Теория висячих систем: Статический расчет - Качурин В.К.

Автор: Качурин В.К.
Теги: строительство строительные конструкции строительное проектирование статические расчеты
Год: 1962
Похожие
Висячие системы повышенной жесткости
Проектирование висячих и вантовых мостов
Висячие мосты больших пролетов
Расчет бесшарнирных симметричных сводов
Текст
                    
В. к. КАЧУРИН
ТЕОРИЯ
висячих СИСТЕМ
статический
РАСЧЕТ
Сканировал и обрабатывал
Лукин А.О.
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ЛИТЕРАТУРЫ ПО СТРОИТЕЛЬСТВУ, АРХИТЕКТУРЕ
И СТРОИТЕЛЬНЫМ МАТЕРИАЛАМ
Ленинград 1962 Москва
Научный редактор — канд. техн, наук Дашевский С. Д.
В книге рассматриваются способы статического рас-
чета некоторых пространственных висячих систем пере-
крытий. Основой таких расчетов является теория расчета
гибкой нити, которая также освещается в книге. Развит
вопрос о расчете нити, имеющей опоры на разных уров-
нях, а также вопрос о влиянии смещения опор на уси-
лия в нити.
В конце книги дается теория расчета жестких нитей.
Книга может служить пособием при проектировании.
Владимир Константинович Качурин
ТЕОРИЯ ВИСЯЧИХ СИСТЕМ
статический расчет
Госстройиздат Ленинградское отделение
Ленинград, пл. Островского, 6
Редактор издательства Н. Н. Днепрова
Технический редактор Е. А. Пулькииа
Корректор Н. Г. Семина, Г. В. Грановская
Сдано в набор 23/11 1962 г.	Подписано к печати 13/VII 1962 г.	М-31453
Бумага 60 х 90l/i6 Бум. л. 7. Печ. л. 14.	(13,23 уч.-изд. л.) Тираж 9000 экз.
Изд. № 573 Л. Заказ 142-а Цена в переплете 86 коп.
Типография №.11 УПП Ленсовнархоза, г. Пушкин
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая работа посвящена методике статического рас-
чета некоторых висячих систем. Это системы из отдельных
гибких нитей (тросов), поддерживающих перекрытия; предва-
рительно напряженные из тросов или из сочетания тросов
с железобетонными плитами (висячие оболочки); системы из
жестких нитей. Если, к тому же, учесть самые разнообразные
очертания перекрываемых пространств в плане, можно пред-
ставить все разнообразие висячих систем.
В данной работе рассматриваются только те системы, в ко-
торых рабочими элементами являются нити.
Для висячих систем существенное значение имеют колеба-
ния, а также отрицательные нагрузки, создаваемые ветром
(«отсос»), которые, по данным исследований Фрея [24], могут
доходить до 60—70 и даже 114 кг/м2. Однако для рассмотре-
ния воздействия этих факторов следует изучить способы рас-
чета висячих систем на статические нагрузки. Последнему воп-
росу и посвящена данная работа.
Теория расчета гибких нитей исследовалась в ряде работ
[12, 6, 8, 18], однако в них недостаточно освещены вопросы,
связанные с расчетом сложных висячих систем, такие как ра-
бота гибких нитей с опорами на разных уровнях, влияние сме-
щений опор нити и ряд других. Поэтому оказалось необходи-
мым некоторые вопросы теории расчета гибких нитей осветить
более подробно.
Следует заметить, что излагаемая здесь теория расчета
нитей, а следовательно, и вся работа в целом основаны на
приближенных решениях. Хорошо известно, что нить постоян-
ного сечения, нагруженная равномерно распределенной по
ее длине нагрузкой, например собственным весом, прови-
сает в соответствии с уравнением цепной линии. Однако для
нитей, имеющих небольшие провесы, нагрузку, распределен-
ную равномерно по длине нити, можно заменить нагрузкой,
равномерно распределенной по ее пролету. Нить при этом
провисает по параболе. Решение получается значительно
проще, а точность при пологих нитях оказывается для практи-
а
ческих целей вполне достаточной [8]. Так как .в книге рассмат-
риваются системы, состоящие из нитей, имеющих малые про-
весы, указанный и аналогичный ему приемы являются основой
всех выводов.
Автор полагает, что настоящую работу можно рассматри-
вать не только как одну из первых попыток исследования не-
которых частных задач, но и как разработку общего направ-
ления их решения. В книге на примерах отдельных систем
рассмотрены методы расчета, которые могут быть в тех или
иных формах использованы для других, аналогичных систем.
Кроме того, изучаемые системы нелинейны и принцип незави-
симости действия сил для них неприменим. Поэтому получае-
мые решения довольно сложны, а для нахождения конкрет-
ных числовых результатов приходится пользоваться методом
последовательных приближений, который можно развернуть
только на частных примерах. В них иногда даны несколько
преувеличенные нагрузки или преуменьшены стрелки провеса
нитей. Это сделано для того, чтобы рельефнее отразить осо-
бенности работы систем. Так, в примерах по расчету радиаль-
ных систем с целью упрощения вычислений сокращено коли-
чество тросов.
Последняя глава посвящена расчету жестких нитей, в ко-
торых в процессе их работы, кроме растягивающих, возникают
и весьма существенные напряжения от изгиба. Такая задача
выдвинута самой жизнью. За последние годы в Советском
Союзе построено несколько газопроводов в виде трубы, подве-
шенной к опорам. Труба служит для пропуска газа и она же
является элементом, поддерживающим свой собственный вес.
Пролеты таких труб достигают громадных величин в 400 и
более метров. Подобные элементы могут использоваться не
только в газопроводах, но и в мостах и в других висячих си-
стемах. Учитывая необходимость развития теории расчета
жестких нитей, в данной книге этот вопрос изложен относи-
тельно подробно.
В заключение автор выражает благодарность профессору
А. П. Филину за ряд ценных советов и указаний.
ГЛАВА I
ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ ВИСЯЧИХ СИСТЕМ
§ 1.. ВИДЫ ВИСЯЧИХ СИСТЕМ
Висячие системы и, в первую очередь, те, в основу которых
положены гибкие нити, получили широкое распространение
в различных областях техники. Это провода линий связи и
электропередачи, провода и тросы контактной сети электри-
фицированных железных дорог, трамвайных и троллейбусных
линий, кабелькраны и подвесные дороги.
Следует упомянуть висячие мосты — первые висячие систе-
мы, проникшие в дальнейшем в другие строительные конст-
рукции. Это были совершенно новые формы, отличные от форм,
распространенных в мостах, требующие иногда очень больших
пролетов. Например, известны такие сооружения, как железо-
бетонная галерея (рис. 1) пролетом 87 м [20], усиленная много-
стоечным шпренгелем. Эта галерея представляет собой си-
стему в виде цепи с балкой жесткости, широко распространен-
ную в висячих мостах.
Наиболее молодая область, в которой висячие системы ре-
шительно завоевывают свои права, — это область висячих тру-
бопроводов. Известен, например, газопровод пролетом 656 м
[29], представляющий собой трехпролетную висячую систему.
К двум цепям, расположенным в слегка наклонных плоскос-
тях, подвешены две соединенные связями трубы газопровода
диаметром 76 см каждая (рис. 2). Трубы представляют собой
нечто вроде балок жесткости и с этой точки зрения система
работает как обычная мостовая. Характерное отличие данной
системы от мостовой заключается в том, что трубы располо-
жены близко друг от друга, и система оказывается недоста-
точно жесткой в горизонтальном направлении. Для того чтобы
обеспечить эту жесткость, помимо двух наклонных цепей по-
ставлены еще две горизонтальные в уровне труб. Большой
практический интерес представляют два газопровода проле-
тами по 400 м каждый, построенные в СССР. Они состоят из
5
Рис. 1.
Рис. 2.
двух труб, подвешенных к опорам и поддерживающих собст-
венный вес. По трубам проходит газ. Один из газопроводов
имеет диаметр 11,4 см, другой — 52,9. Возможны газопроводы
и больших диаметров.
Что касается величин пролетов, перекрываемых висячими
системами, то в этом отношении последние вне конкуренции.
Для иллюстрации можно обратиться к висячим мостам. На-
пример, мост через Золотые Ворота (США) имеет пролет
около 1 280 м. В настоящее время проектируется висячий мост
Рис. 3.
через Мессинский пролив, один из пролетов которого будет
длиной 1 524 м. Для сопоставления с висячими системами
можно отметить, что наибольшие пролеты консольных и ароч-
ных мостов не достигали еще и 600 м.
Возрастающая потребность в перекрытии больших проле-
тов современных инженерных сооружений и возможность пе-
рекрывать эти пролеты висячими системами способствуют все
более интенсивному их внедрению в различные области строи-
тельной техники.
В настоящем параграфе дается краткий обзор современ-
ных висячих систем.
Наиболее простые висячие системы представляют собой
подвешенную к двум опорам гибкую нить. На рис. 3 изобра-
жено подвесное покрытие промышленного цеха пролетом
60 м, построенное в ФРГ [10]. Перекрытие закреплено на стой-
ках и удерживается оттяжками, заделанными в грунте. Такие
решения применялись в мостовых конструкциях, однако для
довольно больших временных нагрузок, возникающих в ре-
зультате проезда транспорта, подобные системы оказались
недостаточно жесткими и от них отказались. В области мосто-
строения появились системы в виде цепи с балкой жесткости.
Из них наиболее распространенными являются системы, ста-
тические схемы которых показаны на рис. 4. Это однопролет-
ная система (рис. 4, а) и трехпролетная (рис. 4, Ь). Такие си-
стемы имеют много разновидностей и нашли также распро-
странение в промышленном строительстве.
К висячим
мам с балкой
кости следует
сти и систему
балки с подпружной
цепью (см. рис. 1).
Висячие системы для
перекрытий промыш-
ленных сооружений
впервые были приме-
нены инженером Шуховым [10, 24] в конце прошлого столетия.
Однако большого распространения они не получили и начали
довольно интенсивно развиваться только в наше время.
По свидетельству И. Г. Людковского [10], висячие системы
при больших пролетах могут дать существенные преимуще-
ства. Так, при проектировании перекрытия стадиона в Мон-
тевидео, представляющего собой в плане круг диаметром 94 м,
систе-
жест-
отне-
в виде
Рис. 4.
были рассмотрены три варианта: перекрытие в виде железо-
бетонного купола, алюминиевого купола и в виде висячей обо-
лочки. Стоили эти перекрытия соответственно: 2,4; 1,9 и 0,65
млн. долларов. Конструкция стадиона, построенного в 1.956 г.
на 20 тыс. зрителей, довольна интересна. Железобетонная
цилиндрическая стена имеет толщину 10 см и заканчивается
железобетонным кольцом сечением 2,0 X 0,45 м. Кольцо слу-
жит для закрепления в нем наружных концов радиально рас-
положенных 256 стальных тросов. Работает оно на сжатие.
Внутренние концы тросов прикреплены к стальному кольцу
диаметром 5,5 м (рис. 5), работающему на растяжение.
8
По тросам были уложены железобетонные трапецеидаль-
ные в плане плиты толщиной 5 см; они были нагружены вре-
менной нагрузкой. В результате натяжение радиальных тро-
сов увеличилось и швы между плитами раскрылись. Раскрыв-
шиеся швы были залиты раствором. После его отвердения вре-
менную нагрузку сняли, тросы укоротились, и между плитами
возникли сжимающие напряжения. Тросы в этой системе вы-
полняли, в сущности, роль арматуры. Однако, в процессе из-
готовления конструкции, до ее омоноличивания, она работала
как чисто висячая система, рабочими элементами которой яв-
лялись только тросы. На рис. 5 показан разрез стадиона со
своеобразной конструкцией и конфигурацией крыши. На ри-
сунке видна также схема водоотвода с перекрытия.
Аналогична рассмотренной, но еще более интересна кон-
струкция, примененная в одном из вариантов проекта ста-
диона «Динамо» в Москве (рис. 6).
Рис. 6.
Стадион имеет круглую форму в плане с диаметром
270 м. Стена заканчивается сжатым кольцом. К нему при-
креплены наружными концами 360 радиальных тросов, кото-
рые будем называть основными. Внутренние концы их при-
креплены к растянутому кольцу, на которое поставлена круг-
лая решетчатая башня. От верха последней отходят также
радиально расположенные тросы, прикрепленные своими на-
ружными концами к основным. По тросам, в тех местах, где
нет остекления, укладываются железобетонные плиты, между
которыми создаются предварительные напряжения приемом,
подобным приведенному выше.
Рассмотренные системы, имеющие в плане круглое очер-
тание, удобны в том отношении, что кольцо, венчающее стену,
воспринимая усилия от тросов, работает только на сжатие.
Подобные перекрытия устраивают иногда с жесткой опорой
в центре.
9
На рис. 7 показано круглое сооружение диаметром 75,2 м
[10, 23] со спаренными тросами. Это аудитория в городе Утика
(США). Между верхним и нижним тросом поставлены легкие
стойки, которые фиксируют взаимное расположение тросов.
Наружные концы тросов прикреплены к железобетонному
кольцу стены, внутренние — к двум взаимно соединенным го-
ризонтальным стальным кольцам диаметром 7 м, расположен-
ным друг от друга на расстоянии 5,5 м по вертикали. Благо-
даря различному натяжению верхних и нижних тросов и раз-
личному периоду их собственных колебаний, возникающие
в конструкции колебания автоматически гасятся.
Рис. 7.
Подобная система пролетом 104 м была применена и в па-
вильоне США на Брюссельской выставке 1958 г.
На рис. 8, а показан другой вариант стадиона «Динамо»
в Москве. В плане он имеет овальное очертание с наиболь-
шими размерами по осям 170 X 270 м. Перекрытие представ-
ляет собой две системы тросов, натянутых во взаимно-перпен-
дикулярных направлениях (рис. 8, Ь). Тросы, поддерживаю-
щие весь вес конструкции перекрытия, натянуты вдоль длин-
ной стороны овала и представляют собой гибкие нити пара-
болического очертания, провисающие вниз к середине про-
лета. Тросы, идущие в перпендикулярном направлении, тоже
имеют параболическое очертание, но расположены выпук-
лостью вверх. При их натяжении возникают дополнительные
усилия в основных тросах. Назначение этих тросов — создать
пространственную жесткость системы в целом. Поверхность,
образуемая тросами, представляет собой гиперболический па-
раболоид.
Опорное кольцо, как видно из рис. 8, неплоское и работает
на внецентренное сжатие. Его форма получается в соответст-
вии с линией пересечения параболоида с цилиндром; образуе-
мым вертикальными стенами. Для уменьшения величины из-
10
гибающих моментов в опорном кольце поставлена третья си-
стема тросов-затяжек, показанная на рис. 8, с. Образуемые
двумя системами тросов, клетки 2 X 2 м перекрываются сбор-
ным металлическим покрытием. Основное принципиальное
отличие этого решения от предыдущих (стадион в Монтеви-
Рис. 8.
део, стадион в Москве) заключается в том, что здесь пере-
крытие является только нагрузкой на тросы, в то время как
в предыдущих решениях перекрытие после создания в нем
предварительных напряжений работает совместно с системой
тросов.
На рис. 9, а показано перекрытие хоккейного поля в США
[23]. По оси симметрии расположена железобетонная арка
с консолями (рис. 9,6), к которой прикреплены своими верх-
ними концами рабочие тросы. Нижние концы подходят к двум
аркам, расположенным в горизонтальной плоскости.
Для создания жесткости системы перпендикулярно рабо-
чим натянуты дополнительные тросы.
На рис. 10 показан зал собраний в Берлине. Его перекры-
тие состоит из двух арок, расположенных во взаимно-симмет-
ричных наклонных плоскостях. Тросы перекрытия присоеди-
нены концами к аркам. На рис. 11 изображена недавно по-
строенная певческая эстрада в Таллине. Здесь также имеются
две арки, но одна из них (3) круто поднимается над трибу-
нами 4; другая, (2), наоборот, идет с небольшим уклоном
И
к горизонту. К аркам крепятся тросы 1. Системы, показан-
ные на рис. 10 и И, сходны друг с другом. Разница только
в расположении арок. На рис. 9 аналогичная система, но в ней
две группы тросов, прикрепленных к трем аркам.
Рис. 9.
Совершенно по иному принципу сконструировано перекры-
тие плавательного бассейна в Вуппертале (рис. 12). Прямо-
угольное помещение имеет жесткие консоли В, поддерживаю-
щие жесткую коробчатую балку А, к которой прикреплены
рабочие тросы перекрытия [5]. На рис. 13 показан проект
12
перекрытия теплицы площадью 49 X 12 м. Вдоль длинной
стороны поставлены пилоны, укрепленные оттяжками. Они
поддерживают тросы, прикрепленные к коньку (рис. 13, Ь).
К каждому из поперечных тросов в шести точках (с) подве-
шены шесть параллельных 7-пролетных тросов, к которым
прикреплены подвески (рис. 13, Ь), поддерживающие кровлю
[2]. Другое решение изображено на рис. 14. Вдоль здания
склада зерна идут две 3-пролетные нити с оттяжками на кон-
цах. Нити расположены на расстоянии 12 м друг от друга.
13
•£1 эи<]
OOZl
К каждой нити прикреплено по четыре системы наклонных
подвесок, поддерживающих кровлю в точках, расположенных
на восьми прямых линиях, идущих вдоль перекрытия.
Рис. 15.
На рис. 15 показана половина перекрытия помещения спор-
тивного зала площадью 91,5 X 87,75 м [28]. Кровля поддержи-
15
вается восемью парами 'соединенных друг с другом наклонных
балок. Каждая из них крепится в двух точках пролета пря-
мыми тросами, соединенными с головами наклонных пилонов.
Положение последних фиксируется оттяжкйми.
Разнообразие применяемых в настоящее время висячих
систем не ограничивается приведенными выше. Примерами
оригинальных систем могут служить бельгийский павильон
на выставке в Брюсселе, напоминающий обычную палатку [4]
и французский павильон, в котором перекрытие площадью
70 X 140 м поддерживается одной жесткой железобетонной
опорой с тремя консолями. Заслуживает внимания также пере-
крытие из предварительно напряженного железобетона [20],
которое в период постройки представляет собой висячую си-
стему, а затем превращается в систему железобетонных ба-
лок. Первоначально к длинным стенам подвешиваются тросы,
параллельные короткой стене помещения. Они удерживаются
временными оттяжками. Затем в каждой паре тросов по всей их
длине подвешиваются П-образные железобетонные короткие
блоки. Швы между ними заполняются бетоном. Временные от-
тяжки отпускаются. В бетоне блоков возникают предваритель-
ные сжимающие напряжения. Система превращается в ряд
предварительно напряженных железобетонных балок П-образ-
ного сечения.
§ 2.	ВИДЫ ЭЛЕМЕНТОВ ВИСЯЧИХ СИСТЕМ И УСЛОВИЯ
ИХ РАБОТЫ
Основным элементом большинства рассмотренных выше
висячих систем является трос, представляющий собой с точки
зрения статического расчета гибкую нить. Взаимное располо-
жение нитей различно. Встречаются одиночные нити, парал-
лельные, перекрещивающиеся, расположенные лучеобразно и
другие. Нагрузки на нить возможны самые разнообразные,
особенно, если учитывать условия, в каких она может ока-
заться во время сборки конструкции.
Наиболее распространены следующие виды нагрузок на
нить:
равномерно распределенные по всему пролету;
равномерно распределенные на части пролета;
в виде сосредоточенных сил, вертикальных или наклонных.
Нагрузки могут действовать как в плоскости провеса нити,
так и вне ее. В системах с радиальным расположением тросов
(см. рис. 5, 6), постоянная нагрузка по длине нити увеличи-
вается от центра сооружения к стенам и распределяется по
закону трапеции. В системе (см. рис. 7) на верхние и нижние
нити, помимо равномерно-распределенной нагрузки, действуют
16
по несколько сосредоточенных сил. На нижнюю ветвь — сверху
вниз, на верхнюю — снизу вверх.
Кроме того, при расчете гибких нитей следует учитывать
'влияние изменения температуры, боковых сил, в частности
давления ветра, а иногда боковое давление сосредоточенных
аил.
Концы нити также закрепляются различно. Наиболее часто
встречаются однопролетные нити, закрепленные неподвижно
по концам; в канатных дорогах, кабелькранах и других подоб-
ных системах используются многопролетные нити, укреплен-
ные при помощи оттяжек. Последние встречаются и в пере-
крытиях промышленных сооружений (см. рис. 3).
В круглых перекрытиях с центральным кольцом, к кото-
рому присоединяются концы тросов (см. рис. 5, 7), кольцо
представляет собой своеобразную опору нити. Однако эта
опора при равномерном зигружении всего сооружения может
перемещаться по вертикали. Так она и должна рассматри-
ваться в процессе расчета.
В области висячих систем последнее время довольно ши-
роко начали применяться системы, которые можно назвать
жесткими нитями. Это главным образом висячие трубопро-
воды. Жесткая нить отличается от гибкой тем, что в послед-
ней влияние внешних сил уравновешивается только внутрен-
ними растягивающими усилиями. В жесткой же нити влияние
внешних сил уравновешивается как растягивающими уси-
лиями, так и возникающими в нити изгибающими моментами.
Строгой границы между гибкими и жесткими нитями, в сущ-
ности, провести нельзя.
Системы из жестких нитей приобретают в настоящее время
все большее значение. Они бывают однопролетными и много-
пролетными, с жестким закреплением концов, с шарнирами
в пролете и без них и т. д.
Таким образом, прежде чем перейти к изучению работы
висячих систем, необходимо рассмотреть приемы расчета эле-
ментов, из которых эти системы состоят.
2—142
ГЛАВА II
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ГИБКИХ НИТЕЙ С МАЛЫМИ
СТРЕЛКАМИ
§ 3.	КЛАССИФИКАЦИЯ НИТЕЙ
Применяемые в конструкциях нити могут быть разделены,
с одной стороны, «а гибкие и жесткие и с другой —с малыми
и с большими стрелками. В строительных конструкциях нити
могут быть загружены разнообразными нагрузками, но среди
них обязательна нагрузка от собственного веса, равномерно
распределенная по .всей длине нити. Рассмотрим частный слу-
чай такой нагрузки. Абсолютно гибкая нить при загружении ее
собственным весом искривляется в соответствии с уравнением
у =	(ch	х — 1L
нагрузки на единицу
где 7о характеризует величину погонной
Нагрузка на еди-
ницу пролета (на
единицу длины го-
ризонтальной проек-
и. ции I нити, рис. 16)
по длине меняется. В
середине нити, на-
груженной собствен-
ным весом, она бу-
дет равна 7о, а бли-
же к опорам будет
увеличиваться, ста-
новясь равной
где
а — угол наклона касательной
ризонту (рис. 16, а).
(2,1)
к нити по отношению к го-
18
Если нить 'имеет 'малую стрелку, то углы а будут также не-
большими и значения cos а окажутся мало отличающимися or
единицы. Тогда нагрузка по длине пролета нити почти не бу-
дет отличаться от равномерно распределенной.
В таких случаях возможно значительно упростить расчет
нити, принимая при выводах нагрузку q распределенной рав-
номерно по длине пролета (рис. 16, &), а не по длине самой
нити. В этом случае уравнение кривой провеса нити будет
представлять собой уже не уравнение цепной линии, а урав-
нение параболы.
По этому признаку и делят обычно нити на нити с малыми
и большими стрелками. Если возможно при расчете нити без
больших погрешностей считать действующую на нее нагрузку
распределенной по пролету, — это нить с малой стрелкой,
в противном случае—-с большой.
Указать точную границу между нитями с малыми и с боль-
шими стрелками невозможно, так как эта граница зависит от
характера и величины нагрузки, от материала и условий ра-
боты нити, а также ют необходимой степени точности. Обычно
для стальных нитей такая граница колеблется в пределах от-
ношения стрелки к пролету
Л J_
/	10 ’ 20
Дальнейшие выводы, приведенные в работе, основаны на
предположении равномерного распределения веса нити по
длине пролета, т. е. ограничиваются нитями с относительно
малыми стрелками. Однако рассматриваемые в данной книге
нити не всегда должны ограничиваться указанными пределами
отношения стрелки к пролету, так как в строительных конст-
рукциях в большинстве случаев надо иметь в виду не собст-
венный вес нити, а постоянную нагрузку и распределение ее
по,длине пролета или по длине нити. Эта нагрузка может рас-
пределяться подобно собственному весу нити по закону коси-
нуса (см. рис. 16), как например в перекрытии, показанном
на рис. 3 (если предположить, что вес кровли равномерно рас-
пределен по поверхности самой'кровли). Но часто только соб-
ственный вес нити распределяется равномерно по ее длине,
а остальная часть постоянной нагрузки распределяется рав-
номерно по длине пролета, как это имеет место, например,
в системе, изображенной на рис. 1. В подобных случаях вес
нити обычно бывает небольшим по сравнению с остальной на-
грузкой и поэтому возможно использовать данные ниже ре-
шения для нитей со стрелками, значительно превышающими
указанные пределы.
19
2*
Деление нитей на гибкие и жесткие в такой же степени
условно, как деление на нити с малыми и с большими стрел-
ками.
Идеально гибких нитей не существует, однако для многих
систем нитей и случаев их загружения изгибающие моменты
в условиях напряженного состояния нити играют столь нич-
тожную роль, что ими можно пренебречь и считать нити
идеально гибкими. Поэтому изучение висячих систем и следует
начинать с рассмотрения теории расчета гибких нитей.
§ 4.	ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ РАСЧЕТА ГИБКИХ НИТЕЙ
Представим себе абсолютно гибкую нить, нагруженную
произвольной вертикальной нагрузкой (рис. 17, а). Для опре-
деления усилий, возникаю-
щих в нити, необходимо най-
ти опорные реакции.
Так как нить гибкая и
воспринимать изгибающие
моменты не может, то в лю-
бом ее сечении, в том числе
и на опорах, усилия могут
быть направлены только'
вдоль нити. Поэтому реак-
ции опор будут направлены
по касательным к нити.
Каждое из реактивных уси-
лий разложим на два на-
правления: вертикальное и
горизонтальное (рис. 17, Ь).
Показанные на этом рисун-
ке реакции могут быть опре-
делены на основании урав-
нений статики.
Так, равенство нулю суммы проекций всех сил на горизон-
тальную ось дает

Откуда
нА = нв = н.
(2. 2)
Величину Н будем ib дальнейшем называть «натяжением».
Иногда ее называют «распором» нити.
Сумма моментов всех сил относительно опоры В дает
2Мв=-А/ + 2М^=0,	(2.3)
20
где М в0— сумма моментов относительно точки В всех сил,
действующих на нить, за исключением опорных
реакций.
Из опорных реакций момент дает только сила А, так как
остальные реактивные силы проходят через точку В.
Из уравнения (2.3) получим
Реакция эта равна той реакции, которая возникла бы
в простой балке АВ (рис. 17, с), нагруженной точно так же,
как заданная нить. Подобные реакции будем в дальнейшем
называть «балочными» реакциями и обозначать той или иной
буквой (например А, В, R) с индексом «Б» внизу или наверху
(рис. 17, с).
Теперь выведем формулу для определения натяжения нити.
Для этого должны быть известны координаты хотя бы одной
точки нити, например точки С (рис. 17, а), так как нить гиб-
кая, то момент в точке С будет равен
2/Исл — Нус = 0,	(2.5)
где SM сл— сумма моментов всех вертикальных сил (вклю-
чая и опорную реакцию), расположенных левее
сечения С.
Из рис. 17, с видно, что такая сумма будет представлять
собой изгибающий момент в соответствующем сечении простой
балки. Подобные моменты будем называть «балочными» и обо-
значать буквой М с индексом «Б», в данном случае МСБ. Тогда
уравнение (2.5) может быть переписано в виде
Л1СБ=//УС.	(2.6)
А отсюда
Н =	(2.7)
Формула (2. 7) позволит определить натяжение нити в то?л
случае, если известна ордината ус в каком-то сечении нити.
Часто надо бывает узнать ординаты нити в любой точке
по ее длине. После определения натяжения нити такая задача
легко решается с применением формулы (2.6). В этой фор-
муле Мсь — балочный момент в сечении С, а ус — ордината
нити в том же сечении. Эта формула справедлива не только
для какой-то определенной точки С, но и для любой точки К.
21
по длине нити. При таких условиях формула (2. 6) может быть
переписана в виде
МБ=Ну,	(2.8)
где МБ и у относится к любому сечению нити.
Отсюда важная формула
ЛЬ
У=~1Г-	(2-9)
§ 5. ДЕЙСТВИЕ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКИ
Имея формулы (2.7) и (2.9), можем рассмотреть одну из
наиболее распространенных задач в теории гибких нитей —
задачу об определении усилий в симметричной нити от на-
U— х —
Рис. 18.
Следовательно,
(2. 7), так как
грузки q, равномерно рас-
пределенной по всему про-
лету (рис. 18, а).
Величины q, I и f будем
считать заданными. Для
этого случая нагрузки ба-
лочные реакции ЛБ или Въ
равны (рис. 18, Ь)
Балочный изгибающий мо-
мент в середине пролета
по формуле
ус = f, полу-
чим
(2.10)
простой
Н = qli
п 8/ •
Изгибающий момент в произвольном сечении
балки (рис. 18, Ь), если расстояние х отсчитывать от левой
опоры,
м _ <? I v _ <?*2 _ qx (I — х}
11	2 л 2	2
Тогда по формуле (2.9) ордината нити в соответствующем
сечении (рис. 18.cz) будет равна
о—
У лН
22
Подставляя сюда значение Н, (формула 2. 10), получим
4fx(l — x)
(2.11)
Иногда бывает удобнее расположить начало координат
в середине пролета, непосредственно на нити (рис. 18,с).
Тогда
х = %1+4-; y=f— УН
и, следовательно,
Или
4/х
У1- ~1^
(2.12)
Таким образом определилось уравнение кривой нити. Ре-
шим задачу об изменении усилий в различных сечениях по
длине нити. Для этого рассмотрим условие равновесия отрезка
нити (рис. 18, d), имеющего длину горизонтальной проекции х.
Усилие S в сечении DD нити направлено под углом а к гори-
зонту. В гибкой нити оно обязательно касательно к оси нити.
Действующие на рассматриваемый отрезок нити силы
спроектируем на горизонтальную ось
— Н + Seos а = 0,
н
COS а
Из этой формулы видно, что с увеличением абсолютного
значения угла а усилие будет увеличиваться. В середине про-
лета, где а = 0, усилие будет наименьшим и равным
5min = Н.
Наибольшее усилие будет у опоры. Его можно определить
по теореме Пифагора
=Г7РПГ-К(4) + (4) - f / > + >6 4 >
23
или
Smn = H /1 + 16 4 .
(2.13)
Усилия в промежуточных сечениях могут быть определены
так.
Возьмем уравнение (2. 11). Производная от этого выраже-
ния равна тангенсу угла наклона касательной к горизонту
4/	8/л
/ =tga = —-------
(2.14)
Из тригонометрии известно, что
-----=	1 + tg2a,
COS a ' I &	’
ИЛИ
1	-i/-“ Гб/5	64/2дг , 64/2%2
COS a — Г 1 + /2	/3 “Г /*
И, следовательно, усилие в произвольном сечении, если
в этом возникает необходимость, может быть определено по
формуле
S = ~ = н +	(2.15)
Следует обратить внимание на то, что в нитях с малыми
стрелками наибольшее усилие мало отличается от наимень-
f 1
шего. Если, например,	, получим (формула 2. 13)
Smax ~ Н 1 + ^ = 1,02Я == 1,02Smin.
т- f 1
Если / = io- > когда мы считаем, что стрелка уже не так
мала, оказывается все-таки
•Smex = 1,078Srain .
В дальнейшем воспользуемся для приближенных решений
тем обстоятельствам, что в нитях с малыми стрелками (их еще
иногда называют «пологими» нитями), усилия в различных се-
чениях нити по ее длине мало отличаются друг от друга. Будем
в большинстве случаев считать, что усилие в нити постоянно
и равно Н.
§ 6. ДЛИНА НИТИ
В предыдущих параграфах мы видели, что если известен
пролет нити, нагрузка, действующая на нее, и ордината хотя бы
одной точки нити, задача о возникающих в ней усилиях может
24
быть легко решена. При проектировании обычно приходится
задаваться одной из ординат нити, чаще iBcero — в середине
пролета. Следовательно, решение задачи оказывается очень
простым (§ 4, 5). Совершенно иначе обостоит дело, если нить
нагружена некоторой начальной нагрузкой, а затем нагрузка
меняется при добавлении тех или иных сил. Задача о вели-
чине усилий, возникающих при начальной нагрузке, решается
так, как изложено выше. Для того чтобы найти усилия от
полной нагрузки (начальной и дополнительной), необходимо
знать хотя бы одну ординату нити, но так как нагрузка изме-
нилась, изменилась и длина нити, изменилась и ее форма. Ока-
зывается, что нет такой ординаты, которая была бы нам из-
вестна.
Если бы было известно натяжение нити после загружения
ее дополнительной нагрузкой, задачу об усилиях в любом се-
чении нити и о ее очертании было бы легко решить. Для этого
необходимо, пользуясь законом Гука, связать длину нити Lo
при начальной нагрузке с ее длиной Ц после добавления но-
вой нагрузки. Как это делается, будет рассказано ниже. Сей-
час становится очевидным только то, что для решения задачи
необходимо уметь находить длину нити. К решению этой за-
дачи и перейдем.
Определим длину нити Lq при начальной нагрузке. Она
равна
L°=Lds== £ /(^)2+=£ V1 +	•
В этой формуле ds — длина отрезка нити, имеющая про-
екции на оси dx и dy. Интегрирование должно быть распро-
странено на всю длину I пролета нити, о чем свидетельствует
индекс I при интеграле.
Мы условились выше рассматривать пологие нити. У таких
/ dy \2
нитей величина 1'^г) очень мала по сравнению с единицей.
Поэтому в соответствии с теорией приближенных вычислений
можно написать
Длина нити может быть теперь представлена так:
L«=£ [' + 4(Д-£]dx=\dx+4 £ (Д/ dx=
= '+4£(Д)4х.	(2-16)
25
Выше мы получили
М0Б
Следовательно,
= dM0B	]
dx dx	ТЦ ’
Или, так как —— = Qob, где QOg —поперечная сила в
простой балке, получим (индекс «Б» опускаем)
dy _ Qq
dx Но
Подставляя это значение в формулу (2.16), будем иметь
очень важное выражение
=	Q\dx.	(2.17)
Совершенно по такой же формуле выразится длина L}
нити после дополнительного ее загружения.
2", J i
Здесь Qi и Я] — поперечная сила в простой балке и натя-
жение нити после ее дополнительного загружения.
Если предположить, что нить совершенно нерастяжима и
длина ее после дополнительного загружения остается той же.
что была до загружения, то
i-vf <$dx^ / + —Ц-f Qi dx.
0	2// J, 1
Отсюда
Эта формула очень удобна, но весьма неточна, и пользо-
ваться ею для пологих нитей нельзя. В таких нитях дополни-
тельная нагрузка может вызвать значительные упругие дефор-
мации нити, которые могут серьезно отразиться на результатах
расчета. Поэтому пренебрегать упругими деформациями для
пологих нитей, как правило, нельзя.
В следующем параграфе дано решение для нахождения
натяжения с учетом упругих деформаций нити. В соответ-
ствующие уравнения входят только что найденные интегралы
типа \tQ2dx. Нахождение их довольно громоздко.
26
Поэтому в настоящем параграфе даются некоторые сооб-
ражения об определении этих интегралов.
В простейших случаях задача довольно легко решается
с помощью приема Верещагина. На рис. 19 показаны неко-
торые виды нагрузок и соответст-
вующие им эпюры поперечных
сил. Путем перемножения эпюр
получим.
Для нагрузки по схеме, изо-
браженной на рис. 19, а,
(2.19)
По схеме изображенной на
рис. 19, Ь,
С	Р 1 Р Г>
Qdx = -g- • т ’ Т ’ 2 =
= 4L-	(2.20)
По схеме на рис. 19, с
= -^ .ab(a + b)=~-“- . (2.21)
Рис. 19.
По схеме на рис. 19, d
\(?dx = 2Р2а .	(2.22)
По схеме на рис. 19, е
Г	3	3 ,	1	2	3	, . pl I 1	2 pl ।
jQrfx	8	pl- 8 I • з • 8 pl + 8	• 8	' 2	‘ 3 8 +
। Р1 z Р1 _ 5Рг/3	/о
8 ‘ 2 ’ 8 — 192 •
Для нагрузок, распределенных по закону треугольника или
трапеции, эпюра поперечных сил имеет криволинейное очерта-
27
ние и интеграл { Q2dx определяется непосредственным инте-
грированием.
Например, для треугольной нагрузки по рис. 20, а выра-
жение поперечной силы в произвольном сечении имеет вид:
О — ql — qx х
4	6 I ’ 2 ’
Тогда
,2 :
36	6
?2Х4
4Z2-’
И, следовательно,
(2-24>
Если нить нагружена сложной нагрузкой, нахождение ин-
теграла J Q2dx оказывается весьма громоздким. Облегчить его
определение можно таким образом.
Предположим, что мы имеем нагрузку, как показано на
рис. 20, с. Эту нагрузку можно представить себе как комбина-
цию двух нагрузок, сплошной нагрузки q и сосредоточенной
силы Р. Предположим, что от первой из них поперечная сила
в некотором сечении равна Qi, от второй Q2. Суммарная по-
перечная сила
Q=Q1+<?2-
Тогда
Q2 = Q* +2Q1Q2 + Q2 .
И, следовательно,
=	+	+ 2 ^Q&dx. (2.25)
Обращаясь к схеме рис. 20, с, видим, что для нее (2. 19 и
2.21)
Г	?2/3 Г J Р~аЬ
J г	— 12 ’	J ; О'	I 
Третий интеграл получаем перемножением эпюры рис. 20, d
на эпюру рис. 20, е
ql I ql	ql ql , 
С	Л-Н—о—qa	рь -----------^- + яь
2 j , QiQ3dx = 2 —-/-----а — + 2---------------X
^b(-^-\ = qPab.
28
Тогда
С гр л <?2/3	, р2аЬ I П и
j Q~dx = —! j h qPab.
(2.26)
Аналогично для схемы (рис. 20, f) от нагрузок q и р будем
иметь
f QMx = ^+-^ + <.	(2.27)
t) I	L**	l£i
Рис. 21.
Для нагрузки по рис. 20, I
аналогично получим
= 4£- + 2Д2а +
2qP (I — а) а. (2.28)
Рассмотрим еще некоторые
более сложные случаи, которые
встретятся ниже и которые уже
приходится решать аналитиче-
ским интегрированием.
Например для трапецеи-
дальной 1нагрузки, показанной
на рис. 21, а,

29
После интегрирования и простейших 'преобразований, по-
лучим
С о , Я Р яР , 1Я1Я?Р
V^’T^ + тг + тю- <2-29>
Нагрузка по фигуре 21, b является более сложной, и инте-
грирование удобнее всего произвести по формуле (2. 25).
Для треугольной нагрузки имеем (2.24)
Для сосредоточенной силы (2.21)

dx —
P2ab
I
Третий интеграл придется взять, имея в виду два участка
балки,
f Q.Q,^ = [“ (4 - 4)4^+(' (4 - 4) (- 4^=
I о a2(b + a)l_ qPal I. а2 \
6 |_° а Р J 6 \	/2 /
Подставляя полученные значения интегралов в формулу
(2.25), получим
£ Q2dx = Z4L + ^ +	(1 - -<).	(2.30)
Аналогично для нагрузки по рис. 21, с, для которой также*
воспользуемся формулой (2.25), получим
С лгл p'iab , я\р . Я,Р . 79192/з
J, № = ~г-+тг + тг++
+ 2?1Й>»(ф - 4 - 4) + 2 </2РаЬ (4 - 4 - 4). (2.31)
Формула (2.31) довольно универсальна. Если в ней счи-
тать Р = 0, получим формулу (2.29). Если к тому же принять
<71 = <7 2 = q, будем иметь формулу (2.19). Если считать, что
Р 4 0, но <7i = q2 = <7, получим формулу (2. 26) и т. д.
Для нагрузки по схеме рис. 21, d при интегрировании не-
обходимо отдельно рассматривать два участка.
Для левого
'4+4)
Qл—	i	•
зо
Для правого
ра2
~1Г •
Тогда
£Q2dx = £ Q2^x+£Q2nrfx = ^(4/-3a). (2.32)
Нагрузку по схеме
(рис. 21,е) можно рас-
сматривать как комби-
нированную из нагру-
зок по рис. 19, а (фор-
мула 2, 19) и по рис.
21, d (формула 2. 32).
Интеграл f; Qi • Q^dx,
необходимый для при-
менения формулы	Рис. 22.
(2.25), найдем путем
непосредственного интегрирования на обоих участках балки.
В результате получим
£	+ 4^- (4/ - За) +р^а2	. (2.33)
Не останавливаясь на других примерах, которых может
быть множество, заметим, что в случаях очень сложного вида
эпюр балочных поперечных сил, может быть 'использовано
численное интегрирование.
Допустим, что мы имеем нагрузку, которая дала очертание
эпюры балочной поперечной силы (рис. 22,а). Эту эпюру надо
перемножить саму на себя. Для этого делим всю эпюру на
равные по длине пролета участки с. Каждую из образовав-
шихся площадок считаем трапецией. Тогда, используя фор-
мулу Симпсона, получим
£<№-ТГ(<г(+ Q1-Q, + 2Qj; + Q,. Q, + 2Q| + ...
•+2QL, + Q>_,Q«_,+2Q(_, + Qm	(2.34)
Если эпюра имеет разрывы, подобно тому, как показано на
рис. (22, 6), надо подобрать интервал с так, чтобы одна из
границ участков совпала с местом скачка. Можно при этом
интервалы принять различными на левом и на правом участ-
ках. Подобно тому, как получена формула (2.34), напишем
§ Q2dx =	(Q2 + QiQ2 +2 Q2 + Q2Q3 + 2Q2 + Q3Q' +
+ Q'2 + Q"2 + Q? Qb + 2Ql + Q6 • Q6 + 2Q2 + ...)	(2.35)
31
Пользуясь ‘полученными решениями, определяем длины
нитей при различных нагрузках. Рассмотрим несколько важ-
ных частных случаев.
Предположим нить пролета /, имеющую стрелку f. Нить
нагружена сплошной, равномерно распределенной по всему
пролету нагрузкой q.
Для этого случая имеем (2. 7; 2. 19; 2. 17).
8/ >
Длина нити
Л = / + f Q2dx.
Делая подстановки, получим важную формулу
Л = / +	(2.36)
В случае нагрузки по рис. 20, с при а = получим
Балочный момент в этом сечении равен
д! .—	. 2____g 4	। JL р _ A _l_ JLpi
— 2	4	2	+ 4 и 4 “ 32	' 16
2
Если известна ордината нити уа под грузом, то натяжение
равно

Уа
И длина нити
г = / _1_ _______
Q	Ч
^2’/2+J6P/
Уа
^+4р2/+4^
---гЦ- У а  (2.37)
Если нагрузка q настолько мала, что ее можно считать рав
ной нулю, формула (2.37) при а = -j- приобретает вид
ь 3 z .
(2.38)
32
Если бы груз Р находился в середине (а = 0,5/), получи-
лось бы (при q = 0)
L = I 4- 2	.	(2.39)
§ 7. ОБЩИЙ ХОД РАСЧЕТА НИТИ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ
ДЕЙСТВУЮЩЕЙ НА НЕЕ НАГРУЗКИ
Предположим, что нить загружена некоторой оплошной
равномерно распределенной по всему пролету нагрузкой
(рис. 23, а). При этой нагрузке известна стрелка f0 нити, а сле-
довательно, и ее натяжение Но.
Если теперь мы загрузим нить ка-
кой-то дополнительной нагрузкой
(рис. 23, Ь), то изменится очерта-
ние нити, ее стрелка и натяжение.
Если бы удалось определить хотя
бы одну ординату очертания нити,
Или ее натяжение, задача была
бы решена. Для решения этой за-
дачи воспользуемся умением оп-
ределять длину нити.
Длина нити до загружения
дополнительной нагрузкой рав-
на
Ао — / Н—-77- f Qq dx.
2Н.
Все компоненты этого выражения известны.
После дополнительного загружения
^-i— + f Qi ^х-
Mi t J I
В этом выражении Qidx может быть определен спосо-
бами, показанными в § 6. Надо определить величину Н[.
Натяжение нити после дополнительного загружения изме-
нилось на величину Н\ — Но, в результате чего нить удлини-
лась на величину AZ.. Имея в виду, что в настоящей книге рас-
сматриваются только нити с малыми стрелками и, следова-
тельно, усилие по длине нити меняется слабо, упругую дефор-
мацию нити можно считать равной
Сг
Между величинами Ц, Lo и AL существует следующая за-
висимость
Ьг — Lo 4- AZ,.
3-142
33
Подставляя в эту формулу -определенные выше значения,
получим
= (Н'~Е"'Л‘ 
В выведенное уравнение входит единственная неизвестная
величина Н\. Преобразуем это уравнение в более удобный
вид
+(^г £ Q°dx ~ и<>)н* ~ £Q"dx=0 (2-40)
Из последнего уравнения определяется либо путем по-
пыток, либо с помощью таблиц [21]. При этом необходимо
иметь в виду, что уравнение (2. 40) выведено 'исходя из пред-
положения, что упругое удлинение нити равно Л Z = — EF .
Так как такое предположение не является точным, то небезын-
тересно было бы выяснить, какие возможны ошибки. Рас-
смотрим этот вопрос для частного случая загружения нити
равномерно распределенной нагрузкой q по всему пролету.
Тогда уравнение нити (при начале координат на опоре)
где а — угол наклона касательной к нити к горизонту
1 1
Cos а =	— = —г.....	= •
V 1 + tg2a -1/ , , 16/2	64/2%	64/2%2
V !+—+—1Г-
Удлинение нити на отрезке длиной ds при изменении натя-
жения ее на этом отрезке, равном Т, определяется по формуле
Tds Н1~Нй  dx  (Нх — Но) (1 + tg2a) dx
^ds —	= -pp = > -pp
Полное удлинение нити
=j;	£('+1бт-
_+ ^L\dx _ <&=Ш г! + 5.3	.
34
Наличие множителя + 5,3 j отличает полученное бо-
лее точное выражение от принятого при выводе уравнения
(2.40). Этот множитель дан в табл. 1 для ряда значений отно-
шения^- . Относя к пологим нити с отношением -у < уу, видим,
что в крайнем случае возможная ошибка достигает 5,3%. Само собой разумеется, что полученные значения,	аблица 1		
если их использовать в каче- стве поправочных коэффи- TTKPHTOR СТПОГГ) СППЯВРПЛИВНТ	f 1	1 + 5,3
только в случае сплошной равномерно распределенной по всему пролету нагрузки. Однако основным фактором, от которого зависит величи- на поправочного коэффи- циента, является ордината нити в этому есть основание считать, что	1/5 1/10 1/12,5 1/16,7 1/25 середине п цифры та(	1,27 1,053 1,034 1,019 1,008 ролета (/). По- 5л. 1 можно ис-
пользовать для оценки возможной погрешности и в других
случаях загружения.
Применение полученного выше уравнения (2. 40) для рас-
чета нити рассмотрим на примере.
Пример 1. Нить пролета I = 60 м нагружена начальной нагрузкой
q = 0,05 т/м. Начальная стрелка f0 = 2,0 м. Нить загружается дополнитель-
ной нагрузкой /> = 0,5 т/м на участке длиной а = 40 м (рис. 21,е). Опре-
делить новое натяжение Hi нити и ее ордийату в середине пролета, если
Е = 2 • 106 кг!см2\ F = 40 см2.
Подобные задачи встречаются при расчете пространственных перекры-
тий (рис. 3). Под величиной q надо понимать собственный вес перекрытия,
под р — снеговую нагрузку.
Решение задачи начинаем с определения На и величины интегралов,
входящих в формулу (2.40),
<7/2	0,05-602
Ho=w= 8-2,0 =11-25 т-
По формуле (2.19) определяем
Теперь воспользуемся формулой (2. 33)
f С?>ж=^+_^-(4/_3Д)+р9<12(4-Л_) =
0 052-603	0 502-433	/ 60	40 \
=	12	+ -f^.oo (4‘60 + 3,40) + °-5-°>05-402 ("Г- ~Т-) =
= 3376 т'-м.
3*
35
Подставляя полученные значения в уравнение (2.40), получим
з Г 2-10’-0,004	2-10’.0,004	„
+ [ 2-60-11,252 ’ 45,0	П’25]Н.	2-60	- 3376 — 0.
Или
Н3 + 226,2 Н3 — 2250000 = 0.
1 1
Отсюда
Нг = 85,2 т.
Балочный изгибающий момент в середине пролета
/0,05-60	0,5.40-40 \ „	(0,05 + 0,50)302	.
= ------=-----1------—------ • 30 — 1--------------= 197 т м.
\	2	60	/	2
Следовательно, ордината нити в середине пролета будет после допол-
нительного загружения равна
_ М±_ _ 197 _
Л - 7/j	85,2 ~ 2,31
Ордината в этом месте увеличилась на 0,31 м. В дополнительно загру-
женной части нити, в четверти пролета определенная подобным же образом
ордината возросла на 0,36 м и достигла 1,86 м. В незагруженной части
нити, также в четверти пролета, провес нити уменьшился на 0,06 м.
§ 8. НИТЬ С ОПОРАМИ, РАСПОЛОЖЕННЫМИ НА РАЗНЫХ УРОВНЯХ
Нити с опорами, расположенными на разных уровнях,
в инженерных конструкциях встречаются чаще, чем нити с опо-
рами на одном уровне (рис. 1, 4, 5, 7, 9 и др.). Поэтому необ-
ходимо рассмотреть работу таких нитей.
В настоящем параграфе (так же, как во всей книге) рас-
сматриваются только нити с .малыми стрелками. В отношении
взаимного расположения опор нити можно разделить на две
группы: нити с небольшой разностью отметок опор (рис. 24, а)
или, что то же самое, с малым углом а, и на нити с большим
углом а. В первом случае можно считать (так же, как это де-
лалось выше для случаев нитей с опорами на одном уровне),
что погонная нагрузка q, распределенная по пролету нити,
равна погонной нагрузке q, распределяющейся равномерно по
длине нити.
Если считать допустимым отклонение в точности учета на-
грузки, распределенной равномерно по длине нити, 5%, то
предельная величина угла а может быть принята равной
10 4- 15°.
Если угол а больше этого предела, то нагрузка на единицу
длины пролета будет равна (рис. 24, Ь).
36
Такая же поправка должна быть введена и в нагрузку,
распределенную неравномерно по длине нити.
В дальнейшем, независимо от величины угла а, будем счи-
тать, что подобные поправки введены и что задана нагрузка
на единицу длины пролета
Рассмотрим нить, нагру-
женную произвольной на-
грузкой (рис. 24, с). Для на-
хождения усилий, возникаю-
щих в сечениях нити, и ее
очертания определим преж-
де всего реакции опор. Для
этого отделим нить от опор
и заменим действие на нее
отброшенных опор силами
и SB (рис. 24, d). Каждую
из этих сил можно, в свою
очередь, заменить двумя си-
лами, показанными на рис.
24, d. Определим эти си-
лы.
Приравнивая нулю мо-
мент всех сил, действующих
на нить, относительно точки
В, получим
Здесь 2Л4В0 — сумма мо-
ментов всех внешних сил,
действующих на нить, кро-
ме опорных реакций.
Теперь
V _
VA I
Рис. 24.
Эта величина ничем не отличается от опорной реакции
простой балки на двух опорах (рис. 24, е) и ее, как и для ни-
ти с опорами на одном уровне, обозначим ЛБ
Следовательно,
уа = лб.
Совершенно так же можем написать
Vb = Bb.
is D
Проектируя все силы, действующие на нить, на горизонталь-
ную ось, получим
ra = rb=r.
37
Возьмем некоторую точку С, расположенную на нити. Длина
перпендикуляра, опущенного из точки С на линию АВ
равна «ь
Так как нить предполагается абсолютно гибкой, изгибаю-
щий момент в этой точке должен равняться нулю.
2 7ИСЛ — /?«! = 0.
Здесь 2А4СЛ—сумма моментов всех сил, расположенных
слева от сечения, кроме сил R. Иначе говоря, это есть вели-
чина балочного момента А4СБ.
Следовательно,
п , Мсб
“1
Горизонтальная составляющая этого усилия представляет
собой ничто иное, как натяжение Н нити. С другой стороны,
эта горизонтальная составляющая равна R cos а.
Следовательно,
Н = R cos а =-----.
COS а
Но (рис. 24, с?)
COS а
И, следовательно,
(2.41)
Эта формула по своему существу ничем не отличается от
формулы (2.7), полученной для нити с опорами на одном
уровне. Разница только в том, что ординату и надо отсчиты-
вать по вертикали не от горизонтальной линии, а от линии АВ,
соединяющей точки закрепления концов нити.
Формула (2. 41) может быть написана так
(2.42)
Если надо найти ординату нити, отсчитываемую от гори-
зонтальной оси Ах, ее можно выразить так (рис. 24, d)
y — uA-xtga,	(2.43)
или
у = и-\-г-^-.	(2.44)
В тех случаях, когда нить нагружена некоторой начальной
нагрузкой, при которой мы можем определить натяжение Но.
38
а затем нагружается какой-то дополнительной нагрузкой, на-
тяжение изменяется и становится равным Я).
Эту величину, так же как и в случае опор на одном уровне,
нетрудно будет определить, если мы сумеем выразить длину
нити через другие ее основные параметры.
Задачу можно решать совершенно аналогично тому, какова
решалась в случае расположения опор на одном уровне (§ 6)
и в результате получить формулу [8].
, , JzQsrfx tg2a^
L = L + 2№ +	2	•
Однако эта формула может дать удовлетворительные ре-
зультаты только в случае небольших углов а, не превышаю-
щих 10 4- 15°. Точное решение задачи при больших углах a
затруднительно и громоздко.
Для практических целей необ-
ходимо найти простое и удоб-
ное приближенное решение.
Автор исследовал несколько
вариантов приближенных ре-
шений и остановился на описы-
ваемом ниже. Сначала рас-
смотрим применение этого ва-
рианта решения для нити, на-
груженной сплошной нагруз-
кой q по всему пролету (рис.
25, Ь), а затем распространим
его на другие случаи.
Для нити по рис. 25, а
имеем (2.36)
= l +	(2-45)
Для нити, представленнной
на рис. 25, Ь воспользуемся той
же формулой, только вместо I
подставим------, а вместо т~
COS a	'
Рис. 25.
величину Д, которая приближенно может быть выражена че
рез fтак:
ft /cosa.
Тогда для нити с опорами на разных уровнях получим
т4г+44с083 а- (2-46)
Пользуясь формулой (2.45), можно написать
3 /	I-
39
Тогда формула (2.46) может быть переписана в таком виде
Z. = —1----Н (L 0 —1\cos3 а.
а	cos я 1 I а=о j
(2.47)
Подставляя в формулу (2.47) соответствующее значение
Лх-о'по формуле (2.17), получим
I / f,Q2 dx \
+	------Z)cos4
или
j	1	,	3
A, ~ 7.--------F —	— cos а
а1 cos а 1	2/?2
(2.48)
Эта приближенная формула дает хорошие результаты для
нитей с малыми стрелками, нагруженными не только сплош-
ной нагрузкой, но и нагрузками других видов.
Пример 2. Рассмотрим нить, первоначально нагруженную сплошной
равномерно распределенной нагрузкой (рис. 25, а). Уравнение нити
у	(2.49)
Примем пролет нити I = 100 м и стрелку относительно большой величины
/
f = |Q = 10 м. Попытаемся численным способом определить длину нити,
заменив параболу десятиугольником. Такое решение, как известно, дает
результаты очень близкие к действительности.
Для этого вычислим по формуле (2. 49) ординаты нити для ряда сече-
ний (второй столбец табл. 2). Затем определим величины Ду— разности
смежных ординат. Деля величины Ду на расстояние между сечениями
(с = 10 м), получим тангенсы углов наклона 0 отдельных участков нити.
Таблица 2
X, м	я = 0				а = 45°			
	У, м	Ду, м	tgB	1 cos 9	Уь м	Дуь м	tg 81	1 COS 6,
0	0	3,60	0,360	1,065	0	13,60	1,36	1,688
10	3,60	2,80	0,280	1,041	13,60	12,80	1,28	1,618
20	6,40	2,0	0,200	1,022	26,40	12,00	1,20	1,562
30	8,40	1,20	0,120	1,о09	38,40	11,20	1,120	1,500
40	9,60	0,40	0,040	1,000	49,60	10,40	1,040	1,445
50	10,00	0,40	0,040	1,000	60,00	9,60	0,960	1,385
60	9,60	1,20	0,120	1,009	69,60	8,80	0,88	1,333
70	8,40	2,00	0,200	1,022	78,40	8,00	0,80	1,281
80	6,10	2,80	0,280	1,041	86,40	7,20	0,72	1,233
90	3,60	3,60	0,360	1,065	93,60	6,40	0,64	1,187
100	0				100,00			
40
Имея величины tg©, нетрудно определить 0, а затем COgg (столбец 5)-
Теперь можно определить полную длину нити
Да=0 = 2с —= сХ —=102,74 м
* u cos в cos в
По формуле 2.48 при а = 0 получается
Г Osrfr	?2/3  Н  ^Qidx - 8 /2
L 0=/ +	Ю0+—8-------— = 102,67м. (2.50)
0	2№	3	100
Разницу 7 см можно считать йебольшой и точность численного способа
при десяти участках длиной с — удовлетворительной, отвечающей точности
подсчетов на линейке.
Для нити с опорами на разных уровнях (рис. 25, Ь) уравнение будет
выглядеть так
^fx(l - х) .
у = ——+ X tg а
Для большей уверенности примем угол а очень большим, редко встре-
чающимся на практике
а = 45°.
Тогда, подобно предыдущему, в столбцах 6—9 табл. 2 можно вычислить
величины уг, Ьуг, tg ©f, 	.
Полная длина нити
^«-45° ~с х —“й’ = 142,32 м
“-40 cos 0
По формуле (2.48) получим
£а=45» =	+ 2,67-0,7073 = 142,34 м.
Результат вполне удовлетворительный. Разница получается в преде-
лах точности вычислений.
Формула (2.48) проверена «а другом примере, 'который
представляет собой другой крайний случай: в противополож-
ность предыдущему здесь -нить нагружена только сосредото-
ченной силой (рис. 25, d). Пролет предположен 1= 100 м.
Ордината нити под силой f = 10 м; угол а = 45°. Сила рассмот-
рена в двух положениях, в четверти пролета и в середине.
В этом случае длина нити находится точно путем простых
геометрических вычислений, используя теорему Пифагора.
Для нити с опорами на разных уровнях при грузе в чет-
верти пролета точная величина £'а=45о = 142,30 м, а по фор-
муле (2.48)	= 142,31 м.
41
При действии груза в середине пролета точное и прибли-
женное решения дали один и тот же результат Ла=45о = 142,10 м.
Полученные результаты дают основание считать формулу
(2. 48) достаточно правильной для разных случаев вертикаль-
ной нагрузки.
Определив длину нити при расположении опор на разных
уровнях, можно связать длину нити Lla с длиной ее Л2» после
дополнительного затружения.
Натяжения нити при этих нагрузках будем обозначать со-
ответственно Hi и Н2. При расположении опор на разных уров-
нях нельзя даже приближенно считать, что усилие в нити рав-
но натяжению. Надо принять
1 COS а ’	“ COS а
Длину пологой нити приближенно будем считать равной
COS а
Тогда упругая деформация нити будет
. _ (S.-S^li _ (Н2-Н)1
EF ~ EF cos-' a •
Уравнение деформаций нити может быть написано так:
=	+	(2.51)
Или, имея в виду формулу (2.48),
1	, №’ах ч 1	। \iQ\dx
------и \— COS3 a =------------	L—
cos a 2/7	cos a 1	2/7
3	1
cos3a-f-
EF COS2 a
(2.52)
В этом уравнении подлежит определению Н2. После сокра-
щений и преобразований получим
я! +	( о; dx -Н,}нг2 - f Q’ dx =0. (2.53)
\	.}	/	Jz
В выведенном уравнении индексы 1 соответствуют началь-
ной нагрузке, индексы 2 — нагрузке после дополнительного
загружения. По своему построению уравнение идентично
(2.40). Применение его возможно при любых практически
встречающихся углах а. При а = 0 уравнение (2. 53) оказы-
вается тождественным (2.40).
42
Пример 3. Задано (рис. 26,а): пролет нити / = 50 м, угол а = 30°.
Начальная нагрузка распределена по закону трапеции qi = 0,05 т/л,
q., = 0,50 т/л. При этой нагрузке ордината нити на расстоянии а — 20 м от
левой опоры yai = 4 м. Дополнительная нагрузка в виде сосредоточенной
силы Р = 5 т приложена в расстоянии а = 20 м от левой опоры
Е = 2 • 106 кг/см2', F = 20 см2; EF — 40 000 т.
Требуется определить натяжение Н2 нити после приложения дополни-
тельной нагрузки и ординату уа нити под силой.
Начинаем с определения натяжения Hi при начальной нагрузке. Для
этого определим прежде всего интенсивность qa нагрузки на растоя-
нии а от левой опоры
qa = 91 + ?2  91 а = 0,05 +	-20 = 0,23 тщм.
I	Эм
Натяжение нити при начальной нагрузке
„ I 2 4il , 1 9>z \ „	91^	2 „ qaa а
мъа 3 2	3 2	2'3	2'3
Н. = ----= v------------------------------------------------
Уа1	Уа1
/ 2	50	1 0,5-50\п	0,05-20	2 .п 0,23-20	20
0,05 • -2 - + -з-—) 20----------------T -20---------2--------Г
Теперь по формуле (2.29) определим
0,052-503	0,52-503 , 7-0,05-0,5-503
45	4	45	1	180
= 823 п^/м.
Интеграл Qa dx для совместного
действия начальной и дополнительной
нагрузок вычислим по формуле 2.31:
52-20-30
50
/ 1	20
+ 823 + 2-0,05-5-20-30 -1--------
\ 2	3-50
интеграл J/Q’tZx
Рис. 26.
30 \	/1
+2-0,5-5-20 • 30 4- —
о-50 /	2
30
3-50
20 \
= 1903 ш2м.
6-50 /
При этом, входящее в формулу (2.31) выражение
9,/3 , 9^3 , 7919з*3
~45“ +~15~ + 180
43
равно только что полученной величине dx = 823 г2 м. Эта величина и
подставлена в качестве второго слагаемого в формулу (2.31).
Вычисленные значения подставляем в уравнение >(2£3)
„з /40000cos530°	1903-40000 co.s5.300 _ п
3 +U-50-19.52	2.50	°-
или
№ + 400 // — 369000 = 0,
2	2
отсюда
Н2 = 29,3 т.
Ордината нити под грузом
РаЬ
Mbq 4---j—
Величина МБ^ — балочный изгибающий момент под грузом от начальной
нагрузки. Он был определен раньше, при нахождении Н\,
ЛГБ? = 78 т/м.
Тогда
,о , 5-20,30
_78 +	50	__471
У а	29,3	4,71 м.
Отметим, что для нити, имеющей опоры на одном уровне, натяжение
Я2 и искомая ордината уа оказываются практически такими же, как для
рассматриваемой нити с опорами, расположенными на разных уровнях
при а = 30°. Если бы угол а равнялся 45°, то найденная величина Н2 =
= 28,8 т также мало отличалась бы от той, которая получается для нити с
опорами на одном уровне.
Практика подсчетов показывает, что такое положение имеет место лишь
для нитей с относительно большими стрелками провеса, как это имело
место в рассматриваемом примере. Если в этом примере сохранить все дан-
ные (в том числе и угол а = 30°), но величину уа уменьшить в четыре раза,
приняв ее уа = 1 м, то натяжение от начальной нагрузки будет равно
Hi = 78 т, а от полной нагрузки Н2 = 93,8 т.
При опорах на одном уровне (при а = 0) натяжение оказывается уже
заметно отличающимся от этой величины: Н2 = 99,5 т,
§ 9. ВЛИЯНИЕ СМЕЩЕНИЯ ОПОРЫ НИТИ И ИЗМЕНЕНИЯ
ТЕМПЕРАТУРЫ
При расчете двухпролетных и многопролетных висячих си-
стем, когда один из пролетов загружается дополнительной на-
грузкой, промежуточные опоры могут смещаться. Подобное
смещение возможно и в пространственных системах. Напри-
мер, в системе по рис. 40 центральная опора может быть сде-
лана подвижной. В этом случае, при несимметричном загру-
жении системы происходит смещение опоры. Смещение, есте-
ственно, отражается на величинах усилий, возникающих в си-
стеме. Такое влияние может оказаться весьма существенным,
а иногда даже решающим. Поэтому его необходимо учитывать.
44
На рис. 27, а показана нить под некоторой начальной на-
грузкой. Натяжение нити Н}, длина — LaV При загружении
нити дополнительной нагрузкой натяжение возрастает до Н2,
очертание нити изменяется, длина ее становится равной La2’
одновременно происходит и смещение опоры на величину 6
(рис. 27, Ь).
Для решения задачи о влия-
нии подобного смещения на ра-
боту нити воспользуемся фор-
мулой
^2 = ^ + д^ (2-54)
В этой формуле в соответствии
с формулой (2.48)
/	( Q2 dx
L . =------И ——4— cos3 а.
“1 cos а 1	2/7
(2.55)
При определении длины Ла2
необходимо иметь в виду, что
балочная перерезывающая си-
ла и натяжение нити измени-
лись, пролет ее равен уже не I,
al — д; угол а тоже изменился
и стал равным щ (рис. 27, Ь).
Интегрирование должно быть
распространено на длину I — 6,
а не Z
Учитывая, что величина смеще-
ния д всегда очень мала по
сравнению с Z, можно полагать,
что си = а и что интегрирова-
ние распространяется на дли-
ну Z.
Получим
Рис. 27.
cos3a .	(2.56)
а
AZ. по-прежнему равно
EF cos2 а
(2.57)
45
Подставляя это выражение, а также (2. 55) и (2. 56) в фор-
мулу (2.54), получим (после сокращения)
\iQ\dx	\tQ\dx	(H2-Hi)l
. ---4— cos3a =----4— cos3a 4--------------.
cos a ' 2H	2//	EF cos2 a
2	1
8
ИЛИ
(EFco^a (* n2 ,	„ . 8 EF cos a \ „2
+ ( 2//Г JZQ1 dX ~ H1 +-----1--) “
---fFcos6a = 0.
(2.58)
Интеграл jz Q2 dx в этом уравнении определяется для на-
чальной нагрузки, а [iQ^dx для полной (начальной и допол-
нительной) нагрузки.
Если опоры находятся на одном уровне и а — 0, получим
, r3 , / EF С п2 , гт 8 EF \ „2	f I o' dx
Н\+[J /Q1 dX - 771 + М~ EF = °- (2-59)
Если одновременно с изменением пролета нить удлинилась
на величину AZ.z (рис. 27)
ТЯГ-	<2-6°)
го формула (2.54) будет иметь вид
Z.a2 = Z.at-J-ДА 4-AZ,z.	(2.61)
После преобразований и подстановки в эту формулу необ-
ходимых значений получим
^3 , ГЕЕсо^Р q2 dx _ н _(8 + /яГ) EF cosa 1	_
2 1 [ 21Н Ji 1	I	] 2
f l Q2 dx
-	—£Fcos5a = 0.	(2.62)
Пример 4. Возьмем все данные примера 3 (по второму варианту, при
измененной величине yai ), т. е.: I = 50 м; а = 30°;	= 0,05 т/м;
q2 =* 0,50 т/м; а = 20 м; b = 30 м; yai = 1 м; EF = 40 000 т. Дополнитель-
ная нагрузка Р — 5 т.. Кроме того, предположим, что опора сместилась
внутрь пролета на д = 7 см и температура понизилась на t = 30°. Опреде-
лить натяжение Нг нити.
Пользуясь данными примера 3, получим
Hi = 78 m; Jz Q\dx = 823 п^м; Q2rfx=1903 т?м;
46
Ь +/а/= 7 — 5000-0,0000125-30 = 5,125	= 0,05125 м.
Подставляя все известные величины в формулу 2.62, получим
/73 +	Г40000-0,8656 оо„ „	0,05125-40000-0,865 1 * [ 2-50-782	823 - 78 ।	50	 ]Я, 1903- 40000 -0,8655 2-50	“°-
Или	/73 — 16,3 /7* — 368000 = 0.
Отсюда	/73 = 77,6 т.
При отсутствии смещения и изменения температуры эта величина рав-
нялась Н2 = 93,8 т. Следовательно, даже в данном примере, где смещение
и изменение температуры -противодействуют друг другу (смещение •—
внутрь пролета, температура — понизилась), эти факторы существенно
влияют на изменение натяжения и провеса нити. В неблагоприятных усло-
виях это влияние может быть еще больше.
Во многих случаях при расчете даже однопролетных нитей
бывает полезно уметь определять усилия в нити при смещении
некоторой ее точки по горизонтали, по вертикали или в сто-
рону.
Имеем нить пролета /2 (рис. 27, d). Некоторая точка А этой
нити под действием силы Р переместилась по горизонтали на
величину д, по вертикали — на величину и, в сторону — на ве-
личину w. Эти перемещения отразятся на натяжениях нити на
левом ее участке АС и на правом АВ. Оба эти участка можно
рассматривать как самостоятельные нити, получившие оме7
щения.
Рассмотрим работу участка АВ при смещении опоры по
вертикали вниз на величину v (рис. 27, а), внутрь пролета на
величину д (рис. 27, Ь) и вбок на величину w (рис. 27, с). Опре-
делим натяжение Н2 на этом участке после смещения. Уча-
сток АВ рассматриваем как самостоятельную нить пролета I.
При решении поставленной задачи снова воспользуемся фор-
мулой (2.55).
В этой формуле
/ Г, Q‘dx
L . =------i- ——4— cos3 а.
«1 cos а 1	2/7
1
Величина Ла2 определяется из таких соображений.
При смещении опоры А по вертикали в точку Л1 (рис. 27, а)
длина А\В будет равна
А<В = АВ — г/sin а = —-----v sin а.
1	COS а
47
Следовательно,
/	\,Q dx
= -^-1» sina+ ‘	-COS3«2,
Z/7
2
(2.63)
где «2 — угол между направлением AJ3 и горизонталью.
Ввиду того, что смещение v следует считать небольшим по
сравнению с пролетом I, будем приближенно считать, что
а2 = а. Тогда
/
^"“2 = COS а
V sin а -ф-
2//
2
COS3 а.
(2-64)
При одновременном смещении той же точки в сторону на
величину w (рис. 27,с), где показана вить в плане, длина го-
ризонтальной проекции нити увеличивается на величину А, ко-
торая может быть определена из подобия треугольников
A [DA и А [АВ:
Д __ w д w2
w I ’	I
Кроме то-то, длина горизонтальной проекции нити уменьши-
лась, как это было обусловлено выше, на величину 6. Полное
W2
уменьшение проекции оказывается равным В--j- и, следова-
тельно, длина -нити после смещения окажется равной
1 X ! да2
+ ~	- I	3
Ьа2 =---ЕБТТ-----tfsina+^_L__C0S3a.
~	2
Формула написана в предположении, что влияние смещений
относительно невелико и угол а после смещения практически
сохранил свою первоначальную величину.
Подставляя значения Lal и La2 в -формулу (2.54), получим
W2	Р 2	Р 2
— 8 + -у	J ; Q, dx	J i Qi dx
---—	V sina 	-2— COS3 a =--2— COS3a -4-
eos a-------------------------------2Я	2/7
2	1
T^-Z/QZ n
EF COS2a
или
^2 +
EF COS5 a I „2 . и .
——5— I Q, ax — n, +
21H J I 1	1
48
V sin a COS2 a 8cos a-— COS a	(' Q1 dx
H-------------------------------EF	— £Лсоз6а = 0.
i	*	21
(2.65)
Если одновременно co смещениями о; 6; w происходит повы-
шение температуры на величину t и изменение вертикальной
нагрузки, получим наиболее универсальную формулу
Qj dx— Нг +
V Slna COS2a -f- 8 cosa-----— COSa -f- lad cosa
/
EFcos'^a. = 0.
EF Н\ —
(2.66)
Так как перемещение w всегда значительно меньше про-
лета I нити, его влиянием в большинстве случаев можно
пренебречь.
Пример 5. Примем те же данные, что в примере 4, но будем счи-
тать, что горизонтальные перемещения отсутствуют, отсутствует изменение
температуры и дополнительная нагрузка. Изменение натяжения нити опре-
деляется только вертикальным перемещением вниз v = 7 см вышерасполо-
женной опоры.
Требуется найти натяжение Hi нити после смещения опоры. Оно может
быть определено по формуле (2. 65), где б = w = 0.
Из примера 4 известны
= 78 т;	dx = 823 т2м.
Делая подстановки, получим
н + 2	(40000-0,8655	0,07-0,5-0,8652 [ 2-50-782 ' '823 " 78 1	50	- 40000j//3
823-40000-0,8655
2-50
Или
№ — 30,9 № — 157 300 = 0.
2	2
Отсюда
Н2 = 66,7 т.
Натяжение уменьшилось на довольно значительную величину
Ml = 11,6 т. Правда, при горизонтальном смещении опоры внутрь пролета
на те же 7 см натяжение падает на большую величину А// = 22,6 т и ста-
новится равным
Н2 = 55,4 от.
1-142
49
Интересно отметить, что при уменьшении утла наклона
нити а влияние вертикального смещения опоры нити на натя-
т	жение ее Н уменьшается. При
а = 0 вертикальное смещение
опоры практически не влияет
на натяжение. При горизон-
тальном смещении опоры
уменьшение угла а сопровож-
дается уменьшения влияния
смещения на величину падения
натяжения, но последнее до ну-
ля не доходит. На рис. 28 пока-
заны натяжения Й2 в зависи-
мости от углов а при одинако-
вых горизонтальных (6) и вер-
тикальных (с) смещениях.
§ 10. НИТЬ С ОПОРОЙ, ПЕРЕМЕЩАЮЩЕЙСЯ ПО ВЕ*РТИКАЛИ
В некоторых пространственных системах используются
нити, один конец которых неподвижно закреплен, в то время
как другой может перемещаться в вертикальном направлении.
Примером подобной системы может быть система, представ-
ленная на рис. 5. Если перекрытие нагружено симметричной
относительно его центра нагрузкой, кольцо, к которому при-
креплены нижние концы нитей, будет перемещаться по вер-
тикали. Следовательно, каждую отдельную нить можно пред-
ставить себе закрепленной так, как это показано на рис. 29, а.
Конечно подразумевается, что опора в точке А может переме-
щаться по вертикали без трения.
Нагрузку по рис. 29, а будем считать начальной. Впослед-
ствии добавляется некоторая дополнительная нагрузка
(рис. 29, Ь). Требуется определить новое натяжение нити Н2
и перемещение точки А по вертикали.
Задачу, конечно, можно было бы решить, рассматривая
заданную нить как половину нити двойного пролета.
Однако небесполезно рассмотреть показанную на рис. 29
новую схему нити.
Для решения задачи найдем прежде всего натяжение нити
при начальной нагрузке. Для этого отделим нить от опорных
закреплений (рис. 29, с), покажем силы, действующие на нее,
и напишем уравнения статики.
Е_у = — ЕР + В = 0; В = ЕР;
,	Zj/П DC1
е1
50
Здесь 2Р — алгебраическая сумма всех вертикальных
внешних сил, действующих на нить. Эта величина равна попе-
речной силе в сечении В консольной балки (рис. 29,6?)
Точно так же
S Мво — — ТИБ1.
Тогда вертикальная состав-
ляющая на опоре В
Bi = Qfj.	(2.67)
Натяжение
—
f^i = -~.	(2.68)
Здесь — балочный из-
гибающий момент в месте за-
делки консольной балки (рис.
29, d).
Уравнение нити при распо-
ложении координатных осей по
рис. 29, с может быть получено,
если приравнять нулю сумму
моментов всех сил, располо-
женных слева от сечения с
координатами х и у
^Мх=-^МЪх + Н1У = ^.
Здесь 5МБл.— момент всех вертикальных сил, расположенных
левее сечения
КМЪх
у нг •
Числитель этого выражения 2Л4Бх по абсолютной величине
представляет собой изгибающий момент в консольной балке.
Поэтому так же, как это было сделано для нити, закрепленной
обоими концами, можно написать
МБ
У =	(2-69)
Разница только в том, что здесь/И Е—-балочный момент в
консольной балке.
4
51
Если величина ci невелика в сравнении с пролетом нити
и составляет не более	пролета, нетрудно определить
и длину нити, подобно тому, как это делалось выше
ds = V (dx)2 + (dy)2 ^dx[l+4(^)T = rf41 + 2^“
L — £ ds - I + 2//2 £ QPdx.
Обозначая индексами 1 величины, относящиеся к началь-
ной нагрузке, а индексами 2—к полной, напишем условие де-
формаций
или
Л2 — 4j +
В результате получается точно такое же уравнение, как
для обычной нити
(^х-нАн2--^ (%dx = O. (2.70)
J	J i
Определение входящих в это уравнение интегралов не
представляет затруднений.
Если величина щ относительно велика, можем воспользо-
ваться формулой (2.66), которая в данном случае будет иметь
вид
vsin a COS2a
н: 4-	adx — H^ ц
2 1 [ 21Н\ JI 1	1	Z
(> Q2 dx
--- —гЛ---ЕЕ COS5 а =.0.
EF Н2 -
(2.71)
В этой формуле две неизвестные величины: Н2 и v. Эти две
величины нетрудно связать уравнением, подобным уравнению
(2.68), (рис. 29, Ь).
Или, так как с2 = Ci + v, получим
Отсюда
(2.72)
52
Подставляя это значение в формулу (2.71), после преобра-
зований получим
, ,3	Г EF COSsa (* /-.2 J , ,	. о EF 1 „2
Я2 + I	— j Qj dx — Нх — CjSina cos~a —j—j Я2 —
n	FF f, Q2 dx
— Alg2 sinacos2a-y- H2--------EFcos^a. = 0. (2.73)
Из уравнения (2.73) можно определить Н2. Применение
этого уравнения принципиально не отличается от подобных ре-
шений, показанных выше. Поэтому примеров не приводим.
В этом уравнении новой является величина Afg2 — балоч-
ный изгибающий момент в сечении В консольной балки от пол-
ной нагрузки (рис. 29, е}. Условия знаков для этого момента
обычные.
После определения Н2 по формуле (2.72) можно опреде-
лить перемещение v.
§ 11. РАСЧЕТ НИТИ НА НАГРУЗКУ, ДЕЙСТВУЮЩУЮ
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО ПЛОСКОСТИ НАЧАЛЬНОГО ПРОВЕСА
Плоскостью начального провеса будем называть плоскость,
в которой провисает нить под действием начальной нагрузки.
В качестве начальной нагрузки будем считать всегда нагруз-
ку, действующую в вертикальной плоскости. Следовательно, и
за плоскость начального провеса будем принимать вертикаль-
ную плоскости
На рис. 30, а показана нить с действующей на нее нагруз-
кой. На этом рисунке показана начальная плоская линия про-
веса. При действии дополнительной нагрузки (которая тоже
показана на рис. 30,а), линия провеса нити в.общем случае
перестает быть плоской. На рис. 30, b и 30, с показаны две
проекции пространственной кривой нити.
Рассматривая только вертикальную проекцию (рис. 30, Ь),
можно написать для нее все уравнения статики точно такие
же, какие были написаны в § 4. Совершенно так же, как по-
казано там (2.9), получим
Если будем рассматривать только горизонтальную проек-
цию (рис. 30,с), можем аналогично определить
53
В этих формулах ЛТБу и —балочные моменты, возни-
кающие в сечениях воображаемой балки при действии сил
соответственно только в плоскостях хАу и xAz.
Точно так же можем напасать
а) в
9 I
Рис. 39.
^=-^4	(2.76)
их Н ’ ах Н v '
Ниже будем для краткости пи-
f сать вместо QBy и QEz просто Qy
“ Qz , подразумевая под этими ве-
личинами балочные поперечные
силы, действующие в плоскостях
хАу и xAz.
Стрелка Л нити при начальной
нагрузке известна. Следователь-
но, известно и начальное натяже-
ние Hi нити. Требуется найти на-
тяжение Н2 при полной нагрузке.
Длина нити при начальной на-
грузке равна
‘) I
1	2Н ’
1
где Qyi — балочная поперечная
сила, действующая в
плоскости хАу, совпа-
дающей с плоскостью начального провеса.
Будем считать, что речь идет о нитях с малыми стрелками
или, вернее, с малыми отклонениями кривой изгиба нити ог
прямой линии АВ (рис. 30, Ь и 30, с). Тогда длину Ь2 нити при
полной нагрузке можно будет определить с достаточной сте-
пенью точности.
dL, = V(dx? + (dy? + (dz)2 = dx У 1 + m2 + ^y2
~rfxr1+1 m2+ ’ m.2i
1	2 \dx J * 1 2 \dxу
Подставляя сюда значения (2.76), будем иметь
dL2 = dx\l-[--^	.
2 L 1 2/7’	2/7
Интегрируя в пределах длины пролета, получим
г - / । Г , \i.Qgdx
2/7
2
2/7
(2.77)
54
Сравнивая это выражение с формулой (2.17), видим, что. при
расчете нитей, имеющих небольшие 'стрелки fy и , можно рас-
сматривать влияние вертикальной нагрузки на длину нити без
учета-горизонтальной силы (третье слагаемое правой части
уравнения 2.77). Наоборот, при рассмотрении влияния гори-
зонтальных сил, нет необходимости учитывать действие вер-
тикальных сил (второе слагаемое).
В качестве приближенного этот тезис распространим на
нити с опорами на разных уровнях. На рис. 30, d показана
нагрузка и проекция линии провеса нити на вертикальную
плоскость. Проекция линии провеса на горизонтальную плос-
кость будет выглядеть так же, как в случае расположения
опор нити на одном уровне (рис. 30,с).
Пользуясь сформулированным выше тезисом, второе сла-
гаемое формулы (2.77) надо будет написать так (см. фор-
мулу 2.48):
\iQy,dx з
-—Ц— cos3 а .
2Н
2
Третье слагаемое остается без изменения, а первое следует
заменить длиной отрезка АВ (рис. 30, d), т. е. величиной
Тогда
L 1________L	з а I Ь ^2
2 cos а '	2//	2/Т
2	2
При небольших значениях стрелок нити в вертикальной и
горизонтальной плоскостях эта формула дает удовлетвори-
тельные результаты. Соответствие этой формулы действитель-
ности проверено на частном примере подобно тому, как это
было сделано в § 8. В качестве примера была взята нить про-
летом /= 100 м (рис. 31). Вертикальная нагрузка — равно-
мерно распределенная по всему пролету q = 0,10 т/ои, стрелка
/у = 10 м; горизонтальная нагрузка—'сосредоточенная сила Р
в середине пролета, стрелка /г’= 5 м. Для примера принят до-
вольно большой угол а = 45°. По формуле (2.78) получено
•t-2 = 142,84 м, а точным способом Ь2 — 142,88 м.
Следует обратить внимание на то, что сила не задана. Но
если заданы стрелки в обеих плоскостях (/у и /г ), величину
силы Р можно определить из условий равновесия. Так, рас-
сматривая условия равновесия нити в вертикальной ее проек-
ции (рис. 31,а), мы видим, что сила Р, направленная перпен-
дикулярно к этой плоскости, на условиях равновесия отра-
зиться не может. Следовательно, натяжение нити равно
Н --ql—
1	8/j,	•
(2.78)
55
Теперь рассмотрим горизонтальную проекцию (рис. 31, Ь).
Рассуждая точно так же, можем выразить натяжение через
силу Р
2	4/г
Натяжения и Н2 представляют собой проекции натяже-
ние Н на две плоскости. Из рис. 31 видно, что направления
этих обеих проекций совпадают с направлением оси х и, сле-
довательно, натяжение Н проектируется на обе плоскости без
искажения.
Таким образом Н<. = Н2 и, следовательно,
ql2 _ Pl
Vy 4/г •
Отсюда
0,1-100.5 о _
-2Й0“ = 2’5 т-
р _ gift
Vy
Имея нагрузку в обеих плос-
костях, можем воспользоваться
формулой (2.78). Величины инте-
гралов могут быть взяты по фор-
мулам (2.19) и (2.20).
Более точный численный под-
счет длины нити по своей тех-
нике несколько отличается от того, который дан в § 8. Ввиду
пространственности линии провеса нити, удобнее было разбить
нить на ряд равных участков по длине ее пролета. По уравне-
нию линии провеса нити в вертикальной проекции
J) = 4A,x(/-x| +xte.
можно сосчитать ординаты нити в намеченных точках границ
участков, а затем величины Ду. Аналогично можно было найти
величины Дг. Тогда длина отрезка одного участка нити равна
Д s = ]Х(Дх)2 + (Ду)2 + (Д2)~
Суммируя такие отрезки, можно было .найти полную длину
нити. Подобный подсчет при делении пролета на десять рав-
ных участков и дал приведенные выше результаты.
Следует заметить, что рассмотренный пример, когда в од-
ной проекции действует сплошная нагрузка, а в другой со-
средоточенная сила, представляет собой довольно неблаго-
приятный случай нагрузки. Тем не менее, при стрелках
56
vif., = результаты получились вполне приемлемые. Это об-
стоятельство и некоторые другие расчеты, сделанные автором,
позволяют считать, что формула (2. 78) способна дать удов-
летворительные результаты при отношении стрелок к пролету
порядка fjl — ^-и менее. Если одна из стрелок несколько пре-
восходит эту предельную величину, то другую следует иметь
меньше указанного предела. Результаты при этом можно ожи-
дать удовлетворительные.
Решение задачи об усилиях в нити и координатах ее от-
дельных точек поставим так же, как это делалось выше. За
начальную нагрузку будем принимать вертикальную нагрузку
Для нее
7 Г/
Ц =	-4- Ч-....cos8 а.	(2.79)
1	cos а 1 2Н	'
1
Уравнение деформаций нити по-прежнему
т , , (Н2-Н,)1
2	1 EF cos2 а
Подставляя сюда значения по формулам (2.78) и (2.79),
получим
Пу2^ 3 , Ий
чн	чн
L Qyi dx
чн"
1
COS3 а Д
EF cos2 а
(H.-H^l
Отсюда
Q^dx-нЛн}
£1П t J i y
Q^dx cos3a-[-
, C /-,2 , EF COS2a n
+ Jz Q^d^j—27-= 0-
(2.80)
Пример 6. В качестве примера рассмотрим нить пролетом I = 100 м.
Опоры на' разных уровнях, а = 45°. Вертикальная нагрузка q = 0,20 т/м;
горизонтальная — ветер р = 0.10 т/м. Начальная стрелка при действии
только вертикальных сил равна Д = 8 м. Требуется определить натяжение
ft и стрелку fz после приложения боковой нагрузки (ветра), если
EF = 20000 т.
Натяжение нити при начальной нагрузке
= = =31,23
OJ у	0*0
По формуле 2.19 получим
(• 2 . С j ?2/3	0,20-100’
J^Qy2rfx_	12 “	12	“
57
,2 ,	Р2/3	0,12-1003	„
z2 dx= -%- =--------------= 833,3 т-м.
12
Подставляя полученные значения в формулу 2.80, будем иметь
„з , [20000-0,7075	-]
Яз+ 2-100-31,232--3333~31’23 Н>~
20 000-0 7072
— [3 333-0,7073 + 833,3]	= 0.
Или
№ 4-29,1 №- 100 500 = 0.
9 1	2
Отсюда
Н-, = 38,6 т.
Теперь нетрудно найти горизонтальную проекцию. /z стрелки нити
0,10-1002
8-38,6
= 3,24 м.
§ 12. действие сосредоточенной силы
ПРОИЗВОЛЬНОГО НАПРАВЛЕНИЯ
Предположим, что -мы имеем нить АВ (рис. 32,а), нагру-
женную некоторой равномерно распределенной начальной на-
грузкой q. Затем (рис. 32, Ь, с) она в некоторой точке С нагру-
жается сосредоточенной силой (которая может быть разло-
жена на три направления Р; Т и D). Требуется найти натяже-
ние нити на левом участке НА и на правом Нв.
Эти натяжения не будут равны друг другу. Из рис. 32, d
видна связь между ними
На-Т=Нв-	(2-81)
Нить на участке АС (или СВ рис. 32, а) можно рассматри-
вать как самостоятельную нить, у которой опора С перемес-
тилась (рис. 32, Ь) на величину 6 вправо, на величину v вверх
и (рис. 32, с) на величину w в сторону.
Последняя величина практически не отражается на натя-
жении нити. Перемещения же v и б могут существенно отра-
зиться на величине натяжения. Попытаемся выразить натя-
жения НА и Нв через эти смещения. Это можно сделать, поль-
зуясь формулой (2.66).
Для участка АС надо будет считать, что пролет нити равен
а, угол наклона хорды к горизонту будет а (рис. 32, а). Пока-
занное на рис. 32, b вертикальное перемещение V, в соответ-
ствии с условиями знаков § 9, надо считать положительным
58
(оно уменьшает натяжение), 'перемещение б — отрицательным.
Изменение температуры отсутствует. Получим
EFcos^a
2аЕГ
1
.	„	.	W2
V sin a COS2 а — б COS а---COS а
а
a
EF Н\
Lq2 dx
---£Fcos5a = 0.
(2.82)
Подобным образом для участка ВС будем иметь
EF cos5 р
чьи"
1
Q] dx — Нг-\-
— v sin р cos2 Р + 5 cos р-----------cos р
'	Ь
2
В
Ш dx
-	— £Fcos5 р = 0.
(2.83)
Три написанных уравнения (2.81) — (2.83) имеют пять
неизвестных величин ИА \ Нв, о; 6 и w. Составим еще два урав-
нения. Условия равновесия дают такую возможность.
Уравнение 'моментов относительно точки С (рис. 32, d) для
сил, расположенных левее этой точки в вертикальной плос-
кости,-
= ц_ На (с _	+ 8) = 0.
Сумма моментов относительно точки В всех сил, действую-
щих на нить в той же плоскости, даст
£MB=^- + HAd-ABl-P(b — 8)- T(d — c-\-v) = 0.
Исключая из этих двух уравнений Ав, получим
ql P(b — 5) T(d— с + v) q(a-\-b)
А	с— v	d
а -(- 5	I
59
Пренебрегая перемещением 6 по сравнению с расстояниями
а и Ь, получим
gl да Pb	Т (d—с + v)
На ='	d	1	-----	(2‘84>
а I
Аналогично сумма моментов всех сил, проектирующихся
на горизонтальную плоскость (рис. 32, с), относительно точ?
ки В
— Аг Z + Db + Tw = О
и сил, действующих на левую часть, относительно точки С
— Аг а +	= 0.
Исключая из этих двух уравнений Аг, получим
j_f Dab' j Та
ПА —	• ~Г
Или отсюда
Dab	1
w =-----------_L
w	 т	а	I
НА	1	I
(2.85)
Уравнения (2.82) и (2.83) преобразуем так:
*(НА-Нг) JaQ>x / 1	1
------------L ---1--cos° а —-------
НА
1
Н‘
1
,	.	9	«	W2	г»
4- D sin а cos а — о cos а------------cos а = 0;
1	а	’
EF
(2.86)
2
Ь(Нв-Нг) [bQ\dx	1
EF +	2 C0S К ив
— v sin p cos2 P Ц- 8 cos p--cos p = 0.
(2.87)
Прибавляя к перечисленным полученное выше уравнение
На~Т=Нв>	(2-88)
получим систему из пяти уравнений (2.84) — (2.88) с пятью
неизвестными.
Эти уравнения можно было бы еще немного преобразовать,
однако получаются слишком громоздкие выражения. Для ре-
шения воспользуемся методом попыток.
60
Заключается он в следующем:
1)	задаемся натяжением НА‘,
2)	по формуле (2.88) определяем Нв;
3)	значения Нв подставляем в уравнения (2.85),
((2.86) и (2.87) и находим
V, 6 и w;
4)	полученные значения
и, д и w подставляем в фор-
мулу (2.84) и получаем
ЛЛ.
Если это найденное зна-
чение Н А совпадает с задан-
ыым, задачу можно считать
решенной. В противном слу-
чае (надо задаться новьпм
з начением НА и повторить
подсчеты.
К такому повторению
приходится прибегать не-
сжолько раз. Решение полу-
чается очень громоздким.
Более простого решения
автору, к сожалению, най-
тти не удалось. Правда, были
шайдены некоторые прибли-
женные решения, которые
в! известной степени ориен-
тируют в выборе задавае-
мых величин НА. Эти реше-
ния рассмотрим на примере.
Пример 7. Нагрузка распо-
лагается по рис. 32. При этом
I == 50 м\ а = 20 м; Ь = 30 м\
Рис. 32.
d = 10 м. Начальная нагрузка
9 = 0,50 т/м. Стрелка при начальной нагрузке f = 2,5 м. Дополнительная
нагрузка в виде сосредоточенной силы, имеющей проекции Р = 3 т; Т = 4 г;
71' = 2 т. Жесткость нити EF = 12 000 т. Требуется найти натяжение нити
ига левом (НА) и на правом (Н в ) участках.
Для решения определим прежде всего начальную ординату точки С
(ррис. 32, а), а затем начальное натяжение нити.
_ _ da , 4fab 10-20 , 4-2,5-20-30 _ ~
С ~ I + /2	— 50 ’+	502 ’	~ 6,4 м\
qP 0,50-502
771 = 8у —	8.2>5 = 62,5 m.
61
Углы наклона хорд АС и СВ определим так:
с 6 4
tga = — =	= 0,32; а = 17°45; cos а = 0,952; sin а = 0,305;
tg?, =	= 10 7,6,4 = 0,12; р = 6°50'; созЗ = 0,994; sinS = 0,119.
О	oU
Для решения задачи необходимо еще найти интегралы, входящие
в уравнения (2.86) и (2.87)
С /	\2 . q-l-a <pla? , <7sa3	1Г1А,	„
1 dx = I /X-------qx 1 dx =	-----2-g---Ь -1L_— = 1291 тЫ;
a	о
J*	4	2 d
Теперь напишем и несколько преобразуем указанные выше пять урав-
нений (все значения взяты в тоннах и в метрах).
Уравнение (2. 84)
0,50-50	0,50-20	3-30	4(10 — 6,4 4- V)
2	2	50	50
На =	6,4 — v	16	=
20	50
5,41 — 0,08 и
0,120 + 0,05 v
Уравнение (2. 85)
2-20-30
_	50___________24
W~H -4^°- ' ^А-1’60 '
А 50
Уравнение (2.86)
20	20-62,5	1291-0,9525	1291-0,9525
12000 А 12ооо 2-62,52
О 059
- 8-0,952= 0
(2.89)
(2.90)
+ v -0,305 -0,9512—
или
0,001668 НА + 0,0251 -----— _{_ о,276 V — 0,952 8 — 0,0476 w2 = 0.	(2.91)
НА
Уравнение (2.87)
0,0025 Нв- 0,0072------------0,1182 V + 0.994 8 — 0,03313 w^ = 0. (2.92)
"в
Уравнение (2.88)
НВ = НА — Т.	(2.93)
Теперь остается воспользоваться намеченным выше методом, однако
совершенно неясно, каким значением НА следует задаваться. Для ориенти-
ровки можно воспользоваться таким приемом.
62
Временно отбросим продольную силу Т и найдем натяжение от осталь-
ных сил, как .это показано в § 11 (формула 2.80). Это натяжение оказалось
равным
Нр D = 55,6 m.
Влияние силы Т можно учесть, полагая, что она изменяет натяжения ле-
вого и правого участка подобно тому, как распределяется усилие в стержне
с обоими закрепленными концами от продольной силы. Получим для левого
участка
,, 'г Ъ	30	_
НТ= Т~Г = 4ЗТ = 2’4 т-
Следовательно, в первом приближении можно считать
НА1 = 55,6 + 2,4 = 58,0 т.
Этой величиной первоначально и зададимся. Тогда из уравнения (2.93)
получим
Нв = 58,0 — 4,0 = 54,0 т.
Из уравнения (2.90)
Подставляя все эти значения в уравнения (2.91) и (2.92), получим
— 0,0369 + 0,276 v — 0,952 6 = 0;
— 0,1870 — 0,1182 v + 0,994 6 = 0,
отсюда
v = 1, 33 м.
Подставляя это значение в уравнение (2.89), получим
5,41—0,11
~ 0,120-0,066
= 92,0 т.
Результат по первому приближению получился далеко не удачным. При
заданном НЛ1 = 58 т получено НА2 = 92,0 т. Расчет необходимо повторить.
Заданная величина НА^ = 58 т оказалась малой. Надо ее несколько увели-
чить. Однако примененный для ее определения прием дает довольно точ-
ные результаты, поэтому увеличим эту величину, но немного. Примем
ЯЛ1= 60,0 т.
Не приводя вычислений, даем готовые результаты
НА1 = 60,0 от; v = 0,46 м; НА2 — 55,4 от.
При следующих попытках получено
НА1 = 59,0 от;	v = 0,69	м;	НА2 = 67,4	от;
/7Л1 = 59,7 от;	,v = 0,62	м;	НА2 = 60,2	т-
НА1 = 59,8 от;	v = 0,61	м;	НА2 = 59,5	от.
Последнее приближение дало вполне удовлетворительные результаты.
При этом в ходе расчета выяснилось, что /7^= 55,8 т; <в = 0,41 м;
6 = 0,15 м.
63
Следует признать, что рассмотренный метод требует це-
лого ряда попыток и довольно большого количества вычисле-
ний. Однако вычисления эти относительно просты и не ведут
к большим затратам времени. На каждую попытку расхо-
дуется 10—15 мин.
§ 13. О ДЕФОРМАЦИЯХ ТРОСА ПРИ ИЗМЕНЕНИИ
ПРОДОЛЬНОГО УСИЛИЯ
Среди висячих систем имеются системы, рабочие элементы
которых йредставляют собой растянутые стержни (рис. 3; 15).
При расчете эти стержни обычно полагают прямолинейными.
Если такой стержень расположен вертикально, то он дей-
ствительно будет прямым. Если же стержень горизонтален или
расположен наклонно, он неизбежно будет провисать под дей-
ствием собственного веса и, следовательно, прямым не будет.
Это обычная гибкая нить с малой стрелкой. Так его и следует
рассчитывать.
В настоящем параграфе рассматриваются нити, на кото-
рые действует постоянная поперечная нагрузка (собственный
вес). Продольная нагрузка может изменяться. При изменении
продольного усилия (рис. 33) расстояние между концами
стержня А и В изменится.
Будем считать, что один конец по отношению к другому
переместится по направлению линии АВ. При таком предпо-
ложении схему нити можем считать такой, как это показано
на рис. 33.
При изменении усилия опора А переместится на величи-
ну А. Это перемещение возникнет в результате двух причин:
в силу возникновения упругих деформаций Ау и из-за измене-
ния геометрической формы (провеса) нити Аг-При расчетах
обычно учитываются только упругие деформации. Влияние
изменения провеса нити не учитывается. Возникает вопрос:
допустимо ли такое решение?
В настоящем параграфе дается ответ на этот вопрос и
рассматривается общее решение задачи о деформации троса
при изменении продольного усилия.
Рассмотрим нить, показанную на рис. 33. Нить первона-
чально подвергается натяжению Hi. Стрелка при этом равна
/1, полная длина нити L\. При изменении продольного усилия
натяжение нити изменяется и становится равным Н2. Одновре-
менно изменяются и другие параметры нити, которые стано-
вятся равными: стрелка — /2, длина нити — Ь2; конец А пере-
мещается на величину А = Ау + А г.
В соответствии с формулой (2. 46), при равномерно распре-
деленной вертикальной нагрузке (собственный вес)
г I	। 8 /	,
А,  ------н-5—j- cos^ а.
J cos а 1 3 /
64
После изменения натяжения нити длина ее становится равной
/•2 =-------- д- ау • дг Д
й cos а 1 у 11
Здесь
д =	(2 94)
У £Асоз2а '
Величины Z-2, Ц и Ду связа-
ны между собой зависимостью
^•2	^'1 Ду*
Подставляя в эту зависимость
написанные выше значения, по-
лучим 
8 X з
о---г- cos3 а.
О I
I
COS а
3~-j-cos3a = Ду.
/
COS а
+ Ду+М
8 f\cos3 а
Отсюда
д   8 COS3 a
цг	3	~
Эта формула неудобна тем, что в ней фигурируют стрелки
нитей. Выразим их через натяжения
f -4L. / - яр
ll SHi ’	&H3 •
Тогда
д 8 cos3 a <^4 I 1	1 A _ q2F cos’ a
r “ 3Z 64 M	HJ “	24	Н‘-Н‘ '
12	13
Имея величины Аг и Ау (формула 2.94), можем написать их
отношения
«у2/2/?/7 cos5 a Н3 + //i
М” 24 нГн^'
1	9
Для дальнейшего изучения вопроса удобно натяжения выра-
зить через продольные усилия S (рис. 33).
Н2 = —а-
i cos a
1 COS a
5—142
65
Тогда
__ q*P EF cos8 a S2 — St
A7 ~	2*	S’-S^
(2.95)
Для большей определенности будем считать, что при конеч-
ном усилии S2 в сечении стержня возникают напряжения, рав-
ные допускаемым
S2= [a] F.
При усилии Si они меньше и равны k [о], где, следовательно,
величина — коэффициент, меньший единицы. Тогда
Sj = k [a] F.
Полагая вес единицы объема материала нити равным у, мож-
но написать:
1F
q = —-----.
1 COS a
Подставляя эти значения -в формулу (2.95), получим
Ar_ = ll^cos8a.	(29б)
Ду	24 А2 [а]3	'	'
Эта формула достаточно удобна для изучения влияния раз-
,	дг
личных факторов на отношение —г— .
ilj,
Пример 8. В настоящей работе речь идет главным образом о сталь-
ных тросах. Поэтому следует считать
7 = 7,85-^-; Е = 1,7-108-^-.
•	* г iz3 ’	*	г 1/3
Исследуем, как влияет на работу системы при пролете нити I = 50 м из-
менение угла а, коэффиицента k и допускаемого напряжения [о].
При принятых выше значениях получим (в килограммах и в сантимет-
рах)
дг 7,852.50003-1,7-10»	„ 1 + А 1Л0 1Л_	. 1 + k
Ду ~	10002.24 C0S “ £2 [Ст]з ЮЭ-Ювсоз a	.
Допускаемое напряжение в тросе примем [о] = 3000 кг!см? Коэффи-
циент k характеризует отношение постоянной нагрузки к полной. Примем
k = 0,4. Тогда
Дг	14
-т— = 109- 10«	‘л,.,  cos8 а = 0,0355 cos8 а.
0,16-30003
Следовательно, наибольший удельный вес деформации оказывается все-
го 3,5% (для нити с опорами на одном уровне).
Если при всех прочих одинаковых условиях k — 0,2, получим эту же ве-
личину уже значительно больше; 12,2%, однако при а = 30° эта величина
падает до 5,1%. Если отклонение в 5% считать допустимым при вычисле-
66
ниях, получим, что при k = 0,2 стержень можно рассчитывать как просто рас-
тянутый при а= 30°, а при 0,5 — при любом угле а.
Вопрос о влиянии провисания нити может возникнуть и при проекти-
ровании цепных мостов. В подобных условиях здесь находятся оттяжки.
При этом, если цепь сделана из прокатного металла, допускаемые напряже-
ния могут быть значительно ниже, чем для тросов. Примем
7 = 7,85-^-; £ = 2,1-106-^-;	/=50л; [а] = 1400	.
СМ3	СМ2	1 J	см3
Величина k, характеризующая отношение постоянной нагрузки к пол-
ной, в мостах бывает обычно довольно высокой.
Примем k = 0,75. Тогда
дг	7,852-52-106-2,1-106-1,75	„ „,ел о
Ду 10002-24-0,752.14003	C0S a-°>154cos “•
Следовательно, если бы q = 0, пренебрежение влиянием провеса могло
бы дать ошибку в 15%. Оттяжки в мостах имеют обычно угол наклона к го-
ризонту не менее 30°. При таком угле = 0,065. Разница в 5% полу-
чается при а ~ 34°.
Таким образом, учет провисания нити при расчете ее как
растянутого стержня в некоторых случаях оказывается целе-
сообразным или даже необходимым.
5*
ГЛАВА III
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
§ 14. НЕКОТОРЫЕ УЗЛЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ
Из главы I видно, что в 'некоторых случаях приходится
встречаться с системами, имеющими в своем составе узлы, в ко-
торых сходится несколько гибких нитей. В частности, подоб-
ные узлы можно видеть в системе, представленной на рис. 6.
В узле, где присоединяется дополнительный трос к основному,
встречаются три нити, расположенные в одной плоскости. В си-
стеме, показанной на рис. 13, имеются узлы, где сходятся
четыре нити, расположенные не в одной плоскости. Поэтому
необходимо знать приемы расчета узлов соединения нитей.
Рассмотрим общий случай плоского узла, в котором схо-
дится п нитей. Например, узел по рис. 34. При проектировании
одним из важнейших этапов является задание размеров эле-
ментов конструкций и связанных с ними нагрузок. Поставим
себе задачу установления всех этих параметров. В случае узла,
в котором сходится п нитей, таких параметров будет Ап,
а именно; п пролетов /,•, п превышений закрепленных концов
нити у, по отношению к узлу О, п стрелок нити и п нагру-
зок, которые в данном случае, для простоты рассуждений,
предположены равномерно распределенными по всему про-
лету q [.
Перечисленными параметрами в процессе их задания мы
можем свободно варьировать при единственном условии со-
блюдения требований равновесия узла. Для плоского узла
(точки) мы, как известно, можем написать два условия рав-
новесия. Следовательно, из общего количества параметров
можно произвольно задавать Ап— 2, а два параметра потре-
буется определять из условий равновесия узла. Выбор этих
двух параметров зависит от обстоятельств проектирования.
Среди них могут быть любые из четырех перечисленных вели-
чин: I г, УГ, ЯГ, ft- Наиболее часто приходится находить стрелки
двух нитей при 'всех остальных заданных параметрах.
68
Рассмотрим этот случай. Предположим, что заданы все
пролеты li нитей, все нагрузки , все ординаты закрепленных
концов yi и п — 2 стрелки. Две стрелки fi и /2 остаются неиз-
вестными. Требуется их подобрать. Соответствующие нити бу-
дем называть первой и второй. Для них можем написать вы-
Рис. 34.
ражения для горизонтальных составляющих реакций в закреп-
ленных узлах (т. е. для натяжений).
Н — 411 ‘  Н —
771	8/[ ’	772 ” 8/3 
Для каждой из нитей выразим вертикальные составляю-
щие A i реакций через натяжения. Для этого надо для каждой
из нитей в отдельности написать условие равенства нулю мо-
ментов всех сил относительно точки О. Получим
2
Или
л _ Htyt , 4i It _ qtliyi j qih
It -t"	2	~ % ft T 2 •
В этом выражении yt может быть положительным или от-
рицательным (рис. 34). Например, у\ будет положительным,
У2 — отрицательным.
Теперь напишем два условия равновесия узла О. Проекти-
руя все силы на горизонтальную ось, получим
у47-+4т-+4^-=о- <зл>
69
Sqi h
8y распространяется на все нити, кроме пер-
з
вой и второй. Каждое слагаемое 'Следует брать со своим зна-
ком, в зависимости от того, справа или слева от узла распо-
ложена опора соответствующей нити.
Проектируя все силы, действующие на систему, на верти-
кальную ось, получим
П	п
qihyi	VT Qi h । ?i h >i । Ai Уз /q
2j 8 л	2j 2 + 8 л + 8/, ~U-
з	i
В этом уравнении первая сумма распространяется на все
нити кроме первой и второй, а вторая—на все без исключе-
ния. Уравнения (3. 1) и (3.2) содержат два уравнения с двумя
неизвестными f\ и /2, которые и должны быть определены.
Если бы были заданы все параметры, кроме у\ и у2, то для
их определения можно было бы воспользоваться теми же
уравнениями (3. 1) и (3.2). Если же были бы неизвестны, на-
пример, нагрузки 91 и 92, первое уравнение надо было бы со-
хранить, а второе заменить таким:
п	п
v qi li уi v qih , „ (h yi	А
Zj 2j 2 + I 8/1	2
3	3
+ ?г 4). (з.з)
Пример 9. Рассмотрим узел (рис. 35), в котором сходятся три нити.
Дано: /1 = 30 м; 12 = /3 = 20 м; t/i = 4 м; у2 = — 1 м; уа = 2 м, qi = 1,0 т/ж;
= 0,2 т/ж; qa = 0,8 т/ж; f3 = 1 м.
Требуется определить fi
и 72-
Формула (3.2) даст
?»^Уз ?i h q^h qzh , h У1 , ?з^зУз_____________________
8Л 2	2'	2 + 8Л + 8/,
0,8-20-2	1-30	0.2-20	0,8-20	, 1-30-4	0,2-20(-1)	-
8-1	2	2	2	8/,	+	8/2
70
Отсюда:
— 21 + 15 4--------0,5 4- = 0-
fl fl
Решая совместно полученные уравнения, найдем
4- = 2,03 —; 4-= 18.8 — •
А -«Л м
И
ft =0,494 л; h = 0,053 ж.
Выше мы рассмотрели узел в предположении, что все нити
загружены нагрузками, равномерно распределенными по все-
му пролету. В общем случае загружения формулы (3. 1) и
(3.2) надо переписать Так:
AfK9
Б1=0
fl
(3.4)
3
^Б1У1	_ 0
ЛЛ /зЛ
(3.5)
где Л1Б/— балочный момент в середине данного пролета;
ft — стрелка (ордината в середине пролета, отсчиты-
ваемая от хорды, проходящей через опору и точ-
ку О (рис. 34);
Л1О{— момент всех внешних сил, действующих на данную
нить относительно точки О (рис. 34);
Рис. 36.
п
2Р,- — сумма всех вертикальных внешних сил, действую-
щих на все нити.
71
В главе I на рис. 6 показана система с радиальными тро-
сами и подвешенным к ним в центре помещения цилиндром
(решетчатой башней). К верху цилиндра прикреплены допол-
нительные тросы оттяжки.
При симметричном загружении системы цилиндр может
перемещаться только по вертикали, поэтому схема одного из
радиальных тросов с оттяжками может быть представлена в
соответствии с рис. 36.
Предположим, что известны пролеты нитей этой системы,
нагрузки и отметки точек А, С и D. Известна также стрелка
fc. Требуется найти стрелки нитей АВ и DB, а также ординату
точки В.
Для краткости каждой нити присвоим наименование кон-
цевой ее опоры и все данные для этой нити будем писать
с соответствующим индексом. Тогда для нити С натяжение
будет равно
(?ci + ?сг) С
=-----Гб7е~— •	(3-6)
Опоры А п D свободно перемещаются по вертикали. По-
этому в точках А и D возможны только горизонтальные реак-
ции. Следовательно, вся вертикальная нагрузка передается на
опору С и вертикальная составляющая реакций этой опоры
будет
4d\ + ?D2	,	|	?Д1 + ?Л2	J ,	<7С1 + 5С2,	7,
с = D 4------2---lD Н------2---- 1А н---2—Zc ’
где D — вес цилиндра (башни), передающийся на один из
радиальных тросов.
Точки А и D находятся на расстоянии а друг от друга. Это
дает возможность определить натяжение нити А. Для этого
приравняем нулю сумму моментов всех сил, действующих на
систему, относительно точки D.
ы „	9д1 l\ Чаъ^А QD\12d
Аа 6	3	6	3
“ V'( ‘»+ 4) -+ Т 'с) + С (l„+ -
— Нс с = 0.
Имея .в виду, что lD = 1А, получим
/у _ ( ^Д1 + 4di ) 1л , (?дг+ ?о2) ?а । ?ci 1с (
А	ба	За “Г 2а \
, 2	\	С(1А+1с)	Нсс
2а	з 1С	а
(3.8)
72
Проектируя все силы на горизонтальную ось, имеем
HD = HC-HA.	(3.9)
Ордината точки В может быть найдена, если приравнять
нулю сумму моментов всех сил, действующих, например, на
нить С относительно точки В
С1с-НсЬ-^-^ = 0
Отсюда
С 1С	ЯС1'^С	ЧС2'^С
° ~ НС	&Н~С	ЗНС 
Преобразования формул (3.6) — (3. 10) делать не следует,
так как получаются очень громоздкие выражения. Решать за-
дачу необходимо в последовательности нумерации формул.
Ввиду простоты подсчетов примеры не приводятся.
(3.10)
В случае пространственного узла, в котором сходится п
нитей (рис. 37), мы будем иметь 5п независимых параметров.
Для каждой опоры, кроме той, где расположено начало коор-
динат, и для центрального узла С— по три координаты х,; уг;
zi’, затем п независимых величин стрелок нитей ft и нагрузок,
которые, как и выше, будем считать равномерно распределен-
ными qt.
73
Для точки в 'пространстве можно составить три уравнения
статики. Следовательно, для возможности расчета пространст-
венного узла нитей необходимо задать 5/г — 3 параметра.
Предположим, что заданы все нагрузки д,-, все координаты
узлов, кроме z0, и все стрелки, кроме /1 и /2 .Величины z0, fa и
fa требуется определить.
Для всех тросов, стрелки которых заданы, можем найти
натяжения
В этой формуле под fa подразумевается горизонтальная про-
екция нити, которую можно вычислить при известных коорди-
натах Xi и th . Например, для троса 3 имеем
= /(*з	*о)2 + (_Уо .Уз)2
Зная величины натяжений для п — 2 тросов, можем составить
уравнения равновесия = 0 и = 0, из которых получим
п
Нх cos + Н2 cos а2 -j- S H cos а,- = 0;
з
Hx sin a-i 4- H2 sin a2 -|- S Ht sin a(- == 0.
з
Из этих двух уравнений можно найти
п
X Hi sin (cq — cq)
Я2 =-^----------;---
* sin (а2 — cq)
п
S Hi sin (а2 — а;)
Я, =
1 Sin (ах — a2)
Для определения координаты z0 выразим вертикальные
составляющие всех опорных реакций через известные теперь
величины натяжений. Для каждой нити в отдельности будем
иметь
д qiij н, fa — zo)
*	2	li
Проектируя все силы, действующие на систему, на вертикаль-
ную ось, получим
(З.П)
(3.12)
74
Отсюда
S" Hl Zl	V 4‘ li
h	Zj 2
= J-----------!-------.	(3.13)
1
Несколько сложнее решается задача, если, например, не-
известными оказываются три стрелки, а координата z0 извест-
на. Однако принципиальное направление решения остается
таким же, и здесь оно не приводится.
При решении задач, рассмотренных выше, возникает воп-
рос, как при производстве работ обеспечить проектное поло-
жение точки С по рис. 35 и 37 или точки В по рис. 36. Для
этого необходимо только обеспечить строгое соблюдение про-
ектной длины всех элементов узла; для чего, в частности, нуж-
но определить длину троса Lo до его установки и введения
в работу.
Между длиной L поставленного и натянутого троса и на-
чальной его длиной имеется следующая приближенная зависи-
мость
j _ т । SL°
Ь + EF •
Здесь S — среднее усилие по длине троса. В случае нитей
с малыми стрелками эта величина может быть определена, как
и выше,
где Н — рабочее натяжение троса;
а — угол наклона соответствующей хорды к горизонту.
Следовательно,
j _ j ।
0 EF COS а
С другой стороны, по формуле (2.48) имеем
т I . f; Q* dx	,
L = ------Н оцо - cos3 а.
cos а 1	2№
Приравнивая правые части этих выражений, можем найти
начальную длину
I , \tQidx
-----------И а — COS* а
- COS а 2 №
Ь° —-------77
I -I--—----
ЕЕ cos а
(3.14)
75
Для равномерной нагрузки q, при стрелке f получим

q213
-.1 — + -COS3 а
cos а 2 ч2 !
64/2
1+_____________
~ V>fEF COS а
I ,8/2
^rr + ~T~rC0S g
i _i____'1(1__
~ SfEF COS a
(3.15)
Здесь l, как и раньше, величина пролета нити (длина ее
горизонтальной проекции).
§ 15. СВЯЗЬ СИСТЕМЫ С ФОРМОЙ ПЕРЕКРЫВАЕМОГО
ПРОСТРАНСТВА
Форма перекрываемого пространства не является единст-
венным фактором, определяющим выбор того или другого
типа висячей системы перекрытия. Однако она является основ-
ным, а иногда и решающим фактором.
Реакции, передающиеся висячей системой на ее опоры,
почти никогда не бывают вертикальными. Восприятие гори-
зонтальных составляющих реакций и передача их на землю
иногда могут потребовать довольно сложного решения, тре-
бующего специальных устройств — оттяжек, как это видно,
например, на рис. 3, 13, 14. Гораздо лучше в этом отношении
системы, в которых горизонтальные составляющие опорных
реакций могут быть восприняты стенами перекрываемого по-
мещения. С этой точки зрения наиболее удобны круглые
в плане помещения (рис. 5, 6, 7). В таких случаях висячую си-
стему, поддерживающую кровлю, удобнее всего сделать ра-
диальной. Радиально расположенные тросы системы обычно
прикрепляются своими наружными концами к железобетон-
ному кольцу, венчающему стену. При радиальных усилиях,
одинаковых во всех тросах, кольцо будет работать на сжатие,
а на стены, поддерживающие кольцо, передадутся только вер-
тикальные усилия. Никаких оттяжек (подобно рис. 3 и дру-
гим) не понадобится.
Если помещение имеет в плане прямоугольную форму, пе-
редача горизонтальных сил на прямые участки стен будет вы-
зывать изгиб этих стен. Надо или его избежать, как это сде-
лано у перекрытия по рис. 3, или придать необходимые проч-
ность и форму стенам сооружения. Характерным в этом отно-
шении может служить пример, показанный на рис. 12, где
стены объединены с наклонными упорами, которые заканчи-
ваются железобетонной коробчатой балкой очень большого
сечения. К этой балке и прикреплены параллельные друг другу
тросы перекрытия.
76
10 и 11 показаны
на рис.
Рис.
38.
Интересно то, что тросы в данном случае идут вдоль длин-
ной стороны прямоугольника. При этом в тросах возникают
большие усилия, чем те, которые возникли бы при другом их
расположении, но зато в более благоприятных условиях ока-
зываются стены помещения.
Таким образом, прямоугольные помещения удобно пере-
крывать системой из параллельных тросов, круглые — из ра-
диальных.
Параллельные тросы используются не только для систем
прямоугольных в плане. Нап
своеобразные висячие систе-
мы с параллельными троса-
ми. Так, например, поддер-
живающая тросы система на
рис. 10 состоит из двух сим-
метрично расположенных в
наклонных плоскостях желе-
зобетонных бесшарнирных
плоских арок.
Из показанной на рис.
38, а схемы этой системы
видно, что благодаря приня-
тому очертанию тросов силы,
передающиеся от тросов на
арки, действуют в плоскости
арок. В результате этого ар-
ки освобождаются от рабо-
ты на кручение.
На рис. 38, b в качестве
варианта показана анало-
гичная схема, но кривая провеса изображенной на схеме нити
проходит таким образом, что плоскости арок не являются ка-
сательными к этой кривой. В этом случае арки должны рабо-
тать на кручение.
Для того чтобы избежать этой невыгодной для арки ра-
боты, можно поставить вертикальные оттяжки АВ так, как это
показано на рис. 38, с. При постановке таких оттяжек арку
можно прикрепить к опорам при помощи шарниров, как это
и показано на рис. 38. Аналогичное решение применено в па-
вильоне Франции на Брюссельской выставке 1958 г. Верти-
кальные тросы расположены в большом количестве и в ре-
зультате образуют каркас стен, который затем остекляется.
Система перекрытия с параллельными тросами видна на рис. 9.
Параллельные тросы натянуты между тремя арками. Одна из
них расположена в вертикальной плоскости и две горизонталь-
ные венчают стены. Вертикальная арка расположена в плос-
кости симметрии и поэтому она не работает на кручение. К го-
77
ризонтальным аркам тросы подходят горизонтально, и прак-
тически кручение в них тоже не возникает.
Большое распространение имеют также системы перекры-
тий с двумя системами параллельных тросов, ортогональных
друг другу. Одно из таких решений показано на примере
овального в плане помещения (рис. 8). Здесь основные тросы,
поддерживающие вес перекрытия, расположены вдоль длин-
ной стороны. Благодаря принятому профилю стен тросы рас-
положены не в одном уровне. От середины к краям они пони-
жаются. Поперечные тросы связаны с продольными и, следо-
вательно, имеют опоры, расположенные ниже середины про-
лета. В результате продольные тросы, кроме веса кровли, на-
тягиваются еще силами, передающимися на них поперечными
тросами.
По свидетельству некоторых литературных источников [7,
10, 24], аналогичные системы имеют то существенное положи-
тельное качество, что их динамическая устойчивость выше, чем
устойчивость перекрытий с одной системой тросов. Эта устой-
чивость обеспечивается тем, что продольные и поперечные тро-
сы, из-за различных нагрузок и пролетов, имеют разные перио-
ды колебаний, в результате чего возникающие колебания га-
сятся. Аналогичными свойствами обладают системы, подобные
показанной на рис. 7.
Перекрытия с ортогональным расположением тросов до-
вольно распространены. На рис. 39 показаны некоторые из
них.
Рис. 39.
Системы, показанные на рис. 13—15, могут быть названы
системами с внешним расположением поддерживающих тро-
сов. При этом системы (рис. 13 и 14) поддерживаются гибкими
нитями, а система (рис. 15) —-прямыми тросами. Подобные
системы применяются для прямоугольных в плане помещений.
Однако нетрудно видеть, что в системах (рис. 13 и 14) основ-
ная поддерживающая висячая система । практически совер-
шенно автономна. Поэтому подобные системы могут быть при-
способлены для поддержания перекрытий любой формы. Вися-
чая поддерживающая система и перекрытие не представляют
78
собой одного гармонического целого ни с точки зрения техни-
ческих форм, ни с точки зрения внешнего вида.
Систему по рис. 15 тоже нельзя назвать гармоничной. Она
отличается от описанных выше, так как в ней помимо прямых
тросов имеется жесткая балка, которая поддерживается этими
тросами.
В некоторых случаях системы опираются по контуру не на
стены или какие-то подобные им опоры, а окаймляются тро-
сами в виде гибких нитей (подборов). Иногда для окаймле-
ния применяются подборы в виде жестких балок (рис. 64, 65).
Таким образом мы видим, что висячие системы можно раз-
делить на несколько основных классов:
1)	перекрытия с радиальными (или веерными) тросами;
2)	перекрытия с параллельными тросами;
3)	перекрытия с ортогональными системами параллельных
тросов;
4)	системы с внешними тросами;
5)	системы с гибкими и жесткими подборами.
Но все возможные системы не укладываются в эту класси-
фикацию. Поэтому надо добавить еще один класс, дав ему
название:
6), другие системы.
§ 16. ВЕЕРНЫЕ (РАДИАЛЬНЫЕ) СИСТЕМЫ
БЕЗ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО НАТЯЖЕНИЯ ТРОСОВ.
ПОСТОЯННАЯ НАГРУЗКА
Область перекрытий с радиальными системами тросов —
это преимущественно область перекрытий круглых в плане.
Эти системы, как видно из введения, имеют некоторые раз-
новидности. Наиболее принципиально простая из них — это
система [20], которая схематически может быть представлена
так, как показано на рис. 40. Тросы расположены радиально.
В точке А все они имеют общую опору, имеющую возможность
свободно перемещаться по горизонтали.
Расчет этой системы на постоянную нагрузку чрезвычайно
прост. При наличии симметрии системы и нагрузки пролеты и
стрелки всех тросов одинаковы. Нагрузки тоже одинаковы. Их
можно считать распределенными по закону треугольника
(рис. 40,с). Имея /, I и q, можно сразу же определить натя-
жение каждого троса
(3.16)
Расчет опорного кольца ВВ, к которому прикреплены на-
ружные концы тросов, прост. Особенно, если сосредоточен-
ные силы, действующие на кольцо, заменить равномерной на.
79
грузкой. Если угол между отдельными тросами равен 0 (обыч-
но 1,5-4- 10°), длина дуги по периметру стены равна /0 и, сле-
довательно, на кольцо ВВ действует радиальная равномерная
нагрузка.
г=Т=«Г	<317>
Из условий равновесия полукольца, на которое действует
радиальная нагрузка, нетрудно найти сжимающее усилие
в кольце.
А
N = g‘=TS7r О.18>
Если рассматривать систему в
процессе ее постройки, когда все
тросы уже закреплены, но кровля
еще не уложена, нагрузку по дли-
не троса следует считать равно-
мерно распределенной. Тогда по-
лучим натяжение троса
Н =	(3-19)
Усилие в опорном кольце вы-
ра'зится формулой
N = 4^.	(3.20)
С	Однако ввиду малости в этот
Рис. 4Э.	период нагрузки q оно будет неве-
лико.
Если система не имеет центральной опоры, схема перекры-
тия будет выглядеть в соответствии с рис. 41, а, Ь. На рис. 41, с
дана расчетная схема нити и нагрузки на нее. Натяжение
равно
где Л4б — в данном случае (см. § 10) балочный момент в се-
чении В консольной балки (рис. 41, d).
н~ 6/ •
(3.21)
80
Усилие в опорном кольце в этом случае будет
(3-22)
Для системы с центральным кольцом (рис. 42, а, Ь) схема
расчетного элемента и нагрузки, действующей на него, пока-
Рис. 41.	Рис. 42.
зана на рис. 42, с. Консольная балка, для которой надо опре-
делить момент в заделке, приведена на рис. 42, d. Этот момент
равен
МБ = D(l — г) +	г)2
<?2 (1 — Г)2
6
(3.23)
и, следовательно, натяжение можно Найти по формуле
Д('-Г)+
и—-----------------------з-----.	(3.24)
6—142
81
Радиальные или веерные системы возможны не только в
случае перекрытия круглых в плане помещений, но и помеще-
ний других форм. Представим себе, например, помещение
овальной формы (рис. 43, а). Перекрыть его, как уже отмеча-
лось, можно при помощи радиальной системы, показанной на
этом же рисунке.
Натяжение тросов здесь будет неодинаковым. Чем больше
в данном месте кривизна опорного кольца, к которому прикре-
пляются концы тросов, тем больше должно быть натяжение
тросов. Можно, очевидно, так отрегулировать эти натяжения,
что от постоянной нагрузки опорное кольцо будет работать
только на сжатие. В решении вопроса о натяжениях тросов и
заключается поставленная здесь задача.
Таким образом, натяжение отдельных тросов связано
с очертанием опорного кольца и рассматриваемая задача мо-
жет быть поставлена двояко. Например, можно задать очер-
тание опорного кольца и направления всех тросов, а затем
искать их натяжения и стрелки. Можно, наоборот, задаться
соотношением натяжений тросов и искать очертание опорного
кольца.
При том и другом условии представляется принципиальная
возможность решить задачу графически. Однако практика под-
сказывает, что первый из указанных путей дает при построе-
ниях значительно большие погрешности. Приходится отказы-
ваться от чисто графического и переходить к весьма громозд-
кому аналитическому решению. Второй путь значительно про-
ще. В этом случае приходится задаваться законом измене-
ния усилия в тросах. Но этот недостаток не имеет большого
значения, так как довольно существенные изменения указан-
ного закона мало отражаются на общем характере очертания.
Кроме того, такой путь является более легким при рассмотре-
нии некоторых других типов перекрываемых помещений. По-
этому остановимся на нем.
Технику решения удобнее всего изучить на примере.
Пример 10. Имеется перекрытие, тип которого показан на рис. 43, а.
Будем считать, что размер большой полуоси задан и равен а = 40 л. Размер
малой полуоси не задан, он должен быть определен в процессе решения.
Желательно, чтобы малая полуось была близка к b — 30 м. Перекрытие
имеет всего 60 тросов, расположенных под одинаковыми углами друг к дру-
гу Др = 6°. Нагрузка, действующая на перекрытие, постоянна и равна
q = 0,2 т/л2.
Тросы пронумеруем так, как это показано на рис. 43, Ь (где изображена
схема четверти рассматриваемого перекрытия). Теперь надо задаться соот-
ношением усилий в тросах. Эта задача имеет бесконечное количество реше-
ний, однако основным является задание соотношения усилий в тросах
О и 15. В промежуточных тросах, как показывают расчеты, усилия меняются
по плавному закону без экстремумов.
Если бы в тросах 0 и 15 усилия были одинаковыми, они были бы
такими же и во всех остальных тросах, а при таких условиях опорное
82
кольцо получило бы форму окружности. При желании получить овальную
форму надо в тросе 15 иметь усилие меньшее, чем в тросе 0. Ранее была
поставлена задача получить размер полуоси Ь, равный b — 30 м. Каким
для этого надо задаться соотношением —12- , определим путем попыток.
S0
Таблица 3
№ тро- сов		ST	1, м	/з, мА	/, м	ST	sK	Варианты	
								Sr	sT
0	0	1,00 к	40,0	64000	1,00	84,0	476	1,000 к	1,000 к
1	6	0,96 ,	39,8	62800	1,02	80,7	480	0,929 ,	0,994 .
2	12	0,92 ,	39,4	61000	1,03	77,3	4'8	0,86? .	0,982 .
3	18	0,88 ,	38,9	58600	1,04	74,0	496	0.820 ,	0,964 .
4	21	0,84 .	38,2	55500	1,03	70,6	510	0,742 ,	0,940 .
5	30	0,80 .	37,4	52*Ю0	1,02	67,2	522	0,6 9 ,	0,910»
6	36	0,76 .	36,6	489(0	1,01	63,7	534	0,641 ,	0,b74 ,
7	42	0,72 .	35,6	45000	0,98	60,5	550	0.598 „	0.832 .
8	48	0,68 .	34,9	42400	0,97	57,1	550	0,560 .	0,784 »
9	54	0.64 ,	34,1	39509	0,96	53.8	5 0	0,526 „	0,730 .
10	60	0,60 .	33,4	37 00	0,97	50,4	578	0,197 .	0,670 .
11	66	0,56 .	32,7	34900	0,98	47,0	585	0,473 »	0,604 .
12	72	0,52 .	32,2	33200	1,00	43,7	590	0,454 .	0,532 ,
13	78	0,48 ,	31,9	32300	1,05	40,3	592	0,440 ,	0,454 „
14	84	0,44 ,	31,7	31700	1,12	37,0	594	0,430 „	0,370 »
15	90	0,40 ,	31,6	31500	1,27	33,6		0,425 „	0,2fc0.
В третьем столбце табл. 3 принимаем 50 = 1,00k и S|5 = О,4О7г. Вели-
чина k — некоторый коэффициент пропорциональности, величина которого
будет установлена ниже.
Таким образом, соотношение усилий в крайних тросах равно^ = 0,4.
Закон изменения усилий в промежуточных тросах мало отражается на
результатах. Поэтому примем наиболее простое решение. Будем считать,
что усилие в каждом тросе отличается от соседнего на Д5 = О,О47г. Это от-
ражено в табл. 3.
Теперь перейдем к графическому решению. Из некоторой произвольной
точки С (рис. 43, с) отложим по величине и направлению (влево) отрезок,
равный (в каком-то масштабе) усилию So (отрезок CD). Из левого конца
этого отрезка отложим по величине и направлению усилие S] (отре-
зок DE) и так далее до конца.
Все узлы системы (рис. 43, Ь) находятся в равновесии. Рассмотрение
равновесия узла А показывает, что усилие So может быть разложено на
Два направления (пока неизвестных) AF и ЛЛ- Это сделано на рис. 43, с
путем построения треугольника CDOt, стороны которого должны быть
параллельны усилиям, сходящимся в узле А. Положение точки О, этого
Равнобедренного треугольника пока неизвестно. Имея усилие S 0—1
в стержне AF (рис. 43 с) и усилие Si, можем найти усилие Sj_2 в стержне
FG путем построения треугольника O^DE на рис. 43, с. Продолжая по-
строение подобным образом, можно будет найти усилия во всех отрезках
опорного кольца.
При нахождении усилия Su—Sj5 можно видеть, что соответ-
ствующий треугольник Ю^К должен быть равнобедренным, и вершина его
д°лжна совпадать с точкой Оь Отсюда получаем прием нахождения этой
6*
83
точки. Отрезки DC и 1К надо поделить пополам и из середин этих отрезков
восстановить перпендикуляры. Точка их пересечения и дает точку Оь
Таким образом, на рис. 43, с мы получили величины и направления
усилий на участках опорного кольца. Остается перенести направления этих
усилий на рис. 43, Ь. Для этого из точки А проводим линию AF, параллель-
Рис. 43.
84
ную Sq-i • Д° пересечения с тросом 1. Из точки F проводим линию FG,
параллельную Sj_2 и т. д. Получаем очертание опорного кольца
AFGH... В.
Это кольцо имеет длину короткой полуоси ОВ, равную Ь = 31,6 м, что
близко к заданной величине. Можно, конечно, подойти к заданной величине
и гораздо ближе. Для этого надо сделать еще одну — две попытки. В част-
ности, автор сделал попытки, приняв 50 = 1,00 k, Si5 = 0,25 k и AS = 0,05 k.
При этих данных получена кривая II на рис. 43, Ь, которая имеет
b = 27,9 м, что несколько меньше заданной величины. По-видимому, следо-
вало бы задать примерно такие величины: So = 1,00 k, Si5 = 0,34 k и
AS = 0,044 k. Будем считать, что первое полученное нами решение нас
удовлетворяет и постараемся в дальнейшем его закончить.
Предварительно рассмотрим другие кривые на рис. 43, Ь. Кривую III
(эллипс) можно с большой степенью точности получить, если задаться уси-
лиями в тросах, приведенными в столбце 9 табл. 3, и воспользоваться опи-
санным выше приемом. Цифры этого столбца подобраны так. Интервал
ASo между S15 и S14 наименьший. Последующие интервалы равны (с округ-
лением) 2ASo, 3ASo, 4ASo и т. д.
Усилия, заданные для кривой IV, показаны в столбце 10 той же таб-
лицы. Эти усилия заданы по закономерности, аналогичной предыдущей,
с той только разницей, что интервалы смежных усилий .возрастают в обрат-
ном порядке. Наименьшее усилие — в интервале So —Sb наибольшее — в
интервале Su — Sis- Следует признать, что эти кривые, несмотря на резкую
разницу в законе изменения усилий, по общему характеру мало отличаются
друг от друга. Тем более это же самое можно сказать, сравнивая кривые
I и II с кривой III. Закон изменения усилий почти не влияет на очертание
опорного кольца. Поэтому целесообразно применять наиболее простое реше-
ние, т. е. иринимать характер изменения усилий по простейшему закону
прямой линии, показанному в столбце 3 табл. 3.
Возвращаясь к рассматриваемому примеру, надо еще определить вели-
чину £, а следовательно, и усилия в тросах. Эти усилия зависят от приня-
тых стрелок провеса тросов и от нагрузки. Для решения зададимся стрел-
кой (провесом в середине пролета) самого длинного троса fo = 1 м. На-
грузка, действующая на этот трос (так же, как и на все другие) меняется
по закону треугольника. При этом ширина участка, с которого передается
усилие на трос у опорного кольца, равна
с = 2 /0 tg 3° = 2 • 40 • 0,0525 = 4,2 м.
Нагрузка на 1 м2 перекрытия задана q = 0,2 т/м2. Получим интенсив-
ность нагрузки на трос у опорного кольца
qQ = qc = 0,2-4,2 = 0,84 т/м.
Тогда, имея в виду, что нагрузка меняется по закону треугольника,
получим натяжение троса
0,84.402
Mi = ~п- f- = —j— == 84 m.
16/0	16-1
Эта величина равна усилию Sy для троса О. Поэтому
1,00 k = Нй,
или
k = 84 tn.
Имея величину k, нетрудно определить усилия во всех тросах. Они
показаны в столбце 7 табл. 3.
Усилия в элементах опорного кольца могут быть взяты по масштабу
с рис. 43, с. Они показаны в столбце 8 таблицы.
85
Теперь остается найти необходимые стрелки всех тросов. Для произ-
вольного троса можем написать
Отсюда
л
4ili
1~ 16 Sri 
Интенсивность нагрузки у опорного кольца для всех тросов
различна. Она пропорциональна длине троса. Тогда можем
написать
^ = ^17'
и, следовательно,
,3
f =	<?0 II
‘	16/05л
Подставляя в это выражение q0 (т/м) и /о (м), получим
°-84	lt
J1 = 16-40.Sn = 762• 5п ‘
Величины lj могут быть взяты по масштабу с рис. 43, Ь (м).
Они записаны в столбце 4 табл. 3. Вычисленные по этой фор-
муле величины стрелок записаны в столбце 6. Изучение при-
веденных чисел показывает, что величины стрелок, за исклю-
чением двух последних, мало отличаются от стрелки f0 наибо-
лее длинного троса.
Остается решить вопрос относительно того, как закрепить
внутренние концы тросов. Здесь возможны два варианта:
с опорой в центре (рис. 44, а) или без нее (рис. 44, Ь). В пер-
вом случае опора на мачте может быть выше или ниже опор на
стене, может быть и в одном уровне с ними. Во втором случае
внутренние концы тросов всегда ниже опор на стене, а сами
тросы касательны к горизонтальной плоскости (рис. 44, Ь).
Возникает вопрос: чему при этом должно быть равно сниже-
ние внутренних концов по отношению к расположенным на
опорном кольце? Для этого рассмотрим нить.в предположе-
нии, что в точке В имеется опора (рис. 44, d). Тогда уравнение
нити и его производная
__ ql	qx х	х
У — ~6Н~Х	1Н ’ ~2	3“ ’
— 4l _ 4xi
v ~ ЬН 2 1Н 
86
На правом конце при х = О
'	_ а _ Я1 _ <?Z16/
Vx, 0 — tg Н — 6Я ~	6 qP
_8_J_
3 I •
Значит
a = Ztg e =
Следовательно, в рассматриваемом случае (учитывая данные
табл. 3) величина а должна колебаться в пределах 2,56—3,39 м,
или концы А тросов (рис. 44, Ь) должны иметь отметки, раз-
ница между которыми достига-
ет 83 см. Такая разница не вы-
зовет ни конструктивных, ни
архитектурных трудностей.
Рассмотренный способ мо-
жет быть с некоторыми неболь-
шими видоизменениями приме-
нен к перекрытию помещений,
имеющих в плане форму пра-
вильных многоугольников с
криволинейными сторонами.
На рис. 45, а и 45, b показаны
подобные многоугольники.
На рис. 45, с показан в пла-
не сектор треугольного поме-
щения. Показаны также напра-
вления тросов, угол между ко-
торыми равен Ар = 6°. Требуется определить очертание опор-
ного кольца. Усилия во всех тросах, кроме угловых (трос 10),
предполагаются одинаковыми. Усилия в угловых тросах боль-
ше, чем во всех остальных. При этом, очевидно, чем больше
будет угол перелома опорного кольца, тем больше будет уси-
лие в угловом тросе.
Решение проведем совершенно аналогично тому, как это
было сделано выше. Последовательно отложим на рис. 45, d
с учетом их направлений усилия в тросах, начиная от Sro и
кончая S,-9. Величины этих усилий пока неизвестны, но все они
равны друг другу. Например: Sn> =	= • • • = Sro = 1,00 k.
Усилием Sno задаемся (автор задавался тремя разными зна-
чениями 5по = Sro ; SrM = 10 Sro и Srio = 20 Sro (см. рис.
45, d).
Теперь, совершенно так же, как в предыдущем случае,
из середин отрезков АВ и CD (для Srw = lOSro) восстановим
перпендикуляры и в точке их пересечения находим положение
полюса (/). Из полюса в точки В; Е-, F и т. д. проводим лучи,
которые будут представлять собой по величине и направлению
Усилия на участках опорного кольца. Эти направления, точно
87
так же как в предыдущем случае, переносим на рис. 45, с. По-
лучим кривую I. Таким образом, основная часть задачи ока-
зывается решенной. Дальнейшее решение (определение Sn,
Sk и fi) не отличается от предыдущего. Поэтому здесь дается
только сводка результатов в предположении, что /0 = 40 м.
Рис. 45.
<7о = 0,4 т/м и fo = 1,00 м (табл. 4). В этой таблице усилие Зю
показано дробью -^д-. Имеется в виду, что к углу примыкают
два троса. Один поддерживает кровлю, усилие в нем равно
40 т. Другой только действует на угол опорного кольца, уси-
лие в нем 360 т.
88
По ходу расчета необходимо сделать два замечания.
1. Если бы мы задались Sno= Sro, полюс получился бы в
точке III (рис. 45,d) и опорное кольцо получило бы оперта*
ние III (на рис. 45, с). Для случая Stio = 2OSro полюс полу-
чился 'в точке II, -и форма опорного кольца II. На рис. 45, с
для более четкого представления даны опорные многоуголь-
ники для половины плана перекрываемого помещения.
2. Натяжения угловых тро-
сов, не нагруженных кровлей,
значительно больше, чем всех
остальных. Поэтому, если на-
ружные концы всех тросов,
включая угловые, опираются в
одном уровне, а все внутренние
концы прикреплены к вершине
центральной качающейся стой-
ки, угловые тросы окажутся
выше поверхности кровли. Схе-
матически такое положение по-
казано на рис- 46, а. Угловые
тросы можно использовать для
опирания на них качающейся
колонны, которая будет под-
Ы
L---
Рис. 46.
держивать внутренние концы промежуточных тросов. Схема-
тически это показано на рис. 46, Ь.
В случае принятия такого решения надо выбрать положе-
ние точек А и В по высоте таким образом, чтобы в угловых
стержнях 'возникли требуемые усилия.
Положение этих точек можно найти исходя из того усло-
вия, что колонна АВ передает суммарную вертикальную со-
ставляющую опорных реакций нижних опор тросов кровли
на три угловых стержня.
Реакция нижнего конца троса кровли при треугольной на-
грузке равна (рис. 46, Ь)
*в~~6----------/7£tga;--------g-------__ tga/--g--------------(3.25)
Реакция всех тросов
у о ______ h_____________с Я1 h
~	6	16 2j fi
Усилие, которое нужно приложить к узлу угловых тро-
сов, чтобы вызвать в каждом из них усилие, равное Sry = 360 т
(пренебрегая нагрузкой, действующей по их длине)
E/?y = 3Srytg8 = 3Sry^.
89
Приравнивая 27?в и ZRy, получим
q е d । Е 9l ^1
с = -3522LV±~6-
1 V Qilj
16 2j n
Для нахождения связи между с и d в табл. 4 дана сводка
величину lt и -у1 . Произведя суммирование по всем тросам
перекрытия, получим
2^./,.= 180,2-6 zzz;	= 15Г,4-6 т/м.
Подставляя эти и другие известные значения в формулу
для с, получим
— 3-360^-4-180,2
с =-------Дпк----------= 3,18 - 0,399 d.
lai,4-6	’	’
16
Задача имеет бесконечное количество решений. Задаваясь
значениями d, можно получить соответствующие значения'с.
Например, если d = 3 м\ с = 1,98 м.
Таблица 4
№ тросов	ST, т	/, м	/, м	Sk, т	Ц,т	fl ' ТП/М
0	40,0	40,0	1,00	CQ7	16,0	16,0
1	40,0	40,1	1,00	оо/ гос	16,1	16,1
2	40,0	40,2	1,01	оои	16,2	16,0
3	40.0	40.4	1,03	Do4 С0<9	16,3	15,8
4	40,0	40,8	1,06	<30^	16,6	15,7
5	49,0	41,6	1,13	Э/4 КС7	17,3	15,3
6	40,0	42,4	1,19	оо/ гг-	17,9	15,0
1	40,0	43,7	1.30	DOT КЛ7	19,0	14,6
8	40,0	44,8	1,40	г>4/ Г О/1	2о,0	14,3
9	40.0	46 2	1,53	Do4 КО 2	21,3	13 9
10	360/40	47,9	1,71		22,9	13,4
При выборе величины d можно руководствоваться разными
конструктивными соображениями. Например, сделать так,
чтобы угловые тросы по всей своей длине не возвышались над
кровлей. Однако при этом получается d — 8,75 м и точка В
(рис. 46, Ь) слишком низко опускается.
Кроме рассмотренных систем возможны, например, систе-
мы в виде правильных многоугольников с криволинейными
сторонами, с одной осью симметрии и несимметричные. Воз-
90
можны системы с двумя углами (в форме чечевицы) и даже
с одним углом. В данной 'книге они не рассмотрены. Однако
описанная выше методика дает возможность рассчитывать все
эти системы.
§ 17. ВЕЕРНЫЕ СИСТЕМЫ БЕЗ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО НАТЯЖЕНИЯ
ТРОСОВ. ВРЕМЕННАЯ НАГРУЗКА
В настоящем параграфе будут рассмотрены только пере-
крытия круглые в плане. Системы таких перекрытий бывают
двух видов: с центральной подвижной опорой и без нее.
Рассмотрим сначала систему с центральной опорой. Расчет
такой системы на временную нагрузку, симметричную относи-
тельно центра, принципиально мало отличается от расчета на
постоянную нагрузку и здесь не рассматривается. В этом слу.
чае центральная подвижная опора при загружении не сме-
щается. Если временная нагрузка расположена как-то иначе,
центральная опора сместится в ту или другую сторону по .го-
ризонтали. Величины натяжений во всех тросах перекрытия
связаны с этим смещением (формула 2.66). Следовательно,
если бы смещение оказалось известным по направлению и по
величине, задача была бы практически решена, так как фор-
мула (2.66) дает возможность сразу найти усилия во всех
тросах.
Отсюда ход решения, который в общих чертах может быть
описан так: следует задаться смещением. Имея смещение,
определить натяжения во всех тросах. Проверить, будет ли
центральный узел в равновесии под влиянием полученных уси-
лий. Если окажется, что не будет, надо задаться новым смеще-
нием и так далее до нахождения величины смещения, при ко-
тором условие равновесия будет удовлетворено.
В подобном порядке и будем решать задачу. Технику ре-
шения покажем на примере.
Пример 11. Над круглым в плане помещением устраивается пере-
крытие из системы тросов (рис. 47). Радиус помещения (пролет троса)
/ = 30 м, стрелка f = 0,5 м. Угол между направлениями тросов Др = 4°.
Нагрузка, распределенная по закону треугольника (рис. 47,6) q = 0,2 т/м.
Возвышение центральной опоры по отношению к опоре на кольце с = 4.2 м.
Площадь сечения троса F = 15 см1. Модуль упругости материала троса
Е = 2- 106 кг/см1. Временная нагрузка в виде снега расположена на поло-
вине перекрытия (заштрихованной). Закон ее распределения по длине
пролета троса по треугольнику </вр = 0,5 т/м.
Для решения задачи обратимся к уравнению (2.66). При отсутствии
вертикального смещения и изменения температуры оно приобретает вид

f, Q* dx	6 cos a EF
' — EFCOS5a —	4-
21H
I
Н2
2Г
Г, Q* dx
----EFcos‘ a — 0.
(3.26)
I
91
Если происходит только смещение, а .нагрузка не изменяется, уравнение
имеет несколько иной вид
н3
чн
f, Q3 dx	8 cos a EF
J 1 „ - EF COS5 a — H. H--------;-----
2IH	I
1
Н2,,,—
----EF cos5 a = 0.
(3.27)
Уравнением (3.26) следует пользоваться для определения натяжений
тросов, загруженных временной нагрузкой, а уравнением (3.27) — незагру-
женных.
Рис. 47.
Вычислим все необходимые величины
е	4 2
tg а =----=	= 0,140; а = 8°; COS а=
/	ои
= 0,987;
EF = 15-2-106 = 30-106 кг = 30000 т\
Н
16/
0,2-302
~ 16-0,5
= 24 т2м.
= 22,5 т,
0,22-303
45
Подставляя эти величины в уравне-
ние (3.27), получим
' 24-30000
2-30-22,52
0,987s — 22,5 +
, ' 0,987 • 30000 I 2	24 • 30000
+ °	30 2Я 2-30
X 0,987s = 0,


или
Нчн+ [ ~ 0,02 + 987 8 ]//2Я - 11260 = 0.	(3.28)
В дальнейшем нам надо будет вычертить график зависимости между
б и Я2я. Необходимые для этого вычисления удобнее всего производить,
выразив величину б через //2яиз уравнения (3.28)
8 = 11260- 7723я+0,02/722„	(3 29)
9э7//22Я
Результаты вычислений приведены в табл. 5 и нанесены на график
рис. 48.
Для определения натяжений тросов загруженной половины перекрытия
надо воспользоваться уравнением (3.26)'.
92
Дополнительно вычислим
JzQ’rfx =
(? + ?вр)213
45
0J2 ЗОз
45
= 294 т2м.
Подставляя это и другие известные значения в уравнение (3.26), будем
иметь
Н32г + I — °-02 + 987 3] Н2Г
294- 30000- 0,9875
2-30	°’
или
/)Г2Г + [- 0,02 + 987 Н%г — 138400 = 0.
Отсюда
138400 —/f|r + 0,02 Н^г
6 = -------------5---------
987 Н2Г
(3.30)
Вычисления по этой формуле приведены в двух последних столбцах
табл. 5. Результаты подсчетов нанесены на график рис. 48.
Таблица 5
т	4: 04 04 £ s	т?	0,02 Н2{Г	11260 — ^2н + 0,02 Н22н	8, м	13840— -< + Н-О,О2А7]Г	8, м
5	25	125	1	11134	0,452				
10	100	1000	2	10262	0,1015	—.	—
15	225	3375	5	7890	0,0036			—
20	400	8000	8	3268	0,0009	130410	0,330
25	625	15640	13	—4267	-0,0007	122770	0,198
30	900	27000	18	—15722	—0,0018	111420	0,126
35	1225	42900	25	—31615	—0,0258	95530	0,079
40	1600	64000	32	—52708	—0,0333	74+30	0,047
45	2025	91300	41	—79999	—0,0460	47140	0,024
50	2500	125000	50	—113690	—0,0461	13450	0,0054
55	3025	166500	61	— 155179	—0,0520	—28190	-0,0094
60	3600	216000	72	—204668	-0,0577	—	—
На графике под положительными значениями 6 подразумеваются пере-
мещения центральной опоры в сторону засуженной части пролета.
График характеризует изменение натяжений только в тех двух тросах
(нагруженном и ненагруженном), направление которых совпадает с направ-
лением перемещения, т. е. в тросах ОА и ОВ на рис. 47, с.
Однако для решения задачи надо знать усилия не только
в этих тросах, но и во всех других. А для того, чтобы опре-
делить усилие в каком-либо тросе, надо найти удлинение его
пролета. Это удлинение можно вычислить, если известен угол
Р между направлением данного троса и троса О А (рис. 47), по
формуле
8p = 8cosp.	(3.31)
93
Имея 6g по графику рис. 48, определим натяжение каж-
дого троса .
Для упрощения нахождения величин Н? внизу графика
рис. 48, связывающего Н и 6, пристроена шкала косинусов.
На любом радиусе, 'проведенном из начала координат, дуги
окружностей засекают отрезки, 'пропорциональные косинусам
соответствующих углов. Пользуясь этой шкалой, можно очень
просто определить величины dcosp.
Если, например, б =
= —0,08 м, то из соот-
ветствующей точки на
оси абсцисс проводим
вертикальную линию до
окружности р = 0 (точ-
ка Л). Из этой точки
проводим радиус ОА.
Если из точки В пересе-
чения этого радиуса с
окружностью р = 60°
провести вертикаль,
она на оси абсцисс за-
сечет, очевидно, вели-
чину 6g = 6 cos р. В
данном случае она
равна б₽ 0,040 м.
Но нас не интересует
сама по себе величина
og , а интересует соот-
ветствующее ей натя-
жение. Это натяжение
легко найти, если из
точки В провести вер-
тикаль до кривой пока-
зывающей величины Н.
Получаем = 45,0 т.
ГН
Cos /3
Рис. 48.
Подобным образом определены усилия во всех тросах рас-
сматриваемого 'перекрытия. Все расчеты сведены в табл. 6.
В первом столбце таблицы записаны углы р, отсчитываемые
от радиуса ОА (рис. 47, с) для незагруженной части и от ра-
диуса ОВ для загруженной. Во втором столбце указаны коси-
нусы этих углов (все вычисления выполнены на 25-сантимет-
ровой линейке). Затем было задано (произвольно) некоторое
перемещение б. В качестве первой попытки принято б = 0,05 м.
Чтобы найти натяжения незагруженных тросов, берем на
оси абсцисс точку С, где б = —0,05 м. Из этой точки прово-
94
дим вертикаль до точки D на нулевой дуге. Из точки D прове-
дем радиус DO и затем приемом, описанным выше, опреде-
лим величины Н$. Записаны эти величины в столбце 3 таб-
лицы. В столбце 4 записаны величины проекций сил на ось
АВ (рис. 47).
Совершенно аналогично составлены столбцы 5 и 6 для на-
груженной половины перекрытия. Для нахождения величин
в этом случае приходится пользоваться правой частью графика
рис. 48.
После этого цифры столбцов 4 и 6 суммируются. Получаем
проекции всех сил, собранные с загруженной и 'незагружен-
ной частей перекрытия. То и другое суммирование распростра-
нено на квадрант. Так как тросы, соответствующие углам
Р = 0, принадлежат двум квадрантам, при суммировании от
соответствующих величин Ня берется половина.
В результате суммирования получены величины 644,3 т и
585,7 т. Эти силы действуют в разные стороны, но друг друга
не уравновешивают, так как сильно отличаются друг от друга
по величине. Следовательно, надо задаться другими величи-
нами. Натяжение незагруженных тросов надо уменьшить, а за-
груженных увеличить. Для этого 'надо задаться меньшей ве-
личиной б. В столбцах 7 и 8 табл. 6 даны результаты подсчета
для б = 0,04. В этом случае получилось, что равнодействую-
щая усилий незагруженных тросов меньше, чем загруженных.
Величина б = 0,04 м оказалась мала. Надо сделать сле-
дующую попытку и принять перемещение в интервале
0,04 4- 0,05 м. По всей вероятности ближе к 0,05, чем к 0,04 м,
так как разница проекций усилий в первом случае оказалась
несколько меньше чем во втором.
Для примера было принято б = 0,045 м. Это дало искомые
суммы проекций: для незагруженной части 597,6 т, для загру-
женной 607,0 т (столбцы 10 и 12). Разница значительно мень-
ше чем в предыдущих случаях, но все же достигает 1,8%.
Можно продолжить подсчеты, приняв, например,
6 = 0,044 м. Однако, такое исправление мало что даст, так как
будет находиться в пределах точности вычислений, осуществ-
ленных в настоящей книге.
Если удовлетвориться точностью сделанного третьего при-
ближения, то в качестве окончательных величин усилий в тро-
сах следует принять усилия, записанные в столбцах 9 и И
табл. 6. Эти усилия в виде графика показаны на рис. 49.
Интересно обратить внимание, что наибольшее усилие по-
лучилось не в тросе, расположенном на оси симметрии, а в бо-
ковых. Интересно также, что на оси симметрии на загруженной
половине усилие получилось меньше чем на незагруженной.
95
Таблица 6
		8 = 0,05 м				8 = 0,04 м		8 = 0,045 м			
		незагру-		загру-		неза-	загру-	незагру-		загру-	
₽	COS р	женные		женные		ные	женные	женные		женные	
					Щ х	Щ X	х	Я, ,	77? х		
		т	xcosp,	р ’	X cosp,	xcosp,	xcos3,	3 ’	xcosp.	з»	cos р,
			т		т	т	т		т		т
0	1,000	53,5	53,5	39,1	39,1	45,0	41,0	49,0	49,0	40,2	40,2
4	0,996	53,2	53,0	39,3	39,1	43,8	41,1	48,5	48,4	40,3	40,2
8	0,989	52,8	52,3	39,5	39,1	42,9	41,1	48,0	47,9	40,5	40,0
12	0,978	52,5	51,4	39,7	38,8	42,2	41,0	47,7	46,7	40,6	39,7
16	0,960	51,4	49,4	39,8	38,2	41,1	40,2	46,8	45,0	40,7	39,1
20	0,938	50,9	47,7	39,9	37,4	39,7	39,4	46,2	43,4	40,8	38,3
24	0,913	49,2	45,0	40,0	36,6	37,9	38,6	46,0	42,1	40,9	37,4
28	0,882	48,1	42,5	40,4	35,6	35,8	37,5	44,8	39,6	41,3	36,5
32	0,847	46,9	39,7	40,7	34,5	33,4	36,2	43,0	36,4	41,7	35,3
36	0,808	45,2	36,5	41,2	33,5	30,7	35,0	41,5	33,5	41,9	33,8
40	0,765	43,4	33,1	41,6	31,8	28,8	33,4	40,4	30,9	42 5	32,5
44	0,718	41,7	29,9	42,0	30,2	26,4	31,4	39,8	28,6	42,8	30,7
48	0,668	40,3	26,9	42,6	28,5	23,5	29,6	37,8	25,3	43,6	29,2
52	0,615	37,8	23,2	43,5	26,8	20,8	27,7	36,0	22,1	43,9	27,0
56	0,558	35,8	20,0	44,2	24,7	17,8	25,4	34,0	19,0	44,8	25,0
60	0,500	34,8	17,4	44,6	22,3	15,5	23,0	32,9	16,5	45,4	22,7
64	0,438	33,0	14,5	45,4	19,8	13,2	20,4	31,8	13,9	45,8	20,1
68	0,374	31,0	11,6	46,3	17,5	11,7	17,8	29,9	11,2	46,6	17,5
72	0,309	29,0	9,0	47,4	14,6	8,4	14,9	28,1	8,7	47,6	14,7
76	0,241	27,5	6,6	48,5	11,7	6,2	11,9	26,0	6,3	48,7	11,7
80	0,173	25,9	4,5	48,8	8,5	4,3	8,7	25,0	4,3	49,5	8,6
84	0,104	24,8	2,6	51,0	5,2	2,4	5,2	24,2	2,5	50,0	5,2
88	0,035	23,5	0,8	51,8	1,8	0,8	1.8	23,2	0,8	51,2	1,8
			644,3		585,7	549,8	621,8		597,6		607,0
Под влиянием показанных сил опорное кольцо будет рабо-
тать уже не только на сжатие, но и на изгиб.
Методы расчета кольца обычны и здесь не приводятся.
Однако следует отметить, что приведенный выше расчет пред-
Рис. 49.
полагает абсолютную жесткость
кольца. Поэтому, при расчете коль-
ца надо определить радиальные пе-
ремещения его отдельных точек. Ес-
ли эти перемещения окажутся соиз-
меримыми с перемещением цент-
ральной опоры, следует повторить
расчет с учетом деформаций кольца-
При этом, по второму приближению,
следует за исходные деформации
кольца принять деформации, полу-
ченные по первому приближению.
На рис. 48 кривая незагруженных тросов распространена
в обе стороны от начала (координат. В рассмотренном выше
96
примере усилия в незагруженных тросах увеличились. При
ином загружении эти усилия могут и уменьшаться.
Пример 12. Рассмотрим то же перекрытие, что и в предыдущем
примере при воздействии на него другой временной нагрузки.
В середине пролетов двух тросов, симметрично расположенных относи-
тельно оси ОВ (рис. 50), приложены сосредоточенные силы Р=10 т
{точки А).
Приемами, описанными во второй
главе, можно для этих тросов найти
Qtdx--^
45
qPln- 0,22-303
45
0,2-Ю-ЗО2
4
Подставляя это значение, а также
значения, определенные в предыдущем
= 1224 т?м.
4
102-30
4
В
Рис. 50.
примере, в формулы (3.26) и (3.27), по-
лучим для незагруженных тросов, как
и раньше,
4
н1[{ + [—0,02 + 987 д]Н — 11260 = 0,
для загруженных
#2Г [— 0,02 + 9876]/72 г — 576000 = 0.
В предыдущем примере мы уже пользовались кривой пер-
вого из этих уравнений. Это нижняя кривая на рис. 48. Второе
уравнение выражается самой верхней кривой того же графика.
Результаты расчета приведены в табл. 7. При этом, в отли-
чие от табл. 6, загруженные и незагруженные тросы не выде-
лены в отдельные группы, так как загруженным является
только трос, данные которого записаны в последней строчке
(|3 = 178°).
В столбцах /7;Сар;. знаком плюс показаны усилия, дейст-
вующие на центральную опору и направленные в сторону С
(рис. 50), знаком минус — в противоположную сторону. Алге-
браическая сумма величин, вписанных в каждый из этих столб-
цов, из условий равновесия должна быть равна нулю. По пер-
вому приближению 6 = 0,02 м) она оказалась далека от этой
величины: ZH; cosp= +85,2 т. Была сделана вторая по-
пытка: при 6 = 0,01 м получено S/f,cosp; = +8,5 т.
Считая возможным удовлетвориться таким приближением,
можем полагать, что усилия в тросах характеризуются вели-
чинами, показанными в предпоследнем столбце таблицы. Наи-
большее усилие, как и следовало1 ожидать, возникло в данном
7—142
97
Таблица 7
?	COS В	В = 0,02 м		В = 0,01 M	
		Hb m	Ht cos ₽г, m	Hi, m	Hi cos 0Z, m
2	0,999	31,0	31,0	26,5	26,5
6	0,993	30,8	.30,6	26,5	26,3
10	0,984	30,5	30,0	26,4	26,0
14	0,970	30,4	29,5	26,3	25,5
18	0,950	30,2	28,7	26,1	24,8
22	0,927	30,0	27,8	25,9	24,0
26	0,895	29,9	26,6	25,7	23,0
30	0,865	29,7	25,7	25,6	22,1
34	0,828	29,2	24,2	25,4	21,0
38	0,786	29,0	22,8	25,2	19,8
42	0,742	28,5	21,2	25,0	18,6
46	0,691	28,0	19,4	24,8	17,3
50	0,642	27.5	17,6	24,5	15,7
54	0,587	27,0	15,8	24,2	14,2
58	0,529	26,8	14,2	23,9	12,6
62	0,468	25,8	12,1	23,6	11,1
66	0,406	25,0	10,1	23,3	9,5
70	0,341	24,5	8,4	23,0	7,8
74	0,275	24,0	6,6	22,9	6,3
78	0,2 ‘8	23,5	4,9	22,8	4,7
82	0,139	28,0	3,2	22,7	3,1
86	0,070	22,5	1,6	22,6	1,6
90	0,000	22,5	0,0	22,5	0,0
94	—0,070	22.2	—1,6	22,3	—1,6
98	—0,139	21.5	—3,0	22,1	—3,0
102	—0,208	21,1	—4,4	21,9	—4,6
106	—0,275	20,8	—5,7	21,7	—6.0
1'0	—0,341	20,5	—7,0	21,5	—7,3
114	—0,406	20,2	-8,2	21,3	—8,7
1Н	-0,468	20,0	-9,3	21,1	-9,9
122	-0,529	19,7	-10,4	20.9	-11,0
126	-0,587	19,4	—4,4	20,8	— 12,2
130	-0,642	19,2	—12,3	20,7	— 14,5
134	—c,694	19,0	-13,2	20,6	— 14,3
138	—0,742	18,8	-13,9	20,4	—15,1
142	—0,786	18,6	—14.6	20,3	—16,0
146	—0,828	18,4	-15,2	20,2	—16,6
150	-0,865	18,2	— 15,7	20,1	—17,3
154	-0,895	18,2	—16,3	20,1	-18,0
158	- 0,927	18,1	—16,8	20,1	—18,6
162	—0.950	18,1	—17,2	20,0	—19,0
166	—0,970	18,0	—17,5	20,0	—19,4
170	—0,984	18,0	—17,7	20,0	-19,6
174	—0,993	18,0	—17,9	19,9	—19,8
178	—0,999	77,5	—77,5	80,5	—80,5
			S Hi cos^z =		Т//гСО5 3,=
			= 85,2 m		= 8,51 m.
98
случае в нагруженном тросе (80,5 г), наименьшее в смежном
с ним (19,9 т).
Расчет перекрытия'без центральной опоры (рис. 41) зна-
чительно сложнее, чем рассмотренный выше. В этом случае
центральный узел перемещается по горизонтали на некоторую
величину 6 и по вертикали на V.
Если бы были известны эти величины, задача о нахождении
усилий в тросах была бы .решена. Автор пытался найти прием
хотя 'бы приближенного определения величины V, но надо при-
знать, что эта попытка не привела к желаемым результатам.
Поэтому приходится произвольно задаться величиной v и
после этого считать, что отметка центрального узла зафикси-
рована. Перекрытие как бы превращается в перекрытие с цен-
тральной опорой. Следовательно, к нему может быть приме-
нен рассмотренный выпЩ метод. Может быть найдено горизон-
тальное перемещение 6 и натяжение всех тросов.
После этого, имея все натяжения и отметку центрального
узла, нетрудно проверить условие равновесия этого узла в вер-
тикальном направлении. Если это условие удовлетворено — за-
дача решена, если не удовлетворено — надо задаться новым
перемещением v и повторить расчеты.
Технику решения опять рассмотрим на примере.
Пример 13. Схема сооружения соответствует схеме на рис. 41.
Пролет троса (радиус помещения) / = 30 м. Разница отметок центрального
узла А и опорной точки В равна с = 1,5 м (на рис. 41 это расстояние
обозначено f). В остальном данные не отличаются от данных примера 11,
т. е. q = 0,2 т/.и, временная нагрузка, расположенная на половине перекры-
тия ?вр = 0,5 т/м и EF = 30000 т.
Требуется найти перемещения 6 н v и натяжения всех тросов, которые
так же, как и в примере И, расположены в плане через Др = 4°.
Натяжения тросов будем искать по формуле (2.66), считая w = 0 и
t = 0. Для этого находим прежде всего
Г q2i3 о,22-зоз „
I QJ dx= 45 -	45	—24 т-м,
_ A72^2L_ 284 т>м.
45	-	45	4	’
с
1 5 л
-^— = 0,05; а х= 2°52'; cos а = 0,999;
oil
9(2/)2 _ 0,3-602
24 с	— ол 1 ч	zu>u
т.
24-1,5
Подставляя эти и другие известные величины в
чнм для загруженных тросов
f 24-30000	0.999-30000
202-2-30 и,УУУ 2U,U+	30
X ЗОООО] Н22Г-----284О'?П000 - 0,9996=0,
Я23г =
2-30
формулу (2. 66), полу-
v -0,05-0,9992
30
7*
99
или
Н?2Г + (9,8 + 999 3 +49,9 v) Н\г — 141 000 = 0.	(3.32)
Для незагруженных тросов в формулу (2.66) вместо интеграла
f Q dx надо подставить Г Q' dx. Получим
Н?2н (9,8 + 999 8 + 49,9v) Н?2н — 11830 = 0.	(3.33)
В соответствии с намеченным выше путем необходимо задаться величи-
ной и. Автор попытался найти эту величину приближенно, рассматривая
изолированный трос пролетом 60 м, нагруженный на обеих половинах тре-
угольной нагрузкой: на одной половине только -постоянной, на другой по-
стоянной и временной. Определенная таким приемом величина перемещения
(и = 2,2 см — перемещение вверх) оказалась далека от полученной окон-
чательно (а = 16 см вниз).
Использованный приближенный прием непригоден и не приводится. Так
как до окончания решения автору не было известно о непригодности при-
ближенного решения, полученное перемещение v = 2,2 см было принято
в качестве первого приближения. Для полного освещения хода решения
ниже будет дана информация об этой первой попытке.
Подстановка v = 2,2 см = 0,022 м в формулы (3. 32) и (3. 33) дает
Hlr + (10,9 + 999 8) Н?2Г — 141 000 = 0;
Н*н + (10,9 + 999 8) Н1н— 11 830 = 0.
По этим формулам построены кривые рис. 51, совершенно
аналогичные кривым на рис. 48 (вторые снизу кривые). Имея
эти кривые с соответствующим дополнением в нижней части
графика, нетрудно составить таблицу, аналогичную табл. 6.
При составлении этой таблицы (которая не приводится) за-
давались величины 6 — 0,045 м; 6 = 0,050 ж; д = 0,052 м. При
значении 6 = 0,052 м условие равновесия центрального узла
в горизонтальной плоскости оказалось с достаточной степенью
точности удовлетворенным. Надо проверить, окажется ли рав-
ной нулю сумма проекций сил, действующих на узел, на вер-
тикальную ось.
По формуле (3.25) находим вертикальную составляющую
усилия, действующего на узел со стороны троса. Суммируя
эти величины по всем тросам перекрытия, получим условие
равновесия
S -т- - S ° = S S н‘ т=0 
Пролеты /г- отдельных тросов могут отличаться друг от
друга на очень малые величины (меньше 6 — 0,052 м) по срав-
нению с начальной величиной пролета I. Поэтому считаем, что
= I = const. Точно так же для незагруженной половины пе-
рекрытия <7; постоянно и равно qt = q = 0,2 т/м, а для загру-
женной <?; = <7 + <7вр = 0,7 т/м.
100
Так как общее количество тросов перекрытия равно п, то
приведенное выше условие равновесия можно переписать так:
п Я1 , п (q + qBP) I ei у w
2 6 + 2	6	i	u >
или
^-(2^ + ^Bp)-4-S//,= 0.	(3.34)
В этой формуле Ci очевидно равно
С1 =с~ v = 1,500-0,022= 1,478 м. (3.35)
По сделанным для рассматриваемого случая подсчетам
ЕЯ; = 3401,8 т.
Подставляя все значения в формулу (3.34) и имея в виду,
что п = 90, получим
(0,4 + 0,5)	3401,8 = 202,5 - 167,8 = 34,7 т.
1 z
Условие равновесия не удовлетворено. Надо задаться но-
вым значением V. Подсчет по формуле (3.34) показал, что
сумма сил, направленных вниз (первое слагаемое), больше,
101
чем сумма сил, направленных вверх (второе слагаемое). Пер-
вое слагаемое постоянно. Следовательно, уравнение (3.34)
может быть удовлетворено только при условии увеличения вто-
рого слагаемого. Для того чтобы его увеличить, надо, по-види-
мому, увеличить значение с,, т. е. надо уменьшить (алгебраи-
чески) значение v в формуле (3.35).
Так как пока более или менее точных ориентиров для на-
значения величины v мы не имеем, предположим v = —0,050 м,
Cj = 1,550 м. Для этого значения v построим кривые (вторые
сверху) на рис. 51 и подберем значение 6, при котором система
в горизонтальной плоскости оказывается в равновесии. Было
найдено 6 = 0,050 м, но условие равновесия в вертикальном
направлении опять оказалось неудовлетворенным. Так как
Е И; = 3494,6 т,
то формула (3.34) дает
202,5 -	3494,6 = 22,0 т.
ии
Теперь можно найти более или менее надежный ориентир
для определения v. Для этого следует построить график, свя-
зывающий величины начальных (ун) и полученных (оп) зна-
чений перемещений (линия АВК на рис. 52, а).
Из формулы (3.34) определяем Ci
пР (2q + ?вр)
61 “	12 S /7;
Затем для заданного начального значения он — 0,022 м нахо-
дим
ct = w'я =1,788 лт; -уп = 1,500 - 1,788 = - 0,288 м
(точка А);
102
для заданного ун = —0,05 м
сх = 91°93?1о4н-- =1>74	+,—1,5—1,74=—0,24 м (точка В).
По точкам Л и В строим линию САВК.
На графике показана линия OD, для которой абсциссы и
ординаты равны друг другу. При правильном задании значе-
ния vK должно бытыполучено уп = ун • Соответствующая точка
(/С) должна лежать на линии OD.
Если предположить, что связь va = f (ун) подчиняется за-
кону прямой линии, то придем к выводу, что правильное зна-
чение уп = ун будет определяться координатами точки А пере-
сечения линий OD и АВ. Получаем, что у^ —0,17 м.
Ориентировочное значение величины у может быть най-
дено еще проще. Обозначим буквой А разницу, на которую
при заданном значении-ун отличается от нуля величина-, сто-
ящая в левой части уравнения (3.34). Тогда можем нанести
точки А и В связи между А и ун (рис. 52, 6).
А = ср (1>н).
Предполагая, что здесь имеется линейная связь, продол-
жим линию АВ до пересечения с осью абсцисс. Абсцисса точ-
ки К будет удовлетворять искомой величине у, так как коор-
динаты этой точки удовлетворяют уравнению (3.34) (здесь
А = 0).
По рис. 52 получилось v — —0,18 м.
В приведенных рассуждениях может вызвать сомнения,
возможно ли линии АК рис. 52, а и 52, Ь считать прямыми?
Для того чтобы ответить на этот вопрос, для обоих графи-
ков были вычислены координаты соответствующих точек для
случая ун = 0,10 м и 6 = 0,055 м. Соответствующие точки С
довольно хорошо ложатся на прямые линии.
Таким образом, по двум графикам оказалось, что следует
задаться значениями ун примерно — 0,17 4- — 0,18 м.
Автор задался
ун = — 0,16 м.
В этом случае оказалось, что уравнение (3. 34) хорошо удо-
влетворяется.
Уравнения (3.32) и (3.33) получили вид
Н32г+ (1,8 + 9998) Н22Г - 141000 = 0,
Н*2н + ( 1,8 + 999 8 ) Н\н - 11830 = 0.
Этим уравнениям соответствуют верхние кривые рис. 51.
С этого трафика так же, как это делалось выше, можно
взять величины натяжений загруженных и незагруженных тро-
103
сов, -ориентированных углами р. Для этого, однако, надо за-
даться величиной 6. Это теперь удобно -сделать так. Для зна-
чений v, равных — 0,050 м; 0,022 м и 0,100 м, получилось соот-
ветственно, что 6 равно 0,050 ж; 0,052'м и 0,055 м. Если вычер-
тить график 6 — f (о), окажется, что -соответствующие точки
располагаются по линии, очень близкой к прямой. Продолжая
эту линию до v = — 0,16 м, получим 6 = 0,046 м. Эта величина
и принята для дальнейших подсчетов. Подсчеты приведены
в табл. 8.
_______________________ Таблица 8
3	COS Р	а = 0,046 м			
		незагруженные		загруженные	
		/7- , т	/7-. cos р, т	/Л, т	//.. cos 3 , т
0	1,000	48,8	48,8	40,0	40,0
4	0,998	4s,6	48,5	40,2	40,0
8	0,990	48,3	47,8	40,3	40,0
12	0,978	48,0	47,0	40,4	39,6
16	0,961	47,0	45,2	40,6	39,1
20	0,940	46,4	43,6	40,8	38,4
24	0,914	45,5	41,6	40,9	37,4
28	0,883	44,5	39,3	41,0	36,2
32	0,848	43,0	36,5	41,2	35,0
36	0,809	41,7	33,8	41,6	33,7
40	0,766	40,2	30,8	42,0	32,2
44	0,719	38,4	27,6	42,6	30,6
48	0,669	37,0	24,7	43,2	28,8
52	0,616	35,8	22,1	43,7	26,9
56	0,559	33,8	18,9	44,2	24,7
60	0,500	32,0	16,0	44,8	22,4
64	0,438	30,2	13,2	45,8	20,1
68	0,375	29,0	10,9	46,4	17,4
72	0,309	27,5	8,5	47,5	14,7
76	0,242	26,0	6,3	48,0	11,6
80	0,174	25,0	4,4	49,0	8,5
84	0,105	24,2	2,5	49,9	5,2
88	0,035	22,8	0,8	50,9	1,8
Суммируя цифры столбцов 4 и 6, получим для незагружеп-
ных и для загруженных тросов
Е Нв cos р = 594,4 т; Е Н3 cos В = 604,3 т.
н р	г
Эти равнодействующие практически уравновешивают друг
друга (разница-составляет около 1,5%). Поэтому дальнейших
уточнений не добиваемся. Что касается удовлетворения урав-
нения (3.34), то получается
Е Hi= 3648,6 т (столбцы 3 и 5);
<?! = 1,500 — (— 0,160) = 1,660 м-,
0,9--^-3648,6 = 202,5 - 202,0 ^0.
104
Рассмотренные решения, конечно, не охватывают всех за-
дач, которые могут возникнуть при расчете веерных систем,
однако основные приемы решений здесь рассмотрены. Поэтому
дальнейшие уточнения не даются. Ограничимся лишь некото-
рыми общими замечаниями.
Выше рассматривались лишь круглые помещения при вре-
менной нагрузке, расположенной симметрично относительно
некоторой оси, проходящей через центральный узел. Если на-
грузка не имеет подобной оси симметрии, надо «угадать» на-
правление, по которому будет происходить перемещение.
В этом случае для систем с центральной опорой может быть
рекомендован следующий путь.
Задаться некоторым направлением х, по которому пред-
полагается перемещение (основное направление). Определить
значение перемещения - б по этому направлению, исходя из
условия, что сумма проекций всех сил, действующих на цент-
ральный узел, на это направление равна нулю Sx = О (это де-
лается совершенно аналогично тому, как делалось при сим-
метричной нагрузке). Далее следует найти сумму проекций
всех сил на ось, перпендикулярную основному направлению
Ну. Если эта сумма окажется равной нулю, задача решена.
Если нет — надо задаться новым основным направлением и
повторить все операции.
Если перекрытие не имеет центральной опоры, задача зна-
чительно усложняется. По-видимому, наиболее простым ре-
шением будет такое.
Задаться вертикальным перемещением V. Для данного v
задаться основным направлением х и проделать все те опера-
ции, которые делаются при центральной опоре. Если окажется,
что Нх = 0, а Ну ф 0, задаться новым основным направлением
и т. д. При некотором основном направлении получим Нх = 0;
-У = 0.
Тогда надо проверить, будет ли равна нулю проекция на
вертикальную ось Hz всех сил, действующих на центральный
узел. Если окажется, что Hz = 0, — задача решена. Если нет, —
надо задаться новым вертикальным перемещением v и повто-
рить все указанные выше подсчеты.
Подобным образом надо повторять попытки до тех пор,
пока не будет получено
Ех = 0; Ey = 0; Hz = 0.
Это и будет решением задачи.
Если помещение имеет в плане овальную форму, а также
формы, показанные на рис. 45, а; 45, b или им подобные, за-
дача расчета на временную нагрузку будет значительно слож-
нее, чем для круглых помещений. Однако принципиально ре-
105
шения должны строиться так же, как в предыдущих случаях.
Разница только в том, что каждый трос 'будет иметь свой про-
лет, свою постоянную нагрузку, свою стрелку и даже,, может
быть, свою отметку наружного конца.
Если в круглых или некруглых помещениях, имеющих цен-
тральную опору, эта опора имеет большую длину и небольшую
площадь поперечного сечения, может оказаться, что под влия-
нием временной нагрузки ее укорочение, т. е. перемещение
центрального узла, 'будет относительно большим. В таких слу-
чаях надо по первому приближению считать, что это переме-
щение равно нулю и далее, исходя из этого предположения,
решить задачу, подобно тому, как это делалось выше. Затем
следует определить нагрузку на колонну и ее укорочение и и,
наконец, с учетом полученного вертикального перемещения
центрального узла решить задачу во втором приближении.
Еще одно замечание.
Приведенные выше решения при наличии центральной опо-
ры можно считать точными; при отсутствии таковой — прибли-
женными. Дело в том, что системы без центральной опоры
имеют обычно в центральной части кольцо для прикрепления
к нему тросов. Автор пошел на замену такой системы систе-
мой с тросами, сходящимися в одной точке. Объясняется это,
с одной стороны, тем, что наличие кольца чрезвычайно услож-
няет общий ход расчета, а с другой стороны, тем, что диаметр
этого кольца обычно бывает небольшим по сравнению с диа-
метром самого помещения. Отношение этих диаметров колеб-
лется примерно в пределах 0,03 ~ 0,06.
При таком относительно небольшом внутреннем кольце на-
личие его не может оказать особенно серьезного влияния на
работу тросов перекрытия.
В заключение необходимо сделать следующее замечание.
Невыгоднейшая нагрузка для расчета опорного кольца и
для расчета тросов оказывается различной. Нагрузка для рас-
чета кольца должна быть такой, при которой усилия в отдель-
ных тросах будут возможно более неравномерными. По-види-
мому, одним из наиболее невыгодных видов загружения сне-
гом будет рассмотренное выше загружение цоловины площади
перекрытия.
В то же самое время для получения наибольшего усилия
в тросах загружать снегом следует всю поверхность пере-
крытия.
При расчете перекрытия следует иметь в виду возможность
изменения температуры тросов перекрытия и, следовательно,
возникновения дополнительных усилий в них. Учитывать влия-
ние изменения температуры можно как отдельно от определе-
ния натяжений от нагрузки, так и одновременно. Для этого
надо только воспользоваться формулой (2. 66) с сохранением
106
в коэффициенте при слагаемого atEF, характеризующего
влияние изменения температуры. Все остальное решение про-
водится точно так же, как и при отсутствии изменения темпе-
ратуры, и поэтому здесь не приводится.
§ 18. ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННЫЕ РАДИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
В настоящем параграфе в первую очередь рассматривается
система вида, показанного на рис. 7. В этой системе радиаль-
ные тросы расположены в два яруса. Между каждой парой
тросов верхнего и нижнего ярусов имеются вертикальные
стержни — распорки. Тросы подтянуты так, что эти вертикаль-
ные стержни всегда зажаты между верхним и нижним тросом.
Величина этого зажатия такова, что если бы система была
полностью освобождена* от всякой нагрузки, временной или
постоянной, распорки все равно были бы сжаты, а в тросах
обоих ярусов были бы усилия. Следовательно, эта система
представляет собой систему, предварительно напряжен-
ную-
Подобные системы, как это говорилось выше, имеют пре-
имущества перед ненапряженными в отношении восприятия
ветровых нагрузок. Система меньше подвергается колебаниям
и в случае отрицательных ветровых нагрузок (отсосов) не мо-
жет вывернуться (вздуться, подобно парусу), что может про-
изойти с ненапряженной системой.
В рассматриваемой системе тросы нижнего яруса поддер-
живают всю нагрузку, воспринимаемую перекрытием. Это ра-
бочие тросы. Верхние тросы, помимо конструктивных целей,
служат также для создания в системе предварительных на-
пряжений. Подобного типа тросы будем в дальнейшем назы-
вать «натяжными» тросами.
Для расчета система несколько схематизируется подобно
тому, как это делалось при расчете ненапряженных радиаль-
ных систем (§§ 16, 17), т. е. предположено, что все радиальные
стержни данного яруса сходятся в одной точке (рис. 53, с).
Кроме того, отдельные сосредоточенные усилия, передаю-
щиеся через жесткие вертикальные стержни от верхних тросов
нижним, заменены оплошной нагрузкой.
Постоянная нагрузка, передающаяся на пару тросов (на-
пример ОА и ОБ), распределяется по закону треугольников
(рис. 53, Ь) и имеет максимальную интенсивность q. Эта на-
грузка целиком передается на верхний ярус нитей.
Предполагается, что нагрузка, передающаяся распорками
°т верхнего яруса тросов на нижний, распределяется по тому
н<с закону. При этом .наибольшая интенсивность нагрузки
<У опор) равна qc.
107
Нагрузка, передающаяся на нижнюю нить, направлена
сверху вниз, имеет интенсивность у опоры
7н = qc-
Нагрузка, действующая на верхнюю нить, направлена снизу
вверх и равна разности между qс и q
7в = 7с - 7-
Учитывая деформации верхней и нижней систем нитей,
деформациями стоек будем пренебрегать. Следовательно, бу-
дем считать, что все, в том числе и центральные пары узлов
верхнего и нижнего ярусов,
перемещаются по вертикали
на одну и ту же величину.
При нагрузке, располо-
женной равномерно по всей
площади перекрытия, мож-
но, очевидно, выделить из
системы пару тросов (напри-
мер ОА и ОВ), нагруженных
так, как это показано на
рис. 53, Ь. От такой нагрузки
балочный момент в середине
пролета, например, для ниж-
них тросов будет
Ян! 2 Z______Ян !2
4 'СТ 2	24
Следовательно, натяжение нижних тросов
LJ _ Ян !~ Яс &
н’ 24/н ~ 24/н 
Совершенно так же можем написать
, = ?в Z-' _ (Яс -_я)
24 fB 24/в
(3.37)
(3.38)
Для решения последующих задач необходимо знать вели-
чину интеграла Q2dx. Определим этот интеграл (рис. 53, Ь)
для нижней нити
О _ Ян!	, Я«х х _ Ян!	. ЯнХ2
Чн 4	7н^Д- Z/2 ' 2 — 4	7Л-:- t .
108
Следовательно,
o’ dx = 2 £ (- q.x + dx = 2,( J; (4 + x’ +
. xi	lx , x-	2x3 \ .	<7н/3	/Q QO\
”b /->	2 + 2	i jdx— so — 80 ’	(3.39)
Для верхней нити получим соответственно
(«> = 4г “ -тг^1- 	<3-«°)
I
Дальнейшее решение задачи рассмотрим на примере.
Пример 14. Задано: / = 60 м; fH = 1,5 м; f в — 1,5 м; q = 0,2 г/.и;
qc = 0,5 т/.ч; жесткость нити нижнего яруса EFH = 30 000 т; верхнего
EFB = 20 000 т. Необходимо определить натяжение верхних и нижних нитей
от постоянной нагрузки, а затем найти закон изменения натяжения при
различной интенсивности временной нагрузки, распределенной равномерно
по всей площади перекрытия. Интенсивность временной нагрузки у опоры
нити обозначим qвр-
Натяжения нитей от постоянной нагрузки находим непосредственно по
формулам (3.37) и (3.38)
„	0.5-602	(0,5 —0,2)-602
Ян ’24’15” = 50 W; Ив =-----24-1 5-----= 30,0 т'
Для решения задачи о связи между внешней нагрузкой и возникаю-
щими натяжениями изберем такой путь.
Пользуясь формулой (2.40), установим связь между интенсивностью
нагрузки <7В или qn и натяжениями верхней и нижней нитей. После этого
найдем по формулам (3.37 и 3.38) стрелки нижней и верхней нитей.
:   Ян .
н 24 Ян ’
: __	7“
в~ 24Яв’
(3.40)
(3.41)
Имея величины f„ и fB при разных нагрузках, можем найти перемеще-
ния центральных узлов Л(и и Д(в. Эти величины при заданной временной
нагрузке должны равняться друг другу. Последнее обстоятельство позво-
ляет при помощи графического построения найти связь между полной внеш-
ней нагрузкой q„ = q + qBV и натяжениями нитей верхнего и нижнего яру-
сов. Как это делается, рассмотрим ниже. Сейчас воспользуемся формулой
(2. 40) для нитей нижнего яруса, обозначая натяжение при наличии времен-
ной нагрузки Н Н1
Я3 I / EF" I
н,+ж
Qidx-H^H^--^ fQ^dx = 0.	(3.43)
Здесь dx берется для нагрузки, действующей на нижнюю нить
при загружёиии системы постоянной и временной нагрузкой.
100
Величина равна (3.39)
2	д'2/3	0,52-603
^^ = T=-^ = 675 ^
Подставляя два последних выражения и другие известные значения
в формулу (3.43), получим
, / 30000-675
Я«.	2-60-502	50
ИЛИ
Я®, + 17,5 Я2, - 675000 ?н2, = 0.
„	30000 ^-бО3
Н1	2-60	80	’
По этой формуле, задаваясь значениями </„, , можно найти величины
соответствующих натяжений. Можно поступить наоборот: задаваться вели-
чинами И hi и определять величины <7Н,
1/ ^н1 + 17,5^н1
<7н1	\	675000
Воспользуемся этим путем, как более удобным.
Подсчеты сведены в первые семь столбцов табл. 9.
Имея величины/7н1 и <7„I, по формуле (3.41) определим величины
стрелок
= <7н1-602	150-<7hi
24ЯН1 = ЯН1 •
Для верхнего яруса нитей получим аналогично предыдущему
2
I
,	/ 20000-243	\ „	20000	- 6Q3
Яв1 + у 2-302-60	30,0 ) Яв1 2-60	80	= (
Яв1 + 15,0 Я2, - 450000	= 0,
ИЛИ
/ Я®1+ 15,0Я2,
450000
Результаты вычислений по этой формуле даны в десятом и одиннадца-
том столбцах табл. 9.
Формула (3.42) для определения /в после подстановки известных
величин приобретает вид
f* =
l^_15olsL.
24ЯВ1 “ 10 ЯВ1
В столбце двенадцатом даны величины fB, сосчитанные по этой фор-
муле, а в тринадцатом — величины Д/в.
ПО
На основании данных табл. 9 05
составлен график рис. 54. Здесь
за независимую переменную при-
нято премещение М = Д/н = ^А- и
В функции этой величины нане- ®
сены г?н1; г? в1;/7Н1;/7В1.	ю
Имея в виду, что qK = qc; qB = н
= qz— q получим
q = q» — qB- (3.44)
Из графика рис. 54 можно по-
лучить величины q — qH — qB и
соответствующие им величины Нн
и Нв и составить график натяже-
ний Нв и На в функции нагрузки
q. Это сделано на графике рис. 55,
на котором в качестве независи-
мой принята нагрузка q.
Из последнего графика видно
(как, впрочем, и следовало ожи-
дать), что при возрастании на-
грузки, натяжение нитей нижнего
яруса возрастает, а верхнего —
падает. Если, например, полная
нагрузка увеличилась до q =
= 0,7 t/jw, получается Нв = 17,0 т;
На = 72,8 т.
Несколько ранее, в примере
13, было рассмотрено одноярус-
ное ненапряженное перекрытие.
При этом все параметры этого
перекрытия были приняты такими
же, как для нижнего яруса толь-
ко что рассмотренного предвари-
тельно напряженного перекрытия.
Интересно отметить, что если бы
перекрытие примера 13 загрузить
временной нагрузкой с наиболь-
шей интенсивностью 0,5 т/м, на-
тяжение оказалось бы равным
#1 = 56,5 т (вычисления не при-
водятся). Начальное натяжение
было Но — 20 т, следовательно,
Увеличение натяжения Д/7 =
= 36,5 т.
<		М'СЮЮО ocosss — Ф — ф О 0*0*0
< *		оюпо^-о о — сч го	ф 1© ^СО СЧ	Ф ’-<* ~	~	о
4в1 • т'м		О СО Ь- СО LO со Ф СО Ь- СЧ г- СО о о’ o' о’ О* ф*
ъи •1вН		О Ю о lO О io СО СЧ СЧ  *~ч
<1		1© X) О t© О Ф О Ф О СТ) 00 ©* ф- о о’ о”
		О i© СО ф L© Ф о С О О Ф СО IO N СО X СТ) । 
Ж/W		CNCOSO О Tf СТ) д. со сч U0 с© с- О СО о' о* о* o' т-Г ~
V ~ь го х а:	675000 т3/м3	о - LO Tt- О О 1О — со сч СТ) СЧ О СТ) -.XI г- о* о' о" о* —Г
'А/ 5‘Л + е"//		о е> ф Ф о о Ф Ф Ф о о о СО О 00 Ф 00 О 00 СТ) Ь- СО — LQ юг-очечь-ь- — СЧ Ф 00 Т-Ч
17,5^ , т3		о о о о о о о о о о Ф о со о со ф 00 о СО СО V0 СЧ T-ч ю ’Т со со ~ ь*
п со х R		о о о о о о О _ О Ф о о О ОФ о ОФ LO СО СМ —ч о О СЧ — 'f —ч со о < CM СО LO ь- ф
	g		О Ф О Ф Ф Ф оф о ф 3 о 1© ф ф ч-ч ф СЧС© Tt- СО со о
J s		фффффф LQCOSOOOO
111
В случае двухъярусной предварительно напряженной си-
стемы, как это показывает график рис. 55, суммарное началь-
ное натяжение верхнего и нижнего тросов (q = 0,2 т/м) ока-
залось равным Но = 50 + 30 = 80 т. При таком же загруже-
нии, как в примере 13 (^вр = 0,5 т/м), полная нагрузка
q = 0,7 т/м, суммарное натяжение Ht = 72,8 + 17,0 = 89,8 т.
Следовательно, увеличение суммарного натяжения оказалось
АН = 9,8 т, т. е. почти в четыре раза меньше, чем при одйо-
Само собой разумеется, что полученные цифры характе-
ризуют работу перекрытий только при данных соотношениях
размеров. Однако при других соотношениях размеров может
измениться только количественная сторона, качественные же
свойства предварительно напряженной двухъярусной системы
останутся в силе: изменения усилий, передающихся на опорное
кольцо при изменениях нагрузки, здесь будут всегда меньше,
чем в одноярусной системе.
Необходимо обратить внимание на метод решения рассмот-
ренной выше задачи, ибо этот метод оказывается применимым
к ряду других задач.
112
Не имея возможности сразу выразить натяжения гросов
верхнего и нижнего ярусов при изменяющейся нагрузке, мы
рассматриваем отдельно работу тросов верхнего яруса и от-
дельно— нижнего. Находим зависимость натяжений этих тро-
сов от соответствующих перемещений центральных узлов и,
таким образом, находим натяжения в функции опускания цент-
рального узла системы. Одновременно
находим величины нагрузок, приходя-
щихся на тросы, в функции того же а)
опускания (рис. 54). Тем самым связы-
ваем величины натяжений с величина-
ми нагрузок (рис. 55).
С подобным методом решения нам
придется ниже встречаться неодно-
кратно. В некоторых случаях мы будем
освещать соответствующий ход ре- 7
шения, в других — будем просто ссы-
латься на только что рассмотренное
решение.
Вернемся к рассматриваемой систе-
ме.
Наибольшие усилия в тросах, в ус-
ловиях нормальной эксплуатации, бу-
дут возникать при загружении времен-
ной нагрузкой (снегом) всей площади с)
перекрытия. Поэтому следует считать,
что приведенный расчет дает возмож-
ность проверить прочность самого пе-
рекрытия.
Для расчета опорного кольца невы-
годной нагрузкой будет частичная на-
грузка перекрытия. Однако автору
пока не удалось найти более или менее
простую методику определения усилий
в тросах при неполном загружении по рИс. 56.
рекрытия.
По-видимому, для приближенного расчета кольца его мож-
но рассчитывать, как в случае одноярусного 'ненапряженного
перекрытия. Имея в виду, что в двухъярусном перекрытии уси-
лия, действующие на кольцо, меняются менее резко, можно
думать, что такой расчет даст несколько повышенные запасы
прочности.
Учет влияния изменения температуры не меняет общего
хода решения. Надо только в коэффициентах при Н2 и
Учесть соответствующее слагаемое (см. формулу 2.66).
8-142
113
Рассмотренная 'система не является единственной радиаль-
ной предварительно напряженной системой.
Возможна, например, система, показанная на рис. 56. От
предыдущей она отличается тем, что рабочие тросы, поддер-
живающие нагрузку, расположены в 'верхнем ярусе. В нижнем
ярусе располагаются натяжные тросы.
Количество натяжных и рабочих тросов одинаково. При
этом каждый натяжной трос может быть расположен под каж-
дым рабочим, как это предположено на рис. 56, Ь. Эти тросы
соединены друг с другом вертикальными элементами, рабо-
тающими на растяжение.
Натяжные тросы могут 'быть расположены и не под рабо-
чими, а в промежутках между ними. На рис. 56, с рабочие
тросы показаны сплошными линиями, а натяжные — пункти-
ром. Рабочие тросы, например ОА и ОС, с натяжными ОВ
соединяются в этом случае наклонными растянутыми элемен-
тами, показанными только в секторе ОАС. Не вдаваясь в кон-
структивную оценку этих систем, сделае,м только замечание
относительно их расчета на сплошную равномерно распреде-
ленную по всему перекрытию нагрузку. Расчет этот по суще-
ству ничем не будет отличаться' от расчета рассмотренной
выше системы.
Точно так же, как там, 'задаваясь натяжением в тросах
верхнего и нижнего ярусов, можно определить перемещения
по вертикали средних узлов этих ярусов и приходящиеся на
тросы нагрузки. Это дает возможность вычертить график, по-
добный графику рис. 54, а, затем — подобный графику рис. 55.
Таким образом, задача об определении натяжений тросов при
разных нагрузках будет решена.
§ 19. СИСТЕМЫ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ТРОСАМИ
Системы с параллельными тросами могут быть ненапря-
женными и предварительно напряженными. Если предполо-
жить, что параллельными тросами перекрывается прямоуголь-
ное помещение (рис. 57, а), то тросы можно расположить в
одном ярусе, как это показано на рис. 57, Ь, или в двух
(рис. 57, с и 57, d). В первом случае .система будет ненапря-
женной, а в двух других, если соответствующим образом натя-
нуть тросы, — напряженной.
Расчет ненапряженных и напряженных систем будет раз-
ным. Начнем с ненапряженных.
Рассматриваются системы, показанные на рис. 9—12. Рас-
чет таких систем довольно прост, так как каждый трос можно
рассматривать как изолированный от других тросов, т. е. как
трос, неподвижно закрепленный обоими концами и нагружен-
ный вполне определенной нагрузкой. Подобные задачи реша-
114
лись при рассмотрении работы отдельных гибких нитей (гла-
ва II) и здесь в их решении нет необходимости. Следовательно,
в настоящем параграфе надо рассмотреть не работу нитей,
а только работу элементов, на которые передаются усилия со
стороны нитей.
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
Рис. 57.
Рис 58.
Рассмотрим, например, систему, подобную той, что пока-
зана на рис. 10. В ней две арки ВАС (рис. 58) расположены
в наклонных плоскостях. В точках В и С (пятах) они жестко
закреплены. На арки по всей их длине передаются реакции
поддерживающих кровлю тросов. В плане эти тросы парал-
лельны друг другу (рис. 58, Ь).
В вертикальной плоскости они могут иметь различные про-
весь и могут быть прикреплены своими концами к аркам под
различными углами к плоскости арок.
Если направление концов тросов будет совпадать с плос-
костями арок, т. е. если касательные к кривым очертания ни-
тей в их точках закрепления будут иметь углы наклона а
(рис. 58, а), то в арках от натяжения тросов будут возникать
только продольные силы и изгибающие моменты. Если эти
8*	115.
углы наклона будут больше или меньше а, в арках возникнут
крутящие моменты.
Желательно избежать возникновения кручения в арках. По-
этому постараемся установить, как подобрать стрелки отдель-
ных нитей, чтобы концы их имели наклон к горизонту под
углом а.
Каждая нить в отдельности нагружена равномерно распре-
деленной нагрузкой q. Предполагая, что пролет нити равен
1Х, уравнение нити можно написать так (2. 11):
_ _ ЧхУ(1х ~У)
2
1х
Начало координат принято на одной из опор
/ _ 4 А	8Ау
Д ~ ‘х
При
у = 0; z' = 4 у2-
Если мы хотим, чтобы нить была касательна к плоскости
арок, необходимо, чтобы z' при у= 0 равнялось tga, который
при принятых на рис. 58 обозначениях равен
tga = 4 = ^.	(3.45)
Т
Отсюда
X __ МХ
Jx— 21 
Имея в виду, что при равномерно распределенной нагрузке
натяжение нити равно
Н
х 8/л ’
получим
(3.46)
= ql2x  2/ qixi
х 8hlx 4 Л ’
еще устновить уравнение оси арки, к которой
нити. Для этого сосредоточенные усилия, пе-
арку со стороны нитей, заменим сплошной на-
Попытаемся
прикрепляются
редающиеся на
грузкой рх, которая по длине пролета арки L будет меняться
в зависимости от абсциссы х (рис. 58, Ь)
п =
Рх 4hd ,
116
где d— расстояние между нитями (постоянная величина).
Ордината арки у1у отсчитываемая в плоскости арки от оси
х (линия ВС), равна, очевидно, yi =	—•
-	2 С О S я
или
lx = 2j\ cos а .
Подставляя это выражение в предыдущее, получим
P*=2hdT^-	<3-47)
Для нахождения уравнения оси арки будем исходить из
условия, что от постоянной нагрузки изгибающие моменты в
сечениях арки равны нулю.
В этом случае для зрки 'будет справедливо уравнение (2.6),
полученное для загруженной нити,
Мъх = ухН,
(3.48)
где Н—распор арки.
Имея в виду известную дифференциальную зависимость
между балочным моментом и интенсивностью нагрузки и при-
менив формулы (3.47) и (3.48), получим
йРЛ4б _
dx2 ~ ~Рх )
cos я
П dx? '	2Л</ У1 —и •
Общий интеграл этого уравнения будет
1 f ql COS a \ . „	/ ql cos t
Vi-Csin^]/ 2 w// X j Ц-Dcos ( У  2hdH
Для определения произвольных постоянных С и D и рас-
пора Н имеем условие (рис. 58, Ь): при х = 0; у\ = 0; откуда
D = 0.
Следовательно, уравнение арки будет представлять собой
уравнение синусоиды
„ .	1 [ ql COS a
У1 = c sin V 1шГx 
Для определения H напишем условие
при х = L, у\ — 0
V F 2 tian /
117
Очертание арки должно, конечно, отвечать полуволне си-
нусоиды. Следовательно,
т Г ql cos « т
V 2hdH L 
Отсюда
ql cos a Z.2
2hd
Наконец, для определения С напишем:
Z	z
при х —	; у, = -н-----
г 2 ’	2 cos a
7Г1— = Сsin (]/.4г,со£1	,
2 cos a	( V 2 Hhd 2 /
или
Z
Q __	COS a
/ 1 /~ql cosa Z,\
2sin ( V 2hHd 2J
Тогда уравнение оси арки будет иметь вид
Z	. / ту ql cos a
ql cos a L \	\' 2hHd
2cos<xsin^J/ 2 hHd -y ]
(3.49)
x ) . (3.50)
Следует заметить, что сделанный вывод преследует цель
получить систему, в которой арки не работают на кручение.
В то же время выводы не учитывают собственного веса арок.
Поэтому 'можно считать, что мы получили уравнение арки,
а следовательно, и величины пролетов отдельных нитей в пер-
вом приближении. Одновременно определены горизонтальная
и вертикальная составляющие усилия, передаваемого на арку
со стороны нити

qix
2 
Кроме рассмотренных нагрузок, на арку действует ее соб-
ственный вес, который можно представить себе в виде сосре-
доточенной силы Gx. Тогда (3. 45) примет вид
, Л
tg«= —
~2
q^+Gx
-Цу-вД.
Отсюда во втором приближении
qhl2x
l(2qlx + 4GX)
118
Вернемся к формуле (3.46). Из этой формулы видно, что
в первом приближении величина натяжения отдельной нити
при заданных условиях пропорциональна первой степени ее
пролета.
Так как пролеты 1Х нитей меняются от величины I почти до
нуля, резко меняются и величины натяжений отдельных ни-
тей. Это, конечно, неудобно, так как придется подбирать раз-
личные сечения всех тросов или иметь во многих из них отно-
сительно большие запасы. Можно, конечно, получить одина-
ковые усилия в тросах путем изменения расстояний между
ними. Это, однако, несколько усложнит конструкцию.
Можно пойти другим путем и так подобрать очертания от-
дельных нитей (тросов), чтобы натяжения во всех них были
одинаковы. Тогда
,2
qp ql* и	*
hr = 8T; = //=const>
откуда
(3.51)
При таких условиях натяжения всех нитей будут одинако-
выми, однако в сечениях арки возникнут крутящие моменты.
Усилие, передающееся каждой нитью на арку, может быть
разложено на две составляющие: одну — действующую в плос-
кости арки, и другую—перпендикулярную к этой плоскости.
Последние усилия и вызывает кручение арки. Определим оба
эти усилия.
Нами установлено, что от каждой нити на арку передается
горизонтальное усилие, равное
Кроме того, передается еще и вертикальное давление, на-
правленное вниз и равное (с .учетом веса арки)
qlx
Проектируя эти два усилия на ось, перпендикулярную
плоскости арки, получим силу, направленную перпендикуляр-
но плоскости арки.
Тх = //sin а — Vx cos а =	sin а — cos а — Gxcos а . (3.52)
119
Сила, действующая з плоскости арки, будет равна
Sx = Нcos а + Vx sin а = cos а sin а +
-j-Gvsina.	(3.53)
Нередко в конструкциях, подобных рассматриваемой,
устраивают вертикальные или перпендикулярные к плоскости
арки оттяжки, воспринимающие усилия Тх.
В ^тих случаях арки в точках В и С можно к столбам CG
(рис. 58, а) прикреплять шарнирно. Оттяжками они будут
удерживаться в проектном положении и в то же время будут
освобождены от кручения.
Предположим, что каждому тросу (кровли отвечает верти-
кальная оттяжка. Эта оттяжка уравновешивает усилие в тросе
кровли. Усилие в оттяжке So нетрудно определить, беря сумму
моментов соответствующих сил относительно оси, проходя-
щей через пятовые шарниры арки (ось ВС),
Hhx- Vx-^--SOx^- = Q.
Здесь hx (рис. 58, а) равно
hx = h Ц-.
л I
Тогда
Hhl^.
=	---V*-
~2~
Подставляя сюда значения Я и Vx, получим
е  Я^1  Я^ 
Оох j	2	х'
При наличии вертикальных оттяжек арка, как уже сказа-
но, на кручение не работает. Усилие же, действующее в плос-
кости арки, будет равно
Sx = Н cos а +	sin а + $ох sin Я.
Подставляя сюда значения Н, Vx и SOx , получим
S, = cos a 4- ~ sin a + Gx sin a + h sin a —
• Я1х  Я& i Я№ 
- G, sin i - -„ sm a = 77 cos a	sin a .
x	of 1 4/
Так как нагрузка по длине арки будет постоянна, то арке
целесообразно придать параболическое очертание.
120
Если опоры отдельных нитей расположены на разных уров-
нях, выкладки несколько усложняются, но остаются аналогич-
ными описанным и здесь не приводятся.
Не приводится и расчет натяжений от изменения темпера-
туры, так как он осуществляется совершенно так же, как для
изолированной нити.
Приведенные соображения показывают, что выполнение
систем с плоскими наклонными арками без вертикальных от-
тяжек затруднительно. Либо арка должна работать на кру-
чение, либо натяжения отдельных тросов должны сильно от-
личаться друг от друга. При наличии вертикальных оттяжек
или подобных им элементов указанные недостатки отпадают.
При расчете предварительно напряженных систем, показан-
ных на рис. 57, с и 57, d, следует из перекрытия вырезать по-
лосу, соответствующую загружению одного троса (заштрихо-
вана на рис. 57,а). В этом случае тросы рассчитыв1аются уже
не как простые гибкие нити. Тем не менее, метод расчета здесь
не дается, так как он принципиально ничем не отличается от
расчета, приведенного в § 18. Разница по существу только
в нагрузке, которая в данном случае будет равномерно рас-
пределена по всему пролету нити.
§ 20. НЕНАПРЯЖЕННЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Ортогональными системами названы системы, в которых
два семейства, параллельных друг другу, в плане тросов пере-
секаются под прямым углом (рис. 59).
Эти системы могут быть предварительно напряженными и
ненапряженными. В настоящем параграфе рассматриваются
ненапряженные системы.
Посмотрим, как такая система может 'быть образована.
Представим себе поверхность эллиптического параболоида
(рис. 59, а)
Если эту поверхность рассечь горизонтальной плоскостью,
в сечении получим эллипс
Вертикальные сечения, параллельные плоскости xOz, дадут
параболы, имеющие уравнения
Х2 , А
z~ чь + k'
121
где k — некоторая постоянная для данной параболы вели-
чина.
Очевидно, что семейство рассматриваемых парабол (парал-
лельных плоскости xOz) представляет собой семейство пара-
бол совершенно одинакового очертания, но смещенных друг
относительно друга
по вертикали. Анало-
гичное семейство па-
рабол
V2
г = Ъ + т
получим, рассекая
параболоид плоскос-
тями, параллельны-
ми плоскости yOz.
Если представить
себе, что все парал-
лельные сечения рас-
положены на одина-
ковых расстояниях
друг от друга и каж-
дому сечению соот-
ветствует загружен-
ный трос, — получим
искомую ортогональ?
ную систему.
Действи те л ьно.
Параллельные тросы
расположены на оди-
наковых расстояниях
друг от друга. Сле-
довательно, при на-
грузке, равномерно
распределенной по
всему перекрытию,
на каждый трос бу-
дет передаваться нагрузка, равномерно распределенная по
длине пролета. А при таких условиях тросы будут принимать
очертания парабол.
Это соответствует заданному очертанию поверхности
(эллиптический параболоид).
Все кривые рис. 59, находящиеся в параллельных плоско-
стях, представляют собой отрезки одной и той же параболы.
Если вместо этих кривых иметь тросы, последние должны быть
все нагружены совершенно одинаковой погонной нагрузкой.
122
Это положение не противоречит условиям работы рассматри-
ваемого перекрытия.
Остается только выяснить, какую долю вертикальной на-
грузки следует передать на тросы одного направления и ка-
кую — на тросы другого.
Если бы в горизонтальном сечении рассматриваемой по-
верхности была получена окружность (параболоидвращения),
то помещение в плане имело бы форму круга. Тогда тросы
одного и другого направлений находились бы в совершенно
одинаковых условиях и, следовательно, должны были бы быть
одинаково нагружены. При интенсивности полной нагрузки
на единицу площади равной qo, и расстоянии между тро-
сами, равном d, получим погонную нагрузку
• Чп 2
При эллиптическом в плане помещении для распределения
нагрузок между тросами обоих направлений можно исходить
из условия, что изгибающие моменты на концах диаметров
эллиптического опорного кольца (точки А и В рис. 59, Ь) были
равны нулю.
Ввиду того, что все параболы одного направления имеют
одинаковое очертание и одинаково нагружены, натяжения
в них будут тоже одинаковы и равны: в тросах, параллель-
ных оси х и оси у, соответственно
8 / И •1	8 f ’
Расстояние между тросами равно d и, так как параллель-
ных тросов большое количество, действие их на опорное коль-
цо можно заменить равномерно распределенными нагрузками
интенсивностью (рис. 59, Ь, 59, е)
_ Hl _ <H.L\	Hi qtP
Pl ~ d ~ 8fd ' Pl' d 8fd‘
Предполагая, что изгибающий момент в сечении В (или А)
опорного кольца (рис. 59, е) равен нулю, напишем выражение
для момента и приравняем его нулю
м PiL L Pl -I . I piL L piU Plp = ci
JV‘B — 2'2	2	4	24	8	8
Отсюда
pi _ P
Pl l’2 ’
123
Подставляя сюда .вместо pt и pL написанные выше их зна-
чения, выраженные через искомые интенсивности нагрузок,
получим
^ = 1,
т. е. интенсивности погонных нагрузок на тросы разных на-
правлений и при эллиптическом очертании помещения также
будут одинаковы.
Интересно еще установить, будет ли принятое эллиптиче-
ское опорное кольцо работать только на сжатие, или для этого
надо выбрать какое-то иное его очертание.
Постараемся написать уравнение оси опорного кольца, прй
котором, во всех сечениях моменты равны нулю.
Для сечения С (рис. 59, е)
/ L у
I ! I \	( 2 ~ / Рт У2
----------------------------------2“^-------2“ =0 •
или
п г2 I п м2‘ —
ptX ~\-рьУ — -у .
Имея в виду, что
Z3
и подставляя это значение в полученное уравнение, получим
I__У—- 1
/Л_\2 / J\2 - 1 >
yr )	j
т. е. уравнение эллипса с диаметрами L и Z, а это и есть урав-
нение принятого эллиптического очертания опорного кольца.
§ 21. ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОЕ ОРТОГОНАЛЬНОЕ
ПЕРЕКРЫТИЕ
Выше мы видели, что предварительные напряжения в тро-
сах системы возникают в тех случаях, когда две системы тро-
сов, расположенных в двух ярусах, связываются друг с дру-
гом специальными вертикальными элементами (рис. 53, 56,
57). Тросы одного яруса являются рабочими, тросы другого
яруса, служащие для натяжения первых — натяжными.
В рассматриваемой здесь ортогональной системе рабочие и
натяжные тросы совмещены в одном ярусе.
Подобная система показана, например, на рис. 8.
124
Здесь'имеются два семейства тросов параболического очер-
тания, расположенных в вертикальных плоскостях. Плоскости
расположения парабол данного семейства параллельны друг
другу, а плоскости парабол разных семейств взаимно-перпен-
дикулярны. Из рис. 8, b видно, что тросы одного семейства
(рабочие тросы) расположены выпуклостью вниз и не только
поддерживают всю постоянную и временную нагрузку пере-
крытия, но принимают на себя еще и усилия от второго семей-
ства тросов, расположенных выпуклостью вверх (натяжных
тросов).
Все параболы одного семейства имеют совершенно одина-
ковое очертание, но вершины их смещены друг относительно
друга по вертикали. Так как все тросы имеют очертания квад-
ратных парабол, они, очевидно, должны быть нагружены на-
грузкой, равномерно распределенной по их длине.
Все натяжные тросы натянуты одинаково. Расположены
они так же, как и рабочие тросы, на одинаковых расстояниях
друг от друга. Поэтому на рабочие тросы от натяжных пере-
даются одинаковые сил'ы, расположенные на одинаковых рас-
стояниях друг от друга. При таких условиях эти многочислен-
ные сосредоточенные силы можно с достаточной степенью
точности заменить сплошной равномерно распределенной на-
грузкой, которую обозначим qc.
На натяжные тросы действует только нагрузка, направлен-
ная снизу вверх и равная также qc. Следовательно, эти тросы
не воспринимают нагрузки перекрытия. С этой точки зрения
их можно назвать нерабочими тросами. Они поставлены для
того, чтобы путем их натяжения создать более жесткую си-
стему.
Так как тросы обоих направлений нагружены по своей
длине равномерной нагрузкой, очертание их, как уже сказано,
определяется уравнением параболы.
Напишем уравнение натяжного троса АОВ (рис. 60), рас-
положенного в плоскости zOx симметрии системы.
Пролет и стрелку этого троса обозначим I и f. Тогда иско-
мое уравнение кривой в показанных на рис. 60 координатах
напишется так:
~	V*2
Р •
Аналогично и для рабочего троса, расположенного в дру-
гой плоскости симметрии zOy, уравнение будет иметь вид
(рис. 60 Ь, с)
_ 4Fy2
z ~ L2 
125
Эти два троса будем называть главными. Произвольный
рабочий трос CDG, расположенный на расстоянии х от главного,
имеет пролет Lx и стрелку Fx. Натяжение его такое же, как
главного троса, так как все рабочие тросы, как уже было ска-
зано, представляют собой отрезки парабол одинаковых пара-
метров
отсюда
12х
77
(3.55)
Напишем уравнение кривой провисания (параболы) рас-
сматриваемого произвольного троса CDG. Плоскость, в ко-
торой она расположена, находится, как уже обусловлено, в
расстоянии х от начала координат и, следовательно, ордината
z точки D определится выражением (3.54). В результате, имея
в виду, что кривая CDG представляет собой параболу, пролет
соответствующего троса равен Lx, а стрелка его—Дополучим
для нее уравнение
__	4/Х2 , 4/^уз
или, имея в виду уравнение (3.55),
4/х2 , 4Fy2
Z.2 '
(3.56)
Это уравнение поверхности гиперболического параболоида
(рис. 60, а; 8, с).
Таким образом, нам удалось установить уравнение поверх-
ности рассматриваемого перекрытия и показать, что при та-
кой поверхности перекрытия постоянная нагрузка вызывает
во всех параллельных друг другу тросах одинаковые натя-
жения.
Теперь установим, каким следует принять очертание пере-
крываемого помещения в плане. Для этого будем исходить из
условия, что от постоянной нагрузки опорное кольцо в плане
не будет работатьна изгиб. Решение несколько упростим, заме-
нив действие отдельных тросов на кольцо сплошными нагруз-
ками р L и Pi, как это показано на рис? 60, d. Напишем, что
в точке К с координатами х и у изгибающий момент равен
нулю.
126
или
Pi Н-) —Pi^- Plx1 = 0.
Это уравнение эллипса, которое может быть переписано
так:
Нт + ^7Т^=1-	<3-57)
ы ы
Если учесть, что в точке А, где у = 0 и х. = -^~, момент (как
и во всех других точках) равен нулю, получим
„ / Z \2
Pl ы
—К%=1-	<3-58)
Pl W
Следовательно,
=	(3.59)
Pi 1
Подставляя это выражение в уравнение (3.57), получим
уравнение эллипса в обычной форме
ТГу + 7Т^ = 1-	(3.60)
Уравнение (3.58) основано на предположении, что опорное
Кольцо ве работает в плане на изгиб. Этим уравнением нельзя,
однако, воспользоваться для определения I или А, ибо сами
величины нагрузок pL и pt зависят от L и I.
Действительно, натяжение рабочих тросов равно
нр =	(3-61)
Предполагая расстояния между тросами равными d, полу-
чим
Нр (д + дс) 1?
Pl~ d =	8 fd
В этой формуле q — полная постоянная погонная нагрузка
на трос; qc — погонная нагрузка, передаваемая на рабочий
трос от натяжных.
Совершенно аналогично натяжение натяжного троса
/4 = ^;	(3.62)
127
Подставляя эти значения в формулу (3.59), получим
/2 qcl2 8 Fd
£2 — 8 fd(q + qc) £'J •
Дальнейшие сокращения и преобразования приводят
к формуле
Яс =
(3.63)
Рис. 60.
Таким образом, ход
расчета на постоянную на-
грузку получается сле-
дующим:
1)	назначаем оси эл-
липса L и /;
2)	задаемся стрелками
F и /;
3)	по формуле (3.55)
определяем стрелки всех
рабочих тросов;
4)	по аналогичной
/2
формуле fy=f	нахо-
дим стрелки натяжных
тросов;
5)	задаемся (по эски-
зу) нагрузкой <?;
6)	по формуле (3.63)
определяем qc;
7)	по формулам (3.61)
определяем натяжение ра-
бочих тросов; по формуле
(3.62) — натяжных тро-
сов.
Анализируя сделанные
выводы, можно заметить,
что величина qc получена
из условия отсутствия из-
гибающих моментов в
опорном кольце при постоянной нагрузке. Эту нагрузку мы
можем создать при постройке перекрытия. Ее величина может
быть получена в зависимости от необходимости.
Совершенно иначе будет при временной нагрузке, распо-
ложенной равномерно по всему перекрытию, или, тем более,
на его части. Формула (3.63) уже будет несправедлива.
128
В опорном кольце возникнут изгибающие моменты. Отдель-
ные тросы данного направления могут получить различное на-
тяжение, а нагрузка на 'них может оказаться распределенной
неравномерно по длине пролета.
Выясним, справедливы ли сделанные предположения. Для
этого рассмотрим некоторый частный случай.
Пример 15. Эллиптическое перекрытие имеет диаметры L = 80 м;
/ = 40 м. По длинному направлению идут рабочие тросы. Стрелка главного
рабочего троса F = 2.4 м. Расстояние в плане между рабочими тросами
d = 2 м. Жесткость всех рабочих тросов одинакова и равна Еа = 40 000 г
(со — площадь поперечного сечения троса). Начальная погонная нагрузка на
все рабочие тросы одинакова и равна qo = 0,3 т/лс. Эта нагрузка включает
в себя постоянную нагрузку и нагрузку, передаваемую от предварительного
натяжения натяжных тросов.
При загружении всего перекрытия равномерно распределенной вре-
менной нагрузкой последняя ^целиком воспримется рабочими тросами. Эти
тросы несколько растянутся,'точки пересечения их с нерабочими тросами
опустятся. Следовательно, натяжение нерабочих тросов уменьшится. Это
тоже отразится на нагрузке рабочих тросов.
Введем предположение, что после приложения временной нагрузки все
рабочие тросы окажутся нагруженными равномерно распределенной по их
длине нагрузкой, одинаковой для всех тросов и равной, например,
q\ = 0,8 т/м.
Требуется установить: может ли такое предположение оказаться спра-
ведливым.
К решению задачи подойдем так. Нам известно, что при начальной на-
грузке все тросы, рабочие и натяжные, имели параболическое очертание.
Если после загружения временной нагрузкой, все рабочие тросы нагружены
равномерно по их длине, значит они имеют параболическое очертание и
после дополнительного загружения.
Но это возможно только в том случае, если от каждого натяжного
троса на все рабочие передается одинаковая нагрузка. Иначе говоря, все
натяжные тросы должны быть загружены равномерно распределенной
нагрузкой и, следовательно, должны сохранить параболическое очертание.
В соответствии с изложенным, может быть рекомендован следующий
путь решения задачи.
Найти перемещения середин пролетов всех рабочих тросов. Так как
средний натяжной трос связан с серединами пролетов всех рабочих тросов,
то полученные величины будут представлять собой перемещения точек
натяжного троса.
Если величины этих перемещений подчиняются закону параболы,
можно сделать заключение, что натяжной трос сохранил параболическое
очертание, а это, в свою очередь, покажет, что сделанное предположение
о нагрузке рабочих тросов может оказаться справедливым. В противном
случае будет видно, что оно не верно.
Решение задачи требует довольно значительных вычислений. Эти
вычисления приведены в табл. 10.
Рабочие тросы расположены на расстоянии друг от друга d = 2 м
(рис. 60, с), т. е. через 0,1^-. В первом столбце таблицы даны относитель-
ные расстояния от главного рабочего троса до всех последующих.
Из формулы (3. 60) можно получить длину L пролета троса, располо-
женного на растоянии х от главного
^ = 2у = 1/'
*
9-142
129
Соответствующие подсчеты величин Lx сделаны в трех последующих
столбцах таблицы.
В пятом столбце по формуле (3. 55) сосчитаны стрелки всех тросов.
Далее по формуле (2. 40) определены натяжения Н\ отдельных тросов
после приложения дополнительной нагрузки.
В этой формуле
„ _ q0L* _ 0,3-802
Н° 8F - 8-2,4 ~ 100 т'
Г 3 ql 4	0,3=4	3
J Q„ dx =	= 0,00754;
L
Г , q 4	0,8= 4	з
Q, dx =	=0,053324.
В столбцах 6—10 сделаны соответствующие подсчеты для определения
постоянных величин, входящих в формулу (2. 40). Решая это уравнение для
каждого рабочего троса в отдельности, получим натяжения /Д всех тросов
после загружения нагрузкой qt. Теперь по формуле
в столбцах 12—13 сосчитаны величины стрелок рабочих тросов после до-
полнительного загружения.
Если теперь из величины С х (столбец 13) вычесть начальные величины
стрелок Fq (столбец 5), получим перемещения ЛЕ середин рабочих тросов.
Но эти точки связаны со средним натяжным тросом.
Следовательно, величины, вписанные в столбец 14, пред-
ставляют собой величины перемещений отдельных точек этого
троса после загружения дополнительной нагрузкой. Значения
перемещений нанесены в виде
кривой на рис. 61. Здесь же для
сравнения пунктиром нанесена
параболическая кривая. Сравне--
ние обеих кривых показывает, что
линия прогибов среднего нерабо-
чего троса достаточно сильно от-
личается от параболы. Так как
первоначальное очертание этого
троса предполагается параболи-
ческим, ясно, что после загруже-
ния очертание его должно отли-
чаться от параболического.
Исходя из этого, можно сде-
лать вывод о неправильности первоначальных предположений.
То обстоятельство, что натяжной трос имеет очертание, отлич-
ное от параболы, свидетельствует о том, что он нагружен не-
равномерной нагрузкой по длине. Следовательно, от него на
130
рабочие тросы передается 2
неодинаковая нагрузка, и, га
следовательно, предполо- а
жение о загружении всех ®
рабочих тросов одинако- ю
вой равномерной нагруз-
кой несправедливо. После
загружения всего пере-
крытия равномерно рас-
пределенной нагрузкой
загружение отдельных
тросов данного направ-
ления не будет одинако-
вым и, как это видно из
деформаций натяжных
тросов, нагрузка по длине
каждого данного троса не
будет равномерно распре-
деленной. Эти обстоя-
тельства чрезвычайно за-
трудняют точное решение
задачи. Ниже дано при-
ближенное решение, ос-
нованное на проанализи-
рованном выше предполо-
жении об одинаковом за-
гружении всех тросов дан-
ного направления равно-
мерной нагрузкой. Такое
решение, несмотря на его
принципиальную неспра-
ведливость, во многих
случаях может дать до-
статочно удовлетвори-
тельное решение. Дело в
том, что натяжные тросы
обычно нагружены срав-
нительно слабо. При за-
гружении перекрытия до-
полиительной ' нагрузкой
эти тросы еще разгру-
жаются. Следовательно,
принятое допущение не
отразится на прочности
нерабочих тросов.
На рабочие тросы не-
посредственно передается
9*
131
большая постоянная и временная нагрузка перекрытия. Посто-
янная нагрузка распределена равномерно между тросами и
вдоль них. К этой большой равномерной нагрузке прибав-
ляется небольшая нагрузка от натяжных тросов, которая после
дополнительного загружения становится неравномерной. Так
как нагрузка от натяжных тросов относительно невелика, она
не сильно нарушит равномерность загружения рабочих тросов.
Эти соображения дают основания для использования сде-
ланных предположений в приближенных расчетах. А такое
предположение резко упрощает расчеты тросов перекрытия
под нагрузкой, равномерно распределенной по всему пере-
крытию.
Метод решения совершенно аналогичен тому, который ис-
пользован в § 18 для расчета радиальной системы с тросами,
расположенными в двух ярусах .и соединенными друг с дру-
гом распорками. Поэтому рассмотренный ниже пример будет
освещен очень кратко.
Пример 16. Перекрываемое помещение имеет эллиптическую форму
в плане с диаметрами L = 80 м и I = 40 м. Соответствующие стрелки глав-
ных тросов F = 2,4 м и f = 0,8 м. Параллельные тросы того и другого
направления расположены на одинаковых расстояниях d друг от друга.
Погонная постояная нагрузка, передающаяся на рабочие тросы q = 0,2 т/лс
Для нахождения нагрузки, передающейся от нерабочих тросов на рабо-
чие, воспользуемся формулой (3. 63)
9	О-2 п 1	/
Яс =	---= 24------ = 0,1 т^М'
Кроме этого, задана жесткость рабочих и нерабочих тросов
Еа> L = 50000 г; Eat = 25 000 т.
Требуется найти приближенный закон изменения натяжений рабочих
HL и нерабочих Hi тросов при изменении нагрузки, передающейся равно-
мерно на все перекрытие. При решении будем считать, что все тросы
данного направления сохраняют парболическое очертание и нагружены
одинаковой равномерной нагрузкой.
Решая рассматриваемую задачу, будем исходить из условия равенства
перемещений середин главных тросов.
Сначала определяем натяжения и интегралы (вычисления делаются
в т и в м)
н 0,3-802 _	0,1-402 о,
L 8-2,4	100 m’ Hl 8-0,8	25 m’
J Q2, dx = °’32'80?’ = 3840 nfiM-
L
p о	??i-803
J <?!/*= -^2---------= 42650 &
L
132
j* Ql dx= -?-’?^2403 = 53,3 m2M',
I
С 9	?ll -4°3	,
Q2ttdx=—-------=5330 q2x.
I
Подставляя все эти значения в формулу (2.40), получим для главного
рабочего троса (после подстановок и вычислений)
H3L1 + 20 H2L1 — 1334000 q^ = 0.
Отсюда
f H3Li + 20 H2Li
4l1	1334000
Аналогично и для нерабочего троса
= 1/^ + 1,65//^
П V 1668000
Задаваясь значениями НLl или Н;1 в табл, 11 вычислены величины
нагрузок.	Таблица 11
^1. m	Via > т.н	Ft м	Д F, м	m	Чп < tn/м	Л м	Л/, м
100	0,3000	2,400	0,000	25	0,1000	0,800	0,000
по	0,3440	2,508	0,108	20	0,0721	0,721	0,079
120	0,3890	2,595	0,195	15	0,0457	0,634	0,166
130	0,4362	2,693	0,293	10	0,0265	0,530	0,270
140	0,4850	2,779	0,379	5	0,0100	0,400	0,400
160 180	0,5875 0,6970	2,841 3,105	0,441 0,705	1	0,0013	0,260	0,540
Имея значения нагрузок и натяжений, по формулам
д.	Чп Р
8HL1 Kf~ 8Htl ’
можно найти величины стрелок (столбцы 3 и 7 таблицы) и затем величины
нарастаний стрелок ДА и Д(, т. е. величины перемещений точек главных тро-
сов в середине пролетов.
По данным табл. 11 вычерчен график рис. 62.
Имея значения qи q г1, можно легко найти величины погонных внеш-
них нагрузок, передающихся на перекрытие на полосе шириной d
4 = 4li~4ii 
Эту величину можно взять из графика рис. 62. Оттуда же можно взять
величины натяжений и, таким образом, построить график рис. 63 натяже-
ний HL и Hi в функции погонной нагрузки.
Если, например, q = 0,5 т/м, натяжение натяжного троса падает до
= 4,5 г, а рабочего увеличивается до И г = 146 т. Погонная нагрузка на
натяжной трос равна в этот момент всего q « 0,01 t/jh, что нетрудно уста-
новить по кривым рис. 62.
133
Такое малое участие 'нерабочих тросов в поддержании на-
грузки ври полном загружении всего перекрытия дает осно-
вания идти на дальнейшие упрощения и при загружении всего
перекрытия максимальной расчетной 'нагрузкой просто, в за-
пас прочности, считать, что натяжные «нерабочие» тросы со-
вершенно выходят из работы и всю нагрузку несут только ра-
бочие тросы.
Рис. 62.
Кстати, такой расчет даст одновременно и наиневыгодней-
шее загружение для опорного кольца. Его надо будет рассчи-
тывать только на нагрузку pL, действующую вдоль оси у
(рис. 60).
Здесь полезно сделать еще такое замечание. Перекрытие,
как это показано выше, имеет формы гиперболического пара-
болоида. Это, поверхность, как говорят математики, линейча-
тая, т. е. поверхность, содержащая прямые линии. На этой по-
верхности можно провести две серии прямолинейных обра-
зующих. Все линии одной серии не пересекаются друг с дру-
гом. Но каждая из них пересекает все линии другой серии [3].
При проектировании перекрытий рассматриваемого типа
этим обстоятельством иногда пользуются и, помимо рабочих
и нерабочих тросов, предназначенных для восприятия верти-
кальной нагрузки, натягивают еще тросы по направлению об-
разующих.
Наличие этих тросов в какой-то степени облегчает условия
работы опорного кольца. Направления таких тросов на поверх-
ности перекрытия можно видеть на рис. 8, с.
134
Решить задачу расчета перекрытия при частичном его за-
гружении автору не удалось. Однако наибольшие усилия
в тросах возникнут при полном загружении всего перекрытия, и
с этой точки зрения задачу можно считать приближенно ре-
шенной выше.
Частичное загружение может оказаться наиболее невыгод-
ным для опорного кольца, однако и здесь одним из невыгод-
нейших загружений (будет рассмотренное выше, имея в виду
предположение о полном выходе из работы натяжных тросов.
Автор полагает, что для первоначальных расчетов можно поль-
зоваться таким приемом, а при расчете опорного кольца на
прочность также учитывать наличие упомянутых выше прямых
тросов.
При окончательном проектировании как наиболее надеж-
ный способ можно пока рекомендовать эксперименты на мо-
делях.
§ 22.	СИСТЕМЫ, ИМЕЮЩИЕ ПОДДЕРЖИВАЮЩИЕ ТРОСЫ
ВНЕ ПЕРЕКРЫТИЯ
В предыдущих параграфах мы рассматривали системы,
в (которых все тросы или часть их входят непосредственно в со-
став перекрытия.
В настоящем параграфе кратко рассмотрены системы, в ко-
торых тросы расположены изолированно от перекрытия и под-
держивают перекрытие при помощи вертикальных (рис. 13)
или наклонных (рис. 14) подвесок. Сюда же следует отнести
систему, представленную на рис. 15, где перекрытие поддер-
живается наклонными тросами, которые при расчете рассмат-
риваются как прямые стержни. Рассматриваются эти системы
кратко, по той причине, что расчет их прост и, в сущности,
они требуют не разработки каких-либо методов расчета,
а лишь некоторых замечаний.
Например, перекрытие по рис. 13 имеет пилоны, располо-
женные вне перекрытия в точках А (рис. 13,а). Эти пилоны
раскреплены оттяжками, видными на разрезе (рис. 13, Ь), и
поддерживают два троса, прикрепленных одними концами
к пилонам, а другими к коньку крыши.
В месте прикрепления этих тросов к коньку горизонталь-
ные составляющие усилий в них уравновесятся, а вертикаль-
ные просуммируются. Припроектированиинадо создать в этом
месте такую величину углов наклона тросов, чтобы вертикаль-
ная составляющая усилий в них уравновесилась соответст-
вующей частью веса кровли.
К тросам АВ (рис. 13, Ь) в точках С подвешены тросы, иду-
щие вдоль перекрываемого помещения. Они видны на продоль-
ном разрезе (рис. 13,а). Эти тросы при полном загружении
135
перекрытия 'передают в точки С только вертикальные усилия,
так как горизонтальные составляющие в продольных тросах
уравновешиваются. К продольным тросам прикреплены под-
вески: три на каждый пролет, которые поддерживают 'вес пе-
рекрытия.
Расчет при полной нагрузке надо производить в такой по-
ел едав ательности:
Выяснить усилия, передающиеся на подвески, и тем са-
мым — усилия в подвесках.
Имея усилия в подвесках, нетрудно определить усилия
в продольных тросах.
Зная нагрузки на продольные тросы, определим усилия,
передающиеся на поперечные тросы в точках С.
Далее находим натяжения тросов АВ, а, следовательно,
и вертикальную составляющую, передающуюся в этом месте
на конек кровли.
Все эти операции просты, описаны в главе II и не требуют
здесь дополнительных объяснений.
В условиях несколько более сложных, чем остальные попе-
речные тросы, находится трос, натянутый между пилонами,
расположенными в точках D. На этот трос продольные тросы
действуют только с одной стороны. Следовательно, силы, дей-
ствующие на трос DD, наклонны. При решении надо эти силы,
передающиеся от продольных тросов, разложить на верти-
кальные и горизонтальные составляющие.
В результате расчета окажется, что на угловые пилоны бу-
дут действовать силы, расположенные вне плоскости портала
перекрываемого помещения. Поэтому и оттяжки DE этих пи-
лонов надо располагать в плане в несколько наклонном по-
ложении, в соответствии с направлением горизонтальной
проекции поперечного троса в опорной точке D.
Не более сложен и расчет на полную нагрузку системы,
представленной на рис. 14. Здесь две трехпролетные нити рас-
положены в вертикальных плоскостях, параллельных друг
другу и продольной оси перекрываемого помещения. На’про-
межуточных пилонах натяжения уравновешиваются. Крайние
пилоны удерживаются оттяжками.
В четырнадцати узлах каждого пролета каждой нити при-
креплены подвески. Своеобразие системы заключается в том,
что в каждом узле прикреплено не по одной вертикальной под-
веске, как это обычно бывает, а по четыре наклонных подвески
(рис. 14, с). Этими подвесками поддерживается нагрузка кров-
би, которая и передается в виде четырнадцати вертикальных
сил на продольные нити.
На рис. 15 показана схема полупролета перекрытия с пря-
мыми тросами. Подобные системы рассчитываются по обычной
теории систем с прямолинейными стержнями. Следует только,
136
в соответствии с указаниями § 13, проверить, какие погреш-
ности могут (быть, если не учесть 'провесов отдельных тросов
под действием их собственного веса.
§ 23.	ДРУГИЕ СИСТЕМЫ
На рис. 64 представлены примеры систем с гибкими под-
борами. На рис. 64, а поддерживающие кровлю тросы постав-
лены вдоль короткой стороны. Если бы их прикрепить к сте-
нам, последние испытывали бы значительный изгиб. Во избе-
жание последнего и поставлены подборы, к которым прикреп-
лены тросы и которые передают на стены только сжимающие
Рис. 64.
усилия. Подобная система (так же как и последующие) может
быть ненапряженной или предварительно напряженной. Это
показывают'рис. 64, b и с. На рис. 64, с?и е показаны системы,
у которых подборы поставлены по всем сторонам. Одна си-
стема ортогональная, другая радиальная. Подобные системы
могут быть применены не только к четырехугольному поме-
щению, но и к многоугольным с любым числом сторон. На
рис. 64, f показана система с подбором, расположенным лишь
на одной стороне.
137
В рассмотренных случаях непосредственно загруженные тросы
примыкают к подборам с одной стороны последнего.Возможны слу-
чаи, когда такое примыкание осуществляется с обеих сторон.
Подобные решения показаны на рис. 64, g и h. В силу того,
что передающаяся на подбор нагрузка в плане уравновешена,
подборы провисают в этих случаях в вертикальных плоско-
стях. Решение, показанное на рис. 64, g, может быть распро-
странено на любой правильный многоугольник и на многие
неправильные. В решении по рис. 64, h очертание опорного
кольца должно быть подобрано по кривой давления. Стрелки
тросов, непосредственно поддерживающих нагрузку, и под-
бора могут быть подобраны так, что и в углах системы будет
соблюдено равнове-
сие.
Если надо пере-
крыть помещение,
имеющее в плане
форму кольца (рис.
64, i) или форму час-
ти кольца (рис.
64, k), по внутренне-
му контуру перекры-
тия тоже может быть
поставлен гибкий
подбор. Только в пе-
рекрытии по рис.
64, k надо позабо-
титься о восприятии натяжения подбора в точках А.
Все перекрытия на рис. 64, как уже говорилось, можно сде-
лать напряженными. Для этого можно поставить ярус натяж-
ных тросов сверху яруса рабочих, как это показано на рис. с,
или снизу. Однако в некоторых случаях предварительно напря-
женную систему можно получить и при совмещении рабочих,
натяжных и тросов подбора, расположенных на одной общей
поверхности. Модель подобного перекрытия показана на
рис. 65. Все перекрытие поддерживается в четырех точках,
расположенных по углам. Если прикрепление углов сетки
к этим точкам будет осуществлено с натяжением, система
окажется предварительно напряженной.
Предварительное напряжение достигается за счет того,
что поверхность оказывается изогнутой в форме седла, напо-
добие того, как это имеет место в системах на р>ис. 8 и 60.
Тросы одного направления в подобных случаях натягивают
тросы другого. Если бы все опоры сетки были расположены
в одной плоскости, сетка, даже будучи сильно натянутой, оста-
лась бы плоской и взаимное натяжение тросов разных направ-
лений не имело бы места. Все тросы, поддерживающие на-
138
грузку, оставались 'бы (прямыми. При большом натяжении не-
большой нагрузке соответство'вали бы большие 'перемещения.
Поэтому 'плоские сетки, даже и сильно натянутые, не будем
относить к предварительно напряженным системам.
Рис. 67.
При таком условии можно сделать вывод, что сетку на
трех опорах нельзя сделать предварительно напряженной, ибо
три точки всегда лежат в одной плоскости. Для создания пред-
варительного напряжения надо
иметь четыре или большее количе-
ство опор.
Из других решений представляет
интерес, например, перекрытие длин-
ных цехов. В этом случае напраши-
вается решение перекрытия цеха
тросами, расположенными поперек
помещения (рис. 66, а). Но .тогда
стены помещения окажутся в небла-
гоприятных условиях. Для улучше-
ния их работы можно будет на неко-
тором расстоянии друг от друга по-
ставить распорки (рис. 66, Ь), а меж-
ду распорками вдоль стен располо-
жить гибкие или жесткие подборы в
виде балок или ферм. Другое воз-
можное решение показано на рис.
66, с. Здесь поперек здания постав-
лены арки. К аркам прикреплены рабочие тросы, идущие вдоль
помещения. В поперечном направлении расположены натяж-
ные тросы. Арки и натяжные тросы передают на стены поме-
щения силы, стремящиеся их опрокинуть. Однако направления
опрокидывания противоположны и, следовательно, эти силы
в какой-то степени уравновешивают друг друга. Тем не менее,
и здесь, по верху стен, между арками следует предусмотреть
жесткие или гибкие подборы.
Интересно решение, показанное на рис. 67. Здесь вся на-
грузка круглого перекрытия передается на центральную опору.
139
Для обеспечения устойчивости полученного таким образом
«зонтика» по его 'периметру необходимо поставить вертикаль-
ные и наклонные оттяжки. Усилия, создаваемые в этих от-
тяжках, тоже передаются на центральную опору.
Кольцо, к которому прикреплены нижние концы тросов,
здесь уже нельзя назвать опорным кольцом, ибо оно само под-
вешено к тросам. Это кольцо можно скорее считать своеоб-
разным жестким подбором.
Подобные системы, натрузка которых передается в одну
точку, могут иметь в плане формы, отличные от круга [24].
К висячим системам относятся также системы в виде за-
крепленных по контуру или в отдельных точках мембран. По-
добные мембраны изготовляются из тонкого листового мате-
риала.
Простейшую систему перекрытия такого рода можно себе
представить в виде длинного прямоугольного листа постоян-
ной ширины, подвешенного своими узкими сторонами к ка-
ким-то опорам. По своей работе подобный тонкий лист, будучи
загружен по своей ширине, будет работать как простая гиб-
кая нить. Однако мембраны могут иметь и значительно более
сложные формы. Применение сварки дает возможность выпол-
нять их в виде конуса, шаровой, седловидной поверхности и
т. д. [24]. На наш взгляд, эти системы весьма перспективны.
Применяются также и ортогональные системы, у которых
элементы одного направления предоставляют собой тросы оди-
накового очертания, а элементы другого — жесткие прямые
балки, прикрепленные в местах пересечения к тросам. Такие
системы имеют, естественно, значительно большую жесткость,
чем аналогичные ненапряженные системы, составленные толь-
ко из тросов (рис. 3, 12 и др.).
Помимо перечисленных, возможны, естественно, и разного
рода комбинированные системы в виде, например, комбинации
жестких дисков и тросов, мембран и тросов, перекрещиваю-
щихся жестких нитей (см. ниже) и т. д. Следует полйгать,
что изыскания в этих направлениях могут дать плодотворные
результаты.
ГЛАВА IV
ЖЕСТКИЕ НИТИ
§ 24.	ВВЕДЕНИЕ. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ.
ХАРАКТЕРИСТИКИ НИТЕЙ
Нитью 'называют стержень, ,подвешенный ж неподвижным
опорам с 'провесом и нагруженный некоторой нагрузкой. Так
как всякий материальный стержень имеет ту или иную жест-
кость, то абсолютно гибких нитей не существует. Тем не менее,
во многих случаях представляется возможным рассчитывать
нити как абсолютно гибкие. Методы расчета гибких нитей рез-
ко отличаются от методов
расчета жестких нитей. По-
этому необходимо попытать-
ся провести какую-то грани-
цу, показывающую, в каких
случаях следует использо-
вать теорию гибких нитей и
в каких — жестких. Соответ
ствующее приближенное ре-
шение дается ниже.
Имеется балка АВ, опи-
рающаяся на две опоры
(рис. 68). Под влиянием сплошной равномерно распределенной
нагрузки интенсивностью q в середине пролета балки возник-
нет изливающий «балочный» момент
Б 8 •
(4.1)
При этом прогиб середины пролета (в обычных обозначениях)
будет
v = W-
уБ 384£7’
(4.2)
Величина изгибающего момента в балке пропорциональна
величине ее прогиба. Поэтому если какой-то стержень (на-
141
пример жесткая нить) при всех 'прочих равных с балкой па-
раметрах имеет'прогиб f (рис. 68, Ь), изгибающий момент в се-
редине 'Пролета этого стержня Л4И примет вид
=	(4.3)
-’б
Подставляя сюда значения по формулам (4.1) и (4.2), по-
лучим
Ми= “57^ •
Натяжение абсолютно гибкой нити, нагруженной равномерно
распределенной нагрузкой q, как известно, равно
М_ qp
H = -^ = lFf.	(4.5)
Так как в жесткой нити балочный момент Л4Б частично вос-
принимается как балкой (Л1и), натяжение жесткой нити при
нагрузке q будет
_ мъ - мн _ ql2 48 Е/
П ~~ f ~ 8f 5Р 
Имея формулы (4.4) и (4.6), можем найти напряжение
в середине пролета нити от изгиба (сти) и от растяжения (о„)
= 48 Elf _ 48 W	и п
где h — высота сечения
метричным)
Зн =
5/2Ц7	10/2 >	\ * /
нити (сечение предполагается сим-
Чр  48 £7	оу
Для оценки жесткости нити воспользуемся соотношением
между напряжениями изгиба и напряжениями растяжения
48 Ehf
_ аи _ ю /2
? °Н Чр _ 48 £/ '
8 fF 5 PF
Или, в более удобной форме
। fPh
Ф = —и--------
Ч1' — 21
38,4Ef
Теперь можно провести границу (конечно, условную)
между гибкими и жесткими нитями. Если считать возможным
142
(4.9)
пренебречь ошибкой в а процентов, то нить, которую можно
считать гибкой, характеризуется неравенством
, Ffh • 100	„
Ф = —------------ < а .
38,4£/ 11
Автор полагает возможным 'принять а = 5%.
Тогда следует считать, если ф < 0,05, система работает как
гибкая нить.
Знаменатель формулы (4. 9) (пропорциональный величине
ан, определяемой формулой 4.8) может принять значение.
равное нулю, и тогда ф = оо.
Это будет свидетельствовать о
том, что напряжение Ът натя-
жения (4.8) оказалось равным
нулю, т. е. стержень работает
как балка. Следовательно, ес-
ли 0,05 < ф < со, система пред-
ставляет собой жесткую нить.
Рис. 69.

Если ф = со, нить превращается в балку. Наконец, если знаме-
натель формулы (4.9) оказывается отрицательным, это будет
свидетельствовать о том, что в формуле (4.6) Л1и>Л1Би
f > УБ (формула 4.3). В этих условиях для того, чтобы стер-
жень принял очертание со
стрелкой / (рис. 69), к нему
необходимо приложить сжи-
мающую силу Н. Следова-
тельно, если ф < 0, то систе-
ма превращается в арку.
В табл. 12 приводится
сводка полученных резуль-
татов.
В заключение полезно от-
метить, что характеристика
ф зависит не только от гео-
Значения
Ф > 0,05
0,05 <	< оо
'|| = оо
ф <0
Таблица 12
Вид системы
Гибкая нить
Жесткая »
Балка
Арка
метрических параметров нити, но и от нагрузки q. Поэтому в
зависимости от величины нагрузки, система может быть отне-
сена к тому или другому виду табл. 12.
384 Elf
-----мы
нить.
если
Если, например, (из формулы 4. 9 или 4. 8) q
будем иметь жесткую (или даже 'может быть гибкую)
с	384 Elf	.
ьсли q— —g-jj—, система превращается в балку, и
384£7/
9< -gz/ , — в арку.
143
Необходимо еще раз -подчеркнуть условность границы
между гибкими ,и жесткими нитями. Выше она 'была опреде-
лена применительно к нити, шарнирно закрепленной по кон-
цам и нагруженной сплошной равномерно распределенной по
всему пролету нагрузкой. Для этого частного случая приведен-
ные соображения можно считать вполне справедливыми. Если
же нить нагружена иначе, границу (между гибкими и жесткйми
нитями придется определять специально.
Пример 17. Сечение нити предположим в виде трубы, имеющей
наружный диаметр d = h = 0,5 м толщину стенок 6 = 1 см. Для этой
трубы имеем F = 0,0154 м2, J = 0,000458 м*. Материал трубы — сталь.
Е = 2-107 т/м2. Погонная нагрузка предпола!ается q = 0,12 т/м. Опреде-
лить, в соответствии с табл. 12, к какому классу относятся указанные ниже
системы и каковы наибольшие напряжения, возникающие в среднем сече-
нии. Во всех случаях принять	.
а) / = 1600 м; b) I = 1550 м; с) I = 100 м, I = 66,3 м.
Решение. Для случая а) имеем (формулы 4. 7 и 4. 3)
48£7г/	48-2-107.0,50-80	„	1С.	, ,
°и = ю72-------------ionW----------= 1500 mlM 50 кг/см ’
_ ql2	48EI _ 0,12-16002	48-2-107.0,000458 _
°н~ 8fF	5PF ~ 8.80-0,0154 ~ 5-16002.0,0154	“
= 31300 — 2 » 31 300 т/м2_= 3130 кг/см2.
Полное напряжение равно а = 3280 кг/см2. Коэффициент ф можно
определить как отношение уже полученных величин или по формуле
ан
(4.9). Получим
ф =	= 0,048.
В соответствии с табл. 12 систему а) следует отнести к гибким нитям,
несмотря на весьма солидное сечение трубы.
Обращает на себя внимание, что в выражении для <тн второе слагаемое
оказывается исчезающе малым по сравнению с первым. Это, однако, полу-
чается только в случае относительно гибких нитей. В случаях нитей более
жестких эта величина может оказаться существенной и даже решающей.
Для случая Ь) получим
ои = 208 кг/см2\ он = 2250 — 0,4 « 2250 кг/см2.
Полное напряжение и коэффициент, характеризующий жесткость нити
о = 2458 кг/см2; ф = 0,092.
Нить надо отнести к группе жестких нитей. Если бы предположить, что
нагрузка q увеличилась в два раза, нить оказалась бы . уже гибкой. Дей-
ствительно, получилось бы, что <ти = 208 кг/см2, которое не зависит от на-
грузки, осталось бы прежним, а он возросло бы в два раза и стало
4500 кг/см2. Следовательно,
ф = 0,046.
144
Для случая с):
ои = 2400 кг!см?', а„= 196 — 57 = 139 кг/с.м2; а = ои + он= 2539 кг/си2;
= 17,3 — нить очень жесткая.
В рассматриваемом случае обращает на себя внимание то, что второе
слагаемое в выражении для ан оказалось уже вполне соизмеримым
с первым.
Если принять, как это предлагается в случае d) I — 66,5 м, получим
<ти = 3610 кг1см2-, он = 130— 130 = 0;
о = ои + а н = 3610 кг 1см1;
ф = ОО.
В данном случае натяжение равно нулю.
Система работает как балка.
Если дальше уменьшать пролет, то для придания стержню
криволинейного очертания со стрелкой в одну двадцатую про-
лета надо прикладывать вместо натяжения сжимающую силу.
Система превращается в арку (рис. 69).
На рис. 70 показаны в функции 'величины пролета полу-
ченные напряжения <ти; <JH и О (Для получения плавных кри-
вых была еще взята точка при I = 600 м). Наиболее приме-
чательно на этом графике то, что при заданных q, -j- и сече-
нии стержня, при уменьшении пролета суммарные напряже-
ния о сначала умень-
шаются, а потом на-
чинают возрастать.
Особенно резкое воз-
растание наблюдает-
ся при приближении
к наименьшему про-
лету, при котором
система начинает ра-
ботать как балка.
Объясняется это тем,
что на этом участке
натяжение становится все меньше и меньше и отрицательный
момент, который вызывается этим натяжением, падает. Резко
повышаются напряжения изгиба.
На рис. 70 показан весь диапазон жестких нитей. Участок
левее кривой, показанной на этой фигуре (/ < 66,5 м), как уже
сказано, соответствует аркам, а правее (/> 1600 м)—абсо-
лютно гибким нитям.
Вернемся теперь еще раз к загружению нити данного про-
лета оплошной равномерно распред елейной нагрузкой q. Пред-
положим, что первоначально мы загружаем систему, представ-
ляющую собой балку пролетом I. Загружение производится
постепенным увеличением интенсивности нагрузки q. При не-
<0—142
145
которой нагрузке, которую назовем «критической» (<7кр), в се-
редине пролета возникает вертикальное перемещение, равное
предполагаемой стрелке нити f
f__5 <7кр^4
J ~~ 384 EI '
Или
_ 384 Elf
^кр — 5 А
(4.Ю)
При этой нагрузке балка приобретает стрелку проектируемой
нити. В этот момент закрепляем (шарнирно) ее концы. Изги-
бающий момент в середине пролета будет (4.4)
М =
5 /2 •
При увеличении нагрузки выше критической, когда концы
нити уже закреплены, очертание ее останется почти таким
же, каким оно было при критической нагрузке. Так как при
этом кривизна нити будет изменяться незначительно, то, сле-
довательно, и изгибающие моменты в нити будут изменяться
мало.*
Таким образом, «критической» названа такая нагрузка, за-
гружение которой сопровождается (или может сопровож-
даться) возникновением изгибающих, моментов в сечениях
нити. При увеличении нагрузки выше критической (при усло-
вии закрепления концов нити), изгибающие моменты увеличи-
ваются незначительно.
Здесь необходимы некоторые дополнительные разъяснения.
Если нагрузка увеличивается после критической, натяжение
нити естественно, возрастает. При возрастании натяжения про-
исходит удлинение нити, Удлинение, в свою очередь, сопро-
вождается увеличением стрелки, а следовательно, увеличением
кривизны нити и увеличением момента. Однако увеличение
стрелки, момента и кривизны невелико.
Другое замечание. Указывается, что загружение критиче-
ской нагрузкой сопровождается или может сопровож-
даться возникновением изгибающих’моментов. Дело в том,
что такому загружению могут и не сопутствовать изгибающие
моменты. Если, например, перед подвешиванием нити к опо-
рам изготовить ее с очертанием,„соответствующим ее будущей
линии провеса, то после подвешивания в нити не возникнут
изгибающие моменты. Или можно представить себе такой
* При этом имеется в виду, что напряжения в процесса нагружения не
выходят за пределы упругого сопротивления нити изгибу й растяжению.
146
процесс изготовления нити. Нить образуется из большого ко-
личества коротких звеньев, 'соединенных друг с другом шар-
нирами. После изготовления и 'подвешивания она практиче-
ски будет работать как гибкая нить. Изгибающих моментов
в ней не будет. Если после этого заглушить шарниры, получим
жесткую нить без каких-либо изгибающих моментов.
Еще одно замечание. Для чего вообще понадобилось поня-
тие о критической нагрузке? Дело в том, что описанный выше
порядок подвешивания нити принят только для удобства рас-
суждений. Практически этот процесс протекает проще. Пря-
мой стержень подвешивают к опорам. Если его собственный
погонный вес равен или больше критической нагрузки, нить
займет проектное положение и будет далее работать как жест-
кая или гибкая нить. В противном случае стержень либо будет
работать как балка, либо же для того, чтобы он занял (при
заданной нагрузке) проектное положение, потребуются допол-
нительные сжимающие усилия и тогда стержень будет рабо-
тать как арка.
§ 25. ВЫВОД ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ОСИ ЖЕСТКОЙ НИТИ
Представим себе нить, обладающую некоторой жесткостью
и подвешенную шарнирно к двум жестким опорам, располо-
женным на одном уровне. Нить натружена некоторой нагруз-
кой (рис. 71). Вырежем
из нити элемент, имеющий
горизонтальную проек-
цию dx и вертикальную dy (рис. 72). Так как элемент АВ об-
ладает некоторой жесткостью, усилия S и S + dS, приложен-
ные к его концам, не будут направлены по линии, касательной
к линии провеса.
Напишем уравнения равновесия вырезанного участка.
Имея в виду, что горизонтальные составляющие усилия S и
S + dS равны натяжению стержня Н, можем написать
'ZM3 = H\.ga.dx-^Hdy-\-qdx^- —M + M-\-dM = G ; (4.1 1)
Еу = — //tg iz — qdx + //tg(a -f- da.) = 0 .	(4.12)
10*	147
Из уравнения (4. И), пренебрегая бесконечно малой вели-
„	(dx)2
чиной второго порядка малости, т. е. q —, получим
Отсюда
tga =
dy _ dM 1
dx dx H ‘
d tg a  d2y	d2M	1
dx	dx2	dx2	H ‘
(4.13)
Из уравнения (4. 12), имея в виду, что
tg (a -f- d a) — tg a = d tg a ,
получим
4tga _ q
dx H
(4.14)
Приравнивая правые части выражений (4. 13) и (4.14), бу-
дем иметь
<Ру _ <РМ 1 _
dx2 dx2 ' Н Н •
Ввиду того что в данной книге рассматриваются пологие
нити, т. е. нити относительно небольшой кривизны, можем
приближенно считать, как обычно считаем при определении
деформаций жестких балок,
М = Е1^.
dx2
(4.16)
Следовательно,
(PM с, dly
___ — г / _г—
dx2 dx± *
Уравнение (4. 15) получает цид
El d*y___4__п
И dx<	Н
(Ру
~djp
Или
dly
dx1
, д П
El .dx? ' EI ’
Заменяя в этом уравнении
^L-z 	Н -k2
dx2 ~z ’	El ~ K •
(4-17)
(4-18)
получим
Ь2г I ±4 =0
dx2 KZ^ Н и-
148
Общий интеграл этого уравнения
z —	= A ch kx + В sh kx
Интегрируя, получим
^ = У1 = ^sh/2x + ~-ch/2x + -^x + С3 ;
У = ch kx + ish kx + 177 + CsX + c± 
A	В
Заменяя -^ = С\ ;	— = C2 будем иметь
у — Ct ch kx + C2 sh kx + Csx -p- C4;	(4.19)
y1 = Ctk sh kx + C3k ch kx + C3;	(4.20)
y” = Cik2ch kx 4- C2k2 sh kx-\--~- =	;	(4.21)
уш = C^3 sh kx + C2 ks ch kx =	;	(4.22)
ylv = C’1^4ch kx + С2й4 sh kx .	(4.23)
Уравнения 4.19—-4.23 являются общими для всех после-
дующих задач. Входящие в них произвольные постоянные Ср,
С2; С3 и должны определяться на основании условий за-
крепления нити, о которых будет сказано ниже.
Предварительно необходимо сделать несколько замечаний.
Во-первых, уравнение 4. 16, как известно из теории изгиба
прямых стержней, — неточно. Его следовало бы написать так:
М=Е1
(Ру
dx2
i . ( dy \21Г ’
dx)
В теории прямых жестких стержней пренебрежение вели-
чинои 1-^ I по сравнению с единицей не дает серьезных по-
грешностей, ибо эта величина действительно мала по срав-
нению с единицей и в обычных случаях не превосходит вели-
чины примерно в 0,2%. В нити со стрелкой в одну двадцатую
пролета эта величина достигает 4%- Следовательно, здесь
можно ожидать больших погрешностей; чем в теории изгиба
прямых балок.
149
Во-вторых, уравнения 4.19 — 4.22 включают в , себя вели-
чину натяжения Н, которая не может быть определена, пока
неизвестно уравнение оси нити. Эго вносит серьезные ослож-
нения в решение задачи. Приходится прибегать к методу по-
следовательных приближений и первоначально задаваться ка-
ким-то значением Н.
Практика подсчетов показывает, что в рассматриваемых
системах сходимость последовательных приближений не всег-
да получается быстрой. Поэтому желательно уже с самого
^начала задаваться значением Н, насколько возможно более
близким к действительному. Для этой цели, как показано
ниже, необходимо найти какие-то приближенные способы
определения натяжения в различных случаях закрепления и
нагружения нити.
§ 26. НИТЬ, НАГРУЖЕННАЯ СОБСТВЕННЫМ ВЕСОМ
В § 25 был дан вывод уравнения оси нити, нагруженной
сплошной нагрузкой.
Это уравнение
у = ch kx 4- С2 sh kx 4-	+ Q •	(4.24)
Первая производная дает
у'— Ctksh kx + C2kchkx-[--^C3 .	(4.25)
Вторая производная, помноженная на жесткость, дает из-
гибающий момент
М =EIy" = EIC1k2chkx-{-EIC2k2shkx+ .	(4.26)
Произвольные постоянные определяются на основании
условий закрепления нити.
Если взять симметричную нить, загруженную сплошной
нагрузкой q и имеющую шарнирное закрепление концов
(рис. 71), то условия и уравнения для определения произволь-
ных постоянных будут в соответствии с принятыми расположе-
нием координатных осей такими:
при х = 0; у = 0
Ct + С4 = 0;	<4.27)
при X = 0; у' = 0
С2£-|-С3 = 0;	(4.28)
150
I	4!
при х — -у; у =f
C1chZ;4-+C2sh^4 + isr + C34“+^==^ (4-29)
1	л
при х =----у ; у =f
C1chk-^--C2shk-^ + ^~C^ + C^f (4.30)
£	l	Oil	X
Вычитая уравнение (4.30) из (4.29) получим
2С2 sh	-f-2 С3= О.
Решая это уравнение совместно с (4.28), получим
С2 = 0; С3 = 0.	(4.31)
Складывая теперь уравнения (4.29) и (4.30) будет иметь
2С1сЬ^4 + ^+2С4 = 2/.
Совместно с уравнением (4.27) это даст
2c1ch*4+-^-2C1 = 2/;
С1 =---ql\-ZfH .	(4 32)
8/7(1 —chAy)
С4 =----?/2~8/Я / х •	(4.33)
8//I1 -ch ^4)
Подставляя полученные произвольные постоянные в урав-
нения (4. 24) — (4. 26), получим
у = у-8^, ' chta-b-g,----------(4.34)
8/7(1 —ch^4)	8/7(1— ch^4)
у' =---?/2 ~ 8^Я k sh kx +	;	(4.35)
8/7(1—ch)fe4)
М = El k^qP ~ ch kx | EIq =
8/7 (1 - ch^4^ H
=	chZ;x + ^.	(4.36J
8(i-ch*4)
151
Имея уравнения (4-34) — (4.36), можно определить орди-
наты линии провеса нити, углы поворота отдельных сечений
и изгибающие моменты в сечениях.
Выше, при определении произвольных постоянных были
использованы условия (4.27) — (4.30). В результате и полу-
чены уравнения (4.34) — (4.36). Условия- для определения
произвольных постоянных могут быть приняты и иные. Напри-
мер, при расположении координатных осей по рис. 71 и сим-
метричной нагрузке, можно воспользоваться условиями (4.27),
(4.28) и (4.29), а вместо последнего принять, что при х =
М = 0. Уравнения получатся несколько сложнее, чем в преды-
дущем случае. Если сохранить условия (4.27) и (4.28), а два
последних заменить
I
при х — -у
Z
при X =-----2
.44 = 0;
Л4 = 0;
получим, наоборот, несколько более простые формулы.
Приведем их здесь без вывода
у =	(1	;
Hk~ ch k -у
/ =--------^—rshkx + -^~-,	(4.37)
Hkchk-^-
Таким образом, имея те'ийи другие из рассмотренных фор-
мул, можно определить ординаты линии провеса нити и вели-
чины изгибающих моментов в ней. Однако, для окончатель-
ного решения не известна величина натяжения стержня (Н).
Эту величину можно определить способом последователь-
ных приближений, задаваясь в данном случае значением на-
тяжения по формуле (4.6).
н_ qP 48 ЕГ
П~ 8/	5/2 •
Этим уравнением следует пользоваться лишь для ориенти-
ровки. Окончательно величину Н приходится находить в про-
цессе решения задачи в целом.
Как это делать, рассмотрим на примере.
152
Пример 18. Нить представляет собой круглую стальную трубу. На-
ружный диаметр ее D = 1020 мм. Толщина стенки 6—14 мм. Труба шар-
нирно подвешена к двум опорам, расположенным на одном уровне. Пролет
ее / = 120 м (рис. 71). Стрелка f = 6 м. Нагрузка q = 0,348 т/м (собствен-
ный вес). Модуль упругости материала Е = 2- 107 т/м2. Требуется опреде-
лить напряжения в трубе в четверти и в середине пролета.
Решение. Момент инерции стержня
7 =	71 (514— 49,64)— =	0() cMi = 0 Mi
4
Приближенное значение Н определим по формуле (4. 6). Это будет
первое приближение
„	0,348 • 1202	48 • 2 • 107 • 0,00562	пп л
Н-------(Гб------------5Л2(Г------= 29’4 т-
По формуле (4. 18) вычислим
£—1/ Н _ -1 Г 29,4	_	1	1_
Г El V 2-107-0,00562	61,7 м
Теперь по формуле (4. 36) узнаем изгибающий момент в середине про-
лета (х = 0).
Е1Ч
2-107-0,00562-0,348
29,4
о Л	. 60 \
Ц1	h 61,7 )
Следовательно, натяжение нити во втором приближении будет равно
?/2 Ми _ 0,348-1202	446 _Qnn т
8/ f ~	8-6	6	’
Заданная величина Н\ мало отличается от полученной. Тем не менее
были произведены дальнейшие подсчеты. Получилось
Н2 = 30 m; kt = 6^ -А-; Ми = 445 пм; Н3 = 30,1 т.
Разница — в пределах точности расчета. Принимаем
Н = 30,1 т.
Следует отметить, что в данном случае сходимость получилась очень
быстрая. Автор пытался задаваться в первом приближении величинами Н,
равными 40 г, 35 т, 30 т и 20 г, и получал величины натяжений соответствен-
но 31,6; 31,2; 30,1 и 31,6 г, т. е. каждый раз величины, близкие к оконча-
тельной величине натяжения. Следует также отметить, что приближенное
решение по формулам (4.4) и (4.6) дает вполне удовлетворительные резуль-
таты.
153
Теперь, имея величину натяжения, нетрудно определить искомые на-
пряжения. По формуле (4. 36) находим изгибающие моменты в середине и
в четверти пролета. Они оказались
Л4Л.=0 = 445 тм; М г = 339 тм; Н = 30,1 т.
х= ~4
Момент сопротивления сечения W = 11 010 см3. Площадь поперечного
сечения F — 444 см2. Тогда, считая, ввиду относительной пологости нити,
что продольные усилия во всех сечениях одинаковы и равны Н, получим
напряжения
а
30100 , 44 500 000	CQ , .п.п ,1ПО , ,
! 0-------- 68 + 4040 = 4108 кг/см2;
33 900 000 „о , „поп	. ,
—jYOIQ = 68 + 3080 = 3148 кг/см2.
х=и 444
30100 ,
"х= — ~ 444	+
4
Напряжения очень высокие и едва ли могут быть допущены в кон-
струкцию. Однако, как указывалось выше, при соответствующих приемах
изготовления нити, вторые слагаемые полученных напряжений могут быть
снижены до нуля.
Сейчас посмотрим еще, чему равна ордината оси нити в четверти про-
лета. Для этого воспользуемся формулой (4. 34). Для четверти пролета
получим
qP-ZfH
у l~ !	I '
Т 8 Н11 — ch k -g-
ch k -----1 'j +
ql2
32Я ’
Величина k равна
k =	= 1/ зол
V El V 2-107-0,00562
1 1
61,2 м
Тогда
0,348-1202 —8-6.30,1 j 30
Q 1 Л . 60 \ ICh 61,2
8-30,1 1—ch \
\ b 1,2 I
0,348-1202
32-30,1
= 1,77 m.
Гибкая нить имела бы здесь ординату 1,50 м.
При нахождении произвольных постоянных мы обеспечили прохожде-
ние нити через опорные точки.
На первый взгляд может показаться, что решение не обеспечивает ра-
венства нулю изгибающих моментов на опорах. Это, однако, не так, ибо
при определении натяжения И мы исходили из предположения шарнирного
закрепления нити по концам. Следовательно, решение должно удовлетво-
рять условия равенства нулю изгибающих моментов на опорах. Проверим
это положение. Используем для этого формулу (4. 36)
М ±=Е1 k2(gl2 — 8fH) chkl+E^_
Х 2	8/7(1 —chA-J-J 2 Н
Подставляя сюда все уже известные значения, получим
М =* 1,0 тм ® 0.
154
Что же касается формул (4.37), то они непосредственно выведены из
условия равенства нулю изгибающих моментов на опорах. Одновременно
следует отметить, что эти формулы дают и уравнение линии прогибов нити
в пределах точности подсчетов на 25-саитиметровой логарифмической ли-
нейке совершенно такое же, как формулы (4.34) — (4.36).
у = — 28,5 chfcc + 0,00578 х2 + 28,5.
Выражение это получено для окончательного значения Н = 30,1 т.
Таким образом, на рассматриваемом частном примере под-
тверждается равноправность группы формул 4.34 — 4.36 и
формул 4.37.
Анализируя цифры рассмотренного примера, замечаем, что
напряжение от натяжения стержня (продольной силы) опре-
деляется величиной ~р — 70 кг!см2, а напряжения от изгиба —
М
4000 кг/см2. С другой стороны, формула 4.36 показы-
вает, что изгибающий момент в стержне будет тем меньше, чем
больше натяжение Н. Следовательно, при увеличении Н уве-
личивается малое слагаемое -р- и уменьшается большое •
Выгодно увеличить натяжение. А для этого достаточно умень-
шить стрелку провеса.
Пр и мер 19. Возьмем все данные примера 18, за исключением стрел-
ки, которую примем f = 3 м. Тогда., по приближенной формуле (4.6),
которая дает хорошие результаты,
„	0.348-1202	48-2-107.0,00562
f-f ______________ ’	_ 1
По формуле (4. 18) получим
k =	= 1/	134	= ± J-
V El V 2-107-0,00562	29 м
По формуле (4.37)
2-107.0,00562-0,348 /,	1 \ ооп
М± = ---------134-------- 1 - Т“бб“ = 220 тМ-
2	[ Ch19j
Тогда
»Г	= 300 + 2000 - 2300 кг/С
Подобным образом сосчитаны напряжения для других стрелок, равных
1,5 ле; 1,0 м и 0,75 м.
На рис. 73 показан график зависимости наибольших напряжений
в середине пролета в функции стрелки f. Кривая иа этом графике имеет
минимум, который в данном случае равен примерно 1800 кг1см\ при
I
стрелке около 1,5 м, т. е. при f = gp’ •
155
Само собой разумеется, что полученное значение стрелки
ориентирует нас только в данном частном случае. В других
случаях она может оказаться либо больше, либо меньше.
Например, для того же самого сечения трубы, для той же
нагрузки, но для 'пролета I = 400 м график изменения напря-
жений выглядит так, как это показано на рис. 74.
В этом случае наивыгоднейшая
мерно 20—22 м, т. е. -X- +	.
А) 1о
стрелка составляет при-
Следует обратить внимание еще и на то, что при' увели-
чении или уменьшении нагрузки в п раз, напряжения изме-
няются не в п раз. Они не пропорциональны нагрузке.
Пример 20. Для пролета 120 м, стрелки 6 м и нагрузки
q = 0,348 т/м, получено
о ='4 108 кг [см2.
Предположим, что нагрузка увеличилась в два раза q = 0,696 т/м.
Тогда натяжение равно приближенно по формуле (4.6): Н = 133,7 г и мо-
мент в середине пролета по формуле 4.36 М = 436 гм.
133 700
444
43 600 000
И 010
= 300 + 3 950 = 4 250 кг/см2.
Таким образом, при увеличении нагрузки в два раза, напряжение уве-
личилось всего на
4250 — 4108
4108
100 = 3,5 %.
Обращает иа себя внимание тот факт, что при увеличении нагрузки
напряжение от изгиба несколько уменьшилось. Это вполне возможно, так
как с увеличением нагрузки очертание нити меняется.
156
§ 27. НИТЬ С ШАРНИРАМИ
Способ, который 'может значительно снизить напряжения
иэлиба, — это постановка в отдельных сечениях нити времен-
ных шарниров.
В настоящем параграфе рассматривается вопрос о решении
именно такой задачи — задачи о напряжениях в нити, имею-
щей шарниры.
Предположим подвешенную к опорам нить, имеющую шар-
ниры, расположенные так, как это показано на рис. 75. Нить
нагружена равномерно распределенной по горизонтальной
проекции нагрузкой q. Так как в точке А — шарнир, изгибаю-
щий момент здесь равен нулю и, следовательно, ордината этой
точки, так же как и точки В, может (быть получена по форму-
лам абсолютно гибкой нити
Из этих уравнений
/	2)
_ Ц”Г	_4х‘
У'—J	2-qP ~~ /2 J '
(4.38)
Уравнения (4. 19) — (4. 22) для участка АВ остаются спра-
ведливыми. Произвольные постоянные определяются из сле-
дующих условий
при х = 0; у = 0
G + С4 = 0 ;	(4.39)
при х = 0 ; М = 0 ; у" = О
+	(4.40)
4/х?-
при х = Xi ; у =
qxi	х?
Ci ch kXi 4- C2 sh kXi + —+ CgXj + C4 = 4 f-^ ; (4.41)
при	X = Xi',	y" = 0
Cik2 ch kXi -|- C2k2 sh kXi +	= 0	(4.42)
157
Так как k2 = и Н = -^-уравнение (4.40) можем пе-
реписать так:
С Ч12 4- — — О
1 8fEI /2 ~ и •
64 pEI . .
—— ch kx,
ql*	J
/2^2
Отсюда
г _	64 PEI
4 “ ql*
Из уравнения (4.39)
r _ ЫрЕ1
°4 - ql* •
Теперь из уравнения (4.42)
*________. I1 с2-
~Г
f И, наконец, из уравнения
..1ч£ (4.41)
С3 = 0.
рис 75	Подставляя эти выраже-
ния в формулы (4.19) —
(4.21), получим
64£//2
—ch kx 4-
ql*	1
64 EJf-
qll th kx\
___8/
l-№ sh
4 /ЛЯ
/2
ZApEI ,
ql* ’
,	64 £7/2	...	,
V =-----7г~ k sh kx +
z	ql*	1
_1_ ( 64	______\ ch kx 4-	14 431
^yql^hkxr /2^shJfexipCn/?X+ /2 •	Г4-*15!
M = _	k2chkx / 64£//2	_ 8/sh^x \ . ,EI tfEI
m ql* Л СПЛЛД 9/4h toiSh/CX /2£2Sh£X1?r	+ P '
T	MEIf2 8/	,.	,
1ак как—= ~2^Г ’ уравнения (4.43) могут быть пе-
реписаны так:
,= _^[_Л*х + ^-^ + ^ + ф
v'--^[-shfa+^-|ra;+4x]; 14Л41
158
Пример 21. Предположим, что I — 400 м; f = 20 м; Xi = 0 (один
шарнир в пролете); q = 0,348 t/jm; Е = 2 • 107 т/м2-, / = 0,00562 м4;
IV' = 11 010 см--, [• => 444 см2.. Требуется найти напряжения в четверти про-
лета при х = 100 м.
Определим прежде всего
Н =
0,348 -400-’
8Д0
= 348 и;
Н _ -1/	348
El ~ V 2-107-0,00562 -
8/	8-20-182
k2l2 ~	4002	0,324 м'
1 1
18 м >'
Тогда, имея в вцду, что все величины выражены в т и в м, получим
л „о. Г h С КК I sh 5-55	sh 5155	! 1002 111 К QO
\=_£~0,324	ch5,55 + th 11,1	shH1 +2.182+1 ~5'32^-
Для гибкой нити эта величина получилась бы 5,00 м.
,	0,324
у *=о	18
°+ th 11,1
дптт + 0] = 0'018-
Т. е. угол перелома в шарнире около 2°
, =0324^;°^
4
— ch 5,55 '+
sh 5,55
th 11,1
sh 5,55	1
sh 11,1 +
« 112,2 тм.
a
M , W 11 220 000 , 348 000
W + F ~ 11010 +	444	-
1020 + 785 = 1805 кг/см2.
Напряжения мало отличаются от напряжений, полученных
(приближенным способом^ для стержня без шарниров. Эги
напряжения, при той же стрелке 20 м можно найти на кривой
рис. 74. Они равны о 1750 кг/см2. Следовательно, постановка
одного дополнительного шарнира в данном случае практи-
чески не принесла пользы.
Пример 22. Сохраним все условия примера 21, но, кроме
шарниров в середине пролета и на опорах, установим шарниры в четвертях
пролета, т. е. Х\ = 100 м. Требуется найти изгибающий момент и напряже-
ния в сечении, где х == 50 м.
Решение задачи получается довольно простым, так как по сравнению
с подсчетами, сделанными в предыдущем примере, меняются только вели-
чины, стоящие в скобках,
Получим
М = 112,2 Г- ch 2,78 + ^2{3
th 5,55
sh2,78 , , 1ЛОО
—, _ —h 1 — 102,2 тм‘,
sh 5,55
a
10220000	, 70, 1С,О , „
11010------h 785 = 1612 кг/см2.
159
Если шарниры расположены через Дх] = 50 м (т. е. стержень имеет по
своей длине 7 шарниров, не считая опорных), для х = 25 м получено
М = 59,4 тм\
5 940 000
И 010
+ 785 = 1323 кг!см2.
Для Дхх = 40 м (9 шарниров) и х = 20 л
а =
4 660 000
11010
+ 785 = 1209 кг/см2.
Для Дхх = 25 м (18 шарниров) и х= 12,5 м
2 260 000
ПОЮ
+ 785 = 992 кг/см2.
На рис. 76 показан график из-
менения напряжений в середине
отрезка нити ближайшего к сред-
ней части пролета, в функции ко-
личества п шарниров (включая
опорные). Верхняя кривая —для
полных напряжений, нижняя —
для напряжений, возникающих
только от изгиба. Из графика
видно, что путем постановки того
или иного количества шарниров
напряжения изгиба можно сде-
лать достаточно малыми.
§ 28. НАЧАЛЬНАЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ НАГРУЗКА
Если нить нагружается сначала [некоторой начальной на-
грузкой, а затем дополнительной, следует различать два ва-
рианта.
Первый — когда нить изгибается и от начальной, и ют до-
полнительной нагрузки.
Второй — когда начальная нагрузка изгиба не вызывает.
Изгиб возникает только от дополнительной нагрузки.
Как решать задачу в первом варианте при начальной на-
грузке известно. Решение для совместного действия началь-
ной и дополнительной нагрузок отличается только тем, что
в этом случае надо ввести в расчет полную нагрузку и соответ-
ствующее ей натяжение.
Во втором варианте, когда начальная нагрузка изгиба не
вызывает, формулами (4. 19) — (4. 22) вообще пользоваться
нельзя. Дело в том, что эти формулы получены, исходя из
предположения, что первоначально нить была прямой. Если
же начальная нагрузка не вызывает 'изгибающих моментов
160
в сечениях нити, последняя обязательно должна иметь началь-
ное очертание в форме 'веревочного многоугольника, соответ-
ствующего этой нагрузке. Например, если начальная нагрузка
равномерно распределена по всему. пролету (q), нить будет
иметь очертание квадратной параболы.
В этом варианте кажется возможным найти внутренние
усилия в нити следующим образом:
1)	определить, пользуясь формулами (4. 19) — (4.22), уси-
лия в нити (и в частности изгибающий момент) от начальной
нагрузки q, предполагая, что она вызывает моменты в сече-
ниях;
2)	определить усилия от полной нагрузки и
3)	вычесть первое из второго.
Однако такое решение будет неверным, так как оно пред-
полагает очертание нити-от начальной нагрузки q по формуле
(4. 19), между тем это очертание — парабола. А подобная раз-
ница приводит к столь 'значительным неточностям, что поль-
зование описанным порядком решения оказывается совер-
шенно невозможным.
Это положение по указанным причинам распространяется
не только на случай загружения нити дополнительной нагруз-
кой, но и на случай .изменения температуры.
Таким образом, для нити, не претерпевающей изгиба при
начальной нагрузке, необходимо некоторое новое решение, ко-
торое будет дано ниже.
§ 29.	НАЧАЛЬНАЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ НАГРУЗКА РАЗЛИЧНОГО
ХАРАКТЕРА. ПЕРВЫЙ ЭТАП РАСЧЕТА
В настоящем параграфе
нагрузка вызывает изгиб в
Имеется нить, загружен-
ная начальной нагрузкой q,
равномерно распределенной
по всему пролету. Стрелка
нити в этот момент равна /у.
Затем нить нагружается
дополнительной равномерно
распределенной нагрузкой р,
расположенной так, как это
показано на рис. 77. Пред-
предполагается, что начальная
сечениях нити.
Рис. 77.
положим, что нам тем или
иным способом удалось най-
ти натяжение нити и рас-
стояние уо точки А от оси, проходящей через опоры нити.
Известна также величина k = 1/ — .В точке А поместим на-
V EI
чало координат. Уравнения оси нити и производные от них для
11-142
161
трех участков а, b и с выражаются по формулам (4. 19) -
(4.22).
Для- первого участка
У а ~	ch kxa-\- С2 sh kxa + С3ха + С4 + “2 уу  ;	(4.45)
y>C^shA!Xa+C^ch^a + C3 + ^-;	(4.46)
Ма = El [CAk2 ch kxa + C2k2 sh kxa ;	(4.47)
Qa = El [C^3 sh kxa 4- C2k* ch kxa\.	(4.48)
Для второго участка
У> = Съ ch kxb + C6 sh kxb + C,,xb + C8 + - X-b ;	(4.49)
y'b = C&k sh kxb + C3k ch kxb + C7 +	;	(4.50)
Mb = El C6£2ch kxb-\- C6£2sh kxb +	;	(4-51)
Qft = El [C6&3 sh kxb C6k2 ch kxb\ .	(4.52)
Для третьего участка аналогично
qx2
Ус = С9 ch kxc 4- Clo sh kxc + Cn xc 4- C12 4—;	(4.53)
y'c =Cakshkxc +C10kchkxc-}-C.ll+	(4.54)
Mc = El C9 k2 ch kxc 4- C10k2 sh kxc +	;	(4.55)
Qe = El [C9&; sh kxc 4- C10&3 ch kxc\ .	(4.56)
В этих уравнениях 12 произвольных постоянных. Находим
их из 12 условий закрепления нити и сопряжения участков.
В начале координат ха = хь = 0 имеем четыре условия со-
пряжения
Qa=Qb', Ма = Мь-, Уа = Уь\ Уа=-УЬ.
Эти условия дают
С2 = С6;	(4.57)
С1 = С64-^;	(4.58)
Cak 4- С3 = C6k 4- С,;	(4.59 )
(44-Q^Cs + Cg.	(4.60)
162
При xb = х с = b также имеем четыре условия сопряжения
Qft = Q<; мь = мс-, у'ь = у'с; уь = ус.
Получим
С5 sh kb-[-Ce ch kb = Cg sh kb~\~ Cluch£b ;	(4.61)
C6 ch kb + C6 sh kb +	= Cg ch kb 4~ C10 sh kb ; (4.62)
C5 sh kb + C6 ch kb + -^4-	= C9 sh kb +
+ C10ch^ + ^;	(4.63)
C6 ch kb 4- C6 sh kb 4- C7b 4- C8 4- =Cb ch kb 4~
	4~ C10 sh kb 4- СцЬ 4~ Cj2 •	(4.64)
	На левой опоре, т. e. при xa = —а имеем два = Уо', Ма = 0 :	условия
	С{ ch ka — С2 sh ka — С&а + С4 +	=	»	(4.65)
	С\ ch ka — С2 sh ka +	= 0.	(4.66)
Mc	И, наконец, на правой опоре, при хс = d имеем = 0 :	Ус = Уо>
	С9 ch kd + С1й sh kd 4- Cud 4- C12 4”	= ’	(4.67)
	Cg ch kd Clo sh kd -|-	= 0 .	(4.68)
	Все неизвестные выражаем через C5; C6; С? и С& Из уравнений (4.57) — (4.60) получим	
Cj	— £5 ~Ь j-jffi , С2 — С6, Cs — С7, С4 — с8 Hk2. Из уравнений (4.61) — (4.64) будем иметь	(4.69)
	С — С 1	• Ь11 Ь7Т // >	(4.70)
	г —_	с _ Р 12	2Н	Hk2	(4.71)
	= C^+^ch kb ;	(4.72)
	С1о = С6	sh kb.	(4.73)
H*
163
Подставляя полученные значения постоянных С] ' С4 и
С$',~ С|2 в формулы (4.65) — (4.68), получим
С. ch ka + -pU ch ka — С6 sh ka — С-a	C8---+
П К	П
+ ^~Уо = °^	(4-74)
С5 ch	ch — С6 sh +-^5 == 0 ;	(4.75)
С5 ch kd + ch kb ch kd + C6 sh kd------------------------sh kb sh kd +
3	nfi2	rift2
i r /7 । /У i r _n.
+ c7d , н а 2Н ‘ Сй /жг2Н У° °’
C5 ch kd + -~5 ch kb ch kd -f- C6 sh kd —
---sh kb sh kd +	= 0 .
ПК2	ПК-
Решая совместно эти уравнения, получим
С С5 । Р ।	?
6 ~ th ka 1 Hk2 th ka Hk2 sh ka ’
pchkb	p / . ,	1\	q I 1	1)
r - Hk2 th kd + Hk2 V Rb th ka /	Hk2 \sh ka sh kd )
th ka — th kd
(4.77)
(4.78)
(4.80)
C8 —C,a+ ?k2 2Н^Уй^ Hk2'	(4-81)
Выражать все неизвестные в буквенном виде через задан-
ные величины не следует. Получаются слишком громоздкие
выражения. При полном решении задачи надо определять все
двенадцатыпроизвольных постоянных. Определение их из фор-
мул (4.69) — (4.73) и (4.78) — (4.81) не представляет труд-
ностей, если находить их в такой последовательности: С5; С6;
С7; Се и дальше в любом порядке.
Полученный вывод громоздок, но достоинство его в том,
что он довольно универсален, ибо дополнительная нагрузка
может располагаться на любом участке по длине пролета.*
* Для решения можно применить способ начальных параметров, по-
добно тому, как это делается для сжато-изогнутого стержня [17]. Тогда
приходится решать четыре уравнения с четырьмя неизвестными. Однако
формулы получаются громоздкими и неуниверсальными. Для каждого вида
нагрузки и для каждого участка нити требуется своя особая формула.
164
Если, например, принять, что а = d—b — будем иметь
симметричное расположение нагрузки р. Если принять
а = b = d =~2~, получим запружениенагрузкой р полупролета.
Рассмотрим последний случай более подробно.
Уравнения (4.45) — (4.52) остаются в этом случае'Справед-
ливыми. Уравнения (4.53) — (4.56) отпадают, так как исче-
зает третий (правый) участок.
Произвольные постоянные С5 4- С» будут равны (4. 78) —
(4.81).
-д/ 1 +—Ц-
v ch*4
277F
2?
eh k
р ch -----1
2Hk^shk -L-
Pl .
8/7’
_	_p_ _ qP
16//^ Hk2 8Hr Hk? 1 У11 •
(4.82)
(4.83)
(4.84)
(4.85)
Формулы (4.69) остаются справедливыми.
Пример 23. Рассмотрим нить пролетом I = 400 м. При начальной
нагрузке q = 0,35 t/jm нить имеет стрелку /о = 20 .и. Дополнительная на-
грузка р = 0,35 т/м располагается на полупролете.
Модуль упругости материала нити
Е = 2 • 107 т/м2, момент инерции / =
= 0,00562 .и4, EI = 112 400 тм2-, площадь се-
чения F — 0,0444 .и2. Определить изгибаю-
щие моменты в середине и в четвертях про-
лета.
Для решения необходимо с той или
иной степенью точности знать заранее натя-
жение нити. Определим его приближенным
способом, подобным тому, какой применял-
Рис. 78.
ся для равномерно распределенной по все-
му пролету нагрузки (§ 24).
Рассмотрим балку, нагруженную заданной нагрузкой (рис. 78). Прогиб
этой балки в середине пролета
5(’ + тН"
384 EI
Изгибающий момент в том же сечении
М,
7е
8
165
Изгибающий момент при изменении величины нагрузки изменяется про-
порционально прогибу. И, следовательно, в середине пролета нити, после ее
подвешивания к опорам, величина изгибающего момента будет
Mi =Mi
уи уБу,
2
Здесь fi—стрелка нити после загружения ее нагрузкой р (как ее
определить — будет показано ниже).
Подставляя в последнюю формулу значения yj_ и М t , получим
2	-тг-Б
2	2
2
Это выражение при данной схеме загружения совершенно идентично
полученному выше выражению для равномерной нагрузки по всему пролету
(4.4). При иных видах нагрузки и выражение изгибающего момента будет
иным.
Величину стрелки после загружения нити дополнительной нагрузкой
можно было бы принять равной начальной величине стрелки f0. Однако
в некоторых случаях (при очень пологих нитях) fi может сильно отли-
чаться от f0. Поэтому попытаемся учесть это изменение. Для этого опреде-
лим приближенно, насколько изменилось натяжение нити при загружении
ее дополнительной нагрузкой
~ /?/2	0,35-4002
16-20 ~
175 т.
Удлинение нити от дополнительного натяжения будет (приближенно)
НР1 175-400
Д£ ~ ~ef~ = 2 -IO’- 0,0444 =0,0789 м.
Выражая (опять-таки приближенно, в соответствии с теорией гибких
нитей) длину нити через ее стрелку как для нити параболического очерта-
ния, получим
л + дл = /. 6+4
\	О 4“ /
Начальная длина нити через стрелку может быть выражена так:
Следовательно,
,,	8	8(Л+/о)Д/
(4.86)
Считая	Л+/о —2/0>	(4.87)
получим	д/==4"дл-7Г-	И-88)
166
Подставляя сюда значения, получим
0,296 м.
Таким образом, величина стрелки ft в первом приближении равна
6 = /о + V = 20 + 0,296 = 20,296 м.
Тогда натяжение в первом приближении будет
( Ч + 4)12
8/i
48 El
5l'2
(4.89)
После подстановки значений, получим
,,	( 0,35 +-г,—) 4002	48-112400
5-4002
8-20,3
= 510,6 т.
Попробуем несколько уточнить проделанные расчеты. От одной началь-
ной нагрузки имеем натяжение
_ q!1	48 EI _ 0,35-4002
8/0	5/2 ~	8-20
48-112400
5У =343'3 т-
От полной нагрузки получилось Hi = 510,6 т. Следовательно, от загру-
жения нити дополнительной нагрузкой р натяжение ее увеличилось на
Нр = 510,6 - 343,3 = 167,3 т.
Выше было принято Нр = 175 т.
Сделаем пересчет. Получим: Д/. = 0,0754 м и Д/ = 0,282 м, что мало
отличается от значений, определенных ранее. Следовательно, повторный
подсчет уточнения практически не дал. Поэтому оставляем результаты,
полученные по первому приближению,
Hi = 510,6 т\ fi = 20,296 м.
Тогда
Hi т/ 510,6	1____L
EI “ г 112 400	14,84 м
Теперь по формулам (4.82) — (4.85) определяем произвольные по-
стоянные, считая в формуле (4.85) у0 = ft = 20,296 м.
- 0,35
С6 =
1
и 200
Ch 14,84
2-510,6
2-0,35
200
— 14,84	= - 0,07527 л;
^=4
Л
«35 (Л -дат -')
6 9	1 V h 200 “°’°7527
2’510,6( 14,84 ) Sh 14,84
167
„	0,35-400 л полос
с’=-тааГ = -°’03428 м'
п 0,35-4002 ,
16-510,6 +510>6
0,35	0.35-4002	0,35
/ 1	\2’	8-510,6	1
К84-	51016 |Д84
+ 20,296 = 0,028 м.
Уравнения оси нити и изгибающих моментов в ней для правого участка
уь = - 0,07527 ch	+ 0,07527 sh -у^- — 0,3428 xb + 0,028 +
0,7 4
510,6-2 ’
(4 90)
Ж, = 112400 [ - 0,07527 cl, + 0,07527 (-[^j’.h -fa +
0,7
510,6
(4-91)
Чтобы убедиться в правильности проведенного расчета, определим
в каком-нибудь (произвольном сечении изгибающий момент и ординату
нити. Имея эти величины, сможем определить натяжение. Если оно ока-
жется близким к той величине, которой мы задались, это будет показывать,
что расчеты сделаны правильно. Возьмем сечение в загруженной четверти
пролета.
По формулам (4.90) и (4.91) для этого сечения (х = 100 м) получим
Ух-100 = 3,458 м\
= 154,0 тм.
Так как стрелка fj = 20,296 м, то расстояние рассматриваемого сечения
от уровня опор равно
А — Ух-юо = 20,296 — 3»458 = 16>838 м-
Балочный момент в этом сечении (рис. 78)
.. Г ql pl 3 I / I	\	q + р / I \2	„
МБл-=100 = I 2 +	’ Т I (~2---Х) “	2~Г2-------Х ) = 8750
Тогда натяжение ннтн равно
„	^Бх-ЮО-jWHx = 100
П - -----у----------
71 — 7x=ioo
8750— 154
16,838	=510-6 т
Эта величина не отличается от заданной выше по первому приближе-
нию (Н — 510,6 г).
Закончим решение задачи, .определив изгибающие моменты в середине
пролета и в левой (незагруженной) четверти. Для определения момента
в середине пролета можно воспользоваться формулой (4.91), приняв в ией
хь — 0. Получим
^Их=0” 115,6 тм.
168
Для определения момента в левой четверти надо прежде всего опреде-
лить произвольные постоянные G и С2 (формула 4.69)
О Ч1!
Ci = —0,07527 +----—-у- = 0,07527 м;
51О-6(14М)
С2 = 0,07527 м.
Тогда изгибающий момент в левой половине пролета выразится фор-
мулой (ха— в метрах):
/	1	\ 2 Y
Мха= 112 400 0,07527	ch~i§r +
(1	\ 2 у	л Q5 ‘
ж) shW + W;
Для определения .момента в левой четверти пролета, подставим сюда
ха = — 100 м.
Получим
4r<x=-100 = 77-° тм-
Таким образом, задача решена. Однако полученное решение может ока-
заться неточным.
Дело в том, что все сделанные подсчеты основаны на предположении,
что величина стрелки после загружения дополнительной нагрузкой равна
fi = 20,296 м. Имея эту величину, мы определили натяжение Н, вели-
чину k и все произвольные постоянные. Если предположить, что величина
fi была задана неправильно, надо будет признать, что неправильно и все
остальное решение. В то же время величину ft мы определили приближен-
ными способами и, следовательно, нет никакой уверенности, что она задана
с достаточной степенью точности. Возможно, что в полученное значение
надо внести какие-то поправки. Методика внесения таких поправок дана
в следующем параграфе. Там же дано уточнение (или, правильнее сказать,
продолжение) только что рассмотренного решения примера 23 (см. при-
мер 24).
§ 30. ВТОРОЙ ЭТАП РАСЧЕТА
При расчете гибких нитей, для определения величины на-
тяжения, пришлось прибегнуть к сравнению длин нити до и
после загружения. Этот же прием приходится использовать и
в данном случае.

<4-92)
Эта же самая формула и совершенно таким же способом
была получена для гибких нитей, но там	где QB —
балочная поперечная сила, здесь же величина у' должна опре-
деляться по формулам (4.46), (4.50) и (4.54).
169
Эти формулы имеют по четыре слагаемых.. Возведение
в квадрат и последующее интегрирование может оказаться
очень громоздким. Поэтому целесообразно (прибегнуть к при-
ближенным решениям. Подобное решение может быть осуще-
ствлено следующим порядком. Предположим, что нам извест-
на функция
y' = t (*) •
Определим величины у'
для сечений, расположенных
на постоянном расстоянии d
друг от друга. Эти величины
обозначим Y' (рис. 79). За-
тем, пользуясь формулой
Верещагина, умножим эпю-
ру У' саму на себя. Считая
каждую часть эпюры трапецией, получим
р 2	/У / /2 г г	Л , t	,2
£/	=	+ Yo. Г1 + 2У; +у;.Г2 + 2Г2 +....+
+ 2 /2 . + Y’ , • Y’ + Y'2} .	(4.93)
1 п —1 1 п —к п 1 п I	X /
Несколько более точные результаты в данном случае мо-
жет дать (при четном количестве участков) формула Симп-
сона
•	2	d / ,1	Л	,2	,2
/ Л =	+4 Г, +2 К, +4 Г, + ...+
+ 4Г'Д«+2<! + 4Г;!_1+к;2).	(4.94)
Теперь может быть проведен второй этап расчета. Для
этого надо получить уравнения у0 = фо (х); у' — фо (х) для на-
чальной нагрузки при начальном заданном значении стрелки
нити f0 и натяжении Но. Затем по уравнению уо' = фо (*) найти
величины У; для сечений, расположенных на расстояниях d
друг от друга. Теперь по формулам (4.93) или (4.94) опреде-
лить интеграл . Полная длина нити при начальной на-
грузке равна
1о = г + 4£Уо2^-	(4.95)
Для полной нагрузки мы задались стрелкой fa определили,
исходя из этой величины, натяжение //] и получили величину
170
Уi = q>i (*) Определяем-и для этого случая по формулам
(4.93) или (4.94) величину интеграла ^y'^dx . Тогда
Lt =1+ У1ах •	(4-96)
Предположим, что стрелкой fi мы задались неудачно и дей-
ствительная стрелка равна f2.
Тогда
£2 = Z + ~Jzy2 dx .	(4.97)
Так как приближенные решения обычно дают возможность
задаться в первом ^приближении значением стрелки fi, до-
вольно близким к точному (/2), то можно считать, что кривые
изгиба по первому приближению и окончательная будут иметь
идентичные очертания, отличающиеся только величиной орди-
нат (или стрелок). Тогда можно принять
§ у'2 dx =	у'2dx ,	(4.98)
где т — некоторый постоянный, пока не известный коэффи-
циент.
Тогда
1 р ,2
Z.2 = J yxdx .	(4.99)
Теперь напишем уравнение, связывающее начальную (Lo)
и конечную (Л2) длины нитей
L2 = L0 + AL.	(4.100)
При этом, имея в виду, что в работе рассматриваются нити
с малыми стрелками, можно с достаточной степенью точности
считать, что упругое удлинение нити ДА равно
ДА =	.	(4.101)
Тогда, подставляя нужные величины в уравнение (4. 100), по-
лучим
Z + -у от J У] dx — 1-\- J у0 dx	. (4.102)
Отсюда и из формулы (4.98) можем найти величину т
С о	1
I V rfx + 2 EF
т =  -----s—у,----------
\ty'22dx
т = { ,3	.
dx
(4.103)
(4.104)
171
Рассмотрим еще раз интеграл jzy'2rfx. Если мы имеем нить
заданного очертания со стрелкой fi и увеличим или уменьшим
стрелку в несколько раз, то все производные у' увеличатся
или уменьшатся в том же отношении. Следовательно, инте-
грал ^y'2dx пропорционален квадрату стрелки и мы можем
написать

dx = Af\
(4.105)
где А — некоторый постоянный коэффициент.,
Выше мы предполагали, что нити с ординатами у\ и у2 от-
личаются единственным параметром: стрелками f\ и При
таком условии можно написать
/2	2
у2 dx = Af2.	(4.106)
i
Подставляя значения интегралов в формулу (4. 104), полу-
чим
т =
(4.107)
а подстановка этого значения т в уравнение (4. 103) дает
(4.108)
Используя полученную формулу, мы можем теперь уточ-
нить результаты сделанных раньше расчетов.
По первому этапу мы задались стрелкой fi и получили на-
тяжение Hi и Bice необходимые параметры уравнений нити на
разных ее участках, а следовательно, и уравнения изменения
производной у' по длине нити.
Второй этап должен заключаться в определении величин
tf для ряда равноотстоящих сечений нити. Затем по формуле
(4.93) или (4.94) определяем интеграл )гу'Мх. Аналогично
для начальной нагрузки находим натяжение Но и интеграл
$iy'2dx. Затем, пользуясь формулой (4.108), узнаем стрелку
по второму приближению.
Если эта величина не отличается от fi или мало от него
отличается, задача может считаться решенной. Если же между
/г и fi окажется значительная разница, надо повторить все
решение в третьем приближении.
172
Пример 24. Рассматриваемый пример служит продолжением при-
мера 23. В этом примере было задано I = 400 м; [о = 20 м; q = 0,35 т/л<;
р = 0,35 т/л< (на полупролете); £ = 2-107 т/л2; £/= 112400 г  м2;
F = 0,0444 м2.
По первому приближению было принято ft = 20,296 ~ 20,3 м
Hi = 510,6 т, k = 14 Задание этих величин дало возможность опре-
делить произвольные постоянные, которые оказались равны.
С, = 0,07527 м; С2 = 0,07525 м; С3 = — 0,03488; С, = — 0,123 л<;
С5 = — 0,07527 ж; С6 = 0,07527 м; С7 = — 0,03428; С8 = 0,028 м.
Подставляя эти величины в уравнения (4. 46) для первого участка и
(4.50) для второго (третий участок отсутствует), получим
У а = 0,005075 (sh	+ ch - 0,03428 + 0,0006855 ха;
у'ь = - 0,005075 (sh - ch-A-) - 0,03428 + 0,0013710 хь.
В эти уравнения величины ха или хь должны быть подставлены в мет-
рах.
В табл. 13 произведены подсчеты величин у' по формулам (4.109)
(столбцы 1—9). В столбцах 4 и 5 три первые и три последние строчки ие
заполнены. Дело в том, что при аргументах, стоящих в этих строчках,
величины гиперболического синуса и косинуса практически не отличаются
друг от друга, а-по формулам (4. 109) надо взять арифметическую разность
этих величин (стоящих в скобках). Поэтому в столбце 6, где как раз и впи-
саны эти арифметические разности, просто записаны значения, равные нулю.
В этом столбце
А “ Sh 7434' + Ch 14,84 ’
В двух последних столбцах таблицы записаны значения Y'i и К',-
необходимые для применения формулы (4.93). Определенная по этой
формуле величина Jz > dx, при d = 40 м, оказалась равной
J y'3 rfx = 5,785 м.
I
Пользуясь данными табл. 13, нетрудно произвести подсчеты и по фор-
муле (4.94). Результаты в пределах точности вычислений ме отличаются от
полученного по формуле (4.93).
Теперь, для того, чтобы воспользоваться формулой (4. 108), необходимо
найти еще J/y'o dx для начальной нагрузки. Для этого надо прежде всего
найти уравнение нити. Такое решение дано в § 26, где приведен и соответ-
ствующий пример. Поэтому здесь не дается решение этой задачи. Приво-
дятся лишь некоторые промежуточные цифры.
Н = 343,3 /и; k =	Ci = — С4 = — 0,000001516 м.
Уравнение производной (начало координат в середине)
у’о = — 0,0000000839зЛйх + 0,001020 х.
173
Участок	Ха ИЛИ хъ, м	ха 14,84 или хъ	ch -*а  14,84 или х» h 14,84	sh Ха  sn 14,84 или sh^- 14.84	А или В
		14,84			
	—200	—13,48					t 0
	—160	—10,78	—	—	0
	—120	—8,18	—	—	0
а	— 80	-5,392	100,6629	—100,6579	0,0050
	— 40	—2,696	7,4452	-/,3775	0,0677
	0	0	1,0000	0	1,0000
	40	2,696	7,4452	7,3775	—0,0677
	80	5,392	100,6629	100,6579	—0,0050
b	120	8,18	—	—	0
	160	10,78	—	—	0
	200	13,48	—	—	0
Таблица 13
0,0006855 ха	0,005075 А		У;'2	
ИЛИ	ИЛИ	Yi		Y'i Ъ+1
0,0013710 хь	—0,005075 В			
-0,1371	0	-0,1714	0,02940	0,04467
—0,1097	0	—0,1440	0,02070	0,01682
-0,0826	0	—0,1168	0,01366	0,01041
—0,05484	0,00003	-0,08909	0,00793	0,00546
—0,02742	0,00034	—0,06136	0,00376	0,00179 —0,00054
0	0,00508	—0,02920	0,00085	
				
0,05482 0,1097	—0,00034 —0,00003	0,02020 0,0751	0,00041 0,00564	0,00152 0,00977
0,1645	0	0,1302	0,01694	
				0,02408
0,2194	0	0,1851	0,03427	
				0,04438
0,2742	0	0,2399 ’	0,0576	
В этом уравнении первое слагаемое даже при х = 200 м составляет
только 2,5% от второго. Поэтому им можно совершенно пренебречь.
Получим
у о = 0,001020 х.	(4.110)
Получается, что производная меняется по линейному закону, а это по-
казывает, что кривая изгиба практически представляет собой квадратную
параболу, т. е. кривая провеса рассматриваемой жесткой нити практически
не отличается от провеса гибкой нити.
В табл. 14 даны подсчеты величин у; у/ и Yi Ki+1 . Подсчеты,
в силу симметрии, даны для одной половины нити.
Таблица 14
ь .И			
0 40	0 0,0408	0 0,0017	0 о.оозз 0,0100 0,0200 0,0334
80	0,0817	0,0067	
120	0,1223	0,0150	
160	0,1634	0,0267	
200	0,2040	0,0417	
Величина, стоящая в скобках формулы (4.93), получилась 0,4168. Сле-
довательно, имея в виду, что d = 40 м, получим
<»	2	40
у' dx = 0,4168	= 5,56 м.
Jo	(5
По формуле (4. 94) получилось
[г y'orfx = 5,57 м.
Здесь следует обратить внимание на следующее обстоятельство. При
параболическом очертании нити величина интеграла $[У[ dx равняется,
как известно,
р	16 /2	202
у'2 dx =	= 5,333	= 5,333 м.
J J	3 I	400
В нашем случае получилось _|Zy' dx = 5,57 м. Это объясняется неточ-
ностью вычислений и приближенностью интегрирования по формулам
(4.93) и (4.94), а также тем, что, как показано было выше, нить, строго
говоря, не изгибается по параболе. *
Теперь подставляем все необходимые значения в формулу (4.108):
ft = 20,3
(510,6 — 343,3) 1и0
5,57 +2	2-107.0,0444
5/785
= 20,18 м.
Полученная стрелка мало отличается от заданной (/о = 20,3 ж). Поэтому
ее можно считать окончательной. Остается повторить подсчеты. Их тоже
175
следует считать окончательными. Повторный расчет осуществляется так же,
как в примере (23),
(? + ~2~ ) Л 48£у
Hi--------8/7	-513,5
V EI V 219,0	14,8 м ’
<
Ci — — 0,07505 jk; Сб = 0,07505 ж; С7 = — 0,0342;
С} = 0,07505 м; С2 = 0,07505 м.
Тогда для правого (загруженного) участка
= и2 400 [- °-07505 (W Г ch <8 + °-07505 (-щг У sh тй
0,70 I
' 513,5
(4.111)
Для левого
Л4а = 112 400
0,07505 (пУг)2 ch w г 0,07505 (тй Уsh
0,35
+ 513,5 ’
14,8
(4.112)
Изгибающий момент в середине
написанных уравнений. Это может в
пролета можно определить из обоих
какой-то степени служить проверкой
правильности вычислений. Из
уравнения (4. 111) получим при

Рис. 80.
зуясь уравнением (4.112), будем иметь М
По
первому этапу расчета получалось
Mx=ioo= 154,0 тм; Мх
хь = 0; Мх_0 = 114,7 тм.
Из уравнения (4.112) Л4Л = 0=
= 115,0 т. м.
Соответствие почти точное, а
разница с подсчетом по первому
этапу также невелика. Там было
получено Мх q = 115,6 тм, т. е.
t разница 0,6%.
Изгибающий момент в загру-
женной четверти пролета получим,
если в уравнение (4.111) подста-
вим xt, = 100 м.
Получим Мх юг) ~ 193,2 тм.
А в незагруженной четверти, поль-
, —100 ~ 7^,1 ™-
100 = 77,0 тм.
Различия результатов первого и второго этапа оказались в обоих слу-
чаях около 0,5%. Основываясь на этих результатах, можно подумать, что
подсчеты второго этапа не нужны. Результаты первоначальных подсчетов
оказались достаточно точными. Это, однако, бывает не всегда. В данном
случае нам удалось приближенными первоначальными подсчетами довольно
точно определить стрелку нити после ее загружения дополнительной
176
нагрузкой. Определяли мы ее принимая во внимание лишь упругие дефор-
мации нити и не учитывая изменения ее геометрической формы и величины
стрелки. А как раз при загружении полупролета стрелка из-за изменения
формы меняется слабо (рис. 80, а). Поэтому пренебрежение этой величи-
ной дало относительно небольшие ошибки.
Совершенно иначе будет обстоять дело, если нить будет нагружена
большой сосредоточенной дополнительной силой, например, в середине
пролета или расположенной на небольшом участке в средней части про-
лета сплошной нагрузкой большой интенсивности (рис. 80, Ь). В таких слу-
чаях приходится действовать почти наудачу.
§ 31. ДЕЙСТВИЕ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СИЛЫ
Рассмотрим нить, нагруженную начальной равномерно
распределенной по всему пролету нагрузкой q. Дополнитель-
ной нагрузкой является -сосредоточенная сила Р.
В качестве уравнений для левого
и для правого участков могут быть
приняты уравнения (4.45) — (4.52).
В этих уравнениях восемь произ-
вольных постоянных.
Если система ' несимметрична
(рис. 81,а), условия для определе-
ния произвольных постоянных будут
такие: по два условия на каждой
опоре у = уо и М = О, п четыре усло-
вия в месте сопряжения у\ = 0; у2 =
= 0; у/ = у2'; М, = М2.
Если сила приложена в середине
пролета, можно рассматривать, в си-
лу симметрии, одну половину про-
лета. Например, правую. Для опре-
деления произвольных постоянных
имеем условия (рис. 81,6) при х = 0; у = 0; у' = 0; при
* = -^;у = Л М = о.
Этим условиям соответствуют уравнения
Решение этих уравнений дает
ч1 1 qi2 _f______________________?
i^kshk-L^8^ 1
Cr =-------Д -kl-----------;	(4.113)
2 th k -L
c2 =----------------.	(4.114)
th k H & sh k-L
Cs = -C2k-	(4.115)
C4=-C!.	(4.116)
Для решения этих уравнений надо, как видно, задаться дву-
мя, связанными друг с другом величинами: Д и Hi. Это самая
трудная часть задачи. Наиболее быстрое, но все же довольно
громоздкое решение, найденное автором, состоит в 'использо-
вании формулы (4.108). Для этого надо задаться стрелкой Д;
найти при помощи приближенных решений натяжение Hf, со-
ставить уравнения деформаций; найти интеграл fty'‘dx и вос-
пользоваться формулой (4.108). Сле-
довательно, основная задача заклю-
чается в том, чтобы удачно задаться
стрелкой fi. Однако результат мало за-
висит от того, какой величиной за-
даться. Для того, чтобы в этом убе-
диться, автор подробно изучил реше-
ние рассмотренной ниже задачи (при-
мер 25). В этой задаче начальная
стрелка задана fo = 4 м. Для решения
автор задавался для нити, загруженной
дополнительной нагрузкой, стрелками
fi = 4,67 м; 4,25 м и 4,00 м
и получил по формуле (4.108) соответствующие значения стре-
лок по второму приближению:
/2 = 4,20 м; 4,34 м и 4,32 м.
Эти цифры использованы для нахождения окончательного
решения. Для этого построен довольно наглядный график,
удобный при применении способа попыток, который здесь ис-
пользован. График показан на рис. 82. Здесь по горизонтали
отложены задаваемые стрелки fi, а по вертикали — получае-
мые fz. Отдельные точки соединены друг с другом кривой АВ.
178
Очевидно, если задана стрелка как раз нужной величины, то
и f2 получится точно такой же. Соответствующая точка должна
находиться на прямой CD. Но, с другой стороны, юна должна
находиться и на кривой АВ. Следовательно, точка пересечения
этих двух линий дает искомое решение.
В точке пересечения fi = f2 = 4,32 м. Автор в конечном
итоге поставленной задачи задался величиной 4,32 м и полу-
чил близкое к ней значение 4,30 м.
По-видимому, если вести вычисления с помощью логариф-
мической линейки длиной 50 см, более близкое совпадение
результатов получить вообще затруднительно.
Пример 25. Для того чтобы показать технику предлагаемых реше-
ний, нет, конечно, необходимости показывать нахождение всех четырех
точек кривой рис. 82. Достаточно показать нахождение одной нз них.
Пример такой. Пролет нити I = 200 м; начальная стрелка fo = 4 м.
Начальная нагрузка сплошная, равномерно распределенная по всему про-
лету q = 0,15 т/м. Дополнительная нагрузка — в виде сосредоточенной
вертикальной силы Р = 8 т, приложенной в середине пролета. Жесткость
нити на изгиб EI = 112 400 тм2. Жесткость ее на растяжение
EF = 888 000 т.
Требуется найтн стрелку нити после ее загружения и изгибающий мо-
мент под грузом.
Для решения надо воспользоваться прежде всего некоторыми уже
известными приближенными решениями для определения натяжения нити.
Для начальной нагрузки, как уже говорилось, хорошие результаты дает
формула (4.6).
Попытаемся воспользоваться аналогичным выводом для рассматривае-
мого случая.
Если бы рассматриваемый -стержень -был балкой на двух опорах, изги-
бающий момент в середине пролета был бы
Pl , 4/2
Л<Б=—+ V’
этому моменту соответствует прогиб середины пролета
Р13	5 qP
У ~ 48 EI + 384 EI :
Предполагается, что изгибающий момент Ми в нити при стрелке fi
может быть найден нз пропорции
Л4И _ А
Л4б у
Отсюда, после подстановок и преобразований, получим
, _ 48£Z/t	1+ ql
и 5 /2	’
Тогда натяжение нити равно
ql2
Л4Б — Ми -8_+_4~	48 EI
/1	" Л	5/2
2Р
' ~Ч1~
8 Р ’
5 ql
(4Л17)
12*
179
Задаемся стрелкой fi = 4,32 м. Тогда
0,15-202 , 8-200
8	+	4	48-112 400
=	432	5-2002
1 + 0,15-200
1 + А . _ §
5	0,15-200
237 т.
Следует заметить, что формула (4. 117) не всегда дает столь же удач-
ные результаты, как формула (4.6) для начальной нагрузку. Поэтому полу-
ченный результат надо будет немного ниже уточнить. Это удастся, если мы
уточним значение изгибающего момента в середине пролета, входящего
в формулу (4.117). Для этого частично проведем окончательное решение.
т Гн7	1 I	г 100
k = V ~ЁГ = V 112400 = ~2ЦГ ’ ~м ’ Sh k ~Т ~ S 21J = 49’264’
Произвольная постоянная Сь по формуле (4. 113), равна
0,15-200-21,8 , 0,15-2002	л qo	0,15-21,82
2-237-49,264 + 8-237	4/2	237	„ опи
-------------------------2qq----------------------= 0,398 м
1 ~ 2-21,8
Теперь по формуле для изгибающего момента
Мн — ElCik? ch kx + EIC2k? s\\kx + EI-B- .
При x = 0 получим
Л1ий = Д7С^2 4- -L-EI.
li
ТЛ	El
Имея в виду, что —
Н
эту формулу напишем так:
^ио — HCi —X-.
(4.118)
Подставляя значения, получим уточненное значение момента
Л4И0 = 237-0,398 + 0,15-21,82 = 165,5 тм.
Тогда натяжение
Hi
0,15-2002 , 8-200
8	+ 4	165,5 ООЙ
4,32	— 4,32 ~ 228 тМ'
Для дальнейших подсчетов принимаем с округлением
Hi = 230 т.
Тогда
22,32 м
По формулам (4.113) — (4. 116), находим
Ci = 0,3880 м; С2 = —0,3954 м; С3 = 0,01771, С4 = — 0,3880 м.
180
Теперь постараемся найти величину интеграла
\iy'\dx-
Для этого надо найти выражение для Оно выглядит так:
у' = k€\ sh kx + kCrthkx + СзН—.
1
Подставляя сюда известные уже значения, будем иметь
у' = 0,01738 sh -------0,01771 ch + 0,01771 + 0,0006525 х.
1	Z2tu2	22, о2

Интеграл
у dx находим численно, подобно тому как это делалось
в примере 2.4 (таблица вычислений не приводится).
y'~dx = 0,4430 м.
Теперь, для того чтобы закончить решение, надо найти такой где инте-
грал для начальной нагрузки.
В этом случае по формуле (4. 6) получим
<?/2	48£/	0,15-2002	48-112400
°	8/0	5Z2
5-2002	= 16015 т’
8-4
160,5 _	1	1
112400 - 26,46 м 
По формулам (4.31) — (4.33) определяем
С[ = — 0,03195 м; С2 = 0; С3 = 0; С4 = 0,03195 м.
Тогда уравнение производной получит внд
у' = — 0,001208 sh + 0,0009350 х.
Подсчеты искомого интеграла дают
jz у'’ dx = 0,4082 м.
Теперь по формуйте (4. 108) можем получить стрелку нити по второму
приближению
(230 —160,5) 200
888000
/з = 4-32
0,4082 + 2
0,4430
4,30 м.
Считая совпадение величин заданной и полученной стрелок удовлетво-
рительным, определим окончательную величину изгибающего момента
в середине пролета по формуле (4. 118)
Мх=о =230 • 0,3880 + 0,15 • 22,322 = 164 тм.
Эта величина мало отличается от полученной выше (165,5 тм.).
Не касаясь здесь вопроса об определении напряжений, о г
одновременного действия 1натяжения и изгиба, необходимо за-
метить, что сосредоточенная сила может вызвать весьма зна-
чительные напряжения изгиба даже и в очень гибких нитях.
181
Все показанные выше выводы сохраняют свою силу и в
этом случае. Разница только в том, что величина натяжения
и стрелка после приложения сосредоточенной силы могут быть
определены гораздо проще, в соответствии с теорией гибких
нитей.
Пример 26. Нить из стального провода диаметром d = 1 см имеет
пролет I = 50 м и стрелку f0 = 2 м. Начальная нагрузка представляет со-
бой вес провода q = 0,8 кг)м. Затем добавляется груз Р = 50 кг в середине
пролета. Определить напряжения в сечении нити под грузом. Модуль упру-
гости материала Е = 2- 106 кг/см2.
Для решения воспользуемся формулой (2. 40) из теории расчета гибких
нитей. Эта формула позволяет определить натяжение Hi, после загруже-
ния нагрузкой Р (см. также 2.26).
3	/	8 EFf\ \	EF / „о /2 qpi р2 \
3/2 )	2~ \	+	+ "4“^ ' (4Л19)
Здесь
ql2 0,8-503	10,
Н° 8/о “	8-2	“125 Кг"
Площадь сечения F =	= 0,785 см2. После подстановки известных
значений в формулу (4. 119), получим
„з , / 8-2-Юв-0,785-23	\ ,	2-106-0,785 / 0.82-502
+ (-------W---------- - 125 )	------2-----(—12“ +
0,8-50-50	50= \
+	4	+~4j~u-
Или
Решение дает
Я’ + 6565 rf — 986 000 000 = 0.
Hi = 377 кг.
Тогда стрелка
ql2
8 Г 4
после загружения силой Р
Р1
50-50
8	1	4
377
0,8-502
= 2,32 м.
Момент инерции нити
4
~-0 54
=0,0491 см*.
4
Жесткость нити
EI = 2-10в - 0,0491 = 98 200 кгсм2\
ь _ т/л! -,/"~377~ = _J_______________L =_______!_______L
k у EI ~ У 98 200	16,14 см 0,1614 м
182
По формуле (4.113) находим
0,8-50-0,1614	0,8-502	0,8-0,16142
о .	25	+ 8-377	2,32	377
,	2'377sh(M6T4
= 0,0107 м.
1___________®_________
9^
2'°'1614th ДЖ
По формуле (4.1118) находим изгибающий момент под грузом
Л40 = НС, +	= 377-1,07 + 0,8  0,16142 = 4,02 кгсм.
К~
Площадь сечения нити F = 0,785 см2, Момент сопротивления
Следовательно, напряжение, под грузом
°=^+->-=-^+4^= 480 +4020= 4500 кг1смк
Напряжения, несмотря на большую гибкость нити, оказались весьма
значительными.
§ 32. ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
В случае изменения температуры нить изменяет свою длину
на величину
Mt = Ut.
С изменением длины нити изменяется и ее стрелка. Для
нахождения очертания нити и внутренних усилий, возникаю-
щих в ее сечениях, необходимо определить ее новую стрелку.
Эта задача может быть решена при посредстве формулы
(4.108). Только вместо AZ =	1 надо в нее подставить
величину изменения длины нити под действием изменения тем-
пературы. Однако это изменение не будет равно \lt, так как
под влиянием изменения температуры изменяется, стрелка,
а следовательно, меняется и натяжение.
Предположим, что начальное натяжение нити равно Но-
В результате повышения температуры на величину t натяже-
ние уменьшилось и стало равным Н\. Следовательно, удлине-
ние нити равно
Выше мы видели, что при пользовании формулой (4.108)
даже при изменившейся нагрузке можно довольно свободно
задаваться стрелкой fx. Если же задать
Л=/о,
183
то, так как нагрузка не изменилась, то и
/2	р /2
У] dx = у0 dx.
i	J i
Подставляя все эти значения в формулу (4.108) и заменяя
в ней f2 на /г, /1 на /о, получим
Л=/о
у'о3 dx + H
(4.120)
В случае понижения температуры формула остается спра-
ведливой, но величину t надо ставить с отрицательным зна-
ком.
Формуле (4. 108) можно придать и иной вид, если в ней
ограничиться только указанной выше заменой второго слагае-
мого числителя.
Jz 0____________________EF
P /2
1 dx
Jt
(4.121)
Здесь, как и выше, fi и f2 — величины стрелок по первому
и по второму приближению. Интеграл J;yj2 dx получен для
кривой первого приближения.
Решение задачи так же, как и все предыдущие, требует по-
следовательных приближений. Как это удобнее всего делать,
посмотрим на примере.
Пример 27. Примем данные примера 25, для которого вычислена
необходимая величина интеграла
)г y'*dx = 0,4082 м.
Данные этого примера таковы : I = 200 м; fo = 4 м; q = 0,15 т/л;
EI = 112 400 тм2; EF = 888 000 т. Изменение температуры t = 80°.
Требуется найти стрелку нити и ее натяжение. Ход решения примем
такой:
Будем задаваться различными стрелками f (без индексов). Имея эту
величину по формуле (4.6)
ql2 48 EI
8f 5/2 ’
будем определять натяжение. Имея натяжение по формуле (4.120), будем
находить величины ft. После этого сможем построить график, подобный по-
казанному на рис. 82, а имея этот график, сможем найти более точное зна-
чение fi. Результаты подсчетов, которые, кстати сказать, осуществляются
довольно быстро, сведены в табл. 15. По данным этой таблицы (кроме пос-
184
Следует заметить, что в рассматриваемом частном случае
возможно применение соответствующей формулы теории гиб-
ких нитей. При применении такой формулы получается
/1 = 2,025 м, т. е. разница 4%. Тем не менее, лучше пользо-
ваться рассмотренным здесь приемам. Дело в том, что чем
положе нить (меньше отношение “-), тем меньшей получается
разница между работой гибкой и жесткой нити. В рассматри-
f 1	ЛЛ
ваемом случае — =	— нить довольно пологая. Можно ожи-
f 1	*
дать, что при отношении, например, -у = теория гибких
нитей даст значительно большую ошибку.
Если начальная нагрузка не является равномерно распре-
деленной по всему пролету, ошибки могут оказаться еще бо-
лее значительными. Предложенный же здесь способ дает воз-
можность решить задачу при ряде рассмотренных выше на-
грузок. Разница будет только в определении интеграла ^y^dx.
При желании уточнить полученное решение можно продол-
жить его дальше.
Не давая здесь соответствующего примера, наметим только
ход решения.
После того как определена стрелка в первом прибли-
жении, составим обычным образом (§ 26) уравнения изгиба
(4.34, 4.35, 4.36). По уравнению (4.35) подсчитаем численно,
как это делалось раньше в § 30 и 31, интеграл yi dx . Имея
этот интеграл, можно будет воспользоваться формулой (4.121)
для определения стрелки во втором приближении.
185
Попутно следует по формуле (4.36) найти изгибающий мо-
мент в середине пролета Мо и 'проверить полученную вели-
чину натяжения по формуле
Если окажется, что формула (4. 6) дала недостаточно точ-
ные результаты, надо ввести соответствующую поправку.
Практика подсчетов показывает, что рассмотренный здесь
прием дает хорошие результаты, не требующие, как правило,
их уточнения.
$ 33. ОПОРЫ НА РАЗНЫХ УРОВНЯХ
Рассмотрим нить с опорами, расположенными на разных
уровнях, нагруженную сплошной равномерно распределенной
нагрузкой (рис. 84). Правая опора выше левой на величину d.
Стрелка нити (рис. 84, а) равна f0.
Рассмотрение подобных нитей ограничим случаем, когда
стрелка мала по сравнению с пролетом и, кроме того, разница
отметок опор тоже невелика и составляет не более -s-4—77г-
1	о 1U
пролета.
Для решения задачи об очертании нити и возникающих
в ней усилиях надо, как и раньше, знать хотя бы приближенно
величину натяжения. В качестве первого приближения можно
эту величину сосчитать по формуле (4.6), уже неоднократно
использовавшейся для симметричных нитей.
Для окончательного решения воспользуемся формулами
(4.19) — (4.21). Условия для определения произвольных по-
стоянных уравнений (4.19) — (4.21) таковы (см. рис. 84,а):
при х = 0, у = О
Ci + С4 = 0;
при х = 0; М = 0
^+-^7 = 0;
при х = l,y = d
Ci ch kl + C2 sh kl + C3/ + C4 + -	— d;
при x = I, M=0.
Ci ch kl + C2 sh kl +	=0 .
Совместное решение этих уравнений дает
Ci = --^_;	(4.122)
186
c — I 1
2~ HP \thkl
1 '
sh kl
__ (1 ql
°з — “Г — 2ТГ 5
(4.123)
(4.124)
q
Ci Hk2 
(4.125)
Из изложенного видно, что при расчете нити, имеющей
опоры на разных уровнях, каких-либо принципиальных труд-
ностей, помимо встречавшихся раньше, ожидать нельзя, при-
меров на расчет таких нитей не приводим.
Полезно, однако, сделать следующее замечание.
На рис. 84, а показана нить, некоторые точки которой рас-
положены ниже опоры А. Иногда ’может возникнуть необхо-
димость найти положение наиболее низко расположенной
точки. Это можно сделать, вычертив кривую, соответствую-
щую уравнению (4. 19). Способ, правда, довольно примитив-
ный. Можно воспользоваться уравнением первой производной
(4.20). Приравнять производную нулю и из полученного урав-
нения найти абсциссу наиболее низко расположенной точки.
Однако уравнение получится довольно сложной формы, будет
включать в себя ’гиперболические функции. Поэтому нахожде-
ние названной абсциссы придется осуществлять путем попы-
ток, и это отнимет времени не меньше, чем указанный выше
примитивный способ.
На рис. 84, Ь показана нить, race точки которой располо-
жены выше опоры А. В условиях монтажа, когда длинный
стержень за конец В подтягивается к опоре (рис. 85,а), на
участке, расположенном левее точки А, нить лежит на земле.
187
Естественно ожидать, что на некоторой части этого участка
(ДС) реакция со стороны земли, постепенно увеличиваясь, при-
близится к величине q. Тогда, очевидно, на участке АС нить
будет работать в сложных условиях нити на упругом основа-
нии. Для практических расчетов можно считать, что, начиная
с точки А, реакция основания равна q. Тогда нить на участке
АВ находится в условиях, показанных на рис. 85, Ь. Эта же
схема мало отличается от схемы полупролета симметричной
нити, рассмотренной 'в параграфе 26. Следовательно, и все вы-
воды этого параграфа в качестве приближенных могут быть
использованы для решения поставленной задачи.
§ 34. МНОГОПРОЛЕТНАЯ НИТЬ. УРАВНОВЕШИВАНИЕ НАТЯЖЕНИЙ.
НЕРАЗРЕЗНАЯ НИТЬ С РАВНЫМИ ПРОЛЕТАМИ
При проектировании сооружения, в состав которого входит
многопролетмая нить, первый вопрос, который надо решить,—
это вопрос об уравновешивании натяжений.
Представим себе (рис. 86) двухпролетную нить, имеющую
разной величины пролеты и стрелки. Нагрузка тоже различна.
Различны и (моменты инерции сечений.
На средней опоре нити
соединены друг с другом
шарнирно. Натяжения той
и другой нити можно оп-
ределить по формуле
(4.6). Так как эти натя-
жения должны быть рав-
ны друг другу, можем на-
писать
48	у2/'	48£/2
8Д 5Z2 ~ 8/2	5/
1	2
(4.126)
Предполагая, что стрелкой fi мы по тем или иным сообра-
жениям задались, из уравнения (4.126) сможем определить
стрелку f2 нити второго пролета
о/	1
SUfUEK Eh\’ (4.127)
591Г ( l\ l'J
Поскольку исходная формула (4.6) приближенна, получен-
ная формула (4.127) тоже не может считаться точной. При
окончательном решении это обстоятельство следует учесть.
Общий ход решения будет таким же, как и в предыдущих за-
дачах. Надо отдельно получить уравнения для обоих проле-
188
тов. Определить моменты Л1и1 и Ми2 в серединах пролетов,
определить натяжения нити в том и в другом пролете.
Л/и1	ц21г ЛГИ2
1=«7Г^7Г;	=	
Если эти натяжения окажутся не равными друг другу, надо
будет несколько изменить в ту или другую сторону стрелку
/2 и повторить расчет.
Подобные расчеты ничего нового не представляют и здесь
не приводятся.
Предположим теперь, что мы имеем многопролетную нигь
с равными пролетами I и одинаковыми стрелками f, нагружен-
ную на всем ее протяжении
оплошной равномерно распре-
деленной нагрузкой q. -Проме-
жуточные опоры шарнирны и
подвижны, но сама нить над
опорами шарниров не имеет.
Поэтому схема нити одного
пролета может быть представ-
лена так, как это показано на
рис. 87, а. Сечения нити над
опорами не поворачиваются,
так как по условию поставлен-
ной задачи все пролеты одина-
ковы.
Иначе говоря, пролет нити
можно представить так, как это
показано на рис. 87, Ь. Опорные
сечения нити поворачиваться
не могут.
Для решения задачи о рас-
чете такой нити надо прежде
всего более или менее досто-
верно задать величину натяже-
ния нити.
Для решения задачи воспользуемся приемом, уже приме-
нявшимся раньше. Предположим балку с защемленными кон-
цами, имеющую такой же 'пролет, ту же жесткость и ту же
нагрузку, что заданная нить. Опорные моменты такой балки
(рис. 87, с) равны
Тогда изгибающий момент в середине пролета нити
М — g/2	gZ2 S1L
ср 8	12 ~ 24 ’
189
а прогиб середины пролета
5ql* , Л4ОП/2 _ 5qP qP _ qP
У 384 EI 8 EI 384 EI 96 hl 384 EI '
Считая, как и раньше, что момент в середине пролета нити
пропорционален перемещению середины пролета
Л/х = 0 = А1ср~~ ,
получим
.. qP 384 Elf 16 Elf
Мх-0 = -24--	=	•
Аналогично следует считать, что опорный момент будет
„	32 Elf
М- i=---------
Х=2	Z“
Теперь рассмотрим условия равновесия полупролета нити
(рис. 87, d). Напищем условие равенства нулю моментов всех
сил, действующих на полупролет, относительно точки А.
^--М -М t-Hf=Q.
8	лг-0 х=Е J
Или
qP 16 Elf	32 Elf
8	/2	/2	nJ u •
Отсюда
(4.128)
Что касается окончательного решения, то для его прове-
дения формулы (4.19) — (4.21) остаются справедливыми.
Произвольные постоянные при расположении координатных
осей по рис. 87, а удобнее всего определить так:
при х = 0; у — 0
Cj + С4 = 0;
при х = 0; у' = 0
С2 + -§- = 0;
I г л
при х = -у; у = 0
c.kshk-^- + c2kchk 4~ + с* + тн =о;
I г Л
при х =----2*; у' - 0
190
-Clkshk-^+Clkchk-^- + Cs-^J = O.
Из этих уравнений получим
Cl =------q—г ; Ct = C3 = 0 ; C4 =----. (4.129)
2//Ash A-g-	2 //Ash k -g-
Ввиду того, что выражения для произвольных постоянных
получились весьма простыми, нетрудно полностью написать
искомые уравнения
У =--------—Г ch kx +---------г +	; (4.130)
2//Ash А-у-	2//AshA-C-
/ =--------Ч-^—т- sh kx +	;	(4.131)
2//shA-y-	П
М = k2EI
----——-г- ch kx 4
2 A// sh A-i-
<?
km
Так как k1 последнее уравнение «может быть написано
так:
М =--------?L-^chkx + -^- .	(4.132)
2 Ash А—
Рассмотренного типа нити «могут иметь применение в виде
нитей жесткого сечения, но особенно часто они встречаются
в виде гибких нитей — разного рода проводов.
Однако применительно к рассматриваемой системе, такого
рода расчет может иметь существенное значение, так как над
опорами могут возникать большие напряжения изгиба.
В случае гибкой нити_величина EI очень мала. Следова-
тельно, величина k = т/ tL окажется относительно большой.
V EI
Если обратиться к формуле (4.132) увидим, что в знаме-
натель первого слагаемого входит величина sh& ~ . Величина
k~2~ измеряется несколькими единицами и даже десятками.
Поэтому shA ~ очень велик. Если взять сечение в середине
пролета, где х равен нулю, абсолютная величина первого сла-
гаемого будет очень мала. Им можно будет пренебречь. И из-
гибающий момент окажется равным
191
а 'напряжение изгиба
_ Л40 _ Elq
W ~ HW •
(4.133)
Если рассмотреть сечение над опорой, где х , то здесь,
ввиду большого значения аргумента й-^-, получим, что
ch sh к-^- .
Изгибающий момент окажется равным
м —	41 , Я
2 k + А2 ’
2
Второе слагаемое очень мало по сравнению с первым. Поэтому
2k ’
ML
2
а 'напряжение изгиба
qi
2kW 
2
(4.134)
Для того, чтобы 'оценить значения напряжений в середине
пролета и на опоре, рассмотрим небольшой пример.
Пример 28. Имеется стальная нить пролетом I = 50 м; стрелка про-
веса f = 1 интенсивность равномерно распределенной по всему пролету
нагрузки q = 0,8 кг/л; диаметр круглого сечения нити d = 1 см; модуль
упругости материала нити Е = 2 • 106 кг)см2.
Требуется определить наибольшие напряжения в нити в сечениях посе-
редине пролета (х = 0) и на опоре (х = -g-)-
Решение начинаем с определения жесткости нити
тс	7С ♦ 12
Е/ = Е-^—= 2-106—^— = 98 200 кгсл2 = 9,82 кгм\
64
64
Теперь, пользуясь формулой (4.128), найдем приближенное значение
величины натяжения нити
„	0,8-502	48-9,82
---------50“
? 250 кг.
8-1
Величина k равна
k=-\f JL. =	250 = 5,03 —= 0,0503—.
V EI V 9,82 м см
Площадь сечения нити равна
тг * 1 2
F =—j—= 0,785 сл2.
4
192
250-0,092
опоре (4. 134), имея в виду, что
0,008-5000	„
2-0,0503-0,0922	4320 кг!см 
Напряжения от продольной силы в обоих рассматриваемых сечениях
Н 250	о1_	.
°«=7Г-==-Т785-^318кг/<:Жг-
Момент сопротивления сечения инти
тг/УЗ ТС ♦
W =	= 0,0922 см2.
оЛ ох
Напряжение изгиба в середине пролета (4. 133)
98 200-0,008	„.	, ,
°И0 = _------------- ™
Напряжение изгиба на
* = /-^ = 0,0503^
2
Полные напряжения в середине пролета и на опоре
оо — 318 + 34 = 352 кг1см2-,
а I = 318 + 4320 = 4638 кг/см2.
Т
Таким образом, напряжения на опоре получились очень большими
Интересно, что эти напряжения оказываются тем меньше,
чем больше натяжение нити. Например, если стрелка нити
уменьшается в два раза и становится равной f = 50 см, натя-
жение увеличивается в два раза (Н = 500 кг), а напряжение
от изгиба на опоре оказывается равным 2850 кг! см2. Полное
a i = 3485 кг) см2 (против 4638 кг[см2).
т
Следует еще отметить, что высокие напряжения изгиба в
подобного рода гибких нитях очень быстро затухают и уже
на расстоянии нескольких десятков сантиметров от опоры из-
меряются не тысячами, а десятками килограммов на квад-
ратный сантиметр.
Хорошо известно, что чем тоньше стержень, тем легче он
перегибается и тем меньше в нем возникают напряжения при
изгибе. Поэтому может возникнуть предположение, что если
стержень нити заменить п проволоками, имеющими то же сум-
марное сечение, что нить из одиночного стержня, напряжение
изгиба уменьшается. Посмотрим, так ли это.
Для этого формулу (4. 134) представим в таком виде:
а = ?г = Ч1УЁ У~Г
у 2 1/2L1F	2/Я W
13-142
193
Если радиус одиночного стержня обозначить R, то полу-
ченную формулу можно переписать так:
_ g/yTyV _ qlYE
°2~ VH*R ~ V^HR'
(4.135)
Теперь предположим, что стержень радиуса R. заменен п
проволоками радиуса г той же площади сечения. Тогда
тс R2 = п тс г2;
R
Г = —7=	•
Погонная нагрузка на каждую проволоку будет
».=1-
Натяжение каждой проволоки
/71 = ~ .
1 п
Напряжение в отдельной проволоке может быть выражено
формулой (4. 135) так:
. qjV Ь
Подставляя в эту формулу значения q\\ Hi и г, будем иметь
1/ Н R ~ V^HR
У *~гГ Уп
Получено совершенно то же значение напряжения, что для
одиночного стержня (4.135). Такой результат на первый
взгляд кажется странным. Однако замена более жесткого оди-
ночного стержня проволоками малой жесткости сопровож-
дается увеличением кривизны стержня в месте приложения
сосредоточенной силы (на опоре). Поэтому такая замена не
может принести пользы. Уменьшения напряжения можно до-
стигнуть иным путем: в месте приложения сосредоточенной
силы (в частности на опорах) нить желательно уложить в же-
лоб, имеющий относительно небольшую кривизну. Подбирая
радиус желоба на небольшом участке вблизи опоры, можно
получить напряжения изгиба желаемой величины.
194
§ 35. НЕРАЗРЕЗНАЯ НИТЬ С ПРОЛЕТАМИ РАЗНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Рассмотрим в общих чертах прежде всего один из наи-
более общих случаев многопролетной гибкой нити при равно-
мерной нагрузке. Такая нить показана на рис. 88, а
Рис. 88.
Система имеет три участка. Для каждого из них можно
написать уравнения типа (4. 19) — (4.21). Для каждого уча-
стка в этих уравнениях будет по 4 произвольных постоянных.
Полное количество произвольных постоянных, следовательно,
будет 12. Для определения этих двенадцати произвольных по-
стоянных необходимо написать 12 условий закрепления. Эти
условия таковы:
в точке А: у = у А; М = 0;
в точке В: ул = 0; уп = 0; у^ = у/, Мл = 7ИП.
в точке С: уа = ус; уп = ус; Мл = 0; Мп =<0;
в точке D: у = уд\ у' = 0.
Всего 12 условий. Индексы «л» и «п» в этих условиях по-
казывают, о каком сечении идет речь, левее данной точки или
правее.
Таким образом, необходимое количество уравнений для
определения произвольных постоянных может быть написано.
Кроме этого, знание какой-либо ординаты нити в пролете даст
возможность приближенно определить натяжение нити и тем
самым получить возможность к проведению решения и к его
дальнейшему уточнению. Тем не менее, при двенадцати произ-
вольных постоянных решение получится, конечно, очень гро-
моздким.
Рассмотрим во всех подробностях расчет более простой си-
стемы в виде симметричной трехпро.4етной нити (рис. 88, Ь).
13*	195
Для этого начнем с приближенного решения, подобного
тем, что осуществлялись выше. Рассмотрим прежде всего трех-
пролетную неразрезную балку (рис. 88,с).
По теореме трех моментов находим абсолютную величину
балочных опорных моментов на опорах 2 и 3
q(l3 + I3}
УИБ-°п 4(2/i + 3/2)
Тогда прогиб середины среднего пролета балки будет равен
,	5 ql* q( I3 + /3) /’
| У =	- о9Д,‘ , ЛА, 	(4.136)
оо4 Ci о2 (2 Zj о /2)
А изгибающий момент в том же сечении балки
О’/'
АГв.ср = -у-— А1б.оп •	(4.137)
Считаем, как и раньше, что изгибающие моменты в соот-
ветствующих сечениях нити равны
ТИи.ср = ТИв.ср [у] =	' |у[ jyp 5	(4.138)
АТи.оп = ТИб.оп  ту: •	(4.139)
Теперь можем написать, чему будет равно натяжение нити
„ _ 41, _ ^И.ср ^И.оп
“ 8/ f f ’
или (4. 138, 4. 139)
^Б.оп ^Б.оп _
8/	8 |у| + |у|	|у|	8/	8|у| •
Подставляя сюда значение | у | (формула 4. 136), получим
_ 9(/’+/3)/^
384 EI 32 (2 /, + 3 /2) EI
Или, после преобразования
48 EI
х 1 1 2Z
5 (2Л + З/0)/;
196
Перейдем теперь к более точному решению. Для этого наи-
более удобно начало координат расположить так, как это по-
казано на рис. 88, Ь.
Уравнения для среднего пролета получают вид
а
qx
У1 = С\ ch kx^ 4” sh kx^ 4~	4~ ^4 4”	>
y, + C1AshZ?x1 + C,^ch^x14-C3 + ^ ;	(4.14J)
MY = EI Cj^k2 ch kxx ~r C.,k2 sh kxx -+- -^-j .
Для правого пролета
у, — С5 ch kx., -j- C6 sh kx2 + C7x2 + C8
2
2H ’
У\ = C-,k sh kx., + C,-k ch kx., + C7 +	;	(4.142)
TW2 = EI Cr,k2 ch kx., Д- CG k sh kx., +
Условия для определения произвольных постоянных та-
ковы:
при xt = 0; г/i = 0
Cj 4- С4 = 0;
при х2 = 0; £/2 = 0
С6 + = 0;
при Xi = х2; ух' = у2'
С2 k ;  С2 = E^k 4- E-t J
при Xi = х2; Mi = М2
Cj = С6;
при Xi = — -у ; yi = — f
Qch k - C,sh k - C.3-4- + C4 +
при x, = —4 ; у/ = 0
— Cik sh k + C2k chk-^ + C.i-£2 = Q-,
при X2 = /3 = A; «/2 = 0
O'/2
ch kli Cq sh kli 4“ Eqli + (7g 4~ gyy = 0;
при x2 = /1; M2 = 0
C5 ch kli + Q sh -r 77£5 = 0 •
197
Совместное решение этих восьми уравнений с восемью не-
известными дает
с4 = - С,;	(4.143)
С8 = Q ;	(4.144)
с»— Сг,	(4.145)
р	Ci	qli , q	(4.146)
~ li	2Н 1 Hk2li '	
	(4.147)
6 ~ th kli Hk2 sh kli ’	
C3 = C1^sh^-^-C2^ch^-^- + -g? ;	(4.148)
ci (т~таг-*8ЬЦ~)+С2*(сЬМ—1) +
----гто - 4г - 4-} = 0;	(4.149)
Н ( k-Ц k sh klt 2	2 j ’	'	'
Cj (ch k-^-1 — k-^-sh k -44 +
\	At	At	At I
2
/1 Iq	Iе)	lч \ qI
+ C,p4ch^^-sh^4 -bv + / = 0. (4.150)
\ At	A	Z у О /1
Буквенное решение двух последних уравнений дает слиш-
ком громоздкие формулы. Поэтому рекомендуется сначала из
уравнений (4. 149) и (4. 150) определить Ci и С2, а затем вос-
пользоваться уравнениями (4. 143) — (4. 148).
При совместном решении уравнений (4.149) и (4.150)»
в силу их структуры, нужна очень высокая точность вычис-
лений.
Пример 29. Схема нити — по фигуре 88,6. Дано Л = 40 м;
1ъ = 200 м; EI = 100 000 тм2\ q = 1,5 т/л; f = 10 м. Определить натяжение.
Написать уравнения линий прогиба для всех пролетов.
Решение начинаем с приближенного определения натяжения нити по
формуле (4. 140).
48	100 000
1,5-200=	”5	200=
8-10	’	12(40= -г 2<)03)
1	5~(2-40 + 3-200)200=
Теперь определяем k:
1/ 667 1 1
* К ~ЁГ~- И 100 000 “ 12,27 м
Далее находим необходимые коэфициенты формул (4.149) и (4.150):
___________	40 Q ОЙЛ А ^2	Ю0 Q 1 ЕЛ
kll~ 12,27 “3’260; k~~2	“ 12,27 “8’ 50;
198
th klt = 0,99704; sh klr = 13,02108;
ch ft A = 1728,509822; sh k = 1728,509534.
Подставляя все эти и другие, ранее найденные значения в формулы
(4. 149) и (4. 150), получим
—140.92962С1 + 140,79134 С2 —0,2702 = 0;	(4. 151)
— 12359,7723С1 + 12358,7749С2 — 1,24 = 0.	(4. 152)
Решая совместно уравнения (4. 151) и (4. 152), находим
Ct = — 1,130 л; С2 = — 1,130 м.
Теперь по последней из формул (4. 141) получим уравнение для опре-
деления изгибающих моментов в среднем пролете
1ООЛЛО Г — I-130 к х	1.130 Ь Х I	1’5
Afj 100000^ 12.272 ch 12.27	12>272 sh I227 + 667	.
Над опорой, при х = 0, получим
ЛГОП = 100 000 [— 0,00754 + 0,00225] = — 529 тм.
Для середины пролета при х = — 100 м следует считать, что
ch 12 27 sh 12 27 * Тогда 225 тм.
Натяжение равно
qP |Л4ОП| Л4ср 1,5-2002	529	225 _
Н = ~8f--------15	В * 10	'
Задавались мы приближенным значением
Н = 667 т.
Разница получилась порядка 1%. Приближенное решение и в данном
случае дало вполне удовлетворительные результаты.
Ввиду малой разницы в полученном и заданном значениях натяжений,
не будем делать громоздких пересчетов при новом Н. Примем по-прежнему,
что Н = 667 т.
По формулам (4.143) — (4. 148) определим недостающие произвольные
постоянные. Получим: С4 = 1,1^0 м; Сц =— 1,130 м; С8== 1,130 м;
Cs = 1,108 м; С3 = 0,225 и С7 = — 0,0649.
Уравнение оси нити в среднем пролете (4. 141)
1 5 х
у2^ —1,130 ch-^— — 1,130 з11--^- + 0,225х2 + 1,130 +	? 
В эту формулу х2 должно подставляться в метрах.
Для проверки подставим в эту формулу х2 = 100 м. Должны получить
Уг = f = 10 м. Получено за счет некоторых неточностей подсчетов
У2 = 10,12 м. Разница 1,2%.
Для бокового пролета получим
1 5 -х‘
У1 = - l.lSOch-^ + 1,108 sh ^--0,0649X1 + 1,130 + ’	1 .
1^1^/	Z'vUl
199
Или
у1 = - 1,130 ch-г^=- + 1,108 sh— 0,0649 Xj +1,130+0,001125 х .
L4ly£i	*
X, подставляется в метрах.
Интересно в данном случае узнать, перемещаются ли точки нити
в крайнем пролете вверх или вниз? Попытаемся найти перемещение толь-
ко одной точки: середины пролета. Для этого случая
= 20 м-,	.-^ = 1,63; ch= 2,6525; sh= 2,4566.
L £ у£ I	IZfXl
Тогда
y_t=20 = — 1,130-2,6525 + 1,108-2,4566 — 0,0649-20+1,130 +
+ 0,001125-400 = 0,007 м.
Середина пролета нити перемещаетси вверх, но на очень небольшую
величину: 7 мм. Перемещение четверти пролета (ху = 10 л) оказывается
тоже вверх на несколько большую величину: 7,5 см.
§ 36. НАЧАЛЬНАЯ НАГРУЗКА НЕ СОПРОВОЖДАЕТСЯ ИЗГИБОМ
Рассмотрим случай, когда начальная нагрузка представ-
ляет собой равномерно распределенную по всей длине пролета
нагрузку интенсивностью qo- Если под влиянием этой нагрузки
в сечениях нити не
возникают изгибаю-
щие моменты, это бу-
дет свидетельство-
вать о том, что нить
работает как абсо-
лютно гибкая и, сле-
довательно, под вли-
янием начальной на-
грузки очертание ее
будет определяться
уравнением квадрат-
ной параболы. Вели-
чина натяжения нити
определится в соот-
ветствии с теорией
гибких нитей, т. е. в
обычных обозначе-
ниях для симметрич-
ной нити
Если теперь добавить какую-то дополнительную сплошную
нагрузку, натяжение нити изменится, изменится ее очертание
(рис. 89, а) и в сечениях возникнут изгибающие моменты. За-
дача заключается в том, чтобы определить новое очертание,
натяжение и моменты. Для решения ее вырежем отрезок нити
200
бесконечно малой длины (рис. 89, Ь). Проекция отрезка на
горизонтальную ось равна dx. Считая, что в данной точке ин-
тенсивность нагрузки равна q, получим, что на рассматривае-
мый отрезок действует сила qdx, приложенная ib середине от-
резка. Начальные ординаты точек нити обозначаются буквами
и, перемещения точек по вертикали у. Остальные обозначения
на рис. 89.
Поставим себе задачу найти уравнение прогибов у. Для
этого напишем уравнения равновесия отрезка AiBi
^ЛlB1=~Лl + ^tgadx + ^^ + Лl +
+ dM -H(du^ dy) =0;	(4.153)
2 у = — 7/tga — qdx + 7/tg(a + da) = 0.	(4.154)
Для решения задачи постараемся прежде всего освобо-
диться от величины tga. Из уравнения (4.153), пренебрегая
бесконечно малой величиной q второго порядка малости,
получим
tga =
1 dM ! du , dy
~ТГ ~dxc ' ^dx ' ~dx'
(4.155)
Из уравнения (4. 154) можем определить величину dtga:
<4-156)
Из уравнения (4. 155) путем дифференцирования опреде-
лим ту же величину
rftga=	1	M1571
dx	H dx2 dx2 ' dX2 ’	1 •	/ В
Приравнивая правые части уравнений (4. 156) и (4. 157) и d2M	а* у имея в виду, что „ —EI ,, , J’	dx2	dx*
Получим
EI d*y d2u d2y q „
H dx1 dx2 dx2 H
Или
dx* EI dx.2 ' EI EI dX2	’	14.100/
В этом уравнении обозначаем, как и раньше,
r.r R 
(4.159)
201
Выразим также величину начальной ординаты нити (пара-
болы) в координатных осях рис. 89, а. При равномерно распре-
деленной по всему пролету нагрузке q получим
_ 4/0х2 .	<Ри _ 8/о
и /2 ’	rfx2 /2 ‘
Тогда уравнение (4. 158) приобретает вид
d*y _ d2y fpq _ fe2 8/0
dx* dx^ r H P 
Обозначая в этом выражении
^-=Z
dx-
(4.160)
(4.161)
получим
d-Z	b2 , k-q
dx- R ' H
*38/n	0
Общий интеграл этого выражения будет
z = A ch kx 4- В sh kx +
Теперь, имея в виду замену (4. 161) и произведя интегри-
рование, можно написать
^±shkx + ^chkx + -^-x-8-^x + D ;
У = ch kx + -J- sh kx +4- Dx + G .
A	В
Обозначая постоянные коэффициенты-^- = Cj; — С3\
D = С3, G = С4, получим окончательно уравнение нити
у — ch kx 4- С2 sh kx 4- С3х 4~ С4 4~ 4г %2 • (4.162)
Теперь можем написать
y,= C1^sh^x4-C2^ch^x4-C34--^-8-^ ;	(4.163)
М = fzfc1^ch^x4-C^2sh^x4- -- - ^г1 •	(4.164)
Q = EI [С^3 sh kx 4- C2 k3 ch kx] .	(4.165)
Величины произвольных постоянных определяются из
условий закрепления нити для каждого частного случая за-
гружения.
202
Предположим, что начальная нагрузка равна qQ, соответ-
ствующее 'натяжение Но (рис. 90). Нить при этой нагрузке не
изгибается. Пролет дополнительно загружен нагрузкой р по
всей своей длине. Натяжение при этом увеличится и станет
равным Н. Бели новую нагрузку обозначить
Q0+P = Q, (4.166)
то уравнения (4. 162) — (4. 165)
полностью будут отвечать приня-
тым обозначениям.
Для определения произволь-
ных постоянных воспользуемся
такими условиями.
При х = 0 (в середине проле-
та) поперечная сила ввиду сим-
метрии системы будет равна 1нулю
(Q = 0). Отсюда (4.165)
с2 = о.
Рис. 90.
(4.167)
При х = 0 у' = 0. Из уравнения (4.163), учитывая, что
С2 = 0, получим
С3 = 0.	(4.168)
На правой опоре (шарнирной), т. е. при х = М = 0,
уравнение (4. 164) даст
C1^ch^4 + ^“4A = ° -
откуда
8/о___?
Сг = ------у.	(4.169)
k2 ch k-^-
И, наконец, на той же опоре линейное перемещение равно
нулю, т. е. при х = у у = 0. По уравнению (4.162) получим
Cj ch k —Ь С4	/о ~ 0 •		
Отсюда	G=/o-^-GchZ!4-,	(4.170)
или	г — f	_ G4—Jo	8Н	_ 8/о , д /2/г-1 т И k2 ‘	(4.171)
203
Пример 30. Рассмотрим случай симметричного загружения (рис. 91).
Исходные данные: I = 100 м; fo = 12,5 м; <?о = 6 т/.и; р = 2 т/л; следо-
вательно, q = q0 + Р = 8 т/м; жесткость нити на изгиб EI — 2 -10е т/м2;
жесткость ее на растяжение EF = 12- 10s т. Нить укреплена при помощи
оттяжек длиной I = 50 м. Угол наклона оттяжек а = 20°, жесткость их на
растяжение та же, что и самой нити.
Под влиянием начальной нагрузки qo нить не испытывает изгиба. Тре-
буется найти изгибающие моменты в середине и в четвертях пролета от
загружеиии дополнительной нагрузкой р.
Попытаемси прежде всего путем приближенных решений найти вели-
чину натяжения нити после загружения её нагрузкой р.
Начальное натяжение
Н - qli
6'1002	«по
"842Д-= 600 т'
От нагрузки р, если бы нить не работала иа изгиб и не растягивалась,
мы могли бы найти соответствующее натяжение по той же формуле
н _ Pl2 2-1002
Н'р~ Sfo ~ 8-12,5 ~200
Примем эту величину за исходную. Решение начнем с приближенного
определения перемещения Д/ середины пролета. Для этого прежде всего
найдем удлинении оттяжек.
Д/i = -Щ- = ~~Н,Р = |9 j5,?'200 9По = 0,00888 м.
EF if cos a 12-105-cos20
50-200
Этому удлинению соответствует смещение опорных точек нити, равное
(рис. 91,6)
=	=0,00942 м.
cos a cos 20
204
Величина перемещения зависит также от удлинения самой нити. При-
ближенно считаем его равным
Н1Р1 200-100
Д L =	= 12 1Ц5 = 0,01667 м.
Для приближенного решения можно считать, что сближение концов
нити 2d на величине Af отражается так же, как удлинение еамой нити.
Поэтому можно исходить из расчетного или приведенного удлинения нити,
равного
Д £пр = Д/ + 2 & =. 0,01667 + 2-0,00942 = 0,03551 м.
7. -j- Д£Пр — I 1 -|-
Новая длина нити стала равна L + ААПр-
С другой стороны, она равна
8	(/о+Д/)2 ]...., ,
3 Р
8 />2/0Д/+(Д/)2’
3
Р
Имея в виду, что начальная длина нити равна
L = l 1 +
1JL
3 Р
получим
Д1пР- 3
8 2/0А/+(Д/)2
I
Пренебрегая в этом выражении величиной (А/)2 по сравнению с 2foAf,
определим
Д^пр =
16 /0Д/ ,
3 I
а отсюда
4/ -4 4 4 - °'03551 тВ4 =°',)533
Увеличение стрелки от одного только смещения опор равно Afc
— 0,0282 м.
Прогиб середины пролета вызовет дополнительный изгиб нити. Изги-
бающий момент в середине пролета может быть приближенно определен
в соответствии с формулой (4.4), если в нее вместо f подставить А/,
Л4о =
48Е/Д/
5/а
48-2-10е-0,0533
5-1003
тм.
Тогда натяжение, по второму приближению, может быть получено
рр
_____________ТИр _ 2-1002 _ 102,4 _
8(/о + Д/) /о + Д/ 8-12,553	12,553 ~ т-
Повторяя цикл подсчетов (исходя из ’нового значения натяжения), по-
лучим
Д/ = 0,0509; Л40 = 97,8 тм.; Нзр = 191,5 т.
Так как эта величина мало отличается от заданной Н2р, примем ее за
исходную дли дальнейших, более точных вычислений.
205
Так как в (данный момент стрелка нити немного увеличилась натяжение
от начальной нагрузки слегка изменилось. Полное натяжение стало равным
6-1002	1А1 с ТОО Е
Н1 ~ 8 (12,50 + 0,051) + 191,5 ~ 788,5 т'
Вычисляем коэффициент k (4.159)
/‘ 788,5 = 1 _L
V 2-10е	50,35 м
По формулам (4. 167) — (4. 171) определяем произвольные постоян-
ные. При вычислении их значений вычисления приходится осуществлять
с относительно большой точностью, так как результаты определяются как
малые разности больших величин:
/8-12,5
1002
8 \ 50,352
788,5 ) u 50
50,35
= -0,24088 м;
— С3 — 0;
С4 = 12,500- а8;190" + 0,24088 ch = 0,1877 м.
О •/00,0	OUjOO
Так как натяжение нити Н\ = 788,5 т было получено приближенно,
постараемся прежде всего уточнить его значение. Для этого определим
момент в середине пролета. Он равен (4. 164)
о me/	0,24088	,	8	8-12,5	\ ....
М° -2’ ° (	50,352	+ 788,5	100=	101,8	тМ'
Линейное перемещение нити в середине пролета (4.162)
у о = — 0,24088 + 0,1877 = —0,0532 м.
Добавляя сюда перемещение от смещения опор, которое будет считать
по-прежнему равным &fc= —0,0282 м, получим
|у0 +АД 1 = 0,0814 м.
Имея эти значения, можем определить натяжение нити по второму
приближению
н =	Ч‘2________________Afp _ 8-1002 _ 101,8 _
2	8(/о + |Уо + Д/с1) /о + I Уо + Д/J ~ 8-12,581	12,581
Следует отметить, что при последовательных подсчетах сближение за-
данных и полученных значений происходит медленно. Поэтому придется
произвести еще один или, возможно, большее количество подсчетов
*	=	с, = — 0,23219 м; С2 = 0; С, = 0;
50,35 м	1	*
Ct = 0,1808 м; Мо = 96,2 тм; у0 = 0,0795 м; Н3 = 788,3 т.
Следующее приближение дает почти точное определение результатов.
*	=	—; С1 = — 0,22138 м; С, = 0; С3 = 0;
50,35 м	-
С4 = 0,1706 м; Мо = 93,6 тм; у0 = 0,0790 м; = 788,5 т.
203
В соответствии с условием задачи найдем теперь еще изгибающий
момент в четверти пролета. Он равен (4.164)
°-22138 и 25	,	8	8-12,5 1 roc
Т 2' ° [	50.352 Ch 50,35 + 7«8,5	1 002	] ~69,6 тМ'
Следует заметить, что учет смещения опор нити Д/г ока-
зывает очень небольшое влияние на результаты. Натяжение
меняется примерно на одну тонну,
т. е. на 0,13%. Поэтому в дальней-
шем это смещение не учитыва-
ется.
Предположим теперь, что на-
чальная нагрузка q по-прежнему
расположена на всем пролете, а до-
полнительная нагрузка р — на полу-
пролете (рис. 92).
В этом случае уравнения нити
Рис. 92.
дЛя левого и для правого участков будут выглядеть различно.
Для левого участка получим:
У! = Cjch kxi + C2sh kxx + Сях{ + C4 +	—  p 1 ; (4.172)
a0-Vi	8 f^x
yj - C.k sh kx. -4- C, k ch kxr + C, + -Jj-----;	(4.173)
M = El[C2k2ch kxv + C2k2 sh kxA + -Ju- -	;	(4.174)
Q = EI( d*. k' sh kxt + C2k3 ch kxy) .	(4.175)
Для правого:
У2 — £5 ch	“j- Cq sh kx.2 “j- C7X2 -j- C8 —j— , (<7o+/O*	Vo* #		(4.176)
2/7		
У2 = C5 k sh kx2 + Ce	k ch kx% C4	
, (^o + P) X2 H	8/0^2 . /2	’	(4.177)
M = Elfak2 ch kx2 + C6k2 sh kx2 + q° + p - Ш ; (4.178)
Q = £'/(C5/c:ish/cjc2 !-C6/c:‘ch/?Jc2) .	(4.179)
207
Для определения произвольных постоянных воспользуемся
такими восемью условиями:
при Xi = х2 = О
Qi = Q2; С2 — С6;
^ = А12; ^=^+7^;
У1 = У2 ; C2k + С2 — CGk 4- С1;
У1 =Уг ;	4- с4 = сй 4- С8 ;
ири xt = — у; Л4] = О
C1chZJ4-C2ShZJ4 + ^-2-^ = 0;
при х2 = у ; Л42 = О
C5ch^4 + C6sh^4 + ?7jr-^ = 0;
I	п
при Х1 --2~; #1 = 0
C1ch^4“C2sh^ 4 + Сз-т + С‘+8$“^ = 0;
I	п
при х2 = у ; i/2 = 0
cgCh *4+С6 sh^4 +^4+С*+А=0 •
Ля	Л	Л	О Л 1
Совместное решение этих уравнений легко дает
16/о Ъчо+Р , Р rhjfe I
---------1-	С11
Ct = —---------f;	(4.180)
2 ch k
	p 3 — Hk.4 c4 = -	<7o 	8 /0 C2 = -4- + ^	(4.181) thA-^- A2shA-5- 2	2 (ch,4_l)_^£_^L; (4.182) ch k 2	2 /7^2 (ch k 2 — 1 j - '’+/»= <4-183)
208
c5 = ct
p .
Hk* ’
^6 - ^2 ,
£7 — G;
= C I p
4 + Я# •
(4.184)
(4.185)
(4.186)
(4.187)
Пример 31. Рассмотрим ту же систему, что в предыдущем примере.
Начальную нагрузку примем ту же (q0 = 6 t/jh). Изгиб от этой нагрузки
не возникает. Дополнительная нагрузка равна р = 4 т/jk. Но расположена
она только на правой половине пролета. Требуется найти изгибающие
моменты в тех же сечениях, что в предыдущем примере.
Для решения, так же как в предыдущем случае, надо задаться значе-
нием Н. Однако в данном случае проще всего воспользоваться результа-
тами предыдущего примера. Там было предположено загружение всего
пролета нагрузкой 2 т/ж, здесь — полупролета нагрузкой 4 т/ж. Прибли-
женно можно считать, что натяжения в обоих случаях будут одинаковыми
Н = 788,5 т.
Решение начинается, как и раньше, с определения k:
k =	= —1______L- А2-_!__________L-
И ~ЁГ 50,35 м ’	2534 м? ’
ch k = 1,53608; sh k -L- = 1,16598; th k = 0,75905;
ch k -L = 1,12608; sh A 4- = 0,51772.
4	4
По формулам (4.180) — (4.187) определяем:
16-12,5	16	4-1,53608
r _	1002	788,5 +	788,5
G1~	2-1,53608
2534
= 6,19855 m.
4-2534	2-2,85209-1,16598	4-100 nnRlnl„
Сз= 788,5-100(1’53608 - °-------------1000---------- 8Ж5 ==~°’0610155 =
6	8-12,5
6,19855	0,788,5	100*	_
-	0,75905 +	1,16598	- 2,85209 ж,
2534
C. _-e,19«5S. wo« +	(,.53608-D -	+
+ 12,5000 = — 6,2476 m;
C6 = 6,19855 —=4-=- -2534 = — 6,6399 m;
/00,0
14—142
209
Сц = 2,85209 м; С7 = — 0,0610155;
С, = — 6,2476 +	 = 6,5909 м.
/оо,Э
Имея все эти значения, по формулам (4. 172) — (4. 179) определяем
интересующие нас величины.
Прежде всего проверим, насколько удачно мы задались натяжением
нити. Для этого определим перемещение среднего сечения нити по верти-
кали (4.172) или (4.176).
у о = Ci + Ct = 6,1986 — 6,2476 = — 0,0490 м.
Изгибающий момент в том же сечении (4.174 или 4.178)
о inn / 6,19855	,	6	8-12,5 \ по„
= 2'106 (-2534 - + TO8J----КЙР-) = 93’7
Тогда натяжение
2 /	Л40	8-1002	93,7
8 (/+ | У I )	/+|у0|	8-12,549	12,549
почти равно первоначально заданному. Следовательно, пересчета не
требуется.
Определим теперь изгибающий момент в середине незагруженной поло-
вины пролета (х = —25 м; формула (4.174):
7
2,85209-0.51772	6	8-12,5
2534	+ 789,5 КХР
= — 454,1 тм.
В середине загруженной половины (х = 25 м, формула (4.178):
-6,6399-1,12608	2,85209-0,51772 ,	10	8-12,5 \
2534	+	2534	+ 789,5	100-' Г
= 597,8 тм.
Два последних рассмотренных примера представляют со-
бой примеры расчета висячих мостов с жесткой цепью. Прин-
цип этого расчета мало отличается по существу от принципа
расчета системы в виде гибкой цепи с балкой жесткости, если
последнюю рассчитывать с учетом влияния деформаций си-
стемы на распределение усилий в подвесках.
Рассмотренные примеры взяты в соответствии с примерами,
рассмотренными в работе С. А. Степкина [16]. Полученные
в настоящей книге результаты мало (и все в меньшую сто-
рону) отличаются от результатов названной работы. Разница
колеблется в пределах от 0 до 6,3 %-
210
§ 37. ДЕЙСТВИЕ БОКОВОЙ НАГРУЗКИ
При рассмотрении работы жесткой нити из возможных ви-
дов боковой нагрузки наибольший интерес, по-видимому, пред-
ставляет собой ветровая нагрузка.
В настоящем параграфе и рассматривается именно такой
вид боковой нагрузки.
На рис. 93, а показана симметричная 'нить пролета I, имею-
щая стрелку f. Вертикальная нагрузка q. Кроме того, на нить
действует боковая нягоузка р.
Поставленная задача
может решаться либо до-
вольно просто, либо очень
сложно, в зависимости от
устройства опорных за-
креплений нити. Для на-
чала предположим про-
стейший случай: нить за-
креплена на опорах А и В
при помощи шаровых
шарниров, т. е. концы ее
могут свободно поворачи-
ваться не только в плос-
кости провисания нити, но
и из ее плоскости относи-
тельно оси АВ (рис. 93, а).
При таких условиях
под влиянием одновремен-
ного действия вертикаль-	Р::с- уз-
ной нагрузки q и горизон-
тальной р, нить повернется относительно оси АВ и плоскость
ее провисания займет положение, показаиное иа рис. 93, Ь.
Угол а наклона плоскости нити может быть определен из того
условия, что равнодействующая погонных нагрузок р и q будет
направлена под углом а к вертикали (рис. 93, с). Т. е.
tg® = — •
6 Я
(4.188)
Тогда погонная равнодействующая будет
41 — У q'~ А- Р2 
При таких условиях задача сводится к относительно про-
стому решению.
Нить пролета Ц нагруженная нагрузкой q, имеет стрелку
/0. Требуется определить усилия в сечениях нити после ее за-
гружения дополнительной нагрузкой q\—q.
14*
2П
Результирующая нагрузка q\ действует, правда, уже не
в той плоскости пространства, в какой действовала начальная
нагрузка q, однако она по-прежнему действует в плоскости
провеса нити. Если нагрузка q действовала в главной плос-
кости сечения, то и нагрузка q\ будет действовать в той же
плоскости. Таким образом, задача ничем не отличается от
того, уже достаточно известного случая, когда начальная q и
полшая q\ нагрузки действуют в одной и той же плоскости.
Решения подобных задач (но для более сложных случаев)
даны в параграфах 29—31. Поэтому здесь решение поставлен-
ной задачи более подробно освещаться не будет.
В более сложных случаях расчет нити будем осуществлять
в такой последовательности.
Предположим, что мы имеем нить, например, такую, как
это показано на рис. 93, d. Нить первоначально нагружена
только вертикальной нагрузкой q. Расчет нити не представ-
ляет трудностей. Решение дано в § 34. Уравнения (4. 130) —
(4.132) дают выражения для ординат нити, углов наклона ее
оси и изгибающих моментов. Плоскость провеса нити верти-
кальна.
Если теперь добавилась горизонтальная нагрузка
(рис. 93, е), плоскость провеса уже не будет вертикальной и,
может быть, даже перестанет быть плоскостью.
Проекции линии прогиба нити будем находить аналогично
тому, как это делалось для гибкой нити: рассмотрим отдельно
уравнение проекций оси нити на вертикальную плоскость и от-
дельно на горизонтальную. При этом введем ограничение, что
моменты инерции сечений одинаковы относительно всех цент-
ральных осей.
При новом загружении натяжение нити изменилось, но
формулы (4.130) — (4.132) остаются справедливыми при рас-
смотрении проекций линии прогиба на вертикальную и на гори-
зонтальную плоскости. Разница между этими уравнениями бу-
дет заключаться лишь в том, что для вертикальной проекции
в формуле (4.130) будет стоять нагрузка q, а для горизон-
тальной— р. В остальном никакой разницы не будет, ибо ве-
личина натяжения Н и зависящая от нее величина k (при оди-
наковых во всех направлениях жесткостях) будут общими
при горизонтальном и при вертикальном изгибе.
Отсюда вытекает, что для всех точек нити отношение го-
ризонтальных координат точек нити к вертикальным будет
постоянным и равным -у , .а это, в свою очередь, будет свиде-
тельствовать о том, что нить после дополнительного загруже-
ния осталась плоской и не подвергается кручению. Расчет та-
кой нити осуществляется подобно тому, как это указывалось
212
в начале параграфа, применительно к нити, имеющей по кон-
цам шарнирное опирание.
Иная картина будет, если нить имеет на опорах цилиндри-
ческие шарниры, позволяющие ее концам свободно поворачи-
ваться в вертикальной плоскости (рис. 94,а). В горизонталь-
ном направлении концы нити поворачиваться не 'могут и, сле-
довательно, при приложении горизонтальной нагрузки р, ли-
ния прогиба будет 'выглядеть так, как это показано на рис. 94,Ь.
Очертание нити в вертикальной плоскости в этом случае опре-
делится уравнением (4.34) или первым из уравнений (4.37),
а в горизонтальной-—уравнением (4.130). Уравнения эти
имеют различные коэффициенты при независимых переменных
и, следовательно, пропорциональности 'между перемещениями
в вертикальной и в горизонтальной плоскостях не будет, нить
не останется плоской й в ее сечениях -могут возникнуть крутя-
щие моменты. Задача резко усложнится. Эту задачу и попы-
таемся решить ниже.
Автору не удалось найти точное аналитическое решение.
Поэтому приходится ограничиться приближенным численным
решением с применением метода попыток. Решение дано в при-
мере 32.
упругости материала £ = 2.107 т/м2.
КУ
'Р
г1
Рис. 94.
Пример 32. Однопролетная нить имеет опоры на одном уровне.
Пролет I = 120 м. Начальная стрелка при вертикальной нагрузке
q = 0,348 т/л; f = 6,0 м. Сечение нити трубчатое, имеет момент инерции
I = 0,00562 л4. Наружный диаметр трубы D — 1,02 м. Полярный момент
инерции/р =0,01124 jh4. Модуль
Модуль упругости при сдвиге
G = 8- 106 т/ж2. Горизонтальная
нагрузка принята относительно
большой с тем, чтобы больше ощу-
щалось ее влияние на работу нити,
р = 0,25 т/м.
Задача заключается в опреде-
лении натяжения и внутренних
усилий в сечениях нити при пол-
ном ее загружении.
При отсутствии горизонталь-
ной нагрузки задача была решена
выше в примере 18 (§ 26). Там
было найдено Но = 30,1 т; решение
поставленной задачи начнем с оп-
ределения натяжения. Для этого
рассмотрим условия работы нити в горизонтальной плоскости (рис. 94, Ь).
Воспользуемся формулами (4. 130) и (4. 132). Горизонтальную проекцию
стрелки нити fr найдем, подставляя в формулу (4. 130) х =	:

-----~---Г“с11й + 1
2/ttshA-^- \	2
\ , РР
8Н
(4.189)
213
Изгибающий момент в середине пролета, где х = 0 (4.132)
=--------р1— +р._	(4190)
2AshA-i-
На опоре (х =	)
ML =--------—~	+	(4.191)
2 2AshA~2~
Имея эти величины, можем через них выразить натяжение нити
мй-м£
Н=-^~-______________L.	(4-192)
8/г fr
Рекомендуется следующий порядок действий. Зададимся Н. По форму-
лам (4. 189) — (4- 191) определим /г; Л40 и М г . Подставим их в формулу
~2
(4. 192) и полученное значение Н2 сравним с заданным.
Задаться надо величиной Н во всяком случае больше той, которая
была получена от одной вертикальной нагрузки (Н = 30,1 т). Никаких дру-
гих ориентиров нет. Зададимся Hi = 33 т. Тогда получим
* у EI 58,4 м
По формулам (4. 189) — (4. 191)
,	0.25-120.58.4 / , _h 60
г ~ 9 „ .	60 (	58,4
2-33sh-584
Af0-2Wz =------( ch* 4“ - 1
T 26shA4~ \
0,25.1202
-8^3-=1’°7 M-
0,25-120.58,4
„ .	60
2sh 58,4
60
58,4
1 I = 414 тм.
Теперь (4.192)
„	0,25-1202	414
-	8-1,07	1,07
=33,5 m.
Получилась небольшая разница между заданным и полученным значе-
нием натяжения. Зададимся вновь Н2 = 34,0 т. Получим Н3 = 34,3 т. Тре-
тья попытка при заданном Нз — 34,5 т дает Hi — 34,8 т и, наконец, если за-
даться = 35,5 т, получим Н$ = 35,5 т. Эта величина и принята для даль-
нейшего расчета. Прежде всего определим новую стрелку вертикальной
проекции нити /в. Для этого воспользуемся формулами (4.34) н (4.36). Из
последней находим изгибающий момент в середине пролета (х = 0)
М _	_______________Н f ,	<?
/W° —	/	I \	I 7в + „ •
8^1— chA-i-j l-chA^-
Натяжение равно
Я& ___ДХ
Н = 8	= «?/2___________ЯЦ____________Я , h
fe 8/в 8/в(1- ch*l) k2fe 1-chk-L-'
214
Отсюда
9/з	9(1 -chA^)
ЬН + u„r, , t /
(4.193)
При Н = 35,5 т имеем
и по формуле (4.193)
1 1
56,3 м
0,348-1202	0,348(1 ch ) 56,32
---4-----------------------------—---------------
Теперь, имея полученные данные, можем написать уравнение для вер-
тикальной (4.34 — 4.36) и для горизонтальной (4.130 — 4.132) проекций
нити (все в метрах и тоннах).
Для вертикальной проекции
0,348-1202 - 8-5,73-35,5
8-35,5(1- ch
\ эо,о /
56,3
0,348 хз
2-35,5 ’
или
у = — 19,14 ch + 0,0049 хз + 19,14;
DO,o
у' = — 0,340 sh -=^4- + 0,00980 х;
D0,O
(4.194)
или
Л4В = - 679 ch -^4- + 1100.
00,0
Для горизонтальной проекции
0,25-120-56,3
fio
2-35,5sh-=^-
56,3
0,25x2
2-35,5 ’
z = - 18,61 ch + 0,003520x2 + 18,61;
00,3
z' = — 0,3305 sh + 0,00704 x;
00,3
Afr = — 660,5 ch kx + 793.
(4.195)
Уравнения (4. 194) — (4.195) следует признать приближен-
ными, так как при получении их не учтены деформации кру-
чения.
У
215
§ 38.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРУТЯЩИХ МОМЕНТОВ
В настоящем параграфе рассмотрим принципы приближен-
ного определения крутящих моментов в сечениях иити той же
схемы, что рассмотрена .в предыдущем параграфе. На рис. 95
показаны проекции полупролета нити. Рассмотрим сначала
только вертикальную проекцию (рис. 95,а). Предположим,
что наша задача заключается в определении крутящего мо-
мента от горизонтальной нагрузки р в сечении А с абсциссой х.
Возьмем другое сечение В с абсциссой Хь Вырежем в этом
месте участок нити длиной ds. При этом, ввиду того, что нить
предполагается пологой, примем ds = dx. Тогда в точке В при-
ложена сила pdx, перпендикулярная к вертикальной плос-
кости.
В точке А проведем касательную АС к кривой и будем пока
считать, что эта касательная лежит в вертикальной плоскости,
проходящей через опоры нитн. Найдем момент силы pdx отно-
сительно оси АС. Плечо силы будет равно hy.
hy = ЕВ COS ах = (FE — FB) COS ах = [(Xi — х) tg ах —
— (У1 — у)] COS ах = (х, - х) sin ах -	— у) cos ах .
Тогда элементарный момент в сечении А относительно оси
АС будет равен
dM(p) — [(Xi — х) sin ах — (у, — у) cos ах] pdx.
тл	I
Интегрируя в пределах от х до , получим момент в се-
чении А
Af(p)=psinax[-^- + -^-—y'j-pcosaJJ y^Xj-
Эта формула дает момент нагрузки р относительно оси АС,
расположенной в вертикальной плоскости, проходящей через
опоры нити. В действительности ось нити в плане отклонена
от этой плоскости на угол (см. рис. 95, Ь). Следовательно,
крутящий момент от нагрузки р будет равен
Мк (Р) = Р sin ах cos (-у- + -у — -у) — Р cos ах cos X
X'a	ft \т
X I У1^Х1 — у (-у — х) •	(4.196)
216
Совершенно так же получим
ЛГ (<?) = — <7 sin cos ах
/X
2
%2
2
И/2	/ I
zlaxl — z 1~2— х
(4.197)
Кроме этого, в рассмат-
риваемом сечении возни-
кают крутящие моменты от
действия изгибающих мо-
ментов Л4ги Мв в середине
пролета (крутящий момент
в середине пролета в силу
симметрии системы отсутст-
вует) .
Эти моменты равны
Л4К (Мв) — Мв Sin Рд. COS ах ;
4.198)
Мк (Мг) = — Мг sin ах cos .
Помимо этого крутящие
моменты возникнут еще от
действия силы И, приложен-
ной в середине пролета. Из
рис. 95, а имеем в сечении А
от силы Я момент относи-
тельно оси, параллельной
оси z, равный Н (fB —у).
Этот момент, в свою очередь,
вызовет кручение в сечении
А (рис. 95, Ь).
Рис. 95.
М" (Н) = -Н(A-y)sin₽x.
(4.199)
Аналогично, рассматривая сначала рис. 95, Ь, получим мо-
мент относительно оси у равным Н (fr — z) и крутящий мо-
мент (рис. 95, а)
Мк2 (И) = - H(ft - z)sin .
(4.200)
Суммируя выражения (4. 196) — (4.200), получим полный
крутящий момент в данном сечении
М‘ = р sin лх cos	— -у-) — Р cos ад. cos X
217
X [ J 2 У1^ - у - xj] - q sin p.rcos ax	+
'/2
Г P /2
+ q cos ax cos I zxdxx — z
+ MB sin cos ax —
— Mr sin ax COS — H [(/B — у) sin -f- (/r — z) sin ax] . (4.201)
Для середины пролета при
х = 4~’ У=А; г = /г;
«х = 0; ₽х = 0
очевидно получим Мк = 0.
Для опоры
к	I2	С^2	ft2
Моп = р sin a0 -g-р cos a0 I yxdxx 4- q cos a0 I zxdxY —
о	о
— Mr sin a0 — Hfr sin a0 .	(4.202)
Для получения этой величины (Л4£п) надо знать интегралы
[Vs ,	rZ/'2	,
Uidxt и Jo 210X1, а следовательно, надо определить орди-
наты yi и 21. Нахождение их покажем на примере.
Пример 33. Этот пример является продолжением примера 32. По-
этому для нахождения у\ и 2\ воспользуемся формулами (4. 194) и (4. 195)
Следует только помнить, что эти формулы выведены при расположении
начала координат в середине пролета (рис. 94). Формулы же (4.201) —
(4.202) получены для расположения начала координат на опоре (рис. 95).
Ниже координаты х; у и г в формулах (4. 194) — (4. 195) будем обозна-
чать х0; Уо', z0.
Не давая здесь подсчетов координат уо; го; у\; гг приводим лищь ре-
зультаты (табл. 16). В первых трех столбцах даны координаты в предполо-
жении начала координат на оси нити в середине пролета. Вертикальная и
горизонтальная стрелки нити в последней строчке fB = 5,73 м; fF = 1,08 м.
При расположении начала координат на опоре, получим (рис. 95)
I
*i = -2---хо, У1=/в~Уо,
Z1 = fr z0-
Эти величины показаны в трех последних столбцах таблицы.
Для того чтобы воспользоваться формулой (4. 202), сделаем некоторые
предварительные подсчеты.
218
Таблица 16
*0. м	Уь м	м	м	>1. м	м
0	0	0	60	5,72	1,08
6	0,07	0,02	54	5,65	1,06
12	0,27	0,09	48	5,45	0,99
18	0,61	0,17	42	5,11	0,91
24	1,05	0,31	36	4,67	0,77
30	1,63	0,46	30	4,09	0,62
36	2,29	0,62	24	3,43	0,46
42	3,06	0,78	18	2,66	0,30
48	3,88	0,91	12	1,84	0,17
54	4,79	1,03	6	0,93	0,05
60	5,73	1,08	0	0	0
По второй из формул (4. 194) получим
у1 = tg а0 = - 0,340 sh™+ 0,00980-60 = 0,153 ;
г 1	00,0
2
ао = 8°42z; sina0 = 0,151; cosao = 0,988.
По третьей формуле (4. 195) момент в середине пролета
Мг = — 660,5 + 793 =* 132 тм.
%
Величины J y+xjHf г^хг подсчитаны по формуле трапеций при
о л
интервале Д = 6 м
J = Д + у6 + у12 + ylg + ... +у64 + j .
о
Индексы у величин yt показывают расстояние данного сечения от на-
чала координат X].
Получено
/	L
J У1 dx, = 220,5 м-; J гх dxr = 35,2 м2;
о	о
Подставляя все эти и другие ивзестные величины в формулу (4.202),
получим
М* =.= °'25'1202 .0,151 — 0,25-0,988-220,5 + 0,348-0,988-35,2 -
и	о
- 132-0,151 —35,5-1,08-0,151 = — 0,1 тм = 0.
Подобным же образом получены крутящие моменты н
в других сечениях нити. Получены они по формуле (4.201) и,
так как эта формула значительно сложнее, чем формула
(4. 202), то и подсчеты получились более громоздкими. Однако
219
принципиальных трудностей они не представляют и поэтому
здесь не приводятся. Дана только сводка результатов проде-
ланных расчетов (табл. 17).
Для представления об удельном весе каждого слагаемого,,
входящего в формулу (4.201), эти слагаемые Мк ; М?
... включены в таблицу в том же порядке, в каком они
входят в формулу.
Суммируя эти величины, получаем для полупролета цифры,
указанные в последнем столбце таблицы. Для другой поло-
мых показывает, что ни одним из
вины пролета получим
значения, симметричные
по абсолютной величине
и обратные по знаку
(рис. 96).
Отдельные слагаемые
величин крутящих момен-
тов даны в табл. 17 с тем,
чтобы исследовать воз-
можность упрощения
уравнения (4.201). Ана-
лиз значений этих слагае-
них пренебречь нельзя. По-
видимому, единственное возможное упрощение — это считать
равным единице cos ах и cos . Однако- существенного упро-
щения это не дает и автором не использовано.
Таблица 17
X, ж	М?							мк, тм
				Л4?				
0	67,9	—54,5	0	12,1	0	—19,9	-5,8	—0,2
6	60,3	—41,4	-6,7	10,0	4,9	—18,8	—7,4	0,9
12	54,1	—30,0	—10,9	8,7	8,4	—16,6	—7,5	6,2
18	47,2	—20,7	—12,8	6,4	9,9	—12,8	-6,5	10,7
24	41,2	—13,3	—13,2	4,9	9,9	- 8,5	—4,9	16,1
30	35,1	—8,0	-12,2	3,1	8,3	— 3,6	-3,2	19,5
36	29,6	—4,1	-11,3	1,7	6,6	0,8	—1,8	21,5
42	23,0	— 1,8	-10,0	0,7	4,4	4,0	—0,8	19,5
48	16,9	-0,5	—6,8	0,2	2,1	5,6	—3,0	17,2
54	9,7	—0,1	—3,9	0	0,6	4,7	0	11,0
60	О	0	0	0	0	0	0	0
В заключение несколько слов о перемещениях, вызываемых
деформациями кручения.
Попытаемся найти приближенное значение горизонталь-
ной составляющей перемещения середины пролета нити.
220
Для этого в точке с абсциссой х (рис. 95, а) вырежем эле-
мент длиной ds ==; dx. Левый конец этого элемента под влия-
нием крутящего момента повернется относительно правого на
Л1“ dx
угол, равный —г1— (обозначения обычные). Тогда середина
пролета переместится в горизонтальном направлении на ве-
личину
Мк dx
dl^-^r-hl
G Ip ±
2
M“dx\( I \
“G7p"lA~2~ ~  / Sin ~ C°S a
Интегрируя это выражение iHa протяжении полупролета,
получим
lh
8 = J /И“	---sin ax 4- (fB — y) cos dx . (4.203)
о
В табл. 18 даны некоторые величины, подсчитанные по этой
формуле для рассматриваемого примера. При этом величины
Мх взяты из табл. 17. Под величиной А (пятый столбец)
Таблица 18
is?	Мк, тм	SinaA, м	(/в — У) COSax, м	А, тм~
0	—0,2	9,05	5,66	—0,68
6	0,9	7,93	4,74	2,87
12	6,2	6,86	3,84	18,71
18	10,7	5,59	3,04	27,27
24	16,1	4,35	2,28	33,33
30	19,5	3,12	1,63	29,05
36	21,5	2,08	1,05	22,15
42	19,5	1,17	0,62	10,72
48	17,2	0,54	0,28	4;47
54	11,0	0,14	0,08	0,66
60	0	0	0	0
подразумевается выражение, стоящее под знаком интеграла
формулы (4.203). Интегрируя цифры этого столбца по фор-
муле трапеций при интервале 6 м, получим величину инте-
грала равной 892 тм3 = 892 • 109 кг см3.
Деля эту величину на жесткость при кручении
GIp = 8-106-1124-103 кг см2.
221
получим
8-105-1124-103 — 0’99 см-
Перемещение, как видим, очень небольшое. Если бы оно
было относительно велико (по сравнению с горизонтальным,
перемещением от изгиба), следовало бы сделать пересчет ве-
личин крутящих моментов, которые зависят от этого переме-
щения. В данном случае в таком пересчете нет необходимости,
ибо полученное перемещение составляет меньше одного про-
цента от перемещения изгиба.
ЛИТЕРАТУРНЫЕ ИСТОЧНИКИ
1.	Бабков Н., Певческая эстрада в Таллине, «Строительная газета»
от 26 апреля 1960 г.
2.	Б у к р е е в П., Сборные железобетонные конструкции в мовых проек-
тах сельских зданий и сооружений, «Архитектура СССР», 1959, № 11.
3.	Власов А., Курс высшей математики, Гостехиздат, 1945.
4.	Г р а д о в Г., Черты будущего в архитектуре Брюссельской выставки
1958 года, «Архитектура СССР», 1959, № 2.
5.	Давыдов С., Предварительно напряженный железобетон и новые
возможности архитектуры, «Архитектура СССР», 1958, № 12.
6.	Д у к е л ьский А., Подвесные канатные дороги н кабельные краны,
Машгиз, 1951.
7.	Карташов К., Висячие покрытия общественных зданий, «Архи-
тектура СССР», 1957, № 5.
8.	Качурин В., Гибкие нити с малыми стрелками, Гостехиздат,
1956.
9.	Киселев В., Рациональные формы арок и подвесных систем, Гос-
стройиздат, 1953.
10.	Людк о век ий И., Подвесные конструкции покрытий в СССР
и за рубежом; «Архитектура СССР», 1960, № 1.
11.	Маркус Г., Теория упругой сетки и ее приложение к расчету
плит и безбалочных перекрытий, Гостехиздат УССР, 1936.
12.	М а цел и некий Р., Статический расчет гибких висячих конст-
рукций, Госстройиздат, 1950.
13.	Передерий Г., Курс мостов, ч. II, Висячие мосты, Госиздат,
1928.
14.	Пл аки да М., Железобетонные пространственные конструкции,
Госстройиздат, 1958.
15.	Сииицын А., Колебания сеток с большими прогибами, «Вестник
Военно-инж. академии К. А. им. В. В. Куйбышева», 1941, № 31.
16.	Степкин С., К расчету висячих цепных мостов с балкой жестко-
сти с учетом деформации, сб. ЛИИЖТ, вып. 142, Трансжелдориедат, 1950.
17.	Филоненко-Бородич М., Изюмов С., Олисов Б.,
Кудрявцев И. и М а л ьгинов Л., Курс сопротивления материалов,
т. II, Гостехиздат, 1949.
18.	Цаплин С., Теория расчета гибких нитей, Всесоюзная строитель-
ная выставка, 1937.
19.	Ц ап л им С., Висячие мосты, Дориздат, 1940.
222
20.	Цехновицер Ю., Новгородская И., Из опыта проектиро-
вания предварительно напряженных конструкций больших пролетов, «Архи-
тектура СССР», 1958, № 12.
21.	Шум я тек ий Б., Таблицы для решения кубических уравнений,
Гостехиздат, 1950.
22.	Статья Позднева А., «Строительная газета» от 27 января 1960 г.
23.	«Строительство и архитектура за рубежом», 1958, № 4.
24.	Фрей О., Висячие покрытия, Госстройиздат, 1960.
25.	Cornelius W., Die statische Berechnung eines seilverspannten
Daches am Beispiel des U. S. — Pavilions auf der Weltausstellung in
Brussel 1958, ,Der Stahlbau“, 1958, № 4.
26.	Fritz B., Radial vorgespannte Stabhangewerke und ihre Verwen-
dungmoglichkei, „Der Stahlbau", 1958, № 5.
27.	H a h 1 H., Die Stahlkonstruktion fur den U. S—Pavillion auf der
Weltausstellung in Brussel 1958, „Der Srahlbau", 1958, № 5.
28.	Platte F., Die Olimpia-Sporthalle in Squav Valei .Der Stahl-
bau', 1960, № 2.
29.	Seegers, Трубчатый висячий мост через Миссисипи пролетом
656 м, .Bauingineur*, 1957, № 3.
30.	Т а р т а к о в с к и й Г., Новая система сооружения трубопроводов
в виде провисающей нити. Изд. Мин. комм. хоз. РСФСР, 1961.
31.	Лауль X., Кульбах В., Сумбак А., О вопросах статического
расчета и испытания конструкции покрытия таллинской певческой эстрады.
Труды Таллинского политехнического ин-та. 1961, № 184.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ................................................................................................. 3
Глава I. Обзор существующих висячих систем................................................................ 5
§	1.	Вады висячих систем...................................................... ....	5
§	2.	Виды элементов .висячих систем и условия их работы .	16
Глава II. Теория расчета гибких нитей с малыми стрелками .	18
§	3.	Классификация нитей................... —
§	4.	Основные зависимости расчета гибких нитей ....	20
§	5.	Действие равномерно распределенной нагрузки ...	22
§	6.	Длина нити.................. 24
§ 7.	Общий ход расчета нити при изменении действующей на
нее нагрузки........................................ 33
§	8.	Нить с опорами, расположенными на разных уровнях	36
§	9.	Влияние смещения опоры нити и	изменения температуры	44
§	10.	Нить с опорой, перемещающейся	по вертикали ...	50
§ Н.	Расчет нити на нагрузку, действующую перпендикулярно
(плоскости начального провеса.............................. 53
§ 12.	Действие 'сосредоточенной силы произвольного направле-
ния ....................................................... 58
§ 13.	О деформации троса .при изменении продольного	усилия	64
Гл а в а III. Пространственные системы................................................................... 68
§ 14.	Некоторые узлы пространственных систем........................................................... —
§ 15.	Связь системы с формой перекрываемого пространства	76
§ 16.	Веерные (радиальные) системы без 'предварительного на-
тяжения тросов. Постоянная нагрузка .....	79
§ 17.	Веерные системы без предварительного натяжения тросов.
Временная нагрузка.............................................................................. 91
§ 18.	Предварительно напряженные радиальные системы .	107
§ 19.	Системы с параллельными тросами............................................................... 114
§ 20.	Ненапряженные ортогональные системы.............................................................121
§ 21.	Предварительно напряженное ортогональное перекрытие 124
§ 22.	Системы, имеющие поддерживающие тросы вне перекрытия 135
§ 23.	Другие системы..................................................................................137
Глава IV. Жесткие нити...................................................................................141
§ 24.	Введение. Приближенное решение. Характеристики	нитей	—
§ 25.	Вывод общего уравнения оси жесткой нити	....	147
§ 26.	Нить, нагруженная собственным весом..........................................150
§ 27.	Нить с шарнирами.............................................................157
§ 28.	Начальная и дополнительная нагрузка............................................................ 160
§ 29.	Начальная и дополнительная нагрузка различного харак-
тера. Первый этап расчета.............................161
§ 30.	Второй этап расчета..............................169
§ 31.	Действие сосредоточенной силы.................... 177
§ 32.	Влияние изменения температуры....................183
§ 33.	Опоры на разных уровнях..........................186
§ .34	. Многопролетная нить. Уравновешивание натяжений. Нераз-
рывная нить с равными пролетами............................188
§ 35.	Неразрывная нить с пролетами разной	величины .	.	.	195
§ 36.	Начальная нагрузка не сопровождается	изгибом	.	200
§ 37.	Действие боковой нагрузки......................................................................211
§ 38.	Определение крутящих моментов...................................................................216
Литературные источники...................................................................................222