/
Автор: Бессонов Л.А.
Теги: электротехника электроэнергетика физика электроника теоретическая физика электромагнитное поле
Год: 1978
Текст
Л. А. Бессонов
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
________________
Электромагнитное
поле
Л. А. Бессонов
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Электромагнитное поле
Издание седьмое,
переработанное
и дополненное
Допущено Министерством высшего
и среднего специального
образования СССР
в качестве учебника для студентов
электр отехнических, энер гетических
и приборостроительных специальностей
высших учебных заведений
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1978 '
ББК 31.2
Б 53
УДК 621.3(075.8)
Рецензент
Кафедра теоретических основ электротехники
Московского авиационного института
Бессонов Л. А.
Б 53 Теоретические основы электротехники: Электромаг-
нитное поле. Учебник для студентов вузов. — 7-е изд.,
перераб. и доп. — М.: Высш, школа, 1978. — 231 с., ил.
В пер.: 65 к.
В книге рассмотрена теория электромагнитного поля. Все главы нового
издания переработаны и дополнены. Включен новый материал: конформные
преобразования с помощью интеграла Шварца, отражения в сфере и цилинд-
ре, второй вариант метода интегральных уравнений, распространение волн в
гиротропных средах и др. Введены вопросы и задачи для самопроверки. Пред-
назначается для студентов электротехнических, энергетических и приборостро-
ительных специальностей вузова
Б
30306—310
001(01)—78
100—78
ББК 31.2
6П2.1
© Издательство «Высшая школа», 1978
ЧАСТЬ III
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
ПРЕДИСЛОВИЕ
Седьмое издание учебника по теоретическим основам электротех-
ники в отличие от предыдущих изданий выпущено в двух книгах.
В первой книге рассмотрены вопросы теории линейных и нелинейных
электрических цепей (I и II части курса ТОЭ), во второй — вопросы
теории электромагнитного поля (III часть курса ТОЭ). Структура
второй книги аналогична структуре первой.
Материал излагается малыми, удобными для восприятия порциями,
сопровождается числовыми примерами. Все необходимые для понима-
ния материала книги математические и физические пояснения даются
по ходу изложения. В каждой главе имеются вопросы и задачи для
самопроверки. Рекомендуемые для решения задачи указаны по сбор-
нику задач [18].
Нормальным шрифтом (корпусом) в книге набран материал, обя-
зательный для изучения студентами всех специальностей, в учебных
планах которых имеется III часть курса ТОЭ. Петитом набран мате-
риал в неодинаковой степени обязательный для студентов различных
специальностей. Какую часть набранного петитом материала следует
изучить студенту, должна указать кафедра ТОЭ соответствующего
вуза. По сравнению с предыдущим изданием все главы III части курса
подверглись переработке. Так же как и в первой книге, во второй
осуществлена перестановка некоторых глав и параграфов по сравне-
нию с шестым изданием. Рассмотрены следующие новые вопросы, от-
сутствовавшие в предыдущем издании: зеркальные изображения
в сфере и цилиндре, интеграл Шварца, второй вариант метода инте-
гральных уравнений, распространение электромагнитных волн в гиро-
тропных средах, полосковые линии, граничные условия Леонтовича,
формулы Френеля, поле в пазу электрической машины, понятие о за-
предельном волноводе и др.
Во второй книге помещен краткий обзор развития электротехники,
охватывающий и теорию цепей и теорию поля. Часть справочного мате-
риала, необходимого для I, II и III частей курса (таблицы функций ех,
е~*, sh х, ch х), помещена в первой книге. Остальной справочный
материал (таблица функций Бесселя комплексного аргумента, свой-
ства проводриковых и диэлектрических материалов) помещен во второй
книге. При подготовке второй книги к изданию помощь оказали ст.
преподаватель кафедры ТОЭМИРЭАС. Э. Расовская и доц. С.А. Ми-
ленина.
Автор с благодарностью примет все замечания по улучшению
учебника, которые просит направлять по адресу: Москва, К-51, Нег-
линная ул., д. 29/14, изд-во «Высшая школа».
Автор
1*
ВВЕДЕНИЕ
Под электромагнитным полем понимают вид материи, характери-
зующийся совокупностью взаимно связанных и взаимно обусловливаю-
щих друг друга электрического и магнитного полей. Электромагнитное
поле обладает характерными для него электрическими и магнитными
свойствами, доступными наблюдению. Силовое воздействие поля на
электрические заряды и токи, находящиеся в поле, положено в основу
определения основных векторных величин, которыми характеризуют
поле, напряженности электрического поля и магнитной индукции
магнитного поля.
Электромагнитное поле может самостоятельно существовать в виде
электромагнитных волн в пустоте. Это свидетельствует о том, что
оно является особой формой материи. В то же время электромагнитное
поле обладает энергией, массой и количеством движения, т. е. харак-
теристиками обычной формы материи. Масса электромагнитного поля
в единице объема определяется как частное от деления энергии поля
в единице объема на квадрат скорости распространения электромагнит-
ной волны в пустоте, равной скорости света. Количество движения
электромагнитного поля, отнесенное к единице объема, равно произве-
дению массы поля в единице объема на скорость распространения элек-
тромагнитной волны в пустоте (вакууме).
При распространении электромагнитного поля одновременно с дви-
жением потока электромагнитной энергии происходит движение массы
поля и количества движения.
Масса электромагнитного поля, заключенная в единице объема,
несоизмеримо мала по сравнению с массой (плотностью) всех извест-
ных веществ. Даже при максимально достижимых в настоящее время
значениях напряженностей электрического и магнитного полей масса
поля в единице объема оказывается равной 10"17~ 10-12 кГ/м3. Тем
не менее наличие массы поля имеет принципиальное значение, по-
скольку в этом факте отражена известная инерционность процессов
в электромагнитном поле.
В одних случаях электромагнитное поле распределено в про-
странстве непрерывно, в других — обнаруживает дискретную струк-
туру» проявляющуюся в виде квантов излученного поля. Электромаг-
нитное поле может превращаться в вещество, а вещество в поле. Так,
электрон и позитрон превращаются в два кванта электромагнитного
излучения, а при исчезновении фотона возникает пара — электрон
и позитрон. Превращение поля в вещество, а вещества в поле соот-
ветствует превращению одного вида материи в другой. Пространство
и время являются формами существования электромагнитного поля.
При рассмотрении теории поля будем руководствоваться индуктив-
ным методом, т. е. переходить от частного (от. менее совершенной
4
структуры) к общему (к более совершенной структуре). В соответст-
вии с этим сначала рассмотрим поля, неизменные во времени, когда
электрическое и магнитное поля (две компоненты электромагнитного
поля) можно рассматривать раздельно. Изложение начнем с электро-
статического поля.
ГЛАВА ДЕВЯТНАДЦАТАЯ
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
§ 19.1. Определение электростатического поля. Электростатиче-
ское поле — это частный вид электромагнитного поля. Оно создается
совокупностью электрических зарядов, неподвижных в пространстве
по отношению к наблюдателю и неизменных во времени.
Из курса физики известно, что любое вещество состоит из элемен-
тарных заряженных частиц, окруженных электромагнитным полем.
Элементарные заряды (заряды электрона и протона) характеризуют-
ся связью с собственным и взаимодействием с внешними электрическими
полями. В любом веществе всегда имеется микроскопическая неодно-
родность в пространстве. Элементарные заряженные частицы, входя-
щие в состав атомов и молекул, находятся в непрерывном хаотическом
движении. Следовательно, кроме микроскопической неоднородности
в пространстве всегда имеется неодинаковость расположения элемен-
тарных зарядов в смежные моменты времени.
В теории поля осредняют микроскопические неоднородности ве-
щества в пространстве и во времени, т. е. рассматривают процессы
в макроскопическом смысле.
В заряженном теле (если общий заряд его неизменен во времени)
элементарные заряды движутся хаотически. Поэтому даже в непосред-
ственной близости от поверхности этого тела создаваемое элементар-
ными зарядами магнитное поле практически отсутствует. Это и дает
возможность рассматривать в электростатическом поле лишь одну
электрическую компоненту электромагнитного поля.
Под зарядом (зарядом тела) понимают скалярную величину, рав-
ную алгебраической сумме элементарных электрических зарядов
в этом теле.
В дальнейшем, как правило, будем иметь дело с полем, создавае-
мым в однородной и изотропной среде, т. е. в такой среде, электри-
ческие свойства которой одинаковы для всех точек поля и не зависят
рт направления. В ином случае сделаны соответствующие оговорки.
Электростатическое поле обладает способностью воздействовать
на помещенный в него электрический заряд с механической силой,
прямо пропорциональной величине этого заряда.
В основу определения электрического поля положено механиче-
ское его проявление. Оно описывается законом Кулона.
§ 19.2. Закон Кулона. Два точечных заряда q± и q2 в вакууме
взаимодействуют друг с другом с силой F, прямо пропорциональной
5
произведению зарядов qx и q2 и обратно пропорциональной квадрату
расстояния R между ними. Эта сила направлена по линии, соединяю-
щей точечные заряды (рис. 19.1). Заряды, имеющие одинаковые
знаки, стремятся оттолкнуться друг от друга, а заряды противо-
положных знаков стремятся сблизиться:
О®-')
где 7?0 — единичный вектор, направлен-
ный по линии, соединяющей заряды
(см. Рис- 19Д) *•
При использовании СИ и кратных
Рис. 19.1 долей единиц этой системы расстояние R
измеряют в метрах (м), заряды — в ку-
лонах (К); электрическая постоянная 80 = 8,86-10~12 — в фарадах
на.метр (Ф/м); тогда силу получают в ньютонах.
Под точечными зарядами подразумевают следующее: линейные
размеры тел, на которых расположены взаимодействующие заряды,
много меньше расстояния между телами.
§ 19.3. Напряженность и потенциал электростатического поля.
Любое поле характеризуется некоторыми основными величинами.
Основными величинами, характеризующими электростатическое поле,
являются напряженность Е и потенциал <р.
Напряженность электростатического поля — величина векторная,
определяемая в каждой точке и величиной и направлением; потенциал
является величиной скалярной. Значение потенциала определяется
в каждой точке поля некоторым числом.
Электростатическое поле определено, если известен закон изме-
нения Е или <р во всех точках этого поля.
4 Если в электростатическое поле поместить настолько малый (не-
подвижный) положительный заряд, что он своим присутствием не вы-
зовет сколько-нибудь заметного перераспределения зарядов на телах,
создающих поле, то отношение силы, действующей на заряд, к величине
заряда q определяет напряженность поля в данной точке:
£ = Ищ —. (19.1а)
q -> 0
Таким образом, Е это силовая характеристика поля, определен-
ная при условии, что внесенный в данную точку поля заряд не исказил
поля, существовавшего до внесения этого заряда. Отсюда следует,
что сила f, действующая на конечной величины точечный заряд q,
внесенный в поле, будет равна f — qE, а напряженность численно
равна силе, действующей на заряд, по величине равный единице.
Если поле создается несколькими зарядами (^, q2, q3, ...), то его
напряженность равна геометрической сумме напряженностей от каж-
* Стрелка над буквой означает вектор в пространстве.
6
заряд q. На заряд
)чки 1 переместился
Рис. 19.2
дого из зарядов в отдельности: Е = Е± + Е2 + Е3 + ...» т. е. при
расчете электрического поля применим метод наложения.
Рассмотрим вопрос о работе, совершаемой силами поля при пере-
мещении заряда, и о связанных с работой понятиях потенциала и раз-
ности потенциалов.
Поместим в электрическое поле некоторый
будет действовать сила qE. Пусть заряд q из т
в точку 2 по пути 132 (рис. 19.2). Так как на-
правление силы qE, воздействующей на заряд
в каждой точке пути, может не совпадать с эле-
ментом пути dl, то работа на перемещение за-
ряда на пути dl определится скалярным про-
изведением силы на элемент пути qE dl. Работа,
затраченная на перенос заряда из точки 1 в точ-
ку 2 по пути 132, определится как сумма эле-
ментарных работ qE dl. Эту сумму можно запи-
2
сать в виде линейного интеграла q^Edl.
1
Заряд q может быть любым. Положим его
равным единице (единичный заряд). Под раз-
ностью потенциала tpj. — <р2 принято понимать
работу, затрачиваемую силами поля при переносе единичного заряда
из начальной точки 1 в конечную точку 2:
2
<Pi~ ф2 = Jj Е dl (19.2)
1
Формула (19.2) позволяет определить разность потенциалов точек 1
и 2 как линейный интеграл от напряженности поля.
Если бы потенциал конечной точки пути 2 был равен нулю, то
потенциал точки 1 определился бы так (при ф2 = 0):
2 _
= Jj Е dl,
i
т. е. потенциал произвольной точки поля 1 может быть определен как
работа, совершаемая силами поля по переносу единичного положитель-
ного заряда из данной точки поля в точку поля, потенциал которой
равен нулю.
За точку, имеющую нулевой потенциал, можно принять любую
точку поля. Если такая точка выбрана, то потенциалы всех точек поля
определяются единственным образом.
Нередко принимают, что точка с нулевым потенциалом находится
в бесконечности. Поэтому, особенно в курсах физики, распространено
определение потенциала как работы, совершаемой силами поля при
переносе единичного заряда из данной точки поля в бесконечность:
со
<рх=Е dl,
1
7
Часто считают, что точка с нулевым потенциалом находится на
поверхности земли (земля в условиях электростатики есть проводя-
щее тело, поэтому безразлично, где именно — на поверхности земли
или'в толще ее — находится эта точка).
Таким образом, потенциал любой точки поля зависит от того,
какой точке поля придан нулевой потенциал, т. е. потенциал опреде-
ляется с точностью до постоянной величины. Однако это не имеет суще-
ственного значения, так как практически важен не потенциал какой-
либо точки поля, а разность потенциалов и производная от потен-
циала по координатам.
При составлении разности потенциалов произвольную постоянную,
с точностью до которой определяют потенциал, вычитают, и в раз-
ность потенциалов она не входит. На величине производной от потен-
циала по координатам произвольная постоянная также не скажется,
поскольку производная от постоянной величины равна нулю.
§ 19.4. Электрическое поле — поле потенциальное. Составим вы-
ражение для разности потенциалов в поле точечного заряда. С этой
целью положим, что в точке т рис. 19.2 находится положительный
точечный заряд qlt создающий поле, а из точки 1 в точку 2 через про-
межуточную точку 3 перемещается единичный положительный заряд
Я = 1-
Обозначим: — расстояние от точки т до исходной точки /;
Т?2 — расстояние от точки т до конечной точки 2; R — расстояние
от точки т до произвольной точки 3 на пути 132. Направление напря-
женности поля Е и направление элемента пути dl в промежуточной
точке 3 показано на рис. 19.2. Скалярное произведение Edl = EdR,
где dR — проекция элемента пути dl на направление радиуса, соеди-
няющего точку т с точкой 3.
В соответствии с определением напряженность поля Е — F/q.
По закону Кулона
р___- р
~~ 4л80Я2
Так как | | = 1 и — 1, то модуль напряженности поля в поле
точечного заряда
р__ .Qi
I
Подставив в формулу (19.2) вместо Edl величину полу-
чим
2 2 2 / 1 1 \
4)1^4)2 = \Edl = \EdR=^~\^- = ~б-)- (19.2)
V1 Y2 J 4Л8О ] R2 4ле0 ytfi R2J v 7
Таким образом, разность потенциалов между исходной и конечной
точками пути (точками 1 и 2) зависит только от положения этих
точек и не зависит от пути, по которому происходило перемещение из
8
исходной точки в конечную точку. Другими словами, если перемещение
из точки 1 в точку 2 будет происходить по какому-то другому пути,
например по пути 142, то разность потенциалов <рх — <р2, полученная
в этом случае, будет равна разности потенциалов — <р2 при переме-
щении из точки 1 в точку 2 по пути 132.
Если поле создано совокупностью точечных зарядов, то этот вы-
вод справедлив для поля, созданного каждым из точечных зарядов
в отдельности. А так как для электрического поля в однородном и
изотропном диэлектрике справедлив принцип наложения, то вывод
о независимости величины разности потенциалов — <р2 от пути, по
которому происходило перемещение из точки 1 в точку 2, справедлив
и для электрического поля, созданного совокупностью точечных
зарядов.
Если пройти по замкнутому пути 13241 (см. рис. 19.2), то исход-
ная точка пути 1 и конечная точка пути 2 совпадут* и тогда и левая
и правая части формулы (19.2) будут равны нулю:
Ф1-<р2 = 0 = фЕЙ. , (19.3)
(Кружок на знаке интеграла означает, что интеграл берется по
замкнутому контуру).
Соотношение (19.3) свидетельствует о том, что в электростатиче-
ском поле линейный интеграл от напряженности электрического поля,
взятый вдоль любого замкнутого пути, равен нулю.
Физически это объясняется тем, что при движении вдоль замкнутого
пути совершена определенная работа силами поля и такая же работа
совершена внешними силами против сил поля.
Если условиться работу, совершенную силами поля, считать поло-
жительной, а работу, совершенную против сил поля, — отрицательной,
то сумма «положительных» и «отрицательных» работ равна нулю. ‘
Равенство (19.3) можно трактовать и так: циркуляция вектора Е
вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Это соотношение выра-
жает собой основное свойство электростатического поля. Поля, для
которых выполняются подобного рода соотношения, называют потен-
циальными. Потенциальными являются не только электростатические
поля, но и все гравитационные поля (поля сил тяготения между мате-
риальными телами), установившиеся температурные поля около нагре-
тых тел и т. д.
§ 19.5. Силовые и эквипотенциальные линии. Электростатическое
поле можно характеризовать совокупностью силовых и эквипотен-
циальных линий. Силовая линия — это мысленно проведенная в поле
линия, начийающаяся на положительно заряженном теле и оканчиваю-
щаяся на отрицательно заряженном теле. Проводится она таким обра-
зом, что касательная к ней в любой точке ее дает направление напря-
женности поля Ё в этой точке. Вдоль силовой линии передвигался бы
весьма малый положительный заряд, если бы он имел возможность
свободно перемещаться в поле и если бы он не обладал инерцией.
Таким образом, силовые линии имеют начало (на положительно заря-
женном теле) и конец (на отрицательно заряженном теле). Так как
положительный и отрицательный заряды, создающие поле, не могут
быть в одной и той же точке, то силовые линии электрического поля не
могут быть линиями, замкнутыми сами на себя.
В электростатическом поле могут быть проведены эквипотенциаль-
ные (равнопотенциальные) поверхности. Под эквипотенциальной по-
верхностью понимают совокупность точек поля, имеющих один и тот
же потенциал. Если мысленно рассечь электростатическое поле какой-
либо секущей плоскостью, то в полученном сечении будут видны следы
Рис. 19.3
пересечения плоскости с экви-
потенциальными поверхностя-
ми. Их называют эквипотен-
циальными линиями (илиэкви-
потенциалями). Из самого
определения эквипотенциаль-
ной поверхности следует, что
перемещение по ней не вызо-
вет изменения потенциала.
Точно так же и перемещение
вдоль эквипотенциальной ли-
нии не связано с.изменением
потенциала.
Эквипотенциальные и си-
ловые линии в любой точке
поля пересекаются под прямым углом. На рис.
19.3, а изображены
два заряженных тела и проведено несколько силовых и эквипотен-
циальных линий.
В противоположность силовым эквипотенциальные линии электро-
статического' поля являются замкнутыми сами на себя линиями. Как
уже говорилось, между напряженностью электрического поля Е и
потенциалом ф существует связь интегрального вида (19.2). Кроме
нее, между Е и ф существует и связь дифференциального вида.
§ 19.6. Выражение напряженности в виде градиента потенциала.
Электростатическое поле, как отмечалось ранее, является полем по-
тенциальным. Между двумя близко расположенными точками поля
имеется в общем случае некоторая разность потенциалов.
Если эту разность разделить на кратчайшее расстояние между взя-
тыми точками, то полученная величина будет характеризовать ско-
рость изменения потенциала в направлении кратчайшего расстояния
между точками. Эта скорость будет зависеть от направления, вдоль
которого взяты точки.
В курсе математики пользуются понятием градиента скалярной
функции. Градиентом скалярной функции называют скорость измене-
ния скалярной функции, взятую в направлении ее наибольшего воз-
растания. В определении градиента существенны два положения:
1) направление, в котором берутся две близлежащие точки, должно
быть таким, чтобы скорость изменения потенциала была максимальна;
10
2) направление таково, что скалярная функция в этом направлении
возрастает (не убывает).
На рис. 19.3, б изображены отрезки двух весьма близко располо-
женных эквипотеициалей. Одна из них имеет потенциал другая —
<р2. Пусть Ф1 > ф2- Тогда, в соответствии с приведенным определе-
нием, градиент потенциала изобразим на рис. 19.3, б вектором, пер-
пендикулярным к эквипотенциальным линиям и направленным от <р2
к epi (в сторону увеличения потенциала).
Напряженность электрического поля направлена от более высокого
потенциала (tpj) к более низкому (ср2). Если через dn обозначить рас-
стояние по перпендикуляру (по нормали) между эквипотенциальными
поверхностями, а через dn — вектор, совпадающий с направлением Ё :
dn = п° dn (здесь п°—единичный вектор по направлению dn),
то на основании соотношения (19.2) можно записать выражение:
2 _
Ф1 ~ Ф-2 = \Е dl dn = — dcp,
< i
где dcp == (р2 — Ф1 — приращение потенциала при переходе от точки 1
к точке 2.
Так как векторы Е и dn совпадают по направлению, то скалярное
произведение Edn равно произведению модуля Е на модуль dn (Edn =
= Е dn).
Таким образом, Edn = —dtp. Отсюда модуль напряженности поля
Е — —-^-. Вектор напряженности поля Е = Еп°. Следовательно,
I г—<>м)
В свою очередь, из определения градиента следует, что
I grad<p = Mk(Zn°)=z_^(_^). (19.5)
Сопоставляя (19.4) и (19.5), замечаем, что
Е = —grad ср. (19.6)
Соотношение (19.6) можно истолковать следующим образом: на-
пряженность в какой-либо точке поля равна скорости изменения
потенциала в этой точке, взятой с обратным знаком. Знак минус озна-
чает, что направление Е и направление grad ср противоположны
(см. рис. 19.3, б).
Нормаль dn в общем случае может быть расположена так, что не
совпадет с направлением какой-либо координатной оси. И потому гра-
диент потенциала в общем случае можно представить в виде суммы
трех проекций по координатным осям. Например, в декартовой системе
координат:
grad<p=rs + /^+^$’ _ <19-7)
и
где i ----скорость измейения ф в направлении оси х; — число-
вое значение (модуль) скорости (скорость — величина векторная); i, j,
k — единичные орты соответственно по осям х, у, z декартовой системы.
Вектор напряженности Е = iEx + jEy + kEz. Таким образом,
7е,+е,+Г^—
Два вектора равны только тогда, когда равны друг другу их соот-
ветствующие проекции. Следователрно,
Ех = — Еу = —&; Ег-—-^-. (19.8)
х дх ’ у ду ' z dz v 7
Соотношения (19.8) следует понимать так: проекция напряженности
поля на ось х равна проекции скорости изменения потенциала вдоль
оси х, взятой с обратным знаком, и т. д.
§ 19.7. Дифференциальный оператор Гамильтона (оператор на-
бла). Для сокращения записи различных операций над скалярными
и векторными величинами употребляется дифференциальный оператор
Гамильтона (оператор набла).
ТХокдифференциальным оператором Гамильтона (оператором набла)
понимают сумму частных производных по трем координатным осям,
умноженных на соответствующие единичные векторы (орты). В декар-
товой системе координат его записывают так:
V7 •* д I ~Г д I 7* д
' == л—Н / д—F k •
дх 1 ! ду 1 dz
Он сочетает в себе векторные и дифференцирующие свойства и
может быть применен к скалярным и векторным функциям. Ту функ-
цию, действие над которой хотят произвести (дифференцирование ее
по координатам, или «пространственное» дифференцирование), пишут
справа от оператора набла.
Применим оператор V к потенциалу ср. С этой целью запишем
кд , -г д . г д\ -г дф , -г дф , t да>
v т \ дх 1 7 dy ' dz) т дх 1 1 ду ' dz
Если сравнить последнее выражение с (19.7), то можно заметить,
что правые части у них одинаковы. Следовательно, равны и левые:
grad ср = \7Ф, т. е- запись Vcp эквивалентна записи grad ф, а приписы-
вание слева к какой-либо скалярной функции (в рассматриваемом слу-
чае к ср) оператора V означает взятие градиента от этой скалярной
функции.
§ 19.8. Выражение градиента потенциала в цилиндрической и
сферической системах координат. В цилиндрической системе (обозна-
чения см. на рис. 19.4, а):
(19.9)
12
В сферической системе (обозначения см. на рис. 19.4, б):
grad<p=T?°41+ 6° р- •#+«' р-Цт-(19-Ю)
& г dR R дб ' 7? sm 6 да v 1
§ 19.9. Поток вектора через элемент поверхности и поток вектора
через поверхность. Пусть в векторном поле (например, в поле век-
тора напряженности электрического поля Е) есть некоторый элемент
поверхности, площадь которого с одной стороны численно равна dS.
Выберем положительное направление нормали (перпендикуляра)
к элементу поверхности. Вектор dS в некотором масштабе на рис. 19.5
равен площади элемента
Рис. 19.4
поверхности, а его на-
правление совпадает с
п ол ож ител ьн ым н апр а-
влением нормали. Будем
Рис. 19.5
полагать, что площадь элемента достаточно мала, чтобы в пределах этого
элемента' вектор Е можно было считать одним и тем же во всех точках.
Если бы Е было перпендикулярно dS, то вектор Е не пронизывал
бы элемент поверхности; если Е направлено по dS, то через данный
элемент поверхности будет максимальный поток вектора Е. В общем
случае поток вектора Е через элемент поверхности определится ска-
лярным произведением Е dS.
Поток вектора через элемент поверхности Е dS является скаляром
алгебраического характера. Поток вектора может оказаться положи-
тельным или отрицательным. Положительное значение потока EdS
означает, что он направлен в сторону dSt отрицательное его значение,
что он направлен в обратную сторону.
Если поверхность, через которую определяют поток вектора,
велика, то тогда нельзя считать, что во всех ее точках Е одна и та же.
В этом случае поверхность подразделяют на отдельные элементы
малых размеров, и полный поток вектора через поверхность равняется
алгебраической сумме потоков через все элементы поверхности. Сумму
потоков можно записать в виде интеграла: ^EdS.
S
Значок s под знаком интеграла означает, что суммирование про-
изводится по элементам поверхности.
Если поверхность, через которую определяют поток вектора, зам-
кнутая, то на знаке интеграла ставят кружок: <§E dS°
8
13
§ 19.10. Свободные и связанные заряды. Поляризация вещества.
Свободными называют заряды, которые под воздействием сил поля
могут свободно перемещаться в веществе, их перемещение не ограни-
чивается внутримолекулярными силами.
Под связанными понимают электрические заряды, входящие в со-
став вещества и удерживаемые в определенных положениях внутримо-
лекулярными силами. Такие заряды «связаны» с данным веществом,
неотделимы от него. Сумма положительных связанных зарядов равна
сумме отрицательных связанных зарядов.
Если какое-либо диэлектрическое тело поместить в электрическое
поле, то оно поляризуется.
Под поляризацией понимают упорядоченное изменение расположе-
ния связанных зарядов в теле, вызванное электрическим полем. Это
изменение расположения проявляется в том, что отрицательные свя-
занные заряды в теле переместятся в направлении более высокого
•потенциала, а положительные связанные заряды переместятся в сто-
рону более низкого потенциала. Заряды сместятся настолько, что
силы воздействия электрического поля на связанные заряды
уравновесятся внутримолекулярными силами. В результате поля-
ризации на поверхности вещества как бы обнажаются связанные
заряды.
§ 19.11. Вектор поляризации. Произведение ql называют электри-
ческим моментом двух равных по величине и противоположных по
знаку зарядов, находящихся друг от друга на расстоянии I (диполя).
Это векторная величина, направленная от заряда — q к заряду +q
(рис. 19.6, а).
^скомпенсированные
связанные заряды
Рис. 19.6
В поляризованном веществе молекулы в электрическом отношении
представляют собой диполи. Под действием внешнего электрического
поля диполи стремятся ориентироваться в пространстве таким обра-
зом, чтобы электрический момент их был направлен параллельно век-
тору напряженности электрического поля. Практический интерес пред-
ставляет электрический момент не одной молекулы, не одной пары
зарядов, а суммы диполей, находящихся в единице объема вещества.
Электрический момент суммы диполей, находящихся в объеме веще-
14.
ства V, отнесенный к объему V при стремлении V к нулю, называют
вектором поляризации (поляризованностью) и обозначают Р:
-> У1 ql
P = (19.11)
v-+o v
Для большинства диэлектриков Р пропорционально напряженно-
сти электрического поля Ё. Коэффициент пропорциональности между
ними х = 80х (% — электрическая восприимчивость):
Р=хЁ. (19.12)
Диэлектрики в зависимости от происходящих в них процессов при
поляризации можно подразделить на две группы.
В первую группу входят диэлектрики, молекулы которых при от-
сутствии внешнего электрического поля электрически нейтральны,
Рис. 19.7
т. е. в них центры действия положительных и отрицательных зарядов
совпадают. К числу таких диэлектриков относятся водород, азот, па-
рафин и др.
Поляризация в диэлектриках первой группы заключается в том,
что под действием внешнего электрического поля центр действия поло-
жительного заряда молекулы смещается по внешнему полю, а центр
действия отрицательных зарядов (электронная орбита) — против
поля. В результате молекула становится диполем.
Это смещение зарядов молекулы пропорционально величине напря-
женности внешнего поля. Смещению противодействуют внутримоле-
кулярные силы.
Во вторую группу входят диэлектрики, молекулы которых при
отсутствии внешнего электрического поля представляют собой диполи,
т. е. центры действия положительных и отрицательных зарядов этих
молекул при отсутствии внешнего электрического поля не совпадают
(полярные молекулы). Диэлектриком с полярными молекулами явля-
ется, например, хлористый водород.
Благодаря тепловому движению диполи располагаются хаотично,
так что при отсутствии внешнего электрического поля их электриче-
ские поля взаимно нейтрализуются.
Поляризация в диэлектриках второй группы состоит в том, что
полярные молекулы стремятся повернуться таким образом, чтобы их
электрический момент был направлен по внешнему электрическому
полю.
15
Поляризацию диэлектриков первой группы иллюстрирует
рис. 19.7, а и б; второй группы— рис. 19.7, в и г. Рис. 19.7, айв
соответствуют случаю, когда внешнее поле отсутствует; рис. 19.7, б
и г — при наличии внешйего поля.
§ 19.12. Вектор электрической индукции D. Кроме векторов Е
и Р в электротехнических расчетах используют еще вектор электри-
ческой индукции, или вектор электрического смещения D.
Вектор D равен сумме двух векторов: вектора е0Е, характеризую-
щего поле в вакууме, и вектора поляризации Р, характеризующего
способность диэлектрика в рассматриваемой точке поля поляризо-
ваться: D = eQE-\-P.
Так как Р = х£=е0£ —, 0 е0 (19.13)
то £>=е0£ (1 + = 80е£ =еа£, \ е0/ (19.14)
где 8а = е08*; е=1+х. (19.15)
Относительная диэлектрическая проницаемость имеет нулевую
размерность; она показывает, во сколько раз абсолютная диэлектриче-
ская проницаемость вещества (еа) больше, чем электрическая постоян-
ная е0, характеризующая электрические свойства вакуума.
В системе СИ [D] — [Р] = к/м2.
§ 19.13. Теорема Гаусса в интегральной форме. Теорема Гаусса
является одной из важнейших теорем электростатики. Она соответ-
ствует закону Кулона и принципу наложения. Теорему можно сфор-
мулировать и записать тремя способами.
. 1. Поток вектора электрического смещения через любую замкну-
тую поверхность, окружающую некоторый объем, равен алгебраиче-
ской сумме свободных зарядов, находящихся внутри этой поверхности:
уПЗЗ = £<7своб. (19.16)
S
Из формулы (19.16) следует, что вектор D является такой характе-
ристикой поля, которая при прочих равных условиях не зависит от
диэлектрических свойств среды (от величины е).
2. Так как D = е0&Е, то теорему Гаусса для однородной и изо-
тропной среды можно записать и в такой форме:
<£Ё^ = -^?сво6 , (19.17)
__________ J
* Раньше относительную диэлектрическую проницаемость обозначали
а ^абсолютную проницаемость — е, т. е. е = еоег.
16
т. е. поток вектора напряженности электрического поля сквозь любую
замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов, находящихся
внутри этой поверхности, разделенной на произведение еое.
Из формулы (19.17) следует, что вектор Е представляет собой
характеристику поля, которая в отличие от вектора D при прочих
равных условиях зависит от диэлектрических свойств среды (от вели-
чины е).
Поток вектора D определяется лишь суммой зарядов и не зависит
от их расположения внутри замкнутой поверхности *.
3. Поток вектора Е через любую замкнутую поверхность создается
не только суммой свободных зарядов (2<7СВОб), но и суммой связанных
зарядов (2^связ), находящихся внутри поверхности.
Из курса физики известно, что поток вектора поляризации сквозь
любую замкнутую поверхность равен взятой с обратным знаком
алгебраической сумме связанных зарядов, находящихся внутри этой
поверхности:
Jjj ?СВЯЗ = Ф ' (а)
Напомним вывод формулы (а). С этой целью сначала покажем, что плотность
поверхностных связанных зарядов на поверхности раздела поляризованного ди-
электрика и вакуума равна модулю вектора поляризации.
На рис. 19.6, б показано расположение диполей в поляризованном диэлектрике
длиной L, сечением S. На торцах диэлектрика образуются связанные заряды. По-
верхностную плотность их обозначим через о. На длине L' положительные и отри-
цательные заряды взаимно компенсируют друг друга. Поэтому поляризованный
диэлектрик (рис. 19.6, б) можно рассматривать как диполь длиной L с сосредоточен-
ными на концах зарядами oS.
Электрический момент всего диэлектрика длиной L равен eSL. Электрический
момент единицы объема диэлектрика
n uSL aSL
Р = —= -s^=a-
Таким образом, плотность связанных зарядов на торцах поляризованного ди-
электрика равна модулю вектора поляризации Р (вектор перпендикулярен торцам).
На рис. 19.6, в изображен свободный положительный заряд, вызвавший поляриза-
цию окружающего его диэлектрик#.
Окружим заряд сферой и подсчитаем некомпенсированные связанные заряды,
попавшие внутрь сферы. Нескомпенсированными связанными зарядами оказываются
заряды диполей, пересекаемых поверхностью S.
Так как поверхностная плотность их равна о, то
7сВЯЗ ф & ф Р dS ,
Знак минус появился вследствие того, что знак нескомпенсированных связан-
ных зарядов противоположен знаку свободного заряда (см. рис. 19.6, в).
* Теорема Гаусса [формула (19.16) или (19.17)] применима не только к элек-
тростатическому полю, но и к переменному электромагнитному полю при условии,
что расстояние от заряда, создающего поле, до точки, в которой определяют напря-
женность, должно быть много меньше длины электромагнитной волны (подробнее
см. § 26.6).
Распространил теорему Гаусса на переменное электромагнитное поле (посту-
лировал возможность ее применения) Д. Максвелл. Поэтому теорему Гаусса в при-
менении к переменному электромагнитному полю в литературе называют постула-
том Максвелла,
17
Формулу (19.16) можно переписать следующим образом:
§DdS = §(e0E-bP)dS = e0§E dS + ^PdS = ^ q^o6.
Следовательно,
dS ~ ?своб Ф Р dS = ?своб 4“ 7 С ВЯЗ
ИЛИ
С Г' ~Тс'1 ^4 7своб 4~ 7связ
Формулы (19.17) и (19.17') отличаются своими правыми частями.
§ 19.14. Применение теоремы Гаусса для определения напряжен-
ности и потенциала в поле точечного заряда. Теорему Гаусса в ин-
тегральной форме можно использовать для нахождения напряженности
или электрического смещения в какой-либо точке поля, если через
эту точку можно провести замкнутую поверхность таким образом, что
все точки этой поверхности будут в одинаковых (симметричных)
условиях по отношению к заряду, находящемуся внутри замкнутой
поверхности.
Такой поверхностью является обычно сфера (если заряд точеч-
ный) или боковая поверхность цилиндра (если заряд «линейный»).
При этом в силу симметричного расположения всех точек поверхности
относительно заряда числовое значение напряженности поля в различ-
ных точках этой поверхности будет одинаковым.
В качестве примера использования теоремы Гаусса найдем напря-
женность поля, создаваемую точечным зарядом в точке, удаленной на
расстоянии 7? от заряда. С этой целью проведем через заданную точку
сферическую поверхность радиусом 7?, полагая, что заряд находится
в центре сферы, и применим к этой сфере теорему Гаусса (см.
рис. 19.7, д).
Элемент поверхности сферы dS перпендикулярен к поверхности
сферы * и направлен в сторону внешней (по отношению к объему вну-
три поверхности) нормали.
В данном примере в каждой точке сферы Е и dS совпадают по
направлению. Угол между ними равен нулю. Если учесть, что числовое
значение Е во всех точках сферы одно и то же, то Е можно вынести
из-под интеграла:
&EdS = <i EdS cos O° = eJ dS = E
J J e08
Следовательно, напряженность, создаваемая точечным зарядом q
на расстоянии 7? от него,
* Имеется в виду вектор, изображающий элемент поверхности сферы.
18
В силу сферической симметрии напряженность поля имеет только
одну Я-ю составляющую в сферической системе координат. Значит
F—F — дф _ <йр
Л dR dR *
Отсюда
Таким образом, потенциал в поле точечного заряда обратно про-
порционален первой степени расстояния R от точечного заряда до
точки, в которой определяется потенциал; С представляет собой
постоянную интегрирования, с точностью до которой определяется
потенциал. Напомним, что аналогичные выражения для Е и <р были
получены в § 19.4 при использовании закона Кулона.
§ 19.15. Теорема Гаусса в дифференциальной форме. Теорема
Гаусса в интегральной форме выражает связь между потоком вектора
D через поверхность S, ограничивающую некоторый объем, и алге-
браической суммой зарядов, находящихся внутри этого объема.
С помощью теоремы Гаусса в интегральной форме нельзя определить,
как связан исток линий D в данной точке поля с плотностью свобод-
ных зарядов в той же точке поля. Ответ на этот вопрос дает диффе-
ренциальная форма теоремы Гаусса. Чтобы прийти к ней, разделим
обе части уравнения (19.16) на одну и ту же скалярную величину —
на объем V, находящийся внутри замкнутой поверхности S:
ф D dS ^своб . ч
(а)
Выражение (а) остается справедливым для объема V любой вели-
чины. Устремим объем к нулю:
& D dS У 7своб
lim — = hm . (б)
у —о v v-^o v
При стремлении объема к нулю §DdS также стремится к нулю,
но отношение двух бесконечно малых величин dS и V есть вели-
чина конечная *. Предел отношения потока векторной величины
сквозь замкнутую поверхность, ограничивающую некоторый объем,
к объему V называют дивергенцией eeilmopa D (div О). Часто вместо
термина «дивергенция» употребляют термин «расхождение» или «исток»
вектора D.
* В ч. III учебника неоднократно использованы величины, которые опреде-
ляются при стремлении рассматриваемого объема или площади к нулю.
Стремление к нулю не следует понимать дословно: речь идет о таком уменьше-
нии линейных размеров объема или площади, при котором еще не сказывается ди-
скретность материи.
19
В правой части выражения (б) находится объемная плотность
свободного заряда, ее обозначают рсвоб.
Таким образом, теорему Гаусса в дифференциальной форме запи-
сывают следующим образом (первая форма записи):
divZ5 = pCBo6, (19.20)
т. е. исток линий D в данной точке поля определяется величиной
плотности свободных зарядов в этой точке. Если объемная плотность
зарядов в данной точке положительна (рСВОб> 0), то из бесконечно
малого объема, окружающего данную точку поля, линии вектора D
исходят (исток положителен, рис. 19.8, а). Если в данной точке поля
Рис. 19.8
Рсвоб < 0, то в бесконечно малый объем, внутри которого находится
данная точка, линии вектора D входят. И, наконец, если в какой-
либо точке поля рсвоб = 0, то в данной точке поля нет ни истока, ни
стока линий D, т. е. в данной точке линии вектора D не начинаются и
не заканчиваются.
Если среда однородна и изотропна, то ее еа = const. Вместо (19.20)
запишем выражение: div еаЕ = рСВоб-
Вынесем еа за знак дивергенции:
eadivE = pCBo6;
следовательно,
dlV Е — Рсвоб/^а*
(19.21)
Формула (19.21) представляет собой вторую форму записи теоремы
Гаусса. Она справедлива только для однородной и изотропной среды.
Для неоднородной среды еа является функцией координат и потому
еа не может быть вынесена за знак дивергенции.
20
Уравнение (19.17') в дифференциальной форме записывают "’так
(третья форма записи):
djv£ = Рсвоб^Рсвяз,. (19.2Г)
Следовательно, истоком вектора Е в отличие от истока вектора D
являются не только свободные, но и связанные заряды.
В различных системах координат div Ё раскрывается по-своему.
§ 19.16. Вывод выражения для div Е в декартовой системе коор-
динат. Выделим в пространстве весьма малый параллелепипед с реб-
рами dx, dy, dz. Расположим ребра параллелепипеда параллельно осям
декартовой системы (рис. 19.8, б). Для нахождения истока вектора Ё
из данного объема составим разность потоков, выходящих из объема
и входящих в него, и разделим разность потоков на величину объема
параллелепипеда, равную dx dy dz.
Левую грань площадью dxdz пронизывает только одна составляю-
щая вектора £, т. е. составляющая ]ЕУ, остальные (iEx и kEz} скользят
по грани. Поток вектора Е, входящий в* эту грань, равен Eydxdz.
Так как Е есть функция координат, то и ее составляющие также
являются функциями координат. Правая грань площадью dxdz от-
стоит от левой грани на расстоянии dy. Проекция вектора Е на ось у
дЕу дЕу
для нее равна Еу dy, где ------------скорость изменения Еув на-
дЕУ
правлении оси у; -^-dy—приращение «игрековой» составляющей
напряженности поля на пути dy.
Поток, выходящий из правой грани площадью dxdz, равен (еу +
д£\ \ дЕу
+ -faj-dy] dxdz. Исток через грани площадью dxdz равен dxdydz.
Таким же путем получим разность потоков через грани площадью
dydz: dx dy dz.
Разность потоков через грани dxdy (верхнюю и нижнюю стенки
объема) равна dxdydz.
Для нахождения div £ сложим разности потоков через все грани
и поделим на объем параллелепипеда dxdydz, получим
— дЕх дЕи 4 dEz
div£ = --5-^ + ^ + -7rb (19.22)
дх 1 ду 1 dz ' * '
§ 19.17. Использование оператора набла для записи операции
взятия дивергенции. Ранее было показано, что умножение оператора
V на скалярную функцию равносильно взятию градиента от этой ска-
лярной функции. Покажем, что скалярное умножение оператора v
на векторную функцию, например на функцию £, означает взятие
дивергенции от этой векторной функции.
21
(19.23)
ДОЛЖНЫ
действи-
Произведение \/Е можно записать так:
= (т®+7 а; + *£) Р£- + /£,+М)’ -
дЕх дЕу dEz
дх ду dz 9
4 Правые части (19.22) и (19.23) равны; следовательно,
быть равны и левые их части. Поэтому \Е = div В, т. е.,
тельно, умножение оператора у на вектор Е означает взятие диверген-
ции от этого вектора.
§ 19.18. Выражение div Е в цилиндрической и сферической системах координат.
Без вывода запишем выражение div Ё:
в цилиндрической системе координат
div£=— ^-(r£r)+ -1- • (19.24)
г дгх 7 * г да dz * ' '
в сферической системе координат
''' ' 7г + яжг • £ (” '£«> + <” ж)
§ 19.19. Уравнение Пуассона и уравнение Лапласа. Уравнения
Пуассона и Лапласа являются основными дифференциальными уравне-
ниями электростатики. Они вытекают из теоремы Гаусса в дифферен-
циальной форме.'Действительно, известно, что Е — — grad <р. В то же
время согласно теоремеJTaycca (19.21): div Ё = рСВОб/еа.
Подставив в (19.21) Е из (19.6), полупим
div Е = div (— grad q>) = об .
еа
Вынесем минус за знак дивергенции:
div grad <р = — ,
еа
Вместо grad <р запишем его эквивалент v<p; вместо div напишем V-
Тогда
?(?Ф) = —(19.26')
или
V2<p = _P^l. (19.26)
* Почленно умножаем слагаемые первой скобки на слагаемые второй скобки.
Учитываем, что скалярное произведение одноименных ортов равно единице, а раз-
ноименных равно нулю: i 7= jf=k k= 1 •! «cos 0° = 1;*7 T= i k =~j k = 1 -1 x
X cos 90° = 0.
22
Уравнение (19.26) называют уравнением Пуассона. Частный вид
уравнения Пуассона, когда рсвоб = 0, называют уравнением Лапласа.
Уравнение Лапласа записывают так:
V2<p = 0. (19.27)
Оператор v2 = div grad называют оператором Лапласа, или
лапласианом, и иногда обозначают еще символом А. Поэтому можно
встретить и такую форму записи уравнения Пуассона:
дф=_£^б
Раскроем v2T в декартовой системе координат. С этой целью
произведение двух множителей v и ytp запишем в развернутом виде:
V(Vq>)=f7 + + + 7 +
v т/ \ дх 1 1 ду ‘ dz) \ дх 1 J ду 1 дг)
Произведем почленное умножение и получим
V2m = д2<Р , д2<р д2<р
(3x2 Т ду2. ~Г &2 •
Таким^образом, уравнение Пуассона в декартовой системе коор-
динат записывают следующим образом:
52<р , 52<р | 52<р Рсвоб /1О OQ\
Уравнение Лапласа в декартовой системе координат:
_^ + ^L + jj!L = O. (19.29)
дх2 1 ду2 * дг2 ' '
Приведем без вывода выражения у2(р:
в цилиндрической системе координат
?2ф = 1. + (19.30)
г dr \ dr J 1 г2 да2 1 dz2 ’ 4 '
в сферической системе координат
= ж ад («2» + \ a (s“° ж) + FB5 S- <1931)
Уравнение Пуассона выражает связь между частными производ-
ными второго порядка от ср в любой точке поля и объемной плотностью
свободных зарядов в этой точке поля. В то же время потенциал в ка-
кой-либо точке поля зависит от всех зарядов, создающих поле, а не
только от величины свободного заряда, находящегося в данной точке.
Уравнение Пуассона применяют при исследовании потенциальных
полей (электрических и магнитных) с 1820 г.
Уравнение Лапласа (1780 г.) первоначально было применено для
описания потенциальных полей небесной механики и впоследствии
использовано для описания электрических полей.
23
Рассмотрим вопрос о том, как в общем виде можно записать реше-
ние уравнения Пуассона.
Положим, что в объеме V есть объемные ( р), поверхностные (о)
и линейные (т) заряды. Эти заряды представим в виде совокупностей
точечных зарядов: pdV, odS, rdl; dV — элемент объема; dS — эле-
мент заряженной поверхности; dl — элемент длины заряженной
оси. Составляющая потенциала dtp в некоторой точке пространства,
удаленной от pdV на расстояние 7?, в соответствии с формулой (19.19)
Составляющие потенциала от поверхностного и линейного зарядов,
если рассматривать их как точечные, определим аналогичным образом:
o' dS т dl
----- -------
4л8а/? 4леа/? *
Полное значение ср определим как сумму (интеграл) составляющих
потенциала от всех зарядов в поле:
1 С р dV . 1 f о dS , 1 С х dl лисим
'f-4S7jT?-+4S7. —+ -4S7J-R-- <IMI>
V S I
В формуле (19.3Г) p, о иг есть функции радиуса 7?. Практически
формулой (19.31) пользуются сравнительно редко, так как распреде-
ление о по поверхности, т по длине и р по объему зависит от
конфигурации электродов и, как правило, перед проведением рас-
чета неизвестно. Поэтому интегрирование произвести затрудни-
тельно, так как обычно неизвестно, какова зависимость, р, о и т от
радиуса R.
При использовании формулы (19.31') предполагается, что потен-
циал на бесконечности равен нулю и что заряды, создающие поле, рас-
пределены в ограниченной (не бесконечно протяженной) области (ина-
че интеграл может оказаться расходящимся).
§ 19.20. Граничные условия. Под граничными условиями понимают
условия, которым подчиняется поле на границах раздела сред с раз-
ными электрическими свойствами.
При изучении раздела «Переходные процессы» большое значение
имел вопрос о начальных условиях и законах коммутации, которые поз-
воляли определить постоянные интегрирования при решении задач
классическим методом. В классическом методе они использовались
в явном виде, в операторном — в скрытом. Без использования их
нельзя решить ни одной задачи на переходные процессы.
Можно провести параллель между ролью граничных условий в элек-
трическом (или в любом другом) поле и ролью начальных условий
и законов коммутации при переходных процессах.
При интегрировании уравнения Лапласа (или Пуассона) в решение
входят постоянные интегрирования. Их определяют, исходя из гра-
ничных условий. Прежде чем перейти к подробному обсуждению
граничных условий, рассмотрим вопрос о поле внутри проводящего
тела в условиях электростатики.
24 '
§19.21. Поле внутри проводящего тела в условиях электростатики.
Рис. 19.9
в проводящем теле, находящемся в электростатическом поле, вслед-
ствие явления электростатической индукции происходит разделение
зарядов. Отрицательные заряды смещаются на по-
верхность тела, обращенную в сторону более высокого
потенциала, положительные — в противоположную
сторону (рис. 19.9).
Все точки тела будут иметь одинаковый потен-
циал. Если йежду какими-либо точками возникла бы
разность потенциалов, то под ее действием появи-
лось бы упорядоченное движение зарядов, что проти-
воречит понятию электростатического поля.
Поверхность тела эквипотенциальна. Вектор на-
пряженности внешнего поля в любой точке поверх-
ности подходит к ней под прямым углом. Внутри проводящего тела
напряженность поля равна нулю, так как внешнее поле компенси-
руется полем зарядов, расположившихся на поверхности тела.
§ 19.22. Условия на границе раздела проводящего тела и диэлек-
трика. На границе проводящее тело — диэлектрик при отсутствии тока
по проводящему телу выполняются два условия:
1) отсутствует тангенциальная (касательная к поверхности) со-
ставляющая напряженности поля:
Et = 0; (19.32)
2) вектор электрического смещения D в любой точке диэлектрика,
непосредственно примыкающей к поверхности проводящего тела,
численно равен плотности заряда о на поверхности проводящего тела
в этой точке:
D = o. (19.33)
2?
Диэлектрик , j | 6ds
Проводящее
тело
Рис. 19.10
раллелепипед (рис. 19.
Рассмотрим первое условие. Все точки поверхности проводящего
тела имеют один и тот же потенциал. Следовательно, между двумя
любыми весьма близко расположенными
друг к другу точками поверхности прира-
щение потенциала d<p = 0, но dq = Etdl,
следовательно, Etdl = 0.
Так как элемент пути dl между точками
на поверхности не равен нулю, то равно
нулю Et,
Для доказательства второго условия
мысленно выделим бесконечно малый па-
). Верхняя грань его параллельна по-
верхности проводящего тела и расположена в диэлектрике. Нижняя
грань находится в проводящем теле. Высоту параллелепипеда
возьмем весьма малой (сплющим его). Применим к параллелепипеду
теорему Гаусса. В силу малости линейных размеров можно принять,
Что плотность заряда о во всех точках на поверхности dS проводящего
25
тела, попавшей внутрь параллелепипеда, одна и та же. Полный заряд
внутри рассматриваемого объема равен odS.
Поток вектора D через верхнюю грань объема/) dS = DdS. Потока
вектора D через боковые грани объема ввиду малости последнего и
того, что вектор D скользит по ним, нет. Через «дно» объема поток
также отсутствует, так как внутри проводящего тела Е = 0 и D = О
(еа проводящего тела есть величина конечная). Таким образом, поток
вектора D из объема равен DdS = edS или D = о.
§ 19.23. Условия на границе раздела двух диэлектриков. На гра-
нице раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими
пропицаемостями выполняются два следую-
щих условия:
1) равны тангенциальные составляющие
е я напряженности поля:
= (19.34)
2) равны нормальные составляющие
р 19 п электрической индукции:
Dln — (19.35)
Рис. 19.12
Индекс 1 относится к первому диэлектри-
ку, индекс 2 — ко второму.
Первое условие вытекает из того, что
в потенциальном поле ф Е dl = 0 по любо-
му замкнутому контуру. Второе условие
представляет собой следствие теоремы
Гаусса.
Докажем справедливость первого усло-
вия. С этой целью выделим плоский замк-
нутый контур mnpqm (рис. 19.11) и составим вдоль него цирку-
ляцию вектора напряженности электрического поля. Верхняя сто-
рона контура расположена в диэлектрике с диэлектрической прони-
цаемостью 82, нижняя — в диэлектрике с ег. Длину стороны тп,
равную длине стороны pq, обозначим dl. Контур возьмем так, что
размеры пр и qm будут бесконечно малы по сравнению с dl. Поэтому
составляющими интеграла ^E±dl вдоль вертикальных сторон в силу
их малости пренебрежем. Составляющая §Edl на пути тп равна
E2dZ2 = E^dl, по пути pq равна Е dlr = —E^dl. Знак «минус» появился
потому, что элемент длины на пути pq и касательная составляющая
вектора Ег направлены в противоположные стороны (cos 180° = —1).
Таким образом, ф Ё dl = E2i dl — Elt dl = 0 или E±i = E2t,
Убедимся в справедливости второго условия. С этой целью на
границе раздела двух сред выделим очень малых размеров параллеле*
пипед (рис. 19.12). Внутри выделенного объема есть связанные заряды
26
ц нет свободных (случай наличия свободных зарядов на границе раз-
дела рассмотрим отдельно), поэтому §DdS = 0.
Поток вектора D:
через верхнюю грань площадью dS: D2dS2 = D2ndS2;
через нижнюю грань: DldS1 = D1dSlcos 180° = — DlndS; [dSjl ~
^\dS2\ = dS.
Следовательно,
§DdS = — DlndS^D.2ndS = Q или Dln~D2n.
При наличии на границе раздела двух сред свободных зарядов
с плотностью о (это встречается весьма редко)
ф D dS = D2n dS — Dln dS — cj dS9
при этом
= (19.36)
т. е. при наличии на границе раздела двух сред свободных зарядов
нормальная составляющая вектора D скачком изменяется на величину
плотности свободных зарядов на границе раздела.
Из § 19.3 известно, что потенциалу придается смысл работы при
переносе единичного заряда. При переходе через границу, отделяю-
щую один диэлектрик от другого, — например при переходе от точки п
к точке р на рис. 19.11 — нормальная составляющая напряженности
является величиной конечной, а длина пути пр стремится к нулю.
Произведение их равно нулю. Поэтому при переходе через границу
раздела двух диэлектриков потенциал не претерпевает скачков.
§ 19.24. Теорема единственности решения. Электрическое поле
описывается уравнением Лапласа или Пуассона. Оба они являются
уравнениями в частных производных. Уравнения в частных производ-
ных в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений имеют
в общем случае множество линейно независимых друг от друга реше-
ний. В любой же конкретной практической задаче есть единственная
картина поля, т. е. единственное решение. Из множества линейно
независимых решений, допускаемых уравнением Лапласа — Пуассона,
выбор единственного, удовлетворяющего конкретной задаче, произво-
дят с помощью граничных условий.
Если есть некоторая функция, удовлетворяющая уравнению Лап-
ласа — Пуассона и граничным условиям в данном поле, то эта функ-
ция и представляет собой то единственное решение конкретной за-
дачи, которое ищут.
Это положение называют теоремой единственности решения. До-
кажем ее. Допустим, что есть два решения (ср' и ср", Е' и Е"). На по-
верхности каждого fe-ro проводящего тела с зарядом qk потенциал
<р£ = Во всех точках разностное поле (ср = ср' — ср" иЕ = Е' — Е")
27
отсутствует, так как его энергия^ 0Ш = О[§ 19.43;
V
на поверхности проводника ф* = ф£ — ф£ = 0].
§ 19,25. Общая характеристика задач электростатики и методов
их решения. В зависимости от того, что задано и что определяют,
задачи электростатики можно подразделить на три типа.
Задача Первого типа. По заданному закону распределения потен-
циала в пространстве ср (х, у, z) найти распределение свободных заря-
дов, вызвавших поле. Такого рода задачи можно решать с помощью
уравнения Пуассона. Это наиболее простой тип задач; — •—р-°б- в дан-
• еа
ной точке поля согласно уравнению Пуассона равняется сумме част-
ных производных второго порядка от ф, в которую подставляют
координаты данной точки поля. Одна из задач первого типа рассмо-
трена в примере 193.
Близкой к задачам первого типа является задача, в которой известно выра-
жение для потенциала <р как функции координат и требуется найти распределение
поверхностных или линейных зарядов, создающих поле, когда объемные заряды
в поле отсутствуют. Если заряды расположены на поверхностях проводящих тел,
то в соответствии с формулой (19.33) плотность заряда а = где = —
Индекс п означает направление, нормальное к поверхности тела.
Задача второго типа. Задан закон распределения свободных-,
зарядов в пространстве в функции координат рсвоб (х, у, z). Найти
закон изменения потенциала в пространстве ф (х, у. г). Эта задача
является обратной по отношению к первой и значительно сложнее
ее. Принципиально задача состоит в решении уравнения Пуассона
относительно ф, т. е. в решении дифференциального уравнения второго
порядка в частных производных. Задачи второго типа рассмотрены
в примерах 188—189.
Задачи первого и второго типов практически встречаются редко,
чаще имеют дело с задачами третьего типа.
Задача третьего типа. Известны потенциалы (или полные заряды)
и геометрия тел, создающих поле. Требуется найти закон изменения Е
или ф во всех точках поля. Несколько задач третьего типа рассмо-
трено в § 19.37 — 19.40 и в примерах 1816, 187, 194.
Если среда, в которой создано поле, является неоднородной, то
ее подразделяют на однородные области и решение уравнения Лапласа
производят для каждой области отдельно. Основная трудность задачи
состоит в том, что хотя полные заряды тел и известны, но плотность
распределения зарядов на отдельных участках заряженного тела не-
известна. Решения уравнения Лапласа для отдельных областей должны
быть согласованы друг с другом: на границе раздела двух среде раз-
личными еа должны выполняться граничные условия. На границе
раздела проводящего тела и диэлектрика также должны выполняться
свои граничные условия.
Задачи третьего типа можно решать аналитически или графиче-
ски, либо путем моделирования.
28
В настоящем параграфе приведена лишь краткая характеристика
этих методов (путей решения). Более обстоятельное изложение их
дано в дальнейшем на конкретных примерах.
В простых случаях задачи на аналитический расчет полей решают
путем использования теоремы Гаусса в интегральной форме (см.
§ 19.13). В более сложных аналитическое решение задач третьей
группы производят, используя уравнение Лапласа.
Аналитические методы решения задач третьей группы могут быть
подразделены на две подгруппы. В первой из них производят инте-
грирование уравнения Лапласа без использования вспомогательных
^(искусственных) приемов. Во второй используют искусственный при-
ем — метод зеркальных изображений *.
№ По методу зеркальных изображений решение производят путем
введения вспомогательного заряда или зарядов, которые в расчет-
ном отношении заменяют связанные заряды, выявившиеся ла границах
тел или сред в результате их поляризации или в результате электро-
статической индукции (см. § 19.30 — 19.33).
В тех случаях, когда потенциал ср является функцией только
одной координаты выбранной системы координат, уравнение Лапласа
из уравнения в частных производных переходит в обыкновенное
дифференциальное уравнение второго порядка, которое интегри-
руется без затруднений (см. примеры 186—187).
Если же потенциал <р является функцией двух или трех коорди-
нат, то, для того чтобы проинтегрировать уравнение Лапласа, при-
меняют метод Фурье, позволяющий перейти от уравнения в частных
производных к эквивалентной ему совокупности двух или соот-
ветственно трех обыкновенных дифференциальных уравнений
(см. § 19.39).
Графический метод анализа и расчета задач третьей группы пред-
ставляет собой метод, в котором по определенным правилам произво-
дят построение семейств силовых и эквипотенциальных линий, исполь-
зуя некоторые заранее известные свойства исследуемого поля. Эти
правила практически одни и те же для всех неизменных во времени
полей, т. е. для электростатического поля, электрического поля
постоянного тока в проводящей среде (см. гл. 20) и для магнитного
поля постоянного тока (см. гл. 21).
В основу анализа и расчета электростатических полей методом
моделирования положена аналогия между электростатическим полем
и электрическим полем постоянного тока в проводящей среде. Метод
моделирования основан на сопоставлении задачи электростатики и
сходной задачи на электрическое поле постоянного тока в проводя-
щей среде, в которой совокупность силовых и эквипотенциальных
линий практически такая же. Это дает возможность воспользоваться
результатами экспериментального исследования поля в проводящей
среде при решении родственной электростатической задали. Подробно
об этом говорится в § 24.7 — 24.9. Следует заметить, что при расче-
тах полей широко применяют метод наложения.
См. также метод конформных преобразований в приложении И.
29
В заключение отметим, что в задачах электростатики расчет можно
производить с целью определения либо «точечной» характеристики
поля (напряженности или потенциала в заданной точке), либо инте-
гральной характеристики данного поля, например емкости или раз-
ности потенциалов.
В приложениях Е', Ж, 3, И кч. III рассмотрены основные положе-
ния ряда аналитических методов расчета полей, которые рекомен-
дуется изучить студентам специальностей ТВН, электронной техники,
электрических машин и аппаратов.
Перейдем к рассмотрению некоторых простейших электростатиче-
ских задач.
§ 19.26. Поле заряженной оси. Под заряженной осью понимают
весьма тонкий теоретический бесконечно длинный металлический про-
водник (тонкая проволока). Заряд на единицу длины ее принято обоз-
начать через т. Диэлектрическая проницаемость среды, окружаю-
щей ось, равна 8а. Для нахождения напря-
женности поля в некоторой точке, удален-
ной на расстояние г от оси (рис. 19.13),
проведем через эту точку цилиндрическую
поверхность так, что ось цилиндрической
поверхности совпадет с заряженной осью.
Используем теорему Гаусса, которая
применима к замкнутой поверхности.
В рассматриваемом случае последняя обра-
зована боковой поверхностью цилиндра и
двумя его донышками. Поток вектора Е имеется только через боко-
вую поверхность цилиндра. Через донышки поток вектора Ё отсут-
ствует, так как элемент поверхности dS каждого донышка перпен-
дикулярен Е.
Элементы dS боковой поверхности и напряженность электриче-
ского поля Е в любой точке цилиндрической поверхности по направ-
лению совпадают, поэтому
Е • 2лг • 1 = ~ или Е = ~.
8а 2я8аГ
(19.37)
Напряженность в поле заряженной оси изменяется обратно про-
порционально расстоянию г точки от оси.
Потенциал
<Р = - J Е dr = - J ~ dr = - In г + С =.
= (19-38>
изменяется по логарифмическому закону *.
* Единица, находящаяся под знаком логарифма в (19.38), имеет смысл единич-
ного радиуса (единицы измерения), поэтому логарифм берется от величины с нуле-
вой размерностью.
30
§ 19.27. Поле двух параллельных заряженных осей. Пусть одна
ось на единицу длины имеет заряд 4-т, другая — заряд —т. Возьмем
в поле некоторую произвольную точку М (рис. 19.14). Результирую-
щая напряженность поля в ней Ем равна геометрической сумме напря-
женностей от обоих зарядов. Расстояние точки М до положительно
заряженной оси обозначим через а, до отрицательно заряженной
оси — через Ь. Потенциал есть функция скалярная. Потенциал точки
М равен сумме потенциалов от каждой оси:
» = ^Ч + ^|П4~ + С“ТЙ1П1+С- (19.39)
Уравнением эквипотенциали в поле двух заряженных осей является
выражение b/a = const.
Эквипотенциаль представляет собой совокупность точек, отноше-
ние расстояний которых до двух заданных точек есть величина по-
стоянная.
В геометрии известна теорема Апол- •>
лония. Согласно теореме Аполлония, м//*
геометрическим местом точек, отноше- /г
ние расстояний которых до двух задан- / Ь
, ных точек есть величина постоянная, О J \
I является окружность. Поэтому экви- W * 7/ *
I потенциаль в поле двух заряженных \ f J
осей есть окружность. Рассмотрим, как 'У
ее можно построить. Соединим точку М ---------
с осями. Проведем биссектрисы внут- Рис-
реннего (аТИЬ) и внешнего (р/Иа) углов.
I Точки / и 2 пересечения биссектрис с линией, проведенной через
I заряженное оси, и трчка М будут тремя точками искомой окруж-
L ности.
Для нахождения положения центра окружности (точки О) разде-
лим пополам расстояние между точками 1 и 2.
§ 19.28. Поле двухпроводной линии. Расстояние между осями
двух проводов линии (рис. 19.15, а) обозначим через d, радиус каж-
дого провода — через г. Если левому проводу будет сообщен, напри-
I мер, заряд +т на единицу длины, а правому заряд —т, то в простран-
I стве между проводами возникнет электрическое поле. Заряды проводов
1 распределятся по поверхности с неодинаковой плотностью.
Поверхность каждого провода в отдельности является эквипо-
J тенциалью. Внутри проводов Е = 0. Задача о поле двухпроводной
I линии сводится к рассмотренной задаче о поле двух заряженных осей.
I (Картину поля двух заряженных осей см. на рис. 19.3, а). Расположим
[ две заряженные оси так, чтобы поверхности каждого провода явля-
| лись эквипотенциальными.
Точки О± и О2 означают геометрические оси проводов. Пусть заря-
| женные оси будут расположены в точках т и п. Из условия сим-
метрии они на одинаковое расстояние х удалены от геометри-
ческих осей.
31
Запишем условие равенства потенциалов точек 1 и 2 левого про-
вода. Отношение Ыа для точки 1 есть ; отношение Ыа для
п d + r — х
точки 2 равно • .
тт d — r — х d-\-r — х
Из равенства --------= —-------- получим
х = (19.40)
В последнем выражении знак «минус» перед радикалом соответ-
ствует положению точки и, знак «плюс» — точке т.
Положение заряженных осей (часто их называют электрическими
осями проводов) вместо подсчетов по формуле {19.40) находят путем
следующих графических построений.
Проводят общую касательную к проводам {прямая pq на
рис. 19.15, а), делят расстояние между точками касания пополам
(точка $) и проводят окружность радиусом ps. Точки пересечения (т
. и и) окружности с линией О±О2 дают положения электрических осей,
т. е. таких осей, на которых надо было бы мысленно сосредоточить
заряды проводов,‘чтобы поверхности проводов являлись эквипотен-
циалями. Так как поле от двух заряженных осей вне проводов удов-
летворяет уравнению Лапласа и в то же время удовлетворены гранич-
ные условия (поверхность каждого провода является эквипотен-
циалью, на ней Et = 0), то на основании теоремы единственности
полученное решение истинно.
Нетрудно убедиться в том, что если d г, то х становится много
меньше г. Пршэтом электрические и геометрические оси практически
совпадают.
Для построения силовой линии (дуги окружности), выходящей из
произвольной точки а на поверхности левого провода (рис. 19.15, а),
надо найти положение центра этой окружности (точки Ь). Точка b
находится на пересечении касательной к поверхности левого провода
в точке а с перпендикуляром к линии центров OLO2 в ее середине (по-
строения показаны пунктиром).
Рассмотренную методику определения положения электрических осей можно
применить и в том случае, когда заданы два цилиндрических электрода неравных
32
радиусов, следы поверхности которых совпадают с какими-либо двумя эквипотен-
циальными линиями на рис. 19.3, а.
Например, поле в пространстве между двумя цилиндрическими электродами,
один из которых находится внутри другого [см. рис. 19.15,6 (заданы радиусы г,
R и смещение между осями А)], найдем как поле от двух заряженных осей с заря-
дами 4-т и —т. Положение осей определено значениями х и d. Для подсчета значе-
ний х и d следует воспользоваться уравнением (19.40) и уравнением, выражающим
равенство потенциалов точек 4 и 5 окружности радиусом R.
§ 19.29. Емкость. Если два каких-либо проводящих тела разде-
лены диэлектриком и несут на себе равные по величине и противопо-
ложные по знаку заряды Q, то в пространстве между ними создается
электрическое поле. Пусть разность потенциалов между телами,
обусловленная этими зарядами, равна U. -
Под емкостью С между двумя телами, на которых имеются равные
и противоположные по знаку заряды, понимают абсолютную величину
отношения заряда на одном из тел к напряжению между телами:
C = Q/U (19.41)
Из определения емкости следует единица ее размерности 1 =
= 1 фарада (Ф). Это очень крупная единица и потому на практике
пользуются более мелкими кратными ей единицами: микрофарадой
(мкФ) и пикофарадой (пФ); 1 мкФ = 10-6 Ф, 1 пФ = 10"12 Ф.
Устройства, предназначенные для получения определенной вели-
1 чины емкости, называют конденсаторами. Однако не следует думать,
I что емкостью обладают только специально созданные для ее получе-
ния устройства. Можно говорить о емкости двух любых проводящих
тел, разделенных диэлектриком.
В литературе также можно встретить термин емкость уединенного тела. Под
ней понимают отношение заряда на этом теле к его потенциалу, полагая, что второе
тело удалено в бесконечность и что потенциал его равен нулю. В приведенном опре-
делении емкости между двумя проводящими телами и емкости уединенного тела име-
ется в виду, что если в электростатическом поле есть и другие проводящие тела, то
они не заряжены; в противном случае заряды этих тел влияли бы на величину раз-
ности потенциалов U между рассматриваемыми телами (на величину потенциала
тела).
Так как напряжение между двумя телами в электростатическом
поле может быть линейно выражено через заряд Q (исключение со-
ставляют только устройства, в которых используются сегнетодиэлек-
трики — вещества, у которых 8 является функцией Е), то отношение
Q/t/ оказывается не зависящим ни от величины Q, ни от величины U.
Емкость зависит только от конфигурации тел, их размеров, рас-
стояния между телами, электрических свойств диэлектрика (величины е).
Рассмотрим определение емкости двухпроводной линии. Выразим
напряжение между двумя проводами через заряд т на единицу длины.
'Точка 1 (см. рис. 19.15, а) принадлежит поверхности левого провода,
дочка 3 — поверхности правого провода. Разность потенциалов между
ними
ТТ т 1 d — r — x т , г — х
13 Ф1 фз 2леа п Г — Х 2л8а П d — r — X ’
2 Зак.' 1730 33
При d > г х^г, поэтому
~ • 2. In In й-. (19.42)
Следовательно, емкость единицы длины линии при условии d г:
С = ~ = -^-. (19.43)
1пА
Г
Она, действительно, зависит только от геометрических размеров
и свойств среды и не зависит от величины заряда т и величины напря-
жения t/13. Если расстояние между двумя проводами увеличивать,
то емкость будет уменьшаться.
§ 19.30. Метод зеркальных изображений. Для расчета электро-
статических полей, ограниченных какой-либо проводящей поверхно-
стью правильной формы или в которых есть геометрически правильной
формы граница между двумя диэлектриками, широко применяют метод
зеркальных изображений.
Это искусственный прием расчета, в котором кроме заданных
зарядов вводят еще дополнительные заряды, величины и местоположе-
ние которых выбирают так, чтобы удовлетворить граничным условиям
в поле. Территориально заряды помещают там, где находятся зеркаль-
ные (в геометрическом смысле) отображения заданных зарядов. Ме-
тод зеркальных изображений применяют не только для расчета электро-
статических полей, но и для расчета электрических полей в проводя-
щей среде и магнитных полей. Обоснованием метода и правильности
даваемого им решения является теорема единственности.
Рассмотрим два примера на метод зеркальных изображений.
§ 19.31. Поле заряженной оси, расположенной вблизи проводя-
щей плоскости. Заряженная ось (г — заряд на единицу длины) рас-
положена в диэлектрике параллельно поверхности проводящей среды
(рис. 19.16, а). Проводящей средой может быть какая-либо металличе-
ская стенка или, например, земля. Требуется определить характер
поля в верхней полуплоскости (диэлектрике).
В результате электростатической индукции на поверхности про-
водящего тела выступают заряды. Плотность их меняется с измене-
нием координаты %. Поле в диэлектрике создается не только заря-
женной осью, но и зарядами, выступившими на поверхности проводя-
щего тела вследствие электростатической индукции. Несмотря на
то, что распределение плотности зарядов на поверхности проводящей
среды неизвестно, данную задачу сравнительно легко можно решить
по методу зеркальных изображений.
Поместим в точке т фиктивный заряд обратного знака (—т) по
отношению к заданному заряду т. Расстояние h от точки пг j\q пло-
скости раздела сред такое же, как и расстояние от действительного
заряда до плоскости раздела. В этом смысле осуществлено зеркальное
изображение. В данной задаче фиктивный заряд численно равен за-
данному, но имеет обратней знак. Так будет не всегда, т. е. не во
пл.
всех задачах искусственно введенный заряд будет численно равен
заданному и иметь противоположный знак.
Убедимся, что напряженность поля от двух зарядов (т и —т)
в любой точке границы раздела имеет только нормальную к границе
составляющую и не имеет тангенциальной составляющей (см. построе-
ния на рис. 19.16, а). Действительно, тангенциальные составляющие
от обоих зарядов имеют противоположные направления и в сумме
дают нуль в любой точке поверхности.
Рис. 19.16
Можно убедиться в том, что потенциал от каждой из осей, опре-
деляемый формулой (19.38), удовлетворяет уравнению Лапласа [фор-
муле (19.30)1. Для того чтобы проверить это, следует подставить
правую часть формулы (19.38) в формулу (19.30) и убедиться в том,
что \72Ф будет равно нулю:
1 д г д ( % . 1Ч А
— л- Ит- — In — = 0.
г dr L or \ 2л8а г J]
Так как потенциал от каждой из осей удовлетворяет уравнению
Лапласа и в то же время удовлетворено граничное условие, то на
основании теоремы единственности полученное решение является
истинным.
Картина поля заряженной оси, расположенной параллельно прово-
дящей плоскости, изображена на рис. 19.16, б. Силовые линии перпен-
дикулярны поверхности провода и поверхности проводящей плоскости.
Знаки «минус» на поверхности проводящей плоскости означают отри-
цательные заряды, выявившиеся на ее поверхности в результате элек-
тростатической индукции.
Многократные зеркальные отражения. Если заряд т находится в диэлектрике
внутри двугранного угла f = п/п (п — целое число), а границами угла являются
проводящие стенки (на рис. 19.16, в п = 3), то поле внутри двугранного угла опре-
делится как поле oY 2п знакочередующихся зарядов ±т, расположенных зеркально
По отношению друг к другу. На каждой стороне двугранного угла тангенциаль-
ная составляющая напряженности поля равна нулю.
§ 19.32. Поле заряженной оси, расположенной вблизи плоской
границы раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими
Цроницаемостями. Как показано на рис. 19.17, а, верхнее полупро-
странство заполнено диэлектриком с диэлектрической проницае-
2*
35
мостью е1а, нижнее — диэлектриком с е2а; ab — граница раздела двух
сред. В верхнем полупространстве параллельно границе раздела сред
находится заряженная ось с зарядом тг. Вследствие поляризации
диэлектриков на границе раздела выявятся связанные заряды, влия-
ющие на поле в обеих средах. Учет влияния связанных зарядов на поле
производят путем введения двух дополнительных фиктивных зарядов
т2 и т3 в отличие от предыдущей задачи, где вводился один заряд.
В предыдущей задаче надо было удовлетворить только одному условию
(Ez = 0), и это можно было сделать с помощью одного заряда. В дан-
ной же задаче надо удовлетворить двум граничным условиям, что воз-
можно только с помощью двух пока неизвестных зарядов т2 и т3.
Расчет поля в любой точке верхнего полупространства (полупло-
скости) производят от двух зарядов: заданного Tj и дополнительного
т2. Причем не только верхнее, но и нижнее полупространство запол-
нено (в расчетном смысле). диэлектриком с диэлектрической прони-
цаемостью 81а (рис. 19.17, б).
Поле в любой точке нижнего полупространства определяют как
поле от некоторого дополнительного заряда т3, расположенного
в той же точке, где находился заряд тх. В этом случае не только ниж-
нее, но и верхнее полупространство заполняется диэлектриком с ди-
электрической проницаемостью е2а (рис. 19.17, в).
Составим два уравнения для определения пока неизвестных т2 и т3.
Из условия равенства тангенциальных составляющих напряжен-
ности поля на границе раздела следует, что Е} + = Е/11
или
[ъ + г2] cos а = т3 cos а.
Отсюда
+ т2 = т3 .
е2а
(19.44)
Из условия равенства нормальных составляющих вектора D на
границе раздела, приняв за положительное направление для нормали
направление вниз, имеем D\ — D}i ^=Dn .
36
Запишем последнюю строку в развернутом виде:
~ (тх - та) sin а = т3 sin а.
Следовательно,
^1 —т2 = т3. (19.45)
Решая совместно (19.44) и (19.45), получим
I <19-46>
И
тз = Г-&НТ1- (19.47)
е1а г е2а '
Знак заряда совпадает со знаком заряда ть если е1а > е2а.
Знак т3 всегда тот же, что и знак
Если поле будет создаваться не заряженной осью, а точечным
зарядом, то вся методика сохраняется и формулы (19.46) и (19.47)
годятся и для' точечных зарядов. Но под т теперь следует понимать
величину точечного заряда.
§ 19.33. Электростатическое поле системы заряженных тел, рас-
положенных вблизи проводящей плоскости. В качестве системы за-
ряженных тел рассмотрим многопро-
водную линию из п весьма длинных
проводов с зарядом xk на единицу дли-
ны (индекс у заряда соответствует
номеру провода), протянутых парал-
лельно проводящей поверхности
(например, поверхности земли). Высо-
та подвеса и радиус каждого провода
известны, а также известна электри-
ческая проницаемость Еа среды,
окружающей провода.
Возьмем в диэлектрике некоторую
произвольную точку М (рис. 19.18)
и найдем ее потенциал. Потенциал
точки М будет равен сумме потенциа-
лов, создаваемых каждым проводом и
ого зеркальным изображением. Соста-
вляющую потенциала точки М от
провода 1 и его зеркального изображения в соответствии с форму-
лой (19.39) можно записать следующим образом (постоянную, с точ-
ностью до которой определяется потенциал, опускаем):
гДе Ьш — расстояние точки 714 до зеркального изображения первого
Провода; а1М — расстояние точки М до первого провода.
37
Будем полагать, что высота подвеса каждого провода над землей
много больше радиусов проводов. При этом электрические оси прак-
тически совпадут с геометрическими.
Составляющая потенциала точки М от второго провода и его зер*
кального изображения:
гн 1 1„
ФЛ'12 — ^2 Отто П а
Таким образом,
<РЛ-1 — ФДН + фж 2 + Ф2И3 + •••==
1 In &2М । 1 1п ЬзМ j
— И-Отго *па ‘ Тз2л8 Па ’!”••••
Z3Tba а1М zjT8a «2Л1 zjiba азМ
§ 19.34. Потенциальные коэффициенты. Первая группа формул
Максвелла. Точку М можно поместить на поверхность первого провода.
При этом =-Ф1*, Ьм1 — 2/ijl; — Гб Ьм2 — Ь12 — расстояние пер-
вого провода до зеркального изображения второго провода; Фи2 =4
= я12 — расстояние первого провода до второго и т. д.:
ф т _L]n^i + T 1 1пЁи + т ‘ (19.48')
12я8а г± 1 2 2л8а а12 1 3 2леа а13 * v 7
Коэффициенты при зарядах Tj, т2 и других зависят только от гео-
метрических размеров тел, взаимного их расположения и от свойств
среды. Они не зависят ни от величины, ни от знаков зарядов и потен-
циалов.
Для сокращения записи выражение (19.48') и другие, аналогичные
ему, запишем следующим образом:
Здесь
Ф1 = Т1а11 + ^2^12 4“ Т3а13 + • • •
Ф2 ~ ^1а21 4“ ^2а22 4“ ^3а23 4" • • •
Фз ~ ^1^31 4“ ^2^32 4" ^3^33 4" • • • .
____1 1 „ ^km
&km — 9ЯР >
akm
1 i ^hk
akk = н— In—-
RR 2л8а rk
(19.48)
(19.48")
Коэффициент amk = ~ Так как bmk = bkm и amk == akmf
to akm = amk. Систему уравнений (19.48) принято называть первой
группой формул Максвелла (ее не следует смешивать с первым урав'
нением Максвелла, о котором идет речь в § 22.2).
Коэффициенты а называют потенциальными коэффициентами]
Размерность их равна размерности единицы длины, разделенной
на фараду.
Так как у всех коэффициентов а под знаком логарифма находится
дробь, числитель которой всегда больше знаменателя, то все коэфз
фициенты а положительны.
Коэффициентам а может быть дано следующее толкование. Пусть!
заряды всех проводов, кроме первого, равны нулю: т2 = т3 = т4 =^1
38
= 0, а тх = 1; тогда фх = ап, т. е. осп численно равно потен-
циалу первого провода, если на первом проводе находится единичный
заряд, а заряды на остальных проводах отсутствуют. Аналогично,
бс21 численно равно потенциалу второго провода в тех же условиях.
Система (19.48) позволяет подсчитать потенциалы заряженных тел
по известным общим зарядам тел.
Может встретиться и обратная задача: по известным потенциалам
тел найти заряды тел.
§ 19.35. Емкостные коэффициенты. Вторая группа формул Макс-
велла. Решим систему (19.48) относительно зарядов, полагая потен-
циалы ф и коэффициенты а известными:
Т1 — Р11Ф1 + Р12Ф2 + Р1зФз + • • •
Т2 = ₽21Ф1 + Р22Ф2 + 02зФз + • • •
Т3 = Рз1Ф1 + Р32Ф2 + РззФз + • • •.
(19.49)
Коэффициенты = kknJk. Здесь через А обозначен] определи-
тель системы (19.48):
^11 °Ч.2 ^13 • • •
Д = ОС21 0^22 ^23 • • •
^32 а33 ♦ • • •
Алгебраическое дополнение Д^ получают из определителя си-
стемы Д путем вычеркивания ^-строки и n-столбца и умножения полу-
ченного минора на (—1)*+л.
Система (19.49) является второй группой формул Максвелла.
Коэффициенты р называют емкостными коэффициентами. Раз-
мерность их обратна размерности коэффициента а. Так как опреде-
литель системы Д симметричен относительно главной диагонали,
то Д^ = Дл/г и потому = $пь. Все р с одинаковыми индексами
Положительны, а с разными индексами отрицательны.
Убедимся, например, в том, что ри положительно, а р21 и р31
отрицательны. С этой целью все провода, кроме первого, соединим
тонкими (чтобы не искажать поля) проводниками с землей. Потен-
циал земли примем равным нулю. При этом из (19.49) следует, что
% = ₽пФь
^2 ” Р21Ф1»
Т3 = Р31Ф1*
(19.49')
Придадим первому проводу положительный по отношению к земле
Потенциал, соединив его с землей, например через батарею (рис.
19.19, а). Заряд первого провода положителен и потенциал первого
Провода положителен (фх >* 0; тф > 0). Отрицательный заряд рас-
течется по земле и по всем телам, с ней электрически соединенными.
39
Все провода, кроме первого, поскольку они электрически соединены
с землей, приобретут отрицательные заряды:
ф2 = 0, т2 < 0:
<₽з = 0, т3<0.
Из системы (19.49') следует, что
₽и = 1->0, а Р21 = —<0 и ₽3i = —<0.
₽1 К21 <Р1 Ф1
Отсюда вытекает
циентов ри и p2i-
методика определения опытным путем коэффи-
a) S)
Рис. 19.19
Если после зарядки провода 1 (ключ К на рис. 19.19, а включен)
до известного потенциала <рх ключ К разомкнуть, убрать батарею,
включить гальванометры GT и G2 (рис. 19.19, б), а затем замкнуть
ключ К, то система разрядится; Gj измерит заряд tj, a G2 — заряд т2
провода 2 и т. д. Далее находим ри = и р21 =
§ 19.36. Частичные емкости. Третья группа формул Максвелла.
Систему (19.49) принято записывать и в иной форме, так чтобы в пра-
вой части каждой строчки были не потенциалы, а разности потенциа-
лов между данным телом и всеми остальными, в том числе и землей.
В соответствии с (19.49) заряд /г-тела:
т = п
^Л=Р-ЛЛфГ+ У] Рл/пФт-
/?2 = 1
тфк
Слагаемое Р^/пф/п — Р&т (ф/п — фл ф/?) = —QkmUkm 4" Рлг/пфХг-
Поэтому
т~п т — п т = п т — п
= + 2 Раст — У, У Р*т+ У (—₽Азг) km-
т—1 tn—i т = 1
m^zk m^k m^k
Обозначим:
ni = n
Ckk = ₽Л1+Р*2 + -••+’₽**+ ..₽*«= У P'.m’ (19.50)
1
И
скт = -^т. (19.51)
40
Тогда
т=п
'Г* = <Р*С’*й + 17А1Сй14-1/А2СА.2 + ...= <рлСАЛ+ У, UkmCkm. (19.52)
т = 1
m^k
Если придать k значения 1, 2, 3, ..., то получим
Т1 — «Ply’ll + ^12^12 + + • • •
т2 = ф2^22 + ^21^21 + С 23^23 + • • •
(19.53)
Система (19.53) является третьей группой формул Максвелла.
Коэффициенты Ckk называют собственными частичными емкостями,
а коэффициенты Ckm — взаимными частичными емкостями. (Часто
слова «собственная» и «взаимная» опускают.)
Так как $km = то и Ckm = Cmk.
Размерность частичных емкостей та же, что и размерность емкост-
ных коэффициентов £. Все частичные емкости положительны. Так
как Cktn = —[W a fam <0, то очевидно, что Ckm > 0. Чтобы
убедиться, что Ckk положительно, проведем следующий опыт: соеди-
ним тонкими проводниками все провода с /г-проводом. При этом все
Ukm = 0, и из (19.52) следует, что
Если fe-проводу сообщить положительный по отношению к земле
потенциал (потенциал земли принят равным нулю), соединив его
с плюсом батареи, минус которой соединен с землей, то xk и будут
положительными иСл*^—>0.
Фа?
Емкость Ckk оказывается положительной, несмотря на то что
в состав ее [см. формулу (19.50)] может входить большое число отри-
(т — п ч
коэффициент рАА > Сог-
771= 1 /
m-^'k '
ласно (19.53), полный заряд fe-тела равен сумме зарядов. Заряд
^>kCkk обусловлен разностью потенциалов между fe-телом и землей;
Ckm Ckm — есть заряд, обусловленный разностью потенциалов между
k- и m-телами. Поэтому частичной емкости Скт между k- и т-телами
можно дать следующее толкование: Ckm — есть отношение состав-
ляющей заряда й-тела, обусловленной разностью потенциа-
лов Ukm между k- и m-телами, к величине этой разности потен-
циалов.
Для более наглядной иллюстрации системы (19.53) можно пред-
ставить, что в системе трех проводов (рис. 19.20) первый провод
как бы соединен с обкладками трех конденсаторов Сп, С12 и С13.
Заряды на обкладках этих конденсаторов, обращенных к проводу 1,
Б, соответственно равны cpjCn; С12С12\ V13C13. Заряды на других обклад-
ках записаны на рис. 19.20.
Три группы формул Максвелла справедливы для системы заряжен-
ных тел любой формы. Однако, если тела имеют произвольную форму,
41
то потенциальные коэффициенты уже нельзя определять по формулам
(19.48"), справедливым только для системы линейных параллельных
у-О
Рис. 19.20
достаточно длинных проводов.
Определение емкостных коэф-
фициентов и частичных емкостей
в этом случае производят опыт-
ным путем.
Частичные емкости исполь-
зуют при расчетах не только
электростатических полей, но и
при расчетах быстро протекаю-
щих процессов в электрических
цепях, а также процессов в
электрических цепях, в основу
которых положено использова-
ние частичных емкостей, на-
пример при емкостном отборе мощности от высоковольтной линии элек-
тропередачи. Частичные емкости между электродами 'электронных
ламп, между электродами транзисторов учитывают при расчетах быстро
протекающих процессов (см., например, гл. 9).
§ 19.37. Поле точечного заряда, расположенного вблизи проводящей сферы.
Рассмотрим три родственные задачи на изображение в сфере.
а. В диэлектрике с известной еа на расстоянии Ь от центра проводящего пред-
варительно (до заземления) не заряженного шара радиуса а (см. рис. 19.21, а) по-
местим точечный заряд q. Внутри шара поле известно (ср = 0 и Е = 0). Определим
поле в пространстве вне шара. С этой целью на расстоянии х от центра шара поме-
стим заряд q± (рис. 19.21, б), составим выражения для потенциалов точек 1 и 2 шара
и приравняем их нулю (шар заземлен):
ф1 = 4леа (а-х) + 4леа (&—а) = °’ 4,2 = 4леа (а +*) + 4пеа (&+а) = °’
а
Откуда х = а?/Ь и qt = — q .
б. Если точечный заряд q поместить вблизи незаряженного незаземленного
шара радиуса а, то поле вне шара определим как поле от трех зарядов (рис. 19.21, в):
42
я
заданного заряда q, заряда зеркального изображения qx~—q-j-, расположенного
на расстоянии х = a2Jb от центра шара, и заряда — помещенного в центре
а
шара. При этом суммарный заряд шара равен нулю, а <ршара = j--f- С = —У—г +
+ С‘
в. Если точечный заряд q поместить вблизи незаземленного шара с зарядом (?,
то поле вне шара определится
+ q . Заряд q± помещен на
(2 г
как поле от трех зарядов: q, qi = — q и q2 = Q +
расстоянии х от центра шара, a q2 — в центре шара.
§ 19.38. Поле заряженной оси, расположенной параллельно цилиндру. Рассмо-
трим две родственные задачи на изображение в диэлектрическом и проводящем
цилиндрах.
а. В диэлектрике с электрической проницаемостью ее находится цилиндр, про-
ницаемость которого 8/. Параллельно ему на расстоянии b от оси цилиндра располо-
жена ось с зарядом т на единицу длины (рис. 19.21, е). Поле вне цилиндра опреде-
ляем по рис. 19.21, д. И цилиндр и окружающее его пространство заполнены средой
с ее. Поле создается тремя зарядами: заданным т, зеркальным зарядом ту ==
= т &е , расположенным на расстоянии х = а2/Ь от оси цилиндра, и зарядом
—тх, помещенным на оси цилиндра. Поле внутри цилиндра определим по рис. 19.21, е
как поле, создаваемое зарядом т2 —т—т , когда и цилиндр и окружающее его
“Г &е
пространство заполнены средой с проницаемостью
б. Если цилиндр проводящий и не заряжен, то предельным переходом, устре-
мив 8г--> оо, найдем ту — —т. Поле вне цилиндра создается тремя зарядами, изо-
браженными на рис. 19.21, ж.
§ 19.39. Шар в равномерном поле. Если в равномерное поле (на-
правлено сверху вниз; вдоль оси — г), напряженность которого
равна Ео (см. рис. 19.22), внёсти металличе-
ский или диэлектрический шар (е шара отлично
от е окружающей среды), то электрическое
поле, особенно вблизи шара, исказится, пере-
станет быть равномерным. Характер искаже-
ния поля зависит от размеров шара, его е и
от величины заряда на шаре.
Если шар металлический (проводящий),
то силовые линии должны подходить к его по-
верхности под прямым углом. Если металли-
ческий шар не заряжен, то на нем вследствие
явления электростатической индукции про-
изойдет разделение зарядов. Силовые линии
будут заканчиваться или начинаться на них.
Металлический шар может быть и заряжен, т. е. нести на себе
избыточный заряд, который также расположится на поверхности.
Если шар из диэлектрика, то под влиянием внешнего по отношению
к нему поля шар поляризуется. Заряды, выявившиеся на шаре вслед-
ствие поляризации, исказят прежде (до внесения шара) равномерное
43
поле.. Силовые линии будут подходить к поверхности шара так, что
будут выполняться два граничных условия (см. § 19.23).
Если шар металлический, то внутри шара £ = 0 и ф = const.
Независимо от того, металлический шар или диэлектрический, во внеш-
ней по отношению к шару области нет свободных зарядов и потому
поле в наружной по отношению к шару области описывается уравне-
нием Лапласа. Если шар из диэлектрика и свободный заряд на нем
равен нулю, то поле внутри шара описывается также уравнением Лап-
ласа.
Таким образом, для решения той и другой задачи необходимо
проинтегрировать уравнение Лапласа V2<p = 0. Это одна из наиболее
типичных классических задач электростатики. Для любой конкрет-
ной задачи необходим правильный выбор системы координат (пер-
вый этап решения). Система координат должна быть выбрана таким
образом, чтобы граничные поверхности в поле описывались наиболее
удобно В данной задаче граничная поверхность — сфера, которая
наиболее удобно описывается в сферической системе координат. По-
этому будем пользоваться этой системой.
Вторым этапом решения является выяснение вопроса о том, не обла-
дает ли изучаемое поле тем или иным видом симметрии. Условия
симметрии поля часто в значительной мере облегчают решение задачи.
В рассматриваемой задаче поле не зависит от координаты а. Чтобы
убедиться в этом, мысленно рассечем поле плоскостью, перпендику-
лярной оси z декартовой системы, и проведем в этой плоскости окруж-
ность так, чтобы центр ее лежал на оси z. Все точки этой окружности
имеют одно и то же значение радиуса соединяющего точку на этой
окружности с началом координат. Кроме того, угол 6 в меридианной
плоскости между радиусом R и осью z один и тот же.
Все точки окружности находятся в поле в одинаковых условиях.
Поэтому потенциал их один и тот же. Но значение угла а, характе-
ризующего положения точек этой окружности, различно. Если для
совокупности точек, обладающих = const и о = const и разными
значениями угла а, ф одно и то же, то это означает, что в данном
поле <р не зависит от угла а. Поэтому поле будет описываться урав-
нением [см. уравнение (19.31)]: -
<1954>
(составляющая s*n2-g • выпала, так как ср не зависит от а). Выра-
жение (19.54) представляет собой уравнение в частных производных.
Для интегрирования уравнений в частных производных применяют
метод Фурье, согласно которому, искомую функцию (в данном слу-
чае ср) полагают в виде произведения двух пока неизвестных функ-
ций М и 7V, оДна из которых (7И) зависит только от /?, а другая (A/j —
только от о:
q>=M(R)N(G)==MN. (19.55)
Вид функций М и N подлежит определению. Определение функ-
ции ф в виде произведения двух функций (19.55) позволяет разбить
’ 44
уравнение в частных производных (19.54) на два обыкновенных диф-
ференциальных уравнения, из которых одно будет составлено отно-
сительно 7И, другое — относительно N.
Подставим (19.55) в (19.54), учтя, что
= Д7 . дф __ д, CW
dR dR ’ дО ~~ дО *
Поэтому
Af д fn2dM\ . М д ( . „ON \ А
R2 ' dR V дя) R2 sine ‘ дб Vin6-d0~) “°’ (19.56)
02
Умножим (19.56) на :
1 д [ту>дМ \ . 1 д ( . обМ\ n ,1О
М "dR ft 1R N sin 6 ' d6\Sln^W J °’ (19.57)
Особенностью уравнения (19.57) является то, что первое слагае-
мое в нем представляет собой функцию только 7?, а второе слагаемое —
функцию только е. Сумма двух функций, из которых одна зависит
только от /?, а другая — только от е, равна нулю для бесчисленного
множества пар значений 7? и 6 [уравнение (19.57) годится для всех
точек поля]. Это возможно тогда, когда каждая из данных функций
равна нулю:
M'Or\R dRJ® и N sine ’ de (Sin'e йГ/ °’ (19.57)
либо когда
1 д I \ 1 д / • л dN \ у < г-
-Гл • \R2~^] = Р и "лг • а • sinб-ч-- = — р. (19.57)
М dR \ dRJ r N sm 0 дО \ дО ) r v 7
Здесь р есть некоторое число, пока не известное.
Таким образом, задача свелась к интегрированию уравнений (19.57')
и (19.57я)- Обшее решение для ф согласно (19.55) равно произведению
решений уравнений (19.57') плюс произведение решений для М и N
по уравнениям (19.57"). Найдем решение уравнений (19.57'). Так
как в (19.57') 7И зависит только от 7?, a N — только от е, то от част-
ных производных можно перейти к простым (обыкновенным):
1 d /^dMX п 1 d f . -,dN\ A
M ’ dR \R dRJ ~~ °’ N sin 6 * dl) (Sm6 dT/ °*
Интеграл первого из них:
м = ^+л2. (19.58)
Найдем интеграл второго уравнения:
sineW = j43; ¥ = sr9 или |- + Д4. (19.59)
Покажем, что Л3 непременно должно равняться нулю, так как
л . , 6
только в этом случае в решении отсутствует слагаемое ^s lntg^.
45
Потенциал есть функция непрерывная и на конечном отрезке он
не может измениться на бесконечно большую величину. Из физических
соображений ясно, что потенциал точек оси г вблизи шара не может
быть равен бесконечности. Между тем, если бы А3 0, то в решении
для потенциала присутствовало бы слагаемое Д3Intgу,равное—оо
для всех точек, у которых 0 = 0 (tg 9 = 0; In tg е = — оо).
при 0 = 0j при 0 = 0
Таким образом, частное решение для <р, вытекающее из (19.57'),
следующее:
Ф = ^ + С2 (С1 = Д1Д4; С2 = Д2Д4). (19.60)
Найдем решение уравнений (19.57"):
или
1 d / D2
М "dR\K ~dR)P
2R^+R^=pM.
Применим подстановку Эйлера М = CRn:
<™ = nCR*-\ ^~- = n(n—l)CRn'2.
Подставим производные в уравнение
2RnCRn~1 + R2 (п - 1) nCRn~2 = pCRn
или
n2 + « —р = 0.
Определим корни квадратного уравнения:
(19.61)
Значение р определим при интегрировании второго уравнения
(19.57"):
1 d [ . adN\
М sin fl ’ de(Sin0 d6 J ~ P‘
Решение его можно записать в виде N = В cos 0. Убедимся в этом
путем подстановки и одновременно найдем значение р:
dN d • о * о dN j-f • 9 а
— — BsmG; sin =— В sin2 0;
de 'de
1 d f o. д dN \ —2B sin e cos 0 Q
*N sin 0 * dO \Sin de J В cos 0 sin 0
Следовательно, p = 2.
4C
После нахождения числа р подставим его в (19.61) и найдем: = 1
и п2 = —2. Таким образом, совместное решение уравнений (19.57")
дает следующее выражение для <р:
<₽ = (c3R + cos 0.
Полное решение:
<Р = I* + С2 + (c3R + cos 0. (19.62)
В (19.62) присутствуют четыре неизвестных постоянных: Clt С29
С3 и С4. Значения постоянных зависят от того, какой шар (проводя-
щий или диэлектрический) внесен в поле *.
§ 19.40. Проводящий шар в равномерном поле. Для определения
четырех постоянных необходимо учесть не только условие на поверх-
ности шара, но и условия на большом удалении от шара, теоретически
на бесконечно большом удалении от шара, или, как принято говорить,
условия на бесконечности.
Совокупность весьма удаленных от шара точек в условном смысле
рассматривается при этом как бесконечность. Если шар не заряжен,
то все точки плоскости хоу, проходящей через центр шара, имеют
один и тот же потенциал. Обозначим его <р0.
При удалении от шара на большое расстояние z = R cos 0, по
сравнению с которым радиус шара а весьма мал, возмущающее дей-
ствие шара на поле либо вовсе не проявится (если суммарный заряд
шара будет равен нулю), либо проявится как возмущение от точеч-
ного заряда (если шар будет иметь на себе суммарный свободный
заряд Q). Потенциал ср на бесконечности определим так:
ф= 4^r+<Po + £^cos0- (19.63)
Первое слагаемое правой части (19.63) дает составляющую потен-
циала от заряда шара Q, слагаемое Ео R cos 0 учитывает прирост
потенциала от напряженности равномерного поля Ео на пути z ==
г = R cos 0. Так как решение (19.62) годится и для точек поля, весьма
далеко (бесконечно далеко) удаленных от шара, то можно сопоставить
выражения (19.62) и (19.63). Они должны давать один и тот же ре-
зультат. Это будет только в том случае, когда соответствующие сла-
гаемые в обоих выражениях равны. Из сопоставления следует, что
с2 = <Ро; = ; С3 = Eq.
Сопоставление на бесконечности не дает возможности найти вели-
чину С4, так как в (19.63) нет слагаемого, изменяющегося обратно
пропорционально второй степени R. Для нахождения С4 воспользу-
* Задачи теории поля, в которых приходится решать уравнение в частных
производных и из большого числа выбирать решения, удовлетворяющие граничным
условиям, в математических работах принято называть' краевыми задачами.
47
емся тем, что в условиях электростатики все точки поверхности шара
имеют один и тот же потенциал. Это условие равносильно тому, что
тангенциальная составляющая напряженности поля на поверхности
шара равна нулю. При R == а
Ф = const = —h (Еоа + cos 6 + ф0.
v 4леаа \ a2 J .
Правая часть будет постоянной с изменением 0 только при усло-
вии, что ^EQa = Отсюда С4 = —ЕйсР.
Таким образом, для всех точек диэлектрика
<₽ = 4^- + (Po + £'o(^-^)cos9- (19.64)
Так как потенциал зависит только от R и 6, напряженность элек-
трического поля имеет только две составляющих (см. § 19.8):
£»=-««-tabs-£»(I+2^)cose; 1 (1964>)
Еслиф — 0, то на поверхности шара (при R = a)ER = —3EQ cos 9.
При 6=0 напряженность ER = —ЗЕ0] при 6 = 180° ER = ЗЕ0,
т. е. в этих точках напряженность поля стала в три раза больше
напряженности равномерного поля EQ, в которое был внесен шар.
На «экваторе» при 0 = 90° напряженность, напротив, стала равной
нулю.
Таким образом, капелька воды, попав в бак трансформатора с мас-
ляным заполнением, вызовет значительное местное увеличение напря-
женности поля.
§ 19.41. Диэлектрический шар в равномерном поле. Если в рав-
номерное поле помещен незаряженный диэлектрический шар, то как
внутри шара, так и вне его нет свободных зарядов и потому поле
описывается уравнением Лапласа. Полное решение (19.62) пригодно
и для данной задачи. Величины, служащие для описания поля внутри
шара, обозначим с индексом /, а величины, с помощью которых запи-
сывается потенциал во внешней по отношению к шару области, —
с индексом е. Таким образом,
для внутренней области
<p(- = ^ + C2/ + (c3^ + ^)cose, (19.65)
К \ *\ /
для внешней области
Фе = + с2е 4- (сзЛ + Ы COS 0.
К \ К J
(19.66)
Надо найти 8 постоянных интегрирования. Потенциал на бесконеч-
ности в этом случае ф = ф0 + EQR cos 9.
48
Сопоставим последнее выражение с (19.66): С2е = <рр и Сзе = EQ.
В § 19.14 было рассмотрено поле точечного заряда. Там было
показано, что потенциал в поле точечного заряда изменяется обратно
пропорционально R. Поэтому ClelR — есть составляющая потен-
циала от суммарного заряда шара, рассматриваемого как точечный
заряд. Так как суммарный заряд шара равен нулю, то в выражении
для эта составляющая должна выпасть, т. е. С1е — 0.
Следовательно,
<p, = <p0 + (£0Z? + ^)cose. (19.66')
В выражении (19.66) осталась неизвестной лишь постоянная С4е.
Рассмотрим выражение потенциала ф/ для внутренней области.
Оно должно давать конечное значение для всех точек внутри шара.
Это возможно только тогда, когда Си- = 0иС4/ = 0 (если бы Си =^= 0,
то слагаемое C^IR в центре шара при R = 0 давало бы бесконечно
большое значение). Постоянная С2г-, с точностью до которой опре-
деляется потенциал в рассматриваемом поле, равна аналогичной
постоянной С2е ~ Фо для внешней области.
Таким образом,, для внутренней области
Ф/ = Фо + сз^ cose. (19.65')
Оставшиеся неизвестными постоянные С4е и C3i найдем из гранич-
ных условий.
Из равенства потенциалов ф/ и фг при Я = а (это условие, как
нетрудно убедиться, эквивалентно условию Elt = Е2/) следует, что
Из равенства нормальных составляющих вектора D на границе
следует, что
f Д)
Совместное решение двух последних уравнений дает:
Сз; = Е(> 2^+К > са = а Ео 2ее+е//
Потенциал внутренней области?
^• = q>0 + E07?~^;COS9 = (p0 + £0S^-2; (19.67)
Z = R COS 0.
Потенциал внешней области:
•фе = Ф0 + Е0(/? + ^-^^)со8 9. (19.68)
49
Напряженность поля внутри шара:
г __ 3eg
^z~ dz~ 02ec + ez‘
(19.69)
Напряженность E направлена вдоль оси — г и не зависит от коор-
динат точки. Это означает, что поле внутри шара однородное.
На рис. 19.23 изображены линии вектора D и эквипотенциаль-
ные линии (картина поля) для трех случаев:
а) когда в равномерное (до внесения шара) поле помещен неза-
ряженный проводящий шар (рис. 19.23, а)\
б) когда в равномерное (до внесения шара) поле помещен диэлек-
трический шар, 8Z которого больше 8е окружающей среды (рис. 19.23, б);
Рис. 19.23
в) когда 8/ диэлектрического шара меньше 8е окружающей среды
(рис. 19.23, в).
Как известно из § 19.15, линии вектора D начинаются на сво-
бодных зарядах. Эти линии прерываются на поверхности металли-
ческого шара (см. рис. 19.23, а) и проходят, не прерываясь, через
диэлектрический шар (см. рис. 19.23, б и в).
Если на рис. 19.23, б и е вместо линий вектора D изобразить ли-
нии вектора напряженности поля Е, то линии Е частично претерпе-
вали бы разрыв на поверхности шаров, так как истоком для Е явля-
ются не только свободные, но и связанные заряды [см. формулу
(19.21')].
§ 19.42. Диэлектрический цилиндр в равномерном поле. Анало-
гично формулам § 19.41 выводятся формулы, позволяющие определить
потенциал и напряженность равномерного поля, возмущенного вне-
сением в него диэлектрического цилиндра (ось цилиндра перпендику-
лярна Ео).
Пусть напряженность Ео равномерного (до внесения цилиндра)
поля направлена параллельно осих декартовой системы (рис. 19.24, а).
Поместим в это поле диэлектрический цилиндр так, чтобы ось цилиндра
совпала с осью z.
50
Решая уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат,
получим следующие формулы для определения потенциала внутри
цилиндра (ср/) и вне ци-
линдра (<ре):
2е
Ф/ = - Еъг cos “ =
= (19.70)
г» f&i — Ер а2 \
гр. == Eq{ •--------г] cos а.
(19.71)
равномер-
цил индра,
Напряженность
ного поля внутри
направленная по оси х,
= (19.72)
* dx Ei + &e
19.24
Рис.
В заключение отметим,
.что если в равномерное поле
'напряженностью Ео внести
проводящий цилиндр радиу-
сом а, расположив его так,
что продольная ось его будет перпендикулярна £, то потенциал
77 М2 \
в области вне цилиндра уе = Е0 (у — г)cos а.
§ 19.43. Понятие о плоскопараллельном, плоскомеридианном
и равномерном полях. В литературе можно встретить термины «пло-
скопараллельное поле», «плоскомеридианное поле» и «равномерное
поле» *.
Под плоскопараллельным полем понимают поле, картина которого
(т. е. совокупность силовых и эквипотенциальных линий) повторя-
ется во всех плоскостях, перпендикулярных какой-либо одной оси
декартовой системы координат, т. е. в плоскопараллельном поле кар-
тина поля не зависит от какой-либо одной координаты декартовой
системы.
В качестве примера плоскопараллельного поля можно назвать
поле двухпроводной линии (двух параллельных проводов). Если ось г
Декартовой системы направить вдоль оси одного из проводов, то потен-
циал ср не будет зависеть от координаты г.
* Физики и математики в термин «поле» вкладывают свое («профессиональное»)
содержание. Когда говорят о поле в физическом смысле (электромагнитном, грави-
тационном, тепловом, поле ядерных сил), то под ним понимают вид материи. Когда
о поле говорится в математическом смысле, то имеется в виду поле величины, кото-
рой оно описывается. С чисто математической точки зрения поля могут быть век-
торные и скалярные, вихревые и безвихревые, плоскопараллельные, плоскомериди-
анные и др.
51
Под плоскомеридианным полем понимают поле, картина которого
повторяется во всех меридианных плоскостях, т. е. картина поля
не зависит от координаты а цилиндрической или сферической системы
координат. В литературе встречается еще определение плоскомери-
дианного поля как поля, образованного телами вращения с общей
осью.
В качестве примера плоскомеридианного поля можно назвать поле,
образованное внесением металлического шара в равномерное до вне-
сения шара поле (см. рис. 19.23), или поле диполя, о котором идет
речь в примере 197. В обоих случаях потенциал зависит только от ра-
диуса R и угла 6 сферической системы координат, но не зависит
от угла а.
Частным случаем плоскомеридианного поля является поле, в кото-
ром потенциал зависит только от какой-либо одйой координаты сфе-
рической или цилиндрической системы координат.
В равномерном поле напряженность одинакова во всех точках поля,
т. е. величина ее не зависит от координат точки.
Равномерное поле образуется, например, между обкладками пло-
ского конденсатора, если в пространстве между ними отсутствуют сво-
бодные заряды и если пренебречь искажающим влиянием краев кон-
денсатора.
Следует иметь в виду, что большинство встречающихся на прак-
тике полей не обладает ни одним из перечисленных видов симметрии
и потому не может быть отнесено ни к плоскопараллельному, ни к пло-
скомеридианному, ни к равномерному полям.
§ 19.44. Графическое построение
поля. Аналитический расчет полей
картины плоскопараллельного
часто вызывает затруднения,
например,' когда поверхности
электродов имеют сложную
форму.
В этом случае картину
поля строят графически.
С этой целью сначала выяс-
няют, не обладает ли изучае-
мое поле симметрией. Если
она имеется, то картину поля
строят только для одной из
областей симметрии. Так,
картина поля, образованного
двумя проводящими взаимно
перпендикулярными относительно тонкими пластинками (электрода-
ми), построена на рис. 19.25, а только для верхней полуплоскости
(в нижней полуплоскости картина повторяется).
При построении руководствуются следующими правилами. 1. Си-
ловые линии должны подходить к поверхностям электродов перпен-
дикулярно. 2. Силовые, и эквипотенциальные линии должны быть вза-
имно перпендикулярны и образовывать подобные ячейки поля (кри-
волинейные прямоугольники), для которых отношение средней длины
52
ячейки а к средней ширине этой ячейки Ъ для всех ячеек должно быть
приблизительно одинаковым, т. е. ajb^ = a2/b2 = ... .
I Если число ячеек в силовой трубке обозначить и, а число тру-
бок. т- (в примере п = 8, т = 2 х 10), то при соблюдении пере-
численных правил разность потенциалов между соседними эквипо-
тенциалями будет одинакова и равна At/ = U/n, где U—напря-
жение между электродами, а поток AN вектора D в каждой силовой
трубке будет такой же, что и в соседней. Обозначим длину электро-
дов в направлении, перпендикулярном рисунку, через /. Тогда
ддг = bJE^ = &2/2Е2еа =... = Ьп1Епъ&.
Отсюда
F- р _ р __ АДГ
221 “ ^/еа ; b2l^ ’
Напряжение между электродами U = Е^ + Е2а2 + ... + Епап. Под-
ставим в последнее выражение значения напряженностей поля Ех -ь
4- Еп и учтем, что по построению ajb1 = a2/b2 = afl!bn = alb, Полу-
Поток в одной силовой трубке AN = —eaZ-.
Правая часть формулы для AN одинакова для всех силовых тру-
бок,, поэтому одинаковы и потоки вектора Ь во всех силовых трубках.
Через все т силовых трубок поток вектора D будет в т раз больше
и по теореме Гаусса он должен быть равен заряду Q на электроде
а л г Uzdbm
== т &N = —-5—.
ап
r О zjbtn
Емкость между электродами С = = - -й-~-.
§ 19.45. Графическое построение картины плоскомеридианного поля. В пло-
скомеридианном' поле силовые линии также должны подходить к поверхностям
электродов под прямым углом, а силовые и эквипотенциальные линии должны быть
взаимно перпендикулярны. Однако в отличие от плоскопараллельного поля в обра-
зующихся при построении ячейках поля в меридианной плоскости отношение ak
к bk не одинаково для всех ячеек, а зависит от расстояния rk центра этой ячейки до
оси вращения.
На рис. 19.25, б изображена часть картины поля между двумя шарами. Каж-
дая силовая линия при вращении вокруг общей оси образует поверхность враще-
ния, а каждая силовая трубка занимает пространство между смежными поверхно-
стями вращения.
Обозначим ak — длина ячейки вдоль силовой трубки; bk — ширина ячейки;
и — число ячеек вдоль силовой трубки; т — число силовых трубок. Запишем усло-
вие равенства потока вектора D через ячейки силовой трубки ДМ = 2лг1618аЕ1 =
2ЛГ2^2^'
Напряжение между электродами
I у = + - + + - +
Для того чтобы слагаемые в скобке по величине были одинаковы, при построе-
- G'k-i
«Ии должно быть выдержано соотношение -г — — т-р-, т. е. с увеличением
53
расстояния центра ячейки от оси вращения отношение ^/Т^ должно возрастать. Есд^
это соотношение выдержано, то
v . akn .
2леа ‘ bkrk 9
ДД7^ 2maUbkrk
nak
Полный поток N — m&N = (?, где Q — заряд на одном теле. Емкость между
телами
C = f =^г,(2я8а.
и и nak а
§ 19.46. Объемная плотность энергии электрического поля и выражение меха-
нической силы в виде производной от энергии электрического поля по изменяющейся
координате. Положим, что в некоторый момент времени напряжение на конден-
саторе равно и. При увеличении напряжения на конденсаторе на величину du за-
ряд на одной из пластин конденсатора увеличится на величину dQ, а на другой —
на величину—dQ\ dQ _ Cdu, где С — емкость конденсатора.
Для переноса заряда dQ источник энергии должен совершить работу, равную
udQ = Cudu, которая затрачивается на создание электрического поля в конден-
саторе.
Энергия, доставленная источником при заряде конденсатора от напряжения
и = 0 до напряжения и = U и перешедшая в энергию электрического поля конден-
сатора,
и
с* CID О2
№Э = С udu^^-^Л
о
Рассмотрим вопрос об объемной плотности энергии электрического поля. С этой
целью возьмем плоский конденсатор и положим, что расстояние между пластинами
его равно %, а площадь каждой пластины с.одной стороны равна S. Диэлектрическая
проницаемость среды между пластинами еа. Напряжение между пластинами /7.
Пренебрежем искажающим влиянием краев конденсатора на поле между пласти-
нами. При этом условии поле можно считать равномерным. Напряженность элек-
трического поля по модулю Е — U/x.
Вектор электрической индукции по модулю 6 = &аЕ — Q/S. Емкость плоского
8 S
конденсатора С . Для нахождения объемной плотности энергии электр иче-
CU2 8 SU2
ского поля разделим энергию W3 = ~2~ ~ ~^с~ на °^ъем «занятый по-
лем». Получим
_ zaSU2 _ 8аЕ2 _ ED
V ~ 2Sx2 ~ 2 ~ 2 ‘
8 Е2
Таким образом, объемная плотность энергии электрического поля равна—.
Если поле неравномерно, то напряженность будет изменяться при переходе от одной
точки поля к соседней, но объемная плотность энергии поля будет по-прежнему равна
8 Е2
-а- - f так как в пределах бесконечно малого объема поле можно считать равномер-
ным.
8 Е2
Выделим в поле элементарный объем dV. Энергия в этом объеме равна -^—dV»
Энергия, заключенная в объеме V любых размеров, равна
В электрическом поле между заряженными телами действуют механические
йЛЫ и их можно выразить в виде производной от энергии поля по изменяющейся
^ординате. На рис. 19.24, б изображен плоский конденсатор, который присоединен
й источнику напряжения U. В соответствии с предыдущим расстояние между пла-
гинами назовем х, а площадь пластины — S. На каждую пластину конденсатора
действует сила F. Под действием этих сил пластины конденсатора стремятся сбли-
зиться. Сила, действующая на нижнюю пластину, направлена вверх, на верхнюю
пластину — вниз.
Положим, что под действием силы F нижняя пластина медленно, теоретически
бесконечно медленно, переместилась вверх на расстояние dx и приняла положе-
ние, показанное пунктиром на рис. 19.24, б. Составим уравнение для баланса энергии
При таком перемещении пластины. На основании закона сохранения энергии достав-
ленная источником питания энергия dWn должна равняться сумме трех слагаемых:
1) работе силы F на расстоянии dx : Fdx = Fdx; 2) изменению энергии электриче-
ского поля конденсатора dW3; 3) тепловым потерям от тока/, который протекает по
проводам с сопротивлением R в течение времени от 0 до оо: dW^ = Fdx-\- dW3 +
00
+ С RP dt.
О
I Так как по условию проведения эксперимента пластина конденсатора переме-
щается вверх теоретически бесконечно медленно, то изменение зарядов на пласти-
нах также происходит весьма медленно, а следовательно, и проходящий через кон-
денсатор ток смещения бесконечно мал. Другими словами, тепловыми потерями
со
^Ri2dt в силу их малости в уравнении энергетического баланса можно пренебречь
о
и тогда =Fdx-\- dW3. Отсюда сила F = •
। Таким образом, силу F можно выразить в виде производной от разности энер-
гий (1^и — W3) по изменяющейся координате х.
l В общем случае при перемещении пластины могут изменяться и напряжение
между пластинами U и заряд Q.
Рассмотрим теперь два характерных частных случая перемещения пластины
конденсатора. В первом конденсатор отсоединен от источника напряжения и переме-
щение пластины происходит при неизменных зарядах на пластинах. Во втором пере-
мещение пластины происходит при неизменном напряжении между пластинами
(конденсатор присоединен к источнику неизменного напряжения U).
Первый случай. Так как конденсатор отсоединен от источника энергии,
то последний энергии не доставляет и потому dW^ = 0. При этом F =—
Таким образом, сила, действующая на пластину, равна взятой с обратным зна-
ком производной от энергии электрического поля конденсатора по изменяющейся
Координате. Знак «минус» свидетельствует о том, что в рассматриваемом случае
работа силы производится за счет убыли энергии в электрическом поле конденса-
тора.
„„ Q3
Если учесть, что энергия электрического поля конденсатора 1уэ = ^ =
_ Q2x г
, то сила F по модулю
dW3 _ Q2 _ zaE2S
1 dx “2eaS “ 2 *
Второй случай. Энергия, доставляемая источником питания при U =
*= const, <ЖИ = UdQ = U2dC, где dC — приращение емкости, вызванное умень-
шением расстояния между пластинами на величину dx.
Изменение' энергии электрического поля конденсатора dW э = d ) =»
/72 7/2 U^dC
^dC. Разность d-dW3 = U2 dC — ^-dC~^~^
d\V3.
55
dW3 1 r.dC _ .
Поэтому во втором случае F = ы2 —. Таким образом, и во втором случае
сила равна производной от энергии электрического поля по изменяющейся коор.
динате.
п 8aS dC 8aS г 1 с / U \2 8a£2«S
Емкость С = , поэтому -- =----• £ =— eaS — — —.
х ’ J dx х2 ’ 2 & \x / 2
Сила, действующая на пластину конденсатора во втором случае, равна силе,
действующей на пластину конденсатора в первом случае. На единицу поверхности
8 Е2
конденсатора действует сила F/S == -.
8 Е2
Обратим внимание на то, что величина выражает собой не только плотность
энергии электрического поля, но и численно равна силе, действующей на единицу
поверхности пластины конденсатора. Действующие на пластины конденсатора силы
можно рассматривать как результат проявления сил продольного сжатия (вдоль
силовых трубок) и сил бокового распора (поперек силовых трубок). Силы продоль-
ного сжатия стремятся укоротить силовую трубку, а силы бокового распора —
расширить ее. На единицу боковой поверхности силовой трубки действует сила,
8 Е2 <
численно равная . Эти силы проявляются не только в виде сил, действующих
на пластины конденсатора, но также в виде сил на границе раздела двух диэлектри-
ков. В этом случае на границе раздела действует сила, направленная в сторону
диэлектрика с меньшей диэлектрической проницаемостью.
§ 19.47. Энергия поля системы заряженных тел. Энергия поля,
образованного системой п заряженных тел, имеющих потенциалы
фр-.фд и заряды <71...qfг:
п
k=l
Вывод формулы основан на том, что энергия поля равна работе
внешних сил, затраченной на перенос зарядов из бесконечности
(где <р = 0) в точки поля, в которых они будут находиться, и на прин-
ципе наложения. Используя формулу (19.48), сначала находим ра-
боту при переносе заряда д1у полагая, что заряды всех остальных
тел равны нулю. Затем находим работу при переносе заряда q2, пола-
гая q± = const и q3 = g4 == qn = 0 и т. д. Суммируя все работы,
получаем формулу (а).
Заметим, что заряды на проводящих телах, находящихся в ди-
электрике, всегда распределяются по поверхностям этих тел так,
что энергия образовавшегося между этими телами электрического
поля минимальна (теорема Томсона).
Пример 181 а. Два провода диаметром 10 мм расположены в воз-
духе параллельно друг другу (рис. 19.24, в). Расстояние-между осями
проводов d = 20 мм. Заряд каждого провода на метр^-длины 10-8 Л.
Левый провод несет положительный заряд, правый — отрицательный.
Найти наибольшую и наименьшую плотности заряда на поверхности
провода.
Решение. Находим положение электрических осей: х — 1,35 мм.
Плотность заряда на поверхности металла о = D = ъ&Е. Следова-
тельно, o' будет больше там, где Е больше.
56
Если учесть, что напряженность поля, создаваемая положитель-
ным зарядом, направлена от этого заряда, а напряженность поля,
создаваемая отрицательным зарядом, направлена к заряду, то ясно,
что наибольшая напряженность поля будет в точке А, наименьшая —
в точке В. Напряженность поля в точке А равна сумме напряжен-
. ностей от обоих зарядов, а в точке В — разности напряженностей:
Ел =______-_____|______-_____•
А 2л8а/ (г—х) 2л8а/ (d—r—x) ’
F _ Q / 1__________1 \ *
R 2л8а/ \г + х d-j-r— х) ‘ 4
ОтсюдаРл “ в а ~ &аЕ = 0,544мкК/м2,Рв= ов=-- 8аЕв= 0,186мкК/м2.
Таким образом, плотность заряда в точке А в 2,92 раза больше,
чем плотность заряда в точке В.
Пример 181 б. По условию предыдущей задачи найти градиент
потенциала в точке М (расположенной посредине между проводами
на линии, соединяющей их центры).
Решение. Так как Е = — grad <р, то модуль grad <р равен
модулю Е, а направление grad ср противоположно направлению
£. В точке М
Р Q / i__________ц_
м “ 2ле J \ d d
\2 Х 2 х)
10-8.2
2л • 8,86 • 10• 1 • 0,00865 “
= 41 600 В/м.
Направления Е и grad <р
даны на рис. 19.24, в.
Пример 182. Определить
частичные емкости на един
Рис. 19.26
метр длины двухпроводной линии. Геометрические размеры (в метрах)
см. на рис. 19.26, а. Радиусы проводов 6 мм.
Решение. В соответствии с формулой (19.48):
Фх = OCj jTjl “Г ^12^2» Ф2 “ ^21Т1 4“ ^22^2’
Отсюда
Ф1«12 '
Т1 “ = Ф1Рц + ФгРхг*
Здесь
__а22
И - - д-
R ____ а12 ,
Р12 -- "д’,
Д.=
а11 а12
0^21 ^22
* Для воздуха 8а = 80 (8 = 1).
57
Таким образом,
Т1 — 4“ 012 (*₽2 Ф1 4" Ф1) = (011 4" 01г) — 012^12 =
= U±C11L + U12C12 (<Pi = (/]).
Следовательно, для двухпроводной линии:
__ О 1 О К22 — а12 р О а12
11 “ Р11 Т Р12 — д , °12 — Р12 — ~д~ •
Аналогичным путем найдем:
р ____________________ О I о __ °&И °&12
е22 — Р22 i Р12 — д •
По формуле (19.48') найдем:
“.-э=7|п?г=12-4'10"«№
“*=4<|пм=12’9'10" “/ф;
аи а12
^21 ^22
= 151,6 -1020 м2/Ф2;
. си = “22^СТ12. = 0,659 • 10-11 Ф/м;
С22 = = о,626 • 10-11 Ф/м;
C12 = ^ = 0,191-10-u Ф/м.
Пример 183. Провод 1 примера 182 соединен с землей через источ-
ник э. д. с. £ = 127 В. Провод 2 соединен с землей проводником,
так что его потенциал равен нулю (рис. 19.26, б). Определить за-
ряды на проводах 1 и 2 на один погонный метр.
Решение. Из формулы (19.49) при <р2 = 0 следует, что
= Ф10Н и т2 = Ф1012; 0Ц = ^ = = 0,852 • 10^ Ф/м;
р12 = _ С12 = —0,191 • 10-11 Ф/м.
Заряд первого провода Tj = 127-0,852-10-11 = 1,08-10“9 К/м. Заряд
второго провода т2 = —0,191-10-11-127 = —0,242-10~9 К/м.
Пример 184. Заряд-q на единицу длины провода 1 (см. рис. 19.26, а)
равен 2 • 10~9 К/м. Зарядт2 на единицу длины провода 2 равен—1 О*9К/м.
Определить потенциал точки М, полагая потенциал земли равным
нулю.
Решение.
„_____Ti i„ 4 м , т2
Ф 2”«. «,м+ 2««. «гм
= 2 'м- ------------1п1<8:+2,- = зо,6 в.
2л • 8,86 • 10-12 /2 2л • 8,86 • Ю'*2 2
58
Пример 185. Определить плотность наведенного Наряда на поверх-
ности земли в точке N (см. рис. 19.26, а), полагая, что заряды на про-
водах такие же, как и в примере 184.
Решение. В соответствии с формулой (19.33) плотность за-
ряда на поверхности проводника равна напряженности в этой точке,
умноженной на еа = 80.
Напряженность поля в точке N (рис. 19.26, в) равна геометри-
ческой сумме напряженностей от четырех зарядов — от заряда тг
(обозначим ее EJ, от заряда т2 (Б2) и зеркальных изображений этих
зарядов Е[ и Е2- Е = Е1 + Е2 + Е{ + Е'2.
Напряженности £\ и Е{ направлены по одной прямой (по верти-
кали). Для нахождения проекций Е2 и Ё2 на вертикаль умножаем
Е2 и Е'2 на cos а. Плотность заряда
О' — 2 —-— 8а — 2--------J2 • 8а -у-^2 . . =
2лЕай1 2л8а Уhl-\-а2 У h~2 + а2
а = 1; h2 = 4 м.
0,1375-10 9 К/м2;
Пример 186. Две металлические пластинки (теоретически беско-
нечной протяженности) находятся в воздухе (рис. 19.27, а), образуя,
не соприкасаясь, двугранный
угол а2. Потенциал первой пласти-
ны €рх, второй ф2. Вывести форму-
лы для определения ф и Е в лю-
бой точке поля внутри двугранного
угла, а также формулу для опре-
деления плотности заряда на пла-
стинках. Дать числовой ответ при
= 0, Ф2 — Ю0 В, а2 = 30°.
Решение. Поскольку гра-
ничные поверхности проще всего
можно описать в цилиндрической
системе координат, то решение
будем проводить именно в этой си
стинами отсутствуют свободные заряды, поэтому поле подчиняется
уравнению Лапласа [см. уравнение (19.30)].
Потенциал ф зависит только от угла а и из условий симметрии
не зависит от координаты z и радиуса г цилиндрической системы
координат. Поэтому ^~ = 0.
Согласно этому уравнению, ф = Сга + С2. По условию, при
ct, = 0 ф — ф! — 0, а при а = а2 ф = ф2 — 100 В. Следовательно,
п/- 100 СПП/ 600
С2 = 0; Ci = -Ч = 600/л и ф = ~ а.
2 ’ 1 л/6 т л
Напряженность поля имеет только одну альфовую составляющую
_______ Cf
г da г
600
пг
В/м.
59
Плотность заряда a = D — &0Е = е0Еа = — 6^f0-. Например, при г =
= 2 см: о = D = — 8,48-10-8 К/м2.
Пример 187. Две металлические конусообразные воронки нахо-
дятся в воздухе, обращены остриями друг к другу и не соприка-
саются (рис. 19.27, б). Угол = 30°, б2 — 135°, потенциал первой
воронки <рг == 0, потенциал второй воронки ф2 = 1000 В. Вывести
формулу для определения ф и Е в пространстве между воронками
и найти по ним Е и <р в точке М с координатами R = 2 см и е = 120°.
Решение. Воспользуемся сферической системой координат,
поскольку поверхности воронок проще всего описываются именно
в этой системе. В пространстве между воронками отсутствует объем-
ный заряд, поэтому поле описывается уравнением Лапласа [см. фор-
мулу (19.31)].
В силу симметрии ф зависит только от угла б и не зависит от ра-
диуса R и угла а — двух остальных координат сферической системы.
Таким образом, gj(sin =
откуда sin9^ = C!; <р = In tg у + С2.
Найдем постоянные интегрирования и С2. При о = 30° ф = 0,
при о = 135° ф = 1000 В. Следовательно, 0 = Сх In tg 15° + С2;
1000 - С\ In tg 67°30' + C2.
Отсюда - 461 B, C2 = 608 B.
Потенциал точки Л4: фЖ = 461 In tg 60° + 608 — 856,5 В.
Напряженность поля имеет только 6-оставляющую:
р __._ ^ф _______Gj
0 RdB “ R sin 0 ’
461
Напряженность в точке М: Eqm о 02 sit 12У ~ ~~ 26,6 кВ/м.
Пример 188. В вакууме на расстоянии 2 см друг от друга рас-
положены два плоских электрода (рис. 19.28). Правый электрод
заземлен, а левый соединен с плюсом батареи, э. д. с. которой 200 В;
отрицательный зажим батареи заземлен. В про-
странстве между электродами распределен
объемный заряд с плотностью р = —а е0 х,
где а = 30 кВ/см3; х — расстояние от левой
пластины (см. рис. 19.28). Требуется найти
закон изменения потенциала в пространстве
между электродами.
v Решение. Полагаем, что размеры элек-
тродов много больше расстояния между ними.
Направляем ось х, как показано на рис. 19.28.
Потенциал зависит только от х\ от у и z он в данной задаче не за-
d3q> о
висит. Следовательно, ~~ = — -- = ах,
’ ах2 е0
Производим двукратное интегрирование' по х: =
п гз ах z
и Ф = -у +С1х4-С2.
Рис. 19.28
60
Определим постоянные интегрирования из граничных условий:
при х = О <р = 200 = С2;
при х = 2 <р = 0 = 200 + 2СХ + 30 86 103;
Сх = —20 100 В/см.
Следовательно, <р — 30' — 20 ЮОх + 200 = 5000х3 — 20 ЮОх +
+ 200 В.
Пример 189. В цилиндрическом конденсаторе с воздушной изо-
ляцией вокруг внутреннего электрода радиусом г0 располагается
заряд короны с объемной плотностью р К/см3. Наружный радиус
короны (рис. 19.29). Радиус наружного электрода г2. Потенциал
внутреннего электрода ср0, потенциал наружного электрода <р2.
Вывести формулу для определения <р в пространстве, занятом объем-
ными зарядами (назовем его областью I), и в пространстве, не занятом
свободными зарядами (область II).
Решение. В области I:
1 d / ^Ф1\ = __Р
г dr\ dr J 80'
Двукратное интегрирование по г дает
Ф, = — Сх In г +
В области II:
0 и <рп = С3 In г + С4.
Составим четыре уравнения для определения четырех постоянных
интегрирования (Сь С2, С3, Сь).
При r = r0 = поэтому <р0 =— ^4-С11пго+С«. (а)
При г = гг (pi = <рц; следовательно,
— — С3 In + (б)
при г = г2 <рц = 0; тогда 0 = С3 In г2 + С4. (в)
При г = гг равны нормальные составляющие вектора электри-
ческого смещения D:
/dwA Pri г ч
ео )r=n ИЛИ Сз = С1~2^*
Совместное решение уравнений (а), (б), (в), (г), которое опущено,
дает
£ 4Eq Z&q Гх_______
In
Го
Далее определяем С3 из уравнения (г), С4 из (в) и С2 из (а).
61
Пример 190. Над поверхностью земли расположилось положи-
тельно заряженное грозовое облако. Пространство между облаком
и землей можно рассматривать как огромных размеров плоский кон-
денсатор. Напряженность поля Е в нем направлена от облака к земле.
Найти потенциал точки А, расположенной на расстоянии8 м от поверх-
ности земли, в двух случаях: 1) когда над поверхностью земли не про-
тянут заземленный трос (рис. 19.30) и 2) когда над поверхностью
земли над точкой А на высоте 10 м от земли протянут заземленный
стальной трос диаметром 10 мм (рис. 19.31).
Облако
Облако
г*л'
hfBM
Земля
Земля
Рис. 19.30
Рис. 19.31
Решение. В случае отсутствия троса (режим I): — EhA,
где hA = 8 м.
При наличии троса (режим II) потенциал в точке А создается
не только равномерным полем «плоского конденсатора», но и заря-
дом на тросе qip: <p” = EhA + дтр a12.
Здесь через a12 обозначен потенциальный коэффициент:
1 1 bi2 1 . 104-8
Составим уравнение для определения заряда троса:
фтр -^^тр ^7тр^П —
Следовательно,
^ = -^7 и ^ = E(hA-h^).
Изменение потенциала в точке Л, отнесенное к значению потен-
циала в точке А до появления троса:
. д<Ра _Фл--<Рд* 1_ E{hA~(hA~hVa^)} 100,251
, - — - — —------------------—---------— U ,о 1 о,
Фд Фд EhA 8
1 18
П 2У - 2’08 о 9^1
~ In 4000 8.3 “
62 }
Пример 191. В равномерное поле с напряженностью Ео — ГО3 кВ/м
внесен незаряженный металлический шар радиусом а = 1 см. Найти
Ек и Ее в точке А. Координаты точки А : R — 2 см и 0 = 30°.
Решение. В соответствии с формулами § 19.40 имеем:
£^=-S=-£oCOSe(1 + ¥) =
= - 106- 0,866 (1 + у) =-1,082 -106 В/м;
£0=-|^ = £osinef1-3= 1°64(1-т) = 0’4375-106 В/м-
Результирующая напряженность поля по модулю:
Е = + 168-Ю6 В/м.
Пример 192. В воздухе создано равномерное электрическое поле
напряженностью Ео = 103 кВ/м. В это поле диэлектрический цилиндр
(8i = 4е0) поместили так, что его ось перпендикулярна полю. Найти
напряженность поля внутри цилиндра.
Решение. Воспользуемся формулой (19.72):
Et = Ео “ = Ю3 ЙА = 4 • Ю2 кВ/м.
"Г ь0 ~Г 1
Пример 193. В некоторой области пространства имеется поле,
потенциал которого зависит только от координаты х декартовой
системы: ф = 5х3 — 60 х2.
Найти закон изменения плотности свобод-
ных зарядов в этом поле.
Решение. Уравнение Пуассона, опи-
сывающее поле, можно записать так:
. Дважды дифференцируемф по х:
= 15х2 — 12 Ox; -Jf = ЗОх- 120.
Следовательно, рсвоб = (—30 х + 120) 8а.
Пример 194. Вывести формулу для опре-
деления напряженности и потенциала поля,
создаваемого заряженной осью длиной / (рис. 19.32). Заряд на
единицу длины оси равен т.
Решение. Определим Е и ф в произвольной точке k. Распо-
ложим оси декартовой системы координат в соответствии с рис. 19.32.
Выделим отрезок оси длиной dx, на нем будет заряд xdx, В силу ма-
лости dx будем считать этот заряд точечным и по теореме Гаусса
найдем создаваемую им напряженность поля в точке k:
1 гл т dx
dE = -.----—.
4леа7?2
Проекция dE на ось х dEx = dE cos (180 — Р)
_ — т cos р dx
~ 4леа/?2
63
Угол р отсчитываем от положительного направления dx к поло-
жительному направлению радиуса /? (последний направлен от dx к
точке k) (верхний угол р на рис. 19.32 указан ошибочно).
Проекция dE на ось у: dEy = dE sin (180 — =
Заменим:
Я = x=z— ^ctg Р; dx==4-^-;
sin р ь r ’ sm2 p
02
£x=s—f cos p dp = T , (sin Pi — sin p2);
0i
02
£ T ... C sinpdp=-T-^-T-(COspi —C0Sp2);
y 4леа/г J r r 4nea/i v ri r2/’
0i
E = VE^ + E3y.
Составляющая потенциала в точке k от точечного заряда т dx:
j т dx т dp
т 4л8аЯ 4леа sin р ’
02 02
i -J-x- = — Arsh (ctg (3) ; q> = — (Arsh -f* Arsh.
J sm р ' °17 I ’ v 4леа \ h ' h)
01 01
§ 19.48. Метод средних потенциалов. Как уже говорилось, в электростатиче-
ском поле, образованном системой заряженных проводящих тел, все точки поверх-
ности каждого тела имеют одинаковый потенциал, а по-
верхностная плотность зарядов т в общем случае изме-
няется от точки к точке.
В тех случаях, когда неравномерность распределения
зарядов по поверхности тела невелика, для подсчета ем-
костей иногда пользуются методом средних потенциалов
(приближенный метод). В его основу положено заведомо
неправильное предположение, что на поверхности каждого
тела заряды распределены с одинаковой плотностью, а раз-
личные точки одного и того же проводящего тела имеют
неодинаковые потенциалы. Это предположение дает воз-
можность относительно легко найти среднее значение
потенциала <рср тела и по известному заряду тела найти
его емкость. Результат оказывается близким к истинному.
Пример 195. Определить емкость уединенного пря-
мого проводника длиной I и радиусом г.
Решение. Воспользуемся формулой для потенциа-
ла произвольной точки k, полученной в примере 194.
Сосредоточим заряд на оси провода с плотностью т на
единицу длины и поместим точку k (рис. 19.32) на поверхность провода (т. е. примем
h = г). Тогда
I
т 1 C
фсР”4^Т J
0
I
л . I — а , А . а\ , т 1 С * 1 л ,
Arsh-------Р Arsh — \ da — ------у- I Arsh — da;
г г ) 2леа I J г
о
J Arsh х dx—x Arsh х — У1
Т Гя J 1Л . / г \2 । И
фсР = 2ЙГа|_ T F +Ш +Т|-
64
По определению (§ 19.29), заряд уединенного тела т/ — <рсрС. Поэтому емкость
I уединенного цилиндрического провода
С=2леа/
j^Arshy-j/^l+^y) + у] .
Выражение в квадратных скобках может быть упрощено. Так как Arshx =
= in (% + f rw), а при х >> 1 Arsh х In 2xt то при Ifr :> 1 скобка равна
In — + In 2 — 1. Отсюда
|С =
In — — 0,307
Г ’
Пример 196. Вследствие неравномерного нагрева диэлектрическая проницае-
мость изоляции коаксиального кабеля (см. рис. 19.33) изменяется в функции ради-
уса г следующим образом: еа = т/r. Вывести формулы для определения напряжен-
ности электрического поля Е и смещения D. Радиус жилы кабеля гх, внутренний
радиус оболочки г2> напряжение между жилой и оболочкой U. Объемный заряд
отсутствует.
Решение. Воспользуемся теоремой Гаусса [формула (19.20)] в дифференциаль-
ной форме [применять уравнение Лапласа в данном случае нельзя, так как оно вы-
ведено при условии, что еа — const, (см. § 19.15)]. В формуле (19.24) заменим Е на
D и учтем, что D имеет только одну r-составляющую и в силу симметрии не зависит
от координат г и а. Будем иметь
IdivD = - • ^-(гГ>Л=0.
г dr v гг
Отсюда следует, что rDr = rD = С; D = C/rt где С — некоторая постоянная.
(Таким образом, D изменяется обратно пропорционально радиусу. Напряжен-
ность поля Е = D/&Z ~ С/т, т. е. напряженность поля — величина постоянная.
Определим постоянную С. Для этого воспользуемся тем, что
f г i ТI С Л f \
|| Е dr—U= I — dr — — И2~Н)»
J J т т ' и
rt rt
отсюда
г— mU
Г2—Г1 *
Графики изменения Е, D и <р см. на рис. 19.33.
Обратим внимание на то, что если бы диэлектрическая проницаемость 8а изо-
ляции коаксиального кабеля примера 196 была постоянной величиной (не являлась
бы функцией г), то имели бы место следующие зависимости:
.. t/ln^-
£=-Е—; D = eaE; <р =-----—,
г In — In —
rt ri
т. e. в этом случае напряженность поля была бы не постоянна, а изменялась обратно
пропорционально радиусу, потенциал <р изменялся бы не линейно в функции г,
а по логарифмическому закону.
Пример 197. Вывести формулы для расчета поля диполя.
Решение. Диполь изображен на рис. 19.34. Расстояние между
зарядами обозначим через /. При решении воспользуемся сфериче-
3 Зак. 1730
65
ской системой координат. Обозначим расстояние от произвольной
точки а до заряда -\-q через 7?i, до заряда —q — через Т?2 и до сере-
дины диполя — через R. Угол между вертикалью и радиусом R
равен 0. Потенциал точки а определим как потенциал в поле двух
точечных зарядов:
т 4леа\7?1 R-г) 4леа RiRz
Если R ;> I, то • R2 R2, a R2 — R1 I cos 6; поэтому
Cjt COS 0 / 1 О *704
(!9-73)
По формулам § 19.10 найдем:
Fr, — — CQS 6 • И 9 741
dR 2л8а/?з ’ /4)
£е=_^ = (19.75)
° R дв 4леа^3 ' '
Еа = О;
Е = КЖ+Ж = 4^ri+3cos2e. (19.76)
Таким образом, в поле диполя при R I потенциал ср изменяется
обратно пропорционально второй, а напряженность — обратно про-
Рис. 19.34
Рис. 19.35
порционально третьей степени расстояния R рассматриваемой точки
до диполя; ср и Е являются функциями угла 0.
Картина цоля диполя изображена на рис. 19.35. Напряженность
поля в некоторой произвольной точке а равна геометрической сумме
напряженностей Ег и Е2 от зарядов -\-q и —q. Если воспользуемся сфе-
рической системой координат, то напряженность поля в той же точке а
можно представить в виде суммы напряженностей ER и Ее; Ец на-
правлена вдоль радиуса R, a Eq имеет направление 0.
Пример 198. Вывести формулы для определения величины напря-
женности поля и емкости двухслойного плоского конденсатора рис.
19.36, а также построить графики изменения модуля вектора напря-
женности электрического поля Е, модуля вектора электрической
индукции D и потенциала ф в функции расстояния х.
66
Толщина первого слоя диэлектрика d19 второго — d2. Абсолютная
диэлектрическая проницаемость первого слоя 8а1, второго слоя еа2.
Принять 8а1 = 2еа2 и d2 = 1,5 dlt
Решение. Все величины, относящиеся к первому слою,
обозначим индексом 1, а ко второму слою—индексом 2. Поло-
жим, что разность потенциалов между обкладками конденсатора
равна U.
Искажающее влияние краев конденсатора на поле учитывать
не будем. При этом условии в каждом слое поле будет равномерным.
В силу того что нормальная составляющая
вектора D непрерывна, имеем Dln = D2n.
HoZ)ln = г^Е^ D2Tl = г^2Е2. Следовательно,
8а1^1“ 8a2^2’ (&)
Таким образом, отношение напряженно-
стей обратно пропорционально отношению
электрических проницаемостей.
Уравнение (а) связывает две пока неиз-
вестные величины Ег и Е2. Второе уравнение
относительно Е1 и Е2 составим, исходя из
того, что
d^ di ^2
§ Er dx+ § Е2 dx = U или
О di
Eld1-\- E2d2 —U(б;
Совместное решение (а) и (б) дает Е±
и
еа2
Графики зависимостей D, Е и ср от рас-
стояния х изображены на рис. 19.36.
Рис. 19.36
Для нормальной работы конденсатора необходимо, чтобы напря-
женность электрического поля ни в первом, ни во втором слоях кон-
денсатора не достигла значения напряженности, при котором проис-
ходит пробой данного диэлектрика.
Напряженность равномерного поля, при которой происходит
пробой данного диэлектрика, принято называть пробивной напряжен-
ностью. Пробивная напряженность диэлектриков, особенно газооб-
разных, сильно зависит от температуры и давления. Пробивная
напряженность воздуха равна 30 кВ/см при нормальном атмосферном
давлении и температуре 18° С.
При выводе формулы для емкости двухслойного плоского кон-
денсатора на границу раздела двух диэлектриков мысленно поместим
бесконечно тонкий металлический листок. Эта операция вполне
допустима, так как поверхность раздела диэлектриков как была экви-
потенциальной поверхностью до помещения листка, так и остается
ею после помещения на нее листка; причем значение потенциала ее при
этом не изменится.
з*
67
После проведения такой операции (ее иногда называют способом
отвердения) емкость двухслойного конденсатора можно подсчитать
как емкость двух последовательно включенных конденсаторов СТ
и С2; Q — емкость первого слоя конденсатора, С2 — емкость второго
слоя конденсатора:
* £
ea2*S
где S — площадь одной пластины конденсатора с одной стороны.
Емкость двух последовательно включенных конденсаторов
__ S
Ci + Qs d2
г • —
§ 19.49. О расчете электрических полей, создаваемых диэлектриками, сохраняю-
щими остаточную поляризацию при снятии внешнего поля. Поле, которое создает
Рис. 19.37
но и другими заряженными телами,
ложения. Поле определяется вне поляри:
однородно поляризованный диэлектрик
с остаточной поляризацией Р (электрет,
сегнетодиэлектрик) (на рис. 19.37, а он
изображен в виде цилиндра длиной А/ и
площадью поперечного сечения AS) на ос-
новании § 19.14 будет таким же, как поле
воздушного конденсатора, изображенного
на рис. 19.37, б. Площадь пластин этого
конденсатора равна AS, расстояние между
ними А/, заряды на пластинах равны
соответственно ±РА5.
Если поле создается не только
диэлектриком с остаточной поляризацией,
то следует использовать принцип па-
кованного диэлектрика.
Вопросы для самопроверки
1. Охарактеризуйте понятие «электростатическое поле». 2. Какой физический
смысл придается Е и <р? Какая интегральная и дифференциальная связь существует
между ними? 3. Какие поля называют потенциальными? 4. Что понимают под кар-
тиной поля? Какие характеристики поля называют точечными, какие интеграль-
ными? 5. В чем отличие свободных зарядов от связанных? 6. Каков смысл вектора Р?
Что послужило основанием для введения вектора D? 7. Дайте физическое толкова-
ние понятиям градиента и дивергенции. 8. Могут ли при переходе через границу раз-
дела двух сред с различными е полные значения Е и D изменяться скачками? 9. Оха-
рактеризуйте поле точечного и линейного зарядов и поле диполя. 10. Дайте обосно-
вание методу зеркальных изображений. 11. Что определяют потенциальные и ем-
костные коэффициенты и частичные емкости? 12. Дайте примеры плоскопараллель-
ного, плоскомеридианного и равномерного полей. 13. Охарактеризуйте идею и этапы
решения уравнений в частных производных методом разделения переменных. 14. Ка-
кое допущение принято в методе средних потенциалов? 15. Тонкое кольцо радиуса а
заряжено с плотностью т и находится в воздухе; определите создаваемую им напря-
женность Е в точке на оси на расстоянии /г от кольца (ответ: ---------тЗ . 16. Ре-
280 (/i2 + a2)3/2
шите задачи: 19.3; 19.5; 19.12; 19.17; 19.24; 19.26; 19.28; 19.3'2; 19.39; 19.45; 19.51
(номера задач здесь и в последующих главах указаны по [18]).
68
ГЛАВА ДВАДЦАТАЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА
В ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ
§ 20.1. Плотность тока и ток. Если под воздействием внешних
источников в проводящей среде (металлических проводниках, земле,
жидкостях) создано электрическое поле, то в ней будет протекать
электрический ток.
Упорядоченное движение свободных электронов в металле и ионов
в жидкости под действием электрического поля принято называть
током проводимости.
При своем упорядоченном движении носители зарядов испытывают
многочисленные столкновения с другими частицами вещества, которые
находятся в тепловом движении. Эти столкновения затрудняют упоря-
доченное движение носителей зарядов и являются причиной сопро-
тивления, оказываемого проводящей средой прохождению тока.
Свойство среды, характеризующее ее способность проводить ток,
называют удельной проводимостью у. Удельная проводимость у зави-
сит от физических свойств проводящего материала и температуры,
имеет размерность Ом-1-м-1 == См/м.
Электрическое поле в проводящей среде подчиняется законам,
рассмотренным в данной главе.
Основной величиной в электрическом поле проводящей среды
является плотность тока 6. Это векторная величина, направленная
по напряженности электрического поля. Она численно равна отноше-
нию тока А/, протекающего через элемент поверхности AS (перпен-
дикулярный к направлению напряженности поля в данной точке),
к величине AS этой поверхности.
Если поверхность имеет конечные размеры, то направление век-
тора плотности тока во всех элементах, на которые может быть раз-
бита эта поверхность, и направление элементов поверхности могут
быть различны, и ток определится так: I = ^dS.
s
Таким образом, ток есть поток вектора плотности тока.
Ток в отличие от плотности тока является скаляром алгебраиче-
ского характера.
При протекании постоянных токов как внутри проводящих тел,
так и вне их существуют постоянные (неизменные во времени) магнит-
ные поля. Так как эти поля неизменны во времени, то в поле не воз-
никает явления электромагнитной индукции, т. е. магнитное поле,
созданное постоянным током, не оказывает влияния на электрическое
поле постоянного тока. Поэтому электрическое и магнитное поля
постоянного тока можно рассматривать раздельно.
Магнитное поле постоянного тока рассматривается в гл. 21.
§ 20.2. Закон Ома и второй закон Кирхгофа в дифференциальной
форме. Выделим в проводящей среде небольшой параллелепипед объе-
мом AV. Длина ©ебра параллелепипеда AZ, площадь поперечного
сечения AS. Расположим этот параллелепипед так, чтобы напряжен-
69
ность поля в нем была направлена параллельно ребру (рис. 20.1, а).
В силу малости объема можно считать, чго напряженность электри-
ческого поля Е одна и та же во всем элементарном объеме; AZ = AlnQ\
AS = ASn°, где п° — единичный вектор по направлению AZ, AS и Ё.
Ток I = ^8 dS = 8 AS. Напряжение на элементе объема U — ЕА1 =
— RI. Сопротивление элемента объема R=-^-^t
Подставив в выражение RI = ЕА1 эквиваленты R и /, получим
откуда
-4^6 ASn° = E AZn°,
У До
б = уЕ.
(20.1)
Соотношение (20.1) называют законом Ома в дифференциальной
форме. Оно устанавливает связь между плотностью тока в данной
точке проводящей среды и напряженностью поля в этой же точке.
Уравнение (20.1) справедливо для областей вне источников э. д. с.
В областях, занятых источниками э. д. с., кроме кулонова (электро-
статического) поля существует еще так называемое стороннее элек-
трическое поле, обеспечивающее непрерывное движение зарядов в элек-
трической цепи.
Под сторонним электрическим полем понимают электрическое
поле, обусловленное химическими, электрохимическими, тепловыми,
термоэлектрическими процессами.
Напряженность стороннего поля обозначают В областях,
занятых источниками э. д. с., полное значение напряженности поля
равно геометрической сумме напряженности кулонова и стороннего
полей Е + Естор.
На рис. 20.1, б схематически изображена электрическая цепь постоянного тока,
состоящая из источника питания и нагрузки.
70
Источник сторонней э. д. с. создает внутри источника питания стороннюю
напряженность поля Естор.
Линейный интеграл от сторонней напряженности поля внутри источника на-
зывается э. д. с. источника (Ех):
3
§ -^стор = Ei• (20.2)
Под действием стороннего поля в источнике непрерывно происходит, разделе-
ние электрических зарядов. Положительные заряды перемещаются к плюсу источ-
ника, а отрицательные — к минусу.
Эти заряды в области внутри и вне источника создают электрическое поле, на-
пряженность которого, как и напряженность электростатического (кулонова) поля,
•направлена от положительных зарядов к отрицательным.
При протекании постоянного тока по цепи одни электрические заряды непре-
рывно сменяются другими, такими же, как и в предыдущие моменты времени. Та-
ким образом, картина поля в макроскопическом смысле повторяется в смежные
моменты времени. Поле носит как бы статический характер. Это и послужило осно-
ванием для того, чтобы поле, созданное в проводящей среде разделившимися заря-
дами, называть кулоновым полем, а его напряженность Е — напряженностью куло-
нова поля.
Внутри источника кулоново поле направлено навстречу стороннему полю. Пол-
ное значение напряженности поля внутри источника равно Е + Естор. Вне источ-
ника кулоново поле направлено от положительного электрода к отрицательному.
Под действием этого поля и происходит упорядоченное движение зарядов в области
вне источника. При протекании тока по цепи | Ес1ор | > | Ё*|. При разомкнутой цепи
I Естор I — I Е |.
Закон Ома в дифференциальной форме для областей, занятых
источниками э. д. с., записывают следующим образом:
б = Т(Е + Естор). (20.3)
Уравнение (20.3) называют обобщенным законом Ома в дифферен-
циальной форме.
Если от обеих частей уравнения (20.3) взять интеграл по замкну-
тому контуру, включающему в себя источник э. д. с., то из уравне-
ния (20.3) будет получен второй закон Кирхгофа. Поэтому уравне-
ние (20.3) называют также вторым законом Кирхгофа в дифференциаль-
ной форме.
На рис. 20.1, в изображен замкнутый контур, по которому течет ток /. На уча-
стке 123 имеется источник сторонней э. д. с. Ех. На участке 341 нет источников сто-
ронней э. д. с. Обозначим через Ех сопротивление участка 123 и через 7? — сопротив-
ление участка 341. Примем, что площадь поперечного сечения всех участков замкну-
того контура достаточно мала для того, чтобы можно было считать направление плот-
ности тока и напряженности поля в некоторой точке совпадающими с направле-
нием элемента пути dl в той же точке.
Умножим обе части (20.3) на и составим циркуляцию вдоль замкнутого кон-
• V
тура 12341 (рис. 20.1, в):
^^у- = §(£+Стор)Л.
Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Поэтому
ф (Е Естор) dl = ф Е dl -|- ф ^стор
&zTdf=O в силу потенциального характера кулонова поля.
71
В свою очередь
фЁ
стор dl- ^СТ°Р £стор dlf
123 34 1
но J Естор dl равен сторонней э. д. с. Elt а £стор dl = G, так как на участке 341
123 341
нет сторонней э. д. с.
тт £ 6 57
Для подсчета величины ф-- умножим и разделим подынтегральное выраже-
J Y ?
ние на площадь поперечного сечения S, от плотности тока 6 перейдем к току 1 и
d?
заменим на сопротивление участка пути dR. Получим:
6 57 S I dl т
~s=-js=/dR’
&—=1 <£ dR = I {dR + I [ dR = IRl + IR.
J У J J J
123 341
Таким образом, из уравнения (20.3) образовано уравнение 1 (Ri + R) = Е19
составленное по второму закону Кирхгофа.
§ 20.3. Первый закон Кирхгофа в дифференциальной форме.
Если в проводящей среде выделить некоторый объем, по которому про-
текает постоянный, не изменяющийся во времени ток, то можно ска-
зать, что ток, который войдет в объем, должен равняться току, вышед-
шему из него, иначе в этом объеме происходило бы накопление элек-
трических зарядов, что опыт .не подтверждает. Сумму входящего в объем
и выходящего из объема токов записывают так:
фб^=О. (20.4)
Если разделить и левую и правую части (20.4) .на одно и то же
число (на объем, о котором шла речь), то равенство останется спра-
ведливым:
&6 dS ~
__— 0
V
Очевидно, что последнее соотношение будет справедливо и в том
случае, если объем, находящийся внутри замкнутой поверхности,
устремим к нулю:
&65S
lim —— = div 6 = 0.
V->0 v
Таким образом, для постоянного, неизменного во времени поля
в проводящей среде:
div 6 = 0. (20.5)
Это соотношение называют первым законом Кирхгофа в дифферен-
циальной форме. Оно означает, что в установившемся режиме (при
постоянном токе) в любой точке поля нет ни истока, ни стока линий
тока проводимости 6.
72
§ 20.4. Дифференциальная форма закона Джоуля — Ленца. В гл. 1
отмечалось, что если по какому-либо проводнику сопротивлением R
протекает постоянный ток /, то в единицу времени (в секунду) в нем
выделяется энергия, равная I2R. Определим энергию, выделяющуюся
в единицу времени в единице объема проводящей среды (сэтой целью
воспользуемся рис. 20.1, а):
= (20.6)
V AS \у AS) у е х '
Следовательно, в единице объема проводящей среды в единицу
времени выделяется энергия, численно равная уЕ2.
§ 20.5. Уравнение Лапласа для электрического поля в проводя-
щей среде. Так же как и в электростатическом поле, напряженность
электрического поля в проводящей среде Е = —grad <р.
В неизменном во времени поле
div 6 = div уЕ = 0. (20.7)
Если у среды не изменяется от точки к точке, т. е. если среда одно-
родна и изотропна, то у как постоянную величину можно вынести
за знак дивергенции и, следовательно, вместо div уЁ = 0 можно на-
писать у div Е = 0 или
divE-0, (20.8)
т. е.
div (— grad ср) =0
или
V2cp = 0. (20.9)
Таким образом, поле в однородной проводящей среде подчиняется
уравнению Лапласа. Поле постоянного тока в проводящей среде явля-
ется полем потенциальным. В нем, в областях, не занятых источниками,
фТШ=о.
§ 20.6. Переход тока из среды с проводимостью в среду с про-
водимостью у2. Граничные условия. Выясним, какие граничные
условия выполняются при переходе тока
из среды с одной проводимостью в среду
с другой проводимостью.
На рис. 20.2 линия ОО есть граница раз-
дела сред.. Возьмем на границе плоский
замкнутый контур 1234. Составим циркуля-
цию вдоль этого контура. Стороны 12 и 34
его весьма малы по сравнению со сторонами
23 и 41 (длину последних обозначим Ш).
Так как §Edl вдоль любого замкнутого контура равно нулю,
то оно равно нулю и для контура 1234.
73
В силу малости отрезков 12 и 34 пренебрежем составляющими
интеграла вдоль этих путей и тогда:
Elt dl — Е2/ dl = Q или Elt = E2t.
(20.10)
Рис. 20.3
Это соотношение совпадает с соотношением (19.34).
На границе раздела равны нормальные составляющие плотностей
токов. Докажем это.
На границе раздела выделим сплющенный параллелепипед (рис.
20.3, а). Поток вектора б, втекающий в объем через нижнюю грань,
равен —6lnAS; поток вектора б,
вытекающий из объема через
верхнюю грань, б2/гАЗ. Так как
фб dS = O, то:
- 61ге AS + 62га AS = 0;
<> _ <>
— О2П*
Следовательно, при переходе тока
из среды с одной проводимостью
в среду с другой проводимостью
непрерывна тангенциальная соста-
вляющая вектора Е, т. е. Elt = E2f
шальная составляющая плотности
Отсюда следует, что полные значения вектора Е и вектора б в об-
щем случае меняются скачком на границе раздела.
Найдем связь между углом падения и углом преломления р2-
В соответствии с рис. 20.3, б:
(но Е1п Ф Е2г^. и непрерывна
тока б1/г = б2п (но 6V ф б2/).
tg Pi
$17 = Ej/Vi .
61л *
tg Р2 =
®2п б2п
или
tg Pi = Vi
tg р2 Т2 ‘
(20.12)
Если ток переходит из среды с большой проводимостью (напри-
мер, из металла) в среду с малой проводимостью (например, в землю),
то тангенс угла преломления tg р2 = tg рт меньше тангенса угла
падения и, следовательно, угол р2 будет меньше угла рь Если у2
весьма мало, то угол р2 0.
§ 20.7. Аналогия между полем в проводящей среде и электро-
статическим полем. По своей природе поле электростатическое и
поле постоянного тока в проводящей среде различны. Электростати-
ческое поле создается электрическими зарядами, неизменными во вре-
мени и неподвижными в пространстве, тогда как электрическое поле
74
б проводящей среде — это поле, в котором электрические заряды
имеют упорядоченное движение под действием внешнего источника.
Тем не менее между двумя полями может быть проведена определен-
ная' формальная аналогия.
Действительно, электростатическое поле в областях, не занятых
зарядами, удовлетворяет уравнению Лапласа. Электрическое поле
постоянного тока в проводящей среде вне сторонних источников
также ему удовлетворяет. В обоих полях имеют дело с вектором напря-
женности поля Е. С вектором электрического смещения D = г&Ё
можно сопоставить вектор плотности тока 6 = уЕ. С потоком век-
тора D (обозначим его буквой ф) ф = ^Dds можно сопоставить поток
вектора плотности электрического тока I = \$dS.
Граничные условия на поверхности раздела двух диэлектриков:
E^t “ E2t и D±n —
Граничные условия на поверхности раздела двух сред с различ-
ной проводимостью Ert = E2t и 61/г = 62/г.
Но если два поля удовлетворяют одному и тому же уравнению
V2<p о и в них выполняются тождественные граничные условия для
сходных величин, то при однаковой форме граничных поверхностей
на основании теоремы единственности можно сказать, что совокуп-
ность силовых и эквипотенциальных линий в этих двух полях (т. е.
картина поля) будет одинаковой.
Эта формальная аналогия широко используется на практике. Так,
например, если какое-либо электростатическое поле уже изучено,
то все сведения о нем могут быть перенесены ина геометрически подоб-
ное поле в проводящей среде. Справедливо и обратное заключение.
§ 20.8. Экспериментальное исследование полей. Если форма гра-
ничных поверхностей (электродов) сложна, то аналитический расчет
поля осуществить довольно трудно. Непосредственно же определить
потенциалы точек электростатического поля, помещая в них зонды,
обычно также не удается, потому что зонды даже при малой мощности,
потребляемой индикаторами, своим присутствием искажают поле.
В этом случае поле исследуют экспериментально на модели, т. е.
прибегают к моделированию, либо в электролитической ванне, либо
на твердой модели. Рассмотрим, как производится моделирование
двухмерного поля в электролитической ванне *.
В ванну с электролитом (например, с подкисленной водой) поме-
щают электроды (рис. 20.4). Форма и их взаимное расположение должны
быть точно такими же, как и в изучаемом электростатическом поле.
Для того чтобы стенки ванны меньше искажали исследуемое поле,
линейные размеры ванны должны в несколько раз превышать соот-
ветствующие линейные размеры исследуемого участка поля.
Электроды соединяют с источником э. д. с. низкой частоты (обычно
50 Гц). Использовать в качестве источника питания э. д. с. постояш
* В приложении Е' на стр. 204 рассматриваются основы другого метода модели-
рования полей — с помощью электрических сеток.
75
ного тока нельзя, так как при постоянном токе будет происходить
электролиз подкисленной воды, и пузырьки газа, осаждаясь на элек-
тродах, будут искажать исследуемое поле. По электролиту проходит
переменный ток.
С помощью вспомогательного реостата Р, зонда (щупа) и индика-
тора нуля И можно снять семейство эквипотенциальных линий в поле.
С этой целью устанавливают движок реостата в каком-либо фиксиро-
ванном положении и, перемещая зонд (щуп) так, чтобы индикатор
показывал нуль, находят совокупность точек, потенциал которых равен
потенциалу движка реостата. Далее переме-
щают движок реостата в новое положение и
определяют координаты точек второй эквипо-
тенциали и т. д. Затем по семейству эквипотен-
циалей строят сетку силовых линий. При по-
строении последней руководствуются тем, что
силовые линии в любой точке поля должны
быть перпендикулярны эквипотенциалям, в том
числе и поверхностям электродов.
В электростатическом поле силовые линии
перпендикулярны поверхностям электродов.
В поле проводящей среды силовые линии,
строго говоря, не совсем перпендикулярны по-
Рис. 20.4 верхностям электродов. Но если проводимость
электродов будет во много раз больше прово-
димости электролита, то [см. формулу (20.12)] с большой степенью
точности можно считать, что силовые линии будут подходить к по-
верхностям электродов практически под прямым углом.
Моделирование двухмерных полей на твердой модели осуществляют
обычно на специально выпускаемой электропроводной бумаге (в обыч-
ную бумагу добавляют сажу или графит). Металлические электроды
ставят на бумагу и подводят к ним напряжение переменного или
постоянного тока. Ток проходит по бумаге. Семейство эквипотенциалей
снимают так же, как и в электролитической ванне.
§ 20.9. Соотношение между проводимостью и емкостью. Если
какие-либо электроды поместить в проводящую среду и присоединить
к источнику э. д. с., то в проводящей среде пойдет ток. Если напря-
жение между электродами 1 и 2 равно (/12 и по среде проходит ток /,
то проводимость между электродами 1 и 2G = HU12.
___* 2 _ _
Так как ток I = $ 6 dS = у § Ё' dS и U12 = \Е dl, то
y\EdS
G = ^
j Е dl
(20.13)
В свою очередь в электрическом поле с электродами такой же кон-
фигурации емкость между двумя частями электродов, на которых рас-
76
положены одинаковые по величине и противоположные по знаку
заряды Q, создающие поток ф вектора электрической индукции D
ф = Q _ D dS, будет:
п 8а f Е dS
С = ..(2О.и)
\Edl
*1
Если разделить (20.14) на (20.13), то после сокращения получим
С/6-8а/у, (20.15)
т. е. емкость С между двумя телами, разделенными диэлектриком
с абсолютной диэлектрической проницаемостью 8а, так относится
к проводимости G между теми же телами, .если поместить их в среду
с электрической проводимостью, у, как 8а относится к у.
Соотношение (20.15) позволяет по известному выражению емкости
между какими-либо телами получить выражение для проводимости
или совершить обратную операцию. Так, например, емкость двух-
проводной линии
C = (20.16)
In —
Г
где I — длина проводов; d — расстояние между осями проводов;
г — радиус провода.
Для того чтобы получить выражение для проводимости между
двумя параллельными проводами (цилиндрами), погруженными в среду
с проводимостью у, надо в со-
ответствии с (20.15) заменить
в (20.16) еа на у. Тогда полу-
чим
С = (20.17)
In (d/r) v 1
Или другой пример. Ем-
кость коаксиального кабеля
(рис. 20.5, а):
Проводимость между двумя соосными цилиндрами длиной /,
которые разделены средой с проводимостью у (рис. 20.5, б),
Р__ 2пу1
~~ '
Аналогию можно распространить и на более сложные поля. На-
пример, если в равномерное поле, созданное в среде с проводимостью
уе, поместить шар с проводимостью то в соответствии с (19.67)
потенциал внутри шара определим следующим образом:
ф. = фо + £о-|^_г.
77
§ 20.10. Общая характеристика задач расчета электрического
поля в проводящей среде и методов их решения. Так же как и задачи
электростатики, задачи расчета электрического поля в проводящей
среде можно классифицировать по характеру величины, которая опре-
деляется в результате расчета, на задачи, в которых определяют
точечные характеристики (плотность тока, потенциал), и задачи, в ко-
торых находят интегральные характеристики поля, например сопро-
тивление между электродами или напряжение между некоторыми
точками.
В зависимости от того, что задано и что определяется, все задачи
расчета электрического поля в проводящей среде можно разделить
на два основных типа.
В первом типе задач заданы форма и расположение электродов
(геометрия поля), свойства среды и интенсивность источников, соз-
дающих поле. Требуется найти либо точечные, либо интегральные
характеристики поля.
Второй тип задач является обратным по отношению к первому.
Одной из задач второго типа может быть, например, следующая: при
заданной точечной характеристике поля, заданной форме и располо-
жении электродов и свойствах среды найти интенсивность источников,
создающих это поле.
Задачи расчета электрического поля в проводящей среде могут
быть решены:
1) непосредственным интегрированием уравнений, описывающих
поле (см. примеры 200 и 202);
2) использованием аналитических решений для других статиче-
ских невихревых полей (см. примеры 204 и 203);
3) экспериментальным (см. § 20.8) или графическим путем; гра-
фический метод построения картины поля применительно к плоско-
параллельному электростатическому полю рассмотрен в § 19.44,
а к плоскомеридианному полю — в § 19.45; изложенная в этих пара-
графах методика пригодна и для построения картины плоскопарал-
лельного и плоскомеридианного электрического полей в проводящей
среде;
4) методом зеркальных изображений, в соответствии с аналогией,
рассмотренной в § 20.7, формулы для расчетных токов /2 и /3 в задаче,
дуальной задаче § 19.32, следуют из формул для т2 и т3, если в них 81а
заменить на а 82а — на у2. Метод применим и в том случае, когда
проводимость у2 = 0.
Применительно к электрическому полю проводящей среды вводят
понятия собственных и взаимных проводимостей тел, определяемых
по аналогии с собственными и взаимными емкостями тел (частичными
емкостями — см. § 19.34);
5) методом конформных преобразований (см. приложение И).
§ 20.11. Расчет электрического поля в диэлектрике, окружающем
проводники с токами. Принято считать, что картина электрического
поля в диэлектрике, окружающем проводники с токами, тождественна
картине электрического поля в условиях электростатики.
78
Строго говоря, это верно лишь приближенно, так как в условиях
электростатики тангенциальная составляющая напряженности элек-
трического поля на поверхности проводящего тела равна нулю, тогда
как при протекании постоянного тока по провод- <
нику тангенциальная составляющая напряжен-
ности электрического поля на поверхности про- s'/'
водника, хотя и очень мала по сравнению с нор-
мальной составляющей напряженности в той же ///^ 1
точке, но не равна нулю. На числовом примере | //
убедимся в том, что тангенциальная составляю- /
щая напряженности поля Et во много раз
меньше нормальной составляющей напряжен-
ности поля Еп.
Положим, что разность потенциалов U между Рис* 20,6
двумя параллельными токонесущими медными
шинами (рис. 20.6) равна 100 В, расстояние Ъ между шинами 2 см,
плотность тока 6 = 2,5-106 А/м2, у — 5,6-107 Ом^м"1. Тогда
4,46-Ю"2 В/м;
Еп = U/b -5-103 В/м; En/Et^ 1,12-105.
Пример 199. Определить ток утечки коаксиального кабеля на
1 км длины. Пространство между жилой и оболочкой заполнено неиде-
альным диэлектриком, который обладает проводимостью у =
= 10~8 Ом-1-м-1. Радиус жилы радиус оболочки г2 = егь где е —
основание натуральных логарифмов. Напряжение между жилой
и оболочкой 10 кВ.
Решение. Ток утечки I = UG. Проводимость
G =. = 2я'10-/'103 = 6,28 • 10-5 См.
In (Г2/Г!) 1
Ток утечки через несовершенную изоляцию I = 104-0,628-10“4 =
= 0,628 А/км.
Пример 200. Рассмотрим простейшую задачу расчета поля зазем-
ления. Подвод тока к земле производится с помощью погруженных
в землю заземлений. Ток стекает через заземлитель в землю и расте-
кается по ее толще, с тем чтобы собраться у другого электрода зазем-
лителя. Земля выполняет роль обратного провода.
Если погрузить в землю металлическую полусферу, через кото-
рую в землю стекает ток / (рис. 20.7), и принять, что второй электрод,
к которому* будет подтекать ток, находится очень далеко, то плот-
ность тока в земле на поверхности полусферы радиусом R будет
6=2^2 (поверхность сферы 4л/?2, поверхность полусферы 2л/?2).
Напряженность поля
р— 6 — 1
у 2rcyR2 *
79
Напряжение между двумя точками на поверхности земли (точки
1 и 2):
r2 r2
г j _ с F ________I С __________i__ (1_ _ _Ч _ 7 ( 1_____И
12 J К 2лу J R* 2лу \Я2 R1) 2лу \Л1 R2J’
На рис. 20.7 изображена кривая изменения потенциала на поверх-
ности земли.
Найдем напряжение между точками 1 и 2, расположенными на
расстоянии, примерно равном i
uZ
Заземлитель
/ Г 2
Рис. 20.7
наружным диаметром 5 см и
между трубами. Оси труб удал
Решение.
у человека (/?! = 22 м, Т?2 = 23 м).
Через заземлитель стекает ток
I — 1000 А (ток короткого за-
мыкания), проводимость земли
у = 10’2 Ом-1-м-1:
v 1 U
12 2лу Rz)
. 103 М М oi Q R
2л • 10-2 \22 23У^О1,У °*
Пример 201. В морскую воду при
г — 0,1 Ом1 -ми вертикально опу-
щены две металлические трубы
длиной 3 м. Найти проводимость G
епы на расстояние d — 25 м.
nyl _____ л • 10-1 -3 ______л • 0,3
In (d/r) Tn (25/0,025) 6,907
= 0,130 См.
Пример 202. Вывести формулу для определения проводимости
G между плоскостями и S2 проводящего тела проводимостью у,
имеющего форму клина (рис. 20.8).
Решение. Проводимость заштрихо-
ванного пояска высотой га, толщиной dr и
шириной Ь:
dG = y±dr^
аг
Проводимость
G = С — = ^1пг2 ф
a J г а
Пример 203. В пластинке из алюминия. (у^ = 3,57 • 107 Ом^-м-1)
создано равномерное электрическое поле напряженностьюЕо = 0,1 В/м.
Определить плотность тока в медном теле (у/ = 5,6 -107 Ом-1-м-1),
имеющем цилиндрическую форму и расположенном перпендикулярно
полю.
80
Решение. Воспользуемся формулой (19.72) и аналогией, рас-
смотренной в § 20.7:
! Е‘“ =°-78 l0J в/м;
6/ = у = 5,6. 107.0,78.10 1 = 43S. 10* А/м2.
Пример 204. Используя результат примера 195, вывести формулу
для определения проводимости заземления, выполненного в виде
стальной трубы длиной /, радиусом г,
забитой в землю перпендикулярно ее по-
верхности. Полагать, как и в примере 200,
что второй электрод находится в беско-
нечности, удельная проводимость земли у,
L/r> 1.
Решение. Картина поля заземли-
теля показана на рис. 20.9. Труба дли-
ной L, находящаяся в земле, на ри-
сунке дополнена такой же трубой, нахо-
дящейся в воздухе. Проводимость зазем-
ления равна половине проводимости трубы длиной 2L. В соответ-
ствии с примером 195
Q^; ~~ .
In 0,207
г
Вопросы для самопроверки
1. Почему уравнение 6 = у (Е + Естор) называют обобщенным законом Ома»
а также вторым законом Кирхгофа? 2. Почему несправедливо уравнение у2ср = 0
для поля, в котором проводимость у есть функция координат? 3. Обоснуйте возмож-
ность моделирования электростатического поля полем постоянного тока в прово-
дящей среде. 4. Каким образом можно приспособить аналитические- решения задач
электростатики для решения родственных задач в поле проводящей среды? Приве-
дите примеры. 5. Составьте аналоги трем группам формул Максвелла для поля по-
стоянного тока в проводящей среде. 6. Металлический шарик радиуса R окружен
7. В неоднородной проводящей среде
бесконечно протяженной проводящей средой с проводимостью у; с шарика в среду
стекает ток / (второй электрод в бесконечности); определите энергию в единицу вре-
, /2 \
мени, доставляемую источником (ответ: •
с проводимостью у (х, у, г) и диэлектрической проницаемостью е (х, у, г) обеспечи-
вается неизменное распределение плотности тока 6 (х, у, г). Определите объемное
распределение зарядов рСВоб (ответ: ргвоб — — ^grad еа — -а grad у у . 8. Решите
задачи 20.2; 20.6; 20.8; 20.11; 20.14; 20.17; 20.24-
ГЛАВА ДВАДЦАТЬ ПЕРВАЯ
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА
§ 21.1. Связь основных величин, характеризующих магнитное
поле. Механические силы в магнитном поле. Магнитное поле постоян-
ного тока это одна из компонент электромагнитного поля, не изменяю-
щегося во времени. Оно создается неизменными во времени токами,
81
протекающими по проводящим телам, неподвижным в пространстве
по отношению к наблюдателю. Хотя при протекании постоянных токов
имеется и вторая компонента электромагнитного поля, а именно элек-
трическое поле, но оно во времени не изменяется и потому не влияет
на магнитное поле. Благодаря этому магнитное поле постоянного
тока можно рассматривать независимо от электрического.
Магнитное поле характеризуется индукцией В, намагниченностью J
и напряженностью магнитного поля Н. Эти три величины связаны
соотношением:
В = |10(#+ (21.1)
где ц0— магнитная постоянная, в системе СИ равная 4л-1СН Гн/м;
р, — относительная магнитная проницаемость; ца — абсолютная маг*
нитная проницаемость.
Внешнее
однородное
поле
Рис. 21.1
Одним из основных проявлений магнитного поля является воз-
действие его на проводник с током, помещенный в это поле **. Опыт
показывает, что сила F, с которой магнитное поле действует на эле-
мент проводника длиной dl с током /, определяется следующим обра-
зом:
F = I[dlB]. (21.2)
Эта сила направлена перпендикулярно индукции в данной точке
поля и перпендикулярна элементу тока Idl (рис. 21.1, а).
Если индукция В и элемент длиной dl параллельны, то элемент
тока не испытывает механического воздействия со стороны магнит-
ного поля. Механическое воздействие магнитного поля на элемент
тока максимально, когда В и dl взаимно перпендикулярны.
Из (21.2) следует, что индукция — это силовая характеристика
поля, определенная при условии, что внесенный в данную точку поля
элемент тока / dl, расположенный перпендикулярно В, не исказил
магнитного поля, существовавшего до внесения в эту точку элемента
* Пояснения к формуле (21.1) см. в § 14.24.
** А в более общем случае воздействие его на движущийся заряд (§ 2.30).
82
тока. Другими словами, при оговоренном расположении элемента
тока индукция численно определяется так —
B = VimTdT(Idl)-^0.
Имея в виду это условие неискажения поля внесением элемента тока,
в соответствии с (21.2) говорят также, что индукция может быть опре-
делена как сила, действующая на проводник длиной dl, равной еди-
нице, если по нему протекает ток /, равный единице.
В СИ единицей измерения индукции является тесла (1 Т = 1В - с/м2)
в системе СГСМ — гаусс — Гс.
Механическое воздействие магнитного поля на ток можно пояс-
нить, исходя из представления о деформации силовых линий магнит-
ного поля' или из понятия о силах Лоренца (§ 2.30). Деформация
силовых линий иллюстрируется рис. 21.1, б — г. На рис. 21.1
изображены: б — силовые линии равномерного магнитного поля
до внесения в него провода с током; в — силовые линии уединенного
провода с током; г — силовые линии результирующего поля. Слева
от провода силовые линии собственного поля провода направлены
встречно силовым линиям внешнего равномерного поля, а справа —
согласно с ним. Поэтому результирующее поле слева от провода раз*
режено, а справа сгущено. Силовые линии, стремясь выпрямиться,
. производят давление на провод справа налево.
Обратим внимание на то, что силовая линия, показанная пункти-
ром на рис. 21.1, а, является как бы граничной между силовыми ли-
ниями, расположенными справа и слева от провода. В точке с этой
линии магнитная индукция равна нулю.
При взаимно перпендикулярном расположении магнитного поля
и провода с током направление действия силы часто определяют
по мнемоническому правилу, получившему название правила левой
руки; если расположить левую руку таким образом, что силовые линии
будут входить в ладонь, вытянутые пальцы направить по току, то
отогнутый большой палец покажет направление действующей силы.
Взаимодействие поля с током имеет место независимо от причин
возникновения магнитного поля, в результате ли протекания макрр-
токов в электрических контурах, или вследствие протекания микро-
токов в ферромагнитных материалах, или потока электронов в вакуум-
ном приборе и т. п. Оно наблюдается как в постоянном, так и в изме-
няющемся во времени поле *.
Пример 205. На рис. 21.1, д изображены два параллельных про-
вода, расстояние между которыми а = 10 см. По первому проводу
течет ток = 1000 А, по второму /2 = 500 А (направления токов
показаны стрелками). Определить силу взаимодействия между про-
водами на длине 1 м.
, г Решение. Воспользуемся формулой (21.2). Учтем, что угол
между элементом длины второго провода dl и индукцией В от левого
* В § 21.28 показано, что силу можно определить как производную от энер-
гии магнитного поля по изменяющейся координате контура с током.
83
провода равен 90°. Поэтому модуль векторного произведения [dl В]
равен dl В sin 90° = dl В.
Магнитная индукция, создаваемая первым проводом в точках,
где расположен второй провод, по закону полного тока В =
Сила
и 2ш/ ’
„ 1000.500 • 1,256 • 10-6. 1 t TJ
F =---------n 1 H,
2 л • 0,1
Под действием силы провода стремятся сблизиться.
§ 21.2 Интегральная форма закона полного тока. Количествен-
ная связь между циркуляцией вектора Я по замкнутому контуру и
током внутри контура определяется законом полного тока в интеграль-
ной форме — линейный интеграл от напряженности магнитного поля
вдоль любого замкнутого контура равен пол-
ному току, пронизывающему замкнутый кон-
тур:
§Hdl = I. (21.3)
Под полным током понимают весь ток
(ток проводимости и ток смещения), прони-
зывающий контур интегрирования.
Интегральную форму закона полного тока
применяют, когда может быть использована
симметрия в поле. Так, например, напряжен-
ность поля в некоторой точке А в поле уединенного прямого провода
с током I (рис. 21.2) по закону полного тока определяют следующим
образом. Проведем через точку А окружность радиусом В в плоскости,
перпендикулярной оси провода, так что центр ее находится на этой
оси. В силу симметрии напряженность поля во всех точках окруж-
ности численно одна и та же. Направление напряженности совпадает
с касательной к окружности. Поэтому
С увеличением радиуса 7? напряженность магнитного поля убы-
вает по гиперболическому закону.
Если какое-либо поле имеет сложный характер и не удается соста-
вить замкнутый контур, все точки которого находились бы в симмет-
ричных условиях, то хотя интегральная форма записи закона полного
тока справедлива и для такого контура, использовать ее для нахож-
дения напряженности в любой точке поля так просто не удается
(Я нельзя вынести из-под знака интеграла).
§ 21.3. Дифференциальная форма закона полного тока. Соотноше-
ние (21.3) пригодно для контура любых размеров, в том числе и для
весьма малого.
84
Выделим в какой-либо среде небольшой контур («жирно» обведен
на рис. 2L3) и составим вдоль него циркуляцию вектора Н. Цирку-
ляция напряженности поля вдоль этого контура равна току, прони-
зывающему обведенную площадь. ,
Если площадь мала, то можно полагать, что плотность тока б в пре-
делах этой площади одинакова и тогда ток, пронизывающий площадь,
Af — 6AS = 6nAS. Здесь бя — проекция вектора плотности тока б
на нормаль к площади, т. е. на направление AS; ф Н dl = бл AS.
За положительное направление нормали к площади принимают
направление движения острия правого винта, головка которого вра-
щается в направлении, принятом за поло-
жительное при обходе контура и составле-
нии циркуляции.
Разделим обе части равенства на AS и
устремим AS к нулю. Это будет соответ-
ствовать стягиванию рассматриваемой пло-
щади к нулю. Предел полученного отно-
шения
В левой части равенства находится величина, которая является
проекцией ротора Н на направление нормали к площади AS. Следо-
вательно, rotn Н = 8п.
Если площадь AS ориентировать в пространстве так, что напра-
вление нормали к ней совпадет с направлением вектора плотности
тока б в данной точке поля, то тогда вместо равенства проекций двух
векторов (rotn Н и 6Л) можно записать равенство самих векторовг
rot Н = бТ (21.4)
Формула (21.4) и представляет собой закон полного тока в диф-
ференциальной форме.
Ротор — это функция, характеризующая поле в рассматриваемой
тючке в отношении способности к образованию вихрей.
Уравнение (21.4) записано в общей форме, безотносительно к си-
стеме координат, и в каждой конкретной системе координат оно рас-
крывается по-своему.
§ 21.4. Раскрытие выражения rot// б в декартовой системе
координат. Р’авенство двух векторов rot Н и б означает, что равны
проекции их на ось х, проекции на ось у и проекции на ось г. Проек-
_ _ &Hdl
ция rot Н на ось z равна rotzH==^r^—, проекция вектора б на ось
z есть и т. д.
На рис. 21.4 в декартовой системе координат изображен малый
прямоугольный контур mnpq. Обойдем этот контур против часовой
85
стрелки и составим циркуляцию вектора Н\ при ее составлении необ-
ходимо учесть изменение вектора Н от точки к точке. Обозначим
проекции Н на оси х и у
точке т соответственно через Нх и НУ.
В точке п проекция на ось х изме-
нится по сравнению с проекцией в точ-
ке т и будет равной Hx-\-d-^~dx\ проек-
гг дн\
ция на ось у будет dx.
дНх Х дНу
В точке qHx+-^-dy и Hy + — dy.
В точке р +
дни
" ' dy + -^ dx.
v ‘ дх
составлении
тп и pq
дх
-dy и Ну + ~^
дНх дНх
~a—dy-[-^—dx и
ду а 1 дх
Ну+ ду
При
участках
«иксовые» составляющие И («игрековые»
циркуляции на
необходимо при- k
нимать во внимание лишь
составляющие перпендикулярны элементу пути).
Составляющую <§Н dl на участке тп находят как произведение
среднего значения «иксовой» составляющей напряженности на этом
участке на длину пути dx
в
— dx = (нх + 4 dx)dx-,
/ дНу 1 дНи \,
на участке пр IHу + dx + 7 dyfdy ;
на участке pq (нх + dy + jdx) (— dx);
/ 1 дНу \
на участке qm [Ну + ^- -gj-dy) (— dy).
Если просуммировать все составляющие циркуляции вдоль кон-
тура mnpq, то получим:
/дНу дНх\
-з----з— dx dy.
\ дх ду j J
В соответствии с определением проекции ротора на ось z разделим
циркуляцию на площадь dSz = dxdy, после чего проекция ротора на
направление оси г:
дНи
rot
* дх
дНх
ду
Аналогично,
_ дН2 дНи _> дНх дН.2
rotv// = -^-----И ГоП/7 = -д---------------Ч— = 6z/.
х ду dz х у dz дх у
Таким образом,
_ ^/дН, дНЛ _{дНх дНЛ -^/дНу дНх\
го1Н= i +/ +& -л^-чг-
\ ду dz ] 1 s \ dz дх ] 1 \дх ду J
(21.5)
86
§ 21.5. Запись ротора в виде векторного произведения. Формально
rot Н можно представить в виде векторного произведения оператора
пространственного дифференцирования v на вектор Н, т. е. rot Н =
- [уН].
В этом нетрудно убедиться путем непосредственного умножения v
на Н:
dy dz 1 \ dz
dHz\ ^[дНи дНх\
_ /дН
§ 21.6. Раскрытие rot Н в виде определителя в декартовой си-
стеме. Ротор любого вектора, используемого в теории электро-
магнитного поля, можно представить в виде определителя третьего
порядка.
Так, rot Н в декартовой системе записывают в виде следующего
определителя:
k
d
rotH-
i j k
A A A
dx dy dz
Hx Hy Hz
(21.6)
Непосредственное раскрытие определителя показывает, что полу-
чается выражение (21.5).
§ 21.7. Выражение проекций ротора в цилиндрической и сфериче-
ской системах координат. Без вывода приведем выражение проекций
ротора Н:
в цилиндрической системе координат:
в сферической системе координат:
87
§ 21.8. Принцип непрерывности магнитного потока и запись его
в дифференциальной форме. Магнитный поток есть поток вектора
магнитной индукции через некоторую поверхность: Ф = dS.
s
Индекс S под знаком интеграла свидетельствует о том, что интег-
рал взят по поверхности S. Если поверхность замкнута сама на себя
(например, поверхность шара), то поток, пронизывающий замкнутую
поверхность, Ф = ф BdS.
Опыт показывает, что вошедший внутрь любого объема магнит-
ный поток равен магнитному потоку, вышедшему из того же объема.
Следовательно, алгебраическая сумма вошедшего в объем и вышед-
шего из объема потоков равна нулю:
ф SdS = O. (21.9)
Выражение (21.9) представляет собой математическую запись прин-
ципа непрерывности магнитного потока.
Разделим обе части (21.9) на объем V, находящийся внутри замк-
нутой поверхности S, и найдем предел отношения, когда объем V
стремится к нулю:
&BdS
lim *' — =0 или divB = 0. (21.10)
V->0 v
Соотношение (21.10) можно трактовать как дифференциальную
форму принципа непрерывности магнитного потока. Оно пригодно для
любой точки магнитного поля. Следовательно, в любой точке этого
поля нет ни истока, ни стока линий вектора магнитной индукции.
Линии вектора В нигде не прерываются, они представляют собой замк-
нутые сами на себя линии (окружность — пример замкнутой на себя
линии).
Но линии Н в точках, где изменяется J (например, на границах сред с разными
р), прерывны. Это следует из (21.10): div В = div р0 (Н + .7) = 0. Отсюда div Н —
— —div J. Сопоставьте с прерывностью линии Е и непрерывностью линий D в элек-
трическом поле (см. § 19.39).
§ 21.9. Магнитное поле в областях «занятых» и «не занятых»
постоянным током. Вихревыми принято называть поля, ротор которых
отличен от нуля. Так как для магнитного поля постоянного тока
rot Н — б, то во всех точках пространства, где б Ф 0, поле вектора II
является вихревым. В областях пространства, где 6 = 0, rot Н = 0,
магнитное поле можно рассматривать как потенциальное.
§ 21.10. Скалярный потенциал магнитного поля. Для совокупности
точек, где 6 = 0, rot Я = 0, магнитное поле можно рассматривать
как потенциальное, т. е. как поле, каждая точка которого имеет ска-
лярный магнитный потенциал <рм. Следовательно, для таких областей
можно принять
н = — grad <рм.
(21.11)
88
Так как div В — div ра Н = 0, то при р,а = const div Я = 0.
Подставив в последнее выражение —grad <рм, вместо Я, получим
xiiv grad <рм = 0.
Таким образом, скалярный потенциал магнитного поля срм, о ко-
тором может идти речь только для областей, не занятых током, под-
чиняется уравнению Лапласа:
(21.12)
Разность скалярных магнитных потенциалов между точками 1 и 2
называют падением магнитного напряжения между точками 1 и 2
2 _
(см. стр. 352): Ям12 = (рм1 — (рм2 = $ Н dl.
1
Падение магнитного напряжения между точками 1 и 2 по какому-то
одному пути (например, по пути 132, рис. 21.5, а) равно падению маг-
нитного напряжения между теми же точками по какому-то другому
пути (например, по пути 142) в том случае, когда эти пути образуют
замкнутый контур, ток внутри которого равен нулю.
Если же замкнутый контур, образованный двумя путями, охваты-
вает некоторый ток, то падение магнитного напряжения по первому
пути не равно падению магнитного напряжения по второму пути —-
они будут различаться на величину тока, охваченного контуром. По-
следнее вытекает из закона полного тока. Так, применительно
к рис. 21.5, а § Hdl=^ § Я dl (ибо из закона полного тока следует,
152 __ 132
что § Н dl-}- § Hdl = — I, или § Я dl = — I-}- § Яdl), Следов а-
132 251 132 152
тельно, для того чтобы разность магнитных потенциалов между двумя
точками магнитного поля не зависела от пути, надо наложить запрет на
прохождение через контур (виток) с током, мысленно натянув на этот
контур некоторую пленку. При прохождении через эту пленку <рм
изменяется скачком на величину тока в контуре.
Следует различать понятия «падение магнитного напряжения» и
«магнитное напряжение». Первое определяется только линейным инте-
гралом от Я на dl по выбранному пути. Второе — не только этим
89
интегралом, но и м. д. с., имеющейся на пути (см. стр. 360). Здесь
имеется полная аналогия с понятиями «падение напряжения» и «на-
пряжение» в электрической цепи.
§ 21.11. Граничные условия. Подобно тому как в электростати-
ческом поле и в поле проводящей среды выполнялись определенные
граничные условия, в магнитном поле также имеют место аналогич-
ные условия:
Ни = Н2(; (21.13)
В1п = В2п. (21.14)
Условие (21.13) означает, что на границе раздела двух однородных
и изотропных сред, различных в магнитном отношении (различные ц),
равны тангенциальные составляющие векторов напряженности маг-
нитного поля.
Условие (21.14) свидетельствует о равенстве нормальных состав-
ляющих векторов магнитных индукций на границе раздела.
Условие (21.13) выводят путем составления линейного интеграла
dl по плоскому контуру mnpq (рис. 21.5, б) и приравнивания его
нулю (так как он не охватывает тока). Стороны пр и qtn ничтожно
малы по сравнению со сторонами тп и pq. Длину стороны тп и рав-
ную ей по величине длину стороны pq обозначим через dl. Тогда
HL sin cq dl — Н2 sin а2 dl = 0, но sin Н2 sin а2 = H2t9
следовательно Hlt = H2t.
Условие (21.13) не выполняется, если на поверхности раздела
двух сред протекает так называемый поверхностный ток. Под ним
понимают ток, протекающий по бесконечно тонкому плоскому про-
воднику, помещенному на границе раздела.
В этом случае <§Н dl будет равняться не нулю, а поверхностному
току edl, который оказался внутри замкнутого контура:
Нг sin од dl — Н2 sin a2dl = odl и в силу этого Hlt — H2t = о.
Другими словами, при наличии поверхностного тока с плотно-
стью о тангенциальная составляющая напряженности поля терпит
разрыв. Как правило, поверхностный ток отсутствует, и условие (21.13)
выполняется.
Равенство нормальных составляющих векторов магнитной индук-
ции следует из принципа непрерывности магнитного потока: ф К dS = 0.
Для того чтобы убедиться в справедливости (21.14), на границе
раздела выделим небольшой плоский параллелепипед и подсчитаем
потоки вектора В через нижнюю грань (рис. 21.6) —BlflAS и верх-
нюю B2nAS.
Сумма потоков равна нулю: —+ B2n&S = 0. Следова-
тельно, В1п = В2П.
Из (21.13) и (21.14) вытекает соотношение
= W? (21 15)
tg«2 Паа" 1
90
Оно дает связь между углом падения cq и углом преломления а2
(см. рис. 21.5, б). Если магнитные силовые линии выходят из среды
с большой магнитной проницаемостью, например ц1а = 104 ц0, в среду
с малой магнитной проницаемостью, например в воздух ц2а = р,0, то
= Ю4 И tgcc2= lO-Mgaj.
Следовательно, угол а2 много меньше
угла аг.
Пример 206. Найти угол а2, под которым
силовые линии выходят в среду с магнитной
проницаемостью р2а, если угол cq — 89°;
Pla = 104 р0, Ц2а = р0.
Решение, tgc^ = tg 89° = 57,29; tg а2 =
= и? tg ссх = IO-4 tg ах = 0,005729; а2 = 20'.
§21.12. Векторный потенциал магнитного поля. Для расчета
магнитных полей широко используют векторный потенциал, или век-
тор-потенциал магнитного поля. Его обозначают А, Это векторная
величина, плавно изменяющаяся ог точки к точке, ротор которой ра-
вен магнитной индукции:
В = rot А. (21.16)
Основанием для представления индукции в виде ротора от вектора-
потенциала служит то, что дивергенция любого ротора тождественно
равна нулю.
Известно, что в магнитном поле div В = 0. Подстановка в это
равенство rot А вместо В дает выражение, тождественно равное нулю:
div rot А = 0.
Равенство нулю div rot А можно пояснить с помощью оператора?. С этой целью
вместо rot Л запишем [ГЛ]. Тогда div rot А = V [ГЛ]. Векторное произведение
[ГЛ] перпендикулярно и к V и к А. Скалярное произведение V на [ГЛ], т. е. Г[ГЛ],
равно нулю потому, что равен нулю косинус угла между V и [ГЛ].
Если вектор-потенциал как функция координат известен, то ин-
дукцию в любой точке поля определяют путем нахождения ротора от
вектора-потенциала в соответствии с (21.16). В отличие от скаляр-
ного магнитного потенциала <рм, пользоваться которым можно только
для областей, не занятых током (см. § 21.10), векторным потенциалом
можно пользоваться как для областей, не занятых током, так и для
областей, занятых током.
В электротехнических расчетах векторный потенциал применяют
для двух целей'. 1) определения магнитной индукции с помощью фор-
мулы (21.16); 2) определения магнитного потока, пронизывающего
какой-либо контур (см. § 21.14).
Векторный потенциал в произвольной точке поля связан с плот-
ностью тока в этой же точке уравнением Пуассона.
91
§ 21.13. Уравнение Пуассона для вектора-потенциала. Умножим
обе части (21.4) на магнитную проницаемость среды ра:
ра rot Н = раб.
Условимся, что будем иметь дело с полями, которые можно под-
разделить на отдельные области, так что магнитные проницаемости ра
в каждой отдельной области постоянны. Если ра постоянна, то ее
можно подвести под знак ротора:
rot ра Н = rot В = р,а6. (21.17)
В (21.17) вместо В подставим rot Л, тогда
rot rot Л == раб. (21.18)
Операция взятия ротора от ротора есть по сути дела операция
раскрытия двойного векторного произведения и выполняется так:
rot rot Л - [V [VЛ]] = grad div Л - VM - раб. (21.19)
Из курса математики известно, что двойное векторное произведение раскры-
вается следующим образом: [а [Ь с]] = b (ас) — с (а Ь).
В данном случае роль векторов а и b играет оператор V, а роль вектора с —
вектор-потенциал Л. Таким образом, [V[Vy4]J ~ V (ГЛ) — Л (VV) = grad div Л —
— Г2Л.
До сих пор к вектору-потенциалу никаких дополнительных требо-
ваний не предъявлялось, если не считать того, что он должен быть
функцией, имеющей пространственные производные. Так как Л есть
расчетная функция, то в магнитном поле постоянного тока ее можно
подчинить требованию:
div Л =0. (21.20)
Это требование означает, что линии вектора Л есть замкнутые
сами на себя линии. С учетом (21.20) уравнение (21.19) приобретает
вид:
—раб. (21.21)
Уравнение (21.21) представляет собой уравнение Пуассона. В от-
личие от (19.26), составленного относительно скалярной величины <р,
уравнение (21.21) составлено относительно векторной величины.
Вместо Л в (21.21) подставим iAx + jAy + kAz и плотность тока заме-
ним на 1ЬХ +' j8y + Д:
^ЧАХ + \2jA у + ИЛг = — ЦаД — ра/А —
Последнее уравнение разбивается на три уравнения, составленные
относительно скалярных величин Ах, Ау, Az\
Г2ЛХ = — рД;
72Л^-ИД;
= — рД.
92
Общее решение их по аналогии с решением уравнения (19.26)
записывают так:
л'=ёО4тг; <21-22>
V
< На С 8ц dV
<21-22а>
V
<21-22б>
V
Если (21.22) умножить на i, (21.22а) — на и (21.226) — на fe и
сложить, то получим
u С (i^x+7^u+k^)dV
iAx+jAu+kAg=^ .................... >
J V
или
X = (21.23)
4jT J i\
V
Единицей измерения для А является В-с/м.
Формула (21.23) дает общее решение уравнения (21.21). Вектор-
потенциал в любой точке поля может быть определен путем вычисле-
ния объемного интеграла (21.23). Последний должен быть взят по
всем областям, занятым током.
Несмотря на то что формула (21.23) дает общее решение, пользо-
ваться ею в дальнейшем будем редко ввиду того, что взятие интеграла
правой части формулы сопряжено обычно со значительными математи-
ческими выкладками.
§ 21.14. Выражение магнитного потока через циркуляцию вектора-
потенциала. Магнитный поток, пронизывающий какую-либо повёрх-
НОСТЬ S’ Ф= [В dS. (21.24)
Так как В = rot Л, то Ф= §rot A dS.
s
На основании теоремы Стокса поверхностный интеграл может быть
преобразован в линейный:
$ roti A dl. (21.25)
s
Таким образом,
фЦЖ (21.26)
Другими словами, для определения магнитного потока, пронизы-
вающего некоторую площадь (поверхность) S, необходимо подсчитать
циркуляцию вектора потенциала по замкнутому контуру, на который
опирается поверхность S.
93-
Определение потока по (21.26) часто имеет преимущества по срав.
нению с определением потока через магнитную индукцию по (21.24)^
Соотношением (21.24) можно пользоваться в том случае, когда из.
вестно значение В в любой точке поверхности S, тогда как для вы-
числения потока с помощью соотношения (21.26) достаточно знать
значение А на контуре и не требуется знание А в точках внутри кон-
тура. _ _
Переход от § rot A dS к интегралу ф A dl можно пояснить следую-
s
щим образом.
Разобьем площадь S на элементарные площадки (рис. 21.7). Заме-
ним интеграл суммой и под интегралом вместо rot А подставим в со-
С Д d/
ответствии с определением ротора Ф-ду
(предел опущен), тогда
у roti
S
Таким образом, для вычисления J rot Я dS
необходимо найти составляющие циркуляции
вектора А по контурам всех элементарных
площадок и затем сложить их. Так как при
составлении циркуляции обход участков, являющихся смежными
между какими-либо двумя соседними площадками, совершается
дважды и притом в противоположных направлениях, то составляю-
щие циркуляции на всех смежных участках взаимно уничтожаются
и остается циркуляция только по периферийному контуру mnpq'.
по контуру
mnpq
Рассмотрим граничные условия для векторного потенциала.
Если к плоскому контуру на границе раздела двух сред (подобно
изображенному на рис. 21.5, б и у которого размер пр-> 0) приме-
нить (21.26) и учесть, что поток через этот контур равен нулю, то полу-
чим граничное условие для тангенциальной составляющей вектора А
^1/ — ^2/»
Нормальная составляющая вектора А в постоянном магнитном
поле тоже непрерывна, т. е. Ain = А2п- Это следует из того, что для
этого поля div А = 0.
Рис. 21.7
Но для переменного электромагнитного поля div Д = — [см. формулу (26.12)],
поэтому для синусоидального поля при использовании нормировки Лоренца
А»—
94
§ 21.15. Векторный потенциал элемента тока. Определим величину
и направление составляющей векторного потенциала А, создаваемой
током протекающим по элементу линейного про-
водника длиной dl. Пусть расстояние от элемента
тока до произвольной точки пространства обозначено
через R (рис. 21.8) (R ^>dl). В соответствии с общим
выражением
dA=?*~, Bo8dV=6dSdl = iZl,
Д-тг 7 7
где dS — площадь
Следовательно,
поперечного сечения проводника.
Рис. 21.8
dA ==Ь^.
4лЯ
(21.27)
Составляющая векторного потенциала от элемента тока имеет такое
же направление в пространстве, как и ток в элементе проводника.
Пример 207. Вывести формулы для определе-
ния А и В в поле кругового витка (рис. 21.9) ра-
диусом г0 с током Z, находящегося в плоскости хоу.
Решение. От элемента тока idl (он состав-
ляет угол а с осью у) в произвольной точке М, уда-
ленной от оси z на расстояние р и на Z от плоско-
сти хоу, если полагать, что расстояние R велико
по сравнению с линейными размерами поперечного
сечения проводника, составляющая векторного
потенциала определится формулой (21.27).
Полное значение
"Т__iw £
4л R ’
Рис. 21.9
нус — функция нечетная, а
а-компоненты:
Разложив dl на две проекции: dl± = dl sin а и
dl2 — dl cos а и учитывая, что dl — roda и что си-
косинус — четная, убеждаемся в наличии у А только
А = ос0Ла — а0
2Л
paZ С r0 cos a da t
4л J R 9
0
R = (Z2 + r2 + p2 - 2pr0 cos a)1/2;
= [(l-(W)K-AT
«I l/v \ J
Здесь К и N — полные эллиптические интегралы первого и второго рода —
функции табулированные:
К= Г ---— = ^/1+2а + 9а2 + 50аз+1^а4+.. V
J (1 —Л2 sin2 Р)1/2 2\ 4 )
л/2
N= J (1—Л2 sin2 Р)1/2 =-^ ^1—2a—3a2—10a3-^a*-..J
о
f-V--
95
На основании формул (21.16) и (21.7), заменив в них Яна Л и опустив выкладки,
получим проекции индукции В в точке М на оси а, г, г цилиндрической системы ко-
ординат: Ва = 0;
вг=1-Ь.--------z_ Г_ /<+ z°+p2+Z2 Л.
2лр [(r0-bp)2 + Z2J1/2 | (r0-p)2 + Z2 J
Вг=--------—--------— Где-(-/о~Рг-.г2. Л
2л [(г» + Р)2 + 22]1/2 L (r0-p)2 + Z2 J
§ 21.16. Взаимное соответствие электростатического (электриче-
ского) и магнитного полей. Между картинами электростатического
и магнитного полей постоянного тока в областях, не занятых током,
может быть соответствие двух типов.
Первый тип соответствия — когда одинаково распределение ли-
нейных зарядов в электростатическом поле и линейных токов в магнит-
Силовые линии Силовые линии
Эквипотенциали Зквипотенциали
а) 6)
Рис. 21.10
ном поле. В этом случае
картина магнитного по-
ля (сетка поля) подобна
карт ине соответств у ю-
щего электростатического поля. Отличие состоит лишь в том, что си-
ловым линиям электростатического поля отвечают эквипотенциальные
линии магнитного поля, а эквипотенциалям электростатического
поля соответствуют силовые линии магнитного.
В качестве примера на рис. 21.10, а изображена картина электри-
ческого поля, образованного уединенным линейным зарядом -|-т,
а на рис. 21.10, б — картина магнитного поля уединенного проводника
с током (для области вне проводника).
Второй тип соответствия — когда одинакова форма граничных
эквипотенциальных поверхностей в электростатическом поле и в маг-
нитном поле постоянного тока. В этом случае картина поля оказы-
вается совершенно одинаковой.
Соответствие второго типа показано на рис. 21.11. На нем изобра-
жена картина магнитного поля в воздушном промежутке между по-
люсом и якорем машины постоянного тока (обмотки не показаны).
Если допустить, что полюс и якорь этой машины используются в ка-
честве электродов некоторого конденсатора, то картина электриче-
ского поля в воздушном промежутке между электродами соответст-
вовала бы картине магнитного поля — в обоих случаях силовые ли-
96
нии выходили бы из полюса и входили бы в якорь нормально к поверх-
ности полюса и якоря.
§ 21.17. Задачи расчета магнитных полей. Рассмотрим некоторые
типы задач расчета магнитных полей.
Первый тип задач — определение индуктивности какого-либо кон-
тура или взаимной индуктивности двух контуров.
Второй тип задач — определение сил, действующих в магнитном
поле на движущийся электрон, неподвижный проводник с током, фер-
ромагнитные массы в магнитном поле.
Третий тип задач — расчет поля, создаваемого заданным распре-
делением токов в пространстве.
Четвертый тип задач — расчет магнитных экранов. Магнитными
экранами называют устройства, предназначенные для ослабления
магнитного поля в заданной области пространства по сравнению с маг-
нитным полем вне экрана. К магнитной экранировке прибегают,
например, для защиты чувствительных приборов от влияния посторон-
них магнитных полей, в частности от влияния магнитного поля Земли.
Пятый тип задач — нахождение распределения токов в некотором
объеме для получения заданной картины магнитного поля. Так, на-
пример, в морском деле большое значение имеет дегауссировка кораб-
лей: корабль, обладая большой ферромагнитной массой, возмущает
магнитное поле Земли не только в непосредственной близости от себя,
но и на достаточно большом расстоянии. Соответствующие индикаторы
на возмущение магнитного поля Земли могут привести в действие на-
ходящиеся поблизости самодвижущиеся мины (имеются в виду усло-
вия военного времени), и в результате корабль может оказаться подор-
ванным. Чтобы этого не случилось, на кораблях устанавливают спе-
циальные намагничивающие обмотки, которые располагают таким
образом, чтобы скомпенсировать возмущение магнитного поля Земли
вблизи корабля.
Много различных задач на расчет магнитных полей возникает
при магнитной записи звука, а также при магнитной дефектоскопии.
Магнитная дефектоскопия позволяет по картине магнитного поля
судить о наличии раковин, трещин и других дефектов в изделиях из
ферромагнитных материалов. Широко распространена она на желез-
нодорожном транспорте при контроле целостности рельсов железно-
дорожного пути. Широкое распространение ее объясняется экономич-
ностью и быстротой осуществления контроля.
§ 21.18. Общая характеристика методов расчета и исследования
магнитных полей. Методы расчета и исследования магнитных полей
можно подразделить на три группы: аналитическую, графическую и
экспериментальную.
Группа аналитических методов объединяет все чисто аналитиче-
ского порядка приемы интегрирования уравнения Пуассона (для
областей, занятых током), уравнения Лапласа (для областей, не заня-
тых током), применение методов зеркальных и конформных отобра-
жений и др.
4 Зак. 1730
97
В силу трудностей математического характера классические ана-
литические методы позволяют решать относительно небольшой круг
задач.
В тех случаях, когда расчет поля аналитическими методами вызы-
вает затруднения, прибегают к графическому методу построения кар-
тины поля или к исследованию магнитного поля на модели. Графиче-
ские методы построения картины поля применимы к двухмерным без-
вихревым полям.
За последние годы был развит метод интегральных уравнений (см.
приложение 3), предполагающий использование ЭВМ и значительно
расширяющий круг решаемых задач.
§ 21.19. Опытное исследование картины магнитного поля. Опытное
исследование картины магнитного поля производят различными ме-
тодами.
Первый метод основан на явлении электромагнитной индукции и
состоит в следующем. Плоскую очень малых размеров рамку с намо-
танной на нее обмоткой
помещают в исследуемую
область поля -и соединяют
с баллистическим гальва-
нометром. При коммутации
тока в обмотках аппарата
(или машины), поле в воз-
душном зазоре которого
исследуется, или при быст-
ром удалении рамки в об-
ласть, где магнитное поле
заведомо слабое (в послед-
нем случае ток в обмотках
не переключается), изме-
ряют количество электри-
чества, протекшее по бал-
листическому гальваномет-
ру, и по нему судят о среднем значении индукции в рамке. Затем
рамку помещают в другую точку поля и снова определяют индук-
цию и т. д. Этот метод дает возможность исследовать магнитные поля
практически любой конфигурации в пространстве вне ферромагне-
тиков.
Второй метод исследования безвихревого поля — метод модели-
рования полями тока в проводящей, среде — основан на аналогии
между полем в проводящей среде и магнитным безвихревым полем.
Он состоит в следующем. Для снятия картины плоскопараллельного
поля в воздушном зазоре какого-либо аппарата или машины из листа
металла (например, из стального листа) изготовляют увеличенную
модель исследуемого участка поля. Так, на рис. 21.12 изображена
модель для исследования поля рассеяния между полюсами машины
постоянного тока. Так как м. д. с. распределена вдоль полюса, то
подвод тока к краю полюса производится от нескольких припаянных
98
к листу проводов. Токи в них могут регулироваться и этим может
задаваться закон распределения м. д. с. по высоте полюса. Отвод тока
от линии тп, являющейся эквипотенциальной, производится с помо-
щью массивной проводящей колодки.
Щуп и индикатор И служат для построения эквипотенциален
в поле проводящей среды.
Третий метод — применение датчиков Холла.
Качественное исследование магнитного поля часто производят с по-
мощью стальных опилок, которые насыпают на плоский лист из не-
ферромагнитного материала, помещают в магнитное поле и слегка по
листу постукивают. Опилки расположатся вдоль силовых линий. По
густоте силовых линий можно качественно судить об интенсивности
магнитного поля.
Вместо опилок нередко используют мельчайшие порошки окислов
железа, находящихся во взвешенном состоянии в какой-либо жид-
кости, например керосине. Этот способ широко применяют при маг-
нитной дефектоскопии изделий из ферромагнитных материалов.
§ 21.20. Графическое построение картины поля и определение по
ней магнитного сопротивления. Рассмотрим методику графического
построения картины плоскопараллельного магнитного поля на кон-
кретном примере.
На рис. 21.11 изображены полюс и якорь машины постоянного тока.
Размер, перпендикулярный рисунку, принят достаточно большим —
только при этом условии поле можно считать плоскопарал-
лельным.
Так как магнитная проницаемость стали много больше магнитной
проницаемости воздуха, то магнитные силовые линии практически
перпендикулярны поверхности полюса и якоря. Следовательно, их
поверхности являются эквипотенциальными. Построение семейства
силовых и эквипотенциальных линий производят «на глаз», руковод-
ствуясь следующим: силовые линии должны быть перпендикулярны
поверхностям полюса и якоря и так расположены по отношению друг
к другу, чтобы после проведения эквипотенциалей образовались кри-
волинейные прямоугольники, для которых отношение средней ши-
рины b к средней длине а было приблизительно одинаково для всех
прямоугольников. При первом построении это, возможно, не удастся
сделать достаточно хорошо, но после нескольких попыток, особенно
при наличии некоторого навыка и с учетом симметрии в поле (если она
имеется), удается построить сетку поля так, что b-Ja-L = b2/a2 ’==
~ bja3 — ...
При этом потоки во всех силовых трубках одинаковы. Это облег-
чает подсчет магнитного сопротивления.
Пусть число криволинейных прямоугольников в силовой трубке
равно и, а число трубок — т (для рис. 21.11 и = 2 и /и = 11).
Магнитное напряжение между полюсом и якорем:
п
= \ Н dl Н1а1 4- Н2а2 4- Н3а3 Ц-... = Н ^а^
k — \
4*
99
В свою очередь поток в одной силовой трубке:
ДФ = 1Ь1[к&Н1 = =...,
где / — размер в направлении, перпендикулярном чертежу; ра —
магнитная проницаемость воздуха (равна ц0).
Следовательно,
тт АФ „ ДФ
Hi = --- и т. д.
1 1Ь^а 2 /Ь2ра
Магнитное напряжение
По построению все слагаемые (ajb^ a2/b2 и т. д.) одинаковы.
Число слагаемых равно п. Поэтому
С7М =
Отсюда
ДФ а
~т
|.iaZ b
ДФ = Р'м^/Ь
па
Поскольку для всех прямоугольников b/a const, то построения
оказались осуществлены так, что потоки ДФ во всех силовых трубках
одинаковы. Полный поток с якоря на полюс
ф = т\Ф = и^1~ — ,
мГа а п ’
где т — число силовых трубок.
Магнитное сопротивление
п ____ <4 __
“ Ф рй1Ьт'
Магнитная проводимость
____________________________palbm
(21.28)
(21.29)
Графический метод построения картины поля применяют не только
для расчета магнитных полей, но и для других безвихревых полей:
для расчета электростатического поля и поля'постоянного тока в про-
водящей среде. Так, электрическую проводимость G между двумя
телами определяют по формуле (21.30), которую получают из формулы
(21.29), заменив ца на у:
6 = Х^. (21.30)
Емкость между двумя телами в плоскопараллельном поле (см.
§ 19.44):
с = (21.31)
1С0
§ 21.21. Магнитное экранирование. Положим, что в равномерном
магнитном поле напряженностью Яо надо заэкранировать некоторую
область пространства, например цилиндрическую, так, чтобы напря-
женность поля в ней была во много раз меньше, чем напряженность
внешнего поля.
Цил ин др ический экран
внутренним радиусом а и на-
ружным b имеет относитель-
ную магнитную проницае-
мость р2 (рис. 21.13, а). Внут-
реннюю область обозначим /,
область тела экрана — //, об-
ласть снаружи экрана— III.
В областях / и III отно-
сительная магнитная про-
ницаемость равна единице.
Так как во всех трех обла-
стях нет тока, то магнитное
поле в них описывается урав-
нением Лапласа V2<pM = 0.
протяженным вдоль оси z (ось z
Экран будем полагать достаточно
перпендикулярна чертежу); фм зависит только от координат г и а
цилиндрической системы. Раскроем уравнение V2<pM = 0 в цилиндри-
ческой системе: •
V2<pM
^Фм _п
Решение его методом Фурье (см. § 19.39) дает:
для первой области
ср* = [СуГ 4-cos а;
• М \ А ‘ 7 j
для второй области
<Рм =(c3r + y)cos а;
для третьей области
+ а.
V * J
Постоянная интегрирования, с точностью до которой определяется
потенциал, принята здесь равной нулю..
Для определения шести постоянных (Ci — С6) составим шесть
уравнений.
1. Сопоставим ср”1 с выражением «на бесконечности» <рм = Hor cos а.
Из сопоставления находим, что С$ = Но.
2. В первой области при г = 0 <рм должно оставаться конечным.
Это может быть только в том случае, если в выражении будет отсут-
ствовать слагаемое С2/г. Оно будет отсутствовать при С2 = 0.
101
3. Равенство ip* и ф” при г = а дает уравнение: С±а —
Нетрудно убедиться в том, что условие непрерывности потенциала
эквивалентно условию равенства тангенциальных составляющих на-
пряженности поля на границе раздела при г = а. Действительно *,
н — д(Р^
а г da ‘
Следовательно, Н1а = — Сх sin а и На = — sin а (сз + -Л.
г=а г=а \ а '
Таким образом, С1 = С3~{-^.
Последнее уравнение совпадает с полученным ранее.
4. Равенство <рм на границе между второй и третьей (при г = Ь)
областями приводит к уравнению
5. Равенство нормальных составляющих индукции: Вг — —
на границе между первой и второй областями (при г = а):
6. Равенство нормальных составляющих индукции при г = Ъ
дает уравнение
с — (с — —4Vi
Совместное решение всех уравнений приводит к выражению потен-
циала в первой области:
Фм==//0^- г cos а,
или при переходе к декартовой системе координат (ось х направлена
вверх, х ~ г cos ос):
<&=Н0^х. (21.32)
Здесь
А = Ь2-02а2, р =
О+Р2)2 Р-2 P2+I
Напряженность поля в первой области (по модулю):
(21.33)
* Напомним, что Н = —grad <рм. Формулы, позволяющие определить На и
Нг через <рм, следуют из соотношения (19.9) на стр. 12.
102
Отношение напряженности поля внутри экрана к напряженности
внешнего поля Яо:
Я1 4 &
Но Д |и2 •—а2 ’
(21.34)
Формула (21.34) приближенна (принято (3 = 1 и q = 2/pi2). Из нее
можно заключить, что чем больше ц2 и чем толще стенка экрана, тем
сильнее его экранирующее действие.
На рис. 21.13, б качественно показана картина линий магнитной
индукции при наличии экрана. Из рисунка видно, что силовые линии
магнитного поля в большинстве стремятся пройти по стенкам экрана
и лишь небольшая часть их заходит в экранируемую область.
Пример 208. р2 = 104; а = 5 см; b = 5,5 см. Найти отношение
Решение.
Я1 __ 4 5,52
7/0 “ 1(Н 5,52—52
0,0023,
т. е. напряженность поля внутри экрана составляет всего 0,23% от
напряженности Яо.
Без вывода запишем формулу для определения отношения напряженности поля
внутри сферического экрана Hi к напряженности равномерного поля /Уо, в кото-
рое помещен экран, полагая, что внутренний радиус экрана 7?i, наружный и
что экран имеет относительную магнитную проницаемость ц2 1> а снаружи эк-
рана ца = ц0:
Н_1
Но
1
§ 21.22. Эллипсоид во внешнем однородном поле. Коэффициент размагничи-
вания. Поместим в однородное магнитное поле напряженностью Не ферромагнит-
ный эллипсоид относительной магнитной проницаемостью ц. Поле в нем будет одно-
родным. Напряженность поля в эллипсоиде Н[ можно определить на основании
принципа наложения как разность напряженности внешнего поля Не и напря-
женности поля расчетных магнитных зарядов на поверхности эллипсоида, равной
NJ (подобно тому, как в поляризованном диэлектрике поверхностная плотность
заряда равна вектору поляризации Р — см. § 19.13):
Hi = He — NJt (21’35)
где N — некоторый коэффициент, пропорциональности, называемый коэффициентом
размагничивания.
Оси эллипсоида обозначим а, Ь, с. Вдоль направления каждой оси свой коэффи-
циент: Na — вдоль оси п; Nb — вдоль оси b\ Nc — вдоль оси с. Между ними имеет
место зависимость Na + Nb + Nc = 1* Для шаРа На'= Hb = Nc = V3.
Положим, что Не направлена вдоль оси а, а размеры осей b и с одинаковы, тогда
Hi^He-Nar. (21.35')
Но из соотношения В — ц0 (Н + J) = следует, что
7=(и-1)Яг. (21.36)
Подставим (21.36) в (21.35'):
"'-щйй? <2,37>
103
Когда ось а эллипсоида расположена вдоль внешнего поля,
* j ( 1 j I Ч~ ш 1 \ -ж /~ 1 №
- ’"га-1;-где т=]/
Когда ось а эллипсоида расположена перпендикулярно внешнему полю,
w«=ra-(1-^arctg")> где П==]/Л£-1-
Вывод формул Na дан, например, в [17],
§ 21.23. Применение метода зеркальных изображений. Для рас-
чета магнитных полей, создаваемых линейными токами, протекающими
вблизи стальных масс, широко применяют метод зеркальных изобра-
жений. Допустим, что в воздухе или в какой-либо другой среде с маг-
нитной проницаемостью параллельно плоскости раздела сред про-
ходит провод с током 1г (рис. 21.14, а).
0
Л/ а
а)
Вторая среда пусть имеет магнитную проницаемость р2, Требуется
найти напряженность поля в любой точке первой и второй сред.
С этой целью в расчет вводят фиктивные или расчетные токи /2 и /3.
Провод с током /2 помещают зеркально по отношению к проводу
с заданным током /х, а провод с током /3 помешают там, где располо-
жен провод с током 7Х.
Двумя пока неизвестными токами /2 и /3 распорядимся таким об-
разом, чтобы удовлетворить двум граничным условиям на границе
раздела сред.
Поле в верхнем полупространстве (там, где расположен ток 1± —
рис. 21.14, б) определится от двух токов: от заданного /х и фиктив-
ного /2, причем и верхнее и нижнее полупространства при этом запол-
няет среда с магнитной проницаемостью рх. Поле в любой точке ниж-
него полупространства определится током /3, а верхнее и нижнее про-
странства имеют ц = р2 (рис. 21.14, в). Составим уравнения для
определения токов /2 и /3. Если взять произвольную точку а на гра-
нице раздела сред, то ее можно считать принадлежащей как первой,
так и второй средам. Если считать ее принадлежащей первой среде,
то тангенциальная составляющая напряженности поля в ней будет
104
соответствовать левой части уравнения (21.38'), а если второй среде,
то правой части (21.38'):
К’ 2^)COSa = 2nRCOSa’ (21.38')
Отсюда получим первую связь между токами: Д — /2 = /3.
Для получения второй связи составим уравнение, выражающее
собой равенство нормальных составляющих магнитной индукции
в произвольной точке а на границе раздела:
[ /2 , Л \ • 13
. (^ + адМ51па = ад?Н281па,
т. е.
Л + Л = /з^- (21.38")
Совместное решение дает:
г Ра—М г . г .
2 Н1+|*2 3 ‘
Пример 209. Найти напряженности поля в точках тип
(рис. 21.15, а). Геометрические размеры в сантиметрах даны на ри-
сунке. Магнитные проницаемости = 1; ц2 = 999; /х = 10 А.
Решение. По формулам § 21.23 находим:
7 Р2-Н / 9 98 А; /3 = - Д11 Л = 0,02А.
М1Ч-и2 1 3 Р14-ц2 1
Для определения напряженности поля в точке т, расположенной
в том же полупространстве (среде), что и ток /ъ служит рис. 21.15, б:
Нт - /Д + Н2,
По закону полного тока
Нг = -о~ = ПГМ = 79,5 А/м;
1 2л/?! 2л • 0,02 ’ ' ’
rj 9,98 О(- . Л
^2 = 2л • 4,48 • 10-2 = 35>4 А/М.
105
Графическим путем находим Нт — 101 А/м. Напряженность поля
в точке п (рис. 21.15, в):
“ 2^- = и. . А/м-
На рис. 21.16, а качественно изображена картина линий магнит-
ной индукции В для случая, когда провод с током проходит в воздухе
параллельно поверхности стальной
а)
плиты; на рис. 21.16,6 — когда
провод с током проходит через
узкий канал в стальной плите па-
раллельно поверхности плиты.
Пример 210. По длинно-
му биметаллическому проводу
(рис. 21.17) протекает постоян-
ный ток I, Радиус внутреннего
Рис. 21.16
провода наружного — г2. Проводимость внутреннего наруж-
ного — у2. Определить закон изменения векторного потенциала А
и магнитной индукции внутри провода (во внутренней I и наруж-
ной II областях и вне провода — область III).
Решение. Определим плотности тока в первой и во второй б2
областях. Так как Еу = E2t, то = 62/у2. Кроме того
61П/14- 62 (яд! — яг;) = I.
Следовательно,
6
1 =--------------------- и &г = бЖ
При раскрытии выражения 572Л в цилиндрической системе коор-
динат учтем, что в данной задаче А имеет только одну составляющую
106
JL
г ' dr \ dr j
== zQAz = 2еЛ, направленную по оси провода (по оси г), и эта со-
ставляющая зависит только от г:
— И1Л для первой области;
— НгЛ для второй области;
О для третьей области.
Двукратное интегрирование по г дает:
Лщ =Сб1пг + С6.
Слагаемое С3 In г должно отсутствовать, так как А не может при-
нимать бесконечно больших значений при г = 0; отсюда следует,
что Ct = 0.
Вектор-потенциал определяется с точностью до постоянной. При-
мем эту постоянную равной нулю: С2 = 0. При этом на оси провода
А = 0. Из граничных условий составим уравнения для определения
оставшихся четырех постоянных.
1. При г = Zi Ai = Ли, следовательно,
- WgM = _ ikoM + Сз in Г1 + с4.
2. При г = г2 Ли = Лш, т. е.
_Н2аМ+Сз1пГ2+С4 = сБ1пг2+Св.
1 т 1 d.A 1 т
3. При r = r4 = или -~-rf7= - т- е-
1 1 б*3
2 “ 2 ЩаП *
4. При г = г2 должны быть равны тангенциальные составляющие
напряженности поля:
&2Г2 ^3 __^5
2 2 Нза^2
Имеем:
Г1 _ ^2 (Г2 *т)4“ $1Г1 ..
сз ” ~2— '°2 ~~ — ь5 —-------§------ "3«’
С4 = — - С3 In ri;
C6^=_!^l + C3lnr2 + C4-C6 lnr2.
На рис. 21.17 одна кривая характеризует изменение —Л = f (г),
Другая — изменение В = f (г) при и = р2« = IW
107
Пример 211. Воспользоваться выражением Ф —фЛ dl и данными
примера 210 и найти магнитный поток, пронизывающий биметалличе-
ский провод примера 210 на длине I = 1 м.
Решение. Разобьем путь интегрирования Ф = ф A dl на четыре
участка: первый участок от точки 1 до точки 2 (рис. 21.18, а)\ вто-
рой — от 2 до 3; третий — от 3 до 4\ четвертый — от 4 до 1. В соот-
ветствии с этим '
§Adl — ^ A dl + ^ A dl + ^A dl + ^Adl.
‘’1 2 3 4-
2 ->
Но § A dl равен нулю, так как значение А при г = 0 равно нулю.
1 _____________________________
На втором и четвертом участках § A dl также равен нулю, так как
Рис. 21.18
угол между А и dl равен ±90°, a cos 90° = 0. § Л dl не равен нулю
только на третьем участке, где
А =-^+С31пг24-С1(
г=г2
а угол между А и dl равен 180° (cos 180° = —1). Поэтому
4
Ф = $ A dl = — A 1. .
3 r~r2 г = гг
Пример 212. Воспользоваться построениями рис. 21.11 и опреде-
лить магнитную проводимость воздушного зазора между полюсом и
якорем машины постоянного тока на единицу длины якоря (1 м).
Решение. В соответствии с рис. 21.11 п = 2 и т = 11; Ыа =
= 0,9. По формуле (21.29) подсчитаем:
г 1,256 • 10-6. 1.0,9 - 11 1П 6 г
GM = -------£-------= 6,63-10-6 Гн.
Пример 213. Определить емкость и индуктивность на 1 м длины
кабельной двухпроводной линии с цилиндрической проводящей бро-
ней. Картина поля в сечении кабельной линии дана на рис. 21.18, б
(е - 2,5).
108
~ Решение. Изображенная на рис. 21.18, б картина поля спра-
ведлива для электрического и магнитного полей. Причем, согласно
§ 21.20, силовым линиям электрического поля соответствуют эквипо-
тенциал и магнитного поля.
Число силовых трубок электрического поля т = 10,5-2 = 21.
Число ячеек в трубке п = 10 (пять от провода до брони, пять от
брони до провода). Отношение Ыа^ 1. Число силовых трубок маг-
нитного поля т = 10, число ячеек в трубке п = 21. По формуле (21.31)
найдем емкость на 1 м длины кабеля (/ = 1 м):
с = 2.5-8,-21 = 4б 10_12 ф
10
По определению, индуктивность L равна отношению потокосцепле-
ния к создающему его току L — ty/I, В данной задаче имеется всего
один виток (прямой и обратный провода). Поэтому потокосцепле-
ние ф равно потоку Ф между проводами (индуктивностью, обусловлен-
ной потокосцеплением в теле проводов, в силу его малости пренебре-
гаем).
По закону полного тока, ток I может быть заменен на dl по
замкнутому контуру, окружающему провод. В свою очередь dl
представляет собой падение магнитного напряжения U№ по этому
контуру. Следовательно,
/ §н<й~ик д"
Таким образом, индуктивность L в данном
примере равна магнитной проводимости GM. Т'
Для определения последней воспользуемся \
формулой (21.29) *:
GM = L = 1,256'10^ '-1 • 1 • 10 - = 6 • 10~7 Гн. Рис. 21.19
£ Силовая линия
Н Эквипотен-
\/и,иаль
Пример 214. Найти разность скалярных магнитных потенциалов
(магнитное напряжение) между точками А и В, расположенными в
магнитном поле линейного тока I = 10 А (рис. 21.19).
Решение.
в __
UkAB=\H dl = [Hdl + \Hdl ;
А по пути АтС по пути СпВ
=H^di=~2-^ = ~-, §JIdi =о,
по пути АтС по пути СпВ
так как на этом участке угол между Н и dl равен 90°. Следовательно,
с/млв=4=2,5 А-
* При вычислении L по формуле для (7М число ячеек в силовой трубке должно
быть взято по замкнутому контуру.
109
Пример 215. В воздухе создано равномерное магнитное поле на-
пряженностью Яо 240 Д/м. В это поле поместили ферромагнитный
шарик, магнитная проницаемость которого р/ = 20. Найти индук-
цию в шарике.
Решение. Воспользуемся аналогией между электростатиче-
ским и безвихревым магнитным полями. В формуле (19.69) заменим Ео
на HQ и е на р. Получим
"‘ = H"Sra“240'2W“32J А/“-
Индукция в шарике
Bi = 20 • 32,7 • 1,256 • 10-6 = 8,21 • 10'4 Т.
Пример 216. Вдоль трубы с внутренним радиусом i\ и наруж-
ным /2 (рис. 21.20)
Рис. 21.20
протекает постоянный ток /. Вывести формулы
для определения напряженности поля Н внутри
трубы, в теле трубы и снаружи трубы.
Решение. Напряженность поля в любой
из указанных областей найдем по закону пол-
ного тока (R = r).
Если провести окружность радиусом г < i\
с центром на оси трубы, то эта окружность
не охватит тока. Поэтому при г /у Н = 0,
т. е. во внутренней полости трубы магнитное
поле отсутствует. Плотность тока в трубе
6==--/
Окружность радиусом гг г г2 охватывает ток бл (г2 — /q).
Поэтому в этом интервале изменений г
7(г2_Л?)
2лг (г‘з — г-)
Снаружи трубы пригл>г2 напряженность поля убывает по гипербо-
лическому закону Н = 1/{2пг), График Я = /(г) изображен на рис. 21.20.
§ 21.24. Закон Био—Савара—Лапласа. Согласно известному из
курса физики закону Био — Савара — Лапласа, при отсутствии фер-
ромагнитных сред отрезок линейного провода dl, по которому течет
ток I в направлении dl, в точке, удаленной на расстояние R от эле-
мента тока, создает магнитную индукцию, определяемую следующим
образом:
<21'ЗЭ)
где 7?0 — единичный вектор, проведенный от dl к точке, в которой
определяется магнитная индукция (рис. 21.21). Результирующая
индукция в этой точке
5 = (21.40)
ПО
В формуле (21.40) интегрирование производят по всей длине замк-
нутого контура с током.
Формула (21.39) следует из (21.27), если учесть, что dB = rot dA.
Действительно, из (21.27) находим dB = ~
есть произведение скаляра 1/7? на вектор dl, поэтому rot (-Т dl) —
Поскольку dl не за-
Но ~ dl — это
К
~~ R _ _
висит от положения точки, в которой определяет-
ся В, то rot dl = 0, и первое слагаемое правой части
последней строки выпадает. В соответствии с фор-
[cfZ 7?о] тт ^о]
мулой (19.10) grad = j
Следовательно, rot dl^
Если в формуле (21.39) ток I как постоянную
в векторное произведение и заменить Idl на 6dE, где dV — элемент
объема проводника с плотностью тока б, то
величину ввести
jTd___Ро dV .
“4л /?2 ’
D ___ Р()_ С [б 7?о] JT7
4л J /?2 aVt
v
(21.41)
(21.42)
Формула (21.41) встречается под названием закона Ампера. В фор-
муле (21.42) интегрирование производят по объему, занятому током.
Обратим внимание на два положения.
1. Структура формул (21.39) и (21.41) в известной мере сходна со
структурой формулы для напряженности электрического поля точеч-
ного заряда, полученной в § 19.4 из закона Кулона.
2. Полезно сопоставить закон полного тока с законом Био — Са-
вара — Лапласа. Оба эти закона позволяют определять магнитную
индукцию, создаваемую током. Однако закон полного тока применим
только к замкнутым контурам с токами,
т тогда как закон Био — Савара — Лапласа
применим не только к замкнутым конту-
Рам с токами» но и к отрезкам проводни-
ХуД ков с токами (к элементам тока). Поэтому
'dl закон Био — Савара — Лапласа более
* 1 ’ универсален.
Рис. 21.22 Пример 217. С помощью формулы (21.40)
определить магнитную индукцию в точке т,
создаваемую отрезком линейного провода с током I (рис. 21.22).
Точка т удалена от провода на расстояние Ь.
Решение. Угол между dl и 7?0 обозначим а. Из геометриче-
ских соображений имеем
R = , I = — b ctg а.
sm сс' ь
111
Следовательно, dl = -^—;
sin2 a
| [d/7?0] | = dl • 1 • sin a; dB = ^~ sin a da;
aa
В = 7^4 sin ada = ~~ (cos a, — cos cu).
4nb J 4л£ v 1
«1
При выбранном направлении тока вектор В направлен к чи-
тателю.
Если провод будет бесконечно длинный, то аг = 0, сс2 = 180°,
cos cq — cos а2 — 2 и В = что совпадает с результатом, полу-
чаемым по закону полного тока.
Индукция в центре квадратного витка с током I и стороной а
(рис. 21.23, а) в 4 раза больше, чем от одной стороны и равна В =
!ха12 /2 D
—------. В центре треуголь-
Рис. 21.23
ного витка
(см.
рис.
21.23, б)
= —•
2 па
Пример 218. Вывести фор-
мулу для определения напря-
женности магнитного поля на
оси кругового витка с током I
(рис. 21.23, в). Радиус витка
принять равным а.
Решен и е. Выделим эле-
мент тока Idl. Напряженность
поля dH', создаваемая этим эле-
ментом в точке b на оси витка,
находящейся на расстоянии z от плоскости витка, равна 4^ ;
напряженность dH' перпендикулярна dl и 7?0. От диаметрально про-
тивоположного элемента тока I dl в той же точке b будет напряжен-
ность dH". По модулю dH' и dH" одинаковы.
При геометрическом суммировании dH' и dH" будет получен век-
тор, направленный по оси витка: dl =ada\
2л 2л
S* la sin ft da la а С , la-
-------;=---------------------------г-тг I da =------------.
ц 4л(а*+г2) 4л(а2 + г2) (a2 + z2)'-‘ g 2(а2 + г-)“;2
Пример 219. Используя решение примера 218, вывести формулу
для определения индукции на оси цилиндрической катушки с то-
ком / (рис. 21.24). Высота катушки /г, средний радиус ее а, число
витков w.
112
Решение. В произвольной точке b на оси от элемента тока dz:
dB—y.J— dz-....................... - -ч-,5 ;
h Z(a?+zrf'2
cos p = -—~~z; — d (cos p) = - ;
1 (a2+z2) ,2 r (r>2+z2)°^
%
dB = — d (cos P); В = — ( d (cos p) = (cos px - cos p2).
Pi
§ 23.25. Определение скалярного магнитного потенциала контура с током через
телесный угол. На рис. 21.25 изображен контур с током г, который охватывает пло-
щадь S. Вертикальная ось расположена, перпендикулярно площади. Запишем фор-
мулы для магнитного скалярного потенциала (полагая, что на бесконечности фм =
Z
Рис. 21.24
— 0) и составляющих Нр и HQ напряженности поля в произвольной точке а, нахо-
дящейся на расстоянии R от центра площади. Полагаем, что расстояние R значи-
тельно больше линейных размеров контура; 6 — угол между вертикальной осью и
радиусом R.
Воспользуемся аналогией между электростатическим и магнитным безвихре-
вым полями. В примере 197 на стр. 65 были выведены формулы для потенциала ср
и составляющих Е^, *Е0 напряженности электрического поля диполя:
_ ql cos 6 р ____ql cos 6 . р __ql sin 6
4я8а/?2 ’ Е 2л£аЕ3' е~~4л8аЕ3’
Заменим в этих формулах электрический момент ql на магнитный момент н$|ыа,
8а на |ла, ф на фм, Е^ на Eq на Hq. Учтем, что представляет собой телесный
угол Q, под которым площадь S видна из точки наблюдения а. Получим:
Ш iS cos 6 и _EScos6_ т4 ZSsinO
фм = 4л = ^4п/?2 ’ 2л/?3 ' е~ 4л/?3 '‘
Угол 6 .положителен, если из точки, а ток в контуре виден направленным про-
тив часовой стрелки.
§ 21.26. Магнитное поле намагниченной пленки (ленты). Магнитная пленка
толщиной в несколько микрон (2а на рис. 21.26) применяется для записи информа-
ции (магнитофоны, вычислительные машины). При записи пленку намагничивают
с помощью записывающей головки либо продольно, когда вектор намагниченности
направлен вдоль, пленки (рис. 21.26, а), либо поперечно (рис. 21.26, б). После сня-
тия внешнего поля пленка остается намагниченной и потому, если ее пропустить мимо
113
считывающей головки, то пересечение силовых линий обмоткой этой головки при-
ведет к наведению в ней э. д. с.
На рис. 21.26, а и б показаны силовые линии. Намагниченность вдоль оси х
изменяется. На рисунках области обозначены: выше пленки цифрой /, самой плен-
ки — 2, ниже пленки — 3. Области 1 п 3 неферромагнитны, область 2 — ферромаг-
нитная среда.
Во всех областях на рис. 21.26, б поле подчиняется уравнению Лапласа V2(pM =
/ dJx dJy г
^div J = = 0, так как Jx = 0, a Jy зависит только от x); H =z
= 0
== —grad cpM; div H = 0.
Для рис. 21.26, а V2<pM = — div Н = div7 = Н =—grad(pM.
В соответствии с методом Фурье в каждой из областей (рм = X (х) У (у) (от ко-
ординаты z поле не зависит).
Задаваясь законом изменения намагниченности, например, для рис. 21.26, а
в виде J — Jх = Jo sin mx, а для рис. 21.26, б в виде J — Jу = cos mx, можно
получить решение для <рм. Так, для рис. 21.26, б:
<pj, == С^~ту cos тх (у^а);
Ч>„ = (С2ёГту+C3em^) cos тх (— а у а);
<Рм1 =с4ета cos тх
Четыре постоянных Сг, С2, С3, С4 определяют из условия непрерывности <рм
и непрерывности нормальной составляющей магнитной индукции на границе между
областями 2 и /, а также между областями 2 и 3.
§ 21.27. Определение магнитного потока, созданного в некотором контуре на-
магниченным ферромагнитным телом. Положим, что ферромагнитное тело (напри-
мер, кусочек ферромагнитной пленки) высотой Д/7 площадью поперечного сечения
Контура
контура м Катушка Ь
______________ !ртоком ‘
Ферромагнитное
тело
В)
Рис. 21.27
AS, намагниченностью J (AS || J) расположено вблизи контура а (рис. 21.27, а).
Требуется найти поток, создаваемый ферромагнитными телом и пронизывающий
контур а,
В соответствии с § 14.24 заменим ферромагнитное тело одновитковой эквива-
лентной катушкой высотой А/, площадью AS, по которой протекает ток 6А/ = J А/
114
(магнитный момент катушки равен магнитному моменту ферромагнитного тела,
рис. 21.27,6).
Эта катушка с током создает в контуре а потокосцепление, равное произведе-
нию тока катушки УД/ на взаимную индуктивность М между контуром а и эквивалент-
ной катушкой b в условиях отсутствия ферромагнетиков: ф = JЫМ. Величина М
может быть найдена расчетным или экспериментальным путем.
Если намагниченность тела J плавно изменяется по высоте, то тело следует раз-
бить на участки Д//г со ступенчато изменяющейся Jk, каждый k — участок тела за*
менить одновитковой катушкой k со средним по высоте этой катушки током У/гД//г
и найти
где Mk — взаимная индуктивность катушки k с контуром а.
§ 21.28. Выражение механической силы в виде производной от энергии маг-
нитного поля по координате. Положим, что в системе из п контуров с токами один из
контуров под действием механической силы F на него со стороны остальных конту-
ров перемещается так, что координата х его изменяется на величину dx. Требуется
выяснить, какая связь существует между силой F и изменением энергии магнитного
поля системы dlFM.
Для какого-то /г-контура системы запишем уравнение по 2-му закону Кирхгофа:
ikRk+^=ek- (21-43)
Умножим (21.43) на ikdt:
Wk dt+lk d^k=ek{kdt-
Запишем аналогичные уравнения для остальных контуров и просуммируем их:
и п! п
Z % ejkdt- (21-44)
k=\ k=l k=l
n
Слагаемое ^Ф/? представляет собой ту часть энергии, которую получают
/г=1
все цепи от источников э. д. с., за вычетом тепловых потерь.
При перемещении какого-то контура на расстояние dx изменяется магнитная
энергия системы Ц7М на величину и совершается механическая работа Fdx, где
F — составляющая силы, действующая по направлению dx.
Из закона сохранения энергии следует, что энергия, доставляемая источниками
э. д. с. за время dt, должна равняться энергии, выделяющейся за то же время в виде
теплоты в сопротивлениях контура, плюс энергия, которая затрачена на покрытие
механической работы Fdx, плюс приращение энергии магнитного поля dWa:
п п
PkRkd!+FdX + dWa= 2 ekikdt. (21.45)
/е-1 /г = 1
При сопоставлении (21.44) и (21.45) получим
у ikd^k = Fdx + dWu. (21.46)
/г=1
Уравнение (21.46) означает, что механическая работа и приращение энергии
п
магнитного поля совершаются за счет той части энергии У dt источников, ко-
k= 1
115
торую последние отдают в цепи, за вычетом тепловых потерь. Из (21.46) получим:
г- *' —х-------------- (21,7>
Из уравнения (21.47) вытекают два частных случая.
1. Если перемещение происходит таким образом, что потокосцепления конту-
ров остаются неизменными, то dtyk — 0, Fdx = —d\VM
И F = (21.48)
2. Если перемещение происходит так, что токи в контурах остаются неизмен-
ными = const), что возможно, например, когда перемещение происходит на-
столько быстро, что токи не успевают измениться, то в соответствии с § 2.10 IFM =
= -лг V shfV Следовательно,
d У Ш = У ik <Wh- (21.49)
Z Jaat ~
Подставим (21.49) в (21.47), получим
п п
ik dtyk 2 ik dtyk
г k=^i k-^-1
F =---------------dx-------------
dx
(21.50)
Во втором частном случае выражение для механической силы отличается от
(21.48) только знаком.
При ik = const доставляемая в цепи от источников э. д. с. энергия за выче-
том тепловых потерь делится на две равные части. Одна идет на приращение энер-
гии магнитного поля dWM, другая — на механическую работу / dx. Уравнения
(21.48) и (21.50) часто используют для нахождения механической силы. Чтобы найти
силу F, надо либо составить аналитическое выражение для магнитной энергии си-
стемы и продифференцировать его по изменяющейся координате, либо опытным
путем снять зависимость магнитной энергии от изменяющейся координаты и затем
графически продифференцировать ее.
Если в поле двух катушек при изменении координаты индуктивности 1* и Ь2
остаются постоянными и меняется только взаимная индуктивность М, то F =
_ т т dM
”/1/2 dx'
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение магнитного поля постоянного тока. Какими точечными и
интегральными величинами оно характеризуется? 2. Каков физический смысл век-
торов В, Д Д? Каковы единицы измерения их? 3. Какие поля называют вихревыми?
4. В каких случаях величина Н может быть определена без затруднений при помощи
закона полного тока? 5. Дайте физическое толкование понятию ротора. 6. Запишите
принцип непрерывности магнитного потока в интегральной и дифференциальной
формах. 7. Могут ли линии Н быть прерывными? 8. Почему понятие <рм неприменимо
к областям, занятым током? 9. Может ли (рм бесконечно близко расположенных то-
чек в поле линейного тока 1 различаться на конечную величину? 10. Почему век-
тор-потенциал А является более общей характеристикой поля, чем <рм? И. На ка-
ком основании можно принять В = rot А? 12. Определите характер распределения
- - Г- - / 30х\ 1
плотности тока б в некоторой области, если в ней Л = 15х* 1 * 3 4. Ответ: ^6= i -JJ .
116
13. Какого^типа соответствия могут быть в картинах магнитного и электростатиче-
ского полей? 14. Поясните ход решения задачи о цилиндрическом магнитном экране
и расскажите, из каких соображений находят постоянные интегрирования. 15. Чем
можно объяснить, что в соответствующих формулах на метод зеркальных изображе-
ний для сходных задач в магнитном (§ 21.23) и электростатическом (§ 19.32) полях
индексы 1 и 2 поменялись местами? 16. Почему можно сказать, что закон Био —
Савара — Лапласа в некотором смысле является более общим, чем закон полного
тока? 17. Ток I проходит по отрезку дуги окружности радиуса а с центральным уг-
Лом а. Определите Н в центре окружности (ответ: 18. Решите задачи 21.1;
21.4; 21.12; 21.21; 21.24; 21.25. V ™
ГЛАВА ДВАДЦАТЬ ВТОРАЯ
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕМЕННОГО
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
§ 22.1. Определение переменного электромагнитного поля. Под
переменным электромагнитным полем понимают совокупность изме-
няющихся во времени и взаимно связанных и обусловливающих друг
друга электрического и магнитного полей. Оно определяется двумя
векторными величинами — напряженностью электрического поля Е
и напряженностью магнитного поля Н.
Переменное электромагнитное поле является одним из видов
материи. Оно обладает энергией, массой, количеством движения,
может превращаться в другие виды материи и самостоятельно сущест-
вовать в виде электромагнитных волн. Любые возмущения поля в диэ-
лектрике с огромной скоростью, для вакуума равной примерно
3-108 м/с, передаются на большие расстояния.
При исследовании процессов в переменном электромагнитном поле
пользуются уравнениями Максвелла.
Систему уравнений Максвелла образуют четыре уравнения *:
1) уравнение (22.1), выражающее связь между ротором напряжен-
ности магнитного поля и плотностью тока в той же точке поля, — пер-
вое уравнение Максвелла;
2) уравнение (22.4), которое определяет связь между ротором
напряженности электрического поля и скоростью изменения магнит-
ного поля в той же точке поля, — второе уравнение Максвелла;
3) уравнение div В = 0, выражающее принцип непрерывности
магнитного потока [оно следует из (22.4) после взятия от обеих частей
его дивергенции];
4) уравнение div Е рсвоб/&а, выражающее связь между исто-
ком напряженности электрического поля и плотностью свободных
зарядов в той же точке поля.
Эту систему дополняют уравнением непрерывности (см. § 22.3) и
теоремой Умова — Пойнтинга (см. § 22.6).
* Уравнения были сформулированы английским ученым Д. Максвеллом (1831—
1879) в его книге «Трактат об электричестве и магнетизме», изданной в 1873 г.
117
§ 22.2. Первое уравнение Максвелла. Первое уравнение Максвелла
записывают следующим образом:
rotH = 6 + ^. (22.1)
В правой части его имеются две плотности тока: плотность тока
dD ~
проводимости о и плотность тока электрического смещения-^. Ток
электрического смещения возникает в любом диэлектрике, в том
числе и в вакууме, при изменении напряженности электрического
поля во времени. Ток смещения порождает магнитное поле так же,
как и ток проводимости. Хотя природа тока проводимости и тока сме-
щения неодинакова, оба они обладают одним и тем же свойством —
вызывать магнитное поле.
Таким образом, смысл первого уравнения Максвелла состоит
1дЬ\
в том, что всякое изменение электрического смещения во времени 1-^-1
в некоторой точке поля (т. е. возникновение в ней тока смещения) на
таких же правах, как и ток проводимости, вызывает в этой точке
вихрь магнитного поля (rot Я), т. е. вызывает вихревое магнитное поле.
Если среда однородна и изотропна, то еа = const и тогда
а5_ дЕ
dt~Sa~dt'
С током смещения в предыдущих разделах (особенно в гл. 3 и 8)
приходилось встречаться неоднократно. Так, известно, что при за-
рядке конденсатора через него протекает ток. Этот ток протекает через
диэлектрик и является током смещения.
Если, например, взять незаряженный плоский воздушный конден-
сатор и подключить его к источнику э. д. с. напряжением U через
сопротивление R, то напряжение на обкладках конденсатора будет
расти по закону uc=u(\~ е Так как напряженность элект-
рического поля в плоском конденсаторе Е = uc/d, где d — расстоя-
и ( —- \
ние между обкладками, то Е = е RCJ' Емкость плоского
Ток смещения, протекающий через единицу поверхности сечения
диэлектрика, взятой перпендикулярно силовым линиям,
дЕ и -Е 1 и -4с
р — р р t_____ — р лС
а dt а d е RC ~ RS е
Через поверхность S ток смещения в S раз больше, т. е. он равен
току проводимости, протекающему по проводникам, соединяющим
конденсатор с источником э. д. с.
Отметим, что первое уравнение Максвелла представляет собой
закон полного тока в дифференциальной форме.
118
Убедимся в том, что из закона полного тока следует уравнение (22.1). С этой
целью возьмем произвольный контур и составим для него уравнение по закону пол-
ного тока. Полный ток, пронизывающий площадь, ограниченную контуром, равен
сумме тока проводимости и тока смещения. Поэтому
На основании теоремы Стокса Н dl=^ rot Н dS. Следовательно,
rot Н dS = Пб + еа j dS. (22.2)
s s
Равенство (22.2) должно выполняться при любой площади S, поэтому
, г? х I дЕ
rot/7 = 6 4-Sa дР
дЕ\
§22. 3. Уравнение непрерывности. Линии полного тока 16+8а-^)
являются непрерывными. Физически это означает, что на границе
проводящей среды и диэлектрика ток проводимости переходит в ток
смещения.
Можно математически сформулировать принцип непрерывности
(замкнутости) линий полного тока. С этой целью от обеих частей
уравнения (22.1) возьмем дивергенцию. Из предыдущего известно,
что дивергенция от ротора тождественно равна нулю (см. § 21.12).
Поэтому
/Щ
div(S4-8a^ = 0. (22.3)
Уравнение (22.3) можно записать в другой форме. Действительно,
из него следует, что div 6= — ^-divZZ Но div £) = рсвоб. Поэтому
div 6 = —^21. (22.3')
Уравнение непрерывности (22.3') называют также законом сохра-
нения заряда. Этот закон означает, что электрический заряд неуничто-
жаем, он может только перемещаться из одного места в другое.
§ 22.4. Второе уравнение Максвелла. Второе уравнение Максвелла
записывают следующим образом:
rot£ = -g. (22.4)
Физический смысл его состоит в том, что всякое изменение магнит-
/дВ\ «
ного поля во времени 1-^-1 в какои-либо точке поля возбуждает вихрь
или ротор электрического поля в той же точке поля, т. е. вызывает
вихревое электрическое поле.
119
Второе уравнение Максвелла представляет собой дифференциаль-
ную форму закона электромагнитной индукции.
Для того чтобы убедиться в этом, проведем следующие рассуждения. Мысленно
возьмем некоторый замкнутый контур, расположенный в переменном электромаг-
нитном поле. Переменный магнитный поток, пронизывающий контур, наведет в нем
э. д. с.
аф
dt
Но Ф = В dS, поэтому
^)£d/=— J ^dS,
l s
причем площадь S опирается на контур /.
На основании теоремы Стокса Е dl — j rot Е dS, поэтому
f rot EdS = — C d.BrdS.
J J df
(22.5)
Равенство (22.5) должно выполняться при любых площадях S, что возможно
только в том случае, когда равны подынтегральные функции обоих интегралов.
Следовательно,
Знак «минус» в правой части второго уравнения Максвелла (как и в формуле
дФ\ .
—& } объясняется тем, что в основу положено правило правого винта. Если
завинчивать правый винт так, что положительное направление вектора магнитной
индукции В в некоторой точке пространства при возрастании индукции в этой точке
совпадет с направлением движения острия винта, то положительное направление
для вектора напряженности электрического поля Е при составлении циркуляции
вектора Е вдоль'бесконечно малого контура, окружающего эту точку и лежащего
в плоскости, перпендикулярной вектору В, совпадет с направлением вращения го-
ловки винта.
Знак «минус» в правой части (22.4) поставлен для того, чтобы привести в соответ-
ствие действительное направление для Е при оговоренных ранее условиях с направ-
лением, принятым для Е за положительное.
Как в первом, так и во втором уравнениях Максвелла участвуют
частные (не полные) производные во времени. Объясняется это тем,
что уравнения Максвелла записаны для таких тел и контуров, кото-
рые неподвижны по отношению к выбранной системе координат.
(Вопросы электродинамики движущихся сред кратко рассмотрены
в § 22.9.)
В переменном электромагнитном поле кроме силовых линий элект-
рического поля, «начинающихся» и «оканчивающихся» на электриче-
ских зарядах (как в электростатическом поле) могут быть и замкнутые
на себя силовые линии электрического поля, охватывающие замкнутые
на себя силовые линии магнитного поля (см., например, рис. 26.5, а).
120
§ 22.5. Уравнения Максвелла в комплексной форме записи. Урав-
нения (22.1) и (22.4) записаны для мгновенных значений. Если Н и Е
изменяются во времени синусоидально, то можно воспользоваться сим-
волическим методом и записать эти уравнения (22.1) и (22.4) в иной
форме. Пусть Н = Нт sin (со/ 4~ ф^) и Е — Ет sin (со/ + фя).
Можно записать И = Im Нт^ (Im — мнимая часть) или, ус-
ловно, где комплексная амплитуда Нт =
В свою очередь Е -> Ет&®* (-> значок соответствия).
Так как напряженности Е и Н, кроме того, что они меняются во
времени по синусоидальному закону, являются функциями вектор-
ными, т. е. определенным образом ориентированными в пространстве
векторами, то над ними ставят стрелку и точку: Ет и Нт.
Стрелка означает, что речь идет о векторе в пространстве, точка —
о том, что проекции этого вектора на любую из координатных осей во
времени изменяются синусоидально *. Тогда б можно заменить на
у Ее/Э)Г:
еа- - на
и
rot Н — на rot | Яе7<й/] = e7'™' rot //
(е/оз/ как постоянную величину, не зависящую от координат, можно
вынести за знак ротора). При этом первое уравнение Максвелла запи-
шем так:
rot Н = (уЕ + V®*.
После сокращения на получим
rot Н4- (22.6)
Аналогично, второе уравнение Максвелла в комплексной форме
rot Е = — (22.7)
§ 22.6. Теорема Умова — Пойнтинга для мгновенных значений.
Кроме уравнений Максвелла, большое значение в теории электромаг-
нитного поля имеет теорема Умова — Пойнтинга, которая описывает
энергетические соотношения в поле.
Теорема Умова — Пойнтинга имеет две формы записи: первая —
для мгновенных значений, вторая — комплексная форма — для сину-
соидально изменяющихся величин.
Из § 19.46 известно, что энергия электрического поля в единице
8 Е2
объема равна . Энергия магнитного поля в единице объема —
— -^а^2-. Энергия в объеме dV равна j dV.
* В дальнейшем от амплитудных значений переходим к действующим и индекс т
опускаем.
121
Для того чтобы образовать выражение, в которое вошла бы полная
энергия в объеме dV, умножим (22.1) на а (22.4) на HdV. Полу*
чим:
Е rot Н dV = (у ЕЕ + еаЕ dV = (уЕ2 + dV; (22.8)
HrotEdV^(-^H^-]dV = (-~^f-}dV. (22.9)
Из (22.8) вычтем (22.9). Получим
(E rot H - H rot Е) dV = {уЕ2 + ~ dV. (22.10)
Так как div [ЕН] = Н rot Е — Е rot Н*, то левая часть (22.10)
есть —div [ЕЕ] dV. Следовательно,
- div [ЕЕ] dV = |уЕ2 + А + Лу.
Для сокращения записи обозначим векторное произведение Е на Н
через П, т. е. примем, что П = [ЕН]; П — это вектор, называемый
вектором Пойнтинга; размерность его равна
произведению размерностей Е и Н:
[Е] = ГЕ][Е] = 44 = ВА/м2.
Таким образом, вектор Пойнтинга имеет
размерность мощности (или энергии в единицу
времени), отнесенной к единице поверхности,
и направление его (рис. 22.1) совпадает с на-
правлением движения острия правого винта,
если головку последнего вращать по кратчайшему направлению от
Е к Н. Следовательно,
-divEdV = {vE2 + 4(bfL + J¥i)}^V. (22.11)
Распространим (22.11) на некоторый объем конечных размеров.
С этой целью проинтегрируем (22.11) по объему V:
- JdivEdV= JVEW+^- f (22.11')
V V v L
* Напомним вывод этого соотношения. Введем индексы а и Ь, указывающие, по
какой переменной (4 или В) производится дифференцирование, и учтем, что можно
в циклическом порядке менять множители. Будем иметь:
div [АВ]=VjAB] + vjAS] \=В [ГЙЛ] +Л [svj =
= В [va4] — A [v^B] = В rot А — A rot В.
Замена А на Е и В на Н и дает соотношение: div [ЕН] ~Н rot В —В rot Н.
122
Подобно тому, как поверхностный интеграл по теореме Стокса
преобразовывается в линейный (см. § 21.14): $ rot A dS = ф Adi,
s
объемный интеграл в свою очередь может быть преобразован в по-
верхностный. Это преобразование осуществляют с помощью теоремы
Остроградского — Гаусса $ div 77 dV = § 77 dS.
V s
Качественно поясним это преобразование. Разобьем объем V (рис. 22.2) на от-
Л 17 J* ГТ 2/7 / ti. ei
дельные объемы А V, заменим div П на —— (строго говоря, надо было бы записать
.. Фи Лд
пт ——— где AS — элемент поверхности
ду—>0 Ау )
объема AV, а знак X означает суммирование по
всем поверхностям объема AV. Тогда *
С div/7rfy = S2-Ц^-Д1/ = 22/7 AS.
J АР
V
Первый знак суммы означает суммирование
по поверхностям малого объема, а второй — по
отдельным объемам.
Сумма XSZZAS может быть разбита на две
суммы: на сумму выражений П/VS по всем повер-
хностям, отделяющим один объем от сосед-
него (по «внутренним» поверхностям), и на
сумму П&8 по всем «периферийным», повер-
хностям. Первая сумма равна нулю, так как для
двух смежных объемов внешние нормали к об-
щей поверхности направлены встречно. Рис. 22.3
поясняет это; тп — общая грань двух объемов.
Для верхнего объема нормаль к грани направ-
лена вниз (ASi), для нижнего — вверх (AS2);
вектор 77, будучи умноженным на (А5г -|- AS2),
даст нуль. Сумма 77AS по всем периферийным
поверхностям и представляет собой &17dS.
„Внутренняя" „Периферийная*
поверхность j поверхность
Рис. 22.2
^Внутренняя'
поверхность
И >
Рис. 22.3
Два сметных
1 объема.
т
Теорему Умова — Пойнтинга для мгновенных значений записы-
вают следующим образом:
- ^IldS— J yE2dV + ~ + (22.12)
SV V
' Левая часть (22.12) представляет собой поток вектора Пойнтинга
(направленный внутрь объема) сквозь любую замкнутую поверхность S,
ограничивающую некоторый объем V.
Поясним смысл знака «минус» в левой части формулы (22.12).
Элемент поверхности dS в любой ее точке направлен в сторону внешней" по
отношению к рассматриваемому объему нормали. Вектор Пойнтинга П направлен
123
внутрь этого объема. Поскольку угол между П и dS больше 90°, то скалярное про-
изведение ndS < 0, а —IldS > 0. Таким образом, за счет знака «минус» левая часть
формулы (22.12) — величина положительная.
В соответствии с уравнением Джоуля — Ленца в дифференциаль-
ной форме уЕ2 есть энергия, выделяющаяся в виде теплоты в единице
объема в единицу времени.
Поэтому ^yE2dV есть энергия, выделяющаяся в виде теплоты
v
в единицу времени в объеме есть скорость изме-
нения запаса электромагнитной энергии в единице объема.
Но скорость изменения электромагнитной энергии есть мощность.
Следовательно, поток вектора Пойнтинга сквозь любую замкнутую
поверхность, ограничивающую объем У, равен мощности, выделяю-
щейся в объеме V в виде теплоты, и мощности, идущей на приращение
энергии электромагнитного поля.
Теорему Умова—Пойнтинга* следует трактовать как уравне-
ние энергетического баланса; левая часть (22.12) есть мощность или
энергия в единицу времени, доставляемая в виде потока вектора Пойн-
тинга внутрь некоторого объема; правая часть (22.12) есть энергия,
расходуемая в единицу времени внутри объема.
Соотношение (22.12) было получено в предположении, что среда
внутри объема V однородна и изотропна, а также в предположении,
что отсутствует отраженная волна и внутри объема нет источников
электродвижущей силы.
Если поле не изменяется во времени, то
-^-(-^4- = 0 и - §ndS= §yE2dV.
V
Обратим внимание также на то, что формула (22.12) учитывает
возможность прохождения потока вектора П транзитом через объем V.
Электромагнитная энергия от места ее генерирования передается
к месту потребления по диэлектрику (провода же в линиях передачи
выполняют двоякую роль: они являются каналами, по которым проходи?
ток, и организаторами структуры поля в диэлектрике).
Покажем справедливость этого утверждения на простейшем при-
мере. Пусть энергия постоянного тока передается по коаксиальному
кабелю (рис. 22.4). Радиус жилы гъ внутренний радиус оболочки г2.
Примем проводимость материала жилы и оболочки настолько большой
(теоретически бесконечно большой), что напряженности поля Е = 6/у
в жиле и оболочке стремятся к нулю. Пространство между жилой и
оболочкой заполнено диэлектриком.
* Н. А. Умов (1846—1915) с 1893 по 1911 г. являлся профессором Московского
университета. В 1874 г. защитил докторскую диссертацию «О движении энергии в уп-
ругих средах», где рассмотрен вопрос о потоке энергии в упругих средах и о плот-
ности потока энергии. Применительно к электромагнитному полю понятие о потоке
энергии было развито английским физиком Пойнтингом в 1885 г.
124
Убедимся, что энергия, передаваемая приемнику в единицу вре-
мени, равная (7/, действительно канализируется по диэлектрику.
С этой целью подсчитаем поток вектора Пойнтинга через попереч-
ное сечение диэлектрика, в рассматриваемом примере представляющее
собой кольцо с внутренним радиусом гг и наружным г2. Напряжен-
ность магнитного поля в диэлектрике, по за-
кону полного тока:
Напряженность электрического поля в ди-
электрике при постоянном токе определяется
так же, как и в условиях электростатики:
Е= Q = и
2лЬ'г1 1 Г 2 *
а л!п-~
Г1
где Q — полный заряд жилы на длине /;
U — напряжение между жилой и оболочкой.
Следовательно, в некоторой точке диэлектрика, расположенной
' на расстоянии г от оси г г2),
П = ЕН =-----——
2лг2 In —
Г1
(Е и Н взаимно перпендикулярны; см. рис. 22.4). Поток вектора Пойн-
тинга через кольцо с радиусами гг и г2-
П dS = f П2лг dr = 2л—— f — = Е/.
п 2л In
Таким образом, вся поступающая к приемнику энергия действи-
тельно передается по диэлектрику. По жиле и оболочке энергия
к приемнику не передается. Более того, если учесть, что у конечна
и напряженность электрического поля в
жиле и оболочке направлена по току и не
равна нулю, то нетрудно убедиться в на-
личии потока вектора Пойнтинга через
боковую поверхность провода внутрь про-
вода, т. е. провода сами потребляют из
диэлектрика энергию на покрытие тепло-
вых потерь.
Пример 220. Определить тангенс угла а,
составляемого напряженностью электри-
Рис. 22.5 ческого поля с нормалью к поверхности
жилы в точке, принадлежащей поверхности
жилы коаксиального кабеля (рис. 22.5), а также подсчитать величи-
ну потока вектора Пойнтинга через боковую поверхность жилы на
длине в 1 м и сопоставить величину потока вектора Пойнтинга с поте-
рями энергии в жиле на длине в 1 м. Радиус медной жилы /д = 0,3 см;
125
внутренний радиус оболочки r2 = 1 см. Протекающий по кабелю
постоянный ток 1 = 50 А. Напряжение между жилой и оболочкой
U = 10 кВ.
Решение. Нормальная составляющая напряженности элект-
рического поля на поверхности жилы:
Еп = —-— =-------12L-— = 2,77 • 105 В/м.
гДп-?. 0,003- In
Г! 0,3
Тангенциальная составляющая напряженности электрического поля
на поверхности жилы по закону Ома:
Et = = Эт • О.ООЗЗ’-5,8 • 10’ = 3,03 ’ 10 2 В/М*
Вектор напряженности электрического поля ~Е составляет с нор-
малью к поверхности жилы угол а (см. рис. 22.5), тангенс которого:
tga = -fL= 1,1. Ю 7.
ь Еп
Напряженность магнитного поля на поверхности жилы, по закону
полного тока,
Н = = 9-^0 = 2650 А/м.
2 л г £ 2л • 0,003
Для определения величины потока вектора Пойнтинга внутрь жилы
на длине в 1 м следует умножить составляющую вектора Пойнтинга
EtH, проникающую внутрь жилы, на величину боковой поверхности
жилы на длине в 1 м:
EtH 2лгх • 1 = 3,05 • 10 2 2650 • 2л • 0,003 -1 = 1,523 Вт.
Эта величина равна потерям энергии в жиле кабеля на длине в 1 м
™ - е - 50! = 1,523 Вт.
Пример 221. На рис. 22.6, а и б изображен сердечник трансформатора и один
виток, окружающий сердечник. Концы витка обозначены а и Ь, Намагничивающая
обмотка трансформатора на рисунке не показана. По сердечнику проходит синусо-
идально изменяющийся во времени магнитный поток Ф = Фт sin оз/. Поток вне сер-
дечника отсутствует. К концам витка а и b присоединим вольтметр электродинами-
ческой Системы с сопротивлением Rv один раз в соответствии с рис. 22.6, а, другой
по рис. 22.6, б. Определим показание вольтметра в этих двух случаях, полагая,
что активное сопротивление самого витка Яв <С Ry и что индуктивность рассея-
ния витка Ls ничтожно мала.
Обозначим ток в контуре i и для рис. 22.6, а составим уравнение по второму
закону Кирхгофа iRB + iRv+Ls ~ + ~?-=0.
di ' d-Ф
Пренебрегая слагаемыми iRB hLs по сравнению с i Rv и обозначив
• • «, й)Фт
IRy = Оу 9 найдем показание вольтметра в схеме рис. 22.6,a Uv ~ \ В схеме
]/ 2
рис. 22.6, б вольтметр покажет нуль. Это можно пояснить двояко. 1. Провода, иду-
126
j щие от точек а и b витка к вольтметру на рис. 22.6, б, образуют второй виток, в ко-
тором изменяющимся магнитным потоком наводится такая же э. д. с., что и в основ-
ном витке (см. рис. 22.6, в). При обходе контура, состоящего из двух витков, убеж-
даемся, что суммарная э. д. с. в контуре равна нулю. 2. Такой же вывод сделаем,
если учтем, что суммарный поток, пронизывающий заштрихованную площадь кон-
тура рис. 22.6, в, равен нулю (поток
вне сердечника по условию отсут-
ствует).
Рассмотренный пример свидетель-
ствует о том, что при измерениях в пе-
ременном электромагнитном поле по-
казание вольтметра зависит от того,,
как расположены провода от вольт-
метра до объекта измерения.
§ 22.7. Теорема Умова —
Пойнтинга в комплексной форме
записи. Перед тем как записать Рис. 22.6
. теорему Умова — Пойнтинга в
комплексной форме, рассмотрим вопрос о полной мощности в цепи
переменного тока. Полная мощность S = IJI = Р + jQ.
Пусть цепь переменного тока содержит последовательно соеди-
ненные активные сопротивления R, индуктивность L и емкость С.
Тогда реактивная мощность
Q = /2Х = Р (uL - Jg-) = со [PL - Р С] = 2® (wM - w9).
Здесь
LP С1Рс
0>м = — И W3= —
где Uс — напряжение на конденсаторе.
• Таким образом, реактивная мощность Q равна разности между
магнитной и>м и электрической w3 энергиями цепи, умноженной на 2<о.
Подобно тому как в цепи переменного тока для вычисления полной
мощности S надо умножить комплекс напряжения U на сопряженный
комплекс тока /, вводится в употребление комплексный вектор Пойн-
тинга
л=|ёй].
Вместо — ф П dS теперь будет
-§ndS = — divT7dV= $ (trolH-HrotE)dV.
V V
В соответствии с (22.6) и (22.7)
rot Н == уЕ + ]№&Е
и
rot Е = —
127
* я
Следовательно, rot Н = уЕ — jae.aE и
Е rot Н - Н rot Ё = - /©еаЕЕ + =
= уЕ2 + 2/ы(^^-^').
Поэтому
-§~fidS = yE2dV + j2&^ (22.13)
V
Первое слагаемое правой части (22.13) представляет собой актив-
ную мощность, второе — реактивную. Таким образом, теорему Умова—
Пойнтинга можно записать еще следующим образом:
— dS = P + jQ.
В таком виде ее часто используют для определения активного и
внутреннего реактивного сопротивлений проводников на переменном
токе (подробнее см. § 23.7).
§ 22.8. Некоторые замечания к § 22.1. Первое замечание. В уравнения Макс-
велла входят параметры еа, у, щ, характеризующие усредненные в пространствен-
ном и временном смысле свойства вещества. При низких частотах эти параметры
представляют собой действительные (некомплексные) числа — такими и будем их
считать в курсе ТОЭ. При высоких частотах в диэлектриках существенную роль на-
чинают играть диэлектрическая вязкость и другие процессы.
В ферромагнитных веществах резко сказываются явления гистерезиса, маг-
нитной вязкости и ряд других. В силу этих причин 8, у и pt оказываются функциями
частоты и комплексами *.
Убедимся в том, что вязкостные процессы при поляризации диэлектриков
с полярными молекулами приводят к тому, что 8 становится комплексным
числом.
Обозначим Еп — напряженность поля, обусловленную приложенным к конден-
сатору напряжением и; например, для плоского конденсатора с расстоянием d
между сбкладками Еп = u/d\ Е]Х — действующая на диполи полярных молекул на-
пряженность поля, вызывающая их поворот.
За счет вязкостных процессов при поляризации (повороте) полярных молекул
Ед < Еп на величину, пропорциональную скорости поляризации:
dP
E^En-k^, (22.14)
где — некоторый коэффициент.
Но P=^k2E^ поэтому Ед-ф/г = Еп, где k^kYk2.
( — z \
При нулевых начальных условиях ЕД = ЕП \1 — е k j. Коэффициент k называют
постоянной времени релаксации.
* Зависимость параметров веществ от частоты впервые была обнаружена рус-
ским ученым В. К. Аркадьевым в 1908—1911 гг. Физическое объяснение этим явле-
ниям было дано им в 1913 г. в работе «Теория электромагнитного поля в ферромаг-
нитном металле».
128
При переменном токе частотой со:
р _____________________ . А____________t, р _
д 14- jmk ’ 2 д 1 + jdfk
и
П — рР -i-P — F 8о(1+/^) + ^2
D-e0En + P-En--------.
TZ * Й .
Комплексная диэлектрическая проницаемость е = — — 8 — /8 ,
Ей
г о' __ (£0 + М + C02Z?8q . „ __ Ср££2
Д 1+(соМ2 1 1+ИО2’
Из формул видно, что е' и 8" являются функциями частоты.
Мгновенное значение плотности тока через диэлектрик, у которого проводимость
у = 0 6см = -|^-. При переменном токе частотой со:
6см=/со£)=/щЁп (е'—/8") = соЁп (8" + /е').
Мгновенное значение полной плотности тока через несовершенный диэлектрик
(Y^O) 6п=у£п+^-.
При переменном токе частотой со:
6 = (у + ®е") Ё„+/со8'Ёп.
Первое слагаемое правой части находится в фазе с приложенным напряжением,
вторре на 90° его опережает. Тангенс угла потерь несовершенного диэлектрика (см.
§ 3.9) tga = £ . Используя уравнение (16.34) § 16.8 для вязкостных процес-
сов в ферромагнетиках, можно вывести аналогичные формулы и для комплексной
магнитной проницаемости в предположении, что вихревые токи отсутствуют.
Заметим, что дифференциальное уравнение, описывающее процесс зарядки кон-
денсатора с вязким диэлектриком через сопротивление R от источника постоянной
э. д. с., если учесть вязкостные процессы по уравнению (22.14), будет иметь вто-
рои (не первый!) порядок.
Второе замечание. В § 22.2 рассматривалось первое уравнение Максвелла (22.1).
В правой части этого уравнения записаны две плотности тока — проводимости 6
дЕ „
и электрического смещения еаНо кроме токов проводимости и электрического
смещения существует третий вид тока — ток переноса (это собирательное назва-
ние).
Под током переноса понимают ток, природа которого отлична от природы тока
проводимости и тока смещения, это, например, ток, возникающий в электронной
лампе вследствие явления термоэлектронной эмиссии.
Плотность тока переноса равна объемной плотности переносимых зарядов р,
умноженной на скорость их переноса о.
Если ток переноса создается движением со скоростью положительно заря-
женных частиц с объемной плотностью р+ и движущихся со скоростью v_ отрицатель-
но заряженных частиц с объемной плотностью р_, то плотность тока переноса равна
р+ц^ + pjT- Ток переноса, так же как и остальные виды токов, создает магнитное
поле.
С учетом тока переноса первое уравнение Максвелла записывают следующим
— — дЕ —
образом: rot 6+еа
1/2б Зак. 1730
129
Для тех задач, которые рассматриваются в ч. III учебника, ток переноса отсут-
ствует, поэтому первое уравнение Максвелла и взято в форме (22.1).
Третье замечание. При чрезвычайно высоких частотах, когда длина электро-
магнитной волны становится соизмеримой с линейными размерами, характеризую-
щими молекулярную структуру самого вещества, вещество уже нельзя рассматривать
как континуум. В этом случае уравнения Максвелла должны быть заменены урав-
нениями квантовой теории поля.
Четвертое замечание. В курсе ТОЭ в основном рассматривают поля в изотроп-
ных линейных средах. В них вектор В — |таЯ совпадает по направлению с векто-
ром //, вектор D = 8аЕ совпадает по направлению с Е и вектор 6 = уЕ с Е. В изо-
тропных средах р,, 6 и у представляют собой некоторые постоянные числа, не зави-
сящие от величины Н или Е (но зависящие от частоты). Если проекции вектора В
на оси х, у, z обозначить Вх, Ву, Bz, а проекции Я — через Ях, Ну, Hz, то для изо-
тропных сред Вх — Ву = \^Hyi Bz = №&HZ. Аналогично, Dx = &&ЕХ', Dy =
= zaEy, Dz — &&EZ и 6л- = yEx и т. д. В анизотропных средах В — раЯ не совпа-
дает по направлению с H,D с Е, 6 с Е, Любая проекция и ^зависит не только
от одноименной проекции Н или Е, но и от разноименных проекций. Так, Вх зависит
не только от Нх, но и от Ну и Hz\ Вх = р>ххНх + №хуНу~У IbczHz* аналогично, Ву =
= р>ухНх + \iyyHy + \^yzHZi где рхх, рху, [ixz — составляющие тензора магнитной
проницаемости ца:
[№хх №ху* Рлг\
Ц а — I Р/дк руу pyz I •
'Pzx Pzi/ №zz '
Подобные выражения существуют и для тензоров 8а и у.
§ 22.9. Основные положения электродинамики движущихся сред (основы реля-
тивистской электродинамики). Положим, что имеются две системы отсчета коорди-
нат и времени. Одна система неподвижна, имеет начало в точке О, координаты про-
извольной точки в ней х, у, z и время t (система О). Другая система отсчета связана
с движущейся по отношению к предыдущей системе отсчета средой, имеет начало
в точке Ох, а координаты той же точки в ней xlt ylt z± и время 4 (система Ох). Допу-
стим, что в момент времени t — 0 обе системы координат совпадают и что скорость
движения среды v направлена по оси х. Тогда в соответствии с теорией относительности
можно записать преобразования Лоренца, связывающие координаты и время в обеих
системах отсчета:
где с — скорость света, (3 — vic.
Обозначим напряженность электрического поля и магнитную индукцию в произ-
вольной точке, которые бы измерил наблюдатель, неподвижный по отношению к си-
стеме О, соответственно как Е и В. Физически Е означает силу, действующую на
единичный покоящийся заряд в системе О, а В — силу, действующую на единичный
элемент тока, неподвижный в системе О: Е — iEx-\- jEy + kEz, В = iBx+ jBy-\-
+ kBz.
Напряженность электрического поля и магнитную индукцию, которые измерил
бы наблюдатель, неподвижный по отношению к системе Oj (т. е. движущийся со сре-
дой со скоростью v), обозначим Е± и В±. Физически Ег означает силу, действующую
на единичный покоящийся в системе заряд; Bi — силу, действующую на единич-
ный элемент тока, покоящийся в движущейся среде:
Ei == i Exi + j Eyi + k Ezl; Bx = i Bx± + j Byi k Bzi.
Перейдем от уравнений Максвелла для неподвижных сред к уравнениям Макс-
велла для движущихся сред. С этой целью частные производные по х, yf z при взя-
130
тии ротора и дивергенции и частные производные по t заменим частными производ-
ными по %!, ylf z1 и по времени /х, имея в виду, что в' соответствии с (2245):
д ~ ( д v д \. д ( д д \
дх д \ дхг с2 dh ) ’ д v д \ дх с2 dt j -А. д dt \ dXi 3/, ) д / д > д \ °V дх + dt)’ 1 • ГУ
dXi 1 * 1 । м д
dyi ду ’ дгх dz fl-p2
После раскрытия ротора и объединения членов с одинаковыми ортами в пер-
вом уравнении Максвелла rot Н = о + получим
rot7/1 = 6[+-|^-. (22.16)
Проекции векторов на координатные оси в обеих системах отсчета связаны со-
отношениями:
НХ1 = НХ, Hyl = a (Нy-[-vDz); Hzl = a (Hz-vDy). (22.17)
1 ^vi + / 1 (2218)
6vi = a (dx — up) &yL = 6^; 6zi = 6Z. J
Dx = iD rl 4- / Dyl 4- kDzl; л
/ и \ 7 v \ z (22.19)
Dxi = Dx\ Dyl — a\Dy D2X = cc ^D^ 4~ H yj . j
Аналогичные преобразования второго уравнения Максвелла
rotE=—rotEl=—(22.20)
dt ’ 7
дают связь между проекциями векторов:
£xX=£v; Еу1 = а (Ey — vBz); Ezi=a (Ez + vBy). (22.21)
Bxi==B.r; Ву1 = а(ву + ~ E^; Вг1=а(вг- — Еуу (22.22)
Третье и четвертое уравнения Максвелла в системе Ot имеют вид:
divDx=px, (22.23)
div Bi =0. (22.24)
Здесь
Р1=«(р —(22.25)
Обратим внимание еще раз на то, что в системе Dx операции дифференцирова-
ния при взятии ротора и- дивергенции производятся по координатам хъ у1У zx.
В системе Ох, для которой среда неподвижна, выполняется условие непрерыв-
ности тангенциальной составляющей напряженности £Л, тангенциальной составля-
ющей Нп и непрерывность нормальных, составляющих Dnl и ВЛ1.
В системе Ql
Л == - Ж; Р1 =В1 ~ е0£\. (22.26)
Мо
1/2б*
131
В системе О
J=— — H; P=D-&0E;
Цо
(22.27)
J и J\ — намагниченность и Р и PY — поляризация в системах О и Ot:
J = i J х-{- j J у-{-kJ z, Ji = i J xi+ / J yi~[-kJzi,
P = iPX+ fPy+ kPZ\ rt= 7PX1 +~jPyl + kPzl.
Используя уравнения (22.17), (22.19), (22.21), получим связи между проек-
циями векторов намагниченности и поляризации в системах О и Ог:
j xl === Xi yl у Ч- ^Р z)> J zl Z==Z & (Jz иР у),
(22.28)
Из уравнений (22.17) и (22.22) следует, что если в системе О магнитное поле
отсутствует (В — 0), но имеется электрическое (Е =£0), то в системе Ох имеется не
только электрическое, но и магнитное поле. Из уравнений (22.19) и (22.21) заклю-
чаем, что если в системе О отсутствует электрическое поле (Е — 0), но есть магнит-
ное (В 0), то в,системе СЦ наблюдается не только магнитное, но и электрическое
поле. Плотность тока 6Х в системе Ох создается не только током проводимости 6,
но и током переноса аор [см. уравнение (22.18)].
В' соответствии с уравнением (22.25) перемещение тока с плотностью Ьх парал-
лельно самому себе с системой Ох наблюдатель в системе О воспринимает как воз-
v
никновение объемного заряда 6 дополнительного к объемной плотности заряда
рх. В соответствии с уравнением (22.28) движение поляризованной среды со скоростью
v воспринимается в системе О как появление дополнительной намагниченности,
а движение намагниченной среды со скоростью v воспринимается в системе О как
возникновение дополнительной поляризации.
Для поля, связанного с системами О и Ох, имеют место следующие инварианты:
^Е — В2с = —----В2с; EiB^EB]
с 1 с
/7? Н2 —
D2c — = D2c------; DX/7X ^DH.
1 с с
Если скорость движения среды мала по сравнению со скоростью света, то
К2/с2) << 1 иа^1, при этом преобразования Лоренца переходят в преобразования
Галилея хх = х — vt, у± = у, гх = г, /х = /, а связи между величинами в системах
О и Ох становятся такими:
£;=£ + [&В]; Bi = B—ЦР-; tCi=H-vD; Df ^D + ^l.
Si=6-?p: Pi=p—V-J-; T^J+tvPl Pi=P-^-.
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение переменного электромагнитного поля и запишите сово-
купность уравнений Максвелла. 2. Покажите, что из первого уравнения Максвелла
следует принцип непрерывности полного тока (или закон сохранения заряда), а из
второго — принцип непрерывности магнитной индукции. 3. Чем объяснить, что во
втором уравнении Максвелла, в отличие от первого, поставлен знак минус? 4. Ка-
кие уравнения в интегральной форме соответствуют 1-му и 2-му уравнениям Макс-
велла? 5. Прокомментируйте теорему Умова—Пойнтинга для мгновенных значе-
132
ний величии и для величин в комплексной форме записи. 6. Можно ли утверждать,
что при постоянном токе электромагнитная энергия передается по проводам? 7. По-
ясни! е смысл преобразования, осуществляемого с помощью теоремы Остроградско-
го—Гаусса. 8. Чем объяснить, что показание вольтметра в переменном электромаг-
нитном поле зависит от того, как расположены провода от вольтметра до объекта
измерения? 9. Поясни ie, в силу каких причин г, у и р могут оказаться комплекс-
ными числами. 10. Какие среды называют анизотропными? 11. Решите задачи 22.2;
22.9; 22.11.
ГЛАВА ДВАДЦАТЬ ТРЕТЬЯ
ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ОДНОРОДНОЙ
И ИЗОТРОПНОЙ ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ
§ 23.1. Уравнения Максвелла для проводящей среды. Рассмот-
рим особенности распространения электромагнитной волны в прово-
дящей среде с проводимостью у и магнитной проницаемостью щ..
Обратимся к первому и второму уравнениям Максвелла, записан-
ным в комплексной форме для синусоидально изменяющихся во вре-
мени Е и Я:
rot Я = уЁ + ;^Е
и
rot Ё = — jttiiJ-L
В проводящей среде даже при очень высоких частотах произведе-
ние соеа много меньше проводимости у. Поэтому с большой степенью
точности слагаемым /со8.Д в первом уравнении Максвелла для про-
водящих сред можно пренебречь.
В настоящее время наука не располагает точными данными о числовом значе-
нии электрической проницаемости е для металлов. Имеются лишь сведения, что по-
рядок г для металлов такой же, как и для большинства диэлектриков (т. е. от не-
скольких единиц до нескольких десятков). В качестве примера возьмем е для меди,
равное 10, и найдем, во сколько раз ток проводимости в ней будет больше тока сме-
щения при со — 103 и при со — 108 рад/с. При со — 103
5,6-107 ' lnij
соеа “ 103 • 10 • 8,86 10-12 - ’ 10 ’
при со — 108
-У- == 6,33 • 109.
wsa
т. е. в рассмотренном числовом примере даже при со — 108 ток проводимости больше
тока смещения в 6,33-10э раз.
Таким образом, первое и второе уравнения Максвелла для про-
водящей среды приобретают вид:
го1Н = уЁ (23.1)
и
rot Е — — jaiiJE (23.2)
5 Зак. 1730 - 133
Эти два уравнения представляют собой уравнения с двумя неиз-
вестными Е и Н. Решим их совместно. С этой целью возьмем ротор
от уравнения (23.1): rot rot Н = grad div Н — ^2Н = у rot Ё.
Учтем, что div Н = 0, и поэтому grad div Н = 0. Вместо rot Ё
в соответствии с (21.2) подставим Получим
V2// =
(23.3)
Уравнение (23.3) является дифференциальным относительно Н.
В общем случае, когда Н зависит от всех трех или даже только от
двух координат, решение (23.3) довольно сложно. Поэтому ограни-
чимся рассмотрением решения этого уравнения для частных случаев —
для плоской и цилиндрической электромагнитных волн.
Рис. 23.1
У
О
§ 23.2. Плоская электромагнитная волна. В общем случае под
плоской электромагнитной волной понимают волну, векторы Е и Н
которой расположены в плоскости хоу, перпендикулярной направлению
распространения волны (ось г) и изменяю-
щиеся только в функции координаты z и вре-
мени t. В дальнейшем (за исключением § 24.8)
под плоской волной будем понимать плоскую
линейно поляризованную волну, в которой
вектор Е направлен вдоль одной, а вектор Н
вдоль другой координатной оси плоскости хоу.
Плоская линейно поляризованная волна по-
казана на рис. 23.1. На рисунке изображены
для одного и того же момента времени век-
торы Е и Н в двух параллельных плоскостях,
перпендикулярных оси z декартовой систе-
мы координат. Во всех точках первой пло-
скости (рис. 23.1, а) напряженность электри-
ческого (магнитного) поля одинакова по величине и направлению.
Во всех точках второй плоскости (рис. 23.1, б) напряженность
электрического (магнитного) поля также одинакова по величине и
направлению, но не равна напряженности поля в первой пло-
скости.
В силу самого определения плоской волны:
дЯ
дх
= 0,
дН п дЕ ~ дЕ
^— = 0. -^- = 0 И -5-
ду дх ду
0.
В плоской волне Е и Н являются функциями только одной коор-
динаты, в рассматриваемом случае функцией только z.
Повернем координатные оси таким образом, чтобы ось у совпала
с напряженностью магнитного поля Н. При этом Н — jH, где / —
134
единичный орт оси у декартовой системы координат. Подставим Н =~]Н
в уравнение (23.3) и раскроем V2:
(-£ + ^+ -£)^ = Wa/Я- (23.4)
Учтем, что
д2Й п д-Н а
= О и = 0.
дх1 ду2
Тогда будем иметь
? — = j^H. (23.5)
В этом уравнении (23.5) вместо частной написана обыкновенная
производная. Переход от частной производной к обыкновенной для
плоской волны является естественным, так как Н — это функция
только одной переменной г.
Уравнение (23.5) представляет собой линейное дифференциальное
уравнение второго порядка. Его решение записывают следующим
образом:
H = C1ePz + C.2e~Pz, (23.6)
где Сг и С2 — постоянные интегрирования; это комплексы, которые
определяют из граничных условий; для каждой конкретной задачи это
свои постоянные.
Из характеристического уравнения р2 = /<эуца найдем коэффи-
циент _____
р = К/юуца. (23.7)
Если Y берется в единицах (Ом-м)'1, р,а в Г/м, постоянная распро-
странения р измеряется в м'1. Так как ]//=уге/90о = е/45° = ^^-,
то р можно представить и так:
p = k(l + j), (23.8)
где _____
Л = (23.9)
Найдем напряженность электрического поля с помощью уравне-
ний (23.1) и (23-.6). Из (23.1) следует, что Е = Т rot Н.
Найдем rot Н. В соответствии с уравнением (21.6) (учитывая,
дН дЙ п\
что -г— = -з— = 0 имеем
дх ду ]
i j k
rotH — 0 0 ~ dz
OHO
5*
135
Следовательно,
Производная
(23.10х)
^^pfC^-СеП
(23.11)
\ т 7*
Выражение (23.10') показывает, что напряженность электриче-
ского поля в плоской волне прн выбранном расположении осей коор-
динат направлена вдоль оси х, об этом свидетельствует присутствие
единичного орта оси х (орта Q. Таким образом, в плоской электро-
магнитной волне между Е и Н есть пространственный сдвиг в 90°
(Е направлено по оси х, а Н — по осп у).
Частное от деления р на у принято называть волновым сопротив-
лением'.
= f = (93.12)
Волновое сопротивление ZB, измеряемое в омах, зависит от свойств
среды (от у и р,а) и угловой частоты со. В соответствии с (23.10') и
(23.11) проекция Ё на ось х равна:
Ё = Ё 4- Ё
^пад I ^отр»
£Пад = ZBC2e pz И £отр = — ZbC^z.
Проекция Н на ось у в соответствии с (21.6): /У = //пад + /7огр,
где //Iiaa = C2e~^ и =
Компоненты падающей волны £пад и Япад дают вектор Пойн-
тинга /7пад (рис. 23.2, а), направленный
ния оси z.
вдоль положительного напра-
вления оси z. Следовательно,
движение энергии падаю-
щей волны происходит вдоль
положительного направле-
ния оси г.
Компоненты отражен-
ной волны £отр и Яотр дают
вектор Пойнтинга /70тр (рис.
23.2, б), направленный вдоль
отрицательного направления
оси z. Это означает, что отра-
женная волна несет с собой энергию вдоль отрицательного направле-
Волновое сопротивление ZB можно трактовать как отношение
Ёп^!Нп^ *. Так как волновое сопротивление является числом ком-
плексным [см. формулу (23.12)] и имеет аргумент 45°, то сдвиг во вре-
мени между £пад и £11;;д для одной и той же точки поля тоже равен 45°.
* Отношение £отр к — //отр также равно ZB.
136
граничных условий.
из
§ 23.3. Распространение плоской электромагнитной волны в од-
нородном проводящем полупространстве. Рассмотрим вопрос о рас-
пространении плоской электромагнитной волны в однородной прово-
дящей среде, простирающейся теоретически
в бесконечность (рис. 23.3).
’ Электромагнитная волна проникает из
диэлектрика в проводящую среду и рас-
пространяется в ней. Так как среда прости-
• рается теоретически в бесконечность и па-
дающая волна в толще проводящей среды
не встречает границы, которая «возмутила»
бы ее распространение, то отраженной
волны в данном случае не возникает.
При наличии только одной падающей
<волны Н = С2е_р2 и Ё = ZBC2e~pz.
Постоянную интегрирования С2 найдем
Если обозначить напряженность магнитного поля на поверхности
проводящей среды через На = }Нае!^а, то при z=0C2 = На. Поэтому
с учетом (23.8)
Я = Яйе-^'е
(23 13)
В свою очередь
Ё = Haekz ]/ е^Л'45’.
(23.14)
Чтобы записать выражения для мгновенных значений И и Е,
необходимо правые части (23.13) и (23.14) умножить на e'’w/ и взять
мнимые части от получившихся про-
. изведен ий.
Тогда получим:
Н = Hae -/tZ sin (со/ — kz + фа) (23.15)
и
E = HaJ,Гsin (co/ — kz 4-
+ ^ + 45°). <23.16)
Рис. 23.4 Проанализируем полученные выраже-
ния. Амплитуда Н = Hae~kz\ ампли-
туда Е = На J/^-~~e~kz. С увеличением z множитель t~kz умень-
шается по показательному закону. Следовательно, по мере проникно-
вения электромагнитной волны в проводящую среду амплитуды Е и Н
уменьшаются по показательному закону. На рис. 23.4 изображены
огибающие амплитуд Я, построенные на основе Hae~kz. Мгновенное
значение Н и Е определяется аргументом синуса, который в выраже-
нии (23.15), например, зависит от z и от со/. Если принять со/ — const,
то на графике мгновенных значений Н в функции от z будет получена
137
кривая 1 (см. рис. 23.4) при со/ + = 0 и кривая 2 при со/ + =
- 90°.
Для того чтобы охарактеризовать, насколько быстро уменьшается
амплитуда падающей волны по мере проникновения волны в проводя-
щую среду, вводят понятие «глубина проникновения».
§ 23.4. Глубина проникновения и длина волны. Под глубиной
проникновения А понимают расстояние вдоль направления распрост-
ранения волны (вдоль оси г), на котором амплитуда, падающей волны
Е (или Н) уменьшается в е = 2,71 раз. Глубину проникновения опре-
деляют с помощью выражения: е-ЛЛ = е-1. Отсюда следует, что &Д = 1
или
А = 1/k. (23.17)
Глубина проникновения зависит от свойств проводящей среды
(у и pi) и частоты со. Так, если электромагнитная волна имеет частоту
f = 5000 Гц и проникает в проводящую среду, у которой у =
— 107 (Ом-м)-1 и р = 103, то*
k = /5^ = ]/14 100 м-«.
Глубина проникновение А = 1 Ik 7 • 10-5 м, т. е. на расстоянии
в 0,007 см амплитуды Н и Е снизились в 2,71 раза.
Под длиной волны % в проводящей среде понимают расстояние вдоль
направления распространения волны (вдоль оси г), на котором фаза
колебания изменяется на 2л. Длину волны определяют из уравнения
М = 2л, отсюда:
Х = (23.18)
Для рассмотренного числового примера
%==_ira’№0’000445 м-
Иногда пользуются понятием фазовой скорости распространения
электромагнитной волны в проводящей среде.
Под фазовой скоростью понимают скорость, с которой надо было
бы перемещаться вдоль оси г, чтобы колебание имело одну и ту же
фазу. Фаза колебания определяется выражением со/ — kz +
Производная от постоянной есть нуль, поэтому ~ (со/ — kz + ф«) = 0,
или
<о-/г-^ = О; ~ = v^3- Уфаз = 4. (23.19)
-.-г 2л; • 5000 q q г ,
Для рассмотренного числового примера ^a3 = ’ п 'юо ^2,25 м/с.
* Полагаем, что pi не зависит от величины Н. Решение, в котором учтено, что pi
является функцией величины //, дано в [10].
138
§ 23.5. Магнитный поверхностный эффект. В качестве примера
распространения плоских электромагнитных волн в проводящей среде
рассмотрим поле в стальном листе при прохождении вдоль листа
переменного магнитного потока Фт. Лист (рис. 23.5) имеет толщину
2а, высоту h (h 2а) и большую протяженность в направлении, пер-
пендикулярном рисунку. Средняя плотность магнитного потока по
сечению листа Вср =
Задача состоит в определении законов изменения Ни Ё по сечению
«диета. В силу симметрии напряженность магнитного поля на левой
поверхности листа та же, что и на правой поверхности листа. Обозна-
чим ее через На и будем полагать известной (в дальнейшем выразим
Так как толщина листа 2а много меньше высоты листа h, то иска*
жающим влиянием краев листа на поле можно в первом приближении
пренебречь и считать, что в лист с двух сторон проникает плоская
электромагнитная волна.
Расположим оси координат декартовой системы в соответствии
с рис. 23.5. Примем, как и прежде, Н = jH. Общее решение для Н
таково: Н = C^pz + C2erpz.
Из граничных условий найдем постоянные интегрирования. При
z = — а, т. е. для точек, находящихся на левой стороне листа,
На = С3е-^ + С2ера; (23.20)
при z = + а
На = С^ра + С2е-^. (23.21)
Совместное решение (23.20) и (23.21) относительно Ci и С2 дает
р Г' На ______________ Н (I
^1 — ера_|_е-ра — 2 Ch ра •
Следовательно, в произвольной точке
<23-22>
139
Напряженность электрического поля
J i'-'- 4LU_7f£7/a^ = _7£,
\ 7 dz j > \ у ° сп ра / ’
где
у а ch ра
(23.23)
При z — + а напряженность Е направлена вверх (вдоль оси —%);
при z = — а — вниз (вдоль оси -]-х, см. рис. 23.5, а). Вектор Пойн-
тинга направлен к средней плоскости листа (внутрь листа).
Как известно из ч. II учебника, ток, возникающий при прохож-
дении по листу переменного магнитного потока, 'принято называть
вихревым. Вектор плотности вихревого тока 6 = уЁ в любой точке
листа коллинеарен с вектором Ё в этой же точке. Магнитная индукция
в произвольной точке
В = . (23.24)
Среднее значение магнитной индукции в листе
Всо = -if В dz == = Ь(23 25)
a J ар ch ра ар ' 7
. о
Если считать Вср известной и равной ~~ > то из (23.25) можно
найти напряженность поля на поверхности листа:
(23.26)
а р,а th ра v 7
Заметим, что аргумент ра — ka ф- jka является комплексом и
th ра есть гиперболический тангенс от комплексного аргумента; он
также является комплексом:
th ра = th (ka + jka) = • (23.27)
Л \ i j / ch 2/?a+cos 2ка v 7
Отношение среднего значения магнитной индукции по сечению
листа Вср к напряженности поля на поверхности листа На называют
комплексной магнитной проницаемостью:
Г, - Hathpg
"а ар \га — Г0Г7*
Она зависит от величины р, частоты со и толщины листа. При
больших значениях аргумента 2ka sh 2ka ch 2ka, значения этих
функций намного больше 1. Поэтому при больших значениях 2ka
sh 2ka ,
th ра ...............................1
ch 2ka
и комплексная магнитная проницаемость ца =
140
Так, например, при толщине листа 2а = 0,015 см, [1 = 20 000,
у= 1,8-10s (Ом м) 1 и / = 50 000 Гц; £ = |/~^ = 84 200; р =
' ='84 200/2 е'45'; /га = 6,31; 2te=12,62; thpa = -^^-№l.
Следовательно,
На
-На-
ра
---------------------------= 2250е- '45°|
84 200 р 2е'45 - 0,000015--1
Напряженность поля в.средней плоскости листа (при г = 0) =
= Отношение напряженности поля на краю листа (при z = а)
к напряженности поля в средней плоскости листа:
—= ch ра.
Н? о
(23.28)
Левая и правая части формулы (23.28) являются комплексами.
Модуль ch ра показывает, во сколько раз модуль На больше модуля
/?^0. Найдем модуль ch ра. С этой целью запишем два сопряженных
комплекса: ch (ka + jka) = ch ka cos ka + j sin ka sin ka и ch (ka —
— jka) = ch ka cos ka — j sh ka sin ka.
Произведение сопряженных комплексов дает квадрат модуля.
Следовательно,
| ch ра j2 = ch (ka + jka) ch (ka — jka) = у [ch 2ka + cos 2ka\ *.
Таким образом,
• i Г ch 2ka-\- cos 2ka
pa\ = l/ -----------±--------
(23.29)
Рассмотрим числовой пример. Пусть р = 100; f = 500 Гц; у =
= 107 (Ом-м)"1. При этом k = 1410 м-1.
Найдем отношение напряженности поля в средней плоскости к на-
пряженности поля на поверхности листа при толщине листа:
2с =1 мм; 2 мм; 4 мм;
2Ла=1,41; 2,82; 5,64;
—3— = 0,91; 0,52; 0,1.
| ch ра _
Таким образом, напряженность поля в средней плоскости листа
может быть много меньше напряженности поля на краю листа.
Явление неравномерного распределения поля по сечению прово-
дящего тела, вызванное затуханием электромагнитной волны при ее
распространении в проводящую среду, называют поверхностным эф-
* В силу того, что ch л' + ch г/ = 2 ch
±^ch-^^
2 2
141
фектом. Если вдоль листа направлен магнитный поток, то поверх-
ностный эффект часто называют магнитным, если вдоль плоской шины
направлен переменный ток, то поверхностный эффект часто называют
электрическим поверхностным эффектом. Природа их одна и та же,
а слова «магнитный» или «электрический» свидетельствуют лишь о том,
что направлено вдоль листа (шины): поток или ток.
На рис. 23.5, б построены две кривые. Кривая Н (z) характеризует
изменение модуля напряженности магнитного поля в функции от г.
В средней плоскости листа Н до нуля не снижается, так как ch 0 7^= 0.
Кривая Н строится по уравнению (23.22). Кривая Е (z) характеризует
изменение модуля напряженности электрического поля в функции
от z. Эта кривая строится по (23.23); sh pz^=0 = 0 и потому кривая
проходит через нуль при z = 0. Кривая плотности вихревых токов
6 — уЕ качественно повторяет кривую Е от z (разница только в мас-
штабе).
§ 23.6. Электрический поверхностный эффект в плоской шине.
Эффект близости. При электрическом поверхностном эффекте —
рис. 23.6, а — вдоль пластины (шины) направлен синусоидальный ток
1 частоты со. В этом случае поле внутри пластины определяется по
формулам:
н =_____I sh Рг £ _ Р ,7 ch pz . Д А
2/г sh ра ’ у 2/i sh pa ’ *
Сопротивление единицы длины шины (пластины) Z = /? + jX
— р
у2!г th ра
Зависимость модуля Н (z) в этом случае такая же, как и зависи-
мость Е (z) на рис. 23.5, б, а зависимость Е (z) такая же, как и за-
висимость Н (z) на этом же рисунке.
Если по двум параллельным близко расположенным плоским ши-
нам (см. рис. 23.6, б) будет протекать в противоположных направле-
ниях синусоидально изменяющийся во времени ток I частоты со, а
размеры 2а <; h и 2& <; Л, то, поместив начало декартовой системы
координат в средней плоскости левой шины и учтя, что слева от левой
шины напряженность поля Н — 0, а в пространстве между шинами
142
Й =— Uh (в этом можно убедиться на основании закона полного тока),
получим формулы для /у и Е в левой шине:
л i sh р (а 4- z) р р f ch р (а г)
h sh 2ра ’ " у h sh 2ра
Эпюра модулей Н и Е в функции от координаты z показана на рис.
23.6, б. Поле одной шины влияет на распределение поля в другой
шине. Это явление называют эффектом близости. Комплексное сопро-
тивление единицы длины двух плоских шин, расположенных в воздухе,
равно двум комплексным сопротивлениям самих шин плюс индуктив-
ное сопротивление, обусловленное магнитным потоком, проходящим
в пространстве между шинами,
Z = R + jX= 2р—
1 J yh th 2pa 1 J h
§ 23.7. Неравномерное распределение тока в прямоугольной шине, находящейся
в пазу электрической машины. Расположим оси декартовой системы в соответствии
с рис. 23.7, а. Обозначим: 1 — ток по шине; b — ширина, h — высота паза. Магнитная
проницаемость шины ра. Магнитную проницае-
мость ферромагнитного материала, в котором сде-
лан паз, полагаем очень большой, теоретически
стремящейся к бесконечности. При этом допуще-
нии индукция в ферромагнитном материале будет
конечна, а напряженность поля в нем будет
стремиться к нулю. В шине Н направлена по
оси у, Е — по оси х. Вектор Пойнтинга направ-
лен по оси z. Электромагнитная волна прони-
кает из диэлектрика в шину через наружную
поверхность mnsq и по мере проникновения в
шину затухает по амплитуде.
По закону полного тока при z = 0 Н—1/b^
при z — h Й = 0. Для определения постоянных
интегрирований Сг и С2 в выражении
Я = С1еР24-С2е-^ (а)
составим два уравнения Ci + С2 — t/b и C1ePfl + C2€Phz= 0. После определения
Сх и С2 и подстановки их в (а) получим:
Д=4--Ь р,(ЛГг);
b sh ph
Ё = - 1 1 = Yg.
у dz у b sh ph ‘
Графики модулей Н и Е по высоте шины изображены на рис. 23.7, б и в.
§ 23.8. Поверхностный эффект в цилиндрическом проводе. По
цилиндрическому проводу радиусом а протекает синусоидальный ток
7 частотой со. Требуется вывести формулы для определения плотности
тока 6 и напряженности Н в любой точке сечения провода. Полагаем
обратный провод настолько далеко удаленным от прямого, что влия-
ние обратного провода на поле в прямом проводе можно не учитывать.
Решение проведем в цилиндрической системе координат (рис. 23,8).
Плотность тока 6 направлена по оси г, поэтому 6 = г06. Воспользуемся
143
уравнениями (23.1) й (23.2), предварительно умножив последнее на у.
Получим
rot Zf — 8; (23.30)
rot б = — /(оур.Я, (23,3.1)
или
rot rot 6 = — /оэуцД т. е. (grad div б — V26) г° = (— /(oy|ia) 6г°.
В установившемся режиме div б — 0. Поэтому V2 б = /соун аб.
Раскроем ¥2б в цилиндрической системе координат [см. формулу
(19.30)1 и учтем, что б от а и от z не зависит. Получим
1 / dS d- 6 \ . с
7 ( dV + ГЧ^) = +> А ил»
г/2й , 1 di) . ~
dr1 1 г dr J 1 ‘ а
Обозначим
?2 = —МПа-
Тогда
d.- Л . 1 db . по г\
~т-г -----
dr- ' г dr '
I
-А» + --- -ттЧ-'+6 = 0.
d (qr)- qr d (qr) 1
(23.32)
(23.33)
Уравнение (23.33) является частным случаем уравнения Бесселя
(15.4) при р = 0. Роль х играет qr, а роль у — б.
Как известно из курса математики, решение уравнения (23.33)
можно записать следующим образом:
6 = AJ0(qr) + bN0(qr), (23.34)
где А и В — постоянные интегрирования; J{) (qr) — функция Бесселя
нулевого порядка первого рода; No (qr) — функция Бесселя нулевого
порядка второго рода.
Функция No (qr) обладает той особенностью, что при qr = 0 (т. е.
на оси провода при г 0) она обращается в бесконечность. Но из
физических соображений ясно, что плотность тока должна быть всюду
конечна, в том числе и на оси провода. Поэтому слагаемое B/Vo (qr)
в решении отбрасываем (принимаем В = 0). Следовательно,
6 = AJ0 (qr).
(23.35)
В соответствии с уравнением (23.31) и формулами (23.32) и (21.7)
Й = Г rot S = А - Л- А) =
q2 \ q- dr 1
*—? v =- I “ - ,4 Ч I- A (r)J -
А 7 Z \
144
т. е.
. A
(23.36)
4
где (qr) — функция Бесселя первого рода первого порядка.
Определим постоянную интегрирования А. С этой целью по закону
полного тока найдем Н на поверхности провода (при г — а) и при-
равняем его значению Я, которое получается из формулы (23.36):
-х— = — Л (qa)\
2ла _ q 1 6 7
Л = тт \ • (23.37)
2naJ± (qa) ' 7
Подставим найденное значение А в формулы (23.35) *и (23.36).
Получим
2.tW£ (qdj’
lj __ i Ji (qr)
2naJ1 (qa)
(23.38)
(23.39)
С помощью этих формул можно определить комплекс плотности
тока 6 и комплекс напряженности поля Н в любой точке сечения про-
вода.
Радиус г может принимать значения от 0 до а. Для точки на оси
провода г = 0; для точек на поверхности г = а. Так как J (0) = 1
(см. табл. 23.1), то плотность тока на оси провода:
6 =__________
0 2naJ1 (qa)
(23.40)
Сопоставление (23.40) с (23.38) дает
6 = d0J0 (7г). (23.41)
Из формулы (23.41) следует, что плотность тока на поверхности
провода:
ba = SoJo(qa). (23.41')
Из предыдущего известно, что произведение qr есть. комплексное
число: ____
qr=^r V — j- (23.42)
Бесселевы функции (qr) и (qr) от комплексного аргумента qr
тоже являются комплексами и могут быть представлены в показатель-
ной форме:
Мдг)==Ьое^<>; (23.43)
Л (qr) = b^, (23.44)
где Ьо — модуль, а ро — аргумент функции Jo (qr); b± — модуль,
a Pi— аргумент функции (qr); b0, blt ро, Pj (ро и рг в градусах)
определяют по значению г]Аоура с помощью табл. 23.1. При состав-
лении этой таблицы наличие множителя —/ в составе аргумента
qr уже учтено.
145
Таблица 23.1
Таблица модулей и аргументов функций Jo (<7Г) и Ji (7Г)
г|/’(0?ца Ь3 Ро bf Pi
0 1 0 0 —45,00
1 1,015 14,22 0,501 —37,84
2 1,229 52,28 1,041 — 16,73
3 1,95 96,52 . 1,80 4-15,71
4 3,439 138,19 3,173 53,90
5 6,231 178,93 5,812 93,55
6 11,501 219,62 10,850 133,45
7 21,548 260,29 20,50 173,51
8 40,82 300,92 39,07 213,69
9 77,96 341,52 74,97 253,95
10 4 149,8 382,10 144,58 294,27
Пример 222. По стальному проводу [у = 107 (Ом-м)-1; ц = 103]
диаметром 6,04 мм течет синусоидальный ток I = 100 А частотой 50 Гц.
Определить плотность тока на поверхности и на оси провода.
Решение.
= У In • 50 • 1,256 • 10-6 • 103 • Ю7 = 1985 м"1;
q = 1985 Y~j = 1985е- -'45°; а = 0,00302 -1985 = 6.
По табл. 23.1 найдем
70(7а) = Л(б]/=7) = 11,5е/219.б°; Ьо = 11,5, ро = 219,6°;
А(9а) = Л(б1/^7) = 10,85е'133>«’) ь1= 10,85, (\= 133,45°.
По формуле (23.40) определим плотность на оси провода:
60 = -г7-т-= 96,5 Ю4е-/178°зо' А/м2.
0 2naJ1 (qa) ’ ‘
По формуле (23.42), плотность тока на поверхности провода:
6a==60J0(^) = 111 • 105е/41’10 А/м2.
§ 23.9. Применение теоремы Умова — Пойнтинга для определения
активного и внутреннего индуктивного сопротивления проводников
при переменном токе. Активное и внутреннее индуктивное сопротив-
ления проводников при переменном токе часто определяют с помощью
теоремы Умова — Пойнтинга в комплексной форме. С этой целью под-
считывают поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность про-
водника на длине в 1 м и делят его на квадрат тока, протекающего
по проводнику; получают комплексное сопротивление проводника на
единицу длины.
146
Действительно,
— ф я] dS = Р + jQ = РР + jPX = PZ
И
Z = j? + /X=—?1/2
В качестве примера определим активное и внутреннее индуктивное
сопротивления цилиндрического провода (см. рис. 23.8) на длине 1 м:
__ ЁаЯа2ла-1 1Аоур,а /?ое~"745°е7^°.
/2 2луад1е7^1
Я = cos (₽0 - - 45°); X = sin (р _ р 45°)
2лауЬ1 чи г± 7 2л«у^1 ' и Г1 7
§ 23.10. Экранирование в переменном электромагнитном поле. Явле-
ние затухания электромагнитной волны в поверхностном слое металла
используют для экранировки в переменном электромагнитном поле.
Электромагнитные экраны представляют собой полые цилиндри-
ческие, сферические или прямоугольные оболочки, внутрь которых
помещают экранируемое устройство (например, катушку индуктив-
ности, измерительный прибор и т. п.).
Экран выполняет две функции: 1) защищает устройство, заклю-
ченное в экран, от влияния внешнего по отношению к экрану электро-
- магнитного поля; 2) защищает внешнее по отношению к экрану про-
странство от электромагнитного поля, создаваемого устройством,
заключенным в экране.
Поскольку на расстоянии, равном длине волны, электромагнит-
ная волна в металле почти полностью затухает, то для хорошей экра-
нировки толщина стенки экрана должна быть примерно равна длине
волны в металле. Практически приходится учитывать и другие фак-
торы (механическую прочность экрана, его стоимость и т. д.).
§ 23.11. Сопоставление принципов экранирования в электроста-
тическом, магнитном и электромагнитном полях. Экранирование в пе-
ременном электромагнитном поле основано, главным образом, на том,
что электромагнитная волна, проникающая в стенки экрана, быстро
затухает, расходуя энергию на покрытие потерь, обусловленных вих-
ревыми токами в стенках экрана.
Электростатическое экранирование основано на компенсации внеш-
него поля полем зарядов, выявившихся на стенках экрана из прово-
дящего материала вследствие электростатической индукции (см. § 19.21).
Толщина стенок экрана при электростатическом экранировании в от-
личие от экранирования в магнитном и электромагнитном полях
может быть сколь угодно малой.
Экранирование в магнитном поле постоянного тока (см. § 21.21)
основано, грубо говоря, на том, что силовые линии магнитного поля
преимущественно проходят по участкам с меньшим магнитным сопро-
тивлением (по стенкам экрана).
147
§ 23.12. Высокочастотный нагрев металлических деталей и не-
совершенных диэлектриков. Нагрев металлических деталей перед
ковкой и штамповкой, сушку древесины, наплавку и реставрацию ин-
струментов часто производят путем помещения этих предметов (деталей)
в электромагнитное поле сравнительно невысокой частоты (1—20 кГц).
Стальные изделия (например, валы, шестеренки) нередко подвергают
поверхностной закалке, помещая их в электромагнитное поле более
высокой частоты (порядка 10—500 кГц).
В соответствии с § 22.7 энергия, выделяющаяся в виде тепла в про-
водящем теле, равна Re J— ф [е //] dsl. Электромагнитная волна, про-
[ s J
никая в толщу металла, быстро затухает. Поэтому теплота выде-
ляется практически лишь в относительно тонком поверхностном слое
стального изделия.
Под действием теплоты, выделившейся в поверхностном слое,
последний быстро разогревается до температуры, необходимой для
поверхностной закалки. Область еще более высоких частот (1—30 МГц)
используется для высокочастотного нагрева пластмасс перед штампов-
кой, для термической обработки пищевых продуктов, вулканизации
резины и для других целей.
Вопросы для самопроверки
1. От каких факторов зависит постоянная распространения р= /г + jk и вол-
новое сопротивление Zs? 2. Чем физически объясняется затухание волны по мере ее'
проникновения в проводящую среду? 3. Чем следует руководствоваться при проек-
тировании электромагнитного экрана? 4. Какой процесс отображает фазовая скорость?
5. В чем отличие между электрическим и магнитным поверхностным эффектами?
6. В чем состоит эффект близости? 7. Составьте условие, при котором плотность тока
на поверхности цилиндрического провода находится в противофазе с плотностью
тока на оси провода. 8. Как применить теорему Умова—Пойнтинга для определе-
ния комплексного сопротивления провода? 9. Почему сердечник высокочастотного
трансформатора выполняют из феррита, а низкочастотного — из листового мате-
риала? 10. Решите задачи 22.12; 22.20; 22.24; 22.28.
ГЛАВА ДВАДЦАТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ОДНОРОДНОМ
И ИЗОТРОПНОМ ДИЭЛЕКТРИКАХ И В ПОЛУПРОВОДЯЩИХ
И ГИРОТРОПНЫХ СРЕДАХ
§ 24.1. Распространение электромагнитных волн в однородном и
изотропном диэлектрике. Проводимость у идеального диэлектрика
равна нулю. Поэтому в первом уравнении Максвелла (22.1) первое «
слагаемое правой части (6 — уЕ) выпадает, и уравнения Максвелла
для диэлектрика получают следующий вид:
rot/? = /coeaE’; (24.1) |
rot Е = — /сора//; (24.2)
divB = 0 и div£ = -^^°l.
еа
148
!
Для однородных и изотропных диэлектриков ра = const и условие
div ра Н = Q равносильно условию div Н — 0.
Решим совместно уравнения (24.1) и (24.2). С этой целью возьмем
ротор от уравнения (24.1). Получим rot rot Н = grad div Н — V2 ii =
te/«8a rot Е.
Так как div Н = 0, то и grad div Я = 0. В свою очередь rot Ё
на основании второго уравнения Максвелла равен —/®ра Н. Поэтому
' — V Д = /<оеа [—
или
V2# = —и2еар(Д. (24.3')
Произведение еара измеряется в с2/м2:
т. е. 8ар,а имеет размерность, обратную размерности квадрата ско-
рости, и потому можно принять еара = 1/f2. После введения такого
обозначения уравнение (24.3') получает следующий вид:
V2H=-(“-jM. (24..3)
Для плоской электромагнитной волны, распространяющейся в на-
правлении оси z в соответствии с предыдущим, можно принять, что
напряженность магнитного поля направлена вдоль оси у, т. е.
Й^Н. (24.4)
Так как для плоской волны Й зависит только от координаты z
и не зависит от координат х и у, то уравнение
( д2 д2 д2 \ -у _____ f ® .
\ дх2 ‘ ду2 ‘ dz2 ) 1 \ v / !
приобретает следующий вид:
# - - ( ” R (24.5)
dz2 \ v J \ /
Уравнению (24.5) соответствует характеристическое уравнение
о / (О \2 .СО . (О
р ’ корни КОТОРОГО Pi^lT и р2 = — !~у-
Общее решение уравнения (24.4):
Н = С^е “2 + С2е“' 'К (24.6)
где Сг и G-2 — комплексные коэффициенты, зависящие от граничных
условий. Как и всякое комплексное число, их можно представить
в показательной форме: и С2 = С2е7^.
149
— ’ — 2
Слагаемое С2е v представляет собой падающую волну, прояви-
.(&
кающуюся в положительном направлении оси z, а слагаемое Схе v —
отраженную волну, распространяющуюся в отрицательном направ-
лении оси z.
Напряженность электрического поля Е найдем по уравнению
(24.1): . ,
Как следует из предыдущего [см. формулу (23.10)1, для плоской
волны
Поэтому
, q t dH\
rot /1 = t----г- .
\ dz )
Величину Д- — — 8а|Ла- — ГД'-- называют волновым сопротивлением
диэлектрика: ZB = ]/pa/8a.
Волновое сопротивление является чисто действительным числом
(измеряется в омах):
7 т/" ИоН __ 1,256 • 10-<5 Г/м • р, _о77 1/"У Пкд
Zb“ У 8а “ V 808 “ У 8,86-10-12 ф/м-8 У Т °М’-
Оно не зависит от угловой частоты колебаний со. Для вакуума
8=1 и р, = 1, поэтому ZB = 377 Ом. Следовательно,
Е=ЁЁ, (24.7)
где
Ё = ZBC2e 7 v z — ZBC1e7 v \
Присутствие единичного орта оси х (орта I) в формуле (24.7) сви-
детельствует о том, что вектор напряженности электрического поля
направлен по оси х.
Таким образом, в плоской электромагнитной волне, распростра-
няющейся в диэлектрике, как и для проводящей среды, ЁЁиН взаимно
перпендикулярны: Н направлено по оси у, Е — по оси х.
Запишем выражения для мгновенных значений Н и Е падающей
волны. Чтобы получить мгновенное значение падающей волны Я, не-
~j~z
обходимо комплекс v умножить на е'со/ йот произве-
дения взять мнимую часть. В результате получим
Н = С2 sin fco/ + z\; (24.8)
150
аналогично,
E = C2ZBsin (со/ + фя —
(24.9)
По мере продвижения падающей волны вдоль оси z амплитуды Е
и Н остаются неизменными, т. е. затухания волны не происходит,
так как в диэлектрике нет токов проводимости и выделения энергии
в виде теплоты.
На рис. 24.1 изображены пространственные кривые, представляю-
щие собой графики мгновенных значений Н мЕ. Эти графики построены
по уравнениям (24.8) и (24.9) для момента времени со/ + = 0.
Рис. 24.1
Для более позднего момента времени, например для со/ + = 90°,
аналогичные кривые изображены на рис. 24.2.
Как видно из рис. 24.1 и 24.2, вектор Е при его изменении остается
направленным в плоской волне вдоль оси х, а вектор Н — вдоль оси у,
сдвига по фазе между Н и Е нет.
Проверим правильность построения графика Е = f (z) на рис. 24.1.
Кривые на рис. 24.1 построены при со/ + = 0, поэтому уравне-
нием кривой Е = f (г) является выражение [в соответствии с (24.9)]:
£при coz'4-^ = 0 — 2sin ( — z\ .
При 2 = 0 Е = 0. В интервале от 2 = 0 до -~г~п мгновенное
значение Е отрицательно. При — а = яЕ = 0ит. д.
Вектор Пойнтинга падающей волны направлен вдоль оси z. Модуль
П изменяется по закону
П = C%ZB sin2 (at— z + .
Так как
.9 1 — cos 2а
sin2 а =---g----,
то
77 = f1 - cos (2“* - V 2 + 21M1 ’
151
C3Z
т. е. вектор Пойнтинга имеет постоянную составляющую —и пе-
ременную, изменяющуюся во времени с двойной угловой ча-
стотой.
Фазовая скорость электромагнитной волны в диэлектрике:
V . (24.10)
V Ра£а
Если волна распространяется в вакууме, то еа = е0 и ра = р0, и
тогда фазовая скорость равна скорости света:
v
1
] Т~256 • 10-е • 8,86 • 10-1*
300 000 км/с.
Таким образом, фазовая скорость электромагнитной волны
в диэлектрике очень велика, и она несоизмеримо больше фазо-
вой скорости плоской электромагнитной волны в проводящей
среде.
Длина волны X есть расстояние вдоль оси г, на котором фаза коле-
бания изменится на 2л. Ее находят из соотношения = 2л.
V
Отсюда
(24.11)
Из (24.11) видно, что длина волны в диэлектрике обратно пропор-
г г- г т- п 300 000 км/с
циональна частоте /. Так, при f = 10ь Гц л — —300 м.
Пример 223. В плоскости z = 0 напряженность электрического
поля плоской волны изменяется по закону Е = Ет sin (со/ + ф/г)г
где Ет = 0,2 В/м, со = 106 с-1 и = 30°; диэлектрик — воздух.
Записать выражения для мгновенного значения напряженности
магнитного поля и вектора Пойнтинга в плоскости z = 0,5 км.
Решение.
Н = — sinful— -zY, 4^ = ^Д=5,315-10 4 А/м;
в \ в о//
z = 4™^- = 1,665 рад 95°20'.
V о • 1 и° 1
Следовательно, 77 = 5,315-10-4 sin (106/— 65° 20') А/м. Мгновенное
значение вектора Пойнтинга при г — 0,5 км:
П = ЕгпН^ |- j _ cQS + 2^)1 =
= 5,315-10 5[1 - cos (2-106/— 130°40')] Вт/м2.
§ 24.2. Плоские волны в однородных и изотропных полу проводящих средах.
Кратко рассмотрим вопрос о распространении плоской электромагнитной волны
в однородных и изотропных полупроводящих средах (морской воде, почве, ионосфере,
ферритах). При достаточно высоких частотах токи проводимости и токи смещения
в полупроводящих средах оказываются соизмеримыми. Уравнения rot Н — (у +
152
+ 7со8а)Е и rot Ё----fopjl после введения обозначений 81 = 8,. — j = 8. —
со
— /s', где &' — у/со, для плоской волны приводятся к следующему:
d- И
со^^Я. (а)
Последнему соответствует характеристическое уравнение р2 — —со^рд. Решение
уравнения (а) Н — С1ер^ус2ер-г, где Cj и С2 — постоянные интегрирования, за-
висящие ог граничных условий. Постоянные распространения:
о , • со о . со
А = ^ + / -- и р2 = —
<?i VL
Коэффициент затухания
I
и фазовая скорость
зависят от величины . При выводе использованы формулы
. а -а / 1 — cos а а -д Г 14- cos а
81П 2 = Г —1---------- И C0S 2= У -----------2~-
Напряженность электрического поля для падающей волны Ёп — linZQt где
волновое сопротивление
Сдвиг по фазе между Еп и Нп находится в интервале от 0 до 45° в зависимости
от соотношения между 1 и 87sa.
Заметим, что параметры 8, и р полупроводящих сред являются функцией ча-
стоты и комплексными числами (ср. с § 22.8). Эти зависимости должны быть известны
перед проведением расчета. Для ферритов решение приближенно, так как р ферри-
тов зависит еще и от величины напряженности магнитного поля.
Среды с потерями, для которых фазовая скорость и коэффициент затухания
зависят от частоты, называют диспергирующими.
В заключение коснемся понятия групповой скорости. Оно используется глав-
ным образом при рассмотрении вопроса о распространении радиосигналов в среде
с потерями. Так как радиосигнал образован совокупностью’волн, имеющих разные
’частоты, а [3 и гд зависят от оз, то огибающая импульса при его движении в среде с по-
терями непрерывно деформируется. Групповой скоростью называют скорость пере-
мещения максимума огибающей сигнала (импульса), так как скорость перемещения
этого максимума характеризует скорость перемещения энергии группы волн.
Выведем приближенную формулу для групповой скорости распространения вол-
ны в полупроводящей среде. Положим, что вдоль оси z распространяются два коле-
бания A sin at и. A sin (со + Доз) t.
Для частоты со р == £ + /а (а = со/сд), для частоты со + Дсо р = £ + Др +
/ (а + Да). Сумма колебаний вдоль оси г:
Ле"^ sin (со^ —ссг) +Ле-Рге~sin [(со + Дсо) t — (а + Да) г].
153
Полагая, что A(3z < 1 и е 1, и используя формулу sin v + sin р =
п V—р . v+p
= 2 cos —sin —, получим
п , о-, / Дсо , Да \ . Г/ . Дсо \ , [ , Да \ 1
2Де~₽г cos /------2" zj sm |д со -j——j t — (а \ zj .
Скорость перемещения огибающей результирующего колебания вдоль оси z
„ Дсо , Да
найдем, взяв производную по времени от аргумента—g-/---~z, полагая его посто-
Дсо 1
янным: t)rD = .
р Да da Ida
При е~^Л2, заметно отличающемся от 1, форма сигнала при его движении вцоль
оси z настолько деформируется, что исчезает информация, заключенная в сигнале.
В этом случае понятие t'rp теряет смысл.
§ 24.3. Граничные условия на поверхности раздела двух полупроводящих сред.
Граничные условия на поверхности раздела двух полу проводящих сред обобщают
граничные условия на границе раздела двух идеальных диэлектриков (см. § 19.24)
и граничные условия на границе раздела двух проводящих сред (см. § 20.6).
Запишем граничные условия для синусоидально] изменяющегося поля (потому
над Ё ставим точку), частным случаем которого является поле, неизменное во вре-
мени. Формула (19.24), совпадающая с формулой (20.10), справедлива и для полу-
проводящей среды; только, учитывая синусоидальный характер поля во времени,
ставим точки над .
Ёи = Ё21. (24.12)
Формулы (19.35) и (20.11) различны и поэтому следует образовать более общее
выражение, частными случаями которого были бы эти формулы. С этой целью возь-
мем дивергенцию от обеих частей уравнения rot Ё1 = (у + /соеа)£. Так как
div rot Н ~ 0, то и
div (? + /со8а) Е = 0. (24.13)
На границе раздела двух полупроводящих сред выделим прямой сплющен-
ный параллелепипед очень малых размеров. Его донышко находится в одной среде,
а крышка — в другой. Из (24.13) следует, что:
(Vi + /<оеа1) = (72 +/соеа2) Ё2п. (24.14)
Формулы (24.12) и (24.14) представляют искомые граничные условия.
§ 24.4. Переходные и релаксационные процессы в несовершенных диэлектри-
ках. Процессы в полупроводящих средах должны удовлетворять уравнению непре-
рывности:
div 6 = - -(24.15)
и теореме Гаусса:
divO = pCBO6. (24 16)
В соответствии с законом Ома в уравнение (24.15) подставим 6 — уЕ:
Ё grad 7 + 7 div Ё = — gp^°6 . (24.15')
В уравнении (24.16) заменим D на 8аЕ:
gradea£4-ea div£ = pCBo6. (24.16')
154-
Из (24.16') найдем:
div £Рсвоб Е grad 8а
(24.17)
Подставим (24.17) в (24.15'):
бр^6 + ~ Рсвоб = Е grad еа — Е grad у.
C/4 fca Ьа
Преобразуем правую часть (24.18):
Еу (у grad еа - grad у}=$ ~ grad Щ
va \ Y Y / еа \ Y -
ИЛИ
дрсвоб , Т J тг огй<1Ра \
dt еа Рсво6 еа grad^ V/ '
(24.18)
(24.18')
Уравнение (24.18г) является дифференциальным уравнением относительно сво-
бодного объемного заряда. Оно описывает переходные и установившиеся процессы
в самой полупроводящей среде (не идеальном диэлектрике).
В установившемся режиме pCBo6=dgrad • Если среда однородна (ва/у =
= const), то в установившемся режиме свободный объемный заряд не накаплива-
ется, т. е. рСВоб ” 0. Переходные процессы в однородной полупроводящей среде опи-
сываются уравнением Рсвоб = 0. Если к началу переходного процесса
при t = 0_ рСВоб = Рсвоб (0-)> то объемный заряд в этой точке поля рассасывается
_-Ъ
по экспоненте Рсвоб = Рсвоб (°-) е а *
Время уменьшения рсвоб ве = 2,72 раза называют врелгенем релаксации. В не-
совершенной изоляции время релаксации может составлять от нескольких единиц
до нескольких десятков секунд. Если конденсатор с несовершенной изоляцией, на-
ходящийся под напряжением, отключить от источника напряжения, затем на неко-
торое время замкнуть проводником накоротко и этот проводник убрать, то на за-
жимах отключенного от сети конденсатора вновь появится напряжение за счет расса-
сывания объемного заряда. В металлах время релаксации составляет около КГ1? с,
т. е. рассасывание объемного заряда происходит практически мгновенно.
§ 24.5. О расчете полей в несовершенных диэлектриках и вязких
средах при установившемся синусоидальном режиме. В соответствии
с § 24.3 в синусоидально изменяющемся поле проводимость является
КОМПЛеКСНЫМ ЧИСЛОМ у = у + /(08а.
Изменяющийся во времени ток, протекающий по несовершенному
диэлектрику, создает в нем изменяющееся во времени магнитное поле.
Однако если последнее слабо, то его влиянием на электрическое поле
в первом приближении можно пренебречь и рассчитывать электриче-
ское поле в ’полупроводящих средах по формулам для статических
полей в проводящих средах, вводя в соответствующие формулы ком-
плексную у вместо вещественной у. А так как формулы для расчета
электрических полей в проводящих средах в условиях статики следуют
из формул для расчета соответствующих электростатических задач
(см. § 19.32—19.36, 19.39, 19.40 и др.), то надлежит использовать
формулы электростатики, заменяя в них 8 на у.
155
Аналогичный подход применяют при расчетах квазистатических
электрических полей в вязких диэлектриках, вводя комплексное .ел,
и при расчетах квазистатических магнитных полей в магнитно вязких
материалах при отсутствии вихревых токов (в ферритах), вводя ком-
плексное |Ла.
§ 24.6. Определение гиротропной среды. Гиротропными (вращающими) на-
зывают среды, в которых плоскость поляризации электромагнитной волны повора-
чивается по мере распространения волны вдоль некоторого направления.
В гиротропной среде р или в для малых переменных составляющих является
тензором. Наиболее распространенными на практике магнитными гиротропными
(гиромагнитными) средами являются намагниченные постоянным магнитным полем
ферриты (у них тензором является рс!) и намагниченные постоянным магнитным по-
лем ионизованные газы — гироэлектрические среды (у них тензор — ва). Далее в ка-
честве гиротропной среды будет использоваться феррит.
§ 24.7. Тензор магнитной проницаемости феррита. Сначала вспомним, что на-
зывают прецессией.
Йз механики известно, что скорость изменения момента количества движения
(dM)!(df), вращающегося вокруг своей оси с угловой скоростью со волчка (гироскопа),
равна приложенному к нему вращающему моменту (рис. 24.3, а):
dM
(24.19)
Здесь г — расстояние волчка от вертикальной оси a; F — сила тяжести.
Радиус R вращающегося волчка описывает боковую поверхность конуса.
Такое движение называют прецессией.
В феррите, помещенном в постоянное магнитное поле индукции В — /<В, вектор
намагниченности J единицы обьема вещества совершает прецессионное движение
подобно вращающемуся волчку (ряс. 24.3, б). Если не учитывать создаваемое вяз-
ким трением затухание, прецессия описывается уравнением Ландау—Лившица
(dJ)/(dl) = x [Й7],
(24.20)
где коэффициент у = 1,756-10п T lc J.
При наличии вязкого трения индукция В оказывается уменьшенной на вели-
чину, пропорциональную скорости изменения (dJ)!(dt), В — поэтому
dJ
(24.21)
I / D I
—— = у В — цоа J .
dt [ \ ' и at / |
Если в начало координат поместить малую ферритовую сферу рис. 24.3, в и
постоянное магнитное поле индукции BQ направить по оси 2, а малое по амплитуде
156
синусоидально -изменяющееся переменное поле индукции b частоты оз направить по
осям х и у, b = ibx + jbyi то В = ibx + jby + kBG, В свою очередь намагничен-
ность 7 = 4x + 7jy+ Г(Jo+ /г)-
Учитывая временной фактор множителем е/й)^, производную (dj}/(dt) заменим
на /со (Z/х + jjy -г ~kjz). После подстановки всех величин в (24.21), пренебрежения
слагаемыми второго порядка малости (например, произведением bxjy), окажется,
что jx зависит не только от bXi но и от byi a ]у не только от Ьу, но и от Ьх:
bx by bx bLj
ix=kxx^+kxy^' iy=kyx^+kyiJ~^'
kxx = kyy = -m (Bo+Jo) HoJoY2; kxy = — kyx= — ]'шуцаJ0/m;
m = y2 (Bq + J J2—<o2.
Коэффициенты kxx и kxy играют роль магнитной восприимчивости. Коэффи-
циент kXK имеет действительную /?vvl и мнимую /?vv2 части. Аналогично две части имеет
Во ’ "
и kx,,. При оз = озр о ...- " действительная часть т равна нулю. При этом
V афсмо+у”2
kxxl достигает максимума и наблюдается гиромагнитный резонанс.
Когда вязкое трение отсутствует, а — 0 и оз = озр — yBG. При Во = \Т ыр~
= 1,75* 1011с-1.
Если Г=/7\- (bz/ = 0), то /\ = -—----- и /„ =----т. е. несмотря на
у2 В 5 — оз2 у1 В л — оз2 ’
то, что Ьу — 0, переменная составляющая вектора J имеет компоненты по осям
х и у, сдвинутые во времени на 90и (множитсль —j у jy). Эго означает, что поле век-
тора j поляризовано в плоскости хоу.
Тензор абсолютной проницаемости феррита, намагничиваемого постоянным
магнитным полем индукции Во, направленным по оси г, и малым переменным полем
по осям х и у, следующий:
— jc 0 "
it О
О и.
Ра=Фо
U
Iе
О
(24.22)
— 1 -j- ЬХХ1 с
^озуроЛ
т
Рг^1 +^о,
/?0 — восприимчивость феррита в постоянном магнитном поле.
§ 24.8. Распространение плоской волны в гиромагнитной среде. Положим,
что в феррите в направлении оси г, вдоль которой направлено постоянное магнит-
ное поле индукции Ьо, распространяется плоская электромагнитная волна частоты оз.
В соответствии с формулой (24.22)
Дг = Ро (['Hx — icIiyY Ву=\Ь> (jcHx+\.\.H,Jy, 6г=ц0ЦгЙг.
Ё =Н - = -Ф=0; £ = 7Тv+7£,,.
z г ОХ. Оу Х : 1 у
Подставим в уравнения Максвелла rot Н — и rot£ — —зна"
чения Е и В. Получим
dHy . dHx . dEy . . х
----= /®ea£v; -p-=/®ea£y;----------------p- = —Wo(nW.v-/cHy)>
az a- a. 1 (24 23)
-pp = — (jcHx+ЦЙy). J
157
Полагаем, что потери в феррите отсутствуют, и поэтому волна будет распространяться
без затухания. Тогда можно принять
ЁХ=ЁОЛ~^ Ёу=Ёоуё~^ Hx=Hox^pz\ Ну = HoyE~JPz. (24.24)
Ёох, &оу, Нох и Ноу — значения Ёх, Ёу, Нх и Ну при z — 0.
Совместно решая (24.23) с учетом (20.24), получим:
pHoy~®£iJ&oxi &Нох== (£т^Ёоу1 у (24^)
рЁоу ~ (1^Н0Х jcHoy), РЁ0Х — соря (fcH ох pH оу)' f
Из первых двух уравнений (24.25) найдем Йоу и Нох и подставим в остальные
два уравнения:
(р2 — 8ао)2рро) Ёоу = jceaw2p0Eox; (24.26)
(р2 — рро«2еа) Ёох = — /ф0со2еаЕ0^. (24.27)
Совместно решая (24.26) и (24.27), получим уравнение относительно р:
(р2 — eauuoco2 — /72Еац0®2) (р2 — SaPPo^2+^еаю2р.о)=0. (24.28)
Уравнение (20.28) имеет два корня, удовлетворяющих условикГзадачи р+ ==
= СО V8аРо(Р + С) и р~ = со/8ар0(Р — с).
Подставляя найденные значения р в (.24.26) и (24.27), найдем Еоу = ±jE0X.
Если р = р+, то Ёоу — +/Е0Х, т. е. Ёоу по фазе опережает Ёох на 90°, этому
соответствует правое вращение плоскости поляризации и фазовая скорость
р+= = , = • Если р = р~ то Ёоу= —jE0X, т. е. Ёоу отстает от Ёох
Р' т ^аРо \P~HQ
на 90°— левое вращение плоскости поляризации, ему соответствует фазовая скорость
со 1
V~ =----= -J==.
Р~ Уеаро(р — 0’
Положим, что вдоль оси z распространяется волна, компоненты которой, соот-
ветствующие правой и левой поляризации, имеют одинаковые амплитуды Ет:
Е'х — Ет sin (со? — р+г), Еу = Ет cos (со?—p+z);
Ex = Ет sin (со/ — р_г), Еу = — Ет cos (со/ — p~z).
Проекция суммы напряженностей на оси х и у'.
Ех = Ех + Ех = 2Ет cos [0,5 (р+ —р~) z] sin [со?—0,5 (р+ + р~) г];
Еу = Еу-}-Еу = 2Ет sin [0 5 (р+ — p~)z] sin [со/ — 0,5 (р4’ + р“) г].
Результирующая напряженность поля:
ЕР=УГ Ех+Еу = 2Ет sin [со/ —0,5 (р+ + р~) z].
Волна поляризована в плоскости, проходящей через вектор Ер и ось z. Тангенс
_ Еу
угла Р между вектором Ер и осью х tg р =-g—= tg [0,5 (р+—р~) г].
Угол Р увеличивается пропорционально расстоянию z. Среда называется гиро-
тропной (вращающей) потому, что плоскость поляризации волны непрерывно пово-
рачивается с ростом z (эффект Фарадея).
Если электромагнитная волна будет распространяться вдоль оси —z (т. е. встреч-
но постоянному полю Во), то коэффициент с изменит знак, в результате направление
вращения плоскости поляризации (если смотреть вслед волне) сохраняется прежним,
а не изменится на противоположное, т. е. для гиротропной среды не выполняется
принцип взаимности.
Эффект вращения плоскости поляризации волны используется для создания
вентильных свойств волноводного тракта, например, в устройстве, называемом
158
циркулятором (отрезок волноводного тракта, заполненного ферритом), с двух сто-
рон которого находятся поляризаторы. В волноводе с таким устройством электро-
магнитная волна может проходить только в одном направлении, а в другом она за-
держивается одним из поляризаторов.
Вопросы дня самопроверки
1. На какую долю процента скорость света в воздухе (s = 1,0006) и волновое
сопротивление меньше, чем в вакууме? 2. В некоторой точке диэлектрика Е =
= iEm sin cd/. Определите Н и rot Н в этой точке. 3. В некоторой точке диэлектрика
Н = jHm cos cd/. Определите Е и rot Е в этой точке. 4. При какой частоте амплитуда
плотности тока проводимости равна амплитуде плотности тока смещения для сухой
почвы, у которой у = 10~8 Ом^-д-Г1? 5. Каковы особенности распространения элек-
тромагнитных волн в полупроводящей среде и в гиротропной среде? 6. Из формул
для ZB, Цф и коэффициента распространения для пол у проводя щей среды получите
формулы соответствующих величин для диэлектрика и для проводящей среды.
7. Из граничных условий для полу проводящей среды получите граничные условия
для диэлектрика и для проводящей среды. 8. Решите задачи: 22.15; 22.16; 22.17;
22.46; 22.47.
ГЛАВА ДВАДЦАТЬ ПЯТАЯ
ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ ПЕРЕМЕННОГО
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ И ИЗЛУЧЕНИЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ЭНЕРГИИ
§ 25.1. Вывод уравнений для А и ср в переменном электромагнит-
ном поле и их решение. Переменное электромагнитное поле создается
токами и зарядами, зависящими не только от координат, но и от вре-
мени. Рассмотрим, каким уравнениям подчиняются векторный и ска-
лярный потенциалы Л и ср в переменном электромагнитном поле.
С этой целью выпишем систему уравнений Максвелла:
rot Н = 6 + 8а ; (25.1)
rot£ = -jia-f-= -Д|-; (25.2)
divB = 0; (25.3)
div£ = -2^1. (25.4)
Ла
Дополним ее уравнением непрерывности:
div6 = —(25.5)
и выражением магнитной индукции через векторный потенциал:
В = rot А. (25.6)
* В дальнейшем индекс «своб» писать не будем.
159
Для того чтобы составить уравнение относительно векторного
потенциала, необходимо проделать ряд выкладок. Умножив (25.1)
на {ха, получИхМ
rot5 = ^/+gaea-^-.
В последнем уравнении заменим раеа на 1/п2:
1 аг
rotB = M + -^-^-. (25.7)
В (25.7) вместо В подставим rot Л, получим
rot rot А =Иа6 4--С^-,
ИЛИ
graddiv А — VM = ра6 + “о(25.8)
Затем в (25.2) вместо подставим rot Л = rot (операция
взятия ротора и дифференцирование во времени не зависят друг от
друга и потому взаимно переместимы). Тогда (25.2) приобретает сле-
дующий вид:
rot Д =—rot (25.9)
/ _ \
Если равны роторы от двух функций от Е и-то сами функ-
ции равны с точностью до градиента от некоторой скалярной функции.
Объясняется это тем, что ротор от градиента скалярной функции
тождественно равен нулю (rot grad <р = 0).
Таким образом,
E = -^--grad<p. (25.10)
В (25.10) в качестве градиента скалярной функции взят grad ср'.
Объясняется это тем, что уравнение (25.10) должно быть справедливо
и для статического поля. А так как в статическом поле = 0, то
выражение, которое получается из (21.10) для статического поля,
должно совпадать с известным из электростатики выражением:
Е = — grad ср.
В соответствии с (25.10) можно сказать, что в переменном электро-
магнитном поле напряженность электрического поля имеет две состав-
ил I *
ляющие. Одна из них ( — обусловлена переменным магнитным
160
полем, другая (— grad ср) — неподвижными зарядами*. Возьмем цир-
куляцию от вектора Е по любому замкнутому контуру:
Е dl = — — Adi — grad ср dl.
Циркуляция от градиента ср тождественно равна нулю, a §>Adl
в соответствии с уравнением (21.26) есть магнитный поток Ф, прони-
зывающий выбранный контур. Таким образом,
(’• ^E~dl= — ~, (25.10')
т. е. из (25.10) получили (25.10') — закон электромагнитной индук-
ции.
Обратим внимание на то, что формула (25.10), определяющая В, записана для
случая неподвижных тел и сред и при отсутствии сторонней напряженности поля
Встор, возникающей, например, при соприкосновении проводящих тел различного
химического состава или имеющих неодинаковую температуру.
В более общем случае, когда тело или среда движется со скоростью v в магнитном
поле, индукции В (и и В измеряются в одной и той же системе координат, а скорость
v значительно меньше скорости света) и когда в данной точке поля имеется £сгор,
результирующая напряженность поля будет состоять из четырех компонент: Е =
дА -»
= —gradcp—--+ Естор + [нВ]. Первые два слагаемых имеют тот же смысл,
что и в (25.10), третье — сторонняя напряженность поля, четвертое — магнитная
составляющая силы Лоренца, представляющая собой силу, действующую на единич-
ный заряд, двигающийся со скоростью v в магнитном поле индукции В. Все четыре
компоненты Е в одной и той же точке поля одновременно, как правило, не возни-
кают.
dF
В уравнении (25.8) участвует производная . Найдем ее из (25.10):
и подставим в (25.8):
grad div А - = ра6 - ~~ - grad ~ .
Последнее уравнение можно переписать следующим образом:
grad(divX + H§)-V2;r + iS=i-1^- О5.Н)
Вектор-потенциал представляет собой функцию, ротор которой
равен В. В‘гл. 21 отмечалось, что вектор-потенциал Л должен быть
подчинен определенному условию, а именно: в постоянном магнитном
поле div Л = 0, т. е. линии вектора представляют собой замкнутые
сами на себя линии.
* Первую из них можно назвать вихревой составляющей, вторую — потенци-
альной (или кулоновой).
161
В переменном электромагнитном поле таким требованием к век-
тору-потенциалу является требование (калибровка Лоренца):
divT=—(25.12)
v2 dt 4 '
Нетрудно убедиться в том, что для неизменного во времени поля
условие (25.12) сводится к условию div Л = 0. В дальнейшем будет
показано, что это условие является уравнением непрерывности div 6 =
= — (§ 22.3), записанным в иной форме.
Вместе с тем уравнение (25.12) свидетельствует о том, что в пере-
менном электромагнитном поле между векторным потенциалом А и
скалярным потенциалом ср существует определенная связь и что функ-
ции А и ф зависят друг от друга.
С учетом (25.12) уравнение (25.11) приобретает вид:
V2Z-l^- = -Ha6 (25.13)
и называется уравнением Даламбера.
-* d2A
Если А не является функцией /, то и уравнение (25.13)
переходит в уравнение Пуассона.
Уравнение (25.13) является неоднородным векторным волновым
уравнением. Его часто записывают в иной форме:
□ 2Л = —Иа6. (25.13')
Оператор □2 = V2 — ~~ называют четырехмерным лапласиа-
ном (за четвертое измерение принимают время /).
Выясним, какому уравнению в переменном электромагнитном поле
подчиняется потенциал ср. С этой целью в уравнение (25.4) вместо на-
пряженности Е подставим ее эквивалент по (25.10):
div ( — ~— grad ср) = — или — div А — div grad <р = .
у Ot j £а ОТ
Но divX=----и, следовательно, — хД div Л
v2 dt dt v2 dt2
В свою очередь div grad <р = V2cp. Поэтому уравнение (25.4) при-
обретает следующий вид:
V2(p-^=-r- <25-14)
Таким образом, в переменном электромагнитном поле скалярный
потенциал <р удовлетворяет неоднородному волновому уравнению
(25.14). Если поле статическое и потенциал не является функцией
времени, то (52ср)/(dt2) = 0 и уравнение (25.14) переходит в уравнение
Пуассона V2cp =— обсуждавшееся в § 19.19.
1G2
Для того чтобы убедиться в том, что уравнение (25.12) совпадает
с уравнением непрерывности (22.3), проделаем следующие выкладки.
Применим оператор П2 к обеим частям уравнения (25.12):
□ 2divX=-D«lJ-.
Внесем оператор О2 под знак дивергенции и под знак производной
по времени. Получим
divD2T=-lAoV (25.15)
В соответствии с (25.14') в (25.15) вместо О2Л подставим—|лаб,
а вместо П2<р подставим ——. Будем иметь
еа
-divpa6 = 4-4^-. (25.15')
Вынесем [ia из-под знака дивергенции, а еа — из-под знака произ-
водной по времени, поменяем знаки и разделим обе части равенства
на ра:
div«=-^r#- (25.16)
Так как - 1|| — 1, то уравнение (25.16) есть уравнение непре-
Б^8а11а
л. др
рывности di v 6 —-.
Обсудим вопрос о решении уравнения (25.14). Запишем решение
д2ф А
уравнения для двух частных случаев: для случая, когда = О,
но — =#0, и когда — = О, но 4Ху=0. После этого на основании
8а 8а 01
физических соображений запишем решение уравнения (25.14) в общем
виде, так что оно будет переходить в известные решения для частных
случаев.
Если = 0, то уравнение (25.14) переходит в уравнение Пуас-
сона, общее решение которого известно из раздела электростатики
(см. § 19.19):
_ 1 С р dV
J R
V
Составляющая потенциала ср от элементарного заряда pdV равна
1 pdV
4л8а R
При р = 0 уравнение (25.14) приобретает вид волнового уравнения:
= (25.17)
163
В частном случае для плоской волны ср зависит только от простран-
ственной координаты г:
д2ф
dz2
1 (Э-ср
V2 dt2
(25.17')
Решением (25.17) является выражение:
Причем функции Д и f2 могут быть любыми, лишь бы они позво-
ляли дважды дифференцировать их по t и г. Вид функций опреде-
ляется граничными условиями.
Напомним, что о волновом уравнении (25.17') уже говорилось при рассмотре-
нии вопроса о переходных процессах в линиях с распределенными параметрами
в гл. XII.
Функция Д \ t представляет собой падающую волну, распро-
страняющуюся в направлении оси +z, функция f2 + это отра-
женная волна, двигающаяся в направлении оси —г.
Чтобы определить, в каком направлении перемещается волнаU — -|j , надо
выяснить, как должно изменяться z с увеличением времени /, чтобы аргумент функ-
ции fi (t—оставался постоянным, например равным нулю. Если принять t —
2,
—-- — 0, то z = vt, т. е. с ростом t увеличивается г. Это означает, что волна распро-
страняется вдоль положительного направления оси г.
Покажем, что в сферической системе координат уравнению (25.17)
удовлетворяет функция v .—AZ , где £>— координата сферической
системы; v — скорость распространения волны. Действительно, в сфе-
рической системе координат
- 1 -А (/?2 аФ \ I 1 д Ап о дф \ 1 1 ^Ф
R2 dR V dRj “r R2 sin 6 дб \ дд ) ' R2 sin2 6 да2'
Так как в силу сферической симметрии ср является функцией только
то (дф)/(дб) и (дф)/(да) = 0. Поэтому
= <25J7'>
'('-И
Если в (25.17") подставить 7, то окажется, что ?2ф =
= также Равно
^Z-4)
Таким образом, функция х ° ' удовлетворяет уравнению
(25.17) в сферической системе координат.
164
Для неизменного во времени поля (см. § 19. 19) ср = и в то
же время решение для ср в пространстве, не занятом зарядами,
ф=—
Сопоставляя эти два выражения, находим
dV
\ V ) 4л8а
Таким образом, составляющая потенциала от заряда р (/) dV,
изменяющегося во времени, на расстоянии R от него равна
(25.18)
4neaR
следует понимать так: объемный заряд р
Выражение p
является функцией аргумента [t — -уj. Результирующее
'Потенциала получим, если просуммируем составляющие потенциала
от зарядов, распределенных в объеме V:
значение
dV
1 сД ‘
Ф 4леа J /?
V
Обсудим решение уравнения (25.13). В общем случае это уравне-
ние можно разбить на три уравнения для трех проекций вектора-
потенциала*. Каждое из уравнений в проекциях будет составлено от-
носительно скалярной величины (проекция вектора есть величина
скалярная). Общее решение для каждой из проекций проводится точно
так же, как проводилось решение для скалярной величины ср, но
вместо объемного заряда будет участвовать соответствующая проек-
ция плотности тока и ца вместо 1/еа.
После умножения решений на соответствующие орты и сложения
окажется, что составляющая вектора потенциала от элемента тока
6 dV в некоторой точке пространства, удаленной от элемента тока на
расстояние R,
(25.19)
----]dV
v /
4л/?
Для получения результирующего значения А необходимо геомет-
рически просуммировать составляющие от всех элементов тока:
—dV
V
~R
dA
(25.20)
л’= Ь- С -
4л J
I/
(25.21)
Подобно тому, как- это сделано на стр. 93.
165
§ 25.2. Запаздывающие потенциалы переменного электромагнит-
ного поля. Рассмотрим, в чем состоит физический смысл выражений
(25.18) и (25.20). Электромагнитная волна распространяется со ско-
ростью v. Расстояние R она пройдет за время R/v. Поэтому значение
'-составляющей потенциала ср в переменном электромагнитном поле
в некоторой точке, удаленной от заряда на расстояние R в момент
/ р\
времени /, определяется значением заряда в момент времени It —
_ ---------^}dV
Так же следует понимать и выражение dA =-----^~4лй~" — ’
В силу конечной скорости распространения электромагнитной
волны значение вектора-потенциала от элемента тока 6dV в точке,
удаленной от элемента тока на расстояние R, изменяется с запазды-
ванием во времени на величину R/v. Поэтому потенциалы переменного
электромагнитного поля называют запаздывающими потенциалами.
Так как скорость распространения электромагнитной волны в ди-
электрике очень велика (в воздухе v 300 000 км/с), то запаздывание
проявляется заметно только при значительных R. При малых R за-
паздывание настолько незначительно, что им практически можно пре-
небречь.
Наиболее часто понятием запаздывающих потенциалов пользуются
в радиотехнике при рассмотрении вопросов, связанных с излучением
электромагнитной энергии.
§ 25.3. Комплексная форма записи запаздывающего векторного
потенциала. В гл. 21 [см. уравнение (21.27)] отмечалось, что состав-
ляющая векторного потенциала от-элемента линейного тока idl:
В переменном электромагнитном поле с учетом явления запазды-
вания:
Ток i может изменяться во времени по любому закону. С практи-
ческой точки зрения наиболее интересен синусоидальный закон из-
менения тока во времени, поэтому полагаем:
i = Im sin (со/ + ф).
Ток можно представить в показательной форме где 1т =
= 1П1&ч> (строго говоря, надо было бы написать еще символ взятия
мнимой части, но его часто опускают).
Ток Ш-------) = Im sin со [ t-\ + ф или в показательной форме
1те \ Следовательно, комплексную амплитуду вектор-потен-
166
циала от элемента тока dllmsin (at + "ф) можно записать так:
~ . (25.22)
Аналогично, если электрические заряды, создающие поле, ме-
няются во времени по синусоидальному закону, то комплексная ам-
плитуда потенциала <р от объемного заряда p^^dV:
1 pme v'dV
ф“4леа R
(25.23}
Пример 224. Найти закон изменения векторного потенциала от
тока 100 sin (105/ 30°) А, протекающего по элементу проводника
длиной dl = 30 см, в точке, удаленной от элемента тока на расстоя-
ние R = 100 км, ра = Ро-
Решение.
u0/m sin
dA =---------
4л/?
1,256- 10-6.0,3. 100 sin | 105
dl
100
300 000
„ 4л-100-103
- 3 • ю-11 sin (105/ - 80°) В - с/м
(33,3 рад ^110°; - 110° + 30°- — 80°).
§ 25.4. Излучение электромагнитной энергии.
Рассмотрим вопрос об излучении электромаг-
нитной энергии элементом тока. Пусть по ‘отрезку проводника дли-
ной dl, находящемуся в воздухе (еа = е0, ра = р0), протекает ток
Im sin (со/ + ф) (рис. 25.1). Далее будем пользоваться цилиндрической
и отчасти сферической системами координат. Ось z цилиндрической
системы направим вдоль проводника. Пусть положительное j напра-
вление тока по проводнику совпадает с положительным направлен
нием оси z.
Найдем значение вектора-потенциала в произвольной точке, уда-
ленной от элемента тока на расстояние R. В соответствии с (25.22)
4л R
или, если исключить множитель е^:
dA
Ро I $1
4л R
167
Направление dA * совпадает с направлением вектора dl (вдоль
оси г). Найдем магнитную индукцию в произвольной точке поля:
В = rot А.
Раскроем ротор в цилиндрической системе координат:
В = rot j= r° - фй + а° - ДМ + ? f - ДМ.
\ rda dz / 1 \ dz dr j 1 \ dr rda )
Так как А имеет единственную составляющую AZy и она зависит
только от R и в силу симметрии поля не зависит от а, то
(25.24)
Из формулы (25.24) следует, что магнитная индукция имеет а-е
направление.
Для нахождения комплекса магнитной индукции надо вычислить
дЛ z :
—Az зависит в явном виде от R, а не от г. Поэтому
Для любой точки пространства справедливо, очевидно, соотно-
шение, вытекающее из теоремы Пифагора,
32 + r2 = R^ (25.26)
Продифференцируем (25.26) по г, получим
2г = 2/?^.
dr
Следовательно,
-^ = ^г = sine. (25.27)
Составляющая Аг состоит из произведения двух функций R: функ-
_ я.
ции е v и функции 1/R. Поэтому
1 -/w —
sin 0 — ^-2e v
dAz dR _ _ [xQim dl
dR dr 4л
. lO
1 vR
ИЛИ
— /to — r
_\R>imdl sine e ° /co -/co -
~ 4л L R* + vR e
(25.28)
* В дальнейшем для сокращения записи вместо dA будем писать А.
168
Выражение (25.28) можно переписать и в ином виде, перейдя
к мгновенным значениям:
• ! j. । Л 1
, „ . с sin со/-------F 'Ф) / п х
в = po^sm 6 ------L + Д cos + . (25.28')
Формула (25.28') позволяет сделать вывод, что в любой точке
пространства магнитная индукция от элемента переменного тока
имеет две составляющие, одна из них убывает обратно пропорционально
квадрату радиуса и изменяется по закону синуса во времени, другая
убывает обратно пропорционально первой степени радиуса и изме-
няется по закону косинуса во времени.
Найдем закон изменения напряженности электрического поля.
В соответствии с первым уравнением Максвелла:
^ = 7^го‘^- <25-29’
Так как Я = В/ц0, то
Г / . R . >R\1
I — 1(й— — 7(0— \ |
ff = „о + 'т—/I (25.30)
Далее целесообразно перейти к сферической системе координат.
Проекции rot Н в сферической системе следующие:
rotRH = -р ! д (sin 8Яа) — ;
к R sin 9 L дб ' аг да J ’
- 1 dHD 1 д
rot0 Н = £sirie -gw
1 Г д . дНа\
rotatf = ^(/W--^].
Так как Hq = 0, HR 0, то
(25.31)
rote # = - 4- й? (RHa). ‘ (25.32)
Найдем проекции rot Н на направление R-.
. я . r **
. — /со— — 7(0 —
ГПГ A_/mdlcos6e ° /mdl cos 6/а>е v гок qq\
rot« Я ------№. (25.33)
В свою очередь проекция rot Н на направление е по формуле (25.32)
—7(0 — /(о — /е> --
1тЛ1 sinte v >Imdl sine/сое v iw dl sin есоЧ , v z0r~ Q/R
rOte W------------4^---------+-------------------------------------4^-----------• <25-34)
6 Зак. 1730
169
Для того чтобы получить проекции Е на направление R и е, необ-
ходимо соответствующие проекции rot Н разделить на /соео [см. урав-
нение (25.29)]:
_ — /7ОТ df sin бе v_ j ]т sin 6e a , jlm dl sin 6we v
4л/?3ше0 ‘ 4ne0Z?2t> 4л/?и2еа
и
—/co — — /co--
— jlm dl cos 6e v Im dl cos 6e v
2л/?3<оео ‘ 2л/?2уе0
(25.35)
(25.36)
Таким образом, напряженность электрического поля имеет две
составляющие: одна направлена по 6, другая — по 7?; £е содержит
три слагаемых [см. уравнение (25.35)], изменяющихся обратно про-
порциональнов соответственно, третьей, второй и первой степеням рас-
стояния R\ Er состоит из двух слагаемых, изменяющихся обратно
пропорционально /?3 и R2. Частное ~ Отношение
модуля первого слагаемого в (25.33) к модулю второго равно
(X — длина волны).
X
Если/?^>2^-, то первым слагаемым по сравнению со вторым
можно пренебречь, если > то, наоборот, можно пренебречь
вторым слагаемым. Аналогичные соотношения имеют место между
модулями слагаемых в (25.34).
Принято все поле делить на ближнюю, среднюю и дальнюю зоны.
А; X
Для ближней зоны Для дальней R В средней зоне/?
соизмеримо с. 2^-. В соответствии с этим
для ближней зоны
fj___Z*o I т dl sin бе_____.
П “ а 4л/?2
-/со*
р jlm dl cos бе V
L E “ 2nWE0
—/со—
р __~jlm dl sin бе v
6 4л/?30ео
(25.37)
для дальней зоны:
Л_и°Цт dl sin бе
п Ш”
/---- — • л
1 / jtm dl sin бе JC° v
Ъ= V -------------------------• I23-3»)
170
Запишем мгновенные значения Н и Е кия дальней зоны:
тг Im^l sin О
а“ 2RK
со/?
V
(25.39)
- Im dl sin 6
ZRX cos
со/? । \
—+4
Таким образом, в дальней зоне, т. е. в зоне, для которой R^>
напряженность марнитного поля имеет только одну а-ю составляю-
щую, а напряженность электрического поля — только одну е-ю
составляющую [см. уравнение (25.38)1. Если провести сферу радиу-
сом R, то во всех точках этой сферы (назовем ее эквифазной поверх-
ностью) Н имеет одну и ту же фазу колебания в какой-то конкретный
момент времени (фаза колебания определяется аргументом косинуса).
Амплитуда Н для точек сферы R = const различна, она зависит от
угла б; на «полюсах» при о = 0 и при о = 180° амплитуда колеба-
ния для любого момента
времени равна нулю, так
как sin в = sin 180° = 0,
амплитуда колебания мак-
симальна на «экваторе»
сферы при е = 90°. По фазе
Н и Е совпадают [см. урав-
нение (25.39)]. Модуль Е
в —- = ZB раз больше
модуля Н, т. е. Е = HZR.
Диаграмму зависимости
Рис. 25.2
модуля Е или Н в дальней
зоне от угла 6 принято называть диаграммой направленности. Она
будет представлять собой объемную фигуру — тор, сечение которого
плоскостью, проходящей через полярную ось, представляет собой две
соприкасающихся окружности (рис. 25.2, а), _
Составим выражение вектора Пойнтинга для дальней зоны: П =
= [ЕеНа] = Пк.
Векторное произведение двух векторов, один из которых имеет
6-е направление, а другой — a-е, дает вектор 77, направленный по
радиусу (рис. 25.2, б).
Так как Н и Е в дальней зоне совпадают по фазе, то с изменением
направления 77 на противоположное (Н изменяется во времени по
косинусоиде) одновременно меняется на противоположное и направле-
ние вектора Е. Но вектор 77 своего направления не меняет, он все
время направлен вдоль радиуса.
Найдем величину модуля вектора Пойнтинга. С этой целью умно-
жим модуль Е на модуль Н:
ZR (dCp Im sin20 cos2 (at — — + )
n --------------. (25.40)
6*
171
Среднее значение модуля вектора Пойнтинга за период Т = —
n Z3(dl)2Im Sin2 6
за период
т
If 9 f , <$R
I COS2 (of-------
T j \ v
0
Подсчитаем поток вектора Пойнтинга через сферическую поверх-
ность радиусом R. Элемент dS сферической поверхности радиусом R
направлен по радиусу. Вектор Пойнтинга П также направлен по
радиусу. Угол между ними равен нулю (рис. 25.3). Элемент сферической
поверхности можно рассматривать как криво-
линейный квадрат, площадь его (рис. 25.3):
2л
dS = R d6R sin6 da = R2sin 6 dG da; da — 2л;
о
n — 1
^sin39d9 =—J sin2 9 d cos 9 =
о i
— i
= f (cos29—l)dcos9 = 4-
1
Заменим Г2т на 2/2 (I — действующее значение тока). В результате
окажется, что поток вектора Пойнтинга через сферическую поверх-
ность радиусом 7?, представляющий собой мощность Ps, излученную
элементом тока, не зависит от радиуса и равен:
где
§ П dS = Ps = RJ2.
в _ 2 nZB (d/)2
3 X2
(25.41)
(25.42)
Величину Rs называют сопротивлением излучения. Чем больше
Rs, тем больше излученная мощность при том же токе /. Сопротивле-
ние излучения прямо пропорционально квадрату длины излучателя
и, что особенно важно, обратно пропорционально квадрату длины
волны X.
Так как длина волны X = v/f, то излученная, мощность прямо
пропорциональна квадрату частоты. Если частота мала, например
всего 50 Гц, то излучения практически нет. При радиочастоте излу-
чение значительно. Например, при частоте 50 • 106 Гц излучение больше,
чем при частоте 50 Гц, в 1012 раз.
Пример 225. По отрезку линейного провода длиной dl = 3 см
протекает переменный ток I = 0,2 А. Частота тока f — 109 Гц. Найти
сопротивление и мощность излучения.
1.72,
Решение. Длина волны к = 30 см. По формуле (25.42)
D 2 377 • 32 7 о Л
= y Д 3Q2 = 7»8 Ом.
По формуле (25.41) Ps = RSIi 2 * * = 7,8-0,22 - 0,312 Вт.
§ 25.5. Понятие об излучающем диполе. При выводе формул
§ 25.4 в качестве излучателя электромагнитной энергии был взят
небольшой отрезок провода, по которому протекал синусоидальный
ток. Но точно такие же формулы были бы получены, если бы вместо
элемента тока был взят излучающий диполь. Под излучающим диполем
понимают отрезок, линейного провода с сосредоточенными на концах
его емкостями в виде шаров (рис. 25.4, а).
Полагают, что длина диполя I много меньше длины волны к и сече-
ние провода ничтожно мало. При этих условиях распределенную
емкость самого проводника
в первом приближении можно Диполь Токсмещения
не принимать во внимание и
s учитывать только емкости
шаров.
На рис. 25.4, б показана
схема, в которой генератор
синусоидального напряжения
высокой частоты через коак-
сиальный кабель присоединен Рис. 25.4
к двум вертикально располо-
женным проводникам (изображены «жирными» линиями), соединенным
в свою очередь с двумя шарами (шариками) диполя.
Под воздействием Напряжения генератора шарики диполя перио-
дически перезаряжаются. Положим, что заряд верхнего шарика q
изменяется по закону —Qm cos со/, а заряд нижнего шарика — по
закону Qtn cos со/. Тогда по вертикальным проводникам при перио-
дической перезарядке шариков будет протекать ток проводимости:
Генератор
а)
Коаксиаль-
ный кабель
5)
i ~ s*n
Этот ток замыкается через диэлектрик в виде тока смещения, как
показано на рис. 25.4, б.
Важно обратить внимание на то, что по двум вертикальным про-
водникам длиной 1/2 каждый при периодической перезарядке шари-
ков протекает ток проводимости /, т. е. два вертикальных проводника
длиной 1/2 (или у) с током /, которыми соединены шарики диполя,
представляют собой элемент тока И (или idl), о котором шла речь
в § 25.4.
Посредине элемента тока на рис. 21.4, б есть разрыв, а в элементе
тока (рис. 25.1) разрыва нет. Но это не имеет существенного значения,
так как разрыв может быть весьма малым по сравнению с длиной
I (dl).
173
Таким образом, все выводы § 25.4, сделанные по отношению к эле-
менту тока idl, применимы и к излучателю в виде диполя, т. е. к из-
лучателю, составленному двумя периодически перезаряжающимися
шариками, соединенными тонким проводником.
§ 25.6. Дополнительный анализ поля излучения. Как уже го-
ворилось в § 25.4, в ближней зоне излучателя основную роль играют
составляющие напряженности электрического поля Eq и Е^ обратно
пропорциональные третьей степени расстояния рассматриваемой точки
до излучателя.
Эти составляющие на 90° отстают по фазе от протекающего по
проводнику тока или, другими словами, по фазе совпадают с зарядом
одного из шаров излучающего диполя.
Из предыдущего [см. формулы (19.74), (19.75)] известно, что на-
пряженность электрического поля, созданного диполем, заряды
которого неизменны во времени, также обратно пропорциональ-
на третьей степени расстояния рассматриваемой точки до центра
диполя.
Следовательно, для определения мгновенного значения напря-
женности электрического поля излучающего диполя в ближней зоне
практически можно пользоваться формулами, вытекающими из за-
кона Кулона. В свою очередь, напряженность магнитного поля в ближ-
ней зоне излучателя [см. формулу (25.37)] обратно пропорциональна
квадрату расстояния рассматриваемой точки до элемента тока и по
фазе совпадает с током
Из закона Био — Савара — Лапласа [см. формулу (21.36)] следует,
что напряженность магнитного поля, создаваемого элементом постоян-
ного тока, также обратно пропорциональна квадрату расстояния рас-
сматриваемой точки до элемента тока.
На основании этого можно сделать вывод, что в ближней зоне
(при R X) для определения мгновенного значения напряженности
магнитного поля практически можно пользоваться формулой Био —
Савара — Лапласа. Применимость формул, описывающих статиче-
ские поля, для подсчета мгновенных значенийЕиН переменных полей
в ближней зоне (при R <;Z), объясняется тем, что в ближней зоне
можно пренебречь запаздыванием.
Границы ближней зоны зависят от частоты. Так, например, при
f = 50 Гц 7 = 6-Ю6 м; при / = 1010 Гц X = 3 см. Следовательно,
при частоте 50 Гц законами Кулона и Био — Савара — Лапласа прак-
тически можно пользоваться при любом расстоянии точки до элемента
тока или диполя. Совершенно иная картина будет при частоте 1010 Гц.
В этом случае границы ближней зоны удалены от излучателя всего
на доли сантиметра и все пространство вокруг него следует рассмат-
ривать как дальнюю зону. В дальней зоне «кулонова» составляющая
напряженности электрического поля ничтожно мала по сравнению
с волновой составляющей £, а «био — саварова» составляющая
напряженности магнитного поля ничтожно мала по сравнению с вол-
новой составляющей Я.
174
В ближнёй зоне поток вектора Пойнтинга имеет две составляющие:
первая изменяется во времени по закону sin 2о)£ или cos 2оД; вторая —
по закону sin2 at или cos2 со/.
При подсчете потока вектора Пойнтинга через сферическую по-
верхность радиусом R в ближней зоне за период переменного тока
оказывается, что поток, от первой составляющей равен нулю, поскольку
среднее за период значение функции sin 2со/ или cos 2со/ равно нулю;
поток от второй составляющей отличен от нуля. Физически это озна-
чает, что в ближней зоне происходит два качественно' различных
в энергетическом отношении процесса.
Первый процесс — это процесс периодического обмена энергией
между источником энергии, к которому присоединен излучатель, и
ближней зоной. Энергия то забирается от источника и накапливается
Рис. 25.5
в электромагнитном поле ближней зоной, то отдается обратно источ-
нику. Этот процесс характерен для «кулонова» и «био — саварова»
полей ближней зоны.
Второй процесс — это процесс излучения энергии. Он характери-
зует волновой процесс в ближней зоне. Излученная энергия состав-
ляет относительно небольшую величину по сравнению с энергией,
периодически накапливаемой в электромагнитном поле ближней зоны
и затем отдаваемой источнику питания.
От излучателя в пространство распространяются электромагнит-
ные волны*. Эти волны для фиксированного момента времени схема-
тически можно представить рис. 25.5, а. На нем линии Е образуют
замкнутые фигуры, лежащие в меридиональных плоскостях. Линии Е
* Существование электромагнитных волн экспериментально было доказано
Г. Герцем в 1887—1888 гг. Справедливость электромагнитной теории света была
подтверждена опытами П. Н. Лебедева в 1895 г., который измерил световое давле»
ние, теоретически предсказанное Д. Максвеллом.
А. С. Поповым 7 мая 1895 г. на заседании Русского физико-химического обще-
ства был прочитан доклад об успешно проведенных опытах по приему и передаче
радиосигналов. Поэтому 7 мая отмечают как День радио.
175
охвачены линиями Н, которые представляют собой окружности с цент-
ром на оси элемента токй. Чтобы не загромождать рис. 25.5, а, на нем
изображены всего две линии Е и две линии Н.
Линии напряженности электрического поля в меридиональной пло-
скости для волновой зоны излучателя при различных моментах вре-
мени представлены на рис. 25.5, б, где изображена также кривая
изменения заряда излучающего диполя в функции времени. Чем больше
по абсолютной величине становятся заряды диполя, тем большее
количество линий Е начинается или соответственно оканчивается на
них.
По мере распространения электромагнитной волны в окружающее
пространство форма линий Е непрерывно меняется. Когда заряды
' диполя по абсолютной величине начинают уменьшаться, начинает
уменьшаться и число исходящих из них линий Е. При этом образуются
замкнутые на себя линии Е. Пакет замкнутых на себя линий Е сцеп-
лен с пронизывающими этот пакет линиями Н (см. рис. 25.5, а). В сле-
дующий полупериод, когда заряды шаров меняют знаки на противо-
положные, образуется аналогичный пакет замкнутых на себя линий £*,
отличающийся от предыдущего лишь направлением вихря Е.
§ 25.7. Расчет поля реальных излучателей. Практически в ка-
честве излучателей используют антенны. Простейшая антенна пред-
ставляет собой отрезок провода длиной /, расположенный вертикально
по отношению к поверхности земли (рис. 25.6, а). Генератор высо-
кой частоты включают между антенной и землей. За счет наличия рас-
пределенных емкостей антенны и проходящих через них токов сме-
щения, ток по высоте антенны меняется по амплитуде и фазе (см. эпюру
изменения амплитуд на рис. 25.6, а). Антенна обладает высокой спо-
собностью к излучению вследствие того, что создаваемые ею электри-
ческое и магнитное поля распределены в одной и той же области
пространства, окружающего антенну (см. рис. 25,6, а).
Влияние земли на поле учитывают, вводя в расчет зеркальное
изображение антенны (полагая, что земля является идеальным про-
водником). При этом длина антенны оказывается равной 2/, а эпюра
тока дополняется второй половиной (рис. 25.6, б)*. Для расчета поля,
* Мощность, излученная в пространство над землей таким излучателем, равна
половине мощности излучателя удвоенной длины с током г.
176
создаваемого антенной, ее заменяют совокупностью малых отрезков
длиной dl, на каждом из которых ток принимают неизменным по ам-
плитуде и фазе. Тогда напряженность поля в произвольной точке про-
странства можно найти как геометрическую сумму напряженностей,
создаваемых всеми малыми отрезками антенны.
Для увеличения емкости антенны, а следовательно, и проходящего
по ней тока при том же напряжении генератора антенну часто допол-
няют горизонтальным участком (рис. 25.6, в).
§ 25.8. Излучение магнитного диполя и принцип двойственности. В § 19.11 и
25.5 шла речь об электрическом диполе, обладающем электрическим моментом =
= q3T. В теории поля пользуются также понятием магнитного диполя. Магнитный
диполь образован двумя магнитными зарядами и —#м, расположенными на рас-
стоянии /. Диполь обладает магнитным моментом рм = </мГ (рис. 25.7, а).
Рис. 25.7
Из § 14.24 известно, что виток (рамка) с током Z, охватывающим площадь S,
также обладает магнитным моментом рм = iS (рис. 25.7, б). Магнитный диполь
можно рассматривать как расчетный эквивалент витка с током, если равны их маг-
нитные моменты, т. е. если qMl = iS. Изменение тока в рамке соответствует измене-
нию магнитных зарядов диполя во времени и протеканию между ними «магнитного
тока смещения». Излучение энергии рамкой с током в расчетном смысле можно пред-
ставить как излучение магнитного диполя.
С Л АЛ , £* дН
Если ооратиться к уравнениям Максвелла rot/7=8a— и rot£ = —ца —,
то нетрудно заметить, что первое уравнение получается из второго, а второе — из
первого, если заменить Н на Е, а еа на —р,а. Это свойство уравнений Максвелла
называют принципом двойственности. Его применяют для решения задач электро-
динамики, двойственных уже решенным.
Так, имея решение для поля, создаваемого электрическим диполем, получают
решение для поля, создаваемого магнитным диполем, т. е. рамкой с синусоидально
изменяющимся током (считая, что оси Е, сс, 6 расположены в соответствии с рис. 25.1).
Так как в случае электрического диполя i = ~, то при i = Im sin со/: 1т — j(aqmt
a lmdl = j^qmdl = jap..
Подставив в (25.38) /сор вместо 1 mdl, запишем формулу для напряженности маг'
^нитного поля в дальней зоне через электрический момент диполя р:
ЛдР
s*n V
177
В соответствии с принципом двойственности в этой формуле заменим На на Ёа
и р на рм — Получим формулы для комплекса напряженности электриче-
ского поля в дальней зоне магнитного диполя:
Fr,— wJmS «п бе °
2RK
и для комплекса напряженности магнитного поля:
sin бе v
2RKZ~b *
§ 25.9. Переход плоской электромагнитной волны из одной
среды в другую. Рассмотрим условия перехода плоской синусоидаль-
но изменяющейся электромагнитной волны из первой среды с волновым
сопротивлением ZB1 во вторую среду с волновым сопротивлением ZB2.
Примем,, что волна падает перпендикулярно границе раздела сред
(рис. 25.7, в). Волна частично пройдет во вторую среду, частично от-
разится.
В первой среде будут падающая (индекс «п») и отраженная (индекс
«о») волны, во второй — только падающая (поэтому индекс «п» у нее
не будем ставить). Падающую во второй среде волну называют также
преломленной.
Для удобства чтения рис. 25.7, в векторы, характеризующие
падающую и отраженную волны в первой среде, смещены по вертикали
и несколько отодвинуты от границы раздела сред. На границе раздела
сред должны быть равны тангенциальные составляющие напряжен-
ности электрического поля и тангенциальные составляющие напря-
женности магнитного поля: ’
£1п + Ао = £2; (25.43)
Я1п + Я1О = Я2. (25.44)
Уравнения (25.43) и (25.44) полностью тождественны уравнениям,
которыми связаны напряжения и токи падающей, отраженной и пре-
ломленной волн при переходе волны с одной линии с распределенными
параметрами на другую (см. § 12.6).
Комплекс напряженности электрического поля £1П равен ком-
плексу напряженности магнитного поля /71п, умноженному на ZB1:
£1П
Для отраженной волны в соответствии, с изменением направления
движения энергии на противоположное: £10 = — /f10ZB1.
Для преломленной волны Ё2 = H2ZB2.
Из уравнений (25.43) и (25.44) с учетом предыдущих строчек по-
лучим:
^1о==йтйг^п; . (25-45)
//2=z Я1п; (25.46)
ЛВ1~Г ZB2
Z/ю = f-B^-fn3-/7ln. (25.47)
178
Проанализируем полученные результаты. Значения Е10, Н10 и Ё2,
Н2 зависят от соотношения между волновыми сопротивлениями обеих
сред. Наибольший практический интерес представляет случай, когда
волна падает из воздуха на поверхность металла. В этом случае первой
средой является воздух, а второй — металл. Так как волновое сопро-
тивление проводящей среды зависит не только от ее проводимости и
магнитной проницаемости, но и от частоты [см. формулу (23.12)],
то для определенности положим, что проводящей средой является
медь, а частота f = 108 Гц. Сопоставим значения волновых сопротив-
лений для диэлектрика и для металла (см. формулы для ZB на стр. 150
и 136). Для воздуха ZB1 = 377 Ом. Для меди (у — 5,6-107 Ом^-м-1)
при f = 108 Гц, ZB2 = 0,00357е{45° Ом. Если подставить значения
ZB1 и ZB2 в (25.47), то получим Ё10 — £1П; Я1о Н1п, т. е. от по-
верхности металла электромагнитная волна почти полностью отра-
жается с переменой знака у напряженности электрического поля.
Та часть волны, которая все же проникнет в металл, быстро в нем
затухнет. Если бы проводящая среда имела у, стремящуюся к беско-
нечности, то тогда она являлась бы идеальным зеркалом для электро-
магнитной волны.
Явление отражения электромагнитных волн от проводящих сред
лежит в основе радиолокации.
В более общем случае электромагнитная волна, распространяясь из среды 1
в среду 2, направлена неперпендикулярно границе раздела сред (рис. 25.7, е).
В среде 1:
= Pi=/wKeaiHai;
Г еа1
в среде 2:
^в2 “ 1/ “ f Р2 ~ Г^агНаЗ*
г fca2
Векторы Пойнтинга падающей, отраженной и преломленной волн (/71п, /710,
/72) находятся в одной плоскости. Их углы с вертикалью к границе раздела обоз-
начены на рис. 25.7, г соответственно а, р, v.
Угол падения а равен углу отражения р, а
sin а Кg2u2
sin v V ецц
Используем обозначения § 25.8 и рассмотрим два случая.
1. Когда вектор Ё1п перпендикулярен плоскости падения (т. е. параллелен
границе раздела сред), из граничных условий следует:
р р ZB2 COS ОС ZBj COS V р _____р ^^В2 cos ОС_
io— 1П2В2 cos а _р_ 7в1 cos v > 2“ 1П ZB2 cos ос + ZB1 cos v ‘
2. Когда вектор параллелен плоскости падения (а вектор Н1п перпендику-,
лярен ей):
Р р ZB2 cos V ZBi COS ОС p • _______2Zb2 cos PC__ / \
i°— in 2B1 cos cc+ZB2 cos v ’ 2~ 111 ZB1 cos oc + ZB2 cos v ’ '
Соотношения (б) и (в) называют формулами Френеля, Если окажется, что sin v =
= sin а 1/ > 1 — наступит полное отражение от границы (преломленная волна
г егМ2
179
отсутствует). Этот режим используется, например, в оптических волноводах. Если
а +• v = 90° — возникает полное преломление, когда отраженная волна отсутст-
вует.
В заключение упомянем о явлении дифракции. Дифракцией называют явление
отражения и преломления электромагнитных волн от проводящего или диэлектри-
Рис. 25.8
ческого тела, а также изменение структуры и направления
волн при прохождении их через отверстие (щель) в каком-
либо теле, например в пластинке, когда размеры тела или
щели соизмеримы с длиной электромагнитной волны.
Качественно рассмотрим, как влияет на поле плоской
волны помещенный в это поле длинный цилиндр радиуса а,
полагая, что ось цилиндра расположена перпендикулярно
вектору Пойнтинга падающей волны, а ее вектор Е парал-
лелен оси цилиндра.
Рассмотрим три характерных случая. 1. Если длина вол-
ны % а, то действуют законы геометрической оптики и за
цилиндром будет область тени — рис. 25.8, а. 2. Если вне и
внутри цилиндра X ;> а, то можно пренебречь запаздыванием,
и тогда поля Е и Н внутри и вне цилиндра определяются
в условиях, близких к статическим. 3. Если Z/a^l,
а это случай, < наиболее типичный для дифракционных за-
дач, то в области за цилиндром, где на рис. 25.8, а была тень, появляется интенсив-
ное поле. На рис. 25.8, б изображена эпюра для напряженности Н рассеянного поля,
когда проводимость у цилиндра стремится к бесконечности. Физически интенсивнее
поле вместо тени получается за счет того, что наводимые в верхней части проводя-
щего цилиндра токи затекают в нижнюю его часть и там служат излучателем (вто-
ричным источником поля). Наличие мелких углублений на диаграмме объясняется
интерференцией волн. z
Вопросы для самопроверки
1. Как связан исток вектора А с потенциалом ф? 2. Почему первое слагаемое
правой, части формулы Е ——— grad ф называют вихревой, а второе — потен-
циальной составляющей? 3. Запишите уравнения, которым удовлетворяют Лиф
в переменном поле. 4. Почему А и ф называют запаздывающими потенциалами?
Зависит ли запаздывание по фазе (измеряемое в радианах) от частоты? 5. Качест-
венно поясните ход решения задачи об излучении энергии элементом тока (элек-
трическим диполем). 6. От каких факторов зависит излученная мощность электри-
ческим и магнитным диполями? 7. Правильно ли записан критерий дальней зоны:
R >* -^-? 8. В чем.различие физических процессов в ближней и дальней зонах? 9. Дай-
те определение дифракции. Качественно поясните, почему, когда длина волны 1
соизмерима с линейными размерами проводящего тела, то в той области, где должна
бы быть тень, может возникнуть интенсивное поле. 10. Почему энергию СВЧ прак-
тически невозможно передавать по обыкновенным открытым линиям и коаксиаль-
ному кабелю? 11. Решите задачи 22.33; 22.35; 22.36; 22.44.
ГЛАВА ДВАДЦАТЬ ШЕСТАЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ S НАПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМАХ
§ 26.1. Понятие о волноводах и объемных резонаторах. Кана-
лизация энергии очень высокой частоты по обычным двухпроводным
линиям передачи практически невозможна ввиду того, что: 1) про-
вода линии играют роль антенн и, вместо того чтобы передавать энер-
гию потребителю, излучают ее в пространство; 2) активное сопротив-
ление проводов линии при сверхвысоких частотах в силу резко выра-
180
женного поверхностного эффекта оказывается настолько большим,
что весьма значительная часть энергии затрачивается на нагрев про-
водов.
Применение коаксиального кабеля (коаксиальной линии, рис. 22.4)
для канализации энергии весьма высокой частоты экономически также
невыгодно. Хотя в этом случае энергия в окружающее пространство
и не излучается (так как оболочка кабеля одновременно является и
экраном), однако в кабеле велики потери энергии в жиле и в диэлек-
трических шайбах (обычно из полистирола или полиэтилена), с помо-
щью которых жила крепится внутри кабеля. Практически коаксиаль-
ный кабель применяют в диапазоне частот от нуля до нескольких мега-
герц. Его используют в силовых, телефонных и телевизионных уст-
ройствах.
При частотах больше 109 Гц энергию передают по волноводам.
Волновод представляет собой полую трубу прямоугольного или круг-
лого сечения.
Рис. 26.1
На рис. 26.1, а изображен прямоугольный волновод. Размеры а
и b находятся в определенном соотношении с длиной волны. Так, на-
пример, при длине волны X = 10 см берут b = 3,4 см и а = 7,2 см.
Энергия внутрь волновода обычно доставляется с помощью неболь-
шого стерженька, помещенного в волноводе, и коаксиального кабеля,
соединенного с генератором высокой частоты (см. рис. 26.1, я), или
с помощью петли с током, помещаемой в волноводе, и коаксиального
кабеля, соединённого с генератором высокой частоты (рис. 26.1,6).
Иногда волновод возбуждают, соединяя его через щель или диафрагму
с другим волноводом или с резонатором. Отвод энергии с другого конца
волновода производят с помощью стерженька или петли, или через
щель.
Энергия передается вдоль волновода, отражаясь от его стенок
(рис. 26.1, в). Стенки волновода являются как бы направляющими
для потока, энергии. Небольшая часть энергии проникает в стенки
волновода и выделяется в них в виде теплоты. Для уменьшения по-
терь энергии в стенках волновода внутреннюю поверхность труб
полируют и покрывают слоем хорошо проводящего металла, например
серебра.
В качестве резонансных контуров при не очень высоких частотах
применяют контуры с сосредоточенными индуктивностями и емкостями
или отрезки линий с распределёнными параметрами. При сверхвысо-
181
ких частотах (при длине волн сантиметрового диапазона) контуры
с сосредоточенными параметрами L и С и отрезки линий с распреде-
ленными параметрами оказываются малопригодными, так как они
излучают электромагнитную энергию и вследствие этого, а также
в силу резко выраженного поверхностного эффекта обладают малой
добротностью.
При сверхвысоких частотах в качестве устройства, выполняющего
функции резонансного контура с высокой добротностью, применяют
объемный резонатор.
Объемный резонатор обычно представляет собой полый прямо-
угольный параллелепипед, стенки которого выполняют из хорошо
проводящего материала. Длины его трех ребер находятся, как и
у волновода, в определенном соотношении с длиной волны и состав-
ляют несколько сантиметров. Возбуждают его так же, как и волновод,
а) Б) в) г)
Рис. 26.2
д)
е)
например, с помощью стерженька или петли с током. В полости объем-
ного резонатора возникают стоячие электромагнитные волны по осямх,
у, z, так как со всех сторон полость ограничена хорошо проводящими
стенками.
Качественно переход от обычного колебательного контура L, С
к прямоугольному объемному резонатору иллюстрируют рис. 26.2, а—
26.2, г. На рис. 26.2, а изображены две пластины конденсатора, соеди-
ненные двумя индуктивностями, на рис. 26.2, б индуктивности заме-
нены на две полоски, на рис. 26.2, в — на четыре полоски; на рис. 26.2,г
полоски заменены проводящими стенками.
Если через а, Ь, с обозначить длины трех ребер резонатора в на-
правлении осей х, у, z (рис. 26.2, г), а через т, и, р — характеристи-
ческие числа, которые могут принимать значения 0, 1, 2 и т. д., то
собственная частота объемного резонатора:
Так, прит — п = 1, р = 0, а = b = с = 5 см, со = 2,66- 1010рад/с,
f = 4,23-109 Гц.
Частота колебаний возбудителя, т. е. частота тока в стерженьке
или петле, должна равняться собственной частоте резонатора. Для
настройки резонатора изменяют один из его размеров, например с по-
мощью поршня (винта) — рис. 26.2, д.
При колебательном процессе в резонаторе энергия электрического
поля переходит в энергию магнитного поля и обратно. В прямоуголь-
ном и цилиндрическом резонаторах энергия каждого из полей распре-
182
делена по всей полости резонатора. В других устройствах сверхвысо-
ких частот (клистронах, магнетронах) энергии этих полей распре-
делены преимущественно в различных областях. Так, в резонансной
полости клистрона (рис. 26.2, ё) электрическое поле сосредоточено
преимущественно в узком зазоре а (как бы в плоском конденсаторе),
а магнитное связано с индуктивностью, роль которой выполняет
полость резонатора, примыкающая к узкому зазору.
Под добротностью резонатора понимают величину Q = (£>оу-.
Здесь Wo — энергия электромагнитного поля, запасенная в резона-
торе, Р — активная мощность, затрачиваемая на потери от вихревых
токов в стенках резонатора, на потери через щель в виде излуче-
ния, а если диэлектрик, имеющийся в полости резонатора, не идеаль-
ный, то и на потери в диэлектрике. Добротность Q достигает вели-
чины 104 и более.
из сверхпроводящего материала
§ 26.2. Типы волн в волноводе. Решение для Н-волны. Процесс распростра-
нения электромагнитных волн в полости прямоугольного волновода будем рассма-
тривать, полагая, что его стенки выполнены
-> оо). При этом условии напряженность
электрического поля на стенках волновода
будет равна нулю (плотность тока на стенках
волновода = уЕ есть величина конечная,
поэтому при у -> °° Е 0).
Полость волновода заполнена диэлектри-
ком, диэлектрическая проницаемость кото-
рого еа, а магнитная проницаемость [ха.
Оси координат расположим в соответствии
с рис. 26.3, а. Размеры полости волновода
в направлении оси х обозначим буквой а,
а в направлении оси у — буквой Ь. Длина
волновода в направлении оси z неограничена.
Электромагнитное поле в волноводе описы-
вается уравнением (24.3'):
?2Й+(о%цаЯ==О
или аналогичным ему уравнением
V2E+o)28aixaE = 0.
Распространяющиеся в волноводе элек-
тромагнитные волны являются волнами, бе-
гущими вдоль оси волновода (оси г) и стоя-
чими в двух остальных направлениях. Стоя-
чие волны в направлениях х и у образуются
вследствие многократных отражений волн от
стенок волновода.
Тот факт, что волны являются бегу-
щими вдоль реи г, в формально математиче-
ском отношении находит свое выражение в том, что каждая из составляющих волн,
подобно бегущим волнам в линии с распределенными параметрами, при записи
ее имеет множитель е р , где kp — коэффициент распространения.
Волны, распространяющиеся в волноводах, разделяют на два типа: Я-волны
и Е-волны.
Е-волну называют также поперечно-электрической и обозначают ТЕ; Е-волну —
поперечно-магнитной и обозначают ТМ. Кроме волн ТЕ и ТМ могут быть еще
волны ТЕМ. Они возникают в коаксиальном кабеле (не в волноводе). В волне
183
ТЕМ векторы Е и Н лежат в плоскостях, перпендикулярных направлению
распространения волны.
Структура /7-волны такова, что составляющую вдоль оси волновода имеет только
напряженность магнитного поля, а напряженность электрического поля располо-
жена в плоскостях, перпендикулярных оси волновода, т. е. для 77-волны:
н=Тнх+Гну+кИг-, (2б1)
i=iEx+lEy.
Для Е-волны имеет место обратная картина: составляющую вдоль оси волновода
имеет только напряженность электрического поля, а векторы напряженности маг-
нитного поля расположены в плоскостях, перпендикулярных оси волновода, т. е.
для Е-волны:
Е = i Ёх -f- ]Ёу 4- kEz\
7}=1нх+Тну.
Какой из этих типов волн возникает, зависит от условий возбуждения волно-
вода. Если возбуждение производить с помощью штырька по рис. 26.1, а, то в вол-
новоде возникнут Е-волны. При возбуждении с помощью петли с током, располо-
женной вблизи узкой стенки волновода в соответствии с рис. 26.1, б, в последнем
возникают //-волны.
Приводимые далее выкладки проделаны для /7-волны, но они были бы почти
такие же и для Е-волны. Если подставить (26.1) в уравнение (24.3'), то последнее
разобьется на три уравнения для проекций. Для проекции на ось z будем иметь
уравнение»
/ Л2 Л2 Л2 \ .
+ +w^+“2ea^=o- (26-2)
Воспользуемся методохМ разделения переменных, который рассмотрен в § 19.39.
С этой целью положим:
. Яг = ХГе-*Рг, <26-3)
I? ?
где X — функция только х; Y — функция только у. Множитель е р свидетельст-
вует о том, что вдоль оси г движется бегущая волна.
Подставим (26.3) в (26.2):
. Ге“АРгV +<оЧ"ЛГе~йРг =0, (26.2')
(/л^ (Jу
Обозначим:
Ap4-co2ea}ia=fe2
__k z
и разделим (26.2') на ХУе р . Будем иметь
4S + vR + ^=o-
X дх2 1 Y ду2 1
(26.4)
(26.5)
г , „ 1 д2Х 1 d2Y
Сумма двух функции: -у- и >из которых одна является функцией только
У\ С/Ал л (jy~
х, а другая — функцией только у, может равняться постоянному числу —/г2 только
в том случае, если каждая из этих функций есть постоянное число.
Перейдем от частных производных к обыкновенным и положим:
X dx* р'
(26 5а)
_ „2
Y dy* ~ 4 ‘
(26.56)
где р и q — некоторые постоянные числа.
1§4
Решением уравнений (26.5а) и (26.56) являются функции X — sin (рх + ф);
Y — С2 sin (qy -|- ф), где Сь ф и С2Д1 — постоянные интегрирования, которые най-
дем из граничных условий. Таким образом, в соответствии с (26.3) L
Hz = Нт sin (Р*+ф) sin {qy+ф) е~/еР2. (26.6}
Здесь комплексная амплитуда Нт = CiC2-
Для определения значений р, q, ф, ф обратимся к первому и второму уравне-
нию Максвелла, записанным через проекции напряженностей на оси координат:
дн2 дНу . ду dz J а Л (26.7)
дНх дНг . + дг дх ~^ЕУ' (26.8)
дНу дНх дх ду (26.9)
дЁх дЁу ду dz ~ (26.10)
дЁх дЁг . „ дг дх (26.11)
дЁу дЁх дх ду ' га г (26.12)'
В силу того что для дЁу вдоль оси г, то -^- =— //-волны Ёг = 0 и поскольку волны являются бегущими дЁх kyEy, а kpEx,
Из уравнений (26.10) и (26.11) следует, что
кРЕи = — /Ч‘а^л-; | кр Ёх ~ у J (26.13)
Как уже говорилось, на внутренних поверхностях стенок волновода напряжен-
ность электрического поля равна нулю. Следовательно, Ех = 0 при у — 0 и у = bt
а Еу — 0 при х — 0 и х ~ а. Если это учесть, то из уравнений (26.13) имеем: НУу==й —
~ Нуу=Ь ~ О И ^Л-Х=о НХх~а О’
дНу . дНх
Так как —= ~дг~~— k^Hx, aHy=0 при р=0и у = b и
Нх =z о при х == 0 и х ~ а, то из (26.7) и (26.8) найдем
\ ду )у=0
!дЙЛ
\ дх )х=о
(дЛ*\
\ ду )у=ь
(дНЛ
\ дх jx = a.
(26.14)
(26.15)
Уравнения (26.14), (26.15) служат для определения значений р, q, ф, ф.
Подставив (26.6) в (26.14), найдем ф = л/2 и ^ = ~.Из (26.15) определим
. /пл
ур = л/2 и р = —, где /пип — целые числа; tn равно числу полуволн электромаг-
нитной волны, которое разместится по ширине волновода; п показывает, сколько
полуволн разместится по высоте волновода. Таким образом,
• • тлх ппу — k z
Hg = Hmcos— cos-^e ₽.. (26.16)
Найдем теперь Нх, Ну и ЁХг Ёу. Для определения Ёх в уравнении (26.7)
дНу крЁх дНг klEx .
—v— заменим на ——— k^~--------------. Тогда --------—- = /(оеаЕх.
dz Р г/ Р Wa ду ](^а а
Отсюда
Ёх
3HZ _ /соца пл
/г2 ду к1 b
л тлх . п л у ~/гпг
Нт cos------sin е ₽
a b
(26.17)
где £2 = kp + со28ара.
Аналогично,
Ну
крЁх kp пл
/<фа k2 Ъ
тлх плу —k z
Йт cos----sin —г— е Р ;
a b
у /г2 дх
. ®ца тл ТТ . тлх плу —kz
1 sm-----cos е Р
k2 a a b
Н.
kp . kp тл . тлх плу _kz
----Ец = 7^ — Нт sin------cos -г- е Р
/соца у k2 a т a b
(26.18)
(26.19)
(26.20)
Проанализируем полученные результаты. Коэффициент Лр играет роль посто-
янной распространения электромагнитной волны вдоль оси z. Если k^ будет действи-
тельным числом, то волна при своем продвижении по волноводу будет затухать. За-
тухание будет отсутствовать, если kp — мнимое число.
Для того чтобы связать kp с геометрическими размерами волновода а и b и чш>
лами тип, подставим (26.16) в (26.2). Получим k2 — ^^ + (if) *
Но k2 — Лр + со28а|та. Поэтому (?~\ —^p + w2eaHa> kp — O
при
(26.21)
Величина kp является мнимым числом при со > соо. Таким образом по волно-
р аспростр аняться эл ектромагнитн ые
БОЛНЫС
воду с заданными размерами могут
если частота волны со > соо
(а длина волны X < Хс, где Лс =
= vJf — длина волны в свобод-
ном пространстве; vc — скорость
света).
Числа тип могут прини-
мать любые целые значения, но
не могут одновременно равняться
нулю, так как тогда все состав-
ляющие Е и Н отсутствовали бы.
Наибольшее практическое зна-
чение имеет основная волна,
для которой m = 1 и п — 0.
Для нее по ширине волновода
укладывается одна полуволна,
а по его высоте интенсивность
поля не изменяется. При a —
= 7,2 см по формуле (26.21)
найдем соо^ 13,1 • 109 рад/с.
Таким образом, по волно-
воду может передаваться энер-
гия лишь весьма высокой ча-
стоты. Амплитуда максимальной напряженности поля Е должна быть меньше
пробивной напряженности поля, иначе произойдет пробой диэлектрика (воздуха).
При любом способе возбуждения волновода вблизи возбудителя возникает несколько
186
различных типов волн. Чтобы на некотором расстоянии от излучателя избавиться
от высших типов волн, размеры а и b подбирают исходя из того, чтобы для низшего
типа волн, например Я10, при выбранной со значение kp являлось мнимым числом,
а для ближайшего высшего типа волн, например Н11У kv, было действительным чис-
лом. Обычно берут а = (0,7 4- 0,8) Лс и b = (0,3 4- 0,4) Хс. Размеры а и b стандарти-
зованы.
Объемная картина поля для волны Я10 в некоторый момент времени изображена
на рис. 26.4. Токи смещения в полости волновода переходят в токи проводимости по
его стенкам (пунктир на рис. 26.4). Хотя на стенках волновода Е -> 0, но при у -> оо
плотность тока проводимости в стенках 6 = уЕ имеет конечное значение. Для изме-
рительных целей в стенках волновода делают прорези (щели), располагая их так,
чтобы они не препятствовали протеканию токов проводимости.
§ 26.3. Волновое сопротивление. Фазовая и групповая скорости. Под волно-
отношение комплексных значений вза-
и Я.
вым сопротивлением волновода ZBB понимают
имно перпендикулярных составляющих Ё
Так, для основной волны //10
(26.22)
Зависимость ZBB от Хс/2а для волны Я10 изобра-
жена на рис. 26.5, а; 2а — наибольшая из возмож-
ных длина волны в данном волноводе.
Скорость перемещения по волноводу неизмен-
ного фазового состояния т>фВ направлена под неко-
торым углом к оси волновода
v =-1^-=. ю
фв kp
. (26.23)
Зависимость ^фв от частоты называют диспер-
сией. Так как %с/(2а) < 1, то больше скорости
света. Энергия вдоль оси волновода передается с
• dia)
групповой скоростью ЦГр = — ус
Величины УфВ и €>гр можно сопоставить соответственно
со скоростью смыкания кромок ножниц и скоростью
движения навстречу друг другу рукояток этих
ножниц.
Рис. 26.5, б иллюстрирует связь между длиной волны в свободном пространстве
27 фв
%с — vc/f, длиной волны в волноводе ZB=~y- и групповой длиной волны %гр—
— Vvp/f — расстоянием, на которое перемещается энергия вдоль оси волновода за
одно колебание:
^в^тр — ИЛИ ^фв^гр —'
^ВВ-^у/Н
Для определения энергии, переносимой электромагнитной волной, бегущей
по волноводу, следует подсчитать поток продольной составляющей вектора Пойн-
тинга П через поперечное сечение волновода. Так, в случае основной волны Н19
необходимо подсчитать поток вектора П— [ЕуНх], учтя, что Ёу и Нх совпадают по
фазе:
С г? yr abHmZ^ (26.241
*' \ 11 ds —• •
S
187
- § 26.4. Решение для Е-волны. Простейшим типом волн ТМ (Е-волн) является
волна'Еи, имеющая компоненты Е по осям х, у, z и компоненты Н по осям х и у.
—
Если соответствующие комплексные коэффициенты, включающие и е р , обозна-
чить через Сх, Су, С2 для Е-компонент и и С2 для //-компонент, то для волны ЕХ1
«л «ГСХ . «ГС1/ л ЗТХ • лсх . лу
Ех — Сх cos — sm : Е,г= Си sm —- cos ; Ez = С2 sm —- sm ;
л x a ь , tr у a b , z z a b ,
Ha— Ci sm — cos ~~: Ht, — C2 cos — sm -7- ; n2 =0.
A 1 a b y a 6
(рис. 26.5, в).
Для волны Eu волновое сопротивление ZBB
Рис. 26.6
На рис. 26.6, а в трех проекциях изображена картина поля волны Еп, где сплош-
ные линии соответствуют компонентам Е, пунктирные (а также кружки и крести-
ки) — //; на рис. 26.6, б дана объемная картина поля. Линии Е замыкаются по стен-
кам волновода.
§ 26.5. Аналогия между волноводом и линией с распределенными параметрами.
Между волноводом и линией без потерь с распределенными параметрами имеет ме-
сто формальная аналогия. Сходными величинами и соотношениями являются: в ли-
нии U, /, U ~ IZ*, Lo, Cq, Zq — ^Lq/Cq, в волноводе Е, Н, Е = HZm, ра, 8а, ZBB —
= ]^ра/£а/ .Аналогию используют в различных целях, например для
выяснения влияния неоднородностей (перегородок, окон) в волноводе на распреде-
ление волн в областях вдали от неоднородностей. Для этого составляют схему заме-
щения, в которой волновод заменен линией с распределенными параметрами, а не-
однородность представляют некоторым четырехполюсником с сосредоточенными
параметрами (которые находят опытным путем).
§ 26.6. Граничные условия Леонтовича. При расчете поля в волноводе было при-
нято, что стенки его имеют проводимость у -> оо. В действительности у конечна,
поэтому в стенках волновода есть потери энергии, которые подсчитывают методом
последовательных приближений. Сначала определяют Нх и Ну на стенках волновода,
считая у -» оо и Ех ~ Еу — 0. Затем по найденным значениям Нх и Ну определяют
приближенное значение Ех и Еу на стенках, полагая, что у конечна и что для стенок,.,
2в = ]/’^е^5°.
Тогда Ex—ZeHy и Ey=^ZBHx. (а)
Г88
поток вектора
Рис. 26.7
Два последних соотношения называют граничными условиями . Леонтовича.
Поясним их. На рис. 26.7 показана поверхность стенки волновода. Оси декартовой
системы (местной системы координат) расположены так, что ось z (орт 6) направ-
лена в глубь стенки. Составляющие векторов Ён Н, образующие
в глубь стенки, в общем случае имеют х и у компоненты:
Н = 1Н х + /И у Н -, Ё — i Ёх + /Ё у. (б)
Для точек проводящей среды (на стенках волновода)
ZB[Hk] = E. (в)
Подставляя (б) в (в) и сопоставляя слагаемые с одинаковыми
ортами, получаем (а). Потери в стенках равны потоку вектора
Пойнтинга внутрь стенок.
§ 26.7. Запредельный волновод. За счет того что при ко-
нечной у на стенках волновода Ех и Ёу хотя и малы, но все же
не равны нулю, картина поля в волноводе несколько отлична
от картины поля при v -> оо. Практически оказывается, что
энергия может передаваться по волноводу и при со <сокр (до некоторой частоты tot).
При этом ZBB оказывается комплексным числом. Волновод, работающий при со <
< (°кр (до некоторой частоты cot), называют запредельным; его используют как ос-
- лабитель. При со ш1 структура поля в волноводе изменяется так, что оно стано-
вится не волновым, а по типу электростатического поля для Е-волны и магнитного
поля постоянного тока для //-волны. Эти поля рассчитывают по методу зеркальных
изображений от стенок (зарядов или токов соответственно).
§ 26.8. Линии с поверхностными волнами и полосковые линии.
Вместо волноводов иногда применяют линии с поверхностными вол-
нами и полосковые линии.
Линия с поверхностной волной обычно представляет собой ме-
таллическую пластинку (стерженек), окруженную слоем диэлектрика.
Рис. 26.8
Поверхность металла и диэлектрика является направляющей системой
для бегущих волн. Скорость движения волны вдоль этой линии меньше
скорости движения волны, если бы она распространялась в свобод-
ном пространстве без этих направляющих, т. е. линия играет роль
замедляющей системы. Замедление обусловлено тем, что для удовлет-
ворения граничных условий должны быть одинаковы значения фазовых
скоростей вне диэлектрического слоя и внутри его.
Схематически картина поля поверхностной волны (в аксономет-
рии) изображена на рис. 26.8, а. На рис. 26.8, б показана картина
линий Е и Н вдоль линии. Эта картина позволяет понять, почему
относительно мало излучение энергии в пространство, окружающее
линию.
189
Вертикальные пунктирные линии, проведенные на рис. 26.8, б
на расстоянии b = М2, это как бы две мысленно проведенные стенки
обычного прямоугольного волновода, две другие стенки которого
удалены друг от друга на расстояние а~>оо. Коэффициент распро-
странения kp для такого волновода не будет мнимым числом и потому
в направлении, перпендикулярном пластинке, волна будет распро-
страняться с затуханием.
Полосковая линия представляет собой две металлические полоски,
в пространстве между которыми параллельно им расположена более
узкая полоска или круглый стерженек. Картина поля показана
на рис. 26.8, в. Излучение в окружающее пространство относительно
мало, если а> 5Ь. Преимущества полосковых линий по сравнению
с волноводами — простота изготовления, малый вес и дешевизна.
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение волноводу, объемному резонатору, линии с поверхност-
ными волнами и полосковой линии. 2. Начиная, примерно, с каких частот энергию
передают по волноводу? 3. Каким соотношением связана постоянная распростране-
ния kp с геометрическими размерами волновода а и b и с числами т и п? 4. Как опре-
делить критическую частоту co0, ниже которой электромагнитная волна теоретиче-
ски не может распространяться вдоль волновода без затухания? 5. Начертите кар-
тины волн типа Н10 и типа Е±1. 6. Что понимают под ZBB и как оно зависит от Хс/2а
для волн типа H1Q и для волн типа Еп? 7. Каков физический смысл групповой ско-
рости? 8. Почему превышение скорости света фазовой скоростью не противоречит
утверждению, что все физические процессы происходят со скоростью, не большей
скорости света?
ГЛАВА ДВАДЦАТЬ СЕДЬМАЯ
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В МАГНИТНОМ
И ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЯХ
§ 27.1. Движение электрона в равномерном магнитном поле, неизменном во
времени и направленном перпендикулярно скорости. В § 27.1 — 27.6 под заряжен-
ной частицей понимаем электрон. Заряд его обозначим q = —дэ и массу т; дэ =
= 1,601 • 10-19 К, масса т при скорости движения,
значительно меньшей скорости света, равна 0,91 • 10~27 г.
Полагаем, что имеет место достаточно высокий вакуум,
так что при движении электрон не сталкивается с дру-
гими частицами. На электрон, движущийся со ско-
ростью v в магнитном^поле индукции В, действует си-
ла Лоренца f = g[v В].
На рис. 27.1 учтено, что заряд электрона отрица-
телен, что скорость его v — jv направлена по оси у,
а индукция В — —iB по оси — х. Сила f направлена
перпендикулярно скорости и является центробежной
силой. Она изменяет направление скорости, не влияя
на ее величину. (Вертикальная ось г, а не у).
Электрон будет двигаться по окружности ра-
диусом г с угловой частотой адц, которую называют
циклотронной частотой. Центробежное ускорение равно силе /, деленной на
массу:
v2 дэоВ vm
-—. Отсюда г= ——.
г т Вд3
(27.1)
190
~ ™ 2л г 2лт
Время одного оборота Т = ~—= -^——.
Следовательно,
_ 2л _
---------- /т-1 ----- ----------------
ц Т m
(27.2)
§ 27.2. Движение электрона в неизменном во времени магнитном поле, когда
скорость электрона не перпендикулярна силовым линиям. Рассмотрим два случая:
в первом — электрон будет двигаться в равномерном, во втором — в неравномер-
ном поле.
Рис. 27.2
1. Движение в равномерном поле. Через а на рис. 27.2, а обозначен угол
между скоростью электрона v и индукцией В. Разложим наТ^, направленную по В
и численно равную v cos а, и на направленную перпендикулярно В и численно
равную asina. Так как [vr В] = 0, то наличие составляющей скорости не вызы-
вает силы воздействия на электрон. Движение со скоростью v2 приводит к вращению
электрона вокруг линии В, подобно тому, как это было рассмотрено в § 27.1. В целом
электрон будет двигаться по спирали рис. 27.2, б, осевой линией которой является
линия магнитной индукции. Радиус спирали
v2tn
г — , шаг спирали
Л = 7
2лт
В
Поступательное и одновременно вращательное
дрейфом электрона.
2. Движение в неравномерном поле. Если
магнитное поле неравномерно, например сгу-
щается (рис. 27.2, в), то при движении по спи-
рали электрон будет попадать в точки поля,
где индукция В увеличивается. Но чем боль-
ше В, тем при прочих равных условиях меньше
радиус спирали г [см. формулу (27.2)]. Дрейф
электрона будет происходить в этом случае по
спирали со все уменьшающимся радиусом. Если
бы магнитные силовые линии образовывали
расходящийся пучок, то электрон при своем
движении попадал бы в точки поля со все
уменьшающейся индукцией и радиус спирали
возрастал бы.
(27.3)
движение иногда называют
§ 27.3. Фокусировка пучка электронов постоянным во времени магнитным по-
лем (магнитная линза). Из катода электронного прибора (рис. 27.3) выходит рас-
ходящийся пучок электронов. Со скоростью v электроны входят в неравномерное
магнитное поле узкой цилиндрической катушки с током.
191
Разложим скорость электрона v в произвольной точке т на две составляющие:
Vi И О2‘
Первая V! направлена противоположно В, а вторая v2 — перпендикулярно В.
Возникшая ситуация повторяет рассмотренную в § 27.2. Электрон начнет двигаться
.по спирали,, осью которой является v±. В результате электронный пучок фокусиру-
ется в точке Ь.
§ 27.4. Движение электронов в равномерном электрическом поле. Принцип
работы электронного осциллографа. Электрон, пройдя расстояние от катода до
узкого отверстия в аноде А (рис. 27.4 а), под действием ускоряющего напряже-
ния £7аК увеличивает свою кинетическую энергию на величину работы сил поля.
Экран
Рис. 27.4
Скорость v0, с которой электрон будет двигаться после выхода из отверстия в аноде,
найдем из соотношения
^э^ак
т
При дальнейшем прямолинейном движении по оси х электрон попадает в рав-
номерное электрическое поле напряженностью Е между отклоняющимися
пластинами 1 и 2 (находятся в плоскостях, параллельных плоскости zox). Напря-
женность Е направлена вдоль оси у. Пока электрон движется между отклоняю-
щимися пластинами, на него действует постоянная сила Fy = —q3E, направленная
по оси —у. Под действием этой силы электрон движется вниз равноускоренно, сохра-
няя постоянную скорость Vq вдоль оси х. В результате в пространстве между откло-
няющими пластинами электрон движется по
Диафрагма,
S)
параболе. Когда он выйдет из поля
пластин 1—2, в плоскости уох он
будет двигаться по касательной
к параболе. Далее он попадает
в поле пластин 3—4, которые соз-
дают развертку во времени. На-
пряжение t/34 между пластинами
3—4 и напряженность поля между
ними Ег линейно нарастают во вре-
мени (рис. 27.4,6). Электрон полу-
чает отклонение в направлении оси z,
что и дает развертку во времени.
Рис. 27.5
§ 27.5. Фокусировка пучка элек-
тронов постоянным во времени элек-
трическим полем (электрическая линза). Фокусировка основана на том, что, проходя
через участок неравномерного электрического поля, электрон отклоняется в сторону
эквипотенциали с большим значением потенциала (рис. 27.5, а). Электрическая линза
192
I
образована катодом, испускающим электроны, анодом, куда пучок электронов при-
ходит сфокусированным, и фокусирующей диафрагмой, представляющей собой
пластинку с круглым отверстием в центре (рис. 27.5, б). Диафрагма имеет отрица-
4 тельный потенциал по отношению к окружающим ее точкам пространства, вследствие
этого экви потенциал и электрического поля как бы выпучиваются через диафрагму
по направлению к катоду. Электроны, проходя через отверстие в диафрагме и откло-
няясь в сторону, фокусируются на аноде.
§ 27.6. Движение электрона в равномерных, взаимно перпендикулярных, не-
изменных во времени магнитных и электрических полях. Пусть электрон с зарядом
q — —q3 и массой т с начальной скоростью и0 оказался при t— 0 в начале коор-
динат (рис. 27.6, а) в магнитном и электрическом полях. Магнитная индукция на-
fl) 6) в) г)
Рис. 27.6
правлена по оси —х: В = —IB, т. е. Вх — В. Напряженность электрического поля
направлена по оси —z: Е — —kE, т. е. Ez — Е. Движение электрона будет происхо-
дить в плоскости zoy со скоростью v = ру + kvz. Уравнение движения
т =— q3E — q3 [vfi],
ИЛИ
dvy _>
jin ~dT + km "iF = k ^зЕ ~ q'=>vyB') + j UzBc,3‘
dvy mdvz „
Следовательно, m -&-=q3vzB; = ЯэЕ — <№уВ.
В соответствии с формулой (27.2) заменим на циклотронную частоту соц.
Тогда
dvQ
(27.4)
Продифференцируем (27.4) по t и в правую часть уравнения подставим (27.5):
d^vц л Е
(27.6)
•X
Решим уравнение классическим методом: vy — ^Пр + ^св«
дэЕ Е Л .
= ^св = Л sm(cV + v).
ХУ
193
Составим два уравнения для определения постоянных интегрирования. Так
£
как при /=0 Vy—VQy то A sin v— v0. При t—0 ^ = 0. Поэтому
Е
= 0, или Acosv=0. Отсюда v = 90° и A = v0—
-г к Е \ ( Е
Такпм образом, vи — — + [ьи — D
J D \ D
'dvy\ _
k di
sin (ОцЛ
Е
---------(1 — COS СОц/k
СОц Ц
V° ^JcosoV; dt
Пути, пройденные электроном по осям у и г:
t Е
С Е . В °° . .
у~ I vu dt = -„ t-------sin сОцГ,
J £> &>ц
О
t
2 = У vz dt
о
На рис. 27.6, б, в,. г, изображены три характерных случая движения при раз-
личных значениях v0. На рис. 27.6, б трохоида при vQ — 0, максимальное отклонение
2тЕ
по оси z равно 2тах=-^Г-
Если > 0 и направлена по оси 4-г/, то траекторией является растянутая
/ ч 2m / Е \
трохоида (рис. 27.6, в) с максимальным отклонением гтах==-——v0 к
Q3D \ D ]
Если < 0 и направлена по сси — у, то траекторией будет сжатая трохоида
(рис. 27.6, г) с 2тах=~^2-(4+ Ро)-
Когда магнитное и электрическое поля мало отличаются от равномерных, траек«
тории движения электронов близки к трохоидам.
§ 27.7. Движение заряженных частиц в кольцевых ускорителях. Циклотрон
представляет собой две полые камеры в виде полуцилиндров из. проводящего неферро-
магнитного материала. Эти камеры находятся в силь-
ном равномерном магнитном поле индукции В, напра-
вленном на рис. 27.7 сверху вниз. Камеры помещают
в вакуумированный сосуд (на рисунке не показан) и
присоединяют к источнику напряжения Umcos соЛ
При t — 0, когда напряжение между камерами имеет
максимальное значение-,, а потенциал левой камеры
положителен по отношению к правой, в пространство
между камерами вводят положительный заряд q.
На него будет действовать сила qE. Заряд начнет дви-
гаться слева- направо и с начальной скоростью v0 войдет
в правую камеру. Но внутри камеры напряженность
электрического поля равна нулю. Поэтому, пока он
находится внутри камеры, на него не действует сила qE,
ио действует сила q [у В], обусловленная магнитным
полем. Под действием этой силы положительный за-
ряд, двигающийся со скоростью v, начнет движение
mv
по окружности радиусом г
Время, в течение
х J nr пт ••
которого он совершит пол-оборота, 4 — ~ ,
Если частоту приложенного между камерами напряжения взять равной / = ==
гг , то к моменту времени, когда заряд выйдет из правой камеры, он окажется
194
под воздействием электрического поля, направленного справа налево. Под дей-
ствием этого поля заряд увеличивает свою скорость и входит в левую камеру, где
совершает следующий полуоборот, но уже большего радиуса, так как он имеет боль-
шую скорость. После k полуоборотов заряженная частица приобретает такую ско-
рость и энергию, какую она приобрела бы, если в постоянном электрическом поле
она пролетела бы между электродами, разность потенциалов между которыми kUm.
Вывод заряда из циклотрона осуществляется с помощью постоянного электри-
ческого поля., создаваемого между одной из камер (на рис. 27.7 правой) и вспомога-
тельным электродом А. С увеличением скорости и, когда она становится соизмери-
мой со скоростью света, масса частицы т во много раз увеличивается. Увеличива-
ется и время прохождения полуоборота. Поэтому одновременно с увеличением
скорости частицы необходимо уменьшать либо частоту источника напряжения
Um cos (j)t (фазотрон), либо величину индукции магнитного поля (синхротрон),
либо частоту и индукцию (синхрофазотрон).
ГЛАВА ДВАДЦАТЬ ВОСЬМАЯ
ОСНОВЫ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ
§ 28.1. Определение магнитной гидродинамики и краткая характеристика об-
ластей ее применения. Магнитная гидродинамика — это область науки, в которой
изучают поведение плазмы или проводящей жидкости (расплавленных металлов или
солей) в магнитном или электромагнитном'полях.
Плазмой называют полностью или частично ионизованный газ, в котором кон-
центрация положительных и отрицательных ионов одинакова, а суммарный заряд
в единице объема равен нулю. Этот газ в магнитогидродинамическом приближении
можно рассматривать как своеобразную проводящую жидкость. При движении
жидкости (плазмы) в магнитном (электромагнитном) поле в ней возникают электриче-
ские токи, взаимодействие которых с магнитным полем вызывает механические силы,
влияющие на характер ее движения.
За последние 25 лет магнитная гидродинамика особенно интенсивно развивалась
в трех направлениях: а) исследование космических проблем; б) изучение способов
воздействия на высокотемпературную плазму (ее термоизоляцию, импульсное уско-
рение, работы по управляемой термоядерной реакции); в) разработка методов элек-
тромагнитного воздействия на жидкий металл при его плавке, транспортировке,
дозировании.
В космосе имеется полностью ионизованный газ (плазма). Проводимость его
в некоторых случаях по порядку величины может приближаться к'проводимости
металла. Если учесть, что ионизованные газы занимают колоссальные объемы, то
несмотря на большие расстояния между космическими телами, сопротивления между
ними относительно невелики. В то же время магнитное поле в космосе может быть
значительным. Так, регулярное магнитное поле солнца около 25* КГ4 Т, а в области
солнечных пятен достигает 0,24-0,4 Т. Эти магнитные поля создают огромные медленно
затухающие токи в плазме, взаимодействие которых с магнитным полем создает
механические силы. Даже если эти силы и оказываются небольшими по величине,
их влияние на движение плазмы значительно, так как они воздействуют на нее в тече-
ние длительного времени.
Различают высокотемпературную и-низкотемпературную плазмы. По степени
концентрации заряженных частиц плазму различают на разреженную и плазму
с большой концентрацией. У высокотемпературной плазмы температура доходит
до нескольких*миллионов градусов. Низкотемпературная плазма имеет место, напри-
мер, в столбе ионизованного газа при тлеющем и дуговом разрядах. Плазма с тем-
пературой нескольких тысяч градусов образуется, например, вблизи поверхности
ракеты при ее вхождении в плотные слои атмосферы.
Магнитная гидродинамика наряду с другими науками является теоретической
основой при разработке магнитогидродинамических генераторов, а также плазмен-
ных и ионных двигателей.
Применение жидкометаллических теплоносителей в паровых машинах и турби-
нах, охлаждение атомных реакторов щелочными металлами, натрием и калием,
195
разлив и транспортировка жидкого металла в металлургии — все это вызвало по-
требность в магнитных насосах, вентилях, дозаторах.
При исследовании поведения проводящей жидкости в магнитном поле свой-
ства ее характеризуют проводимостью у и магнитной проницаемостью Значения у
и полагают известными из молекулярно-кинетической теории. Точно так же,
когда изучают поведение плазмы в магнитном поле, значения у и Ра для нее считают
известными из электронной теории. Обычно полагают, что среда является однород-
ной и изотропной и что ее свойства не зависят от температуры. Однако при определен-
ных условиях у плазмы может оказаться величиной тензорной, например у плазмы
в области солнечной короны. Иногда необходимо рассматривать плазму как двухком-
понентную (не однокомпонентную) среду.
§ 28.2. Уравнения магнитной гидродинамики. Систему уравнений магнитной
гидродинамики образуют следующие группы уравнений.
Уравнения Максвелла применительно к движущейся проводящей среде. Прово-
дящая среда по отношению к некоторой системе отсчета движется со скоростью v
во внешнем магнитном поле индукции В. Скорость движения среды ничтожно мала
по сравнению со скоростью света, поэтому релятивистские-поправки в уравнения
Максвелла не вносят. Ток смещения не учитывают, так как он ничтожно мал по
сравнению с током проводимости.
Напряженность электрического поля равна сумме электрической и магнитной
составляющих Е + [<?£>].
Тогда
rot W = v(£ + [vB]); (28.1)
rot£=—(28.2)
divB=0; (28.3)
6=V(£ + [7b]), (28.4)
где 6 — плотность тока.
Уравнение (28.4) представляет собой закон Ома. Решим системы (28.1) •— (28.4)
относительно вектора В. С этой целью найдем Е из (28.1), заменив Н на В/^а\
Е = —rotB —Ги§].
Wa
(28.5)
Подставим Е в (28.2):
—-- rot rot В — rot [ v В] = — .
yua L J dt
Так как rot rot В — grad div 7? — V2E, a div В — 0, то получим
— V2B+rot [ v в] = ~.
TPa
Уравнение Навье—Стокса выражает собой второй закон Ньютона применительно
к единице объема проводящей среды, движущейся в магнитном поле.
Произведение массы единицы объема р, движущейся со скоростью жидкости,
dv ’ х
на ускорение ее равно сумме сил, действующих на единицу объема:
Р F1+Л2 + ^3 + -^4>
dv ' -*
где —----полная или материальная производная, учитывающая изменение v в дан-
ной точке во времени и в результате того, что точка наблюдения попадает в поле
196
с иными значениями и- вследствие движения; — —grad р —- сила, вызвайная
перепадом давления и направленная в сторону уменьшения давления (тогда как
grad р направлен в сторону увеличения давления); F2 — pg — сила тяжести, дей-
ствующая на единицу объема; (g— ускорение силы тяжести в данной точке); F? =
J = pvV2u — сила вязкого трения на единицу объема; v — кинематический коэффи-
циент вязкости.
Сила вязкого трения взята пропорциональной второй производной скорости
потому, что равна разности сил, действующих с каждых двух противоположных
ь граней объема, отнесенной к расстоянию между гранями; F4 = [6В] — электромаг-
нитная сила. Выражение для нее получим из формулы (21.1), если ввести ток /
в квадратные скобки и заменить произведением плотности тока 6 на сечение AS^
через которое он проходит; затем обе части выражения F = [ZAS6B] разделить
на выделенный объем проводящего тела A/AS = AlAS.
Силы F2 и F^ малы по сравнению с и F4 и поэтому их не учитывают. Окон-
чательно имеем:
р^- = —gradp+[6B].
Уравнение непрерывности, выражающее собой то обстоятельство, что изменение
массы в элементарнохм объеме обусловлено притоком жидкости (плазмы),
|f+div (р^) = 0-
Уравнение теплового баланса
«»^-да7'+т + '7"' + Р*-
(28.6)
(28.7)
(28.8)
dT
где рс—----тепло, расходуемое на увеличение температуры объема; с — удельная
теплоемкость; XV2T — тепло, приносимое в единичный объем за счет теплопровод-
52
I ности; X — коэффициент теплопроводности;----джоулевы потери в единице объема;
№тр — тепло, выделяющееся в объеме в силу наличия трения; р — давление;
р /р * dp/ dt — тепло при изменении плотности р.
В установившемся тепловом режиме температура Т неизменна и в этом случае
уравнение (28.8) не используется. -
§ 28.3. Просачивание (диффузия) магнитного поля. Положим, что плазма
неподвижна. Из уравнений (28.5) и (28.6) при if— 0 следует:
Wa dt ’
[<5B] = gradp. (28.10)
Уравнение (28.9) является уравнением диффузии или уравнением теплопровод-
ности, где------коэффициент диффузии. Если принять, что В имеет только одну
не равную нулю* составляющую в декартовой системе координат В — 7вх (х, /), то
решение (28.9) будет следующим:
, v2t
4-00-----------------------------
Вх— ( е [a (v) cos vx~Fb (v) sin vx] dv,
(28.9)
(28.11)
где v — параметр; a (v) и b (v) — постоянные интегрирования, определяемые из на-
чальных и граничных условий.
197
Из (28.11) следует, что поле, просачиваясь сквозь плазму, затухает с постоян-
ной времени:
(28.12)
где I — линейный размер области, занятой полем.
На расстоянии / укладывается одно колебание sin vx или cos vx при v = 1.
§ 28.4. Электромагнитный барьер. Согласно уравнению (28.10) grad р перпен-
дикулярен плоскости, в которой расположены векторы 6 и В (рис. 28.1). Отсюда
следует, что при определенной конфигурации поля давление р может быть уравно-
вешено электромагнитной силой. Это особенно важно хотя бы для кратковременной
локализации плазмы с температурой порядка миллиона градусов, когда не при-
ходится рассчитывать на барьеры из какого-либо вещества.
Рис. 28.2
§ 28.5. Вмороженное поле. Положим, что проводимость плазмы у очень велика,
теоретически стремится к бесконечности и что плазма находится в движении со ско-
ростью сГ На рис. 28.2, а показана плоскость, в которой в исходном состоянии рас-
положены линии магнитной индукции. Возьмем произвольный контур в этой пло-
скости и допустим, что скорость движения плазмы поперек линий В стала неодина-
ковой (см. стрелки для v на рис. 28.2, а). Через некоторое время плоскость дефор-
мируется и примет вид, изображенный на рис. 28.2, б. Силовые линии растянутся
вместе с контуром, они как бы приклеены или вморожены в плазму (поток через кон-
тур останется неизменившимся). Физически это объясняется тем, 'что при движе-
нии плазмы поперек линий В в ней индуктируются токи, поле которых, складываясь
с первоначальным, так его деформирует, что силовые линии смещаются вместе с плаз-
мой. Практически проводимость у не бесконечно велика и поэтому деформация
линий В несколько отстает от деформации контура.
§ 28.6. Возникновение волн в плазме. При определенных условиях в плазме
могут возникать магнитогидродинамические волны. Для выяснения механизма их
возникновения обратимся к рис. 28.3. Для упрощения выкладок примем, что про-
водимость плазмы у -> оо.
Прямоугольная система координат расположена в плазме так, что внешнее
магнитное поле индукции ~В0 направлено по оси г. Положим, что по какой-то при-
чине слой плазмы 1 (рис. 28.3, б) начал двигаться со скоростью v в направлении
оси у. Так как движение этого слоя есть движение проводящего тела в магнитном
поле, то в каждой точке слоя 1 возникнет напряженность поля [<?В] = Под
ее действием в плазме возникнут токи проводимости с плотностью d=-^-rotj§,
На
замыкающиеся через соседние слои, как показано на рис. 28.3, а. Результирующая
индукция В равна сумме индукции внешнего поля BQ и индукции Гот токов проводи-
мости: В = jb + kBQ.
198
На движущийся в магнитном поле ток будет действовать механическая сила,
в каждой точке слоя равная
16 в]=A- [rot вв]=Г(-7 ~ \ (Jb+ад=k (- Ь +7в0 -g-.
Н'а г^я L \ / \ J
Сила Flf действующая на слой плазмы 7, начавший двигаться первым, будет
замедлять его движение. Слои 2 и 5, расположенные выше и ниже слоя 1 (в них
токи направлены в противоположную сторону по сравнению с током в слое 7), будут
испытывать силы Г2 и X, под воздействием которых слои начнут двигаться по оси у.
Рис. 28.3
Вдоль направления внешнего магнитного поля возникают две волны, распростра-
няющиеся со скоростью Vi = ± Одна из них распространяется вверх, другая —
вниз. Волны будут поперечными — слои плазмы движутся перпендикулярно направ-
лению распространения волны. Рассмотренный тип волн называют волнами Аль-
фена.
Давление р волны изменяется только в направлении оси z\
gtadp = k^P-.
Уравнение (28.5) имеет только одну проекцию на ось у:
B0-g-=-g-. (28.13)
dz dt
Уравнение (28.6) дает проекции на оси у и z:
_ Во
$ dt |ia dz ’
dp b db
dz ~~ *
(28.14)
(28.15)
Дифференцируя (28.13) no t и (28.14) по г, получим волновое уравнение
d2b _ В* d2b
dt2 ~~ PPa dz2 ’
Решение его следующее: b — f± It — - )+/г (.
\ vi J \ viJ
В
Скорость распространения волны в направлении оси z vL = •. При Во~
г РНа
«= 14-1,5 Т, р = 14-Ю4 кГ/м3; значение составляет от нескольких сантиметров
199
до нескольких десятков метров в секунду. Если b = A sin ^со/—то из уравне-
ния (28.13) скорость движения плазмы v —----sin (<i>t——-'l
КрНа \ vi )
Из уравнения (28.15) давление р=р0— -—sin2 («/ — ~), где А и ра —
t “Фа \ /
некоторые постоянные. Плотность тока 6 = й5Л-:
= — rotх В —
На
J_ 36
На
Если учесть, что у конечна, не бесконечно велика, то вследствие потерь от вихре-
вых токов и от вязкого трения амплитуда волны А по мере продвижения волны
вдоль оси z будет затухать по экспоненте.
В плазме могут возникать и другие типы волн, при которых силовые линии,
увлекаемые частицами плазмы или жидкости, участвуют в турбулентном движении.
§ 28.7. Эффект сжатия (пинч-эффект). В цилиндрическом столбе электрической
дуги (рис. 28.4) нити тока параллельны. Каждый элемент этой нити находится в маг-
нитном поле индукции В, направленной по касательной
к нити тока. На каждый элемент тока с плотностью 6
действует сила F = [6В]. Под действием этих сил нити
тока стремятся сжаться, а столб дуги уплотниться. Но темпе-
ратура газа (плазмы,) а следовательно, и давление будут
максимальны на оси. Силе сжатия противостоит давление.
Система находится в равновесии, когда электромагнитная
сила сжатия уравновешена силой давления.
§ 28.8. Принцип работы магнитного насоса н маг-
нитного вентиля. В магнитном насосе механическое воз-
р я действие на проводящую жидкость создается магнитным
Рис. 2о.4 полем. Принцип работы насоса кондукционного типа пояс-
няет рис. 28.5. Участок трубопровода находится в скре-
щенных магнитном и электрическом полях. Магнитное поле направлено сверху вниз,
электрическое — от точки т к точке п. Под действием электрического поля в напра-
влении от tn к п через жидкость течет ток /. На каждый элемент объема жидкости
с плотностью тока 6 действует сила F — [6£], направленная согласно с направле-
нием движения жидкости по трубопроводу, т. е. устройство действует как насос.
Рис. 28.6
Если при прочих равных условиях изменить направление электрического или
магнитного поля, то возникнет сила, препятствующая движению. В этом случае
устройство будет работать в качестве тормоза или вентиля. Управлять величиной
силы можно, изменяя величину В.
§ 28.9. Принцип работы магнитного гидродинамического генератора. Через
канал с большой скоростью v продувают плазму, нагретую до высокой температуры
200
(рис. 28.G, а), В перпендикулярном направлении создают сильное магнитное поле
индукции В. На ионы плазмы воздействует лоренцова сила Е — [vB]. Под ее дей-
ствием положительные заряды движутся по направлению Е к электроду /, а отри-
цательные заряды — встречно Е к электроду 2. Между электродами возникает раз-
ность потенциалов, равная Eh, Если электроды замкнуть на сопротивление R, то по
замкнутому контуру потечет ток, а плазма будет испытывать тормозящее воздей-
С£вие.
§ 28.10. Принцип работы плазменного реактивного двигателя. Сгустки плазмы
вдуваются в полость между проводящей трубкой и проводником, расположенным
на оси трубки (рис. 28.6, б). Плазма замыкает собой трубку и осевой проводник.
Ток, протекающий по трубке, плазме и осевому проводнику, создает магнитное поле,
которое выдувает плазму вправо. Плазма, получив ускорение, с силой выбрасыва-
ется из трубки в вакуум вправо, а трубка получает импульс движения влево.
7 Зак. 1730
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЧАСТИ III
ПРИЛОЖЕНИЕ Е'
РАСЧЕТ ПОЛЕЙ ПО МЕТОДУ СЕТОК
И МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЕЙ ПО МЕТОДУ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕТОК
Довольно широко распространены: а) числовой расчет электрических и маг-
нитных полей по методу сеток; б) моделирование электрических и неэлектрических
(магнитных) полей по методу электрических сеток. Несмотря на близость названий,
содержание методов существенно различно.
§ Е',1. Расчет полей по методу сеток. Метод сеток представляет собой число-
вой метод интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных
путем сведения их к уравнениям в конечных разностях.
Рис. E'.l
На рис. E'.l, а изображен участок двухмерного поля. На нем показаны оси х
и у декартовой системы и квадратная сетка со стороной Ь. Точки (узлы) сетки обозна-
чены цифрами 0,1,2, 3, 4. Примем ср0 — потенциал точки 0, — потенциал точки 1
и т. д. Выведем приближенное соотношение между потенциалами ф0 вытекаю-
щее из уравнения Пуассона. Среднее значение первой производнойна участке
202
1—0 приближенно равно 0^“^ 0~ ? на участке 0—2 2 ==
_ фэ~ фл
b
Вторая производная - в точке 0 приближенно равна разности средних зна-
Зср
чений первых производных -—- на участках 1—0 и 0—2, отнесенных к расстоянию
b между серединами отрезков 1—0 и 0—2:
/ Лф \ __ / Аф \ Ф1 —Фо __ (Фо —ф2)
Э2ф Д2ф __ \ Дх/i-о \ Дх /0 — 2 __ b b _ф1 + ф2 — 2фв
dx2 Дх2 ~~ b b ~ Ь2
Аналогично, ф
ду2 Ь2
Запишем уравнение Пуассона для двухмерного электростатического поля:
д2ф д2ф = рсвоб
дх2 * ду2 еа ’
' где рСВоб — свободный заряд в точке 0.
Подставим
Получим:
п л д2ф д2ф
в уравнение Пуассона приближенные выражения для и
(J л, Uy"1
Ф1 + фз + фз + ф4 — 4ф0 —----Рев ° б
ьа
(Е',1)
Если поле описывается уравнением Лапласа, то рсвоб — 0 и
Ф1 + ф2 + фз + ф4 — 4ф0 — 0.
(Е'.2)
Уравнения (E'.l) и (Е'.2) определяют связь между потенциалами квадратной
сетки. Они являются основными в методе сеток. Чем меньше шаг сетки Ь, тем меньше
погрешность от замены уравнений Пуассона или Лапласа соответственно на уравне-
ния (E'.l) или (Е'.2). При расчете по методу сеток применяют не только квадратные,
но и иные сетки, например полярные. Для них имеются формулы в конечных раз-
ностях, в общем случае отличные от формул (E'.l) и (Е'.2).
Допустим, что двухмерное поле, подчиняющееся уравнению Лапласа, ограни-
чено некоторыми поверхностями и известны потенциалы этих поверхностей (задача
Дирихле), либо известны значения производной от потенциала по нормали к каж-
дой граничной поверхности во всех точках (задача Неймана). Возможны и комбиниро-
ванные типы задач, когда для одной части граничных поверхностей известны зна-
чения потенциалов, а для другой — значения нормальной производной от потен-
циала.
Требуется найти значения потенциалов прямоугольной сетки этого поля. Пос-
ледовательность расчета для задачи Дирихле проиллюстрируем на примере расчета
поля, образованного двумя параллельными прямыми углами рис. E'.l, б. В месте
поворота расстояние между параллельными сторонами угла изменяется. Потенциал
верхней границы положим равным 75 единицам, нижней — нулю. Будем полагать,
что объемные заряды отсутствуют.
1. Тонкими сплошными линиями нанесем квадратную сетку. Обозначим узлы
получившихся квадратов буквами а, б, в, г, д, ... (расположены в кружках).
2. Произвольно выберем значения потенциалов узлов а, б, в, ... Объем дальней-
шей вычислительной работы в значительной мере зависит от того, насколько близко
к действительному выбрано первоначальное распределение потенциала. Поэтому
следует стремиться к возможно более правдоподобному первоначальному распреде-
лению потенциала.
Для этой цели нанесем на рис. E'.l приближенную картину силовых и экви-
потенциальных линий и, руководствуясь ею, запишем начальные значения потен-
циалов узлов (цифры слева и вверху у каждого узла).
7*
203
3. Для каждого узла находим величину остатка в формуле (Е'.2). Так, остаток
для точки б равен 53 + 50 + 75 + 25 — 4-50 = 3. Записываем величину остатка
в правом верхнем углу у каждого узла.
4. Поскольку в каждом узле остаток должен быть равен нулю, то дальнейший
и наиболее трудоемкий этап расчета состоит в таком изменении потенциалов узлов,
чтобы остатки во всех узлах не превышали некоторой заданной величины (скажем,
1 или 2).
Поэтому в одной из точек с наибольшим значением остатка изменяем потенциал
приблизительно на от остатка (в рассматриваемом случае в точке б уменьшаем
потенциал на единицу) и затем пересчитываем остатки во всех остальных узлах. Вновь
полученные остатки записываем в левом нижнем углу у каждого узла (на рисунке
они выписаны не для всех узлов). Такая операция выполняется несколько раз до -тех
пор, пока все остатки не станут равны или меньше заданной величины. Процесс
является сходящимся. При расчетах используют счетные машины.
Метод применим для магнитных и электрических полей, линейных и нелинейных
сред, для неизменных и изменяющихся во времени полей.
§ Е'.2. Моделирование полей по методу электрических сеток. Моделирование
полей с помощью электрических сеток представляет собой метод экспериментального
исследования полей, подчиняющихся уравнению Пуассона, путем измерения потен-
циалов узлов электрической сетки, которой заменяется сплошная среда. Положим,
что требуется выяснить распределение потенциалов в некоторой области (сплошной
среде), потенциалы границ которой заданы. Кроме того, известны электрическая или
соответственно магнитная проницаемость среды, а также плотность распределенных
источников в исследуемом поле (например, плотность свободных зарядоврсвоб в моде-
лируемом электростатическом поле).
Исследуемое поле заменим полем в проводящей среде с проводимостью у. Моде-
лируемую область разделим на элементарные объемы, например на кубы. Каж-
дый элементарный объем заменим электрической схемой замещения в соответствии
с рис. E'.l, в.
Пусть ребро куба имеет длину 2а. Центр куба обозначим цифрой 0, а точки,
лежащие в серединах его граней, — цифрами 1—6. Шаг сетки в направлении осей
х, г/, z обозначим Дх, Дг/, Дг (Дх = Лт/ = Дг — а). Проводимость между любой
из точек 1—6 и центральной точкой 0 g = y---------==4уа.
К узлу 0 от источника тока подтекает ток /0— 26 (х, у, z) а3. К остальным
узлам, не показанным на рис. E'.l, в, подтекают свои токи. Эти токи, подводимые
в центры кубов, выполняют функции распределенных источников в исходном поле.
Значения токов определяются по заданной плотности распределенных источников.
По первому закону Кирхгофа, сумма токов, подтекающих к узлу 0, должна быть равна
нулю, т. е.
(ф1 — фо) g + (<Р 2 — фо) g + (<Рз — Фо) g + (ф4 — Фо) g +
+ (ф.-> — Фо) g + (Фе — Фо) g + /о = °- (Е' .3)
Потенциал точки 0
ф0 = ф(х, у, z).
Потенциал точки 1
Дх дф (Дх)2 д2ф (Дх)3 д3ф
«₽,=<₽ (Х+Лх, у, 2)^ф(х, у, 2) + -п _/ + —+ —
Потенциал точки 2
, А , , Дх дф (Дх)2 д2ф (Дх)3 д3ф
Ф2 — ф (х Ах, ф(х, у, z) дх 2! дх2 3! дх3
Следовательно,
(Ф1 — фо) g + (ф2 - фо) g = (М2 g = 4Т«9 4^" •
204
Проделав аналогичные выкладки с остальными слагаемыми уравнения (Е.З),
подставив в него выражение для /0 и сократив на 4а3, получим уравнение Пуассона
д2Ф , д2ф . д2ф б (%, у, z)
¥ Таким образом, распределение потенциалов в электрической сетке с точностью
до частных производных четвертого порядка от ф, умноженных на а2/41, удовлетво-
ряет тому же уравнению, что и распределение потенциалов в сплошной среде.
Распределение потенциалов в узлах 0 элементарных объемов измеряется ком-
пенсационным способом.
Моделирование позволяет на относительно дешевой модели исследовать поля,
с трудом или совсем не поддающиеся аналитическому расчету.
приложение ж
МЕТОД ГРИНА
§ Ж.1. Формулы Грина. Формулы Грина получают из теоремы Остроград-
ского — Гаусса
div D dV =ф D dS Dn dSt (Ж 1)
где Dn — нормальная составляющая некоторого вектора D на поверхности S, огра-
ничивающей объем V; Dn направлена в сторону внешней нормали п по отношению
к объему V.
Положим, D — aF, где а — произвольный скаляр, а вектор F представим
как градиент некоторой скалярной функции ф: F = grad ф. Тогда
div D = div (a grad ф) = V (аГф) =аУ2ф + ТфГа.
Подстановка в (Ж-1) дает:
( (а?2ф+V<pVa) dV = § Dn dS.
V 3
дф
Учтем, что проекция вектора D на направление нормали п есть а :
J (а?2ф-|-ГфУа) dV = a • j dS. (Ж-2)
v s
Формулу (Ж-2) называют первой формулой Грина.
Поменяв местами скаляры а и ф и вычтя одно равенство из другого, получим
вторую формулу Грина:
j (aV2<p — <pV2a) dV fa — q> J dS.
V s
(Ж-3)
§ Ж-2. Гармонические функции. Гармонической называют функцию, непрерыв-
ную в рассматриваемой области вместе со своими производными до второго порядка
включительно и удовлетворяющую уравнению Лапласа в этой области. Центрально
симметричная функция 1/г, где г— расстояние от некоторой фиксированной точки
объема (например, от точки А рис. Ж.1, а) до текущей точки В, является гармони-
ческой функцией. Для плоскопараллельного поля гармоническая функция равна 1п г.
Примем в формуле (Ж-3), что а и ф — гармонические функции, a = 1/г и функция ф
205
выполняет роль потенциала ср. Тогда ?2ф = 0, V2a = 0 для поверхности, ограни-
чивающей область V, имеет место соотношение
(Ж.4)
§ Ж.З. Интеграл Грина для гармонических функций. Применим формулу (Ж.4)
для определения потенциала в произвольной точке В объема V. С этой целью окружим
точку В сферой SB малого радиуса р (рис. Ж-1, б) и применим формулу (Ж-4) к по-
верхностям 5 и 8В:
l^p М
k г dv dv )
и —нормаль к поверхности 8; v — нормаль к поверхности 8£; обе они внешние
к объему V.
Рис. Ж-1
Устремим радиус р ; нулю. При этом lim С — 4^- d8 = 0, так как 4^- — вели-
J г dv dv
SB
чина ограниченная (функция ф непрерывна в области V), SB стремится к нулю, как р2,
а 1/г возрастает, как 1/р. При р -> 0 потенциал точек поверхности SB примерно
равен потенциалу ф^ точки В:
д —
Г
dv
д--
Г „ *
dr ~ г2
Кроме того, учтем, что
lim
р—0
—^—ds
dv
SB
4лг2 .
<Ря-рг~=4л(Рв-
Таким образом, потенциал произвольной точки В внутри области V:
4л
(Ж 5)
Он определяется значением потенциала и нормальной производной потенциала
на поверхности, ограничивающей область V. Физически первое слагаемое фор-
206
мулы (Ж.5) обусловлено поверхностными зарядами, как бы вкрапленными в поверх-
ность S, а второе — зарядами диполей на поверхности, т. е. двойным заряженным
слоем.
§ Ж.4. Функция Грина. Положим, что в точке А рис. Ж-1, в находится точеч-
ный заряд q= 4л8а, а поверхность S является проводящей и заземлена, т. е. потен-
циал ее равен нулю. Вследствие электростатической индукции на внутренней стороне
поверхности возникают отрицательные наведенные заряды плотностью —о, а на на-
ружной -}~о. Суммарный отрицательный заряд на внутренней поверхности равен сум-
марному положительному заряду на внешней поверхности и каждый из них численно
равен q.
Обозначим расстояние произвольной точки В до точки А через г, а до произ-
вольной точки на поверхности — через В- Тогда
1 1 С о dS
^в г 4л8а J В
s
Если точка В будет находиться на п оверхности S, то ее потенциал по условию
задачи должен быть равен нулю.
Функцией Грина G = называют функцию, которая обладает свойством
потенциала произвольной точки В в рассматриваемой задаче, т. е. она является
гармонической функцией и принимает нулевое значение на поверхности S. Функ-
ция Q определена через функцию g, которая представляет собой решение уравнения
Лапласа для рассматриваемой задачи. Основная трудность решения методом функ-
ций Грина заключается в отыскании функции g. Она найдена лишь для некоторых
частных случаев: например, в поле точечного заряда q— 4л8а, расположенного
на расстоянии h от проводящей плоскости (рис. Ж-1, в), G — --—.
§ Ж.5. Определение потенциала ф через функцию Грина в общем случае. В объ-
еме V, ограниченном поверхностью S, имеются объемные заряды р, распределенные
с заданной плотностью, известны потенциалы поверхностей и функция Грина. Поло-
жим в формуле (Ж.4) a — g = G— 1/г, учтем, что V2cc — 0, а ¥2ф =------Тогда
8а
V S
Кроме того, из физических соображений следует, что потенциал произволь-
ной точки В определяется объемными и поверхностными зарядами, а также двойным
заряженным слоем (диполями) на границе:
1 С pdV
^“4л8а J г
5 —
<6 — -^.—^—dS.
j г дп 4л j Y дп
s s
(Ж.7)
Вычтем.(Ж.6) из (Ж.7), учтем, что функция Грина на поверхности S равна нулю.
Получим формулу для определения потенциала произвольной точки фв через функ-
цию Грина и ее нормальную производную:
Фп = ~л---- 1 б?Р dV — -г- <\) ф -3— dS.
4л8« J 4л j т дп
V S
(Ж.8)
где п — внешняя нормаль к объему. Примеры на применение формулы (Ж 8) см. в [9].
207
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
< Метод интегральных уравнений (ИУ) представляет собой метод расчета _маг<
нитных и электрических полей, основанный на введении вторичных источников и
состоящий в сведении задачи к интегральным уравнениям, и их числового решения
на ЭВМ. В настоящее время его применяют главным образом для решения двух-
мерных задач, но с увеличением объема памяти ЭВМ он может быть применен и к трех-
мерным полям.
Имеется два варианта метода интегральных уравнений, отличающихся видом
вторичных источников. Идея метода и его первый вариант предложены Г. А. Грин-
бергом [6]. Дальнейшее развитие метода и доведение его до практических расчетов
осуществлено О. В. Тозони [15], Э. В. Колесниковым, И. Д. Маергойз и др. Раз--
работка второго варианта метода осуществлена О. В. Тозони [16] и др.
§ 3.1. Первый вариант метода интегральных уравнений. Идею метода рассмо-
трим применительно к магнитному полю, образованному намагничивающими обмот-
ками, геометрия и ток в которых известны, и намагниченными ферромагнитными
телами. Однородно намагниченные ферромагнитные тела в расчетном смысле можно
заменить вакуумом (воздухом), поместив на поверхность ферромагнитных тел поверх-
ностные токи с плотностью o' на единицу длины (пояснения о поверхностных токах
см. в § 14.24, где они были обозначены 6М). Значение о в различных точках поверхности
неизвестно и подлежит определению. Значение плотности тока проводимости 6
в обмотках известно.
Рис. 3.1
Рассмотрим условия на границе между ферромагнитным телом (среда ё) и воз-
духом (среда I) — рис. 3.1, а. На рис. 3.1, б показана та же граница, что и на рис.
3.1, а, но ферромагнитное (ф.м.) тело заменено воздухом, а на границе помещен
поверхностный ток с плотностью о на единицу длины.
Тангенциальные (о чем свидетельствует индекс t) составляющие напряженности
поля на границе Hlt в среде i и Het в среде е состоят каждая из двух компонент:
из составляющей обусловленной всеми токами проводимости, протекающими
по обмоткам электрического аппарата, и всеми поверхностными токами (их называют
связанными токами) на границе ферромагнитной области, кроме поверхностного тока
odl, протекающего по рассматриваемому элементу поверхности, и из составляющей
//", обусловленной поверхностным током adl в рассматриваемом элементе поверх-
ности ферромагнитного тела (выбран направленным к читателю).
Тангенциальные составляющие индукции на границе:
Каждая из них состоит из двух компонент:
Blt—B’t —в"; Bet = B't+B"t, (3,1)
но
так как они определены, когда среда — неферромагнитна. >
208
Применим закон полного тока к пунктирному контуру на рис. 3.1, б, охва-
тывающему кусочек границы длиной dl. Получим
2Я; = а. (3.3)
При составлении циркуляции по этому контуру учли, что по верхней и по ниж-
ней границам контура составляющих /7' в соответствии с рис. 3.1, б нет. Так как
тангенциальные составляющие напряженности поля на границе воздух — ферро-
магнитное тело равны, то
Но Нф’
где — магнитная проницаемость ферромагнитного тела.
Имея в виду (3.2), (3.3), (3.1), из (3.4) получаем
(3.4)
Следовательно,
..л о Нф+Нэ
nt — о -------.
2 |1ф и»
_ роа <цФ~гНо
Рф — По
Отсюда находим поверхностную плотность тока для гладких участков поверх-
ности ферромагнитного тела через Bt, и р0:
2 Рф~Но
Но Нф + Но
(3-5)
Но В; можно определить как ротор от векторного потенциала А, который опре-
деляется всеми токами проводимости 6 в обмотках и поверхностными токами о
на поверхности ферромагнитных тел.
Для плоскопараллельного поля
Л=С 6 ln_L dsN+g <G о (M) in -L diMt
J rQN £ rQM
где A — значение вектора потенциала в произвольной точке наблюдения Q, рас-
положенной на контуре ферромагнитного тела L; N — произвольная точка сечения
обмотки с током, плотность тока в которой 6 (N); r^N — расстояние от точки Q
до точки N (рис. 3.1, в); М — произвольная точка на контуре L с плотностью поверх-
ностного тока о (Л4).
Обход контура выберем против часовой стрелки, а нормаль п направим во внеш-
нюю область по отношению к контуру L. Тогда = —Так как
In —In rON —= —— cos (rnN, n),
dn rQN drQN QN dn rQN 1 QN ’
TO
Ho (’ 6(W)cos(fQA’’ rt<?) Ho C o(M)cos(rQAP «(?)
Bt =— 2n 1 ------------777-------№2л (V --------------7----------<3.b)
ZJL« 6 QN J rQM
Подставив формулу (3.6) в (3.5), получим интегральное уравнение второго
рода Фредгольма относительно плотности поверхностного тока на контуре L фер-
ромагнитного тела:
О (Q) +1 х £ dl = ~F(Q). (3 7)
л rQM
209
Вф Во
Здесь
F(Q) = U f dSv. (3.8)
n J rQN
Для каждой точки Q контура L функцию F (Q) можно подсчитать заранее [до
решения уравнения (3.7)], так как распределение тока проводимости 6 (N) и гео-
метрия магнитной системы известны. Если контуров, ограничивающих ферромаг-
нитную область, несколько (т. е. область многосвязна) — например, на рис. 3.1, а
область ограничивают два контура и Е2 — то уравнение (3.7) заменяют системой
уравнений (число уравнений равно числу контуров). В каждое уравнение входят
слагаемые от поверхностных токов и в других контурах (а не только от поверхност-
ных токов в своем контуре).
Уравнение типа (3.7) решают на ЭВМ итерационным методом, заменяя интегралы
конечными суммами. Чтобы итерационный процесс сходился, используют интеграль-
ные соотношения для контуров L, вытекающие из закона полного тока. После на-
хождения о (Q) определяют B't, а по ним и по Л — любую точечную или интеграль-
ную характеристику поля.
Подробное рассмотрение первого варианта метода, составление программ для
ЭВМ, числовые примеры и распространение метода на нелинейные магнитные системы
читатель найдет в [15]. О применении метода к электростатическим полям см. [9].
§ 3.2. Второй вариант метода интегральных уравнений. Первый вариант ме-
тода ИУ имеет тот недостаток, что если параметр К в уравнении (3.7) окажется
близок к 1, то малая погрешность, допущенная при подсчете F (Q) по формуле (3.8),
приведет к большой погрешности при определении закона распределения о. Чтобы
этого недостатка избежать, в [16] описан второй вариант метода ИУ с иными вторич-
ными источниками. Рассмотрим основы второго варианта. С этой целью запишем
систему уравнений Максвелла сначала через векторы В и Е, а затем через векторы
ВиН, полагая, что 8 и в являются функциями координат.
Первое уравнение Максвелла:
rot-— = -~l--rot В + [grad — , В 11 = ^
ВоВ Во IB L В J)
но
, 1 d / 1 \ , Vll $
grad7 = ^Wgra
Следовательно,
rot В = u0^+ Но ]- ~ . (3.9)
I Во В 1
С учетом того, что 8 — функция координат, теорема Гаусса divZT— div Eq&E = р
запишется так:
div еоеЕ = 80 [е div Е + (Е, grad 8)] — р
или
+ (310>
В свою очередь
div В —О и rotE==-~ (З.П)
Поле векторов В и Е в вакууме описывается системой уравнений (3.9)-^-(3.11).
Из нее следует, что поле создается первичными источниками рб и зарядами р/е,
а также вторичными источниками — плотностями тока намагниченности
MQ. <3|2>
Во Bq
210
и объемными зарядами поляризации плотностью
/£((?, /), Vne.\
pn (Q, 0 = - So ----. (3.13)
\ /
Здесь Q — произвольная точка наблюдения; t — время.
Запишем теперь систему уравнений Максвелла через векторы D и Н (исклю-
чив В и £):
, ft дН ( 1 [Д Ve]l /о„ч
rot D=— ₽0е|л<41 д( + so -- - J, (3.14)
div£T=p, rot H = d, (3.15)
div Я = 1 ц0 . (3.16)
Ho v H J
Система (3.14 4-3.16) свидетельствует о том, что поле векторов D и Н в ва-
кууме создается системой первичных источников — плотностей токов проводи-
мости 6 и объемных зарядов р и системой вторичных источников — плотностями
фиктивных магнитных токов:
1 Р (Q, t), V„8]
Ът (Q. 0=-- 1------------(3.17)
е0 е0
и фиктивных магнитных зарядов:
о Ю Л- ц. VOg) 43 181
Pm 0 — — Но ” • l(3.1о)
^0
Поскольку свободных магнитных зарядов не существует, то
pm(Q, i)dV+^om(Q, i)dS=O. (3.19)
V s
Если расчет магнитного поля постоянного тока в кусочно-неоднородной среде
вести с использованием вторичных источников второго типа, т. е. фиктивных маг-
нитных зарядов pw (Q, t) и поверхностной плотности токов на поверхностях фер-
ромагнитных тел (Q, /), то, выразив Н (Q, t) через первичные и вторичные источ-
ники и подставив ее в формулы
<Ъ,г (<2, /) = 2цо (я (Q, t), /Г«?)) = (Я (Q, t), n(Q)) (3.20)
~г Не
и в формулу (3.18), получим два следующих интегральных уравнения относительно
и/72 и Pm (в статическом поле от и рт будут функциями тблько Q):
<у,п (Q) + $ от (Л4) Л (Q) dSM + f рт (М)). (Q)"о) dVM =
Ф J ф
= - f 6 W Л (Q) WqI dVN. (3.21)
J rQN
Pm (Q) - ( Pm (M) dVM~ am (M) dS ..=
W J Pm V > 4ли (Q) м \ > 4лц (Q) r^M ЛГ
ф 5ф_
" <3 22>
211
где 5ф — поверхность; Еф — объем ферромагнетика; D — объем, занятый токами
проводимости б; — единичная нормаль к поверхности в точке Q.
Систему уравнений (3.21—3.22) решают совместно с уравнением (3.19) либо
прямым, либо итерационным методом. Методику решения и программы для ЭВМ
см. в [16].
ПРИЛОЖЕНИЕ И
МЕТОД КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ (ОТОБРАЖЕНИЙ)
Метод конформных преобразований — это метод анализа и расчета неизменных
во времени двухмерных электрических и магнитных полей, удовлетворяющих урав-
нению Лапласа, основу которого составляет конформное преобразование совокуп-
ности точек одной плоскости комплексного переменного в совокупность точек другой
плоскости.
§ И. 1. Комплексный потенциал. Расположим оси декартовой системы в иссле-
дуемом поле так, что ось z будет перпендикулярна полю. Плоскость хоу будем назы-
вать плоскостью z. Каждая точка поля имеет некоторые координаты х и у. Плоскость
хоу можно считать комплексной плоскостью. Тогда положение точки на плоскости
будет характеризоваться комплексным числом z = х + /V-
Совокупность точек х, у, принадлежащих эквипотенциальной линии, обозна-
чим U (%, у) — U, а совокупность точек, принадлежащих силовой линии, назовем
V (•*» У) ~ V. Из § 19.5 известно, что в любой точке поля силовые и эквипотенциаль-
ные линии взаимно перпендикулярны, т. е. отрезок линии U и отрезок линии V
в любой точке поля взаимно перпендикулярны. Следовательно, одну из функций,
например U, можно принять в качестве действительной, а другую, например V, —
в качестве мнимой части некоторого комплексного числа w = U + jV.
Функцию w называют комплексным потенциалом. Он описывает совокупность
силовых и эквипотенциальных линий поля, т. е. ортогональную сетку или кар-
тину поля. Функцию U называют потенциальной функцией, а И — функцией потока
(так как через нее может быть найден поток вектора, характеризующего это
поле).
Функциям U и V можно придать и противоположный смысл, т. е. U считать
функцией потока, а V — потенциальной функцией. Если считать U потенциальной
функцией, то проекции вектора напряженности электрического поля Е — iEx + jEy
на оси х и у соответственно равны:
„ dU г dU
Е*—д-х' ЕУ=--^
(И.1)
[ср. с формулами (19.8)].
Отсюда следует, что модуль напряженности поля Е — у Е~ ф- Е2 =
Аналогичные формулы можно записать и для магнитного поля.
§ И.2. Конформные преобразования. Конформными называют преобразования
совокупности точек плоскости z — х + jy в совокупность точек плоскости w =
= U + jV, осуществляемых с помощью аналитической функции w = f (z).
Функцию w = U + jV = f (x + jy) — f (z) называют аналитической, если
dw До;
производная — hm . - не зависит от направления, вдоль которого взято при-
л dw „ ,
ращение Az, т. е. производная -- аналитической функции должна быть одна и та же,
если приращение dz один раз взять вдоль оси х (dz = dx), а другой раз — вдоль
оси y(dz= jdy). Так, когда приращение Az взято вдоль оси х, приращение функ-
ции Axw = KXU + j&xV. Если же приращение Az взять вдоль оси у, то приращение
функции А£уш = KyU ф- /А^Е.
212
Учитывая сказанное, имеем:
dw _ dU дУ .
дх ~~ дх дх '
dw _ .dU дУ
! ду ~ 1 ду ' ду
(И 2)
(И.З)
Приравнивая правые части (И.2) и (И.З), получим уравнения, называемые урав-
нениями Коши — Римана'.
dU _дУ.
дх~~ ду *
dU __дУ
ду ~ дх
(И.4)
(И.5)
Можно доказать, что функции U и У удовлетворяют уравнению Лапласа. Чтобы
убедиться в том, что функция U удовлетворяет уравнению Лапласа, продифференци-
руем (И.4) по х, а (И.5) — по у:
d2U __ д2У # d4J _ ФУ
дх2 ~~ дхду' ду2 дх ду ’
Если сложить эти равенства, то получим уравнение Лапласа относительно U.
Аналогичное доказательство можно провести и по отношению к функции У.
Рис. И.1
Если в произвольной точке а плоскости z (рис. И.1, а) взять два приращения:
dzv = \dzt\ е7^21 и dz2 = |dz2! e7^2'2, то в точке а плоскости^ (каждой точке плоско-
сти z соответствует некоторая точка в плоскости w, рис. И.1, б) им будут соответ-
ствовать приращения dwY = IdayJ е7^1 и dw2 = Мш2| е7^2. В силу аналитичности
функции w:
dw dw
dz при dz = dzi dz при dz — dz2'
Поэтому
I dWj j f32i) _ j dw2 । (Pj2>2 ~~ Pz2)
I dzL | “ T^Ti
Отсюда следует, что
|dwt| _ |dw2! ft
Idzjj Рг*’
т. e. бесконечно малой фигуре на плоскости z (рис. И.1, <?) соответствует подобная
бесконечно малая фигура на плоскости w (рис. И.1, г).
По определению, напряжение между двумя близлежащими точками на пло-
скости z равно Ez dz cos (E^dz) = Re E^dz. Между одноименными точками на пло-
213
скости w Re Ewdw. Эти напряжения равны Re E~dz — Re Ewdw. Усилим это равен-
ctbo Ezdz = Ewdw. Отсюда EZ = EW (j-) • Составим выражения для ( и Ew
в декартовой системе координат, отсчитывая углы от осей х и U, расположив их
параллельно. Когда U — потенциальная функция, то, используя (И.4) и (И.5), имеем
ЛМ* _ w ди _ +/We-rctg
\dz) ~ дх^1 ду ” V \dxj ^\ду 1
и так как напряженность направлена от более высокого потенциала к более
то Ew = Ew е7180°. Если V — потенциальная функция, то EW-==EW e~/S(r и
низкому,
/dw\*
\dz)
§ И.З. Прямая и обратная задачи расчета полей по методу конформных пре-
образований. Прямая задача формулируется следующим образом. Известны экви-
потенциальные линии плоскости z (обычно известны две линии в соответствии с тем,
что поле создается двумя электродами — поверхность каждого электрода является
эквипотенциалыо). Требуется найти такую функцию w = f (г), действительная
U или мнимая V часть которой удовлетворяла бы уравнению U (х, у) — const 1или
соответственно уравнению V (х, у) = const] на поверхности каждого электрода *.
Если такая функция будет найдена, то на основании теоремы единственности
она будет правильно описывать поле во всех его точках.
Очертания электродов в плоскости z могут быть самыми различными. Если
очертания электродов таковы, что их можно представить кусочно-ломаными пря-
мыми, то задачу нахождения функции w = f (z) можно решить в общем виде (по край-
ней мере принципиально) с помощью интеграла Кристоффеля — Шварца (см. § И.5).
Если же очертания электродов в плоскости z таковы, что не могут быть представлены
кусочно-ломаными прямыми, то общий метод нахождения функции w = f (z) для
таких задач в настоящее время не известен. Тем не менее метод конформных отобра-
жений часто стремятся применить и в этом случае, решая задачу обходным путем —
просматривают уже известные решения, имеющиеся в учебной и специальной лите-
ратуре, и пытаются найти такое, в котором форма двух эквипотенциалей, если не пол-
ностью, совпадает с формой (очертаниями) электродов исследуемого поля, то доста-
точно близка к ним. Эго решение и принимают в качестве искомого.
Обратная задача формулируется так. Задана некоторая аналитическая функ-
ция w=f(z). Требуется выяснить, взаимное конформное преобразование каких
полей может быть осуществлено с помощью этой функции. В качестве примера обрат-
ной задачи рассмотрим преобразование, осуществляемое функцией
w = mArch-|-, (И.6)
где т и k — некоторые числовые коэффициенты.
Разрешив (И.6) относительно z, будем иметь
, . , , U + jV V , ...и . V
z = х 4- iy = k ch <——— = k ch — cos-k ik sh — sin —.
J tn tn m m m
Следовательно,
(И.7)
(И.8)
к U V
x=&ch — cos — :
т т ’
, UU . V
у = k sh — sin -.
tn m
* Отметим, что ортогональная сетка на плоскости w может быть описана не только
в декартовой, но и в полярной сйстеме координат. В полярной системе w = ге-4
и линии г ~ const могут быть приняты за силовые линии, а линии Р = const —
за эквипотенциали. Полярная сетка использована в § И.4 — И.6.
214
Разделим уравнение (И.7) на ЛсЬ — и уравнение (И.8) на k sh ~; возведем
полученные уравнения в квадрат и сложим. Получим уравнение эллипса:
*2 , У2 ,
U ь
k2 ch2 -- k2 sh2 -
tn m
(И.9)
Полуоси его
a — k ch —, b = k sh —.
tn tn
Из (И.9) следует, что различным U — const соответствует семейство конфо-
кальных эллипсов с фокусным расстоянием от центра k = Yd2— b2.
Разделив уравнение (И.7) на /г cos — и уравнение (И.8) на 6 sin —, а затем
возведя их в квадрат и вычтя одно из другого, получим уравнение гиперболы:
—^7----------^=1 (И.Ю)
k2 cos2 — k2 sin2 —
tn m
. У и к • У
с полуосями а± = k cos —, — k sm —.
Уравнение (И.Ю) при V = const описывает семейство конфокальных гипербол
с фокусным расстоянием + bj = k.
Таким образом, функция w = mArch-^- конформно преобразует совокупность
взаимно перпендикулярных эллипсов и гипербол на плоскости z (рис. И.2, а) в сово-
купность взаимно перпендикулярных прямых на плоскости w (рис. И.2, б),
В § И.2 говорилось, что роль потенциальной функции может выполнять либо
функция U, либо функция V.
Если в рассматриваемом случае под потенциальной функцией понимать функ-
цию U, то эквипотенциальные поверхности будут эллипсами, а поле на плоскости z
будет представлять собой поле между двумя конфокальными эллиптическими элек-
тродами (рис. И.2, в).
215
Если же под потенциальной функцией в рассматриваемом примере понимать
функцию V, то поле на плоскости z будет являться полем между двумя электродами
гиперболической формы (рис. И.2, г).
В предельном случае, когда полуось Ьх ~ 0, гипербола вырождается в прямую
(рис. И.2, д) и исследуемое поле представляет собой поле между двумя плоскими
пластинками.
Электроды могут иметь и неодинаковую форму, например левый электрод —
форму плоской пластинки, а правый — форму гиперболы (рис. И.2, ё). Постоянные
т и k определяют из граничных условий.
§ И.4. Преобразование равномерного поля на плоскости z в поле верхней по-
луплоскости w. Координату некоторой точки на плоскости w запишем в полярной
системе координат: w = г е'₽ (обозначения см. на рис. И.З, б). Свяжем перемен-
ные z и w соотношением z — x-\-jy = A In W-. Здесь А и /0 — некоторые постоянные.
го
Тогда х—А In - и у — Л(3.
го
На плоскости z (рис. И.З, а) имеется равномерное поле, образованное двумя
плоскими электродами. Один электрод совпадает с осью х и имеет потенциал (Pi = О,
второй удален о г оси х на расстояние d и имеет потенциал <р2. На плоскости z экви-
потенциали являются прямыми, парал-
дельными оси %, а силовые линии па-
раллельны оси у.
На плоскости w при использова-
нии полярной системы координат ли-
нии равного потенциала будут соответ-
ствовать линиям Лр — const, т. е.
будут являться лучами, проведенными
из начала координат, а эквипотен-
циали A In —• — const будут являться
го
Плоскость W
Рис. И.З окружностями.
Положим, что эквипотенциаль
у = d плоскости z отображена на пло-
скости w отрицательной полуосью —U, а эквипотенциаль у = 0 — положительной
полуосью +17. Точке w~ 0 соответствует х = — оо. Определим постоянную А.
Полупрямой — U соответствует Р = л, поэтому у = d = Ап. Отсюда А — d/n.
Найдем соответствие между силовыми линиями в плоскости г и в плоскости w.
Силовой линии х = 0 = — In— соответствует полуокружность радиусом г = г0
л /’о
(г0 произвольный радиус, играющий роль единицы измерения).
, Ьл
d г ’
Силовой линии x — b = - In - - отвечает полуокружность радиусом г — г0 е d •
л Го
2Ьл
Силовой линии х = 2Ь отвечает полуокружность г = roc d и т. д.
Таким образом, поле в верхней полуплоскости ш, конформно отображающее
равномерное поле на плоскости г, образовано двумя полупрямыми, совпадающими
с осью Аг U и —U, которые отделены друг от друга в точке w = 0 и разность потен-
циалов между которыми ф2.
§ И.5. Интеграл Кристоффеля — Шварца. Поле на плоскости г, образованное
между осью х и ломаной линией г0 — zt — г2 — ... — zn с конечным числом изломов
(рис. И.4, а) (расположены по часовой стрелке), может быть отображено на верх-
нюю полуплоскость w с помощью преобразования Кристоффеля — Шварца:
dz — A(w— Ui) 1 (w— U2) a2...(w — Un) dw. (II. 11)
Здесь A — некоторая постоянная; Uv, U2, ...» Un — произвольно выбранные
точки на оси U (рис. И.4, б), соответствующие одноименным точкам гъ z2, ..., zn.
216
Оси к и U расположим параллельно. Исходношточке z0 отвечает некоторая точка UQ
на оси U. Углы а и у в формуле (И. 11) измеряются в долях от л. Угол а положи-
телен, если при переходе от предшествующего участка к последующему совершается
поворот против часовой стрелки. Так, для рис. И.4, а ах > 0, но < 0. Угол ул
.отсчитывается от оси до отрезка. г0 — 21. Линия z0 — z± — ... — zn представляет
собой след электрода, поэтому
она является эквипотенциалью.
В более общем случае переме-
щение производят по следу элек-
трода, по выбранной силовой ли-
нии и по следу второго электрода
или эквипотенциальной линии.
Эюму перемещению соответ-,
ствует перемещение вдоль линии
U плоскости w *. При обходе по
контуру на плоскости z надо сле-
дить за тем, чтобы область, заня-
тая полем, располагалась слева.
Биномы (ш—учитывают, что модуль Ez изменяется на каждом ^линейном
участке, но аргумент Ez на каждом участке остается неизменным. При переходе
z dw
через точку излома z^ аргумент Ez (он пропорционален arg скачком изменяется
на угол ал, поскольку при переходе через точку Uk бином (ш— Uk) изменяет знак.
В формуле (И. 11) граничные условия в поле учтены правильным изменением аргу-
мента ^~на всей границе области. Интегрируя (И. И), получим формулу (И. 12), кото-
рую называют интегралом Кристоффеля — Шварца (Сх и С2 — постоянные):
z = “‘(ai-f/a) + (И.12)
§ И.6. Применение интеграла Кристоффеля — Шварца. Рассмотрим картину
поля на краю плоского конденсатора рис. И.5, а. Оси координат плоскости z рас-
положим так, что ось х совпадает со средней линией конденсатора (потенциал ее
Рис. И.5
примем равным нулю). Верхний электрод, будучи параллелен оси х, удален от нее
на расстояние А, простирается от точки b до — оо и имеет потенциал ф2- Пунктиром
показан нижний электрод.
Ломаной линией z0 — zi — г2— ••• — zn (рис. И.5, б) в данном случае является
линия, состоящая из трех участков. Первый идет по верхней части электрода из точки а
(из — оо) до точки Ь. Участок расположен параллельно оси х, поэтому ул = 0. Вто-
рой участок от точки b до точки с (до — оо) по нижней части электрода.
* Для полярной системы координат U = const не является уравнением экви-
потенциал и.
217
Угол = —1. Третий участок от точки с (— оо) вдоль положительного направ-
ления оси х до точки е, находящейся в + оо. Так как при переходе от второго участка
к третьему совершается поворот по часовой стрелке, то а2 — +1.
Линию а b плоскости z отобразим на отрицательную полуось —U плоскости w
так (рис. И.5, в), чтобы точка а находилась в точке U = — оо; точка b — в точке
U = —г0 = —1; точки с и d — в точке U — 0 и точка е — в U — + оо. Тогда
в соответствии с формулой (И. 11)
dz — A (w +1)1 (w — О)-1 dw (а)
и
z — x+jy = A (о> +1) w1 dw-j-Ci + i^,
или
z — А (w + r0 In +jC2. (6)
На плоскости w будем пользоваться полярной системой координат w — zc7^.
Разделяя действительные и мнимые части, найдем:
х== Л fr cos р + г0 Ь —^ + С1, (ИЛЗ)
\ г о /
у = А (г sin Р + г0Р) + С2. (И. 14)
Определим постоянные Л, Q и С2.
Постоянную С2 найдем из условия, что для участка de плоскости z имеем у = О
и что ему на плоскости w соответствует Р = 0. Подставляя Р = 0 и # — 0 в (И. 14),
находим С2 = 0.
Для нахождения Л учтем что для участка ab плоскости z у — Л, а на плоско-
сти w этому участку соответствует Р — л. Подставляя эти данные в (И. 14), определим
Л = h/n.
Подставляя данные, соответствующие точке b (х = — р = л), в уравне-
ние (ИЛЗ), найдем С± — 0. Учитывая, что г0 = 1, перепишем (ИЛЗ) и (И. 14):
х = -~^r cosp + In , (И. 15)
^A(rsinp + p). (ИЛ6)
Эквипотенпиалями на плоскости w являются прямые Р = const. Для построения
на плоскости z эквипотенциали ср — const (ф2 > ср > 0) поступаем следующим обра-
зом. Находим угол Р= ^-л, подставляем найденное Р в формулы (И. 15) и (И. 16)
ф2
Г
и, придавая — различные, значения, находим координаты хи у точек искомой экви-
г о
потенциали. Для построения силовой линии 'В формулах (И.15) и (ИЛ6) следует
положить г — const и изменять Р от 0 до л. ОпределяехМ напряженность поля Ew
на плоскости w, исходя из того, что nrEw — ф2. Так как Ew перпендикулярна экви-
потенциальной линии, проведенной под углом Р к оси + (/, то Е& с осью + (7 состав-
ляет угол р—
Таким образом,
(И.17)
Напряжение между какими-то двумя бесконечно близко расположенными друг
к другу точками плоскости z и между соответствующими им точками плоскости w
одинаково и равно Ezdz — Ewdw.
218
dw\*
dz j ’
Здесь Ez — напряженность поля на плоскости z. Отсюда EZ = EW
Подставляя значение Ew из (И. 17), производной из (б) и значение А =
==hEt> найдем Ez~——р—еА
z J rh\r0-Ew J
Применим интеграл Кристоффеля — Шварца к расчету поля, образованного
линейным зарядом, находящимся в точке А на оси х плоскости г'(рис. И.6, а), заря-
женной полоской на отрезке С — D и диполя в окрестности точки F. Характер
dz тт
изменения при перемещении по оси и плоскости w такой:
dz _ w — b
dw у — d) (w — f)2
(И.18)
Точки a, b, ct d, f оси U плоскости w соответствуют точкам A, В, Ct D, F оси x
плоскости z. Поясним формулу (И.18). При переходе через точку А напряженность Е^,
Рис. И.6
принимая бесконечно большое значение в точке А, скачком изменяет направление
на 180°. Такой характер изменения Ez создает множитель -—— в формуле (И.18).
В точках С и D аргумент Ez изменяется на 90°. Это учтено наличием в формуле (И.18)
_ 1
множителя {(ш—с) (w— d)} 2. В некоторой точке В оси х плоскости z Ег=Ъ.Эю
учтено множителем (ш— Ь) в числителе (И.18). В окрестности точки F, где располо-
жен диполь, характер изменения Ez получим предельным переходом, устремив
точки F' и F" к точке F, при этом в формуле (И.18) появляется множитель .
Интегрируя (И.18), получим z = f (w)t а затем найдем и w — fr (г).
§ И.7. Интеграл Шварца. Положим, что на некотором участке границы иссле-
дуемой области поля на оси х плоскости z в интервале значений х от А± до А2 потен-
циал равен (р, а вне этого отрезка ф — 0. Упомянутым точкам на оси U плоскости w
соответствуют точки аг и tz2 (рис. И.6, б). При переходе через эти точки скачком изме-
няется направление напряженности поля, скачком должна измениться и вели-
dz D . dz М л; / I 1 \
чина -. В соответствии с этим -у— — --------- = N-----------------,
dw dw (w — a1)(w — a2) \w — a2 w — ai)
здесь N = (a2 — аг) M. Следовательно,
z=Wln —^+iC,
w — at
(И.19)
где jC — некоторая постоянная.
219
При w < аг и w > 02 z — x + jy = x + /0. Дробь-под знаком логарифма
положительна, поэтому С — 0. При переходе через точку ах под знаком логарифма
в (И. 19) оказывается отрицательное число, поэтому
, . *71 । — «1 I . . * 7
z^x+ftj^N In +
Приращение аргумента комплексного потенциала w при переходе через точку
равно V = <р. Но при этом приращение аргумента w должно быть равно прираще-
нию аргумента z (см. § И.2), поэтому nW = ф, N — (р/л и z = In — -~6?'2 .
Если потенциал ф вдоль оси U плоскости w будет изменяться плавно, то, заме-
нив U на переменную интегрирования а, сначала представим плавную кривую в виде
ступенчатой, как это показано на рис. И.6, в, и составим приращение потенциала
на бесконечно малом отрезке da оси U плоскости w.
. dz = ^-^ In + = <P(a) in A i da \
x л, w— а л \ ’ a — w)'
Разложим логарифм в ряд и, учитывая, что ~^а 1, возьмем лишь первый
а — w
член этого ряда
л = ф(а) _da
л а — w
Комплексный потенциал z получим, просуммировав приращения dz от всех
скачков потенциала на отрезках da> т. е. осуществив интегрирование:
г='И<₽(о)^- (и20)
В качестве примера составим z — f (ш) для поля, образованного границей маг-
нитопровода трансформатора с потенциалом ф—0 (отрезок —оо, 0 оси U пло-
скости w) и высоковольтной обмоткой на участке 0 — 1, потенциал которой линейно
нарастает по закону ф0 + Ла — рис. И.6, г. В этом случае
1
1 С Фо + Ла 1 । с х 1 1 । k
2—— I ---------da= - (фоН-ЛоО In---------.
л j a — w л T ' w л
о
ПРИЛОЖЕНИЕ К
ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
И СТАНОВЛЕНИЯ КУРСА ТОЭ
Термин электричество был введен в первом трактате об электрических и маг-
нитных явлениях, составленном в 1600 г. английским ученым Гильбертом. В этом
трактате электрические явления рассматривались вне связи с магнитными. На их
взаимную связь впервые было указано русским^ академиком Ф. Эпинусом в 1758 г.
в его докладе в Академии наук на тему «Речь о родстве електрической силы и магне-
тизма».
По предложению М. В. Ломоносова, Академия наук выдвинула конкурсную
тему на 1755 г. «сыскать подлинную електрической силы причину и составить точ-
ную ее теорию». М. В. Ломоносов дал объяснение атмосферного электричества,
предложил громоотвод и высказал мысль, что опыты с электричеством «великую на-
дежду к благополучию человеческому показуют».
Закон Кулона.был сформулирован в 1785 г. Понятие электрической цепи пред*
ложено Вольта в 1794 г. Вольтов столб датируют 1800 г. Серия опытов с электри-
ческой дугой была предпринята русским академиком В. В. Петровым в 1802 г. Он
является также основоположником электрохимии.
220
Воздействие тока на магнитную стрелку изучалось датчанином X. Эрстедом
в 1819 г., а взаимодействие токов — французом А. Ампером в 1820 г. Опытные
данные Био и Савара по исследованию магнитных полей были математически обоб-
щены Лапласом в 1820 г. (Закон Био — Савара — Лапласа).
Закон электромагнитной индукции был открыт английским ученым М. Фара-
деем в 1831 г. Им же были открыты законы электрохимии.
Электромагнитный телеграф был изобретен русским ученым П. Л. Шиллингом
в 1832 г. Русский ученый Б. С. Якоби в 1838 г. построил первую электрическую
машину, которая двигала по Неве лодку с 14 пассажирами. Якоби изобрел также
гальванопластику.
Закон Ома датирован 1827 г. Закон Джоуля — Ленца 1841 (Джоуль) —1842
(Ленц). В 1844 г. русский академик Э. X. Ленц сформулировал закон электро-
магнитной инерции. Он же исследовал тепловое действие тока.
Законы Кирхгофа (немецкий ученый) датированы 1845 г. Кирхгофом впервые
была применена 6-функция. В 1937 г. она была использована Дираком в работах
по атомной физике. Векторный потенциал А и взаимную индуктивность М ввел
немец Ф. Нейман в 1845 г.
Английский ученый Д. К. Максвелл в 1873 ,г. ввел понятие тока смещения,
сформулировал совокупность уравнений переменного электромагнитного поля,
носящих его имя.
Движение энергии в упругих средах было теоретически изучено русским уче-
ным Н. А. Умовым в 1874 г.
Первые опыты по передаче электрической энергии мощностью 4,4 кВт постоян-
ным током на расстояние 1 км были проведены русским инженером Ф. А. Пироц-
ким в 1875 г.
В 1882 г. М. Депре передавал электрическую энергию мощностью в 2,2 кВт
на расстояние 57 км при напряжении 2 кВ. Эти опыты были высоко оценены Ф. Эн-
гельсом в письме к К. Марксу.
Лампа накаливания («Русский свет») была изобретена А. Н. Лодыгиным в 1875 г.
Переменный ток для освещения («Свеча Яблочкова») был применен в 1876 г.
Движение потока энергии в электромагнитном поле изучено англичанином
Д. Пойнтиигом в 1884 г.
Русский инженер М. О. Доливо-Добровольский к 1889 г. разработал все основ-
ные элементы трехфазной системы: трехфазный двигатель, трехфазный генератор
и трансформатор и осуществил передачу энергии трехфазным током на расстоя-
ние в 175 км.
Русский ученый А. Г. Столетов известен открытием фотоэффекта, исследова-
нием электрического разряда в газах и исследованием свойств ферромагнитных мате-
риалов (1872 г.).
Русский ученый А. С. Попов первым в мире осуществил радиосвязь. Экспери-
ментальное доказательство существования электромагнитных волн осуществлено
немецким ученым Г. Герцем в 1887—1888 гг. Экспериментальное доказательство на-
личия светового давления, предсказанного Максвеллом, осуществил в своих опытах
проф. Московского университета П. Н. Лебедев в 1895 г. Про него лорд Кельвин
в разговоре с К. А. Тимирязевым сказал: «Вы может быть знаете, что я всю жизнь
воевал с Максвеллом, не признавая его светового давления, а вот ваш Лебедев
заставил меня сдаться перед его опытами». П. Н. Лебедев покинул свою лабора-
торию в Московском университете в знак протеста против исключения из универси-
тета передовых студентов царским министром Кассо в 1911 г.
Цикл работ по исследованию зависимости параметров вещества от частоты
был проведен в 1908—1911 гг. русским ученым В. К. Аркадьевым.
Развитие релятивистской электродинамики происходило в основном в 1905—
1908 гг. и связано с именами А. Эйнштейна, Г. Лоренца и Г. Минковского.
К этому времени электромагнитное поле уже трактовали как самостоятельный вид
материи.
, В развитии теории распространения радиоволн существенный вклад сделан
советским ученым Рожанским в 1922 г. Теоретическое исследование полых волново-
дов выполнено П. Е. Краснушкиным, Л. И. Мандельштамом и др. После Октя-
брьской революции в 1920 г. была создана комиссия ГОЭЛРО по разработке плана
электрификации РСФСР, рассчитанного на 10—15 лет. Этот план был высоко оценен
В. И. Лениным, который назвал его второй программой партии. План предусматри-
221
вал создание 30 электростанций обшей мощностью 1,75 млн. кВт. Насколько уве-
личилась энерговооруженность СССР можно судить по решениям XXV съезда КПСС.
К концу 1980 г. производство электрической энергии в СССР составит 1340—
1380 млрд. кВт-ч, будут введены мощности электростанций в размере 67—70 млн. кВт
и магистральные линии передач напряжением до 1,15 млн. В.
Приведем сведения о времени появления основополагающих математических
и общетеоретических работ, имеющих непосредственное отношение к ТОЭ и до сих
пор не упомянутых.
Прямое преобразование Лапласа датируют 1782 г. Теорема свертки впервые
дана русским ученым П. Л. Чебышевым в 1867 г. Интеграл Дюамеля (французский
ученый) датируют 1883 г. Основы теории устойчивости движения были созданы
русским академиком А. М. Ляпуновым в 1892 г. Операторный метод на основе пре-
образования Хевисайда — Коши был введен в электротехнику английским ученым
О/ Хевисайдом в 1892—1912 гг. В тот же период Хевисайдом была введена единич-
ная функция. Спектральные представления функций времени — теорему Рейли —
датируют 1894 г. Одним из первых, кто применил спектральные представления
к электрическим колебаниям, был русский ученый Н. Н. Андреев (1915 г.). Сим-
волический метод расчета электрических цепей предложен американским ученым
Ч. Штейнметцем в 1894 г.
Метод гармонического баланса впервые введен французом М. Жоли в 1911 г.
Кусочно-линейный метод интегрирования нелинейных дифференциальных уравне-
ний был предложен русским ученым Н. Д. Папалекси в 1912 г. Графо-аналитиче-
ский метод интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений был введен
в электротехнику русским инженером В. Волынкиным в 1916 г.
Первым предложил метод электрических сеток для решения уравнения Лап-
ласа советский ученый С. А. Гершгорин в 1929 г.
Метод медленно меняющихся амплитуд предложил в 1927 г. голландский уче-
ный Б. Ван-дер-Поль. Метод малого параметра — французский ученый Г. Пуанкаре
в 1928 г. Поля в поляризуемых и ферромагнитных средах — И. Е. Тамм в 1929 г.,
а также Л. Д. Ландау и Е. М. Лившиц.
Основополагающие работы по теории нелинейных колебаний выполнили советские
ученые А. А. Андронов, А. А. Витт и С. Э. Хайкин к 1937 г. Расчет цепей с нели-
нейными элементами, имеющими идеально прямоугольные характеристики, пред-
ложил В. Кремер в 1938 г.
Частотные методы анализа нелинейных цепей развиты советскими учеными
Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым в 1934—1937 гг. Дискретное преобразо-
вание Лапласа разработано русским ученым Я. 3. Цыпкиным в 1948—1950 гг.
Метод трапецеидальных частотных характеристик разработал советский ученый
В. В. Солодовников в 1950 г.
Применение метода интегральных уравнений к задачам электротехники осуще-
ствлено советскими учеными Г. А. Гринбергом в 1948 г., О. В. Тозони в 1-964 г. и др.
Приоритет исследования процессов на моделях принадлежит русским ученым
А. Н. Крылову, Н. Н. Павловскому и др.
Первые работы по синтезу электрических цепей выполнены Цобелем и Фостером
в 1924 г., немцем Кауером в 1927 г., советскими учеными Г. В. Брауде в 1934 г.,
С. Н. Евлановым в 1937 г. и Б. В. Булгаковым в 1949 г. Первые работы по струк-
турному анализу и теории сигнальных графов выполнены советским ученым Б. Н. Пет-
ровым в 1945 г. и американским ученым С. Мезоном в 1953 г.
Теорема В. А. Котельникова о передаче непрерывных сообщений дискретными
значениями сформулирована в 1933 г.
Первое исследование комбинационных колебаний в нелинейных цепях, мягкого
и жесткого возбуждения выполнено немцем К. Хеегнером в 1924 г. Влияние перемен-
ной составляющей магнитного потока на постоянную в нелинейной магнитной цепи
обнаружено немцем Шунком в 1923 г., а селективное выпрямление — советским
ученым М. А. Розенблатом в 1949 г.
Первым в России учебным заведением электротехнического профиля было осно-
ванное в 1886 г. Петербургское техническое училище телеграфных инженеров, кото-
рое через пять лет было преобразовано в Петербургский электротехнический инсти-
тут (ныне ЛЭТИ).
Как самостоятельная дисциплина курс ТОЭ начал формироваться с 1904 г.,
когда академик В. Ф. Миткевич в Петербургском политехническом институте (ныне
222
ЛПИ) начал читать курс «Теория электрических и магнитных явлений», а проф.
К. А. Круг с 1905 г. в МВТУ — курс «Теория переменных токов».
Первое издание учебника по ТОЭ К. А. Круга датировано 1916 г., последнее —
1946 г. В настоящее время учебники по ТОЭ издаются авторами, работающими в МЭИ,
МИРЭА, ЛПИ, МАИ.
Программа курса ТОЭ через каждые 5—7 лет пересматривается и обновляется.
В период с 1915 по 1935 г. курс ТОЭ формировался в основном под влиянием
энергетики, связи, светотехники, электромашиностроения. В последующий период —
примерно с 1936 г. по 1950 г. — под влиянием развития радиотехники, автоматики
и телемеханики. В последующие годы на курс ТОЭ в значительной мере повлияло
развитие электроники, вычислительной техники и теории информации.
ПРИЛОЖЕНИЕ Л
СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ ПРОВОДНИКОВЫХ
МАТЕРИАЛОВ И ДИЭЛЕКТРИКОВ
Значения электрической проводимости у (См/м) при 20э С для различных про-
водниковых материалов
Алюминий........(3,47 4-3,8) 107
Бронза.............(1,92 4-4,76) 107
Латунь.............(1,26 ч- 3,23) 10?
Медь...............(5,5 4- 5,72) 107
Никель............(1,26 4- 1,32) 107
Сталь...............(0,73 4-9,97) 107-
Серебро.............(6,17 4-6,25) 10?
Чугун..............(2 4-2,5)106
Константан.........(1,94-2,22) 10s
Нихром.............(0,735 4-0,48) 106
Основные свойства некоторых диэлектриков. В табл. Л.1 даны значения диэлек-
трической проницаемости е при частоте 100 Гц и 100 МГц, тангенса угла потерь tg 6
при частоте 1000 Гц и пробивной напряженности (кВ эфф/см) в равномерном поле
при частоте 50 Гц.
Таблица Л.1
у Материал 8 tg б ^проб
100 Гц 100 МГц
Бакелит 4,9 3,7 0,03 240
Бумага 3,7 — 0,009 160
Кварц 3,8 3,8 0,001 80
Плексиглас 3,4 2,6 0,06 400
Полихлорвинил 3,2 2,8 0,01 320
Полистирол 2,55 2,52 0,0005 240
Слюда 5,4 5,4 0,002 ЮО—1000
Трансформаторное масло 2,24 2,18 0,001 120
Фарфор 7 — *— 57
ЛИТЕРАТУРА по теории ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
И СМЕЖНЫМ ВОПРОСАМ
i
а. Учебники
1. И о н к и н П. А. и др. Теоретические основы электротехники. Т. II. «Выс-
шая школа», 1976.
2. К у п а л я н С. Д. Теоретические основы электротехники. Ч. III. «Энер-
гия», 1970.
3. Нейман Л. Р., Демирчан К. С. Теоретические основы электро-
техники. Т. II. «Энергия», 1974.
4. П о л и в а н о в К. М. Теоретические основы электротехники. Ч. III. «Энер-
гия», 1974.
б. Учебные пособия и монографии
5. А р ц и м о в и ч Л. А., Л у к ь я н о в С. Ю. Движение заряженных час-
тиц в электрических и магнитных полях. «Наука», 1972.
6. Г р и н б е р г Г. А. Избранные вопросы математической теории электриче-
ских и магнитных явлений. «Наука», 1972.
7. К у х а р к и н Е. С. Основы инженерной электрофизики. Ч. 1. «Высшая
школа», 1969.
8. Меерович Э. А. Методы релятивистской электродинамики в электро-
технике. «Энергия», 1966.
9. М и р о л ю б о в Н. Н. и др. Методы расчета электростатических полей.
«Высшая школа», 1963.
10. Н е й м а н Л. Р. Поверхностный эффект в ферромагнитных телах. Гос-
энергоиздат, 1948.
11. Никольский В. В. Электродинамика и распространение радиоволн.
«Наука», 1973.
12. С м а й т В. Электростатика и электродинамика. ИЛ, 1954.
13. Стреттон Д. А. Теория электромагнетизма. Гостехиздат, 1948.
14. Т а м м И. Е. Основы теории электричества. Гостехиздат, 1956.
15. Т о з о н и О. В. Расчет электромагнитных полей на вычислительных ма-
шинах. Техшка, 1967.
16. Т о з о н и О. В. Метод вторичных источников в электротехнике. «Энергия»,
1975.
17. III и м о и и К. Теоретическая электротехника. «Мир», 1964.
в. Задачники
18. Бессонов Л. А. и др. Сборник задач по теоретическим основам электро-
техники. «Высшая школа», 1975.
19. Колли Я. Н. и др. Задачник по теоретическим основам электротехники
(теория поля). «Энергия», 1972.
г. Контрольные задания и методические указания
20. Б е с с о н о в. Л. А. и др. Контрольные задания и методические указания
по курсу ТОЭ. «Высшая школа», 1977.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Ч a ci ь HI
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Предисловие............................................................ 3
Введение............................................................... 4
Глава девятнадцатая
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
§ 19.1. Определение электростатического поля ......................в 5
§ 19.2. Закон Кулона................................................... 5
§ 19.3. Напряженность и потенциал электростатического поля............. 6
§ 19.4. Электрическое поле — поле потенциальное........................ 8
§ 19.5. Силовые и эквипотенциальные линии.............................. 9
§ 19.6. Выражение напряженности в виде градиента потенциала........... 10
§ 19.7. Дифференциальный оператор Гамильтона (оператор набла)....... 12
§ 19.8. Выражение градиента потенциала в цилиндрической и сферической
системах координат........................................... ... 12
19.9. Поток вектора через элемент поверхности и поток вектора через
поверхность........................................................ 13
§ 19.10. Свободные и связанные заряды. Поляризация вещества ....... 14
§ 19.11. Вектор поляризации........................................... 14
§ 19.12. Вектор электрической индукции D.............................. 16
§ 19.13. Теорема Гаусса в интегральной форме.......................... 16
§ 19.14. Применение теоремы Гаусса для определения напряженности и
потенциала в поле точечного заряда................................., 18
§ 19.15. Теорема Гаусса в дифференциальной форме...................... 19
§ 19.16. Вывод выражения для div Е в декартовой системе координат ... 21
§ 19.17. Использование оператора набла для записи операции взятия дивер-
генции .............................................................. 21
§ 19.18. Выражение div £ в цилиндрической и сферической системах коор-
динат ............................................................... 22
§ 19.19. Уравнение Пуассона и уравнение Лапласа....................... 22
§ 19.20. Граничные условия ...................................... . 21
§ 19.21. Поле внутри проводящего тела в условиях электростатики..... 25
§ 19.22. Условия на границе раздела проводящего тела и диэлектрика ... 25
§ 19.23. Условия на границе раздела двух диэлектриков................. 26
§ 19.24. Теорема единственности решения.............................. 27
§ 19.25. Общая характеристика задач электростатики и методов их решения 28
§ 19.26. Поле заряженной оси......................................... 30
§ 19.27. Поле двух параллельных заряженных осей....................... 31
§ 19.28. Поле двухпроводной линии..................................... 31
225
§ 19.29. Емкость................................................................................................................... 33
§ 19.30. Метод зеркальных изображений ............................................................................................. 34
§ 19.31. Поле заряженной оси, расположенной вблизи проводящей плоскости 34
§ 19.32. Поле заряженной оси, расположенной вблизи плоской границы
раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими прони-
цасмостями............................................................. 35
§ 19.33. Электростатическое поле системы заряженных тел, расположенных
вблизи проводящей плоскости ........................................... 37
§ 19.34. Потенциальные коэффициенты. Первая группа формул Максвелла 38
§ 19.35. Емкостные коэффициенты. Вторая группа формул Максвелла .... 39
§ 19.36. -Частичные емкости. Третья группа формул Максвелла...................... 40
§ 19.37. Поле точечного заряда, расположенного вблизи проводящей сферы 42
§ 19.38. Поле заряженной оси, расположенной параллельно цилиндру ... 43
§ 19.39. Шар в равномерном поле.............................................................................. 43
§ 19.40. Проводящий шар в равномерном поле.... 47
§ 19.41. Диэлектрический шар в равномерном поле.............................................. 48
§ 19.42. Диэлектрический цилиндр в равномерном поле...................................... 50
§ 19.43. Понятие о плоскопараллельном, плоскомеридианном и равномер-
ном полях ............................................................. 51
§ 19.44. Графическое построение картины плоскопараллельного поля .... 52
§ 19.45. Графическое построение картины плоскомеридианного поля...... 53
§ 19.46. Объемная плотность энергии электрического поля и выражение ме-
ханической силы в виде производной от энергии электрического поля
по изменяющейся координате........................................... 54
§ 19.47. Энергия поля системы заряженных тел....................................................................................... 56
19.48. Метод средних потенциалов................................................................................................. 64
§ 19.49. О расчете электрических полей, создаваемых диэлектриками, со-
храняющими остаточную поляризацию при снятии внешего поля . 68
Вопросы для самопроверки .................................................................................................. 68
Глава двадцатая
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА В ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ
§ 20.1. Плотность тока и ток....................................................................................................... 69
§ 20.2. Закон Ома и второй закон Кирхгофа в дифференциальной форме 69
§ 20.3. Первый закон Кирхгофа в дифференциальной форме............................................................................. 72
§ 20.4. Дифференциальная форма закона Джоуля-—Ленца................................................................................ 73
§ 20.5. Уравнение Лапласа для электрического поля в проводящей среде 73
§ 20.6. Переход тока из среды с проводимостью yi в среду с проводимостью
^2- Граничные условия ................................................. 73
§ 20.7. Аналогия между полем в проводящей среде и электростатическим
полем................................................................ 74
§ 20.8. Экспериментальное исследование полей ...................................................................................... 75
§ 20.9. Соотношение между проводимостью и емкостью............................................................................... 76
§ 20.10. Общая характеристика задач расчета электрического поля в про-
водящей среде и методов их решения..................................... 78
§ 20.11. Расчет электрического поля в диэлектрике, окружающем провод-
ники с токами.......................................................... 78
Вопросы для самопроверки................................... . 81
I
1
I
1
1
226
Глава двадцать первая
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА
§ 21.1. Связь основных величин, характеризующих магнитное поле. Меха-
нические силы в магнитном поле......................................... 81
§ 21.2. Интегральная форма закона полного тока ........................ 84
§ 21.3. Дифференциальная форма закона^полного тока..................... 84
§21.4. Раскрытие выражения rot Н = 6 в декартовой системе коорди-
нат .................................................................. 85
§ 21.5. Запись ротора в виде векторного произведения .................. 87
§'21.6. Раскрытие rot Н в виде определителя в декартовой системе .... 87
§ 21.7. Выражение проекций ротора в цилиндрической и сферической сис-
темах координат........................................................ 87
21.8. Принцип непрерывности магнитного потока и запись его в диффе-
ренциальной форме ..................................................... 88
§ 21.9. Магнитное поле в областях, «занятых» и «незанятых» постоянным
током.................................................................. 88
§ 21.10. Скалярный потенциал магнитного поля......................... 88
§ 21.11. Граничные условия ............................................ 90
§ 21.12. Векторный потенциал магнитного поля......................... 91
§ 21.13. Уравнение Пуассона для вектора-потенциала..................... 92
§ 21.14. Выражение магнитного потока через циркуляцию вектора-потен-
циала ........................................»........................ 93
§ 21.15. Векторный потенциал элемента тока............................. 95
§ 21.16. Взаимное соответствие электростатического (электрического) и маг-
нитного полей.......................................................... 96
§ 21.17. Задачи расчета магнитных полей................................ 97
§ 21.18. Общая характеристика методов расчета и исследования магнитных
полей.................................................................. 97
§ 21.19. Опытное исследование картины магнитного поля.................. 98
§ 21.20. Графическое построение картины поля и определение по ней маг-
нитного сопротивления................:................................. 99
§ 21.21. Магнитное экранирование...................................... 101
§ 21.22. Эллипсоид во внешнем однородном поле. Коэффициент размагничи-
вания ................................................................. ЮЗ
§ 21.23. Применение метода зеркальных изображений..................... 104
§ 21.24. Закон Био—Савара — Лапласа.................................... ПО
§ 21.25. Определение скалярного магнитного потенциала контура с током
через* телесный угол.................................................. 113
§ 21.26. Магнитное поле намагниченной пленки (ленты).................. 113
§ 21.27. Определение магнитного потока, созданного в некотором контуре
намагниченным ферромагнитным телом ..................,................ 114
§ 21.28. Выражение механической силы в виде производной от энергий маг-
нитного поля по координате............................................ 115
Вопросы для самопроверки....................................... 116
227
Г лава двадцать вторая
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕМЕННОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
§ 22.1. Определение переменного электромагнитного поля *........... 117
§ 22.2. Первое уравнение Максвелла................................. 118
§ 22.3. Уравнение непрерывности.................................... 119
§ 22.4. Второе уравнение Максвелла................................. 119
§ 22.5. Уравнения Максвелла в комплексной форме записи............. 121
§ 22.G. Теорема Умова — Пойнтинга для мгновенных значений.......... 121
§ 22.7. Теорема Умова — Пойнтинга в комплексной форме записи...... 127
§ 22.8. Некоторые замечания к § 22.1............................... 128
§ 22.9. Основные положения электродинамики движущихся сред (основы ре-
лятивистской электродинамики)...................................... ГЗЭ
Вопросы для самопроверки .................................. 132
Глава двадцать третья
ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ОДНОРОДНОЙ И
ИЗОТРОПНОЙ ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ
§ 23.1. Уравнения Максвелла для проводящей среды .................. 133
§ 23.2. Плоская электромагнитная волна ............................ 134
§ 23.3. Распространение плоской электромагнитной волны в однородном
проводящем полупространстве ....................................... 137
§ 23.4. Глубина проникновения и длина волны........................ 138
§ 23.5. Магнитный поверхностный эффект............................. 139
§ 23.6. Электрический поверхностный эффект в плоской шине. Эффект
близости........................................................... 142
§ 23.7. Неравномерное распределение тока в прямоугольной шине, нахо-
дящейся в пазу электрической машины ............................... 143
§ 23.8. Поверхностный эффект в цилиндрическом проводе.............. 143
§ 23.9. Применение теоремы Умова — Пойнтинга для определения актив-
ного и внутреннего индуктивного сопротивления проводников при
переменном токе.................................................... 146
§ 23.10. Экранирование в переменном электромагнитном поле.......... 147
§ 23.11. Сопоставление принципов экранирования в электростатическом,
магнитном и электромагнитном полях...................<............. 147
§ 23.12. Высокочастотный нагрев металлических деталей и несовершенных
диэлектриков....................................................... 148
Вопросы для самопроверки ................................... 148
Глава двадцать четвертая
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ОДНОРОДНОМ
И ИЗОТРОПНОМ ДИЭЛЕКТРИКАХ И В ПОЛУПРОВОДЯЩИХ и
ГИРОТРОПНЫХ СРЕДАХ
§ 24.1. Распространепйе электромагнитных волн в однородном и изотроп-
ном диэлектрике.................................................... 148
§ 24.2. Плоские волны в однородных и изотропных пол у проводящих средах 152
228
§ 24.3. Граничные условия на поверхности раздела двух полупроводящих
сред................................................................ 154
§ 24.4. Переходные и релаксационные процессы в несовершенных диэлек-
триках .......................................................... . 154
§ 24.5. О расчете полей в несовершенных диэлектриках и вязких средах
при установившемся синусоидальном режиме............................ 155
§ 24.6. Определение гиротропной среды................................. 156
§-24.7. Тензор магнитной проницаемости феррита........................ 156
§ 24.8. Распространение плоской волны в гиромагнитной среде........... 157
Вопросы для самопроверки...................................... 159
Глава двадцать пятая
ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ ПЕРЕМЕННОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО
ПОЛЯ И ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ЭНЕРГИИ
§ 25.1. Вывод уравнений для А и ср в переменном электромагнитном поле
и их решение ...................................................... 159
§ 25.2. Запаздывающие потенциалы- переменного электромагнитного поля 166
§ 25.3. Комплексная форма записи запаздывающего векторного потенциала 166
§ 25.4. Излучение электромагнитной энергии.......................... 167
§ 25.5. Понятие об излучающем диполе.................................. 173
§ 25.6. Дополнительный анализ поля излучения.......................... 174
§ 25.7. Расчет поля реальных излучателей ..................... . .’ . 176
§ 25.8. Излучение магнитного диполя и принцип двойственности.......... 177
§ 25.9. Переход плоской электромагнитной волны из одной среды в другую 178
Вопросы для самопроверки .................................. 180
Глава двадцать шестая
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В НАПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМАХ
§ 26.1. Понятие о волноводах и объемных резонаторах................... 180
§ 26.2. Типы волн в волноводе. Решение для Н-волны............. ... 183
§ 26.3. Волновое сопротивление. Фазовая и групповая скорости......... 187
§ 26.4. Решение для Е-волны........................................... 188
§ 26.5. Аналогия между волноводом и линией с распределенными парамет-
рами ............................................................. 188
§ 26.6. Граничные условия Леонтовича.................................. 188
§ 26.7. Запредельный волновод......................................... 189
§ 26.8. Линии с поверхностными волнами и полосковые линии............ 189
Вопросы для самопроверки.................................... 190
Глава двадцать седьмая
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В МАГНИТНОМ
И ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЯХ
§ 27.1. Движение электрона в равномерном магнитном поле, неизменном во
времени и направленном перпендикулярно скорости..................... 190
§ 27.2. Движение электрона в неизменном во времени магнитном поле, когда
скорость электрона не перпендикулярна силовым линиям................ 191
229
§ 27.3. Фокусировка пучка электронов постоянным во времени магнитным
полем (магнитная линза)............................................. 191
§ 27.4. Движение электронов в равномерном электрическом поле. Принцип
работы электронного осциллографа.................................... 192
§ 27.5. Фокусировка пучка электронов постоянным во времени электриче-
ским полем (электрическая линза).................................... 192
§ 27.6. Движение электрона в равномерных, взаимно перпендикулярных,
неизменных во времени магнитных и электрических полях............... 193
§ 27.7. Движение заряженных частиц в кольцевых ускорителях *........ 194
Глава двадцать восьмая
ОСНОВЫ МАГНИТНОЙ гидродинамики
§ 28.1. Определение магнитной гидродинамики и краткая характеристика
областей ее применения.............................................. 195
§ 28.2. Уравнения магнитной гидродинамики........................... 196
§ 28.3. Просачивание (диффузия) магнитного поля..................... 197
§ 28.4. Электромагнитный барьер..................................... 198
§ 28.5. Вмороженное поле............................................ 198
§ 28.6. Возникновение волн в плазме................................. 198
§ 28.7. Эффект сжатия (пинч-эффект)............................... 200
§ 28.8. Принцип работы магнитного насоса и магнитного вентиля...... 200
§ 28.9. Принцип работы магнитного гидродинамического генератора .... - 200
§ 28.10. Принцип работы плазменного реактивного двигателя........... 201
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЧАСТИ HI]
Приложение Е'
Расчет полей по методу сеток и моделирование полей по методу электрических
сеток........................................................... 202
§ E'.l. Расчет полей по методу сеток................................ 202
§ Е'.2. Моделирование полей по методу электрических сеток........... 204
Приложение Ж
Метод Грина......................................................... 205
§ Ж-1. Формулы Грина............................................... 205
§ Ж-2. Гармонические функции ...................................... 205
§ Ж-3. Интеграл Грина для гармонических функций.................... 206
§ Ж-4. Функция Грина............................................... 207
§ Ж.5. Определение потенциала ср через функцию Грина в общем случае 207
Приложение 3
Метод интегральных уравнений ...................................... 208
§ 3.1. Первый вариант метода интегральных уравнений................ 208
§ 3.2. Второй вариант метода интегральных уравнений .............. 210
Приложение И
Метод конформных преобразований (отображений)....................... 212
§ И.1. Комплексный потенциал.......................... ........... 212
230
§ И.2. Конформные преобразования...................................... 212
§ И.З. Прямая и обратная задачи расчета полей по методу конформных пре-
образований .......................................................... 214
§ И.4. Преобразование равномерного поля на плоскости z в поле верхней
полуплоскости w....................................................... 216
§ И.5. Интеграл Кристоффеля — Шварца................................. 216
§ И.6. Применение интеграла Кристоффеля — Шварца...................... 217
§ И.7. Интеграл Шварца................................................ 219
Приложение К
История развития электротехники и становления курса ТОЭ . ............ 220
Приложение Л
Свойства некоторых проводниковых материалов и диэлектриков............ 223
Литература по теории электромагнитного поля и смежным вопросам . . , . . 224
Лев Алексеевич Бессонов
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Электромагнитное поле
Редактор Е. А. Орехова. Художественный редактор Т. М. Скворцова. Пере-
плет художника Ф. Н. Буданова Технический редактор Е. И. Герасимова.
Корректор М. М. Малиновская
ИБ 1089
Изд. № ЭР—235. Сдано в набор 09.01.78. Подп. в печать 04.05.78. Формат
60X90716- Бум. тип. № 3. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем
14,5 усл. печ. л. 14,15 уч.-изд. л. Тираж 125 000 экз. Зак. № 1730. Цена 65 коп.
Издательство «Высшая школа», Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ленин-
градское производственно-техническое объединение «Печатный Двор» имени
А. М. Горького Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета
Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
197136, Ленинград, П-136, Гатчинская ул., 26.
»59
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ВЫСШАЯ ШКОЛА