяется силой трения о стен-
стенку канала Fw — nDxw-
Запаздывание вскипания приводит к уменьшению паросодер-
жания a,g = а2, следовательно, и к увеличению удельного критиче-
о
ского расхода т, по сравнению с равновесной схемой, причем
этот эффект тем сильнее, чем чище жидкость от примесных ча-
частиц и чем меньше время пребывания жидкости в канале, т. е.
чем меньше длина трубы L. Необратимая потеря давления на
трение, так же, как обратимое падение давления из-за сужения
струи на входе и ускорения жидкости, способствует ускорению
О
вскипания и уменьшению тп^. В связи с указанным противопо-
противоположным влиянием двух необратимых процессов на критический
расход последний может быть как меньше, так и больше соот-
о
ветствующего значения тп^, определяемого по идеальной равно-
равновесной схеме, что и отмечается в эксперименте (рис. 7.10.4).
В диапазоне параметров, представленном на рис. 7.10.4, гидрав-
гидравлические потери давления из-за трения на стенке канала Fw ма-
малы по сравнению с обратимым падением давления, связанного с
ускорением потока. А так как диаметр канала D влияет на про-
процесс только через силу Fw, то вариация D при фиксированных р0
и L (последняя при фиксированном р0 определяет запаздывание
вскипания) слабо влияет на критический расход.
На рис. 7.10.5 представлены распределения параметров при
критическом истечении вскипающей воды из сосуда высокого дав-
давления (р0 = 8,5 МПа) через две трубы одинакового относительно-
относительного удлинения {LID = 4), но в 20 раз различающимися диаметра-
диаметрами D и длинами L. В обоих случаях малы зависящие от диа-
диаметра канала потери давления из-за трения Fw- При этом время

286
ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
пребывания истекающей жидкости в трубе с D = 25 мм, L =»
= 100 мм (см. рис. 7.10.5, а) равно tL « 1 мс, а в трубе с D =
= 500 мм, L = 2000 мм (рис. 7.10.5,6) равно tL ~ 22 мс, в связи
с чем температурная или фазовая неравновесность и запаздыва-
запаздывание вскипания в большой трубе много меньше, чем в малой.
Поэтому удельный критический расход через большую трубу за-
заметно меньше, чем через малую. Если входной участок скруг-
скруглить так, чтобы г| было близко к 1, то согласно расчету для боль-
большой трубы критический расход увеличивается на 13% из-за
меньшего падения давления на входном участке, что уменьшает
перегрев и интенсивность вскипания. При этом из-за увеличения
скорости истечения, приводящего к уменьшению tL, несколько
увеличивается и запаздывание вскипания.
Отметим, что для всех представленных здесь вариантов роль
пристенного парообразования в перегретой жидкости на микро-
микронеровностях поверхности канала незаметна. Этот процесс для во-
воды становится существенным при невысоких давлениях (ра <
< 1 МПа) и температурах, когда реализующиеся перегревы не-
невелики и имеющиеся в жидкости примеси не могут стать жизне-
жизнеспособными центрами вскипания, при течениях в более длинных
Рис. 7.10.4. Влияние давления ро,
длины L и диаметра D трубы на
удельный критический расход т^
при стационарном истечении на-
насыщенной в исходном состоянии
(состоянии торможения о) воды
через прямую трубу с прямоуголь-
прямоугольной входной кромкой (экспери-
(экспериментальные данные Л. Р. Кевор-
Кеворкова и др. A978)). Цифровые ука-
указатели 0,3; 1; 4; 9 соответствуют
значению р0, МПа, штриховые ли-
линии — расчет по равновесной мо-
модели идеальной жидкости
4-10
2-W
0,4 0,8 f,Z 1,м
и тонких каналах (D < 10~2 м, L 3= 0,5 м) и соплах с профилями,
обеспечивающими безотрывное обтекание и большую омываемую
жидкостью поверхность. Факт развитого пристенного парообразо-
парообразования при течении вскипающей воды в соплах Лаваля зареги-
зарегистрирован экспериментально в ряде работ (Г. А. Мухачев и др.,
1973; В. Н. Блинков и др., 1981), а гидродинамические неравно-
неравновесные модели, построенные с привлечепием гипотезы о пристен-
пристенном зародышеобразовании, позволяют удовлетворительно описы-
описывать подобные течения (А. А. Авдеев и др., 1977; В. Н. Блинков,
С. Д. Фролов, 1982).
Течение в расширяющейся части сопла Лаваля может ослож-
осложняться сильной неравномерностью скоростей и паросодержаний

§ 10. ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЙ КРИЗИС ИСТЕЧЕНИЯ
287
из-за отрыва жидкой струи от стенок канала (М. Е. Дейч,
Г. А. Филиппов, 1981).
Влияние неравновесности и гидравлического сопротивления
(диссипации) на критическое истечение жидкости в пузырьковом
т,к
U, М/С с
ь . ,
'00 мм
V
\.
р
.-<д
1=2
-—-—..
,,,,,,,
000 мм
Рис. 7.10.5. Распределение параметров стационарного критического потока
вдоль по каналу при истечении вскипающей воды из большого объема (где
вода находится в состоянии насыщения: р0 = 8,51 МПа, Го = 572 К.) через
трубы (L/D = 4) с прямоугольной кромкой на входе; а —для D = 25 мм,
L = 100 мм, тл = 35 700 кг/(м2-с); 6 — для D = 500 мм, L = 2000 мм, т° =
= 27 770 кгДм • с). Линии — расчет, точки — измерения давления в экспе-
эксперименте (Л. К. Тихоненко и др., 1978)
режиме теоретически исследовалось в работах Ю. В. Миронова
A975), Б. И. Нигматулина, К. И. Сопленкова A978), К Ardron
{1978), J. Boure A972).
Критический поток в дисперсно-кольцевом режиме течения.
При истечении вскипающей жидкости через длинные каналы па-
росодержания могут стать достаточно большими, чтобы в подав-
подавляющей части канала реализовывался дисперсно-кольцевой ре-
режим течения (а* = <р > 0,8). Анализ таких течений (А. И. Иван-

288 ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
даев, Р. И. Нигматулин, 1972; Б. И. Нигматулин п др., 1977;
А. И. Ивандаев и др., 1977) в общем случае основывается на
трехскоростной трехтемпературной схеме § 2. Если соответствую-
соответствующие уравнения сохранения массы, импульсов, притоков теп-
тепла и состояний фаз разрешить относительно производных,
получим
= (mlt m2, та, Та, Т3, а), к = 1, 2, ..., 6;
^ ^Г = (vv vt, v3, p, Тг), /=1,2,...,5; G.10.24)
Д ~ 1 - vJC,.
При этом параметры дисперсно-кольцевого потока разделяются
на два типа. Первый тип — шесть параметров Хт, дифференци-
дифференциальные уравнения для них имеют характеристический вид без
особенностей. Второй тип — пять параметров Y{3). Исходные диф-
дифференциальные уравнения сохранения и состояния для них со-
содержат производные двух и более переменных из числа Y{1).
После разрешения этих уравнений относительно производных по-
получаются уравнения с особенностями в точках, где Д = 0. По-
Последнее условие определяет в пространстве Y0) совокупность па-
параметров смеси, или гиперповерхность, в точках которой гради-
градиенты Y{3) вдоль оси z равны бесконечности и меняют знак, за ис-
исключением особых точек этой гиперповерхности, где кроме Д = О
имеет место Дш = 0 (j = 1, 2, ..., о). Для трехскоростной трех-
трехтемпературной схемы потока эта гиперповерхность определяется
уравнением Vi — Cf, где
С
- 1+е2-
G.10.25)
(Kt = vJVi (i = 2, 3), e =
Здесь К, — так называемые параметры скольжения составляю-
составляющих смеси. Интерес представляет и значение осредненного по
жидкости параметра скольжения
G.10.26)
Si =^ Sz = Sc, i53 ^ Sf),
где х, — массовое содержание г-й составляющей смеси, отличаю-
отличающееся от расходного содержания х,.

§ 10. ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЙ КРИЗИС ИСТЕЧЕНИЯ 289
Соответствующее G.10.25) выражение для удельного крити-
критического расхода т^ имеет вид
G.10.27)-
(е2 = е3 = pg/p°, e1 = K1 = l).
О
Определить входящие сюда значения р1; С\, х2, х3, К2, К3 можн»
лишь после решения всей задачи о критическом течении, возни-
возникающем при заданных давлении р0 и расходном паросодержании
х10 на входе в канал. В математическом плане задача сводится к
отысканию решения системы уравнений сохранения (§ 2) с за-
замыкающими соотношениями (§ 3, 4). Критическое истечение че-
через трубу заданного диаметра соответствует условию А = 0 на
выходе (z = L). Решение может быть найдено пристрелкой, т. е.
подбором такого значения расхода смеси т* (при фиксирован-
фиксированных /?о и xi0), которое реализует Д(?) = 0.
На входе в экспериментальный участок (г = 0) непосред-
непосредственно из опыта обычно известны лишь два параметра: массовое
расходное паросодержание х10 = тю/т0 и давление р0. Для про-
проведения расчетов, т. е. решения задачи Коши для системы обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений, необходимо задать еще*
ряд параметров потока: температуры составляющих смеси Тх<>
(г = 1, 2, 3), их скорости и„ определяемые коэффициентами
скольжения К2В, К30, относительный расход жидкости в пленке-
аг3о и средний радиус капель а в ядре потока.
В случае достаточно длинных труб можно считать, что пара-
параметры потока на входе в рассчитываемый участок не являются
произвольными. Они вырабатываются в результате динамическо-
динамического взаимодействия между составляющими смеси при прохожде-
прохождении участка стабилизации. Характер их дальнейшего измене-
изменения — монотонный. С учетом этого можно предложить следую-
следующий способ задания неизвестных параметров потока на входе »
канал. Сначала они задаются произвольно: строится соответству-
соответствующее численное решение, из которого определяются значения
параметров потока, формирующиеся на участке стабилизации
после выхода профилей параметров в зону плавного монотонного
изменения. Искомые значения параметров на входе в первом
приближении могут быть получены путем линейной экстраполя-
экстраполяции соответствующих монотонных профилей на координату сече-
сечения входа z = 0.
Из рис. 7.10.6 видно, что определенный в соответствии с
G.10.26) среднемассовый параметр скольжения Kg! между паром-
и жидкостью на большей части трубы практически постоянен,,
равен примерно 1,25, возрастает лишь в окрестности выхода из
канала до Ksl « 2. Результаты этих и других расчетов показали,.

290
ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
что критическое скольжение, как правило, значительно меньше
значений, даваемых известными в литературе оценочными фор-
формулами (Н. Fauske, 1965), которые получены из эвристических
соображений
Kg» = (Р°/Р°еI/2 или Kgl* = (р°/рП1/3. G.10.28)
В условиях критического течения вблизи выхода из трубы су-
существует зона больших градиентов параметров Yu\ а именно:
-скоростей, температур фаз и давления. Длина этой зоны Cj?0,
р/р0,'
0,75
0,50
0,15
?
Ч*
\
\
i
L
|
0,75
0,50
0,25
.
||||~
из
50 100 150 z/D
50 100 150 z/D
Рис. 7.10.6. Распределение параметров дисперсно-пленочного пароводяного по-
потока (давления р, скоростей пара v\, капель v2 и пленки z>3, объемного паро-
содержания <р, массовых расходных содержаний пара х\ и пленки яз, тол-
толщины пленки б и диаметра капель 2а, а также скольжений пара относи-
относительно пленки Кх% и среднего скольжения пара относительно жидкости Kgi
вдоль трубы (D = 6,8 мм, L/D = 179)) в условиях критического истечения
i(m° = 6100 кг/(м2-с); давление и расходные паросодержания на входе соот-
соответственно равны ро = 2,45 МПа, хю = 0,177). Скорость звука в паре С\ по
всей длине трубы практически постоянна и равна примерно 500 м/с. Штрих-
пунктирная линия соответствует величине (p°/Pg) и приведена для срав-
сравнения с /Ci3 и Kgi. Экспериментальные точки для р— данные Н. Fauske
A965)
где t0 — характерное время релаксации, и для варианта, пред-
представленного на рис. 7.10.6, она равна примерно 10 мм. В этой
зоне двухфазная смесь становится неравновесной: жидкость
перегрета, пар переохлажден и разность температур достигает
нескольких десятков градусов. Таким образом, трубы, длина ко-

§ 10. ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЙ КРИЗИС ИСТЕЧЕНИЯ 291
торых имеет порядок Cit0, следует считать короткими. Практиче-
Практически равновесное течение смеси на большей части трубы в усло-
условиях газодинамического кризиса течения может иметь место
лишь в достаточно длинной трубе: L>Cit0. В таких трубах про-
продольные градиенты в подавляющей их части не могут вызвать
заметные отличия скоростей и температур капель и газа в ядре
потока (vi « v2 « vc, Ti = Г2 = Tc). Тогда в качестве характери-
характеристической скорости ядра потока, приводящей к запиранию по-
последнего, может быть использована равновесная скорость звука
в ядре Се = Са (см. D.2.10)), определяемая массовым содержа-
содержанием фаз в ядре потока.
Пример, показанный на рис. 7.10.6, соответствует течению в
длинной трубе, где условие vc»Сс реализуется около выхода
трубы, и превышение равновесной скорости звука (vc>Cc) реа-
реализуется в малой части трубы.
Проверить применимость той или иной гидродинамической
модели к расчету критических расходов двухфазных смесей в
различных условиях истечения можно лишь путем широкого со-
сопоставления результатов численных расчетов с эксперименталь-
экспериментальными данными не только по расходам, но и по профилям пара-
параметров потока вдоль канала. Обычно это сопоставление можно
провести только по профилям давления вдоль канала (пример
такого сопоставления см. рис. 7.10.6), так как измерения профи-
профилей других параметров потока вдоль канала практически отсут-
отсутствуют. Отметим, что для длинных труб {L^>CiU) вариации на-
начальных температур и скольжений в их реальном диапазоне на
общую картину течения влияют слабо. Значительное влияние на
формирование критических условий в выходном сечении трубы
могут оказать начальные (на входе: z = 0) относительный расход
жидкости в пленке х30 и средний радиус капель а0. Эти парамет-
параметры гораздо медленнее, чем К2, К3, Т2, Т3, релаксируют к своим
стабилизированным значениям. В результате при вариации х30 и
а0 темпы изменения параметров потока вдоль канала могут быть
разными.
Значение хзя можно определить с помощью упомянутого ранее
способа корректировки граничных условий на входе. Однако для
задания эффективного среднемассового радиуса капель в ядр&
потока на входе в трубу указанный способ неприменим, так как
характерное время изменения радиуса велико. Оценка и расчеты
показывают, что среднем а ссовый радиус капель а в ядре в про-
произвольном сечении достаточно длинного канала пропорционален
диаметру капель a3z, срываемых с пленки в данном сечении
а = ?а)а32 (/сСа)~1), G.10.29)
где а32 определяется из G.4.21) с коэффициентом k32 ~ 100. Без-
Безразмерную константу kw следует рассматривать как константу
модели критического режима истечения смеси, конкретное зна-

292
ГЛ. 7. ГАЗО- И ПАРОЖИДКОСТНЫЕ ПОТОКИ В КАНАЛАХ
чение которой можно определить из условия наилучшего совпа-
совпадения расчетных и экспериментальных расходов и профилей дав-
давления вдоль канала.
С использованием описанной методики выполнена обработка
совокупности экспериментальных данных (Н. Fauske, 1965;
Н. Ogasawara, 1969) по критическим расходам пароводяных сме-
смесей через длинные трубы в следующем диапазоне паросодержа-
ний и давлений на входе в канал: xi0 = 0,03—1,0, р0 = 1—5 МПа
и размеров труб: D = 3—10 мм, LID = 20—385, когда реализует-
реализуется дисперсно-кольцевой режим течения. Отклонение рас-
о
четных значений критических расходов в диапазоне тп* =
= C — 12,5)-Ю3 кг/(м2-с) от экспериментальных не превосходит
10% и, как правило, близко к экспериментальным погрешностям
их определения. При этом для указанного диапазона парамет-
параметров константу kia) в формуле G.10.29) следует принимать
*<•> « 4.
Следует отметить, что незначительное изменение расхода все-
всего на 3—5%, что соответствует экспериментальным погрешно-
погрешностям его определения, приводит к достаточно сильным измене-
изменениям критических длин каналов
Яц.. Таким образом, неопределен-
неопределенность при задании констант, опре-
определяющих межфазные взаимодей-
взаимодействия н подобранных из условия
совпадения критических длин z*
и профилей давления p(z), не
O.Z приводит к большим погрешно-
погрешностям определения критических
расходов т%.
При увеличении расхода от до-
крптического п приближении его
к критическому давление на вы-
выходе начинает падать так, что в
околокритических условиях его
значительное изменение наблюда-
ется при незначительных измене-
изменеО
' ке/(м2-с)
Рис. 7.10.7. Влияние расхода жид-
о о о
кости (воды) ..„„ 2, , 3„
на расход газа (воздуха) и давле- нпях расхода смеси. В связи С
нпе р* на выходе из трубы (D = этим во время проведения экспе-
= 3,18 мм, L — 1225 мм, р0 = риментов могут наблюдаться силь-
= т4и^сМк?м'рГежиме°истечеРнияРИ' «ые колебания давления на выхо-
де трубы при приближении к кри-
критическому режиму истечения.
Расчеты показали весьма слабое увеличение удельных крити-
критических расходов т* с ростом диаметра канала при фиксирован-
фиксированных LID и других параметров на входе. В указанном диапазоне
О
этот расход mg пропорционален D", х, = 0,02—0,04.

§ 10. ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЙ КРИЗИС ИСТЕЧЕНИЯ 293
На рис. 7.10.7 приведены результаты расчетов, иллюстрирую-
иллюстрирующих возможность уменьшения («запирания») расхода газа путем
подачи жидкости на входе в канал. Такое «запирание» может ис-
использоваться при аварийном истечении газа. Видно, что подача
жидкости спачала приводит к быстрому уменьшению критическо-
критического расхода mgjt, а затем с ростом подаваемого расхода жидкости
это уменьшение замедляется. Для полного запирания газового
потока жидкостью необходимо обеспечивать ее расход mh пре-
превышающий значение расхода mtai, при котором гидравлическое
сопротивление равно заданному перепаду давления р0 — /?„ при
однофазном течении жидкой фазы. Однако даже такой расход
жидкости может оказаться недостаточным для полного запира-
запирания газа. Это связано с возможностью реализации при малых
газосодержаниях обращенной дисперсно-кольцевой структуры
турбулентного газожидкостного потока с газовой пленкой на
стенке трубы, приводящей к уменьшению потерь давления на
трение. Тогда при малых газосодержаниях зависимость mgit
может стать неоднозначной (см. рис. 7.10.7).

ГЛАВА 8
ТЕОРИЯ БЕЗЫНЕРЦИОННЫХ И ФИЛЬТРАЦИОННЫХ
ТЕЧЕНИЙ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
В данной главе обсуждаются течения гетерогенных жидко-
жидкостей, когда инерционными силами из-за ускорений материальных
частиц d,v,/dt можно пренебречь. Как правило, это имеет место
при медленных движениях, т. е. при малых числах Рейнольдса,
например при оседании мелких частиц или капель, при фильтра-
фильтрации газов и жидкостей через пористые среды.
§ 1. Одномерные вертикальные безынерционные течения
двухфазной среды с несжимаемыми фазами.
Кинематические волны
Рассмотрим нестационарные течения двухфазной смеси, когда
можно пренебречь силами инерции из-за ускорений фаз и их
сжимаемостямп. Такие течения реализуются при малых, по срав-
сравнению со скоростями звука в фазах, скоростях течений и отсут-
отсутствии резких изменений параметров потока, в частности, когда
накладываемые возмущения являются достаточно плавными или
не ударными, т. е. выполняется оценка
Pi (diVi/dt) ~ a^v^1 < a^K^Vg, ^ p°ccjg, (8.1.1)
где t<, — характерное время изменения параметров. Данная оцен-
оценка говорит о том, что при течении выполняется равновесие сил
давления, межфазных сил и сил тяжести. Для определенности
ось 2, параллельную векторам скорости фаз, направим вверх,
т. е. против сил тяжести. Тогда уравнения одномерного безынер-
безынерционного движения имеют следующий вид:
к °> (8Л-2)
- с-2 %¦ + Яц«1«2 {vx ~ v2) - plaig - О \К1~ ?| 1|з„ (а2) J.
Здесь сила межфазного взаимодействия задана, как в моно-

§ 1. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 295
дисперсной смеси в квазистационарпом приближении в соответ-
соответствии с законом Стокса с учетом стесненности частиц, задавае-
задаваемой коэффициентом i)v(a2) = (l — ccz)~m {m = 3—5) (см. A.3.42)).
Модель дрейфа. Суммирование первых двух уравнений (8.1.2)
дает уравнение сохранения объемпого расхода смеси, а сумми-
суммирование третьего и четвертого — уравнение равновесия смеси
a1v1 + a2v2 = W (t), др/dz = — pg (p = p°ax + p°a2). (8.1.3)
Из уравнения движения фаз нетрудно получить выражение и
для скорости скольжения фаз
где w0 называется скоростью дрейфа или витания одиночной
частицы. Для газа с частицами w0 < 0, а для жидкости с пузы-
пузырями w0 > 0.
Описание нестационарного течения сводится к квазилиней-
квазилинейному уравнению первого порядка — уравнению дрейфа:
5 + ^ = 0, W2 (t, z) = аЛ = a,W (t) + w0 ^-y]
которое можно представить в виде (N. Zuber et al, 1965, 1966)
d^ + W'2(t,a2)8^ = 0,
W'9 = d^^W(t) + wn~J(a0), J(ao) = J^. (8.1.5)
Функция /(аг) называется функцией дрейфа (drift flux;
G. Wallis, 1969), и она считается известной. Для заданных J(a2)
и W(t) уравнение дрейфа позволяет определить а2(?, z). Далее
определяется W2(t, z) и v2(t, z), затем из (8.1.4) определяется
wi2, с помощью которого находится Vi(t, z). Прежде чем анали-
анализировать уравнение нестационарного течения, рассмотрим част-
частный случай, когда все параметры не зависят от времени.
Стационарные течения, седиментация, псевдоожижение, газ-
газлифт. В стационарном режиме течение определяется фиксиро-
фиксированными по координате и времени объемными расходами фаз
и смеси, которые иногда называют приведенными скоростями:
a(i>i = Wia = const, UnVz = W20 = const (Wi0 + W20 = Wo).
(8.1.6)
Тогда из (8.1.5) получаем уравнение, определяющее возможные
стационарные режимы при заданных Wi0 и W20,
= ±/(a2), (8.1.7)
t = i, 2), Wo = Wl0 + W20.

296
ГЛ. 8. БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ И ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Зпак «+» перед / относится к случаю Pi>p2 (и^^О)» т- е-
когда дисперсная фаза «всплывает» относительно жидкости,
а знак «—» перед / — к случаю Pi<P2 (и>0<^®), т. е.
когда дисперсная фаза тонет или опускается относительно
жидкости.
На рис. 8.1.1 дапа графическая^ иллюстрация решений урав-
уравнения (8.1.7), определяющего ос2 (Wio,W2O) в стационарных вер-
вертикальных течениях двухфазных смесей с прямоточным
Рис. 8.11. Схема для определения объемных концентраций фаз а* в зави-
зависимости от объемных расходов фаз Wl0 и W2o, отнесенных к скорости дрей-
дрейфа и>о, при стационарном вертикальном течении в поле сил тяжести двух-
двухфазной смеси несжимаемых фаз (см. (8.1.7)) на примере ifa = A — осг),
когда /шал = 0,082; я — для р2 < рг б — для Р2 > рг- Вертикальные стрел-
стрелки около осей Wi0 и W20 показывают, подъемному или опускному движению
соответствующей фазы отвечают точки на вертикальных полуосях. Тонкие
линии качественно показывают поведение /(сс2) для газожидкостного пото-
потока при а2 > 0,5
(PF10PF2o>0) или противоточным (WloW2o<O) движением фаз.
Решению соответствует точка пересечения кривой /(а2) или
—/(а2) с прямой линией (секущей), соединяющей точку W20 на
оси а2 = 0 и точку—Wla на оси а2 = 1. Абсцисса точки пересе-
пересечения и определяет а2 для отложенных Wlu и FF20. Величи-
Величины /, W'io и W20 на представленных графиках отнесены к мак-
максимальному значению /шах функции дрейфа J(a2). Для

§ 1. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 297
фа = A — а2) ~т имеем
/(а,) = а, A - а2Г+\ /max =-L-2[\-^)W+1. (8.1.8)
Проиллюстрируем на рис. 8.1.1 три характерных режима.
1. Седиментация — режим, при котором тяжелые частицы или
капли осаждаются (тонут) в легкой жидкости или газе (wo<Q),
а объемный расход смеси равен
W0 = 0, Wl0 = -W20, wo<O. (8.1.9)
Упомянутые выше секущие, параллельные оси а2, отсекают две
точки (см. S и S' на рис. 8.1.1, б). Таким образом, каждому
объемному расходу \?ы = —Wi0 соответствуют два стационарных
режима с разными аг. Максимально возможный расход при
осаждении определяется точкой М, когда WM= I ш0 l/max.
2. Псевдоожижение — режим, при котором поток газа снизу
взвешивает слой частиц и последние не перемещаются по вер-
вертикали:
W20 = 0, Wlt = We>0, wo<O. (8.1.10)
Соответствующие секущие исходят из начала координат (см. F2FFt
и F2F'F'1 на рис. 8.1.1, б) и отсекают на кривой /(а2) точки
F и F'. Для псевдоожижения а2 определяется однозначно по
W10. Максимально возможная скорость газа в режиме псевдо-
псевдоожижения определяется секущей, касательной к линии /(а2)
в начале координат. Этому предельному режиму соответствует
а2 = 0. Учитывая, что dJIda.% = 1 при ос2 = 0, получаем, что Wia <
< 1, т. е. скорость газа в стационарном режиме псевдоожижения
не должна превышать скорости витания: vl < \wo\.
3. Стационарное прямоточное подъемное движение жидкости
с легкими частицами или пузырями (в том числе и так назы-
называемый режим газлифта)
W10>0, W20>0, wo>O. (8.1.11)
Этому режиму соответствуют секущие GzGi и Gfiu отсекающие
точки G, G'', Е и V (рис. 8.1.1, а). Здесь зависимость
ttz(Wu, W2a) может быть как однозначной (см. GzGi), так и
трехзначной {G2G^).
Реализация рассматриваемых стационарных режимов зависит
от их устойчивости. Исследование на устойчивость к одномер-
одномерным возмущениям основывается на уравнениях одномерного не-
нестационарного течения типа (8.1.5). Некоторые результаты по-
подобного исследования представлены в § 1 гл. 4. Одномерные
стационарные режимы, устойчивые к одномерным возмущениям,
могут терять устойчивость и из-за неодномерных возмущений.
20 р. и, Нигматулин, ч. II

298 ГЛ. 8. БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ И ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Следует иметь в виду, что при а2 ^ 0,5 дисперсная структура
потока без контактов между частицами и с силовым взаимодей-
взаимодействием, определяемым исходным размером частиц а и вязкостью
первой фазы ц4, будет нарушаться. Для указанных концентра-
концентраций а2 использованная функция J(a2) в виде (8.1.8) не соответ-
соответствует физике рассматриваемого процесса. Поэтому на рис. 8.1.1
эта часть зависимости (8.1.8) проведена штриховыми линиями,
а та часть /(а2), которая соответствует а2 > 0,5 и отражает
перестройку структуры (инверсию) газожидкостного потока (вто-
(вторая фаза становится несущей, а первая — дисперсной), показана
тонкими линиями.
Нестационарные течения с непрерывными волнами и скач-
скачками. Уравнение (8.1.5) эквивалентно условию постоянства ал
вдоль характеристического направления
dz = (W(t) + C(at))dt: da2 = 0
(С(а2) = dW2/da2 - W(t) = wa (dj/da2). (8.1.12)
С помощью преобразования координат
t
z' = z - \w (t) dt, t' = t, (8.1.13)
b
которое заранее определено, так как W(t)—заданная функция,
уравнение (8.1.5) и его характеристическое представление (8.1.12)
принимают более простой вид*), соответствующий случаю
W = 0. (8.1.14)
Поэтому можно ограничиться анализом только этого частного
случая уравнения (8.1.5). Тогда характеристики—прямые ли-
линии, и решение дифференциального уравнения (8.1.5) имеет
вид
аг = а2(?), ? = 2-С(а,)*. (8.1.15)
Рассмотрим задачу Коши с начальными данными:
. (8.1.16)
Выделим две характеристики, исходящие при t = 0 из точек
с координатами zA) и zB), в которых при t = 0 значения ос2 рав-
равны соответственно в^о и °4о):
z - zA> = С (<4«) t, z - zB) = С (a^) t.
Найдем t%, при котором эти характеристики пересекутся,
*) Переход (8.1.13) к неинсрциалыюй системе координат для исполь-
используемых уравнений является инвариантным, так как в этих уравнениях пре-
б
у ур
небрегается силами инерции.

§ 1. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 299
Пересечение характеристик приводит к нарушению однозначно-
однозначности непрерывного решения типа (8.1.15), ибо в точке пересече-
пересечения ?*, z^ функция <Xz(t, z) принимает одновременно два зна-
значения с4о и °4о • Такое физически нереализуемое решение назы-
называется решением опрокинутой волны (см. также § 4 гл. 6).
Если точки 1 и 2 взять достаточно близко друг к другу, то
Тогда получим необходимое и достаточное условие на a2o(z),
чтобы характеристики не пересекались при t > О и решение
(8.1.15) было однозначным:
%% %% (8.1.17)
В противном случае, если для каких-либо z имеет место
Щ *? (8.1.И)
то для построения однозначного решения, как и в газовой ди-
динамике, необходимо вводить поверхности разрыва, на которых
терпит скачок функция a2(t, z), а вместе с ней и Vi(t, z) и
v,(t, z).
Уравнения на поверхности разрыва в рассматриваемой моде-
модели течения включают уравнения сохранения массы фаз (см.
A.1.62), A.4.17)) и условия на скольжение (дрейф) фаз до и
после скачка. Пусть D — скорость скачка, а верхние индексы
«—» и «+» относятся к параметрам соответственно до и после
скачка. Тогда
аТ (vT - D) = at (vt -D)t
Щ. (v7 — D) = a? (vt — D) (a~ + «7 = 1, at + at = l), (8.1.19)
После элементарных преобразований получим выражения для
скорости скачка по параметрам до и после скачка и для скачка
скоростей фаз
(i = 1, 2). (8.1.20)
Ч Та Va ]
20*

300 ГЛ. 8 БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ И ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Как и для ударных волн в газах, в модели дрейфа для слабого
разрыва (ocJ-*-a^) имеем D-+C. При этом функция W2(a2) =
= woj(a2) является аналогом адиабаты р{р~±) в баротропном
газе, а именно скорость скачка D пропорциональна тангенсу
угла наклона к оси сс2 хорды, соединяющей точки на диаграмме
W2(a2), соответствующие состояниям перед и за волной, а ско-
скорость распространения возмущений С(а2) пропорциональна тан-
тангенсу угла наклона касательной к диаграмме W2(a2) в соответ-
соответствующей точке.
Распад произвольного разрыва. Пусть при t = 0 граница z = 0
разделяет области с разными объемными содержаниями фаз.
Требуется найти течение, описываемое уравнением (8.1.5). Гра-
Границу, на которой имеется разрыв а2, можно представить как
узкую переходную зону толщиной б, в которой а2 меняется не-
непрерывно и монотонно, принимая на границах этой зоны зна-
значения сс2 по разные стороны от разрыва. В пределе б -*¦ 0 полу-
получим границу с разрывом а2. Такое представление разрыва по-
полезно для использования критериев (8.1.17) и (8.1.18).
Поставленную задачу рассмотрим на примере, когда с одной
стороны от z — 0 находится однофазная жидкость (а2 = 0),
являющаяся несущей фазой в двухфазной области, где при
t = 0 имеет место a2 = a20 и когда дисперсная фаза легче не-
несущей (wa>0), т. е. она всплывает. Другие случаи решаются
аналогично.
На рис. 8.1.2, а показана соответствующая диаграмма W2{oi2)
и зависимость С(а2) = dW2/da2 (IF = 0). На диаграмме отмечены
две характерные точки: ючка М, где W2 = W2i Шах, С = 0, и
точка перегиба К, где d2W2/da\ = 0, С = Стт.
Рассмотрим сначала случай, когда двухфазная область с лег-
легкой дисперсной фазой находится снизу (z < 0). Тогда в пере-
переходной зоне около z = 0 имеем da2jdz < 0. Если ос2О < aiK, то
везде dC/da.2o < 0, и выполняется условие (8.1.17) реализации
непрерывного решения (8.1.15) с расходящимися при t>0 ха-
характеристиками (волнами). В данном случае все характеристики
с а2 < «го (а2>0) исходят из переходной зоны толщиной б око-
около 2 = 0. При б -»- 0 характеристики исходят при t = 0 из точки
z = 0, что приводит к автомодельному решению типа центри-
центрированной волны
-f =u>0^/K), (8.1.21)
аналогичной волне разрежения в газе. Оно может быть разре-
разрешено в виде a2 = a2(z/wot). Это решение проиллюстрировано
на рис. 8.1.2, б в виде траекторий волн в координатах (, ze
эпюры a2(z) в фиксированный момент времени t > 0. Граница
двухфазной области за счет всплытия частиц перемещается

§ 1. КИНЕМАТИЧКСКИЕ ВОЛНЫ
301
вверх со скоростью w0. Если а2о < &гм, то возмущение вниз не
проникает и волна с а2 = а20 перемещается вверх. Если ссг > а2*г,
то возмущение распространяется и вниз, а при z = 0 имеем <Хг =
= агм. Зона, в которой а2 меняется от 0 до а2о (центрирован-
(центрированная волна разрежения для дисперсной фазы и одновременно
Рис. 8.1.2. Схемы распада произвольного разрыва концентраций фаз (задан-
(заданные штриховыми линиями, определяющими аго(г) при ( = 0) и образования
кинематических (безынерционных) волн (центрированных волн и скачков)
для случая всплывающих дисперсных частиц или пузырьков (р2 < Pj»
wQ > О). Для случая осаждающихся частиц или капель (w0 < 0) реализу-
реализуются аналогичные схемы с противоположным движением волн и фаз
волна уплотнения — для несущей), расширяется пропорцио-
пропорционально t.
Если «го > «2к, то для части характеристик, движущихся вниз,
для которых а2 > агк (аг > а20), имеем dC/da2 > 0, a da2jdz < О,
и выполняется условие (8.1.18) пересечения характеристик и
многозначности непрерывного решения типа (8.1.15) и (8.1.21).
Соответствующая многозначная эпюра az(z) показана в виде
линии MFA на рис. 8.1.2, в. Поэтому часть перепада сс2 от сс2о
до az(F) должна реализоваться в скачке, который должен
обгонять все остальные характеристики, идущие вниз и несущие
оса < а2 (F). Этому самому быстрому скачку, распространяюще-
распространяющемуся вниз, соответствует прямая A'F, исходящая из точки А'
на диаграмме W2{a2), соответствующей начальному состоянию
(а2 = а2о), и касательная к кривой Wz{<Zi) в точке F (см.
рис. 8.1.2, а). Указанное построение позволяет определить а^53

302 ГЛ. 8. БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ И ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
= <Хг (F). Наклон прямолинейной траектории этого скачка (ли-
(линия 05) к оси t согласно (8.1.20) пропорционален углу $F и
определяется скоростью скачка, равной С(а2^). Остальные ха-
характеристики, идущие вниз и образующие центрированную волну
FMO', на которой а2 уменьшается от cc2J. до aiM, идут с мень-
меньшей скоростью, нежели скорость скачка. Отметим, что скачок
A'F на рис. 8.1.2, в является скачком разрежения для дис-
дисперсной фазы и одновременно скачком уплотнения для
несущей.
Рассмотрим теперь случай, когда двухфазная область с всплы-
всплывающей дисперсной фазой находится сверху, т. е. при t = 0 двух-
двухфазная среда занимает область z > О, а однофазная — область
z < 0. Тогда в переходной зоне около z = 0 имеем da2jdz > 0
и для всех характеристик с сс2 < а2К имеем dC/da2 < 0, т. е. вы-
выполняется условие (8.1.18) многозначности непрерывного реше-
решения типа (8.1.21), связанное с тем, что сильные возмущения
исходного двухфазного состояния (а2 == сс2о) распространяются
вверх быстрее, чем более слабые. Соответствующая многознач-
многозначная эпюра ct2(z) показана в виде линии 00'О" А А на рис. 8.1.2, г.
Однозначное решение a2(z, t) может быть реализовано со скач-
скачком разрежения дисперсной фазы АО", в котором а2 меняется
от а2о до нуля и скорость которого DA пропорциональна углу
Ро между осью ос2 и хордой, соединяющей точку исходного со-
состояния А (а2 = а2о) и конечного однофазного состояния О (а2 =
¦= 0). Согласно полученному решению граница двухфазной обла-
области вместе с всплывающей дисперсной фазой поднимается вверх
со скоростью DA.
Отметим, что скачки A'F (рис. 8.1.2, в) и АО' (рис. 8.1.2, г)
являются эволюционными *).
Для тяжелых дисперсных частиц, оседающих вниз (и>0<0),
реализуются те же схемы, но с противоположным движением
волн и фаз, так что сохраняется ориентация этих движений
относительно направления скорости и>0. На рис. 8.1.3 проиллю-
проиллюстрирован процесс осаждения облака тяжелых частиц конечной
высоты, из-за чего течение в целом не будет автомодельным.
Использованы безразмерные независимые переменные
z = z/La, t = t\wMLl), (8.1.22)
где Lo — начальная высота облака.
Особенностью течения является встреча двух скачков разре-
разрежения дисперсной фазы ОЕ и BE и образование идущего вниз
и ускоряющегося скачка ЕЕ{г)Ет, над которым имеется одно-
*) Понятие эволюционности (см. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, 1986)
обсуждается в § 3 для более сложных кинематических волн.

§ 1. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
303
фазная среда (а2 = 0). Таким образом, движение верхней гра-
границы двухфазной области описывается линией OEEWEW...,
-/А
'Q0
Рис. 8.1.З. Расчетная схема безынерционного осаждения облака дисперс-
дисперсных частиц или капель конечной высоты в жидкости или газе (w < О,
'о о\ \ О
Р2 >р )¦ В начальный момент t = 0 концентрация дисперсной фазы в об-
облаке а2о = 0,6 и облако занимает область — 1 < z < 0, чему соответствует
аю(г) в виде штриховой линии. Функция дрейфа / = «2A — a2)m+1 (m =
= 3). Приведены волновая диаграмма в безразмерных (см. (8.1.22)) пере-
переменных t,z и эпюры a2(?, z) в четыре момента вреиени: I = 0, tA> =3,0,
fB) = 6,5, tm = 9,1. На волновых диаграммах I, г тонкие линии — характе-
характеристики (числовые указатели на них соответствуют значениям аг), а жир-
жирные линии — траектории скачков
а движение нижней границы — линией ВО'и). При этом скорость
верхней границы монотонно увеличивается, в пределе (t -*¦ °°)
стремясь к w0, а скорость нижней границы постоянна и равна ш».

304 ГЛ. 8. БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ И ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
§ 2. Уравнения фильтрации многокомпонентной смеси
двух несжимаемых жидкостей
Ниже выведены основные уравнения изотермической неравно-
неравновесной фильтрации многофазной смеси нескольких несжимаемых
жидкостей с растворенными в них активными примесями (влияю-
(влияющими на реологические характеристики фаз) на примере наибо-
наиболее характерном для задач, связанных с разработкой нефтяных
месторождений, смеси двух жидкостей — углеводородной (нефть,
растворенные в нефти поверхностно-активные вещества (ПАВ),
соли и другие компоненты) и водной (вода, растворенные в
воде ПАВ, полимеры, соли и т. д.).
В достаточно большом числе (но не всегда) используемых
в практике фильтрационных процессов деформации пористого
скелета, сжимаемости и изменения температур жидкостей явля-
являются очень малыми, а основными эффектами, определяющими
движение указанной системы, являются неравновесное совмест-
совместное движение нескольких жидких фаз, молекулярная и конвек-
конвективная диффузия растворенных в фазах компонент, поглощение
твердой фазой или сорбция компонент, массообмен между фаза-
фазами и т. д. Именно этим эффектам и уделено основное внимание
в данном параграфе.
Уравнения, отражающие эффекты деформирования пористой
насыщенной жидкостью или газом среды, инерции фаз, темпе-
температурные эффекты, подробно рассмотрены в § 4 гл. 4 книги
Р. И. Нигматулина A978).
Основные параметры насыщенной пористой среды. Важней-
Важнейшей характеристикой пористой среды является ее пористость т,
которая определяет объемную долю пор, занятую жидкостью.
В отсутствие деформации скелета, который будем называть ну-
нулевой фазой (i = 0) с объемной концентрацией а0 = 1 — ^, по-
пористость не зависит от времени и является функцией только
пространственных координат: т = т(г). В случае однородной
недеформируемой пористой среды пористость т не зависит от
координат, т. е. т = const.
Параметры углеводородной и водной жидкостей будут снаб-
снабжаться нижними индексами соответственно р («petroleum») и
id («water»). В частности Sp и Sw— объемные концентрации угле-
углеводородной и водной жидкостей в порах, или соответственно
нефтенасыщенности и водонасыщенности. При этом объемные
доли указанных жидкостей во всей насыщенной пористой среде
равны соответственно аР = mSp и аш = mSw так, что имеют место
следующие равенства:
<х„ + аи + а„ = 1 или SP + Sw = l. (8.2.1);
Реальные пористые среды, как правило, микронеоднородны,
т. е. помимо пор характерного или среднего сечения имеются

§ 2. ФИЛЬТРАЦИЯ ДВУХФАЗНОЙ СМЕСИ 305
поры существенно меньших размеров. Особо мелкие поры часто
являются недоступными для фильтрации некоторых фаз или
компонент. Так, в гидрофильных (см. ниже) пористых средах
часть порового объема, состоящего из наиболее тонких капилля-
капилляров, недоступна для фильтрации углеводородной жидкости из-за
капиллярных сил. Эта часть порового объема занята практически
неподвижной, или так называемой связанной водой. Аналогич-
Аналогичный эффект отмечался (Н. Dawson, R. Lantz, 1972) при фильтра-
фильтрации водных растворов полимеров. В связи со сказанным имеет
смысл использовать корректировку
где Am — объемная доля пор, занятая связанной водой, кото-
которая называется недоступным объемом пор; верхний индекс d
соответствует так называемым динамическим значениям пористо-
пористости и насыщенности нефтью и водой. В дальнейшем индекс d
будет опускаться, но под пг и S, будут подразумеваться соответ-
соответствующие динамические значения.
Важной характеристикой, определяющей взаимодействие фаз
в двухфазной жидкости между собой и с пористой средой и,
в частности, минимальный размер пор, доступный для фильтра-
фильтрации той или иной фазы в смеси, является угол смачивания 9Т
образуемый межфазной границей между жидкостями с твердой
поверхностью пористой среды (рис. 8.2.1) Для определенности
Рис. 8.2 1. Углы смачивания 6 и качественные картины вытеснения нефти
из порового объема и запирания ее за счет капиллярных сил в гидрофиль-
гидрофильной (а и б) и гидрофобной (в) пористых средах
угол Э будем отсчитывать от смоченной водой поверхности. Если
Э < 90°, то пористая среда называется смачиваемой водой, или
гидрофильной, если 0 > 90° — несмачиваемой водой, или гидро-
гидрофобной.
Из рис. 8.2.1, а я б видно, что в гидрофильных средах защем-
защемление нефти происходит за счет поверхностного натяжения
между водой и нефтью, противодействующего гидродинамиче-
гидродинамическому перепаду давления. В гидрофобных средах (см. рис. 8.2.1, в)
нефть защемляется в виде двух форм: капель, защемленных ка-
капиллярными силами, и пленок. Таким образом, двухфазность
фильтрующейся жидкости может приводить к увеличению не-

306
ГЛ. 8. БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ И ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
подвижной массы по сравнению с однофазной фильтрацией.
При этом чем больше поверхностное натяжение между жидко-
жидкостями, тем сильнее проявляется запирание.
На рис. 8.2.2 схематично представлено распределение скоро-
скоростей частиц углеводородной и водной жидкостей, где показано,
что некоторые части этих жидкостей имеют практически ну-
нулевую скорость из-за наличия тупиковых пор, прилипания к
твердому скелету и действия только что упоминавшихся капил-
капиллярных сил на межфазных границах между жидкостями.
Если в каждой из жидкостей выделить подвижные и непо-
неподвижные массы (фазы), то в рассматриваемой пористой среде,
насыщенной двухфазной жидкостью, помимо неподвижной твер-
твердой фазы (фаза i = 0) можно ввести четыре жидкие фазы:
1 — углеводородная неподвижная фаза,
2 — углеводородная подвижная фаза,
3 — водная неподвижная фаза,
4 — водная подвижная фаза,
где каждая из этих фаз имеет свою насыщенность S{ или объем-
объемную концентрацию at = mSi и среднюю скорость и, (i = 0,1,2,
3,4), причем v0 = Wi = v, = 0. Таким образом, в каждой точке
для каждой жидкости имеются три кинематических параметра —
для углеводородной Sit S2, v2 и для водной S3, Sif vk. При этом
нефте- и водонасыщенности определяются формулами
S1 + S2 = SPT S3 + Si = Sw, 2й = 1. (8-2.3)
i
Sm
Метод описания фильтрации с разделением жидкости на подвиж-
подвижную и неподвижную был предложен
В. Я. Булыгиным A965) и разви-
развивался Г. И. Баренблаттом и В. М. Ен-
товым A972). Такое разделение да-
дает дополнительную детализацию
процесса по сравнению с традицион-
традиционным, когда такого разделения не
производится и для каждой жидко-
сти имеется всего по два кинемати-
ческих параметра — для углеводо-
углеводородной Sp, Vp И ДЛЯ ВОДНОЙ Sv, Vw.
Следует иметь, в виду, что раз-
разделение движущейся многокомпо-
\
О Sp 1 S
Рис. 8.2.2. Распределение мик-
микроскоростей при фильтраций нентной жидкости на фазы или объ-
двухфазной жидкости единение компонент в фазы может
производиться разными способами,
зависящими от конкретной задачи и целей исследования.
Указанные выше кинематические величины определяют объ-
объемные расходы жидкостей WP и Wa, которые легко измеряются
(8.2.4)

§ 2. ФИЛЬТРАЦИЯ ДВУХФАЗНОЙ СМЕСИ 307
Нетрудно определить и приведенные плотности жидких фаз
(массы фаз в единице объема среды)
ао = 1-ттг (i = 0), ai=mSi D = 1,2,3,4). (8.2.5)
Упомянутые выше фазы могут состоять из нескольких ком-
компонент.
Параметры к-й компоненты в г-й фазе будут снабжаться ниж-
нижним индексом i(k), а ее содержание будет определяться приве-
приведенной плотностью p,(ft) или массовой концентрацией с<(М:
N N
<^o = iP. pi = 2 рад. 2 *«« = *. <8-2-6>
W> ft=X ft=l
где N — общее число компонент в смеси.
Уравнения сохранения масс фаз и объема смеси. Уравнения
сохранения масс фаз имеют традиционный вид
TF + VVI-2/я, * = 0,1,2,3.4;
j=o (о.л. I у
hi = ~h, v0 = Vi = f3 = 0,
где /,ч — интенсивность фазового перехода массы из /-Й в г'-ю
фазу. В отсутствие химических реакций, переводящих одну ¦
компоненту в другую внутри одной фазы, уравнения сохранения
масс компонент имеют вид
3=0
i = 0,1, 2, 3, 4; ft = 1, ..., JV; (8.2.8)
•^iUW = — ^ii(h), Zj -^jj(ft) = fir* Zj Pi(ft)wi(fi) = 0,
ft=l fe=l
где fytft — скорость к-й компоненты внутри г-й фазы.
По-видимому, приемлемым будет существенно упрощающее
допущение о совпадении концентраций компонент в обеих вод-
водных и в обеих углеводородных фазах
СЦк) = Сг(к) = Cp(j,), СзЦ) = C4(ft) = Сгс(Ь). (8.2.9)|
Тогда, вводя плотности компонент в углеводородной и водной
жидкостях, а также суммарные скорости фазовых переходов
+ Pu,(h) = Ps(ft) + P4(fc)>
о о о о о о
Pi = Ра = Ррг Рз = Р4 = Р»,
"JTOW == •'юР(й) == <'i3(ft) "Г ^23D) "Г •'u(A) T" *

308 ГЛ. 8. БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ И ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Суммируя попарно уравнения (8.2.8), полагая, что компоненты
движутся только в подвижных фазах (wiih) = w3{h) = 0, см. ниже
вамечание после (8.2.17)), получим
|р 4 + wl2(k)) = Jwpih)
.*-(« i i i (8>2Л1)
Уравнения сохранения масс фаз (8.2.7) и компонент (8.2.11)
могут быть переписаны в другом виде через объемные кон-
концентрации фаз а( и массовые концентрации компонент сР(М и сщк)
+ V' (mSM = 2 'to i = 0.1. 2, 3, 4,
j=0
(8.2.12)
Отметим, что даже в случае смеси несжимаемых компонент
истинная плотность фазы Pt в общем случае не является по-
постоянной из-за изменения компонентного состава фазы за счет
фазовых переходов. Если плотности компонент близки друг к
другу или подавляющая часть фазы состоит практически из
одной компоненты, а остальные компоненты представлены лишь
в виде малых добавок (но, тем не менее, оказывающих сущест-
существенное влияние на фильтрационные характеристики, например,
через влияние на поверхностное натяжение), то истинные плот-
Y °
ности фаз Pi можно считать постоянными:
Рр = const, p° = const. (8.2.13)
Примем это упрощение. Тогда, разделив первые уравнения
(8.2.12) на Pi и просуммировав их для жидких фаз, получим
уравнение сохранения объема жидкости
2^14=22^. (8.2.14
1=1 i=l j=0 Pi
Слагаемые в правой части этого уравнения определяют измене-
изменение объема жидкости из-за сорбции и десорбции на твердой
фазе и из-за фазовых переходов между жидкими фазами:
/1 1\
V Р< Р J
(«,/ = 1,2,3,4). (8-2.15)

§ 2. ФИЛЬТРАЦИЯ ДВУХФАЗНОЙ СМЕСИ 309
При оценке этих слагаемых следует иметь в виду, что в неко-
некоторых случаях фазовые переходы между твердой фазой и жид-
жидкостью {р =F* 0, w ** 0), между углеводородной и водной фазами
(р=** w), т. е. между фазами с различающимися плотностями
Рр и Ри» происходят только за счет переходов из одной фазы
в другую малых добавок (солей, ПАВ, полимеров и т. д.). Ука-
Указанные переходы малых масс не могут заметно изменить объем
жидкости. При этом основная масса фильтрующейся жидкости
в виде воды и нефти претерпевает переходы лишь между под-
подвижными и неподвижными фазами типа 1 ^ 2 или 3 ** 4. Эти
переходы хотя и охватывают значительные массы, тем не менее
в соответствии с (8.2.15) не могут изменить объем жидкости,
так как они происходят между фазами с одинаковыми истин*
о о о о о о
ными плотностями фаз рх = р2 = РР, Рз = Р4 = Pro- 1аким об-
образом, правой частью в уравнении (8.2.14) можно пренебречь.
Тогда имеем уравнение сохранения объема жидкости в виде
—, {mSA + mS^vi) = 0. (8,2.16)
ox
Под действием некоторых примесей (например, растворимых
в нефти ПАВ) нефть и вода могут образовывать мицеллярный
раствор в виде смеси нефти с очень мелкими мицеллами (микро-
каплями) воды, который имеет смысл относить к углеводородной
жидкости (см. ниже § 4). Такой мицеллярный раствор может
поглощать значительное количество воды, что соответствует пере-
переходу w -*¦ р между фазами, имеющими разные истинные плотно-
плотности фаз рго=т^Рр. В этом случае в уравнении сохранения объема
жидкости следует учесть слагаемые типа (8.2.15), соответствую-
соответствующие переходу w *=*= р.
Уравнения для скоростей фаз и компонент (законы фильтра-
фильтрации Дарси и диффузии); уравнение пьезопроводности для дав-
давления. Уравнением для объемного расхода или скорости безынер-
безынерционного движения жидких фаз является закон Дарси
W\ = mSivl = -~ V'i>, или v\ = - JL Vlp (t = 2, 4), (8.2.17)
где к — абсолютная проницаемость пористой среды, щ — вязкость
i-й фазы, р — давление. Здесь принимается, что относительная
проницаемость для i-й подвижной фазы равна ее объемной
доле в порах, или насыщенности.
Движение компонент внутри фаз описывается уравнением
диффузии, которое в случае изотропного характера диффузии
имеет вид
Р«<»и>«« = - PiViV lemt * = 0,1,2,34 44 к » 1,2,..., N. (8.2.18)

310 ГЛ. 8. БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ И ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
При этом коэффициенты диффузии v( состоят из молекулярной
составляющей v(m)i, зависящей только от состава ?-й фазы,
и конвективной составляющей vwu зависящей от микронеодно-
микронеоднородности пористой среды и скорости фильтрации vf (A. Shei-
degger, 1957; В. Н. Николаевский и др., 1968; Н. Н. Вери-
гин, 1969):
где LB — характерная длина рассеивания пористого тела. Для
фильтрации в нефтесодержащих пластах молекулярная диффу-
диффузия мала, и имеет место оценка V; « v(v)i « 10~10—10~7 м2/с.
Используя для скоростей подвижных фаз закон Дарси, по-
получим уравнение для поля давления
где Л(р) можно назвать коэффициентом пьезопроводности рас-
рассматриваемой насыщенной двухфазной жидкостью пористой среды.
Кинетические уравнения массообмена в фильтрующейся жид-
жидкости: уравнения сорбции и десорбции примесных компонент.
Интенсивности переходов масс между подвижными и неподвиж-
неподвижными фазами Л2 и /34 будем описывать линейными кинетиче-
кинетическими уравнениями, определяемыми временами релаксации ti2 =
= t2l и t2i — tiS, равновесными объемными концентрациями, или
насыщенностями (подвижных фаз) S% и S?, которые будем
называть фазовыми пронщаемостями
о гт(е)
тf •/4з ;
21 43
Фазовые проницаемости нефти &2 ^ Кр и воды S^ = Kw опре-
определяются из стационарных опытов, когда реализуются равновес-
равновесные насыщенности подвижных фаз S2 = 52 , ^4 = "&• При этом
для однородных по длине образцов измеряются объемные расхо-
расходы жидкостей Wp и Ww, градиенты давления и насыщенности
нефти Sp и воды Sw. Зная абсолютную проницаемость образца к
и вязкости жидкостей ци из закона Дарси (8.2.17) нетрудно оп-
определить соответствующие равновесные значения S% и S[ . Экс-
Эксперименты показывают, что фазовые проницаемости зависят от
нефтенасыщенности Sp = 1 — Sm и концентрации активных при-
примесей сл в обеих жидкостях. В частности, для вытеснения нефти
мицеллярным раствором имеет место
Si = Kp(Sp, CpC), cwW), S2 = KW(SU)/R E0E)), (8.2.21)
где сРC) — концентрация нефтерастворимых ПАВ в углеводород-
углеводородной жидкости, сшD) — концентрация соли в воде и 50E) — объемная

§ 2. ФИЛЬТРАЦИЯ ДВУХФАЗНОЙ СМЕСИ
311
доля твердой породы, приходящаяся на адсорбированные из
воды загущающие полимеры и определяющая фактор сопротив-
сопротивления Я для воды из-за засорения пор этими полимерами
(Г. Г. Вахитов и др., 1980). При этом фазовая проницаемость
воды, содержащей полимер, обычно не зависит от присутствия
поверхностно-активных присадок (компоненты к = 3 в нефти).
Ограничимся случаем вытеснения нефти из гидрофильной
(см. рис. 8.2.1, а, б) пористой среды. Примером такой хорошо
Рис. 8.2.3. Фазовые проницаемости неф-
ти (?p-s<e)) и в°да (к«,-4е)) в
гидрофильном песчанике типа Bore a
(R. Larson, 1978) в зависимости от ис-
истинной S» пли динамической S~d^ (см.
(8.2.2)) водонасыщенностей и содержа-
содержания нефтерастворимых ПАВ, уменьша-
уменьшающих коэффициент поверхностного на-
натяжения Ерш между водой и нефтью.
Фазовая проницаемость воды Кю мало
меняется (менее 10—20 %) с изменени-
изменением 2рш в диапазоне 10~3 — 30 г/с2. Циф-
Цифровые указатели у кривых Kp(Sw) соот-
соответствуют значениям 2рю в г/с2. Прямая
линия для 2рш = 0 соответствует иде-
идеальному смешению и вытеснению
0,25-
О 0,15 0,50
исследованной среды является песчаник Вегеа. Данные о фа-
фазовых проницаемостях этих песчаников для воды и углеводо-
углеводородной жидкости при различных поверхностных натяжениях
имеются в работах (М. Gilliland, 1975; М. Talash, 1976; R. Lar-
Larson, 1978) и представлены на рис. 8.2.3. Видно, что в данном
случае при вытеснении нефти водой Bрш«30 г/с2) в породе
остается защемленная нефть в количестве, определяемом оста-
остаточной динамической нефтенасыщенностью S$ ta 0,44. Как уже
оговаривалось выше, верхний индекс d будет опускаться.
Как показали экспериментальные исследования и их анализ
(R. Healy, R. Reed, 1977; R. Larson, H. Davis, L. Scriven, 1980),
фазовые проницаемости и, в частности, остаточная нефтенасы-
щенпость Spr, зависят от безразмерного капиллярного числа Ns,
которое равно отношению гидродинамических сил к капиллярным
Дг к grad р aVp /Q о оо.
iV2 =—-—~ "v7j« (8,4.22)
где а ~ У к — характерный радиус пор.
Пример такой зависимости для песчаника Вегеа приведен на
рис. 8.2.4.
При осуществлении обычного заводнения пластов капилляр-
капиллярные числа значительно меньше единицы (Ns ~ 10~7). Эффектив-

312
ГЛ. 8. БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ И ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
ное вовлечение нефти, защемленной капиллярными силами, как
следует из рис. 8.2.4, возможно при Ns > 10~\ Достижение та-
такого значения Nz только за счет увеличения градиента давления
возможно лишь на маломасштабных образцах в лабораторных
0,75
0,50
0,25
\
Рис. 8.2.4. Зависимость оста-
остаточной нефтенасыщеяности
гидрофильной пористой среды
(песчаник Вегеа) от капилляр-
капиллярного числа Nz. Здесь Spr —
остаточная нефтенасыщен-
ность при Ns = 10~7
условиях. При вытеснении нефти из крупномасштабных пла-
пластов достижение режимов с такими Nz технически осуществимо
лишь за счет понижения коэффициента поверхностного натяже-
натяжения на межфазных границах закачиваемой и пластовой жидко-
жидкостей. Это и достигается при закачке мицеллярных растворов.
Для учета дополнительных (помимо нелинейности зависи-
зависимостей фазовых проницаемостей от насыщенностей фаз) эф-
эффектов, связанных с капиллярными силами и углом смачивания
8 (см. рис. 8.2.1), приводящих к размазыванию скачков или зон
резкого изменения насыщенностей фаз (см. ниже § 3), в уравне-
уравнениях Дарси для двухфазной жидкости учитывают несовпадение
давлений в фазах из-за поверхностного натяжения 2. Тогда обоб-
обобщение (8.2.17) имеет вид (см. R. Collins, 1961; И. А. Чарный,
1963; Г. И. Баренблатт, В. М. Ентов, В. М. Рыжик, 1984)
-Pw = Щ°Г, (8.2.23)
у к/т
где I(SP) — монотонно убывающая с ростом насыщенности сма-
смачивающей фазы функция Леверетта. Для рассмотренных
ниже процессов (см. § 3, 4) учет несовпадений давлений в жид-
жидкостях в уравнениях движения приводит к размазыванию скач-
скачков, тем большему, чем больше рР — рт.
Для скорости переходов примесных компонент между нефтью,
водой и твердой породой аналогично (8.2.20) примем линейные
кинетические уравнения, определяемые временами релаксации
tij(k) и равновесными приведенными плотностями компонент при-
примеси в фильтрующейся жидкости Puk) и в твердой фазе рщк) (за
счет адсорбции):
P()
n<e)
Pio(ft)"
*io(h)
(8.2.24)
Po(ft) =
= A — m) S0(.k)Po(k), Pio(ft) = A — m)

§ 2. ФИЛЬТРАЦИЯ ДВУХФАЗНОЙ СМЕСИ 313
где р*№)— истинная плотность к-то компонента в твердой фазе,
Sow — объемная доля твердой фазы, приходящаяся на адсорби-
адсорбируемые из жидкости компоненты, 5»о(й)— соответствующее рав-
равновесное значение. Напомним, что сорбция примесных компонент
вследствие своей малости не влияет на баланс масс и объемов
фильтрующихся фаз, однако изменение малых концентраций
активных компонент может существенно повлиять на фильтра-
фильтрационные характеристики (вязкость, долю подвижных фаз).
Равновесная концентрация адсорбированных из однофазной
жидкости (& = 1) компонент iSio'fe) обычно описывается лэнгмю-
ровской изотермой сорбции (Я. И. Герасимов, 1970; С. С. Воюц-
кий, 1976; А. А. Абрамзон, 1981), которую в качестве некото-
некоторого приближения используем и для двухфазной жидкости:
Ые) _ bi0(h)ci(k) /о о 9с;\
bio(h) — Ci0(h) 7-аГЬ г ' (О.^.гЬ)
где ci{h) — концентрация к-ш компоненты в г-й жидкости, с«(ю —
концентрация адсорбированной компоненты в твердой фазе, со-
соответствующая насыщению (при больших с1(М > l/bio^)), Ью(м —
адсорбционная активность к-й компоненты на контакте между
г-й жидкостью и твердой фазой. При малых c,(ft) имеем Sil(k)=
= r,o(ft)C1(ft), где Г,-о(Ь) = смтЬ{цк) называется константой Генри,
и этот случай реализуется при загущении воды полиакрилами-
дом (Гм0D) = 0,1 — 0,4) с малыми массовыми концентрациями
Сю(Ь) = 10~4 —10~\ что повышает вязкость воды в десятки раз.
В мицеллярных растворах (см. ниже § 4) часто может реали-
реализоваться случай достаточно больших концентраций cP{h) ~> 1/ЬР0(к)
таких компонент, как ПАВ.
Вязкости растворов и микроэмульсий. Вязкости фильтрую-
фильтрующихся жидкостей могут меняться под действием растворенных
примесей (загущающего полимера, ПАВ и т. д.). Так называе-
называемый мицеллярный «раствор» является микроэмульсией, в кото-
которой под действием ПАВ поверхностное натяжение между водой
и нефтью уменьшается в тысячи раз и размеры капель или ми-
мицелл (внутренняя фаза) воды или нефти (а = 10~3 — 10~2 мкм)
становятся много меньше характерных размеров пор а0 (обычно
а0 3s 1 мкм). Мицеллярный раствор, являющийся почти гомоген-
гомогенной смесью нефти, воды и активных компонент, при определен-
определенных условиях может «растворять» как нефть, так и воду (R. Неа-
1у, 1976; М. Л. Сургучев, В. А. Шевцов, В. В. Сурина, 1978).
При увеличении концентрации воды вязкость мицеллярпого
раствора заметно растет и при достаточной концентрации воды
она может во много раз превышать вязкость нефти и воды. При
превышении некоторой критической концентрации воды из-за ро-
роста и объединения мицелл происходит инверсия раствора, когда
вода становится внешней фазой, а нефть — внутренпей в виде
Р. И. Нигматулин, ч. II

314 ГЛ. 8. БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ И ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
микрокапель. Дальнейшее увеличение содержания воды приводит
к уменьшению вязкости микроэмульсии, стремящейся к вязкости
чистой воды.
Высокомолекулярные загущающие полимеры типа полиакри-
ламида образуют с водой коллоидные растворы с более крупны-
крупными размерами микрочастиц (а = 10 — 1 мкм), чем в мицелляр-
ных растворах.
Рассмотренные реологические соотношения и уравнения ки-
кинетики замыкают общую систему уравнений неравновесной
фильтрации двухфазной жидкости с активными примесями.
§ 3. Равновесная фильтрация двухфазной
многокомпонентной жидкости
В данном параграфе излагаются аналитические решения не-
некоторых одномерных задач, основанных на уравнениях § 2 и
связанных с анализом вытеснения водой нефти из пористой сре-
среды в равновесном приближении, когда времена t(i установления
равновесного квазистационарного распределения микроскоростей
фаз в порах, определяющих фазовые проницаемости, малы по
сравнению с характерным временем всего процесса.
Кроме того, используется еще одно упрощение, связанное
с тем, что рассматриваются фильтрационные процессы, харак-
характеризуемые большими числами Пекле (Ре = v0L/D ^> 1), когда
роль диффузионного переноса компонент мала по сравнению с
конвективным переносом всей фазы.
Фильтрация двухфазной смеси двух однокомпонентных жид-
жидкостей. В данном случае система уравнений (8.2.12), (8.2.17)
может быть преобразована к виду
с ЬК др kK д„
mSwvw =- — -?, mSvvp = --^-?% (8.3.1)
?т (Swvw + Spvp) = О, Sm + Sp = l.
Введем величину W, определяющую объемный расход смеси
и зависящую от времени, но не зависящую от х, и величины
Fw и Fp, определяющие соответственно доли воды и нефти в объ-
объемном потоке смеси и называемые функциями Баклея — Леве-
ретта,
W(t) = mSwvw + mSpvP (dW/dx = 0),
^=~-, Fp = ^- (Fu + F9 = i). (8.3.2)
Тогда система уравнений равновесной фильтрации двухфаз-
двухфазной смеси двух несжимаемых жидкостей может быть представ-

§ 3. РАВНОВЕСНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ 315
лена в виде двух подсистем: уравнения для эволюции распределе-
распределений насыщенностей фаз St и их долей Fx(i = ш,р)в потоке смеси
и уравнения для распределения давления
эр W{t)
Введем приведенное время ¦&, имеющее разномерность длины и
определяемое объемом закаченной жидкости:
\. (8.3.5)
о
Квазилинейное дифференциальное уравнение с частными про-
производными первого порядка (8.3.3) преобразуется к виду (8.1.5),
рассматривавшемуся в связи с анализом безынерционных кине-
кинематических волн:
d^- + F'w(Sw)d-^- = 0, F'w(S»)=d^>Q- (8-3.6)
Для фильтрации двухфазной жидкости это уравнение было по-
получено в работе S. Buckley, M. Leverett A942). Согласно этому
уравнению каждое значение водонасыщенности Sw переносится
по характеристике со скоростью FW(SU), пропорциональной тан-
тангенсу угла наклона касательной к кривой FW(SW), которая назы-
называется кривой Баклея — Леверетта. Это и определяет кинемати-
кинематическую волну (см. § 1). На рис. 8.3.1, а представлены схема-
схематично Fw и Fw. Функция Fm является немонотонной. При эво-
эволюции начального распределения насыщенностей Sw()(x), когда
везде имеет место (ср. с (8.1.17))
решение получается перенесением вдоль характеристик (в ки-
кинематической волне) начального распределения Sm{x) и пред-
представляется в виде
i-J, = <(Jm(i)). (8.3.8)
21*

316
ГЛ. 8. БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ И ФИЛЬТРАЦИОДНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Если же имеются зоны, где (ср. с (8.1.18))
дх2
dx
(8.3.9)
то происходит «опрокидывание» волны, аналогичное опрокиды-
опрокидыванию римановской волны сжатия в газе, когда большие возму-
возмущения распространяются с большей скоростью по сравнению с
р
к-
Y
t
\
О»;
Оспе
р
0
о з
х
Рис. 8.3.1. Функция Баклея — Леверетта Fw, ее производная Fw, опре-
определяющая характеристическую скорость в уравнении (8.3.7) для эволю-
эволюции насыщенности Sw при двухфазной равновесной фильтрации несжимае-
несжимаемых жидкостей (а), и построение непрерывного (б) и разрывного (в) реше-
решений в виде кинематической волны, в которой происходит переход из состоя-
состояния о в состояние е, а насыщение воды мепяется от Swo до SWe
более слабыми, что приводит к многозначности ?ш(х). Абсурд-
Абсурдность такого решения приводит к необходимости введения по-
поверхности или волны разрыва (скачка) параметров.
Условия сохранения массы фаз при переходе через скачок
позволяют связать значения насыщенностей перед и за скачком
mpiSi~ (D — vf) = mp°S~ (D — v~) (i — w,p), (8.3.10)
где D — скорость скачка, верхние индексы «—» и «+» соответ-
соответствуют значениям параметров перед и за скачком (р?~ =» р|+).
Вводя значения FJ" и F? (см. рис. 8.3.1, а), получим, что скорость
скачка пропорциональна тангенсу угла наклона прямой, соеди-
соединяющей точки на диаграмме Ft(St), которые соответствуют со-
состояниям перед и за скачком:
(8.3.11)

§ 3. РАВНОВЕСНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ 317
Это уравнение связывает три независимые величины S~, St , D ,
и оно не позволяет однозначно определить параметры скачка.
Для выбора физически реализующегося решения необходимо ис-
использовать дополнительное условие устойчивости и эволюционно-
сти скачка (Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко, 1979). Согласно
условию эволюционное™ число характеристик, приходящих (не-
(несущих начальные значения) на линию скачка (траекторию скачка
в координатах х, t), должно быть больше числа искомых функций.
Согласно условию устойчивости решение задачи Копш с «разма-
«размазанным» начальным разрывом на интервале длиной б должно
стремиться к «неразмазанному» разрыву при б -»- 0. Для одного
гиперболического уравнения первого порядка, где число иско-
искомых функций равно единице, доказан критерий устойчивости
(О. А. Олейник, 1959): разрыв устойчив, если его скорость не
больше скорости любого скачка из точки за разрывом Sw в лю-
любую точку Su между точками за разрывом и перед ним, т. е.
— Fw (sw) ^ Fw(sw) ~ Fw(st)
^
(8.3.12)
На плоскости Sw, Fw критерий устойчивости имеет следую-
следующую геометрическую интерпретацию: наклон хорды, соединяю-
соединяющей точки за разрывом и перед ним, не больше наклона любой
хорды, соединяющей точку за разрывом с любой точкой, лежа-
лежащей на кривой Fv,(Sm) между точками за разрывом и перед ним.
Нетрудно показать, что критерий устойчивости эквивалентен
следующим двум условиям: наклон хорды не больше наклона
касательной к кривой FW(SW) в точке 5ш и не меньше наклона
касательной к этой кривой в точке Si; на отрезке [Sw, St>]
хорда не пересекает кривую FW(SW). Сформулированный кри-
критерий устойчивости обеспечивает существование и единствен-
единственность решения любой задачи Коши для гиперболического урав-
уравнения первого порядка. Для уравнения (8.3.6) методом «малой
вязкости» (И. М. Гельфанд, 1959) доказывается, что последний
критерий является условием существования структуры разрыва
при введении в модель (8.3.6) капиллярной разности давлений
между фазами.
Покажем смысл требования эволюционности и устойчивости
на примере задачи Коши для уравнения (8.3.6) с однородными
по координате начальными условиями и фиксированными гра-
граничными условиями
* = 0: Sa@, x) = Salh x = 0: Sw(t, 0)=Sa.. (8.3.13)

318 ГЛ. 8. БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ И ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Эта задача о распаде произвольного разрыва соответствует вытес-
вытеснению нефти из водо- и нефтенасыщенного пласта. Она допускает
автомодельное решение Sw — Sw(r\), ц — х/Ь, которое отыскивает-
отыскивается из решения краевой задачи для обыкновенного дифферен-
дифференциального уравнения, следующего из (8.3.6):
Полученное уравнение допускает два типа непрерывных реше-
решений: центрированные кинематические волны т] = Fw (Sw) и участ-
участки однородной насыщенности Sa = const. В соответствии с (8.3.8)
скорость разрыва D пропорциональна значению tj, при котором
имеется разрыв. Решение, описывающее волну, в которой реализу-
реализуется переход из состояния о с водонасыщенностью 5ш0 в состояние
е с водонасыщенностью 5ье, строится следующим образом (см.
рис. 8.3.1, в). Фронт волны является скачком, движущимся с
постоянной скоростью. Параметры скачка определяются усло-
условием типа условия Жуге в детонации (см. гл. 3, 5) по точке
(/) касания прямой, проведенной из точки о к кривой FW(SVI).
Окончательное повышение водонасыщенности с Swf до 5ив (пере-
(переход / -»¦ е) происходит в непрерывной волне. Точка, характери-
характеризующая состояние за скачком, не может находиться правее точ-
точки /, т. е. быть точкой типа /', так как скачок типа of является
неэволюционным или неустойчивым, ибо характеристические воз-
возмущения перед и за скачком распространяются медленнее, чем
скачок, который в соответствии с зависимостью F(SW) может
«испустить» более «быстрый» скачок с меньшей интенсивностью.
Точка, характеризующая состояние за скачком, не может нахо-
находиться и левее точки /, т. е. быть точкой типа /", так как в
этом случае за скачком of" может образоваться второй, третий
и т. д. скачки, скорость которых больше скорости скачка of".
После того как эти вторичные скачки догонят скачок of", ре-
решение примет вид о/е со скачком о/.
Таким образом, в соответствии с построенным решением на
выход из пласта сначала приходит обводненная нефть (Рт = 0),
затем — скачок обводненности до величины Fw(Smf), после чего
обводненность монотонно возрастает до единицы.
Фильтрация двухфазной смеси двух многокомпонентных жид-
жидкостей на примере смеси воды, нефти, ПАВ и полимера. Рас-
Рассмотрим в равновесном приближении вытеснение нефти водой,,
содержащей активные примеси типа ПАВ, влияющие на фазо-
фазовые проницаемости фаз. В этом случае уравнения сохранения
массы воды (к = 1), нефти (к = 2), ПАВ (& = 3) и-уравнения

§ 3. РАВНОВЕСНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ 319
фильтрации приводятся к виду, обобщающему (8.3.6),
(8.3.15)
¦ Й*У«>C) . 0 , _,
) p0C) = A — m)
aC)',=
Уравнения сохранения на скачке массы нефти (фаза р)
в третьей компоненты (ПАВ), обобщающие (8.3.10), имеют вид
(d - v+) s+ = (d -1,-) s;, (g
(D — у^) 5^с+C) + Data) = {D — vZ) ^»c~ + Da~s).
Из этих уравнений следует, что на скачке должны выполняться
одновременно два условия:
(8.3.17)
- aC) Si + (a+ - a(i))/(^C)- cw(s))'
aC) Si + (a+ - a(i))/(^C)- cw(s))
Как и в случае одного уравнения (8.3.6), для выбора един-
единственного разрывного решения задачи Коши для системы (8.3.15)
на разрыв накладывают условия устойчивости:
1) общее число характеристик в зоне перед разрывом, ско-
скорость которых не больше скорости разрыва, и в зоне за раз-
разрывом, скорость которых не меньше скорости разрыва, равно
трем, т. е. из четырех неравенств
(w> -^ ^
Sw + (даз/дсмз)) >3 18)
F
одновременно выполняются три (см. обсуждение (8.3.12));
2) на плоскости (сИC), а<з>) отрезок прямой, соединяющий
точки за разрывом (+) и перед ним (—), не пересекает изотер-
изотерму сорбции аC) = а1>)(сщ,)) в других точках, кроме (+) и (—).
В гиперболических системах малые возмущения распростра-
распространяются вдоль характеристик. Поэтому из условия 1) следует,
что при наложении на разрыв малого возмущения и линеариза-
линеаризации системы (8.3.15) на этом разрыве характеристики приносят

320 ГЛ. 8. БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ И ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
столько условий, сколько необходимо для однозначного определе-
определения движения разрыва. Величина возмущения траектории разры-
разрыва при этом стремится к нулю, т. е. разрыв устойчив к малым
возмущениям. Условие 1) называется условием эволюционности.
Оно обеспечивает однозначную разрешимость линеаризованной
задачи о взаимодействии разрыва с малым возмущением.
При рассмотрении нелинейной задачи о взаимодействии раз-
разрыва с малым возмущением оказывается, что при невыполнении
условия 2) возмущение не успевает дойти до линии разрыва:
происходит опрокидывание фронта волны возмущения с образо-
образованием новых разрывов, интенсивности которых со временем
не стремятся к нулю. Таким образом, исходный разрыв не явля-
является устойчивым.
Рассмотрим автомодельное решение системы уравнений
(8.3.15), зависящее только от одной переменной:
S = S (ti) с = с (ti) n = x/'Q' (S 3 19)
В этом случае имеем
dFwySw 3FW dcM3) _Q
dSw I dTl dcwC) di\
(8.3.20)
Часто можно полагать, что концентрация адсорбированных ПАВ,
определяемая изотермой сорбции ai3)(Sw, с„.C)), не зависит от
водонасыщенности, что упрощает выкладки:
5^- = 0. (8.3.21)
Линейная однородная система (8.3.20) имеет нетривиальное ре-
решение, если ее определитель равен нулю. Это условие опреде-
определяет два семейства характеристик
яр F
1) т, = ^, 2) т, = w . (8.3.22)
Каждому значению Т] в координатах Ф, х соответствует прямо-
прямолинейная характеристика х = г\$. Первая характеристика назы-
называется 5-характеристикой или 5-волной, и вдоль нее dSw = 0.
Вторая характеристика называется с-характеристикой пли с-вол-
ной, и вдоль нее dcwC) = 0.
Найдем устойчивую автомодельную волновую конфигурацию,
распространяющуюся по среде с однородным исходным состоя-
состоянием, определяемым точкой о (Sw0, сшB>0«0), когда за волной
проталкивается водный раствор ПАВ в состоянии е Eме = 1, сщ3)в)
(рис. 8.3.2). Согласно сформулированному выше условию устой-

§ 3. РАВНОВЕСНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
321
чивости скачка и условию автомодельности решения скачки
должны распространяться в соответствии с аналогом условия
Жуге, а именно по одной из характеристик (8.3.22), опреде-
определяемых значениями параметров за скачком:
dS,,
р~
da
C)
дс„
—. (8.3.23)
"C)
Если изотерма сорбции ПАВ выпуклая (д2а(з)/д<4C) < 0), то из
последнего выражения следует, что все изменение концентрации
ПАВ от 0 до cwC)e реализуется в скачке, распространяющемся
1
Swb
<? .
°tot
сш3
e
\
b
I
f
Рис. 8.3.2. Автомодельное решение для равновесной схемы вытеснения оста-
остаточной нефти (состояние о) водным раствором ПАВ (состояние е). Здесь
и на рис. 8.3.3, 8.3.4 и 8.4.3 скобки в нижних индексах, относящихся к но-
номеру компоненты, опущены (д3 = о<зь стз = cwC), . • ¦)
по самой быстрой с-характеристике, являющейся одновременно
и iS-характеристикой:
+ F~
w ' w
F+
lw
(8.3.24)
В плоскости Sw, Fy, (см. рис. 8.3.2, a) этому скачку соответст-
соответствует прямая, касательная к линии Fm(Sw, сЩЗ)) при сЩЗ) = сЩЗ),
и проходящая через точку (—ame/cw{z)e, 0). При этих условиях
выполняются равенства (8.3.24). За скачком имеется область
т] < Ць с монотонным возрастанием водонасыщенности при при-
приближении к месту закачки водного раствора ПАВ (линия be на
рис. 8.3.2). Соответствующее решение описывается первым урав-
уравнением (8.3.22), причем концентрация ПАВ в этой области явля-
является постоянной величиной и: равна cwl,)e, т. е. концентрации

322 ГЛ. 8. БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ И ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
ПАВ в закачиваемом водном растворе. Решение в области двух-
двухфазного однокомпонентного (с.я<з)= 0) течения (т) > г\ь) уже
рассматривалось выше. Вид решения в произвольный момент
времени с двумя скачками of и f'b показан на рис. 8.3.2, б.
Аналогично может быть построено автомодельное решение
задачи о вытеснении нефти мицеллярным раствором с внешней
углеводородной фазой, когда закачиваемый реагент — мицелляр-
ный раствор — состоит из нефти (к = 1) с растворенными в ней
ПАВ (к = 3) и водой (к = 2) в виде мицелл. Уравнения сохра-
сохранения массы ПАВ и воды в потоке жидкости имеют вид
to »
Sw = 1 — SP, Fw = 1 — Fp, сШB) = 1.
Здесь предполагается, что водная фаза — однокомпонентная
жидкость, углеводородная — трехкомпонентная. В случае изотер-
изотермического процесса и при незначительном влиянии давления на
распределение компонент по фазам правило фаз Гиббса показы-
показывает, что при равновесии (а только этот случай рассматривается
в данном параграфе) число степеней свободы системы равно
единице, т. е. концентрация лишь одной компоненты независи-
независима. Примем
срB) =ВсрC), В = const ~ 1.
При небольшой сорбции ПАВ (awB < 5Р, Sw) можно привести
систему уравнений (8.3.25) к виду
dSv J,dFv_r) а(УР(з)+а(я)) , gVPC) _ 0 ,п о ш
Эта система уравнений с точностью до индексов совпадает с
системой (8.3.15), поэтому решение ищется аналогично тому,
как это показано на рис. 8.3.2, но в плоскости SP, FP. Для вы-
вытеснения остаточной нефти (однородные начальные условия при
5ро < Spr, Cp3 = 0) мицеллярным раствором решение построено-
на рис. 8.3.3.
Рассмотрим также автомодельное решение, характерное для
закачки реагента (например, загущающего полимера), влияю-
влияющего на вязкость фаз. Изменение соотношения вязкостен фаз
также влияет на вид функции Баклея — Леверетта. Для задачи
о вытеснении мицеллярного раствора буферной жидкостью, яв-
являющейся водным раствором полимера, задача формулируется
аналогично (8.3.15), но уравнение сохранения массы компонен-
компоненты записывается, в отличие от (8.3.15), не для ПАВ ?.к = 3),

§ 3. РАВНОВЕСНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
323
а для полимера (к = 4). Решение приведено на рис. 8.3.4 и
имеет вид, аналогичный проиллюстрированному на рис. 8.3.2.
Более подробный анализ автомодельных решений имеется в
работе В. М. Ентова A981).
Устойчивость контактных границ. Анализ поведения двумер-
двумерных слабых возмущений на плоской контактной границе между
^Зе ° Sp0 SpfSpaSp6Spe f Sp
ср3в
7a
It
Рис. 8.3.3. Автомодельное решение для равновесной схемы вытеснения ос-
остаточной нефти (состояние о) мицеллярным раствором (состояние е)
Рис. 8.3.4. Автомодельное решение для равновесной схемы вытеснения ми-
целлярного раствора (состояние о) загущенным водным раствором долима»
ра (состояние е). См. также подпись к рис. 8.3.2
двумя однофазными фильтрующимися жидкостями (P. Saffman,
G. Taylor, 1958; R. Perrine, 1961) показывает, что эти возму-
возмущения не растут (т. е. плоская контактная граница является

324
ГЛ. 8. БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ И ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
устойчивой), если более вязкая жидкость находится в области
большего давления, т. е. вытесняет менее вязкую. В тех же слу-
случаях, когда менее вязкая жидкость вытесняет более вязкую,
возмущения плоской контактной границы растут и могут ее
разрушить. Численное исследование развития нелинейных дву-
двумерных возмущений контактной границы имеется в работах
Г. П. Цыбульского A975), П. В. Индельмана и др. A979),
В. М. Ентова, В. Б. Таранчука A979).
§ 4. Математическое моделирование процесса
мицеллярно-полимерного заводнения нефтяного пласта
Метод мицеллярно-полимерного вытеснения (вымывания)
нефти, оставшейся после вытеснения нефти обычной водой, за-
заключается в последовательной закачке в пласт не очень больших
объемов (оторочек) мицеллярного раствора (МР) и буферной
жидкости (БЖ), являющейся раствором загущающего полимера
в воде (загущенная вода). Продвиже-
Продвижение по пласту этих малых (из-за вы-
высокой стоимости компонент МР и БЖ)
по объему (около 10% от объема пор
пласта) оторочек осуществляется обыч-
обычной водой (рис. 8.4.1).
Рассматривая описанный процесс,
ограничимся случаем, когда использу-
используется мицеллярный раствор с внешней
Рис. 8.4.1. Одномерная схе-
схема вытеснения нефти с по-
мерных оТМорГкГРВН-Т: Углеводородной фазой (см. § 2), а бу-
ходная обводненная нефть; ферной жидкостью является раствор
МР —оторочка мицелляр- малой концентрации высокомолекуляр-
высокомолекулярного раствора; БЖ — ото- ного полимера типа полиакриламида в
рочка буферной жидкости т,
1вода + загуститель); В- в°Де- Роль мицеллярного раствора со-
проталкивающая вода стоит в том, что он за счет многократ-
многократного понижения поверхностного натя-
натяжения как бы «растворяет» неподвижную нефть и делает ее под-
подвижной. Буферная жидкость благодаря своей большой вязкости
предохраняет идущую впереди оторочку МР от разрушения менее
вязкой водой, проталкивающей систему оторочек.
Углеводородную жидкость будем разделять на подвижную-
и неподвижную фазы, состоящие из трех компонент: нефть,
вода и поверхностно-активные присадки (ПАВ, спирт и т. д.),
делающие углеводородную жидкость мицеллярным раствором.
Водные фазы (подвижные и неподвижные) также содержат
три компоненты: вода, соль, загущающий полимер (см.
табл. 8.4.1).
Для упрощения выкладок примем, что истинные плотности
обеих (i = p, w) жидких фаз одинаковые, а диффузионным

§ 4. МИЦЕЛЛЯРНО-ПОЛИМЕРНОЕ ЗАВОДНЕНИЕ 325
Таблица 8.4.1
Фазы и их насыщенности
S. (г = Р, го, 1, 2, 3, 4)
Углеводородная фаза (г =р;
Sp = ^ + S2)
неподвижная (i = 1); St
подвижная (i — 2); S2
Водная фаза (i = w; Sw =
= 53 + 54)
неподвижная (г = 3); S3
подвижная (г = 4); 54
Компоненты и их номер
й= 1, 2, 3, 4, 5
Нефть (к = 1)
Вода (ft = 2)
Поверхностно-активные
присадки (А = 3)
Вода (ft = 2)
Загущающий полимер
(к =4)
Соль (ft = 5)
Массовая концентрация
компонент
ci(fe) (J= P' w' ft=l.2,3,4,5V
CP<1>
CPB)
CPC)< *
C1OB)
c№D)< !
сшE)
движением компонент можно пренебречь:
Р^> = РР = const; Щ&) = 0.
Тогда систему уравнений § 1 можно записать в виде
9SPCPB)
at
dSwCuBl , 9FWCWB)
C*» - О
dt
dx
??2^ + «Am = _ 7woW) {8Л2>
dt dx
dt
' ow(b)i
dt
dt
l JpwB) ^ t'p0C)>
fen- (^ + ^ = 1).
Здесь использованы безразмерная пространственная координа-
координата х, отнесенная к характерной длине пласта, безразмерное вре-
время I, пропорциональное объему закаченной жидкости, безраз-
безразмерные интенсивности фазовых переходов Ляы, отнесенные

326 ГЛ. 8. БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ И ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
к объемному расходу жидкости:
- X - V @ __ 0 7 Ji3(h)L
/о , ох
( )
I Ж (t) = mS^ + ™S>P, V (t) = J И7 (*') d*\ FTO = L/n
Система уравнений (8.4.2) учитывает переход воды между угле-
углеводородной и водной фазами (/шрB>), адсорбцию и десорбцию
нефтерастворимых активных присадок (/ро<з)) и загустителя
(/и>оD)), растворение водой соли из пласта (ЛиE)), которые за-
задаются в соответствии с (8.2.24). При этом выделение воды из
мицеллярного раствора происходит при обеднении углеводород-
углеводородной жидкости активными присадками ниже некоторой критиче-
критической концентрации сC):
@, CpC)>C3)f
(а.4.4)
Зависимости фазовой проницаемости углеводородной жидкости
Кр от нефтенасыщенности Sp и концентрации cv{3) растворен-
растворенной в нефти активной присадки и фазовой проницаемости воды
Kw от водонасыщенности Sw, приведенные на рис. 8.2.3, можно
аппроксимировать в виде
Кр (Sp,
Кр (Sp, cp(
0) =
3)) =
[
Sp,
-¦V'
о,
У
г
*
„ -
PS
Spi
i Kw
^s
=; Spr,,
= sw
где под Sv понимается динамическая нефтенасыщенность Sp
(см. (8.2.2)); Spr, у, и, сC), ^ — параметры пористой среды (хи с*
зависят и от свойств активных присадок). В промежуточном
диапазоне концентраций активной компоненты (& = 3), т. е. при
О < ср(з) < с(з)> можно использовать линейную по сРC) интерполя-
интерполяцию между KP(SP, 0) и^рEР(з), с*3)).
Как и для зависимости Кр от сРC), используем линейные ап-
аппроксимации для вязкостен углеводородной (в зависимости от
содержания воды) и водной (в зависимости от содержания загу-
загущающего полимера) жидкостей
CpB)
"* (8.4.6)
где ЦрA) и \iv,(i) — вязкости чистой нефти (сРB) = 0) и воды
,(сЮE) = 0); [г№ — вязкость МР с концентрацией в нем воды, рав-

§ 4. МИЦЕЛЛЯРНО-ПОЛИМЕРНОЕ ЗАВОДНЕНИЕ 32?
ной срB); \iw — вязкость «загущенной» воды с концентрацией за-
загустителя в нем, равной сте(8).
В рассмотренных ниже вариантах использованные ранее па-
параметры, характеризующие фазовые проницаемости и вязкости
фаз, принимались равными следующим значениям:
4 = 1,5, % = 1,0, ^ = 3,75, 5рг = 0,44, цр1 = 7,0сПз,
11 — О ^ О Р 1 I О 11 *~~ \ С\ р I I Q 11 =— -ч|| Р I I Q I "I PI I Q —~ 'ill""* I I D Р 1
(8.4.7>
Ниже приведены результаты только для равновесного прибли-
приближения при описании изменения фазовых проницаемостей, или
разделения фильтрующихся жидкостей на подвижные и непод-
неподвижные фазы (?у = 0). Это приближение годится, если г,;<1.
Константы Генри для адсорбции поверхностно-активных приса-
присадок (/с = 3) и загущающего полимера (к = 4) варьировались в-
пределах реального диапазона значений (W. Gogarty, 1968;
А. М. Полищук, Е. М. Суркова, 1979).
В начальном состоянии нефтяной пласт содержал воду и
оставшуюся после заводнения нефть {SP@, х) = Spr = 0,44). Н»
вход последовательно подавались оторочки МР и БЖ:
0<t<tt: Sp (I, 0) = 1, cvW = c°pm (к = 1,2, 3),
cw(h) = 0 (к = 2, 4, 5), 4
**<i< h*: s*(I °) = L смю = ^(« (A = 2, 4, 5),
Cpw = 0 (A = 1, 2, 3).
Задача решалась численно по явной схеме первого порядка
точности «типа уголок» с ориентацией по характеристикам.
Число ячеек выбиралось таким образом, чтобы па оторочки при-
приходилось не менее 20 разностных ячеек.
Рассмотрим сначала волновую картину вытеснения остаточ-
остаточной нефти небольшими оторочками, основанную на численных
расчетах. Процесс можно разбить на четыре этапа, что проил-
проиллюстрировано схемами на рис. 8.4.2. Первый этап — период
закачки МР в пласт (рис. 8.4.2, а). Распределение нефтенасыщен-
ности и активных присадок вдоль пласта на этом этапе описы-
описывается автомодельным решением, показанным на рис. 8.3.3. Вто-
Второй этап — период закачки БЖ до тех пор, пока вал воды, об-
образующийся перед оторочкой БЖ, распространяется в зоне
оторочки МР (рис. 8.4.2, б). Распределение нефтенасыщенности
в зоне, куда дошла БЖ, описывается автомодельным решением,
показанным на рис. 8.3.4. Как следует из этого решения, часть
МР удерживается в зоне БЖ, что приводит в последующем
к разрушению оторочки МР.

328
ГЛ. 8. БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ И ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
На третьем этапе вал воды вторгается из зоны оторочки МР
в зону вала нефти (рис. 8.4.2, б), уменьшая его насыщенность.
В результате образуется область совместного движения воды и
нефти, которую часто называют водонефтяным валом.
На четвертом этапе передний фронт оторочки БЖ обгоняет
оторочку МР, фактически разрушая последнюю, и довытесняет
Рис. 8.4.2. Эволюция кинематических волн или распределения нефтенась^
щенности (сплошные линии), зон мицеллярной жидкости (наклонная
штриховка) и загустителя (горизонтальная штриховка) при вытеснении
нефти по схеме на рис. 8.4.1
водонефтяной вал, снижая нефтенасыщенность перед оторочкой
МР до остаточной нефтенасыщенности Spr (рис. 8.4.2, г). Этот
этап имеет место только в случае достаточно тонких оторочек.
При этом часть пластовой нефти и МР удерживается в пористой
среде, что приводит к снижению эффективности процесса.
На рис. 8.4.2, д приведены траектории нелинейных волн на
xf-диаграмме, иллюстрирующие развитие описанного процесса.
Время t = 0 соответствует началу закачки МР, t = tl — началу
вакачки БЖ. После прокачки объема жидкости, равного tzVm
(Vm — поровый объем пласта), происходит образование водо-
нефтяного вала. Момент ?s соответствует разрушению отороч-
оторочки МР.

§ 4. МИЦЕЛЛЯРНО-ПОЛИМЕРНОЕ ЗАВОДНЕНИЕ
329
На рис. 8.4.3 представлены результаты численных расчетов*),
иллюстрирующие описанный выше волновой процесс в виде эпюр
нефтенасыщенности и концентраций компонент в четыре момента
времени. Следует иметь в виду, что за счет «численной диффу-
диффузии», характерной для сквозных разностных методов расчета,
0,8
0,6
0,4
0.2
О
0,8
0.4
О
,°
¦Ю4
0,8
0,4
0,0
\*\
A
г
е
{
l
0,08
X
/
а
0,4
« /1
-
\0,8
0,5
0,4
0,08
\о,4
К
\
у, 8
0,08
1 ]
/ 1
@,8
\о,4
\
\
0,2 0,4 0,6 0,8 x/L
Рис. 8.4.3. Эволюция кинематических воля нефтенасыщенности и концент-
концентраций активной компоненты (сРз = е*>C)) и полимера (сш4 = с№D)) при ми-
целлярно-полимерном заводнении (Vmp = 0,04 Fm, Fbjk = 0,4 Ут; осталь-
остальные данные см. (8.4.7)). Обозначение волн такое же, как на рис. 8.4.2. Чис-
Числовые указатели соответствуют времени t
происходит размазывание скачков насыщенности^ и концентрации
компонент с течением времени примерно как ti/2. Чтобы изба-
избавиться от такого размазывания, следует выделять поверхности
разрыва с использованием уравнений на скачках. Из рис. 8.4.3
видно, что для заданных условий оторочка МР размером 4%
порового объема разрушается при движении по пласту, и про-
*) Некоторые аналитические решения для вытеснения жидкостей ото-
оторочками имеются в работе П. Г. Бедриковецкого и др. A982).
2 р. И. Нигматулин, ч. II

330
ГЛ. 8. БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ И ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
исходит прорыв буферной жидкости БЖ в зону водонефтя-
ного вала.
В экспериментах обычно измеряются изменения во времени
расходов фаз воды, нефти и компонент на выходе из пласта
(керна). Именно для этих величин и проведено сопоставление
численных и экспериментальных результатов на рис. 8.4.4 и 8.4.5.
Рис. 8.4.4 соответствует толстой оторочке МР (VMv = 0,8Vm),
когда процесс описывается автомодельным решением о вытесне-
вытеснении нефти мицеллярным раствором (см. рис. 8.4.3). Согласно
о-/
+ -?
/
i
° о
о
о
о /~2
! ¦
+ +
+
0,50
ОМ.
и 0,25 0,50 0,75 1,0 V
Рис. 8.4.4. Изменение во времени
(или с ростом относительного объе-
объема прокачанной жидкости F/Fm) до-
долей нефти A) и мицеллярного раст-
раствора B) на выходе из пласта (кер-
(керна). Объем оторочки МР: Fmp =
= 0,8 Fm. Остальные данные см.
(8.4.7). Линии 1 и 2 — расчет; точки
1 ж 2 — экспериментальные данные
(S. Davis, С. Jones, 1968)
02.5 0,50 0,75 1,0 V
Рис. 8.4.5. То же, что и рис. 8.4.4,
но для объема оторочки МР, равного
Fmp = 0,1 Fm, и при вариации в рас-
расчетах значений коэффициента Генри
Гц.оD) (которым соответствуют чис-
числовые указатели) в законе адсорб-
адсорбции полимера (загустителя)
этому решению нефть вытесняется из пласта в виде вала по-
постоянной насыщенности, который прорывается к выходу из пла-
пласта после прокачки объема жидкости, равного 0,2 норового объ-
объема Vm (? = 0,2). До момента Г = 0,8 (что соответствует прока-
прокачанному объему жидкости, равному 0,8 Vm) нефть выходит с
постоянной долей в потоке жидкости. Рис. 8.4.5 соответствует
реальному режиму с тонкой оторочкой МР (FMP = 0,lFm), когда
происходит формирование водонефтяного вала переменной нефте-
насыщенности, а именно после прихода нефтяного вала при
t ж 0,2 доля нефти в потоке выходящей жидкости возрастает до
Fp ж 0,6, а затем при I ж 0,3, в отличие от режима, представлен-
представленного на рис. 8.4.4, резко падает. Из рис. 8.4.5 видно, что зна-
значительное влияние на динамику процесса оказывает интенсив-
интенсивность адсорбции загущающего полимера (к = 4), определяемая
константой Генри Гмо<4). Отметим, что значение Г„0D) = 0,4 со-
соответствует полиакриламидам.
Оценка роли различных эффектов, способствующих разруше-
разрушению оторочки МР, которая была описана при обсуждении

§ 4. МИЦЕЛЛЯРНОЛОЛИМЕРНОЕ ЗАВОДНЕНИЕ
331
рис. 8.4.2, г, д, 8.4.3, 8.4.5, позволила с помощью численных
расчетов выделить главный механизм, а именно удерживание
МР в зоне БЖ, приводящее к прорыву буферной жидкости сквозь
оторочку МР в зону вала нефти (рис. 8.4.2, д). Учет только этого
механизма разрушения оторочки МР и пренебрежение другими
(например, сорбцией растворенных в нефти поверхностно-актив-
поверхностно-активных присадок, делающих нефть мицеллярным раствором) позволя-
позволяет получить удовлетворительно согласующиеся с экспериментом
результаты, что проиллюстрировано на рис. 8.4.6. Видно, что для
Рис. 8.4.6. Эффективность вытесне-
вытеснения нефти, определяемая долей вы-
вытесненной нефти Г) по отношению ко
всей нефти в однородном керне из
песчаника Вегеа в зависимости от
объема оторочки МР. Размер отороч-
оторочки БЖ равен Убж = 0,6 Vm. Сплош-
Сплошная линия — расчет при пренебреже-
пренебрежении сорбции нефтерастворимых при-
присадок (к = 3), точки — эксперимент
(S. Davis, С. Jones, 1968)
7
0,75\-
0,50
0,25
О
/
/
/
/
/
1
1
1,25 2,50 3,75 Кр,%
рассмотренного случая оторочка МР размером около 5% от но-
норового объема вытесняет практически всю нефть из однородной
пористой среды. Меньшие по размеру оторочки удерживаются
в пласте, при этом коэффициент нефтевытеснения снижается.
Таким образом, математическая модель мицеллярно-полимер-
ного заводнения, основанная на применении уравнений меха-
механики многофазной многокомпонентной фильтрации в пористой
среде, дает возможность удовлетворительно описать главные осо-
особенности процесса. Данная модель в одномерном варианте может
быть использована для анализа лабораторных экспериментов,
а затем в двумерном и трехмерном вариантах — для анализа
процесса и его оптимизации в промышленных условиях. Следует
иметь в виду, что именно в экспериментах в лабораторных усло-
условиях на сравнительно малых длинах (L ~ 0,1—1,0 м), когда
времена процесса малы (t -^ 0,1—1,0 ч), могут сказаться эффек-
эффекты неравновесности перехода неподвижных фаз в подвижные.
22*

332
ПРИЛОЖЕНИЕ
ев
er
н к
« S
а
в
g.
се
И
И
Is.
Ы
Я
H
о
n
s
к
g-i"
i«
S н
ИЗИЧ
Кико
•б"
§M
в
9"
a. »
- 5
К I
И о
§ а
ГО -^н О5
t~-* СО
LO CD О
Г^ vf СО
¦^СО 00
оо
¦rtlC 00
СО -*н ^-1
[^ СО СО
см г-
л о
-Ьоо
счГ
СО
00
^соо-*_р_
<"^ч"с<Гс^Гсо"
OCDCONOt^N
CNI CN1 •* Ю C^ IM Cd
оамоиюо
CO CXI О] M CM CXI M
о ю юсою со о
CXI СО Ю О
******
СО СО С- ГО vf Ю СО
II х
З.СО
а
Г -*" о" го* оо" t~
о оооо оо
00 М т< 4I -ч t^ СО
NfO
Mill
о о ю о о
О sf О 00 О С
юю^ооз
00 00 Г- ОСО С
оэ ю оо оо vf с
О5 О5 00 t>- t— «
******
СО СО СО t— OS vf LO
О5 1ЮСОЮС0
I
о
га

ПРИЛОЖЕНИЕ
333
к *
%А
" 2
It
IT
w 2
g«
g5
15
Показатель
адиабаты v
Скорость
звука С,
м/с
Плотность
р, кг/м3
Условия
М
ее
G
(С
Название вещества
3
со
16 580
со
со_
2650
0,0148
1773
о"
II
К,
a. <n
1"
И
2,58
1,81
1007
1,40
343
1,19
293
^н
О~
о"
сзз"
СМ
II
S
и
о
Ю
14,9
1,94
5 190
1,67
1005
0,164
293
ч(Ч
о"
о"
-*"
II
S
i
'3
и
J-i
2,47
2,02
ю
оа
¦^н
•*_
326
со_
293
о"
II
J
а
О СО
S II
оГсо"
v?CO_
"*"со"
оо
о о
оо
1
оо
о**
00Ю
t^ оо
СО 00
СО С\1
161 *)
178*)
о^о_
ечГсо"
А
h
1,11
J
н ^*
евЯ
So
8600
5085
cot>^
оо'ю"
CD-.H
со-*
00 00
со см
1 1
2530
00О
С\1 VF
373
1156 *)
о
iz-
о
л
н
о
§о
«со-
-II
gz
К
о
1
00
со"
1285
1,30
830
0,19
1773
о"
о"
go
-и
О
10,7
6,0
1280
1,30
820
0,19
1773
О
о"
а,
ев
Is
Is
i*i
и =-
О
23,1
I
1890
1
1
895
293
о_
Н-
О
Олеиновая кислота

334
ПРИЛОЖЕНИЕ
«2
S
IIs*
1 ё
Н |
о
3. "и
I*
Й lO
« 1
m о
%Я
S3
QJ --^
О СЗ
S а
й р.
Показатель
адиабаты v
Скорость
звука С,
м/с
-С
н -о
2 3
1
|
i
Название вещества
з
i
1466
1
1
.-ч|
о_
•i-
о"
Порох (модельный)
оо
о_о
о о
CN1 СО
со-*
1 1
аз vo
со оо
~3<СО
4С* *
О^н
coco
oq_
СчГсо"
А
&
о
к^
«¦*
III
и г
cd i-i-i
g »
в
804
1220
¦* СП
Ю 00
СО СО
со со
1
1450
13600
12740
293
630*)
с
с
но_
н
г
>о"
1
«
*~
о
II
и
1
1
1 640
1
1
969
293
о_
•1-
о*
Й II
б sS
toll
E-i
ю
со_со_
СО
^"со"
-* Ю
00 СО
С2 СО
СМ ^н
too
со см
см о
^ч О
00 СО
тч'о"
293
1773
°"о"
о1 Ъ
О. о я-
С 5
!¦ Т
о
о
СО
1
714
1
1
2200
293
о_
¦^ч
¦1-
О
Углерод (твердый)
17,0
15,5
120
43,0
оо
sf О
мсо
1 1
1170
t~ I-.
ою
оо о.
*
со -н
сою
<м со
о
J5
о"
llls
к
о
|к
go
го
Е?
§
Я
о;

ПРИЛОЖЕНИЕ
335
Таблица П.2
Межфазные теплофизические характеристики некоторых газо-
и парожидкостных систем (Н. Б. Варгафтик, 1972; С. Л. Ривкин и др.,
1973; И. К. Кикоин, 1976)
Название вещества
Азот
Вода
Метан
Натрий
Пропан
Ртуть
Тетралин
Этанол (этиловый спирт,
С2Н5ОН)
Условия
р, МПа
од
од
од
1,0
5,0
7,0
10,0
15,0
2,0
3,0
0,1-4-1,0
од
2,0
3,0
0,1-М,0
0,1
од
0,1-И,0
од
т, к
77 *)
293 *)
373*)
453*)
537*)
559*)
584*)
615*)
161 *)
178*)
373
1156 *)
330*)
351 *)
293
630 *)
477*)
293
351 *)
Коэффициент
поверхностного
натяжения 2,
10~3 кг/с
8,85
73,0
58,9
42,2
22.8
17,6
11,8
5,41
<5
<5
206
118
<5
<5
465
393
22,8
17,1
Теплота парооб-
парообразования 1,
106 М2/с2
0,198
2,26
2,01
1,64
1,50
1,32
1,01
0,371
0,265
3,88
0,263
0,199
0,295
0,406
0,963
*) Соответствует температуре насыщения Tg(p).

336
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица П.З
Теплофизические и кинетические параметры для одного из видов
углеводородного сырья в производстве нефтяного кокса
в установке замедленного коксования УЗК (см. § 9 гл. 7)
Обозначение
R
Cl@)
ClB)
С2
Р2
Б
Размерность
м2/(с2-К)
Тоже
Тоже
Тоже
Тоже
Тоже
Тоже
кг/м3
м2/о
м2/о
кг/с2
Значение
461,9
83,1
20,8
2200
2600
2800
3470
700
1,0-Ю
3,3-10~6
2,5.10~3
Обозначение
iSB)
'A>
'B)
к°
ГB3)
тC1)
ГD1)
¦*C4)
ГD5)
Размерность
К
м2/с2
м2/с2
с
К
К
К
К
К
К
Значение
723
1,26-10*
2,09-Ю5
0,5-1010
24 839
26 338
25 332
25 448
24 753
25 448

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Абрамсон А. А. A981). Поверхностно-активные вещества. Свойства и
применение.— Л.: Химия, 1981.
Авдеев А. А., Майданик В. Н., Шанин В. К. A977). Методика
расчета вскипающих адиабатических потоков // Теплоэнергетика.—
1977.— № 8.— С. 67—69.
Айдагулов P.P., Хабеев Н. С, Шагапов В. Ш. A977). Структура
ударной волны в жидкости с пузырьками газа с учетом нестационар-
нестационарного межфазного теплообмена / ПМТФ.— 1977.— № 3.
Андреевский А. А. A978). Волновое течение тонких слоев вязкой
жидкости / Температурный режим и гидравлика парогенераторов.—
Л.: Наука, 1978.—С. 181—230.
Апштейн Э. 3., Григорян С. С, Якимов Ю. Л. A969). Об устой-
устойчивости роя пузырьков воздуха в колеблющейся жидкости / Изв. АН
СССР. МЖГ.— 1969.— № 3.- С. 100-104.
Арманд А. А. A946, 1950). Сопротивление при движении двухфазной
системы по горизонтальным трубам / Изв. Всес. теплотехн. ин-та.—
1946.— № 1.— С. 16—23. Исследование механизма движения двухфазной
смеси в вертикальной трубе / Изв. Всес. теплотехн. ин-та.—1950.—
№ 2.
Баренблатт Г. И., Виниченко А. П. A980). Неравновесная фильт-
фильтрация несмешивающихся жидкостей / Успехи механики.— 1980.— Т. 3,
№ 3.— С. 35-50.
Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. A984). Движение
жидкостей и газов в природных пластах.— М.: Недра, 1984.— 211 с.
Блинков В. Н., Петухов И. И., Веспятов М. А. A981). Экспери-
Экспериментальное исследование течения вскипающей воды в сопле Лаваля /
Газотермодинамика многофазных потоков в энергоустановках. Вып. 4,
Харьков, 1981.— С. 71—78.
Блинков В. Н., Фролов С. Д. A982). Модель течения вскипающей
жидкости в соплах / ИФЖ.— 1982.— Т. 42, № 5.— С. 741—746.
Борисов А. А., Гельфанд Б. Б., Нигматулин Р. И. и др. A977).
Усиление ударных волн в жидкости с пузырьками пара // Нелинейные
волновые процессы в двухфазных средах/Под ред. С. С. Кутателадзе.—
Новосибирск: ИТФ, 1977.
Борисов А. А., Гельфанд Б. Б., Нигматулин Р. И. и др. A982).
Усиление ударных волн в жидкостях с пузырями пара и растворимого
газа / ДАН СССР.— 1982.- Т. 263, № 3.— С. 592—598.
Б у л ы г и н В. Я. A965). Одновременная фильтрация двух жидкостей в
нефтяном пласте / Уч. записки Казанского ун-та. Вопросы подземной
гидромеханики.— 1965.— Т. 125, кн. 8.
Бурдуков А. П., Козьменко Б. К., НакоряковВ. Е. A975).
Распределение профилей скорости жидкой фазы в газожидкостном
потоке при малых газосодержаниях // ПМТФ.— 1975.— № 6.
Быков В. И., Лаврентьев М. Е. A976). Формирование спектра раз-
размеров капель в газожидкостном потоке / ИФЖ.— 1976.— Т. 31, № 5,—
С. 782—787.

338 список литературы
Валявпн Г. Г., Гимаев Р. Н. и др. A975). Разработка кинетической
схемы процесса термодеструкции нефтяных остатков / Труды
БашНИИНП, Уфа, 1975, вып. 13.— С. 44—51.
Варгафтик Н. Б. A972). Справочник по теплофизическим свойствам
газов и жидкостей.— М.: Наука, 1972.
Вахитов Г. Г., Огаджанянц В. Г., Полищук A.M. A980). Экс-
Экспериментальное исследование влияния добавок полимера в воду на
относительные проницаемости пористых сред / Изв. АН СССР. МЖГ.—
1980.— № 4.— С. 163—166.
Веригин Н. Н. A969). Диффузия и массообмен при фильтрации жидко-
жидкостей в пористой среде // Развитие исследований по теории фильтрации
в СССР.— М.: Наука, 1969.
Воюцкий С. С. A976). Курс коллоидной химии.—М.: Химия, 1976.—
512 с.
Вукалович М. П., Ривкин С. Л., Александров А. А. A969).
Таблицы теплофизических свойств воды и водяного пара.— М.: Изд-во
Стандартов, 1969.
Галиев Ш. У. A977). Динамика взаимодействия элементов конструкций
с волной давления в жидкости.— Киев: Наукова думка, 1977.—170 с.
Ганиев Р. Ф., Ко баск о Н. И. и др. A980). Колебательные явления
в многофазных средах и их использование в технологии.— Киев: Тех-
Техника, 1980.— 143 с.
Ганиев Р. Ф., Лапчинский В. Ф. A978). Проблемы механики в
космической технологии.— М.: Машиностроение, 1978.— 120 с.
Г е л ь ф а н д Б. Е., Г у б и н С. А., К о г а р к о Б. С, К о г а р к о СМ.
A973). Исследование волн сжатия в смеси жидкости с пузырьками
газа / ДАН СССР.— 1973.— Т. 213, № 5.
Гельфанд Б. Е., Рубин С. А. и др. A975). Исследование разрушения
пузырьков газа в жидкости ударными волнами / Изв. АН СССР. МЖГ.—
1975.— № 4.
Гельфанд Б. Е., Г у б и н С. А., Н и г м а т у л и н Р. И., Тимо-
Тимофеев Е. И. A977). Влияние плотности газа на дробление пузырьков
ударными волнами / ДАН СССР.— 1977.— Т. 235, № 2.— С. 292—294.
Гельфанд Б. Е., Степанов В. В., Тимофеев Е. И., Цыга-
Цыганов С. А. A978). Усиление ударных волн в неравновесной системе
жидкость — пузырьки растворяющегося газа / ДАН СССР.—1978.—
Т. 239, № 1.- С. 71-73.
Гельфанд Б. Е,. Тимофеев Е. И., Степанов В. В. A978). О струк-
структуре слабых ударных волн в системе пузырьки газа — жидкость /
ТВТ.— 1978.— Т. 16, № 3.— С. 569—575.
Герасимов Я. И. A970). Курс физической химии.— М.: Химия, 1970.—
592 с.
Гиматудинов Ш. К., Ширковский А. И. A982). Физика нефтя-
нефтяного и газового пласта.— М.: Недра, 1982.
Гофман Г. В., Крошилин А. Е., Ннгматулин Б. И. A981). Не-
Нестационарное волновое истечение вскипающей жидкости из сосудов /
ТВТ.— 1981.— Т. 19, № 6.— С. 1240—1250.
Григорян С. С, Якимов Ю. Л., Апштейн Э. 3. A965). Поведение
пузырьков воздуха в жидкости при вибрации // Fluid dynamics tran-
transactions.— Warczawa.— 1965.— V. 2.
Губайдуллин А. А., Ивандаев А. И., Нигматулин Р. И.
A9766). Нестационарные волны в жидкости с пузырьками газа / ДАН
СССР.— 1976.— Т. 226, № 6.
Губайдуллин А. А., Ивандаев А. И., Нигматулин Р. И. A978).
Исследование нестационарных ударных волн в газожидкостных смесях
пузырьковой структуры / ПМТФ.— 1978.— № 2.— С. 78—86.
Губайдуллин А. А., Ивандаев А. И., Нигматулин Р. И., X а-
б е е в Н. С. A982). Волны в жидкостях с пузырьками. Итоги науки
и техники. Механика жидкости и газа.— М.: ВИНИТИ.— 1982.— Т. 17.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 339
Дейч М. Е., Филиппов Г. А. A981). Газодинамика двухфазных
сред.— М.: Энергоиздат, 1981.— 472 с.
Декснио Б. К. A978). Распространение умеренно сильных ударных волн
в двухфазной среде Ц Изв. АН Латв. ССР. Сер. физ. и техн. наук.—
1967.— № 1.— С. 75—81.
Дорощук В. Е. A983). Кризисы теплообмена при кипении воды в тру-
трубах.— М.: Энергоатомиздат, 1983.— 120 с.
Дорощук В. Е., Левитан Л. Л., Ланцман Ф. П. A975). Рекомен-
Рекомендации к расчету кризисов теплообмена в круглой трубе при равномерном
тепловыделении / Теплоэнергетика.— 1975.— JV» 12.
Ентов В. М., Таранчу к В. Б. A979). Численное моделирование про-
процесса неустойчивого вытеснения нефти водой / Изв. АН СССР. МЖГ.—
1979.— № 5.— С. 58-63.
Живайкин Л. Я. A961). О толщине пленки жидкости в аппаратах пле-
пленочного типа / Химическое машиностроение.— 1961.— № 4— С. 47.
3 а б р у д с к и и В. Т., X о л п а н о в Л. П. A979). Исследование волновых
параметров пленочного течения по длине канала в режиме восходящего
прямотока при различных физических свойствах жидкой фазы /
ТОХТ.— 1979.— Т. 13, № 2.
Зельдович Я. Б. A984). Химическая физика и гидродинамика.—М.:
Наука, 1984.— 374 с.
Зыонг Нгок Хай, Нигматулин Р. И., Хабеев Н. С. A982).
Структура ударных волн в жидкости с паровыми пузырьками Ц Изв.
АН СССР, МЖГ.—1982.—№ 2.—С. 109—118.
3 ы с и н В. А., Баранов Г. А., Б а р и л о в и ч В. А., Парфено-
Парфенова Т. Н. A976). Вскипающие адиабатные потоки.— М.: Атомиздат,
1976.— 152 с.
Ивандаев А. И., Губайдуллин А. А. A978). Исследование неста-
нестационарного истечения вскипающей жидкости в термодинамически рав-
равновесном приближении II ТВТ.— Т. 16, № 3.
Ивандаев А. И., Нигматулин Б. И. A977). Применение модели
дисперсно-кольцевого потока к расчету двухфазных критических тече-
течений /I ТВТ.— 1977.- Т. 15, № 3.— С. 573-580.
Ивандаев А. И., Нигматулин Б. И. A980). Распространение сла-
слабых возмущений в парожидкостных дисперсно-кольцевых потоках /
ТВТ.— 1980.— Т. 18, № г.— С. 359-366.
Ивандаев А. И., Нигматулин Р. И. A972). К элементарной тео-
теории критических максимальных расходов двухфазных смесей / ТВТ.—
1972.— Т. 10, № 5.
Ивандаев СИ. A977). К определению законов взаимодействия между
составляющими газожидкостного дисперсно-кольцевого потока Ц Нели-
Нелинейные волновые процессы в двухфазных средах/Под ред. С. С. Кутате-
ладзе.— Новосибирск: ИТФ, 1977.— С. 244—255.
Ивандаев СИ. A982). Расчет кризиса теплоотдачи в равномерно обо-
обогреваемых трубах / Всесоюз. конф. по теплофизике и гидрогазодина-
гидрогазодинамике кипения и конденсации. Т. 1.— Рига, 1982.
Исаев О. А., Павлов П. А. A980). Вскипание жидкости в большом
объеме при быстром сбросе давления Ц ТВТ.— 1980.— Т. 18, № 4.
Казновский СП., Пометько Р. С, Пашичев В. В. A978). Кри-
Кризис теплоотдачи и распределение жидкостей в дисперсно-кольцевом
режиме течения / ТВТ, 1978.— Т. 16, № 1.— С. 94—100.
Капица П. Л. A948). Волновое течение тонких слоев жидкости Ц
ЖЭТФ.- 1948.- Т. 18, вып. 1.
Карпман В. И. A973). Нелинейные волны в диспергирующих средах.—
М.: Наука, 1973.— 176 с.
Кафаров В. В., Дорохов И. Н. A976). Системный анализ процессов
химической технологии.— М.: Наука, 1976.— 500 с.
Кедринский В. К. A968). Распространение возмущений в жидкости,
содержащей пузырьки газа / ПМТФ.—1968.—№ 4.—С. 29—35.

340 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Кедринский В. К. A976). Динамика зоны кавитации при подрывном
взрыве вблизи свободной поверхности / ПМТФ.—1975.— № 5.
Кедринский В. К. A980). Ударные волны в жидкости с пузырьками
газа II ФГВ.— 1980.— № 5.— С. 14—25.
Кикоин И. К. (ред.) A976). Таблицы физических величин.—М.: Атом-
издат, 1976.
Кириллин В. А., Сычев В. В., Шейндлин А. Е. A974). Техниче-
Техническая термодинамика.— М.: Энергия, 1974.— 447 с.
Кириллов П. Л., Комаров Н. М., Субботин В. И. и др. A973).
Измерение некоторых характеристик парожидкостного потока в круг-
круглой трубе при давлении 68,6 бар.— Препринт ФЭИ.— 431. Обнинск, 1973.—
104 с.
Кириллов П. Л., Юрьев Ю. С, Бобков В. П. A984). Справочник
по теплогидравлическим расчетам (ядерные реакторы, теплообменники,
парогенераторы).— М.: Энергоатомиздат, 1984.— 296 с.
Кочин Н. Б., Кибель И. А., Розе Н. В. A963). Теоретическая гид-
гидромеханика. ТТ. I, II.— М.: Физматгиз, 1963.
Кошкин В. К., Калинин Э. К., Д р е й ц е р Г. А., Я р х о С. А.
A973). Нестационарный теплообмен.— М.: Машиностроение, 1973.
К р е й м е р М. Л., II л е м б и т о в а Р. Ы. и др. A974). Алгоритм расчета
констант фазового равновесия и давления насыщенных паров углево-
углеводородов и нефтяных фракций // Алгоритмизация расчета процессов и
аппаратов химических производств технологии переработки и транспор-
транспорта нефти и газа на ЭВМ.— Киев, Наукова думка, 1974.— Вып. 6.—
С. 12, 36.
Крошилин А. Е., Кухаренко В. Н., Нигматулин Б. И. A985).
Осаждение частиц на стенку канала в градиентном турбулентном дис-
дисперсном потоке И Изв. АН СССР. МЖГ.— 1985,— № 4.— С. 51—63.
Кузнецов В. В., Накоряков В. Е., Покусаев Б. Г. A978).
Взаимодействие солитонов в жидкости с пузырьками газа Ц Письма в
ЖЭТФ.— 1978.— Т. 28, вып. 8.— С. 520—523.
Кузнецов В. В., Покусаев Б. Г. A978). Эволюция волн давления в
жидкости с пузырьками газа // Переход ламинарного пограничного слоя
в турбулентный. Двухфазные потоки/Под ред. С. С. Кутателадзе.— Но-
Новосибирск: ИТФ, 1978.— С. 61—67.
Кутателадзе С. С. A979). Основы теории теплообмена.—М.: Атомиз-
дат, 1979.— 265 с.
Кутателадзе С. С, Леонтьев А. И. A972). Тепло-массообмен и
трение в турбулентном пограничном слое.— М.: Энергия, 1972.— 342 с.
Кутателадзе С. С, Миронов Б. П., Накоряков В. Е., Хабах-
пашева Е. М. A975). Экспериментальное исследование пристенных
турбулентных течений.— Новосибирск: Наука, 1975.— 166 с.
Кутателадзе С. С, Накоряков В. Е. A984). Тепло-массообмен и
волны в газожидкостных системах.— Новосибирск: Наука, 1984.—
302 с.
Кутателадзе С. С, Стырикович М. А. A976). Гидродинамика
газожидкостных систем.—М.: Энергия; 1976.—296 с.
Кутепов А. М., Стерман Л. С, Стюшин Н. Г. A977). Гидродина-
Гидродинамика и тепломассообмен при парообразовании.— М.: Высшая школа,
1977.— 352 с.
Лабунцов Д. А. A957). Теплоотдача при пленочной конденсации чи-
чистых паров на вертикальной поверхности и горизонтальных трубах //
Теплоэнергетика.— 1957.— № 7.— С. 72—79.
Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. A973). Методы теории функций
комплексного переменного.— М.: Наука, 1973.
Леончик Б. И., Маякин В. П. A971). Измерения в дисперсных пото-
потоках.— М.: Энергетика, 1971.— 248 с.
Лойцннский Л. Г. A973). Механика жидкости и газа.—М.: Наука,
1973.— 848 с.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 341
Мамаев В. А., Одишария Г. Э., Клапчук О. В., Точигин А. А.,
Семенов Н. И. A978). Движение газожидкостных смесей в тру-
трубах.— М.: Недра, 1978.— 271 с.
Маринов М. И., Кабанов Л. П. A972). Исследование в области ухуд-
ухудшения теплообмена при пониженных давлениях и невысоких массовых
скоростях / Теплоэнергетика.— 1977, № 7.— С. 81—83.
Медников Е. П. A981). Турбулентный перенос и осаждение аэрозо-
аэрозолей.— М.: Наука, 1981.— 176 с.
Методы расчета теплофизических свойств газов и жидкостей. A974).—М.:
Химия, 1974.— 248 с.
М ирз а дж анз а де А. X. и др. A985). Теория и практика применения
неравновесных систем в нефтедобыче.— Баку: Элм, 1985.
Миронов Ю. В. A975). Расчет критического расхода пароводяной сме-
смеси // ТВТ.— 1975.— Т. 13, № 1.
Миропольский 3. Л., Шнеерова Р. И., Карамышева А. И.
A971). Паросодержания при напорном движении пароводяной смеси
с подводом тепла и в адиабатных условиях // Теплоэнергетика.—1971.—
№ 5.— С. 60—63.
Можаров Н. А. A959). Исследование критической скорости срыва плен-
пленки со стенки паропровода // Теплоэнергетика.— 1959.— № 2.— С. 50—63.
Мухачев Г. А., Павлов Б. М., Тонконог В. Г. A973). Течение
испаряющейся жидкости в соплах / Труды КАИ.— 1973.— Вып. 158.—
С. 50-54.
Накорчевский А. И. A980). Гетерогенные турбулентные струи.—
Киев: Наукова думка, 1980.— 142 с.
Накоряков В. Е., Бурдуков А. П. и др. A973). Исследование тур-
турбулентных течений двухфазных сред/Под ред. С. С. Кутателадзе.—Но-
Кутателадзе.—Новосибирск: Наука, 1973.— 314 с.
Накоряков В. Е., Покусаев Б. Г., Шрейбер И. Р. A983). Рас-
Распространение волн в газо- и парожидкостных средах. Новосибирск, ИТФ,
1983.— 238 с.
Накоряков В. Е., Соболев В. В., Шрейбер И. Р. A972). Длинно-
Длинноволновые возмущения в газожидкостной смеси / Изв. АН СССР. МЖГ.—
1972,- № 5.
Невструева Е. И. A978). Тепломассообмен в атомных энергетических
установках с водоохлаждаемыми реакторами / Итоги науки и техники.
Тепло-массообмен.— М.: ВИНИТИ, 1978.— Т. 1.— 112 с.
Нетунаев С. В., Нигматулин Б. И., Горюнова М. 3. A982).
Исследование интенсивности осаждения капель на жидкую плепку в
вертикальном воздушно-водяном потоке / Теплоэнергетика.—1982.—
№ 3.— С. 61—62.
Нигматулин Б. И. A971). К гидродинамике двухфазного потока в дис-
дисперсно-кольцевом режиме течения // ПМТФ.—1971.—№ 6.—С. 141—153.
Нигматулин Б. И. A973). Исследование характеристик течения двух-
двухфазных дисперсно-кольцевых потоков в обогреваемых трубах / ПМТФ.—
1973.- С. 78-88.
Нигматулин Б. И. A979). Кризис теплоотдачи и расход жидкости в
пленке при течении дисперсно-кольцевых потоков / ТВТ.— 1979.— Т. 17,
№ 6.— С. 1254—1258.
Нигматулин В. И., Виноградов А. А., Виноградов В. А.,
Курбанов Ш. Э. A982). Методика измерения толщины и волновых
характеристик поверхности жидкой пленки в пароводяном дисперсно-
кольцевом потоке II ТВТ.— 1982,— Т. 20, № 6.
Нигматулин Б. И., Горюнова М. 3., Васильев Ю. В. A981).
К обобщению опытных данных по теплоотдаче при течении жидких
пленок вдоль твердых поверхностей / ТВТ.—1981.— Т. 19, № 5.—
С. 991 — 1001.
Нигматулин Б. И., Горюнова М. 3., Гугучкин В. В., Мар-
Маркович Э. Э. A982). Влияние вдува газа на движение капель у стенки

342 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
горизонтального канала в газожидкостном дисперсном потоке / ТВТ.—
1982.— Т. 20, № 2.
Ы и г м а т у л и н Б. И., Долинин И. В., Рачков В. И., Семе-
Семенов В. П. A978). Исследование осаждения капель на жидкую пленку
в вертикальном пароводяном потоке / Теплоэнергетика.— 1978.— № 6.—
С. 82—84. Применение солевого метода для определения интенсивности
влагообмена и распределения жидкости между ядром и пленкой в дис-
дисперсно-кольцевом пароводяном потоке / ТВТ.—1978.— Т. 16, № 4.—
С. 832—839.
Нигматулин Б. И., Ивандаев А. И. A977). Исследование явления
кризиса гидродинамического двухфазного течения / ТВТ.— 1977.— Т. 15,
№ 1 — С. 129-136.
Нигматулин Б. И., Сопленков К. И. A978). К элементарной тео-
теории критического (максимального) расхода двухфазной смеси в кана-
каналах переменного сечения / ТВТ.— 1978.— Т. 16, № 2.— С. 370—376.
Нигматулин Б. И., Сопленков К. И. A980). Исследование неста-
нестационарного истечения вскипающей жидкости из каналов в термодина-
термодинамически неравновесном приближении / ТВТ.— Т. 18, № 1.— С. 118—
131.
Нигматулин Р. И. A978). Основы механики гетерогенных сред.—М.:
Наука, 1978.— 336 с.
Нигматулин Р. И. A981). Эффекты и их математическое описание
при распространении волн в пузырьковых средах / Избранные вопро-
вопросы современной механики (поев. 50-летию С. С. Григоряна)/Под ред.
Г. Г. Черного.— М.: НИИ Механики МГУ, 1981.— С. 64—89.
Нигматулин Р. II., С у р г у ч е в М. Л., Федоров К. М., X а-
беев Н. С, Шевцов В. А. A980). Математическое моделирование
процесса мицеллярно-полимерного заводнения / ДАН СССР.— 1980.—
Т. 255, № 1.— С. 52—56.
Нигматулин Р. И., Шагапов В. Ш. A974). Структура ударных волн
в жидкости с пузырьками газа / Изв. АН СССР. МЖГ.— 1974.— № 6.—
С. 30-31.
Нигматулин Р. И., Шагиев Р. Г. и др. A977). Математическое
моделирование в гидравлическом приближении газожидкостных пото-
потоков с химическими реакциями и анализ процесса нагрева нефтяного
сырья в трубчатых печах / ДАН СССР.— 1977.—Т. 237, № 6.—С. 1311—
1314.
Нигматулин Рс. И. A975). Экспериментальное исследование влияния
неравномерности тепловыделения по длине канала на кризис тепло-
теплообмена при течении двухфазных потоков Ц Вопросы газотермодинамики
энергоустановок.— Харьков: ХАИ, 1975.— С. 117—121.
Нигматулин Рс. И. A977). Исследование кризиса теплообмена при
неравномерном тепловыделении Ц Нелинейные волновые процессы в
двухфазных средах/Под ред. С. С. Кутателадзе.—Новосибирск: ИТФ,
1977.— С. 300—312.
Николаевский В. Н. A968). Движение углеводородных смесей в по-
пористой среде,—М.: Недра, 1968.
Петухов Б. С, Генич Л. Г., Ковалев С. А. A974). Теплообмен
в ядерных энергетических установках.— М.: Атомиздат, 1974.— 403 с.
Петухов B.C., Жуков В. М., Шильдкрет В. М. A980). Экспери-
Экспериментальное исследование гидравлического сопротивления при течения
двухфазного потока гелия в вертикальной трубе // ТВТ.— 1980.— Т. 18,
№ 5.- С. 1040-1045.
Попов В. П., Покрывайло Н. А. A966). Экспериментальное иссле-
исследование электрохимическим методом нестационарного массообмена /
Тепломассообмен.— Минск, 1966.
Пудовкин М. А., Саламатин А. Н., Чугунов В. А. A977).
Температурные процессы в действующих скважинах.— Изд-во Казан-
Казанского ун-та, 1977.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 343
Рассохин Н. Г., Ку зевано в В. С. и др. A977). Критические усло-
условия при нестационарном истечении двухфазной среды при обрыве тру-
трубопровода Ц ТВТ.— 1977.— Т. 15, № 3.
Селиванов В. Г. A976). Разгон жидкости газом в соплах / Вопросы
газотермодинамики энергоустановок.— Харьков, 1976.
Рекомендации по расчету кризиса теплоотдачи при кипении воды в круглых
трубах A980). Препринт 1—57.— М.: Институт высоких температур
АН СССР, 1980.— 67 с.
Ремизов О. В., Сергеев В. В., Юрков 10. И. A983). Эксперимен-
Экспериментальное исследование ухудшения теплоотдачи при подъемном и опуск-
опускном течении воды в трубе / Теплоэнергетика.—1983, № 9.— С. 64—66.
Ривкипд С. Л. A973). Термодинамические свойства газов.—М.: Энергия,
1973.
Рождественский Б. Л., Я н е н к о Н. Н. A979). Системы квазили-
квазилинейных уравнений.—• М.: Наука, 1979.
Розенберг М. Д., Кун дин С. А. A976). Многофазная многокомпо-
многокомпонентная фильтрация при добыче нефти и газа.— Ы.: Недра, 1976.
Сагдеев Р. 3. A964). Коллективные процессы и ударные волны в раз-
разреженной плазме Ц Вопросы теории плазмы.— М.: Атомиздат, 1964.—
Т. 20, № 4.
Семенов Н. И., Костерин СИ. A964). Исследования скорости звука
в движущихся газожидкостных смесях / Теплоэнергетика.— 1964.— № 6.
Смирнов O.K., Пашков Л. Т., Зайцев В. Н. A973). Расчет пара-
параметров среды в обогреваемом канале при глубоких возмущениях расхо-
расхода II Труды МЭИ.— М.: 1973.— Вып. 157.
Смолин В. Н. и др. A979). Экспериментальные данные и методика
расчета кризиса теплоотдачи при кипении воды, циркулирующей в тру-
трубах с равномерным и неравномерным тепловыделением / Вопросы
атомной науки и техники. Сер. Физика и техника ядерных реакторов.—
М.: ЦНИИ Атоминформ, 1970.—Вып. 5 (9).
Стекольщиков Е. В., Федоров А. С. A974). Экспериментальное
исследование параметров распространения звуковых волн в кипящей
воде / Теплоэнергетика.—1974—№ 9.—С. 76—77.
Стырикович М. А., Полонский B.C., Циклаури Г. В. A982).
Тепломассообмен и гидродинамика в двухфазных потоках атомных
электрических станций.— М.: Наука, 1982.— 270 с.
Субботин В. И., Ремизов О. В., Воробьев В. А. A973). Темпера-
Температурные режимы и теплоотдача в области ухудшенного теплообмена /
ТВТ.— 1973.— Т. И, № 6.— С. 1220—1226.
С у р г у ч е в М. Л., Шевцов В. А., С у р и н а В. В. A977). Применение
мицеллярных растворов для увеличения нефтеотдачи пластов.— М.:
Недра, 1977.
Сюняев 3. И. A980). Нефтяной углерод.—М.: Химия, 1980.—272 с.
Тарасова Н. В., Леонтьев А. И. A965). Гидравлическое сопротивле-
сопротивление при течении пароводяной смеси в обогреваемой вертикальной тру-
трубе // ТВТ.— 1965.— Т. 3, № 1.
Тихоненко Л. К., Кеворков Л. Р., Лутовинов С. 3. A979).
Критические расходы горячей воды при истечении из трубы / Тепло-
Теплоэнергетика.— 1979.— № 5.— С. 32—36.
Толубинский В. И. A980). Теплообмен при кипении.— Киев: Наукова
думка, 1980.— 316 с.
Фисенко В. В. A978). Критические двухфазные потоки.— М.: Атомиз-
Атомиздат, 1978.— 159 с.
Хлесткий Д. А., Коршунов А. С, Канищев В. П. A978). Опре-
Определение расходов воды высоких параметров при истечении в атмосферу
через цилиндрические каналы Ц Изв. АН СССР. Энергетика и транс-
транспорт.— 1978.— № 5.— С. 126—135.
Циклаури Г. В., Данилин B.C., Селезнев Л. И. A973). Адиабат-
Адиабатные двухфазные течения.— М.: Атомиздат, 1973.— 447 с.

344 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Циклаури Г. В., Джишкариани Г. С, Кипшидзе М. Е. A982).
Теплоотдача в закризисной области при низком давлении и малых мас-
массовых скоростях II ИФЖ.—1982.—Т. 43, № 5.—С. 709—715.
Цыбульский Г. П., A975). Плоская задача о двухфазной фильт-
фильтрации несмешивающихся жидкостей без учета капиллярных сил / Изв.
АН СССР, МЖГ.— 1975.- № 1.
Чан В. Ч., Шкадов В. Я. A979). Неустойчивость слоя вязкой жидко-
жидкости под воздействием граничного потока газа / Изв. АН СССР. МЖГ.—
1979.- № 2.- С. 28-36.
Ч а р н ы й И. А. A963). Подземная гидрогазодинамика.— М.: Гостоптехиз-
дат, 1963.
Шагапов В. Ш. A976). Структура ударных волн в полидисперсной
смеси жидкость — пузырьки газа Ц Изв. АН СССР. МЖГ.— 1976.—
№6.
Шагапов В. Ш. A977). Распространение малых возмущений в жидко-
жидкости с пузырьками Ц ПМТФ.— 1977.— № 1.— С. 90—101.
Якимов Ю. Д., Ерошин В. А., Романенков Н. И. A978). Моде-
Моделирование движения тела в воде с учетом сжимаемости / Некоторые
вопросы механики сплошной среды (поев. 70-летию акад. Л. И. Седо-
Седова). Под ред. С. С. Григоряна.—М.: НИИ Механики МГУ, 1978.
Adelberg M. A968). Mean drop size resulting from the injection of a
liquid jet into a lighspeed gas stream. // AIAA, 1968, N 6.— Рус. пер.:
Ракетная техника и космонавтика.— 1968.— № 6.— С. 187—193.
Afgan N. A976). Boiling liquid superheat.— Pergamon Press, 1976.— Рус.
пер.: Афган Н. Перегрев кипящих жидкостей.—М.: Энергия, 1980.—
80 с.
Barzoni G., Martini R. A982). Post-dryout heat transfer: an experi-
experimental study in a vertical tube and a simple theoretical method for pre-
predicting thermal non-equilibrium ff Proc. 7th Int. Heat Transfer Conf.—
Hemisphere Publ. Corp., 1982, v. 5, NR3.— P. 411—416.
Batchelor G. K. A967). Compression waves in a suspension of gas bubb-
bubbles in liquid ff Fluid Dynamics Transaction.— Warszawa, 1967.— V. 4.—
Рус. пер. II Сб. переводов: Механика.— 1968.— № 3.— С. 109.
Ardron К. If. A978). A two-fluid model for critical vapour-liquid flow Ц
Int. J. Multiphase Flow.— 1978.— V. 4.— P. 323—337.
Banarjee S., Lahey R. A981). Advances in Two-phase flow instru-
instrumentation.— In: Nuclear science and technology.— Ed. J. Becker et al,
v. 13, Plenum Press: 1981, p. 227—414.
Bankofi' S. G. A978). Vapour explosions: a critical review. / Proc. VI
Int. Heat Transfer. Conf.— Toronto, Canada, 1978.
Bennett A. W., Hewitt G. F. et al A967). Heat transfer to steam-
water mixtures flowing in uniformly heated tubes in which the critical
heat flux has been exceeded / AERE-R5373. Harwell, Great Britain.—
1967.— P. 21.
Bennett A. W., Hewitt G. F. et al A969). Measurement of liquid
film flow rates at 1000 psia in upward steam water flow in vertical hea-
heated tube / AERE-R5809. Great Britain, Harwell.— 1969.— P. 14.
Birkhoff G. A960). Hydrodynamics.— Princeton; New Jersey; Princeton
Univ. Press, 1960.— Рус. пер. / Биркгоф Г. Гидродинамика.— М.: ИЛ,
1963.
Bleich H. Н. A956). Effect of vibrations on the motion of small gas
bubbles in a liquid / Jet Propulsion.— 1956.— V. 26, No 11.
Boure J., Reocreux M. A972). General equations of two-phase flows —
Applications to critical and non-steady flows ff 4-th All Union Heat and
Mass Transfer Conf., Minsk, 1972.
Butterworth D., Hewit G. (ed.). A977). Two-phase flow and heat
transfer ff Oxford Univ. Press, 1977.— Рус. пер. // Теплопередача в двух-
двухфазном потоке/Под ред. Д. Баттерворса и Г. Хьюитта,— М.: Энергия.
1980.— 328 с.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 345
Caflisch R. E., Miksis M. J., Papanicolaou G. С, Lu Ting
A985). Wave propagation in bubbly liquids at finite volume fraction J/
J. Fluid Mech.— 1985, v. 160, pt. 1.— P. 1—14.
Campbell L. I., Pitcher A. S. A958). Shock waves in a liquid con-
containing gas bubbles / Proc. Roy. Soc—1958.—V. A243, No 1235.—
P. 534-562.
Chan Y., Banerjee S. A981). Refilling and rewetting of a hot horizon-
horizontal tube. Experiments. Structure of a two-fluid model. Application of a
two-fluid model to analyze rewetting / Trans. ASME: J. of Heat Transfer,
1981.— V. 103.— P. 281—292, 653—659.
Collins R. A961). Flow of fluids through porous materials.—New York —
London, 1961.
Cousins L. В., Hewitt G. F. A968). Liquid mass transfer in annular
two phase flow: radial liquid mixing AERE-R5693. Great Britan, Har-
Harwell.— 1968.— P. 23.
Crespo A. A969). Sound and shock waves in liquids containing bubbles /
Phys. Fluids.—1969.—V. 12, No 11.
Cumo M. A969). Elementi di termotecnica del reattore.— Roma: CNEN,
1969.- 437 p.
Davis J. A., Jones S. C. A968). Displacement mechanism of micellor
solution /I J. Petr. Tech.—1968.—V. 20, No 6.—P. 1415—1428.
Daws on H. R., Lantz R. B. A972). Inaccessible pore volume in poly-
polymer flooding II Soc. Petr. Eng. J.— 1972.— V. 12, No 5.— P. 448—452.
Delhaye J. M., Giott M., Rietmuller M. (ed) A981). Thermohyd-
raulics of two-phase systems for industrial design and nuclear enginee-
engineering.— Henisphere Publishing Corp., 1981.— Рус. пер.: Делайе Дж.,
Г и о М., Ритмюллер М. Теплообмен и гидродинамика в автоном-
автономной и тепловой энергетике.— М.: Энергоатомиздат, 1984.— 424 с.
Drum heller D. S., Kipp M. E., Bedford A. A982). Transient wave
propagation in bubbly liquids.—J. Fluid Mech., 1982.—V. 119.—P. 347—
365.
Dwayer О. Е. A976). Boiling liquid metal heat transfer.— Publ. by Ame-
American Soc, 1976.— Рус. пер.: Двайер О. Теплообмен при кипении метал-
металлов,— М.: Мир, 1980.— 516 с.
Edwards A. R., O'Brien Т. Р. A970). Studies of phenomena connected
with depressurization of water reactor / J. British Nuclea Ener. Soc—
1970.— No 9.
Essenhigh R. H., Csaba J. A963). The thermal radiation theory for
plane flame propagation in coal dust clouds Ц 9th Symp. (Intern.) on
Combustion.—New York — London: Acad. Press, 1963.—P. 111—125.
Forslund R. P., Rohsenov W. M. A968). Dispersed flow film boi-
boiling II Trans. ASME, J. Heat Transfer.—1968.—V. 90, No 4.—P. 399—
407.— Рус. пер. / Теплопередача.— 1968.— Т. 90, № 4.— С. 32—42.
Fox F. E., Cur ley S. R., Larson G. S. A955). Phase velocity and
absorption measurements in water containing air bubbles Ц J. Acoustic
Soc. Amer.— 1955.— V. 27, No 7.— Рус. пер. / В сб. перев. и обзоров
иностр. лит.: Проблемы современной физики.— 1956.— № 8.
Ganic E. N., Mastanaiah К. A981). Investigation of droplet deposi-
deposition from a turbulent gas stream / Int. J. of Multiphase Flow.—1981,
v. 7.— P. 401—422.
Ganic E. N., Rohsenow W. M. A976). Dispersed flow heat transfer Ц
Int. J. Heat and Mass Transfer.—1976, v. 20.—P. 855—866.
Gaspari G. P., Granzini R., Hassid A. A973). Dry out anset in
flow stoppage depressurization and power surge transients / Energia
Nucleare.—1973.— V. 20, No 10.— P. 554—576.
Gaspari G. P., Lombardi G., Peterlongo G. A964). Pressure
drop in steam-water mixture.—Milano: CISE Report R83, 1964.—P. 54.
Gilliland H. E., Conney F. R. A975). Surfactant waterflooding / 9th
World Petroleum Congr.— London.— 1975.— No 4.— P. 256—268.
23 p. и. Нкгматупин, ч. II

346 список литературы
Gog arty W. В. A978). Micellar Polymer flooding an overview / J. Petr.
Tech.— 1978.— V. 30, No 4.— P. 1089—1102.
Groeneveld D. С A972). The thermal behavior of heated surface on
and byound dryout // AECL-4309. Chalk River, Ontario, 1972.— 294 p.
Gupta S. P., Trushenski S. P. A979). Micellor floating-compositional
effect on oil displacement / Soc. Petr. Eng. J.— 1979.— V. 19, No 2.—
P. 116—128.
Habbard M. G., Dukler A. E. A966). Regimes characteristics in hori-
horizontal two phase flow / Proc. 1966 Heat Transfer and Fluid Mech. Inst.—
Stanford Univ. Press.— 1966.— P. 100—121.— Рус. пер. / Достижения в
области теплообмена.— М.: Мир, 1970.— С. 7—29.
Hearly R. N., Reed R. A977a). Immiscible microemulsion flooding /
Soc. Petr. Eng. J.— 1977.— V. 17, No 2.— P. 129—139.
Healy R. N., Reed R. L. A977b). Some physico-chemical aspects of mic-
microemulsion flooding: a review // Improved Oil Recovery by Surfactant and
Polymer Flooding.— Acad. Press.— 1977.— P. 383—438.
Hewitt G. F. A978). Critical heat flux in flow boiling // Proc. 6th Intern.
Heat Transfer Conf. Toronto, Canada.— 1978,— V. 6.— Рус. пер. // Теплооб-
Теплообмен. Достижения. Проблемы. Перспективы.— М.: Мир, 1981.— С. 7—105.
Hewitt G. F., Hall-Taylor N. S. A972). Annular two-phase flow.—
Pergamon Press, 1972.—Рус. пер.: Хьюит Дж., Холл —Тейлор Н. Коль-
Кольцевые двухфазные течения.— М.: Энергия, 1974.
Ishii M., Groimes М. А. A975). Inception criteria for droplet entrain-
ment in two-phase concurrent film flow / AIChE Journal.— 1975.— V. 21,
No 2.— P. 308—318.
J a got a A. K., Rhodes E., Scott D. S. A973). Tracer measurements in
two phase annular flow to obtain interchange and entrainmcnt // Can. J.
Chem. Eng.—1973.—V. 51, No 2.—P. 139—147.
Kaira S. P., Zvirin V. A980). Shock wave-induced bubble motion //
Int. J. Multiphase Flow.-1980 —V. 7, No 1.—P. 115-127.
Kirillov P. L., Kokorev B. V., Remizov O. V. A982). Postdryout
heat transfer / Proc. 7th Int. Heat Transfer Conf.— Hemisphere Publ.
Corp., 1982.— V. 5, NR 15.— P. 487—492.
Kutateladze S. S., Burdukov A. P., Nakoryakov V. Ye., Kuz-
min V. A. A969). Electrochemical method for measurement shear
stress.— Heat Transfer Soviet Research.— Ser. A, ASME.— 1969.— V. 1.
Kuznetsov V. V., Nakoryakov V. E., Pokusaev B. G., Shrei-
ber I. R. A978). Propagation of perturbations in a gas-liquid mixture //
J. Fluid Mcch.— 1978.— V. 85, pt 1.— P. 85—96.
La he у R. Т., Moody F. T. A984). The thermal-hydraulics of a boiling wa-
water nuclear reactor.— American Nuclear Society, 1984.
Larson R. G., Davis H. Т., Scriven L. E. A980). Displacement of
residual nonwetting fluid from porous media / Chem. Eng. Sci.— 1980.—
V. 36.— P. 75—85.
Larson R. G., Hirasaki G. J. A978). Analysis of the physical mecha-
mechanisms in surfactant flooding // Soc. Petr. Eng. J.— 1978.— V. 18, No 1.—
P. 42—58.
Liu B. Y., Agarwal G. K. A974). Experimental observation of aerosol
deposition in turbulent flow // Gournal of Aerosol Science.—1974, N 5.—
P. 145—155.
Marinelly V. A977). Critical heat flux: a review of recent publications /
Nuclear Technol.—1977.—V. 34, July.—P. 135—171.
McCoy D. D., Hanratty T. J. A977). Rate of deposition of droplets in
annular two-phase flow // Int. J. Multiphase Flow.— 1977.— V. 3. No 4.—
P. 319—331.
Moeck E. O. A970). Annular-dispersed two-phase flow and critical heat
flux / AECL-3656, Clark River, Ontario.— 1970.— P. 206.
Moxon D., Edwards P. A. A967). Dryout during flow and power tran-
transients. AEEW-R553.— Great Britain, Winfrith, 1967.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 347
Nakoryakov V. Е., Kashinsky О. N., Burdukov A. P., Odno-
ral V. P. A981). Local characteristics of upward gas-liquid flows / Int.
J. Multiphase Flow.— 1981.- V. 7, No 1.— P. 63-81.
Nigmatulin B. I. A982). Heat and mass transfer and force interactions
in annular dispersed two-phase flow / Heat Transfer 1982; Proc. 7th Int.
Heat Transfer Conf., Munchen.— 1982.— V. 5.—P. 337—342.
Nigmatulin R. I. A982). Mathematical modelling of bubbly liquid mo-
motion and hydrodynamical effects in wave propagation phenomenon / Appl.
Scientiiic Res. Int. J. Thermal Mech., Electromagn. Phen. in Continue.—
1982.— V. 38.— P. 267—289.
Nejawan S., Chen G. C, Sundaram R. K., London E.G. A980).
Measurement of Vapour Super-heat in Post-Gritical Heat Flux Boiling //
J. of Heat Transfer. Trans. ASME.—1980.— V. 102, No 3.— P. 465—470.
Nordzii L. A971). Shock waves in bubble-liquid mixtures / Phys. Com-
Communications.— 1971.— V. 3, No 1 (Twente Inst. of Technology, Enchede,
Netherlands).
Nordzii L., Wijngaarden L. van A974). Relaxation effects caused
by relative motion on shock waves in gas bubble/liquid mixtures // J.
Fluid Mech.— 1974.— V. 66, pt 1.
Ogasawara H. A969). A theoretical approach to two-phase critical flow
Dth report, experiments on suturated water discharging through long tu-
tubes) / Bull JSME.— 1969.— V. 12, No 52.— P. 837—846.
Oh S., Banerjee S., Yadigarogiu G. A983). The effect of inlet
flow oscilations on reflooding of a tubular test section / Thermal hydrau-
hydraulics of nuclear reactors/Ed. M. Merilo.— American Nuclear Society, 1983.—
P. 674—680.
Parkin B. R., Gilmore F. R., Brode H. L. A961). Shock waves in
bubbly water.— Rand Corp., 1961. RM-2795-PR, AD 326319, Oct.— Рус. пер.:
Подводные и подземные взрывы.— М.: Мир, 1974.
Perrine A961). Stability theory and its use to optimize solvent recovery
of oil / Soc. Petr. Eng. J.— 1961.— V. 1, No 1.
Pope G. A. A980). The application of fractional flow theory to enhanced
oil recovery / Soc. Petr. Eng. J.— 1980.— V. 20, No 3.— P. 191—205.
Quandt E. R. A965). Measurement of some basic parameters in two-phase
annular flow / AIChE Journal.—1965.—V. 11, No 2.—P. 311—318.
Ramaswamy A., Agamy S., Banerjee S. A983). Measurement of
noncondensible distribution in two-phase flow using ultraviolet techni-
techniques /I Measuring techniques in gas-liquid two-phase flows/Ed. J. Del-
haye, G. Cognet.— Springer Verlag, NY, 1983.— P. 359—399.
Saffman P. G., Taylor G. A958). The penetration of a fluid into a
porous medium or hele-shaw cell containing a more viscous liquid / —
Proc. Roy. Soc— 1958.— V. A245, No 1242.
Shearer G. J., Nedderman R. M. A965). Pressure gradient and liquid
film thickness in co-current upwards flow of gas-liquid mixtures / —
Chem. Eng. Sci.— 1965.— V. 20, No 7.
Silberman E. A957). Sound velocity and attenuation in bubbly mixtures
measured in standing wave tubes / J. Acoustic. Soc. Amer.—1957.—
V. 29, No 6.
Streeter V. L. (ed.) A961). Handbook of fluid dynamics. V. 3.—New
York: McGraw-Hill, 1961.
Subbotin V. I., Ushakov P. A., Kirillov P. L. A964). Heat remo-
removal from the reactor fuel elements cooled by liquid metals / Proc. 3rd
Int. Conf. Peaceful Uses at Energy.— Geneva.—1964.— V. 8, No 3.—
P. 192.
Talosh A. W. A976). Experimental and calculated relative permeability
data for systems containing tension additives/ Improved Oil Recovery
Symp., Tulsa.— 1976.— Paper SPE 5810.
Tan M. J., Bankoff S. G. A984). Propagation of pressure waves in bubb-
bubbly mixtures, ff Phys. Fluids.— 1984.— V. 27, No 6.— P. 1362—1369.
23*

348 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Theofanous Т., Sullivan J. A982). Turbulence in two-phase flows /
J. Fluid Mech.— 1982.— V. 116.— P. 343—362.
Tomida Т., Okazaki T. A974). Statistical character of large distur-
disturbance waves in upward two-phase flow of air-water mixtures // J. Chem.
Eng. Japan.— 1974 — V. 7, No 5.— P. 329—333.
Tong L. S. A972). Boiling crisis and critical heat flux.—US Atomic Ener-
Energy Comm., 1972.— Рус. пер.: Тонг Л. Кризис кипения и критический
тепловой поток.— М.: Атомиздат, 1976.— 100 с.
Ueda Т. A979). Entrainment Rate and Size of Entrained Droplets in Annu-
Annular Two — Phase Flow Ц Bulletin of Gapan Society Mechanical Engine-
Engineers.—1979.—V. 22, N 171.—P. 1258—1265.
Waliis G. B. A969). One-dimensional two-phase flow.—New York:
McGraw-Hill Book Co., 1969.—Рус. пер.: Уоллис Г. Одномерные двух-
двухфазные течения.— М.: Мир, 1972.
VVhalley P. В., Hewitt G. В., Hutchinson P. A973). Experimen-
Experimental wave and entrainment measurements in vertical annular two pha-
phase flow / AERE-R7521 UKAEA Harwell, England.— 1973.— P. 25.
Wh alley P. В., Hutchinson P., Hewitt G. F. A976). Prediction
of annular flow parameters for transient conditions and for complex geo-
geometries in future energy production systems / Heat and Mass Transfer
Processes.—1976.— V. 1.— P. 233—244.
W h i t h a m G. B. A974). Linear and nonlinear waves.— New York — Lon-
London: Wiley Intersci., 1974.— Рус. пер.: Уизем Г. Линейные и нелинейные
волны.— М.: Мир, 1977.— 625 с.
Wijngaarden L. van A972). One-dimensional flow of liquids containing
small gas bubbles Ц Ann. Rev. Fluid Mech.— 1972.— V. 4.— P. 369—396.—
Рус. пер. I/ Реология суспензий.—М.: Мир, 1975.—С. 68—103.
Wurtz J. A978). An experimental and theoretical investigation of annular
steam-water flow in tubes and annule at 30 to 90 bar.— Riso National
Lab., Report No 372, Denmark.— 1978.— 141 p.
Zuber N. A964). On the dispersed two-phase flow in the laminar flow
regime. / Chem. Eng. Sci.—1964.—V. 19.—P. 897—917.
Zuber N., Finglag F. A965). Average volumetric concentration in two-
phase flow systems ff J. Heat Transfer.— 1965.— № 12.
Zuber N., Staub F. W. A966). The propagation and wave1 form of the
vapour volumetric concentration under oscilatory conditions / Int. J. Heat
and Mass Transfer.— 1966.— № 9.
Zwick S. A. A959). Behaviour of small permanent gas bubbles in a li-
liquid / J. of Mathematics and Physics.— 1959.— V. 37, № 4.— P. 339—370.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абрамсон А. А. 313
Авдеев А. А. 287
Айдагулов Р. Р. 337
Андреевский А. А. 214, 226
Апштейн Э. 3. 164, 338
Арманд А. А. 173, 174, 191, 215
Баренблатт Г. И. 306, 312
Бедриковецкий П. Г. 329
Блинков В. Н. 283, 287
Борисов А. А. 116, 134
Булыгин В. Я. 306
Бурдуков А. П. 172, 173
Быков В. И. 213
Валявин Г. Г. 272
Вахитов Г. Г. 311
Веригин Н. Н. 310
Виноградов А. А. 180
Воробьев В. А. 249
Воюцкий С. С. 313
Ганиев Р. Ф. 161, 162, 164—166
Гельфанд Б. Е. 91, 107, 109, 116, 134
Гельфанд И. М. 317
Герасимов Я. И. 313
Гиматудинов Ш. К. 338
Григорян С. С. 162—164, 337
Губайдуллин А. А. 80, 95, 140, 150,
157
Губин С. А. 107, 109
Гугучкин В. В. 211
Дейч М. Е. 198, 287
Долинин И. В. 207
Дорощук В. Е. 226
Евстефеев В. П. 141
Ентов В. М. 306, 312, 323, 324
Живашшн А. Я. 214
Зельдович Я. Б. 339
Зыонг Нгок Хай 339
Зысин В. А. 274
Ивандаев А. И. 80, 140, 150, 157, 287
Ивандаев С. И. 193, 218, 228
Ивашнев О. Е. 159
Илембитова Р. И. 272
Индельман П. В. 324
Исаев О. А. 157
Кабанов Л. П. 253
Казновский С. П. 229
Калинин Э. К. 249
Капица П. Л. 202
Карпман В. И. 74
Кашинский О. 173
Кеворков Л. Р. 284, 287
Кедринский В. К. 13, 25, 107
Кириллов П. Л. 179, 188, 223, 226, 249
Когарко Б. С. 62
Козьменко Б. К. 173
Кочин Н. Е. 340
Кошкин В. К. 249
Красильников В. А. 162
Креймер М. Л. 272
Крошилин А. Е. 210
Крылов В. В. 162
Кузеванов В. С. 150
Кузнецов В. В. 25, 78, 89, 95, 107
Кутателадзе С. С. 170, 172, 178, 202,
214, 226, 257, 260—267
Кухарепко В. Н. 210, 253
Лабунцов Д. А. 201
Лаврентьев М. А. 56, 129
Лаврентьев М. Е. 213, 337.
Ландау Л. Д. 302
Лапчинский В. Ф. 163
Леонтьев А. И. 202, 222, 223
Лифшиц Е. М. 302
Лойцянский Л. Г. 176, 196, 210, 340
Ляхов Г. М. 108
Маленков И. Г. 258, 262, 265—267
Малых Н. В. 14
Мамаев В. А. 169, 341
Маринов М. И. 253
Медников Е. П. 209
Мирзаджанзаде А. X. 341
Миронов Ю. В. 287
Митропольский 3. Л. 169, 253
Можаров Н. А. 214, 215
Мухачев Г. А. 287

350
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Накоряков В. Е. 14, 46, 78, 107, 116,
172-174
Нигматулин Б. И. 179, 193, 197, 211,
218, 226, 231, 238, 253, 283
Нигматулин Р. И. 46, 80, 116, 143,
157, 179, 270, 288, 304
Нигматулин Рс. И. 233—235, 255
Николаев В. Е. 193, 215, 216, 218
Николаевский В. Н. 310
Огородников И. А. 14
Одишарпя Г. Э. 169, 341
Олейник О. А. 317
Павлов П. А. 157
Петухов В. С. 223, 226
Покрывайло Н. А. 172
Покусаев Б. Г. 14, 25, 116, 341
Полищук А. М. 327
Попов В. Г. 172
Рассохин Н. Г. 150, 154-156
Ремизов 0. В. 253
Ривкинд С. Л. 343
Рождественский Б. Л. 317, 343
Розеиберг М. Д. 343
Рыжик В. М. 312
Сагдеев Р. 3. 343
Саламатин А. Н. 342
Селиванов В. Г. 274
Семенов Н. И. 169, 341, 343
Скрипов В. П. 140
Смирнов О. К. 238
Смолин В. Н. 226
Соболев В. В. 78
Сопленков К. И. 150, 157, 283, 287
Стекольщиков Е. В. 13
Степанов В. В. 91, 338
Стырикович М. А. 170, 178, 214, 226,
248, 251, 264
Субботин В. И. 253, 263
Сургучев М. Л. 313, 343
Сурина В. В. 313
Суркова Е. М. 327
Сычев В. В. 141
Сюняев 3. И. 270, 343
Таранчук В. Б. 324
Тарасова Н. В. 204, 222
Тимофеев Е. И. 91, 338
Тихоненко А. К. 274, 279, 283, 286
Толубинский В. И. 226
Федоров А. С. 13
Федоров К. М. 342
Филиппов Г. А. 198, 287
Фисенко В. В. 274
Фролов С. Д. 287
Хабеев Н. С. 337, 339, 342
Хлесткий Д. А. 284
Холпанов Л. П. 339
Циклаури Г. В. 150, 253, 274
Цыбульский Г. П. 324
Чарный И. А. 312, 344
Чернухин В. А. 214
Шабат Б. В. 56, 129
Шагапов В. Ш. 13, 24, 46, 127, 337
Шагиев Р. Г. 270, 342
Шевский А. И. 215
Шевцов В. А. 313
Ширковский А. И. 338
Шкадов В. Я. 344
Шрайбер А. А. 209
Шрейбер И. Р. 14, 78, 341, 346
Эйгенсоп А. С. 270
Якимов Ю. Л. 110, 163, 164
Яненко Н. Н. 317
Adelberg M. 217
Afgan N. 257, 344
Agarwal G. 211
Ardron К. 274, 287
Banarjee S. 169, 344, 345, 347
BankofI S. 117, 344, 347
Barzoni G. 253
Batchelor G. 8, 13
Bennet A. 230, 231, 249, 253, 2
Bergman L. 161
Birkhoff G. 110
Bleich H. 163
Boothroad R. 209
Boure J. 287, 344
Brode H. 108
Buckley S. 315
Butterworth D. 226, 228
Collins R. 312
Cousins L. 207, 215
Cumo M. 252
Curley S. 13
Davis H. 311
Davis J. 330, 331
Dawson H. 305
Delhaye J. 345
Duckler A. 175
Edwards A. 154, 156, 157
Edwards P. 238

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
351
Fauske H. 284, 290, 291
Forslund R. 249
"Fox F. 13
<Janic E. 211, 254
Gaspari G. 204, 223, 238
Gilliland M. 311
Gilmore F. 108
Gogarty W. 327
Groenveld D. 248
Grolmes M. 214
Habbard M. 175
Hall-Taylor N. 188, 203, 214, 228
Hanratty T. 209
Healy R. 311, 313
Hewitt G. 191, 207, 214, 222, 226
Ishii M. 214
Jagota A. 207
Jones C. 330, 331
Lahey R. 169, 344
Lantz R. 305
Larson G. 13, 311
Leverett M. 315
Liu B. 211
Martini R. 253
Mastanaiah K. 211
McCoy D. 209
Моеск Б. 228
Morton K. 150
Moxon D. 238, 244—247
Nedderman R. 203
Nijawan S. 253
Noordrij L. 46, 50, 51, 87
O'Brien T. 154, 156, 157
Ogasawara H. 292
Parkin B. 108
Perrine R. 323
Quandt E. 207
Reed R. 311
Richtmyer R. 150
Rohsenow W. 249, 254
Saffman P. 323, 347
Scriven L. 311
Shearer C. 197, 202
Shidegger A. 310
Streeter V. 176
Talash M. 311
Taylor G. 323
Tomida T. 179, 182
Tong L. 170, 226
Wallis G. 176, 191, 214, 274, 295
Whalley P. 197, 204, 210, 228
Wijngaarden L. 8, 50, 78
Wurtz J. 204, 222, 223, 226, 228
Yadigaroglu G. 347
Zuber N. 295, 348
Zwick S. 162, 164

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адсорбция (см. Сорбция)
Акустическая жесткость среды 99
Арманда формула 173
Аррениуса закон 272
Архимеда сила 264
— число 260
Баклея — Леверетта уравнение 315
функция 315, 321, 323
Барботаж 256, 257, 259, 265
Баротропия 63, 107, 145, 277
Бернулли интеграл 277, 288
Блазиуса закон 196, 250
¦ «приведенный» 196
Брызгоунос (срыв) динамический
(волновой) 212, 216, 232
— пузырьковый 212, 218, 232, 236
— ударный 193, 212, 217
Бусинеска приближение 67
— уравнение 14, 68
Бюргерса — Кортевега — де Вриза
(БКдВ) уравнение 72, 77
Бюргерса уравнение 74
Вал водонефтяной 328
Вебера число 5, 108, 136, 217, 264
Виброперемешивание 166
Влагообмен (см. Скорость осажде-
осаждения, срыва)
Влагосодержание массовое 168
Волна конденсации 119
— «опрокинутая» 38, 299, 316
— простая, квазипростая 66, 69, 100
— разрежения 29, 58, 147, 155
— «быстрая» (см. Упругий предвест-
предвестник)
«медленная» 153, 158
— уединенная (см. Солитон)
Волновой пакет 77
Волны безынерционные кинематиче-
кинематические 315, 318, 328
Газ, калорически совершенный 145,
271
— политропический 10, 61, 63
Газлифт 297
Газосодержание критическое 236, 243
— массовое, расходное, объемное
168, 169
Генри константа 313, 327, 330
Гиббса число 284
Гидравлическое сопротивление 173,
177
относительное 222
Гомобаричность 22, 153
Давление критическое 276
— насыщения 272
— приведенное 81
Дарси закон фильтрации 309, 312
Декремент затухания И, 13, 20
Демпфирование (см. Экран пузырь-
пузырьковый)
Десорбция (см. Сорбция)
Дисперсия 64, 70, 74, 116
Диссипация 10, 12, 31, 70, 134
— из-за фазовых переходов 188
— тепловая 26, 51, 88, 91
Жидкость недогретая 136, 223
«Запирание» газового потока 293
Зародышеобразование гетерогенное
137, 283
— гомогенное (термофлукционное)
138, 157, 284
Инверсия потока 159
— раствора 313
Инерция локальная деформационная
62, 93
Истечение вскипающей жидкости
137, 151, 155, 276
критическое (см. Расход
критический)
— равновесное 145, 153, 160,
276
Кавитация при вибрации 164
Кельвина — Гельмгольца неустойчи-
неустойчивость 109, 213
Кипение пленочное, пузырьковое 224,
252, 255, 256

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
353
Клапейрона — Клаузиуса уравнение
22, 125
Клейна — Гордона уравнение 14
Колебания пузырьков вынужденные
11, 19, 160
Концентрация компоненты в фазе 4,
307
— массовая, объемная 4, 10, 168, 188,
271, 304
Кортевега — де Вриза (КдВ) урав-
уравнение 74
Коэффициент вязкости 4, 10, 326, 332
из-за тепловой диссипации 13,
32
— — турбулентной 214
— — эффективной 10, 13, 32
— дисперсии 64
— диссипации 64
— диффузии 4, 310
— корреляционный 185, 192
— местного сопротивления 272
— объемпого расширения 140
— отдува осаждающихся капель 212
— поверхностного натяжения 5, 109,
335
— проницаемости 202
— пузырькового уноса 218
— пьезопроводности 310
— разбрызгивания пленки 218
— стесненности пузырьков 5, 10, 26
— сужения капала 279
— температуропроводности 4, 88
— теплоемкости 3, 332—334
— теплоотдачи 258, 265, 268
— теплопроводности 4, 332—334
— трения 3, 33, 48
— — между паром и стенкой кана-
канала 250
— пленкой и стенкой канала 3,
176, 196
— и газовым ядром 202, 204
Кризис гидравлического сопротивле-
сопротивления 177, 223
— теплоотдачи 177, 223, 228
— — второго рода (из-за высыхания
пленки) 177, 223, 235, 272
первого рода (при пузырько-
пузырьковом кипении) 177, 224, 256
Куранта условие 150
Лаваля сопло 281, 287
Лапласа число 214
Леверетта функция 312
Методы измерения газосодержаний
169, 171
касательных напряжений на
стенке 172, 197, 203
локальных скоростей фаз 171
Методы измерения расхода жидкости
в пленке 178, 229
— численные (см. Численные мето-
методы)
— экспериментальные исследования
барботажа и кипения 257
— — — газожидкостных потоков в
трубах 167
— истечения вскипающей жид-
жидкости 154
— кризиса теплоотдачи 233
— — — ударных волн в пузырько-
пузырьковой жидкости 7, 116
Модель вскипающей жидкости 143
— вязко-упругой жидкости 108
— двухтемпературная двухскорост-
ная 33, 51
• — с конечным числом фракций
52
односкоростная 54, 80, 123, 138,
238, 248
— дрейфа 294
— идеальной сжимаемой жидкости
108, 146
— квазиодпомерного течения 182
— двухскоростная двухтемпе-
двухтемпературная 275
— — —¦ однотемпературная с одно-
скоростным ядром 194, 219, 270
— мицеллярпо-полимерного заводне-
заводнения 324
— «приведенного» течепия 191, 196
— «установки замедленного коксо-
коксования» (УЗК) 270, 336
— фильтрации 308, 314
Насыщенность 4, 304
— динамическая 305
Нуссельта число 5, 44, 86, 132, 199—
201, 248, 266
Осреднение по сечению канала 184—
186
Оторочка жидкости 324
Пекле число 5, 52, 314
Пленка жидкая, ее толщина 170, 179,
191, 198
Поверхностно-активные вещества
(ПАВ) 52, НО, 304, 311, 318
Подслой ламинарный 191
Пористость 4, 304, 305
Поток дисперсно-кольцевой (дис-
(дисперсно-пленочный) 170, 176, 182,
225
обращенный 170, 183
¦ — с турбулентным ядром 188
— капельный 159, 170, 249, 274
— пенный (полукольцевой) 170

354
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Поток пленочный (кольцевой) 170,
256
— «приведенный» 184, 195
— пузырьковый 159, 170, 223, 274
— — турбулентный, микротурбу-
микротурбулентный 173, 175
— снарядный 170, 225
Прандтля число 5, 199, 250
Принцип (гипотеза) аналогии для
жидкой пленки 191, 195, 205
Проницаемость абсолютная 4, 309
— относительная фазы 309
— фазовая 4, 310, 326
Псевдоожижение 297
Равновесие фазовое 139, 194
Раствор мицеллярный 309, 313, 324
Расход критический 274, 276
— массовый 168, 220
Рейнольдса число 5, 73, 169, 178, 189,
196, 202, 261
Римапа линия 69
— интеграл 149
Рэлея — Ламба уравнение 22, 81, 107
Рэлея — Михельсона линия 134
Рэлея — Тейлора неустойчивость 109,
261
Седиментация 297
Сила вибрационная 161
— межфазного взаимодействия 294
— трепия (см. Коэффициент тре-
трения)
Скорость динамическая газа в тур-
турбулентных пульсациях 210
— дрейфа 295
— жидкости в пленке 181, 195
— звука 3, 25, 67, 141, 277, 332—334
— — изотермическая 141, 260
замороженная И, 37, 144, 279
Ландау 15, 16
равновесная И, 21, 28, 36, 146
— (интенсивность) осаждения ка-
капель на пленку 177, 187, 210
— — срыва (уноса) капель с пленки
177, 193, 206, 216, 218
— относительная 4, 109
— радиальная 9, 24
— среднемассовая (расходная) 176
— упругого предвестника 25
— фаз 4, 168, 188
— — критическая 259
приведенная 4, 168, 296, 306
— фазовая 3, И, 13, 20, 181
— фазового перехода (см. Фазовый
переход)
— химической реакции 272
Скривена решение 142
Смесь пузырьковая 7, 39, 89
Смесь пузырьковая полидисперснаа
52
Солитон 68, 75, 93, 95
Сорбция 308, 313, 326
—, изотерма сорбции 320
— — лэнгмюровская 313
Среда пористая 304
несмачиваемая (гидрофобная)
305
— — смачиваемая (гидрофильная)
305, 311
Стокса закон 295
Схема (см. Модель)
Температура в пленке 190, 192, 195»
— критическая 138
— Лейденфроста 252
— насыщения 125, 194
— среднемассовая 59, 186, 191
— среднерасходная 186, 196
— фаз в ядре потока 189
Тепловой фактор 190, 199
Теплообмен 187, 190, 199, 223, 251
— закризисный 248
Угол смачивания 305
Ударная адиабата 27
равновесная 37, 97, 108, 121
Ударные волны в пузырковой жид-
жидкости 8, 86, 116
— — — с осциллирующей
структурой 31, 47
— — — — — с осцилляционными
пиками давления 133
— — — стационарные 29, 44,
55, 96, 125
— — конденсации 119
, ширина фронта 75, 110, 127,
131
Упругий предвестник 22, 151, 155
Уравнение волновое 65, 162
— двухволповое для давления 14, 22
— дисперсионное 11, 16, 18
— диффузии 309
— дрейфа 295
— импульса смеси 9, 64, 139, 250
— масс компонент в фазе 271
смеси 64, 139, 308
фазы 9, 186, 250, 307
— притока тепла на межфазной гра-
границе 188, 194
фазы 139, 194, 242, 250
— пьезопроводности 310
— состояния 9, 107, 139
неголономное 61
— сохранения на поверхности раз-
разрыва 108, 119, 299, 316
— — объема жидкости 308

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
355
Уравнение телеграфное (Клейна —
Гордона) 14, 22
— числа частиц 10, 139, 186
Устойчивость межфазных границ
107, 110, 136, 213, 323
Фазовый переход 15, 18, 116, 270, 307
, его скорость 3, 156, 187, 195,
240, 307-312, 326
— —, теплота перехода 15, 125, 140
Фруда число 169, 171
Функция дрейфа 295
— мероморфная 56
Численные методы 85, 139, 150, 327
Число капиллярное 311
разрыва условие
Эволюционности
317, 320
Экран пузырьковый 102—107
Энергия кинетическая мелкомас-
мелкомасштабного радиального движения
120, 127, 133
Ядро газовое (газокапельное)
182
Якоба число 5, 143, 156
170,

ОГЛАВЛЕНИЕ
Список обозначений
Глава 6. Волновая динамика пузырьковых жидкостей .... 7
§ 1. Схема ударной трубы для исследования волн в пузырьковых жид-
жидкостях. Особенности ударных волн 7
§ 2. Линейная теория распространения слабых возмущений в жид-
жидкости с пузырьками газа 8
Характеристики (8). Линейные уравнения для слабых возмущений (9).
Слабые синусоидальные возмущения в жидкости с пузырьками не-
нерастворимого газа A0). Двухволновое уравнение, уравнения Бусси-
неска и Клейна — Гордона A3). Слабые синусоидальные возмуще-
возмущения в жидкости с пузырьками пара A5). Упругий предвестник B2).
§ 3. Приближение эффективной вязкости и политропического газа
для описания стационарных ударных волн в жидкости с пузырь-
пузырьками газа 26
Уравнения стационарного одномерного движения B6). Исследование
поведения решения перед и за ударной волной B8). Определение
эффективной вязкости пузырьковой среды в ударной волне C2). По-
Построение решения для структуры ударной волны C2). Влияние эф-
эффективной вязкости C2).
§ 4. Стационарные ударные волны в жидкости с пузырьками газа.
Двухтемпературная и двухскоростная схема 33
Уравнения стационарного одномерного движения C3). Равновесная
ударная адиабата смеси и условия существования стационарных волн
сжатия C6). Расчет непрерывной структуры ударной волны D0). Вли-
Влияние межфазного теплообмена D8). Влияние относительного движения
фаз E1). Влияние продольного обтекания пузырьков на теплообмен
E2). Влияние полидисперсности E2).
§ 5. Учет нестационарного распределения температур в пузырьках
для анализа стационарных ударных волн 53
§ 6. Уравнения Буссинеска и Бюргерса — Кортевега — де Вриза для
исследования слабых нелинейных возмущений в жидкости с
пузырьками 60
Неголономное уравнение состояния пузырьковой жидкости. Коэффици-
Коэффициенты дисперсии и диссипации F1). Уравнения акустики идеальной
линейной малосжимаемой среды. Простые волны F5). Приближение
Буссинеска для слабо нелинейных волн F6). Нелинейные простые вол-
волны без дисперсии и диссипации F8). Квазипростые волны с диспер-
дисперсией и диссипацией F9). Свойства решений уравнения Бюргерса G4).
Свойства решений уравнения КдВ G5). Свойства решений уравнения
БКдВ G7).
§ 7. Нестационарные волновые движения жидкости с пузырьками
газа 79
Уравнения нестационарного движения пузырьковой жидкости с несжи-
несжимаемой несущей фазой (80). Эволюция нестационарных ударных волн
в стационарные. Влияние свойств газа в пузырьках (86). Эволюция
ударного импульса конечной длительности (91). Встречное взаимодейст-
взаимодействие солитонов (95). Отражение ударных волн от неподвижных поверх-
поверхностей и влияние на этот процесс дробления пузырьков (96). Прохож-
Прохождение ударного импульса через контактную границу между пузырько-
пузырьковой и однофазной средами (99). Пузырьковые экраны для демпфиро-
демпфирования и усиления ударных волн A02).

ОГЛАВЛЕНИЕ 357
§ 8. Влияние несферичности, дробления и размельчения пузырьков
на распространение волн в жидкости с пузырьками газа . . . 107
Схема идеальной баротропной и вязко-упругой жидкостей для описа-
описания волновых процессов A07). Влияние малой плотности газа на дроб-
дробление пузырьков A08).
§ 9. Сферические и цилиндрические волны в пузырьковых жидкостях 111
Неравновесные эффекты A11). Автомодельная задача о поршне в рав-
равновесной газожидкостной среде A13).
§ 10. Ударные волны в жидкости с пузырьками пара 116
Некоторые экспериментальные факты A16). Анализ эффекта усиления
волн в парожидкостных средах A17). Волна конденсации A19). Отра-
Отражение ударной волны конденсации от твердой стенки A21). Структура
стационарных ударных волн в жидкости с паровыми пузырьками A23).
Структура стационарных ударных волн с плавным переходом среды в
однофазное состояние A30). Ударные волны с волновым пакетом ос-
цилляционных пиков давления A32).
§ 11. Нестационарное истечение и волны разрежения во вскипающей
жидкости 136
Особенности течения вскипающей жидкости в волне разрежения с
большим перепадом давления A37). Уравнения сохранения массы, им-
импульса и энергии, уравнения состояния фаз и межфазного тепло- и
массообмена A38). Начальные и граничные условия для задачи о раз-
разгерметизации сосуда A45). Термодинамически равновесное и политро-
политропическое приближения A45). О методике численного интегрирования
A50). Исследование истечения при наличии термодинамической нерав-
неравновесности A51). Начальная стадия истечения A51). Отражение волны
разрежения A52). Квазистатическая стадия процесса истечения A53).
Влияние начальных параметров зародышей вскипания A54). Сопос-
Сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными A54).
§ 12. Динамика газовых пузырьков при вибрационном воздействии 160
Движение пузырьков в стоячей волне A61). Движение пузырьков в бе-
бегущей волне A61). Движение пузырьков в вибрирующем сосуде A62).
Образование газожидкостной системы при вибрации A64). Эффект виб-
виброперемешивания газа и жидкости A65).
Глава 7. Гидродинамика и теплофизика стационарных одномерных
газо- и парожидкостных потоков в каналах 167
§ 1. Характерные особенности газожидкостных потоков и основные
методы их диагностики 167
Режимы (структуры) течения A69). Методы измерения параметров га-
газожидкостных потоков A71). Гидродинамические эффекты пузырьково-
пузырькового и снарядного режимов A73). Гидродинамические эффекты дисперс-
дисперсно-пленочного течения A76). Параметры тонких турбулентных пристен-
пристенных пленок, поддающиеся измерению A78). Толщина и характеристи-
характеристики волновой поверхности жидкой пленки A78).
§ 2. Осредненные уравнения гидромеханики дисперсно-пленочного
потока 182
Осреднение параметров фаз по сечению канала A83). Уравнения со-
сохранения A86). Коэффициенты неравномерности и связь параметров на
границах раздела фаз с осредненными параметрами A88). Уравнения
притока тепла фаз в условиях термодинамического равновесия фаз и
скоростного равновесия в ядре потока A93).
§ 3. Межфазное трение и теплообмен в дисперсно-пленочном потоке 195
Взаимодействие между пленкой и стенкой канала A95). Взаимодействие
между газокапельным ядром и пристенной жидкой пленкой B02).
§ 4 Капельный влагообмен между ядром и пристенной пленкой жид-
жидкости в турбулентном дисперсно-пленочном потоке .... 205
Метод отсоса пленки B06). Солевой (трассерный) метод B06). Интен-
Интенсивность осаждения капель B09). Интенсивность уноса капель с по-
поверхности пленки B12). Условия начала динамического уноса капель
с поверхности пленки потоком газа B13). Интенсивность динамическо-
динамического уноса (срыва) капель B16). Интенсивность ударного брызгоуноса
B17). Интенсивность пузырькового уноса B18).

358 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5. Гидродинамика стационарного дисперсно-пленочного парожид-
костного потока в необогреваемой трубе 218
Стабилизация стационарного дисперсно-пленочного потока B20). Влия-
Влияние режимных параметров на толщину и расход жидкости в пленке в
стабилизированном стационарном потоке B21). Гидравлическое сопро-
сопротивление и его кризис в дисперсно-пленочном потоке B22).
§ 6. Кризис теплоотдачи в дисперсно-пленочном парожидкостном по-
потоке 223
Анализ экспериментальных данных по кризису теплоотдачи B24). Экс-
Экспериментальное исследование кризиса теплоотдачи и расхода жидко-
жидкости в пленке в дисперсно-пленочных пароводяных потопах B28). Эле-
Элементарная теория кризиса теплоотдачи при неравномерном по длине
удельном тепловом потоке B33). Кризис теплоотдачи из-за высыхания
пристенной жидкой пленки в нестационарных условиях B38).
§ 7. Закризисный теплообмен при течении дисперсного (капельного)
потока в парогенерирующем канале 247
Система дифференциальных уравнений для стационарного парокапель-
ного потока в трубе B49). Силовое и тепловое взаимодействия между
фазами и стенкой канала B50). Теплообмен капель с поверхностью
нагрева B51).
§ 8. Пузырьковое кипение и его кризис на горизонтальной поверхно-
поверхности в условиях свободной конвекции 255
Аналогия С. С. Кутателадзе для пузырькового кипения и барботажа
B57). Экспериментальная методика исследования барботажа и кипе-
кипения B57). Анализ экспериментальных данных по критической скорости
вдува, оттесняющего жидкость B59). Анализ экспериментальных дан-
данных по теплоотдаче B65).
§ 9. Гидравлика и теплообмен многокомпонентной с химическими
реакциями и фазовыми превращениями газожидкостной смеси
в трубчатых печах 269
§ 10. Газодинамический кризис дисперсного и дисперсно-пленочных
парожидкостных потоков 274
Постановка задачи о стационарном истечении двухфазной жидкости из
большой емкости через канал. Критический режим B76). Равновесная
идеальная схема истечения B76). Схематизация входного участка
B77). Условие реализации критического потока B79). Критическое
стационарное истечение вскипающей жидкости через трубы и сопла
B82). Критический поток в дисперсно-кольцевом режиме течения B87).
Глава 8. Теория безынерционных и фильтрационных течений гете-
гетерогенных сред 294
§ 1. Одномерные вертикальные безынерционные течения двухфазной
среды с несжимаемыми фазами. Кинематические волны . . . 294
Модель дрейфа B95). Стационарные течения, седиментация, псевдоожи-
жение, газлифт B95). Нестационарные течения с непрерывными волна-
волнами и скачками B98). Распад произвольного разрыва C00).
§ 2. Уравнения фильтрации многокомпонентной смеси двух несжи-
несжимаемых жидкостей 304
Основные параметры насыщенной пористой среды C04). Уравнения со-
сохранения масс фаз и объема смеси C07). Уравнения для скоростей фаз
и компонент (законы фильтрации Дарси и диффузии); уравнение пье-
зопроводности для давления C09). Кинетические уравнения масеооб-
мена в фильтрующейся жидкости; уравнения сорбции и десорбции
примесных компонент C10). Вязкости растворов и микроэмульсий C13).
§ 3. Равновесная фильтрация двухфазной многокомпонентной жид-
жидкости 314
Фильтрация двухфазной смеси двух однокомпонентных жидкостей
C14). Фильтрация двухфазной смеси двух многокомпонентных жидко-
жидкостей на примере смеси воды, нефти, ПАВ и полимера C18). Устойчи-
Устойчивость контактных границ C23).

ОГЛАВЛЕНИЕ 359
§ 4. Математическое моделирование процесса мицеллярно-полимер-
ного заводнения нефтяного пласта 324
Приложение 332
Список литературы 337
Именной указатель 249
Предметный указатель 352
СОДЕРЖАНИЕ ЧАСТИ I
Глава 1. Уравнения механики сплошных гетерогенных сред
Глава 2. Механика процессов около дисперсных частиц, капель п
пузырьков
Глава 3. Волновая динамика удара и детонации в конденсирован-
конденсированных средах с фазовыми переходами
Глава 4. Динамика двухскоростных течений дисперсных сред (га-
(газовзвесей)
Глава 5. Газовая и волновая динамика горения и детонации газо-
газовзвесей и порошков