/
Автор: Нигматулин Р.И.
Теги: механика динамика теплофизика издательство наука главная редакция физико математической литературы
Год: 1987
Текст
Р. И. НИГМАТУЛИН
ДИНАМИКА
МНОГОФАЗНЫХ
СРЕД
ЧАСТЬ I
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1987
ББК 22.25 Рекомендовано Министерством высшего
jjgQ и среднего специального образования СССР
VTTK 449^07^ R\ ^ля исп0лъ30ван'ия в учебном процессе студентами
УД-П. 0d6(\Jld.o) высших учебных заведений
Нигматулин Р И Динамика многофазных сред. Ч I — М • Наука.
Гл ред физ-мат лит, 1987 — 464 с
Систематически излагаются механика и теплофизика различных многофазных
сред — газовзвесеи, пузырьковых жидкостей, газо- и парожидкостных потоков»
смесей взаимонерастворимых жидкостей в пористых телах
В части I приводятся основные уравнения механики и теплофизики многофаз-
многофазных сред различной структуры, рассматриваются методы описания межфазного
взаимодействия в дисперсных средах, исследуются ударные и детонационные вол-
волны и волны горения в конденсированных средах, газовзвесях и пористых телах,
дается теория обработки и упрочнения металлов взрывом
В части II даются теория звуковых, ударных и кинематических волн и ко-
колебательных движений в двухфазных средах, гидравлика и теплофизика газо-
шидкостных потоков, теория кризисов теплообмена, критических истечений, фичь-
трации многофазных жидкостей Описываются экспериментальные методы и их
результаты
Для студентов и аспирантов вузов, а также исследователей, работающих в
энергетике, космической и атомной технике, химической технологии, нефтяной а
газовой промышленности, взрывном деле.
Табл 4 Ил 112 Библиогр 259 назв
Рецензенты
доктор физико-математических наук С. С. Григорян,
член-корреспондент АН СССР В Е Накоряков,
член-корреспондент АН СССР Р. И. Солоухин,
доктор физико-математических наук Г. А. Тирский
Роберт Искандероеич Нигматулин
ДИНАМИКА МНОГОФАЗНЫХ СРЕД
Часть I
Редактор Н П Рябенькая
Художественный редактор Т Н Колъченко
Технический редактор С Я Шкляр
Корректоры О А Сигал, О М Березина, М Л Медведская
ИБ JVS 12950
Сдано в набор 19 01 87 Подписано к печати 31 08 87 Т-17595 Формат
60x90/16 Бумага тип Л} 1 Гарнитура обыкновенная новая Печать
высокая Уел печ л 29 Уел кр-отт 29 Уч-изд л 31,69 Тираж
5000 экз Заказ 620 Цена 4 р 40 к
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
4 я типография издательства «Наука»
630077 г Новосибирск, 77, Станиславского, 25
1703040000—172 О7 от (Si Издательство «Наука»
Н АЕо/ricn о? 87"87 Главная редакция
Ооо (иА)-о I физико-математической
литературы, 1987
Памяти отца,
ИСКАНДЕРА НИГМАТУЛОВИЧА
НИГМАТУЛИНА,
посвящается эта книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
В предлагаемой книге рассмотрены нестационарные, в том
числе волновые, вибрационные и фильтрационные, а также ста-
стационарные движения различных гетерогенных, или многофазных
смесей, широко представленные в различных природных про-
процессах и областях человеческой деятельности.
Эффекты неоднофазности существенно осложняют исследова-
исследование и проявляются с наибольшей полнотой при распространении
волн, возникающих при воздействии ударных и вибрационных
нагрузок. Именно исследованию таких волн в двухфазных средах
уделено значительное внимание (гл. 3—6). Рассмотрены особен-
особенности волн в смесях газа с каплями или частицами (газовзве-
(газовзвесях), в жидкостях с пузырьками газа или пара (пузырьковых
жидкостях), в конденсированных средах (жидкостях, минералах,
металлах и т. д.), претерпевающих фазовые превращения под
действием этих волн. Знание закономерностей указанных про-
процессов имеет большое значение для создания научных основ ана-
анализа безопасности энергетических установок, для анализа послед-
последствий взрыва в различных средах, для разработки новых методов
его использования не только в военном деле, но и технологии.
Высокие давления и скорости вещества, возникающие в ближ-
ближней зоне при детонации конденсированных взрывчатых веществ,
позволяют использовать взрыв для сварки и упрочнения метал-
металлов, для получения веществ с уникальными свойствами (алмаз,
боразон и т. д ). Теория интенсивных волновых движений с
сильными ударными волнами, вызывающими физико-химические
превращения в жидких и твердых телах, дана в гл. 3.
Разработка новых схем и типов двигателей (двигателей внут-
внутреннего сгорания, газотурбинных, воздушно-реактивных и ракет-
ракетных двигателей), совершенствование их работы, разработка по-
вых взрывчатых веществ, новых высококалорийных топлив, ана-
анализ безопасности ряда производств приводят к необходимости
углубленного исследования гетерогенного горения взвесей рас-
распыленного жидкого или твердого горючего, исследования дето-
детонации, взрыва и других газодинамических явлений в газовзвесях.
Результаты таких исследований особенно важны для анализа
пожаро- и взрывобезопасности технических устройств, в которых
могут образоваться способные к детонации и горению взвесене-
сущие или газопылевые среды. Именно в газовзвесях можно по-
1*
4 ПРЕДИСЛОВИЕ
лучить детонацию в больших объемах с давлением в промежутке
между давлением на детонационной волне в газовой смеси
A—10 МПа) и давлением на детонационной волне в жидком
или твердом взрывчатом веществе A03—104 МПа). В связи с
этим в гл. 5 рассмотрены процессы горения и детонации в газо-
газовзвесях.
Ряд перспективных технологических процессов на Земле и
в космосе связывается с использованием вибрационного воздей-
воздействия на многофазные жидкости. За счет вибрационного воздей-
воздействия можно многократно интенсифицировать процессы тепло-
и массообмена. Этот эффект может быть особенно значительным,
если использовать резонансные режимы. Основы теории нелиней-
нелинейных колебаний газожидкостных сред изложены в § 6 гл. 4 и
§ 12 гл. 6.
В последние годы начала развиваться новая аэродинамика,
связанная с исследованием обтекания тел двухфазными потока-
потоками. Особый интерес вызывает исследование обтекания тел пото-
потоком газа со значительным массовым содержанием капель или
частиц, когда дисперсная фаза оказывает заметное влияние на
распределение вокруг тела параметров газа, а сами капли или
частицы интенсивно бомбардируют обтекаемое тело. Первые ре-
результаты такого исследования представлены в § 7, 8 гл. 4.
Заметное место в книге занимает гл. 7, посвященная одно-
одномерным стационарным газожидкостным потокам. По существу
в этой главе с единых позиций изложены гидравлика и тепло-
теплофизика дисперсно-пленочных течений с тепломассообменным и
силовым взаимодействиями пристенной жидкой пленки с газо-
газокапельным потоком, теория кризисов теплообмена, теория ста-
стационарных критических истечений с максимальными расходами,
теория нагрева углеводородного сырья в трубчатых печах. Боль-
Большое внимание к таким течениям объясняется тем, что с ними
связаны многие проблемы энергетики, реакторостроения, хими-
химической технологии, нефтепереработки и др.
В гл. 8 рассмотрен некоторый класс фильтрационных движе-
движений многофазной многокомпонентной смеси нескольких взаимо-
взаимонерастворимых жидкостей (например, нефти, воды, мицеллярного
раствора и т. д.) в пористой среде с образованием кинематиче-
кинематических волн применительно к анализу одного из перспективных
методов повышения нефтеотдачи — метода мицеллярно-полимер-
ного заводнения пласта.
В книгу включено несколько разделов, разработка которых
еще только начата и по изложенным методам возможны дискус-
дискуссии, а по мере выявления новых фактов теория может претер-
претерпеть существенные изменения. К таким разделам относятся тео-
теоретическая схема взаимодействия падающих и отраженных дис-
дисперсных частиц при обтекании тел газовзвесью (§ 8 гл. 4), неко-
некоторые теоретические результаты по аномально сильным осцил-
ПРЕДИСЛОВИЕ 5
ляциям давления в ударных волнах в жидкости со схлопываю-
щимися и дробящимися пузырьками (§ 8, 10, гл. 6).
Подбор материала в книге иллюстрирует, как на основе со-
современной механики сплошной среды происходит интеграция
различных разделов механики и физики (акустики, физики удар-
ударных волн, газовой динамики, физики взрыва и высокоскоростного
удара, гидравлики, теплофизики, теории фильтрации), которыми
занимаются исследователи, часто по традиции, нежели по су-
существу, относящие себя к разным разделам науки.
Гетерогенные смеси, их движения, последствия воздействия
на них, возникающие в них волны чрезвычайно многообразны,
что является следствием многообразия комбинаций фаз, их струк-
структур, многообразия межфазных и внутрифазных взаимодействий
и процессов (вязкость и межфазное трение, теплопроводность и
межфазный теплообмен, фазовые переходы и химические реак-
реакции, дробление и коагуляция капель и пузырей, различные сжи-
сжимаемости фаз, прочность, капиллярные силы и т. д.) и много-
многообразия различных видов воздействия на смеси. Например, в га-
газовзвесях образуются размазанные волны, структура и затуха-
затухание которых определяются главным образом силами межфазного
трения с газом и дроблением капель или частиц. В жидкости
с пузырьками газа или пара из-за радиальных пульсаций пу-
пузырьков, помимо размазанных волн, характерными являются
волны с осцилляционной структурой, сильно зависящей от про-
процессов тепло- и массообмена, а также дробления пузырьков. Да-
Далее в конденсированных средах фазовые переходы, инициируе-
инициируемые сильными ударными волнами, могут привести к многофрон-
многофронтовым волнам из-за немонотонного изменения сжимаемости среды
при фазовых превращениях. Своеобразные волновые течения с
кинематическими волнами возникают и при фильтрации много-
многофазных жидкостей.
Изучение движения гетерогенных смесей с учетом исходной
структуры смеси и физических свойств фаз связано с привлече-
привлечением новых параметров и решением уравнений более сложных,
чем те, с которыми приходится иметь в механике однофазных
(гомогенных) сред. При этом детальное описание внутрифазных
и межфазных взаимодействий в гетерогенных средах порою чрез-
чрезвычайно сложно, и для получения обозримых результатов и их
понимания здесь особенно необходимы рациональные схематиза-
схематизации, приводящие к обозримым и решаемым уравнениям.
Вывод основных уравнений механики, а также методы опи-
описания внутрифазных и межфазных процессов даны в гл. 1 на
примере дисперсных смесей (газовзвесей, пузырьковых жидко-
жидкостей), а также конденсированных упругопластических сред, пре-
претерпевающих полиморфный фазовый переход типа графит ¦<-»- ал-
алмаз, а-железо ¦+-»- е-железо и т. д. В других главах в зависимости
от рассматриваемой среды и процесса эти уравнения обобщаются
6 ПРЕДИСЛОВИЕ
и конкретизируются, например, для исследования горения газо-
газовзвесей, дисперсно-пленочного течения газожидкостной смеси в
трубе, смесей нескольких взаиморастворимых жидкостей в пори-
пористой среде. Более детально математические модели и уравнения
гетерогенных смесей описаны в предыдущей книге автора
(Р. И. Нигматулин, 1978).
При изложении всех вопросов механики гетерогенных сред
автор стремился выделить те моменты, которые являются общи-
общими и встречаются в традиционных разделах механики сплошных
однофазных сред, и те моменты, которые специфичны для много-
многофазных смесей и различных их видов.
Автор стремился к тому, чтобы основное содержание каждой
главы могло быть понятно без детальной проработки предшест-
предшествующих глав, чтобы книга была полезной для более широкого
круга читателей, а именно, не только для тех, кто имеет возмож-
возможность систематически проработать полностью всю книгу, но и для
тех, кого интересуют лишь отдельные разделы.
Хотя основной упор при изложении сделан на теоретических
методах, автор считал целесообразным излагать принципиальные
возможности и результаты экспериментальных методов исследо-
исследования рассматриваемых процессов, в частности указать, какие
из параметров и какими методами непосредственно могут быть
измерены, подвергая при этом экспериментальные и теоретиче-
теоретические данные подробному анализу и сравнению.
Основой книги служат исследования автора и сотрудников
руководимой им лаборатории механики многофазных сред Ин-
Института механики Московского университета, а также курсы лек-
лекций, читаемые им на механико-математическом факультете этого
университета.
Основная часть гл. 7 (§ 1—7, 10) написана Б. И. Нигма-
тулиным.
Автор благодарит своих учителей и коллег по механико-мате-
механико-математическому факультету и Институту механики МГУ.
Автор благодарит за совместную работу, результаты которой
вошли в различные разделы книги, сотрудников, аспирантов и
участников семинаров лаборатории механики многофазных сред
Института механики МГУ и одноименных лабораторий Башкир-
Башкирского филиала АН СССР и Института проблем освоения Севера
СО АН СССР (г. Тюмень).
Автор благодарит своих коллег за помощь при подготовке
ряда разделов книги и в первую очередь: П. Б. Вайнштейна
(гл. 5), И. X. Еникеева (§ 8 гл. 4), А. И. Ивандаева (§ 2, 5
гл. 4), К. М. Федорова (§ 2, 3 гл. 8), Н. С. Хабеева (§ 5, 10
гл. 6), В. Ш. Шагапова (§ 2 гл. 6), Н. А. Гумерова (§ 6 гл. 2).
Автор благодарит В. П. Алешина за многолетнюю помощь в
работе.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
Новым понятиям неизбежно со-
соответствуют новые обозначения. Мы
выбираем их так, чтобы они напоми-
напоминали нам о явлениях, послуживших
поводом для формирования новых
понятий.
Давид Гильберт, 1900 г.
В книге используются несколько сот различных физических величин.
Поэтому неизбежно использование одинаковых букв для обозначения раз-
разных величин.
Автор стремился сохранить традиционные обозначения, следовать не-
некоторой системе в их выборе и особенно в использовании нижних и верх-
верхних индексов.
То, к какой фазе относится соответствующий параметр, указывается
нижним индексом i или /:
Pi'> Pi- v'v vi> •¦•' *>/ = 1> 2. •••. N' 2. а> F> w<
где N — общее число фаз, S и а относятся к межфазной поверхности (по-
(поверхностной фазе, или 2-фазе), F — к «фазе» пламени (гл. 5), W — к пара-
параметрам на стенке трубы (гл. 7). См. также описание нижнего индекса
i — 0, 1, 2, 3, g, I, p, w в списке принятых обозначений.
Иногда для определенности параметры газовой фазы вместо числового
индекса будут обозначаться нижним буквенным индексом g («gas»), на-
например pg, Tg, pg, а параметры конденсированной (твердой или жидкой
фазы) —нижним буквенным индексом I («liquid»), например pi, Ti, рг. При
наличии фазовых переходов параметры, в том числе и параметры фаз в со-
состоянии насыщения, т. е. на кривой фазового равновесия, будут снабжаться
нижним индексом S («Saturation»), например. Ts, ps, pgS, pls, piS. Два
нижних индекса (кроме только что упомянутого случая, когда второй
индекс S):
JiS, Fi}, Rt], Eih vu, fa; i, j = 1, 2, ..., N, 2, a, F,
указывают, что соответствующий параметр характеризует межфазное взаи-
взаимодействие на межфазной границе между г-й и ;-й фазами, в результате
чего происходит перенос массы, импульса, энергии и т. д. из i-й (первый
илдекс) фазы в j-ю (второй индекс) фазу.
Параметры к-& компоненты в ?-й фазе или на межфазной границе меж-
между i-й и /-и фазами будут отмечаться индексом в скобках
PUk), SiUh), /(А), ...; i, / = 1, 2, ..., N, a, Б, F; к = 1, 2, ...
Следует иметь в виду, что одна и та же буква может использоваться
как обозначение параметра (например, i — энтальпия, к — массовая кон-
концентрация, j — интенсивность фазового перехода) и в виде нижнего индек-
индекса как обозначение номера фазы или компоненты (р{, v^, Pi(ft), ...)¦ При
этом возможны следующие комбинации: ?, — энтальпия (буква i) i-й фазы
(нижний индекс), кць.) —массовая концентрация (буква к) к-ж компоненты
(нижний индекс в скобках) в i-й фазе (первый нижний индекс), jtj — ин-
интенсивность фазового перехода (буква j) из i-й фазы (первый нижний
индекс) в /-ю (второй нижний индекс).
В связи с тем, что неизбежно использование одинаковых букв для
обозначения разных параметров, отметим, что к — по традиции обозначает
массовую концентрацию (в частности, кцн) — массовая концентрация к-й
компоненты в г-й фазе), а также проницаемость пористого тела. Чтобы не
8 ОБОЗНАЧЕНИЯ
путать концентрацию с проницаемостью, в гл. 8, где встречаются оба эти
параметра, вместо кцк) соответствующая концентрация обозначается сцк)-
Кстати в остальных главах сцю — теплоемкость к-й компоненты в г-й фазе
(в гл. 8 теплоемкость не используется).
Верхний индекс п относится к проекциям векторов и тензоров на на-
направление, задаваемое единичным направлением п. Верхние индексы к, I =
= 1, 2, 3 относятся к проекциям векторов и тензоров на направления осей
декартовой системы координат, определяемые ортогональными единичными
векторами е1, е2, е3. При этом по повторяющимся верхним (и только по
ним) индексам будет использоваться так называемое «немое» суммирование:
где V = е*У* — дифференциальный оператор градиента, дивергенции и
ротора.
При описании гетерогенных смесей имеется два вида параметров.
1. Микропараметры характеризуют поведение среды в масштабах по-
порядка размеров неоднородностей а, заметно меняются на расстояниях поряд-
порядка а и являются средними на расстояниях порядка Ь'х, во много раз мень-
меньших характерных размеров неоднордностей
б'х < а. @.2)
Микропараметры, или быстро меняющиеся переменные, определены внутри
объемов соответствующих фаз. Микропараметры отмечаются штрихом:
Р;\ v\\ о\м. (о.з)
Некоторые из микропараметров претерпевают разрыв на межфазных по-
поверхностях.
2. Макропараметры, или осредненные параметры характеризуют пове-
поведение фаз в масштабах характерного макроскопического размера L иссле-
исследуемого процесса (размера канала, обтекаемого тела, испытываемого об-
образца и т. д.) и являются средними (по элементарным макрообъемам, по
сечениям, по межфазным границам) на расстояниях порядка Ьх, причем
а < Ьх < L. @.4)
Макропараметры определены в каждой точке поля течения и меняются на
расстояниях порядка L. Макропараметры обозначаются буквами без штри-
штрихов или отмечаются угловыми скобками осреднения около соответствую-
соответствующего микропараметра:
Pi. »?, а» <<*;»><,... @.5)
СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
А = [А^, А^Р, А^\ A(f\ ...)—амплитуда возмущения;
А^, яР\ Ау'—работы в единицу времени внутренних сил, внутренних
сил давления, внутренних сдвиговых сил i-й фазы, отпесенные к ее еди-
единице массы (м2/с3);
а — радиус частицы, капля или пузырька (м);
Ь — линейный размер (м);
Сг — скорость звука в i-й фазе (м/с);
С* = У1ф\ (м/с);
ОБОЗНАЧЕНИЯ 9
), С (к) —фазовые скорости звука (м/с);
Си = 2,998-1Q8 м/с — скорость света в вакууме;
Се и Cf — равновесная и замороженная скорости звука (м/с);
С<у> — скорость продольных упругих волн (м/с);
С» — коэффициент аэродинамического сопротивления;
с^ — вектор переноса механической энергии в i-fi фазе за счет работы
внешних поверхностных сил (кг/с3);
с» = cVi — теплоемкость при постоянном давлении (м2/(с2-К));
cv — теплоемкость при постоянном объеме (м2/(с2-К));
cgih) — теплоемкость при постоянном давлении к-а газовой компоненты
(§ 9 гл. 7);
с» (и) — массовая концентрация к-й компоненты в i-й фазе (i = 1, 2, 3,
4, р, w, ...) (гл.8);
D — скорость ударной волны (м/с);
Е и Е{ — удельная полная энергия среды и i-й фазы (м2/с2);
Eji — интенсивность обмена энергией между i-й и j-й фазами в едини-
единице объема смеси и в единицу времени (кг/(м-с3));
ей (к = 1, 2, 3), е*, е", ег — единичные векторы вдоль осей декартовой
системы координат;
eV- — тензор скоростей деформации;
е%—обобщенная переменная (см. A.2.1), характеризующая состояние
i-й фазы;
3~\ — обобщенная величина, характеризующая воздействие на г-ю фазу
внешней среды;
F, F*, Гц, Fm, Fu — различные виды межфазных сил (см. § 1—3, гл. 1),
приходящихся на единицу объема смеси (кг/(м2-с2));
I) f 12, Га, fm, 1ц, 1в, is, 1м, fm — различные виды межфазных сил (см. § 1—3
гл. 1), приходящихся на одну дисперсную частицу, каплю, пузырек (кг-м/с2);
G — модуль сдвига (кг/(м-с2));
g — ускорение внешних массовых сил, в частности силы тяжести (м/с2);
Л = а'аЛ>У^~~ безразмерный параметр автомодельного роста парового
пузырька в перегретой жидкости (§ 9 гл. 2);
hzt — работа межфазных сил j-й фазы в единицу времени, отнесенная
к одной дисперсной частице, капле, пузырьку (кг-м2/с3);
Im — мнимая часть комплексного числа;
i — мнимая единица;
U — энтальпия (м2/с2);
7ц — интенсивность фазовых переходов или переноса массы в единице
объема смеси из j-й фазы в }-ю (кг/(м3-с));
— интенсивность фазового перехода i-*-j для к-ш компоненты;
— составляющая hj, соответствующая переносу массы из i-й в
/-ю фазу (кг/(м3-с));
; и jn — интенсивность фазовых переходов, приходящаяся на одну дис-
дисперсную частицу, каплю, пузырек (кг/с);
Ко = роСд—модуль гидростатического сжатия (кг/(м-с2));
К^, Я*— коэффициенты трения (см. A.49), D.1.2));
10 ОБОЗНАЧЕНИЯ
А'р — коэффициент (см. B.4.24)) фазового перехода (кг/(м2-с));
Kh (х) = у Jcth yJ— 1;
к — проницаемость пористой среды (мг);
к (кцн) =^ сцк))—массовая концентрация (к-й) компоненты (в /-й
фазе);
к] — кинетическая энергия мелкомасштабного (пульсационного) движе-
движения несущей фазы (м2/с2);
&W =1,3806- Ю-23 Дж/К — постоянная Больцмана (кг-м2/(с2-К));
кт = к -\- iktt. — комплексное волновое число (м-1);
L — характерный линейный макроскопический размер, длина вол-
волны (м);
Lm — длина свободного пробега молекул или расстояние между моле-
молекулами (м);
I и 1ц — теплота парообразования и фазового перехода »-»-/ (м2/с2);
ци) и цг) s / — изменение внутренней энергии и энтальпии при фазовом
переходе (м2/е2);
М — коэффициент упрочнения (см. A.10.21));
ЛГг- =(P{otil>f)/(PioaioI'io) — безразмерный поток массы г'-й фазы
(i =1, 2), отнесенный к потоку массы несущей фазы в невозмущенном
состоянии;
т — пористость;
т и mi — поток массы смеси и г-й составляющей (? = 1, 2, 3) через
*РУбуо (кг/с);
т! = р^или piwi — поток массы г-й фазы через единичное сечение
(кг/(м2-с));
т° — поток массы смеси, отнесенный к сечению трубы (кг/(м2-с));
N — нормальная скорость перемещения поверхности (м/с);
]V<A> = 6,0222-1026 кмоль-1 — число Авогадро (кг-'1);
п — единичная нормаль;
п — число капель, частиц или пузырей в единице объема смеси (м~3);
Р3ч — интенсивность обмена импульсом между /-й и s-й фазами;
Р> Рр, Рт — давление и его различные составляющие (кг/(м-с2));
Qo — теплотворная способность топлива (м2/с2);
Qf — фугасная теплота взрыва (м2/с2);
Qi — тепловой поток к г-й фазе, отнесенный к единице массы г-й фазы
(м2/е3);
Qn — интенсивность передачи тепла от /-й к г-й фазе в единице объе-
объема смеси (кг/(м-с3));
qh — вектор потока тепла (кг/с3);
Чи qsi, qa — тепловые потоки к г-й фазе, от 2-фазы к г-й фазе и от /-й
фазы к г-й фазе, приходящиеся на одну дисперсную частицу, каплю, пузы-
пузырек (кг-м2/с3);
Ж = 8,31-103 Дж/(кмоль-К)—универсальная газовая постоянная
(м*/(с2-К));
Ri и Нц%) — газовые постоянные i-й фазы и к-ш. компоненты i-в фазы
NftU) (mV(c2-K));
ОБОЗНАЧЕНИЯ И
R,-j — полная межфазная сила со стороны /-фазы на i-ю и отнесенная
к единице объема смеси (кг/(м2 ¦ с2));
Re — действительная часть комплексного числа;
г — радиальная координата (м);
г — радиус-вектор (м);
гь = а/\/Г<Х2 ~~ РаДиУс ячейки (м);
п = рг/р — массовое содержание г-й фазы;
5 — поверхность (м2);
Si = т<Хг — насыщенность г-й жидкости в пористой среде;
Si — энтропия (м2/(с2-К));
si2 — межфазная поверхность в единице объема смеси (м-'1);
Т — абсолютная температура (К);
t — время (с);
?lc>, ftpi, it»), ttT)> №\ t^\ 'i2*' *12—'времена различных релаксацион-
релаксационных процессов (с);
в, up, ит — внутренняя энергия и ее различные составляющие (м2/с2);
V — объем (м3);
V, v\ — удельный объем (м3/кг);
v = vhek — вектор массовой скорости (м/с);
\ц — скорость массы, претерпевающей фазовый переход (м/с);
Дvi = Vj — v. — флуктуация скорости (м/с);
Wi = UiVi — приведенная скорость (м/с);
Wa — работа межфазных сил i-й фазы на межфазной границе с /-и фа-
фазой, отнесенная к, единице объема смеси (кг/(м-с3));
w, Wia, wa — радиальные скорости соответственно среды, t-й фазы на
межфазной границе, самой межфазной границы вокруг сферической капли
или пузырька (м/с);
Wj — скорость диффузии i-й составляющей (см. A.1.2)) относительно
среднемассовой скорости смеси (м/с);
Wi2 = vi — V2 — скорость относительного макроскопического движения
фаз (м/с);
х{ = m{/m — доля массового потока смеси (в трубе), приходящаяся
на разные составляющие или фазы: на газ (xi= xg), капли (хг ^ ха) и
пленку (яз = ?f);
х = хх, у == х2, z == х3 — пространственные декартовы координаты (м);
а,- = г,- — TiSi — термодинамический потенциал (м2/с2);
a.i — объемная концентрация г-й фазы;
Рт — коэффициент аккомодации (конденсации) ;
Ч< fg и -fi — показатель адиабаты, показатели адиабаты газовой фазы и
2-й фазы;
Г — коэффициент Грюнайзена;
6 — глубина зоны упрочнения, фазового перехода, толщина пленки
жидкости (м);
6s1 — символ Кронекера;
е =з pg == Pg/pj — отношение плотности пара к плотности" жидкости;
"? — коэффициент объемной вязкости (кг/(м-с));
12 ОБОЗНАЧЕНИЯ
к — показатель политропы;
Л — декремент затухания;
X — коэффициент теплопроводности (кг-м/(с3-К));
(х — безразмерный малый параметр в § 6 гл. 4;
Hi — коэффициент динамической вязкости (кг/(м-с));
цт — молекулярный вес;
v^ — коэффициент кинематической вязкости (м2/с);
\^Р — коэффициент температуропроводности (м2/с);
v№) — коэффициент диффузии (м2/с);
Yyki— тензор пульсационных напряжений (кг/(м-с2));
р — плотность среды или смеси (кг/м3);
р, — приведенная плотность г-н фазы (масса i-ж фазы в единице объема
смеси (кг/м3));
Р2 = рг/Pi (р«=Ря/рг)—относительное массовое содержание второй
(газовой) фазы;
р{ — истинная плотность ?-й фазы, равная массе ?-й фазы в единице
объема j-й фазы (кг/м3);
Рг SH p2/Pi(Pg^ es3 Pg/Pi) —отношение истинных плотностей фаз (от-
(относительная плотность газовой фазы);
%г и \ц — интенсивность фазового перехода в i-ю фазу и интенсивность
испарения (I-*- g), отнесенные к единице межфазной поверхности (кг/(м2-с));
2 — поверхностное натяжение (кг/с2);
аы _Тензор напряжений (кг/(м-с2));
а?— тензор напряжений в j-й фазе (кг/(м-с1));
hi
°. — приведенный тензор напряжений в i-й фазе (кг/(м-с2));
SBi 5670Ю8 (/CК4)) Сф Б
рд р нр ф (/());
= 5,670-Ю-8 (кг/(с3-К4)) —постоянная Стефана — Больцмана;
rhl = ак! — ]/3ammbhl — тензор сдвиговых напряжений или девиатор
(кг/(м-с2));
т* — сдвиговой предел текучести (кг/(м-с2));
т — безразмерное время;
<р,- — обобщенная переменная, характеризующая состояние i-fi фазы;
<р^>, ф'2>, ф^3>, q/1', ф^2'— коэффициенты, учитывающие в уравнении
Рэлея — Л амба неодиночность пузырьков (см. § 3 гл. 1);
%т — коэффициент присоединенной массы {%т = '/г — для шара);
¦фг—обобщенная переменная (см. A.2.1)), характеризующая поверх-
поверхностные взаимодействия внутри s-й фазы;
^а,1 ^ЫИ ^We— коэффициенты, учитывающие соответственно влияние
неодиночносга дисперсных частиц, сжимаемости несущей фазы, деформа-
деформацию капель или пузырьков на силу, действующую на одну частицу;
о — круговая частота (с~');
©^ = со -f~ iw** — комплексная частота (о~1)д
Безразмерные числа (критерии).
BI = pyep/(o(SB>r3) —число Больцмана;
Во = Da2pg/S) — число Бонда;
Gf == Ej(k(B~>T) — число Гиббса;
ОБОЗНАЧЕНИЯ |3
Ja = (сгЛГ/г) (p°;/Pg) — число Якоба;
Lp = 2ap S/jx2 — число Лапласа;
М = vjC — число Маха;
Nu = 2а/6(т> — число Нуссельта, где б(г> — толщина температурного
погранслоя (й'г> =4ка*ХАТ/д);
Ре = 2au/v(T> — число Пекле;
?r = v(°>/v<r> — число Прандтля;
Re = 2avl\W —число Рейнольдса;
Sc = v(t>Vv'*' — число Шмидта;
Sh = 2а/5<*> — число Шервуда, где б(*>—толщина концентрационного
погранслоя F(А> = 4naVft)A&//);
St = uf/а — число Струхаля;
We = 2apv2[Z — число Вебера.
Нижние индексы
а — параметры на поверхности капли или пузырька;
Ь (boundary) — параметры на границе ячейки;
с («core») — параметры газокапельного ядра дисперсно-пленочного
потока;
D — указатель в операторе [...] d, определяющем скачок записан-
записанной внутри квадратных скобок функции на поверхности разрыва (см.
A.1.62));
d (dispersed) —параметры дисперсной фазы (? = 2);
е (equlibrium) — равновесные параметры за волной;
F (Flame) — параметры микропленки вокруг горючей капли;
/ (film) — параметры пленки в дисперсно-пленочном потоке;
/ — параметры за скачком;
g (gas) — параметры газа;
i — номер фазы (i = 0, 1, 2, ..., JV); в дисперсной среде (гл. 1, 2, 4—6) и
дисперсно-пленочном потоке (гл. 7) i = 1 относится к несущей, i = 2 —
к дисперсной фазе, i = 3 — к пленке; в насыщенной жидкостью или газом
пористой среде (гл. 8) i = 0 относится к твердой фазе. См. также t =
= g, I, P, to;
i*—указатель для приведенных тензора напряжения (<*{)» вектора
работы внешних поверхностных сил (сЬ ) и потока тепла (д^ ) в i-й фазе
(см. § 3 гл. 1);
/ — то же, что и нижний индекс г;
(к) — номер компоненты (к = 0, 1,, 2, ...);
I (liquid) — параметры конденсированной (жидкой или твердой)
фазы;
О — параметры начального или исходного состояния;
О — параметры твердой фазы в насыщенной пористой среде (гл. 8);
р (petroleum) — параметры углеводородной жидкости;
R (Radiation) —параметры излучения (см. § 1, 2 гл. 5);
S (Saturated) — параметры фазы в насыщенном состоянии;
iS — указатель в операторе осреднения (. ..)lS (см. § 2 гл. 1);
W (Wall) — параметры на стенке трубы;
14 ОБОЗНАЧЕНИЯ
w (water) — параметры водной жидкости;
2 — параметры на межфазной границе B-фазы) ;
Верхние индексы
' — микропараметры;
к, I — номер декартовой координаты (к, I = 1, 2, 3);
(к) — величины, связанные с молекулярной диффузией;
г — проекция на радиальное направление;
(Т) —величины, связанные с температуропроводностью;
(v) — величины, связанные с движением среды;
(А) —параметр, связанный с теплопроводностью;
(|х) —параметр, связанный с вязкостью;
т — проекция вектора на плоскость, касательную к выделенной по-
поверхности;
~ — значение соответствующего параметра, отнесенное к его значению
в исходном состоянии (р = р/р0, Тг = 7\/7\о, Р = plpo);
~ — отношение значений соответствующего параметра в газовой и жид-
жидкой фазах (pg = Pg/P,, ^т) = v<,T)/v<r>, с" = PgCg/p^c], ...
* — безразмерные параметры, связанные с физическими свойствами фаз
(у* м* v* /* Я* fi* ^
ВВЕДЕНИЕ
Гетерогенные, неоднородные или многофазные смеси — это
газовзвеси, аэрозоли, суспензии, эмульсии, жидкости с пузырька-
пузырьками газа, композитные материалы, насыщенные жидкостью и га-
газом грунты и т. д. Они характеризуются, в отличие от гомоген-
гомогенных смесей (смесей газов, растворов, сплавов), наличием макро-
макроскопических (по отношению к молекулярным масштабам) неод-
нородностей или включений. В гомогенных же смесях состав-
составляющие перемешаны на молекулярном уровне. Промежуточное
положение между гетерогенными и гомогенными смесями зани-
занимают коллоидные смеси (коллоиды) и мицеллярные растворы.
Дисперсные смеси. Из возможных гетерогенных смесей наи-
наиболее подробно изучены благодаря своей сравнительно регуляр-
регулярной структуре так называемые дисперсные смеси, которые
состоят из двух фаз, одна из которых есть капли, пузырьки или
твердые частицы. Различают следующие виды дисперсных смесей:
— суспензии — смеси жидкости с твердыми частицами;
— эмульсии — смеси жидкости с каплями другой жидкости;
— газовзвеси или аэровзвеси — смеси газа с твердыми части-
частицами или жидкими каплями; иногда смеси газа с жидкими кап-
каплями называют аэрозолями;
— пузырьковые среды — смеси жидкости с пузырьками газа
или пара.
В научной литературе по механике часто всякую дисперсную
смесь называют суспензией.
Капли, пузырьки, твердые частицы в дисперсной смеси назы-
называют дисперсными частицами или дисперсной фазой, а окружа-
окружающую несущую фазу — дисперсионной фазой.
Диапазоны встречающихся в приложениях размеров дисперс-
дисперсных частиц, способы их измерения показаны на рис. 0.1 в срав-
сравнении с характерными длинами волн различных видов электро-
электромагнитного излучения, размерами атома, кристалла и характер-
характерной длиной свободного пробега в газе*).
Главные допущения. При математическом моделировании всех
рассмотренных в данной книге процессов и движений гетерогенных
*) На рис. 0.1 использованы данные из аналогичной диаграммы в книге
оо A967).
S. Soo A967).
16
ВВЕДЕНИЕ
У
Qni/иош
re
Я
о.
тиоомдпж t
пою
vxFigeog
п/чннажпжооддазц
s
s
и
n
I
О УО
ii
i
Ц
Ь5 Я
В
vo
о
о
о
И
а-
Си
§
t> Cb
<O 3
О 5
э: и>
сц>
E?
>
с?3
Си
-5
>
i
a
1
3
Он
S
Раз
.1.
о
о
ВВЕДЕНИЕ 17
смесей всегда будут полагаться справедливыми два главных
допущения.
1. Размеры включений или неоднородностей в смеси (диа-
(диаметры дисперсных частиц, капель, пузырьков в газовзвесях, аэро-
аэрозолях, эмульсиях и суспензиях, диаметры волокон и зерен в ком-
композиционных и поликристаллических материалах, диаметры пор
в пористых средах и грунтах, толщины пленок в газожидкостных
смесях) во много раз больше молекулярно-кинетических (рас-
(расстояний между молекулами, размеров кристаллической решетки,
средних длин свободного пробега молекул). Таким образом, ука-
указанные неоднородности содержат большое количество молекул
(см. рис. 0.1). Но тем не менее имеет место следующее.
2. Размеры указанных неоднородностей во много раз меньше
расстояний, на которых осредненные или макроскопические па-
параметры смеси или фаз меняются существенно (вне некоторых
отдельных зон, которые будут рассматриваться как поверхности
разрыва). Таким образом, размеры неоднородностей много мень-
меньше длин рассматриваемых в смесях волн, длин и диаметров ка-
каналов, в которых течет многофазная смесь, размеров испытывае-
испытываемых гетерогенных образцов и т. д.
Первое допущение позволяет использовать классические пред-
представления и уравнения механики сплошных однофазных сред
(уравнения идеальной и вязкой жидкостей, уравнения упругого
и упругопластического тела и т. д.) для описания процессов в
масштабах самих неоднородностей, т. е. процессов внутри или
около отдельных включений или неоднородностей (для смеси
в целом это — микропроцессы). При этом для описания физиче-
физических свойств фаз (вязкости, теплопроводности, упругости и т. д.)
можно использовать уравнения и параметры, полученные из опы-
опытов с соответствующими веществами в однофазном состоянии.
Второе допущение позволяет описывать макроскопические
процессы в гетерогенной смеси (распространение в них волн,
течение смесей в каналах, обтекание смесями тел, деформацию
пористого тела, поликристаллического или композитного образца)
методами механики сплошной среды с помощью осредненных или
макроскопических параметров.
ГЛАВА 1
УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ
ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
Рассмотрим основные представления, которые необходимы
для математического описания движения гетерогенных, или мно-
многофазных смесей методами механики сплошных сред.
§ 1. Феноменологическая теория
многоскоростного континуума
Описание методами механики сплошной среды различного
рода смесей как гомогенных, так и гетерогенных связано с вве-
введением понятия многоскоростного континуума и определением
взаимопроникающего движения составляющих. Многоскоростной
континуум представляет собой совокупность N континуумов, каж-
каждый из которых относится к своей составляющей (фазе или
компоненте) смеси и заполняет один и тот же объем, занятый
смесью. Для каждого из этих составляющих континуумов в каж-
каждой точке определяется обычным образом плотность (приведен-
(приведенная) р; (масса г-й составляющей в единице объема среды), ско-
скорость \{ (?=1, 2, ..., iV), а затем и другие параметры, относя-
относящиеся к своему континууму и своей составляющей смеси. Таким
образом, в каждой точке объема, занятого смесью, будет опреде-
определено N плотностей р,, N скоростей \t и т. д.
Кроме того, исходя из этих величин, можно определить пара-
параметры, характеризующие смесь в целом, а именно: плотность
•смеси и среднемассовую (барицентрическую) скорость смеси
N N
р = 2 Pi, pv = 2 p»v{. (l.i.i)
t=i i=i
Иногда удобно пользоваться скоростями w4, которые назы-
называют диффузионными, представляющими скорости движения со-
составляющих относительно центра масс смеси или среды в целом
0. A.1.2)
В многоскоростной сплошной среде полезно ввести субстан-
субстанциональные производные djdt и d/dt (барицентрическую суб-
§ 1. ТЕОРИЯ МНОГОСКОРОСТНОГО КОНТИНУУМА 19
станциональную производную), соответственно связанные с дви-
движением г-й составляющей и с движением среды в целом:
Как уже указывалось (см. @.2)), суммирование производит-
производится только по верхним индексам, относящимся к координат-
координатным осям.
Уравнения сохранения для составляющих. Механика смесей
строится на основе физических законов сохранения массы, им-
импульса и энергии, поэтому далее нужно записать балансовые
соотношения массы, импульса и энергии для каждой составляю-
составляющей в некотором фиксированном в пространстве объеме смеси V,
ограниченном поверхностью S, учитывая при этом обмен (взаи-
(взаимодействие) не только с внешней (по отношению к выделенному
объему V) средой, но и соответствующий обмен (взаимодей-
(взаимодействие) массой, импульсом и энергией между составляющими
внутри объема V.
Уравнения масс имеют вид
N
A.1.4)
где /л характеризует интенсивность перехода массы из /-й в 1-ю
составляющую (или наоборот, из ?-й в /-ю, тогда ]$ < 0) в еди-
единице объема смеси и в единицу времени. Из закона сохранения
массы при различных физико-химических превращениях имеем,
формально вводя для сокращения записи величины Ju = 0,
/*¦=-/«. A.1.5)
В дальнейшем будет использована формула Гаусса — Остро-
Остроградского в виде
После применения этой формулы из A.1.4) в области непре-
непрерывного движения следуют дифференциальные уравнения массы
каждой составляющей
N
3=1
2*
20 ГЛ 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
которые можно записать в виде
N
^ (* = 1, 2, .... N). A.1.7)
j=i
Если просуммировать A.1.7) или A.1.6) по i, учитывая
A.1.2) и A.1.5), то получим уравнение сохранения массы (нераз-
(неразрывности) смеси в целом, имеющее обычный вид, как в одно-
скоростном случае:
g. + V.pv = O, A.1.8)
т. е. уравнение неразрывности смеси в целом «не чувствует»
относительного движения составляющих.
Уравнения импульсов каждой составляющей можно предста-
представить в виде
N
2
j J J
v s s v v i=i,j^i
(i = l,2,...,N), A.1.9)
где первое слагаемое правой части соответствует притоку им-
импульса i-ii составляющей через поверхность S; второе и третье
слагаемые — воздействию внешних поверхностных и массовых
сил, приходящихся на ?-ю составляющую и характеризуемых
тензором с" и вектором gt; наконец, Р# представляет интенсив-
интенсивность обмена импульсом между /-й и j-й составляющими. При-
Причем из закона сохранения импульса при различных взаимодей-
взаимодействиях, аналогично A.1.5), имеет место
Р<, = -Р„ Р«-0. A.1.10)
Интегральным соотношениям A.1.9) после применения фор-
формулы Гаусса — Остроградского соответствуют дифференциальные
уравнения импульсов каждой составляющей
N
-^Ч- V W?= V4 + № + 2ря (* = 1, 2, ..., N). A.1.11)
3=1
С учетом A.1.3) и A.1.6) эти ураввнения можно переписать
в виде
A.1.12)
Аналогично A.1.1) можно определить тензор поверхностных
§ 1. ТЕОРИЯ МНОГОСКОРОСТНОГО КОНТИНУУМА 21
сил аы и вектор массовых сил g, относящиеся к среде в целом:
N N
° = 2<*. pg = 2pigi. A.1.13)
i=l i=l
Суммируя A.1.11) по г с учетом A.1.2) и A.1.13), получим
уравнение импульсов среды в целом
N
VV + Pg 2 Vft.(Piu;?w), A.1.14)
которое, в отличие от уравнения неразрывности A.1.8), зависит
от относительного движения составляющих.
При определении понятия удельной энергии смеси Е (прихо-
(приходящейся на единицу массы среды) обычно ее принимают сла-
слагающейся из внутренней и и кинетической К энергий
Рассмотрим случай, когда внутренняя энергия смеси адди-
аддитивна по массе входящих в нее составляющих (обобщение см.
в §2)
ри = 2рги{ A.1.15)
i=l
(где щ — удельные внутренние энергии составляющих), а кине-
кинетическая энергия определяется лишь макроскопическим движе-
движением:
4
{=1
Тогда энергия смеси может быть представлена в виде
t J [ \). A.1.17)
Заметим, что при течении смесей могут возникать и более
сложные определения энергии, связанные с учетом энергии мел-
мелкомасштабных движений, о чем см. ниже (§ 2, 3).
Из A.1.16) и A.1.2) следует, что pK?=l/zpv2, ибо
4т4
т. е. кинетическая энергия многоскоростной среды определяется
не только ее движением как целого со скоростью центра масс v,
но и скоростями относительного движения составляющих, чему
соответствует второе слагаемое A.1.18).
•12 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
Аналогично A.1,4) и A.1.9) запишем балансовые уравнения
для энергии каждой составляющей
j f A.1.19)
где первое слагаемое в правой части соответствует притоку энер-
энергии i-й составляющей через поверхность S; второе и третье
слагаемые — работе внешних поверхностных (характеризуемой
вектором с, (в частном случае с™ = o"«Vi)) и массовых сил, прихо-
приходящихся на г-ю составляющую; далее Ец представляет интенсив-
интенсивность обмена энергией между i-й и j'-й составляющими; пятое
слагаемое представляет приток тепла через поверхность S, ха-
характеризуемый вектором q,. Аналогично A.1.5) и A.1.10) из
закона сохранения энергии при различных взаимодействиях
имеет место
?,; = -?,„ Еи^0. A.1.20)
Интегральным соотношениям A.1.19) после применения фор-
формулы Гаусса — Остроградского соответствуют дифференциальные
уравнения энергии составляющих
N
A-J + V V^i = V-(Ci - q,) + Pigi-Vi + 2 EH (I = 1. 2, ..., N).
A.1.21)
С учетом A.1.3) и A.1.6) эти уравнения можно переписать
в виде
(i = \,2, ...,N). A.1.22)
Суммируя A.1.21) по i с учетом A.1.2), A.1.8) и A.1.20),
получим уравнение энергии смеси в целом
Рf + 2 V" (PjUfo) = V* (<$ - ?*) + pi** + 2
4^
которое, так же как A.1.14), зависит от относительного движе-
движения составляющих.
§ i. ТЕОРИЯ МНОГОСКОРОСТНОГО КОНТИНУУМА 23
Для дальнейшего полезно дать обобщение понятия субстан-
субстанциональной производной, отличное от производной d/dt (см.
A.1.3)), для величин, характеризующих смесь в целом и адди-
аддитивных по массам входящих в смесь составляющих, например
для полной Е или внутренпей и энергии среды (см. A.1.15) и
A.1.17)).
В отличие от обычной односкоростной сплошной среды, в дан-
данном случае понятие производной, дающей изменение параметра
вдоль траектории выделенной частицы, усложняется, так как
из выделенной частицы смеси ее составляющие, обладающие
различными скоростями и траекториями, расходятся.
В обычной односкоростной среде легко показать справедли-
справедливость следующего интегрального равенства, если учесть A.1.3)
и A.1.8):
fj j^dV', A.1.24)
которое позволяет дать дополнительное толкование величины
йФ/dt, а именно: р йФ/dt соответствует той части изменения Ф
(приходящегося на единицу объема среды), которая не связана
с переносом вещества через поверхность S. Применительно к
полной энергии Е величина dE/dt определяется работой внешних
сил и притоком тепла извне. Если вместо Ф имеем другую ве-
величину, например и, то du/dt, кроме работы внешних сил и
притока тепла извне, определяется процессами внутри выделен-
выделенного объема.
В случае многоскоростной среды выражение A.1.24) допус-
допускает обобщение, определяющее ОФ/Dt, где Ф — аддитивная по
массе фаз величина
V S i==1 V
A.1.25)
Введенная величина БФ/Dt имеет тот же смысл, что и в одно-
скоростном случае йФ/df, а именно: р(БФ/.Ш) дает изменение
величины Ф, приходящееся на единицу фиксированного в про-
пространстве объема смеси, за вычетом изменения, связанного с
притоком массы через границы этого объема.
Из A.1.25) после использования формулы Гаусса — Остро-
Остроградского с учетом A.1.6) следует выражение для субстан-
субстанциональной производной 23Ф/.Ш через частные производные
по времени и координатам или субстанциональные производные
24 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
вдоль линий тока фаз
р?? - 21?=+wm><] - 2
i=l i=l
Можно показать (см. Р. И. Нигматулин, 1978), что ВФ/Dt
соответствует изменению Ф фиксированной массы многоскорост-
ной сплошной среды.
Кроме того, из A.1.3), A.1.2), A.1.17), A.1.7) можно полу-
получить выражение, подобное A.1.26), для формально определенной
барицентрической субстанциональной производной:
i=l
Из сравнения A.1.26) и A.1.27) видно, что в общем случае
субстанциональные производные ОФ/Dt и dO/dt отличаются
друг от друга.
Из выражений A.1.14), A.1.23) и определений A.1.26) и
A.1.27) следуют соотношения, очень наглядно поясняющие
смысл субстанциональной производной D/Dt и показывающие
изменение характеристик смеси v и Е, удовлетворяющих, соглас-
согласно A.1.1) и A.1.17), условию аддитивности по массам фаз
V
V A-1.28)
д7
Полученные балансовые уравнения могут быть использованы
для описания любой многоскоростной сплошной среды, соответ-
соответствующей как гомогенной, так и гетерогенной смеси.
Диффузионное приближение для гомогенных смесей. В гомо-
гомогенной смеси (смесь газов, раствор, сплав) ее составляющие,
которые будем называть компонентами, размешаны и взаимо-
взаимодействуют на молекулярном или атомарном уровне, скорости их
относительного движения малы и их нужно учитывать лишь в
связи с определением концентрацией компонент, и в то же вре-
время можно пренебречь динамическими и инерционными эффекта-
эффектами из-за относительного движения компонент. G формальной
точки зрения при условии
C* = <J*V, gl = g2 = ... = gw A.1.29У
диффузионное приближение в механике смесей связано с пре-
пренебрежением слагаемыми, содержащими величины второго по-
порядка относительно диффузионных скоростей wi% В результате
§ 1. ТЕОРИЯ МНОГОСКОРОСТНОГО КОНТИНУУМА 25
исходная система уравнений A.1.7), A.1.8), A.1.14), A.1.23),
описывающая поведение смеси в диффузионном приближении,
имеет вид, используемый в литературе по механике многокомпо-
многокомпонентных смесей (J. Hirschfelder et al., 1961; А. Ф. Колесников,
Г. А. Тирский, 1982; Л. И. Седов, 1984) :
N
г=1
, P? = vV+pg, A.1.30)
Уравнения реологии и состояния для всей среды в целом, за-
задающие тензор напряжения оы и внутреннюю энергию и, запи-
записываются в предположении локального термодинамического рав-
равновесия, когда в каждой точке можно определить температуру
среды Т. При этом считается, что тензор скоростей деформации
етр определяется полем барицентрических скоростей смеси v
=4-(s5 + ^) К Р = 1-2,3), A.1.31)
а влияние состава смеси (р,-, i = 1, 2, ..., N) непосредственно
проявляется через физико-химические параметры, входящие в
уравнения реологии и состояния (коэффициенты вязкости, мо-
модули упругости, теплоемкости и т. д.)
= 2.
г=1
и Р2, -...Piv, е™Р, Г, х1, ...,Xe).
A.1.32)
где зс', . . ., iq — дополнительные физико-химические параметры
(Л. И. Седов, 1984).
Относительные движения компонент, описываемые диффузион-
диффузионными скоростями или диффузионными потоками p,w,- и непосред-
непосредственно влияющие лишь на концентрацию компонент р,/р, опре-
определяются диффузионным механизмом (столкновения молекул при
их хаотическом движении). Законы диффузии (в том числе тер-
мо- и бародиффузии) устанавливают зависимость (как правило
линейную) для мгновенных значений p,Wj в зависимости от гра-
градиентов концентраций компонент, градиентов температуры и дав-
давления. Используя эти законы диффузии, мы пренебрегаем инер-
инерцией относительного движения компонент.
Заметим, что модели, построенные на основе диффузионного
приближения A.1.29) для многоскоростного континуума, факти-
26 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
чески являются односкоростными, и поэтому диффузионное при-
приближение иногда называют одножидкостным.
Дальнейшие усложнения диффузионной теории смесей (учет
многотемпературных эффектов, дополнительных внутренних сте-
степеней свободы) фактически не меняют существа диффузионного
приближения, связанного с пренебрежением динамическими и
инерционными эффектами относительного движения компонент
и применением законов диффузии для определения этого отно-
относительного движения.
Особенности математического описания гетерогенных смесей.
В отличие от гомогенных гетерогенные смеси (газовзвеси, сус-
суспензии, эмульсии, пузырьковые жидкости, водонасыщенные грун-
грунты, композитные материалы и т. д.) в общем случае описыва-
описываются многоскоростной (или многожидкостной) моделью с учетом
динамических эффектов из-за несовпадения скоростей составляю-
составляющих, которые в данном случае будем называть фазами. Это часто
необходимо, так как скорости относительного движения фаз wt
по порядку могут быть равны скоростям их абсолютного движе-
движения v,- или среднемассовой скорости смеси v.
Для удобства выпишем уравнения сохранения массы A.1.6),
импульса A.1.12) и энергии A.1.22) фаз в многоскоростном
континууме:
ер. ^
—+V.piVi= 2*JH>
3=1
N
?
3=1
Р*Ж ("' + т) = V• (с< - *) + Р*8*• ^г + 2 [ен - JH (u{ -f
(i,j = l, 2, ..., N; J3l = -/«, Р„ = -PtJ, EH = -Ev).
В отличие от гомогенных смесей, где каждая компонента мо-
может рассматриваться как занимающая весь объем смеси равно-
равноправно с другими компонентами (F4 = У2 = ... = VN = V), в ге-
гетерогенной смеси каждая фаза занимает лишь часть объема сме-
смеси (Vt + V2 + ... + VN = V).
В связи с этим в теории гетерогенных смесей необходимо ис-
использовать величины ос{ (г = 1, 2, ...,7V), характеризующие доли
объема смеси, занимаемые каждой фазой
сс1 + а2 + ...4-а* = 1 (а, 5*0), A.1.34)
и, таким образом, помимо приведенных плотностей р„ определя-
определяются истинные плотности веществ фаз р* (масса i-й фазы
§ 1. ТЕОРИЯ МНОГОСКОРОСТНОГО КОНТИНУУМА 27
в единице объема ?-й фазы)
р° = Рг/«г- A.1.35)
При исследовании гетерогенных сред необходимо учитывать
гот факт, что фазы присутствуют в виде макроскопических (по
отношению к молекулярным размерам) включений или среды,
окружающей эти включения. Поэтому деформация каждой фазы,
определяющая ее состояние и реакцию, связана, в отличие от
гомогенной смеси (см. A.1.31)),не только со смещением внешних
границ (описываемым полем скоростей v,, которое прежде4 всего
может существенно отличаться от поля среднемассовых скоро-
скоростей v) выделенного объема, но и со смещением межфазных по-
поверхностей внутри выделенного объема смеси. Учет этого об-
обстоятельства при определении тензоров напряжений а\1 требует
привлечения условий совместного деформирования и движения
фаз, условий, учитывающих структуру составляющих среды
(форма и размер включений, их расположение и т. д.). Заметим,
что в тех случаях, когда эффекты прочности не имеют значения
(газовзвеси, эмульсии, суспензии, жидкость с пузырьками, твер-
твердые тела при очень высоких давлениях), условия совместного
деформирования являются существенно более простыми, чем в
общем случае. Они по существу сводятся к уравнениям, опреде-
определяющим объемные содержания фаз аг. Наиболее часто встречаю-
встречающимися такого рода уравнениями является условие равенства
давлений фаз или несжимаемости одной из фаз.
В гетерогенных средах осложняются и законы, описывающие
относительное движение фаз, ибо это движение определяется не
процессами диффузионного характера (во всяком случае не толь-
только ими), связанного со столкновением и хаотическим движением
частиц включений, а процессами взаимодействия фаз как макро-
макроскопических систем, например обтеканием частиц включений не-
несущей жидкостью в суспензии или газовзвеси. Эти процессы опи-
описываются с помощью сил и с более последовательным учетом
инерпии фаз.
Таким образом, проблема многофазного движения в рамках
многоскоростной (многожидкостной) модели сводится к заданию
условий совместного движения фаз и определению величин, опи-
описывающих внутрифазные (силовое а", энергетическое с\ и q\)
и межфазные (массовое /„, силовое Р,„ энергетическое Еп) взаи-
взаимодействия.
В некоторых случаях, когда инерционные эффекты относи-
относительного движения фаз несущественны, для описания гетероген-
гетерогенных смесей можно использовать и диффузионное (одножидкост-
ное) приближение. В качестве примера укажем не очень быст-
быстрые течения концентрированных суспензий или эмульсий, когда
истинные плотности материала фаз достаточно близки между
собой.
28 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
Другим примером безынерционного диффузионного закона,
описывающего относительное движение фаз в гетерогенной сме-
смеси, является закон фильтрации Дарси
piWi = -ftjVp, A.1.36)
который можно использовать в моделях насыщенных пористых
систем (см. гл. 8) и газожидкостных потоков (N. Zuber, 1965).
Межфазный обмен импульсом и энергией. На основе балан-
балансовых уравнений A.1.33) рассмотрим более подробно взаимо-
взаимодействие фаз в гетерогенной смеси.
Интенсивность обмена импульсом между г-й и /-й фазами мо-
может быть представлена в виде суммы двух слагаемых:
Рл = -Р« = R* + hy» (i, j = l,2,...,N;i^/). A.1.37)
Здесь Rji — межфазная сила (отнесенная к единице объема
смеси) из-за сил трения, давления, сцепления между фазами и
т. д. Кроме того, обмен импульсом происходит и за счет фазо-
фазовых превращений. Например, переход / -*¦ г приводит к тому, что
из /-й фазы в г-ю уходит импульс 1цУц, где \п характеризуем
скорость или импульс массы, претерпевающей превращение j -*¦ i
и находящейся в г"-й фазе. А так как фазовые превращения про-
происходят на межфазной границе, то v# может рассматриваться как
скорость вещества г-й фазы на границе с /-й фазой. Учитывая,
что для гетерогенных смесей с вязкими жидкостями характерно
отсутствие заметных скачков скорости на межфазных границах,
будем полагать
v« = v,4, тогда Rfl = — Rji. A.1.38)
G учетом A.1.37) уравнение импульсов фаз A.1.12) прини-
принимает вид
N
1Г "^ + 2 (КЯ + JH foi ~ Vi)) + Pigi- A-1.39)
3=1
Интенсивность обмена энергией между /-й и i-й фазами мо-
может быть также представлена в виде суммы нескольких сла-
слагаемых
Ен = WH + QH + JH (uH + V21&), EH = - Eu A.1.40)
(i, / = 1, 2, ..., N;
Здесь первые два слагаемых представляют приток энергии в г-ю
фазу за счет работы (И^,) межфазных сил (трения, давления,
сцепления и т. д.) и теплопередачи (Q,i) на границе между
г-й и /-й фазами. Слагаемое /у\иа + ~~2~vb) представляет перенос
внутренней и кинетической энергий вместе с переносом массы
8 i. ТЕОРИЯ МНОГОСКОРОСТНОГО КОНТИНУУМА 29
из /-й в г-ю фазу, где uj{ — удельная внутренняя энергия массы,
претерпевающей переход / -»¦ i и находящейся в i-й фазе. Ана-
Аналогично скорости Ул величина и3ч может рассматриваться как
удельная внутренняя энергия г-й фазы на границе с /-и фазой.
Но в отличие от скоростей у# (см. A.1.38)) внутренняя энергия
фаз на межфазной границе терпит разрыв, т. е.
и*Фщ. A.1.41)
В результате уравнения энергии фаз A.1.22) принимают вид
р^ L + 4) = Vй {с\ - <&) + 2 кч + QH +
\ * 1 L
«я - Щ + t^i)] + P,**i>?• A.1.42)
Из A.1.39) следует уравнение кинетической энергии (теоре-
(теорема живых сил) для отдельной фазы
( 2 \ я
Pi ? Г* = v4 • V4fe + pigi• V 2
A.1.43)
Вычитая из уравнения энергии фазы A.1.42) уравнение жи-
живых сил A.1.43), получим уравнение для внутренней энергии
отдельной фазы
Pi ^ = v"(Ci- ф) - VrVftcr?
+ JH (uH - «0 + V, /л (v,4 - vO2. A.1.44)
Из A.1.43) и A.1.44) видно, что при фазовом превращении
/ -*¦ i из /-й фазы уходит кинетическая энергия 1/2/^|г, из которой
rl2JjiVi остается в виде кинетической энергии у этой массы
(в состоянии i-й фазы), а остальная часть1^ Jji (v% — vf) идет на
изменение удельной энергии i-й фазы, причем на изменение
удельной кинетической энергии i-й фазы идет /ji(vji'v* — v?)>
а на изменение удельной внутренней энергии 1/г^ц\уа — у*J-
Уравнение для внутренней энергии фазы A.1.44) получено
из формальных балансовых соотношений, и конкретизация каж-
каждого из слагаемых в правой части (например, определение W^
и с) может быть связана со значительными трудностями. Как
это будет показано ниже, лучше и нагляднее исходить из ана-
аналогичного соотношения, записанного в виде уравнения притока
тепла i-й фазы в общепринятом виде, который не зависит от
граничных и внешних (для i-й фазы) условий и не зависит явно
30 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
от поведения других фаз,
^Г n (UH - «i)> A.1.45)
3=1
где At и Qi соответственно представляют работу внутренних сил
и приток тепла в единицу времени, отнесенные к единице массы
f-й фазы. Именно эти величины и будут постулироваться. Причем
как Ah так и Qt состоят из нескольких слагаемых
A.1.46)
N
Термодинамические уравнения состояния фаз. Конкретизация
модели многофазной сплошной среды, естественно, требует при-
привлечения механических и термодинамических свойств фаз. При
этом практически всегда предполагают, что свойства каждой фа-
фазы в смеси определяются теми же самыми соотношениями, что
и в случае, когда эта фаза занимает весь объем.
Введем в каждой точке температуру i-й фазы Т{, что связано
с принятием гипотезы локального равновесия, но только в пре-
пределах фазы (когда локальное равновесие всей смеси может "и не
выполняться, например, при неодинаковых температурах фаз).
Эта гипотеза позволяет наряду с внутренней энергией и{ исполь-
использовать также и другие термодинамические функции для каждой
фазы: энтропию s,-, энтальпию U, свободную энергию ср,-, термо-
термодинамический потенциал г,. Все эти функции для каждой фазы —
те же самые, что в однофазном состоянии (т. е. когда фаза зани-
занимает весь объем), и связаны обычными в равновесной термоди-
термодинамике уравнениями (соотношением Гиббса, уравнением Гельм-
гольца и т. д.).
Учитывая гипотезу локального равновесия в пределах фазы
и принимая, что фазы представляют двухпараметрические среды
(жидкости) (Л. И. Седов, 1984), т. е. термодинамические функ-
функции каждой фазы зависят только от двух термодинамических па-
параметров состояния (например, от истинной плотности р$ и тем-
температуры Т{ или давления*) pt и температуры Тг), имеем**)
щ = щ (р-, Тг), рг = pi (p°, Td), Si = Si (pf, Ti)x A.1.47)
*) Здесь под давлением p, понимается давление вещества внутри 1-я
фазы. Не следует его путать с давлением из-за хаотического движения
включений (см. примечание в начале § 3).
**) Наличие нескольких компонент и химических реакций в фазах,
меняющих концентрации этих компонент, приводит к необходимости вклю-
включения концентраций компонент в фазах в качестве допочнительвых неза-
независимых аргументов в уравнения состояния фаз.
8 1. ТЕОРИЯ МНОГОСКОРОСТНОГО КОНТИНУУМА 31
причем справедливо соотношение Гиббса
?) <«¦<•«>
Схема X. А. Рахматулина силового взаимодействия и совмест-
совместного деформирования фаз. Выделим шаровые составляющие в
тензорах напряжений фаз, полагая их пропорциональными объ-
объемным концентрациям фаз и равными а,р,; примем также сим-
симметрию тензора напряжений. Тогда имеем
а," = - aiPibkl + т? (Vstfi" = - aiPi, xf = 0, xf = xf). A.1.49)
В широком классе задач можно использовать схему с общим
давлением фаз (модель смеси с одним давлением)
Рг (Pi, Тг) = р2 (р°, Tj=...=pN (р°я, Тя) = р. A.1.50)
Данные уравнения представляют условие совместного дефор-
деформирования фаз, регулирующее их объемные содержания. В ряде
случаев в качестве такого условия может использоваться и ус-
условие несжимаемости одной из фаз. Несовпадение давлений в
фазах может иметь место из-за капиллярных эффектов, прочно-
прочности и инерции фаз в их мелкомасштабном движении.
Привести выражение для силы межфазного взаимодействия в
общем случае не представляется возможным, ибо оно не получе-
получено даже для случая движения одиночной сферы в однородном
потоке вязкой несжимаемой жидкости с переменной скоростью.
Отметим, что даже в этом случае сила взаимодействия в момент
t0 зависит от предыстории движения сферы во времена t < ?„.
В суммарной силе межфазного взаимодействия с t-й фазой
целесообразно выделить составляющую из-за расширения трубки
тока фазы (подробнее см. § 2), равную р^а^.
2 R;4 = pVoj + 2 FH, FH = - F«. A.1.51)
Здесь составляющая FJ( будет полагаться зависящей от ско-
скоростной неравновесности между /-й и г-й фазами и растущей с
увеличением скорости их скольжения v,- — \t.
Соотношения A.1.49) — A.1.51) определяют схему силового
взаимодействия и совместного деформирования фаз, предложен-
предложенную в основополагающей работе X. А. Рахматулина A956).
Работа внутренних сил. Работа внутренних сил каждой фазы
обычно разделяется на обратимую работу внутренних сил дав-
давления на сжатие или расширение материала фазы и на работу
внутренних сдвиговых сил, в случае вязкой жидкости, приводя-
приводящую к диссипации кинетической энергии. Определим эти работы
через уже введенные средние макроскопические параметры для
фазы из недеформируемого вещества или фазы, в которой сдви-
32 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХ АНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
говые деформации являются необратимыми, например, для вяз
кой жидкости:
РЛ = ^ *4 + W + 2
Pi J=1
A.1.52)
„-.„. W-^4 4' = 4 C + 3))
Здесь первое слагаемое — обратимая работа сил давления,
а остальные — работы диссипативных сил: т{ е^ — диссипация за
счет макроскопических вязких сил (эта диссипация такая же,
как и при однофазном течении); F,,- • (v# — v,) — диссипация за
счет работы межфазных сил из-за межфазной скоростной нерав-
новесности; 72/j<(v,4— vfJ — диссипация кинетической энергии
из-за неравновесного обмена импульсом при фазовых переходах
j 5* i, происходящих при неравных скоростях фаз (см. пояснения
после A.1.44)). Скорость v#, соответствующая скорости на меж-
межфазной границе между i-й и /-й фазами, определяет в третьем
слагаемом распределение между фазами диссипируемой кинети-
кинетической энергии смеси из-за силового взаимодействия фаз, равной
Fjt • (vj — Vi). Таким образом, только часть межфазной^ силы R,,,
равная Fji (выделение F# определяется уравнением A.1.51)),
работает на диссипацию.
Ниже для разделения между /-й и i-й фазами интенсивности
диссипации энергии, определяемой величиной Р,ч • (Vj — Vj), бу-
будут использоваться коэффициенты %н и я,-,:
%Н=?^Ш=Ч' *Л + Хг; = 1. A.1.53)
Если в i-й фазе отсутствует диссипация из-за межфазного
взаимодействия, что может быть связано с отсутствием в ней
сдвиговых деформаций, то
v,« = vfl '= v,-, у.» = 0, к« = 1 (/ = 1,2,..., N). A.1.54)
В уравнении A.1.45), помимо At и Qir необходимо задать щ{.
При наличии фазовых переходов (а именно только тогда.нужно
определять Щ{) обычно выполняется условие равновесия на меж-
межфазной границе
ин = и,в = и<(р, Та(р)), A.1.55)
где Ts (p) — температура насыщения (равновесия) фаз.
Система уравнений движения iV -фазной смеси вязких сжи-
сжимаемых фаз с общим давлением. С учетом сделанных замечаний
и принятых уравнений A.1.46) для <?,-, A.1.52) для А{, A.1.51)
для В.ц система уравнений многоскоростного и многотемператур-
§ i. ТЕОРИЯ МНОГОСКОРОСТНОГО КОНТИНУУМА 33
ного течения гетерогенной среды с общим давлением фаз A.1.50)
принимает следующий вид:
JV
JV
Pi 4г = ~ aiYP + V*T* + P*«t + 2 [РЯ + J3i (УЯ — Vi)I»
wi 3=1 L
+ hi («л - »t) + <?ij + ^г?г4г - Vfe^, A.1.56)
Pi (Pi> ^i) = Рг (P2f ^2)= • • • =Pn (pjv, Tn) = pt щ = щ (pi, Ti),
JV
^^ 06 j — 1, pi = ——)
JV i-1
2 2 l&i + <?« + JH (hi - *«)] = 0. hi = "ii + 4r
»=ii=i Pi
Последнее условие на Qn + Qa будет доказано чуть ниже. Для
замыкания полученной системы уравнений, помимо внешних си-
силовых воздействий (g(), необходимо задать уравнения, опреде-
определяющие внутрифазные (т", <$) и межфазные (Ji{, ?,{, \ц, Qa)
в заимо действия.
Уравнения импульса и энергии фаз могут быть переписаны в
другой форме:
i n
3=1
A.1.57)
Отсюда следуют соответствующие принятой схеме выражения
для механических внутрифазных {р\1, с\) и межфазных {R%x W^
3 р. И. Нигмахулин, ч. I
34 ГЛ 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
взаимодействии, входящих в правые части уравнений сохранения
A.1.39) и A.1.42):
Уравнение энергии фазы (второе уравнение A.1.57)) можно
переписать относительно энтальпий фаз ix
7=1
A.1.59)
Теперь докажем справедливость последнего уравнения A.1.56).
Запишем явное выражение для субстанциональной производной
полной энергии смеси, исходя из определений A.1.26), A.1.17)
и уравнений A.1.56):
I? JV . N
i=l j=l L \ Pi
Из определения DE/Dt следует, что изменение полной энер-
энергии смеси (см. A.1.28)), описываемое этой производной, опреде-
определяется только внешним воздействием, которому соответствует
второе слагаемое в правой части, определяемое однократным
суммированием по i. Изменение полпой энергии не может про-
происходить за счет внутренних межфазных процессов, которым со-
соответствует первое слагаемое, определяемое двукратным сумми-
суммированием по / и i. Поэтому первое слагаемое должно равняться
нулю, т. е. имеем
N
Г) Z? ^fl U / h hi I h\
A.1.60)
i=l 3=1
Если учесть Jn = —J,j, то отсюда следует последнее уравнение
A.1.56).
§ 1. ТЕОРИЯ МНОГОСКОРОСТНОГО КОНТИНУУМА 35
Для смеси двух фаз (N = 2) указанное уравнение принимает
вид
Jit(hi-lix)°=Qit + Qu, A.1.61)
и при отсутствии фазовых переходов (Лг = 0) имеем Ql2 = —Q2i.
В этом случае Qn представляет интенсивность контактного теп-
теплообмена между фазами, которая обычно (когда несуществен
лучистый теплообмен) пропорциональна разнице температур фаз
и величине межфазной поверхности.
Поверхности разрыва. При течении гетерогенных смесей мо-
могут возникать зоны (ударные волны, пристенные слои, контакт-
контактные поверхности), в которых параметры среды изменяются су-
существенно на расстояниях порядка размеров самих включений
или меньших (нулевых с точки зрения сплошной среды). В этих
зонах представления сплошной гетерогенной среды и следующие
из них дифференциальные уравнения A.1.33) или A.1.56) не
имеют смысла. Поэтому, как это обычно делается, необходимо
ввести в рассмотрение поверхность разрыва параметров течения,
по обе стороны от которой выполняются уравнения непрерывно-
непрерывного движения. Получим основные условия на поверхности разры-
разрыва Sb, исходя из интегральных уравнений, которые применим к
малому цилиндрическому объему, покоящемуся относительно Sb
с основаниями, параллельными Sb и расположенными по разные
стороны от нее. Пропуская обычные в таких ситуациях выкладки
(Л. И. Седов, 1984) и предполагая, что процессы фазовых пре-
превращений в этих тонких слоях (поверхностях) не успевают про-
произойти, из A.1.4), A.1.9), A.1.19) получим
рг („»- _ D) = Pl+(i;?+ - D) ^ ти
i=l i=l A.1.62)
j 41
Здесь верхние индексы + и — относятся к состояниям по
разные стороны от поверхности разрыва Sb, а квадратные скобки
[ ]о обозначают оператор, определяющий скачок стоящей внутри
скобок функции или выражения на этой поверхности. Далее п
их — нормальное и касательное направления к поверхности Sb,
а В — скорость ее перемещения вдоль нормали п. Чтобы за-
замкнуть систему A.1.62), т. е. иметь возможность но параметрам
с одной стороны Sb определять все параметры течения с другой,
необходимо использовать данные о физико-механических свой-
свойствах фаз и их взаимодействиях друг с другом в рассматривае-
рассматриваемых узких зонах.
3»
36 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
Если учесть выражения A.1.58) для векторов с\ и в выраже-
выражениях для тензоров ог пренебречь действием сдвиговых (вязких)
напряжений (т^ = 0) и пренебречь теплопроводностью (q^ = О/
вне поверхности разрыва, то соотношения A.1.62) примут вид
iV JV JV
1 v*.
= 0.
A.1.63)
Диссипативная функция и производство энтропии в двух-
двухфазной среде с фазовыми переходами. Используем предположе-
предположение о локальном термодинамическом равновесии в пределах фа-
фазы, а также допущение об аддитивности внутренней энергии
смеси и энтропии смеси по массам входящих в смесь фаз:
JV JV
ри = 2 Piui (pj> Ti), pS = 2 Ptsi (pi, Тг). A.1.64)
Рассмотрим диссипативную функцию для гетерогенной сре-
среды, т. е. функцию, дающую производство энтропии смеси для
фиксированной массы среды за счет внутренних процессов. Ана-
Аналогично A.1.26) можно определить понятие субстанциональной
производной энтропии смеси
В отличие от изменения полной энергии среды Е, описывае-
описываемого производной DE/Dt, изменение энтропии смеси, описывае-
описываемое производной Ds/Dt, связано не только с внешним воздей-
воздействием, но и с внутренними процессами (между фазами и внут-
внутри фаз) в выделенном объеме среды. Так же как и DE/Dt,
величина Ds/Dt не связана с притоком и оттоком вещества фаз
из выделенпого объема.
Подставим уравнение притока тепла (см. A.1.58)) в соотно-
соотношение Гиббса A.1.48) и, учитывая A.1.53) и A.1.50), получим
выражение, определяющее disjdt. Подставляя его в A.1J35),
получим явное выражение для субстанциональной производной
энтропии смеси
Ds
Р
A.1.66)
§ i. ТЕОРИЯ МНОГОСКОРОСТНОГО КОНТИНУУМА 37
Здесь слагаемое pDiaX)s/Dt определяет приращение энтропии
смеси за счет притока энтропии извне (external) из-за тепло-
теплообмена с внешней средой, a pD^*X)s/Dt определяет производство
энтропии, или диссипативную функцию, за счет внутренних
(internal) необратимых процессов (внутрифазных или межфаз-
межфазных). Диссипативная функция всегда неотрицательна и выра-
выражается через так называемые термодинамические силы Хт в
термодинамические потоки jm.
Ограничимся для простоты случаем смеси двух фаз (N = 2).
Тогда в диссипативной функции представлены следующие тер-
термодинамические силы (здесь следует учесть A.1.61)):
Л1 -Ы
¦yhl __ vН __ e_l_ ykl __ vkl __ f2_
A.1.67)
rk Ik h\ (Kil , X12\ у у 1 1
Vl J 2 / i 2 i 1
Z. Z /4 A \ (У. — V "I2 IV . — Т.Л'
' ^ _i — 4- i [ — — I +
12 \2 1/ 2 1
где zt — термодинамический потенциал i-й фазы, и термодина-
термодинамические потоки:
¦hi __ -hi __ hi .hi __ .hi hi
•h .fe rtfe <k .k _^_ *.k >ft *h pft /ij л fZQ\
7F) ^ J'Q == Vl2> /G) ^ /j^ "'12'
Сама диссипативная функция имеет вид суммы произведе-
произведений термодинамических сил на термодинамические потоки
7
v=i
&А + /Л + №* + J'QXQ + Д^. A.1.69)
38 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
При малых температурных неравновесностях, когда
Т Т Т Т
l>i Vs1 AЛ
имеет место
U = *« + cfi(Tt - Та), s( = siS + cpi(Tt - Ts)/Ts (i = 1, 2)',
A.1.71)
128 — hs =s 'l2» S2g — Sis = 1ц/Тв.
Здесь нижний индекс S относится к состоянию насыщения,
1ц(р)—теплота фазового перехода 1 -*¦ 2 (Z,2>0, если 2-я фа-
фаза — газ, а 1-я — жидкость; 112 < 0, если наоборот); сР< — тепло-
теплоемкость i-й фазы при постоянном давлении. Полагая в соответ-
соответствии с A.1.55) г'и = i2e(p), получим, что термодинамическая
сила фазового перехода равна
1 s
A.1.72)
Обычно вклад скоростной неравновесности на величину Ts
нренебрежимо мал, т. е. Ts « Ts.
В итоге термодинамические силы для малых неравновесно-
стей могут быть переписаны в более простом виде:
Л1 Л1
A) = ~Y~> лB) —~f> л(з) =
l*(T~Ts) AЛ'73)
-X"G) = J5
Линейные феноменологические соотношения между термоди-
термодинамическими силами и потоками. В термодинамике необрати-
необратимых процессов (И. П. Базаров, 1983) применительно к системам
с малыми неравновесностями используются следующие прин-
принципы.
1. Принцип линейности, согласно которому термодинамиче-
термодинамические потоки /(V) определяются линейными зависимостями от тер-
термодинамических сил Х^:
/М = 2^Л), A.1.74)
А
где L(vX) называются феноменологическими коэффициентами,
причем L(u) и Ь{гц (X = 1, 2) образуют тензоры 4-го ранга
(Ш и ^BМ > далее ^<зх>, ь11К) и Ь{щ (Л = о, 4, о) — тензора
2-го ранга -?^М (v, Я. = 3, 4, 5) и, наконец, Ь^ц и L^ (К *=¦
«=> 6, 7) — скаляры.
§ i. ТЕОРИЯ МНОГОСКОРОСТНОГО КОНТИНУУМА 39
2. Принцип симметрии Кюри, согласно которому потоки и
термодинамические силы различной тензорной размерности не
могут быть связаны друг с другом. Этот принцип основан на
свойстве изотропности смеси. Для рассматриваемого случая
A,1.67), A.1.68) это означает, что
L(ll) = LB>o = 0 при Я = 3, 4, 5, 6, 7;
?(«> = ?<4М = ?E*> = 0 при Я = 1, 2, 6, 7,
L(eM = L{1X) = 0 при I = 1, 2, 3, 4, 5.
3. Принцип взаимности Онзагера, согласно которому фено-
феноменологические коэффициенты для перекрестных эффектов
удовлетворяют условию симметрии типа
?<vm = ?(xv). A.1.76),
Доказательство этих трех принципов для гомогенных (газо-
(газовых) сред основано на анализе уравнений, описывающих мик-
микропроцессы, т. е. молекулярно-кинетические процессы. В частно-
частности, доказательство принципа симметрии Кюри основано на свой-
свойстве изотропности среды, а принципа взаимности Онзагера — на
обратимости микропроцессов. В связи с последними отметим,
что в гетерогенных средах необратимость обычно проявляется
уже на уровне микропроцессов (в масштабах капель, частиц,
пузырьков и т. д.), поэтому для гетерогенных сред принцип
взаимности Онзагера, по-видимому, нарушается.
Если, тем не менее, указанные принципы использовать для
рассматриваемого случая гетерогенных сред, полагая свойства
фаз и смеси изотропными, то феноменологические линейные со-
соотношения примут вид
2
|> mmRkl , о . ( № 1/ гашсЩ]
2
= 2 [hiV%] + -у- (^ - $ (i = 1. 2),;
2
^12 = — Zi rp" v To\ -
Qn = Kq (?i - T2) + P/13 (^ - Ts), A.1.77)
Эти соотношения определяют обобщенные законы Навье —
Стокса (для вязких напряжений х\ ), обобщенные законы Фурье
(для потоков тепла G ) в фазах, составляющих двухфазную
смесь, законы для межфазной силы F12, межфазного теплообме-
теплообмена Qiz и кинетики фазовых переходов для /12. При этом в F1Jf
40 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
помимо силы межфазного трения, определяемой коэффициентом
KF, входят термофоретические силы, пропорциональные гради-
градиентам температур, а в потоке тепла Я{ учитывается соответству-
соответствующий перекрестный эффект дополнительного переноса тепла
из-за относительного движения фаз. В представленные соотно-
соотношения входят пятнадцать независимых неотрицательных фено-
феноменологических коэффициентов (?:1 = ?<„ \a]t = р,„-, Я3ч = кг1, r\t, KF,
KQ, Kj, p (i, /=1, 2)), которые зависят от свойств фаз и
¦структуры смеси и должны определяться из эксперимента или
детальпого анализа микродвижений. То, что таких неизвестных
коэффициентов очень много, затрудняет использование представ-
представленных феноменологических соотношений. Поэтому для гетеро-
гетерогенных сред актуальным является анализ с учетом свойств фаз,
их структуры для задания частных, но конкретных законов,
описывающих внутрифазные (т4 > 1г) и межфазные (F,,-, (?3<, 7ц)
взаимодействия. В следующем параграфе дается один из воз-
возможных подходов для такого анализа.
§ 2. Пространственное осреднение в механике
гетерогенных смесей
Уравнения механики сплошной среды это — осредненные
уравнения. И их можно получить с помощью последовательного
осреднения более простых по виду дифференциальных уравне-
уравнений, описывающих процессы в микромасштабе, т. е. описыва-
описывающих микродвижения.
Отношение между рассмотренным в данном параграфе под-
подходом, связанным с осреднением более элементарных уравне-
уравнений, и рассмотренным в § 1 феноменологическим подходом ана-
аналогично известному отношению между статистической физикой
и механикой сплошной среды. В отличие от чисто феномено-
феноменологического подхода, при осреднении микроуравнений для мак-
макроскопических параметров таких, как макроскопические тензоры
напряжений в фазах, величины, определяющие межфазные взаи-
взаимодействия, получаются выражения, которые позволяют конк-
конкретнее представить их структуру и возможные способы их тео-
теоретического и экспериментального определения. С этой целью
ниже рассмотрен вывод уравнений сохранения массы, им-
импульса и энергии фаз для гетерогенных сред методом осредне-
осреднения соответствующих уравнений однофазных сред с учетом гра-
граничных условий на межфазных поверхностях.
В гетерогенных смесях, в отличие от гомогенных и коллоид-
коллоидных, размеры неоднородностей и включений во много раз боль-
больше межмолекулярных расстояний, что оговорено в виде глав-
главного допущения 1 во Введении. Поэтому параметры и уравне-
уравнения, которые описывают микродвижения и далее будут назы-
§ 2. ОСРЕДНЕНИЕ В МЕХАНИКЕ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД 44
ваться микропараметрами и микроуравнениями, являются обще-
общеизвестными параметрами и уравнениями движения сплошных
однофазных сред. При этом для упрощения ограничимся случа-
случаем смеси двух фаз (N = 2).
Уравнения, описывающие микродвижение в гетерогенных
смесях. Рассмотрим объем V, фиксированный в пространстве,
занятый движущейся двухфазной смесью и ограниченный фик-
фиксированной поверхностью S. Часть этого объема Vi{t) занята
первой фазой, а другая часть V2(t) —второй фазой (Vt[t) +
+ V2 (t) = V). Аналогично часть граничной поверхности Si (t)
проходит через первую фазу, а другая часть S2(t) —через вто-
вторую (Si(t) + Si(t) = S). Внутри объема V имеется (в общем слу-
случае многосвязная) поверхность раздела фаз Si2 (t) = Su (t) =
= S],(t). Далее под S,{ (г, /=1, 2; 1Ф]) будет пониматься
межфазная поверхность Si2 или Sit, внешняя нормаль к кото-
которой рассматривается по отношению к г-й фазе, отмеченной вто-
вторым индексом, т. е. внешняя нормаль на S3i направлена из-
г-фазы в 7-ю. Таким образом, масса z-й фазы (г = 1, 2) внутри
V занимает объем Vh ограниченный поверхностью Si + Sl{.
Будем считать, что в точках, занятых г-й фазой, т. е. внут-
внутри объема F,, справедливы следующие микроуравнения, кото-
которые можно представить в единой форме:
A.2.1)
е\ = 1, v-, щ + V2 {v'if, W X v-],
dt - dt ^ ^ v
где x' — радиус-вектор, исходящий из фиксированной точки О
в рассматриваемую точку, занятую е-и фазой, р4 , vuai ,9Ч,м*—
соответственно мгновенные значения плотности, скорости, ¦ тен-
тензора напряжений, вектора потока тепла и внутренней энергии,
являющиеся средними в пределах объемов 6'F<a3 и времен
6'i < ta, где а та. ta соответственно характерный линейный раз-
размер неоднородностей и характерное время их движения. Сле-
Следует учесть, что дифференциальный оператор Vh = д/д'хк реа-
реализуется при приращении пространственной переменной, во мно-
много раз меньшем размера неоднородностей смеси (d'xh<a).
В A.2.1) представлены четыре уравнения, каждому из которых
соответствует столбец в таблице для е„ %, #"*. Первое урав-
уравнение — уравнение массы, второе — уравнение импульса,
третье — энергии и четвертое — момента импульса. Что касается
42 ГЛ. {. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
последнего уравнения, то рассматривается случай, когда мате-
материалы фаз — неполярные среды и когда отсутствует воздействие
магнитного доля, т. е. когда тензор микронапряжений — сим-
симметричный
o'? = o>\ а'? = -р\Ъи + х\ы. A.2.2)
В этом случае уравнение момента импульса относительно неко-
некоторой точки О есть следствие уравнения импульса. Из уравне-
уравнения энергии и уравнения импульса (третье и второе уравнения
A.2.1)) следует уравнение притока тепла вдоль траекторий мик-
микрочастиц
Р«' # = a?'V V - V V = 4 5? + tJ«V V - V V- A.2.3)
Для замыкания системы микроуравнений необходимо исполь-
использовать уравнения состояния материалов фаз, а именно, зависи-
зависимости тензоров напряжений, внутренней энергии и ряда других
величин (например, скоростей химических реакций) от тензоров
деформаций, тензоров скоростей деформаций (которые выража-
выражаются через поле скоростей v{ и смещений), температур, кон-
концентраций компонент в фазах и т. д.
Уравнения, описывающие процессы на межфазных грани-
границах. На поверхности Suy разделяющей фазы, должны быть по-
поставлены граничные условия, отражающие взаимодействие фаз,
которые следуют из условий сохранения массы, импульса и
энергии на этой поверхности. Поток массы (?$), поток импульса
Aг ') вместе с импульсом поверхностных сил, поток энергии
(I"'') вместе с работой поверхностных сил и притоком тепла
в i-ю фазу от межфазной границы в каждой точке М, лежащей
на Sl2, можно представить в следующем виде:
где п{— внешняя к ?-й фазе единичная нормаль к Si2 в точке
М, N{ —нормальная к поверхности Si2 скорость ее перемещения
вдоль п* (Nt > 0, если перемещение Sti в точке М направлено
в сторону nj). Далее под п' будем понимать n2t т. е. п' — еди-
единичная нормаль к Sn, внешняя ко второй фазе. Тогда проек-
проекции тензоров напряжений, потоков тепла и скоростей фаз на
§ 2. ОСРЕДНЕНИЕ В МЕХАНИКЕ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД 43
п' выражаются в виде
Щп = о?п'\ q? = Ч'Ы\ щп = щкп? (п' = Щ = - п[). A.2.5)
На межфазной границе в слое толщиной бт, равном по по-
порядку радиусу ыежмолекулярных взаимодействий Eт<10~8 м),
молекулы взаимодействуют не только с молекулами своей фазы,
но и с близлежащим слоем молекул другой фазы. Поэтому в
этом слое физико-химические свойства вещества и его реакция
могут заметно отличаться от свойств этого же вещества и этой
же фазы на существенно больших, чем расстояния от межфаз-
межфазной границы, но все еще малых по сравнению с размерами не-
однородностей (диаметром капель, пузырьков, частиц, пор и
т. д.) расстояниях. В связи с этим, следуя Гиббсу, целесооб-
целесообразно выделять эти очень тонкие поверхностные зоны раздела
фаз и рассматривать их отдельно, учитывая, что их толщины
чрезвычайно малы по сравнению с размерами в двух других
измерениях, а следовательно, малы и их объемы и массы по
сравнению с объемами неоднородностей (капель, пузырей, ча-
частиц и т. д.). Таким образом, приходим к понятию поверхно-
поверхностной фазы, которую будем называть "Z-фазой, массой, импуль-
импульсом и кинетической энергией которой можно пренебречь. Влия-
Влияние поверхностной фазы в уравнении импульсов сводится к на-
наличию дополнительных усилий (поверхностного натяжения),
распределенных вдоль замкнутой линии 6'?, которая ограничи-
ограничивает рассматриваемый элемент межфазной поверхности 8'iS12.
Главный вектор этих усилий, отнесенный к единице межфазной
поверхности, равен
12 6'
6' L
Влияние поверхпостной фазы в уравнении энергии проявляется
через изменения поверхностной энергии ?/26'iS12, которая, поми-
помимо притока энергии 1Х + ЕгЕ из контактирующих вдоль б'512
фаз, меняется и за счет работы поверхностного натяжения
В результате законы сохранения массы, импульса п энергии на
межфазной поверхности приводятся к следующим уравнениям,
имеющим место в каждой точке 512:
Ei + Й-О, gr + ET-Aai, ЕГ + if = Лез- A-2.6)
Для гетерогенных смесей типа жидкость — жидкость или
Жидкость — газ свойства Е-фазы, т. е. величины Аоц и Aes, "on-
44 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
ределяются коэффициентом поверхностного натяжения Б, зави-
зависящим от пары контактирующих веществ, концентрации на SiS
поверхностно-активных примесей и температуры Ts. Теплоем-
Теплоемкостью поверхностной фазы обычно можно пренебречь. Тогда
можно принять в произвольной точке М <= Si% (см. гл. 2 книги
Р. И. Нигматулина A978))
' «<«' + а<я>Т A.2.7)
О ^ ч я ^**
Здесь VS2' — градиент 2' вдоль межфазной поверхности, N' —
скорость перемещения рассматриваемого элемента межфазной
границы, а для определения а' следует провести через точку М
два произвольных нормальных к б'512 (т. е. проходящих через
Щ = — п2) взаимно ортогональных плоских сечения, выделяю-
выделяющих на 6'<S12 две плоские линии Lw и Lm. Эти линии имеют
центры кривизны ОA) и ОB), определяющие радиусы кривизны
йA)' и аB)/: |аA)'| = \OWM\, |дB)'| = \OWM\, причем a(v)/>0
(v=l, 2), если О[Ч)М направлено вдоль п' =щ. В дифферен-
дифференциальной геометрии доказано, что а' инвариантно к выбору па-
пары взаимно ортогональных сечений, определяющих а{1)' и ат>'.
Для сферической поверхности а — ее радиус.
Уравнения сохранения A.2.6) можно привести к единой
форме в соответствии с A.2.1):
е'г = 1„ V', и[ + Va
= 0, Aas,- Aejj.
Это представление содержит три уравнения сохранения, кото-
которые для смеси, когда одна из фаз является жидкостью или га-
газом, т. е. имеет место A.2.7) и, кроме того, когда можно пренеб-
пренебречь изменением энергии из-за изменения во времени 2, приво-
приводятся к виду
РГ (# - N>) = рГ (,;« - N') = Й = - Й.
A.2.9а)
«;п - q[n = Й W - Щ + V,((^J - М2I + а'2п-х'2 - апп.у[
(п' = пи N' = N',).
Практически всегда можно пренебречь скачком нормальных
§ 2. ОСРЕДНЕНИЕ В МЕХАНИКЕ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД 45
напряжений о'п из-за фазовых переходов, определяемым вели-
величиной ^(vi—уг)- Это связано с тем, что реализуются не очень
большие скорости фазовых переходов, не очень большие в том
смысле, что скорости v" — N' практически всегда во много раз
меньше скоростей звука в фазах. Тогда
а'? = о1п + Аох. A.2.96)
При отсутствии фазовых переходов (^ = ?2 = 0) и поверхност-
поверхностного натяжения (Дог = 0) и если при этом одна из фаз —
жидкость или газ, то обычно можно принять, что на межфазной
поверхности Si2 непрерывны не только нормальные, но и ка-
касательные составляющие скоростей фаз, что соответствует ус-
условию прилипания или отсутствию проскальзывания. Тогда из
A.2.9а) следует, что на поверхности раздела фаз Si2 непрерыв-
непрерывны массовые скорости, нормальные составляющие тензора на-
напряжений и вектора потока тепла
v; = vi, o[n = аТ, q[n = яТ (И = & = О, До^ = О). A.2.9в)
Осредненные параметры по фазам и межфазным поверхно-
поверхностям и их свойства. Имеется несколько методов введения сред-
средних характеристик движения или методов осреднения (про-
(пространственное, временное, пространственно-временное, вероятно-
вероятностное осреднение и т. д.). Все эти методы приводят практиче-
практически к одинаковым системам осредненных уравнений, и разли-
различие методов проявляется лишь при их обосновании, при выборе
основных гипотез и при разработке методов экспериментального
измерения средних параметров и выявления связей между ни-
ними. Для составления осредненных уравнений движения гетеро-
гетерогенных смесей, где каждая фаза занимает лишь часть объема
смеси, здесь будет использовано пространственное осреднение.
(Временное осреднение ом. М. Ishii A975), С. Г.ТелетовA958).)
Чтобы перейти к осредненным переменным, введем вокруг
произвольной точки М, определяемой концом вектора х, эле-
элементарный макрообъем 8V, ограниченный поверхностью 8S,
и элементарную плоскую макроповерхность 6s (n) (где п — еди-
единичная нормаль к сечению 6s, определяющая его направление),
для которых точка М является геометрическим центром,
J j'd'*. A.2.10)
6V 6s
Пусть характерные линейные размеры 6F и 6s, равные бж,
во много раз превосходят размеры неоднородностей а (диамет-
(диаметры капель, пузырей, частиц, пор, расстояния между ними, тол-
толщины пленок и т. д.), но в то же время во много раз меньше
характерного макроскопического линейного размера L в иссле-
46 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
дуемом процессе (длины и диаметра сопла, трубы, характерного
расстояния затухания возмущения, его длины и т. д.)
L>8x>a>6'x, 6F~06;rK, 6s~F.rJ.
Части объема 6F и сечения 6s, приходящиеся на i'-ю фазу (?=•
= 1, 2), обозначим соответственно через 6F{ и 8st
6F, + 6F2 = 6F, 6s4 + 6s2 = 6s, A.2.11)
а межфазную поверхность внутри 6F через 8Si2.
В центр объема 8V или поверхности 6s, определяемый век-
вектором х, можно отнести значения объемной и поверхностной
концентрации фаз, относительную межфазную поверхность в
единице объема смеси
6F, 6s. 6S,,
ап = ЪТ' asi==17f ^^Ж A.2.12)
(¦aVi + а72 = 1, asi + «S2 = 1),
а также величины, вводимые с помощью осреднения по объ-
объемам фаз SFj, сечениям фаз &s{ и межфазным поверхностям
б?12:
1 eJv, 6 j 4 A.2.13)
фL J ^d's-
Естественно, что если не накладывать никаких условий на
6F и 6s, то введенные средние, вообще говоря, зависят от фор-
формы, расположения, размеров 6F и 6s (в частности, <<Pi>si =
= Кфг)п зависит и от направления сечения 6s, определяемого
единичной нормалью п), а (%)уг и <фг>зг различаются между
собой.
Для того чтобы осреднение имело смысл и приводило к об-
образованию новых макрополей <<pi>r* и <<Pi>si, описание которых
из-за их плавности и непрерывности принципиально проще, чем
описание микрополяфь имеющего огромное количество флуктуа-
флуктуации, линейный размер которых сравним с размерами пеодно-
родностей а, необходимо, чтобы средние величины были устой-
устойчивы, регулярны и представительны. Что это значит примени-
применительно к пространственным средним A.2.12) и A.2.13)?
Во-первых, это значит, что существует достаточно большой
диапазон линейных размеров Ьх объемов 6F и сечений 6s
§ 2. ОСРЕДНЕНИЕ В МЕХАНИКЕ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
47
(рис. 1.2.1):
< бж <
A.2.14)
в котором значения осредненных параметров <cpi>vi и (ццУвг во
всех точках рассматриваемого движения не зависят от 8х и
формы сечения 6s (круг, квадрат и т. д.) и объема 8V (сфера,
куб и т. д.). Значения <ф{>у{ и <q>i>si>соответствующие «плато»,
или, другими словами, промежуточной асимптоте (см. рис. 1.2.1),
О а
L
Рис. 1.2.1. Изменение среднеповерхностных (<P{)gi и среднеобъемных
(.<$}Уу{ величин в зависимости от характерного размера бх объема 6У ~
'*' (бгK и сечения 6s ~' (бяJ, по которым производится осреднение. Здесь
а — микромасштаб, L — макромасштаб
берутся в качестве средних в точке, определяемой вектором х.
Объемы 6У и сечения 6s, размеры которых 8х удовлетворяют
условиям A.2.14) и которые реализуют «устойчивые» средние,
т. е. плато, или промежуточные асимптотики, можно называть
обеспечивающими устойчивость осреднения.
Во-вторых, распределение в пространстве осредненных толь-
только что указанным способом A.2.13) параметров <ф',>уг и <<p'i>s,-
является регулярным или плавным (рис. 1.2.2), т. е.
дх
дх
L
A.2.15)
где ф0 — характерное значение ф' или ее изменения.
48 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
В-третьих, для произвольных макрообъемов V и макропо-
макроповерхностей S интегрирование поля Ф» по У<, St и St2 можно за-
заменить интегрированием осредненных полей соответственно
j -й'5= J aSi <<p'i>sA,
s{ s A.2.16)
= f aVi
v
= j s12
что свидетельствует о представительности введенных осреднен-
осредненных полей.
Рис. 1.2.2. Изменение ф1 и ¦
по координате
Теорема. Если выполняются условия устойчивости и ре-
регулярности, то среднеобъемные и среднеповерхностные величи-
величины в каждой точке совпадают
avi = aSi =
<фг>Уг =
>Si = <9i>i- A.2.17)
Доказательство состоит в следующем. Пусть 6s(x'),
где х — 8х ^ х' < х + 8х,— семейство плоских, нормальных к оси
х сечений объема bV, удовлетворяющих условию устойчивости
средних A.2.14). Учитывая, что интеграл по объему 8Vh опре-
определяющий среднеобъемную величину <ф,(а:)>^(, можно предста-
представить через интегралы по 8st(x'), которые определяют средне-
поверхностные величины <ф* (x')}si, имеем в соответствии с
§ 2. ОСРЕДНЕНИЕ В МЕХАНИКЕ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
49
рис. 1.2.3
х+бх
6Vt
x-Ьх
х+Ъх
= 6F~ J <ф* (x')ysibSi (xr) dx'.
х—вх
Так как, согласно A.2.15), ((pi(x')}si — регулярная функция,
мало меняющаяся на расстояниях порядка 8х, то, используя
теорему о среднем, имеем
к-бэс
= %0Fx/L). A.2.18)
Учитывая, что, согласно A.2.14), 8х<Ь и что в соответствии
с требованием устойчивости
значения <ф{>у{ и (q>i)si в точ-
точке х (см. рис. 1.2.1) не долж-
должны зависеть от Ьх в диапазо-
диапазоне, определенном в A.2.14),
получим бф = 0, т. е. теорема
A.2.17) доказана.
Таким образом, несовпаде-
несовпадение среднеповерхностных <фг)вг
и среднеобъемных <ф{>у| вели-
величин в одной точке х свиде-
свидетельствует об их неустойчиво- 6s(x')
сти и нерегулярности вслед-
вследствие непредставительности использованных для их введения ос-
редняющих объектов 6s и 6F. Это означает, что средние вели-
величины будут неустойчивыми (т. е. из-за отсутствия плато на
рис. 1.2.1 будут зависеть от бх, а следовательно, и от формы 8s
и 6F), нерегулярными (т. е. на расстояниях порядка размера
бж осредняющих объектов будут заметно изменяться пли ос-
осциллировать).
Нетрудно доказать совпадение объемного и поверхностного
осреднения по всей смеси
Рис. 1.2.3. Схема dV и сечений
= gjr I" y'd'V, W)s = -^ f y'd's,
A-2.19)
<ф'2>2
Объемное осреднение по фазам, а следовательно, в силу
Р. И. Нигматулин, ч. I
50 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
A.2.17) и вообще осреднение по фазам не меняет тензорного
характера и тензорного ранга осредняемых величин, а именно:
скаляр остается скаляром, вектор — вектором, тензор 2-го ран-
ранга — тензором 2-го ранга, симметричный (антисимметричный)
тензор остается соответственно симметричным (антисиммет-
(антисимметричным).
Действительно, пусть в каждой точке Vt имеется вектор или
тензор с составляющими (f\h (к — 1, 2, 3) так, что для любого
направления п составляющая ф/1 определяется по формуле ф/1 =
t= q>ihnh. Тогда после интегрирования этого соотношения по 6F<
f <?\nd'V = nh j y'fd'V
видно, что аналогичная формула сохраняется и для осреднен-
ных по фазам величин
<Ф^>? = <ф'г">г, <ф'*>* = <<??>, <ф'г>" = <ф;>?я*. A-2.20)
Так же доказываются и остальные утверждения.
Отметим, что щ — скаляр, т. е. для элементарных макросе-
макросечений различных направлений с центром в фиксированной точ-
точке доля as<, занятая г-й фазой, равная
Ч (п)
a а
одинакова для всех этих направлений.
Осреднение по фазам производных по времени и простран-
пространственным координатам. Для любой дифференцируемой скаляр-
скалярной, векторной или тензорной функции Фг и фиксированного в
пространстве элементарного макрообъема 6V = 8Vi(t)+ 5V2(t) =
= const, ограниченного поверхностью 65 = 6Si(?)+ 6S2(t)= const,
справедливо следующее равенство:
Так как 8S{(t) перемещаются по неподвижной поверхности
6S, то на 65f (i) нормальная скорость перемещения этой поверх-
поверхности Ni = 0. Учитывая определение средних величин A.2.12),
A.2.13) и свойства A.2.16) и A.2.17), получим
±
±- о, <Ф;>, = оц <^г)> + sn <ФЖ>». A-2.21)
Слева стоит частная производная по времени вследствие непод-
неподвижности центра объема 8F, к которому относятся осредненные
величины. Формула A.2.21) связывает производную по време-
§ 2. ОСРЕДНЕНИЕ В МЕХАНИКЕ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД 51
ни от средних параметров со средней производной по времени
от мгновенных значений параметров.
Для q>i s= 1 имеем
Тогда формулу A.2.21) можно представить в виде
^>12]. A.2.22)
Для любой дифференцируемой векторной или тензорной
функции <Pi" = 4>ihn'ik справедливо равенство
J 4'%ld'V = f y'tfd's + J tfnfd's,
вытекающее из теоремы Гаусса — Остроградского применитель-
применительно к объему Vt. Выражая в соответствии с A.2.16) входящие
сюда интегралы через осредненные функции, получим
f «i (VV)i dV = f о, <?;'>i«ft ds + f sn <<р\гп?>и dV.
v s v
Преобразуем поверхностный интеграл в объемный и, учитывая,
что это уравнение справедливо для произвольного макроскопи-
макроскопического объема V, получим формулу
«i <VV>* = V4 <Ф'/>г + sia <ф^>12, A-2.23)
которая связывает пространственную производную от осреднен-
ной по фазе функции с осредненной пространственной произ-
производной от мгновенных значений соответствующей функции.
Суммируя соотношения A.2.21) и A.2.23) по фазам, полу-
получим, учитывая A.2.19) и п' = п2 = — пх, формулы для средних
величин смеси
< v' у г> = vfe <<р''> + Sl2 <(Ф;г - Ф;г) п2\2,
откуда следует, что если ф' непрерывна, т. е. не претерпевает
скачок на межфазной поверхности, то средние по всей смеси
производные совпадают с производными от соответствующей
функции <ф'>, осредненной по всей смеси. В то же время для
фазовых величин, как это видно из A.2.22) и A.2.23), из-за
осредпения по части объема 6F{ или поверхности 8s{, а не по
всему объему 6F или поверхности 6s даже для непрерывных
функций ф{ средние значения производных могут отличаться от
соответствующих производных от осредненных величин <ф{>{-
4*
52 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
Это проиллюстрировано на простом примере для одномерного
случая, когда смесь состоит из чередующихся параллельных
слоев двух фаз (рис. 1.2.4), где вторая фаза заштрихована,
а первая — не заштрихована. Осциллирующая непрерывная
кривая, убывающая в первой фазе и возрастающая во второй,
Рис. 1.2.4. Двухфазная среда, состоящая из плоских слоев двух
фаз (вторая фаза заштрихована)
соответствует ф' (дсрг/дх < 0, д(р'2/дх > 0) ^ сплошная монотонно
возрастающая кривая соответствует <Ф1>1 = <фг>2 = <ф'>« Вид-
Видно, что в данном случае
¦>0.
уу
дх
Общий вид осредненных уравнений сохранения. Если урав-
уравнения сохранения A.2.1), описывающие микродвижение смеси,
проинтегрировать по элементарному макрообъему 6F4, занятому
i-й фазой, то получим осредненные уравнения в виде
<рГ
= <v V>
A.2.25)
Аналогично, если уравнения A.2.8) на межфазной границе
проинтегрировать по межфазной поверхности 8SXi внутри б У,
§ 2. ОСРЕДНЕНИЕ В МЕХАНИКЕ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД 53
то получим
. A.2.26)
Для определения средних по фазам производных, входящих
в A.1.25), используем формулу A.2.22) для <р* = р°'е\ и фор-
формулу A.2.23) для ф-& = рЧ'е'р?. Тогда получим
V
- s18 <p°'e[ (N\ - у\.щ)>12. A.2.27)
Обозначим среднемассовые удельные величины через е{ (без
штриха), в частности среднемассовую скорость — через v^
а среднемассовую удельную внутреннюю энергию — через т
О О' О Or ' О О/ / О , °' \
Pi = <Pi >U P»6i = <Pi б{>1, PiVi = <Pi Vi>is ргЫ{ = <pi М4>{.
A.2.28)
Если флуктуации рассматриваемых величин относительно
i, в част-
част,. A.2.29)
среднемассового значения обозначить через Ле4 = ег — ei, в част-
частности Ау i = Vi — v\ тогда
Величины
= -s12<p°2'(v2n~-N'2)>12 A.2.30)
обозначают фазовые переходы на межфазной поверхности. Ве-
Величины е21 и е12 определяемые по формулам
JHeH = s12 <1\е[}12, A.2.31)
обозначают среднее значение е, для массы, приходящей (или
уходящей) в i-ю фазу через межфазную поверхность <S12 за счет
фазового перехода. В итоге получим
р"
A.2.32)
Для е{ = 1 это равенство приводит к уравнению массы ?-й фазы
о
р ft°4 Jji, /и = - /2i (*, / = 1, 2; i # /)• A-2.33)
В результате получим формулу, выражающую среднемассовые
значения субстанциональных производных по времени вдоль
траекторий микрочастиц через значения средних параметров и
54 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
их производных, в частности через субстациональную производ-
производную по времени вдоль осредненной траектории или траектории
центра масс макрочастиц
°'
р'°' 1гХ = р^а* ~ЗГ + У*а* (Pi'&elAv'fyi -f JH (ец - et)
Используем эту формулу, формулу A.2.23) для % и вве-
введем среднемассовое значение ЗГ{ в соответствии с A.2.28). Пре-
Пренебрежем вкладом поверхностного натяжения в осредненных
уравнениях (соответствующее обобщение имеется в гл. 2
книги Р. И. Нигматулина A978))
До-2 = 0, Д82 = 0, <А?2>12 = 0. A.2.35)
Тогда из A.2.1), A.2.26) получим осредненные уравнения со-
сохранения импульса, энергии и момента импульса фаз (уравне-
(уравнение сохранения массы фаз уже получено в виде A.2.33)) через
осредненные функции и пх производные по времени и коор-
координатам
f? - JMet +
= 0 (Mf + Я^Г + J12e
12
О ОГ f
О/
A.2.36)
Осредненные уравнения импульсов фаз. Рассмотрим запи-
записанное через средние величины уравнение импульса^ ?-й фазы^
т. е. первое уравнение A.2.36) для ег = уи я|з4 = Oj , ^"t = g4
(первый столбец)
Rj4 -f /я (vit - vO + Pigi (f, / = 1, 2;
§ 2. ОСРЕДНЕНИЕ В МЕХАНИКЕ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД 55
= 0 (Ri2 + R21 = ^2(v2i-v12)),, A.2.37)
Pji = Rji + •/'jiVji, Rji = sia <Oj*"iA>i2,
В отличие от чисто феноменологического вывода (см.
A.1.12) и A.1.39)) здесь получены выражения для тензоров
напряжений сгг и величин, характеризующих межфазные взаи-
взаимодействия Jn и Р#. Величины Р3ч определяют интенсивность
межфазного обмена импульсом за счет межфазной силы R* и
фазовых переходов /,<?#. Величина /#(v# — yt) есть реактивная
сила. Как уже указывалось при обсуждении A.2.9а) скачком
напряжений из-за фазовых переходов обычно можно пренебречь,
и тогда в связи с A.2.35) можно принимать
R21 + RI4 = 0. A.2.38)
Тензор 0i определяет воздействие на z'-фазу вдоль граничной
поверхности 8S выделенного объема смеси. Первое слагаемое в
щ определяется средним тензором напряжений в г-й фазе <0iW>i«
а второе слагаемое
П?1 = -а .(pl'AvfAvbi A.2.39)
определяется пульсационным переносом импульса и называется
тензором пулъсационных напряжений, который симметричен. Эта
составляющая аналогична рейнольдсовым напряжениям при
турбулентном движении жидкости.
Отметим, что из симметрии тензора микронапряжений (см.
A.2.2)) следует симметрия среднего тензора напряжений
<$l = olh. A.2.40)
В случае ламинарного движения дисперсной смеси, когда
хаотическое движение включений или дисперсной фазы (пусть
это будет вторая фаза) несущественно\&v2— 0), пульсации ско-
скоростей несущей фазы (первая фаза) связаны только с относи-
относительным макроскопическим движением (скольжением) фаз (не-
(несущая фаза имеет «регулярный турбулентный» режим движе-
движения). Тогда характерные значения пульсаций скоростей первой
фазы Аи ~ v1— v2, причем они охватывают часть объема несу-
несущей фазы, по порядку равного объему включений. Таким об-
образом, имеем
а2Р2 (,Av'2kAvz\ = 0, at (pl'Av^Av'i}! ~ a&pl (vx — v2)z.
Макроскопический перенос импульса фаз определяется величи-
величинами piCt-iViVi (г = 1, 2), поэтому при малых объемных содер-
содержаниях включений (а2<1) и малых скоростях относительного
движения фаз (\vi — vz]/vt< 1) пульсационный перенос импуль-
импульса мал по сравнению с макроскопическим.
56 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
Главный вектор межфазных сил давления. Рассмотрим не-
некоторые соображения по поводу главного вектора поверхностных
сил в фазах
<V'fta-fe>i = У*ец <о?>{ + Rif, A.2.41)
позволяющие разбить его на ряд составляющих и более конк-
конкретно представить макроскопические гипотезы для их опреде-
определения. Силу межфазного взаимодействия можно представить
в виде
/_'Ь„'Ь\ _ т»(р) , т»<т)
«(?>__* /D'n'\ R(T)-S /Л'Ч ()
"Зг — Й12 \Pilli/12i "л — *12 \ %i ni /12>
где Rjf связано с действием сил давления, a Rji — с действием
девиатора тензора напряжений на межфазной поверхности.
Гидростатическая часть тензора напряжений <o"iW>, есть сред-
среднее давление в j-й фазе
ipbi^Pi = -V3(<0;n>i + <а;22>{ + (оГ>д. A.2.43)
Остановимся несколько подробнее на главном векторе сил
давления Rjf . Рассмотрим смесь, в веществе первой фазы ко-
которой отсутствуют пульсации давления (Арх = 0). Тогда внутри
6У4 распределение Р\ описывается формулой
Р[ = Pl + Ax'kVkPl + О ((АхТ), A.2.44)
где pi и VkPi — фиксированные значения <Pi>i и V <Pi>x в
центре объема 8V, от которого отсчитываются Ах' — (Ахп, Ахп,
Ах'3). Тогда составляющая межфазной силы за счет давления
определяется выражением
= 5?{Pi J n'ids + V^i j bx'^d's — Pi J n[d's —
-VVi J A^n^'s].
Первые два интеграла подсчитываются после применения тео-
теоремы Гаусса — Остроградского к объему 8Vit ограниченному по-
поверхностью 6S21 + 65i. При этом сразу видно, что первый ин-
интеграл равен нулю, а второй равен
a'x
Третий и четвертый интегралы переписываются с учетом опре-
§ 2. ОСРЕДНЕНИЕ В МЕХАНИКЕ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД 57
деления ait гипотезы A.2.16) и подсчитываются после приме-
применения теоремы Гаусса — Остроградского к объему 6F, ограни-
ограниченному поверхностью 6S
J n^'s= Josln&= \ (V!a1)e^F = (Vcs1NF,
6S. 6S 6V
= 1 -1 —-eldV = Va, \ Да; dF-j-eaxS SF = ea16F.
av бу
Здесь последний интеграл равен нулю, так как Дж'Л отсчиты-
вается от центра 8V. В результате получим для межфазной си-
силы за счет давления при отсутствии его пульсаций следующее
уравнение, не зависящее от структуры смеси и обосновывающее
гипотезу A.1.51):
R2? = — ai^Pi + PiV&i + ^i^Pi = Pi^ai- A.2.45)
Впервые обратил внимание на эту силу из-за расширения
трубки тока фазы X. А. Рахматулин A956). В общем случае
из-за мелкомасштабных пульсаций давления Ар\ в силе R^
имеются дополнительные составляющие, зависящие от структу-
структуры смеси, такие, как: сила присоединенных масс при ускорен-
ускоренном движении второй фазы относительно первой, сила Магну-
Магнуса при вращении частиц в жидкости и др., сумму которых обо-
обозначим через AR2Pi • Эту величину следует выражать через
средние кинематические параметры (через средние скорости, ус-
ускорения фаз и их производные)
R<-?> = PiVcii + ДК#\ Ян = Pi\ai + AB<?> + R?\ A.2.46)
Таким образом, правую часть уравнения импульса A.2.37) мож-
можно представить двумя способами:
A.2.47)
Отметим, что различие в способах записи уравнений импуль-
импульса связано с условностью разделения сил в макроскопической
теории на поверхностные и объемные, и в зависимости от спо-
способа выделения объемной силы (Rji или ДД + Д^Л) объем-
объемная концентрация стоит под знаком производной или вне знака
производной в слагаемом, связанном с градиентом давления.
58 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
Осредненное уравнение энергии фаз. Уравнение энергии
пульсационного движения фазы. Рассмотрим осредненное урав-
уравнение сохранения энергии i-й фазы, для чего в уравнении
A.2.36) нужно использовать функции из второго столбца.
В соответствии с A.2.28) введем среднюю внутреннюю энер-
энергию i-й фазы Mi, а также среднюю удельную кинетическую
энергию пульсационного (мелкомасштабного) движения i-й фа-
фазы к{ и работу внешних массовых сил в этом движении Н{:
P?*i = V, <рГ №>г- ги Р^=1/я<рГМя>1 = - 1/,схГ1П11|, A.2.48)
, °' 'I к 'К / °' А '1\ 'К
i = <p; gi Avi >, = <рг Agi Avt >i.
Таким образом, полная удельная энергия i-й фазы и смеси
определяются тремя составляющими: внутренняя энергия, кине-
кинетическая энергия макродвижения и кинетическая энергия пуль-
пульсационного движения (последняя в § 1 не рассматривалась):
Ег = щ + V2t>i + К Е = и + К + к,
+ ^
Осредненный межфазной поток энергии Е# =з Р\е^ на по-
поверхности Si2 можно представить в виде суммы трех слагаемых:
Ен = WH + QH + /я (ия + ll& + V2 (S^J)s
^л = s12 <а\мщ%\г, Qn = - s12 <д;Ап?>12, A.2.50)
/?? Щг = S12 (I'iu'i), Jji (S^iJ = <l'i (v'i — VjjJ>j2,
где И7^ определяет межфазный обмен энергией за счет работы
межфазных сил, Он — за счет межфазного теплообмена и по-
последнее слагаемое в Ец — за счет фазовых переходов.
Введем величины с\ и qi, определяющие осредненный обмен
энергией в i-й фазе вдоль внешних границ 55^ выделенного эле-
элементарного объема
с\ = а, [<а?Чг>г - <РГ («I + V, (^J) A^>i] =
= e?v\ + о, UofAv'ti - (рТ (Д«; + V, (А^J) Atfh], A.2.51)
Qi = а( <г1*>4.
В результате уравнение полной энергии i-й фазы можно
представить в виде
A-2.52)
= 0.
§ 2. ОСРЕДНЕНИЕ В МЕХАНИКЕ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД 59
В связи с появлением дополнительной составляющей энер-
энергии i-й фазы кг необходимо провести осреднение уравнения внут-
внутренней энергии г-й фазы A.2.3), имеющего, в отличие от урав-
уравнений сохранения A.2.1), недивергентную форму
- <v V>i,
> °(\ A.2.53)
где At соответствует средней работе внутренних сил за единицу
времени в единице массы г-й фазы. Часть этой работы А? со-
соответствует работе внутренних сил давления на сжатие или рас-
расширение, а другая часть А? — работе вязких или сдвиговых
внутренних напряжений. Когда сдвиговые напряжения имеют
вязкую природу (например, микродвижение г-й фазы описыва-
описывается уравнениями Навье — Стокса), А* определяет диссипацию
кинетической энергии в тепло.
Применяя формулу A.2.34) для е\ = щ и A.2.23) для ццк =
= <7i\ из A.2.53) получим осредненное уравнение притока теп-
тепла г-й фазы )'
Pi d-§ = PiAi - V*gf + QH - V*r? + I» (uh - щ),
Г? = щ <р{ щкоС>{ = щ <pi Lu^vCyi.
Таким образом, изменение средней внутренней энергии г-й фа-
фазы вдоль траектории ее центра масс происходит за счет ряда
процессов. Первое слагаемое определяет указанное изменение за
счет работы внутренних сил р*44; второе и третье — за счет при-
притоков тепла, причем второе слагаемое — за счет внешнего (по
отношению к выделенному объему смеси) притока тепла, опи-
описываемого вектором <?*, а третье — за счет притока тепла Q1(
через межфазную поверхность Sn; четвертое и пятое слагае-
слагаемые — за счет притока массы (а вместе с ней и внутренней
энергии), причем четвертое слагаемое — за счет притока массы
из-за пульсационного движения, описываемого вектором Г$,
а пятое — из-за фазовых переходов на межфазной поверхно-
поверхности Si2.
Вычитая A.2.54) и уравнение живых сил, следующее из
уравнения импульса A.2.37) и совпадающее с A.1.43), из
A.2.52), получим уравнение энергии пульсационного, или
60 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
мелкомасштабного движения
в котором, помимо уже определенных макроскопических вели-
величин, имеются вектор А, я скаляр кн
А? = - о, [V, <Р°' (А^J Ai>?>i - <a;«A^'>tK
Aj* = Va (Vii — ViJ + ж/ав»?.
Здесь Aj определяет поток пульсационной механической энер-
энергии за счет самого пульсационного движения и работы поверх-
поверхностных сил в этом движении.
Об осреднении уравнений момента импульса фаз. Аналогич-
Аналогично A.2.55) из осредненного уравнения момента импульса фаз
(третий столбец в A.2.36)) можно получить уравнение момен-
момента пульсационного движения (см. гл. 2 книги Р. И. Нигмату-
лина A978)). Здесь это уравнение не будет выписываться, так
как обычно, когда нет ориентированного мелкомасштабного вра-
вращения фаз (а оно может возникнуть за счет вращения частиц
в магнитном поле) его не нужно привлекать для анализа.
В отличие от феноменологического подхода, метод осреднения позво-
позволил последовательно учесть влияние пульсационного движения фаз и полу-
получить выражение для определения (через распределения микропараметров)
таких макроскопических характеристик, как тензоры напряжений в фазах,
интенсивности межфазного взаимодействия, потоки различных видов анер-
анергий и т. д. Реализация этих выражений, приводящая к реологическим
соотношениям теперь уже только между макропараметрами (которые мож-
можно называть явными реологическими соотношениями) и, как результат,
к замыканию системы уравнений, должна производиться с учетом струк-
структуры и физических свойств фаз в смеси. И это есть основная проблема при
моделировании гетерогенных сред.
Теория осреднения для периодических структур, использующая асимп-
асимптотические свойства микрополей, рассмотрена в работах Н. С. Бахвалова
A984), О. А. Олейпик A983), В. Л. Бердичевского A983).
§ 3. Уравнения механики бесстолкновительной
монодисперсной смеси
Рассмотрим двухфазную (N = 2) дисперсную смесь частиц,
капель или пузырей с несущей фазой (газом или жидкостью).
Нижний индекс i = 1 будем относить к параметрам несущей фа-
фазы, а i = 2 — к параметрам дисперсной фазы. Помимо главных
допущений 1 и 2 (см. Введение), примем следующие дополни-
дополнительные допущения, упрощающие математическое описание смеси.
3. Смесь монодисперсная, т. е. вторая, или дисперсная фаза в
каждом элементарном макрообъеме 8V присутствует в виде сфе-
сферических включений одинакового радиуса а (частиц, капель, ну-
§ 3. БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ МОНОДИСПЕРСНАЯ СМЕСЬ 61
зырьков); причем объемная концентрация дисперсной фазы не
очень велика, так что
а|<1. A.3.1)
4. Можно пренебречь энергией и другими эффектами хаоти-
хаотического (в том числе и броуновского) и внутреннего (вращение
и деформация) движений дисперсных частиц*).
5. Можно пренебречь непосредственным взаимодействием и
столкновенпями между частицами.
6. Отсутствуют процессы дробления, слипания (коагуляции)
и образования новых дисперсных частиц.
В соответствии с принятыми обозначениями Pi и р2 — истин-
истинные плотности веществ несущей и дисперсной фаз, се, и а2 —
соответственно их объемные концентрации, а п — число частиц
дисперсной фазы в единице объема смеси, или числовая кон-
концентрация. Тогда, учитывая допущение 3, имеем
а2 = 4/3ла3ге, oti = 1 — а2. A.3.2)
При этом приведенные плотности фаз р,-, характеризующие мас-
массы фаз в единице объема смеси и в сумме определяющие плот-
плотность смеси р, равны
Pi = Piai. P2 = Р2«2 К + «2 = 1), р = рх + р2.
Уравнения сохранения масс фаз. Имеют место следующие
уравнения (см. § 1 и 2) сохранения масс фаз и числа дис-
дисперсных частиц (с учетом допущения 6):
а
где /« — скорость фазовых переходов в направлении i -*¦ 7 (ин-
(индексы i, / = 1, 2; i^j), приходящаяся на одну дисперсную ча-
частицу (njti = Jij).
Введем средние радиальные составляющие скоростей фаз на
поверхности дисперсных частиц wia и w2a, которые характери-
характеризуют совместное деформирование фаз, могут различаться лишь
*) Дисперсная фаза с точки зрения статистической физики может рас-
рассматриваться как «псевдогаз», «псевдомолекулами» которого являются дис-
дисперсные частицы, капли или пузырьки. Движение такого «псевдогаза» без
пульсационного или хаотического движения (Ау^ = 0) частиц («псевдомо-
(«псевдомолекул»), когда тензор пульсациопных напряжений дисперсной фазы равен
нулю, может рассматриваться как «холодное» движение с нулевым давлени-
давлением и нулевой температурой. При этом следует иметь в виду, что, помимо ука-
указанных давлений ^р2 Av'2hAv2 у^ и температуры «псевдогаза» частиц, име-
имеются давление рг и температура Г2 внутри частиц, капель, пузырьков
(внутри «псевдомолекул»), характеризующие молекулярное движение ве-
вещества дисперсной фазы.
62 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
из-за фазовых переходов, определяют скорость изменения ра-
радиуса частиц d2a/dt (соответствует N' в A.2.4)) и удовлетворяют
следующему уравнению сохранения массы на межфазной гра-
границе:
Pia К« - а) = раа (Ща — о) = ^ («а-|)( A.3.4)
где р(о — средние значения плотностей материала фаз на меж-
межфазной границе. Далее отличие pia от рг не будет учитываться:
Piaf&Pv Plaf&pt A.3.5)
Из уравнений сохранения масс фаз можно получить ряд
следствий, которые будут использованы в дальнейшем. Измене-
Изменение плотностей фаз и объемной концентрации вдоль линий тока
определяется следующими формулами:
p°
d p° о da
-1Г + Р^
2Р2 , О 22 _ . ° 2
«2 ~jf + Р2 ~tf — «7l2 — Р2«2 -JjC
dt dt \ 3 /3 dt ' dt а g^h ' a dt
Используя уравнения A.3.4) для /«, получим
«1 ~зт = - Pi ^ («I»? + «2^2) + -^- Pi,
„ 2P2_ 4V О
^ ~9*' k A.3.6)
dt a dt ~~ а2 бхй'
Уравнения совместного деформирования фаз. В случае не-
несжимаемых дисперсных частиц (рг = const) уравнение совме-
совместного деформирования сводится к условию
w2a = 0, A.3.7)
и при заданной кинетике фазовых переходов для /« величины
wia и d2a/dt определяются однозначно.
В случае пузырьковых смесей из-за переменности Ра и w^^
•J6 0 в общем случае необходимо привлекать динамическое урав-
§ 3. БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ МОНОДИСПЕРСНАЯ СМЕСЬ 63
нение совместного деформирования, которое можно получить из
анализа радиальных пульсаций пузырька.
Сферически симметричное движение несжимаемой жидкости
вокруг пузырька. Рассмотрим одно из точных решений вязкой
несжимаемой жидкости, описывающее сферически симметричные-
радиальные движения бесконечного объема несущей фазы около
сферического пузырька с изменяющимся во времени радиусом
a = a(t), когда поле скоростей имеет вид
f t / .\ Г ' Л I А Гх Q\
где г — радиус-вектор с началом, совпадающим с центром пу-
пузырька. Уравнения Навье — Стокса для такого сферически-сим-
сферически-симметричного движения, где все параметры зависят только от г
и t, в предположении покоя жидкости на бесконечности и от-
отсутствия массовых сил при переходе к сферическим координа-
координатам имеют вид
о
Pi
id / ° \ yi.v.o/
-г.¦i — (r'*w') = 0 (Pl, [ix = const).
На поверхностях г = const, где единичные внешние нормали
определяются через п = г/г, напряжения равны
О'П== а'ггп< а'тт _ _ р' _|_ 2fXx ~ .
Тогда граничные условия на поверхности дисперсной частицы
(пузырька), исходя из A.2.9а), учитывая, что N' = a, можна
представить в виде
, 'гг , о fdw'\ rr
Г = a: W = Wla, О1а = — Р1а + 4U1 ~5~Т f °~2а = — Рга,
\ or I r=a
Ъ2 = - li = Р° (а - Ща) = Р2 (а - w2a), (i-3A0>
oZ - aZ = h K« - w2a) - 2-Е/а » - 22/а,
dw' , ,дю'\ др' Г 1 д I ,2dw'\ 2а/1
lt+wl?) = —?¦ +KbioF rV --'
причем а 2а = — Р20 в силу малой вязкости газа по сравнению
вязкостью жидкости.
Из уравнения неразрывности и граничного условия для ш
при г = а следует
w' = wiaa2/r\ A.3.11)
причем соответствующее поле скоростей w потенциальное,
64 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
где ф удовлетворяет уравнению Лапласа и граничному условию
vfcvV=o, (d-f) =wla.
Подставляя A.3.11) в первое уравнение A.3.9), получим, что
выражение в квадратных скобках равно нулю, и уравнение дви-
движения в силу потенциальности w' можно проинтегрировать по
г' и получить интеграл Коши — Лагранжа в таком же виде,
как для идеальной жидкости
т?+ ?+? = *(')• A-3.12)
Таким образом, вязкость несущей жидкости не входит в урав-
уравнение движения, так как импульс вязких сил в рассматриваемом
случае всегда равен нулю и влияет на процесс только через
второе граничное условие A.3.10).
Учитывая граничные условия, имеем
г =а: аГ = -~ J-2— > w =w^ P = ^«» 87 = ~ЧГ
г' = оо: ^ = 0, и> = 0, р'=Рх.
Подставляя эти выражения в интеграл Коши — Лагранжа,
получим классическое уравнение Рэлея — Ламба (иногда назы-
называемое уравнением Рэлея — Ламба — Плессета) для радиального
движения пузырька в безграничной вязкой несжимаемой жид-
жидкости с учетом фазовых переходов
.3 2 Pia — Рсо
awla + — ц;1О = 5 ,
P
. A.3.13)
a - wla -5, j>le - ?2а - - а .
Эволюция радиального движения определяется радиальной
инерцией жидкости и перепадом давлений в ней, который яв-
является частью перепада р% — />«, (между давлением газа и дав-
давлением жидкости вдали от пузыря). Часть этого перепада урав-
уравновешивается поверхностным натяжением и вязкостью жидко-
жидкости, а остальная — радиальной инерцией жидкости. Давление
газа в пузырьке обычно можно считать однородным {pz — Pi(t),
см. § 4 гл. 2).
Интеграл Коши — Лагранжа позволяет найти и распределе-
распределение давлений в жидкости
АА 1 Л2 1 Рга dAf 1 I \ , А2 ( i _ i_
4 '4
A.3.14)
§ 3. БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ МОНОДИСПЕРСНАЯ СМЕСЬ
65
Учет конечного объемного содержания пузырьков (или их
«неодиночности» и обтекания их жидкостью со скоростью w12 =
= Vi — v2 при допущении сохранения сферичности пузырьков
приводит к обобщенному уравнению Рэлея — Ламба, которое и
дает динамическое уравнение совместного деформирования в пу-
пузырьковой смеси, связывая радиальное движение wla вдоль ли-
линии тока дисперсной фазы с перепадом средних давлений pf
в фазах. Оно имеет вид
(\ гАХ)\ п 2 1Q * 1 ^1 1Д
\ х \1> ) и- ., о о —
о? о по.
_12 + A _ ф(з)) ^?. A.3.15)
Поправочные коэффициенты фA)(а2), ф<2)(а2), фC)(а2) учитыва-
учитывают конечное объемное содержание или неодиночность пузырьков
Рис. 1.3.1. Зависимость попра-
поправочного коэффициента фA) в
уравнении радиальных пульса-
пульсаций пузырьков от их объемной
концентрации: 1 — ячеистая
схема (см. A.3.15а)); 2 —
асимптотическое решение для
сферических пузырьков с хао-
хаотическим (А. Е. Крошилип
и др.) распределением (см.
A.3.156))
0,4
' 1
'Л.
0,02 0,04 0.06 0.08 я.
в смеси, что приводит к отличию среднего давления в несущей
жидкости pt от давления />,*,, или, другими словами, к уменьше-
уменьшению радиальной присоединенной массы, приходящейся на один
пузырек «в коллективе» по сравнению с одиночным пузырьком
(см. гл. 3 книги Р. И. Нигматулина A978)). Для случая ло-
локально-равномерного по расстояниям друг от друга расположе-
расположения пузырьков значения этих коэффициентов могут быть рас-
рас^
считаны из ячеистой схемы при о^ -С 1
11а1/3_„
J12
Ф1
,B).
A.3.15а)
При хаотическом по расстояниям друг от друга распределении
пузырьков значения этих коэффициентов равны при «2^1
ФA) ~ 3,6а2,
A.3.156)
5 Р. И. Нигматулин, ч. I
66
ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
Приведенные зависимости для наиболее важной (при старшей
производной) поправки фA) проиллюстрированы на рис. 1.3.1.
Приведенные тензоры напряжений и векторы, характеризу-
характеризующие перенос импульса и энергии в дисперсной смеси. Рас-
Рассмотрим более конкретные, нежели в § 2, представления для
осредненных тензоров напряжений и сил межфазного взаимо-
взаимодействия в дисперсных смесях, учитывая структуру последних.
Пусть fis(n) — произвольное
элементарное плоское макросе-
макросечение с внешней нормалью п
(рис. 1.3.2), соответствующее
условиям A.2.10), A.2.14). Это
сечение частью <5si = a46s про-
проходит по несущей фазе, а ча-
частью 5*2 = a2ds — по многим
дисперсным частицам, отсекая
части поверхностей частиц
6si2S, лежащие по другую сто-
сторону от внешней нормали п и
имеющие в каждой своей точ-
точке внешнюю по отношению к
i-й фазе нормаль Щ (при этом
п^ = — щ). Средние усилия,
передающиеся через сечения в
фазах б характеризуются
средними напряжениями <.cr^>i,
относимыми к центру сечения 8s и совпадающими, в соответ-
соответствии с A.2.17), со среднеобъемпыми значениями
Рис. 1.3.2. Элементарное макросече-
ние в дисперсной смеси
* = 1,2). A.3.16)
К этому же центру сечения 6s можно отнести и другую сред-
среднюю величину, характерную только для дисперсных сред и ха-
характеризующую межфазпые напряжения на отсекаемых сечени-
сечением 6s межфазных границах
bs
о\ (щ) d'
= щ1щ\ i = 1, 2). A.3.17)
U8
Если n = ek (k~l, 2, 3), то введенные средние напряжения
на площадках декартовой системы координат Ash = ekds будем
обозначать через <о,); и ((Tiji^si а их проекции на направления
ег (I = 1, 2, 3) — через <O;>j и (o"i)i2S> отмечая их вторым
индексом.
§ 3. БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ МОНОДИСПЕРСНАЯ СМЕСЬ
67
Учитывая, что размеры сечения 6s удовлетворяют условиям
A.2.14), примем, что осредненные величины типа (oims анало-
аналогично <ог)г являются устойчивыми (т. е. в диапазонах A.2.14)
они не зависят от размера сечения Ьх и его формы), регуляр-
регулярными (т. е. заметно меняются только на расстояниях ~L и
почти не меняются на расстояниях ~8х) и представительными.
Последнее применительно к (oj)s означает, что для произволь-
произвольной макроповерхности S, отсекающей межфазные поверхности
частиц S^s, имеет место
J Xsds. A.3.18)
S12S S
Как показано в § 2 (см. A.2.20)), осреднение < >; по объ-
объему или сечению в фазе не меняет тензорного характера и тен-
тензорного ранга осредняемых величин, т. е. макронапряжения в
i-й фазе <о;>, , как и оь , образуют тензор второго ранга. Для
осреднения ( I2s по поверхностям отсекаемых частиц это свой-
свойство в общем случае доказать не удается, хотя для наиболее
Рис. 1.3.3. Несимметричность
тензора межфазнь'гх напряже-
напряжений @^J18 B дисперсной сме-
смеси с ориентированным вра-
вращением дисперсных частиц
характерных режимов течения дисперсных смесей оно выпол-
выполняется (см. гл. 3 книги Р. И. Нигматулина A978)). Далее свой-
свойство сохранения тензорного характера и тензорного ранга для
осреднений (.. . )s будем постулировать, а это значит, что
(ai)i2S— тензор межфазных напряжений второго ранга. Таким
образом, имеем
< ;? (;) k')V A-3.19)
Осреднение по фазам сохраняет и свойство симметрии тензо-
тензора (см. обсуждение A.2.20)), т. е. если а\к! = <х'{'*, то
Но при этом тензор (<TiI2s может быть и несимметричным, о чем
свидетельствует, пример на рис. 1.3.3, где представлен элементар-
5*
68 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
ный макрообъем суспензии с ориентированным вращением (по
инерции или под действием внешних моментов, приложенных
только к дисперсной фазе) частиц. Здесь
<о[>{2 = <o-;>i\ но (adits ^(aXs ((<*>><), (<Ж, < 0).
В любом объеме дисперсной смеси, в том числе и элементар-
элементарном макрообъеме 6F, используемом для осреднения, межфазная
поверхность б512 разбивается на две части: первая (SiSW) состо-
состоит из поверхностей дисперсных частиц (числом 5AV), целиком
входящих в SF, и вторая (SSii8) состоит из тех частей поверхно-
поверхностей дисперсных частиц (числом 6NS), которые пересекаются
граничной поверхностью 65
6S12 = 6S12V + 6S12S, № = 6/Vv + 6/Vs,
6Sl2V =
A-3.21)
Соответственно на два слагаемых разбивается и межфазная
сила Rjt
RH = w \°\nd's=± J o'ihnihd's + ±! J o'Sfd's.
ES12 8SnV 6S12S
12S
Учитывая, что 8Sl2V состоит из 6NV поверхностей сфер радиу-
радиусом а, и учитывая представительность величин (о^дай при инте-
интегрировании по 6512S (см. A.3.18)), имеем
dNv
^ бу ¦*— J i г s ^ бу J *• "
v=l ji2(v) 55
где ^12 (v) — поверхность v-й частицы, равная Ana2. Введем сред-
среднюю силу fji, приходящуюся на одну частицу, и выразим число-
числовую концентрацию частиц п через &NV и SF:
6NV
= ^. A.3.22)
Тогда, используя теорему Гаусса — Остроградского, получим
для межфазной силы
При описании дисперсных сред имеет смысл использовать
тензор приведенных напряжений а" в г-й фазе, определяющий
отнесенный к сечению 8s перенос импульса через поверхность
6*;* = esi + 6\y12si г. е. включающий и межфазные усилия на от-
g 3. БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ МОНОДИСПЕРСНАЯ СМЕСЬ 69
секаемых сечением 8s частях поверхностей частиц 8si2S
п 1
= щ <о'4>? + сцП? + (o'i&s. A.3.23)
Обращаясь к главному вектору поверхностных сил в i-ж фазе,
следует иметь в виду, что при его представлении через осреднен-
ные величины имеется два тождественных друг другу способа
его разделения на силу, описываемую тензором (а* или о^*),
и силу, описываемую вектором (R,,- или »f#),
f=cti<a;>f+ nf, Rjf = nljf + V V«)us, A-3.24)
Ш hi , /J\kl
O + (<I/
При отсутствии капиллярных эффектов и сверхинтенсивных
фазовых переходов на межфазной границе можно принять
°'i (ni) = — °2 (пг)' Тогда тензоры межфазных напряжений в пер-
первой и второй фазах отличаются только знаком, и можно запи-
записать, вводя более краткие обозначения для (ojI2s
A.3.25)
=cr2 — a2lS.
Нетрудно видеть, что приведенные напряжения в дисперсной
фазе о2* представляют перенос импульса через поверхность
6s2 + 6si2s, ограничивающую объем 6y2s, т. е. ту часть дисперсной
фазы, которая отсекается сечением 6s.
При отсутствии непосредственного взаимодействия между
дисперсными частицами (допущение 5) имеет место
С2г*=0. A.3.26)
Действительно, в балансе импульса дисперсной фазы в элемен-
элементарном макрообъеме 6V, ограниченном поверхностью 8S и содер-
содержащем большое количество частиц (8N = n8V> 1), импульс от
напряжений о%1 (и только он), представляющих сумму поверх-
поверхностных сил на 8SZ + 8S12S, идет на изменение импульса только
той массы дисперсной фазы, которая заключена в объеме 5У2в,
отсекаемом границей bS. Доля этого объема (и соответственно
его масса и инерция) по отношению ко всему объему дисперсной
70 ГЛ 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
фазы в dV мала:
Для дальнейшего имеет смысл ввести число Рейнольдса мел-
мелкомасштабного течения несущей жидкости, характеризующее от-
отношение инерционных сил к вязким в этом течении
Zap.w
Re™ = ~j-i~' w = (wb"wvi' wi2 = v1 — v2. A.3.27)
В рамках ячеистой схемы подробно рассмотрены два пре-
предельных режима движения несущей фазы при малых концентра-
концентрациях сс2 дисперсной фазы (см. гл. 3 книги Р. И. Нигматулина
A978)). Первый, или инерционный режим — когда это движение
совпадает с потенциальным течением идеальной (без вязкости,
Hi = 0) несжимаемой жидкости (RetD-»-°°). В этом режиме при-
приведенное напряжение применительно к одномерному макроскопи-
макроскопическому течению смеси равно
? + "aPia) «" + «аПЫ,
р1а =:р2- 22/а, Пм = - р° {w\abM + V2 v$2w[2), A.3.28)
где П*' определяет пульсационный перенос импульса через по-
поверхность 8slif = 8s + 6s2lS. Второй, или ползущий режим —
когда мелкомасштабное движение несущей фазы совпадает с
ползущим, или стоксовым течением очень вязкой (Rew < 1) не-
несжимаемой жидкости. В этом режиме приведенное напряжение
применительно к одномерному макроскопическому течению смеси
равно
[eM - 4- етт8ы), A.3.29)
еы = 1/а iyhviv + yi^^ vky = a^k
1де vv — среднеобъемная скорость смеси, \к — эффективная сдви-
сдвиговая вязкость смеси, для которой в случае смеси с твердыми
сферическими частицами имеется формула Эйнштейна
H = (it(i + 5Aa0. A.3.30)
Исходя из этих предельных формул, рассмотрим их обобще-
обобщение, учитывающее как вязкие и инерционные силы, так и сжи-
сжимаемость фаз. Это обобщение применительно к одномерному те-
течению смеси имеет вид
a*i = - [alPl + а2 (р2 - 22/а)] б" + а.Дм + о*\ A.3.31)
где П*' и а" берутся в соответствии с A.3.28) и A.3.29), причем
§ Г БЕССТОЛННОВИТЕЛЬНАЯ МОНОДИСПЕРСНАЯ СМЕСЬ 71
в случае смесп с пузырьками, в отличие от формулы Эйнштейна
A.3.30), следует использовать
ji = M*+ <**)- A.3.32)'
Выражение A.3.31) соответствует тому, что через часть поверх-
поверхности <5su = б-'i + 6s2lS, которая проходит по несущей фазе и
равна 8st = a^s, действует среднее давление несущей фазы р1}
а через поверхность 6s2is, проекция которой на 6s равна a2Ss,
действует среднее давление на поверхности дисперсной частицы,
равное pi — 2S/a.
Заметим, что в случае одномерного осредненного движения
(vi = i^e1, где vi = vi(xi)) смеси с песжимаемой несущей фазой
(р! = const) напряжение из-за вязкости в соответствии с A.3.29)
и A.3.6) равно
ом-оме, Од— g —,
откуда видно, что если объемная концентрация дисперсной фазы
а2 мала, так что можно пренебречь отличием вязкости смеси \х
от вязкости несущей жидкости [х(, то можно пренебречь и со-
составляющей напряжения из-за вязкости:
а^ = 0. A.3.33)
Аналогично а™, вводятся приведенный вектор потока работы
поверхностных сил с"» н приведенный вектор потока тепла <7г"»
к г-й фазе через поверхность 6s* + 6szls, отсекаемую сечени-
сечением n 6s:
A.3.34)
По тем же соображениям, что и для ст^, из-за отсутствия непо-
непосредственного взаимодействия между частицами можно положить
4, = ^=0. A.3.35)
Далее в си будем включать и перенос кинетической энергии,
а в <?г* — и перенос внутренней энергии из-за мелкомасштабного
движения, что в силу допущения 4 не влияет на справедли-
справедливость A.3.35).
По тем же соображениям, которые были использованы при
постулировании выражения A.3.31) для ст", примем следующее
выражение для приведенной работы внешних поверхностных сил
72 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
в несущей жидкости:
с*. = - cw? + 2|1 («*' 4 ептЬы) v[
*. = - cw? + 2|1Х («*' - 4" ептЬы) v[ - а2 [Ры
+ 2 (ц - (ix) [ekl - —¦ emm8klJ vl + a2Uklvl2. A.3.36)
Здесь полагалось, что составляющие приведенного напряжения
о^ производят работу на перемещениях со скоростью v? или v2
в соответствии с тем, на каком перемещении эти составляющие
производят работу в точных формулах для случая потенциально-
потенциального течения невязкой несжимаемой жидкости и ползущего тече-
течения очень вязкой жидкости. В результате эта формула обобщает
указанные две предельные ситуации.
В процессах, в которых существенным и определяющим явля-
является неравновесность между фазами (несовпадение их скоростей,
температур, давлений), как правило, эффекты вязкости и тепло-
теплопроводности наиболее значительны около межфазных границ,
так как именно здесь в узких зонах с толщиной, сравнимой с
размерами частиц, реализуются большие градиенты микроскоро-
микроскоростей и микротемператур, гораздо большие, чем в остальном объ-
объеме фаз. Тогда можно считать, что вязкость и теплопроводность
фаз сказываются лишь в величинах, определяющих взаимодейст-
взаимодействие фаз (f12, qzi, tin, j), так что соотношения A.3.31) с учетом
A.3.33) и A.3.36) могут быть упрощены
Й. =0. A.3.37)
h h h Tihl I
Уравнения импульсов фаз. Импульс pi единицы объема смеси
полагается равным сумме импульсов входящих в объем фаз
pi = р^ + p2v2,
а уравнения импульсов фаз, учитывая A.3.24) и A.3.26), можно
записать в виде
Pi г¦= ~^i + nhi + «/21 Ко - vx) + pxglt
P2^-2 = ntu + nju (v2a - vs) + p2g2, A.3.38)
hi + i 12 + /2lVle + /l2V2a = 0.
Здесь fji — средняя сила, приходящаяся на одну частицу, со сто-
стороны межфазной границы на ?-ю фазу; величины via характери-
характеризуют средний импульс массы jndt, приходящей в i-ю фазу или
§ 3. БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ МОНОДИСПЕРСНАЯ СМЕСЬ 73
уходящей из i-й фазы из-за фазовых переходов. Практически
всегда можно пренебречь изменением импульса массы фазового
превращения при переходе ее через межфазную поверхность:
l/ia(vM-Vi.)l </i2. A.3.39)'
Поэтому далее будем полагать
Via = V2o = Va = V2, fl2 = — f2l=f- A.3.40)"
Сила, действующая на частицу со стороны несущей жидкости.
Силу f12, действующую на частицу в дисперсной смеси, вычис-
вычисляют, используя различные схематизации (ячеистая схема, заме-
замена вторичных частиц точечными силами или источниками, схема
самосогласованного поля), как силу на некоторую пробную ча-
частицу. При этом удобней уравнения движения рассматривать в
неинерциальной системе координат, движущейся с макроскопи-
макроскопической скоростью несущей фазы v4 и ускорением d2xjdt, в кото-
которой пробная частица движется со скоростью w21 = v2 — vt и уско-
ускорением d2w2i/dt. Тогда в уравнениях импульса к внешним массо-
массовым силам g4 необходимо добавить одинаковую во всех точках
силу инерции p^d^yjdt, которая приводит к выделению так на-
называемой силы Архимеда:
Именно составляющую iAi будем называть силой Архимеда. По-
Последующий анализ позволяет выделить наиболее часто встречаю-
встречающиеся составляющие в силе f[2 или i* и представить ее в виде *)
^12 = ^А\ + f #» ^ * = ^т + 1д,
. 4яа3 o/dv \ 2яа3 old у d\ 3 da
^i = — P^gJ ' = -P4^r-~T + T^
A.3.41)
О о о О
о,ш,„лу,„ zap, w,
112 12 Л1 /"> /D~ „ \ D^ vl 1
l ~ V2.
Здесь fm — сила присоединенных масс из-за инерционных эффек-
*) Эффекты сжимаемости несущей жидкости, больших градиентов мак-
макроскопических параметров, вращения частиц, нестационарности установи
ления профиля скоростей около частиц, деформации дисперсных частиц и
Другие могут приводить к появлению дополнительных составляющих в fu.
Таковыми могут быть сила Бассэ, сила Магнуса и т. д. (см. ниже § 4 гл. 1
и § 1 и 2 гл. 2).
74 ГЛ 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
тов в мелкомасштабном движении с характерной скоростью wl2.
Представленная для нее формула теоретически доказана для
двух предельных случаев: потенциального обтекания идеальной
несжимаемой жидкостью и ползущего (стоксова) обтекания вяз-
вязкой несжимаемой жидкостью. Далее, г"ц—сила трения из-за вяз-
вязкости несущей жидкости, должна определяться из эксперимента
в виде зависимости коэффициента сопротивления См от Reu и
объемной концентрации дисперсной фазы аг- При Rei2 < 1 (пол-
(ползущее или стоксово обтекание) получается линейная зависимость
if. от v4 — v2, которая в случае ползущего обтекания ансамбля
частиц или капель при и.а > ^1 сводится к обобщенному закону
Стокса
CV = CJb|>a, C° = 24/Re12 (i° = 6n\Lxawu), A.3.42)
где Су, и f^ соответствуют обтеканию одиночной частицы без-
безграничным потоком (см. § 1 гл. 2), а т|за — коэффициент, учиты-
учитывающий неодиночность частиц (а2>0). При а2 ->¦ 0 имеет место
¦ф„ ->- 1. Ячеистая схема, соответствующая периодическому, или
регулярному расположению частиц для ползущего течения, при-
приводит к формуле (J. Happel, H. Brenner, 1965; Р. И. Нигмату-
лин, 1978)
% = A - Р («а)), Р = 3/2 («I'8 ~ a2)/«i « 3/2 «У1. A.3.42а)
Схема ползущего течения вокруг хаотически расположенных ча-
частиц (G. Batchelor, 1972; А. М. Головин, В. Е. Чижов, 1978;
Р. И. Нигматулин, 1978, 10. А. Буевич A973)) приводит к формуле
$a = (l — <x2)-m, m&5. A.3.426)
Схема потенциального течения идеальной несжимаемой жидко-
жидкости вокруг хаотически расположенных пузырьков ((х2 «С jxt) мо-
может быть использована для нахождения силы трения, действую-
действующей на пузырек (см. B.2.5)). Эта схема для фа также приводит
к формуле A.3.426), но с m = 1. Эмпирические формулы для
Сц и Ч5» обсуждаются ниже в § 4 и 5.
Для дисперсных смесей с достаточно высокой концентрацией
дисперсной фазы аг полезную информацию о влиянии неодиноч-
ности частиц может дать величина cxi» (см. ниже A.4.10а)), ха-
характеризующая относительно минимальное проходное сечение
между дисперсными частицами (среднее проходное сечение меж-
между частицами равно cci) и зависящая (помимо а%) ох формы ча-
частиц и расположения или ориентации их центров.
Любое периодическое расположение центров частиц можно
характеризовать параметрами а2 и аи, определяющими объем-
объемную концентрацию и относительно минимальное проходное сече-
сечение в монодисперсной смеси с рассматриваемым расположением
центров, но со сферическими частицами максимально возможно-
§ 3. БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ МОНОДИСПЕРСНАЯ СМЕСЬ 75
го радиуса, т. е. радиуса, при котором достигается плотная упа-
упаковка пли соприкосновение сфер.
Выделим два предельных случая: когда центры частиц обра-
образуют кубическую (наименее плотную) и тетраэдрическую (наи-
(наиболее плотную) решетки, полагая, что реальные расположения
являются промежуточными между указанными крайними ситуа-
ситуациями. Для кубического и тетраэдрического расположений цент-
центров соответственно имеем
(«2)сиь = я/б « 0,524, («xJcub = 1 - я/4 « 0,215,
(a2)tet « 0,74, KJtet « 0,096.
Для любого периодического расположения центров, характе-
характеризуемого параметрами а2 и аы при концентрациях частиц
a2 «S а2 из соображений подобия следует
или
а1в = 1 —baj/s. A.3.43)
Здесь численное значение 6 ~ 1,16 принято как среднее меж-
между двумя крайними значениями: ЬтЪ » 1,205 и &tet « 1,103, что
вполне допустимо в силу близости последних. Представленная
аппроксимация предложена М. А. Гольдштиком.
Обработка экспериментов с целью выявления влияния стес-
стесненности обтекания дисперсной фазы при Ret2 > 1 показала це-
целесообразность использования характерной относительной ско-
скорости фаз W\i* в минимальном проходном сечении между
частицами и соответствующего этой скорости числа Рейнольд-
са Re12#:
w
aiRei2
Тогда в широком классе экспериментов (даже при обтекании
трубных пучков) влияние а2 можно учесть с помощью единой
или автомодельной по а2 зависимости (М. А. Гольдштик, 1972),
следующей из данных для обтекания одиночной дисперсной ча-
частицы (аг -*¦ 0):
о
Тогда, сравнивая эту формулу с A.3.41), получим
A.3.44)
76 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
Различные формы записи уравнений импульсов фаз. Подстав-
Подставляя A.3.41) в A.3.38), нетрудно получить несколько иную фор-
форму записи уравнений импульсов фаз:
divi dai*
91 л* ^ 1 *^ 1721 2 * РА> A.3.45)
Pi -j[f = «2 -^ + а1ПК + «2^/21 (V2 — Vj + p2g2,
откуда видно, что сила межфазного взаимодействия наряду
с A.3.41) может быть представлена в виде
до1}
У) т у-/ *' _Л_ f*i Y)\ —\— ГУ TJ 7 (V - V 1
Itlin ^чЛл , I 1Л1 I i/ т- ^ Г lAq/v / О 1 I т О Y -I I .
^ A.3.45а)
ni д! = а2 —^ — a2nf ^ + cc2n/21 (v2 — vx).
Иногда именно силу а^да^/дх называют силой Архимеда.
Подставляя в A.3.38) силу f* в виде fm + f„ и учитывая вы-
выражение для fm, получим
Pi +-0-1
F + axn;21 (v2 - va)
2 da
21 (v2 — Vi)
_ f I f \ f _ 2mS ° 3 ^ 1 \
Г —- <Х^П \1ц, -р 1а) 1 la — о~" Pi ~Z~ 1, (Уi ' ^21 •
Разрешая эти уравнения относительно ускорений фаз, по-
получим
да1}
Р2 / дх*
«I Pl^l d2V2
а2
-O-/P2g2-
§ 3. БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ МОНОДИСПЕРСНАЯ СМЕСЬ 77
Иногда уравнение движения дисперсной фазы удобнее пред-
представить в виде
(рГ + 2р°2) ^ = 3Р1° ^ + JL + 2 (P2°g2 - pTft). A.3.47)
Полученные уравнения движения фаз несколько упрощаются
для случая не очень концентрированной газовзвеси, когда a^-^il,
Pi/Рг^ 1 (плотность газа много меньше плотности вещества
капель или частиц), и составляющей fa из-за изменения радиуса
частицы в силу малости скорости этого изменения можно пренеб-
пренебречь. Тогда имеем уравнение импульсов фаз и, аналогично силе
Архимеда A.3.41) и A.3.45а), другую форму представления
межфазной силы присоединенных масс в газовзвеси:
A.3.48)
Т "я/ nfi*"" T anhi^i2 + J
^ ( T — Uh — re/21W12 + Plgl
Аналогично для случая жидкости с пузырьками, когда
О / о
1, \wla — d\ < а, можно получить
dlVI да1* , d2V2 — 6 1* J_ 6 /f Л-t \ Л-*
—JT — Г + Plgl. ~УГ ~ 7Г ~T~k "г" o_ 3 о ^U "Г *аУ T gt
Здесь учтено, что |fo| > l/2iWJ|.
Подчеркнем, что три системы уравнений импульсов фаз
A.3.38), A.3.45) и A.3.48) для газовзвеси и соответственно
A.3.38), A.3.45), A.3.49) для жидкости с пузырьками, несмотря
на различия по внешнему виду, в частности, в записи члена
с градиентом напряжения dalit/dx , являются тождественными,
что проиллюстрировано в табл. 1.3.1.
Уравнения энергии фаз. Полная энергия pi? единицы объема
гетерогенной смеси равна сумме полных энергий р*?4 входящих
в этот объем несущей и дисперсной фаз, а также внутренней
ГЛ. i. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
Физические
параметры
Виды двухфаз
Произвольная двухфазная смесь
Дисперсная смесь
(г = 1 — несущая фаза
г = 2—дисперсная фаза)
Главный век-
вектор поверх-
поверхностных сил в
фазах в едини-
единице объема сме-
смеси, определяю-
определяющий
¦Mir1-*
- ni
Тензор напря-
— (P°i A^Av'^yг] — тензор на-
напряжений, осредненный вдоль
плоского сечения dst = aids,
a, — объемная концентрация
г-й фазы (ai + a2 = 1)
ai ~ приведенные тензо-
тензоры напряжений вдоль
(см. рис. 1.3.2)
Kis =
2lS>
12S-
Межфазная
сила
ма напряжений вдоль ме;к-
фазной границы dSl2 в
единичном объеме смеси
(s12 = dS12JdV)
2 — 11 -Г v o12gr
f — полная сила со сторо-
стороны несущей фазы, прихо-
приходящаяся на одну дисперс-
дисперсную частицу; п — число ча-
тиц в единице объема
емеси
Условие сов-
совместного де-
деформирования
энергии тонкого (~10~9 м) межфазного слоя, которую будем рас-
рассматривать в приближении поверхностной или капиллярной
2-фазы, причем эту внутреннюю энергию будем полагать пропор-
пропорциональной величине межфазной поверхности
рЕ = PlEt + ргЕг + 4naznUz, A.3.50)
где Us — внутренняя энергия единицы поверхности 2-фазы. Мае-
g 3. БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ МОНОДИСПЕРСНАЯ СМЕСЬ 79
Таблица 1.3.1
ных смесей
Бесстолкновительная дис-
/ hi \
переная смесь (сг2;1,= 0^
Газовзвесь
*=°. Pi «
Пузырьковая смесь
а2*=0' Р2^1' а2 <Ч
3/2а2) "Ai" VaVi
а, = —i
«Идеальная» несущая фаза:
= f* +
A,
f -|° _ 2
— сила Архимеда
о
р„ = const
dt
¦21/a
ca, импульс и кинетическая энергия 2-фазы полагаются равными
нулю. Энергия Ег i-й фазы есть сумма внутренней энергии ии
кинетической энергии макроскопического движения 1/2Vi и кине-
кинетической энергии мелкомасштабного (турбулентного) движения
kf. Для дисперсной фазы в силу допущения 4 о малости энергии
хаотического и внутреннего движений (последнее, например, мо-
80 ГЛ 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
жет быть связано с радиальным движением внутри пузырьков,
характеризуемым скоростью w2a) следует положить к2 « 0. Тогда
E1 = u1 + 1/2vl + k1 Еа = щ + 1/Уа. A.3.51)
Аналогично A.3.38) уравнения сохранения энергий несущей,
дисперсной и поверхностной фаз, учитывая определения приве-
приведенных потоков энергии в фазах и отсутствие непосредственного
взаимодействия между частицами A.3.35), могут быть записа-
записаны в виде
Pl ~dT = ?s (ci* ~ &) + n (fesi + ?2i) + n/21 (Ela - Ej) + pjgx • Vl
d E
P2-^f = n (hS2 + g22) + nj12 (E2a — E2) + p2g3• v2, A.3.52)
n ft
Здесь hXi и qs, — соответственно работа и поток тепла от меж-
межфазной поверхности к ?-й фазе, отнесенные к одной дисперсной
частице; Еш, аналогично \{п,— удельная энергия массы ?-й фазы,
претерпевающей или только что претерпевшей фазовый переход.
Как и для v,a, будем считать ее совпадающей со средним значе-
значением Е{ на межфазной поверхности и представим ее в виде
суммы соответствующих средних значений внутренней энергии
иш, кинетической энергии макродвижения со скоростью v,o » va
и мелкомасштабной кинетической энергии
Е1п = иы + 1livl + кы (kla - w\a), Е2а = и2а + V2u2 A.3.53)
Как правило, аналогично A.3.39) можно пренебречь изменением
кинетической энергии массы фазового превращения при ее пере-
переходе через межфазную границу, т. е.
Е2а — Е1а&и2а — ща. A.3.54)
Уравнения кинетической энергии макродвижения фаз полу-
получаются из уравнений импульсов
It T
' A-3.55)
J j 2 • К - v2) + p2g2 • v2.
Межфазная работа и теплообмен. Конкретизируем величины
zi и qZi, характеризующие межфазную работу и теплообмен.
§ 3. БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ МОНОДИСПЕРСНАЯ СМЕСЬ 81
Пусть Та = Тъ = Tia = Тга ~ средняя температура на поверх-
поверхности дисперсной частицы. Тогда естественно принять
rQ _ ГО = 4яа2 NuAv \ г> (Nui =
A.3.56)
где $Si — коэффициент теплообмена между 2-фазой и i-фазой,
%i — коэффициент теплопроводности вещества i-й фазы, Nu,- —
число Нуссельта — безразмерный параметр, характеризующий
отношение размера частицы к толщине температурного погран-
слоя в ?-й фазе около межфазной границы и определяемый из
дополнительных соображений или из опыта (см. ниже).
Используя средние радиальные давления фаз р[а и р\а на
межфазиой поверхности (см. A.3.10) — A.3.14)), которые разли-
различаются только из-за поверхностного натяжения, можно записать
следующие выражения:
^21 = f21' V2 + 47ia2prlaWla (pia = Pia + 41U,U>la/a),
A.3.57)
где первые слагаемые в правых частях определяют работу меж-
межфазных сил на перемещении дисперсной частицы со скоростью
v2, а вторые слагаемые — работу на радиальных перемещениях
из-за фазовых переходов или расширения (сжатия) пузырька.
Нет смысла обсуждать приемлемость условия р\а = р2 в случае
конденсированных дисперсных частиц, так как <в этом случае
w2a = 0 и использование этого условия никак не влияет на вы-
вычисление межфазного взаимодействия и, в частности, на вычис-
вычисление ks2-
Используя уравнения сохранения масс на межфазной грани-
границе A.3.4) и второе уравнение A.3.6), связывающее w2a и d2p2/dt,
имеем
A.3.58)
"г
Подставляя первое выражение в формулу для ASi, получим
h* + hS2 =4я2а (prla - f2a) ^ + /21 D - 4) =
dt \ ;
= -2|Dяа2) + /214 + 712^. A-3.59)
6 Р. И. Нигматулин, ч I
82 ГЛ 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
Тогда уравнение энергии S-фазы можно переписать в виде урав-
уравнения притока тепла
— /12
Az = S^Dna2). A.3.60)
Здесь первое слагаемое в правой части определяет приход или
уход тепла из S-фазы, второе и третье — приход или уход энер-
энергии из S-фазы из-за переноса массы через S-фазу при фазовых
превращениях, последнее слагаемое As — работа внутренних (ка-
(капиллярных) сил в S-фазе, отнесенная к одной дисперсной
частице.
Уравнения притока тепла фаз. Тепловой энергией S-фазы
можно пренебречь (в силу ее пренебрежимо малой массы) и
учитывать только ее упругую энергию из-за поверхностного на-
натяжения*), чему соответствует
— Dла2?/2) = S ~ Dла2). A.3.61)
Если пренебречь также работой вязких напряжений, то уравне-
уравнение притока тепла на межфавной границе примет вид
-(Qxi + qxo)-h1(ula+^)-i1Ju2a + ^) =0. A.3.62)
V Pi/ \ PJ
Вычитая уравнение кинетической энергии A.3.55) из урав-
уравнения энергии второй фазы A.3.52) и учитывая выражение для
hM, следующее из A.3.57) и A.3.58), получим уравнение при-
притока тепла дисперсной фазы
dt 2 12 2а 2 ^ ^
A.3.63)
где р2^2 — работа внутренних сил на сжатие или расширение
дисперсной фазы.
Аналогично, вычитая из уравнения энергии первой фазы
A.3.52) уравнение кинетической энергии ее макродвижения
A.3.55), получим уравнение изменения суммы внутренней и
*) Следует иметь в виду, что тепловая и упругая энергии 2-фазы —
величины одного порядка, но вклад тепловой энергии 2-фазы в тепловую
энергию среды обычно ничтожно мал. В то же время вклад упругой энер-
энергии 2-фазы в упругую энергию среды может быть заметен. Поэтому обычно
учитывается только упругая энергия 2-фазы.
§ 3. БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ МОНОДИСПЕРСНАЯ СМЕСЬ 83
пульсационной энергии (ui + ki) несущей фазы. Для разделения
этого уравнения необходимо привлечь или независимое уравне-
уравнение пульсационной энергии ки или независимое уравнение при-
притока тепла для Ui.
При принятом предположении об отсутствии хаотического
движения дисперсных частиц кинетическая энергия пульсацион-
ного движения несущей фазы может быть представлена в виде
суммы двух составляющих: кинетической энергии к1г мелкомас-
мелкомасштабного радиального движения (из-за wla) и кинетической
энергии ktv мелкомасштабного движения вокруг частиц из-за их
относительного поступательного движения в несущей жидкости
(из-за wi2.):
k1 = kir + ktv. A.3.64)
В рамках ячеистой схемы (см.гл.З книги Р. И. Нигматулина
A978)), полагая, что в ячейке распределение радиальных ско-
скоростей несущей жидкости описывается в виде wlr = ш1аа^/г'^,
для к1г можно получить следующее уравнение:
К = s \ A - W) Ы1/3 « 1,1). A.3.65)
Тогда изменение kir определяется уравнением Рэлея — Ламба
A.3.15).
Для задания изменения kiv нужно привлекать независимое
дифференциальное уравнение (которое здесь рассматриваться
не будет; см. § 2 гл. 4 в книге Р. И. Нигматулина, 1978), опре-
определяющее это изменение работой силы трения fw и присоединен-
присоединенных масс fm на относительном движении фаз со скоростью
Vj — v2 и работой внутренних сил вязкости Alv в рассматривае-
рассматриваемом мелкомасштабном движении.
Естественно, что уравнение притока тепла несущей фазы
имеет вид, аналогичный A.3.63)
Здесь, помимо приведенного потока тепла <?!„., необходимо задать
работу внутренних сил piAi в несущей фазе. Эта работа может
быть представлена в виде суммы нескольких составляющих
О
Pl-^l = ~^ ~[f + ТЦ е + Pl^lr + Pi^ii»
< = 2ц (еы - V3emm6"),
где первое слагаемое — работа внутренних сил давления на сжа-
сжатие или расширение вещества несущей фазы, второе — работа
вязкого сдвигового напряжения (диссипация) на макроскопиче-
84 ГЛ i. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
ской деформации; pt^ilr и ptAiv — работа вязких сил (диссипа-
(диссипация) соответственно в мелкомасштабном радиальном движении
и мелкомасштабном движении из-за поступательного движения
частиц.
Уравнения состояния. При раздельном описании фаз, когда
смесь полагается макроскопически локально неравновесной, бу-
будем полагать справедливой гипотезу макроскопического локаль-
локального равновесия в пределах фазы, что позволяет вводить локаль-
локальную макроскопическую температуру каждой фазы Ти T2,_T? и
использовать уравнения состояния фаз, полученные для одно-
однофазных состояний
Щ=иг{р°, Тг), р° = р°(А-,Г0 (i = l,2), S = S(rs). A.3.68)
В дальнейшем будут использоваться также выражаемые че-
О
рез их, Pi, T(, pi такие термодинамические функции, как удель-
удельные, т. е. отнесенные к единице массы, энтальпия U, энтропия sh
свободная энергия ср{ и термодинамический потенциал Гиббса
(свободная энтальпия) z,-:
к (Pi, Ti) = Щ +Pi/P°u Tidsi = dui + pid(l/p°),
о N о A.3.69)
Фг (Pi. Ti) = щ — TiSh z{ (рг, Тг) =щ+ / 7>
Заметим, что энтропия s,-, так же как щ и U, определяется с точ-
точностью до постоянной, а соответственно ф< и z; —с точ-
точностью до линейной функции Ti. При этом внутренняя энергия
и и энтропия s двухфазной дисперсной смеси являются аддитив-
аддитивными по массам фаз, а энтальпия i и термодинамический потен-
потенциал z задаются аналогичным соотношением, но учитывающим
вклад капиллярной составляющей
S, A.3.70)
Тг)+ 4кагп%.
Нетрудно доказать, что dzi = A/рг)dpi — SidTi, т. е.
dzi
=~Si
Рассмотрим уравнения состояния фаз в случае смеси газовой
и конденсированной (твердой или жидкой) фаз. Для обозначе-
обозначения параметров газовой и конденсированной фаз вместо цифро-
цифровых перейдем к буквенным индексам, соответственно g и I.
Уравнения состояния будем рассматривать в конечной окрестно-
окрестности некоторого фиксированного состояния ро, То, фиксированные
параметры в котором будут снабжаться дополнительным нижним
индексом 0. Для газовой фазы, которую будем считать кал ори-
§ 3. БВССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ МОНОДИСПЕРСНАЯ СМЕСЬ 85
чески совершенным газом, имеем
Pg = Pg-RgTgi
Ug = cvg (Tg — 10) -f- Ug0,
h = ug + pg/pg = cg (Tg - To) + ig0 A.3.72)
(Rg, Cvg, Cg = const, cvg = cg — i?g).
Конденсированную фазу будем рассматривать как линейно слабо
сжимаемую под действием только среднего давления фазы pt
среду с постоянной теплоемкостью
Р° — Р°о = (Pi — Po)/C2h
р
Щ = сг (Т, -То)-\ Pid (^] + и10 « сг (Г, - То) + ф^4, + "го,
A.3.73)
iI = ttI + 3«ei(rIr0)+^ + ^ + ift,
^ 2(P/ocz) Рго
(Ch Ci = const),
где Ci — скорость звука в веществе конденсированной фазы,
в которой пренебрегается тепловым давлением, т. е. влиянием
температуры на давление. Для несжимаемой конденсированной
фазы Ci = оо. Величины ig0 и гш фиксированы. При отсутствии
фазовых переходов они могут быть произвольными и, в частно-
частности, равными нулю, так как не играют никакой роли. Если газ
является паром конденсированной фазы, то имеется температура
насыщения смеси Тв{р), а разница энтальпий определяет теп-
теплоту парообразования
I (Р) = ig (P, Ts (Р)) - */ (Р, Ts (p)) -
= igo — ho + (cg — ci) (Ts (p) — To) — p/p° + po/P°o —
откуда следует условие нормировки
iia - ho = l{po) + (ct - ся) {Ts(po)~ To). A.3.74)
Отсюда же вытекает необходимое условие пригодности прибли-
приближения постоянных теплоемкостей в заданном диапазоне давле-
давлений и температур для описания фаз в парожидкостной смеси,
а именно: в заданном диапазоне параметров теплота парообразо-
парообразования должна мало отличаться от зависимости (для упрощения
примем Ci = оо)
= 1 (Ро) - fa - с8) (Та (р) - Т8 Ы) - Pl9i +PolP°io- A-3-75)
86 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
Зависимость температуры насыщения фаз от давления удов-
удовлетворяет дифференциальному уравнению Клапейропа — Клау-
зиуса
Это уравнение следует из условия равенства термодинамических
потенциалов фаз в состоянии насыщения (с плоской межфазной
границей)
ziS(T)=z2S(T) (zlS = z,(psGI), T), i = l, 2, I, g). A.3.77)
Если это уравнение продифференцировать по Т и учесть A.3.71),
то получим дифференциальное уравнение A.3.76), определяю-
определяющее зависимость ТБ(р) или ps(T).
Хорошей аппроксимацией зависимости Тв{р) является функ-
функция, определяемая фиксированными параметрами Т° и р°
Подставим эту зависимость с учетом уравнения совершенного
газа (р = pgsRgTs) в A.3.76). Тогда получим, что в том диа-
диапазоне, где справедливы принятые уравнения с фиксированными
величинами Re, cg, ch p;, Т°, р°, теплота парообразования долж-
должна быть практически постоянной:
l(p) = Rgr A-р°е8/р°д. A.3.79)
В этом случае, если при некотором р0 заданы теплота парообра-
парообразования 1(ро), температура насыщения Ts(po) и плотность пара
Pgs(Po)i то из последних двух выражений и уравнения
Pgs {Ро) = Po/(RgTs (Po)) легко определить параметры Rg, T°,
определяющие зависимости Ts(p0) и pgs(p)-
Уравнения термодинамического равновесия дисперсной смеси.
В состоянии равновесия фаз со сферическими межфазными гра-
границами параметры фаз связаны следующими условиями:
Тг = Т± = Т, p2 = Pl + 2Z/a, z2(p2, T) = Zi(pu T). A.3.80)
При фиксированных ри Т и массе смеси система стремится к со-
состоянию с минимальным значением z. При этом если z2 (p2, T) <¦
<zi(pl, T), то состояние вещества в виде первой фазы будет не-
неустойчивым и она будет превращаться во вторую, т. е. пузырьки
или капли будут расти. Если z2(p2, T)> Zi(pu T), то неустойчи-
неустойчивым будет состояние второй фазы и она будет превращаться в
нервую, т. е. пузырьки или капли будут исчезать.
Из A.3.80) и A.3.77) следует
Мр„ n-ZtipsiT), T) = zz(p2, T)-z2(ps(T), T). A.3.81)
§ 3. БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ МОНОДИСПЕРСНАЯ СМЕСЬ 87
Это уравнение, учитывая A.3.71), можно выразить через инте-
интегралы вдоль изотерм
Г _ie_ = Г _*L_% или Г -JP- = Г
. A.3.82)
)
Полагая, что вдоль изотерм плотность пара пропорциональна
давлению, а жидкость несжимаема:
Pg/Pgs = PlPs, P° = const, A.3.83)
получим уравнение равновесия, связывающее отклонение давле-
давлений фаз pt и pg на сферической межфазной границе между па-
паром и жидкостью от давления насыщения ps
In Ei^l = ^§-Pl {a) ~ Ps (j>i(a)=pg(a)±22/a). A.3.84)
Ps Pt Ps
При анализе этого уравнения следует учитывать, что обычно
pi~ pg~ Ps, (pgs/piT = (pgs/ <C 1- A.3.85)
Тогда для пузырька заданного радиуса а в перегретой жидкости
(Pi = Pi, Pg = Pi, Pg — Pi + 2Ua) при равновесии имеем
9У Р„с 9У
o(l— Pgs) 1— P gS
Пузырек будет расти, если давление в жидкости pi меньше
Pi(a), а в противном случае он будет исчезать. Отсюда получаем,
что радиус растущего, т. е. «жизнеспособного» пузырька, являю-
являющегося зародышем паровой фазы в перегретой жидкости, должен
превышать критический радиус а*, зависящий от перегрева
жидкости
(Pl<Ps). A-3.87)
(Ps~Pi)v Pgs)
Для капли (pg = pt, pi = pz, pi = pg + 22/a) аналогично имеем
условие равновесия в виде
Pi (а) = Ps + а ,± ^~о у Pg (a) = Ps + t_g~° ~- A-3.88)
Радиус растущей, т. е. «жизнеспособной» капли, являющейся за-
зародышем жидкой фазы в переохлажденном паре, должен также
превышать критический радиус а*:
A.3.89)
ГЛ 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
Отметим, что при одной и той же температуре Т1 и метастабиль-
ности \р — ps\ критический размер а^ зародышей капель в слу-
случае переохлажденного пара во много раз меньше (в l/pgs Раз),
чем аналогичный размер пузырей в перегретой жидкости.
Кинетика фазовых переходов. Анализ процессов уноса и
осаждения молекул пара на межфазной границе приводит к фор-
формуле Герца — Кнудсена — Ленгмюра (см. также § 4 гл. 2) для
результирующей интенсивности фазовых превращений
¦ (ps(Tla)- Pg)
, Ts (pg))x A-3-90)
где $m — коэффициент аккомодации или конденсации, показыва-
показывающий, какая доля молекул пара, попадающш на поверхность
жидкости, адсорбируется ею (остальная доля 1 — Eт зеркально
отражается). Коэффициент аккомодации f>m зависит от контакти-
контактирующих фаз.
Из уравнения Клапейрона — Клаузиуса A.3.76) следует
связь между Ар = ра(Г) — р и ДГ = Т — Ts(р):
A.3.91)
где значения Т,
, pi, I соответствуют состоянию на линии на-
насыщения между точками ST и Sp
(рис. 1.3.4).
Тогда уравнение кинетики может
быть выражено через перегрев (для
испарения) или переохлаждение (для
конденсации)
»«-"Р Ts(pg) ' "Р 1
A.3.92)
Рис. 13.4. Линия иасыще- Эта формула соответствует линей-
ния SK в координатах р, Т ному феноменологическому соотноше-
соотношению A.1.77) с коэффициентом К} =»
= K$I(TSV), определяемым через коэффициент аккомодации ^т
и физические характеристики газа.
В большом количестве задач приемлемой является равновес-
равновесная схема межфазной границы, согласно которой, несмотря на
неравновесность в объеме фаз, характеристики фаз на самой
межфазной границе удовлетворяют условиям термодинамического
равновесия
ш — Ts
A.3.93)
§ i. УРАВНЕНИЯ ГИДРОМЕХАНИКИ ГАЗОВЗВЕСЕЙ 89
что формально реализуется при К$ -*¦ °°. В этом случае уравне-
уравнение кинетики A.3.92) дает неопределенность оо . О, и скорость
фазовых переходов определяется при заданных qsu g22 из урав-
уравнения притока тепла на межфазной поверхности A.3.62).
§ 4. Уравнения гидромеханики монодисперсной смеси
идеального газа с каплями или частицами (газовзвесей)
Наряду с допущениями 1—6, перечисленными в начале § 3,
примем следующие, характерные для газовзвесей:
— вязкость и теплопроводность фаз проявляются лишь в
процессах межфазного взаимодействия, характеризуемых вели-
величинами jfi2, /д, qz,, /isi, и не проявляются в макроскопическом пе-
переносе импульса и энергии, характеризуемом величинами 0*1*,
ci*> 9i«» т. е. примем
а*г _ о, д* = 0; A.4.1)
— плотность газа (первой фазы) много меньше плотности
конденсированной (второй) фазы, которую в свою очередь мож-
можно считать недеформируемой, так что работа внутренних сил
в дисперсной фазе равна нулю:
00000 1 П Л Л1 /Л I П\
рх = pg<C р2== Рь Рг = const, ш2а = «, Л2 = U; A.4.2)
— в силу малой плотности и не очень больших скоростей ши
и w2l энергия мелкомасштабного движения несущей фазы мала,
так что перепады давления около дисперсных частиц малы,
и средние давления фаз могут отличаться только за счет поверх-
поверхностного натяжения:
ki = 0, Пы = 0, рг = Pi + 2Ua, Pi.=pia = p. A.4.3)
Уравнения сохранения, совместного деформирования и состо-
состояния фаз. Благодаря упрощению A.4.1), из A.3.31) и A.3.36)
следует A.3.37). Далее, принимая во внимание упрощение
A.4.3), получим, что в микроскопическом движении несущая
фаза является невязким нетеплопроводным газом:
°i» = — рдН\ Чхч = 0, с^ = — р (аА + a2vz), A.4.4)
и система уравнений сохранения массы A.3.3), импульса
A.3.48) и энергии A.3.52) и A.3.63) примет вид
а2 = -2-, р°2 = const, р° = -.—±— Ь
\ Р2 1 ~ a2j
90 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
4ла2р°
+ (l - 4" «a) nj12wk12 + (l - 4" «
p2 ^ = - -f а2 ^ + (l - А а2) я/* + 4 О.Х
-s-
«! - «2
d и 22
p2-|f = W?22 + И/га (U2a — U2). P2 = P + — (M2a = U% (Ta)),
—qzi — Qz2 + hAha — i2a) = 0 (iia = ii (p, Ta), ha = U(Pz, Ta)).
Здесь выписано уравнение полной энергии смеси, которое
имеет дивергентный вид, так что любые внутрифазные и меж-
межфазные взаимодействия не могут изменить полную энергию сме-
смеси, имеющую вид
рЕ = Pl (Ul + V8 v\) + p2 (ия + V2 vl).
Уравнения состояния фаз согласно A.3.72), A.3.73), A.4.2)
имеют вид *)
Р = Pi^i^i. h = h (P> Ti) = ui + PfPi = ciiTi— To) + ho'
Pa = const, i2 = i% (p2, Г2) = u% + ^г/рг = c2 (f 2 — Го) +
+ (Рг — Po)/P2 + ho-
*) Заметим, что в несжимаемой фазе (в данном случае дисперсной)
давление р?, входящее в определение энтальпии г2 = и% + Р2/Р2> ие может
быть определено из термодинамического уравнения состояния типа
р2 = р2 (р2, Т2). Это давление р2 определяется, как всегда в гидродинамике
несжимаемой жидкости, из уравнения движения с учетом граничных
условий. В данном случае таковым является принятое уравнение равнове-
равновесия с несущей фазой (внешней средой): рг = pi + 2S/o. При этом, хотя
уравнение состояния для внутренней энергии является однопараметриче-
сь'им (и2 — U2(T2)), зависимость для энтальпии h является двухпарамет-
рической: г'2 = i^T2, рг) = и2(Г2) + pj?°2. Эта зависимость i2(T2, рг)
может рассматриваться как уравнение состояния.
§ 4. УРАВНЕНИЯ ГИДРОМЕХАНИКИ ГАЗОВЗВЕСЕЯ 91
Если несущая фаза является паром вещества капель или частиц,
то следует учитывать условие нормировки A.3.74) для i,0 — iZu.
Вычитая из уравнения полной энергии смеси уравнения ки-
кинетических энергий фаз, следующие из уравнений импульсов
в виде A.3.45) или A.3.48), уравнение притока тепла второй
(несжимаемой) фазы и учитывая уравнение притока тепла на
межфазной границе, получим уравнение притока тепла газовой
фазы, соответствующее принятой системе уравнений и близкое
к A.1.45) или A.3.66):
А[ = {Fhm + Fl) w\2 + Va A - 2a2)
= [A - 3/2 a2) nfl + V2 (pxrf - Vftp)l h& + V2
A.4.7)
Fkm =
При этом изменение «истинной» плотности газовой фазы в соот-
соответствии с уравнениями сохранения масс фаз и с учетом несжи-
несжимаемости второй фазы определяется следующим уравнением:
4- - А
Р2 Pi /
A.4.7а)
Уравнения энергии смеси и притока тепла газовой и несжи-
несжимаемой конденсированной фаз могут быть переписаны через эн-
энтальпии фаз:
Р2 ~Jf = «2 "^ + <?Х2 + ^12 («2а — «а) «?22
Межфазное взаимодействие в газовзвеси. Силу межфазного
трения в соответствии с A.3.41) будем задавать с помощью ко-
коэффициента трения, используя соответствующие зависимости
для обтекания твердой сферы несжимаемой жидкостью (см. ни-
ниже § 1 гл. 2) и учитывая поправки т]? на стесненность обтекания
92 ГЛ 1 УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
(¦фа см. A.3.42) — A.3.44)), деформацию капель (^We) и сжимае-
сжимаемость несущего газа ()
A.4.9)
Для малых чисел Рейнольдса (Re12 < 1) и ничтожно малых
объемных концентраций дисперсной фазы (а2 -*¦ 0), когда i|)o = l,
приведенные формулы дают известный закон Стокса A.3.42),
которому соответствует К^ = 9/2.
В соответствии с данными работ (G. Wallis, 1969; D. Carlson,
R. Hoglund, 1964) для газовзвесей при ReJ > 1 и а2 ^ 0,05) упо-
упомянутые поправочные коэффициенты г[з можно принять в виде
г[,а = A-а2Г2'7,
H>We = ехр @,03 Weli6) при 0 < We12 < 25 (We12 = 2a9°1wlJ?),
A.4.10)
Интенсивность теплообмена между поверхностью дисперсной
частицы или капли с дисперсной и несущей фазами определяется
соответствующими числами Нуссельта A.3.56), для которых
можно использовать следующие значения:
A.4.11)
Здесь v? — коэффициент температуропроводности i-й фазы
(обычно ViT) = v^r)> v(;T>^ v2r)). Значение Nui = 2 соответ-
соответствует стационарному сферически-симметричному распределению
температур, когда температуры на сфере и вдали от нее фикси-
фиксированы и равны соответственно Та и 7\. В выражении для Hut
учтено интенсифицирующее влияние обтекания частицы потоком
газа. Значение Nu2 = 10 соответствует предельному значению
<lsjBпаХ2(Т'а—Т2)) при t -*¦ оо и фиксированной температуре
на поверхности сферы Та, отличающейся в начальный момент
от Т2- Представленные значения Nu,, которые будут называться
квазистационарными, можно использовать для расчета только
при относительно медленных изменениях температур 2\, Тг, Та
§ 4 УРАВНЕНИЯ ГИДРОМЕХАНИКИ ГАЗОВЗВЕСЕЙ 93
с характерными временами t(T) "С a2/V>r> (j _ \t 2) (см. § 8 гл. 2).
Обычно можно пренебречь тепловым сопротивлением внутри ка-
капель и частиц, полагая Та = Тг. Будем предполагать условие рав-
равновесия фаз на межфазной границе
Ta = TS(p2), Ua— l2a = hs ~ tzS ~ ЧРг) , A.4.12)
что позволяет определять интенсивность фазовых переходов при
заданных формулах для теплообмена
h2l = qsi + qzz. A.4.13)
О граничных условиях на непроницаемых поверхностях. Гра-
Граничные условия для системы уравнений A.4.5) на параметры
газовой фазы ставятся так же, как и для идеального газа. На не-
непроницаемых поверхностях для газовой фазы — это условие не-
непротекания (v™ — 0), а для дисперсной фазы, которая не имеет
«собственного» давления, условие на v\ может быть произволь-
произвольным. В частности, это может быть условие непротекания (у™ =
= 0), что может привести к появлению на обтекаемой границе
расгущей зоны с плотной упаковкой частиц, которая ограничи-
ограничивается поверхностью разрыва концентраций и скоростей фаз, пе-
перемещающейся навстречу налетающим частицам. В качестве
других возможных вариантов граничного условия для скорости
дисперсных частиц может быть условие «исчезновения» частиц,
попавших на поверхность и условие отражения от поверхности.
Последнее приведет к появлению дополнительной, «отраженной»
дисперсной фазы, имеющей другое (третье) поле скоростей (см.
§ 7, 8 гл. 4).
Газовзвесь с фракциями падающих и отраженных от твердой
поверхности частиц. Если при обтекании твердого тела дисперс-
дисперсные частицы подходят к поверхности тела с ненулевой нормаль-
нормальной скоростью, то в результате соударения они могут отскочить
в поток. Особенно это может быть характерно для взвесей твер-
твердых частиц. Появление в потоке фракции «отраженных» частиц,
имеющих отличную от «падающих» частиц среднюю или макро-
макроскопическую скорость, требует, как выше отмечалось, введения
в модель третьей фазы. В свою очередь фракция «отраженных»
частиц может под действием газового потока снова «упасть» на
обтекаемую твердую границу. Отражение этой фракции, анало-
аналогично предыдущему, должно привести к появлению четвертой
фазы, или третьей фракции частиц, претерпевших два отраже-
отражения, и т. д. В результате анализ течения неоправданно услож-
усложнится. В этом случае целесообразно ограничиться, например,
трехскоростной схемой с двумя фракциями дисперсной фазы (па-
(падающие — вторая фаза и отраженные — третья фаза). Для того
чтобы выполнялись уравнения сохранения массы, импульса и
энергии дисперсной фазы, необходимо ввести в соответствующие
94 Ш 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
уравнения обмен массой, импульсом и энергией между фракция-
фракциями за счет их взаимных столкновений, в результате которых реа-
реализуется «фазовый переход» 3 -»- 2 с интенсивностью г|K2, в кото-
котором частицы третьей, или «отраженной» фазы переходят во вто-
вторую («падающую») фазу. Тогда, если для сокращения записи
пренебречь объемной концентрацией дисперсной фазы (сс2 < 1,
а3 <С 1) и фазовыми переходами между газовой и твердой фаза-
фазами, то уравнения сохранения массы и импульса примут вид
, р3 = 7з я
V'l _. dp pk Fh , h ph ,k Fk _
Pi ~t —1 ~ b 12 — ^ 13 + Pi? , ^ 12 = И2/М.2> ^ 13 =
P2 -jf = -f 12 + ^32+ /32
A.4.14)
Рз ~ = F\3 - ^32 - /32(^2 - ^з)+ Рз/,
где F\j — сила межфазного взаимодействия, определяемая раз-
постью скоростей v\ — Vj, причем /^2 п /ц3 — силы вязкого тре-
трения, приходящиеся на одну частицу соответственно второй и
третьей фазы и определяемые разностями скоростей vx — v2 и
г'1-^з; 4> см. обсуждение A.1.37) и A.2.37).
Граничные условия для дисперсной фазы на непроницаемой
поверхности с единичной нормалью п имеют вид
(„: = vrn, t = 2,3);
1)
где к{п\ км ^ 1 — соответственно коэффициент восстановления
нормальной скорости при ударе и коэффициент ударного трения,
зависящие от свойств и состояния соударяющихся поверхностей.
При идеальном, абсолютно упругом ударе /с(п) = /с(т> = 1.
Рассмотрим элементарную схему для подсчета числа соударе-
нийг|K2 между частицами второй и третьей фаз в единице объема
и в единицу времени. Если выделить одну пробную частицу вто-
второй фазы, то за единицу времени об нее ударятся все частицы
третьей фазы, находящиеся в цилиндре радиуса 2а и высотой
lv3 — v2l, объем которого "&* = nBaJ|v3 — v2|. Таким образом,
число частиц третьей фазы, ударившихся в единицу времени об
одну частицу второй фазы, равно п3$*, общее число соударений
§ 4. УРАВНЕНИЯ ГИДРОМЕХАНИКИ ГАЗОВЗВЕСЕЙ 95
в единице объема будет равно
^I2 = n2n3ff* =Ала2п2п31 v3 — v2|,
а избыточный импульс ударившихся частиц третьей фазы в дви-
движении относительно второй фазы равен
F*32 = */зпа3Р°2.Ч>32 (v3 — v2).
Введем коэффициент хG) < 1, соответствующий доле соударений
гр32> приведших к переходу частиц третьей фазы во вторую, и ко-
коэффициент x(F) < 1, соответствующий доле импульса, перешед-
перешедшего из третьей во вторую фазу и не связанного с переходом
массы. Тогда межфазное взаимодействие между второй и треть-
третьей фазами можно задать следующими выражениями:
о I \\ \91 vS\
0 A.4.16)
= 16/з паьр2п2п31 v3 — v21 (v3 — v2) <*>
Уравнения на скачке в газовзвеси. Рассмотрим применитель-
применительно к газовзвесям соотношения на поверхностях разрыва. Учиты-
Учитывая выражения для ах!* и c1S!, уравнения сохранения A.1.62)
можно представить в виде (см. также A.1.63))
"*i = РГ (*Г - ^)=Pi+ №+ - D), /n2=P2- (иГ~ D) = pt{vl+-D),
m1[vi]D + m2[v^]D + {p]D = 0, mx \v\\D + m2 [vJ]D = 0, A.4.17)
™-i ["i + 1/2vI'\d + m2 [u2 + 1l2v\]D 4- \pa1v1 + pa.2v2]D = 0
где Vj=v^ — fг п —- проекция вектора скорости на плоскость,
касательную к поверхности разрыва. Вводя нормальные скоро-
скорости фаз Wi = у" — D относительно поверхности разрыва, урав-
уравнение энергии с учетом уравнения импульса можно преобра-
преобразовать
Г w*\
ml \ul -f "о~
L г }d
р р.
и привести к следующему виду:
т?и + 7,(v, — Dn)% + m2[i2 + 72(v2 - DnJ]D = 0. A.4.18)
При разделении уравнений импульса и энергии смеси A.4.17)
по фазам учтем, что в силу несжимаемости частиц и отсутствия
96
ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
заметного теплообмена частиц с газом из-за малого времени пре-
пребывания в зоне скачка имеет место
m2[u2]D = 0 ([в,]о = н,+ -иГ). A.4.19)
В зоне скачка обмен импульсом между газом и частицами
может успеть произойти только за счет
сил давления, ибо силы трения не ус-
успевают произвести заметный эффект.
Примем, что указанный обмен проис-
происходит так, как будто недеформируемая
частица проходит движущийся со ско-
скоростью D скачок давления в газе (рис.
1.4.1) так, что справа от скачка дав-
давление газа равно р*, а слева равно р~.
Согласно принятой схеме, пренебрегая
массовыми силами, имеем дифферен-
дифференциальное уравнение движения частицы
в виде
dt
- [P)dS (I) n,
Рис. 1.4.1. Упрощеппая схе-
ма прохождения частицей
скачка в газе
что
гДе Ъ - объем частицы, S{1)~ сече-
ние частицы на расстоянии | от ее пе-
передней точки до скачка. Учитывая,
получим
Р>2 № - D) dv2 = - [p]DS (I) dgn.
Полагая, что при прохождении частицы скачок имеет постоян-
постоянную интенсивность [p]D и скорость D, получим после интегриро-
интегрирования по § от 0 до 2а
\l = const ([vl]D = О),
Р2'
— = -Ip\d.
A.4.20)
В представленной схеме не учитываются возмущения, вноси-
вносимые частицей в поток газа. Для рассматриваемого случая газо-
газовзвеси этой схемы вполне достаточно, ибо если полученная фор-
формула верна по порядку величин, то можно показать, что скачком
скорости дисперсных частиц и обменом импульсом между газом
и частицами можно пренебречь, а параметры газа за скачком
можно рассчитывать по тем же формулам, что и для чистого га-
газа, не обращая внимания на присутствие частиц (Р. И. Нигма-
тулин, 1967). Докажем это утверждение.
§ 4. УРАВНЕНИЯ ГИДРОМЕХАНИКИ ГАЗОВЗВЕСЕЙ 97
Учитывая уравнения для частиц A.4.19) и A.4.20), из урав-
уравнения энергии смеси A.4.17) легко получить уравнение энергии
газа
m, [*i + ЧАЪ = 0, A.4.21)
которое совпадает с уравнением энергии на скачке в чистом газе
(без дисперсных частиц). Примем во внимание, что для калори-
чески совершенного газа [i^D = (ci/^i) [p/pjo. Тогда
[w>l]D = (и-2 -f ivt) [w2]D = — 2 [p]D/P°2,
Wi\d={u>7 + wt) [wa]D=— 2 [yD=
= - 2 (cjRJ [p/?\D ~ - [p]D/p°. A.4.22)
Изменение импульса газа определяется уравнением импульса
смеси
о_ _ I __
Если ш2_ ~ u?!_, то для сомножителя if, принимая во внимание
A.4.22), имеем
"а
ь/q=
Таким образом, имеем
^Ц [ L 4)) A-4.23)
и, учитывая первое уравнение A.4.17) и A.4.21), получаем, что
параметры несущего газа на скачке можно рассчитывать по фор-
формулам для чистого газа, не обращая внимание на присутствие
дисперсных частиц, а скачком параметров дисперсных частиц
можно пренебречь, что соответствует отсутствию какого-либо
7 Р. И. Нигмагулин, ч. I
98 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
взаимодействия фаз на поверхности разрыва:
°— — / П— т\\ °+ 4- / П+ г-Л
Pi аг [у1 — и) = рх c&i [v1 — D) = mv
(TL— j-Д ° 4- / 71-4- t-v\
v2 — D) = p2ct2 ^2 — J-'l =
m2' A.4.24)
"»i [Vib + [p]cn = 0, ?n2 [v2b = 0,
mi \-h + V2 (yi — -OJ]d = 0, m2 [u2]D = 0.
Равновесная схема газовзвеси в виде калорически совершен-
совершенного газа. Если можно положить, что скорости и температуры
несущего газа и дисперсной фазы совпадают
у = v, = v Т = Т2 — Т A.4 25)
то такая смесь является равновесной. Тогда, если сложить по-
попарно уравнения сохранения фаз A.4.5), то получим уравнения
сохранения смеси в виде уравнений идеальной (невязкой, нетеп-
нетеплопроводной) сжимаемой среды
dxk P dt ~ dxh
A.4.26)
(p" =
В равновесной смеси при отсутствии фазовых переходов (/ = 0)
массовые концентрации фаз в частицах смеси не меняются
* = 1, 2; *< = ?; *! + *, = l), A.4.27)
что нетрудно показать, используя уравнения сохранения масс
фаз. Поэтому, если равновесная смесь была однородной по со-
составу, то при отсутствии фазовых переходов она однородной и
останется, и можно считать хи х2 = const.
Если объемная концентрация дисперсной фазы мала (а2 < 1),
а несущий газ является совершенным A.4.6), то нетрудно пока-
показать (см. § 5 гл. 1 книги Р. И. Нигматулина A978)), что равно-
равновесная схема приводит к модели эффективного совершенного
газа для смеси в целом:
(8)
(R = XiRi = const, с = XiCi + хгсг = const).
Нетрудно определить показатель адиабаты *\ и скорость звука С
равновесной газовзвеси
Таким образом, если использовать равновесную схему разре-
разреженной газовзвеси без фазовых переходов, то газодинамические
§ 4. УРАВНЕНИЯ ГИДРОМЕХАНИКИ ГАЗОВЗВЕСЕЙ 99
расчеты проводятся обычным образом по классическим уравне-
уравнениям A.4.26), A.4.28) газовой динамики совершенного газа,
имеющего эффективный показатель адиабаты смеси у и скорость
звука С.
Уменьшение размера частиц при фиксированных прочих па-
параметрах приводит к ускорению межфазных релаксационных
процессов, стремящихся выравнивать скорости и температуры
фаз. Поэтому для краткости равновесную схему будем обозна-
обозначать как «а = О».
«Замороженная» схема. Помимо равновесной схемы «а = 0»,
имеет смысл рассматривать другую предельную схему с «замо-
«замороженными» межфазными релаксационными процессами, когда
частицы не оказывают влияния на течение газа, а газ — на ча-
частицы, и посему последние движутся прямолинейно и равномер-
равномерно, не меняя своей температуры
Clt (IX
Замедление межфазных процессов происходит, если увеличивать
размер частиц при фиксированных прочих параметрах. Поэтому
по аналогии с равновесной схемой «замороженную» схему будем
обозначать как «а = °°».
Как и в случае равновесной схемы «а = 0» расчет параметров
газовой фазы по схеме «а = °°» при малых объемных концентра-
концентрациях частиц (а2 < 1) сводится к решению обычных уравнений
газовой динамики для «чистого» совершенного газа
dxv\
A.4.31)
имеющего показатель адиабаты ft и скорость звука Сь
Время скоростной межфазной релаксации. Как будет показа-
показано ниже, в волновых, вибрационных и других динамических про-
процессах в газовзвесях определяющими обычно являются двухско-
ростные эффекты из-за относительного движения фаз, характе-
характеризуемого их силовым взаимодействием. Для оценки роли этих
эффектов и возможности использования для расчетов только что
описанных предельных схем имеет смысл ввести характерное
время выравнивания (релаксации) скоростей фаз, исходя из
уравнения движения частицы в однородном потоке несущей фазы,
7*
100 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
движущейся со скоростью v0:
f = 0: у2 = у20.
Если характерные числа Рейнольдса обтекания частицы не-
невелики (Rei2 < 1, то, используя закон Стокса (Сц = 24/Re12)
получим, что сила межфазного взаимодействия пропорциональна
(v0 — v2) и вязкости несущей фазы и не зависит от ее плотности,
п характерное время tw вовлечения частицы в движение несу-
несущей фазы будет определяться вязкостью (но не плотностью) не-
несущей фазы, размером и плотностью вещества частицы:
л*) _ AW '2 ri re 0/ ^ i 1Л А VK\
1 ~f ="9Л7 i ^ ^1j- AA33>
Если характерные числа Рейнольдса Rei2 достаточно велики
^50), то коэффициент сопротивления С^ ~ 0,5 (см.
(J.4.9)). Тогда сила межфазного взаимодействия, в отличие от
предыдущего случая, не будет зависеть от вязкости и будет про-
пропорциональна Pi (vg —1>2J. Для этого случая в соответствии
с уравнением A.4.32) характерное время выравнивания скоро-
скоростей фаз будет равно
t(v) = 16а Р^ 1 ?<ц)
О ft I V —¦ U
Обычно заранее известны характерное время процесса U (пе-
(период колебаний, время действия импульсного возмущения, время
пребывания в аппарате) и характерное изменение скорости фаз
Ау0, которое определяет межфазное скольжение (\vi — v2\^Av0).
Тогда, если tM < t0, то можно использовать односкоростную схе-
схему течения (vt = v2), а если tM > t0, то можно использовать за-
замороженную схему с не зависящими друг от друга движениями
фаз.
§ 5. Уравнения гидромеханики монодисперсных
смесей жидкости с пузырьками газа или пара
Наряду с допущениями 1—6, перечисленными в начале § 3,
примем следующие, характерные для пузырьковых жидкостей:
— вязкость и теплопроводность проявляются лишь в процес-
процессах межфазного взаимодействия и не проявляются в макроскопи-
макроскопическом переносе импульса и энергии, т. е. аналогично A.4.1)
§ 5. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ Ю1
примем
о*' = 0, д*. = 0; A.5.1)
— плотность газа (вторая фаза) много меньше плотности
несущей жидкости. Так как здесь, в отличие от газовзвеси, при
сс2 = 0 сжимаемость смеси определяется сжимаемостью жидкости,
то будем ее учитывать, полагая эту сжимаемость малой, в линей-
линейном (акустическом) приближении. Таким образом, принимаем
Л
A-5.2)
— при отсутствии внешнего подвода тепла среднемассовую
температуру несущей жидкости будем считать постоянной
Г1 = Г0 = const, A.5.3)
что объясняется подавляющей массой и теплоемкостью жидкой
фазы по сравнению с массой и теплоемкостью газовой фазы
(pi ^ Рг, PiCi > р2с2), и несущая жидкость может рассматривать-
рассматриваться как термостат, поглощающий и отдающий тепло к стенкам пу-
пузырьков без изменения своей температуры. Уравнение A.5.3) за-
заменяет уравнение притока тепла несущей фазы (см. § 6 гл. 1
и § 2 гл. 6).
Уравнения сохранения, совместного деформирования, сило-
силового взаимодействия и состояния фаз. В результате для моно-
монодисперсной смеси жидкости с пузырьками, в которой существен-
существенным является радиальное мелкомасштабное движение и его инер-
инерция, из уравнений A.3.3), A.3.4), A.3.15), A.3.49), A.3.28),
A.3.63), A.3.62) получим следующую систему уравнений:
9P dptf др dp2vh2 дп dnv\
at + "^Г - "'и Ж + ^
oWia + o
Ала pj 4na p2
_ i_ 3 °_ ^2. °_ Pl
й„ш,„ р —р, — 22/а
A_фA)) а-^2 = ^—^3
Зи»?_
.102 ГЛ 1- УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
Oil = - [aiPi + «2 (р2 - 22/вI бы - р°а2 (и&б" +
Тх = То = const,
О
Pa -Jj- ^ "IT = "^ + «/12 (М2а — И2) (**2а = U2 (р2, Та)),
— ?si — fe + Aa (iia—i2a)=0 (ilo=i1(p2—22/а, Га), i2a=i2{P2, ?«))•
Значения коэффициентов фС1), фB), фC) в зависимости от а2 даны
в A.3.15а), A.3.156).
Уравнения состояния фаз, согласно A.3.72) и A.3.73), име-
имеют вид
о о Рг — Ро
Pi — Pio — ^5 >
'i (Pi, ^i) = ч (?i -то)
Рг — р2Л2^ 2' г2 И 2; = С2 V-* 2 — 1 О/ "Г г20 (СГ2 = С2 — Л2> ?2 =
где c^2 — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме,
^2 — показатель адиабаты газа. Если газ в пузырьках является
паром несущей жидкости, то в соответствии с A.3.74) следует
иметь в виду условие нормировки для i20 — ii0-
Уравнение притока тепла для газа можно переписать в виде
^п / О \ ^оРо / Ро
A.5.6)
Учитывая, что для калорически совершенного газа имеет место
V
Р7 . г . / гр гр \ ] • ¦» * 2 у. ] _^ / • ^ (Т* \
и пренебрегая отличием р2а от р2, получим
V,-:
В результате уравнение притока тепла для газа преобразуется
дифференциальное уравнение для давления газа в пузырьке
4lta3
§ 5. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ ЮЗ
Силу трения будем задавать, аналогично A.4.9), с помощью
коэффициента трения (см. ниже § 2 гл. 2):
^) A.5.8)
_ J24 Rer/ A + Ve ReJ/з), ReI3 < 15,
^~l48Re72\ 15<Re12<500.
При этом имелось в виду, что при достаточно малых числах
Рейнольдса из-за действия поверхностно-активных веществ, ко-
которые всегда есть в не очень очищенных жидкостях, трение жид-
жидкости о пузырек определяется как для твердой частицы, а при
больших числах Рейнольдса реализуется потенциальное обтека-
обтекание, и сила трения определяется диссипацией в соответствующем
поле скоростей. Следует иметь в виду, что если числа Вебера
We = paH&a/S, A.5.9)
определяющие отношение сил динамического напора *) к силам
поверхностного натяжения, достигнут значений порядка едини-
единицы, то станет заметной несферичность пузырьков, что должно
привести к значительному увеличению Kv, повлиять на fm и, как
крайний результат, может произойти дробление (см. § 2 гл. 2).
При не очень малых объемных концентрациях пузырьков
(а2 3> ас, где, как будет показано в § 4 гл. 6, ссс= Po/pi^i ~
~ 10~4 — 10~3) сжимаемость смеси определяется сжимаемостью
газа, а сжимаемостью жидкости можно пренебречь, т. е. полагать
С1->оо, р° = const. A.5.10)
Как будет показано ниже, даже в ударных волнах могут
быть не существенны эффекты поступательного движения пу-
пузырьков относительно жидкости, и вместо решения уравнения
импульса для скорости пузырьков можно принять односкорост-
ную схему (v4 = v2 = v). Тогда уравнения сохранения массы сме-
смеси и числа пузырьков имеют вид
_ = _pV w , — _-nV v ,
откуда следует, что в односкоростной дисперсной смеси число-
числовая концентрация дисперсных частиц пропорциональна плотно-
плотности смеси
*) Как отмечено ниже в § 8 гл. 6, условие деформации и дробления
межфазных границ капель и пузырьков при P2^Pi задается динамиче-
динамическим напором в газовой фазе, т. е. число We определяется плотностью
газа, а не плотностью жидкости.
104 ГЛ 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
Односкоростное приближение и приближение несжимаемости
несущей фазы существенно упрощает решение системы уравне-
уравнений A.5.4).
О тензоре напряжений в пузырьковой смеси. При малых объ-
объемных концентрациях пузырьков (а2 < 1, хотя при этом может
быть а2 > ас) можно пренебречь динамическими слагаемыми в
приведенном тензоре напряжений и принимать
+ а2 (р2 - 22/а - Pl) бы +
+ р°а2 «бы + wiM « PX6W. A-5.12)
Проанализируем это упрощение. Пусть w0 — характерная
скорость радиального движения жидкости. Тогда перепады дав-
давлений в жидкости и разница между средним давлением жидкости
и давлением жидкости на стенке пузырька из-за радиальной
скорости согласно A.3.15) и A.3.13) определяются следующей
оценкой:
?оо — Pla ~Pi~ Pla-'pWo- A.5.13)
Разница между средним давлением жидкости pt и фиктивным
давлением жидкости р„ вдали от пузырька равна
^Х фB)~«;Ч A-5.14)
а разница между приведенным напряжением и средним давле-
давлением жидкости равна
A.5.15)
f
Таким образом, принимая — of* — p^h, что означает пре-
пренебрежение величиной оуэ^о, тем не менее разницу между pt
и роо, определяемую более значимой величиной a2'3p1iy0, будем
учитывать (благодаря коэффициентам фA) и фB)). Основной же
эффект связан с разницей между pi и р1а = р2 — 22/а, равно!!
О
ф
О
Односкоростная схема с эффективной вязкостью, политропи-
политропическим газом малой объемной концентрации и несжимаемой не-
несущей жидкостью. Для анализа волновых процессов интерес
представляет упрощенная по сравнению с A.5.4) схематизация
монодисперсной пузырьковой жидкости, но учитывающая ее глав-
главную отличительную особенность от других сред — радиальную
инерцию и вязкость жидкости. В этой схеме поступательные ско-
скорости фаз принимаются одинаковыми (см. обоснование A.5.11)),
несущая жизкость — несжимаемой (см. обсуждение A.5.10)), но
объемные концентрации газа, тем не менее, достаточно малы,
чтобы можно было пренебречь массой газа, коэффициентами <p(i)
и фB), учитывающими стесненность пузырьков, и отличием на-
§ 5. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ Ю5
пряжения Oj* от —р^1" (см. обсуждение A.5.12) J. Далее пола-
полагается, что фазовые переходы отсутствуют, а давление газа изме-
изменяется по политропическому закону с показателем политропы я.
Часть этих допущений уже обсуждалась. Применительно к вол-
волновым движениям пределы их применимости и их роль обсужда-
обсуждаются в гл. 6. В результате система уравнений A.5.4) с учетом
A.5.12) для одномерного течения вдоль оси х может быть пере-
переписана в упрощенном виде:
Р = Pi = Pi A — «z). Pi = const, a2 = 4/3ла3п, n/n0 = p/p0,
A.5.16)
Pi
Здесь в уравнении Рэлея — Ламба для приближенного учета дис-
диссипации кинетической энергии, связанной не только с вязкостью
несущей жидкости ци используется эффективная вязкость ц,эф (см.
ниже § 6).
Одной из привлекательных сторон этой упрощенной системы
уравнений, основанной на политропичности газа и несжимаемости
жидкости, является то, что в рамках такой схемы анализ слабых
возмущений сводится к анализу канонических уравнений, исполь-
используемых и изученных в различных разделах волновой динамики
(см. ниже § 3 и 6 гл. 6).
Схемы вязкоупругой жидкости и идеальной сжимаемой жид-
жидкости для описания пузырьковых смесей. Рассмотрим еще одну
упрощенную по сравнению с A.5.4) схему смеси жидкости с пу-
пузырьками, которая соответствует ситуациям, когда не существен-
существенна радиальная инерция жидкости, и разница между давлениями
фаз уравновешивается вязкими силами в жидкости, но, в отличие
от A.5.16), учтем сжимаемость несущей жидкости. Такие ситуа-
ситуации реализуются в смесях с очень мелкими пузырьками в очень
вязких жидкостях, когда
В этом случае уравнение совместного деформирования фаз Рэ-
Рэлея — Ламба упрощается
^-Р,-Рг-^. A-5.18)
Покажем, что в этом случае поведение газа можно считать изо-
106 ГЛ 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
термическим. Характерное время сжатия пузырька (если перепад
давлений в фазах Ар ~ р0) равно tiw) ~ a/w ~ [ijpa. Характерное
время выравнивания температуры газа определяется коэффициен-
том температуропроводности газа v2 и равно t -~ a2/v2 . Отно-
Отношение этих времен равно
/о
Re
2<
V2
Обычно u1/(p°vBT))^|xi/(p°Vgr))<; 10, и в силу A.5.17) имеем
tt,T)/t(w) ^ ^ что СВИдетельстВует об изотермичности газа Т2 = То=
= const. Благодаря большой вязкости жидкости и малым разме-
размерам пузырьков можно пренебречь движением пузырьков относи-
относительно жидкости (vi = vz = v). Тогда, учитывая соображения
A.5.12), упрощающие выражение для среднего напряжения в
смеси, систему уравнений пузырьковой среды A.5.4) для случая
одномерного вдоль оси х течения при отсутствии фазовых пере-
переходов можно представить в виде
dp ди г, dn да п d r ° „\ A
-?- + р—=:0, -г- + ге — = 0, -— (р2а3) == 0,
dt r дх dt дх dx sr
dv да
P~dt=~te' <J-—p = — plf
,1Г = ~ V"x &p12, Ap12 = Р1 — Ръ [p-2 =¦¦ Pia = P2~ —y A-5.19)
'p = p° A — a2) + p°a2, a2 =
Порядок этой системы существенно ниже, чем порядок общей
системы уравнений пузырьковой среды A.5.4). Единственная
неравновесность, которая здесь учитывается, это — несовпаде-
несовпадение давления в фазах из-за вязкости жидкости.
Исходя из полученных уравнений, выведем уравнение, опре-
определяющее в явном виде изменение давления смеси р. Из урав-
уравнения состояния первой фазы, пренебрегая массой газа в смеси
(р = р^), получим
О
dp ^Pj _ p2 3J _ р2 /_1_ _Ф , Р_ ^а2 \
dt ~~ dt ~ х dt ~ г\ a, dt + „2 dt Г
Из определения а2 через а и ге, учитывая уравнение для изме-
изменения а, имеем
^а2 ^а2 da 4 3 dn 3a2 | а2 dp
Здесь учтено, что, согласно первым двум уравнениям A.5.19),
§ 5 УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ Ю7
справедливо A.5.11). Из последних двух выражений получим
искомое уравнение
В результате исходная система уравнений A.5.19) может быть
переписана в виде
1 dp dv dv dp
~~p~~dT~~''dx~' P~dt ~ ~~ ~dx'
or2 dt dx t \ f a ' 3a
V^ f э \ 1 2y
A.5.21)
da a i °\ ° _ ao 22 . _ ^_ p
IT-ЩГ^-Р')' Ps-P*o^--, «3<а,р)-«2йдз-.
Таким образом, описание движения смеси жидкости с пузырь-
пузырьками газа, когда пренебрегается инерцией жидкости в мелкомас-
мелкомасштабном движении вокруг пузырьков и тепловыми эффектами,
соответствует вязкоупругой среде с «замороженной» или «дина-
«динамической» скоростью звука Cf и объемной вязкостью 5, опреде-
определяемыми физическими свойствами жидкости {Си цг) и текущей
объемной концентрацией пузырьков а2. Кроме указанных вели-
величин, свойства такой среды зависят от исходной плотности жид-
жидкости р10, исходной объемной концентрации пузырьков а20 и их
исходного размера а0. Уравнения, близкие к A.5.21), для описа-
описания трехфазных сред (грунт, жадность, пузырьки газа) были
предложены Г. М. Ляховым A982).
Если скорость звука в жидкости достаточно велика и можно
пренебречь ее сжимаемостью
1 О ° 1
С1% Cf-+oo, | Pi — рю I < PiOa2o» A.5.22)
то уравнение для определения давления упрощается:
22_ -_ a
п. О
что соответствует сжимаемой вязкой жидкости.
В медленных процессах, характерные времена U которых мно-
много больше времени релаксации среды tt:
108 ГЛ 1 УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
можно использовать равновесное приближение, когда
р — р2 = 0 или р = р1 = р2 — 22/а, A.5.25)
откуда, используя последние два уравнения A.5.21), получим
Р (а) = Р-2о« 3 — B2/а0) а х (р20 = р0 — 22/а0).
Эти соотношения определяют равновесное или статическое урав-
уравнение состояния р(р), являющееся однопараметрическим или ба-
ротропным, в которое в качестве фиксированных параметров вой-
войдут физические характеристики фаз в исходном состоянии
р10, Си 2Ъ/а0, ос20, р2о, причем вязкость жидкости в это уравнение не
войдет. Таким образом, в равновесном приближении движение
пузырьковой смеси описывается уравнением неразрывности, им-
импульса (первые два уравнения A.5.4)) и отмеченным уравнени-
уравнением состояния р{р), что соответствует уравнениям Эйлера иде-
идеальной сжимаемой жидкости. Скорость звука такой среды (рав-
(равновесная, или статическая скорость звука Се) определяется урав-
уравнением состояния
Се = dp/dp. A.5.27)
Если можно пренебречь капиллярным давлением BЕ/а</>),
то равновесное уравнение состояния смеси и равновесная ско-
скорость звука имеют следующий вид:
Р _ Pip а20 Р°(^) Р р _ Pi л f Ppa20 (Л с ООЧ
Ро Pj (р) - Р Р10 Ро Рх — Р V Р^10 A + Пс)
где безразмерный коэффициент ric характеризует влияние сжи-
сжимаемости несущей жидкости, и если ric ^ 1, то эта сжимаемость
не влияет на процесс.
§ 6. Методы описания межфазного тепло- и массообмена
в пузырьковой среде
Процессы тепло- и массообмена в дисперсных смесях имеет
смысл рассмотреть отдельно и более подробно *).
В тех случаях, когда пузырек заполнен инертным газом, ко-
который практически не растворяется и не выделяется из жидко-
жидкости, а парциальное давление паров жидкости, по порядку равное
*) В более полном виде такое рассмотрение сделано в § 3—9 гл. 2.
§ 6. МЕЖФАЗНЫЙ ТЕПЛО- И МАССООБМЕН В ПУЗЫРЬКОВОЙ СРЕДЕ Ю9
их давлению насыщения ps при температуре жидкости То, много
меньше общего давления газа
можно считать, что фазовые переходы практически отсутствуют
(/ = 0). Для выполнения этого условия необходимо, чтобы жид-
жидкость была достаточно «холодная». Соответствующие этому слу-
случаю пузырьки постоянной массы будем называть газовыми пу-
пузырьками, имея в виду, что они заполнены только инертным га-
газом, который не испаряется и не конденсируется (например, во-
вода с пузырьками воздуха, азота и т. д.).
Другой предельный случай реализуется, когда пузырек запол-
заполнен только паром несущей жидкости, масса которого может из-
изменяться за счет испарения или конденсации. Такие пузырьки
будем называть паровыми (например, пузырьки в «горячей» или
кипящей жидкости).
Промежуточное положение занимают парогазовые пузырь-
пузырьки, заполненные смесью испаряющегося или конденсирующегося
пара несущей жидкости и неконденсирующегося инертного газа,
когда массовые доли газа и пара соизмеримы между собой.
Понятие ячейки и пробной частицы в дисперсной среде. Про-
Процессы переноса в двухфазной смеси определяются распределени-
распределением микропараметров (напряжений, температур, концентраций
компонент и т. д.) вокруг неоднородностей. При этом, для того
чтобы анализ получался обозримым, приходится не только су-
существенно упрощать уравнения микропроцессов, но и схематизи-
схематизировать структуру смеси. Одной из возможных такого рода схем
является схема с введением в каждой макроскопической точке
дисперсной среды ячейки с пробной дисперсной частицей и при-
приходящейся на нее несущей фазой. Таким образом, в каждой мак-
макроскопической точке, определяемой вектором х вводится ячейка,
связанная с центром пробной частицы и движущаяся с макроско-
макроскопической скоростью дисперсной фазы в этой точке v2(?, x). Раз-
Размер ячейки определяется объемным содержанием фаз и равен по
порядку аа^ 3. Внутри ячейки имеется распределение микропа-
микропараметров:
T[(t,x,x'), PT(t,x,x'), v'^.x.x'), o[hl(t,x,x')
(f-1,2),
где x' — радиус-вектор микрочастицы (это может быть микрочас-
микрочастица несущей или дисперсной фазы) относительно центра ячей-
ячейки, совпадающей с центром пробной частицы дисперсной фазы.
Распределение микропараметров описывается уравнением соот-
соответствующих микропроцессов с граничными условиями на по-
поверхности пробной дисперсной частицы (определяющих межфаз-
межфазное взаимодействие) и внешней границе ячейки (определяющих
ПО ГЛ 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
воздействие внешней по отношению к выделенной ячейке несу-
несущей фазы).
Отметим, что указанные распределения микропараметров по
времени и макро- и микрокоординатам в общем случае зависят
от семи независимых переменных: t, xl, х2, x3, xfl,x'2,x'3.
Сферически-симметричная ячейка. Проиллюстрируем только
что указанную схему на примере определения распределения
температур и определения тепловых потоков около однокомпо-
нентного пузырька (парового или газового), когда процессы око-
около него можно рассматривать как сферически-симметричные (пер-
(первое существенное упрощение), для чего необходимо малое влияние
процессов обтекания (двухскоростпых эффектов), что часто реа-
реализуется в пузырьковых смесях с малой концентрацией дисперс-
дисперсной фазы. Иными словами, все микропараметры, снабжаемые
штрихом вверху \Тг, р^ , v., ...), будем считать зависящими от
времени t, положения центра пробного пузырька или ячейки х
и расстояния г микрочастицы до центра. Внешняя граница ячей-
ячейки является сферой радиуса гь:
a3jrl = а2. A.6.1)
Ячейка движется со скоростью \z(t, x). При этом имеются
только радиальные скорости микрочастиц (отсутствие поступа-
поступательного обтекания), причем для несжимаемой несущей жидко-
жидкости поле скоростей имеет вид
2
Vi-v2 = Wi = ^-4. A.6.2)
Для определения распределения температур, плотностей, теп-
тепловых потоков нужно привлечь уравнения теплопроводности, не-
неразрывности и состояния в фазах*). Эти уравнения для жидкости
(а^г'^гь), которую будем считать несжимаемой, имеют вид
I
/5 ' A.6.3)
w[ = wlaa2/r'2.
Здесь и далее субстанциональная производная связана с движе-
движением центра пробного пузырька и определяет изменение соответ-
соответствующей функции во времени в точке, находящейся на рассто-
расстоянии г от центра ячейки и движущейся вместе с ячейкой:
d,<p'.(t, х, г') Эф'.(«, х, г') ftd<p;(i, х, г')
^=+1,
=+1,2
A.6.4)
*) Более подробно и в более общем виде уравнения сферически-сим-
цгетричного тепло- и массообмена как для пузырька, так и для капли даны
ниже в § 4 гл. 2.
§ 6. МЕШФАЗНЫЙ ТЕПЛО- И МАССООБМЕН В ПУЗЫРЬКОВОЙ СРЕДЕ Ш
Несмотря на неоднородность температур газа внутри пузырь-
пузырьков, давление газа (но не жидкости) внутри пузырька будем счи-
считать однородным (условие гомобаричности газа), что обычно вы-
выполняется, если радиальные скорости стенок пузырька много
меньше скорости звука в газе:
Р2 = Р* = Pi {*, х) = R2pl' (t, x, г') Г; (t, х, r'). A.6.5)
Уравнения теплопроводности и неразрывности в газовой фа-
фазе @ ^ г <; а) имеют вид
A-6.6)
В случае парового пузырька граничные условия на равно-
равновесной (см. обсуждение A.3.93)) межфазной границе, когда
температуры фаз на ней совпадают и равны температуре насы-
насыщения Ts (p2), имеют вид
dia i ' d2a I
^ = W =
dt Pi dt p2
где I — теплота испарения, | — интенсивность фазового перехода
(положительная в случае испарения).
В случае газового пузырька (? = 0) граничные условия на
межфазной границе проще:
/ i дТ. дТ„ , i da
r = a(t,x); Г1=Г2, X1jp- = Xi-^r, w1 == шг = wla = -J^--
A.6.8)
Граничные условия в центре пузырька следуют из условия
конечности потоков тепла, температур и плотностей
r = 0: df2fdr = 0, w'2 = 0. A.6.9)
Необходимо также привлекать граничное условие на границе
ячейки, определяющее приток тепла в ячейку. При отсутствии
макроскопического потока тепла в несущей фазе (<?i* = 0) это
условие должно отражать адиабатичность ячейки
г = гъ (t, х) = аа71/3: дТ'1/дг = 0, A.6.10)
что обеспечивает изменение средней температуры жидкости Ti
112 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
в соответствии с уравнением A.3.66) при д1Н! = 0. Оба способа
учета закона сохранения энергии: с помощью условия «адиаба-
тичности ячейки» и с помощью переменной средней температуры
несущей фазы в ячейке — эквивалентны. Ниже для сравнения
будут обсуждаться некоторые следствия отличного от условия
«адиабатичности ячейки» условия «изотермичности на бесконеч-
бесконечности»,
г = оо: Т[ = Т0, A.6.10а)
которое формально может давать как «сток», так и «приток» теп-
тепла на внешней границе ячейки и которое не приводит к погреш-
погрешностям по сравнению с A.6.10) при достаточно малых объемных
содержаниях пузырьков и достаточно быстрых процессах (харак-
(характеризуемых временем t0), когда температурные возмущения не
доходят до внешней границы ячейки, т. е. когда (vj hoI/2^a/a\ 3-
В частности, для одиночного пузырька (а2 -*¦ 0) условие A.6.10а)
есть следствие A.6.10).
Если уравнение теплопроводности газа (первое уравнение
A.6.6)) проинтегрировать по объему пузырька, то получим урав-
уравнение притока тепла в пузырек для определения изменения дав-
давления газа в том же виде, что и A.5.7):
at
но теперь д22 определяется в процессе решения задачи для
T'a(t,x,r').
Следует иметь в виду, что расчет поведения пузырьков свя-
связан с учетом большого количества параметров. Даже для одиноч-
одиночного газового пузырька, когда нет фазовых переходов, когда при
не очень сильных воздействиях внешняя тепловая задача, свя-
связанная с решением уравнения теплопроводности в жидкости, яв-
является несущественной, так как на стенке пузырька температу-
температуру газа и жидкости можно считать постоянной и равной То, его
поведение, помимо характеристик внешнего воздействия, напри-
например его амплитуды Ар и характерного времени t0, будет опреде-
определяться следующими физическими характеристиками среды в на-
начальном состоянии:
flo' Po> Pi' Рго> Тг> ^2> С2' ^> (-li-
Из этих параметров можно составить четыре независимых без-
безразмерных параметра
(Т)
у2Д*= —?=, 2* = ^, |**= /\ , A-6.12)
§ 6. МЕЖФАЗНЫЙ ТЕПЛО- И МАССООБМЕН В ПУЗЫРЬКОВОЙ СРЕДЕ ЦЗ
где v2T) = Х2/(р2^2) — коэффициент температуропроводности га-
газа. Четыре безразмерных параметра, определяющих только свой-
свойства фаз,— это много, казалось бы, для очень простой задачи
о сферически-симметричном движении несжимаемой жидкости
вокруг пузырька, заполненного нерастворимым и неконденсирую-
неконденсирующимся газом. Для парового однокомпонентного пузырька таких
безразмерных параметров девять (см. § 7 гл. 2). В этом фак-
факте проявляется специфика анализа процессов в двухфазных сре-
средах, которые определяются большим числом параметров, ха-
характеризующих механические и термодинамические свойства
фаз.
При этом даже такой упрощенный (в основном из-за допу-
допущения сферической симметрии процессов в ячейке и неучета вли-
влияния на тепло- и массообмен обтекания пузырька жидкостью со
скоростью w12 = Vi — v2) учет распределения микропараметров
(в данном случае распределения Tj) совместно с решением си-
системы макроскопических уравнений A.5.4) существенно услож-
усложняет теоретическое исследование. В частности, для одномерных
нестационарных течений смесей это приводит к необходимости
решения системы уравнений с частными производными от трех
независимых переменных*) (t, x, г).
В связи с этим актуальными являются еще более упрощенные
схематизации, в частности уже обсуждавшаяся двухтемператур-
ная или ее обобщение — трехтемпературная схема или модель
(с введением, помимо средних температур фаз 7\ и Т2, темпера-
температуры межфазной границы Г2 = Та) и, наконец, еще более упро-
упрощенная схема — схема с эффективной вязкостью.
Двух- и трехтемпературная схемы межфазного тепло- и мас-
сообмена. В этой модели вместо поля температур в ячейке ис-
используются три характерные температуры {То, Та и Г2), а пото-
потоки тепла от поверхности пузырька в несущую жидкость и в газ
задаются с помощью безразмерных параметров — чисел Нуссель-
та NUi и Nu2 (см. A.3.56)) и все особенности процессов — эф-^
фекты нестационарности, влияние обтекания пузырька жидкостью
со скоростью Wi2 (что безусловно интенсифицирует теплообмен),
фазовых переходов и др. учитывают в параметрах Nu, и Nu2. При
этом универсальных соотношений в виде алгебраических формул
для чисел Нуссельта нет, и в зависимости от характера процес-
процесса, степени его нестационарности, свойств фаз, формулы для Nut
будут различаться.
*) Пример решения и исследования задачи в такой постановке с па-
хождением полей температур в пузырьках или в жидкости для одномерных
стационарных течений пузырьковых смесей, когда уравнения содержат две
независимые переменные х и г, дан в § 5 и 10 гл. 6.
В общем случае задача о трехмерном нестациопарнолг макродвижении
дисперсной среды с определением трехмерного распределения микропара-
мотров в ячейке является семимерной, и микропараметры зависят от
t х, х'.
8 Р. И Нигчатулин, ч. I
114 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
В случае осцилляции, монотонного сжатия или расширения
газового пузырька без фазовых переходов (| = 0 и qZi = —#22)
при конечных, но не очень больших изменениях его радиуса, рас-
распределение температур около стенки пузырька (г' = а) каче-
качественно показано на рис. 1.6.1, а. Сплошная кривая соответствует
сжатию, а штриховая — расширению; при осцилляциях кривая
распределения температур колеблется от сплошной к штриховой
с периодом осцилляции пузырька. При этом температура цент-
центральной части пузырька изменяется по закону, близкому к адиа-
адиабатическому, в соответствии с изменением объема пузырька,
г О
Т2
>
/
т, 'р2,
б
Рис. 1.6.1. Распределение температур вокруг газового пузырька (а) при
его сжатии (сплошная линия) и расширении (штриховая линия) и вокруг
парового пузырька (б) в тепловом режиме его монотонного роста
а температура переферийной части (близкой к г'= а) находится
под влиянием жидкости, являющейся источником и стоком тепла
без заметного изменения температуры вдали от стенок пузырька.
За время t{w\ являющееся характерным временем изменения
размера пузырька (например, при пульсациях с частотой ю мож-
можно принять t{w) = 2л/со, т. е. ?<ш) — период пульсаций), тепловая
волна пройдет от межфазной границы в жидкость и газ на рас-
расстояния соответственно Arx и Дг2, определяемые температуро-
проводностями фаз
). A-6.13)
Так как коэффициенты температуропроводности газа обычно
много больше коэффициентов температуропроводности жидкости
(v2T)»ViT)), то Ar'^Ar'z. Тепловые потоки на межфазной границе
определяются градиентами температур и коэффициентами тепло-
§ 6. МЕЖФАЗНЫЙ ТЕПЛО- И МАССООБМЕН В ПУЗЫРЬКОВОЙ СРЕДЕ Ц5
проводности фаз
л 0 &
i~*j ~~~ Л-» ~" ""/ ' у
„ „ ЛГ1 A-6.14)
В силу того, что коэффициенты теплопроводности жидкости го-
гораздо больше коэффициентов теплопроводности газа (\г ~> Х2) и
в силу соотношения между Агх и Аг'2 получаем, что \Т„ — Та\ <
<!Га — Т2!- Таким образом, в случае газового пузырька (без фа-
фазовых переходов) температуру на межфазной границе можно
считать практически постоянной и равной температуре жидкости
Та = То = const. A.6.15)
При этом межфазный теплообмен определяется тепловым сопро-
сопротивлением газа, и эффективное число Нуссельта (см. A.3.56))
можно оценить следующим соотношением:
Для парового пузырька наличие стока или источника тепла
фазового перехода на межфазной поверхности из-за больших
значений I и Xi > Кг, как правило, приводит к тому, что интен-
интенсивность фазового перехода определяется возможностью жидкой
фазы отводить или подводить тепло |Z, причем реализуется ус-
условие
Это приводит к тому, что в случае парового пузырька, в отличие
от газового, именно внешняя задача теплопроводности в жидкой
фазе начинает играть определяющее значение, а неоднородность
температуры вокруг парового пузырька, определяемая внутрен-
внутренней задачей теплопроводности, имеет малое значение *).
Рассмотрим качественные оценки для термической стадии
(когда р2 ~ Pi + 22,/а) роста в перегретой жидкости (Т„ > Ts)
или смыкания в переохлажденной жидкости (То < Ts) парового
пузырька. Температура жидкости (см. рис. 1.6.1, б) меняется от
Ts при г' = а до 7\ « То при г' = а + кг[, где Аг' ^
*) Следует иметь в виду, что малый тепловой поток g22 воспринимается
малой массой пара и может влиять на его состояние (например, на давле-
давление р2) и поведение парового пузырька. Поэтому часто используемое и
оправданное для термической стадии допущение об однородности темпера-
температуры внутри парового пузырька может привести к некоторым неточностям
на динамической стадии, когда р2 ф р\ + 22/а.
8*
116 ГЛ 1 УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
Учитывая, что все поступающее на межфазную границу или ухо-
уходящее из нее тепло идет соответственно на испарение или кон-
конденсацию и что плотность пара практически не меняется, имеем
Я, ^ « Р°21% (ДТ = То - Тв, Ar[
Тогда рост (ДГХЗ) или смыкание (ДГ<0) пузырька опреде-
определяется выражением
^~ e^L=. A.6.18)
Отсюда следует
f-^-Ja
где Ja называется числом Якоба. Тепловой поток на межфазной
границе, определяемый числом Нуссельта, равен
AT > 0: Nil! -> ~ Ja (при t -»- °о или а> а0), ......
ДГ<0: Nu!->0 (при t-*¦ °° или а<а0).
При смыкании парового пузырька с ростом t относительная
толщина температурного погранслоя в жидкости ArJa возраста-
возрастает как за счет увеличения Агх, так и за счет уменьшения а.
При росте парового пузырька (AT > 0) при t -*¦ °° может реали-
реализоваться режим, когда Arx (t)/a (t) -v const, а тепловой поток
станет пропорциональным ATZ. Это объясняется радиальным рас-
растеканием и утоньчением сферических слоев жидкости, компенси-
компенсирующим утолщение температурного погранслоя из-за теплопро-
теплопроводности.
Для монотонного роста за счет испарения сферического паро-
парового пузырька в перегретой жидкости с температурой вдали
7\ = То = const при постоянном давлении pi = const, когда тем-
температура пара в пузырьке постоянна по радиусу (см. рис. 1.6.1, б)
и времени и равна температуре насыщения (Т2 = Та = Тв(рг) и
q-s.i = 0), имеется аналитическое решение, изложенное в § 9 гл. 2.
Несложная аппроксимация этого решения для числа Нуссельта
О / О
при рг/pi <С 1 имеет вид
f
f' + ^Ja Ja= ir° os/ri • A-6.20)
Здесь число Якоба Ja определяет степень перегрева жидкости и
§ 6 МЕЖФАЗНЫЙ ТЕПЛО- И МАССООБМЕН В ПУЗЫРЬКОВОЙ СРЕДЕ Ц7
интенсификацию теплообмена из-за утончения сферических сло-
слоев жидкости при ее радиальном растекании.
Тепло- и массообмен при малых радиальных пульсациях пу-
пузырьков. В гл. 2 изложены постановка и результаты решений за-
задач динамики, тепло- и массообмена одиночного сферического
пузырька в безграничной жидкости, когда вместо использования
средних температур в фазах Ти Т2 и задания Nut, Nu2 использу-
используются уравнения теплопроводности для возникающих полей тем-
температур Тг, что позволяет определять теплообмен на межфаз-
межфазной границе в процессе решения задачи. Эти решения подтверж-
подтверждают только что приведенные качественные оценки A.6.13) —
A.6.19). При этом для малых возмущений относительно равно-
равновесного состояния
Т20 = Тю = Ts (/>2o), />2о = Рш
удается получить наиболее удобные для анализа аналитические
решения линеаризованных уравнений.
Рассмотрим сначала малые свободные гармонические колеба-
колебания, когда давление жидкости вдали от пузырька не меняется
Р<* = Рю = const,
а возмущенное движение является затухающим синусоидальным
колебанием с малой амплитудой А{а)
aja0 =-- 1 + А(а) {ехр (— A(orf/Bn))} {sin wr {t — t0)} =
= 1 +A(o)Re{expico^} (Л(а)< 1, i2 = - l), A.6.21)
где ojr — частота колебаний, а Л—декремент их затухания. Ус-
Условие существования нетривиального решения вида A.6.21) при-
приводит к алгебраическому характеристическому уравнению отно-
относительно со.)., определяющему собственную частоту свободных ко-
колебаний (йг и их декремент. Для системы уравнений, содержа-
содержащей уравнения с частными производными относительно темпе-
температур, это характеристическое уравнение является трансцендент-
трансцендентным. Численные решения этого уравнения представлены в
§ 7 гл. 2 в виде зависимостей сог(а0) и Л(а0). Здесь изложим лишь
следующие из этих решений выводы.
Для достаточно крупных пузырьков тепло-, массообмен и вяз-
вязкость мало влияют на собственную частоту колебаний, которая
при этом описывается простой формулой Миннаерта
/ ), A-6-22)
ао V Pi
где и — эффективный показатель политропы газа, который мож-
118 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
но принимать равным показателю адиабаты газа у2 при а0 >
> Ю мм для газовых пузырьков и при а0 > 10 мм для паро-
паровых пузырьков. Для указанных пузырьков колебания происхо-
происходят практически адиабатически для газа, и декремент затухания
как за счет вязкости жидкости, так и за счет тепло- и массооб-
мена становится малым, что соответствует медленно затухающим
колебаниям. Фазовые переходы и теплообмен уменьшают <вг и
увеличивают Л.
В рассматриваемом процессе декремент затухания может
быть представлен в виде суммы *)
Л = Л"° + Л'"\ A.6.23)
где Лы определяет затухание из-за вязкости жидкости, а Л(гл —
из-за тепло- и массообмена, причем
/? A.6.24)
В случае газового пузырька решение получено в работе (R. Chap-
Chapman, М. Plesset, 1971)
\(TJ) _ д(Т) _ 6я (?2 ~ *) (b_ sh Ъ -f- sin Ь Л
j,2 \ 2 ch Ь — cos Ь /
A.6.25)
Числа Пекле Ре, характеризуют квадрат отношения размера пу-
пузырька к толщине температурного погранслоя в ?-й фазе. Если
Ре2 > 1, что соответствует случаю тонкого температурного по-
погранслоя в газе (ао/Лг22 > 1, где Аг2 см. A.6.13)), то формула
A.6.25) упрощается
Для достаточно крупных паровых пузырьков, когда
Ре11/2»3(у2-1)Г fpei = ^ = ^
A.6.27)
что соответствует тонкому температурному погранслою в жидко-
*) Помимо указанных здесь причин, затухание пульсаций одиночного
пузырька происходит и за счет акустического излучения из-за хотя и мало
заметной, но все же имеющейся сжимаемости жидкости (см. обсуждение
B.4.17а) и B.4.176)).
§ 6 МЕЖФАЗНЫЙ ТЕПЛО- И МАССООБМЕН В ПУЗЫРЬКОВОЙ СРЕДЕ Ц9
сти (Агх < а0, где
формулу:
см. A.6.14)), можно получить следующую
PeY2
A.6.28)
Соответствующая A.6.24) — A.6.26) зависимость для декре-
декремента затухания из-за вязкости жидкости Л<11) и из-за теплопро-
теплопроводности газа Л(т) от размера пузырька углекислого газа, возду-
воздуха и гелия в воде приведена на рис. 1.6.2. Видно, что при а0 >
> 10~2 мм в жидкостях с вязкостями, по порядку равными вяз-
вязкости воды, затухание колебаний объемов пузырька определяет-
определяется не вязкостью жидкости [Xi, а температуропроводностью газа
Рис. 1 6.2. Декремент затухания сво-
свободных колебаний пузырьков угле-
углекислого газа, воздуха и гелия в воде
(ро = 0,1 МПа, То = 300 К). Штрихо-
Штриховая линия — декремент затухания
Л^> из-за вязкости жидкости; сплош-
сплошные линии — декремент затухания
Л<т> из-за теплопроводности газа
A — углекислый газ, 2 — воздух,
3 — гелий)
10 5 10
10" оо,мм
vBT), что свидетельствует о преобладании тепловой диссипации.
Диссипация из-за вязкости жидкости может преобладать только
в очень вязких жидкостях и с очень мелкими пузырьками. На-
Например, для воздушного пузырька в чистом глицерине, вязкость
которого в 103 раз больше вязкости воды, при й0 = 1 мм отноше-
отношение Л(г)/Л(|1) = 0,17.
Тепловая диссипация кинетической энергии связана с необра-
необратимостью или пеполитропичностью процессов в газе, а именно:
при сжатии, когда температура газа выше температуры жидко-
жидкости То, газ рассеивает в жидкость тепла больше, чем возвращает
от жидкости при расширении, когда его температура ниже тем-
температуры жидкости.
Из сравнения кривых 1, 2 и 3 на рис. 1.6.2, показывающих
значения декрементов затухания радиальных или объемных ко-
колебаний пузырьков из трех газов: углекислого газа, воздуха и ге-
гелия (для которых V2r>-105 м2/с соответственно равны 1,0, 1,2
и 18), в воде видно, что при прочих равных условиях пульсации
гелиевых пузырьков будут затухать гораздо быстрее, чем воздуш-
воздушных и пузырьков с углекислым газом. Этот факт, несмотря на то,
что он следует из решения математической задачи, которое не-
120 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
однократно обсуждалось в литературе, является непривычным,
и он важен для анализа волновых процессов в пузырьковых
жидкостях.
Для анализа в рамках упрощенной двухтемпературной схемы
взаимного влияния тепло- и массообменных процессов и ради-
радиального движения около пузырьков и сравнения с только что
перечисленными результатами по более сложной и последо-
последовательной схеме с определением полей температур и скоростей
внутри и вокруг пузырьков рассмотрим систему уравнений A.5.4)
для случая разреженной пузырьковой смеси (а2<1; срA>, ср<2),
ФC)<1).
Выделим произвольный элементарный макрообъем дисперсной
фазы dV2 около точки, определяемой в момент времени t радиус-
вектором x(i), перемещающимся с пузырьками. Будем рассмат-
рассматривать процесс в этом макрообъеме в системе координат, связанной
со скоростью выделенных пузырей v2(x(i)). Тогда из A.5.4) по-
получим
do, . Лр
у: = wia + у^т-о = и>га Ч
dt Ала\ 4яа2
4яа2р2
la
IT =
P2 3 (V8 -
^ 3
4яа
ux (Га - To), fe = 2яаЯ2Ыи2 (Га - Т2).
При наличии фазовых переходов обычно можно принять (см.
A.3.93))
Ta^Ts(p2), A.6.30а)
а при их отсутствии (см. A.G.15))
Та = Т0 (/.2 = 0). A.6.306)
Эти уравнения совпадают с уравнениями двухтемпературной
схемы для одиночного сферического пузырька в безграничной
жидкости, причем все влияние внешней по отношению к 6F2
смеси, влияние движения смеси, внешних и инерционных сил в
выписанных уравнениях сказывается через давление жидкости,
совпадающее из-за малой концентрации пузырьков с так назы-
называемым давлением «в бесконечности», pi=pa,{t). Задавая pm{t)
§ 6. МЕЖФАЗНЫЙ ТЕПЛО- И МАССООБМЕН В ПУЗЫРЬКОВОЙ СРЕДЕ 121
и начальные условия, можно рассматривать различные классы
движений. Проблема отыскания адекватных эксперименту реше-
решений сводится к правильному заданию характеристик теплообмена
Nib и Nu2 на межфазной границе.
В рамках двухтемпературной схемы A.6.29), содержащей
только обыкновенные дифференциальные уравнения, после ли-
линеаризации можно рассмотреть малые колебания и, в частности,
свободные колебания, характеризуемые соотношениями A.6.21).
Характеристическое уравнение относительно со.,, есть полином
4-й степени. Опуская выкладки, представим лишь результаты.
Формула A.6.22) для собственной частоты сог практически
не меняется. Для удобства декремент затухания, вычисленный
по двухтемпературной схеме при заданных Nut и Nu2, будет
снабжаться волной сверху. Аналогично A.6.23), в силу линейно-
линейности задачи он может быть представлен в виде суммы
A.6.31)
Р1аоюг
причем формула для декремента из-за вязкости остается такой
же, как и в A.6.24).
В случае газового пузырька при Nua»l (или Ре2 > 1)
Для парового пузырька при Nui > 1
A(TJ) = Зя (у. - 1) Г—^ [--... A.6.33)
U2 ; (NUj-2J^ K '
Рассмотрим малые установившиеся вынужденные колебания
с произвольной частотой со, которая задается внешним источни-
источником (например, акустическим источником) через давление жид-
жидкости :
р„=роA + Р«,ех$Ш) (Рм<1). A.6.34)
В этом случае, если в выражениях для Л(сог) вместо сог под-
подставить частоту реализующихся колебаний со, то полученная ве-
величина Л (со) будет по-прежнему однозначно определять дисси-
пируемую (за счет вязкости, теплопроводности, фазовых пере-
переходов и т. д.) кинетическую энергию в течение одного периода
колебаний. Указанная диссипируемая энергия для сохранения
амплитуды колебаний пузырька должна обеспечиваться внешним
источником, а сама она поглощается жидкостью в виде тепла,
практически не повышая ее температуру, так как жидкость здесь
играет роль термостата.
122 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
Эффективные коэффициенты теплообмена для пульсирующих
пузырьков с жидкостью в рамках трехтемпературной схемы. Как
показывает анализ возникающих полей температур внутри и во-
вокруг пузырьков (см. § 6—8 гл. 2) в процессе их пульсаций мгно-
мгновенные значения числа Нуссельта могут меняться от — °° до + °°.
Расчет течений пузырьковых смесей с учетом микронеоднородно-
стей температур представляет очень трудоемкую задачу, а часто
является нереальным. Поэтому актуальным является развитие бо-
более простой, обсуждаемой здесь двух- или трехтемпературной
схемы.
Для правильного приближенного описания процесса в рамках
такой приближенной схемы представляется естественным ввести
некоторые эффективные коэффициенты теплообмена или числа
Nu, и Nu2, чтобы для некоторого класса процессов они обеспечи-
обеспечивали правильное описание теплообмена в среднем за период ко-
колебания.
Как уже указывалось, характеристики тепло- и массообмена
обычно слабо влияют на собственную частоту колебаний пузырь-
пузырька, поэтому естественным критерием для выбора Nuf и Nu2 явля-
является совпадение декрементов затухания из упомянутого выше точ-
точного решения и приближенного решения в рамках «трехтемпера-
«трехтемпературной» схемы
^ A.6.35)
В результате из A.6.26) и A.6.32) для случая газового пу-
пузырька, когда можно принять Та = Та, при достаточно больших
числах Пекле получим
Ни2 = Ре\/2-2 + О{Ре7112). A.6.36)
Аналогично для малых колебаний парового пузырька при до-
достаточно больших числах Пекле
NUl = Ре1/2 + 2 + О (Ре:112), Nu2 = Pef - 2 + О(Ре^1/2).
A.6.37)
В случае, когда Pej < 1, влияние радиального движения мало.
Тогда
Nu, « 2, A.6.38)
что соответствует классическому стационарному решению для теп-
теплообмена шара при отсутствии какого-либо движения.
Важно, что формулы A.6.36), A.6.37) с точки зрения опре-
определения межфазного перетока тепла в среднем за период колеба-
колебания применимы для колебаний не только с собственной частотой
<вг, но и с произвольной частотой. Поэтому входящие в указанные
формулы числа Пекле в общем случае следует определять часто-
частотой реализующихся колебаний
Ре* = 2а>Мт). A.6.39)
§ 6. МЕЖФАЗНЫЙ ТЕПЛО- II МАССООБМЕН В ПУЗЫРЬКОВОЙ СРЕДЕ 123
Рассмотрим теплообмен при экспоненциальном сжатии или рас-
расширении газовых пузырьков (что реализуется при подходе к ним
ударной волны), когда изменение радиуса пузырька описывает-
описывается формулой
а = аоA + 4оехрю„О. A.6.40)
В этом случае, как показывает точное решение (см. § 7 гл. 2),
если в качестве числа Пекле принять
Ре2 = 4аЯ*МТ) = 4Q**, A-6.41)
то зависимость Nu2(Pe2) для произвольных Рег при малых воз-
возмущениях радиуса а может быть представлена в виде аналити-
аналитической формулы (см. ниже B.7.30))
-1), A.6.42)
причем при больших и малых числах Пекле Рег асимптотики
имеют вид *)
;+O(l);
Pes<l: Nu2 = 10 + O(P)
В только что представленные формулы, определяющие коэф-
коэффициенты межфазного теплообмена или Nu,, входят не только ха-
характеристики среды (а, v^\ Яь ...) в данный момент времени, но
и характеристики процесса в целом (например, показатель со**
экспоненциального сжатия или расширения пузырька, угловая
частота со пульсаций пузырька и т. д.). Процесс и его характе-
характеристики могут быть заранее неизвестны и сами должны опреде-
определяться. Рассмотрим некоторый приближенный способ модерниза-
модернизации указанных формул с целью избавиться от этого недостатка.
Для осцилляционного и экспоненциального законов деформа-
деформации пузырьков формула, определяющая Nu2 через Ре2, практиче-
практически одна и та же. Поэтому в качестве некоторого приближения
используем формулу A.6.42), но параметр Ре2 выразим только
через параметры состояния смеси, а не процессса. Проиллюстри-
Проиллюстрируем это на примере газовых пузырьков.
Для экспоненциальной деформации пузырьков A.6.40) пока-
показатель процесса ю**, входящий в Ре2, может быть представлен
*) Характер зависимости Nu2(pe2) такой же, как зависимости
Nu2 ((ot2^), показанной ниже на рис. 2.8.3.
124 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
в виде
ю** = w/Aa, Аа = а — а0. A.6.44)
При быстрых процессах, когда реализуется тонкий температур-
температурный погранслой, температура основной (вне погранслоя) мас-
массы газа в пузырьке, определяющая Т2, меняется по закону,
близкому к адиабатическому:
Тогда при не очень больших отличиях Тг от Т„
Аа ¦¦
Г / х—-
, = а — а0 = а \ I — \-7jr-)
(АГ2 = Tt- To)
для числа Ре2 из A.6.41) получим формулу, которая содержит
только характеристики среды:
V2 I 2 I V2
причем этот параметр вместе с соотношениями типа A.6.42) бу-
будет определять Nu2 для экспоненциального сжатия или расши-
расширения пузырьков. Для других законов радиального движения
пузырьков такой способ определения Ре2 и Nu2 должен каждый
раз проверяться. При этом достаточной является упрощенная
(с учетом асимптотик A.6.43)) аппроксимация
, Рв1>100, 6 6
10, Ре2<100. A.о.4о;
Заметим, что особенность в формуле A.6.45), возникающая при
АТ2 = Т2 — То = 0, устранимая, так как для теплового потока
имеем, что q^ пропорционально У1АГ2|.
Следует иметь в виду, что аналогичный упрощенный подход
для описания внешнего теплообмена, определяемого параметром
Nu4, приводит к дифференциальному уравнению по времени, что
связано с необходимостью более полного учета тепловой инерции
прилегающей к пузырьку жидкости (см. ниже B.6.24)).
Эффективный коэффициент вязкости при радиальных пуль-
пульсациях. Рассмотрим еще более упрощенную, чем двухтемпера-
турная, схему описания радиального движения пузырька без
анализа температурных эффектов, тем самым понижая порядок
системы уравнений A.6.29).
§ S. МЕЖФАЗНЫЙ ТЕПЛО- И МАССООБМЕН В ПУЗЫРЬКОВОЙ СРЕДЕ 125
Если ограничиться случаем газового пузырька (т. е. пузырь-
пузырька постоянной массы), эта схема сводится к уравнению Рэлея —
Ламба с «вязким членом» и уравнению политропы с показате-
показателем и:
dwla Р2-Р1
а
Здесь, чтобы учесть дополнительные к вязкой диссипации
другие виды диссипации (тепловую, из-за фазовых переходов,
акустическую и т. д.), вместо вязкости жидкости [xt использует-
используется эффективная вязкость fx3$ > fXi. Система уравнений является
замкнутой при заданном законе для давления вдали от пузырь-
пузырька Pi =Pco(t).
Введение цэф вместо р,4 вносит погрешность в уравнение ради-
радиального движения, и оно оправдано для колебательного режима
радиального движения пузырька, когда главными характеристи-
характеристиками этого движения являются частота колебаний и их амплиту-
амплитуда, изменение которой определяется диссипацией.
Приведенной схеме с эффективной вязкостью соответствует
собственная частота колебаний а>г, удовлетворяющая, как и в бо-
более сложных схемах, формуле A.6.22), и декремент затухания
из-за эффективной вязкости Л равен
- A.6.48)
В качестве условия для выбора ^эф, аналогично условиям для
выбора Nu4 и Nu2, естественно взять условие совпадения декре-
декремента затухания A.6.35) по точному решению и декремента за-
затухания по схеме с эффективной вязкостью
Л<*" (цэф) = Л("» Ы + Л(т". A.6.49)
"Учитывая A.6.26) и замечание по поводу физического смысла
Л(со), получим, что для газовых пузырьков, когда Рв22>1,
^эф = Щ + Ц(т>, A.6.50)
Таким образом, эффективная вязкость зависит от частоты ра-
радиальных колебаний пузырька, что затрудняет использование
126 ГЛ 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
этой схемы, так как нужно заранее знать реализующуюся в ис-
исследуемом процессе частоту. С другой стороны, для достаточно
крупных пузырьков теплообмен мало влияет на эту частоту, ко-
которую поэтому можно в первом приближении вычислить без уче-
учета тепловой диссипации.
Если частота близка к собственной, то, учитывая A.6.22),
получим формулу, определяющую эффективную вязкость ради-
радиального движения жидкости вокруг газовых пузырьков через
исходное равновесное состояние смеси:
r ~~ 4 1/2 V1K 2 0/
Приведем одпу оценку, которая наглядно иллюстрирует роль
двух рассматриваемых причин диссипации в пузырьковых сме-
смесях. Для воздушного пузырька в воде уже при а0 > 0,3 • 10~2 мм
вклад тепловой диссипации на порядок превышает вклад
диссипации из-за вязкости жидкости (воды) \x{T)/\Xi > 10. Таким
образом, в пузырьковых смесях с не очень вязкой жидкостью
и не очень мелкими пузырьками (т. е. как раз в тех случаях,
когда может быть существенной радиальная инерция жидкости
вокруг пузырьков) тепловая диссипация значительно преобладает
над вязкой диссипацией.
В очень вязких жидкостях может преобладать диссипация
радиального движения пузырька из-за вязкости жидкости над
тепловой диссипацией. В частности, для воздушного пузырька в
глицерине при нормальных условиях (р0 « 10° Па, Та » 20°С)
при я0 < 1 мм имеем |i(r)/(ii < 0,17.
Механизм тепловой диссипации состоит в том, что при сжа-
сжатии пузырька кинетическая энергия жидкости переходит в энер-
энергию сжатия газа, температура которого при этом повышается.
Из-за теплопроводности часть этой энергии в виде тепла д_ пе-
переходит в жидкость. При расширении пузырька, когда газ рас-
расширяется, его температура понижается. Хотя при этом тепло q+
идет из жидкости в газ, по из-за неравновесности q+ < g_, т. е.
не все тепло, отданное жидкости газом при его сжатии, возвра-
возвращается из жидкости в газ при его расширении. Это и приводит
к необратимому переходу кинетической энергии радиального дви-
движения жидкости в тепловую энергию жидкости.
При радиальных движениях пузырьков, отличных от колеба-
колебательных, использование схемы эффективной вязкости с задани-
заданием (л,эф не является очевидным. В частности, для монотонного сжа-
сжатия пузырька из состояния равновесия, что реализуется во фрон-
фронте ударной волны, не ясно, как определять |я<г). В то же время,
как следует из замечания в связи с A.6.46), использование цвух-
температурной схемы с заданием Ни{ по формулам A.6.42),
A.6.46) является обоснованным.
§ 7 ОБРАЗОВАНИЕ ЗАРОДЫШЕЙ 127
§ 7. Образование зародышей дисперсной фазы
в перегретой жидкости и переохлажденном паре
В практике часто встречаются процессы, в которых в исход-
исходном состоянии рабочая среда является однофазной, например в
виде жидкости или газа (пара), а в ходе исследуемого процесса
создаются условия для появления новой фазы в виде пузырьков
или капель. Ниже кратко рассмотрены кинетические уравнения
для описания зарождения центров (зародышей) пузырьков или
капель, на межфазных границах которых происходит соответ-
соответственно испарение или конденсация. Именно этими процессами
определяется начальная стадия фазовых переходов в однофаз-
однофазных (в исходном состоянии) средах, например, в перегретых жид-
жидкостях (Тг> Ts(p)) или переохлажденном паре (Te<.Ts(p)).
Рост паровой фазы в перегретой жидкости (pi = pi < Ps(Ti))
и жидкой — в переохлажденном паре (pi = pg > ps{T)) может
происходить только на «жизнеспособных» пузырьках A.3.87) и
каплях A.3.89), размер которых превышает критический (а >•«„.).
Такие «жизнеспособные» зародыши паровой или конденсирован-
конденсированной фазы могут образоваться за счет двух механизмов, или ис-
источников. Первый — за счет термофлуктуационных процессов
(гомогенное зародышеобразование). Второй — за счет образова-
образования пара или жидкости на частицах имеющейся взвешенной при-
примеси, а также микронеровностях твердых стенок канала или со-
сосуда (гетерогенное зародышеобразование).
Гомогенное (термофлуктуационное или спонтанное) зароды-
зародышеобразование. Молекулярно-кинетическая теория этого процес-
процесса была заложена в работах ряда исследователей (М. Volmer;
R. Becker, W. Doring; Я. И. Френкель; Я. Б. Зельдович). Эта тео-
теория основана на том, что в жидкости или газе в результате флук-
флуктуации концентрации молекул в их хаотическом движении бес-
беспрерывно образуются и разрушаются микрообразования, а имен-
именно: микропузыри в жидкости и микрокапли в паре. В случае макс-
велловского распределения молекул по скоростям распределение
указанных микрообразований по числу входящих в них молекул
N описывается формулой Гиббса
N (N) ~ ехр -
6Z(N)
A.7.1)
где fe(B) = 1,381 ¦ Ю-23 Дж/К — постоянная Больцмана^_ 8Z(N) —
так называемая работа создания микрообразования из N молекул.
Далее будут рассматриваться только сферические микрообразова-
микрообразования, в которых число входящих молекул N однозначно связано с
их радиусом
A.7.2)
Здесь тп% — масса одной молекулы, цт — молекулярный вес рас-
128 ГЛ 1 УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
сматриваемого вещества, iV(A) = 6,022 • 1026 кмоль — число Аво-
гадро, определяющее число молекул в одном килограмм-моле ве-
вещества (\im кг).
Для изобарно-изотермических флуктуации в достаточно боль-
большом объеме несущей фа-
фазы, когда флуктуации не
меняют состояния основ-
основной массы вещества, ра-
работа 8Z(a) равна изме-
изменению термодинамиче-
термодинамического потенциала Гиббса
для вещества, входящего
в микрообразование, с
учетом вклада 2-фазы:
Рис. 1.7.1. Зависимость изменения тер-
термодинамического потенциала Гиббса
8Z от радиуса микрообразования а и
перепада удельных термодинамических
потенциалов зарождающейся z2 и исход-
исходной Z) фаз при изобарно-изотермиче-
изобарно-изотермических флуктуациях
A.7.3)
Зависимость 82 от а и
Az = z2 — z4 схематично
показана на рис. 1.7.1.
Если z2 > zit т. е. несу-
несущая фаза — или недогре-
тая жидкость (pt>ps (Ti)),
или перегретый пар (pt <
<Ps(Ti)), то число мик-
микрообразований экспонен-
экспоненциально падает с ростом
а, т. е. состояние несущей
фазы является устойчивым. По мере приближения несущей фазы
к состоянию насыщения (z2 = Zi) количество микрообразований
заданного размера увеличивается. Состояние, в котором z2 < zh
называется метастабилъным. Именно к такому состоянию отно-
относятся перегретая жидкость и переохлажденный пар. В метаста-
бильном состоянии функция 8Z(a) имеет максимум при а — а%:
fl, = —22/(A«.pj), 8Z (в„) =Е„ = 4/3™г*2. A.7.4)
Величина Е* называется работой создания критического зароды-
зародыша, а величина а# критическим радиусом зародыша. Таким обра-
образом, если в метастабильной несущей фазе (z2 < zt) возникает мик-
микрообразование с размером а >а%, то оно должно расти, так как это
приводит к уменьшению термодинамического потенциала систе-
системы Z. Такое надкритическое микрообразование может быть заро-
зародышем новой дисперсной фазы. Докритические микрообразова-
микрообразования с радиусом (кСа^ должны исчезать, так как это приводит к
уменьшению Z. Отсюда следует, что появление «жизнеспособ-
§ 7. ОБРАЗОВАНИЕ ЗАРОДЫШЕЙ 129
ных» зародышей в изобарно-изотермических флуктуациях связа-
связано с преодолением потенциального или активациоиного барьера
Е%. Поэтому величина Е^ служит мерой устойчивости мета-
стабильного состояния перегретой жидкости или переохлажден-
переохлажденного пара и мерой вероятности флуктуационного возникновения
новой дисперсной фазы.
Используем линейное разложение zx около состояния насы-
насыщения вдоль изотермы:
Ч (Р, Т) = zig + (p— ps)/p°is, г2 (Р, Т) = z2S + (p
zlS = z2S A.7.5)
(ps = Ps (T), p°s = Pi (ps, T), zlS = zx (Ps, T) (i = 1, 2)).
Тогда из A.7.4) получим
22„ 16я23
* ~
% (Р - Ps) A - Р2°а/Р^) ' * 3 (Р ~ PSJA - Р«/Р"в)''
A.7.6)
Для перегретой жидкости (p<Ps), когда зародышами являются
О 0 0 О
микропузырыш и pxs ^ Pis, P2S ^ PgSi получим
а Ц. ^_ ? 16"f ^0 Ч9. A.7.7)
Для переохлажденного пара (p>Ps), когда зародышами явля-
являются микрокапли и pxs ^ pgs, P2S ^^ PiSi получим
2^ls _
Эти выражения для критического радиуса зародыша совпада-
совпадают с выражениями A.3.87), A.3.89), полученными из условий
равновесия. Как и радиус, активационный барьер Е% для обра-
образования «жизнеспособной» капли во много раз меньше (в ( pgs)),
чем для образования «жизнеспособного» парового пузырька.
При Е% ^>к<-в^Т1,что практически всегда имеет место, в каче-
качестве нормировочного множителя в формуле A.7.1) для числа
микрообразований N критического радиуса я# следует принять
число молекул Nt в единице объема несущей фазы. Тогда имеем
= iV.exp [- ig^j A.7.9)
8,31.103 Дж/(К-кмоль)).
Часть этих микрообразований исчезает, а часть сохраняется
(если состояние метастабильно, т. е. zi<zi), превращаясь в рас-
6 Р И Нигматулин, ч, Т
130 ГЛ 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
тущие зародыши новой фазы. Частоту зародышеобразования ар
можно оценить как произведение поверхности ina^N (а*) на час-
частоту Q перехода молекул из жидкости в пар (для микропузырь-
микропузырьков) или из пара в жидкость (для микрокапель) на единице
межфазной поверхности. Частоту Q можно оценить как частоту
столкновений молекул идеального газа с плоской единичной по-
поверхностью, используя известную формулу молекулярно-кинети-
ческой теории
A.7.10)
В результате для частоты зародышеобразования я|> = 4na\N (a*) Q
по им
dt ч" * -i~*-^ ^J' A.7.11)
16л 2V» 3 #(S4?
У2л цт:
Имеются более последовательные и сложные теории, основанные
на кинетических уравнениях обмена молекулами между несу-
несущей фазой и микрообразованиями и учитывающие как приток,
так и отток молекул к микрообразованиям. Изложение указан-
указанных теорий имеется в ряде монографий (Н. Stever, 1958;
В. П. Скрипов, 1972; В. А. Акуличев, 1978; М. Е. Дейч, Г. А. Фи-
Филиппов, 1981). Окончательные формулы, следующие из этих тео-
теорий для частоты зародышеобразования г|з, отличаются от A.7.11)
только выражением предэкспоненциального множителя (частоты)
(а*. Приведем для примера формулу Деринга — Вольмира
[]
где lm — теплота парообразования, приходящаяся на одну моле-
молекулу, ^т — коэффициент аккомодации ( 0 < ^т < 1).
В теории зародышеобразования испольуется безразмерное
число Гиббса Gi для оценки метастабильности жидкости или
пара:
р - Psf (I - P°s/Pl°sr A- '•w>
Тогда частота зародышеобразования в метастабильном состоянии
выражается в виде
i|> = i|>*exp(-Gi), -ф* = ^1«*- A.7.14)
Из-за сильной зависимости i[i от числа Gi различия даже на
§ 7. ОБРАЗОВАНИЕ ЗАРОДЫШЕЙ
131
один-два порядка в оценке предэкспоненциального множителя
1р% или частоты в># становятся мало существенными с точки
зрения вычисления реализующихся перегревов жидкости или
переохлаждения пара. Для воды в качестве оценок можно при-
нять
Кинетическое уравнение A.7.14) можно представить также
в виде, в котором явно фигурируют характеристики метастабиль-
ности (перегрева жидкости или переохлаждения пара) Ар и AT:
A.7.15)
= Pi-Ps(T1)t AT=T1-Ts(Pl), ?«1,
При определении АТ% использовалась связь A.3.91) между
Ар и AjP, следующая из уравнения Клапейрона — Клаузиуса в
10"
10
чч
ч
i
ч.
ч.
ч
^-—
ч
ч
— -^.
\
V
-647'К
\
\>
10"
\
1Пг
т. к
,-2
Z50
_J I
450
550 р -22.1 МПа
0,050,10,1 0,5 1 Z
10
10
Рис. 1.7.2. Зависимость кинетических параметров ДГ* (сплошные линии) и
Др* (штриховые линии), определяющих кинетику зародышеобразования, от
температуры или давления насыщения воды (I) и водяного пара (g)
точке ST (см. рис. 1.3.4), с учетом коэффициента ?, характери-
характеризующего нелинейность зависимости Ts{p). На рис. 1.7.2 показа-
9*
132 ГЛ 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
ны зависимости Ap^(Tt) и ATlj.(T1) для воды и водяного пара,
характеризующие способность фазы к гомогенному зародыше-
образованию в метастабильном состоянии.
Как видно из вышеприведенных уравнений, интенсивность
гомогенного флуктуационного зародышеобразования очень силь-
сильно вырастает с ростом метастабильности, т. е. перегрева жид-
жидкости (AT > О, Ар < 0) или переохлаждения пара (AT < О,
Ар > 0).
Что касается кипения жидкостей, флуктуационный механизм
является определяющим в особо очищенных жидкостях, когда нет
других источников зародышеобразования. Кроме того, флуктуа-
ционное зародышеобразование может быть существенным и в
жидкостях, прошедших обычную очистку, но в состояниях, близ-
близких к критическим, когда 2—>-0, Ар^-^О, АТ^-^-0, и уже при
сравнительно малых перегревах число Гиббса достаточно мало,
чтобы рост спонтанно образующихся надкритических зародышей
обеспечивал интенсивное вскипание. В состояниях, далеких от
критических (для воды это при р < 15 МПа), для интенсивного
гомогенного зародышеобразования необходимы перегревы AT ~
~ 100 К.
Гетерогенное зародышеобразование. Теплоносители ядерных
реакторов, парогенераторов (обычно это вода) хотя и проходят
очистку и обработку, тем не менее содержат микрочастицы твер-
твердой примеси и микропузырьки. Их характерные размеры
аа ~ 1 мкм, а числовая концентрация щ ~ 10" — 1013 м~3. Сущест-
Существенное уменьшение количества частиц примеси может быть до-
достигнуто только за счет сверхтщательной обработки, очистки,
дегазации, которые могут быть реализованы только в лабора-
лабораторных условиях.
Таким образом, в однофазных жидкостях, используемых в
практике, всегда имеются частицы примеси, размеры которых
лежат в некотором диапазоне 0 < а < ашат. Распределение их по
размерам описывается функцией распределения N(a), зависящей
от вида жидкости и способа ее приготовления. Центрами паро-
парообразования могут быть только надкритические частицы а > а*,
где Яф определяется формулой A.7.6) и зависит от физических
свойств жидкости и степени метастабильности, поэтому общее
число центров парообразования, на которых происходит испаре-
испарение и образование пузырьков, можно представить в виде
со
п = J N(a)da. A.7.16)
а*
Источниками зародышей парообразования могут также быть
микронеровности стенок каналов, наличие на них различных ча-
частиц, что может приводить к преимущественному вскипанию на
таких стенках.
§ 8. УЧЕТ ПОЛИДИСПЕРСНОСТИ 133
Если давление и температура достаточно далеки от критиче-
критических, то в жидкостях, прошедших очистку, которая применяется
в современных тепловых и атомных электростанциях, парообра-
парообразование на уже готовых зародышах, снимающее метастабильность
среды, предотвращает образование глубоко метастабяльной, т. е.
сильно перегретой жидкости с ДГ~ 100 К, когда только и может
стать заметным образование паровых зародышей за счет тер-
мофлуктуаций. В указанных жидкостях (а это обычно вода) воз-
возможные перегревы составляют А Г ~ 10 К даже в таких быстрых
процессах, как истечение при разгерметизации сосудов высокого
давления, и термофлуктуационное зародышеобразование не успе-
успевает проявиться.
Обычно можно считать, что зародышами парообразования ста-
становятся все те частицы примеси, радиусы которых превышают
минимальное значение критического радиуса а#, достигнутое в
процессе, т. е. п определяется формулой A.7.16) с минимальным
значением а*, так как обычно при реализующихся скоростях
уменьшения метастабильности жидкости рост а% (Ар) происхо-
происходит медленнее, чем рост самого зародыша за счет парообра-
парообразования.
§ 8. Учет полидисперсности или многофракционности
дисперсных смесей
Реальные дисперсные смеси всегда полидисперсны, т. е. в
элементарном объеме содержат частицы разных размеров. Этот
фактор можно учесть, если разбить дисперсную фазу на конеч-
конечное число фракций, каждая из которых характеризуется своим
размером частиц и другими макрохарактерпстиками, т. е. вместо
одной дисперсной, или второй фазы, будем рассматривать те — 1
фазу (где т —1—число фракций), каждая из которых имеет
свои характеристики
ai,ni,ai = i/3na3ini,p°i,vl,Ti,pi,... (j = 2,..., те). A.8.1)
При этом i = 1 по-прежнему соответствует несущей фазе, объем-
объемная концентрация которой выражается в виде
т
a1 = l_ad, осй=2^. A.8.2)
г=2
Введение в рассмотрение разных дисперсных фракций может
потребоваться не только для учета полидисперсности, но и в свя-
связи с исследованием обтекания тел дисперсной смесью, когда в
потоке имеются как падающие (одна фракция), так и отражен-
отраженные (другая фракция) от обтекаемого тела дисперсные частицы.
Тогда фракции падающих и отраженных частиц, даже имея оди-
одинаковый размер частиц, будут иметь разные скорости.
134 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
В дисперсной смеси, в которой макроскопические скорости
фракций отличаются друг от друга, т. е. фракции движутся друг
относительно друга со скоростью v* — v,- (i, j = 2, ..., m), будут
столкновения между частицами разных фракций, что приведет
к обмену массой, импульсом и энергией между фракциями.
Рассмотрим обобщение уравнений A.4.5) для смесей газа
с частицами нескольких фракций, когда вещество частиц разных
фракций одно и то же (р2 = рз = • • • = Рт=Рг = const). При этом
будем использовать упрощения A.4.1) — A.4.4).
Уравнения сохранения масс фаз имеют вид
2 «i. A-8.3)
i=2
Ju = nihb Jji = 4/3ла?Р2^г (i, j = 2, . .., m; г =^= /), J}i = — /y •
Здесь и далее везде по повторяющимся верхним координатным
индексам ведется суммирование; /,; — интенсивность обмена мас-
массой между г-й и /-й фазами, причем 74, — за счет испарения или
конденсации на частицах i-ш фракции (? = 2, ..., т), а осталь-
остальные J^ — за счет столкновения и дробления частиц, что характе-
характеризуется величиной г|г,(.
Уравнения импульса смеси и дисперсных фракций имеют вид
(см. также § 1 гл. 1)
Ht '
Vft ft _
1=2
m
ь
divi dp V г ft , V ft
° t,j=l i=i
A.8.4)
ivi dp V г ft ,
° t,j=l
л ft m
Pi-JT = «i/u + 2 УH № ~ ^) +
;=2
(г, / = 2, ..., m;
где FJt — сила взаимодействия между /-й и i-й фазами в единице
объема смеси, причем Fn = niu — сила взаимодействия между
несущим газом и частицами г-й фракции, а остальные F^ — силы
взаимодействия за счет столкновений частиц; vJt- — величина, ко-
которая определяет импульс J^v^ массы, переходящей из j-й в ?-ю
фракцию, причем, в соответствии с A.3.40),принято Vn = vu = v<.
Заметим, что при рх <С Р/ и a,i < 1 инерционными составляющи-
составляющими в силе f 1,- за счет силы Архимеда и присоединенных масс
можно пренебречь и принять tlt»im{, где последняя сила вы-
§ 8. УЧЕТ ПОЛИДИСПВРСНОСТИ 135
числяется по формуле A.4.9) через размер частиц а* и относи-
относительную скорость Wu = Vi — \i (см. также § 2 гл. 4).
Аналогично имеем уравнения энергии смеси и уравнения при-
притока тепла дисперсных фракций
4+2
Pi "^ = Щ [fei + Jli K, - "i)l +
- g.i - q*i + hi (in - Ъ) = 0, <?i. = -(?«,
и,» = в; (Гй) , ita = j( (jo,, Tia), in = h (p, Tia), p( = p + 22/я,-
(i, / = 2, ..., m; /^=i).
где Qn— теплообмен между j-ж и 2-й фракциями в единице объема
смеси за счет столкновений частиц; q^ — поток тепла в частицу
г-й фракции от ее поверхности; qn — поток тепла в несущую
фазу от поверхности частицы г-й фракции; ин определяет внут-
внутреннюю энергию массы, претерпевающей переход / -*¦ i; uia, i,a и
Tia — внутренняя энергия, энтальпия и температура конденси-
конденсированного вещества на поверхности частиц z'-й фракции, iti —
энтальпия несущего газа на поверхности частиц г-й фракции.
Величины g2i и цл определяются аналогично д^г и gsi по форму-
формулам A.4.11).
При задании величин i|3,-,, F,-,-, v,i, Q]t, характеризующих физи-
физические процессы при столкновениях частиц у'-й и г'-и фракций,
система уравнений A.8.3) — A.8.5) становится замкнутой.
Подобным же образом обобщаются уравнения A.5.4) для
полидисперсных пузырьковых смесей. Приведем это обобщение,
когда объемная концентрация пузырьков a,j достаточно мала
(чтобы можно было пренебречь коэффициентами ф10, qpB) и срC>
в уравнении Рэлея — Ламба), когда отсутствуют фазовые пере-
переходы (/п = 0), переходы пузырьков из одной фракции в другую
(if3t = O), обмен импульсом и энергией между фракциями пу-
пузырьков (Fji = 0, Qji = O), а несущую жидкость можно считать
О
несжимаемой Рх = const. Тогда можно записать:
dt ^ dxh ' dt т gxk
~dT= h г IT = ^
136 ГЛ 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
dt \"г г/ ' l л0 * 1 ^ u \ • • /
"i i=2
ai^i 3 Эр | 3 jh , oai ft /ft _ ft ft\
^* P, dxh 2ла3.р° * % ' ai 1г Х
где сила трения ?(цL и тепловой поток g2i, приходящиеся на один
пузырек г-й фракции, следует задавать теми же формулами, что
и для однофракционной (монодисперсной) смеси.
§ 9. Внутрифазные и межфазные взаимодействия
в плотно упакованных зернистых, порошкообразных
и пористых средах
Если твердая фаза представляет плотную упаковку дисперс-
дисперсных частиц, то в ней может происходить перенос импульса за
счет непосредственного взаимодействия ме:кду частицами, кото-
которое описывается приведенным тензором напряжений с***. Если
пренебречь пульсационным переносом импульса в фазах П\\ что
обычно можно делать в случае пористых сред, то в соответствии
с A.3.25) тензор напряжений в смеси и приведенные тензоры
напряжений в фазах о^* представляются в виде
о}1 = «! <а[ы>1 + ah2llS, oji = a2 «,?>, + a&. ( }
Тензор напряжений в дисперсной фазе. Как и ранее в § 4
для газовзвесей, можно считать, что действие вязкости диспер-
спошюй (газовой или жидкой) фазы через межфазную силу Fw
во много раз превышает действие вязкости через тензоры напря-
напряжений a1<a/i>1 и a^ls в виде слагаемого о1^. Поэтому примем
<о'гк1>1 = -р1^\ ok2llS = -ah1l2S=^-a2p18kl. A.9.2)
Выражение o2lS = — a2px6 соответствует случаю, когда
межзеренные контакты точечные, т. е. почти вся поверхность
зерен контактирует с газовой или жидкой фазой. Таким образом,
имеем
аы = - Pl6kl + of», сс2 <ст2ы>2 = - a2Pl8hl + of*. A.9.3)
Из этих выражений следует, что приведенное напряжение в дис-
§ 9. ЗЕРНИСТЫЕ, ПОРОШКООБРАЗНЫЕ И ПОРИСТЫЕ СРЕДЫ 137
персной фазе о*2* определяется через непосредственно изме-
измеряемые величины — полное напряжение в смеси оы и давление
газа или жидкости в порах р,. Напряжение а2* интерпретирует-
интерпретируется как часть тензора напряжений <02ft >2 в твердой фазе или
скелете, обусловленная передачей усилий через контакты между
зернами. Если исключены контакты между зернами, что имеет
место в малоконцентрированных (бесстолкновительных или бес-
бесконтактных) дисперсных смесях, рассмотренных выше в § 1—4,
то о2* = 0. При наличии контактов между дисперсными части-
частицами (с2* Ф 0) дисперсную смесь будем называть плотной, кон-
контактной или столкновительной. (См. также В. Н. Николаевский
и др., 1970.)
Межфазная сила. Учитывая, что вся поверхность дисперсных
частиц (за исключением конечного числа точек межзеренных
контактов) контактирует с газом, межфазную силу можно пред-
представить так же, как и в бесконтактной дисперсной смеси в виде
A.3.41), выделяя силу Архимеда iAi и силу присоединенных масс
fm из-за действия инерции и тяжести в несущей фазе
R12 = Va2pa + ntAl + nim + nfy.,
nlm = \ Pl4 (^ - Щ, A.9.4)
~% (Vl — V2)r
где fn — сила, приходящаяся на одну частицу (зерно) из-за вяз-
вязкости дисперсионной фазы, определяемая коэффициентом вяз-
вязкого взаимодействия К^, который задается аналогично A.4.9);
%т — коэффициент, учитывающий влияние неодиночности и не-
несферичности дисперсных частиц на силу присоединенных масс
@^%т^1)- Тогда аналогично A.3.45) уравнения импульсов
фаз в контактной дисперсной смеси можно записать в виде
Pi ,и — 'Л1УPi lm 1 ц 1 <J-vJ a \v2 vi; ч Pis»
Pa-f^1- = - a2\Pl + V4* + Fm + Fn + a2/21 (v2 - v2) + p2g,
A.9.5)
Fm = axwfm, Fn = ctjAif^, — /21 = /12 = nj.
Из этих уравнений нетрудно получить соответствующее вы-
выражение для удельной межфазной силы в дисперсной смеси
R12 = Pl\a2 + Fm + F^ + a2/12 (vx - v2), A.9.6)
(vx - v2).
138 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
Рассмотрим другую двухфазную структуру, состоящую из по-
пористой среды*), насыщенной жидкостью или газовой фазой, ко-
которая занимает поры в виде каналов. Такая структура может рас-
рассматриваться как предельный случай дисперсной структуры
с наиболее полными контактами между частицами твердой фазы,
когда площадь межзеренных контактов сравнима с поверхностью
зерен. Эту предельную структуру с порами в виде каналов будем
называть «канальной структурой». Для такой структуры тензоры
<*i2Si a2is, сила f и числовая концентрация частиц п не имеют
смысла, и выражения A.9.1) и A.9.4) не могут быть использо-
использованы для определения напряжений в фазах и силы межфазного
воздействия. Напряжение в жидкой или газовой фазе зададим
давлением по тем же соображениям, что и в A.9.2) и аналогич-
аналогично A.9.3) введем приведенный тензор напряжений в твердой
фазе ст2"
A.9.7)
о = i
Видно, что напряжения cr2H./a2 характеризуют отличие средних
напряжений <oftJ>2 в твердой фазе от давления в порах pt.
Если каналы в пористой среде гладкие, прямолинейные и ори-
ориентированы вдоль относительного ускорения фаз, то в межфазной
силе Ri2 нет составляющей за счет мелкомасштабных пульсаций
давления, возникающих в общем случае из-за сил инерции в мел-
мелкомасштабном движении, т. е. AR% = О (см- A.2.46)). Тогда
R12 = p\a2 + AR[l\ ARr2)^FA = a1a2^1/i:iiar2K-v2), A.9.8)
где «I — характерный радиус пор. В общем случае АЛ12 ФО я
межфазная сила определяется как вязким, так и инерционным
взаимодействием:
R12 = РУа2
s Fm = tm \± aAP; (-JLA. - -^_jj + aa/21 (v2 - vx)
@<ъ»<1), A-9-9)
= Fц = ^^V
Это выражение обобщает A.9.6) и A.9.8). Здесь %т и К^а^ —
коэффициенты инерционного и вязкого взаимодействия фаз, за-
зависящие от структуры среды, причем разреженной дисперсной
смеси с частицами радиусом аг соответствует %т = 1 и К^ае =
*) Далее использованы результаты статьи Н. Д. Мусаева A985).
§ 9. ЗЕРНИСТЫЕ, ПОРОШКООБРАЗНЫЕ И ПОРИСТЫЕ СРЕДЫ 139
1 а пористой среде с прямолинейными цилиндрическими
каналами радиусом аи ориентированными вдоль направления
относительного движения и ускорения фаз, соответствует %т = О
и К^а~2 = 8аj~2.
В результате обобщения A.9.5) на пористые и зернистые сре-
среды имеет вид
d v
Pi -^f- = - ^Pi - Fm - *V + J21 (V2 — ^i) + Pig, A.9.10)
P2^- = - a2Vp! + V\>2\ + Fm + Fn + p2g,
где Fm и Fu определяются выражениями A.9.9).
Сила трения в зернистах средах определяется так же, как
и для газовзвесей (см. A.3.42), A.4.9)) с помощью коэффициента
трения Сц. Для этого коэффициента имеем следующие эмпириче-
эмпирические формулы:
(а,-0,08) Cg)+@,45-,,) СУ
Ьр, — jy-^j , u,uo s^ aa s^ u,4J,
Сд = С = ,g- + -^- + 0,42, а3< 0,08, A.9.11)
-> _ ?B) __ _^ j 75
Здесь C^ получено из обработки экспериментов по стационар-
стационарной продувке газов сквозь насыпной слой (разной пористости)
неподвижных сферических частиц (S. Ergun, 1952); С^ соответ-
соответствует одиночной частице или газовзвеси, когда объемная кон-
концентрация частиц а2 мала. В промежуточной области а2 здесь
предлагается использовать линейную интерполяцию с Cjy и С? .
Работа поверхностных сил. Уравнения притока тепла. Работа
внешних поверхностных сил VV определяется вектором с, кото-
который, обобщая A.1.58) и A.3.37), зададим в виде
ck = <$v[ + ch2lvl2 = - Pl (cc^ + aau*) + a&l A.9.12)
Аналогично A.1.43) нетрудно показать, что в соответствии с
уравнениями импульсов фаз A.9.10) на изменение кинетической
энергии идет работа
- (а^ + aai$ VkPl + i4V*o?, A.9.13)
а остальная часть Vhck, равная
- рХМ + <*А) + <#V4 A-9.14)
идет на изменение внутренних энергий фаз в соответствии
440 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
с уравнениями притока тепла фаз
Рз 1ЙГ = ^ ^Г + <У^ - J2i &<• - h) + Q*, A-9.15)
Qzi + <?22 = —/21 (ha — *2a) •
При сопоставлении этих уравнений с A.9.14) следует иметь
в виду, что в соответствии с уравнениями сохранения масс фаз
имеет место
aidiP°i ,a2 d2pl г (Л L) Vk(r7 a. k\ (iqm
-^ЧГ- + ^^Г-/^[Р° р° J = - V («л+«2i^. A.9.16)
Деформация (как сдвиговая, так и объемная) пористого тела
сопровождается эффектами вязкости, упругости и пластичности,
описание которых связано с разделением уравнения для внут-
внутренней энергии твердой фазы (второе уравнение A.9.15)) на два
уравнения: уравнение для упругой энергии и уравнение для
тепловой энергии. Это связано с тем, что внутренняя энергия
конденсированной фазы складывается из упругой и1е и тепловой
и2Т составляющих (см. также § 1 гл. 3)
Щ = и2е + Щт,
«2e=«2.(pa,42\43)), A-9.17)
Г = с2(Г2— То) т- и20,
где 12 , /2 — второй и третий инварианты тензора деформаций
второй фазы*), определяемого эволюцией поля скоростей v2(?, x).
При не очень высоких давлениях деформация твердой фазы,
k
описываемая полем скоростей v2, происходит в основном за счет
переупаковки зерен и изменения объемов пор, ибо сжимаемость
и сдвиговые деформации материала твердой фазы очень малы, в
частности можно считать р2«const. В этом случае упругая
внутренняя энергия не меняется, вся деформация твердой фазы
является необратимой и вся работа соответствующих внутренних
межгранулярных сил Af = cr^V11^ диссипируется в тепловую.
Такой ситуации соответствует используемая в механике грунтов
модель пластического газа (X. А. Рахматулин и др., 1961), ко-
которая для одномерного случая движения рассмотрена в § 4 гл. 3.
Как и межфазное трение межфазный стационарный теплооб-
теплообмен в насыпных слоях, определяемый величиной QiZ = nqiS, опи-
*) Первый инвариант тензора деформаций /^ определяет изменение
плотности р2.
§ 10. ДВУХФАЗНАЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКАЯ СРЕДА 141
сывается с помощью числа Nuis, как и в газовзвесях (см. A.3.56),
A.4.11)), для которого имеются следующие эмпирические фор-
формулы (А. Ф. Чудновский, 1954) :
2 + 0,106 Re12Pri/3 (Re12< 200),
2,27 + 0,6 Re?267Pri/3 (Re12>200).
§ 10. Уравнения механики двухфазной упругопластической
сплошной среды в односкоростном, однотемпературном
и с общим давлением фаз приближении
Рассмотрим движение двухфазной среды, когда можно пре-
пренебречь относительным движением фаз и несовпадением их тем-
температур, т. е. можно использовать так называемое односкорост-
ное и однотемпературное приближение. Как уже указывалось,
эффекты движения фаз с разными скоростями часто являются
несущественными при интенсивных течениях пузырьковых газо-
газойли парожидкостных смесей. Кроме того, в смесях конденсиро-
конденсированных фаз (композиционные материалы, двухфазные смеси,
которые возникают из-за полиморфных превращений в твердых
телах, инициируемых сильными ударными волнами (см. гл. 3))
часто силы межфазного взаимодействия и сцепления, а также
интенсивности межфазного теплообмена на границах зерен, вклю-
включений, волокон настолько велики, что средним смещением фаз
друг относительно друга и несовпадением их средних температур
можно пренебречь
Далее, в отличие от предыдущих параграфов, дан вывод ос-
основных уравнений в лагранжевых переменных. Их использование
позволяет проще реализовать численное решение одномерных
задач о движении односкоростной среды с контактными гра-
границами.
Уравнения сохранения двухфазной среды в односкоростном
приближении в лагранжевых переменных. Выведем дифферен-
дифференциальные уравнения сохранения масс фаз, импульса и энергии
двухфазной смеси в лагранжевых декартовых координатах г*
{к = 1, 2, 3), так что г (г1, г2, г3) определяет положение частицы
среды в начальный момент времени. Текущее положение части-
частицы среды определяется ее эйлеровыми координатами xh или кон-
концом вектора х(х1, хг, х1), для которых имеется уравнение пере-
перемещения
Заметим, что здесь частная производная по времени d/dt берется
при фиксированных лагранжевых координатах, т. е. вдоль траек-
142 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
тории материальной частицы, и поэтому здесь d/dt — субстан-
субстанциональная производная
Пусть /(г, t)—степень расширения среды, или якобиан пре-
преобразования от лагранжевых к эйлеровым координатам
,1,2 „1,3
/ =
X*1* X
2,1 л.2,2 —.2, 3
дг1
определяющий отношение текущего элементарного объема dV
выделенной вокруг точки частицы к ее объему dV0 в начальный
момент времени:
I = dV/dV0. A.10.4)
Пусть ро(г)=р(О, г)— плотность среды в начальный момент вре-
времени t = 0. Тогда закон сохранения массы смеси имеет вид
pdV = podVo, или
р/ = Ро, A.10.5)
а уравнения сохранения масс фаз с учетом фазовых переходов,
характеризуемых их интенсивностью /*12, отнесенной, в отличие
от /12, к единице объема среды в начальный момент времени,
записываются в виде
-L (9ldV) = - Jtl2dV0, ± (p2dV) = J*12dV0 (/M2dK0 = /]2dF)f
где /12 — интенсивность фазовых переходов, отнесенная к едини-
единице текущего объема среды. Разделив обе части этих уравнений
на dV0, получим
± (Pl/) = - /,12, ± (ря7) = /#12 (/ = A, jtia = 7/12). A.10.6)
(Pl/) = - /,12,
Запишем уравнение сохранения импульса для массы среды, на-
находящейся в начальный момент времени в объеме dV0, ограни-
ограниченном поверхностью 8S0:
где о? = а"ег — тензор напряжений Лагранжа, который, в отли-
отличие от до сих пор используемого тензора напряжений Эйлера oft!,
определяет интенсивность поверхностных сил, отнесенных не к те-
текущему, а к начальному размеру и положению сечения ds0 с еди-
единичной нормалью n0; g — интенсивность внешних массовых сил,
§ 10. ДВУХФАЗНАЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКАЯ СРЕДА 143
отнесенных к единице массы среды. Используя теорему Гаусса —
Остроградского, получим
Ро J = VX + Pog (vS^i
Внутреннюю энергию смеси будем считать аддитивной по
внутренним энергиям фаз, тем самым пренебрегая особыми свой-
свойствами слоев вещества, прилегающих к границам зерен или меж-
межфазных границ
ри = piUi + р2м2, A.10.8)
где и, Ui и и2 — удельные внутренние энергии соответственно
смеси, первой и второй фаз. Тогда уравнение сохранения энергии
смеси имеет вид
-^\pdV [и+ ?)] = j) olnh0.vds0 + pdFg-v- j) qyodso,
гДе <7* — тепловой поток, отнесенный, аналогично о*1 к началь-
начальному размеру и положению сечения ds0. Используя теорему
Гаусса — Остроградского и относя обе части к dV0, получим
р/ 4) = V* (ahjvl - q$) + plglv\ A.10.9)
а используя уравнение для кинетической энергии, следующее из
уравнения импульса, получим уравнение притока тепла
jf A.10.10)
После несложных преобразований система уравнений сохранения
A.10.6), A.10.7), A.10.9) односкоростной двухфазной среды в
лагранжевых переменных примет вид
Ро
A.10.11)
где / определяется соотношением A.10.3) и уравнением для пе-
перемещений A.10.1).
Запишем полученные уравнения для нестационарного движе-
движения, определяемого одной пространственной координатой г (лаг-
ранжева координата) или х (эйлерова координата), т. е. для
144 ГЛ 1 УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
одномерных движений вдоль оси г (коллинеарной оси х) с пло-
плоской (v = l), цилиндрической (v = 2) и сферической (v == 3)
симметриями. Учитывая схемы на рис. 1.10.1, используя стан-
стандартные выкладки при переходе от декартовой к цилиндрической
и сферической системам координат, учитывая, что все величины
.2
В
Рис 1.10.1. Элементарные объемы в исходном и текущем состояниях и
главные напряжения лагранжева и эйлерова тензоров напряжений при
наличии (а) плоской (v = l), (б) цилиндрической (-v = 2) и (в) сфериче-
сферической (v = 3) симметрии
зависят только от г или х, а скорость направлена только вдоль
оси г или ж, получим выражения для степени расширения элемен-
элементарного объема, скорости ее изменения, а также связи между глав-
главными напряжениями лагранжева и эйлерова тензоров напряжений
1^. EL
dr'
at
т ) дгг
A.10.12)
е ьдх I х y/^-2)(v-D
* дг \ г I
A.10.13)
При этом система уравнений сохранения A.10.11) в лагранже-
§ 10 ДВУХФАЗНАЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКАЯ СРЕДА 145
вых переменных г, t для одномерных течений при отсутствии
внешних массовых сил (g = 0) может быть записана в виде
Т = 0 + Р 12 = 0
<1Л0Л4>
Ро d?i , п д! Ро , - Ро др2 д1 Ро т
Т"^ + р1^ + Т 12 = 0' Т"зГ + Р2^~~р~ 12 =
я„ дог аг — а9 яг
P' + f'1)^'' § »
где dl/dt определяется второй формулой A.10.12). Заметим, что
если тензор напряжепий (эйлеров) гидростатический (ог = о9 =
= —р), то уравнение импульса в лагранжевых переменных име-
имеет вид
N"~14r. A.10.14а)
or
Из этих уравнений, учитывая A.10.13) и A.10.2), можно по-
получить уравнения в эйлеровых переменных х, t
др. dp.v (v — 1) р,у
A.10.15)
(у - 1) а% дд
дх
Для замыкания представленной системы уравнений A.10.11),
которая для одномерных движении имеет вид A.10.14) или
A.10.15), нужно конкретизировать механические и термодина-
термодинамические свойства смеси и фаз в виде уравнений состояния для
uv u2, о%, Я*, а также задать кинетику фазовых переходов
для /42.
Отметим, что при решении задач, связанных с упругопласти-
ческим течением, необходимо следить за историей частицы, чтобы
выявить переход из упругого в пластический режим деформации.
С этой точки зрения лагранжево представление обладает опре-
определенным преимуществом. Кроме того, при решении задач в лаг-
лагранжевых переменных проще задание граничных условий на
Юр и Нигматулин, ч I
146 ГЛ 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГРННЫХ СРЕД
контактных поверхностях, разделяющих различные тела и воз-
возникающих при соударениях тел, при воздействии детонации
взрывчатого вещества и т. д., ибо эти контактные поверхности
имеют фиксированные лагранжевы координаты. Отметим, что при
решении одномерных плоских задач (v = 1) нет необходимости
подсчета эйлеровой координаты х точек среды, т. е. интегриро-
интегрировать четвертое уравнение A.10.14). Для цилиндрических, сфе-
сферических и других (неодномерных) задач с конечными дефор-
деформациями последнее упрощение решений задач в лагранжевых
переменных отпадает. Кроме того, реализация конечно-раз-
конечно-разностных методов при лагранжевом представлении движений
с большими деформациями осложняется численными эффектами
наложения частиц друг на друга.
Тензор напряжений в двухфазной упругопластической среде.
Как указывалось, средняя деформация и среднее напряжение
элемента первой фазы при заданном воздействии определяются
не только смещением внешних границ этого элемента, описы-
описываемого полем скоростей v(x, t), но и смещением межфазных
границ внутри этого элемента. Но смещение межфазных границ
зависит как от свойств, так и от структуры обеих фаз в смеси.
Поэтому в теории движения гетерогенной среды должны учиты-
учитываться условия совместного поведения или деформирования фаз,
которые, кроме физических свойств фаз в общем случае должны
учитывать структуру фаз (форму включений, их размер, взаим-
взаимное расположение). Эффекты прочности твердых фаз могут су-
существенно усложнять указанные условия, которые должны учи-
учитывать и различие упругопластических свойств фаз.
Если обе фазы жидкие или газообразные, то равновесное со-
состояние, к которому каждый раз переходит система после нало-
наложения какого-либо возмущения, есть состояние, определяемое
условием равенства давлений фаз, которые определяются истин-
истинной плотностью фазы и ее температурой. Эффекты прочности,
присущие твердым веществам, эффекты поверхностного натяже-
натяжения, а также эффекты неравновесности из-за существенно раз-
различных сжимаемостей и плотностей фаз, приводящие к пульса-
пульсациям размеров включений (как это имеет место в пузырьковых
жидкостях), нарушают равенство давлений фаз.
При распространении сильных ударных волн, вызывающих
фазовые переходы в твердых телах, уровень напряжений, свя-
связанных с прочностью и приводящих к негидростатичности тен-
тензора напряжений, во много раз меньше его гидростатической
части, или давления. Дело в том, что прочность материала, хотя
и растет с давлением, ограничена, и при высоких давлениях
свойства твердого тела в некоторых отношениях приближаются
к свойствам жидкости, хотя эффекты негидростатичности (проч-
(прочности) приводят к большим скоростям распространения некото-
некоторых возмущений, что можно учесть и в рамках квазижидкостной
§ 10. ДВУХФАЗНАЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКАЯ СРЕДА 147
модели. Кроме того, сжимаемости фаз, так же как и истинные
плотности фаз — величины одного порядка. Указанные два об-
обстоятельства позволяют воспользоваться условием равенства дав-
давлений фаз, как одним из условий совместного деформирования
фаз в смеси, что вместе с уравнением состояния, связывающего
первый инвариант тензора напряжений с первым инвариантом
тензора деформаций (или истинной плотностью) фазы и темпе-
температурой, приводит к некой полугидродинамической модели.
Таким образом, если эйлеров тензор напряжений аы предста-
представить в виде суммы гидростатической и девиаторной частей
0« = -рб"' + хы (т№ = 0), A.10.16)
то значение р будем считать зависящим только от истинной плот-
плотности фазы и температуры (уравнение состояния), полагая, что
обе фазы имеют одинаковые давление и температуру:
Р=рЛр°иТ) = рл(9°2,Т). A.10.17)
Соотношение р = Pi(pn Т) служит для определения давления,
а равенство Pj(pi, Т) = /?2(р2, Т) — одно из условий совместного
поведения фаз, определяющее их объемные содержания. Эти два
соотношения представляют гидродинамическую сторону предла-
предлагаемой модели.
Чтобы сохранить в модели некоторые свойства, присущие твер-
твердому телу (сопротивляемость деформациям сдвига, упругость,
пластичность, существование упругих предвестников ударных
волн и волн разгрузки, связанных с наличием более высокой
скорости распространения возмущений, чем это следует из чи-
чисто гидродинамической модели), вводится девиатор напряжений
Xм. В случае однофазной среды его принимают изменяющимся
линейно с ростом деформаций по закону Гука до некоторого
предела, после чего он должен удовлетворять условию пластич-
пластичности. В главных осях тензора напряжении закон Гука, опреде-
определяемый модулем сдвиговой упругости G, можно записать в виде
xh (deh 1 1 dp) , , „ о
Для описания пластического течения пользуются условием
текучести Мизеса, отражающим ограниченные возможности ве-
вещества упругого сопротивления на сдвиг
(Ti _ т2J + (х2 - т3J + (т1 - т3J< 2 (а*J, A.10.19)
где о%— предел текучести при простом растяжении или сжатии
(о2 = od = 0), который определяет максимально возможное напря-
напряжение сдвига (сдвиговый предел текучести т^ е= г12а^). Левая
10*
148 ГЛ 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
часть этого выражения пропорциональна упругой энергии сдвига.
Условие Мизеса соответствует тому факту, что пластическое те-
течение начинается при достижении упругой энергией сдвига пре-
предельного значения. Далее полагается, что пластическому течению
соответствует знак равенства в выражении A.10.19), которое при
этом определяет так называемую поверхность текучести в про-
пространстве напряжений. Условие текучести Мизеса A.10.19),
если учесть последнее условие в A.10.18), может быть приведено
также к виду
(Т1J + (Т2J + (Т8J ^ 2/а (О#)В = 8/з (т#J_ A.10.20)
В рамках указанных представлений можно учесть изменение
прочностных свойств при изменении состояния среды, считая,
например, сдвиговый предел текучести %% и модуль сдвиговой
упругости G функциями давления, температуры и объемного со-
содержания фаз, причем т* обычно растет (упрочнение) с уве-
увеличением давления и падает (разупрочнение) с увеличением тем-
температуры. Часто можно принять линейный закон упрочнения по
давлению
(T^VaO-*), A.10.21)
где М — коэффициент упрочнения. Когда материал расплавляется,
Tjj. = 0, и при этом иолучится чисто гидродинамический режим,
так как напряжение сведется только к гидростатическому давле-
давлению: о1 = о2 = а3 = — р, т1 = т2 = т3 = 0.
Следует иметь в виду, что примеси в малых количествах,
например примеси углерода в сталях, легирующие добавки
в сплавах, пластическая и термическая обработка мало влияют
на упругие и термодинамические свойства металлов и сплавов,
характеризуемые зависимостями для давления р(р°, Т), внут-
внутренней энергии и = и(р°, Т) и модулем сдвига G, но в это же
время могут существенно изменить предел текучести т^.
В процессах ударноволнового нагружения (во всяком случае,
на начальном этапе) при давлениях порядка 1 — 10 ГПа играют
роль кинетриеские, или релаксационные эффекты перехода упру-
упругих деформаций в пластические, которые иногда называют эф-
эффектами запаздывания текучести. Процессы перехода упругих
деформаций в пластические и обратно, вообще говоря, могут
рассматриваться как фазовые переходы 2-го рода, когда в точке
равновесия фаз (в данном случае в точке Гюгонио на ударной
адиабате) меняется сжимаемость или модуль сопротивления сдви-
сдвигу, но не величины внутренней энергии и плотности, как в слу-
чае фазовых переходов 1-го рода. Модели, учитывающие релак-
релаксацию во времени упругих деформаций в пластические (в отли-
отличие от упругопластических схем типа A.10.19)), должны вклю-
включать дополнительные независимые параметры и дифференциаль-
дифференциальное уравнение кинетики релаксации упругих деформаций. Это
§ 10. ДВУХФАЗНАЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКАЯ СРЕДА 149
уравнение, включающее заранее неизвестный параметр (напри-
(например, характерное время релаксации), можно задавать, исходя из
формальных термодинамических соображений, аналогично тому,
как это делается ниже для случая фазовых переходов 1-го рода.
Неформальные уравнения кинетики, исходящие из представле-
представлений теории дислокаций и приводящие к модели вязкоупругопла-
стической или вязкоупругой среды, для ударноволновых задач
рассмотрены в работах (J. Taylor, 1965; J. Gilman, 1968;
Р. И. Нигматулин, Н. Н. Холин, 1980; R. Nigmatulin, N. Kholin,
1979). В книге С. К. Годунова A978) изложена модель вязко-
упругости для описания трехосных напряжений и деформаций
с релаксацией.
При возникновении растягивающих напряжений о" > 0 пли
р < 0 ограничивают максимальное значение напряжения
aft*S<w, A.10.22)
считая, что при нарушении этого условия наступает нарушение
сплошности среды (откол, трещины). Эта схема называется схе-
схемой мгновенного откола (см. Н. X. Ахмадеев, Р. И. Нигматулин,
1982). При более последовательном изучении развития разруше-
разрушения во времени следует принимать уравнения кинетики роста
трещин под действием растягивающих напряжений с учетом
«ослабления» материала из-за этих трещин (см. статью Н. X. Ах-
мадеева, Р. И. Нигматулина A982) и соответствующие ссылки
в ней).
Кинетика фазовых переходов. Интенсивность фазовых пере-
переходов /12 представим в виде
Ji2 = J°iz-Jli, A.10.23)
каждое из которых может быть только неотрицательным (/12 ^ 0,
J21^ 0), причем по крайней мере одно из них обязательно равно
нулю. Если фазовых переходов нет, то/12 = /2i=0. В дальней-
дальнейшем /12 будет давать только скорость перехода из первой фазы
во вторую, а /2i— из второй в первую.
Из термодинамики известно, что на линии равновесия двух
фаз p=ps(T) или T = Ts(p) термодинамические потенциалы фаз,
определяемые выражениями A.3.69), равны между собой (см.
A.3.77))
ziS{p) = z2S(p). A.10.24)
Формализм термодинамики необратимых процессов основан
на том, что установление равновесия идет с тем большей ско-
скоростью, чем больше отклонение от равновесного состояния
150 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
(см. § 1). В частности, фазовый состав в смеси в равновесии
реализует минимальное значение термодинамического потенциала
смеси, и поэтому фазовый переход (например, 1 -*- 2, если р, > 0)
идет тем быстрее, чем больше термодинамический потенциал ве-
вещества в первой фазе z4 превышает термодинамический потенциал
вещества во второй фазе z2 при тех же давлении и температуре.
Аналогично и для перехода 2-^1. Тогда в линейном приближе-
приближении, используя кинетические коэффициенты Z<12)>0 п LBl) > 0,
имеем
т°
?(i2) lh (p, T) — z2 (p, T)}, если Pl;
13 ~~ ' 0, если рг = 0 или zx t^ *2,
A.10.25)
Г) —z^jd, Г)], если р2>0, z2>Zj,
О, если р2 = 0 или z2 ^ zx.
В состояниях, близких к линии равновесия двух фаз р$(Т)
или Ts(p), учитывая A.3.71) для производных от zt(p, T) и
используя приращения термодинамического потенциала от линии
насыщения вдоль изотермы или изобары, имеем
zt (р, Т) « ziS (Т) + V°iS (р - ps (Т)) « ziS (р) - siS (р) • (Т ~ Ts (p))
A.10.26)
Введем величины, определяющие разницу удельных объемов,
энтропии и энтальпий фаз на линии насыщения
-AF°2 (Т) = V°1S - V°2S = 4— 4-,
9 "
. . . , A.10.27)
^12 (^ — °1S — <>2S — f — тТп\1
1 3 S \
где hz — Ыц{р)—разница энтальпий фаз на линии насыщения,
или теплота фазового перехода, которую нужно подвести (Z12> 0)
(отвести A12 < 0)) к единице массы первой фазы в состоянии
насыщения, чтобы перевести ее во вторую фазу.
Учитывая A.10.26), A.10.27) и условие A.10.24). получим
линейные уравнения кинетики фазовых переходов, определяющие
их интенсивность в зависимости от отклонения давления (пе-
(пересжатия или перерасширения) от давления насыщения Ps(T)
или от отклонения температуры (перегрева или переохлаждения)
от температуры насыщения ТБ(р). В частности, когда вторая
§ 10. ДВУХФАЗНАЯ УПРУГОШ1АСТИЧЕСКАЯ СРЕДА 151
фаза более плотная, чем первая (AFi2<0), имеем
•^12 = Ll$ (р — Ps), если Pl > 0, р > ps;
/°2 = 0, если pL = 0 или р <[ ps;
Jn = Lfi(Ps — P), если р2>0, ps>p; A.10.28)
j°21 = О, если p2 = 0 или ps ^ p
(t(p) t af° /¦(?)_ г af° ^
IjL/^2 — —JL/^2al\K^2, jt-/2^ = ^21^^12/*
Аналогично, если энтальпия второй фазы больше энтальпии пер-
первой (Zi2>0), имеем
/°2 = L^ (Т-Тд), если Pl > 0, Т > Г8;
/°2 = 0, если рх = 0 или Г<[ Ts;
4i = LfS (Ts - T), если р2 > О, TS > У; A.10.29)
/°х = 0, если р2 = 0 или TS^.T
Зная из эксперимента характерные времена фазовых превра-
превращений, можно оценить значения коэффициентов Li2 и L2i. На-
Например, если известно время t^ полного превращения i-й в
/-ю фазу при некотором давлении р, то имеем
Др = IР — Ps | •
Тогда для кинетического коэффициента получаем оценку
A.10.30)
ГЛАВА 2
МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ
ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ,
КАПЕЛЬ И ПУЗЫРЬКОВ
В данной главе представлены имеющиеся в настоящее время
наиболее принципиальные результаты исследований процессов
около дисперсных частиц, капель или пузырьков, находящихся в
потоках жидкости или газа. Эти результаты необходимы для
замыкания осредненных уравнений движения дисперсных сме-
смесей, рассмотренных в гл. 1.
§ 1. Обтекание твердой сферы
Рассмотрим основные эффекты, возникающие при обтекании
одиночной сферы бесконечным потоком жидкости. Эти эффекты,
конечно, сохраняются и в дисперсных смесях, а в смесях с ма-
малой объемной концентрацией дисперсной фазы а2 количественно
описываются формулами, полученньши для обтекания одиноч-
одиночной сферы.
Обтекание твердой сферы поступательным на бесконечности
потоком. На рис. 2.1.1 представлена экспериментальная зависи-
зависимость коэффициента сопротивления Си(Яег), введенного*) в
A.3.41), A.4.9), при обтекании покоящейся (v2 = 0) одиночной
(а2—»-0, Сц= Сц) твердой сферы стационарным поступательным
потоком жидкости со скоростью Voo = wi2 вдали от нее в диапа-
диапазоне 10~2 < Rev < 106. Соответствующая аналитическая аппрокси-
аппроксимация этой зависимости дана в A.4.9). Видно, что формула Сток-
са A.3.42) хорошо описывает опыт до Rec^l. Далее видно, что
даже при огромных числах Рейнольдса Reb не наблюдается пе-
переход к течению идеальной жидкости, при котором С^ = 0. Вяз-
Вязкость, несмотря на ее малость является коэффициентом при стар-
старшей производной по координатам в уравнении движения и су-
существенно влияет на картину течения плохообтекаемых тел,
каковым является сфера. В частности, при Rev > 24 за сферой
*) В гл. 2 будет использовано обозначение Rev = ReI2.
§ 1. ОБТЕКАНИЕ ТВЕРДОЙ СФЕРЫ
153
образуется зона длиной S с замкнутыми линиями тока или со
стационарным кольцевым вихрем, когда вдоль оси сферы образу-
образуются течения навстречу потоку. На рис. 2.1.1 приведена кривая,
отражающая зависимость ^(Re,,). При Rev > 130 кольцевой вихрь
начинает совершать колебания тем большие, чем больше числа
Рейнольдса и течение перестает быть стационарным, несмотря
на постоянство скорости обтекания у». При этом некоторая часть
Рис. 2 1.1. Коэффициент сопротивления шара Сц и длина вихревого следа S
в функции от числа Рейнольдса
жидкости время от времени вырывается из кольцевого вихря
и сносится вниз по потоку. Указанные колебания вихря сопро-
сопровождаются колебаниями продольной силы f,, и появлением ко-
колеблющейся значительной поперечной (перпендикулярной ско-
скорости потока) силы на сферу (среднее по времени значение ко-
которой равно нулю). Резкое падение СA при Reb ~ 10' связано
с переходом ламинарного пограничного слоя в турбулентный ре-
режим, что приводит к затягиванию точки отрыва погранслоя
вниз по потоку и уменьшению сопротивления.
Вращение сферической частицы. Влияние вращения сферы на
силу f, действующую на нее со стороны обтекаемого потока,
проявляется за счет совместного действия вязких и инерционных
сил. При анализе в рамках идеальной жидкости вращение об-
обтекаемой сферы не может передаться несущей жидкости без
вязкости, а при анализе в рамках ползущего (стоксова) тече-
течения влияние вращения на силу i не проявляется при полном
неучете инерционных эффектов.
В работе S. Rubinow, J. Keller A961) рассмотрена задача
о стационарном обтекании вращающейся с угловой скоростью е>2
сферы поступательным (вдали) потоком со скоростью v» при
154
ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
малых числах Рейнольдса
\i1<Ci, ReM = р^а2/^ < 1. B.1.1)
Для того чтобы выявить влияние вращения на силу f вдали
от сферы (внешнее решение) учитывались нелинейные инер-
инерционные члены, которые там становятся главными по сравнению
с вязкими. Методом сращиваемых асимптотических разложений
указанное внешнее решение «сращивалось» с внутренним (около
сферы) стоксовым решением и получена следующая формула:
fs =
B.1.2)
где is — продольная стоксова сила, fo — поперечная сила из-за
вращения сферы, которая иногда
называется силой Магнуса.
Рассмотрим и другой предель-
предельный режим с вращением сферы,
когда
Re«>l, Reffl>l,
и можно использовать модель
идеальной жидкости. При этом в
работе М. А. Гольдштика A972)
для случая перпендикулярности
оси вращения и скорости обтека-
обтекания ((Oa-Lvoo) предложено ис-
использовать гипотезу плоских сече-
сечений и схему плоского потен-
потенциального обтекания круга с цир-
циркуляцией, когда предполагается,
что в каждом плоском сечении, перпендикулярном к оси враще-
вращения z (рис. 2.1.2), распределение скоростей такое же, как при
плоском потенциальном обтекании круга радиусом г = У а2 — z2
с циркуляцией Г(г)= 2nr2(z)(o2- Тогда сила df, приходящаяся на
слои сферы высотой dz со стороны жидкости, определяется фор-
формулой Жуковского
df = р^Г (z) dz,
откуда после интегрирования получим
Рис. 2.1.2. Схема плоских сечений
для вращающейся вокруг оси z
сферы
а
J
Г (z) dz = у
что после учета направлений и обобщения на произвольную
ориентацию @2 и \„ приводит к формуле
. B.1.3)
Отметим, что в данной схеме роль вязкости сводится к тому,
§ 1. ОБТЕКАНИЕ ТВЕРДОЙ СФЕРЫ 155
чтобы передать циркуляцию жидкости от вращающейся частицы,
а реализующаяся при этом сила не зависит от вязкости.
Обе предельные формулы B.1.2) и B.1.3) для поперечной
силы Магнуса можно представить в виде
f«, = 4/snospiCe.[v<»X©a], Сш = Са (Reffl, Re,), B.1.4)
полагая, что безразмерный коэффициент поперечной силы Сш
должен определяться из эксперимента (так же, как С„), а в пре-
предельных режимах он равен
lim Cw(Rew,ReI,) = |-, lim Си (Reffl, Rev) = 2. B.1.5)
ReB-»o Re^^o
Влияние непоступательности потока вдали от частицы. По-
Поперечная сила при обтекании сферы может возникать и за счет
непоступательности вязкого потока вдали от нее, причем, так
же как и в случае с вращением, этот эффект можно выявить,
если учесть инерционные эффекты. В работах P. Safman A965,
1968) рассмотрена задача о стационарном обтекании градиентным
потоком вязкой несжимаемой жидкости вращающейся сферы
с фиксированным центром, когда на бесконечности предполага-
предполагается линейная асимптотика скорости
r->oo: vx1=vaoz + vao, 1% = v\ = Q, B.1.6)
а на поверхности сферы — условие прилипания
r = a: v, = [©2Xr]. B.1.7)
Рассматривался случай очень вязкой жидкости (малых чисел
Рейнольдса)
Rev Jj^*Ui, Ree = 2-^«l, Re. = ^«l B.1.8)
^i ^i ^i
и относительно больших сдвигов, когда
Re,<Re$/2, v»^©,. B.1.9)
Методом сращиваемых асимптотических разложений, когда
вдали от сферы учитывалась основная роль нелинейных инер-
инерционных сил, для силы f, действующей на сферу, получена
формула
f = 6n^lai;Oo[ex+0,343]/RevV-2v<X!e4o(Re1,,ReV2,ReJ)/2)], B.1.10)
где ех, еу, ег — единичные векторы, направленные соответственно
вдоль осей х, у, ъ.
156 ГЛ 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
Интересно, что с точностью до членов порядка ReJ/2 попереч-
поперечная сила не зависит от вращения частиц. По-видимому, враще-
вращение здесь приводит к поперечной силе, описываемой формулой
B.1.2). и порядок этой силы определяется величиной ReM < Rev,
которой в B.1.10) пренебрегается.
Влияние непоступательности движения жидкости вдали от
сферы в приближении потенциального течения идеальной не-
несжимаемой жидкости (V—>- оо: vh—> V&, + vxxl (v^ = vjf)) с уче-
учетом нестационарности скорости обтекания i>oo (t) и радиуса сферы
a(t) (см. § 5 гл. 3 книги Р. И. Нигматулина A978)) описывает-
описывается формулой, которая для случая и2 = 0 имеет вид
1 ~ з ^
Влияние радиального движения около сферы. Влияние сфери-
сферически-симметричного радиального движения в рамках идеаль-
идеальной жидкости на силу / учитывается формулой B.1.11), и это
влияние сказывается только при переменности радиуса сферы а,
т. е. равномерный вдув или отсос несущей жидкости на поверх-
поверхности сферы при а = const (а именно, этот случай практически
реализуется при испарении или конденсации частиц и капель,
когда рх <С р2) не влияет па силу f.
В рамках ползущего или стоксова течения влияние радиаль-
радиального движения при а — const получено в работе А. М. Головина
A973). Здесь рассматривался случай
Rev < 1, Re» Rew < 1 (Rew = р^юяЛч) B.1.12)
и получено уменьшение силы вязкого трения f
f = fs A - 0,29Rero) (Rea,<l),
В отмеченной работе получена более общая формула для f,
учитывающая озееновские поправки по ReB и движение жидко-
жидкости внутри дисперсной частицы (в случае капли или пузырька).
Нестационарные эффекты силового взаимодействия фаз. Силу,
действующую на частицу дисперсной смеси при ее нестационар-
нестационарном прямолинейном движении, можно задавать (см. § 4 гл. 1)
в виде суммы квазистационарной силы вязкого трения /ц (сток-
совой силы при малых числах Рейнольдса Rei2, реализуемых при
слабых возмущениях), силы Архимеда /А, силы присоединенных
масс fm и «наследственной» (из-за нестационарности вязкого по-
§ 1. ОБТЕКАНИЕ ТВЕРДОЙ СФЕРЫ 157
гранслоя вокруг частиц) силы Бассэ /в:
/ = /ц + /А + U + /В,
4 з оди
\ 4 4 з оди1
1 — v2), B.1.14)
t
= B J i ^ ~ ^ y=
Учет через силу Бассэ влияния предыстории движения на по-
поведение дисперсных частиц сильно осложняет решение задач
волновой динамики газовзвесей. Облегчающим обстоятельством
является то, что при больших числах Re12 относительного обте-
обтекания частиц (например, в ударных волнах) преобладающее
значение имеют нелинейные инерционные аффекты, в то время
как влияние нестационарных («наследственных») эффектов в
газовой фазе весьма мало. Поэтому при решении задач волновой
динамики газовзвесей нестационарными эффектами силового и
теплового взаимодействия фаз часто пренебрегают. Характер-
Характерным примером задачи, где необходимо и, в обозримом виде,
возможно учесть эти эффекты, является задача о распростра-
распространении слабых монохроматических волн во взвесях. В этом случае
искомые функции, в том числе Vi и и2 представляются комплекс-
комплексными экспонентами координат и времени (подробнее см. ниже
B.7.11) и D.1.11))
Vj = А™ ехр i (кх + at) (j = 1, 2; i2 = - 1), B.1.15)
где Aj — комплексные амплитуды колебаний скоростей фаз v3.
Тогда выражение для силы Бассэ принимает вид
t
/в = шВ (А? - Af) exp (ikx) f e-^D dt'. B.1.16)
Замена переменных It — t' = A — i)zH2(a позволяет легко вы-
вычислить интеграл, сведя его к известному интегралу вероятностей
оо
erf (оо) = —;=. \ ехр (— z2) dz = 1.
Т/я J
о
В результате имеем
/в = 3 /2 па2 Vp°iVi A + 0 Vv> fa - v2). B.1.17)
158 ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
Что касается сил jA и /от, то для них получим
, . 4яа3
/а = г» —
2яа3
P1(v1-vs). B.1.18)
Из найденных выражений видно, что силы /А и fm — одного по-
порядка, соотношение сил /„, fm и /в зависит от частоты колебаний,
при этом их колебания сдвинуты
но
Рис. 2.1.3. Диаграмма, иллюстри-
иллюстрирующая возможные режимы си-
силового воздействия газа на каплю
в акустическом поле при различ-
различных диаметрах капель 2а0, м и ча-
частотах колебаний со, Гц для слу-
чая насыщенной пароводяной
лапельной смеси при давлении
Ро = 1,0 МПа
друг
фазе
относительно
друга по
A + i)
B-1.19)
Здесь t^ — характерное время
установления квазистационарного
(стоксова) поля скоростей в не-
несущей фазе вокруг частицы.
В разных диапазонах частот ш
справедливы следующие оценки
составляющих межфазной силы:
U > /в » fm, если (о<)I/2 < 0,1;
если 0,1 < (а>4 ) < 1;
/д ~ /в - /™, B.1.20)
если 1<И7/2<Ю;
/ц "С/в '^ /т.
если 10<Кц)I/2<Ю2;
/и</в</т, если 102<(coW'*.
где под /ц, /в, /т и /А имеются в виду их абсолютные значения
или амплитуды. Видно, что сила межфазного взаимодействия /
представляет собой квазистационарную силу вязкого трения
Стокса и не зависит от частоты колебаний лишь при достаточ-
достаточно малых частотах со<Ю 2/ti, когда за характерное время
колебаний ю возмущения скорости проникают от капли в газ
§ 2. ОБТЕКАНИЕ КАПЛИ И ПУЗЫРЬКА. ДРОБЛЕНИЕ 159
(из-за его вязкости) на характерную глубину 6U1 ~ (v^/coI'2,
значительно превышающую радиус капли а (би1 > а).
На рис. 2.1.3 на примере взвеси капель воды в насыщенном
паре выделены характерные области частот « и диаметров ка-
капель 2а, где в соответствии с оценками B.10.20) реализуются
неравновесные квазистационарное и нестационарное силовое
взаимодействие газа и частиц, в том числе области, где преобла-
преобладает квазистационарная вязкая сила /„, силы вязкости (/„, /в)
и силы инерции (/m, jK). Здесь же показана область равновесия
по скоростям фаз.
§ 2. Обтекание капли и пузырька. Дробление
В отличие от твердых частиц при обтекании капель и пузы-
пузырен возможны деформация их формы, внутреннее движение в
них и, как крайнее проявление этих процессов, дробление, или
разрушение капель и пузырьков.
Далее обсуждаются результаты теоретических и эксперимен-
экспериментальных исследований этих процессов. Изложение будет вестись,
как правило, без ссылок на оригинальные работы. Соответствую-
Соответствующие ссылки даны в книгах и обзорах (В. Г. Левич, 1959;
О. В. Воинов, А. Г. Петров, 1976; М. Plesset, A. Prosperity, 1977;
Р. И. Нигматулин, 1978; А. И. Ивандаев, А. Г. Кутушев,
Р. И. Нигматулин, 1981).
Внутреннее движение и деформация капель и пузырьков.
В рамках стоксова приближения имеется известное решение Ада-
мара — Рыбчинского для совместного «ползущего» движения двух
вязких жидкостей внутри (с вязкостью ]и2) и вне (с вязкостью
(Xi) сферы, соответствующее обтеканию капель со скоростью и„.
Это решение дает следующую формулу, обобщающую A.3.42) т
для коэффициента сопротивления жидкой капли:
Случай n-2/^i = °° соответствует обтеканию твердой сферы
(ср. с A.3.42)), а |л2/м-1 = 0— обтеканию пузырька, когда
ReB<l. B.2.2>
Интересно, что решение Адамара — Рыбчинского, реализую-
реализующееся при большой вязкости несущей жидкости, не дает дефор-
деформацию капли или пузырька. Для описания этой деформации не-
необходимо учитывать инерционные эффекты в уравнениях Навье —
Стокса и эффекты поверхностного натяжения на межфазной
границе. Отношение указанных эффектов характеризуется числом
160 ГЛ 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
Вебера
Методом асимптотического сращивания в приближении
/Re»<c; I, Re^^l TeiuiopoM и Акривосом получено выраже-
выражение для Си, учитывающее малые (из-за We4 < 1) деформации
сферы
С„ = lGRe, (I + V4ReB + V10ReS In Rev + J
где для пузырька А = Я(О, 0) = 0,21.
Другой предельный случай для пузырька при Яе„ > 1, но при
We! < 1 (последнее обеспечивает сохранение сферической фор-
формы) описывается формулой Мура
При этом из-за того, что граница пузырька является фактиче-
фактически свободной поверхностью и поперек пограничного слоя на
этой границе скорость меняется мало, реализуется безотрывное
обтекание, близкое к потенциальному обтеканию сферы. Фор-
Формула B.2.4) получена в предположении, что интенсивность вяз-
вязкой диссипации во всем объеме жидкости (определяемая интег-
интегралом от хыеы) при стационарном движении пузырька равна
A{x>=Uv». B.2.5)
Если считать, что поле скорости при этом совпадает с полем
скоростей потенциального обтекания сферы идеальной несжи-
несжимаемой жидкостью, то можно получить Сц = 48/ReB. Поправка
2,2/Re?/2 в формуле B.2.4) учитывает влияние пограничного
слоя и следа. Формула B.2.4) подтверждена численными рас-
расчетами обтекания пузырька и непосредственным интегрированием
напряжений на его поверхности в диапазоне чисел Рейнольдса
10 < ReB < 200.
Значение коэффициента поверхностного натяжения Е сильно
зависит от присутствия малых количеств так называемых поверх-
поверхностно-активных веществ (ПАВ) на границе раздела фаз. При
обтекании капель и пузырьков концентрация ПАВ вдоль их гра-
границы может быть переменной из-за их конвективной диффузии.
В результате вдоль границы образуется градиент поверхностного
натяжения, что приводит к появлению касательных напряжений
и приближает свойства поверхности капель и пузырьков к твер-
твердой поверхности. Поэтому в не очень очищенных жидкостях пу-
пузырьки обтекаются как твердые сферы, и сила вязкого сопротив-
сопротивления при ReL < 1 лучше описывается формулой Стокса для
твердой сферы (С„ = 24/Ret), чем формулой С„ = 16/ReM следую-
§ 2. ОБТЕКАНИЕ КАПЛИ II ПУЗЫРЬКА. ДРОБЛЕНИЕ
161
щей из B.2.3). Влияние ПАВ на обтекание пузырьков и капель
рассмотрено в обзоре О. В. Воинова, А. Г. Петрова A976).
G увеличением числа Вебера Wei при не очень малых числах
Репнольдса Re» (а увеличение We, при фиксированных свойствах
фаз получается при увеличении Яеъ) начинает сказываться де-
деформация капель и пузырьков, которые принимают форму эллип-
эллипсоида, сплющенного в направлении обтекания, и коэффициент
i • -ЭтилпВыи спирт f3%
1 о- В ареол (Vat-sol) °
Рис. 2.2.1. Коэффициент сопротивления газовых пузырьков, поднимающихся
в различных жидкостях. Точки соответствуют экспериментальным данным
W. llaberman, R. Morton A953) для двух жидкостей (см. G. Batchelor, 1970),
сплошная прямая линия соответствует С^ = 48/Re»
сопротивления резко увеличивается (рис. 2.2.1). При дальнейшем
увеличении числа Вебера We! до значения ~1 пузырек или кап-
капля принимают форму сегмента, за которым образуется ламинар-
ламинарный или турбулентный (в зависимости от Re,,) след.
Устойчивость сферических межфазных границ. Процесс раз-
разрушения капель и пузырен — чрезвычайно сложный и характе-
характеризуется взаимодействием сил поверхностного натяжения, вяз-
вязкости и сил инерции. Условия для начала дробления можно по-
получить, анализируя устойчивость жидкой сферы в потоке другой
жидкости. Решение этой задачи даже в рамках малых возмуще-
возмущений очень сложно. Поэтому рассмотрим устойчивость первона-
первоначально плоской границы раздела двух идеальных жидкостей
о о
(т. е. эффекты вязкости отбрасываются) с плотностями Рх, р2 и
поверхностным натяжением 2, движущихся с относительной ско-
скоростью v вдоль этой границы и с ускорением g в направлении,
перпендикулярном к границе, причем g > 0, если направлено
от первой фазы ко второй.
Р. И. Вигматулин, ч. I
162
ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
Линейный анализ показывает (G. Birkhoff, 1960), что ампли-
амплитуда гармонических возмущений с длиной волны b растет со
временем как 6 = 60ехр(/?):
Н/2
о о 2
РА"
4д2 , (Pi — P2)S2n
8if
-о~ • B.2.6)
Здесь первый член определяет дестабилизирующий эффект из-
за динамических перепадов давления, второй член в зависимости
от направления ускорения может быть стабилизирующим (если
g направлено от легкой фазы к тяжелой) или дестабилизирую-
дестабилизирующим (если g направлено от тяжелой фазы к легкой); третий
член — фактор стабилизации за счет поверхностного натяжения.
Для качественного рассмотрения устойчивости сферической
границы раздела в потоке рассмотрим две плоские схемы
(рис. 2.2.2, а, б). Плоская схематизация а моделирует процесс
около лобовой или кормовой точки, схематизация б моделирует
41II ill IIS I Illll/f
Рис. 2.2.2. Две плоские схема-
схематизации для качественного
анализа устойчивости сфери-
сферической поверхности обтекае-
обтекаемой капли или пузырька
процесс вдоль меридионального большого круга на сфере в пло-
плоскости, перпендикулярной скорости обтекания. Из анализа схе-
схемы а видно, что ускорение любого знака вызывает неустойчивость
в кормовой или лобовой точке сферы и, следовательно, второе
слагаемое в выражении для 1{Ь) в данном случае нужно рас-
рассматривать как дестабилизирующий фактор, являющийся поло-
положительной величиной. Применяя выражение B.2.6) для схем о.
и б, получаем, что неустойчивость границы реализуется (/>0),
если длины волн больше критических bg и bv соответственно, или:
a) b>bg == 2я
1/2
б)
С другой стороны, для сферической границы опасны с точки
зрения возможности разрушения только возмущения с длинами
волн Ъ < 2а. В результате для дробления в рамках принятых
§ 2. ОБТЕКАНИЕ КАПЛИ II ПУЗЫРЬКА. ДРОБЛЕНИЕ 165
схем необходимо выполнение одного из условий:
а) а> п
б)а> {:\',2>. B.2.7)
Если контактирующие фазы жидкость и газ (плотности
о о о о
рг и pg, когда р^<Ср/),эти условия приводятся к виду
а) Во = -^ > Во* ~ 4л2, б) We=-^->We*~2rc.
B.2.8)
Таким образом, по схеме а при достаточно больших числах
Бонда Во разрушение происходит из-за развития так называемой
неустойчивости Рэлея — Тейлора, по схеме б при достаточно
больших числах Вебера We — из-за развития так называемой не-
неустойчивости Кельвина — Гельмгольца. Естественно ожидать, что
чем больше / или превышение числа Бонда п Вебера по сравне-
сравнению с критическими значениями (We — We,,, и Во — Во%), тем
процесс разрушения будет происходить быстрее. Критические зна-
значения чисел Бонда В о* ~ 4 л'- и Вебера We^^ 2л. должны опреде-
определяться из опыта, так как распад капель и пузырьков всегда про-
происходит вследствие появления нелинейных, конечных по амплиту-
амплитуде возмущений на сферической (а не плоской) поверхности.
Отметим, что в рамках схемы б условие дробления задается
динамическим напором в газовой фазе. Для случая капель это
вполне понятно, но для случая пузырьков кажется на первый
взгляд парадоксальным. Тем не менее данный факт подтвержда-
подтверждается и для пузырьков большей устойчивостью водородных и
гелиевых пузырьков по сравнению с воздушными в ударных вол-
волнах (см. § 8 гл. 6).
Для разрушения капли или пузырька, помимо B.2.8), необ-
необходимо, чтобы возмущение, превышающее критическое, действо-
действовало достаточное время (t >?*). Примем, учитывая B.2.6), что
разрушение происходит при?-~^, удовлетворяющем условию
б = 60ехр[/(Ь)у~в. B.2.9)
Тогда для схем я и б соответственно имеем
6<2а, We>WeH:, B.2.10)
Ь ?U{ Ъ~ Во
Ь<2а, Во>Во*.
Обозначим через Ъ% длину волн, быстрее всех разрушающих
каплю или пузырек, т. е. реализующих минимум ?* по Ъ. Тогда
11*
164 ГЛ. 2. МЕХАНИК 4 ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
после исследования на минимум последних зависимостей получим
ч
B.2.11)
Таким образом, при We»We% или Во»Во*капля (пузырек)
будет разрушаться короткими волнами Ь^ <^ а, которые должны
дробить ее на мелкие капли (пузырьки) с размером порядка &*.
При этом даже малая вязкость при достаточно малых &#<С«
должна сыграть свою роль, так как вязкость должна стабили-
стабилизировать очень короткие волны. Поэтому при We -*¦ °° будет
&*->-frmm, а время разрушения t# будет больше, чем это следует
из формул B.2.11).
Анализ сферических гармонических возмущений на первона-
первоначально сферической поверхности пузырька при отсутствии его
поступательного обтекания без учета возмущения давления
внутри пузырьков показал, что при росте пузырька возмущения
остаются ограниченными, а возмущения, отнесенные к текущему
среднему радиусу a(t), уменьшаются, т. е. рост сферического пу-
пузырька является устойчивым процессом. При охлопывании пу-
пузырька возмущения поверхности пузырька можно считать малы-
малыми, пока его радиус a(t) не уменьшился более чем на порядок по
отношению к исходному а„, или
B.2.12)
При более сильных сокращениях пузырька амплитуда воз-
возмущений может стать сравнимой с его радиусом, и он может
раздробиться. При этом при достаточно больших а„ неустойчи-
неустойчивость пузырька может проявиться еще до того, как станет су-
существенным влияние поверхностного натяжения (влияние 2S/a),
а также влияние вязкости и сжимаемости жидкости.
Влияние вязкости, являющейся стабилизирующим фактором,
определяется числом Лапласа, показывающим отношение поверх-
поверхностных эффектов к вязким
Естественно, что при Lp, > 1 влиянием вязкости можно прене-
пренебречь (если длина возмущающих волн Ь^ а). Именно в этих
условиях оправдано использование анализа, основанного на фор-
формуле B.2.6).
Дробление капель в газовых потоках. Попадая в поток газа,
жидкие капли, в отличие от твердых частиц, деформируются и в
них возникает внутреннее движение. Развитие этих процессов
§ 2. ОБТЕКАНИЕ КАПЛИ И ПУЗЫРЬКА. ДРОБЛЕНИЕ 165
приводит к деформации и разрушению капель, т. е. к распаду
на более мелкие капли. Сам процесс распада очень сложен и
определяется соотношением сил поверхностного натяжения, вяз-
вязкости и инерции. Для различных характерных скоростей отно-
относительного движения и разных физических параметров газа и
капель характер процесса их дробления может быть существен-
существенно различным.
Дробление дисперсных включений кардинально влияет на
процессы межфазного обмена в многофазных средах. От условий
его реализации сильно зависят длины релаксационных зон уста-
установления термодинамического равновесия между фазами, интен-
интенсивность выделения энергии в условиях горения взвешенного
жидкого топлива, структура и распространение ударных и дето-
детонационных волн в газокапельных системах и т. п.
К настоящему времени опубликовано большое число как экс-
экспериментальных, так и теоретических работ по исследованию де-
деформации и дробления как одиночных капель, так и капельных
систем в различных условиях их взаимодействия с газовым по-
потоком (свободные струи, потоки в трубах и соплах, спутные по-
потоки за ударными волнами. Имеются обзоры этих работ: Е. К. Da-
bora, К. W. Ragland, A. A. Ranger A966); Б. Е. Гедьфанд,
С. А. Губип, С. М. Когарко A974); А. А. Борисов, Б. Е. Гель-
фанд, М. С. Натанзон, О. М. Коссов A981); А. И. Ивандаев,
А. Г. Кутушев, Р. И. Нигматулин A981); А. Л. Гонор, В. Я. Рив-
кинд A982). В данном разделе обсуждаются основные экспери-
экспериментальные факты, установленные при исследовании дробления
капель. Изложение будет вестись без ссылок на оригинальные
работы. Эти ссылки имеются в упомянутых обзорах, в частности
в обзоре А. И. Ивандаева и др. A981).
При заданном законе обтекания капли (фиксированном
внешнем воздействии, определяемом характерной скоростью и
временем обтекания) процесс дробления определяется следую-
следующими основными физическими характеристиками в начальном
состоянии:
р°, p°g, ц,, \ig, 2, Cg, a, v, t(v), v ~ v/t(v). B.2.14)
Эти параметры образуют пять независимых безразмерных крите-
критериев — чисел Вебера We, Лапласа 1_рь Бонда Во, Маха М, Стру-
xanflStn отношений плотностей и вязкостей фаз:
we - 2 , Lp -5—, Во-—j—,
о B.2.15)
a cg pg Pg
Анализ экспериментальных данных показывает, что можно
выделить шесть основных механизмов режимов дробления ка-
166
ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
пель в газовых потоках (рис. 2.2.3), реализующихся в различ-
различных диапазонах изменения указанных параметров.
1. Режим дробления исходной капли на несколько (обычно
2 — 4) почти эквивалентных друг другу более мелких капель
(вибрационная мода дробления). Обычно реализуется при около-
критических числах Вебора и малом времени обтекания, напри-
например при воздействии на каплю треугольных ударных воли малой
интенсивности.
Рис. 2.2.3. Возможные механизмы деформации и дробления капель: 1 — ме-
механизм разрушения на несколько крупных фрагментов, 2 — механизм раз-
разрушения с выдуванием мешка (дробление но типу «парашют»), 3 — разру-
разрушение с образованием мешка со струйкой, ? — переходный механизм хао-
хаотического разрушения, 5 — механизм обдирки поверхностного слоя, 6 — ме-
механизм взрывного разрушения
2. Режим разрушения капли с предварительным выдуванием
«мешка», образуемого тонкой жидкой пленкой, натянутой на то-
рообразное основание (дробление по типу «парашют»). Реализу-
Реализуется при числах Вебера, незначительно превышающих критиче-
критические, достаточном времени обтекания капли и больших числах
Лапласа (малых вязкостях жидкости). Разрушение «мешка» на-
начинается с распада пленки на множество мелких капель, затем
разрушается жидкий тор, образуя значительно более крупные
капли.
3. Режим распада капли с образованием «мешка» («парашю-
(«парашюта») со струйкой. В отличие от режима 2, реализуется во всем
диапазоне исследованных чисел Лапласа, как правило, при не-
несколько более высоких числах Вебера. Внутренняя струнка
обычно дробится чуть позже тора; при этом образуются капли
того же (или чуть более крупного) размера, что и от тора.
§ 2. ОБТЕКАНИЕ КАПЛИ И ПУЗЫРЬКА. ДРОБЛЕНИЕ 167
4. Переходный режим нерегулярного или хаотического раз-
разрушения, когда до определенной стадии деформации капля раз-
разрушается как за счет периодического выдувания «мешков», так
и за счет дробления вытянутых по потоку нитей или жгутов,
образующихся при обдирке поверхностного слоя жидкости. На
некоторой стадии дробления капля настолько деформируется и
теряет форму, что попросту разрушается, распадаясь на ряд
фрагментов.
5. Режим непрерывной обдирки поверхностного слоя, когда до
определенной стадии деформации разрушение происходит толь-
только за счет срыва с поверхности капли пограничного слоя жидко-
жидкости в виде пелены или многочисленных нитей. Как и в случае
режима 4, при достижении некоторой критической деформации
капля, представлявшая до этого единое целое, распадается на
несколько более мелких частей.
6. Режим взрывного дробления, реализующийся при значи-
значительных числах Вебера л наблюдавшийся в достаточно сильных
ударных волнах. В этом случае, случае сильного воздействия по-
потока на каплю, обдирка практически не наблюдается, исходная
капля сразу распадается на большое число мелких капелек.
В режимах 2—5 разрушение начинается после деформации
капли в сплюснутый эллипсоид или диск толщиной 0,2а0 и мак-
максимальным размером F—12)а0. Для режимов 1 и 6 образование
диска не характерно.
Из числа определяющих критериев B.2.15) наиболее сильное
влияние на режим и интенсивность дробления капли оказывает
We, влияние Lp становится заметным только при 1_р( < 10. Кри-
о / о
терии puf>g существенно влияет на интенсивность и характерное
время дробления. Что касается критерия [ii/\ig, то в исследован-
исследованном диапазоне вязкости жидкостей (вязкость газа в опытах прак-
практически не варьировалась) его влияние заметным образом не
проявлялось. Не изучено и непосредственное влияние числа
Маха М.
Каждый из шести указанных выше механизмов дробления
реализуется в своем диапазоне чисел Вебера, ограниченном не-
некоторыми критическими числами We, вообще говоря, зависящи-
зависящими от числа Лапласа жидкости. По-видимому, могут быть указа-
указаны шесть соответствующих диапазотгов чисел Вебера:
1) We ~ Wec = Wee,, 2) Weq < We < WeC2,
3) WeC2<We<Wec3, 4) Wee3< We< WeC4, B.2.16)
5) WeC4<We<Wec5, 6) Wec5<We.
Значения We,i (i=l—5) зависят от закона обтекания (истории
нагружения). Существующие экспериментальные данные по
дроблению капель получены для трех основных, характерных
для приложений, законов обтекания.
168 ГЛ 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
A. Быстрое увеличение относительной скорости и ее после-
последующее плавное уменьшение к моменту дробления (капля, попа-
попадающая за фронт ударной волны или вброшенная в поперечный
поток). Этот случай исследован наиболее подробно.
Б. Плавное (квазистатическое) увеличение относительной
скорости в процессе деформации и дробления капли (капля в до-
дозвуковом конфузорном сопле).
B. Сначала плавное увеличение, а затем плавное уменьшение
относительной скорости (перевод заключительной стадии дефор-
деформации капли из конфузорной части сопла в диффузорную).
В предельной ситуации достаточно плавного увеличения от-
относительной скорости (при «квазистатическом» нагружении, ко-
когда характерное время нарастания внешних сил значительно
превышает характерное время деформации капли) критические
числа Wecl для дробления по типу «парашют» равны примерно
20 (Wecl я* 20) и в два раза превышают критические числа
Wec""s для условий обтекания А. При других законах обтека-
обтекания критические числа Wecl, по-видимому, могут иметь проме-
промежуточные значения. Так, известно, что при законе обтекания В
критические числа Wecl на 30—40% меньше чисел Weif\ Для
законов обтекания Б и В влияние вязкости жидкости на Wed
может быть учтено корреляциями:
Б. Wecl^20,] Б. Wecl = 36,5Lp-°'14.
B.2.17)
Б. Wecl = 43Lp-°'4, I
В. Wecl =30,5 Lp-°'34I P< '
Для условий обтекания А в качестве Wect используется кор-
корреляция
Wecl = 10 A + 1,5 Lp~0'37), B.2.18)
применимая, по-видимому, при Lp>O,l. Что касается других
критических чисел Вебера Wecl, то ясные и четкие рекоменда-
рекомендации по каждому из них в литературе отсутствуют. Анализ экс-
экспериментальных данных по распаду маловязких капель (воды,
керосина и т. п.) позволяет в первом приближении рекомендо-
рекомендовать для них следующие значения: WeC2~20, WeC3«30, Wec4w
«60, Wec6«1000.
Заметим, что первые четыре режима дробления капель, вклю-
включая и переходный режим хаотического дробления 4, реализуются
в весьма узком диапазоне чисел Вебера 10 < We < 60. Что каса-
касается влияния вязкости жидкости, есть основания полагать, что
характер зависимостей Weci (t = 2, 3, 4) от Lp аналогичен такой
зависимости для Wecl, однако явные корреляции такого типа для
§ 2. ОБТЕКАНИЕ КАПЛИ И ПУЗЫРЬКА. ДРОБЛЕНИЕ 169
Wec2 и WeC3» по-видимому, никем не получены. Какие-либо дан-
данные о зависимости WeCs от Lp в литературе также не встреча-
встречаются. Отметим, что режим 3 «мешка со струйкой» в отдельный
режим иногда не выделяется, при этом верхней границей объ-
объединенного режима «мешка» естественно считается Wec3 ~ 30.
Для Wec4, характеризующего условия возникновения режима
обдирки поверхностного слоя 5, используется формула
WeC4Re~°'B = к = const (к = 0,5 — 1,5). B.2.19)
Встречаются и другие корреляции, например,
Wee4 = 2,5 Lp0'33. B.2.19a)
Вопрос о верхней границе существования режима обдирки
специально в литературе не обсуждался.
Режим взрывоподобного разрушения 6 обычно связывается
с неустойчивостью Рэлея — Тейлора, развивающейся на навет-
наветренной стороне капли. Поэтому в качестве критерия взрывопо-
взрывоподобного разрушения используется обсуждавшийся выше крите-
критерий Бонда Во. Показано, что критические значения числа
Вос приблизительно равны 5 • 103. Однако на практике для харак-
характеристики этого, как и других режимов, удобно использовать
число We. Так как характерное ускорение капли под воздейст-
воздействием газового потока
Pi
где С„ — коэффициент сопротивления капли, то
Во-С,» (Re). We, Re = Vr(p*/Pi)WeLp.
При характерных для этого случая дробления достаточно боль-
больших числах Рейнольдса коэффициент Сй ~ 1 и Во ~ We. Следо-
Следовательно, можно полагать
Wec5« Вое ~ Ю3. B.2.20)
Для приложений из всех существующих режимов дробления
капель иногда удобно выделять три группы режимов I, II, III,
существенно отличающихся друг от друга по размеру (спектру)
вторичных фрагментов:
1-1 + 2 + 3 + 4, 11 = 5, III = 6,
т. е. первые четыре режима («вибрационный», «парашют», «па-
«парашют со струйкой», «переходный»), при которых большая
часть образующихся при дроблении капель имеет размер, срав-
сравнимый по порядку величины с размером исходной капли, отно-
относить в одну группу.
170 ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
Весьма важны для проведения прикладных расчетов и харак-
характерные времена дробления. Дробление происходит не мгновенно,
оно становится заметным через некоторое время индукции ?, и
заканчивается через время tb после начала воздействия газового
потока. За характерное время дробления i# обычно принимается
время
B.2.21)
характеризующее скорость роста амплитуды возмущения на по-
поверхности вследствие развития неустойчивости Рэлея — Тейлора.
Безразмерные времена tjt^ и tbjt% должны зависеть от опре-
определяющих критериев B.2.15) и режимов дробления.
Анализ экспериментальных данных позволяет сделать выводы
о порядках характерных величин времен индукции и полного раз-
разрушения, критической (максимальной) деформации капли и
спектре вторичных капель. При режиме дробления 1 (вибра-
(вибрационная мода) капля дробится на 2—8 частей, причем к моменту
времени ^максимального значения, равного 2—3, достигает сте-
степень деформации капли dniax/d0 (где dmax — диаметр миделевого
сечения расплющенной вапли) и в этот момент обычно проис-
происходит раздвоение капли. Время разрушения складывается из
времени, близкого к времени t%, и периода собственных колеба-
колебаний капли.
В режимах разрушения по типу «мешка» 2, 3 к моменту
t/tx = 1 — 2 достигается наибольшая поперечная деформация
d,naJd0=3~6 и начинается выдувание мешка. Разрушение пленки
происходит при Ш% = 2 — 3, тора — при t/t# =2 — 4, дробление
заканчивается при tjt^ « 5. Пленка дробится на капли с разме-
размером порядка 0,ld0, размер капель, образующихся при дроблении
тора, в несколько раз больше. Около 70—80% вторичных капель
(по массе) представляют собой более крупные капли. За время
дробления капля успевает сместиться на расстояние поряд-
порядка 10d0.
При дроблении в режиме хаотического разрушения 4 или об-
обдирки 5 разрушение начинается приблизительно в момент, близ-
близкий к моменту достижения максимальной деформации dmAJdu =
= 2—3 при t/tj. = l — 2, заканчивается при ?/?* = 3— 5. В режиме
обдирки исходная капля может дробиться не только за счет сры-
срыва погранслоя, но и за счет перфорации диска из-за развития
неустойчивости. В спектре начинают преобладать мелкие капли
с d~ 0, lrf0, доля которых увеличивается с ростом числа Вебера.
В случае взрывоподобного разрушения 6 максимальная деформа-
деформация может не достигаться, подавляющее большинство вторичных
капель обычно имеет размер значительно меньший исходного.
§ 2. ОБТЕКАНИЕ КАПЛИ П ПУЗЫРЬКА. ДРОБЛЕНИЕ 171
В литературе встречаются различные корреляции для расче-
расчета характерных времен индукции и распада капель, часто сильно
оишчающиеся друг от друга, например, следующие корреляции
для маловязких (Lp > 1) жидкостей:
*„/** = 45 We'25, h = tb/3,5, B.2.22)
*,/*, = 1,5 (lg We)-0'26, *„/*„ = 5 (lgWe)-0'1. B.2.22a)
Первая корреляция получена на основе экспериментальных
данных о дроблении капель в ударных волнах с интенсивностью
М = 3—11, вторая рекомендуется для расчета ?„ tb при числах
Вебера 10 < We < 104.
Если речь идет о дроблении капель вязких жидкостей, то вли-
влияние вязкости на характерные времена процесса дробления реко-
рекомендуется учитывать с помощью зависимостей, полученных при
10 < We < 10\
tjt* = 2,6 A + 1,5 Lp-0'37) (lg We)'25,
l2B
Ряд экспериментальных данных по времени задержки начала
распыла хорошо описывается простейшей формулой
tiltt = ki {ki«0,5, We> 1000). B.2.23а)
Аналогичная формула применима и для описания некоторых
опытных данных по времени разрушения капель в ударных
волнах:
tb/t*=h, h= 1,5 — 5. B.2.236)
Иногда данные по временам индукции и разрушения представ-
представляются в виде зависимостей от числа Бонда:
tt/tt = 44 Во/4, *6/*« = 130 Во/4. B.2.23b)
При вибрационном механизме разрушения в ударной волне
рекомендуется формула
tilt* « hit* = 1 + xit^
f 2 u» I'5 B.2.23r)
IM (dJ)
где т — период собственных колебаний капли.
Экспериментальные данные по закону изменения характер-
характерного миделевого размера капли во времени при ее деформации
под воздействием газового потока за ударной волной в первом
172 ГЛ 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
приближении обобщаются зависимостью
d;d0 = 1 + A - 10 We) (f/ij B.2.24)
A0<We<2.10*, 0<*/*„,< 1,5).
Теоретическая схема для расчета деформации капли, согласую-
согласующаяся с экспериментом, дана А. Л. Гонором и Н. В. Золотовой
A981).
Приведем также формулу для интенсивности уменьшения
массы капли т под воздействием газового потока в режиме об-
обдирки, полученную для описания экспериментов по воздействию
ударных волн на капли воды
1/3 / (в)\1/6
irN Ш (V''I/V>' fe = 12-18.
Pi Pi dt \P[J \vrj
B.2.25)
Следует однако иметь в виду, что эта формула качественно не-
неверно описывает влияние на / изменения вязкости жидкости.
При сопоставлении экспериментальных данных по времени
разрушения tb следует иметь в виду, что понятия о времени пол-
полного разрушения капли у разных авторов могут быть раз-
различными.
Дробление происходит тогда, когда время воздействия потока
на каплю больше характерного времени индукции U. В связи с
этим существует «критическая» длительность «треугольных»
ударных волп At, при которой начинается разрушение капель
At ft* « 2.
К настоящему времени накоплен большой эксперименталь-
экспериментальный материал по дроблению капель в газовых потоках, однако
обработан и осмыслен он недостаточно. Поэтому использовать
приведенные здесь эмпирические формулы следует с осторож-
осторожностью.
§ 3. Тепло- и массообмен около капли, частицы и пузырька
Интенсивности теплообмена q^ и массообмена jzt одной дис-
дисперсной частицы с бесконечным потоком несущей фазы харак-
характеризуются коэффициентами теплообмена и массообмена или
соответствующими безразмерными параметрами: числом Нус-
селыа Nut (см. A.3.56)) и числом Шервуда Sh±:
^^ ft)Sh1*z~*°°, B.3.1)
где Tj, = Та и kz = ка — средние значения температуры и кон-
§ 3. ТЕПЛО- И МАССООБМЕН КАПЛИ И ПУЗЫРЬКА 173
центращш диффундирующей компоненты на поверхности части-
частицы (в данном случае сферической); Т„ и к„ — аналогичные ве-
величины вдали от частицы, %t ¦— коэффициент теплопроводности,
v?w — коэффициент диффузии рассматриваемой диффундирую-
диффундирующей компоненты.
В общем случае тепловые и физико-химические процессы
около дисперсных частиц не только зависят от поля скоростей
около них, но и сами влияют на эти поля скоростей. Особенно
это обратное влияние сказывается в газовой фазе из-за сильного
влияния температуры на ее плотность. В связи с этим общая
задача определения движения и других процессов около капель,
частиц и пузырьков сводится к совместному решению связан-
связанных между собой уравнений неразрывности, импульса, теплопро-
теплопроводности, диффузии и кинетики. В связи со сложностью этой
задачи имеются лишь достаточно частные ее решения, которые
можно разделить на два класса.
1. В тех случаях, когда тепловые, диффузионные и физико-
химические процессы не влияют на поле скоростей и напряже-
напряжений (а это имеет место в несжимаемых средах) уравнения дви-
движения решаются независимо от тепловых, диффузионных и
кинетических. После определения поля скоростей, характеризую-
характеризующего конвекцию тепла и вещества, решаются тепловые, диффу-
диффузионные и кинетические уравнения.
В этой постановке (см. S. Soo, 1967; Ю. П. Гупало, А. Д. По-
Полянин, Ю. С. Рязанцев, 1985; см. также соответствующие ссылки
в книге Р. И. Нигматулин, 1978) рассмотрены теплообмен и диф-
диффузия сферических частиц при их обтекании потоком несжимае-
несжимаемой жидкости. В зависимости от чисел Рейнольдса обтекания Rev
использовались поля скоростей ползущего движения (ReB<cl)
или соответствующие аналитические решения, полученные с по-
помощью сращиваемых асимптотических разложений, справедли-
справедливые при Re0 = 1-—10. Кроме того, использовались различные
численные решения и схематизации поля скоростей (тонкий по-
пограничный слой вблизи поверхности, зона отрыва за частицей,
потенциальное поле скоростей вне пограпслоя и т. д.). В этой по-
постановке определено влияние относительного обтекания на тепло-
облген и массообмен сферической частицы с потоком в стационар-
стационарном процессе. Указанное влияние характеризуется числами
Пекле:
Pef>==^ = ReBPr1, Pef = ^ - Re.Sc^ B.3.2)
V V
где Vi = ^x/Pi^i — коэффициент температуропроводности несу-
несущей фазы. Числа Прандтля Рг4 и Шмидта Sct несущей фазы
характеризуют отношение толщины вязкого погранслоя соответ-
174 ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
ственно к толщине температурного и концентрационного:
Для ползущего (Ret, < 1) режима обтекания (условно — тол-
толстый вязкий погранслой) твердой сферической частицы A4,2/^1 =
= °о) и газового пузырька (u.2/u.i «0) в случае толстых темпе-
температурных (Рвх *<l) и концентрационных (Ре^ <С l) погран-
слоев получены следующие формулы в виде разложений относи-
относительно малых чисел Пекле *):
' * f
твердая частица — —v схэ
Аналогичные решения для таких же ползущих (ReB<l) ре-
режимов обтекания с «толстыми» вязками погранслоями, но в слу-
случае тонких температурных (Prj^l, Рег >> l) или тонких кон-
концентрационных (SCj^l, Pe^ 3> l) погранслоев приводят к
следующим формулам:
Nua = 0,98 (PeiT)I/8, Shi = 0,98 (PeiwI/S
(твердые частицы (p,a/jo.i -*¦ °°)); B.3.5)
B.3.4)
„ /и, \
газовый пузырек — -»-0 .
(пузырек или капля (|д,2/(^1 < 1)).
В случае газового пузырька или капли учитывалось в соот-
соответствии с решением Адамара — Рыбчинского (см. § 2) цирку-
циркуляционное движение внутри пузырька или капли, приводящее к
отсутствию торможения обтекающей жидкости на поверхности
пузырька и интенсифицирующее тепло- и массообмен в несущей
фазе. Отметим, что наличие ПАВ, препятствующих: развитию
циркуляционного движения внутри пузырька или капли, прибли-
приближает значения коэффициентов тепло- и массообмена (так же
как и коэффициента сопротивления) к соответствующим значе-
значениям для твердой частицы.
*) Аналогичные формулы, учитывающие влияние радиального потока
пара на поверхности сферической частицы (из-за испарения или конденса-
конденсации) получены А. М. Головиным.
§ 4. УРАВНЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОГО ПРОЦЕССА 175
Численный эксперимент на основе конечно-разностных мето-
методов интегрирования уравнений движения, а также методов сра-
сращиваемых асимптотических разложении полей скоростей, темпе-
температур и концентраций (Ю. П. Гупало, А. Д. Полянин, Ю. С. Ря-
занцев, 1985) около частицы и вдали от нее позволяет обобщить
приведенные формулы на случаи конечных чисел Рейнольдса ReB
и чисел Пекле Ре[т^ и Рв[к\ В частности, для случая Ре„<1,
Pej <СЮ3 численный эксперимент дает следующую зависимость:
SMoo) = 2 +
\/з /pe(ft)\o,5i ' твеРДая частица (ц* = оо),
(
0,65(Pe<h>)^
i @) = 2 -f ) {' з , газовый пузырек (и* = 0),
1 + VPei J '
(оо) /
l1
Аналогичная зависимость имеет место и для Nur (;л*, PeJ ),
если нет взаимного влияния диффузии и теплопроводности.
Экспериментальные данные при обтекании частиц с больши-
большими числами Рейнольдса 1 < Re» < 7 • 10* и в широком диапазоне
чисел Прандтля и Шмидта 0,6<(Pr4, Sc,)<400 аппроксимиру-
аппроксимируются следующими формулами (S. Soo, 1967):
Nil! = 2 + @,55 - 0,7) ReJ/2 Ptf3« 2 -f 0,46 Re0,'55 Pr?'33,
Shj = 2 + @,55 - 0,7) Rei/2 Sc}/3. B'3'7)
2. В тех случаях, когда обтекание дисперсных частиц незна-
незначительно и мало влияет на тепло- и массообмен, правомочной
становится сферически-симметричная постановка, в рамках кото-
которой можно рассмотреть взаимное влияние теплопроводности,
диффузии, фазовых переходов, химических реакций и возникаю-
возникающих полей скоростей и давлений. Именно этот класс задач и рас-
рассмотрен ниже в § 4—9.
§ 4. Основные уравнения, описывающие
сферически-симметричные процессы движения,
тепло- и массообмена вокруг капли или пузырька
Уравнения неразрывности, импульса и притока тепла (см. § 2
гл. 1) в сферически-симметричном случае, когда имеется только
радиальное движение и когда все параметры зависят только от
эйлеровой координаты г (расстояние до центра) и времени t, с
учетом действия вязкости по закону Ньютона и теплопроводности
176 ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
по закону Фурье имеют вид
B-4Л)
где Wi, а„ pi, ut, qi — соответственно радиальная скорость, ради-
радиальное напряжение, давление, внутренняя энергия и радиальный
поток тепла.
о
Условия однородности давления. Пусть аа, Рю, wu и р0 — соот-
соответственно характерные линейный размер (радиус капли или
пузырька), плотность вещества г-ж фазы, скорость и давление.
Введем также t{v) — характерное время изменения скорости.
Указанные величины позволяют ввести безразмерные перемен-
переменные, отмеченные чертой вверху,
о
г = — о° = -^- w- = — 1 = * а- = — B 4 2)
Тогда уравнение импульса в радиальном направлении можно
переписать в виде
/.o°-^i = —l- I р°ошо-о B 4 3)
101 di d'r г° i.P(/№)
о
По смыслу введенных характерных параметров pi0, w0 и t[w>
имеем
р° — 1, dw/dt~l. B.4.4)
Тогда, если
то в г-й фазе малы силы инерции, и уравнение импульса перехо-
переходит в уравнение равновесия, которое при отсутствии внешних
массовых сил имеет вид
da.
~ = 0, ИЛИ Gi^Giit). B.4.6)
В широком классе задач с газовой и жидкой фазами, основ-
§ 4. УРАВНЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОГО ПРОЦЕССА 177
ное значение в тензоре напряжений имеет давление
и свойство B.4.6) переходит в свойство однородности давления,
которое можно назвать свойством гомобаричности.
Условие гомобаричности реализуется в широком классе за-
задач в газовой фазе, когда скорости гораздо меньше звуковых
(wo<-Cg) и нет высокочастотных или коротковолновых измене-
изменений скорости (t{w) > ajCg), ибо для газа скорость звука С\ ~
ov и условие B.4.5) сводится к
В жидкой фазе из-за ее большой плотности даже при скоростях,,
существенно меньших звуковых (а в жидкости pJPi <C С]),
часто приходится учитывать силы инерции и неоднородность,
давления, но зато, в отличие от газа, можно не учитывать ее-
сжимаемость.
Уравнения состояния. Уравнения состояния для жидкости
можно принять в виде
Щ = и0 + сг (Ti — Го), рг = const,
h = h(Ti); и0, То = const. {АЛЩ
Газовую фазу будем рассматривать состоящей из двух компо-
компонент. Первая, или пассивная, с плотностью р°A) не претерпе-
претерпевает фазовых переходов, соответствующие ей параметры будут
снабжаться индексом g(l) внизу. Вторая — с плотностью р°B))
являющаяся паром конденсированной или жидкой фазы, может
претерпевать фазовые переходы на межфазной поверхности, со-
соответствующие ей параметры будут снабжаться индексом gB)
внизу. Плотность газа и концентрации компонент определяются
формулами
о о
Pg — Pg(l) + PgB)> ?g(l) = —^->
P
B.4.10)
Пусть эти компоненты не вступают в химические реакции между
собой и параметры газовой фазы удовлетворяют свойству адди-
аддитивности
ug ~ kg(i)ug(i) "т" kg(i)ugm, ps = pg(i) + pgm, Wg = kg(.i)^g(,i) "г kgi2)Wgmr
B.4.11)
а уравнения состояния этих компонент есть уравнения состояния
12, р, я. Нигмагулнн, ч. I
178 ГЛ. 2 МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
калорически совершенного газа с зависящими от температуры
коэффициентами теплопроводности:
B.4.12)
T8),
где cgA), cgB) и fg(i), TfgB) — соответственно удельные теплоемко-
теплоемкости при постоянном давлении и показатели адиабаты пассивного
газа и пара. При этом, согласно A.3.74), значения энтальпии
пара должны быть согласованы с энтальпией конденсированной
фазы, из которой и в которую превращается пар:
igo = Щ + P0'P°i -!- (с, - ев) (Т8 (р0) - То) -f I (p0), B.4.13)
где Ts(peB)) и 1{реB))—температура насыщения и теплота паро-
парообразования над плоской межфазной поверхностью.
Уравнения диффузии. Для определения изменения концен-
концентраций компонент нужно привлечь уравнения их масс, которые
в сферическом случае имеют вид
%^ I = о
B.4.14)
ОО О °\
РйB)> Pg(l)!';g(l) + PgB)U'gB) = PgWg)
и которые в сумме совпадают с уравнением массы всей газовой
фазы (первое уравненеие B.4.1) для i — g). Относительное дви-
движение компонент определяется законом бинарной диффузии
Фпка
(" e(i) - wg) =
(ь\ ^^а(-,\ О (Ъ\
B.4.15)
где Vg — коэффициент бинарной диффузии, зависящий, как и
коэффициенты теплопроводности Xg и вязкости це, от температу-
температуры газа Те и слабо — от давления р.
Таким образом, уравнения для сферически-симметричного
движения, теплопроводности и диффузии в двухкомпонентной
газовой и однокомионентпой конденсированной фазах в случае
малых сил вязкости и инерции в газе вместе с уравнениями со-
§ 4. УРАВНЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОГО ПРОЦЕССА 1791
стояния имеют вид
re (a, rsb):
%2) — 1 — «*<!),
dt + дг ~ р°г2 дг [PgXg Г дг
° д " ¦" ' '¦ ¦ ) -L o°w— (
Pgi2) = kgB)RgB)Tg; B.4.16)
re (a, r,b):
Л 2aTi 4
Здесь а — радиус межфазной границы (поверхности частицы,
капли или пузырька); индекс а внизу соответствует параметрам
на межфазной границе r = a; n — радиус рассматриваемой обла-
области или ячейки (гь = °° соответствует дисперсной частице в бес-
бесконечной среде), причем rgb = rb, г», = 0, Юш = 0 соответствуют
капле или твердой частице, в которых отсутствует движение;
Tgb = 0, г,ь = гь соответствуют пузырьку, когда необходимо при-
привлечь уравнение радиального движения жидкости типа уравне-
уравнения Рэлея — Дамба, которое для случая гл = п = °° имеет вид
(см. A.3.13))
dwla , 3 2 Via - Poo I 22 ^hw
п -IT + T Ща = p° l^a = ^-T
Акустическое излучение. В уравнении Рэлея — Ламба иногда
используют поправки, учитывающие в так называемом квазиаку-
квазиакустическом приближении малую сжимаемость жидкости, которая
может приводить к акустическому излучению энергии пульса-
ционного радиального движения в бесконечность и к дополни-
дополнительному сдвигу фаз между пульсациями давления в жидкости
и скоростью стенок пузырька. Эти поправки (R. Кпарр et al,
1970) основаны на гипотезах, состоящих в том, что возмущения
гц> (гипотеза Триллинга — Херринга, где ср — потенциал радиаль-
радиального движения) или величины г (ш2/2 + щ + р/ри (гипотеза
Кирквуда — Бете) распространяются от пузырька вдоль харак-
12*
180 ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
теристик dr/dt = w + Ci. Гипотеза Триллинга — Херринга приво-
приводит к уравнению
,a ( Ь1»1а\Ъи>}д Рla -P
B.4.17а)
а гипотеза Кирквуда — Бете — к уравнению
4 Wla) n
If
которое называется уравнением Гилмора. Отношение последних
слагаемых к предпоследним в этих уравнениях имеет следую-
следующий порядок:
a d(Pla~Pa)
Таким образом, для того чтобы пренебречь сжимаемостью жид-
жидкости при пульсациях одиночного пузырька в безграничной жид-
жидкости необходимо выполнение условия
a<Clt<-a), B.4.18)
что равносильно малости размера пузырька по сравнению с дли-
длиной звуковой волны в жидкости.
Более последовательный учет акустического излучения оди-
одиночного сферического пузырька в безграничной жидкости дан в
работе А. Л. Гонора и В. Н. Лихачева A981).
Следует иметь в виду, что отмеченные гипотезы об уходе
возмущений вдоль характеристик первого семейства dr/dt = и; +
+ Ct вполне естественны для случая покоящейся с постоянным
давлением на бесконечности (р^ = const) безграничной жидко-
жидкости, когда параметры на бесконечности не возмущаются ни внеш-
внешними причинами, ни самим пузырьком, так как конечная масса
последнего не может изменять состояние бесконечной массы
жидкости. В случае же дисперсной смеси возмущения не только
уходят от пузырька, но и возвращаются от соседних ячеек или
пузырьков по характеристикам второго семейства dr/dt = w — Сц
причем в силу равноправности соседних ячеек интенсивности
уходящих и приходящих акустических возмущений в фиксиро-
фиксированной ячейке будут близки друг к другу.
Таким образом, упомянутые гипотезы Триллинга — Херринга
и Кирквуда — Бете применительно к уравнениям пузырьковой
смеси A.5.4) существенно завышают акустическое излучение.
§ 4. УРАВНЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОГО ПРОЦЕССА 181
В дисперсной смеси передача энергии радиального движения со-
соседних ячеек происходит за счет возмущения давления pi (см.
ниже § 7 гл. 6).
Граничные условия. Требование конечности дивергенции ско-
скорости V • v и дивергенции потока тепла V • q во всем поле течения,
в том числе и в центре г = 0, приводит к следующим условиям:
г = 0: g = 0, w — 0, wgi = ш$г = 0.
Последнее условие существенно, когда в центре — неодноком-
понентная фаза (в данном случае это газ). Эти условия с уче-
учетом законов Фурье и Фика приводятся к виду
г = 0:§- = 0, w = 0, f- = 0. B.4.19)
Внешнее воздействие на выделенную ячейку определяется
работой поверхностных сил — Аяг1рьшъ, потоком тепла 4пг2ьдь и
2 °
диффузией компонент 4nrbpi(ft)Wi(ft)t заданными на внешней
границе
r = rb: — pbwb = — р (гь) • w(rb),
qb = g (г,) = - lb E)b, p:wwm - - p- vj« (^)b B.4.20)
причем условие *)
= -1ь {dTjdr) ь = 0 B.4.20a)
соответствует адиабатической внешней границе, а условия
wb = w {rb) = 0, p°iVl)Wm = p°v(iA) (dkmfdr)b = 0
— жесткой непроницаемой границе.
Применительно к дисперсной смеси радиус ячейки гь опре-
определяется в соответствии с числовой (п), или объемной (а2), или
массовой (хг) концентрациями дисперсной фазы:
х -?*-- ^ B 4
где для капельной смеси рх = р , р2 == рг, а для пузырьковой
смеси р° = р°, р° = р°
*) В общей случав наряду с дь следует учитывать перенос энергии за
JV
счет диффузии компонент, который равен (см. A.1.30)) 2 ч
и который в рассмотренных ниже задачах или отсутствует, или пренебре-
пренебрежимо мал.
182 ГЛ 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
Для решения системы уравнений B.4.16), состоящей из двух
подсистем для каждой фазы, необходимо привлечь граничные
условия, отражающие связь этих подсистем или взаимодействие
фаз на межфазпой границе 2, для которой r = a(t). Эти условия
рассматривались в § 2 гл. 1 и в случае, когда одной из фаз яв-
является жидкость или газ, имеют вид A.2.9а). Эти условия содер-
содержат интенсивность фазовых переходов §„ отнесенную к единице
поверхности и времени. В соответствии с принятой индексацией
?« = —%i, где ?«<0 соответствует конденсации (gB)->-Z), a \g >
>0 — испарению (l-+gB)). Тогда A.2.9а) записывается в виде
I = р° {wia — а) = р°,а (wga —a) (? = ± lg, a = da/dt),
Pia — ps = ±2Е/а —
где знак « + » перед слагаемым 2E/a и величиной %е соответству-
соответствует случаю капли, а знак «—» — случаю пузырька. Здесь прене-
брегается теплоемкостью капиллярной фазы, вязкими напряже-
напряжениями в газе, динамическими и вязкими эффектами фазовых
переходов.
В общем случае температура фаз на межфазной границе
претерпевает скачок. Молекулярно-кинетический анализ процес-
процессов переноса в тонком кнудсеновском слое пара (толщиной по-
порядка нескольких длин свободного пробега молекул) приводит к
следующей формуле:
[Т]а = Т1а-Т8а = хаЩг-, х„~1. B.4.23)
Молекулярно-кинетический анализ процессов уноса и осаж-
осаждения молекул пара на межфазной границе приводит к формуле
Герца—Кнудсепа — Лепгмюра (см. A.3.90) или A.3.92)) для
интенсивности фазовых превращений, справедливой, когда мож-
можно пренебречь влиянием кривизны межфазной границы на усло-
условия фазового равновесия
е§ = лр = , лр = . (гл.гь)
1S Cg
Тогда для скачка температуры имеем
[T]a = 0,nyglCJ2(Tla~rs(pgB))). B.4.25)
Как показывают оценки по этой формуле для многих веществ
можно пренебречь скачком температуры фаз на межфазной гра-
границе даже по сравнению с неравновесностью или отклонением
температуры жидкости от температуры насыщения, которая в
§ 4. УРАВНЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОГО ПРОЦЕССА iS3
свою очередь обычно также мала:
1G1.1 = 1Г,. - Tga\ « \Tla - Te(pg(i))\.
В частности, для воды при р ~ 0,1 МПа, Ts ~ 370 К, рт = 0,04
имеем
Это упрощение имеет смысл еще в связи с тем, что в настоя-
настоящее время имеются противоречивые данные о коэффициентах
аккомодации j3m для различных веществ. Более того, наибольшее
распространение имеет квазиравновесная схема на межфазной
границе, предполагающая, что, несмотря на неравновесность в
объеме фаз, характеристики фаз на самой границе удовлетворя-
удовлетворяют условиям термодинамического равновесия (см. обсуждение
A.3.93))
T,« = Tga = Tz = Ts(pg(z)). B.4:26)
Кривизна или сферичность межфазной границы изменяет
температуру насыщения в соответствии с A.3.86), из которой
можно получить
при
Случай однокомпонентной газовой фазы. В случае, когда га-
газовая фаза является все время однокомнонентной, система урав-
уравнений упрощается (см. § 6 гл. 1), так как уравнения диффузии
превращаются в тождества. Это реализуется, когда с самого на-
начала отсутствует пар и отсутствуют фазовые переходы
^ 0, B.4.28)
и в других случаях, когда с самого начала отсутствует пассивная
компонента
Р;A)^0. B.4.29)
Случай B.4.28) реализуется, например, для водовоздушных
смесей при температурах Т, существенно ниже температуры ки-
кипения жидкости Tis и существенно выше температуры конденса-
конденсации газа Tgs {Tes < Г< Tl8). Случай B.4.29) реализуется при
кипении и конденсации однокомпонентных жидкостей.
Система уравнений B.4.16), когда газовая фаза состоит толь-
только из одного компонента, имеет вид
дТ ВТ \ i I дТ\ dp
ж + wz-jf) = -7 (V2 J) + -4?,
B.4.30)
184 ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
12ц,и»
u>i = wlaa2/r2,
Граничные условия для этих уравнений при г = О, a{t) ж
rb(t) представлены в B.4.19) —B.4.27).
Уравнения притока тепла газа с учетом уравнения неразрыв-
неразрывности можно записать в виде
г, t)=Pg(t)/R),
из которого после интегрирования по г от а до геЬ (фактически
по объему газа) получим интеграл энергии для газа, позволяю-
позволяющий определять изменение давления газа через внешний приток
тепла и работу внешних поверхностных сил, определенных гра-
граничными условиями B.4.19) и B.4.20)
-*"\dPjL_(.. dTg
3 dt
а@ lg— 1
. B.4.32)
В результате из B.4.31) нетрудно определить распределение
скоростей в газе, обеспечивающее однородное изменение давле-
давления (гомобаричность) в каждый момент времени, по распределе-
распределению температур Tg(r) и dpg/dt:
2
a2
2
a2wga —
a(t)
%- B-4.33)
Граничные условия, через которые связываются подсистемы
уравнений обеих фаз в B.4.30), заданы на подвижной границе
r = a(t). Если ввести безразмерную координату tj:
r[ = r!a{t), B.4.34)
то граничные условия на межфазной границе фиксируются при
т] = 1, а уравнения B.4.16) или B.4.30) преобразуются в соот-
соответствии с формулами
д id
При гь -> оо внешняя задача ставится в бесконечной области,
что неудобно при численном решении. В случае пузырька это
неудобство обходится тем, что обычпо внешнее граничное усло-
условие на п -*¦ °° вполне можно сносить на некоторый конечный ра-
радиус гь, который достаточно близок к r = a (г) = 1). В случае же
с каплей такой конечный радиус может оказаться во много раз
большим, чем радиус капли а, ибо для того, чтобы гь можно-
§ 5. ДИНАМИКА ГАЗОВОГО ПУЗЫРЬКА 185
было рассматривать как бесконечность, необходимо, чтобы теп-
теплоемкость газа между а и гь была во много раз большей, чем
теплоемкость капли, или
~l»as (P°ici/P°gcg) (p°iCi>P°gCg)- B.4.36)
Поэтому в случае с каплей при п> ->- °° во внешней задаче
(в газе) целесообразно вместо г\ ввести независимую переменную
r I a (t) S п д
-что бесконечную область т)^A, °°) сводит в конечную область
Z, s [1, 0], для которой внешние граничные условия ставятся
при 1 = 0.
§ 5. Динамика и теплообмен при пульсациях
газового пузырька без фазовых переходов
Рассмотрим на основе уравнений § 4 (см. также § 6 гл. 1)
нелинейную задачу о тепловом и динамическом взаимодействии
одиночного газового пузырька (rgb = 0) с окружающей безгра-
безграничной (г,ь ->- °°) жидкостью. Эту задачу из-за переменности a(t)
и отсутствия фазовых переходов (?g=?j = O) удобнее решать в
лагранжевых переменных (х, t), где х — расстояние частицы до
центра в начальный момент времени t — 0. При этом уравнения
B.4.30) приводятся к виду
„ dTg{x,i) __ р° Л Р°/ 8Tg(x,t)\ dPg
a0:
о 6T{(x,t) ! e / r4 агг(х,0\ dr(x,t)
ict—S7 =r Яг
B.5.1)
г-а- Т Т X ^ (дТе(ао-Ч) % <? (дТ1(%>г
Ж=оо: Гг=Г0, p=Poo(t), w = 0,
где индексом 0 внизу отмечены величины, соответствующие на-
начальному состоянию, а граничные условия на межфазной гра-
границе заданы при фиксированном лаграпжевом радиусе х = а0
в отличие от B.4.22), где эти условия заданы на подвижном
эйлеровом радиусе r = a(t). Из B.4.32) следует уравнение в виде
A.6.11) для давления в пузырьке р2 = ?«(?)> а уравнение Рэ-
186
ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
лея —Ламба B.4.17) дает уравнение для изменения его радиуса
a (t), если учесть, что da/dt = u?ia-
Из уравнения состояния газа следует выражение для плот-
плотности газа
(x, t) ¦
B.5.2)
Задача B.5.1), B.5.2) вместе с A.6.11) и B.4.17) замкнута.
Как уже отмечалось (см. A.6.15)), из-за vg > уг , Яг<Яг
необходимость рассмотрения внешней задачи и учет того, что
Та Ф То, могут возникнуть только при сильном пересжатии газа
(р°>р°). В остальных случаях правомерно упрощающее допу-
допущение Та = То, которое позволяет обходиться решением только
внутренней задачи (в газе).
А',о)Аг
~JL2S_
Ъп/2
л/2
5rt/4
f——-
—¦—
-
-——_
"¦----^
N
Я
О 0,2 0,4 O.ff 0,8 х/а0
о
Рис. 2.5.1. Изменение радиуса а воздушного пузырька в воде (а0 = 0,1 мм,
р0 = 0,1 МПа), теплоты Q*, отданной в жидкость, распределения температур
внутри пузырька в различные моменты времени после мгновенного повы-
повышения давления жидкости р*, от р0 = 0,1 МПа до ре = 0,2 МПа. Моменты
времени ш At = 0 и со At = 2я соответствуют состояниям А и В — последо-
последовательным состояниям максимального сжатия пузырька.
При анализе данной задачи можно ввести три характерных
времени
B.5.3)
„(Л
*(ю)
ЛМ ^ t(w)
Если 4Х)>г или Ч <tw, то поведение газа в пузырьке
близко соответственно к адиабатическому или изотермическому.
На основе выписанных уравнений численно решалась задача
о радиальных пульсациях пузырька воздуха в воде, возникших
§ 5. ДИНАМИКА ГАЗОВОГО ПУЗЫРЬКА 187
в результате мгновенного при t = О повышения или понижения
давления в жидкости вдали от пузырька с рд до ре, что, в част-
частности, соответствует поведению газовых пузырьков в начале пу*
зырьковой завесы при входе в нее ударной волны или волны
разрежения.
На рис. 2.5.1, а приведены кривые для изменения радиуса а
я относительного количества тепла Q*, перешедшего из пузырь-
пузырька в жидкость:
t
- о4" , \a*{t')qa{?)dt'
g1 go* oo
— и характеризующего превращение кинетической энергии в теп-
тепловую.
Диссипация кинетической энергии жидкости в ее тепловую
энергию, главным образом, из-за теплопроводности приводит к
затуханию колебаний, и пузырек из начального состояния, ха-
характеризуемого параметрами аа, ps0, Т„, перейдет в состояние с
параметрами ае, pge, То, где
В некоторые моменты времени наблюдается немонотонность
распределения температуры газа в пузырьке (см. рис. 2.5.1,6).
В эти моменты (например, в момент ы ¦ At = л/2) тепловой по-
поток может быть направлен внутрь пузырька, хотя средняя тем-
температура газа в нем Тг = (ТгУ при этом выше температуры жид-
жидкости То. Это происходит потому, что при сжатии пузырек ин-
интенсивно отдает тепло в жидкость вследствие большого градиента
температуры газа в тонком пристенном слое и хорошего отвода
этого тепла жидкостью, а при расширении пузырька тепло-
теплопроводность не успевает компенсировать охлаждение, вызванное
этим расширением, пристенных слоев газа. То, что в момент
<о • S.t = 2л температура газа становится ниже, чем в момент пре-
предыдущего максимального сжатия (co-Ai = 0) — проявление теп-
тепловых потерь при пульсациях.
При увеличении начального радиуса пузырька а„ относитель-
относительная толщина температурного пограничного слоя уменьшается.
При этом, несмотря на малую толщину температурного погран-
слоя, образование «температурных ям» способствует перекачке
тепла из центральной зоны пузырька в периферийную и тем
самым нарушает адиабатичность процесса в основной массе газа
даже в тех случаях, когда оценки дают tg >> t"'.
Интерес представляют значения мгновенного показателя поли-
политропы я, среднемассовой температуры газа <Гв> и безразмерного
188 ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
теплового потока Nu2 (числа Нуссельта):
а
1 dln(Pg/P0) /7, . 3 Г. , о
3 In (e/a0) 6/ 4яал4 J rs s
2а дТ (а, t)
B.5.4)
дг *
На рис. 2.5.2 показано изменение этих величин вместе с из-
изменением а. Для сравнения приведена также штриховая кривая,
а/а0
0,8
0,6
^2L
^ 0,004 0,008
\
\
'—-^
^^
. ?_
ч
"
л
л
V
An
1Л
-1,35
0,0/2 0,07$
0,OZ t/tm
Рис. 2.5.2. Изменение радиуса а воздушного пузырька в воде («о = 0,03 мм,
р0 = 0,1 МПа), его средпемассовой температуры <Г>, мгновенного показате-
показателя политропы к и числа Нуссельта Nu2 во времени в стадии сжатия после
мгновенного повышения давления жидкости вдали />«> от ро = 0,1 МПа до
ре = 1,0 МПа. Штриховая линия соответствует изменению прп адиабатиче-
адиабатическом сжатии (A,g = 0)
характеризующая рост температуры газа при адиабатном сжа-
сжатии. Наличие теплопроводности не исключает появления высоких
температур в газе при достаточно сильном и быстром сжа-
сжатии пузырька, что может приводить к его свечению. Увели-
Увеличение % на рис. 2.5.2 на последней стадии сжатия пузырька, и
§ 5. ДИНАМИКА ГАЗОВОГО ПУЗЫРЬКА
189
а/а0
0
2,5
1,5
1
\
W
\
А
}
/_
3
=-^—
2
N
<Т>/Г0
0,9
0,8
1S,
11
S
О
\
2"
О 0,04 0,08 0,12 0,1В 0,2
0,24 t/t™
Рис. 2.5.3. Изменение радиуса а воздушного пузырька в воде (а0 = 0,1 мм,
р0 = 0,1 МПа), его среднемассовой температуры <Г> и числа Нуссельта Nu2
во времени при расширении пузырька после мгновенного падения давления
жидкости рос вдали от р0 до ре кривые 1, Г, 1" — для />„ = 0,01 МПА, кривые
2, 2' 2" — для ре = 0,02 МПа, кривые 3, 3', 3" — для ре = 0,03 МПа
Рис. 2.5.4. Изменение показате-
показателя политропы у. и числа Нус-
сельта Nu2 во времени при
экспоненциальном сжатии (см.
A.6.40) воздушного пузырька
в воде («о = 1 мм, р0 = 0,1
МПА, А = —Ю-5) для двух
показателей: кривые 1, 1', 1" —•
для со «„=5500 С, кривые
2, 2', 2" — для со»* =1100 с-1
я
1,3
0,75
0,5
0,25
Z"
г
Z'
\!
А
-
\
-
N
^—
ч
0,015 0,03 0,045 0,21
Nu2
-60
40
2п
.0
190 ГЛ 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
приближение процесса к адиабатическому объясняется сокраще-
сокращением поверхности пузырька из-за его сжатия.
На рис. 2.5.3 приведены полученные зависимости радиуса,
среднемассовой температуры пузырька и параметра Nu2 от вре-
времени на стадии расширения. Интересно отметить, что при рас-
расширении пузырька средняя температура газа сначала понижает-
понижается, а затем начинает расти до температуры жидкости, т. е. не-
непрерывно улучшающийся теплообмен с избытком компенсирует
понижение температуры газа, вызванное его расширением. Влия-
Влияние теплообмена усиливается из-за непрерывного увеличения по-
поверхности пузырька и убывания скорости расширения.
На рис. 2-5.4 в качестве примера приведены рассчитанные
зависимости а, х, Nu2 от времени для случая .ускоряющегося
сжатия пузырька по закону A.6.40). Отметим практическое по-
постоянство у. и Nu2 на начальном участке сжатия пузырька, когда
изменения радиуса еще малы. На заключительной стадии сжа-
сжатия пузырька, когда температура его повышается в несколько
раз, теплообмен затрудняется из-за сокращения его поверхности
и, несмотря на некоторое увеличение коэффициента теплообмена
или Nu2, значение показателя политропы х приближается к
Т«=М.
Проведенные расчеты и, в частности, приведенные результа-
результаты качественно подтверждают оценку A.6.16) для интенсивности
теплообмена газового пузырька переменного радиуса с окружаю-
окружающей жидкостью.
§ 6. Динамика, тепло- и массообмен при пульсациях
паровых пузырьков с фазовыми переходами
В данном параграфе задача, рассмотренная в § 5, обобщается
на случай парового пузырька, когда на его поверхности проис-
происходят фазовые превращения. Как будет видно, наличие фазовых
переходов приводит к тому, что, в отличие от тепловой задачи
для газового пузырька постоянной массы, основную роль приоб-
приобретает внешняя задача теплопроводности (для жидкой фазы).
Анализ производится на основе нелипештыл уравнений § 4,
которые для случая одиночного пузырька в безграничной жидко-
жидкости (геь = 0, Пь = °°) с учетом B.4.34), B.4.35) можно предста-
представить в виде
dt ' а дц)
dt a2 g\dr] /r)=i a sa' dt
§ 6 ДИНАМИКА ПАРОВОГО ПУЗЫРЬКА
— т\адт\
tj = 0: u> = О, дГ/Зг] = 0;
^J-M^fJ
is/1 1 Л
= wla + S/g "о о" Г.
т] = о°: P = P°o{t), T = 71,, = const.
Здесь пренебрегается скачком температур на межфазной гра-
границе (см. B.4.26)), а граничное условие при г\ = °° для рассмат-
рассматриваемой системы реализует приток или отток тепла Qx из бес-
бесконечности и подвод или отвод механической энергии А„ за счет
работы поверхностных сил, которые равны
Qoc = — Hm 4яЯгг2-^- = —lim 4ла1гт]2—-;
Лоо = — lim 4nr'2pw = — 4л;а2р<Х1и;;A.
В рассмотренных ниже вариантах (?„ = 0. При численном ре-
решении, как уже указывалось, условие Т = Тц вполне можно пере-
перенести на конечный радиус т)ь, достаточно близкий к 1, где вы-
выполняется Xitf (дТ/дц) = 0.
Как указывалось при обсуждении A.6.17), наличие стока
или источника теплоты фазового перехода ^;g(igo— ha) ~ %igl на
межфазной поверхности из-за больших значений теплоты фазо-
фазового перехода In).,» ks, как правило, приводит к тому, что ин-
тенсивность фазового перехода определяется возможностью жид-
жидкой фазы отводить и подводить тепло \1, причем реализуется
условие A.6.17). Это приводит к тому, что внешняя задача теп-
теплопроводности в жидкой фазе начинает иметь определяющее зна-
значение, хотя это не означает, что для поведения газа поток тепла
с межфазной границы ^2? = \<{дТя/дг)а пе существен.
Поведение парового пузырька при ударном воздействии. Ни-
Ниже приведены результаты расчетов (Р. И. Нигматулин, Н. С. Ха-
беев, 1978; R. Nigmatulin et al., 1981) поведения парового пу-
пузырька в воде, в начальный момент находящегося в равновесном
192
ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
состоянии:
= р0 + 2S/a0, Г = Г„ =
B.6.3)
При ? = 0 вдали от пузырька давление р^ меняется скачком от
р0 до ре. Рассматривались варианты с различными размерами пу-
пузырька а0, повышениями давления ре и различными значениями
параметров рт, или К$, характеризующих кинетику фазовых пе-
переходов. Имеются более частные постановки этой задачи, когда
температура внутри пузырька принимается однородной.
Рис. 2.6.1. Изменение ра-
радиуса парового пузырька в
воде (ао = 5 мм, ро =
= ОД МПа), давления в нем
и распределения темпера-
температур в различные моменты
времени (отмечены число-
числовыми указателями, соответ-
соответствующими^ = t/t^) пос-
после мгновенного изменения
давления жидкости вдали
р„ от ра = 0,1 МПа до ре =
= 0,08 МПа
Из анализа диаграммы равновесных состояний пар — вода
¦следует, что при разрежении (ре < р0) паровой пузырек должен
неограниченно расти, а при сжатии (ре>Ро) — смыкаться до ис-
исчезновения.
На рис. 2.6.1—2.6.3 представлены результаты расчетов вари-
вариантов, когда приемлемой является равновесная схема фазовых
переходов на межфазной границе (К$ = °°, Та = Тх = Ts{pg)).
В рассматриваемых случаях можно выделить две стадии: пер-
первая, или динамическая, во время которой в течение времени
§ 6. ДИНАМИКА ПАРОВОГО ПУЗЫРЬКА
193
т/т0
РЛ 0,98
0,9 0Я5
0,8 0,94
ff
-0,01-
w
-0,03—
-0,3—
——-
\ ""
^05'
^^
-¦
По
ff
O.Z /7,4 $,ff 0,8 1,0 q
Рис. 2.6.2. To же, что рис. 2.6.1, по для <z0 = 0,1 мм
a/a0
1,0
I—
Xr
0,8
0
I
\
\
I
I
I
1.2
1,0
T/To
10008
\
Рис. 2.6.3. To же, что \0Щ_
рис. 2.6.1 (а0 = 5 мм, />о = ' \ .
= 0,1 МПа), но для схлопы-
вания пузырька (ре =
= 0,12 МПа). Штриховая
линия соответствует расче-
расчету a (t) при упрощающем
допущении однородности 1.02
температуры пара (Tg =
= Ts(Pg))
1
1.04
13
р. и нигматулин, ч. I
194 ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
порядка Ouipi/PoI2 давление в пузырьке отличается от р«,—ре,
и здесь возможны пульсации; вторая, или термическая стадия,
когда давление и температура газа установились и равны pge =
= p^ + 2Y/a и Tge = Ts(pge), а пузырек монотонно растет в пере-
перегретой жидкости (ре < Ро) или уменьшается в переохлажденной
жидкости (ре>Ро). Термическая стадия определяется способ-
способностью жидкости отводить или подводить теплоту фазовых пере-
переходов. Следует отметить существенно меньшее, чем в газовых
пузырьках, проявление пульсаций. Как и в газовых пузырьках,
пульсации заметнее при сжатии (ре>Ро), при увеличении ра-
радиуса пузырька а0 и усилении воздействия \ре — ро\/ро- С увели-
увеличением радиуса пузырька а0 уменьшается влияние фазовых пере-
переходов, так как уменьшается удельная (отнесенная к единице
массы пара) межфазная поверхность, на которой могут происхо-
происходить фазовые переходы.
В динамической стадии температура внутри пузырька неод-
неоднородна и часть потока тепла q-zg на межфазной поверхности
идет в пар или из пара. Как уже указывалось, эта величина ма-
мала по сравнению с потоком тепла q-zi, приходящимся на жид-
жидкость. Однако малый тепловой поток qSg воспринимается малой
массой пара и может влиять на его состояние и поведение пу-
пузырька. Поэтому часто используемое и оправданное для терми-
термической стадии допущение об однородности температуры внутри
пузырька может привести к ошибке на динамической стадии,
когда PgT^pcb (см. штриховую линию на рис. 2.6.3, а также ко-
конец данного параграфа).
Качественные оценки для интенсивности теплообмена в тер-
термическом режиме роста (в перегретой жидкости) или смыкания
(в переохлажденной жидкости) парового пузырька представле-
представлены формулами A.6.19).
На рис. 2.6.4 проиллюстрировано влияние кинетики фазового
перехода на смыкание пузырька, определяемой коэффициентом
Kf, пропорциональным f$m. При f}m = 0 имеем случай чисто газо-
газового пузырька без фазовых переходов, когда он совершает зату-
затухающие из-за тепловой и вязкой диссипации колебания, стремясь
к равновесному состоянию, определяемому внешним давлением
ре. Чем больше [Зт, тем меньше заметна затухающая осцилли-
осциллирующая рябь на фоне угасающего пузырька. При Кц -*¦ <» имеем
предельную кривую, соответствующую равновесной схеме. Штри-
Штриховой линией на рис. 2.6.4 отмечены те участки кривых, где
решение дает физически нереализуемые скорости фазовых пере-
переходов (см. A.3.90)), большие чем
Отметим, что уменьшение рт и К$ качественно соответствует
добавлению в пузырек инертного газа, замедляющего процесс
смыкания пузырька.
§ 6. ДИНАМИКА ПАРОВОГО ПУЗЫРЬКА
195
Схема однородного равновесного парового пузырька. Ограни-
Ограничимся режимами, когда скорости радиального движения фаз и
стенок пузырька во много раз меньше скоростей теплового дви-
движения молекул, равных по порядку скорости звука в паре. Тогда
неравновесностью на межфазной границе можно пренебречь,
а/а.
0,6
0,4
0,2
ffl
\
ос
А
\ \
1
W
\ \
\
! \
1 1
1 1
\ 1
А/
/ \^~
\О,О2
\
\
^^
V—^
I
_-•—. ¦
-'—~~—
0,005
N
am .
*\
\
\
\
\
\
\
\
i
-> .
ч
\
\
\
\
1.6
3.Z
7,0 t/,
Рис. 2.6.4. Изменение радиуса парового пузырька в воде {а0 = 0,01 мм,
Ро = 0,1 МПа) в результате мгновенного повышения давления жидкости
вдали рж с ра = 0,1 МПа до ре = 0,12 МПа при различных значениях коэф-
коэффициента аккомодации (конденсации) рт
т. е. можно полагать, что температуры фаз на межфазной гра-
границе равны между собой и равны температуре насыщения:
Tz = Та = Та. B.6.4)
Выравнивание температуры в пузырьке происходит во много
раз быстрее, чем в жидкости по двум причинам. Во-первых, за
счет того, что при одинаковых перепадах температур и темпера-
туропроводностях фаз выравнивание температур внутри сферы
происходит на порядок быстрее, чем снаружи (см. Nu4 и Nu2 в
§ 8 гл. 2). Во-вторых, за счет того, что температуропроводность
пара обычно во много раз больше, чем жидкости. Поэтому для
описания поведения пара можно использовать схему однородно-
однородного насыщенного (равновесного) парового пузырька
Тем более, что более точное описание тепловых процессов в паре
не имеет смысла в силу малости теплового потока в нем (gS2)
по сравнению с потоком (g2l) в жидкости (см. A.6.17)).Свойства
пара проявляются только через изменение давления Pz(t), опре-
определяющего в соответствии с B.6.4) температуру на стенке пу-
13*
196 ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
зырька Tsipz) и влияющего на радиальное движение жидкости
(wia(t) и a{t)) в соответствии с уравнением Рэлея — Ламба.
Выведем в указанном приближении уравнение для изменения
давления пара. Из уравнения притока тепла пара, или 1-го зако-
закона термодинамики имеем
6g2 = du2 + p2d(l/pD D/3яа3р>?2 = qxzdt), B.6.6)
где 8Q2 — тепло, приходящееся на единицу массы пара, необхо-
необходимое для изменения его температуры на dTz и удельного объ-
объема на d(l/p2). Оно реализуется через поток тепла #S2, приходя-
приходящийся на пузырек в единицу времени.
Из уравнений состояния
l + u20 B.6.7)
и условия насыщения B.6.5) следует, что изменение плотности
и температуры дара определяется изменением одного парамет-
параметра — давления:
Уравнение Клапейрона — Клаузиуса A.3.76), определяющее
(дТ/др2)в, приводится к виду
где I* и р° — безразмерные параметры, зависящие от давления
пара р2 и характеризующие соответственно теплоту парообразо-
парообразования и отношение плотностей фаз (обычно р° ¦< 1).
В итоге из B.6.6) получим выражение, определяющее д?2 че-
через изменение давления
Отсюда видно, что если Г* < 1, то при повышении давления
qz2 > 0 и, следовательно, Ts = Ts> T@, t), т. е. температура па-
пара внутри пузырька ниже, чем на стенке, а при понижении дав-
давления qS2 < 0, т. е. Tz = Ts<T@, t). Если Г*>1, то при повы-
повышении давления qzz < 0 и Тх. = Ts < J1 @, t), а при понижении
давления — наоборот. При Г* « 1 имеем q^ = 0, и реализуется
однородное распределение температуры внутри пузырька, даже
без влияния теплопроводности пара.
Нетрудно показать, что параметр Г* равен отношению про-
производной дТ/др вдоль изоэнтропы пара ({dT(dp)sg =
{Tip)) к производной дТ/др вдоль линии насы-
§ 6. ДИНАМИКА ПАРОВОГО ПУЗЫРЬКА 197
щения Та(р) (в соответствии с B.6.8) имеем (дТ/др)а =
Из уравнения изменения массы пузырька (mg (t) = */3ла5р2)
(четвертое уравнение B.6.1)) следует уравнение для изменения
плотности
i_^?==_J_*L + Ab| (g12 = ^g). B.6.10)
Тогда из B.6.6) с учетом B.6.8) —B.6.10) получим дифферен-
дифференциальное уравнение для изменения давления пара в виде
Л 1 —"р°\ ^2 ^2 Г ^12 Iл ~
Учитывая, что 4na2li2l = — qSi — qS2 и что qz2, согласно B.6.9),
выражается через dpjdt, то, разрешая B.6.11) относительно этой
производной, получим
р2 dt -
"f
й-
где xeS (p2) — переменный показатель политропы насыщенного
пара.
Сопоставление B.6.11) и B.6.12) показывает, что, несмотря
на то, что по сравнению с теплообменом с жидкостью (qSi) теп-
теплообмен с паром (gr22) мал, последний воспринимается малой
массой пара и влияет на изменение р2 = Pg- Но при определении
интенсивности массообмена |i2 величиной qS2 можно пренебречь
и принять 4jraz!12Z = —qsi.
В итоге поведение равновесного парового пузырька описыва-
описывается более простой, чем B.6.1), системой уравнений, которая
соответствует vg ^> v\ ' и при Я; = const и Pg^Cp;, имеет вид
B.6.13)
где a(i) определяется из уравнения Рэлея — Ламба исходя из
ваданного p«>(t).
198 ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
Режим с малым изменением радиуса пузырька. Рассмотрим
такой режим, когда в начальный момент жидкость (г > а) имеет
однородную температуру (Т1 — Тоо) и процесс начинается из-за
резкого изменения давления в пузырьке рг и связанной с Рг
температуры насыщения Tsipz), совпадающей с температурой Ts
на поверхности пузырька. На начальной стадии, когда размер
пузырька после указанного изменения рг не успел заметно изме-
измениться, в уравнении теплопроводности жидкости можно прене-
пренебречь конвективной составляющей переноса тепла по сравнению
с молекулярной теплопроводностью. Тогда на этой стадии самое
сложное уравнение системы B.6.13) — уравнение с частными
производными относительно распределения температуры в жид-
жидкости 2\ s= Tt, нужное для определения q-zU приближенно может
быть записано в таком же виде, как в неподвижной среде
dt г2 д
которое с помощью преобразования 7\ = ги сводится к
? = ^0- B.6.14а)
При этом тепловой поток на сфере r = ao = const в случае
Т„ = const может быть выражен через закон изменения темпе-
температуры Та (t) — Те (t) на этой же сфере с помощью интеграла
Дюамеля (представляющего аналог наследственной силы Бассэ
из-за вязкости (см. § 2)) в виде (С.К.Годунов, 1971; А.Н.Тихо-
А.Н.Тихонов, А. А. Самарский, 1972)
gzi ._ АМО) , TJt)-Tx 4 CdTa(x) dx
^l^i VnvWt % Vnv[T>_i dx Vt-т ('' '
Это выражение соответствует случаю, когда в исходном со-
состоянии (t-*-—°°) температура при г^а0 была, однородной
(Tt(r)= Ta = У»), а заданная функция Ta(t) является непрерыв-
непрерывной и дифференцируемой, за исключением, быть может, момен-
момента ? = 0, где Та может измениться скачком на АТа@) = Та(+0)~
— Та(—0). Рассмотрим данное выражение для двух режимов
монотонного изменения Ta(t). Первый — режим непрерывного
(АГа@) = 0) экспоненциального изменения температуры на стен-
стенке пузырька (ср. с A.6.40))
B.6.16)
Тогда из B.6.15) получим уравнение для безразмерного тепло-
§ 6. ДИНАМИКА ПАРОВОГО ПУЗЫРЬКА 199
вого потока
B.6.17)
Входящий сюда интеграл с помощью подстановки Yt — т = ? сво-
дится к интегралу j ехр (— со^.^^2) dt,, который равен г/2 Уп/ы^*
о
В итоге получим (ср. с A.6.37) и A.6.43))
Nux - 2 = 2 VW^Z = Pel/a (i(« =alh?\ Ре^а^М7').
B.6.18)
Подчеркнем, что для экспоненциального закона B.6.16) Nut =
= const, т. е. Nu! не меняется во времени. Последнее означает,
что размывание из-за теплопроводности температурного погран-
слоя вокруг сферы г — а0 уравновешивается его укручением из-за
изменения температуры Та на этой сфере.
Второй режим, который следует проанализировать с помощью
B.6.15),— режим степенного закона изменения температуры
межфазной границы:
(Гоо при
Та® = {Т0ОA ±(№) при *>0 (Тх, ta, rc=
Аналогично B.6.17) имеем
t
Nu1 = 2+./-^n \^P=dx. B.6.20)
Входящий сюда интеграл с помощью подстановки xlt = \ сводит-
сводится к интегралу
1 _
j^ [i-D di-u(i2,n) = r{n + lh)- Bn_1)ll4 ^.b.zi)
о
где В и Г обозначают бэта- и гамма-функции (И. С. Градштейн,
И. М. Рыжик, 1963 (пп. 8.380; 8.384; 8.338)). В итоге получим
Nu, - 2 = У В' (п) t™/t, В' (п) = 4тг2В2 (V,, п)/я. B.6.22)
Видно, что здесь Hui уменьшается со временем. Это означает,
что при степенном законе изменения Та размывание из-за тепло-
теплопроводности температурного погранслоя происходит быстрее, чем
200 гл- 2- МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
его укручение из-за изменения Та- Другими словами, степенной
закон B.6.19) соответствует «более медленному» изменению Та,
чем экспоненциальный закон B.6.16).
Заметим, что для степенного закона B.6.19) имеет место
откуда следует, что nATJfa = t. Поэтому уравнение B.6.22) мо-
может быть записано в виде
(Nu^t) - 2JДГа @ = (В' (п)/п) t™Ta.
Если продифференцировать это уравнение по f и учесть, что
Та = (п — 1) Tl/(ATn), то получим дифференциальное уравне-
уравнение, определяющее dHuJdt через Nui, Ta и АТа:
В" (п) = 2(»-1)В(У„^ B.6.24)
Одним из возможных решений этого уравнения в случае степен-
степенного закона B.6.19) для Ta(t) является зависимость Nut(f) в ви-
виде B.6.22). Нетрудно показать, что в случае экспоненциального
закона B.6.16) для Ta{t) соответствующее решение уравнения
B.6.15) в виде B.6.18) также является решением полу-
полученного дифференциального уравнения, если принять п = «э
в В"=2.
В рассмотренных экспоненциальном B.6.16) и степенном
B.6.19) законах изменения Та имеет место Та/А.Та>0, и в соот-
соответствии с B.6.24) имеем, что Nui растет при достаточно быст-
быстрых изменениях Та, определяемых величиной TJS.Ta, и падает,
когда TJATa меньше некоторого критического значения, тем
большего, чем больше Nu4. Ясно, что при TJkTa < 0 тем более
значение Ни{ должно уменьшаться. Поэтому, для того чтобы
уравнение B.6.24) могло соответствовать также процессам,
когда tjATa < 0, следует вместо сомножителя TJATa перед
скобками поставить его модуль \TJATJ.
Для дальнейшего полезно выделить так называемый релак-
релаксационный член (см. ниже B.6.32)), характеризующий стрем-
стремление температурного погранслоя к стационарному (N11, = 2), и
избавиться от сомножителя Nut — 2 в знаменателе, так как он
приводит к особенности при Nu! = 2 и TJATa ^ 0. Для этого пре-
§ 6. ДИНАМИКА ПАРОВОГО ПУЗЫРЬКА 204
образуем соответствующее слагаемое, учитывая B.6.22)
*а
их ~ 2)
- 2
Отсюда видно, что B.6.24) может быть представлено в виде
10
ZfI_(NUl_2)
a
If
ДГ
B.6.25)
Подставляя в это уравнение Ta{t) в виде B.6.19) и соответ-
соответствующее решение B.6.22), получим выражения для коэффици-
коэффициентов А* и В* через показатель п:
А*(п) = пВ2С/2, я)-и-1, ?*(>г) = B/я)В2G2, л). B.6.26);
Следует иметь в виду, что уравнение B.6.25) справедливо для
степенного B.6.19) (с показателем я, определяющим коэффици-
коэффициенты А*(п) и В*(п)) и экспоненциального B.6.16) (здесь А* =
= я, В* = 2, что соответствует тг = °°) законов изменения Г<.(?).
В общем случае всегда можно найти закон Ta(t), для которого
B.6.25) будет противоречить B.6.15), так как подбор обыкно-
обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка, позволяю-
позволяющего описывать изменение qsi (или Nu4) при произвольных Ta{t)
является некорректной задачей. Представленная здесь процеду-
процедура может рассматриваться как метод регуляризации этой задачи,
приемлемый для приближенного описания некоторого класса
процессов. При этом для каждого такого класса, определяемого
значением t10 — al/vP и характерными законами изменения
Ta{t), следует выбрать А* и В* так, чтобы уравнение B.6.25)
удовлетворительно соответствовало точным решениям.
Заметим, что для рассмотренных степенных законов Ta(t)
значения А*(п) и В*(п) — слабо меняющиеся монотонные функ-
функции, так как значение rcB2G2, п) при вариации п от 0,5 до °°
уменьшается от я2/2 « 4,92 до л« 3,14. Поэтому в качестве пер-
первого приближения можно принять А* ~ 3, В* « 2.
Режим с малым изменением давления внутри пузырька. Пе-
Перейдем теперь к анализу задачи теплопроводности в жидкости,
когда существенно сказывается влияние переменности радиуса
пузырька и радиального движения жидкости вокруг него, а упро-
упрощения (помимо равновесности B.6.4) межфазной границы
(ЛГр->оо)) связаны с пренебрежимо малыми изменениями тем-
температуры на поверхности пузырька, давления и плотности пара
202 ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
в нем
1 dTa I dPg I *g 1 da
В этом случае система уравнений B.6.13) упрощается, процесс
описывается уравнениями относительно a(t) и Ti(t, r), которые
можно представить в безразмерном виде:
2 98
fei4=n'Ja 1—~7g
7gj'
t = 0: 9 = 0, a = 1; B.6.28)
$1 = 1: 6= 1; ri = oo: 9 = 0;
Ti~T°
-a~±. ~t - J_ [ *<» - JlL 1 ti —I
Здесь Ja — число Якоба, которое является постоянным в рассмат-
рассматриваемом процессе.
Перейдем к асимптотическому анализу*) этой системы урав-
уравнений растущего (Ja > 0) или смыкающегося (Ja < 0) изотерми-
изотермического пузырька в двух предельных случаях Ual<lH|Jal>l.
1. Ual<l.
Разложим искомые функции по степеням малого параметра
NUl = ^@) (F,)-h вЛГ"> (Ft) +...,
B.6.29)
Нулевое по е приближение имеет вид
0) , 2 98@)
___а _^_j _ + ___s
-(о) <Ь@) / 1 \ dBw _
_а __^__j_
Из второго уравнения следует ат = 1. Тогда для 0(О) полу-
получается обычное уравнение сферически-симметричной теплопро-
теплопроводности, решение которого с учетом начальных и граничных
•} Анализ выполнен Н. А. Гумеровым.
§ 6. ДИНАМИКА ПАРОВОГО ПУЗЫРЬКА 203
условий, представленных в B.6.28), имеет вид
Дифференцируя Л/"^1 (t±), получим, что число Нуссельта в ну-
нулевом приближении удовлетворяет уравнению релаксационного
типа
Это уравнение описывает размывание (Ni^ > 2) или утонь-
чение (Nui < 2) температурного погранслоя и стремление рас-
распределения в нем к стационарному (Nu! = 2).
2. Ual » 1.
Введем новое безразмерное время
t = Ja^ = t/t[T) (i<T> = aS/(vir)Jaa)). B.6.33)
Тогда систему уравнений B.6.28) можно переписать в виде
-2 59 - da I 1 \ 50 1 /э2е , 2 д
2
а
B.6.34)
9 @, П) = 0, а @) = 1,
0 (t, 1) = 1, 9 (t, bo) = 0.
Наличие малого параметра^ Ja~2 при старшей производной по-
показывает, что при временах I ~ 1 вблизи поверхности пузырька
существует тонкий погранслой толщиной Arj ~ б = Ual. Вводя
погранслойную переменную % = (т[ — 1)/б, перепишем систему
уравнений B.6.34) в виде
D , » 50 5 0 , «л ,. . а , % 59
б'*+---)ах=^ + 2бA + б-Х+"->1х'
B.6.35)
2а^=п, n = _2(-g)x=o (» = (sgnJa)Nu16).
Решение этой системы будем искать в виде асимптотического
204 ГЛ 2> МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
ряда
е = есо> (t, х)+в • еA) (*, к) + • • • B.6.36);
Тогда для нулевого приближения имеем уравнение
-2 зе@) о- d'a эе@) а2е@> ,„ „ .,_
В переменных, введенных в работе М. Plesset, S. Zwick,
94
5 = ]? (т) dx, Z = ?x« B.6.38)
о
Это уравнение преобразуется в уравнение теплопроводности от-
относительно 8<0> (S, Z):
ае@) _ э2е@)
dS ~~ dZ> *
, «) = 0, 6@)@, Z) = 0. B.6.39)
Данная задача имеет автомодельное решение (см. B.6.31))
0№ = 1_фG2Л/У5), B.6.40)
из которого получается выражение для п, а через него и для Nuj
Nur^' + B^ В(t) = 0A). B.6.41)
К nS (t)
Дифференцируя это выражение по г и переходя к размерным
переменным, получим
b(t), d(t) = O(l). B.6.42)
Вдесь поправки b(t) и d(t) появляются из-за наличия В{1),
'а первое слагаемое в правой части, аналогично B.6.32), описы-
описывает тепловую диффузию, а второе — утолщение Aа < 0, a < 0)
или утоньчение (Ja > 0, a > 0) слоя с градиентом температур за
счет радиального смыкания или растекания жидкости. Отноше-
Отношение второго слагаемого к первому (при Niii ^ 1) имеет порядок
(8.') 12 Ja Bблз)
<r>Nu3 ~ n Nux' v—.w/
При выборе входящих в B.6.42) коэффициентов b(t) и d(?)
с целью построения замкнутого приближенного уравнения будем
«ориентироваться на их фиксированные значения. Примем Ъ = 2,
§ 6 ДИНАМИКА ПАРОВОГО ПУЗЫРЬКА 205
что, как видно из последней оценки, не влияет на результат
расчета уравнения в области Ual > 1, зато в области |Jal<l
будет совпадать с B.6.32). Другими словами при Ь = 2 уравне-
уравнение B.6.42) будет справедливо в обоих рассматриваемых пре-
предельных режимах роста и смыкания пузырька.
Для того чтобы второе слагаемое в правой части B.6.42)
с фиксированным значением d при росте (а > 0) и уменьшении
(а < 0) пузырька при любых Nu4 приводило соответственно
к уменьшению или увеличению Nu1; примем d = 0.
При принятых значениях Ъ = 2 и d = 0 уравнение B.6.42)
удовлетворительно описывает автомодельный рост парового пу-
пузырька (Nud = const) в перегретой жидкости (см. ниже § 9) при
произвольных положительных числах Якоба Ja, т. е. не только
при Ja<l и Ja>l, но и при Ja — 1, обеспечивая близость сле-
следующего из B.6.42) стационарного значения Nuj(Ja) в виде
со значением Nuj (Ja) согласно аппроксимации A.6 20) или, что
то же самое, со значением, следующим из решения, рассмотрен-
рассмотренного в § 9.
Уравнение кинетики нестационарного теплообмена вокруг па-
парового пузырька. Качественно совместное влияние переменности
температуры межфазной поверхности 1\ = Ts (ре) и переменности
радиуса пузырька a(t) предлагается учесть объединением соот-
соответствующих более частных уравнений B.6.25) и B 6.42). Учи-
Учитывая, что эти уравнения имеют общий релаксационный член
B.6.32), примем
dTa B.6.44)
:d т —т dt ^1Ч ">)\т„ — т,
t
(А*, ?*~3).
Здесь в коэффициенте при производной с сомножителем
(см. B.6.25)) вместо фиксированного начального радиуса пу-
пузырька «о подставлено его текущее значение а, чтобы изменение
Nu4 в момент времени t определялось значениями Нии а, а, АТа,
fa только в рассматриваемый момент времени t.
Представленное уравнение кинетики теплообмена приближен-
приближенно учитывает влияние теплопроводности, радиальной конвекции
и тепловой инерции жидкости. Оно позволяет существенно уп-
упростить расчеты благодаря замене нелинейного уравнения с част-
частными производными и граничными условиями на межфазной
206 ГЛ 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
границе пузырька B.6.13) обыкновенным дифференциальным
уравнением типа
-~ Nil! = / (Nil!, а, а, Та, Та) B.6.45)
вместе с обыкновенными дифференциальными уравнениями, ко-
которые входят как в общую схему B.6.1), так и в трехтемпера-
турную схему A.6.29) и которые определяют изменения радиуса
пузырька а (уравнение Рэлея — Ламба) и температуру на по-
поверхности пузырька Та:
й = Га)(Р~, Рг, й, a), ?. = /<*>(«, NUlI Г.-Т.). B.6.46)
Такая схема может применяться как для термического (Pz = pm,
Та = Ts(p*,)), так и динамического (р2 ^Р«,) режимов. В то же
время с учетом замечаний при обсуждении B.6.25) при оценке
результатов расчетов по этой схеме следует соблюдать осторож-
осторожность. В частности, необходимо проведение пробных расчетов и
сравнение с расчетами по общей схеме B.6.13), после чего вы-
выбрать значения коэффициентов А* и В*, а также начальные
значения Nu4 при t = 0 для рассматриваемого класса процессов.
Термический режим смыкания и роста пузырька. Во всех
вариантах, представленных на рис. 2.6.1—2.6.4, преобладает тер-
термический режим, когда
и процесс определяется теплопроводностью жидкости, инерция
радиального движения жидкости мала, давления в фазах успе-
успевают выравниваться (р2 = р„ + 22/а). В этом случае размер пу-
пузырька описывается уравнением, следующим из B.6.12):
Численное псследование А. Д. Охоцимского смыкания паро-
парового пузырька в тепловом режиме при ступенчатом изменении
давления в жидкости на Ар привело к следующей формуле для
времени смыкания в области Ja = 0 — 103:
tTltV = 0,5 Ja-1 (I + 1,4 Ja1/2) B.6.48a)
Здесь учтено 2/ар„ < 1 и р§ р
Инерционный режим роста и смыкания парового пузырька.
Можно выделить другой предельный режим, который называется
инерционным режимом или режимом Рэлея и реализуется при
2
B'6-49)
т. е. когда теплопроводность жидкости достаточно велика, чтобы
§ 6. ДИНАМИКА ПАРОВОГО ПУЗЫРЬКА 207
отводить или подводить все тепло, которое выделяется при фа-
фазовых переходах, компенсирующих уменьшение или увеличение
пузырька так, что давление в нем постоянно
wz = 0, Рг = ро = const, Г2 = Г0 = Гоо. B.6.50),
Формально эти условия выполняются при %i -*¦ оо и Kg-*-°°.
В этом режиме, если можно пренебречь поверхностным натяже-
пием и вязкостью жидкости, процесс определяется только инер-
инерцией радиального движения жидкости и описывается уравнением
Рэлея — Ламба, которое в случае р«, = ре = const можно привести
к виду, удобному для интегрирования:
dwla APl 3 2 л
-г- = — 5~ Wl<" АРо = Pq — Ре = COnst,
t = 0: a = a0, wla = 0 (e = Pg/p°<l). B.6.51)
Решение wla(a), удовлетворяющее начальным условиям, име-
имеет вид
Здесь знак «+» соответствует росту пузырька
Г) B.6.53)
]/2/3
а знак «—» соответствует смыканию
Др0<0, а<а0 (a->0, wla-*c°). B.6.54)
Из уравнения B.6.52) определить a(t) через элементарные
функции не удается, но для смыкания можно определить время
полного исчезновения пузырька
о
t(p)— — f da
1? <2-6-55>
Безразмерный параметр, характеризующий влияние инерции
и теплопроводности жидкости. Относительное влияние инерции
и теплопроводности жидкости на характер смыкания паровых
208 ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
пузырьков характеризуется безразмерным параметром
v!,T) / Р? 1/
з
B.6.56)
определяемым (L. Florchuetz, В. Chao, 1965) как отношение
характерного времени смыкания пузырька t\ &¦ а0 (pi/Ар) af
если бы оно контролировалось только инерцией жидкости, к вре-
времени смыкания пузырька tA ~ a2J(\S ) (Ja -}- Ja4/a)), если бы
оно контролировалось только теплопроводностью жидкости (см.
B.6.48а)). Таким образом, при больших значениях В >¦ В I про-
процесс схлопывания парового пузырька контролируется инерцией
жидкости, а при малых значениях В <С -в*г> — ее теплопроводно-
теплопроводностью. В промежуточном диапазоне Bj <C.B<.В® процесс опре-
определяется обоими факторами. Согласно рекомендациям В^ ¦ та 0,05
В^ « 10.
§ 7. Малые колебания газовых и паровых пузырьков
Исходя из уравнений B.6.1), рассмотрим процессы в пузырь-
пузырьках и около пузырьков при малых отклонениях параметров от
равновесного исходного состояния, фиксированные параметры
которого будут снабжаться индексом 0 внизу. Введем безразмер-
безразмерные переменные А, Ри 0(, характеризующие возмущения
9i (*, r) = ^Ь (i = 1, 2). B.7.1)
о
Условие равновесия исходного состояния в случае газового пу-
пузырька определяет р20, а в случае парового — pzl, и То:
Г„ = Гв(р2„). B.7.2)
При малых возмущениях
А<1, Р,<1, 9,<1 (i = l,2). B.7.3)
Введем безразмерные радиальную скорость wt, скорость фазо-
фазовых переходов |12, радиус ц и три безразмерных времени tu t2,
tp, определяемых тремя главными характерными временами ис-
§ 7. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПУЗЫРЬКОВ 209
следуемого процесса (см. B.5.3), где и>0= у ро/р°]
^о/Р°' " р2о VpoIPi
- J- ~t - — 7 - — г(Х) - J2L гг - \ ъ t™ - a
Уравнения для полей температур и изменения скоростей фаз
с учетом малости возмущений B.7.3), приводящей к
dL /9ГЛ2 92Г{ 2 du»1 аошЯ
Дл V от J дт ^п
записываются в безразмерных переменных в следующем виде:
ае2 в\ , / 2 п2 . ал
2 2 dA \2
B.7.6)
22*A -
При малых возмущениях (А < 1) одиночного пузырька в без-
безграничной жидкости, несмотря на малость скоростей жидкости
по сравнению со скоростью звука (и;1<С1), может сказаться
акустическое излучение энергии в бесконечность, значение кото-
которого определяется величиной wia/ACi (см. B.4.18)). В случае
свободных колебаний (р„ = const, Рг = 0) этот эффект можно
учесть, если вместо B.4.17) исходить из уравнений B.4.17а)
или B.4.176), которые после линеаризации в этом случае приво-
приводят к дополнительному слагаемому в правой части последнего
уравнения в B.7.6):
dP2 B 7
-=-, B.7.
. И. Нигматулин, ч. I
210 ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
Конвективные члены
входящие в уравнение для температур и нарушающие их ли-
линейность, имеют второй порядок малости и могут быть отбро-
отброшены при дополнительном к B.7.2) предположении:
Если ввести характерную толщину б{ температурного по-
пограничного слоя в фазах, образующегося за время одной пульса-
пульсации пузырька tiw\ то эти условия, учитывая, что и\ ~ Aao/t{w),
можно записать в виде
=С 1) Oj = \v) t ) , i = 1, Z. (Z./.o)
Это означает, что конвективными членами можно пренебречь,
если амплитуда пульсации пузырька во много раз меньше тол-
толщины температурного погранслоя в фазах. При существенности
внешней (в жидкости) температурной задачи (а она существен-
существенна при наличии фазовых переходов) определяющим является
условие для жидкой фазы (г = 1) в силу v(P <g.v(P. При доста-
достаточно высокочастотных пульсациях реализуется 6iT)<Ca0, и тог-
тогда ограничение B.7.8) становится более сильным, чем А <¦ 1.
Хотя следует ожидать, что при тонких температурных погран-
слоях значение слагаемых с 99/Зт], появляющихся из-за сфери-
сферической геометрии задачи, становится мало. Во всяком случае
при Oi^flo Даже при нарушении B.7.7) указанные нелиней-
нелинейные конвективные члены в B.7.6) могут быть отброшены. Дей-
Действительно, из граничных условий при г = а имеем
wla = (dA/dtp) — p°f12, w2a = (dA/d'tp) —
f12 = B* Е
> — h. ^= ?i!? Л —hi. в* —
Тогда из B.7.6) следуют оценки для конвективных составля-
составляющих B.7.7) в коэффициентах при 90,/dri, которые следует
сравнивать с 2/tj и которые делают уравнения B.7.6) нели-
S /. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПУЗЫРЬКОВ 214
нейными:
"'m . dA Яп Ti3 — 1 . Р0!,,*!
В случае тонкого температурного погранслоя &г\ <1 внутри
него имеют место оценки
а% Д9{ 59{ де. ав w де - _
Отсюда следует, что последней величиной (а следовательно, и
нелинейными конвективными членами) можно пренебречь по
сравнению с <Э26/дг|2 и при более слабых, чем B.7.8), ограниче-
ограничениях, а именно, при wlaAr\2< 1, что всегда выполняется при вы-
выполнении B.7.3). Таким образом, при переходе к безразмерной
переменной r\ = r/a(t) фиксируется граничное условие на по-
поверхности пузырька (т] = 1), и за счет появления дополнитель-
дополнительного члена ц (а/а)дТ/дц компенсируется нелинейный конвектив-
конвективный член v(dT/dr).
В результате систему уравнений и граничных условий B.6.1)
с учетом B.6.8) можно представить в виде
зех а29х 2 о0х - •-
dts дц* Ч
-^- = ря — р1-
w2a = wia - A - p°), B.7.9)
= oo: 6, = 0,
Выпишем все фиксированные безразмерные параметры, входя-
входящие в полученную линейную систему уравнений и определяемые
14*
212 ГЛ 2 МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
физическими свойствами фаз и размером пузырька
О
Таким образом, все многообразие решений о пульсациях па-
парового пузырька, помимо характеристик внешнего воздействия
(его амплитуды и времени) и начального состояния, определя-
определяется набором указанных девяти параметров. Тот факт, что этих
параметров девять, показывает большое разнообразие возможных
режимов у этой казалось бы простой задачи. Для случая пу-
пузырька с инертным газом, когда отсутствуют фазовые переходы
(j}*=0), внешняя задача (в жидкости) становится несуществен-
несущественной из-за р° < 1, X < 1, Я.гЭ'Я,! и процесс определяется четырь-
четырьмя независимыми параметрами A.6.12), что также достаточно
много.
На основе линейной задачи B.7.8), B.7.9) рассмотрим гар-
гармонические колебания одиночного пузырька в безграничной
жидкости, когда радиус пузырька и другие параметры изменяют-
изменяются во времени как действительные части выражений
{A (U Ща (tp), Р, (tp), в, ft, 1,)} = {ЛСа\ А?\ Af\ A'P (и)} exp iujp
B.7.11)
(/ = 1, 2; i2 = — 1, щ = со + ico**, ©* = a^ K
Здесь i — мнимая единица, Л(о), А^\ А^, А(Р(г\) —комплексные
числа, модули которых определяют амплитуду колебаний, а ю^.—
комплексная безразмерная частота, определяющая частоту и и
декремент колебаний со** в соответствии с A.6.21).
Подставляя B.7.11) в B.7.9), получим систему дифферен-
дифференциальных уравнений, содержащих производные только по
координате tj:
B.7.12)
7 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПУЗЫРЬКОВ 213
+ К) »Ха - 2SM, Щ = %t ( J)t]=i - w2a,
1щА = wla + р°р* (9а - Ы*)"^)-
Решение этих уравнений для температур, удовлетворяющее
граничным условиям B.7.9), получено Н. С. Хабеевым и име-
имеет вид
Gx = вац-1 ехр [(Я Д*I/2 A - г))] (г] > 1),
0а = G К) Ря, f13 = р* (G (се.) - (т^*)-1) Р2 B-7ЛЗ)
1 кь
причем граничные условия B.7.9) приводят к следующим вы-
выражениям для параметров на межфазной границе:
^ = - G К) [1 + (^/^I/2]Р2, 7 ^
^ = [G К) - A - tF1)] Kh (mjkt) Р2.
Свободные колебания. Пусть давление вдали от пузырька
постоянно
Р- @ = Ро (Л = Л. = 0). B.7.15)
Тогда из последних двух уравнений B.7.12) следует система
двух линейных однородных относительно Р2 и А уравнений
S*— *-• с к) - il-1 кь (to,A;) -
g e '
(со*) - ^pj) P2 + «M = 0'
[1 + p> (G K) - (YgZ*)-1) (ico^ + 4ц?) }P2-F К) Л = 0 B.7.16)
откуда следует, что нетривиальное решение существует лишь
для сож, удовлетворяющих трансцендентному характеристическому
уравнению
to. = 3Y* {л; Kh (itojfi) (G К) - A - Y71)) +
+ Р* (G К) - (ygl*)-1) - i®* [I + р°Р* (G К) -
- (Y^*)'1) (К + 4^)]/^ К)}. B.7.17)
Если принять условие равновесия на межфазной поверхности
214 ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
B.4.26), то имеем
вв = ва = Gвг*г1Р„ р*->оо, (с-ЫТЧРф-^к),
B.7.18)
и вместо B.7.17) характеристическое уравнение имеет вид
Kh (ivjlt) КУеП - A - YJ1)] - Gi К) -
- to, A - p°Gx K) (to, + 4^)/F K)} B.7.19)
{1 + (to,A!I/a +
Для случая инертного калорически совершенного газа при
отсутствии фазовых переходов ([}* = 0) характеристическое
уравнение упрощается (R. Chapman, M. Plesset, 1971):
to* = 3yg {Я* Kh (to,/%l) (G (©,) - A - тГ1)) - iajF (©,)}
B.7.20)
1 *; i + (Ш./К1У* +1 кь (ш./к1)
Если, помимо фазовых переходов, можно пренебречь и теп-
тепловыми эффектами (тепловой неравновесностью в фазах), при-
принимая однородность температуры в фазах:
dQi/дц = 0, дд2/дц = 0,
то процесс определяется двумя последними уравнениями B.7.12),
т. е. уравнением Рэлея — Ламба и уравнением адиабэтичности
P2 = FK)-4, щР2 = - 37в<в*Л,. B.7.21)
Эти уравнения можно обобщить для учета акустического излу-
излучения из-за сжимаемости жидкости с помощью уравнения
B.7.6а) и для учета возможной неадиабатичности поведения
газа с помощью показателя политропы и, где к = 1 для изотер-
изотермического поведения газа @2 = 0) и к = ^г Для адиабатического
поведения газа. Тогда получим
и характеристическое уравнение дляш,,. принимает вид
«* + [3 (х/С*г) - 4цЭД ш* - Зх + 22* = 0. B.7.22)
Согласно A.6.21) реализующееся в этих уравнениях собствен-
собственное число ю, определяет собственную частоту колебаний сог и
декремент А. На рис. 2.7.1 представлены результаты решения
характеристических уравнений B.7.17) и B.7.19) для случая
§ 7. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПУЗЫРЬКОВ
215
затухающих свободных колебаний в виде зависимостей (ог(а) и
Л(д) (помимо этого случая указанные уравнения имеют второй
корень с (о^ < 0, но | со^ | <С «>г, что свидетельствует о «медлен-
«медленной» неустойчивости парового пузырька (см. § 2 гл. 6)).
Приведены кривые для слу-
случая нулевой вязкости жидко-
жидкости (j^i = О), а добавок в декре-
декремент затухания из-за вязкости
воды (h-iA* = 0,014) представлен
отдельной кривой Лы(ао)> опи-
описываемой выражением A.6.24) и
соответствующей характеристиче-
характеристическому уравнению B.7.20) при
Сг -*• с». Кроме того, пунктиром
приведена зависимость декремен-
декремента Л(ас)(ао) (R- Chapman, M. Pies-
set, 1971) для случая отсутствия
тепловой и вязкой диссипации
(соответствующая характеристи-
характеристическому уравнению B.7.22) при
М-* = 0, и = 'у = 1-4), но при
наличии так называемых акусти-
акустических возмущений в бесконеч-
бесконечность при пульсациях одиночного
пузырька в сжимаемой жидко-
жидкости из-за конечности Ct. При
этом общий декремент может
приближенно рассматриваться
как сумма только что перечислен-
перечисленных декрементов
Л = Л(т/) + ЛA1)+Л(ао). B.7.23)
При малых значениях [J* (для
рассматриваемого на рис. 2.7.1
случая воды при ря — 0,1 МПа
имеем $ = 200^т) кривые зависи-
зависимости Л(а0) приближаются к пре-
предельной кривой, соответствующей
Р* = 0, когда отсутствуют фазовые
переходы, а при р* < 0,05 (что
для коэффициента аккомодации
соответствует f$m < 0,2 ¦ 10~3) практически совпадают с ней.
Кривая для р* = 0 получается из B.7.20) в виде A.6.25) и
A.6.26) и характеризует затухание пульсаций только за счет
тепловой диссипации, и она приближенно характеризует Ат(а0)
для случая пульсаций воздушного пузырька в «холодной» воде
(см. рис. 1.6.2). Эта кривая имеет характерный максимум, так
а„,мм
Рис. 2.7.1. Частота и декремент
затухания свободных колебаний
пузырька в воде (ро = ОД МПа)
в зависимости от его радиуса при
различных значениях коэффици-
коэффициента аккомодации рт (Р* =
= 200 (L)
216 ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕСОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
как колебания крупных газовых пузырей с аа^ 10 мм происхо-
происходят практически адиабатически, а очень мелких сз^ 10~3 мм —
изотермически и в обоих предельных случаях диссипация тепла
не происходит.
Интересно отметить, что при отсутствии фазовых переходов
тепловые процессы существенны для определения затухания
пульсаций, характеризуемого декрементом Л, и не существенны
для определения их собственной частоты сог, которую в резуль-
результате можно определять из простейшего характеристического
уравнения B.7.22). В частности, при р*, Е*, Cf"* <1 имеем
юн.= 3х,что с учетом B.7.11) дает формулу Миннаерта A.6.22).
Наличие фазовых переходов уменьшает собственную частоту
колебаний и увеличивает декремент затухания, причем это влия-
влияние фазовых переходов становится заметнее с уменьшением раз-
размера парового пузырька, поскольку при этом возрастает его
удельная поверхность, приходящаяся на единицу массы пара,
соответственно растет роль происходящих на этой поверхности
фазовых превращений. При [5*5=40 ((Зт^О,2) кривые для
<Ог(а0) и A(TJ) {а0) в рассматриваемых диапазонах практически
совпадают с предельной квазиравновесной кривой для $* ->- °°,
следующей из решений B.7.19). Это решение для достаточно
крупных пузырьков A.6.27) имеет вид A.6.28). Заметим, что
для мелких пузырей с а,^1 мм в этом квазиравновесном при-
приближении получаются большие значения декремента затухания,
т. е. роль фазовых переходов в демпфировании колебаний на-
настолько велика, что они практически не пульсируют. Напомним,
что наиболее часто используемое значение коэффициента акко-
аккомодации для воды ?Sm = 0,04.
Из сопоставления Лст/) с Аы и Л<ас) видно, что при р0 ~
•~ 0,1 МПа вязкость воды сказывается на затухании пульсаций
лишь в случае очень мелких пузырьков (ая < 10~2 мм) с инерт-
инертным газом, не претерпевающим фазовых переходов. Акустическое
излучение также может быть заметно лишь для пузырьков,
с инертным газом, но имеющим достаточно большой радиус
(а„ ^ 1 мм) для воды при р0 ~ 0,1 МПа. Таким образом, главным
диссипативным механизмом при пульсациях в жидкостях типа
воды при ра ~ 0,1 МПа газовых пузырьков с а0 = 10~2 — 1 мм
является тепловая диссипация. В случае паровых пузырьков,
главной причиной затухания пульсаций являются фазовые пе-
переходы.
Вынужденные колебания. Рассмотрим установившиеся малые-
колебания пузырьков в акустическом поле, когда давление вдали
от пузырька, а вместе с ним и другие параметры совершают си-
синусоидальные колебания (в общем случае со сдвигом фаз меж-
между собой), т. е. когда в B.7.11)— B.7.13) следует положить
= Л = 0» ©* = ш = aea0/V po/pl B.7.24)*
§ 7. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПУЗЫРЬКОВ 217
где сое — заданная частота вынуждающего поля, а со — соответ-
соответствующая ей безразмерная величина. То, что Р«, Ф 0 и задано,
делает линейную систему уравнений неоднородной относительно
искомых функций, и решение, в отличие от свободных колеба-
колебаний, существует при любой частоте со.
Из последнего уравнения B.7.12) и B.7.14) можно получить
выражение для комплексной амплитуды колебаний радиуса пу-
пузырька Ао через заданную амплитуду колебаний давления жид-
жидкости на бесконечности Ртс0:
(Ш)Г\
+ 22* - 4ц*п* - 3ygE (Ш)
J
B.7.25)
[1 + шр> {G (ш) - (у„l*)-1) (l +
Kh
Комплексная величипа A% характеризует отношение ампли-
амплитуд |Л0|/1Рооо1 и сдвиг фаз ф между колебаниями радиуса пу-
пузырька a{t) и давления p«>{t):
smcP= — \л 1 ' cos ф = -г-^-г-. B.7.26)
1 л* 1 I л* I
При со -+¦ 0 имеем ЛЯ.->BЕ*)~1. Это означает, что для доста-
достаточно крупных пузырьков, когда поверхностное натяжение не
влияет на процесс (Z* = 2о/«оРо <¦ 1), при малых частотах
^Аг *С1, т.е. когда со <cv^ /a^, относительная амплитуда пуль-
пульсаций радиуса пузырьков А% становится очень большой и ли-
линейное решение становится неэффективным (см. также § 2 гл. 6).
На рис. 2.7.2, 2.7.3 представлены зависимости | А% j и ср от
а0 и сое, следующие из полученных формул B.7.25), B.7.26) для
парового пузырька в воде и при нескольких значениях коэффи-
коэффициента рт, что позволяет проследить роль фазовых переходов*).
Как и для свободных колебаний в рассматриваемом диапазоне
размеров пузырьков а0 = 10~3 — 10 мм и частот ие/Bл)= 102 —
— 10е с-1, при Э* ^ 0,05 (рт<0,2-10-3) и р*>40 (§т^0,2) кри-
кривые практически не отличаются от предельных, соответствующих
отсутствию фазовых переходов (j}* = 0) и квазиравновесному их
протеканию (р*-»-<»).
При отсутствии фазовых переходов (газовый пузырек) для
каждой частоты сое имеется четко выраженное значение размера
пузырька аг(сое), при котором достигается максимум амплитуды,
*) Отметим, что значение равновесной температуры То при фиксиро-
фиксированном ро согласно B.7.3) растет с увеличением радиуса пузырька uq.
В примерах, приведенных ниже, это увеличение Та мало.
218
ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
Рис. 2.7.2. Фаза и относительная
амплитуда пульсаций парового
пузырька в воде (ро = О,1 МПа,
а0 = 10~2 мы) в зависимости от
частоты сое вынуждающего поля
при различных безразмерных ко-
коэффициентах аккомодации рщ
Рис. 2.7.3. Фаза и относительная амплитуда пульсаций парового пузырька
в воде (ро = ОД МПа при частоте колебаний ci>e/Bjt) = 18 кГц) в зависимо-
зависимости от размера пузырька при различных коэффициентах аккомодации gm
§ 7 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПУЗЫРЬКОВ 219
или резонанс. И наоборот, каждому размеру пузырька а0 соот-
соответствует частота (а можно показать, что она равна частоте
собственных колебаний сог (а0)), при которой реализуется резо-
резонанс. При отсутствии фазовых переходов, т. е. для газового пу-
пузырька постоянной массы при фиксированном гидростатическом
давлении в жидкости р0 имеется только один резонанс. В этом
случае при дорезонансных частотах ©е<сог(а0) (или ао<аг(»в))
пузырь сжимается в фазе увеличения давления р^, т. е. сдвиг
фаз между колебаниями радиуса и давления вдали от пузырька
<р « я и, наоборот, ф « 0 при ае > аг (а0) или аа > ат (ае).
Наличие фазовых переходов и увеличение соответствующего
коэффициента $* приводит к уменьшению сдвига фаз ф, и для
достаточно мелких пузырьков и достаточно малых частот ф
уменьшается почти до 0. Наличие поверхностного натяжения и
фазовых переходов с увеличением их интенсивности приводит
к появлепию второго резонанса при размерах и частотах, суще-
существенно меньших чем аг(ше) и юг(а0), и к уменьшению эффекта
первого резонанса. Другими словами, при увеличении р* умень-
уменьшается максимальная амплитуда первого резонанса и увеличи-
увеличивается максимальная амплитуда второго. Если частота не очень
велика, то даже для квазиравновесных фазовых переходов (Р* -*¦
-*¦ °°) оба резонансных размера проявляются. При более высоких
частотах (см. рис. 2.7.3 для (юе/Bп)= 18 • 103 с) при доста-
достаточно больших р* и, в частности, при {3* -»- °° первый резонанс-
резонансный размер газового пузыря не проявляется и кривая А*{а0)
имеет только один максимум.
На рис. 2.7.4 показано распределение температур 6* ^
= Re8/|.Poool в течение одного периода пульсаций в квазиравно-
квазиравновесном приближении (fJ*->-oo) при пульсациях паровых пузырь-
пузырьков в воде. Видно, что температуры неоднородны, особенно
в более крупном пузырьке.
Межфазный теплообмен в акустическом поле характеризует-
характеризуется комплексными безразмерными параметрами Nu;*:
Nu r:-rz) с/= 1,2),
Комплексность Nu;* свидетельствует о сдвиге фаз между ко-
колебаниями теплового потока gj2 и перепада температур Т, — Тт..
При этом аналогично B.7.26) интенсивность теплового потока
определяется абсолютной величиной |NUj*|, а величина сдвига
фаз — его мнимой частью
NUj = | Nuj* |, sin q>j =ImNu>/Nuf, cos щ = Re Ни^/Нщ.
B.7.28)
220
ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
Теплообмен газового пузырька при малых радиальных пуль-
пульсациях, ускоряющемся сжатии и расширении. Для анализа воз-
возможных законов, определяющих осредненную интенсивность
межфазного теплообмена через осредненные параметры фаз и их
-0,04
аг0.
21'мм
0.2 0,6
Рис. 2.7.4. Распределение температуры при- колебаниях паровых пузырьков
в воде (ро = ОД МПа) в акустическом поле (юе/Bя)=20 кГц) для двух
размеров пузырьков (а0 = 0,21 мм и а0 == 0,01 мм)
теплофизические характеристики, рассмотрим формулы, следую-
следующие из линейного решения B.7.13), для безразмерного теплового
потока в пузырьке Nu2* для двух характерных режимов ра-
радиального движения пузырька с инертным газом (|3* = 0): ко-
колебательного (соц.^. = 0, со* =со) и режима ускоряющегося по экспо-
экспоненте сжатия или расширения (со = 0, <o% — i co^, где со** опреде-
определяет показатель со^-^ю^аоК ро/р^в A.6.40)). Эти два режима
являются характерными, например, при распространении удар-
§ 7. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПУЗЫРЬКОВ 221
ных волн в пузырьковой среде: ускоряющееся сжатие — на пе-
переднем фронте волны, колебательный — в конце достаточно силь-
сильной волны.
Как уже указывалось (см. обсуждение A.6.15)) и как это
следует из B.7.13), при отсутствии фазовых переходов теплооб-
теплообмен пузырька определяется тепловым сопротивлением газа,
а температуру его стенки можно считать постоянной 0О = 0, т. е.
Та = Ts = То. Тогда распределение комплексных температур в пу-
пузырьке B.7.13) упрощается
,, B.7.29)
вел Ye -1 " ¦¦¦"
дЦ /n=i 7g
Среднемассовая температура газа в пузырьке с учетом постоян-
постоянства массы газа и гомобаричности равна
Т.2 =
.2
Г
отсюда следует выражение для соответствующей безразмерной
величины
<92> = Г»1 «Т2> - Тв) = Р2 + 34.
Из предпоследнего уравнения B.7.12) и B.7.29) следует со-
соотношение для комплексного возмущения радиуса пузырька че-
через возмущение давления газа
А - I * , Tg-^KMQ.
1^ + ~^ 5^
В результате выражение для комплексного числа Нуссельта
принимает вид
га {дТ1дг)г=а 2 (а
lNU* <Г2>-Го "" <62> ~ Q,t-3Kh(Q*t)' ^-'-йи/
При колебательном режиме (Qm = Q > 0) с достаточно высо-
высокими частотами (Q1/2 = а0 (co/v^.T)I/2 >> l), когда реализуется тон-
тонкий температурный погранслой в газе, эта формула упрощается
Nu2*= V2& A + i) = а0 Y^lvT A + 0- B.7.31)
Отсюда следует, что колебание удельного теплового потока
222 ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
из нузырька #22 или Nu2* опережает по фазе на 45° колебание
среднемассовоп температуры газа <Г2>. Характерные же значе-
значения Nu2, пропорциональные fi1/2, согласуются с оценкой A.6.16),
основанной на допущении о тонком температурном погранслое
в газе.
При экспоненциальном A.6.40) сжатии (Л0<0) или расши-
расширении (Аа > 0) пузырька, когда
со* = ico**, to^-Q^vfV2. a =¦ «о D + А ехР и**0 B.7.32)
(?-> — оо, а -»- а0),
формула B.7.30) приводится к A.6.42) и дает действитель-
действительное, не зависящее от времени значение для Nu2*. Это согла-
согласуется с результатами расчета, представленными на рис. 2.5.4,
до тех пор, пока возмущения малы (IАа!/а0 <¦ 1). При
достаточно больших t возрастание Nu2 происходит из-за нели-
нелинейных эффектов. Отметим также следующие из A.6.42) асимп-
асимптотики A.6.43) для быстрого (&l'?^>l) и медленного (й^2<1)
сжатия или расширения.
Рост парового пузырька при вынужденных колебаниях в аку-
акустическом поле. Только что рассматривались установившиеся
пульсации пузырька, когда параметры совершают гармонические
колебания
а = а0 A + Аа sin ((oet + ф), Wia = а0Ааае cos (сое? + ср),
р» = Ро A + ^ооо sin (aet).
Приток тепла и работа сил давления за единицу времени на не-
некотором радиусе г в жидкости равна
Q (г) = 4лг2 (h (дТ,/дг) - р (г) wt (г)).
При г -*¦ °о имеем
<? (г) ^; Qoc = — 4яр0Ои;гаа2 = — Ыроа1®е [1 -f Poo0 sin a>et +
+ 240sin (<oe* + ф) + O(Pl0)] [Ao cos fat + ф)
Здесь использовалось свойство несжимаемости жидкости (wiaa2 =
= м;(г)-г2) и распределение B.7.13) температуры в ней, так
что при г -*¦ °° имеем гг (дТJдг)-^>- 0. Последнее соответствует от-
отсутствию внешнего подвода тепла к рассматриваемой системе
(жидкость — пузырек). За один период пульсации внешний при-
приток энергии акустического источника к рассматриваемой системе
жидкость — пузырек равен
/
Ф = J Qxdt = 4я2роа30Р1,0Аь (а0, сое) -sin ф (а0, сое) -\-
B.7.33)
Этот приток энергии за период пропорционален квадрату ампли-
§ 8. ТЕПЛО- И МАССООБМЕН ОКОЛО ЧАСТИЦЫ ИЛИ КАПЛИ 223
туды пульсаций давления внешнего поля. Первое и второе (не-
(неопределенное) слагаемые формально имеют одинаковый (второй)
порядок малости. Более подробный анализ и сравнение с экспе-
экспериментами показывает, что именно выделенное первое слагаемое,
определяемое решением линейной задачи (см. B.7.25), B.7.26)),
является главным в подавляющем большинстве практически
интересных случаев. Несмотря на малость поглощения энергии
внешнего акустического поля рассматриваемой системой жид-
жидкость — пузырек, имеющей бесконечно большую массу жидкости,
эта энергия может дать заметный вклад за много пульсаций.
§ 8. Тепло- и массообмен около частицы или капли
Рассмотрим процессы тепло- и массообмена и движения газа
около сферической капли или частицы на основе уравнений § 4,
в которых следует положить rgb = гь, г№= 0, wl = 0.
Будем использовать безразмерные переменные и параметры,
часть пз которых уже использовалась ранее (см. B.7.10)):
т% Ч — Г>
W WS% »g r_
v' 8 == ~rn = 7*"» J
где нижним индексом 0 обозначены значения соответствующих
параметров в начальный момент времени. Тогда исходная систе-
система уравнений, граничных и начальных условий B.4.35) — B.4.38)
запишется в виде
tg 9
dtg 9°/дг \ 8 дг) 8 дт
dtg
dpg oyea | _ tit i - oxe ] | -o rg_ B 8 2)
a
r = 0: {dTJdh) = 0, r = rb = гь/а0: (aT^/ar) = 0, Wg=0,
224 ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
F = о: ~Т8~ ft = Тв (pg) = fa, p°g = Sa - ?,/?„,
Здесь рассматривается случай отсутствия притока тепла и
массы на фиксированной внешней границе ячейки г = гь и одно-
однородного в пределах каждой фазы распределения параметров
в начальный момент времени. Эти ограничения для реализации
решения не являются принципиальными. В случае дисперсной
смеси радиус ячейки ?ь будем задавать через объемную концент-
концентрацию капель ai = az или массовую концентрацию газа jjsx,:
,-1'3
(ГЬ -
В случае одиночной капли в бесконечном объеме газа гъ -*- °°
(«2 = 0, xg = \) давление в газе является постоянным во време-
времени (dpe/dtg = 0).
Условия на межфазной границе г = а соответствуют равно-
равновесной схеме фазовых переходов. При отсутствии фазовых пере-
переходов эти граничные условия упрощаются:
Z „• 5 | — _}. [ т Т — Т С? Я А\
дг Ко дг
В соответствии с B.6.8) зависимость Ts{pg) определяется па-
параметром ygl0- Поэтому решение системы уравнений B.8.2) за-
зависит от шести безразмерных параметров:
Yg» vo > ^о> ^oi гь, Тщ, B.8.5)
определяемых теплофизическими характеристиками (pg, pj, cg, ch
Xg, %i, I, Yg), начальным объемным содержанием капли (az0) и,
наконец, температурами фаз в исходном состоянии (Г10, Т20).
Так как начальный размер капли а0 не входит в определяющие
параметры B.8.5), поэтому безразмерное решение системы
B.8.2) не зависит от а0. И для разных размеров капель распре-
распределения характеристик процесса получается преобразованием
подобия с помощью линейного масштаба а0, масштабов времени
tg —aolvgu) и скорости газа \wg ' = \gO/uo), что определяет
автомодельность процесса при разных а0.
Равновесные параметры системы частица (капля) — газ. При
отсутствии фазовых переходов система частица — газ всегда при
g S. ТЕПЛО- И МАССООБМЕН ОКОЛО ЧАСТИЦЫ ИЛИ КАПЛИ 225
t -*¦ оо будет стремиться к равновесному состоянию, когда тем-
температура становится однородной и равной Те. Эту температуру
и соответствующее давление ре можно определить заранее по
начальному состоянию, исходя из теплового и массового баланса:
т -Мс8-Д8)г8о+ (*-**№ ° _ ° - ° я т
1 е '- ^(^-Лг) + A-^)С, * 9ве ~ PgO. Ре ~ Pge-Hg-l е-
При наличии фазовых переходов в случае бесконечной массы
пара (гь->-°°), если Tg0< TS0 = Ts(p0), то нет предельного равно-
равновесного состояния при t -*¦ оо; ибо в этом случае капля (частица)
будет расти беспредельно за счет конденсации, причем внутри
капли температура станет однородной и равной Tso, а в газе
будет реализован перепад от ТВо на поверхности капли до Tg0
на бесконечности. Если Те0 > Тва, то капля полностью испарится,
и в газе установится однородная температура Tg0.
В случае конечной массы пара предельное равновесное со-
состояние всегда существует, и оно определяется по начальному
состоянию из алгебраической системы уравнений, включающей
уравнение сохранения массы, энергии, уравнение состояния и
уравнение равновесия фаз
mge + mle = mg0 + mi0, mg = 4/зя (rl ~ a3) P°g, ™1 = 4/3"a3p°,
mge{ige— Pe/pge) + niie (ile—pe/p°)='n3O (^0~Ро/р°8о)+тю{Чо—pjp°l)t
B.8.6)
ie = cg{T- To) + igo, h = Cl (T - To) + p/рЧ + il0, p = p°gRgT,
Te = Ts(pe), если ае>0
« - cg) (T8 (p0) -To)).
В случае полного испарения капли (ае = 0 или т1е — 0) пар
может быть перегретым и условие фазового равновесия Те =
— Ts(Pe) должно быть отброшено. Ниже обсуждаются рассмот-
рассмотренные автором совместно с И. X. Рахматулиной два темпера-
температурных режима (см. рис. 2.8.1, 2.8.2) для системы: капля воды
в водяном паре.
Нестационарная стадия тепло- и массообмена капли в паре.
На рис. 2.8.1 приведены результаты решения для гь -*¦ °°, когда
давление и температура поверхности капли, равная температуре
насыщения, сохраняются постоянными. При t -*¦ °° кривые тем-
температур и скоростей стремятся к предельным или к квазистацио-
квазистационарным конфигурациям (см. ниже B.9.4)), линейный масштаб
в которых определяется текущим размером частицы a(t), при-
причем в газовой фазе_ предельное распределение температур дости-
достигается к моменту tg « 10. В частице однородный профиль уста-
устанавливается позже (при tg> 10v(T>) в силу того, что vgT) > v(j2).
В каждый момент времени распределения температур и скоростей
15 р, и. Нигматулин, ч. I
226 ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
0,9
0,8
i
If
v<
1
1
1
/
<<
/
'A
f
—-—
r
t*
-- w
-0,5
4,0
2,0
0 ZO 40 t/ty
Рис. 2.8.1. Распределение температур Т и массовых скоростей W, безразмер-
безразмерный поток тепла N и к поверхности водяной капли в безграничном объеме во-
водяного пара (р =ро = 0,1 МПа, Т8 = Tso = 373 К (TSo = 0,789) и скорость
изменения радиуса капли а в разные моменты времени. В начальный мо-
момент времени (t = 0) температурив фазах принимались однородными:
Tgo = 473 К (Tg0 = 1), Тю — 353 К (Тю = 0,747). Числа на кривых 1,2, 3, 4
относятся соответственно к безразмерным моментам времени tg = ;
= 0,01; 0,5; 10; оо
8. ТЕПЛО- И МАССООБМЕН ОКОЛО ЧАСТИЦЫ ИЛИ КАПЛИ 227
-z
/
II й
о,е
0,7
у >
\
\
—
\
/
/
<¦ .
\
/
< /
/
/
f
4
/ ^^
1
—
/
¦ —-
"—-^^^
— т
— IV
Рис. 2.8.2. Распределение температур Т и массовых скоростей И^ давление р,
температура насыщения Тз, температура пара на границе ячейки Ть и ско-
скорость изменения радиуса капли воды а в сферической ячейке радиуса гь =»
= 5 по, заполненной водяным паром. В начальный момент времени (? = 0)
давление р0 = 0,1 МПа, а температуры в фазах принимались однородными:
Тщ = 373 К (Tgo = 1), Г,о = 293 К (Т10 = 0,785). Цифры на кривых 1,2,3,4
относятся соответственно к безразмерным моментам времени tg = tVg /<J0 =
= 0,5; 10; 20; оо
228 ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
монотонны. Заметим, что в отсутствие фазовых переходов
скорость имеет экстремум, который со временем смещается от
частицы. Безразмерный поток тепла из пара в каплю или число
Нуссельта
и безразмерная скорость изменения размера капли а = da/dtg
при больших tg стремится к своим квазистационарным значени-
значениям, определяемым текущим размером частицы согласно получен-
полученным ниже формулам B.9.12). В рассматриваемом случае про-
происходит полное испарение частицы, но ему вначале предшеству-
предшествует конденсация пара. Это связано с тем, что во времена t<g.
¦Cuo/vjoj(^-C v '^прогревается только узгаш слой в частице у ее
поверхности. Это приводит к появлению больших градиентов
температур в частице и поглощению частицей достаточно боль-
большого количества тепла, так что
При tg > 13 температуры внутри частицы выравниваются и кон-
конденсация сменяется испарением.
В случаях, когда частица помещена в конечный объем пара,
решение существенно меняется. Основное отличие состоит в том,
что давление в паре со временем меняется. При наличии фазо-
фазовых переходов температура поверхности также меняется в соот-
соответствии с условием равновесия Та = Ts(p). На рис. 2.8.2 пред-
представлены результаты решения для режима, когда имеет место
конденсация при ж10 = 0,1 (а2о = 0,008). Конденсация пара при-
приводит к расширению остающейся массы пара, вследствие чего
происходит его существенное охлаждение, которое сначала не
может быть компенсировано теплом, выделяющимся при конден-
конденсации. Температура на границе ячейки Ть опускается до 269 К.
В дальнейшем тепло, выделяющееся при конденсации, нагревает
пар. Температуры частицы и пара при ?-*-«> выравниваются,
и процесс асимптотически прекращается. Распределение темпе-
температур и скоростей в отдельных фазах в каждый момент времени
монотонно. В данном случае получено значительное понижение
давления примерно в четыре раза за время порядка al/v'J0\ что
свидетельствует об эффективности даже малого по объему вспры-
вспрыска холодных капель в пар при аварийном повышении давления.
В отсутствие фазовых переходов при хх < 1 и Tg0 > Tl0 дав-
давление пара также понижается, но уже только за счет его охлаж-
охлаждения вследствие теплопроводности.
В рассмотренных вариантах размер частицы а менялся очень
мало (а « 1). В случае х{ = 1 (бесконечный объем пара) это
связано с тем, что расчеты велись до выхода на квазистацио-
§ 8. ТЕПЛО- И МАССООБМЕН ОКОЛО ЧАСТИЦЫ ИЛИ КАПЛИ 229
нарный режим. Для описания дальнейшего поведения системы,
как уже указывалось, можно использовать стационарное реше-
решение, рассмотренное ниже в § 9. Малое изменение радиуса к мо-
моменту установления равновесия в ячейке конечных размеров
(рис. 2.8.2) является следствием малого массового содержания
пара в ячейке (х10 = 0,1).
Эффекты нестационарного тепло- и массообмена капли в аку-
акустическом поле. Характерное время установления квазистацио-
квазистационарного поля температур вокруг капли в газовой фазе tx =
«и a2lv~P является величиной одного порядка с характерным вре-
менем t{ установления в ней квазистационарного поля скоро-
скоростей. В связи с этим нестационарность температурных полей
вокруг частиц или капель, приводящая к зависимости интенсив-
ностей межфазного тепло- и массообмена от частоты со, прояв-
проявляется при тех же частотах колебаний, что и нестационарность
полей скоростей, приводящая к отличию f, от tM (см. § 1).
Коэффициент температуропроводности конденсированной фазы
v^ обычно значительно меньше коэффициента температуропро-
(Т)
водности газа vx , поэтому характерное время установления
квазистационарного (однородного) поля температур внутри ча-
частиц ilW = a2/v2 значительно больше аналогичной величины
для газа \t\ ^> tx ). Поэтому нестационарность теплообмена по-
поверхности капли с ее основной массой, приводящая к зависимо-
зависимости теплового потока от частоты, на первый взгляд должна про-
проявляться при значительно меньших частотах колебаний, чем не-
нестационарность теплообмена поверхности капли с газом*).
Чтобы получить интересующие нас зависимости q,z от со, рас-
рассмотрим аналогично § 7, исходя из уравнений § 4, сферически-
симметричную задачу о теплообмене капли (частицы) с газом
в монохроматической звуковой волне, где реализуются устано-
установившиеся вынужденные колебания типа B.7.11). При этом сле-
следует положить wz=s Wi = 0, rlb — 0 внутри капли (г<а) и rbg =
= °° во внешнем газе. Тогда аналогично B.7.13) можно полу-
получить следующие комплексные выражения, определяющие распре-
распределения по г амплитуд и фаз колебаний температур во внешней
и внутренней областях {Т\ (г, t)— To = A(P (r) exp iat):
-f exp [- i±i (фуЛг] (г
B.8.8)
*) Приведенный ниже более детальный анализ показывает, что неста-
циопарность температур внутри капли, несмотря на tBw > t^ сказывает-
сказывается па интенсивности теплообмена при больших частотах, чем нестаццонар-
ность в газовой фазе.
230 ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
где Ai и А2 — константы, определяемые из граничных условий
аа поверхности капли (условий «сшивки»). Интегрирование этих
.распределений по объемам фаз в пробной ячейке радиуса гъ =а
= а/У а2 позволяет определить комплексные амплитуды средне-
массовых температур фаз
ть
Л(Р = о/з3 зч f РГ' М 4Т) (г) гЧг= То A + 0 (а2)) « А™(оо),
4Т) = Jr ) AZ>(r).r*dr=dA2-*-"-2_2 "'а + AW(oo)» B.8.9)
где fj — характерное время, за которое возмущение темпера-
температуры проникает от поверхности капли в /-ю фазу (из-за тепло-
теплопроводности) на характерное расстояние порядка размера капли.
Найденные распределения температур и их среднемассовые
значения позволяют получить для комплексных чисел Нуссельта
s соответствии с B.7.27) следующие выражения:
B.8.10)
Зависимость Nu2» (со), более сложную по сравнению с зависи-
зависимостью Nu1<1(co), имеет смысл проиллюстрировать асимптоти-
асимптотиками (ср. с B.7.31))
Nu2, (со) ~ 10 A + V« z») ^ Ю [1 + »/w («tBw) il (| z214= (co4WJ<l),
!*{?Г\ (U2I = KWI/2>2X B.8.10a)
П u 8. (со) « 2z2 ^ K2 (co4WI/2 A + 0 A412 = W) > 1) •
Соответствующие зависимости ф,(со) и Nu;(u)) (см. B.7.28))'
проиллюстрированы на рис. 2.8.3. Видно, что при со -»- 0 величи-
величина Nu2 -»-10, в то время как Nui -*¦ 2. Таким образом, квазиста-
квазистационарное значение параметра Nu2 = 10 для внутренней задачи,
теплопроводности в пять раз превышает хорошо известное ста-
стационарное значение Nu4 = 2 для внешней задачи. Нестационар-
§ 8. ТЕПЛО- И МАССООБМЕН ОКОЛО ЧАСТИЦЫ ИЛИ КАПЛИ
231
ность «внешнего» теплообмена проявляется при (со^'I/2 ^ lt
т. е. при частотах ю > 10~2/t . Нестационарность «внутреннего»
теплообмена сказывается при (а$ > 1, а точнее с учетом мало-
малости коэффициента 1/35 в асимптотике Nu2, (со) (первая форму-
формула B.8.9)) при частотах a>>iO/tf\ Отметим, что ifV4" =
s= Vj /vg и что последняя величина по порядку равна 10—10~2,
mi
10
1
У
/
/
/
2
И
/
-
¦
A
у
V
/
Рис. 2.8.3. Зависимости сдвига фаз <pj между колебаниями тепловых потоков
и перепадами температур и чисел Нуссельта Nu^ (безразмерных коэффици-
коэффициентов теплообмена) от характерных безразмерных частот. Кривые соответ-
соответствуют пароводяной смеси при давлении р0 = 1,0 МПа
Отсюда следует, что при акустических воздействиях на газо-
газовзвесь «внутренняя» нестационарность, несмотря на ^~^>^\
начинает влиять на интенсивность межфазного теплообмена при
более высоких частотах, чем «внешняя».
Формулу Герца — Кнудсена — Ленгмюра A.3.92) или B.4.24),
связывающую интенсивность фазовых переходов и температуру
поверхности капли Tz, можно представить в виде
4ju2U Tz-Ts (T) i
где ts — «время релаксации» температуры на межфазной
границе.
Интересно выполнить сравнительные оценки характерных пе-
перепадов температур
ПП /ТТ /Т1 ГП /?1 УТТ
¦I i~ Jj, *г — * х, J- х — I в,
реализующихся при акустическом воздействии на газовзвесь. Ис-
Используем для этого уравнение притока тепла к межфазной гра-
границе (см. A.4.13), A.6.7) или B.4.24)), в соответствии
232 ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
с которым
яч ^Р ^3^ ^F ^Т^ *"I ^
У1~7Д _ ^~Х2 , J2-*S B о 12Ч
AT) — at) ^ AT) ' ^.o.ia;
о 2
Левая часть этого уравнения пропорциональна тепловому потоку
от газа к поверхности раздела фаз, который обеспечивает затра-
затраты тепла на фазовый переход (второе слагаемое в правой части)
и на изменение температуры частиц (первое слагаемое в пра-
правой части).
Анализ показывает, что используемые при записи B.8.12)
характерные времена г12*, н^ и ts , как правило, сильно отли-
отличаются друг от друга, при этом
Здесь Lm ~ Vi/C1 — длина свободного пробега молекул в газе.
Малость отношения ts /t2z* имеет место лишь в определенных
диапазонах размеров частиц и частот колебаний, зависящих от
физических свойств фаз. Так, для смеси пара с каплями воды в
состоянии насыщения при р ~ 1,0 МПа, когда Я2А4 « 20,
Lm ~ 10~8 м, имеем
tip 'IC^T^T. С2-84)
Если характерный размер капель а ~ 10~5 м, то величина tz
для такой взвеси значительно меньше I4s*| лишь при |ti2I ~ 1,
т. е. тогда, когда «внутренний» теплообмен идет в квазистацио-
квазистационарных условиях (<й <С 1/^2 ) •
Уравнение притока тепла B.8.12) с учетом оценок B.8.13)
позволяет сделать вывод, что образующаяся при воздействии
акустического поля неоднородность температур внутри капель
(отличие Тг от Гц) мала по сравнению с имеющей место неод-
неоднородностью температур в газовой фазе (отличием 71, от Тъ).
Неравновесность межфазных границ (отличие Г2 от Т8) может
наблюдаться только при высоких частотах колебаний или малых
Размерах капель, когда за счет малости IriJ или а величина
4s* I также становится малой и приближается к t% . Как пра-
правило, для акустических полей в газовзвесях характерно
\ТЖ - Ts\< \ТЯ - Тг\ « 17\ - Тх\. B.8.15)
Если фазовые переходы отсутствуют (i^ -^ °°)i
то ffis = —
§ 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ ОКОЛО КАПЛИ И ПУЗЫРЬКА 233
Тогда вместо B.8.12) имеем
и в соответствии с первой оценкой B.8.13) для частицы в газе>
неоднородность температур внутри частицы (отличие Ts от Тг),
т. е. «внутренняя нестационарность теплообмена» несущественна
при любых частотах акустического поля и любых размерах
частиц.
§ 9. Предельные процессы при фиксированных условиях
вдали от капли и пузырька
В широком классе процессов изменения параметров несущей
фазы вдали от капли или пузырька относительно медленны, т. е.
характеристики капли и пузырька меняются гораздо быстрее,
нежели характеристики несущей фазы на бесконечности. Это
обстоятельство позволяет упростить описание тепло- и массооб-
менных процессов в дисперсной смеси.
Стационарный режим тепло- и массообмена около капли.
о о
Анализ процесса показывает, что из-за Pg<Cpz характерное вре-
время изменения радиуса капли за счет испарения и конденсации
во много раз превышает характерное время тепловых процессов
в обеих фазах t\ ~ cP/Vi * (г = g, l), причем характерное время
изменения температур в газе гораздо меньше характерного вре-
времени изменения температур в капле (t^<^t\x^). Поэтому мож-
можно считать, что в газе все время успевает устанавливаться ква-
квазистационарный профиль температур, соответствующий, напри-
например, температуре на поверхности капли Т„, температуре Ть на
некотором фиксированном радиусе г = гь, а также радиусу кап-
капли а в данный момент времени, т. е. для газа можно считать,
что изменение во времени Та, Ть, а является медленным.
В связи с этим имеет смысл рассмотреть отдельпо стационар-
стационарное решение уравнений тепло- и массообмена в газе (например,
для случая капли в бесконечном объеме газа {Тъ-*~°°)), когда
все параметры не зависят от времени, а на поверхности капли
фиксированного радиуса а и фиксированной температуры Та име-
имеется постоянный вдув (испарение) пли отсос (конденсация)
газа. Остановимся для упрощения на случае, когда газовая фаза
состоит из одной компоненты с постоянным коэффициентом теп-
теплопроводности
le = const. B.9.1)
Тогда, отбрасывая частные производные по времени, из
B.8.2) получим обыкновенные дифференциальные уравнения
234 ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
с граничными условиями, приводящими к краевой задаче:
%${§) B.9.2)
-фГ (Pgwr*) = О, рв*= p°gRgT = const,
r=a: T=Tat w=wa; r-^-oo: Г = Г»» w = 0;
решение этой задачи имеет вид
B.9.3)
Заметим, что влияние радиального движения газа из-за вдува
или отсоса определяется параметром Ъ и при Ъ -*¦ 0 решение
B.9.3) стремится к классическому решению в неподвижной среде
6^0, Г-С + С/г, С,-Г., С1 = G1а-Гс„)а. B.9.4);
Безразмерный поток тепла к сфере (число Нуссельта) равен
При \Ь/а\<1 (малый вдув или отсос газа) имеется линейная
асимптотика
Nu, = 2 - Ъ/а. B.9.6);
Значение Nut = 2 соответствует отсутствию радиального дви-
движения (& = 0), т. е. решению B.9.4). Видно, что вдув или ис-
испарение (Ь>0) уменьшает, а отсос или конденсация (b<OJ
усиливает теплообмен газа со сферой.
Применительно к испаряющейся или конденсирующейся кап-
капле, если принять, что внутри нее (г < а) профиль температур —
однородный (Т = Та = Тв), то теплота фазовых переходов отво-
отводится и подводится газом, т. е.
Та = Ts (p), lel = Xg (§)a (g, = p>a), B.9.7)
что позволяет в соответствии с B.8.7) определить скорость вдува
^испарения) или отсоса (конденсации)
B 9 8)
Обычно можно считать
с,(Г.-Г.)/«<1. B.9.91
§ 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ ОКОЛО КАПЛИ И ПУЗЫРЬКА 235
Тогда получим асимптотику B.9.6)
B.9.10)
показывающую малое влияние испарения и конденсации и воз-
возникающего при этом радиального движения на теплообмен газа
с каплей при не очень больших перегревах.
Как следует из сказанного в начале этого параграфа, прак-
практически вся капля конденсируется и испаряется в квазистацио-
квазистационарном режиме, который успевает формироваться, несмотря на
изменение ее радиуса. При этом скорость изменения ее радиуса
с учетом того, что внутри нее w — 0, определяется формулой
*^Т"~Тв* B.9.11)
из которой нетрудно найти a(t) при заданном начальном усло-
условии (? = 0, о = а0)
s( ) B.9.12)
Влияние инертной компоненты в газовой фазе на испарение
и конденсацию капли. Рассмотрим влияние неодноко&шонентно-
сти газовой фазы или присутствия инертной компоненты на-
квазистационарный тепло- и массообмен с каплей при упрощаю-
упрощающем допущении о несущественности влияния переменности со-
состава и температуры газа на его теплофизические свойства, т. е.
Яг = const, Rg = const, ce — const. B.9.13)
Это может выполняться, когда молекулярные веса пара и
инертного газа близки между собой (Xgi ~ЯЙ, Rgl « Re2, cgi « cg2),
а перепад температур не очень велик. Тогда уравнения B.4.15)
и граничные условия для стационарного режима аналогична
B.9.2) примут вид
dT К d I 2 dT\ d / о „ч
JF = 7 Tr [r of} Tr ^^2) = 0,
R
0. B.9.14)
= COnst-
В рассматриваемом частном случае решение температурного-
уравнения не зависит от диффузии и имеет вид B.9.3). Полагая
малым влияние радиального движения на поле температур (Ь <К
236 ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
<а), используем асимптотику B.9.4). Тогда из уравнения диф-
диффузии получим
к* ~ r2Pe aF = с» Ре = Rg [Тх + (Та - тх) а/г] • С2-9-15)
Аналогично B.9.3) можно выписать точное решение этого
уравнения. Здесь же, как и для поля температур, ограничимся
случаем малого влияния радиального движения на диффузию ком-
компонент, когда можно пренебречь первым членом в B.9.15). Тогда
это уравнение упростится и его решение с учетом граничных
условпй примет вид
Несмотря на ряд упрощений, это решение учитывает влияние
распределения температур на диффузию. Применительно к испа-
испаряющейся или конденсирующейся капле, необходимо учесть, что
С. О 7 О
интенсивность фазовых переходов zg= pgaWa = li:2pgaw2a и парамет-
параметры на ее поверхности должны удовлетворять условиям, обобщаю-
обобщающим B.9.7)
B.9.17)
= I {к2аР)г
откуда получим систему двух алгебраических уравнений для опре-
определения кга и Та по заданным р, к2а, и Т«,
1— B.9.18)
7(л)).
По определенным из этой системы к2а и Тп легко вычислить реа-
реализующуюся интенсивность фазовых переходов |а.
При малых концентрациях инертного газа (kix < 1) решение
{2.9.18) можно записать в виде
= Zsoo [1 -(ЛГ-1) (TJTSX) к1х + О (AJJI, B.9.19)
Видно, что при испарении (Т„>TSoo) имеем Z<1 и Т„>
> Т7,, > Г8оо, кга > Л2«, а при конденсации G1» < Га») имеем К > 1
и Г„ < Га< 7*воо. Согласно B.9.17) это приводит к уменьшению'
§ 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ ОКОЛО КАПЛИ И ПУЗЫРЬКА 237
скорости испарения или конденсации при увеличении содержа-
содержания инертной компоненты к1оо при фиксированном парциальном
давлении нара вдали от капли (р2ао — к2*,р).
Автомодельный рост пузырька в перегретой жидкости. В от-
отличие от стационарного испарения или конденсации капли, где
теплота фазового перехода подводится или отводится газом, при
испарении или конденсации пузырька теплота фазового перехо-
перехода подводится или отводится жидкостью, имеющей во много раз
больший коэффициент теплопроводности, чем газ (ki > %g).
При фиксированных температурных напорах это приводит
к большим тепловым потокам и большим скоростям фазовых
переходов \%i\~'ki(Tn — Ts)/(al) на стенке пузырька по срав-
сравнению с каплями. Обычно при росте пузырька при фиксирован-
фиксированных условиях вдали от него
г = °°: 7\» = const, р„ = const B.9.20)
реализуется режим, когда параметры внутри пузырька, так же
как и в случае с каплей, становятся однородными и не меня-
меняются во времени.
Здесь рассматривается случай однокомпонентного пара в пу-
пузырьке. Тогда скорость роста пузырька а = S^/Pgs во много раз
превышает скорость роста капли ) a =\^,g\/pi при таком же
температурном перепаде Т„ — Тв и той же теплоте парообразо-
парообразования как за счет больших \g, так и за счетр^^Рг- Поэтому
для пузырьков влияние радиального движения может быть очень
существенным как за счет быстрого роста его радиуса а, на ко-
котором задаются фиксированные граничные условия
r = a: T=Ts(p), Pg = PgS(p),, B.9.21)
4,^4(f)* B.9.22)
так и за счет больших радиальных скоростей вдува или отсоса
жидкости wla по сравнению с соответствующей скоростью wga
в случае с каплей.
Примем упрощающие допущения
р° = const, %i = const, ct = const, ju-г = 0. B.9.23)
Тогда уравнение теплопроводности жидкости (г > а) в соот-
соответствии с B.3.31) примет вид
(?+»?)-??(-?). -=? <«•«»
Здесь решение зависит от времени из-за a = a(t). Найдем
автомодельное решение этой задачи, которое устанавливается по
238 ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
прошествии достаточного времени, чтобы система «забыла» на»
чальные условия, и которое зависит только от безразмерной пе-
переменной r\ = r/a(t), т. е. найдем решение вида T(r, t)=T(r\).
Тогда, учитывая B.4.35) и вводя безразмерную температуру Т,
уравнение B.9.24) можно переписать в виде
4
Автомодельное решение типа Т(ц) может существовать, только
если
d(t)a(t)==const.
Как следует из граничных условий B.9.22), это условие вы-
выполняется
• a\g_ аХг fdT\ _hTsldT)
Введем безразмерные параметры
A-^-^-lrfeL в = ф<1. B.9.26)
Pi
Тогда B.9.25) и граничные условия B.9.20), B.9.21) примут
следующий вид:
B.9.27)
Я = 1: Т = 1; у)-»- оо: Т = Гм = Too/Ts.
Это уравнение с несколько отличными по форме записи гра-
граничным условием при г\ = 1 было получено и решено (L. Scriven,
1959) и его общее решение и входящие в него постоянные,
определяемые граничными условиями, имеют вид
wo — 1*
g 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ ОКОЛО КАПЛИ И ПУЗЫРЬКА
239
Причем, при конечном Т„ автомодельное решение существует
только для случая роста пузырька, когда
А2*0 (а>0), Г„>1, ТСО>ТВ. B.9.30)
Автомодельное решение для конденсации пузырька (а < 0,
h<0) требует Г«, -*¦ —°°, т. е. при конечном Тж < 1 автомодель-
автомодельное решение не существует.
Рис. 2.9.1. Зависимость
параметра h, определяю-
определяющего автомодельный
рост парового пузырька
в перегретой жидкости,
от числа Якоба Ja =
= ci(r« — rs)/(eZ) йот-
ношения плотностей фаз
8 = Pgs/Pi
1O
1О1
iOL
10
-1
0,1
)
г
J4rO
1D
-z
7-7
JOU
1O1 10
Ja
Из второго уравнения B.9.28) и B.9.26) следует, что пара-
параметр h, определяющий радиальное движение, или а вычисляется
из уравнения
1
[h exp (t^L ь]] j" ехр [-h(±+{l- в) с)] d? = Ja, B.9.31)
где Ja— число Якоба, использованное в § 6 гл. 1 и в § 6 гл. 2.
Таким образом, h = h(Ja, г), рост пузырька и безразмерный по-
поток тепла (число Нуссельта), согласно B.9.26), определяются
выражениями
2а
(Ja, в)
i
B.9.32)
причем число Нуссельта не зависит от времени.
Функция h (Ja, e) исследована, затабулирована (L. Scriven,
1959) и представлена на рис. 2.9.1. В предельных случаях боль-
больших и малых чисел Якоба или больших и малых перегревов при
е fa 0 (pg <С р г) справедливы следующие асимптотики, уточняю-
уточняющие A.6.19):
Ja>l: hf
Ja<l: h-.
: 1 Ja\ Vlh
g da« 2 Ja,
Nu^^Ja,
240 ГЛ. 2. МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ ОКОЛО ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ
Увеличение перегрева и уменьшение е = pg/pi, увеличивая
Ja, приводят к увеличению скорости роста пузырька и к усиле-
усилению влияния радиального движения из-за увеличения градиен-
градиентов температур в жидкости, прилегающей к стенкам пузыря
вследствие утоньчения сферических слоев жидкости при ее ра-
радиальном растекании. Указанное обстоятельство увеличивает не
только поток тепла, но и безразмерный поток тепла (отнесенный
к перепаду температур Т^ — Тв), характеризуемый числом Nu4.
Заметим, что при отсутствии радиального движения (Ja<l)
имеем Nui = 2. Случай Ja > 1 и соответствующая ему первая
асимптотика B.9.33), характеризуемая тонким температурным
погранслоем около стенки пузырька, были ранее рассмотрены
в работах М. Плессета и С. Цвика, X. Форстера и Н. Зубера.
Указанная асимптотика хорошо описывает эксперименты по ро-
росту паровых пузырьков в воде (R. Knapp et al., 1970; Е. И. Не-
сис, 1973).
Для случая е « 0 имеется хорошая аналитическая аппрокси-
аппроксимация (Д. А. Лабунцов и др., 1964), которая уже упоминалась
(см. A.6.20)) и которую можно представить в виде
h = Ja (I + V« B JaI/3 + F/л) Ja). B.9.34)
Рост пузырьков в бинарных жидких растворах рассмотрен
в работах L. Scriven A959), N. Afgan A968), Н. Афгана,
Р. И. Нигматулина, Н. С. Хабеева A984).
ГЛАВА 3
ВОЛНОВАЯ ДИНАМИКА УДАРА
И ДЕТОНАЦИИ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
С ФАЗОВЫМИ ПЕРЕХОДАМИ
В настоящее время интенсивно развивается раздел физики и
механики, связанный с изучением механических и физико-хи-
физико-химических процессов, происходящих при прохождении сильных
ударных волн в металлах, минералах, полимерах и других твер-
твердых телах. Это связано с развитием как традиционных направле-
направлений человеческой деятельности, где используются взрыв и вы-
высокоскоростное соударение, так и с развитием новых технологи-
технологических процессов. Сейчас в технике используются методы взрыв-
взрывной обработки (ковка, штамповка) различных металлов взрывом.
Методы взрывного или ударного обжатия позволяют синтезиро-
синтезировать новые вещества, например искусственный алмаз из графита,
сверхтвердое вещество боразон из нитрида бора, различные
полимеры и т. д. Упрочнение металлов, образование новых
веществ, их модификаций и фаз, все это связано с физико-хими-
физико-химическими процессами, инициируемыми ударными волнами с дав-
давлениями 1 — 102 ГПа*). Расчет таких волновых процессов услож-
усложняется, ибо эти физико-химические процессы могут сильно влиять
на поведение инициирующих ударных волн. Фазовые переходы
под действием ударного нагружения (например, полиморфное
превращение а-железа (Fe(a)) в е-железо (Fe(B)), графит-* алмаз,
превращения в минералах, в ионных кристаллах, сульфиде кад-
кадмия, кварце, нитриде бора и т. д.) приводят к многофронтовым
ударным волнам и к ударным волнам разгрузки. Как фазовый
переход 2-го рода может рассматриваться и развитие пластиче-
пластических деформаций в твердых телах. Ударные волны вызывают
химическое и фазовое превращение в твердых взрывчатых ве-
веществах (ВВ). Для анализа этих процессов необходимы разра-
разработка математических моделей двухфазного упругопластпческого
твердого тела, в котором проявляются эффекты прочности и
физико-химические превращения, и разработка соответствующих
вычислительных алгоритмов.
*) 1 ГПа = 109 Па = 104 бар A Па = кг/(м-с2), 1 бар = 0,981 атм
fa 1 атм)
16 р и Нигматулин, ч. I
242 ГЛ. 3. УДАР И ДЕТОНАЦИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
§ 1. Уравнения, характеризующие физико-механические
свойства конденсированного вещества
при высоких давлениях
Для исследования описанных процессов будет использована
односкоростная, однотемпературная, о общим давлением фаз
модель двухфазного упругопластического тела (Р. И. Нигмату-
лин, 1970), основанная на уравнениях § 10 гл. 1. Предполагает-
Предполагается, что макроскопические скорости (а следовательно, и переме-
перемещения), температуры и давления фаз совпадают
Vl = v2 = V) Тг~Т2 = Т, Pl=p2=p. C.1.1)
Как уже указывалось, совпадение скоростей и температур фаз
обусловлено тем, что силы взаимодействия (сцепления) и интен-
интенсивности теплообмена между фазами в твердых телах настолько
велики, что макроскопическим смещением фаз друг относительно
друга и несовпадением их температур можно пренебречь. Что
касается совпадения давлений, то это объясняется тем, что при
высоких давлениях (р ^ 10 ГПа) свойства твердого тела прибли-
приближаются к свойствам жидкостей (см. обсуждение A.10.17)), а для
смесей жидкостей характерным является совпадение их давле-
давлений. Кроме того, в двухфазных конденсированных средах, обра-
образующихся при ударном воздействии, плотности, сжимаемости и
теплоемкости фаз не очень сильно отличаются, а это также
уменьшает многоскоростные, многотемпературные эффекты и
эффекты различия давлений в фазах. И, наконец, зоны, где
имеются одновременно обе фазы, не широки, поэтому нет необхо-
необходимости их очень подробного описания.
Уравнения состояния конденсированных тел и их фаз. Урав-
Уравнения для внутренней энергии и давления твердых тел или жид-
жидкостей соответствуют двухпараметрической среде, когда внутрен-
внутренняя энергия и давление зависят от двух переменных — истинной
плотности вещества р° и температуры. При этом внутреннюю
энергию и давление при температурах, меньших 104 К, представ-
представляют в виде суммы двух составляющих, которые соответственно
описывают упругие свойства холодного тела при гидростатиче-
гидростатическом сжатии (иР, рР) и эффекты гармонических колебаний атомов
в решетке (ит, рт), характеризуемых температурой:
и (р", Т) = иР +'иТе р (р°, Т) = рр + pTt
"р(р°) - f ySV. р
ит = сТ, Рт = рТ (р°) ит.
Здесь ро— плотность вещества (фазы)" при фиксированных
§ 1. КОНДЕНСИРОВАННОЕ ВЕЩЕСТВО ПРИ ВЫСОКИХ ДАВЛЕНИЯХ 243
параметрах (например, при Т = 0, р = 0), с — удельная тепло-
теплоемкость атомов, Г(р°)—коэффициент Грюнайзена для гармони-
гармонических колебаний атомов. Функция Г(р°) зависит достаточно
сложным образом от функции «холодного» сжатия рР(р°), кото-
которая должна определяться из эксперимента. Отметим, что здесь
не учитывается упругая энергия за счет сдвиговой упругости, ко-
которая в сильных ударных волнах составляет малую долю от энер-
энергии «холодного» сжатия иР.
При температурах, больших порядка 104 К, которые реализу-
реализуются в ударных волнах с давлениями порядка 102 ГПа, следует
также учитывать составляющие внутренней энергии и давления,
пропорциональные Т2 и связанные с тепловым возбуждением
электронов и эффектами ангармонических колебаний атомов.
Существуют два метода определения уравнений состояния
твердых тел при высоких давлениях. Первый — метод статическо-
статического обжатия, когда при всестороннем статическом обжатии и
фиксированных температурах определяются зависимости р(р, Т),
анализ которых с учетом данных о теплоемкости с позволяет
вычислить зависимости рр(р°) и Г(р°). Второй метод — метод
ударно-волновых обжатий вещества, в результате чего опреде-
определяется ударная адиабата вещества при высоких давлениях р{р),
анализ которой с привлечением дополнительных теоретических
соображений позволяет вычислить параметры уравнения со-
состояния.
В ударно-волновых экспериментах наиболее надежно и точно
измеряются кинематические характеристики нормальных ударных
волн, а именно: скорость ударной волны D п массовая скорость
вещества за волной v относительно вещества перед волной. Дру-
Другими словами, величина v — скачок скорости на ударной волне,
и она определяет интенсивность этой волны. Измерения D и и
при разных интенсивностях волны позволяют построить ударную
адиабату вещества в виде/) (v). Интересно, что для конденсирован-
конденсированных веществ зависимость D(v), как правило, линейная, а при нали-
наличии фазовых переходов имеет изломы. Уравнения сохранения на
скачке, соответствующем ударной волне, позволяют из ударной
адиабаты в виде D(v) получить ударную адиабату в виде зави-
зависимости давления от плотности за волной р{р). Действительно,
уравнения на нормальном скачке в системе координат, связанной
с веществом, перед скачком имеют вид (ср. с A.1.62))
опп
Р(_,Л = р (D - v), p^Dv = <г?> - оп, i
р<_,0 (и + Vsua - Ы(_)) = - onnv,
где апп — нормальное напряжение на площадке, параллельной
поверхности скачка, р, v, и, апп — плотность, скорость, внутрен-
внутренняя энергия, нормальное напряжение за скачком, а р(->, i>(-)= О,
Mj-), сг^) — соответствующие параметры перед скачком. Учиты-
16*
244
ГЛ. 3. УДАР И ДЕТОНАЦИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
вая, что за сильными ударными волнами (р ^ 10 ГПа, о"™) -Со71™)
сдвиговые напряжения, ограниченные прочностью тела (t* ^
^1 ГПа), малы по сравнению с давлением, можно считать
о"" = —р. Тогда из уравнений на скачке следует
Р (v) =
, P (v) = Pi-
'<»>-»-«<-> = -Hp^-7
C.1.4)
что при наличии экспериментальной зависимости между кинема-
кинематическими параметрами D(v) позволяет построить ударную адиа-
адиабату вещества в виде р(р).
Далее, используя уравнение энергии на скачке (третье урав-
уравнение C.1.4)) и связи между различными характеристиками ве-
вещества, следующие из молекулярной физики и термодинамики
конденсированной среды, в том числе и упоминавшуюся связь
между Г(р) и рр{р), можно определить функции «холодного»
сжатия рР(р) и коэффициента Грюнайзена Г(р).
Экспериментальные методы исследования твердых тел с по-
помощью сильных ударных волн и методы определения из этих
экспериментов уравнений состояния изложены в обзорах
(Л. В. Альтшулер A978), R. Keller, E. Royce A971)), а также
в книгах (Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер A966), В. Н. Жарков,
В. А. Калинин A968)).
Z22,
Рис. 3.1.1. Схема ударного нагружения накладным зарядом (а) и летящей
пластиной (б); 1 — детонатор, 2 — генератор плоской детонационной волны,
3 — заряд взрывчатого вещества (ВВ), 4 — летящая пластина (ударник),
5 — основание или экран, 6 — исследуемый образец (мишень)
Параметры, которые измеряются в экспериментах с сильными
ударными волнами в твердых телах. Можно выделить два основ-
основных метода получения в лабораторных условиях больших удар-
ударных давлений порядка 1 — 102 ГПа в конденсированных телах.
В первом методе при помощи взрывчатого вещества (ВВ) либо
непосредственно накладным зарядом создают плоскую сильную
ударную волну в образце (рис. 3.1.1, а), либо разгоняют пласти-
НУ (ударник), которая затем ударяется об исследуемый образец
§ 1. КОНДЕНСИРОВАННОЕ ВЕЩЕСТВО ПРИ ВЫСОКИХ ДАВЛЕНИЯХ 245
(мишень) (рис. 3.1.1, б). Во втором методе ударник разгоняют
легким или пороховым газом высокого давления в стволе пушки.
Давления, получаемые по схеме рис. 3.1.1, а с помощью наклад-
накладных зарядов мощных ВВ, находящихся в контакте с исследуемым
веществом или отделенных от него металлическим экраном (осно-
(основанием), не превышают 80 ГПа. Максимально возможная ско-
скорость пластин, ускоряемых самыми мощными химическими ВВ
по схеме рис. 3.1.1, б, равна примерно 5 км/с, что позволяет по-
получать давления в вольфраме до 240 ГПа.
Как уже отмечалось, наиболее надежными и точными явля-
являются методы измерения таких кинематических параметров удар-
ударных волн, как скорость ударной волны D и массовая ско-
скорость (или скачок скорости) вещества за ударной волной v.
Скорость D можно определить, измеряя время At между двумя
сигналами от ударной волны на двух датчиках, реагирующих на
достаточно сильное возмущение и расположенных на некотором
расстоянии Аг друг от друга вдоль направления распространения
волны. Тогда D = Ar/At.
Если ударная волна создается ударом летящего со скоростью
4>о плоского ударника о плоскую мишень (по схеме, близкой к
рис. 3.1.1, б), когда ударник и мишень сделаны из одинакового
материала, то в инерциальной системе координат, движущейся
со скоростью '/г^о вдоль направления движения ударника, про-
процесс соударения является симметричным. Действительно, в ука-
указанной системе координат два одинаковых по своим свойствам
тела летят навстречу друг другу с одинаковыми скоростями
V2fo. Из-за симметрии процесса скорость контактной поверхности,
разделяющей мишень и ударник, в рассматриваемой системе ко-
координат будет равняться нулю до крайней мере до отражения
волн от свободных поверхностей мишени и ударника. Но скорость
контактной поверхности совпадает со скоростью вещества за
расходящимися ударными волнами в ударнике и мишени. Тогда
в лабораторной системе координат, связанной с исходным по-
положением мишени, скорость вещества за ударной волной v будет
равна 721>0. Поэтому для определения последней величины нужно
лишь измерить скорость ударника v0 перед ударом, которая из-
измеряется или скоростной съемкой, или (аналогично измерению
В) двумя датчиками, дающими сигналы при контакте с ударни-
ударником и расположенными на расстоянии Аг друг от друга вдоль
траектории ударника. Эти датчики дают два сигнала, разделен-
разделенные промежутком времени At, в течение которого ударник про-
пролетает расстояние Аг. Тогда v0 = Ar/At.
Если вещества ударника и мишени разные и известна удар-
ударная адиабата ударника, то, измеряя скорость удара v0 и скорость
ударной волны D в мишени, из уравнений сохранения на скачке
и условия непрерывности давления и скорости на контактной
поверхности, разделяющей ударник и мишень, можно рассчитать
246
ГЛ. 3. УДАР И ДЕТОНАЦИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
давление и скорость вещества за ударной волной в мишени. На
рис. 3.1.2, а схематично показаны эпюры давления и массовой
скорости при ударе ударника о мишень до отражения волн от
свободных поверхностей. Ударная адиабата ударника, которая
полагается известной, в координатах р, v выражается через ско-
Ударник
а 5
Рис. 3.1.2. Эпюры скоростей и давлений (а) и /?у-диаграмма (б) при ударе
со скоростью v0 ударника о мишень; AY — ударная адиабата ударника,
ОМ — прямая линия, описываемая уравнением р = poDv и соответствую-
соответствующая возможным состояниям за ударной волной, движущейся со скоростью
D в мишени
рость ударной волны в ударнике ?)(уя) относительно вещества пе-
перед волной и скачок скорости и(уд) в этой волне:
Этой зависимости соответствует линия AY, если vvn отсчитывать
от точки А влево на рис. 3.1.2, б. Скачки скорости в ударных
волнах в мишени и ударнике в сумме равны скорости удара vu,
а давления за этими волнами равны между собой:
уУД + V = Уо, р = руя,
причем давление за ударной волной в мишени удовлетворяет
уравнению
p = p0D(v0)-v(vl>),
где ро — исходная плотность материала мишени, D — скорость
ударной волны в мишени при ударе заданным ударником со
скоростью iv Тогда уравнение для определения ржи имеет вид
Решение этого уравнения графическим методом показано на
рис. 3.1.2, б. Таким образом, измеряя D при разных v0 и вычис-
вычисляя соответствующие значения р и v, можно построить ударную
адиабату мишени.
Массовую скорость вещества за ударной волной в минералах
или за детонационной волной можно измерить непосредственно
§ i. КОНДЕНСИРОВАННОЕ ВЕЩЕСТВО ПРИ ВЫСОКИХ ДАВЛЕНИЯХ 247
электромагнитным методом. Внутри исследуемого тела парал-
параллельно фронту ударной волны помещается металлическая
проволока, которая после прихода волны движется поступательно
вместе с исследуемым веществом. В исследуемом теле создается
магнитное поле известной напряженности Н с магнитными ли-
линиями, параллельными фронту волны и перпендикулярными ме-
металлической проволоке. Проволока при поступательном движении
пересекает магнитные силовые линии, в результате чего в про-
проволоке создается э. д. с. индукции. Измеряя ток индукции I(t)
и зная Н, из закона индукции можно определить v(t). Следует
иметь в виду, что электромагнитный метод измерения скорости
неприменим для исследования металлов, а также в случаях,
когда вещество за ударной или детонационной волной приобре-
приобретает значительную электропроводимость.
Интересную информацию может дать измерение во времени
скорости движения свободной поверхности мишени при выходе
на нее ударных волн, в том числе и многофронтовых.
При емкостном методе измерения скорости свободной поверх-
поверхности создается конденсатор, одной из обкладок которого явля-
является исследуемая свободная поверхность образца мишени. При
движении этой поверхности со скоростью v из-за изменения рас-
расстояния между обкладками будет меняться емкость конденсатора
со скоростью с, пропорциональной v. Из-за изменения емкости
конденсатора в цепи появится ток / пропорциональный с, а сле-
следовательно, и v. Измерение этого тока I(t) позволяет воспроиз-
воспроизвести v(t).
Более точно можно измерять скорость свободной поверхности,
если эта скорость достаточно велика, используя метод лазерной
интерферрометрии. На отполированный участок исследуемой
свободной поверхности фокусируется когерентный луч света
известной частоты v. При движении свободной поверхности со
скоростью v за счет доплеровского эффекта отраженный сигнал
меняет частоту на Av ~ v. Измеряя Av(i), можно воспроиз-
воспроизвести v(t).
Помимо измерения кинематических параметров, к настоящему
времени отработана манганиновая методика непосредственного
измерения давления в конденсированных телах, сжатых сильны-
сильными ударными волнами, основанная на использовании манганино-
манганиновых датчиков, в которых чувствительный элемент из особого
манганинового сплава меняет электрическое сопротивление R
под действием давления. Датчик с изоляцией помещается внутри
исследуемого образца, и при ударе измеряется изменение электри-
электрического тока I(t) в датчике при фиксированном напряжении Р,
что позволяет определить R(t), а затем, зная зависимость R{p),
можно восстановить и p(t). Этот метод хорошо работает в ме-
металлах до давления 15 ГПа, а при давлениях выше 35 ГПа ста-
становится непригодным из-за разрушения изоляции датчика. Ниже
248 ГЛ. 3. УДАР И ДЕТОНАЦИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
в § 6 будут обсуждаться результаты исследования манганиновой
методикой ударных волн в железе (А. В. Ананьин и др., 1973).
Аналогичное исследование нитрида бора и графита, когда реали-
реализуются фазовые превращения в алмазоподобные структуры, вы-
выполнено А. В. Ананьиным и др. A978).
Для измерения напряжений до 5 ГПа иногда используются
также кварцевые датчики, действие которых основано на пьезо-
пьезоэлектрическом эффекте в кварце.
Уравнения для давлений и внутренних энергий конденсирован-
конденсированных тел и их фаз. Для определения уравнений состояния
следует из теоретических положений задаться видом этих урав-
уравнений, в которые могут входить неизвестные коэффициенты. Эти
коэффициенты следует находить с использованием эксперимен-
экспериментальных данных, в частности подбирать их значения таким обра-
образом, чтобы получаемые с их помощью теоретическая изотерма
или ударная адиабата давали наименьшее квадратичное откло-
отклонение от экспериментальных точек.
В качестве одного из вариантов используются уравнения
состояния в виде потенциала Борна — Майера, где первое
слагаемое описывает силы отталкивания, а второе — силы
притяжения:
Рр(Р°) = ^ехр[ЬA - X)] -А.
Здесь А, К, Ь, ро — фиксированные для каждого металла и каж-
каждой его фазы величины, значения которых для некоторых ве-
веществ и их фаз приведены в Приложении.
В ряде работ (М. Wilkins, 1964; J. Erkman, A. Christensen,
1967) используются более простые аппроксимации холодных
составляющих, требующие меньшего объема вычислений при
численных расчетах, но зато справедливые и в более узком диа-
диапазоне давлений, нежели C.1.5):
рР (р°) = А A - У) + В A - УJ + С A - УK (У = Р;/р°=Х3),
иР(р°) = у—*1 [аA - y) + -f-A - л2+4-<* -у
Для коэффициента Грюнайзена примем линейную аппрокси-
аппроксимацию
Г(р°) = Г°-Г-4, C.1.7)
справедливую для многих металлов и их фаз в довольно широком
диапазоне плотностей. Вообще говоря, Г(р°) определяется функ-
§ 1. КОНДЕНСИРОВАННОЕ ВЕЩЕСТВО ПРИ ВЫСОКИХ ДАВЛЕНИЯХ 249
цией /?р(р°). На этот счет существуют несколько теорий (Слей-
тера — Ландау — Станюковича, Дугдала — Макдональда, Зубаре-
Зубарева— Ващенко), и все они приводят к разным формулам, при-
причем все эти ф°рмулы включают двукратное дифференцирование
функции i?p(p°).
Представление тепловой составляющей внутренней энергии в
виде ит = сТ, где удельная теплоемкость, согласно закону Дю-
лонга и Пти, равна с = 3Nk = const (здесь N — число атомов в
единице массы, к — постоянная Больцмана), существенно умень-
уменьшает объем вычислений по сравнению с более точным прибли-
приближением Дебая и в то же время имеет достаточную при Т > Тв
точность, где TD — дебаевская температура вещества. Так, мак-
максимальная погрешность при определении ит для рассмотренных
ниже задач составляет примерно 5%, причем она реализуется,
когда ит < иР (малые температуры). Когда же ит становится
сравнимой с иР (достаточно высокие температуры), приближение
постоянной теплоемкости достаточно точно определяет ит.
Естественно, что приведенные уравнения состояния можно ис-
использовать и для описания фаз (исходной фазы и фазы плот-
плотных газов из продуктов детонации) конденсированных взрывча-
взрывчатых веществ (ВВ). Определение уравнения состояния исходной,
или пепрореагировавшей фазы конденсированного ВВ, так же как
и для обычных конденсированных веществ, основывается на
ударной адиабате этой фазы в виде зависимости D(v), где D —
скорость ударной волны, v — массовая скорость непрореагировав-
шего вещества за ударной волной. Чтобы получить такую удар-
ударную адиабату, необходимо провести измерение v и D до начала
детонационного превращения. Для твердых ВВ такие данные
получены в работах В. С. Илюхина, П. Ф. Похила и др. A960);
А. Н. Дремина и др. A970). По этим данным, используя описан-
описанные выше методы, можно получить уравнения состояния исход-
исходной фазы ВВ. Для гексогена такая процедура была выполнена в
работе Н. X. Ахмадеева, Р. И. Нигматулина A976), и соответст-
соответствующие результаты приведены в Приложении.
Уравнения состояния типа C.1.2) для описания плотных га-
газовых продуктов детонации (ПД) конденсированных ВВ на при-
примере гексогена были конкретизированы в работе Н. М. Кузне-
Кузнецова, К. К. Шведова A967) на основе обработки экспериментов,
в которых измерялись скорости детонационных волн D и массо-
массовые скорости вещества v за ними при подрыве зарядов гексогена
разной плотности заряжения от 560 до 1720 кг/м3. При этом
холодные составляющие иР(р°) и рР(р°) для продуктов детонации
представлялись кубичными и квадратичными параболами. Естест-
Естественно, что эти зависимости для единообразия представлений и
расчетов нетрудно аппроксимировать и в виде потенциала Бор-
на — Майера. Результаты этой аппроксимации для ПД гексогена
приведены в Приложении.
250 ГЛ. 3. УДАР И ДЕТОНАЦИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
Фазовые переходы и физико-химические превращения приво-
приводят к необходимости согласования уравнений состояния фаз для
внутренних энергий, чтобы правильно учесть энергетические
переходы, связанные с разностью внутренних энергий фаз wt — ks
(см. последнее уравнение A.10.11)). Введем оператор
U} (р°, Т) = иР} (р°) + с5Т U = 1, 2). C.1.8)
Тогда уравнения для внутренних энергий фаз можно записать в
виде
(ЗЛ9)
(^0И ^02 = Const).
На линии насыщения или равновесия фаз, когда p — Ps(T), важ-
важными энергетическими характеристиками фазовых переходов
являются изменение внутренней энергии Ztu) или изменение эн-
энтальпии Iм ^ I:
Z(u) (T) = и2 (p°2S, Т) - их (p°lS, Т),
C.1.10)
l(i) (Т) = i, (p°2S, T) - ix (pis, Г) (i} = щ + pj/pl ) = 1, 2),
где pjS (T) — плотности фаз на линии насыщения, определяемые
из уравнений
рЛ&8,Т) = Рв{Т), p2(p°2S,T) = ps(T), C.1.11)
причем pj определяется уравнением, следующим из C.1.2),
Pi (pj, T) = РР} (р°) + Г, (pj).р°с}Г, j = 1/2. C.1.12)
Если известно значение Iм при одном значении температуры
Т, то из C.1.10) следует условие согласования, или нормировки
для констант UOi и U<a, аналогичное A.3.74)
С/02 _ ип = U, (р%, Т) + 1{и) (Т) - U2 (pis, T) - const,
о о о о C.1.13)
Pis = Pis {T), p2s = Ргв {Т) .
Зависимость Z(u) (Т) может быть вычислена, если известны
уравнения состояния фаз C.1.12) для давления и линия насы-
насыщения Ps{T). Если продифференцировать условие равенства
термодинамических потенциалов фаз на линии равновесия двух
фаз Ps(T), то, учитывая A.10.26) и A.10.27), получим извест-
известное уравнение Клапейрона — Клаузиуса A.3.76)
--4-)^Т. C.1.14)
s Pis/ dl
§ i. КОНДЕНСИРОВАННОЕ ВЕЩЕСТВО ПРИ ВЫСОКИХ ДАВЛЕНИЯХ 251
Тогда для Zlu) получим
T) = D^-4-) [^
lS C.1.15)
Таким образом, зависимость Рз{Т) и уравнения состояния фаз
C.1.8), C.1.12) не являются независимыми и с учетом следст-
следствия из уравнения Клапейрона — Клаузиуса C.1.15) должны,
в соответствии с C.1.13), удовлетворять условию UOz— Uoi =
= const. Следует иметь в виду, что примеси могут влиять на
положение линии равновесия фаз ps(T).
Для горючих или взрывчатых веществ (ВВ) в калориметри-
калориметрических бомбах, характеризуемых фиксированным объемом VB,
измеряется теплота, которую необходимо отвести после сжигания
вещества массой М и плотностью рх = р0 (занимающего обычно
малую часть VB), чтобы охладить продукты реакции до исходной
температуры То. Для взрывчатых веществ эта теплота, отнесен-
отнесенная к единице массы ВВ, называется {фугасной) теплотой взры-
взрыва, которую будем обозначать через Qf. Перед реакцией физиче-
физическое состояние исходного ВВ (первая фаза) характеризуется
температурой То и давлением po=pt(po, To); после горения про-
продукты реакции (вторая фаза) имеют высокое давление и зани-
занимают весь объем VB, и их плотность равна р2 = р# =Л^/^в<Ро5
отвод тепла MQt происходит при постоянном объеме (VB — const),
т. е. при постоянной плотности, и приводит систему к темпера-
температуре Т„. Кроме MQf, другого энергообмена с внешней по отно-
отношению к веществу, находящемуся в объеме VB, средой нет,
поэтому по закону сохранения энергии теплота взрыва Qf равна
разности удельной внутренней энергии исходного вещества щ,
определяемой плотностью р0 и температурой То, и удельной внут-
внутренней энергии продуктов реакции и2, определяемой плотностью
р# и температурой То:
Qi (Р*. Ро. То) = «1 (Ро, То) ~ «2 (Р*, То) (р0 = pi (Ро, То)). C.1.16)
Следует иметь в виду, что Qf зависит от плотности продуктов
реакции р*,, начального давления р0 и температуры То. Величины
Ро и Го обычно принимают соответствующими нормальным усло-
условиям (jt?0 = 0,1 МПа, То ~ 300 К), а вариации р* для обычно
используемых загрузок калориметрической бомбы влияют на Qf
в пределах 5—8%.
Учитывая определения C.1.9), получим аналогичное C.1.13)'
условие согласования, или нормировки
^02 - Un = Ux (р0, То) - U2 (р„ То) - Q, (Р#, Ро, То). C.1.17)
Упругопластические свойства. При достаточно высоких дав-
давлениях A0—102 ГПа и выше), при которых происходят фазовые
252 ГЛ. 3. УДАР И ДЕТОНАЦИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
переходы за ударной волной в твердых телах, временные эф-
эффекты релаксации упругих напряжений, влияющие на эволюцию
упругих предвестников на расстояниях порядка 10 мм, по-види-
по-видимому, не оказывают существенного влияния на эволюцию волн,
в которых проходят фазовые переходы. Эффекты прочности, та-
таким образом, будут учитываться в рамках упругопластпческой
схемы типа A.10.18), A.10.19).
Одним из возможных способов определения сдвиговых ком-
компонент тензора напряжений, отражающих упругопластические
свойства двухфазной среды, является описание, аналогичное опи-
описанию некоторой однофазной среды с использованием A.10.18),
A.10.19), упругопластические свойства которой (G, т%) задаются
в виде средних по объему от соответствующих параметров фаз
G = axGx + a2G2, т* = а^* + а3т2Н:. C.1.18)
В пользу такого несколько упрощенного подхода укажем так-
также тот факт, что зоны, в которых имеется смесь обеих фаз,
обычно узки, так как скорости фазовых переходов в ударных
волнах чрезвычайно высоки, и поэтому нет необходимости очень
подробного описания зон двухфазного состояния. Структура те-
течения по составу среды часто представляет следующую картину:
исходная фаза, затем узкая зона, состоящая из смеси обеих фаз,
в которой происходит переход исходной фазы низкого давления
A) в фазу высокого давления B) и, наконец, зона, где име-
имеется только фаза высокого давления. В разгрузке далее снова
идет узкая зопа, где имеется смесь и происходит переход 2 -»-1,
и, наконец, зона фазы 1.
Кроме того, параметры G и т* для фазы высокого давления
очень часто неизвестны, и для них приходится принимать зна-
значения, соответствующие фазе низкого давления, или значения,
соответствующие каким-либо оценкам,
В работе J. Erkman et al A967), исходя из сопоставления
экспериментальных данных по амплитудам упругих волн раз-
разгрузки и затуханию ударных волн (р « 1—10 ГПа) с результа-
результатами численных расчетов, были подобраны законы упрочнения
t* (p) Для свинца, алюминия и меди, из которых можно опре-
определить значения т.,.,, и М для этих металлов (для алюминия см.
Приложение). В работе С. А. Новикова и Л. М. Синицыной
A970), исходя из экспериментальных данных по интенсивности
упругих волн разгрузки Аоу ударно-сжатого вещества, были опре-
определены значения xt_ (p) для алюминия, меди и свинца при более-
высоких давлениях (р = 30—86 ГПа). Результаты последних двух
упомянутых работ, хотя и получены с помощью разных методик,
не противоречат друг другу.
В работе Л. В. Альтшулера и др. A971) определены сдви-
сдвиговые пределы текучести для железа и алюминия при более
§ 1. КОНДЕНСИРОВАННОЕ ВЕЩЕСТВО ПРИ ВЫСОКИХ ДАВЛЕНИЯХ 253
высоких давлениях (р > 100 ГПа) по измеренным амплитудам
и скоростям упругих волн разгрузки. В частности, для железа
при /7 = 111 и 185 ГПа получено соответственно т.,. =0,55 и
1,35 ГПа. Если эти данные аппроксимировать зависимостью
A.10.21) для линейного упрочнения, то получим М » 0,011. Сле-
Следует иметь в виду, что в волнах с такими высокими давлениями
заметно повышение температуры, что может уменьшать упрочне-
упрочнение и в конце концов после расплавления приводить к т^. = 0.
В представленных ниже расчетах для железа при давлениях
р « 10—102 ГПа принималось М = 0,019 (см. Приложение), что
соответствует данным Л. В. Альтшулера.
Негидростатичность напряженного и деформированного со-
состояний, вообще говоря, должна быть учтена не только в тензоре
напряжений, но и в выражении для внутренней энергии введе-
введением составляющей, которая отражает работу внутренних сдви-
сдвиговых упругих сил. В рассмотренных ниже процессах эта состав-
составляющая внутренней энергии ничтожно мала.
О кинетике физико-химических превращений твердых тел в
ударных волнах. Для расчета развития взрыва с выделением
зоны химической реакции и динамических процессов с фазовы-
фазовыми переходами необходимо задать кинетику указанных превра-
превращений, т. е. определить Ji2.
Измерения толщин детонационных волн в конденсированных
взрывчатых веществах (ВВ) показали, что характерные времена
химического превращения составляют 10 — 1 мкс. Аналогичные
измерения толщин волн, в которых происходят полиморфные
фазовые превращения за счет перестройки кристаллической ре-
решетки (например, уже упоминавшийся переход Fe(a> ->- Fe(e)),
показали, что характерные времена этих переходов составляют
величины того же порядка (для перехода Fe<c° ->- Fe(e> это при-
примерно 0,2 мкс). Столь огромные скорости превращений в твер-
твердых телах, по-видимому, обусловлены дислокационными процес-
процессами, имеющими объемный характер, в отличие от фазовых пере-
переходов в газах и жидкостях, происходящих на межфазных по-
поверхностях после образования зародышей новой фазы. В пользу
дислокационной кинетики перестройки кристаллических решеток
и химических реакций в кристаллических веществах говорит так-
также тот факт, что для металлов характерные времена развития
пластических деформаций в ударных волнах также составляют
10~' — 1 мкс. При этом известно, что пластические деформации в
металлах развиваются за счет движения и размножения дисло-
дислокаций.
В отличие от развития пластических деформаций в кристал-
кристаллических телах, для которых в настоящее время предложены
полуэмпирические кинетические уравнения, основанные на дисло-
дислокационных представлениях, для полиморфных превращений в
металлах и минералах и химических превращений твердых взрыв-
254 ГЛ. 3. УДАР И ДЕТОНАЦИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
чатых веществ в детонационных волнах такого сорта кинетиче-
кинетических уравнений нет, поэтому следует использовать феноменоло-
феноменологические соображения, приведенные при выводе A.10.28), и дан-
данные эксперимента.
Имеет смысл рассмотреть некоторое нелинейное обобщение
линейных кинетических уравнений A.10.28), которое также
определяет скорость фазовых переходов в зависимости от давле-
давления (пересжатия или перерасширения), в виде
о I Jl2a1
J12 =\
) j , если рг > 0, р > ps,
[О, рсли Pi = 0 или
J*21a2 1 — exp — ( Ц^—- ) I I, если p2 > Ot p < ps,
О, если p2 = 0 или
Здесь Jij, пг1, AtJ (i, 7 = 1, 2; s^/) — кинетические параметры,
*
причем /ij — максимально возможные скорости превращения,
Atl— характерные значения \р — рв\, когда скорости фазовых пе-
переходов могут стать сравнимыми с максимальными; при этом при
малых содержаниях той фазы, которая претерпевает превраще-
превращение, скорости фазовых переходов также малы.
Эти зависимости могут дать некоторый фактический гистере-
гистерезис перехода при достаточно больших ni2 и n2i, т. е. переход
1 -*• 2 будет проходить в основном при больших давлениях, а об-
обратный переход 2 ->- 1 — при меньших давлениях, чем р3.
Для описания кинетики химической реакции, происходящей
при детонации конденсированных ВВ, примем, что скорость хи-
химической реакции постоянна, если имеется исходное вещество,
и давление превышает некоторое критическое р* и определяется
временем полного превращения t12, причем обратных превра-
превращений нет:
- 0, /12 = (Ро/^' еСЛИ а* >?• Р>Р*' C.1.20)
1 0, если ах = 0 или р^р*.
Такое простейшее описание для рассмотренных ниже задач
вполне достаточно.
Схема нагрузки и разгрузки упругопластического тела с фа-
фазовым переходом. На рис. 3.1.3 схематично показаны зависи-
зависимости o'(F) ж p(V) при адиабатических нагрузке и разгрузке
упругопластического тела, претерпевающего фазовый переход
при р — Ра при одноосных (вдоль оси х) деформациях, т. е. когда
отсутствуют поперечные деформации. Чтобы четче выявить не-
необратимость из-за пластических деформаций, представлен случай,
когда тепловая составляющая давления мала (р « р!>(р°)),иадиа-
§ 1. КОНДЕНСИРОВАННОЕ ВЕЩЕСТВО ПРИ ВЫСОКИХ ДАВЛЕНИЯХ 255
батический процесс близок к изотермическому. Линия ОЕА^АгЬ
соответствует процессу нагружения до напряжения сжатия al(L).
Точка излома Н соответствует состоянию, в котором максимальное
сдвиговое напряжение т достигает предела текучести т*, и при
дальнейшем нагружении развивается пластическая деформация,
когда сдвиговые напряжения ограничены пределом текучести.
Рис. 3.1.3. Диаграмма процессов одноосного статического и динамического
нагружения и разгрузки (при отсутствии поперечных деформаций и тепло-
тепловых эффектов) упругопластического тела, претерпевающего фазовый пе-
переход
Точка излома Ai соответствует появлению второй, более плотной
фазы, когда сжатие среды компенсируется фазовым переходом,
и продольное напряжение практически не растет. Точка излома
Аг соответствует полному переходу среды во вторую, более плот-
плотную фазу, и дальнейшее нагружение А2Ь происходит за счет
сжатия этой фазы в режиме пластического течения.
256 ГЛ. 3. УДАР II ДЕТОНАЦИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
Линия LEMZMLN соответствует разгрузке до полного снятия
продольного напряжения. Точка излома Е аналогична точке Н,
и она соответствует началу пластических деформаций в разгруз-
разгрузке из-за сдвиговых напряжений противоположного (по отноше-
отношению к Н) знака. Точка излома Мг соответствует началу обрат-
обратного фазового перехода 2 -*¦ 1, а в точке Ж± вся среда находится
в виде менее плотной первой фазы; на участке M2Mi напряже-
напряжение о1 практически не меняется, так как продольное расширение
среды происходит за счет фазового превращения. На участке
MiN происходит расширение среды в пластическом режиме при
снятии продольной нагрузки о1.
Из-за необратимых пластических сдвигов в результате рас-
рассмотренного цикла нагружения и разгрузки затрачивается ра-
работа, равная площади внутри линии OHAiAzLEM2MlN, которая
диссипируется в тепловую энергию, хотя зависимость давления
р от плотности р или удельного объема F, в нагрузке и разгруз-
разгрузке была одна и та же.
Эффекты запаздывания текучести, описываемые кинетикой
развития пластических деформаций, приводят к реализации
сдвиговых напряжений т, больших предела текучести т^., т. е.
состояний Н' и Е'. Аналогично кинетические эффекты фазовых
переходов могут привести к реализации неравновесных состоя-
состояний фаз, а именно: пересжатой первой фазы в состоянии Alt
когда p>Ps, и перерасширеиной второй фазы в состоянииМ2,
когда p<ps. Соответствующие изменения зависимости а*(У)
из-за неравновесных эффектов показаны на рис. 3.1.3 штрихо-
штриховыми линиями.
При высоких давлениях р^Ю—10г ГПа сдвиговые напря-
напряжения т, определяющие негидростатичность тензора напряжений
и отличие продольного напряжения а1 от давления р, становятся
малыми, так как пределы текучести ограничены величинами при-
примерно 1 ГПа,
|р-о-1| = К1<4/3т*<р. C.1.21)
И если речь идет о расчете ударных адиабат твердых тел или
расчете уравнений состояния твердых тел, исходя из их ударных
адиабат, то при давлениях р ^ 10 ГПа учет упругопластических
свойств, или прочности, мало влияет на результаты расчета. Но
если речь идет о расчете эволюции даже сильных волн, возни-
возникающих при соударениях тел, то учет малой негидростатичности
тензора напряжения из-за прочности может оказаться важным,
ибо сдвиговые напряжения, несмотря на их малость по сравне-
сравнению с давлением, могут привести к заметным эффектам.
Первый эффект состоит в том, что продольные упругие вол-
волны разгрузки имеют большую скорость Cw, чем скорость волны
гидростатического сжатия С, определяемая дифференцированием
§ 1. КОНДЕНСИРОВАННОЕ ВЕЩЕСТВО ПРИ ВЫСОКИХ ДАВЛЕНИЯХ 257
давления по плотности при постоянной энтропии s:
С2 = (д-Е-) = ^?. о- сТТ (l I Г р dV
C.1.22)
За счет этого реализуются упругие предвестники нагрузки с
амплитудой о1 (Я) и скоростью С(у)(р0) и разгрузки с амплиту-
амплитудой Ао(у) и скоростью С(у) (р) относительно нагруженной среды.
Второй эффект состоит в том, что, как видно из рис. 3.1.3,
амплитуда упругой волны разгрузки Ао(у) может в несколько
раз превысить предел текучести т.* и а1(Н), а ее скорость стать
больше, чем скорость волны гидростатической разгрузки. В ре-
результате распространяющееся по среде возмущение будет за-
затухать быстрее, чем по гидродинамической схеме, игнорирующей
сдвиговые напряжения.
Наличие точек излома Н, Аи А2 на адиабате нагрузки и то-
точек излома Е, М2, Mi на адиабате разгрузки приводит к тому,
что в общем случае как нагрузка, так и разгрузка будут реали-
зовываться в трех волнах, движущихся с разными скоростями.
Скорость каждой ударной волны D относительно вещества
перед волной определяется формулой, следующей из уравнений
на скачке C.1.3)
C.1.23)
т. е. квадрат скорости волны D пропорционален тангенсу угла
наклона к оси V прямой линии, называемой линией Рэлея —
Михелъсона (РМ), соединяющей точки, соответствующие состоя-
состояниям перед и за волной на диаграмме о1(У).
На рис. 3.1.4 проиллюстрирована схема многоволнового воз-
возмущения и его развития в виде эпюры напряжения (сплошная
жирная линия) для упругопластического тела с фазовым пере-
переходом, когда диаграмма el{V) имеет вид, показанный на
рис. 3.1.3. Стрелками отмечены скорости различных волн. Воз-
Возмущение начинается с упругого предвестника ОН, движущегося
со скоростью Z)(y) = С(у)(р0), пропорциональной (tgj5H)i/2 (см.
рис. 3.13). Далее идет первая, или пластическая, ударная волна
HAi, сжимающая вещество в состоянии первой фазы. Скорость
этой волны относительно вещества в состоянии Н определяется
углом рА1. Если [JAi < Рн, то Dw <DW, а если j3Ai > Рн, т. е. точ-
точка Ai выше точки Gt (где Gt лежит на продолжении отрезка
17 р. И. Нигматулин, ч. I
258
ГЛ 3. УДАР И ДЕТОНАЦИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
ОН), то волны ОН и HAt сливаются в одну волну ОАи движу-
движущуюся относительно вещества в исходном состоянии О со ско-
скоростью, определяемой наклоном отрезка OAi. Нагружение завер-
завершается в релаксационной ударной волне AtL, переводящей ве-
вещество во вторую (более плотную) фазу. Скорость этой волны
относительно вещества в состоянии At определяется углом $l~
Рис. 3.1.4. Схема многоволнового возмущения (эпюра продольного напряже-
напряжения о1) конечной длительности и его развития (штрихпунктирные линииХ
во времени, возникающего в результате удара пластины в полупростран-
полупространство из упругопластического тела, претерпевающего фазовып переход
Если рЧ < рА1, то Z)A2) < DA), а если pL > рД1 (или точка L ле-
лежит выше точки С, где С лежит на продолжении отрезка HAi),
то HAi и AiL сливаются в одну ударную волну. Если интенсив-
интенсивность возмущения настолько велика, что на диаграмме о1 (У)
точка L лежит выше как точки С, так и точки Gz (где G2 лежит
на продолжении ОН), то все три волны сливаются в одну удар-
ударную волну ОЬ, скорость которой определяется углом наклона
отрезка ОЬ.
Разгрузка начинается с упругой волны (упругого предвест-
предвестника) LE, скорость которой С(у) (Ь) относительно вещества в со-
состоянии L определяется углом р"в. Далее идет волна разгрузки
ЕМ2 со скоростью Ст, и эта скорость относительно вещества в
состоянии Е определяется гидростатической скоростью звука
С(Ь). Так как участок диаграммы разгрузки МгМ^К, где М2К—
касательная к линии разгрузки первой фазы МгШ, имеет отрица-
отрицательную кривизну, и возмущения большей амплитуды обгоняют
возмущения меньшей амплитуды, то переход МгК, когда проис-
происходит обратное фазовое превращение 2 ->¦ 1, реализуется в удар-
ударной волне разгрузки, движущейся со скоростью ДB1). Скорость
этой волны относительно вещества в состоянии М2 определяется^
углом рМ2.
Штрихпунктирные линии на рис. 3.1.4 показывают затухание-
волн, которым соответствуют скорости Z)(i2) (линия 2), Dw (ли-
(линия 1) и Dw, из-за догоняющих их волн разгрузки, движущих-
движущихся со скоростями С(у), Ст, ?><21). Затухание волн Z>A2) и Dw на^
§ 1. КОНДЕНСИРОВАННОЕ ВЕЩЕСТВО ПРИ ВЫСОКИХ ДАВЛЕНИЯХ 259
начальном участке, которое можно назвать релаксационным за-
затуханием, связано с тем, что в момент соударения среда целиком
воспринимает нагрузку как первая фаза вдоль адиабаты HFlt
и лишь по прошествии некоторого времени поверхностные слои
переходят в более плотную модификацию, несколько разгружая
первую волну.
Многоволновой характер возмущения приводит к тому, что
волны разгрузки «съедают» ударную волну поэтапно: сначала
волну фазового перехода Dim (первая Dw и упругая Dw на
этом этапе практически име-
имеют стационарные парамет-
ры), затем первую волну Dw
и, наконец, упругий пред-
предвестник.
Расчет параметров удар-
ударных волн и ударных адиа-
адиабат в веществе, претерпева-
претерпевающем в ударной волне фа-
8овый переход в более плот-
плотную фазу, обсуждается ни-
ниже в § 4 на примере же-
железа.
Ударное сжатие пористых
или порошкообразных ве-
веществ. В ударно-волновых
экспериментах, помимо спло-
сплошных образцов, ударному сжатию подвергают и образцы в по-
пористом виде или в виде порошка. Как будет показано ниже, это
может привести к гораздо большему разогреву вещества, чем при
ударном сжатии сплошного вещества. Кроме того, часто исполь-
используются насыпные и порошкообразные ВВ. Объемное содержание
пор в них характеризуется пористостью
m = 1 - (Pl/p°) = 1 - {VяIV) (V = 1/р, V° = 1/рх, 0 < m < l),
C.1.24)
где р — масса единицы объема порошка, р1 — плотность твердого
вещества, составляющего порошок.
Сжатие порошка сильной ударной волной можно описать
идеализированной схемой (Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер, 1966),
проиллюстрированной на рис. 3.1.5. Согласно этой схеме порошок
сжимается до плотности сплошной фазы, не оказывая сопротив-
сопротивления, вдоль линии О'О (р«0), а затем вещество сжимается
согласно уравнению состояния сплошного вещества, когда дав-
давление холодного сжатия изменяется вдоль линии pP{V). Факти-
Фактически это соответствует тому, что давление холодного сжатия
имеет точку излома О при V = V° та 1/р10-
17*
Рис. 3.1.5. Диаграмма pV для сжатия
пористого вещества
260 ГЛ. 3. УДАР И ДЕТОНАЦИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
Уравнение для изменения внутренней энергии вещества на
ударной волне имеет вид
u-uo = l/2p(Vo-V). C.1.25)
Пусть линии ОМ и ОМ' — ударные адиабаты соответственно
сплошного и пористого (начальное состояние которого определя-
определяется точкой О') вещества. Тогда площади треугольников ОМА и
О'М'А, согласно последнему равенству, соответствуют измене-
изменению внутренней энергии сплошного и пористого веществ на удар-
ударной волне при их сжатии до одной и той же плотности. При
этом изменение энергии холодного сжатия равно площади ОРА,
и тогда изменение тепловой энергии, определяющей тепловое
давление, при ударном сжатии сплошного вещества равно пло-
площади треугольника ОРМ, а при сжатии пористого вещества —
площади ОРМ'О', откуда видно, что при ударном сжатии по-
пористого вещества до заданной плотности разогрев и тепловое
давление будут много больше, чем при сжатии сплошного ве-
вещества. Отметим, что ударный разогрев пористого тела достаточно
большой начальной пористости может привести к тому, что
плотность вещества за ударной волной будет меньше плотности
сплошного вещества в исходном состоянии. Этой ситуации соот-
соответствует ударная адиабата ОМ" с исходным состоянием О".
Если известно уравнение состояния сплошного вещества в
виде Рр(р"), Г(р°), up(p°), то ударную адиабату пористого ве-
вещества нетрудно рассчитать. Действительно, учитывая, что
и — иР = ит = V (р — рР) /Г,
из уравнения C.1.25) для изменения внутренней энергии на
скачке имеем
откуда получаем выражение для ударной адиабаты
)
р = 2 T-^j- —\ . C.1.26)
Схема детонационной волны. Детонация представляет собой
явление самоподдерживающегося распространения ударной вол-
волны в горючих средах, при котором ударная волна повышает
температуру среды и инициирует быструю химическую реакцию
с выделением тепла. Часть этого тепла преобразуется в кинети-
кинетическую энергию продуктов реакции за волной и тем самым идет
на поддержание детонации. Модель одномерной стационарной
детонации с передним ударным скачком и последующей зоной
экзотермической химической реакции в гомогенной (односко-
ростной) среде разработана Я. Б. Зельдовичем, Д. Нейманом и
§ 1 КОНДЕНСИРОВАННОЕ ВЕЩЕСТВО ПРИ ВЫСОКИХ ДАВЛЕНИЯХ 261
Н. Дерингом. Дальнейшее развитие теории детонации имеется в
книгах Р. И. Солоухина A963), К. И. Щелкина и Я. К. Трошина
A963), А. Н. Дремина и др. A970), Ф. А. Баума и др. A975).
Рассмотрим диаграмму p(V) для детонации вещества, учи-
учитывая, что а1 = —р, ибо за детонационной волной продукты дето-
детонации (ПД, или вторая фаза) находятся в газовой фазе.
Если детонационная волна очень тонкая, что обеспечивается
быстротой химической реакции, то параметры за детонационной
волной определяются уравнениями сохранения на детонацион-
детонационном скачке и уравнением состояния ПД (вторая фаза):
p0D [и2 + l/tvl - и10] = p2v2, C.1.27)
Р2 = Р2 (Р2> г)> и2 = Щ (р2, Г), и10 = щ (Ро, То) (ос2 = 1, а10 = 1).
Введем величину Qo, связанную с тепловыделением из-за хи-
химической реакции, которая с учетом C.1.17) может быть пред-
представлена в виде
<?о = <?(Ро. То) = ию — «го = ui (Ро. ^о) — и2 (Ро. то) =
= U, (Ро, То)- U2 (Ро, То) + Uol - U02 =
= U2 (р„, То) - U2 (Ро, То) + ^(р„ Ро, То). C.1.28)
Тогда уравнение энергии на детонационном скачке (третье урав-
уравнение C.1.27)) может быть переписано в виде
p0Z) [и2 — u20 + 3 i2Q^
и20 = и2 (р0, То).
Следует иметь в виду, что часть более медленных реакций
тепловыделения, реализующихся при измерениях фугасной теп-
теплоты Qf в калориметрических бомбах, может не успеть пройти в
детонационной волне. Поэтому для расчетов детонации может
потребоваться некоторое уменьшение фугасной теплоты Qf при
определении энергии Qo, передаваемой детонационной волне. Для
рассмотренного ниже гексогена с увеличением пористости реак-
реакции тепловыделения в детонационной волне проходят с большей
полнотой и при пористости т0 = 0,45 (ро = 1000 кг/м3) при де-
детонации выделяется практически вся фугасная теплота Qf.
Множество состояний (при разных скоростях волны D), удов-
удовлетворяющих уравнениям C.1.27), образует детонационную адиа-
адиабату рассматриваемого ВВ.
При этом состояние исходного вещества за передним скачком
перед началом химической реакции определяется скоростью вол-
волны и ударной адиабатой непрореагировавшего ВВ, которая удов-
удовлетворяет уравнениям сохранения на скачке и уравнениям
262
ГЛ. 3 УДАР И ДЕТОНАЦИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
состояния исходного вещества (первой фазы):
= рх (D - ух), PqO^i = Pi - Ро.
[ + Vi - "ю! = рл. C.1.30)
Pl = .P.l(Pl. У)> "l = «1 (Pi- f)' U10 = Wl (Po> ^o)' a10+a20=1-
Детонационная адиабата ВВ на диаграмме p(V) лежит выше
ударной адиабаты непрореагировавшего ВВ по крайней мере в
области удельных объемов V, близких к начальному (Vo). На
рис. 3.1.6, а приведена характерная для ВВ диаграмма p(V), где
ОА[ — ударная адиабата непрореагировавшего ВВ, а В'В" —
детонационная адиабата, соответствующая начальному состоя-
состоянию О. Аналогично C.1.23) квадрат скорости детонационной
Рис. 3.1.6. Диаграмма pV для детонации конденсированного взрывчатого
вещества и структуры детонационных волн OAyBj и О'АуВ' и волны
разгрузки BjE2
волны пропорционален тангенсу угла наклона прямой Рэлея —
Михельсона, соединяющей точки, соответствующие состояниям
перед (О) и за (В') волной. При этом параметры /?4 и F, за
ударной волной в непрореагировавшем ВВ определяются пере-
пересечением только что упоминавшейся прямой Рэлея — Михельсона
ОВ' с ударной адиабатой ОА1 непрореагировавшего ВВ (пер-
(первая фаза). Видно, что при указанном расположении адиабат,
что является характерным для конденсированных ВВ, давление
за ударной волной выше, чем давление за детонационной, что
приводит к структуре детонационной волны, показанной на
рис. 3.1.6, б. Зона между передним скачком OAi и точкой В,
соответствующей детонационной адиабате, где завершилось тепло-
тепловыделение, называется «химпиком». «Химпик» обычно очень тон-
тонкий, поэтому учет «химпика» и его большего давления, чем дав-
§ 1. КОНДЕНСИРОВАННОЕ ВЕЩЕСТВО ПРИ ВЫСОКИХ ДАВЛЕНИЯХ 263
ление за детонационной волной, может потребоваться лишь при
расчетах воздействия взрыва на твердые тела на глубинах по-
порядка до 1—2 мм или при расчетах воздействия на очень тонкие
тела. На больших глубинах превышающий импульс «химпика»
практически не сказывается.
Поведение вещества, являющегося газовым продуктом дето-
детонации (вторая фаза), характеризуется адиабатами ПД (см. ли-
линии В Е% и BjE2 на рис. 3.1.6, а, б), которые в свою очередь
определяются уравнениями состояния ПД.
Если за детонационной волной следует разгрузка из-за раз-
разлета ПД, то устанавливается стационарный самоподдерживаю-
самоподдерживающийся режим Чепмена — Шуге (Ч—Ж), которому соответствует
точка Bj на диаграмме p(V), где 0В3 — касательная к детона-
детонационной адиабате, проведенная из точки О. В этом режиме дето-
детонационная волна движется со скоростью звука относительно
вещества за волной (D = v2 + С2), и поэтому волны разгрузки,
распространяющиеся с той же скоростью, не ослабляют детона-
детонационную волну.
Режимы пересжатой детонации, которым соответствуют точки
на детонационной адиабате, расположенные выше точки В3 или
точки Ч—Ж, и для которых имеет место дозвуковое движение
детонационной волны относительно вещества (ПД) за волной
D < v2 + C2, возможны только или в нестационарном режиме,
когда она постепенно ослабляется волной разгрузки, стремясь к
режиму Ч—Ж (соответствующая волна показана на рис. 3.1.6,6
в виде O'AJl'E'^), или в стационарном режиме при отсутст-
отсутствии волны разгрузки, когда детонация поддерживается «порш-
«поршнем» (соответствующая волна на рис. 3.1.6, б имеет вид
О'а!хв'в').
Режимы недосжатой или сверхзвуковой (D > у2 + С2) детона-
детонаций, которым соответствуют точки типа В" на детонационной
адиабате, расположенные ниже точки Bj, или точки Ч—Ж, не
реализуются, и поэтому соответствующий участок детонационной
адиабаты на рис. 3.1.6, а показан штриховой линией. Невозмож-
Невозможность этого режима, инициируемого ударной волной, следует
из исследования структуры детонационной волны с учетом
характерной для существующих ВВ кинетики химической реак-
реакции тепловыделения.
Инициирование детонации впереди идущей ударной волной
не является единственным механизмом детонации конденсиро-
конденсированных ВВ. В частности, в порошковых ВВ возможен механизм
взрывного горения, которое инициируется струями горячих
газов, проникающих в направлении распространения волны
в поры между зернами исходного ВВ из зоны горения (см.
§ 4 гл. 5).
264 ГЛ 3. УДАР И ДЕТОНАЦИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
§ 2. Постановка одномерных задач о плоском
соударении сжимаемых упругопластических сред
с фазовыми переходами
Запишем систему дифференциальных уравнений A.10.14) в
лагранжевых координатах вместе с уравнениями для девиатора
A.10.18), A.10.20) для одномерного плоского (v = l) движения
с одноосной деформацией (е2 = е3 = 0, т2 = т3 = — i/2xi, переходя
о о
к переменным Pi, p2, <хи v, T, зависящим от лагранжевой коор-
координаты в направлении движения г и времени t, причем в левых
частях уравнений выделим члены, содержащие производные по
времени
~~дТ + ~р"ЬТ= 1 \ 1 = ~~р~^~д7~~ у
i—n зр° р° _„ 1 .¦*--, ±м
~^1 ~ Т. О а, \ О„ = „ Яг ~ п I'
h (h _
W ~ р ~ЬТ ~ 2 [ 2 — ~ Ро
"f
C-2.1)
'5 {"ь-родГ-
дх1 , . ц^ j [ъ ^±G±_<!}L Ti __ 4 _ 2 \
^- = К К = —
1 ^(т1 — р)
р0
где коэффициенты а31, ..., ai3 определяются уравнениями состоя-
о
ния фаз и зависят от текущих значений рг, р2, осх, Т:
C.2.2)
Четвертое уравнение C.2.1) получено в результате дифференци-
дифференцирования по t уравнения равенства давлений фаз A.10.17).
При заданных уравнениях состояния фаз Рг(Р°, Т) и
мг(р,, Г), при заданных значениях G и т#, определяющих сдви-
сдвиговую упругость и предел текучести, при заданных уравнении
равновесия фаз рв(Т) и уравнении кинетики для JiZ система
уравнений C.2.1) становится замкнутой. Отметим, что при от-
§ 2 ПОСТАНОВКА ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ 265
сутствии одной из фаз (а2 = 0 или а4 = 0) система уравнений
C.2.1) описывает движение соответствующей однофазной среды.
Предоставленная система по существу может рассматриваться
как обобщение на случай учета эффектов прочности системы
гидродинамических уравнений трехпараметрической сжимаемой
среды. Действительно, зависимости р. = р.(рг, Т) в силу их
о
непрерывности и монотонности по Pj можно разрешить относи-
относительно р°. Тогда из условия равенства давлений фаз р1 (р°, Г) =ж
= рх (р°, Г) можно получить монотонные по р° зависимости
Р° = Ь (pi> Т), р = р°а2 + р° A — а2) = -ф (р°, cclf T). C.2.3)
Последнюю монотонную по р° зависимость можно разрешить
относительно р°, тогда имеем
Pi = ^i(P,<*i, T). C.2.4)
В результате получим уравнения состояния трехпараметри-
трехпараметрической среды
P = PiN>(p,«i T), Л = я(р,а1, Г),
„ _ рл(р;^)+рл(р;^) _ _ @ а л C>2-5)
ы = ц (р, alt i;.
В связи с наличием дополнительного параметра af нужно
использовать уравнение массы одной из фаз (например, первой),
которое с учетом C.2.4) имеет вид (см. первое уравнение
C.2.1))
др°Л дТ]_ р°Й1 dv
at т \да /PiT at ' \от 1 at \ p0 Зг Р
C.2.6)
Это уравнение вместе с уравнениями состояния среды C.2.4),
C.2.5), уравнением кинетики для Ji2, соотношениями для т\
определяющими упругопластические эффекты, и уравнениями
сохранения массы, импульса и энергии, которые можно предста-
представить в обычном виде
J_ dp р_ dv_ ди_ __дах ^Эм _ i dv_ /Q ? 7)
р ~dt ~~ р0 дг ' Р° dt Ir* P° dt ~ дг% ' " " '
обобщают гидродинамику сжимаемой трехпараметрической сре-
среды на случай, когда учитываются упругопластические эффекты.
Практически реальные уравнения состояния твердых тел, как
правило (в том числе и на основе C.1.5) — C.1.7)), не позво-
позволяют разрешать их относительно р°, т. е. получать в явном виде
функцию р° = i|j2 (plf T), поэтому при решении задач следует
исходить из системы уравнений C.2.1).
266 ГЛ. 3. УДАР И ДЕТОНАЦИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
Далее обсуждается постановка трех задач для системы урав-
уравнений C.2.1) вместе с начальными и граничными условиями,
соответствующими некоторым схемам экспериментов.
Инициирование одномерной плоской детонации в конденсиро-
конденсированном ВВ (задача 1). Пусть детонация инициируется действием
поршня на левой границе заряда. С момента времени t = О пор-
поршень со скоростью vp в течение времени tp вдвигали в ВВ, при-
причем скорость vp и время tp достаточны для возбуждения устой-
устойчивой детонационной волны, после чего поршень либо останавли-
останавливался, либо отводился назад. Правая граница заряда ВВ (г = Ь)
предполагалась свободной. Таким образом, начальные условия
при t = 0 определяют покоящееся состояние (vo = O) среды в
виде исходной (а10 = 1) фазы при температуре То и нулевых
давлении и напряжении (р = 0, т1 = 0), а исходные плотности
фаз р°0 и р2°0 для ВВ такие, что
Р = Pi (рГо, То) = р2 (р2°0, То) = 0. C.2.8)
Граничные условия определяют скорость при г = 0 в виде
v@, t) = vp(t) и нормальное напряжение о1 — 0 на свободной
границе г = Ъ.
Удар детонационной волной по упругопластическому слою
(задача 2). В заряде твердого ВВ толщиной I при г = —Ъ ини-
инициируется плоская детонационная волна, например, за счет
поршня, как в задаче 1. Заряд контактирует с твердым упруго-
пластическим телом (мишенью) толщиной L в точке г = 0, где
и происходит отражение детонационной волны. Правая граница
мишени при г = L предполагается свободной. Таким образом, гра-
граничные условия имеют вид
г = -Ь, v(-b, t) = v,(t); r = L, o' = 0. C.2.9)
Начальные условия аналогичны начальным условиям в задаче
1с той лишь разницей, что при —&<г<0 параметры фаз р°0, р°0
и условия нулевого давления C.2.8), учитывающие уравнения
состояния фаз, соответствуют материалу ВВ, а при 0^r<L —
материалу мишени.
Плоский удар пластины по мишени (задача 3). Пусть пласти-
пластина толщиной Ъ (ударник, находящийся слева), имеющая беско-
бесконечные размеры в направлении, перпендикулярном ее движению,
имеет скорость v0 и при t = 0 ударяется о полупространство или
слой толщиной L (мишень, находящаяся справа), так что об-
область, занятая средой, имеет вид —b^r^L, а координата г = 0
разделяет ударник и мишень. Координаты г==—Ь и r = L соот-
соответствуют свободным поверхностям, где напряжения равны нулю.
Таким образом, имеем граничные условия
г = -Ъ: с1(-Ъ, t) = 0; r = L: о*{Ь, f) = 0. C.2.10)
5 2. ПОСТАНОВКА ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ 267
Пусть t = 0 есть момент соударения, и в этот момент давле-
давления и сдвиговые напряжения в ударнике и в мишени равны
нулю, а вещество как ударника, так и мишени находится
в виде исходной фазы низкого давления (ai0 = 1), причем истин-
истинные плотности фаз в ударнике и в мишени соответствуют нуле-
нулевому давлению, согласно C.2.8). Начальные условия для рас-
распределения скорости имеют вид
О,
Напряжения в точке г = О, разделяющей ударник и мишень,
не могут быть растягивающими. Поэтому, начиная с момента
времени t% (после прохождения ударной волны и волны раз-
разгрузки), когда
а1 @, *«,) = -/> @, t,) + г1 (О, У = О,
добавится еще одно граничное условие
о1 @, 0 = 0 (*>**), C.2.12)
что соответствует независимому движению мишени и ударника
(отход или отскок ударника). После отскока ударника при
t > t* уравнения, относящиеся соответственно к мишени и удар-
ударнику, можно решать независимо, ибо они и движутся незави-
независимо, а так как обычно интересуются поведением мишени, то
можно решать только уравнения в области, занятой мишенью
(г^О), что позволяет экономить затраты времени на счет.
Аналогичная ситуация может возникнуть и после откола, или
нарушения сплошности внутри мишени или ударника (см.
A.10.22)). Но вопрос о начале откола и его развитии здесь не
рассматривается.
Для всех рассмотренных задач в невозмущенном состоянии
имеется только первая фаза (аю = 1). В случае, когда исходное
вещество пористое (например, порошковое ВВ) с пористостью
wo= 1 — а10, в начальных условиях принималось р10 = Рю^ю, cci =¦
= am, Р20 = 0, a20 = 1 — a,0.
Для решения поставленных задач использовался метод пря-
прямых, или метод частиц, с применением псевдовязкости, позволяю-
позволяющий автоматически получать многоволновые конфигурации без
отслеживания фронта каждой волны. Для расчета упругопласти-
ческих течений однофазной среды этот метод с соответствующими
ссылками описал в работе М. Wilkins A964), а для задач о дви-
движении упругопластической среды с фазовыми переходами в ра-
работе Р. И. Нигматулина A970).
268 ГЛ. 3. УДАР И ДЕТОНАЦИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
§ 3. Численное моделирование инициирования детонации
конденсированного ВВ и взаимодействия детонационной волны
с металлом при контактном взрыве
На рис. 3.3.1 представлены /jF-диаграммы для расчета дето-
детонации сплошного и пористого гексогена. Здесь, в соответствии
со схемой рис. 3.1.5, 3.1.6, представлены кривая холодного сжа-
сжатия исходного гексогена, ударные и детонационные адиабаты,
рассчитанные по уравнениям C.1.27) и C.1.30). Для сравнения
приведены детонационные адиабаты при полном A00%) и непол-
неполном G5 и 50%) энерговыделении Qo. Точки Bj и Bj— точки
Чепмена — Жуге для сплошного и пористого ВВ, определяемые
с помощью прямых линий OBjA и O'BjA' (линий Рэлея — Ми-
хельсона), которые являются касательными, проведенными из
точек О и О' к соответствующим детонационным адиабатам.
Здесь точки О и О' определяются исходным состоянием соответ-
соответственно сплошного и пористого ВВ. При этом точки А ж А' соот-
соответствуют состояниям за ударной волной (в химпике).
Расчет инициирования и распространения детонации. В соот-
соответствии с задачей 1 в § 2 на основе уравнений двухфазной
конденсированной среды с физико-химическими превращениями
были проведены численные расчеты одномерного нестационарного
инициирования и распространения детонации (рис. 3.3.2).
Инициирование детонации в заряде взрывчатого вещества мо-
моделировалось поршнем, который вдвигался во взрывчатое вещест-
вещество. В слоях, прилегающих к поршню, контролировалось объемное
содержание <Xi исходного ВВ. Обычно в расчетах при установ-
установлении устойчивого режима детонации поршень останавливался,
т. е. при t > tp полагалось vP = 0. С целью ослабления действия
поршня на близлежащие слои продуктов детонации ВВ были
проведены дублирующие расчеты, но уже с отводом поршня, т. е.
полагалось, что при t> tp скорость поршня vP < 0. Эти расчеты
показали, что влияние поршня, определяющего способ иници-
инициирования, на процессы, происходящие в уходящей от поршня
детонационной волне, уже на расстоянии 1,5—2,0 мм пренебре-
пренебрежимо мало.
Начальная скорость поршня vp выбиралась такой, чтобы дав-
давления, развиваемые в исходном взрывчатом веществе, достигали
некоторых критических значений ркр, близких к давлению на
химпике р(А). Как видно из pF-диаграмм для сплошного (т0 =
= 0) и пористого (лг0 = 0,45) гексогена, представленных на
рис. 3.3.1, эти давления соответственно составляют 55 и 16 ГПа.
В расчетах полагалось, что для начала химической реакции
гексоген должен быть сжат в ударной волне до давлений р > ркр.
После начала реакции при условии, что р>р(В}) химическая ре-
реакция протекает до полного превращения взрывчатого вещества
в продукты детонации. Характерное время в уравнении
3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕТОНАЦИИ
269
р,ГПа
50
0,3
Рис. 3.3.1. Расчетные pF-диаграммы для детонации сплошного (Vo = l/po =
==0,55-Ю-3 м3/кг, то = О) и порошкового (F0 = l,0-10-3 м3/кг, т0 = 0,45;
обозначения на соответствующих кривых снабжены штрихами) гексогена;
1 — кривая «холодного» сжатия pv(V) нереагировавшего гексогена, 2 и 2'—
ударные адиабаты нереагировавшего сплошного (пг0 = 0) и порошкового
{то = 0,45) гексогена, 3 а 3' — детонационные адиабаты сплошного и по-
порошкового гексогена при полном выделении энергии взрыва Qo (р0, То), 4 и
4 —детонационные адиабаты при неполном энерговыделепии, составляю-
составляющем 75% от <?о, S и 5' — детонационные адиабаты при неполном энерговы-
энерговыделении, составляющем 50% от <?0, OBjA и О'В3А' — прямые Рэлея — Ми-
хельсона
270 ГЛ. 3. УДАР И ДЕТОНАЦИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
линейной кинетики химического превращения C.1.20) для гексо-
гена принималось по данным экспериментальных исследований
(А. Н. Дремин, С. Д. Савров и др., 1970), а именно: tlz= 0,1 мко
для сплошного гексогена и t12 = 0,35 мкс для пористого (т<, ¦*
= 0,45) гексогена.
Рис. 3.3.2. Эпюры массовой скорости вещества v и давления р в детонацион-
детонационной волне, распространяющейся по заряду сплошного (т0 = 0) гексогена
(Ро = 1820 кг/м3) от неподвижной стенки, в различные моменты времени t
в мкс, которым соответствуют указатели
На эпюрах расчетной детонационной волны на рис. 3.3.2, так
же как и на рис. 3.3.1, для времени t = 0,4 мкс отмечены харак-
характерные точки О, А, В. Точка Чепмена — Жуге В определялась
как крайняя точка, где объемное содержание исходного ВВ рав-
равнялось нулю (cci = 0), и реакция тепловыделения в связи с этим
заканчивалась.
Скорость распространения стационарной детонационной вол-
волны составляет 8,65 км/с для сплошного гексогена и 6,0 км/с
для пористого (т0 = 0,45) гексогена. Расчетные параметры де-
детонационных волн удовлетворительно согласуются с имеющимися
экспериментальными данными (В. С. Ильюхин, П. Ф. Похил и
др., 1960).
При численном моделировании детонационной волны и мета-
метания тонких пластин контактным взрывом применение линейной
§ 3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕТОНАЦИИ 271
кинетики и указанных уравнений состояния дает вполне удов-
удовлетворительные результаты, причем уточнять зону химпика осо-
особой необходимости нет. Шаг счета по пространственной коорди-
координате г выбирался так, чтобы на зону химпика приходилось от
15 до 20 частиц. Уменьшение числа частиц, приходящихся на
химпик, из-за укрупнения шага Дг может привести к «размазы-
«размазыванию» и сглаживанию расчетной детонационной волны.
Расчет воздействия на твердое тело взрыва накладного за-
заряда ВВ. Изменением плотности и массы накладного заряда
ВВ можно варьировать давления, достигаемые при нагруже-
нии образца, а также реализующиеся за счет взрыва скорости
метаемых пластин. Детонационная волна после выхода на кон-
контактную границу с инертным материалом инициирует в нем
ударную волну, интенсивность которой зависит от динамических
зкесткостей преграды и ВВ. В обратную сторону в продукты де-
детонации идет отраженная от контактной поверхности ударная
волна сжатия или волна разрежения в зависимости от соотноше-
соотношения динамических жесткостей материала преграды и продуктов
детонации. Во всех рассматриваемых ниже задачах динамическая
жесткость инертного материала больше динамической жесткости
продуктов взрыва ВВ, и поэтому в зоне контакта происходит воз-
возрастание давления с торможением, а затем и разлетом ПД от
контактной границы.
Ниже приведены результаты расчетов и их обсуждение для
детонации накладного заряда (задача 2 в § 2) гексогена на полу-
полубесконечный слой армко-железа и никеля. Видно, что максималь-
максимальные давления в преграде, достигаемые на глубине 1—2 мм от
контактной границы, обусловлены действием химпика, а на боль-
больших глубинах — давлением и разгрузкой за детонационной вол-
волной, причем затухание ударной волны в металле практически не
зависит от толщины заряда Ь, но увеличение Ъ замедляет паде-
падение давления на контактной границе, которое происходит из-за
расширения ПД.
Реализация в опытах схемы с накладным зарядом взрывча-
взрывчатого вещества, детонирующего на тонкой пластине из инертного
материала, плотно прижатой к торцу заряда ВВ, позволяет по
измеренной скорости движения свободной поверхности пластины
исследовать само взрывчатое вещество. Это достигается исполь-
использованием тонких пластин разной толщины L, что дает возмож-
возможность по результатам измерений построить профиль скорости сво-
свободной поверхности пластины в зависимости от ее толщины и
воспроизвести при малых L химпик детонационной волны (см.
А. Н. Дремин, С. Д. Савров и др., 1970).
Для детонации заряда сплошного гексогена толщиной Ъ =
= 4,5 мм в контакте с тонкими пластинами (или фольгой) из
вольфрама были рассчитаны (см. рис. 3.3.3) скорости свободной
поверхности vf(t) метаемых пластин разной толщины (время
272 ГЛ. 3. УДАР И ДЕТОНАЦИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
отсчитывалось с момента выхода детонационной волны на
пластину).
Из расчетных данных видно, что с уменьшением толщины
пластины L начинают проявляться масштабные эффекты в де-
детонационной волне, когда на процессы, происходящие в тонкой
пластине, оказывает влияние химпик. Поэтому при достаточно
тонкой пластине малой массы имеется возможность реализовать
большие скорости метания, сравнимые со скоростью детонацион-
и., км/с
Рис. 3.3.3. Скорость свободной по-
поверхности vf тонких вольфрамо-
вольфрамовых пластин (разной толщины L)
во времени при контактном взры-
взрыве заряда сплошного (т0 = 0)
гексогена (р0 = 1,82 г/см3, Ь =я
= 4,5 мм). Числовые указатели на
кривых соответствуют толщине L
пластины в мкм
O,fO O,ZO 0,30 t,MKC
ной волны D. Это хорошо видно на кривых рис. 3.3.3, где макси-
максимальные скорости полета вольфрамовых пластин достигают
6,8 км/е. При проведении расчетов для метаемых пластин отво-
отводилось от 1 до 6 частиц (или ячеек) расчетной области, что
позволило рассчитывать движение пластин толщиной от 20 до
240 мкм. Для очень тонких пластин (L « 20 мкм) скорость, кото-
которую приобретает пластина, должна, очевидно, определяться толь-
только ее массой независимо от уравнения состояния, ибо волновые
эффекты в тонкой пластине, характеризуемые временем ?(С)= L/C,
где С — скорость звука в пластине, практически не влияют на
процесс ее разгона.
С увеличением толщины пластины становится все более за-
заметным влияние волновых эффектов за счет многократного отра-
отражения волн от ее плоских границ, приводящего к пульсирующему
характеру изменения скорости свободной поверхности vf{t).
§ 4. О фазовом превращении при ударном сжатии железа
Полиморфное превращение в железе при высоких ударных
давлениях ~20 ГПа, сопровождающееся уменьшением объема,
было экспериментально обнаружено в работе D. Bancroft, E. Pe-
Peterson, S. Minshall A956). Позднее при статическом сжатии же-
железа (A. Balchan, H. Drickamer, 1961) было обнаружено изме-
изменение электросопротивления при давлении 13,3 ГПа и темпера-
температуре 300 К, что подтверждало полиморфное превращение при
§ 4. ФАЗОВОЕ ПРЕВРАЩЕНИЕ ПРИ СЖАТИИ ЖЕЛЕЗА
275
указанных параметрах. Первоначально предполагалось, что про-
происходит а -*¦ if фазовый переход (т. е. переход из объемноцент-
рированной кубической структуры Fe(a) в гранепентрированную
кубическую структуру Fe(T). Но позднее на основании исследо-
исследования микроструктуры ударно-сжатых образцов железа пря
различных температурах было показано (P. Johanson et al, 1962j
Жидкая фаза
т,к
1500
500
/а-фаза
к
а-фсза
О
\
\ г-фаза
\
„—=^=
10
Z0
50 р,ГПа
Рис. 3.4.1. Фазовая диаграмма и адиабата OAiA2C железа в />7-координатах
J. Jamiesen, A. LawsoD, 1962), что линия фазового равновесия в
координатах р, Т (см. линию GSE на рис. 3.4.1) имеет точку
излома S, которой соответствуют р = 11,0 ГПа, Т = 800 К. Точка
излома S должна быть тройной точкой, что говорит о сущест-
существовании новой, ранее неизвестной фазы. Последующие экспери-
эксперименты с высокими нагрузками позволили определить при помощи
измерений дифракции рентгеновского излучения (R. Glendenen,
Н. Drickamer, 1Э64; Т. Takahasi, W. Basset, 1964), что эта но-
новая фаза железа есть е-фаза, или Fe(e) с гексогональной плотно-
упакованной структурой.
Фазовые превращения, происходящие при ударном сжатии,
приводят к появлению в пластической области течения двух от-
отдельных волн или к двухволновой конфигурации ударной волны,
которые движутся с различными скоростями (см. рис. 3.1.4).
Впервые такой двухволновой профиль был получен в упоминав-
упоминавшейся работе D. Bancroft et al. A956) путем регистрации ско-
скорости движения свободной поверхности железной мишени,
нагруженной взрывным давлением. Полученная диаграмма дви-
движения свободной поверхности во времени, в сопоставлении о
моментом прихода ударной волны, дала возможность построить
1° р. и. Нигматулин, ч. I
274 ГЛ. 3. УДАР И ДЕТОНАЦИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
ударную адиабату для железа. Более точная методика, основан-
основанная на емкостном методе непрерывной записи скорости движе-
движения свободной поверхности металлических образцов, была ис-
использована в работе С. А. Новикова и др. A966) для фиксиро-
фиксирования двухволновой структуры ударной волны. В результате
•было получено, что в волне с давлением р ~ 20 ГПа (ps =
= 13 ГПа) превращение а ->¦ е проходит за время ?12 » 0,2 мкс.
Это позволяет оценить значение коэффициента Ь±2 в линейном
уравнении кинетики (см. оценку A.10.28)):
1$ » РсЖяАр) « 6,0 с/м2. C.4.1)
Исследование обратных фазовых превращений (W. Drum-
-mond, 1957; А. Г. Иванов, С. А. Новиков, 1961, А. Г. Иванов,
С А. Новиков, Ю. И. Тарасов, 1962) привело к эксперименталь-
экспериментальному обнаружению ударных волн разрежения, возможность кото-
которых следует из отрицательности кривизны адиабаты разгрузки
(d2p/0V2 < 0). В экспериментах, описанных в последних двух
статьях, при столкновении встречных волн разрежения, обуслов-
обусловленных обратным фазовым превращением в железе, наблюдался
гладкий откол металла, что свидетельствует об очень малой тол-
толщине ударных волн разрежения из-за чрезвычайно высоких ско-
скоростей обратного фазового перехода 8 -*¦ а. Эти исследования яви-
явились доказательством существования ударных волн разрежения
у веществ, имеющих точки излома на ударной адиабате.
Об уравнениях состояния железа. Рассмотренные выше мо-
модель и схема расчета использовались для исследования нестацио-
нестационарного движения, когда материалом ударника и мишени явля-
является железо, в котором, как известно, за ударной волной доста-
достаточной интенсивности происходит превращение Бе(а) ->- FeU),
а в разгрузке Fe(E) -*¦ Fe(a). В невозмущенном состоянии материал
находится в состоянии первой (Fe(a)) фазы (cciO = l). Фазовая
диаграмма для железа в ^Т-координатах приведена на рис. 3.4.1,
где также нанесена ударная адиабата ОАуА^С. Далее фаза Fe(e)
будет называться и отмечаться индексом как вторая фаза.
Значения коэффициентов, определяющих уравнения состоя-
состояния Fe(a> и Fe(8) в виде C.1.2), C.1.5), C.1.7), приведены в
Приложении. Там же дана аппроксимация зависимости давления
Ps(T) для фазового перехода Бе(с0 *=* Fe<8), которая соответствует
кривой SE на рис. 3.4.1. Указанная кривая получена по резуль-
результатам обработки данных статических и динамических эксперимен-
экспериментов и приведена в статье L. Kaufman A963).
На рис. 3.4.1—3.4.4 показаны ударные адиабаты железа,
исходное состояние которого определяется точкой О, в виде ли-
линий OAtA2C, рассчитанные по гидродинамической схеме без уче-
учета сдвиговой компоненты т1 тензора напряжений при одноосном
деформировании материала на ударной волне, которая при
§ 4. ФАЗОВОЕ ПРЕВРАЩЕНИЕ ПРИ СЖАТИИ ЖЕЛЕЗА
275
Рис. 3.4.2. Ударная адиабата
железа в рУ-координатах;
р0 = 7860 кг/м3, Кй = 1,7-10"
Па; OiAiFi — ударная адиаба-
адиабата а-фазы, AiCR — ударная
адиабата после фазового пере-
перехода а ->¦ е
0,5
p(R)
0,3
№
0,1
п
X
V
-Экопер
L
/мент
к
1,0
0,9
0,3
0,1 0,2 О,Ъ v/C,
Рис. 3.4.3. Скорости ударных волн
DC), 2?<12) и волн разгрузки С + v
и С(у) + v (см. рис. 3.1.3) в железе
в зависимости от массовой скорости
сжатого вещества v. Все скорости
взяты относительно исходного не-
невозмущенного вещества (р0 « О,
7*о = 300 К) и отнесены к гидроди-
гидродинамической скорости звука в ис-
исходном веществе (Со = 4670 м/с)
18*
0,8
0,9
0,5
р(Ю
0Ъ
0,1
о
/,
А
/I
'/
v(f
/
(R)
0,1 0,Z 0,5 v/C0
Рис. З.4.4. Давление за удар-
ударной волной в железе в зави-
зависимости от массовой скорости v
сжатого вещества относительно
исходного вещества; Со =
= 4670 м/с, Яо= 1,70-Ю11 Па
276 ГЛ. 3. УДАР И ДЕТОНАЦИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
достаточно высоких давлениях (~10 ГПа) практически не влияет
на вид ударной адиабаты нагружения *). На указанных ри-
рисунках скорости ударной волны D и массовой скорости вещества
v отнесены к гидродинамической скорости звука в железе в ис-
исходном состоянии (Со = 4650 м/с), а давление — к модулю гидро-
гидростатического сжатия (Ко = 1,695 • 10й Па). Величины Со и Ко с
учетом начальной плотности железа (р0 = 7860 кг/м3) определя-
определяются следующими соотношениями:
C.4.2)
Тонкими линиями нанесены неравновесные участки, соответ-
соответствующие фазам в метастабильном состоянии. На рис. 3.4.2 для
сравнения приведены также экспериментальные точки разных
авторов (J. Walsh et al, 1957; R. McQueen et al, 1970 и т. д.).
На ударных адиабатах нанесены характерные точки Ait A2, С.
Точка Ai соответствует максимальной интенсивности волны, за
которой вещество находится в виде исходной (первой, или а-фа-
зы). Точка А2 соответствует минимальной интенсивности ударно-
ударного сжатия вещества первой фазы (Fe<a>) из состояния О, когда в
результате такого сжатия вещество полностью перейдет во вто-
вторую фазу (Fe(8)). Точка С разделяет режимы одноволнового и
двухволнового сжатия с фазовым переходом. При этом участку
AtA2C соответствует двухволновая конфигурация (если не счи-
считать упругий предвестник) ударного нагружения, переводящего
вещество из состояния О во вторую фазу.
Ударная адиабата на участке ОАи когда перед и за волной
вещество находится в виде первой фазы (фазовые переходы от-
отсутствуют), рассчитывается из уравнений на скачке и уравнений
состояния в следующем виде:
p0D = p(D — v), p0Dv = p — Po,
p = Pl (p, T), Ul = Ul (p, T), p = Pl°, C.4.3)
Po = Pi (Po> ^o)» uo = ui (Po> ^o)' Po — Pio.
и точка Ai с параметрами (pAi, TAU pAU vAi) определяется, как
показано на рис. 3.4.1, пересечением на плоскости рТ ударной
адиабаты, определяемой уравнениями C.4.3), и линией равно-
равновесия фаз Ps(T).
Ударная адиабата и параметры сжатого вещества на участ-
участке AZC, где ударное сжатие реализуется в двух ударных волнах
(причем, вторая волна движется с меньшей скоростью, чем пер-
первая) , рассчитываются с учетом того, что вторая волна движется
*) Как будет показано ниже, эффекты прочности, характеризуемые де-
виатором тензора напряжений т*1, тем не менее оказывают заметное влия-
влияние на затухание возмущения (ударной волны).
§ 4. ФАЗОВОЕ ПРЕВРАЩЕНИЕ ПРИ СЖАТИИ ЖЕЛЕЗА 277
по веществу в состоянии Ai. Тогда уравнения на втором скачке
и соответствующие уравнения состояния имеют вид
pAlD' = P{D'-v'), pAlD'v'=p-pM, 9MD'^
Pai = Pi (Pai' Г^)' (i ) !
где D' и у' — скорость ударной волны и массовая скорость ве-
вещества за ней относительно вещества перед волной, находяще-
находящегося в состоянии А^ т. е. движущегося относительно исходного
вещества в состоянии О со скоростью vAU На рис. 3.4.3 и 3.4.4
приведены зависимости давления р и скорости второй волны
Dli2) относительно лабораторной системы координат, связанной
с исходным веществом О, по которому идет первая ударная вол-
волна со скоростью Dw=Dai, от массовой скорости сжатого ве-
вещества v. При этом для v и DA2) имеем
v = v' + Vau Dw=D' + VAlm C.4.5)
Параметры точек А2, как показано на рис. 3.4.1, находятся ана-
аналогично параметрам точки Ait а именно, по пересечению ударной
адиабаты C.4.5) в плоскости рТ с линией равновесия фаз ps{T).
Параметры упоминавшейся выше точки С находятся в плоскости
рТ пересечением ударной адиабаты D.4.4) с прямой линией Рэ-
лея — Михельсона, проходящей через точки О и Ai.
Ударное сжатие с давлением выше давления в точке С реа-
реализуется в одной ударной волне, распространяющейся по вещест-
веществу в состоянии О. Соответствующая ударная адиабата определя-
определяется из уравнений
p(D — v), p0Dv r=p—p0, pQD (u — uo + г/У) = pv,
р = Рг(р,Т), u = u2(p,T), p = p°, [(ЗЛ.6)
Po — Pi (Po- 7o)» "o = ui (Po. Г)> Po = Pio-
Расчет указанных выше ударных адиабат, т. е. нахождение
D, v, p в каждой точке, соответствующей волне с фиксированной
интенсивностью, которая определяется давлением р, сводится к
решению алгебраической системы уравнений. Из-за трансцен-
трансцендентного вида уравнений состояния конденсированных фаз этот
расчет можно реализовать только численно.
Некоторые результаты расчетов эволюции ударных волн в
железе. На рис. 3.4.5, 3.4.6 приведены результаты численного
решения нестационарной задачи в виде эпюр напряжений о1 и
объемной концентрации а4 исходной Fe(a) фазы в различные мо-
моменты времени после плоского удара железной пластиной толщи-
толщиной Ъ = Ъ мм о мишень (занимающую полупространство г>0)
из того же материала со скоростью v0 = 2,0 км/с. В качестве
278
ГЛ. 3. УДАР И ДЕТОНАЦИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
первого приближения было принято линейное уравнение A.10.28)
кинетики фазовых переходов с коэффициентами в соответствии
с оценкой C.4.1).
На эпюрах о1 {г), соответствующих различным моментам вре-
времени (см. рис. 3.4.5), можно идентифицировать волны, которые
с:ГПа\
-з
40 г. ММ
Рис. 3.4.5. Расчетные эпюры напряжений в различные моменты времени
после удара со скоростью v0 = 2,0 км/с железной пластиной толщиной
Ь = 3 мм (—3 мм < г < 0) в полупространство (г > 0) из железа. В рас-
расчетах использовались значение динамического предела текучести т» =»
= 0,36 ГПа и линейная кинетика A.10.28) фазовых переходов, определяе-
определяемая коэффициентами L^ и L^. Сплошные линии — для L&* = ^
= 6,0 с/м2, штриховые — для L<$, = 6,0 с/м2, Ь^ = 30 с/м2
выделены буквами на рис. 3.1.4. Впереди идет упругий предвест-
предвестник ОН, распространяющийся с большей скоростью {DM = CU) =•
= 6,05 км/с), чем основное возмущение. За упругим предвестни-
предвестником со скоростью D{i) идет первая пластическая волна (скачок
HAi), во фронте которой вещество сжимается в виде фазы Fe(a).
В расчетах этот скачок имеет конечную толщину из-за псевдо-
псевдовязкости. За скачком со скоростью ?>A2> идет вторая (релакса-
(релаксационная) волна AiL, на которой происходит фазовое превраще-
превращение а -*¦ е и которая к рассматриваемому моменту времени дви-
движется с меньшей скоростью, чем первая волна. Толщина этой
волны определяется кинетикой перехода а ->¦ е, в данном случае
величиной Ь%'. Волна сжатия распадается на первую и вторую
волны, идущие с разными скоростями (Da) >Z3(l2)), лишь на не-
некотором расстоянии от поверхности соударения после некоторого
ослабления возмущения волнами разгрузки, когда давление за
волной становится ниже 33 ГПа, соответствующего точке С на
ударных адиабатах (см. рис. 3.4.2 и 'ЗАЗ). При больших давле-
§ 4. ФАЗОВОЕ ПРЕВРАЩЕНИЕ ПРИ СЖАТИИ ЖЕЛЕЗА
279
ниях вторая волна движется в виде зоны релаксации вместе со
скачком НА, (т. е. D{i2) =?>">).
Разгрузка начинается на упругой волне разрежения LE, оп-
определяемой скоростью С(г). Затем со скоростью СB) идет пласти-
пластическая волна разрежения ЕМ2, на которой вещество расширяется
по адиабате второй фазы, или фазы высокого давления Fe(e>.
О
3/7 г, мм
Рис. 3.4.6. Эпюры объемного содержания cti первой фазы (Fea) в железной
мишени в различные моменты времени при тех же условиях, что и на
рис. 3.4.5. Штриховая линия, исходящая из точки F, показывает минималь-
минимальное значение ai в каждой точке, т. е. характеризует степень превращения
Fea-*-Fee в точках, лежащих правее точки F. В точках левее точки F эти
переходы происходят полностью
Разгрузка продолжается на волне М2К, которая движется со ско-
скоростью DB1) и на которой происходит фазовый переход г -*¦ а.
Толщина этой волны определяется кинетикой фазового перехода,
и если LBy—>-оо, то указанная волна будет скачком разрежения.
Если железный ударник имеет достаточную толщину и ско-
скорость удара Vo превышает 1,62 км/с (эта скорость соответствует
точке С на ударных адиабатах (рис. 3.4.2—3.4.4), где v = V2Vo =
= 0,81 км/с, р = 33,0 ГПа), то структура ударной волны стре-
стремится к стационарной конфигурации до прихода волны разгруз-
разгрузки, причем эта стационарная волновая конфигурация имеет впе-
впереди скачок, за которым идет зона релаксации. Амплитуда скачка
в плоскости pV (см. рис. 3.4.2) находится пересечением ударной
адиабаты исходной a-фазы OAiFt с прямой Рэлея—Михельсона
OR, соединяющей начальное О и конечное R состояния за всей
волной. Это пересечение определяет точку Ft, соответствующую
состоянию за скачком. Далее по p{R) и pi(Ft) на ударных адиа-
адиабатах в плоскостях pv и Dv (см. рис. 3.4.4 и 3.4.3) определяются
массовые скорости за скачком г;^) и за всей волной v(R),
а также скорость стационарной волны D(R) = D(Ft).
Если скорость удара v0 железным ударником находится в ин-
интервале 0,65 < Vo < 1,62 км/с (скорость удара уо = О,65 км/с и
280 гл- 3. УДАР И ДЕТОНАЦИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
массовая скорость за волной v = 72у0 = 0,325 км/с соответствуют
точке Ai ударных адиабат на рис. 3.4.1—3.4.4, т. е. минимальной
скорости удара, вызывающего фазовый переход), то такой ста-
стационарной конфигурации не существует, так как первая волна
(скачок OAi или НА{) имеет большую скорость, чем вторая вол-
волна AiL, но каждая из этих волн стремится к своим стацио-
стационарным конфигурациям и амплитудам до прихода волн раз-
разгрузки.
В момент соударения амплитуда переднего или первого скач-
скачка соответствует ударному сжатию первой, или исходной а-фа-
зы и на этом скачке реализуется весь перепад массовой скорости
(в данном случае v = i/2.vc,). По мере удаления от места соударе-
соударения амплитуда этого скачка стремится к своему стационарному
значению (релаксационное затухание), когда на скачке реали-
реализуется лишь часть перепада v(Ai) или v(Fi), а остальная часть
на волне фазового превращения (см. также ослабление волны на
участке FR на рис. 3.1.4).
Конечное время, необходимое для фазового перехода, и об-
образующаяся многоволновая структура ударной волны также при-
приводят к тому, что волна, на которой заканчивается переход
Fe(a) -*¦ Бе(Е), начинает затухать раньше, чем это следует из про-
простейших соображений, связанных с анализом только ударной
адиабаты. В частности, сдвиговая прочность, определяемая девиа-
тором т1, приводит к более раннему началу ослабления ударной
волны, чем это следует из чисто гидродинамической модели, так
как упругая волна разгрузки имеет большую скорость, чем пла-
пластическая волна разгрузки.
К настоящему времени, видимо, можно считать, что уравне-
уравнения состояния (для давления и внутренней энергии) многих твер-
твердых тел и их фаз, а также зависимость давления фазового пере-
перехода (например, для Fe<0° ^ Fe(e)) от температуры, определены
или по существующим методикам могут быть определены с до-
достаточной степенью -точности. Что же касается сопротивления
материала динамическому сдвигу (модуля упругости, предела
текучести) при значительных давлениях и температурах, кине-
кинетики фазовых переходов и переходов к пластическому течению
(которые можно рассматривать как фазовые переходы, но вто-
второго рода), то они исследованы гораздо менее подробно и для
многих веществ неизвестны.
Ударно-волновые эксперименты с твердыми веществами по
сравнению с такими же экспериментами в газах обладают одним
замечательным преимуществом. После прохождения ударной вол-
волны твердое тело (если удается его сохранить) как бы «замора-
«замораживает» некоторые эффекты, что иногда позволяет извлечь до-
дополнительную информацию (исследуя образец уже после экспе-
эксперимента) о процессах, происходивших на ударной волне. Одной
из целей такого исследования является нахождение связи между
§ 4. ФАЗОВОЕ ПРЕВРАЩЕНИЕ ПРИ СЖАТИИ ЖЕЛЕЗА
281
остаточными эффектами в образце (мишени) после прохождения
по нему ударной волны и величинами, характеризующими кине-
кинетику фазовых переходов. В связи с этим были произведены рас-
расчеты удара пластины по полупространству из железа с различны-
различными значениями параметров, характеризующих эти процессы, т. е.
при вариации /12, J2U T*- Целью таких расчетов было выяснепие
влияния этих параметров на движение среды, структуру много-
многофронтовой системы волн, их затухание, глубину зоны, где проис-
происходят фазовые переходы. Результаты показывают существенное
качественное влияние фазовых переходов, сдвиговой упругости,
прочности (девиатора напряжений) и нестационарности на ха-
характер движения и затухания ударной волны.
ГПа
20
Vg=2,i
км/с^"
0 км/с
ъо=1,Ъ км/с
Z>
ч
ш
3
¦ 1
10
20
30 кмм
Рис. 3.4.7. Затухание (расчетное) ударной волны, вызывающей фазовый
переход в железе, при плоском ударе железной пластиной толщиной Ь =
и 3 мм с различными скоростями vq = 1,3; 2,0 и 2,5 км/с при различных
вначениях динамического сдвигового предела текучести в виде т* = т*0 +
+ Мр. Штриховые линии соответствуют гидродинамической схеме (т*0 = 0,
М =0); линии 1 — для т*0 = 0,36 ГПа, М = 0; линии 2 — для т#0 =
=0,36 ГПа, М = 0,014; линии 3 ~ для т*0 = 0,36 ГПа, М = 0,04
Рис. 3.4.7 иллюстрирует влияние предела текучести на ин-
интенсивность затухания возмущения в мишени из железа. Здесь
кривые о1 (г) характеризуют максимальные напряжения, дости-
достигаемые на глубине г при различных скоростях удара. При этом
использовались уравнения кинетики фазовых переходов в виде
C.1.19) со значениями коэффициентов, приведенными и обосно-
обоснованными ниже (см. C.5.1)). Значения динамического предела
сдвиговой упругости или текучести т.,. заданы линейным законом
упрочнения A.10.21), в котором значения т^.о = 0,36 ГПа, М =
•= 0,014 аппроксимируют в диапазоне давлений ударных волн
282 ГЛ. 3. УДАР И ДЕТОНАЦИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
О—60 ГПа экспериментальные данные Л. В. Альтшулера
и др. A971). Отметим, что вариации т# для заданного металла
можно получить предварительной пластической обработкой и
термообработкой.
Из рис. 3.4.7 видно, что увеличение предела сдвиговой
упругости приводит к более раннему затуханию ударной волны,
ибо это увеличение приводит к увеличению амплитуды упругих
волн разгрузки, имеющих большую скорость, чем пластические
волны разгрузки.
Для иллюстрации влияния кинетики обратного перехода
8 -*- а на течение и структуру ударных волн разрежения на
рис. 3.4.5 приведены эпюры напряжений в виде штриховых ли-
линий, соответствующих более высоким скоростям обратных превра-
превращений, когда Lfi = 30 с/м2 A$ = 6 с/м2).
Видно, что кинетика обратного перехода в фазу низкого дав-
давления влияет только на структуру и толщину ударной волны
разрежения, где реализуется указанный переход. При доста-
достаточно высокой интенсивности этого перехода указанная вол-
волна вырождается в скачок разрежения. Таким образом, имеется
облегчающее анализ процесса обстоятельство, состоящее в том,
что две реакции протекают независимо друг от друга, а кинети-
кинетика обратного превращения фактически не влияет на процессы
впереди волны разрежения, в частности, на глубину зоны, где
фазовый переход Fe(a) -*- Fe(e) протекает полностью.
Экспериментальные факты, в частности чрезвычайно глад-
гладкая поверхность откола при столкновении двух волн разреже-
разрежения (А. Г. Иванов, С. А. Новиков, Ю. И. Тарасов, 1962) говорят
о том, что скорости перехода Fe(E) -»- Fe(a) чрезвычайно велики и
существенно превышают скорости перехода FeCa) -»- FeU), а тол-
толщина ударной волны разрежения очень мала.
Расчеты с различными значениями коэффициента L^2 или
•^i2i Ri2, АJ в уравнениях кинетики фазового перехода Fe(a) -*•
-*¦ FeU) показывают, что глубина б зоны, где фазовые переходы
произошли полностью (KF на рис. 3.4.6), при прочих равных
условиях существенно зависит от принятых значений этих коэф-
коэффициентов.
При скоростях фазовых переходов, по порядку достаточно
близких к реальным, линия amiD(r) (штриховая линия на
рис. 3.4.6), показывающая степень полноты перехода в фазу
высокого давления, круто идет из крайней точки F, где фазовые
переходы произошли полностью. Это создает возможность опре-
определения уравнения кинетики превращения а -*- е по остаточно-
остаточному эффекту, для чего нужно после соответствующего экспери-
эксперимента определить действительную глубину этой зоны.
§ 5. УПРОЧНЕНИЕ СТАЛЕЙ ВЗРЫВОМ 283
§ 5. Исследование упрочнения сталей взрывом
Если при ударном воздействии интенсивная двойная пере-
перекристаллизация, связанная с превращением из фазы низкого
давления в фазу высокого давления в нагрузке и с обратным пе-
переходом в разгрузке, изменяет какие-либо свойства частиц сре-
среды, где эти превращения имели место, то особое значение приоб-
приобретает исследование остаточных эффектов после ударно-волновой
обработки.
Такое исследование имеет и практическое значение в связи с
использованием в технологии упрочнения металлов ударно-вол-
ударно-волновой обработкой с применением взрывчатых веществ. Этот про-
процесс называют упрочнением взрывом. Он приводит к существен-
существенному увеличению характеристик прочности и твердости металла,
причем не только в слоях близ поверхности образца, на которую
осуществлялось ударное воздействие, но и внутри него на значи-
значительной глубине (~10 мм). Упрочнение взрывом либо по схеме
удара пластиной, разогнанной с помощью ВВ, либо по схеме
накладного заряда ВВ применяется для обработки железнодо-
железнодорожных крестовин, ковшей экскаваторов, деталей камнедробилок,
мельниц и т. д., т. е. деталей, подвергающихся в процессе экс-
эксплуатации сильным ударам и истиранию.
Экспериментальные исследования упрочнения сталей взры-
взрывом. Для исследования физических механизмов и причин упроч-
упрочнения металлов ударно-волновой обработкой в работе S. S. Gri-
gorian, К. I. Kozorezov, R. I. Nigmatulin et al A972) была ис-
использована методика достаточно чистого и контролируемого
эксперимента, связанного с созданием плоской ударной волны за
счет плоского удара пластиной, разогнанной до некоторой скоро-
скорости (которая непосредственно замерялась) с помощью взрывча-
взрывчатого вещества (ВВ). Схема такого эксперимента показана на
рис. 3.5.1. От одного капсюля генератор линейной A) и плоской
B) волн инициирует в заряде взрывчатого вещества плоскую
детонационную волну, которая разгоняет пластину 4 (удар-
(ударник) . Скорость ударника предварительно замерялась в аналогич-
аналогичных условиях (тот же генератор линейной и плоской волн, тот же
заряд ВВ) с помощью контактных датчиков. Скорость пластины
варьировалась с помощью изменения толщины заряда ВВ. При
соударении с исследуемым образцом 5 @ 50 мм) в последнем
создается плоское возмущение. Исследуемый образец плотно
посажен внутрь обоймы 6 (внешний диаметр 0 90 мм или
130 мм совпадает с диаметром ударника) из того же материала,
что и образец 5. Обойма служит для задержки боковой разгруз-
разгрузки. Разделение мишени на обойму 6 и внутренний образец 5
предохраняет исследуемый образец 5 от проникания в него тре-
трещин, возникающих на периферии мишени (в обойме) из-за бо-
боковой разгрузки.
284
ГЛ. 3. УДАР И ДЕТОНАЦИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
Рис. 3.5.1. Схема экспери-
эксперимента (о) по упрочнению
образца плоским ударом
пластины, разогнанной
взрывом; схема замера
твердости (б) в продольном
сечении упрочненного об-
образца; 1 — генератор линей-
линейной водны, 2 — генератор
плоской волны, 3 — заряд
ВВ, 4 — метаемая пластина
(ударник), 5 — упрочняе-
упрочняемый образец (мишень), 6 —
обойма для задержки боко-
боковой разгрузки
1,8
1,6 -
1,4
1,2
4 Д
д ^
э
3 ?
-^
• - 1
х -2
о - J
й -4
\л——I
10
Z0
SO r, мм
Рис. 3.5.2. Изменение твердости по глубине образца из стали Г-13Л, уп-
упрочненной взрывом (кривая 1) накладного заряда (р = 20 ГПа) или ударом
пластины из того же материала толщиной 3 мм со скоростями v0 = 1,6;
1,95 и 2,3 км/fc, которым соответствуют точки и кривые 2, 3, 4
После эксперимента образец 5 извлекался из обоймы и рас-
распиливался по диаметральной плоскости, которая затем шлифо-
шлифовалась. На этой поверхности измерялась твердость с помощью
прибора Виккерса. Замеры производились лишь в точках, где
ударная волна была плоской. Зная примерно угол боковой раз-
§ 5. УПРОЧНЕНИЕ СТАЛЕЙ ВЗРЫВОМ
285
грузки (см. Л. В. Альтшулер, 1978; Я. Б. Зельдович, Ю. П. Рай-
зер, 1966), эту зону можно выделить (см. рис. 3.5.1, б). Заме-
Заметим, что из-за многоволновой конфигурации возмущения такой
элементарный расчет зоны одномерного движения оказывался
иногда недостаточно точным при больших скоростях удара
(см. ниже).
Рис. 3.5.3. Изменение
твердости по глубине
образца из армко-желе-
за, упрочненного ударов
пластины из того же
материала толщиной
3 ММ СО СКОРОСТЯМИ Vq =
= 1,45 км/с (кривая 1);
1,95 км/с B); 2,4 км/с
C); 2,8 км/с D)
1,2
10 ZO 30 пмм
На рис 3.5.2 и 3.5.3 приведены полученные в результате
опытов два типичных распределения относительного повышения
твердости HIНа {На — начальная твердость образца) по глубине
от поверхности соударения при различных скоростях удара va.
Рис. 3.5.2 соответствует упрочнению стали Г-13Л (сплав обыч-
обычной стали с марганцем (марганца 13% по весу)), характеризую-
характеризующемуся плавным падением твердости по глубине до исходного
значения Но; рис. 3.5.3 соответствует упрочнению армко-железа
(практически чистое железо), характеризующемуся зоной по-
постоянной твердости, сменяемой зоной ее резкого спада.
Кроме этих металлов, аналогичные опыты, но менее исчер-
исчерпывающие и подробные, проводились с никелем, медью, титаном,
причем никель и медь имеют кривые упрочнения, подобные
кривым для стали Г-13Л (см. также F. Grace, 1969), а титан —
подобные кривым для армко-железа. Заметим, что сталь Г-13Л,
никель и медь, в отличие от железа, не испытывают фазового
перехода в рассматриваемом диапазоне давлений; есть данные,
что титан испытывает фазовый переход, видимо, не очень ярко
выраженный на ударной адиабате.
Таким образом, анализ распределения твердости по глубине
мишени из железа (рис. 3.5.3) показывает, что при достаточно
286 ГЛ. 3. УДАР И ДЕТОНАЦИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
больших скоростях удара {v0 > 1 км/с) имеется три зоны упроч-
упрочнения: первая зона — зона существенного упрочнения, в которой
твердость фактически постоянна по глубине и не зависит (в от-
отличие от стали Г-13Л) от скорости удара; вторая — узкая зона
умеренного упрочнения, в которой твердость резко падает (тол-
(толщина этой зоны 4—6 мм, в отличие от стали Г-13Л, где зона
значительного спада твердости имеет толщину около 30 мм);
третья — зона слабого упрочнения, в которой твердость посте-
постепенно понижается, стремясь к исходному значению. Глубина
первой зоны для каждого материала мишени при фиксированных
материале и толщине ударника определяется только скоростью
удара. Для стали Г-13Л, никеля, меди, не имеющих фаз высокого
давления, фактически отсутствует первая и вторая зоны (см.
рис. 3.5.2).
Заметим, что первая зона выявляется визуально, так как
имеет более светлый оттенок, чем остальная поверхность среза.
К возможности исследования физико-механических свойств
по остаточным эффектам. Приведенные факты позволяют пред-
предположить, что упрочнение в первой и второй зонах связано с
двойной перекристаллизацией при чрезвычайно быстрых фазо-
фазовых превращениях Fe(a> =** Fe(e), а в третьей зоне (аналогично
упрочнению стали Г13Л)—с пластическими деформациями на
ударной волне, давление за которой меньше давления, соответ-
соответствующего фазовому переходу, причем в первой зоне фазовые
переходы происходят полностью, т. е. при нагрузке все вещество
переходит из a-фазы в е-фазу (первая полная перекристаллиза-
перекристаллизация), а в разгрузке оно все возвращается из е-фазы в ос-фазу
(вторая полная перекристаллизация). Во второй зоне лишь часть
вещества в нагрузке переходит из a-фазы в е^фаву, а затем едри
разгрузке возвращается в a-фазу (частичная двойная перекри-
перекристаллизация). В таком случае для экспериментального опреде-
определения глубины б зоны KF, в которой фазовые переходы проис-
происходили полностью (см. рис. 3.4.6), достаточно каждый раз опре-
определять лагранжеву глубину Ьнь зоны, в которой ттордость после
упрочнения постоянна, в зависимости от скорости удара и при
фиксированной толщине ударника.
Подтвердить предположение о природе упрочнения железа
можно, сравнивая расчеты 6(у0), проведенные с использованием
кинетики, отвечающей времени фазового перехода около 0,2 мкс
при р — ps « 5 ГПа, с данными измерения 8нь(иа). Кроме того,
отсюда следует теоретико-экспериментальная методика исследо-
исследования фазовых превращений в ударных волнах, связанная
с уточнением коэффициентов в уравнении кинетики (/12, п12, А12)
так, чтобы выполнялось б(уо)= 6HL(i>o). Отметим также, что при
этом имеется еще один параметр для сравнения — толщина вто-
второй зоны, где резко падает твердость и где фазовые переходы
происходят частично. Расчеты показали, что при уменьшении
§ 5. УПРОЧНЕНИЕ СТАЛЕЙ ВЗРЫВОМ
287
коэффициентов L^ или /*2 при прочих равных условиях тол-
толщина второй зоны, где фазовые переходы а -»¦ е проходят частич-
частично, увеличивается.
Следует иметь в виду, что в одномерных расчетах выявляет-
выявляется лагранжева координата крайней точки F, т. е. «лагранжева»
глубина зоны б, где фазовые переходы а -*¦ е проходят пол-
30
20
/
/ -nt
л
у
—1
1,0
2,0 2,5 vOiKM/o
Рис. 3 5 4 Зависимости от скорости соударения (ударпик — железная пла-
пластина толщиной 3 мм, 0 90 мм и 130 мм) расчетной глубины б зоны полного
фазового перехода (кривые 1 и 2) в мишени из армко-железа, эксперимен-
экспериментальной глубины 6я зоны постоянного упрочнения (прямоугольники) и лаг-
ранжевой глубины6hi, последней зоны (крестики). Размеры прямоугольни-
прямоугольников и крестиков соответствуют возможной погрешности измерений. Кружоч-
Кружочком отмечен результат эксперимента с меньшим диаметром мишени (90 мм),
когда при скорости удара v0 = 2,8 км/с проявляется влияние боковой раз-
грузьи на процесс фазового перехода а->-г в центре образца (см рис 3 5 5).
Линия 1 соответствует расчету с кинетикой фазового перехода а -*¦ е в
виде C 1 19) с коэффициентами C 51) и значением предела текучести псе
закону линейного упрочнения A10 21) с параметрами т*0 = 0,36 ГПаг
М = 0,014, а штриховая линия 2 — расчету с линейной кинетикой A 10 28)
с ?^2 =6,5 с/м и фиксированным значением сдвигового предела текуче-
текучести т* = 0,36 ГПа
ностью. Измеряемая же после взрывной обработки глубина б»
зоны постоянного упрочнения меньше продольной лагранжевой
глубины соответствующей зоны Ьнь за счет осадки, благодаря
боковому пластическому расширению при боковой разгрузке об-
образца. Такая разгрузка происходит за счет волн, приходящих с
боковых свободных границ мишени. За счет подбора достаточна
большого диаметра мишени (обоймы) и ударника можно до-
добиться, чтобы эта двумерная стадия процесса в исследуемой зо-
зоне протекала после прохождения фазовых переходов а -*¦ е в ус-
условиях одномерной деформации. Таким образом, для количест-
количественного сопоставления расчета и эксперимента к измеряемой
288 ГЛ. 3. УДАР И ДЕТОНАЦИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
глубине бн должна быть добавлена величина соответствую-
соответствующей осадки А за счет бокового расширения в зоне 0 < г < бн, и
сопоставляться должны величины б и бяь = бя + А. Указанная
осадка А должна быть измерена или оценена, исходя из реализо-
реализовавшейся формы образца, с учетом несущественного изменения
плотности металла до и после взрывной обработки. В описанных
выше опытах осадка А увеличивалась при увеличении скорости
удара v0, уменьшалась при увеличении диаметров мишени и
ударника и составляла от 2 до 8 мм.
На рис. 3.5.4 представлены результаты экспериментальных
измерений глубин зон постоянного упрочнения бн и 6Hl, а так-
также вычисленных глубин б зон, где фазовые переходы а ->- s и
е -*¦ а происходят полностью. Линия 1 соответствует кинетике
фазовых переходов (а^Е или 1 =>* 2) в виде C.1.19) с коэффи-
коэффициентами, равными
/*2 = 6,6-1010 кг/м3-с, Д12 = 6,5 ГПа, п12 = 3,
/*1 = 3,7-1011 кг/м».с, А21 = 6,5ГПа, п21 = 3.
Эти значения были получены в работе Н. X. Ахмадеева и
Р. И. Нигматулина A976) в результате расчетного анализа боль-
большого количества разных экспериментов*), а именно: указанных
выше, а также приведенных в книге А. А. Дерибаса A972) экс-
экспериментов по упрочнению взрывом, упоминавшихся в начале
§ 4 экспериментов С. А. Новикова и др. A966), в которых было
изменено характерное время фазовых переходов в ударной волне,
равное 0.2 мкс, данных А. Г. Иванова и др. A961, 1962) о ма-
малой толщине ударных волн разрежения, на которых происходит
фазовый переход е -»- а, и, наконец, данных более поздних экс-
экспериментов (L. Barker, R. Hollenbach, 1972, 1974; А. В. Анань-
Ананьин, А. Н. Дремин, Г. И. Канель, 1973) по измерению волновых
профилей в железе, обсуждаемых в следующем параграфе. Чис-
Численное моделирование отмеченных экспериментов подтверждает
адекватность принятой кинетики фазовых переходов реальной
скорости превращения.
Сравнение на рис. 3.5.4 экспериментальных данных по изме-
измерению бнь и теоретических данных по определению б дает убе-
убедительное подтверждение предположению о связи сильного упроч-
упрочнения при взрывной обработке железа с двойной перекристалли-
перекристаллизацией при фазовых переходах и^ев ударных волнах.
*) Рекомендуемые в C.5.1) значения коэффициентов соответствуют
большей скорости фазовых переходов а -*¦ 8, чем значения, рекомендуемые
в более ранней работе S S. Grigorian, К. I. Kozorezov, R. I. Nigmatulin et al
A972), где при обработке результатов опытов не учитывалась обсуждав-
обсуждавшаяся поправка Д из-за осадки образца. Кроме того, в отличие от послед-
последней работы, было принято целесообразным учесть, что скорость фазового
перехода i-*-j, определяемая величиной Jtl. тем больше, чем больше со-
содержание исходной г-фазы. В частности, в C.1.19) принято, что ]ц про-
пропорциональна <Zj.
§ 5 УПРОЧНЕНИЕ СТАЛЕЙ ВЗРЫВОМ
289
Расчеты показывают, что более интенсивная кинетика пере-
перехода а -*¦ 8, т. е. большие значения J12i или линейная кинетика
с достаточно большими значениями L^ приводят или к парал-
параллельному смещению кривой 8(v0) вверх, или к увеличению ее
наклона. Некоторого уменьшения наклона кривой ё(у„) можно
добиться увеличением коэффициента М в линейном законе уп-
упрочнения A.10.21) и увеличением показателя нелинейности ni2
в уравнении кинетики.
Рис. 3.5.5. Схема действия бо-
боковой разгрузки на двухволно-
вое ударное возмущение. За-
Заштрихованные области — зоны
одномерного движения, непод-
вержепные в выделенные мо-
моменты (а и б) действию боко-
боковых волн разгрузки
Остановимся на одном примечательном обстоятельстве.
В первых сериях опытов, описанных в данном параграфе, для
мишеней и ударников диаметров 90 мм для скоростей удара
v0 « 2,7—3,0 км/с глубина зоны постоянного упрочнения бн по-
получалась на 3—5 мм меньше (соответствующая точка для
vQ = 2,8 км/с отмечена кружочком на рис. 3.5.4), чем это пока-
показано соответствующим прямоугольником. В первых опытах зави-
зависимость бн(^о) практически выходила на «насыщение» по v0. Тео-
Теоретические расчеты с возможными вариациями /12, га12, А12, М не
давали такого эффекта*). Лишь затем анализ (см. рис. 3.5.5)
показал, что «насыщение» зависимости 8(v0) связано с дву-
двумерными эффектами, а именно, определяется боковой разгрузкой
второй волны jDA2), па которой происходит фазовый переход
а ->- е и которая при достаточном ослаблении существенно от-
отстает от первой волны D{1). Простые оценки с учетом двух-
волновой конфигурации возмущения, проиллюстрированные па
рис. 3.5.5, показывают, что волна DiiZ) может потерять плоскую
конфигурацию существенно раньше, чем волна Dw, так как
боковая разгрузка (если не принять учитывающих это обстоя-
обстоятельство мер) может снять процесс фазовых переходов на неко-
торон глубине, которые происходили бы на этой глубине в отсут-
*) Кстати, это показывает, что в рамках достаточно обоснованной тео-
теории не всегда можно подбором входящих в эту теорию коэффициентов по-
получить или «подогнать» какую-либо функцию к любому желаемому виду.
19 р. и. Нигматулин, ч. I
290
ГЛ. 3. УДАР И ДЕТОНАЦИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
ствие бокового разгружения, вызывающего дополнительное паде-
падение давления.
В связи с этим для больших скоростей удара (v0 » 2,7 —
3,0 км/с) были увеличены в полтора раза диаметры мишени,
ударника и заряда ВВ (вместо 0 90 мм взяли 0 130 мм), но при
той же их толщине, что сохраняло прежней скорость ударника.
Это позволило избавиться от влияния двумерных эффектов на
р,ГПа
0.4 0,8 1.1 1,6 2,0
а
0,8
0.6
0,4
0,2
0
X
L
\
\
I v
1 \ ^у
и
/
\1
fu
1
11
{
\ш/
Vjy т
/
1
-2,5
Рис. 3.5.6. Расчетные эпюры давления и объемного содержания исходной:
а-фазы в различные моменты времени (которым соответствуют указатели
в мкс) после удара со скоростью и0 = 0,90 км/с железной пластиной толщи-
нои Ъ = 2,5 мм по мишени (г > 0) из армко-железа
процесс фазовых переходов а-+ев центре образца и дало замет-
заметно более высокие значения бн, которые с учетом осадки А близки
к значения»! 8HL, хорошо согласующимся с теоретическими ре-
результатами.
Рассмотрим результаты еще одного эксперимента, приведен-
приведенного в книге А. А. Дерибаса A972), по упрочнению малоуглеро-
§ 5. УПРОЧНЕНИЕ СТАЛЕЙ ВЗРЫВОМ 291
диетой стали, в котором осуществлялся плоский удар пластиной
толщиной 2,5 мм о мишень со скоростью v0 = 0,90 км/с. Давле-
Давление соударения составляло 155 кбар, что должно приводить к
фазовым превращениям в ударной волне. Результаты расчетов,
проведенных для этих условий, в виде эпюр давления и объем-
объемных концентраций а4 в ударнике и мишени в различные момен-
моменты времени показаны на рис. 3.5.6, откуда видно, что глубина зо-
зоны полного фазового превращения очень мала и составляет
менее 0,5 мм. Это вызвано тем, что давление на фронте ударной
волны (первоначально несколько превышающее давление фазо-
фазового перехода) быстро падает из-за ослабления сравнительно
медленно распространяющейся волны фазового перехода упру-
упругими волнами разгрузки, идущими с тыльной поверхности удар-
ударника. На глубине 2—3 мм фазовые переходы в мишепи не
успевают произойти полностью, а на глубине 8—10 мм они пре-
прекращаются совсем. Таким образом, в рассматриваемом опыте
должно происходить относительно небольшое увеличение твердо-
твердости на глубине г < 2 мм от поверхности соударения, что и под-
подтверждает эксперимент: увеличение твердости образца всего на
20% при исходной микротвердости 130 HV. При этом следует
иметь в виду, что измерение твердости вследствие технологиче-
технологических особенностей метода можно производить лишь на расстоя-
расстояниях от поверхности, превышающих примерно 2 мм (соответст-
(соответствующая глубина обозначена на рис. 3.5.6 буквой Т), т. е. там,
где фазовые превращения явпо происходят неполностью. Поэто-
Поэтому приведенный экспериментальный факт не противоречит,
а подтверждает представление о связи а^е фазовых переходов
с взрывным упрочнением железа и малоуглеродистой стали и
принятую кинетику фазовых переходов.
Анализ упрочнения взрывом по схеме с накладным зарядом
ВВ. Эксперименты по упрочнению армко-железа и малоуглеро-
малоуглеродистой стали контактным взрывом (см. А. А. Дерибас, 1972) да-
дали несколько иной результат, чем описанные выше эксперимен-
эксперименты с высокоскоростным ударом пластины. Отличие результатов
взрывного упрочнения в экспериментах с накладным зарядом
ВВ заключается в том, что, несмотря на явно высокие давления
(р > ps * 13 ГПа), развиваемые у контактной границы в ближ-
ближних слоях нагружаемых образцов, зона существенного упрочнения
либо практически отсутствует, либо очень мала, но в то же время
ясно выделяются зоны быстрого падения твердости и слабого
упрочнения. Естественно, что этот экспериментально обнаружен-
обнаруженный факт вызывает необходимость проверки принятой кинетики
¦фазовых превращений а =** е в ударной волне и их роли в эф-
эффекте упрочнения при контактном взрыве. С этой целью была
рассмотрена задача, моделирующая условия экспериментов по
¦схеме с накладным зарядом ВВ, о выходе детонационной волны
на слой металла и исследовано действие взрыва ВВ на образец
19*
292 ГЛ. 3. УДАР И ДЕТОНАЦИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
6 г мм
Рис. 3.5.7. Эпюры давлений р, возникающих при детонации накладного
заряда гексогена (р0 = 1000 кг/м3, ft = 14 мм) на образце (г > 0) из железа,
и различные моменты времени t, которым соответствуют цифровые указате-
указатели в мкс. Детонационная волна, распространяющаяся по ВВ, изображена
штрихпунктирными линиями. Ударные волны в продуктах детопации гексо-
гексогена н в железе представлены в виде сплошных линий
а.,
0,80
0,60
040
0,20
1
3,3^
\ >
\
\ /
j
1
4,6
у
5.0
/ /1
5,4
/y
5.8
6
10
12 г. мм
Рис. 3.5.8. Эпюры объемного содержания исходной ос-фазы железа в различ-
различные моменты времени при детонации накладного заряда гексогена при тех
же условиях, что и на рис. 3.5.7
§ 5. УПРОЧНЕНИЕ СТАЛЕЙ ВЗРЫВОМ
293
в ближней зоне контакта. На рис. 3.5.7 и 3.5.8 представлены
результаты расчета нагружения железного образца волнами дето-
детонации пористых (или насыпных порошкообразных) зарядов гексо-
гена толщиной Ъ = 14 мм и плотностью заряжания рт= 1,0 г/см3.
Формирующаяся в железе ударная волна быстро затухает. Зату-
Затухание ударной волны обусловлено действием разгрузки со сто-
стороны продуктов детонации взрывчатого вещества.
Влияние фазовых переходов на затухание ударной волны
можно оценить, заменив в этих экспериментах железный обра-
образец на образец из другого металла, не испытывающего в ударной
волне фазовых превращений. В качестве такого металла удобно
взять никель, сходный по своим физическим свойствам с а-фа-
зои железа.
р,ГПа
Рис. 3.5.9. Затухание ударной
волны в образцах из никеля
(линии 1 и 2) и армко-железа
(линии 3 ж 4), генерируемой
взрывом накладного заряда
толщиной 6 гексогена плот-
плотностью ро = 1,0 г/си3. Линии
1 ж 3 — для b = 14 мм; линии
2 и 4 — для 6 = 7 мм
10
о г
10 г, мм
Сравнение результатов счета для никеля и железа, преде гав-
ленное на рис. 3.5.9 в виде кривых падения давления в ударной
волне по глубине образца, показывает существенное влияние
происходящих фазовых превращений в железе на процесс зату-
затухания ударной волны. Толщина заряда слабо влияет на затуха-
затухание максимального давления по глубине как никелевого, так и
железного образцов до давлений примерно 10 ГПа, но она за-
заметно влияет на скорость падения давления на поверхности кон-
контакта. Естественно, что с увеличением толщины заряда это па-
падение замедляется. Как видно из эпюр объемного содержания
исходной фазы железа (рис. 3.5.8), глубина полных фазовых
превращений в железе при детонации зарядов ВВ толщиной
7 мм и 14 мм составляет 3,6 мм и 4,5 мм, т. е. слабо зависит от
толщины заряда. Таким образом, для получения взрывного уп-
упрочнения на больших глубинах вместо схемы с накладным заря-
зарядом следует использовать схему с ударом пластиной (ударни-
(ударником), разогнанной взрывом до скоростей 1,5—2,0 км/с. При
этом глубина зоны упрочнения будет определяться толщиной
Ударника.
294 ГЛ. 3. УДАР И ДЕТОНАЦИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
Полученные в настоящих расчетах данные по глубинам зон
фазовых переходов в железе согласуются с результатами изме-
измерения упрочнения по схеме с накладным зарядом, приведенным
в книге А. А. Дерибаса A972) и статье Т. С. Тесленко A976).
В последней работе эффект взрывпой обработки регистрировался
по уширению рентгеновских дифракционных линий. Эта харак-
характеристика упрочнения является более чувствительной и локаль-
локальной, чем твердость.
Таким образом, различие результатов экспериментов по уп-
упрочнению железа ударом пластины, разогнанной зарядом ВВ, и
при детонации накладного к обрабатываемому образцу заряда
ВВ связано с различным характером затухания ударных волн
при воздействии ударника и детонационной волны на обрабаты-
обрабатываемый образец. Хотя в слоях, непосредственно примыкающих к
поверхности контакта с детонирующим зарядом В В, достигаются
достаточно высокие для прохождения фазовых переходов давле-
давления (до 40 ГПа для заряда гексогепа с плотностью р0 =*
= 1,0 г/см3), однако затем ударная волна начинает гораздо
быстрее затухать, чем это происходит при ударе пластиной,
из-за следующей за детонационной волной волны разгрузки и
разлета ПД с резким спижением давления на коптактпой
границе.
§ 6. Численное моделирование экспериментов по изучению
эволюции волн, вызывающих фазовые превращения в железе
Результаты работ (А. В. Апаиыш, А. Н. Дремип, Г. И. Ка-
Капель, 1973; L. Barker, R. Hollenbach, 1972, 1974), посвященных
экспериментальному исследованию, эволюции и профилей удар-
ударных волн в железе и малоуглеродистой стали, дают возможность
проводить подробное численное исследование кинетики а ^ е
превращений в железе. Было выполнено численное моделирова-
моделирование указанных экспериментов и проведено сравнение измеренных
и рассчитанных многоволновых распределений давлений и ско-
скоростей, возникающих при высокоскоростном ударе по схеме,
близкой к схеме на рис. 3.5.1. Анализ расчетных и эксперимен-
экспериментальных данных позволил определить кинетические коэффициен-
коэффициенты C.5.1), т. е. определить кинетику фазовых переходов в силь-
сильных ударных волнах в железе. Ниже все результаты расчетов
для железа будут приводиться для указанной кинетики фазовых
переходов.
Численный анализ результатов измерения давления с помощью
манганиновой методики. В экспериментах А. В. Ананьина и др.
A973) ударная волна в образцах из железа (армко-железа или
малоуглеродистой стали Ст. 3) инициировалась ударом алюмини-
алюминиевой пластины. В первой серии опытов алюминиевый ударник
имел толщину Ъ = 1 мм железа, а скорость удара не замерялась.
§ 6. ВОЛНЫ, ВЫЗЫВАЮЩИЕ ФАЗОВЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ
295
Во второй серии — алюмипиевая пластина толщиной 6 = 7 мм
ударялась о мишень со скоростью v0 = 2,11 ±0,07 км/с. Для
условий этих опытов были проведены две серии численных экс-
экспериментов (см. рис. 3.6.1). Параметры, определяющие физиче-
физические свойства алюминия и железа (параметры Ст. 3 полагались
р,ГПа
20
10
.
1 h
10
Л
Расчет
Эксперимент
1
\
t.MKO
р,ГПа
Рис. 3.6.1. Расчетные и экспериментальные осциллограммы давления на раз-
разных глубинах в образце из армко-железа при плоском ударе со скоростью vq
алюминиевой пластиной толщиной Ь. Цифры на кривых соответствуют глу-
глубинам в мм; а — для v0 = 3,5 км/с, 6 = 1 мм; б — для v0 = 2,1 км/с, Ь = 7 мм
теми же самыми, что и для армко-железа), даны в Приложении,
а кинетика фазовых переходов определялась параметрами
C.5.1).
В первой серии расчетов, соответствующих первой серии опы-
опытов, в которых скорость алюминиевого ударника v0 не измеря-
измерялась, эта скорость была принята равной 3,5 км/с из усло-
условия наилучшего совпадения расчетной и экспериментальной
осциллограмм давления с ближайшего к поверхности удара
датчика.
В обсуждающихся экспериментах А. В. Ананьина и др.
A973) момент удара непосредственно не фиксировался, и осцил-
осциллограммы опытов были расставлены авторами по оси времени в
предположении, что скорость первой пластической ударной вол-
волны равна Dw = 5,05 мм/мкс, которая соответствует давлению па
296 ГЛ 3. УДАР И ДЕТОНАЦИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
ее фронте, равному 13 ГПа (см. ординату точки Av па ударной
адиабате на рис. 3.4.3). Но в первые моменты времени после
удара давление за этой волной существенно выше чем 13 ГПа,
а следовательно, больше чем 5,05 мм/мкс и ее скорость, так как
фазовый переход, для прохождения которого необходимо время
примерно 0,2 мкс, в слое, прилегающем к поверхности контакта
с ударником, не успевает произойти. Лишь по прошествии ука-
указанного времени фазовый переход приводит к релаксационной
разгрузке за первой ударной волной, и в процессе релаксацион-
релаксационного ослабления ее скорость Dil) постепенно уменьшается до
указанной величины. Релаксационное ослабление первой удар-
ударной волны зависит от кинетики фазовых переходов а -»- е. Рас-
Расчет показывает, что для первой серии опытов (скорость удара
v0 = 3,5 мм/мкс) начальная скорость этой волны равна
6,1 мм/мкс, а для второй серии (у0 = 2,1 мм/мкс)—5,5 мм/мкс,
и лишь на глубине 7 мм эта скорость становится равной
5,05 мм/мкс. В связи с этим была уточнена идентификация
времени экспериментальных осциллограмм. Заметим, что при
численном расчете экспериментов Баркера и Холленбаха (см.
ниже), в которых тщательно замерялся момент удара, расчетное
время выхода ударной волны Dw на свободную поверхность
с большой точностью совпадало с экспериментальным.
Как видно из рис. 3.6.1, последпяя волна разгрузки на экспе-
экспериментальных осциллограммах проявляется раньше, чем на рас-
расчетных. По-видимому, это объясняется влиянием двумерных
эффектов из-за боковой разгрузки (см. рис. 3.5.5), ибо в опытах
диаметр плоского участка в момент соударения составлял
60—65 мм.
То, что на экспериментальной осциллограмме для второй се-
серии (рис. 3.6.1, б) на глубине 4 мм не видно расщепления волн
Dw и D{2\ хотя оно выявлено в расчетах, объясняется недо-
недостаточной разрешимостью измерений, так как на глубине 4 мм
толщина зоны в виде двух волн, отделяющих вещество в состоя-
состоянии Н от вещества в состоянии L, составляет примерно 1 мм, что
сравнимо с толщиной манганинового датчика.
В целом согласование теоретических и экспериментальных
данных на рис. 3.6.1 вполне удовлетворительное.
Численный анализ экспериментов по измерению лазер-интер-
лазер-интерференционным методом скорости свободной поверхности при
выходе на нее трехволнового ударного импульса. В эксперимен-
экспериментах (L. Barker, R. Hollenbach, 1974) ударная волна в железной
мишени толщиной L создавалась ударом железной пластины, и
измерялась скорость свободной поверхности мишени, противо-
противоположной поверхности удара. Варьировались скорость удара и0
так, что давления соударения изменялись от 12 до 40 ГПа, и тол-
толщина мишени L, т. е. расстояние исследуемой свободной поверх-
поверхности от поверхности удара.
§ 6. ВОЛНЫ, ВЫЗЫВАЮЩИЕ ФАЗОВЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ
297
Для указанных условий автором совместно с Н. X. Ахмадее-
вым и Н. А. Ахметовой было получено совпадение эксперимен-
экспериментальных и теоретических осциллограмм эволюции скорости сво-
свободной поверхности Vf(t), которые представлены на рис. 3.6.2.
Время в каждом эксперименте отсчитывалось с момента удара и
было нормировано к длине мишени.
Vf,MMfMKC_
Рис. 3.6.2. Практически совпадающие
между собой расчетные и экспери-
экспериментальные осциллограммы измене-
изменения скорости свободной поверхности
железной мишени, противоположной
поверхности контакта с железным
ударником. Числовые указатели ли-
линий относятся к следующим значе-
значениям скоростей ударника и тол-
толщины мишени (v0, км/с; L, мм):
1— @,612; 6,37), 2~ @,671; 6,38),
3— @,992; 6,32), 4— A,15; 6,31);
5—A.29; 6,31), 6— A,40; 15,8),
7— A,56; 19,8), «-A,57; 6,37),
5- A,90; 6,35)
1,75
1,40
1,05
П7П
0,35
If
I
Г
8
8
~7-ы
f-6-
Г
V
—*
i
—4—
5-
2
7„
0,05
0,25
0,45 ± мке
L 'мм
Рассмотрим подробнее характерный эксперимент, которому
соответствует линия 5 на рис. 3.6.2. В этом эксперименте удар-
ударник, толщина которого равнялась толщине мишени Ъ = Ь =
= 6,31 мм, разгонялся до скорости z;0 = 1,29 мм/мке, в ре-
результате чего давление, инициируемое в а-фазе, равнялось
23,6 ГПа (см. ударную адиабату на рис. 3.4.4). Полученные
экспериментальная и теоретическая осциллограммы изменения
скорости свободной поверхности более подробно представлены на
рис. 3.6.3. Для индентификации отраженных волы осциллограм-
осциллограмма помечена буквами (ср. со схемой на рис. 3.1.4): ОН соответ-
соответствует отражению упругого предвестника, HAi — результат от-
отражения первой пластической волпы D(i\ A^L" — результат от-
отражения волны фазового перехода.
Появление дополнительного, четвертого скачка скорости L"L
на профиле скорости свободной поверхности связано с интенсив-
интенсивным фазовым превращением на границе раздела фазы низкого
давления (а-фазы), примыкающей к свободной поверхности, и
фазы высокого давления (е-фазы), в результате которого обра-
образуется слой толщиной порядка 0,15 мм, существующий в тече-
течение времени порядка 0,2 мке и ведущий себя как более «мяг-
«мягкий», чем железо в а-фазе. Отраженная от свободной поверхно-
298
ГЛ. 3. УДАР И ДЕТОНАЦИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
сти волна фазового перехода, проходящая по сс-фазе железа, при
выходе на границу с е-фазой частично отражается в виде волны
сжатия, которая при выходе на свободную поверхность приводит
к ее ускорению. Волна L"L называется РШнволной (Per Inter-
phase Rarefaction). Образование РШнволны L"L на профиле
Vf(t) возможно не для всех ударных волн с а ** е фавовьгми
превращениями. Введем характерные давления />^12) и р^ та-
такие, что при/?>р^2> достаточно быстро идут фазовые переходы
а -*¦ е, а гари p<Zp^g^ достаточно быстро фазовые переходы
е -»- а. Эти давления можно представить в виде р^12) да ps + A,
/421) ~Ps~ Д (Д:«5,0 ГПа), и для железа р^12)да 18,0 ГПа,
р^а1^8,0ГПа. Отраженная от свободной поверхности волна НА,
ослабляет набегающую волну Z)A2) на величину р(А{)& рБ. Если
после ослабления р" =р — Ps<-P('2i) и если вблизи свободной
поверлности есть е-фаза, сразу же идет обратный переход е -»- а,
который способствует уходу упоминавшейся межфазной грани-
границы от свободной поверхности. В результате, если р < 2ps — А »
«21,0 ГПа, волна L"L либо отсутствует, либо сильно размазана
(кривые 3 и 4 на рис. 3.6.2 *)).
Uf,MM/MKC
Рис. 3.6.3. Расчетная и экспе-
экспериментальная осциллограммы
изменения скорости свободной
поверхности для условий, ко-
которым соответствует линия 5
на рис. 3.6.2 (i70 = 1,29 км/с,
L = 6,31 мм)
18 %мкс
Если же после ослабления ^12)>р">/?^21), т.е. 31,0 >р>
> 21,0 ГПа, то межфазпая граница на некоторое время практи-
практически фиксируется на некоторой глубине около свободпой по-
поверхности, тем самым способствуя формированию отраженной от
межфазной границы PIR-волны. На рис. 3.6.4 движение фазовой
*) Липии 1 я 2 па. рис. 3 6.2 соответствуют случаям, когда в ударной
волне нагрузки нет фазовых превращений (р(?) < Ps12))-
§ 6. ВОЛНЫ, ВЫЗЫВАЮЩИЕ ФАЗОВЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ
299
границы в мишеня видно по апюрам объемного содержания ис-
исходной а-фазы железа в различные моменты времени. Меж-
Межфазная граница с момента времени t = 1,3 мкс в течение
примерно 0,2 мкс практически неподвижна на глубине около
0,85 мм от свообдной поверхности и поэтому в слое толщиной
0,85 мм у свободной поверхности материал мишени не испыты-
испытывает фазовых превращений.
Когда же за волной ?>A2> давление р > 2ра + А « 31,0 ГПа,
то после ослабления ее волной разгрузки из-за отражения волны
от свободной поверхности давление р"> р?2\ и фазовые превра-
превращения a -»- s прекратятся в процессе отражения от свободной
поверхности самой волны Z)A2\ а межфазная граница практиче-
практически вплотную подойдет к свободной поверхности. При этом на
профиле Vj(t) волна L'L проявится практически сразу за вол-
волной АгЬ", и PIR-волна не выделится.
Рис. 3.6.4. Эпюры ai объем-
объемного содержания исходной
фазы железа (в мишени) в
различные моменты време-
времени (в мкс), рассчитанные
для условий, которым соот-
соответствует рис. 3 6.3 и ли-
линяя 5 на рис. 3.0.2 (i>o =
= 1,29 км/с, ? = 6,31 мм).
Штрихпункгярные линии
соответствуют движению
межфазной границы к сво-
свободной поверхности мише-
ни; сплошные линии — дви-
движению от свободной по-
поверхности
Следует иметь в виду, что экспериментальная регистрация
РШ-волны при отражении ударной волны от свободной поверх-
поверхности возможна только с помощью очень точной измерительной
техники, а для выявления ее в расчетах требуется высокая точ-
точность счета с достаточно мелким шагом.
Численное исследование движения ударных волн в железе,
претерпевающего а =** е фазовые превращения, и сравнение с экс-
экспериментами показывают, что модель двухфазной конденсирован-
конденсированной сплошной среды с кинетикой фазовых превращений C.1.19)
и параметрами C.5.1) позволяет с достаточной точностью опи-
описать происходящие ударно-волновые явления с физико-химиче-
физико-химическими превращениями.
ГЛАВА 4
ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
ДИСПЕРСНЫХ СРЕД (ГАЗОВЗВЕСЕЙ)
Наиболее характерной особенностью движения гетерогенных
сред, обличающей их от однофазных, является наличие макро-
макроскопического движения фаз относительно друг друга (другими
словами, наличие двухскоростных, а в более общем случае мно-
многоскоростных эффектов), связанное в основном с различием плот-
плотностей веществ фаз. Наиболее отчетливо указанный эффект
проявляется в газовзвесях, в частности при распространении в
них волн.
Более подробно будут проанализированы макроскопически
одномерные процессы, в которых все макроскопические или ос-
редненные параметры можно считать зависящими только от од-
одной пространственной координаты х и времени t, а векторы мак-
макроскопических потоков (скорости v\i потоков тепла q\, механиче-
механической энергии ci и др.) имеют составляющие только вдоль оси х.
§ 1. О гиперболичности, устойчивости и корректности
задачи Коыш применительно к системе дифференциальных
уравнений двухскоростного движения дисперсных сред *)
Для исследования фундаментальных свойств решений систе-
системы уравнений двухскоростного движения двухфазной смеси ог-
ограничимся с целью сокращения выкладок упрощенной системой
уравнений, соответствующих одномерному нестационарному те-
течению моподисперсной бесстолкновительной смеси с баротропны-
ми фазами и в отсутствие фазовых переходов. Система уравне-
уравнений для указанных условий имеет вид (см. § 4 гл. 1)
д о , д
P +
д о
*) Изложение этого параграфа следует работе Л. А. Клебанова, А. Е. Кро-
шилина, Б. И. Нигматулина, Р. И. Нигматулина A982).
§ 1. ГИПЕРБОЛИЧНОСТЬ, УСТОЙЧИВОСТЬ И КОРРЕКТНОСТЬ 301
+ »2 §) = - «2 |f + F
р°=р>), р;=р».
Условия баротропности фаз, определяющие истинные плотности
фаз через общее давление фаз в смеси (pt = р2 = р), позволяет
обойтись без привлечения уравнений энергий фаз, и для рас-
рассмотренных в данном параграфе вопросов это упрощение не ме-
меняет существа полученных результатов.
В случае газовзвесей, когда р° <С р°, в межфазной силе из-за
несовпадения скоростей фаз обычно преобладает квазистационар-
квазистационарная сила трения *), которая зависит только от а2 и wi2 = у, — vt
и не зависит от их производных. Тогда, полагая ReI2 < 1, соглас-
согласно закону Стокса силу F можно представить в виде
Р = Fn = ainfn = #на1а2 ("i — ^2) = (Рг/^) «Л (i?! — v2),
Kl = K&0-* = 9/#1a-^a (a2), tw = tw = pl/Kl
Здесь ^"^(осг)—-коэффициент, который учитывает влияние объем-
объемного содержания дисперсных частиц на силу, приходящуюся на
одну частицу; tM — релаксационное время выравнивания скорос-
скоростей фаз, которое иногда имеет смысл использовать вместо^*
Характеристики. Найдем характеристические направления в
плоскости xt системы дифференциальных уравнений D.1.1) и
замыкающего их условия D.1.2). Пусть в некоторой точке
М(х, t) заданы значения функций аъ vu v2, p (значения осталь-
остальных функций р°, р°, а2 определяются из конечных соотношений),
а также значения их производных da,Jd\%., ..., dpld\% вдоль не-
некоторого направления dx/dt = %. Имея эти данные, используя
исследуемую систему дифференциальных уравнений вместе с
замыкающими соотношениями для р? и F, можно поставить за-
задачу об определении частных производных (вдоль х и t) иско-
искомых функций oci, Vi, v2, р в точке М и тем самым определить
значения искомых функций в некоторой малой окрестности во-
вокруг точки М. Если производные вдоль |>. выразить через ука-
указанные частные производные и использовать исследуемую систе-
систему уравнений, то относительно искомых частных производных
получится система линейных алгебраических уравнений (в рас-
рассматриваемом случае ее порядок равен 8), коэффициенты кото-
которой определяются значениями at, Vi, v2, p в точке М, значения-
значениями К и производных вдоль ?я-
*) Учет других составляющих межфазной силы (присоединенных масс,
силы Бассэ) выполнен ниже.
302 ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
Те направления dx/dt = X, для которых определитель этой си-
системы уравнений равен нулю и искомые частные производные не
могут быть определены единственным образом, в теории диффе-
дифференциальных уравнений называются характеристическими.
Другими словами, задача Конш с заданием искомых функций
вдоль характеристических направлений или не имеет решения
(при произвольных значениях функций вдоль этих направле-
направлений), или имеет бесчисленное множество решений, если произ-
производные вдоль этих направлений удовлетворяют некоторым ха-
характеристическим условиям.
Используя стандартную процедуру (см. § 2 гл. 6), можно по-
получить, что для системы уравнений D.1.1), D.1.2) характери-
характеристические направления должны удовлетворять следующему ха-
характеристическому уравнению:
4 - v,f (X - v2f - ^ (Я - vtf -%-(k- vj* = 0
Pi P2
D.1.3)
p* Px РГ P*Cl 9\C\ + p°tCl' C) 'dp {l - *'
где Сi и Сг — скорости распространения звука в первой и второй
фазах соответственно.
Отметим, что учет небаротропности фаз и температурной не-
равповесности смеси (А. Н. Крайко, Л. Е. Стернин, 1965) не
вносит существенных изменений. В этом случае система D.1.1)
дополняется уравнениями для внутренней энергии щ каждой
фазы. Два характеристических направления полученной системы
равны значениям скоростей первой и второй фаз (vt и v2) и со-
соответствуют скоростям переноса температурных возмущений.
Остальные четыре собственных значения являются корнями
уравнения D.1.3), причем в этом случае С, — адиабатическая
скорость звука в s-й фазе Cj = (dp./dpj)Sj).
Из анализа уравнения D.1.3) следует, что два собственных
значения всегда действительны, а вторые два значения могут
быть комплексными. В случае, когда скорость проскальзывания
wlz == yt — vz много меньше скоростей звука С\ и С2, уравнение
D.1.4) можно решить приближенно:
P2° '" D.1.4)
l^Pi P2 V PiP
Действительная пара значений ЯA> 2> соответствует распростране-
распространению акустических возмущений в рассматриваемой среде, причем
§ i ГИПЕРБОЛИЧНОСТЬ, УСТОЙЧИВОСТЬ И КОРРЕКТНОСТЬ 303
в случае покоящейся среды {vi — vz = 0) их скорость равна С*.
Эта скорость обусловлена сжимаемостью фаз. Величина v* мо-
может рассматриваться как добавка к скорости распространения
малых возмущений, обусловленная движением смеси (конвек-
(конвективный перенос возмущения). Отметим, что значение и* отлича-
отличается от средиемассовой скорости смеси v (см. A.1.1)):
pv = p°1a1v1 + p°2a2v2 (p = p°cct + р°а2). D.1.5)
Из D.1.5) видно, что комплексная пара собственпых значе-
значений, делающая систему уравнений D.1.1) негиперболической, не
связана с акустическими возмущениями из-за сжимаемости фаз,
а обусловлена исключительно эффектами переноса фаз со ско-
скоростями Vi и v2. В точках, где скорости фаз совпадают (г#12 = 0,
Vi = v2 = v), характеристические направления, хотя и становят-
становятся действительными, по совпадающими между собой и равными
^(з) _ ^<4) _ ^ что П0-Прежнему сохраняет негиперболичность
исследуемой системы уравнений (Б. Л. Рождественский,
Н. Н. Яненко, 1979).
В этой связи имеет смысл рассмотреть более простую, чем
D.1.1), систему уравнений, соответствующую схеме с заданным
стационарным п однородным движением несущей фазы (vx = v0),
которое не меняется под действием дисперсной фазы. Тогда
уравнение движения дисперсной фазы принимает вид уравнений
движения «газа без собственного давления», но с трением о сре-
среду, движущуюся со скоростью v0
D.1.6)
Здесь, в отличие от D.1.1), легко учесть и силу присоединен-
присоединенных масс, характеризующуюся коэффициентом %т « 1/2. Два се-
семейства характеристик этой системы уравнений аналогично ХC)
и ЯD) в D.1.4) при wi2 = 0 или а^а2 = 0 хотя и являются дейст-
действительными, но совпадают друг с другом, что делает систему
D.1.6) негиперболической:
Я(" = Xw = vt, {dvJdtys-»=K{va-v). D.1.6a)
Здесь для единообразия с общим случаем характеристические
направления обозначены через А/3' и Х<4), а второе уравнение да-
дает условие на характеристиках. Именно отсутствие «собственно-
«собственного давления» во втором уравнении D.1.6) и приводит к неги-
перболичпости. Последующий анализ показывает, что именно
отсутствие второго (независимого от первого) давления в систе-
системе уравнений двухскоростного течения D.1.1) делает последнюю
систему негиперболической. Другими словами для гиперболично-
304 ГЛ 4 ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
сти необходимо, чтобы число независимых давлений совпадало с
числом независимых скоростей.
Таким образом, система уравнений двухскоростного движения
бесстолкновительной дисперсной смеси является негиперболиче-
негиперболической, причем, как показано ниже, учет составляющей межфаз-
ной силы за счет эффекта присоединенных масс не влияет на
этот вывод. Проблемам негиперболичности в механике сплошной
среды всегда уделяется особое внимание (Л. В. Овсянников,
1979). Негиперболичность двухскоростных уравнений отмечалась
в работах X. А. Рахматулина A956); А. Н. Крайко, Л. Е. Стер-
нина A965), S. Banerjee, W. Hancox A978), и она осложняет
реализацию численных решений.
В случае, когда обе фазы несжимаемые, имеется стационар-
стационарное (параметры аи vu v2, p не зависят от времени) однородное
(параметры W — (au vu v2) не зависят от координаты) решение
системы D.1.1),удовлетворяющее легко разрешимым уравнениям
|f = 9St F = К1а&2 (v1 - v2).
Если хотя бы одна из фаз сжимаемая, то вследствие измене-
изменения давления по х, плотность этой фазы также меняется по х.
Легко показать, что при этом однородное (с не зависящими от
х параметрами W = (au vu v2)) стационарное решение не су-
существует. Нетрудно представить случай, когда сжимаемости фаз
проявляются мало на некоторых конечных расстояниях L. Для
этого необходимо, чтобы
??=ё«4 - f «i- <«¦<»
Тогда стационарное решение системы D 1.1) для сжимаемых
фаз будет мало отличаться от стационарного однородного реше-
решения, следующего из D.1.7), а именно будет иметь вид
Wo = («!, vlt v2) = const, |f = pg,
D-1.9)
С целью упрощения выкладок далее ограничимся случаем,
когда вещество дисперсной фазы частиц несжимаемое:
Рз = const, C2 = оо. D.1.10)
Малые возмущения стационарного однородного решения со
скольжением фаз. Рассмотрим на основе уравнений двухскорост-
двухскоростного движения эволюцию слабых возмущений полученного ста-
§ 1 ГИПЕРБОЛИЧНОСТЬ, УСТОЙЧИВОСТЬ И КОРРЕКТНОСТЬ 305
ционарного однородного состояния D.1.9), а именно, будем ис*
кать решение линеаризованной (относительно стационарного
квазиоднородного решения Wo = (аз0, v]0, р]0, ...)) системы урав-
уравнений D.1.1) в виде действительной части следующего комплекс-
комплексного выражения:
D1Ш
к* = к + *&**, со* = со + гсо** (i2 = — 1),
где Ао — (А%\ А{$, А(?\ ...) определяет амплитуду исходного
возмущения W = (a3, v,, p}, ...). После линеаризации уравнений
D.1 1) (аналогичная процедура несколько подробнее описана
ниже) и подстановки в них D.1.11) получим условие существо-
существования искомого нетривиального решения (Ао Ф 0) или дисперси-
дисперсионное уравнение, связывающее к% и ю*. В рассматриваемом слу-
случае это уравнение является уравнением четвертой степени отно-
относительно к% и
со* -
к\< +
кк
К + Ф]Л; =0. D.1.12)
¦1 I
Здесь использованы величины t(v> и ф, характеризующие диффе-
дифференциальные свойства зависимости F^w^, a2)'-
ГГ а ) 7Т~ Ф = о • D.1.10)
Выделим два типа решения.
А. Решение, или волна, первого типа, когда к^ = к — дейст-
действительное положительное число (&>0, к%%. = 0). Для любого к
из D.1.12) можно пайти четыре комплексных значения со„.(А:),
каждое из которых соответствует синусоидальному по координа-
координате и растущему или затухающему экспоненциально во времени
возмущению W = W — Wo, которое будем называть /с-волной:
],
С(к) = ~(й(к)/к, L (к) = 2я/й, Ф = const. D.1.14)
Здесь С (к)—так называемая фазовая скорость или скорость пе-
перемещения фазы колебания, L(k) — длина волны, ох^ {к) — де~
20 р. и Нигматулин, ч. I
306 ГЛ 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
кремент затухания или роста колебаний во времени, ср — началь-
начальная фаза. Другими словами, /с-волны ¦— волны с однородной по
длине, но изменяющейся во времени амплитудой. Эти волны яв-
являются аналогом свободных колебаний.
Общее решение уравнения D.1.12) получить очень сложно,
поэтому ограничимся предельными случаями коротких (L -*- 0,
или k-*¦ °°) и длинных (L^oo или к ->- 0) волн при wl2/Ct < 1.
Ьыделяя действительную и мнимые части, при к -*- °° имеем
D.1.15а)
Аналогично при к -> 0 имеем
= ^и («1 + Ф) - D.1.156)
В обоих предельных случаях первые два корня соответствуют
распространению акустических возмущений соответственно с за-
замороженной (frozen) Cj и равновесной (equilibrium) Ce скорос-
скоростями звука и коэффициентами затухания <*>**/ и
[ 1/2
^4
[
/2
о О D.1.166)
2Ъ
Р 2р2
Так как а^*>0, то в соответствии с D.1.14) получаем, что аку-
акустические возмущения являются затухающими и не нарушают
устойчивости исходного стапионарного состояния.
§ i. ГИПЕРБОЛИЧНОСТЬ, УСТОЙЧИВОСТЬ И КОРРЕКТНОСТЬ 307
Комплексные частоты ш, и со^ в D.1.15а) и D.1.156) не за-
зависят (рх скоростей звука в несущей фазе и соответствуют рас-
распространению конвективных возмущений. При и>12 ^0 и с^сс^ О
четвертый корень а>, в D.1.15а) для к ->- оо и четвертый корень
w(,4) в D.1.156) для к -*¦ 0 дают <$%# < 0, что соответствует
экспоненциальному росту возмущения. Таким образом, как для
длинных, так и для коротких волн система уравнений D.1.1)
допускает растущие конвективные возмущения, что делает ис-
исходное стационарное однородное решение D.1.9) с ненулевым,
скольжением фаз и ненулевым содержанием обеих фаз (wi2?=0,
(Х1<Хг > 0) неустойчивым.
При к-*™ имеем(о?4)=±AтА,C))/с (ср. D.1.15а) с D.1.4))
и то, что для однородного стационарного состояния при wi2 ?= 0г
odo^^O имеем со*^->— °°, свидетельствует не только о неустой-
неустойчивости такого стационарного состояния, описываемого уравне-
уравнениями D.1.1), но и о некорректности задачи Коши для послед-
последних уравнений с начальными данными, близкими к указанному
однородному состоянию. Причем эта некорректность однозначно
определяется негиперболичностью системы уравнений, т. е. мни-
мнимой частью характеристик D.1.4).
Заметим, что при aioc2 = 0 или wi2 = 0 (отсутствие одной из
фаз или скольжения фаз) соответствующее конвективное возму-
возмущение является нейтрально устойчивым (<*>*» = О). Интересно в
этой связи рассмотреть развитие возмущений для уравнений
D.1.6), соответствующих газу «без собственного давления». Ста-
Стационарное однородное решение для этих уравнений имеет вид
р = р0 = const, v2 = Vo = const, т. e. Wa= (p0, i>0). Дисперсионное
уравнение, дающее условие существования возмущений типа
D.1.11) с ненулевыми амплитудами А^ и А^\ имеет вид
<o* = -v0k+iK. D.1.17)
И хотя дисперсионное уравнение обеспечивает устойчивость
стационарного однородного состояния («и^^ = К >0), но если вы-
выразить отношение амплитуд возмущений ллотности и скорости
получим, что при к ->- °° малые возмущения скорости приводят
к сколь угодно большим возмущениям плотности.
Б. Решение, или волны, второго типа, когда й)и.=<и— действи-
действительное положительное число (а»>0, со*:^ 0)- Тогда для любого
ю из D.1.12) можно найти четыре комплексных значения
^* («>), каждое из которых соответствует установившимся сину-
синусоидальным по времени колебаниям (инициируемым, например,
каким-либо стационарным внешним источником монохромааиче-
ских колебаний при х = 0 с растущей или затухающей экспонен-
20*
308 ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
диально по длине амплитудой. Такие возмущения, являющиеся
волновым аналогом вынужденных колебаний, будем называть
и>-волнами:
W[a) = А(а) ехр [— к^ (со) -ж] sin ср + -^— (х — С (со)-t) L
D 1 19)
С (со) = — со/А(со), L (со) = 2я/& (со), ср = const. ' '
Здесь Л;^^ (со)—декремент затухания или роста колебаний по
длине. Другими словами, со-волны — волны со стационарными по
времени, но изменяющимися по длине амплитудами. Если
?(со)<0, то фаза колебания перемещается с фазовой скоростью
С(со) в положительном направлении оси х (С(со)>0), а если
й(со)>0,— то в отрицательном (С(со)<0). Случаи к < 0,
^**> 0 и &>0, &.,..,.<; 0 соответствуют режиму затухания ампли-
амплитуд возмущения в направлении распространения фазы колеба-
колебания или фазовой скорости. Можно показать, что в случае равно-
равновесного исходного состояния смеси (wi2 = 0) уравнения D.1.1)
лриводят только к затухающим акустическим возмущениям в
направлении их распространения.
Если сравнить фазовые скорости /t-волны Ст и со-волны C(w)
с одной и 1 ой же длиной волн L:
Ст=С(к) при к = 2n/L,
?<<¦>> =?((,)) при со таком, что /c(co) =
то анализ показывает, что равновесные (L -*¦ °°, со -*¦ 0) и замо-
замороженные (L ->- 0, со -*- оо) скорости звука по этим двум решени-
решениям совпадают (С« = С^ — Се, Cf = Cfm) = Су), а при ко-
конечных длинах волн L величины Cw и С(ш) различаются.
Установившиеся колебания в виде со-волн в дисперсных сме-
смесях рассмотрены ниже в § 2 гл. 4 и в § 2 гл. 6.
При рассмотрении задачи о распространении малых возмуще-
возмущений произвольной формы в дисперсной среде можно разложить
внесенное возмущение по решениям типа D.1.14) или D.1.19).
В результате решения соответствующей задачи будет получено
описание развития рассматриваемого возмущения во времени и
пространстве, которое, естественно, не должно зависеть от типа
используемого разложения.
В линейной теории одномерных волн, помимо фазовой скоро-
скорости, вводят групповую скорость
Cls)((o) = —dei/dk, D.1.20)
которая дает скорость распространения сигнала и переноса энер-
энергии околомонохроматической волной в виде суперпозиции сину-
синусоидальных волн с частотами в диапазоне от со до со + <ico. Кро-
Кроме того, используется безразмерный декремент а затухания
§ 1. ГИПЕРБОЛИЧНОСТЬ, УСТОЙЧИВОСТЬ И КОРРЕКТНОСТЬ 309
амплитуды синусоидальных возмущений на длине волны:
а (со) =/с** (со) Z, (со), L(co) =2я//г(со). D.1.21)
Конвективные возмущения в дисперсной смеси несжимаемых
фаз. Изучение устойчивости конвективных возмущений в общем
случае, т. е. в случае не только очень коротких (к -*-<») и длин-
длинных (к -»¦ 0) волн, представляется затруднительным. Учитывая,
что в рассмотренных предельных случаях значения скоростей
распространения конвективных волн и соответствующих коэф-
коэффициентов затухания не зависят от скорости звука, исследуем
влияние относительного движения фаз в исходном стационарном
состоянии и влияние межфазной силы из-за присоединенных
масс на устойчивость конвективных возмущений и связанную с
ней пегиперболичность системы D.1.1) на примере более про-
простой модели дисперсной среды с несжимаемыми фазами.
Система уравнений неразрывности и импульса D.1.1) с уче-
учетом межфазной силы из-за эффекта присоединенных масс для
случая дисперсной среды с несжимаемыми фазами имеет вид
** Э С") - 0
Тх
I
С помощью несложных преобразований — исключения гради-
градиента давления из уравнений импульсов, сложения двух уравне-
уравнений неразрывности и введения вместо Vi и v2 новых переменных
w и vv и коэффициентов х> X* и X
Vy = axvx -|- cc2i>2,
«истема уравнений D.1.22) преобразуется к следующему виду:
310 ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
дх
8IL 4 Зх* ЕЕ - ^"a^ia ^L . («2 ~ V)
e* + ' D.1.24)
) X« 3P [ ct^ J
Первые два уравнения не содержат производных от р и yv, что
позволяет исследовать свойства подсистемы для it на! независи-
независимо. Соответствующие характеристические направления рассмат-
рассматриваемой подсистемы являются комплексными и равными
Я(Ь2) = V± iwlt l/a^x/x*. D-1.25)
Отличие этих характеристических направлений от комплекс-
комплексной пары характеристических направлений D.1.4) обусловлен»
тем, что при выводе D.1.4) не учтена составляющая межфазной
силы за счет эффекта присоединенных масс*). Сравнение D.1.4)
и D.1.25) показывает, что учет эффекта присоединенных масс
качественно не меняет вида характеристик системы D.1.1), и в
ней по-прежнему имеются две комплексные характеристики.
Аналогично предыдущему случаю рассмотрим эволюцию сла-
слабых возмущений типа D.1.11) стационарного однородного состо-
состояния D.1.9):
w = wa + w', ах = а10 + <х[ (w' < w0, a[ < а10).
Из третьего уравнения D.1.24) следует, что амплитуда возму-
возмущения vv равна нулю, поэтому возмущение G или FJa^a-i, опре-
определяется возмущениями w' и ах:
G'^-f^-Uw' (i/7 = 0),
2 д
"у)
Линеаризованные уравнения для возмущений аг и w' примут
*) Как показано в работе A. Jones, A. Prosperitly A982) характеристики
D.1.25) становятся действительными, если использовать много большие зна-
значения коэффициента присоединенных масс, чем 1/2, а именно большие 10.
§ 1. ГИПЕРБОЛИЧНОСТЬ, УСТОЙЧИВОСТЬ II КОРРЕКТНОСТЬ 311
вид
? + "?-?-ьё+'л+'.*-*
Здесь значения V, wi2, /а, /«, а(, а2 фиксированы и определяют-
определяются параметрами исходного состояния D.1.9). Таким образом, по-
полученные уравнения являются линейными уравнениями с посто-
постоянными коэффициентами. Рассматривая гармонические возмуще-
возмущения вида D.1.11) для амплитуд Л(ш) и А{а), получим
Ам К + W - ifw) - Aw (Iwl^ + ifa) = 0, 4 2
: («,, + k*V) = 0.
Условием существования отличных от нуля решений Л(и) и Л(с"
является равенство нулю определителя этой системы, приводя-
приводящее к дисперсионному квадратному уравнению для определения
*°* (&)i корни которого имеют вид
ifw ±У-Ц- 4a1a2X;1(^i22^ + */<А). D.1.29)
Далее ограничимся А;-волнами (/с^ = А; > 0). Выделяя мнимую
часть корней со(^'2), определяющих показатель ©*„., получаем
D.1.30)
При ii>i2 ?=0, а2 > 0 имеем а>^<0,а в пределе для А; ->- °° име-
имеем соД->—оо, т. е., как и в предыдущем случае, при наличии
относительного движения фаз (ю^ФО) в исходном состоянии и
непулевой концентрации дисперсной фазы а2 существуют кон-
конвективные возмущения, нарушающие устойчивость стационарно-
стационарного однородного состояния D.1.9). Вследствие неограниченного
роста величины —¦ к>## при к ->- °° постановка задачи Коши
для уравнений D.1.22) с начальными данными, близкими к
однородному стационарному состоянию Wo, при и?12 Ф0, аг > 0
является некорректной.
Вывод о некорректности следует из анализа поведения реше-
решений системы D.1.1) или D.1.22) для возмущений с длинами
волн L = 2п/к, стремящимися к нулю. Но указанные системы
уравнений правильно описывают поведение дисперсной смеси
только тогда, когда характерные расстояния, рассматриваемые в
312 ГЛ. 4 ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
задаче (в частности, и длина волны L), много больше размеров
дисперсных частиц а. Поэтому можно предположить, что безгра-
безграничный рост показателя — со.,.* при L -> 0 есть следствие неуче-
неучета в уравнениях типа D.1.1) или D.1.22) некоторых диссипа-
тивных процессов, имеющих место при прохождении ультрако--
ротких волн (LK а) в дисперсных средах. Учет или неучет сжи-
сжимаемости фаз, межфазных сил инерционного типа (сил Архиме-
Архимеда, сил присоединенных масс) не влияет на аномальный харак-
характер изменения со** ПРИ L -* 0. В связи с указанным обстоятель-
обстоятельством при решении уравнений типа D.1.1) или D.1.22) приме-
применительно к описанию нестационарных течений дисперсных сред,
может возникнуть необходимость подавления нереализуемого в
действительности роста ультракоротких возмущений введением
в указанные уравнения дополнительных слагаемых.
Поведение длинноволновых возмущений (L -»- <» или L > а)
система уравнений описывает правильно. И то, что при wi2. Ф 0r
а2 > 0 существуют длинноволновые конвективные возмущения,
показатель со** для которых является отрицательным, свидетель-
свидетельствует о физической неустойчивости рассматриваемого стацио-
стационарного однородного решения. В частности, стационарный одно-
однородный режим осаждения дисперсных частиц (седиментация)
при р2 > Pi или подъема дисперсных частиц при р2 < Pi под
действием сил тяжести является неустойчивым.
Если в уравнениях импульсов фаз системы D.1.22) прене-
пренебречь межфазной силой Архимеда а2 (др/дх) и силой присоеди-
присоединенных масс, то это приведет к тому, что в уравнениях
D.1.25) — D.1.30) вместо % следует подставить нуль. Тогда оба
характеристических направления становятся действительными,
но одинаковыми (X(i) = А,<2) = V), а вывод о неустойчивости и
некорректности задачи Коши около однородного стационарного-
состояния Wo при а2 > 0, м?12 Ф 0 останется справедливым.
Для случая разреженной газовзвеси, когда а2 'S 1, фа = 1 (см.
A.4.9)) и Pi = pg<P; = Рг, выражение D.1.30) для показателя
роста возмущений приводится к виду
С0<2>
**
/
/
\ p
1
2
Зя2
4 К
Pa a2R
/
12
sp 1
+ 1
Dp
rxe12 -
V
2a9{
I
+ (l-
lw»l
¦ 4
3
P2
P,
j °i
L
2a
S%
H- 4 r
\
)•
D
.1
.31)
Здесь Sp (p — particle) может рассматриваться как параметр не-
неустойчивости возмущений с длиной волны L в газовзвеси, причем
длина волны задается величиной ть, показывающей отношение
длины волны к диаметру частицы. Волны, эволюция которых
§ i. ГИПЕРБОЛИЧНОСТЬ, УСТОЙЧИВОСТЬ И КОРРЕКТНОСТЬ 313
может правильно описываться рассматриваемыми уравнениями,
по-видимому, должны удовлетворять условию, чтобы их длины
на порядок превышали диаметр дисперсных частиц
mL^LJBa)>10. D.1.32)
Аналогично можно рассмотреть случай, соответствующий пу-
О О
зырьковой жидкости, когда pa<Cpi, a2 < 1. Тогда из D.1.30)
получим
«S 1 V2i/ , , Sb _/ Sb
D.1.33)
s =»-'^- ^
где 5Ь F — bubble)—параметр неустойчивости возмущения с
длиной волны L в пузырьковой смеси.
Полученные формулы *) для со^^ позволяют вычислить ха-
характерное время t$=l/j(o,, |, в течение которого возмущение
растет в е раз, и оцепить скорость развития физической неустой-
неустойчивости (mL3*10), которая может развиваться в реальных сме-
смесях при оседании частиц или подъеме пузырьков в длинных ка-
каналах, в частности, при переходе пузырькового режима течения
в снарядный. Для mL < 10 эти выражения дают скорость роста
ультракоротких возмущений. Но следует иметь в виду, что для
этих ультракоротких возмущений полученные выражения, сле-
следующие из D.1.22), не отражают физику процесса и не учиты-
учитывают в достаточной степени диссипативные процессы.
Отметим, что при численном решении задач в системе появ-
появляются возмущения с длинами волн порядка размера разностной
сетки. Тогда, если Ах/а ^ 10, то в соответствии с уравнениями
D.1.1) или D.1.22) это может привести к появлению растущих
численных или «паразитных» возмущений, и необходимо преду-
предусмотреть их подавление с помощью дополнительных слагаемых
типа псевдовязкости.
В широком классе задач в отсутствие заметного влияния
внешних массовых сил, например, при исследовании ударных
волн, конечность скорости скольжения фаз wi2 и связанная с ней
неустойчивость проявляются лишь па некотором интервале вре-
времени или в некоторой зоне, вне которых w12 стремится к нулю.
Рассмотрим устойчивость одного из нестационарных, а посему
отличного от D.1.9) решений системы уравнений D.1.22) для
*) Структура полученных формул для ш** отличается от аналогичных
формул в статье С. В. Иорданского, А. Г. Куликовского A977), что объяс-
объясняется влиянием силы трепия F^, не рассматриваемой в указанной статье.
314 ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИИ
смеси двух несжимаемых фаз при отсутствии внешних массо-
массовых сил (g = 0).
Пусть в начальный момент t = 0 состояние среды однородное
(т. е. параметры не зависят от я), но не равновесное из-за не-
несовпадения скоростей фаз. Тогда в инерциальной системе коор-
координат, движущейся со скоростью дисперсной фазы при 1 = 0,
имеем следующие начальные условия:
t = 0, Vi = vi0, v2 = 0, al = ai0. D.1.34)
Вместо граничного условия примем условие постоянства во
времени среднеобъемной скорости среды, что может обеспечи-
обеспечиваться за счет движения поршня с постоянной скоростью v0:
t 2s 0, vv = vo = cttoVto. D.1.35)
Естественно, что за счет действия несущей фазы частицы бу-
будут вовлекаться в движение, и постепенно скорости фаз будут
выравниваться.
Покажем, что при указанных условиях существует однород-
однородное (пе зависящее от х), нестационарное решение системы
D.1.22), которое будет обозначаться индексом ° вверху. Для та-
такого решения из D.1.24) следует
dt > Зр? 1(Х-1)о +
о ' D.1.36)
ai = аю = const, vv = v0 — const,
t = 0, w° = v10 = vo/alo.
Решение этой задачи для w" имеет вид
Нетрудно показать, что это решение при ?-»-<» реализует
исчезновение скольжения фаз (wi2-*-0). Исследуем построенное
решение на устойчивость. Рассмотрим возмущенные решения
при фиксированной среднеобъемной скорости:
w — w° (t) -f- w' (x, t)t ax = oc° -f- a[ (x, t) (w' <C w°, «i<C a20, v'v = O),
Тогда для w' и ах из D.1.24) получим линейную систему урав-
уравнений, имеющую вид D.1.27), с той лишь разницей, что теперь
коэффициенты F, wl2, /«, /«, являются не постоянными, а функ-
функциями времени, определяемыми исходным решением D.1.37).
Таким образом, в рассматриваемом случае уравнения для и/ и
§ 1. ГИПЕРБОЛИЧНОСТЬ, УСТОЙЧИВОСТЬ И КОРРЕКТНОСТЬ 315
щ являются линейными уравнениями с переменными коэффици-
коэффициентами. Будем предполагать, что возмущения w'', <хг квадратично
интегрируемы. Тогда для искомых функций существуют их
фурье-образы:
оо
и/ (х, t) = ф=- j W (к, t) eikxdk,
D.1.38)
a[ (x, *) = y= J Л' (k, t) eihxdk.
Подставляя эти выражения в D.1.27), для W, А' получаем
д~ + iVkW —i{w212kA' + faA' + fwW = О,
D-1.30)
Данная система в результате несложных преобразований сво-
сводится к вырожденным гипергеометрическим уравнениям для А'
и W, для которых при t -*¦ оо можно вывести оценку для беско-
бесконечно коротких волн, представляющих наибольший интерес, как
наиболее быстро растущих:
lim А' « Do {к) ehh, lim W « Do {к) ehk (fe>0). D.1.40)
t-юо t—>oo
Здесь D0(k)—линейная комбинация фурье-образов А '(к, t) и
W (к, t) в начальные моменты времени (при ? = 0).
Нз полученной оценки следует, что постановка задачи Коши
в рассматриваемом случае некорректна, а построенное однород-
однородное нестационарное решение D.1.37) неустойчиво. Тем не менее
в классе функций, фурье-гармоники которых стремятся к нулю
при к ->- оо быстрее, чем е~ш, имеет место «условная коррект-
корректность» задачи Коши (см. М. М. Лаврентьев и др., 1980; С. К. Го-
Годунов, 1971). Необходимым условием выполнения указанного ог-
ограничения является бесконечная дифференцируемость наложен-
наложенного возмущения. Указанному условию удовлетворяют локали-
локализованные и достаточно гладкие возмущения вида
Р„(,г)-ехр(—dx2) (при любых d>0), где Рп(х)—произвольный
полином и-й степени. Отметим, что требование достаточно быст-
быстрого убывания амплитуд фурье-гармоник при к -*¦ оо в классе
функций, для которого имеет место «условная корректность»
задачи Коши, обеспечивает малость доли ультракоротких волн в
спектре возмущения.
316 ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
Таким образом, из проведенного анализа видно, что хотя сис-
система уравнений D.1.22) (аналогично и система D.1.1)) имеет
мнимые характеристики и, следовательно, не является гипербо-
гиперболической, существует класс функций, в котором задача Коши
для этих систем «условно корректна».
О некоторых механизмах, стабилизирующих течения дисперс-
дисперсных сред. В реальных течениях возможно существование раз-
различных дополнительных механизмов, стабилизирующих течение
и неучтенных в обсуждавшихся системах уравнений. Рассмот-
Рассмотрим влияние давления псевдогаза, «молекулами» которого явля-
являются дисперсные частицы, обусловленное их взаимодействием
друг с другом (например, из-за столкновений). В качестве ил-
иллюстрации введем это давление pd, описываемое зависимостью
Pd = P
d0
где oc2i(.—максимально возможная концентрация частиц, соответ-
соответствующая их плотной упаковке.
Тогда уравнение импульса дисперсной фазы в системе урав-
уравнений D.1.22) следует подкорректировать и записать в виде
D.1.42)
Можно показать, что и в этом случае формулы D.1.24) — D.1.30)
остаются справедливыми, если величину % определять в виде
~2 „ . D.1.43)
Из указанных формул видно, что при 0 < к < 2 система D.1.22)
становится гиперболической, а ее решения устойчивыми при
а2~*"а2*и ос2->-0. При этом существует такое р*0, что при pd(p>
>Р*0 система D.1.22) гиперболична, а ее решения устойчивы
при любых значениях а2- Действительно, при достаточно боль-
большом значении pd0 величина % становится отрицательной, характе-
характеристические направления в соответствии с D.1.25) становятся
разными и действительными, а декремент затухания в соответ-
соответствии с D.1.30) — положительным.
На рис. 4.1.1, а ж б приведена простая физическая схема,
которая вместе с уравнениями движения газа «без собственного
давления» D.1.6), приведшими к D.1.18), поясняет возникнове-
возникновение неустойчивости и действие стабилизирующих механизмов в
g 1. ГИПЕРБОЛИЧНОСТЬ, УСТОЙЧИВОСТЬ И КОРРЕКТНОСТЬ
317
двухскоростных течениях. Видно, что при отсутствии воздейст-
воздействия со стороны несущей фазы (а), если AvJ Ах < О, то по исте-
истечении времени At = Ax/Av2 частицы А и В перейдут в точки
А" и В" соответственно, т. е. окажутся в одной точке простран-
пространства. Такой «перехлест» включений, приводящий к неограничен-
неограниченному росту а2 и является причиной развития неустойчивости.
Очевидно, что устранить возникающую неустойчивость мож-
можно с помощью дополнительных сил, препятствующих возникно-
возникновению такого «перехлеста». Например, введенное выше давле-
давление «псевдогаза» ра не позволяет частицам концентрироваться.
Рис. 4.1.1. Эволюция скоростей двух частиц дисперсной фазы А и В при
отсутствии воздействия несущей фазы (а), когда задняя частица В дого-
догоняет переднюю частицу А, и при наличии такого воздействия (б), когда
скорость несущей фазы равна скорости частицы В (vi = vb) и последняя
не догоняет ускоряющуюся переднюю частицу А
Из-за взаимодействия включений с несущей средой (рис. 4.1.1, б)
скорости частиц А и В выравниваются и могут стать равными
раньше, чем произойдет «перехлест», который, таким образом,
не реализуется даже при отсутствии напряжений ра во второй
фазе. В случае, когда объемная концентрация включений мала
(а2<1) и ее влиянием на скорость несжимаемой несущей фазы
можно пренебречь (Vi = const), можно считать, что частицы А и
В движутся независимо друг от друга, по под воздействием не-
несущей жидкости. Тогда можно рассмотреть случай движения не-
несущей среды с постоянной скоростью, равной скорости частицы
В, и получить следующее условие отсутствия «перехлеста» для
частиц:
Дх
дх
Как показано выше, от негиперболичности двухскоростной
системы уравнений типа D.1.1) можно избавиться введением до-
дополнительного давления типа ра(осг) в уравнении импульса дис-
318 ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
персной фазы, которое препятствует аномальной концентрации
дисперсных частиц. Для малоконцентрированных дисперсных
смесей (а2 <¦ 1) роль ра может быть аналогичной искусственной
вязкости для идеального газа в конечно-разностных методах рас-
расчетов, т. е. иногда ра может рассматриваться как «искусственное
давление».
Для гиперболичности двухскоростпых уравнений движения
необходимо использовать два разных давления в уравнениях
импульса фаз*).
Если необходимо получить непрерывное (гладкое) решение
уравнений механики сплошной среды, то введение вязкости не-
необходимо только для нелинейных волн сжатия, а введение дав-
давления необходимо даже для линейных волн сжатия. Другими
словами, «опрокидывание» или «перехлест» волн сжатия будет в
нелинейном режиме в среде без вязкости и даже в линейном
режиме в среде без давления. «Опрокидывание» волн сжатия,
помимо введения собственного давления и вязкости, можно пре-
предотвратить также введением поверхностей разрыва параметров.
Но только при отсутствии собственного давления такие поверх-
поверхности будут поверхностями типа «пелены» с конечной массой
дисперсных частиц, приходящихся на единицу площади поверх-
поверхности разрыва (А. Н. Крайко, 1982).
Таким образом, система уравнений двухскоростного движения
бесстолкновительной дисперсной смеси негиперболична вследст-
вследствие недостаточно полного описания межфазного взаимодействия
л взаимодействия между дисперсными частицами. Но, несмотря
на это, существует достаточно широкий класс задач, когда эта
система уравнений правильно отражает физику процесса и фи-
физическую неустойчивость некоторых течений. Для таких задач
постановка задачи Коши «условно корректна» в определенном
классе функций, т. е. в этом классе функций решение задачи
Копт для обсуждаемой системы уравнений существует, единст-
единственно и непрерывно зависит от начальных условий.
Зависимость скорости развития неустойчивости от длины вол-
волны может накладывать ограничение снизу на выбор шага рас-
расчетной сетки при численном решении задачи на основе уравне-
уравнений двухскоростного движения.
*) Два разных давления в уравнениях импульса двухскоростного дви-
движения использовано в работах S. Banerjee, A. Chan A980), \V. Hancox et al
A980) применительно к горизонтальному пленочному течению газожид-
газожидкостного потока. Разница между средними давлениями в верхней и нижней
жидкости связана с гидростатическим перепадом. Эта разница между сред-
средними давлениями пропорциональна объемному содержанию одной из фа.з,
в результате чего в уравнениях движения появляется слагаемое типа
ди.2\дх, которое препятствует дестабилизирующему поток росту схг-
§ 2. АКУСТИКА ГАЗОВЗВЕСЕЙ 319
§ 2. Линейная (акустическая) теория распространения
слабых возмущений (звука) в газовзвесях
и парокапельных средах
В данном параграфе при анализе распространения слабых
возмущений в газовзвесях, в отличие от § 1, более последова-
последовательно учтено межфазное взаимодействие, в частности нестацио-
нестационарные эффекты при обмене массой, импульсом и энергией
между газом и дисперсными частицами, возникающие в высоко-
высокочастотных акустических полях. Обсуждается влияние полидис-
полидисперсности взвеси.
Линеаризованные уравнения движения и состояния. Для слу-
случая плоского одномерного движения линеаризованные уравнения
§ 4 гл. 1 для газовзвесей в системе координат, относительно ко-
которой невозмущенная равновесная газовзвесь покоится (yi0 ==
= v2o = va = 0), имеют вид
dv, fin „ dvn
Рю -gj- + P20 ¦%¦ = %¦ + Vo/> P2o-^r=-«o?2S + aao^-, D.2.1)
PlO == aioPlO> P20 == a2oP2Ol аЮ "f" a20 == 1' tt20 =
Здесь индекс 0 внизу относится к невозмущенному состоянию.
Ниже рассмотрен случай, когда невозмущенное состояние одно-
однородно по координате х, т. е.
Pioi P20, Ио, а:2о, До, Ра — Const. D.2.2)
Уравнения состояния калорически совершенного несущего
газа и несжимаемой дисперсной фазы после линеаризации при-
примут вид
dp/Po = фх/pio + dTjT0, dix =cxdTx,
dpa = 0, dia = с2ЙГ2 + dp/p°2 D.2.3)
Далее, там где это не вызывает неясностей, нижний индекс 0
будет опускаться.
В соответствии с главным допущением 1 (см. Введение)
а > Lm ~ iVPiCi, D.2.4)
где Lm — длина свободного пробега молекул в газе (для насы-
•320 ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
щенного водяного пара при р ~ 1,0 МПа имеет место Ьп.
~ 10~8 м). Поэтому для ti=a2/Vi} справедлива оценка
Здесь ti — характерное время колебаний, при котором их дли-
длина волны сравнима с размером частиц. Таким образом, суще-
существует обширный диапазон больших частот:
при которых межфазные силы /в, fm и /а из-за нестационарности
обтекающего частицы потока газа сравнимы с квазистационар-
квазистационарной силой межфазного трения Стокса /ц или даже превышают ее
(см. § 1 гл. 2). При этом условие акустической однородности
или сплошности двухфазной среды еще не нарушается (длина
волн много больше размера частиц, см. главное допущение 2 во
Введении), что позволяет описывать волновые процессы в ней
^континуальными уравнениями.
Введем понятие комплексного времени релаксации скоростей
•фаз при акустическом воздействии на взвесь, для чего уравне-
уравнение движения дисперсной фазы запишем в виде
nf
1 .ГАЛ'
t(v) =
D.2.5)
Здесь t(v) — время скоростной релаксации при квазистационар-
квазистационарном (стоксовом) обтекании частицы газом, t™ — его комплекс-
комплексный аналог. Через ?* ' обозпачено комплексное время, характе-
характеризующее эффект изменения скорости частицы под воздействием
нестационарной силы Архимеда. Комплексность t * свидетель-
свидетельствует о наличии сдвига фаз между колебаниями скорости сколь-
скольжения (ш12 = vt — v2) и колебаниями той части межфазной си-
силы / (колебаниями /ц + /в + /т), которая связана с этим сколь-
скольжением (подробнее см. ниже, где этот вопрос обсуждается на
примере тепловой релаксации). Время t*' совпадает со стоксо-
вым временем релаксации t(v) = tw (см. A.4.33)) при частотах
<о< 10~2/^1', когда реализуется квазистационарный режим об-
обтекания частиц. Отметим, что роль двухскоростных эффектов
становится малой при частотах ш < 10~Vf(o). В этом случае ско-
§ 2 АКУСТИКА ГАЗОВЗВЕСЕЙ 321
рости фаз практически совпадают (vi»v2), а их выравнивание
происходит в основном за счет вязкой силы Стокса /м.
Вводя понятия комплексных времен релаксаций температур
в фазах, зависимости «внешнего» (</и) и «внутреннего» (q^)
тепловых потоков от частоты колебаний со в соответствии с
B.7.27), B.8.9) и B.8.10) запишем в виде (полагая в соответст-
соответствии с обсуждением A.6.10а) ^)!/
Ц1' ^Ж ^Г' D.2.6)
= V3 К/а2) fti (Ч), № = V134% (ч),
Здесь tJlf —• комплексное время релаксации температуры в ;-й
фазе, определяемое характерным временем tf1 = a2/VjT> и часто-
юй со. Из B.8.10), B.8.10а) следует, что при малых, своих для
каждой из фаз, частотах комплексные времена t}* близки к своим
квазистационарным действительным значениям t) .
AT) ^ AT) __ j , / , ч АХ) /т/аП ^ лп-2
?!* Л^ l-i — /3\.aila2/ll ! 1ЮГ1 /<.!"»
/(Г)_.(Т)_1/ .(W /'mfW^*-"! (i.^.ba)
При отсутствии фазовых переходов, выражая Tz из B.8.16),
получим уравнение притока тепла для частиц в виде
_? = Л 2 (Г) Р2С2 /,(Т) (Т) \ ^ (Г) Р2С2 ЛГ) /. ч
dt AT) ' Z* = ——VH2* + '22*/ -~ '12* —— = ъ 4\\z\)
К Р^ PlCl
D.2.7)
где t{T) — «квазистационарное» время релаксации температур
между фазами, t\ — его комплексный аналог. Здесь при упро-
упрощении выражения для t\. использована первая оценка B.8.13),
в соответствии с которой при отсутствии фазовых переходов
«внутренняя» нестационарность теплообмена несущественна при
любых частотах.
Результаты анализа процессов межфазного тепло- и массо-
обмена в газовзвесях (см. B.8.10), B.8.14) и рис. 2.8.3) позво-
позволяют указать характерные диапазоны частот акустических по-
полей, в которых применимы те или иные приближенные теории.
При at(T> < 1 можно использовать термодинамически равновес-
равновесную (однотемпературную) схему. Температурную неравновес-
неравновесность (отличие Ti от Т2) следует учитывать при со?<т) ^ 1. Если
при этом (w4wI/2 < ! (т- е- at{i} < 10~2> см- B.8.10)), то мож-
Р. И. Нигматулин, ч. I
322 ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
но использовать квазистационарную схему теплообмена в газо-
газовой фазе (Nil* = 2, ф^ = 0). Как правило, при этом a>t<i"'><.l
(см. B.8.10)), т. е. применима квазистационарная схема тепло-
теплообмена в капле (Nu2 = 10, <р2 = 0). Несгационарность межфазного
теплообмена, приводящую к увеличению параметров теплообме-
теплообмена Nu3 и сдвигов фаз ср, между q^ и Т, — Tz при росте частоты
колебаний и, необходимо учитывать в случаях (со/х ) > 0,1
и co4W>l. Обычно 4W>4W. так как ¦\4r)<vAn. Тем не менее
именно условия в газовой фазе зачастую определяют верхнюю
границу частот со, ниже которой можно использовать квазиста-
квазистационарную схему межфазного теплообмена.
Дисперсионные зависимости. Система уравнений D.2.1),
D.2.3), D.2.5), D.2.6), B.8.11) замкнута и может быть исполь-
использована для исследования распространения малых возмущений в
смесях газа или пара с каплями или частицами при наличии
или отсутствии эффектов взаимопревращения фаз в широком
диапазоне частот колебаний.
Далее будут использоваться следующие безразмерные пара-
параметры, характеризующие состав смеси и физические свойства фаз:
о - ?l o°-? 7-Ji-~ -L_ ~с - с* i*--L
p2~Pl' p2~P°' Cl~ v*t ~ yx-1' a~W c\-
D.2.8)
Аналогично § 1 из условия существования у рассматривае-
рассматриваемой системы линейных уравнений ненулевого решения типа
D.1.11) в виде (о-волн D.1.19) для случая а2<1, р°/р2 <С 1
можно получить следующую дисперсионную зависимость волно-
волнового числа к% от частоты возмущения со:
4 {(Сг + р,с2 - 21*) + р°с2 (Ш1&) + (ct-2l*) (ioitBV)},
D.2.9)
П'3) = р2 {(%) + (T)
- P2 4- )
Здесь У.(со) и в (со)—определяемые размером частиц и тепло-
§ 2. АКУСТИКА ГАЗОВЗВЕСЕЙ 323
физическими свойствами фаз (уь Си I, 0, ц,, р_,-> с„ А,; /=1, 2)
комплексные функции, описывающие дисперсионные и диссипа-
тивные эффекты из-за относительного скольжения фаз и нерав-
неравновесного межфазного теплообмена соответственно. При отсут-
отсутствии частиц (р2 = 0) указанные эффекты отсутствуют, в этом
случае V = Э = 1. Сила Архимеда и присоединенных масс вносят
малый вклад (порядка 0(а2, Pg/рг)) в дисперсионную зависи-
зависимость D.2.9) и поэтому слабо влияют на распространение и за-
затухание волн в газовзвесях.
Для оценки относительного вклада в функцию в (со) членов,
ответственных за отдельные релаксационные процессы межфаз-
межфазного тепло- и массообмена, составляющие ее комплексные функ-
функции ПA), ПB) и П<3) удобно переписать так, чтобы в них фигу-
фигурировали уже обсуждавшиеся ранее (см;. B.8.13)) отношения
(Т) (Т) (Т)
характерных времен релаксаций ?12», t2z* и t% :
is*
1 = 1 -г v«cot2 *
*22*
В соответствии с оценками B.8.13) |t22*/^i2* (^ 1, поэтому влия-
влияние неравновесности фазовых переходов начинает проявляться
тогда, когда входящее в ПB) и ПC) отношение i(/V^22*> растущее
с увеличением частоты со, становится сравнимым с единицей.
Выражения для равновесной Се и замороженной С} скоростей
звука в парокапельной смеси, получающиеся при предельных
переходах со -*¦ 0 и со ->- °°, могут быть записаны в виде
1 ' D.2.10)
где ^е — аналог равновесного показателя адиабаты двухфазной
смеси с фазовыми переходами. При отсутствии конденсированной
фазы (р2 = 0) показатель 4<, = >tgs (см. B.6.12)) определяет так
называемую равновесную скорость звука в паре Се1 со стороны
Двухфазной области, когда в волне имеет место Tl = Ts (p). За-
Замороженная скорость звука в капельной смеси практически реа-
21*
324 ГЛ 4 ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
лизуется (C((u)~Ct) хотя и при больших (со?(°\ со?<т) > 1), но
допустимых для данной теории частотах со?(С) < 1.
Дисперсионное соотношение, соответствующее частному слу-
случаю отсутствия фазовых переходов может быть получено из
D.2.9) при предельном переходе t? ->оо. В этом случае V(a)
остается такой же, как в D.2.9), а 9 (со) имеет более простой
(Т)
вид с комплексным временем релаксации t* , определенным в
D.2.7):
Су —
у , р
1 + Р2 1 -г Р2 су
Здесь Су и с„ — равновесные теплоемкости три постоянном объе-
объеме и давлении, уе — равновесный показатель адиабаты двухфаз-
двухфазной смеси без фазовых превращений. Выражения для равновес-
равновесной и замороженной скоростей звука, получающиеся из этой
зависимости при предельных переходах © -*¦ 0 и со -*¦ °°, совпада-
совпадают с соответствующими выражениями D.2.10), но со значением
Че из D.2.11).
Рассмотрим частный случай газовзвеси — аэрозоль типа ды-
дыма, тумана и т. п., когда малы не только объемное, но и массо-
массовое содержание частиц:
а2«1, р2«1. D.2.12)
Тогда, пренебрегая членами более высокого чем р2 порядка ма-
малости, для аэрозоля без фазовых превращений имеем следующую
более простую дисперсионную зависимость:
(Сг к jay = 1 + р2 [У° (со) + 6° (со)], D.2.13)
F0 (со) = A + Ш{:У\ 6° (со) = (?1 - 1) (с2/Сх) A + Ш{?У\
Здесь, в отличие от D.2.9), имеет место аддитивность вклада
межфазного трения и теплообмена в дисперсию и диссипацию
возмущений. В результате явные зависимости фазовой скорости
D.1.19) и денремента затухания D.1.21) от частоты возмущения,
разме(ра частиц и теплофизических свойств фаз аэрозоля
имеют вид
АС = р2?> (со, а), о = р2К (со, а) 2
(АС = (С, - С) 1С, а = k^L = 2яЛ„/А).
При не очень больших частотах (со < КГ2/^', КГ2/^)*
когда не сказываются нестационарные эффекты межфазного
обмена импульсом и теплом, выражения для Z)(со, а) и .К(со, а)
§ 2. АКУСТИКА ГАЗОВЗВЕСЕЙ 325
имеют вид
*(») . с» m*(T>
Согласно D.2.14) в газовзвесях с малым массовым содержа-
содержанием дисперсной фазы «дефект фазовой скорости» АС линейный
коэффициент затухания к^^ и безразмерный коэффициент зату-
затухания о на длине волны пропорциональны массовому содержа-
содержанию частиц р2.
Зависимость фазовой скорости звука и декремента затухания
от частоты для пароводяной капельной смеси. Выписывать вы-
вытекающие из представленных выше общих дисперсионных соот-
соотношений явные зависимости фазовой скорости С и линейного
декремента затухания к%% слабого гармонического возмущения
от его частоты со и термодинамических параметров смеси в об-
общем случае не имеет особого смысла из-за их громоздкости.
Анализ этих зависимостей можно выполнить на основе резуль-
результатов прямых расчетов, некоторые из которых представлены
ниже. На рис. 4.2.1 представлены результаты расчетов для моно-
монодисперсной пароводяной смеси. Рассмотрен только тот диапазон
частот, которых! удовлетворяет требованию акустической одно-
однородности (L ~ к'1 > а). Различные серии кривых на каждом из
представленных рисунков относятся к различным массовым со-
содержаниям конденсированной фазы. Разные кривые каждой се-
серии построены для различных значений коэффициента аккомо-
аккомодации рт. Сплошные кривые соответствуют обычно принимаемо-
принимаемому для воды значению $т = 0,04, чему при р = 1,0 МПа (Т =
= Тв(р)) и а = 30 мкм соответствует t'^/t^ « 6 • 10~6, осталь-
остальные кривые иллюстрируют степень влияния рт на дисперсию и
затухание возмущений. Случай fim = 0 соответствует заморожеп-
ному массоомену у?2 = °°/' случаи, условно ооозначаемыи как
«fSm=°°»,— равновесному на поверхности капель массообмену
при Tz = Ts (ts = О). Кривые, соответствующие конечным зна-
значениям рт, расположены внутри области, ограниченной предель-
предельными кривыми ?Jm = 0 и рт = °°, и стремятся к ним при больших
и малых частотах соответственно.
Сплошные кривые (^ = 0,04) практически совпадают со
штриховыми кривыми ^т = оо, когда t% <CU2S*Ij а именно до
частот ©4 s^ Ю, что соответствует значениям (о?(в) < 10. Ис-
Использование предположения о квазиравновесности массообмена
(Рт=оо) при больших частотах занижает фазовую скорость
распространения малых возмущений и завышает их линейный
326
ГЛ 4 ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
коэффициент затухания. Замороженность массообмена приводит
к увеличению скоростей и уменьшению линейного затухания воз-
возмущений, при этом коэффициент затухания на длине волны а
возрастает при малых и уменьшается при больших частотах.
Зависимости для групповой скорости С{8) (со) имеют тенденцию
*¦**."
10
Ш
70'
Рис. 4 21. Зависимость фазовой скорости С = ю/fe, линейного fc** и безраз-
безразмерного 0 = 2Я&**/к декрементов затухания при распространении слабого
гармонического возмущения в двухфазной пароводяной капельной смеси
(ро = i,0 МПа) от безразмерной частоты a>Z(tI). Цифровые указатели у каж-
каждой серии кривых соответствуют относительному массовому содержанию
капель в смеси рг- Разные кривые каждой серии соответствуют различным
значениям коэффициента аккомодации |Sm = 0; 4-10~4; 4-10~2, оо
к формированию локальных максимумов и минимумов при опре-
определенных, зависящих от содержания капель в смеси частотах.
Учет нестационарных эффектов межфазного взаимодействия
сводится к учету отличия (при высокочастотных возмущениях)
*(*0)' **1* и 4*} соответственно от tw, 1/3t^) и Vi54W за счет реа-
§ 2 АКУСТИКА ГАЗОВЗВЕСЕЙ:
327
лизации более тонких, чем это дает квазистационарная теория,
пограничных слоев вокруг капель. Из-за более тонких погранич-
пограничных слоев процессы межфазного обмена идут быстрее или более
«равновесно», чем по квазистационарным соотношениям, причем
Рис 4 2 2. Вклад различных нестационарных эффектов в дисперсию и дис-
сгпацию малых возмущений в пароводяной капельной смеси при давлении
?о = 1,0 МПа /р°/р° = 172). Кривые: 1 — с учетом всех нестационарных
эффектов, 2 — с учетом нестационарных эффектов только в силе межфаз-
межфазного взаимодействия /, 3 — с учетом только в межфазном теплообмене g^i,
4 — без учета нестационарных эффектов. Массовое содержание капель
1
со сдвигом фаз относительно соответствующих термодинамиче-
термодинамических сил. В результате за счет нестационарности скорость рас-
распространения возмущений падает, а линейный коэффициент за-
затухания увеличивается. Вклад каждой отдельной нестационар-
нестационарной составляющей межфазового обмена импульсом и теплом и
их влияние на вид дисперсионных зависимостей показаны на
рис. 4.2.2. Видно, что доминируют скоростные нестационарные
эффекты, влияние которых начинает сказываться при частотах
<в^ = 9/2 (Р1/Р2) ®tw > 1СГ2, что и должно быть в соответствии с
оценками B.1.20). Влияние тепловых эффектов проявляется в зна-
значительно меньшей степени и лишь при более высоких частотах.
Отметим очень интересное обстоятельство. Если нестационар-
нестационарные эффекты не учитываются, то теория дает такие значения
групповых скоростей С(в)(со), которые могут превышать заморо-
замороженную скорость звука в смеси С) « Сь При этом величина ли-
линейного коэффициента затухания &#* (со) ->¦ const при ю -*¦ °°.
328 ГЛ. i. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
При учете нестационарных эффектов обычно имеем Cie) (со)< С},
а при со -*• °° имеем к%% (ю)-> оо (см. рис. 4.2.2).
Величины со и а входят в комплексные функции У{а>) и
в (со), определяющие к^/а только в виде безразмерных комби-
комбинаций u>?j^, <д$\ cotBw, cots '• Безразмерные комбинации тако-
такого типа будем называть частотно-структурными параметрами.
Они характеризуют отношения различных времен релаксаций
DW, 4Х\ 4*"\ пропорциональных а2, и ?2Т), пропорционального а)
к периоду колебаний со"'. Зафиксируем свойства фаз (у4, С1? <?,
Pi' А,,, с;; / = 1, 2) и выделим два предельных случая, когда фа-
фазовые переходы или отсутствуют (^ —> оо), или происходят
квазиравновесно, т. е. равновесно на межфазнон границе
(^2 = 0). В обоих этих случаях комбинация со^ в дисперси-
дисперсионную зависимость не входит, а остальные частотно-структурные
параметры отличаются друг от друга только постоянными мно-
множителями. Это значит, что в указанных предельных по t^ слу-
случаях дисперсионная зависимость к%/а> от и и а есть функция
только одного комплекса aa2, т. е. фактически только одного
частотно-структурного параметра, например ш = со?@, который
является наиболее показательным для газовзвесей (любой из
указанных выше других частотно-структурных параметров про-
пропорционален со). Таким образом, при со^Т)> 1 или Ю4Т)< 1 имеем
С (со. а) = С (соа2) = С (со),
а (со, а) = 2лк„/к = о (соа2) = а (щ), D.2.16)
со = (?>t(v) = 2/9 (ргДц) соа2.
Другими словами, при замороженных фазовых переходах ((Зт =
= 0) или их 1<вазиравновесном протекании (^т->• оо) зависимости
С (со) и о (со) (штриховые и штрихпунктирные линии на
рис. 4.2.1) годятся для произвольных размеров частиц из обла-
области допустимых (со?(с)<1). Неавтомодельность С(«) и о (со),
т. е. дополнительное влияние размера частиц а на последние за-
зависимости проявляется из-за температурной неравновесности
межфазных границ только при наличии фазовых переходов, когда
сказывается отличие Tz от температуры насыщения Тв. Послед-
нее же имеет место при ts /|Ч2*| ~ 1-
Произвольное решение рассмотренной линейной системы
уравнений может быть представлено, если использовать преобра-
преобразование Фурье, в виде суперпозиции гармонических со-волн
р (х, t)=^P^ (со) exp i (k^x + tot) dco D.2.17)
о
с амплитудами, определяемыми комплексной функцией Р* (ю)%
§ 2. АКУСТИКА ГАЗОВЗВЕСЕЙ 329
которая находится по заданному закону изменения давления
при х = 0:
Р* (<о) = Р (<о) + iP** (<») = ) Р @, t) exp (- Ш) dt. D.2.18)
о
Используя дисперсионную зависимость к.м (со), определим р(#, t)
(в виде действительной части выражения D.2.17))
р (х, t) = j exp (— fc^ (ю) z) {Р (со) cos [к (со) (ж — С (со) <)]
— Р^ (со) sin [fc (со) (ж — С (©)*)]} dm.
О
Аналогично определяются и другие величины: v{x, i), pj (ж, I),...
Произвольное возмущение может содержать составляющие
как высокой, так и низкой частоты. Высокочастотные составля-
составляющие (со > 1) будут распространяться со скоростью, близкой к
максимально возможной и равной Cf & Ct, при этом будут быстро
затухать. Низкочастотные составляющие будут идти с меньшей
скоростью, близкой к Се, затухая значительно слабее. В резуль-
результате импульс конечной длительности при своем распространении
(например, в сторону х > 0) в невозмущенную среду будет за-
затухать и расплываться, т. е. его амплитуда будет падать, а дли-
длительность увеличиваться. Так как выражение к% (со) очень гро-
громоздкое, то имеет смысл предварительно аппроксимировать
зависимости С (со) и Л** (ю) более простыми выражениями.
Результаты измерений скоростей волн и их затуханий могут
быть использованы (если физические свойства фаз известны)
для оценки размера капель (А. И. Ивандаев, Б. И. Нигматулин,
1980) в условиях, при которых размер капель чрезвычайно за-
затруднительно измерить другими методами (например, в парока-
пельных потоках при высоких давлениях j? — 10 МПа и темпе-
температурах Г «500 К).
Влияние полидисперсности взвеси. Рассмотренные выше за-
зависимости волнового числа к^ от частоты возмущения и описы-
описывают дисперсию и затухание слабых монохроматических волн в
монодисперсных смесях, содержащих взвешенные капли или ча-
частицы одного и того же размера. Однако реальные взвеси как
естественного, так и искусственного происхождения, как прави-
правило, не являются монодисперсными, в них могут присутствовать
частицы различных размеров. Дисперсный состав таких смесей
характеризуется нормированной функцией распределения частиц
по размерам N* (а), при этом
"max
J N* (a) da = 1 (TV* = N/n),
о
где п — общее число частиц в единице объема газовзвеси,
330 ГЛ 4 ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
«max — максимальный радиус частиц. Массовое содержание ча-
частиц с радиусом от а до a + da и их удельная межфазная поверх-
поверхность соответственно равны (сс2<С 1)
ф2/р1 = сф2 = */^rip02a3nN* (a) da, dsn = 4na2nN*da. D.2.19)
Интегрирование этих выражений дает массовое содержание р2 и
удельную межфазную поверхность si2 всех частиц в полидисперс-
полидисперсной смеси:
~ 4 ~°
р2 =-г л«р2 <a3>, s12 = Ann <a2>
amax
<an> = j iV* (a) anda; n=2, 3 L D.2.20)
где у <a3> и У<а2> — соответственно среднеобъемный и средне-
поверхностный радиусы частиц. Пусть массовое содержание ча-
частиц мало (р2<1) и фазовые переходы отсутствуют. Тогда в
соответствии с D.2.14) вклад частиц с радиусом от а до я -Ь da
в «дефект фазовой скорости» АС и декремент затухания о про-
пропорционален их массовому содержанию dp2:
= D((n,a)dp2, da = К (со, a) dp2. D.2.21)
Интегрируя эти выражения с учетом D.2.19), D.2.20), получим
дисперсионные соотношения для полидисперсной смеси, справед-
справедливые при р2 < 1 и в отсутствие фазовых переходов
^ "max
ДС (©)=-%. Г N* (a) azD (©, a) da,
{a} J
D.2.22)
_ "max у '
а (ш) = -^- N* (а) а2К (со, a) da.
Сопоставление теории с экспериментом. Одной из наиболее
аккуратных экспериментальных работ, где имеются необходимые
данные для сопоставления с теорией, является работа S. Temkin,
R. A. Dobbins A966). В ней исследована дисперсия и затухание
звуковых колебаний в газовзвеси капелек олеиновой кислоты в
азоте. Опыты проводились при малых массовых концентрациях
частиц р2 = 0,01—0,02 в диапазоне частот колебаний 1—10 кгц.
Массовое содержание р2 и некий средний, так называемый объем-
объемно-поверхностный радиус частиц, равный
а* = <а3>/<а2>, D.2.23)
измерялись по рассеянию светового пучка. Экспериментальные
§ 2. АКУСТИКА ГАЗОВЗВЕСЕЙ
331
данные обработаны в виде зависимостей скорости возмущения и
коэффициента его затухания на длине волны от безразмерной
частоты a>t(v>, при этом в качестве а использовался измеренный
размер капель а*.
0,8
0.4
V/ ?
? / 0 /
/
/
д-2
\
0,1
Рис. 4.2.3. Сопоставление теории с экспериментальными данными (S. Теш-
Jun, R. Dobbins, 1966) по фазовой скорости и затуханию звука в газовзвеси
капель олеиновой кислоты в азоте (р0 = 0,1 МПа, Го = 293 К). Фазовые пе-
переходы отсутствуют. Различные экспериментальные точки соответствуют
разным частотам колебаний со, с, а именно: 3000 A), 4900 B), 6400 C),
9450 D). Координата каждой точки по оси абсцисс соответствует tM, рас-
считапному по непосредственно измеренному в опытах среднему объемно-
поверхностному радиусу а* (см. D.2.23). Теоретические кривые построены
с учетом полидисперсности капель в соответствии с D 2 22) и однородной
функцией распределения частиц по размерам D.2.24) (сплошпые линии) и
без учета полидисперсности капель (в соответствии с D.2.14), штриховые
линии)
Сопоставление теории с экспериментом проиллюстрировано
на рис. 4.2.3, где представлены результаты расчетов по диспер-
дисперсионным зависимостям D.2.14) и D.2.22). Функция распределе-
распределения частиц по размерам в опытах не измерялась, поэтому в
расчетах использовались различные функции, в частности
\N, 0<a<amax, I 4
Ща) =
0,
^тяу — тг '
D.2.24)
Вариации N* (а) не приводили к существенному изменению ре-
результатов расчетов. Видно, что моделирование реальной поли-
полидисперсной среды уравнениями и их решениями D.2.15) для
монодисперсной смеси с некоторым средним диаметром частиц
хотя и соответствует экспериментальным данным в целом, тем
332 ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
не менее дает заметное от них отклонение. При этом вариация
среднего радиуса я* в расчетах фактически приводит лишь к
одновременному параллельному сдвигу экспериментальных и
расчетных кривых C((f>tM) и а((о?A>)) вдоль оси абсцисс и не
позволяет добиться лучшего согласования теории с опытом. Для
улучшения этого согласования необходимо учесть поли дисперс-
дисперсность в соответствии с D.2.22), т. е. учесть неодинаковый вклад
разных фракции на дисперсию и затухание волн.
Представленные на рис. 4.2.3 экспериментальные данные
соответствуют безразмерным частотам ativ) < 10, когда нестацио-
нестационарные эффекты взаимодействия фаз, начинающие проявляться
при ш4Д) = (Pi/рг) ^т ^> Ю~2> сказываются еще не очень силь-
сильно. Тем не менее учет нестационарных эффектов, вообще говоря,
приводит к улучшению согласования расчетных зависимостей с
опытными.
§ 3. Схема ударно-волнового эксперимента
для исследования волн в газовзвесях
Для экспериментального исследования волновых и высокоско-
высокоскоростных процессов в газовзвесях используют вертикальные удар-
ударные трубы. Характерная схема ударной трубы показана на
рис. 4.3.1. Она представляет собой трубу с диафрагмой 2, разде-
разделяющей камеры высокого (КВД) и низкого (КНД) давлений.
Имеется дополнительное оборудование 4 и 5 для заполнения
КНД частичками твердой фазы. Исходная смесь газа с частицами
в КНД к моменту разрыва диафрагмы создается отсечкой про-
прокачиваемого через смеситель потока смеси. При этом частицы
поддерживаются во взвешенном состоянии восходящим потоком
газа, проходящим через вентиляционные каналы 3 и 10. Газо-
Газовзвесь может заполнять не всю КНД — между диафрагмой и
двухфазной средой возможно существование области чистого газа.
После разрыва диафрагмы в КНД образуется ударная волна,
проталкиваемая газом из КВД. Процесс регистрируется мало-
малоинерционными датчиками давления 8, заделанными в стенки
трубы. Описанная схема соответствует ударной трубе, реализо-
реализованной в работе Е. Outa, К. Tajima, H. Morii A976). Эта труба
имеет длину около 7 м и диаметр 70 мм. В отличие от приве-
приведенной схемы, двухфазная капельная смесь может создаваться
в КНД введением капель сверху (см. А. А. Борисов, Б. Е. Гель-
фанд и др., 1971).
При достаточно высокой скорости продувки однородную по
течению канала газовзвесь можно реализовать и в горизон-
горизонтальной трубе.
Помимо измерения давления, для ударных труб разработаны
методы скоростной фоторегистрации поведения капель (при ис-
исследовании их обтекания и дробления), измерения объемной
§ 3 УДАРНО-ВОЛНОВОЙ ЭКСПЕРИМЕНТ В ГАЗОВЗВЕСЯХ
333
концентрации дисперсной фазы по оптической прозрачности
смеси и т. д. Обзор работ см. А. И. Ивандаев, А. Г. Кутушев,
Р. И. Нигматулин A981).
Если размеры частиц, а вместе с ними и релаксационные вре-
времена выравнивания параметров фаз настолько малы, что разме-
размеры релаксационных зон, в которых выравниваются параметры
Рис. 4 3.1. Схема удар-
ударной грубы для исследо-
исследования волн в газовзве-
газовзвесях: 1 — камера высоко-
высокого давления, 2 — диа-
диафрагма, 3 — вентиляци-
вентиляционных! клапан, 4 — сме-
сшель, 5 —питающее
устройство для частиц
твердой фазы, в — сетка,
7 — камера низкого дав-
давления, 8 — датчики дав-
давления, 9 — фильтр, 10 —
вентиляционный клапан,
11 — отводящий клапан
Воздух
Воздух
фаз, много меньше характерных линейных размеров исследуемых
объектов (в данном случае длины ударной трубы или размера
тела, обтекание которого исследуется), то для описания течения
разреженной газовзвеси без фазовых переходов можно исполь-
использовать равновесную схему, или схему «а = 0» с равными скоро-
скоростями и температурами фаз. В другом предельном случае, когда
размеры частиц достаточно велики, так что размеры релакса-
релаксационных зон много больше длины ударной трубы и т. д., можно
использовать «замороженную» схему, или схему «о = °°» с неза-
независимым движением фаз. Как уже указывалось (см. § 4 гл. 1),
использование равновесной и замороженной схем сводит анализ
течения к расчету по классическим уравнениям газовой динами-
динамики совершенного газа с использованием классических ударных
адиабат, ударных поляр и газодинамических таблиц соответ-
соответственно для эффективного показателя адиабаты смеси 7 = Т<* и
равновесной скорости звука смеси С = Се для схемы «а = О» (см.
A.4.29)) и показателя адиабаты ¦у1 и скорости звука Ct чистого
газа для схемы «а = <»» (см. A.4.31)).
334
ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
Поэтому ниже в данной главе будут обсуждаться эффекты,
возникающие из-за межфазной неравновесности, тем более, что
при размерах частиц а^ 10 мк и длинах труб L~l м эти эф-
эффекты являются существенными.
Ч
Рис. 4.3.2. Газодинамическая схема течения (zf-диаграмма п эпюра давле-
давления при t = ti в ударной трубе, содержащей газовзвесь (при t = 0 двух-
двухфазная зона х > х*)) в КНД. Здесь г — волна разрежения в газе высокого
давления, с — контактная граница, разделяющая расширяющийся газ КВД
и сжатый газ КНД, d — граница «газ — газовзвесь», g — волна сжатия,
отраженная от границы «газ — газовзвесь», / — ударная волна в газе и га-
газовзвеси КНД. Штриховыми линиями и соответствующими буквами со
штрихами показаны волны согласно равновесной схеме газовзвеси. Штрих-
пунктирная линия /" соответствует замороженным условиям, когда отсут-
отсутствует влияние частиц
На рис. 4.3.2 показаны газодинамические схемы равновесно-
равновесного, замороженного и неравновесного течений при наличии частиц
в КНД.
§ 4. Структура стационарных ударных волн
в газовзвесях и парокапельных средах
Рассмотрим одномерное движение, возникающее при стацио-
стационарном воздействии «поршня» (с постоянной скоростью или с
постоянным давлением вдоль всей плоской границы полупро-
полупространства, занятого покоящейся макроскопически однородной
средой в равновесном состоянии. Пусть скорость «поршня» пер-
§ 4 СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗОВЗВЕСЯХ 335
пендикулярна границе полупространства. Естественно ожидать,
что нестационарная плоская одномерная волна, уходя от места
возмущения (границы полупространства или «поршня»), может
выйти (хотя бы асимптотически) на стационарный режим, при
котором скорости среды и ее составляющих параллельны фикси-
фиксированной скорости поршня, вдоль которой направим ось х, а сама
волна движется с постоянной скоростью Da по невозмущенной
среде, не меняя своей конфигурации.
В данном параграфе будут выяснены условия существования
и исследована структура такой стационарной волны, распростра-
распространяющейся по равновесной однородной в невозмущенном состоя-
состоянии смеси газа (пара) с каплями или частицами (на примере
водяной парокапельной взвеси).
Уравнения стационарного одномерного движения. Исследова-
Исследование только что определенной стационарной волны удобно про-
проводить в системе координат, связанной с этой стационарной вол-
волной, в которой параметры среды не зависят от времени, т. е.
течение является стационарным. В указанной системе координат
волна неподвижна, а невозмущенная среда перед волной имеет
скорость v0 = —Do, которая равна скорости распространения
стационарной ударной волны относительно невозмущенной сре-
среды. Ось х направим вдоль направления распространения волны
относительно невозмущенной среды
Da = -v0>0, i;0<0. D.4.1)
В системе координат, связанной со стационарной волной,
уравнения § 4 гл. 1 преобразуются в систему обыкновенных
дифференциальных уравнений. Запишем сначала уравнения со-
сохранения массы фаз, числа частиц и импульса фаз
_ • f P2 _ ° _
~d~x — "" "¦•'12' fc ~ l2 !po —a2. P2 —
da /12 / 3«2 <* ("!;2) n\
J)a === n I == " ИЛИ — = \) 1 ,
dx 4ла р2 ybna dx J D.4.2)
^1 = - f 1 - - a8) ^ - f 1 - - <
dy2_ 3„ dp , ^ 3_^, 3_
' M- 1 о
Напомним, что в уравнениях импульса фаз использованы
упрощающие допущения: а\<^\ в. pi/p2 "^ 1- В указанных урав-
уравнениях пренебрегается также действием внешних массовых сил,
что приемлемо для высокоскоростных потоков, когда велики
числа Фруда, характеризующие отношение сил инерции к
336 ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
массовым:
Fr = ^^ = -^, D.4.3)
где Ах — характерное расстояние, на котором реализуется пере-
перепад скорости Av.
Далее, исходя из A.4.5) и A.4.8), запишем уравнения энер-
энергии смеси и притока тепла несжимаемой дисперсной фазы
,»;
D.4.4)
du
= nq + nj (u2a — u2),
Газовую фазу будем считать калорически совершенной, дис-
дисперсную — имеющей постоянную теплоемкость и, как только что
указывалось, несжимаемой, а температуру на межфазной по-
поверхности — равной температуре насыщения (Г2 = Та — Ts) ¦
Тогда уравнения состояния фаз A.4.6) с учетом A.3.74), A.3.76),
A.3.78) и уравнения межфазного взаимодействия A.4.9) и
A.4.11) замыкают систему уравнений D.4.2), D.4.4).
Перечислим характеристики вещества фаз, входящие в пред-
представленные уравнения. Уравнения состояния газовой фазы опре-
определяются величинами Ru с, (при этом показатель адиабаты
*Y 1 = Ci/(Ci — Ri)), конденсированной фазы — величинами р2, с2,
уравнения фазового равновесия — величинами 1{р0), ТБ(ро)*),
а фазового взаимодействия — величинами uf, Xi, k2, зависящими
от температуры фаз.
Складывая уравнения массы первой и второй фаз, импульса
первой и второй фаз и интегрируя полученные уравнения, урав-
уравнение сохранения потока частиц и уравнение энергии смеси, по-
получим следующие интегралы, отражающие постоянство потока
массы, потока числа частиц, импульса и энергии смеси:
— const, nv2 = const,
i + P2y2 + P = const, D.4.5)
(h + V2*>i) + Рг^г (h + Vivl) = const.
Пусть перед волной или хотя бы далеко впереди нее (;г-»-°°)
двухфазная среда находится в равновесном состоянии, обозна-
обозначаемом буквой о, в котором параметры будут отмечаться индек-
*) При отсутствии фазовых переходов I и Ts не входят в уравнения.
§ 4. СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗОВЗВЕСЯХ 337
сол 0 внизу:
х -> оо: v1 = v2 = v0 = — Do, p = jd0,
ri = r2 = rs(Po) = ro, D.4.6)
Pi = Pio = Pio A — a20). P2 = P20 = P°&2o>
а за волной или далеко за ней (х -*¦ — °°) среда переходит в дру-
другое равновесное состояние, обозначаемом буквой е (equilibrium),
параметры которого будут отмечаться индексом е внизу:
х->— се: v1 = v2 = ve, р = ре,
Г1=Г2 = Г8Ы = Ге, D.4.7)
О О
Pi = Pie = Pie A — 0t,2e), p2 = p2e = p2a2e.
Если в равновесных состояниях о или е отсутствуют капли
(рг = 0, а2 = 0), то температура пара может превышать темпе-
температуру насыщения, т. е. пар может быть перегретым. В случае
двухкомпонентной двухфазной смеси, в которой нет фазовых
превращений (например, смесь воздуха с частицами песка,
металла и т. д.), отсутствует температура насыщения, и при
равновесии выполняется равенство только температур фаз
между собой.
Как будет показано ниже, из первых иптегралов D.4.5),
являющихся следствиями законов сохранения массы, импульса и
энергии смеси, и из уравнений состояния фаз по параметрам
перед волной (состояние о: v0 = — Do, р0, То, р10, р20) можно опре-
определить параметры за волной (состояние е: ve, pe, Те, р1е, р2е),
причем указанные соотношения между параметрами перед (о) и
за (е) волной не зависят от интенсивности межфазного взаимо-
взаимодействия, которое влияет лишь на структуру волны, или, дру-
другими словами, па то, как происходит переход из состояния о
в состояние е.
Для дальнейшего удобнее перейти к безразмерным перемен-
переменным, отмеченным черточкой сверху,
# f М Р^ ^ 12)
D.4.8)
Введем также безразмерные параметры, характеризующие тер-
термодинамические свойства фаз:
Ci V<! 7,-1' ' V,*,' "" !¦„'
D.4.9)
^1Л1 Vx-1' 2 Yx^' 5 ' Го»
C10 P2
и приведенные величины, определяющие взаимодействие фаз на
22 р. и. Нигматулин, ч. I
338 гл- 4 ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
единице длины и имеющие размерность м~':
-. D.4.10)
piov iooio
Тогда дифференциальные уравнения одномерного стационар-
стационарного движения взвеси газа с каплями или частицами могут быть
представлены в виде
dM „
= /12 (М, + М
л / За \
fx = ~ F* + 4 - -г »»'
4Г^ ( ^^) D.4.11)
»
= / (М, + М2 = Л/о = const),
За
4
i _
V2 A - За2
Здесь уравнение для 7\ записано с учетом A.4.8).
Из уравнения состояния газа (р = PiR^i) и условия не-
О
сжимаемости дисперсной фазы р2 = const можно вывести сле-
следующие конечные соотношения между искомыми функциями:
а1 = «лЙ?А а^^3 К + а2 = 1), D.4.12)
PV1 M^ 2
откуда после дифференцирования (d(ai + a.z)/dx = 0) получим
_ dv dv - dp - d~f
^, D.4.13)
1 2
Для замыкания полученных уравнений необходимо привлечь
следующие из формул A.4.9) и A.4.11) выражения для F*,
Qsi> Qs2 через a,, v,, Тг и текущий размер капель или частиц,
§ 4. СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗОВЗВЕСЯХ 339
который определяется из уравнения
Из уравнения притока тепла на межфазной границе B-фазе)
имеем уравнение для /12:
ЛУ* = Qli + QL D.4.15)
Дифференциальные уравнения имеют три первых интеграла, сле-
следующие из D.4.5),
М1 + М2= Мо (Мо = 1+ Л/20, М20 = р20 = р20/р10),
Ж"^ + M2v2 + p/aloylVo = /0 G0 = A + М20) vQ + i/ia^y^o)),
D.4.16)
[c2 (fa-l) + e0 (р-
Разрешая D.4.11) с учетом D.4.13) относительно производных,
получим
а1-Ь fo -If F* (l 3 g
/280P^ (Vj - 1)
№.
-^ = F* I p [fife -^j- Gх-1)Л/1Ы; J + D.4.17)
; +
aio^o ' 2^2 ^2 a:oVo
- (Vl - 1) Ml [cx (rx - ?s) - V2 A - 3/2a2), п*] }
Таким образом, имеются дифференциальные уравнения, разре-
разрешенные относительно производных от М2, р, Vi. Остальные иско-
искомые функции (Ми v2, Tu T2, ai, cc2) определяются из алгебраи-
алгебраических соотношений D.4.12) и D.4.16), а именно: по значениям
М2, р, Vi из первых двух уравнений D.4.16) вычисляются Ж\ и
v2, далее из второго уравнения D.4.12)^ вычисляются а2 и ai =
= 1 — а2, а затем из первого уравнения 7\ и, наконец, из третьего
уравнения D.4.16) вычисляется 7V
Равновесные параметры за волной. Выпишем уравнения, опре-
определяющие равновесные параметры за волной (в состоянии е, см.
О9*
340
ГЛ 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
D.4.7)) по параметрам перед волной (в состоянии о, см.. D.4.6)),
которые следуют из условий равновесия и интегралов D.4.5)
или D.4.16) и уравнений состояния D.4.12):
_
МгеС2) (Те -
Л/ао)
u
- С = 0, D.4.18)
Если за волной — двухфазная смесь {М^еМге > 0), то ее темпе-
температура равна температуре насыщения Тв, зависимость которой
от давления будем аппроксимировать в виде A.3.78)
Возможны случаи, когда все капли за волной испаряются
(М2е = 0), тогда Те>Та, Mie = 1 + Ж20, и уравнение энергии
D.4.18) примет вид
М20) [с3 {Те -
-f
It
= It
D.4.20)
При отсутствии фазовых переходов имеем М1в = 1, М2е = Мы,
и уравнение энергии примет вид
(с,
_ 1) = 0.
D.4.21)
Из уравнений, определяющих равновесную ударную адиаба-
адиабату, можно найти наименьшее значение скорости волны уплотне-
уплотнения -Do, при которой о ->- е, т. е. _ре->-1. Эта скорость совпадает
с равновесной скоростью звука, равной скорости распространения
слабых гармонических возмущений (см. § 1, 2), имеющих «ну-
«нулевую» частоту (ю->-0), и выражение для которой дано в
D.2.10):
Dmln = С.. {kA.1T)
На рис. 4.4.1 приведены рассчитанные ударные адиабаты для
пароводяной смеси разных массовых содержаний жидкой фазы
при начальном давлении р0 = 1,0 МПа (То = Ts(pu) = АЪ2 К).
Видно, что если содержание жидкой фазы меньше некоторого
§ 4. СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗОВЗВЕСЯХ
341
#,75
0,25
\\
12,0
\
V4
N
8,0
——.
2,0
[ 4,0
_J,0
1
////
Щ84
//
* /
V/a
'Л
i /
/
/ ,
i /
/у
/4,0
/
/
/
/у
/zfi
/
/
/ ол
4=/
у
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
lie
0,75
0,50
0,25
и 0,25 0,50 0,75 1,0 1,25 Ла
Рис. 4.4.1. Равновеспые ударпые адиабаты, определяющие равновесные па-
параметры за волной [ve, ре, М1е) по равповесным параметрам перед волной
(А^2о, v0 = —Do) для пароводяной смеси (р0 = 1.0 МПа, То = 452 К). Чис-
Числовые указатели у кривых соответствуют значениям М2а
= 12,0
/
/
-——
-^0,5
??_
2,0_
4JT
8,0
342 ГЛ. 4 ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЯ
значения, то после прохождения ударной волны достаточной
интенсивности происходит частичное или полное испарение ка-
капель (М1е>1, М2е< М2<>). При более значительном содержании
капель, наоборот, происходит частичная конденсация пара
(Mie < 1)- Обсуждение этого обстоятельства см. ниже.
Исследование поля интегральных кривых одномерного ста-
стационарного течения газовзвеси. Рассмотрим интегральные кри-
кривые системы уравнений D.4.17). Для простоты ограничимся
случаем отсутствия фазовых переходов (/*2 = О, Л/2 = М20),
когда система уравнений имеет второй порядок. Полученные
качественные выводы (Р. И. Нигматулин, 1969) можно обобщить
и на более общий случай с фазовыми переходами.
Таким образом, если Mt = l, М2=М2<!, то, разделив диффе-
дифференциальные уравнения D.4.17) друг на друга и учитывая ин-
интегралы и уравнения состояния, получим дифференциальное
уравнение в плоскости vtp:
? = Р-^Ц. D.4.23)
Из-за громоздкости выражений явный вид функций Р(р, г>\)
и V(p, Vi) здесь не приводится. Отметим, что в равновесных со-
состояниях о и е, когда F* = Q^ — Jn = О, как это видно из
D.4.17), имеем P = F = 0, т. е. точки о и е являются особыми
точками уравнения D.4.23).
Прежде чем исследовать тип этих особых точек, отметим, что
на плоскости v^p можно выделить так называемую «звуковую»
линию, или линию бесконечных градиентов, которую обозначим
через тп и вдоль которой выполняется условие A(v1: p) = 0.
Каждой точке этой линии соответствует точка в плоскости хр
или afii с бесконечными значениями градиентов параметров
(рис. 4.4.2). Исключение может представить та точка на тп,
где, кроме А = 0, реализуется ДР = 0. Эта точка будет особой
точкой уравнения D.4.23), так как ей соответствует Р = У = 0.
На рис. 4.4.2 эта точка отмечена буквой t.
Нетрудно видеть, что приближенное уравнение звуковой ли-
О О
иии тп при а2 < 1, Р2 ^ Pi (или е0 < 1) имеет вид
ptxvoVi. D.4.24)
Если звуковая линия тп в плоскости vtp проходит над точ-
точкой о, имеющей координаты (v0, 1) и соответствующей началь-
начальному равновесному (см. рис. 4.4.2, а) состоянию, то стандарт-
стандартным исследованием дифференциального уравнения D.4.20)
можно показать, что о и е есть узловые особые точки, а упомя-
упомянутая точка t есть седловая особая точка. При этом любая
непрерывная кривая, соединяющая точки о и е, должна пересечь
тп, а в плоскости хрх ей будет соответствовать «опрокинутая»
§ l. СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗОВЗВЕСЯХ
343
волна вида oge с двузначным распределением параметров, что
физически не реализуемо. Это означает, что в поле течения дол-
должен быть скачок о/ с диссипацией энергии из-за вязкости и теп-
теплопроводности газовой фазы. За скачком имеется единственное
р
в
1
\, /
\
\
е
I у*
1 -V
^
Рис. 4.4 2. Поля интегральных кривых в координатах v\, p и структуры
р{х) стационарных ударных волн в газовзвеси. Случай а соответствует
стационарной ударной волне сжатия со скачком (\vo\ = Do > Cf), а слу-
случай б — стационарной волне сжатия с непрерывной структурой (Се <
D С)
непрерывное решение, соответствующее зоне релаксации. Соот-
Соотношения на скачке типа A.4.24) по параметрам в точке о опре-
определяют и причем единственным образом, точку /. Следовательно,
в рассматриваемом случае, когда линия тп проходит над точ-
344 ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
кой о, стационарная волна имеет скачок, и соответствующее ей
решение существует и оно единственно.
Если звуковая линия тп проходит под точкой o(v0, 1), то
начальному состоянию о соответствует седло (см. рис. 4.4.2, б),
а конечному е — узел, и точки о и е соединяются единственной
непрерывной интегральной кривой ое, которая не пересекает тп
и является сепаратрисой в плоскости v,p.
Минимальное значение скорости стационарной ударной волны
со скачком обозначим через Df = —vf. Эта скорость находится
из условия прохождения звуковой линии тп через точку o{v0,1).
Это приводит к уравнению A(vf, l) = 0, из которого получим
D, = Ct»Cu D.4.25)
где Ct — характеристическая или замороженная скорость звука,
равная скорости распространения слабых гармонических возму-
возмущений (см. § 1, 2 и D.2.10) для случая а20<1), имеющих бес-
бесконечно большую частоту (со -*¦ °°).
Исследование решения в окрестности начального состояния о,
аналогичное исследованию в § 3—5 гл. 6, показывает, что реше-
решение, соответствующее стационарной волне разрежения (ре < 1,
D0<Ce), не существует.
Таким образом, при Do > С/ « Се реализуется первый случай,
который соответствует стационарной ударной волне, имеющей
впереди себя стационарный скачок, а при Ce<D0<Cf « Сд —
втором случай, когда интегральная кривая дает непрерывное
распределение параметров в стационарной ударной волне сжа-
сжатия. Это решение есть предел, к которому при сохранении ин-
интенсивности источника возмущения стремится нестационарная
волна с постепенно ослабляющимся и стремящимся к нулевой
интенсивности передним скачком.
Расчет структуры ударных волн сжатия. Если абсолютная
величина скорости среды \vo\ перед волной относительно волны
превышает замороженную скорость звука Cf « Си то из уравне-
уравнений на скачке A.4.24) можно определить параметры фаз за
скачком (в точке /). Исходя из указанных уравнений, если
учесть, что анализ ведется в системе координат, связанной с
волной (т. е. в A.4.24) следует принять D = 0), получим
Y, — 1 - 2 1
Pi = 1 + Yi^o (v0 — Vf), flf = PfVf/v0, D.4.26)
v2f = v0, T2f =T0 = i, a2f = a20.
Эти величины дают граничные условия для дифференциальных
уравнений D.4.17), описывающих зону релаксации /е.
В случае волны с непрерывной структурой (Ce<.\v0\<C})
для нахождения интегральной кривой, соединяющей две точки о
§ 4. СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗОВЗВЕСЯХ 345
и е (особые точки в плоскости Vip, в которой ое является сепа-
сепаратрисой), нужно исследовать поведение решения в малой окрест-
окрестности начальной точки о. Пример такого аналитического иссле-
исследования, основанного на линеаризации системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений в малой окрестности точки о и позволяющего
выйти из особой точки о вдоль искомой сепаратрисы, дан в
§ 3—5 и 10 гл. 6 применительно к исследованию структуры
ударных волн в жидкости с пузырьками газа. Интегральную
кривую ое можно найти и численно с помощью пристрелки по
двум параметрам по следующей схеме. Так как х не входит в
правые части дифференциальных уравнений D.4.15), интеграль-
интегральные кривые допускают произвольное смещение вдоль оси х. По-
Поэтому фиксируем для xf = 0 некоторое vif, такое, что \vif\ < \vo\
и vtf мало отличается от v0 (для размытой волны индекс / вни-
внизу относится к начальной точке интегрирования, в которой про-
производится пристрелка). Далее при фиксированном vif подбираем
такие M2f и pt (как указано в обсуждении после D.4.17), осталь-
остальные искомые функции однозначно определяются по значениям
vif, M2f, pf; при этом M2f и pf должны быть такими, чтобы
\vit\ < \vzf\ <\vo\), чтобы интегральная кривая с этими гранич-
граничными условиями в точке xf имела при х -*¦ °° в качестве предела
начальное состояние.
Для этого, задаваясь некоторым множеством значений {M2f},
каждому Mlf из этого множества подбираем такое fu чтобы
соответствующая интегральная кривая давала минимальное от-
отклонение от точки о, т. е. реализовывала
minp/ {min* V(M2 - M^f+ fa - vof + (p - lJ} = 6 (M2i).
Из заданного множества {M2f} выбираем такое Мги которое дает
mm б {М2!) = б*.
Для искомой интегральной кривой б* = 0.
При отсутствии фазовых переходов М21 = Мм, и пристрели-
пристреливать нужно только по одному параметру р,.
Выбрав, таким образом, М21 и pf в точке xf =* 0, можно ин-
интегрировать и в сторону х < xf = 0.
Особенности структуры ударной волны. На рис. 4.4.3 приве-
приведены результаты численного интегрирования, отображающие
структуру волн со скачком (\v01=1,4; М20=0.5) и без скачка
(\vo\ =0,8; Мы = 3.0) в двухфазной капельной пароводяной смеси
при начальном давлении р0 = 1,0 МПа.
Расчеты с различными уравнениями для Сц, Nu, и Nu2 пока-
показывают, что наиболее существенным процессом, определяющим
структуру волны, является трение между фазами, а теплообмен
и фазовые переходы оказывают существенно меньшее влияние.
346
ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
—,
'1Й
¦—¦
550
500
Ре
^\
.
\
\
\
1 ¦
1
-20
10
а
- 5 х,см
¦
Mie
^^
\
\
P-F
V0.
3,0
2,5-
2.0
f,5
0,5
-10
-5
5
О х.см
Рис. 4.4.3. Структуры стационарных ударных волн в пароводяной капельной
смеси, равновесной в исходном состоянии ро = 1,0 МПа, Го = 452 К, ^о =
= 10 мкм; а соответствует волне, распространяющейся со скоростью Do =
= 0,8 (Da = 385 м/с), в смеси с массовым содержанием капель р2о = 3,0;
б соответствует волне Во = 1,4 (Do = 673 м/с) в смеси с рго = 0,5
Учитывая это обстоятельство, оценим характерные толщины
ударных волн в газовзвеси в зависимости от свойств, содержания
фаз и интенсивности волны.
§ 4. СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗОВЗВЕСЯХ 347
В рассмотренных волнах умеренной интенсивности характер-
характерные числа Рейнольдса обтекания частиц газом достаточно вели-
велики и релаксационное время выравнивания скоростей фаз опре-
определяется выражением A.4.34). Тогда, учитывая, что характерная
скорость движения дисперсных частиц в волне v2 ~ v0, а харак-
характерная скорость относительного движения фаз |y4 — vz\ ~ \vu — ve\,
получим, что толщина ударной волны определяется релаксацион-
релаксационной длиной
Z,<«> = D/v) ~ ^4 J^i-j. D.4.27)
В газовзвесп при а2 < 1 и в отсутствие фазовых переходов рав-
равновесные параметры за волной определяются соотношениями,
аналогичными соотношениям на сначяе для калорически совер-
совершенного газа (см. A.4.24), D.4.16)), но с эффективным показа-
показателем адиабаты смеси у (см. A.4.29)) и с равновесной скоростью
звука С = Се:
D.4.28)
В итоге, 5тчптывая (if + 1)/Bу)« 1, получим, что характерная
толщина L ударной волны в газовзвеси равна
L^> = ±?43-, если 2<^A>50. D.4.29)
Полученную формулу нельзя использовать для волн малой ин-
интенсивности, когда ре » 1, так как в этом случае не будет выпол-
выполняться условие Rei2 ^ 1, для которого имеют место оценки
A.4.34)) и D.4.27). Для волн малой интенсивности в соответ-
соответствии с A.4.33)
>C. = ?$fr если 2<Щ^А^1. D.4.30)
^ У"
Расчеты и оценки D.4.28) показывают, что увеличение интен-
интенсивности волны при прочих одинаковых условиях (в том числе
и сохранении размера капель) приводит к уменьшению толщи-
толщины волны. Измеряя толщину волны в экспериментах с различ-
различными размерами частиц или капель в смеси, можно определять
или уточнять зависимость коэффициента трения С„, от числа Re12
и объемного содержания частиц а2 в ударно-волновых процессах
(см. G. Rudinger, 1964).
Расчеты показали, что при Pi/p2^0,l, о:2<0,1 взаимодей-
взаимодействием фаз за счет сил Архимеда и присоединенных масс, описы-
348 ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
ваемых градиентами давления C/2а2^) в уравнениях импульса
фаз, можно пренебречь.
Перейдем теперь к обсуждению температурных эффектов.
В волне сжатия происходит уплотнение и торможение среды,
а за счет кинетической энергии — повышение температуры пара.
За счет тепло-массообмена с паром будет повышаться и темпе-
температура капель. При этом возникает два различных случая
с точки зрения изменения массы капель в волне или изменения
величины Мг (см. зависимость Mie(Do, Мгй) на рис. 4.4.1).
1. Если капель «мало», а интенсивность волны достаточно
велика, то тепловой энергии пара, за счет его торможения, хва-
хватит не только на нагрев капель, но и на их частичное или полное
испарение и в результате будет М1е > 1, Мге < Мгй.
2. Если капель «много», а интенсивность волн не очень вели-
велика, то тепловой энергии пара за счет его торможения будет не-
недостаточно, чтобы вывести смесь на термодинамическое равно-
равновесие (когда температуры фаз равны температуре насыщения)
только за счет теплообмена, и поэтому происходит частичная
конденсация пара, высвобождающая необходимую для равнове-
равновесия скрытую теплоту парообразования, и в результате будет
Mie<i, М2е>М20.
Распределение скоростей фаз v,, давления газа р и темпера-
температуры дисперсной фазы Тг в волне монотонно: скорости фаз
относительно волны падают, а давление р и температура Тг
растут. При этом в сверхзвуковых по газу стационарных волнах
(А, = —vo> Cf) часть перепада скорости |i>e — vQ\ и давления
Ре — Ро реализуется на скачке.
Распределение температуры газа 7\ и массы капель или их
потока М2 может быть немонотонным, что более четко может
проявиться в сверхзвуковых по газу волнах со скачком, если со-
содержание конденсированной фазы достаточно велико. Дело в том,
что за скачком температура газа повышается, причем это повы-
повышение не зависит от содержания капель или частиц и может
быть, что Tf > Те (см. рис. 4.4.3, б). Далее, несмотря на продол-
продолжающееся сжатие газа в зоне релаксации, температура газа при
замедлении этого сжатия будет падать из-за охлаждения его
дисперсной фазой.
Для пароводяной смеси независимо от содержания влаги Мго
сразу за скачком происходит конденсация в условиях Тг< Ts<
<Ti = Tif (пар перегретый, а капли недогретые), когда за счет
во много раз большей теплопроводности жидкости по сравнению
с паром qsz > qtz капли поглощают все тепло из пара и конден-
конденсируют часть пара. Как уже отмечалось выше, если капель мало,
то после их прогрева конденсация может смениться испарением.
Структура стационарных ударных волн с передним скачком
в газе с твердыми частицами, когда отсутствует фазовый пере-
переход, была исследована в работе G. Rudinger A964), а в парово-
§ 5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗОВЗВЕСЯХ 349
дяной смеси, когда происходят фазовые переходы,— в работах
Р. И. Нигматуяина A967, 1968). В последних работах исследо-
исследованы также стационарные волны при отсутствии переднего скач-
скачка, движущиеся с дозвуковой скоростью по газу, а также рас-
рассмотрено влияние полидисперсности в рамках уравнений § 8
гл. 1. Показано, что если размеры капель разных фракций отли-
отличаются в 2—3 раза, то можно такую смесь рассматривать как
монодисперсную со среднемассовым размером капель. Обзор дру-
других работ см. А. И. Ивандаев, А. Г. Кутушев, Р. И. Нигмату-
лин A981).
§ 5. Нестационарные волновые течения газовзвеси
В данном параграфе на основе нелинейных уравнений § 4
гл. 1 рассмотрены результаты «численных экспериментов», ил-
иллюстрирующих распространение и отражение одномерных (пло-
(плоских, цилиндрических и сферических) нестационарных конечных
возмущений в газовзвесях.
Метод численного интегрирования уравнений. В работе
А. А. Губайдуллина, А. И. Ивандаева, Р. Й. Нигматулина A977)
разработан алгоритм сквозного счета дифференциальных урав-
уравнений одномерного нестационарного движения двухскоростной
среды в эйлеровых переменных с использованием разностных
схем метода «крупных частиц» О. М. Белоцерковского, Ю. М. Да-
Давыдова A982) и метода Харлоу (F. Harlow, 1964)*).
Существо метода применительно к двухфазной гидродинамике
состоит в следующем. Исходные дифференциальные уравнения
A.4.5), если отбросить слагаемые из-за действия внешних массо-
массовых сил и внешних притоков тепла, записываются в «почти
дивергентном» виде
+ я! = ~ »/u*v
dt ' a^ >li dt ' dx
.-, / V —1 \ / i 9 V—1 \
"(P1!713' ) , ("Р11;1Ж I
a* '" dx ^ Г 2^^ Зх ~
d(P.,yV ') , Э(Р2ФУ ') 3 5^ __ „
3i "г 5ж -Г 2 a2x ex~r2' D.5.1)
*) В литературе для расчета одномерных нестационарных течений газо-
газовзвесей рассмотрены и другие методы (см. обзор А. И. Ивапдаева, А. Г. Ку-
тушева, Р. И. Нигматулипа A981)). Ф. Б. Абуталиевым, Н. М. Ильясовым
A973) предложен конечно-разностный метод интегрирования уравнений в
лагранжевых переменных г, t газовой фазы, где г — координата материаль-
материальных точек газовой фазы в начальный момент времени. Естественно, что
дисперсные частицы, имея отличную от газа скорость, перемещаются отно-
относительно лагранжевых координат газа. Некоторые результаты расчетов
представлены также в статье В. Otterman, A. Lcvine A974).
350 ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЯ
^2 = (! — 3/2СС2) "/ц. <?2 = « (922 + /12 «2а),
где v = 1 для плоских, v = 2 для цилиндрических и v = 3 для
сферических волн. Уравнения импульсов фаз имеют не пол-
полностью дивергентный вид из-за учета члена 3/2а2(dp/da:). Эта
недивергенгность не приводит к существенным эффектам и при
заметных значениях сс2 ~ 0,05—0,1, а в рассмотренных ниже вари-
вариантах из-за малых сиг ~ 10~3 указанным членом, вызывающим
недивергентность, можно пренебречь. При заданных термодина-
термодинамических параметрах фаз, определяющих их уравнениях состоя-
состояния A.4.6), а также межфазных взаимодействиях типа A.4.9),
A.4.11) система уравнений D.5.1) замкнута в областях непре-
непрерывного движения.
Интегрирование проводится в два этапа. На первом из них
отбрасываются слагаемые, обязанные конвективному переносу
массы, импульса и энергии фаз, и из соответствующих редуци-
редуцированных уравнений системы D.5.1) определяются промежуточ-
промежуточные значения скоростей vx и полных энергий Ех фаз
дЕ1 дЕ„ i я дио
Видно, что на первом этапе р1} р2, п, сс2, и2 не меняются. Проме-
Промежуточные значения v, и ?„ которые вычисляются из разностных
уравнений, соответствующих D.5.2), используются для опреде-
определения конвективных переносов массы, импульса и энергии через
границы разностных ячеек (слагаемых типа d(p,Q>,vlx%~1)/dx)
и интенсивностей межфазных взаимодействий /12, /ц, Q2, исполь-
используемых на втором этапе для вычисления окончательных значе-
значений всех параметров смеси. Операции первого и второго этапов
конкретизированы с учетом специфики многофазного движения
и содержат в качестве составной части особый алгоритм локали-
локализации контактных границ. Аппроксимационная или схемная
вязкость в этом методе достаточна для автоматического (без
привлечения дополнительных уравнений) выявления скачков
уплотнения в виде узких зон (толщиной порядка нескольких
§ 5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗОВЗВЕСЯХ 351
шагов Дх разностной сетки) с большими градиентами, и в то же
время она достаточно мала в волнах разрежения и не «портит»
их. Присущая методу крупных частиц периодическая неустойчи-
неустойчивость счета в зонах малой скорости ликвидирована путем введе-
введения дополнительного псевдовязкого давления на первом этапе в
точках фактической нерегулярности разностного решения (см.
А. И. Ивандаев, 1975). Точность расчетов контролировалась пу-
путем двойного пересчета с половинным шагом по времени. Опти-
Оптимальный шаг счета по времени устанавливался критериями
устойчивости и необходимой точности расчета процессов меж-
межфазного взаимодействия. Число ячеек разностной сетки опреде-
определялось в процессе счета в соответствии с протяженностью возму-
возмущенной области среды, но не превышало 360. При этом время
счета каждого из рассмотренных ниже вариантов составляло
10—15 мин на БЭСМ-6.
Описанный алгоритм использовался для расчетов волновых
течений воздуха (с начальными условиями, соответствующими
Ро = 0,1 МПа, Та = 293 К), содержащего взвешенные частицы
кварцевого песка, когда отсутствуют фазовые переходы (я = а0 =
= const).
Ниже изложены результаты, опубликованные в статьях
А. А. Губайдуллина, А. И. Ивандаева, Р. И. Нигматулина A976)
и А. И. Ивандаева, А. Г. Кутушева, Р. И. Нигматулина A981).
Распад произвольного разрыва давления и течение в ударной
трубе. Пусть имеется ударная труба длиной Ъ + L. Длина Ъ при-
приходится на КВД, заполненную однофазным газом с давлением р#»
и длина L — на КНД, заполненную газовзвесью при давлении
ро<Ср%- В момент t = 0 диафрагма, разделяющая газ и
газовзвесь при х = 0, разрывается. Необходимо рассчитать
образующееся волновое течение на основе уравнений D.5.1)
для v = 1 (плоские волны).
Начальные условия для газа
и для частиц
@, <ж<0,
„.-О, Т2 = Т0, Pl = {p Q<x<L D.5.4)
Граничные условия для газа на торцах трубы х = —Ъ и x = L
соответствуют условию непротекания
vl(-b,t) = vl{L,t) = O, D.5.5)
а для частиц при x = L (при а; = — Ъ частиц нет) примем усло-
условие свободного стока, моделирующее выпадение частиц при их
абсолютно неупругом взаимодействии со стенкой.
352
ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВХ-'ХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
х,м
Рис. 4.5.1. Расчетные эпюры давления и температуры фаз в ударной трубе,
в которой КНД длиной 4 м @ < а; < 4 м) заполнена газовзвесыо (смесью
воздуха с частицами кварцевого песка), в разные моменты времени t (мс),
которым соответствуют цифровые указатели, после разрыва (t = 0) диа-
диафрагмы (ж=0). Начальные условия в КНД: ро = 0,1 МПа, То = 293 К;
рго = 2,1, а = 30 мкм. Начальные условия в КВД длиной 1 м (—1 ы < я sg
sgO), заполненной воздухом: р* =0,5 МПа, Го = 293 К. Сплошные линии
соответствуют параметрам газа, пунктирные — параметрам частиц, штрихо-
штриховые — расчету по равновесной схеме для «эффективного» газа («а = 0»,
7=1,127, С = 175 м/с), штрихпунктириые — расчету по «замороженной»
схеме для «чистого» газа («а = оо», f = 1,4, С\ = 340 м/с). Зпачепия букв
те же, что и на рнс. 4.3.2
§ 5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗОВЗВЕСЯХ
353
х,м
Рис. 4.5.2. То же, что и на рис. 4.5.1, но для расчетных эпюр скоростей фаз
и массового содержания частиц
Рис. 4.5.3. Изменение давления во времени (расчетные «осциллограммы»)
в фиксированных точках («датчиках») на разных расстояниях х, м от
диафрагмы, указанных цифрами на кривых. Условия те же, что и на
рис. 4.5.1
23 р. и. Нигматулин, ч. I
354 ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
Результаты расчетов приведены в виде распределений раз-
различных параметров по длине трубы (эпюр) в различные момен-
моменты времени на рис. 4.5.1 и 4.5.2. Заметим, что в экспериментах
измеряются изменения давления во времени («осциллограммы»)
в фиксированных точках канала, где установлены датчики
(см. § 3). В связи с этим, помимо эпюр, на рис. 4.5.3 приведены
также расчетпые «осциллограммы» давления в нескольких фик-
фиксированных точках (датчиках) вдоль канала.
Из представленных результатов видно, что сразу после раз-
разрыва диафрагмы, т. е. распада произвольного разрыва, в область
низкого давления (КНД) идут ударная волна и контактная гра-
граница, отделяющая холодный и горячий газы, а в область высо-
высокого давления (КВД)—волна разрежения. В начальные момен-
моменты времени присутствие частиц не сказывается, и течение фор-
формируется, как в «чистом» (без частиц) газе по «замороженной»
схеме (см. эпюру давления для t = 0,4 мс). Постепенно частицы
начинают оказывать заметное влияние на развитие процесса,
подтормаживая газ, охлаждая горячий газ в области сжатия и
нагревая холодный в области разрежения. В результате бегущий
по газовзвеси передний скачок затухает и замедляется, а за ним
формируется зона релаксации. С течением времени, если КВД
и КНД достаточно длинные для данного размера частиц, конфи-
конфигурация волн уплотнения асимптотически стремится к своей пре-
предельной стационарной структуре (изученной в § 4) до тех пор,
пока это «стремление» не нарушится волнами разгрузки от тор-
торца КВД или отражением от торца КНД. Предельная стационар-
стационарная волна уплотнения может быть как со скачком (при доста-
достаточно сильном воздействии, определяемым величиной Р*!р0)*
так и полностью размытой. Чем больше массовое содержание
частиц p2o/pio, тем требуется более сильное (за счет увеличения
р%) стационарное (за счет достаточной длины КВД) воздействие,
не зависящее от размера частиц, для сохранения скачка в пре-
предельной ударной волне. С уменьшением размера частиц время и
расстояние установления стационарной волны сокращаются. Для
условий на рис. 4.5.1 характерное время скоростной релаксации
tw равно примерно 10 мс, причем время tM пропорционально а",
где 1 s? б < 2 (см. A.4.33) и A.4.34)). Расстояние «стациониро-
вания» ударной волны много больше длины зоны релаксащга
Liv) -~ CitM ~ 3 м. Поэтому в рассмотренном варианте при длине
трубы 5 м стационарная волна не успевает сформироваться. Здесь
предельную стационарную волну можно реализовать лишь за
счет уменьшения радиуса частиц (а < 10 мк), причем для дан-
данных значений параметров р0, Р*, рю, Рго предельная волна будет
без скачка, а ее скорость определяется из равновесной схемы и
равна 260 м/с.
За ударной волной в направлении основного потока последо-
последовательно движутся две поверхности разрыва. Первая, отмеченная
§ 5, НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗОВЗВЕСЯХ
355
буквой с,— газодинамическая поверхность контактного разрыва
температур и плотности газа, которая разделяет исходные газы
КВД и КНД и через которую «просачиваются» (назад) частицы.
Частицы при этом уменьшают разрыв температур благодаря
охлаждению горячего и нагреву холодного газов. Вторая поверх-
поверхность, отмеченная буквой d разделяет зоны, занятые «чистым»
газом и газовзвесью. Перед этой поверхностью из рис. 4.5.2 вид-
видно скопление частиц. «Ветер», вызванный ударной волной, как
бы сгребает сзади частицы.
Из представленных результатов видно, что для рассмотрен-
рассмотренного варианта из-за неравновесности процессов межфазного об-
обмена равновесная («« = 0») и «замороженная» («а = <х>») схемы
не могут дать удовлетворительных результатов.
Рис.
Эволюция удар-
ударно-волнового импульса ко-
конечной длины (—0,75 м <
< х < 0), взаимодействую-
взаимодействующего с пылевым полупро-
полупространством (воздух + час-
частицы кварца, ро = 0,1 МПа,
Го = 293 К, Р2о = 2,1, оо =
= 30 мкы). Представлены
расчетные эпюры давления
в разные моменты време-
времени t (мс), которым соответ-
соответствуют цифровые указате-
указатели. Штрпхцунктирные ли-
линии соответствуют «заморо-
«замороженной» схеме «а = оо»
илп отсутствию частиц
-0,75 0 11
При прохождении ударной волны через газовзвесь частицы
отбирают у газа часть его кинетической и тепловой энергии,
ускоряя тем самым затухание конечных возмущений. Это обстоя-
обстоятельство проиллюстрировано на рис. 4.5.4, где приведены резуль-
результаты расчета взаимодействия ударного импульса, образованного
в газе, с газовзвесью. Ударный импульс в газовзвеси затухает
и замедляется как за счет волны разрежения от задней непод-
неподвижной стенки (ж = -0,75 м), так и за счет частиц. При этом,
в отличие от чистого газа, где структура волны близка к тре-
треугольной (штрихпунктирные линии), наличие частиц трансфор-
трансформирует структуру волны в холмообразную.
Отражение ударной волны ох неподвижной стенки. После
отражения ударной волны от торца КНД давление и темпера-
температура газа на стенке существенно возрастают (см. эпюры, соот-
соответствующие ? = 16 мс на рис. 4.5.1, и «осциллограммы» давле-
давления па торце, соответствующие х = А м на рис. 4.5.3). После
23*
356
ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
отражения образуется волна сжатия, распространяющаяся в сто-
сторону КВД. При этом частицы, двигаясь по инерции к торцу,
дополнительно поджимают газ (см. профили скоростей фаз при
t = 16 мс на рис. 4.5.2).
На рис. 4.5.5 показан процесс отражения от абсолютно жест-
жесткой стенки ударной волны, которая еще до подхода к стенке
Р/Р,
Р/Ро
го
10
' /
1
1
{ ........
/ .
h=-0,5
.... х-=0
О х.м
Рис. 4.5.5. Расчетные распределения (эпюры) давления газа (а) и скоростей
фаз (б) в различные моменты времени и изменения во времени («осцилло-
(«осциллограммы») давления газа и импульса частиц (в) в двух точках («на двух
датчиках»: при х = 0 (на стенке) и х = — 0,5 м) при прохождении через
слой газовзвеси (воздух + частицы кварца с исходными параметрами:
^о = О,1 МПа, То = 293 К, р2о/рю = 2,1, « = 30 мкм) стационарной ударной
волны (pelpo = 6) и отражении ее от неподвижной стенки (ж = 0). Цифро-
Цифровые указатели на рис. а и. б соответствуют различным моментам време-
времени t (мс), причем t — О соответствует моменту, когда волна достигает
стенки (ее = 0). Цифровые указатели на рис. в соответствуют координате
«датчика» х (м). Сплошные линии — скорость и давление газа, пунктирные
линии — скорость частиц (б) и импульс частиц (в)
приняла стационарную конфигурацию с передним скачком
(D>C,). Особенность отражения состоит в том, что давление на
стенке после отражения переднего скачка возрастает постепенно
в течение ~5 мс. При этом импульс частиц, попавших на стен-
стенку, составляет небольшую долю от давления газа. Это объясня-
объясняется тем, что, во-первых, частицы не успевают принять скорость,
соответствующую состоянию за падающей волной, ибо отражен-
§ 5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗОВЗВЕСЯХ 357
ная волна прерывает процесс ускорения частиц в сторону стенки.
Во-вторых, набранный в падающей волне импульс частицы не до-
доносят до стенки, «передавая» его газу и поджимая последний.
О разлете слоев жидкости под действием взрывных волн.
Пусть имеется плоский, цилиндрический или сферический заряд
взрывчатого вещества (ВВ) и охватывающий его слой жидкости.
Между зарядом ВВ и жидкостью может быть слой инертного
газа. После взрыва жидкость придет в движение, раздробится
на капли. Требуется найти дальность разлета капель к моменту
прекращения движения. Задача детального описания этого про-
процесса сложна. Целесообразнее рассматривать отдельно две стадии
и каждую в рамках своих допущений и схематизации. Первая
стадия — деформация и дробление слоя жидкости под действием
взрывной волны, в результате чего струи газа прорываются
через жидкость, формируя ударную волну впереди жидкости.
Вторая стадия — разлет образовавшихся и разогнанных до неко-
некоторой скорости капель жидкости, которые взаимодействуют с га-
газовым потоком, инициированным взрывной волной.
Рассмотрим вторую стадию, которую будем схематизировать
следующим образом: слой толщиной I монодисперсной газовзве-
газовзвеси с каплями, обладающими начальной скоростью v2a (иницииро-
(инициированной на первой стадии) в направлении движения волны, на-
находится сзади фронта переднего скачка в газе. Для сравнения с
этой схемой, которая будет обозначаться буквой (Ь), рассмотрим
также другую схему (а),когда слой газовзвеси, имеющей нулевую
начальную скорость у2о = 0, находится впереди фронта волны
(скачка) в газе. Ниже представлены результаты численного ис-
исследования возникающего нестационарного ударно-волнового
двухфазного течения.
Разлет слоя дисперсных частиц под действием взрыва. Рас-
Рассмотрим начальные и граничные условия сформулированной вы-
выше задачи (для системы уравнений D.5.1)). В начальный мо-
момент времени t = 0 в качестве первого варианта принимались
прямолинейный профиль скоростей и изоэнтропическое состоя-
состояние газа за волной
vi = 0» p = p0, pi = p°0, T = To (xj<x< oo), D.5.6)
где индексы 0 и / внизу соответствуют состояниям среды перед
и за скачком. В качестве второго варианта начального распре-
распределения параметров газа использовались распределения пара-
параметров, близкие к тем, которые даются теорией сильного точеч-
точечного взрыва в чистом газе (Л. И. Седов, 1981). В этом варианте
358 ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
начальное распределение скоростей такое же, как в D.5.6),—
линейное. Полученные ниже результаты по разлету частиц при
прочих одинаковых условиях определяются в основном энергией
возмущенной области, и разница в результатах между указан-
указанными вариантами незначительна.
Для конденсированной фазы, образующей дисперсное облако
толщиной Ъ с частицами радиусом а, примем однородные усло-
условия в начальный момент
^2 = ^0, ?Т2 = 212о, р2 = р2о {xd<x<xd + b). D.5.7)
Для газа при х = 0 примем граничное условие неподвижной
стенки
tfi((U) = 0. D.5.8)
Как и в предыдущих вариантах, представленных в данном
параграфе, в качестве газовой фазы рассматривался воздух с на-
начальными условиями, соответствующими ра = 0,1 МПа, То =
= 293 К, но, в отличие от предыдущего, в качестве дисперсного
вещества рассматривалась вода. Начальное давление на ударной
волне во всех приведенных вариантах составляло Pf = 2 МПа
(число Маха ударной волны М/ = 4,17), а начальный размер
области, охваченной взрывной волной, составлял xt = 0,45 м, что
соответствует энергии сферического точечного взрыва Ео =
— 1,3 • 10" кг • м2/с2 или взрыву ~260 г гексогена.
Испарение капель не учитывалось, ибо в исследуемом диапа-
диапазоне параметров изменением массы жидкой фазы при разлете
обычно можно было пренебречь. Деформация и дробление капель
также не учитывались, хотя оценки показали, что капли воды
с диаметром ~20 мк за треугольной ударной волной с интенсив-
интенсивностью М; » 4 и длительностью ~1 мс дробиться, по-видимому,
должны.
На облако в начальный момент времени отводилось не менее
16—20 ячеек разностной сетки, и использовался алгоритм отсле-
отслеживания его передней и задней границ.
Некоторые результаты расчетов представлены на рис. 4.5.6—
4.5.8. Естественно, что из-за потерь энергии газа в капли зату-
затухание переднего скачка происходит интенсивнее, чем в чистом
газе, особенно если в начальный момент капли находятся перед
взрывной волной. Дисперсная фаза, попадая в волну, быстро
разгоняется до локальной скорости газа за время около 0,3 мс.
а затем начинает двигаться быстрее газа (так как последний
замедляется из-за волны разрежения), подталкивая газ как не-
некий «проницаемый поршень».
Из-за неоднородности распределения скорости газа капли в
потоке разгоняются неодинаково. Капли, которые первоначально
находились в области газа, имеющего большую скорость, разго-
разгоняются сильнее, чем капли, которые находились в области газа,
§ 5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗОВЗВЕСЯХ
359
имеющего меньшую скорость. Вследствие этого ширлна капель-
капельного слоя в схеме (Ъ) с течением времени увеличивается, а кон-
концентрация капель у передней границы облака всегда остается
меньше концентрации капель у его задней границы (см.
рис. 4.5.8).В отличие от схемы (?>), в схеме (а) толщина капель-
капельного слоя в процессе его движения уменьшается в несколько раз,
так как задние капли раньше приходят в движение и разгоняют-
разгоняются до больших скоростей.
Р/Рп
16 -
t °уич
V=j\ (?
T
\#\
—^ \ 1,4w \
0,5
1,0
1,5
2,0
Рис. 4.5.6. Эволюция плоских (v = 1) и сферических (v = 3) взрывных волн,
при t = 0 охватывающих область 0 < х < 0,45 м и воздействующих на слой
газовзвеси воздуха с каплями воды (р0 = 0,1 МПа, То = 293 К, рго/рю = 1,1,
а = 30 мкм) толщиной L = 0,2 м. Жирные линии — эпюры давления в раз-
разные моменты времени t (ыс); тонкие линии — затухание максимального
давления в зависимости от расстояния. Буквенные указатели соответствуют:
!а) — схеме, когда слой газовзвеси при t = 0 находится перед волной
0,5 < х < 0,7 м, i7M = 0); (Ь) — слой газовзвеси за волной @,25 < х <
<С 0,45 м, у2о = 340 ы/с); (с) — частицы отсутствуют
Расчеты дальности разлета взвеси производились с использо-
использованием неоднородных пространственно-временных сеток. На
рис. 4.5.7 штриховыми линиями показаны зависимости vz(x) для
передней и задней границ разлетающегося слоя. В пределе, когда
v2 ->- 0, эти траектории указывают местонахождение капельного
облака при достижении покоя.
При рассмотрении процесса взрывного разбрызгивания жид-
жидкого слоя предполагалось, что распад такого слоя с образованием
монодисперсной взвеси и приобретением некоторой скорости кап-
каплями завершался на первой стадии. При этом исходные для
второй стадии параметры облака (радиус капель а, их скорость
v20 и приведенная плотность р20, определяющая размер облака в
при заданной массе жидкости) трудно предсказуемы.
При достаточно малых начальных скоростях дисперсной фазы
(vzo < С1(>) дальность разлета в исследованном диапазоне пара-
параметров практически не зависит от относительного массового со-
содержания частиц, а при больших начальных скоростях капель
(иго ^ Сю) увеличение массового содержания капель в облаке
360
ГЛ 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
приводит к заметному увеличению дальности разлета, что свя-
связано с ростом кинетической энергии облака. Аналогично и раз-
размер капель заметно влияет на дальность разлета лишь для высо-
/1
/
¦А
1
!
05
\
*-*
л
VI
|
V
0.5
1,0
1,5
2,0
2,5
Рис. 4 5.7. Расчетные эпюры скоростей фаз при воздействии плоской (v = 1)
взрывной волны на дисперсное облако, с самого начала находящееся за
ударной волной, причем частицы имеют начальную скорость и%) = 340 м/с.
Условия те же, что и на рис. 4.5.6 (схема (&)). Штриховые линии показыва-
показывают изменение скоростей частиц на передней и задней границах облака
Рис. 4 5.8. Распределение приведен-
приведенной плотности дисперсной фазы (ка-
(капель воды) при ее разгоне сфериче-
сферической (v = 3) взрывной волной в раз-
различные моменты времени t (мс),
указанные цифрами на кривых. Ус-
Условия те же, что и на рис. 4.5.6.
Сплошные линии соответствуют слу-
случаю, когда облако капель (а =
= 30 мкм, р2о/рю = 1,1, L = 0,2 м)
имеет начальную скорость v2o =
= 340 м/с и находится за фронтом
волны (схема (Ь)). Штриховые ли-
линии соответствуют случаю, когда
такое же, по неподвижное (v20 — 0)
облако капель в исходном состоя-
состоянии находится перед фронтом удар-
ударной волны (схема (а))
7,0 х,м
коскоростного и достаточно концентрированного облака. В расче-
расчетах отмечено слабое влияние размера капель на дальность
разлета, что, естественно, снижает значение возможного дробле-
дробления капель на их разлет в рассмотренных условиях. То, что с
§ 6. ВЗБЕШЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ ПРИ ВИБРАЦИИ 361
ростом размера капель дальность разлета может увеличиваться,
обусловлено характером межфазного взаимодействия. На началь-
начальном этапе движения, когда v2 < vu T2 < Ти облако, состоящее из
более крупных частиц, в меньшей степени осуществляет отбор
внутренней и кинетической энергий у взвесенесущего газа, и по-
потому ударная волна гасится слабее. На последующем этапе дви-
движения, где vz > Vi, а Тг < Ти то же облако слабее тормозится
газом и по этой причине разлетается дальше.
§ 6. Динамика взвешенных частиц при вибрационном
воздействии в акустических полях
Рассмотрим движение несжимаемых частиц при установив-
установившемся вибрационном воздействии с частотой со, передаваемом
через несущую жидкость или газ (Р. Ф. Ганиев, Л. Е. Украин-
Украинский, 1975).
Постановка задачи нелинейных колебаний дисперсных си-
систем. Для упрощения задачи ограничимся случаем, когда отсут-
отсутствуют фазовые переходы и малы как объемное, так и массовое
содержания дисперсной фазы
«3<1, р2<1, p^Pj^Pi. D.6.1)
Тогда воздействием дисперсной фазы на несущую фазу обычно
можно пренебречь и ее движение определять как течение чистой
жидкости, удовлетворяющее уравнениям
? D6>2)
P =Po + CloiP- Po) + (V~2pK'°(P~PoJ-
Здесь принято баротропическое уравнение состояния для давле-
давления в квадратичном по возмущению плотности несущей фазы
приближении, причем С10 — скорость звука в невозмущенной не-
несущей фазе, y — показатель адиабаты в случае газа и эмпири-
эмпирический коэффициент в случае жидкости (для воды ^ = 6), ха-
характеризующий ее нелинейность.
После определения поля скоростей несущей жидкости г;^ (t, x)
из приведенных уравнений в соответствии с граничными усло-
условиями, отражающими вибрационное воздействие, движение не-
несжимаемых дисперсных частиц может быть найдено из уравне-
уравнения движения, следующего из A.3.47):
*А= Зр *А 9р0 v\-v\ 2(Ра°-р)
dt p + 2p° dt ^p + 2p° tf> ^ р + 2р° ё D.6.3)
(р° = const, t^ = р0а2/[1г = const).
362 ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
Как и везде в данной главе, силы межфазного взаимодействия,
действующие на частицу, брались в приближении квазинесжи-
квазинесжимаемости, т. е. по формулам несжимаемой жидкости, но с уче-
учетом переменности ее плотности рг как параметра, что не должно
приводить к заметным ошибкам, если характерная длина, на ко-
которой меняется плотность несущей фазы, много больше размера
частицы (см. главное допущение 2 во Введении)
где tw — характерное время изменения параметров смеси при
вибрационном режиме. В качестве силы трения со стороны не-
несущей фазы на частицу взята сила Стокса (что соответствует
опыту при Rei2<l), выраженная через характерное время 4^»
необходимое для установления стоксовского режима обтекания.
Напомним, что здесь учтена межфазная сила за счет присоеди-
присоединенных масс, и не учтена «наследственная» сила Бассэ из-за
нестационарности вязкого пограничного слоя. Это допустимо в
двух предельных случаях (см. B.1.20)):
причем в первом случае главной силой является сила Стокса,
а во втором — сила присоединенных масс.
Введем безразмерные переменные
».=Л о-Х Б—р— хк-— 7- *
и безразмерные постоянные параметры
В результате уравнения одномерного движения несущей и дис-
дисперсной фаз могут быть записаны в виде
et dx at dx p sx
P = Fo + (p - 1) + V, (Y -1) (p - lJ, D.6.6)
^
dt p + 2p20 at ^p + 2-pl1 ai + tM
Решение первых трех уравнений движения несущей среды
при достаточно малых амплитудах возмущений в на границах
§ 6. ВЗВЕШЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ ПРИ ВИБРАЦИИ 363
обычно может быть представлено в виде разложения по малому
параметру
( ) (t, »)+...,
D.6.7)
р = 1 + еЛA) (t,x) + е2ДB> (F, ж) + ...
Если ввести радиус-вектор дисперсных частиц г = х и соответ-
соответствующую безразмерную величину г = г/(С10^ш>) = х, то урав-
уравнение движения частиц может быть переписано в следующем
виде с точностью до членов О (г2):
+ р2Хо + 0 + о
о{ at ax
- Toxoi?A)FA) + T0FB) - 2 A - pD «oSo] D.6.8)
- Ц- 2р>0' Т° ~ УХ° *f« ~ pQaV ' Й° - е2 ~ С1Ош
Здесь и далее будем полагать, что величина g, определяющая
действие сил тяжести и других массовых сил, является величи-
величиной порядка е2, что соответствует тому, что б0 ~ 1. Величины г
и F соответствуют безразмерным скорости и ускорению _частиц,
т. е. точкой сверху обозначено дифференцирование по I в си-
системе координат, связанной с частицами
Г=,2,7 = Й=4 + пА D.6.9)
dt dt дх
Вместо параметров г и т0 подставим соответственно ей.2 и
тоц и рассмотрим асимптотику решений уравнения движения
частиц при ц -»- 0, что означает, что величины е и т0 одного
порядка малости*). Кроме того, вместо г, определяющей ско-
скорость частиц, введем новую переменную г/, полагая r = [iy.
*) Малое значение параметра То реализуется или за счет рш' «С t^
( Xj^/рцО ), что соответствует достаточно высоким частотам и достаточ-
достаточно крупным частицам, когда сила, действующая на частицу за счет эффекта
присоединенных масс, и сила Архимеда во много раз превышают силу
Стокса и Басса, или за счет р°2 > р0, что соответствует случаю частиц или
капель в газе.
364 ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
В результате получим
у = и,ФA) С*, г, у) + Ц2ФB) ft, г, у) + ц3ФC) A, г, у) +
Зек.
-2(l-pDS0,
=_вЧ0 (FB) - хйЛAOA)), ФF) = е2т0х0г/ [/?B) - х0 (RA)J].
Входящие сюда функции УA), УB), ЛA), ЛB), определяющие дви-
движение несущей фазы, зависят от t n г.
Метод усреднения решения дифференциальных уравнений
движения дисперсных частиц. Для построения различных при-
приближений полученного уравнения в аналитическом виде исполь-
используем метод усреднения, основные положения которого изложены
в книге Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского A963).
В соответствии с этим методом решение уравнений D.6.10) для
движения дисперсных частиц будем искать в виде разложения
по степеням и. вплоть до jj,4 и суперпозиции медленного или ус-
усредненного движения и периодического «дрожания», амплитуды
и частоты которого медленно меняются по координахе:
V О
3=1
YU) = S [^>V) (S, tO • cos vt + B(i'v) (g, ti) -sin vf],
где v принимает целые значения. Здесь медленное или усреднен-
усредненное движение описывается перемещением |(J) и скоростью r\(t),
а малые колебания — функциями Хи) и Yo>. Соответствующее
решение для параметров усредненного движения частиц будем
искать в виде
f -.SW&I). te2l*J^E.i). D-6.12)
Таким образом, нахождение решения уравнения D.6.8) при
§ 6. ВЗВЕШЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ ПРИ ВИБРАЦИИ 365
малых То и е для движения дисперсных частиц в заданном в
соответствии с D.6.7) поле движения несущей фазы сводится
к нахождению функций Х(Д Y<?\ A(j'v\ B(i'v), A(j'v\ B$'v) (/ = 1, 2,
3, 4; v = 1, 2, ...) в зависимости от \ и ц. Получение этих функ-
функций и покажет существование решения в заданном виде.
Для нахождения указанных функций следует подставить
D.6.11) и D.6.12) в D.6.10)^ При этом функции Ф0)(?, f, у)
следует выразить через |, ц, t и fx, учитывая представления для
r(g, т], I) и у{\, т), I). Далее надо правые части уравнений D.6.10),
в которые входят ц3Ф(-"(?, |, ц, \i), разложить в ряд Тейлора
по р, и приравнять члены при одинаковых степенях \i в правых
и левых частях этих уравнений. В результате получим следую-
следующие уравнения для Х{1\ 7W, Xf, Y^:
ft % У* + at '
w dXw A) _ }
_ фB) 5Ф^' Y(D 5Ф<1> A)
* '
D.6.13)
=фC)+4- [а^
5ФB)
Уравнения для четвертого по ц приближения здесь не выписы-
выписываются из-за их громоздкости, но они получаются аналогичным
образом. При разложении по fx функций ФСг> (? = 1, 2, 3, 4, 5)
следует учесть, что
D.6.14)
при /г = 0 имеет место
366 ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
Аналогично определяются и вторые, третьи и четвертые произ*
водные по [х от функций Ф(г).
Полученные уравнения D.6.13), которые следует решать,
учитывая представление D.6.11) для Х{1) и Уи>, в некоторых
случаях могут иметь частные решения типа
г = const или | = const D.6.16)
или близкие к ним. Если они устойчивы, то в поле течения
имеются равновесные устойчивые положения, в окрестности ко-
которых дисперсные частицы локализуются при своем движении»
Для нахождения таких решений достаточно найти стационарные
решения усредненных уравнении D.6.12) и исследовать знаки
действительных частей корней характеристического уравнения,
соответствующего исследуемому стационарному решению. Если
действительные части всех корней отрицательны, то это обеспе-
обеспечивает наличие у исследуемого уравнения движения частиц
устойчивого стационарного равновесного положения частиц.
В правые части уравнений усредненного движения D.6.12)
наряду с членами, соответствующими не зависящим явно от
времени внешним силам, могут входить также члены из-за вибра-
вибрационного воздействия несущей фазы. Они представляют собой
так называемую вибрационную силу (отнесенную к единице
массы дисперсных частиц), под действием которой происходит
однонаправленное перемещение частиц в колеблющейся несущей
среде.
Рассмотрим конкретно два характерных случая движения дис-
дисперсных частиц при вибрационном воздействии на них через
несущую фазу.
Вибрационное движение частиц в плоской стоячей волне.
Пусть имеется вертикальная труба высотой L с жесткими боко-
боковыми стенками и жесткой верхней крышкой. Труба заполнена
дисперсной смесью. На дне (х = 0) с помощью подвижного порш-
поршня или мембраны задаются малые гармонические колебания дав-
давления с амплитудой Аро и с частотой со, а на верхней крышке
х = L скорость несущей среды равна нулю
х = 0: р (t, 0) = р0 + е sin7 (е = АРо/роС21О, еа < l), /4 6 17)
х = L: vx (t, L) = 0.
Ось х направлена снизу вверх. Рассмотрим одномерное прибли-
приближение для описания движения дисперсной смеси с малыми объ-
объемным и массовым содержаниями дисперсной фазы (см. D.6.1))
внутри трубы. Пусть длина трубы настолько мала, что ударные-
волны, или разрывы, в течении не образуются, для чего необхо-
необходимо выполнение следующего условия:
§ 6. ВЗВЕШЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ ПРИ ВИБРАЦИИ 367
где I —¦ амплитуда перемещения поршня у дна трубы. Тогда, если
cos L Ф 0, то первое и второе приближения D.6.7) для устано-
установившихся вынужденных колебаний несущей фазы, не зависящих
от начальных условий (см. В. А. Красильников, В. В. Крылов,
1984), имеют вид
=
cos L
cos L
i? = r-I) _ + ^ ^ ^
8 cos L
где Fv и FR — ограниченные функции х, явный вид которых
здесь не приводится из-з-i их_громоздкости.
Тогда для функций Ф(г)A, г, у), входящих в уравнение дви-
движения дисперсных частиц D.6.10), получим, ограничиваясь тре-
тремя приближениями по \i,
. о sin (г — L) . -
= - хоу + Зех0 —у-^-^ sin t,
cos L
sin (г — Ь) i
5l__—L Cos t,
cos L
,. _. D.6.20)
cos L
4 cos2 Z
3xo(l+4p;)sm2(?-I) , -ov 1
^o?I ¦-2(l-P2/N0J.
Тогда из уравнений D.6.13), используя представление Хо)
и у<-" (у = 1^ 2, 3) в виде разложений по косинусам и синусам
от времени t (см. D.6.11)), учитывая, что входящие в указан-
указанные уравнения функции Ф(г)(?, |, т]) и их производные следует
брать при (х = 0, когда г = |, у = ц, последовательно получим
cos
^^ D.6.21)
7»_0. [^Д^1
368 ГЛ. i. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
X™ = О, ХC) = -г['бздСО8EГ1) + (Зх0~1)т08;п(?ГГIсоз^
[_ cos L cos L I
V'3) ^ p2v2 /9n° j\ sin 2 (I — L) Oo2 ^ ~o^ s
y(8) = Д3.1) (|) ^ . cos f + ?<*.« (g> ц) . gin 2г.
Выражения для функций Лу'1' и By'2 здесь не приводятся из-за
их громоздкого вида. Таким образом, уравнения D.6.12) для
параметров усредненного движения | и ц в третьем приближе-
приближении имеют вид
1 = цц, D.6.22)
¦ц = —цТоЛ — Ц3[-4 sin 2(| — ?) — ^]
Эта система легко сводится к одному уравнению второго порядка
? + цтоЁ = -tfA sin 2(^-1)+ ц45, D.6.23)
которое позволяет определить усредненное движение дисперсных
частиц.
Учитывая полученные выражения для Хо> и Y0) (; = 1, 2, 3)г
в соответствии с уравнениями D.6.11) можно выписать в явном
виде уравнения, определяющие связь между действительным
перемещением частиц r(t) и их усредненным перемещением l(f).
Видно, что действительное перемещение частиц представляется
как медленное, или усредненное, перемещение g(t) с наложен-
наложенными на него малыми колебаниями, определяемыми функциями
Хт и ХC), зависящими от ?, r\, t.
В уравнение усредненного движения D.6.23) наряду с вяз-
вязким сопротивлением (второй член в левой части) и равнодейст-
равнодействующей силы веса и силы Архимеда (второй член в правой
части) входит также обобщенная вибрационная сила
F = 3e\(l-2^)sin2(S_r
2 cos L
которая отражает влияние колебаний несущей фазы на посту-
поступательное усредненное движение частиц. Эта вибрационная сила
пропорциональна в2, т. е. определяется нелинейными членами
уравнения движения дисперсной смеси и выявляется в рассмат-
рассматриваемом случае стоячей волны только в третьем приближении
по малому параметру \\. Ненулевой вклад в усредненную вибра-
вибрационную силу дают два члена, входящие в ФC) и ХтдФA)/дс,
§ 6. ВЗВЕШЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ ПРИ ВИБРАЦИИ 36!>
и обусловленные взаимодействием ускорения несущей фазы из-
за градиента давления с изменением присоединенной массы ча-
частицы из-за изменения плотности несущей фазы. Знак вибра-
вибрационной силы зависит от плотности вещества частиц Ра и при
pa°=PKP=V, (P2 = V,PI) D-6.25)
вибрационная сила обращается в нуль.
Полученное выражение для вибрационной силы практически
совпадает с выражением для средней силы, действующей на ча-
частицу в плоской стоячей волне, полученным в статье (L. Kingr
1934) на основе решения уравнений гидродинамики идеальной
сжимаемой жидкости.
Стационарное решение уравнения D.6.23), когда | = ? = О,
соответствует уравнению
sin 2(|-1) = С/Л
Условие существования стационарного решения для усреднен-
усредненного движения
Ш/АК1; D.6.27)
само это стационарное решение может быть представлено в виде-
! = ?* (й), 0 ^ I* (к) = L - 72 arcsin(?A4) - 7»яй,
к = 0, 1, 2, ... D.6.28)
На рис. 4.6.1 схематично представлена зависимость правой часта
уравнения D.6.26) для стационарного решения от плотности
вещества дисперсной фазы. Диапазоны плотностей р2» для ко-
которых существуют стационарные решения, заштрихованы. От-
Отметим, что эти диапазоны расширяются с увеличением амплиту-
амплитуды е и частоты со вибрационного воздействия.
Условие устойчивости полученных стационарных решений
имеет вид
A cos 2(|* - L) > 0. D.6.29)
Таким образом, учитывая, что А пропорционально ркр —р2, мож-
но заключить, что для частиц с плотностями рг < ркр устой-
устойчивыми будут те стационарные решения, для которых
cos 2(| — L)> 0, а для частиц с плотностями р2>ркр устойчи-
устойчивыми будут те, для которых cos2(g — L)<0. Согласно второй
теореме Н. Н. Боголюбова (см. Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митро-
польский, 1963) это условие обеспечивает существование устой-
24 р. и. Нигматулин, ч. I
370
ГЛ. i. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
чивого квазистационарного решения уравнения D.6.10). Этому
решению соответствуют фиксированные точки с координатами
*" = ?*(&)> к которым частицы определенной плотности будут
смещаться («дрейфовать»). Частицы, плотность вещества кото-
которых не удовлетворяет условию устойчивости, будут покидать
Рис. 4.6.1. Схема диапазонов плотностей вещества дисперсной фазы (за-
(заштрихованы), для которых существуют стационарные положения дисперс-
дисперсных частиц в усредненном движении при вибрации несущей фазы
окрестности точек г = !*(&). На рис. 4.6.2 проиллюстрировано
выделение рассмотренных устойчивых стационарных решений
усредненного уравнения D.6.23). Линия 1 соответствует первой
Рис. 4.6.2. Выделение устойчивых стационарных положений дисперсных
частиц в усредненном_движении при вибрации несущей фазы. Линия 1
соответствует sin (| — L), линия 2 соответствует sin2(? — L), штриховая
линия 3 соответствует cos2(g—L). Точками отмечены стационарные поло-
положения, а стрелками отмечены направления дрейфа частиц
моде скорости FA), пропорциональной sin(g — L), линия 2 — ле-
левая часть, равная sin2(? —L), стационарного уравненияJ4.6.26),
штриховая линия 3 соответствует функции cos 2(? —Z,), знак
которой позволяет выделить устойчивые квазистационарные по-
положения частиц согласно D.6.29).
§ 6 ВЗВЕШЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ ПРИ ВИБРАЦИИ 37*
Отметим, что в условиях невесомости (|f = О или G = 0) ча-
частицы, для которых р2 > Ркр> дрейфуют к пучностям первой
моды скорости в стоячей волне, а те, для которых р2 <С р«р» —•
к узлам. Сила тяжести сдвигает места скопления частиц: части-
частицы с плотностями Рг < ркр собираются в сечениях, лежащих
несколько выше узлов, причем с увеличением плотности удале-
ние от узла возрастает; частицы с плотностями рКр<рг<Х
собираются в сечениях трубы несколько выше пучностей, при-
причем более плотные собираются ближе к пучностям; частицы с
плотностями р2 > 1 собираются в сечениях несколько ниже
пучностей, причем с увеличением плотности удаление от пучно-
пучностей возрастает; частицы, плотность которых равна плотности
невозмущенной жидкости (р2 = l), «дрейфуют» к пучностям.
Изменяя амплитуду е и частоту <в колебаний, можно несколь-
несколько изменять местоположение скопления частиц, т. е. управлять их
движением. С увеличением е«2 частицы с плотностями р2 <Г
< Ркр приближаются к узлам первой моды скорости в стоячей?
волне, а с плотностями ра > Ркр — к пучностям. Если условие
D.6.27) не выполняется, т. е. \G/A\ > 1, то характер движения
частиц такой же, как и при отсутствии колебаний несущей
фазы, а именно: те частицы, которые легче несущей среды,
всплывают к верхней крышке трубы, а те, которые тяжелее,
тонут.
Движение несжимаемых аэрозольных частиц в плоской стоя-
стоячей волне для случая т0 > 1 (мелкие частицы и малые частоты),
когда, в отличие от рассмотренного случая т0 < 1, главной меж-
межфазной силой, действующей на частицу, является вязкая сила
Стокса, исследовано в статье С. С. Духина A960), где было»
установлено, что частицы должны собираться вблизи узлов пер-
первой моды скорости в стоячей волне.
Вибрационное движение частиц в плоской бегущей волне.
Пусть дисперсная смесь занимает полупространство х S» 0, сила
тяжести направлена против оси ж, и в плоскости х = 0 задан»
вибрация в виде колебаний давления с амплитудой Ар0 и часто-
частотой ш:
х = 0: р (I, 0) = р0 + г sin't (е = &ро/(роСг1а), е2 < l). D.6.30)
Рассмотрим зону, достаточно близкую к источнику вибрации,
чтобы в ней не образовывались поверхности разрыва параметров,
для чего необходимо выполнение условия D.6.18), и времена,
когда после включения вибрации возмущение охватило всю рас-
рассматриваемую область. Тогда первое и второе приближение D.6.7)
для установившихся вынужденных колебаний несущей фазы
(см. В. А. Красильников, В. В. Крылов, 1984) имеет вид
24*
372 ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
± gin2 ^ _-j^ D.6.31)
- sin 2 ^ _ -^ _ izl! cos 2 G _ г) — V,
Далее, используя уже описанную процедуру, аналогично D.6.23)
получим уравнение для усредненного перемещения частиц в чет-
четвертом приближении по малому параметру jj,
ьР D.6.32)
3 - ( ТЭ ? * JC )
где F — вибрационная сила, по-прежнему пропорциональная
квадрату амплитуды вибраций е, но которая, в отличие от слу-
случая движения частиц в плоской стоячей волне, пропорциональна
вязкости несущей фазы и не зависит от \, т. е. с удалением от
источника не меняется, причем F > О, поэтому она направлена
от источника колебаний, который как бы отталкивает частицы.
Ориентируя источник колебаний таким образом, чтобы вибра-
вибрационная сила была направлена против равнодействующей силы
веса и силы Архимеда, можно сортировать частицы по плотно-
плотностям и размерам. Пусть, например, р2 > 1, т. е. G < 1; тогда,
если G > 0, то частицы, радиус которых меньше некоторой ве-
величины
81(х С е2 1
а2<—, т -о. /~о г> D.6.33)
^ *PQg (i + 2p2°)(p°-l)' 1 ;
будут перемещаться вверх.
Интегрируя уравнение усредненного движения частиц D.6.32),
нетрудно получить, что после окончания переходного процесса
{t > to) установится усредненная скорость дрейфа частиц, равная
D.6.34)
то
В уравнениях усредненного движения D.6.23) и D.6.32) без-
безразмерной силе G соответствует сумма сил тяжести и Архимеда,
которая, если ее отнести к одной частице, равна
G = 4/зЛа3ра? A — ро/р°) = — 73ла3?Ро (l — Рз)-
Тогда нетрудно вычислить масштаб сил Fo, приходящихся на
одну частицу в уравнениях усредненного движения
Fo = G/G = F/F - 73яа3 (р°+ V.Po) <> = 2/3лй3Ро A + 2р°) С^.
D.6.35)
§ 6 ВЗВЕШЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ ПРИ ВИБРАЦИИ 373
Следует подчеркнуть, что вибрационная сила F = FF0, дейст-
действующая на одну частицу в плоской бегущей волне, существенно
отличается от так называемой силы радиационного давления
F(Tp), реализующейся в бегущей волне в идеальной жидкости.
Формула для этой силы, отнесенной к Fo (см. L. King, 1934;
В. А. Красильников, В. В. Крылов, 1984), имеет вид
тг— . D.6.36)
Различие между F и .F(rj>> объясняется следующим образом. При
вычислении F учитывались малые вязкие силы, действующие
на частицу, в предположении, что Тд (пропорциональное \i\)
и 8 одного порядка малости. Случай идеальной жидкости (т0 =
= 0) имеет другую асимптотику (е/то->¦ °°), которая и приводит
к F(rp). Сравнение выражений для F и Firp) показывает, что от-
отношение этих сил равно
F 27 / Си
D.6.37)
Имеется обширньи! диапазон режимов, когда, несмотря на ма-
малую вязкость (тд "С l), значение вибрационно11 силы F, обуслов-
обусловленной вязкостью, может намного превосходить силу радиацион-
радиационного давления F<rP).
Изложенный метод позволяет исследовать задачи динамики
частиц, взвешенных в жидкости, и для других*) режимов тече-
течений несущей среды.
Эффект группирования дисперсных частиц. Рассмотрим слу-
случай, когда вибрационное воздействие приложено не к несущей,
а к дисперсной фазе. Пусть твердые частицы прямолинейно дви-
движутся через покоящуюся на бесконечности несущую среду. Каж-
Каждая из частиц, пролетая в момент времени t через сечение х = 0,
которое будет называться сечением модуляции, приобретает
скорость
v{t, 0)=t70(l +esincoi), v0 > 0, |е|<1. D.6.38)
Рассматривая частицы, которые пролетают сечение модуляции в
такие моменты времени, что v(t, 0) — монотонно возрастающая
функция времени, можно обнаружить, что в потоке при х > 0
вначале летят более медленные частицы, а за ними вдогонку
более быстрые. Может случиться, что в некоторой точке прост-
пространства несколько частиц окажутся одновременно, т. е. произой-
произойдет группирование (см. обсуждение рис. 4.1.1). При движении
*) Динамика пузырьков при вибрационных воздействиях рассмотрена в
§ 12 гл. 6.
374 ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
частиц в вакууме, когда силы сопротивления несущей среды
отсутствуют, группирование при вышеописанной модуляции на-
начальных скоростей всегда имеет место. Этот факт давно известен
в электронике и положен в основу работы клистронов. Однако
в случае дисперсной смеси воздействие несущей фазы сущест-
существенно осложняет механизм и возможность реализации группиро-
группирования. Р. Ф. Ганиевым, Л. Е. Украинским A975) было установ-
установлено, что при наличии вязкого сопротивления частицы разных
радиусов будут группироваться в разных точках пространства.
Если в потоке имеются частицы разных размеров, то расстоя-
расстояния сечения модуляции до места группирования частиц разных
радиусов будут различными. Следовательно, группы будут как
бы расползаться. Другой особенностью влияния сопротивления
на группирование является уменьшение расстояния от сечения
модуляции до места группирования. Частицы малых радиусов
буд^т группироваться очень близко от точки вылета, а затем
разлетаться, что также затрудняет возникновение группирования
частиц, пролетающих через сопротивляющуюся среду.
§ 7. Линейная теория плоского обтекания тонких тел
сверхзвуковым потоком газа с частицами
Одним из наиболее новых интересных и важных направлений
сегодняшней аэродинамики является исследование обтекания тел
различной формы потоком газа с твердыми частицами или кап-
каплями. Задачи, относящиеся к этому направлению, возникают
при исследовании аэродинамических свойств аппаратов авиацион-
авиационной и ракетной техники, проточных частей паровых и газовых
турбин, вентиляторов, фильтров для очистки газа от пыли и ка-
капель, при анализе новых технологических процессов, например
детонационного напыления, при исследовании движения воздуш-
воздушных масс с каплями влаги или частицами пыли среди город-
городских построек и т. д. Помимо анализа рабочих процессов, знание
закономерностей обтекания тел потоками газовзвесей и парока-
пельвых смесей важно также для анализа последствий эрозии
из-за ударов частицами и каплями обтекаемых поверхностей.
В данном параграфе *) изложена теория стационарного
обтекания сверхзвуковым (М > 1) потоком газовзвеси тонких тел,
направленных под малым углом атаки к потоку и вносящих в
него малые возмущения. При этом рассматриваются такие режи-
режимы, определяемые массовым содержанием фаз, размером частиц
и размером обтекаемого тела, когда имеется взаимное влияние
газа и частиц друг на друга.
*) При паписании данного параграфа автор использовал материалы^
подготовленные Р. Р. Айдагуловым.
§ 7. ОБТЕКАНИЕ ТОНКИХ ТЕЛ ГАЗОВЗВЕСЬЮ
375
Здесь и в следующем параграфе под скоростью звука пони-
понимается замороженная или характеристическая скорость звука
в газовзвеси, практически совпадающая при малых объемных
концентрациях дисперсной фазы со скоростью звука в газовой
фазе. Соответственно под чисдом Маха М понимается отношение
скорости набегающего потока, однородного и равновесного вдали
от тела: vl0 = v2a = va к замороженной скорости звука, т. е. к
скорости звука в газе:
М = vo/Ceo. D.7.1);
Здесь нижним индексом 0 обозначаются параметры невозмущен-
невозмущенного потока вдали от обтекаемого тела.
При обтекании тел потоком газовзвеси дисперсные частицы
могут ударяться об обтекаемое газом тело (см. траекторию BQR
на рис. 4.7.1). Если при этом не происходит оседания или испа-
испарения ударяющихся частиц, то появляется пристенная зона AOS,
Рис. 4.7.1. Схема обтека-
обтекания тонкого тела под ма-
малым углом атаки пото-
потоком газовзвеси, траекто-
траектории газа (BG) падаю-
падающих (BQ) и отражен-
отраженных (QR) частиц
ограниченная выпуклой поверхностью тела ОА и траекторией
(сепаратрисой) частицы OS, отразившейся от передней кромки
О, где, кроме газа (первая фаза) и фракции падающих на тело
частиц (вторая фаза), имеется фракция «отраженных» частиц
(третья фаза). В «затененной» обтекаемым телом области разре-
разрежения может образоваться также зона A'OS', занятая газом без
частиц. На появление таких зон при построении решений много-
многоскоростного обтекания тонких тел было указано X. А. Рахмату-
линым, Н. А. Мам а да лиевым A969).
Уравнения установившегося плоского трехскоростного движе-
движения газовзвеси с пренебрежимо малой объемной концентрацией
370 ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
несжимаемой дисперсной фазы в декартовой системе координат
ху имеют вид
3=1,3'Фг
(Кн = К и = const),
\ ' 3—1, З^г
^ ^ (i = l,2f3), р°2 = Рз= const,
2^ = 1, а2,а3<1; 6^ = 1(^ = 1), б14 = 0 (i = 2, 3).
В области односкоростного течения A'OS' имеем р2 = рз = 0, а в
области двухскоростного течения SOM имеем рз = 0. Для упро-
упрощения задачи аналогично § 1 не будем учитывать неравновес-
неравновесные эффекты температурной релаксации фаз*), и систему урав-
уравнений D.7.2) будем замыкать баротропным уравнением состояния
газа, определяющим скорость звука С10 = Cgu в газовой несущей
фазе:
Р = Р (р°) «* Ро + Pio^io (pi — Pio) (Pi«Pi)- D.7.3)
Вдали от тела (на бесконечности) имеется невозмущенный
равновесный поток, направленный вдоль оси х \vx0 = v0, vv0 =
= vl — О) и имеющий параметры р, = р,0, р = Ро. На поверхно-
поверхности тела ставится условие ее обтекания газом, а при наличии
на ней частиц (с наветренной стороны) — условие отражения
A.4.15). Если граница тела с наветренной стороны задается
выражением у = Ца {х) , то граничные условия имеют вид
У = Ул (х) : V! • ли = 0,
рз(Л'з -Па)—— p2(v2 -ПА), Уз • ПА = — ?п) (v2 ¦ ПА) , D.7.4)
Здесь пА — единичная внешняя нормаль к поверхности тела.
Та — единичный касательный к поверхности тела вектор в пло-
плоскости ху.
*) Решение рассмотренной ниже задачи с учетом неравновесного тепло-
теплообмена между фазами обсуждается в работах Р. А. Ткаленко A971),
Г. А. Салтанова A972), Т. А. Джалиловой A976), А. Н. Осипцова ?1980).
§ 7. ОБТЕКАНИЕ ТОНКИХ ТЕЛ ГАЗОВЗВЕСЬЮ 377
Будем полагать, что возмущения, вносимые телом в одно-
скоростной равновесный поток газовзвеси малы:
* ? D.7.5)
что выполняется, если
1М«1 (^ = dyA/dx). D.7.6)
Отметим, что, как и для обтекания «чистым» газом, наряду
с требованием малости [За для линеаризации уравнений движе-
движения газа необходимо выполнение условия
Чтобы понять это требование, следует рассмотреть отношение
нелинейного члена v\(dv\/dy) к главному члену v\{dv\/dx) в
уравнении импульса газа в проекции на ось у. В частном слу-
случае сверхзвукового обтекания, когда частицы отсутствуют, все
возмущения, в том числе и возмущения v\ распространяются
вдоль характеристик | = const, т. е.
Л), D.7.8)
откуда получаем
Тогда, учитывая, что v\ ~ i>0Pa> *>* ~ v0 имеем оценку для нели-
нелинейного члена
-цРа, D.7.10)
что и подтверждает ограничение D.7.7) при наличии ограниче-
ограничения D.7.6).
После линеаризации исходной системы уравнений D.7.2)
получим
3=1, ЗФ1
Pio^ = -Siif + 2 Р*.Р^Я W - + О (е«), D.7.11)
др. (dv? dvV\
V°lk + ho{-? + lt)=0 И- Р~Ро = Рхо^о (Pi - Ро)-
В этих уравнениях в областях односкоростного движения
следует положить Pi* = p10, Р2*=Рз*=01 в областях двухскорост-
378 ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
ного движения р1% = р10, Р2» = Р2о» Р3* = 0, а в областях трехско-
ростного движения р^ = Р1О,"Р2* = Р2о> Р3*= Рзо> причем р30 долж-
должно быть найдено. При малых возмущениях, когда \v3 — уо| < v0,
ДОЛЖНО быТЬ Рзо — Р2о/&(П).
Чтобы система уравнений была линейной, необходимо: K3i =
= const. Для Kl2. = К21 это выполняется, если взаимодействие
газа и частиц происходит по закону Стокса A.3.42):
¦"-12 — Ji21 — о 2 ° о
Лг р2р10
Как будет показано ниже, при слабых возмущениях и дополни-
дополнительных ограничениях сверху на массовое содержание частиц
значение коэффициента К^ = К32, определяющего взаимодействие
из-за соударений падающих и отраженных частиц, не играет
существенной роли при определении сил, действующих на обте~
каемое тело со стороны газовзвеси.
Граничные условия D.7.4) будем сносить на ось х, полагая,
что пд = е", тА = ех, где е* и еу — единичные векторы вдоль осей
х и у:
: v\ = vJpAi Рз^з — -
D.7.13)
Как будет показано ниже, такое упрощение накладывает допол-
дополнительное ограничение, связанное с массовым содержанием
частиц:
М2^орЛ<1. D.7.14)
Для малости возмущений в пристенном слое необходимо: км «* 1.
Складывая первые два уравнения D.7.11) (уравнения им-
импульса в проекции на ось х) для i — 1, 2, 3 и интегрируя по х,
получим
з
г=1
Из условия при х -> — °° получим, что 5 (у) =ро+ (plo+P2o)yo=
= const. Тогда интеграл импульса смеси (аналог интеграла Бер-
нулли) примет вид
Р-Ро+2р^о("?-Уо) = О. D.7.15)
Найдем решение линейной краевой задачи D.7.11), D.7.13),
когда поля скоростей фаз являются потенциальными:
Если решения такого вида существуют, то потенциалы Ф<(?, у).
§ 7. ОБТЕКАНИЕ ТОНКИХ ТЕЛ ГАЗОВЗВЕСЬЮ 379
должны удовлетворять уравнениям, следующим из D.7.11) после
подстановки в них D.7.16):
-5) + «И, D.7.17,
В области двухскоростного течения (р30 = 0) из первого и
третьего уравнений для i = 1 и из первого уравнения для i = 2
имеем
J
D.7.18)
где 82(г/) — произвольная функция. Первое уравнение является
гиперболическим при М > 1. Далее именно этот случай и будем
рассматривать. Введем ^безразмерные переменные х и у, без-
безразмерные потенциалы ф; (г = 1, 2, 3), используя в качестве
характерного линейного размера релаксационную длину ?„:
* = JL_, y = l)/j*E±t щ=гГ- D-7.19)
Тогда уравнения D.7.18) примут вид
"— 2~ „ / — „— \ —
1 м 20 ' Тз х ' ^2 '- - ч D.7.20)
Здесь учтено, что можно принять 62(г/) = 0. Докажем это.
На головной характеристике (у=х или г/ = х/УМ2 —1) про-
проекции скоростей фаз на это направление т в соответствии с
уравнениями на разрывах A.4.24) должны быть непрерывны
(v\-= vl+). Так как возмущения скоростей фаз перед головной
характеристикой тождественно равны нулю (Ду,_ = 0), то за ха-
характеристикой имеем
у = ~х: Avxi+ = (dtpi/дт) = 0. D.7.21)
Следовательно, <р,(х, х)= const. Так как ср( определяется с
380 ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
точностью до постоянной величины, то можно принять
Ф«(У,Ю = О 0 = 1,2). D.7.22)
Для дисперсной фазы (? = 2) на головной характеристике не-
непрерывно возмущение нормальной к этой характеристике состав-
составляющей скорости (Агл™_ = Ai>™+ = О), т.е.
у = х: Ауз+ = дщ/дп = 0. D.7.23)
Так как в соответствии с D.7.21) и D.7.23) на головной харак-
характеристике (у=х) производные от ф2 по двум разным направле-
направлениям тип равны нулю, то на головной характеристике равны
нулю производные от ф3 вдоль любого направления, в том числе
и вдоль оси х:
у = х: dcpjdx = 0. D.7.24)
В результате, учитывая, что D.7.22) и D.7.24) фактически
справедливы при произвольных у, из второго уравнения D.7.18)
получаем то, что и требовалось доказать: 62(г/) = 0.
Оценим порядок членов, входящих в уравнения D.7.21) или
D.7.23). Возмущения скоростей фаз имеют порядок
В рассматриваемой задаче могут быть два характерных линей-
линейных масштаба изменения скоростей фаз вдоль оси х. Первый —•
это ЬА —• линейный масштаб изменения угла $А (х) = dyjdx.
Если ^л = const, то LA — °°- Второй—длина релаксации ?й, свя-
связанная с взаимодействием газа с частицами. При отсутствии
частиц характерное значение д2срх/дх2 может быть оценено в виде
^Ч dvxx Av и рд
дХ* дх LA LA
Правая часть первого уравнения D.7.18), связанная с взаимо-
взаимодействием фаз, имеет порядок
№_*Л„м'? „врА D.7.26)
дх dxj L^ v '
Тогда из первого уравнения D.7.18) имеем
'7> и ft . 1
D.7.27)
Ограничимся случаем медленного изменения $А{х), когда LA~?>
^ Ь„. Учитывая оценку для д^/дг/2 = dv\/dy, оценим погреш-
погрешность 6i?i из-за сноса граничных условий с границы обтекаемо-
обтекаемого тела у — уА(х) на у = 0 (см. D.7.13)), т. е. из-за смещения
§ 7. ОБТЕКАНИЕ ТОНКИХ ТЕЛ ГАЗОВЗВЕСЬЮ 381
границы на 8у = L$A:
-^-< О [(М2 - 1) Ы + О [М2р20Ы. D.7.28)
откуда видно, что отмеченная погрешность мала, если выпол-
выполняются условия D.7.7) и D.7.14).
Нетрудно видеть, что если $а мало, то реализуется и малая
толщина зоны A OS (см. рис. 4.7.1) трехскоростного течения с
падающими и отраженными частицами
^s~Pa<1. D-7.29)
Поэтому аналогично D.7.28) можно показать, что в линейном
решении допустимо пренебречь изменением искомых функций
не только в зоне АОх, приходящейся на тонкое тело, но и в
трехскоростной зоне AOS. Иными словами, зону трехскоростного
течения можно не принимать во внимание при анализе течения
в двухскоростной зоне SOM, ибо если выполняются условия
D.7.7) и D.7.14), то межфазные взаимодействия в зоне трех-
трехскоростного течения вносят возмущение ~е2. Поэтому, как уже
упоминалось, значение коэффициента К23 и наличие отраженных
частиц, определяя структуру пристенного трехскоростного слоя,
в линейном решении не влияет на распределение давления и
скоростей фаз на обтекаемой поверхности ОА тонкого тела. Эта
ситуация аналогична той, которая имеет место в классической
аэродинамике, когда распределение давления на обтекаемой по-
поверхности допустимо находить по теории идеального газа в пре-
пренебрежении вязкостью, и последняя влияет лишь на структуру
тонкого пограничного слоя на теле.
Таким образом, решение линейной задачи D.7.11), D.7.13)
сводится к решению уравнений D.7.20) относительно потенциа-
потенциалов (f,(x, у) (i = 1, 2) с граничными условиями
у = х: фх = ф2 = 0, дц>2/дх = 0,
_ = о> э-ф1_ рл® D.7.30)
ду /м2— 1*
Для давления имеем уравнение, следующее из D.7.15):
+ p2o}- D-7.31)
Перейдем к новым переменным йщ:
В = х-у, У]=у D.7.32)
382 ГЛ. 4 ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
и используем преобразование Лапласа по 8:
щ (s, п) = j е-**<рг (в, n) d9. D.7.33)
о
Тогда для изображений функций, отмеченных звездочкой, из
D.7.20) с учетом D.7.21) получим
— |/ 1
qrrjj Ф (* 11) = ;
D.7.34)
— I ]/l + Фо/(« + 1)
Для случая малых значений Фо, т. е. малых массовых содержа-
содержаний частиц, можно получить явные выражения для оригиналов
<р, через бесселеву функцию нулевого порядка (Р. А. Ткаленко,
1971). В общем случае произвольных Фо получить такие выра-
выражения для фг через известные затабулированные функции не
удается. Но для получения наиболее интересной информации об
изменении параметров на теле (г| = у = 0) можно обойтись без
этих выражений. Действительно, для изображения функции воз-
возмущения давления при г\ == 0 получается простая формула
А^* (s, 0) = У U + .Р*° ) . Ра@ D.7.35)
Для этого изображения можно получить
D.7.36)
) = [^ (i, 1, -Фв5) -^J^FD-, 2, -Фоб)]ехр(-Б),
где F(a, Ъ, \) — вырожденная гипергеометрическая функция пер-
первого рода, которую можно представить в виде интегралов
§ 7. ОБТЕКАНИЕ ТОНКИХ ТЕЛ ГАЗОВЗВЕСЬЮ 383
1
р [ _§_ ? ЕI = —— I \ * схр ( lit) dt = 64 7 37}
\2'' / и J ' 1-1 \ф-/
о
Я/2
= — I (sm4)(exv(—I sin2 t))dt.
о
Приведем асимптотики при малых и больших g:
D.7.38)
fa 9 .\_ ^(v,,i,-a;1 + '^S+QF>).
^-2", 2, - 6j - - 2 ^
Все влияние дисперсной фазы на распределение давления на
теле определяется интегральным слагаемым в формуле D.7.36),
а при отсутствии частиц (р2о = О) формула D.7.36) переходит в
известную формулу Прандтля— Аккеретта для обтекания «чи-
«чистым» газом
При Фо < 1 и Фо > 1 можно использовать асимптотики интег-
интегрального ядра G(%), следующие из D.7.38):
D.7.40)
Тогда при малых Фо и больших Фо, соответствующих малым
(рго < рю) и большим (рго > Рю) массовым содержаниям дисперс-
дисперсной фазы, можно получить следующие асимптотические форму-
формулы для возмущения давления на теле:
Ар (х) _ 1
1
J
+
Wo
384 ГЛ. i. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЯ
Из формулы D.7.36) видно, что давление на передней кром-
кромке (х = 0), где действие частиц на газ не успевает сказаться,
•определяется по формуле Прандтля — Аккеретта D.7.39) для
чистого газа
!^2. D.7.42,
Для клинообразных тел, профиль которых стремится к прямо-
прямолинейному при | ->- °о:
Ы& = $~ + 0(Г') (р- >0), D.7.43)
давление на стенке стремится к следующей величине:
Д, («)-;»»• ^('+,^ -А. («.44,
КМ21 КA + )М21 КМ21
т. е. соответствует формуле Прандтля — Аккеретта для равно-
равновесной схемы газовзвеси с равными скоростями фаз, в который
плотность определяется плотностью смеси, а число Маха — рав-
равновесной скоростью звука смеси:
Ро = Рю + Р2о. M = vo/Ce, С? = С?о/A + ?20). D.7.45)
Введем коэффициент давления Р, равный отношению возму-
возмущения давления А/р(|) в газовзвеси к возмущению давления для
газа без частиц, определяемому формулой Прандтля — Аккерет-
Аккеретта D.7.39)
D.7.46)
Этот коэффициент характеризует влияние частиц на давление
газа на теле, причем, согласно D.7.42) и D.7.44),
1.@,-1.
Из D.7.36) и D.7.40) следует, что для клина (рА = const)
при х -*¦ оо ядро G(x)>0, и величина Р(х)—возрастающая
функция, стремящаяся снизу к Р(°°). Если М>У2, то ядро
??(?)> 0 во всей области интегрирования и вдоль клина Р{%)
монотонно растет. Если М <У2, то ?@)<0, л Р(х) в окрестно-
окрестности передней кромки х =¦ 0 падает, т. е. в этом режиме частицы
уменьшают давление газа на клине. Таким образом, при М < У 2
распределение давления на клине немонотонно и имеет точку
§ 7. ОБТЕКАНИЕ ТОНКИХ ТЕЛ ГАЗОВЗВЕСЬЮ
385
минимума. При этом, если
М2
+ Р
20
D.7.48)
1 20
то уменьшение давления газа из-за частиц распространяется на
весь клин (Р(оо)_<Р@)).
Координата хт точки, где реализуется минимум в распреде-
распределении давления на клине при М < У2 находится из уравнения
^ (ж*) ~ 0, что приводит к уравнению относительно параметра
?*, который в результате решения интегрального уравнения за-
зависит только от М:
Л/2
(М cos21 - 1) exp (— 1^ sin2 *) dt = 0, xm = l*^ 7
о 20
D.7.49)
Приведем одно качественное соображение, поясняющее при-
причину уменьшения давления при х=0 для M<V2. Дело в том,
что сразу за головной волной скорость частиц относительно газа
w2i = v2 — Vi направлена по нормали к этой волне в сторону тела,
ибо касательная составляющая скорости газа и скорость частиц
непрерывны на любых поверхностях, в том числе и скачках,
через которые проникают частицы (см. A.4.24)). В волнах в
21
Рис. 4.7.2. Схема, поясняющая направление межфазной силы со стороны
частиц на газ за головной волной Маха М
первую очередь меняется нормальная к волне составляющая ско-
скорости газа. Межфазная сила F21 со стороны частиц на газ дей-
действует вдоль w2i (рис. 4.7.2). Составляющая этой межфазной сиг
лы, связанная с w%l = v\ — v\ > 0, направлена вдоль тела,
ускоряет газ и способствует уменьшению его плотности и, следо-
следовательно, давления по сравнению с аналогичным режимом, но
25 р. и. Нигматулин. ч. I
386
ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
при отсутствии частиц. Составляющая межфазной силы, связан-
связанная с vo\x — v\ — v\ < 0, направлена к телу и стремится допол-
дополнительно «поджать» газ к телу, т. е. увеличить плотность и
давление газа на теле. При М=Т2 головная волна наклонена
под углом 45° к осям х и у (и>21 = и?21). ^Ри M<Y2 имеем
wti ^> ^21' и преобладает составляющая межфазной силы, уско-
ускоряющая газ вдоль тела (рис. 4.7.2,а), а при М > У2 имеем ^2:1<
< w%x, и преобладает составляющая межфазной силы, поджимаю-
поджимающая газ к телу (рис. 4.7.2,6).
Р\
Рис. 4.7.3. Коэффициент дав-
давления Р вдоль клина (? =
= x/Lf,) с малым углом ра-
раствора при сверхзвуковом об-
обтекании его газовзвесью при
различных массовых концент-
концентрациях частиц (р20 = Рго/рю =
= 0,3; 1,0; 3.0), которым соот-
соответствуют цифровые указате-
указатели у кривых, и двух значе-
значениях числа Маха М = 1,1 и 2
На рис. 4.7.3 приведены в качестве примеров распределения
давления газа, определяемого коэффициентом Р.
Рассмотрим нормальную к телу составляющую скорости па-
падения частиц на тело w2:
w2 = v\ sin f,A ~ A cos f>A = v<$a -vl + O {vof?A). D.7.50)
Интересно, что при выполнении условия D.7.14), позволяющего
сносить граничные условия, которые ставятся на теле, на ось х,
скорость и>2 в линейном приближении по е ~ $А не зависит от
массового содержания частиц. Это можно показать, исходя из
выражения D.7.34) для ф2 (s, 0) после обратного преобразова-
преобразования Лапласа, позволяющего получить ф2(ж, 0). Этот же вывод
нетрудно получить, исходя из следующих соображений. Уравне-
Уравнение движения частиц в проекции на ось у следует из второго
уравнения D.7.18):
„У _
~дх
D.7.51)
Соударение частиц с телом с нормальной скоростью wz ~ vo$A
может происходить на расстояниях порядка длины релаксации
§ 8. ПОПЕРЕЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ПЛАСТИНЫ ГАЗОВЗВЕСЬЮ 387
(.?<?„). Отсюда следует, что соударяющиеся частицы находят-
находятся в тонком слое у тела толщиной порядка Ь$А, в котором
уУр0 = $а(х) + О(?). Тогда из D.7.50) и D.7.51) получим
выражение для нормальной скорости соударения частиц с телом
Щ (х) = ^о Ua (*) - j Ра (I) ехр & - х) dl + О (pl)J, D.7.52)
причем частицы соударяются с телом (м;>0), если выполняется
условие
х
Ра (х) > j Ра (I) ехр (l - х) dg. D.7.53)
о
Для клина ([3А(ж) = const) имеем
x). D.7.54)
Зная w2(x), можно вычислить коэффициент аспирации к{х)
(отношение удельного, т. е. отнесенного к единице поверхности,
потока частрщ, падающих на тело, к величине p2oV0^>A(x), равной
удельному потоку частиц (падающих на тело, при отсутствии
газа): i
к (Ъ) = Р2^(Ж- = 1 - -1=- f рА (I) ехр (I - х) dl. (АЛ.55)
Импульс, который передают падающие частицы на единицу
поверхности тела за единицу времени (давление падающих ча-
частиц) , равен
Pz = p2»w[ (kin) + 1) wn + (k^ - 1) уот], D.7.56)
где п — единичная нормаль к поверхности тела, т — единичный
вектор вдоль поверхности тела (п « е", х « еж, где е1 и е" — еди-
единичные векторы вдоль осей х и у). Таким образом, в соответст-
соответствии с D.7.52) подъемная сила на тело вдоль п«еу за счет
воздействия частиц есть величина второго порядка малости
(~ Р2оуоРа), в то время как подъемная сила за счет давления
газа — величина первого порядка малости (
§ 8. Поперечное обтекание пластины газовзвесью
В данном параграфе на примере двумерного плоского обте-
обтекания пластины со скоростями порядка скорости звука в газе
(М > 0,5) рассмотрены характерные особенности стационарного
обтекания затупленного тела, вносящего сильное возмущение
25*
388
ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
вблизи тела в поток газовзвеси, равновесной в исходном невоз-
невозмущенном состоянии вдали от тела.
Постановка задачи с учетом отраженных от пластины диспер-
дисперсных частиц, взаимодействующих с несущим газом и падающими
на пластину частицами. Обтекание анализируется с помощью
численных решений двумерных нестационарных уравнений га-
газовзвеси A.4.5) или их обобщений A.4.14) для учета фракции
«отраженных» частиц при малых объемных (а2<1), но сущест-
существенных массовых концентрациях частиц.
Интегрирование упомянутых уравнений двухскоростного или
трехскоростного течения производилось на основе уже упоми-
упоминавшегося в § 5 метода «крупных частиц» для двумерных тече-
течений (см. О. М. Белоцерковский, Ю. М. Давыдов, 1982). При этом
стационарное решение полу-
получалось «установлением» реше-
решений нестационарных уравнений,
что позволяет обходиться без
выделения областей до- и
сверхзвукового течений (см.
Ю. М. Давыдов, Р. И. Нигма-
тулин, 1981).
Численное решение уравне-
уравнений A.4.5) для плоского тече-
~i g'/^ff j, я ния выполнено И. X. Енике-
евым и реализовывалось в уз-
узлах прямоугольной сетки в не-
некоторой достаточно большой
прямоугольной области (L+b) X
X Н вокруг обтекаемого тела
(рис. D.8.1)). В представлен-
ных ниже вариантах расчетов
использовалась сетка с квад-
квадратными ячейками с шагом 0,083 h, где h — высота пластины
поперек потока, и числом узлов, равным 46 X 22. Для контроля
точности счета в отдельных вариантах использовалась и более
мелкая сетка.
Граничные условия для газа и частиц ставились следующим
образом:
1) На левой границе х = —L прямоугольной области со сто-
стороны набегающего потока использовались условия невозмущен-
невозмущенного потока (Vi = v2 = v0, р = р0, Т1 = Тг = То, р2 = р20).
2) На нижней границе у = 0, в качестве которой бралась
плоскость симметрии обтекаемой пластины, параллельная ско-
скорости набегающего потока v0,— условие непротекания как для
газа, так и дисперсных частиц \v\ = v\ = 0).
3) На верхней (у — Н) и правой (х = Ь) открытых границах
области проводилась экстраполяция течения за выделенную об-
Рис. 48.1. Расчетная область для за-
дачи о поперечном обтекании пла-
СТШ1Ы
g 8. ПОПЕРЕЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ПЛАСТИНЫ ГАЗОВЗВЕСЬЮ 389
ласть расчета. При этом можно считать, что на этих границах
практически равны нулю производные по нормалям от скоро-
скоростей фаз и давлений.
4) На поверхности обтекаемого тела для газовой фазы ста-
ставилось условие непротекания (у" = 0), а для дисперсной гра-
граничное условие нужно только на передней поверхности со сто-
стороны набегающего потока, ибо на остальных поверхностях ча-
частицы отсутствуют. На указанной передней поверхности для ча-
частиц ставилось условие отражения A.4.15), которое в случае
ненулевого коэффициента отражения (к{п) Ф 0) приводит к по-
появлению третьей фазы — фазы отраженных частиц. Частный
случай kin) = 0 соответствует отсутствию отраженных частиц,
когда частицы, попавшие на переднюю стенку, концентрируются
в пристенном тонком слое. Если влиянием этого слоя пренебречь,
то можно считать, что упавшие частицы исчезают. Последнее
может реализоваться при обтекании тела потоком газа с капля-
каплями, когда попавшие на тело капли образуют тонкую пленку
жидкости.
Процесс обтекания анализируется на примере плоского обте-
обтекания пластины высотой h = 0,1 м монодисперсной смесью воз-
воздуха с частицами кварцевого песка (р2 = 2500 кг/м3, с2 =
= 710 м2/ (с2 • К)) при нормальных условиях в невозмущенном
состоянии (/?0 = 0,1 МПа, Та = 293 К). Варьировались скорость
обтекания, задаваемая числом Маха М = vo/Cgo, радиус частиц а
и их концентрация в исходном состоянии р20 == Рго/рю- В качестве
основного был принят вариант
N1 = 3,0, а = 30 мкм, рм = 1,0. D.8.1)
Влияние каждого из этих параметров численно исследовано на
следующих диапазонах:
М = 0,5 - 5,0, а = 15 - 400 мк, р20 = 0 - 3,0.
Для полного анализа влияния размера частиц каждый раз, где
это возможно, приводятся результаты расчетов и по предельным
схемам: равновесной («а = 0» — штриховые линии) и «заморо-
«замороженной» («а = °°» — штрихпунктирные линии). Напомним, что
первая схема соответствует односкоростному течению «эффектив-
«эффективного газа» с плотностью смеси, а вторая — отсутствию взаимного
влияния частиц и газа друг на друга, когда частицы движутся
равномерно и прямолинейно, а газ — как будто частиц нет.
Коэффициент отражения частиц от пластины принимался
равным
fc(n) = 0,7. D.8.2)
Для сравнения п выявления роли отраженных частиц были рас-
рассмотрены варианты с kw = 0, когда отраженные частицы отсут-
отсутствуют.
390
ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
Коэффициенты, определяющие взаимодействие из-за столкно-
столкновений падающих и отраженных частиц (см. A.4.16)) принима-
принимались равными
,<*¦>
= 0,01,
= 0,013.
D.8.3)
(F)
Принятое значение x(F) для частиц кварцевого песка при
скоростях соударения Av — \v2 — v3\ ~ 102 м/с по порядку вели-
величины соответствует экстраполяции экспериментальных данных
(Г. Л. Бабуха, А. А. Шрайбер, 1972) по гидравлике полидис-
полидисперсных потоков (воздух с частицами того же кварцевого песка),
определяемой соударениями частиц разных фракций, но с мень-
меньшими относительными скоростями Av ~ 10 м/с.
Отошедшая ударная волна и сепаратриса отраженных частиц.
На рис. 4.8.2 представлены рассчитанные линии тока фаз вместе
с отошедшей ударной волной, за которую в набегающий поток
-2,0
Рис. 4.8.2. Линии тока газа (тонкие линии), падающих частиц (пунктирные
линии) и отраженных частиц (кружочки) при плоском поперечном обтека-
обтекании пластипы высотой h = 10 см монодисперсной газовзвесью (воздух с ча-
сшпами кварцевого песка; р0 = 0,1 МПа, То = 293 К, о = 30 мкм, "М = 3,0
(Hvi/h = 4,1), рго = Р20/Р10 = 1,0). Линия 1 — отошедшая ударная волна,
линия 2 — огибающая линий тока отраженных частиц (сепаратриса), отде-
отделяющая зону с отраженными частицами
не проникают возмущения от обтекаемого тела, и сепаратрисой,
за которую в набегающий поток не проникают отраженные ча-
частицы, т. е. являющейся огибающей линий тока отраженных
частиц. На сепаратрисе нормальная скорость отраженных частиц
равна нулю и происходит сильное повышение концентрации от-
отраженных частиц за счет их накопления из-за торможения газом
и падающими частицами (рис. 4.8.3). Это накопление ограничи-
ограничивается поперечным отводом (отдувом) частиц газом, обтекающим,
§ 5. ПОПЕРЕЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ПЛАСТИНЫ ГАЗОВЗВЕСЬЮ
391
Рис. 4.8.3. Распределение пара-
параметров вдоль плоскости сим-
симметрии (у = 0) при плоском
поперечном обтекании пласти-
пластины монодисперсной газо-
газовзвесью (воздух с частицами
кварцевого песка при различ-
различных радиусах частиц (а = 0,
15, 30, 150, 400 и оо, мкм),
отмеченных цифровыми указа-
указателями) . Остальные парамет-
параметры те же, что и на рис. 4.8.2.
Указанным значениям а соот-
соответствуют LWJk = 0; 2,0; 4,1;
20,5; 54,6; °о. Штриховые ли-
линии — расчет по равновесной
схеме («я = 0»); штрихпунк-
тирные — по «замороженной»
схеме («а = оо»); пунктирные
линии — скорость и приведен-
приведенная плотность падающих ча-
частиц; кружочки — скорость
отраженных частиц, сплошные
линии — приведенная суммар-
суммарная плотность (р2 + рз) пада-
падающих и отраженных частиц,
скорость и давление газа
96,Z-
¦
/50^
J
400
\
26,1^ 16?\
¦— .
±
HO
4*"
—^
15
4-'
12,0
8,0
О
-х/А
392
ГЛ. i ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
в отличие от частиц, пластину и «фазовым переходом» 3 ->¦ 2
из-за столкновений отраженных частиц с падающими, за счет
чего отраженные переходят в поток падающих. Чем больше
концентрация частиц в набегающем потоке, тем выше концентра-
концентрация отраженных частиц. Несмотря на накопление частиц на
сепаратрисе, в рассмотренных вариантах объемное содержание
частиц остается малым и не превышает 1—2%.
1/
0,75
0,50
0,25
O,Z 0,1 0,1 О
/
1
зо
15
400-
I:
I,
I
M
f-tf
Щ 72 3 1 3 б
30'-
15^
0
\
p/n 20 15- 10
Рис. 4.8.4. Распределение температуры, поперечной скорости и давления
хаза вдоль пластины (х =0) при тех же условиях и обозначениях, что и ва
рис. 4.8.3. Цифровые указатели (соответствующие радиусу частиц а в мкм)
без штрихов относятся к вариантам с отражением частиц от пластины
(&(")= 0,7), а со штрихом — без отражения (&<">= 0, р3 = 0)
Весьма показательными являются распределения параметров
вдоль плоскости симметрии (у = 0) и на пластине (х — 0) со
стороны набегающего потока, показанные на рис. 4.8.3—4.8.7
для наиболее характерных режимов.
Сразу подчеркнем интересное обстоятельство, которое четко
видно на этих рисунках,— распределения параметров при рас-
рассмотренных «конечных» размерах частиц а не находятся между
распределениями, следующими из предельных схем «а = 0»
(штриховые линии) и «а = °°» (штрихпунктирные линии).
Падающие частицы «прижимают» отошедшую ударную вол-
волну к телу тем сильнее, чем больше их концентрация (см.
рис. 4.8.7,а), а отраженные частицы ее «отталкивают» от тела,
причем при /е(Т1) = 0,7 и указанных выше условиях, когда а ^
^ 30 мкм, отталкивающее действие проявляется слабее, а при
40 < а < 400 мкм (см. рис. 4.8.3)—сильнее. Поэтому при отсут-
отсутствии отраженных частиц {к{п) = 0) расстояние Xi, на котором
0,5s
f,5
A
\
4
' л . • ¦ •
•
—^r—
0,5
¦ • •..
———
* .
°oOo°
о
о
О
2,0
-ф ~3f
Рис. 4.8 5. Влияние числа Маха набегающего потока М на распределение при-
приведенной плотности частиц, скоростей фаз и давления газа вдоль плоско-
плоскости у = 0 при тех же условиях и обозначениях, что и на рис. 4.8.3, но толь-
только для газовзвеси с размером частиц а = 30 мкм (L^jL = 4,1). Цифровые
указатели на кривых соответствуют значениям М
394
ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
ударная волна находится от тела (см. рис. 4.8.2), уменьшается
при увеличении концентрации частиц р20 в набегающем потоке
(см. рис. 4.8.7, а). При наличии отраженных частиц зависимость
#1 (рго) может стать немонотонной.
Наличие отраженных частиц, помимо «отталкивания» отошед-
отошедшей ударной волны, приводит к дополнительному торможению
газа и падающих частиц, к увеличению поперечной составляю-
составляющей скорости газа v\, что уменьшает подъем давления и плот-
плотности газа на теле (см. рис. 4.8.4), к увеличению плотности па-
падающих частиц, и сильному увеличению содержания дисперсной
фазы в пристенной зоне между сепаратрисой и телом.
Рис. 4 8.6. Влияние падающих и от-
отраженных частиц на распределение
давления и плотности газа (сплош-
(сплошные линии) и приведенной плотно-
плотности (концентрации) падающих ча-
частиц (пунктирные линии) вдоль
плоскости симметрии (у = 0) при
тех же условиях, что и на рис. 4.8.2
и 4.8 3, но только для газовзвеси с
размером частиц а — 30 мкч
(L^jL = 4,1). Штрихпунктирные ли-
линии соответствует «замороженной»
схеме («а = оо»), т. е. отсутствию
частиц (р2 = р3 = 0); штриховые ли-
линии — равновесной схеме «а = 0».
Линии с цифровым указателем 0
соответствуют варианту, когда нет
отраженных частиц (&<"> =0, р3 =
= 0), а с указателем 0,7 — варианту,
когда значение коэффициента отра-
отражения частиц от пластины &(") = 0,7.
Распределение суммарной концент-
концентрации р2 + рз падающих и отражен-
отраженных частиц для последнего вариан-
варианта см. рис. 4.8.3
-0,5
С увеличением концентрации частиц р20 в набегающем пото-
потоке отход сепаратрисы уменьшается как за счет уменьшения
скорости отражения частиц на теле (уменьшается скорость под-
подлета падающих частиц к телу из-за более интенсивного тормо-
§ 8. ПОПЕРЕЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ПЛАСТИНЫ ГАЗОВЗВЕСЬЮ
395
жения отраженными частицами),
так и за счет усиления торможения
отраженных частиц падающими.
При этом с увеличением р2о увели-
увеличивается плотность как падающих,
так и отраженных частиц в пристен-
пристенном слое.
Рассматривая разные варианты с
увеличивающимся размером частиц,
можно увидеть, что отходы сепарат-
сепаратрисы х3 и ударной волны х{ увели-
увеличиваются при росте радиуса частиц я
до некоторого значенияй-^ЗООмкм.
При дальнейшем увеличении радиу-
радиуса частиц отраженные частицы вы-
вылетают за головную ударную волну,
создавая возмущение перед ней и
приводя к образованию двух волн
сжатия (см. р(х) и Vi(x) для
а = 400 мкм на рис. 4.8.3). При
этом давление на теле (х = 0) и,
в частности, в точке торможения
(х = 0, у — 0) за счет дополнитель-
дополнительного искривления линий тока газа
и поперечного его отвода становится
существенно меньше, чем для режи-
режима обтекания чистым газом (р20 = 0).
При дальнейшем увеличении разме-
размера частиц возникает тенденция к
восстановлению головной ударной
волны и к обратному приближению
ее к телу (см. р(х) и vt(x) для
а = 400 мкм и «а = °°» на рис. 4.8.3),
когда картина течения газа прибли-
приближается к той, которая дается «замо-
«замороженной» схемой «а = °°», соответ-
соответствующей течению чистого газа.
В этом диапазоне режимов с выле-
вылетом отраженных частиц за головную
ударную волну преобладает тормо-
тормозящее действие газа отраженными
частицами, а не дополнительное ис-
искривление линий тока газа.
Распределение концентрации от-
отраженных частиц вдоль оси немоно-
немонотонно с максимумом на сепаратрисе
(см. рис. 4.8.3 и 4.8.5). Эта немоно-
а
i.
2
-0,5
-1,0
--2,0
'/
/ \
р/р0
го
т
-1
Ряс. 4.8.7. Влияние массового
содержания частиц на распре-
распределение давления вдоль пло-
плоскости симметрии (у = 0) при
тех же условиях и обозначе-
обозначениях, что и на рис. 4 8.2—4.8.6
(М =3.0; а = 30 мкм (Uv>/h =
= 4,1), но при разных массо-
массовых содержаниях частиц Р20 =
= 0; 0,5; 1,0; 2,0, которым со-
соответствуют числовые указа-
указатели на кривых; а — резуль-
результат расчета, когда отсутствует
отражение частиц (&<"> = 0;
рз = 0); б — для к^1 = 0,7
396 ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
тонность объясняется наличием двух противоположных тенден-
тенденций: первая — накопление отраженных частиц из-за торможения
газом и падающими частицами, вторая — «фазовый» переход
отраженных частиц в падающие с интенсивностью /32. При
уменьшении размера частиц происходит более полная передача
импульса от частиц к газу, поэтому и давление газа в точке тор-
торможения повышается.
С уменьшением числа Маха М набегающего потока, несмотря
на увеличение отхода головной ударной волны, отход сепарат-
сепаратрисы уменьшается, так как уменьшается скорость подлета,
а следовательно, и отражения частиц на теле.
Несколько слов о влиянии заранее неизвестных значений
коэффициентов x(F) и %{J\ характеризующих взаимодействие
падающих и отраженных частиц. Вариация этих величин суще-
существенно влияет на результаты расчетов. С увеличением x{F) и
xU) отходы сепаратрисы и головной ударной волны уменьшают-
уменьшаются, влияние отраженных частиц уменьшается, давление газа на
теле увеличивается и постепенно при достаточно больших зна-
значениях этих коэффициентов картина течения приближается к
той, которая дается двухскоростной схемой без отражения частиц.
Увеличение коэффициента отражения частиц /с(п) от тела
(при 1 ^ к(п) > 0,7) слабо влияет на параметры газа на теле, но
более существенно — на отход головной ударной волны.
Теплота межфазного трения и соударения частиц. В отличие
от обтекания затупленного тела «чистым» без частиц идеальным
газом, когда его температура повышается только за счет ади-
адиабатического сжатия (в том числе и в ударной волне), при об-
обтекании тела газовзвесью температура газа повышается не только
за счет его сжатия, но и за счет теплоты межфазного трения,
т. е. за счет диссипации кинетической энергии из-за интенсив-
интенсивного трения при относительном движении фаз. Заметим, что в
ранее рассмотренных в данной главе течениях газовзвесей повы-
повышение температуры за счет этого диссипативного процесса было
малозаметным. Здесь же из-за интенсивного межфазного «сколь-
«скольжения» со скоростями Vi — v2, vf — v3 и v2 — v3 и значительного
массового содержания частиц указанный источник повышения
температуры является существенным.
В уравнении притока тепла газа мощность соответствующего
диссипативного тепловыделения из-за трения газа о частицы
описывается слагаемыми
w2f 12 • (vi - v2) + ra3f 13 • (Vi - v3). D.8.4)
Аналогичные «тепловые источники» из-за столкновений падаю-
падающих и отраженных частиц должны быть в уравнениях притока
тепла падающих и отраженных частиц, а именно:
V2F32-(v3-v2)+V2/32(v3-v2J, 72F23-(v2-v3). D.8.5)
§ S ПОПЕРЕЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ПЛАСТИНЫ ГАЗОВЗВЕСЫО 397
Учитывая выражения для силы аэродинамического сопротивле-
сопротивления частиц в газе, оценим прирост температуры газа на теле
за счет трения о падающие (АГ12) частицы (в зоне между го-
головной ударной волной и телом толщиной хи где время пребыва-
пребывания газа ti?.~xjvi) и отраженные (ATi3) частицы (в зоне меж-
между сепаратрисой и телом толщиной х3, где время пребывания
газа ti3 ~ xjvi):
13
где под входящими в эти выражения величинами следует по-
понимать пх характерные значения в пристенной зоне. Для основ-
основного варианта D.8.1) имеет место v0 » 103 м/с, ct « 103 м2/(с2 • К),
а в соответствии с данными рис. 4.8.3 можно принять:
0,5,
0,6vB, i
0,15 м,
Vi — V3''
x3'
v 2 кг/м3,
~ 0,Зу0,
w 0,05 м,
p3 « 7 кг/м3,
v,. ~0,ly0,
и тогда получим
АГ12 « 1200 К, АГ13 « 450 К.
При отсутствии отраженных частиц (кЫ) = 0) получается
АГ12«840К, ЛГ13 = 0.
Указанные величины в существенной степени определяют более
высокую температуру газа в точке торможения (х — у = 0) для
газовзвеси в основном варианте, чем для той же скорости обте-
обтекания «чистым» газом (см. рис. 4.8.4). Значительным является
и повышение температуры частиц за счет столкновений, опи-
описываемых слагаемыми D.8.5). Нагрев газа из-за межфазного
трения уменьшается за счет межфазного теплообмена с «холод-
«холодными» частицами. Однако в рассматриваемых вариантах этот
теплообмен не успевает проявиться из-за малого времени пребы-
пребывания газа в зоне между ударной волной и телом.
Естественно, что с увеличением концентрации частиц рго в
набегающем потоке вклад теплоты межфазного трения повыша-
повышается и, несмотря на некоторое уменьшение плотности газа на
теле из-за отталкивающего действия отраженных частиц, тем-
температура газа повышается как за счет повышения давления (из-за
увеличения передачи импульса в пристенном слое от падающих
частиц к газу, что дополнительно поджимает газ к телу), так п
за. счет усиления межфазного трения.
Коэффициент аэродинамического сопротивления. Введем коэф-
коэффициент динамического воздействия или волнового сопротивле-
сопротивления С1х) передней поверхности тела в потоке газовзвеси, равный
отношению динамической силы F, действующей вдоль этой
398 ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
поверхности, к полному динамическому напору всего потока
r(x) F р __ р, р
is — г; гТ' — * 1 г ^ 2>
н а D.8.7)
1=$(p- p0) dy, F2 = f р2г;2х (v% - vf) dy.
Здесь интегралы берутся по передней поверхности обтекаемого
тела; F4 определяет воздействие газа, a F2 — падающих частиц.
Отметим, что в рассмотренных выше вариантах (М = 3) подав-
подавляющая часть воздействия потока и его фаз по всей поверхно-
поверхности пластины приходится именно на силы F4 и F2 вдоль перед-
передней поверхности тела (х = 0). Введем также коэффициенты ди-
динамического воздействия газа и частиц:
С[х) = F\, C^ = F\, D.8.8)
через которые С(х) выражается в виде
^ f D.8.9)
P20
Заметим, что для предельных равновесной («а = 0», v, = v2)
и замороженной («a = oo»t v2 = v20, v3 = — к1п)\20) схем течения
имеем
«а = О»: С(х) = Cg (М, у), Cf = О
(М = volCe, у = (ср1 + p2Oc2)/(cvl + р20с2)), D.8.10)
ш = оо»: С[х) = Cf (М, уг), Cf = 2 A + fe(n)),
где С/ — коэффициент волнового сопротивления, соответствую-
соответствующий калорически совершенному газу и для фиксированного тела
зависящий от числа Маха и показателя адиабаты.
Как и при обтекании затупленных тел чистым газом при
обтекании газовзвесью коэффициенты сопротивления Сы и С^
существенно зависят от числа Маха М только при N1 < 1. При
больших числах М эта зависимость очень слабая (рис. 4.8.8, в).
Несмотря на заметную зависимость коэффициентов С[х) и
от размера частиц а (рис. 4.8.8,а), коэффициент сопротив-
сопротивления, отнесенный ко всему потоку, меняется слабо, и это из-
изменение заметно лишь при а^-а^ш 200 мк когда реализуется
вылет частиц за ударную волну. При этом зависимость С^ от
а при наличии отраженных частиц имеет немонотонный харак-
характер. При росте а до размера а% происходит «разрушение» удар-
§ 8. ПОПЕРЕЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ПЛАСТИНЫ ГАЗОВЗВЕСЬЮ
399
ной волны и воздействие газа на тело ослабевает за счет допол-
дополнительного бокового разлета газа из-за экранирующего действия
отраженных частиц. При дальнейшем росте а, когда а > а%, про-
происходит восстановление ударной волны, а вылетевшие за ударную
волну крупные частицы слабо тормозят газ. В результате С*
восстанавливается, стремясь к значению С*, реализующемуся
при обтекании газом без частиц.
ff
.¦&
t
Я OJ
/V=J I
а=дОм/<м
0,5
1,5 Д
10~r 10° Ю Ю2 L(v>/h
20
Рис. 4.8.8. Зависимость коэффициентов динамического воздействия смеси
С(х' (сплошные линии) и фаз С^ ' (г = 1 — штрихпунктирпые линии,
г = 2 — пунктирные линии) от диаметра частиц 2а, массового содержания
Рго и числа Маха М при плоском поперечном обтекании пластины (высотой
h = 10 см) монодисперсной газовзвесью (воздух с частицами кварцевого
песка, /?о = 0,1 МПа, То = 293 К). Основной вариант, отмеченный кружоч-
кружочками на кривых, соответствует режиму а = 30 мкм, ^>20 = 1. М = 3,
(L(°)//t = 4,1) (см. рис. 4.8.2). Числовые указатели 0 и 0,7 соответствуют зна-
значению коэффициента нормального отражения частиц &<"> от пластины
Отметим слабую зависимость Cix) от массового содержания
частиц р20 при р20 < 1 (см. рис. 4.8.8, б). С ростом ри возрастает
400 ГЛ. 4. ДИНАМИКА ДВУХСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
импульс, переданный частицами газу, и величина Cj возрастает.
В то же время при наличии отраженных частиц с ростом р20
возрастает экранирующая роль отраженных частиц, т. е. проис-
происходит более интенсивное торможение падающих частиц, и С^
падает.
Условия подобия. В качестве линейного масштаба для х и у
удобно использовать высоту обтекаемой пластины k, а в качестве
масштабов давления р, скоростей фаз vt, плотностей рг, темпе-
температур Ti — их значения в невозмущенном потоке: р0, via = vo = va,
рго, То. Анализ системы уравнений вместе с граничными усло-
условиями после обезразмеривания показывает, что распределение
параметров для заданной геометрии потока определяется следую-
следующими десятью критериями подобия:
М - -J1 о - ^ T(v) - — y.(F) v(J) к(п)
°— и »ги г ' * ~ Т — Гт7)"
Характерными для обтекания частиц газом являются большие
числа Рейнольдса Re12 ~ Reo, поэтому длина скоростной релак-
релаксации LM — vot{v) определяется по A.4.34), а соответствующий
безразмерный параметр LM, характеризующий скоростную не-
неравновесность, равен
О
j(v) _ 16 Р2 а
3 рх h
Параметры x(F) и х(Л определяют параметры
характеризующие аналогично i(I!) степень скоростной неравно-
неравновесности между падающими и отраженными частицами.
Степень температурной неравновесности газа и частиц опре-
определяется относительной длиной температурной релаксации:
7(т) y(r)_ReJV27w (У) .
7
- A
В рассматриваемых ниже вариантах характерные числа Nu0 ~
~ Nui2 равны ~10—102.
Чем больше значения L(v\ L'-T), L(F\ VJ\ тем сильнее нерав-
неравновесность соответствующего релаксационного процесса в зоне
около обтекаемого тела. _
Для рассмотренных вариантов 1/Т) > 1, поэтому и изменение
температуры частиц много меньше характерного изменения тем-
§ 8. ПОПЕРЕЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ПЛАСТИНЫ ГАЗОВЗВЕСЬЮ 401
пературы газа, т. е. температура частиц не успевает сравняться
с температурой газа. При не очень больших содержаниях ча-
частиц (ргсА/ci^l) это свидетельствует о малом влиянии стока
тепла из газа в частицы. В итоге вариация безразмерных тепло-
физических параметров cjc^ и Prt, входящих в D.8.11), слабо
влияет на течение, что облегчает условия моделирования. Заме-
Заметим, что за характерное время t0 пролета частицей через нагре-
нагретый ударный слой (t0 = h/v0, h ~ 10 м, v0 ~ Ю3 м/с, to ~ 10~4 с)
температура внутри частицы не успевает выравняться, так как
характерное время такого выравнивания (см. § 2) равно t2 =
= a2/v<T)~ КГ1 с (а~1(П4м, v?°~ 1(Г7 м2/с). Но в силу малого
влияния межфазного теплообмена в рассматриваемом процессе
нет необходимости усложнять теорию для учета отмеченного
обстоятельства.
Малое влияние на течение оказывает и вариация больших
чисел Rea, что свидетельствует о малом влиянии вязкости газа
на силовые взаимодействия между фазами. Таким образом, основ-
основными параметрами моделирования являются следующие семь:
М, р20, Х('\ Z(F\ I(/), Л("\ Ь- D.8.12)
В частности, это означает, что при фиксированных свойствах
газа и частиц (фиксированных P2/Pi> Чи k(f\ кы\ &(п)),при фик-
фиксированных М и р2о обтекания двух геометрически подобных тел
будут подобны, если для них одинаков параметр LM, опреде-
определяемый малым отношением a/h.
В заключение отметим работы Б. А. Баланина, В. В. Злобина
A979), С. К. Матвеева, Л. И. Сеюковои A980), Н. II. Яненко,
В. М. Фомина и др. A980, 1981), М. М. Гилинского, В. Н. Тол-
стова A982), А. Л. Стасенко, где представлены результаты ис-
исследований обтекания тел высокоскоростным потоком газа.
26 р. и. Нигматулин, ч, I
ГЛАВА 5
ГАЗОВАЯ И ВОЛНОВАЯ ДИНАМИКА ГОРЕНИЯ
И ДЕТОНАЦИИ ГАЗОВЗВЕСЕЙ И ПОРОШКОВ
Распространение горения и взрыва в двухфазных системах ти-
типа газ — твердые горючие частицы определяется гидродинамиче-
гидродинамическими, теплофдзическими п химическими процессами, влияющи-
влияющими друг на друга. Поэтому соответствующий теоретический ана-
анализ должен основываться на совместной системе уравнений
гидродинамики, тепло- и массообмена и химической кинетики
в двухфазной среде.
§ 1. Основные уравнения, описывающие горение газовзвесей
Распространение горения в смесях газа с горючими частицами
может происходить как за счет процессов переноса — теплопро-
теплопроводности и диффузии, передачи тепла излучением, так и за счет
газодинамических процессов — конвективного движения относи-
относительно частиц горячих продуктов реакции, ударных и детонацион-
детонационных волн. Реализация того или иного механизма зависит от
режима горения частиц, концентрации топлива, геометрии устрой-
устройства, где горение осуществляется, и особенностей инициирования.
При этом скорость распространения фронта горения изменяется
в широком диапазоне от нескольких сантиметров до нескольких
метров в секунду.
Режимы горения частиц. Анализ экспериментов, связанных с
наблюдением горения отдельной капли или частицы, позволяет
выявить три основных предельных режима.
1. Гетерогенный режим—горение происходит на поверхности
и внутри частиц топлива, и тепло, выделяющееся в результате
химической реакции, нагревает непосредственно частицы. Так го-
горят, например, частицы углерода (графита, электродного угля),
в которых отсутствуют летучие органические вещества. При атом
температура частиц может достигать столь высоких значений
(~3000 К), что на процесс передачи тепла в смеси будет влиять
излучение.
2. Квазигомогенный режим — горение паров топлива или про-
продуктов газификации происходит во всем объеме, окружающем
частицу. Теплота химической реакции непосредственно выделя-
§ 1. УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ГОРЕНИЕ ГАЗОВЗВЕСЕЯ 403
ется в газовой фазе, температура которой поэтому выше темпе-
температуры частиц. Так горят частицы легко испаряющегося топлива,
например капли бензина.
3. Парофазный режим — горение происходит в тонком слое
(микропламени), окружающем каплю. Температура этого слоя
TF (Flame) выше как температуры капли Т2, так и температуры
основной массы газа 7\. Так горят частицы металлов, капли ди-
дизельного топлива, частицы унитарного топлива (пороков, ВВ),
частицы каменного угля до полного выгорания летучих ком-
компонент.
В общем случае возможна и комбинация указанных режимов,
когда часть реакций может протекать в одном режиме, а часть
в другом.
Уравнения гидромеханики дисперсной смеси с горючими ча-
частицами. Рассмотрим дисперсную среду, в которой несущая га-
газовая фаза состоит из двух компонент (например, окислителя,
который будет называться первой компонентой, и продуктов
горения, которые будут называться третьей компонентой), а части-
частицы (вторая фаза и вторая компонента) являются топливом, при
горении которого часть энергии из-за высоких температур может
переходить в излучение. Уравнения неразрывности компонент,
сохранения числа частиц, уравнения импульсов и притоков тепла
фаз для такой двухфазной трехкомпонентной среды (газовзвеси),
если учесть аналогичные уравнения § 4 гл. 1, имеют следующий
вид (П. Б. Вайнштейн, Р. И. Нигматулин, 1971):
К + w1B)) = /S1 - /,
PlB) + PlC) = Pi, Pl(l)WlA) + plB)W1B) + PlC)W1C) = 0,
Cid) + 1 = Ci(s),
p2 = p2a2, p2 = const, a2 = */3па3п, ax = 1 — a2, px
Pi ~jf = — a^p — o^raf* + atj21 (v2 — V,), E.1.1)
Р« л =-'
Pi ~1Г = ~~^~"
26*
404 ГЛ. 5. ГОРЕНИЕ И ДЕТОНАЦИЯ ГАЗОВЗВЕСЕЯ И ПОРОШКОВ
2 2 г I I \7
P2 ~jf~ = *^21X2 "Г ^У/ "Г V -qR2,
Здесь первый нижний индекс j = 1, 2, F (он же может быть един-
единственным) относится соответственно к несущей, дисперсной и
F-фазам, где F-фаза относится к микропламенам вокруг частиц
(в случае парофазного режима их горения), аналогично 2-фазе
ее теплоемкостью будем пренебрегать; второй нижний индекс
А; = 1, 2, 3 для параметров газовой фазы (/ = 1) относится соот-
соответственно к компоненте окислителя (или инертной компоненте),
парам топлива и продуктам горения. Далее ?1A), ?2 = 1, ?iC> оп-
определяют массовые расходы компонент в химической реакции го-
горения; /—скорость химической реакции горения топлива в еди-
единице объема смеси в единицу времени, w1(i,, w1B) и w1C) — диф-
диффузионные скорости газовых компонент, qi — поток тепла за счет
молекулярной теплопроводности газа, qRj (/= 1, 2)—поток лу-
лучистой энергии (Radiation) в /-й фазе, qFj — межфазный тепло-
теплообмен между F-фазой и ;'-й фазой, х} — поток тепла в j-ю фазу
(/ = 1, 2, F) от единицы массы, претерпевающей фазовый пере-
переход из-за реакции горения, в результате которой высвобождается
тепло г2 — U-
Уравнения состояния фаз и компонент определяют давление
газа как смеси трех совершенных газов в соответствии с законом
Дальтона
Р = Pl^l^'l. Pl-^l = Pl'l)-^l(l) +¦ PlB)^lB) +PlC)-#1C), E.1.2)
(где RHk) (к = 1, 2, 3)—газовые постоянные соответствующих
газовых компонент) и энтальпии фаз
— Pi(i)JKi) + Р]
h(k) = ci(fe) {Тг — То)
(О о \
h(k) = иць) + P/Pi(ft)> Pi(ft) = Picw^u к = 1, 2, 3), E.1.3)
h = С2 (Т2 — ^о) + (Р — Ро)/Р° + h0 {Ч=-Щ + Pip]),
где сцк) — теплоемкость газовой к-й компоненты при постоянном
давлении, с2 — теплоемкость конденсированной фазы, а р0 и То —
давление и температура начального состояния*). Аналогично
A.3.74), C.1.16) разница между i1BH и i20, между i1AH, i1BH и
fiC)o определяется теплотой испарения топлива 10 и его теплотвор-
теплотворной способностью Qo, которая, в отличие от фугасной теплоты
*) Если не будет отдельно оговариваться, то это исходное состояние
определяется так называемыми нормальными условиями: р0 = 0,1 ЫПа,
То = 293 К.
§ 1. УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ГОРЕНИЕ ГАЗОВЗВЕСЕЙ 405
взрыва, определяется перепадами энтальпий компонент, а не
внутренних энергий:
?lBH — ^20 == Ц, ho ' bl(l)il(lH A "> bi(l))ilCH == V0* E.1.4)
Следует иметь в виду, что процессы горения и испарения мо-
могут влиять на силу межфазного взаимодействия i% и, в частно-
частности, на зависимость CV(Re12) (см. J. Longwell, 1956; В. И. Бабий,
И. П. Иванова, 1969; И. П. Басина, И. А. Максимов, 1969).
Процессы переноса. В процессах горения могут реализовы-
ваться достаточно большие градиенты макротемператур и кон-
концентраций компонент в несущей газовой фазе, что, в отличие от
§ 4 гл. 1 и гл. 4, может привести к необходимости учета макро-
макроскопической теплопроводности фаз и диффузионных потоков
в газе. Поток тепла за счет теплопроводности газа будем опре-
определять в соответствии с законом Фурье *):
qi = -A,,V71, E.1.5)
где A,i — коэффициент теплопроводности газовой фазы, зависящий
от его состава. В разреженной газовзвеси (а2<1) можно пре-
пренебречь влиянием частиц на значение At, полагая его зависящим
от температуры и состава, в частности иногда можно принимать
его аддитивным по массам компонент (
Для определения диффузионных скоростей обычно использу-
используют приближенный закон бинарной диффузии Фика (J. Hirsch-
felder, С. Curtiss, R. Bird, 1954):
Pi(fe)WKh) = — Pivift)Vfcl№) (fc1A) + /c1B) + fc1C) = 1), E.1.6)
где k1(h) = Pi(fe)/pi —массовые концентрации компонент, Vjfe —би-
—бинарный коэффициент диффузии в газовой фазе.
Лучистая теплопроводность дисперсной фазы. При рассмотре-
рассмотрении задач лучистой теплопроводности требуется знание оптиче-
оптических свойств рассматриваемой среды, а именно: спектральных
коэффициентов поглощения х(<2)(Ьв) и рассеяния ии>(Ьн) среды
в зависимости от длины волны излучения bR.
Температуры частиц, которые устанавливаются при гетеро-
гетерогенном режиме горения частиц углерода, металлов и др., могут
достигать значений порядка 3000 К. Для таких температур
характерная длина волны излучения, на которую приходится
максимум энергии спектра, может быть оценена из рав-
*) В общем случае наряду с qi следует учитывать перенос энергии в
газовой фазе за счет диффузии компонент (см. A.1.30), E.1.1) и примеча-
примечание после B.4.20)).
406 ГЛ. 5. ГОРЕНИЕ И ДЕТОНАЦИЯ ГАЗОВЗВЕСЕЙ И ПОРОШКОВ
новесного распределения Планка (Я. Б. Зельдович, Ю. П. Рай-
зер, 1966) и она составляет bB ~ 1 мк. Длина пробега
излучения в воздухе при таких условиях имеет порядок
LRi ~ 104 м, что значительно превышает реализующиеся толщи-
толщины зон горения. Таким образом, газ в задачах горения и детона-
детонации газовзвесей можно считать прозрачным, что означает
? • qm « 0.
Для аэровзвесей среднее расстояние между частицами обычно
значительно превышает указанное значение характерной длины
волны bR. В таком случае частицы можно считать как бы невзаи-
невзаимодействующими (Н. Hulst, 1957), и для определения коэффи-
коэффициентов поглощения и рассеяния достаточно решить задачу о по-
поглощении и рассеянии теплового излучения на отдельной части-
частице, которое описывается уравнениями Максвелла, заданными вне
и внутри частицы с граничными условиями на ее поверхности.
Решение в рядах этой задачи для сферических частиц получено
Ми (см. М. Born, E. Wolf, 1968). Для углерода рассчитанные
по теории Ми данные имеются в монографиях S. Soo A967),
А. Г. Блоха A967).
Когда радиусы частиц а значительно превышают характерные
длины волн (а>Ь), сечения поглощения Sia) и рассеяния 5<о
практически постоянны и определяются соотношениями геомет-
геометрической оптики 5<а) = па2, SU) = 2яа2. Кроме того, при а > bR ча-
частицы рассеивают энергию в основном в направлении падающего
излучения (эффект Ми), поэтому энергия, рассеянная частицами,
из основного падающего потока практически не вычитается.
Таким образом, можно принять, что, во-первых, в гетероген-
гетерогенном режиме газовзвесь является «серой материей» и, во-вторых,
ослабление излучения частицами происходит только в результате
поглощения энергии, а не рассеяния, причем коэффициент погло-
поглощения среды определяется соотношением
х<а) = шха2. E.1.7)
При движениях вещества со скоростями, много меньшими
скорости света Ся, в предположении локального термодинамиче-
термодинамического равновесия уравнение переноса излучения имеет вид
(Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер, 1966)
Й-v/ = x<°> (?_/), В = о^в){Тг)Чя. E.1.8)
Здесь / (Q) — полная интенсивность излучения (т. е. количество
лучистой энергии, протекающей в единицу времени через еди-
единичную площадку, помещенную перпендикулярно к направле-
направлениям, лежащим внутри телесного угла dii около вектора Q),
В — полная интенсивность равновесного излучения, alSB> =
= 5,670 • 10~8 кг/(с3 -К4) — постоянная Стефана — Больцмана.
§ 1. УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ГОРЕНИЕ ГАЗОВЗВЕСЕЙ 407
Интегрируя E.1.8) по направлениям, получим
t- д
4Л 4Я
Здесь UR — полная плотность излучения.
Часто вместо решения уравнения E.1.8) с последующим оп-
определением qR2 интегрированием используют приближенные диф-
дифференциальные представления для qR2 через другие интеграль-
интегральные характеристики поля излучения так, чтобы вместе с E.1.9)
эти соотношения давали замкнутую систему уравнений. Умножая
E.1.6) на Q, интегрируя по всем углам и полагая в левом инте-
интеграле интенсивность излучения / не зависящей от Q, получим
^UR. E.1.10)
При изотропном поле излучения обе части этого уравнения рав-
равны нулю. При слабой анизотропии (qR2 Ф 0) это соотношение, за-
задающее поток излучения как градиент плотности, вместе с урав-
уравнением E.1.7) определяют так называемое диффузионное при-
приближение (Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер, 1966), которое сов-
совпадает с первым приближением в методе сферических гармоник,
основанном на разложении /(Q) по полиномам.
О воспламенении частиц. Рассмотрим уравнения, определяю-
определяющие кинетику протекания химических реакций, т. е. условие вос-
воспламенения частиц, скорость их выгорания / и распределение
выделяющегося тепла по фазам (х,; / = 1, 2, F).
Воспламенение частиц происходит при разогреве их поверх-
поверхности до некоторой температуры. После этого в гетерогенном ре-
режиме начинается стадия медленного горения, а в квазигомогенном
п парофазных режимах — стадия испарения или газофикации.
До начала фазовых переходов поток тепла из газа к поверх-
поверхности частиц qiS весь идет внутрь частиц:
откуда следует
Таким образом, если безразмерный параметр А^ЫщАг < 1, что
очень часто имеет место из-за %i < X2, то основная часть темпе-
температурного перепада 7\ — Т2 реализуется в газе, т. е. средняя Т2
и поверхностная Т2 температуры частиц до воспламенения близ-
близки между собой (Г2 « Т2).
408 ГЛ. 5. ГОРЕНИЕ И ДЕТОНАЦИЯ ГАЗОВЗВЕСЕЙ И ПОРОШКОВ
Понятие приведенной пленки. Для приближенного описания
межфазного тепло- и массообмена и горения вокруг капель или
частиц в условиях обтекашш их газом, нарушающего сфериче-
сферическую симметрию процесса, используется схема приведенной плен-
пленки (Г. А. Варшавский, 1945; В. Spalding, 1955; Д. А. Фраык-
Каменецкий, 1967), согласно которой распределение концентра-
концентраций компонент и температур вокруг пробной частицы полагается
сферически-симметричным, а химические процессы и процессы
тепло- и массопереноса локализуются внутри сферы («приведен-
(«приведенной пленки») радиуса аь т. е. на поверхности радиуса at вокруг
центра пробной частицы значения концентраций компонент рци)
и температур Т' совпадают с их средними значениями рцй) и 7\
в несущей фазе. Приведенная пленка вводится для учета интен-
интенсификации тепло- и массообменных процессов из-за продольного
обтекания капли газом в предположении, что эту интенсифика-
интенсификацию можно учесть приближением а^ к а с помощью соотношений
типа
Nu
«i=FUTtT2a' Nu2 = 2 + 0,6Re^2Pr}/3. E.1.12)
При отсутствии обтекания aja ->- °°, т. е. среднее значение тем-
о
пературы газа 7\ и массовых содержании компонент р^ реали-
реализуется на бесконечном расстоянии от капли.
В рамках указанной схемы проблема определения межфазного
тепло- и массообмена сводится к заданию а, и к решению сфери-
сферически-симметричной задачи переноса.
Режим гетерогенного горения частиц. В этом режиме отсут-
отсутствуют F-фаза и пары топлива (piB> = 0, /2i — J), и тепло хими-
химической реакции выделяется непосредственно в частицах, чему
соответствуют аккомодационные соотношения в виде
xF = 0, х2 = ?i(i)?i(i) + н — ?iC)iiC) (Сиз» = ?i<i) + 1), E.1.13)
где ii(I), i2, iIC) — энтальпии компонент, определяемые давлени-
давлением р и температурой дисперсных частиц Т2 с учетом E.1.4).
Рассмотрим схему приведенной пленки для гетерогенного
горения. Пусть у поверхности частицы, где плотность окисли-
о
теля равна Pi(i)ai протекает химическая реакция со скоростью
/г (reaction), равной потреблению, приходящемуся на одну
частицу и в единицу времени, массы окислителя
/о / TiK)\
^—2- = Кр1{1)а, К = z0 exp — -=г- , E.1.14)
4зта \ L )
4зта \ L г )
где А'—константа скорости реакции, задаваемая законом Арре-
ниуса с предэкспоненциальным множителем z0 и кинетической
температурой Т{К). Последняя определяет энергию активации
§ 1. УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ГОРЕНИЕ ГАЗОВЗВЕСЕЙ 409
Ео = R0TiK), где Ro — универсальная газовая постоянная. Диффу-
Диффузионный приток окислителя /d (diffusion) к поверхности частицы
о о
определяется перепадом рщ) — Pi(i)a между «приведенной плен-
пленкой» и поверхностью частицы
. — = Vl vl -Jr \ —ОТ" I ~ vl " " = Р21
4ла ar \ px у ai ~ a
(ft) ^HilZ. ^iMa _ R<P) (p° _
E.1.15)
Радиус ai определяется из эмпирической формулы для числа
Шервуда типа B.3.7). Условие стационарности горения частицы
h = U = /<1) = S1 A >7 (/ = Ип), откуда получим
P
E1Л6)
^
При Pai' Э> ^ имеем кинетический режим, а при Рм *С К — диф-
диффузионный режим горения. Теплообмен между фазами qiT, опре-
определяющий температуру частиц Т2 и константу скорости реак-
реакции К, описывается эмпирической формулой для числа Нуссель-
та типа B.3.7), E.1.12).
Режим квазигомогенного горения частиц. В этом режиме так-
также отсутствуют F-фаза, и тепло химической реакции выделяется
непосредственно в несущей фазе, чему соответствуют аккомода-
аккомодационные соотношения для х-, (i = F, 1. 2) в виде
xF = 0, 2ч = г28(/;) + ?1A,г1A)(р, 71i)-(l + ?iC))iiC)(p, T) E.1.17)
(hs(p) = k(p, та(Р))).
Здесь предполагается, что топливо испаряется за счет теплопод-
вода от газа и следует иметь в виду E.1.4).
В тех случаях, когда накопления паров топлива в несущей
фазе не происходит (р!B) ~ 0) из-за больших значений константы
химической реакции, скорость горения лимитируется скоростью
испарения или газификации, которая в свою очередь определяет-
определяется интенсивностью теплоподвода от горячего газа. Тогда, исполь-
используя схему «приведенной пленки», можно записать*):
Jil-J-nj, 4яа2 - 2aCl I ¦ 1°-1Л0)
В этом режиме обычно перенос тепла излучением несуществен
*) При больших температурных перепадах (9 = cj (Ti — Ts)ll > 1)
сказывается влияние радиального потока испаряющегося пара (называемо-
(называемого иногда стефановским потоком) на конвективный перенос тепла. Тогда в
выражении для / в соответствии с B.9.8) вместо 9 следует подставить
In A + 9).
410 ГЛ. 5. ГОРЕНИК И ДЕТОНАЦИЯ ГАЗОВЗВЕСЕП И ПОРОШКОВ
(Qm ~ Япг ~ 0)i а теплообмен определяется приведенным в
E.1.12) соотношением для Них.
Парофазный режим горения частицы. В этом режиме теплота
горения выделяется в F-фазв, и соответствующие аккомодацион-
аккомодационные соотношения можно записать в виде
хг = н (Р, Т2) — i2S (р), хг = цв {р) + lHi)iiW {p, Г,) - ti(*)t«», (P, Tt).
E.1.19)
Здесь полагалось, что, как и в предыдущем режиме, топливо по-
покидает каплю с энтальпией Us(p), соответствующей насыщенной
жидкости; далее окислитель покидает первую фазу с энтальпией
1щ)(р, Ti), а продукты горения приходят в первую фазу с энталь-
энтальпией гцз){р, Ti). При этом следует учитывать E.1.4).
Приближенные выражения для скорости горения в парофаз-
ном режиме с использованием понятия «приведенной пленки»
даны в работах Г. А. Варшавского A945) и В. Spalding A955).
Следует иметь в виду, что горение капель пли частиц обычно на-
начинается в квазигомогенном режиме, а затем (если капли не
очень мелкие) их горение может перейти в парофазный режим.
Именно этот переход иногда называется воспламенением. Кине-
Кинетическая схема воспламенения испаряющихся капель и вычисле-
вычисления скорости их горения в атмосфере окислителя даны в работе
П. Б. Вайнштейна, Р. И. Нигаатулина A973). Изложим кратко
эту схему.
Пусть сферическая капля радиуса а окружена тонким сфери-
сферическим слоем пламени радиусом aF > а и толщиной 6F, а также
сферической поверхностью приведенной пленки радиуса at > aF.
Как уже указывалось, будем полагать, что при г = а^ температу-
температура Тх и концентрации газовых компонент р^) равны соответ-
Q
ственно их средним значениям в несущей фазе 2\ и
(рис. 5.1.1). Распределения массовых содержаний компонент
и температуры Т' будем считать линейными, так что характер-
характерные градиенты температур можно считать равными (Т, — ТГ)/
J(a, — aF), а характерный коэффициент теплопроводности равным
Xf = A1G1f). В качестве характерной поверхности при теплообме-
теплообмене между двумя сферическими поверхностями радиусов а, и aF
будем принимать сферическую поверхность, имеющую радиус,
равный среднегеометрическому радиусу a(Fl) = ^ar(Li. Тогда интен-
интенсивность теплообмена между F-фазои (микропламенем) и первой
и второй (a2 = a) фазами можно представить в виде линейных
соотношений
qn = inatFl)lF T~f^ = 4я4Р(/1) (TV - 7\),
qFt = inafF2)lF 1J—Il = 4яо|рй) (TF - T2), E.1.20)
§ 1. УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ГОРЕНИЕ ГАЗОВЗВЕСЕЙ
411
_^F а1 R(T) _ }'F a . _ 1 /T \
— Т~„ _ „ > P^2 — — „ _ „. ^F — Л1 \л F),
арп^ — а
aF aF— a'
где j3j?V — коэффициенты теплоотдачи, отнесенные к единице
ГB)
Рнс. 5.1.1. Реальное (сплошные линии) и схематическое в соответствии со
сферически-симметричным приближением приведенной пленки (штриховые
линии) распределения плотностей газовых компонент (паров топлива р^B)
п окислителя р1A)) и микротемператур Т' вокруг капли
поверхности пламени. Подставляя формулы для gFl в уравнение
притока тепла F-фазы
qFi + qFS<, E.1.21)
получаем выражение для температуры фронта пламени
о(Т)
РГ2
^. E,=T±ril- E-1-22)
4ла
412 ГЛ. 5. ГОРЕНИЕ И ДЕТОНАЦИЯ ГАЗОВЗВЕСЕЙ И ПОРОШКОВ
Аналогично можно задать интенсивности массообмена, а именно
диффузию паров от капли к пламени (/2гB)), от пламени к при-
приведенной пленке (МB)) и диффузию окислителя от приведенной
пленки к пламени (/)
2 о(р) I ° ° \ / ° °' I \\
— inaFp2F {paB) — р^B)) ^раB) = р1B) \а)),
d(P> 1 a q(P) ^1 1 R(P)
P2F — -— " ~i PFi — " ~ PlF-
F F — F 1 — F
Здесь \\ — коэффициент диффузии окислителя и паров топ-
топлива в газовой фазе (г = 1), p'fj—коэффициенты массоотдачи
(i = 1, 2) для окислителя и паров топлива между микропламенем
и каплей (i = 2) и между приведенной пленкой и несущей фазой
(i= 1) (ср. с E.1.20)).
Обычно можно принять условие равновесия (насыщения) па-
паров на межфазной границе и пренебречь диффузионным потоком
окислителя от микропламени к капле из-за отсутствия стока
окислителя на поверхности капли
PiB) (а) = Р°B) = PiB)s (T2), />2(i) = 0. E.1.24)
Скорости химических реакций для паров топлива в микропламе-
микропламени, имеющем объем ®F = AnaF8F, и в несущей фазе (вне при-
приведенной пленки r>at) зададим с помощью закона Аррениуса
(см. 5.1.14):
1 (Рш))П1(р1B))П2 К,, E.1.25)
Т(К)\ / у(К)\
KF = 20ехр^ — y-j, Кг = zoexpl — -jJ
где nh определяет так называемый порядок реакции горения по
окислителю (к = 1) и топливу (к = 2).
Обычно, если капли не очень мелкие и горение происходит
до того, как капли полностью испарятся (т. е. сказывается не-
однофазность), то горение паров топлива в микропламени лими-
лимитируется не кинетикой, а скоростью диффузии паров топлива и
окислителя к микропламени, т. е. имеем режим диффузионного
горения, когда
PlB) = P°FB) = 0, pF(l)=0. E.1.26)
В диффузионном режиме диффузионные потоки паров топли-
топлива и окислителя к микропламени находятся в соответствии со
§ 1. УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ГОРЕНИЕ ГАЗОВЗВЕСЕЙ 413
стехиометрией реакции горения:
72FB)=/F, /lF(l) = ?l(l)/V. E.1.27)
Тогда из E.1.23) получим выражения для радиуса фронта пла-
пламени aF и скорости реакции jF в диффузионном парофазном ре-
режиме, когда скорость горения не зависит от кинетики или от
\ z0> 8F:
Аа +а Аа + a ,k) 0
E.1.28)
л 4(l)aPlB)S )
Л =
Изложенная схема может быть использована (см. П. Б. Вайн-
штейн, Р. И. Нигматулин, 1973) для описания воспламенения
капли, когда вначале горение капли происходит в низкотемпера-
низкотемпературном кинетическом режиме, зависящем от значений z0, TlK>, 8F.
При этом температура F-фазы близка к средней температуре га-
газа (TF~Ti), и химическая реакция происходит во всем объеме
газовой фазы (]'f<U) °o скоростью ju определяемой по E.1.25).
Расстояние aF определяется из условия стехиометрии концентра-
концентраций Pjr(i)Ai(i) = pjTB). По мере увеличения температуры окру-
окружающего газа Ti и увеличения тепловыделения, так же как
в случае гетерогенного воспламенения твердой поверхности
(Д. А. Франк-Каменецкий, 1967), происходит резкое увеличение
температуры F-фазы, т. е. образование микропламени вокруг
капли (воспламенение). Дальнейшее горение осуществляется в
диффузионном режиме, определяемом формулами E.1.28). При-
Пример численного решения задачи о нестационарном воспламене-
воспламенении капли дан в работе В. Н. Блошенко, А. Г. Мержанова и др.
A972).
Горение частиц унитарного топлива. Унитарные топлива,
к которым относятся порох и взрывчатые вещества, содержат
внутри себя не только собственно «топливо», но и «перемешан-
«перемешанный» с ним на молекулярном уровне окислитель, т. е. представ-
представляют собой конденсированную (жидкую или твердую) гомоген-
гомогенную смесь «топлива» и окислителя. Для горения таких видов
топлива не нужен окислитель несущей фазы (?i(i) = 0, ?1C) = 1).
Линейная скорость горения порохов и других видов унитар-
унитарного топлива зависит от давления. Соответствующая эмпириче-
эмпирическая зависимость имеет вид (Б. В. Новожилов, 1973; Я. Б. Зель-
Зельдович, Г. И. Баренблатт, В. Б. Либрович, Г. М. Махвиладзе,
1980)
?^Ч?Г (^1>0)' EЛ-29)
где vs и г|) — эмпирические константы для каждого сорта топлива.
414 ГЛ. 5. ГОРЕНИЕ И ДЕТОНАЦИЯ ГАЗОВЗВЕОЕЙ И ПОРОШКОВ
Ниже будут представлены расчеты для «модельного пороха»
(А. Ф. Беляев, 1940, 1982), для которого скорость и теплота го-
горения характеризуются величинами
va = 6,5 • Ю-4 м/с (рв = 0,1 МПа), г|> = 0,7,
E.1.30)
<Л = г2о - г.о = 1,93 • 106 м7с2 (р0 = ОД МПа, То = 300 К).
Процесс горения частиц унитарного топлива в атмосфере
инертного газа в зависимости от температуры окружающего газа
и возможные при этом режимы в рамках схемы «приведенной
пленки» рассмотрены в теоретических работах Ю. А. Гостннцева
A971), И. Ш. Ахатова, П. Б. Вайнштейна A981).
Схема эстафетного воспламенения и распространения горения
в аэровзвеси. Процесс воспламенения и горения частиц унитар-
унитарного топлива с учетом возникающих нестационарных тепловых
процессов и радиальной конвекции в рамках сферически-симмет-
сферически-симметричной схемы численно исследован И. X. Рахматулиной A977).
При этом для определения в зависимости от размера частиц ниж-
нижних концентрационных пределов распространения горения в
аэровзвеси развита «эстафетная» *) сферически-симметричная
модель для расчета воспламенения «холодной» пробной частицы
из-за возмущения температуры Tw (R, t) на сферической грани-
границе ее ячейки радиусом R = ao/i a20, причем возмущение
Г(х) (R, t) берется равным возмущению температуры TWBR, t),
полученному из решения краевой задачи горения и теплообмена
с учетом радиальной конвекции в безграничной газовой среде
при постоянном давлении для горящей пробной частицы на рас-
расстоянии 2R от ее центра, примерно равном межцентровому рас-
расстоянию между частицами в аэровзвеси с объемной концентра-
концентрацией частиц «го- Согласно такой схеме анализ сводится к реше-
решению двух задач для двух пробных частиц: «горящей» — для оп-
определения Тм BR, t) и «холодной» с использованием граничного
условия TW(R, t)=T^{2R, t).
§ 2. Фронт пламени в газовзвесях
Используем полученные уравнения для анализа распростране-
распространения горения в режиме фронта пламени, когда оно происходит за
счет прогрева (благодаря молекулярной или лучистой теплопро-
теплопроводности среды) впереди лежащих холодных слоев горячими
слоями, в которых теплота горения уже выделилась. Такой про-
прогрев вызывает воспламенение среды перед фронтом пламени и
распространение последнего.
*) Понятие эстафетного распространения пламени в аэровзвеси было
введено Л. А. Клячко.
§ 2. ФРОНТ ПЛАМЕНИ В ГАЗОВЗВЕСЯХ 415
Элементарная теория фронта пламени. Рассмотрим плоское
стационарное пламя, в которое втекает поток горючей газовзвеси
со скоростью v0 (скорость пламени). Для качественного анализа
зависимости скорости пламени от параметров исходной смеси
можно воспользоваться простейшей схемой Малляра и Ле-Ша-
телье (см. F. Williams, 1964; Я. Б. Зельдович и др., 1980). При
определяющей роли молекулярной теплопроводности поток тепла
из зоны горения приближенно равен %i(Td — Ть)/Ах, где Тцш Ть—•
температуры горения (за фронтом пламени) и воспламенения
смеси, Ах — толщина зоны горения. При отсутствии тепловых
потерь весь этот тепловой поток идет на разогрев втекающей
в пламя горючей смеси (p10Ci + p2oCz)v0(Tb — То). Таким образом,
для скорости фронта пламени получим
X I Т —
„ ~ 1 . _ _ d
Толщина фронта пламени определяется временем сгорания t"
одиночной частицы в соответствии с соотношением vot° = Ах.
Используя оценочные формулы для t" при кинетическом (t° про-
пропорционально й) или диффузионном (t° пропорционально а2) ре-
режимах горения частиц, легко получить качественные зависимости
скорости пламени от размера частиц (О. И. Лейпунский, 1960).
Строгая теория установившегося распространения фронта
пламени в гомогенной среде развита Я. Б. Зельдовичем и
Д. А. Франк-Каменецким (см. Д. А. Франк-Каменецкий, 1967;
Я. Б. Зельдович и др., 1984; F. Williams, 1964). Постановка и
исследование соответствующей задачи для дисперсной смеси су-
существенно усложняется благодаря многоскоростньш и многотем-
многотемпературным эффектам (П. Б. Вайнштейн, Р. И. Нигматулин,
1971, 1972).
Постановка задачи о фронте пламени в газовзвеси. В системе
координат, связанной с фронтом, эта задача описывается стацио-
стационарным вариантом системы уравнений E.1.1) —E.1.10). Гранич-
Граничные условия, соответствующие равновесным состояниям системы
до (х -»- оо, состояние о) и после (х -> —оо) состояние d) фронта
пламени, задаются в особых точках этих дифференциальных
уравнений:
ат ат,
х^+оо: Vl = v2 = v0 = - D, —x} = -jf = 0,
dT dT E.2.2)
x-^—co: v1=v, = vd, -1 = —2- = 0.
1 * a dx dx
При распространении пламени за счет переноса тепла излучени-
излучением дополнительно задаются условия, характеризующие поле из-
излучения. При наличии частиц перед и за волной в состоянии
416
ГЛ. 5. ГОРЕНИЕ И ДЕТОНАЦИЯ ГАЗОВЗВЕСЕЙ И ПОРОШКОВ
равновесия эти условия имеют вид
qR = О,
E.2.3)
Наличие в уравнениях для фронта пламени членов с д2Тг/дх2 и
д2кчк)/дх2, описывающих процессы переноса, повышает их поря-
порядок. При этом указанным граничным условиям можно удовлет-
удовлетворить только при одном значении скорости v0 (собственное
значение задачи), которое определяется из решения задачи
о структуре волны. Это отличает данную задачу от задачи о
структуре ударной волны в газовзвеси, решение которой сущест-
существует при любом сверхзвуковом значении скорости волны.
Рис. 5.2.1. Интеграль-
Интегральные кривые в плоско-
плоскости (¦&, Т\), где д =
= dTildx, при тепло-
тепловом механизме распрост-
распространения пламени
Для того чтобы стационарное пламя устойчиво распростра-
распространялось по равновесной в исходном состоянии смеси, необходимо,
чтобы вблизи начального состояния отсутствовала химическая
реакция (/ = 0). Линеаризуя систему уравнений и ее первые ин-
интегралы около решений, соответствующих равновесным состоя-
состояниям, получим системы уравнений, позволяющие исследовать ха-
характер особых точек, соответствующих равновесным состояниям.
На рис. 5.2.1 дана схема поля интегральных кривых в плоскости
(б, Ti), где ¦Q = dT1/dx, при тепловом режиме распространения
пламени. В данном случае особые точки о и d являются седлами.
Линейное решение позволяет по сепаратрисе выйти из начальной
особой точки о. Последующее численное решение, описывающее
переход в конечное равновесное состояние, и вычисление соб-
собственного значения — скорости пламени va можно строить мето-
методом пристрелки.
Радиационный механизм распространения пламени в газо-
газовзвеси. Влияние излучения на движение газа определяется без-
безразмерным параметром Больцмана Bl = Pgfocg^Y/(o"(SB)^1>)- По-
Поэтому механизм распространения пламени в газовзвесях, харак-
характеризуемый определяющей ролью излучения в прогреве и воспла-
воспламенении холодной взвеси, возможен, когда температура частиц
§ 2. ФРОНТ ПЛАМЕНИ В ГАЗОВЗВЕСЯХ
417
в зоне горения —3000 К (в частности, в аэровзвесях углерода)
и радиационные потоки из фронта пламени достаточно велики.
Упрощенная теория радиационного пламени, основанная на
введении среднего лучистого теплового потока из зоны горения,
дана в работах D. Bhaduri et. al. A971), О. М. Тодеса и др.
A972), Э. Н. Руманова, Б. И. Хайкина A971). В работах
П. Б. Вайнштейна A973), Г. Е. Озеровой и А. М. Степанова
A973) дана постановка задачи о радиационном фронте пламени,
основанная на уравнениях механики дисперсных сред и учиты-
учитывающая объемный характер тепловыделения и радиационный
перенос тепла в рамках диффузионного приближения.
Рис. 5.2.2. Распределения тем-
температур газа Т\ и частиц Тг,
плотности излучения UR =
= ^й^д/(Рюао) и потока
излучения qR = ?R2/(p10a;j) B
радиационном фронте пламе-
пламени (va — 7,25 л/с) в стехяомет-
рической аэровзвеси воздуха с
частицами углерода (р2о =
i = 0*087, 2о0 = 50 мк)
4,0 8,0 х,м
Рассмотрим горение аэровзвеси углерода (графит, электрод-
электродный уголь) в воздухе. На рис. 5.2.2 (П. Б. Вайнштейн, 1973)
представлены распределения параметров во фронте пламени,
движущемся со скоростью 7,25 м/с в стехиометрической смеси.
Из представленных графиков следует, что толщина фронта пла-
пламени равна примерно 8 м, а процесс предварительного разогрева
частиц происходит за счет поглощения частицами энергии излу-
излучения, выходящего из высокотемпературной области. Далее про-
происходит их воспламенение (переход горения из кинетической
области в диффузионную) и постепенное выгорание. Выгораю-
Выгорающие частицы излучают энергию, поток которой qR направлен
в сторону холодной смеси и нагревает только частицы. Газ разо-
разогревается за счет теплообмена с более горячими частицами, при-
причем при таких высоких скоростях фронта (v0 ~ 10 м/с) в основ-
основном в высокотемпературной диффузионной области горения.
В связи с этим при увеличении концентрации топлива вследствие
уменьшения длины пробега излучения скорость распространения
пламени уменьшается. Отметим, что при расчетах для такой сме-
смеси по тепловой теории (без учета излучения) получаются гораз-
гораздо меньшие скорости распространения пламени.
27 Р. и. Нигматулин, ч. I
418 ГЛ. 5. ГОРЕНИЕ И ДЕТОНАЦИЯ ГАЗОВЗВЕСЕЙ И ПОРОШКОВ
В работе Г. Е. Озеровой, А. М. Степанова A979). где задача
о структуре радиационного пламени решается методом сфериче-
сферических гармоник, показано, что диффузионное приближение дает
завышенные, но правильные по порядку величины значения ско-
скоростей.
Тепловой механизм распространения горения. Этот механизм
распространения пламени характеризуется определяющей ролью
теплопроводности газа в прогреве и воспламенении холодной сме-
смеси. Применительно к горению газовзвесей задача о стационар-
стационарном фронте пламени в односкоростном и однотемпературном при-
приближении рассмотрена О. Е. Лейпунским A960). Развитие этой
теории в направлении учета
двухскоростных и многотем-
многотемпературных эффектов дано
П. Б. Вайнштейном и Р. И. Ниг-
матулиным A971,1973).
Распространение пламени в
газовзвеси жидкого топлива
ио.м/с
О, В
0,4
2ао.мкм
Рис. 5.2.4. Зависимость скорости рас-
распространения пламени от диаметра
капель в аэровзвеси (воздух + капли
тетралина) с фиксированным массо-
массовым содержанием фаз (ро = 0,1 МПа,
Та = 300 К, "рго = рм/рю = 0,052).
Линия, отмеченная как Jf = 0, соот-
соответствует расчету по схеме квазиго-
квазигомогенного горения без образования
микропламени. Кружочками отмече-
отмечены экспериментальные данные рабо-
работы Т. Burgoyne, L. Cohen A954)
0.3 х,см
Рис. 5.2.3. Распределения темпе-
температур газа Т\, частиц Гг и микро-
микропламени Тр в тепловом фронте
пламени (у0 = 65,3 см/с) в аэро-
аэровзвеси воздуха с каплями тетра-
лпна (ро = 0,1 МПа, То = 300 К,
Рго = р2о/рю = 0,052; 2оо = 30 мк)
с избытком окислителя (стехио-
метрическому составу соответ-
соответствует pa = 0.065). Кружочками
отмечены места выгорания капель
1
1
[____о
I
\
о
(тэтралина) экспериментально исследовано в работе Т. Burgoyne,
L. Cohen A954). Установлено, что при малых диаметрах капель
Bа0 < 10 мкм) они полностью испаряются до воспламенения,
и скорость распространения пламени в смеси составляет пример-
примерно 30 см/с, т. е. близка к скорости распространения пламени
в гомогенной смеси. В газовзвеси с более крупными каплями
Bя0 > 20 мк) распространение пламени соправождается образо-
§ 2. ФРОНТ ПЛАМЕНИ В ГАЗОВЗВЕСЯХ 419
ванием тонкого сферического микропламени вокруг отдельных
капель. При этом скорость макроскопического фронта пламени
относительно невозмущенной среды резко возрастает до зна-
значений, равных примерно 60 см/с. Теория распространения
пламени, соответствующая квазигомогенному режиму (F. Wil-
Williams, 1971), дает монотонно падающую зависимость v0 с рос-
ростом начального диаметра капель. На рис. 5.2.3 представлены
распределения параметров во фронте пламени в газовзвеси
тетралина и воздуха (П. Б. Вайнштейн, Р. И. Нигматулпн,
1973). Из представленных графиков следует, что толщина фронта
пламени равна примерно 0,5 см. При этом сначала в некоторой
области происходит разогрев капель за счет теплообмена с более
горячим газом, который в свою очередь нагревается за счет теп-
теплоотдачи из зоны с более высокой температурой. Далее происхо-
происходит воспламенение капель и их выгорание при высокой темпера-
температуре в микропламени в парофазном диффузионном режиме.
Результаты сравнения полученных теоретических значений v0
с экспериментальными данными (Т. Burgoyne, L. Cohen, 1954)
представлены на рис. 5.2.4. В расчетах кинетические константы
(z0 и Т{К)) задаются таким образом, чтобы при малых размерах
капель Bа0 < 10 мкм) значения v0, получаемые из теории гомо-
гомогенного пламени (горизонтальная штриховая линия), совпадали
с экспериментом и чтобы при 2а0 « 20 мкм в расчетах по настоя-
настоящей теории происходила смена режима горения. Тогда следует
принять z0 « 3,2 ¦ 107 с, Т{к) « 12 600 К. При этом для больших
размеров капель Bа0>20 мкм) экспериментальные и теоретиче-
теоретические данные удовлетворительно согласуются. При размерах; ка-
капель 10 мкм < 2а„ < 20 мкм реализуется режим, когда как испа-
испарение и диффузия, так и химическая кинетика влияют на
скорость горения, которое происходит без образования микро-
микропламени. Для описания распространения пламени необходимо
учитывать наличие свободных паров топлива в газовой фазе.
Конвективный механизм распространения горения в газо-
газовзвеси. При горении металлических, углеводородных и других не
содержащих кислород частиц топлива максимальная масса сго-
сгорающего топлива в газовзвеси и количество образующихся газо-
газовых продуктов горения из-за стехиометрических условий ограни-
ограничены количеством окислителя в несущей фазе (PiC)/pi(i> ^
^ ?iC)/?i(i)). При горении же частиц унитарного топлива, содер-
содержащих в себе и горючее и окислитель (так что ^1A) «0), их пол-
полное выгорание возможно при очень больших массовых содержа-
содержаниях топлива (рг^рО, что может приводить к выделению массы
газа, во много раз превышающей массу исходной несущей фазы
(pi<s)-^ Рц1))> и к реализации достаточно интенсивного макроско-
макроскопического движения газа из зоны горения.
Если в некотором объеме такой газовзвеси частицы топлива
загорелись, то большой объем горячего газа из подожженных ча-
27*
420 ГЛ 5. ГОРЕНИЕ И ДЕТОНАЦИЯ ГАЗОВЗВЕСЕЯ И ПОРОШКОВ
стиц, вытесняя холодный газ, выйдет из объема, занятого горя-
горящими частицами, нагревая и поджигая новые частицы, отстаю-
отстающие от холодного газа. При достаточно интенсивном газо-
газовыделении в зоне горения повышение температуры газа около не-
воспламенившихся частиц может произойти не за счет продоль-
продольной теплопроводности газа, описываемого вектором q4, а за счет
прихода горячего газа из зоны горения, т. е. за счет продольной
конвекции.
Горячие продукты реакции образуют область горения, которая
состоит из двух зон: зоны, где частицы только разогреваются
газом, и зоны, где частицы горят. Фронт горячих газов воздей-
воздействует на среду перед собой как поршень, создавая в холодном
газе область возмущения, где холодный газ движется, обгоняя и
обтекая негорящие частицы. Чтобы конвективное горение могло
развиваться, холодный газ в возмущенной области до прихода
фронта горячих газов не должен унести холодные частицы. Ин-
Интенсивность уноса зависит от инерции частиц, их количества и
аэродинамических сил со стороны газа. Холодные частицы, по-
попадая в область горячих газов, будут воспламеняться и, сгорая,
выделять горячий газ. В результате фронт горения в газовзвеси
может ускоряться, что может привести к образованию впереди
(в холодном газе) ударной волны, приводящей к детонационному
горению.
Если частицы в возмущенной области уже до прихода
фронта горячих газов вовлекаются в движение, то распрост-
распространение фронта горения может прекратиться, так как частицы
не будут подпитывать зону горения, тормозя лишь движе-
движение газа.
Таким образом, конвективное горение может перейти в дето-
детонацию, а может и затухнуть. Детонация реализуется при доста-
достаточно высоких концентрациях топлива, когда ускорение конвек-
конвективного фронта велико.
Влияние конвективного движения продуктов горения на рас-
распространение пламени в аэровзвесях кислороднесодержащего топ-
топлива (уголь, алюминий, гидрохинон и др.) экспериментально вы-
выявлено в работе К. К. Ионушаса и др. A979). Конвективное
горение пористых зарядов, пороха и ВВ исследуется в работах
А. Ф. Беляева и др. A973), К. Kuo et al A973), В. Д. Дубовиц-
кого и др. A974), Б. С. Ермолаева и др. A975), Н. Krier et a!
A978).
Гомобарическая схема развития конвективного горения.
Система уравнений реагирующей газовзвеси E.1.1) на началь-
начальной стадии развития конвективного горения, когда скорости газа
существенно дозвуковые, сильно упрощается.
Пусть ti0, ж0, Рю. v0, р0 — характерные значения (масштабы)
соответственно времени изменения скорости газа, размера
области движения, плотности, скорости и давления газа. Тогда,
§ 2. ФРОНТ ПЛАМЕНИ В ГАЗОВЗВЕСЯХ 421
если ввести безразмерные переменные t, x, pl5 v, p, отнесенные
к соответствующим характерным значениям, то уравнение им-
импульса несущего газа в разреженной взвеси (сс2 ^ 1) записывает-
записывается в виде
р(ц) _
E.2.4)
8 V.
По определению порядок безразмерных величин в левой части
уравнения, отмеченных чертой сверху, не превышает 0A). Без-
Безразмерные параметры е@1>) и е^' характеризуют соответственно
ю ~ Си и при
отсутствии высокочастотных возмущений, когда можно принять
t0 ~ xjva, ПОЛУЧИМ
(^J ^(^J E.2.4а)
Таким образом, в отсутствие высокочастотных возмущений, при
малых скоростях газа по сравнению со скоростью звука в газе
(е@ *С l) силы инерции малы, и в достаточно разреженной дис-
дисперсной смеси, когда малы силы трения о частицы (s(rt <1),
можно считать давление однородным по пространству и завися-
зависящим только от времени.
Такой режим будем называть гомобарическим (см. также
§ 4 гл. 2).
Нетрудно показать, что при v\jC\ <C 1 можно пренебречь
кинетической энергией в уравнении движения газа. Тогда урав-
уравнения нестационарного гомобарического движения теплопровод-
теплопроводной, калорически совершенной газовой фазы в разреженной газо-
газовзвеси (а2 < 1) для плоской (v = l), цилиндрической (v = 2) и
сферической (v = 3) симметрии при наличии вдува горячих про-
продуктов реакции (имеющих те же теплофизические свойства, что
и несущий газ) имеют следующий вид:
dt
dxv~H
dt ^ дх- t^^1 " dt ' дХ Г
E.2.5)
Р @ = У'1 (У —
422 ТЛ. т. ГОРЕНИЕ И ДЕТОНАЦИЯ ГАЗОВЗВЕСЕЙ И ПОРОШКОВ
где iia и Т,а ¦— соответственно энтальпия и температура вдувае-
вдуваемых газов. Уравнение энергии имеет интеграл
x dlnp
9 fi>
Далее учтем граничные условия
х = 0: vt = 0, dTi/dx = 0, E.2.7)
что для сферически-симметричного (v = 3) и цилиндрически-
симметричного (v = 2) течений следует из отсутствия особенно-
особенностей в центре, а для одномерного течения с плоскими волнами
(v = l) означает наличие жесткой адиабатической стенки при
х = 0. Тогда A(t) = O, а функция p(t) должна определяться с
учетом дополнительных граничных условий (см. ниже). Выраже-
Выражения для распределения плотности газа приведены в статье
П. Б. Вайнштейна, Р. И. Нигматулина A979), где исследован
класс гомобарических течений.
В случае отсутствия теплопроводности (Ai = 0) и объемного
вдува G = 0) из E.2.6) следует линейное по х распределение
скорости. Класс точных решений уравнений газовой динамики
с линейными профилями v(x) при ,/ = 0, А,4 = 0 рассмотрен
Л. И. Седовым A981). В отличие от последних, решения на
основе E.2.6) учитывают объемный вдув горячего газа и тепло-
теплопроводность, но удовлетворяют лишь приближенно уравнению
импульсов (др/дх = 0).
Следует иметь в виду, что интенсивность объемного вдува га-
газа определяется формулой
/ = 4яа2га (piwla), E.2.8)
т. е. зависит от числовой концентрации частиц и и их радиуса я,
которые не меняются лишь в начальной стадии процесса, когда
частицы не успевают вовлечься в движение (vz~ 0). а их радиус
фактически не изменяется. В противном случае необходимо
решать уравнение движения частиц с учетом их выгорания.
Пусть в замкнутом объеме 0 «? х ^ L, на границе х = 0 кото-
которого заданы условия E.2.7), а условия на другой границе имеют
вид
x = L: i; = 0, KgdI- = qL{t), E.2.9)
осуществляются однородное по пространству и времени объемное
газовыделение /0 и тепловыделение iia за счет горения взвешен-
взвешенных частиц. Закон изменения давления в объеме следует из
§ 2. ФРОНТ ПЛАМЕНИ В ГАЗОВЗВЕСЯХ 423
E.2.6) и E.2.9):
t
р = 1 + ~t + j qL (t) dx
E.2.10)
.?. f-- it
п ' — t 0 ~~ lv —
(" г' JuCgT\a! JoC81
При qi.(t) = O (теплоизолированный объем) давление изменяется
линейно.
Ниже теплопроводностью газа пренебрегается, что допустимо
при i Xgl{PgCgX^J >C 1 • Решения задач с использованием интегра-
интеграла E.2.6) при наличии теплопроводности, но в отсутствие объем-
объемного газовыделения имеются в гл. 2.
Пусть при t = 0 выделение горячего газа из частиц происхо-
происходит на участке 0 =S х =С х0 (где ха sg L) замкнутого теплоизолиро-
теплоизолированного объема 0 < х ^ L. Рассмотрим два возможных варианта,
которые будем различать параметром а. Первому (о)=О) соот-
соответствует случай, когда при t > 0 газовыделение происходит
только в области 0 =^ х ^ х0, второму (со = 1) — когда исте-
истекающие за пределы х0 горячие газы мгновенно инициируют одно-
однородное газовыделение в области, которой они достигают, т. е.
в области 0 ^ х <, xw(t):
^±p.:=Vw{t) (* = 0: х„ = х0). E.2.11)
Подобные ситуации при определенных условиях имеют место
при конвективном горении газовзвесей. Требуется найти закон
движения фронта xw(t). Вне фронта находится холодный газ,
который сжимается продуктами горения. В этой зоне / = О,
и имеет место интеграл адиабатичности р/р0 = (р/ро)\ откуда
с учетом условия сохранения массы холодного газа получим
lv-j У (- хша) -
Из E.2.6), E.2.9) следует
— "COV
=2 = ^-. E.2.13)
dt Lv У '
Используя E.2.12), E.2.13), для определения давления получим
dp I ryv /Tv /|\~~1/V1<b G Г\. ~Z л\ /по А/Л
—т = =— [L/ — [Li — 1) р I I I = U. р = II. (O.Z.141)
dt I?
На рис. 5.2.5 представлены полученные по E.2.12) и E.2.14) за-
зависимости p(t) и xw(t). В случае со = 0 для давления имеем
р = 1 + t/L\ В остальных случаях зависимость p(t) нелинейна.
424
ГЛ. 5. rOPFHHE И ДЕТОНАЦИЯ ГАЗОВЗВЕСЕЙ II ПОРОШКОВ
Естественно, что в случае со = 1 движение фронта и рост давле-
давления происходят с большей скоростью, чем в случае со == 0.
В обоих случаях рост давления с увеличением v происходит ме-
менее интенсивно. При уменьшении L кривые p(t) при различных
v и со сближаются между собой и с кривой, соответствующей
L = 1. При i -*¦ оо имеем xw -»- L.
О
if/
it-
J
1
i
/
/
i
5
70 100 200
Рис. 5.2.5. Изменение давления я положения фронта горячих газов во вре-
времени в замкнутом объеме 0 :=; х ^ L для газовой фазы ("f = 1,4), когда
инициирование горения производится в зопе 0 ^ х ^ хо. Цифровые указате-
указатели 1, 2, 3 соответствуют показателю симметрии v. Указанные цифры без
штриха соответствуют ш = 0 (горение только в зопе инициирования), а со
штрихом — случаю ш = 1 (фронт горения совпадает с фронтом горячих
газов). Все сплошные линии относятся к случаю L = L/жо = 10; штрихо-
штриховая линия соответствует L = 1
Пусть горение инициируется в области 0 =?1 х < х0 неограни-
неограниченного объема (L-*-°°), когда можно принять р = Ръ = const.
Требуется найти закон движения фронта xw{t) для двух выше-
вышеуказанных вариантов (ш = 0 и 1). Из E.2.6) и E.2.11) получим
соотношение, связывающее скорость фронта с его положением,
lit
= "Г"
E.2.15)
Для случая со = 0 фронт движется с постоянной скоростью, а для
о) = 1 скорость фронта экспоненциально растет со временем.
Рассмотрим задачу о движении фронта вдуваемых горячих га-
газов xw в полуограниченной трубе (v = 1). Эта схема соответству-
соответствует той стадии развития зоны горения, когда область, занятая го-
горячими газами, много меньше длины трубы, а акустические воз-
возмущения не достигли конца трубы {xw<.Cit<L или L->-«>).
Положим давление однородным и равным pw(t) в области горя-
§ 3 ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗОВЗВЕСЯХ 425
чих газов @ < х г? хш), а вне этой области (х > xw) движение
будем представлять в виде бегущей простой волны, когда давле-
давление однозначно связано со скоростью
v = j{x-Cit), p^po + pofrv. E.2.16)
Этот режим можно назвать квазигомобарическим. На фронте го-
горячих газов xw давление и скорость непрерывны, т. е. р^ =
= Ро + PoCiVw. Подставляя pw в E.2.6), получим уравнение для
скорости фронта
%xw -? = — - vw - eoyi4 -=- = vw, E.2.17)
t = U'. vw = 0, xw = 1 (?q
Решение этой сингулярно возмущенной начальной задачи
(П. Б. Вайнштейн, 1980) методом составных разложений пока-
показывает, что после быстрого изменения (чем меньше е0, тем быст-
быстрее) в «пограничном слое по t» зависимость vw(xw) выходит на
решение вырожденной задачи (ео = О), которое совпадает
с E.2.15) для v = 1.
§ 3. Детонационные волны в газовзвесях
Данный параграф посвящен анализу влияния двухскоростных
эффектов из-за относительного движения фаз на развитие дето-
детонации. Основные положения теории детонации в гомогенных
(односкоростных) средах изложены в § 1 гл. 3.
Структура стационарных волн детонации. Рассмотрим плоское
одномерное стационарное движение монодисперсной горючей
аэровзвеси в системе координат, связанной с детонационным
фронтом. При высоких скоростях движения, характерных для де-
детонационных волн, влияние излучения и процессов переноса (диф-
(диффузии, теплопроводности) пренебрежимо мало. Уравнения E.1.1)
в стационарном случае имеют интегралы, представляющие собой
законы сохранения массы, импульса и энергии (см. D.4.5)):
(Pid) + Ркз)) vL + р2у2 = ро Уо (Pi(i) + Ркз) = Pi> Pi + Рз = Р) •
Pi^i + Р2^2 + Р = Ро^о + Ро (Рю + Р2о = Ро), E.3.1)
Ц) (
-у J
h
4
ho + ~ I •
Для дальнейшего удобно использовать массовые концентрации
426 ГЛ 5 ГОРЕНИЕ И ДЕТОНАЦИЯ ГАЗОВЗВЕСЕЙ И ПОРОШКОВ
фаз и компонент
ft, = p,/p, fc,«*) = р,(»>/р (i=l, 2; fc = l, 2, 3). E.3.2)
Для упрощения ограничимся случаем, когда перед волной (со-
(состояние о) продукты реакции горения (третья компонента) от-
отсутствуют, т. е. перед волной газовая фаза состоит только из-
окислителя или в случае унитарного топлива — инертной компо-
компоненты
Ркз)о = О или км = /1*1AH. E.3.3)
Введем следующие из законов сохранения E.3.1) характер-
характерные ударные адиабаты для горючей газовзвеси (Р. И. Нигмату-
лин, П. Б. Вайнштейн, И. Ш. Ахатов, 1980).
Детонационная ударная адиабата смеси (ДУАС) характери-
характеризует состояние d среды за детонационной волной после полного»
выгорания частиц (р2 = 0, р = pi = pi(i) + Риз»), тогда
7d-
Va-i Р
*С+АС()/г О /V
*1A)С1A)+А1C)С1C)
Здесь fd — эффективный показатель адиабаты газовой фазы при
полном выгорании частиц (в состоянии d).
Равновесная ударная адиабата смеси (РУАС) характеризует
состояние среды за ударной релаксационной волной после вы-
выравнивания параметров фаз (vi = v2 = ve, Ti — T2 = Te) при от-
отсутствии горения частиц (р1(з)<! = 0; см. § 4 гл. 4):
= Рх + Р-
E-3-5>
(C1(D
Здесь 7 — эффективный показатель адиабаты химически инерт-
инертной смеси газа и частиц.
«Замороженная» ударная адиабата смеси (ЗУАС) определяет
состояние среды / за скачком в газе, при переходе через который
скорости и температуры частиц не изменяются (v2 = у0, Т2 = ТОу
§ 3. ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗОВЗВЕСЯХ 427
<х2 = а20):
E.3.6,
л °
1 Pi
Используя определение средней плотности и условие р2/ =
получим соотношение
Pi P/Po - V
подставляя которое в E.3.6), получим уравнение ЗУ АС в пере-
переменных р, р".
В ударной волне скорости фаз различаются, 17! Ф v2, поэтому,
в отличие от однородной среды, параметры среды отклоняются
от линии Рэлея — Михельсона (ЛРМ), являющейся прямой ли-
линией в координатах р, р:
/>-/?о = ро02A-ро/р) (D = -Vo) E.3.7)
и соединяющей равновесные исходное о и конечное е или d со-
состояния за волной. В частности, точка пересечения ЛРМ и ЗУ АС
не соответствует состоянию среды за скачком /. Полезно исполь-
использовать вспомогательную ударную адиабату смеси (ВУАС), от-
отсекающую на ЛРМ E.3.5), определяемой скоростью волны D,
давление за скачком в газе
4 *р-т=&- <5-з-8>
Исключая скорость волны D, получим уравнение ВУАС в пере-
переменных р, р.
На рис. 5.3.1 представлены ударные адиабаты для аэровзвеси
модельного пороха (термодинамические данные в Приложении).
Состояние среды за детонационной (с горением) или релакса-
релаксационной ударной волной (без горения), распространяющейся по
смеси со скоростью D, определяется как точка пересечения ЛРМ
соответственно с адиабатой ДУАС или РУАС.
При исследовании структуры детонационной или ударной вол-
волны по заданной скорости D (наклону ЛРМ) на ВУАС находится
давление за «замороженным» скачком (точка/'),которое на ЗУАС
определяет состояние среды / за «замороженным» скачком. Струк-
Структура ударной волны в газовзвеси представляет собой, таким об-
образом, скачок по газу (переход из о в /) с последующей зоной
релаксации (переход из /в е — в ударной волне без горения и
из / в d — в детонационной). Если скорость ударной волны удов-
удовлетворяет условию Се<D <С} (где Се и Cf — равновесная и за-
428
ГЛ. 5. ГОРЕНИЕ И ДЕТОНАЦИЯ ГАЗОВЗВЕСЕЙ И ПОРОШКОВ
мороженная скорости звука в смеси), т. е. ЛРМ проходит ниже
ВУАС, не пересекая ее, то релаксационная ударная волна имеет
полностью размазанную структуру (см. § 4 гл. 4).
В общем случае ЛРМ пересекает ДУАС в двух точках (d и
d"), которые соответствуют пересжатой и недосжатой детонации.
75
50
О
Рис. 5.3.1. Ударные адиаба-
адиабаты аэровзвеси (воздух +
+ частицы пороха, р2о =
= 0,7, р = 0,1 МПа, То =
= 293 К); 1 — РУАС, 2 —
ДУАС, 5—ЗУ АС, 3'—ВУАС,
4 и 4G)— ЛРМ. Линия
fjbgdj соответствует ста-
стационарной детонационной
волне, показанной на рис.
5.3.3 для размера частиц
а0 = 10 мкм
0,25
0,50 0,75 р/р
Когда ЛРМ касается ДУАС в точке dj, реализуется детонация
Ч—Ж, скорость которой мишшальна и равна
E.3.9)
При совпадении термодинамических свойств продуктов реакции
(& = 3) и исходного газа (fc=l), т. е. когда fiA) = "[1C) = Ч4,
в пренебрежении объемным содержанием частиц (а2о<1) Для
сильных волн (Qx ^> 1) можно получить
D}*2(yl-l)maoQ. E.3.10)
Можно показать, что в газовзвесях с калорически совершенным
газом определяемая по E.3.9) скорость Ds не может быть мень-
меньше Cf « С, ни при каких Q и массовых концентрациях. Поэтому
детонационных волн с полностью размазанной структурой в ре-
режиме Ч — Ж в таких средах не существует.
В детонационных волнах в газовзвесях с лидирующим скач-
скачком режим недосжатой детонации (участок djD), связанный с
необходимостью перехода скорости газа в зоне горения через ско-
скорость звука, не реализуется. Для медленных скоростей реакции
это утверждение практически очевидно. В этом случае под дейст-
действием межфазных сил трения и теплообмена формируется релакса-
релаксационная ударная волна (переход из / в е), а затем система вдоль
§ 3 ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗОВЗВЕСЯХ
429
ЛРМ приходит на пересжатую ветвь ДУАС в d, аналогично тому
как это происходит при детонации в односкоростной среде.
При больших скоростях реакции, когда частицы выгорают,
практически не вовлекаясь в движение газа и зона релаксации
выравнивания скоростей фаз не формируется, невозможность не-
досжатой детонации не очевидна, тем более, что при больших
концентрациях топлива давление на скачке в газе может быть
меньше давления Ч—Ж. Однако аналитическое исследование
Рис. 5.3.2. Возможные
распределения давления
в детонационной волне
в аэровзвеси
показывает, что и в этом случае недосжатая детонация невозмож-
невозможна. Возможные распределения давления во фронте детонацион-
детонационной волны показаны на рис. 5.3.2. Отметим, что возрастание дав-
давления при протекании химической реакции с большой скоростью
связано не с силой трения, которая в этом случае существенна
лишь на заключительной стадии выгорания, а с реактивной си-
силой J(v2 — Vi), действующей на газ при переходе массы, которая
Рис. 5.3.3. Распределение
давления и скоростей
фаз в стационарной де-
детонационной волне Чеп-
мена — Жуге в аэровзве-
аэровзвеси с частицами (ао =
= 10 мкм) пороха при
тех же условиях, что и
на рис. 5.3.1. Крестик
соответствует воспламе-
воспламенению частиц
0
Д,
X
1
/
А
\
т
6
V I/
П.75
0,5
¦
¦0,25
-10
О x.ct-f
, = —D, в газ,
движется относительно волны со скоростью Vz
имеющий скорость у4.
Для аэровзвеси, которой соответствуют ударные адиабаты и
интегральная кривая jjbgdj на рис. 5.3.1, структура стационар-
стационарной детонационной волны в режиме Ч—Ж показана на
рис. 5.3.3. Видно, что скорость газа в зоне горения (после точки
воспламенения Ъ) из-за вдува горячих продуктов реакции увели-
увеличивается, а скорость частиц за счет межфазного трения падает.
В некоторый момент скорости фаз совпадают (точка h). При этом
430 ГЛ 5. ГОРЕНИЕ И ДЕТОНАЦИЯ ГАЗОВЗВЕСЕЙ И ПОРОШКОВ
интегральная кривая в координатах р, р приближается к ЛРМ
(линия 4(/) на рис. 5.3.1). После этого газ, продолжая ускорять-
ускоряться, ускоряет и частицы. В процессе выгорания скорости газа и
частиц выравниваются.
Численные расчеты различных структур детонационных волн
в аэровзвесях унитарного топлива с анализом влияния кинетики
горения частиц и закона трения имеются в статье Р. И. Нигма-
тулина, П. Б. Вайнштейна, И. Ш. Ахатова A980).
Переход конвективного горения аэровзвесей в детонацию.
Описанная в § 2 теория конвективного горения аэровзвесей
справедлива до тех пор, пока скорости движения газа существен-
существенно дозвуковые, и движущийся за счет выделения продуктов го-
горения газ не успевает вовлечь частицы топлива в движение. Для
анализа дальнейшего развития процесса необходимо использова-
использование полной системы уравнений E.3.1) для двухскоростного дви-
движения горючей аэровзвеси. Рассмотрим плоское одномерное
нестационарное движение моноднсперсной аэровзвеси. Пусть
в начальный момент времени на участке 0 ^ х ^ х0 у закрытого
конца неограниченного объема повышается температура газа до
Т^ и частиц до Tg<Z.T^ и начинается горение. Таким образом,
при х = х0 в начальный момент задается контактный разрыв (без
возмущения давления), слева от которого частицы горят. Началь-
Начальные и граничные условия сформулированной задачи имеют вид
/ = 0: р2 = р20, п = п01 v1 = v2 = 0, р=р0
Т1 = Т„ T2 = TS @<*<ж0), E.3.11)
Т1 = Т2 = То (х > х0),
2 = 0: 1^ = 0 (*>0).
Численное интегрирование E.1.1) при этих условиях для аэро-
аэровзвеси пороха осуществлялось (П. Б. Вайнштейн. Р. И. Нигма-
тулпн, В. В. Попов 1980) модифицированным методом Лакса —
Вендроффа. На рис. 5.3.4 и 5.3.5 приведены результаты числен-
численного интегрирования, отображающие эволюцию распределения
давления в процессе конвективного горения аэровзвеси, когда
юно переходит в детонацию (рис. 5.3.4) и когда оно затухает
(рис. 5.3.5). На начальном этапе реализуется описанный в конце
§ 2 квазигомобарический режим, характеризуемый наличием зо-
зоны однородного давления и впереди идущей простой волны.
В случае перехода горения в детонацию (рис. 5.3.4) скорость го-
горячего газа приближается к скорости звука Сь квазигомобариче-
квазигомобарический режим нарушается, и в потоке за конвективным фронтом
образуется пик давления. Последующие более сильные возмуще-
возмущения сжатия, создаваемые горячими газовыми продуктами горения,
догоняют более ранние возмущения, и в результате образуется
ударный скачок сжатия, повышающий температуру газа. При
§ 3. ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗОВЗВЕСЯХ
431
этом фронт воспламенения частиц из-за отмеченного повышения
температуры, способствующего воспламенению, в области сжатия
за передним скачком практически догоняет последний, превра-
превращая ударную волну в детонационную. Далее установление само-
самоподдерживающейся стационарной детонационной волны Ч—Ж
происходит за счет того, что волна выгорания частиц (волна, за
которой частицы полностью выгорают) асимптотически догоняет
P/Pr
ZOO
100
!
! ' ~~~
j
J
\
I- r4 0.8 x
7
J
/
Гд
/
/
11
— р.
О
Рис. 5.3.4. Распределение давления в разные моменты времени при перехо-
переходе конвективного горения унитарного топлива в детонацию в аэровзвеси
(воздух + частицы пороха, р0 = 0,1 МПа, р20 = 11,5 кг/м3, 2а0 = 100 мкм)
за счет повышения температуры газа до Т^ = 820 К в зоне @ ^ х :?Г го)
длиной х0 = 0,2 м. Числовые указатели на кривых соответствуют време-
времени t (мс). Крестиками отмечены места воспламенения частиц, кружочка-
кружочками — места полного выгорания частиц, вертикальными штрихами — поло-
положение плоскости Чепмена — Жуге
плоскость Ч—Ж, где скорость газа относительно волны совпа-
совпадает с местной скоростью звука. Дальнейшее практически ста-
стационарное движение детонационной волны не зависит от процес-
процессов, происходящих за плоскостью Ч—Ж, а определяется энерго-
энерговыделением внутри зоны химической реакции («химпика»), где
юрят частицы топлива.
Как и в газовой детонации (Г. Г. Черный, 1967), выход на
режим стационарной детонации в аэровзвеси происходит асимп-
асимптотически. Примем за расстояние перехода горения в стационар-
стационарную детонацию расстояние x = L, при котором отличие расчетной
скорости волны от скорости стационарной детонации E.3.9) со-
составляет 5%. Тогда согласно расчетам для аэровзвесен пороха
432
ГЛ. 5 ГОРЕНИЕ И ДЕТОНАЦИЯ ГАЗОВЗВЕСЕЙ И ПОРОШКОВ
nin,
х.м
а
5,2 *
/3
г/
X
/
/
0,15 0.5 х,м
W
tf
\-20
U 60
\
/J
J2
О "'
\
\
Рис. 5.3.5. Распределение
давления (а), концентрации
частиц (б) и температур (в)
газа (сплошные линии) и
частиц (штриховые линии)
при затухающем конвек-
конвективном горении аэровзвеси
унитарного топлива (воз-
(воздух + частицы пороха, р0 =
= 0,1 МПа, То = 293 К,
р20 = 0,86 кг/м3, 2аа =
= 100 мкм) за счет повы-
повышения температуры газа
(Г* = 820 К) в зоне 0 ^
^ х g; хй = 0,2 м. Указате-
Указатели и отметки — те же, что
и на рис. 5.3.4
4 х,м „ О O.1S ?5
§ 3 ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В ГЛЗОВЗВЕСЯХ 433
с р20 = 11,6 кг/м3, я0 = 50 мкм и р20 = 3,0 кг/м3, а0 = 50 мк зна-
значения L соответственно равны 27 м и 58 м. Толщины зон хими-
химической реакции б (толщины «химпика») при а0 = 50 мкм и
йо = 250 мкм (р2о = 11,6 кг/м3) составляют около 1 м и 4,5 м со-
соответственно.
При меньших концентрациях: топлива реализуется затухаю-
затухающий режим конвективного горения (см. рис. 5.3.5), когда рас-
распространение конвективного фронта не приводит к образованию
сильной ударной волны. Отметим очень интересный «двухско-
ростной» эффект, связанный с постепенным увлечением газом
частиц топлива. За счет такого увлечения в возмущенной (вол-
(волной сжатия) области «холодного» газа, куда еще не дошли про-
продукты горения, уменьшается поступление частиц в зону горения.
Частицы как бы «выметаются» передним «холодным» ветром за
передней волной сжатия, «толкаемой» горячим газом из зоны го-
горения. В результате с некоторого момента времени начинается
замедление конвективного фронта, и вскоре горение полностью
прекращается. При этом конвективный фронт проходит расстоя-
расстояние порядка 5 м, а фронт давления в газе — порядка 30 м.
Для иллюстрации роли указанного двухскоростного эффекта
в реализации затухающего или детонационного режима прово-
проводился модельный расчет. В варианте, когда при реальном законе
трения горение явно затухает, искусственно полагалось, что ча-
частицы во всей области течения неподвижны (i>2 = 0), и поэтому
эффекта «выметания» частиц передним «холодным» ветром нет.
В этом случае расчет дает распространение конвективного горе-
горения, переходящее в детонацию.
Расчеты, проведенные с учетом теплообмена и трения о стен-
стенки трубы, показали, что в достаточно широких трубах
(d>50 мм) детонация с такими протяженными химпиками мо-
может распространяться с постоянной скоростью, хотя скорость де-
детонации несколько уменьшается, а давление за детонационной
волной несколько увеличивается. Влияние стенок в данном слу-
случае аналогично влиянию, описанному Я. Б. Зельдовичем A984)
для детонации в газах.
Обзоры исследований по детонации газовзвесей содержатся
в работах Б. Е. Гельфанда A977), М. Nettleton A977), G. Way-
land A978), А. И. Ивандаева, А. Г. Кутушева, Р. И. Нигмату-
лина A981). Наибольшее количество экспериментальных работ
(см. также J. Nichols et al, 1980) посвящено исследованию дето-
детонации в аэровзвесях жидких капель углеводородного топлива.
Выявлена определяющая роль дробления капель. В указанных
обзорах отмечены работы, в которых приводятся результаты экс-
экспериментов по детонации газовзвесей твердых частиц угля, алю-
алюминия, магния и результаты теоретического исследования струк-
структуры стационарных и эволюции нестационарных детонационных
волн в газовзвесях.
28 р. и. Нигматулин, ч. I
434 ГЛ. 5. ГОРЕНИЕ И ДЕТОНАЦИЯ ГАЗОВЗВЕСЕЙ И ПОРОШКОВ
§ 4. Переход горения в детонацию в пористых
и порошкообразных горючих телах
Распространение горения в пористых или насыпных зарядач
унитарного топлива типа пороха, как и в газовзвесях, может про-
происходить по конвективному механизму. Но в пористых зарядах,
помимо давления газа, передача усилий (импульса) может про-
происходить по твердой фазе, в частности через межзеренные кон-
контакты. В этом случае в очаге горения происходит газовыделение,
что приводит в движение газ в порах. Движение газа в порах за
счет межфазного трения вовлекает в движение твердую фазу
(скелет). Благодаря межзерепному взаимодействию это движение
инициирует в скелете волну сжатия. При этом происходит разо-
разогрев твердой фазы как за счет трения между зернами при не-
необратимой (пластической) деформации пористого тела, так и за
счет теплообмена с разогретым при сжатии в порах газом.
За счет указанных механизмов разогрева частицы могут воспла-
воспламениться и впереди конвективного фронта образуется вторичный
очаг горения.
Пусть твердая фаза представлена в виде плотной или близкой
к плотной упаковки сферических частиц постоянной плотности
(р2 = const) и радиусом а с числовой концентрацией п, а газ
занимает объем между частицами. Соседние частицы контакти-
контактируют между собой, и объемное содержание частиц а2 не мало,
т. е. одного порядка с объемным содержанием газа а,. Уравне-
Уравнения сохранения масс фаз имеют тот же вид, что в A.4.5) или
E.1.1). Уравнения импульсов фаз с учетом взаимодействия меж-
между частицами, описываемого продольным давлением р/Е=— аЦ
в соответствии с A.9.10) для одномерного движения имеют вид
+ + a F / v
E.4.1)
dx -^12 J1XV2-
0t + OX +0C2 gx
Уравнения для внутренней энергии газа и уравнения для уп-
упругой и тепловой энергии твердрй фазы в соответствии с A.9.15)
и A.9.17) имеют вид
at "г дх
E.4.2)
u2e).
2
A — бгг) PfQ-x ^2l"
§ 4. ГОРЕНИЕ И ДЕТОНАЦИЯ ПОРОШКОВ
435
Здесь %гт — коэффициент, определяющий, какая часть мощности
работы межгранулярного давления —р, dvjdx = а2*V- v2 переходит
в тепловую энергию твердой фазы и2Г. При этом остальная часть
указанной работы, определяемая коэффициентом |2е = 1 — |2т,
переходит в упругую энергию и2е. В пористых порошкообразных
средах доля обратимой, или упругой деформации, как правило,
мала. Поэтому можно полагать, что практически вся работа меж-
гранулярпых сил переходит в тепловую энергию частиц, т. е.
Рис. 5.4.1. Изменение
межграпулярного давле-
давления в сыпучей порошко-
порошкообразной среде при
сжатии (BE и В'Е') и
разгрузке (MB' и М'В")
по схеме «пластического
газа»
%гт ~ 1, ^ге ~ 0. Такое предположение соответствует используемой
в механике грунтов и отмеченной в § 9 гл. 1 модели пластиче-
пластического газа, согласно которой при сжатии (нагружении) среды,
сводящемся к уменьшению пористости at, давление р, возрастает
по определенному закону, а при разгрузке падает до нуля
без изменения пористости ai или приведении! плотности р2
(рис. 5.4.1). В связи с этим уравнения состояния твердой фазы,
или пористого тела возьмем в следующем виде, характерном для
модели «пластического газа»:
о „2 / -1 ,\ ^
Сь К) = С* + К («!, - аь) (аь < а,), E.4.3)
и2Т = с2 (Т2 — То) + и20, ра = const.
Здесь а1Н! и С# — пористость и скорость звука в пористой твер-
твердой фазе в насыпном состоянии, аь, Сь — пористость и скорость
звука в уплотненном состоянии, К — постоянный коэффициент,
характеризующий рост скорости звука при уплотнении пористого
образца. Здесь в соответствии с экспериментальными данными
принимается, что скорость звука Сь линейно растет с уменьше-
уменьшением пористости аь (R. Bernecker, D. Price, 1974) уплотненного
образца. Принимается, что если пористость образца <Ху выше по-
28*
436 ГЛ. 5. ГОРЕНИЕ И ДЕТОНАЦИЯ ГАЗОВЗВЕСЕЙ II ПОРОШКОВ
ристости аь, то межгранулярное давление исчезает: р, = 0, а при
сжатии образца и уменьшении пористости а4 ниже а& появляет-
появляется межгранулярное давление, стремящееся к бесконечности при
cti -*¦ 0. Ниже принимается, что в начальном невозмущенном со-
состоянии pi = 0, благодаря условию ос1о = а^ = а^.
В уравнении состояния газа учтем несовершенство газа при
его больших плотностях, характеризуемое так называемыми ви-
риальными коэффициентами ЬA), Ь<2), 6C):
<^) +\ь^/ ]' E.4.4)
Уравнения, близкие к E.4.1), E.4.2), рассматривались в
статьях P. Goulh, F. Zwarts A979) и S. Hoffman, H. Krier
A980). Однако в первой статье в уравнении для внутренней
энергии твердой фазы не учитывается работа внутренних меж-
межгранулярных сил Af = pjdv-Jdx, а во второй статье в уравнении
для внутренней энергии газа не учитывается член pid{a2V2)/dx.
Пусть при t ~ 0 в слое 0 < х ^ х0 порошкообразного унитар-
унитарного топлива, занимающего полупространство х 5s 0, начинается
горение при исходном давлении р = р0 из-за повышения темпера-
температуры частиц до Т2 = Ts. Требуется определить движение среды
при t>0. Расчеты, основанные на численном интегрировании
описанной выше системы уравнений, проводились для модельного
пороха (см. Приложение). Механические свойства пористого по-
порошкообразного заряда (см. E.4.3)) и радиус частиц «0 задава-
задавались следующими параметрами (R. Bernecker, D. Price, 1974;
W. Soper, 1973):
а1!И = 0,37; С* = 420 м/с, К = 5450 м/с, а0 = 0, 1 мм. E.4.5)
Вириальные коэффициенты для воздуха (см. E.4.4)) равны
6<i>= К)* кг/м3) bm = 1L .10з KryM»t Ь(.) = 1M .10, кг/мз_ E 4 6)
Длина зоны инициирования в представленных ниже вариантах
равнялась х0 = 5 мм.
Результаты расчета некоторых вариантов представлены на
рис. 5.4.2—5.4.4. Видно, что газовыделение в зоне инициирования
приводит к повышению давления в этой зоне, в результате чего
продукты горения начинают двигаться по порам внутрь пористо-
пористого скелета. Продукты горения образуют впереди фронт горячих
газов, которые толкают перед собой по порам холодный газ, об-
образуя ударную волну в газовой фазе (сплошные линии на
рис. 5.4.2 и 5.4.4), и увлекают за собой частицы твердой фазы.
Последние, толкая впередилежащие частицы, создают в скелете
волну сжатия (пунктирные линии на рис. 5.4.2 и 5.4.4). На фрон-
фронте волны сжатия скелета из-за сжатия пор повышаются давле-
§ 4. ГОРЕНИЕ И ДЕТОНАЦИЯ ПОРОШКОВ
437
ние и температура газа. Повышается на этом фронте и темпера-
температура твердой фазы как за счет нагрева газом, так и за счет внут-
внутреннего межгранулярного трения в скелете, т. е. за счет Л/.
Дальнейший разогрев частиц до воспламенения происходит за
О
Рис. 5.42. Распределение (эшоры) давления газа (сплошные линии) и
межгранулярного давлепия (пунктирные линии) па начальном этапе
A — для t = 9,8 мке, 2 — для t = 40 мке) конвективного горения порош-
порошкообразного заряда пороха (а0 = 0,1 мм, <?0 = 5,9 МДж/кг, Ts = 359 К,
остальные параметры см. E.4.5)). Начальная зона инициирования О^ж^
^ х0 = 5 мм. Крестиками отмечены места воспламенения частиц пороха
Рис. 5.4.3, Траектории фронтов волн,
горения (сплошные линии) и сжа-
сжатия пористого скелета (штриховые
линии), соответствующие различ-
различным теплотам горения пороха
<?о (МДж/кг) и температурам вос-
воспламенения Ts (К). Кривые 1 —
для (>о = 5,9, Ts = 353, 2 — для 2,0
и 303, 3 — для 2,0 и 353. Остальпые
условия те же, что для рис. 5.4 2
конвективным фронтом горячих продуктов реакции. Таким об-
образом, на начальном этапе формируется двухфронтовая конфигу-
конфигурация, состоящая из волны сжатия скелета и поддерживающего
ее фронта конвективного горения. На рис. 5.4.3 представлены
^-диаграммы этих фронтов.
438
ГЛ. 5. ГОРЕНИЕ И ДЕТОНАЦИЯ ГАЗОВЗВЕСЕЙ И ПОРОШКОВ
Численное исследование показало, что существует три режи-
режима конвективного горения пористых топлив, каждый из которых
начинается с формирования двухфронтовой конфигурации, по-
показанной на рис. 5.4.2.
Первый — режим плавного перехода горения в детонацию —
реализуется, когда скелет в волне сжатия сильно разогревается,
что приводит к ускорению волны горения (см. сплошную линию 2
ниже точки С на рис. 5.4.3), которая догоняет и поглощает (в точ-
точке С) волну сжатия скелета (штриховая линия 2). Образовавшая-
Образовавшаяся нестационарная детонационная волна выходит на режим ста-
стационарного распространения. Этот режим имеет место в случае
низкой температуры воспламенения Ts.
Второй — нестационарный двухфронтовой режим — реализу-
реализуется, когда скелет в волне разогревается слабо, что приводит к
30 х,см
1'ис. 5.4.4. Распределение (эпюры) давления газа (сплошные линии) и
межгранулярного давления частиц пороха (пунктирные линии) при двух-
фроитовом режиме горения (с разными скоростями фронта сжатия твердого
скелета и фронта горения) в разные моменты времени t (икс) A — для
/ = 164, 2 — для t = 365, 3 — для t = 496). Теплота горения <?0 = 2,0 МДж/кг,
земпература воспламенения частиц пороха Ts = 353 К, чему соответствуют
линии 3 на рис. 5.4.3. Остальные условия те же, что и для рис. 5.4.2. Место
полного сгорания топлива отмечено кружочком, а места воспламенения —
крестиками
формированию нестационарного расходящегося комплекса, со-
состоящего из волн сжатия скелета и конвективного горения, дви-
движущихся с постоянными, но различными скоростями (линии 3
на рис. 5.4.3). Соответствующие распределения давлений фаз
представлены на рис. 5.4.4. Из представленных данных следует,
что по мере сгорания вещества давление газа в зоне горения и
межгранулярное давление р} на фронте волны сжатия постепен-
постепенно повышаются и приближаются к некоторым предельным значе-
значениям. Такой режим имеет место в случае низких теплотворных
способностей топлива Qo и высоких температур воспламене-
воспламенения Ts- Выход на режим, близкий к описанному двухфронтовому
режиму с постоянной скоростью конвективного горения, экспе-
экспериментально зарегистрирован в работах R. Bernecker, D. Price
A974) и В. А. Фотенкова и др. A982). Нестационарный двух-
§ 4. ГОРЕНИЕ И ДЕТОНАЦИЯ ПОРОШКОВ 439
фронтовой режим горения в газовых смесях, включающий удар-
ударную волну и фронт пламени, исследовап К. И. Щелтшным,
Я. К. Трошиным A963). Отличительной особенностью представ-
представленного двухфронтового режима является то, что в пористой сре-
среде пламя распространяется за счет конвективного движения
горячих продуктов реакции, захватывающих певоспламенившиеся
частицы топлива, тогда как в газовых смесях пламя распростра-
распространяется за счет теплопроводности.
Третий — взрывной режим перехода горения в детонацию —
реализуется, когда в процессе ускорения конвективного горения
интенсивность волн сжатия скелета возрастает настолько, что ча-
частицы на ее фронте разогреваются до температуры воспламене-
воспламенения. Образовавшийся вторичный очаг горения (точка Е на
линии 1 на рис. 5.4.3) приводит к формированию еще двух фрон-
фронтов горения: возвратной, или ретонационной волны, распростра-
распространяющейся по разогретому, уплотненному веществу, навстречу
первоначальному фронту конвективного горения (точка М — точ-
точка встречи волн) и нестационарной детонационной волны, распро-
распространяющейся направо по невозмущенной среде. Этот режим
имеет место при высоких Qa и Ts. Взрывной переход горения в
детонацию во взрывчатых веществах экспериментально зафикси-
зафиксирован в работах А. Ф. Беляева и др. A973); Н. В. Ащепкова,
В. В. Стеньгача A974) и R. Bernecker, D. Price A974). О i ме-
метим, что зависимость преддетонационного расстояния LD от на-
начальной пористости образца аъ имеет минимум при аь « 0,3 (см.
А. Ф. Беляев и др., 1973). Этот экспериментальный факт под-
подтверждается результатами расчетов. С увеличением пористо-
пористости аь, с одной стороны, уменьшается тепловыделение в единице
объема смеси, а с другой,— увеличивается газопроницаемость,
т. е. уменьшается сопротивление трения газа о скелет. В области
высоких пористостей (аь 3= 0,5) сопротивление трения слабо
влияет на процесс, и при уменьшении аь преддетонационпое рас-
расстояние LD уменьшается за счет увеличения тепловыделения.
В области низких пористостей при уменьшении аь сопротивление
трения увеличивается, что усиливает толкающее действие про-
продуктов реакции на скелет. Скорость звука в скелете Сь при
уменьшении аь также увеличивается. Поэтому волна сжатия в
скелете достигает интенсивности, достаточной для образования
вторичного очага горения на больших расстояниях, что приводит
к возрастанию преддетонационного расстояния.
440
ПРИЛОЖЕНИЕ
Н
В
и
ы
о
S
о,
К
\о
Н
ш
й "
аи
gS.
§2
Is
si
g §
ф Ей
S3*
ы
«SO
is9
S.E
sis
в с «
Й|И
в я •
s
сг
А
С
р о
Модуль
сдвига
G, 10>» Па
ость
оян-
ме
•К)
д Ен Щ "
?
||
НЗ" еа
н
о
а
о
о
и
?™
Р.Ч
су
>&
¦Э
О
Названи
Рн
9
К
О
-
с?
вещества
ю и
Я О] г^ "^^
Bq'-'q
f-* о ?§ о
S \/
v—
°g°
2,48
со
оз
00
t~
of
О]
ОЗ
сГ
*^
00
со_
О]"
со
of
о
О]
<
g
Алюм
1
1
1
О)
¦*
со
ю
о
1
о
со
см
00
¦*_
го
I—"
о
оз
1
о
а
1
1
1
о
СО 1Л
Ю СО
с
> о
of сГ
О1 О)
СО О
о" оз"
О] СО
сз о
о с-
CD Ю
о" о
СО О
ю со
о" о"
о о
СМ О]
00 00
« м S
ген *)
о
I
—(
,014
о
СО
§
о"
со
о
oi"
ю ю
СО t~-
СО [~
о" о"
! 1
of of
00 sC
ОЗ 00
*-" ^
v)< О
СО vf
о о
М< ОЗ
t^ со
ОЭ vf
Оз" Оз"
о о
СО CD
00 ОО
t- L—
8 и
ф ф
*
о
га
а>
§
о»
сГ
д
"%
Ci*
ео
<м
о"
+
й
рB).
+
о
о
я
н
a
я h
« и
ПРИЛОЖЕНИЕ
441
Таблица П.2
Теплофизические параметры некоторых газов и жидкостей
(Н. Б. Варгафтик, 1972; М. П. Вукалович и др., 1969; И. К. Кикоин,
1976; С. Л. Ривкин и др., 1973)
Название
вещества
Азот (газ,
N2, цт=
=28,0)
Азот (жпд-
кость)
Вода (газ,
Н2О |хт=18,
to=-13,45x
Х10в м2/с2)
Вода (жид-
(жидкость)
Водород (Н2,
ftn = 2,0)
Воздух
(ft» = 29,0)
Гелий (Не,
»т = 4-°)
Кислород
(О2, цт =
=32,0, ia =
= 0)
Условия
р, МПа
од
од
од
0,1
од
1,0
5,0
7,0
10,0
15,0
од
0,1-1,0
0,1
1,0
5,0
7,0
10,0
15,0
од
ОД
од
од
Т, К
77 *)
293
1773
77*)
373*)
453*)
537*)
559*)
584*)
615*)
1773
293
373 *)
453*)
537 *)
559*)
584*)
615 *)
1773
293
293
293
со
И
о
о
к
н
о
C
в
4,61
1,15
0,188
807
0,592
5,15
25,4
36,4
55,5
96,6
0,118
998
958
887
780
746
688
604
0,0148
1,19
0,164
1,31
С, м/с
га
со
л
о
а
о
и
175
346
830
867
470
500
500
490
470
440
-1000
1500
1540
1405
1080
990
860
680
2650
343
1005
326
¦ар-
S 2
я S
оказ
циаб
К я
1,44
1,40
1,31
—
1,30
1,29
1,27
1,25
1,22
1,25
1,20
—
—
—
—
—
—
1,33
1,40
1,67
1,41
о W
S о
с
1 173
1041
1269
1 955
2 034
2 615
4 360
5 285
7 070
12 720
2 750
4180
4 220
4 410
5 040
5 410
6 170
8 630
16 580
1007
5 190
915
* к
ъ- и
га 1
И ,,
0,53
1,77
5,56
14,6
1,21
1,49
1,80
1,84
2,07
2,42
6,07
100,1
27,9
14,9
10,2
9,44
8,62
7,38
ЗД
1,81
1,94
2,02
¦К)
к Ч
о ^--
о g
Со 1
shb S
0,76
2,56
~10,5
2,4
2,48
3,41
5,43
6,38
8,00
11,6
26,1
60,2
68,0
67,6
59,8
56,4
52,0
45,0
64
2,58
14,9
2,47
442
ПРИЛОЖЕНИЕ
Продолжение табл. П.2
Название
Метан (жид-
(жидкость)
CHllHm=16)
Натрии
(жидкость,
Na, цт =
=23,0)
Окись азота
(NO, \im =
= 30.0)
Окись угле-
углерода (СО,
цт = 28,0)
Олеиновая
кислота
Порох (мо-
(модельный)
Пропан
(жидкость,
C3HS, цот =
= 44)
Ртуть (жид-
(жидкость, (im =
= 201)
Тетралин
(жидкость)
= 132, =„ =
= 3.13Х
Х106 ч2'с2)
Углекислый
газ (СО2
цт = 44,0,
io=— 8,95х
Х109м2/с2)
Условия
V, МПа
2,0
3,0
0,1-1,0
1,0
0,1
0,1
0,1-1,0
0,1—1,0
2,0
3,0
0,1-1,0
1,0
0,1—1,0
0,1
0,1
г, к
161 *)
178*)
373
1156 *)
1773
1773
293
293
330 *)
351 *)
293
630 *)
293
293
1773
сть р
о
о ^
337
288
928
740
0,19
0,19
895
1 550
436
385
13 600
12 7-iO
969
1,815
0,30
V,
я
со
л
о s
800
540
2530
830
820
—
—
1450
—
266
620
¦а Р-
?2
—
—
—
1,30
1,30
—
—
—
—
—
—
—
1,29
1,16
II
~4 000
-4 000
1383
I28i
1285
1280
1 890
1466
3 270
4 340
139
136
1 640
844
1359
it
&h
4,4
3,3
68,6
15,7
6,8
6,0
—
—
-7,0
-7,0
154
89
—
1,46
6,2
М
§ f
И о |
9Д
9,1
8600
5085
-10
10,7
23.1
68
7,0
7,0
804
1220
—
1,615
7,3
ПРИЛОЖЕНИЕ
443
Название
вещества
Углерод
(твердый)
Этанол (жид-
(жидкость,
с2н,огг,
Km = 46)
Р
0
0
Условия
, МПа
1-1,0
1-1,0
0,1
Г, К
293
293
351 *)
2
807
757
X
а.
л
Плотност
200
м/с
о
а
X
га
от
Скорость
_
1170
Продолжение
р-
3
ь
диабг
А
Ь
т
я*
I
_
—
а
ость
s И
О N
в "а
714
2 410
ЗОЮ
Вязкость
120
43
табл. П.2
s
т
,0
)ВОД1
г м/
S ^~
~600
17,0
15,5
*) Соответствует температуре насыщения Tg(p),
Таблица П.З
Показатели п в степенных аппроксимациях зависимостей
теплоемкости ср, теплопроводности Я, вязкости ц и коэффициента
диффузии v^ от температуры в виде
(То = 293 К, Г<2000 К, ^~0,1-1,0 МПа)
Вещество
Азот (газ, N2)
Вода (пар, Н2О) (/; =
= 0,1 МПа, То = 373 К)
Кислород (О2)
Углекислый газ (СО2)
Углерод (твердый)
ср
0,11
0,15
0,05
0,24
0,5
X
0,7
1,38
0,8
1,38
@)
0,5
0,5
0,5
0,5
—
1,9
1,8
1,92
1,9
—
444
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица П.4
Межфазные теплофизические характеристики некоторых
газо- и парожидкостных систем
(Н. Б. Варгафтик, 1972; С. Л. Ривкин и др., 1973; И. К. Кикоии, 1976)
Название
вещества
Азот
Вода
Метан
Натрий
Пропан
Ртуть
Тетралпн
Этанол (эти-
(этиловый спирт,
С2НВОН)
Условия
Р, МПа
0,1
0,1
0,1
1,0
5,0
7,0
10,0
15,0
2,0
3,0
0,1-1,0
ОД
2,0
3,0
0,1-1,0
0,1
0,1
0,1-1,0
0,1
т, к
77*)
293
373*)
453*)
537*)
559*)
584*)
615*)
161 *)
178*)
373
1156 •)
330 *)
351 *)
293
630*)
477*)
293
351 *)
Коэффициент
поверхностного
натяжения
2, 10~3 кг/с
8,85
73,0
58,9
42,2
22,8
17,6
11,8
5,41
<5
<5
206
118
<5
<5
465
393
—
22,8
17,1
Теплота парооб-
парообразования
1, 10вм2/с2
0,198
2,26
2,01
1,64
1,50
1,32
1,01
0,371
0,265
3,88
0,263
0,199
0,295
0,406
0,963
*) Соответствует температуре насыщения Tg{p).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Абутадиев Ф. В., Ильясов Н. М. A973). Решение задачи о неуста-
неустановившемся взаимопроникающем движении двухфазных сред в ударной
трубе переменного сечения / Изв. АН УзССР. Сер. техн. наук.— 1973.—
№ 6.
Акуличев В. А. A978). Кавитация в криогенных и кипящих жидкос-
жидкостях.—М.: Наука, 1978.—300 с.
Альтшулер Л. В. A978). Фазовые превращения в ударных волнах (об-
(обзор)- // ПМТФ.—1978.—№ 4.
Альтшулер Л. В., Б а к а н о в а А. А. и др. A981). Ударные адиаба-
адиабаты металлов. Новые данные, статистический анализ и общие закономер-
закономерности / ПМТФ.— 1981.— № 2.— С. 3—34.
Альтшулер Л. В., Бражник М. И., Телегин Г. С. A971). Прочность
и упругость железа и меди при высоких давлениях ударного сжатия //
ПМТФ.—1971,—№ 6.
Ананьин А. В., Дремия А. Н., Капель Г. И. A973). Структура
ударных волн и волн разрежения в железе / ФГВ.— 1973.— № 3.
Аяапын А. В., Дрвмин А. Н., К а н е л ь Г. И., П е р ш и н С. В. A978).
Исследование структуры ударных волн в нитриде бора и графита в обла-
области полиморфных превращений // ПМТФ.— 1978.—№ 3.—С. 112—117.
Ахатов И. III., В айн штейн П. Б. A981). К теории стационарного го-
горения сферической частицы унитарного топлива // Вестник МГУ. Мате-
Математика, механика.— 1981.— № 1.
Ахмаде ев Н. X. A981). Моделирование детонационных волн в твердых
ВВ // ФГВ.-1981.-Т. 17, № 1.-С. 109—117.
Ахмадеев Н. X., Нигматулин Р. И. A976). Ударные волны и фазо-
фазовые превращения в железе / ПМТФ.— 1976.— А° 5.
Ахмадеев Н. X., Нигматулин Р. И. A982). Динамическое отколь-
ное разрушение в волнах разгрузки II ДАН СССР.— 1982.— Т 266, № 5.—
С. 1131-1134.
Ащепков Н. В., Стеньгач В. В. A974). О преддетонацпонном участ-
участке перехода горения тэна в детонацию / ФГВ.—1974.— № 6.—С. 873—
876.
Бабий В. И., Иванова И. П. A969). Аэродинамическое сопротивление
частицы при горении и в неизотермических условиях // Горение твердого
топлива.— Новосибирск: Наука, 1969.
Баб уха Г. Л., Шрайбер А. А. A972). Взаимодействие частиц поли-
дпсперсного материала в двухфазных потоках.— Киев, Наукова думка,
1972.
Базаров И. П. A983). Термодинамика.—М.: Высшая школа, 1983.—344 с.
Баланин Б. А., Злобин В. В. A979). Экспериментальное исследова-
исследование аэродинамического сопротивления простых тел в двухфазном пото-
потоке / Изв. АН СССР. МЖГ.— 1979.— № 3.— С. 159—162.
Баренблатт Г. И. A982). Подобие, автомодельность, промежуточная
асимптотика.—Л.: Гидрометеоиздат, 1982.—255 с.
Баси на II. П.. Максимов И. А. A969). Исследование аэродинамиче-
аэродинамического сопротивления сферической частицы при теплообмене и горении //
Теплоэнергетика.—1969.— № 1.
446 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Батьков Ю. В., Новиков С. А. и др. A980). Исследование сдвиговых,
напряжений в металлах на фронте ударной волны // ПМТФ.—1980.—-
№ 6.— С. 95—99.
Б а ум Ф. А. и др. A975). Физика взрыва.— М.: Наука, 1975.— 704 с.
Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. A984). Осреднение процессов в
периодических средах.— М.: Наука.— 352 с.
Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. A982). Метод крупных
частиц в газовой динамике.— М.: Наука, 1982.— 392 с.
Беляев А. Ф. A940). О горении нитрогликоля // Журн. физ. химии.—¦
1940.— Т. 14, № 8.— С. 1009—1025. См. также / Теория горения порохов и
взрывчатых веществ.— М.: Наука, 1982.— С. 10—34.
Беляев А. Ф., Воболев В. Е. и др. A973). Переход горения конден-
конденсированных систем во взрыв.— М.: Наука, 1973.—292 с.
Е е р д и ч е в с к и й В. Л. A983). Вариационные принципы механики сплош-
сплошной среды.— М.: Наука, 1983.
Блох А. Г. A967). Тепловое излучение в котельных установках.—Л.:
Энергия, 1967.
Блошенко В. Н., Мержанов А. Г. и др. A972). К теории газофазно-
газофазного воспламенения капли / Горение и взрыв. Труды IV Всес. симп. по го-
горению и взрыву.— М.: Наука, 1972.
Боголюбов Н. Н., Митронояьский Ю. А. A963). Асимпто-
Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.— М.: Фпзматгиз,
1963.
Болотин В. В., Новичков Ю. Н. A980). Механика многослойных кон-
конструкций.— М.: Машиностроение, 1980.
Борисов А. А., Гельфанд Б. Е. и др. A971). Затухание ударных
волн в двухфазной газожидкостной среде // Изв. АН СССР. МЖГ.—1971.—
№ 5.— С. 176—ISO.
Борисов А. А., Гельфанд Б. Е. и др. A981). О режимах дробления
капель и критериях их существования / ИФЖ,— 1981.— Т. 40, № 1.
Вайнштейн П. Б. A973). Радиационный фронт пламени в смеси газа
с твердыми частицами / ПМТФ.— 1973.— № 3.
Вайнштейн П. Б., Нигматулин Р. И. A971). Горение смесей газа
с частицами // ПМТФ.— 1971— № 4.
Вайнштейн П. Б., Нигматулин Р. И. A973). К теории распрост-
распространения пламени в смеси газа и капель // ПМТФ.—1973.— № 4.
Вайнштейн П. Б., Нигматулин Р. И. A979). О шмобарическлх с
однородным давлением течениях газовзвесей при наличии физико-хими-
физико-химических превращений // ДАН СССР.—1979.—Т. 279, № 1.—С. 74—77.
Вайнштейн П. В., Нигматулин Р. И., Попов В. В. A980). Переход
конвективного горения аэровзвесей унитарного топлива в детонацию //
ФГВ.— 1980.— № 5.
Варгафтик Н. Б. A972). Справочник по теплофизическнм свойствам
газов и жидкостей.— М.: Наука, 1972.
Варшавский Г. А. A945). Горение капли жидкого топлива. Диффузи-
Диффузионная теория Л Бюро повой техники НКАП.— 1945.— № 5. См. также /
Теория горения порохов и взрывчатых веществ.— М.: Наука, 1982.—¦
С. 87—106.
Воинов О. В., Петров А. Г. A976). Движение пузырей в жидкости /
Итоги науки и техники, Механика жидкости и газа.— М.: ВИНИТИ,
1976.— Т. 10.
Волощук В. М. A971). Введение в гидродинамику грубодислерсных
аэрозолей.— Л.: Гидрометеоиздат, 1971.
Воробьев А. А., Д ре мин А. Н., Канелъ Г. И. A974). Зависимость
коэффициентов упругости алюминия от степени сжатия в ударной вол-
волне / ПМТФ.— 1974.— № 45.
Вукалович М. П., Ривкип С. Л., Александров А. А. A969).
Таблицы тешгофизилесюгх свойств воды и водяного пара.— М.: Изд-во
стандартов, 1969.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 447
Г а и и ов Р. Ф., Кобаско Н. И. и др. A980). Колебательные явления в
многофазных средах и их использование в технологии.— Киев: Техника,
1980.— 143 с.
Ганиев Р. Ф., Украинский Л. Е. A975). Динамика частиц при воз-
воздействии вибраций.— Киев: Наукова думка, 1975.— 168 с.
Гельфанд Б. Е. A977). Современное состояние и задачи исследований
в систоле капли жидкости — газ / Хим. физ. процессов горения и взры-
взрыва. Детонация.— Черноголовка, 1977.— С. 28—39.
Гельфанд Б. Е., Гу бин С. А., Когарко С. М. A974). Разновидности
дробления капель в ударных волнах и их характеристики / ИФЖ.—
1974.— Т. 27, № 1.
Гил и некий М. М., То л сто в В. Н. A982). Теоретическое исследование
сверхзвукового обтекания тел различной формы двухфазным потоком мо-
монодисперсной смеси /I Отчет № 2584.— М.: НИИ Механики МГУ, 1982.—
63 с.
Годунов С. К. A971). Уравнения математической физики.—М.: Наука,
1971.—416 с.
Годунов С. К. A978). Элементы механики сплошной сроды.—М.: Наука,
1978.—304 с.
Годунов С. К., Забродин А. В. и др. A976). Численное решение мно-
многомерных задач газовой динамики.— Ы.: Наука, 1976.— 400 с.
Годунов С. К., Рябенький В. С. A973). Разностные схемы.—М.:
Наука, 1973.
Головин Л. М., Чижов В. Е. A978). К расчету скорости осаждения
однородной суспензии / ПММ.— 1978,— Т. 42, № 1.— С. 105—113.
Гольдштик М. А. A972). Элементарная теория кипящего слоя /
ПМТФ.—1972.—№ 6.—С. 106—112.
Гольдштик М. А. A984). Процессы переноса в зернистом слое.—Ново-
слое.—Новосибирск: ИТФ, 1984.— 163 с.
Гонор А. Л., Зол от о в а Н. В. A981). Торможение и деформация ждд-
кон капли в потоке газа / Изв. АН СССР. МЖГ.— 1981.— № 2.
Гонор А. Л., Лихачев В. Н. A981). Динамика пузырька в сжимаемой
жидкости II Струйные и отрывные течения.— М.: НИИ Механики МГУ,
1981.— С. 91—97.
Гонор А. Л., Ривкинд В. Я. A982). Динамика капли // Итоги науки
и техники ВИНИТИ. Механика жидкости и газа.—1982.— Т. 17.
Горбачев Ю. В. A982). Приграничный слой конечной толщины /
ЖТФ.— 1982.— Т. 52, № 5.- С. 840-846.
Гостинцев Ю. А. A971). О воспламенении, нестационарном горения и
срыве пламени с частицы унитарного топлива // ФГВ.—1971.— № 3.
Градштейн И. С, Рыжик И. М. A963). Таблицы интегралов, рядов
и произведений.— М.: Наука, 1963.
Гришин А. М., Фомин В. М. A984). Сопряженные и нестационарные
задачи механики реагирующих сред.— Новосибирск: Наука, 1984,— 318 с.
Губайдуллин А. А., И в а н д а е в А. И., Ниг м а т у л и н Р. И. A976).
Некоторые результаты численного исследования нестаннонарпых волн в
газовзвесях / Изв. АН СССР. МЖГ.— 1976.— № 5.
Губайдуллин А. А., И в а н д а е в А. И., Нпгматулин Р. И. A977).
Модифицированный метод крупных частиц для расчета нестационарных
волновых процессов в многофазных дисперсных средах Ц ЗКВМ и МФ.—
1977.- Т. 17, № 6.
Гумеров Н. А., Ивандаев А. И., Нигматулин Р. И. A983). Дис-
Дисперсия и диссипация акустических волн в газовзвесях // ДАН СССР —
1983.—Т. 272, № 3.—С. 560—564.
Г у п а л о Ю. П., П о л я н и н А. Д., Р я з а н ц е в 10. С. A985). Массо-тепло-
обмеп. реагирующих частиц с потоком.— М.: Наука, 1985.—336 с.
Давыдов Ю. М., Нигматулин Р. И. A981). Расчет внешнего обте-
обтекания затупленных тел гетерогенным потоком газа с каплями или части-
пами / ДАН СССР.—1981.—Т. 259,—№ 1.—С. 57—60.
448 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ДейчМ. Е., Филиппов Г. А. A981). Газодинамика двухфазных сред.—
М.: Энергоиздат, 1981.— 472 с.
Дерибас А. А. A972). Физика упрочнения и сварки взрывом.—Новоси-
взрывом.—Новосибирск: Наука, 1972.
Д жали лов а Т. А. A976). Сверхзвуковое обтекание топкого клина и ко-
конуса потоком газа с частицами при учете теплообмена и отражения ча-
частиц / Изв. АН УзССР. Сер. техн. наук.— 1976.— № 1.
Дремин А. Н., С а в р о в С. Д., Трофимов В. С, Ш в е д о в К. К.
A970). Детонационные волны в конденсированных средах.— М.: Наука,
1970.
ДубовицкийВ. Д., КоростелевВ. Г. и др. A974). Горение пори-
пористых конденсированных систем и порохов // ФГВ.— 1974.— Т. 10, № 6.
Духин С. С. A960). Теория дрейфа аэрозольной частицы в стоячей звуко-
звуковой волне / Коллоидный журнал.— 1960.— Т. 22, № 1.
Ермо л аев Б. С, Хае аи но в Б. В. и др. A975). Распространение кон-
конвективного горения в пористых порохах и ВВ // ФГВ.— 1975.— № 5.
Жарков В. Н., Калинин В. А. A968). Уравнения состояния твердых
тел при высоких давлениях и температурах.— М.: Наука, 1968.
Зайцев М. Е. A981). Обтекание клина неравновесным двухфазным пото-
потоком II Тр. Моск. физ.-техн. ин-та. Сер. Аэрофизика и прикладная матема-
математика. Долгопрудный, 1981.— С. 34—85.
Зельдович Я. Б. A984). Химическая физика и гидродинамика,—М.: На-
Наука, 1984.- 374 с.
Зельдович Я. В., Б а р е п б л а т т Г. И., Л и б р о в и ч В. Б., М а х в п-
ладзе Г. М. A980). Математическая теория горения и взрыва.—-М.: На-
Наука, 1980.— 479 с.
Зе ль д о вич Я. Б., Р айз е р 10. П. A966). Физика ударных волн и высо-
высокотемпературных гидродинамических явлений.— М.: Наука, 1966,— 688 с.
Ивандаев А. И. A975). Об одном способе введения псевдовязкости и
его применении к уточнению разностных решений уравнений гидродина-
гидродинамики // ЖВМ и МФ.— 1975.- Т. 15.- № 2.
Ивандаев А. И., Кутушев А. Г., Нигматулин Р. И. A981). Га-
Газовая динамика многофазных сред.— Ударные и детонационные вотаы в
газовзвесях Ц Итоги науки. Механика жидкости и газа.— М.: ВИНИТИ,
1981.— Т. 16.— С. 209—287.
Иванов А. Г., Новиков С. А., Тарасов Ю. И. A962). Откольные яв-
явления в железе и стали, вызванные взаимодействием ударных волн раз-
разрежения / ФТТ.— 1962.— № 4.
Илюхин В. С, П охи л П. Ф., Розанов О. К., Шведова Н. С. A960).
Измерение ударных адиабат литого тротила; кристаллического гексогена
и нитрометапа / ДАН СССР.— I960.— Т. 131, № 4.
Ильюшин А. А. A979). Механика сплошной среды.— М.: Изд-во МГУ,
1979.- 288 с.
И о ну ш ас К. К, Пропичева Н. М. и др. A979). Развитие механизма
распространения пламени в аэродисперсных системах Ц ФГВ.—1979.—
№ 5.
Иордапский С. В. A960). Об уравнениях движения жидкости, содержа-
содержащей пузырьки газа / ПМТФ.— I960.— № 3.
Иорданский С. В., Куликовский А. Г. A977). О движении жидко-
жидкости, содержащей мелкие частицы Ц Изв. АН СССР. МЖГ.—1977.— № 4.—
С. 12—20.
Кафаров В. В., Дорохов И. Н. A976). Системный анализ процессов
в химической технологии.— М.: Наука, 1976.— 499 с.
Кикоин И. К. (ред.) A976). Таблицы физических величин.— М.: Атомиз-
дат, 1976.
Кириллин В. А., Сычев В. В., Шейндлин А. Е. A974). Техниче-
Техническая термодинамика.—М.: Энергия, 1974.—447 с.
К л е б а н о в Л. А., К р о ш и л и н А. Е., Нигматулин Б. И., Нигма-
Нигматулин Р. И. A982). О гиперболичности, устойчивости и корректности
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 449
задачи Кошп для системы дифференциальных уравнений двухскоростног»
движения двухфазных сред / ПММ.— 1982.— Т. 46, № 1.— С. 83—95.
Климкпп В. Ф., Папырин А. Н., Солоухин Р. И. A980). Оптиче-
Оптические методы регистрации быстро протекающих процессов.— Новосибирск:
Наука, 1980.— 208 с.
Когарко Б. С. A961). Об одной модели кавитирующей жидкости // ДАН
СССР.— 1961.— Т. 137, № 6.
Колесников А. Ф., Т и р с к и й Г. А. A982). Уравнения гидродинамики
для частично ионизированных многокомпонентных смесей газов с коэф-
коэффициентами переноса в высших приближениях / Молекулярная газоди-
газодинамика.— М.: Наука, 1982.— С. 20—44.
Ко чин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. A963). Теоретическая гид-
гидромеханика. ТТ. 1, 2.— М.: Физматгиз, 1963.
Крайко А. Н. A979). О поверхностях разрыва в среде, лишенной собст-
собственного давления / ПММ.— 1979.—Т. 43, № 3.—С. 500—511.
Крайко А. Н. A982). О корректности задачи Коши для двукжпдкостной
модели течения смеси газа с частицами / ПММ.— 1982.— Т. 46, № 3.—
С. 420-428.
Крайко А. Н., Н и г м а т у л и н Р. П., Старков В. К., С т е р и и н А. Е.
A972). Механика многофазных сред // Итоги науки. Гидромеханика.—
М.: ВИНИТИ.— 1972.— Т. 6.— С. 93—176.
Крайко А. Н., Стернин Л. Е. A965). К теории течений двухскорост-
ной сплошной среды с твердыми или жидкими частицами // ПММ.—•
1965.- Т. 29, № 3.
Крайко А. Н., Шрайбер А. А. A974). К построению модели, описыва-
описывающей в одномерном приближении двухфазное течение с коагуляцией ча-
сгиц полидисперсного конденсата / ПМТФ.— 1974.— № 2.— С. 67—74.
Кр а с и л ь н и к о в В. А., Крылов В. В. A984). Введение в физическую-
акустику.— М.: Наука, 1984.— 400 с.
Кузнецов Н. М., Шведов К. К. A967). Изоэптропическое расширение
продуктов детонации гексогена // ФГВ.— 1967.—№ 2.
Лаврентьев М. М., Р о м а п о в В. Г., Ш и п а т с к и й С. П. A980). Не-
Некоторые задачи математической физики и анализа.—• М.: Наука, 1980.—
287 с.
Лам б Г. A947). Гидродинамика.— М.; Л.: Гостехиздат, 1947.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. A986). Гидродинамика.—М.: Наука,
1986.— 736 с.
Левин В. А., Черный Г. Г. A967). Асимптотические законы поведения
детонационных воли // ПММ.— 1967.— Т. 31, вып. 3.
Левич В. Г. A959). Физико-химическая гидродинамика.—М.: Физматгиз.
1959.
Лейпупский О. И. A960). О зависимости от давления скорости горения
черного пороха / ТФ.— I960.—Т. 34, № 1.
Лойцянскнй Л. Г. A973). Механика жидкости и газа.—М.: Наука,
1973.— 848 с.
Ляхов Г. II. A982). Волны в грунтах и пористых средах.— М.: Наука,
1982.— 288 с.
Матвеев С. К., С е ю к о в а Л. П. A980). Расчет обтекания диска п пло-
плоского торца цилиндра потоком газовзвеси / Газодинамика и теплообмен.—
Ленинград, 1980.— Вып. 6.— С. 3—11.
Методы расчета теплофизических свойств газов и жидкостей A974).—М.:
Химия, 1974.— 248 с.
Мирзаджанзаде А. X. A981). Парадоксы нефтяной физики.—Баку:
Азернешр, 1981.— 149 с.
Мирзаджанзаде А. X., Ахмедов 3., Гурбанов Р. A983). Физи-
Физика пефтяного пласта.— Баку: МААРИФ, 1983.— 331 с.
Мирзаджанзаде А. X., Караев А. К., Ширинзаде С. А. A977).
Гидравлика в бурении и цементировании нефтяных и газовых скважин.—
М.: Недра, 1977.— 320 с.
29 р. и. Нигматулин, ч. I
450 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Мус а ев Н. Д. A985). К двухскоростной механике зернистых пористых
сред / ПММ.—1985.—Т. 49, № 2.—С. 334—336.
Не сие Е. И. A973). Кипение жидкостей.—М.: Наука, 1973.
Нигматулин Р. И. A967). Уравнения гидромеханики и волны уплотне-
уплотнения в диухскоростной и двухтемпературной сплошной среде при наличии
фазовых превращений / Изв. АН СССР. МЖГ.— 1967.— № 5.— С. 33—47.
Нигматулин Р. И. A968). Некоторые вопросы гидромеханики двухфаз-
двухфазных полидисперсных сред / Изв. АН СССР. МЖГ.— 1968.— № 3.
Нигматулин Р. И. A969). К вопросу о волнах уплотнения в двухфаз-
двухфазных средах / Вестпик МГУ. Математика, механика.— 1969.— № 4—
С. 122—126.
Нигматулин Р. И. A970). Модель движения и ударные волны в двух-
двухфазных твердых телах с фазовыми переходами / ПМТФ.—-1970.— № 1.—
С. 88—95.
Нигматулин Р. И. A970, 1971). Методы механики сплошной среды для
описания многофазных смесей / ПММ.— 1970.— Т. 34, № 6.— С. 1097—
1112, Мелкомасштабные течения и поверхностные эффекты в гидромеха-
гидромеханике многофазных сред // ПММ.—1971.—Т. 35, № 3.—С. 451—463.
Нигматулип Р. И. A978). Основы механики гетерогенных сред.— М.:
Наука, 1978.— 336 с.
Нигматулип Р. И., Вайпштейн П. В., Ахатов И. Ш. A980).
Структура стационарных детонационных волн в смесях газа с частицами
унитарного топлива // Химическая физика процессов горения и взры-
взрыва.— Черноголовка, 1980.
Нигматулин Р. И., X а б е е в Н. С. A978). Динамика и тепломассообмен
парогазовых пузырьков с жидкостью // Некоторые вопросы механики
сплошной среды (поев. 70-летию акад. Л. И. Седова)/Под ред. С. С. Григо-
Григоряна.— М.: Ипститут механики МГУ, 1978.— С. 229—243.
Нпгматулпп Р. И., Холин Н. Н. A980). К модели упруго-пластиче-
упруго-пластической среды с дислокационной кинетикой пластического деформирова-
деформирования / Изв. АН СССР. МТТ.—1974.—№ 4.—С. 131—146.
Николаевский В. Н., Басниев К. С, Горбунов А. Т., Зотов Г. А.
A970). Механика насыщенных пористых сред.—М.: Недра, 1970.— 336 с.
Новиков С. А., Дивнов И. И., Иванов А. Г. A966). О фазовом пе-
переходе в железе при ударном сжатии / Физика металлов и металлове-
металловедение.— 1966.— Т. 21, № 2.
Новиков С. А., Синицы на Л. М. A970). О влиянии давления ударно-
ударного сжатия па величину критических напряжений сдвига в металлах II
ПМТФ.—1970.—№ 6.
Новожилов Б. В. A973). Нестационарное горение твердых ракетных
топлив.— М.: Наука, 1973.
Овсянников Л. В. A979). Модели двухслойной мелкой воды / ПМТФ.—
1972.—№ 2.—С. 3—14.
Озерова Г. Е., Степанов А. М. A979). К расчету распространения
радиационного пламени по газовзвеси частиц твердого горючего / ФГВ.—
1979.- JV» 2.
О ленник О. А. A983). Асимптотическое разложение системы уравнений
теории упругости в перфорированной области / Математический сбор-
сборник.—1983.—Т. 120, № 1.
Огппцов А. Н. A980). Обтекание тел дисперсной смесью II Отчет
JV° 2376.— М.: НИИ Механики МГУ. 1980,— 60 с.
По хил П. Ф., Мальцев В. М., Зайцев В. М. A969). Методы иссле-
исследования процессов горения и детонации.— М.: Наука. 1969.
Рахматулип X. А. A956). Основы газовой динамики взаимопроника-
взаимопроникающих движений сплошных сред / ПММ.—1956.— Т. 20, № 2.
Рахматулин X. А. A983). Газовая и волновая динамика.—М.: Изд-во
МГУ. 1983.—200 с.
Рахматулин X. А., Демьянов Ю. А. A961). Расчеты на прочность
при интенсивных кратковременных нагрузках,— М.: Физматгиз, 1961.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 451
Рахматулин X. А., Мамадалиев Н. А. A969). Двухскоростная тео-
теория обтекания топкого профиля / ПМТФ.— 1969.— № 4.
Рахматулина II. X. A977). Нестационарный тепломассообмен при ис-
испарении, конденсированном росте и горении частиц или капель / Отчет
№ 1910.— М.: НИИ Механики МГУ, 1977.
Ривкинд С. Л. A973). Термодинамические свойства газов.— М.: Энергия,
1973.
Руде пк о О. В., Солу ян С. И. A975). Теоретические основы нелиней-
нелинейной акустики.— М.: Наука, 1975.— 288 с.
Руманов Э. Н., Хайкин Б. И. A971). О распространении пламени no-
взвеси частиц в газе / ДАН СССР,— 1971.— Т. 201, № 1.
Рычков А. Д., Щербакова И. В. A979). Расчет обтекания затуплен-
затупленных тел сверхзвуковым двухфазным потоком с отошедшей ударной вол-
волной / Аэродинамика.— Томск, 1979.— С. 3—7.
Салтанов Г. А. A972). Сверхзвуковые двухфазные течения.—Мипск:
Вышейшая школа, 1972.
Салтанов Г. А. A979). Неравновесные и нестационарные процессы в га-
газодинамике однофазных н двухфазных сред.— М.: Наука, 1979.— 286 с,
Салтанов Г. А., ТкаленкоР. А. A972). Об обтекании клипа сверх-
сверхзвуковым двухфазным потоком / Изв. АН СССР. МЖГ.— 1972.— № 2.—
С. 83—88.
Самарский А. А., Попов Ю. П. A975). Разностные схемы газовой ди-
динамики.— М.: Наука, 1975.
Седов Л. И. A981). Методы подобия и размерности в механике.—М.: На-
Наука, 1981.—338 с.
Седов Л. И. A984). Механика сплошной среды. Т. 1; 2.— М.: Наука, 1984.
Семенов Н. И., Косте рин С. И. A984). Результаты исследования ско-
скорости звука в движущихся газо-жидкостпых смесях / Теплоэнергетика,—
1964—№ 3.
Скрипов В. П. A972). Метастабильная жидкость.— М.: Наука, 1972. t
Скрипов В. П., Синицын Е. Н. и др. A980). Теплофизические свой-
свойства жидкостей в метастабильном состоянии.— М.: Атомиздат, 1980.
Солоухин Р. И. A963). Ударные волны и детонация в газах.— М.: Физ-
матгиз, 1963.
С тер нип Л. Е. A974). Основы газодинамики двухфазных течений в соп-
соплах.— М.: Машиностроение, 1974.
Стернин Л. Е,, М а с л о в Б. Н., III р а й б е р А. А., Подвысоц-
кий А. М. A980). Двухфазные моно- и полидисперсные течения газа с
частицами.— М.: Машиностроение, 1980.— 171 с,
С т р у м и и с к и й В. В. A980). Механика и технический прогресс— М.: На-
Наука, 1980.
С ту лов В. П. A979). Об уравнениях ламинарного пограпичного слоя в
двухфазной среде // Изв. АН СССР. МЖГ.— 1979, № 1.
Сычев В. В. A961). Скорость звука в воде и водяном паре па линии на-
насыщения / ИФЖ.— 1961.— Т. 4, № 6.
Тесленко Т. С. A976). Р1зменение тонкой структуры стали после нагру-
жения плоскими ударными волнами // ФГВ.— 1976, № 1.
Тихонов А. Н.. Самарский А. А. A972). Уравнения математической
физики.—М.: Наука, 1972.—376 с.
Тк а лен к о Р. А. A971). К линейной теории сверхзвуковых течений смеси
газа и частиц / Изв. АН СССР. МЖГ.—1971.—№ 1.
Тодес О. М., Гольцикер А. Д. и др. A972). О распространении пла-
пламени в аэродисперсных системах // Горение и взрыв. Матер. III Всесо-
юз. симп. по горению и взрыву.— М.: Наука, 1972.
Файзуллаев Д. Ф., Ум ар о в А. И., Шакиров А. А. A980). Гидро-
Гидродинамика одно- и двухфазных сред и ее практическое приложение.— Таш-
Ташкент: Фан, 1980.
29*
452 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Ф о т е н к о в В. А., Короткое А. И., Ермолаев В. С, С у л и м о в А. А.
A982). Распространение конвективного горения в зарядах насыпной плот-
плотности /ФГВ.—1982.—Т. 18.—№ 2.—С. 137—139.
Франк-Каменецкий Д. А. A967). Диффузия и теплопередача в хи-
химической кинетике.— М.: Наука, 1967.
Христианович С. А., Ш ом я кип Е. А. A964). О динамической
сжимаемости прочных горных пород и металлов / ПМТФ.— 1964.—•
№3.
Цянь Сюэ-Сень A965). Физическая механика.— М.: Мир, 1965.— 544 с.
Черный Г. Г. A967). Асимптотический закон распространения пло-
плоской детонационной волны.— ДАН СССР,— 1967.— Т. 172, ЛГ° 3.— С. 558—
560.
Чудновский А. Ф. A954). Теплообмен в дисперсных средах.— М.: Гос-
техиздат, 1954.— 441 с.
Ш р а й б е р А. А., М и л ю т и н В. Н., Я ц е п к о В. П. A980). Гидромеха-
Гидромеханика двухкомпонентных потоков с твердым полидисперсным веществом.—
Киев: Наукова думка, 1980.
Щ е л к и н К. И., Т р о ш и и Я. К. A963). Газодинамика горения.— М.: АН
СССР, 1963.— 225 с.
Яненко Н. Н., Алхимов А. П. и др. A981). Изменение волновой струк-
структуры при обтекании тол сверхзвуковым двухфазным потоком / ДАН
СССР.—Т. 260, № 4.—С. 821—826.
Яненко Н. Н., С о л о у х и п Р. И., П а п ы р и н А. Н., Ф о Д1 и н В. М.
A980). Сверхзвуковые двухфазные течения в условиях скоростной нерав-
новесности частиц.— Новосибирск: Наука, 1980.— 160 с.
Af gan N. A968). Boiling heat transfer of the binary mixtures / Int. Sum-
Summer School of Heat and Mass. Transfer. Beograd, 1968.
Andrews D. J. A973). Equation of state of the a and & phases of iron II
J. Phys. Chem. Solids.— 1973,— V. 34, № 5.
Balchan A. S. A963). A radiographic study of shock-loaded iron / J. Appl.
Phys.— 1963.— V. 34.— P. 241.
Balchan A. S., Drickamer H. G. A961). High pressure electrical re-
resistance coll and callibration points above 100 kilobars / Rev. Sci. Instr.
1961.—V. 32.—P. 308.
Bancroft D., Peterson E. L.. M i n s h a 11 S. A956). Polymorphism
of iron at high pressure // J. Appl. Phys.—1956.—V. 27,—P. 291—298.
Banerjee S., Chan A. A980). Separated flow models. Analysis of the
averaged and local instantaneous formulations. Higher — order dispersion
effects in the averaged formulation / Int. J. Multiphase Flow.— 1980.—
V. 6.— P. 1—24, 241—248.
Banerjee S., Haneox W. T. A978). On the development of methods
for analysing transient flow-boiling / Int. J. Multiphase Flow.— 1978.—
V. 4.— P. 437—460.
Barker L. M., H ol 1 e n b а с h R. E. A972, 1974). Laser interferrometer
for measuring high velocities of any reflecting surface / J. Appl. Phys.—
1972.— V. 43, No 11. Shock waves study of the phase transition in iron /
J. Appl. Phys.— 1974.—V. 45, No 11.
Batchelor G. K. A970). An introduction to fluid dynamics.—Cambridge,
Univ Press, 1970.—Рус. пер.: Введение в динамику жидкости.—М.: Мир,
1973.- 760 с.
Batchelor G. К. A972). Sedimentation in a dilute dispersion of spheres /
J. Fluid Mcch.— 1972.— V. 52, pt. 2,— P. 245—268.— Рус. пер.: / В сб.: пе-
переводов: Механика.—1973.—№ 6.—С. 43—66.
Bergman L. A954). Ultrasound.— Acad. Press, 1954.— Рус. пер.: Бергман Л.
Ультразвук.— М.: ИЛ, 1957.
Bernecker R. R., Price D. A974). Studies in the transition from do-
f'Jagration to detonation in granular explosives // Combustion and Flame.—
1974—V. 22, parts I, II, III.—P. 111—117, 119—129, 161—170.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 453
Bhaduri D., Bandyopadhyay S. A971). Combustion in coal dust
flame ff Combustion and Flame.—1971.—V. 17, No 1.
Boothroyd R. G. A971). Flowing gas-solids suspensions.—London: Chap-
Chapman and Hall Ltd, 1971.—Рус. пер.: Бусройд Р. Течение газа со взвешен-
взвешенными частицами.— М.: Мир, 1975.
Born M., Wolf Б. A968). Principles of optics.— Pergamon Press, 1968.—
Рус. пер.: Борн М., Волъф Э. Основы оптики.— М.: Наука, 1973.
Bridgman P. W. A963). General review on investigations of high pres-
pressure / Solids under Pressure. Ed. W. Paul, D. Warschauer.— McGraw-Hill
Book Сотр., 1963.— Рус. лер.: / Твердые тела под высоким давлением/
Под ред. В. Пола, Д. Варшауэра.—М.: Мир, 1966.— С. 11—25.
В u r g о у п е Т. Н., Cohen L. A954). The effect of drop size on flame
propagation in liquid aerosol / Proc. Roy. Soc— 1954.— A225.— P. 357—392.
Cable A. A970). Accelerators for hypervelocity impact // Highvelocity
impact phenomena/Ed. R. Kinsiaw.— Acad. Press, 1970.— P3C. пер.: / Вы-
Высокоскоростные явления.— М.: Мир, 1973.
Carlson D. J., Hoglund R. F. A964). Particle drag and heat transfer
in rocket nozzle / AIAA Journal.— 1964.— V. 2, No 11.— Рус. пер.: / Pa-
кетн. техн. и космонавтика.— 1964.— Т. 2, № 11.
Carrier G. F. A958). Shock waves in a dusty gas // J. Fluid Mech.—
1958.— V. 4.— P. 376.
Carslow H. S., Jaeger J. C. A959) Conduction of heat in solids.—
Oxford. Clarendon Press, 1959.— Рус. пер.: Карслоу Г., Егер Д.— Теплопро-
Теплопроводность твердых тел.— М.: Наука, 1964.— 487.
Chapman R. В., Pies set M. S. A971). Thermal effects in the free
oscilation of gas bubbles jj Trans. ASME, ser. D, J. Basic Eng.— 1971.—
V. 93, No 3. Рус, пер.: // Теор. основы инж. расчетов.—1971.—Т. 93, № 3.
С] en den en В. L., Drickamer H. G. A964). The effect of pressure
on the volume and lattice parameters of ruthenium and iron / J. Phys.
Chcm. Solids.— 1964,— V. 25.— P. 865.
Clitt R., Grace J. R., Weber M. E. A978). Bubbles, drops and parti-
particles.— Acad. Press, 1978.
Da bora E. K., Rag land K. W., Ranger A. A. A966). Two phase
detonations and drop shattering studies / Univ. Mich. Second Ann. Pro-
Progress Rept. 06324-2-T, Ann Arbor, Mich,— 1966, April.
Dions J. X., Walsh J. M. A970). Theory of shock: some principles
and calculation method in Eulerian coordinates // High-velocity impact phe-
phenomena. Ed. R. Kinsiaw.— Acad. Press, 1970.— Рус. пер.: / Высокоскорост-
Высокоскоростные ударные явления.— М.: Мир, 1973.
"Dieter G. Е. A960). The effect of strengthening inducing by shock wa-
waves / Strengthening Mechanisms in Solids.— Reiiihold Publ. Corp., I960.—
Рус. пер.: Дитер Г. Е. Эффект упрочнения, вызванный ударными волна-
волнами // Механизмы упрочнения твердых тел.— М.: Металлургия, 1965.
Dnimmond W. Е. A957). Multiple shock production // J. Appl. Phys.—
1957.—V. 28, No 9.—P. 998—1001.
Duvall G. E., Graham R. A. A977). Phase transitions under shock-
wave loading / Rev. Mod. Phys.— 1977.— V. 49, No 3.— P. 523—579.
Ergun S. A952). Fluid flow through packed columns // Chem. Eng. Pro-
Progress.— 1952.— V. 48, No 2. P. 89—94.
Erkman J. O., Christensen A. B. A967). Attenuation of shock wa-
waves in aluminium. J. Appl. Phys.— 1967.— V. 38, No 13.
Giles P.M., Long en bach M. H., Marder A. R. A971). High-pressu-
High-pressure martensitic transformations in iron / J". Appl. Phys.—1971.— V. 42,
No 11.
Oilman J. J. A968). Dislocation dynamics and the responce of materials
to impact // Appl. Mech. Rev.—1968.—V. 21, No 8.—Рус. пер.: / В сб.:
переводов: Механика.— 1970.— № 2.
454 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Golovachov Ju. P., Lunkin Ju. P., Mymrin V. F., Schmidt A. A.
A980). Supersonic motion of bodies in dusty gas / Acta Astronautics.—
1980.— V. 7, No 5.— P. 575—583.
Go ugh P. S., Z warts F. J. A979). Modeling heterogeneous two-phase
reacting flow // A1AA Journal.—1979.—V. 17, Ко 1. P. 17—25.
Grace F. I. A969). Shock-wave strengthening of coper and nickel / J.
Appl. phys.— 1969.— V. 40, No 6.
Grigorian S. S., Kozorezov K. I., Nigmatulin R. I. et al A972).
Non-steady shock waves in metals with phase transitions and hardening by
explosion / Astronautica Ada.— 1972.— V. 17, No 4—5.— P. 405—419.
Han cox W. Т., Ferch R. L., Lin W. S., Nieman R. E. A980) One
dimensional models for transient gas — liquid flows in ducts / Int. J. Mul-
Multiphase Flow.— 1980. V. 6, N 1—2.— P. 25—40.
Happel J., Brenner H. A965). Low Reynolds number hydrodynamics.—
Prentice — Hall, 1965.— Рус. пер.: Хаппель Дж., Брепер Г. Гидродинамика
при высоких числах Рейнольдса.— М.: Мир, 1976.— 631 с.
Н а г 1 a w F. Н. A964). Numerical method of particles in cells for hydro-
hydrodynamics problems / Methods in Computational Physics. Ed. B. Alder,
S. Fernbach, M. Rotcnberg.— New York: Acad. Press.— 1964.— V. 3.— Рус.
пер.: И Вычислительные методы в гидродинамике.— М.: Мир, 1967.
Henry R. E., Fauske H. К. A971). The two-phase critical flow of one—
component mixture m nozzles, orifices and short tubes Ц Trans. ASME.
Ser. C, J. Heat Transfer.—1971.—No 2.—P. 179—187.—Рус. пер.: / Тепло-
Теплопередача. Труды Амер. об-ва инж.-мех. Сер. С— 1971.— № 2.
Herringo R. А. A977). Motion particle investigation induced by two
dimensional oscilations of liquid / Int. J. Multiphase Flow.— 1977.— V. 3,
No 3.
Hirschf elder J. O., Curtiss С R, Bird R. B. A954). Molecular
theory of gases and liquids.— New York: John Wiley and Sons, 1954.—
Рус. пер.: Хиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная тео-
теория газов и жидкостей.— М.: ИЛ, 1961.
Hoffman S. J., К г i е г Н. A980). Deflagration — to — detonation transi-
transition in porous explosives and propellants // AIAA Paper.—1980.—No 1205.
Hulst H. C. A957). Light scattering by small particles.— New York: John
Wiley and Sons; London: Chapman and Hall, 1957.— Рус. пер.: Хюлст Г.
Рассеяние света малыми частицами.— М.: ИЛ, 1961.
Ishii M. A975). Thermo-fiuid dynamic theory of two-phase.—flow.—Pa-
two-phase.—flow.—Paris: Eyrolles, 1975.
Ibhii M., Zuber N. A979). Drag coefficient and relative velocity in
bubbly, droplet or particulate flows. / AlChE, 1979, v. 25, N 5, p. 843—855.
Jamisen J. C, Lawson A. W. A962). X-ray diffraction studies in the
100 kilobar pressure range Ц J. Appl. Phys.—1962.—V. 33.—P. 776.
Johansson С. Н., Person P. A. A970). Detonics of high explosives.—
Acad. Press, 1970.— Рус. пер.: Юхансон К., Персон П. Детонация взрыв-
взрывчатых веществ.— М.: Мир, 1973, 352 с.
J о h a n s о п Р. С, Stein В. A., Davis R. S. A962). Temperature de-
dependence of shock induced phase transformations in iron // J. Appl. Phys.—
1962.— V. 33.— P. 557.
Jones A. H., Maiden С J., Isbell W. M. A970). The effect of high —
pressure shock waves on metals: mechanical and metallurgical behaviour.—•
In: Mechanical Behaviour of Materia/s under Pressure. Ed. H. Pugh / Else-
vier Publ. Co. Ltd.—1970.—V. 2.—P. 680—747.—Рус. пер.: / Механиче-
Механические свойства материалов под высоким давлением/Под ред. X. Пью.— М.:
Мир.— 1973.— Т. 2.— С. 288—323.
Jones A. V., Prosperitty A. A985). On the suitability of firstorder
differential models for two-phase flow prediction // Int. J. Multiphase
Flow.— 1985.— V. 11, N 2.— P. 133—148.
Jones O. S., Z u Ь е г N. A978). Bubble growth in variable pressure fields. //
Trans. ASME. J. Heat. Transfer.—1978.—V. 100, N 3.—P. 453—459.—Рус.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 455
пер.: Джоунз О. С, Зубер Н. Рост пузырьков пара в поле переменного
давления ff Теплопередача.— 1978.— Т. 100, № 3.— С. 75—83.
Kakac S., Yener У. A979). Heat conduction.— Ankara: Middle East
Technical Univ., 1979.— 431 p.
Kaufman L. A963). Phase equilibriums and transformations under pressu-
pressure I/ Solids under Pressure/Ed. W. Paul, D. M. Warschauer.— McGraw —•
Hill Book Сотр., 1963.— Рус. пер.: ff Твердые тела под высоким давле-
нисм/Под ред. В. Пола, Д. Варшауэра. М.: Мир.— 1966.— С. 340—398.
Keeler R. N., Roy се Е. В. A971). Shock waves in condensed media.—
In: Physics of High Energy Density. Ed. P. Caldirola, H. Knoepl'el.— Acad.
Press, 1971.— Рус. пер.: / Физика высоких плотностей энергии/Ред.
П. Кальдироли, Г. Кнопфель.— М.: Мир, 1974.
King L. V. A934). On the acoustic, radiation pressure on sphere ff Proc.
Roy. Soc— 1934.—V. A147, No 861.—P. 212.
Knapp R. Т., Daily J. W., Hammitt F. G. A970). Cavitation.—
McGraw — Hill Book Co., 1970.—Рус. пер.: Кнопп Р., Дейли Дж., Хэммит Ф.
Кавитация.— М.: Мир, 1974.— 688 с.
Krior H., Gokhalets S. A978). Modelling of convective mode combus-
combustion through granulated propellent to predict detonation transition ff AIAA
Journal.— 1978.— V. 16, No 2.
Kuo K. K., Vichnevetsky R., Summer field M. A973). Theory
of flame front propagation in porous propellant charges under confinement /
AIAA Journal—1973.—V. 11, No 4.
Longwoll J. A956). Combustion of liquid fuel / Combustion Processes/
Ed. B. Lewis, R. N. Pease, H. S. Taylor.— Princeton Univ. Press, 1956.— Рус.
пер.: /I Процессы горения/Под ред. Б. Льюиса, Р. Н. Пиза, X. С. Тэйлора.—
Ы.: Физматгиз, 1961.
Madpr С. L. A979). Numerical modeling of detonation.— Univ. of Califor-
California Press, 1979. Рус. пер.:—Ч. Мейдер. Численное моделирование детона-
детонации.— М., Мир, 1985.— 384 с.
Mar hie F. F. A970). Dynamics of dusty gases / Ann. Rev. Fluid Mech.—
1970.—No 2.—Рус. пер.: ff В сб. пер. Механика.—1971.—№ 6.
McQueen R. G., Marsh S. P. et al. A970). Equations of state ol solids
on shock wave investigation / High-Velocity Impact Phenomena/Ed.
R. Kinslaw.— Acad. Press, 1970.— Рус. пер.: ff Высокоскоростные ударные
явления.— М.: Мир, 1973.
Nettie ton M. A. A977). Shock-wave chemistry in dusty-gases and fogs:
a review ff Combustion and Flame.— 1977.— V. 28, No 1.
Nichols J. A., Bar-Oz P., Gabrijel Z., Petkus E. A980). Recent
experiments on heterogeneous detonation waves / AIAA Journal.— 1980.—
V. 18, No 5.
Nigmatulin R. I. A979). Spatial averaging in the mechanics of hetero-
heterogeneous and dispersed systems ff Int. J. Multiphase Flow.—1979.— V. 5,
No 5.— P. 353—385.
ISigmatulin R. I., Khabeev N. S., Nagiev F. B. A981). Dynamics,
heat and mass transfer of vapour-gas bubbles in a liquid ff Int. J. Heat and
Mass Transfer.—1981.—V. 24, No 6.—P. 1033—1041.
Nigmatulin R. I., Kholin N. N. A979). Dislocation concepts in the
mechanics of rapid deformation of metals / High Velocity Deformation of
Solids/Ed. K. Kawata, J. Shion.—Springer-Verlag.—1979.—P. 67—81.
Otterman В., Levine A. S. A974). Analysis of gas-solid particle flows
in shock tubes / AIAA Journal.—1979.—V. 12, No 5. Рус. пер.: ff Ракетпая
техника и космонавтика.— 1974.— Т. 12, № 5.
Outa E., Tajima К., Мог ii H. A976). Experiments and analvses on
shock waves propagating through a gas-particle mixture ff Bull. JSME.—
1976.— V. 19.— P. 130.
Plessel M.S., Prosperetti A. A977). Bubble dynamics and cavita-
cavitation. Ann. Rev. Fluid Mech.— 1977.— V. 9.— P. 145—185.
456 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Plessot M. S., Zwick S. A. A954), The growth of vapour bubbles in
super heated liquids / J. Appl. Phys.— 1954.— V. 25, N 4.— P. 493—500.
Biclitmyer R. D., Morton K. W. A967). Difference methods for ini-
tialvalue problems.— Intersci. PubL, 1967.— Рус. пер.: Рихтмайер Р., Mop>-
тон К. Разностные методы решения краевых задач.— М.: Map, 1972.—
420 с.
Bietema К. A982). Science and technology of dispersed two-plase sys-
systems / Chem. Eng. Sci.—1982.—V. 37, No 8.—P. 1125—1150.
Rinehart J. S., Pearson J. A963). Explosive working of metals.—
New York: Pergamon Press Book, Macmillan Company, 1963.— Рус. пер.:
Райнхарт Д. С, Пирсоп Д. Взрывная обработка металлов.—М.: Мир, 1966.
Rudinger G. A964). Some properties of shock relaxation in gas flows
carrying small particles / Phys. Fluids.—1964.— V. 7, No 5.
Saffmaa P. G. A965, 1968). The lift on a small sphere in a slow shear
flow I/ J. Fluid Mech.— 1965.— V. 22, pt 2.— P. 385—500; 1968, v. 31, pt. 3.—
P. 624.
Sancer-Palencia E. A980). Non homogeneous media and vibration
theory И Lect. Notes in Physics: Springer-Verlag, 1980.— P. 127—143.
Scriven L. E. A959). On the dynamics of phase growth / Chem. Eng.
Sci.— 1959,— V. 10, No 1.
Soo S. L. A967). Fluid dynamics of multi-phase systems.— Toronto — Lon-
London, 1967.— Рус. пер.: Coy С. Гидродинамика многофазных систем.— М.:
Мир, 1971.— 536 с.
Soper W. G. A973). Ignition waves in gun chambess В Combustion and
Flame.- 1973.- V. 20.- P. 157-162.
Spalding D. B. A955). Some fundamentals of combustion.— Londonr
Chapman and Hall, 1955.— Рус. пер.: Сполдинг Д. Основы теории горения.—
М.; Л.: Госэнергоиздат, 1959.
Stever H. G. A958). Condensation phenomenon in high speed flows /f
Fundamentals of gas dynamics/Ed. H. W. Emmons.— Princeton Univ. Press,.
1958.— Рус. пер.: Основы газовой динамики/Под ред. Г. Эммонса.— М.: ИЛ,
1963.
Takahasi Т., Bassett W. A964). High pressure polymorph of iron /
Science.— 1964.— V. 145.— P. 483.
Tern kin S., Dobbins R. A. A966). Measurement of attenuation and
dispersion of sound by an aerosol / J. Acoustic. Soc. Amer.— 1966.— V. 40,
No 5,— P. 1016—1024.
Walsh .7. M., Rice M. II.. McQueen R. G., Yarger F. L. A957).
Shock wave compressions of twenty-seven metals. Equations of state of me-
metals I/ Phys. Rev.— 1957.— V. 108, No 2.
Way land G. A978). Dust explosions / Ann. Rev. Fluid Mech.—1978.—
V. 10.— P. 93—105.
Wilkins M. L. A964). Calculation of elastic-plastic flows.—In: Methods
in Computational Physics. Ed. B. Alder, S. Fernbach, M. Rotenberg Ц New
York: Acad. Press.— 1964.— V. 3.— Рус. пер.: ff Вычислительные методы в
гидродинамике/Под ред. Б. Олдера, С. Фернбаха, М. Ротенберга.— М.:
Мир, 1967.
Williams F. А. A964). Combustion theory.— Addison — Wesley Publ. Co._
1964.— Рус. пер.: Вильяме Ф. А. Теория горения.— М.: Наука, 1971.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абуталиев Ф. Б. 349
Айдагулон Р. Р. 374
Акуличев В. А. 130
Лльтшулср Л. В. 244, 252, 253, 281, 285
Ананьин А. В. 248, 288, 294, 295
Ахатов И. Ш. 426, 430
Ахмадеев Н. X. 149, 249, 288, 297
Ахметова К. А. 297
Ащеиков Н. В. 439
Базаров И. П. 38, 445
Баланин Б. А. 401
Баренблатт Г. И. 445, 448
Басниев К. С. 450
Вахвалов Н. С. 60
Белодерковекий О. М. 349, 388
Беляев А. Ф. 420, 439
Бердичевский В. Л. 60
Боголюбов Н. Н. 364, 369
Болотин В. В. 446
Борисов А. А. 165, 332
Еуевич Ю. А. 74
Вайнштейн П Б. 403, 417, 422, 425, 430
Варшавский Г. А. 408
Воинов О. В. 159, 161
Вукалович М. П. 441
Ганиев Р. Ф. 301, 37'»
Гельфанд Б. Е. 164, 332, 433
Гилинский М. М. 401, 447
Гогосов В. В. 25
Годунов С. К. 149, 198, 315
Головин А. М. 74, 156, 174
Голь.чштни М. А. 75, 154
Гонор А. Л. 165, 172, 180
Григорян С. С. 283, 288
Губайдуллии А. А. 349, 351
Губин С, А. 164, 4-17
Гуиеров Н. А. 202
Гупало 10. П. 173, 175
Давыдов 10. М. 349, 388, 446
Дейч М. Е. 130
Дерибас А. А. 288, 290, 291, 294
Дорохов И. Н. 448
Дремин А. Н. 249, 261, 270, 2И, 2Ь8, 294
Дубовицкий В. Д. 420
Духин С. С. 371
Ивандаев А. И. 159, 165, 329, 349, 438
Иванов А. Г. 274, 282, 288
Ильюшин А. А. 448
Ильясов Н. М. 349, 445
Илюхин В. G. 249, 270
Яонушас К. К. 418
Иорданский С. В. 313
Калинин В. А. 244, 440
Канель Г. И. 288, 294, 445
Кафаров В. В. 448
Кириллин В. А. 448
Клебанов Л. А. 300
Когарко Б. С. 449
Козорезов К. И. 283
Колесников А. Ф. 25
Крапко А. Н. 302, 304, 318
Красильников В. А. 367, 371, 373
Крошилин А. Е. 65. 300
Крылов В. В. 367, 371, 373
Кузнецов Н. М. 249, 440
Куликовский А. Г. 313
Кутушев А. Г. 159, 165, 333, 349, 351
Лайуяцов Д. А. 240
Лаврентьев М. М. 315
Левин В. А. 449
Левич В. Г. 159
Лейпунский О. И. 418
Лябрович В. Б. 448
Лихачев В. Н. 180
Лойцянский Л. Г. 449
Ляхов Г. М. 107
Мамадалиев Н. А. 375, 451
Матвеев С. К. 401
Махвиладзе Г. М. 448
Мержанов А. Г. 446
Мирзаджанзаде А. X. 449, 450
Митропольский JO. А. 364, 309
Мусаев Н. Д. 138, 450
Несис Е. И. 240
Нигматулин Б. И. 300, 329
Нпгматулин Р. И. 24, 54, 96, 149, 242,
300, 333, 388, 418, 433
Николаевский В. Н. 450
Новиков С. А. 252, 274, 282, 288
Еникеев И. X. 388
Ермолаев Б. С. 420
Жарков В. Н. 244, 440
Зельдович Я. Б. 127, 244, 259, 285, 406
Овсянников Л. В. 304
Олейник О. А. 60, 450
Осипцов А. Н. 376
Охоцимский. А. Д. 206
Петров А. Г. 159, 161
Ноляния А. Д. 173, 175
458
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Попов В. В. 430
Похил П. Ф. 249, 270
Райзер 10. П. 244, 259, 285, 406, 407
Рахматулин X. А. 31, 57, 140, 304, 375
Рахматулина И. X. 225, 414
Ривкинд В. Я. 165
Рождественский Б. Л, 303
Руманов Э. Н. 417
Рябенький Б. С. 417
Рязанцев Ю. С. 173. 175
Салтанов Г. А. 376. 451
Самарский А. А. 198
Седов П. И. 25, 30, 35, 357, 422
Скрипов В. П. Ш
Солоухин Р. И. 261, 449, 452
Стасенко А. Л. 401
Стеньгач В. В. 439
Степанов А. М. 417
Стернин Л. Е. 302, 304
Струминский В. В. 451
Стулов В. П. 451
Сычев В. В. 448, 451
Телетов С Г. 45
Тесленко Т. С. 294
Тирский Г. А. 25, 449
Ткаленко Р. А. 376, 382
Тодес О. М. 417
Трошин Я. К. 261, 438
Украинский Л. К. 361, 374
Файзуллаев Д. Ф. 451
Филиппов Г. А. 130, 448
Фомин В. М. 401, 447, 452
Фотенков В. А. 438
Франк-Каменецкип Д. А. 408
Френкель Я. И. 127
Хабеев Н. С. 191, 213, 450
Холин Н. Н. 149, 450
Brenner H. 74
Burgoyne Т. 418, 419
Chan A. 318
Chao В. 208
Chapman R 118, 214
Clendenen R. 273
Dabora E. К. 105
Dobbins R. A. 3.40, 331
Doring- W. 127
Drickamer II. 272 273
Erummond W. 274
Ergun S. 139
Erkman J. 248, 252
Florchuetz L. 208
Gouth P. 436
Haberman W. 161
Hancox W. 304, 318
Happel J. 74
Harlow F. 349
Hoffman S. 436
Hollenbach R. 288, 296
Ishii M. 45, 452
Jamiesen J. 273
Johanson P. 273
Jones A. 310
Kaufman L. 274
Keller R. 244
King L. 369, 373
Knapp R. 179, 240
Krier H. 420, 436
Kuo K. 420
Черный Г Г 431, 449
Чижов В. Е. 74
Levine A. 340
Longwell J. 405
ПГведов К. К. 249, 440
Шейндлин А. Е. 449
Шемякин Е. И. 452
Шрайбер А. А. 390, 445
Щелкин К. И. 261, 438
Яненко Н. Н. 303, 401, 452
Afgan N. 240
Balchan A. 272
Bancroft D. 272, 273
Banerjee S. 304, 318, 452
Barker L. 288, 296
Batchelor G. 74, 161
Becker R. 127
Bernecker R. 435, 436, 438, 439
Bhaduri D. 417
Birkhoff G. 162
McQueen Л. 276
Morii II. 332
Nettleton M 433
Nichols J. 433
Otterman B. 349
Outa E. 332
Plesset M. И 8. 159, 204, 214, 215, 240
Price D. 435, 436, 438, 439
Prosperitty A. 159, 310
Ragland K. W. 165
Banger A. A. 165
Rubinov S. 153
Rudinger G. 347, 348
Safman P. 155
Sancher-Palencia J5. 456
Scriven L. 238, 240
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
459
Soo S. 173, 406
Soper W. 436
Spalding B. 408
Stever H. 130
Tajima K. 332
Takahasi T. 273
Taylor J. 149
Temkin S. 330, 331
Volmer M. 127
Wallis G П2
Wayland G. 433
Wrlkins M. 248, 267
Williams F 419
Zuber N. 28, 240, 454
Zwick S. 20i, 240
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адамара — Рыбчинекого
174
Аррениуса закон 408
решение 159,
Баротропия 108, 301, 361, 376
Бернулли интеграл 378
Бонда число 12, 162, 165, 169
Вебсра число 13, 103, 1С0, 168
Вектор главных поверхностных сил 56,
U!)
•— потока тепла 22, 7)
— рлбогы внешних поверхностных сил
13, 22, 71, 139
Волна ретонационная при горении 439
— ударная в газовзвеси 334, 344, 357
разрежения 241, 255, 274
— PJR 298
Газ калорически совершенный 85, 98,
102
Гаусса — Остроградского теорема 1Я
Герца — Кнудсена — Леигмюра формула
88. 231
Глббеа потенциал 11, 37, 84, 128, 150
— число 12, 130
Гилмора уравнение 180
Гипотеза локального равновесия 30
— плоских сечений 154
Гомобаричность 111, 177, 184, 421
Грюнанзена коэффициент 243, 248
Гука закон 147
Давление 30, 56
— па поверхности частицы 64, 81, 87
— насыщения 86, 440
— хаотического движения частиц 316
Дальтона закон 404
Дарси закон фильтрации 28
Движение ползущее (стоксово) 70, 74
156, 174
— потенциальное 63, 378
Декремент затухания возмущений 12,
117, 121, 125, 214, 306, 330
Деринга — Вольмира формула 130
Детонация газовзвеси 420, 425
—, зона реакции (химпик1 262, 431, 433
— конденсированных ВВ 260
— нелосжатая, пересжатая 263, 428
•—, ударная адиабата 262, 426
— Чепмена — Жуге 263, 428
Диссипация 32, 59, 83, 119, 125, 160,187,
ЗРЯ
Диффузионное приближение 24, 25, 407
Дюачеля интеграл 198
Излучение акустическое 179, 209
— частиц при горении 405
Кельвина — Гельмгольца неустойчивость
163
Кинетика теплообмена 204
— фазовых переходов 150, 253
— химической реакции 254, 408
Киркнуда — Беге гипотеза 179
Клапейрона — Клаузиуса уравнение 196,
250
Колебания малые 309, 325, 366, 371
— радиальные пузырьков вынужденные
121, 216, 229
свободные 117, 209, 213
Континуум многоскоростной 18
Концентрация компонент в смеси 177,
405
— массовая 7, 9, 98, 181
— объемная И, 26, 46. 181
— числовая дисперсных частиц 68, 181
Коши — Лагранжа интеграл 64
Коэффициент аккомодации 1, 88
— аспирации падающих частиц 387
— взаимодействия частиц 95, 390, 396
— восстановления нормальной скорости
при соударении 94, 389, 396
— вязкости 12, 63, 70,105, 125
— диффузии 12, 178, 405
— отражения частиц 389
— поверхностного натяжения 44, 84,
160
— поглощения излучения 405, 406
— сопротивления при обтекании сферы
152, 159
¦ затупленного тела 397, 398
— стесненности частиц 65, 101
— температуропроводности 12, 92, 173
— теплоемкости 9, 249. 324, 440
— теплопроводности 12, 81, 178, 405
— трения 73, 92, 94. 100, 139. 159
Кюри принцип симметрии 39
Лапласа уравнение 64
— число 13, 164, 165, 167
Маха число 13, 92. 105, 375, 389
Мизеса условие 147
Минна ерта формула 117
Модель вязкоупругой жидкости 105
— многоскоростная 26
— односкоростная 26, 103
— пластического газа 140, 435
¦— равновесная 98
Модуль объемного сжатия 9, 275,
— сдвига 9, 147, 252, 440
76
Напье — Стокса уравнения движения 39,
63
Нуссельта число 13, 81, 92, 113 1?2 141
172, 188, 199, 219
Ньютона закон вязких напряжений 175
460
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Оизагера принцип взаимности 39
Осреднение 46, 49—54
Пекле число 13, 118, 122, 124, 173, 175
Плотность 12, 18, 26
Поверхность межфазная 7, 11, 41, 68
— разрыва 35
Пористость 10, 259, 435
Прандтля — Аккерета формула 383, 384
Прандтля число 13, 92, 174, 400
Предел текучести сдвиговой 147, 252
Производная субстанциональная 19, 23
Равновесие термодинамическое 25, 30,
86
Рейнольдса число 13, 70, 75, 92, 105,
154, 312, 400
Рэлея — Ламба (— Плессета) уравнение
64, 65, 105, 125, 135, 179, 206
Рэлея — Михельсона линия 257, 262,
427
Рэлея режим роста пузырька 206
Рэлея — Тейлора неустойчивость 162,
169
Свободная энергия фаз 84
Сила Архимеда 73, 76, 78, 137, 157, 312
— Бассе 73, 157, 198
— вибрационная 366, 368, 372
— Магнуса 73, 154
— межфазного взаимодействия 9, 11,28,
31, 56, 68, 78. 103, 134, 137, 378, 386
•— на твердую сферу 154—157
— подъемная 383, 387
— присоединенных масс 73, 137, 157
— радиационного давления 373
— Стокса 154, 156, 160, 301, 361
— термодинамическая 37
— трения 73, 137, 157, 301. 368
Скорость групповая волн 308, 326
— диффузионная 11, 18
— звука 8, 98, 256, 259, 276, 302
замороженная 9, 107, 306, 323,375
равновесная 9, 98, 108, ЗОВ, 323
— продольных упругих волн 9, 256
— радиальная И, 61, 63
— смеси барицентрическая (средне-
массовая) 18, 303
— среднеобъемная 70
— фазовая волн 305, 308, 325
— фазового перехода 7, 9, 12, 19, 127,
149, 182, 224, 234, 254, 272
Смесь гетерогенная, гомогенная 15, 24
— дисперсная 15, 60, 105, 133
Среда двухпараметрическая 30
— трехпараметрическая 265
— упругопластическая 146 251 252
Стокса закон 74, 92, 100, 152, 378
Струхаля число 13, 165
Температура насыщения 32, 85, 183, 195
— фазы, смеси 30, 86
Тензор напряжений 11, 20, 25, 31, 55,
63, 78, 136, 146, 252
Лагранжев 142
— — межфазных 66, 69
¦ микронапряжений 42
приведенный 68, 78. 89, 104, 136
пульсационных 55, 70, 89
Тензор скоростей деформации 11, 25, 79
Теплота взрыва (фугасная) 251, 261.
404, 440
Триллинга — Херринга гипотеза 179
Уравнение внутренней энергии фазы 29>
— дисперсионное 305, 307, 311, 322
— диффузии 178, 23U
— импульсов смеси 21, 33, 41, 134
фаз 20, 54, 72, 76, 90, 134, 179
— массы смеси 20, 62, 143
фаз 19, 53, 61, 90, 134, 143
— микродвижения 41
— переноса излучения 406
— притока тепла 30, 59, 110—143
— совместного деформирования фаз 27.
31, 62, 78, 105, 146
— состояния 30, 84, 102, 108
— •— для дисперсной смеси 85, 90, 404
конденсированной фазы 242, 248
— сохранения на межфазной границе-
44, 81
на поверхности разрыва 35, 243.
276
— равновесия фаз 86, 129, 149
— числа дисперсных частиц 61, 103.
134
— энергии кинетической макродвиже-
макродвижения фаз 29, 80, 90
полной макродвижения смеси 22.
90
фаз 22, 29, 58, 80, 135, 143
• пульсационного мелкомасштабного»
движения 60
Устойчивость мешфазных границ 161—
172
Фаза 26
— дисперсная, несущая 15, 61
—• поверхностная (S-фаза) 43
Фазовый переход 9. 19, 88, 134
— —, теплота 38, 85, 150, 178, 250, 40*
Фика закон диффузии 178, 181, 405
Фруда число 169, 336
Фурье закон теплопроводности 39, 405>
Химпик 262, 431, 433
Частота собственных колебаний пузырь-
пузырька 117, 125, 214, 219
Шервуда число 13, 172, 174, 175
Шмидта число 13, 174
Эйнштейна формула вязкости 70
Энергия активации 128, 408
— внутренняя фазы, смеси 30, 58, 78.
140, 143
— кинетическая пульсационного дви-
движения 10, 21, 58, 83
• фазы, смеси 21, 80
— полная фазы, смеси 21, 58, 78
— свободная 84
Энтальпия 9, 10, 33. 84
Энтропия 30, 36, 84
Якоба число 13, 116, 202, 206, 239
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Обозначения 7
Введение 15
Дисперсные смеси A5). Главные допущения A5).
Глава 1. Уравнения механики сплошных гетерогенных сред 18
§ 1. Феноменологическая теория многоскоростного континуума 18
Уравнения сохранения для составляющих A9). Диффузионное прибли-
приближение для гомогенных смесей B4). Особенности математического опи-
описания гетерогенных смесей B6). Межфазныи обмен импульсом и энер-
энергией B8). Термодинамические уравнения состояния фаз C0). Схема
X. А. Рахматулина силового взаимодействия и совместного деформиро-
деформирования фаз C1). Работа внутренних сил C1). Система уравнений дви-
движения ./V-фазной смеси вязких сжимаемых фаз с общим давлением C2).
Поверхности разрыва C5). Диссипативная функция и производство
энтропии в двухфазной среде с фазовыми переходами C6). Линейные
феноменологические соотношения между термодинамическими силами
и потоками C8).
§ 2. Пространственное осреднение в механике гетерогенных смесей 40
Уравнения, описывающие микродвижение в гетерогенных смесях D1).
Уравнения, описывающие процессы на мешфазных границах D2). Осред-
ненныс параметры по фазам и межфазным поверхностям и их свойства
D5). Осреднение по фазам производных по времени и пространствен-
пространственным координатам E0). Общий вид осредненных уравнений сохранения
E2). Осредненные уравнения импульсов фаз E4). Главный вектор меж-
межфазных сил давления E6). Осредненное уравнение энергии фаз. Урав-
Уравнение энергии пульсационного движения фазы E8). Об осреднении
уравнений момента импульса фаз F0).
§ 3. Уравнения механики бесстолкповительной монодисперсной смеси 60
Уравнения сохранения масс фаз F1). Уравнения совместного деформи-
деформирования фаз F2). Сферически симметричное движение несжимаемой
жидкости вокруг пузырька F3). Приведенные тензоры напряжений и
векторы, характеризующие перенос импульса и энергии в дисперсной
смеси F6). Уравнения импульсов фаз G2). Сила, действующая на ча-
частицу со стороны несущей жидкости G3). Различные формы записи
уравнений импульсов фаз G6). Уравнения энергии фаз G7). Межфаз-
Межфазная работа и теплообмен (80). Уравнения притока тепла фаз (82). Урав-
Уравнения состояния (84). Уравнения термодинамического равновесия дис-
дисперсной смеси (86). Кинетика фазовых переходов (88).
§ 4. Уравнения гидромеханики монодисперсиой смеси идеального
газа с каплями или частицами (газовзвесей) 89
Уравнения сохранения, совместного деформирования и состояния фаз
(89). Межфазное взаимодействие в газовзвеси C1). О граничных ус-
условиях на непроницаемых поверхностях (93). Газовзвесь с фракциями
падающих и отраженных от твердой поверхности частиц (93). Уравне-
Уравнения на скачке в газовзвеси (95). Равновесная схема газовзвеси в
виде калорически совершенного газа (98). «Замороженная» схема
(99). Время скоростной межфазной релаксации (99).
§ 5. Уравнения гидромеханики монодисперсных смесей жидкости с
пузырьками газа или пара 100
Уравнения сохранения, совместного деформирования, силового взаимо-
взаимодействия и состояния фаз A01). О тензоре напряжений в пузырьковой
смеси A04). Односкоросгная схема с эффективной вязкостью, поли-
политропическим газом малой обьемной концентрации и несжимаемой несу-
4g2 ОГЛАВЛЕНИЕ
шей жидкостью A04). Схемы взякоупругой жидкости и идеальной сжи-
сжимаемой жидкости для описания пузырьковых смесей A05).
5 6. Методы описания межфазного тепло- и массообмена в пузырь-
пузырьковой среде 108
Понятие ячейки и пробной частицы в дисперсной среде A09) Сфе-
Сферически-симметричная ячейка A10). Двух- и трехтечпературная схе-
схемы межфазного тепло- и массообмена (ИЗ). Тепло- и магсообмен
при малых радиальных пульсациях пузырьков (И 7) Эффективные
коэффициенты теплообмена для пульсирующих пузырьков с жид-
жидкостью в рамках трехтечпературной схемы A22). Эффективный коэффи-
коэффициент вязкости при радиальных пульсациях A24).
$ 7. Образование зародышей дисперсной фазы в перегретой жидко-
жидкости и переохлажденном паре 127
Гомогенное (термофлуктуационное или спонтанное) зародышеобразова-
ние A27К Гетерогенное зародышеобразование A32).
§ 8. Учет полидисперсности или многофракционности дисперсные
смесей 133
$ 9. Внутрифазные я межфазные взаимодействия в плотно упако-
упакованных зернистых, порошкообразных и пористых средах 136
Тензор напряжения в дисперсной фазе A36). Межфазная сила AJ7).
Работа поверхностных сил Уравнения притока тепла A33)
"§ 10. Уравнения механики двухфазпой упругопластическоч сплоптой
среды в односкоростпом, одпотемпературном и с общим давле-
давлением фаз приближении : 141
Уравнения сохранения двухфазной среды в односкороотном приближе-
приближении в лагранжевых переменных A4O Тензор напряжений в двухфа s-
ной упругопластической среде A46). Кинетика фазовых переходов A49).
Глава 2. Механика процессов около дисперсных частиц, капель и
пузырьков 152
§ 1. Обтекание твердой сферы 152
Обтекание твердой сферы поступательным на бесконечности потоком
A52) Вращение сферической частицы A53) Влияние непоступательно-
непоступательности потока вдали от частицы A55). Влияние радиального движения
около сферы A56). Нестационарные эффекты силового взаимодействия
фаз A56).
$ 2. Обтекание капли и пузырька. Дробление 159
Внутреннее движение и деформация капель и пузырьков A59). Устойчи-
Устойчивость сферических межфазных границ A61). Дробление капель в газо-
газовых потоках A64).
'§ 3. Тепло- и массообмен около капли, частицы и пузырька . . . 172
§ 4 Основные уравпения, описывающие сферически-симметричные
процессы движения, тепло- и массообмепа вокруг капли или пу-
пузырька 175
Условия однородности давления A76). Уравнения состояния A77). Урав-
Уравнения диффузии A78). Акустическое излучение A79). Граничные усло-
условия A81). Случай однокомпонентной газовой фазы A83).
tj 5. Динамика и теплообмен при пульсациях газового пузырька без
фазовых переходов 185
§ 6. Динамика, тепло- и массообмен при пульсациях паровых пузырь-
пузырьков с фазовыми переходами 190
Поведение парового пузырька при ударном воздействия A91). Схема од-
однородного равновесного парового пузырька A95). Режим с малым из-
изменением радиуса пузырька A98). Режим с малым изменением давле-
давления внутри пузырька B01). Уравнение кинетики нестационарного тепло-
теплообмена вокруг парового пузырька B05). Термический режим смыкания
и роста пузырька B06). Инерционный режим роста и смыкания парового
пузырька" B06). Безразмерный параметр, характеризующий влияние
инерции и теплопроводности жидкости B07).
5 7. Малые колебания газовых и паровых пузырьков 208
Свободные колебания B13). Вынужденные колебания B16). Теплообмен
газового пузырька при малых радиальных пульсациях, ускоряющемся
сжатии и расширении B20). Рост паровою пузырька при вынужденных
колебаниях в акустическом поле B22).
ОГЛАВЛЕНИЕ 463
§ 8. Тепло- п массообмен около частицы или капли 223
Равновесные параметры системы частица (капля)—газ B24). Нестацио-
Нестационарная стадия тепло- и массообчена капли в паре B25). Эффекты не-
нестационарного тепло- и массообмена капли в акустическом поле B20).
§ 9. Предельные процессы при фиксированных условиях вдали от
капли и пузырька 233
Стационарный режим тепло- и массообмена около капли B-ЗЯ). Втияние
инертной компоненты в газовой фазе на испарение и конденсацию кап-
капли B35). Автомодельный рост пузырька в перегретой жидкости B37).
Глава 3. Волновая динамика удара и детонации в конденсирован-
конденсированных средах с фазовыми переходами 241
§ 1. Уравнения, характеризующие физико-механические свойства кон-
конденсированного вещества при высоких давлениях .... 242
Уравнения состояния конденсированных тел и их фаз B42) Параметры,
которые измеряются в экспериментах с сильными ударными волнами в
твердых телах B44). Уравнения для давлений и внутренних энергии
конденсированных тел и их фаз B48). Упругопластические свойства
B51). О кинетике физико-химических превращений твердых тел в удар-
ударных волнах B53) Схема нагрузки и разгрузки упругопластического те-
тела с фазовым переходом B54). Ударное сжатие пористых или порошко-
порошкообразных веществ B59). Схема детонационной волны B60).
§ 2. Постановка одпомерпых задач о плоском соударении сжимаемых
упругопластических сред с фазовыми переходами .... 264
Инициирование одномерной плоской детонации в конденсированном ВВ
(задача 1) B66). Улар детонационной волной по упругопластпчеекому
слою (задача 2) B66). Плоский удар пластины по мишени (задача 3)
B06).
§ 3. Численное моделирование инициирования детонации конденси-
конденсированного ВВ и взаимодействия детонационной волны с металлом
при контактном взрыве 268
Расчет инициирования и распространения детонации B68). Расчет воз-
воздействия на твердое тело взрыва накладного заряда ВВ B71).
§ 4. О фазовом превращении при ударном сжатии железа . . . 272
Об уравнениях состояния железа B74). Некоторые результаты расчетов
эволюции ударных волн в железе B77).
§ 5. Исследование упрочнения сталей взрывом 283
Экспериментальные исследования упрочнения сталей взрывом B83).
К возможности исследования физико-механических свойств по остаточ-
остаточным эффектам B86). Анализ упрочнения взрывом по схеме с накладным
зарядом ВВ B91).
§ 6. Численное моделирование экспериментов по изучению эволю-
эволюции волн, вызывающих фазовые превращения в железе. . . 294
Численный анализ результатов измерения давления с помощью манга-
манганиновой методики B94). Численный анализ экспериментов по измере-
измерению лазер-интерференционным методом скорости свободной поверхно-
поверхности при выходе на нее трехволнового ударного импульса B96).
Глава 4. Динамика двухскоростных течений дисперсных сред (га-
(газовзвесей) 300
§ i. О гиперболичности, устойчивости и корректности задачи Копти
применительно к системе дифференциальных уравнений двух-
скоростного движения дисперсных сред 300
Характеристики C01). Малые возмущения стационарного однородного ре-
решения со скольжением фаз C04). Конвективные возмущения в дисперс-
дисперсной смеси несжимаемых фаз C09). О некоторых механизмах, стабилизи-
стабилизирующих течения дисперсных сред C16).
§ 2. Линейная (акустическая) теория распространения слабых возму-
возмущений (звука) в газовзвесях и парокапельных средах . . . 319
Линеаризованные уравнения движения и состояния C19). Дисперсион-
Дисперсионные зависимости C22). Зависимость фазовой скорости звука и декремен-
декремента яагухания от частоты для пароводяной капельной смеси C25). Влия-
464 оглавление
ние поли дисперсности взвеси C29). Сопоставление теории с эксперимен-
экспериментом C30).
§ 3. Схема ударно-волнового эксперимента для исследования волн в
газовзвесях 332
-§ 4. Структура стационарных ударных волн в газовзвесях и парока-
пельных средах 334
Уравнения стационарного одномерного движения C35). Равновесные па-
параметры за волной C39). Исследование поля интегральных кривых од-
одномерного стационарного течения газовзвеси C42). расчет структуры
ударных волн сжатия C44). Особенности структуры ударной волны C45).
¦§ 5. Нестационарные волновые течения газовзвеси 349
Метод численного интегрирования уравнений C49). Распад произвольно-
произвольного разрыва давления и течение в ударной трубе C51). Отражение удар-
нои волны от неподвижной стенки C55). О разлете слоев жидкости под
действием взрывных волн C57). Разлет слоя дисперсных частиц под дей-
действием взрыва C57).
$ 6. Динамика взвешенных частиц при вибрационпом воздействии в
акустических полях 361
Постановка задачи нелинейных колебаний дисперсных систем C61) Ме-
Метод усреднения решения дифференциальных уравнении движения дис-
дисперсных частиц C64). Вибрационное движение частиц в плоской стоя-
стоячей волне C66). Вибрационное движение частиц в плоской бегущей вол-
волне C71). Эффект груЕпирования дисперсных частиц C73).
$ 7. Линейная теория плоского обтеиания топких тел сверхзвуковым
потоком газа с частицами 374
=§ 8. Поперечное обтекание пластины газовзвесью 387
Постановка задачи с учетом отраженных от пластины дисперсных ча-
частиц, взаимодействующих с несущим газом и падающими на пластину
частицами C88). Отошедшая ударная волна и сепаратриса отраженных
частиц (.)90). Теплота межфазного трения и соударения частиц C96)
Коэффициент аэродинамического сопротивления C97). Условия подобия
D00)
Глава 5. Газовая и волновая динамика горения и детонации газо-
газовзвесей и порошков 402
¦§ 1. Основные уравнения, описывающие горение газовзвесей . . . 402
Режимы горения частицы D02). Уравнения гидромеханики дисперсной
смеси с горючими частицами D03). Процессы переноса D05). Лучистая
теплопроводность дисперсной фазы D05). О воспламенении частиц D071.
Понятие приведенной пленки D08). Режим гетерогенного горения ча-
частиц D08). Режим квазигомогенного горения частиц D09). Парофазный
режим горения частицы D10). Горение частиц унитарного топлива D13).
Схема эстафетного воспламенения и распространения горения в аэро-
аэровзвеси DН).
$ 2. Фронт пламени в газовзвесях 414
Элементарная теория фронта пламени D15). Постановка задачи о фронте
пламени в газовзвеси D15) Радиационный механизм распространения
пламени в газовзвеси D16). Тепловой механизм распространения горения
D1Я). Конвективный механизм распространения горения в газовзвеси
D19). Гомобарическая схема развития конвективного горения D20).
§ 3. Детопадионные волны в газовзвесях 425
Структура стационарных волн детонации D25). Переход конвективного
горения аэровзвесей в детонацию D30).
§ 4. Переход горения в детонацию в пористых и порошкообразных
горючих телах 434
Приложение 440
Список литературы 445
Именной указатель 457
Предметный указатель . 459