/
Автор: Федоров В.В. Башарин С.А.
Теги: электротехника электроэнергетика электроника теория электрических цепей электромагнитное поле
ISBN: 5-7695-1261-X
Год: 2004
Текст
Высшее профессиональное образование
С. А. Башарин
В. В. Федоров
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
ACADEMA
Электротехника
ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
С.А.БАШАРИН, В.В.ФЕДОРОВ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Рекомендовано
Учебно-методическим объединением
в области энергетики и электротехники
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению подготовки дипломированных специалистов
654500 «Электротехника, электромеханика и электротехнологии»
Библиотека
СЕВМАШВТУЗА
Москва
ACADEMA
2004
УДК 621.3
ББК31.21.Я73
БЗЗ
Рецензенты:
д-р техн, наук, проф. Санкт-Петербургского государственного университета
аэрокосмического приборостроения А. К. Явленский',
д-р техн, наук, проф. Санкт-Петербургского государственного
политехнического университета В.Л. Чечурин
Башарин С. А.
БЗЗ Теоретические основы электротехники: Теория электри-
ческих цепей и электромагнитного поля: Учеб, пособие для
студ. высш. учеб, заведений / С. А. Башарин, В. В. Федоров. —
М.: Издательский центр «Академия», 2004. — 304 с.
ISBN 5-7695-1261-Х
Изложены основы теории электрических цепей и электромагнитного
поля. Наряду с традиционными материалами в учебник вошли новые по-
ложения теории матричного анализа электрических цепей, распростра-
нения электромагнтных волн вдоль направляющих систем и в многослой-
ных средах. Приведены примеры решения практических задач в области
электротехн ики.
Для студентов высших технических учебных заведений.
УДК 621.3
ББК31.21.я73
Учебное издание
Башарин Сергей Артемьевич, Федоров Виктор Викторович
Теоретические основы электротехники: Теория электрических
целей и электромагнитного поля
Учебное пособие
Редактор В. Н. Путилов
Технические редакторы О, С. Александрова, Е. Ф. Коржуева
Компьютерная верстка: В. Н. Канивец
Корректоры Е. Ю. Куринских, К. М. Корепанова
Изд. № A-734-I. Подписано в печать 27.07.2004. Формат 60*90/16.
Гарнитура «Таймс». Печать офсетная. Бумага тип. № 2. Усл. печ. л. 19,0.
Тираж 5100 эки Заказ № 13665.
Лицензия ИД № 02025 от 13.06.2000. Издательский центр «Академия».
Санитарно-эпидемиологическое заключение № 77.99.02.953.Д.004796.07.04 от 20.07.2004.
117342, Москва, ул. Бутлерова, 17-Б, к. 328. Тел./факс: (095)330-1092, 334-8337.
Отпечатано на Саратовском иолшрафическом комбинате.
410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59.
© Башарин С. А., Федоров В. В., 2004
ISBN 5-7695-1261-Х © Издательский центр «Академия», 2004
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебное пособие предназначено для студентов высших техни-
ческих учебных заведений, изучающих курс «Теоретические ос-
новы электротехники».
В основу курса положены материалы ранее изданных учебни-
ков по теории электрических цепей и теории электромагнитного
поля, дополненные положениями о современных методах теоре-
тической электротехники. Этот курс рассчитан как на специалис-
тов в данной области, так и на людей, впервые изучающих теоре-
тические основы электротехники. В него наряду с традиционны-
ми материалами включены новые положения анализа электри-
ческих цепей с применением матричных методов, ориентирован-
ных на современные компьютерные технологии.
Состоит из двух разделов: «Основы теории электрических це-
пей» и «Основы теории электромагнитного поля».
Первый раздел базируется на трудах сотрудников кафед-
ры теоретических основ электротехники Санкт-Петербургского го-
сударственного электротехнического университета, в частности
ГЕН.Матханова [I, 2]. Фундаментальные научные разработки,
содержащиеся в его работах, изложены в упрощенной форме и
дополнены материалами по теоретической электротехнике Г И. Ата-
бекова [3]. Кроме того, в этот раздел включено описание некото-
рых современных методов анализа электрических цепей, разрабо-
танных в последнее время в области теоретической электротехни-
ки [4... 12].
Во втором разделе рассмотрены основные положения те-
ории электромагнитного поля. В нем последовательно изложены
фундаментальные законы физики, относящиеся к электромагнит-
ному полю. На их основе даны определения основных понятий
векторов напряженности электрического и магнитного полей,
электрической и магнитной индукций, скалярных и векторных
потенциалов, электрической емкости, индуктивности и прово-
димости. Из анализа законов выводятся уравнения Максвелла и
полная система дифференциальных и интегральных уравнений
электромагнитного поля.
В разделе рассмотрены волновые уравнения и граничные усло-
вия, которые должны выполняться при их решении для векторов
напряженности и индукции электромагнитного поля.
3
Отдельно приведен анализ группы потенциальных полей, в
которых определение напряженности сводится к решению ска-
лярных уравнений Пуассона или Лапласа для потенциалов. Кроме
того, рассмотрены различные методы решения скалярных урав-
нений- Большая часть раздела посвящена переменным электро-
магнитным полям, их свойствам, отражению волн от границ, рас-
пространению их в многослойных средах, излучению и экраниро-
ванию- Ряд задач решается методами электрических цепей.
Изложенные материалы позволяют читателю самостоятельно
на основе фундаментальной теории электрических цепей и элек-
тромагнитного поля подойти к решению практических задач.
Наряду с этим, приводится множество примеров решения прак-
тических задач в области электротехники. Другие примеры реше-
ния типовых задач содержатся в рекомендуемой литературе по
этому вопросу [13... 15].
В конце книги помещены некоторые сведения по векторному
анализу, необходимые для успешного освоения материала.
Первый раздел написан проф. С А. Башариным, второй — проф.
В. В. Федоровым.
Раздел I
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Глава 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ
И ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
1.1. Электрическим ток, электрическое напряжение,
энергия при протекании тока, мощность
электрического тока
Электрическим током называется явление упорядоченного
движения электрических зарядов. За направление электрическо-
го тока принимается направление движения положительных за-
рядов, как это условно показано на рис. 1.1. Величина электри-
ческого тока представляет собой скорость изменения заряда во
времени и может быть определена из выражения
/ = lim — = —, Кл/с = А.
дг->о д/ dr
В системе СИ электрический ток измеряется в амперах.
Электрический ток обозначается латинскими буквами i или L
Символом /(г) обозначается «мгновенное» значение тока, т.е. ток
произвольного вида в любой момент времени. В частном случае
он может быть постоянным, например ток ix (рис. 1.2) или пере-
менным, например ток ь. Прописной латинской буквой / обо-
значается, как правило, постоянное значение тока.
Электрический ток можно условно рассматривать как алгеб-
раическую величину, знак которой зависит от выбранного па-
Рис. 1.1. Направление
электрического тока
Рис. 1.2. Виды элек-
трического тока
Рис. 1.3. Измене-
ние направления
5
4 “12
О---1---1--02
i -ь « -
> > L J—
Рис. I 4. Изменение полярности
напряжения
Рис. 1.5. Согласование напряже-
ния и тока
правления. На рис. 1.3 показаны токи в элементе цепи, равные
по величине, но различные по направлению: Л = -/|.
При протекании тока, как и при всяком перемещении заря-
дов, происходит процесс преобразования энергии. Количество
энергии, которое необходимо затратить на перемещение едини-
цы заряда из одной точки в другую, называется электрическим
напряжением.
Электрическое напряжение обозначается латинской буквой и.
Символом и (г) обозначается «мгновенное» значение напряже-
ния, а прописной латинской буквой Uобозначается, как прави-
ло, постоянное напряжение.
Электрическое напряжение, как и ток, можно условно счи-
тать алгебраической величиной, знак которой зависит от вы-
бранной полярности. На рис. 1.4 показаны два напряжения, рав-
ные по величине, но различной полярности: г«12 = -w2i-
Если ток в элементе электрической цепи протекает от знака
«+» напряжения к знаку «-», то условно считается, что он согла-
сован с напряжением. На рис. 1.5 показан элемент электриче-
ской цепи, в котором ток согласован с напряжением.
Величина напряжения определяется из выражения
.. Aw dl/2 п /IX о
и = hm — = —, Дж/Кл = В.
д9->о дд dq
Электрическое напряжение в системе СИ измеряется в вольтах.
Энергия при протекании электрического тока определяется из
выражения
/ г
w = J uidt = J pdr, Дж.
-DO —
Скорость изменения энергии во времени определяет мощ-
ность при протекании электрического тока:
р = — = ui, Дж/с = В г.
dz
Мощность — величина алгебраическая, знак которой зависит
от знаков тока и напряжения. Если мощность положительна, это
означает, что энергия потребляется или запасается пассивными
6
элементами цепи, если отрицательна, энергия возвращается в
источник.
1.2. Электрическая цепь и ее элементы
Электрической цепью называется совокупность устройств, пред-
назначенных для протекания по ним электрического тока. Эти уст-
ройства называются элементами цепи. Элементы цепи можно ус-
ловно объединить в группы, как это показано на рис. 1.6.
Источниками электрической энергии называют устройства,
преобразующие различные виды энергии, например механиче-
скую или химическую, в энергию электрического тока.
При описании электрических цепей реальные физические
элементы заменяются идеализированными элементами, процес-
сы в которых удобно представить с помощью математических
выражений. С такой позиции источники энергии в цепи можно
условно разделить на два типа: идеальный источник напряжения
и идеальный источник тока.
1. Идеальный источник напряжения, напряжение на зажимах
которого не зависит от величины протекающего через него тока.
Внутреннее сопротивление идеального источника напряжения
можно условно принять равным нулю. Обозначение такого источ-
ника и его вольт-амперная характеристика приведены на рис. 1.7.
Идеализация источника напряжения накладывает ограниче-
ния на его использование в электрических цепях. На рис. 1.8
приведены примеры некорректного (недопустимого) включения
идеальных источников напряжения.
2. Идеальный источник тока, величина протекающего тока че-
рез который не зависит от напряжения на его зажимах. Внутрен-
нее сопротивление такого источника можно условно принять рав-
Рис. 1.6. Элементы электрической цепи
7
и
Лвн =0
Рис. 1.7. Идеальный источник
напряжения и его вольт-ам-
перная характеристика
Рис. 1.8. Некорректное включе-
ние идеальных источников на-
пряжения
Рис. 1.9. Идеальный источник тока
и его вольт-амперная характери-
стика
Рис. 1.10. Некорректное вклю-
чение идеальных источников
тока
ным бесконечности. Обозначение идеального источника тока и
его вольт-амперная характеристика приведены на рис. 1.9.
Идеализация источника тока также накладывает ограничения
на его использование в электрических цепях. На рис. 1.10 приве-
дены примеры некорректного включения идеальных источников
тока.
Приемниками называются устройства, потребляющие энергию
или преобразующие электрическую энергию в другие виды энер-
гии. Приемники можно условно разделить на несколько групп, в
числе которых двухполюсники и многополюсники.
Двухполюсниками называются цепи, имеющие два зажима для
подключения (полюса). Основными идеальными пассивными
двухполюсниками являются идеальные /?-, L- и С-элементы.
Идеальным R-элементом (резистивным элементом, или рези-
стором) называется такой пассивный элемент цепи, в котором
происходит необратимый процесс преобразования электриче-
ской энергии в тепловую. Изображение идеального А-элемента
показано на рис. 1.11.
Связь между напряжением и током в A-элементе называется
вольт-амперной характеристикой (ВАХ). Для линейного /?-эле-
мента вольт-амперная характеристика определяется законом
~ . и -г.
Ома: / = — или и = гл.
R
Вольт-амперная характеристика линейного Я-элемснта при-
ведена на рис. 1.12. Основным параметром идеального /?-эле-
8
Рис. 1.1L Идеаль-
ный R элемент
Рис. 1.12. Вольт-ампер-
ная характеристика ли-
нейного R- элемента
Рис. 1.13. Вольт-ампер-
ная характеристика не-
линейного ^-элемента
мента является его сопротивление. В системе С И сопротивление
измеряется в омах:
7? = -, В/А=Ом.
i
Кроме сопротивления, в качестве параметра 7?-элемент а мож-
но использовать его проводимость. Проводимость является об-
ратной величиной по отношению к сопротивлению. В системе
СИ проводимость измеряется в сименсах.
С = - = -, А/В=См.
R и
Сопротивление и проводимость Я- элемента определяют связь
между током и напряжением и, как следствие, наклон вольт-ам-
перной характеристики линейного 7?-элемента. Как видно из
рис. 1.12, тангенс угла наклона ВАХ определяет его проводи-
мость:
/
tga =
и
На рис. 1.13 приведена вольт-амперная характеристика нели-
нейного /?-элемснта. Она определяет произвольную функцио-
нальную зависимость между током и напряжением: t = или
п = /2(0- Для нелинейного /^-элемента различают два типа со-
противлений: статическое, определяемое в любой точке ВАХ,
R = —, и динамическое, определяющее характер изменения не-
линейной ВАХ в заданной точке, г = —.
дии d/.
К энергетическим характеристикам R элемента относятся
мощность и энергия. Мощность 7?-элемента всегда положитель-
на, т.е. энергия в этом элементе может только потребляться, пре-
образуясь в тепло:
р - ui ~ Rr =Gu > 0.
9
Энергию Я-элемента можно определить из
выражения
Рис. 1.14. Идеаль-
ный /-элемент
= J pdr =j uidt = j Ri 'df =J Gu 2d/.
n 'i
По своим свойствам к идеальным R-элементам близки такие
реальные устройства, как лампы накаливания, нагревательные
приборы и т. п.
Идеальным L-элементом (индуктивным элементом или катуш-
кой индуктивности) называется такой пассивный элемент цепи,
в котором происходит процесс преобразования энергии электри-
ческого тока в энергию магнитного поля и наоборот. В идеаль-
ном /.-элементе потери энергии отсутствуют. Обозначение
/-элемента показано на рис. 1.14.
Основная характеристика /.-элемента — вебер-амперная. Она
определяет связь между током, протекающим через элемент, и
потокосцеплением (суммарным потоком), создаваемым элемен-
том. Для линейного /-элемента она имеет вид, показанный на
рис. 1.15:
V = ££
где у — потокосцепление. Величина / играет роль коэффициен-
та пропорциональности между потоком и током. Она называет-
ся индуктивностью. Индуктивность измеряется в генри. Размер-
ность индуктивности определяется из выражения
£=-, Вб/А=Гн.
На рис. 1.16 приведена вебер-амперная характеристика нели-
нейного / -элемента. Она имеет произвольную функциональную
зависимость, связывающую ток и потокосцепление:
V = /(О-
Вебер-амперные зависимости £-элемента определяются сле-
дующими выражениями:
VA
v+
Рис. 1.15. Вебер-амперная харак- Рис. 1.16. Вебер-амперная характе-
теристика линейного /-элемента ристика нелинейного /-элемента
10
i = /(0) +
и
Процессы в £-элементе подчиняются ’? Идеальный
С-элемент
закону коммутации, который для индук-
тивного элемента можно сформулировать так: при напряжении
конечной амплитуды потокосцепление не может измениться
скачком, т. е. у(0 ) - у(0 ).
Это равенство можно пояснить с помощью предела:
dy .. Ду
и ~ —- = игл —
dr дг
Если Л/ стремится к нулю, то и Ду должно стремиться к нулю.
В противном случае напряжение должно стремиться к бесконеч-
ности, чего по определению быть не может.
Следствие из закона коммутации: при неизменной индуктив-
ности ток в индуктивном элементе не может измениться скач-
ком, т.е.
Мощность t-элемента определяется произведением напряже-
ния на ток (р = ui) и является величиной алгебраической. Если
р > 0, то энергия запасается, если р < 0 — энергия возвращается в
источник.
Величина энергии определяется из выражения
= j pdt = । n/dz,
w
t
или w = iz?(0) + j uidt.
о
Если значение энергии к моменту времени t = 0 равно 0, то
Идеальным С-элементом (емкостным элементом, или конден-
сатором) называется такой пассивный элемент цепи, в котором
происходит процесс преобразования энергии электрического то-
Рис. 1.18. Кулон-вольтная харак- Рис. 1.19. Кулон-вольтная характе-
теристика линейного С-элемента ристика нелинейного С-элемента
ка в энергию электрического поля и наоборот. В идеальном
С-элементе потери энергии отсутствуют. Обозначение С-элемен-
та показано на рис. 1.17.
Основная характеристика С-элемента — кулон-вольтная. Она
характеризует связь между зарядом и напряжением на конденса-
торе. Для линейного С-элемента она показана на рис 1.18 и име-
ет вид прямой, проходящей через начало координат: q -Си. Ве-
личина С играет роль коэффициента пропорциональности между
зарядом и напряжением и называется электрической емкостью.
В системе СИ емкость измеряется в фарадах. Размерность емко-
сти определяется из выражения
С = ^, Кл/В = Ф.
и
На рис. 1.19 приведена кулон-вольтная характеристика нели-
нейного С-элемента. Она имеет произвольную функциональную
зависимость, связывающую напряжение с зарядом:
Q = f(u).
Вольт-амперные зависимости С-элемента определяются сле-
дующими выражениями-
du
dr
и = u(0) + Jr dr.
о
Как и в индуктивном элементе, процессы в С-элементе под-
чиняются закону коммутации, который для емкостного элемента
можно сформулировать так: при токе конечной амплитуды заряд
на С-элементе не может измениться скачком, т.е.
4(0+) = $(0“).
Это равенство можно пояснить с помощью предела:
i - — = lim —.
d/ д/
Если ДГ стремится к нулю, то и Aq должно стремиться к нулю.
В противном случае ток должен стремиться к бесконечности, че-
го по определению быть не может.
Следствие из закона коммутации: при неизменной емкости
напряжение на емкостном элементе не может измениться скач-
ком, т.е.
uc(0+) = ггс(О").
Мощность С-элемента определяется произведением напряже-
ния на ток: ( р = ui) и является величиной алгебраической. Если
Рис. 1.21. Четырехполюсный
элемент цепи
Рис. L20. Трехполюсный эле-
мент цепи
р > 0, то энергия запасается, если р < 0, — энергия возвращается
в источник.
Величина энергии определяется из выражения
г
или w = tt>(0) + j w/dr.
о
Если значение энергии к моменту времени t = 0 равно 0, то
/?-, L- и С-элементы — основные пассивные двухполюсные
элементы электрических цепей. Кроме двухполюсников пассив-
ные элементы могут быть многополюсными, т.е. элементами с
множеством полюсов. На рис. 1.20 в качестве примера многопо-
люсника приведено изображение трехполюсного элемента цепи,
а на рис. 1.21 — четырехполюсного.
13. Основные задачи и законы электрических цепей
На рис. 1.22 изображена электрическая цепь, состоящая из
источников и приемников. Через элементы цепи протекают то-
ки, а на зажимах элементов имеются напряжения. Напряжения
источников напряжения и токи источников тока называются
воздействиями, или входными сигналами. Все остальные токи и
напряжения называются откликами на эти воздействия, или ре-
акциями. Задачи, которые приходится решать при исследовани-
ях электромагнитных процессов в электрических цепях, можно
условно разделить на следующие.
Рис. 1.22. Электрическая цепь
13
Рис. 1.23. Устранимый узел цепи Рис. 1.24. Неустранимый узел цепи
1. Задачи анализа — при их решении заданы воздействия,
структура цепи и параметры элементов, требуется определить ре-
акции цепи.
2. Задачи синтеза — в этом случае заданы воздействия и реак-
ции, требуется определить структуру или параметры цепи (струк-
турный или параметрический синтез).
3. Задачи идентификации — обычно заданы воздействия и экс-
периментально сняты реакции в реальной цепи, требуется опре-
делить структуру или параметры цепи (структурная или парамет-
рическая идентификация).
При решении задачи анализа электрической цепи используются
основные законы электрических цепей — законы Кирхгофа и Ома.
Многие методы анализа цепей основаны на этих законах.
Закон токов Кирхгофа (ЗТК) можно сформулировать следую-
щим образом: алгебраическая сумма токов ветвей цепи, подклю-
ченных к узлу цепи, равна нулю, т.е.
п
Узлом цепи называется такая точка в цепи, к которой под-
ключены две или более ветвей Если к узлу подключены две вет-
ви, узел называется устранимым. Его можно рассматривать как
узел или игнорировать. Если в узел сходятся три или более вет-
вей, узел называется неустранимым.
На основании закона токов Кирхгофа можно записать уравне-
ние соединения ветвей цепи для узла (уравнения Кирхгофа для то-
ков в узле). Например, для узлов, изображенных на рис. 1.23 и
1.24. можно записать соответственно уравнения соединений
-ц + /2 =0; - /, + /2 + Z, = 0.
Закон напряжений Кирхгофа (ЗНК) применяется при записи
уравнений соединений для напряжений ветвей цепи. Его можно
сформулировать следующим образом: алгебраическая сумма на-
пряжений ветвей цепи, входящих в контур, равна нулю, т.е.
Л
Х^=о.
*=i
14
Рис. 1.25. Контур цепи
Рис. 1.26. Электрическая цепь, состоящая
из двух контуров
Контуром называется путь по ветвям цепи, который начина-
ется и заканчивается в одном и том же узле. Пример контура
приведен на рис. 1.25. Уравнение соединений цепи для этого
контура, составленное с помощью ЗНК, будет иметь вид
-И| + и2 + и3 - иА = 0.
Аналогично можно записать систему уравнений соединений
разветвленной цепи, приведенной на рис. 1.26. При составлении
уравнений следует помнить, что уравнения соединений должны
быть линейно независимыми, т.е. чтобы их число было необхо-
димым и достаточным для определения неизвестных токов или
напряжений. Число уравнений для токов в узлах должно быть на
единицу меньше числа узлов:
fi, = п1 - 1,
а число уравнений для напряжений в контурах должно равнять-
ся числу ветвей цепи за вычетом числа уравнений для токов:
«и =«»-«!
Тогда система уравнений соединений цепи (рис. 1.26), состав-
ленная по законам Кирхгофа, будет иметь вид
+,с/ + *1 -
+ /2 - / = 0;
-U + их + и, = 0;
-и2 + их =0.
Для того чтобы записанная система уравнений была разреши-
ма, необходимо привести в соответствие число уравнений и чис-
ло неизвестных. Для этого в элементах цепи напряжения можно
выразить через токи на основании закона Ома или, наоборот, то-
ки выразить через напряжения.
15
Рис. 1.27. Дуальные элементы цепи
Рис. i.28. Дуальные понятия
1.4. Понятие о дуальности в электрических цепях
Некоторые приведенные ранее выражения похожи друг на
друга, например уравнения соединений цепи по законам токов и
напряжений Кирхгофа или выражения, определяющие свойства
L и С-элементов. Для L-элемента напряжение связано с током
г df
через производную: и = L—, а для С-элемента ток связан с на-
dr
. _dw ~
пряжением аналогично: / -С—, Эти выражения похожи и пре-
dr
образуются одно в другое в случае замены напряжений на токи,
индуктивностей на емкости и т.д. Такие выражения, как и вели-
чины, которые в них необходимо заменить, называются дуальны-
ми.
В качестве примера дуальных величин можно привести сле-
дующие:
напряжение и ток (и i)\
индуктивность и емкость (L е»С);
сопротивление и проводимость (Л <-> (7);
потокосцепление и заряд (у <-> q).
В приведенных выражениях символ <«->» означает дуальность.
Дуальными могут быть элементы цепи. Например, на рис. 1.27
приведен пример дуальных элементов: источник напряжения и
источник тока — дуальные элементы цепи.
Рис. 1.29. Исходная цепь для
дуальных преобразований
Рис. 1.30. Выбор узлов цепи для ду-
альных преобразований:
1 и 2 — узлы внутри ячеек; 3 — узлы
вне цепи
16
3
Рис. 1.31. Электрическая цепь, дуальная исходной:
/ и 2 — узлы внутри ячеек; 3 ~ узел вне цепи
Дуальными могут быть методы или законы, например закон
токов Кирхгофа дуален закону напряжений Кирхгофа. Дуальны-
ми могут быть некоторые понятия теории электрических цепей.
Например, на рис. 1.28 показаны узел и контур цепи, которые
являются дуальными понятиями.
Руководствуясь принципом дуальности, можно формировать
дуальные цепи, электромагнитные процессы в которых будут
аналогичны. Для построения дуальной цепи необходимо соблю-
дать следующие правила.
1. В каждой ячейке исходной цепи выбирается узел дуальной
цепи и один узел вне цепи.
2. Узлы соединяются линиями таким образом, чтобы каждая
линия пересекала только один элемент.
3. В линию вводится элемент, дуальный элементу этой ветви в
исходной цепи.
Для примера построим дуальную цепь. В исходной цепи
(рис. 1.29) узлы 7 и 2 (рис. 1.30) выбирают внутри ячеек, а узел 3
выбирают вне цепи, как показано на рис. 1.30. Узлы соединяют-
ся линиями таким образом, чтобы линии пересекали элемент це-
пи. В линии, соединяющие узлы преобразованной цепи, вводят
элементы, дуальные элементам исходной цепи. В результате по-
лучается цепь, дуальная исходной (рис. 1.31). Уравнения соеди-
нений исходной и дуальной цепей также дуальны.
На основе принципа дуальности можно не только строить
схемы с заданными свойствами, но и формулировать теоремы и
законы электрических цепей.
Библиотека
СЕВМАШВТУ ЗА
Глава 2
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С А-ЭЛЕМЕНТАМИ
(РЕЗИСТИВНЫХ ЦЕПЕЙ)
2.1. Соединения /^-элементов
Последовательное соединение. Последовательным соединени-
ем 7?-элементов называется такое, при котором элементы соеди-
нены друг за другом и через них протекает один и тот же ток (ме-
жду ними нет ответвлений). Пример последовательного соедине-
ния 7?-элементов приведен на рис. 2.1. Согласно закону напря-
жений Кирхгофа напряжение на входе цепи (на зажимах источ-
ника) равно сумме напряжений на отдельных элементах:
U = г/] + и2 + н3.
Если напряжения на отдельных элементах выразить через ток
и сопротивление, то записанное выражение примет вид
U = 7?^/ = + Т?2/ + Ryi = (7?l + Т?2 + 7?з)/.
Сумму сопротивлений, стоящую в скобках, обозначим через RM.
= Д + R2 + 7?,; R^^R*.
Отсюда можно сделать вывод: при последовательном соедине-
нии R элементов их сопротивления складываются.
На принципах последовательного соединения построено уст-
ройство, которое называется делителем напряжения. Делителем
напряжения также называется последовательное соединение двух
или нескольких элементов (участков) цепи. Схема делителя на-
пряжения, содержащего два элемента, представлена на рис. 2.2.
Пользуясь формулами делителя напряжения (ФДН), можно опре-
делить напряжение на одном из элементов делителя (на плече де-
Рис. 2.1. Последовательное со-
единение 7?-элементов
Рис. 2.2. Делитель напряжения
18
лителя). Общий ток и напряжения на плечах делителя вычисляют-
ся согласно закону Ома:
Kl + к2
UR. UR.
и. = =—; и. -------=—.
1 Rl+R, 2 Rt+R-,
Выражения, позволяющие определить напряжения на плечах де-
лителя напряжения, являются формулами делителя напряжения.
Параллельное соединение. Параллельным соединением Я-элс-
ментов называется такое, при котором полюса элементов при-
соединены к одним и тем же точкам (узлам) цепи и на них одно и
то же напряжение. Пример параллельного соединения Я-элемен-
тов приведен на рис. 2.3. При параллельном соединении элемен-
тов входной ток (ток источника) равен сумме токов в отдельных
элементах:
/ = /, + /2 + /3.
Заменив токи в элементах цепи согласно закону Ома произве-
дением проводимостей элементов и напряжения, получим новое
выражение, из которого можно определить общую (входную)
проводимость параллельного соединения элементов:
/ = (7В> и = Gxu + G-.U +G и = (Gi +G• + G. )w;
Gm = Gi + G2+(73; G^^G,-
k=l
Последнее выражение позволяет сделать вывод: при парал-
лельном соединении элементов их проводимости складываются.
На принципах параллельного соединения построено устрой-
ство, которое называется делителем тока Схема простейшего де-
лителя тока, состоящего из двух параллельно соединенных эле-
ментов цепи, представлена на рис. 2.4. Пользуясь формулами де-
Рис. 2.3. Параллельное соединение
Я-элементов
Рис. 2.4. Делитель тока
19
лителя тока (ФДТ)Э можно определить ток в одном из элементов
делителя (в плече делителя):
и = 1 ; = и<7,; /2 = ыС2;
Ц +о2
. _ /6, . . IG2
'1~Gj+G2' '2~Gi+G2‘
Эти выражения, позволяющие определить токи в плечах дели-
теля тока, являются формулами делителя тока. Токи в плечах де-
лителя можно определить и через сопротивления резисторов:
ZR, IR.
ii=-----; /2 =-------!—
1 R, + R2 2 R} + R2
Последние выражения также называют формулами делителя
тока, и они могут быть использованы для определения токов в
плечах делителя тока.
Смешанное соединение. Смешанным соединением Я-элементов
называется соединение, которое включает совокупность рассмот-
ренных типов соединений. Пример смешанного соединения
R элементов в цепи приведен на рис. 2.5. Общее (входное) сопро-
тивление цепи относительно зажимов 1—2 можно определить пу-
тем постепенного упрощения цепи. Сначала следует объединить
сопротивления Я и Я^ как последовательно соединенные. В по-
лученной после упрощения цепи, показанной на рис. 2.6, можно
объединить сопротивления Я34 и Я2, как параллельно соединен-
ные. Результат дальнейшего упрощения структуры цепи показан
Рис. 2.5. Смешанное соединение
Я-эле ментов:
7—3 — зажимы
Рис. 2.6. Цепь с упрощением
структуры
^3
Рис. 2.7. «Свернутая» цепь
Рис. 2.8. Цепь с перекрещиванием
элементов
20
на рис. 2.7, в которой входное сопротивление будет представлять
собой последовательное соединение сопротивлений R и R 34.
В тех случаях, когда элементы цепи не включены ни последо-
вательно, ни параллельно, объединять сопротивления нельзя
(цепь с перекрещиванием элементов). В этом случае для упроще-
ния структуры цепи следует применять специальные методы
преобразования цепей. Пример цепи с перекрещиванием эле-
ментов представлен на рис. 2.8.
2.2. Методы преобразования цепей с ^-элементами
Преобразование элементов цени из треугольника в звезду. На
рис. 2.9 показано соединение A-элементов цепи треугольником.
Чтобы преобразовать эту схему в звезду из трех элементов, изо-
браженную на рис. 2.10, следует исходить из принципа эквива-
лентности двух схем. Принцип эквивалентности состоит в том,
чтобы после преобразования токи и напряжения в непреобразо-
ванной части цепи не изменились. Для определения параметров
элементов Rb А2 и А3 из условий эквивалентности предположим,
что к зажимам 7 и 2 подключен источник тока /, как это показа-
но на рис. 2.11 и 2.12.
Для треугольника из А-элементов (см. рис. 2.11) и для звезды из
А-элементов (см. рис. 2.12) можно соответственно записать уравне-
ния
А12(А23 + А31) _ , п «
“12 - *12 ’ И12 - 112I'M + 7*2 )•
К12 + К23 + К31
Приравнивая левые и правые части уравнений, получим ра-
венство
^12(^23 4 *31) _ д
*12 + *23 + *31
+ А2.
(2.1)
Подключим теперь источник тока к зажимам 2—3 обеих схем,
а затем к зажимам 3—1. В результате получим еще два равенства,
подобных равенству (2.1):
Рис. 2.9, Соединение А-эле ментов
треугольником
Рис. 2.10. Соединение А-эле-
ментов звездой
21
Рис. 2.11. Подключение источника
тока к «треугольнику» R-элементов
Рис. 2.12. Подключение источни-
ка тока к «звезде» Я-эд с ментов
+ Я,2)
^12 + ^23 + *31
— /?2 +
*31 (*12
*12 + *23 + *31
= Л, + 7?3.
(2.2)
(2.3)
^23 (^31
Решая совместно равенства (2.1), (2.2) и (2.3), определим зна-
чения параметров элементов 7?ь /?2 и /?3:
*12*31
*12 + *23 + *31
*12 *23 . R *23*31
*12 + *23 + *31 *12 + *23 + *31
Преобразование элементов цепи из звезды в треугольник. При
обратном преобразовании R-элементов из звезды в треугольник
аналогичным образом можно получить выражения для определе-
ния параметров элементов треугольника. При этом удобнее опе-
рировать с проводимостями элементов.
На рис. 2.13 и 2.14 изображены схемы соединения (7-элементов
звездой и треугольником. При использовании в качестве парамет-
ров G-элементов их проводимостей формулы для определения па-
раметров элементов треугольника будут иметь следующий вид:
Рис. 2.13. Соединение G-эле-
ментов звездой
Рис. 2.14. Соединение (7~элсмсн-
тов треугольником
22
Преобразование источников напряжения и тока. Если в цепи
источник напряжения включен последовательно с 7?-элементом,
как показано на рис. 2.15, то его можно преобразовать в источ-
ник тока с параллельным резистором, как это показано на
рис. 2.16. Величина тока, полученного в результате преобразова-
ния источника тока, определяется из условия эквивалентности
преобразования, т.е. цепь, изображенная на рис. 2.15, должна
быть эквивалентна цепи, изображенной на рис. 2,16. Под экви-
валентностью здесь следует понимать равенство токов и напря-
жений в обеих цепях относительно внешних зажимов (зажимов
справа). Для доказательства эквивалентности такого преобразо-
вания определим ток i в обеих цепях. В цепи (см. рис. 2.15) ток
Ж . и - и
можно определить с помощью закона Ома: / =---, в цепи (см.
R
рис. 2.16) этот же ток будет равен / = /-—. Приравнивая левые и
R
правые части уравнений, получим
U-u г и т U
_ = откуда/ =-.
При обратном преобразовании источника тока с параллель-
ным резистором в источник напряжения с последовательным ре-
зистором напряжение источника определяется аналогичным об-
разом: U = IR.
В том случае, если последовательно с источником напряжения
не включен резистор, как, например, в цепи на рис. 2.17, то такой
источник называют непреобразуемым Для его преобразования не-
обходимо источник напряжения предварительно разделить на два
параллельно включенных одинаковых источника. Затем следует
привести цепь к виду, показанному на рис. 2.18, что возможно, по-
скольку законы Кирхгофа при этом не нарушаются.
Если параллельно с источником тока не включен резистор,
как, например, в цепи на рис. 2.19, такой источник тока также
называют непреобразуемым. Для его преобразования, как и в
предыдущем случае, необходимо источник тока предварительно
разделить на два источника тока, а затем представить схему в ви-
Рис. 2.15. Источник напряжения с
последовательным А-элементом
/
Рис. 2.16. Источник тока с па-
раллельным А-элсмснтом
23
Рис. 2.18. Разделение идеального
источника напряжения
Рис. 2.17. Цепь с нспреобразу-
емым источником напряжения
Рис. 2.19. Цепь с нспреобразу-
смым источником тока
Рис. 2.20. Разделение идеального
источника тока
де, приведенном на рис. 2.20. Анализ цепи на рис. 2.20 показыва-
ет, что, как и в предыдущем случае, законы Кирхгофа при таком
преобразовании не нарушаются.
2.3. Метод пропорциональных величин и метод наложения
Метод пропорциональных величин. Метод основывается на
свойстве однородности цепи, и его удобно использовать для рас-
чета цепей лестничного вида. Примером такой цепи может слу-
жить цепь, изображенная на рис. 2.21. Пусть в этой цепи задано
воздействие U и параметры элементов Rb R^ R$. Требуется
определить реакцию в конце цепи, например, напряжение на
элементе R^, Решение задачи разделяется на два этапа. На пер-
вом этапе определяется коэффициент передачи, представля-
ющий отношение реакции к воздействию:
U ‘
Рис. 2.21. Резистивная цепь
лестничной структуры
Расчет коэффициента передачи
удобно производить, начиная от
конца цепи, условно приняв иско-
мую реакцию, т.е. напряжение на
резисторе Л4} равной одному воль-
ту. Тогда все токи и напряжения в
цепи можно рассчитать на основе
законов Ома и Кирхгофа, после-
24
довательно продвигаясь от резистора Т?4 к источнику напряже-
ния:
z г
w4 = 1; f4 = ; r3 = ; w3 = /3/<з; u2 = u3 + i/4, i2 =
7<4 A2
< = '2 + 6'; < = M; и' = «Г + «2-
Определив таким образом напряжение источника U, можно
определить и коэффициент передачи к:
Л-"1---1;.
и и
На втором этапе решения, зная коэффициент передачи и со-
ставив простейшую пропорцию, можно определить искомую ре-
акцию цепи на любое воздействие. Например, при воздействии,
равном U', реакция w4 = 1, а при воздействии, равном U, реакция
w4 = х. Отсюда получаем
x = u4=U± = Uk.
Метод наложения (суперпозиции). Метод основан на принципе
суперпозиции, согласно которому реакция цепи от воздействия не-
скольких источников равна алгебраической сумме реакций от воз-
действия каждого источника в отдельности. Например, на рис. 2.22
изображена цепь, содержащая два источника: источник напряже-
ния и источник тока. Согласно принципу суперпозиции сначала
определяют реакции (токи в ветвях с резисторами) от воздействия
только одного источника — источника напряжения, источник тока
при этом исключаем (рис. 2.23). Зажимы источника тока следует
разомкнуть, поскольку его внутреннее сопротивление условно
считается равным бесконечности. В этом случае реакции, т.е. то-
ки в ветвях цепи, можно определить по закону Ома:
и '* я,+ r2 , у А, ©К «2 Ф Т J 1 Рис. 2.22. Резистивная цепь с двумя источниками _ и 11 r, + r2' г-^7 - Рис. 2.23. Резистивная цепь с от- ключенным источником тока 25
Рис. 2.24 Резистивная цепь
с отключенным источни-
ком напряжения
Затем определяют реакции от воз-
действия источника тока, при этом
зажимы источника напряжения сле-
дует закоротить, (рис. 2.24), посколь-
ку внутреннее сопротивление источ-
ника напряжения условно равно ну-
лю. Токи в ветвях цепи можно опре-
делить, воспользовавшись формула-
ми делителя тока:
/Т?2 .
/?1 + Л/
/К(
й, + R2
Теперь необходимо сложить полученные составляющие токов
в соответствии с выбранными направлениями. При этом следует
выполнить правило: если направление составляющей соответст-
вует выбранному направлению тока в исходной цепи, то эта со-
ставляющая берется в сумме со знаком «+», если направление
противоположно — со знаком «-», т.е.
Z1 ~ ~ > l2 ~ l2 + l2-
2.4. Метод контурного анализа
Метод контурного анализа (МКА) или метод контурных токов
(МКТ) применяется для расчета сложных (разветвленных) цепей
с большим числом элементов и небольшим количеством незави-
симых контуров (ячеек). Метод рекомендуется применять в тех
случаях, когда в цепи имеются только источники напряжения.
Если в цепи имеются источники тока, то их рекомендуется пре-
образовать в источники напряжения.
За переменные в МКА принимаются токи независимых кон-
туров, которые называются контурными токами. Контурные то-
ки условно протекают лишь в контуре и представляют собой не
реальные физические токи, а лишь некоторые расчетные величи-
ны. Для цепи, представленной на рис. 2.25, контурными токами
я вляются токи 7, /2 >* з - Со-
Рис. 2.25. Контур резистивной
цепи
гласно методу наложения токи,
протекающие в ветвях цепи,
можно выразить через контур-
ные токи:
Рассмотри м внутренний
контур цепи и на его примере
26
покажем, как формируются уравнения МКА. Запишем сначала
для контура уравнение Кирхгофа:
/| Я| 61 + /3Л3 + U2 — i2R2 — 0.
Преобразуем это уравнение так, чтобы в качестве неизвестных
в уравнении были контурные токи:
/] /? + ijR3 — i2R2 — Uy — L 2\
i*Ry + (/,K - if)R, - (if - if)R2 = Uy- U 2,
if {Ry +R2+ R3) - ifR2 - = Uy - U,\
ifRyy+ifRy2+i]Ry3=Uf.
Последнее уравнение составлено для одного (первого) конту-
ра в соответствии с алгоритмом метода контурного анализа. По
аналогии с этим уравнением можно записать систему уравнений
для п контуров резистивной цепи:
л11/1к+ад+--+ад=^1к;
ад + ад+...+ад=^к;
Rnlif + Rnlif^..+Rnnif =Uf.
Эта система уравнений представляет собой математическую мо-
дель цепи, составленную по методу контурного анализа. Она отли-
чается от системы уравнений Кирхгофа меньшей размерностью и
формализацией записи. Формализация записи позволяет предста-
вить систему уравнении в компактной матричной форме
RKiK =U\
где R
нии;
Ru
R21
22
Rn2
Rni
uf
us
R\n
матрица контурных сопротивле-
векторы контурных токов и контур-
п
ных напряжений соответственно.
Параметры элементов записанных векторов и матриц опреде-
ляются следующим образом:
27
Яи, Я22, ... ,Rnn — собственные сопротивления контуров — как
арифметическая сумма сопротивлений ветвей, входящих в рас-
сматриваемый контур;
R Я13 и т.д. — взаимные сопротивления контуров — как
сумма сопротивлений ветвей на границе между контурами (если
контурные токи протекают во взаимном сопротивлении навстре-
чу друг другу, то сумма берется со знаком «-»;
t/j\ Z72K,4/лк — контурные напряжения — как алгебраиче-
ская сумма напряжений источников напряжения, входящих в
контур (если контурный ток не согласован с напряжением ис-
точника, в сумме берется знак «+», если согласован, т.е. контур-
ный ток условно протекает от плюса источника к минусу, в сум-
ме берется знак «-»).
Пример. В цепи на рис. 2.26 заданы параметры элементов:
Я. = Я2 = R t = Я4 = 1 Ом, U} = U2 = 10 В, U3 = 5 В Требуется оп-
ределить токи в ветвях цепи G-
Решение. В цепи (см. рис. 2.26) выбираем независимые
контуры, желательно, чтобы это были ячейки, т.е. внутренние
контуры, не имеющие внутри ветвей. В выбранных контурах вы-
бираем направления неизвестных контурных токов. Желательно,
чтобы направления контурных токов выбирались одинаково, на-
пример, по направлению движения часовой стрелки. Затем запи-
сывам систему уравнений МКА в общем виде:
|ад + ад=1/Г;
[ад + ад = и*-
Рассчитаем параметры системы:
Яи = R{ + R2 = 2 Ом;
Кц = Я2 + Я3 + Я4 = 3 Ом;
Я12 = Я2| = -Я2 = -1 Ом;
t/,K -t/2; t/2K =t/2 -t/3.
Рис. 2.26. Пример резистивной це-
пи с источниками напряжения
Уравнения МКА с учетом
вычисленных значений их па-
раметров удобно записать в
матричной форме:
Находим решение записан-
ной системы относительно не-
известных контурных токов.
28
Для этой цели можно использовать метод Крамера или метод Га-
усса. В результате решения определим неизвестные контурные
токи:
= 1А; - /2К = 2А.
По найденным контурным токам можно определить токи в
ветвях цепи:
= 1А; /2 = z2K - ZjK = 1А; /3 = г2к = 2А.
2.5. Метод узлового анализа
Метод узлового анализа (МУА) или метод узловых напряже-
ний (МУН) применяется для расчета сложных цепей с большим
числом элементов и небольшим количеством узлов. Метод реко-
мендуется применять в тех случаях, когда в цепи имеются только
источники тока. Если в цепи имеются источники напряжения,
то их желательно преобразовать в источники тока.
За переменные в МУА принимаются напряжения независи-
мых узлов, которые называются узловыми напряжениями. Узло-
вые напряжения представляют собой потенциалы узлов и опре-
деляются относительно выбранного базисного узла, потенциал
которого принимается равным нулю. Обычно за базисный узел
принимается тот, к которому подключено большее количество
ветвей. Напряжения ветвей в этом случае представляют собой
разности узловых напряжений. Для фрагмента цепи, представ-
ленного на рис. 2.27, можно записать:
«I = «!у;
и2 = «2 - ; «3 = «3 - •
Рассмотрим первый узел в цепи и на его примере покажем,
как формируются уравнения
МУА. Запишем сначала для узла
уравнение Кирхгофа:
G। иj Gill2 — G и 3 — 0.
Преобразуем это уравнение
так, чтобы в качестве перемен-
ных в это уравнение входили уз-
ловые напряжения:
<7]й] -бг2н2 — (73w3 =/| -/2;
GjWf -04 -<)С2 -
Рис. 2.27. Узел резистивной
цепи
29
(<7j + G2 + Gj)wy —GiU? ” ~ Л ° ^2 >
Последнее уравнение составлено для одного (первого) узла в
соответствии с алгоритмом метода узлового анализа. По анало-
гии можно записать систему уравнений МУА для п узлов:
GjjWj5, +Gj2W2 + -«- + Glnwy =ЛУ»
+^22W2 + ’"+^2nWn = ^2 >
+...+блх = 4у.
Полученная система представляет собой математическую мо-
дель цепи, полученную на основе МУА. Ее можно записать в
компактной матричной форме:
Gywy = Гу,
и
лп
— матрица узловых проводимостей;
вектор узловых напряжений; I -
вектор
узловых токов.
Параметры элементов векторов и матриц определяются сле-
дующим образом:
GH, G22» ••• 1 С™ — собственные проводимости узлов — как
арифметическая сумма проводимостей ветвей, подключенных к
узлу;
G12, и т.д. — взаимные проводимости узлов — как сумма
проводимостей ветвей, соединяющих два узла (сумма берется со
знаком «-»);
//, I ,I — узловые токи — как алгебраическая сумма то-
ков источников тока, подключенных к узлу, (если ток источника
направлен к узлу, в сумме он берется со знаком «+», если от уз-
ла — со знаком «-»).
Пример. В цепи (рис. 2.28) заданы параметры элементов:
G, = G = G3 =G4 = 1См, I - I - ЮА, I = 5A. Требуется опре-
делить напряжения на ветвях цепи и}, и с использованием МУА.
30
Решение. Сначала выбираем базисный узел цепи, узловое
напряжение которого принимаем равным нулю. Затем выбираем
неизвестные напряжения узлов. Записываем систему уравнений
МУА в общем виде, которая для цепи (см. рис. 2.28) будет иметь
следующий вид;
G2iu>’+GaU{ = P2.
Рассчитываем параметры системы уравнений:
Cn — G^ + G2 = 2См; G22 = G2 + G3 + G$ — ЗСм;
6i2 = = — G2 = — 1 Cm;
г у _ f _ / < /У-f/
zi - yl 72> Z2 ~ 12 Z3‘
С учетом рассчитанных значений параметров система уравне-
ний МУА в матричной форме будет иметь вид
Находим решение записанной системы относительно неиз-
вестных узловых напряжений. Для этой цели можно использо-
вать метод Крамера или метод Гаусса. В результате решения оп-
ределяем неизвестные узловые напряжения:
и.у = 1В; иу -2В.
« Да
По найденным узловым уравнениям можно найти напряже-
ния ветвей исходной цепи:
и = = IB; = и - и = - IB; = w у = 2 В.
Рис, 2.28. Пример резистивной цепи с источниками тока
31
2,6. Теоремы об эквивалентных источниках
Теорема замещения. Элемент электрической цепи можно за-
менить источником напряжения или источником тока. Если в
цепи имеется А-элемент R , напряжение на зажимах которого
равно м > и через который протекает ток то его можно заме-
нить эквивалентным источником напряжения или источником
тока.
На рис. 2.29 показана электрическая цепь, у которой выделен
элемент R с напряжением на его зажимах ик и током через него
ik, На рис 2.30 показано, каким образом этот элемент цепи мож-
но заменить источником напряжения или источником тока.
Теорему легко доказать на примере простой резистивной це-
пи, изображенной на рис. 2.31. В этой цепи определим напряже-
ние на резисторе
Г и UR.
i -------; и R ~.
Л + Л2 Я1 Л, + R-,
Заменим резистор источником напряжения, как это пока-
зано на рис. 2.32. При этом ток в цепи не изменится:
и—
- и
R\ R R\ + Ri
что и требовалось доказать.
Теорема об эквивалентном источнике напряжения (теорема Те-
венена). Электрическую цепь относительно зажимов элемента
цепи можно заменить эквивалентным источником напряжения с
последовательным Я-элементом.
На рис. 2.33 представлена электрическая цепь, у которой выделен
элемент Ra6, подключенный к зажимам а—б. Теорема Тевснена го-
ворит о том, что всю электрическую цепь относительно зажимов
а—'б можно заменить источником напряжения с последовательно
присоединенным резистором. Докажем эту теорему.
Рис. 2.30. Замещение резисто-
ра источниками
Рис. 2.29. Резистивная цепь с выде-
ленной нагрузкой
*i
Рис. 2.31. Пример резистивной цепи Рис. 2.32. Цепь с заменой рези-
стора источником
Согласно теореме замещения резистор можно заменить ис -
точником тока, как это показано на рис. 2.34. По методу наложе-
ния определим напряжение Ua6. Для этого сначала определим со-
ставляющую напряжения от действия всех источников в цепи од-
новременно, за исключением источника тока ia6, для чего разомк-
нем зажимы этого источника, как показано на рис. 2.35. В этом
случае напряжение на зажимах а—б в режиме холостого хода (раз-
рыва зажимов а—б) запишем следующим образом:
^аб “ ^otfx.x ““ ^0"
Затем исключим из цепи все источники, кроме источника то-
ка для чего замкнем зажимы источников напряжения и ра-
зомкнем зажимы источников тока, как показано на рис. 2.36.
В этом случае напряжение на зажимах а — б будет определяться
Рис. 2.34. Замещение резистора
исоточником тока
Рис. 2.33. Цепь для использования
теоремы Тевенсна
Рис. 2.35. Исключение источника
тока
Рис. 2.36. Исключение источников
напряжения и тока
2 Башарин
33
Рис. 2.37. Включение эк-
вивалентного источника
напряжения
как произведение тока источника на
входное сопротивление цепи со сторо-
ны зажимов а —б:
U аб
Теперь согласно методу наложения
определим суммарное напряжение иаб
на зажимах я—&
^аб *“ ?аб&йб ^аб аб ^0 ^аб^О ИЛИ
W0 = + #аб)-
Последнее выражение означает, что электрическая цепь мо-
жет быть представлена последовательным соединением источни-
ка напряжения м0 и резисторов и Ra6, как это показано на
рис. 2.37. В такой цепи легко определить ток в ветви Ru6 в соот-
ветствии с законом Ома:
“о
^0 +
С помощью рассмотренного метода можно определить ток в
отдельной ветви сложной цепи. Метод определения тока по это-
му выражению получил также название метода эквивалентного
источника напряжения (МЭИН).
Метод эквивалентного источника тока (теорема Нортона).
Электрическую цепь относительно зажимов элемента цепи мож-
но заменить эквивалентным источником тока с параллельным
/?-элементом.
Теорема Нортона дуальна теореме Тевенена, и поэтому ее
можно доказать на основании полученных ранее результатов.
Известно, что электрическую цепь можно заменить источником
напряжения с последовательным сопротивлением, как было ус-
тановлено при доказательстве предыдущей теоремы. Согласно
правилу преобразования источников источник напряжения с по-
следовательно соединенным с ним резистором можно преобра-
Рис. 2.38. Преобразование эк-
вивалентного источника на-
пряжения в источник тока
Рис. 2.39. Короткое замыкание
нагрузки
34
зовать в источник тока с параллельно соединенным резистором.
Преобразуем источник напряжения в цепи (см. рис. 2.37) в ис-
точник тока, как показано на рис. 2.38:
г _ "о _ и п
Z0 - ---
* аб к.3
Как видно из рис. 2.39, ток источника тока представляет со-
бой ток короткого замыкания зажимов а—б, значит 7 =/отЧз,
откуда
аб
^0 + &аб
С помощью алгоритма рассмотренного метода можно опреде-
лить напряжение на любой ветви сложной цепи. Этот метод
также называется методом эквивалентного источника тока
(МЭИТ).
Глава 3
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С Я-, L- И С-ЭЛЕМЕНТАМИ
(ДИНАМИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ)
3.1. Классический метод анализа динамики
R-, L-, С-цепей
Классическим методом анализа динамических цепей называ-
ют определение реакции цепи путем составления и решения
дифференциальных (динамических) уравнений. Поэтому задачу
анализа динамических цепей можно условно разделить на две
части: составление дифференциальных уравнений цепи и реше-
ние составленных дифференциальных уравнений.
Составление динамических уравнений электрической цепи. Диф-
ференциальные уравнения составляются на основе уравнений со-
единений цепи (уравнений Кирхгофа). Для цепи (рис. 3.1), содер-
жащей реактивные L- и С-элементы, их можно записать в следу-
ющем виде:
“Ц + *R + _
• -(/ + uL +Uft =0;
+ис =0.
Выразив напряжения на реактивных элементах через токи в
элементах цепи, получим систему интегродиффсренциальных
уравнений, описывающих динамику цепи (см. рис. 3.1):
+ 6г + zc - 0;
-U + + RiR =0;
df *
- RiR + - f icdt = 0.
R r J c
Рис. 3.1. Динамическая цепь,
содерзкащая реактивные L- и
С-элемснты
Полученную таким образом сис-
тему динамических уравнений
можно свести к одному дифферен-
циальному уравнению или к систе-
ме дифференциальных уравнений,
записав их, например, в нормаль-
ной форме Коши:
36
Различные способы решения дифференциальных уравнений
подробно описаны в курсе высшей математики. Ниже рассмат-
риваются компоненты аналитического точного решения диф-
ференциальных уравнений и некоторые классические подходы
к получению такого решения применительно к электрическим
цепям.
Решение динамических уравнений электрической цепи. Общий
вид аналитического точного решения системы линейных диффе-
ренциальных уравнений для тока или напряжения в цепи извес-
тен из математики:
КО ” ^вын + ^св > ^лын ^СВ ’
где /вын и wBbIH — вынужденные составляющие реакций, которые
представляют собой частные решения и определяются характером
воздействия на цепь, т.е.видом воздействия; /св и wCB — свобод-
ные составляющие реакций, которые представляют собой об-
щие решения уравнений. Они определяются параметрами эле-
ментов цепи и начальными условиями:
п
А-1
п
4в(0 = £Ле₽‘г,
Л-1
где — постоянные интегрирования, которые определяются
из начальных условий; р^ — корни характеристического уравне-
ния или собственные частоты цепи.
Пример 1. Рассмотрим алгоритм составления и решения диф-
ференциального уравнения Я£-цспи первого порядка при под-
ключении источника постоянного напряжения, которая изобра-
жена на рис. 3.2. Предположим, что к 7?£-цепи, в которой ранее
через L -элемент протекал ток //0, в момент времени t — 0 с помо-
щью идеального ключа К подключается источник постоянного
напряжения U. Требуется определить пе-
реходный процесс для тока в цепи, т.е.
процесс изменения тока в цепи после за-
мыкания ключа.
Прежде чем приступить к решению
поставленной задачи, поясним некото-
рые использованные термины. Так, иде-
Рис. 3.2. ЛЛ,-цспь пер-
вого порядка
альным ключом следует считать ключ,
замыкание или размыкание которого
37
(коммутация) происходит мгновенно и собственное сопротивле-
ние которого равно нулю. Переходным процессом для любой пе-
ременной величины будем называть процесс перехода этой вели-
чины от одного установившегося значения к другому.
Решение. Поскольку до коммутации через индуктивный
элемент протекал ток гс0, то к моменту коммутации в цепи суще-
ствовал запас энергии, определяемый величиной этого началь-
ного тока:
w, =l'-H
Составим уравнение соединений цепи по закону напряжений
Кирхгофа, при этом напряжения на пассивных элементах выра-
зим через ток:
+ Л + £—=0.
dt
В результате получим неоднородное дифференциальное урав-
нение первого порядка, обший вид решения которого относи-
тельно тока известен:
+ Лер'.
Определяем вынужденную составляющую реакции из частно-
го решения неоднородного уравнения для момента времени I = оо.
При этом полагаем» что время прошло бесконечно долго, пере-
ходный процесс закончился, все переменные приняли постоян-
ные значения и, следовательно:
d _п • U
— 0, а гвын
dr ’ вын R
Определяем теперь свободную составляющую /сй -Ае<9Г. В ка-
честве компонентов она включает корень характеристического
уравнения и постоянную интегрирования. Для определения кор-
ня характеристического уравнения составим само характеристи-
ческое уравнение, приняв уравнение однородным, те. приняв
его правую часть равной нулю и заменив оператор дифференци-
рования переменной р:
Lp + R =0.
Из полученного характеристического уравнения определяем
корень характеристического уравнения:
38
где а — коэффициент затухания экспоненты, описывающей
переходный процесс для тока в цепи; т — постоянная времени
цепи, которая определяется ее параметрами, т = —. Постоянная
R
времени цепи определяется так же, как интервал времени, в
течение которого переменная величина уменьшается по абсо-
лютной величине в е -2,7 раз от первоначального значения.
Постоянная интегрирования определяется из начальных усло-
вий:
Отсюда
В результате общее решение дифференциального уравнения
для тока можно окончательно записать в следующем виде:
Частные случаи решения задачи.
1. В случае если напряжение источника равно нулю, в цепи
происходит свободный процесс, т.е. процесс без источника. Та-
кой процесс может протекать за счет энергии, накопленной на
индуктивном элементе:
С/=0; /св(/)=/£ое L'•
По графику свободного процесса (рис. 3.3) можно определить
постоянную времени цепи графическим путем Если в какой-либо
точке графика провести касательную, то расстояние от точки ка-
сания до точки пересечения с асимптотой равно постоянной вре-
мени цепи. Свободный процесс
будет стремиться к асимптоте
бесконечно долго, поэтому в
теории электрических цепей
пользуются понятием практиче-
ского времени свободного про-
цесса, которое принимают рав-
ным трем постоянным времени.
На основе таких представлений
(рис. 3.3) можно определить по-
стоянную времени цепи, а отло-
Рис. 3.3. График свободного про-
цесса для тока в 1-элсмснте
39
Рис. 3.4. График переходно-
го процесса для тока в 1-эле-
менте
дитъ переходный процесс
жив ее трижды, определить время
свободного процесса. Практическое
время свободного процесса можно
определить так же, как время, в тече-
ние которого переменная величина
(в данном случае ток) уменьшается
по абсолютной величине до 5% от
первоначального значения.
2. Начальный ток через индук
тивный элемент был равен нулю.
В этом случае в цепи будет происхо-
с нулевыми начальными условиями,
график которого показан на рис. 3.4. В этом случае
е
Пример 2. Рассмотрим алгоритм составления и решения диф-
ференциального уравнения /?С-цепи первого порядка при под-
ключении источника постоянного напряжения (рис. 3.5). Пред-
положим, что к ЯС-цепи, в которой ранее на С-элементе име-
лось начальное напряжение исо, в момент времени / = 0 с помо-
щью идеального ключа К подключается источник постоянного
напряжения U. Требуется определить переходный процесс для
напряжения на С-элементе и для тока в цепи.
Ре шение. До коммутации на емкостном элементе имелось
начальное напряжение wco. К моменту замыкания ключа в цепи
существовал запас энергии, определяемый величиной этого на-
пряжения:
Ж
wco
Составим уравнение соединений цепи по закону напряжений
Кирхгофа, при этом напряжения на пассивных элементах выра-
зим через ток:
-и + Ri + Г J/dr = 0.
Рис. 3.5. ЯС-цепь перво-
го порядка
Записанное уравнение не является
дифференциальным. Для того чтобы све-
сти его к дифференциальному, необходи-
мо в качестве основной переменной вы-
брать не ток, а напряжение на емкостном
элементе. В результате получим неодно-
родное дифференциальное уравнение
40
первого порядка, общий вид решения которого относительно на-
пряжения будет иметь вид
(О ~ ^С.вын + ^С,св — ^С.вын +
Определяем вынужденную составляющую реакции из частно-
го решения неоднородного уравнения для момента времени
— = 0, ^с,вын = ‘
Определяем свободную составляющую реакции иСсъ = Ле7*.
Для определения корня характеристического уравнения соста-
вим характеристическое уравнение
RCp + 1 = 0.
Из полученного характеристического уравнения определяем
корень характеристического уравнения
1
р =-----.
F RC
Постоянную времени /?С-цепи т определяем по формуле
т = RC,
Постоянная интегрирования определяется из начальных усло-
вий:
uc*=U + A*.
Отсюда А = t/co - U,
В результате общее решение дифференциального уравнения
для напряжения на С-элементе можно окончательно записать в
таком виде:
]
uc(t) = U +(uCQ-U)e~*c\
В том случае, когда в качестве реакции рассматривается ток
или другая переменная величина, решение относительно этой
переменной можно получить через напряжение на емкостном
элементе.
Частные случаи решения задачи.
1. В случае если напряжение источника равно нулю, в цепи
будет происходить свободный процесс, протекающий за счет
энергии, накопленной на емкостном элементе:
и = о; wc.cb(O = «сое ЛС; 4в(0 = -~^ысое •
IX
41
Рис. 3.6. График свободного про-
цесса для напряжения на С-эле-
менте
Рис. 3.7. График переходного про-
цесса для напряжения на С-эле-
мснте
График свободного процесса для напряжения на емкостном
элементе представлен на рис. 3.6.
2. Начальное напряжение на емкостном элементе было равно
нулю. В этом случае в цепи будет происходить переходный про-
цесс с нулевыми начальными условиями, график которого пока-
зан на рис. 3.7. В этом случае
ис0 =0; u(f) = U I-e RC*
i(t) = —e~KC
R
3.2. Метод расчета переходных процессов
в цепях первого порядка с использованием
эквивалентных резистивных схем
Предлагаемый метод расчета переходных процессов рекомен-
дуется применять для расчета динамики разветвленных цепей
первого порядка. Сущность метода заключается в том, что для
отдельных моментов времени динамического процесса строят
эквивалентные резистивные схемы замещения динамической це-
пи, а из них находят компоненты решения дифференциального
уравнения. Алгоритм расчета переходных процессов рассмотрим
на примере цепи, показанной на рис. 3.8.
Пример. Пусть заданы параметры цепи: £/ = 4В, 7? =1Ом,
Рис. 3.8. Разветвленная цепь
первого порядка
R = 1 Ом, С = 1 Ф Требуется опреде-
лить переходный процесс для токов в
ветвях с пассивными элементами и по-
строить графики реакций (временные
диаграммы).
Решение. Общий вид решения,
определяющего переходный процесс
для токов в ветвях цепи, известен:
И/ I 'вЫН
'св 'вын
+ Аер1.
42
Найти искомое решение — значит
определить его компоненты, т. е. значе-
ния вынужденных составляющих реак-
ций /иыи, корня характеристического
уравнения р и постоянных интегриро-
вания А Алгоритм нахождения компо-
нентов решения состоит из нескольких
Ki
Рис. 3.9. Эквивалентная
резистивная цепь для мо-
мента времени t - О**
этапов.
1. Определение независимых начальных
условий. Независимыми начальными ус-
ловиями называются параметры, кото-
рые не зависят от условий коммутации. К независимым началь-
ным условиям в /?-, £-, С-цепях относятся напряжения на С-эле-
ментах и токи в L-элементах, поскольку они подчиняются зако-
нам коммутации и в момент коммутации не могут измениться
скачком. В рассматриваемом примере независимым начальным
условием является напряжение на емкостном элементе ис(0),
которое было к моменту коммутации и которое определяет запас
энергии в цепи к моменту коммутации.
Для определения напряжения на емкостном элементе необхо-
димо построить эквивалентную резистивную цепь до коммута-
ции, т.е. в момент времени / = 0 . В этот момент времени токи и
напряжения постоянны и, следовательно, зажимы С-элемента
следует разорвать, поскольку постоянный ток при обычных ус-
ловиях через С-элемент не протекает. Эквивалентная резистив-
ная цепь для момента времени Г = 0" представлена на рис. 3.9.
В этой резистивной цепи начальное напряжение на емкостном
элементе можно определить как
ис(0-М = 4В.
2. Определение вынужденных составляющих реакций (токов в
Я-элементах). Для определения токов в вынужденном установив-
шемся режиме следует изобразить эквивалентную резистивную
цепь для момента времени / = ©©, поскольку в этот момент време-
ни свободные составляющие, определяемые затухающими экс-
понентами, будут равны нулю. Емкостной элемент, как и в пре-
дыдущем случае, заменяем на разрыв, поскольку в установив-
шемся режиме токи и напряжения также будут постоянными. На
рис. 3.10 изображена эквивалентная резистивная цепь для мо-
мента t = оо, из которой находим:
U -7 А- ' — П
^1,пын ^2,вын 7? -l ^С.вын ~
3. Определение корня характеристического уравнения (или. как
его называют в теории электрических цепей, собственной часто-
43
*1
Рис. 3.10. Эквивалентная ре-
зистивная цепь для момента
времени / =
Рис. 3.11. Эквивалентная резистив-
ная цепь для определения корня
характеристического уравнения
ты цепи). Выражение для определения корня характеристическо
го уравнения имеет вид
где т = RtC — постоянная времени цепи; Лэ — эквивалентное
сопротивление цепи.
Величина Д представляет собой общее сопротивление цепи от-
носительно зажимов реактивного элемента (в данном случае —
С-эле мента) при отключенных источниках. Для рассматриваемо-
го примера Лэ можно определить из эквивалентной резистивной
цепи, изображенной на рис. 3.11:
R\R~> 1 гл
——— = - Ом.
+ Л2 2
R,
В таком случае постоянная времени будет определяться выра-
жением т = 7LC - — с, а корень характеристического уравнения
2
будет равен р - -2с4.
4 Определение постоянных интегрирования для каждого тока.
Предварительно определяются начальные значения токов, т.е.
значения токов в момент времени t - 0 (первый момент времени
после коммутации). При построении эквивалентной резистивной
Л,
Рис. 3J2. Эквивалентная рези-
стивная цепь для момента вре-
мени f - О
схемы для этого момента времени
емкостной элемент следует заме-
нить источником напряжения,
поскольку напряжение на С-эле-
менте в первый момент по закону
коммутации должно сохраниться
равным и (0 ). На основании та-
кого представления эквивалент-
ная резистивная цепь для момента
времени t = 0+ будет иметь вид,
44
представленный на рис. 3.12. В це-
пи (рис. 3.12) определяются токи в
резисторах:
t/-MQ2 = 0;
1 Д
'с =»| -6 =-4А.
Определив начальные значе-
ния токов, можно из них опреде-
лить постоянные интегрирования
для каждого тока. Выражение для
решения относительно любого то-
ка в момент времени t - О будет
иметь вил
Рис. 3.13. Временные диаграм-
мы для токов в ветвях цепи
'(0+) = 'ВЫн +Ле".
отсюда любую постоянную времени можно определить как
А = »(0 + ) - / .
' КШ1Г1
Согласно этому выражению можно определить все постоян-
ные интегрирования:
А1 = 0 - 2 - 2; А_ = 4 - 2 = 2; Ас = -4 - 0 - -4.
Поскольку все компоненты решения найдены, можно запи-
сать общие решения для токов в ветвях цепи с Л-элементами и
тока в ветви с С-элементами:
Л = Ч.ВЫ11 + А\е'” = 2 - 2е 2';
^2,вын
+ А ер' = 2 + 2е'2';
/с = <с s ш + Асе = - 4е .
Временные диаграммы найденных токов показаны на рис. 3.13.
3.3. Переходные процессы в последовательном
колебательном контуре
Последовательным колебательным контуром называют после-
довательное соединение R, L- и С-элементов цепи (рис. 3.14).
Такое соединение будет представлять собой динамическую цепь
45
второго порядка, процессы в которой описываются дифферен-
циальным уравнением второго порядка или системой двух диф-
ференциальных уравнений первого порядка. Если в момент вре-
мени t = 0 на вход такой цепи подключить источник постоянного
напряжения, то в цепи будет происходить переходный процесс.
В зависимости от значений параметров элементов цепи переход-
ный процесс будет протекать по-разному.
Рассмотрим подробнее динамические процессы, которые бу-
дут протекать в последовательном колебательном контуре.
Пусть начальные условия в цепи определяются начальным на-
пряжением на емкостном элементе wc(0 ) = «со,а начальный ток
в контуре равен нулю (0 ) = 0. В момент времени t = 0 источ-
ник постоянного напряжения Uподключается к цепи. После за-
мыкания ключа в цепи происходит переходный процесс, харак-
тер которого определяется значениями параметров элементов
цепи.
Сформируем математическую модель цепи в виде одного диф-
ференциального уравнения второго порядка. Для этого запишем
уравнение соединении цепи по закону напряжений Кирхгофа:
-U + uR +uL +ис =0.
Выразим напряжения на R- и £-элементах через ток, исполь-
зуя при этом вольт-амперные зависимости элементов:
L — +Ri+uc =U.
d/ с
Выразим ток в полученном уравнении через напряжение на
емкостном элементе и подставим его в уравнение
/=С^; /,с‘- dr dr или d2uc Rduc dr2 ' L dr К R L \ 1 I t . Рис. 3.14. Последовательный ко- лебательный контур k.+ RC^- + Uc=u, z dr 1 U - + и =——. LC c LC Решение такого дифференци- ального уравнения известно из математики и может быть запи- сано в общем виде: WC (Г) ^С.вын ^С,св • Вынужденная составляющая напряжения на емкостном эле-
46
менте и, ыл как основной реакции в
цепи определяется характером воздей-
ствия и может быть найдена в момент
времени t = оо. Резистивная эквива-
лентная цепь для этого момента вре-
мени изображена на рис. 3.15. В цепи
можно определить напряжение на ем-
костном элементе: ВЫ1| = U.
Корни характеристического урав-
нения, как известно из математики,
можно определить из выражения
Рис. 3.15. Эквивалентная ре-
зистивная цепь для момента
времени / = <*>
где
R
Pi-2~~2L~
коэффициент затухания; соо =
4LC
— частота
собственных незатухающих колебаний.
В зависимости от соотношения а и св0 возможны три вида кор-
ней:
вещественные различные отрицательные (а > со0);
комплексные сопряженные (а < со0);
вещественные отрицательные равные (кратные) (а - со0).
Указанным видам корней соответствуют три вида переходного
процесса в цепи:
апериодический, когда корни вещественные и различные;
колебательный, когда корни комплексные;
критический, когда корни кратные.
Корни характеристического уравнения в теории электриче-
ских цепей называют также собственными частотами цепи. Для
наглядности и удобства анализа динамических процессов их от-
кладывают на плоскости комплексной частоты s = a± /со. Кар-
тины расположения собственных частот цепи для случаев апе-
риодического, колебательного и критического режимов показа-
ны на рис. 3.16 ... 3.18.
Рис. 3.17. Расположение собст-
венных частот для случая коле-
бательною режима
Рис. 3.16. Расположение соб-
ственных частот для случая
апериодического режима
47
5
*1,2
О
Расположение
частот для слу-
Рис. 3.18.
собственных
чая критического режима
Рассмотрим подробнее динами-
ку последовательного колебательно-
го кон гура для каждого из этих трех
случаев в отдельности.
1. Случай вещественных различ-
ных корней характеристического
уравнения: имеем два различных ве-
щественных корня р} * р2. В этом
случае в цепи будет протекать апе-
риодический переходный процесс.
В случае вещественных различ-
ных корней переходный процесс для напряжения на С-элементе
определяется суммой вынужденной и свободной составляющих.
Вынужденная составляющая напряжения определена раньше и
равняется и вын = U, а свободная составляющая будет представ-
лять собой сумму двух экспонент:
uc(t) = U + А}е*г + Л2е*\
где wgcb(O = 4ср + Л2еР2'.
Определим постоянные интегрирования Л! и Л2 из начальных
условий. Для этого подставим в полученное выражение t - 0 :
ис(0 + ) = 17 + + Л2.
В результате получим одно уравнение для определения двух
постоянных интегрирования. Второе необходимое уравнение
можно вывести путем дифференцирования напряжения на емко-
стном элементе. Если производную от напряжения умножить на
С, получим выражение тока в С-элементе и соответственно тока
в контуре:
C^ = i; C^ = CPl4ew+Ср2Л2е^.
dr dr 11 2
Тогда при подстановке вместо t = 0 получим второе уравне-
ние, необходимое для определения постоянных интегрирования:
ДО ) =О?|Л| + Ср2Л2.
Решая оба уравнения совместно, получим выражения, опре-
деляющие постоянные интегрирования:
Л ^СО "" А ^СО ““
А =-£------р2\ А2 = ----Pl.
Pl ~ Р\ Pl Р\
В таком случае общее решение дифференциального уравне-
ния второго порядка, описывающего динамические процессы в
колебательном контуре при вещественных различных корнях от-
48
носительно напряжения на емкостном элементе, будет иметь
вид:
uc(/) = U + ——— />,еЛ' - —— Р| бр- -
Р2-Р1 ' Р2~ Pi
= {/ + Ус”-~.У.(п,е^ -pje*').
Pi - Р\ ‘
Если необходимо определить переходный процесс для тока,
протекающего в контуре, это можно сделать путем дифференци-
рования полученного выражения и умножения его на С:
КО = - еЛ').
Pi ~Р\
В частном случае напряжение источника напряжения равно
нулю: U - 0. При этом в цепи будет протекать свободный про-
цесс за счет энергии, накопленной на емкостном элементе.
Электрическую цепь для этого случая можно изобразить в виде,
приведенном на рис. 3.19. Свободный процесс в цепи (рис. 3.19)
для напряжения на емкостном элементе и для тока будет опреде-
ляться выражениями
"c.cbW = Uco (Pi^M ~ P|Cft');
Рг~Р\
= СР1рг “сй (е" - е*').
Р1 - Р\
Временные диаграммы свободного процесса для напряжения
на емкостном элементе и тока в контуре представлены на
рис. 3.20 и 3.21.
2. Корни характеристического уравнения комплексные со-
пряженные:
Р\ = -сс + j^c = р2 = -а - усос = -со0е"7у.
Переходный процесс в этом случае будет колебательный.
Для комплексных корней ха-
рактеристического уравнения сво- бодная составляющая напряжения на конденсаторе в общем случае запишется так же, как и для веще- ственных корней: «с.св(О= CD (Р2е Pie1'). Pi - Pi R L - — “co Рис. 3.19. Колебательный кон- тур при отключенном источ- нике
49
Рис. 3.20. Свободный процесс
для напряжения на емкостном
элементе (апериодический ре-
жим)
Рис. 3.21. Свободный процесс для
тока в контуре (апериодический
режим)
Дня удобства анализа записанного выражение в случае коле-
бательного процесса преобразуем его, подставив вместо р{ и р2 их
выражения в показательной или алгебраической форме:
мСгв(0 =-----«со--_-[(_Юо)е^е(-“+^)'-((о0)е-Ле(^)'] =
-a-jwc+a-jwc
= цсо(^ )е-м(еЛцС'+7) _ е-лос'+т)) = /fcp_Woe-ar sin(coct + у).
-/2сос со с
Для тока в контуре выражение, определяющее свободный
процесс, можно получить аналогичным образом:
/сВ-О’1р2-^-(е^-е^) =
Pi ~ Р\
= Ссо; (е(-“+ушс)' - е(-а-/ШсУ) = е^' sin(cocO.
-J2toc р сос
Временные диаграммы напряжения на емкостном элементе и
тока в контуре, построенные по полученным выражениям, пред-
ставлены на рис. 3.22 и 3.23.
3. Корни характеристического уравнения р} и р2 веществен-
ные равные (кратные). В этом случае в цепи наблюдается крити-
ческий режим. Для равных вещественных корней решение запи-
сывается особым образом в виде
uc(t) = U + А е~р' + A2te~p'.
Для t = 0* получим
и со ~ + А{.
50
Рис. 3.22. Свободный процесс
для напряжения на емкостном
элементе (колебательный режим)
Рис. 3.23. Свободный процесс
для тока в контуре (колеба-
тельный режим)
Продифференцируем записанное выражение и умножим на С.
Тем самым получим второе уравнение, необходимое для опреде-
ления постоянных интегрирования:
= i(t) = CpAiepl + СА2ер' + CA,ptepl.
При t = 0+ »(0*) = 0 = CpAi + СЛ2.
Решая совместно два полученных уравнения, определим по-
стоянные интегрирования:
Определив таким образом компоненты решения, можно запи-
сать полное решение дифференциального уравнения цепи отно-
сительно неизвестного напряжения на емкостном элементе:
"с (О = U + (t/co - U)^ - p(uCQ - t/)re".
Для частного случая, когда напряжение источника равно ну-
лю: U = 0, т.е. когда в цепи будет происходить свободный про-
цесс, динамика цепи будет определяться только свободными со-
ставляющими реакций:
ыс.с8(0 = “сов" - рыс0^ер';
J
= С-^- = Срисоер -Срисое‘ -Cp2ucotep' = -Cp2ucotep'.
51
Рис. 3.24. Свободный процесс
для напряжения на емкостном
элементе (критический режим)
Рис. 3.25. Свободный процесс для
тока в контуре (критический ре-
жим)
Временные диаграммы напряжения на емкостном элементе и
тока в контуре представлены соответственно на рис. 3.24 и 3.25.
3.4. Метод переменных состояния
Метод предназначен для расчета переходных процессов в ди -
намических цепях. Сущность метода заключается в составлении
и решении уравнений состояния цепи Уравнениями состояния
называется система дифференциальных уравнений относительно
переменных состояния электрической цепи, записанных в нор-
мальной форме Коши:
За переменные состояния в динамических цепях принимают
переменные, которые предоставляют наибольшее количество
информации о состоянии цепи. К таким переменным, как пра-
вило, относятся напряжения на емкостных элементах иси токи в
индуктивных элементах Систему уравнений состояния удобно
записать в матричной форме:
52
1
2
— вектор переменных состояния цепи;
«11
«21
а22
«1л
«2л
— матрица
коэффициентов при пере-
«л!
ап2
пп J
менных состояния;
^11 ^12 — Ь{т
п ^21 ^22 ^2т
— матрица
коэффициентов при воз-
Ьп2 - Ь
действиях;
Г
— вектор воздействий.
Составление уравнении состояния динамической цепи. Рас-
смотрим два способа составления уравнений состояния на при-
мере цепи второго порядка, представленной на рис. 3.26.
Первый способ составления уравнений состояния основан на за-
мене реактивных элементов источниками напряжения или тока.
Реактивные элементы в цепи (рис. 3.27) заменяются источниками
напряжения или тока, как показано на рис. 3.28. В результате заме-
ны динамическая цепь, включающая реактивные L- и С-элсменты,
преобразуется в эквивалентную резистивную цепь, как показано на
рис. 3.29. В резистивной цепи (см. рис. 3.29) определяем ток в
емкостном элементе ic и напряжение на индуктивном элементе
, используя при этом любой метод расчета резистивных цепей,
например, метод уравнений Кирхгофа. Для этого записываем
уравнения соединений цепи на основе законов Кирхгофа:
“Q + zc + li ~ I — 0;
~~U + r/j + и г + ис - 0.
Из записанных уравнений определяем ток в емкостном эле-
менте /с и напряжение на индуктивном элементе uL\
uL^U -и{- ис
53
Рис. 3.26. Разветвленная динамическая цепь
второго порядка
Рис. 3.27. Выделение
реактивных элементов
в динамической цепи
Заменяем все переменные в уравнениях переменными состоя-
ния и воздействиями на основе законов Ома, Кирхгофа и
вольт-амперных характеристик элементов цепи:
/с=С——; ul = L—/2 = V* = 'd_’ «1 -'1^1 -
Qt О/ л\2 ^2
После подстановки уравнения примут вид
duc _ ис
dr R L ’
<
L^- = -wc - R,h + U.
dr 111
Разделив левые и правые части полученных уравнений на С и
L соответственно, получим систему дифференциальных уравне-
ний цепи, которая называется системой уравнений состояния
цепи или системой уравнений Коши в нормальной форме:
Рис. 3.29. Эквивалентная резистив-
ная цепь
Рис. 3.28. Замена реактивных
элементов источниками на-
пряжения и тока
54
Второй способ составления уравнений состояния основан на
использовании топологического графа цепи, подробные сведе-
ния о котором содержатся в гл. 7.
На рис. 3.30 изображен топологический граф цепи, показан-
ный на рис. 3.26, который представляет собой геометрическое
представление цепи с заменой ветвей цепи или ее элементов ли-
ниями. В топологическом графе выбирается дерево (жирные ли-
нии на рис. 3.30), т.е. совокупность ветвей, соединяющих узлы
без образования контуров. По топологическому графу составля-
ются уравнения главных сечений и главных контуров (см. гл. 7):
1и + h ~ Ф
-i, + = 0;
,_,7 + ic + Ь - f - 0
-U + + и L + ис = 0;
< -ис + w2 " 0;
-ис - и, =0.
Из этих уравнений определяются ток в емкостном элементе /с
и напряжение на индуктивном элементе
/с - I + iL ~ i2;
“l = U -их -ис.
Далее, как и в первом способе, все переменные в записанных
уравнениях выражаются через переменные состояния и воздей-
ствия:
и\ - *1^1 -
w? _ ис
К = Я/
После подстановки и преобразований уравнения примут
окончательный вид:
Аналитическое (точное) решение
уравнений состояния. Существует
множество методов решения уравне-
ний состояния, среди которых наи-
более популярными являются анали-
тические и численные. Численные
методы удобно применять в тех слу-
чаях, когда имеется возможность ис-
Рис. 3.30. Топологический
граф динамической цепи
55
пользования компьютеров. В стандартном наборе функций совре-
менных программных математических пакетов имеются стандарт-
ные программы, позволяющие получать решения уравнений Коши
с использованием численных методов. Главными их недостатками
являются приближенность решения и отсутствие общего выраже-
ния, которое удобно анализировать. Алгоритмы численных мето-
дов решения уравнений состояния подробно описаны в специаль-
ной литературе.
Для анализа процессов, происходящих в динамических цепях,
наиболее предпочтительными являются аналитические решения,
поскольку в результате они позволяют получить обшее аналити-
ческое выражение. Рассмотрим пример получения точного
(аналитического) решения уравнений состояния, составленных
для цепи {см. рис. 3.26). Пусть заданы уравнения состояния це-
пи и ее параметры: R = R: = R = 1 Ом, L = 1 Гн, С — 1 Ф, U = 12В,
/ =6А. Общий вид аналитического решения для цепи второго
порядка известен:
иС (О “ ^С.вын ^С,св» ДО ~ i Г.вын + $Z.,cb •
Решение сводится к нахождению компонентов записанных
выражений которые в методе переменных состояния определя-
ются из уравнений состояния.
1. Определяем независимые начальные условия. К ним отно-
сятся напряжение на емкостном элементе до замыкания ключа
мс(0") и ток в индуктивном элементе /ДО). Для определения
начальных условий изобразим эквивалентную резистивную цепь
для момента времени t =0 (рис. 3.31). Из цепи, показанной на
рис. 3.31, можно определить
= и - IR,— = 2 и у |0В
ь 7? • 7? > /? 1
Kj + + *4
2. Определяем вынужденные составляющие переменных со-
стояния. Вынужденные составляющие можно определить в ре-
жиме г = оо. В этом режиме все токи и напряжения принимают
установившиеся постоянные значения. Производные от посто-
янных переменных состояния равны нулю. В результате уравне-
ния состояния примут вид
Совместное решение уравнений состояния в режиме г = <»
позволяет определить вынужденные составляющие реакций для
Рис. 3.31. Эквивалентная рези-
стивная цепь для момента вре-
мени t = О’
напряжения на емкостном элементе и тока в индуктивном эле-
менте:
^С.ВЫН “9В, ^Д,вын “ЗА.
3. Определяем корни характеристического уравнения или соб-
ственные частоты цепи. Для этого можно использовать простой
алгоритм, основанный на матричных представлениях уравнений
состояния:
detlpf — Л] - 0; А =
detfpE - А\ - р + 2р + 2.
Решение характеристического уравнения позволяет опреде-
лить корни: р} 2 = -I + у.
4. Определяем постоянные интегрирования. Для определения
двух постоянных интегрирования в решении для напряжения на
емкостном элементе необходимо сформировать два уравнения.
Для этого продифференцируем общее решение для i/c, в резуль-
тате чего получим систему двух уравнений с двумя неизвестными
постоянными интегрирования:
мс(/) = 9 + е (4j cost ч- А2 sin/);
ur(/) = - е"'(А cos/ + Л2 sin/) + е“'(-4 sin / + А2 cost).
Значения постоянных интегрирования можно определить из
начальных условий, подставив в полученные уравнения / = 0*:
«с(0 + )=9 + /11;
1/^(0*) =-4 +а2.
В свою очередь, значения ис (0+) можно определить из закона
Коммутации для емкостного элемента мс (0*) = t/ДО") = 10 В а
мс(0 ) можно определить из уравнений состояния при / = 0*:
«с(0+) = -"с(0*) + /4(0 + ) + / = -2.
57
Рис. 3.32. Временная диаграмма пе-
реходного процесса для напряже-
ния на С-элементе
Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными по-
стоянными интегрирования позволяет определить их значения:
4=1; Л2=-1.
Зная все компоненты решения, можно записать полное аналити-
ческое решение относительно напряжения на емкостном элементе:
ис(/) = 9 + е“' (cos г - sin t).
На рис. 3.32 показан график (временная диаграмма) переход-
ного процесса для напряжения на С-элементе.
Аналогичным образом можно получить точное аналитическое
решение для тока в индуктивном элементе. Для него уже найдены
корни характеристического уравнения (те же, что и для напряже-
ния на емкостном элементе) и вынужденная составляющая тока.
Осталось определить постоянные интегрирования. Дифференциру-
ем общий вид решения и получаем систему двух уравнений для оп-
ределения двух постоянных интегрирования:
/, (Г) = 3 + е (Л3 cost + Л4 sin 0;
1
i'L(t) = - е '(А3 cost + А4 sin Г) + е“'(-Л3 sin t + А4 cost).
Значения постоянных интегрирования определяем из началь-
ных условий, подставив в полученные уравнения / =0+:
Q(0+) = 3+Л3;
z[(0+) = -А3 + Л4.
В свою очередь, значения 4((Г) можно определить из закона
коммутации для индуктивного элемента /\(0 ) = i/(0") = 2A, а
/[(0F) можно определить из уравнений состояния при г = 0+:
/•;(0+) = -ис(0+)-/д(0+) + С/=0.
Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными по-
стоянными интегрирования позволяет определить их значения:
А3 = А4 = -1.
Рис, 3.33. Временная диаграм-
ма переходного процесса для
тока в L-эле менте
4 5 '
Зная все компоненты решения, можно записать полное анали-
тическое решение относительно тока в индуктивном элементе:
/ (г) = 3 - е (cosг + sin г).
На рис. 3.33 показан график (временная диаграмма) переход-
ного процесса для тока в £-элементе.
3.5. Переходная и импульсная характеристики цепи
Переходной характеристикой электрической цепи называется
реакция цепи на единичную ступенчатую функцию. Единичная
ступенчатая функция широко применяется в теории электриче-
ских цепей и представляет собой функцию, общий вид которой
показан на рис. 3.34. В курсе высшей математики эта функция
называется функцией Хевисайда и аналитически записывается
в виде
/<0;
Г>0.
Действие сигнала такого вида на входе электрической цепи
эквивалентно подключению к цепи источника постоянного на-
пряжения с помощью идеального ключа, напряжение которого
равно одному вольту. Эквивалентные постановки этой задачи
показаны на рис. 3.35 и 3.36.
Замыкание рубильника в момент времени, отличный от нуля,
например, в момент времени г = т, можно представить как сме-
щение ступенчатой функции на величину т (рис. 3.37),
Рис. 3.34. Единичная
ступенчатая функция
Рис. 3.35. Цепь при воз-
действии единичной сту-
пенчатой функции
Рис. 3.36. Эквива-
лентная постанов-
ка задачи
59
Рис. 3.37. Единичная сту-
пенчатая функция, сме-
шенная во времени
С помощью единичной ступенчатой
функции можно формировать различ-
ные виды воздействий (рис. 3.38). Как
видно из рис. 3.38, умножение экспо-
ненциальной функции на единичную
ступенчатую функцию означает умно-
жение всех значений этой функции ле-
вее оси ординат на нуль. Умножение
этой же функции на смещенную во
времени единичную ступенчатую функцию означает умножение
на ноль всех значений экспоненциальной функции, располо-
женных левее t = т. Умножение экспоненциальной смещенной
функции на смещенную единичную ступенчатую функцию оз-
начает смещение во времени экспоненциального импульса на
величину т.
Импульсной характеристикой электрической цепи называется
реакция цепи на импульсную функцию. Импульсная функция
представляет собой функцию, общий вид которой показан на
рис. 3.39. В курсе высшей математики эта функция называется
функцией Дирака и аналитически записывается в виде
ГО
6(Z) =
О
t < 0;
/ = 0;
Z > 0.
Импульсная функция, как и ступенчатая функция, может
быть смешена во времени, как это показано на рис. 3.40.
Связь между импульсной и ступенчатой функциями можно
пояснить с помощью рис. 3.41. При стремлении величины т к ну-
лю функция /(?) будет стремиться к единичной ступенчатой
Рис. 3.38. Формирование различных видов воздействий с помошыо
единичной ступенчатой функции
60
5 (О А
Аб (М)
Рис. 3.39 Единич-
ная импульсная
функция
Рис. 3.40. Единичная им-
пульсная функция, сме-
щенная во времени
Рис. 3.41. Связь между
импульсной и ступен-
чатой функциями
импульсной функции
функции. Производная от этой функции
/'(/) при стремлении т к нулю будет стре -
миться к импульсной функции, амплитуда
которой будет равна бесконечности, дли-
тельность стремиться к нулю» а плошадь
будет равна единице. Связь между ступенчатой и импульсной
функциями определяется с помощью производной и интеграла:
ад,'15'»'’-
—: s,(z)= Js(z)dz = l.
Рассмотрим пример определения переходной и импульсной
характеристик динамической цепи первого порядка, представ-
ленной на рис. 3.42.
Пример. Пусть параметры элементов цепи известны: R = 1 Ом,
С = 1 Ф. Требуется определить переходную и импульсную харак-
теристики цепи по току.
Решение. Представим эквивалентную постановку задачи.
К цепи подключается источник напряжения U = 1 В. В таком
случае переходная характеристика по току в цепи численно рав-
на самому току и определяется в виде суммы вынужденной и
свободной составляющих:
Л1(0= Aj.BUH + А&р’-
Компоненты записанного решения определяются из эквива-
лентных резистивных цепей, как это под-
робно описано в подразд. 3.2: r
1 1 I '—1
л*.«ын=°;р = -7с;Л = /,,(0+)"Л1вын=л' (paw -~с
Переходная характеристика h\ (/) = — х
Л Рис. 3.42. Дипамиче-
„ ская цепь первого по-
хе^5,(/). рядк;
Рис. 3.43. Временные диаграм-
мы переходной и импульсной
характеристик цепи
Рис. 3.44 Разветвленная
динамическая цепь пер-
вого порядка
Импульсная характеристика определяется исходя из связи ее с
переходной характеристикой:
л, (О = ®= ^77^ 5 <'> + /<°)S(0;
dz d/
1 1 1
Л(г) = --±-е «с 8,(0+46(0-
R~C л
Временные диаграммы переходной и импульсной характери-
стик цепи приведены на рис. 3.43.
Рассмотрим другой пример. В цепи (рис. 3.44) параметры эле-
ментов известны: — R-. = 1 Ом, С = 1 Ф. Требуется определить
переходную и импульсную характеристики цепи по току i2.
Как и в предыдущем примере, представим, что на вход цепи в
момент времени t = 0 подключается источник постоянного на-
пряжения U - I (рис. 3.45). Переходная характеристика, под ко-
торой подразумеваем ток i2, определяется согласно алгоритму
решения, подробно описанному в подразд. 3.2. Воздействием яв-
ляется единичная ступенчатая функция U переходной ха-
рактеристикой является ток й,(/) = ь(/), общее решение диффе-
ренциального уравнения относительно переходной характери-
стики Л|(О = Л| ВЫИ +А ". Согласно алгоритму решения, приве-
денному в подразд. 3.2, сначала определяем вынужденную со-
ставляющую переходной характеристики:
Рис. 3.45. Эквивалент-
ная постановка задачи
Л,’вын R + R-, 2
затем корень характеристического урав-
нения
R3C
62
и, наконец, постоянную интегриро-
вания
А1(0+) = 0; А = 0-0,5 = -0,5
Окончательно переходная характе-
ристика цепи по току i2 будет иметь
такой вид:
[ А,(/) = (О,5-О,5-2')51(/).
Импульсную характеристику цепи
по этомуже току получаем на основа-
нии связи импульсной характеристи-
ки с переходной:
Рис. 3.46. Временные диа-
граммы переходной и им-
пульсной характеристик
Л(Г) =
dA, (г).
d/ ’
Л</)=^^5|(П +/(0)5(0;
at
АСО^е^б со-
временные диаграммы переходной и импульсной характери-
стик представлены на рис. 3.46.
С помощью переходной характеристики можно не только су-
дить о динамических свойствах цепи, но и определить реакцию
цепи на произвольное воздействие.
Зная переходную характеристику цепи, можно быстро опреде-
лить реакцию на воздействие сигнала, который можно предста-
вить в виде наложения ступенчатых функций. Например, на
рис. 3.47, а изображен импульс напряжения, который можно
разложить на простейшие составляющие в виде ступенчатых
функций, как показано на рис. 3 47, б.
Если этот импульс подается на вход цепи, переходная харак-
теристика которой известна:
А, (г) = е-'5, (г),
РИС. 3.47. Импульс напряжения (а) и его разложение на простейшие со-
ставляющие в виде ступенчатых функций (£)
63
Рис. 3.48. График тока в
функции времени
то аналитическое выражение полной реакции на воздействие
приведенного импульса можно записать в соответствии с мето-
дом наложения как сумму реакций на действие каждой состав-
ляющей ступенчатой функции:
/(г) = 2е~'5, (f) - е it - 1) + е </ 2’5, (/ - 2) - 2е-('-3)8, (г - 3).
График этой реакции показан на рис. 3.48.
При воздействии сигнала произвольной формы, который
представлен в аналитическом виде, реакцию цепи можно опре-
делить с помощью интегралов наложения (свертки) на основе
использования переходной или импульсной характеристик:
Л(0 = Z (0)А|(0 + J (t - t)dx.
о
Если в записанном равенстве заменить переменные, что, как
известно из математики, допустимо, можно получить еще три
формы интеграла наложения через переходную характеристику:
Л(0 = /,(0Л1 (0) + JЛЪ)Л1 it -
о
flit) = f (0)А, (Г) + J f\t - x)h} (T)dr;
0
flit) = f it)hi (0) + J f\t - (T)dx.
0
Аналогичным образом можно записать интеграл наложения
через импульсную характеристику:
flit) = ffiT)h(t- T)dx.
о
Заменив переменные в интеграле, можно получить еще одну
форму интеграла наложения через импульсную характеристику:
/2(O = JZ(/-T)A(T)dt.
и
64
Пример. На вход цепи (рис. 3 49)
подается воздействие в виде экспо-
ненциального импульса м(г) = 4е х
х 5|(О (рис. 3.50), переходная и им-
пульсная характеристики цепи из-
вестны:
I Л1(/) = е-'61(О;
1 ,(0
Рис. 3.49. Общий вид дина-
мической цепи
Л(О = -е-'5,(Г) + 8(/).
Требуется определить реакцию цепи в виде тока /2(/) на задан-
ное воздействие.
Решение. Рассмотрим решение поставленной задачи как с
использованием переходной, так и импульсной характеристик.
I. Для определения реакции цепи i2(f) используем интеграл
наложения через переходную характеристику:
Л(п = Л (0)Л!(/) + JZWi(' - T)dx;
о
/,(/) = 4е ' +J-8e-2te (r l>dx = 4e '-8е 'Je Tdt = 4е ' +8е 'е *
о
- 4е ' + 8е-ь -8е ‘ = 8е ъ - 4е
2. Определим теперь ту же реакцию цепи, но с использовани-
ем интеграла наложения через импульсную характеристику:
. Л (О = - т)й(т)с1т;
о
/;(г) = j4е‘2('~т (-е ' + 8(t))dT = -4е“ je’dt + 4е ' Je"T8(T)dT =
0 0 0
t
0
= - 4е е'
= -4е ' + 4е~2' + 4е-А = 8е 2г - 4е '.
Времсная диаграмма реакции ь(0 показана на рис. 3.51.
Рис. 3.50. Экспонен-
циальный импульс
Рис. 3.51, Временная диаграм-
ма реакции i2t
3 Башарин
Глава 4
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ
СИНУСОИДАЛЬНЫХ
И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СИГНАЛОВ
4.1. Основные понятия и определения
Синусоидальными сигналами или воздействиями называются
переменные напряжения и токи источников, которые аналити-
чески можно записать с помошью синусоидальной функции в
синусной или косинусной форме:
ы(Г) = И т sin(cor + а') = Um cos (tot + а„);
/(/) = Im sin (со/ + а,') = Im cos(co/ + а,),
где Um и 1т — амплитудные значения напряжения и тока;
dv
cat + а = у — фаза колебаний; со ---угловая частота или ско-
d/
рость изменения фазы, рад/с; аи и а, — начальные фазы коле-
баний (измеряются, как правило, в пределах от -л до +л).
Как правило, в теории электрических цепей синусоидальные
функции напряжений и токов записывают в косинусной форме,
поскольку косинус является четной функцией и с ней проще опе-
рировать.
Временная диаграмма (график) переменного синусоидального
напряжения представлена на рис. 4.1.
При наличии двух или нескольких сигналов между ними мо-
жет существовать сдвиг фаз ср. Если угол <р > 0, то напряжение
опережает и- на угол <р = ан1 - а„2, как это показано на рис. 4.2.
Если угол <р = 0, то два напряжения совпадают по фазе (рис. 4.3).
Если угол ф = л, то говорят, что напряжения находятся в проти-
вофазе (рис. 4.4). Если угол ф = л/2, то напряжения находятся в
квадратуре (рис. 4.5).
Рис. 4.2. Напряжение W| опережает
напряжение «2
Рис. 4.1. Временная диаграмма
синусоидального напряжения
66
Рис. 4.3. Напряжения сов-
падают по фазе
Рис. 4.4 Напряжения на-
ходятся в противофазе
Среднее значение синусоидальной функции за некоторый пе-
риод времени можно вычислить из выражения:
J /(Odr.
Г2 “ Ч Г|
Среднее значение синусоидальной функции за полный пери-
од равно нулю, поскольку суммарная площадь, ограниченная
этой функцией, за период равна нулю (рис. 4.6). Заштрихован-
ные области, лежащие выше и ниже оси абсцисс, равны и, следо-
вательно, суммарная площадь за период равна нулю. Поэтому
когда идет речь о среднем значении синусоидальной функции,
его вычисляют только за половину периода. Среднее значение за
половину периода синусоидальной функции можно вычислить
по формуле:
2л 2 . Т
m cos—tdt = — I „ —sin
m T T m 2л
2/т
= 0}637/ffl.
Действующее значение синусоидальной функции определяет-
ся из другого выражения:
г л
Рис. 4.5. Напряжения находятся
в квадратуре
Рис. ^.6. Среднее значение си-
нусоидальной функции
67
Для синусоидального тока это выражение можно записать
следующим образом:
,7г I 1 г . ПД /
/ = I— (/2 cos2 со/d/ = f /2d/ + J— i cos2co/d/ =-fr = 0.707/ .
1i TT? J у T *7^ j fn ii I F |
u/ 0 V-4/ 0 yzj 0 %lz
Действующее значение переменного тока — это такой посто-
янный ток, который в Л-элементе за период выделяет такое же
количество тепловой энергии, как и переменный ток. Все выво-
ды. сделанные относительно синусоидального тока, применимы
и для синусоидального напряжения.
4.2. Законы Кирхгофа и Ома в комплексной форме
Для синусоидальных сигналов законы Кирхгофа и Ома удоб-
но записывать в комплексной форме. Для этого временные
функции сигналов представляются в комплексной форме. Это
можно сделать следующим образом. Во временной области сину-
соидальные сигналы записываются в виде
//(/) = Um cos (<о/ + аи); /(/) = Im cos(to/ + а,).
В комплексной форме синусоидальный сигнал можно предста-
вить как вещественную часть комплексного числа или вектора:
а = а + jb = Ае = Л cos у + /Л sin у,
где а = J cos у = Re[d | — вещественная (реальная) часть вектора
а\ b = Л sin у = Im[a] — мнимая часть вектора а; А = -х!а + b' —
модуль вектора а; у = arctg(/>/o) — фаза вектора а.
Для гармонической функции можно записать:
«(/) = Um cos (со/ + а„) = Re[t/me7<<u/+o") | =
= ReK^e^e**] = Re[£/zrie>'],
где Uт — комплексная амплитуда напряжения.
Геометрически
Рис. 4.7. Комплекс-
ная амплитуда на-
пряжения
комплексная амплитуда представляет собой
вектор, характеризуемый модулем и фазой,
равными, соответственно, амплитуде и на-
чальной фазе гармонической функции, как
это показано на рис. 4.7, ек — оператор
вращения, представляющий собой единич-
ный вектор, умножение на который ком-
плексной амплитуды напряжения Uоз-
начает вращение вектора комплексной ам-
плитуды против направления движения ча-
68
совой стрелки с угловой частотой со. Производная и интеграл от
функции е г также представляют собой экспоненциальные
функции:
| ^е>“'=
При решении задач в комплексной области все токи и напря-
жения заменяются комплексными амплитудами. Это позволяет
операции дифференцирования и интегрирования заменить соот-
ветственно операциями умножения и деления на ja. Так, сину-
соидальное напряжение u(t) = Uт cos(cof + а„) в комплексной об-
ласти заменяется комплексной амплитудой Ure,a>i, а синусои-
дальный ток /(f) = Im cos (со/ + а,) заменяется комплексной ам-
плитудой .
Основные выводы, относящиеся к синусоидальным сигна-
лам, можно обобщить и применить для сигналов других видов,
таких как экспоненциальные сигналы или так называемые обоб-
щенные сигналы.
Обобщенным сигналом называется сигнал вила
u(t) = cos(cof + ) или /(/) = I е cos(cof + аД
Такой сигнал также можно представить в комплексной фор-
ме, как и синусоидальный сигнал:
u(t) = Ut е~ cos (со/ + aw) = Re[t/„e e7(w'TUb)] =
- Reft/, е^е(о+уи)/]Ке[(/л е*'],
где е г— обобщенная экспонента; 5 = о±/со — комплексная
частота.
В зависимости от значений о и со из обобщенного сигнала
можно получить целый спектр сигналов, как это, например, по-
казано па рис. 4.8 ...4.11.
Рис. 4.9. Экспоненциальный сигнал
/(04
0 с* О
Рис. 4 8. Постоянный сигнал
69
Рис. 4.10. Синусоидальный
сигнал
Рис. 4.11. Затухающий сину-
соидальный сигнал
Законы токов и напряжений Кирхгофа можно записать как
для мгновенных значений токов и напряжений, так и для ком-
плексных амплитуд этих токов и напряжений:
я л
X тк =0» X = 0 — закон токов Кирхгофа в комплекс-
x=i 4=1
ной форме;
л я
У итк =0; к = 0 — закон напряжений Кирхгофа в ком-
4=1 4-1
плексной форме.
Рассмотрим пример использования законов Кирхгофа в ком -
плексной форме.
Пример. Пусть имеется узел в цепи, к которому подключены
четыре ветви, как это показано на рис. 4.12. В первых трех ветвях
ток направлен к узлу, а в четвертой — от узла. Все токи синусои-
дальные и параметры трех из них известны:
/((/) = 4cosr; /,(/) = 6 cos (г + 90 °); /3(/) = 2cos(r - 90).
Требуется определить четвертый ток.
Решение. Для решения этой задачи необходимо все токи
перевести в комплексную форму, т.е. записать их комплексные
амплитуды:
— д- /
ml л m2
= 6е^ = J6-, Г„, = ie-w = -J2.
Рис. 4.12. Узел
цепи
Затем необходимо воспользоваться законом
токов Кирхгофа в комплексной форме для ком-
плексных амплитуд токов:
I т4 т\
+ I m2
m3
= 4 + уб - j2 = 4 + /4 - 4Ле 'у45°.
70
И наконец, по найденной ком-
плексной амплитуде четвертого тока
можно записать его временную функ-
цию
/4(/) ~ 4V2cos(f + 45°).
Эту задачу можно решить графиче-
ски с помощью векторной диаграммы,
которая представляет собой картину
расположения векторов токов и напря-
жений на комплексной плоскости. Для
этого, как показано на рис. 4.13, на
комплексной плоскости нужно отло-
жить три вектора комплексных ампли-
туд известных токов, а вектор ком-
плексной амплитуды четвертого тока
Рис. 4.13. Векторная диа-
грамма
можно построить путем суммирования векторов комплексных
амплитуд известных токов на основе закона токов Кирхгофа.
Закон Ома в комплексной форме связывает комплексы на-
пряжения и тока:
Um = imz-t
eJ(au-at)
= r + jx,
где Z — комплексное сопротивление двухполюсника, которое
представляет собой комплексное число или вектор, который
можно отложить на комплексной плоскости (рис. 4.14).
Комплексная проводимость Y — величина, обратная ком-
плексному сопротивлению:
-exj
= [У |еЛ'
= g + jb.
Рис. 4.14. Комплексное
сопротивление двухпо-
люсника
Рис. 4.15. Цепь с последователь-
ным соединением элементов
71
Комплексные сопротивления и проводимости элементов
складываются по тем же правилам, что и сопротивления и про-
водимости /?-элементов. Например, в цепи (рис. 4.15) комплекс-
ные сопротивления элементов в последовательном контуре сум-
мируются, а напряжение источника согласно закону Ома в ком-
плексной форме связано с током в контуре следующим выраже-
нием:
U т ~ пЛ%R + % L + %сУ
Ток в контуре соответственно можно определить по формуле:
где ZB = (Z^ + Z + Z,) — общее или входное сопротивление
контура.
43. Элементы цепи в синусоидальном
установившемся режиме
Л-элемент и его характеристики. /{-элемент и его схема заме-
щения в комплексной форме показаны на рис. 4.16. Для опреде-
ления комплексного сопротивления и комплексной проводимо-
сти /{-элемента выразим синусоидальный ток, условно проте-
кающий в нем, через напряжение и сопротивление, руководству-
ясь при этом вольт-амперной характеристикой /{-элемента:
ы(Г) = Um cos (coz + аи); /(/) = = ^-cos(wr + а„).
К IX
Из этого равенства можно получить выражение для комплекс-
ного сопротивления резистора:
аи= а,
+ и -
Рис. 4 16. /{-элемент и его схема
замещения
Рис. 4Л7. Векторная
диаграмма для Я-эле-
мента
72
Zr
U V e*-
i U •
Zm Г_^_еуа-
R
RefZ] = A; lm[Z] = O.
Из записанных выражений
можно сделать вывод: в Л-эле-
менте ток и напряжения сов-
падают по фазе. Это можно на-
Рис. 4.18. Временные диаграммы
для R-элемента
глядно показать с помошью
векторной диаграммы, изобра-
женной на рис. 4.17.
Аналогично можно полу-
чить выражение для комплексной проводимости:
Re[K] = (7; 1т[У] = 0.
Мгновенная мощность A-элемента определяется произведе-
нием тока на напряжение:
p(t) = ui = UmIm cos (cor + a„)cos(urt + a,) = UmIm cos2(cor + au).
Из тригонометрии известно, что cos' a = — (1 + cos 2a), откуда:
p{t) = UI\\ + cos(2cor + 2ab)].
Временные диаграммы напряжения, тока и мощности R-эле-
мента показаны на рис. 4.18. Среднее значение мощности за пе-
риод (потребляемую мощность) можно определить, вычислив
интеграл:
/’ср = IJ P(Odr = uidt = U1 = I2 R. Вт,
/ 0 ' 0
поскольку Jcos(2coZ + 2au)dr = 0.
I °
Z-элемент и его характеристики. Z-элемент и его схема заме-
щения в частотной (комплексной) области представлены на
рис. 4.19. Для определения комплексного сопротивления и ком-
плексной проводимости Z-элемента
выразим синусоидальное напряже- _
ние на нем через ток, руководству- * £.
ясь при этом вольт-амперной зави- + и - * + р-
симостью Z-элемента:
/(0 = lm cos (cor + a,);
Рис. 4.19. L-элемент и его
схема замещения
73
Рис. 4.20. Векторная диа-
грамма для /.-элемента
r d/(r) F Г • / \
u(t) = L------- = Лео sm (cor + а,) -
dr
= 1 m<i)L cos (cor + a, + 90).
Разделив комплексную амплитуду
напряжения на комплексную ампли-
туду тока, можно получить выраже-
ние для комплексного сопротивления
£-элемента:
^- = со£е = /<о£;
1т
Re[ZJ = 0; Im[Z J - соЛ = xL.
Из записанных выражений можно сделать вывод: в Л-элемен-
те ток отстает от напряжения на угол 90°. Этот вывод можно про-
иллюстрировать с помощью векторной диаграммы, изображен-
ной на рис. 4.20.
Аналогично можно получить выражение для комплексной
проводимости:
у = _L = _L = _/_L-
L ZL jwL uL’
Ие[У; ] = 0;
ImPJ»—\ = -bL.
Мгновенная мощность Z-элемента определяется произведе-
нием тока на напряжения или:
p(t) = U/ = UmIm cos (со/ + a,)cos(co/ + а,- + 90°) =
= t//cos(2co/ + 2a,. +90°),
поскольку, как известно из математики.
cosa - cos0 ~ ~[cos(a - 0) + cos(a + 0)].
Временные диаграммы напряжения, тока, мощности и энер-
гии 1-элемента показаны на рис. 4,21, Мгновенная энергия оп-
ределяется из выражения
Li2 LI- cosг(слГ + a.) LI' zn n
юДГ) = — = = —[1 + cos(2cor + 2a,)].
Как видно из рис. 4.21, среднее значение мощности за период
равно нулю, а среднее значение энергии можно определить по
формуле:
74
Рис. 4.21. Временные диаграммы для /.-элемента
1г/,/2 Г/2
^СР = тРН1 + COS(2W/ + 2a')ld/ =
/ 0 - Z
т
где J cos (2соГ + 2af )dr = 0.
I о
С-элемсит и его характеристики. С-элемсит и его схема заме-
щения в частотной (комплексной) области представлены на
рис. 4.22. Для определения комплексного сопротивления и ком-
плексной проводимости С-элемента выразим синусоидальный
ток на нем через напряжение, исходя из его вольт-амперной ха-
рактеристики:
u(t) = и а cos (со/ + аиу,
i(t) = С — = - U „С со sin (со/ + а„) = U „озС cos (со/ + аи + 90е).
d/
Из записанных равенств можно получить выражение для ком-
плексного сопротивления С-элемента:
у _ rn _ 1 «-№ - i 1 •
г- — —г—' —-t — — /--.
с i соС соС
Re[Zc] = 0;
Im[Zc]
Из данных выражений можно
сделать вывод: в С-элементе ток
опережает напряжение на угол 90".
Это можно наглядно показать с
помощью векторной диаграммы
(рис. 4.23).
соС
Рис. 4.22. С-элемент и его схе-
ма замещения
75
Рис. 4.23. Векторная диа-
грамма для С-элемента
Аналогично можно получить выра-
жение для комплексной проводимости:
= >С = Jbc;
Re[Yc]-0; 1т[Кс] = соС.
Мгновенная мощность С-элемента
определяется произведением тока на
напряжения или:
p(t) = ui - U,„Im cos (со/ + au)cos(cor + au + 90' ) =
- UIcos(2cor + 2 a „ + 90°).
Временные диаграммы напряжения, тока, мощности и энер-
гии С-элемента показаны на рис. 4.24.
Мгновенная энергия определяется из выражения
, Си2
wc (О =
Ct/' cos2(w/ + a„)
2
-----[1 + cos(2atf + 2a(/)].
Среднее значение мощности за период равно нулю. Среднее
значение энергии можно определить по формуле:
Рис. 4.24, Временные диаграммы для С-элемента
76
4. 4. Мощность пассивного двухполюсника
в синусоидальном установившемся режиме
Любой пассивный элемент можно представить в виде двухпо-
люсника, т.е. элемента с двумя выводами, обладающим сопро-
тивлением Z, через который протекает синусоидальный ток / и на
зажимах которого синусоидальное напряжение и. Мгновенную
мощность такого двухполюсника можно определить как произ-
ведение напряжения на ток:
р(0 = г/(г)/(Г),
или
p(t) = и т cos (cor + aj/m cos (cor + a,-).
Преобразовав произведение косинусов, получим
г p(r) = UIcos(a„ - az) + UI cos(2cor + 2a. + ср).
Это означает, что мгновенная мощность пассивного двухпо-
люсника будет являться синусоидальной функцией с удвоенной
частотой. Временные диаграммы тока, напряжения и мощности
показаны на рис. 4.25 и 4.26. Преобразуем полученное выраже-
ние для мгновенной мощности по формулам приведения:
I cos (a + р) = (cos а • cos р - sin a sin Р),
тогда
p(r) = UI cos ср + UI coscp - cos(2cor + 2a,) - UI sin cp sin (2cor + 2a,),
или
p(t) = UI cos<p[l + cos(2cor + 2a,)] - t/Zsincp - sin (2юг + 2ar).
В результате проделанных преобразований мгновенную мощ-
ность можно представить в виде суммы двух составляющих:
| р(О = Рг(О + р,(О,
где pr(f) = UIcoscp[l +cos(2cor + 2aJ] — активная составляющая
мгновенной мощности; рДг) =-t7sin<p sin (2со/+ 2az) — реак-
тивная составляющая мгновенной мощности.
Рис. 4.25. Временные диаграммы тока и напряжения пассивного двух-
полюсника
77
Рис. 4.26. Временные диаграммы мощности пассивного двухполюсника
Среднее значение активной составляющей мгновенной мощ-
ности и амплитудное значение реактивной составляющей мгно-
венной мощности называются соответственно:
Р ~U! coscp — активная (потребляемая) мощность. Вт;
Q = t/7 sin <р — реактивная мощность, вар;
S = UI — полная мощность, В А
Мощности пассивного двухполюсника можно выразить через
параметры комплексного сопротивления:
В комплексной форме полная мощность представляется как
комплексное выражение, у которого вещественная часть пред-
ставляет собой активную мощность, а мнимая часть — реактив-
ную мощность:
S=zUI - UIejla“-ai) = Ult* = UI cosip + jUIsin<p = P + jQ.
Пример. Задана цепь, структура которой приведена на
рис. 4.27. Воздействие и параметры элементов цепи известны:
н(г) - 10V2cos(r - 45°); R = 1 Ом; L - 1 Гн.
Требуется определить мощности в цепи.
Решен ие. Сначала определим ток в контуре:
Для наглядности построим векторную диаграмму для напря-
жения и тока на входе цепи (рис. 4.28). Как видно из векторной
диаграммы, угол фазового сдвига между напряжением и током
Рис. 4.27. RL- цепь первого порядка Рис. 4.28. Векторная диаграмма
78
составляет 45J. Зная действующие значения напряжения и тока,
а также угол сдвига между ними, можно определить мощности:
Р = UI cosip = 10 -^=cos 45°= 50 Вт — активная мощность;
Л
Q = {//sinip = 10-j=sin 45° = 50 вар — реактивная мощность;
S = Ш = - ' = 50л/2 В-А — полная мощность.
Л
4. 5. Метод комплексных амплитуд (символический метод)
Метод применяется для определения вынужденных состав-
ляющих реакций при воздействии синусоидальных или обоб-
щенных сигналов. Метод можно применять только в том случае,
если собственные частоты цепи не совпадают с частотой входно-
го сигнала. Алгоритм метода рассмотрим на примере анализа це-
пи, структура которой приведена на рис. 4.29.
Пример. На вход цепи подается синусоидальное воздействие
и(г) = Uncos(p)t + аи). Параметры воздействия и элементов цепи
известны: Um = 1 В, со = 1 с 1, аи = 90°, R = 1 Ом, L = 1 Гн, С= 1 Ф.
Требуется определить токи и напряжения ветвей, построить век-
торную диаграмму.
Решение. 1. Представим воздействие в комплексной форме:
2. Построим схему замещения цепи в частотной области, за-
менив элементы цепи комплексными двухполюсниками, как это
показано на рис. 4.30.
3. Произведем расчет реакций (токов и напряжений) в ком-
плексной области. При этом можно воспользоваться законами
Кирхгофа и Ома в комплексной форме, а также известными ме-
тодами расчета резистивных цепей:
- % L + % L ~ : L г- О -J (3)“ С R Т Гт Рис. 4.29. RLC-цтъ второго порядка - i 7 - = _ ~j . J * лс । + ZC 1 ~ J 1 1 ©“ \zc z’ L Т т Рис. 4.30. Схема замещения це- пи в частотной области 79
Рис. 4.31. Векторная диаграмма
ЛС.л»
_ RC,m
R,tn
£ п
4. Построим векторную диаграмму для токов и напряжений в
цепи. Для этого на комплексной плоскости откладываются в со-
ответствующем масштабе найденные токи и напряжения, как
показано на рис. 4.31.
Построение векторной диаграммы, как правило, является ко-
нечным результатом решения подобных задач. Векторная диа-
грамма показывает амплитуду и начальную фазу любого тока или
напряжения. При необходимости, имея векторную диаграмму,
можно записать временную функцию тока или напряжения. На-
пример, напряжение на £-элементе имеет амплитуду V2, а на-
чальную фазу 135°, значит, во временной области это напряже-
ние можно записать так:
uL(t) = V2cos(Z + 135°).
4.6. Резонансные явления в простых колебательных
контурах
Электрическим резонансом в электрических цепях называет-
ся такое явление, при котором ток и напряжение на входе цепи в
синусоидальном установившемся режиме совпадают по фазе. Та-
80
Im |Z|a
Рис. 4.33. Зависимость мнимой
части сопротивления от частоты
Рис. 4.32. Последовательный ре-
зонансный контур
кое явление можно наблюдать в том случае, если Im[Z ] = 0 или
1mlКвх] =0. Поэтому в цепях различают резонанс в последова-
тельном контуре (резонанс напряжений) или в параллельном
контуре (резонанс токов).
Резонанс в последовательном колебательном контуре. Элек-
трическая цепь, которая представляет собой последовательный
резонансный контур, представлена на рис. 4.32. В момент резо-
нанса мнимая часть комплексного сопротивления в таком конту-
ре равна нулю, т.е. Im[Z] =0:
Zm = R + jwL +-------= R + / wL--------
Ba J J I
jotC V wC 7
R + j(xL - xc),
отсюда X{ - xc =0, co0L-------= 0,
co0C
1
а резонансная частота контура ы= .
LC
Сопротивления реактивных элементов колебательного конту-
ра зависят от частоты, следовательно, эти зависимости можно
построить в функции частоты, как это показано на рис. 4.33.
Вертикальная линия на рисунке отмечает равенство модулей со-
противлений индуктивного и емкостного элементов, что соот-
ветствует частоте резонанса в контуре.
На рис. 4.34 приведены векторные диаграммы для последова-
тельного колебательного контура при резонансе (см.
рис. 4.34, а), при частоте больше резонансной (см. рис. 4.34, б) и
при частоте меньше резонансной (см. рис. 4.34, в).
Рассмотрим некоторые свойства последовательного колеба-
тельного контура. Ток в контуре определяется выражением
81
tD = CDQ
o'
ф'
U-UR
б
в
а
Рис. 4.34. Векторные диаграммы последовательного колебательного кон-
тура:
а — при резонансе; б — при частоте больше резонансной; в — при частоте мень-
ше резонансной
В момент резонанса ток максимален: I = —.
R
Волновое или характеристическое сопротивление контура оп-
ределяется по формуле
л /о /со 0£ р
Добротность контура Q = - -- = .
U IR R
На рис. 4.35 приведены зависимости тока в контуре (входной
проводимости) в функции частоты. Эти зависимости называются
резонансными кривыми. На рисунке резонансные кривые по-
строены для двух различных значений добротности. Чем выше
добротность контура, тем уже резонансная кривая. Ширина ре-
зонансной кривой называется шириной полосы пропускания
_ _ со 0
контура Aw и определяет величину добротности Q = —-.
Дсо
Резонанс в параллельном колебательном контуре. Параллель-
ный колебательный контур дуален последовательному, и все
Рис. 4.35. Резонансные кри-
вые последовательного коле-
бательного контура
82
Im |У ||
Рис. 4.36. Параллельный ре-
зонансный контур
Рис. 4,37. Зависимость мнимой час-
ти проводимости от частоты
процессы в нем схожи с процессами в последовательном конту-
ре. Электрическая цепь, которая представляет собой параллель-
ный резонансный контур, представлена на рис. 4 36. В момент
резонанса мнимая часть комплексной проводимости в таком
контуре равна нулю, т.е. 1т[У] = 0.
отсюда Ъс - Ьг = 0,
арезонансная частота контура <оо
1
Проводимости реактивных элементов колебательного контура
зависят от частоты, следовательно, эти зависимости можно по-
строить в функции частоты, как это показано на рис. 4 37. На
рис. 4.38 приведены векторные диаграммы для параллельного
колебательного контура при резонансе (см. рис. 4.38, а), при час-
Рис.
4.38. Векторные диаграммы последовательного колебательного
контура:
° — при резонансе; б — при частоте больше резонансной; в — при частоте мень-
ше резонансной
83
Рис. 4.39. Резонансные кривые па-
раллельного колебательного конту-
ра
тоте больше резонансной (см. рис. 438, б) и при частоте меньше
резонансной (см. рис. 438, в).
Рассмотрим свойства параллельного колебательного контура.
Напряжение на контуре определяется выражением
Добротность контура Q =
В момент резонанса напряжение максимально: U = —.
со _ __ I
7 UG pG
На рис. 4.39 приведены резонансные кривые параллельного ко-
лебательного контура для двух значении добротности.
4.7. Частотные характеристики цепей
Комплексные сопротивления и комплексные проводимости
пассивных двухполюсников зависят от частоты:
Z(co) = |Z(co)|e = r(co) + А(<в);
У (co) = |Г(<о)|еМм) = g(co) + уЛ(со).
Зависимости модулей комплексных сопротивлений или про-
водимостей от частоты называются амплитудно-частотными ха-
рактеристиками (АЧХ): I ?(ш)|; |К(со)|.
Зависимости фаз комплексных сопротивлений или проводи-
мостей от частоты называются фазочастотными характеристика-
ми (ФЧХ): <р(со); у(а>).
Зависимости вещественных частей комплексных сопротивле-
ний или проводимостей от частоты называются вещественными
частотными характеристиками (ВЧХ): r(a>); g(co).
84
Рис. 4.40. Амплитудно-фазо-
вая характеристика
Рис. 4.41. ЯЕ-цспь пер-
вого порядка
Зависимости мнимых частей комплексных сопротивлений
или проводимостей от частоты называются мнимыми частотны-
ми характеристиками (МЧХ): х(со); А(со).
I Годографы векторов комплексного сопротивления или ком-
плексной проводимости называются амплитудно-фазовыми ха-
рактеристиками (АФХ). Годографом вектора называется траек-
тория на комплексной плоскости, которую описывает конец век-
тора комплексного сопротивления или комплексной проводимо-
сти (рис. 4.40).
Частотные характеристики цепи можно построить по анали-
тическим выражениям, изменяя частоту от нуля до бесконечно-
сти. При качественном анализе цепей частотные характеристики
можно построить качественно по характерным для конкретной
зависимости точкам. Как правило, это точки со ~ 0 и со = с*.
Пример. На рис. 4.41 изображена цепь, для которой нужно по-
строить АЧХ, ФЧХ, ВЧХ, МЧХ и АФХ входной проводимости.
Пусть заданы параметры ее элементов: R = 1 Ом. L = 1 Гн.
Решение. Запишем аналитическое выражение входной ком-
плексной проводимости цепи в общем виде:
У(усо) =----- =------------.
Z(yco) /? + >£
Представим ее в показательной форме:
Л7?2 + (w£)2
-jarcig,
v Л J
и в алгебраическом форме:
R_____. oL
R2 + (со!)7 7 R2 +(to£)2'
Амплитудно-частотная характеристика представляет собой
Модуль комплексной проводимости: |У(ут)| = - --- При
л/Л2+(<о£)2
85
Рис. 4.42. Амплитудно-час-
тотная характеристика
Рис. 4.43. Фазочастотная
характеристика
—, а при со — оо У (jco)| = 0.
R
со=0 она принимает значение |К(/со) =
Ее график изображен на рис. 4.42.
Фазочастотная характеристика представляет собой фазу ком-
плексной проводимости: <р(со) = -jarctg
. При со = О она при-
cub
нимает значение <р(со) = 0, а при со = ~>-ф(со) =. Ее график
изображен на рис. 4.43.
Вещественная частотная характеристика представляет со-
бой вещественную часть комплексной проводимости:
D
Re[K(yco)] = — ——-----При <в=0 она принимает значение
R2 + (<о£)"
Re[K(jco)] = —, а при со = « -Ке(У(»] = 0. Ее график изображен
R
на рис. 4.44.
Рис. 4.44. Вещественная час-
тотная характеристика
Рис. 4.45, Мнимая частотная ха-
рактеристика
86
Мнимая частотная характеристика
представляет собой мнимую часть ком-
плексной проводимости: [m[K(Jw)] =
В------------г- При со =0 она прини
R2 + (<oZ)2
мает значение 1т(У(уо)] = 0 и при
со = оо также 1т[У(усо)] = 0. Ее график
изображен на рис. 4.45.
Ам пл итудно-фазовую характеристи -
Рис. 4.46. Амплитудно-фа-
зовая характеристика
ку можно построить по имеющимся
АЧХ и ФЧХ, первая из которых определяет зависимость длины
вектора проводимости в функции от частоты, а вторая — зависи-
мость угла поворота этого вектора в функции частоты. График
АФХ цепи показан на рис. 4.46.
4.8. Переходные процессы при синусоидальных
воздействиях
Анализ переходных процессов при синусоидальных воздей-
ствиях проводится аналогично тому, как это делалось при по-
стоянных воздействиях. Особенности расчета переходных про-
цессов при синусоидальных воздействиях можно рассмотреть
на примере.
Пример. Пусть имеется цепь, изображенная на рис. 4.47. В це-
пи происходит коммутация, т.е. ключ замыкается. Заданы пара-
метры цепи: u(t) = 2-j2cos(r - 45°); R = Юм; L = 1 Гн; С = 0,5 Ф.
Требуется определить переходный процесс для тока в контуре.
Решения: I. Определяем независимые начальные условия.
Для этого изображаем схему замещения цепи в частотной облас-
ти для I < 0 (рис. 4.48) и рассчитываем ток в индуктивном эле-
менте:
ZIK = 1 + J - 2J = 1 - j = V2e-y45°;
j & 2V2e-y45° _
m Za V2e->45’ ~ ’
Рис. 4.47. /?£С-цспь
Рис. 4.48. Схема замещения це-
пи для / < 0
87
Рис. 4.49. Схема замещения
цепи для t > О
iL (/) = 2cos(/); Q(O~) = 2 А.
2. Определяем вынужденную со-
ставляющую реакции. Для этого
изображаем схему замещения цепи
при t > 0 (рис. 4.49) и рассчитываем
вынужденную составляющую реак-
ции при t - с»:
Zux =1 + ; = V2e745°;
2V2e->45”
-j2e/45°
-/90°.
7винО) = 2cos(Z - 90°).
3. Определяем корень характеристического уравнения по тем
же правилам, что и для постоянного воздействия, поскольку ко-
рень характеристического воздействия определяется не воздей-
ствием, а лишь параметрами элементов цепи:
R
4. Определяем постоянную интегрирования из начальных ус-
ловий. Для цепи первого порядка
Л = К0 + )-/ВЫ1,(0 + ) = 2.
5. Запишем решение для тока в контуре в аналитическом виде:
КО = 'вы1|(0 + МО = 2cos0 - 90°)+ 2е '•
6. Построим временную диаграмму тока в контуре, как сумму
свободной и вынужденной составляющих (рис. 4.50).
Рис. 4.50. Временная диаграмма тока в контуре
Глава 5
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
5.1. Основные положения операторного метода,
используемые при анализе динамических R-, L-, С-цепей
Преобразование Лапласа применяется для анализа переход-
ных процессов в динамических R-, L-, С-цепях при воздействии
сигналов произвольной формы. В отличие от классического ме-
тода анализа переходных процессов операторный метод позволя-
ет привести дифференциальные уравнения динамической цепи к
алгебраическим уравнениям. Сведение дифференциальных урав-
нений к алгебраическим, в свою очередь, предоставляет возмож-
ность строить модель динамической цепи по типу резистивной и
применять для ее анализа все известные методы анализа рези-
стивных цепей.
Кроме того, операторный метод предоставляет возможность
введения системных функций цепи, т.е. входных и передаточных
функций, которые можно использовать при анализе динамиче-
ских цепей с одним источником и нулевых начальных условиях в
цепи. Метод преобразования Лапласа называют также оператор-
ным методом, поскольку он позволяет вводить операторные
функции и операторные сопротивления.
В операторном методе все сигналы (токи и напряжения) пре-
образуются с помощью интеграла прямого преобразования Лап-
ласа:
F(5) = J/(0e-J'd/,
В
где F(s) — изображение временной функции по Лапласу или опе-
раторное изображение функции; 5 — оператор Лапласа; f(t) —
временная функция (оригинал функции).
Запись F(s) или F(s) = £[f(r)] означает, что временной
функции f(t) соответствует операторное изображение F(s), или
F(s) — изображение по Лапласу функции /(/).
I Преобразовывать по Лапласу можно не все функции, а лишь
те, которые удовлетворяют следующим ограничениям:
, /(/) должна удовлетворять условиям, известным из курса выс-
шей математики как условия Дирихле, т. е. иметь конечное число
разрывов первого рода, конечное число максимумов и миниму-
мов и т.д.;
89
Рис. 5.3. Расположение
полюса единичной сту-
пенчатой функции
Рис. 5.1. Единичная
импульсная функ-
ция
Рис. 5.2. Единичная
ступенчатая функ-
ция
/(г) должна быть ограниченной возрастающей экспонентой
Л/е°°г,т.е. значения функции не могут быть бесконечно больши-
ми;
/(/) должна быть равна нулю при t < 0.
Для получения изображения функции, удовлетворяющей пе-
речисленным условиям, можно взять интеграл прямого преобра-
зования Лапласа. При решении практических задач изображения
функций по Лапласу, как правило, находят с помощью справоч-
ных таблиц, имеющихся в большинстве математических спра
ВОЧНИКОВ.
Изображения некоторых функций и картины расположения
собственных частот этих функций на плоскости комплексной
частоты в Г- и 5-областях приведены на рис. 5.1 ...5.15:
/(/) = 5(г) — импульсная функция, ее изображение по Лапла-
су F(s) = 1, график функции показан на рис. 5.1;
/(/) = 8t (/) — единичная ступенчатая функция, ее изображе-
ние по Лапласу F(s) = график функции показан на рис. 5.2, а
5
картина расположения полюса — на рис. 5.3;
/(/) = Г 8, (/) — линейная функция, ее изображение по Лапласу
F(s) = -L график функции показан на рис. 5.4, а картина распо-
52
ложения полюсов — на рис. 5.5;
f(t) = е“о/ — экспоненциальная функция, ее изображение по
Лапласу/(s) = —-—, график функции показан на рис. 5.6, а кар-
5 + 6?
тина расположения полюса — на рис. 5.7;
Рис. 5.4. Линейная
функция
Рис. 5.6. Экспо-
ненциальная
Рис. 5.5, Расположение по-
люсов линейной функции
90
Рис. 5.8. Функ-
ция косинуса
Рис- 5.7. Расположение
полюса экспонснциаль-
ной функции
Рис. 5.9. Расположе-
ние полюсов функ-
ции косинуса
f(t) = cos (со 0Г) — функция косинуса, ее изображение по Лап-
ласу r(s) = —--график функции показан на рис. 5.8, а кар-
> 5-+COS
тина расположения полюсов — на рис. 5.9;
f(f) = sin (со ог) — функция синуса, ее изображение по Лапласу
g, СО п
F(st = —---у, график функции показан на рис. 5.10, а картина
-S-+W5
расположения полюсов — на рис. 5.11;
ЛО
Рис. 5.10. Функ-
ция синуса
Рис. 5.11. Расположение
полюсов функции синуса
ЛОА
Рис. 5.12. Функция ко-
синуса, умноженная на
экспоненту
f(t) = е " cos со 0/ — функция косинуса, умноженная на экспо-
ненту, ее изображение по Лапласу F(s) =--—-, график
(5 + Л)2+СОо
функции показан на рис. 5.12, а картина расположения полю-
сов — на рис. 5.13;
Рис. 5.13. Расположе-
ние полюсов функции
косинуса, умноженной
на экспоненту
Рис. 5.14. Функ-
ция синуса, ум-
ноженная на экс-
поненту
Рис. 5.15. Расположение
полюсов функции сину-
са, умноженной на экс-
поненту
91
f(t) = e °' sin co ot — функция синуса, умноженная на экспонен-
ту, ее изображение по Лапласу F(s) =-----у----график функ-
(5 +а)2 +<0(5
ции показан на рис. 5.14, а картина расположения полюсов — на
рис. 5.15.
Изображение каждого из приведенных сигналов по Лапласу в
общем виде можно представить в виде отношения полиномов:
= M(s) = amsm +ат.^" ' +...+ а|з| +£о =
N(s) b„s” + bn.}sn-x +...+М' + b0
bn(s ~ sx}(s - s,)...(s - s„) ’
или
m
ГВ5 -
F{s) = k'-^----,
где s' и st — нули и полюсы функции F(s), т. е. корни полино-
ма числителя и знаменателя соответственно.
Зная полюсы изображения функции, можно приближенно оп-
ределить ее вид во временной области. Например, пусть изобра-
жение некоторой функции имеет вид
F(s) =
М (5)= M(s)
54 + 2s3 + s2 + 2s s(s + 2)(s2 + I)
Полюсы изображения (корни знаменателя) равны:
Картина расположения полюсов функции на плоскости ком-
плексной частоты приведена на рис. 5.16. Полюс, равный нулю, в
Рис. 5.16, Расположе-
ние полюсов функции
на плоскости ком-
плексной частоты
соответствии с приведенными выше приме-
рами изображений некоторых функций, оп-
ределяет постоянную составляющую вре-
менной функции. Вещественный отрица-
тельный полюс определяет экспоненту. Два
мнимых сопряженных полюса определяют
синусоидальный сигнал. Отсюда можно
сделать вывод, что оригинал функции будет
иметь следующий вид:
/(г) = Д + т42е * + А3 cos(? + а).
92
5.2. Нахождение оригиналов функций
по заданным изображениям
Переход от изображения функции по Лапласу к ее оригиналу,
т.е. нахождение временной функции /(/) = £' [/'($)], можно осу-
ществить путем вычисления интеграла обратного преобразова-
ния Лапласа:
I °0+/"
[ /(/) = 3Z7 J
I O0-J”
Однако на практике для перехода из s-области в r-область ча-
ше пользуются теоремой разложения или теоремой вычетов.
Воспользуемся для этой пели теоремой вычетов. Для определе-
ния оригинала функции по ее изображению в виде рациональ-
ной дроби разложим сложную функцию на простые дроби:
N(s) bnsn + ^-jS^+.-.+ fr’s1 + 60
_ am(s - sf)(s - (s - s'm) =
I bn(s -Sj)(s-s2)...(s-s„)
ji __ ___^2 4-4.
L Cs-s2) (s-sj’
где sP..sn — полюса функции изображения; kt...k„ — вычеты в
соответствующих полюсах.
Вычеты определяются по общей формуле:
ki^F(s)(s-si)\^Sj.
| Каждая простая дробь является изображением экспоненци-
альной функции времени, следовательно, определив вычеты,
можно записать функцию времени в виде суммы экспонент.
В зависимости от вида полюсов функции /’(s), которые одно-
временно являются собственными частотами цепи, вычеты мож-
но определить следующим образом.
1. Случай вещественных различных полюсов, т.е. Sj...sn — ве-
щественные различные.
Вычеты в этом случае получаются также вещественными, и
оригинал функции записывается в виде
I /(г) = Д е ,f + Ле 2'+...+Л„е,я'.
Пример. Пусть задано изображение функции, полюса которой
вещественные и различные:
93
5 + 1 _ 5 + 1
5 + 5s2 + 6s Л-* + 2)(5 + 3)
Полюса изображения равны:
5, =0;
Решение. Определим вычеты в этих полюсах:
5+1 = 1.
5<5 ' + 55 + 6) J=o 6’
В таком случае оригинал функции имеет вид
у-. ,11 —2/ — —Зг
Л')»ГГ -,е>.
а ее график представлен на рис. 5.17.
2. Случай комплексных сопряженных полюсов, т. е. 5(...5П —
комплексные, парно сопряженные: 5 = о ± /со.
Для случая пары комплексных корней общий вид функции во
временной области имеет вид
/(0 = 2]Л1|е',/ cos(cor + а,),
где к, = |Л е — вычет в первом из пары комплексных полю-
сов, т.е. в том полюсе, у которого мнимая часть имеет положи-
тельный знак.
Пример. Пусть задано изображение функции F(s) = —--------.
5' + 25 + 2
Рис. 5.17. График функции, имеющей вещественные различные полюса
94
Полюса функции комплексные сопряженные: 2 = -1 ± j.
Решение. Определим вычет в первом полюсе. Для этого
справедливо выражение, которое использовалось в предыдущем
случае для вещественных полюсов. При этом вычет в комплекс-
ном полюсе также будет комплексным:
5
р>45°
-1+7^1 + /^ Л
/2 2 2
Второй вычет, соответствующий второму полюсу, будет ком-
плексным сопряженным первому, и поэтому его вычислять не
нужно. В этом случае оригинал функции будет иметь вид
I /(/) = Де-'cos(r + 45°),
а ее график представлен на рис. 5.18.
3. Случай равных (кратных) полюсов, т.е. S|,52 — равные ве-
щественные полюса. Изображение сигнала для случая пары
кратных полюсов раскладывается на простые дроби особым об-
разом:
Вычеты в этом случае также определяются по особым прави-
лам:
ки =^-[F(5)(5-5I)2]J=Ji;
Л|2 = F(s)(5-s,)
Оригинал функции для случая пары кратных полюсов имеет
вил
ЛП = 4е«
+ Але
где А^ — к|], А.^ —• А. ,.
Пример. Пусть задано изобра-
5+1
жение функции F(s) ~
В (5 + 2)“
Полюса изображения равные
вещественные (кратные): 5,2 =
= 42.
I Решение. Вычеты в полю-
сах определяются по выраже-
ниям:
Рис. 5.18. График функции, име-
ющей комплексные сопряженные
полюса
95
ло*
d
и =S“
0,5
0
►
2
Рис. 5.19. График функции, име-
ющей вещественные равные (крат-
ные) полюса
Jj^-2
2,= -2
В этом случае оригинал
функции будет иметь вид
У(/) = е-2/
а ее график представлен на
рис. 5.19.
5.3. Некоторые свойства и теоремы
преобразования Лапласа
Рассмотрим некоторые свойства и теоремы преобразования
Лапласа, которые полезно применять для анализа динамических
цепей.
Свойство линейности. Умножение функции в /-области на по-
стоянную величину соответствует в 5-области умножению ее изо-
бражения на ту же величину.
Рассмотрим некоторую временную функцию, имеющую изо-
бражение /(/) <-> F(s).
В соответствии со свойством линейности af(t) = aF(s).
Свойство линейности имеет и другую формулировку. Изобра-
жение суммы функций соответствует сумме изображений этих
функций:
Теорема об изображении производной. Операции дифференци-
рования функции в ьобласти соответствует умножение ее изо-
бражения на $ в у-области:
dr
где /(0*) — значение функции при t = 0 .
Теорема об изображении интеграла от функции. Операции ин-
тегрирования функции в /-области соответствует деление ее изо-
бражения на 5 в 5-области.
J 5 5
где /' (0 ) — значение интеграла от функции при t = 0 .
Теорема о начальном значении функции. Значение функции в
начальный момент времени t = 0 можно определить по ее изо-
бражению следующим образом:
/(0*)=$F(s)| .
Пример. Пусть имеется изображение функции:
F(s) =
Решение. Согласно теореме о начальном значении функ-
ции можем определить:
/(0+)
5 + 1
5 5(5 + 2)(5 + 3)
= 0.
Теорема о конечном значении функции. Значение функции в мо-
мент г = оо можно определить по ее изображению следующим об-
разом:
л~>=
Пример. Пусть имеется изображение функции:
Г(5) =
5 + 1
5(5 + 2)(5 + 3) ’
Решение. Согласно теореме о конечном значении функции
можем определить:
5’0
ЯП
Рис. 5.20. Прямоугольный
сигнал и его представле-
ние в виде суммы ступен-
Теорема смещения в t-области. При смешении функции /(Г) во
времени на величину т ее изображение умножается на экспонен-
ту е~я.
Пример 1. Требуется получить изо-
бражение прямоугольного сигнала по
Лапласу.
Решение. Представленный на
рис. 5.20 прямоугольный сигнал мож-
но описать аналитически в виде нало-
жения двух ступенчатых функций, од-
на из которых смещена во времени,
Как это показано на рисунке:
I /(г) = Л51 (Г) - Л5! (I - 1). чатЬ1Х функций
Ьашарин
97
В этом случае изображение суммы двух ступенчатых функций
можно получить на основе свойства линейности и теоремы сме-
щения в вещественной области:
F(s) = - - -е =-(1-е-').
5 5
Пример 2. Требуется получить изображение сигнала в виде
полуволны синусоидальной функции (рис. 5.21).
Решение. Такой сигнал можно представить в виде суммы
двух синусоидальных функций, одна из которых смещена во вре-
мени:
/(/) = Л sin (сог)5| (г) + A sin [со(/ - 1)]S1 (г - 1).
Согласно теореме смещения в r-области изображение суммы
смещенных функций будет иметь вид
Г(*) = (1 + С*).
5" + W
Пример 3. Требуется получить изображение треугольного сиг
нала, приведенного на рис. 5.22.
Решение. Треугольный сигнал можно представить в виде
суммы трех линейных функций, две из которых смешены во вре-
мени, как это показано на рис. 5.22:
/(/) = - 2A(t - 1)5, (Г - 1) + A(t - 2)8, (Z - 2).
Изображение суммы смешенных функций будет иметь вид
F(s) = 4 - +4е-2' = 4<1 “ 2е“* + е’Ь)-
S S S~ S
Изображение функций, составленных из отрезков прямых ли-
ний, можно получить более простым способом, а именно путем
дифференцирования функции до тех пор, пока производная не
будет состоять из импульсных функций.
Рис. 5.21. Сигнал в виде полу-
волны и его представление в ви-
де суммы смещенных функций
Рис. 5.22, Треугольный сигнал
и его представление в виде
суммы линейных функций
98
Рис. 5.23. Производная от тре-
угольной функции
Рис. 5.24. Вторая производная
от треугольной функции
Пример 4. Требуется получить изображение треугольной
функции методом ее дифференцирования.
Решение. Производная от треугольной функции представ-
ляет собой ступенчатый сигнал (рис. 5.23). Возьмем вторую про-
изводную от треугольного сигнала и получим совокупность им-
пульсных функций, как это показано на рис. 5.24.
При таком представлении сигнала изображение его второй
производной можно записать как сумму изображений смещен-
ных импульсных функций:
Г"(5) = И_
tu
tu tu tu
tu
1 - 2e 2 +
Для получения изображения самой функции нужно дважды
проинтегрировать записанное выражение в s-области, т.е. запи-
санное выражение нужно дважды разделить на s:
г/ 2/1
F{s) =-------
tu s~
ГЫ
1 - 2e 1 + e’1*
5.4. Законы Кирхгофа и Ома в операторной форме,
операторные схемы замещения элементов
Закон токов Кирхгофа. Алгебраическая сумма изображений
токов ветвей, подключенных к узлу, равна нулю:
п
X Л (*) = 0.
Это утверждение можно доказать на основе свойства линей-
ности. Поскольку сумма мгновенных значений (временных
Функций) токов ветвей, подключенных к узлу, равна нулю, то и
сумма их изображений также равна нулю.
99
Закон напряжений Кирхгофа. Алгебраическая сумма изображе-
ний напряжений ветвей, входящих в контур, равна нулю:
п
Это утверждение также можно доказать на основе свойства
линейности. Поскольку сумма мгновенных значений (времен-
ных функций) напряжений ветвей, входящих в контур, равна ну-
лю, то и сумма их изображений также равна нулю.
На основе законов Кирхгофа в операторной форме можно за-
писать уравнения соединений цепи (уравнения Кирхгофа) в опе-
раторной форме. Однако в тех случаях, когда начальные условия
ненулевые, т.е. на С-элементе имеется начальное напряжение
или через Z-элемент протекает начальный ток, то в уравнениях
эти начальные условия должны быть обязательно учтены, Сде-
лать это можно путем введения операторных схем замещения
элементов.
Для резистора, который не обладает способностью накапливать
энергию, операторная схема замещения представляет собой двух-
полюсник, операторное сопротивление которого ZR (у) = R
Для индуктивного элемента схему замещения можно постро-
ить на основе анализа его вольт-амперной характеристики:
ит ~L~~. Согласно теореме об изображении производной это
выражение в 5-области можно записать следующим образом:
Это означает, что напряжение на Z-элементе можно предста-
вить как алгебраическую сумму двух напряжений, а схему замеще-
ния элемента — как последовательное соединение двух элементов.
Операторная схема замещения /-элемента, построенная на этом
выражении, показана на рис. 5.25. Источник напряжения в опера-
торной схеме замещения можно преобразовать в источник тока.
В этом случае схема замещения будет представлять собой парал-
лельное соединение источника тока и операторной проводимости
А-элемента, как это показано на рис. 5.26.
sL
Рис. 5.26. Вариант опе-
раторной схемы заме-
щения £-элемента
Рис. 5.25. Операторная
схема замещения £-эле-
мента
100
^Для емкостного элемента схему замеще-
ния также можно построить на основе анали-
за его вольт-амперной характеристики:
ic - С Согласно теореме об изображении
производной это выражение в 5-области мож-
но записать следующим образом:
^^Сис(0)
Рис, 5.27. Опера-
торная схема заме-
щения С-элемента
/с(5) = C5l/c(5) - Cz7c(O ).
Это означает, что ток через С-элемент можно представить как
алгебраическую сумму двух токов, а схему замещения элемен-
та — как параллельное соединение двух элементов. Такая схема
показана на рис. 5.27. Источник тока в операторной схеме можно
преобразовать в источник напряжения. В этом случае схема за-
мещения будет представлять собой последовательное соединение
операторного сопротивления С-элемента и источника напряже-
ния, как это показано на рис. 5.28.
На основе операторных схем замещения элементов можно
строить операторные схемы замещения динамических цепей.
Например, на рис. 5.30 показана операторная схема замещения
цепи, изображенной на рис. 5.29. Для операторной схемы заме-
щения, изображенной на рис. 5.30, можно записать уравнение
Кирхгофа в операторной форме:
~U{s) + + I(s)sL - + /($) — + “с(0 1 = 0.
sC s
Напряжения источников в записанном уравнении будем считать
известными, а обозначение общего тока вынесем за скобку:
[ /(5) /? + sL + -М = U(s) + £q(0-) - .
\ 5С J 5
Полученное выражение отражает закон Ома в операторной
форме. Его можно записать в другом виде, решив относительно
тока в цепи:
/(5) =
U(s) + ПДО) - -с(° 1
____________________S
Z(5)
Рис. 5.28. Вариант операторной
схемы замещения С-элемента
Рис. 5.29. Электрическая цепь
второго порядка
101
Рис. 5.30. Операторная схема
замещения цепи
При нулевых начальных услови-
ях последнее выражение принима-
ет еще более простой и привычный
вид, близкий по смыслу к выраже-
нию закона Ома для резистивной
цепи:
/(5) = ^4 ИЛИ
Z(s)
iде Z(s) = R + sL + —— — общее (входное)
сопротивление цепи
в операторной форме.
5.5. Анализ переходных процессов
в динамических цепях операторным методом
Операторные схемы цепей можно использовать при анализе
переходных процессов в динамических цепях. Рассмотрим алго-
ритм анализа переходных процессов на примере динамической
цепи второго порядка, содержащей один индуктивный и один
емкостной элемент (рис. 531). Кроме того, в цепь включен ис-
точник постоянного напряжения. Параметры цепи известны:
j? = 3 Ом R = 2 Ом. L = 1 Гн, С= 0,5 Ф, U= 10 В В момент вре-
мени / = 0 ключ размыкается. В цепи будет происходить переход-
ный процесс.
Первым этапом решения задачи при размыкании ключа в ди-
намической цепи, как и при решении задачи классическим мето
дом. остается определение независимых начальных условий, к
которым относятся напряжение на емкостном элементе и ток в
индуктивном элементе до размыкания ключа (коммутации). Для
определения начальных условий построим эквивалентную рези-
стивную цепь замещения исходной динамической цепи для мо-
мента времени Г = 0" (рис. 532). В цепи до коммутации необхо-
димо определить напряжение на С-элементе и ток в Z-элементе
к моменту коммутации, т.е. к моменту размыкания ключа. Эти
Рис. 531. Коммутация в цепи
второго порядка
величины определяют запас энер-
гии в цепи к началу переходного
процесса. В цепи (рис. 5.32) С-эле-
мент изображается как разрыв, а
Z-элемент — как короткое замыка-
ние. Ток в Z-элементе равен току в
резисторе а напряжение на
С-элементе равно напряжению на
резисторе R2:
102
I wc - UR2 - IL&2 -4B.
Второй этап решения задачи —
построение операторной схемы за-
мещения цепи. При ее построении
Рис. 5.32. Эквивалентная ре-
зистивная цепь для t = О"
реактивные элементы заменяются
эквивалентными операторными схемами, т.е. операторными со-
противлениями с последовательными или параллельными источ-
никами, как это было показано ранее. Операторная схема заме-
щения цепи (см. рис. 5.31) представлена на рис. 5.33. Оператор-
ная схема изображается после коммутации, при этом в рассмат-
риваемом примере напряжение источника записывается в опера-
торной форме как напряжение, деленное на s, поскольку такое
представление соответствует изображению постоянной величи-
ны, как это показано в подразд. 5.1.
I Третий этап — расчет цепи в операторной форме. При расчете
необходимо определить искомую реакцию в s-области. Пусть ис-
комой реакцией в рассматриваемом примере будет ток в контуре.
В этом случае для определения тока в цепи можно воспользо-
ваться любым из известных методов расчета резистивных цепей.
В данном примере определим ток в цепи на основании закона
Ома:
10 4
5 у 2s + 6
S
Четвертый этап решения задачи — переход во временную об-
ласть, т.е. определение оригинала полученного изображения ре-
акции.
I Для определения оригинала тока воспользуемся теоремой вы-
четов. Сначала определяем полюса функции /(s), т.е. корни по-
линома ее знаменателя:
Затем определим вычеты в
полюсах по общему выраже-
нию для вещественных различ-
ных корней:
Рис. 5.33. Операторная схема заме-
щения цепи
103
Рис. 534. Переходный процесс то-
ка в цепи
k-i = /(s)(s-5,)l , ;
j=-2
Зная вычеты в полюсах,
можно разложить изображение
тока на простые дроби, как это
показано в подразд. 5.2:
/(5) =
25+6
52 +35 + 2
Каждое из записанных слагаемых представляет собой изобра-
жение экспоненты, следовательно, временная функция (ориги-
нал) тока в цепи будет иметь вид
/(/) = 4е-/ - 2е 2/.
На последнем, пятом этапе решения задачи строится времен-
ная диаграмма (график) найденной реакции (рис. 5.34).
5.6. Анализ цепей с одним источником
при нулевых начальных условиях
Для анализа цепей с одним источником и нулевыми начальными
условиями разработаны специальные методы и алгоритмы. Такие
цепи представляются, как правило, в виде четырехполюсника, к ле-
вым зажимам которого подключается источник, а к правым — со-
противление нагрузки, как показано на рис. 5.35 и 5.3Ь.
Анализ цепей подобного класса проводится с использованием
системных функций цепи, представляющих собой множество
входных и передаточных функций. С истемная функция цепи оп-
ределяет отношение реакции цепи к воздействию и представля-
ется в виде отношения полиномов:
Я(5) = реакция
воздействие
Рис. 5.35. Динамическая цепь с од-
ним источником напряжения
= М (5)
Рис. 5.36. Динамическая цепь
с одним источником тока
104
В понятие системной функции входят входные и передаточ-
ные функции цепи. Для цепей с источником напряжения
(см. рис. 5.35) рассматривают, как правило, функцию передачи
по напряжению, входную и передаточную проводимости.
Ц (5) .
Hv (5) =
>»»«»
Г21 (sj -
Ui (5) ’
иi (*) ’
а для цепей с источником тока (см. рис. 5.36) рассматривают
функцию передачи по току, входное и передаточное сопротив-
ления:
Я/(5)"7^)’ Z,,(5)“7^)’ 2,()“W
Одна из задач анализа цепей такого класса состоит в опреде-
лении системной функции. Для лестничных цепей наиболее про-
стым методом определения системной функции является метод
пропорциональных величин, который использовался для опреде-
ления коэффициента передачи в подразд. 2.3. При этом методе
реакция принимается равной единице, определяется воздейст-
вие, а затем берется их отношение.
Пример. Определить функцию передачи цепи по напряжению и
входную проводимость цепи, изображенной на рис. 5.37. Пусть зада-
ны параметры элементов цепи: R = 0,5 Ом, L = 0,5 Гн, С = 1 Ф
Решение. Примем реакцию цепи, равной единице. Исполь-
зуя законы Ома и Кирхгофа в операторной форме, определим
при этом условии воздействие:
| t/2(s) = l; /2(5) = ^- = 2; Ic(s) = ^- = s-
К /q
IL(s) = Ic +/R =5 + 2; UL(s) = ILZL =0,5s2 +5;
Ui(s) = UL + U: =0,5№ + 5 + 1.
Представим теперь функцию передачи цепи по напряжению
как отношение реакции, равной единице, к найденному воздей-
ствию, а входную проводимость — как
отношение входного тока к найденному
воздействию:
HV (5)
Рис. 5.37, Динамическая
цепь с резистивной на-
грузкой
U г s1
105
МО*
По известной системной функции
цепи можно определить реакцию це
пи, если задано воздействие. Алго-
ритм определения реакции можно за-
писать в виде общего выражения
Рис. 5.38. Одиночный пря- F2(s) =
моугольный сигнал
Рассмотрим пример использова-
ния записанного алгоритма.
Пример. Пусть цепь с одним источником напряжения при ну-
левых начальных условиях имеет вид, показанный на
рис. 5.36. Задана или определена функция передачи цепи по то-
/ (s) I
ку: Н (л) = ——— =----На вход цепи подается импульс тока в
I (5) 5+2
виде одиночного прямоугольного сигнала (рис. 5.38). Требуется
определить реакцию цепи на заданное воздействие.
Решение. Реакцию цепи на заданное воздействие определя-
ем в операторной форме. Для этого сначала находим изображе-
ние входного сигнала с помощью теоремы смещения во времен-
ной области:
/I(5) = 2_2e^J=2(1_e^)
5 5 5
Затем определяем изображение реакции в операторной форме:
После этого определяем оригинал полученной реакции, т.е.
переходим во временную область. При переходе в /-область сна-
чала с помощью теоремы вычетов получим оригинал выражения,
стоящего перед скобкой: /(/) - 1 - е Л Затем согласно теореме
смещения во временной области можем записать полную реак
цию в /-области с учетом выражения, стоящего в скобках:
/2(/) = (1-е-2')&,(/)-
Рис. 5-39. График реакции на
входной прямоугольный сиг-
нал
-(1-e*2(r”4))8i(f-4).
График найденной реакции по-
казан на рис. 5.39.
Используя алгоритм расчета це-
пей с одним источником, можно
определить связь между функциями
и характеристиками цепи. Функции
106
цепи — это входные и передаточные функции, а характеристи-
ки — это переходные и импульсные характеристики.
Переходная характеристика цепи может быть получена исходя
из связи с системной функцией цепи:
I Z(0=8!(0; ^(5)=!; Г,(5) = Я,(5) = 1Я(5).
5 ” 5
Аналогично можно установить связь импульсной характери-
стики с системной функцией цепи:
I Z(0 = 5(/); Fj(j) = 1; Л(5) = Я(5).
Глава 6
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
И ОДИНОЧНЫХ СИГНАЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
РЯДОВ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
6.1. Представление периодических сигналов
в виде рядов Фурье
Периодический сигнал произвольной формы показан на
рис. 6.1. Если сигнал удовлетворяет условиям Дирихле, то его
можно аналитически представить в виде ряда Фурье, т.е. в виде
суммы бесконечного числа косинусов и синусов различной ам-
плитуды и частоты:
f(t) = + У ак cos^WjO + У bk sin(^coiO,
- *=1 к=\
Сп
где — — постоянная составляющая периодического сигнала,
2
представляющая собой среднее значение сигнала за период; ак
и Ьк — коэффициенты ряда Фурье (амплитуды гармоник); к —
номер или порядок гармоники, к = 1, 2,...,°°; о>|— частота пер-
2л
вой гармоники, равная частоте сигнала coj okcos(k(ott) и
bk sin (к<о (t) — гармонические функции, составляющие ряд Фу-
рье (гармоники).
Объединив синусы и косинусы одинаковых частот, можно по-
лучить другую форму ряда Фурье, также представляют} ю собой
аналитическую запись периодического сигнала:
Л О = 4 +
Ди
У Ak cosCA'Wjf + а*),
*=1
Рис. 6.1. Периодический сиг-
нал произвольной формы
108
рис. 6.2. Амплитудно-частот-
ный спектр периодического
сигнала
Поскольку косинус можно представить как вещественную
часть комплексного числа, записанного в тригонометрической
форме, то рад Фурье можно записать в комплексной форме:
/(/) = 4 + X Re[Aey(tol,+a*’] + X МАе*’*'],
1Де Ак = Аке’а* — комплексная амплитуда к-й гармоники ряда
Фурье.
Комплексные амплитуды гармоник ряда Фурье содержат ам-
плитуды и начальные фазы гармоник. Совокупность комплекс-
ных амплитуд ряда Фурье называется комплексным частотным
спектром периодического сигнала и обозначается как Р(Дсо,):
F(jk(ot) = | J /(r)e-/to'dz = ^F(s)
'о '
1
у - ]кшу
где F(s) — изображение по Лапласу одного периода периодиче-
ского сигнала.
Комплексный частотный спектр периодического сигнала являет-
ся функцией дискретных значений частоты, кратных основной час-
тоте, и при подстановке значений к = 0, 1, 2, 3 ... позволяет опреде-
лить амплитуды и начальные фазы соответствующих гармоник.
Частотный спектр периодического сигнала можно отобразить
графически в виде совокупности двух спектров — амплитуд-
но-частотного и фазочастотного. Амплитудно-частотный спектр
сигнала представляет собой совокупность множества амплитуд
гармоник ряда Фурье. Для наглядности амплитуды гармоник
изображают в виде отрезков прямых линий, отложенных при со-
ответствующих частотах гармоник. На рис. 6.2 показан общий
вид амплитудно-частотного спектра периодического сигнала.
Рис. 6.3. Фазочастотный спектр
периодического сигнала
109
Рис, 6 4. Периодический сигнал пря-
моугольной формы
Фазочастотный спектр представляет собой совокупность мно-
жества начальных фаз гармоник ряда Фурье. Начальные фазы
гармоник также можно изобразить в виде отрезков прямых ли-
ний, отложенных при соответствующих частотах (рис, 6.3).
Рассмотрим пример построения частотных спектров периоди-
ческого сигнала прямоугольной формы. Периодический сигнал,
изображенный на рис. 6.4, необходимо представить аналитиче-
ски в виде ряда Фурье. Известны параметры сигнала: Л - 8, /н -
= I с, Т= 2 с.
Для получения комплексного частотного спектра периодиче-
ского сигнала воспользуемся выражением, отражающим связь с
преобразованием Лапласа:
Fijkm!)
—(1-е
_/£со,
kta, А
= 8—т——2 .
j
У
Для приведения выражения в скобках к синусу здесь исполь-
зовано изображение синуса по Эйлеру:
sin (а) =
еу“
Выражения амплитудно-частотного и фазочастотного спек
тров сигнала будут соответственно определяться следующим об
разом:
| F(jka1)\ =
; 0(^0^)=-
k(f>t
У
Подставив в полученные выражения последовательно значе-
ния к = О, 1. 2, 3,... и т.д., получим значения амплитуд и началь-
ных фаз соответствующих гармоник (табл. 6.1).
НО
Табл и ца 6.1
Номер гармоники, к Амплитуда гармоники, А Фаза гармоники, а
Г 0 8 —
1 5,095 -90°
в 0 —
3 1,698 -90°
1 4 0 —
Зная коэффициенты ряда Фурье, т.е. амплитуды и начальные
фазы гармоник, можно построить амплитудно-частотным и фа-
зочастотный спектры сигнала, отложив полученные значения в
виде отрезков линий, как это показано на рис. 6.5 и 6.6. По рас-
считанным значениям можно также записать ряд Фурье для рас-
сматриваемого сигнала в аналитическом форме:
В /(Г) = 4 + 5,095 cos (3,14 г - 90°) + 1,698 cos (3 3,14t - 90°).
Рис. 6.5. Амплитудно-частотный
спектр прямоугольного периодиче-
ского сигнала
Рис. 6.6. Фазочастотный спектр
прямоугольного периодического
сигнала
111
Ряд Фурье содержит бесконечное число гармоник. Если число
гармоник ограничено, как в рассматриваемом примере, то ряд
Фурье называется редуцированным рядом Фурье. По аналитиче-
скому выражению можно построить аппроксимацию сигнала ре-
дуцированным (ограниченным тремя гармониками) рядом Фу
рье. Для этого на временной диаграмме достаточно отложить от-
дельные составляющие ряда Фурье, а затем их сложить, как это
показано на рис. 6.7. Как видно из рисунка, суммирование трех
гармоник не дает точной аппроксимации сигнала. В том случае,
когда требуется получение более точного представления сигнала,
число гармоник следует увеличить.
6.2. Анализ цепей при воздействии периодических сигналов
с использованием частотных спектров
Для цепи с одним источником и начальными нулевыми усло-
виями, системная функция (функция передачи) которой извест-
на, алгоритм расчета реакции (тока или напряжения на нагрузке)
достаточно прост. Для определения комплексного спектра реак-
ции достаточно комплексный спектр воздействия умножить на
комплексную функцию передачи:
Fi Ukv 1) = Л ( А<о 1 )H(Jk(o!).
Поскольку при перемножении комплексных функций в пока-
зательной форме их модули перемножаются, а фазы складывают-
ся, то амплитудно-частотный спектр реакции можно определить
путем перемножения амплитудного спектра входного сигнала на
выражение, определяющее амплитудно-частотную характеристи-
ку функции передачи цепи:
|F2 (jkw 1 )| = |Е| (/Ахо I )| - |Я (jka, )|.
Фазочастотный спектр реакции можно получить путем сум
мирования фазового спектра входного сигнала с выражением,
определяющим фазочастотную характеристику функции переда-
чи цепи:
а2(АхВ]) = “i(^“i) + «я(^“1)-
Пример. На вход цепи (рис. 6.8) подается периодический сиг-
нал прямоугольной формы, вид которого показан на рис 6.4. Па-
раметры сигнала известны: амплитуда А = 8 В, длительность им-
пульса t, = 1 с, период Т= 2 с. Функция передачи цепи в опера-
торной форме известна:
2
s2 + 2s + 2
112
Рис. 6.8. Цепь с одним ис-
точником напряжения
Требуется определить реакцию
цепи в виде напряжения на Я-эле-
менте.
Решение. Для заданного вход-
ного сигнала ранее были получены
аналитические выражения частот-
ных спектров входного сигнала и
построены их графические пред-
ставления в виде линейчатых спектров (см. рис. 6.5 и 6.6).
► Для получения частотных спектров реакции заменим в функ-
ции передачи // (s) s на jTcco 4. В результате получим функцию
передачи цепи по напряжению в комплексной форме:
Z/(/7cco!) =------------------------
-(Ло> ) + J2kto{ + 2
=_______________2_____________
7(2 - (/ссо,)2]2 + (2АСО,)2
-jarctg
к2-(Ь>|)
2
где Н (Jkw ] )| -
_____2
7(2 -(Ахо,)2]2
+ (2Лхо 1)2
— выражение, опреде-
ляющее
дачи, а
амплитудно-частотную характеристику функции пере-
а и (кы 1) = -J arctg
2ЛсО|
2-(Лео,)2
выражение, опреде-
ляющее фазочастотную характеристику функции передачи цепи.
Подставив в полученные выражения значения к = 0, 1,2, 3,...
и т. д., получим дискретные значения АЧХ и ФЧХ, которые
также можно графически представить в виде линейчатых диа-
грамм (рис. 6.9 и 6.10).
Умножив значения составляющих амплитудного спектра вход-
ного сигнала (см. рис. 6.5) на значения АЧХ функции передачи
(рис. 6 9), получим значения составляющих амплитудного спектра
реакции, который представлен на рис. 6.11. Сложив значения со-
|Я(Дш|)||
0,2
I 0 05 0,02
Л* ® *-----"--------
C0j 2w1 3(0j 4coj
Рис. 6.9. АЧХ функции передачи
цепи
Рис. 6,10. ФЧХ функции передачи
цепи
ИЗ
a2(Af<o1)Jk
+135*
|Г2(/Л(йр| 4
8
+100’
1,02
J__________
Wj 2u)t
0.034
J------7-----►
3<Oj 4a)J ^(0,
0 u>t 2й)| Зы, 4<i>! Аш,
О
Рис. 6.12. Фазочастотный спектр
реакции цепи
Рис. 6.11. Амплитудно-частотный
спектр реакции цепи
0 2 4 6 8 ю *
Рис. 6.13. График реакции в
функции времени
ставляюших фазового спектра входного сигнала (см. рис. 6.6) со
значениями ФЧХ функции передачи (см. рис. 6.10), получим зна-
чения составляющих фазового спектра реакции (рис. 6 12).
С помощью амплитудно-частотного и фазочастотного спектров
реакции можно записать ряд Фурье для выходного сигнала:
/,(/) = и2(Г) = 4 + l,02cos(3,14r + 135°) + 0,034cos(3 3,14/ + 100°).
На рис. 6.13 приведен график реакции f2{t) - u2(t) в функции
времени.
6.3. Частотные спектры одиночных сигналов
Выражение комплексного частотного спектра одиночного
сигнала можно получить с помощью интеграла прямого преобра-
зования Фурье. Этот интеграл сходен с интегралом прямого пре-
образования Лапласа:
03
F(jto) = I /(Oe'^dz — интеграл прямого преобразования Фурье;
о
оо
F(s) = J /(/)e-"d/ — интеграл прямого преобразования Лапласа,
о
114
На функцию /(г)в интеграле Фурье накладываются дополни-
тельные ограничения. Так, интегрируемая функция дополни-
тельно должна удовлетворять условиям абсолютной интегриру-
DO
емости. т. е. JI/W' < сю. Этому условию не удовлетворяют мно-
— оо
гие часто используемые в теории электрических цепей функции,
например, единичная ступенчатая или синусоидальная функции.
Для получения спектров таких сигналов следует применять спе-
циальные методы.
Для сигналов, удовлетворяющих условию абсолютной интег-
рируемости, спектры можно получить на основе связи преобра-
зований Лапласа и Фурье:
Г(» = Г(5)|
В качестве примеров рассмотрим методику построения час-
тотных спектров некоторых простых одиночных сигналов.
1. Частотные спектры экспоненциального импульса. График та-
кого сигнала изображен на рис. 6.14.
/(/) = 4е~I 2'51(/).
Выражение комплексного частотного спектра сигнала можно
получить, используя изображение этого сигнала по Лапласу.
Изображение экспоненциального сигнала имеет вид
г»/ \
/(О =------=-----
у + a s + 2
Заменим 5 = /со и выделим модуль и фазу полученного ком-
плексного выражения:
F(/co) =
4_
2 + Jen
. <>
4 ~J—гч
р arctg2.
(>)| = 777^;
Я01
о (со) =------.
। arctg2
I Графики амплитудного и фазо-
вого частотных спектров, постро-
енных по полученным выражени-
ям, изображены на рис 6.15 и 6.16.
2. Частотные спектры прямо-
угольного импульса. График прямо-
Рис. 6.14. Экспоненциальный
импульс
115
Рис. 6.15. Амплитудно-частотный
спектр экспоненциального им-
пульса
Рис. 6.16. Фазочастотный спектр
экспоненциального импульса
угольного импульса изображен на рис. 6.17. Аналитически пря-
моугольный сигнал можно записать в виде разности двух ступен-
чатых функций, одна из которых смещена во времени:
f(t) = A8](t)-A8t(t-tK).
Операторное изображение прямоугольного сигнала имеет вид
F(s) = —
5
Заменим s = jeo и выделим модуль и фазу полученного ком-
плексного выражения:
Л» =
ос(со) = -
При подстановке в
Рис. 6.17. Прямоуголь-
ный импульс
полученные выражения параметров пря-
моугольного импульса А = 4, /и = 2 с полу-
чим амплитудно-частотный и фазоча-
стотный спектры прямоугольного им-
пульса со значениями:
|Л»|- 8^
62 (СО) = -СО,
которые показаны на рис. 6.18 и 6.19 со-
ответственно.
116
Рис. 6.18. Амплитудно-час- l^0’w)h
са
3. Частотные спектры треугольного импульса. График такого
сигнала изображен на рис. 6.20:
Изображение треугольного сигнала по Лапласу в соответствии
с теоремой смещения во временной области имеет вид
1 - 2е 2 + е5'*
Заменим 5 = Jo) и выделим модуль и фазу полученного ком-
плексного выражения:
/"О) = 1 - 2е 2
'„(/<•>) I
со/и
/(ОА
а(сй) = -
При подстановке в полученные выра-
жения параметров треугольного импуль-
са А = 4, t„ - 2 с получим амплитуд-
Рис. 6.20. Треугольный
импульс
117
но-частотный и фазочастотный спектры треугольного импульса
со значениями:
. Я со 1
Sin " —
I 2)
\F(ju>)\ = 4-----—; а(со) = -со,
со г
и)
которые показаны на рис. 6.21 и 6.22 соответственно.
6.4. Некоторые свойства спектральных функций
Вес свойства и теоремы преобразования Лапласа справедливы
и для преобразования Фурье. Например, теорему смещения во
временной области для преобразования Фурье можно записать в
аналитической форме аналогично ее записи для преобразования
Лапласа:
/W FW,
f(j - т) F(j(i>)e-^.
Это означает, что, если сигнал сместить во времени на вели-
чину т (рис. 6.23), то его изображение по Фурье необходимо ум-
ножить на экспоненту е '°”.
Ширина спектра зависит от длительности сигнала. Чем она
больше, тем уже его спектр. Например, на рис. 6.24 показаны
спектры прямоугольного сигнала длительностью 1 с (диаграмма
7) и 2 с (диаграмма 2). Как видно из рисунка, ширина спектра
первого сигнала в два раза больше ширины спектра второго сиг-
нала.
118
Рис. 6.23. Смещение сиг-
нала по оси времени
Рис. 6.24. Амплитудно-частотные спектры
прямоугольных сигналов разной длитель-
ности:
/ — 1 с; 2 — 2 с
Чем больше крутизна переднего фронта импульса, тем шире
его спектр. Например, на рис. 6.25 показаны спектры прямоуголь-
ного (диаграмма /) и треугольного (диаграмма 2) импульсов оди-
наковой длительности (1 с). Из рисунка видно, что спектр тре-
угольного сигнала затухает быстрее, в то же время очевидно, что
крутизна его переднего фронта меньше, чем у прямоугольного.
Значение амплитудного спектра импульса при со = 0 численно
равно плошали импульса. Выражение амплитудного спектра
прямоугольного сигнала имеет вид
F(/cn)| =
При подстановке <о = 0 получим |/7(7^)|ы_0 =
I С другой стороны, площадь прямоугольного импульса
Рис. 6.25. Амплитудно-час-
тотные спектры:
' прямоугольного импульса;
2 — треугольного импульса
6.5. Качественный анализ цепей в частотной области
Частотные спектры сигналов позволяют проводить качествен-
ный анализ цепей в частотной области, т.е. определить характер
искажений сигнала при прохождении его через электрическую
цепь. Простейшую оценку возможных искажении сигнала на вы-
ходе цепи можно получить, сопоставив амплитудно-частотный
спектр входного сигнала с амплитудно-частотной характеристи-
кой функции передачи цепи.
Например, на вход цепи (см. рис. 6.8), функция передачи ко-
торой известна, подается прямоугольный сигнал (см. рис. 6.17).
Требуется определить, каковы будут искажения сигнала при про-
хождении его через цепь.
Для качественной оценки искажений следует построить ам-
плитудно-частотный спектр входного сигнала. Для прямоуголь-
ного сигнала он имеет вид, показанный на рис. 6.26. Затем следу
ет построить амплитудно-частотную характеристику функции
передачи цепи (рис. 6.27). Далее на графике амплитудно-частот-
ного спектра определяется ширина спектра, которую можно ус-
ловно определить, проведя линию» параллельную оси абсцисс,
на уровне 0,1 от максимального значения амплитудно-частотно-
го спектра. Последняя точка пересечения проведенной линии с
графиком амплитудного спектра определит его ширину <d0
(см. рис. 6.26). Для амплитудно-частотной характеристики опре-
деляется полоса пропускания пспи. Для этого на графике прово-
дится линия на уровне 0,707 от максимального значения. Диапа-
зон частот, в котором график АЧХ лежит выше проведенной ли-
нии, является полосой пропускания цепи. Точка пересечения
проведенной линии с графиком будет являться частотой среза сог
(см. рис. 6.27).
120
|Я(/а>)|
а(ш)л
-ctf0
Рис. 6.28. АЧХ цепи,
пропускающей сиг-
Рис. 6.29. ФЧХ цепи, про-
пускающей сигнал без ис-
нал без искажений кажений
Сопоставляя ширину спектра сигнала с полосой пропуска-
ния цепи, можно дать качественную оценку искажениям сигна-
ла на выходе цепи. Так, если ширина спектра меньше полосы
пропускания цепи и она размещается в полосе пропускания,
искажения сигнала будут минимальными. Если основная часть
спектра размещается в полосе пропускания, а незначительная
часть спектра выходит за ее пределы, то и искажения сигнала
будут незначительными. Если ширина спектра не совпадает с
полосой пропускания цепи, то сигнал проходить через цепь
практически не будет.
На основе представления сигналов в частотной области мож-
но сформулировать требования к виду амплитудно-частотной и
фазочастотной характеристик цепи, нс искажающей входного
сигнала. Частотные характеристики цепи, пропускающей сиг-
нал без искажений, должны иметь вид, показанный на рис. 6.28
и 6.29.
Глава 7
МЕТОДЫ МАТРИЧНОГО АНАЛИЗА
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
7.1. Основные понятия о топологии и матрицах
электрических цепей
Методы матричного анализа применяются, как правило, для
моделирования и расчета сложных электрических цепей разветв-
ленной структуры. Эти методы ориентированы на использование
компьютерных технологам, поскольку операции с матрицами
требуют выполнения большого числа вычислительных операций
и их применение при «ручных» расчетах становится нерацио-
нальным.
Прежде чем приступить к рассмотрению построения матрич-
ных моделей резистивных цепей, приведем некоторые определе-
ния и введем необходимые для этого понятия.
Топологическим графом электрической цепи называется ее гео-
метрическое представление, при котором ветви цепи заменяются
линиями (ветвями графа), а узлы цепи — точками (вершинами
или узлами графа). Топологический граф может быть:
планарным, если его можно изобразить на плоскости без пе
ресечения ветвей;
ориентированным или направленным, если указаны направ-
ления его ветвей;
связанным, если имеется хотя бы один путь из одного узла в
другой.
Путем графа называется совокупность ветвей, соединяющих
два узла. Замкнутый путь, т.е. путь, который начинается и закан-
чивается в одном и том же узле, называется контуром.
Сечением топологического графа называется совокупность
ветвей, удаление которых приводит к распаду графа на подгра-
фы. В частном случае подграфом может быть отдельная верши-
на графа.
Совокупность ветвей, соединяющих все узлы графа и не обра-
зующих при этом контуров, называется деревом графа. Ветви, до-
полняющие дерево до полного графа, называются ветвями связи
или хордами.
Главное сечение графа — это сечение, в состав которого вхо-
дит только одна ветвь дерева, а остальные ветви — хорды. Глав-
ный контур — это контур, в состав которого входит только одна
ветвь связи (хорда).
122
Рис. 7.1. Электрическая цепь,
состоящая из резисторов
Рис. 7.2. Топологи-
ческий граф цепи
На рис. 7.1 приведен пример электрической цепи, состоящей
из резисторов. Каждый элемент цепи рассматривается как от-
дельная ветвь. Топологический граф этой цепи изображен на
рис. 7.2. В качестве ветвей дерева выбраны ветви с источником
напряжения и резисторами /?1 и /?3 (на рисунке они показаны
жирными линиями).
На рис. 7.3 линиями, пересекающими ветви графа, показаны
главные сечения графа, которые обозначены S2i S- Стрелка-
ми на концах линий показаны условные направления главных
сечений, которые совпадают с направлениями ветвей дерева,
входящих в главные сечения.
На рис. 7.4 показаны главные контуры топологического гра-
фа, которые обозначены £4, £5, £6. Направления главных конту-
ров показаны стрелками и совпадают с направлениями ветвей
связи (хорд), которые входят в их состав.
С помощью топологического графа удобно формировать матри-
цы электрической цепи, которые представляют собой ее числовую
модель. Рассмотрим подробнее принципы формирования некото-
рых матриц на примере цепи, показанной на рис. 7.1.
Рис. 7.3. Главные сечения
топологического графа
Рис. 7.4. Главные кон-
туры топологического
графа
123
Узловая матрица:
1 2 3 4 5 6
2VJ0 10 10 -Г
A = NZ -1 -1 1 0 0 О
/V I 0 0-110
Строки матрицы соответствуют узлам топологического графа,
а столбцы — ветвям графа. При этом узлы цепи выбираются в
произвольном порядке. Матрица А заполняется по следующим
правилам: если ветвь присоединена к узлу и имеет направление
от узла топологического графа, в матрицу записывается 1, если
ветвь входит в узел, в матрицу записывается —1; если ветвь не
присоединена к узлу графа, в матрицу записывается 0.
Матрица главных сечений:
Строки матрицы соответствуют главным сечениям топологи-
ческого графа, а столбцы — ветвям графа. Если ветвь входит в
состав сечения и ее направление совпадает с направлением глав-
ного сечения, в матрицу записывается 1, если не совпадает, в
матрицу записывается —1; если ветвь не входит в состав сечения,
в матрицу записывается 0.
При таком способе формирования матрицы в ее левой части
формируется единичная подматрица, а в правой — подматри-
ца F. Подматрица внесет основную информацию о порядке со-
единений ветвей цепи, поэтому будем в дальнейшем ее называть
подматрицей или матрицей соединений (инццденний).
Контурная матрица:
1 2 3 4 5 6
ц Г о 1 1; о о г
Bk =L2 1 -1 0 : 1 0 0
L -1 0 -1:’ 0 1 0
Строки матрицы соответствуют контурам топологического
графа, а столбцы — ветвям графа. Если ветвь входит в контур и
ее направление совпадает с направлением контура, в матрицу за-
124
писывается I, если не совпадает, в матрицу записывается —I; ес-
ли ветвь не входит в контур графа, в матрицу записывается 0.
Матрица главных контуров:
1 2 3 4 5 6
М 4 Г 1 -10:100’
I В = Ms -I 0 —1: 0 1 0 .
Г Л/6[о I 1 = 0 0 1
К -FT Е
। Строки матрицы соответствуют главным контурам топологи-
ческого графа, а столбцы — ветвям графа. Если ветвь входит в
главный контур и ее направление совпадает с направлением
главного контура, в матрицу записывается 1; если не совпадает, в
матрицу записывается —1; если ветвь не входит в главный контур
графа, в матрицу записывается 0.
7.2. Формирование математических моделей и методы
матричного расчета резистивных цепей
Метод ветвей дерева и хорд. При формировании алгоритма
метода ветвей дерева и хорд исходными матрицами цепи являют-
ся матрицы главных сечений Q и главных контуров В. Эти мат-
рицы определяют математическую модель резистивной цепи в
виде уравнений соединений (уравнений Кирхгофа), которые в
матричной форме записываются следующим образом:
Qi=0 — уравнения соединения цепи, записанные на основе
закона тока Кирхгофа;
Ви = 0 — уравнения соединений цепи, записанные на основе
закона напряжений Кирхгофа.
Приняв матричные уравнения соединений за исходную мате-
матическую модель цепи, с помощью матричных преобразова-
ний можно получить матричный алгоритм их решения относи-
тельно токов в ветвях дерева топологического графа и напряже-
ний на ветвях связи (хордах):
[Е£] я = [0];
?Х-
Е/л + /7Х = 0;
(7.1)
= [0];
- F' и + Ей, = 0.
4 1 *
(7.2)
Полученные матричные уравнения содержат четыре неизвест-
ных. Чтобы система из этих уравнений была разрешима, необхо-
125
Рис, 7.5. Ветвь дерева
топологического графа
Рис. 7.6. Ветвь связи топо-
логического графа
димо исключить из уравнении два неизвестных. С этой целью
используем уравнения ветвей цепи, связывающие напряжения и
токи ветвей. Уравнения ветвей цепи можно записать, представив
ветвь дерева в виде последовательного соединения источника на
пряжения и резистора, а ветвь связи (хорду) — в виде параллель
ного соединения источника тока и резистора, как показано на
рис. 7.5 и 7.6. При таком представлении ветвей цепи уравнения
ветвей дерева и хорд будут соответственно иметь вид
^д “ +
iv = (7vuv
A A Л
В результате их подстановки в матричные уравнения (7.1) и
(7,2) получим систему двух матричных уравнений с двумя неиз-
вестными 4 и их:
i, = -FG чих - FI\
u*=FTRaia+FTU.
Эти уравнения уже можно решить относительно токов ветвей
дерева и напряжений хорд:
/д = (Е, + FGXFT Ray'(~FGxFTU - F/);
их = (Е-> + FTRaFGxy4-FTRaFI +FTU).
(7-3)
(7.4)
Выражения (7.3) и (7.4) определяют алгоритм метода ветвей
дерева и хорд, который позволяет рассчитать токи в ветвях дере-
ва и напряжения на хордах.
Пример. Графическая модель цепи показана на рис. 7.1, а ее
топологическая модель — на рис. 7.3. Заданы параметры элемен-
тов цепи: Я) = = Л} = 1 Ом, U- 12 В, 1=6 А. Требуется рас-
считать токи и напряжения в цепи методом ветвей дерева и хорд-
126
Решение. Поскольку топологическая модель цепи в виде
графа уже построена, решение задачи можно начать с формиро-
вания исходных для расчета матриц цепи. Для выбранных на то-
пологическом графе (см. рис. 7.3) главных сечений формируется
матрица главных сечений Q или ее подматрица F:
'-I 1 О'
1 0 -1
О 1 -1
Формируются матрицы сопротивлении ветвей дерева и прово-
димостей хорд:
о о
i0
о о
R
ГО О
О R,
0=0
л] [0
0 О'
1 0
0 1
'1 0 О'
0 1 0
ООО
О 1 ГО
G.
о
О О
о
Формируются матрицы напряжений источников напряжения
в ветвях дерева и токов источников тока в хордах:
Полный алгоритм расчета токов в ветвях дерева и напряжений
на хордах в цепи (рис. 7.1), выполненный в программной среде
«Mathcad-2000», выглядит следующим образом.
Единичная матрица:
о
1
о
(0
0"
о
1.
Матрица инциденций:
Матрица сопротивлений
ветвей дерева:
Матрица проводимостей
хорд:
Rd:=
'0 0 0"
0 1 0
,0 0 1,
Gh:= 0
0 0ч
1 0
0 0,
127
Матрица
напряжений
источников:
Матрица токов
источников:
U:=
<12>
О
7Г
О
6
Матричный алгоритм расчета токов в ветвях дерева и напря-
жений на хордах:
id:= (Е + F• GhFT • Rd)-’ • (-F • Gh FTU - F I);
uh:= (E + FT • Rd • F • Gh)"‘ • (-F “ • RdF • I + FT • U).
Токи в ветвях дерева и напряжения на хордах:
9
-6
Конечными результатами проведенного расчета являются
матрицы (векторы) токов в ветвях дерева и напряжений на хор-
дах:
Метод контурного анализа в матричном форме. Уравнения ре-
зистивной цепи, составленные согласно методу контурного ана-
лиза, в матричной форме имеют вид
Дл' = н...
Л Л
Сформировать матрицы этого уравнения и найти его решение
можно с помощью матричных преобразований. Исходными для
формирования являются контурная матрица составленная
Рис. 7.7. Ветвь графа
при использовании
МКА
для ячеек, в которых выбраны контурные
токи, матрица сопротивлений ветвей К и
вектор напряжений источников напряже-
ний в ветвях U. При этом в качестве ветви
принимается последовательное соединение
резистора и источника напряжения, соедИ'
ненных так, как это показано на рис. 7.7.
128
При таком представлении ветвей матрицы, входящие в алго-
ритм метода, определяются по следующим правилам:
Лк = BRB; м, = BKU; L = R,. и к.
Токи в ветвях цепи определяются через токи контуров:
I ~ Вк 'к
Пример. Графическая модель резистивной цепи показана на
рис. 7.8, а ее топологическая модель — на рис. 7 9. Параметры
элементов цепи известны: R = R2 = R2 = Kj = 1 Ом, U\ = 10 В,
U- = 10 В, U2 = 5 В. Требуется определить токи ветвей методом
контурного анализа.
Решение. Для решения этой задачи необходимо сформиро-
вать матрицы цепи с помощью топологического графа, который
показан на рис. 7.9. Формируются следующие матрицы:
контурная матрица Вх для контуров, в которых протекают вы-
бранные контурные токи
Вг.
матрица сопротивлений ветвей
0
матрица напряжений
источников в ветвях цепи
Рз
10
10
5
Рис. 7.8. Графическая модель резистивной
цепи
Рис. 7.9. Топологиче-
ская модель резистив-
ной цепи
5
Башарин
129
Полное решение задачи в программном пакете «Maihead-2000»
выглядит следующим образом.
Контурная матрица:
Вк:=
Матрица сопротивлений
ветвей:
Матрица напряжений
источников:
R:= 0
0 О'
1 0
0 2>
U: =
10
Матрица контурных
сопротивлений:
Rk:=Bk R BkT.
Матрица контурных
напряжений:
Uk:= Bk • U.
Вектор контурных токов:
ik:= Rk* • Uk;
Вектор токов ветвей:
iv:= BkT - ik;
ik =
Конечными результатами проведенного расчета являются
матрица (вектор) контурных токов и токов в ветвях цепи:
к
В
Метод узлового анализа в матричной форме. Уравнения рези-
стивной цепи, составленные согласно методу узлового анализа, в
матричной форме имеют вид:
С'у Wy *
Сформировать матрицы этого уравнения и найти его решение
можно с помошью матричных преобразований. Исходными для
формирования являются узловая матрица составленная для
независимых узлов, в которых выбраны узловые напряжения,
матрица проводимостей ветвей Си вектор токов источников то-
ка в ветвях L При этом в качестве ветви принимается параллель-
ное соединение резистора и источника тока, соединенных так.
как это показано на рис. 7.10.
130
*При таком представлении ветвей мат-
рицы, входящие в алгоритм метода, оп-
ределяются по следующим правилам:
Gy = AG4f; = Ay /; иу = Gy 1 fy.
I Напряжения на ветвях цепи опреде-
I дяются через напряжения узлов:
— «у
Рис. 7.10. Ветвь графа при
использовании МУА
Пример. Графическая модель резистивной цепи показана на
рис. 7.11, а ее топологическая модель — на рис. 7.12. Параметры
элементов цепи известны: Gt = G3 = G3 = G4 = 1 См, /( = 10 А,
/, L 10 А, /з = 5 А. Требуется определить напряжения ветвей мето-
дом узлового анализа.
Решение. Для решения этой задачи необходимо сформиро-
вать матрицы цепи с помощью топологического графа, который
показан на рис. 7.12.
Формируются следующие матрицы:
I узловая матрица /1у для узлов, в которых выбраны неизвест-
ные узловые напряжения,
матрица проводимостей ветвей
0
0
0
матрица напряжений источников в ветвях цепи
Рис. 7.11. Графическая модель резистив-
ной цепи
Рис. 7.12. Топологическая
модель резистивной цепи
131
Полное решение задачи в программном пакете «Mathcad-2000»
выглядит следующим образом.
Узловая матрица:
И -1 О А
Аи:=
Матрица проводимости
ветвей:
Матрица токов
источников:
G:=
'1 О (Г
О 1 О
<0 0 2>
10
5
Матрица узловых
токов:
Матрица узловых Матрица j
проводимостей; токов:
Gu:= Au G -AuT. lu:= Ai • I.
Вектор узловых напряжений: Вектор напряжений ветвей:
uu:= Gu’1 - lu;
ГП
uu =
2
uu =
uv:= Au т uu;
( 1
uv =
I"2
Конечными результатами проведенного расчета являются
матрицы (векторы) узловых напряжений и напряжений на ветвях
цепи:
1
2
-2
7.3. Формирование математических моделей и методы
матричного расчета динамических цепей
Одним из наиболее распространенных видов математических
моделей динамических цепей являются уравнения состояния,
которые представляют собой систему уравнений Коши в нор-
мальной форме. Общий вид уравнений состояния динамической
цепи в матричной форме записывается следующим образом:
dX
132
Рис. 7.13. Динамическая цепь
второго порядка
Рассмотрим два метода форми-
рования уравнений состояния, ос-
нованные на построении тополо-
гических моделей электрических
цепей.
Метод с использованием экви-
валентной резистивной цепи. Ме-
тод базируется на замещении ди-
намической цепи эквивалентной
резистивной цепью. Его удобно
применять в тех случаях, когда
имеется возможность производить символьные преобразования с
матрицами.
В основу формирования уравнений состояния положен ме-
тод ветвей дерева и хорд, который подробно был рассмотрен в
подразд. 7.2 при расчете резистивной цепи. Рассмотрим алго-
ритм формирования уравнений состояния на примере динами-
ческой цепи, изображенной на рис. 7.13. Сначала динамиче-
скую цепь необходимо свести к резистивной, для чего С-эле-
менты заменяются источниками напряжения с напряжением
izc, а Z-элементы — источниками тока с током // (рис. 7.14). За-
тем формируется топологический граф цепи (рис. 7.15), при
этом в качестве ветви дерева графа рекомендуется выбирать ли-
бо отдельные элементы, либо последовательное соединение ис-
точника напряжения с Я-элементом, а в качестве ветви связи
(хорды) — параллельное соединение источника тока с G-эле-
ментом, как это показано на рис. 7.16. Нумерацию ветвей гра-
фа рекомендуется производить в следующем порядке: U—C—
R — G—L—I, при этом ветви с U— С-R- элементами должны
быть ветвями дерева, а ветви с G—L— 7-элементами должны
быть ветвями связи (хордами).
К Далее путем магричных преобразований и решения системы
матричных уравнений соединений (см. подразд. 7.2) записывает-
ся система алгебраических выражений (7.3) и (7.4):
Рис. 7.14. Эквивалентная рези-
стивная цепь
Рис. 7.15. Топологиче-
ский граф цепи
133
iB = (£, + FGxFTR,y'(-FGxFrU - FI)',
ux = (E, +FrR.FG^'t-F RBFI + FTU).
Данные выражения определяют токи в ветвях дерева и напряже-
ния на ветвях связи (хордах), их можно записать в обобщенной
форме:
д =HIU + H2F,
и . = H3I + H4U,
или в развернутом виде:
+ Н4 кс ,
где Н\, Н2, НЗ, Н4 — матрицы постоянных коэффициентов:
HI = (£, + FGXFTRa)-4-FGxFr)' Н2 = (ЕХ + FGXF RaY'(-F),
НЗ = (£> + FT RBFGXY'(-FT RaF)\ H4 = (E2 + F RBFGX)~}(F ).
Для формирования уравнений состояния из записанных вы-
ражений необходимо выделить уравнения ветвей, определяющие
токи в С-элементах, и уравнения, определяющие напряжения на
/.-элементах:
ic = Hl2lU + Я1,2ис + H222iL + Я221/;
uL=H3 22iL + Я323/+Я421£ +Я4 22ис.
Рис. 7.16. Ветви то-
пологического графа
Действительно, если в этих уравнениях
ic заменить на ис, a uL на 4, использовав
при этом вольт-амперные зависимости ре-
активных элементов, и разделить их на С и
на L соответственно, то в результате запи-
санные уравнения можно привести к нор-
мальной форме Коши, т.е. к уравнениям
состояния:
du
Я122
Я121
dz
U+^LI.
134
Рис. 7.17. Пример динамической
цепи
diL_H422 Я322 Я421 Я323
dt L с L L L
Пример. Дана электрическая цепь с С- и Я-элементами,
структура которой приведена на рис. 7.17. Требуется сформиро-
вать математическую модель динамической цепи в виде уравне-
нии состояния.
Решение. Сначала изображаем топологическую модель це-
пи представленной на рис. 7.17, в виде нормального топологи-
ческого графа, предназначенного для метода ветвей дерева и
хорд (рис. 7.18). Выбираем дерево графа и главные сечения. При
выборе ветвей топологического графа динамической цепи каж-
дый элемент представляется как отдельная ветвь. Ветви графа
динамической цепи нумеруются в следующей последовательно-
сти. сначала ветви дерева — ветви с источниками напряжения,
ветви с С-элементами, ветви с Я-элементами; затем ветви связи
(хорды) — ветви с С?-элементам и, ветви с L- элементами и ветви с
источниками тока (U -C-K-G-L-I).
По топологическому графу формируются матрица главных се-
чений Q, матрица инциденций F, матрица сопротивлений ветвей
дерева Я, и матрица проводимостей хорд (7Х. Матрицы формиру-
ются аналогично тому, как это делалось для резистивной цепи.
Для рассматриваемого примера они имеют вид
Рис. 7.18. Топологический граф
динамической цепи
135
-1
1
о
1
о
1//?,
о
о
О 1 о
1 О -1
1 1 -1
О-1О
О О'
о о
о О
о о
Далее определяем матрицы коэффициентов при векторах на
пряжений источников в ветвях дерева и токов источников в хор-
дах HI. Н2, НЗ и Н4-.
H\ = (Et+FGxFT Ra )-* (-FGX FT);H2 = (Е, + FGX FT Ea)‘ (-E);
НЗ = (Е2 + FTR.FGXY\-FTR^F)-, H4 = (E2+FT RaFGx)~1(Fr).
Теперь запишем алгоритм формирования матриц коэффици-
ентов уравнений состояния исходной динамической цепи при
переменных состояния и при воздействиях А и В.
Уравнения для токов ветвей дерева и напряжений хорд в раз-
вернутом виде будут иметь вид
или
ZC1
'ci
11 из
ик\
“t
.иг
*Я1И
//121
Я131
|Я14!
Г^Зи
Я331
яз41
Я1|2
Я122
Я132
//142
Я312
яз„
Я342
Я123
/У143
О’ ’О’ и'
Н2 0 ик, = НЗ 0 + Н4 uct
‘L “L Q «
J. .Ul . I 0
Я1141Г и 1
Я124
Я134
//U
£<С1
Я2„
Я221
Я231
Я241
Я2П
Я2я
Я2„
ЯЗ,3
Я323
яз33
Я343
яз14-
Я324
язи
Я3«
0"
I)
//4„
Я421
Я431
Я441
Я412
Я422
Я432
Я442
Я413
Я423
Я433
//443
Я213
Я2,3
Я233
Я243
Для формирования уравнений состояния из записанных урав-
нений необходимо выделить уравнения, определяющие токи в
С-элементах и напряжениях на Е-элементах:
136
^Cj + Н\12иС1 + ^^23^C2 + ^23 Q +
iCy — H\^L 4- 7/132Uqx + H\33uC1 + Я2зз/д + H2^I\
UL — ^33^L + H->34 I + H 4SI U + U ^32UC{ + H^33UC2 •
_ ^duC г d/Z
Если в этих уравнениях ic заменить на С —a uL на L—- и
dr dr
разделить их соответственно на С и на L, то в результате записан-
ные уравнения преобразуются к уравнениям состояния цепи:
дЦС|
dr
d"G Я1И„ Н2„ Н1„ Н2Х
~лГ = ~сГ с' ~ - ~СГ 1 ~сГ ~СГ
d<7
dr
Я432
L
Отсюда коэффициенты матрицы А уравнений состояния цепи
будут соответственно равны:
^21
4и
Я132 .
Я4,2.
А А -
4г С| . 4з С( .
Я133. _Я2„.
22 - ~р, у Л23 - г у
V 7 *> 2
л Н4„ . . Я3„
^2=—^-; 433=—
Аналогичным образом выбираем коэффициенты при воздей-
ствиях:
Я1И .
11 ~ ’
Ч
22 - ’
^2
Я12|< _ Я224
~сГ- в'^~-
Полученные в результате коэффициенты матриц А и В урав-
нений состояния определяют математическую модель динамиче-
ской цепи.
Полный алгоритм расчета коэффициентов матриц А и В вы-
гладит следующим образом:
137
о
о
о
о
Н2:
о
о
о
О
О
о
О
О
о
о
О
О
0,2
О
Н1 =
Н3 =
R)’1 (-F);
0,2
0
0,2
0,2'
-0,2
О
Н2 =
О
0,6
-0,6
о
-0,6
О
О
о
О
О
О
О
О
1,2
О
О
О'
о
о
о
0,6
о
Н4 =
О
0,6
о
0,4
-0,6
-0,4
0,6
01
О
0,6 ‘
0
-0,6
о
Н12.2.
С1 ’
нп,
HI
2.2
С2
Н4з,2 .
V 9
Н13.
С2
Н4,
Н22
С1
Н2
Н12
С1
Н1
в -Н2“-
Dll.- —“ ,
Н4
Н4
Н2ЗЛ.
С2
Н3,л
9
Г-2,4 -2 -0,8'
0,4
’0,4
0
0,6
О
Метод декомпозиции матриц. При использовании метода де-
композиции для формирования математической модели динами-
138
ческой цепи основой для формирования уравнений состояния
является матрица инцйденций F. Для определения коэффициен-
тов матриц уравнений состояния матрица F разбивается на де-
вять подматриц, которые определяют три строки и три столбца
матрицы F Строки матрицы определяются ветвями дерева топо-
логического графа: ветви с источниками напряжения £/, ветви с
С элементами и ветви с Я-элементами, Столбцы матрицы опре-
деляют ветви с (7-элементами, Z-элементами и ветви с источни-
ками тока /. Матрица Ав соответствии с таким разбиением будет
выглядеть следующим образом:
G L I
U Г\\ ^12 Fi3
F3I Fyz
Mr
Кроме матрицы F необходимо дополнительно сформировать
диагональную матрицу сопротивлений ветвей дерева /?д, прово-
димостей ветвей дерева (7Д, сопротивлений ветвей связи /?х и про-
водимостей ветвей связи (7Х.
Кроме приведенных формируются вспомогательные матрицы
R и G'.
Я - Ях + ^1\ Яд ^31 J
а также матрица
Г 0“
О L ‘
М =
Имея все приведенные матрицы цепи, можно сформировать
матричные алгоритмы для определения коэффициентов матриц
А и В уравнений состояния цепи:
Пример. Дана электрическая цепь с L-, С- и R-элементами,
структура которой приведена на рис. 7.19. Требуется сформиро-
вать математическую модель динамической цепи в виде уравне-
ний состояния.
Решение. Сначала изображаем топологическую модель це-
пи, представленной на рис. 7.19, в виде нормального топологи-
139
Рис. 7.20. Топологический
граф динамической цепи
Рис. 7.19. Пример динамической цепи
ческого графа, предназначенного для метода ветвей дерева и
хорд (рис. 7.20) Выбираем дерево графа и главные сечения. При
выборе ветвей топологического графа динамической цепи каж-
дый элемент представляется как отдельная ветвь. Ветви графа
динамической цепи нумеруются в следующей последовательно-
сти: сначала ветви дерева — ветви с источниками напряжения,
ветви с С-элементами, ветви с Я-элементами; затем ветви связи
(хорды) ветви с С-элементами, ветви с С-элементами и ветви с
источниками тока (U—C—R—G—L—I).
По топологическому графу формируются матрица главных се
чений 0и матрица инциденций F
U С R?G, С3 Z., Z., I G} Cj Д L2 I
О II 10 0 1 1-11-1 010-10 100 0 0 10-1 1-11 ; / = г 1 1 -1 1 -Г -10 10 0 0-11-11
Матрица F разбивается на девять подматриц согласно приве
денным ранее принципам. Строки матрицы определяются ветвя
ми дерева топологического графа, а столбцы — ветвями связи
Декомпозиция матрицы /’для рассматриваемого примера произ-
водится следующим образом
С; С3 Ц L2 I
и г 1 । -1 1 -г
F= С -1 0 10 0;
яДо -1 1 -1 1
Л.=[1 Л; Д2 = [-1 П; =[-Ц;
Л.=Н 0]; Я22=(1 0]; Д3=[0];
/•31=[0 -1]; /32=[1 -U;
140
Формируем матрицы сопротивлений ветвей дерева и про-
водимостей ветвей дерева Сд:
сопротивлений ветвей связи R* и проводимостей ветвей свя-
зи Gx
О '
О
я.
о
о
1
Яз
Кроме приведенных матриц формируются вспомогательные
матрицы R G и М а затем по приведенным алгоритмам (7.5) рас-
считываются коэффициенты матриц А и В уравнений состояния.
Полное решение этой задачи в программном пакете
«Mathcad-2000» выглядит следующим образом:
Rl = 1 R2 = 1 R3 = I С = 1 LI = 1 L2 = I
I ll - (1 1) F12 = (-l 1) F13 = —1
F21 =(-1 0) F22 = (1 0) F23 = 0
F31 = (0 -1) F32 = (1 -1) F33 = I
Rd = R2
1
Go = —
R2
° 1
R3
Gx =
1
Rl
0
о
1
R3
R RX+F311 Rd F31 G=Gd + F31 Gx F31T
A011 = -F21 R~’ F2IT A012 =-F22 + F22 R'1 • F31T Rd F32
A021 = F221 - F32T G’1 • F31 Gx F21т A022 = -F32T G-1 F32
M11=C M22-
10 L2j
All = Ml I'1 A011 А12 = М1Г' A012
A2I = M22~‘ • A021 A22 = M221 A022
141
A12 = (-1 0)
All = -1
A 22 =
'-0,5
.0,5
0,5 '
-0,5/
A1IPO
A2100
A2I1O
A12oo
A 22 OjO
A22li0
A12o.,
A220il
A221(l
A =
B011 = -F21 R’1 F11T B012 =-F23 + F21 R'1 F31T Rd F33
B021 = F12T - F32T G’1 F3L Gx Fl lT B022 = -F32T G~*F33
ВП = М1Г’ ВОН В12 = М1Г’ B012
B21 = M22 1 B021 B22 = M22"1 B022
Bll = l B12 = 0 BllOiO B120i0
f-0,5Л f-0,5) B = B21o.o B220.o
B21 - B22 — I | nn । r> in
0,5 , i 0,5 Б21|0 B2210
г-1 -1 0 ' ' 1 0 Л
А = 1 -0,5 0,5 В = -0,5 -0,5
ч 0 0,5 -0,5, . 0,5 0,5,
7.4. Численный метод решения уравнений состояния
динамической цепи
Простейшим методом численного интегрирования, с помо-
щью которого можно рассчитать значения переменных состоя-
ния, является метод Эйлера (метод ломаных). При его использо-
вании задаются начальные значения переменных состояния, а их
последующие значения вычисляются шаг за шагом с помощью
рекуррентного соотношения
= хк + Дх
Приращение переменной Дх можно получить из уравнений
состояния, заменив их уравнениями в конечных приращениях.
Пусть уравнения состояния динамической цепи имеют вид
—— = -uf +1, +6;
dr c l
—= -uc - iL + 12.
dr c L
(7.6)
Уравнения состояния заменяются уравнениями в конечных
приращениях
142
-ту- = ~ис.к + >L.k + Ь
А/
АЛ ю
~ = ~ис.к - 11,к + 12.
д/
Из уравнений в конечных приращениях определяются прира-
щения переменных состояния на текущем этапе расчета и их
значения в конце шага:
"СД+1 = ис.к + А(-«сд + ‘L.k + 6);
,£Д+1 = ‘ L.k + h(~UC,k ~‘t..k + 12)-
Записанные уравнения отражают алгоритм метода Эйлера для
решения дифференциальных уравнений.
Пример. Решить численно дифференциальные уравнения (7.6)
для заданных начальных условий: ысо = 10 В, iL0 = 2 А А = 0,5 с.
Решение. На первом этапе расчета в уравнения конечных
приращений подставляем начальные условия:
иа = 10 + 0,5(-10 + 2 + 6) - 9 В:
iu = 2 + 0,5(-10 - 2 + 12) = 2А.
На втором этапе рассчитанные значения напряжения на ем-
костном элементе и тока в индуктивном элементе подставляются
вместо начальных условий и т.д.:
иС2 = 9 + 0,5 (—9 + 2 + 6) = 8,5 В
/£2 = 2 + 0,5(-9 -2 +12) = 2,5 А
На рис. 7.21 приводится графическая интерпретация числен-
ного метода Эйлера, а на рис. 7.22 — ход построения графиков
переменных состояния для двух этапов численного интегриро-
вания.
Рис. 7.21 Графическая ин-
терпретация метода Эйле
ра
Рис. 7 22. Построение
графиков переменных
состояния
143
Рис. 7.23 Врсуснныс диаграммы переменных состояния цепи
Полный расчет записанных уравнений состояния в ррограм
мном пакете «Mathcad 200» выглядит следующим образом.
Начальное время расчета:
Конечное время расчета'
Число шагов численного расчета:
Вектор начальных условий:
Правые части уравнений состояния:
Вычисление значений переменных со-
стояния методом Рунге—Кутта:
Число точек для построения графика:
t/l:=0
t/2:=3
n: = 100
F(t,y):=[ Уо
l-Уо
+6 ,
+12 )
у: = rKfixedfV, 1,, t2, n, F)
n:=0.99
Временные диаграммы переменных состояния цепи приве-
дены на рис. 7.23.
Раздел II
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Глава 8
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
8.1. Общие положения
Электромагнитное взаимодействие [16] обладает волновым
квантом — фотоном, элементарной стабильной частицей —
электроном (позитроном), определяющими основные его свой-
ства
Электромагнитное поле — вил материи, характеризующийся си-
ловым воздействием на электрические заряженные частицы. В ус-
ловиях макроскопического наблюдения электромагнитное поле
проявляет себя как непрерывно распространяю цийся с определен-
ной скоростью во 1новой процесс (электромагнитные волны) и как
дискрет ный процесс в виде отдельных квантов или фо гонов. Оно
рбладас г массой, энергией, импульсом, скоростью, может преобра-
зовываться в элементарные части1 [ы других взаимодействий и, на-
оборот. возникать при их столкновениях. Так, при столкновении
электрона и позитрона эти элементарные частицы перестают суще-
ствовать как частицы вещества и переходят в два фотона с соблю-
дением закона сохранения энергии и импульса.
Скорость распространения поля в вакууме в отсутствие силь-
ных гравитационных полей близка кЗ 10s м/с.
Электромагнитное поле, являясь одним из видов материи,
характеризуется энергией W и инертной массой т, которые
связаны с величиной скорости света соотношением (формулой
А Эйнштейна):
Сущест вование инертной массы экспериментально доказал в
1899 г. выдающийся русский физик П Н Лебедев, который изме-
рил давление света
Массы электромагнитных полей, создаваемых с помощью со
временных технических средств, очень малы, однако не равны
145
нулю Так, радиостанция мощностью 1000 кВт в течение одного
часа излучает электромагнитное поле массой
W
1
с
т -
106 -3600
(3 10s)2
кг.
Масса излучения радиозвезд может достигать значительной
величины. Так, радиозвезда ЗС 273 за опин час излучает поток
электромагнитной энергии массой, более чем в 10 раз превы-
шающей массу Земли (6 1024 кг).
В данном разделе рассматривается макроскопическая теория
электромагнитного поля, т. е. взаимодействие зарядов и вызван-
ных ими полей на расстояниях, значительно превышающих внут
риатомные расстояния (3 10 9 м), в течение времени, значительно
превышающего время обращения электрона в атоме (10 "13 с).
Свойства вещества в теории электромагнитного поля опреде-
ляются средними по физически малому объему постоянными па-
раметрами: диэлектрической проницаемостью (для вакуума
ЕОэл = 8,85 10“12 Ф/м), магнитной проницаемостью цэл (для ва
куума р.Оая - 4л 10“' Гн/м) и удельной проводимостью упр.
Проводящая среда может быть линейной и нелинейной, одно-
родной и неоднородной, изотропной и анизотропной.
В линейной среде параметры Е31 , цзл и упр не зависят от вели-
чины электрического или магнитного поля, в нелинейной среде
хотя бы один из этих параметров зависит от величины электри-
ческого или магнитного поля.
Однородной называют среду, параметры £эл, и упр кото-
рой не зависят от координат, т.е. свойства среды одинаковы во
всех ее точках. Среду, у которой хотя бы один из параметров
езл, цм или упр является функцией координат, называют неод-
нородной.
Если свойства среды одинаковы по разным направлениям, ее
называют изотропной. Соответственно среду, свойства которой
различны по разным направлениям, называют анизотропной. В
изотропной среде параметры £зл, |тзл и у^ — скалярные величи-
ны, в анизотропной среде, по крайней мере, один из этих пара-
метров является тензором.
Электромагнитное поле как векторное поле характеризуется
векторами:
Еэл — напряженности электрического поля, В/м;
£>э, — электрической индукции (смещения), Кл/м!;
На — напряженности магнитного поля, А/м;
Вэ„ — магнитной индукции, Тл;
7 — плотности тока проводимости, А/м2.
146
В линейных изотропных средах векторы 7)эл и Е^, В,, м
J и £эл параллельны и пропорциональны между собой:
^эл — ^ал£эл» ^3.1 ~ Нэл^эл» *^пр — Упр-^эл"
Индекс «эл» векторов указывает на то, что они относятся к
। электромагнитному взаимодействию. Во всех других взаимодей-
ствиях, исходя из единства природы [16], поле описывается по-
добными векторами, но с другими индексами. Так, например, в
I гравитационном взаимодействии вектор Е^ характеризует поле
| ускорений, а вектор Нг, — импульсное поле.
Теория электромагнитного поля изучается на базе векторного
анализа (приложение), позволяющего в наиболее краткой форме
сформулировать выводы и провести доказательства конкретной
| задачи, а анализ ее свести к отысканию решений дифференци-
I альных уравнении, записанных в наиболее подходящей для этой
задачи системе координат.
8.2. Основные законы и уравнения
электромагнитного поля
Общие положения. Теория электромагнитного поля основана на
известных законах Кулона, Гаусса, Кирхгофа, Ома, Ампера,
Био—Савара, Фарадея, а также законах полного тока, сохранения
заряда, энергии. Математические зависимости (модели) этих зако
нов в интегратьной и дифференциальной формах приведены в
f-табл 8.1 [17].
Переход от интегральных уравнений записи законов, опреде-
ляющих поле в объеме, к дифференциальным уравнениям, опре-
деляющим поле в точке, осуществляется с помощью двух теорем
векторного анализа: теоремы Стокса, связывающей интеграл от
вектора по замкнутому контуру с интегралом от потока ротора
этого вектора через поверхность, ограниченную замкнутым кон-
туром, j>£d/ = Jrot£d£; и теоремы Остроградского—Гаусса, свя-
l s
зывающей интеграл от потока вектора по замкнутой поверхности
с интегралом от дивергенции этого вектора по объему, ограни-
ченному замкнутой поверхностью, ^£dS = | div£dV.
5 и
В первом случае контур циркуляции L и, соответственно, по-
верхность 5 ограниченную замкнутым контуром, уменьшают до
бесконечно малой величины и определяют ротор как предел, к
147
^£de
которому стремится отношение го1„£ = lim д' - -еп> во втором
Ла
случае замкнутую поверхность 5 и соответственно объем V внут-
ри этой поверхности уменьшают до бесконечно малой величины
и определяют дивергенции^как предел, к которому стремится от
j£d.V
ношение div£ = Inn — .
ди->о дК
Таблица 8.1
Закон Интегральная форма Дифференциальная форма
Электростатическое (магнитостатическое) поле
Закон Кулона Г _ ЙэлЙэл р ГЭЯ Л 7 Сг 4л£Х1г-
Теорема Га- усса = ?/е„ 5 Pan Ao
Закон сохра- нения заряда div Jnp = 0
Электрическое поле постоянного тока в проводящих средах
Первый за- кон Кирхго- фа pnpd5 =0 divj^ = 0
Второй закон Кирхгофа f£Md/=O L rot£M = 0
Закон Ома для электри- ческой цепи 4. -U/R Alp — Упр^зл
Закон Джо- уля-Ленца Рэя ~ Узл^эл
Магнитное поле постоянного тока
Закон Ампе- ра 4»й " ’ d£=lZMd/x£Ml
Закон Био—Савара d^ = [ZMd/xeJ 4 nr2
Закон Ома для магнит- ной цепи I W “ ЭЛ r r V= 4 gtoi II p =C| s
Окончание табл. 8.1
Дадим некоторые пояснения к иконзм и приведем примеры не-
посре тственного их применения при решении конкретных задач.
Закон Кулона. Два заряженных тела бесконечно малых разме-
В ров (два точечных заряда) отталкиваются, если заряды их одно-
именны, и притягиваются, если они разноименны, причем сила
их взаимодействия пропорциональна произведению электриче-
ских зарядов и обратно пропорциональна диэлектрической про-
ницаемости среды, умноженной на 4л, и квадрату расстояния
между ними-
г _ *71эл?2эл
гэл Л 2
4лдЭ1г
В где д1эл, 92эл — электрические заряды тел, Кл; г — расстояние
между ними, м; ё, — единичный вектор, направленный по г от
центра положительного заряда (рис. 8.1).
Закон Кулона определяет направление и силу электростатиче-
Вского взаимодействия между двумя точечными, неподвижными
I относительно наблюдателя электрическими зарядами. Он позво-
Иляет^ввести понятие вектора напряженности электрического по-
I ля как силы. Напряженностью электрического поля Ем
(В/м) называется сила, с которой электрическое поле действует
на точечное тело с положительным единичным зарядом в 1 Кл,
внесенное в рассматриваемую точку поля (рис. 8.2);
^эл - 4л /?эл •
149
148
Рис. 8.1 Сила взаимодействия электрических зарядов
Электростатическое поле — векторное поле. Его обычно изо-
бражают с помощью линий, которые в каждой точке являются
касательными к вектору. Для представления о величине поля эти
линии проводят так, чтобы их число на единицу площади, распо-
ложенной перпендикулярно линиям, было пропорционально ве-
личине вектора. Там, где поле сильнее, линии проводят гуще,
там, где слабее, — реже. Линии вектора напряженности электри
ческого поля называют силовыми линиями электрического поля.
Обычно принимается направление силовых линий от положи
тельного электрического заряда к отрицательному заряду.
Для точечного заряда вектор напряженности электриче
ского поля определяется из закона Кулона в сферической систе-
ме координат в виде
Вектор напряженности электрического поля £м направлен по
радиусу, величина его уменьшается обратно пропорционально
квадрату расстояния. Другим важным понятием в электростатике
является скалярный потенциал.
Под разностью потенциалов между двумя точками
электростатического поля понимается взятая с обратным знаком
работа, совершаемая силами поля (или сторонними силами) и
необходимая для перемещения положительного заряда в 1 Кл из
первой точки во вторую (или из второй точки в первую).
Поэтому изменение потенциала между двумя бесконеч-
но близкими точками, расположенными на расстоянии d/ друг от
друга, равно скалярному произведению вектора напряженности
электрического поля (силы) на вектор расстояния;
dt^ =-£>',
а разность потенциалов между двумя точками /, и /2, находящи-
мися на конечном расстоянии друг от друга /2 - определяет-
ся интегралом:
Рис. 8.2. Направление вектора электрического поля
150
i.
причем этот интеграл в электростатическом поле может быть
взят по любому пути, соединяющему точки /, и /2.
Для точечного заряда дзл разность скалярных потенциалов ме-
жду двумя точками Г] и г2 определяется из интеграла после под-
становки в него значения вектора напряженности электрическо-
го поля:
£/ЭЛ1
г
Г2>
- J £re,drer =
>5
^эл 1
4леэп
где учтено, что скалярное произведение двух одинаковых еди-
ничных векторов равно единице: егёг = L -1 - cos ” = 1.
Потенциал нормируют, т. с в какой-либо точке пространства
принимают равным конкретной величине, например нулю Так,
при Uэл2 = 0 на бесконечно далеком расстоянии г2 °° от точеч-
ного заряда, для потенциала получаем
U - 9эл
ЭЛ
4пеэлг
Результирующий потенциал нескольких точечных зарядов на
основании принципа наложения полей определяется как алгеб-
раическая сумма потенциалов отдельных зарядов:
=е
?ЭЛ1
4пеэл<
Поверхности с одной и той же величиной потенциала называ-
ют эквипотенциальными. У точечного заряда эквипотенциаль-
ными поверхностями являются сферические поверхности радиу-
са г (рис. 8.3) Вектор электрического поля в любой точке экви-
потенциальной поверхности перпендикулярен к ней (совпадает
по направлению или противоположен с единичным поверхност-
ным вектором dS). Векторные линии напряженности электриче-
ского поля и эквипотенциальные поверхности образуют картину
электростатического поля электрического заряда. Для наглядно-
го представления пользуются графическим изображением поля.
Векторные линии электрического поля и эквипотенциальные
линии проводят так, чтобы касательные к ним указывали на-
правление векторов электрического поля и потока, а их густота
была прямо пропорциональна их абсолютным значениям.
151
Рис. 8.3. Картина электростати-
ческого поля точечного заряда
Рис. 8.4. Электростатиче-
ский диполь
Вектор напряженности электрического поля может быть оп-
ределен как градиент от скалярного потенциала:
эл =-^ е, = -gradt/M.
Это дифференциальное уравнение определяет зависимость меж-
ду напряженностью электрического поля и скалярным потенциа-
лом в бесконечно малом объеме, в точке. Оно позволяет опреде-
лять напряженность электрического поля по известной зависимо-
сти скалярного потенциала в любой системе координат.
В качестве примера рассмотрим в сферической системе коор-
динат электростатическое поле диполя, т.е. поле двух равных по
величине, но противоположных по знаку электрических точеч-
ных зарядов, расположенных на бесконечно малом расстоянии
друг от друга (рис. 8.4).
Скалярный потенциал от двух зарядов в удаленной точке А
будет равен
г 1 _ 1 = cos £ = Рм cos А
4л£3и1 4tIEw Г
где /• — расстояние от центра диполя; fl — угол между вектором
Р и направлением от центра диполя до точки А; Рт — диполь
ный момент электрического диполя.
Вектор напряженности электростатического поля диполя
найдем из обшею выражения для градиента от скалярного по-
тенциала в сферической системе координат:
= -gradt/^
dU _
--е
Эг
1 dV -
----
г Эй
1 3U-
---------с
г sin А Эф
После подстановки в него скалярного потенциала диполя и
дифференцирования Е31 =—— (2cosfler +sinflee).
4лездг
152
Рис. 8.5. Картина электростатиче- Рис. 8.6. Электростатический ди-
ского поля диполя Поль во внешнем электрическом
Картина электростатического поля диполя приведена на рис. 8.5.
В однородном внешнем электрическом поле жесткий элек-
тростатический диполь (рис. 8.6) за счет возникающего механи-
ческого момента силы, равного произведению величины силы на
плечо М = q Л1Е , sin О, поворачивается по направлению поля, а
в неоднородном поле — совершает дополнительное поступатель-
ное движение в направлении приращения поля ДЕ , = /gradE .
Расчет электростатического поля, в частности, необходим для
вычислений электрической емкости конденсаторов разной кон-
струкции.
Электрическая емкость — способность устройства запасать
электрический заряд при разности потенциалов между обкладка-
ми конденсатора в 1 В , т е.
______*7эл_______
U эл1 ~ V ал2
Емкость сферического конденсатора с радиусами г, внутрен-
ней и г- внешней сферическими обкладками определяется по
формуле:
I Л* _ ^эл _ 4 ЛЕ
с ~7т гг '2'1-
ал! ~ U зл2 Г1 ~ г\
Емкость Земли без учета влияния ионосферы при г- У оо МОЖ“
но определить по формуле;
I С = 4л£зл/-3емлн = 4„ 8.85 10~'2 • 6,4 106 = 7,1 Ю^Ф.
За счет проводящей ионосферы, расположенной на высоте
примерно 80 км от поверхности Земли, ее емкость
4пе а
С=-----— = 7,1 • 10”4
Г 2 - Г, -
величивается в 80 раз.
6.4 106
80•103
= 0,057 Ф
153
Теорема Гаусса. В замкнутой поверхности 5. окружающей заряд
q3a. в вакууме полный поток вектора напряженности электриче-
ского поля Еэл, проходящий через эту поверхность, равен заряду
q Л, разделенному на диэлектрическую проницаемость е.эл:
5
Максвелл распространил теорему Гаусса на все диэлектрики
и вектор £эл умножил на диэлектрическую проницаемость.
В результате теорема Гаусса преобразовалась в постулат или П1
уравнение Максвелла в интегральной форме:
~ ^эл »
5
поток вектора электрической индукции D3n через замкнутую
поверхность 5 объема V равен электрическому заряду уэл, рас-
положенному внутри данного объема.
В дифференциальной форме III уравнение Максвелла прини-
мает вид
divZ>M =рзд.
Таким образом дивергенция (расходимость) вектора электри-
ческой индукции равна объемной плотности заряда. Это говорит
о том, что линии вектора электрической индукции D3n начина
ются на положительных и заканчиваются на отрицательных
электрических зарядах.
Из III уравнения Максвелла .может быть определено электро-
статическое поле бесконечно длинной заряженной нити с линей-
ной плотностью электрического заряда тэл в цилиндрической
системе координат:
f4,dS = JZ),erd5er = Dr Jd5 = Pr56oK = Dr2nrt = тэл/
•^бок
•^бок
или Ег = .
2n£M/-
При выводе зависимости учтено, что электрическое поле сим-
метрично относительно оси нити, векторы £>.. направлены от
центра по радиусам, а поток электрической индукции через
основания элементарного цилиндра (рис. 8.7) равен нулю.
Разность потенциалов бесконечно длинной заряженной нити
между двумя точками, удаленными от оси нити на расстояния б
и г2:
154
л
= *ёг =
т
U эл I ^ал2
пропорциональна натуральному лога-
рифму из отношения расстоянии г( и г .
В результате картина электрического
поля бесконечно длинной заряженной ни-
ти представляет собой радиально расходя-
щиеся от ее центра векторные линии на-
пряженности электрического поля Еэл и
Рис. 8.7. Электроста-
тическое поле беско-
нечно длинной заря-
женной нити
перпендикулярные к ним эквипотенциаль-
ные цилиндрические поверхности U(см. рис. 8.3).
Электрическая емкость цилиндрического конденсатора, обра-
зованного из двух металлических цилиндров с радиусами г и г
длиной /:
_ ^Л£эл/
" 1п<2 ’
л
обратно пропорциональна натуральному логарифму из отноше-
ния радиусов цилиндров.
Закон сохранения заряда. Количество электричества, выходя-
щего за некоторый промежуток времени через замкнутую по-
верхность 5, ограничивающую объем V, равно величине умень-
шения в объеме заряда за тот же промежуток времени:
(8.1)
где -3— — скорость уменьшения заряда в объеме И;
Э/
|эл d5 — ток через замкнутую поверхность 5. ограничи-
вающую объем И
Равенство (8.1) выражает закон сохранения заряда в инте-
гральной форме.
Представляя заряд в виде объемного интеграла из удельной
плотности заряда
dg,n
dt
155
уменьшая объем, а следовательно, и его поверхность до нуля и
переходя к пределам, получаем закон сохранения заряда в диф-
ференциальной форме:
lim
ДК-.0
= - lim —---------=
дК-»о ДИ э/
ИЛИ
divJnp = -^
(8-2)
Равенство (8.2) выражает принцип непрерывности постоян-
ного электрического тока и называется уравнением непрерывно-
сти.
На основании III уравнения Максвелла удельная плотность
электрического заряда может быть заменена дивергенцией от
вектора электрической индукции div£>3J1:
div/np
ddivD „
“аг
Частную производную по времени в полученном уравнении
можно подвести под дивергенцию, так как она состоит только из
производных по координатам. В результате, объединяя диверген-
ции левой и правой частей равенства, находим
divp„p+^ = O.
(8.3)
П
Производная —~
по времени от электрической индукции
по размерности соответствует удельной плотности электрического
тока, которую Максвелл назвал плотностью тока смещения.
Равенство (8.3) представляет собой закон сохранения заряда
или уравнение непрерывности в дифференциальной форме.
При постоянном токе распределение зарядов по всему объему
проводника остается неизменным во времени, так как количест
во электричества, поступившего за некоторый промежуток вре-
мени в замкнутый объем, в точности равно количеству электри-
чества, вытекающего за тот же промежуток времени из этого
объема. Поэтому
pnpd5=0.
(8.4)
156
Равенство (8.4) представляет собой уравнение непрерывности
постоянного тока в интегральной форме.
В диэлектрической среде под влиянием электрического поля
происходит процесс поляризации. Поляризация протекает раз-
личным образом в зависимости от структуры вещества (диэлек-
трика) и строения его молекулы. Так, у нейтральных диэлектри-
ков имеет место деформационная или электронная поляризация.
Она заключается в том, что положительные и отрицательные за-
ряды атомов диэлектрика под действием силы £эл электрическо-
го поля смещаются относительно друг друга. Положительные за-
ряды jtomob движутся в направлении вектора электрического
поля Е ,, отрицательные (электронные оболочки) — в противо-
положном направлении. Диэлектрик поляризуется, т. е. переста-
ет быть нейтральным.
' Возможен и другой механизм поляризации. Это связано с тем,
что молекулы некоторых веществ (например, воды), называемых
дипольными диэлектриками, обладают электрическими диполь-
ными моментами и при отсутствии внешнего электрического по-
ля. Направление этих моментов хаотично (равновероятно) рас-
пределено в пространстве, следовательно, их действие при отсут-
ствии поля не проявляется в окружающем пространстве. При
воздействии на такую среду электрического поля происходит
ориентирование молекулярных диполей по направлению вектора
напряженности внешнего электрического поля. Существуют так-
же более сложные виды поляризации, например, у ионных ди-
электриков и сегнетодиэлекзриков.
Для упрощения расчетов все виды поляризации можно свести
к эквивалентной картине возникновения молекулярных элек-
трических диполей. При этом состояние поляризации характери-
зуют поляризованностью или интенсивностью поляризации ве-
щества Р, связанной с моментами указанных молекулярных ди-
полей следующим образом:
Х^Оал^эл »
1де % — относительная электрическая восприимчивость.
В общем случае плотность тока смешения
В у ^Р
•'см.эл ~ 77 “ Оэл ~ 7". 47
определяется движущимся электрическим полем еп», —— и дви-
Э/
р
Жением электрических зарядов в связанных микросистемах -—.
157
Первый закон Кирхгофа. В любой момент алгебраическая сум-
ма токов ветвей, соединяющихся в узле электрической цепи,
равна нулю:
п
v/,=0.
/=1
Представляя /, как бесконечно малый ток I, = J ipdS и интег-
рируя по всей замкнутой поверхности 5 окружающей узел, полу-
чаем первый закон Кирхгофа в интегральной форме:
р;рС15=о,
поток вектора плотности тока проводимости через замкнутую
поверхность равен нулю.
Равенство совпадает с уравнением непрерывности (8.2) для
постоянного тока в интегральной форме. Согласно этому закону
ток через замкнутую поверхность равен нулю и линии постоян-
ного тока непрерывны, т. е. замкнуты сами на себя.
В дифференциальной форме первый закон Кирхгофа пред
ставляется в виде равенства дивергенции от вектора плотности
тока проводимости нулю:
div/„р = О
и совпадает с законом сохранения заряда в дифференциальной
форме в установившемся режиме.
Второй закон Кирхгофа. В любой момент алгебраическая сум
ма напряжений ветвей в контуре равна нулю:
п
Z и, - о.
1-1
Представляя напряжение С7,- = Езпйё и интегрируя по всему
замкнутому контуру L, получаем второй закон Кирхгофа в инте
тральной форме:
<f£3nde=O.
L
циркуляция вектора напряженности электрического поля по
замкнутому контуру равна нулю.
Согласно теореме Стокса второй закон Кирхгофа в диффе-
ренциальной форме можно записать в виде равенства нулю рото-
ра от вектора напряженности электрического поля:
rotEg,, =0,
что говорит о потенциальном характере электрического поля
постоянного тока в проводящих средах.
158
Закон Ома для электрической цепи. В интегральной форме оп-
ределяется величина тока / л в проводнике в зависимости от
приложенного напряжения Uи его электрического сопротив-
ления R
JL
ЭЛ
Язя’
а в дифференциальной форме — зависимость между плотно-
стью тока проводимости и напряженностью электрического по-
ля в бесконечно малом объеме:
Y пр эл
Дифференциальная форма закона Ома, справедливая для беско-
нечно малого объема проводника, получается после соответствую-
щей замены в интегральной форме закона тока /
жения U- EJtdl и электрического сопротивления R,
= напря-
С1/
Ynpd^
Закон Джоуля—Ленца. Количество тепла, выделяющееся в
проводнике при прохождении через него электрического тока в
единицу времени, прямо пропорционально сопротивлению R
проводника и квадрату силы тока / или тепловая мощность
имеет вид
> = R
эл 'эл
2
ЭЛ
После замены в этом выражении F , = R ( =----------
I ' YnpdS
1 . = J,pd5 и J р = упр£эл, переходя к бесконечно малому объ-
ему, получаем р. л = узд£ля — закон Джоуля—Ленца в дифферен-
циальной форме, где — удельная объемная тепловая мощ-
ность.
Проводящие среды обладают кроме удельной электрической
проводимости диэлектрической и магнитной проницаемостями.
Покажем, что [II уравнение Максвелла в дифференциальной
форме divP^ - рэл справедливо и в случае проводящей средьъ
С этой целью воспользуемся законом Ома: 7ПП = уП1£эл, уравне-
.. v Эр _
нием непрерывности тока: div/ г = —и представим дивер-
Э/
генцию от электрической индукции как
divDM = div(EM£M) = divbk J =
Ynp YnP Э/
159
В результате III уравнение Максвелла в дифференциальной
форме преобразовалось в дифференциальное уравнение первого
порядка:
Еэл др эд _
Р ЭЛ
др эл ^ПР-
ИДИ -- + ——Рээ
Э/ Ем
с решением рэл =Pi,; e £" , где р^ — плотность заряда в рас-
сматриваемой точке в момент времени t = 0.
Из решения следует, что плотность заряда в каждой точке
внутри проводящей среды убывает со временем, причем время
убывания мало, так как величина —— весьма большая (для ме-
£»Л
таллов —~ 10 8 1/с, для морской воды---~ 109... Ю10 1/с).
^эл ^эл
Отметим. что убывание зарядов внутри проводника со време
нем не означает, что заряды исчезают. Они накапливаются на
наружной поверхности проводника.
Таким образом, при установившемся процессе во внутренних
точках проводящей среды объемная плотность электрических за-
рядов равна нулю (рэ, = 0), а следовательно, и электрическая ин-
дукция.
Рассмотрим пример решения задачи с использованием зако-
нов и уравнении электрического поля постоянного тока в прово-
дящих средах.
Пример. Дано; — напряжение высоковольтной линии;
угр — удельная электрическая проводимость грунта; г0 — ради-
ус металлической полусферы заземления, зарытой в грунт; Л —
ширина шага (рис. 8.8).
Рис. 8.8. Шаговое напряжение при коротком замыкании высокоборт-
ной линии
160
Определить: шаговое напряжение 6/ш, возникающее при ко-
ротком замыкании провода высоковольтной линии на заземлен-
ную металлическую опору, и сопротивление заземления.
Решение. Исходя из закона Ома в дифференциальной
форме напряженность электрического поля в грунте и равномер-
ности растекания в нем тока короткого замыкания находим
Г - *^ПР _ д
Ynp 2яупрг
и шаговое напряжение между двумя ступнями ног при их раз-
мещении вдоль направления на опору высоковольтной линии:
<2
Сопротивление заземления определяем как отношение на-
пряжения на поверхности полусферы заземления к току растека-
ния:
С учетом этого шаговое напряжение может быть выражено че-
рез величину напряжения высоковольтной линии передачи:
К TJ “ ^ВХ^шП)
U Ш 7
г
Шаговое напряжение Uu не зависит от проводимости грунта.
Закон Ампера определяет силу магнитного взаимодействия, с
которой один элемент тока действует на другой элемент тока.
Эта сила определяется из выражения
| (Лэл^1 х )]ЦЭЛ
d 2 =----------—2-----------
1 Так, два параллельных прямолинейных медных проводника
длиной I м с токами 1 А (рис. 8.9, а) притягиваются друг к другу
L । Ц 4т • 10 . . ,
на расстоянии 1 м с силой dr12 = - =-----= 10 Н, если по
4п 4л
ним проходят одинаково направленные токи, и отталкиваются с
той же силой, если токи направлены навстречу друг другу
(рис. 8.9, б).
6 ь»
шарик
161
6
Рис. 8*9. Сила магнитного
взаимодействия двух токо-
вых элементов:
а — одинакового направления;
б — разного направления
Это объясняется тем, что каждый
проводник со своим током находится
в магнитном поле, создаваемом то-
ком другого проводника согласно за-
кону Био—Савара. Под действием
внешнего магнитного поля движу-
щиеся в проводнике электрические
заряды, а вместе с ними и сам про-
водник испытывают силовое воздей-
ствие.
Закон Био—Савара непосредст-
венно связывает напряженность маг-
нитного поля с линейным распреде-
лением тока:
аЯэл
Има/хёд
4пг2
В результате сила магнитного взаимодействия определяется
векторным произведением элемента тока на магнитную индук-
цию, в поле которой находится данный элемент тока:
dF=[/Md/xJBajl].
(8-5)
Эта сила возникает, например, в электродвигателях (измери-
тельных электроприборах) при действии магнитного поля ста-
тора на проводник с током ротора; под действием ее ротор вра-
щается.
При движении свободных электрических зарядов со скоро-
стью v во внешнем магнитном поле возникающая сила Ампера
определяется по формуле
6F = X =
^-d/ X В.
d/ 11
X В^ J.
Сила магнитного взаимодействия перпендикулярна вектору
напряженности внешнего магнитного поля. Поэтому она откло-
няет движущиеся свободные электрические заряды в направле-
нии, перпендикулярном вектору напряженности внешнего маг-
нитного поля. Этим она отличается от силы электрического
взаимодействия между зарядами, совпадающей с вектором на-
пряженности электрического поля.
Магнитная индукция В,л, как видно из выражения (8.5), чис-
ленно равна силе, с которой магнитное поле действует на еди-
ничный элемент тока, расположенный перпендикулярно к на-
правлению этого поля.
162
Пример. Дано: r„,lv, L„ I — соответственно радиус, число
витков, длина и ток соленоида (совокупности последовательно
соединенных витков).
| Определить: Н — напряженность магнитного поля на оси од-
ного витка и соленоида, у — магнитный поток сцепления, £с —
индуктивность соленоида.
Решения. I. Определяем магнитное поле витка на его оси
(рис. 8.10).
' Из закона Био—Савара на расстоянии z от центра витка ре-
зулыируюший векюр напряженности магнитного поля от двух
противоположно лежащих элементов тока_витка равен сумме го-
ризонтальных составляющих векторов ан, так как нормальные
составляющие векторов, одинаковые по величине, противопо-
ложны по направлению:
йН
iai
----cos a =
4пг2
/dL ro
2п/‘п г
2пг ’
Интегрируя ан. по половине периметра витка, определяем
напряженность магнитного поля на оси одного витка:
/г /г2
Н = fd/ = ^.
L 2пг3 о 2г'
2. Определяем магнитное поле на оси соленоида (см. рис. 8.10).
Магнитное поле бесконечно малого элемента соленоида опреде-
ляем как произведение напряженности магнитного поля одного
витка на число витков в этом элементе:
=^Ld£.
' 2г3£0
После интегрирования этого выражения по всей длине соле-
ноида получаем
IW
2^0 о Г
Рис. 8.10. Магнитное поле на оси соленоида
163
Для решения интеграла воспользуемся подстановкой
7. -J- 7
ctg<p =---- и перейдем к новой переменной <р, принимая во
го
внимание равенство дифференциала от котангенса угла <р
1, d£ г0 -
dctgcp =---—dtp = — и отношения — = sin <р.
sin - <р Го г
Интегрируя по переменной <р от одного края соленоида <Pi до
другого ф2, определяем напряженность магнитного поля Н. на
оси соленоида:
„ IW 4 г2 r0 . IW \2. ... /И'
Я =—- 1-5- —Йф = —— | (-81Пф)дф=—-(СО5ф2 —СО5ф|).
2Zn-p/l sin 2£0' 1LO
3. Определяем магнитный поток сцепления соленоида.
При г, « L в центре соленоида напряженность магнитного
поля на оси соленоида приближенно составит
IW IW IW
г — (СО8ф2 — СО5ф!) = ——— (COSO — COS П) =
о
В этом случае поле однородно и магнитный поток, проходя-
щий внутри соленоида, ориентировочно может быть определен
как произведение магнитной индукции на его сечение:
о
а магнитный поток сцепления — как произведение числа вит-
ков соленоида на магнитный поток:
= и' Ф = —— цлг0 .
М)
4, Определяем индуктивность соленоида, которая равна вели-
чине отношения магнитного потока сцепления к току в нем:
ф 1У j
с =-j- = -7-W.
/ ь0
Закон Ома для магнитной цепи в интегральной форме опреде-
ляет величину потока сцепления ф в зависимости от числа ампер-
витков I „ W и магнитного сопротивления магнитопровода 7?м:
164
Для бесконечно малого объема магнитопровода_можно произ-
вести замену потока сцепления у = Ф W7 - В; 65И/. тока
1 = Нэл6/ и магнитного сопротивления R, - ———.
I
те получим закон Ома в дифференциальной форме:
В рсзульта-
устанавливающий связь между магнитной индукцией и напря-
женностью магнитного поля в бесконечно малом объеме.
Под воздействием внешнего магнитного поля в магнитной
среде происходит определенная ориентация элементарных кон-
турных токов (магнитных диполей, образованных, в частности,
электронами, движущимися по внутриатомным орбитам). В ре-
зультате возникает дополнительное магнитное поле, которое оп-
ределенным образом накладывается на внешнее поле.
По магнитным свойствам вещества можно разделить на три
категории:
ферромагнетики (ферромагнитные среды), относительная
магнитная проницаемость которых значительно больше едини-
цы (ц 1Л » Цэло); при их намагничивании внутреннее дополни-
тельное магнитное поле будет сравнительно большим по величи-
не и по направлению совпадать с намагничивающим полем;
* парамагнетики, относительная магнитная проницаемость ко-
торых немного больше единицы; внутреннее дополнительное
магнитное поле относительно небольшое по величине и направ-
лено в одну сторону с намагничивающим полем;
диамагнетики, относительная магнитная проницаемость
которых немного меньше единицы; внутреннее дополнительное
магнитное поле небольшое по величине, но направлено проти-
воположно намагничивающему полю.
I Если подвергнуть ферромагнетик циклическому перемагни-
чиванию, то зависимость между магнитной индукцией и напря-
женностью магнитного поля приобретет вид петлеобразной кри-
вой, называемой петлей гистерезиса. Каждый цикл перемагни-
чивания сопровождается затратой энергии (потерями на гистере-
зис), пропорциональной площади гистерезисной петли.
В зависимости от формы гистерезисной петли ферромагнетики
подразделяются на магнитно мягкие с узкой гистерезисной пет
лей и малой остаточной намагниченностью (коэрцитивной силой)
и магнитно-твердые с широкой гистерезисной петлей и большой
величиной коэрцитивной силы- Магнитно-мягкие материалы ши-
роко применяются для магнитопроволов электрических машин,
трансформаторов, катушек индуктивности и в других устройствах,
подвергающихся периодическому перемагничиванию полями
165
сравнительно невысокой частоты. Магнитно-твердые материалы
применяются для изготовления постоянных магнитов.
Кроме того, в технике высоких частот используют две особые
группы ферромагнитных материалов — так называемые магнито-
диэлектрики и ферриты, которые наряду с высокими магнитными
свойствами обладают малой удельной электрической проводимо-
стью и, следовательно, малыми потерями на вихревые токи, наво-
димые переменным магнитным полем в толше ферромагнетика.
Изменение напряженности магнитного поля в веществе, вы-
званное его намагничиванием, определяется намагниченностью
или интенсивностью намагничивания вещества J3J].
Подобно поляризованности интенсивность намагничивания
вещества </эл в случае неоднородной среды является функцией
координат, а в случае нелинейной среды — нелинейной функци-
ей от напряженности магнитного поля. Если же среда линейна,
то вектор J , прямо пропорционален напряженности магнитного
поля: _
зл. ~ ~ М’ ал 0 )^эл >
где кч — магнитная восприимчивость вещества в случае линей-
ной среды, не зависящая от величины Н я.
Сила Лоренца — результирующая суммарная сила электриче-
ского и магнитного взаимодействия, действующая на движущий-
ся электрический заряд в электромагнитном поле:
F = 9эл^эл +П'Х £])•
Так, траекторию перемещения электрического заряда массой
т в электромагнитном поле находят из уравнения движения
— = х В]), связывающего изменение импуль-
са р частицы во времени с силой Лоренца.
Рассмотрим движение электрических зарядов в постоянных
однородных взаимно перпендикулярных полях Е л и Н л. На-
правление вектора Е„ выберем вдоль оси х, а направление век-
тора Н , — вдоль оси у. Тогда векторные уравнения движения
электрических зарядов
. . 9зл(^ХЭЛ^Х +|1> X /?уэлеуР
IF JI т?
можно записать в виде трех скалярных уравнений:
<4 /г о ч dvy л. <4 _ п
^эл Язл tFy ЭЛ^’ ^ЭЛ
166
Сила Лоренца, а следовательно, ускорение вдоль оси у равны
нулю, т.е. по направлению вектора Нэп движение электрических
зарядов отсутствует.
[ Складывая первое уравнение с третьим, умноженным нау, на-
ходим
. dv. А . _ . -ч -
^эл т J — -/^ЭЛ^ЭЛ^Чх + ~ *7эл-^хэл*
Согласно теории линейных дифференциальных уравнений с по-
стоянными коэффициентами общее решение уравнения представ-
ляется в виде наложения (суммы) общего решения однородного
уравнения (без правой части) и частного интеграла неоднородного
уравнения. Общее решение однородного уравнения принято назы-
вать свободной составляющей, а частный интеграл неоднородного
уравнения — вынужденной составляющей.
I Свободную составляющую скорости движения электрических
зарядов определяем из однородного уравнения
сев
свС^хсн
У^гсв)
? В
где сосв = 371 уэл — собственная частота кругового вращения
электрических зарядов в виде экспоненты
vXCR + Л-св = *еу(ш-'+а).
Л. LU v
Вынужденная составляющая, подобная правой части неодно-
родного уравнения, должна быть постоянной величиной, поэто-
му она находится из равенства
•А7эл Вуэп J* ’
— • «Лк
в виде vXB + jvrB = J- -.
ЛЬ « ** Tj
Dy зл
В результате получаем следующее общее решение уравнения
движения электрических зарядов^в постоянных однородных вза-
имно перпендикулярных полях Е и Я
v + jv = ое ’се'"г‘ + j—
X -г Z J n
^узл
167
Для составляющих вектора скорости движения электрических
зарядов, приравнивая вещественные и мнимые части, находим
vx =<Jcos(coCBf +ct);
v.
= a sin (со „Г + а) +
Ехзл
р
^узл
Постоянную интегрирования а и фазовый сдвиг а определяем
из начального условия при t - 0 равенства сил Лоренца и Кулона:
^эл = ?эл ^хэп ’ “ св^ $1П (СО CEt 4- Ct) — *?эл ^хзл •>
Язл^хэя
в виде а = л/2» а =------—.
^ЭЛ « ЭЛ
После подстановки этих значений в общее решение для со-
ставляющих вектора скорости получаем:
(7эл^хзл . . Ехзл .
vx =-------sm со св/ = ——Sin со свг;
ЭЛ св &узп
ЯэлВхэз . ^хэл Вхэп , <.
vz =--------COSCOcbt + —— = ---—(cosco^r - 1).
^хч^св "уэл -^уэл
Траектория движения электрических зарядов может быть оп-
ределена из следующих интегралов:
/ F Е
г^ххч . '-'хэл t . 1Ч.
X = J — Sin СО свrd/ = ------(COSCO св/ - 1),
О &узл &узл * ° св
/ £ Е, 1
Z = [- -(cosco / - 1) dr = - V41 (sin aCBt - С0св0-
J0 Вуэл ВУ*>® CB
В постоянных однородных взаимно перпендикулярных полях
Е л и Н , электрические заряды движутся с постоянной скоро-
g
стью v = —— вдоль оси z, т.е. по направлению, перпендикуляр-
Вуэл
ному плоскости, в которой расположены векторы Езп и Нзп, и
одновременно вращаются по направлению движения часовой
стрелки с частотой со(В = в плоскости, перпендикуляр-
ам _ _
ной вектору Н ,. При изменении ориентации векторов Езл и НзЛ
на противоположные направления движение электрических заря-
дов с постоянной скоростью вдоль оси z сохраняется, а направле-
ние их вращения изменяется. Электрические заряды будут вра-
щаться против направления движения часовой стрелки
168
Закоп полного тока устанавливает связь между токами прово-
димости и напряженностью магнитного поля:
= J7npd5 = /пр,
L S
т.е. циркуляция вектора напряженности магнитного поля Н л
по замкнутому контуру L равна току 71р, проходящему через
поверхность 5, расположенную внутри циркуляции, охватыва-
емой этим контуром.
В дифференциальной форме закон полного тока выглядит
следующим образом: _
I rot/7^ —
Он определяет характер магнитного поля в любой точке: по-
тенциальный при jnp =0 и вихревой при jnp ^0,
Обобщенный закон полного тока в интегральной форме выгля-
дит следующим образом:
эл аг
стор
d5.
Связь между всеми токами и напряженностью магнитного по-
ля устанавливается законом полного тока.
В общем случае на основании обобщенного закона полного
тока циркуляция вектора напряженности магнитного поля равна
сумме всех токов, проходящих через поверхность, расположен-
ную внутри циркуляции.
Токи, создаваемые генераторами, принято называть сторон-
ними электрическими токами, а токи, создаваемые полем в про-
водящих средах, — токами проводимости Кроме токов прово-
димости и сторонних токов существуют токи смещения и кон
вективные токи
В дифференциальной форме обобщенный закон полного тока
записывается так:
I гоШм = уэл£эя + + pMv.
ut
Он характеризует вихревой характер магнитного поля незави-
симо от вида тока.
Закон Фарадея. При всяком изменении магнитного потока
через проводящий контур в этом контуре возникает электриче-
ский ток:
[ эдс = -й7’
где ЭДС — электродвижущая сила, наводимая в проводящем
контуре L при изменении во времени магнитного потока Ф
169
проходящего через поверхность, опирающуюся на этот кон-
тур.
Электродвижущая сила, наводимая в проводящем контуре, по
величине равна скорости изменения магнитного потока, прони-
зывающего этот контур.
Внимательное рассмотрение разнообразных индукционных
опытов (17] показывает, что индукционный ток возникает тогда
и только тогда, когда меняется магнитный поток Ф; ток индук-
ции никогда не возникает, если магнитный поток Ф через дан-
ный контур остается неизменным. Индуцированный ток всегда
имеет такое направление, при котором его магнитное поле
уменьшает (компенсирует) изменение магнитного потока, яв-
ляющегося причиной возникновения этого тока. Это общее пра-
вило, соблюдающееся во всех без исключения случаях индукции,
соответствует третьему закону Ньютона — закону равенства дей-
ствия и противодействия.
Магнитный поток в общем случае равен потоку вектора маг-
нитной индукции через поверхность:
Ф = Г BdS = j |i//d.S.
s 5
Он является функцией магнитной проницаемости среды, на-
пряженности магнитного поля, площади поверхности контура и
может изменяться при их приращении. Поэтому электродвижу
шая сила, наводимая в проводящем контуре L, может быть пред-
ставлена в виде суммы трех поверхностных интегралов с разны-
ми частными производными по времени:
ЭДС = -— = -Г цЯ — - ц5 — - HS —
dr Г д/ Эг Эг
Так, в электрических генераторах при вращении рамки (рото-
ра), т. е. изменении площади ее поверхности во времени, в по-
стоянном магнитном поле индукиии возникает ЭДС:
ЭДС - -ГцН —
i ot
В приемных магнитных антеннах (рамках) радиоприемников
ЭДС наводится в результате изменения напряженности внешне-
го магнитного поля:
ЭДС = -р5^-.
ut
170
При движении любого механического транспортного средст-
ва, самолета, корабля за счет изменения магнитных свойств его
металлического корпуса под действием внутренних перегрузок в
постоянном магнитном поле Земли возникает ЭДС, создающая
внешнее его электромагнитное поле:
= -HS —
dt
Закон электромагнитном индукции. Циркуляция вектора на-
пряженности электрического поля по любой замкнутой регуляр-
ной кривой равна уменьшению во времени магнитного потока
через любую поверхность, опирающуюся на эту кривую:
__ D _
Е л! =
M J Э/
*3
Закон электромагнитной индукции определяет вихревое элек-
трическое поле, возникающее при изменении во времени маг-
нитного поля.
И Полный поток может меняться во времени, а также из-за де-
формации контура и изменения магнитной проницаемости.
В дифференциальной форме закон электромагнитной индук-
ции выглядит следующим образом:
Он определяет вихревой характер электрического поля, воз-
I пикающего при изменении во времени индукции магнитного по-
ля.
I Так, напряженность электрического поля внутри соленоида
определяется из закона электромагнитной индукции в диффе-
ренциальной форме, который в цилиндрической системе коор
динат для однородного магнитного поля имеет вид
1 3 / г d// cosco/ .
-—(гЕ ) = -Ц-----4----sm со/.
Умножим левую и правую части равенства на rdr и возьмем
неопределенные интегралы:
] ) = цсоЯт1 sin at J /• d г.
Г „2
Получаем равенство (г£ф) = цаН„ sin со/ — + С
171
Принимая постоянную С равной нулю, так как величина на-
пряженности электрического поля на оси соленоида не может
быть бесконечно большой, находим
Ev = ucoH^sinwr-.
Вектор напряженности вихревого электрического поля внутри
соленоида направлен по касательной к окружности с центром на
его оси. Силовые линии электрическою поля образуют замкну-
тые концентрические окружности вокруг магнитного потока.
Вектор Пойнтинга внутри соленоида направлен по радиусу:
Пэл2=[£феф х Htez] = EvHzer.
Его мгновенное значение:
П элг= £ф Нг = цсоЯтг sin Нт, cost о/ = цсоЯ 4 7 sin 2wZ.
Вектор пульсирует с удвоенной частотой.
Поток реактивной мощности, идущий с внутренней боковой
поверхности к оси соленоида для создания электромагнитного
поля в нем, а также для изменения этого поля во времени, прямо
пропорционален индуктивному сопротивлению соленоида:
Р = —sin 2со/Л0 2 лт=——цсо—— °-sin 2<дГ = со£с -у-sin 2со/.
4 2 2
Удельная энергия вихревого электрического поля определяет-
ся по формуле
I г-2 2 2/и • г к
«'эл = 2Ем£ф = еэлВа.л“ (//^.sincoZ) — = wv.
В рассматриваемом случае кг«1 составляет малую часть
удельной энергии магнитного поля.
Картина электромагнитного поля внутри соленоида подобна
картине поля внутри круглого провода с электрическим током-
В проводе вокруг тока возникает вихревое магнитное поле, в со-
леноиде вокруг магнитного потока возникает вихревое электри-
ческое поле. В обоих случаях напряженность вихревого поля
прямо пропорциональна радиусу, расстоянию от оси потока.
172
8.3. Уравнения Максвелла
Основными уравнениями макроскопической теории электро-
магнитного поля являются уравнения, опубликованные Джейм-
сом Клерком Максвеллом в 1873 г. в монографии «Трактат об
электричестве и магнетизме» (18], а также в более ранних работах
[19], например, в труде «О физических силовых линиях»
(1861-1862).
В табл. 8.2 [20] приведены «Уравнения (1873)». В ней сохране-
ны ранее принятые обозначения параметров и векторов поля.
Обозначения прописными буквами и порядок расположения
уравнений принадлежат Д. К. Максвеллу.
Табл и ца 8.2
Обозначе- ние функ- ции «Уравнения (1873)» Определение, источник
Покоящиеся системы координат
I (Л) [V/1 = В Закон I [19, С. 84]
1 (а) — ц г 5 А = 4тг' г [18, пп. 715-717]
I (5) Ё = V<p Ct [18, пп. 598-5991, [19. С. 149—151]
' (С) f = [5В] + VEE - mV£2 [18, п.619]
(D) В = + 4nJ Уравнение намагничен- ности 118» п. 610J
(Е) Закон III [18, п. 619], [19, с. 84]
(.F) D = en£ + P В современном написа- нии (18, п. 611]
II (С) К^уЁ Закон IV [18, п. 610], [19, с. 84]
(Н) = D +УЁ Уравнение истинных то- ков [18, п. 610]
(/) SM - fу + с IE I Sr J Как функция Е [18, п. 611]
[ (П k г = УЕ + £ dt При у И £ = const [18, п. 611]
173
Окончание табл. 8.2
Обозначе- ние функ- ции «Уравнения (!873)*> Определение, источник
(/) VD = р Объемная плотность электричества (18, п. 612]
(Л о = DivZ) Поверхностная плотность электричества [18, п. 613[
U) в Закон II [18, п. 614], (19, с. 84]
(ft) н = -vn Как функция магнитного потенциала [18, п. 619]
(С) т = V Объемная плотность маг- нетизма [18, п. 619]
(d) [V5| = gS. при р = const [18, п. 616]
(<?) , г t = t ^э.м [18, гл. XX]
(0 «Ч. = (ен)",/2 [18, гл. XX]
0) е£2 цН' W = W., + U\,= + Объемная плотность электромагнитной энер- гии
(/) U = j 8dS J Adi Закон II Полный электромагнит- ный потенциал
Движущиеся системы координат
(в') E' = [r'fi]-^--V(<p + <p') at
U) эл' ._,К1 эл;, = [l> Я] + Vq> at dt [3, п. 600-601]
(Л) -ф' = (Ave)
Максвелл ввел понятие плотности тока смешения (поз. Я.),
теорему Гаусса распространил на все диэлектрики (поз. J), а за-
кон полного тока обобщил на случай переменных электромаг-
нитных полей (поз. Е).
В настоящее время в основную систему уравнении электромаг-
нитного поля входят четыре уравнения, названных в честь Мак-
174
свслла: I уравнение (поз. £), II уравнение (поз. В) при выполне-
нии операции ротации, III уравнение (поз. J) и IV уравнение
|(поз. J) при замене в левой части уравнения электрической ин-
дукции на магнитную индукцию и приравняв нулю правую часть
|уравнения, так как магнитные заряды в природе не существуют.
Кроме четырех уравнений Максвелла, определяющих связь между
векторами поля, токами и зарядами, приведенных в табл. 8.3, в
основную систему уравнений электромагнитного поля входят три
уравнения связи (поз. F, d, G) или вещественные уравнения (за-
коны Ома в дифференциальной форме для диэлектриков, магне-
тиков и проводников):
р А
° ЭЛ ЭЛ f
^ЗЛ М- ЭЛ ^ЭЛ »
ст — суммарная плотность токов
гае уэл£эл + —
of
проводимости, смещения, конвективных и сторонних токов в
бесконечно малом объеме.
В основе I уравнения Максвелла лежит обобщенный закон
полного тока, II уравнения — закон электромагнитной индук-
ции, III уравнения — теорема Гаусса, IV уравнения — теорема,
аналогичная теореме Гаусса, но только для потока магнитной
индукции, проходящего через замкнутую поверхность. Три урав-
нения связи соответствуют закону Ома в дифференциальной
форме для диэлектриков, магнетиков и проводников.
I уравнение Максвелла в интегральной форме определяет
суммарный эффект циркуляции вектора напряженности магнит-
Уравнение Максвелла Интегральная форма Дифференциальная форма
I H-dZ= L = J Узл^эл + + Рэл^ + Уст d.V + + Jex dt
II f £Md/ = - J .р rot£M - 31 <)/
III f ^x>d5 = q s “ Раз
IV f ^,dS = 0 5 divR_ - 0 JjI
175
ного поля от потоков плотностей, токов проводимости, смеще-
ния, конвективных и сторонних токов, проходящих через по
верхность, ограниченную циркуляцией, 11 уравнение — эффект
циркуляции вектора напряженности электрического поля от по-
тока плотности «магнитного» тока, III и IV уравнения — потоков
векторов электрической и магнитной индукции, проходящих че-
рез замкнутые поверхности объемов, от совокупности, имею-
щихся внутри них зарядов.
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме отобража-
ют связь между векторами поля в данной точке пространства.
I уравнение Максвелла устанавливает связь между магнитным
полем и плотностью тока в данной точке. Независимо от вида то-
ка вокруг него возникает вихрь магнитного поля. II уравнение
Максвелла определяет связь между электрическим полем с изме-
няющимся во времени магнитным полем. III и IV уравнения
Максвелла выражают принцип непрерывности тока и магнитного
потока.
Согласно теории Максвелла электрическое и магнитное взаимо-
действие между телами осуществляется через эфир, заполняющий
пространство окружающее их. Пространство, заполненное эфиром,
деформированным под воздействием электрических зарядов и маг-
нитов, Максвелл назвал электромагнитным полем. Всякое измене-
ние в расположении зарядов и магнитов вызывает возмущение
эфира. Максвелл установил основные дифференциальные уравне-
ния электромагнитного поля и, анализируя их решения, пришел к
ряду важных выводов.
1. Возмущения эфира распространяются в пространстве, об-
разуя электромагнитную волну.
2. Электромагнитные волны поперечны, скорость их распро
странения конечна и зависит от свойства среды. Эта скорость так
близка к скорости света, что есть все основания сделать заключе-
ние о том, что свет (включая лучистую теплоту) является элек-
тромагнитным возмущением эфира.
3. В среде, в которой распространяются электромагнитные
волны, существует давление в направлении их распростране-
ния, равное по величине плотности энергии электромагнитного
поля. «Плоское тело, подвергающееся действию солнечного
света, будет испытывать это давление только на своей освещен-
ной стороне, и, следовательно, будет отталкиваться от той сто-
роны, на которую падает свет...» [19]. Такие лучи, падая на тон-
кий металлический диск, весьма чувствительным образом под-
вешенный в вакууме, производят наблюдаемый механический
эффект».
Максвелл пользовался огромным авторитетом как физик-теоре-
тик, но он умер, так и не дождавшись признания своего самого
крупного создания — теории электромагнитного поля.
176
В 1887—1888 гг. появились классические работы Г. Герца, по-
лучившего опытным путем электромагнитные волны, существо-
вание которых было предсказано Максвеллом.
В 1900 г. П Н. Лебедев очень точно определил величину свето-
вого давления на твердые тела, а позже и на газы. «Теории Мак-
свелла нужны были опыты Лебедева, чтобы получить всеобщее
признание» [21].
Г Практическое воплощение идей электродинамики впервые
было осуществлено А.С, Поповым, открывшим миру радиосвязь.
В начале XX в. уравнения Максвелла были получены из прин-
ципа наименьшего действия, представленного в виде интеграла
по времени от функции Лагранжа:
I II и IV уравнения — из уравнения движения частицы в элек-
тромагнитном поле, определенного при варьировании траекто-
рии частицы в заданном поле;
I и III уравнения — при варьировании потенциалов поля при
заданном движении электрических зарядов.
I Согласно принципу наименьшего действия для всякой меха-
нической системы существует такой интеграл, называемый дей-
ствием, который для действительного движения имеет минимум,
поэтому вариация его равна нулю. Так, действие можно предста-
вить в виде интеграла по времени из функции Лагранжа, опреде-
ляющей энергии движущихся частиц, поля и взаимодействия
частиц с полем. Для движущейся со скоростью v частицы, обла-
дающей массой т и электрическим зарядом q^, в скалярном
электростатическом U и электромагнитном поле функция Ла-
гранжа в объеме V может быть записана в следующем виде:
J J ~
Определим II и IV уравнения Максвелла варьированием в
действии траекторией частицы в неизменном поле. Для этого
производную по времени от частной производной функции Ла-
гранжа по скорости представим в виде частной производной
функции Лагранжа от расстояния:
d dL = Э£
(It ди дг
Производная по времени от частной производной функции
Лагранжа по скорости после подстановки функции Лагранжа и
Дифференцирования по скорости равна разности производных
по времени:
d dL d , _ — 4 dr;
- —(mv - = m—
dr dv (it эл ™ dr
dr d —
~ ^ал dr *
177
а частная производная функции Лагранжа от расстояния — раз-
ности градиентов:
~ = -?x,grad(4nv) + ^gradL/CT.
dr
В результате получаем равенство разностей производных по
времени и градиентов:
т~ - v = -?эл8га‘1(Лл1') +
dr dr
С учетом формул основных тождеств векторного анализа
~ 4л = ” + k>V)A, grad( Лэл v) =
dr dt
= (/4V)v + [/Irot t] + (vV)/l + [vrot/1]
и помня, что дифференцирование по г производится при по-
стоянной скорости v, находим уравнение движения частицы в
электромагнитном поле:
т~- = 9эл + ?эл8Гас1^сг - 9эпРГоЬ4эл1 = -^эл^ал ~ х Лл I,
dr dr
где Е = -
dA
dt
— grad U„,
a В = rotA,.
Применив операции ротации к вектору Е и дивергенции к
вектору В, принимая во внимание, что ротор всякого градиента
и дивергенция всякого ротора равны нулю, получаем II и Г“
уравнения Максвелла:
rotEM=—div/?31=0.
Определим III и I уравнения Максвелла варьированием вдей
ствии при заданном движении частиц.
Варьируя скалярным потенциалом
- ?эл Лл v + <7эл^ет + I |(£эл Дэл + 5ЭЛ № V
V
и, приравняв производную к нулю, получаем
Л ' 1 __ __ '
9эл +— =0.
¥эл di/CT(2J “ эл )
178
Представляя заряд частиц в виде объемного интеграла, а при-
ращение потенциала через напряженность электростатического
поля = -Е находим III уравнение Максвелла:
Р ЭЛ
ЭДэл
Р эл = -rf - = •
CI
Варьируя векторным потенциалом
3L _ д nw2
Я. 2
^эл^ст +
2 к
с учетом
ЭЛ ^ЭЛ^’ РзЛ* “ -у^ЗЛ^ЗЛ * ^эл^эл
£элЭ/и
~ ЭЛ ^^ЭЛ _ Л ” Г^^ЭЛ , ЭЛ Г,^Г — А
'р”1 — - Т* -°' р”"' “аГ + Т-'га£» -°'
*^зл v ^эл
принимая во внимание
divj^^ х Я^л ] Нэаrot£3JT О,
д п _
-рэл£-^ + гоШэл=0,
01
находим I уравнение Максвелла:
rot//
ЭД,
-»л I
Э/
Рэлг-
Действие можно представить в виде интеграла по времени из
функции Лагранжа, определяющей энергии движущихся частиц,
поля и взаимодействия частиц с полем не только электромагнит-
ного взаимодействия, но и гравитационного, а также и других
взаимодействий. Это говорит о том, что поле любого взаимодей-
ствия может быть описано уравнениями, подобными уравнени-
ям Максвелла [16|.
8.4. Волновые уравнения
Для определения уравнения, которому удовлетворяет каждый
яектор поля, применим операцию ротации к I и II уравнениям
Максвелла:
179
— _ 3rot£L , . F 3rotZ?
rot rot = y^rotE^ + ——+ rot(p31v), rot rotE3„ =---------------—
dt dt
После подстановки значений роторов векторов и замены двой-
ного ротора разностью rot rot£31 = grad div£ л - V2^ находим
grad div//., , -V2//,,
дН1Л Э2Яэл . . _Xi
— УэчИэл -j, ^элНэл - 7 "* тоЦРадР),
ot дГ~
grad div EM - V2EM = - £здцэл — - цЭ1 АГО1(Рм1;).
dt dr dt
С учетом III и IV уравнений Максвелла получаем обобщенные
неоднородные векторные волновые уравнения:
V72Z7 ЭЯ^ Э2Яэл .
^эл — ТэлМэл + ^эл^зл _ 2 ®*Ot(p31v),
dt 0Г
(8.6)
V2£M ^ret(bMr) + grad
dt dr ot еэл
Итак, в однородном пространстве вне источников, т.е. когда
сторонние токи, возбуждающие поле, находятся за пределами
анализируемой части пространства, векторы напряженности
электрического и магнитного полей удовлетворяют обобщенно-
му неоднородному векторному волновому уравнению.
Волновыми называются такие дифференциальные уравнения
второго порядка в частных производных, которые описывают
распространение колебаний в среде. Они наряду с пространст-
венными производными второго порядка содержат вторые про-
изводные по времени.
Волновые уравнения для ^стационарного, независимого от
ЭЯ дЕ
времени поля, —— = 0 или —э~- = 0, переходят в уравнения Пу-
Эг dt
ассона, описывающие потенциальные поля:
V2#„ = -rot(pMw);
V Е л = grad
^эя
Волновые уравнения записаны в обшей форме, пригодной для
любой системы координат. Для их решения следует раскры-ь
оператор Лапласа в конкретной системе координат и заменить
векторные уравнения системой скалярных уравнений. Наиболее
180
простой вид оператор Лапласа имеет в декартовой системе коор-
динат.
[ Любая задача теории электромагнитного поля сводится к оп-
ределению поведения в пространстве и времени векторов Н. и
Е л, удовлетворяющих волновым уравнениям при заданных на-
чальных и граничных условиях.
8.5. Векторные и скалярные потенциалы
Векторные и скалярные потенциалы вводят для упрощения
решения полевых задач. Вместо решения двух неоднородных
волновых уравнений (8.6) для векторов Е и Н . решается одно
уравнение для векторного электрического потенциала А или
магнитного потенциала Л*,, связанных следующими соотноше-
ниями с векторами поля:
= roUM, Езл = —- grad(7M;
dt
— —. — ЭЛ* —.
^эл ~ roL4M , И~~ ^зл ^"Упр^эл
(8.7)
Векторные и скалярные потенциалы f/31, Uv удовлетворяют
неоднородным волновым уравнениям:
эл
_ *1 - £ Ц v “зл = 0-
эл ° за г* ал _ э
Ы дГ
эл У эл М эл
эл
ОТ
Э/2
эл
ал
ЭСЛ,,
----— “ f -.пй
Э/
эл
эл __ P эл .
ar2 £зл ’
dUM
зл ^элНэл
at
ги
—^ = 0
Эг
при выполнении следующих равенств (условий Лоренца):
— М-элУэл^
dU3Jl я* 7- _ 3i7M
эл ^элМэл 5 ^1У/4зл И эл
dt dt
Для доказательства этого следует, например, вместо вектора £, и
I д/кл
подставить —-
dt
- grad(/„ в правую часть 1 уравнения Максвел-
181
ла в дифференциальной форме, а вместо вектора Н п---гоМэп в
М эл
левую часть этого же уравнения, воспользоваться тождеством
rot rot Л = grad div/ - V2/ и условием Лоренца div/^ = -цэлуэл х
х [/г - еэл|1 эл -—— и получить искомое волновое уравнение для
dt
векторного потенциала:
дАзп Э2/
эл УэлМэл -ч. ^элМэя
ot dt
Волновое уравнение для скалярного магнитного потенциала
получается после дифференцирования условия Лоренца по вре-
мени, подстановки в него значения производной от векторного
ЭЛ —
потенциала —— = - gradt/^, замены дивергенции от век-
Эг
тора напряженности электрического поля правой частью III
уравнения Максвелла в дифференциальной форме, деленной на
электрическую проницаемость среды, и представления операто-
ра Лапласа вместо дивергенции градиента.
Для стационарных полей волновые уравнения переходят в
уравнения Пуассона:
д’А
эл/ст»
Р эл
^эл
и уравнения Лапласа: А2 Л*, =0; A2£ZM
Векторное уравнение Пуассона в декартовой системе коорди-
нат распадается на три скалярных уравнения.
Учитывая, что фундаментальное решение уравнения Пуассо-
на для скалярного потенциала в однородных средах имеет вил
U - _дэл—ч т0 в общем случае точечного, объемного, поверхно-
стного и линейного распределений электрических зарядов ре-
зультирующий скалярный потенциал будет определяться алгеб-
раической суммой их скалярных потенциалов. Поэтому частное
решение уравнения Пуассона равно алгебраической сумме ска-
лярных потенциалов отдельных, объемных, поверхностных или
линейных зарядов:
у -£,эл +______!__Г Paid у
м 4теэлг 4лсаг1 J г
—!—[^(15 + — [bid/.
4леэл J г 4л£„ { г
182
Используя фундаментальное решение уравнения Пуассона
относительно векторного электрического потенциала, можно
определить векторный потенциал Лэл:
ЛЭ1 + — f^-d5 + — f—d/,
4л J г 4л i г 4л < г
Y О
(8.8)
где ! — плотность тока, А/м2.
Напряженность поля в некоторых задачах целесообразно опре -
делять, рассчитывая производные потенциала от расстояния ана-
литически:
_ 1 f Р эл^г j т/. тг _ 1 г[*^зл
4пг J г2 эл 4л J г2
В качестве примера рассмотрим использование векторного
электрического потенциала при исследовании магнитного поля.
Пример. Дано: по круглому витку радиуса г0 протекает посто-
янный ток / (рис. 8.11).
Определить: векторный потенциал на большом расстоянии от
центра витка (г» г0) и показать, что при этом виток действует
как магнитный диполь.
। Решение. Поместим начало сфе-
рической системы координат в центр
витка, причем полярную ось Oz напра-
вим перпендикулярно к плоскости вит-
ка, а отсчет азимутального угла <р будем
производить от плоскости, проходящей
через ось Oz и точку наблюдения Р
(плоскость zOP на рис. 8.11, а).
, Из симметрии распределения токов
относительно указанной плоскости сле-
дует, что векторный потенциал имеет
лишь азимутальную составляющую
Лэл = Арзлё^. В этом можно убедиться,
если рассмотреть попарно элементы то-
ка, равноудаленные в противоположные
стороны от плоскости z$P' (точки 7 и 7
на рис. 8.11, б). Каждый из этих элемен-
/d/cos<pe<i>
б
Рис. 8 11. Магнитное по-
ле витка с постоянным
током:
а — вид сбоку; б — вид свер-
ху
тов можно разложить на две составляю-
щие: /d/cos<pe,,, перпендикулярную к
плоскости zOP и, следовательно, парал-
лельную азимутальному направлению <рп
и точке Р, и /d/sin(pe9, параллельную
Указанной плоскости
183
Элементы Ad/sinepe^ равны по величине, но имеют противо-
положные направления. Создаваемые ими составляющие век-
торного потенциала взаимно компенсируются. Элементы хе
/d/cos<pe9 с координатами ч> и -ф создают в точке наблюдения р
равные составляющие векторного потенциала, имеющие направ-
ления, совпадающие с азимутальным направлением <р. Переби-
рая попарно все элементы витка, убеждаемся, что векторный по-
тенциал имеет только одну составляющую А л =
Так как d/^ =d/cosq>, из выражения (8.7) имеем
_ц/эл rcos<p
фЭЛ 4л ! г '
Из геометрии задачи следует, что d/ = rodp и г =rc + г,2 -
- 2rcr0 sin О costp, поэтому
А = 2f_______________r0cos<pd9_________
’ 4я - 2rer0 sin <р cos <р)‘2
Если учесть, что г » г0, то
(г2 + r02 - 2гсг0 sin Осояф)
1 + — sin О cos<p
гс
Тогда после интегрирования выражение для векторного по-
тенциала приобретает вид
Лэл=Р/Г^^ПО.
4г,
Напряженность магнитного поля найдем из уравнения
В = гоь4.и, выполнив операцию дифференцирования в сфери-
ческой системе координат:
— I г2
И „ - — ,'-(2cos tier +sini3e0).
4г
Сравнение найденного магнитного поля витка с полем элек-
тростатического диполя показывает, что виток ведет себя подобно
диполю, находящемуся в точке О и ориентированному по оси О<.'-
Нэл = —(2cosOer +sint>efl),
где P — абсолютное значение момента магнитного диполя.
Из сравнения полей диполей находим магнитный момен’
витка
Р» = Иэл^>
где 5 — плошадь витка.
184
Выражение для магнитного момента может быть использовано
для определения момента витка некруглой конфигурации, если его
размеры значительно меньше расстояния до точки наблюдения, в
которой рассчитывается поле, создаваемое витком.
8.6. Граничные условия для векторов напряженности
и индукции электромагнитного поля
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме, содержа-
щие производные от составляющих векторов по координатам,
теряют смысл в точках разрыва на границах раздела сред с раз-
личными диэлектрическими, магнитными проницаемости ми и
удельными проводимостями. Поэтому при решении краевых за-
дач используют граничные условия, определяющие поведение
векторов поля на границе раздела сред.
I' Граничные условия определяют из уравнений Максвелла в
интегральной форме. Предполагают, что граница раздела двух
сред обладает некоторой малой толщиной (рис. 8.12), в пределах
которой происходит непрерывный переход параметров верхней
среды в параметры нижней среды. Такое же непрерывное изме-
нение происходит и с векторами поля.
Пределы интегрирования в I и II уравнениях Максвелла по
бесконечно малому замкнутому контуру abed разбивают на гори-
зонтальные участки ab по верхней и cd нижней границам и на вер-
тикальные участки Ьс и da промежуточного слоя. При стремлении
толщины промежуточного слоя к нулю, т.е. осуществлении пре-
дельного перехода векторов с верхней среды в нижнюю, интегра-
лы с пределами интегрирования на вертикальных участках Ьс и da
бесконечно малы по величине. Каждый
вектор поля предварительно в верхней
и нижней средах разлагается на нор-
мальную и тангенциальную составляю-
щие относительно границы.
В результате интегралы в I и II урав-
нениях Максвелла равны сумме двух
скалярных произведений или разности
произведений тангенциальных состав-
ляющих векторов на элемент пути, так
как интегрирование по верхней грани-
це противоположно направлению ин-
тегрирования по нижней границе:
1. +я^а/2 =
abed
I = #,^<1/,-Яэл2т<1/2=/;
Рис. 8.12. Граничные ус-
ловия для векторов на-
пряженности и индукции
поля
185
II. f 4,d/ = E^ + £al2d/2 = £Mltd/, - EM2td/2 = 0.
L
Пределы интегрирования в III и IV уравнениях Максвелла по
бесконечно малой замкнутой поверхности цилиндра разбивают
на участки по его боковой поверхности и основаниям. При
стремлении толщины промежуточного слоя к нулю интегралы с
пределами интегрирования по боковой поверхности бесконечно
малы по величине. В результате интегралы в III и IV уравнениях
Максвелла равны сумме двух скалярных произведений или раз-
ности произведений нормальных составляющих векторов на эле-
мент поверхности» так как интегрирование по верхнему основа-
нию цилиндра противоположно направлению интегрирования
по нижнему основанию цилиндра:
Ш. f = Лл1л^1 - ^эЛ2л^^2 =
5
IV.pMd5 = + 53J12d52 = ^„dS, - £M,„d52 = 0.
s
В результате из уравнений Максвелла в интегральной форме
получают следующие граничные условия:
Ат — -Ат» ^|т ~ 2t ~ fn0B> Ал - »1п ~ ^2п — Отов. (8.9)
При отсутствии на границе поверхностных токов /пов = 0 танген-
циальные составляющие векторов напряженности электрического
и магнитного полей непрерывны, а при отсутствии на границе по-
верхностных зарядов апов = 0 непрерывны нормальные составля-
ющие векторов индукции электрического и магнитного полей.
При решении электростатических задач часто используют
условия Дирихле, предполагающие постоянство скалярного потен-
циала на всей поверхности проводника, граничащей с диэлектри-
ческой средой, или условия Неймана, определяющие поверхност-
ную плотность электростатического заряда D„ - езл = о ов или
нормальную составляющую вектора напряженности электрическо
го поля на границе раздела диэлектрика с проводником. Скаляр-
ный потенциал на поверхности проводника всюду одинаков, так
как токи проводимости, образующиеся при возникновении гради-
ентов потенциала, выравнивают его.
8.7. Закон сохранения энергии для мгновенных значений
времени и в комплексном виде
Энергия сторонних токов в данном пространстве может нака-
пливаться полем, распространяться и преобразовываться в дру-
гие виды энергии.
186
Выделим в электромагнитном ноле некоторый объем И, огра-
ниченный поверхностью 5, и составим уравнение баланса энер-
гии в нем.
Г Для определения баланса мощностей дополним 1 уравнение
Максвелла вектором J плотности токов сторонних сил и ска-
дярно умножим его на вектор Еэл, а II уравнение умножим на
вектор Нэп:
rot£3, =--
ГТ •
п ЭЛ ’
Из второго произведения вычтем первое:
Н зл rot Еэл Еэл rot Н31 у зд Еэл Еэл Е^
Тогда с учетом векторного тождества
div[E31 х Нзп] = Z/xlrot Еэл — E^rot/f^ — divnxi,
получим уравнение Пойнтинга в дифференциальной форме для
мгновенных значений векторов электромагнитного поля:
divn„+J„£„ + Y»£i + (8 I»)
Z at 2, dt
где П х //э11 — вектор Пойнтинга, представляющий по-
ток мощности электромагнитного поля, проходящий через 1м*
поверхности; JryE — удельная мощность сторонних сил;
— удельная тепловая мощность; —
Нал
ЭЛ
суммарная удельная мощность, запасенная электрическим и
магнитным полем.
Проинтегрируем уравнение Пойнтинга (8.10) по объему. Ис-
пользуя теорему Остроградского—Гаусса, получаем теорему
Пойнтинга в интегральной форме для мгновенных значений век-
торов электромагнитного поля:
fhMd5+JJCT£MdK + JY^dr + ^jLM^ + £^£A|dK=0,
5 v I' Н 2 2 7
Где первый интеграл суммы — поток вектора плотности мощ-
ности электромагнитного поля через замкнутую поверхность S,
187
охватывающую объем И; второй интеграл — мощность источни-
ка сторонних токов в объеме; третий интеграл — тепловая
мощность в объеме; четвертый интеграл — мощность электро-
магнитного поля, сосредоточенная в объеме.
Сумма мощностей источников сторонних токов, тепловых по-
терь, электрического и магнитного полей в объеме и мощности
электромагнитного поля, проходящего через поверхность S объ-
ема И равна нулю, что позволяет рассматривать теорему Пойн-
тинга в качестве уравнений баланса м1новенных мощностей в
пространстве объема И, ограниченном поверхностью S.
Энергия поля внутри рассматриваемого объема может возрас-
тать или убывать, а мощность излучения может быть направлена
наружу или внутрь этого объема.
Рассмотрим баланс мтновснных мощностей в объеме, в кото-
ром расположены источник постоянного тока, сопротивление
нагрузки и двухпроводная линия, соединяющая источник с на-
грузкой. Баланс мгновенных мощностей по всему объему равен
нулю, так как вся мощность источника идет на тепло в нагрузке
и в двухпроводной линии. Излучение энергии в виде электромаг-
нитных волн отсутствует, интеграл, определяющий поток удель-
ной электромагнитной мощности через замкнутую поверхность
всего объема, равен нулю.
Баланс мгновенных мощностей в части объема, включающей
только отрезок двухпроводной линии, запишем в следующем
виде:
fn3J,d5=-jY^dr.
5 V
Баланс свидетельствует о том, что тепловые потери, возни-
кающие в проводах двухпроводной линии при прохождении по
ним токов проводимости, компенсируются за счет внешнего по-
ступления в них потока мощности электрома1нитного поля.
Для определения баланса комплексных, активных и реактив-
ных мощностей в пространстве II уравнение Максвелла для ком-
плексных амплитуд векторов поля умножим^скалярно на сопря-
женное значение комплексной амплитуды Н (с обратным зна-
ком мнимой части Н л), а I уравнение Максвелла для сопряжен-
ных комплексных амплитуд — на вектор Е
rot£M =
rot — Узд Дэл - ^эя‘
Из первого произведения вычтем второе:
188
эл Е зп Y эл Езл Езл
+Усо£эл Ё^ Ёэл — JCT Ё^ — }(Х)\хЁэл Н эд .
С учетом векторного тождества
div[£3J1 х Н^\ = Яэлго1Еэл - Ёэлго1Я^ = 2divnэл,
а также значений
И и
11 эл11 эл
— №
11 тэл
подучим
divnM + lyM^M +|7ДЛ +4^Я-л -£эл^эл)=0, (8.11)
где П . — усредненный за период комплексный вектор Пойн-
тинга.
Уравнение (8.10) представляет теорему Пойнтинга в диффе-
ренциальной форме для комплексных амплитуд векторов поля.
Каждое слагаемое в нем определяет величину удельной объем-
ной мощности, усредненной за период волны в бесконечно ма-
лом объеме. В точке первое слагаемое определяет расходимость
активной и реактивной мощностей, второе — мощности тепло-
вых потерь, третье — активную и реактивную мощности источ-
ника, четвертое — изменение реактивной мощности.
Интегрируя уравнение (8.10) по объему Ии воспользовавшись
теоремой Остроградского—Гаусса:
-ЕЭЛ^)С1И=О,
v z
получаем теорему Пойнтинга в интегральной форме для ком-
плексных амплитуд векторов электромагнитного поля.
I Диэлектрическая и магнитная цзл проницаемости, удель-
ная проводимость Упр, частота колебаний <о, а также Н‘ ,
являются вещественными величинами. Поэтому второй интеграл
теоремы Пойнтинга представляет собой усредненную за период
колебании активную мощность тепловых потерь в объеме V, а
Четвертый интеграл — реактивную мощность, затраченную на
Изменение электрического и магнитного поля в нем. Первый и
ретий интегралы являются комплексными величинами.
189
Разделяя вещественные и мнимые части, запишем отдельно
баланс активных и реактивных мощностей в пространстве объ-
ема И:
fRefi^dS + jk4£^dK + f ReljCT£MdK = 0;
5 V 2 V Z
flmn^dS + JlmUXdK + - Чл^эл)^ = 0.
S у £ у £
Рассмотрим баланс мощностей в частных случаях.
1. В объеме V отсутствуют источники сторонних электриче-
ских токов. Уравнения баланса мощностей упрощаются:
В этом случае тепловые потери в объеме V компенсируются за
счет притока через ею внешнюю замкнутую поверхность S'веще-
ственной составляющей потока комплексного вектора Пойнтин-
га, а реактивная мощность, затрачиваемая на изменение элек-
трического и магнитного полей, — за счет мнимой составляю-
щей потока комплексного вектора Пойнтинга.
2. В объеме V отсутствуют источники сторонних электриче-
ских токов и тепловые потери (удельная проводимость упр =0).
как, например, в идеальных конденсаторах, соленоидах, объем-
ных резонаторах.
Все слагаемые баланса активных мощностей равны нулю, а
слагаемые баланса реактивных мощностей выражаются
формулой
flmnMdS = - £an£^)dr
S V
Реактивная мощность, затрачиваемая на создание электромаг-
нитного поля в этих устройствах, компенсируется за счет пульса-
ции с удвоенной частотой мнимой составляющей потока ком
плексного вектора Пойнтинга, которая может иметь как емкостной
характер в конденсаторах, так и индуктивный характер в соленои-
дах. В объемных резонаторах мнимая составляющая потока ком-
плексного вектора Пойнтинга равна нулю, так как при резонансе
удельные электрическая и магнитная мощности равны между со-
бой. В объемном резонаторе, как и в любой резонансной структуре,
для генерирования колебаний достаточно притока вещественной
190
составляющей потока комплексного вектора Пойнтинга, необхо-
димого для компенсации в них тепловых потерь.
3. При распространении плоских волн в воздухе, в вакууме, в
| средах без тепловых потерь удельные электрическая и магнитная
мощности равны между собой: цэлЯ^эл = е^Е^, так как в пло-
ских волнах всегда сохраняется соотношение между напряженно-
I стью магнитного и электрического полей: Ет.м = Нтэл 7 И~.
Поэтому баланс активных и реактивных мощностей равен нулю.
I Это говорит о том, что распространение электромагнитных волн в
диэлектрических средах с удельной электрической проводимостью
Ь = 0 происходит без затрат какой-либо энергии.
I 4. При распространении электромагнитных волн в проводя-
щих средах, в которых токами смещения можно пренебречь по
сравнению с токами проводимости, так как «уэл/о>, т.е. в
средах с тепловыми потерями, как следует из баланса мощностей
в объеме без источников
XlmH ,d5 ==-[-р,Я„,э1с1И,
Г ЭЛ I • ЭЛ тпзл *
5 V 2
они затухают, отдавая часть активной энергии на нагрев про-
водников. Реактивная часть потока мощности индуктивного ха-
рактера при этом идет на создание вихревого электромагнитно-
го поля в нем.
I По мере проникновения волны с поверхности внутрь прово-
дящей среды она затухает и проявляется так называемый по-
верхностный эффект.
Пример. Произведем расчет двухпроводной линии постоянно-
го тока. Дано: га— радиус провода; у.1р — удельная электрическая
проводимость провода; d — расстояние между проводами;
1, Um — ток и напряжение в двухпроводной линии .
В Определить: напряженность электрического и магнитного
Ь* пол ей внутри проводов и во внешней среде, параметры линии.
[ Решение. Электромагнитное поле внутри круглого провода
радиусом г0 с удельной электрической проводимостью упг и по-
стоянным током I.
I Решение выполним в цилиндрической системе координат г,
«р, z с центром, совпадающим с центром провода. _ _
I Из закона Ома в дифференциальной форме /пр = уп Ё =
= у, E.ez определяем вектор напряженности электрического по-
,Ля Е, =—— ё, или, представляя плотность тока проводимости
Через ток, Е, =----ё..
Тпрлг0
I 191
На основании I уравнения Максвелла в дифференциальной
форме гогЯ = /пр = уПрё ., приравнивая составляющие векторов
по оси Ог, для напряженности магнитного поля внутри провода
при г < г получаем дифференциальное уравнение:
пр*
Умножая левую и правую части уравнения на гдг и интегри-
руя \гдг--^(гН j) = [УпргЭг, находим гН j =/пр^г или Н \ =
J г dr J 2
_ . г 1г
”Упр2 = 2^’
Дня напряженности магнитного поля провода во внешней ди-
электрической среде при г > г0 из I уравнения Максвелла получа-
ем аналогичное дифференциальное уравнение с правой частью,
равной нулю, так как в диэлектрической среде отсутствуют токи
проводимости:
1А
г дг
(гН,2) = 0.
Производная равна нулю при условии = А- Постоянная
А определяется из граничного условия непрерывности танген-
циальных составляющих (в нашем случае Н,) векторов напря-
женности магнитного поля при г = г(, на поверхности провода
И ] = Н.г как А = —. С учетом этого получим напряженность
магнитного поля провода во внешней диэлектрической среде:
^2=#-'
ЛИГ
Вектор Пойнтинга внутри провода ПЗЛ = [ЕП х Нэл], пред-
ставляющий поток удельной активной мощности электромаг-
нитного поля и проходящий через его боковую поверхность, на-
правлен по радиусу к центру провода, а его величина пропорцио-
нальна радиусу:
Пэя=[Е„1х//м]=[£;ёгх//91е1р] =
Упр2н2Го
_£;|^ф1ег
Вся активная мощность электромагнитного поля, проникаю-
щая с боковой поверхности на расстояние (г0 - г) внутрь провода
длиной /, пропорциональна квадрату радиуса:
192
г-- — I Г
JIMS -Пг5бок =-------—-у^-2лг/
st Тпр 2л r0
л при г = г0 на основании закона Джоуля—Ленца равна мощно-
сти тепловых потерь:
где R — активное сопротивление провода.
I Таким образом, поток активной мощности электромагнитно-
го поля входит через боковую поверхность провода для обеспече-
ния движения его свободных электронов при прохождении элек-
трического тока, при котором часть энергии расходуется на теп-
ло и повышение температуры провода.
Внутренняя индуктивность провода может быть определена
через его внутреннюю энергию магнитного поля:
1 I V 1 У
или через поток сцепления:
= и as . -S' rr-’dr = ^L.
I I Js 2nrn' nrc 2nro Jo 8jt
Внутренняя индуктивность цилиндрического провода на низ-
ких частотах не зависит от его радиуса.
Напряженность внешнего электрического поля двухпровод-
ной линии определим через ее известное входное напряжение
1/кх. Для этого воспользуемся III уравнением Максвелла в диф-
ференциальной форме. С учетом симметричности провода и од-
нородности поля вдоль нею уравнение Максвелла в цилиндри-
ческой системе координат преобразуется к виду
я- n I z п х . * ^ч>2 I э , п ч „
divA>, = (rD. ) +------------— + —— =----------(rD.->) = 0.
г dr ri г Э<р dz г dr '
Производная равна нулю, если rDr = А-, где А] — постоян-
ная. Из этого равенства определяем напряженность электриче-
Бзшармн
193
ского поля Е
^эл 2^*
создаваемой одним проводом:
1 д
£r2dr = —L
^эл2
и. -и
г0
J-r0
. Из выражения для разности потенциалов.
Д'0 dr
вх
'о
'о
——In
^эл2
находим отношение
^эл2
а затем напряженность
2 in
ит
электрического поля во внешней среде
от одного провода:
ВХ
г 2 - -----
2r In
Результирующая напряженность электрического поля во
внешней среде от двух проводов линии равна геометрической
сумме их напряженностей с учетом противоположной направ-
ленности токов:
В промежутке между проводами (рис. 8.13) напряженность
электрического поля во внешней среде усиливается при наложе-
нии полей от каждого провода, а по двум сторонам линии — вза-
имно ослабляется.
Результирующая напряженность магнитного поля двухпро-
водной линии во внешней среде также равна геометрической
сумме напряженностей отдельных проводов:
Hi - ^ф!с<р1
^ф2^<р2
Как и в случае электрического поля в промежутке между про-
водами (рис. 8 13) напряженность магнитного поля во внешней
среде усиливается при наложении полей от каждого провода, а
по двум сторонам линии — взаимно ослабляется.
Рис. 8.13. Изменение на-
пряженности электриче-
ского поля двухпровод-
ной линии
194
Вектор Пойнтинга во внешней среде Пэл2=[Еэл2 х Яап2] после
подстановки решений для векторов напряженности составит
Поток мощности во всех точках внешней среды распростра-
няется вдоль двухпроводной линии в одном направлении от ис-
точника к нагрузке, несмотря на то, что токи в проводах идут в
противоположных направлениях. В промежутке между провода-
ми поток мощности максимален.
Из граничных условий (8.9) определим поверхностную плот-
ность электрического заряда:
One = Вг2 = £2Ег2 = ,
2г1п——
'о
и, соответственно, линейную плотность электрического заряда:
S' _ E2f/DX 2nrl _
I - . d -r0 I d -Го
2r In------ In--------------
r0 ro
Затем определим емкость двухпроводной линии:
„ т/ е->л/
1 d -
в* In----------
Го
ф -zL/rfj
го
внешнюю индуктивность двухпроводной линии:
/dr _ н/1п^~г0 .
2пг л г0
и сопротивление утечки двухпроводной линии:
[ П ^Х 1 в d - го
R = —— =------- =---------- In --
^ут Ynp2^r2^W ЯУПр2^ ^0
Результаты расчета двухпроводной линии постоянного тока мо-
гут быть использованы и для линии переменного тока низкой час-
тоты при длине волны в воздухе много большей расстояния между
проводами и проявлении слабого поверхностного эффекта.
Глава 9
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ И МЕТОДЫ ИХ РАСЧЕТА
9.1. Особенности потенциальных полей
Электрические и магнитные поля подразделяют на вихревые
и потенциальные. Основным признаком потенциальности поля в
дифференциальной форме является равенство нулю ротора век-
тора напряженности поля, а в интегральной форме — циркуля-
ции вектора по замкнутому контуру:
для электрического поля rot£ л =0 или §E3jldl = 0,
_ —L
для магнитного поля гогЯэл = 0 или j>//3J1d7 = 0.
_l __
Во всех остальных случаях, когда rot£3 *0 или rot//31 *0,
поля являются вихревыми.
Векторы напряженности потенциальных полей могут быть
определены через градиенты скалярных потенциалов:
£эл — grad U эл, tfjn g!i L м.
Разности скалярных потенциалов между двумя точками про-
странства — в виде определенных интегралов циркуляций векто-
ров напряженности поля по любому контуру, соединяющему эти
точки:
h____ h_____
/i h
Электрический скалярный потенциал определяется в
вольтах, а магнитный скалярный потенциал UM — в амперах.
Из I и I I уравнений Максвелла и основных законов электромаг-
нитного поля следует, что к потенциальным полям относятся:
электростатические (магнитостатические) поля, свойства ко-
торых определяют законы Кулона, теорема Гаусса и закон сохра-
нения заряда;
электрические поля постоянного тока в проводниках, свойст-
ва которых определяют законы Кирхгофа, Ома, Джоуля — Ленца:
магнитные поля постоянного тока в области, где токи прово-
димости равны нулю; их свойства определяют законы Ампера.
Био—С авара, Ома и обобщенный закон полного тока.
196
Источниками потенциальных полей в случае электростатиче-
ских (магнитостатических) полей являются заряды divZ) =р
или AS = q ,, в остальных случаях — постоянные токи про
водимости div/., = 0, / . = [J ,d5.
5
Векторные силовые линии напряженности электростатиче-
ских (магнитостатических) полей начинаются на положительных
зарядах и заканчиваются на отрицательных зарядах, векторные
линии электрического (divJ3, =0) и магнитного полей
(div В = 0) постоянного тока всегда замкнуты, не имеют ни на-
чала, ни конца.
Система интегральных и дифференциальных уравнений для
потенциальных полей может быть получена из уравнений Мак-
свелла, принимая в них производные от индукции по времени
равными нулю:
I для электростатических (магнитостатических) полей
= 0;rot£xn = 0; £м = -grad£M;
L
f£>Md5 ^q^divD^ = pM;divegradU3n =-pM; V2t/31 = -Р,л-,
[ для электрического поля постоянного тока в проводящих
средах
( [ £xld/ = 0; rot£M = 0; Е^ = -grad£M;
I L
1ЗЯ = ' div7M = 0; div у grad£3J1 = 0; V2t/M = 0,
I 5
для магнитного поля постоянного тока
I <j- HMdi = 0; rotHM = 0; Нэя = -gradl’M;
L
I J B^dS = 0; div53J1 = 0; div p gradfZ = 0; V £7M = 0.
s
Потенциалы U л, Uu удовлетворяют скалярным уравнениям
Пуассона и Лапласа. Эта их особенность и послужила основной
причиной разделения полей на потенциальные и вихревые.
& Вихревые поля требуют решения векторных уравнений с ис-
пользованием векторных потенциалов или непосредственного
определения из уравнений Максвелла.
197
Потенциальные поля — трехмерные поля с пространственным
распределением внутри рассматриваемой среды. Удельные объ
емные плотности энергии электростатического поля и магнитно-
го поля постоянного тока на основании выражения (8.10) равны
а удельная тепловая мощность электрических
потерь - Уэл^ад
Вся энергия электростатического поля и магнитного поля по
стоянного тока И' и вся мощность тепловых электрических по
терь Р, сосредоточенные в пространстве К, равны объемным ин-
тегралам:
эл
эл
Расчет энергии и мощности в электрических цепях произво-
дят, используя напряжения, токи, сопротивления. Это возмож-
но, так как любой объем К можно представить в виде суммы бес-
конечно малых объемов dK =_d5d/ с взаимно перпендикулярны-
ми единичными векторами d5 ±d/ и с векторами напряженности
электрического или магнитного поля, параллельными dS. Тогда
W .W и Р равны суммарной энергии и мощности сопротивле-
ний, емкости и индуктивности электрической цепи, располо-
женных в объеме V:
=|feM£idr =|jEME„£MdSd/ = |j D^dSE^dl =
у у у
1 1 n 1 n
P= fT„£id£ = fT„£„£„dSd/ = J/„dS£„d7 =
Г И r
j(jMd£)24^=x^2-
j/
198
Потенциальные поля — силовые поля, поэтому широко ис-
пользуются на практике, в частности, в системах ориентации и
стабилизации для подвеса шарового ротора гироскопа, в элек-
тронно-лучевых трубках для ускорения и отклонения электрон-
ного пучка.
Г Суммарная сила, действующая на движущийся заряд в элек-
тромагнитном поле, определяется силой Лоренца:
f =Язя(Ёзл + [рх В]).
В лучевой трубке электрон за счет электрического поля £эл,
созданного высоким напряжением между катодом и анодом (эк-
раном), испытывает электрическое силовое воздействие по оси
трубки и приобретает скорость, а под действием магнитного по-
ля отклоняется в горизонтальной и вертикальной плоскостях.
I Аналогичное явление в магнитостатике используется для
подъема металлических предметов с помощью постоянных маг-
нитов.
Расчет потенциальных полей заключается в нахождении из
общих дифференциальных уравнений для данного поля одной из
величин как функции координат.
I Задачи делятся на прямые и обратные. В прямых задачах
по известному распределению источников поля определяется
структура поля. При этом должны быть заданы:
I для электрического поля в диэлектрической среде — распре-
деление зарядов или потенциалов, для электрического поля в
проводящей среде — ток или разность потенциалов;
I для магнитного поля — распределение токов или разность
магнитных скалярных потенциалов.
Обратные задачи сводятся к нахождению закона распределе-
ния зарядов или токов по заданному распределению напряжен-
ности полей или потенциалов.
В каждой конкретной задаче должны быть также заданы вза-
имное расположение сред и их свойства.
I Система координат для каждой задачи должна выбираться так,
чтобы координатные поверхности совпадали с граничными по-
верхностями задачи или были ближе всего к ним. Исходными урав-
нениями для расчета полей являются: для однородных сред урав-
нение Лапласа или Пуассона, для неоднородных — уравнения
Максвелла.
* При геометрическом подобии граничных поверхностей и ана-
логичном распределении потенциалов на них решения уравне-
ния Лапласа для различного вида полей будут также подобны и
ответ одной задачи может быть получен из ответа аналогичной
задачи в другом виде поля.
199
9.2. Математическая аналогия дифференциальных
уравнений различных потенциальных полей
и их моделирование
«Единство природы обнаруживается в «поразительной анало-
гичности» дифференциальных уравнений, относящихся к раз-
личным областям явлений» [22].
Математическую аналогию дифференциальных уравнений и
ее применение к некоторым задачам расчета полевых характери-
стик и параметров электромагнитных устройств рассмотрим на
примере трех потенциальных полей: электростатического (маг-
нитостатического) поля в диэлектрике (магнетике) при отсутст-
вии в нем электрических (магнитных) зарядов, электрического
поля постоянного тока в проводящей среде при отсутствии в ней
источников ЭДС и магнитного поля постоянного тока в магне-
тике при отсутствии в нем токов проводимости (табл. 9.1).
Табл ица 9.1
п/п Электростатическое поле Электрическое поле постоянного тока Магнитное поле по- стоянного тока
Аналогичные дифференциальные уравнения
1 rot£M = 0, £м rot£M = 0, £м rot И а = 0, Нт
2 divZk, = 0, div/^ — 0, /дд div£x, = 0, Взя
D - F F F схт эл’ -'ЭД Alp “ Y Пр^ЭЯ ’Ynp ^ЭЛ = М’ЭЛ'ГЦл» М-ЗЛ
4 ~ grad £/эп, U-^ fin == —grad , £/эл Я» = -gradt/M, (/м _
5 V2ZAn = 0 V2^ = 0 V2t/M = 0
Граничные условия
6 An “ An> ~ ^ln “ ^2п'
Интегральные аналогичные величины
7 J 11 oS 1, 1C5 S’- - 1 И 5 i E II О lef Q Ал J Ap^ ’ 5 *эл 4/fl=j£Md5,
200
Окончание табл. 9.1
№
п/п
Элс ктростатнчсскос поле Электрическое поле постоянного тока Магнитное поле по- стоянного тока
1 _ /эл ^эл1 ~^ал2 1. R L Wb t/м. - t/M2 ’
Поле диполей
q^l cos fl
х(2 cos tie, + sin ftec)
4 ле
ээ A з л
4rtW
x(2 cos fter + sin fte0)
ал
11 cos ft
^ЛУэл Г1
м
cosft
м
эл л 3
4лцэлг
x(2 cos fter + sin ftcd)
Сфера в однородном поле
зя I
E0cosft,
x(2cosftcr +sinOe<j)
----------------Eq X
2e2
x(cosftcr - sinftc0),
= -£>cosft +
-— E0rcosft
x(cosfte, - sinfte0) +
£i - F x
Z Г ^0 x
ы!
3p?
---X
зл!
х E0rcos О,
x(cosftcr - sin ftec),
6/m2 ~ -E0rcosft +
x W0rcosfl,
Я~ = --^-Япх
Mi + 2ц2
x(cos ftef - sin fte0),
CZm2 = -//Grcosft +
Eq cos ft,
у Hq cos ft.
£-2 “ z 0
x (cosftcr -sin fte*) +
. Yi - Y2ro c v
+ .. . -» 13 £0 x
x(2 cosfter + sin fte,,)
x (cos fte, - sin ft^,) +
+ ±1^Цеох
x(2 cos fter + sin fte* )
ал1 —
х
В строках L. .4 табл. 9.1 приведены аналогич ные дифференци-
альные уравнения и соответствующие им аналогичные векторы и
параметры сред, в строках 5 и 6 — уравнения Лапласа для ска-
лярных потенциалов и
подобные граничные условия для векто-
ров индукции и
напряженности
поля,
в строке 7— аналогичные
элементы
конструкций (емкость,
проводимость, индуктивность),
201
Рис. 9.1. Аналогичные параметры прямоугольных проводов
Рис. 9.2. Параметры двухпроводной линии
1 зл Pxi ' ЭЛ
в строках 8 и 9 — аналогичные поля диполей и сферы во внеш-
нем однородном поле.
На рис. 9.1 приведены параметры аналогичных конструкций
(прямоугольников) при одинаковой направленности подобных
векторов, а на рис. 9,2 — при взаимной перпендикулярности Е
и Н ( для двухпроводной линии.
Математическая аналогия дифференциальных уравнений раз-
личных потенциальных полей позволяет проводить их моделиро-
вание как физическое с использованием, например, метода элек-
тромоделирования в электролитических ваннах или с помощью
проводящей бумаги, так и математическое с использованием вы-
числительной техники.
Математическая аналогия дифференциальных уравнений по-
тенциальных полей распространяется и на потенциальные гра-
витационные, тепловые, нуклонные и другие поля разных взаи-
модействий [16].
9.3. Методы решения уравнений Пуассона и Лапласа
Существуют аналитические, численные и графический мето-
ды решения уравнения Лапласа [17]. К аналитическим относятся
метод разделения переменных, метод зеркальных изображений и
метод конформных преобразований.
202
Условия, при выполнении которых решение уравнения, полу-
ченное каким-либо методом, можно считать единственным, оп-
ределяются теоремой единственности. Она формулируется так:
। «Из множества функций, являющихся решениями уравнения Ла-
пласа, существует только одна, удовлетворяющая граничным ус-
ловиям, т.е. если каким-то путем удалось найти решение гранич-
ной задачи, то оно и только оно является искомым решением».
I Из теоремы единственности следует также, что если две функ-
ции, представляющие собой решения уравнения Лапласа, совпа-
дают на поверхности S, ограничивающей объем V, то они совпа-
дают во всем объеме V.
Рассмотрим аналитические методы решения уравнений Лап-
ласа на конкретных примерах.
[ Метод разделения переменных. Метод применяется для реше-
ния уравнения Лапласа, когда искомая функция зависит от не-
скольких переменных. Он состоит в представлении решения
уравнения Лапласа в виде суммы произведений функций, каждая
из которых зависит только от одной из переменных. При этом
одно уравнение Лапласа в частных производных сводится к сис-
теме обыкновенных дифференциальных уравнений, число кото-
рых равно числу независимых переменных. Известны общие ре-
шения скалярного уравнения Лапласа [23], полученные методом
разделения переменных для потенциальных полей в разных сис-
темах координат (табл. 9.2).
I Здесь f г (г^к: - к'), К.. (r-Jk -к ) — модифицированные
цилиндрические функции Бесселя первого и второго рода;
P/(cosO) — присоединенные функции Лежандра.
I Постоянные интегрирования, входящие в решения уравне-
। ний, определяются так, чтобы решение исходного уравнения
удовлетворяло заданным граничным условиям.
I Сущность метода разделения переменных рассмотрим на примере
определения магнитного поля полой стальной сферической оболоч-
ки, расположенной в однородном магнитном поле (рис. 9.3).
Рис. 9.3. Сфера в однородном поле
203
Таблица 9.2
Система координат Решения уравнения Лапласа
Прямоугольная (х, у, z) (Ле-#г1 + Вел’г)е ,<**д**>'’
Круговая цилиндрическая (ЛФл г) +BmKn(rte-k2)e^z)e^
Сферическая (г, Й, <р) ^Anmr” +, n.m
Полую стальную сферическую оболочку с внутренним г, и
внешним г2 радиусами поместим, во внешнее однородное маг-
нитное поле с напряженностью Н,, например в поле Земли.
В этом случае скалярный потенциал магнитного поля внутри и в
стенке оболочки, а также во внешней среде удовлетворяет уравне-
нию Лапласа, которое в сферической системе координат с учетом
независимости потенциала от угла из-за симметрии системы
1 Э21/м _
—-----------= 0 состоит из двух слагаемых:
г sin' О dtp
Э ( . 0 dtfM „
—----------sin й = О
г sin О Эй t J
Предполагаемое решение представляем в виде произведения
двух функций U., = А'(й)У(г), каждая из которых зависит только
от одной координаты й или г. Подставив его в уравнение Лапла-
са, получаем
Х(й) д Г 2 ЭГ(гП
г dr' dr I
д (. ч Э*(й)
— sin й
Эй \ Эй
Разделим равенство на предполагаемое решение У(й)У(г):
1 Э Г 2 Э Г(г) \
У(г)г Э/\ дг
1 Э ( . . ЭУ(й)) п
+------г-------sin О------ = 0.
Л(й)г sin й Эй К Эй J
В результате деления получаем уравнение из двух равных не
зависимых слагаемых. Одно слагаемое зависит только от коорди-
наты г, а другое от координаты й. Это уравнение можно пред-
ставить в виде двух равенств:
1 Э(,ЭУ(г)> а 1 чд*(йП .
------— Г ----— = А;----------------sin й------ = -л,
¥(г)г' Эг ‘ Эг X(й)г sin й Эй 1 Эй )
204
где X — постоянная величина.
Первое равенство представляет собой уравнение Эйлера, ре-
шением которого является сумма К(г) = Апгп + ВлгЧл+1), где Ап,
В.. — постоянные величины, п = 0, 1, 2, 3...
Подставив это решение в уравнение Эйлера, после дифферен-
цирования по г определяем Х= п (л+1).
Второе равенство при Х = ??(/?+!) представляет собой уравне-
ние Лежандра [24], решением которого служит полином Лежанд-
ра от аргумента cos v, т.е. %($) = /^(cosft).
Общее решение для скалярного потенциала магнитного поля
представляется в виде бесконечной суммы:
UM = X(fV)Y(r) = ^(А„гп + B„r^) P„(cosO).
п
Из бесчисленного множества решений уравнения Лапласа пу-
тем последовательного изменения значения л = 0, 1,2 ... находим
истинное решение для данной исследуемой задачи, удовлетво-
ряющее ее граничным условиям: равенству нормальных состав-
ляющих вектора магнитной индукции и равенству тангенциаль-
ных составляющих вектора напряженности магнитного поля.
При /1 = 0 решение Uo = Аог + Вог не удовлетворяет иссле-
дуемой задаче, так как при г = 0 внутри сферы скалярный потен-
циал стремится к бесконечности, при п = 2, 3... полином Лежанд-
ра P„(cosi3) не обеспечивает граничные условия.
Истинным решением является слагаемое при л = 1:
[ l/M = (Ar + Br )P1(cosO) - (Ar + £r~2)cosO.
Только оно, как будет показано в дальнейшем, удовлетворяет
граничным условиям.
Нормируем скалярный потенциал магнитного поля, прини-
мая в центре сферы его нулевое значение. Тогда для трех облас-
тей можно принять скалярный потенциал:
внутри сферы £/м1 = A rcosO;
в оболочке схферы (/u2 = (A2r + B2r 2)cost);
' во внешней среде £/м3 = (А3г + В^г 2) cost).
Соответственно для вектора напряженности магнитного поля
в сферической системе координат
- ... диы_ I Э(7М _
Н = -gra<WM =— м ег---------^-ев
ar г ЭО
находим:
внутри сферы
Н\ = Л|(-со$1Эёг + sin6cT,);
205
в оболочке сферы
Н, = (-Л, + 2B->r )cosOer + (А2 + ^2r )s'n
во внешней среде
// = (-Л, + 2Br 4)cosi3er + (Л3 + B-r )sin 0ев.
На внутренней и внешней поверхностях сферы должны вы-
полняться следующие граничные условия.
Равенство нормальных составляющих вектора магнитной ин-
дукции, в данной задаче — равенство радиальных составляющих
приг=г, - P|/4j = Ц2(-Л2 + 2В2гх ) и при г = г2 ц2(-Л2 + 2В2г2') -
- Рз(—^з + 2В3г23);
равенство тангенциальных составляющих вектора напряжен-
ности магнитного поля, в данной задаче — равенство касатель-
ных (по координате О) составляющих при г = гх Ах = А2 + 2Вгг
и при г = г Л2 + 2В2г2 = А3 + 2В3г2 3.
Решая систему равенств относительно А3, находим постоян-
ные:
Г"
(Ц| + 2ц2)(ц2 + 2ц3) + -у(Pi -Ц2)(Ц2 -Мз)
З(цц + 2ц2)ц3
12--------------------------j-------------------/>з>
(Ш + 2ц2)(ц2 + 2ц3) + ^т(Ц1 -ц2)(Мг ~Нз)
3(ц, -ц2)ц3л3
>2 =---------------- -------5-------------------Лз,
(ц, + 2ц2)(ц2 + 2ц3) + ^-(Ц! - Ц2)(ц2 - Из)
Г1
_(ц, +2ц,)(ц2 -ц3)г2’ +(Ц1 -ц2)(2ц2 +ц3)п .
3--------------------------р л^‘
(ц, + 2ц2)(ц2 + 2ц 3) +-у(ц( - ц2)(ц2 - Цз)
Постоянная А3 определяется из условия отсутствия влияния
сферы на внешнее однородное магнитное поле на бесконечно-
сти, т е. при г, стремящемся к бесконечности, напряженность
магнитного поля во внешней среде равна напряженности маг-
нитного поля Но:
Н = -A. cosi3er + А3sin йев = = Яоех,
поэтому А> = -Яо.
206
С учетом найденных постоянных определим скалярные по-
тенциалы и векторы напряженности магнитного поля в средах:
внутри сферы
t/M, =-------------------9g-^33--------—---------Hor cosi9;
(Щ + 2ц2)(ц2 + 2ц}) + -у(Ц| -н2)(На -Из)
Я( =---------------ZHiHl---------------Я0(со5йё, -sinf)ed);
I (ц, +2ц2)(ц2 +2g3)+ -L(ji| -р2)(ц2 - Из)
в оболочке сферы
(Hi - На)
м2
(Hi + 2ц,)(н2 +
-------------=*------Яо cos г5,
-(Hi - НаХНа ~ Нз)
Зрз( Ц| + 2р2 + 2(Н] -На)
cos Ое
Г
(Hi +2н2)(н2 + 2Нз)+-у(Ц1 -НаХМа - Из)
ц1 + 2н2 - (ц! - ц2)-у sini)e0
5— -------------я0;
т(Н| -НаХНа " Мз>
во внешней среде
^мз =-^0rcos^ +
(ц( + 2ц2)(на-НзХ? +(И1 -Цг)(2На+РзХ? „ и-2гпсЛ
-------------------------------------Л COS v
J*
(Hi +2h2)(h2 + 2Hj) + -^-(Hj -ц2)(н2-Нз)
НЛ = //0(cosi9er - sin tfee) +
+ (ц, +2Ha)(Ua - НзХа +(Щ -На)(2пг + Мз)Л
г’
(Н| + 2на)(Иа -Нз) + “(Mi “НаХМа ~Нз)
207
xH r ‘(2cosOer + sinOe6).
Внутри сферы магнитное поле однородно. Вектор напряжен-
ности Я| параллелен вектору напряженности внешнего магнит-
ного поля Но (см. рис. 9.3):
Я, = —
(Hi
--------------------- —— -------------— гг0.
+ 2ц2)(ц2 + 2ц3) + -y(Pi - Ц2)(Ц2 - Ц3)
Рассмотрим несколько случаев.
I. Стальная сплошная сфера лежит на грунте в море, т.е.
щ =ц2 » Цо> Рз =Но> ri = Г2 = го:
J А з л/ — Зц о и
---Z--"О =------
+ 2р3 ц2
Напряженность магнитного поля внутри сферы меньше на-
пряженности внешнего магнитного поля. В этом случае происхо-
дит размагничивание металлической сферы. Так, при ц 2 = 300ц0
Я] =О,О1Яо.
2. Стальная полая тонкостенная сфера находится в воздухе,
т.е. Ц| =ц3 = ц0, ц2 » ц0,Г| = г2:
9ц2Ц0 й -
------------------- - -у------------------Н 0 =
к
(ц0 + 2ц,)(ц, г2цо) + -'-(ц0 — Ц2)(Ц2 - Цо)
— Но
Ц2
И в этом случае происходит ослабление внешнего постоянно-
го магнитного поля внутри полой металлической сферы.
Поэтому подобные замкнутые конструкции, оболочки (сфе-
рические, цилиндрические, прямоугольные и др.) применяются
в качестве экранов внешнего постоянного магнитного поля.
В них размещают те устройства, на которые внешнее поле оказы-
вает нежелательное воздействие.
Для практики представляет определенный интерес сравнение
магнитных моментов двух вариантов конструкций металличе-
ских сферических оболочек.
I. При полой оболочке (ц2 » Ц|,ц3 = Ц] = ц0):
208
4jl (Hl + 2ц2)(ц2 -Из)ъ3 + (ц, -ц2)(2ц2 + Рз)< я
(Pi + 2ц2)(ц2 + 2ц3)+ ~(щ -р2)(р2 - Из)
2. При сплошной оболочке (щ » ц0, ц, = ц2 = ц0):
4п(Р| -Н/и.
(|Х, + 2ц,)
/70 = 4лГ] 7/0.
Сплошная металлическая магнитная сфера обладает большим
магнитным моментом по сравнению с тонкой металлической
оболочкой.
Магнитные экраны, используемые для зашиты электротехниче-
ских устройств от влияния посторонних магнитных полей, выпол-
няют из материала с высокой магнитной проницаемостью.
Расчет цилиндрического экрана, ось которого перпендику-
лярна направлению однородного внешнего поля, проведенный
методом разделения переменных, показывает, что в полости эк-
рана поле также однородно, но слабее, чем в сферическом экра-
не, в 1,5 раза.
Экран характеризуется коэффициентом экранирования К,
равным отношению напряженности поля в полости экрана к на-
пряженности внешнего поля:
9ц2Цз
(Pi + 2ц,)(ц, + 2ц3) + ^-(ц, - ц2)(ц, - ц3)
Гг
За счет сферической оболочки во внешнем поле кроме парал-
лельной вектору Нп возникает перпендикулярная ему составляю-
щая, равная для металлической оболочки:
(Ц| + 2ц,)(ц2 - ц3)г2 +(Pi -Ц2)(2ц2+ P3ki
-3
(Pi + 2р2)(ц2 + 2ц3) + (ц, - ц2)(ц, -Ц3)
I хЯог 3cost)sin Ое,.
При перемещении магнитометра вдоль Яо его показания над
сферой при О = -л/2, зависящие от вектора НJ. изменяются на
209
противоположные. Эта особенность поля используется при по-
иске затонувших кораблей, мин.
Метод зеркальных изображений. Метод основан на теореме
единственности решения уравнения Лапласа и применяется для
расчета электрических и магнитных полей, в которых заряды или
токи расположены вблизи поверхностей раздела нескольких
сред. Подобные задачи являются сложными краевыми задачами
расчета поля в неоднородной среде.
Метод зеркальных изображений состоит в том, что путем вве-
дения фиктивных зарядов или токов сложную задачу сводят к ря-
ду простых, имеющих те же граничные условия. Расположение и
величину фиктивных зарядов или токов определяют при сохра-
нении граничных условий. При этом каждая из простых задач
представляет собой расчет поля в однородной среде.
Этот метод применяется для расчета как электрического, так
и магнитного полей. При расчетах электрического поля прово-
дов с зарядами или магнитного поля проводов с токами между
результатами сохраняется обратное соответствие величин. Так,
расчет электрического поля точечного заряда q л, расположенно-
го в среде с диэлектрической проницаемостью еэл1 на высоте А от
храницы раздела с нижней средой с диэлектрической проницае-
мостью еэл2, сводится к двум простым задачам (рис. 9 4).
Для расчета поля в верхней среде все пространство заполняет-
ся однородной средой с с и зеркально на расстоянии А от гра-
ницы раздела в нижней среде размещается фиктивный точечный
заряд #'л. Рассматривается электрическое поле в верхней среде
от двух точечных зарядов q и ( в однородной среде с сэл1. За-
ряд ^'л, расположенный симметрично относительно поверхности
раздела сред заданному заряду q л, называется его зеркальным
изображением.
Для расчета поля в нижнеи среде все пространство заполняет-
ся однородной средой с и в точке расположения заданного
Рис. 9.4. Метод зеркальных изображений
210
заряда размещается фиктивный точечный заряд 9". Рассматри-
вается электрическое поле в нижней среде от одного точечного
заряда в однородной среде с е 112.
На основании закона Кулона векторы напряженности элек-
трического поля точечных зарядов равны:
Язя
^зя\г'
^ЗЛ Р . р” _ ^зл
4neM1r'2 эл 4пеэл2г"2
В верхней среде вектор напряженности электрического поля
равен геометрической сумме двух векторов заданного заряда q
и зеркального фиктивного заряда q я (или двух волн — прямой и
отраженной от границы):
г
г — . Г"' _ . т'эл —
^ЭЛ + ^ЭЛ . 7 Ь л ,7
4n£Mlr- 4леэл1г -
а в нижней среде — вектору напряженности фиктивного заряда
/Z _
пал
4к£эл2г"2 ''
Из граничных условий выражения (8.9) при г = г' = г" и
Ф = q>' = ф", равенства тангенциальных составляющих векторов
электрического поля = Е . и нормальных составляющих век-
торов электрической индукции D = D._ в верхней и нижней
средах находим
I --------——-СОБф +------— -СО8ф' = ———-СО8ф
1 4леэл1г 4n£M1r' 4тем2г'
/ //
^ЭЛ (7эл _ эл .
J
^зл! ^эл! £ ил2
I T^sinф “ 7^'“sin = 7^Tsil1 <₽"; g*> - g« = ’
4лг 4лг * 4лг "
или
; ~ £эа^ /г ы п" —
Яэл (7эл И ^эл (7зл •
^эл! ^эл2 £эл1 ^эл2
В результате векторы напряженности электрического поля
электрического заряда q,„, расположенного в среде с диэлектри-
ческой проницаемостью е,, на высоте Л от границы раздела
с нижней средой с диэлектрической проницаемостью е ,
составят:
211
в верхней среде
эл - t ^зл! ^эл2*7 эл
^ЛЕ^Г £Эл1 + Еэя2 ^KEgfljT*
в нижней среде
______________9эл ё
^эл! ^эл2 4ЯГ
Расчет электрического поля линейных зарядов, параллельных
плоским поверхностям раздела двух сред с диэлектрическими
проницаемостями е и еэл2» производится аналогично расчету
точечного заряда при замене дэл на тэл. В этом случае линейные
плотности фиктивных зарядов составят:
* _ ^эл! ^зл2 -
ЭЛ “ ’’ЭЛ
£ зл1 + £эл2
И Чл
2£ЭЛ2
1 эл >
* ^эл2
а векторы напряженности электрического поля с учетом обрат-
но пропорциональной зависимости напряженности электриче-
ского поля линейных зарядов от расстояния г (вместо г для то-
чечных зарядов) определяются следующим образом:
в верхней среде
ЭЛ
’ _ с г , г' _ ^эл р . ^эл1 ^эл2_______________________е
ЭЛ1 ~ Кэл + ^ЭЛ - ? г Г F 4- Р ?7ГР г'
в нижней среде
эл2 ^э.п
"ЭЛ
2яг"
Расчет магнитного поля бесконечно длинного провода с током А
расположенного параллельно плоской поверхности раздела двух
однородных сред с магнитными проницаемостями р >Л1 иц^ мо-
жет быть произведен аналогично расчету электрического поля ли-
нейных зарядов по принципу обратного соответствия, т.е. с заме-
1 1
нои т Lq на / и Езд! на-, a e^2 на---.
Рэл! Р эл2
Тогда фиктивные токи
> _ Рэл2 Нэл1 т .. т,f
эл 1 эл 11 1 эл
Мэл1 У-эл2
an I г
* зл >
Иэл! + Рэл2
а векторы напряженности магнитного поля с учетом обратно
пропорциональной зависимости напряженности магнитного
212
поля линейных токов от расстояния г определяются следующим
образом:
в верхней среде
_ 33 е । Р-эл! *эл g •
2лг ’ цЭЛ|+рэл2 2пг' ’’
в нижней среде
____ /эл -
Нал! И эл2 2яг
В качестве примера произведем расчет емкости воздушной
двухпроводной линии с учетом поверхности Земли.
Пример. Дано: г0 — радиус проводов линии, еэл1 = е0 и
еэ.? = оо — диэлектрические проницаемости воздуха и грунта, d —
расстояние между проводами, h — высота линии над поверхностью
Земли (рис. 9.5), d » r0, h » г0.
I Определить: емкость воздушной двухпроводной линии с уче-
том поверхности Земли.
j Решение. Из определения емкости как способности уст-
ройства запасать электрический заряд при приложенной разно-
сти потенциала между его электродами для данной задачи можно
записать
____Язи_____
- Уззв ’
где U -U аВ — разность потенциалов между ближайшими
точками А и В проводов линии.
[ Разность потенциалов между
проводами, как видно из рис. 9.5,
определяют заряды тЭ1 и самой
линии и расположенные зеркально
им фиктивные заряды -тэл и т ,,,
учитывающие влияние поверхности
Земли, так как
£эл| £эл2
£эл1 £эл2
_ £0 ~ °°„ _ _т
»л ^эп •
I £0 + °°
| От четырех линейных зарядов
разность потенциалов составит
Рис. 9.5. Двухпроводная ли-
ния над проводящей поверх-
ностью
213
d-r^ +(d-r^)~
= 2 j £rerdrer + 2 J £rerdrer
rQ 2Л
элА
После подстановки разности потенциалов в исходное выраже-
ние для емкости получаем емкость отрезка длиной / бесконечно
длинной воздушной двухпроводной линии с учетом проводящей
поверхности Земли
_____
““ 'мВ
При 2h » d емкость равна значению емкости двухпроводной
линии, расположенной в безграничной однородной среде.
Метод конформных преобразований. Метод основан на свой-
ствах функций комплексного переменного и позволяет упро-
стить расчет плоскопараллельного поля сложной конфигурации,
изображаемого в комплексной плоскости z = х + уу, сводя эту за-
дачу к простому расчету однородного поля в другой системе ко-
ординат — вещественной U и мнимой И
Комплексный потенциал W = U + jV, с помощью которого
осуществляется указанное преобразование, представляет собой
комплексную функцию, вещественной (или мнимой) частью ко-
торой является потенциал а мнимои (или всществен-
Рис. 9-6 Ортогональная сетка ком
плексного потенциала
ной) — функция потока
V = VI, потока вектора напря-
женности поля Е (Н „), отне-
сенного к единице длины /
плоскопараллельного поля
dy = £.ndfl = dT.
Уравнение U(x.y) = 0 явля-
ется уравнением эквипотен-
циальных линий, уравнение
И(х,у)=0 — уравнением си-
ловых линий. Те и другие
образуют ортогональную сет-
ку (рис. 9.6). Из полного диф-
ференциала от комплексного
потенциала
214
сНУ _ d(t7 + jV) _dU^ .ЭИ dV
дх ду
d(x + /y) Эх ' Эх
‘приравнивая вещественные и мнимые
тенциал и функция потока связаны
Коши—Римана:
части, находим, что по-
между собой условиями
dU
I ЭС/ = ЭГ ЭР'
Эх ду ' дх ду
I Продифференцируем первое равенство по у, а второе по х и
[просуммируем их:
Э2{/ .
ЭуЭх ’
= 0
т.е. функция К(х, у) удовлетворяет уравнению Лапласа.
Продифференцировав первое равенство по х, а второе по у,
после их сложения находим, что и функция U(x,y) удовлетворяет
уравнению Лапласа.
Г Величина вектора напряженности поля равна модулю произ-
водной комплексного потенциала:
ал
dU .dU
дх ду
ди .ЭИ
Эх
дх
djy
Хотя метод конформных преобразований чрезвычайно упро •
1щает задачу расчета поля, его основным недостатком является
отсутствие общего способа нахождения комплексного потенциа-
1ла. Лишь для полей, ограниченных ломаной прямой, существует
формула Кристоффеля—Шварца, определяющая комплексный
потенциал.
|1 Для примера рассмотрим расчет
поля двух заряженных проводящих
плоскостей, образующих угол а0,
। но не соприкасающихся и имею-
| ших потенциалы Г, и Г, (рис. 9-7).
Это поле может быть преобразо-
вано в однородное в координатной
плоскости U, V с помощью ком-
плексного потенциала вида
Рис. 9.7. Поле двух заряжен-
ных проводящих плоскостей
где /тис определяются из гранич-
ных условий.
215
В цилиндрической системе координат £ = ге 4, In z = jet + In г, a
W = k(Ja + Inr) + q + jc2 -U + jV. Из равенства вещественных
и мнимых частей получаем: U - к Inr + q, V = ка + с->.
При а = О И = V и с2 = И, при а = а0 V - К, и к = —-a
«о
W = |nr + с, + j — с,(Г2 - Fi) + Vl
а0 ’ [а0
Эквипотенциальные линии V представляют собой лучи, так
как Изависит только от а, а силовые линии электрического по-
ля — от дуги концентрических окружностей.
Напряженность электрического поля:
Пространство между проводящими плоскостями с потенциа-
лами и V2 может быть заполнено диэлектриком или проводя-
щей средой.
Полученные результаты могут быть перенесены на аналогич-
ную задачу расчета магнитного поля в воздушном зазоре магни-
топровода. Так, при магнитных потенциалах и Км2 плоско-
стей ма1нитопровода. ограничивающих воздушный зазор, напря-
гу “ ИМ1
женность магнитного поля в зазоре Н = ----—.
аог
Численные методы. Численные методы [25], лежащие в основе
специальных математических программ, позволяют достаточно бы-
стро решать сложные полевые задачи на компьютерах с наглядным
представлением результатов расчета и картин поля.
Специфика работы компьютера требует замены операций
дифференцирования в уравнениях Лапласа операциями над чис-
лами и перехода от бесконечной совокупности чисел к конечной.
Поэтому необходим переход от исходных непрерывных диффе-
ренциальных уравнений к системе алгебраических уравнений
Переход осуществляется путем составления разностного уравне-
ния, являющегося дискретным аналогом соответствующего диф-
ференциального уравнения.
Для получения разностных уравнений выбирается система уз-
лов, заполняющих одно-, двух- или трехмерную расчетную об-
ласть. Выбор сетки, т.е. конфигурации дискретных областей, и
определяемой ими системы узлов и ячеек, осуществляют исходя
из условий полугения возможно меньших погрешностей при пе-
реходе от непрерывного уравнения к дискретному и представле-
ния границ расчетной области и поверхностей раздела сред с раз-
216
личными свойствами. В практических за-
дачах часто выбирают сетки, имеющие
плоские, цилиндрические или сфериче-
ские поверхности сторон ячеек, заменяя
при этом граничные поверхности сово-
купностью таких же плоских и криволи-
нейных поверхностей. При расчете двух-
мерных полей узлы сетки могут образо-
вывать ячейки различной формы (прямо-
угольной, треугольной, шестиугольной) с
прямолинейными сторонами либо кри-
волинейными (две стороны — прямые
линии, две другие — дуги окружностей).
При расчете трехмерных полей узлы сет-
ки образуют пирамиды, призмы с пло-
Рис. 9-8. Система уз-
лов, используемых при
аппроксимации урав-
нения Лапласа
скими, цилиндрическими или сферическими гранями.
Замене непрерывных функций дискретными (сеточными) соот-
ветствует замена области непрерывного изменения аргумента дис-
кретным множеством точек (узлов), образующих сетку или решет-
ку. Поэтому при аппроксимации исходных дифференциальных
уравнений в частных производных алгебраическими зависимостя-
ми прежде всего задают систему узлов — сетку. Пусть плоскопарал-
лельное электростатическое поле в области 5, заполненной одно-
родной средой, описывается потенциалом, удовлетворяющим
уравнению Лапласа:
2 = д2и ъ2и
Эх2 ду2
Рассмотрим прямоугольную сетку с неравными шагами по ко-
ординатам, аппроксимируя уравнение Лапласа в узле 0 (рис. 9.8).
Используя разложение потенциала в ряд Тейлора в точке 0, для
потенциалов узлов 1...4 получаем:
217
Суммы значений Uh составят:
U.h. + U}ht = С/0(Л, + й3) + ^^-(й2й3 + й2й,) +
2 дх
• &V 3. ,3. . I дАи .,4. ,4. . .
+ 7-т-у(^1 Лз ~ ЛзМ + 47W^i + »
ЬдХ 24 дх
U2hA + С/4/ь = £/0(й, + й4) + 1^(й,2Л4 + Л42й2) +
дх
1 33t/ ,,31 ,3л ч 1 a4t/z.4. .4,4
+ Z 7”’ 1 ~ ^4^2) + й7 4 (^2^4 + й4й2)...
6 дх 4 Эх*
Пренебрегая в последних двух выражениях членами, содержа-
щими производные потенциала выше второй, определяем:
дгУ 2Ui ______________2U3
дх2 h{(hx + /?3) h3Uh + Л3) Мз ’
d2U _ 1U2 । 2U< 2Up
ду2 h2(h2 + Л4) й4(Л2 + Л4) Л2Л4
После сложения вторых производных получаем:
8 2^3 t 1U2 +
+ Лз) ^з(^1 + ^з) ^2(^2 + ^4)
Данное выражение связывает значения потенциалов в пяти
узлах 0...4 и является разностной аппроксимацией уравнения
Лапласа. Равенство приближенное, так как не содержит отбро-
шенные производные потенциала выше второй. Погрешность
аппроксимации определяется значениями высших производных
потенциала, шагов сетки и их соотношениями.
В случае численного решения уравнения Пуассона
7 Р
=_”Д- методом конечных разностей выражения раз ноет-
ной аппроксимации совпадают с выражениями уравнения Лап-
ласа за исключением правой части, где вместо нуля подставляет-
Полученные уравнения являются линейными алгебраиче-
скими уравнениями, связывающими потенциалы узлов. Число
218
Рис. 9.9. Картина по-
двухпроводной ли-
нии, расположенной
в металлическом пря-
моугольном экране
(уравнений равно сумме внутренних узлов области и узлов ее
I границы.
Системы конечно-разностных уравнений можно решать пря-
мыми и итерационными методами, а также комбинированными
методами, основанными на их совместном использовании. На
пример, методом прогонки, являющимся модификацией метода
I исключения Гаусса, методом простой итерации, методами тре-
I угольной итерации (Зейделя, верхней релаксации, Ричардсона) и
методами вариационного типа.
I Аппроксимация поверхностей тел, граничных и краевых усло-
! вий, особенно при криволинейных поверхностях, представляет со-
I бой сложную задачу при использовании метода сеток. Эта задача
I решается проще, если расчетная область разбивается на элементы
конечного размера, т.е. используется метод конечных элементов. В
пределах любого элемента потенциал выражается через полином
I степени п от координат х, у, z с коэффициентами, связанными с
потенциалами узлов и обеспечивающими условие минимума энер-
I гии поля, достаточного для соответствия искомого распределения
I потенциала уравнениям Максвелла,
Для примера на рис. 9.9 приведена картина поля лвухпровод-
I ной линии.
I Графическим метод. Моделирование полей используется в
[случаях, когда конфигурация поверхностей, ограничивающих
I Поля, настолько сложна, что аналитический расчет поля стано-
I вится невозможным.
I Метод моделирования полей, различных по физической при-
1 роде, основан на аналогии их дифференциальных уравнений и
Заключается в экспериментальном снятии картины электриче-
219
ского поля в проводящей среде как наиболее легко воспроизво-
димого и измеряемого. Полученная картина поля позволяет най-
ти не только напряженность электрического и магнитного полей
в каждой точке, но и интегральные характеристики моделируе-
мых устройств: емкость, индуктивность, электрическое и маг-
нитное сопротивления.
. Для моделирования плоскопараллельных полей применяют
проводящий лист, для моделирования любых полей, плоскопа-
раллельных и трехмерных, — электролитическую ванну.
Графический метод применяется для исследования потенци-
альных плоскопараллельных и аксиально-симметричных полей.
Он особенно удобен в тех случаях, когда краевые условия на-
столько сложны, что их нельзя сформулировать аналитически.
Предварительно в электролитической ванне или на электропро-
водящей бумаге определяют положение эквипотенциальных ли-
ний, отличающихся между собой равными величинами прира-
щения Д£Л
Графический метод расчета плоскопараллельных полей состо-
ит в построении силовых линий и линий равного потенциала по
заданным граничным условиям.
Графические картины потенциальных полей (рис. 9.10) стро-
ят по определенным правилам, соответствующим трем аналогич-
ным дифференциальным уравнениям: _
электростатического поля — div£) п =рал» £эл =-grad(/31,
электрического поля в проводящих средах — divE31 =0,
=-giad£/M, V2^ =0j_
магнитного поля — div/?. = 0, Н . =-grad(/„, V77 =0.
При построении картины поля следует руководствоваться
следующими правилами.
1. Векторные силовые линии электрического поля Езл долж-
ны быль непрерывными, начинаться и заканчиваться на зарядах
при исследовании электростатических полей или электродах при
исследовании электрических_полей в проводящих средах, так как
в исследуемых областях div/) л =рэл или div£M =0, векторные
Рис. О.Ю. Графический метол рас-
чета плоскопараллельных полей
220
линии напряженности магнитного поля Н , должны быть всегда
замкнутыми.
[ 2. Векторные линии электрического и магнитного полей долж-
ны быть перпендикулярны эквипотенциальным линиям, т.е. лини-
ям равного потенциала, так как £.л = -grad (7 „, Я.= -gradЯм.
I 3. Ячейки, полученные при пересечении эквипотенциальных
и векторных линий напряженности поля, должны быть подоб-
ными, т. е. отношение линейных размеров двух прилегающих
сторон каждой ячейки ка/кп должно быть постоянным для всей
картины поля, где Да — расстояние между двумя ближайшими
векторными линиями электрического поля, а Ди — расстояние
между двумя ближайшими эквипотенциальными линиями. При
этом обеспечиваются условия Коши—Римана, потенциалы удов-
летворяют уравнению Лапласа, а напряженность поля может
быть определена из отношения Д1//Дл.
Проводники имеют один и тот же электрический потенциал,
поэтому векторные линии электрического поля должны быть
перпендикулярными к контурам, ограничивающим сечение про-
водников.
Графическую картину рисуют вначале ориентировочно, стре-
мясь удовлетворить ортогональность векторных и эквипотенци-
альных линий, а также векторных линий к поверхности провод-
ника, затем картину исправляют так, чтобы удовлетворить подо-
бие ячеек, то есть До/Дл = const. Обычно для облегчения построе-
ния картины поля выбирают отношение Да/Ап = 1.
По картине поля рассчитывают в любой точке модели напря-
женность электрического и магнитного полей, величину вектора
Пойнтинга, мощность электромагнитного потока энергии, иду-
щей вдоль линии. Кроме этого, по картине поля определяют па-
раметры линии: емкость, внешнюю индуктивность и сопротив-
ление утечки.
В качестве примера приведем расчет поля в точке А и пара-
метров двухпроводной линии (рис. 9.10):
>
Ди иДл
злА
Лат
п - /и™ •
тпЛпЛа
р _
> * ТрЛ
пт
= ium,
ЛИН
т
где п — число эквипотенциальных промежутков; т число то-
ковых трубок.
К Для определения емкости электродов на единицу длины по-
лезно использовать представление о дискретной модели, постро-
енной из параллельно и последовательно включенных емкостей.
Емкость ячейки определяется как емкость плоского конденсато-
221
Рис. 9. II. Картина электромаг-
нитного поля двухпроводной ли-
Рис. 9.12 Картина
электромагнитного
поля коаксиально-
го кабеля
Рис, 9.13. Кар-
тина электро-
магнитного по-
ля несиммет-
ричной полос-
ковой линии
НИИ
. Да
ра Счч = е ч/—, емкость токовой трубки как емкость п последо-
Лл
вательно соединенных одинаковых ячеек С— =е_/-----, а ем-
лДл
кость линии емкость параллельно соединенных одинаковых
„ . тЛа
трубок С = £,./----
лАл
Дня определения поверхностной плотности зарядов на электро-
дах используется граничное условие D . - D = о. ов. Так как элек-
тростатическое поле в проводниках отсутствует, оП0В - D. = eM£„.
Сопротивление утечки линии определяют по аналогии с емко-
тЛа'
ЛАЛ ;
„ „ , , лАл
ныи поток, проходяшии между проводами линии L - \i2.l--
" лтАа
, а внешнюю индуктивность — через магнит-
стью R = у,,г/
На рис. 9.11...9.13 приведены картины электромагнитного по-
ля для двухпроводной линии, коаксиального кабеля и несиммет-
ричной полосковой линии, построенные по правилам графиче-
ского метода.
Глава 10
ПЕРЕМЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ, ИХ
РАСПРОСТРАНЕНИЕ, ИЗЛУЧЕНИЕ И ЭКРАНИРОВАНИЕ
10.1. Уравнения Максвелла в комплексном виде.
Волновое уравнение Гельмгольца
Объединим плотности токов проводимости и смешения:
Y эл ^э.1
+ JCOE эд Езп
Тогда при изменении векторов поля во времени по гармони-
ческому закону (в комплексной форме какел ) система уравне-
ний Максвелла в дифференциальной форме может быть приве-
дена к комплексному виду:
I =УсоёэлЁзд; Н-го1Ёэл =-ушцЯэл;
III. div/)., = 0; IV.divA„=0,
(Ю.1)
где Ё = е-/Уэл/с1) — комплексная диэлектрическая проница-
емость среды.
। В этом случае волновые уравнения преобразуются в уравне-
ния Гельмгольца:
?Чл+*Чл=о; у2яэя+а2яэл=о,
(10.2)
где к = <о^цэл(еэл - Лэл/03) ~ комплексное волновое число.
I Электромагнитное поле в условиях макроскопического на-
блюдения проявляет себя как непрерывно распространяющийся
с определенной скоростью волновой процесс (электромагнитные
волны) и как дискретный процесс в виде отдельных квантов —
фотонов с энергией И/квант = hf. Оно обладает массой, энергией и
импульсом В связи с этим комплексное волновое число может
быть выражено через квант энергии для эфира:
>2 , ч 2_ ^квант 1
Л =40 ЕоИо =—-2-----1=—Г1-------— =
h v* h v
2W тп
= т = 2—(W -U )
. ? ГП . 7 ' ПОЛИ 17 ПОТ/»
h h
где W -mv2 = hf = 2H'lf zn — инертная масса волновою
К1ШК11 J Кип 9
Кванта.
223
Таблица Kjj
Система координат Решения уравнения Гельмгольца
Прямоугольная (х. у, z) (Ле‘Лг + £е
Круговая цилиндрическая (г, ф, z) ^(АтГт(г^2-к2)^ + т +BmKm(r^k2. -к2)е^г)е^
Сферическая (г, 0, ф) Y^mJ„(kr) + P"(cos6)e^
Уравнения Гельмгольца приобретают вид, аналогичный урав-
нениям Шредингера для элементарных частиц (электронов, по-
зитронов, протонов и др.)? обладающих кинетической энергией:
V3£ + 2-^(1ГП0ЛН-ипт)Ё =0; V2H + 2-^(^пган - UtK„)H =0.
й* п
Уравнения Гельмгольца — векторные уравнения. Из курса
высшей математики известны общие решения скалярного урав-
нения Гельмгольца, например, в прямоугольной, цилиндриче
ской и сферической системах координат. В табл. 10.1 приведены
решения скалярного уравнения Гельмгольца, полученные мето-
дом разделения переменных.
Здесь Im(rJk2 - к2), Кт(г^к2 - к2) — модифицированные
цилиндрические функции Бесселя первого и второю рода:
Jn(rk), h‘„ 1 (rk) — сферические функции Бесселя первого и второ-
го рода; P„”(cosO) — присоединенные функции Лежандра.
При решении конкретной задачи, как и в случае потенциальных
полей из бесчисленного множества решении уравнения Гельмголь-
ца выбирают то, которое удовлетворяет условиям на границе разде-
ла сред, на бесконечно больших и нулевых расстояниях.
Переменное во времени электромагнитное поле распростра-
няется в пространстве в виде плоских, цилиндрических, сфери-
ческих, эллиптических, сфероидальных и других типов волн
Любая сложная волна может быть представлена в виде суммы
плоских волн.
10.2. Основные свойства плоских электромагнитных волн
Плоской называют волну, распространяющуюся вдоль ка-
кой-либо линейной координаты и неизменную в каждый фиксиро-
ванный момент времени в плоскости, перпендикулярной этой ко-
224
ординате. Предположим, что пло-
ская волна распространяется вдоль
оси z декартовой системы координат
(рис. 10.1), а вектор напряженности
электрического поля направлен по
оси х, т. е.
£,-0; £,=0.
Рис. 10.1. Поле плоской элек-
Рассмотрим основные свойства • тромагнитной волны
и характеристики плоских волн.
1. Вектор напряженности электрического поля удовлетворяет
волновому уравнению Гельмгольца (10.2):
V‘£x
д2Ех Ъ2ЁХ
•Л «Л-
дх2
2. Вектор напряженности магнитного поля перпендикулярен
вектору напряженности электрического поля Н±£ ..
Из 11 уравнения Максвелла (10.1) находим:
rot А = -~ёу = -jkEx€y = -jcop м Нуё
или
3. Отношение Ёх Ну [В]/[А] = [Ом] называется волновым
или характеристическим сопротивлением среды, определяющим
связь между векторами электрического и магнитного поля в пло-
ской волне:
= |г|еЛ‘.
(10.3)
Волновое сопротивление среды, а следовательно, взаимная
связь между векторами поля определяются параметрами про-
странства, в котором распространяется плоская волна, и часто-
той самой волны.
I п
Для воздуха Zf = 377 Ом, для проводящих сред Zc =
V Y ал
т.е. в проводящих средах вектор напряженности электрического
поля опережает вектор напряженности магнитного поля по фазе
на угол я/4.
с Ьашарпи
225
4. Векторы Е^,Н и Пзд взаимно перпендикулярны, т.е.
-Ь^элЛ-Пэл-
5. Комплексное волновое число:
к = -~7ы/ы) = Р - 7«>
где р — коэффициент фазы; а — постоянная затухания, опре-
деляет характер изменения амплитуды и фазы напряженности
плоской волны с расстоянием z:
Ёх = Е^е^е*0'-™; Ну = Н туйК*Ла,~м.
6. Фазовая скорость волны — скорость перемещения фронта
волны фиксированного значения фазы со/ - $z - const вдоль
направления распространения волны, т.е. г<ь = или <o^t ~
- pdz = 0:
"ф =
dz
cl/
2п Уф
7. Длина волны X — расстояние, на котором фаза волны изме-
няется на 2л, т. е. рХ = 2л, или X =
8. Явление поверхностного эффекта заключается в неравно-
мерном распределении переменного электромагнитного поля в
проводящей среде из-за затухания электромагнитной волны
(рис. 10.2). При этом происходит неравномерное распределение
плотности тока и магнитной индукции; в установившемся режи-
ме эти величины имеют максимальные значения у поверхности
Рис. 10.2. Поверхностный эф-
фект
проводника.
Расстояние, на котором ампли-
туда вектора Е или 2/эп волны в
проводящих средах уменьшается в
е = 2,71 раз, называется глубиной
проникновения и обозначается
символом А:
2
“Р эл У эл
В большинстве случаев поверх-
ностный эффект вреден, так как
увеличивает электрическое сопро-
тивление переменному току и маг-
226
нитное сопротивление перемен-
ному магнитному потоку. По-
верхностный эффект может быть
и полезен, например, в установ-
ках для индукционного поверх-
ностного нагрева и закалки, в
электромагнитных экранах.
9. Вектор Пойнтиыа опреде-
ляет направление и величину по-
тока электромагнитной мощно-
сти, проходящей через единицу
поверхности (1 м?) в направле-
нии распространения волны.
10. Поляризация волны — за-
кон изменения направления и
Рис. 10.3. Поляризация волны
величины вектора напряженно-
сти электрического поля в данной точке пространства за период
колебания.
Пусть направление распространения плоской гармонической
волны совпадает с осью z- Разложим вектор £.,, в плоскости х, у
по двум взаимно перпендикулярным направлениям (рис. 10.3):
£.хэл =ai cos (со? + <р,);
Е = a2cos(co/ + ф2),
где О], д,,<р.,<р2 — постоянные амплитуды и фазы ортогональ-
ных проекций вектора Езл.
Исключая из проекций Е . и £уэ, временной множитель, по-
лучаем уравнение эллипса:
——cos (ф2-ф,) =sin (ф2 - ф,).
67167 2
При ф ? - ф- = ±— + пп оси эллипса совпадают с осями коор-
динат. Если а, - а2 эллипс преобразуется в окружность, при
ф, -ф| =0 — в прямую, т.е. эллиптическая поляризация волн
становится круговой или линейной.
Обозначая 1лавные оси эллипса через а и Ь. а угол, который
составляет большая ось эллипса с осью х, через ф. легко найти
следующие соотношения:
’ . L 2 2 2
а' + о -а{ + о2;
tg2v = 1й2псо5(ф2 -ф();
sin 2а = sin 2т]$т(ф2 - ф!)
b а?
ruetga = —; tgn = —.
а а{
227
Любая волна может быть представлена в виде суммы плоских
волн. Так, цилиндрическая и сферическая волны как интегралы
Зоммсрфельда:
K0(-jkk^x'
+ Z )= [-------cosXxdX;
о
^~JkR ~p-U+*)h*
С----= Г--------
R I нк 0
где А = * У2 + (Z + к)2.
10.3. Отражение и преломление плоских электромагнитных
волн на границе раздела двух сред
При падении плоской монохроматической электромагнитной
волны на границу двух сред с различными свойствами [261 воз-
никают преломленная и отраженная волны.
Пусть граница раздела между двумя однородными средами
совпадает с плоскостью z = 0 декартовой системы координат.
Среды, расположенные сверху (z < 0) и снизу (z > 0) от границы,
обладают соответственно параметрами е,л1, Ц,л1, упр1 и Езл2>М-эл2’
у 2. На эту границу из верхней среды падают под углом <р к оси z
волна с вертикальной поляризацией (рис. 10.4) и волна с гори-
зонтальной поляризацией (рис. 10.5).
При наклонном падении волн используют понятие плоскости
падения. Плоскостью падения называется плоскость, в которой
лежат вектор Пойнтинга, совпадающий с направлением волны, и
нормаль к границе в точке паления. При этом линейно поляри-
зованные волны условно подразделяют на вертикально и гори-
зонтально поляризованные волны. Поляризацию волны опреде-
ляют по вектору напряженности электрического поля £эл. Если
вектор напряженности электрического поля £эл лежит в плоско-
сти падения (рис. 10.4), то говорят, что волна поляризована вер-
тикально, если же £эл перпендикулярен плоскости падения и.
следовательно, параллелен границе раздела, волну называют го-
ризонтально поляризованной (рис. 10.5).
Задача на отражение электромагнитной волны от плоской
границы раздела сред состоит в нахождении углов, определяю-
щих направления распространения отраженной и преломленной
волн, и определении их амплитуд или связанных с ними коэф-
фициентов отражения и преломления.
228
рис. 10.4. Отражение и пре-
ломление вертикально поля-
ризованной волны
Еэл1» Мэл1* Упр!
Еэл2» Р-зл2* Ynp2
Законы, определяющие углы ср^, <рпр> называются законами
отражения и преломления Снеллиуса, а формулы для определе-
ния коэффициентов отражения и преломления — формулами
Френеля.
Для определения этих законов воспользуемся общими реше-
ниями уравнения Гельмгольца для плоских падающих волн.
Рис. 10.5. Отражение и пре-
ломление горизонтально по-
ляризованной волны
У(соГ-Л]7).
»
229
Так как указанные решения определены для обеих сред, то при
плоской волне, падающей на плоскую границу раздела сред, отра-
женная и преломленная волны будут также плоскими:
с _ р о - l/r
^отр Х/тотр*' ’ ж/стр у ^отр>
С _ Г _ Г* a LJ _ Z/ ___ 1 Г*
^пр “ *^2 ^/лпр® > ** пр ** 2 у ^пр-
Zr2
При z = 0 должны выполняться граничные условия, заклю-
чающиеся в непрерывности тангенциальных составляющих век-
торов электрического и магнитного суммарного волнового поля
и непрерывности нормальных составляющих индукции, т.е. ра-
венств:
Г Г ~ Р
"Г -^отрт ^прт’
отрт
прт >
^пп ^отрл
&прп >
ПЛ ** ^отрл "прл ’
Для дальнейшего рассмотрения задачи представим расстоя-
ния распространения волн через координаты и направляющие
углы:
падающей волны от источника до границы / = xsinep + Л cos ср;
отраженной волны от границы до данной точки верхней сре-
ды /] = (х — 00 ) sin <рОТр +zcos(pOTp;
преломленной волны от границы до данной точки нижней
среды 12 = (х - 00') sin (рпр + zcos<pnp.
Подставляя выражения для комплексных амплитуд и расстоя-
ний в граничные условия при z = 0, получаем:
для волн с вертикальной поляризацией
coscpE^e^ -cos<pnpEraOTpe w = coscp npEmnpe
£i sin<pEmnez)f + e, sin<po1pEmOTpcw = e2sin<pnpEmnpe “
для волн с горизонтальной поляризацией
coseptf^e -cos<pOTF^raoipe = cos<pnp//mnpe
+ ^отр = пр >
+plsin<pOTptfmowe w = p2sin<pnpffmnpe'"т/.
230
Уравнения удовлетворяются при равенстве частот падающей,
отраженной и преломленной волн со „ = со<щ, = со -г, углов паде-
ния и отражения волн <р = ф^, и выполнении соотношения
sin ф Л 2
sin ср пр к}
Итак, направления отраженных и преломленных волн опреде-
ляются законами Снеллиуса: законом отражения ф = ф 0 и зако-
sin ф kt
ном преломления-------= —
Г 5Шфпр к,
С учетом этого из систем равенств для коэффициентов отра -
жения и преломления Френеля находим:
для волн с вертикальной поляризацией
_ _ ^1 СОБф - Zc2 COS фпр
Етп Zfl COS ф + Zf2 COS ф пр "
jy _ ^mnp _ | _ у 2Zc2 COS ф пр
Zd Cos Ф + Zf2 COS ф np ’
для волн с горизонтальной поляризацией
V' = Нто^ = Z| 2 COS(p ~ Zfl COS(?np .
Нтп Z..J СО8ф + Zd СОЯфпр ’
(10.46)
jy * _ mnP — J + у * - ^Zd COS<P"P________
Ятп Zc2 СО5ф + ZfI СОБфпр ’
В многослойных средах отражение и преломление плоских
волн от границ осуществляются по тем же законам, что и от од-
ной границы.
В результате наложения падающих и отраженных волн в верх-
ней среде и преломления падающих волн в нижнюю среду векто-
ры напряженности электромагнитного поля в верхней и нижней
средах составят:
для волн с вертикальной поляризацией
£, = £re‘A,(xsin’+*“”>[cosq(l - Иел'СО5ф)ёх - sin <р(1 + Иел'гс™ф1ё,];
^=^-Ё„(1 + К)с,;
Ё2 = »ГЁ„(со5фПрёх _sinфёг)e‘л,,<>(>’”nф+*€os’”eЛI,(’г“00)sin’,ф+гc“*,ф,
^2 = ~^~^2еу>
zc2
231
для волн с горизонтальной поляризацией
Н, =Япе-л'(х“П9+Асте,р1-со5ф(1-К*еЛ1гсо5,р)ёх +
+siny(l + И’е-/*,гс“ч’)ё.];
А =7С1ЯП(1 + И*)е-,;
Я2 = ^‘/?n(-cosynpex +
+5шуег)е
-/A^OO'sinip+Acosv) IsinVnp+ZCOS^npl
~ ^c2^2ey
Решения могут быть использованы для расчета векторов поля
в верхней и нижней средах.
Отметим одну особенность результирующего поля в верхней
среде. В воздухе при отражении падающей волны от идеально
проводящей плоскости (Zc2 = 0) коэффициенты отражения:
ZC1 cosy - Zc2 cosупр
Zcl cosy + Zc2 cosynp
«1 и V' =
Zc2 cosy - Zfl cosy „p
Zc2 cosy + Zc) cosy^
В результате наложения падающей и отраженной волн образу-
ется суммарное поле с периодически изменяющимися вдоль оси
z составляющими векторов напряженности электрического и
магнитного полей:
для волн с вертикальной поляризацией
= £ne-yMxsinv+Ac“”[cosy(l -ey*1ZC“’)ex - siny(l + e'*1ZCOS’)eJ =
j. .
= £пе~у*1(хяп,ркАс“91еУ2Ф2[-jcosysin( fc]ZCosy)B ; -
- sin у cos(— k\ z cosy)e ],
^=-Мп(1 + К)ё,=-^-£пё,;
Zcl Zcl
232
для волн с горизонтальной поляризацией
Я, = 7?l,e_^*,<’tsn***c“’,[-cosq»(l + + sin <р(1 - е'*'г cos ф )ёг | =
Дл-cos 1
= Япе’^Нх5ШЧ,+А ° * е <₽2[-cosq)sin(~/rl^cos(p)ex -
-j sin ср sin(~ k^z cos <р)ег
A = Zd//n(l + V’)ёу- Z^LZc2Hney.
cos<pnp
На расстояниях z, на которых аргументы тригонометрических
функций
.^fcj2cosq> = при р = 1, 2, 3 т.е. z = ——р = ----р,
2 2 Л| cosw 2cos<p
нормальные составляющие векторов волн с вертикальной поля-
ризацией и горизонтальные составляющие векторов волн с го-
ризонтальной поляризацией равны нулю.
n 1 , 2л X
При — х,гсо5<р = пр, т.е. z =-----Р =-----Р, горизонталь-
2 к costp costp
ные составляющие векторов волн с вертикальной поляризацией
и нормальные составляющие векторов волн с горизонтальной
поляризацией также равны нулю.
Поэтому на любом из этих расстояний можно, не нарушая
структуры поля, расположить верхнюю идеально проводящую
плоскость и получить направляющую систему из двух параллель-
ных идеально проводящих плоскостей.
Параметр р определяет порядковый номер волны, ее мода.
Вдоль оси х такой направляющей системы распространяется
поток мощности электромагнитного поля с удельной плотно-
стью:
для волн с вертикальной поляризацией (рис. 10.6)
„„ sincpcos -Tqzcoscp ;
для волн с горизонтальной поляризацией (рис. 10.7)
П* = Z(H^n sin <рsin
-£,zcos<p .
Эта особенность структуры электромагнитного поля использу-
ется в замкнутых металлических волноводах. Высота и ширина
волновода выбираются исходя из необходимого двузначного (по
высоте и ширине) порядкового номера молы волны, возбуждаемой
в волноводе, обеспечивающего равенство нулю тангенциальных
составляющих вектора напряженности электрического поля и нор-
233
Рис. 10.6. Графики изменения
поля над проводящей поверх-
ностью для волн с вертикаль-
ной поляризацией
Рис. 10.7. Графики изменения
поля над проводящей поверх-
ностью для волн с горизон-
тальной поляризацией
мальных составляющих вектора напряженности магнитного поля
внутри волновода на его стенках. В металлических волноводах в со-
ответствии с существующими двумя типами вертикальной и гори
зонтальной поляризации распространяются волны двух типов — Е
и Н.
Волны типа Е имеют составляющую вектора напряженности
электрического поля, параллельную вектору Пойнтинга, а волны
типа Н магнитного поля.
Из выражения для коэффициента отражения следует, что су-
ществует такой угол падения волны, при котором коэффициент
отражения для волн с вертикальной поляризацией равен нулю.
В этом случае вся энергия падающей волны переходит во вторую
среду в виде энергии преломленной волны. Этот угол, при паде-
нии под которым вертикально поляризованная волна не отража-
ется, называют углом полного преломления, или углом Брюстера.
Z. > costp - Zr- cos<pnp
Коэффициент отражения V =---------------------- - 0 при
Zrl cos<p + Zc2 cos ср „р
равенстве нулю числителя отношения, т. е. при условии
Z(l costp = Zcl cos<pnp.
Из этого тождества с учетом закона преломления находим:
cosep = —cos <рпр =
1 —^sin: (р =
*21 2
234
^=- [1 - —тг(1 - COS2 ф) =
у 'и » 2
£2 Ц2£2 - Ц|£,
Pi Ё2 - ё2
В диэлектрических средах без потерь costp =
преломления <рп
л
— tp, так как
, а угол
. sin (рпр
= costp.
В средах с потерями при угле полного преломления коэффи-
циент отражения по модулю не равен нулю, а достигает только
минимальной величины.
Волны с горизонтальной поляризацией при любом угле паде-
Z-2 costp - Z ,| costp
— * 0. Числитель коэф-
пр
фициента отражения обращается в нуль только при Z} = Z2,
т.е. когда отсутствует граница раздела°
При известных параметрах сред и заданном угле падения вол-
ны угол преломления можно определить из закона преломления:
• Го
sin tp = Re —
k ^2
ния отражаются: И* =
Zcl costp + Zcl costp
sinq>np =sin(Re9np +у1тфпр) = -^
*2
sin ср.
• «
При соблюдении неравенства /с, £ к2 всегда можно подобрать
угол падения Ф =<ро, при котором sin(Retp 1р) = 1, a Retp
пр 2>
преломленная волна распространяется параллельно границе раз-
дела. Этот угол называют предельным углом полного внутренне-
го отражения:
ch(Imtp )
sin tp =-----—
Re^
^2
Явление полного внутреннего отражения сопровождается воз-
никновением в нижней среде преломленной волны, распростра-
няющейся вдоль границы раздела сред с волновыми числами по
осям х и г-
х2 = к2 sin ф
= к2 sin —
= А25ш(Кефпр + у1тфпр) =
у Чтф,,,, | = Л2сЬ(1тфпр);
к
235
kz2 =^2cos<pnp = £2cos(Re<pnp + ./1тфпр) =
=-уЛ2511(1т<₽пр).
Преломленная волна в направлении, перпендикулярном гра-
нице раздела, вдоль оси z, затухает по экспоненте
- p-^2shflm1>in>)
С —* V
Волна как бы «прижимается» к верхней среде, обладающей
большей величиной волнового числа, чем нижняя среда. Волны
такого типа называют поверхностными, или боковыми.
Вся энергия преломленной волны возвращается в верхнюю
среду. Эта особенность распространения электромагнитных волн
используется, в частности, при создании радиосвязи между под-
земными объектами, удаленными друг от друга на расстояния, во
много раз превышающие глубину проникновения волны в
грунт. В этом случае прямые волны значительно затухают, пре
ломленные же волны, проникая из грунта в воздух, распростра-
няются вдоль поверхности земли в воздухе, где тепловые потери
волны минимальны, на значительные расстояния.
Кроме того, боковые волны используются в диэлектрических
волноводах, где преломленная волна, возвращаясь в диэлектри-
ческий волновод, вновь преломляется в воздух с другой стороны
волновода.
10.4. Излучение
Электромагнитное поле элементарных осцилляторов. Под из-
лучением понимается перенос (передача) электромагнитными
волнами энергии из области, включающей источники, в окру-
жающее пространство. На основании закона сохранения энергии
мощность излучения определяется значением потока среднего за
период вектора Пойнтинга через замкнутую поверхность этой
области: Рнм = оПсКУ.
Излучение электромагнитной энергии происходит при воз
никновении волнового процесса. Вектор Пойнтинга в комплекс-
ной форме имеет действительную и мнимую части:
П=1[ЁМ х Ям] = 1ке[/эл х Яэл]
х Нм\.
Действительная часть вектора Пойнтинга характеризует пере-
нос энергии через единичную поверхность, а мнимая часть — ко-
лебание энергии через ту же поверхность. Удельная реактивная
236
мощность — lm[£ л х источника не отрывается от него,
2
пульсирует с удвоенной частотой; удельная активная мощность
J Re[£ л х Яэ_] покидает источник. Средняя за период величина
удельной реактивной мощности равна нулю. Значение среднего
за период вектора Пойнтинга определяет удельную активную
мощность:
n=Ren=|Re[iM хЯм].
fc*
Мощность излучения равна активной мощности, выходящей
через замкнутую поверхность 5:
=|fRe(^ x//Jd5.
Излучение энергии осуществляется различного вида антенна-
ми, состоящими из элементарных электрических или магнитных
осцилляторов [27].
К элементарным осцилляторам (вибраторам) (рис. 10.8) отно-
сятся элекгрический диполь в виде круглого плоского проводни-
ка бесконечно малой длины, магнитные диполи — одно- или
многовитковые рамки, узкая щель в проводящем бесконечно
протяженном экране, элемент Гюйгенса — элемент поверхности
плоской площадки волнового фронта с одинаковыми величина-
ми амплитуд и фаз возбуждающих их токов.
Предполагается, что геометрические размеры элементарных
осцилляторов малы по сравнению с длиной волны образованно-
го ими в окружающем пространстве электромагнитного поля
Рис. 10.8. Элементарные осцилляторы
а — электрический диполь; б — щель; в — рамка; г — элемент Гюйгенса
Электромагнитное поле элементарных осцилляторов в сфери-
ческой системе координат определяется через векторные потен-
— — е-/кг —. — е~
циалы: А., = Рэя —— и А „ = Ри ——, где Рэл — электрический
4пг 4лг
момент; Рм — магнитный момент осцилляторов.
С учетом условий Лоренца векторы Е и в комплексной
форме равны:
= rot Аэл; Ёзл = grad div/4M );
e J .. <10-5>
Ёзл — rot Азл 5 “ -А^зл ^эл + . •» l?rad div>43n
I к ~ J
В сферической системе координат при вертикальной ориента-
ции моментов осцилляторов по направлению оси z после подста-
новки векторных потенциалов Л, и А в выражения (10.5) и
дифференцирования получаем:
для элементарного электрического осциллятора
b 1 + jkr . - ; -
5зл — smO/l23JIe ,
г
~т . __ 1 + кг __
= >мпйЛ„лев +—— ----------------~(2cosOe, + sin де0)/4гэл;
jax. эл ц эл г
для элементарного магнитного осциллятора
Нзя - sin ОЛ*мёе +---------------i-^-Ucosеё, + sin Оёв)Л.ЭЯ;
/сорэлг‘
(10.6)
Ёзя = 1 sin еЛг’элёф.
Любую реальную излучающую систему можно представить в
виде эквивалентных элементарных осцилляторов (диполей).
Рассмотрим основные свойства электромагнитного поля
эле к гричес кого_осциллятора.
1. Векторы и Нм в любой точке пространства взаимно
перпендикулярны: Ёзп = Егэяёг + £вэлёв; Нзл =
2 Составляющие Е..а ,Е^,М и Н„ , не зависят от координаты
(р, т.е. поле является симметричным относительно оси z, прохо-
дящей через ось диполя.
3. Фазы /Рг составляющих векторов поля не зависят от поляр-
ного угла тЭ, а только от расстояния г, поэтому поверхностями
238
равных фаз являются сферические поверхности с центром в точ-
ке расположения середины диполя.
_ 4. Векторными линиями напряженности магнитного поля
Н , ~ являются концентрические окружности, парал-
лельные экваториальной плоскости хОу, с центрами на оси дипо-
ля.
5. Векторные силовые линии напряженности электрического
поля Е , = Егэег + £„я|ёв, Ev м = 0 лежат в меридиональных
плоскостях.
6. Комплексный вектор Пойнтинга имеет две составляющие
Пв и Пг:
П=|1£элхЯм] = 1[(£гэлёг
Х ^фЭЛ^ф
у (^гэл^фэл^д т ^дэл^фэл Qr ) ПфСф +ПГСГ.
Составляющая вектора Пойнтинга Пв лежит в меридиональ-
ной плоскости осциллятора, Пг направлена радиально:
_ 1а 1 + ar + jfir . l + ar - jfir . л :
•) ^гэл-^фэл — . 2 COS# ^гэл ' sin0Лгэл —
2 jcoe^p^r2 Ф эл
32л2 ДоЁздГ5
32 л2
ЛФэлО+
б ЭЛ
(1 + аг)2 +р2г2
>ЁЭЛГ5
sin2 Ое
-2аг
В меридиональном направлении в среде без потерь излучение
энергии не происходит, так как вещественная часть КеП п = 0 а
имеет место периодическая пульсация с удвоенной частотой ре-
активной удельной мощности потока:
Пв =
yZ2d/2 1 + р2г2
32л2 ЙСэлГ5
sin 20.
Эта реактивная часть удельной мощности потока имеет емко-
стной характер
В проводящих средах усоёэл = у ,л, поэтому
(L+ar)l + ₽±г 2
32 л2 Уэл^
sin 2i3p',n''.
239
Рис. 10.9. Излучение элемен-
тарного электрического осцил-
лятора
Величина Пй — действитель-
ная, а энергия электромагнитно-
го поля переходит в тепловую
энергию. Основной поток П
проходит в непосредственной
близости к диполю и фактически
полностью затухает на расстоя-
ниях г, равных глубине проник-
новения.
Радиальная составляющая Пг
всегда имеет действительную и
мнимую части. В проводящих
средах, как и П 0, она фактически
полностью затухает на расстоя-
ниях г, равных глубине проникновения. В средах без потерь ре-
активная часть удельной мощности потока имеет емкостной ха
рактер при [Jr « 1 и индуктивный при ₽r » 1.
Действительная часть П г определяет плотность энергии излу-
чения. Полная мощность, которую излучает электрический ди-
поль в окружающее пространство, определяется всем выходя-
щим потоком Re П г через замкнутую сферическую поверхность
(рис. 10.9).
Мощность излучения определяется выражением
Ризл = |RelirerdS ^^sin2 MS =
Г 3 s| ^2пг sin tfrdO = ^мР гsjn _
{ 2 16л2г2 2 8л J
_ /„d/‘ сорзяР4 _ / 2d/2
2 8л 3 2 6л ‘
Как всякую активную мощность, мощность излучения можно
представить в виде произведения квадрата действующего значе-
ния тока на сопротивление излучения:
= ^Relire,dS = -т-Лщл-
Для вакуума 7?И1Л = = 790 _
6л Л
7. Направленность излучения антенны вообще и осциллятора
в частности, характеризуют коэффициентом направленного дей-
ствия D, (рис. 10.10), который определяется как отношение
плотности потока мощности в направлении О к плотности пото-
240
ка мощности создаваемого ги-
потетической ненаправленной
антенной Р 4пгпри одной
и той же мощности излучения
обеих антенн:
Renr . 1 3 . 2 а
1 =-----4кг =—sin 0.
Р 2
* нал **
I
Рис. 10.10. Диаграмма направлен-
ности излучения элементарного
электрического осциллятора
Зависимость £эл и И от на-
правления изображается поляр-
ными диаграммами направлен-
ности, длина радиуса-вектора на
них равна отношению напряженности в направлении О к на-
правлению, перпендикулярному оси диполя. В направлении оси
диполя излучения нет, в направлении, перпендикулярном оси
диполя, излучение максимально.
8. Ближняя зона соответствует расстояниям, малым по срав-
нению с длиной электромагнитной волны. В этой зоне можно
пренебречь запаздыванием и приближенные выражения для век-
торов Е и Н получаются такими же, как и для постоянного
поля.
В ближней зоне Pr « 1 напряженность магнитного поля соот-
С г- л /dZ . __ [/d/ X ёг]
ветствует закону Био—Савара Нэп =----sm Ое(, =------—, а
4кг - 4кг
электрическое поле аналогично полю электростатического дипо-
ля в средах без потерь £ =---------—-—(2cosfler + sin Оёс);
уоёэл4лг
ZdZcos £ . i d<y . a
Г/эл =-----—так как при £зд = £1Л и / = = -jaq; E,i:, =
у(1)£.э . 4пг* о»
<ydZ .. fldZcosi?
= -• —-----(2cos^er 4-sinOe^); U ЗЛ =-~—-----у,
4теотг 4геэдг
или полю диполя постоянного тока в проводящей среде при
Лпр
^ал J *
/dZ /п -- . /dZcosfl
— (2cosOe. +sin$e.,); (/,. = -------=-.
4пЁупрг3 4лупрг2
При синусоидальном токе в диполе^исходя из приближенных
выражений напряженности, векторы Езл и Нзл имеют сдвиг по
фазе на л/2 и определяют только реактивную мощность. Среднее
за период значение вектора Пойнтинга равно нулю, поэтому
9 Башарин
241
принимают, что в ближней зоне электромагнитное поле носит
реактивный характер и излучение отсутствует.
Мгновенное значение удельной электромагнитной мощности
изменяется по гармоническому закону с удвоенной частотой:
П(Г) = -^ЕЗД = 1 /wfZ у (2cosOe, + sin de J sin coz х
2 2 cor• 4nr
J Ju
- - sin d cos coze„
4 nr2
1
________tn________
2 сое 32л r
[(2cosf>er +siiided)x sin tfe^Jsin 2соЛ
В течение первой части периода тока энергия находится во
внешнем пространстве, а второй части периода — в источнике.
Поток мощности пульсирует в ближней зоне, не отрываясь от ос-
циллятора. Пульсация электромагнитной энергии эквивалентна
движению инертной массы, т.е. гравитационного заряда [16],
при гармоническом перемещении создающего переменное гра-
витационное поле ускорений и импульсное поле.
Следовательно, в ближней зоне одновременно с электромаг-
нитным полем образуется переменное гравитационное поле уд-
военной частоты.
9. Дальняя зона ₽г » 1 соответствует расстояниям, значитель-
но превышающим длину волны. В этой зоне напряженности поля
по величине обратно пропорциональны расстоянию, отношение
их амплитуд равно, как и в случае плоских волн, волновому со
противлению среды, реактивная мощность мала по сравнению с
излучаемой:
Вэл = jk sin ЬАZ3nё,; = > sin dJI3Jte 0.
10. Полемагнишого диполя подобно электрическому диполю
при замене Е , на Н и наоборот. Сопротивление излучения маг-
со4цэ,(ец) (15
нитных осцилляторов К - ——-------=------——---------про-
6л О7Г
порционально четвертой степени частоты, что определяет их пре-
имущественное использование на высоких частотах.
При ориентации векторных потенциалов осцилляторов вме-
сто оси z вдоль осей х или у в выражениях (10.6) зависимости со-
ставляющих векторов напряженности поля от расстояния г со-
храняются, а зависимости от ср и 6 изменяются (табл. 10.2)
Элемент Гюйгенса рассматривают как элементарный излучатель,
обладающий одновременно электрическим Р,_. (у) и магнитным
242
Таблица 10.2
е. С» e.
sin <₽ -sin (рёс — cos dcostpe^ соБфё* -cos Osin фёф
- sin Oeo cos ф cos -sin<pe9 sin <p cos de* -h cos Осф
-2 cos Осг 2 cos ф sin Oef 2 sin ф5т Оёг
А, , (у) моментами. При ориентации электрического момента
вдоль оси х, а магнитного момента вдоль оси у результирующее поле
в прежней сферической системе координат определяется векторной
суммой полей двух элементарных осцилляторов.
Электрический и магнитный моменты элемента Гюйгенса оп-
ределяются через тангенциальные компоненты векторов напря-
женности магнитного и электрического полей:
Алх(>’) = Р„у(у) = -Ё0&5.
Между собой компоненты векторов взаимно перпендикуляр-
ны, а их отношение равно волновому сопротивлению среды.
Электрический осциллятор элемента Гюйгенса с моментом,
направленным вдоль оси х, образует в любой зоне поле с напря-
женностью
~ 1 + jkr _
Е , = -[уел(costpcosйе -51Пфеф) +-—-----(2costpsin Йе, +
• в
+costpcosf)ee - sintpe,.)]//);
4кг
Ha
//osin A5(sintpee + costpcos^e^)
е J
4nr
Магнитный осциллятор с противоположно направленным
вдоль оси у моментом образует поле с напряженностью
_ 1 ikr —
= [jcoe n(sintpcos$ee + costpe ) +-— (2 sin Osintpe, +
ЛФэлГ
_ _ • e
+51П1рсо5йе.. +со5фе ))£'0Д5-------;
4лг
а 1 + jkr. - . х а . с е
Е =—-—(Совфед - sin tpcos Ое,,)/, Лд-
•* Л
В дальней зоне результирующее поле элемента Гюйгенса^ ис-
ходя из общих решений, составит
243
Нзл =-;юёэл (cos О + l)(sin«pe0 + costpe^JjE'oA^
4 яг
— __ _ e-J&
Езп = ~/fc(cosd + l)(coscpe0 - sin (pe )E^S ——
4nr
Векторы в зоне излучения не имеют радиальных составляю-
щих, они взаимно перпендикулярны, а отношение их модулей
равно волновому сопротивлению среды. Электромагнитное поле
элемента Гюйгенса отличается от поля элементарных осциллято
ров по направленности векторов: в осцилляторах векторы про-
порциональны sin О, причем угол О отсчитывается от их осей, в
элементе Гюйгенса — пропорциональны (1 + cos г>), а угол yz от-
считывается от направления внешней нормали к поверхности.
Диаграмма направленности элемента Гюйгенса в плоскости yz
определяется функцией (1+cosyz), представляющей собой кар-
диоиду. В результате вращения кардиоиды вокруг оси z получает
ся пространственная диаграмма направленности элемента Гюй-
генса (рис. 10.11). Коэффициент направленного действия равен
3 при одностороннем излучении.
Линейный симметричный электрический вибратор. Первым по
сложности в сравнении с элементарным электрическим вибрато-
ром (диполем) является линейный симметричный вибратор. Он
представляет собой проводник некоторой длины 2/, возбуждае-
мый в середине источником электродвижущей силы, изменяю-
щейся по гармоническому закону. Размер поперечного сечения
проводника 2а значительно меньше длины плеча вибратора /
(рис. 10.12).
В симметричном вибраторе, ориентированном вдоль оси z,
синусоидальное распределение тока с максимумом в его центре
7(z) = f„ sinp(/-|z|),
где J„ — амплитуда в пучности тока вибратора; / — длина плеча
вибратора; Р — коэффициент фазы тока в вибраторе.
На каждом плече симметричного вибратора выделим два эле-
ментарных электрических диполя dz, отстоящих от центра виб-
ратора на расстоянии z-
Токи в элементах dz совпадают по амплитуде и фазе. Для
дальней зоны можно принять г, = г, = r, Ar = r\ - г = -zcosd,
Ar = r -r = zcos$ и для напряженности магнитного поля двух
элементарных электрических осцилляторов на основании выра
жений (10.6) записать:
dtf = JLjn sin р(/ - |z|)d<e^r/efccose + e^^sin О.
4кг
244
Рис. 10.11. Пространственная
диаграмма направленности из-
лучения элемента Гюйгенса
Рис. 10.12. Линейный симметричный
электрический вибратор
Магнитное поле, образованное всеми элементарными излуча-
телями, определяется интегралом с пределами интегрирования
от нуля до /, т.е. по всей длине плеча вибратора:
sinр(/ - М)е->(е'*гс“в + e-ytacvsfl
о 4лг
_ у2 _jkr cos(A.7cosO) - cos 17
4nr 1 sin $
) sin Odz;
(Ю.7)
Структура поля линейного симметричного электрического
вибратора совпадает со структурой поля его элементарных дипо-
лей. Различие существует в направленных свойствах.
Из выражений (10.7) видно, что нормированная диаграмма
направленности симметричного вибратора определяется функ-
цией
_ I cos(A7 cos fl) - coski
F- sin О
гл
где F, — постоянный множитель, нормирующий функцию к
единице в направлении главного максимума.
Функция F(fl) не зависит от угла <р, следовательно, диаграмма
направленности представляет поверхность вращения вокруг про-
дольной оси вибратора, т.е. диаграмма направленности в эквато-
риальной плоскости является окружностью. В меридианной
плоскости она зависит от параметра к! = 2л—, т.е. относительной
л
длины вибратора.
Задаваясь различными величинами параметра 2л—, можно
Л
аналитически получить соответствующие диаграммы направлен-
ности линейного симметричного вибратора (рис. 10.13).
Анализ диаграмм направленности приводит к следующим вы-
водам:
245
Рис. 10.13. Диаграммы направлен-
ности линейного симметричного
электрического вибратора
при длине симметричного
вибратора 2/« X максимум из-
лучения перпендикулярен про
воду вибратора, диаграмма на-
правленности в меридианной
плоскости имеет лишь один ле-
песток, который тем уже, чем
больше относительная длина
вибратора;
при 2~ > 1 появляются боко-
ные лепестки, которые растут с
увеличением 2—, однако при
главный максимум все же перпендикулярен оси вибра
тора;
при
2 — = 2, 4, 6,..., т.е. когда по длине вибратора укладыва-
ются две или любое четное число длин волн, излучение в направ-
лении, перпендикулярном оси вибратора, отсутствует;
при 2 - > 2 с увеличением 2 — главный максимум прижимает
ся к оси вибратора.
В случае полуволнового вибратора 2—= 0,5 нормирован-
ная диаграмма направленности определяется функцией F(O) =
л
cos —cos О
=----------где нормирующий множитель F,, - 1, так как в
sin О
максимуме при $ = 90° функция равна единице. Пространствен
ная диаграмма направленности представляет собой тороид, не
много сплющенный вдоль оси ?.
Мощность излучения и сопротивление излучения определя-
ются, как и в случае элементарного вибратора, путем интегриро-
вания плотности потока мощности по замкнутой поверхности
сферы, охватывающей вибратор, в волновой зоне:
,ч 2
cos ш - cos kl Jnr sin 0 .,
-—rdd;
D
2'“VI
• _ 7 f(
8л2
23- = frT[Sin 2A7(Si4jt/ 2si2W) + COS fe,(°-577 + ln kl'> +
+ciW - Icilkl + 2(0,577 + Inkl - ci2W)l.
sinfi
246
Интеграл вычисляется с использованием тригонометрических
и специальных функций — интегральных синусов и косину-
сов [24].
На рис. 10.14 приведены графики зависимости сопротивления
излучения и коэффициента направленного действия линейного
симметричного электрического вибратора от длины его плеча [28].
Сопротивление излучения имеет максимумы при длине виб-
ратора, приблизительно равной длине четного ч пела полуволн, и
минимумы — нечетного. Причина возникновения минимумов,
например, при 2— = 1.5, — появление участка по длине вибрато-
ра с током про гивоположного направления, излучение которого
частично компенсирует излучение других частей вибратора с то-
ком основного направления.
Сопротивление излучения полуволнового вибратора 2— = 0,5
X J
равно 73,1 Ом, волнового вибратора — 200 Ом.
Коэффициент направленного действия линейного симмет-
п 120(1 -cos£/)
ричного вибратора D =------------- зависит от длины плеча
вибратора. Для коротких вибраторов D = 1.5, для полуволново-
го — 2,4. Максимальное значение КНД D= 3,15 при = 0.62.
Входное сопротивление линейного симметричного вибратора
определяется отношением комплексных амплитуд напряжения и
тока на его входных электродах:
Активная компонента
входного сопротивления харак-
теризует потери энергии на излу-
чение и тепловые потери в виб-
раторе, реактивная компонента
Л определяет реактивную
мощность в пространстве, огра-
ниченном «ближней зоной» виб-
ратора.
Инженерный метод расчета
входною сопротивления осно-
вывается на использовании тео-
рии длинных линий. Оно опре
Рис. 10.14. Графики изменения
сопротивления излучения и ко-
эффициента направленного дей-
ствия линейного симметричного
электрического вибратора от дли-
ны его плеча
247
деляется как входное сопротивление разомкнутой на конце двух-
проводной линии с потерями:
П __ . V __ _ _______sin 2(3/__
вх = sin2 ₽/ - R^Z] ’ “ ’ " 2 sin2 р/ + A^/Z2 ’
D Г I
где R, — сопротивление излучения вибратора длиной —, от-
А
несенное к амплитуде тока в пучности; 0 — коэффициент фазы
волны на вибраторе; Zc — волновое сопротивление вибратора,
определяемое из зависимостей Z = 12( In----1| при /«А и
а
Zr = 12of In - - 0,577 ’ при / > 0,25Х.
I о )
На рис. 10.15 приведены графики изменения входного сопро-
тивления (R и X х) от его относительной длины с волновыми
сопротивлениями 372 и 156 Ом.
Линейный симметричный электрический вибратор широко ис-
пользуется на практике в качестве приемно-передаюших антенн.
Излучение открытого конца прямоугольного волновода. Метал-
лические волноводы — наиболее распространенный тип линий
передачи электромагнитной энергии в диапазоне сантиметровых
волн. Волноводами обычно называют металлические трубы пря-
моугольного, круглого, эллиптического сечения, т.е. с любым
замкнутым контуром поперечного сечения. Трубы волноводов
стандартизованы. Размеры волноводов рекомендованы междуна-
родной электротехнической комиссией (МЭК).
а
Рис. 10.15. Графики изменения входного сопротивления линейного
симметричного электрического вибратора от его относительной длины:
а — активного; б — реактивного
248
Открытый волновод рассматрива-
ют как плоскую излучающую поверх-
ность, состоящую из синфазных эле-
ментов Гюйгенса, ограниченную пря-
моугольным контуром. Направлен-
ность излучения зависит от площади
излучающего отверстия, называемого
Рис. 10.16. Структура элект-
ромагнитого поля в попереч-
ном сечении прямоугольно-
го волновода для волны Я10
апертурой, а также от характера рас-
пределения амплитуд и фаз, возбуж-
дающих их полей.
Волноводы прямоугольного сече-
ния обычно возбуждаются таким об-
разом, что в них распространяется поперечная волна основного
типа Я10, а возникновение волн высших типов исключено. Это
достигается соответствующим возбуждающим устройством и вы-
бором сечения трубы. Возбуждающими устройствами в боль-
шинстве случаев являются различные модификации электриче-
ского осциллятора, магнитного вибратора в виде рамки с током
или отверстия связи в боковой стенке. Рабочие длины волн в пе-
редаваемом спектре частот и широкая внутренняя стенка волно-
вода а находятся в соотношении а < Хра6 > 2а. При передаче по
волноводу требуемого спектра частот исходят из условия:
а = 0,75Храб, где Хгаб — средняя длина волны рабочего диапазона
антенны. Узкая стенка обычно равна примерно половине широ-
кой стенки, но может быть и меньше.
Структура электромагнитного поля (рис. 10.16) в поперечном
сечении прямоугольного волновода для волны Н} характеризу-
ется составляющей вектора напряженности электрического поля
Ё , ориентированной параллельно узкой стенки волновода, и со-
ставляют ей вектора напряженности магнитного поля Ну, ори-
ентированной параллельно широкой стенки волновода
Составляющие Ёх и //, неизменны вдоль узкой стенки волно-
вода, т.е. вдоль оси, и изменяются по синусоидальному закону
вдоль широкой стенки волновода:
£х(у) = £0sin1 — е Лг‘’;
к а
Ну(у) = ^osini — е
I a J
« •
где £ , Н— максимальные значения векторов в центре широ-
кой стенки волновода; к — волновое число волны Н 0, распро-
страняющейся внутри волновода вдоль оси z,
В излучающем отверстии волновода действительная картина
распределения полей несколько отличается от рассмотренной,
249
но это сказывается только при оценке тонкой структуры излуче-
ния и может быть опушено.
Открытый конец волновода может излучать в воздушное про-
странство, в диэлектрик и полупроводник.
Так же, как на разомкнутом конце длинной линии, происхо-
дит отражение и от открытого конца волновода. Коэффициен-
ты отражения и преломления Френеля находим из выражений
(10.4а, б) при <р = 0, т.е. при нормальном падении волн на грани-
цу раздела двух сред с волновыми сопротивлениями Ztl, Zt2:
для волн с вертикальной поляризацией
для волн с горизонтальной поляризацией
тотр
мп
Коэффициенты отражения определяются экспериментально.
Они равны по величине и противоположны по знаку. Их при-
ближенно вычисляют, рассматривая волновод как длинную ли-
нию с волновым сопротивлением Z, (, нагруженную на волновое
сопротивление свободного пространства Zc2.
Тангенциальные составляющие напряженности поля в раскры-
ве волновода найдем, складывая падающую и отраженную волны:
Ёх(у) = sinf£osin'^Vy*‘z;
I a J Zci+Zc2 \a)
Hv(y) = W*H tsin \e~jk'z
( a )
HQ sin
g 7
Отношение тангенциальных составляющих электрического и
магнитною полей во всех точках раскрыва остается вел ичиной
постоянной:
где р — сдвиг фаз между напряженностью электрического и
магнитного полей. Обычно принимают cosp = 1.
Раскрыв волновода представим в виде системы одинаково
ориентированных элементов Гюйгенса с моментами:
250
Ку ( J )
Ес sin — Л5;
а ;
Яо sin] — Д5О
! а
Каждый бесконечно малый элемент поверхности Д5 с момен-
тами Рм/>’) и Р^(у) создает во внешнем пространстве в сфери-
ческой системе координат электромагнитное поле:
”7" _ — 1 + jlir _
Е = -[jw(cos<pcosfiee -sin<pce) +------------—------(2 cos ф sin tie, +
•/“ЁэлМэлГ
+cos ф cos Ле„ - sin фе ) j ————- Яо sin — Д5 p
Z.-7 + ^ci о ‘
е Jkr
4пг
5ЭЛ = -1 + Jkr 7 2Zc'7 Яо sinf — ц эд (si п фе 0 +
г Zc2 + Zcl \ а ,
4
J
(10.8а)
e~jkr
cos Ле ) ——
4лг
7/эл = [усоёэл(мпфС05Лев + со5феф) +
-1^-^(2япЛЙПфег +
>Иэлг‘
+ sin фсо$Лел + со5феф)]
Ео sin
e~jkr
4nr
4
У
(10.86)
£м = 1 4 ^kr (cos<pee -
_ . 2ZC, a . тгН e •
-sm ф cos Ле )—--£osm — Д5——.
Zrl + Zf2 I a , 4r.r
Поле системы всех элементов Гюйгенса определяется инте>-
рированием выражений (10.8а, 6) по всей площади апертуры.
На расстояниях от открытого конца волновода, соизмеримых
с длиной волны, а следовательно, и с поперечными размерами
самого волновода, векторы напряженности поля необходимо
рассч итывать по общим формулам в каждом конкретном случае
путем интегрирования их составляющих по всей площади попе-
речного сечения волновода.
Гак, при исследовании диэлектрика с высокой диэлектриче-
ской проницаемостью отношение волновых сопротивлений
стремится к нулю, коэффициент отражения — к единице, элек-
трический момент элемента Гюйгенса — к нулю, а магнитный
момент удваивается, что эквивалентно поверхностному распре-
делению по поперечному сечению синфазных элементарных
251
Рис. 10.17. Поле апертуры
прямоугольного волновода
магнитных диполей, каждый из
которых создает в ближней зоне
электромагнитное квазистатиче-
ское поле.
При исследовании электромаг-
нитного поля в дальней зоне от от-
крытого конца волновода, т.е. на
расстояниях, значительно превы-
шающих длину волны в свободном
пространстве и поперечные разме-
ры волновода, определяют состав-
ляющие векторов напряженности поля путем интегрирования
выражений (10.8) по координатам fl и <р от элемента Гюйгенса по
всей площади апертуры ab.
Выражения (10.8) определяют поле в безграничной среде от
каждого элемента Гюйгенса в сферической системе координат с
центром в самом элементе. При интегрировании по площади
апертуры центр сферической системы координат перемещается
относительно выбранного начала координат. За счет этого коор-
динаты г, А, <р получают приращения (рис. 10.17).
Учитывая, что ширина а и высота b волновода малы по сравне-
нию с расстоянием до исследуемой точки свободного пространства,
приращениями углов пренебрегают, приращение Аг определяют из
треугольника 00'С, как Ar - sin А(хсо5ф + у sintp).
В результате в выражения к углы при интегрировании не изме-
няются, а расстояние является функцией от х и у :
Г = r0 - sin А(хСОБф + у 5Шф),
где г0 — расстояние от исследуемой точки до начала выбранной
системы координат.
Составляющие векторов напряженности поля по осям fl и ф в
свободном пространстве от элемента I юйгенса, с учетом проти-
воположного направления вектора напряженности электриче-
ского поля по сравнению с направлением оси х составят
Ем = -_/co(cos<pcostfee -sin<pe )—----Ц—-//Dsin — Д5цэд ——;
Zc7 + Z d \ a J 4itr
27 . p-/*7
------c-—— 770sin — A5(sin<pee 4- cosipcostfe,.) ;
Zc2 + Zfl I a ) 4nr
= -ja)f3J1(sin<pcosi3e6 +со5<реф)- c2_—£osin
Tty
„, = -jA(cos<pe„ - sin <pcos fle )
Tty
" с Э r» • * | ж O’
„ £0 sin — Д5
cl ^e? ч '
e J
4/tr
252
При интегрировании векторов напряженности по всей поверхно-
сти апертуры волновода, принимая во внимание зависимость мо-
ментов элемента Гюйгенса от координаты у, как sin
Tiy
, и расстоя-
ния готх, у, как г = r0 - sin6(xcos<p + jsirup), результирующие со-
ставляющие этих векторов будут пропорциональны интегралу:
- jkr0+ jkx sin Ь cos<p+ jkysm О sin ф
jkb sin й соьф
я е jkr° 1-е
jka sin Л sin <p
a r0 £sinflcosq> rnY
к sin Osin (p- —
,4л е~уЬ’° sin(0,5A£sin ftcoscp) cos(0,5Arzsin f>sin<p)
a r0 Asinflcoscp 7 . . 2 / tA
A sin Osin (p -
\ a '
При вычислении интеграла принято:
Окончательные выражения для результирующих составляю-
щих векторов в дальней зоне от открытого конца волновода в
свободном пространстве при размещении начала сферической
системы координат в центре апертуры имеют следующий вид:
£фЭД = jcosin<p|i3JI(l + cosf))—--------—Ё&\ Ндзл =—— £фЭЯ;
Zd + Zc2 ^с2
£вм = ->Иэл cos<p(cosfl + I) —--------— £0С; Яфэл = £йэл-
Zcl + Zc2 zr2
В плоскости вектора Е при ср = О составляющие векторов на-
пряженности электрического и магнитного полей определяются
по формулам:
=wpM(cosfi +1)
. 4а е tr sin(0,5kbsin i?)
о ‘
Asin б
И — г
^фЭЛ “ у- J
Zc2
с?
= 0,Яйэл = °>
253
а в плоскости вектора Н при (р = к 2 — по формулам:
фЭЛ
= -соц ,u (cos V + 1)
2 „ 2lm е kr" cos(0,5&osin i3)
~7 + 7 0 а г ’
+ t'cl а Г0 , 7 . 7 „ I Л I
К' sin- б - —
\ a i
Оэл
-О,
= 0.
фЗЛ ’
Диаграммы направленности излучения открытого конца
прямоугольного волновода в свободном пространстве в обеих
плоскостях отличаются от диаграммы направленности элемента
г .. „ sin(0,5A7>sin £)
Гюйгенса в основном из-за разных множителей: —-----------—' и
0,5Aftsin д
cos(0,5£asin в) , . .
——---------—графики которых приведены на рис. 10.18.
ка оУ 1
— sin О -1
Фазированные антенные решетки- Для большинства линий
радиосвязи, как правило, требуется направлять поток излучен-
ной энергии в некотором пространственном угловом секторе.
В настоящее время широкое распространение получили остро-
направленные сканирующие антенны сверхвысоких частот (СВЧ)
[28]. Сканирование позволяет осуществлять обзор окружающего
пространства, сопровождение движущихся объектов и определение
их координат местоположения. В диапазоне СВЧ антенны создают
остронаправленное излучение с шириной луча в единицы и доли
градусов и имеют коэффициент усиления, достигающий десятков и
сотен тысяч. При этом улучшаются помехозащищенность, скрыт-
ное! ь и другие характеристики систем.
Рис. 10.18. Диаграмма направленности излучения открытого конца пря-
моугольного волновода
254
Для создания сканирующих остро-
направленных антенн применяются, в
частности, фазированные антенные ре-
шетки (ФАР). В качестве излучающих
элементов в ФАР используются вибра-
торные, полосковые, директорные,
волноводные и другие излучатели.
Одним из наиболее распространен-
ных типов ФАР являются линейные и
плоские решетки.
Рассмотрим подробнее линейную
решетку, состоящую из электрических
или магнитных диполей, расположен-
ных симметрично вдоль оси на рав-
ном расстоянии друг относительно
друга (рис. 10.19).
Предположим, что моменты дипо-
лей равны по амплитуде, фазе и ори-
ентированы по оси z- В дальней зоне
при г » Njiz электромагнитное поле
решетки определяется как результат
Рис. 10.19. Поле фазиро-
ванной антенной решетки
суммирования полей отдельных дипо-
лей (10.6). В этом случае векторы напряженности пропориио-
нальны У sm О,----.
Приближенно принимают &{ = £ и г\ = г + Аг, = г + /7. cosOdz.
Ряд У sin th---= sin t),--У e г 'c * приводится к про-
Г ' м
стому выражению
sin t)
г
cos О
так как £e-;/‘*/cos‘'
«1
представляет собой сумму членов геометрической прогрессии:
У.
- Jltkicos$
/=At
DO
-Jl^kiccK ft
g - JkMz cos О чу - Я.й/cos fl
/=1
= Л _ e-A2V.cosO
-jtzkicos О _ 0 c ~JkNz cos t j _ - Д cos fi j -1
255
В результате структура поля из N. диполей совпадает со
структурой одиночного диполя по всем параметрам, за исключе-
нием характеристики направленности.
Рели для одиночного диполя, ориентированного вдоль оси г,
она описывается тригонометрической функцией sin ®, то для ли-
нейной решетки она описывается произведением sinФ на мно-
житель решетки:
f(®) = sin 0
где второй сомножитель носит наименование множителя ком-
бинирования, или множителя решетки.
Числитель функции направленности sin (0,5kNJ: cos О) обра-
щается в нуль, когда аргумент синуса кратен п:
0,5kN.L cosv0„ =пп.
В соответствии с порядковым номером минимума функции
направленности п = 1, 2, 3... находим положение нулей cos®0„ =
2пп
~ kNJ ’
В направлении нормали к оси решетки ® = л/2 поля всех ди-
полей складываются арифметически:
. (kNJ
sin --—
2
F(®) = sin ®——
Sin —-I
COS®
cos®
kNJ,
---— cosO
2
kl.
—-cos fl
Ширина основного лепестка определяется при п = 1 как
п 2 л 2Х
= л - 2 arccos----=------.
kN, L NL
Формула отражает фундаментальное положение теории ан
тенн о том, что повышение направленности излучения антенны
возможно на базе увеличения ее размеров в сравнении с длиной
волны.
В характеристиках направленности наряду с главным лепест-
ком существуют и боковые (рис. 10.20).
Так, для получения остронаправленного главного лепестка
шириной 3 требуется решетка протяженностью 40 длин волн
256
Линейная решетка обеспечивает
увеличение направленности излучения
в одной меридианной плоскости. Для
увеличения направленности излучения
в пространстве применяют двухмерные
или трехмерные решетки.
Выводы справедливы для систем из
любых однотипных излучателей, в том
числе и из линейных симметричных
вибраторов.
Рис. 10.20. Диаграмма на -
правленности фазирован -
ной антенной решетки
10.5. Электромагнитное экранирование
Электромагнитные экраны применяют как для защиты от-
дельных элементов, блоков, устройств и целых комплексов раз-
личных электротехнических систем от внешнего переменного
электромагнитного поля, так и для ослабления внешнего поля
самих устройств. В качестве экранов используют металлические
оболочки. Общий метод расчета экранов состоит в определении
электрического и магнитного поля во внешней среде, стенке
оболочки и внутри нее и относится к числу сложнейших задач
электродинамики. В аналитическом виде решение возможно
только для оболочек совпадающих по конфигурации с одной из
известных координатных систем [29].
Экранирование электромагнитного поля открытыми прово-
дящими оболочками возможно за счет возбуждения в них то-
ков, создающих встречные компенсирующие поля. На основа-
нии закона электромагнитной индукции электродвижущая си-
ла, наводимая в проводящем контуре, равна отрицательной ско-
рости изменения магнитного потока, пронизывающего этот кон-
тур. Это говорит о том, что возникающая в контуре ЭДС вызыва-
ет в нем ток такою направления, при котором создаваемый им во-
круг контура вторичный магнитный поток препятствует измене-
нию первичного магнитного поля. В результате внутри контура
внешний магнитный поток ослабляется встречным вторичным
магнитным потоком. Ослабление поля зависит от сопротивле-
ния контура. В разомкнутом контуре ток отсутствует, а следо-
вательно, отсутствует и эффект экранирования. Поэтому обо-
лочки должны быть замкнутыми, в них могут быть окна, отвер-
стия, вырезы различной конфигурации, не нарушающие замк-
нутость контуров. Поперечные и продольные размеры отвер-
стий должны быть малы по сравнению с длиной волны. Этому
требованию^ в частности, удовлетворяют металлические сетки,
широко используемые на практике для экранирования поме-
щений-
На высоких частотах сопротивление проводящего контура
практически равно его реактивной части, т.е. индуктивному со-
противлению, пропорциональному частоте. С ростом частоты
увеличивается сопротивление контура, но пропорционально час-
тоте увеличивается и величина ЭДС. Поэтому на высоких часто-
тах ослабление поля мало зависит от частоты.
Коэффициент экранирования определяется как отношение
напряженности магнитного поля внутри экрана к напряженно-
сти внешнего магнитного поля.
На высоких частотах коэффициент экранирования стремится
к нулю. В этом случае встречный магнитный поток внутри эк-
рана полностью компенсирует внешний магнитный поток.
С уменьшением частоты внешнего электромагнитного поля
реактивное индуктивное сопротивление контура становится со-
измеримым с активной составляющей сопротивления, опреде-
ляемой тепловыми потерями в контуре. В результате ЭДС с по-
нижением частоты уменьшается быстрее, чем сопротивление
контура, вихревые токи и, следовательно, встречный магнитный
поток ослабляются, а коэффициент экранирования стремится к
единице.
В закрытых проводящих оболочках коэффициент экраниро-
вания существенно зависит от соотношения ее толщины и глуби-
ны проникновения волны. За счет поверхностного эффекта
внешнее поле дополнительно ослабляется.
Рассмотрим экранирующее действие металлическом оболочки
на примере бесконечно длинного поло! о тонкостенного цилинд-
ра (рис. 10.21) при воздействии на него плоских электромагнит-
ных волн с вертикальной (Ёу п = ое , Н „
-ejla) и гори-
о
зонтальной (Е п = ае х, Н>п = —е ) поляризацией.
При решении задачи воспользуемся векторными потенциала-
ми А'п - j^-eJkx, А.п =j — bskrt и разложением показательной
функции в ряд по функциям Бесселя в цилиндрической системе
координат с осью, совпадающей с осью рассматриваемого ци-
линдра:
е ' = е cns’ = I0(jkr) + 2£/r(#r)cosp<p.
p=i
В каждой среде решения для векторных потенциалов, имею-
щих в данной задаче только составляющие по оси z, находим в
виде бесконечных сумм:
во внешней среде
258
Рис. 10.21. Поле бесконечно длинного полого тонкостенного цилиндра
при воздействии плоских электромагнитных волн
ОО
Аг = 4»/оС/*0 + Aap!p{jkr + BOf)K p(jkr)cosp^>',
РА
в стенке оболочки
Л!г = A^l^jkr) + 2£ АУр1 p(Jkr) + ВУрК p(jkr}cospy\
p=i
внутри оболочки
ЯОг = Л20/0(Дг) + 2£ A2pIp(jkr) cos рю.
р-1
Постоянные коэффициенты В2р для внутренней полости ци-
линдра принимаем равными нулю, так как модифицированные
функции Бесселя второго рода К (Jkr) при малых аргументах
стремятся к бесконечности.
С учетом равенства дивергенции от векторного потенциала
определяем составляющие £, и Н в комплексной форме из
выражений (10.5):
^эл — ^эл ’ ^эл эл “ ГО! , 7/эл — ji’BT эл >4in в
Постоянные коэффициенты ЛОг, Л1р, Л2|, B(}f и В1г находим
из граничных условий на внутренней и внешней поверхностях
экрана.
В результате, опуская промежуточные решения, для состав-
ляющих векторов напряженности электрического и магнитного
поля внутри экрана получаем:
259
при воздействии волн с вертикальной поляризацией
Е2г = ~j A2 plp{jk2r)sin рц>;
Ы2г = -^-[A2010(jk2r) + 2£ A2pIp(jk2r)cos р<р]; (10.9а)
с2 р=1
^2Ф = A^I^jk^r) + 2£ A2pI'p{jk2r)cosp^\
Р=1
при воздействии волн с горизонтальной поляризацией
н2г = В2 pl (Jk2r)s\nyy,
<^2^1
Е2г = B20I0(jk2r) + 2£ B2pIp(jk2r)cospq>; (10.96)
р-1
Я2ф = y-[B2Ofo^2r) + 2£ B2pl'p(jk2r)cospq>],
с2 р=1
к г”
коч
1
0'1
~Л|<П“О)
р
с7
Решения (10.9 а, б) справедливы для любого бесконечно
длинного двухслойного цилиндра при воздействии на него пло-
ских электромагнитных волн с вертикальной и горизонтальной
поляризациями.
При вертикальной поляризации волн в оболочке и внутри ци-
линдра возникает вихревое электрическое поле при гори-
зонтальной поляризации волн — вихревое магнитное поле Я2ф,
создающее в этих средах встречное поле.
За счет проявления поверхностного эффекта в стенке метал-
лической оболочки происходит ослабление напряженности поля
260
в раз При толщине стенки, превышающей глубину
проникновения, внешнее электромагнитное поле не гроникаег
внутрь экрана, как и поле источника, размещенного в оболочке,
не влияет на внешнее поле.
Постоянные коэффициенты для трехслойной среды «воздух—ме-
таял—воздух» при р = 0 равны А20 = В20 =--д[(г , уе 7*|(п п'» а
2
при р * 0 пропорциональны ~~ (ксг\)р. Это говорит о том, что ради-
^cQ
альные составляющие векторов напряженности поля малы по сравне-
нию с круговыми составляющими этих векторов.
В результате внутри цилиндра составляющие векторов напря-
женности поля приближенно составят:
при воздействии волн с вертикальной поляризацией
АММ = ~------г
Zc2 I +
ЕЪ( = Ло^о(Лгг) - J'kir ~ е 1,1 Г? '
1 т t
при воздействии волн с горизонтальной поляризацией
Е„ - ! + е-*'1"
И ад*,г) = Jk->r—-------е
2ф Zc2 - Z,- 1 +
Внутри цилиндра Е2ч/, Н ,л не зависят от угла <р и пропорцио-
нальны радиусу, а продольные составляющие H2z,E2z постоян-
ны по всему сечению полости цилиндра (см. рис. J 0.21).
10.6. Электромагнитное поле элементарных осцилляторов
в многослойных средах. Боковые и нормальные волны
Рассмотрим электромагнитное поле бесконечно длинного
провола и элементарных осцилляторов, расположенных в /с-ом
слое плоскопараллельной среды, состоящей из л+1 однородных
изотропных слоев (рис. 10.22).
Начало прямоугольной системы координат поместим на
верхней Гранине раздела сред. Ось z направим вниз перпендику-
лярно границам. Осцилляторы разместим на расстоянии h от
верхней границы. Комплексное волновое число слоя / высотой
dt, удаленного от начала координат на расстояние h обозна-
261
Рис. 10.22. Плоскопараллельная мно-
гослойная среда
напряженности электрического и
чим через к{. Моменты вер-
тикальных диполей напра-
вим по оси г, а горизонталь-
ных диполей — по оси х.
При рассмотрении элек-
тромагнитных полей в мно-
гослойных средах пред-
положим, что слои однород-
ны, электрическая и маг-
нитная проницаемости не
зависят от частоты волн, а
магнитного полей изменяют-
ся во времени по гармоническому закону.
Электромагнитное поле определим с помощью векторных по-
тенциалов. В однородном пространстве вне источников вектор-
ные потенциалы, как и векторы напряженности электрического
и магнитного полей, удовлетворяют векторным волновым урав-
нениям Гельмгольца:
+ =0;
+ *Х =о.
В прямоугольной декартовой системе координат векторное
волновое уравнение разделяется на три независимых скалярных
уравнения.
Решение скалярного уравнения в любом слое можно найти с
помощью интегралов Зоммерфельда [24]:
для бесконечно длинного проводника
tots
[(//е 4Х/ + *')cosXxdX;
о
для диполей + /е il/)cosA?(pJn(-Xr)dX,
о
где J, (-Хг) — функция Бесселя первого рода; У},// — функции
от переменной X; g, - Jx - к/; ф = arctg —; г - Jx -ь у \
У
Векторные потенциалы излучателей также можно представить
в виде интегралов Зоммерфельда:
для бесконечно длинного проводника
<— ——— ‘ е (г+Л)и*
\х + Z ) = I — cosXxdX;
о Н к
262
e~jkR “e-(l+A)H*
для диполей ------= J--------
R Q Pk
где R = \ x‘ + y2 + (z + Л)2.
Функции /о, f для верхнего и нижнего слоев многослойной
среды примем равными нулю, так как при |г|, стремящейся к бес-
конечности, произведения /е tp’, Л'е1*1" беспредельно возрас-
тают. _______
В переменной ц, =+Л/Х -к, =at + jet вещественная часть
принимается всюду со знаком «+».
Функции / находим из системы 2я уравнений, обеспечи-
вающих равенства тангенциальных составляющих векторов на-
пряженности электрического и магнитного полей на каждой гра-
нице раздела п многослойной среды с помощью главных опреде-
лителей системы уравнении Д и Д* (табл. 10.3).
В табл. 10.3 коэффициенты отражения Френеля для волн с
вертикальной и горизонтальной поляризациями определяются
из выражений
И’-ы
£м1Ч—£/М±± .(10.10)
Таблица 10.3
Порядковый номер урав- нения а 1 1' г v е (л - D' п
0' И01 -(! + %!) 0 • • л 0 0
1 1 Го, _е-^1 в • 0 0
г 0 Va • л W 0 0
2 9 0 0 1-И12 • • • 0 0
« • л • • • • • л • л V w • * » • •
п - 1 0 0 0 л * * ^Я--|Р я 1 0
(я - D' 0 0 0 • • • К-1.Л -(1 + К,_..„)
п 0 0 0 V 1 - Ч-1Л
263
На основании теории определителей подынтегральные функ-
ции f, /'могут быть выражены следующими формулами:
JI ~ Л0,/ . c ’ JI ~ л0',1 ~e
ц0Д Н0Л
Для вычисления интегралов Зоммерфельда функции Бесселя
первого рода заменяются модифицированными функциями Бес-
селя второго рода:
/Л(-Хг) = j-LMAr) - ^0(-JXr)];
Л
/ (-Хг) = -1 [/Г, (Ar) + К, (-jkr)]
л
и каждый интеграл представляется в виде суммы из двух инте-
гралов.
Исходный путь интегрирования Го вдоль вещественной оси
от нуля до бесконечности (рис. 10.23) (17] в первом интеграле
суммы деформируется в комплексной плоскости X во втором
квадранте в путь Г', а во втором интеграле суммы — в четвертом
квадранте в путь Г.
Пути интегрирования начинаются от центра координат, про-
ходят через комплексные волновые числа многослойной среды
от их минимальных значений до максимальных значений моду-
Го
= |в(1
о .
IV
Рис. 10.23. Пути интегриро-
вания в комплексной плос-
кости
264
лей и по биссектрисам квадрантов уходят в бесконечность, воз-
вращаясь по бесконечно далеким путям на положительную ве-
щественную координатную ось. При деформации исходного пу-
ти интегрирования оказались затронутыми полюсы во втором
квадранте и разрезы а( = 0 во втором и et - 0 в четвертом квад-
рантах комплексной плоскости. Сумма интегралов вдоль разре-
зов по верхнему и нижнему листам римановой поверхности об-
ращается в нуль, так как при = 0 р./ = \а{ как на верхнем, так и
на нижнем листах. При = 0 равенство сохраняется, а р, =
Поэтому пути интегрирования Г и Г в точках + je^ про-
сто переходят с одного листа на другой. В результате вычисление
исходных интегралов сводится к вычислению интегралов по но-
вым путям интегрирования Г во втором и Г в четвертом квад-
рантах, определяющих поле двух боковых волн, распространяю-
щихся в верхней №0)ив нижней (Лл) средах, и к сумме вычетов в
затронутых полюсах подынтегрального выражения, определяю-
щих поле нормальных волн, распространяющихся в каждом из
внутренних слоев многослойной среды.
Пули интегрирования Г и Г начинаются в центре комплекс-
ной плоскости X, проходят через все комплексные волновые чис-
ла к, многослойной среды от fcmin до кт„, поднимаясь после каж-
дого к с нижнего листа римановой поверхности kt на ее верхний
лист. На начальных участках — от 0 до kw г по пути Г и от 0 до
ПО ПУ™ Г'-
Полюсы Хи/1 находятся из равенства нулю главных определи-
телей многослойной среды.
В результате общее решение скалярных волновых уравнений
Гельмгольца может быть записано в таком виде:
j v V V D
А =XXZ—э^(М-
1 р=ои _£
эх
(10.11)
JC
2л
Ли))
М к ° /ГУ
6(X)dX,
где в квадратных скобках показана разность значений отноше-
нии функции во втором и четвертом квадрантах комплексной
плоскости X; / — порядковый номер слоя; $ — порядковый но-
мер слоя, в котором возбуждаются нормальные волны; р — но-
мер моды нормальной волны.
В обшем решении (10.11) первое слагаемое — сумма вектор-
ных потенциалов нормальных (дискретных) волн с вертикальной
и горизонтальной поляризациями, распространяющихся в про
межуточных слоях среды, второе сла]аемое — потенциалы боко-
265
вых (непрерывного спектра) волн, распространяющихся в верх-
ней и нижней средах.
В табл. 10.4 приведены значения многочленов А, С, ДХ), Р(ц),
В(Л), a, t для вертикальных и горизонтальных электрических и
магнитных осцилляторов.
Таблица 10.4
Излучатель А £ Ли) a /
Бесконеч- ный про- водник ‘ Л* k ЭД J 2 Ни) A 1
Вертикаль- ный элек- трический диполь Рэ/4я -^VF^-Jkr) 1
Горизон- тальный электриче- ский ди- поль А' Л Рэ/4л Рэ cos<p/8n -kvK0(-jkr) -k2spKt(-Jkr) Mi ^(P) Д ДД' 1 2
Вертикаль- ный маг- нитный ди- поль Xz PJSn -^vK0(rjkr) Hu) A 1
Горизон- тальный- магнитный диполь Ayf Aj k2 p *o M 4nkf Ры cos<p/8n -X„K0(-jkr) Пм) иЛи) Д Ай 1 2
Здесь A j, А'к1 — алгебраические дополнения главны к опреде-
лителей Д, д’; F‘ (р) подобно Г(р), только в них коэффициенты V
заменяются на И*; ^’(р) подобно W(р), только в них коэффи-
циенты V заменяются на К*, а V * на V.
В слое / многочлены F(p) и И'Чр) составляют:
__ Л
-е -*»*
-4ге-<"‘-А)^);
Fw(p) = де"1г“Л‘-'-А1'1* + е-<г-л*-|)р*
-
е<г-**)ц*(ДА/е-Лр*
— А р~№“л)и*\.
266
ИЧц) = - Ak^-h^ +
/77-1
+ e-d"’l-(Hwe-A'“ - 4we-w‘^‘)][e-<^>*‘-(4 - +
1 - И*
p(Z“A/ )p, / A • _ A • U /Л-1./Л
1 в \лтГ 71 (771-1)7 /J , о •
u, xk~
• m—i m
Анализ электромагнитных полей в многослойных средах раз-
личных излучающих систем показывает:
границы раздела существенно влияют на поле диполей. Так,
диаграмма направленности горизонтального электрического дипо-
ля в дальней зоне поворачивается на 90 по сравнению с диаграм-
мой направленности диполя в без1раничной среде, линейно поля-
ризованное поле становится эллиптически поляризованным;
во внешних слоях распространяются боковые волны непре-
рывного спектра;
во внутренних слоях распространяются нормальные волны с
горизонтальной и вертикальной поляризациями дискретного
спектра с волновыми числами, определяемыми, соответственно,
из равенства нулю главных определителей (А = 0 и А* = 0), вол-
новые числа нормальных волн 5-слоя р-моды при р 0 определя-
ются как Хк/,
J
Э
чем выше номер моды, тем быстрее затухает волна;
нормальные волны нулевой моды с вертикальной поляриза-
цией — это поперечные электромагнитные волны типа «Т», нор-
мальных волн нулевой моды с горизонтальной поляризацией во-
обще не существует;
дальнее распространение волн с вертикальной поляризацией
нулевой моды происходит в слоях с наименьшей удельной элек-
трической проводимостью.
В качестве примера решения краевой задачи рассмотрим
электромагнитное поле вертикального электрического диполя,
расположенного в трехслойной среде.
Предположим, что в безграничной плоскопараллельной трех-
слойной среде (см. рис 10.22) во внутреннем слое 1 на расстоя-
нии h от верхней границы находится вертикальны й электриче-
ский диполь Верхний слой 0 и нижний слой л = 2 среды облада-
ют высокой удельной электрической проводимостью, образуя
канал (волновод) для электромагнитных волн.
В этом случае поле боковых волн мало по сравнению с полем
нормальных волн и его можно не учитывать. Для определения
векторного потенциала в слое 7 воспользуемся общим решением
(10.11) для элекгромагнитного поля нормальных волн вертикаль
267
ного электрического диполя и значениями многочленов А, С,
В(к), F(p), £(Х), a, t из табл. 10.4:
Ar 4[-Х1р/Г0(-уХг)], (10.12)
4л “0 ЭД
где Г1о(р) = е4‘°(Л1’о.е и - 4*0.е (‘',"А,М');
^’(р) = дЧ^’*1*1' + е~г’1,(4*1е"Ли‘ - 4‘]еч‘71’А)И|) +
+ e(?-d,)‘11 (4*1'е~Аи' -
F^p) = e-*l(4*2e-*’ - 4^е-(‘/'-А)*1').
Распишем подробно многочлены для данной трехслойной
среды с размешением диполя во внутреннем слое:
главный определитель д’ = I + И
алгебраические дополнения
4*о< = ’ + Hii , 4*0' = О + Уо\ , А,\ = Ио;;
4*г =-Ип>,;е-м>‘*>, А,:, =
4’1' = И;. 4*2 = О - УЖе-2*11', 4*2 = -(1 + Р'п);
коэффициенты отражения
[/• _ eoP-i _ ElHo iz* _ £1Р? ~ е2Р-1 .
к 01--------------> ' 12------------->
EoHl+E^O Е1Н2 + ^2^1
многочлены F,q(|i) - ea*0(e_'’,‘l - )(1 +• КД);
^п(Ю = + eAg’);
F(;(p) = + еА(,1)(1 - И12).
Значения производных в знаменателях сумм выражения
(10.12) определяются для каждой нормальной волны р-моды:
= ^(1 + =
= У^п е-^' = -24Г0>,>-^> = 24 = 24
оЛ ил Эл jij
После подстановки значении алгебраических дополнений в
многочлены из выражения (10.12) находим лля векторных по-
тенциалов в слоях:
268
= АУе^Че-*»11 - rpe-(rf'-A)t1')(1 + Го;)(-^о(-А>)];
Sn^To
К’е42"'А”*')-
-е^'^'ИрСИо’.е-^* + е^ИЬМ-АрГ)];
Лр = Д Уе-’^ЧИо’.е^ +eA^)(l -K12)[-/f0(-^ г)].
8л</~0
Векторный потенциал Л., для слоя 1 необходимо дополнить
векторным потенциалом электрического диполя.
Комплексные волновые числа распространения нормальных
волн определяются из равенства нулю главного определителя
системы уравнений: Д* = 1 + И0*|К|2е-2г' = 0.
Подставляя в Д* значения коэффициентов отражения, полу-
чаем
I + £оН1 - £1Но £1F4 ~ ЕгН1 e-2aiHi _ Q
£оН1 +Е1Но £1Н2 +£2И1
или (EoPjEjPj + F.iP0e2Hi+ (p0£j2p2 + e0e2Ps )shJ)p1) = 0.
Из этого равенства, принимая в нем shJ) Pj = d}p ,, chJ,pj = 1,
определяем комплексное волновое число нормальной волны ну-
левой моды (волны типа «Т»);
(£0е(Р2 + Е|Рое2) + (p0£fP2 + £0£2HiVi =0;
EoEjpfj, =-(е0£|Р2 + EjP0E2) - РоЕ^г^.;
Р)2 = X2 =-----------Ц-(£о£1М-2 +£1Ное2 + Но£12Р2^1);
£о£2^|
----Т-(£0Е1Р2
£0е2“1
+ £1РоЕ2
+ PoFfPjJ,)
1/2
Для нормальных волн р = 1, 2, 3,... (волн типа «Е»), принимая
во внимание, что в этом случае произведение коэффициен-
тов отражения =-1, волновые числа можно приближен-
но получить из равенства главного определителя нулю:
269
Л = I-e J,lt| = 0, ил и shrfjgj = О, т.е. dx\x. = jpjt, а щ = jи
Для определения составляющих векторов электрического и
магнитного поля в слоях необходимо выражения для векторных
потенциалов подставить в выражение (10,5):
-®ЭЛ ^Ot ^эл *
= + ТУ grad div/4M
и найти их производные по координатам:
Так как вторая производная
объединяя в Е
составляющие по г, получаем
Приведем решение для составляющих векторов напряженно-
сти поля в направлении оси х
для магнитного поля
=T^-Le0,e<e-^ - +
=гтгХ[е'а1,^*|(е-АМ1
-е(г М1)“’Г,;(И0’,е *• +e^)]jkpK^-j-kpry,
Bv2 = + е**1')(1 - Vn}jkpK^-jkFry
р-0
270
для электрического поля
£<0 = > АтД-У е^Се-'*' - )(1 + V^)k2pK 0(-jk рГу
кг “с
At = > ДД -
к] 8т/,
+ е^')]Х;Л0(-;Х/);
Ё.2 = тгт Уе^*’(и;е* + еЛ“')(1 - Vn)k\Ka{-jKpry,
к,- 8па} р=0
40=со± Л- ^е^’(е-А,1‘- ^e-^'Xl + ^okpK'(-jkpry
к[ е-Ш] р=с
А =-со-А-А-Х[е-°,,Ио,1(е-^ +
к г 8ndx р=й
+ е(г-^'Г|;(Г0;е + e^X^MToVAz);
Ёх2 =- co Л Д-У e’U+‘',)g2 + ^' )(1 - К12)ц2Х„K'0(-Jkr}.
к} 8n.dt %
Итак, для вычисления составляющих векторов напряженно-
сти электромагнитного поля в слоях следует для каждой волны
р-моды найти значения продольной кр составляющей ком-
плексного волнового числаи поперечных p0,glp, ц2р состав-
ляющих комплексного волнового числа к0, klt к2, затем опреде-
лить коэффициенты отражения И01, И12 и функции Бесселя.
Полученные решения для электрического и магнитного поля
в слоях являются строгими
Из решений видно, что в канале распространяется дискрет-
ный спектр нормальных цилиндрических волн с разными волно-
выми числами цр и кр. Результирующее электромагнитное поле
определяется геометрической суммой их полей.
Как и в случае направляющих систем, распространение каж-
дой нормальной волны связано с прохождением токов в ограни-
чивающих проводящих слоях.
Для определения токов проводимости проинте! рируем выраже-
ния для плотности тока в верхней и нижней среде по оси z от нуля
до бесконечности, умножив их на перимегр окружности:
Лпр =Л2ЯГ-Д-Хеа‘«(е-А>1' -И’2е АЛо(-А Л
Иоэл “о
271
+ е*м. >(1 _ Г12)ЛуЛо(-УЛрг).
р=0
Из этих выражений с учетом А* = 1 + Ио*] И]2е"2i/|g| =0 находим,
что токи в верхнем и нижнем слоях равны между собой и проти-
воположны по направлению.
Следовательно, можно предложить эквивалентную электриче-
скую схему замещения для каждой волны /7-моды в виде длинной
линии с эквивалентными параметрами сопротивления, емкости
и индуктивности (рис. 10.24). Погонные сопротивления, емкость
и индуктивность эквивалентной длинной линии определяются
из соотношений [I7]:
р _ ^хОр .
Ло₽ — '»
* Орпр
Сопротивление на единицу длины линии верхнего (нижнего)
слоя равно отношению падения напряжения на этом отрезке ли
нии к току, погонная емкость — отношению заряда в промежу
точном слое 1 к разности потенциалов между слоями 0 и 2. а по -
тонная индуктивность — отношению магнитного потока в слое 1
к току.
Дальнейший расчет электромагнитного поля в слоях следует
проводить с помощью эквивалентных электрических схем заме-
щения. Но в этом случае конструкция длинной линии [30]
должна удовлетворять следующему требованию: при увеличе-
нии расстояния от излучателя ширина линии должна так изме-
няться, чтобы зависимости напряженности электрического и
магнитного полей соответствовали строгому решению электро-
Рис. 10.24 Эквивалентная элек-
трическая схема замещения
динамической задачи. Для вер-
тикального электрического ди-
поля этому требованию удов-
летворяет длинная линия с ра-
диально расходящимися ветвя-
ми, т.е. цилиндрическая длин-
ная линия.
Рассмотрим краевую задачу,
в которой электромагнитное
поле определяется волнами не-
272
прерывного спектра на примере поля подводного (подземного)
одножильного кабеля.
В геологии для поиска полезных ископаемых на морском
шел ьфе, а также для проводки судов по сложным морским фар-
ватерам по грунту прокладывают изолированный одножильный
кабель. В конце трассы кабель заземляют. По кабелю проходит
переменный ток. Образуется переменное магнитное поле со
сложной поляризацией, позволяющей судить о структуре грун-
тов и о положении судна относительно кабеля.
Рассмотрим поле кабеля с током /, расположенного в двух-
слойной среде морская вода 1 — воздух 0 на глубине Л от поверх-
ности воды на расстояния к, превышающих глубину проникнове-
ния волн в воде.
В этом случае векторный потенциал поля в слое 7 будет оп-
ределяться непрерывным спектром по формуле (10.11), т. е. он
равен только интегралу:
< Hi Jiy
Z?(X)e'z,cd7v
так как промежуточные слои отсутствуют, нормальные волны
не возбуждаются.
Многочлен Гн(ц) = е *“ + е А, e”rU| при Ан = преоб-
разуется сначала как F} (ц) = е u + е 1 К0| е я' , а так как ко-
эффициент отражения для немагнитных сред:
. 2 1 . 2 1
—Ui ~ ^-i —Ро ,
р- = Ер________£| = U1 - Ио = _ 1
°' p_Lu +Р 1 и Hi +Uo Ui +Рс
ко —Hi + —Р о
£0 £|
то к виду FH(g1 - е - е 1 е + ———е ’е ц‘.
Mi+Ho
Во втором и четвертом квадрантах комплексной плоскости X пе-
ременные р. । равны по модулю, но противоположны по знаку.
В резулыаге для векторного потенциала в нижнем слое 7
можно записать
I —ел cos[y(z -
Л
- cos[J(s + /;)р ]dX +
IС Башарин
273
Первый интеграл суммы преобразуется в разность модифици-
рованных функций Бесселя второго рода нулевого порядка:
Ал = — [Ko{jkyyx + (z — Л) ’) - KJJk^x' +(z + А)2)] +
2л
На расстояниях, превышающих глубину проникновения волн
в воде, функции Бесселя по величине малы по сравнению с ин-
тегралом, приближенно равным
ЛЧзл С-Лг+Ш,( г' -2Х cAxd? _
2" Л *о2 - *.2
Составляющие векторов электрического и магнитного полей
в воде определяются из выражений (10.5):
как
^эл j^AyCyy -^1эл rot А^
X
Эх г’
л к( \jx х1)
— е ^z+h)ki
п
-^Х1ЭЛ
Из решений видно, что электромагнитная волна сначала про-
шла от источника до поверхности волы расстояние Л в воле, за-
тем по воздуху вдоль границы — расстояние х и в воде до гори
зонта — Z- Наибольшее расстояние х волна прошла в среде с наи -
меньшей удельной электрической проводимостью, где затраты
мощности волны на создание токов проводимости минимальны.
Такую волну называют боковой.
274
10.7 . Распространение электромагнитных волн
вдоль проводников
Рассмотрим распространение электромагнитной волны вдоль
круглого бесконечно длинного проводника, по которому проте-
кает переменный ток. Радиус проводника г0. Решение проведем
в цилиндрической системе координат, предполагая, что в любой
точке вектор напряженности магнитного поля направлен по ка -
сательной к окружности с центром на оси проводника, проходя-
щей через исследуемую точку пространства, а ве ктор электриче-
ского поля поляризован В ПЛОСКОСТИ rz.
Предположим, что составляющие векторов поля из-за его
осевой симметрии относительно центра проводника не зависят
—ik.z+iurt
от угла <р, а также изменяются с расстоянием как е • , где
к. — продольное комплексное волновое число волны.
В этом случае уравнение Гельмгольца для продольной состав-
ляющей вектора электрического поля с учетом вторых произ-
водных —-----Л = 0 и —-^- = -к7Ё. преобразуется в уравнение
г2 Эф2 ‘ ‘
I Э ( Э£г
Бесселя — — г—-
г Ъг dr
- (к7 - к7}Ё, =0, решением которою явля-
ются модифицированные функции Бесселя первого рода нулево-
го порядка от аргумента г J fc2 - к7 для проводника и второго ро-
да нулевого порядка от аргумента r-Jk? - к7 для внешней среды:
£d =AI0(rfil
£12 = - k;)e-fk^la'.
Из I уравнения Максвелла----= /юё £гэл после лиффе-
Эг
ренцирования его по z находим £гэл = —— Н Из II уравне-
ния Максвелла rot£in = -J(op/7an, приравнивая составляющие по
Э£. Э£.э1 . , ,
Ф-----------— = -/шц ,л // м, после дифференцирования по z
dz dr
получаем:
°гэл - 1>
“ • “ эл ** Фэл
jktEZ3n
н
фЭЛ
ДОЁэд d£~lan
к2-к2 дг
<
В результате общее решение приводится к виду:
внутри проводника £г1 = АЩг^к2 - к2)е k*z
И = АГ' (г /г 2 _ jp Ч , г Lf
'“ф1зл .,7 г. 2 \ i/2 0^ z » "г1эл - ”ф!эл»
(Л" — Kf ) С0€1э
во внешней среде Ё 2 = ВК0(г^]к2 - к2)е ,к‘1+
^2эл = 772~~L„ Ж'0(г№ ~ Ёг2м = -^Д,2эл-
(л. А^2 / *^23
На поверхности проводника при г = г„ на основании гранич-
ных условий должны быть равными тангенциальные составля-
ющие векторов электрического и ма1нигного полей:
А10(г0^к2-к2) = ВК0(г^к2 -к2У,
Разделим одно равенство на другое, предварительно умно-
жив второе равенство на внешний периметр проводника. Левая
часть полученного равенства равна погонному сопротивлению
провода:
так как на основании закона полного тока циркуляция вектора
напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равна
току, проходящему через контур.
Правую часть равенства определим через погонную емкость
линии:
Го
в виде
276
- кэ
Из полученного равенства R = —----- находим продольное
JCO С __
волновое число электромагнитной волны kz = ^kj - jaRC.
Значение продольного комплексного волнового числа к?
определяется не только параметрами внешней среды, но и пара-
метрами самого проводника, его внутренним сопротивлением,
емкостью и частотой переменного тока.
Постоянные коэффициенты А и В определим из закона пол-
ного тока:
где — амплитудное значение тока в проводнике.
В результате получаем следующие решения для электромаг-
нитного поля:
внутри проводника = л----------.— „е * ,
o(ro\ ^z “ )
во внешней среде £г2эл
Рассмотрим два случая.
1. Низкие частоты со -> 0, длинные волны X -> «>.
Аргументы цилиндрических функции при частоте, стремя-
щейся к нулю (со -» 0), по величине много меньше единицы, по-
этому сами функции могут быть приняты равными первым двум
слагаемым их разложений в ряд:
К<Г& - А,2 ) = 1 + Ъ2(*2 - А:,2);
Kp(r4kz - *?) s - In (r^fc 2 - к});
К^к} -kl) = -(rjk? - ki).
Погонные сопротивление, емкость и индуктивность эквива-
лентной длинной линии подобны параметрам длинной линии
квазистанионарного тока:
д _ ^"нэл _ — — _ 1 + . <0|1
i ;2л£1эл(ог0/о(г0^г- - к{ ) У|эллго2 8п
+ •ДоУ'внут >
2лго£2эА'о(г()^А:/- A?2)-Jfc2 - А:2 2яе2
-^0<г0^Лг2 - к2 ) >п(П)7Лг ~ к2 )
1п(г0^; ~кг),
ее
U?J ^23dr
'О
ln(r0VcoC7O - j - ц 2ая.
2тг 8
Внутри проводника продольная составляющая вектора напря-
женности электрического поля £71 _ = RJ e 'кг1*' постоянна по
всему сечению проводника, напряженность магнитного поля
гт г -i k~z+ito!
^cdi »i - , / с * и радиальная составляющая вектора напря-
2лг02
женности электрического поля £Г1 =——
соё|3
< tj
1П J '* ф!эл
II пр
Внутренняя ин-
прямо пропорциональны радиусу г, Е M
т U
дуктивность самого проводника /ВН]П. = — не зависит от его радиуса.
8л
278
Мнимая часть внешней индуктивности определяет погонное
Зсоц2эл
сопротивление излучения проводника £И1Л = yen Im L =
С
Вектор Умова—Пойтинга
П = -[£,. х Я ] =
I ЗЛ ЗЛ J
^1^г1эл®г * ^91э^<р ] ^г!эл
направлен по радиусу внутрь проводника.Поток электромагнит-
ной энергии входит в проводник с поверхности из внешней
среды для того, чтобы скомпенсировать тепловые потери и ре-
активную мощность в нем, возникающие при протекании тока.
Весь входяший поток мощности на единицу длины провод-
ника на его поверхности равен сумме активной (тепловой) и ре-
активной индуктивного характера мощностей:
ПГ1 • 2лг0 = 1 = 1(Я + jco£BHyr)/2e-Rep^.
Во внешней среде напряженности поля определяются из
выражений:
г2зл
ф2эл ’
<**23
^ф2эл
г -ikzz+iort
2пг
Радиальная составляющая вектора напряженности электриче-
ского поля Е
С2эл
Н,. ?зл и £г2зл обратно пропорциональ-
ны радиусу г.
На границе раздела сред, т. е. на поверхности проводника ра-
диальная составляющая вектора напряженности электрического
поля испытывает скачок, равный отношению их комплексных ди-
£ • Уч
электрических проницаемостей £_ „ = т-^-£г1Эл = ~J—r- ^яэл-
е2з <ос2э
Основной поток мощности электромагнитного поля во внеш-
ней среде распространяется вдоль проводника у его поверхности:
_1 Г II _ ^Z LJ и _ < 1 Г л R*'2^iZ
г2 - 2^г2эя«Ф2эл - 2. gK?r2 т
а радиальная часть потока
И г ’ Д^г2злег
^4>2эл
^ф2эл
279
идет внутрь проводника для компенсации тепловых потерь и ре-
активной мощности, необходимой для изменения направления
вектора магнитного поля во времени.
2. Высокие частоты со о°, короткие волны X, —> 0.
Аргументы функций Бесселя в этом случае много больше еди-
ницы, что позволяет воспользоваться асимптотическим разложе-
нием Ганкеля [24J и определить отношения функций Бесселя в
виде:
В результате получаем следующие решения:
, • ту т ~-ilc /ю/ г—/л —Aff
для поля внутри проводника £;1 = /?/_ е 1 е
Г1ЭЛ
Н
к.
с
“Ё1ээ
н
• - V 1
для сопротивления R = ------=----------11 + /),
/2л£1а;,®г0 у1эл2дг0Д
А « А I 2
где Д — глубина проникновения, Д = --------.
VWHY|33
Внутри проводника проявляется поверхностный эффект, при
этом собственная индуктивность проводника уменьшается, ве-
щественная часть сопротивления увеличивается за счет неравно-
мерного распределения электрического поля в проводнике, что
эквивалентно уменьшению сечения проводника.
Выражение для продольного волнового числа можно упро-
стить:
К
kf - jtnRC = , к? - jco
так как второе слагаемое под корнем по величине много мень-
ше единицы, например для медного провода. Поэтому электро-
магнитные волны распространяются вдоль провода с волновым
числом, близким волновому числу внешней среды.
280
Внешняя индуктивность и погонное сопротивление излуче-
ния проводника в этом случае составят
L = ln(r0J-усоСЛ) = -In г(1 |<вС-=-------
2л 07 2л 72у1аялг0Д;
. Зшц2эл
Я.™ = joImL =—-23-.
Квадрат волнового числа внешней среды выразим через
емкость и внешнюю индуктивность проводника к‘ -a^CL, так
как CL = , и подставим его в выражение для продольного
волнового числа:
к- - i/kf -jcdRC = yj-(R +
Продольное волновое число к. подобно коэффициенту рас-
пространения электромагнитных волн типа «Т» в линии с рас-
пределенными параметрами. Следовательно, вдоль проводника
распространяется поперечная электромагн итная волна типа «Т»,
или нормальная волна (р = 0) нулевой моды.
В длинной линии при распространении одной прямой элек-
тромагнитной волны с продольным волновым числом
к. = J-(R + JoL)j(£>C сопротивление в любом ее сечении равно
- R + koL
волновому сопротивлению Zr = -----—.
Одиночный проводник имеет большую погонную индуктив-
ность и малую емкость, а следовательно, высокие характеристиче-
ское и входное сопротивления, поэтому направляющие системы
(двухпроводная линия, коаксиальным кабель, полосковая линия и
др.) состоят из двух проводников, при этом уменьшается внешняя
индуктивность линии и возрастает емкость за счет концентрации
поля между проводниками. Основной поток активной мошности
распространяется вдоль провод-
ника во внешней диэлектриче-
ской среде и только часть ее идет
внутрь проводника для компен-
сации тепловых потерь в нем.
В линии конечной длины
(рис. 1025) при выходном со-
противлении. не равном харак-
теристическому сопротивле-
нию, за счет отраженной волны
Рис. 10.25 Линия конечной дли-
ны
281
возникает режим стоячих волн с образованием пучностей и узлов
напряжения и тока.
Ток на расстоянии z от конца линии длиной I равен сумме то-
ков прямой и отраженной волн:
а напряжение — неопределенному интегралу из произведения пол-
ного сопротивления бесконечно малого элемента линии на ток:
и = J(Л + >£)/dz =Л±^(/пре-^</-г) - /О1ре-Л«(/+г)) =
= Zc(/npe
Токи прямой и отраженной волн определим через значения
тока и напряжения на конце линии при z = 0:
7 (Г — I
- 7 + i [j
вых “ Пр*' * ОТр*' ’ w вых
e-A'
V-
вых
2ZC
После подстановки их в выражения для тока и напряжения на
расстоянии z от конца линии получаем
- f/BblxshyA:,z +/ВЬ1ХсйуАг£, U UвыхсЬ jkZz + ZtIBUXsh jkZz~
c
Сопротивление в любом сечении z линии определим, разде-
лив напряжение на ток:
^ВЫХ *** Zcthjk^ g
Z^Z^Xhjkz
Сопротивление зависит от расстояния до конца линии и со-
противления нагрузки В случае короткого замыкания линии,
т.е. при нулевом сопротивлении нагрузки, оно составит
Z = Zfth jkz, а разомкнутой линии — Z = Zrcth jkz. Эта зависи-
мость входного сопротивления короткозамкнутых и разомкну-
тых линий от длины позволяет использовать их для настройки
резонансных СВЧ контуров электрических цепей.
В общем случае анализ электромагнитного поля направляю-
щей системы, как следует из проведенного исследования, сво-
дится к расчету электрической цепи.
282
10.8. Распространение электромагнитных волн
вдоль направляющих систем
Общие сведения. Передача электромагнитной энергии по воз-
духу особенно на низких частотах 1... 100 Гц даже на небольшие
расстояния неэкономична и технически трудно осуществима.
Поэтому существуют направляющие системы, позволяющие пе-
редавать электромагнитную энергию в желаемом направлении.
Направляющие системы различаются по конструкции, типу
волн и диапазону частот.
По конструкции направляющие системы подразделяются на
системы открытого типа, к которым относятся двухпроводные
(см. рис. 9 11) и однопроводные линии, диэлектрические волно-
воды; системы закрытого типа, к которым относятся коаксиаль-
ные линии (см рис. 9.12), полосковые линии (см. рис. 9.13), ме-
таллические волноводы и световоды.
Открытые линии используются на низких частотах (в элек-
тросетях, линиях телеграфной связи), когда расстояние между
проводами много меньше длины электромагнитной волны.
В этом случае потери энергии на излучение незначительны, так
как в стороне от линии происходит взаимное ослабление поля
одного проводника полем другого проводника. Если же указан-
ное требование нс выполняется, то в реальных условиях проис-
ходит значительное излучение линией энергии в окруокаюшее
пространство, что существенно снижает ее коэффициент полез-
ного действия. При переходе на более высокие частоты в систе-
мах радиосвязи, телевидения (метровые и дециметровые волны)
применяют в качестве фидеров коаксиальный кабель, в печат-
ных платах полосковые линии, в которых электромагнитная
энергия передастся внутри между проводниками, и вследствие
поверхностного эффекта практически не проникает через на-
ружный провод (экран).
С увеличением частоты (длина волны менее 3 см) в коаксиаль-
ном кабеле и полосковой линии недопустимо возрастают потери
как в диэлектрике, поддерживающем провода, так и в самих про-
водах из-за поверхностного эффекта, при этом возникает опас-
ность электрического пробоя между проводами. Поэтому на СВЧ
вместо открытых линий передачи широко используют закрытые
металлические волноводы различного поперечного сечения (пря-
моугольные, круглые, эллиптические), а также диэлектрические
волноводы в виде сплошных диэлектрических стержней.
В металлических волноводах электрома! нитные волны рас-
пространяются внутри волновода между его стенками, в диэлек-
трических волноводах как внутри волновода, так и в пространст-
ве, прилегающем к волноводу.
283
В направляющих системах используются следующие типы
волн'.
поперечные электромагнитные волны типа «Т»;
поперечно-магнитные или электрические волны типа «Е»;
поперечно-электрические или магнитные волны типа «Н»;
поверхностные боковые волны.
Направляющая система — это конкретный вид многослойной
ограниченной среды. В ней, как в многослойной среде, электро-
магнитное поле определяется дискретным спектром нормальных
волн и непрерывным спектром боковых волн с вертикальной или
горизонтальной поляризацией. При малых расстояниях d « А.
между проводниками в двухпроводной, полосковой и коаксиаль-
ной линиях, как и в плоском канале, основной волной является
волна нулевой моды с вертикальной поляризацией, или попереч-
ная электромагнитная волна типа «Т».
Заметим, что нормальная волна нулевой моды с горизонталь-
ной поляризацией может распространяться только в магнитной
линии, образованной из двух замкнутых на концах, длинных па-
раллельных магнитопроводов. В настоящее время на практике
она не используется.
Поле нормальных волн высших мод с вертикальной поляри-
зацией волн типа «Е» и с горизонтальной поляризацией волн ти-
па «Н» при d « Л мало по сравнению с полем нормальных волн
нулевой моды, так как волны высших мод значительно затухают
вдоль линии уже на расстояниях, соизмеримых с расстоянием
между проводами.
При замыкании проводов в металлических волноводах боковы-
ми стенками нормальная волна нулевой моды исчезает. Поле в них
определяется волнами типа «Е» или «Н». Волны высших мод рас-
пространяются между нижней и верхней стенками волновода.
В зависимости от источников возбуждения волн и размеще-
ния их внутри металлического волновода в нем могут возникать
нормальные волны высших мод с вертикальной и горизонталь-
ной поляризацией.
Для примера подробно рассмотрим электромагнитное поле в
коаксиальной линии.
Распространение электромагнитных волн в коаксиальной ли-
нии. Коаксиальная линия (см. рис. 9.12) состоит из внутреннего
проводника, изоляционного слоя и металлического экрана. Кро-
ме этого, имеются дополнительный изоляционный слой, броня и
верхнее изоляционное покрытие, предохраняющие внутренние
слои от проникновения влаги, механических повреждений и раз-
рыва при натяжении кабеля.
При подключении линии к источнику переменного напряже-
ния между внутренним проводником и экраном в ней возникает
284
поперечная электромагнитная волна типа «Т», распространяющая-
ся в изоляции 2 вдоль оси г с продольным комплексным волновым
числом к.,. Это обеспечивается тем, что при конструировании раз-
меры кабеля выбирают значительно меньше длины волны в
изоляционном слое, т. е. таким образом, чтобы нормальные волны
высших мод не возникали. В этом случае вне экрана электромаг-
нитное поле отсутствует, так как поле прямого тока, проходящего
по внутреннему проводнику, компенсируется полем обратного то-
ка, проходящего в экране.
Исследование поля проведем в цилиндрической системе ко-
ординат с центром на оси кабеля аналогично рассмотренному
распространению электромагнитных волн вдоль проводников
(см. подразд. 10.7).
В каждой среде вектор напряженности магнитного поля на-
правлен по касательной к окружностям с центром на оси кабеля,
вектор напряженности электрического поля поляризован в плос-
кости zr. Составляющие Ez>Er и удовлетворяют уравнению
Гельмгольца, которое с учетом осевой симметрии электромаг-
нитного поля (равенства производных по (р нулю) и зависимости
всех составляющих векторов поля от координаты z как е 'kzZ пе-
реходит в уравнение Бесселя:
1 Э
г Эг
-(А2 -А2)£; =0.
Решениями уравнения для £г1 являются модифицированные
функции Бесселя I0(r^kl -к") первого рода и А^Гу/к^ - kJ)
второго рода нулевого порядка от аргумента г^к2 - к{ для внут-
реннего проводника, от аргумента r^k2 - Aj для изоляционного
промежуточно! о слоя и от аргумента гуА. - А; для экрана:
4г = W0(r^k~2 - к2} + *2*0(гА; - А2)]е ;
£гз = ^К0{г^-к2)}^к^.
Поле внутри центрального проводника не может быть беско
нечно большим, поэтому Вх принимаем равной нулю, так как
при г = 0 функция К0(гуГк2 - к2) стремится к бесконечности.
285
При г -> о® функция I t(ryk; - к ) возрастает до бесконечно
большой величины, поэтому А принимаем равной нулю.
С учетом I и II уравнений Максвелла составляющие Ег и
определяются относительно Е. как
— ' fj и Н =
гэл соём фМ фЭЛ к2 - к2 Эг
В результате общее решение приводится к виду:
во внутреннем проводнике
Ёа = AtI0(r^k2 - к2)е~1кгг+1ш';
й _ Jзэ л г ' 1 /[. 2 _ л 2 ч - -ik.t+iail . r-
^2 _ ^2)1/2 *1 )е > I
А-
СОЁ1Э
ф!зл ’
Н
в изоляционном промежуточном слое
A =W0<^k2 -к2) + B2KQ(r^-k2)}eik^iaa\
+ В2К^2
(к? -к$у1
^г2эл
н ,
'1 ф2зл ’
во внешнем экране
На поверхности проводника при г = г и на внутренней по-
верхности экрана при г = г2 на основании граничных условий
должны быть равными тангенциальные составляющие векторов
напряженности электрического и магнитного полей:
ПрИ Г - Г]
/О(ЛI ~ ) = I2^0 (Л ^2^0(Л ^2 Я’
Л F'(г (к2-кг)-
, 2x1/2 7О'Л VS j ~
(к; - к{У
286
У/<а£Д-,р^/о(г1^г-fe22) + в2к^к; -л22)];
(fc; - Ki) "
при г = r2
[A2f0(r2^k2 -к2) + B2Kc{r2^k2-k2)} = В3К0{гг№-к1У,
+ В2К^кгг -к2)} =
{kz — k2) ‘
\K? - Л-3
Разделим одно равенство на другое, предварительно умножив
второе равенство на внешний периметр проводника при г = г и
на внутренний периметр экрана при г = г2. Левая часть получен-
ного равенства при г = /, равна погонному сопротивлению цен-
трального провода:
а правая часть равенства при г = г2 — погонному сопротивле-
нию экрана:
В результате получаем два равенства:
Из них определяем отношение постоянных:
А2 К0(г^к2 - к2) + PK^k2z - к2)
Вг РГ0(г, Jk2z - к2) - /0(П yjk2 - к2)
_ — + ВК^^-^к2 — А.2)
0^r2~ ^2 } ~ Iо(.г2~ ^2
287
где для упрощения выражений введены обозначения:
Р - Я, inr, и О = -Я,2пе, J<X,m .
Функции Бесселя при малых аргументах заменяем первыми
слагаемыми их разложений в ряд:
- 1п(г, Jk: -kl)- C(rt Jk* - kl )- _
СО,5/, Jк2 - к) - 1
-ln(r2-jfcj ~kl)~ D(r2Jki - kJ)'1
DQ&iJkl -kl - I
С учетом обозначений PhD приходим к равенству
ln(/j Jk: - kl) + J2na£.23„ Rt (Jkl - kl )~2 _
\n(r2Jkf - Л2 ) - /2лшё2эя R3(Jkl - fc2 )-2
МьлЧ + 1
Из него находим
к: - kl = у'2тоеьл(А + *з) = _jc{^ +
1п^
Г\
где погонная емкость кабеля С =-—.
In^-
Г\
Из полученного равенства определяем продольное комплекс-
ное волновое число к. = Jkl + R3)C-
Продольное комплексное волновое число кт зависит от пара-
метров внутреннего провода, изоляционного слоя и экрана.
Постоянные коэффициенты А и В определим из закона пол-
ного тока:
288
-'7л - ) + В, K'(r2 Jk*z - k>)] =
^2^ Г2 V< ^2 )Л)(Г1 “^2 ) “ ^o(r2HoOl У ^z ~^2 )
В результате получаем следующие решения для поля:
в центральном проводнике
в промежуточном изоляционном слое
[у0(г2у^ - >
- к^ }Ip(rtijk^ — к2) — /- к% )^о(г1д/А? — ^2 )
[/?,/0(r2J^ - А?) + Уо(л7^ -ф
Л₽ * ;
fn
№2™ №('2 j*? - ^ )+ ) j/p(r^- )
V^x”^2 —Aj )7q(aj^Aj—4^ ) — /0(^2V^x — ^2 )А^о(л V^z—^2)
IKAO2#2 -7 + W*iJ*? - )]АГо(гjg^)_ ]7 e_,*^
— ^2 VotfiV^2 ~ ki У ~ foi/i'Jk ~ ki )K{}(r}ijk^ — k2)
^r2sn =
289
в экране
-/fctZ+/W
К'0(^к2-к2)
K0(r2JkT^kf)
^гЗэл
-ik.Z+iul ,
<1
>
(10.13)
®^3эл
fj
“<рЗэл •
В коаксиальной линии за счет тепловых потерь мощности
волны в центральном проводе и экране происходит увеличение
коэффициентов фазы и затухания ее комплексного волнового
числа по сравнению с волновым числом безграничной среды.
В результате уменьшаются длина и скорость распространения
волны.
Центральный провод убирают. Коаксиальная линия превра-
щается в круглый металлический волновод. Решение для напря-
женности поля в таком волноводе можно найти из выражений
(10.13), принимая во внимание, что модифицированные функ-
ции Бесселя второго рода стремятся к бесконечности при rt = 0:
a k3J0(r fit _ ^2 ) г
внутри волновода Ег2зя =-----. — >
~Г0(г^к2-к2)
в экране
Зэл
-iktZ+kar,
гЗэл фЗэл *
^Ззл
Определяя ток через значение продольной составляю
щей напряженности электрического поля в центре волновода,
находим для поля:
290
внутри волновода £г э; = £zOa I ,(г^!с -к-‘)е
в экране £г3эл
к
F - *г J-!
гЗэл • •
Из равенства Н
ности волновода
= ЛЧ,„ при г = г на внутренней поверх-
получаем, что продольное комплексное волнозое число:
Это число при идеально проводящих стенках волновода А, = О
равно волновому числу внутренней области волновода, а в об-
щем случае сложно зависит от сопротивления металлического
цилиндра волновода.
Из приведенного решения следует, что для волн типа «Е» с
круговой симметрией поле подобно полю коаксиального кабеля
(см рис. 9.12). Магнитные векторные линии представляют собой
окружности, лежащие в поперечных сечениях волновода, а элек-
трические силовые линии расположены в плоскостях, проведен -
ных через радиусы и ось Z-
При к. =к2 функции Бесселя 1п(г^к - к.), Г,(г-fie' -к;) в
решении поля внутри волновода можно заменить первыми дву-
291
мя слагаемыми их разложений в ряд и для составляющих вектс
ров напряженности поля получить
^г2зл
“ ^Оэл
1 + lr-(fcz2 -Л2) e
-ikzz+«oi ~ r> -ikzz+nnt
~ ^Z^nc
й _ 7<^2эЛГ г
/7<р2м 2 ^гОзл
_ У(0£2элГ с -iktz+i<ot.
— 2 /-'гОэлс >
l + |r2(fc2 -k2
О
, e~ikzz+iu>t
Z |_ о
_ jk J' -Uctz+nat
= ~2 _£,гОэяе
Продольная составляющая вектора напряженности электри-
ческого поля £г2эл не зависит от радиуса г и постоянна по всему
внутреннему сечению волновода.
Составляющие Яф2м, £г2эл пропорциональны радиусу г и час-
тоте волны со. Продольный поток вектора Пойнтинга
П г2зя г2эл^<р2эл —
к2г-
g2r у F2
g "гом
в центре волновода равен нулю и увеличивается пропориио
нально квадрату радиуса, достигая максимальной величины у
внутренней стенки волновода. Этим круглый волновод отлича
ется от коаксиального кабеля, в котором максимальный поток
век гора Пойнтинга у внешней поверхности внутреннего прово-
да уменьшается обратно пропорционально квадрату радиуса.
Следовательно, при подобии картин поля в поперечных сече-
ниях круглый волновод отличается от коаксиального кабеля рас-
пределением продольного потока мощности
Круглые металлические волноводы могут быть эффективны
на длинах волн, соизмеримых с их поперечными размерами
На практике [26| собственные значения kz определяются из
условия равенства нулю £г2эл при г = г2, т. е. 10(г2^к2 - к2) - 0.
Корни модифицированной функции Бесселя первою рода нуле-
вого порядка комплексные величины:
г2У)к2 - к] = -у(2,4. 5,52; 8,65; 11,79; 14,93;...).
292
В результате напряженности электрического и магнитного по-
лей для волн типа «Е» с собственными значениями кг внутри
круглого волновода составят
^г2эп
—(2,4,5,52; 8,65; ..)
Г2
у _ Л*2эл
^zO3n‘O
Ц -J—(2,4; 5,52; 8,65;...) e
L r2 J
-ikzz+kot,
Г _ Lf
г2м оё2э ф2эл’
Волны типа *Н», как и волны типа «Е», могут распространи гь-
ся по круглому металлическому волноводу.
Картина магнитного поля поменяется с картиной электриче-
ского поля. Сохранится характер изменения составляющих векто-
ров в зависимости от радиуса, а также распределения продольного
потока мощности по поперечном}’ сечению волновода.
Если круглый металлический волновод деформировать в прямо-
угольный волновод, то в нем, как и в круглом волноводе, могут рас-
пространяться волны типа «Е» и волны типа «Н». Векторные линии,
представлявшие собой окружности, деформируются в эллипсы, в
плоскости сечения сохранится взаимная перпендикулярное] ь между
электрическими и магнитными векторными линиями.
Распространение электромагнитных волн в прямоугольном вол-
новоде. Рассмотрим в прямоугольной системе координат
(см. рис. 10.15) электромагнитное поле в бесконечно длинном
прямоугольном волноводе с металлическими идеально проводя-
щими стенками, заполненном идеальным диэлектриком
Для продольной составляющей вектора напряженности маг-
нитного поля волны типа «Н» решение уравненш Гельмгольца
методом разделения переменных может быть получено в следу-
ющем виде:
Нгзз = Jcos(fcxx + <px)cos(Arzy + q>0e '*’г,
где к~ = к* + к~. + Л2.
Из I и II уравнений Максвелла с учетом Ё13Л = 0 определяем
к к
Пузп = /4 , / у cos(fcvx + <pr)sin(^y + ф,)е“Аг;
к‘ - к:
к к
Нхзя ~ JA / * 2 Sin(^х Ьфх)cos(fc,.y + фг)е'Аг;
л К -
293
Е .эд = -jA + <рл) cosC^.y + <рл )е Аг;
к -к.
Ёхзл = jA cos(M + срх) sin(£ у + <py)e'A'1
к1 -к*
Из граничных условий, заключающихся в том, что на поверх-
ности идеально проводящих стенок тангенциальные составляю-
щие вектора напряженности электрического поля должны рав-
няться нулю, находим
Ёхэл = 0 при у = 0; сру = 0 при у = а, куа = /пп;
Е =0 при х = 0; <рх =0 при х = Ь, кхЬ = пп.
Таким образом, решение задачи возможно при определенных
значениях волновых чисел
тп
= X X^cos
т=0 п=0
пп , ... .
—х cos у е
b
а
Jr
пп
тп
т-0 л-0
тп пп 1 . тп
, —cos —х sm —у е
к2г а
Н,т = X X
лт=0 л=0
к.
к2 - к2 b
/т
пп . ____ .
sm —х |cos| —у [е
\ b
Jk‘z; (10.14)
,2 h
^0 Го к- ~kj ь
"5 sin
COS
тп
У е
а
-Jkzl.
соц тп
тп г пп .
г—cos —х sm
г л
/ПП
~У е
а
-Л.г
т .
b
а
а
Из решения следует, что одной угловой частоте соответствует
бесконечное число полей типа «Н». Все они могут возбуждаться и
существовать одновременно. Затухание частных полей вдоль оси z
определяется мнимой частью продольного волнового чиста волны
г
2
= Р;тл - jo.;mr, и возникает при усло-
пп
b
2
тп
а
2
к
пп
Ъ
, 2 . (rm
вии к ' < —
\ а
При т - 0 и п = 0 все составляющие векторов напряженности
электрического и магнитного полей, как видно из решения
204
(10.14), равны нулю. Волна является основной при т = 1 и л = 0
(или т - 0 и п - 1):
= /lcos(-y е' к'г,Н = jA- kz -sin -у e jk‘z;
\a J к -к2 a \a )
r< ' А ЭЛ Л ^U 1 ~jkrZ
Е*эл = JA h -sin -y e 1 ll-
k-k: a \a j
Для поля волн типа «Е», распространяющихся в прямоуголь-
ном металлическом волноводе, можно получить подобное реше-
ние-
Е
ZV1 a I Л71 I — jk.z
У Л sir 1 —х sm —у е ‘ ;
лп=О л-0 \ Ь , Q
Е>^ = ~Х Xj4
/п 0 л-0
kz
к~ - к:
тп
sin
пп
~ь~х
cos
тп
— у 'е
J
-JkzZ
ёХэл = -Х Yj'a
кТ пп .... , . , ___________________________
cos — х sir. —у е
ПП
тп
»п=0 л=0
к2 - к2 Ь
ну„ = -Х Х-'Л
пп
т=0 л-0
(ОС,, пп . .... ,........
. , , cos —х sin —ye
к2 - к2 b ' ' 1 1
тп
Агг
= X Х^
пп
тп
ела,, пт .... ,
—-----------sin —х cos —ye
~jk:Z
т 0 л-0
к2 -к2 а
а
b
а
ь
а
Ь
а
Основной волной в этом случае является волна при значени-
ях т = 1 и п = 1:
Ё.}Я =Xsin' -х sin —у^е“д-’г;
(о J {a J
I- ‘Л Л . д') f Л -jk,z
Еузл = ~JA , - , 2 - sm - х cos -y e ’z;
к2 - kj a ^b ) \a )
£хэл = -JA ,2 ,2 TCOS TX S,n --V e ’
к - к b \b ) U J
rr • л эл 71 'Л < 7C — A - 2
^эл =-Л477_7Тасо? Tx sin -j ;e 1 ;
к -к2 b \b ) Va J
tj a эп 71 । I JU • ^krz
Hx.n =jA- ,2-sin -x cos -y e/ ll.
k2 - k2 a b ) \a I
295
При замыкании металлических волноводов проводящими
стенками они превращаются в объемные резонаторы. Картина
поля в резонаторе подобна картине поля в волноводе, однако в
резонаторе колебаниям соответствуют стоячие волны во всех на-
правлениях, в то время как вдоль волновода распространяется
бегущая волна.
Для поля волны типа «Н» решение уравнения Гельмгольца
методом разделения переменных в объемном резонаторе может
быть получено в следующем виде:
я«.ч = Х ХХЛяп ,z cos тх cos—у
m=0 rr-Op-O \ а J \ ° ) к °
- X ХХ^
т=0 л=0р=0
к. пт (рл '
——-— COS1 —z cos
кг-к- а к d
sin
тл ")
—у ;
а )
т-0п-0р=0
(10.15)
пл
m=0 n=Q p=G & ^z U
( рл пл тл \
sin — z sin, х cos —у ;
\ d b а ]
d
b
XX^T^V"
m=0 л=0/>=П К — К. ч
тл
. рл i пл \ . тл \
sin I — z cos —х sin —у I.
I d I 1 b
d
a
Для поля волн типа «Е», распространяющихся в объемном ре
зонаторе, можно получить подобное решение:
• “ “ “ (рл , ' пл ’> тл ।
Егз.1 = X ХХЛс05 я г s,n| vx И—Л
' d 1 ' h > 1 а 1
тл .
m=0 л=0p=0 A- A, u
•O oo « L
^хэп=Х ХХ-^г '^у5"1
m=0 л=0р=0 U
ПЛ .
ir
11 узл
= x
m=0
/1=0 p=0
m=0 n=0 p=0
пл
рл пл тл
sin — z sm —х cos —у ;
d > b a ,
СОЕЭ1 ПП
/m
d
b
~y ; (10.16)
(рл \ (пл \ .
cos — z cos —x sin
\ d J I b )
тл
—у ;
a )
(DE эл /ИП
к^-к^ a
(рл пл \ (тл
cos — z sm -—x cos —у .
к d J \ b J \ a J
В объемном резонаторе может возбуждаться бесконечное чис-
ло собственных колебаний типа Нтпр и Етпр, определяемых значе-
ниями индексов т, п и р При этом индексы соответствуют числу
296
полуволн поля, укладывающихся на сторонах а. b и d резонатора,
/ X 2 / X 2 / X 2
, 2 I /ЯЛ ’ I пп 1 рп 1
и удовлетворяют соотношению к = — + — + — .
\ а У b J yd)
В резонаторе без потерь собственная частота равна резонанс-
ной От обыкновенно! о колебательного контура без потерь резо-
натор отличается тем, что собственных частот у него бесконеч-
ное множество.
Наиболее низкая частота в резонаторе соответст вует наимень-
шим значениям индексов т, п и р. Одновременно все индексы не
могут равняться нулю, при этом выражения (10.15) и (10.16) об-
ращаются в нуль.
Таким образом, простейшими типами колебаний в прямо-
угольном объемном резонаторе являются:
для колебаний типа Z/101
Ягэл = Л sin -Z cos -у ; Н = -]А 1 -cos -z sin -у ,
VJ J ya J к - k[ a yd J ya J
л
F = / 4 — F K --
k-k* a
Л . Л I Л
4-sin — Z Sir. -y ;
л d ya )
<3
для колебаний типа Яо11
. \ Л j л
Н= A sin — z cos —х ;
Vd ) \b J
.к n (л > . ' л
Я„л = -j4 - - — -cos - z sir. -x
к - к: b yd ) \b
4
• (ОЦ П . Л 1 . ' Л
Еуэл = -jA 2 , 2Tsln 7 * sm x
к - k, b > d ) Vo
для колебаний типа Ец0
>л ТС • i JC \ «у л эл Т1 I ТС JC
Егэл = /lsin — х sm -у ; И эл ^jA - со -x sm -у
yb J ya ) г к-к*Ь yb i уа
=-^7?- - т-s,n тх с°ч -у
к - кг a yb J Vй
Из решений следует, что картина поля £110 аналогична карти-
не поля колебаний Я101 и Яо11. В обоих случаях вектор напря-
женности электрического поля параллелен одной из осей, а ли-
нии магнитного поля расположены в плоскостях, перпендику-
лярных к этой оси Совпадение картины поля объясняется тем,
что в объемном резонаторе все три направления по осям х, у и z
являются равноправными и деление волн на типы «Н» и «F»,
связанное с осью z, чисто условное.
ПРИЛОЖЕНИЕ
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
Градиент скалярной функции
Поле скалярной функции характеризуется математической опера-
цией, называемой градиентом.
Градиент функции U обозначают grad U и записывают в виде об-
щего математического соотношения:
gradi/ =
dt/_
dt е"
Градиент является математической операцией, осуществляемой над
скалярной функцией, в результате которой возникает векторная функция.
Дивер! енция векторной функции
Интенсивность источника или стока принято характеризовать мате-
матической операцией, называемой дивергенцией. Формально дивер-
генцию поля вектора А обозначают div/1 и определяют из выражения
div.4 - lim —----.
дг~»о дИ
где £/1d.V — поток вектора А через замкнутую малую поверхность Д5,
А5
окружающую точку, в которой определяется дивергенция; Л V — ма-
лый объем, охватываемый замкнутой поверхностью Д5.
Путем предельного перехода замкнутая поверхность стягивается в
точку. Положительная дивергенция характеризует интенсивность ис-
точника, а отрицательная дивергенция — интенсивность стока поля в
точке.
Дивергенция является математической операцией, осуществляемой
над векторной функцией, в результате которой возникает скалярная
функция.
Ротор векторной функции
Ротор поля вектора А обозначают rot А и определяют из выражения
^Hd/
rot „Л - lim & - ё„.
as ду "
где rot „Л составляющая ротора, ориенл ированная по направлению
единичной нормали с„ к поверхности 5; ф Adi — интеграл по малому
Л7
замкнутому контуру Д/, охватывающему малую поверхность ДУ
298
Путем предельного перехода эта поверхность стягивается в точку
Ротор (вихрь) представляет собой вектор векторной функции.
Представление операций в декартовой системе координат (х, у, z)
г л.. at/_ ди - эи -
I радиснт скаляра, gradu - VU =—с, + — e, +—e..
Эх dy Эг
где V — оператор Гамильтоне
„ "7 j- 7 3.4, 3 4 ЭЛ,
Дивергенция вектора A: div/1 = —*.+—- + ——.
Эх dy dz
Ротор (вихрь) вектора А
— i'дА, эа ’ / ал, а а । (эл.. эл. Y.
rot Л = -i-—Сх+ —е +
[ ду dz ) [ dz Эх) 2 дх ду)
Оператор Лапласа от скаляра и вектора:
„2 ' .. ... d2U d2U d2U
V U = divgradt/ = —г + - - + —т ,
ах2 ay dz2
а2 л а3 л а2 л г _ 2 л - „г л -
V Л = —- + —Г Г = V Л,ех + V Л. е„ + V Ле.
Эх‘ дуг dz
Представление операций в цилиндрической системе координат (г,ф, z)
... at/_ iat/_ ди-
gradt/ =—e, + -—-e _ + — e,
dr r d(p * dz
. Л 1 3 . . . i эл
dn A =------(гЛг) +------- +
r dr г Эф
ЭЛ,
dz
1ЭД dA^_ ^dAr ЭЛЛ- 1Гэ элг
[г Эф эг j [ dz dr) г [аг Эф
v2t/ = -4fr^
г Эг V dr J
1 d2U d2^
Г2 дф2 Эг2
Представление операций в сферической системе координат (г, ,\ф)
... Э1/_ 1Э<7_ 1 dU _
grad I• — е. +-------е,„ +---------е„.
Эг г д-д rsin О Эф ’
I Э , Q4 I ЭЛ,
—-------(sin ОЛ,,) +--------—;
rsinflafl rsin б Эф
. 1 Э
div А = -т —
г2 Эг
- 1
rot А =-------
э ,. ... эл.
— (sin ЭЛ„)----— е. 4
rsinf)[at) Э'л
1 эл, э . л 1- 1
Эф] г
1 3 , л ч дА, . .
1 4rA-i С,.
г[Эг Эб J
1
299
„1г । а ( гъи\ 1 э f. ,atn i э2!/
u ~ г2 Sr V Sr Г г2 sin О ЭО lS,n 30 J + г2 sin2 О 3<р2 ’
Основные тождества
grad (!/+$) = grad U + grad ф; grad (cpt/) = ср grad U + U grad <p;
divpH =' Hgrad Ф + <p div/1; div[A > В ] - В rot A - A rot В;
rot срЛ = [ grad <p x A ] + <p rot A; rot rot A = g^d div A - V2A;
rot gradt/ = 0; div rot A = 0
Интегральные соотношения
Теорема Остроградского Гаусса’ j div/ldK = ^/Id-S
_и 5
Теорема Стокса: I rot AdS = j-AdL.
s L
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Матханов П Н. Основы анализа электрически* цепей Линейные
цепи М : Высш, шг , 1986.
2. Дани.'!ов Л. В. Матханов П Н., Филиппов Г С. Теория нелинейных
электрических цепей. — Л.: Энергоатомиздат, 1990.
3 Атабеков Г. И Линейные электрические цепи. Ч. 1 — М , Л : Энер-
гия. 1964.
4. Чуа Л. О., Пен-Мен Лин. Машинный анализ электронных схем: Ал-
горитмы и вычислительные методы — М Энергия, 1980
5 Бутырин П. А., Демирчян К. С Молелиоование и машинный расчет
электрических цепей: Учеб пособие для элект. и энергетич. спец, вузов —
М.’ Высш, шк., 1988.
6. Маронов В. Г., Кузовкин В. А., Казанцев Ю.А Моделирование на Э ВМ
динамических режимов электронных схем. — М : МЭИ, 1988.
7. Новгородцев А. Б. 30 лекций по теории электрических цепей: Учеб,
пособ. — СПб.: Политехника 1995.
8. Башарин С 4 , Соловьева F. Б Моделирование, анализ и идентифи-
кация электрических цепей: Методич указания - СПб РИО ГЭГУ 194S
9. Башарин С А Соловьева Е Б. Моделирование и анализ нелинейных
электрических цепей: Учеб, пособие. — СПС ТЭТУ «ЛЭТИ», 1999
10. Башарин С А. Методы матричного моделирования и анализа элек-
трических цепей: Методич. указания. С Пб.: РИО ТЭТУ, 2001.
11. Калиткин Н Н Численные методы. — М : Наука, 1978.
12 Opt. О Графы и их применение — М.: Мир, 1965-
13. Шсбес М. Р. Задачник по теории линейных этектоических цепей. —
М Высш, шк., 1990
И Сборник задач по теории электрических цепей Учеб, пособие длч
вузов / Под ред П. Н. Матханове и Л. В Данилова — М Высш, шк 1980.
15. Сборник задач по расчету электрических цепей/ Под ред. С. И. Мат
ханова и МИ. Пинеса. — М.: Высш, шк., 1967.
16. Федоров В. В. Единая теория поля. — 5-е изд., доп. — СПб.: Изд.-
поли1 раф. центр ТЭТУ, 200?
17. Федоров В В. Теоретические основы технической электродинами-
ки -Л: Изд. ЛЭТИ, 1982
]8. Максвелл Д К Трактат об электричестве и магнетизме ! Пер Б М. Бо
лотовского, И. Л. Бурштейна, М.А. Миллера и др. — М.: Наука, 1968.
1 ° Максвелл Д. К. И >бранные сочинения по теории электромагнито-
го поля. М ГИТТЛ, 1954.
20. Моркчев Н Т.О теории относительности Альбср~а Эйнштейна и
электромагнитно) о плтя Джеймса Клерка Максвелла. СПС ,200?
301
21. Ландау Л. Д., Лифшиц £. М Электродинамика сплошных сред — М
Изд. техн.-теорет. лит., 1957.
22. Ленин В И Материализм и эмпириокриз ипизм // Поли. собр. соч.
Т. 18.
23. Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. — Гостехиздат, 1948.
24. Янке У, Эмде Ф, Леш Ф Специальные функции. — М : Наука,
1977.
25. Демирчян К. С., Чечурин В.Л. Машинные расчеты электромагнит-
ных полей. — М. Высш, шк., 1986.
26. Красюк Н П.. Дымович Н.Д. Электродинамика и распространение
радиоволн. М • Высш. шк.. 19'74.
27. Федоров В. В. Краевые задачи электродинамики применительно к
системам управления. — Л : Изд. ЛЭТИ, 1988.
28 Шередько Е. Ю. Распространение радиоволн и антенно-фидерные
устройства. — М.. Связь, 1 976.
29. Аполлонский С М Расчет электромагни гных экранирующих оболо-
чек. — Л.: Энергоиздат, 1982.
30. Федоров В. В. Схемы замещения при решении уравнений электро-
ма1 нитного поля в многослойных средах // Науч тр. Вып. 286. — Л.: Изд.
ЛЭТИ, 1981
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................................3
РАЗДЕЛ I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Глава I. Основные понятия, определения и законы электрических
испей..............................................................5
1.1 Электрический ток, электрическое напряжение, энергия
при протекании тока, мощность электрического тока...............5
1.2 . Электрическая цепь и ее элементы.............................7
1.3 . Основные задачи и законы электрических цепей................13
1 4 Понятие о дуальности в электрических цепях..................16
Глава 2. Анализ цепей с Я-элементами (резистивных цепей)..............18
2.1. Соединения Я-элементов...................................... 18
2.2. Методы преобразования цепей с Я-элементами.................. 21
2.3. Метод пропорциональных величин и метод наложения...... 24
2 4 Метод контурного анализа........................ .. 26
2.5. Метод узлового анализа ................................... 29
2.6. Теоремы об эквивалентных источниках..........................32
Глава 3. Анализ цепей с Я-, L и С-элементами (динамических цепей)... 36
3.1. Классический метод анализа динамики Я . £-, С-цепей....... . 36
3.2. Метол расчета переходных процессов в цепях первого порядка
с использованием эквивалентных резистивных схем ... ......... 4?
3.3. Переходные процессы в последовательном колебательном
контуре........................................................45
3 4 Метод переменных состояния..................................52
3.5 Переходная и импульсная характеристики цепи_____________ ....59
Глава 4. Анализ цепей при воздействии синусоидальных
и экспоненциальных сигналов........................................66
4.1 Основные понятия и определения---------------------------- 66
4.2. Законы Кирхгофа и Ома в комплексной форме ............... ...68
4.3. Элементы цепи в синусоидальном установившемся режиме . ......72
4.4 Мощность пассивного двухполюсника в синусоидальном
установившемся режиме......................................... 77
4.5. Метод комплексных амплитуд (символический метод).............79
4.6 Резонансные явления в простых колебательных контурах.. ... 80
4.7. Частотные характеристики цепей.............................. 84
4.8. Переходные процессы при синусоида тьных воздействиях.........87
Глава 5. Анализ цепей с использованием преобразования Лапласа .. 89
5 1 Основные положения операторного метода, используемые
при анализе динамических Я-. £-. С-нспей.................. 89
5.2 Нахождение оригиналов функций по заданным изображениям...... 93
5.3 Некоторые свойства и теоремы преобразования Лапласа.... 96
5.4. Законы Кирхгофа и Ома в операторной форме, операторные
схемы замещения элементов..................................99
303
5 5. Анализ переходных процессов в динамических цепях
операторным методом......................................102
5.6. Анализ испей с одним источником при нулевых начальных
условиях.................................................104
Глава 6. Анализ цепей при воздействии периодических и одиночных
сигналов с использованием рядов и преобразования Фурье......108
6.1. Представление периодических сигналов в виде рядов Фурье .108
6.2. Анализ цепей при воздействии периодических сигналов
с использованием частотных спектров..........................112
6.3. Частотные спектры одиночных сигналов.......................11 4
6.4. Некоторые свойства спектральных функций..................118
6.5. Качественный анализ иепей в частотной области............120
Глава 7. Методы матричного анализа электрических цепей............122
7.1. Основные понятия о топологии и матрицах электрических цепей .. 122
7.2 Формирование математических моделей и методы матричного
расчета резистивных цепей ..................................125
7.3. Формирование математических моделей и методы матричного
расчета динамических цепей...................................132
7.4. Численный метод решения уравнений состояния динамической
цепи .......................................................142
РАЗДЕЛ II. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Глава 8 Теоретические основы электродинамики.................... 145
8.1. Общие положения..........................................145
8.2. Основные законы и уравнения электромагнитного поля.......147
8.3. Уравнения Максвелла..................................... 173
8.4. Волновые уравнения..............................-........179
8.5. Векторные и скалярные потенциалы........................ 181
8.6. Граничные условия для векторов напряженности и индукции
электромагнитного поля..................................-...185
8.7. Закон сохранения энср| ни для мгновенных значений времени
и в комплексном виде....................................... 186
Глава 9. Потенциальные поля и методы их расчета...................196
9.1. Особенности потенциальных полей ........................... 196
9.2. Математическая аналогия дифференциальных уравнений
различных потенциальных полей и их моделирование............200
9.3 Методы решения уравнений Пуассона и Лапласа.............. 202
Глава 10. Переменные электромагнитные поля, их распространение.
излучение и экранирование.............................. 223
10.1. Уравнения Максвелла в комплексном виде. Волновое уравнение
Гельмгольца................................-.............. 223
10.2. Основные свойства плоских электромагнитных волн........224
10.3. Отражение и преломление плоских электромагнитных волн на
границе раздела двух сред..... ............................ 228
10.4. Ихчучение........................................... 236
10.5. Электромагнитное экранирование....................... 257
10.6. Электромагнитное поле элементарных осцилляторов
в многослойных средах. Боковые и нормальные волны........... - 261
10.7 Распространение электромагнитных волн вдоль проводников...275
10.8. Распростр щение электромагнитных волн вдоль направляющих
систем ..................................................... 83
Приложение ................................ -....—........... 298
Список литературы...................................................-'Я